# Probabilités sur les ensembles finis/Calcul des probabilités
## Approche fréquentielle

* Si l'on répète une expérience aléatoire un grand nombre de fois,
    et si la fréquence d'un événement tend vers une limite,
    on la définit intuitivement comme probabilité de l'événement.
* Par exemple, pour 6000 lancers de dé équilibré, on obtiendra certainement environ 1000 fois le résultat 1.
    La probabilité de l'événement élémentaire {1} sera donc :
    ${\frac {1000}{6000}}={\frac {1}{6}}$.

## Probabilités sur un ensemble fini

On probabilise un univers fini $\Omega$ en attribuant à chaque éventualité
un nombre positif de telle manière que :
* Ce nombre soit compris entre 0 et 1 (comme une fréquence).
* La somme de ces nombres soit 1 (comme la somme des fréquences).
Dans un lancer de dé équilibré, tous les numéros ont la même probabilité d'apparaitre, les probabilités $p_{i}$ sont alors toutes égales à ${\frac {1}{6}}$.
Mais dans un lancer de dé pipé (déséquilibré), les probabilités $p_{i}$ d'apparition des numéros ne sont pas toutes égales.

## Probabilité d'un événement non élémentaire

La probabilité d'un événement A est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent.
$p(A)=\sum _{\omega _{i}\in A}p_{i}$
Lors du lancer d'un dé équilibré à six faces, calculer la probabilité d'obtenir un résultat inférieur ou égal à 2.
Notons A cet événement.
    $p(A)=p(1)+p(2)={\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {2}{6}}={\frac {1}{3}}$.

## Probabilités des événements particuliers

* La probabilité de l'univers est 1 : $p(\Omega )=1$.
* La probabilité de l'événement impossible est 0 : $p(\varnothing )=0$.

## Probabilité de l'événement contraire

$p({\overline {A}})=1-p(A)$.
Dans un lancer de dé équilibré, notons A l'événement « obtenir un 6 ».
Alors ${\overline {A}}$ est l'événement : « obtenir un résultat autre que 6 ». Sa probabilité est donc :
    $p({\overline {A}})=1-p(A)=1-{\frac {1}{6}}={\frac {5}{6}}$.

## Probabilité de l'union de deux événements incompatibles

Si A et B sont deux événements incompatibles (d'intersection vide), alors
    $p(A\cup B)=p(A)+p(B)$.
Dans un lancer de dé équilibré, les deux événements :
* A : « obtenir 6 » et
* B : « obtenir un résultat inférieur ou égal à 2 »
sont incompatibles, puisqu’ils ne peuvent pas être réalisés en même temps.
On a donc :
    $p(A\cup B)=p(A)+p(B)={\frac {1}{6}}+{\frac {2}{6}}={\frac {1}{2}}$.

## Probabilité de l'union de deux événements quelconques

Dans ce cas, les événements appartenant à l'intersection ont été comptés deux fois, d'où la formule :
    $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$.
Dans un lancer de dé équilibré, si l'on note :
* A l'événement « obtenir un multiple de 3 » et
* B l'événement « obtenir un résultat strictement supérieur à 3 »,
on a :
    $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)={\frac {2}{6}}+{\frac {3}{6}}-{\frac {1}{6}}={\frac {4}{6}}={\frac {2}{3}}$.

## Situation d'équiprobabilité

Il y a équiprobabilité dans une expérience aléatoire
quand tous les événements élémentaires ont la même probabilité (équiprobables).
Le lancer de dé équilibré montre une situation d'équiprobabilité, alors que le lancer de dé pipé montre au contraire une situation où tous les numéros n'ont pas la même probabilité d'apparition.
Dans une situation d'équiprobabilité, soient :
* A un événement composé de n événements élémentaires ;
* N le nombre de résultats possibles (univers).
Alors,
$p(A)={\frac {n}{N}}$
Dans le cas d'un lancer de dé équilibré à six faces, calculer la probabilité d'obtenir un résultat pair.
Ici, l'univers Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Le nombre de résultats possibles, $N$, vaut donc 6.
A = {2, 4, 6}. Le nombre d'événements élémentaires de A, $n$, vaut donc 3.
Donc, d’après la formule $p(A)={\frac {n}{N}}$ :
    $p(A)={\frac {3}{6}}={\frac {1}{2}}$.
La situation d'équiprobabilité est la seule qui permet de déterminer les probabilités des événements élémentaires à partir de rien.
Elle a une grande importance dans la pratique et on essaie toujours de s'y ramener.
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