# Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Optique géométrique : lentilles minces
## Projection d'une diapositive

Une lentille mince convergente $\;{\mathcal {L}}$, de distance focale image $\;f_{i}=5,0\;cm$, donne d'une diapositive de $\;24\;mm\;$ de hauteur, située devant elle, une image sur un écran de projection placé à $\;4,00\;m\;$ derrière $\;{\mathcal {L}}$.
Calculer $\;\succ \;$la vergence $\;V\;$ de $\;{\mathcal {L}}$, Calculer $\;\succ \;$la position de l'objet « diapositive » par rapport à $\;{\mathcal {L}}\;$ et Calculer $\;\succ \;$la hauteur de l'image sur l'écran de projection.
Vergence de la lentille de projection : La vergence de $\;{\mathcal {L}}\;$ se détermine à partir de sa distance focale image «$\;f_{i}=5,0\;10^{-2}\;m\;$» par la relation $\;V={\dfrac {1}{f_{i}}}\;$ soit $\;V={\dfrac {1}{5\,10^{-2}}}\,m^{-1}\;$ et finalement «$\;V=20\;\delta \;$».
Position de la diapositive par rapport à la lentille de projection : La position de la diapositive centrée en $\;A_{o}\;$ est donnée par la relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ de position $\;{\big$ou 1ère relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}{\big ]}\;$ de Descartes «$\;{\dfrac {1}{\overline {OA_{i}}}}-{\dfrac {1}{\overline {OA_{o}}}}=V\;$» avec «$\;{\overline {OA_{o}}}=-d\;$» et «$\;{\overline {OA_{i}}}$ $=D\;$» $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {1}{d}}=V-{\dfrac {1}{D}}={\dfrac {C\,D-1}{D}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;d={\dfrac {D}{C\,D-1}}\;$» soit numériquement Position de la diapositive par rapport à la lentille de projection : $\;d={\dfrac {4,00}{20\times 4,00-1}}={\dfrac {4,00}{79}}\;m\;$ ou «$\;d\simeq 5,06\,cm\;$».
Hauteur de l'image sur l'écran de projection : La hauteur de l'image «$\;H\;$» est donnée par la relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ de grandissement transverse $\;{\big$ou 2ème relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}{\big ]}\;$ de Descartes «$\;G_{t}(A_{o})\;{\stackrel {\text{déf}}{=}}\;{\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{\overline {A_{o}B_{o}}}}\;{\stackrel {\text{loi}}{=}}\;{\dfrac {\overline {OA_{i}}}{\overline {OA_{o}}}}\;$» ou $\;{\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{\overline {A_{o}B_{o}}}}=$ ${\dfrac {D}{-d}}<0\;$ d'où une « image inversée » et la hauteur de l'image d'une pellicule de hauteur «$\;h\;$» est «$\;H=h\,{\dfrac {D}{d}}\;$» soit numériquement Hauteur de l'image sur l'écran de projection : $\;H=24\,10^{-3}\times {\dfrac {4,00}{5,06\,10^{-2}}}\;$ en $\;m\;$ ou «$\;H\simeq 1,90\,m\;$».

## Appareil photographique et objectif longue focale

Un appareil photographique est équipé d'un objectif longue focale constitué d'une lentille mince de « focale image $\;f_{i}=135\,mm\;$» et tel que Un appareil photographique est équipé d'un objectif longue focale son champ transversal est limité par les dimensions du film de « format $\;24\times 36\;{\text{en}}\;mm\;$».

