# Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Transformées monolatérales de Laplace directes et inverses et leur utilisation

La transformation de Laplace a été nommée ainsi en l'honneur de Pierre-Simon Laplace pour son utilisation dans la théorie des probabilités qu'il a initiée, mais elle fut découverte par Leonhard Euler.

## Transformée (monolatérale) de Laplace (sous condition d'existence) d'une fonction réelle d'une variable réelle

Soit une fonction réelle $\;f\;$ de la variable réelle $\;t\;$ ayant les propriétés suivantes :
* « les valeurs de la fonction sont nulles pour $\;t<0\;$» ${\big$la fonction est alors qualifiée de « causale »${\big )}$,
* « la fonction est continue par morceaux sur tout intervalle $\;\left]0\,;\,t_{0}\right]\;$»$^,$,
* « au voisinage de $\;t=0$, $\;\exists \;\gamma \in \left]0\,;1\right[\;$ tels que $\;\lim \limits _{t\,\rightarrow \,0}\left[t^{\gamma }\;\vert f(t)\vert \right]=0\;$» et
* « la fonction est “ d'ordre exponentiel $\;\alpha \;$” avec $\;\alpha \,\in \,\mathbb {R} \cup \left\lbrace -\infty \right\rbrace \;$» « la fonction est “ d'ordre expo $\Updownarrow$ «$\;\exists \;M>0\;$ tels que $\;\forall \,\beta \,\geqslant \,\alpha ,\;\;\vert \exp \!\left(-\beta \;t\right)\;f(t)\vert <M,\;\;\forall \,t>\tau \;$ et $\;\forall \,\tau >0\;$».

### Définition de la transformée (monolatérale) de Laplace de la fonction f(t) ci-dessus

$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;f(t)$
$\;\color {transparent}{\big$
$\color {transparent}{\big )}\;$
$\;\color {transparent}{f(t)}$
$\;\left]0\,;\,t_{0}\right]\;$
$\;\color {transparent}{\big$
$\color {transparent}{\big )}\;$
$\;\color {transparent}{f(t)}$
$\;{\mathcal {V}}(0)\;$
$\;\color {transparent}{\big$
$\color {transparent}{\big )}\;$
$\;\color {transparent}{f(t)}$
$\;\alpha \;$
$\;\color {transparent}{\big$
$\color {transparent}{\big )}\;$
$\;\color {transparent}{f(t)}$
$\;F\;$
$\;p\;$
$\;F(p)={\mathcal {L}}\!\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$
$\;p\in \mathbb {C} \;$
$\;\Re (p)>\alpha \;$
$\;\alpha \;$
$\;F(p)\;$
$\;f(t)\;$
Remarques : On prolonge la définition de la transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace d'une fonction à support positif à celle Remarques : On prolonge la définition de la transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace d'une fonction à support positif étendu à gauche de $\;0\;$ c.-à-d. de support $\;\left[0\,,\,+\infty \right[\;\cup \;{\mathcal {V}}(0^{-})\;$ $\;{\big \$avec $\;{\mathcal {V}}(0^{-})\;$ Remarques : On prolonge la définition de la transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace d'une fonction à support positif étendu à gauche de $\;\color {transparent}{0}\;$ un voisinage ouvert à gauche de $\;0$, borné inférieurement, Remarques : On prolonge la définition de la transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace d'une fonction à support positif étendu à gauche de $\;\color {transparent}{0}\;$ telle que la restriction de la fonction à $\;\left[0\,,\,+\infty \right[^{\,C}\;$ dans Remarques : On prolonge la définition de la transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace d'une fonction à support positif étendu à gauche de $\;\color {transparent}{0}\;$ $\;{\mathcal {V}}(0^{-})\;$ est une fonction indéfiniment dérivable${\big \}$ et Remarques : On prolonge la définition de la transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace d'une distribution $\;{\big$telle que l'intégrale de définition de sa transformée de Laplace converge${\big )}$.

### Premiers exemples de transformée (monolatérale) de Laplace de quelques fonctions ou distributions usuelles

* « Fonction de Heaviside $\;{\big$ou échelon unité${\big )}$ $\;Y(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}1\;{\text{si}}\;t>0\\0\;{\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace Y(t)\right\rbrace ={\dfrac {1}{p}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$» en effet le calcul conduit à « Fonction de Heaviside $\;\color {transparent}{\big$ou échelon unité$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{Y(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}1\;{\text{si}}\;t>0\\0\;{\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace }\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace Y(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;Y(t)\;dt=\displaystyle \int _{0^{+}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;dt=\left[{\dfrac {\exp(-p\,t)}{-p}}\right]_{0^{+}}^{+\infty }={\dfrac {1}{p}}\;$».
* « Pic de Dirac d'impulsion unité $\;\delta (t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\qquad {\text{si}}\;t>0\\+\infty \;\;\,{\text{si}}\;t=0\\0\qquad {\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace ={\dot {Y}}(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace \delta (t)\right\rbrace =1\;\;\forall \;\Re (p)\in \mathbb {R} \;$» en effet, « Pic de Dirac d'impulsion unité $\;\color {transparent}{\delta (t)={\dot {Y}}(t)}\;$» si $\;\Re (p)\;$ est $\;>0$, on a «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace \delta (t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;\delta (t)\;dt=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;{\dot {Y}}(t)\;dt\;$» donnant « Pic de Dirac d'impulsion unité $\;\color {transparent}{\delta (t)={\dot {Y}}(t)}\;$» si $\;\color {transparent}{\Re (p)}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, on a «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace \delta (t)\right\rbrace ={\cancel {\left[\exp(-p\,t)\;Y(t)\right]_{0^{-}}^{+\infty }}}-\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }-p\,\exp(-p\,t)\;Y(t)\;dt\;$ en intégrant par parties$^,$ soit « Pic de Dirac d'impulsion unité $\;\color {transparent}{\delta (t)={\dot {Y}}(t)}\;$» si $\;\color {transparent}{\Re (p)}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, on a «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace \delta (t)\right\rbrace =p\displaystyle \int _{0^{+}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;dt\;$ $\;=p\left[{\dfrac {\exp(-p\,t)}{-p}}\right]_{0^{+}}^{+\infty }=p\;{\dfrac {1}{p}}=1\;$» mais le résultat reste le même « Pic de Dirac d'impulsion unité $\;\color {transparent}{\delta (t)={\dot {Y}}(t)}\;$» si $\;\Re (p)\;$ est $\;\leqslant 0$, ce qui s'établit en utilisant une autre démonstration que l'intégration par parties$^,$.
* « Fonction rampe $\;f_{\text{rampe}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}a\;t\;{\text{si}}\;t\geqslant 0\\0\quad {\text{si}}\;t\leqslant 0\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{rampe}}(t)\right\rbrace ={\dfrac {a}{p^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$» en effet le calcul conduit à « Fonction rampe $\;\color {transparent}{f_{\text{rampe}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}a\;t\;{\text{si}}\;t\geqslant 0\\0\quad {\text{si}}\;t\leqslant 0\end{array}}\right\rbrace }\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{rampe}}(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f_{\text{rampe}}(t)\;dt=\displaystyle \int _{0^{+}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;a\;t\;dt\;$ donnant, en intégrant par parties « Fonction rampe $\;\color {transparent}{f_{\text{rampe}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}a\;t\;{\text{si}}\;t\geqslant 0\\0\quad {\text{si}}\;t\leqslant 0\end{array}}\right\rbrace }\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{rampe}}(t)\right\rbrace ={\cancel {\left[{\dfrac {\exp(-p\,t)}{-p}}\;a\;t\right]_{0^{-}}^{+\infty }}}-\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }{\dfrac {\exp(-p\,t)}{-p}}\;a\;dt\;$ $\;={\dfrac {a}{p}}\;\left[{\dfrac {\exp(-p\,t)}{-p}}\right]_{0^{-}}^{+\infty }={\dfrac {a}{p^{2}}}\;$ dès lors que $\;\Re (p)\;$ est $\;>0\;$».

## Principales propriétés des transformées (monolatérales) de Laplace
### Théorème d'unicité des transformées (monolatérales) de Laplace

« Dans la mesure où elle existe, la transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace d'une fonction $\;{\big$ou d'une distribution${\big )}\;$ est unique ».

### Linéarité de la transformation (monolatérale) de Laplace

Soient «$\;f_{1}(t)\;$ et $\;f_{2}(t)\;$ deux fonctions $\;{\big$ou distributions${\big )}\;$» admettant pour « transformées $\;{\big$monolatérales${\big )}\;$ de Laplace respectives $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f_{1}(t)\right\rbrace \;$ et $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f_{2}(t)\right\rbrace \;$», avec Soient «$\;\color {transparent}{f_{1}(t)}\;$ et $\;\color {transparent}{f_{2}(t)}\;$«$\;\alpha =\max \left\lbrace \alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right\rbrace \;$ la plus grande des abscisses de convergence » des deux transformées $\;{\big$monolatérales${\big )}\;$ de Laplace et Soient «$\;a\;$ un réel non nul quelconque », on démontre les propriétés suivantes $\;{\big \$ces démonstrations utilisent la linéarité de l'intégration permettant de passer de la fonction $\;{\big$ou la distribution${\big )}\;$ à sa transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace${\big \}$ : on démontre les propriétés suivantes «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f_{1}(t)+f_{2}(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f_{1}(t)\right\rbrace +{\mathcal {L}}\left\lbrace f_{2}(t)\right\rbrace \;$» pour «$\;\Re (p)>\alpha \;$» et on démontre les propriétés suivantes «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace a\;f_{1}(t)\right\rbrace =a\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f_{1}(t)\right\rbrace \;$» pour «$\;\Re (p)>\alpha _{1}\;$» ou on démontre les propriétés suivantes «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace a\;f_{2}(t)\right\rbrace =a\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f_{2}(t)\right\rbrace \;$» pour «$\;\Re (p)>\alpha _{2}\;$».

### Conséquence de la dérivation sur les transformées (monolatérales) de Laplace

Soit $\;f(t)\;$ une fonction $\;{\big$ou distribution${\big )}\;$ admettant pour transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$ si $\;\Re (p)>\alpha \;$» avec Soit $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ une fonction $\;\color {transparent}{\big$ou distribution$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant pour transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt}\;$ «$\;\alpha \;$ abscisse de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$», Soit $\;{\dot {f}}(t)\;$ la dérivée de la fonction $\;{\big$ou dérivée de la distribution${\big )}\;$ admettant pour transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;{\dot {f}}(t)\;dt\;$ si $\;\Re (p)>\alpha '\;$» Soit $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)}\;$ la dérivée de la fonction $\;\color {transparent}{\big$ou dérivée de la distribution$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant pour transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace avec «$\;\alpha '\;$ abscisse de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace \;$» ;
nous établissons ci-après la propriété suivante
$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\big$
${\big )}$
$\;f(t)\;$
$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }\;$
$\;\color {transparent}{\big$
$\color {transparent}{\big )}\;$
$\;\alpha \;$
$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace \;$
$\;{\big$
${\big )}$
$\;{\dot {f}}(t)\;$
$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace }\;$
$\;\color {transparent}{\big$
$\color {transparent}{\big )}$
$\;\alpha '\;$
$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace =p\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace -f(0^{-})\;$
$\;\Re (p)>\alpha \;$
$\;{\dot {f}}(t)\;$
$\;t=0\;$
$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace =p\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace -f(0^{+})\;$
$\;\mathbb {R} (p)>\alpha \;$
$\;{\dot {f}}(t)\;$
$\;t=0\;$
Démonstration : « pour calculer $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;{\dot {f}}(t)\;dt\;$$^,$ dans le domaine de validité de la transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$» c.-à-d. Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;{\dot {f}}(t)\;dt}\;$ dans le cas de «$\;\Re (p)>\alpha \;$ avec $\;\alpha \;$ abscisse de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$», Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace }\;$ dans l'hypothèse où «$\;{\dot {f}}(t)\;$ diverge en $\;t=0\;$», on intègre par parties$^,$ $\Rightarrow$ Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace }\;$ dans l'hypothèse où «$\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)}\;$ diverge en $\;\color {transparent}{t=0}\;$» «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace =\left[\exp(-p\,t)\;f(t)\right]_{0^{-}}^{\infty }-\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }-p\;\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$ Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace }\;$ dans l'hypothèse où «$\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)}\;$ diverge en $\;\color {transparent}{t=0}\;$» «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace }$ $=-f(0^{-})+p\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$» alors que Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace }\;$ dans l'hypothèse où «$\;{\dot {f}}(t)\;$ converge en $\;t=0\;$» $\Rightarrow$ «$\;\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}\exp(-p\,t)\;{\dot {f}}(t)\;dt=0\;$» car «$\;{\dot {f}}(t)\;$ est discontinue de 1ère espèce ou Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace }\;$ dans l'hypothèse où «$\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)}\;$ converge en $\;\color {transparent}{t=0}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\color {transparent}{\exp(-p\,t)\;{\dot {f}}(t)\;dt=0}\;$» car «$\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)}\;$ est continue en $\;t=0\;$» d'où Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace }\;$ dans l'hypothèse où «$\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)}\;$ converge en $\;\color {transparent}{t=0}\;$» «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace ={\cancel {\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}\exp(-p\,t)\;{\dot {f}}(t)\;dt\;+}}\,\displaystyle \int _{0^{+}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;{\dot {f}}(t)\;dt\;$» $\Rightarrow$ Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace }\;$ dans l'hypothèse où «$\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)}\;$ converge en $\;\color {transparent}{t=0}\;$» «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{+}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;{\dot {f}}(t)\;dt\;$» que l'on intègre par parties selon Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace }\;$ dans l'hypothèse où «$\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)}\;$ converge en $\;\color {transparent}{t=0}\;$» «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace =\left[\exp(-p\,t)\;f(t)\right]_{0^{+}}^{\infty }-\displaystyle \int _{0^{+}}^{+\infty }-p\;\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$ Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace }\;$ dans l'hypothèse où «$\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)}\;$ converge en $\;\color {transparent}{t=0}\;$» «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace }$ $=-f(0^{+})+p\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$»$^,$.

### Conséquence de l'intégration sur les transformées (monolatérales) de Laplace

Soit $\;f(t)\;$ une fonction $\;{\big$ou distribution${\big )}\;$ admettant pour transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$ si $\;\Re (p)>\alpha \;$» avec Soit $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ une fonction $\;\color {transparent}{\big$ou distribution$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant pour transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt}\;$ «$\;\alpha \;$ abscisse de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$», Soit $\;\displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\;$ la primitive de la fonction $\;{\big$ou primitive de la distribution${\big )}\;$ s'annulant en $\;t=0\;$ et Soit $\;\color {transparent}{\displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'}\;$ la primitive de la fonction $\;\color {transparent}{\big$ou primitive de la distribution$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant pour transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace Soit $\;\color {transparent}{\displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'}\;$ la primitive de la fonction $\;\color {transparent}{\big$ou primitive de la distribution$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right\rbrace dt\;$ si $\;\Re (p)>\alpha ''\;$» avec Soit $\;\color {transparent}{\displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'}\;$ la primitive de la fonction $\;\color {transparent}{\big$ou primitive de la distribution$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant «$\;\alpha ''\;$ abscisse de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right\rbrace \;$» ;
nous établissons ci-après la propriété suivante
$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\big$
${\big )}$
$\;f(t)\;$
$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }\;$
$\;\color {transparent}{\big$
$\color {transparent}{\big )}\;$
$\;\alpha \;$
$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right\rbrace \;$
$\;{\big$
${\big )}$
$\;\displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\;$
$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t')\;dt'\right\rbrace }\;$
$\;\color {transparent}{\big$
$\color {transparent}{\big )}$
$\;t=0\;$
$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t')\;dt'\right\rbrace }\;$
$\;\alpha ''\;$
$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right\rbrace ={\dfrac {{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{p}}\;$
$\;\Re (p)>\alpha ''\;$
Démonstration : « pour calculer $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right\rbrace dt\;$$^,$ dans le domaine de validité de la transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right\rbrace dt}\;$ dans le domaine de validité de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right\rbrace \;$» c.-à-d. Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right\rbrace dt}\;$ dans le cas de «$\;\Re (p)>\alpha ''\;$ avec $\;\alpha ''\;$ abscisse de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right\rbrace \;$», Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right\rbrace }\;$ on procède en intégrant par parties$^,$ $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right\rbrace =\left[{\dfrac {\exp(-p\,t)}{-p}}\;\displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right]_{0^{-}}^{\infty }-\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }{\dfrac {\exp(-p\,t)}{-p}}\;f(t)\;dt\;$ Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right\rbrace }\;$ on procède en intégrant par parties $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right\rbrace }$ $={\dfrac {{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{p}}\;$».

### Conséquence d'une translation en t sur les transformées (monolatérales) de Laplace

Soit $\;f(t)\;$ une fonction $\;{\big$ou distribution${\big )}\;$ admettant pour transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$ si $\;\Re (p)>\alpha \;$» avec Soit $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ une fonction $\;\color {transparent}{\big$ou distribution$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant pour transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt}\;$ «$\;\alpha \;$ abscisse de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$», Soit $\;f'(t)=f(t')\;$ une nouvelle fonction $\;{\big$ou distribution${\big )}\;$ résultant de la translation $\;t'=t-t_{0}\;$ sur la variable $\;t\;$ avec $\;t_{0}>0\;$ et Soit $\;\color {transparent}{f'(t)=f(t')}\;$ une nouvelle fonction $\;\color {transparent}{\big$ou distribution$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant pour transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f'(t)\;dt\;$ Soit $\;\color {transparent}{f'(t)=f(t')}\;$ une nouvelle fonction $\;\color {transparent}{\big$ou distribution$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant pour transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace }$ $=\displaystyle \int _{t_{0}^{-}}^{+\infty }\exp \!\left[-p\,(t'+t_{0})\right]\,f(t')\;dt'\;$ si $\;\Re (p)>\alpha \;$» Soit $\;\color {transparent}{f'(t)=f(t')}\;$ une nouvelle fonction $\;\color {transparent}{\big$ou distribution$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant pour transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace }$ ${\big$même condition de convergence que $\;f(t)\;$${\big ]}$ ;
nous établissons ci-après la propriété suivante connue sous le nom du « théorème du retard »
$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\big$
${\big )}$
$\;f(t)\;$
$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }\;$
$\;\color {transparent}{\big$
$\color {transparent}{\big )}\;$
$\;\alpha \;$
$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \;$
$\;{\big$
${\big )}$
$\;f'(t)=f(t-t_{0})\;$
$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace }\;$
$\;\color {transparent}{\big$
$\color {transparent}{\big )}$
$\;\color {transparent}{f'(t)=}$
$\;t_{0}>0\;$
$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace }\;$
$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t-t_{0})\right\rbrace \;$
$\;\alpha \;$
$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t-t_{0})\right\rbrace \;$
$\;t_{0}>0\;$
$=\exp(-p\;t_{0})\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$
$\;\Re (p)>\alpha \;$
$\;\exp(-p\;t_{0})$
Démonstration : « pour calculer $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t-t_{0})\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t-t_{0})\;dt=\displaystyle \int _{-t_{0}^{-}}^{+\infty }\exp \!\left[-p\,(u+t_{0})\right]\,f(u)\;du\;$$^,$ dans le domaine de validité de la transformée Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t-t_{0})\right\rbrace }$ $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \;$» c.-à-d. «$\;\Re (p)>\alpha \;$ avec $\;\alpha \;$ abscisse de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$» : Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t-t_{0})\right\rbrace }\;$ « si $\;t_{0}\;$ est $\;>0\;$» on décompose l'intervalle d'intégration $\;\left[-t_{0}^{-}\,,\,+\infty \right[\;$ selon $\;\left[-t_{0}^{-}\,,\,0^{-}\right[\cup \left[0^{-}\,,\,+\infty \right[\;$ et on obtient Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t-t_{0})\right\rbrace }\;$ « si $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$» «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{-t_{0}^{-}}^{0^{-}}\exp \!\left[-p\,(u+t_{0})\right]\,f(u)\;du+\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp \!\left[-p\,(u+t_{0})\right]\,f(u)\;du\;$ Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t-t_{0})\right\rbrace }\;$ « si $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$» «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace }$ $=\exp(-p\,t_{0})\left[\displaystyle \int _{t_{0}^{-}}^{0^{-}}\exp \!\left(-p\;u\right)\,f(u)\;du+\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp \!\left(-p\;u\right)\,f(u)\;du\right]\;$» dans laquelle Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t-t_{0})\right\rbrace }\;$ « si $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$» «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace =\exp(-p\,t_{0})}$ la 1ère intégrale est nulle $\;{\big$la fonction $\;{\big$ou distribution${\big )}$ $\;f(t)\;$ étant à support positif${\big ]}\;$ et Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t-t_{0})\right\rbrace }\;$ « si $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$» «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace =\exp(-p\,t_{0})}$ la 2nde est égale à $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$ si $\;\Re (p)>\alpha \;$ d'où Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t-t_{0})\right\rbrace }\;$ « si $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$» «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace =\exp(-p\;t_{0})\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$ pour $\;\Re (p)>\alpha \;$» ou Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t-t_{0})\right\rbrace }\;$ « si $\;t_{0}\;$ est $\;<0\;$» on étend l'intervalle d'intégration $\;\left[-t_{0}^{-}\,,\,+\infty \right[\;$ selon $\;\left[0^{-}\,,\,+\infty \right[\;$ en soustrayant $\;\left[0^{-}\,,\,-t_{0}^{-}\right[\;$ et on obtient Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t-t_{0})\right\rbrace }\;$ « si $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$» «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp \!\left[-p\,(u+t_{0})\right]\,f(u)\;du-\displaystyle \int _{0^{-}}^{-t_{0}^{-}}\exp \!\left[-p\,(u+t_{0})\right]\,f(u)\;du\;$ Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t-t_{0})\right\rbrace }\;$ « si $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$» «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace }$ $=\exp(-p\,t_{0})\left[\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp \!\left(-p\;u\right)\,f(u)\;du-\displaystyle \int _{0^{-}}^{t_{0}^{-}}\exp \!\left(-p\;u\right)\,f(u)\;du\right]\;$» dans laquelle Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t-t_{0})\right\rbrace }\;$ « si $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$» «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace =\exp(-p\,t_{0})}$ la 1ère intégrale entre crochets est égale à $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$ si $\;\Re (p)>\alpha \;$ mais Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t-t_{0})\right\rbrace }\;$ « si $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$» «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace =\exp(-p\,t_{0})}$ la 2nde est non nulle $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \neq \exp(-p\;t_{0})\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$ même pour $\;\Re (p)>\alpha \;$» Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t-t_{0})\right\rbrace }$ d'où, pour vérifier «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace =\exp(-p\;t_{0})\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$», la nécessité d'exiger $\;t_{0}>0$.

### Conséquence d'un changement d'échelle de t sur les transformées (monolatérales) de Laplace

Soit $\;f(t)\;$ une fonction $\;{\big$ou distribution${\big )}\;$ admettant pour transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$ si $\;\Re (p)>\alpha \;$» avec Soit $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ une fonction $\;\color {transparent}{\big$ou distribution$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant pour transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt}\;$ «$\;\alpha \;$ abscisse de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$», Soit $\;f'(t)=f(t')\;$ une nouvelle fonction $\;{\big$ou distribution${\big )}\;$ résultant du changement d'échelle $\;t'=k\;t\;$ sur la variable $\;t\;$ avec $\;k>0\;$ $\;\neq 1\;$ et Soit $\;\color {transparent}{f'(t)=f(t')}\;$ une nouvelle fonction $\;\color {transparent}{\big$ou distribution$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant pour transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f'(t)\;dt\;$ Soit $\;\color {transparent}{f'(t)=f(t')}\;$ une nouvelle fonction $\;\color {transparent}{\big$ou distribution$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant pour transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace }$ $=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(k\;t)\;dt\;$$^,$ si $\;\Re (p)>k\;\alpha \;$» ;
nous établissons ci-après la propriété suivante connue sous le nom du « règle de similitude »
$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\big$
${\big )}$
$\;f(t)\;$
$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }\;$
$\;\color {transparent}{\big$
$\color {transparent}{\big )}\;$
$\;\alpha \;$
$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \;$
$\;{\big$
${\big )}$
$\;f'(t)=f(k\;t)\;$
$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace }\;$
$\;\color {transparent}{\big$
$\color {transparent}{\big )}$
$\;k>0\;$
$\;\neq 1\;$
$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace }\;$
$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f(k\;t)\right\rbrace \;$
$\;k\;\alpha \;$
$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \!\left[p\right]={\mathcal {L}}\left\lbrace f(k\;t)\right\rbrace \!\left[p\right]\;$
$\;k>0\;$
$\;\neq 1\;$
$={\dfrac {1}{k}}\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \!\left[{\dfrac {p}{k}}\right]\;$
$\;\Re (p)>k\;\alpha \;$
Démonstration : « pour calculer $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \!\left[p\right]={\mathcal {L}}\left\lbrace f(k\;t)\right\rbrace \!\left[p\right]\;$ $=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(k\;t)\;dt=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp \!\left[-{\dfrac {p}{k}}\;k\;t\right]\,f(k\;t)\;{\dfrac {d(k\;t)}{k}}\;$$^,$ dans le domaine de validité de la transformée Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \!\left[p\right]={\mathcal {L}}\left\lbrace f(k\;t)\right\rbrace \!\left[p\right]}\;$ $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \!\left[p\right]\;$» c.-à-d. «$\;\Re (p)>k\;\alpha \;$ avec $\;\alpha \;$ abscisse de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$», Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \!\left[p\right]={\mathcal {L}}\left\lbrace f(k\;t)\right\rbrace \!\left[p\right]}\;$ $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \!\left[p\right]}\;$» ou encore, en remplaçant $\;k\;t\;$ par $\;t'$, Démonstration : « pour calculer $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \!\left[p\right]={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t')\right\rbrace \!\left[p\right]\;$ $=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp \!\left[-{\dfrac {p}{k}}\;t'\right]\,f(t')\;{\dfrac {dt'}{k}}={\dfrac {1}{k}}\,\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp \!\left[-{\dfrac {p}{k}}\;t'\right]\,f(t')\;dt'\;$$^,$ soit, en posant $\;p'={\dfrac {p}{k}}$, Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \!\left[p\right]={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t')\right\rbrace \!\left[p\right]}\;$ $\color {transparent}{=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp \!\left[-{\dfrac {p}{k}}\;t'\right]\,f(t')\;{\dfrac {dt'}{k}}}$ $={\dfrac {1}{k}}\,\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p'\;t)\;f(t)\;dt\;$$^,$ $={\dfrac {1}{k}}\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \!\left[p'\right]\;$ dans la mesure où $\;\Re (p')>\alpha \;$ $\Leftrightarrow$ Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \!\left[p\right]={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t')\right\rbrace \!\left[p\right]}\;$ $\color {transparent}{=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp \!\left[-{\dfrac {p}{k}}\;t'\right]\,f(t')\;{\dfrac {dt'}{k}}}$ $\color {transparent}{={\dfrac {1}{k}}\,\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p'\;t)\;f(t)\;dt}\;$ $\color {transparent}{={\dfrac {1}{k}}\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \!\left[p'\right]}\;$ $\;\Re \left({\dfrac {p}{k}}\right)>\alpha \;$ ou $\;\Re (p)>k\;\alpha$.

### Conséquence d'une multiplication par une fonction exponentielle réelle sur les transformées (monolatérales) de Laplace

Soit $\;f(t)\;$ une fonction $\;{\big$ou distribution${\big )}\;$ admettant pour transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$ si $\;\Re (p)>\alpha \;$» avec Soit $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ une fonction $\;\color {transparent}{\big$ou distribution$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant pour transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt}\;$ «$\;\alpha \;$ abscisse de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$», Soit $\;f'(t)=\exp(-a\;t)\;f(t)\;$ une nouvelle fonction $\;{\big$ou distribution${\big )}\;$ résultant de la multiplication de $\;f(t)\;$ par la fonction exponentielle $\;\exp(-a\;t)\;$ de $\;t\;$ avec $\;a\in \mathbb {R} ^{*}\;$ et Soit $\;\color {transparent}{f'(t)=\exp(-a\;t)\;f(t)}\;$ une nouvelle fonction $\;\color {transparent}{\big$ou distribution$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant pour transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f'(t)\;dt\;$ Soit $\;\color {transparent}{f'(t)=\exp(-a\;t)\;f(t)}\;$ une nouvelle fonction $\;\color {transparent}{\big$ou distribution$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant pour transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace }$ $=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp \!\left[-(p+a)\,t\right]\,f(t)\;dt\;$$^,$ Soit $\;\color {transparent}{f'(t)=\exp(-a\;t)\;f(t)}\;$ une nouvelle fonction $\;\color {transparent}{\big$ou distribution$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant pour transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace }$ dans la mesure où $\;\Re (p)>\alpha -a\;$» ;
nous établissons ci-après la propriété suivante connue sous le nom de « règle de translation en $\;p\;$»
$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\big$
${\big )}$
$\;f(t)\;$
$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }\;$
$\;\color {transparent}{\big$
$\color {transparent}{\big )}\;$
$\;\alpha \;$
$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \;$
$\;{\big$
${\big )}$
$\;f'(t)=\exp(-a\;t)\;f(t)\;$
$\;a\in \mathbb {R} ^{*}\;$
$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace }\;$
$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace \exp(-a\;t)\;f(t)\right\rbrace \;$
$\;\alpha '=\alpha -a\;$
$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \!\left[p\right]={\mathcal {L}}\left\lbrace \exp(-a\;t)\;f(t)\right\rbrace \!\left[p\right]\;$
$\;a\in \mathbb {R} ^{*}\;$
$={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \!\left[p+a\right]\;$
$\;\Re (p)>\alpha -a\;$
Démonstration : « pour calculer $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \!\left[p\right]={\mathcal {L}}\left\lbrace \exp(-a\;t)\;f(t)\right\rbrace \!\left[p\right]\;$ $=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp \!\left[-(p+a)\,t\right]\,f(t)\;dt\;$$^,$ dans le domaine de validité de la transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \!\left[p\right]={\mathcal {L}}\left\lbrace \exp(-a\;t)\;f(t)\right\rbrace \!\left[p\right]}\;$ $\color {transparent}{=\exp \!\left[-(p+a)\,t\right]\,f(t)\;dt}\;$ dans le domaine de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \!\left[p\right]\;$» c.-à-d. «$\;\Re (p)>\alpha -a\;$ avec Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \!\left[p\right]={\mathcal {L}}\left\lbrace \exp(-a\;t)\;f(t)\right\rbrace \!\left[p\right]}\;$ $\color {transparent}{=\exp \!\left[-(p+a)\,t\right]\,f(t)\;dt}\;$ dans le domaine de $\;\alpha \;$ abscisse de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$», ou encore, Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \!\left[p\right]={\mathcal {L}}\left\lbrace \exp(-a\;t)\;f(t)\right\rbrace \!\left[p\right]}\;$ $\color {transparent}{=\exp \!\left[-(p+a)\,t\right]\,f(t)\;dt}\;$ en remplaçant $\;p+a\;$ par $\;p'$, on obtient Démonstration : « pour calculer $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \!\left[p\right]={\mathcal {L}}\left\lbrace \exp(-a\;t)\;f(t)\right\rbrace \!\left[p\right]\;$ $=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p'\;t)\;f(t)\;dt\;$$^,$ s'identifiant à «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \!\left[p'\right]\;$ si $\;\Re (p')>\alpha \;$ $\Leftrightarrow$ $\;\Re (p)>\alpha -a\;$».
Remarque 1 : « si $\;a\;$ est $\;>0\;$» la fonction exponentielle $\;\exp(-a\;t)\;$ est une fonction $\;\searrow \;$ de $\;t\;$ traduisant un « amortissement exponentiel de la fonction $\;{\big$ou distribution${\big )}$ $\;f'(t)=\exp(-a\;t)\;f(t)\;$» et simultanément « le domaine de validité de la transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace s'élargit » car la « nouvelle abscisse de convergence $\;\alpha '=\alpha -a<\alpha \;$» alors que  Remarque 1 : « si $\;a\;$ est $\;<0\;$» la fonction exponentielle $\;\exp(-a\;t)\;$ est une fonction $\;\nearrow \;$ de $\;t\;$ traduisant une « amplification exponentielle de la fonction $\;{\big$ou distribution${\big )}$ $\;f'(t)=\exp(-a\;t)\;f(t)\;$» et simultanément « le domaine de validité de la transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace s'amenuise » car la « nouvelle abscisse de convergence $\;\alpha '=\alpha -a>\alpha \;$».
Remarque 2 : Envisageons maintenant $\;{\underline {a}}\in \mathbb {C} ^{*}\;$ avec $\;{\underline {a}}=\Re ({\underline {a}})+i\,\Im ({\underline {a}})\;$ $\Rightarrow$ $\;\exp \!\left(-{\underline {a}}\;t\right)=\exp \!\left[-\Re ({\underline {a}})\;t\right]\,\exp \!\left[-i\,\Im ({\underline {a}})\;t\right]\;$ définissant une fonction complexe dont les parties réelle et imaginaire Remarque 2 : Envisageons maintenant $\;\color {transparent}{{\underline {a}}\in \mathbb {C} ^{*}}\;$ avec $\;\color {transparent}{{\underline {a}}=\Re ({\underline {a}})+i\,\Im ({\underline {a}})}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;\color {transparent}{\exp \!\left(-{\underline {a}}\;t\right)=\exp \!\left[-\Re ({\underline {a}})\;t\right]\,\exp \!\left[-i\,\Im ({\underline {a}})\;t\right]}\;$ sont $\;\left\lbrace {\begin{array}{r}\Re \left[\exp \!\left(-{\underline {a}}\;t\right)\right]\!\!&=&\!\!\exp \!\left[-\Re ({\underline {a}})\;t\right]\;\cos \!\left[\Im ({\underline {a}})\;t\right]\\\Im \left[\exp \!\left(-{\underline {a}}\;t\right)\right]\!\!&=&\!\!-\exp \!\left[-\Re ({\underline {a}})\;t\right]\;\sin \!\left[\Im ({\underline {a}})\;t\right]\end{array}}\right\rbrace$ ; Remarque 2 : Envisageons maintenant $\;\color {transparent}{{\underline {a}}\in \mathbb {C} ^{*}}\;$ la « nouvelle fonction $\;{\big$ou distribution${\big )}$ complexe $\;{\underline {f'}}(t)=\exp \!\left(-{\underline {a}}\;t\right)\;f(t)\;$» ${\big \$produit de la fonction ou $\;{\big$ou distribution${\big )}\;$ réelle $\;f(t)\;$ Remarque 2 : Envisageons maintenant $\;\color {transparent}{{\underline {a}}\in \mathbb {C} ^{*}}\;$ la « nouvelle fonction $\;\color {transparent}{\big$ou distribution$\color {transparent}{\big )}$ complexe $\;\color {transparent}{{\underline {f'}}(t)=\exp \!\left(-{\underline {a}}\;t\right)\;f(t)}\;$» $\color {transparent}{\big \$produit de la fonction par l'exponentielle complexe${\big \}$ Remarque 2 : Envisageons maintenant $\;\color {transparent}{{\underline {a}}\in \mathbb {C} ^{*}}\;$ la « nouvelle fonction a pour « parties réelle et imaginaire $\;\left\lbrace {\begin{array}{r}\Re \left[{\underline {f'}}(t)\right]=\Re \left[\exp \!\left(-{\underline {a}}\;t\right)\;f(t)\right]\!\!&=&\!\!\exp \!\left[-\Re ({\underline {a}})\;t\right]\;\cos \!\left[\Im ({\underline {a}})\;t\right]\;f(t)\\\Im \left[{\underline {f'}}(t)\right]=\Im \left[\exp \!\left(-{\underline {a}}\;t\right)\;f(t)\right]\!\!&=&\!\!-\exp \!\left[-\Re ({\underline {a}})\;t\right]\;\sin \!\left[\Im ({\underline {a}})\;t\right]\;f(t)\end{array}}\right\rbrace$» Remarque 2 : Envisageons maintenant $\;\color {transparent}{{\underline {a}}\in \mathbb {C} ^{*}}\;$ la « nouvelle fonction a pour « parties réelle et imaginaire lesquelles admettent toutes deux une transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace Remarque 2 : Envisageons maintenant $\;\color {transparent}{{\underline {a}}\in \mathbb {C} ^{*}}\;$ la « nouvelle fonction a pour « parties réelle et imaginaire sous la même « condition de convergence $\;\Re (p)>\alpha '\;$ avec $\;\alpha '=\alpha -\Re ({\underline {a}})\;$» ; Remarque 2 : Envisageons maintenant $\;\color {transparent}{{\underline {a}}\in \mathbb {C} ^{*}}\;$ on en déduit la « définition de la transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;{\underline {\mathcal {L}}}\left\lbrace \right\rbrace \;$ d'une fonction $\;{\big$ou distribution${\big )}\;$ complexe $\;{\underline {f'}}(t)\;$» Remarque 2 : Envisageons maintenant $\;\color {transparent}{{\underline {a}}\in \mathbb {C} ^{*}}\;$ on en déduit à partir de celle des parties réelle et imaginaire de cette dernière selon $\;{\Bigg \langle }{\begin{array}{c}{\mathcal {L}}\left\lbrace \Re \!\left[{\underline {f'}}(t)\right]\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\;t)\;\Re \!\left[{\underline {f'}}(t)\right]\,dt\\{\mathcal {L}}\left\lbrace \Im \!\left[{\underline {f'}}(t)\right]\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\;t)\;\Im \!\left[{\underline {f'}}(t)\right]\,dt\end{array}}{\Bigg \rangle }\;$ $\Rightarrow$ Remarque 2 : Envisageons maintenant $\;\color {transparent}{{\underline {a}}\in \mathbb {C} ^{*}}\;$ on en déduit «$\;{\underline {\mathcal {L}}}\left\lbrace {\underline {f'}}(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace \Re \!\left[{\underline {f'}}(t)\right]\right\rbrace +i\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \Im \!\left[{\underline {f'}}(t)\right]\right\rbrace \;$» ou encore Remarque 2 : Envisageons maintenant $\;\color {transparent}{{\underline {a}}\in \mathbb {C} ^{*}}\;$ on en déduit «$\;{\underline {\mathcal {L}}}\left\lbrace {\underline {f'}}(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\;t)\;\Re \!\left[{\underline {f'}}(t)\right]\,dt+i\;\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\;t)\;\Im \!\left[{\underline {f'}}(t)\right]\,dt=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\;t)\;{\underline {f'}}(t)\;dt\;$»$^,$ c.-à-d. Remarque 2 : Envisageons maintenant $\;\color {transparent}{{\underline {a}}\in \mathbb {C} ^{*}}\;$ on en déduit la même définition que celle d'une fonction $\;{\big$ou distribution${\big )}\;$ réelle ; Remarque 2 : Envisageons maintenant $\;\color {transparent}{{\underline {a}}\in \mathbb {C} ^{*}}\;$ il est alors aisé d'établir «$\;{\underline {\mathcal {L}}}\left\lbrace {\underline {f'}}(t)\right\rbrace \!\left[p\right]={\underline {\mathcal {L}}}\left\lbrace \exp(-{\underline {a}}\;t)\;f(t)\right\rbrace \!\left[p\right]={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \!\left[p+{\underline {a}}\right]\;$ pour $\;{\underline {a}}\in \mathbb {C} ^{*}\;$» et Remarque 2 : Envisageons maintenant $\;\color {transparent}{{\underline {a}}\in \mathbb {C} ^{*}}\;$ il est alors aisé d'en déduire la « convergence de la transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace complexe de la fonction $\;{\big$ou distribution${\big )}\;$ complexe Remarque 2 : Envisageons maintenant $\;\color {transparent}{{\underline {a}}\in \mathbb {C} ^{*}}\;$ il est alors aisé d'en déduire la « convergence de la transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace complexe de $\;{\underline {f'}}(t)=\exp(-{\underline {a}}\;t)\;f(t)\;$ soit Remarque 2 : Envisageons maintenant $\;\color {transparent}{{\underline {a}}\in \mathbb {C} ^{*}}\;$ il est alors aisé d'en déduire la « convergence $\;\Re (p)>\alpha '=\alpha -\Re ({\underline {a}})\;$ avec $\;\alpha \;$ abscisse de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$».

