# Topologie générale/Espace métrique

La notion d'espace métrique est historiquement la première structure topologique, bien que formellement, la notion d'espace topologique, plus vaste mais plus abstraite, soit traitée prioritairement dans cet exposé de topologie. La définition d’un espace métrique est proche de l'intuition, puisque les propriétés topologiques de ces espaces ne sont pas directement définis à partir d’un ensemble d'ouverts, appelé topologique, mais à partir d’une application nommée distance, ou métrique, qui permet de donner un rôle plus important à l'intuition géométrique.

## Définition et exemples

Soit $E$ un ensemble. Une application $d:E\times E\to \mathbb {R} _{+}$ est appelée distance sur $E$, ou métrique sur $E$ si les points suivants sont vérifiés :
* $\forall (x,y)\in E^{2},d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$ (axiome de séparation) ;
* $\forall (x,y)\in E^{2},d(x,y)=d(y,x)$ (symétrie de $d$) ;
* $\forall (x,y,z)\in E^{3},d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ (inégalité triangulaire).
Le couple $(E,d)$ est appelé espace métrique.
$\mathbb {R}$
La valeur absolue permet de définir une distance sur l'ensemble $\mathbb {R}$ des nombres réels en posant : $d\left(x,y\right)=\left|x-y\right|$.
Plus généralement, la distance associée à une norme sur un $\mathbb {R}$-espace vectoriel est définie par : $d\left(x,y\right)=\left\|x-y\right\|$.
Sur tout ensemble, on peut définir une distance en posant : $d(x,y)=1$ si $x\neq y$ et $d(x,x)=0$.
Soient $(E,d)$ un espace métrique, $X$ un ensemble, et $E^{X}$ l'ensemble des applications de $X$ dans $E$. On définit $d_{\infty }:E^{X}\times E^{X}\to \left[0,+\infty \right]$ par : $d_{\infty }(f,g)=\sup _{x\in X}d(f(x),g(x))$. Ce n'est en général pas une distance sur $E^{X}$ mais seulement une pseudo-distance car elle peut prendre la valeur $+\infty$. Mais l'application $e_{\infty }:=\min(1,d_{\infty })$ est une distance sur $E^{X}$, qui induit la topologie de la convergence uniforme. Le sous-espace des applications bornées est fermé dans $E^{X}$ et sur ce sous-espace, $d_{\infty }$ est une distance, uniformément équivalente à $e_{\infty }$.

## Boules

Soit $(E,d)$ un espace métrique, soient $c\in E$ et $r\in \mathbb {R} _{+}^{*}$. On appelle :
* boule ouverte de centre $c$ et de rayon $r$ l’ensemble $B(c,r)=\{x\in E\mid d(x,c)<r\}$ ;
* boule fermée de centre $c$ et de rayon $r$ l’ensemble $B_{F}(c,r)=\{x\in E\mid d(x,c)\leq r\}$.
On trouve parfois la notation ${\bar {B}}(c,r)$ pour la boule fermée, cette notation est ambigüe car elle peut aussi s'interpréter comme la fermeture de la boule ouverte. Ces deux interprétations ne concordent pas en général ; par exemple pour la distance discrète on a $B_{F}(c,1)=X$ et $B(c,1)=\{c\}$. Cette notation abusive est utilisée car elle n'est pas gênante dans les espaces vectoriels pour lesquelles les deux notations concordent.
Toute boule ouverte contenant un point $x$ contient une boule ouverte centrée en $x$.
Soit $B(c,R)$ une boule ouverte contenant $x$. Alors, $d(x,c)<R$ donc le réel $r:=R-d(x,c)$ est strictement positif. Montrons que $B(x,r)\subset B(c,R)$.
Pour tout $y\in B(x,r)$, on a $d(y,c)\leq d(y,x)+d(x,c)<r+d(x,c)=R$ donc $y\in B(c,R)$.
Un ensemble $U$ est une réunion (finie ou non) de boules ouvertes si et seulement si, pour tout point $x$ de cet ensemble, $U$ contient une boule ouverte centrée en $x$.
Supposons que $U=\bigcup _{i\in I}B(c_{i},r_{i})$. Soit $x\in U$, il existe donc $i\in I$ tel que $x\in B(c_{i},r_{i})$ et d'après le lemme, il existe $r>0$ tel que $B(x,r)\subset B(c_{i},r_{i})\subset U$.
Réciproquement, supposons que $U$ vérifie la propriété précédente. Alors, l'ensemble $U$ est la réunion de toutes les boules ouvertes qu'il contient.
L'intersection de deux boules ouvertes est une réunion de boules ouvertes.
Pour tout $x\in B(c_{1},R_{1})\cap B(c_{2},R_{2})$, il existe, d'après le lemme, $r_{1},r_{2}>0$ tels que $B(x,r_{1})\subset B(c_{1},R_{1})$ et $B(x,r_{2})\subset B(c_{2},R_{2})$. En prenant $r=\min(r_{1},r_{2})$, on a donc : $B(x,r)\subset B(c_{1},R_{1})\cap B(c_{2},R_{2})$. On conclut grâce au « si » du corollaire 1.

