OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Vocabulaire et notations mathématiques/Ensembles
## Ensembles usuels

* $\mathbb {N}$, ensemble des entiers naturels.
* $\mathbb {Z}$, ensemble des entiers relatifs.
* $\mathbb {D}$, ensemble des nombres décimaux.
* $\mathbb {Q}$, ensemble des rationnels.
* $\mathbb {R}$, ensemble des nombres réels.
* $\mathbb {R_{+}}$, ensemble des nombres réels positifs ou nuls.
* $\mathbb {R_{-}}$, ensemble des nombres réels négatifs ou nuls.
    cette notation est valable pour tous les ensembles cités, sauf pour $\mathbb {N}$ qui ne peut être négatif.
* $\mathbb {C}$, ensemble des nombres complexes.
* $\mathbb {R^{*}}$, ensembles des réels privé de $0$ (la notation marche pour tous les ensembles)

## Relations

* $\in$, appartenance.
    exemple : $n\in \mathbb {N} \Leftrightarrow n$ est un entier naturel.
* $\subset$, inclusion.
    exemple : $\mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \Leftrightarrow \mathbb {Z}$ est inclus dans $\mathbb {Q}$ : les nombres rationnels sont, entre autres, des entiers relatifs. La réciproque est fausse.
Conséquence :
* exemple : $\left({\frac {a}{b}}\right)\notin \mathbb {N}$ : un quotient n'appartient pas à $\mathbb {N}$ (si ce quotient est une fraction irréductible et que b est différent de -1 et 1)
| Géométrie | Quantificateurs |
# Vocabulaire et notations mathématiques/Géométrie

* $AB$, symbole désignant la distance entre A et B
* $(AB)$, symbole de la droite passant par les points A et B.
* $[AB]$, symbole du segment d'extrémités A et B.
* $[AB)$, symbole de la demi-droite passant par B d'origine A.
* $(AB)\parallel (CD)$, symbole désignant le parallélisme des deux droites $(AB)$ et $(CD)$
* ${\overrightarrow {AB}}$, symbole du vecteur AB : déplacement de A vers B.
* ${\widehat {ABC}}$, symbole de l'angle formé par les demi-droites [BA) et [BC).
* $ABC$, symbole désignant le triangle formé par les points A, B et C.
| Algèbre et arithmétique | Ensembles |
# Vocabulaire et notations mathématiques/Probabilités et statistiques

* $p(A)$, probabilité de l'évènement $A$.
* $card(E)$, cardinal de l’ensemble $E$.
* ${\binom {n}{p}}$, nombre de combinaisons de p éléments pris dans n.
* ${\bar {x}}$, moyenne d'une série statistique. En probabilités, cela peut vouloir dire "non $x$", c'est-à-dire "tout ce qui n’est pas $x$", ou encore "l'inverse de $x$" dans d'autres disciplines comme la logique.
| Quantificateurs | Sommaire |
# Mallette pédagogique Troubles du comportement
### Menu

Le Centre National d'Enseignement à Distance (CNED) mobilise et anime une communauté d'enseignants dans les écoles, collèges et lycées pour proposer AccessiProf, une collection de mallettes pédagogiques créées par des enseignants pour des enseignants au sein de la wikiversité.
Les mallettes pédagogiques ont pour but d’aider les enseignants de classe ordinaire à travailler avec des élèves ayant des troubles cognitifs, des troubles dys, des troubles du comportement, des enfants à haut potentiel intellectuel, des élèves en grandes difficultés, etc.
Cette mallette numérique sur les troubles du comportement vous permettra de mettre en place rapidement des dispositifs dans vos classes afin d'apaiser les élèves ayant des troubles du comportement mais aussi ceux qui n'auraient que des problèmes de comportement. Ainsi l'objectif de cette mallette est de permettre à ces élèves de s'inclure dans la classe et dans l'école, de retrouver une posture d'élève pour rentrer dans les apprentissages et de bien vivre l'école. De ce fait, dans votre classe, vous retrouverez un climat de confiance, une ambiance plus calme et sereine.
N'hésitez-pas à contribuer : correction de coquilles, ajout d'informations, ajout de documents outils... Chaque participation est importante si minime soit-elle ! Cette mallette vous appartient, aidez-nous à l'améliorer un peu plus chaque jour ! Créez-vous un compte (menu de haut de page, à droite) puis cliquez sur "Modifier" pour apporter vos corrections et ajouts.
# Pourcentage/Exercices/Pourcentages

