# Théorie des groupes/Groupes, premières notions
## Groupe : définitions et exemples

$(G,\star )$
Un groupe $(G,\star )$ est donc un ensemble muni d'une loi de composition interne $\ \star$ possédant les propriétés suivantes :
* La loi de composition est associative : $\forall x,y,z\in G:x\star (y\star z)=(x\star y)\star z$ ;
* Il existe un (et un seul) élément neutre, noté e vérifiant $\forall x\in G:x\star e=e\star x=x$ ;
* Tout élément a un symétrique (dit aussi inverse en notation multiplicative et opposé en notation additive), $\forall x\in G,\exists y\in G,x\star y=y\star x=e.$
Remarque : le symétrique de x est noté x$^{-1}$ en notation multiplicative et -x en notation additive.
Comme on l'a vu dans le chapitre sur les monoïdes,
* l'élément neutre est unique ;
* un élément donné n'a qu'un symétrique ;
* le symétrique du symétrique d'un élément x est x lui-même.
On vérifie facilement que si un magma M est isomorphe comme magma à un groupe, M est un groupe.
Démonstration. Nous avons vu dans le chapitre sur les monoïdes que tout élément inversible d'un monoïde est simplifiable.
Démonstration. Supposons d’abord xy = 1 et prouvons que y est l'inverse de x. Il suffit de multiplier à gauche les deux membres de l'égalité xy = 1 par x$^{-1}$ et d'appliquer l'associativité. Si maintenant y x = 1, on peut multiplier à droite par x$^{-1}$, ou encore dire que d’après le résultat précédent, x est l'inverse de y, ce qui entraîne que y est l'inverse de x.
On supposera dans ce cours que le lecteur connaît la notion de cardinal infini et ses propriétés les plus classiques. On notera $\vert X\vert$ ou encore Card(X) le cardinal d'un ensemble X.
$\vert G\vert$
Un groupe d'ordre fini (resp. infini) est encore appelé un groupe fini (resp. infini) etc.
Exemples.
1) $\{e\}$ : groupe trivial (la loi est définie par $e.e=e$).
2) Si A, B, C sont des ensembles, si $f$ est une application de A dans B et $g$ une application de B dans C, on notera dans ce cours $g\circ f$ l'application $x\mapsto g(f(x))$ de A dans C. (On compose donc de droite à gauche. Certains auteurs composent de gauche à droite, c'est-à-dire qu'ils écrivent $fg$ là où nous écrivons $g\circ f$.) Soit X un ensemble. Rappelons qu'en théorie des ensembles, on appelle permutation de X une bijection de X sur lui-même. L'application de X dans lui-même qui applique chaque élément sur lui-même est évidemment une permutation de X, que nous noterons id$_X$. Soient f, g et h des permutations de X. On montre en théorie des ensembles que
   * $f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h$
   * $f\circ id_{X}=id_{X}\circ f=f$
   * $f\circ f^{-1}=f^{-1}\circ f=id_{X}$,
où f$^{-1}$ désigne la permutation réciproque de f, définie en théorie des ensembles. Cela montre que l’ensemble des permutations de X, muni de la loi de composition $\circ$, est un groupe, qu'on appelle groupe symétrique de X, et qu'on note $\ S_{X}$ ou ${\mathfrak {S}}(X)$.
3) L'ensemble des entiers relatifs (ou entiers rationnels), muni de l'addition des entiers est un autre exemple de groupe. (Cet ensemble est connu dès le niveau des lycées et collèges, mais nous le construirons dans la suite du présent chapitre.) On sait que la somme de deux entiers ne dépend pas de l’ordre dans lequel l'addition est effectuée, autrement dit le composé de deux éléments du groupe en question ne dépend pas de l'ordre dans lequel on leur applique la loi de groupe. On dit qu'un tel groupe est commutatif, ou encore abélien :
Un groupe abélien (ou commutatif) $(G,\star )$ est un groupe dont la loi de composition est commutative, c'est-à-dire, rappelons-le, que cette loi satisfait à la condition :
    $\forall x,y\in G:x\star y=y\star x$.
Dire qu'un groupe est abélien revient à dire qu'il est commutatif comme monoïde.
Démonstration. Si x et y sont deux éléments distincts de X, désignons par (x, y) la permutation de X qui applique x sur y, y sur x, et laisse fixes tous les autres éléments de X. Par hypothèse, nous pouvons choisir trois éléments distincts a, b et c de X. Les permutations
    $(a,b)\circ (b,c)$ et $(b,c)\circ (a,b)$
ne sont pas égales, car la première applique b sur c et la seconde l'applique sur a. Ceci prouve bien que le groupe S$_X$ n’est pas commutatif.
Remarque : Quand on parle d'un groupe, il arrive (souvent) que la loi soit sous-entendue, mais s'il y a un risque de confusion il faut la mettre explicitement. Par convention tacite, la loi d'un groupe est généralement notée de la même façon que la multiplication, d'élément neutre 1. Les groupes abéliens sont notés comme l'addition, d'élément neutre 0 et d'inverse -x (on dit « l'opposé »). Attention cependant, aucune convention explicite n'existe, les auteurs sont donc libres de noter les lois comme ils veulent ; et souvent les notations dépendent de la nature des objets constituant le groupe.

