# Introduction à l'élasticité/Relation fondamentale de la dynamique
## Introduction

Après avoir traduit les efforts intérieurs par le tenseur des contraintes, nous pouvons revenir sur l’expression de la relation fondamentale de la dynamique et exprimer l'accélération d'un point à partir des contraintes qu’il subit.

## Dynamique locale

On s'intéresse, dans cette partie, à un petit volume v(t) que l’on suit dans son déplacement.

### Bilan de quantité de mouvement

Nous avons montré que le bilan de quantité de mouvement sur un volume $v(t)$ prenait la forme :
$\int _{v\left(t\right)}\left(\rho \mathbf {a} -\mathbf {f} _{v}\right)\,\mathrm {d} ^{3}V=\int _{\partial v\left(t\right)}{\boldsymbol {\sigma }}\left(\mathbf {n} \right)\,\mathrm {d} ^{2}S$
Effectuons le produit scalaire de chaque membre avec un même vecteur u quelconque :
$\int _{v\left(t\right)}\left(\rho \mathbf {a} -\mathbf {f} _{v}\right)\cdot \mathbf {u} \,\mathrm {d} ^{3}V=\int _{\partial v\left(t\right)}{\boldsymbol {\sigma }}\left(\mathbf {n} \right)\cdot \mathbf {u} \,\mathrm {d} ^{2}S$
Remarquons que le membre de droite peut s'écrire ainsi, en transposant σ :
${\begin{aligned}\int _{\partial v\left(t\right)}{\boldsymbol {\sigma }}\left(\mathbf {n} \right)\cdot \mathbf {u} \,\mathrm {d} ^{2}S&=\int _{\partial v\left(t\right)}\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {T} }\left(\mathbf {u} \right)\,\mathrm {d} ^{2}S\\&=\int _{v\left(t\right)}\mathrm {div} _{\mathbf {x} }\left({\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {T} }\left(\mathbf {u} \right)\right)\,\mathrm {d} ^{3}V\end{aligned}}$
d'après le théorème de flux-divergence (dit également de Stokes ou de Green-Stokes), où div$_x$ est l'opérateur divergence (vectoriel). Nous allons exprimer cette dernière intégrale de manière plus élégante en introduisant la notion de divergence d'un tenseur.

### Divergence du tenseur des contraintes

Remarquons que la divergence est une application linéaire : nous allons lui associer un tenseur.
La divergence d'un tenseur σ est le vecteur Div$_x$ σ qui vérifie, pour tout vecteur u :
$\mathbf {Div_{x}} {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {u} =\mathrm {div} _{\mathbf {x} }\left({\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {T} }\left(\mathbf {u} \right)\right)$
En choisissant une base cartésienne de l'espace, on peut expliciter les composantes de Div$_x$ :
$\mathbf {Div_{x}} {\boldsymbol {\sigma }}=\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial {\boldsymbol {\sigma }}\left(\mathbf {e} _{i}\right)}{\partial x_{i}}}$
* Pour un repère qui n’est pas cartésien, l’expression de la divergence n’est pas aussi simple !

### Expression de la relation fondamentale de la dynamique

On a, pour tout volume v(t) et tout vecteur u, la relation suivante :
$\int _{v\left(t\right)}\left(\rho \mathbf {a} -\mathbf {f} _{v}\right)\cdot \mathbf {u} \,\mathrm {d} ^{3}V=\int _{v\left(t\right)}\left(\mathbf {Div_{x}} {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {u} \right)\,\mathrm {d} ^{3}V$
Puisque l’on peut prendre n’importe que volume et n’importe quel vecteur, il en résulte l'égalité suivante :
$\rho \mathbf {a} =\mathbf {Div_{x}} {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {f} _{v}$
On peut remarquer qu’il s'agit de trois équations reliant l'accélération au tenseur des contraintes — mais que ce dernier étant de dimension 6, cette relation ne suffit pas à le déterminer. Il faudra donc ajouter des conditions aux limites.
En pratique, on peut être amené à supposer la forme de σ pour effectuer les calculs, quitte à infirmer l'hypothèse faite si l'expérience est en désaccord trop marqué avec le modèle.

### Symétrie du tenseur des contraintes

Il est important de remarquer qu'une conséquence de la relation fondamentale de la dynamique est qu'elle nous renseigne sur la symétrie du tenseur des contraintes.
Le tenseur de Cauchy des contraintes, σ, est symétrique.
Ce résultat peut se démontrer de plusieurs manières, plus ou moins intuitives. Une démonstration est proposée en annexe et repose sur l’expression du transport du moment dynamique donnée dans un précédent chapitre.

## Dynamique matérielle

Lorsqu'un matériau subit de grand déplacements, on ne connaît pas en pratique la position de tous les volumes internes, susceptibles de beaucoup se déformer. Nous allons en fait nous ramener à un domaine fixe en exploitant le fait que la cinématique garde la trace des déformations subies par la pièce.
Cela nous permettra de traiter les propriétés d'une pièce dans son entier, basées sur celles, microscopiques, que nous avons détaillé, mais sans avoir à retourner à ce niveau de détail.
Nous verrons que, dans le cas de l'élasticité, nous serons amenés à ne pas tenir compte des déformations. Cependant, cette partie explique pourquoi cette approximation est légitime et, hors du cadre restrictif des solides élastiques, reste tout à fait générale. En première lecture, les deux sous-parties qui suivent peuvent être survolées.

