# Ensemble (mathématiques)/Exercices/Ensembles et opérations
## Exercice 2-1

Vrai ou faux ? (justifier la réponse !)
* ${\mathcal {P}}(A\cup B)={\mathcal {P}}(A)\cup {\mathcal {P}}(B)$ ?
* ${\mathcal {P}}(A\cap B)={\mathcal {P}}(A)\cap {\mathcal {P}}(B)$ ?
* ${\mathcal {P}}(A\times B)={\mathcal {P}}(A)\times {\mathcal {P}}(B)$ ?
* $A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)$ ?
* $A\cup (B\times C)=(A\cup B)\times (A\cup C)$ ?
* Faux. En général on a seulement ${\mathcal {P}}(A)\cup {\mathcal {P}}(B)\subset {\mathcal {P}}(A\cup B)$. Pour que l'inclusion réciproque soit vraie, il faut en particulier que $A\cup B$ appartienne à ${\mathcal {P}}(A)\cup {\mathcal {P}}(B)$, c'est-à-dire soit inclus dans $A$ ou dans $B$, ce qui revient à : $B\subset A$ ou $A\subset B$.
* Vrai car $X\subset A\cap B\Leftrightarrow X\subset A$ et $X\subset B$.
* Faux en général, pour une simple raison de cardinal (ou parce que le second ensemble est un ensemble de couples et pas le premier).
* Vrai car les deux sont des ensembles de couples, et $(x,y)\in A\times (B\cup C)\Leftrightarrow x\in A{\text{ et }}(y\in B{\text{ ou }}y\in C))\Leftrightarrow (x\in A{\text{ et }}y\in B){\text{ ou }}(x\in A{\text{ et }}y\in C))\Leftrightarrow (x,y)\in (A\times B)\cup (A\times C)$.
* Faux car (par exemple) le second est un ensemble de couples, mais pas le premier si $A$ n'en est pas un.

## Exercice 2-2

Démontrer les équivalences : $E\subset F\Leftrightarrow E=E\cap F\Leftrightarrow F=E\cup F$. À quelle condition a-t-on $E\cap F=E\cup F$ ?
* Si $E=E\cap F$ ou $F=E\cup F$ alors $E\subset F$ (car $E\cap F\subset F$ et $E\subset E\cup F$).
* Si $E\cap F=E\cup F$ alors $E\subset E\cup F=E\cap F\subset F$ et de même, $F\subset E$, donc $E=F$.
Les réciproques sont immédiates.
Démontrer l'équivalence : $A\cup B\subset A\cap C\Longleftrightarrow B\subset A\subset C$.
$A\cup B\subset A\cap C\Leftrightarrow (A\cup B\subset A{\text{ et }}A\cup B\subset C)\Leftrightarrow (B\subset A{\text{ et }}A\subset C{\text{ et }}B\subset C)\Leftrightarrow B\subset A\subset C$.
Variante :
* si $B\subset A\subset C$ alors $A\cup B=A=A\cap C$ ;
* si $B\not \subset A$ alors $B\not \subset A\cap C$ ; si $A\not \subset C$ alors $A\not \subset A\cap C$. Donc si $B\not \subset A$ ou $A\not \subset C$ alors $A\cup B\not \subset A\cap C$ et par contraposition, $A\cup B\subset A\cap C\Rightarrow B\subset A\subset C$.

## Exercice 2-3

Pour tout $n\in \mathbb {N} ^{*}$, notons $A_{n}$ le sous-ensemble de $\mathbb {N} ^{*}$ formé des multiples de $n$.
* Caractériser $A_{n}\cap A_{m}$, pour $m,n\in \mathbb {N} ^{*}$.
* Caractériser $\cup _{p\in {\mathcal {P}}}A_{p}$ et $\cap _{p\in {\mathcal {P}}}A_{p}$, où ${\mathcal {P}}$ désigne l'ensemble des nombres premiers.
* $A_{n}\cap A_{m}=A_{\operatorname {PPCM} (m,n)}$.
* $\cup _{p\in {\mathcal {P}}}A_{p}=\mathbb {N} ^{*}\setminus \{1\}$ et $\cap _{p\in {\mathcal {P}}}A_{p}=\varnothing$.