## Extension de la loi aux parties

Si $X$ et $Y$ sont des parties d'un groupe $G$ noté multiplicativement, nous désignerons par $XY$ l’ensemble des éléments de $G$ de la forme $xy$ avec $x\in X$ et $y\in Y$. Nous désignerons par $X^{-1}$ l’ensemble des éléments de G de la forme $x^{-1}$ avec $x\in X$. Il est clair que, pour toutes parties $X,Y$ et $Z$ de $G$, nous avons :
    $(XY)Z=X(YZ)$
    $(XY)^{-1}=Y^{-1}X^{-1}$
    $(X^{-1})^{-1}=X$
Si X est le singleton $\{x\}$, on écrit $xY$ au lieu de $\{x\}Y$ et, de même, $Yx$ au lieu de $Y\{x\}$.
En notation additive, on écrit $X+Y$ au lieu de $XY$, et $-X$ au lieu de $X^{-1}$.

## Groupe additif des entiers relatifs et des nombres rationnels

(Cette section peut être omise en première lecture.)
L'ensemble $\mathbb {N}$ des nombres naturels, muni de l'addition, est un monoïde commutatif où tout élément est simplifiable. Le seul élément de ce monoïde qui admette un opposé est 0. Nous allons montrer que $(\mathbb {N} ,+)$ peut être « plongé » dans un groupe. De façon générale, si M est un monoïde commutatif, on peut « plonger » M dans un monoïde commutatif plus grand, où tout élément est de la forme ms$^{-1}$, -que l’on notera (m / s) en notation multiplicative et (m - s) en notation additive,- m appartenant à M et s étant un élément simplifiable de M. On procède comme suit. Soit S l’ensemble des éléments simplifiables de M. Dans le produit cartésien $M\times S$, on considère la relation d'équivalence entre $(m_{1},s_{1})$ et $(m_{2},s_{2})$ définie par la condition $m_{1}s_{2}=m_{2}s_{1}$. On note m/s (en contexte multiplicatif) la classe d'équivalence de (m,s). On montre que, pour $m,n\in M$ et $s,t\in S$, la classe d'équivalence de (mn, st) ne dépend que des classes d'équivalence de (m,s) et (n,t), ce qui permet de munir l’ensemble quotient d'une loi de composition $\star$ qui peut être caractérisée par $m/s\star n/t=(mn)/(st)$. On munit ainsi l’ensemble quotient d'une structure de monoïde. Ce monoïde est noté $M_{S}$. Le monoïde M est isomorphe au sous-monoïde de $M_{S}$ formé par les éléments de la forme (m/1), m parcourant M. On identifie M à ce sous-monoïde de $M_{S}$ et on a donc bien «plongé» M dans un monoïde tel qu'annoncé. On vérifie en effet (i) que tout élément simplifiable s de M est inversible dans $M_{S}$, (ii) que s$^{-1}$ est identique à la classe associée au couple (1,s), et (iii) que toute classe m/s associée au couple (m,s) est égale au produit ms$^{-1}$ dans $M_{S}$.
Si tout élément de M est simplifiable, S est égal à M tout entier et $M_{S}$ est un groupe. On étend, dans ce cas, la notation a/b à tous les éléments a et b du groupe $M_{S}$, en convenant que $a/b=ab^{-1}$ ($a-b=a+(-b)$ en contexte additif).
Dans le cas particulier où M est le monoïde additif $\mathbb {N}$, on plonge ainsi $\mathbb {N}$ dans un groupe commutatif noté ℤ, +, qu'on appelle groupe des entiers rationnels, ou des entiers relatifs.
Soient a, b deux nombres naturels, et soit n le nombre naturel constituant l'écart entre a et b. Ainsi a+n=b ou bien a=b+n, selon que $a\leq b$ ou bien $b\leq a$. L'élément (a-b) de ℤ peut donc s'écrire d'une des deux façons (0-n), (n-0) avec n naturel (selon que $a\leq b$ ou $b\leq a$). On en tire que tout élément de ℤ est égal à un élément de la forme -n ou n, avec n naturel (si on identifie comme ci-dessus $\mathbb {N}$ à un sous-monoïde de ℤ). Autrement dit, $\mathbb {Z} =\mathbb {N} \cup -\mathbb {N}$. On peut aussi montrer que 0 est le seul élément de ℤ qui appartienne à la fois à $\mathbb {N}$ et à $-\mathbb {N}$.
On a dans ℤ une relation d'ordre total
    $a\leq b\Leftrightarrow b-a\in \mathbb {N}$
qui coïncide dans $\mathbb {N}$ avec la relation d'ordre usuelle dans $\mathbb {N}$. Cette relation d'ordre dans ℤ est dite relation d'ordre usuelle dans ℤ. Quand nous parlerons d'une relation d'ordre dans ℤ sans la préciser, il s'agira de celle-là.
Si r est un entier relatif, il résulte d'une remarque ci-dessus que r ou -r est naturel et qu’ils ne le sont tous deux que si r = -r = 0. On appelle valeur absolue de r et on note $\ \vert r\vert$ l'unique entier naturel qui appartient à l’ensemble {r, -r}. C'est aussi le plus grand des deux entiers rationnels r et -r.
Remarque : la méthode de plongement ci-dessus sert aussi à définir le corps des fractions d'un anneau intègre. L'anneau $\mathbb {Z}$ est un anneau intègre et son corps des fractions est le corps $\mathbb {Q}$ des nombres rationnels. Ce corps est un corps ordonné.

