# Signaux physiques (PCSI)/Circuits électriques dans l'ARQS : caractéristique d'un dipôle
## Tracé de caractéristique statique courant - tension d'un dipôle
### Dispositif expérimental de tracé de caractéristique statique courant - tension d'un dipôle passif
#### Notion de point de fonctionnement d'un dipôle en régime permanent

On appelle « point de fonctionnement d'un dipôle en régime permanent » le couple $\;\left(I\,,\,U\right)\;$ de l'intensité du courant traversant le dipôle et de sa tension entre ses bornes lorsqu'il est placé dans un circuit en régime permanent.

#### Caractéristique statique courant – tension d'un dipôle

On appelle « caractéristique statique courant - tension d'un dipôle » le graphe représentant l'ensemble des points de fonctionnement du dipôle placé dans n'importe quel réseau du régime permanent.

#### Montage expérimental de tracé de la caractéristique statique courant - tension d'un dipôle passif

On place le D.P. dans un circuit série comprenant un « générateur de tension permanente de f.e.m. variable $\;{\big$par exemple une A.S.${\big )}\;$» et un « conducteur ohmique de protection », puis on ajoute au circuit série deux multimètres,
* l'un en série avec le D.P. fonctionnant en ampèremètre et
* l'autre en parallèle sur le D.P. fonctionnant en voltmètre.

#### Impossibilité de mesures simultanées de l'intensité du courant traversant le dipôle et la tension à ses bornes, erreurs systématiques suivant le choix du montage longue ou courte dérivation

Il est impossible de monter simplement et simultanément l'ampèremètre en série avec le D.P. et le voltmètre en parallèle sur le D.P.$^,$ d'où deux montages possibles :
* montage courte dérivation $\;{\big$C.D.${\big )}$ : le voltmètre est en parallèle sur le D.P. et l'ampèremètre en série avec l'association « D.P. en parallèle sur voltmètre », il n'y a alors pas d'erreur systématique commise sur $\;U\;$ mais une erreur systématique par excès sur $\;I\;$ ;
* montage longue dérivation $\;{\big$L.D.${\big )}$ : l'ampèremètre est en série avec le D.P. et le voltmètre en parallèle sur l'association « D.P. en série avec ampèremètre », il n'y a pas d'erreur systématique commise sur $\;I\;$ mais une erreur systématique par excès sur $\;U\;$.

##### Calcul de l'erreur systématique lors d'un montage longue dérivation

Sur le schéma ci-contre on constate que le voltmètre ne mesure pas la tension aux bornes du D.P. mais celle aux bornes de l'association série du D.P. et de l'ampèremètre ;
notant $\;\delta U\;$ l'erreur systématique commise sur la mesure de la tension aux bornes du D.P. c.-à-d. $\;\delta U=$ $U_{\text{mes}}-U\;$ où $\;U_{\text{mes}}=U_{V}\;$ on en déduit, avec $\;U_{V}=U+U_{A}\;$ où $\;U_{A}\;$ est la tension aux bornes de l'ampèremètre, l'erreur systématique cherchée
$\;\delta U=U_{A}\;$
l'erreur systématique relative commise sur $\;U$, définie selon $\;{\dfrac {\delta U}{U}}$, s'évalue en introduisant la résistante équivalente $\;r_{A}={\dfrac {U_{A}}{I_{A}}}=$ ${\dfrac {U_{A}}{I}}\;$ de l'ampèremètre et la résistance statique du D.P. $\;{\mathcal {R}}_{s}(M_{0})={\dfrac {U}{I}}\;$ selon
$\;{\dfrac {\delta U}{U}}={\dfrac {U_{A}}{U}}={\dfrac {r_{A}}{{\mathcal {R}}_{s}(M_{0})}}\;$
Finalement l'« erreur systématique relative commise sur $\;U\;$ est faible »
$\;{\dfrac {\delta U}{U}}={\dfrac {r_{A}}{{\mathcal {R}}_{s}(M_{0})}}\ll 1\;$
$\;{\mathcal {R}}_{s}(M_{0})\gg r_{A}\;$

##### Calcul de l'erreur systématique lors d'un montage courte dérivation

Sur le schéma ci-contre on constate que l'ampèremètre ne mesure pas l'intensité du courant traversant le D.P. mais celle traversant l'association parallèle du D.P. et du voltmètre ;
notant $\;\delta I\;$ l'erreur systématique commise sur la mesure de l'intensité du courant traversant le D.P. c.-à-d. $\;\delta I$ $=I_{\text{mes}}-I\;$ où $\;I_{\text{mes}}=I_{A}\;$ on en déduit, avec $\;I_{A}=I+I_{V}\;$ où $\;I_{V}\;$ est l'intensité du courant traversant le voltmètre, l'erreur systématique cherchée
$\;\delta I=I_{V}\;$
l'erreur systématique relative commise sur $\;I$, définie selon $\;{\dfrac {\delta I}{I}}$, s'évalue en introduisant la résistante équivalente $\;R_{V}={\dfrac {U_{V}}{I_{V}}}=$ ${\dfrac {U}{I_{V}}}\;$ du voltmètre et la résistance statique du D.P. $\;{\mathcal {R}}_{s}(M_{0})={\dfrac {U}{I}}\;$ selon
$\;{\dfrac {\delta I}{I}}={\dfrac {I_{V}}{I}}={\dfrac {{\mathcal {R}}_{s}(M_{0})}{R_{V}}}\;$
Finalement l'« erreur systématique relative commise sur $\;I\;$ est faible »
$\;{\dfrac {\delta I}{I}}={\dfrac {{\mathcal {R}}_{s}(M_{0})}{R_{V}}}\ll 1\;$
$\;{\mathcal {R}}_{s}(M_{0})\ll R_{V}\;$