### Holomorphie de la transformée (monolatérale) de Laplace

Une « fonction complexe $\;{\underline {F}}\;$ d'une variable complexe $\;{\underline {z}}\;$ définie sur un ouvert $\;\Omega \subset \mathbb {C} \;$» est dite « holomorphe en $\;{\underline {z_{0}}}\in \Omega \;$»
* si, « pour $\;{\underline {z}}\in \Omega$, $\;\lim \limits _{{\underline {z}}\,\rightarrow \,{\underline {z_{0}}}}{\dfrac {{\underline {F}}({\underline {z}})-{\underline {F}}({\underline {z_{0}}})}{{\underline {z}}-{\underline {z_{0}}}}}\;$ existe en étant indépendante de la direction d'approche de $\;{\underline {z_{0}}}\;$ à partir de $\;{\underline {z}}\;$», « cette limite définissant la dérivée de $\;{\underline {F}}({\underline {z}})\;$ en $\;{\underline {z_{0}}}\;$» et étant notée «$\;{\underline {F}}'({\underline {z_{0}}})\;$ ou $\;D{\underline {F}}({\underline {z_{0}}})\;$» ou
* en explicitant la direction d'approche, $\;{\big{\underline {h}}\;$ étant un complexe quelconque de module unité définissant une direction d'approche de $\;{\underline {z_{0}}}\;$ à partir de $\;{\underline {z}}{\big ]}$, si «$\;\lim \limits _{u\,\rightarrow \,0}{\dfrac {{\underline {F}}({\underline {z_{0}}}+u\,{\underline {h}})-{\underline {F}}({\underline {z_{0}}})}{u}}\;$ existe $\;\forall \,{\underline {h}}\;$ et est indépendante de $\;{\underline {h}}\;$», « cette limite indepndante de la direction d'approche de $\;{\underline {z_{0}}}\;$ à partir de $\;{\underline {z}}\;$ définissant la dérivée de $\;{\underline {F}}({\underline {z}})\;$ en $\;{\underline {z_{0}}}\;$» et étant simplement notée $\;D{\underline {F}}({\underline {z_{0}}})\;$».
Une « fonction complexe $\;{\underline {F}}\;$ d'une variable complexe $\;{\underline {z}}\;$ définie sur un ouvert $\;\Omega \subset \mathbb {C} \;$» est dite « holomorphe sur $\;\Omega \;$» si « elle est holomorphe en tout point de $\;\Omega \;$» ; on peut alors « définir la dérivée de $\;{\underline {F}}\;$ en tout $\;{\underline {z_{0}}}\in \Omega \;$».
Remarques : Dans la mesure où la fonction complexe $\;{\underline {F}}({\underline {z}})\;$ est holomorphe sur l'ouvert $\;\Omega \;$ sur laquelle elle est définie, on peut  Remarques : $\succ \;$définir la « fonction complexe dérivée $\;{\underline {F}}'({\underline {z}})=D{\underline {F}}({\underline {z}})={\dfrac {d{\underline {F}}}{d{\underline {z}}}}({\underline {z}})\;$» et étudier son éventuelle holomorphie et si celle-ci est établie,  Remarques : $\succ \;$définir la « fonction complexe dérivée seconde $\;{\underline {F}}''({\underline {z}})=D^{2}{\underline {F}}({\underline {z}})={\dfrac {d^{2}{\underline {F}}}{d{\underline {z}}^{2}}}({\underline {z}})\;$» et étudier son éventuelle holomorphie  Remarques : $\succ \;$ $\ldots$
On admet que « la transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace d'une fonction $\;{\big$ou d'une distribution${\big )}$ $\;f(t)\;$ c'est-à-dire. On admet que «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \left[p\right]\;$» est « holomorphe sur tout son domaine de définition » $\;{\big$à l'exception de ses points singuliers${\big )}\;$ On admet que « tel que «$\;\Re (p)>\alpha \;$» $\;{\big \\alpha \;$ abscisse de convergence de la transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace de $\;f(t){\big \}$ et On admet que «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \left[p\right]}\;$» est « holomorphe sur tout son domaine de définition ceci à n'importe quel ordre.
On démontre ci-dessous le résultat suivant «$\;{\dfrac {d^{n}{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp^{n}}}=(-1)^{n}\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;f(t)\right\rbrace \;$ pour tout $\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$».
Démonstration : Pour démontrer que la transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace d'une fonction $\;{\big$ou d'une distribution${\big )}$ $\;f(t)\;$ s'écrivant Démonstration : Pour démontrer que «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \left[p\right]=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\;t)\;f(t)\;dt\;$»$^,$ est « holomorphe à n'importe quel ordre sur tout ouvert satisfaisant $\;\Re (p)>\alpha \;$ Démonstration : Pour démontrer que «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \left[p\right]=\exp(-p\;t)\;f(t)\;dt}\;$» est « holomorphe à n'importe quel ordre avec $\;\alpha \;$ abscisse de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \left[p\right]\;$», Démonstration : Pour démontrer que «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \left[p\right]=\exp(-p\;t)\;f(t)\;dt}\;$» est « holomorphe on vérifie d'abord la propriété pour $\;n=1\;$ puis on l'établit par récurrence soit Démonstration : Pour démontrer $\succ \;$« pour $\;n=1\;$», $\;{\dfrac {d{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp}}={\dfrac {d\left[\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\;t)\;f(t)\;dt\right]}{dp}}\;$$^,$ soit, en permutant l'intégration sur $\;t\;$ et la dérivation par rapport à $\;p$, Démonstration : Pour démontrer $\color {transparent}{\succ }\;$« pour $\;\color {transparent}{n=1}\;$», $\;\color {transparent}{\dfrac {d{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp}}$ $=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }{\dfrac {d\exp(-p\;t)}{dp}}\;f(t)\;dt=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }-t\;\exp(-p\;t)\;f(t)\;dt\;$$^,$ et finalement «$\;{\dfrac {d{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp}}=-{\mathcal {L}}\left\lbrace t\;f(t)\right\rbrace \;$» C.Q.F.D., Démonstration : Pour démontrer $\succ \;$hypothèse de récurrence «$\;{\dfrac {d^{n}{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp^{n}}}=(-1)^{n}\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;f(t)\right\rbrace \;$ pour $\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$ quelconque », Démonstration : Pour démontrer $\color {transparent}{\succ }\;$on forme $\;{\dfrac {d^{(n+1)}{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp^{(n+1)}}}={\dfrac {d\left[(-1)^{n}\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\;t)\;t^{n}\;f(t)\;dt\right]}{dp}}\;$$^,$ soit, en permutant l'intégration sur $\;t\;$ et la dérivation par rapport à $\;p$, Démonstration : Pour démontrer $\color {transparent}{\succ }\;$on forme $\;\color {transparent}{\dfrac {d^{(n+1)}{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp^{(n+1)}}}$ $=(-1)^{n}\;\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }{\dfrac {d\exp(-p\;t)}{dp}}\;t^{n}\;f(t)\;dt=(-1)^{n}\;\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }-t\;\exp(-p\;t)\;t^{n}\;f(t)\;dt\;$$^,$ et, en regroupant les facteurs, Démonstration : Pour démontrer $\color {transparent}{\succ }\;$on forme «$\;{\dfrac {d^{(n+1)}{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp^{(n+1)}}}=(-1)^{(n+1)}\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{(n+1)}\;f(t)\right\rbrace \;$» C.Q.F.D., Démonstration : Pour démontrer $\succ \;$la propriété $\;{\mathcal {P}}_{n}\;$ «$\;{\dfrac {d^{n}{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp^{n}}}=(-1)^{n}\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;f(t)\right\rbrace \;$» étant « vraie pour $\;n=1\;$» avec «$\;{\mathcal {P}}_{n}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\mathcal {P}}_{(n+1)}\;$» est établie par récurrence pour tout $\;n\in \mathbb {N} ^{*}$.

### Conséquence d'une multiplication par une fonction puissance de t sur les transformées (monolatérales) de Laplace

Soit $\;f(t)\;$ une fonction $\;{\big$ou distribution${\big )}\;$ admettant pour transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$ si $\;\Re (p)>\alpha \;$» avec Soit $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ une fonction $\;\color {transparent}{\big$ou distribution$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant pour transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt}\;$ «$\;\alpha \;$ abscisse de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$», Soit $\;f'(t)=t^{n}\;f(t)\;$ une nouvelle fonction $\;{\big$ou distribution${\big )}\;$ résultant de la multiplication de $\;f(t)\;$ par la fonction $\;t^{n}\;$ puissance nème de $\;t\;$ avec $\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$ et Soit $\;\color {transparent}{f'(t)=t^{n}\;f(t)}\;$ une nouvelle fonction $\;\color {transparent}{\big$ou distribution$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant pour transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f'(t)\;dt\;$ Soit $\;\color {transparent}{f'(t)=t^{n}\;f(t)}\;$ une nouvelle fonction $\;\color {transparent}{\big$ou distribution$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant pour transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace }$ $=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp \!\left(-p\;t\right)\;t^{n}\;f(t)\;dt\;$$^,$ Soit $\;\color {transparent}{f'(t)=t^{n}\;f(t)}\;$ une nouvelle fonction $\;\color {transparent}{\big$ou distribution$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant pour transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace }$ dans la mesure où $\;\Re (p)>\alpha \;$» ;
de la relation «$\;{\dfrac {d^{n}{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp^{n}}}=(-1)^{n}\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;f(t)\right\rbrace \;$ pour tout $\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$» établie au paragraphe « holomorphie de la transformée (monolatérale) de Laplace » plus haut dans ce chapitre, de la relation on en déduit «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;f(t)\right\rbrace =(-1)^{n}\;{\dfrac {d^{n}{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp^{n}}}\;$ pour $\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$» soit $\blacktriangleright \;$« pour $\;n=1$, $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t\;f(t)\right\rbrace =-{\dfrac {d{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp}}\;$», de la relation on en déduit «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;f(t)\right\rbrace =(-1)^{n}\;{\dfrac {d^{n}{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp^{n}}}}\;$ pour $\;\color {transparent}{n\in \mathbb {N} ^{*}}\;$» soit $\blacktriangleright \;$« pour $\;n=2$, $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{2}\;f(t)\right\rbrace ={\dfrac {d^{2}{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp^{2}}}\;$» de la relation on en déduit «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;f(t)\right\rbrace =(-1)^{n}\;{\dfrac {d^{n}{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp^{n}}}}\;$ pour $\;\color {transparent}{n\in \mathbb {N} ^{*}}\;$» soit $\blacktriangleright \;$« pour $\;n=3$, $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{3}\;f(t)\right\rbrace =-{\dfrac {d^{3}{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp^{3}}}\;$» de la relation on en déduit «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;f(t)\right\rbrace =(-1)^{n}\;{\dfrac {d^{n}{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp^{n}}}}\;$ pour $\;\color {transparent}{n\in \mathbb {N} ^{*}}\;$» soit $\blacktriangleright \;$$\ldots$
Application : soit à « évaluer $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;Y(t)\right\rbrace \;$ avec $\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$ et $\;Y(t)\;$ la fonction de Heaviside connaissant $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace Y(t)\right\rbrace ={\dfrac {1}{p}}\;$ si $\;\Re e(p)>0\;$», l'application du résultat ci-dessus nous conduit à Application : soit à évaluer «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;Y(t)\right\rbrace =(-1)^{n}\;{\dfrac {d^{n}{\mathcal {L}}\left\lbrace Y(t)\right\rbrace }{dp^{n}}}=(-1)^{n}\;{\dfrac {d^{n}\!\left({\dfrac {1}{p}}\right)}{dp^{n}}}\;$ si $\;\Re e(p)>0\;$» soit successivement $\bullet \;$«$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t\;Y(t)\right\rbrace =-{\dfrac {d\!\left({\dfrac {1}{p}}\right)}{dp}}={\dfrac {1}{p^{2}}}\;$», Application : soit à évaluer «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;Y(t)\right\rbrace =(-1)^{n}\;{\dfrac {d^{n}{\mathcal {L}}\left\lbrace Y(t)\right\rbrace }{dp^{n}}}=(-1)^{n}\;{\dfrac {d^{n}\!\left({\dfrac {1}{p}}\right)}{dp^{n}}}}\;$ si $\;\color {transparent}{\Re e(p)>0}\;$» soit successivement $\bullet \;$«$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{2}\;Y(t)\right\rbrace ={\dfrac {d^{2}\!\left({\dfrac {1}{p}}\right)}{dp^{2}}}={\dfrac {2}{p^{3}}}\;$», Application : soit à évaluer «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;Y(t)\right\rbrace =(-1)^{n}\;{\dfrac {d^{n}{\mathcal {L}}\left\lbrace Y(t)\right\rbrace }{dp^{n}}}=(-1)^{n}\;{\dfrac {d^{n}\!\left({\dfrac {1}{p}}\right)}{dp^{n}}}}\;$ si $\;\color {transparent}{\Re e(p)>0}\;$» soit successivement $\bullet \;$«$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{3}\;Y(t)\right\rbrace =-{\dfrac {d^{3}\!\left({\dfrac {1}{p}}\right)}{dp^{3}}}={\dfrac {6}{p^{4}}}\;$», Application : soit à évaluer «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;Y(t)\right\rbrace =(-1)^{n}\;{\dfrac {d^{n}{\mathcal {L}}\left\lbrace Y(t)\right\rbrace }{dp^{n}}}=(-1)^{n}\;d^{n}\!\left({\dfrac {1}{p}}\right)}\;$ si $\;\color {transparent}{\Re e(p)>0}\;$» soit successivement $\bullet \;$hypothèse de récurrence «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;Y(t)\right\rbrace ={\dfrac {n!}{p^{n+1}}}\;$» Application : soit à évaluer «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;Y(t)\right\rbrace =(-1)^{n}\;{\dfrac {d^{n}{\mathcal {L}}\left\lbrace Y(t)\right\rbrace }{dp^{n}}}=(-1)^{n}\;d^{n}\!\left({\dfrac {1}{p}}\right)}\;$ si $\;\color {transparent}{\Re e(p)>0}\;$» soit successivement $\color {transparent}{\bullet }\;$hypothèse de récurrence ${\big$vérifiée pour $\;n=1{\big )}$, on en déduit Application : soit à évaluer «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;Y(t)\right\rbrace =(-1)^{n}\;{\dfrac {d^{n}{\mathcal {L}}\left\lbrace Y(t)\right\rbrace }{dp^{n}}}=(-1)^{n}\;d^{n}\!\left({\dfrac {1}{p}}\right)}\;$ si $\;\color {transparent}{\Re e(p)>0}\;$» soit successivement $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{(n+1)}\;Y(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace t\,\left[t^{n}\;Y(t)\right]\right\rbrace =-{\dfrac {d{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;Y(t)\right\rbrace }{dp}}$ Application : soit à évaluer «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;Y(t)\right\rbrace =(-1)^{n}\;{\dfrac {d^{n}{\mathcal {L}}\left\lbrace Y(t)\right\rbrace }{dp^{n}}}=(-1)^{n}\;d^{n}\!\left({\dfrac {1}{p}}\right)}\;$ si $\;\color {transparent}{\Re e(p)>0}\;$» soit successivement $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{(n+1)}\;Y(t)\right\rbrace }$ $=-{\dfrac {d\!\left[{\dfrac {n!}{p^{(n+1)}}}\right]}{dp}}$, soit encore Application : soit à évaluer «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;Y(t)\right\rbrace =(-1)^{n}\;{\dfrac {d^{n}{\mathcal {L}}\left\lbrace Y(t)\right\rbrace }{dp^{n}}}=(-1)^{n}\;d^{n}\!\left({\dfrac {1}{p}}\right)}\;$ si $\;\color {transparent}{\Re e(p)>0}\;$» soit successivement $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{(n+1)}\;Y(t)\right\rbrace }$ $=(n+1)\;{\dfrac {n!}{p^{(n+2)}}}={\dfrac {(n+1)!}{p^{(n+2)}}}\;$» Application : soit à évaluer «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;Y(t)\right\rbrace =(-1)^{n}\;{\dfrac {d^{n}{\mathcal {L}}\left\lbrace Y(t)\right\rbrace }{dp^{n}}}=(-1)^{n}\;d^{n}\!\left({\dfrac {1}{p}}\right)}\;$ si $\;\color {transparent}{\Re e(p)>0}\;$» soit successivement $\color {transparent}{\bullet }\;$ce qui valide l'hypothèse de récurrence d'où  Application : soit à évaluer «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;Y(t)\right\rbrace =(-1)^{n}\;{\dfrac {d^{n}{\mathcal {L}}\left\lbrace Y(t)\right\rbrace }{dp^{n}}}=(-1)^{n}\;d^{n}\!\left({\dfrac {1}{p}}\right)}\;$ si $\;\color {transparent}{\Re e(p)>0}\;$» soit successivement $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;Y(t)\right\rbrace ={\dfrac {n!}{p^{(n+1)}}}\;$ pour $\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$ et $\;\Re e(p)>0\;$».

### Conséquence de la dérivation (ou intégration) par rapport à un paramètre sur les transformées (monolatérales) de Laplace
#### Conséquence de la dérivation par rapport à un paramètre sur les transformées (monolatérales) de Laplace

Soit $\;f(t,\,m)\;$ une fonction $\;{\big$ou distribution${\big )}\;$ dépendant du paramètre $\;m\;$ relativement auquel elle est dérivable et Soit $\;\color {transparent}{f(t,\,m)}\;$ une fonction $\;\color {transparent}{\big$ou distribution$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant pour transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t,\,m)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t,\,m)\;dt\;$ si $\;\Re (p)>\alpha \;$» avec «$\;\alpha \;$ abscisse Soit $\;\color {transparent}{f(t,\,m)}\;$ une fonction $\;\color {transparent}{\big$ou distribution$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant pour transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t,\,m)\right\rbrace =\exp(-p\,t)\;f(t,\,m)\;dt}\;$ de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t,\,m)\right\rbrace \;$», Soit $\;f'(t,\,m)=\left({\dfrac {\partial f}{\partial m}}\right)_{\!t}(t,\,m)\;$ la dérivée de la fonction $\;{\big$ou distribution${\big )}\;$ relativement au paramètre $\;m\;$ Soit $\;\color {transparent}{f'(t,\,m)=\left({\dfrac {\partial f}{\partial m}}\right)_{\!t}(t,\,m)}\;$ la dérivée de la fonction admettant pour transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t,\,m)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f'(t,\,m)\;dt\;$$^,$ Soit $\;\color {transparent}{f'(t,\,m)=\left({\dfrac {\partial f}{\partial m}}\right)_{\!t}(t,\,m)}\;$ la dérivée de la fonction admettant pour transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t,\,m)\right\rbrace }$ $=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial m}}\right)_{\!t}(t,\,m)\;dt\;$$^,$ avec, dans le Soit $\;\color {transparent}{f'(t,\,m)=\left({\dfrac {\partial f}{\partial m}}\right)_{\!t}(t,\,m)}\;$ la dérivée de la fonction admettant pour transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace cas général, la même condition de convergence que celle de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t,\,m)\right\rbrace \;$ soit Soit $\;\color {transparent}{f'(t,\,m)=\left(\partial f\right)_{\!t}(t,\,m)}\;$ la dérivée de la fonction admettant pour transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace cas général, la même condition de convergence $\;\Re (p)>\alpha \;$» ;
nous établissons ci-dessous la propriété de « permutation de la transformation $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace et de la dérivation par rapport à un paramètre »
$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t,\,m)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace \left({\dfrac {\partial f}{\partial m}}\right)_{\!t}(t,\,m)\right\rbrace =\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}\left\lbrace f(t,\,m)\right\rbrace }{\partial m}}\right)_{\!p}\;$
Démonstration : partant de «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \left({\dfrac {\partial f}{\partial m}}\right)_{\!t}(t,\,m)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial m}}\right)_{\!t}(t,\,m)\;dt\;$ si $\;\Re (p)>\alpha \;$», on permute la dérivation par rapport à $\;m\;$ et l'intégration par rapport à $\;t\;$ et Démonstration : partant de «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace \left({\dfrac {\partial f}{\partial m}}\right)_{\!t}(t,\,m)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial m}}\right)_{\!t}(t,\,m)\;dt}\;$ si $\;\color {transparent}{\Re (p)>\alpha }\;$», on obtient «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \left({\dfrac {\partial f}{\partial m}}\right)_{\!t}(t,\,m)\right\rbrace =\left({\dfrac {\partial \left[\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t,\,m)\;dt\right]}{\partial m}}\right)_{\!p}$ Démonstration : partant de «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace \left({\dfrac {\partial f}{\partial m}}\right)_{\!t}(t,\,m)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial m}}\right)_{\!t}(t,\,m)\;dt}\;$ si $\;\color {transparent}{\Re (p)>\alpha }\;$», on obtient «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace \left({\dfrac {\partial f}{\partial m}}\right)_{\!t}(t,\,m)\right\rbrace }$ $=\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}\left\lbrace f(t,\,m)\right\rbrace }{\partial m}}\right)_{\!p}\;$» sous la même Démonstration : partant de «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace \left({\dfrac {\partial f}{\partial m}}\right)_{\!t}(t,\,m)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial m}}\right)_{\!t}(t,\,m)\;dt}\;$ si $\;\color {transparent}{\Re (p)>\alpha }\;$», on obtient condition de convergence $\;\Re (p)>\alpha \;$ dans le cas général.

#### Conséquence de l'intégration par rapport à un paramètre sur les transformées (monolatérales) de Laplace

Soit $\;f(t,\,m)\;$ une fonction $\;{\big$ou distribution${\big )}\;$ dépendant du paramètre $\;m\;$ relativement auquel elle est intégrable et Soit $\;\color {transparent}{f(t,\,m)}\;$ une fonction $\;\color {transparent}{\big$ou distribution$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant pour transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t,\,m)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t,\,m)\;dt\;$ si $\;\Re (p)>\alpha \;$» avec «$\;\alpha \;$ abscisse Soit $\;\color {transparent}{f(t,\,m)}\;$ une fonction $\;\color {transparent}{\big$ou distribution$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant pour transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t,\,m)\right\rbrace =\exp(-p\,t)\;f(t,\,m)\;dt}\;$ de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t,\,m)\right\rbrace \;$», Soit $\;f''(t,\,m)=\displaystyle \int _{0}^{m}f(t,\,m')\;dm'\;$ la primitive de la fonction $\;{\big$ou distribution${\big )}\;$ relativement au paramètre $\;m\;$ s'annulant $\;m=0$, Soit $\;\color {transparent}{f''(t,\,m)=\displaystyle \int _{0}^{m}f(t,\,m')\;dm'}\;$ la primitive de la fonction admettant pour transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f''(t,\,m)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f''(t,\,m)\;dt\;$$^,$ Soit $\;\color {transparent}{f''(t,\,m)=\displaystyle \int _{0}^{m}f(t,\,m')\;dm'}\;$ la primitive de la fonction admettant pour transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f''(t,\,m)\right\rbrace }$ $=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;\left[\displaystyle \int _{0}^{m}f(t,\,m')\;dm'\right]\;dt\;$$^,$ Soit $\;\color {transparent}{f''(t,\,m)=\displaystyle \int _{0}^{m}f(t,\,m')\;dm'}\;$ la promitive de la fonction admettant pour transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace avec, dans le cas général, la même condition de convergence que Soit $\;\color {transparent}{f''(t,\,m)=f(t,\,m')\;dm'}\;$ la primitive de la fonction admettant pour transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace avec, dans le cas général, celle de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t,\,m)\right\rbrace \;$ soit $\;\Re (p)>\alpha \;$» ;
nous établissons ci-dessous la propriété de « permutation de la transformation $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace et de l'intégration par rapport à un paramètre »
$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f''(t,\,m)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{m}f(t,\,m')\;dm'\right\rbrace =\displaystyle \int _{0}^{m}{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t,\,m')\right\rbrace \,dm'\;$
Démonstration : partant de «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{m}f(t,\,m')\;dm'\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;\left[\displaystyle \int _{0}^{m}f(t,\,m')\;dm'\right]\,dt\;$ si $\;\Re (p)>\alpha \;$», on permute l'intégration par rapport à $\;m\;$ et celle par rapport à $\;t\;$ $\Rightarrow$ Démonstration : partant de «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{m}f(t,\,m')\;dm'\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;\left[\displaystyle \int _{0}^{m}f(t,\,m')\;dm'\right]\,dt}\;$ «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{m}f(t,\,m')\;dm'\right\rbrace =\displaystyle \int _{0}^{m}\left[\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t,\,m')\;dt\right]\,dm'$ Démonstration : partant de «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{m}f(t,\,m')\;dm'\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;\left[\displaystyle \int _{0}^{m}f(t,\,m')\;dm'\right]\,dt}\;$ «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{m}f(t,\,m')\;dm'\right\rbrace }$ $=\displaystyle \int _{0}^{m}{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t,\,m')\right\rbrace \,dm'\;$» sous la même condition de Démonstration : partant de «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{m}f(t,\,m')\;dm'\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;\left[\displaystyle \int _{0}^{m}f(t,\,m')\;dm'\right]\,dt}\;$ «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{m}f(t,\,m')\;dm'\right\rbrace }$ convergence $\;\Re (p)>\alpha \;$ dans le cas général.

### Conséquence du caractère périodique d'une fonction (ou distribution) sur sa transformée (monolatérale) de Laplace

Soit $\;f(t)\;$ une fonction $\;{\big$ou distribution${\big )}\;$ de période $\;T\;$ c.-à-d. telle que «$\;f(t+T)=f(t)\;$» et Soit $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ une fonction $\;\color {transparent}{\big$ou distribution$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant pour transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t,\,m)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$ si $\;\Re (p)>\alpha \;$» avec «$\;\alpha \geqslant 0\;$ abscisse Soit $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ une fonction $\;\color {transparent}{\big$ou distribution$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant pour transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt}\;$ de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$» ;
nous établissons ci-dessous la propriété « traduisant la périodicité de la fonction $\;{\big$ou distribution${\big )}\;$ sur la transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace de cette dernière »
$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace ={\dfrac {\displaystyle \int _{0}^{T}\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt}{1-\exp(-p\;T)}}\;$
Démonstration : partant de «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$ si $\;\Re (p)>\alpha \;$», on décompose l'intégrale sur chaque période selon Démonstration : partant de «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0}^{T}\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt+\displaystyle \int _{T}^{2\,T}\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt+\displaystyle \int _{2\,T}^{3\,T}\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt+\cdots +\displaystyle \int _{n\,T}^{(n+1)\,T}\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt+\cdots \;$» ou, Démonstration : en faisant le « changement de variable $\;t=t_{n}+n\;T\;$ sur l'intégrale $\;\displaystyle \int _{n\,T}^{(n+1)\,T}\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$ pour se ramener à une intégrale sur $\;\left[0\,,\,T\right]\;$» sachant que $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}f(t)=f(t_{n})\\dt=dt_{n}\end{array}}\right\rbrace \;$ soit Démonstration : en faisant le « changement de variable $\;\color {transparent}{t=t_{n}+n\;T}\;$ sur l'intégrale $\;\displaystyle \int _{n\,T}^{(n+1)\,T}\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt=\displaystyle \int _{0}^{T}\exp(-p\,t_{n})\;\exp(-p\,n\,T)\;f(t_{n})\;dt_{n}\;$ ou, $\;t_{n}\;$ étant une variable muette et Démonstration : en faisant le « changement de variable $\;\color {transparent}{t=t_{n}+n\;T}\;$ sur l'intégrale $\;\color {transparent}{\displaystyle \int _{n\,T}^{(n+1)\,T}\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt=\displaystyle \int _{0}^{T}\exp(-p\,t_{n})\;\exp(-p\,n\,T)\;f(t_{n})\;dt_{n}}\;$ ou, $\;\exp(-p\,n\,T)\;$ une constante, Démonstration : en faisant le « changement de variable $\;\color {transparent}{t=t_{n}+n\;T}\;$ sur l'intégrale $\;\displaystyle \int _{n\,T}^{(n+1)\,T}\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt=\exp(-p\,n\,T)\;\displaystyle \int _{0}^{T}\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$ soit, Démonstration : après factorisation par $\;\displaystyle \int _{0}^{T}\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$ dans la somme, Démonstration : partant de «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\left[1+\sum \limits _{n\,\in \,\mathbb {N} ^{*}}^{1\,..\,+\infty }\exp(-p\,n\;T)\right]\displaystyle \int _{0}^{T}\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$» puis, Démonstration : en reconnaissant dans les termes entre crochets la « somme infinie d'une progression géométrique de 1er terme $\;1\;$ et de raison $\;\exp(-p\,T)\;$ de module $\;<1\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$» Démonstration : ${\big$d'où la nécessité que l'abscisse de convergence $\;\alpha \;$ de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$ soit $\;\geqslant 0\;$ pour que la transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace de $\;f(t)$, $\;T$-périodique, existe${\big ]}\;$ et finalement, Démonstration : partant de «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace ={\dfrac {\displaystyle \int _{0}^{T}\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt}{1-\exp(-p\;T)}}\;$» C.Q.F.D..

## Transformées (monolatérales) de fonctions (ou distributions) usuelles
### Fonction de Heaviside (ou échelon unité)

« Fonction de Heaviside $\;{\big$ou échelon unité${\big )}$ $\;Y(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}1\;{\text{si}}\;t>0\\0\;{\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace Y(t)\right\rbrace ={\dfrac {1}{p}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$».
« Fonction de Heaviside $\;{\big$ou échelon unité${\big )}\;$ retardé $\;Y(t-\tau )=\left\lbrace {\begin{array}{l}1\;{\text{si}}\;t>\tau \\0\;{\text{si}}\;t<\tau \end{array}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace Y(t-\tau )\right\rbrace ={\dfrac {\exp(-p\,\tau )}{p}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$».
« Fonction créneau unité sur $\;\left[0\,,\,\tau \right]$ : $\;C_{\left[0\,,\,\tau \right]}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\;\;{\text{si}}\;t>\tau \\1\;\;{\text{si}}\;0<t<\tau \\0\;\;{\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace =Y(t)-Y(t-\tau )\;$» d'où $\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace C_{\left[0\,,\,\tau \right]}(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\!\left\lbrace Y(t)\right\rbrace -{\mathcal {L}}\!\left\lbrace Y(t-\tau )\right\rbrace \;$ soit « Fonction créneau unité sur $\;\color {transparent}{\left[0\,,\,\tau \right]}$ : $\;\color {transparent}{C_{\left[0\,,\,\tau \right]}(t)=\left\lbrace 1\;\;{\text{si}}\;0<t<\tau \right\rbrace =Y(t)-Y(t-\tau )}\;$» d'où «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace C_{\left[0\,,\,\tau \right]}(t)\right\rbrace ={\dfrac {1-\exp(-p\,\tau )}{p}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$».