## Topologie

D'après le corollaire 2, les boules ouvertes de $(E,d)$ constituent une base d'une (unique) topologie sur $E$.
La topologie sur $E$ associée à la distance $d$ est celle dont une base est constituée des boules ouvertes.
On assimile souvent un espace métrique à son espace topologique. Tout espace métrique est séparé et même parfaitement normal.
Les ouverts de cette topologie sont, par définition, les réunions de boules ouvertes. Le corollaire 1 ci-dessus en donne une caractérisation.
Les boules ouvertes sont évidemment des ouverts, et l'on démontre facilement (exercice) que les boules fermées sont des fermés. Par conséquent, l'adhérence de $B(c,r)$ est incluse dans $B_{F}(c,r)$ et l'intérieur de $B_{F}(c,r)$ contient $B(c,r)$ (exercice).
Dans un espace vectoriel normé, pour tout $r>0$, ces inclusions sont des égalités (exercice).
* Dans un espace métrique quelconque, ces inclusions peuvent être strictes.
Considérer par exemple (exercice) les boules et la topologie associées à une distance discrète.
Dans un espace métrique, tout point a une base dénombrable de voisinages. Plus précisément :
Toute suite de boules ouvertes centrées en $x$ et dont le rayon tend vers $0$ constitue une base de voisinages de $x$.
C'est une conséquence directe du lemme ci-dessus. En l'affinant un peu, on démontre même (exercice) que toute suite de voisinages de $x$ dont le diamètre tend vers $0$ constitue une base de voisinages de $x$.
Dans un espace métrique, les valeurs d'adhérence d'une suite sont les limites de ses sous-suites convergentes.
$(u_{n})$
$(u_{n})$
$\left(E,d\right)$
$(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$
$E$
$a$
$\forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad \forall N\in \mathbb {N} \quad \exists k\geq N\quad d\left(u_{k},a\right)<\varepsilon$
$\varphi$
$\varphi :\mathbb {N} \to \mathbb {N}$
$(u_{\varphi (n)})$
$\forall n\in \mathbb {N} \quad d\left(u_{\varphi (n)},a\right)<{\frac {1}{n+1}}$
$n=0$
$a$
$(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$
$\varepsilon =1$
$N=0$
$k$
$d\left(u_{k},a\right)<1$
$\varphi (0)$
$\varphi$
$n$
$a$
$(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$
$\varepsilon ={\frac {1}{n+2}}$
$N=\varphi (n)+1$
$k>\varphi (n)$
$d\left(u_{k},a\right)<{\frac {1}{n+2}}$
$\varphi (n+1)$
$a$