##### Choix du montage

Le choix du montage dépend donc de la résistance statique du dipôle, mais cette dernière variant avec le point de fonctionnement, il n'est guère possible de faire mieux que :
* si le dipôle est assez bon conducteur il convient de choisir le montage courte dérivation $\;{\big$C.D.${\big )}\;$ et
* si le dipôle est assez mauvais conducteur, le montage longue dérivation $\;{\big$L.D.${\big )}\;$ est alors préférable.
Nous pouvons essayer d'obtenir une comparaison quantitative en comparant l'erreur systématique relative commise sur $\;U\;$ lors du montage L.D. à l'erreur systématique relative commise sur $\;I\;$ lors du montage C.D. :
* le montage courte dérivation$\;{\big$C.D.${\big )}\;$sera meilleur que le montage longue dérivation $\;{\big$L.D.${\big )}\;$ si $\;\left({\dfrac {\delta I}{I}}\right)_{\!{\text{M.C.D.}}}<\left({\dfrac {\delta U}{U}}\right)_{\!{\text{M.L.D.}}}\;$ soit encore «$\;{\dfrac {{\mathcal {R}}_{s}(M_{0})}{R_{V}}}<{\dfrac {r_{A}}{{\mathcal {R}}_{s}(M_{0})}}\;$» ou finalement «$\;{\mathcal {R}}_{s}(M_{0})<{\sqrt {r_{A}\,R_{V}}}\;$» ;
* le montage longue dérivation$\;{\big$L.D.${\big )}\;$sera meilleur que le montage courte dérivation $\;{\big$C.D.${\big )}\;$ si $\;\left({\dfrac {\delta I}{I}}\right)_{\!{\text{M.C.D.}}}>\left({\dfrac {\delta U}{U}}\right)_{\!{\text{M.L.D.}}}\;$ soit encore «$\;{\dfrac {{\mathcal {R}}_{s}(M_{0})}{R_{V}}}>{\dfrac {r_{A}}{{\mathcal {R}}_{s}(M_{0})}}\;$» ou finalement «$\;{\mathcal {R}}_{s}(M_{0})>{\sqrt {r_{A}\,R_{V}}}\;$».

#### Branchement des multimètres pour obtenir néanmoins la mesure simultanée de l'intensité du courant traversant le dipôle et la tension à ses bornes sans erreurs systématiques

Le multimètre fonctionnant en ampèremètre étant placé en série, on ne monte pas directement celui fonctionnant en voltmètre en parallèle sur le D.P. mais on interpose entre ce dernier et le multimètre un montage suiveur $\;{\big$voir schéma ci-contre${\big )}$ ;
d'une part le courant indispensable au fonctionnement du voltmètre n'étant plus prélevé sur celui traversant le D.P.$^,$, l'ampèremètre fournit la mesure de l'intensité du courant traversant le D.P. sans erreur systématique $\;{\big$la résistance d'entrée du montage suiveur étant infinie${\big )}\;$ et
d'autre part la tension de sortie du montage suiveur étant égale à sa tension d'entrée c.-à-d. la tension aux bornes du D.P. le voltmètre fournit la mesure de la tension aux bornes du D.P. sans erreur systématique.

### Exemple de tracé de la caractéristique statique courant - tension d'un dipôle passif
#### Présentation du dipôle passif « diode Zener »

Une diode Zener se comporte comme une diode à jonction quand elle est polarisée dans le sens direct mais,
contrairement à la diode à jonction qui reste « bloquante » quand elle est polarisée dans le sens indirect $\;{\big$ou inverse${\big )}$, la diode Zener devient passante en deçà d'une certaine tension $\;<0$ ;
ci-contre le symbole d'une diode Zener et son aspect pratique ainsi que la façon de la brancher pour obtenir une polarisation directe ou indirecte :
Une diode Zener est donc :
* passante quand elle est polarisée dans le sens direct au-delà d'une certaine tension dite « tension de seuil » $\;U_{\text{seuil}}\;$ et également
* passante $\;-\;$ mais en sens inverse $\;-\;$ quand elle est polarisée dans le sens indirect $\;{\big$ou inverse${\big )}\;$ en-deçà d'une certaine tension $\;-U_{\text{Zener}}\;$ où $\;U_{\text{Zener}}>0\;$ est dite « tension Zener » ;
la diode Zener est un dipôle passif, non linéaire et non symétrique.

#### Choix du montage pour relever les points de fonctionnement d'une diode Zener

La diode Zener se comporte, tant que l'intensité du courant la traversant reste faible en valeur absolue, comme un mauvais conducteur et il conviendrait alors de choisir le montage L.D., mais,
au fur et à mesure que l'intensité du courant traversant la diode Zener augmente en valeur absolue, le caractère conducteur de cette dernière s'améliore, suggérant que le choix du montage C.D. devrait être meilleur ;
aussi nous choisissons le montage C.D.$^,$.

#### Calcul de la résistance de protection de la diode Zener dans le montage utilisé pour relever ses points de fonctionnement

Ayant adopté le montage C.D. et sachant que l'intensité maximale que peut supporter la diode Zener est $\;\simeq 120\,mA\;$ et que la tension maximale que peut imposer l'A.S. est $\;\simeq 12\,V\;$, nous cherchons la valeur minimale de la résistance de protection dans l'hypothèse la plus défavorable « tension aux bornes de l'A.S. maximale et diode Zener n'ayant aucune résistance au passage du courant » pour que l'intensité ne dépasse pas la valeur maximale tolérable ;
Ayant adopté le montage C.D. dans ces conditions nous retrouvons les $\;12\,V\;$ aux bornes de la résistance de protection, celle-ci devant être traversée par une « intensité $\;\lessapprox 120\,mA=0,12\,A\;$» d'où «$\;R_{\text{protection}}\gtrapprox {\dfrac {12}{0,12}}=100\,\Omega \;$» ; nous prenons donc «$\;R_{p}\simeq 100\,\Omega \;$».

