# Fonctions polynômes du second degré (ou trinômes)

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## Les trinômes

Une fonction polynôme du second degré, ou trinôme, est donnée par une formule du type :
$f(x)=ax^{2}+bx+c$
où a, b et c sont des coefficients et où a est non nul.
Parmi les fonctions suivantes, lesquelles peuvent être classées dans l’ensemble des fonctions polynômes du second degré ? Préciser leurs coefficients.
* $f_{1}(x)=2x^{2}+3x+1$
* $f_{2}(x)=x^{2}-2x+2$
* $f_{3}(x)=2x+1$
* $f_{4}(x)=-x^{3}+2x-5$
* $f_{5}(x)=x^{2}+3$
* $f_{6}(x)=3x^{2}-x$
* $f_{1}$ l'est avec : a=2, b=3 et c=1
* $f_{2}$ l'est avec : a=1, b=-2 et c=2
* $f_{3}$ ne l'est pas (pas de coefficient en $x^{2}$)
* $f_{4}$ ne l'est pas (présence d'un coefficient en $x^{3}$)
* $f_{5}$ l'est avec : a=1, b=0 et c=3
* $f_{6}$ l'est avec : a=3, b=-1 et c=0

## Représentation graphique d'une fonction trinôme

La représentation graphique d'une fonction trinôme est toujours une parabole.
Le sommet est en bas si a est positif.
Le sommet est en haut si a est négatif.
Tracer dans un même repère orthonormé les paraboles représentatives des fonctions suivantes.
* $f_{1}(x)=2x^{2}+3x+1$
* $f_{2}(x)=x^{2}-2x+2$
* $f_{3}(x)=-x^{2}+3$
* $f_{4}(x)=-3x^{2}-x$

## Racines d'un trinôme

Les racines d'une fonction trinôme f sont les solutions de l'équation f(x) = 0.
Graphiquement, ce sont les abscisses des points d'intersection de la parabole avec l’axe horizontal des abscisses.
Le nombre de racines d'un trinôme dépend de son discriminant : $\Delta =b^{2}-4ac$.
* Si $\Delta >0$ alors le trinôme a deux racines réelles distinctes :
$x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}$ $x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}$.
* Si $\Delta =0$ alors le trinôme a une racine réelle double : $x_{0}={\frac {-b}{2a}}$.
* Si $\Delta <0$ alors le trinôme n'a pas de racine réelle (mais il possède deux racines complexes conjuguées) :
$z_{1}={\frac {-b+i{\sqrt {-\Delta }}}{2a}}$ $z_{2}={\frac {-b-i{\sqrt {-\Delta }}}{2a}}$.
On a donc six possibilités : :
| | Si $\Delta >0$ | Si $\Delta =0$ | Si $\Delta <0$ |
| Si a > 0 | Deux racines réelles | Une racine double | Pas de racine réelle |
| Si a < 0 | Deux racines réelles | Une racine double | Pas de racine réelle |
Calculer d’abord le discriminant puis les racines des trinômes suivants. Vérifier la cohérence des résultats avec les courbes tracées plus haut.
* $f_{1}(x)=2x^{2}+3x+1$
* $f_{2}(x)=x^{2}-2x+2$
* $f_{3}(x)=-x^{2}+3$
* $f_{4}(x)=-3x^{2}-x$
$f_{1}$
$\Delta =b^{2}-4ac$
$\Delta =3^{2}-4\times 2\times 1=9-8=1$
$\Delta =1>0$
il y a donc 2 racines réelles $x_{1}etx_{2}$
${\begin{cases}x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\\x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\end{cases}}$
${\begin{cases}x_{1}={\frac {-3+{\sqrt {1}}}{2\times 2}}\\x_{2}={\frac {-3-{\sqrt {1}}}{2\times 2}}\end{cases}}$
${\begin{cases}x_{1}={\frac {-2}{4}}\\x_{2}={\frac {-4}{4}}\end{cases}}$
${\begin{cases}x_{1}=-{\frac {1}{2}}\\x_{2}=-1\end{cases}}$
$f_{2}$
$\Delta =b^{2}-4ac$
$\Delta =(-2)^{2}-4\times 1\times 2=4-8=-4$
$\Delta =-4<0$
Il y a donc pas de racine réelle.
$f_{3}$
$\Delta =b^{2}-4ac$
$\Delta =0^{2}-4\times (-1)\times 3=12$
$\Delta =12>0$
il y a donc 2 racines réelles $x_{1}etx_{2}$
${\begin{cases}x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\\x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\end{cases}}$
${\begin{cases}x_{1}={\frac {-(0)+{\sqrt {12}}}{2\times (-1)}}\\x_{2}={\frac {-(0)-{\sqrt {12}}}{2\times (-1)}}\end{cases}}$
${\begin{cases}x_{1}={\frac {2{\sqrt {3}}}{-2}}\\x_{2}={\frac {-2{\sqrt {3}}}{-2}}\end{cases}}$
${\begin{cases}x_{1}=-{\sqrt {3}}\\x_{2}={\sqrt {3}}\end{cases}}$
$f_{4}$
$\Delta =b^{2}-4ac$
$\Delta =(-1)^{2}-4\times (-3)\times 0=1$
$\Delta =1>0$
il y a donc 2 racines réelles $x_{1}etx_{2}$
${\begin{cases}x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\\x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\end{cases}}$
${\begin{cases}x_{1}={\frac {-(-1)+{\sqrt {1}}}{2\times (-3)}}\\x_{2}={\frac {-(-1)-{\sqrt {1}}}{2\times (-3)}}\end{cases}}$
${\begin{cases}x_{1}={\frac {2}{-6}}\\x_{2}={\frac {0}{-6}}\end{cases}}$
${\begin{cases}x_{1}=-{\frac {1}{3}}\\x_{2}=0\end{cases}}$