### Champ angulaire de l'objectif longue focale

Calculer le champ angulaire dans les directions $\;\parallel \;$ à la largeur et à la longueur du film $\;{\big$le champ angulaire étant défini comme l'ouverture angulaire sous lequel le centre optique $\;O\;$ de l'objectif longue focale voit l'objet placé à l'infini${\big ]}$.
On suppose que le film est situé dans le plan focal image de l'objectif, c'est-à-dire que la mise au point est faite sur l'infini mais, même avec une mise au point à distance finie, la distance du film à l'objectif reste voisine de la distance focale image $\;f_{i}\;$ ${\big$voir figure ci-contre${\big ]}$ ;
dans les conditions de Gauss$^,$$^,$, le champ angulaire correspondant à la longueur d'une image du film vaut $\;\alpha _{L}\simeq {\dfrac {L}{f_{i}}}\simeq {\dfrac {36}{135}}\,rad\simeq$ ${\dfrac {36}{135}}\times {\dfrac {180}{\pi }}\;{\text{en °}}\;$ soit «$\;\alpha _{L}\simeq 15,3\;{\text{°}}\;$» et dans les conditions de Gauss, le champ angulaire correspondant à la hauteur d'une image du film $\;\alpha _{H}\simeq {\dfrac {H}{f_{i}}}\simeq {\dfrac {24}{135}}\,rad\simeq$ ${\dfrac {24}{135}}\times {\dfrac {180}{\pi }}\;{\text{en °}}\;$ soit «$\;\alpha _{H}\simeq 10,2\;{\text{°}}\;$».

### Dimension d'une image par l'objectif longue focale et comparaison avec celle obtenue par un objectif normal

Déterminer la dimension de l'image d'un objet de hauteur $\;h=200\,m\;$ situé à une distance $\;D=2\,km\;$ de l'objectif.
Comparer à l'image du même objet que donnerait un objectif normal de « focale image $\;f_{i}=50\,mm\;$».
On calcule l'ouverture angulaire de l'objet de hauteur $\;h=200\,m\;$ situé à la distance $\;D=2\,km\;$ par «$\;\beta \simeq {\dfrac {h}{D}}={\dfrac {200}{2000}}\simeq 0,100\,rad\;$», l'angle dans les conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché étant petit ; On calcule l'ouverture angulaire de l'objet c'est aussi l'angle sous lequel du centre optique $\;O\;$ de l'objectif longue focale on voit l'image d'où la hauteur $\;h_{i}\;$ de l'image donnée par «$\;\beta \simeq {\dfrac {h_{i}}{f_{i}}}\;$» $\Rightarrow$ On calcule l'ouverture angulaire de l'objet c'est aussi l'angle sous lequel du centre optique $\;\color {transparent}{O}\;$ de l'objectif longue focale on voit l'image d'où la hauteur«$\;h_{i}\simeq f_{i}\,\beta \simeq 135\times 0,100\;{\text{en}}\;mm\;$» soit «$\;h_{i}\simeq 13,5\,mm\;$».
Avec un objectif de distance focale $\;{f'}_{\!i}=50\,mm$, l'ouverture angulaire de l'objet de hauteur $\;h=200\,m\;$ situé à la distance $\;D=2\,km\;$ ayant la même valeur «$\;\beta \simeq {\dfrac {h}{D}}={\dfrac {200}{2000}}\simeq 0,100\,rad\;$» et Avec un objectif de distance focale $\;\color {transparent}{{f'}_{\!i}=50\,mm}$, l'ouverture angulaire de l'objet étant l'angle sous lequel du centre optique $\;O'\;$ de l'objectif on voit l'image d'où la hauteur $\;{h'}_{\!i}\;$ de l'image donnée par «$\;\beta \simeq {\dfrac {{h'}_{\!i}}{{f'}_{\!i}}}\;$» $\Rightarrow$ Avec un objectif de distance focale $\;\color {transparent}{{f'}_{\!i}=50\,mm}$, l'ouverture angulaire de l'objet étant l'angle sous lequel du centre optique $\;\color {transparent}{O'}\;$ de l'objectif on voit l'image d'où la hauteur«$\;{h'}_{\!i}\simeq {f'}_{\!i}\,\beta \simeq 50\times 0,100\;{\text{en}}\;mm\;$» soit Avec un objectif de distance focale $\;\color {transparent}{{f'}_{\!i}=50\,mm}$, l'ouverture angulaire de l'objet étant l'angle sous lequel du centre optique $\;\color {transparent}{O'}\;$ de l'objectif on voit l'image d'où la hauteur«$\;{h'}_{\!i}\simeq 5,0\,mm\;$»
Remarque : le fait que «$\;{h'}_{\!i}\simeq 5,0\,mm\;$ est $\;<\;$ à $\;h_{i}\simeq 13,5\,mm\;$» explicite un des intérêts d'un téléobjectif par rapport à un objectif normal.