## Continuité uniforme

Soient $(E,d)$ et $(F,d')$ deux espaces métriques. Une application $f:E\to F$ est dite uniformément continue si :
$\forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad \forall x,y\in E\quad \left({d(x,y)}\leq \delta \Rightarrow {d'(f(x),f(y))}\leq \varepsilon \right).$
* Toute application lipschitzienne, c'est-à-dire vérifiant, pour une certaine constante $k$ :$\forall x,y\in E\quad {d'(f(x),f(y))}\leq {k\ d(x,y)}$,est uniformément continue.
* En effet, plus généralement, toute application höldérienne, c'est-à-dire vérifiant, pour un certain $a\in \left]0,1\right]$ et une certaine constante $k$ :$\forall x,y\in E\quad {d'(f(x),f(y))}\leq {k\ {d(x,y)}^{a}}$,est uniformément continue (en choisissant $\delta \leq (\varepsilon /k)^{1/a}$).
* La fonction puissance d'exposant $a$, pour $0<a\leq 1$, est $a$-höldérienne (cf. cet exercice corrigé de la leçon « Fonctions d'une variable réelle »).
* Pour d'autres exemples et des contre-exemples, voir Fonctions d'une variable réelle/Continuité uniforme.
Soient $(E,d)$ et $(F,d')$ deux espaces métriques. Si une application $f:E\to F$ est continue et si sa restriction à une partie dense de $E$ est uniformément continue, alors $f$ est uniformément continue.
$A$
$f$
$\varepsilon$
$f$
$A$
$\delta >0$
$\forall x,y\in A\quad \left[d\left(x,y\right)<\delta \Rightarrow d'\left(f(x),f(y)\right)<\varepsilon \right].$
$x$
$y$
$E$
$\delta$
$\left(a_{n}\right)$
$\left(b_{n}\right)$
$A$
$x$
$y$
$\lim _{n\to \infty }d\left(a_{n},b_{n}\right)=d\left(x,y\right)<\delta ,$
$n$
$d\left(a_{n},b_{n}\right)<\delta$
$d'\left(f(a_{n}),f(b_{n})\right)<\varepsilon$
$d'\left(f(x),f(y)\right)\leq \varepsilon$

## Produit d'espaces métriques

Tout produit fini ou dénombrable d'espaces métriques est métrisable. Plus précisément, pour toute suite $(E_{k},d_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ d'espaces métriques, on a :
* La distance produit définie par $d(x,y)=\max _{1\leq k\leq n}d_{k}(x_{k},y_{k})$ sur $\prod _{k=1}^{n}E_{k}$. La topologie induite par cette distance coïncide avec la topologie produit.
* Plus généralement on obtient une distance sur $\prod _{k=1}^{n}E_{k}$ ($\forall n\in \mathbb {N}$), en posant$d{\Big(x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n}){\Big )}:=N{\Bigd_{1}(x_{1},y_{1}),\ldots ,d_{n}(x_{n},y_{n}){\Big )}$où $N$ est n'importe quelle norme sur $\mathbb {R} ^{n}$ croissante sur $(\mathbb {R} _{+})^{n}$ pour l'ordre produit (par exemple la distance associée à une norme ∥ ∥$_p$, avec p ∈ [1, +∞]) ;
* sur $\prod _{k\in \mathbb {N} }E_{k}$, en posant $d'_{k}=\inf(d_{k},1)$ ($\forall k\in \mathbb {N}$) puis$d(x,y):=\sup _{k\in \mathbb {N} }{\frac {d'_{k}(x_{k},y_{k})}{2^{k}}}$.
* Dans le cas du produit dénombrable et lorsque les distances $d_{k}$ sont uniformément bornées (i.e. il existe une constante réelle positive qui borne toutes les distances) alors on peut remplacer $d$ par la distance définie par $d(x,y)=\sup d_{n}(x_{n},y_{n})$. Dès lors, la distance $d$ produit la topologie du produit dénombrable.
Les trois premiers points sont laissés en exercice (penser à montrer que l'inf d'une distance est d'une constante est encore une distance). Montrons seulement le dernier point, on montre que les deux topologies en question sont égales par double inclusion :
* Tout ouvert de la prébase canonique du produit est un ouvert pour d : un ouvert de la prébase est de la forme U = ∏$_{k∈ℕ}$U$_k$ où tous les U$_k$ sont égaux aux E$_k$, sauf l'un d'entre eux, U$_n$, qui est seulement un ouvert de E$_n$. Soit a un point de U, alors a$_n$ appartient à U$_n$ donc pour r assez petit, la boule de centre a$_n$ et de rayon r dans (E$_n$,d$_n$) est incluse dans U. C'est donc que la boule de centre a et de rayon r de l'espace produit est contenue dans U. Ceci montre que tout ouvert pour de la prébase canonique est un ouvert pour d et il s'en suit que tout ouvert de l'espace produit est un ouvert pour d.
* Tout ouvert O pour d est ouvert pour la topologie produit : soit a un point de O. Il existe r > 0 tel que la boule de centre a et de rayon r incluse dans O. Alors on considère le produit V des boules de centre a$_n$ et de rayon r/2, il s'agit d'un ouvert pour la topologie produit, il est contenu dans la boule de centre a et de rayon r donc est contenu dans O et il contient a. On a donc que V est un voisinage de a dans O pour la topologie produit de sorte que O est un ouvert pour la topologie produit.
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