#### Relevés des points de fonctionnement de la diode Zener avec un montage courte dérivation

Revoir le montage C.D. dans lequel le D.P. a été remplacé par la diode Zener $\;-\;$ lors de la réalisation du montage il faut faire attention à ce que la diode soit polarisée en direct quand le potentiomètre de l'A.S. est tourné sur la droite $\;-\;$ dans la pratique il est conseillé de faire un nombre de « relevés de points de fonctionnement de la diode Zener » suffisant en polarisation directe et indirecte $\;{\big$ou inverse${\big )}$.
$\;(I\,,\,U)\;$

#### Tracé de la caractéristique statique courant - tension d'une diode Zener et modélisation linéaire des parties conductrices de la diode Zener en polarisations directe et indirecte

La diode Zener étant en convention récepteur, on a tracé sa caractéristique statique courant - tension pour les deux polarisations sur un même graphique $\;{\big$voir ci-contre en bleu${\big )}\;$, on remarque que :
* en polarisation directe $\;{\big$correspondant à $\;U>0{\big )}\;$ existe une tension de seuil pratique $\;U_{\text{seuil pratique}}>0\;$ à partir de laquelle la diode devient passante et au-delà de cette tension, la caractéristique, après un début non linéaire correspondant aux faibles valeurs de $\;I<I_{{\text{min}},\,d}$, devient quasi-linéaire de très faible « résistance dynamique » $\;r_{d}\;$ et
* en polarisation indirecte $\;{\big$ou inverse${\big )}$ $\;{\big$correspondant à $\;U<0{\big )}\;$ existe une tension Zener pratique $\;U_{\text{Zener pratique}}>0\;$ telle qu'en-deçà de $\;-U_{\text{Zener pratique}}$, la diode devient passante $\;-\;$ en sens inverse $\;-\;$ et la caractéristique, après un début non linéaire correspondant aux faibles valeurs absolues de $\;\vert I\vert <I_{{\text{min}},\,Z}$, devient presque linéaire de « résistance dynamique »$^,$ $\;r_{Z}$.
Modélisation linéaire des parties conductrices de la diode Zener en polarisations directe et indirecte :
* Pour la polarisation directe de la diode Zener $\;U>0\;$ et pour une intensité de courant traversant la diode $\;I\geqslant I_{{\text{min}},\,d}$, l'équation de la caractéristique est «$\;U=U_{\text{seuil}}+r_{d}\,I\;$» avec «$\;U_{\text{seuil}}\;$ tension de seuil du modèle » et «$\;r_{d}\;$ résistance interne directe » ;
* pour la polarisation indirecte $\;{\big$ou inverse${\big )}\;$ de la diode Zener $\;U<0\;$ et pour une intensité de courant traversant la diode $\;I\leqslant -I_{{\text{min}},\,Z}$, l'équation de la caractéristique est «$\;U=-U_{\text{Zener}}+r_{Z}\,I\;$» avec «$\;U_{\text{Zener}}\;$ tension Zener du modèle » et «$\;r_{Z}\;$ résistance interne Zener »$^,$.

#### Modélisation linéaire par morceaux de la caractéristique statique courant - tension d'une diode Zener

La modélisation linéaire par morceaux de la caractéristique statique courant - tension d'une diode Zener consiste à ignorer les parties courbes de cette caractéristique en prolongeant les parties rectilignes directe et indirecte jusqu'à l'axe des tensions, la partie isolante $\;{\big$correspondant à l'absence de courant traversant la diode${\big )}\;$ étant elle aussi étendue sur l'intervalle de tension $\;\left[-U_{\text{Zener}}\,,\,U_{\text{seuil}}\right]$.
Pour concrétiser nous prenons l'exemple suivant, les valeurs étant celles du modèle linéaire par morceaux :
* une tension de seuil $\;U_{\text{seuil}}\simeq 0,7\,V\;$ et une résistance interne directe $\;r_{d}\simeq 1,0\,\Omega \;$,
* une tension Zener $\;U_{\text{Zener}}\simeq 2,5\,V\;$ et une résistance interne Zener $\;r_{Z}\simeq 10,0\,\Omega \;$.
L'équation du modèle linéaire par morceaux de la caractéristique statique courant - tension de la diode Zener est, en convention récepteur :
* partie isolante «$\;I=0\;$» pour «$\;U\in \left[-U_{\text{Zener}}\simeq -2,5\,V\,;\,0,7\,V\simeq U_{\text{seuil}}\right]\;$», la diode est alors équivalente à un interrupteur ouvert sous condition de « tension $\;\in \left[-2,5\,V\,;\,0,7\,V\right]\;$»,
* partie conductrice en polarisation directe «$\;U=0,7\,+\,1,0\;I\;$» pour «$\;U>U_{\text{seuil}}\simeq 0,7\,V\;$» ou «$\;I>0\;$», le « modèle linéaire de Thévenin »$^,$ est l'« association série d'une source idéale de tension à vide $\;U_{\text{seuil}}\simeq 0,7\,V\;$ et d'un conducteur ohmique de résistance $\;r_{d}\simeq 1,0\,\Omega \;$ sous condition de tension supérieure à la tension de seuil » et
* partie conductrice en polarisation indirecte $\;{\big$ou inverse${\big )}\;$ «$\;U=-2,5\,+\,10,0\;I\;$» pour «$\;U<-U_{\text{Zener}}\simeq -2,5\,V$» ou «$\;I<0\;$», le « modèle linéaire de Thévenin »$^,$ est l'« association série d'une source idéale de tension à vide $\;-U_{\text{Zener}}\simeq -2,5\,V\;$ et d'un conducteur ohmique de résistance $\;r_{Z}\simeq 10,0\,\Omega \;$ sous condition de tension inférieure à l'opposé de la tension Zener » ;
l'utilisation de ces modélisations permet de simplifier les circuits utilisant des diodes Zener mais elles sont conditionnelles, c.-à-d. que vous émettez une hypothèse de fonctionnement pour modéliser et tenter de répondre aux questions posées, puis vous validez $\;{\big$ou non${\big )}\;$ cette hypothèse avant de conclure$\;\ldots$
voir la représentation des modèles ci-dessous :