Le prix d'un produit est augmenté la première fois de 5 %, puis de 10 % du nouveau prix.
Quel est le pourcentage d'augmentation par rapport au premier prix ?
y = 1,05 * x
z = 1,1 * y
D'où z = 1,1 * 1,05 * x = 1,155x
Le prix initial (premier prix) a augmenté de 15,5 %.
* Sommaire
# Pourcentage/Pourcentage d'évolution
## Pourcentages d’augmentation ou de diminution

Exemple : Le prix d’un article à 80 Euros augmente de 15%. Calculons le nouveau prix.
L’augmentation est de $\scriptstyle {80\times {\frac {15}{100}}=12}$ donc le nouveau prix est : 80 +12 = 92 Euros.
* Augmenter un nombre de t% revient à le multiplier par $1+{\frac {t}{100}}$
* Diminuer un nombre de t% revient à le multiplier par $1-{\frac {t}{100}}$
Exemples :
| Calculer un pourcentage d'un nombre | Sommaire |
# Pourcentage/Objectifs

Maîtriser une notion que l’on rencontre souvent dans la vie courante et préparer les leçons sur les statistiques.
# Pourcentage/Présentation de la leçon

Cette leçon montre l’outil permettant de calculer des pourcentages de nombres et maitriser l’utilisation des centièmes d'une quantité.
# Pourcentage/Prérequis conseillés

* Entiers et décimaux
* Proportionnalité
* Fraction
# Powerpivot

| Chap. 1 : | Introduction |
| Chap. 2 : | Installation |
| Chap. 3 : | Insertion et liaisons des données |
| Chap. 4 : | Création d'une colonne calculée |
| Quiz : | Quiz PowerPivot |

## Présentation [Modifier]

Le Tableur EXCEL de Microsoft est un outils incontournable aussi bien dans le monde privé que professionnel. Sa force est de pouvoir traiter et analyser de nombreuses données. On peut le voir notamment grâce aux possibilités offertes par les TCD.
Néanmoins on lui reproche sa défaillance naissante lorsqu'il lui est demandé de traiter d'énormes quantités de données. Lenteurs ou autres accumulations de formules ont amené Microsoft à développer le module PowerPivot dès la version 2010 du Pack Office.
Ce module vous est présenté dans cette leçon articulée en quatre chapitres :
* Introduction
* Installation
* Insertion et liaisons des données
* Création d’une colonne calculée

## Objectifs [Modifier]

* Pouvoir disposer du module PowerPivot sur son poste informatique
* Comprendre l'utilité et l'efficacité de PowerPivot sur EXCEL
* Acquérir la technique d'utilisation du module

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 15.
* Connaitre et utiliser fréquemment les logiciels bureautiques de la suite MS OFFICE
* Avoir un niveau de maîtrise intermédiaire sur le Tableur Excel
* Une expérience en gestion est un avantage

## Pour aller plus loin [Modifier]

    Quelques vidéos utiles pour débuter ;
* https://www.youtube.com/watch?v=yjASjwJCIxA
* https://www.youtube.com/watch?v=a_AvN9hFVXw

## Référents

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
    Personne ne s'est déclaré prêt à aider pour cette leçon. Pour vous ajouter, cliquez ici.
# Physique en première générale

Facultés de physique et de chimie
Le programme de la classe de première est structuré autour de quatre thèmes :
* Constitution et transformations de la matière
* Mouvement et interactions
* L'énergie : conversions et transferts
* Ondes et signaux

### Physique

| Couleurs et images Vision et image Couleurs des objets Lumière et objets Molécules organiques de la matière colorée Solutions colorées Avancement d'une réaction chimique Structure des molécules | Lois et modèles Interactions fondamentales Radioactivités et réactions nucléaires Cohésion des solides ioniques et moléculaires Transferts thermiques et changement d'état Dissolution et solvatation Alcanes et alcools Introduction aux champs Formes et conservation de l'énergie | Défis du XXIe siècle Les piles et les réactions d'oxydoréduction Oxydation des alcools |