## Discussion graphique de Bouasse pour visualiser les propriétés comparées d'un objet linéique transverse et de son image par une lentille mince de focale connue
### Préliminaire, réécriture de la 1ère relation de conjugaison de Descartes d'une lentille sphérique mince
#### Équation cartésienne de la droite passant par les points (x$_0$, 0) et (0, y$_0$) avec x$_0$ et y$_0$ non nuls

Montrer que l'équation cartésienne de la droite passant par les points $\;(x_{0},\,0)\;$ et $\;(0,\,y_{0})\;$ avec $\;x_{0}\neq 0\;$ et $\;y_{0}\neq 0\;$ peut s'écrire :
$\;{\dfrac {x}{x_{0}}}+{\dfrac {y}{y_{0}}}=1\;$
L'équation cartésienne de cette droite s'écrit «$\;a\,x+b\,y=c\;$ avec $\;c\neq 0\;$» ou, en divisant par $\;c\;$ et en notant $\;\alpha ={\dfrac {a}{c}}\;$ et $\;\beta ={\dfrac {b}{c}}$, l'équation de la droite se réécrit «$\;\alpha \,x+\beta \,y=1\;$».
On écrit alors que le point $\;(x_{0},\,0)\in \;$ à la droite $\Rightarrow$ $\;\alpha \;x_{0}+\beta \times 0=1\;$ ou «$\;\alpha ={\dfrac {1}{x_{0}}}\;$» et On écrit alors que le point $\;(0,\,y_{0})\in \;$ à la droite $\Rightarrow$ $\;\alpha \times 0+\beta \;y_{0}=1\;$ ou «$\;\beta ={\dfrac {1}{y_{0}}}\;$» ;
$\;{\dfrac {x}{x_{0}}}+{\dfrac {y}{y_{0}}}=1\;$

#### Préliminaire : Réécriture de la 1ère relation de conjugaison de Descartes d'une lentille sphérique mince

Déduire de la 1ère relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ ${\big$ou relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ de position${\big ]}\;$ de Descartes d'une lentille sphérique mince que les points objet $\;A_{o}\;$ d'abscisse objet de Descartes $\;p_{o}={\overline {OA_{o}}}\;$ et image $\;A_{i}\;$ d'abscisse image de Descartes $\;p_{i}={\overline {OA_{i}}}\;$ sont conjugués si leurs abscisses sont liées par :
$\;{\dfrac {f_{o}}{p_{0}}}+{\dfrac {f_{i}}{p_{i}}}=1\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
${\big$
$\;{\big$
${\big )}\;$
${\big ]}\;$
$\;p_{o}={\overline {OA_{o}}}\;$
$\;p_{i}={\overline {OA_{i}}}\;$
$\;V=$
${\dfrac {1}{f_{i}}}=-{\dfrac {1}{f_{o}}}\;$
$\;{\dfrac {1}{p_{i}}}-{\dfrac {1}{p_{o}}}=V\;$
$\Leftrightarrow$
$\;{\dfrac {1}{p_{i}}}-{\dfrac {1}{p_{o}}}={\dfrac {1}{f_{i}}}\;$
$\;f_{i}$
$\;{\dfrac {f_{i}}{p_{i}}}-{\dfrac {f_{i}}{p_{o}}}=1\;$
$\;f_{i}=-f_{o}$
$\;{\dfrac {f_{i}}{p_{i}}}+{\dfrac {f_{o}}{p_{o}}}=1\;$

#### Traduction graphique de la 1ère relation de conjugaison de Descartes d'une lentille sphérique mince dans un diagramme « axe des x : abscisses des objets », « axe des y : abscisses des images »