### Pic de Dirac d'impulsion unité

« Pic de Dirac d'impulsion unité $\;\delta (t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\qquad {\text{si}}\;t>0\\+\infty \;\;\,{\text{si}}\;t=0\\0\qquad {\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace ={\dot {Y}}(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace \delta (t)\right\rbrace =1,\;\;\forall \;\Re (p)\in \mathbb {R} \;$».
« Pic de Dirac d'impulsion unité retardé $\;\delta (t-\tau )=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\qquad {\text{si}}\;t>\tau \\+\infty \;\;\,{\text{si}}\;t=\tau \\0\qquad {\text{si}}\;t<\tau \end{array}}\right\rbrace ={\dot {Y}}(t-\tau )\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace \delta (t-\tau )\right\rbrace =\exp(-p\,\tau ),\;\;\forall \;\Re (p)\in \mathbb {R} \;$».

### Fonction rampe de pente a

« Fonction rampe $\;f_{\text{rampe}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}a\;t\;{\text{si}}\;t\geqslant 0\\0\quad {\text{si}}\;t\leqslant 0\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{rampe}}(t)\right\rbrace ={\dfrac {a}{p^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$».
« Fonction rampe retardée $\;f_{\text{rampe}}(t-\tau )=\left\lbrace {\begin{array}{l}a\;t\;{\text{si}}\;t\geqslant \tau \\0\quad {\text{si}}\;t\leqslant \tau \end{array}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{rampe}}(t-\tau )\right\rbrace ={\dfrac {a\;\exp(-p\,\tau )}{p^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$».
« Fonction triangle symétrique sur $\;\left[0\,,\,2\,\tau \right]$ : $\;f_{\text{triang sym}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\qquad \qquad \quad {\text{si}}\;t\geqslant 2\,\tau \\-a\;(t-2\,\tau )\;{\text{si}}\;t\in \left[\tau \,,\,2\,\tau \right]\\a\;t\qquad \qquad \;{\text{si}}\;t\in \left[0\,,\,\tau \right]\\0\qquad \qquad \quad {\text{si}}\;t\leqslant 0\end{array}}\right\rbrace =f_{\text{rampe}}(t)-2\,f_{\text{rampe}}(t-\tau )+f_{\text{rampe}}(t-2\,\tau )\;$» soit, « Fonction triangle symétrique sur $\;\color {transparent}{\left[0\,,\,2\,\tau \right]}$ : $\;\color {transparent}{f_{\text{triang sym}}(t)=\left\lbrace -a\;(t-2\,\tau )\;{\text{si}}\;t\in \left[\tau \,,\,2\,\tau \right]\right\rbrace =}$ «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{triang sym}}(t)\right\rbrace ={\dfrac {a\,\left[1-2\,\exp(-p\,\tau )+\exp(-2\,p\,\tau )\right]}{p^{2}}}\;$$^,$ « Fonction triangle symétrique sur $\;\color {transparent}{\left[0\,,\,2\,\tau \right]}$ : $\;\color {transparent}{f_{\text{triang sym}}(t)=\left\lbrace -a\;(t-2\,\tau )\;{\text{si}}\;t\in \left[\tau \,,\,2\,\tau \right]\right\rbrace =}$ «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{triang sym}}(t)\right\rbrace }$ $={\dfrac {a\,\left[1-\exp(-p\,\tau )\right]^{2}}{p^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$».

### Fonction exponentielle réelle

« Fonction exponentielle réelle $\;f_{\text{exp}}(t)=\exp(-a\,t)\;Y(t)\;$ avec $\;a\in \mathbb {R} ^{*}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{exp}}(t)\right\rbrace ={\dfrac {1}{p+a}}\;$ pour $\;\Re (p)>-a\;$».
« Approche exponentielle réelle de l'échelon unité $\;f_{\text{app exp}}(t)=\left[1-\exp(-a\,t)\right]\,Y(t)=Y(t)-\exp(-a\,t)\;Y(t)\;$ avec $\;a\in \mathbb {R} _{+}^{*}\;$» soit, «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{app exp}}(t)\right\rbrace ={\dfrac {1}{p}}-{\dfrac {1}{p+a}}\;$ « Approche exponentielle réelle de l'échelon unité $\;\color {transparent}{f_{\text{app exp}}(t)=\left[1-\exp(-a\,t)\right]\,Y(t)=Y(t)-\exp(-a\,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{a\in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» soit, «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{app exp}}(t)\right\rbrace }$ $={\dfrac {a}{p\;(p+a)}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$».

### Fonctions sinusoïdale et cosinusoïdale

$\blacktriangleright \;$« Fonction cosinusoïdale$\;f_{\text{cos}}(t)=\cos(\omega \,t)\;Y(t)\;$ avec $\;\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\;$» s'obtenant en utilisant «$\;f_{\text{cos}}(t)=\Re \left[\exp(i\,\omega \,t)\;Y(t)\right]\;$», «$\;{\underline {\mathcal {L}}}\!\left\lbrace \exp(i\,\omega \,t)\;Y(t)\right\rbrace ={\dfrac {1}{p-i\,\omega }}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$»$^,$ ou $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction cosinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{cos}}(t)=\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» « si on se limite aux valeurs réelles de $\;p$, $\;\Re \left\lbrace {\underline {\mathcal {L}}}\left[\exp(i\,\omega \,t)\;Y(t)\right]\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace \Re \left[\exp(i\,\omega \,t)\;Y(t)\right]\right\rbrace \;$» c.-à-d. $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction cosinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{cos}}(t)=\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» « si on se limite aux valeurs réelles de $\;\color {transparent}{p}$, «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{cos}}(t)\right\rbrace =\Re \,\left[{\dfrac {1}{p-i\,\omega }}\right]_{{\text{pour }}p\,=\,\Re (p)\,>\,0}=\Re \,\left[{\dfrac {p+i\,\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}\right]_{{\text{pour }}p\,=\,\Re (p)\,>\,0}\;$» $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction cosinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{cos}}(t)=\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» « si on se limite aux valeurs réelles de $\;\color {transparent}{p}$, ou, «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{cos}}(t)\right\rbrace =\left[{\dfrac {p}{p^{2}+\omega ^{2}}}\right]_{{\text{pour }}p\,=\,\Re (p)\,>\,0}\;$» et enfin, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction cosinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{cos}}(t)=\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» en étendant ce résultat aux valeurs complexes de $\;p\;$ «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace \cos(\omega \,t)\;Y(t)\right\rbrace ={\dfrac {p}{p^{2}+\omega ^{2}}}\;$ pour $\;\Re e(p)>0\;$».
$\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction cosinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{cos}}(t)=\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» Autre démonstration$\;{\big$utilisant le caractère périodique de la fonction cosinusoïdale${\big )}$ : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction cosinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{cos}}(t)=\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» Autre démonstration la fonction cosinusoïdale $\;f_{\text{cos}}(t)=\cos(\omega \,t)\;Y(t)\;$ étant «$\;T$-périodique avec $\;T={\dfrac {2\;\pi }{\omega }}\;$» on en déduit $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction cosinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{cos}}(t)=\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» Autre démonstration «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{cos}}(t)\right\rbrace ={\dfrac {\displaystyle \int _{0}^{T}\exp(-p\,t)\;f_{\text{cos}}(t)\;dt}{1-\exp(-p\,T)}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$» ou encore « pour $\;\Re (p)>0$, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction cosinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{cos}}(t)=\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» Autre démonstration «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{cos}}(t)\right\rbrace ={\dfrac {\displaystyle \int _{0}^{T}\exp(-p\,t)\;\cos(\omega \,t)\;dt}{1-\exp(-p\,T)}}={\dfrac {\displaystyle \int _{0}^{T}\exp(-p\,t)\;{\dfrac {\exp(i\,\omega \,t)+\exp(-i\,\omega \,t)}{2}}\;dt}{1-\exp(-p\,T)}}\;$ » $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction cosinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{cos}}(t)=\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» Autre démonstration ou «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{cos}}(t)\right\rbrace ={\dfrac {\displaystyle \int _{0}^{T}\left\lbrace \exp \!\left[-(p-i\;\omega )\;t\right]+\exp \!\left[-(p+i\;\omega )\;t\right]\right\rbrace \,dt}{2\,\left[1-\exp(-p\,T)\right]}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$», $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction cosinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{cos}}(t)=\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» Autre démonstration le numérateur du 2nd membre se réécrivant en somme de deux intégrales : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction cosinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{cos}}(t)=\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» Autre démonstration $\succ \;$$\displaystyle \int _{0}^{T}\exp \!\left[-(p-i\;\omega )\;t\right]\;dt=\left[-{\dfrac {\exp \!\left[-(p-i\;\omega )\;t\right]}{p-i\;\omega }}\right]_{0}^{T}={\dfrac {1-\exp(-p\;T)\;\exp(i\;\omega \;T)}{p-i\;\omega }}$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction cosinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{cos}}(t)=\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» Autre démonstration $\color {transparent}{\succ }\;$$\color {transparent}{\displaystyle \int _{0}^{T}\exp \!\left[-(p-i\;\omega )\;t\right]\;dt}$ $={\dfrac {1-\exp(-p\;T)}{p-i\;\omega }}\;$» car $\;\exp(i\;\omega \;T)=\exp(i\;2\;\pi )=1\;$ et $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction cosinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{cos}}(t)=\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» Autre démonstration $\succ \;$$\displaystyle \int _{0}^{T}\exp \!\left[-(p+i\;\omega )\;t\right]\;dt=\left[-{\dfrac {\exp \!\left[-(p+i\;\omega )\;t\right]}{p+i\;\omega }}\right]_{0}^{T}={\dfrac {1-\exp(-p\;T)\;\exp(-i\;\omega \;T)}{p+i\;\omega }}$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction cosinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{cos}}(t)=\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» Autre démonstration $\color {transparent}{\succ }\;$$\color {transparent}{\displaystyle \int _{0}^{T}\exp \!\left[-(p+i\;\omega )\;t\right]\;dt}$ $={\dfrac {1-\exp(-p\;T)}{p+i\;\omega }}\;$» car $\;\exp(-i\;\omega \;T)=\exp(-i\;2\;\pi )=1\;$ d'où $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction cosinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{cos}}(t)=\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» Autre démonstration «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{cos}}(t)\right\rbrace ={\dfrac {1}{2}}\,\left[{\dfrac {1}{p-i\;\omega }}+{\dfrac {1}{p+i\;\omega }}\right]\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$» après simplification évidente ou, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction cosinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{cos}}(t)=\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» Autre démonstration «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace \cos(\omega \,t)\;Y(t)\right\rbrace ={\dfrac {p}{p^{2}+\omega ^{2}}}\;$ pour $\;\Re e(p)>0\;$» après réduction au même dénominateur et $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction cosinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{cos}}(t)=\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» Autre démonstration «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\!\left\lbrace \cos(\omega \,t)\;Y(t)\right\rbrace =p^{2}+\omega ^{2}}\;$ pour $\;\color {transparent}{\Re e(p)>0}\;$» après simplification.
$\blacktriangleright \;$« Fonction sinusoïdale$\;f_{\text{sin}}(t)=\sin(\omega \,t)\;Y(t)\;$ avec $\;\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\;$» s'obtenant en utilisant «$\;f_{\text{sin}}(t)=\Im \left[\exp(i\,\omega \,t)\;Y(t)\right]\;$», «$\;{\underline {\mathcal {L}}}\!\left\lbrace \exp(i\,\omega \,t)\;Y(t)\right\rbrace ={\dfrac {1}{p-i\,\omega }}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$»$^,$ ou $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction sinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{sin}}(t)=\sin(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» « si on se limite aux valeurs réelles de $\;p$, $\;\Im \left\lbrace {\underline {\mathcal {L}}}\left[\exp(i\,\omega \,t)\;Y(t)\right]\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace \Im \left[\exp(i\,\omega \,t)\;Y(t)\right]\right\rbrace \;$» c.-à-d. $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction sinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{sin}}(t)=\sin(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» « si on se limite aux valeurs réelles de $\;\color {transparent}{p}$, «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{sin}}(t)\right\rbrace =\Im \,\left[{\dfrac {1}{p-i\,\omega }}\right]_{{\text{pour }}p\,=\,\Re (p)\,>\,0}=\Im \,\left[{\dfrac {p+i\,\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}\right]_{{\text{pour }}p\,=\,\Re (p)\,>\,0}\;$» $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction sinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{sin}}(t)=\sin(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» « si on se limite aux valeurs réelles de $\;\color {transparent}{p}$, ou, «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{sin}}(t)\right\rbrace =\left[{\dfrac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}\right]_{{\text{pour }}p\,=\,\Re (p)\,>\,0}\;$» et enfin, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction sinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{sin}}(t)=\sin(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» en étendant ce résultat aux valeurs complexes de $\;p\;$ «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace \sin(\omega \,t)\;Y(t)\right\rbrace ={\dfrac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$».
$\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction sinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{sin}}(t)=\sin(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» Autre démonstration$\;{\big$utilisant le caractère périodique de la fonction sinusoïdale${\big )}$ : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction sinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{sin}}(t)=\sin(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» Autre démonstration la fonction sinusoïdale $\;f_{\text{sin}}(t)=\sin(\omega \,t)\;Y(t)\;$ étant «$\;T$-périodique avec $\;T={\dfrac {2\;\pi }{\omega }}\;$» on en déduit $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction sinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{sin}}(t)=\sin(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» Autre démonstration «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{sin}}(t)\right\rbrace ={\dfrac {\displaystyle \int _{0}^{T}\exp(-p\,t)\;f_{\text{sin}}(t)\;dt}{1-\exp(-p\,T)}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$» ou encore « pour $\;\Re (p)>0$, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction sinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{sin}}(t)=\sin(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» Autre démonstration «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{sin}}(t)\right\rbrace ={\dfrac {\displaystyle \int _{0}^{T}\exp(-p\,t)\;\sin(\omega \,t)\;dt}{1-\exp(-p\,T)}}={\dfrac {\displaystyle \int _{0}^{T}\exp(-p\,t)\;{\dfrac {\exp(i\,\omega \,t)-\exp(-i\,\omega \,t)}{2\;i}}\;dt}{1-\exp(-p\,T)}}\;$ » $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction sinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{sin}}(t)=\sin(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» Autre démonstration ou «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{sin}}(t)\right\rbrace ={\dfrac {\displaystyle \int _{0}^{T}\left\lbrace \exp \!\left[-(p-i\;\omega )\;t\right]-\exp \!\left[-(p+i\;\omega )\;t\right]\right\rbrace \,dt}{2\;i\,\left[1-\exp(-p\,T)\right]}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$», $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction sinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{sin}}(t)=\sin(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» Autre démonstration le numérateur du 2nd membre se réécrivant en différence de deux intégrales : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction sinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{sin}}(t)=\sin(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» Autre démonstration $\succ \;$$\displaystyle \int _{0}^{T}\exp \!\left[-(p-i\;\omega )\;t\right]\;dt{\overset {\ldots }{\;=\;}}\;{\dfrac {1-\exp(-p\;T)}{p-i\;\omega }}\;$ et $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction sinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{sin}}(t)=\sin(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» Autre démonstration $\succ \;$$\displaystyle \int _{0}^{T}\exp \!\left[-(p+i\;\omega )\;t\right]\;dt\;{\overset {\ldots }{\;=\;}}\;{\dfrac {1-\exp(-p\;T)}{p+i\;\omega }}\;$ d'où $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction sinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{sin}}(t)=\sin(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» Autre démonstration «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{sin}}(t)\right\rbrace ={\dfrac {1}{2\;i}}\,\left[{\dfrac {1}{p-i\;\omega }}-{\dfrac {1}{p+i\;\omega }}\right]\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$» après simplification évidente ou, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction sinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{sin}}(t)=\sin(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» Autre démonstration «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace \sin(\omega \,t)\;Y(t)\right\rbrace ={\dfrac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}\;$ pour $\;\Re e(p)>0\;$» après réduction au même dénominateur et $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction sinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{sin}}(t)=\sin(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» Autre démonstration «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\!\left\lbrace \sin(\omega \,t)\;Y(t)\right\rbrace =p^{2}+\omega ^{2}}\;$ pour $\;\color {transparent}{\Re e(p)>0}\;$» après simplification.
$\blacktriangleright \;$Application : soit à déterminer la transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace de «$\;f(t)=\cos(\omega \,t+\varphi )\;Y(t)\;$ avec $\;\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\;$ et $\;\varphi \in \left]-\pi \,,\,+\pi \right]\;$», $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Application : pour cela on décompose la fonction modulant l'échelon unité selon «$\;\cos(\omega \,t+\varphi )=\cos(\omega \,t)\;\cos(\varphi )-\sin(\omega \,t)\;\sin(\varphi )\;$» ce qui revient à déterminer $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Application : soit à déterminer la transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace de «$\;f(t)=\cos(\varphi )\;\cos(\omega \,t)\;Y(t)-\sin(\varphi )\;\sin(\omega \,t)\;Y(t)\;$» soit Application : soit à déterminer la transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace de «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \cos(\omega \,t+\varphi )\;Y(t)\right\rbrace =\cos(\varphi )\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \cos(\omega \,t)\;Y(t)\right\rbrace -\sin(\varphi )\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \sin(\omega \,t)\;Y(t)\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ Application : soit à déterminer la transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace de «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \cos(\omega \,t+\varphi )\;Y(t)\right\rbrace =\cos(\varphi )\;{\dfrac {p}{p^{2}+\omega ^{2}}}-\sin(\varphi )\;{\dfrac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$».

### Fonctions sinusoïdale et cosinusoïdale amorties exponentiellement

$\blacktriangleright \;$« Fonction cosinusoïdale amortie exponentiellement$\;f_{\text{cos amort}}(t)=\exp(-a\,t)\;\cos(\omega \,t)\;Y(t)\;$ avec $\;\left\lbrace \!{\begin{array}{c}\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\\a\in \mathbb {R} _{+}^{*}\end{array}}\!\right\rbrace \;$» s'obtenant en utilisant «$\;f_{\text{cos amort}}(t)=\Re \left[\exp(-a\;t)\;\exp(i\,\omega \,t)\;Y(t)\right]\;$», $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction cosinusoïdale amortie exponentiellement$\;\color {transparent}{f_{\text{cos amort}}(t)=\exp(-a\,t)\;\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ «$\;{\underline {\mathcal {L}}}\!\left\lbrace \exp \!\left[(-a+i\,\omega )\,t\right]\,Y(t)\right\rbrace ={\dfrac {1}{p+a-i\,\omega }}\;$ pour $\;\Re (p)>-a\;$»$^,$ ou $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction cosinusoïdale amortie exponentiellement$\;\color {transparent}{f_{\text{cos amort}}(t)}$ « si on se limite aux valeurs réelles de $\;p$, $\;\Re {\Big \langle }{\underline {\mathcal {L}}}\!\left\lbrace \exp \!\left[(-a+i\,\omega )\,t\right]\,Y(t)\right\rbrace \!{\Big \rangle }={\mathcal {L}}{\Big \langle }\Re \left\lbrace \exp \!\left[(-a+i\,\omega )\,t\right]\,Y(t)\right\rbrace \!{\Big \rangle }\;$» c.-à-d. $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction cosinusoïdale amortie exponentiellement$\;\color {transparent}{f_{\text{cos amort}}(t)}$ « si on se limite aux valeurs réelles de $\;\color {transparent}{p}$, «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{cos amort}}(t)\right\rbrace =\Re \,\left[{\dfrac {1}{p+a-i\,\omega }}\right]_{{\text{pour }}p\,=\,\Re (p)\,>\,-a}$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction cosinusoïdale amortie exponentiellement$\;\color {transparent}{f_{\text{cos amort}}(t)}$ « si on se limite aux valeurs réelles de $\;\color {transparent}{p}$, «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{cos amort}}(t)\right\rbrace }$ $=\Re \,\left[{\dfrac {p+a+i\,\omega }{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\right]_{{\text{pour }}p\,=\,\Re (p)\,>\,-a}\;$» ou, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction cosinusoïdale amortie exponentiellement$\;\color {transparent}{f_{\text{cos amort}}(t)}$ « si on se limite aux valeurs réelles de $\;\color {transparent}{p}$, «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{cos amort}}(t)\right\rbrace =\left[{\dfrac {p+a}{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\right]_{{\text{pour }}p\,=\,\Re (p)\,>\,-a}\;$» et enfin, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction cosinusoïdale amortie exponentiellement$\;\color {transparent}{f_{\text{cos amort}}(t)}$ en étendant ce résultat aux valeurs complexes de $\;p\;$ «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace \exp(-a\,t)\;\cos(\omega \,t)\;Y(t)\right\rbrace ={\dfrac {p+a}{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>-a\;$».
$\blacktriangleright \;$« Fonction sinusoïdale amortie exponentiellement$\;f_{\text{sin amort}}(t)=\exp(-a\,t)\;\sin(\omega \,t)\;Y(t)\;$ avec $\;\left\lbrace \!{\begin{array}{c}\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\\a\in \mathbb {R} _{+}^{*}\end{array}}\!\right\rbrace \;$» s'obtenant en utilisant «$\;f_{\text{sin amort}}(t)=\Im \left[\exp(-a\;t)\;\exp(i\,\omega \,t)\;Y(t)\right]\;$», $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction sinusoïdale amortie exponentiellement$\;\color {transparent}{f_{\text{sin amort}}(t)=\exp(-a\,t)\;\sin(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ «$\;{\underline {\mathcal {L}}}\!\left\lbrace \exp \!\left[(-a+i\,\omega )\,t\right]\,Y(t)\right\rbrace =={\dfrac {1}{p+a-i\,\omega }}\;$ pour $\;\Re (p)>-a\;$»$^,$ ou $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction sinusoïdale amortie exponentiellement$\;\color {transparent}{f_{\text{sin amort}}(t)}$ « si on se limite aux valeurs réelles de $\;p$, $\;\Im {\Big \langle }{\underline {\mathcal {L}}}\!\left\lbrace \exp \!\left[(-a+i\,\omega )\,t\right]\,Y(t)\right\rbrace \!{\Big \rangle }={\mathcal {L}}{\Big \langle }\Im \left\lbrace \exp \!\left[(-a+i\,\omega )\,t\right]\,Y(t)\right\rbrace \!{\Big \rangle }\;$» c.-à-d. $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction sinusoïdale amortie exponentiellement$\;\color {transparent}{f_{\text{sin amort}}(t)}$ « si on se limite aux valeurs réelles de $\;\color {transparent}{p}$, «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{sin amort}}(t)\right\rbrace ==\Im \,\left[{\dfrac {1}{p+a-i\,\omega }}\right]_{{\text{pour }}p\,=\,\Re (p)\,>\,-a}$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction sinusoïdale amortie exponentiellement$\;\color {transparent}{f_{\text{sin amort}}(t)}$ « si on se limite aux valeurs réelles de $\;\color {transparent}{p}$, «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{sin amort}}(t)\right\rbrace }$ $=\Im \,\left[{\dfrac {p+a+i\,\omega }{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\right]_{{\text{pour }}p\,=\,\Re (p)\,>\,-a}\;$» ou, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction sinusoïdale amortie exponentiellement$\;\color {transparent}{f_{\text{sin amort}}(t)}$ « si on se limite aux valeurs réelles de $\;\color {transparent}{p}$, «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{sin amort}}(t)\right\rbrace =\left[{\dfrac {\omega }{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\right]_{{\text{pour }}p\,=\,\Re (p)\,>\,-a}\;$» et enfin, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction sinusoïdale amortie exponentiellement$\;\color {transparent}{f_{\text{sin amort}}(t)}$ en étendant ce résultat aux valeurs complexes de $\;p\;$ «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace \exp(-a\,t)\;\sin(\omega \,t)\;Y(t)\right\rbrace ={\dfrac {\omega }{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>-a\;$».
$\blacktriangleright \;$Application : soit à déterminer la transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace de «$\;f(t)=\exp(-a\,t)\;\cos(\omega \,t+\varphi )\;Y(t)\;$ avec $\;\left\lbrace \!{\begin{array}{c}\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\\a\in \mathbb {R} _{+}^{*}\end{array}}\!\right\rbrace \;$ et $\;\varphi \in \left]-\pi \,,\,+\pi \right]\;$», $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Application : pour cela on décompose la fonction modulant l'échelon unité selon «$\;\exp(-a\,t)\;\cos(\omega \,t+\varphi )=\exp(-a\,t)\;\cos(\omega \,t)\;\cos(\varphi )-\exp(-a\,t)\;\sin(\omega \,t)\;\sin(\varphi )\;$» ce qui revient $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Application : soit à déterminer la transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace de «$\;f(t)=\cos(\varphi )\;\exp(-a\,t)\;\cos(\omega \,t)\;Y(t)-\sin(\varphi )\;\exp(-a\,t)\;\sin(\omega \,t)\;Y(t)\;$» soit Application : soit à déterminer la transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace de «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \exp(-a\,t)\;\cos(\omega \,t+\varphi )\;Y(t)\right\rbrace =\cos(\varphi )\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f_{\text{cos amort}}(t)\right\rbrace -\sin(\varphi )\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f_{\text{sin amort}}(t)\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ Application : soit à déterminer la transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace de «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \exp(-a\,t)\;\cos(\omega \,t+\varphi )\;Y(t)\right\rbrace =\cos(\varphi )\;{\dfrac {p+a}{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}-\sin(\varphi )\;{\dfrac {\omega }{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>-a\;$».

## Transformée (monolatérale) inverse de Laplace d'une fonction (ou distribution) complexe d'une variable complexe

Soit une fonction complexe $\;F\;$ de la variable complexe $\;p\;$ holomorphe sur son domaine de définition.

### Définition de la transformée (monolatérale) inverse de Laplace de la fonction (ou distribution) complexe F(p) de la variable complexe p

$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;F(p)$
$\;p\;$
$\;\color {transparent}{\big$
$\color {transparent}{\big )}\;$
$\;\color {transparent}{F(p)}$
$\;\color {transparent}{\big$
$\color {transparent}{\big )}\;$
$\;f(t)\;$
$\;t$
$\;\color {transparent}{\big$
$\color {transparent}{\big )}\;$
$\;\color {transparent}{f(t)}\;$
$\;\left]0\,;\,t_{0}\right]\;$
$\;\color {transparent}{\big$
$\color {transparent}{\big )}\;$
$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f(t)\right\rbrace =F(p)\;$
$\;p\;$
$\;\Re (p)>\alpha \;$
$\;\color {transparent}{\big$
$\color {transparent}{\big )}\;$
$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$
$\;\color {transparent}{\big$
$\color {transparent}{\big )}\;$
$\alpha \;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;f(t)\;$
$\;F(p)\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
Remarques : On prolonge la définition de la transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ inverse de Laplace d'une fonction complexe holomorphe dont l'originale est à support positif à celle Remarques : On prolonge la définition de la transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ inverse de Laplace d'une fonction complexe holomorphe dont l'originale est à support positif étendu à gauche de $\;0\;$ c.-à-d. de Remarques : On prolonge la définition de la transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ inverse de Laplace d'une fonction complexe holomorphe dont l'originale support $\;\left[0\,,\,+\infty \right[\;\cup \;{\mathcal {V}}(0^{-})\;$ ${\big \$avec $\;{\mathcal {V}}(0^{-})\;$ un Remarques : On prolonge la définition de la transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ inverse de Laplace d'une fonction complexe holomorphe dont l'originale voisinage ouvert à gauche de $\;0$, borné inférieurement, Remarques : On prolonge la définition de la transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ inverse de Laplace d'une fonction complexe holomorphe dont l'originale telle que la restriction de la fonction à $\;\left[0\,,\,+\infty \right[^{\,C}\;$ Remarques : On prolonge la définition de la transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ inverse de Laplace d'une fonction complexe holomorphe dont l'originale dans $\;{\mathcal {V}}(0^{-})\;$ est indéfiniment dérivable et Remarques : On prolonge la définition de la transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ inverse de Laplace d'une fonction complexe holomorphe dont l'originale est une distribution $\;{\big$l'intégrale de définition Remarques : On prolonge la définition de la transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ inverse de Laplace d'une fonction complexe holomorphe dont l'originale de sa transformée de Laplace convergeant${\big )}$.
Remarques : Dans le domaine d'holomorphie de $\;F(p)\;$ il peut y avoir des valeurs de $\;p\;$ isolées pour lesquelles $\;F(p)\;$ est discontinue de 1ère ou 2ème espèce, dans ce dernier cas Remarques : Dans le domaine d'holomorphie de $\;\color {transparent}{F(p)}\;$ il peut y avoir des valeurs de $\;\color {transparent}{p}\;$ isolées pour lesquelles $\;\color {transparent}{F(p)}\;$ est discontinue de 1ère ou $F(p)\;$ est alors une distribution holomorphe.

### Théorème d'unicité des transformées (monolatérales) inverses de Laplace

La transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ inverse de Laplace d'une fonction $\;{\big$ou distribution${\big )}\;$ complexe holomorphe La transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ inverse de Laplace est unique en dehors des éventuels points de discontinuité.

### Linéarité de la transformation (monolatérale) inverse de Laplace

Soient «$\;F_{1}(p)\;$ et $\;F_{2}(p)\;$ deux fonctions $\;{\big$ou distributions${\big )}\;$ complexes holomorphes » admettant pour « transformées $\;{\big$monolatérales${\big )}\;$ inverses de Laplace respectives Soient «$\;\color {transparent}{F_{1}(p)}\;$ et $\;\color {transparent}{F_{2}(p)}\;$ deux fonctions $\;\color {transparent}{\big$ou distributions$\color {transparent}{\big )}\;$ complexes holomorphes » admettant pour « transformées $\;\color {transparent}{\big$monolatérales$\color {transparent}{\big )}\;$ inverses de Laplace $\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace F_{1}(p)\right\rbrace \;$ et $\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace F_{2}(p)\right\rbrace \;$», Soit avec «$\;\alpha =\max \left\lbrace \alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right\rbrace \;$ la plus grande des abscisses de convergence » des deux transformées $\;{\big$monolatérales${\big )}\;$ de Laplace et Soient «$\;a\;$ un réel non nul quelconque »,
on démontre les propriétés suivantes $\;{\big \$ces démonstrations utilisent la linéarité de l'intégration permettant de passer de la fonction $\;{\big$ou distribution${\big )}\;$ à sa transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace${\big \}$ : on démontre les propriétés suivantes «$\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace F_{1}(p)+F_{2}(p)\right\rbrace ={\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace F_{1}(p)\right\rbrace +{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace F_{2}(p)\right\rbrace \;$» pour «$\;\Re (p)>\alpha \;$» et on démontre les propriétés suivantes «$\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace a\;F_{1}(p)\right\rbrace =a\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace F_{1}(p)\right\rbrace \;$ pour $\;\Re (p)>\alpha _{1}\;$» ou on démontre les propriétés suivantes «$\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace a\;F_{2}(p)\right\rbrace =a\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace F_{2}(p)\right\rbrace \;$ pour $\;\Re (p)>\alpha _{2}\;$».

### Méthode analytique de calcul de la transformée (monolatérale) inverse de Laplace de la fonction (ou distribution) F(p) holomorphe sur son domaine de définition

Il n'existe pas de formule analytique générale permettant de calculer $\;f(t)\;$ connaissant $\;F(p)\;$ car, pour une fonction $\;{\big$ou distribution${\big )}$ $\;F(p)$, Il n'existe pas de formule analytique générale permettant de calculer la fonction $\;{\big$ou distribution${\big )}$ $\;f(t)\;$ correspondante ne fait vraisemblablement pas partie des fonctions usuelles et même Il n'existe pas de formule analytique générale permettant de calculer la fonction $\;\color {transparent}{\big$ou distribution$\color {transparent}{\big )}$ sa définition peut nécessiter une forme intégrale $\;{\big$ou un développement en série${\big )}$ $\;\ldots$
Une façon de définir l'originale de la fonction $\;{\big$ou distribution${\big )}$ $\;F(p)\;$ holomorphe sur son domaine de définition est «$\;f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\lbrace F(p)\right\rbrace ={\dfrac {1}{2\;\pi \;i}}\;\displaystyle \int _{\gamma \,-\,i\,\infty }^{\gamma \,+\,i\,\infty }\exp(p\,t)\;F(p)\;dp\;$» où Une façon de définir l'originale de la fonction $\;\color {transparent}{\big$ou distribution$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{F(p)}\;$ holomorphe sur son domaine de définition est «$\;\color {transparent}{f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\lbrace F(p)\right\rbrace }$ $\;\gamma \in \mathbb {R} \;$ est choisi tel que l'intégrale soit convergente.

### Méthode pratique de recherche de la transformée (monolatérale) inverse de Laplace d'une fonction rationnelle F(p) dont le numérateur est de degré inférieur à celui du dénominateur

Préliminaire : une fonction $\;F(p)\;$ complexe de la variable $\;p\;$ complexe est dite rationnelle si elle est un rapport de fonctions polynômes à valeurs dans $\;\mathbb {C}$ ; Préliminaire : si $\;P\;$ et $\;Q\;$ sont deux fonctions polynômes non identiquement nulles, « la fonction $\;F={\dfrac {P}{Q}}\;$ est définie pour tout $\;p\;$ tel que $\;Q(p)\neq 0\;$ par $\;F(p)={\dfrac {P(p)}{Q(p)}}\;$».
Soit « la fonction complexe rationnelle $\;F(p)={\dfrac {P(p)}{Q(p)}}\;$ telle que les polynômes $\;P\;$ et $\;Q\;$ sont à cœfficients réels avec le degré de $\;P(p)\;$ $<\;$ au degré de $\;Q(p)\;$», cette fonction effectivement « holomorphe sur $\;\mathbb {C} \;$ privé des valeurs de $\;p\;$ qui annulent $\;Q(p)\;$», « admet une transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ inverse de Laplace $\;f(t)=$ ${\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace F(p\right\rbrace \;$».