### Chimie

| La mesure en chimie | La chimie créatrice | L'énergie au quotidien |
* Programme officiel
Les objectifs de ce cours sont :
* Physique-chimie en terminale générale
Cours de niveau 12. Les prérequis conseillés sont :
* Physique-chimie en seconde
* Autres leçons de physique en première S
* Autres leçons de chimie en première S
Référents
Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant ce cours :
* Aumars (discuter)
Modifier cette liste
# Physique en première générale/Présentation du cours

Le programme de la classe de première est structuré autour de quatre thèmes :
* Constitution et transformations de la matière
* Mouvement et interactions
* L'énergie : conversions et transferts
* Ondes et signaux
# Physique en classe préparatoire PCSI/Leçons

* Signaux physiques (PCSI)
* Signaux physiques - bis (PCSI)
* Mécanique 1 (PCSI)
* Mécanique 2 (PCSI)
* Statique des fluides (PCSI)
* Thermodynamique (PCSI)
* Induction et forces de Laplace (PCSI)
* Outils mathématiques pour la physique (PCSI)
* Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)
# Physique en classe préparatoire PCSI/Présentation du cours

Ce cours de physique est conforme au programme des classes préparatoires des grandes écoles scientifiques option PCSI ; toutefois quiconque est intéressé par les sujets abordés peut le suivre avec intérêt (même sans connaître la signification du sigle PCSI - la référence à ce sigle n'ayant pour but que de fixer le domaine de physique étudié).
# Physique en classe préparatoire PCSI/Référents

* Matthieu Quéval
* Phl7605
# Nombre entier naturel/Prérequis conseillés

Savoir compter
# Addition et soustraction des relatifs
## Addition

Lorsqu'on additionne deux nombres relatifs, deux cas se présentent à nous :
* Dans le cas où les deux nombres sont de même signe, on ajoute les parties numérique et on garde le signe.
* Dans le cas où les deux nombres comportent des signes opposés, on soustrait les deux parties entières (la plus grande moins la plus petite) de manière classique et on garde le signe de la plus grande de ces parties entières.
* $(+3)+(+5)=(+8)$
* $(-3)+(-5)=(-8)$
* $(-7)+(+5)=-(7-5)=(-2)$

## Soustraction

Retrancher un relatif revient en fait à ajouter son opposé (Cf le théorème ci-dessous). Il suffit d'appliquer cette règle pour se ramener à une addition de relatifs que l’on sait effectuer avec la méthode ci-dessus.
* $(+3)-(+5)=(+3)+(-5)=(-2)$
* $(-3)-(+5)=(-3)+(-5)=(-8)$
* $(+7)-(+5)=(+7)+(-5)=2$

## Opposé

L'opposé d'un nombre entier relatif est le nombre qui a la même partie numérique mais le signe contraire.
* l'opposé de -7 est +7
* l'opposé de +3 est -3
Quand on additionne un nombre et son opposé, le résultat est 0.
$(-3)+(+3)=0$
* Ajouter un nombre revient à retrancher son opposé.
* Retrancher un nombre revient à ajouter son opposé.
* $3-5=3+(-5)=-2$
* $3-(-5)=3+5=8$
* $(-3)-(-5)=(-3)+5=2$
| Représentation | Produit et division |
# Nombre entier naturel/Fiche/Addition
## La table d'addition

* Il faut la connaître par cœur
| $+$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 3 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| 4 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
| 5 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 6 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| 7 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
| 8 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
| 9 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
| 10 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |

## Les étapes pour faire une addition

Nous allons voir les étapes de l'addition à travers l'exemple : $142+86=...$

### Étape 1 : poser l'addition

La première étape consiste à poser l'addition :

### Étape 2 : additionner par colonne de la droite vers la gauche

On cherche le chiffre des unités du résultat : $6+2=8$
Pour trouver les chiffres des dizaines du résultat, on fait $4+8=12$. On pose donc 2 et on retient 1.
Le chiffre des centaines vaut $1+1=2$
# Nombre entier naturel/Objectifs

Mise en place du concept de nombre entier naturel, et des opérations élémentaires associées.
# Nombre entier naturel/Exercices/Soustraction
## Utilisation d'un boulier

L'illustration ci-contre illustre le principe de base de la soustraction sur un boulier.
| Addition | Multiplication |
# Nombre entier naturel/Multiplication
## Nombres entiers naturels : Multiplication