Associant à tout couple de points conjugués $\;(A_{o},\,A_{i})\;$ caractérisé par le couple de paramètres $\;(p_{o},\,p_{i})$, la droite $\;{\mathcal {D}}_{(p_{o},\,p_{i})}\;$ du plan cartésien passant par les points $\;(p_{o},\,0)\;$ et $\;(0,\,p_{i})$, montrer que la 1ère relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ ${\big$ou relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ de position${\big ]}\;$ de Descartes$^,$ écrite pour le couple $\;(A_{o},\,A_{i})\;$ se traduit par
$\;{\mathcal {D}}_{(p_{o},\,p_{i})}\;$
$\;(A_{o},\,A_{i})\;$
$\;(f_{o},\,f_{i})\;$
Associons à tout couple de points conjugués $\;(A_{o},\,A_{i})\;$ caractérisé par le couple de paramètres $\;(p_{o},\,p_{i})$, la droite $\;{\mathcal {D}}_{(p_{o},\,p_{i})}\;$ du plan cartésien passant par les points $\;(p_{o},\,0)\;$ et $\;(0,\,p_{i})$, cette droite $\;{\mathcal {D}}_{(p_{o},\,p_{i})}\;$ a pour équation cartésienne «$\;{\dfrac {x}{p_{0}}}+{\dfrac {y}{p_{i}}}=1\;$» ;
$\;{\big$
${\big )}\;$
${\big$
$\;{\big$
${\big )}\;$
${\big ]}\;$
$\;{\dfrac {f_{i}}{p_{i}}}+{\dfrac {f_{o}}{p_{o}}}=1\;$
$\;{\mathcal {D}}_{(p_{o},\,p_{i})}\;$
$\;(f_{o},\,f_{i})\;$