## Sous-groupes

Un sous-groupe d'un groupe $(G,\star )$ est un sous-ensemble H de G possédant les propriétés suivantes :
* H est stable par la loi $\star$ : $\forall x,y\in H:x\star y\in H$
* l'élément neutre de G appartient à H
* l'inverse de tout élément de H est dans H
D'après la condition de stabilité, la loi $\star$ de G induit une loi de composition interne dans H, qui, pour tous éléments h$_1$, h$_2$ de H, applique (h$_1$, h$_2$) sur l'élément h$_1$ $\star$ h$_2$ de H. Cette loi induite est évidemment associative. Puisque l'élément neutre de G appartient à H, il est évidemment élément neutre pour la loi induite. Enfin, puisque pour tout élément h de H, l'inverse de h pour * appartient à H, il est clair que cet inverse est aussi l'inverse de h pour la loi induite. Tout ceci montre que la loi induite fait de H un groupe.
Pour exprimer que H est sous-groupe de G, on écrit souvent $H\leq G$ plutôt que $H\subseteq G$. De même, pour exprimer que H est un sous-groupe propre de G (c'est-à-dire distinct de G), on écrit souvent $\ H<G$.
* $H\subset G$
* $H\neq \varnothing$
* $\forall x,y\in H:x\star y^{-1}\in H$
Le sens direct est évident. Pour l'autre sens, H est dans G donc l'associativité reste vraie. H non vide donc il existe un élément $x$. D'après le troisième point, $x\star x^{-1}=e$ est dans H ce qui montre que l'élément neutre appartient à H. Ensuite, d’après le troisième point, en choisissant $x=e$ et y quelconque, $e\star y^{-1}=y^{-1}\in H$ donc l'inverse de tout élément est dans H. La loi est bien sûr interne car pour tout $x,y\in H$, en choisissant x et $y^{-1}$ dans le troisième point, $x\star (y^{-1})^{-1}=x\star y\in H$. Donc la loi est bien interne. D'où la conclusion.
Exemples :
* Dans tout groupe, l’ensemble constitué de l'élément neutre est un sous-groupe.
* Dans $(\mathbb {Z} ,+)$, toute partie de la forme $n\mathbb {Z}$ avec $n\in \mathbb {N}$ est un sous-groupe. Nous verrons dans un autre chapitre que tout sous-groupe de $(\mathbb {Z} ,+)$ est de cette forme.
* Dans le groupe $S_{\mathbb {C} }$ des bijections de $\mathbb {C}$ dans lui-même, l'ensemble des applications de la forme $z\mapsto az+b$ avec $a,b\in \mathbb {C}$ et $a\neq 0$ est un sous-groupe. C'est le groupe des similitudes directes du plan complexe.
Soient $(H_{i})_{i\in I}$ une famille non vide de sous-groupes de G, et H son intersection (qui est bien définie, car $I\neq \varnothing$).
* H est un sous-monoïde de G (comme intersection de sous-monoïdes).
* Si $x\in H$ alors, pour tout i, on a $x\in H_{i}$, donc $x^{-1}\in H_{i}$. Comme c'est vrai pour tout i, $x^{-1}\in H$.
* Une réunion de sous-groupes n’est pas toujours un sous-groupe. (Par exemple, dans ${\mathfrak {S}}_{3}$, $\{id,(12)\}$ est un sous-groupe, $\{(id,(13)\}$ est un sous-groupe mais la réunion $\{id,(12),(13)\}$ n’est pas un groupe car $(13)(12)=(123)$.) Voir dans les exercices à quelle condition la réunion de deux sous-groupes est un sous-groupe.
Si G est un groupe fini, tout sous-groupe propre de G est contenu dans au moins un sous-groupe maximal. (Si H est un sous-groupe propre de G, il existe au moins un sous-groupe propre de G qui contient H, à savoir H lui-même. L'ensemble des ordres des sous-groupes propres de G qui contiennent H est donc non vide. D'autre part, puisque G est fini, cet ensemble est fini. Comme tout ensemble fini non vide de nombres naturels admet un plus grand élément, il existe donc un sous-groupe propre de G contenant H dont l’ordre est le plus grand possible. Il est clair qu'un tel sous-groupe propre de G est un sous-groupe maximal de G. On pourrait dire aussi que l’ensemble des sous-groupes propres de G contenant H, ordonné par inclusion, est un ensemble ordonné fini non vide et admet donc un élément maximal.) En particulier, tout groupe fini G non réduit à l'élément neutre contient au moins un sous-groupe maximal. (En effet, d’après ce qui précède, le sous-groupe propre 1 de G est contenu dans au moins un sous-groupe maximal de G.)