#### Exposé de la méthode de recherche de la transformée (monolatérale) inverse de Laplace d'une fonction rationnelle F(p) dont le numérateur est de degré inférieur à celui du dénominateur

Soit «$\;F(p)={\dfrac {P(p)}{Q(p)}}\;$ écrite sous forme normalisée » avec «$\;P\;$ et $\;Q\;$ à cœfficients réels et $\;\mathrm {deg} \left[P\right]<\mathrm {deg} \left[Q\right]\;$», Soit «$\;\color {transparent}{F(p)=P(p)}\;$ la méthode pour déterminer $\;f(t)$, transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ inverse de Laplace de $\;F(p)={\dfrac {P(p)}{Q(p)}}\;$ est la suivante : Soit «$\;\color {transparent}{F(p)=P(p)}\;$ la méthode pour déterminer $\;\color {transparent}{f(t)}$, $\bullet \;$rechercher les « zéros $\;z_{k}\;$» $\;{\big$racines complexes de $\;P(p){\big ]}\;$ et les « pôles $\;q_{l}\;$» $\;{\big$racines complexes de $\;Q(p){\big ]}\;$ pour écrire Soit «$\;\color {transparent}{F(p)=P(p)}\;$ la méthode pour déterminer $\;\color {transparent}{f(t)}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;P(p)=A\;\prod \limits _{k}\left(p-z_{k}\right)\;$» ainsi que «$\;Q(p)=\prod \limits _{l}\left(p-q_{l}\right)\;$» d'où «$\;F(p)=A\;{\dfrac {\prod \limits _{k}\left(p-z_{k}\right)}{\prod \limits _{l}\left(p-q_{l}\right)}}\;$»$^,$ Soit «$\;\color {transparent}{F(p)=P(p)}\;$ la méthode pour déterminer $\;\color {transparent}{f(t)}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$après avoir fait les simplifications éventuelles de façon à ce que la fonction rationnelle soit irréductible, puis Soit «$\;\color {transparent}{F(p)=P(p)}\;$ la méthode pour déterminer $\;\color {transparent}{f(t)}$, $\bullet \;$décomposer la fonction rationnelle irréductible en éléments simples soit, dans le cas où tous les pôles sont réels et simples, Soit «$\;\color {transparent}{F(p)=P(p)}\;$ la méthode pour déterminer $\;\color {transparent}{f(t)}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;F(p)=A\;\sum \limits _{l}{\dfrac {\rho _{l}}{p-q_{l}}}\;$ avec $\;\rho _{l}\in \mathbb {R} ^{*}\;$ constantes à déterminer »$^,$ et enfin, Soit «$\;\color {transparent}{F(p)=P(p)}\;$ la méthode pour déterminer $\;\color {transparent}{f(t)}$, $\bullet \;$utiliser les connaissances ou un formulaire pour déterminer les originales des éléments simples de réduction comme par exemple Soit «$\;\color {transparent}{F(p)=P(p)}\;$ la méthode pour déterminer $\;\color {transparent}{f(t)}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {\rho _{l}}{p-q_{l}}}\right\rbrace =\rho _{l}\;\exp(q_{l}\,t)\;Y(t)\;$ si $\;\Re (p)>q_{l}\;$» et donc, dans le cas où tous les pôles sont réels et simples, Soit «$\;\color {transparent}{F(p)=P(p)}\;$ la méthode pour déterminer $\;\color {transparent}{f(t)}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace F(p)\right\rbrace =A\left[\sum \limits _{l}\rho _{l}\;\exp(q_{l}\,t)\right]Y(t)\;$ si $\;\Re (p)>\max \limits _{l}q_{l}\;$» $^,$.

#### Exemple de détermination de la transformée (monolatérale) inverse de Laplace d'une fonction complexe rationnelle holomorphe possédant uniquement des pôles réels simples

Soit à « déterminer l'originale $\;f(t)\;$ de $\;F(p)={\dfrac {p+1}{p^{2}+5\,p+6}}\;$ par transformation $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ inverse de Laplace », pour cela Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\bullet \;$déterminer les zéros de la fonction rationnelle soit « un zéro $\;z_{1}=-1\;$» ainsi que Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$déterminer les pôles de cette dernière c.-à-d. les solutions de $\;p^{2}+5\,p+6=0\;$ de discriminant $\;\Delta =5^{2}-4\times 6=1>0\;$ $\Rightarrow$ Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$déterminer les pôles de cette dernière c.-à-d. « deux pôles réels et simples $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}q_{1}={\dfrac {-5+{\sqrt {1}}}{2}}=-2\\q_{2}={\dfrac {-5-{\sqrt {1}}}{2}}=-3\end{array}}\right\rbrace \;$» puis Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\bullet \;$déduire la « forme normalisée irréductible de la fonction complexe rationnelle holomorphe $\;F(p)={\dfrac {p+1}{(p+2)\;(p+3)}}\;$» pour Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\bullet \;$la décomposer en éléments simples irréductibles «$\;F(p)={\dfrac {p+1}{(p+2)\;(p+3)}}={\dfrac {\rho _{1}}{p+2}}+{\dfrac {\rho _{2}}{p+3}}\;$» Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$la décomposer en éléments simples irréductibles $\;{\big$les constantes $\;\rho _{1}\;$ et $\;\rho _{2}\;$ restant à évaluer${\big ]}$, Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$la décomposer $\succ \;$la constante $\;\rho _{1}\;$ se déterminant en multipliant de part et d'autre par $\;p+2\;$ et en y faisant $\;p=-2\;$ soit Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$la décomposer $\color {transparent}{\succ }\;$$\left[{\dfrac {p+1}{p+3}}\right]_{\!p=-2}=\rho _{1}\;{\cancel {+\left[{\dfrac {\rho _{2}\;(p+2)}{p+3}}\right]_{\!p=-2}}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;\rho _{1}=-1\;$» et Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$la décomposer $\succ \;$la constante $\;\rho _{2}\;$ se déterminant en multipliant de part et d'autre par $\;p+3\;$ et en y faisant $\;p=-3\;$ soit Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$la décomposer $\color {transparent}{\succ }\;$$\left[{\dfrac {p+1}{p+2}}\right]_{\!p=-3}={\cancel {\left[{\dfrac {\rho _{1}\;(p+3)}{p+2}}\right]_{\!p=-3}+}}\;\rho _{2}\;$ $\Rightarrow$ «$\;\rho _{2}=2\;$» soit finalement Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$la décomposer en éléments simples irréductibles «$\;F(p)=-{\dfrac {1}{p+2}}+{\dfrac {2}{p+3}}\;$» et Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\bullet \;$en déduire l'« originale $\;f(t)\;$ de $\;F(p)={\dfrac {p+1}{p^{2}+5\,p+6}}\;$ par transformation $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ inverse de Laplace » Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$en déduire l'originale «$\;f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace F(p)\right\rbrace =-{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{p+2}}\right\rbrace +2\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{p+3}}\right\rbrace \;$ soit Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$en déduire l'originale «$\;\color {transparent}{f(t)}$ $={\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {p+1}{p^{2}+5\,p+6}}\right\rbrace =\left[-\exp(-2\,t)+2\;\exp(-3\,t)\right]\,Y(t)\;$ si $\;\Re (p)>\max \left(-2\,;\,-3\right)=-2\;$».

#### Exemple de détermination de la transformée (monolatérale) inverse de Laplace d'une fonction complexe rationnelle holomorphe possédant uniquement des pôles réels dont un est multiple

Soit à « déterminer l'originale $\;f(t)\;$ de $\;F(p)={\dfrac {p+1}{p\,(p^{2}+4\,p+4)}}\;$ par transformation $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ inverse de Laplace », pour cela Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\bullet \;$déterminer les zéros de la fonction rationnelle soit « un zéro $\;z_{1}=-1\;$» ainsi que Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$déterminer les pôles de cette dernière c.-à-d. les solutions de $\;p\,(p^{2}+4\,p+4)=0\;$ donnant Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$déterminer les pôles de cette dernière c.-à-d. « un 1er pôle réel simple $\;q_{1}=0\;$» et Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$déterminer les pôles de cette dernière c.-à-d. « d'autres pôles racines de $\;p^{2}+4\,p+4=0\;$ équation du 2ème degré Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$déterminer les pôles de cette dernière c.-à-d. « d'autres pôles racines de $\;\color {transparent}{p^{2}+4\,p+4=0}\;$ de discriminant réduit $\;\Delta '=2^{2}-4=0\;$ $\Rightarrow$ Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$déterminer les pôles de cette dernière c.-à-d. « un pôle réel double $\;q_{2}=-2\;$» puis Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\bullet \;$déduire la « forme normalisée irréductible de la fonction complexe rationnelle holomorphe $\;F(p)={\dfrac {p+1}{p\;(p+2)^{2}}}\;$» pour Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\bullet \;$la décomposer en éléments simples irréductibles «$\;F(p)={\dfrac {p+1}{p\;(p+2)^{2}}}={\dfrac {\rho _{1}}{p}}+{\dfrac {\rho _{2}}{(p+2)^{2}}}+{\dfrac {{\rho '}_{\!2}}{p+2}}\;$» Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$la décomposer en éléments simples irréductibles $\;{\big$les constantes $\;\rho _{1}$, $\;\rho _{2}\;$ et $\;{\rho '}_{\!2}\;$ restant à évaluer$^,$${\big ]}$, Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$la décomposer $\succ \;$la constante $\;\rho _{1}\;$ se déterminant en multipliant de part et d'autre par $\;p\;$ et en y faisant $\;p=0\;$ soit Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$la décomposer $\color {transparent}{\succ }\;$$\left[{\dfrac {p+1}{(p+2)^{2}}}\right]_{\!p=0}=\rho _{1}\;{\cancel {+\left[{\dfrac {\rho _{2}\;p}{(p+2)^{2}}}\right]_{\!p=0}+\left[{\dfrac {{\rho '}_{2}\;p}{p+2}}\right]_{\!p=0}}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;\rho _{1}={\dfrac {1}{4}}\;$», Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$la décomposer $\succ \;$la constante $\;\rho _{2}\;$ se déterminant en multipliant de part et d'autre par $\;(p+2)^{2}\;$ et en y faisant $\;p=-2\;$ soit Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$la décomposer $\color {transparent}{\succ }\;$$\left[{\dfrac {p+1}{p}}\right]_{\!p=-2}={\cancel {\left[{\dfrac {\rho _{1}\;(p+2)^{2}}{p}}\right]_{\!p=-2}+}}\;\rho _{2}\;{\cancel {+\left[{\rho '}_{2}\;(p+2)\right]_{p=-2}}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;\rho _{2}={\dfrac {1}{2}}\;$» et Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$la décomposer $\succ \;$la constante $\;{\rho '}_{2}\;$ se déterminant en multipliant de part et d'autre par $\;p+2\;$ et en y faisant $\;p\rightarrow \infty \;$ soit Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$la décomposer $\color {transparent}{\succ }\;$${\cancel {\left[{\dfrac {p+1}{p\,(p+2)}}\right]_{\!p\rightarrow \infty }}}\;=\left[{\dfrac {\rho _{1}\;(p+2)}{p}}\right]_{\!p\rightarrow \infty }\;{\cancel {+\left[{\dfrac {\rho _{2}}{p+2}}\right]_{\!p\rightarrow \infty }+}}\;{\rho '}_{2}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\rho '}_{2}=-\rho _{1}\;$ c.-à-d., avec $\;\rho _{1}={\dfrac {1}{4}}$, «$\;{\rho '}_{2}=-{\dfrac {1}{4}}\;$» Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$la décomposer en éléments simples soit finalement «$\;F(p)={\dfrac {1}{4\;p}}+{\dfrac {1}{2\,(p+2)^{2}}}-{\dfrac {1}{4\,(p+2)}}\;$» et Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\bullet \;$en déduire l'« originale $\;f(t)\;$ de $\;F(p)={\dfrac {p+1}{p\,(p^{2}+4\,p+4)}}\;$ par transformation $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ inverse de Laplace » Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$en déduire l'originale «$\;f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace F(p)\right\rbrace ={\dfrac {1}{4}}\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{p}}\right\rbrace +{\dfrac {1}{2}}\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{(p+2)^{2}}}\right\rbrace -{\dfrac {1}{4}}\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{p+2}}\right\rbrace \;$ soit Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$en déduire l'originale «$\;\color {transparent}{f(t)}$ $={\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {p+1}{p\,(p^{2}+4\,p+4)}}\right\rbrace ={\dfrac {1}{4}}\left[1+2\;t\;\exp(-2\,t)-\exp(-2\,t)\right]\,Y(t)\;$$^,$ si $\;\Re (p)>\max \left(0\,;\,-2\right)\;$ Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$en déduire l'originale «$\;\color {transparent}{f(t)}$ $\color {transparent}{={\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace p\,(p^{2}+4\,p+4)\right\rbrace =1\left[1+2\;t\;\exp(-2\,t)-\exp(-2\,t)\right]\,Y(t)}\;$ ou $\;\Re (p)>0\;$».

#### Exemple de détermination de la transformée (monolatérale) inverse de Laplace d'une fonction complexe rationnelle holomorphe possédant des pôles complexes conjugués

Soit à « déterminer l'originale $\;f(t)\;$ de $\;F(p)={\dfrac {p+1}{p\,(p^{2}+p+2)}}\;$ par transformation $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ inverse de Laplace », pour cela Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\bullet \;$déterminer les zéros de la fonction rationnelle soit « un zéro $\;z_{1}=-1\;$» ainsi que Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$déterminer les pôles de cette dernière c.-à-d. les solutions de $\;p\,(p^{2}+4\,p+4)=0\;$ donnant Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$déterminer les pôles de cette dernière c.-à-d. « un 1er pôle réel simple $\;q_{1}=0\;$» et Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$déterminer les pôles de cette dernière c.-à-d. « d'autres pôles racines de $\;p^{2}+p+2=0\;$ équation du 2ème degré Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$déterminer les pôles de cette dernière c.-à-d. « d'autres pôles racines de $\;\color {transparent}{p^{2}+p+2=0}\;$ de discriminant $\;\Delta =1^{2}-4\times 2=-7<0\;$ $\Rightarrow$ Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$déterminer les pôles de cette dernière c.-à-d. « deux pôles complexes conjugués qu'il n'est pas utiles de déterminer » puis Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\bullet \;$déduire la « forme normalisée irréductible de la fonction complexe rationnelle holomorphe $\;F(p)={\dfrac {p+1}{p\;(p^{2}+p+2)}}\;$» pour Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\bullet \;$la décomposer en éléments simples irréductibles «$\;F(p)={\dfrac {p+1}{p\;(p^{2}+p+2)}}={\dfrac {\rho _{1}}{p}}+{\dfrac {\rho _{2}\;p+{\rho '}_{2}}{p^{2}+p+2}}\;$» Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$la décomposer en éléments simples irréductibles $\;{\big$les constantes $\;\rho _{1}$, $\;\rho _{2}\;$ et $\;{\rho '}_{\!2}\;$ restant à évaluer$^,$${\big ]}$, Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$la décomposer $\succ \;$la constante $\;\rho _{1}\;$ se déterminant en multipliant de part et d'autre par $\;p\;$ et en y faisant $\;p=0\;$ soit Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$la décomposer $\color {transparent}{\succ }\;$$\left[{\dfrac {p+1}{p^{2}+p+2}}\right]_{\!p=0}=\rho _{1}\;{\cancel {+\left[{\dfrac {\left(\rho _{2}\;p+{\rho '}_{2}\right)\,p}{p^{2}+p+2}}\right]_{\!p=0}}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;\rho _{1}={\dfrac {1}{2}}\;$», Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$la décomposer $\succ \;$la constante $\;\rho _{2}\;$ se déterminant en multipliant de part et d'autre par $\;p\;$ et en y faisant $\;p\rightarrow \infty \;$ soit Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$la décomposer $\color {transparent}{\succ }\;$${\cancel {\left[{\dfrac {p+1}{p^{2}+p+2}}\right]_{\!p\rightarrow \infty }}}=\rho _{1}\;+\left[{\dfrac {\left(\rho _{2}\;p+{\rho '}_{2}\right)\,p}{p^{2}+p+2}}\right]_{\!p\rightarrow \infty }\;$ $\Rightarrow$ $\;\rho _{2}=-\rho _{1}\;$ $\Rightarrow$ «$\;\rho _{2}=-{\dfrac {1}{2}}\;$» et Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$la décomposer $\succ \;$la constante $\;{\rho '}_{2}\;$ se déterminant en donnant une valeur particulière à $\;p\;$ par exemple $\;p=-1\;$ soit Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$la décomposer $\color {transparent}{\succ }\;$${\cancel {\left[{\dfrac {p+1}{p\;(p^{2}+p+2)}}\right]_{\!p=-1}}}=\left[{\dfrac {\rho _{1}}{p}}+{\dfrac {\rho _{2}\;p+{\rho '}_{2}}{p^{2}+p+2}}\right]_{\!p=-1}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {{\rho '}_{2}}{2}}=\rho _{1}+{\dfrac {\rho _{2}}{2}}={\dfrac {\rho _{1}}{2}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\rho '}_{2}=\rho _{1}\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\rho '}_{2}={\dfrac {1}{2}}\;$» Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$la décomposer en éléments simples soit finalement «$\;F(p)={\dfrac {1}{2\;p}}-{\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {p-1}{p^{2}+p+2}}\;$» et Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\bullet \;$en déduire l'« originale $\;f(t)\;$ de $\;F(p)={\dfrac {p+1}{p\,(p^{2}+p+2)}}\;$ par transformation $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ inverse de Laplace » Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$en déduire l'originale «$\;f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace F(p)\right\rbrace ={\dfrac {1}{2}}\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{p}}\right\rbrace -{\dfrac {1}{2}}\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {p-1}{p^{2}+p+2}}\right\rbrace \;$ » $\;{\Bigg \\!$à ce stade il devient utile de réécrire le Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$en déduire l'originale « 2ème élément simple correspondant aux pôles complexes conjugués de façon à utiliser les transformées $\;{\big$monolatérales${\big )}\;$ Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$en déduire l'originale « inverses de Laplace «$\;\left[{\begin{array}{c}{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {p+a}{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\right\rbrace =\exp(-a\,t)\;\cos(\omega \,t)\\{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {\omega }{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\right\rbrace =\exp(-a\,t)\;\sin(\omega \,t)\end{array}}\right]\;$» soit, le dénominateur de ce 2ème Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$en déduire l'originale « élément simple se réécrivant selon «$\;p^{2}+p+2=\left(p+{\dfrac {1}{2}}\right)^{\!2}-{\dfrac {1}{4}}+2=\left(p+{\dfrac {1}{2}}\right)^{\!2}+\left({\dfrac {\sqrt {7}}{2}}\right)^{\!2}\;$» induisant Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$en déduire l'originale « $\left[{\begin{array}{c}a={\dfrac {1}{2}}\\\omega ={\dfrac {\sqrt {7}}{2}}\end{array}}\right]$, suggérant la réécriture du numérateur de ce 2ème élément simple selon «$\;p-1=\left(p+{\dfrac {1}{2}}\right)-{\dfrac {3}{2}}\;$» Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$en déduire l'originale « soit «$\;p-1=\left(p+{\dfrac {1}{2}}\right)-{\dfrac {3}{\sqrt {7}}}\;{\dfrac {\sqrt {7}}{2}}\;$» d'où la réécriture de ce 2ème élément simple selon Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$en déduire l'originale « «$\;{\dfrac {p-1}{p^{2}+p+2}}={\dfrac {p+{\dfrac {1}{2}}}{\left(p+{\dfrac {1}{2}}\right)^{\!2}+\left({\dfrac {\sqrt {7}}{2}}\right)^{\!2}}}-{\dfrac {3}{\sqrt {7}}}\;{\dfrac {\dfrac {\sqrt {7}}{2}}{\left(p+{\dfrac {1}{2}}\right)^{\!2}+\left({\dfrac {\sqrt {7}}{2}}\right)^{\!2}}}\;$»${\Bigg \}$ soit, avec «$\;f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace F(p)\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$en déduire l'originale «$\;f(t)={\dfrac {1}{2}}\left[{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{p}}\right\rbrace -{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {p+{\dfrac {1}{2}}}{\left(p+{\dfrac {1}{2}}\right)^{\!2}+\left({\dfrac {\sqrt {7}}{2}}\right)^{\!2}}}\right\rbrace +{\dfrac {3}{\sqrt {7}}}\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {\dfrac {\sqrt {7}}{2}}{\left(p+{\dfrac {1}{2}}\right)^{\!2}+\left({\dfrac {\sqrt {7}}{2}}\right)^{\!2}}}\right\rbrace \right]\;$» ou Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$en déduire l'originale «$\;f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace F(p)\right\rbrace ={\dfrac {1}{2}}\left[1-\exp \!\left(-{\dfrac {1}{2}}\;t\right)\,\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {7}}{2}}\;t\right)+{\dfrac {3}{\sqrt {7}}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {1}{2}}\;t\right)\,\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {7}}{2}}\;t\right)\right]\,Y(t)\;$»$^,$ Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$en déduire l'originale «$\;\color {transparent}{f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace F(p)\right\rbrace =}$ sous la condition $\;\Re (p)>\max \left(0\,;\,-{\dfrac {1}{2}}\right)=0\;$».
Remarque : il est possible de mettre l'expression «$\;g(t)=\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {7}}{2}}\;t\right)-{\dfrac {3}{\sqrt {7}}}\;\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {7}}{2}}\;t\right)\;$» sous la forme «$\;g(t)=C\;\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {7}}{2}}\;t+\varphi \right)\;$» en posant Remarque : «$\;C={\sqrt {(1)^{2}+{\dfrac {(-3)^{2}}{7}}}}={\dfrac {4}{\sqrt {7}}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;g(t)={\dfrac {4}{\sqrt {7}}}\left[{\dfrac {\sqrt {7}}{4}}\;\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {7}}{2}}\;t\right)-{\dfrac {3}{4}}\;\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {7}}{2}}\;t\right)\right]\;$» puis Remarque : «$\left\lbrace {\begin{array}{c}\cos(\varphi )={\dfrac {\sqrt {7}}{4}}\\\sin(\varphi )={\dfrac {3}{4}}\end{array}}\right\rbrace \;$» correspondant à «$\;\varphi =\arctan \!\left({\dfrac {3}{\sqrt {7}}}\right)\;$» $\Rightarrow$ «$\;g(t)={\dfrac {4}{\sqrt {7}}}\;\cos \!\left[{\dfrac {\sqrt {7}}{2}}\;t+\arctan \!\left({\dfrac {3}{\sqrt {7}}}\right)\right]\;$» Remarque : permettant de réécrire l'« originale de $\;F(p)={\dfrac {p+1}{p\;(p^{2}+p+2)}}\;$» par transformation $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace sous la forme Remarque : permettant de réécrire l'« originale «$\;f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {p+1}{p\,(p^{2}+p+2)}}\right\rbrace ={\dfrac {1}{2}}\left\lbrace 1-{\dfrac {4}{\sqrt {7}}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {1}{2}}\;t\right)\,\cos \!\left[{\dfrac {\sqrt {7}}{2}}\;t+\arctan \!\left({\dfrac {3}{\sqrt {7}}}\right)\right]\right\rbrace \,Y(t)\;$» si $\;\Re (p)>0\;$ ou numériquement Remarque : permettant de réécrire l'« originale «$\;f(t)\simeq {\dfrac {1}{2}}\left[1-1,512\;\exp \!\left(-0,5\;t\right)\,\cos \!\left(1,323\;t+0,848\right)\right]\,Y(t)\;$» sous la condition $\;\Re (p)>0$.

## Théorèmes aux limites applicables dans la transformation (monolatérale) de Laplace
### Théorème de la valeur initiale dans la transformation (monolatérale) de Laplace
#### Énoncé du théorème de la valeur initiale dans la transformation (monolatérale) de Laplace

Soit une « fonction réelle causale$^,$ $\;f(t)\;$ de la variable réelle $\;t\;$», Soit une « fonction réelle causale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ convergeant en $\;t=0\;$ et Soit une « fonction réelle causale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ telle qu'une transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace «$\;F(p)={\mathcal {L}}\!\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$» Soit une « fonction réelle causale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ telle qu'une d'abscisse de convergence $\;\alpha \in \mathbb {R} \,\cup \,-\infty \;$ lui est associée, nous admettons la propriété suivante «$\;\lim \limits _{t\,\rightarrow \,0^{+}}\!\left[f(t)\right]=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }\;$».

#### Vérification du théorème de la valeur initiale dans la transformation (monolatérale) de Laplace sur des exemples

À défaut de démonstration, on peut vérifier le « théorème de la valeur initiale » sur des exemples :
* « fonction de Heaviside $\;{\big$ou échelon unité${\big )}$ $\;f(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}1\;{\text{si}}\;t>0\\0\;{\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace \;$» de « transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;F(p)={\dfrac {1}{p}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$», « fonction de Heaviside $\;\color {transparent}{\big$ou échelon unité$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{f(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}1\;{\text{si}}\;t>0\\0\;{\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace }\;$» on vérifie que «$\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=1=f(0^{+})\;$»,
* « fonction rampe $\;f(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}a\;t\;{\text{si}}\;t\geqslant 0\\0\quad {\text{si}}\;t\leqslant 0\end{array}}\right\rbrace \;$» de « transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;F(p)={\dfrac {a}{p^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$», « fonction rampe $\;\color {transparent}{f(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}a\;t\;{\text{si}}\;t\geqslant 0\\0\quad {\text{si}}\;t\leqslant 0\end{array}}\right\rbrace }\;$» on vérifie que $\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=0=f(0^{+})\;$»,
* « fonction exponentielle réelle $\;f(t)=\exp(-a\,t)\;Y(t)\;$ avec $\;a\in \mathbb {R} ^{*}\;$» de « transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;F(p)={\dfrac {1}{p+a}}\;$ pour $\;\Re (p)>-a\;$», « fonction exponentielle réelle $\;\color {transparent}{f(t)=\exp(-a\,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{a\in \mathbb {R} ^{*}}\;$» on vérifie que «$\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=1=f(0^{+})\;$»,
* « fonction cosinusoïdale $\;f(t)=\cos(\omega \,t)\;Y(t)\;$ avec $\;\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\;$» de « transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;F(p)={\dfrac {p}{p^{2}+\omega ^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$», « fonction cosinusoïdale $\;\color {transparent}{f(t)=\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$» avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» on vérifie que «$\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=1=f(0^{+})\;$»,
* « fonction sinusoïdale $\;f(t)=\sin(\omega \,t)\;Y(t)\;$ avec $\;\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\;$» de « transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;F(p)={\dfrac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$», « fonction sinusoïdale $\;\color {transparent}{f(t)=\sin(\omega \,t)\;Y(t)}\;$» avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» on vérifie que «$\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=0=f(0^{+})\;$»,
* « fonction cosinusoïdale amortie exponentiellement $\;f(t)=\exp(-a\,t)\;\cos(\omega \,t)\;Y(t)\;$ avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\\a\in \mathbb {R} _{+}^{*}\end{array}}\right\rbrace \;$» de « transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;F(p)={\dfrac {p+a}{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\;$ « fonction cosinusoïdale amortie exponentiellement $\;\color {transparent}{f(t)=\exp(-a\,t)\;\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$» avec $\;\color {transparent}{\left\lbrace \omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\right\rbrace }\;$» de « transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace pour $\;\Re (p)>-a\;$», « fonction cosinusoïdale amortie exponentiellement $\;\color {transparent}{f(t)=\exp(-a\,t)\;\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$» avec $\;\color {transparent}{\left\lbrace \omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\right\rbrace }\;$» on vérifie que «$\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=1=f(0^{+})\;$» et
* « fonction sinusoïdale amortie exponentiellement $\;f(t)=\exp(-a\,t)\;\sin(\omega \,t)\;Y(t)\;$ avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\\a\in \mathbb {R} _{+}^{*}\end{array}}\right\rbrace \;$» de « transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;F(p)={\dfrac {\omega }{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\;$ « fonction sinusoïdale amortie exponentiellement $\;\color {transparent}{f(t)=\exp(-a\,t)\;\sin(\omega \,t)\;Y(t)}\;$» avec $\;\color {transparent}{\left\lbrace \omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\right\rbrace }\;$» de « transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace pour $\;\Re (p)>-a\;$», « fonction sinusoïdale amortie exponentiellement $\;\color {transparent}{f(t)=\exp(-a\,t)\;\sin(\omega \,t)\;Y(t)}\;$» avec $\;\color {transparent}{\left\lbrace \omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\right\rbrace }\;$» on vérifie que «$\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=0=f(0^{+})\;$»
* $\;\ldots$

#### Généralisation à la détermination de la valeur initiale de la dérivée temporelle dans la transformation (monolatérale) de Laplace

Soit une « fonction réelle causale$^,$ $\;f(t)\;$ et sa dérivée temporelle $\;{\dot {f}}(t)\;$ de la variable réelle $\;t\;$», Soit une « fonction réelle causale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ et sa dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)}\;$ convergeant toutes deux en $\;t=0\;$ et Soit une « fonction réelle causale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ et sa dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)}\;$ telle qu'une transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Soit une « fonction réelle causale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ et sa dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)}\;$ Laplace leur est respectivement associée soit Soit une « fonction réelle causale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ et sa dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)}\;$ $\bullet \;$«$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f(t)\right\rbrace =F(p)\;$» d'abscisse de convergence Soit une « fonction réelle causale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ et sa dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\alpha \in \mathbb {R} \,\cup \,-\infty \;$ et Soit une « fonction réelle causale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ et sa dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)}\;$ $\bullet \;$«$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace =p\;F(p)-f(0^{+})$» d'abscisse Soit une « fonction réelle causale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ et sa dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$«de convergence $\;\alpha \in \mathbb {R} \,\cup \,-\infty \;$, nous admettons la validité de la propriété suivante «$\;\lim \limits _{t\,\rightarrow \,0^{+}}\!\left[{\dot {f}}(t)\right]=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p^{2}\;F(p)-p\;f(0^{+})\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }$».

#### Application à la détermination de la valeur initiale de la dérivée temporelle dans la transformation (monolatérale) de Laplace sur des exemples