### Dynamique dans la configuration initiale

Rappelons que, dans une intégrale, un changement de variables fait intervenir :
* la transformation (changement du domaine d'intégration) ;
* le jacobien de la transformation (noté J dans la suite).
Moyennant quelques calculs, on peut ainsi montrer que l'équation de la résultante dynamique appliquée à un volume v(t) qu'on suit dans son mouvement :
$\int _{v\left(t\right)}\rho \mathbf {a} \,\mathrm {d} ^{3}V=\int _{v\left(t\right)}\mathbf {f} _{v}\,\mathrm {d} ^{3}V+\int _{\partial v\left(t\right)}{\boldsymbol {\sigma }}\left(\mathbf {n} _{t}\right)\,\mathrm {d} ^{2}S$
est équivalente à la relation suivante (où les notations sont un peu abusives, pour rester simples), qui s'applique sur la configuration initiale :
$\int _{v(0)}\rho \mathbf {a} J\,\mathrm {d} ^{3}V=\int _{v(0)}\mathbf {f} _{v}J\,\mathrm {d} ^{3}V+\int _{\partial v(0)}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {F} ^{-\mathrm {T} }\left(\mathbf {n} _{0}\right)J\,\mathrm {d} ^{2}S$
On applique, ici encore, le théorème de Green-Stokes :
$\rho _{0}\mathbf {a} _{\mathbf {p} }=\mathbf {f} _{v}J+\mathbf {Div} _{\mathbf {p} }\left(J{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {F} ^{-\mathrm {T} }\right)$
Avec des notations plus rigoureuses, cette relation s'écrit :
$\rho _{0}(\mathbf {p} )\mathbf {a} _{\mathbf {p} }(\mathbf {p} ,t)=\mathbf {f} _{v}(f(\mathbf {p} ,t),t)J(\mathbf {p} ,t)+\mathbf {Div} _{\mathbf {p} }\left(J(\mathbf {p} ,t){\boldsymbol {\sigma }}(f(\mathbf {p} ,t),t)\cdot \mathbf {F} ^{-\mathrm {T} }\right)$
Dans la suite, nous allons introduire des notations simplificatrices qui nous permettront de mieux comprendre la situation.

### Tenseurs des contraintes de Piola-Kirchhoff

Le premier tenseur des contraintes de Piola-Kirchhoff est défini, sur la configuration initiale, par :
${\boldsymbol {\pi }}=J\,{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {F} ^{-\mathrm {T} }$
Une propriété importante de ce tenseur, c’est qu’il met en relation les efforts sur une facette à tout instant et ceux subit par la facette dans la configuration initiale :
${\boldsymbol {\pi }}\left(\mathbf {n} _{0}\right)\,\mathrm {d} ^{2}S_{0}={\boldsymbol {\sigma }}\left(\mathbf {n} _{t}\right)\,\mathrm {d} ^{2}S_{t}$
Par sa définition, on voit également que π n'est, dans le cas général, pas symétrique. On préfère alors souvent utiliser le tenseur suivant :
Le second tenseur des contraintes de Piola-Kirchhoff est le tenseur s défini par :
$\mathbf {s} =\mathbf {F} ^{-1}\cdot {\boldsymbol {\pi }}$
On vérifie que ce tenseur est symétrique.
Ce tenseur, comme le précédent, permet de suivre les efforts intérieurs transportés par la déformation, à partir de la configuration initiale. On aboutit ainsi à la relation fondamentale de la dynamique :
$\rho _{0}\mathbf {a} _{\mathbf {p} }=\mathbf {f} _{v}J+\mathbf {Div} _{\mathbf {p} }\left(\mathbf {F} \cdot \mathbf {s} \right)$
On remarque la présence de F, qui est un terme géométrique, dans cette équation. Cela est lié au fait que l'équation obtenue à la section précédente est obtenue en suivant le volume (on parle d'une description spatiale ou lagrangienne) alors que nous avons ici considéré les déformations en conservant un point de vue fixe (on parle d'une description matérielle ou eulérienne).
Pour des structures élancées, ces termes géométriques ont une grande influence sur la dynamique. Jusqu'ici, la description faite de la dynamique est tout à fait générale : dans la section qui suit, nous faisons les hypothèses de l'élasticité et observons comment cela simplifie grandement le problème.

### Dynamique locale infinitésimale

Rappelons les hypothèses de l'élasticité et analysons leurs conséquences : les déformations sont petites et réversibles. On considère alors, au premier ordre :
* que x et p se confondent (de même que leurs dérivées) ;
* que la masse volumique ne varie pas : on confond ρ et ρ$_0$.
De fait, l'équation obtenue en dynamique matérielle se simplifie beaucoup :
En tout point d'un solide élastique, on a :
$\rho \mathbf {a} =\mathbf {f} _{v}+\mathbf {Div} _{\!\mathbf {x} }{\boldsymbol {\sigma }}$
au premier ordre.
* Cette écriture est (délibérément) similaire à celle obtenue dans la première section de ce chapitre (qui elle, est tout à fait générale) — mais les raisons ne sont pas les mêmes !
On peut raffiner cette équation en tenant compte des effets dits du second ordre. Nous ne le ferons pas dans le cadre de ce cours et n'utiliserons que la forme ci-dessus pour tous les exemples, exercices et développements.

## Remarques et références

* ↑ Certains auteurs définissent la divergence sans passer par la transposée de σ, ce qui les amène à utiliser une notation alternative.
* ↑ En réalité, selon le modèle mécanique choisi, on peut se trouver dans des cas où ce n'est plus vrai : par exemple, si l’on tient compte des couples volumiques en plus des efforts volumiques, comme en magnétohydrodynamique, ceux-ci peuvent imposer une asymétrie à σ. Dans le cadre de ce cours d'introduction, nous ne rentrerons pas dans de tels exemples.
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