OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Repère euclidien non orthonormé/Applications linéaires

Nous savons que dans un repère orthonormé, une application linéaire peut être représentée par une matrice qui permet de donner l’image d’un vecteur (représenté par ses coordonnées) par l’application linéaire en question. Généralement l’espace est rapporté à un repère orthonormé et les coordonnées de l’image du vecteur sont obtenues en faisant le produit matriciel de la matrice de l’application linéaire par la matrice colonne des coordonnées du vecteur dont on cherche l’image.
Mais que se passe-t-il si le repère n’est plus orthonormé et si l’on considère d’une part les coordonnées covariances et d’autre part les coordonnées contravariantes du vecteur dont on cherche l’image ? Va-t-on pouvoir toujours utiliser une même matrice dans les deux cas ou va-t-on devoir, comme pour les vecteurs, définir une matrice covariance et une matrice contrariante pour une même application linéaire. C’est ce que nous allons étudier dans ce chapitre.
| Produit scalaire | Sommaire |
# SAS/Introduction
## Interface SAS

Plusieurs fenêtres sont accessibles dans "Affichage" (ou View). Voici un résumé de celles-ci:
* Éditeur amélioré: (enhanced editor) en couleurs, permet de saisir les lignes de commandes SAS (instructions à exécuter)
* Exécution:
* Journal: Suivi du bon déroulement des exécutions:
** Bleu: notes
** Vert: Avertissement (warning)
** Rouge: Erreurs fatales
* Sorties: (Output) Listing des textuelles au format HTML
* Graph: Éditeur graphique
* Résultats: arborescence de l'Output pour accéder directement à une table de sorties.
* Explorateurs: (Explorer) Gestionnaire des tables SAS et des bibliothèques qui contiennent les tables SAS (bibliothèques WORK par défaut)
Programme SAS:
Enchaînement d'étapes DATA (créer/modifier les données) et de procédures (PROC).
Table SAS:
format utilisé par SAS pour gérer les données (.sas7bdat) avec les variables en colonnes et les observations en lignes.

## Fonctionnement

Pour pouvoir faire de l'analyse de données avec SAS, vous aurez besoin de créer des tables. Pour éviter de la perdre vous devrez lui donner un nom et indiquer dans quelle bibliothèque vous travaillez.
Le $ indique une variable qualitative.
Le fichier de données est une simple liste d'éléments ou chaque valeur de variable est séparée par un espace. Exemple de fichier de données :

## Changer de table

Pour travailler sur une autre table que l'actuelle, utilisez l'instruction DATA :

## Pour en savoir plus

Pour connaitre les détails d'une procédure (les options possibles,...) consultez l'aide de SAS. Si par exemple vous voulez des infos sur UNIVARIATE, la page d'aide correspondante sera : "The UNIVARIATE Procedure".
| Sommaire | Procédures |
# Compilation/Analyse lexicale

L’analyse lexicale permet de lire le programme source comme une suit de signe ou de caractère et produit une suite ou séquence d’unité lexicale
| Introduction | Analyse syntaxique |
# Logiciel libre/Historique
## Introduction

* Linux
* Ubuntu
* VLC
* Chromium
* Firefox
* LibreOffice
Un logiciel est libre parce qu’il a une licence (libre) qui garantit quatre libertés :
* liberté d’exécuter le logiciel
* liberté d’étudier le fonctionnement, de l’améliorer (nécessite la disponibilité du code)
* liberté de redistribuer des copies,
* liberté de publier les améliorations.
Trois profils possibles : utilisateurs, développeurs, ou les deux à la fois.
Par exemple Linux, Ubuntu, Video Lan Client , Chrome, Firefox, Libre Office, … sont les appellations des logiciels qui deviennent un sujet ordinaire dans tous les médias. Ils nous proviennent d'une grande famille : celle des logiciels libres de droits (CopyLeft) et/ou à code source ouvert (OpenSource).
* CopyRight
* CopyLeft
* Communauté
* GNU
* OpenSource
* Free Software Foundation
CopyRight, CopyLeft, Droit d'auteur, Gauche d'auteur, Licence Free Software, OpenSource, ... Les noms de ces appellations envahissent le vocabulaire informatique et donc le vocabulaire courant. Cette leçon propose d’en éclaircir les définitions, règles, concepts et utilisations.