## Exercice 2-4

Soient $A,B,C$ trois ensembles.
* Démontrer que si $A\cup B\subset A\cup C$ et $A\cap B\subset A\cap C$ alors $B\subset C$.
* Démontrer l'équivalence $A\cap B=A\cap C\Longleftrightarrow A\Delta (B\cup C)=(A\Delta B)\cup (A\Delta C)$.
* Si $A\cup B\subset A\cup C$ et $A\cap B\subset A\cap C$, soit $x\in B$. Alors, $x\in A\cup B\subset A\cup C$ donc si $x\notin A$, $x\in C$ et si $x\in A$ alors $x\in A\cap B\subset A\cap C\subset C$.
** La méthode la plus simple consiste à coder les opérations ensemblistes par les opérations modulo 2 sur les fonctions indicatrices. Il s'agit alors de montrer que $ab\equiv ac{\pmod {2}}$ est équivalent à $a+(b+c+bc)\equiv (a+b)+(a+c)+(a+b)(a+c){\pmod {2}}$, c'est-à-dire à $a+b+c+bc\equiv b+c+a+ba+ac+bc{\pmod {2}}$, ou encore à $0\equiv ba+ac{\pmod {2}}$. Sous cette forme, l'équivalence est immédiate.
** Autre méthode : $A\Delta (B\cup C)=[A\setminus (B\cup C)]\cup [(B\cup C)\setminus A]=[(A\setminus B)\cap (A\setminus C)]\cup [B\setminus A]\cup [C\setminus A]$, tandis que $(A\Delta B)\cup (A\Delta C)=[A\setminus B]\cup [A\setminus C]\cup [B\setminus A]\cup [C\setminus A]$. Le premier ensemble est donc toujours inclus dans le second, et ils sont égaux si et seulement si $[A\setminus B]\cup [A\setminus C]\subset A\Delta (B\cup C)$, c'est-à-dire si $A\setminus B$ et $A\setminus C$ sont disjoints de $B\cup C$, autrement dit si $A\cap C\subset B$ et $A\cap B\subset C$, ce qui est bien équivalent à $A\cap B=A\cap C$.

## Exercice 2-5

À quelle condition a-t-on respectivement $E\times F=\varnothing$ ? $E\times F=\{a\}$ ? $\operatorname {card} (E\times F)=2$ ?
$\operatorname {card} (E\times F)=\operatorname {card} (E)\operatorname {card} (E)$ donc :
* $E\times F=\varnothing$ si et seulement si $E$ ou $F$ est vide ;
* $E\times F=\{a\}$ si et seulement si $E=\{b\}$, $E=\{c\}$ et $a=(b,c)$ ;
* $\operatorname {card} (E\times F)=2$ si et seulement si $\operatorname {card} (E)=1$ et $\operatorname {card} (F)=2$, ou l'inverse. Plus explicitement : $\{c\}\times \{d,e\}=\{(c,d),(c,e)\}$ et $\{c,d\}\times \{e\}=\{(c,e),(d,e)\}$.