### Complément : dispositifs expérimentaux possibles pour tracer la caractéristique statique courant - tension d'un dipôle actif (D.A.)

Un 1er dispositif expérimental possible pour tracer la caractéristique statique courant - tension d'un dipôle actif $\;{\big$D.A.${\big )}\;$ est celui qui a été présenté au paragraphe « montage expérimental de tracé de la caractéristique statique courant - tension d'un dipôle passif » plus haut dans ce chapitre dans lequel il suffit de remplacer le D.P. par le D.A. étudié ;
dans ce cas, avec la convention récepteur correspondant à la tension $\;U\;$ aux bornes du D.A. positive,
* quand la tension imposée par la source extérieure est égale à la tension à vide $\;U_{0}\;$ du D.A., ce dernier n'est traversée par aucun courant soit $\;I=0$,
* quand la tension imposée par la source extérieure est supérieure à la tension à vide $\;U_{0}\;$ du D.A., c'est la source extérieure qui impose le courant, $\;I\;$ devient $\;>0\;$ et $\;U>U_{0}\;$ et
* quand la tension imposée par la source extérieure est inférieure à la tension à vide $\;U_{0}\;$ du D.A., c'est ce dernier qui impose le courant, $\;I\;$ devient $\;<0\;$ et $\;0<U<U_{0}\;$.
Un 2ème dispositif expérimental peut être envisagé tenant compte du fait que le D.A. étudié est lui-même un générateur, en fermant le D.A. sur un conducteur ohmique de résistance variable en série avec un multimètre fonctionnant en ampèremètre, un autre multimètre fonctionnant en voltmètre étant monté en parallèle sur le D.A.$^,$ ;
avec ce dispositif et en choisissant la convention générateur pour le D.A. :
* quand le conducteur ohmique de résistance variable est débranché, le D.A. est en sortie ouverte et le voltmètre mesure la tension à vide $\;U_{0}\;$, $\;I\;$ étant nulle,
* quand le conducteur ohmique est rebranché et que l'on diminue la résistance variable, la tension mesurée $\;U<U_{0}\;$ diminue et $\;I>0\;$ augmente et
* si le conducteur ohmique était remplacé par un court-circuit, la tension mesurée serait nulle et l'intensité du courant deviendrait celle du courant de court-circuit égale à $\;I_{c.c.}$.

## Point de fonctionnement de polarisation (ou au repos) d'un dipôle, point de fonctionnement dynamique
### Dipôle passif dans un circuit en régime permanent et son point de fonctionnement de polarisation (ou de repos)

Considérons un dipôle passif dans un circuit constitué au moins « de lui-même et d'un générateur de tension permanente » ;
en régime établi, la source impose au D.P. un « point de fonctionnement $\;(I_{0}\,,\,U_{0})\;$» appelé « point de fonctionnement de polarisation $\;{\big$ou de repos${\big )}\;$ du D.P. » dans le circuit.

### Fluctuations de l'intensité du courant traversant le dipôle passif et de la tension à ses bornes dans un circuit en régime permanent, point de fonctionnement dynamique du D.P.

Considérons le D.P. précédent inséré dans le même circuit et de « point de fonctionnement de polarisation $\;{\big$ou de repos${\big )}</math<math>\;(I_{0}\,,\,U_{0})\;$» et envisageons une fluctuation d'intensité du courant traversant le D.P. de $\;I_{0}\;$ à $\;I_{0}+\delta I\;$ résultant d'une modification « externe » au D.P., simultanément nous observons une fluctuation de tension aux bornes du D.P. de $\;U_{0}\;$ à $\;U_{0}+\delta U$, le « nouveau point de fonctionnement $\;(I_{0}+\delta I\,,\,U_{0}+\delta U)\;$» étant appelé « point de fonctionnement dynamique du D.P. » dans le circuit.

### Dipôle actif dans un circuit en régime permanent et son point de fonctionnement de polarisation (ou de repos)

Considérons un dipôle actif dans un circuit constitué au moins « de lui-même et d'un récepteur » ;
en régime établi, le D.A. dans le circuit acquiert un « point de fonctionnement $\;(I_{1}\,,\,U_{1})\;$»$^,$ appelé « point de fonctionnement de polarisation $\;{\big$ou de repos${\big )}\;$ du D.A. » dans le circuit.

### Fluctuations de l'intensité du courant généré par le dipôle actif et de la tension à ses bornes dans un circuit en régime permanent, point de fonctionnement dynamique du D.A.