### Discussion graphique de Bouasse pour une lentille sphérique mince convergente

Considérant les différentes positions possibles du point objet $\;A_{o}\;$ sur l'axe optique principal relativement aux points réels «$\;W_{o}\;$ d'abscisse objet de Descartes $\;2\,f_{o}\;$», Considérant les différentes positions possibles du point objet $\;\color {transparent}{A_{o}}\;$ sur l'axe optique principal relativement aux points réels «$\;F_{o}\;$ ${\big$foyer principal objet${\big )}\;$» et Considérant les différentes positions possibles du point objet $\;\color {transparent}{A_{o}}\;$ sur l'axe optique principal relativement aux points réels «$\;O\;$ ${\big$centre optique${\big )}\;$»,
* tracer les droites $\;{\mathcal {D}}_{(p_{o},\,p_{i})}\;$ correspondantes et
* déduire du signe de $\;p_{i}\;$ la nature « réelle » ou « virtuelle » du point image $\;A_{i}\;$ en précisant nettement la « nature et la position correspondante du point objet $\;A_{o}\;$» dont $\;A_{i}\;$ est l'image ;
considérant maintenant un objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ de pied $\;A_{o}$, ce dernier prenant les différentes positions possibles considérées précédemment, déterminer à partir des signes et des grandeurs comparées de $\;p_{i}\;$ et $\;p_{o}$, la nature « droite » ou « inversée » de l'image ainsi que son caractère « agrandi » ou « rapetissé ».
Vérifier chaque affirmation en faisant la construction de l'image d'un objet d'abscisse objet de Descartes $\;p_{o}\;$ choisi dans la discussion de Bouasse précédente.
On pourra déterminer la nature $\;{\big$réelle ou virtuelle${\big )}\;$ de l'image connaissant celle $\;{\big$réelle ou virtuelle${\big )}\;$ de l'objet ponctuel suivant sa position par rapport à $\;O$, $\;F_{o}\;$ ou $\;W_{o}\;$ ${\big$point objet de Weierstrass symétrique de $\;O\;$ relativement à $\;F_{o}\;$${\big )}\;$ ;
on pourra aussi en déduire la disposition $\;{\big$droite ou inversée${\big )}\;$ et la dimension $\;{\big$agrandie ou rapetissée${\big )}\;$ de l'image d'un objet linéique transverse suivant sa position par rapport à $\;O$, $\;F_{o}\;$ ou $\;W_{o}\;$.
Principe de la discussion : On positionne le point $\;(f_{o},\,f_{i})\;$ dans le plan cartésien et on trace la famille de droites $\;{\mathcal {D}}_{(p_{o},\,p_{i})}\;$ passant par ce point ;
Principe de la discussion : suivant la position graphique de $\;{\mathcal {D}}_{(p_{o},\,p_{i})}$, on peut préciser la nature « réelle ou virtuelle » de l'objet $\;A_{o}\;$ ${\big$par le signe de $\;p_{o}{\big )}\;$, Principe de la discussion : suivant la position graphique de $\;\color {transparent}{{\mathcal {D}}_{(p_{o},\,p_{i})}}$, on peut en déduire la nature « réelle ou virtuelle » de l'image $\;A_{i}\;$ ${\big$par le signe de $\;p_{i}{\big )}\;$, Principe de la discussion : suivant la position graphique de $\;\color {transparent}{{\mathcal {D}}_{(p_{o},\,p_{i})}}$, on peut en déduire le caractère « droit ou inversé », « agrandi ou rapetissé » de l'image si l'objet est linéique transverse $\;{\big$par les signes comparés de $\;p_{o}\;$ et $\;p_{i}\;$ d'une part, et suivant leurs valeurs absolues comparées d'autre part${\big )}\;$.
Discussion graphique et vérification par construction :
* Cas$\;\left(1\right)$ : ${\big$voir ci-contre${\big )}$ «$\;A_{o}\;$réel en deçà de$\;W_{o}\;$ ${\big$point objet de Weierstrass${\big )}$, $\;p_{o}<2\,f_{o}<0\;$» $\Rightarrow$ Cas$\;\color {transparent}{\left(1\right)}$ : $\color {transparent}{\big$voir ci-contre$\color {transparent}{\big )}$ «$\;A_{i}\;$réel entre$\;F_{i}\;$et$\;W_{i}\;$ ${\big$point image de Weierstrass${\big )}$, $\;p_{i}>0\;$ et $\;\in \left]f_{i}\,{\text{ ; }}2\,f_{i}\right[\;$» ; Cas$\;\color {transparent}{\left(1\right)}$ : si l'objet est linéique transverse, l'image est inversée et rapetissée car $\;G_{t}={\dfrac {p_{i}}{p_{o}}}<0\;$ et $\;{\dfrac {\vert p_{i}\vert }{\vert p_{o}\vert }}<1\;$ ;
* Cas$\;\left(1'\right)$ : ${\big$voir ci-contre en bleu${\big )}$ «$\;A_{o}\;$réel entre$\;W_{o}\;$ ${\big$point objet de Weierstrass${\big )}\;$et$\;F_{o}$, $\;p_{o}<0\;$ et $\;\in \left]2\,f_{o}{\text{ ; }}f_{o}\right[\;$» $\Rightarrow$ Cas$\;\color {transparent}{\left(1'\right)}$ : $\color {transparent}{\big$voir ci-contre en bleu$\color {transparent}{\big )}$ «$\;A_{i}\;$réel au-delà de$\;W_{i}\;$ ${\big$point image de Weierstrass${\big )}$, $\;p_{i}>2\,f_{i}>0\;$» ; Cas$\;\color {transparent}{\left(1'\right)}$ : si l'objet est linéique transverse, l'image est inversée et agrandie car $\;G_{t}={\dfrac {p_{i}}{p_{o}}}<0\;$ et $\;{\dfrac {\vert p_{i}\vert }{\vert p_{o}\vert }}>1\;$ ;