Reprenant les exemples des fonctions usuelles ayant servi à vérifier le théorème de la valeur initiale Reprenant les exemples des fonctions usuelles à l'exception de la fonction de Heaviside $\;{\big$car sa dérivée diverge en $\;t=0{\big )}\;$ Reprenant les exemples des fonctions usuelles pour justifier la validité de la détermination de la valeur initiale de la dérivée temporelle utilisant la transformation $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace :
* « fonction rampe $\;f(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}a\;t\;{\text{si}}\;t\geqslant 0\\0\quad {\text{si}}\;t\leqslant 0\end{array}}\right\rbrace \;$» $\;{\big$«$\;f(0^{+})=0\;$»${\big ]}\;$ de « transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;F(p)={\dfrac {a}{p^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$», de « dérivée temporelle $\;{\dot {f}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}a\quad {\text{si}}\;t>0\\0\quad {\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace \;$ ${\big$discontinue de 1ère espèce en $\;t=0\;$${\big )}\;$» de « transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;G(p)=p\;F(p)\;$ $={\dfrac {a}{p}}\;$ « dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)=\left\lbrace a\quad {\text{si}}\;t>0\right\rbrace }\;$ $\color {transparent}{\big$discontinue de 1ère espèce en $\;\color {transparent}{t=0}\;$$\color {transparent}{\big )}\;$» de « transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace $\;\color {transparent}{G(p)=p\;F(p)}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$ » « dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}a\quad {\text{si}}\;t>0\\0\quad {\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace }\;$ $\color {transparent}{\big$discontinue de 1ère espèce en $\;\color {transparent}{t=0}\;$$\color {transparent}{\big )}\;$» on vérifie que «$\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p^{2}\;F(p)\;{\cancel {-p\;f(0^{+})}}\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=a={\dot {f}}(0^{+})\;$»,
* « fonction exponentielle réelle $\;f(t)=\exp(-a\,t)\;Y(t)=\left\lbrace {\begin{array}{c l}\exp(-a\,t)\!\!&{\text{si}}\;t>0\\0\!\!&{\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace \;$ avec $\;a\in \mathbb {R} ^{*}\;$» $\;{\big$«$\;f(0^{+})=1\;$»${\big ]}\;$ de « transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;F(p)={\dfrac {1}{p+a}}\;$ pour « fonction exponentielle réelle $\;\color {transparent}{f(t)=\exp(-a\,t)\;Y(t)=\left\lbrace \exp(-a\,t)\!\!{\text{si}}\;t>0\right\rbrace }\;$ avec $\;\color {transparent}{a\in \mathbb {R} ^{*}}\;$» $\;\color {transparent}{\big$«$\;\color {transparent}{f(0^{+})=1}\;$»$\color {transparent}{\big ]}\;$ de « transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace $\;\Re (p)>-a\;$», de « dérivée temporelle $\;{\dot {f}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{c l}-a\;\exp(-a\,t)\!\!&{\text{si}}\;t>0\\0\!\!&{\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace =-a\;\exp(-a\,t)\;Y(t)\;$ ${\big$discontinue de 1ère espèce en $\;t=0\;$${\big )}\;$», de « transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;G(p)=$ « dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)=\left\lbrace -a\;\exp(-a\,t)\!\!{\text{si}}\;t>0\right\rbrace =-a\;\exp(-a\,t)\;Y(t)}\;$ $\color {transparent}{\big$discontinue de 1ère espèce en $\;\color {transparent}{t=0}\;$$\color {transparent}{\big )}\;$», de « $p\;F(p)-1\;$ $={\dfrac {-a}{p+a}}\;$ pour $\;\Re (p)>-a\;$ » « dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)=\left\lbrace -a\;\exp(-a\,t)\!\!{\text{si}}\;t>0\right\rbrace =-a\;\exp(-a\,t)\;Y(t)}\;$ on vérifie que «$\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p^{2}\;F(p)-p\;f(0^{+})\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[{\dfrac {p^{2}}{p+a}}-p\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[{\dfrac {-p\;a)}{p+a}}\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }$ « dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)=\left\lbrace -a\;\exp(-a\,t)\!\!{\text{si}}\;t>0\right\rbrace =-a\;\exp(-a\,t)\;Y(t)}\;$ on vérifie que «$\;\color {transparent}{\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p^{2}\;F(p)-p\;f(0^{+})\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }}$ $=-a={\dot {f}}(0^{+})\;$»,
* « fonction cosinusoïdale $\;f(t)=\cos(\omega \,t)\;Y(t)=\left\lbrace {\begin{array}{c l}\cos(\omega \,t)\!\!&{\text{si}}\;t>0\\0\!\!&{\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace \;$ avec $\;\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\;$» $\;{\big$«$\;f(0^{+})=1\;$»${\big ]}\;$ de « transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;F(p)={\dfrac {p}{p^{2}+\omega ^{2}}}\;$ « fonction cosinusoïdale $\;\color {transparent}{f(t)=\cos(\omega \,t)\;Y(t)=\left\lbrace \cos(\omega \,t)\!\!{\text{si}}\;t>0\right\rbrace }\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» $\;\color {transparent}{\big$«$\;\color {transparent}{f(0^{+})=1}\;$»$\color {transparent}{\big ]}\;$ de « transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace pour $\;\Re (p)>0\;$», de « dérivée temporelle $\;{\dot {f}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{c l}-\omega \;\sin(\omega \,t)\!\!&{\text{si}}\;t>0\\0\!\!&{\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace =-\omega \;\sin(\omega \,t)\;Y(t)\;$ », de « transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;G(p)=p\;F(p)-1\;$ $={\dfrac {-\omega ^{2}}{p^{2}+\omega ^{2}}}\;$ « dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)=\left\lbrace -\omega \;\sin(\omega \,t)\!\!{\text{si}}\;t>0\right\rbrace =-\omega \;\sin(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ », de « transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace $\;\color {transparent}{G(p)=p\;F(p)-1}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$ » « dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)=\left\lbrace -\omega \;\sin(\omega \,t)\!\!{\text{si}}\;t>0\right\rbrace =-\omega \;\sin(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ on vérifie que «$\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p^{2}\;F(p)-p\;f(0^{+})\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[{\dfrac {p^{3}}{p^{2}+\omega ^{2}}}-p\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[{\dfrac {-p\;\omega ^{2}}{p^{2}+\omega ^{2}}}\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }$ « dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)=\left\lbrace -\omega \;\sin(\omega \,t)\!\!{\text{si}}\;t>0\right\rbrace =-\omega \;\sin(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ on vérifie que «$\;\color {transparent}{\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p^{2}\;F(p)-p\;f(0^{+})\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }}$ $=0={\dot {f}}(0^{+})\;$»,
* « fonction sinusoïdale $\;f(t)=\sin(\omega \,t)\;Y(t)=\left\lbrace {\begin{array}{c l}\sin(\omega \,t)\!\!&{\text{si}}\;t>0\\0\!\!&{\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace \;$ avec $\;\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\;$» $\;{\big$«$\;f(0^{+})=0\;$»${\big ]}\;$ de « transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;F(p)={\dfrac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}\;$ « fonction sinusoïdale $\;\color {transparent}{f(t)=\sin(\omega \,t)\;Y(t)=\left\lbrace \sin(\omega \,t)\!\!{\text{si}}\;t>0\right\rbrace }\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» $\;\color {transparent}{\big$«$\;\color {transparent}{f(0^{+})=0}\;$»$\color {transparent}{\big ]}\;$ de « transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace pour $\;\Re (p)>0\;$», de « dérivée temporelle $\;{\dot {f}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{c l}\omega \;\cos(\omega \,t)\!\!&{\text{si}}\;t>0\\0\!\!&{\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace =\omega \;\cos(\omega \,t)\;Y(t)\;$ ${\big \$discontinue de 1ère espèce${\big \}$», de « transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;G(p)=p\;F(p)\;$ « dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)=\left\lbrace \omega \;\cos(\omega \,t)\!\!{\text{si}}\;t>0\right\rbrace =\omega \;\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ », $\color {transparent}{\big \$discontinue de 1ère espèce$\color {transparent}{\big \}$», de « transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace $\;\color {transparent}{G(p)}\;$ $={\dfrac {p\;\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}\;$ « dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)=\left\lbrace \omega \;\cos(\omega \,t)\!\!{\text{si}}\;t>0\right\rbrace =\omega \;\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ », $\color {transparent}{\big \$discontinue de 1ère espèce$\color {transparent}{\big \}$», de « transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace $\;\color {transparent}{G(p)}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$ » « dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)=\left\lbrace \omega \;\cos(\omega \,t)\!\!{\text{si}}\;t>0\right\rbrace =\omega \;\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ on vérifie que «$\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p^{2}\;F(p)\;{\cancel {-p\;f(0^{+})}}\;\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[{\dfrac {p^{2}\;\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=\omega =$ ${\dot {f}}(0^{+})\;$»,
* « fonction cosinusoïdale amortie exponentiellement $\;f(t)=\exp(-a\,t)\;\cos(\omega \,t)\;Y(t)\;$ avec $\;\left\lbrace \!{\begin{array}{c}\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\\a\in \mathbb {R} _{+}^{*}\end{array}}\!\right\rbrace \;$» $\;{\big$«$\;f(0^{+})=1\;$»${\big ]}\;$ de « transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace « fonction cosinusoïdale amortie exponentiellement $\;\color {transparent}{f(t)=\exp(-a\,t)\;\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\left\lbrace \!\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\!\right\rbrace }\;$» $\;\color {transparent}{\big$«$\;\color {transparent}{f(0^{+})=1}\;$»$\color {transparent}{\big ]}\;$ de « $\;F(p)={\dfrac {p+a}{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>-a\;$», de « dérivée temporelle $\;{\dot {f}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{c l}\left[-a\;\cos(\omega \,t)-\omega \;\sin(\omega \,t)\right]\,\exp(-a\,t)\!\!&{\text{si}}\;t>0\\0\!\!&{\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace =\left[-a\;\cos(\omega \,t)-\omega \;\sin(\omega \,t)\right]\,\exp(-a\,t)\;Y(t)\;$ ${\big \$discontinue de 1ère espèce${\big \}$», « dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)=\left\lbrace \left[-a\;\cos(\omega \,t)-\omega \;\sin(\omega \,t)\right]\,\exp(-a\,t)\!\!{\text{si}}\;t>0\right\rbrace }$ de « transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;G(p)=p\;F(p)-f(0^{+})\;$ $=-{\dfrac {a\;(p+a)+\omega ^{2}}{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\;$ « dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)=\left\lbrace \left[-a\;\cos(\omega \,t)-\omega \;\sin(\omega \,t)\right]\,\exp(-a\,t)\!\!{\text{si}}\;t>0\right\rbrace }$ de « transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace $\;\color {transparent}{G(p)=}$ pour $\;\Re (p)>-a\;$ » « dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)=\left\lbrace \left[-a\;\cos(\omega \,t)-\omega \;\sin(\omega \,t)\right]\,\exp(-a\,t)\!\!{\text{si}}\;t>0\right\rbrace }$ on vérifie que «$\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p^{2}\;F(p)-p\;f(0^{+})\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[{\dfrac {p^{2}\,(p+a)}{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}-p\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }$ « dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)=\left\lbrace \left[-a\;\cos(\omega \,t)-\omega \;\sin(\omega \,t)\right]\,\exp(-a\,t)\!\!{\text{si}}\;t>0\right\rbrace }$ on vérifie que «$\;\color {transparent}{\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p^{2}\;F(p)-p\;f(0^{+})\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }}$ $=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[{\dfrac {p^{2}\,(p+a)-p\,(p+a)^{2}-p\;\omega ^{2}}{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }$ « dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)=\left\lbrace \left[-a\;\cos(\omega \,t)-\omega \;\sin(\omega \,t)\right]\,\exp(-a\,t)\!\!{\text{si}}\;t>0\right\rbrace }$ on vérifie que «$\;\color {transparent}{\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p^{2}\;F(p)-p\;f(0^{+})\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }}$ $=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[{\dfrac {-p^{2}\;a-p\,(a^{2}+\omega ^{2})}{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }$ « dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)=\left\lbrace \left[-a\;\cos(\omega \,t)-\omega \;\sin(\omega \,t)\right]\,\exp(-a\,t)\!\!{\text{si}}\;t>0\right\rbrace }$ on vérifie que «$\;\color {transparent}{\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p^{2}\;F(p)-p\;f(0^{+})\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }}$ $=-a={\dot {f}}(0^{+})\;$» et
* « fonction sinusoïdale amortie exponentiellement $\;f(t)=\exp(-a\,t)\;\sin(\omega \,t)\;Y(t)\;$ avec $\;\left\lbrace \!{\begin{array}{c}\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\\a\in \mathbb {R} _{+}^{*}\end{array}}\!\right\rbrace \;$» $\;{\big$«$\;f(0^{+})=0\;$»${\big ]}\;$ de « transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace « fonction sinusoïdale amortie exponentiellement $\;\color {transparent}{f(t)=\exp(-a\,t)\;\sin(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\left\lbrace \!\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\!\right\rbrace }\;$» $\;\color {transparent}{\big$«$\;\color {transparent}{f(0^{+})=0}\;$»$\color {transparent}{\big ]}\;$ de « $\;F(p)={\dfrac {\omega }{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>-a\;$», de « dérivée temporelle $\;{\dot {f}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{c l}\left[-a\;\sin(\omega \,t)+\omega \;\cos(\omega \,t)\right]\,\exp(-a\,t)\!\!&{\text{si}}\;t>0\\0\!\!&{\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace =\left[-a\;\sin(\omega \,t)+\omega \;\cos(\omega \,t)\right]\,\exp(-a\,t)\;Y(t)\;$ ${\big \$discontinue de 1ère espèce${\big \}$», « dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)=\left\lbrace \left[-a\;\sin(\omega \,t)+\omega \;\cos(\omega \,t)\right]\,\exp(-a\,t)\!\!{\text{si}}\;t>0\right\rbrace }$ de « transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;G(p)=p\;F(p)\;$ $={\dfrac {p\;\omega }{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\;$ « dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)=\left\lbrace \left[-a\;\sin(\omega \,t)+\omega \;\cos(\omega \,t)\right]\,\exp(-a\,t)\!\!{\text{si}}\;t>0\right\rbrace }$ de « transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace $\;\color {transparent}{G(p)=}$ pour $\;\Re (p)>-a\;$ » « dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)=\left\lbrace \left[-a\;\sin(\omega \,t)+\omega \;\cos(\omega \,t)\right]\,\exp(-a\,t)\!\!{\text{si}}\;t>0\right\rbrace }$ on vérifie que «$\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p^{2}\;F(p)-p\;f(0^{+})\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[{\dfrac {p^{2}\,\omega }{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }$ « dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)=\left\lbrace \left[-a\;\sin(\omega \,t)+\omega \;\cos(\omega \,t)\right]\,\exp(-a\,t)\!\!{\text{si}}\;t>0\right\rbrace }$ on vérifie que «$\;\color {transparent}{\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p^{2}\;F(p)-p\;f(0^{+})\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }}$ $=\omega ={\dot {f}}(0^{+})\;$».

### Théorème de la valeur finale dans la transformation (monolatérale) de Laplace
#### Énoncé du théorème de la valeur finale dans la transformation (monolatérale) de Laplace

Soit une « fonction réelle causale$^,$ $\;f(t)\;$ de la variable réelle $\;t\;$», Soit une « fonction réelle causale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ convergeant pour $\;t\rightarrow +\infty \;$, Soit une « fonction réelle causale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ localement intégrable au voisinage de $\;t=0\;$ et Soit une « fonction réelle causale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ telle qu'une transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace «$\;F(p)={\mathcal {L}}\!\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$» Soit une « fonction réelle causale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ d'abscisse de convergence $\;\alpha \in \mathbb {R} ^{-}\,\cup \,-\infty \;$ lui est associée, nous admettons la propriété suivante «$\;\lim \limits _{t\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[f(t)\right]=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,0^{+}}\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }\;$».

#### Vérification du théorème de la valeur finale dans la transformation (monolatérale) de Laplace sur des exemples

À défaut de démonstration, on peut vérifier le « théorème de la valeur finale » sur des exemples :
* « fonction de Heaviside $\;{\big$ou échelon unité${\big )}$ $\;f(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}1\;{\text{si}}\;t>0\\0\;{\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace \;$» de « transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;F(p)={\dfrac {1}{p}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$», « fonction de Heaviside $\;\color {transparent}{\big$ou échelon unité$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{f(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}1\;{\text{si}}\;t>0\\0\;{\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace }\;$» on vérifie que «$\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,0^{+}}\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=1=\lim \limits _{t\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[f(t)\right]\;$»,
* « fonction rampe $\;f(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}a\;t\;{\text{si}}\;t\geqslant 0\\0\quad {\text{si}}\;t\leqslant 0\end{array}}\right\rbrace \;$» de « transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;F(p)={\dfrac {a}{p^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$», on ne peut lui appliquer le théorème de la valeur finale, cette fonction divergeant à l'infini, néanmoins on vérifie que «$\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,0^{+}}\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,0^{+}}\!\left[p\;{\dfrac {a}{p^{2}}}\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=\infty \;$»,
* « fonction exponentielle réelle $\;f(t)=\exp(-a\,t)\;Y(t)\;$ avec $\;a\in \mathbb {R} ^{*}\;$» de « transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;F(p)={\dfrac {1}{p+a}}\;$ pour $\;\Re (p)>-a\;$»$^,$, « fonction exponentielle réelle $\;\color {transparent}{f(t)=\exp(-a\,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{a\in \mathbb {R} ^{*}}\;$» on vérifie que «$\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,0^{+}}\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,0^{+}}\!\left[{\dfrac {p}{p+a}}\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=0=\lim \limits _{t\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[f(t)\right]\;$»,
* « fonction cosinusoïdale $\;f(t)=\cos(\omega \,t)\;Y(t)\;$ avec $\;\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\;$» de « transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;F(p)={\dfrac {p}{p^{2}+\omega ^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$», on ne peut lui appliquer le théorème de la valeur finale, cette fonction n'ayant aucune limite à l'infini, ce qu'on vérifie car «$\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,0^{+}}\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,0^{+}}\!\left[p\;{\dfrac {p}{p^{2}+\omega ^{2}}}\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=0\;$ alors que on ne peut lui appliquer le théorème de la valeur finale, cette fonction n'ayant aucune limite à l'infini, ce qu'on vérifie car «$\;\lim \limits _{t\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[f(t)\right]\;$ n'existe pas »,
* « fonction sinusoïdale $\;f(t)=\sin(\omega \,t)\;Y(t)\;$ avec $\;\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\;$» de « transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;F(p)={\dfrac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$», on ne peut lui appliquer le théorème de la valeur finale, cette fonction n'ayant aucune limite à l'infini, ce qu'on vérifie car «$\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,0^{+}}\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,0^{+}}\!\left[p\;{\dfrac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=0\;$ alors que on ne peut lui appliquer le théorème de la valeur finale, cette fonction n'ayant aucune limite à l'infini, ce qu'on vérifie car «$\;\lim \limits _{t\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[f(t)\right]\;$ n'existe pas »,
* « fonction cosinusoïdale amortie exponentiellement $\;f(t)=\exp(-a\,t)\;\cos(\omega \,t)\;Y(t)\;$ avec $\;\left\lbrace \!{\begin{array}{c}\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\\a\in \mathbb {R} _{+}^{*}\end{array}}\!\right\rbrace \;$» de « transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;F(p)={\dfrac {p+a}{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\;$ « fonction cosinusoïdale amortie exponentiellement $\;\color {transparent}{f(t)=\exp(-a\,t)\;\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\left\lbrace \!\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\!\right\rbrace }\;$» de « transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace pour $\;\Re (p)>-a\;$»$^,$, « fonction cosinusoïdale amortie exponentiellement $\;\color {transparent}{f(t)=\exp(-a\,t)\;\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\left\lbrace \!\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\!\right\rbrace }\;$» on vérifie que «$\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p\;{\dfrac {p+a}{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=0$ « fonction cosinusoïdale amortie exponentiellement $\;\color {transparent}{f(t)=\exp(-a\,t)\;\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\left\lbrace \!\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\!\right\rbrace }\;$» on vérifie que «$\;\color {transparent}{\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }}$ $=\lim \limits _{t\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[f(t)\right]\;$» et
* « fonction sinusoïdale amortie exponentiellement $\;f(t)=\exp(-a\,t)\;\sin(\omega \,t)\;Y(t)\;$ avec $\;\left\lbrace \!{\begin{array}{c}\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\\a\in \mathbb {R} _{+}^{*}\end{array}}\!\right\rbrace \;$» de « transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;F(p)={\dfrac {\omega }{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\;$ « fonction sinusoïdale amortie exponentiellement $\;\color {transparent}{f(t)=\exp(-a\,t)\;\sin(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\left\lbrace \!\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\!\right\rbrace }\;$» de « transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace pour $\;\Re (p)>-a\;$»$^,$, « fonction sinusoïdale amortie exponentiellement $\;\color {transparent}{f(t)=\exp(-a\,t)\;\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\left\lbrace \!\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\!\right\rbrace }\;$» on vérifie que «$\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p\;{\dfrac {\omega }{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=0$ « fonction sinusoïdale amortie exponentiellement $\;\color {transparent}{f(t)=\exp(-a\,t)\;\sin(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\left\lbrace \!\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\!\right\rbrace }\;$» on vérifie que «$\;\color {transparent}{\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }}$ $=\lim \limits _{t\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[f(t)\right]\;$» $\;\ldots$

## Utilisation de la transformation (monolatérale) de Laplace pour la résolution des équations différentielles linéaires à cœfficients constants

Nous cherchons des « solutions réelles causales »$^,$ d'« équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants homogènes ou hétérogènes » Nous cherchons des « solutions réelles causales » d'« par utilisation de la transformation $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;{\big$tous les termes du 1er et 2nd membre de l'équation devant être pourvus Nous cherchons des « solutions réelles causales » d'« par utilisation de la transformation $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace $\;\color {transparent}{\big$d'une transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace, $\Rightarrow$ l'excitation du 2nd Nous cherchons des « solutions réelles causales » d'« par utilisation de la transformation $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace $\;\color {transparent}{\big$membre de l'équation doit être continue, discontinue de 1ère ou 2ème Nous cherchons des « solutions réelles causales » d'« par utilisation de la transformation $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace $\;\color {transparent}{\big$espèce en $\;t=0\;$$^,$ mais Nous cherchons des « solutions réelles causales » d'« par utilisation de la transformation $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace $\;\color {transparent}{\big$en aucun cas “ discontinue de 3ème espèce ”$^,$${\big ]}$, Nous cherchons des « solutions pouvant être continues ou discontinues de 1ère espèce en $\;t=0\;$ pour une équation différentielle du 1er ordre ou Nous cherchons des « solutions nécessairement continues en $\;t=0\;$ pour une équation différentielle du 2ème ordre ou plus.
Remarque : Si cette méthode par transformation $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace est pratique, elle n'est toutefois pas applicable dans toutes les configurations et surtout Remarque : Si cette méthode par transformation $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace est pratique, elle ne doit pas être employée en physique par un étudiant de P.C.S.I. car Remarque : Si cette méthode par transformation $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace est pratique, elle ne doit pas être employée en physique il est exigé que ce soit par recherche de solutions libre et forcée Remarque : Si cette méthode par transformation $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace est pratique, elle ne doit pas être employée en physique suivie d'utilisation des C.I. que la résolution soit faite.

### Rappel des propriétés utilisées

« Linéarité de la transformation $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace » soit «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \lambda \;f(t)+\mu \;g(t)\right\rbrace =\lambda \;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace +\mu \;{\mathcal {L}}\left\lbrace g(t)\right\rbrace ,\;$ « Linéarité de la transformation $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace » soit « $\forall \left(\lambda \,,\,\mu \right)\in \mathbb {R} ^{2}\;$ et $\;\forall \left\lbrace f(t)\,,\,g(t)\right\rbrace \;$ fonctions $\;{\big$ou distributions${\big )}\;$ admettant des transformées $\;{\big$monolatérales${\big )}\;$ de Laplace « Linéarité de la transformation $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace » soit «$\;\color {Transparent}{\forall \left(\lambda \,,\,\mu \right)\in \mathbb {R} ^{2}}\;$ et $\;\color {transparent}{\forall \left\lbrace f(t)\,,\,g(t)\right\rbrace }\;$ fonctions $\;\color {transparent}{\big$ou distributions$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant d'abscisses de convergence finies ou égales à $\;-\infty \;$».
« Transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace de la fonction de Heauvide » «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace Y(t)\right\rbrace ={\dfrac {1}{p}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$».
« Transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace du pic de Dirac d'impulsion unité » «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \delta (t)\right\rbrace =1\;$ pour $\;\forall \;\Re (p)\,\in \,\mathbb {R} \;$».
« Transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace de la dérivée temporelle 1ère d'une fonction $\;f(t)\;$ à support positif telle que $\;f(t)\;$ soit convergente en $\;t=0\;$», soit « Transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace de la dérivée temporelle 1ère «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace =$ $p\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace -f(0^{+})\;$ pour $\;\Re (p)>\alpha \;$ avec $\;\alpha \;$ abscisse de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$».
« Transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace de la dérivée temporelle 2nde d'une fonction $\;f(t)\;$ à support positif telle que $\;{\dot {f}}(t)\;$ soit convergente en $\;t=0\;$», soit « Transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace de la dérivée temporelle 2nde «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\ddot {f}}(t)\right\rbrace =p\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace -{\dot {f}}(0^{+})\;$ pour $\;\Re (p)>\alpha '\;$ avec $\;\alpha '\;$ abscisse de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}\right\rbrace \;$ ou encore « Transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace de la dérivée temporelle 2nde «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\ddot {f}}(t)\right\rbrace =p^{2}\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace -p\;f(0^{+})-{\dot {f}}(0^{+})\;$ pour $\;\Re (p)>\alpha \;$ avec $\;\alpha \;$ abscisse de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$ « Transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace de la dérivée temporelle 2nde «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace {\ddot {f}}(t)\right\rbrace =p^{2}\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace -p\;f(0^{+})-{\dot {f}}(0^{+})}\;$ pour avec $\;\alpha \geqslant \alpha '\;$».

### Méthode de résolution exposée sur un 1er exemple : équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2ème ordre en y(t) hétérogène, sans terme du 1erordre, à excitation sinusoïdale

Soit à résoudre, dans le domaine des fonctions à support positif convergeant en $\;t=0$, Soit à résoudre, l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2ème ordre en $\;y(t)\;$ hétérogène, sans terme du 1erordre, Soit à résoudre, l'équation différentielle linéaire à « excitation sinusoïdale $\;e(t)=E\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)\;Y(t)$, $\;\left(E\,,\,\omega \right)\in \left(\mathbb {R} _{+}^{*}\right)^{2}\;$»$^,$ Soit à résoudre, l'équation différentielle linéaire avec les « C.I. $\;y(0^{+})$ $=y_{0}\;$ et $\;{\dot {y}}(0^{+})={\dot {y}}_{0}\;$», Soit à résoudre, l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2ème ordre en $\;y(t)\;$ hétérogène, sans terme du 1erordre, s'écrivant sous forme normalisée
$\;{\ddot {y}}(t)+c\;y(t)=e(t)=E\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)\;Y(t)\;$
$\;c\in \mathbb {R} ^{*}\;$

#### Réécriture de l'équation différentielle dans le « domaine de Laplace »

« La transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace de l'excitation sinusoïdale $\;e(t)=E\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)\;Y(t)\;$» s'écrivant «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace e(t)\right\rbrace =E\;{\sqrt {2}}\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \sin(\omega \,t)\;Y(t)\right\rbrace =E\;{\sqrt {2}}\;{\dfrac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}\;$ « La transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace de l'excitation sinusoïdale $\;\color {transparent}{e(t)=E\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)\;Y(t)}\;$» s'écrivant «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace e(t)\right\rbrace =E\;{\sqrt {2}}\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \sin(\omega \,t)\;Y(t)\right\rbrace =}$ pour $\;\Re (p)>0\;$», nous obtenons, en utilisant le rappel des propriétés utilisées énoncé plus haut dans ce chapitre et en notant «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace y(t)\right\rbrace ={\underline {Y}}(p)\;$» pour simplifier l'écriture,
$\;\left[p^{2}\;{\underline {Y}}(p)-p\;y_{0}-{\dot {y}}_{0}\right]+c\;{\underline {Y}}(p)=E\;{\sqrt {2}}\;{\dfrac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}\;$
$\;\Re (p)>0\;$

#### Détermination de la transformée (monolatérale) de Laplace de la solution de l'équation différentielle avec C.I.

De l'équation précédente on tire aisément «$\;{\underline {Y}}(p)=E\;{\sqrt {2}}\;{\dfrac {\omega }{(p^{2}+\omega ^{2})\;(p^{2}+c)}}+{\dfrac {p}{p^{2}+c}}\;y_{0}+{\dfrac {1}{p^{2}+c}}\;{\dot {y}}_{0}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$» à condition que «$\;p^{2}+c\;$ soit $\;\neq 0\;$».

#### Détermination de la solution de l'équation différentielle avec C.I.

Il reste donc à déterminer l'« originale de $\;{\underline {Y}}(p)\;$ dans l'hypothèse $\;p^{2}+c\neq 0\;$» ${\big$nécessairement réalisée si $\;c\;$ est $\;>0\;$ Il reste donc à déterminer l'« originale de $\;\color {transparent}{{\underline {Y}}(p)}\;$ dans l'hypothèse où $\;\color {transparent}{p^{2}+c\neq 0}\;$» $\color {transparent}{\big$mais qui nécessite une restriction de domaine de $\;p\;$ si $\;c\;$ est $\;<0\;$${\big ]}$.

##### Décomposition de la 1ère fonction rationnelle en éléments irréductibles simples dans le cas où c est > 0

Si $\;c\;$ est $\;>0$, les « pôles de la fonction rationnelle $\;A(p)={\dfrac {1}{(p^{2}+\omega ^{2})\;(p^{2}+c)}}\;$ étant deux à deux complexes conjugués » sa décomposition en éléments irréductibles simples s'écrit : Si $\;\color {transparent}{c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, $\succ \;$dans la mesure où «$\;c\neq \omega ^{2}\;$», $\;A(p)={\dfrac {\rho _{1}\,p+{\rho '}_{1}}{p^{2}+\omega ^{2}}}+{\dfrac {\rho _{2}\,p+{\rho '}_{2}}{p^{2}+c}}\;$ dans lequel on détermine Si $\;\color {transparent}{c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, $\color {transparent}{\succ }\;$dans la mesure où «$\;\color {transparent}{c\neq \omega ^{2}}\;$», «$\;\left(\rho _{1}\,,\,{\rho '}_{1}\right)\;$» en multipliant les deux membres par $\;p^{2}+\omega ^{2}\;$ et en y faisant $\;p=\pm i\;\omega \;$ soit $\;{\dfrac {1}{c-\omega ^{2}}}=\left\lbrace {\begin{array}{c}\rho _{1}\,i\,\omega +{\rho '}_{1}\;{\text{pour}}\;p=i\,\omega \\-\rho _{1}\,i\,\omega +{\rho '}_{1}\;{\text{pour}}\;p=-i\,\omega \end{array}}\right\rbrace \;$ Si $\;\color {transparent}{c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, $\color {transparent}{\succ }\;$dans la mesure où «$\;\color {transparent}{c\neq \omega ^{2}}\;$», «$\;\color {transparent}{\left(\rho _{1}\,,\,{\rho '}_{1}\right)}\;$» en multipliant les deux membres par $\;\color {transparent}{p^{2}+\omega ^{2}}\;$ et en y faisant $\;\color {transparent}{p=\pm i\;\omega }\;$ d'où «$\;\rho _{1}=0\;$ et $\;{\rho '}_{1}={\dfrac {1}{c-\omega ^{2}}}\;$» puis Si $\;\color {transparent}{c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, $\color {transparent}{\succ }\;$dans la mesure où «$\;\color {transparent}{c\neq \omega ^{2}}\;$», «$\;\left(\rho _{2}\,,\,{\rho '}_{2}\right)\;$» en multipliant les membres par $\;p^{2}+c\;$ et en y faisant $\;p=\pm i\;{\sqrt {c}}\;$ soit $\;{\dfrac {1}{-c+\omega ^{2}}}=\left\lbrace {\begin{array}{c}\rho _{2}\,i\,{\sqrt {c}}+{\rho '}_{2}\;{\text{pour}}\;p=i\,{\sqrt {c}}\\-\rho _{2}\,i\,{\sqrt {c}}+{\rho '}_{2}\;{\text{pour}}\;p=-i\,{\sqrt {c}}\end{array}}\right\rbrace \;$ Si $\;\color {transparent}{c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, $\color {transparent}{\succ }\;$dans la mesure où «$\;\color {transparent}{c\neq \omega ^{2}}\;$», «$\;\color {transparent}{\left(\rho _{2}\,,\,{\rho '}_{2}\right)}\;$» en multipliant les membres par $\;\color {transparent}{p^{2}+c}\;$ et en y faisant $\;\color {transparent}{p=\pm i\;{\sqrt {c}}}\;$ d'où «$\;\rho _{2}=0\;$ et $\;{\rho '}_{2}={\dfrac {-1}{c-\omega ^{2}}}\;$» Si $\;\color {transparent}{c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, $\color {transparent}{\succ }\;$dans la mesure où «$\;\color {transparent}{c\neq \omega ^{2}}\;$», soit finalement «$\;A(p)={\dfrac {1}{(p^{2}+\omega ^{2})\;(p^{2}+c)}}={\dfrac {1}{c-\omega ^{2}}}\,\left[{\dfrac {1}{p^{2}+\omega ^{2}}}-{\dfrac {1}{p^{2}+c}}\right]\;$» ; Si $\;\color {transparent}{c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, $\succ \;$dans la mesure où «$\;c=\omega ^{2}\;$», $\;A(p)={\dfrac {1}{(p^{2}+\omega ^{2})\;(p^{2}+c)}}\;$ se réécrivant «$\;A(p)={\dfrac {1}{\left(p^{2}+\omega ^{2}\right)^{2}}}={\dfrac {1}{\left(p^{2}+c\right)^{2}}}\;$» est déjà décomposée en éléments irréductibles simples.

##### Détermination de l'originale de la transformée (monolatérale) de Laplace de la solution de l'équation différentielle dans le cas où c est > 0

Il reste alors à chercher l'« originale de la transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;{\underline {Y}}(p)=E\;{\sqrt {2}}\;{\dfrac {\omega }{(p^{2}+\omega ^{2})\;(p^{2}+c)}}+{\dfrac {p}{p^{2}+c}}\;y_{0}+{\dfrac {1}{p^{2}+c}}\;{\dot {y}}_{0}\;$ Il reste alors à chercher l'« originale de la transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace $\;\color {transparent}{{\underline {Y}}(p)}$ pour $\;\Re (p)>0\;$» avec «$\;p^{2}+c\neq 0\;$» : Il reste alors à chercher l'« originale $\succ \;$« pour $\;c>0\;$ en étant $\;\neq \omega ^{2}\;$», «$\;{\underline {Y}}(p)={\dfrac {E\;{\sqrt {2}}}{c-\omega ^{2}}}\,\left[{\dfrac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}-{\dfrac {\omega }{\sqrt {c}}}\;{\dfrac {\sqrt {c}}{p^{2}+c}}\right]+{\dfrac {p}{p^{2}+c}}\;y_{0}+{\dfrac {\sqrt {c}}{p^{2}+c}}\;{\dfrac {{\dot {y}}_{0}}{\sqrt {c}}}\;$»$^,$ dont on tire, en reconnaissant Il reste alors à chercher l'« originale $\color {transparent}{\succ }\;$« pour $\;\color {transparent}{c>0}\;$ en étant $\;\color {transparent}{\neq \omega ^{2}}\;$», des originales de transformées $\;{\big$monolatérales${\big )}\;$ de Laplace classiques, Il reste alors à chercher l'« originale $\color {transparent}{\succ }\;$« pour $\;\color {transparent}{c>0}\;$ en étant $\;\color {transparent}{\neq \omega ^{2}}\;$», «$\;y(t)=\left\lbrace {\dfrac {E\;{\sqrt {2}}}{c-\omega ^{2}}}\,\left[\sin(\omega \;t)-{\dfrac {\omega }{\sqrt {c}}}\;\sin({\sqrt {c}}\;t)\right]+y_{0}\;\cos({\sqrt {c}}\;t)+{\dfrac {{\dot {y}}_{0}}{\sqrt {c}}}\;\sin({\sqrt {c}}\;t)\right\rbrace Y(t)\;$» ou Il reste alors à chercher l'« originale $\color {transparent}{\succ }\;$« pour $\;\color {transparent}{c>0}\;$ en étant $\;\color {transparent}{\neq \omega ^{2}}\;$», «$\;y(t)=\left\lbrace y_{0}\,\cos({\sqrt {c}}\;t)+\left[{\dfrac {{\dot {y}}_{0}}{\sqrt {c}}}-{\dfrac {E\;{\sqrt {2}}}{c-\omega ^{2}}}\;{\dfrac {\omega }{\sqrt {c}}}\right]\sin({\sqrt {c}}\;t)+{\dfrac {E\;{\sqrt {2}}}{c-\omega ^{2}}}\;\sin(\omega \,t)\right\rbrace Y(t)\;$» et Il reste alors à chercher l'« originale $\succ \;$« pour $\;c>0\;$ en étant $\;=\omega ^{2}\;$», «$\;{\underline {Y}}(p)=E\;{\sqrt {2}}\;{\dfrac {\omega }{\left(p^{2}+\omega ^{2}\right)^{2}}}+{\dfrac {p}{p^{2}+\omega ^{2}}}\;y_{0}+{\dfrac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}\;{\dfrac {{\dot {y}}_{0}}{\omega }}\;$»$^,$ dont on tire, en reconnaissant des originales de Il reste alors à chercher l'« originale $\color {transparent}{\succ }\;$« pour $\;\color {transparent}{c>0}\;$ en étant $\;\color {transparent}{=\omega ^{2}}\;$», transformées $\;{\big$monolatérales${\big )}\;$ de Laplace classiques à l'« exception du 1er terme du 2nd membre $\;\propto \;$ à $\;{\dfrac {\omega }{\left(p^{2}+\omega ^{2}\right)^{2}}}\;$», Il reste alors à chercher l'« originale $\color {transparent}{\succ }\;$« pour $\;\color {transparent}{c>0}\;$ en étant $\;\color {transparent}{=\omega ^{2}}\;$», «$\;y(t)=E\;{\sqrt {2}}\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\!\left\lbrace {\dfrac {\omega }{\left(p^{2}+\omega ^{2}\right)^{2}}}\right\rbrace +\left\lbrace y_{0}\;\cos(\omega \;t)+{\dfrac {{\dot {y}}_{0}}{\omega }}\;\sin(\omega \;t)\right\rbrace Y(t)\;$» ; Il reste alors à chercher l'« originale $\color {transparent}{\succ }\;$« pour $\;\color {transparent}{c>0}\;$ en étant $\;\color {transparent}{=\omega ^{2}}\;$», pour déterminer l'originale de $\;B(p)={\dfrac {\omega }{\left(p^{2}+\omega ^{2}\right)^{2}}}\;$ c.-à-d. «$\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\!\left\lbrace B(p)\right\rbrace ={\mathcal {L}}^{-1}\!\!\left\lbrace {\dfrac {\omega }{\left(p^{2}+\omega ^{2}\right)^{2}}}\right\rbrace \;$» remarquons que Il reste alors à chercher l'« originale $\color {transparent}{\succ }\;$« pour $\;\color {transparent}{c>0}\;$ en étant $\;\color {transparent}{=\omega ^{2}}\;$», pour déterminer l'originale $\;{\dfrac {d\left[{\dfrac {p}{p^{2}+\omega ^{2}}}\right]}{dp}}={\dfrac {\left(p^{2}+\omega ^{2}\right)-p\;2\;p}{\left(p^{2}+\omega ^{2}\right)^{2}}}={\dfrac {\omega ^{2}-p^{2}}{\left(p^{2}+\omega ^{2}\right)^{2}}}=-{\dfrac {\omega ^{2}+p^{2}}{\left(p^{2}+\omega ^{2}\right)^{2}}}+{\dfrac {2\;\omega ^{2}}{\left(p^{2}+\omega ^{2}\right)^{2}}}$ Il reste alors à chercher l'« originale $\color {transparent}{\succ }\;$« pour $\;\color {transparent}{c>0}\;$ en étant $\;\color {transparent}{=\omega ^{2}}\;$», pour déterminer l'originale $\;\color {transparent}{d\left[p^{2}+\omega ^{2}\right]}$ $=-{\dfrac {1}{p^{2}+\omega ^{2}}}+{\dfrac {2\;\omega ^{2}}{\left(p^{2}+\omega ^{2}\right)^{2}}}\;$ dont nous tirons Il reste alors à chercher l'« originale $\color {transparent}{\succ }\;$« pour $\;\color {transparent}{c>0}\;$ en étant $\;\color {transparent}{=\omega ^{2}}\;$», pour déterminer l'originale de«$\;B(p)={\dfrac {\omega }{\left(p^{2}+\omega ^{2}\right)^{2}}}={\dfrac {1}{2\;\omega }}\;{\dfrac {d\left[{\dfrac {p}{p^{2}+\omega ^{2}}}\right]}{dp}}+{\dfrac {1}{2\;\omega ^{2}}}\;{\dfrac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}\;$» puis utilisons Il reste alors à chercher l'« originale $\color {transparent}{\succ }\;$« pour $\;\color {transparent}{c>0}\;$ en étant $\;\color {transparent}{=\omega ^{2}}\;$», pour déterminer l'originale de$\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c}{\mathcal {L}}\!\left[\cos(\omega \,t)\;Y(t)\right]\!\!&=&\!\!{\dfrac {p}{p^{2}+\omega ^{2}}}\\{\dfrac {d{\mathcal {L}}\!\left[f(t)\right]}{dp}}\!\!&=&\!\!-{\mathcal {L}}\!\left[t\;f(t)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$$^,$ pour en déduire Il reste alors à chercher l'« originale $\color {transparent}{\succ }\;$« pour $\;\color {transparent}{c>0}\;$ en étant $\;\color {transparent}{=\omega ^{2}}\;$», pour déterminer l'originale de«$\;B(p)={\dfrac {\omega }{\left(p^{2}+\omega ^{2}\right)^{2}}}=-{\dfrac {1}{2\;\omega }}\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace t\;\cos(\omega \,t)\;Y(t)\right\rbrace +{\dfrac {1}{2\;\omega ^{2}}}\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace \sin(\omega \,t)\;Y(t)\right\rbrace \;$ Il reste alors à chercher l'« originale $\color {transparent}{\succ }\;$« pour $\;\color {transparent}{c>0}\;$ en étant $\;\color {transparent}{=\omega ^{2}}\;$», pour déterminer l'originale de«$\;\color {transparent}{B(p)}$ $={\dfrac {1}{2\;\omega ^{2}}}\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace \left[\sin(\omega \;t)-\omega \;t\;\cos(\omega \;t)\right]\,Y(t)\right\rbrace \;$» d'où l'originale de $\;B(p)={\dfrac {\omega }{\left(p^{2}+\omega ^{2}\right)^{2}}}\;$ : Il reste alors à chercher l'« originale $\color {transparent}{\succ }\;$« pour $\;\color {transparent}{c>0}\;$ en étant $\;\color {transparent}{=\omega ^{2}}\;$», pour déterminer l'originale de«$\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {\omega }{\left(p^{2}+\omega ^{2}\right)^{2}}}\right\rbrace ={\dfrac {1}{2\;\omega ^{2}}}\,\left[\sin(\omega \;t)-\omega \;t\;\cos(\omega \;t)\right]\,Y(t)\;$» ; finalement la solution est Il reste alors à chercher l'« originale $\color {transparent}{\succ }\;$« pour $\;\color {transparent}{c>0}\;$ en étant $\;\color {transparent}{=\omega ^{2}}\;$», «$\;y(t)=\left\lbrace {\dfrac {E\;{\sqrt {2}}}{2\;\omega ^{2}}}\,\left[\sin(\omega \,t)-\omega \;t\;\cos(\omega \,t)\right]+y_{0}\;\cos(\omega \;t)+{\dfrac {{\dot {y}}_{0}}{\omega }}\;\sin(\omega \;t)\right\rbrace Y(t)\;$» ou Il reste alors à chercher l'« originale $\color {transparent}{\succ }\;$« pour $\;\color {transparent}{c>0}\;$ en étant $\;\color {transparent}{=\omega ^{2}}\;$», «$\;y(t)=\left\lbrace y_{0}\,\cos(\omega \;t)+\left[{\dfrac {{\dot {y}}_{0}}{\omega }}+{\dfrac {E}{{\sqrt {2}}\;\omega ^{2}}}\right]\sin(\omega \;t)-{\dfrac {E}{{\sqrt {2}}\;\omega }}\;t\;\cos(\omega \,t)\right\rbrace Y(t)\;$».