Les nombres entiers naturels peuvent aussi se multiplier entre eux. Le signe utilisé en mathématique est le " x "
On pourrait dire que, par exemple, dans une pièce il y a 16 personnes et qu'au fond de la pièce on place un grand miroir.
Question : combien d'images de personnes sont visibles dans la pièce ?
Calcul visuel :
Imaginons que chaque individu présent dans la pièce soit décrit avec le symbole " * ".
Nous allons maintenant représenter les seize individus par ce symbole qui forment un groupe de seize :
Un miroir multiplie par 2, on rajoute donc un groupe de 16 personnes pour avoir deux groupes de seize personnes :
Donc, seize personnes multiplié par deux font 32 personnes, soit 16 plus 16
Alors on aura : 16 (individus) fois 2 : on obtient trente-deux individus.
En formule mathématique ça serait: 16 x 2 = 32.
L'énoncé du problème est 16 x 2 = ?
Pour résoudre le problème sans devoir compter à la main chaque symbole, on préférera la notation de multiplication :
Première étape:
On écrit le nombre 16 à la première ligne. C'est le nombre que l'on va multiplier par deux unités. On ajoute 2 juste en dessous du chiffre 6 du nombre 16 (colonne des unités) et on trace à la ligne suivante une ligne qui va séparer les deux nombres en question de la solution à trouver.
Comment tout cela est-il calculé ?
Tout d’abord, il faut imaginer (dans ce cas) que le 16 est composé du chiffre 1 et du chiffre 6. Ce dernier, c’est celui qui va nous intéresser en premier. En effet le raisonnement est : Combien d'unités comprennent deux groupes de 6 ? La réponse est : 12.
On place le 2 sous la barre en dessous de la colonne des unités; c'est-à-dire dans l'axe du 2 (première ligne) et du 6 (deuxième ligne). Ensuite, on note le 1 au brouillon au-dessus de l'axe suivant soit 1 (colonne des dizaines). Comme indiqué ci-dessous
La question est maintenant la suivante : combien d'unités font deux groupes de 1 ? Réponse : deux (2). Ce dernier doit être additionné avec le chiffre au brouillon au-dessus de la colonne qu'on a multiplié (la deuxième), 2 plus 1 égalent 3 (2 + 1 = 3). Le trois doit être placé sous la barre dans la deuxième colonne (celle des dizaines). Comme ci-dessous :
Quand le calcul est fait, il faut le formuler comme dans l'énoncé :
16 x 2 = 32
Autres exemples:
24 x 5 = 120
19 x 3 = 57
11 x 2 = 22
| Soustraction | Sommaire |
# Nombre entier naturel/Présentation de la leçon

Les nombres entiers naturels sont les nombres les plus couramment utilisés : ils permettent de compter les objets ou d’autres éléments physiques.
# Nombre entier relatif

| Chap. 1 : | Définition (8) |
| Chap. 2 : | Représentation (8) |
| Chap. 3 : | Addition et soustraction (8) |
| Chap. 4 : | Produit et division (8) |
| Exos. 1 : | Addition et soustraction (8) |
| Exos. 2 : | Produit et division (8) |
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## Présentation [Modifier]

Les nombres entiers relatifs sont étudiés en raison de l’intérêt de pouvoir considérer des quantités comme « négatives » (manquantes) et de les intégrer dans les mêmes calculs que les quantités positives.

## Objectifs [Modifier]

Cette leçon est destinée aux élèves des collèges francophones. La notion d'entier relatif est donc abordée de façon élémentaire sans rentrer dans des considérations sur la théorie des ensembles. Les exercices se situent à un niveau pratique, addition et multiplication de nombres. Aucune considération théorique abstraite n'est abordée.

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 8.
* Introduction aux mathématiques élémentaires

## Référents [Modifier]

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
* Nicostella (discuter)
* Hérisson grognon (discuter)
* Loïc Fabiou (discuter)
# Systèmes du second ordre

| Chap. 1 : | Généralités |
| Chap. 2 : | Pôles complexes |
| Chap. 3 : | Système sur-amorti |
| Chap. 4 : | Système sous-amorti |
| Chap. 5 : | Stabilité |
| Chap. 6 : | Diagrammes de Black et de Niquist |
| Chap. 7 : | Système du deuxième ordre bouclé |
| Chap. 8 : | Plus loin avec Laplace : les réponses impulsionnelles et indicielles |
| Chap. 9 : | Utiliser SCILAB pour les calculs |
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## Présentation [Modifier]

Plus complexes que les systèmes du premier ordre, les système du second ordre permettent de modéliser des mécanismes plus complexes.