## Concepts

Le droit d'auteur interdit de disposer pleinement de toute création sur laquelle est établie ce droit et nous condamne à rester de simples consommateurs passifs de cette création. Ceci revient à empêcher toute interaction créatrice que la création soit une œuvre d'art ou un logiciel.
Le gauche d'auteur prend le total contrepied du droit d'auteur et donc autorise de disposer pleinement de toute création sur laquelle est établie ce droit et nous permet de devenir actifs de cette création. Ceci revient à permettre toute interaction créatrice avec une œuvre d'art ou un logiciel.
Le logiciel privateur, dont les licences sont basées sur le droit d'auteur, interdit donc la pleine jouissance du logiciel à son acquéreur, limitée principalement à son utilisation.
Le logiciel libre, revendiquant l'appellation de gauche d'auteur (mais basé sur le droit d'auteur), autorise donc la pleine jouissance du logiciel à son acquéreur, celui-ci pouvant utiliser, étudier, modifier et diffuser le logiciel.

## Comment un bourrage de papier change l'histoire du logiciel

* Richard M. STALLMAN est employé du (en) Massachusetts Institute of Technology
* RMS équipe son bureau d'une nouvelle imprimante XEROX
* RMS souhaite modifier le logiciel de l'imprimante (pilote) afin d'y intégrer une routine d'avertissement de bourrage de papier
* Refus du fournisseur XEROX et de l'employeur MIT d’accès aux sources des programmes et à leur modification
* 1984 RMS quitte le MIT pour fonder son projet GNU's Not Unix
* 1985 RMS fonde la Free Software Foundation
* 1990 RMS finalise le système d'exploitation GNU
* 1991 Version 2 de la licence General public license
* 1991 Linus TORVALDS finalise le noyau d'exploitation LINUX
* 1992 Fusion des projets LINUX et GNU
* 1996 Version 2 de la licence Berkley Software Distribution
* 2007 Version 3 de la licence GPL
* 2012 Version 2 de la licence Mozilla Public License
# Coaching

| Chap. 1 : | Informations générales aux coachs |
| Chap. 2 : | Grille ennéanaire et ancrages |
| Chap. 3 : | Votre image kinesthésique |
| Chap. 4 : | Votre conscience |
| Chap. 5 : | Vos émotions |
| Chap. 6 : | Votre fonction motrice |
| Chap. 7 : | Votre énergie mentale |
| Chap. 8 : | Votre direction volontaire |
| Chap. 9 : | Votre jugement arbitraire |
| Chap. 10 : | Votre concentration |
| Chap. 11 : | Votre fonction analytique |
| Chap. 12 : | Votre joker |
| Chap. 13 : | Exercice de remémoration |
| Chap. 14 : | Caractère personnel du sens |
| Chap. 15 : | Relocalisation des signes |
| Chap. 16 : | Training d'écriture |
| Chap. 17 : | Résolution niveau 1 |

## Présentation [Modifier]

Cette leçon présente un ensemble de fiches destinées à la préparation de séances de coaching de groupe et à la formation de coachs dans le cadre de la méthode DMS
Le cours annuel de 52 monographies de Développement Mental Sémantique DMS est destiné à former des Masters habilités, après un examen, à délivrer eux-mêmes ces cours, et exploiter tous les documents de L'Académie Sémantique et Fonctions Mentales ASFM pour former d'autres cercles de six étudiants, faire des conférences, du coaching de groupe, organiser des stages dans la vie réelle, afin de répandre cette méthode unique au monde.
Le coaching de groupe devra se limiter à des groupes de 12 participants au plus, afin de permettre l'interaction de toutes les personnes dans de bonnes conditions, sinon ce n'est plus du coaching mais une activité de vulgarisation et d'initiation parascolaire. Ces fiches seront définitivement mises au point avec le premier groupe de Masters formés. Ces fiches serviront également pour l'élaboration d'un programme d'enseignement destiné aux enfants des écoles.

## Objectifs [Modifier]

La formation de coachs DMS

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 18.
Avoir terminé l'étude des 12 premières monographies du cours de développement mental sémantique

## Référents [Modifier]

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
* Aiglonduciel (d · c · b · s)
# Lorrain/Vocabulaire/Se présenter