## Homomorphismes

Un homomorphisme de groupes, parfois appelé morphisme de groupes, est un morphisme de magmas d'un groupe $(G,*)$ dans un groupe $(H,\star )$, c'est-à-dire une application $f:G\rightarrow H$ vérifiant :
    $\forall x,y\in G:f(x*y)=f(x)\star f(y)$.

### Remarque

    Un homomorphisme d'un groupe G dans lui-même est appelé endomorphisme (de groupe) de G.
Rappelons que selon les conventions sur la préséance des évaluations, f(x)$^{–1}$ désigne ( f(x) )$^{–1}$. Cela étant, nous avons la
* f applique élément neutre sur élément neutre ;
* pour tout élément x de G, f(x$^{–1}$) = f(x)$^{–1}$.
Voir les exercices 1 et 2 du chapitre précédent.
Exemples d'homomorphismes.
    1) Si G et H sont des groupes, l’application de G dans H qui envoie tout élément de G sur l'élément neutre de H est un homomorphisme de G dans H, qu'on appelle l'homomorphisme trivial de G dans H.
    2) Nous avons vu que, dans Z, la multiplication est distributive par rapport à l'addition. On en tire que si n est un élément de Z, l’application $x\mapsto nx$ de Z dans lui-même (multiplication par n) est un endomorphisme de Z.
Pour un morphisme de groupes de G dans H, l'image de tout sous-groupe de G et la préimage de tout sous-groupe de H, sont des sous-groupes de H et de G respectivement (c'est une conséquence immédiate de la propriété correspondante pour les magmas et de la proposition précédente). En particulier :
Si $f:G\rightarrow H$ est un morphisme de groupes,
* la préimage de l'élément neutre de H, appelée noyau de f, est un sous-groupe de G, noté $\ker f$ ;
* l'image de f est un sous-groupe de H.
Exemple. Le morphisme $(\mathbb {R} ,+)\to (\mathbb {C} ^{*},\cdot ),\;t\mapsto \operatorname {e} ^{\mathrm {i} t}$ a pour noyau le sous-groupe $2\pi \mathbb {Z}$ des réels de la forme $2\pi k$ avec $k$ entier, et pour image le sous-groupe des nombres complexes de module $1$.
* un homomorphisme est injectif si et seulement si son noyau est réduit à l'élément neutre ;
* si f et g sont deux homomorphismes d'un groupe G dans un même groupe, alors l'ensemble des éléments x de G tels que $f(x)=g(x)$ est un sous-groupe de G.
* Soit $f:G\to H$ un morphisme.
** Si $f$ est injectif alors $\forall x\in G\quad x\in \ker f\Rightarrow f(x)=f(e_{G})\Rightarrow x=e_{G}$ donc $\ker f=\{e_{G}\}$.
** Si $\ker f=\{e_{G}\}$ alors $\forall x,y\in G\quad f(x)=f(y)\Rightarrow f\left(x\ y^{-1}\right)=f(x)\ f(y)^{-1}=e_{H}\Rightarrow x\ y^{-1}\in \ker f\Rightarrow x\ y^{-1}=e_{G}\Rightarrow x=y$ donc $f$ est injectif.
* Soient $f,g:G\to H$ deux morphismes et $K=\{x\in G\mid f(x)=g(x)\}$. Alors, $e_{G}\in K$ et $\forall x,y\in K\quad f\left(x\ y^{-1}\right)=f(x)\ f(y)^{-1}=g(x)\ g(y)^{-1}=g\left(x\ y^{-1}\right)$ donc $x\ y^{-1}\in K$.
Remarque. On notera parfois dans ce cours que certaines notions de la théorie des groupes sont des cas particuliers de notions de la théorie des catégories. Ces références à la théorie des catégories resteront toutefois marginales et pourront être ignorées par le lecteur non intéressé. Il existe une (et une seule) catégorie dont les objets sont les groupes, dont les morphismes sont les homomorphismes de groupes et où la composition des morphismes est la composition des homomorphismes de groupes en tant qu'applications ; cette catégorie est appelée la catégorie des groupes. De même, il existe une (et une seule) catégorie dont les objets sont les groupes abéliens, dont les morphismes sont les homomorphismes de groupes entre groupes abéliens et où la composition des morphismes est la composition des homomorphismes de groupes abéliens en tant qu'applications ; cette catégorie est appelée la catégorie des groupes abéliens. On montre facilement que dans chacune de ces deux catégories, les monomorphismes sont exactement les homomorphismes injectifs (voir les exercices sur le présent chapitre). Il est également facile (voir un exercice sur le chapitre « Sous-groupe distingué et groupe quotient » dans la suite du cours) de prouver que dans la catégorie des groupes abéliens, les épimorphismes sont exactement les homomorphismes surjectifs entre groupes abéliens. Un peu moins facilement, on prouve que c'est également vrai dans la catégorie des groupes (voir un exercice de la série Conjugaison, centralisateur, normalisateur). Tout cela explique que certains auteurs appellent épimorphisme (de groupes) un homomorphisme surjectif de groupes et monomorphisme (de groupes) un homomorphisme injectif de groupes, sans allusion à la définition générale des épimorphismes et des monomorphismes. On imitera ces auteurs dans le présent cours et le lecteur peut donc considérer que les termes épimorphisme et monomorphisme sont respectivement des synonymes d'homomorphisme surjectif de groupes et d'homomorphisme injectif de groupes.

