# Théorie des groupes/Examen/Licence math algèbre Université de Provence mai 1994

Il sera tenu compte de la rigueur des raisonnements et de la présentation.
1 ) Combien existe-t-il, à isomorphisme près, de groupes commutatifs d'ordre 37, 252, 84 ? Donner une description de chacun.
2 ) a) Montrer que, si a et b sont générateurs d'un groupe monogène (ou cyclique) G, il existe un automorphisme f de G tel que f(a) = b.
    b) G et F sont deux groupes monogènes, f un homomorphisme surjectif de G sur F, si a est un générateur de G, que peut-on dire de f(a) ?
    c) Si K est un sous-groupe de G, f un homomorphisme de G dans le groupe H, montrer que |f(K)| divise |H| et divise |K|.
    d) Combien existe-t-il d'homomorphismes d'un groupe G d'ordre 37 dans en groupe H d'ordre 7 ?
3 ) Soit N un groupe d'ordre 12.
    a) Montrer que N possède au moins un sous-groupe d'ordre 3 et un sous-groupe d'ordre 4.
    b) Combien peut-il exister dans N de sous-groupes d'ordre 3 ?
    c) On suppose que N contient 4 sous-groupes d'ordre 3. Combien contient-il d'éléments d'ordre 3 ? d'ordre 2 ou 4 ? En déduire que N contient alors un sous-groupe distingué d'ordre 4.
    d) Montrer que (sans la supposition de (c)) N contient toujours un sous-groupe distingué d'ordre 3 ou 4.
    e) Que savez-vous sur les groupes d'ordre 4 ?
    f) Montrer que, si N contient un unique sous-groupe F d'ordre 3 et un unique sous-groupe H d'ordre 4, alors N est le produit direct de F et de H, et N est commutatif.
4 ) Soit G un groupe d'ordre 84 pas nécessairement commutatif, H un groupe d'ordre 7, f:G→H un homomorphisme non trivial (|f(G)| > 1).
    a) Montrer que f est surjectif.
    b) Soit N = ker f. Calculer |N|, et utilisant 3), montrer qu’il existe F ⊳ N, d'ordre 3 ou 4.
    c) Montrer que G possède un unique sous-groupe distingué K tel que |K| = 7.
    d) Montrer que G est produit direct de N et de K.
    e) Montrer que f, restreint à K, est un isomorphisme de K sur H. Combien existe-t-il d'isomorphismes possibles de K sur H.
    f) Combien existe-t-il d'homomorphismes possibles de G dans H ?
    g) Montrer que S = KF est un produit direct (où F est le sous-groupe du b) ci-dessus), et que S est distingué dans G.
5 ) Considérons l’ensemble S = {a = e$^{2πi/18}$, 2} dans le groupe ℂ$^*$ = ℂ - {0} des nombres complexes avec loi de multiplication.
    a) Définir le sous-groupe < S > engendré par un sous-ensemble S fini (non vide) d'un groupe.
    b) Montrer que le sous-groupe de ℂ$^*$ engendré par a est isomorphe à ℤ$_{18}$ ≡ ℤ/18ℤ - c'est-à-dire l’ensemble {0,1,2,...,17} avec loi d'addition modulo 18.
    c) Combien de générateurs y a-t-il dans ℤ$_{18}$ et dans ℤ ?
    d) Quel est le sous-groupe de ℂ$^*$ engendré par 2 ?
    e) Montrer que < {a,2} > est donc isomorphe au produit direct ℤ$_{18}$✕ℤ.
    f) Montrer que les produits directs G✕H et H✕G sont isomorphes.
1 )
- 37 est un nombre premier, donc il n'existe qu'un groupe commutatif d'ordre 37, à savoir ℤ$_{37}$.
- 252 = 2$^2$✕3$^2$✕7
    Les diviseurs élémentaires sont donc :
    (2,2,3,3,7)
    (2$^2$,3$^2$,7)
    (2,2,3$^2$,7)
    (2$^2$,3,3,7)
    Il existe donc 4 groupes abéliens d'ordre 252 :
    ℤ$_{42}$✕ℤ$_6$, ℤ$_{252}$, ℤ$_{126}$✕ℤ$_2$, ℤ$_{84}$✕ℤ$_3$.
- 84 = 2$^2$✕3✕7
    Les diviseurs élémentaires sont donc :
    (2,2,3,7) et (2$^2$,3,7)
    Il existe donc 2 groupes abéliens d'ordre 84 :
    ℤ$_{42}$✕ℤ$_2$ et ℤ$_{84}$
2 )
a) Soit x un élément de G. a étant générateur, il existe k tel que x = a$^k$. On peut définir l'image de x par f par f(x) = b$^k$
b) Soit b un élément de F. f étant surjective, il existe c ∈ G tel que f(c) = b. a étant un générateur de G, il existe k tel que c = a$^k$. On a donc f(a$^k$) = b ⇔ f(a)$^k$ = b. Donc f(a) est un générateur de F.
c) L'image d'un groupe par un homomorphisme est un groupe, donc d’après Lagrange l’ordre de f(K) divise l’ordre de H. D'autre part f(K) ≡ K/ker f et donc l'ordre de f(K) divise l’ordre de K.
d) D'après précédemment, l’ordre de f(G) divise l’ordre de G. Or l’ordre de G = 37 est un nombre premier. Donc on a obligatoirement l’ordre de f(G) = 1. Donc il y a un homomorphisme satisfaisant à la question définie par ᗄx ∈ E f(x) = e.