* Je m'appelle : j'môpél
* j'habite à : j'vîns deuy
* Comment vas-tu ? : Sa géts?
* ça va bien : Sa géts sô mô(a')l
* Comment tu t'appelles ? : Coumânt qu'tû t'ôpéles
* Où habites-tu ? : D'où qu'tu vîen(îen = eille) ?
À Giraudmoué (Gérardmer) Lorrain Vosgien
* Eco vo (don Deye) ! : Salut !, Bonjour !
* Bonsoèr ! : bonsoir !
* Bèvni ! : Bienvenue !
* C'mo qu'sè vè ? : Comment ça va ?
* Sè vè / Bè, è ti ? : Ça va / Bien, et toi ?
* Tot balemot... : Comme-ci, comme-ça...
* È béteu ! / È lè prochaine foue : À bientôt !
* È revoue ! : Au revoir !
* Da Deye ! : Au revoir ! (en Vosgien du Val d'Ajol)
* Bone jornaye ! : Bonne journée !
* Bone aiprè-midi ! : Bon après-midi !
* Bone neuye ! : Bonne nuit !
À Bar-le-Duc Lorrain meusien
* Bonjoû ! : Bonjour !
* Bonsô ! : Bonsoir !
* Binv'nûe ! : Bienvenue !
* À bintôt ! : À bientôt !
* À r'vô ! : Au revoir !
* Bounne journaye ! : Bonne journée !
* Bounne après-mèydi ! : Bon après-midi !
* Bounne neuyt ! : Bonne nuit
* À d'main ! : À demain !
* Coummat qu'ça vâ ? : Comment ça va ?
* Ça vâ (bin), et ti ? : Ça va et toi ?
* Tout bell'ment : Comme-ci, comme-ça...

## Lien externe

* Petits lexiques Fr/Lorrain pour commencer.
# Lorrain/Vocabulaire/Nombres

Les nombres de 1 à 20 en lorrain roman sont les suivants :
À vos doigts ! :
| Lorrain | Français |
| i, eune | un, une |
| daws | deux |
| trôs | trois |
| qwètre | quatre |
| | cinq |
| hhèih | six |
| | sept |
| | huit |
| | neuf |
| dix | dix |
| | onze |
| | douze |
| | treize |
| | quatorze |
| | quinze |
| | seize |
| | dix-sept |
| | dix-huit |
| | dix-neuf |
| vint | vingt |
Plus de doigts ! :
| Lorrain | Français |
| | trente |
| | quarante |
| | cinquante |
| | soixante |
| septante | soixante-dix |
| | quatre-vingt |
| nonante | quatre-vingt-dix |
| cent | cent |
| | mille |
| Sommaire | Jours de la semaine |
# Lorrain/Vocabulaire/Présentation de la leçon

Le lorrain roman comme toute langue non standardisée comporte des variations dans sa prononciation. Vous avez ci-contre l'exemple du mot "poisson".
À vous de choisir la prononciation qui vous convient, nous essayerons de présenter plusieurs dialectes dans les leçons que nous vous mettons à disposition.
# Opérations sur les fonctions/Fonctions associées
## Définition

Soit ƒ une fonction dont la représentation graphique dans un repère $(O;{\vec {i}},{\vec {j}})$ est notée ${\mathcal {C}}_{f}$.
On appelle fonction associée à ƒ toute fonction g dont la représentation graphique ${\mathcal {C}}_{g}$ est obtenue par une transformation simple de ${\mathcal {C}}_{f}$.

## Fonctions associées courantes

Dans toute cette page, $k\in \mathbb {R}$

### g(x) = f(x) + k

Soit la fonction g définie par $g:x\mapsto f(x)+k$
${\mathcal {C}}_{g}$ est l'image de ${\mathcal {C}}_{f}$ par la translation de vecteur $k\,{\vec {j}}$

### g(x) = f(x + k)

Soit la fonction g définie par $g:x\mapsto f(x+k)$
${\mathcal {C}}_{g}$ est l'image de ${\mathcal {C}}_{f}$ par la translation de vecteur $-k\,{\vec {i}}$

### g(x) = -f(x)

Soit la fonction g définie par $g:x\mapsto -f(x)$
${\mathcal {C}}_{g}$ est l'image de ${\mathcal {C}}_{f}$ par la symétrie d’axe (Ox)

### g(x) = f(-x)

Soit la fonction g définie par $g:x\mapsto f(-x)$
${\mathcal {C}}_{g}$ est l'image de ${\mathcal {C}}_{f}$ par la symétrie d’axe (Oy)