## Isomorphismes

* Si un homomorphisme $f:G\rightarrow H$ est bijectif, on parle d'isomorphisme de groupes. (On montre qu'alors $f^{-1}$ est également un morphisme de groupes).
* Un isomorphisme d'un groupe G sur lui-même est appelé un automorphisme de G.
Soient G, H et K trois groupes. Il existe évidemment un isomorphisme de G sur lui-même, car la transformation identique est un tel isomorphisme. S'il existe un isomorphisme de G sur H, il existe un isomorphisme de H sur G (l'inverse de n’importe quel isomorphisme de G sur H). Enfin, s'il existe un isomorphisme f de G sur H et un isomorphisme g de H sur K, alors il existe un isomorphisme de G sur K, car $g\circ f$ est un tel isomorphisme. Ceci montre que la relation « il existe un isomorphisme de G sur H » est une relation d'équivalence entre groupes.
Un groupe isomorphe à un groupe G est parfois appelé une copie de G.
D'après ce qui précède, la relation « être des groupes isomorphes » est une relation d'équivalence. On peut considérer que deux groupes isomorphes ont la même structure de groupe, qu'on passe de l'un à l'autre par un changement de notation.
Nous écrirons $G\approx H$ ou encore $G\cong H$pour exprimer que deux groupes G et H sont isomorphes.
On vérifie facilement qu'un magma isomorphe comme magma à un groupe est lui-même un groupe et que tout isomorphisme de magmas entre groupes est un isomorphisme de groupes.
Exemples d'isomorphismes de groupes.
    1) Si G est un groupe, la permutation identique de G est évidemment un automorphisme de G.
    2) L'application $n\mapsto -n$ de Z dans lui-même est un automorphisme du groupe (additif) Z. Plus généralement, si G est un groupe commutatif, l’application $x\mapsto x^{-1}$ de G dans lui-même est un automorphisme de G.
    3) Automorphismes intérieurs. Soient G un groupe et g un élément de G. L'application $x\mapsto gxg^{-1}$ est un automorphisme de G. (Par exemple, pour montrer que cette application est une permutation, on peut montrer qu'elle admet l’application $x\mapsto g^{-1}xg$ pour réciproque.) Un tel automorphisme est appelé automorphisme intérieur de G.
    4) Si X et Y sont des ensembles équipotents, si f est une bijection de X sur Y, l’application $\sigma \mapsto f\circ \sigma \circ f^{-1}$ du groupe symétrique S$_X$ dans le groupe symétrique S$_Y$ est un isomorphisme de S$_X$ sur S$_Y$. (Pour montrer que c’est une bijection, noter qu'on obtient sa réciproque en remplaçant $\ f$ par $\ f^{-1}$.) Dans le cas particulier où X et Y sont égaux, f est un élément du groupe S$_X$ et l'isomorphisme en question est un automorphisme intérieur.
    5) Transport de structure. Soient $(G,\cdot )$ un groupe et f une bijection de l'ensemble G sur un ensemble X. La loi de composition $\star$ dans X définie par $x\star y=f(f^{-1}(x)\cdot f^{-1}(y))$ fait de X un groupe. C'est la seule loi de groupe (et même de magma) sur X pour laquelle la bijection f est un isomorphisme de G sur X. (Vérification facile.) On dit que $(X,\star )$ est la structure de groupe transportée de $(G,\cdot )$ sur X par f. C'est un cas particulier du transport de structure d'un magma.
On verra plus loin un exemple de trois groupes infinis abéliens dénombrables et deux à deux non isomorphes.