3 ) 12 = 2$^2$ ✕ 3
a) D'après un théorème de Sylow, c’est évident.
b) Le nombre de 3-groupes de Sylow est un diviseur de 4 congru à 1 modulo 3. Il peut donc y avoir, soit 1 sous-groupe d'ordre 3, soit 4 sous-groupes d'ordre 3.
c) La structure de groupe est forcément :
Chaque sous-groupe d'ordre 3 est cyclique donc contient 2 éléments d'ordre 3. Comme il y a 4 sous-groupes, il y a 8 éléments d'ordre 3. D'après Sylow, il y a un seul sous-groupe d'ordre 4. Si ce sous-groupe est cyclique, il y a alors 3 éléments d'ordre 4. Si ce sous-groupe est un groupe de Klein, il y a 3 éléments d'ordre 2. On a vu qu’il y a un seul sous-groupe d'ordre 4, il est donc distingué d’après Sylow.
d) Évident d’après Sylow.
e) Il n'en existe que deux à isomorphisme près, le groupe cyclique et le groupe de Klein.
f) Considérons le produit FH. Comme d’après d) F ou H est distingué, alors FH est un sous-groupe de N d'ordre :
${\frac {|F|.|H|}{|F\cap H|}}={\frac {3\times 4}{1}}=12$
C'est donc N et comme F ᑎ H = {e}, on a N = F ✕ H
4)
a) On sait d’après 2)c) que l’ordre de f(G) divise 7. Comme l’ordre de f(G) est différent de 1, alors l’ordre de f(G) ne peut être que 7 et donc f(G) = H.
b) On sait que :
${\frac {G}{ker\,f}}\equiv H\Leftrightarrow {\frac {G}{N}}\equiv H$
donc :
$|N|={\frac {|G|}{|H|}}={\frac {84}{7}}=12$
et comme l’ordre de N est 12, on utilisera 3)d). N contient un sous-groupe distingué d'ordre 3 ou 4.
c) 84 = 7 ✕ 12. Donc d’après Sylow, il contient au moins un sous-groupe d'ordre 7. Le nombre de sous-groupes d'ordre 7 est un diviseur de 12 congru à 1 modulo 7. Donc il n'y en a qu'un qui est distingué d’après Sylow.
d) Considérons NK. Comme K est distingué, c’est un sous-groupe de G d'ordre :
${\frac {|N|.|K|}{|N\cap K|}}={\frac {12\times 7}{1}}=84$
et donc NK = G.
Comme N ᑎ K = {e} car le pgcd des ordres de N et K est 1, on a NK ≡ N ✕ K et donc G ≡ N ✕ K. (N = ker f, donc distingué. K est seul, donc distingué d’après Sylow)
e) D'après le deuxième théorème d'isomorphisme :
${\frac {NK}{N}}\equiv {\frac {K}{N\cap K}}$
or NK = G et N ᑎ K = {e} donc :
${\frac {G}{N}}\equiv K$
Or d’après le premier théorème d'isomorphisme :
${\frac {G}{N}}\equiv H$
Par transitivité, on a donc : K ≡ H
Calculons le nombre d'isomorphismes de K sur H.
K et H, étant d'ordre 7, sont par conséquent cycliques. Un isomorphisme de K sur H associera un générateur de K à un générateur de H. Une fois que l'image d'un générateur de K a été fixée, les images des autres éléments s'en déduisent. Il y aura donc autant d'isomorphismes de K dans H que ce qu’il y a d'images possibles pour un générateur de K. Il y a donc 6 isomorphismes possibles.
f) On a vu que G ≡ N ✕ K. N étant d'ordre 12 et H d'ordre 7. Il existe un seul homomorphisme de N dans H car l’ordre de f(N) doit être à la fois un diviseur de 12 et de 7, c'est-à-dire 1.
Le nombre des homomorphismes de G dans H est égal au produit du nombre des homomorphismes de N dans H par celui des homomorphismes de K dans H, soit 7 ✕ 1 = 7. Il y a 7 homomorphismes de K dans H (les 6 isomorphismes plus l'homomorphisme trivial)
g) S = KF est un sous-groupe car K est distingué.
K ᑎ F = {e} car pgcd(7, 3 ou 4) = 1
D'autre part G ≡ N ✕ K, donc tout élément de K commute avec tout élément de N et en particulier tout élément de K commute avec tout élément de F et donc S = KF ≡ K ✕ F.
Ensuite :
${\begin{cases}F\triangleleft N\\K\triangleleft K\end{cases}}\Rightarrow F\times K\triangleleft N\times K\Rightarrow S\triangleleft G$
5 )
a) < S > est l’ensemble des nombres complexes de la forme 2$^k$e$^{2lπi/18}$ avec k, l ∈ ℤ
b) On peut définir un isomorphisme de < a > dans ℤ$_{18}$ par :
${\begin{aligned}<a>&\longrightarrow \mathbb {Z} _{18}\\f:\qquad e^{k{\frac {2\pi i}{18}}}&\longmapsto {\bar {k}}\end{aligned}}$
on vérifie que c’est un isomorphisme.
c) Il y en a φ(18) = 6 (φ, indicatrice d'Euler).
d) Ce sont les nombres de la forme 2$^k$ avec k ∈ ℤ.
e) On peut engendrer, définir un isomorphisme g de < 2 > dans ℤ par :
${\begin{aligned}<2>&\longrightarrow \mathbb {Z} \\g:\qquad 2^{k}&\longmapsto k\end{aligned}}$
Et par conséquent < a > est isomorphe à ℤ$_{18}$ et < 2 > est isomorphe à ℤ.
On remarque de plus que < a > ᑎ < 2 > = {1}. < {a,2} > est donc isomorphe au produit direct ℤ$_{18}$✕ℤ.
f) On peut définir un isomorphisme h de G ✕ H dans H ✕ G par :
${\begin{aligned}G\times H&\longrightarrow H\times G\\h:\qquad (x,y)&\longmapsto (y,x)\end{aligned}}$