## Objectifs

Les objectifs de cette leçon n'ont pas encore été fixés. Pour le faire, cliquez ici.

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 14.
* Systèmes du premier ordre
* Le corps des Complexes.
** Calculs, formalisme.
** Module et Argument.
** Représentations graphiques.
* Transformée de Laplace et Transformée de Laplace inverse.
* Diagramme de Bode
* Diagramme de Nyquist
* Diagramme de Black

## Référents

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# Systèmes du second ordre/Généralités
## Caractéristiques

Un Système est dit du second ordre quand sa Fonction de Transfert peut être factorisée sous la forme :
    ${\underline {H}}(p)={\frac {K}{1+{\frac {2\xi }{\omega _{0}}}\cdot p+({\frac {p}{\omega _{0}}})^{2}}}$
on a alors :
* $\xi$ qui représente l'amortissement
* $\omega _{0}$ la pulsation propre
* $K$ le gain

## Applications

Cette modélisation est classiquement utilisée pour caractériser des systèmes Masse-Ressort-Amortisseur ou des circuits RLC par exemple. De manière générale on dira qu'un système est du second ordre (ou d'ordre 2) si sa Fonction de Transfert se factorise ainsi.
| Sommaire | Pôles complexes |
# Systèmes du second ordre/Prérequis conseillés

* Systèmes du premier ordre
* Le corps des Complexes.
** Calculs, formalisme.
** Module et Argument.
** Représentations graphiques.
* Transformée de Laplace et Transformée de Laplace inverse.
* Diagramme de Bode
* Diagramme de Nyquist
* Diagramme de Black
# Systèmes du second ordre/Système sous-amorti

Dans ce cas (sans jeu de mot) plus complexe, on a donc $\xi <1$

## Calculs

La FT étant toujours, ${\underline {H}}(p)={\frac {K}{1+{\frac {2\xi }{\omega _{0}}}\cdot p+({\frac {p}{\omega _{0}}})^{2}}}$, on en tire le même Polynôme Caractéristique $1+{\frac {2\xi }{\omega _{0}}}\cdot p+({\frac {p}{\omega _{0}}})^{2}=0$ . de déterminent négatif
    $\Delta =b^{2}-4ac=({\frac {2\xi }{\omega _{0}}})^{2}-4\cdot 1\cdot ({\frac {1}{\omega _{0}}})^{2}$
on se place en formalisme complexe et non plus laplacien (ie $p=j\omega$ avec $j^{2}=-1$)
on a ainsi:
    ${\underline {H}}(j\omega )={\frac {K}{1+{\frac {2\xi }{\omega _{0}}}\cdot j\omega -({\frac {\omega }{\omega _{0}}})^{2}}}$
on pose $U={\frac {j\omega }{\omega _{0}}}$ et on a
    ${\underline {H}}(j\omega )={\frac {K}{1+2U\xi -U^{2}}}={\frac {K}{(1-U^{2})^{2}+(2\xi U)^{2}}}$
on en tire donc le module et l'argument :
    $|{\underline {H}}(j\omega )|={\frac {K}{\sqrt {(1-U^{2})^{2}+(2\xi U)^{2}}}}$
    $\arg({\underline {H}}(j\omega ))=\varphi =-\arctan({\frac {2\xi U}{1-U^{2}}})$

## Diagramme de Bode
### Asymptotes et limites

Quand $\omega \to 0$ alors $U\to 0$ et $\varphi \to 0$
Quand $\omega \to \infty$ alors $U\to \infty$
$\cos(\varphi )={\frac {\mathfrak {R}}{|{\underline {H}}(j\omega )|}}={\frac {(1-U^{2})}{\sqrt {(1-U^{2})^{2}+(2\xi U)^{2}}}}$
$\sin(\varphi )={\frac {\mathfrak {I}}{|{\underline {H}}(j\omega )|}}={\frac {-2\xi U}{\sqrt {(1-U^{2})^{2}+(2\xi U)^{2}}}}$
On constate donc que quand $U\to \infty$ on a $\cos(\varphi )\to {\frac {-(U^{2}-1)}{\sqrt {U^{2}-1)^{2}}}}\to -1$ et $\sin(\varphi )\to 0$
| Système sur-amorti | Stabilité |
# Systèmes et représentations/Définitions d'un système continu