## Exercice 2-6

Soient $A,B,C$ des parties d'un ensemble $X$. Établir :
* $(A\setminus B)\setminus C=A\setminus (B\cup C)$, tandis que $A\setminus (B\setminus C)=(A\setminus B)\cup (A\cap C)$ ;
* $B^{c}\setminus A^{c}=A\setminus B$ et $A^{c}\Delta B^{c}=A\Delta B$ ;
* $A\setminus (B^{c}\cup C^{c})=A\cap B\cap C$ ;
* $(A\cup B\cup C)\setminus (A\cap B\cap C)=(A\Delta B)\cup (B\Delta C)$ ;
* $A\Delta B$ et $A^{c}\Delta B$ sont complémentaires dans $X$ ;
* $(A\Delta B)\cap C=(A\cap C)\Delta (B\cap C)$ ;
* $(A\cup B)\Delta (A\cup C)=A^{c}\cap (B\Delta C)$.
* $(A\setminus B)\setminus C=(A\cap B^{c})\cap C^{c}=A\cap (B^{c}\cap C^{c})=A\cap (B\cup C)^{c}=A\setminus (B\cup C)$, tandis que $A\setminus (B\setminus C)=A\cap (B\cap C^{c})^{c}=A\cap (B^{c}\cup C)=(A\cap B^{c})\cup (A\cap C)=(A\setminus B)\cup (A\cap C)$.
* $B^{c}\setminus A^{c}=B^{c}\cap (A^{c})^{c}=B^{c}\cap A=A\cap B^{c}=A\setminus B$, d'où $A^{c}\Delta B^{c}=(A^{c}\cup B^{c})\setminus (A^{c}\cap B^{c})=(A\cap B)^{c}\setminus (A\cup B)^{c}=(A\cup B)\setminus (A\cap B)=A\Delta B$.
* $A\setminus (B^{c}\cup C^{c})=A\cap (B^{c}\cup C^{c})^{c}=A\cap B\cap C$.
* $(A\Delta B)\cup (B\Delta C)=(A\setminus B)\cup (C\setminus B)\cup (B\setminus A)\cup (B\setminus C)=\left((A\cup C)\setminus B\right)\cup \left(B\setminus (A\cap C)\right)=\left((A\cup B\cup C)\setminus B\right)\cup \left(B\setminus (A\cap B\cap C)\right)=(A\cup B\cup C)\setminus (A\cap B\cap C)$.
* D'après la question précédente, $(A\Delta B)\cup (A^{c}\Delta B)=(A\cup B\cup A^{c})\setminus (A\cap B\cap A^{c})\supset (A\cup A^{c})\setminus (A\cap A^{c})=X\setminus \varnothing =X$. En remplaçant $B$ par $B^{c}$ et en utilisant la question 2, on en déduit : $\left((A\Delta B)\cap (A^{c}\Delta B)\right)^{c}=(A^{c}\Delta B^{c})\cup (A\Delta B^{c})=X$ (on pourrait aussi le déduire de la question 2.2).
* $(A\cap C)\Delta (B\cap C)=\left((A\cap C)\cup (B\cap C)\right)\cap (A\cap B\cap C)^{c}=(A\cup B)\cap C\cap (A\cap B)^{c}=(A\Delta B)\cap C$.
* D'après les questions 2 et 6, $(A\cup B)\Delta (A\cup C)=(A\cup B)^{c}\Delta (A\cup C)^{c}=(A^{c}\cap B^{c})\Delta (A^{c}\cap C^{c})=A^{c}\cap (B^{c}\Delta C^{c})=A^{c}\cap (B\Delta C)$.
Remarque : tout pourrait aussi se calculer sur les indicatrices, à valeurs dans $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$.

## Exercice 2-7

Soient $A,B$ deux parties d'un ensemble $E$. Discuter et résoudre dans ${\cal {P}}(E)$ l'équation en $X$ :
* $A\cap X=B$,
* $A\cup X=B$,
* $(A\cap X)\cup (B\cap X^{c})=\varnothing$.
* Pour qu'il y ait des solutions il faut que $B\subset A$. Moyennant quoi, les solutions sont de la forme : $X=B\cup Y$ avec $Y\subset A^{c}$ arbitraire.
* Pour qu'il y ait des solutions il faut que $A\subset B$. Moyennant quoi, les solutions sont de la forme : $X=(B\setminus A)\cup Y$ avec $Y\subset A$ arbitraire.
* L'équation admet des solutions si et seulement si $A$ et $B$ sont disjoints. Les solutions sont alors de la forme : $X=B\cup Y$ avec $Y\subset A^{c}$ arbitraire.
Soient $E$ un ensemble, $A,B$ deux parties de $E$ et
    $f:{\cal {P}}(E)\to {\cal {P}}(A)\times {\cal {P}}(B),\;X\mapsto (X\cap A,X\cap B)$.
* Montrer que $f$ est injective si et seulement si $A\cup B=E$ et que $f$ est surjective si et seulement si $A\cap B=\varnothing$.
* Lorsque $f$ est bijective, déterminer $f^{-1}$.
Soient $A'\subset A,B'\subset B$, cherchons les $X$ tels que $f(X)=(A',B')$ ; pour qu'il en existe il faut que $A'\cap B=B'\cap A$, et les solutions sont alors les $X$ de la forme $A'\cup B'\cup Y$ avec $Y\subset E\setminus (A\cup B)$. Donc $f$ est injective si et seulement si $A\cup B=E$ et surjective si et seulement si $A\cap B=\varnothing$.
Plus élémentairement : si $A\cup B=E$ alors $f$ est injective car $\forall X\subset E\quad X=(X\cap A)\cup (X\cap B)$ ; par contre si $x\in E\setminus (A\cup B)$ alors $f(\{x\})=f(\varnothing )$.
Si $A\cap B=\varnothing$ alors $f$ est surjective car $\forall A'\subset A\quad \forall B'\subset B\quad f(A'\cup B')=(A',B')$ ; par contre si $x\in A\cap B$ alors $(\{x\},\varnothing )$ n'a pas d'antécédent par $f$. Si $f$ est bijective, $f^{-1}(C,D)=C\cup D$.
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