* Cas$\;\left(2\right)$ : ${\big$voir ci-contre en rouge${\big )}$ «$\;A_{o}\;$réel entre$\;F_{o}\;$et$\;O$, $\;p_{o}<0\;$ et $\;\in \left]f_{o}{\text{ ; }}0\right[\;$» $\Rightarrow$ Cas$\;\color {transparent}{\left(2\right)}$ : $\color {transparent}{\big$voir ci-contre en rouge$\color {transparent}{\big )}$ «$\;A_{i}\;$virtuel$\;{\big$c'est-à-dire en deçà de $\;O{\big )}$, $\;p_{i}<0\;$» ; Cas$\;\color {transparent}{\left(2\right)}$ : si l'objet est linéique transverse, l'image est droite et agrandie car $\;G_{t}={\dfrac {p_{i}}{p_{o}}}>0\;$ et $\;{\dfrac {\vert p_{i}\vert }{\vert p_{o}\vert }}>1\;$ ;
* Cas$\;\left(3\right)$ : ${\big$voir ci-contre en vert${\big )}$ «$\;A_{o}\;$virtuel$\;{\big$c'est-à-dire au-delà de $\;O{\big )}$, $\;p_{o}>0\;$» $\Rightarrow$ Cas$\;\color {transparent}{\left(3\right)}$ : $\color {transparent}{\big$voir ci-contre en vert$\color {transparent}{\big )}$ «$\;A_{i}\;$réel entre$\;O\;$et$\;F_{i}$, $\;p_{i}>0\;$ et $\;\in \left]0{\text{ ; }}f_{i}\right[\;$» ; Cas$\;\color {transparent}{\left(3\right)}$ : si l'objet est linéique transverse, l'image est droite et rapetissée car $\;G_{t}={\dfrac {p_{i}}{p_{o}}}>0\;$ et $\;{\dfrac {\vert p_{i}\vert }{\vert p_{o}\vert }}<1\;$.
On vérifie chaque affirmation en faisant la construction de l'image d'un objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ d'abscisse $\;p_{o}\;$ choisie dans la discussion de Bouasse précédente :
* Cas$\;\left(1\right)$ : $\;A_{o}\;$ réel en deçà de $\;W_{o}\;$ ${\big$point objet de Weierstrass${\big )}\;$ $\Rightarrow$ $\;A_{i}\;$ réel entre $\;F_{i}\;$ et $\;W_{i}\;$ ${\big$point image de Weierstrass${\big )}\;$ avec image réelle inversée et rapetissée $\;{\big$figure ci-contre à droite${\big )}$ ; Cas$\;\color {transparent}{\left(1\right)}$ : sur la même figure, par retour inverse de $\;\left(1\right)\;$ on a le cas $\;\left(1'\right)\;$ ${\big$en bleu${\big )}$ : Cas$\;\color {transparent}{\left(1\right)}$ : $\;A_{o}\;$ réel entre $\;W_{o}\;$ ${\big$point objet de Weierstrass${\big )}\;$ et $\;F_{o}\;$ $\Rightarrow$ $\;A_{i}\;$ réel au-delà de $\;W_{i}\;$ ${\big$point image de Weierstrass${\big )}\;$ avec image inversée et agrandie $\;{\big$attention en retour inverse les indices $\;_{o}\;$ et $\;_{i}\;$ sont permutés, la lumière se propageant de la droite vers la gauche $\;\ldots \;$ il faut donc lire dans le cas $\;\left(1'\right)\;$ l'objet $\;A_{i}\;$ réel entre le foyer principal objet $\;F_{i}\;$ et le point objet de Weierstrass $\;W_{i}\;$ $\Rightarrow$ le point image $\;A_{o}\;$ réel au-delà du point image de Weierstrass $\;W_{o}$, l'image $\;A_{o}B_{o}\;$ étant réelle, inversée et agrandie relativement à l'objet réel $\;A_{i}B_{i}{\big ]}$ ;
* Cas$\;\left(2\right)$ : $\;A_{o}\;$ réel entre $\;F_{o}\;$ et $\;O\;$ $\Rightarrow$ $\;A_{i}\;$ virtuel avec image droite et agrandie $\;{\big$figure ci-contre à gauche${\big )}$ ; Cas$\;\color {transparent}{\left(2\right)}$ : sur la même figure, par retour inverse de $\;\left(2\right)\;$ on a le cas $\;\left(3\right)\;$ ${\big$en vert${\big )}$ : Cas$\;\color {transparent}{\left(2\right)}$ : $\;A_{o}\;$ virtuel $\Rightarrow$ $\;A_{i}\;$ réel entre $\;O\;$ et $\;F_{i}\;$ avec image droite et rapetissée $\;{\big$attention en retour inverse les indices $\;_{o}\;$ et $\;_{i}\;$ sont permutés, la lumière se propageant de la droite vers la gauche $\;\ldots \;$ il faut donc lire dans le cas $\;\left(3\right)\;$ l'objet $\;A_{i}\;$ virtuel $\Rightarrow$ le point image $\;A_{o}\;$ réel entre le centre optique $\;O\;$ et le foyer principal image $\;F_{o}$, l'image $\;A_{o}B_{o}\;$ étant réelle, droite et rapetissée relativement à l'objet virtuel $\;A_{i}B_{i}{\big ]}$.
Résumé des résultats trouvés par discussion graphique de Bouasse d'une lentille mince convergente :
Pour que l'image d'un objet réel soit réelle il faut que l'objet ne soit pas entre la lentille mince convergente et le plan focal objet de cette dernière et Pour que l'image est agrandie si l'objet est entre le plan focal objet et le plan objet de Weierstrass$^,$, $\;{\big$l'objet réel doit être à une distance de la lentille strictement comprise entre $\;f_{i}\;$ ${\big$où le grandissement transverse serait de valeur absolue infinie${\big )}\;$ et $\;2\,f_{i}\;$ ${\big$où le grandissement transverse serait de valeur absolue égale à $\;1{\big )}{\big ]}$, Pour que l'image est rapetissée si l'objet est en deçà du plan objet de Weierstrass$^,$, $\;{\big$l'objet réel doit être à une distance de la lentille supérieure à $\;2\,f_{i}\;$ ${\big$où le grandissement transverse serait de valeur absolue égale à $\;1{\big )}$), le grandissement transverse tendant vers $\;0\;$ quand la distance tend vers l'infini${\big ]}$.
* Résumé de la discussion graphique de Bouasse d'une lentille mince convergente