Considérons le D.A. précédent inséré dans le même circuit et de « point de fonctionnement de polarisation $\;{\big$ou de repos${\big )}$ $\;(I_{1}\,,\,U_{1})\;$» et envisageons une fluctuation d'intensité du courant généré par le D.A. de $\;I_{1}\;$ à $\;I_{1}+\delta I\;$ résultant d'une modification « externe » au D.A., simultanément nous observons une fluctuation de tension aux bornes du D.A. de $\;U_{1}\;$ à $\;U_{1}+\delta U$, le « nouveau point de fonctionnement $\;(I_{1}+\delta I\,,\,U_{1}+\delta U)\;$» étant appelé « point de fonctionnement dynamique du D.A. » dans le circuit.

## Résistance statique, résistance dynamique d'un dipôle au point de fonctionnement de polarisation
### Résistance statique d'un dipôle passif en un point de fonctionnement de polarisation de ce dernier

Le choix de la convention récepteur pour le D.P. ayant été fait, considérons « le point de fonctionnement de polarisation $\;{\big$ou de repos${\big )}$ $\;(I_{0}\,,\,U_{0})\;$ du D.P. » inséré dans un circuit, point noté $\;M_{0}\;$ sur la caractéristique statique courant - tension du D.P. ci-contre ;
on appelle « résistance statique du D.P. au point de fonctionnement de repos $\;M_{0}\;$» le rapport
$\;{\mathcal {R}}_{S}(M_{o})={\dfrac {U_{0}}{I_{0}}}\;$
$\;\Omega$
$\;OM_{0}\;$
Propriété : la résistance statique dépend usuellement du point de fonctionnement, voir ci-contre :

### Résistance dynamique d'un dipôle passif en un point de fonctionnement de polarisation de ce dernier

Le choix de la convention récepteur pour le D.P. étant maintenu, considérons « le point de fonctionnement dynamique $\;M\,(I_{0}+\delta I\,,\,U_{0}+\delta U)\;$ du D.P. » dans le circuit considéré précédemment, résultant d'une fluctuation externe à partir de son « point de fonctionnement de polarisation $\;{\big$ou de repos${\big )}$ $\;M_{0}\,(I_{0}\,,\,U_{0})\;$»,
on appelle « résistance dynamique du D.P. au point de fonctionnement de repos $\;M_{0}\;$» le rapport
$\;r_{d}(M_{o})={\dfrac {\delta U}{\delta I}}\;$
$\;\Omega$
$\;M_{0}M\;$
${\big$
${\big )}$
considérant une fluctuation infiniment petite, le rapport $\;{\dfrac {\delta U}{\delta I}}\rightarrow \left({\dfrac {\partial u}{\partial i}}\right)_{\!(\Gamma )}(M_{0})\;$ d'où la « définition $\;{\big$théorique${\big )}\;$ de la résistance dynamique du D.P. au point de fonctionnement de polarisation $\;M_{0}\;$»
$\;r_{d}(M_{o})=\left({\dfrac {\partial u}{\partial i}}\right)_{\!(\Gamma )}(M_{0})\;$
$\;\Omega$
$\;(\Gamma )\;$
$\;M_{0}\;$
Propriété : la résistance dynamique dépend usuellement du point de fonctionnement, voir ci-dessus.

### Résistance dynamique d'un dipôle actif en un point de fonctionnement de polarisation de ce dernier

Le choix de la convention générateur pour le D.A. ayant été fait, considérons « le point de fonctionnement de polarisation $\;{\big$ou de repos${\big )}$ $\;(I_{1}\,,\,U_{1})\;$ du D.A. » inséré dans un circuit, point noté $\;M_{1}\;$ sur la caractéristique statique courant - tension du D.A. ci-contre ;
considérons de même « le point de fonctionnement dynamique $\;M\,(I_{1}+\delta I\,,\,U_{1}+\delta U)\;$ du D.A. » dans le circuit défini précédemment, résultant d'une fluctuation externe à partir de son « point de fonctionnement de polarisation $\;{\big$ou de repos${\big )}$ $\;M_{1}\,(I_{1}\,,\,U_{1})\;$»,
on appelle « résistance dynamique du D.A. au point de fonctionnement de repos $\;M_{1}\;$» le rapport
$\;r_{d}(M_{1})=-{\dfrac {\delta U}{\delta I}}\;$
$\;\Omega$
$\;M_{1}M\;$
$\;{\big$
${\big )}$
si on considère une fluctuation infiniment petite, le rapport $\;{\dfrac {\delta U}{\delta I}}\rightarrow \left({\dfrac {\partial u}{\partial i}}\right)_{\!(\Gamma )}(M_{1})\;$ d'où la « définition $\;{\big$théorique${\big )}\;$ de la résistance dynamique du D.A. au point de fonctionnement de polarisation $\;M_{1}\;$»
$\;r_{d}(M_{1})=-\left({\dfrac {\partial u}{\partial i}}\right)_{\!(\Gamma )}(M_{1})\;$
$\;\Omega$
$\;(\Gamma )\;$
$\;M_{1}\;$
Propriété : la résistance dynamique dépend usuellement du point de fonctionnement, voir ci-contre.

## Modélisation linéaire par morceaux d'un dipôle
### Généralités

Certains dipôles $\;{\big$passifs ou actifs${\big )}\;$ ont une caractéristique statique courant - tension composée de parties quasi-linéaires ; dans ce cas on réalise une modélisation linéaire par morceaux comme cela a été fait au paragraphe « modélisation linéaire par morceaux de la caractéristique statique courant - tension d'une diode Zener » plus haut dans ce chapitre.