##### Décomposition des fonctions rationnelles en éléments irréductibles simples dans le cas où c est < 0

Rappel : D'après la note « $^{159}$ » plus haut dans ce chapitre, pour que $\;p^{2}+c\;$ reste $\;\neq 0\;$ avec $\;c<0$, il faut restreindre le domaine de $\;p\;$ à $\;\Re (p)>{\sqrt {-c}}\;$ et dans ce cas Rappel : D'après la note « $^{159}$ » plus haut dans ce chapitre, pour que $\;\color {transparent}{p^{2}+c}\;$ reste $\;\color {transparent}{\neq 0}\;$ avec $\;\color {transparent}{c<0}$, «$\;{\underline {Y}}(p)=E\;{\sqrt {2}}\;{\dfrac {\omega }{(p^{2}+\omega ^{2})\;(p^{2}+c)}}+{\dfrac {p}{p^{2}+c}}\;y_{0}+{\dfrac {1}{p^{2}+c}}\;{\dot {y}}_{0}\;$ pour $\;\Re (p)>{\sqrt {-c}}\;$».
«$\;c\;$ étant $\;<0\;$», $\blacktriangleright \;$les « pôles de la fonction rationnelle $\;A'(p)={\dfrac {1}{(p^{2}+\omega ^{2})\;(p^{2}+c)}}={\dfrac {1}{(p^{2}+\omega ^{2})\;(p+{\sqrt {-c}})\;(p-{\sqrt {-c}})}}\;$ sont complexes conjugués d'une part et «$\;\color {transparent}{c}\;$ étant $\;\color {transparent}{<0}\;$», $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$les « pôles de la fonction rationnelle $\;\color {transparent}{A'(p)=(p^{2}+\omega ^{2})\;(p^{2}+c)=(p^{2}+\omega ^{2})\;(p+{\sqrt {-c}})\;(p-{\sqrt {-c}})}\;$ sont réels simples opposés d'autre part » «$\;\color {transparent}{c}\;$ étant $\;\color {transparent}{<0}\;$», $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sa décomposition en éléments irréductibles simples est «$\;A'(p)={\dfrac {1}{(p^{2}+\omega ^{2})\;(p+{\sqrt {-c}})\;(p-{\sqrt {-c}})}}={\dfrac {\rho _{1}\,p+{\rho '}_{1}}{p^{2}+\omega ^{2}}}+{\dfrac {\rho _{2}}{p+{\sqrt {-c}}}}+{\dfrac {\rho _{3}}{p-{\sqrt {-c}}}}\;$» dans lequel on détermine «$\;\color {transparent}{c}\;$ étant $\;\color {transparent}{<0}\;$», $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sa décomposition $\bullet \;$«$\;\left(\rho _{1}\,,\,{\rho '}_{1}\right)\;$» en multipliant chaque membre par $\;p^{2}+\omega ^{2}$, puis en y faisant $\;p=\pm i\;\omega \;$ soit $\;{\dfrac {1}{c-\omega ^{2}}}=\left\lbrace {\begin{array}{c}\rho _{1}\,i\,\omega +{\rho '}_{1}\;{\text{pour}}\;p=i\,\omega \\-\rho _{1}\,i\,\omega +{\rho '}_{1}\;{\text{pour}}\;p=-i\,\omega \end{array}}\right\rbrace \;$ «$\;\color {transparent}{c}\;$ étant $\;\color {transparent}{<0}\;$», $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sa décomposition $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{\left(\rho _{1}\,,\,{\rho '}_{1}\right)}\;$» en multipliant chaque membre par $\;\color {transparent}{p^{2}+\omega ^{2}}\;$ puis en y faisant $\;\color {transparent}{p=\pm i\;\omega }\;$ d'où «$\;\rho _{1}=0\;$ et $\;{\rho '}_{1}=-{\dfrac {1}{\omega ^{2}-c}}\;$», «$\;\color {transparent}{c}\;$ étant $\;\color {transparent}{<0}\;$», $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sa décomposition $\bullet \;$«$\;\rho _{2}\;$» en multipliant les membres par $\;p+{\sqrt {-c}}$, puis en y faisant $\;p=-\;{\sqrt {-c}}\;$ soit $\;{\dfrac {1}{(-c+\omega ^{2})\,(-2\;{\sqrt {-c}})}}=\rho _{2}\;$ d'où «$\;\rho _{2}=-{\dfrac {1}{2\;(\omega ^{2}-c)\;{\sqrt {-c}})}}\;$» et «$\;\color {transparent}{c}\;$ étant $\;\color {transparent}{<0}\;$», $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sa décomposition $\bullet \;$«$\;\rho _{3}\;$» en multipliant les membres par $\;p-{\sqrt {-c}}$, puis en y faisant $\;p=\;{\sqrt {-c}}\;$ soit $\;{\dfrac {1}{(-c+\omega ^{2})\,(2\;{\sqrt {-c}})}}=\rho _{3}\;$ d'où «$\;\rho _{3}={\dfrac {1}{2\;(\omega ^{2}-c)\;{\sqrt {-c}})}}\;$» «$\;\color {transparent}{c}\;$ étant $\;\color {transparent}{<0}\;$», $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sa décomposition $\bullet \;$soit finalement «$\;A'(p)={\dfrac {1}{(p^{2}+\omega ^{2})\;(p^{2}+c)}}={\dfrac {1}{\omega ^{2}-c}}\,\left\lbrace -{\dfrac {1}{p^{2}+\omega ^{2}}}+{\dfrac {1}{2\;{\sqrt {-c}}}}\,\left[{\dfrac {1}{p-{\sqrt {-c}}}}-{\dfrac {1}{p+{\sqrt {-c}}}}\right]\right\rbrace \;$» ;
«$\;\color {transparent}{c}\;$ étant $\;\color {transparent}{<0}\;$», $\blacktriangleright \;$les « pôles de la fonction rationnelle $\;B'(p)={\dfrac {p}{p^{2}+c}}={\dfrac {p}{(p+{\sqrt {-c}})\;(p-{\sqrt {-c}})}}\;$ sont réels simples opposés » «$\;\color {transparent}{c}\;$ étant $\;\color {transparent}{<0}\;$», $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sa décomposition en éléments irréductibles simples s'écrit est «$\;B'(p)={\dfrac {p}{(p+{\sqrt {-c}})\;(p-{\sqrt {-c}})}}={\dfrac {\zeta _{1}}{p+{\sqrt {-c}}}}+{\dfrac {\zeta _{2}}{p-{\sqrt {-c}}}}\;$» dans lequel on détermine «$\;\color {transparent}{c}\;$ étant $\;\color {transparent}{<0}\;$», $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sa décomposition $\bullet \;$«$\;\zeta _{1}\;$» en multipliant les membres par $\;p+{\sqrt {-c}}$, puis en y faisant $\;p=-\;{\sqrt {-c}}\;$ soit $\;{\dfrac {-\;{\sqrt {-c}}}{-2\;{\sqrt {-c}}}}=\zeta _{1}\;$ d'où «$\;\zeta _{1}={\dfrac {1}{2}}\;$» et «$\;\color {transparent}{c}\;$ étant $\;\color {transparent}{<0}\;$», $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sa décomposition $\bullet \;$«$\;\zeta _{2}\;$» en multipliant les membres par $\;p-{\sqrt {-c}}$, puis en y faisant $\;p=\;{\sqrt {-c}}\;$ soit $\;{\dfrac {\sqrt {-c}}{2\;{\sqrt {-c}})}}=\zeta _{2}\;$ d'où «$\;\zeta _{2}={\dfrac {1}{2}}\;$» «$\;\color {transparent}{c}\;$ étant $\;\color {transparent}{<0}\;$», $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sa décomposition $\bullet \;$soit finalement «$\;B'(p)={\dfrac {p}{p^{2}+c}}={\dfrac {1}{2}}\,\left[{\dfrac {1}{p+{\sqrt {-c}}}}+{\dfrac {1}{p-{\sqrt {-c}}}}\right]\;$» ;
«$\;\color {transparent}{c}\;$ étant $\;\color {transparent}{<0}\;$», $\blacktriangleright \;$les « pôles de la fonction rationnelle $\;C'(p)={\dfrac {1}{p^{2}+c}}={\dfrac {1}{(p+{\sqrt {-c}})\;(p-{\sqrt {-c}})}}\;$ sont réels simples opposés » «$\;\color {transparent}{c}\;$ étant $\;\color {transparent}{<0}\;$», $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sa décomposition en éléments irréductibles simples est «$\;C'(p)={\dfrac {1}{(p+{\sqrt {-c}})\;(p-{\sqrt {-c}})}}={\dfrac {\zeta _{3}}{p+{\sqrt {-c}}}}+{\dfrac {\zeta _{4}}{p-{\sqrt {-c}}}}\;$» dans lequel on détermine «$\;\color {transparent}{c}\;$ étant $\;\color {transparent}{<0}\;$», $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sa décomposition $\bullet \;$«$\;\zeta _{3}\;$» en multipliant les membres par $\;p+{\sqrt {-c}}$, puis en y faisant $\;p=-\;{\sqrt {-c}}\;$ soit $\;{\dfrac {1}{-2\;{\sqrt {-c}}}}=\zeta _{3}\;$ d'où «$\;\zeta _{3}=-{\dfrac {1}{2\;{\sqrt {-c}}}}\;$» et «$\;\color {transparent}{c}\;$ étant $\;\color {transparent}{<0}\;$», $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sa décomposition $\bullet \;$«$\;\zeta _{4}\;$» en multipliant les membres par $\;p-{\sqrt {-c}}$, puis en y faisant $\;p=\;{\sqrt {-c}}\;$ soit $\;{\dfrac {1}{2\;{\sqrt {-c}}}}=\zeta _{4}\;$ d'où «$\;\zeta _{4}={\dfrac {1}{2\;{\sqrt {-c}}}}\;$» «$\;\color {transparent}{c}\;$ étant $\;\color {transparent}{<0}\;$», $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sa décomposition $\bullet \;$soit finalement «$\;C'(p)={\dfrac {1}{p^{2}+c}}={\dfrac {1}{2\;{\sqrt {-c}}}}\,\left[{\dfrac {1}{p-{\sqrt {-c}}}}-{\dfrac {1}{p+{\sqrt {-c}}}}\right]\;$» ;
«$\;\color {transparent}{c}\;$ étant $\;\color {transparent}{<0}\;$», $\blacktriangleright \;$nous en déduisons la décomposition de la transformée $\;{\big$monolatérlae${\big )}\;$ de Laplace de la solution dans le cas où $\;c\;$ est $\;<0\;$ selon
$\;{\underline {Y}}(p)={\dfrac {E\;{\sqrt {2}}}{\omega ^{2}-c}}\,\left\lbrace -{\dfrac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}+{\dfrac {\omega }{2\;{\sqrt {-c}}}}\,\left[{\dfrac {1}{p-{\sqrt {-c}}}}-{\dfrac {1}{p+{\sqrt {-c}}}}\right]\right\rbrace +{\dfrac {y_{0}}{2}}\,\left[{\dfrac {1}{p+{\sqrt {-c}}}}+{\dfrac {1}{p-{\sqrt {-c}}}}\right]+{\dfrac {{\dot {y}}_{0}}{2\;{\sqrt {-c}}}}\,\left[{\dfrac {1}{p-{\sqrt {-c}}}}-{\dfrac {1}{p+{\sqrt {-c}}}}\right]\;$
$\;\Re (p)>{\sqrt {-c}}\;$
$\;{\underline {Y}}(p)=-{\dfrac {E\;{\sqrt {2}}}{\omega ^{2}-c}}\;{\dfrac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}+\left[{\dfrac {E\;\omega }{(\omega ^{2}-c)\,{\sqrt {-2\;c}}}}+{\dfrac {{\dot {y}}_{0}+y_{0}\;{\sqrt {-c}}}{2\;{\sqrt {-c}}}}\right]\,{\dfrac {1}{p-{\sqrt {-c}}}}-\left[{\dfrac {E\;\omega }{(\omega ^{2}-c)\,{\sqrt {-2\;c}}}}+{\dfrac {{\dot {y}}_{0}-y_{0}\;{\sqrt {-c}}}{2\;{\sqrt {-c}}}}\right]\,{\dfrac {1}{p+{\sqrt {-c}}}}\;$
$\;\Re (p)>{\sqrt {-c}}\;$

##### Détermination de l'originale de la transformée (monolatérale) de Laplace de la solution de l'équation différentielle dans le cas où c est < 0

Il reste alors à chercher l'« originale de la transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;{\underline {Y}}(p)\;$ avec $\;c<0$, pour $\;\Re (p)>{\sqrt {-c}}$, cette dernière étant somme de trois termes indépendants Il reste alors à chercher l'« originale de ${\underline {Y}}(p)=-{\dfrac {E\;{\sqrt {2}}}{\omega ^{2}-c}}\;{\dfrac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}+\left[{\dfrac {E\;\omega }{(\omega ^{2}-c)\,{\sqrt {-2\;c}}}}+{\dfrac {{\dot {y}}_{0}+y_{0}\;{\sqrt {-c}}}{2\;{\sqrt {-c}}}}\right]\,{\dfrac {1}{p-{\sqrt {-c}}}}-\left[{\dfrac {E\;\omega }{(\omega ^{2}-c)\,{\sqrt {-2\;c}}}}+{\dfrac {{\dot {y}}_{0}-y_{0}\;{\sqrt {-c}}}{2\;{\sqrt {-c}}}}\right]\,{\dfrac {1}{p+{\sqrt {-c}}}}\;$ » Il reste alors à chercher l'« originale de la transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace $\;\color {transparent}{{\underline {Y}}(p)}\;$ avec $\;\color {transparent}{c<0}$, en reconnaissant des originales de transformées $\;{\big$monolatérales${\big )}\;$ de Laplace classiques
$\;y(t)=\left\lbrace -{\dfrac {E\;{\sqrt {2}}}{\omega ^{2}-c}}\;\sin(\omega \;t)+\left[{\dfrac {E\;\omega }{(\omega ^{2}-c)\,{\sqrt {-2\;c}}}}+{\dfrac {{\dot {y}}_{0}+y_{0}\;{\sqrt {-c}}}{2\;{\sqrt {-c}}}}\right]\,\exp \!\left({\sqrt {-c}}\,t\right)-\left[{\dfrac {E\;\omega }{(\omega ^{2}-c)\,{\sqrt {-2\;c}}}}+{\dfrac {{\dot {y}}_{0}-y_{0}\;{\sqrt {-c}}}{2\;{\sqrt {-c}}}}\right]\,\exp \!\left(-{\sqrt {-c}}\,t\right)\right\rbrace \;Y(t)\;$

#### Comparaison de la méthode classique de résolution d'équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants hétérogènes et de la méthode par transformées (monolatérales) de Laplace

Nous rappelons que la méthode de résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants homogène ou hétérogène Nous rappelons que la méthode de résolution par transformation $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace est un complément de P.C.S.I. pour le domaine de la physique et Nous rappelons que seule la méthode de résolution par solutions libre et forcée suivie de l'utilisation des C.I. peut être utilisée dans le domaine de la physique ;
nous allons donc vérifier, dans l'exemple de «$\;{\ddot {y}}(t)+c\;y(t)=e(t)=E\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)\;Y(t)\;$ avec $\;c\in \mathbb {R} ^{*}\;$ ainsi que $\;\left(E\,,\,\omega \right)\in {\mathbb {R} ^{+\;*}}^{2}\;$», nous allons donc vérifier, que nous trouvons le même résultat dans l'ensemble des fonctions réelles « causales »$^,$ avec les « C.I. $\;y(0^{+})=y_{0}\;$ et $\;{\dot {y}}(0^{+})={\dot {y}}_{0}\;$» nous allons donc vérifier, en reprenant la résolution par méthode classique de recherche des solutions libre et forcée suivie de l'utilisation des C.I..

##### Recherche de la solution libre y$_l$(t)

Soit à résoudre «$\;{\ddot {y_{l}}}(t)+c\;y_{l}(t)=0\;$» d'équation caractéristique «$\;s^{2}+c=0\;$» de racines différentes suivant le signe de $\;c$ :
* « si $\;c\;$ est $\;>0\;$», l'équation caractéristique a « deux racines imaginaires distinctes $\;{\underline {s_{\pm }}}=\pm i\,{\sqrt {c}}\;$» $\Rightarrow$ la solution libre «$\;y_{l}(t)=A\,\cos({\sqrt {c}}\;t+\varphi )\;$ avec $\;\left(A\,,\,\varphi \right)\in \mathbb {R} ^{2}\;$» et
* « si $\;c\;$ est $\;<0\;$», elle a « deux racines réelles distinctes $\;s_{\pm }=\pm {\sqrt {-c}}\;$» $\Rightarrow$ la solution libre «$\;y_{l}(t)=A_{+}\,\exp({\sqrt {-c}}\;t)+A_{-}\,\exp(-{\sqrt {-c}}\;t)\;$ avec $\;\left(A_{+}\,,\,A_{-}\right)\in \mathbb {R} ^{2}\;$».

##### Recherche de la solution forcée y$_f$(t)

Soit à déterminer la « solution forcée $\;y_{f}(t)\;$ solution particulière de $\;{\ddot {y_{f}}}(t)+c\;y_{f}(t)=E\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$ de même forme que l'excitation $\;e(t)=E\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$» Soit à déterminer la « solution forcée c.-à-d. sous forme générale «$\;y_{f}(t)=Y\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t+\varphi _{y})\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$», avec $\;\left(Y\,,\,\varphi _{y}\right)\in \mathbb {R} \;$ à déterminer, ou mieux, Soit à déterminer la « solution forcée $\;\color {transparent}{y_{f}(t)}\;$ sous forme particulière «$\;y_{f}(t)=Y\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$» ${\big$en raison de l'absence de terme du 1er ordre dans l'équation différentielle${\big ]}$, Soit à déterminer la « solution forcée $\;\color {transparent}{y_{f}(t)}\;$ sous forme particulière «$\;\color {transparent}{y_{f}(t)=Y\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)\;\;{\text{pour}}\;t>0}\;$» le choix de $\;\varphi _{y}=0\;$ étant validée par le résultat trouvé :
* « si $\;c\;$ est $\;>0\;$», le report de $\;y_{f}(t)=Y\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)\;$ dans l'équation nous conduit à «$\;\left(-\omega ^{2}+c\right)\,Y\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)=E\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)\;\;\forall \;t>0\;$» d'où la discussion suivante « si $\;\color {transparent}{c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$», $\succ \;$« si $\;c\neq \omega ^{2}\;$» on en déduit «$\;Y={\dfrac {E}{c-\omega ^{2}}}\;$» et par suite la solution forcée «$\;y_{f}(t)={\dfrac {E}{c-\omega ^{2}}}\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$» et « si $\;\color {transparent}{c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$», $\succ \;$« si $\;c=\omega ^{2}\;$» on en déduit l'absence de solution forcée de même forme que l'excitation puisque cela conduirait à $\;Y\;$ infinie ; « si $\;\color {transparent}{c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$», $\color {transparent}{\succ }\;$« si $\;\color {transparent}{c=\omega ^{2}}\;$» on cherche alors une « solution particulière de la forme $\;y_{f}(t)=Y'\;{\sqrt {2}}\;t\;\sin(\omega \,t+\varphi _{y'})\;$» $\Rightarrow$ « si $\;\color {transparent}{c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$», $\color {transparent}{\succ }\;$« si $\;\color {transparent}{c=\omega ^{2}}\;$» «$\;{\dot {y_{f}}}(t)=Y'\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t+\varphi _{y'})+\omega \;Y'\;{\sqrt {2}}\;t\;\cos(\omega \,t+\varphi _{y'})\;$ $\Rightarrow$ $\;{\ddot {y_{f}}}(t)=2\;\omega \;Y'\;{\sqrt {2}}\;\cos(\omega \,t+\varphi _{y'})-\omega ^{2}\;Y'\;{\sqrt {2}}\;t\;\sin(\omega \,t+\varphi _{y'})\;$» soit, « si $\;\color {transparent}{c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$», $\color {transparent}{\succ }\;$« si $\;\color {transparent}{c=\omega ^{2}}\;$» en reportant dans l'équation différentielle et en tenant compte de «$\;c=\omega ^{2}\;$», l'équation en $\;\left(Y'\,,\,\varphi _{y'}\right)\;$ simplifiée suivante « si $\;\color {transparent}{c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$», $\color {transparent}{\succ }\;$« si $\;\color {transparent}{c=\omega ^{2}}\;$» «$\;2\;\omega \;Y'\;{\sqrt {2}}\;\cos(\omega \,t+\varphi _{y'})\;{\cancel {-\;\omega ^{2}\;Y'\;{\sqrt {2}}\;t\;\sin(\omega \,t+\varphi _{y'})+c\;Y'\;{\sqrt {2}}\;t\;\sin(\omega \,t+\varphi _{y'})}}\;=E\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)\;\;\forall \;t>0\;$» d'où « si $\;\color {transparent}{c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$», $\color {transparent}{\succ }\;$« si $\;\color {transparent}{c=\omega ^{2}}\;$» «$\;\varphi _{y'}=-{\dfrac {\pi }{2}}\;$» et «$\;Y'={\dfrac {E}{2\,\omega }}={\dfrac {E}{2\,{\sqrt {c}}}}\;$» et par suite «$\;y_{f}(t)=$ ${\dfrac {E}{2\,\omega }}\;{\sqrt {2}}\;t\;\sin \!\left(\omega \,t-{\dfrac {\pi }{2}}\right)=-{\dfrac {E}{2\,\omega }}\;{\sqrt {2}}\;t\;\cos(\omega \,t)\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$» ;
* « si $\;c\;$ est $\;<0\;$», le report de $\;y_{f}(t)=Y\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)\;$ dans l'équation nous conduit à «$\;\left(-\omega ^{2}+c\right)\,Y\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)=E\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)\;\;\forall \;t>0\;$» $\Rightarrow$ «$\;Y=-{\dfrac {E}{\omega ^{2}-c}}\;$» d'où « si $\;\color {transparent}{c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$», «$\;y_{f}(t)=$ $-{\dfrac {E\;{\sqrt {2}}}{\omega ^{2}-c}}\;\sin(\omega \,t)\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$».

##### Forme de la solution complète y(t) avant utilisation des C.I.

La solution complète avant utilisation des C.I. s'obtient par «$\;y(t)=y_{l}(t)+y_{f}(t)\;$ avec $\;y_{l}(t)\;$ solution libre et $\;y_{f}(t)\;$ solution forcée.
* « Si $\;c\;$ est $\;>0\;$ en étant $\;\neq \omega ^{2}\;$», «$\;y(t)=y_{l}(t)+y_{f}(t)=A\,\cos({\sqrt {c}}\;t+\varphi )+{\dfrac {E}{c-\omega ^{2}}}\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$», avec $\;\left(A\,,\,\varphi \right)\in \mathbb {R} ^{2}\;$ à déterminer par C.I. ;
* « si $\;c\;$ est $\;>0\;$ en étant $\;=\omega ^{2}\;$», «$\;y(t)=y_{l}(t)+y_{f}(t)=A\,\cos(\omega \;t+\varphi )-{\dfrac {E}{2\,\omega }}\;{\sqrt {2}}\;t\;\cos(\omega \,t)\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$», avec $\;\left(A\,,\,\varphi \right)\in \mathbb {R} ^{2}\;$ à déterminer par C.I. ;
* « si $\;c\;$ est $\;<0\;$», «$\;y(t)=y_{l}(t)+y_{f}(t)=A_{+}\,\exp({\sqrt {-c}}\;t)+A_{-}\,\exp(-{\sqrt {-c}}\;t)-{\dfrac {E}{\omega ^{2}-c}}\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$», avec $\;\left(A_{+}\,,\,A_{-}\right)$ $\in \mathbb {R} ^{2}\;$ à déterminer par C.I..

##### Utilisation des C.I. pour déterminer la solution complète y(t)

Il faut donc écrire dans les expressions précédentes «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}y(0^{+})=y_{0}\\{\dot {y}}(0^{+})={\dot {y}}_{0}\end{array}}\right\rbrace \;$» soit :
* « si $\;c\;$ est $\;>0\;$ en étant $\;\neq \omega ^{2}\;$», «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}y(0^{+})=A\,\cos(\varphi )\qquad \qquad \qquad \qquad \quad =y_{0}\\{\dot {y}}(0^{+})=-A\,{\sqrt {c}}\,\sin(\varphi )+{\dfrac {E}{c-\omega ^{2}}}\;{\sqrt {2}}\;\omega ={\dot {y}}_{0}\end{array}}\right\rbrace \;$» d'où «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A\,\cos(\varphi )=y_{0}\\A\,\sin(\varphi )={\dfrac {E}{c-\omega ^{2}}}\;{\sqrt {2}}\;{\dfrac {\omega }{\sqrt {c}}}-{\dfrac {{\dot {y}}_{0}}{\sqrt {c}}}\end{array}}\right\rbrace \;$» soit, « si $\;\color {transparent}{c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$ en étant $\;\color {transparent}{\neq \omega ^{2}}\;$», en utilisant $\;A\,\cos({\sqrt {c}}\;t+\varphi )=A\,\cos(\varphi )\,\cos({\sqrt {c}}\;t)-A\,\sin(\varphi )\,\sin({\sqrt {c}}\;t)$, la solution trouvée par transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace «$\;y(t)=y_{0}\,\cos({\sqrt {c}}\;t)+\left[{\dfrac {{\dot {y}}_{0}}{\sqrt {c}}}-{\dfrac {E\;{\sqrt {2}}}{c-\omega ^{2}}}\;{\dfrac {\omega }{\sqrt {c}}}\right]\sin({\sqrt {c}}\;t)+{\dfrac {E\;{\sqrt {2}}}{c-\omega ^{2}}}\;\sin(\omega \,t)\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$» ;
* « si $\;c\;$ est $\;>0\;$ en étant $\;=\omega ^{2}\;$», «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}y(0^{+})=A\,\cos(\varphi )\qquad \qquad \quad \quad =y_{0}\\{\dot {y}}(0^{+})=-A\,\omega \,\sin(\varphi )-{\dfrac {E}{2\,\omega }}\;{\sqrt {2}}={\dot {y}}_{0}\end{array}}\right\rbrace \;$» d'où «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A\,\cos(\varphi )=y_{0}\\A\,\sin(\varphi )=-{\dfrac {E}{2\,\omega ^{2}}}\;{\sqrt {2}}-{\dfrac {{\dot {y}}_{0}}{\omega }}\end{array}}\right\rbrace \;$» soit, « si $\;\color {transparent}{c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$ en étant $\;\color {transparent}{=\omega ^{2}}\;$», en utilisant $\;A\,\cos(\omega \;t+\varphi )=A\,\cos(\varphi )\,\cos(\omega \;t)-A\,\sin(\varphi )\,\sin(\omega \;t)$, la solution trouvée par transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace «$\;y(t)=y_{0}\,\cos(\omega \;t)+\left[{\dfrac {{\dot {y}}_{0}}{\omega }}+{\dfrac {E}{{\sqrt {2}}\;\omega ^{2}}}\right]\sin(\omega \;t)-{\dfrac {E}{{\sqrt {2}}\;\omega }}\;t\;\cos(\omega \,t)\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$» ;
* « si $\;c\;$ est $\;<0\;$», «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}y(0^{+})=A_{+}+A_{-}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;\;\,=y_{0}\\{\dot {y}}(0^{+})=A_{+}\,{\sqrt {-c}}-A_{-}\,{\sqrt {-c}}-{\dfrac {E}{\omega ^{2}-c}}\;{\sqrt {2}}\;\omega ={\dot {y}}_{0}\end{array}}\right\rbrace \;$» d'où «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A_{+}+A_{-}=y_{0}\\A_{+}-A_{-}={\dfrac {E}{\omega ^{2}-c}}\;{\sqrt {2}}\;{\dfrac {\omega }{\sqrt {-c}}}+{\dfrac {{\dot {y}}_{0}}{\sqrt {-c}}}\end{array}}\right\rbrace \;$» dont on tire aisément les constantes cherchées « si $\;\color {transparent}{c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$», «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A_{+}={\dfrac {1}{2}}\left[y_{0}+{\dfrac {E}{\omega ^{2}-c}}\;{\sqrt {2}}\;{\dfrac {\omega }{\sqrt {-c}}}+{\dfrac {{\dot {y}}_{0}}{\sqrt {-c}}}\right]\\A_{-}={\dfrac {1}{2}}\left[y_{0}-{\dfrac {E}{\omega ^{2}-c}}\;{\sqrt {2}}\;{\dfrac {\omega }{\sqrt {-c}}}-{\dfrac {{\dot {y}}_{0}}{\sqrt {-c}}}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» donnant effectivement la solution trouvée par transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace «$\;y(t)=\left[{\dfrac {E\;\omega }{(\omega ^{2}-c)\;{\sqrt {-2\;c}}}}+{\dfrac {{\dot {y}}_{0}+y_{0}\,{\sqrt {-c}}}{2\,{\sqrt {-c}}}}\right]\exp \!\left({\sqrt {-c}}\,t\right)-\left[{\dfrac {E\;\omega }{(\omega ^{2}-c)\;{\sqrt {-2\;c}}}}+{\dfrac {{\dot {y}}_{0}-y_{0}\,{\sqrt {-c}}}{2\,{\sqrt {-c}}}}\right]\exp \!\left(-{\sqrt {-c}}\,t\right)-{\dfrac {E\,{\sqrt {2}}}{\omega ^{2}-c}}\,\sin(\omega \,t)\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$».

### Résolution exposée sur un 2ème exemple : équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2ème ordre en y(t) hétérogène à excitation constante discontinue de 2ème espèce

Soit à résoudre, dans le domaine des fonctions à support positif, Soit à résoudre, l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2ème ordre en $\;y(t)\;$ hétérogène Soit à résoudre, l'équation différentielle linéaire à « excitation $\;e(t)=E\;Y(t)+E'\;\delta (t)$, $\;\left(E\,,\,E'\right)\in {\mathbb {R} ^{*}}^{2}\;$» discontinue de 2ème espèce en $\;t=0\;$ Soit à résoudre, l'équation différentielle linéaire avec les « C.I. $\;y(0^{-})=0\;$ et $\;{\dot {y}}(0^{-})=0\;$», Soit à résoudre, l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2ème ordre en $\;y(t)\;$ hétérogène à excitation constante discontinue de 2ème espèce en $\;t=0\;$ s'écrivant
$\;{\ddot {y}}(t)+b\;{\dot {y}}(t)+c\;y(t)=e(t)=E\;Y(t)+E'\;\delta (t)\;$
$\;\left(b\,,\,c\right)\in \left(\mathbb {R} _{+}^{*}\right)^{2}\;$
$\;c=\omega _{0}^{2}\;$
$\;\omega _{0}\in \mathbb {R} _{+}^{*}\;$
$\;b=2\;\sigma \;\omega _{0}\;$
$\;\sigma \in \mathbb {R} _{+}^{*}\;$
$\;{\ddot {y}}(t)+2\;\sigma \;\omega _{0}\;{\dot {y}}(t)+\omega _{0}^{2}\;y(t)=e(t)=E\;Y(t)+E'\;\delta (t)\;$

#### Réécriture de l'équation différentielle dans le « domaine de Laplace »

La « transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace de l'excitation $\;e(t)=E\;Y(t)+E'\;\delta (t)\;$» s'écrivant «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace e(t)\right\rbrace =E\;{\mathcal {L}}\left\lbrace Y(t)\right\rbrace +E'\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \delta (t)\right\rbrace \;$ $={\dfrac {E}{p}}+E'\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$», La « transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace de l'excitation nous obtenons, en utilisant le « rappel des propriétés utilisées » énoncé plus haut dans ce chapitre ainsi que La « transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace de l'excitation nous obtenons, en utilisant le caractère divergent en $\;t=0\;$ de $\;{\ddot {y}}(t)\;$ et La « transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace de l'excitation nous obtenons, en notant «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace y(t)\right\rbrace ={\underline {Y}}(p)\;$ » pour simplifier l'écriture, La « transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace de l'excitation nous obtenons, «$\;\left[p^{2}\;{\underline {Y}}(p){\cancel {-p\;y(0^{-})-{\dot {y}}(0^{-})}}\right]+b\,\left[p\;{\underline {Y}}(p){\cancel {-y(0^{-})}}\right]+c\;{\underline {Y}}(p)={\dfrac {E}{p}}+E'\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$»$^,$ soit La « transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace de l'excitation nous obtenons, «$\;p^{2}\;{\underline {Y}}(p)+b\;p\;{\underline {Y}}(p)+c\;{\underline {Y}}(p)={\dfrac {E}{p}}+E'\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$» ou, en notation de physique, La « transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace de l'excitation nous obtenons, «$\;p^{2}\;{\underline {Y}}(p)+2\;\sigma \;\omega _{0}\;p\;{\underline {Y}}(p)+\omega _{0}^{2}\;{\underline {Y}}(p)={\dfrac {E}{p}}+E'\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$».