### g(x) = |f(x)|

Soit la fonction g définie par $g:x\mapsto |f(x)|$
On a alors :
* $g(x)=f(x)\Leftrightarrow f(x)\geq 0\Leftrightarrow {\mathcal {C}}_{f}$ est au-dessus de (Ox)
* $g(x)=-f(x)\Leftrightarrow f(x)\leq 0\Leftrightarrow {\mathcal {C}}_{f}$ est en-dessous de (Ox)
On aboutit à la transformation suivante :
* Si ${\mathcal {C}}_{f}$ est au-dessus de (Ox), ${\mathcal {C}}_{g}$ correspond à ${\mathcal {C}}_{f}$
* Si ${\mathcal {C}}_{f}$ est en-dessous de (Ox), ${\mathcal {C}}_{g}$ est l’image de ${\mathcal {C}}_{f}$ par la symétrie d’axe (Ox)

### g(x) = f(|x|)

Soit la fonction g définie par $g:x\mapsto f(|x|)$
On a alors pour tout $x,~g(-x)=f(|-x|)=f(|x|)=g(x)$, donc g est paire.
(Oy) est donc axe de symétrie pour la courbe ${\mathcal {C}}_{g}$.
On a donc :
* ${\mathcal {C}}_{g}$ coïncide avec ${\mathcal {C}}_{f}$ sur $\mathbb {R} ^{+}$
* On complète le tracé de ${\mathcal {C}}_{g}$ en faisant la symétrie par rapport à l’axe (Oy).

### g(x) = k × f(x), affinité

Soit la fonction g définie par $g:x\mapsto k\cdot f(x)$
${\mathcal {C}}_{g}$ s’obtient en multipliant par k les ordonnées des points de ${\mathcal {C}}_{f}$.
On peut parler d’étirement ou de contraction dans le sens vertical.

### g(x) = f(kx)

Soit la fonction g définie par $g:x\mapsto f(kx)$
${\mathcal {C}}_{g}$ s’obtient en divisant par k les abscisses des points de ${\mathcal {C}}_{f}$.
On peut parler d’étirement ou de contraction dans le sens horizontal.
| Sommaire | Somme et différence |
# Nombre entier naturel/Définition
## Approche historique

Depuis la nuit des temps, les humains devaient compter les objets autour d'eux : les membres de leur famille, les animaux domestiques, les armes, les animaux attrapés à la chasse, etc. D'abord, ils parvinrent à compter jusqu'à deux puis jusqu'à trois. Ce qui était supérieur à trois était désigné par "beaucoup" (cette caractéristique existe encore en Afrique australe chez les Khoïsan ou en Amazonie chez les Munduruku). Au fil des temps, les humains ont appris à compter avec les doigts et s'il se retrouvaient avec plus d'objets que de doigts pour les compter, ils éprouvaient alors des difficultés. Pour compter, ils utilisaient des bâtons, des cailloux, des perles. En comptant les objets, les humains ont réalisé que les objets avaient un nombre. Ils ont remarqué que cinq animaux ou cinq flèches était la même quantité : cinq. Les humains ont progressé depuis 1 jusqu'aux grands nombres très lentement. Il a fallu des millénaires pour qu'hommes et femmes apprécient les nombres entiers naturels.
Les nombres entiers naturels ont été les premiers nombres découverts par l'Homme. Ce sont les nombres avec lesquels on peut compter les objets ou les autres éléments physiques. Les civilisations les plus anciennes utilisaient les nombres naturels, bien que ceux-ci étaient représentés différemment selon les civilisations: il y eut les nombres égyptiens, babyloniens, romains et puis arabes.

### Nombres romains

Tous les nombres romains sont naturels. Ils représentent donc bien l’ensemble des nombres naturels. Ils sont toujours utilisés aujourd'hui.
On utilise 7 symboles pour écrire avec les nombres romains :
| Nombre romain | Nombre arabe | Français |
| I | 1 | Un |
| V | 5 | Cinq |
| X | 10 | Dix |
| L | 50 | Cinquante |
| C | 100 | Cent |
| D | 500 | Cinq-cents |
| M | 1000 | Mille |
Voici les nombres de 1 à 10 en romain :
| I | II | III | IV | V | VI | VII | VIII | IX | X |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |

## Définition

Les entiers naturels sont les nombres « sans virgule » plus grands ou égaux à 0. Ainsi, 0, 1, 2, 3… sont des nombres entiers naturels. Il en existe une infinité.
Les entiers naturels sont les nombres les plus utilisés dans la vie courante : ils permettent de compter les objets. Par exemple, on a 5 pommes, 2 frères ou 1 maison.
L'ensemble des nombres entiers naturels est noté $\mathbb {N}$.