### Rappel de la modélisation linéaire par morceaux d'une diode Zener

L'équation du modèle linéaire par morceaux de la caractéristique statique courant - tension de la diode Zener sur un exemple numérique est, en convention récepteur :
* partie isolante «$\;I=0\;$» pour «$\;U\in \left[-U_{\text{Zener}}\simeq -2,5\,V\,;\,0,7\,V\simeq U_{\text{seuil}}\right]\;$», la diode est alors équivalente à un interrupteur ouvert sous condition de « tension $\;\in \left[-2,5\,V\,;\,0,7\,V\right]\;$»,
* partie conductrice en polarisation directe «$\;U=0,7\,+\,1,0\;I\;$» pour «$\;U>U_{\text{seuil}}\simeq 0,7\,V\;$» ou «$\;I>0\;$», le « modèle linéaire de Thévenin »$^,$ est l'« association série d'une source idéale de tension à vide $\;U_{\text{seuil}}\simeq 0,7\,V\;$ et d'un conducteur ohmique de résistance $\;r_{d}\simeq 1,0\,\Omega \;$» sous condition $\;U\gtrsim 0,7\,V\;$ $\Leftrightarrow$ $\;I>0\;$ et
* partie conductrice en polarisation indirecte$\;{\big$ou inverse${\big )}\;$ «$\;U=-2,5\,+\,10,0\;I\;$» pour «$\;U<-U_{\text{Zener}}\simeq -2,5\,V\;$» ou «$\;I<0\;$», le « modèle linéaire de Thévenin »$^,$ est l'« association série d'une source idéale de tension à vide $\;-U_{\text{Zener}}\simeq -2,5\,V\;$ et d'un conducteur ohmique de résistance $\;r_{Z}\simeq 10,0\,\Omega \;$» sous condition $\;U\lesssim -2,5\,V\;$ $\Leftrightarrow$ $\;I<0$.

### Notion de force contrélectromotrice algébrisée « f.c.e.m. » du modèle linéaire de Thévenin

Dans le modèle linéaire de Thévenin d'un D.A. nous avons défini une f.e.m. algébrisée $\;e\;$ s'identifiant à la tension à vide $\;U_{0}\;$ en convention générateur $\;{\big$dans ce cas f.e.m. algébrisée et tension à vide sont toutes deux positives${\big )}$ ; l'introduction de cette f.e.m. algébrisée a un sens dans la mesure où le D.A. fonctionne réellement en générateur en délivrant le courant dans le circuit dans lequel il est inséré $\;{\big$ce qui a pour conséquence que la f.e.m. et l'intensité du courant sont toutes deux positives${\big )}\;$ mais $\;\ldots$
si le D.A. fonctionne en récepteur $\;{\big$par exemple un accumulateur en phase de charge${\big )}$, le courant le traversant étant imposé par un générateur extérieur en sens inverse de celui que le D.A. peut délivrer de lui-même, il est alors logique de choisir la convention récepteur pour le D.A., l'intensité du courant le traversant étant positive tout comme la tension à ses bornes et par conséquent aussi la tension à vide $\;U_{0}\;$ de son modèle linéaire de Thévenin alors que la f.e.m. algébrisée $\;e\;$ de ce dernier est négative en accord avec $\;U_{0}=-e\;$ en convention récepteur ; si le D.A. fonctionne en récepteur il est alors judicieux $\;-\;$ mais non obligatoire $\;-\;$ d'introduire une nouvelle grandeur remplaçant la notion de f.e.m. algébrisée et qui aurait le même signe que la tension à vide en convention récepteur, c'est la f.c.e.m. algébrisée $\;e'\;$ de sens$\;+\;$contraire au sens$\;+\;$ du courant $\;{\big$donc de signe opposé à celui de la f.e.m. algébrisée $\;e{\big )}\;$ dont la valeur absolue est égale à celle de la f.e.m. algébrisée d'où
$\;e'=-e\;$
$\;U_{0}=e'\;$
Dans les modèles linéaires de Thévenin de la caractéristique statique courant - tension d'un D.P. linéarisable par morceaux on définit, dans le modèle linéaire de Thévenin de chaque partie conductrice linéarisée, une « f.c.e.m. algébrisée » notée $\;e'\;$ ${\big$de sens $\;+\;$ contraire au sens $\;+\;$ du courant${\big )}\;$ s'identifiant à la tension à vide $\;U_{0}\;$ en convention récepteur soit
$\;U_{0}=e'\;$

### Retour sur la modélisation linéaire de Thévenin d'une diode Zener conductrice

Quand la diode est polarisée en direct avec $\;U>U_{\text{seuil}}$, le modèle linéaire de Thévenin en convention récepteur est une
$\;e'=U_{\text{seuil}}>0\;$
$\;r_{d}\;$
quand la diode est polarisée en inverse avec $\;U<-U_{\text{Zener}}$, le modèle linéaire de Thévenin en convention récepteur est une
$\;e'=-U_{\text{Zener}}<0\;$
$\;r_{Z}\;$

### Exemples d'utilisation des modèles linéaires de Thévenin d'une diode Zener

L'utilisation de ces modélisations permet de simplifier les circuits utilisant des diodes Zener mais elle est conditionnelle c.-à-d. que les étapes de résolution sont les suivantes :
* faire une hypothèse de fonctionnement pour modéliser la diode Zener suivie de la simplification du circuit dans le but d'obtenir un circuit simple $\;{\big$le plus souvent série${\big )}\;$ et terminer le calcul nécessaire à la résolution du problème,
* valider $\;{\big$ou non${\big )}\;$ l'hypothèse de fonctionnement ;
$\;\succ \;$si la validation est accomplie c'est fini mais  $\;\succ \;$si elle n'est pas réalisée, recommencer avec une 2ème hypothèse de fonctionnement $\;\ldots \;$ qu'il convient de valider $\;{\big$ou non${\big )}$,  $\;\color {transparent}{\succ }\;$si elle n'est pas réalisée, recommencer avec une 2ème hypothèse de fonctionnement $\;\triangleright \;$si la validation est accomplie c'est fini mais  $\;\color {transparent}{\succ }\;$si elle n'est pas réalisée, recommencer avec une 2ème hypothèse de fonctionnement $\;\triangleright \;$si elle n'est pas réalisée, recommencer avec une 3ème hypothèse de fonctionnement $\;\ldots \;$ laquelle doit être nécessairement validée.