## Puissances d'un élément

Soient G un groupe noté multiplicativement, x un élément de G et n un nombre naturel. On appelle n-ième puissance de x et on note $x^{n}$ le composé d'une séquence de n éléments égaux à x. (Ce composé a été défini au chapitre Lois de composition internes, monoïdes.) Si le groupe G est noté additivement, on écrit nx plutôt que $x^{n}$. En particulier, en notation multiplicative, $x^{0}=1$, et en notation additive, 0x = 0 (le premier zéro étant celui de Z et le second celui de G). On étend la définition de $x^{n}$ au cas où n est un entier relatif négatif en posant, pour r naturel > 0,
    $x^{-r}=(x^{r})^{-1}$.
En notation additive, ceci s'écrit
    $(-r)x=-(rx)$.
On démontre (par d'assez fastidieuses récurrences et distinctions entre cas positif et négatif) que, pour tous entiers rationnels m et n,
    $x^{m+n}=x^{m}x^{n}$,
ce qui montre que, pour un x donné, l’application $n\mapsto x^{n}$ de ℤ dans G est un homomorphisme. On vérifie facilement (récurrence sur n) que c'est le seul homomorphisme de ℤ dans G qui applique 1 sur x. En notation additive : (m+n)x = mx+nx et, pour un x donné, l’application $n\mapsto nx$ de ℤ dans G est un homomorphisme. Si le groupe G est commutatif, alors $(xy)^{n}=x^{n}y^{n}$ (récurrence sur n ou application d'un résultat plus général sur les séquences si n est naturel; passage aux inverses si n est négatif). En notation additive, cela s'écrit $n(x+y)=nx+ny$. Cela revient à dire que si G est commutatif, alors, pour un entier relatif n donné, l'application
    $x\mapsto x^{n}$
    ($x\mapsto nx$ en notation additive)
de G dans lui-même est un endomorphisme.
    $\ f(x^{n})=f(x)^{n}$.
Démonstration. Récurrence sur n pour n positif; passage aux inverses pour n négatif.

## Multiplication dans ℤ

Dans le cas particulier où G est le groupe commutatif ℤ noté additivement, l’application $\mathbb {Z} \times G\rightarrow G:(n,x)\mapsto nx$ est une loi de composition interne dans ℤ, qu'on appelle multiplication dans ℤ et qu'on note multiplicativement (par juxtaposition ou au moyen du symbole $\ \cdot$). À l'aide des résultats mentionnés dans la section précédente, on peut démontrer les propriétés classiques de la multiplication dans ℤ : coïncidence dans $\mathbb {N}$ avec la multiplication dans $\mathbb {N}$ définie en théorie des ensembles, associativité, neutralité de 1, commutativité, distributivité à gauche et à droite par rapport à l'addition. En raison de ces propriétés, l'addition et la multiplication font de ℤ un anneau commutatif. (Pour la notion d'anneau, voir la leçon de Wikiversité sur ce sujet.)
Si r et s sont des entiers rationnels, $\ \vert rs\vert =\vert r\ \vert \cdot \vert s\vert$. Puisque le produit de deux nombres naturels non nuls est non nul, il en résulte que le produit de deux entiers rationnels non nuls est non nul, ce qui revient à dire que l'anneau ℤ est intègre.
On dit qu'un entier relatif a divise un entier relatif b s'il existe un entier relatif c tel que a c = b. Il est clair qu'un entier relatif a divise un entier relatif b dans ℤ si et seulement si $\ \vert a\vert$ divise $\ \vert b\vert$ dans $\mathbb {N}$. En particulier, un nombre naturel a divise un nombre naturel b dans ℤ si et seulement si a divise b dans $\mathbb {N}$.
Si G est un groupe, x un élément de G et m, n des entiers rationnels, nous avons
    $(x^{m})^{n}=x^{mn}$ en notation multiplicative
et
    $n(mx)=(nm)x$ en notation additive.
L'énoncé qui suit suppose connue la notion de module sur un anneau (voir la leçon de Wikiversité sur les modules).
Démonstration. On a considéré plus haut la loi de composition externe $\mathbb {Z} \times G\rightarrow G:(n,x)\mapsto nx$. Des propriétés de cette loi que nous avons énoncées permettent de prouver qu'avec la loi interne +, elle munit G d'une structure de ℤ-module. Cela démontre l'assertion d'existence. Prouvons l'unicité, ce qui revient à prouver que si une loi externe $\star :\mathbb {Z} \times G\rightarrow G:(n,x)\mapsto n\star x$ est telle que G, +, $\star$ soit un ℤ-module, alors la loi $\star$ est égale à la loi $\mathbb {Z} \times G\rightarrow G:(n,x)\mapsto nx$. Soit x un élément de G. Nous avons (propriétés élémentaires des modules) $0\star x=0$ et, pour tout nombre naturel n, $(n+1)\star x=n\star x+1\star x=n\star x+x$, d'où on tire par récurrence sur n que $n\star x=nx$ pour tout nombre naturel n. En passant aux opposés, nous trouvons $-(n\star x)=-(nx)$, autrement dit $-(n\star x)=(-n)x$ (voir la définition de (-n) x). Toujours d'après les propriétés élémentaires des modules, le premier membre $-(n\star x)$ est égal à $(-n)\star x$, d'où $(-n)\star x=(-n)x$. On a donc prouvé que pour tout entier rationnel r, $r\star x=rx$. Comme ceci est démontré pour tout élément x de G, la loi $\star$ est égale à la loi $\mathbb {Z} \times G\rightarrow G:(n,x)\mapsto nx$, comme annoncé.
Par une construction analogue à celle du groupe des entiers relatifs à partir du monoïde des entiers naturels, on construit à partir de l'anneau (intègre) $\mathbb {Z}$ le corps $\mathbb {Q}$ des nombres rationnels, qui est le corps des fractions de l'anneau ℤ. Nous ne détaillerons pas cette construction et supposerons connu le corps des nombres rationnels, ainsi que ses propriétés de corps ordonné.