## Le boulier

Pour se représenter les nombres et les manipuler, un outil commode est le boulier.
| Sommaire | Addition |
# Logique de base/Tableau de Karnaugh2
## Les axes de symétrie
### Leur inconvénient

Si l’on suit les règles précédentes avec ce tableau :
| U | U | a b c | a b c | a b c | a b c | a b c | a b c | a b c | a b c |
| U | U | 0 0 0 | 0 0 1 | 0 1 1 | 0 1 0 | 1 1 0 | 1 1 1 | 1 0 1 | 1 0 0 |
| d e | 0 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| d e | 0 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| d e | 1 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| d e | 1 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
En toute logique, on devrait faire ceci :
| U | U | a b c | a b c | a b c | a b c | a b c | a b c | a b c | a b c |
| U | U | 0 0 0 | 0 0 1 | 0 1 1 | 0 1 0 | 1 1 0 | 1 1 1 | 1 0 1 | 1 0 0 |
| d e | 0 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| d e | 0 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| d e | 1 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| d e | 1 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
Or, si l’on résout le rassemblement, on ne trouve pas de solution. Ce problème est lié au fait que l’axe de symétrie du rassemblement effectué ne correspond pas à un axe de symétrie du tableau.
Ici, c’est la variable a qui définit la symétrie des 2 sous-tableaux.
| U | U | a b c | a b c | a b c | a b c | a b c | a b c | a b c | a b c |
| U | U | 0 0 0 | 0 0 1 | 0 1 1 | 0 1 0 | 1 1 0 | 1 1 1 | 1 0 1 | 1 0 0 |
| d e | 0 0 | | | | | | | | |
| d e | 0 1 | | | | | | | | |
| d e | 1 1 | | | | | | | | |
| d e | 1 0 | | | | | | | | |
Donc, la solution est de faire ceci :
| U | U | a b c | a b c | a b c | a b c | a b c | a b c | a b c | a b c |
| U | U | 0 0 0 | 0 0 1 | 0 1 1 | 0 1 0 | 1 1 0 | 1 1 1 | 1 0 1 | 1 0 0 |
| d e | 0 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| d e | 0 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| d e | 1 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| d e | 1 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
Et là on peut résoudre sans problème le tableau avec les méthodes précédentes.
U = $b.{\bar {c}}+a.c$

### Leur avantage

Heureusement, les axes de symétrie peuvent nous apporter un avantage, surtout pour les gros tableaux. En effet, en essayant de trouver des axes de symétrie, on peut éliminer 1 variable par axe, et donc ainsi simplifier le travail de la recherche de solution.
La procédure est simple : un axe élimine sa variable. Donc si on a un tableau de ce genre :
| U | U | a b c | a b c | a b c | a b c | a b c | a b c | a b c | a b c |
| U | U | 0 0 0 | 0 0 1 | 0 1 1 | 0 1 0 | 1 1 0 | 1 1 1 | 1 0 1 | 1 0 0 |
| d e | 0 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| d e | 0 1 | 5 | 6 | 7 | 8 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| d e | 1 1 | 9 | 10 | 11 | 12 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| d e | 1 0 | 13 | 14 | 15 | 16 | 13 | 14 | 15 | 16 |
l'axe de symétrie correspond à la variable a, donc on élimine la variable a pour obtenir le tableau suivant :
| U | U | b c | b c | b c | b c |
| U | U | 0 0 | 0 1 | 1 1 | 1 0 |
| d e | 0 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| d e | 0 1 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| d e | 1 1 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| d e | 1 0 | 13 | 14 | 15 | 16 |
Si on a un tableau de ce genre, c’est la variable c qui disparaît :
| U a b c 0 0 00 0 10 1 10 1 01 1 01 1 11 0 11 0 0 d e 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 0 1 5 5 6 6 7 7 8 8 1 1 9 9 10 10 11 11 12 12 1 0 13 13 14 14 15 15 16 16 | Devient ceci : | U a b 0 00 11 11 0 d e 0 0 1 2 3 4 0 1 5 6 7 8 1 1 9 10 11 12 1 0 13 14 15 16 |
# Automatisme : norme 1131-3 et GRAFCET/Prérequis conseillés

* Une bonne connaissance de la logique combinatoire
* une bonne connaissance de la logique séquentielle
# Repère euclidien non orthonormé/Coordonnées covariantes et contravariantes