#### Détermination de la transformée de Laplace de la solution de l'équation différentielle avec C.I.

De l'équation précédente on tire aisément «$\;{\underline {Y}}(p)={\dfrac {E}{p\;(p^{2}+b\,p+c)}}+{\dfrac {E'}{p^{2}+b\,p+c}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$» à condition que «$\;p^{2}+b\,p+c\;$ soit $\;\neq 0\;$» ou, en notation de physique, De l'équation précédente on tire aisément «$\;{\underline {Y}}(p)={\dfrac {E}{p\;(p^{2}+2\,\sigma \,\omega _{0}\,p+\omega _{0}^{2})}}+{\dfrac {E'}{p^{2}+2\,\sigma \,\omega _{0}\,p+\omega _{0}^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$» à condition que «$\;p^{2}+2\,\sigma \,\omega _{0}\,p+\omega _{0}^{2}\;$ soit $\;\neq 0\;$».

#### Détermination de la solution de l'équation différentielle avec C.I.

Il reste donc à déterminer l'« originale de $\;{\underline {Y}}(p)\;$ sous $\;\Re (p)>0\;$ dans l'hypothèse $\;p^{2}+b\,p+c\neq 0\;$» $\;{\big$nécessairement réalisée pour $\;\Re (p)>0\;$${\big ]}$.

##### Décomposition en éléments irréductibles simples dans le cas où b$^2$ - 4 c est > 0
###### Décomposition de la 1ère fonction rationnelle en éléments irréductibles simples dans le cas où la grandeur b$^2$ - 4 c est > 0

Si $\;b^{2}-4\;c\;$ est $\;>0$, « le trinôme $\;p^{2}+b\;p+c\;$ ayant deux racines réelles distinctes $\;q_{(\pm )}={\dfrac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4\;c}}}{2}}\;$», Si $\;\color {transparent}{b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, la décomposition de $\;A(p)={\dfrac {1}{p\,(p^{2}+b\,p+c)}}={\dfrac {1}{p\;(p-q_{(+)})\;(p-q_{(-)})}}\;$ en éléments irréductibles simples s'écrit $\;A(p)={\dfrac {\rho _{1}}{p}}+{\dfrac {\rho _{(+)}}{p-q_{(+)}}}+{\dfrac {\rho _{(-)}}{p-q_{(-)}}}\;$ dans lequel Si $\;\color {transparent}{b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, on détermine $\bullet \;$«$\;\rho _{1}\;$» en multipliant chaque membre par $\;p\;$ puis en y faisant $\;p=0\;$ soit $\;{\dfrac {1}{c}}=\rho _{1}\;$ d'où «$\;\rho _{1}={\dfrac {1}{c}}\;$», Si $\;\color {transparent}{b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, on détermine $\bullet \;$«$\;\rho _{(+)}\;$» en multipliant chaque membre par $\;p-q_{(+)}\;$ puis en y faisant $\;p=q_{(+)}\;$ soit $\;{\dfrac {1}{q_{(+)}\,[q_{(+)}-q_{(-)}]}}=\rho _{(+)}\;$ ou $\;{\dfrac {1}{q_{(+)}\;{\sqrt {b^{2}-4\;c}}}}=\rho _{(+)}\;$ soit Si $\;\color {transparent}{b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, on détermine $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\rho _{(+)}={\dfrac {1}{\sqrt {b^{2}-4\;c}}}\;{\dfrac {1}{q_{(+)}}}\;$» ou encore, avec $\;q_{(+)}={\dfrac {-b+{\sqrt {b^{2}-4\;c}}}{2}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;\rho _{(+)}={\dfrac {2}{{\sqrt {b^{2}-4\;c}}\left(-b+{\sqrt {b^{2}-4\;c}}\right)}}\;$» et Si $\;\color {transparent}{b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, on détermine $\bullet \;$«$\;\rho _{(-)}\;$» en multipliant chaque membre par $\;p-q_{(-)}\;$ puis en y faisant $\;p=q_{(-)}\;$ soit $\;{\dfrac {1}{q_{(-)}\,[q_{(-)}-q_{(+)}]}}=\rho _{(-)}\;$ ou $\;{\dfrac {-1}{q_{(-)}\;{\sqrt {b^{2}-4\;c}}}}=\rho _{(-)}\;$ soit Si $\;\color {transparent}{b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, on détermine $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\rho _{(-)}={\dfrac {1}{\sqrt {b^{2}-4\;c}}}\;{\dfrac {-1}{q_{(-)}}}\;$» ou encore, avec $\;q_{(-)}={\dfrac {-b-{\sqrt {b^{2}-4\;c}}}{2}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;\rho _{(-)}={\dfrac {2}{{\sqrt {b^{2}-4\;c}}\left(b+{\sqrt {b^{2}-4\;c}}\right)}}$» Si $\;\color {transparent}{b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, soit finalement la décomposition de $\;A(p)\;$ en éléments irréductibles simples dans le cas où $\;b^{2}-4\;c\;$ est $\;>0\;$ selon Si $\;\color {transparent}{b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, soit finalement la décomposition de «$\;A(p)={\dfrac {1}{p\,(p^{2}+b\,p+c)}}={\dfrac {1}{c}}\;{\dfrac {1}{p}}+{\dfrac {1}{\sqrt {b^{2}-4\;c}}}\,\left[{\dfrac {\dfrac {1}{q_{(+)}}}{p-q_{(+)}}}-{\dfrac {\dfrac {1}{q_{(-)}}}{p-q_{(-)}}}\right]\;$» avec «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}q_{(+)}={\dfrac {-b+{\sqrt {b^{2}-4\;c}}}{2}}\\q_{(-)}={\dfrac {-b-{\sqrt {b^{2}-4\;c}}}{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$».
Remarque : En adoptant la notation physique, « le discriminant $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ se réécrivant $\;\Delta =4\;\omega _{0}^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\;$», « la condition $\;b^{2}-4\;c>0\;$ correspond à $\;\sigma >1\;$» et Remarque : En adoptant la notation physique, la décomposition de la 1ère fonction rationnelle $\;A(p)={\dfrac {1}{p\,(p^{2}+2\,\sigma \,\omega _{0}\,p+\omega _{0}^{2})}}\;$ en éléments irréductibles simples s'écrit Remarque : En adoptant la notation physique, «$\;A(p)={\dfrac {1}{\omega _{0}^{2}}}\;{\dfrac {1}{p}}+{\dfrac {1}{2\,\omega _{0}^{2}\,{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}}\,\left[{\dfrac {q_{(-),\,{\text{réd}}}}{p-\omega _{0}\;q_{(+),\,{\text{réd}}}}}-{\dfrac {q_{(+),\,{\text{réd}}}}{p-\omega _{0}\;q_{(-),\,{\text{réd}}}}}\right]\;$» avec «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}q_{(+),\,{\text{réd}}}={\dfrac {q_{(+)}}{\omega _{0}}}=-\left(\sigma -{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right)\\q_{(-),\,{\text{réd}}}={\dfrac {q_{(-)}}{\omega _{0}}}=-\left(\sigma +{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$».

###### Décomposition de la 2ème fonction rationnelle en éléments irréductibles simples dans le cas où la grandeur b$^2$ - 4 c est > 0

Si $\;b^{2}-4\;c\;$ est $\;>0$, « le trinôme $\;p^{2}+b\;p+c\;$ ayant deux racines réelles distinctes $\;q_{(\pm )}={\dfrac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4\;c}}}{2}}\;$», Si $\;\color {transparent}{b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, la décomposition de $\;B(p)={\dfrac {1}{p^{2}+b\,p+c}}={\dfrac {1}{(p-q_{(+)})\;(p-q_{(-)})}}\;$ en éléments irréductibles simples s'écrit $\;B(p)={\dfrac {{\rho '}_{(+)}}{p-q_{(+)}}}+{\dfrac {{\rho '}_{(-)}}{p-q_{(-)}}}\;$ dans lequel on détermine Si $\;\color {transparent}{b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, $\bullet \;$«$\;{\rho '}_{(+)}\;$» en multipliant chaque membre par $\;p-q_{(+)}\;$ et en y faisant $\;p=q_{(+)}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {1}{q_{(+)}-q_{(-)}}}={\rho '}_{(+)}\;$ ou $\;{\dfrac {1}{\sqrt {b^{2}-4\;c}}}={\rho '}_{(+)}\;$ soit «$\;{\rho '}_{(+)}={\dfrac {1}{\sqrt {b^{2}-4\;c}}}\;$» et Si $\;\color {transparent}{b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, $\bullet \;$«$\;{\rho '}_{(-)}\;$» en multipliant les deux membres par $\;p-q_{(-)}\;$ et en y faisant $\;p=q_{(-)}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {1}{q_{(-)}-q_{(+)}}}={\rho '}_{(-)}\;$ ou $\;{\dfrac {-1}{\sqrt {b^{2}-4\;c}}}={\rho '}_{(-)}\;$ soit «$\;{\rho '}_{(-)}={\dfrac {-1}{\sqrt {b^{2}-4\;c}}}\;$».
Remarque : En adoptant la notation physique, « le discriminant $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ se réécrivant $\;\Delta =4\;\omega _{0}^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\;$», « la condition $\;b^{2}-4\;c>0\;$ correspond à $\;\sigma >1\;$» et Remarque : En adoptant la notation physique, la décomposition de la 2ème fonction rationnelle $\;B(p)={\dfrac {1}{p^{2}+2\,\sigma \,\omega _{0}\,p+\omega _{0}^{2}}}\;$ en éléments irréductibles simples s'écrit Remarque : En adoptant la notation physique, «$\;B(p)={\dfrac {1}{2\,\omega _{0}^{2}\,{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}}\,\left[{\dfrac {1}{p-\omega _{0}\;q_{(+),\,{\text{réd}}}}}-{\dfrac {1}{p-\omega _{0}\;q_{(-),\,{\text{réd}}}}}\right]\;$» avec «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}q_{(+),\,{\text{réd}}}={\dfrac {q_{(+)}}{\omega _{0}}}=-\left(\sigma -{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right)\\q_{(-),\,{\text{réd}}}={\dfrac {q_{(-)}}{\omega _{0}}}=-\left(\sigma +{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$».

###### Décomposition de la transformée de Laplace de la solution globale en éléments irréductibles simples dans le cas où la grandeur b$^2$ - 4 c est > 0

En reportant les décompositions précédentes en éléments irréductibles simples dans $\;{\underline {Y}}(p)=E\;A(p)+E'\;B(p)\;$ nous obtenons, après regroupement des éléments irréductibles simples identiques
$\;{\underline {Y}}(p)={\dfrac {E}{c}}\;{\dfrac {1}{p}}+{\dfrac {1}{\sqrt {b^{2}-4\,c}}}\left[{\dfrac {{\dfrac {E}{q_{(+)}}}+E'}{p-q_{(+)}}}-{\dfrac {{\dfrac {E}{q_{(-)}}}+E'}{p-q_{(-)}}}\right]\;$
$\;\Re (p)>0\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}q_{(+)}={\dfrac {-b+{\sqrt {b^{2}-4\;c}}}{2}}\\q_{(-)}={\dfrac {-b-{\sqrt {b^{2}-4\;c}}}{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$
Remarque : En adoptant la notation physique, « le discriminant $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ se réécrivant $\;\Delta =4\;\omega _{0}^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\;$», « la condition $\;b^{2}-4\;c>0\;$ correspond à $\;\sigma >1\;$» et Remarque : En adoptant la notation physique, la décomposition de la transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace de la solution globale en éléments irréductibles simples s'écrit
$\;{\underline {Y}}(p)={\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}\;{\dfrac {1}{p}}+{\dfrac {1}{2\,\omega _{0}^{2}\,{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}}\left[{\dfrac {{\dfrac {E}{q_{(+),\,{\text{réd}}}}}+\omega _{0}\;E'}{p-\omega _{0}\,q_{(+),\,{\text{réd}}}}}-{\dfrac {{\dfrac {E}{q_{(-),\,{\text{réd}}}}}+\omega _{0}\;E'}{p-\omega _{0}\,q_{(-),\,{\text{réd}}}}}\right]\;$
$\;\Re (p)>0\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}q_{(+),\,{\text{réd}}}={\dfrac {q_{(+)}}{\omega _{0}}}=-\left(\sigma -{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right)\\q_{(-),\,{\text{réd}}}={\dfrac {q_{(-)}}{\omega _{0}}}=-\left(\sigma +{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$

##### Détermination de l'originale de la transformée (monolatérale) de Laplace de la solution de l'équation différentielle dans le cas où la grandeur b$^2$ - 4 c est > 0

Il reste alors à chercher l'« originale de la transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;{\underline {Y}}(p)={\dfrac {E}{c}}\;{\dfrac {1}{p}}+{\dfrac {1}{\sqrt {b^{2}-4\,c}}}\left[{\dfrac {{\dfrac {E}{q_{(+)}}}+E'}{p-q_{(+)}}}-{\dfrac {{\dfrac {E}{q_{(-)}}}+E'}{p-q_{(-)}}}\right]\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$» sachant que Il reste alors à chercher l'« originale de la transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace $\bullet \;$«$\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{p}}\right\rbrace =Y(t)\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$» et Il reste alors à chercher l'« originale de la transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace $\bullet \;$«$\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{p+a}}\right\rbrace =\exp(-a\,t)\;Y(t)\;$ pour $\;\Re (p)>-a\;$» donc a fortiori Il reste alors à chercher l'« originale de la transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{p+a}}\right\rbrace =\exp(-a\,t)\;Y(t)}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$ dans la mesure où $\;a\;$ est $\;>0\;$ ;
nous en déduisons, compte-tenu de la linéarité de la transformation $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ inverse de Laplace$^,$ et dans le cas où $\;b^{2}-4\;c\;$ est $\;>0\;$ c.-à-d. dans le cas d'un régime apériodique, nous en déduisons, la solution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2ème ordre en $\;y(t)\;$ hétérogène à excitation constante discontinue de 2ème espèce en $\;t=0\;$ :
$\;y(t)={\dfrac {E}{c}}\;Y(t)+{\dfrac {1}{\sqrt {b^{2}-4\,c}}}\left\lbrace \left[{\dfrac {E}{q_{(+)}}}+E'\right]\exp \!\left[q_{(+)}\;t\right]-\left[{\dfrac {E}{q_{(-)}}}+E'\right]\exp \!\left[q_{(-)}\;t\right]\right\rbrace Y(t)\;$
$\;q_{(+)}={\dfrac {-b+{\sqrt {b^{2}-4\;c}}}{2}}<0\;$
$\;q_{(-)}={\dfrac {-b-{\sqrt {b^{2}-4\;c}}}{2}}<0\;$
Remarque : En adoptant la notation physique, « le discriminant $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ se réécrivant $\;\Delta =4\;\omega _{0}^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\;$», « la condition $\;b^{2}-4\;c>0\;$ correspond à $\;\sigma >1\;$» et Remarque : En adoptant la notation physique, la solution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2ème ordre en $\;y(t)\;$ hétérogène Remarque : En adoptant la notation physique, la solution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2ème ordre à excitation constante discontinue de 2ème espèce en $\;t=0\;$ Remarque : En adoptant la notation physique, s'écrit «$\;y(t)={\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}\;Y(t)+{\dfrac {1}{2\,\omega _{0}^{2}\,{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}}\left\lbrace \left[{\dfrac {E}{q_{(+),\,{\text{réd}}}}}+\omega _{0}\;E'\right]\exp \!\left[\omega _{0}\;q_{(+),\,{\text{réd}}}\;t\right]-\left[{\dfrac {E}{q_{(-),\,{\text{réd}}}}}+\omega _{0}\;E'\right]\exp \!\left[\omega _{0}\;q_{(-),\,{\text{réd}}}\;t\right]\right\rbrace Y(t)\;$» avec Remarque : En adoptant la notation physique, s'écrit «$\;q_{(+),\,{\text{réd}}}={\dfrac {q_{(+)}}{\omega _{0}}}=-\left(\sigma -{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right)\;$ et $\;q_{(-),\,{\text{réd}}}={\dfrac {q_{(-)}}{\omega _{0}}}=-\left(\sigma +{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right)\;$».
Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons $\;t=0^{+}\;$ dans la solution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2ème ordre en $\;y(t)\;$ Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ dans la solution de hétérogène à excitation constante dans le cas où $\;b^{2}-4\;c\;$ est $\;>0\;$ puis Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ dans sa dérivée temporelle 1ère $\;{\dot {y}}(t)\;$ nous obtenons : Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ $\bullet \;$«$\;y(0^{+})={\dfrac {E}{c}}+{\dfrac {1}{\sqrt {b^{2}-4\;c}}}\left\lbrace \left[{\dfrac {E}{q_{(+)}}}+E'\right]-\left[{\dfrac {E}{q_{(-)}}}+E'\right]\right\rbrace ={\dfrac {E}{c}}+{\dfrac {E}{\sqrt {b^{2}-4\;c}}}\;{\dfrac {q_{(-)}-q_{(+)}}{q_{(+)}\;q_{(-)}}}$ Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{y(0^{+})}$ $={\dfrac {E}{c}}+{\dfrac {E}{\sqrt {b^{2}-4\;c}}}\;{\dfrac {-{\sqrt {b^{2}-4\;c}}}{c}}=0\;$» ou, en adoptant la notation physique, Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;y(0^{+})={\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}+{\dfrac {1}{2\,\omega _{0}^{2}\,{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}}\left\lbrace \left[{\dfrac {E}{q_{(+),\,{\text{réd}}}}}+\omega _{0}\;E'\right]-\left[{\dfrac {E}{q_{(-),\,{\text{réd}}}}}+\omega _{0}\;E'\right]\right\rbrace$ Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{y(0^{+})}$ $={\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}\left\lbrace 1+{\dfrac {1}{2\,{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}}\left[{\dfrac {1}{q_{(+),\,{\text{réd}}}}}-{\dfrac {1}{q_{(-),\,{\text{réd}}}}}\right]\right\rbrace \;$ ou, Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{y(0^{+})}$ $={\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}\left\lbrace 1+{\dfrac {1}{2\,{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}}\left[q_{(-),\,{\text{réd}}}-q_{(+),\,{\text{réd}}}\right]\right\rbrace \;$ car $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\dfrac {1}{q_{(+),\,{\text{réd}}}}}=q_{(-),\,{\text{réd}}}\\{\dfrac {1}{q_{(-),\,{\text{réd}}}}}=q_{(+),\,{\text{réd}}}\end{array}}\right\rbrace \;$, soit, Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{y(0^{+})}$ $={\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}\left\lbrace 1+{\dfrac {1}{2\,{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}}\left[-2\,{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right]\right\rbrace =0\;$», soit «$\;y(0^{+})=0\;$» c.-à-d. Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$une valeur post-initiale de la solution en accord avec la continuité de la solution à l'instant $\;t=0$ ; Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ $\bullet \;$«$\;{\dot {y}}(0^{+})\;$ contient deux termes $\;\propto \;$ à $\;{\dot {Y}}(0^{+})=\delta (0^{+})=0\;$$^,$$^,$ et Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{{\dot {y}}(0^{+})}\;$ contient un dernier terme $\;=E'\;{\dfrac {q_{(+)}-q_{(-)}}{\sqrt {b^{2}-4\,c}}}\;$ $\;=E'\;{\dfrac {\sqrt {b^{2}-4\,c}}{\sqrt {b^{2}-4\,c}}}\;$ $\;=E'\;$ d'où Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;{\dot {y}}(0^{+})=E'\;$» qu'on retrouve également en adoptant la notation physique, selon Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;{\dot {y}}(0^{+})\;$ contient deux termes $\;\propto \;$ à $\;{\dot {Y}}(0^{+})=\delta (0^{+})=0\;$$^,$$^,$ et Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{{\dot {y}}(0^{+})}\;$ contient un dernier terme $\;=E'\;{\dfrac {q_{(+),\,{\text{réd}}}-q_{(-),\,{\text{réd}}}}{2\,{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}}\;$ $\;=E'\;{\dfrac {2\,{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}{2\,{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}}\;$ Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{{\dot {y}}(0^{+})}\;$ contient un dernier terme $\;=E'\;$» soit finalement «$\;{\dot {y}}(0^{+})=E'\;$» c.-à-d. Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$une valeur post-initiale de $\;{\dot {y}}(t)\;$ en accord avec sa discontinuité de 1ère espèce à $\;t=0\;$.

##### Décomposition en éléments irréductibles simples dans le cas où b$^2$ - 4 c est = 0
###### Décomposition de la 1ère fonction rationnelle en éléments irréductibles simples dans le cas où la grandeur b$^2$ - 4 c est = 0

Si $\;b^{2}-4\;c\;$ est $\;=0$, « le trinôme $\;p^{2}+b\;p+c\;$ ayant une racine double réelle $\;q_{(d)}={\dfrac {-b}{2}}=-{\sqrt {c}}\;$», Si $\;\color {transparent}{b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{=0}$, la décomposition de $\;A'(p)={\dfrac {1}{p\,(p^{2}+b\,p+c)}}={\dfrac {1}{p\,\left[p-q_{(d)}\right]^{2}}}\;$ en éléments irréductibles simples s'écrit $\;A'(p)={\dfrac {\rho _{2}}{p}}+{\dfrac {\rho _{(d),\,1}}{\left[p-q_{(d)}\right]^{2}}}+{\dfrac {\rho _{(d),\,2}}{p-q_{(d)}}}\;$ dans lequel Si $\;\color {transparent}{b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{=0}$, on détermine $\bullet \;$«$\;\rho _{2}\;$» en multipliant chaque membre par $\;p\;$ puis en y faisant $\;p=0\;$ soit $\;{\dfrac {1}{c}}=\rho _{2}\;$ d'où «$\;\rho _{2}={\dfrac {1}{c}}\;$», Si $\;\color {transparent}{b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{=0}$, on détermine $\bullet \;$«$\;\rho _{(d),\,1}\;$» en multipliant chaque membre par $\;\left[p-q_{(d)}\right]^{2}\;$ puis en y faisant $\;p=q_{(d)}\;$ soit $\;{\dfrac {1}{q_{(d)}}}=\rho _{(d),\,1}\;$ ou «$\;\rho _{(d),\,1}={\dfrac {1}{q_{(d)}}}=-{\dfrac {1}{\sqrt {c}}}\;$» et Si $\;\color {transparent}{b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{=0}$, on détermine $\bullet \;$«$\;\rho _{(d),\,2}\;$» en multipliant chaque membre par $\;p-q_{(d)}\;$ puis en y faisant $\;p\rightarrow \infty \;$ soit $\;0=\rho _{2}+\rho _{(d),\,2}\;$ d'où «$\;\rho _{(d),\,2}=-\rho _{2}=-{\dfrac {1}{c}}\;$» Si $\;\color {transparent}{b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{=0}$, soit finalement la décomposition de $\;A'(p)\;$ en éléments irréductibles simples dans le cas où $\;b^{2}-4\;c\;$ est $\;=0\;$ selon Si $\;\color {transparent}{b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{=0}$, soit finalement la décomposition de «$\;A'(p)={\dfrac {1}{p\,(p^{2}+b\,p+c)}}={\dfrac {1}{c}}\;{\dfrac {1}{p}}-{\dfrac {1}{\sqrt {c}}}\,{\dfrac {1}{\left[p-q_{(d)}\right]^{2}}}-{\dfrac {1}{c}}\;{\dfrac {1}{p-q_{(d)}}}\;$» avec «$\;q_{(d)}={\dfrac {-b}{2}}=-{\sqrt {c}}\;$».
Remarque : En adoptant la notation physique, « le discriminant $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ se réécrivant $\;\Delta =4\;\omega _{0}^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\;$», « la condition $\;b^{2}-4\;c=0\;$ correspond à $\;\sigma =1\;$» et Remarque : En adoptant la notation physique, la décomposition de la 1ère fonction rationnelle $\;A'(p)={\dfrac {1}{p\,(p^{2}+2\,\sigma \,\omega _{0}\,p+\omega _{0}^{2})}}\;$ en éléments irréductibles simples s'écrit Remarque : En adoptant la notation physique, «$\;A'(p)=\left[{\dfrac {1}{p\,(p^{2}+2\,\sigma \,\omega _{0}\,p+\omega _{0}^{2})}}\right]_{\sigma =1}={\dfrac {1}{\omega _{0}^{2}}}\;{\dfrac {1}{p}}-{\dfrac {1}{\omega _{0}}}\,{\dfrac {1}{\left[p-\omega _{0}\;q_{(d),\,{\text{réd}}}\right]^{2}}}-{\dfrac {1}{\omega _{0}^{2}}}\;{\dfrac {1}{p-\omega _{0}\;q_{(d),\,{\text{réd}}}}}\;$» avec «$\;q_{(d),\,{\text{réd}}}={\dfrac {q_{(d)}}{\omega _{0}}}=-1\;$», soit Remarque : En adoptant la notation physique, «$\;A'(p)=\left[{\dfrac {1}{p\,(p^{2}+2\,\sigma \,\omega _{0}\,p+\omega _{0}^{2})}}\right]_{\sigma =1}={\dfrac {1}{\omega _{0}^{2}}}\;{\dfrac {1}{p}}-{\dfrac {1}{\omega _{0}}}\,{\dfrac {1}{\left[p+\omega _{0}\right]^{2}}}-{\dfrac {1}{\omega _{0}^{2}}}\;{\dfrac {1}{p+\omega _{0}}}\;$».

###### Décomposition de la 2ème fonction rationnelle en éléments irréductibles simples dans le cas où la grandeur b$^2$ - 4 c est = 0

Si $\;b^{2}-4\;c\;$ est $\;=0$, « le trinôme $\;p^{2}+b\;p+c\;$ ayant une racine double réelle $\;q_{(d)}={\dfrac {-b}{2}}=-{\sqrt {c}}\;$», Si $\;\color {transparent}{b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{=0}$, la décomposition de $\;B'(p)={\dfrac {1}{p^{2}+b\,p+c}}={\dfrac {1}{\left[p-q_{(d)}\right]^{2}}}\;$ en éléments irréductibles simples s'écrit «$\;B'(p)={\dfrac {1}{\left[p-q_{(d)}\right]^{2}}}\;$» avec «$\;q_{(d)}={\dfrac {-b}{2}}=-{\sqrt {c}}\;$».
Remarque : En adoptant la notation physique, « le discriminant $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ se réécrivant $\;\Delta =4\;\omega _{0}^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\;$», « la condition $\;b^{2}-4\;c=0\;$ correspond à $\;\sigma =1\;$» et Remarque : En adoptant la notation physique, la décomposition de la 2ème fonction rationnelle $\;B'(p)=\left[{\dfrac {1}{p^{2}+2\,\sigma \,\omega _{0}\,p+\omega _{0}^{2}}}\right]_{\sigma =1}\;$ s'écrit Remarque : En adoptant la notation physique, la décomposition de la 2ème fonction rationnelle «$\;B'(p)={\dfrac {1}{\left[p-\omega _{0}\,q_{(d),\,{\text{réd}}}\right]^{2}}}={\dfrac {1}{\left[p+\omega _{0}\right]^{2}}}\;$» car «$\;q_{(d),\,{\text{réd}}}={\dfrac {q_{(d)}}{\omega _{0}}}=-1\;$».

###### Décomposition de la transformée de Laplace de la solution globale en éléments irréductibles simples dans le cas où la grandeur b$^2$ - 4 c est = 0

En reportant les décompositions précédentes en éléments irréductibles simples dans $\;{\underline {Y}}(p)=E\;A'(p)+E'\;B'(p)\;$ nous obtenons, après regroupement des éléments irréductibles simples identiques
$\;{\underline {Y}}(p)={\dfrac {E}{c}}\;{\dfrac {1}{p}}-\left[{\dfrac {E}{\sqrt {c}}}-E'\right]{\dfrac {1}{\left[p-q_{(d)}\right]^{2}}}-{\dfrac {E}{c}}\;{\dfrac {1}{p-q_{(d)}}}\;$
$\;\Re (p)>0\;$
$\;q_{(d)}={\dfrac {-b}{2}}=-{\sqrt {c}}\;$
Remarque : En adoptant la notation physique, « le discriminant $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ se réécrivant $\;\Delta =4\;\omega _{0}^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\;$», « la condition $\;b^{2}-4\;c=0\;$ correspond à $\;\sigma =1\;$» et Remarque : En adoptant la notation physique, la décomposition de la transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace de la solution globale en éléments irréductibles simples s'écrit
$\;{\underline {Y}}(p)={\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}\;{\dfrac {1}{p}}-\left[{\dfrac {E}{\omega _{0}}}-E'\right]{\dfrac {1}{\left[p-\omega _{0}\,q_{(d),\,{\text{réd}}}\right]^{2}}}-{\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}\;{\dfrac {1}{p-\omega _{0}\,q_{(d),\,{\text{réd}}}}}={\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}\;{\dfrac {1}{p}}-\left[{\dfrac {E}{\omega _{0}}}-E'\right]{\dfrac {1}{\left[p+\omega _{0}\right]^{2}}}-{\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}\;{\dfrac {1}{p+\omega _{0}}}\;$
$\;\Re (p)>0\;$
$\;q_{(d),\,{\text{réd}}}={\dfrac {q_{(d)}}{\omega _{0}}}=-1\;$

##### Détermination de l'originale de la transformée (monolatérale) de Laplace de la solution de l'équation différentielle dans le cas où la grandeur b$^2$ - 4 c est = 0

Il reste alors à chercher l'« originale de la transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;{\underline {Y}}(p)={\dfrac {E}{c}}\;{\dfrac {1}{p}}-\left[{\dfrac {E}{\sqrt {c}}}-E'\right]{\dfrac {1}{\left[p-q_{(d)}\right]^{2}}}-{\dfrac {E}{c}}\;{\dfrac {1}{p-q_{(d)}}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$» sachant que Il reste alors à chercher l'« originale de la transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace $\bullet \;$«$\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{p}}\right\rbrace =Y(t)\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$», Il reste alors à chercher l'« originale de la transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace $\bullet \;$«$\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{p+a}}\right\rbrace =\exp(-a\,t)\;Y(t)\;$ pour $\;\Re (p)>-a\;$» donc a fortiori Il reste alors à chercher l'« originale de la transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{p+a}}\right\rbrace =\exp(-a\,t)\;Y(t)}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$ dans la mesure où $\;a\;$ est $\;>0\;$ et Il reste alors à chercher l'« originale de la transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace $\bullet \;$$\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{(p+a)^{2}}}\right\rbrace =t\;\exp(-a\,t)\;Y(t)\;$ pour $\;\Re (p)>-a\;$ donc a fortiori Il reste alors à chercher l'« originale de la transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{p+a}}\right\rbrace =\exp(-a\,t)\;Y(t)}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$ dans la mesure où $\;a\;$ est $\;>0\;$ ;
nous en déduisons, compte-tenu de la linéarité de la transformation $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ inverse de Laplace$^,$ et dans le cas où $\;b^{2}-4\;c\;$ est $\;=0\;$ c.-à-d. dans le cas d'un régime apériodique critique, nous en déduisons, la solution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2ème ordre en $\;y(t)\;$ hétérogène à excitation constante discontinue de 2ème espèce en $\;t=0\;$ :
$\;y(t)={\dfrac {E}{c}}\;Y(t)-\left\lbrace \left[{\dfrac {E}{\sqrt {c}}}-E'\right]t\;\exp \!\left[q_{(d)}\;t\right]+{\dfrac {E}{c}}\;\exp \!\left[q_{(d)}\;t\right]\right\rbrace Y(t)\;$
$\;q_{(d)}={\dfrac {-b}{2}}=-{\sqrt {c}}<0\;$
Remarque : En adoptant la notation physique, « le discriminant $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ se réécrivant $\;\Delta =4\;\omega _{0}^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\;$», « la condition $\;b^{2}-4\;c=0\;$ correspond à $\;\sigma =1\;$» et la solution globale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2ème ordre en $\;y(t)\;$ hétérogène à excitation constante discontinue de 2ème espèce en $\;t=0\;$ s'écrit
$\;y(t)={\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}\;Y(t)-\left\lbrace \left[{\dfrac {E}{\omega _{0}}}-E'\right]t\;\exp \!\left[\omega _{0}\;q_{(d),\,{\text{réd}}}\;t\right]+{\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}\;\exp \!\left[\omega _{0}\;q_{(d),\,{\text{réd}}}\;t\right]\right\rbrace Y(t)\;$
$\;q_{(d),\,{\text{réd}}}={\dfrac {q_{(d)}}{\omega _{0}}}=-1\;$
$\;y(t)={\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}\;Y(t)-\left\lbrace \left[{\dfrac {E}{\omega _{0}}}-E'\right]t\;\exp \!\left[-\omega _{0}\;t\right]+{\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}\;\exp \!\left[-\omega _{0}\;t\right]\right\rbrace Y(t)\;$
Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons $\;t=0^{+}\;$ dans la solution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2ème ordre en $\;y(t)\;$ Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ dans la solution de hétérogène à excitation constante dans le cas où $\;b^{2}-4\;c\;$ est $\;=0\;$ puis Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ dans celle de sa dérivée temporelle $\;{\dot {y}}(t)\;$ nous obtenons :  Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ $\bullet \;$«$\;y(0^{+})={\dfrac {E}{c}}-{\dfrac {E}{c}}=0\;$» ou, en adoptant la notation physique, Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;y(0^{+})={\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}-{\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}=0\;$» c.-à-d. une valeur post-initiale de la solution en accord avec la Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{y(0^{+})=\omega _{0}^{2}-\omega _{0}^{2}=0}\;$» c.-à-d. une valeur post-initiale continuité de la solution à l'instant $\;t=0$ ; Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ $\bullet \;$«$\;{\dot {y}}(0^{+})\;$ contient deux termes $\;\propto \;$ à $\;{\dot {Y}}(0^{+})=\delta (0^{+})=0\;$$^,$$^,$ et Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{{\dot {y}}(0^{+})}\;$ contient un dernier terme $\;=E'-{\dfrac {E}{\sqrt {c}}}\left[1+{\dfrac {q_{(d)}}{\sqrt {c}}}\right]\;$ $\;=E'\;$ car $\;q_{(d)}=-{\sqrt {c}}\;$ d'où Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;{\dot {y}}(0^{+})=E'\;$» qu'on retrouve également en adoptant la notation physique, selon Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;{\dot {y}}(0^{+})\;$ contient deux termes $\;\propto \;$ à $\;{\dot {Y}}(0^{+})=\delta (0^{+})=0\;$$^,$$^,$ et Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{{\dot {y}}(0^{+})}\;$ contient un terme $\;=E'-{\dfrac {E}{\omega _{0}}}\,\left[1+q_{(d),\,{\text{réd}}}\right]\;$ $\;=E'\;$ car $\;q_{(d),\,{\text{réd}}}=-1\;$ d'où Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;{\dot {y}}(0^{+})=E'\;$» c.-à-d. une valeur post-initiale de $\;{\dot {y}}(t)\;$ en accord avec sa Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{{\dot {y}}(0^{+})=E'}\;$» c.-à-d. une valeur post-initiale discontinuité de 1ère espèce à $\;t=0\;$.