#### 1er exemple

La diode Zener étudiée précédemment $\;{\big$tension de seuil $\;U_{\text{seuil}}=0,7\,V\;$ avec résistance interne dans le sens passant $\;r_{d}=1,0\,\Omega$, tension Zener $\;U_{\text{Zener}}=2,5\,V\;$ avec résistance interne dans le sens Zener $\;r_{Z}=$ $10\,\Omega {\big ]}\;$ est en série avec un conducteur ohmique de protection de résistance $\;R_{p}=$ $100\,\Omega \;$ branché aux bornes d'une pile de f.e.m. $\;e=2,0\,V\;$ et de résistance interne $\;r=1,0\,\Omega$ ; on cherche le point de fonctionnement de la diode Zener c.-à-d. l'intensité $\;I\;$ du courant la traversant ainsi que la tension $\;U_{D}\;$ à ses bornes, quand elle est polarisée en direct $\;{\big$voir schéma ci-contre${\big )}$.
La diode étant polarisée en direct, $\;U_{D}\;$ est $\;>0$ ; comme la tension de seuil est $\;0,7\,V\;$ et que la tension imposée par la source à l’ensemble « diode, conducteurs ohmiques » est $\;2\,V$, la diode va être passante et il convient de faire l’hypothèse d’un fonctionnement « passant » pour la diode mais si on ne voyait pas cette évidence par « absence de sens physique », on aboutirait néanmoins au résultat ; pour montrer qu’il en est bien ainsi, nous allons faire la mauvaise hypothèse de fonctionnement pour commencer :
* 1ère hypothèse de fonctionnement : la diode est « bloquée » $\;{\big$ce qui nécessite que $\;U_{D}<U_{\text{seuil}}=0,7\,V{\big )}$ : on peut la remplacer par un « interrupteur ouvert » $\Rightarrow$ $\;I=0\;$ ; il faut alors valider $\;{\big$ou non${\big )}\;$ l’hypothèse $\;U_{D}<U_{\text{seuil}}=0,7\,V\;$ et pour cela calculer $\;U_{D}\;$ en utilisant la loi de maille $\;U_{D}+(R_{p}+r)\,I-e=0\;$» avec $\;I=0\;$ soit «$\;U_{D}=e=2\,V\not <0,7\,V\;$» $\Rightarrow$ hypothèse non validée ; la diode n'est donc pas bloquée, mais « passante » ;
* 2ème hypothèse de fonctionnement : la diode est « passante » $\;{\big$la validation de l'hypothèse nécessitera de vérifier $\;U_{D}>U_{\text{seuil}}$ $=0,7\,V\;$ $\Leftrightarrow$ $\;I>0{\big )}$ : on adopte alors le modèle générateur de tension de la diode en sens direct $\;{\big$schéma ci-contre : source de tension parfaite de f.c.e.m. $\;U_{\text{seuil}}=0,7\,V\;$ en série avec conducteur ohmique de résistance $\;r_{d}=1\,\Omega {\big )}$ ; on détermine $\;I\;$ par loi de Pouillet$^,$ $\;I={\dfrac {e-U_{\text{seuil}}}{r_{d}+R_{p}+r}}={\dfrac {2,0-0,7}{1+100+1}}\;={\dfrac {1,3}{102}}$ en $\;A\;$ soit «$\;I\simeq 12,7\,10^{-3}\,A=$ $12,7\,mA\;$» ; on valide l’hypothèse de fonctionnement car $\;I\;$ est $\;>0\;$ et on obtient $\;U_{D}\;$ par loi d'Ohm généralisée appliquée à la diode $\Rightarrow$ $\;U_{D}=$ $U_{\text{seuil}}+r_{d}\;I\simeq 0,7+1,0\times 12,7\,10^{-3}\;$ en $\;V\;$ soit «$\;U_{D}\simeq 0,713\,V\;$».