Nous repartirons de la formule établie au chapitre précédent.
$x_{k}=e_{k}.v$
Nous avons dit que cette formule n’est valable que dans les bases orthonormées.
Essayons malgré tout de voir ce qu'elle peut signifier dans une base qui n’est pas orthonormée.
(Pour simplifier, nous ferons la représentation dans un plan euclidien, mais les résultats restent valables en dimension 3.)
Soit un repère (O, e$_1$, e$_2$, e$_3$) normé mais pas orthonormé. Cela signifie que les vecteurs e$_1$, e$_2$, e$_3$ sont de norme 1 mais ne sont pas orthogonaux.
Soit M un point dans le repère (O, e$_1$, e$_2$, e$_3$) tel que :
${\overrightarrow {OM}}=v$
Soient M$_1$, M$_2$, M$_3$, les projections orthogonales du point M sur les axes du repère.
Nous voyons alors que :
$x_{k}=e_{k}.v=e_{k}.{\overrightarrow {OM}}=e_{k}\left({\overrightarrow {OM_{k}}}+{\overrightarrow {M_{k}M}}\right)=e_{k}.{\overrightarrow {OM_{k}}}+e_{k}.{\overrightarrow {M_{k}M}}=e_{k}.{\overrightarrow {OM_{k}}}=OM_{k}$
Nous voyons que les x$_k$ sont des coordonnées, d’un type inhabituel, obtenues non pas en faisant des projections sur un axe parallèlement aux autres axes mais sont des coordonnées obtenues par projection orthogonale sur les axes.
Peut-on dire que ces coordonnées sont moins légitimes que les coordonnées habituelles ? Définissent-elles moins bien le point M ? Pas du tout, la connaissance de ces coordonnées permet de localiser aussi bien le point M que les coordonnées classiques. Ces coordonnées portent le nom de coordonnées covariantes du vecteur v.
Soit u un vecteur d’un espace euclidien de dimension n muni d’une base B = (e$_1$, e$_2$, … e$_n$). Les coordonnées covariantes du vecteur u dans la base B sont les nombres x$_1$, x$_2$, … ,x$_n$ vérifiant :
$\forall k\in \{1,2,\cdots ,n\}\qquad x_{k}=e_{k}.u$
Pour différencier les coordonnées habituelles des coordonnées covariantes que l’on vient de définir, nous mettrons l’indice en exposant (selon la coutume) et nous appellerons celle-ci coordonnées contravariantes (nous verrons pourquoi dans le chapitre suivant).
Soit u un vecteur d’un espace euclidien de dimension n muni d’une base B = (e$_1$, e$_2$, … e$_n$). Les coordonnées contravariantes du vecteur u dans la base B sont les nombres x$^1$, x$^2$, … ,x$^n$ vérifiant :
$u=\sum _{k=1}^{n}x^{k}.e_{k}$
| Introduction | Formules de changement de bases |
# Portes logiques/Portes de base
## OUI

Fonction de base la plus simple puisque la logique de sortie est égale à la logique de l'entrée.
| Schéma électrique | Représentation graphique |
| Table de vérité ${\begin{array}{|c||c|}a&S\\\hline 0&0\\1&1\\\end{array}}$ | Équation logique L = a |

## NON

Fonction de base aussi puisque complémentaire de la fonction OUI, donc la logique de sortie est égale à l'inverse de la logique de l'entrée.
| Schéma électrique | Représentation graphique |
| Table de vérité ${\begin{array}{|c||c|}a&S\\\hline 0&1\\1&0\\\end{array}}$ | Équation logique L = ${\overline {a}}$ |

## ET

| Schéma électrique | Représentation graphique |
| Table de vérité ${\begin{array}{|c|c||c|}a&b&S\\\hline 0&0&0\\0&1&0\\1&0&0\\1&1&1\\\end{array}}$ | Équation logique L = a . b |

## OU

| Schéma électrique | Représentation graphique |
| Table de vérité ${\begin{array}{|c|c||c|}a&b&S\\\hline 0&0&0\\0&1&1\\1&0&1\\1&1&1\\\end{array}}$ | Équation logique L = a + b |
| Sommaire | Portes évoluées |
# Formule du crible/Objectifs

* Maîtriser un aspect du cours sur les dénombrements et probabilités.
* Être mieux préparé aux concours d'entrée aux grandes écoles commerciales.
# Complément de mathématiques pour prépa HEC/Présentation du cours

Nous présentons ici une série de leçons constituant chacune un complément de cours sur le programme des classes préparatoires aux concours d'entrée aux grandes écoles commerciales.
Ces compléments de cours ne doivent pas être confondus avec le cours proprement dit, qui sera présenté indépendamment. Ces compléments de cours consistent chacun en un exposé systématique d'une notion apparaissant souvent lors des concours. L'étudiant pourra ainsi mieux se préparer à affronter les épreuves.