##### Décomposition en éléments irréductibles simples dans le cas où b$^2$ - 4 c est < 0
###### Décomposition de la 1ère fonction rationnelle en éléments irréductibles simples dans le cas où la grandeur b$^2$ - 4 c est < 0

Si $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ est $\;<0$, « le trinôme $\;p^{2}+b\;p+c\;$ ayant deux racines complexes conjuguées $\;{\underline {q_{(\pm )}}}={\dfrac {-b\pm i\,{\sqrt {\vert \Delta \vert }}}{2}}=q_{re}\pm i\,q_{im}\;$ où $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}q_{re}=\Re \!\left[{\underline {q_{(\pm )}}}\right]=-{\dfrac {b}{2}}<0\\q_{im}=\Im \!\left[{\underline {q_{(\pm )}}}\right]={\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}>0\end{array}}\right\rbrace \;$», Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}$, la décomposition de $\;A''(p)={\dfrac {1}{p\,(p^{2}+b\,p+c)}}\;$ en éléments irréductibles simples s'écrit $\;A''(p)={\dfrac {\rho _{3}}{p}}+{\dfrac {\rho _{c,\,1}\,p+\rho _{c,\,2}}{p^{2}+b\,p+c}}={\dfrac {\rho _{3}}{p}}+{\dfrac {\rho _{c,\,1}\,p+\rho _{c,\,2}}{\left[p+{\dfrac {b}{2}}\right]^{2}+c-{\dfrac {b^{2}}{4}}}}$ Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}$, la décomposition de $\;\color {transparent}{A''(p)=p\,(p^{2}+b\,p+c)}\;$ en éléments irréductibles simples s'écrit $\;\color {transparent}{A''(p)}$ $={\dfrac {\rho _{3}}{p}}+{\dfrac {\rho _{c,\,1}\,p+\rho _{c,\,2}}{\left[p-q_{re}\right]^{2}+q_{im}^{2}}}\;$ dans lequel on détermine Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}$, la décomposition $\bullet \;$«$\;\rho _{3}\;$» en multipliant chaque membre par $\;p\;$ puis en y faisant $\;p=0\;$ soit $\;{\dfrac {1}{c}}=\rho _{3}\;$ d'où «$\;\rho _{3}={\dfrac {1}{c}}\;$», Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}$, la décomposition $\bullet \;$«$\;\rho _{c,\,1}\;$» en multipliant chaque membre par exemple par $\;p\;$ puis en y faisant $\;p\rightarrow \infty \;$ soit $\;0=\rho _{3}+\rho _{c,\,1}\;$ d'où selon «$\;\rho _{c,\,1}=-\rho _{3}=-{\dfrac {1}{c}}\;$» et Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}$, la décomposition $\bullet \;$«$\;\rho _{c,\,2}\;$» en multipliant chaque membre par exemple par $\;p-q_{re}-i\,q_{im}\;$ puis en y faisant $\;p=q_{re}+i\,q_{im}\;$ soit Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}$, la décomposition $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{\rho _{c,\,2}}\;$» en multipliant $\;{\dfrac {1}{(q_{re}+i\,q_{im})\;(2\,i\,q_{im})}}={\dfrac {\rho _{c,\,1}\;(q_{re}+i\,q_{im})+\rho _{c,\,2}}{2\,i\,q_{im}}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\rho _{c,\,1}\;(q_{re}+i\,q_{im})+\rho _{c,\,2}={\dfrac {1}{q_{re}+i\,q_{im}}}={\dfrac {q_{re}-i\,q_{im}}{q_{re}^{2}+q_{im}^{2}}}\;$ $\Rightarrow$ Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}$, la décomposition $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{\rho _{c,\,2}}\;$» en multipliant $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\rho _{c,\,1}\;q_{re}+\rho _{c,\,2}={\dfrac {q_{re}}{q_{re}^{2}+q_{im}^{2}}}\\\rho _{c,\,1}\;{\cancel {(i\,q_{im})}}=-{\dfrac {\cancel {i\,q_{im}}}{q_{re}^{2}+q_{im}^{2}}}\end{array}}\right\rbrace \;$ soit, avec $\;q_{re}^{2}+q_{im}^{2}=\left({\dfrac {-b}{2}}\right)^{\!2}+{\dfrac {\vert \Delta \vert }{4}}={\dfrac {b^{2}}{4}}+\left(c-{\dfrac {b^{2}}{4}}\right)=c\;$, la 1ère équation Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}$, la décomposition $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{\rho _{c,\,2}}\;$» en multipliant du système s'écrit $\;\rho _{c,\,1}\;q_{re}+\rho _{c,\,2}={\dfrac {q_{re}}{c}}\;$ ou «$\;\rho _{c,\,2}={\dfrac {q_{re}}{c}}-\rho _{c,\,1}\;q_{re}\;$» et, avec $\;\rho _{c,\,1}=-{\dfrac {1}{c}}\;$, «$\;\rho _{c,\,2}={\dfrac {2\;q_{re}}{c}}=-{\dfrac {b}{c}}\;$» Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}$, soit finalement la décomposition de $\;A''(p)\;$ en éléments irréductibles simples dans le cas où $\;b^{2}-4\;c\;$ est $\;<0\;$ selon Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}$, soit finalement la décomposition de «$\;A''(p)={\dfrac {1}{p\,(p^{2}+b\,p+c)}}={\dfrac {1}{c}}\;{\dfrac {1}{p}}-{\dfrac {1}{c}}\,{\dfrac {p+b}{\left[p-q_{re}\right]^{2}+q_{im}^{2}}}\;$» avec «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}q_{re}=-{\dfrac {b}{2}}<0\\q_{im}={\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}>0\end{array}}\right\rbrace \;$».
Remarque : En adoptant la notation physique, « le discriminant $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ se réécrivant $\;\Delta =4\;\omega _{0}^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\;$», « la condition $\;b^{2}-4\;c<0\;$ correspond à $\;\sigma <1\;$» et Remarque : En adoptant la notation physique, la décomposition de la 1ère fonction rationnelle $\;A''(p)={\dfrac {1}{p\,(p^{2}+2\,\sigma \,\omega _{0}\,p+\omega _{0}^{2})}}\;$ en éléments irréductibles simples s'écrit Remarque : En adoptant la notation physique, «$\;A''(p)={\dfrac {1}{p\,(p^{2}+2\,\sigma \,\omega _{0}\,p+\omega _{0}^{2})}}={\dfrac {1}{\omega _{0}^{2}}}\;{\dfrac {1}{p}}-{\dfrac {1}{\omega _{0}^{2}}}\,{\dfrac {p+2\,\sigma \,\omega _{0}}{\left[p+\sigma \;\omega _{0}\right]^{2}+\omega _{0}^{2}\left(1-\sigma ^{2}\right)}}\;$» ou, avec «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\alpha =\sigma \;\omega _{0}\\\omega =\omega _{0}\;{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}\end{array}}\right\rbrace \;$» Remarque : En adoptant la notation physique, «$\;A''(p)={\dfrac {1}{p\,(p^{2}+2\,\sigma \,\omega _{0}\,p+\omega _{0}^{2})}}={\dfrac {1}{\omega _{0}^{2}}}\;{\dfrac {1}{p}}-{\dfrac {1}{\omega _{0}^{2}}}\,{\dfrac {p+2\;\alpha }{\left[p+\alpha \right]^{2}+\omega ^{2}}}\;$».

###### Décomposition de la 2ème fonction rationnelle en éléments irréductibles simples dans le cas où la grandeur b$^2$ - 4 c est < 0

Si $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ est $\;<0$, « le trinôme $\;p^{2}+b\;p+c\;$ ayant deux racines complexes conjuguées $\;{\underline {q_{(\pm )}}}={\dfrac {-b\pm i\,{\sqrt {\vert \Delta \vert }}}{2}}=q_{re}\pm i\,q_{im}\;$ où $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}q_{re}=\Re \!\left[{\underline {q_{(\pm )}}}\right]=-{\dfrac {b}{2}}<0\\q_{im}=\Im \!\left[{\underline {q_{(\pm )}}}\right]={\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}>0\end{array}}\right\rbrace \;$», Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}$, la décomposition de $\;B''(p)={\dfrac {1}{p^{2}+b\,p+c}}\;$ en éléments irréductibles simples est déjà réalisée selon Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}$, la décomposition de «$\;B''(p)={\dfrac {1}{p^{2}+b\,p+c}}={\dfrac {1}{\left[p+{\dfrac {b}{2}}\right]^{2}+c-{\dfrac {b^{2}}{4}}}}={\dfrac {1}{\left[p-q_{re}\right]^{2}+q_{im}^{2}}}\;$» avec «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}q_{re}=-{\dfrac {b}{2}}<0\\q_{im}={\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}>0\end{array}}\right\rbrace \;$».
Remarque : En adoptant la notation physique, « le discriminant $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ se réécrivant $\;\Delta =4\;\omega _{0}^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\;$», « la condition $\;b^{2}-4\;c<0\;$ correspond à $\;\sigma <1\;$» et Remarque : En adoptant la notation physique, la décomposition de la 2ème fonction rationnelle $\;B''(p)={\dfrac {1}{p^{2}+2\,\sigma \,\omega _{0}\,p+\omega _{0}^{2}}}\;$ s'écrit Remarque : En adoptant la notation physique, la décomposition de la 2ème fonction rationnelle «$\;B''(p)={\dfrac {1}{p^{2}+2\,\sigma \,\omega _{0}\,p+\omega _{0}^{2}}}={\dfrac {1}{\left[p+\sigma \;\omega _{0}\right]^{2}+\omega _{0}^{2}\left(1-\sigma ^{2}\right)}}\;$» ou, avec «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\alpha =\sigma \;\omega _{0}\\\omega =\omega _{0}\;{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}\end{array}}\right\rbrace \;$», Remarque : En adoptant la notation physique, la décomposition de la 2ème fonction rationnelle «$\;B''(p)={\dfrac {1}{p^{2}+2\,\sigma \,\omega _{0}\,p+\omega _{0}^{2}}}={\dfrac {1}{\left[p+\alpha \right]^{2}+\omega ^{2}}}\;$».

###### Décomposition de la transformée de Laplace de la solution globale en éléments irréductibles simples dans le cas où la grandeur b$^2$ - 4 c est < 0

En reportant les décompositions précédentes en éléments irréductibles simples dans $\;{\underline {Y}}(p)=E\;A''(p)+E'\;B''(p)\;$ nous obtenons, après regroupement des éléments simples identiques
$\;{\underline {Y}}(p)={\dfrac {E}{c}}\;{\dfrac {1}{p}}-{\dfrac {E}{c}}\;{\dfrac {p+b}{\left[p-q_{re}\right]^{2}+q_{im}^{2}}}+E'\;{\dfrac {1}{\left[p-q_{re}\right]^{2}+q_{im}^{2}}}\;$
$\;\Re (p)>0\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}q_{re}=-{\dfrac {b}{2}}<0\\q_{im}={\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}>0\end{array}}\right\rbrace \;$
Remarque : En adoptant la notation physique, « le discriminant $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ se réécrivant $\;\Delta =4\;\omega _{0}^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\;$», « la condition $\;b^{2}-4\;c<0\;$ correspond à $\;\sigma <1\;$» et Remarque : En adoptant la notation physique, la décomposition de la transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace de la solution globale en éléments irréductibles simples s'écrit
$\;{\underline {Y}}(p)={\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}\;{\dfrac {1}{p}}-{\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}\;{\dfrac {p+2\;\sigma \;\omega _{0}}{\left[p+\sigma \;\omega _{0}\right]^{2}+\omega _{0}^{2}\left(1-\sigma ^{2}\right)}}+E'\;{\dfrac {1}{\left[p+\sigma \;\omega _{0}\right]^{2}+\omega _{0}^{2}\left(1-\sigma ^{2}\right)}}\;$
$\;\Re (p)>0\;$
$\;{\underline {Y}}(p)={\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}\;{\dfrac {1}{p}}-{\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}\;{\dfrac {p+2\;\alpha }{\left[p+\alpha \right]^{2}+\omega ^{2}}}+E'\;{\dfrac {1}{\left[p+\alpha \right]^{2}+\omega ^{2}}}\;$
$\;\Re (p)>0\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\alpha =\sigma \;\omega _{0}\\\omega =\omega _{0}\;{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}\end{array}}\right\rbrace \;$

##### Détermination de l'originale de la transformée (monolatérale) de Laplace de la solution de l'équation différentielle dans le cas où la grandeur b$^2$ - 4 c est < 0

Il reste alors à chercher l'« originale de la transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;{\underline {Y}}(p)={\dfrac {E}{c}}\;{\dfrac {1}{p}}-{\dfrac {E}{c}}\;{\dfrac {p+b}{\left[p-q_{re}\right]^{2}+q_{im}^{2}}}+E'\;{\dfrac {1}{\left[p-q_{re}\right]^{2}+q_{im}^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$» sachant que Il reste alors à chercher l'« originale de la transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace $\bullet \;$«$\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{p}}\right\rbrace =Y(t)\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$», Il reste alors à chercher l'« originale de la transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace $\bullet \;$«$\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {p+a}{(p+a)^{2}+b^{2}}}\right\rbrace =\exp(-a\,t)\;\cos(b\;t)\;Y(t)\;$ avec $\;b>0\;$ pour $\;\Re (p)>-a\;$» donc a fortiori Il reste alors à chercher l'« originale de la transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {p+a}{(p+a)^{2}+b^{2}}}\right\rbrace =\exp(-a\,t)\;\cos(b\;t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{b>0}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$ si $\;a\;$ est $\;>0$ et Il reste alors à chercher l'« originale de la transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace $\bullet \;$«$\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {b}{(p+a)^{2}+b^{2}}}\right\rbrace =\exp(-a\,t)\;\sin(b\;t)\;Y(t)\;$ avec $\;b>0\;$ pour $\;\Re (p)>-a\;$» donc a fortiori Il reste alors à chercher l'« originale de la transformée $\;\color {transparent}{\big$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {p+a}{(p+a)^{2}+b^{2}}}\right\rbrace =\exp(-a\,t)\;\cos(b\;t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{b>0}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$ si $\;a\;$ est $\;>0$ ;
nous en déduisons, compte-tenu de la linéarité de la transformation $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ inverse de Laplace$^,$ et dans le cas où $\;b^{2}-4\;c\;$ est $\;<0\;$ c.-à-d. dans le cas d'un régime pseudo-périodique, nous en déduisons, la solution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2ème ordre en $\;y(t)\;$ hétérogène à excitation constante discontinue de 2ème espèce en $\;t=0\;$ :
$\;y(t)={\dfrac {E}{c}}\;Y(t)-\left[{\dfrac {E}{c}}\;\exp \!\left(q_{re}\;t\right)\;\cos \!\left(q_{im}\;t\right)-\left({\dfrac {E}{c}}\;{\dfrac {q_{re}}{q_{im}}}+{\dfrac {E'}{q_{im}}}\right)\exp \!\left(q_{re}\;t\right)\;\sin \!\left(q_{im}\;t\right)\right]Y(t)\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}q_{re}=-{\dfrac {b}{2}}<0\\q_{im}={\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}>0\end{array}}\right\rbrace \;$
Remarque : En adoptant la notation physique, « le discriminant $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ se réécrivant $\;\Delta =4\;\omega _{0}^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\;$», « la condition $\;b^{2}-4\;c<0\;$ correspond à $\;\sigma <1\;$» et la solution globale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2ème ordre en $\;y(t)\;$ hétérogène à excitation constante discontinue de 2ème espèce en $\;t=0\;$ s'écrit
$\;y(t)={\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}\;Y(t)-\left[{\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}\;\exp \!\left(-\alpha \;t\right)\;\cos \!\left(\omega \;t\right)+\left({\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}\;{\dfrac {\alpha }{\omega }}-{\dfrac {E'}{\omega }}\right)\exp \!\left(-\alpha \;t\right)\;\sin \!\left(\omega \;t\right)\right]Y(t)\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\alpha =\sigma \;\omega _{0}\\\omega =\omega _{0}\;{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}\end{array}}\right\rbrace \;$
Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons $\;t=0^{+}\;$ dans la solution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2ème ordre en $\;y(t)\;$ Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ dans la solution de hétérogène à excitation constante dans le cas où $\;b^{2}-4\;c\;$ est $\;<0\;$ puis Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ dans celle de sa dérivée temporelle $\;{\dot {y}}(t)\;$ nous obtenons : Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ $\bullet \;$«$\;y(0^{+})={\dfrac {E}{c}}-{\dfrac {E}{c}}=0\;$» ou, en adoptant la notation physique, Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;y(0^{+})={\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}-{\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}=0\;$» c.-à-d. une valeur post-initiale de la solution en accord avec la Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{y(0^{+})=\omega _{0}^{2}-\omega _{0}^{2}=0}\;$» c.-à-d. une valeur post-initiale continuité de la solution à l'instant $\;t=0$ ; Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ $\bullet \;$«$\;{\dot {y}}(0^{+})\;$ contient deux termes $\;\propto \;$ à $\;{\dot {Y}}(0^{+})=\delta (0^{+})=0\;$$^,$$^,$ et Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{{\dot {y}}(0^{+})}\;$ contient un dernier terme $\;=-{\dfrac {E}{c}}\;q_{re}+\left({\dfrac {E}{c}}\;{\dfrac {q_{re}}{q_{im}}}+{\dfrac {E'}{q_{im}}}\right)\;q_{im}\;$ $\;=E'\;$ d'où Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;{\dot {y}}(0^{+})=E'\;$» qu'on retrouve également en adoptant la notation physique, selon Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;{\dot {y}}(0^{+})\;$ contient deux termes $\;\propto \;$ à $\;{\dot {Y}}(0^{+})=\delta (0^{+})=0\;$$^,$$^,$ et Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{{\dot {y}}(0^{+})}\;$ contient un terme $\;={\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}\;\alpha -\left({\dfrac {E}{\omega _{0}^{2}}}\;{\dfrac {\alpha }{\omega }}-{\dfrac {E'}{\omega }}\right)\,\omega \;$ $\;=E'\;$ d'où Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;{\dot {y}}(0^{+})=E'\;$» c.-à-d. une valeur post-initiale de $\;{\dot {y}}(t)\;$ en accord avec sa Valeurs de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant post-initial : Faisons $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{{\dot {y}}(0^{+})=E'}\;$» c.-à-d. une valeur post-initiale discontinuité de 1ère espèce à $\;t=0\;$.

#### Comparaison de la méthode classique de résolution d'équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants hétérogènes et de la méthode par transformées (monolatérales) de Laplace

Nous rappelons que la méthode de résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants homogène ou hétérogène Nous rappelons que la méthode de résolution par transformation $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace est un complément de P.C.S.I. pour le domaine de la physique et Nous rappelons que seule la méthode de résolution par solutions libre et forcée suivie de l'utilisation des C.I. peut être utilisée dans le domaine de la physique ;
nous allons donc vérifier, dans l'exemple «$\;{\ddot {y}}(t)+b\;{\dot {y}}(t)+c\;y(t)=e(t)=E\;Y(t)+E'\;\delta (t)$, $\;\left(E\,,\,E'\right)\in {\mathbb {R} ^{*}}^{2}\;$» discontinue de 2ème espèce en $\;t=0\;$ nous allons donc vérifier, que nous trouvons le même résultat dans l'ensemble des fonctions réelles « causales »$^,$ avec les « C.I. $\;y(0^{+})=0\;$ et $\;{\dot {y}}(0^{+})=0\;$» nous allons donc vérifier, en reprenant la résolution par méthode classique de recherche des solutions libre et forcée suivie de l'utilisation des C.I..

##### Recherche de la solution libre y$_l$(t)

Soit à résoudre «$\;{\ddot {y_{l}}}(t)+b\;{\dot {y}}_{l}(t)+c\;y_{l}(t)=0\;$» d'équation caractéristique «$\;s^{2}+b\;s+c=0\;$» de racines différentes suivant le signe de $\;\Delta =b^{2}-4\;c$ :
* « si $\;\Delta \;$ est $\;>0\;$», l'équation caractéristique a « deux racines réelles distinctes $\;s_{(\pm )}={\dfrac {-b\pm \,{\sqrt {\Delta }}}{2}}\;$» $\Rightarrow$ la solution libre «$\;y_{l}(t)=A_{(+)}\,\exp \!\left[s_{(+)}\;t\right]+A_{(-)}\,\exp \!\left[s_{(-)}\;t\right]\;$ « si $\;\color {transparent}{\Delta }\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$», l'équation caractéristique a « deux racines réelles distinctes $\;\color {transparent}{s_{(\pm )}=-b\pm \,{\sqrt {\Delta }}}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ la solution libre avec les deux constantes d'intégration $\;\left\lbrace (A_{(+)}\,,\,A_{(-)}\right\rbrace \in \mathbb {R} ^{2}\;$»,
* « si $\;\Delta \;$ est $\;=0\;$», elle a « une racine réelle double $\;s_{(d)}={\dfrac {-b}{2}}\;$» $\Rightarrow$ la solution libre «$\;y_{l}(t)=\left(A+B\;t\right)\,\exp \!\left[s_{(d)}\;t\right]\;$ avec $\;\left\lbrace (A\,,\,B\right\rbrace \in \mathbb {R} ^{2}\;$» et
* « si $\;\Delta \;$ est $\;<0\;$», elle a « deux racines complexes conjuguées distinctes $\;{\underline {s}}_{(c,\,\pm )}={\dfrac {-b\pm \,i\,{\sqrt {\vert \Delta \vert }}}{2}}\;$» $\Rightarrow$ la solution libre «$\;y_{l}(t)=A\,\exp \!\left(-{\dfrac {b}{2}}\;t\right)\,\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;t+\varphi \right)\;$ « si $\;\color {transparent}{\Delta }\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$», elle a « deux racines complexes conjuguées distinctes $\;\color {transparent}{s_{(c,\,\pm )}=-b\pm \,i\,{\sqrt {\Delta }}}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ la solution libre avec $\;\left(A\,,\,\varphi \right)\in \mathbb {R} ^{2}\;$».

##### Recherche de la solution forcée y$_f$(t)

Soit à déterminer la « solution forcée $\;y_{f}(t)\;$ solution particulière de $\;{\ddot {y_{f}}}(t)+b\;{\dot {y_{f}}}(t)+c\;y_{f}(t)=E\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$ de même forme que l'excitation $\;e(t)=E\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$» c.-à-d. Soit à déterminer la « solution forcée $\;\color {transparent}{y_{f}(t)}\;$ sous forme générale «$\;y_{f}(t)=cste\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$» ;
le report de $\;y_{f}(t)=cste\;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\dot {y_{f}}}(t)=0\\{\ddot {y_{f}}}(t)=0\end{array}}\right\rbrace \;$ dans l'équation nous conduit à «$\;c\times cste=E\;\;\forall \;t>0\;$» d'où la solution forcée «$\;y_{f}(t)={\dfrac {E}{c}}\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$».

##### Forme de la solution complète y(t) avant utilisation des C.I.

La solution complète avant utilisation des C.I. s'obtient par «$\;y(t)=y_{l}(t)+y_{f}(t)\;$ avec $\;y_{l}(t)\;$ solution libre et $\;y_{f}(t)\;$ solution forcée.
* « Si $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ est $\;>0\;$», «$\;y(t)=y_{l}(t)+y_{f}(t)=A_{(+)}\,\exp \!\left[{\dfrac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2}}\;t\right]+A_{(-)}\,\exp \!\left[{\dfrac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2}}\;t\right]+{\dfrac {E}{c}}\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$» avec «$\;\left\lbrace (A_{(+)}\,,\,A_{(-)}\right\rbrace \in \mathbb {R} ^{2}\;$» à déterminer par C.I.,
* « si $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ est $\;=0\;$», «$\;y(t)=y_{l}(t)+y_{f}(t)=\left(A+B\;t\right)\,\exp \!\left[-{\dfrac {b}{2}}\;t\right]+{\dfrac {E}{c}}\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$» avec «$\;\left\lbrace (A\,,\,B\right\rbrace \in \mathbb {R} ^{2}\;$» à déterminer par C.I. et
* « si $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ est $\;<0\;$», «$\;y(t)=y_{l}(t)+y_{f}(t)=A\,\exp \!\left(-{\dfrac {b}{2}}\;t\right)\,\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;t+\varphi \right)+{\dfrac {E}{c}}\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$» avec «$\;\left(A\,,\,\varphi \right)\in \mathbb {R} ^{2}\;$» à déterminer par C.I..

##### Utilisation des C.I. pour déterminer la solution complète y(t)

Pour déterminer les deux constantes d'intégration il faut faire $\;t=0^{+}\;$ dans les expressions précédentes et pour cela Pour établir au préalable les valeurs de «$\;y(0^{+})\;$ et $\;{\dot {y}}(0^{+})\;$» connaissant celles de «$\;y(0^{-})\;$ et $\;{\dot {y}}(0^{-})\;$» ainsi que Pour établir au préalable les valeurs de «$\;\color {transparent}{y(0^{+})}\;$ et $\;\color {transparent}{{\dot {y}}(0^{+})}\;$» connaissant la nature de la « discontinuité de $\;y(t)\;$ et celle de $\;{\dot {y}}(t)\;$ » :
l'équation différentielle pour tout $\;t\;$ s'écrivant «$\;{\ddot {y}}(t)+b\;{\dot {y}}(t)+c\;y(t)=e(t)=E\;Y(t)+E'\;\delta (t)\;$» l'équation différentielle pour tout $\;\color {transparent}{t}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{{\ddot {y}}(t)+b\;{\dot {y}}(t)+c\;y(t)=}$ avec l'excitation discontinue de 2ème espèce $\Rightarrow$ $\bullet \;$«$\;{\ddot {y}}(t)\;$ discontinue de 2ème espèce », l'équation différentielle pour tout $\;\color {transparent}{t}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{{\ddot {y}}(t)+b\;{\dot {y}}(t)+c\;y(t)=}$ avec l'excitation discontinue de 2ème espèce $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\bullet \;$«$\;{\dot {y}}(t)\;$ discontinue de 1ère espèce » $\Rightarrow$ «$\;{\dot {y}}(0^{+})-{\dot {y}}(0^{-})\;$ finie » l'équation différentielle pour tout $\;\color {transparent}{t}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{{\ddot {y}}(t)+b\;{\dot {y}}(t)+c\;y(t)=}$ avec l'excitation discontinue de 2ème espèce $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{\bullet }\;$${\Bigg$pour cela il suffit d'intégrer $\;{\big$au sens des distributions${\big )}\;$ l'équation l'équation différentielle pour tout $\;\color {transparent}{t}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{{\ddot {y}}(t)+b\;{\dot {y}}(t)+c\;y(t)=}$ avec l'excitation discontinue de 2ème espèce $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{\bullet }\;$$\color {transparent}{\Bigg$différentielle écrite pour tout $\;t\;$ entre $\;0^{-}\;$ et $\;0^{+}\;$ ce qui donne, l'équation différentielle pour tout $\;\color {transparent}{t}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{{\ddot {y}}(t)+b\;{\dot {y}}(t)+c\;y(t)=}$ avec l'excitation discontinue de 2ème espèce $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{\bullet }\;$$\color {transparent}{\Bigg$«$\;\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}{\ddot {y}}(t)\,dt\;{\cancel {+\;b\;\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}{\dot {y}}(t)\,dt+c\;\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}y(t)\,dt}}\;=\;$ l'équation différentielle pour tout $\;\color {transparent}{t}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{{\ddot {y}}(t)+b\;{\dot {y}}(t)+c\;y(t)=}$ avec l'excitation discontinue de 2ème espèce $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{\bullet }\;$$\color {transparent}{\Bigg$« ${\cancel {E\;\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}Y(t)\,dt\;+}}\;E'\;\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}\delta (t)\,dt=E'\;$ soit l'équation différentielle pour tout $\;\color {transparent}{t}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{{\ddot {y}}(t)+b\;{\dot {y}}(t)+c\;y(t)=}$ avec l'excitation discontinue de 2ème espèce $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{\bullet }\;$$\color {transparent}{\Bigg$« ${\dot {y}}(0^{+})-{\dot {y}}(0^{-})=E'\;$» ou, avec $\;{\dot {y}}(0^{-})=0$, «$\;{\dot {y}}(0^{+})=E'\;$»${\Bigg ]}$, l'équation différentielle pour tout $\;\color {transparent}{t}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{{\ddot {y}}(t)+b\;{\dot {y}}(t)+c\;y(t)=}$ avec l'excitation discontinue de 2ème espèce $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\bullet \;$«$\;y(t)\;$ continue » $\Rightarrow$ «$\;y(0^{+})=y(0^{-})\;$» soit, avec $\;y(0^{-})=0$, l'équation différentielle pour tout $\;\color {transparent}{t}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{{\ddot {y}}(t)+b\;{\dot {y}}(t)+c\;y(t)=}$ avec l'excitation discontinue de 2ème espèce $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;y(0^{+})=0\;$» ;
utilisant les « valeurs de $\;y(0^{+})=0\;$ et $\;{\dot {y}}(0^{+})=E'\;$» dans les expressions de $\;y(t)\;$ et $\;{\dot {y}}(t)\;$ obtenues précédemment suivant la valeur de $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ nous obtenons :
$\blacktriangleright \;$« si $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ est $\;>0\;$», $\bullet \;$1ère C.I. «$\;y(0^{+})=A_{(+)}+A_{(-)}+{\dfrac {E}{c}}=0\;$» $\Rightarrow$ «$\;A_{(+)}+A_{(-)}=-{\dfrac {E}{c}}\;$» et $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$», $\bullet \;$2ème C.I. «$\;{\dot {y}}(0^{+})=A_{(+)}\left[{\dfrac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2}}\right]+A_{(-)}\left[{\dfrac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2}}\right]=E'\;$» $\Rightarrow$ «$\;\left[A_{(+)}+A_{(-)}\right]{\dfrac {-b}{2}}+\left[A_{(+)}-A_{(-)}\right]{\dfrac {\sqrt {\Delta }}{2}}=E'\;$» soit encore, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$», $\color {transparent}{\bullet }\;$2ème C.I. «$\;A_{(+)}-A_{(-)}={\dfrac {2\;E'}{\sqrt {\Delta }}}+{\dfrac {b}{\sqrt {\Delta }}}\left[A_{(+)}+A_{(-)}\right]\;$» d'où à résoudre $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$», $\bullet \;$le système de deux équations linéaires aux deux inconnues $\;\left\lbrace A_{(+)}+A_{(-)}\;,\;A_{(+)}-A_{(-)}\right\rbrace$, $\left\lbrace {\begin{array}{l}A_{(+)}+A_{(-)}=-{\dfrac {E}{c}}\\A_{(+)}-A_{(-)}={\dfrac {2\;E'}{\sqrt {\Delta }}}+{\dfrac {b}{\sqrt {\Delta }}}\left[A_{(+)}+A_{(-)}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Leftrightarrow$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$», $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A_{(+)}+A_{(-)}=-{\dfrac {E}{c}}\\A_{(+)}-A_{(-)}={\dfrac {2\;E'-b\;{\dfrac {E}{c}}}{\sqrt {\Delta }}}\end{array}}\right\rbrace \;$ » $\Rightarrow$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A_{(+)}={\dfrac {E'}{\sqrt {\Delta }}}-{\dfrac {\left(b+{\sqrt {\Delta }}\right)\,{\dfrac {E}{c}}}{2\;{\sqrt {\Delta }}}}\\A_{(-)}=-{\dfrac {E'}{\sqrt {\Delta }}}+{\dfrac {\left(b-{\sqrt {\Delta }}\right)\,{\dfrac {E}{c}}}{2\;{\sqrt {\Delta }}}}\end{array}}\right\rbrace \;$ » soit finalement $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$», $\bullet \;$«$\;y(t)={\dfrac {E}{c}}+{\dfrac {1}{\sqrt {\Delta }}}\left\lbrace \left[E'-\left(b+{\sqrt {\Delta }}\right)\,{\dfrac {E}{2\;c}}\right]\exp \!\left[{\dfrac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2}}\;t\right]+\left[-E'+\left(b-{\sqrt {\Delta }}\right)\,{\dfrac {E}{2\;c}}\right]\exp \!\left[{\dfrac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2}}\;t\right]\right\rbrace \;\;{\text{pour}}\;t>0\;$» ;
$\blacktriangleright \;$« si $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ est $\;=0\;$», $\bullet \;$1ère C.I. «$\;y(0^{+})=A+{\dfrac {E}{c}}=0\;$» $\Rightarrow$ «$\;A=-{\dfrac {E}{c}}\;$» et $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{=0}\;$», $\bullet \;$2ème C.I. «$\;{\dot {y}}(0^{+})=B-{\dfrac {b}{2}}\;A=E'\;$» $\Rightarrow$ «$\;B=E'+{\dfrac {b}{2}}\;A\;$» soit, par report de $\;A=-{\dfrac {E}{c}}$, «$\;B=E'-{\dfrac {b}{2\;c}}\;E\;$» soit finalement $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$», $\bullet \;$«$\;y(t)={\dfrac {E}{c}}+\left[-{\dfrac {E}{c}}+\left(E'-{\dfrac {b}{2\;c}}\;E\right)\,t\right]\exp \!\left[-{\dfrac {b}{2}}\;t\right]\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$» ou, sachant que «$\;b=2\;{\sqrt {c}}\;$», $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$», $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;y(t)={\dfrac {E}{c}}+\left[-{\dfrac {E}{c}}+\left(E'-{\dfrac {E}{\sqrt {c}}}\right)\,t\right]\exp \!\left[-{\dfrac {b}{2}}\;t\right]\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$» ;
$\blacktriangleright \;$« si $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ est $\;<0\;$», $\bullet \;$1ère C.I. «$\;y(0^{+})=A\;\cos(\varphi )+{\dfrac {E}{c}}=0\;$» $\Rightarrow$ «$\;A\;\cos(\varphi )=-{\dfrac {E}{c}}\;$» et $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$», $\bullet \;$2ème C.I. «$\;{\dot {y}}(0^{+})=-{\dfrac {b}{2}}\;A\;\cos(\varphi )-{\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;A\;\sin(\varphi )=E'\;$» soit, avec $\;A\;\cos(\varphi )=-{\dfrac {E}{c}}$, «$\;A\;\sin(\varphi )=-{\dfrac {2\;E'}{\sqrt {\vert \Delta \vert }}}+{\dfrac {b\;E}{c\;{\sqrt {\vert \Delta \vert }}}}\;$» d'où $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$», $\bullet \;$il resterait à résoudre le système non linéaire des deux équations aux deux inconnues $\;\left\lbrace A\;,\;\varphi \right\rbrace \;$ «$\left\lbrace {\begin{array}{l}A\;\cos(\varphi )=-{\dfrac {E}{c}}\\A\;\sin(\varphi )={\dfrac {b\;E}{c\;{\sqrt {\vert \Delta \vert }}}}-{\dfrac {2\;E'}{\sqrt {\vert \Delta \vert }}}\end{array}}\right\rbrace \;$» par $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$», $\color {transparent}{\bullet }\;$il resterait à résoudre le système non linéaire des deux équations aux deux inconnues $\;\color {transparent}{\left\lbrace A\;,\;\varphi \right\rbrace }\;$ $\;A={\sqrt {\left[A\;\cos(\varphi )\right]^{2}+\left[A\;\sin(\varphi )\right]^{2}}}\;$ d'une part et $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$», $\color {transparent}{\bullet }\;$il resterait à résoudre le système non linéaire des deux équations aux deux inconnues $\;\color {transparent}{\left\lbrace A\;,\;\varphi \right\rbrace }\;$ $\;\varphi \,\in \left]-\pi \,,\,\pi \right]\;$ d'autre part mais $\;\ldots$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$», $\bullet \;$comme nous cherchons à identifier $\;y(t)\;$ obtenue avec l'originale de la transformée $\;{\big$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace et que $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$», $\color {transparent}{\bullet }\;$comme nous cherchons à identifier $\;\color {transparent}{y(t)}\;$ obtenue avec celle-ci a été exprimée en fonction de $\;\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;t\right)\;$ et $\;\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;t\right)$, nous en déduisons finalement, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$», $\color {transparent}{\bullet }\;$comme nous cherchons à identifier $\;\color {transparent}{y(t)}\;$ en utilisant $\;\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;t+\varphi \right)=\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;t\right)\;\cos(\varphi )-\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;t\right)\;\sin(\varphi )$, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$», $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;y(t)={\dfrac {E}{c}}-{\dfrac {E}{c}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {b}{2}}\;t\right)\,\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;t\right)+\left(-{\dfrac {b\;E}{c\;{\sqrt {\vert \Delta \vert }}}}+{\dfrac {2\;E'}{\sqrt {\vert \Delta \vert }}}\right)\,\exp \!\left(-{\dfrac {b}{2}}\;t\right)\,\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;t\right)\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$».