#### 2ème exemple

La diode Zener précédente est branchée à la sortie d'un pont diviseur de tension $\;{\big$P.D.T.${\big )}\;$ dans lequel « la résistance du conducteur ohmique reliée à l'entrée vaut $\;R_{2}=50\,\Omega \;$ et celle entre les bornes de sortie $\;R_{1}=20\,\Omega \;$», l'entrée étant alimentée par une pile de f.e.m. $\;e=5\,V\;$ et de résistance interne $\;r=1\,\Omega$ ; la diode Zener étant polarisée en inverse, on cherche son point de fonctionnement c.-à-d. l’intensité $\;I\;$ du courant la traversant ainsi que la tension $\;U_{D}\;$ à ses bornes $\;{\big$voir schéma ci-contre${\big )}\;$.
La diode étant polarisée en inverse avec les branchements de la diode inversés, $U_{D}\;$ est $\;>0$ ; comme la tension Zener est $\;2,5\,V\;$ et que la tension imposée par la source à l'ensemble « P.D.T. $\;{\big$ incluant $\;r{\big )}\;$ fermé sur la diode » est $\;5\,V$, la diode Zener devrait être passante dans le sens Zener et il conviendrait de commencer par l'hypothèse d’un fonctionnement « passant dans le sens Zener » pour la diode :
* 1ère hypothèse de fonctionnement : la diode est « passante » en inverse $\;{\big$la validation de l'hypothèse nécessitera de vérifier $\;U_{D}>U_{\text{Zener}}=$ $2,5\,V\;$ $\Leftrightarrow$ $\;I>0{\big )}$ : on adopte alors le modèle générateur de tension de la diode en sens Zener $\;{\big$schéma ci-dessous : source de tension parfaite de f.c.e.m. $\;U_{\text{Zener}}=$ $2,5\,V\;$ en série avec conducteur ohmique de résistance $\;r_{Z}=10\,\Omega {\big )}$ ; pour déterminer l'intensité $\;I\;$ du courant sortant du P.D.T. $\;{\big$incluant $\;r{\big )}\;$ alimenté en entrée par la f.e.m. de la source $\;e=5\,V$, on prend le modèle générateur de Thévenin de ce P.D.T.$^,$ c._à-d. $\;\succ \;$une f.e.m. $\;{\big$de Thévenin${\big )}\;$ «$\;e_{Th}={\dfrac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}+r}}\;e={\dfrac {20}{20+50+1}}\times 5\simeq 1,408\;V\;$» et $\;\succ \;$une résistance $\;{\big$de Thévenin${\big )}\;$ «$\;r_{Th}={\dfrac {R_{1}\;(R_{2}+r)}{R_{1}+(R_{2}+r)}}={\dfrac {20\times (50+1)}{20+(50+1)}}\simeq 14,37\;\Omega \;$» soit le schéma du circuit série équivalent « une source de tension parfaite de f.e.m. $\;e_{Th}\simeq 1,408\;V\;$ en série avec deux conducteurs ohmiques de résistances $\;r_{Th}\simeq 14,37\;\Omega \;$ et $\;r_{Z}=10\;\Omega$, en série avec une f.c.e.m. $\;U_{\text{Zener}}=2,5\,V\;$ » donnant, par application de la loi de Pouillet$^,$ $\;I={\dfrac {e_{Th}-U_{\text{Zener}}}{r_{Th}+r_{Z}}}\simeq {\dfrac {1,408-2,5}{14,37+10}}\simeq -44,8\,10^{-3}\;A\;$ soit $\;I\simeq -44,8\,mA\;$ qu'il conviendrait de valider mais qui ne l'est pas car $\;I\not >0\;$ est incompatible avec l'hypothèse faite ; la diode Zener n'est donc pas « passante », mais « bloquée » dans le sens Zener ;
* 2ème hypothèse de fonctionnement : la diode est « bloquée » en inverse $\;{\big$la validation de l'hypothèse nécessitera de vérifier $\;U_{D}<U_{\text{Zener}}=$ $2,5\,V{\big )}$ : on peut la remplacer par un « interrupteur ouvert » $\Rightarrow$ «$\;I=0\;$» ; on valide l’hypothèse de fonctionnement car «$\;U_{D}\;$ est la tension de sortie ouverte du P.D.T. alimenté en entrée par la f.e.m. $\;e=5\,V\;$» soit «$\;U_{D}={\dfrac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}+r}}\;e$ $={\dfrac {20}{20+50+1}}\times 5\simeq 1,408\;V\;$» effectivement inférieure à la tension Zener $\;2,5\,V$.

## Modélisation idéale en polarisations directe et inverse d'une diode Zener (ou modélisation idéale d'une « diode à jonction »)
### Modélisation idéale d'une diode Zener

En polarisation directe : la résistance dynamique étant toujours très faible on la considère nulle dans la « modélisation idéale $\;r_{d}\simeq 0\;$», la tension de seuil étant aussi modérée relativement aux tensions usuelles imposées, on la considère aussi comme nulle dans la « modélisation idéale $\;U_{\text{seuil}}\simeq 0\;$» ;
En polarisation directe : « en polarisation directe la diode Zener idéale est donc équivalente à un court-circuit »$^,$.
En polarisation inverse : la résistance dynamique étant encore faible on la considère nulle dans la « modélisation idéale $\;r_{Z}\simeq 0\;$», la tension Zener étant quant à elle de valeur notable relativement aux tensions usuelles imposées, on ne la considère pas comme nulle dans la « modélisation idéale $\;U_{\text{Zener}}\neq 0\;$» ;
En polarisation inverse : « en polarisation inverse la diode Zener idéale est donc équivalente à En polarisation inverse : $\succ \;$un « interrupteur ouvert si $\;U_{D}\in \left]-U_{\text{Zener}}\,,\,0\right[\;$» car la diode est bloquée et En polarisation inverse : $\succ \;$une « source de tension parfaite de f.c.e.m. $\;-U_{\text{Zener}}\neq 0\;$» car la diode est passante avec $\;U_{D}=-U_{\text{Zener}}\;$ ».

### Modélisation idéale d'une diode à jonction

En polarisation directe : la résistance dynamique étant toujours très faible on la considère nulle dans la « modélisation idéale $\;r_{d}\simeq 0\;$», la tension de seuil étant aussi modérée relativement aux tensions usuelles imposées, on la considère aussi comme nulle dans la « modélisation idéale $\;U_{\text{seuil}}\simeq 0\;$» ;
En polarisation directe : « en polarisation directe la diode à jonction idéale est donc équivalente à un court-circuit »$^,$.
En polarisation inverse : la diode à jonction restant bloquée, il n'y a pas besoin d'idéalisation, et elle est toujours « équivalente à un interrupteur ouvert ».