## Variations d'une fonction trinôme

Si a est positif :
| x | $-\infty$ $-{\frac {b}{2a}}$ $+\infty$ |
| f | $+\infty$ $+\infty$ $\searrow$ $\nearrow$ ${\frac {4ac-b^{2}}{4a}}$ |
Si a est négatif :
| x | $-\infty$ $-{\frac {b}{2a}}$ $+\infty$ |
| f | ${\frac {4ac-b^{2}}{4a}}$ $\nearrow$ $\searrow$ $-\infty$ $-\infty$ |

### Remarques

   * L'abscisse de l'extremum $-{\frac {b}{2a}}$ correspond à la moyenne des deux racines quand elles existent, la parabole est symétrique.
   * La valeur de l'extremum ${\frac {4ac-b^{2}}{4a}}$ n'a pas à être apprise par cœur : elle se retrouve facilement dans les exemples.
Donner les tableaux de variations des fonctions suivantes. Vérifier la cohérence avec les courbes obtenues précédemment.
* $f_{1}(x)=2x^{2}+3x+1$
* $f_{2}(x)=x^{2}-2x+2$
* $f_{3}(x)=-x^{2}+3$
* $f_{4}(x)=-3x^{2}-x$
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle.
Dresser le tableau de variations de l'application $p:x\mapsto x^{2}+3x+1$.
$\forall x\in \mathbb {R} \quad p'(x)=2x+3$.

## Signe d'un trinôme

En combinant la connaissance des racines et celle du tableau de variations, on obtient le tableau de signe d'un trinôme. Il y a six possibilités.
Théorème :
Si a est positif :
| x | $-\infty$ ${\frac {-b}{2a}}$ $+\infty$ |
| f | $+$ $0$ $+$ |
Si a est négatif :
| x | $-\infty$ ${\frac {-b}{2a}}$ $+\infty$ |
| f | $-$ $0$ $-$ |
Si a est positif :
| x | $-\infty$ ${\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}$ ${\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}$ $+\infty$ |
| f | $+$ $0$ $-$ $0$ $+$ |
Si a est négatif :
| x | $-\infty$ ${\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}$ ${\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}$ $+\infty$ |
| f | $-$ $0$ $+$ $0$ $-$ |
Si a est positif :
| x | $-\infty$ $+\infty$ |
| f | $+$ |
Si a est négatif :
| x | $-\infty$ $+\infty$ |
| f | $-$ |
Voir Équations et fonctions du second degré/Inéquations du second degré#Application.

## Somme et produit des racines

Quand un trinôme possède deux racines $x_{1}\ et\ x_{2}$, on vérifie facilement les deux formules suivantes, qui peuvent être utiles pour calculer une racine quand on connait déjà l'autre, ou bien quand on connait le produit et la somme des racines, mais pas les racines elles-mêmes.
$x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}$
$x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}$

## Factorisation d'un trinôme

Quand un trinôme possède deux racines $x_{1}\ et\ x_{2}$, on peut le factoriser de la manière suivante :
Factoriser, lorsque c’est possible, les trinômes suivants.
* $f_{1}(x)=2x^{2}+3x+1$
* $f_{2}(x)=x^{2}-2x+2$
* $f_{3}(x)=-x^{2}+3$
* $f_{4}(x)=-3x^{2}-x$
$f_{1}$
$2(x+{\frac {1}{2}})(x+1)$
$f_{2}$
$f_{3}$
$-(x-{\sqrt {3}})(x+{\sqrt {3}})$
$f_{4}$

## Liens

* Équation du second degré sur Wikipédia, on y trouve les démonstrations des théorèmes de ce cours. Un peu difficile néanmoins.
* Fonction du second degré sur Wikipédia, plus élémentaire que le précédent. Une illustration graphique intéressante
Référents
Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant ce cours :
* Loïc Fabiou (discuter)
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