## Parties génératrices

Si A est une partie d'un groupe G, l'intersection des sous-groupes de G qui contiennent A est un sous-groupe de G d’après ce qui précède. C'est évidemment le plus petit sous-groupe de G contenant A (« plus petit » correspondant à la relation d'ordre inclusion). On l'appelle le sous-groupe engendré par A et nous le noterons 〈A〉. On dit qu'une partie A d'un groupe G engendre G, ou encore est une partie génératrice de G, si 〈A〉 = G. Si $\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ est une famille d'éléments d'un groupe G telle que l'ensemble $\{x_{i}|i\in I\}$ des valeurs de cette famille soit une partie génératrice de G, nous dirons parfois que $\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ est une famille génératrice de G.
Si $\left(A_{i}\right)_{i\in I}$ est une famille de parties de G, le sous-groupe de G engendré par $\cup _{i\in I}A_{i}$ est aussi appelé le sous-groupe de G engendré par les parties $A_{i}$, ou encore par les $A_{i}$. Nous noterons ce sous-groupe $\langle A_{i}\mid i\in I\rangle$. Nous dirons qu'un groupe est de type fini s'il admet une partie génératrice finie et qu'il est de type infini dans le cas contraire, c'est-à-dire si toutes ses parties génératrices sont infinies.
    $x_{1}\ldots x_{n}$,
$n$
$x_{i}$
$A\cup A^{-1}$
Ces éléments de G forment un sous-groupe H de G qui contient A et tout sous-groupe de G qui contient A doit comprendre ces éléments, donc doit contenir H, ce qui prouve la minimalité de H comme sous-groupe contenant A.
Si $A_{1},\ldots ,A_{n}$ sont des parties de G, le sous-groupe de G engendré par $A_{1}\cup \ldots \cup A_{n}$ se désigne aussi comme le sous-groupe de G engendré par $A_{1},\ldots ,A_{n}$ et se note $\langle A_{1},\ldots ,A_{n}\rangle$ plutôt que $\langle A_{1}\cup \ldots \cup A_{n}\rangle$.
Si la partie A de G se réduit à un élément a, on dit « sous-groupe engendré par a » au lieu de « sous-groupe engendré par {a} » et on écrit 〈a〉 au lieu de 〈{a}〉. De même, le sous-groupe engendré par la partie finie $\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}$ est appelé « sous-groupe engendré par $a_{1},\ldots ,a_{n}$ » et noté $\langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle$.
D'après la caractérisation ci-dessus des éléments de 〈A〉, il est clair que si a est un élément du groupe G, le groupe (monogène) $\langle a\rangle$ est l’ensemble des éléments de G de la forme $a^{n}$, n parcourant ℤ.
$f:G\to H$
D'après la « description constructive » que nous avons donnée de <a>, les éléments de <a> sont les éléments de G de la forme
    $a_{1}\ldots a_{n}$,
où n parcourt les nombres naturels $\geq 0$ et où $a_{1},a_{2},\ldots a_{n}$ parcourent $A\cup A^{-1}$. Puisque f est un homomorphisme, il en résulte clairement que les éléments de f(<a>) sont les éléments de H de la forme
    $f(a_{1})\ldots f(a_{n})$,
où n parcourt les nombres naturels $\geq 0$ et où $a_{1},a_{2},\ldots a_{n}$ parcourent $A\cup A^{-1}$. Autrement dit, f(<a>) est l’ensemble des éléments de H de la forme
    $b_{1}\ldots b_{n}$,
où n parcourt les nombres naturels $\geq 0$ et où $b_{1},b_{2},\ldots b_{n}$ parcourent $f(A\cup A^{-1})=f(A)\cup f(A)^{-1}$. D'après la « description constructive » du sous-groupe engendré, cela revient à dire que f(<a>) est le sous-groupe de H engendré par f(A), ce qui démontre l'énoncé.
Puisque l'image d'un sous-groupe par un homomorphisme est un sous-groupe du groupe d'arrivée, $f(<A>)$ est un sous-groupe de H ; de plus, puisque $A\subseteq \langle A\rangle$, $f(<A>)$ contient $f(A)$. Ainsi, $f(<A>)$ est un sous-groupe de H qui contient $f(A)$. Par minimalité de 〈 f(A) 〉, nous avons donc
    $\langle f(A)\rangle \subseteq f(\langle A\rangle )$.
Prouvons l'inclusion réciproque, à savoir
    $f(<A>)\subseteq <f(A)>$.
Il revient au même de prouver que tout sous-groupe K de H qui contient f(A) contient f(<a>). Or $f^{-1}(K)$ est un sous-groupe de G qui contient A, donc, par minimalité de <a>,
    $<A>\subseteq f^{-1}(K)$, donc $f(<A>)\subseteq K$, ce qui démontre notre argument.
D'après le théorème qui précède, toute image homomorphe d'un groupe monogène est monogène. En particulier, tout groupe isomorphe à un groupe monogène est monogène.
Exemple de trois groupes abéliens infinis dénombrables et deux à deux non isomorphes.
    Les groupes $(\mathbb {Z} ,+)$, $(\mathbb {Q} ,+)$ et $(\mathbb {Q} _{+}^{*},\times )$ sont tous les trois dénombrables, abéliens et sans torsion, mais sont deux à deux non isomorphes car le second est le seul à être divisible et même, le seul dans lequel tout élément est divisible par 2 (dans ℤ, $1$ n'est pas de la forme $k+k$ et dans $\mathbb {Q} ^{*}$, $2$ n'est pas de la forme $r\times r$) et le premier est le seul des trois à être monogène et même, le seul de type fini ($\mathbb {Q} _{+}^{*}$ est abélien libre mais de rang infini dénombrable, une base étant l'ensemble des nombres premiers).
D'après une précédente proposition, l’ensemble des éléments x de G tels que f(x) = g(x) est un sous-groupe de G. D'après les hypothèses, ce sous-groupe contient la partie génératrice X et est donc égal à G tout entier, ce qui prouve que f = g.
D'après une précédente proposition, <f(X)> = f(<X>), donc, puisque X est une partie génératrice de G (ce qui entraîne <X> = G),
    (1) <f(X)> = f(G).
Dire que f est surjectif revient à dire que f(G) = H, autrement dit, d’après (1), que <f(X)> = H, ce qui revient à dire que f(X) est une partie génératrice de H.