Un système est continu, par opposition à un système discret, lorsque des variations des grandeurs physiques de sortie qui le caractérisent sont des fonctions du temps continues et que l’on peut donc définir ces grandeurs à chaque instant.
On parle aussi dans ce cas de système analogique.
| Sommaire | Linéarité, principe de superposition, invariance |
# Systèmes du second ordre/Présentation de la leçon

Plus complexes que les systèmes du premier ordre, les système du second ordre permettent de modéliser des mécanismes plus complexes.
# Systèmes du second ordre/Système sur-amorti

On se place ici dans le cas où $\xi >1$

## Calculs

La FT étant, ${\underline {H}}(p)={\frac {K}{1+{\frac {2\xi }{\omega _{0}}}\cdot p+({\frac {p}{\omega _{0}}})^{2}}}$,
on en tire le Polynôme Caractéristique qui en est le dénominateur c'est-à-dire $1+{\frac {2\xi }{\omega _{0}}}\cdot p+({\frac {p}{\omega _{0}}})^{2}=0$ .
que l’on peut ramène au produit de deux systèmes du premier ordre : ${\frac {K}{(1-\tau _{1}p)\cdot (1-\tau _{2}p)}}$
avec $\tau _{1}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2\cdot a}}$ et $\tau _{2}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2\cdot a}}$
On a le Polynôme caractéristique suivant :
    $1+{\frac {2\xi }{\omega _{0}}}\cdot p+({\frac {p}{\omega _{0}}})^{2}=0$
On résout et on en tire le déterminent calculé par rapport à p :
    $\Delta =b^{2}-4ac=({\frac {2\xi }{\omega _{0}}})^{2}-4\cdot 1\cdot ({\frac {1}{\omega _{0}}})^{2}$
Ce discriminent est positif ssi $\xi <1$ voir nul si $\xi =1$
on en tire les racines suivantes :
    $p_{i}={\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta }}}{2\cdot a}}$
on factorise ainsi le polynôme caractéristique sous la forme :
    $(1-p_{1})\cdot (1-p_{2})=(1-\tau _{1}p)\cdot (1-\tau _{2}p)$
CQFD

## Diagramme de Bode

On a donc une première asymptote horizontale de gain 20log(K) puis une première pente de -20dB par décade à partir de $\omega _{1}={\frac {1}{\tau _{1}}}$ et une seconde de -40dB par décade à partir de $\omega _{2}={\frac {1}{\tau _{2}}}$. NB: on voit apparaitre un certain nombre de points remarquables (cf. démo du chapitre sur le 1er ordre), ici i= 1 ou 2 ;
* La pulsation de cassure en $\omega _{i}={\frac {1}{\tau _{i}}}$ se trouve 3db en dessous de l'asymptote horizontale.
* La pulsation un octave avant la cassure $\omega _{i}={\frac {1}{2\tau _{i}}}$ qui elle se trouve à 1db sous l'asymptote horizontale.
* La pulsation un octave après la cassure $\omega _{i}={\frac {2}{\tau _{i}}}$ qui se trouve à 7db sous l'asymptote horizontale.
| Pôles complexes | Système sous-amorti |
# Systèmes et représentations

| Chap. 1 : | Définitions d'un système continu (14) |
| Chap. 2 : | Linéarité, principe de superposition, invariance (14) |
| Chap. 3 : | Fonctions d'entrée courantes (14) |
| Chap. 4 : | Représentation des systèmes (14) |
| Chap. 5 : | Fonction de transfert (14) |
| Fiche : | Table des transformées de Laplace (14) |
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## Présentation [Modifier]

Un mécanisme réel est un système complexe alliant de nombreuses technologies (mécanique, électronique, informatique...). Comment alors modéliser un tel mécanisme de manière à utiliser l'outil mathématique pour faire tous les calculs nécessaires (comportement, rapidité, stabilité...) et ensuite améliorer les caractéristiques de ce système ? C'est ce que va vous expliquer cette leçon en définissant tout d’abord les propriétés fondamentales des systèmes physiques puis en introduisant les outils mathématiques nécessaires (transformée de Laplace).

## Objectifs

Les objectifs de cette leçon n'ont pas encore été fixés. Pour le faire, cliquez ici.

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 14.
* Décomposition d'une expression en éléments simples
* Notions sur les équations différentielles linéaires

## Référents

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
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