## Opposé d'un groupe

Soit G un groupe, noté multiplicativement (par juxtaposition). La loi de composition $\star$ sur l’ensemble sous-jacent de G définie par :
    $x\star y=yx$
est une loi de groupe. Le groupe ainsi défini est appelé le groupe opposé de G, ou l'opposé de G. L'élément neutre est le même dans les deux groupes et le symétrique d'un élément donné est également le même dans les deux groupes. L'opposé de l'opposé de G est G lui-même. Un groupe est identique à son opposé si et seulement s'il est commutatif. Dans tous les cas, G est isomorphe à son opposé par l’application $x\mapsto x^{-1}$. (La considération du groupe opposé nous permettra d'éclaircir les rapports entre actions à gauche et actions à droite d'un groupe sur un ensemble.)

## Identité de Dedekind

$H=U(V\cap H).$
$K=(U\cap K)V.$
Soit $h\in H.$ Puisque G = UV, il existe $u\in U$ et $v\in V$ tels que $\ h=uv$. Alors $\ v=u^{-1}h,$ donc, puisque H est un sous-groupe de G contenant U, $\ v\in H,$ $\ v\in V\cap H,$ donc $h\in U(V\cap H),$ $H\subseteq U(V\cap H).$ Puisque H est un sous-groupe de G, l'inclusion réciproque est claire, donc $H=U(V\cap H).$ La seconde partie de l'énoncé se démontre de façon semblable. (On pourrait aussi la tirer de la première partie, appliquée au groupe opposé de G.)
Remarque. L'identité de Dedekind est le plus souvent utilisée quand U et V sont des sous-groupes de G, mais elle nous servira sous sa forme générale dans la démonstration des théorèmes de Gaschütz et de Schur-Zassenhaus.