### Discussion graphique de Bouasse pour une lentille sphérique mince divergente

On se propose de refaire l'étude précédente mais appliquée à une lentille sphérique mince divergente.
Répondre aux mêmes questions, les points $\;F_{o}\;$ et $\;W_{o}\;$ ${\big$point objet de Weierstrass${\big )}\;$ par rapport auxquels on repère la position du point objet $\;A_{o}\;$ étant maintenant virtuels, le point $\;O\;$ étant quant à lui toujours réel, et
vérifier, de même, chaque affirmation en faisant la construction de l'image d'un objet d'abscisse objet de Descartes $\;p_{o}\;$ choisi dans la discussion de Bouasse précédente.
On développe ci-dessous le même principe de discussion …
Discussion graphique et vérification par construction :
* Cas$\;\left(1\right)$ : ${\big$voir ci-contre${\big )}$ «$\;A_{o}\;$réel, $\;p_{o}<0\;$» $\Rightarrow$ Cas$\;\color {transparent}{\left(1\right)}$ : $\color {transparent}{\big$voir ci-contre$\color {transparent}{\big )}$ «$\;A_{i}\;$virtuel entre$\;F_{i}\;$et$\;O$, $\;p_{i}<0\;$ et $\;\in \left]f_{i}\,{\text{ ; }}0\right[\;$» ; Cas$\;\color {transparent}{\left(1\right)}$ : si l'objet est linéique transverse, l'image est droite et rapetissée car $\;G_{t}={\dfrac {p_{i}}{p_{o}}}>0\;$ et $\;{\dfrac {\vert p_{i}\vert }{\vert p_{o}\vert }}<1\;$ ;
* Cas$\;\left(2\right)$ : ${\big$voir ci-contre en bleu${\big )}$ «$\;A_{o}\;$virtuel entre$\;O\;$et$\;F_{o}$, $\;p_{o}>0\;$ et $\;\in \left]0{\text{ ; }}f_{o}\right[\;$» $\Rightarrow$ Cas$\;\color {transparent}{\left(2\right)}$ : $\color {transparent}{\big$voir ci-contre en bleu$\color {transparent}{\big )}$ «$\;A_{i}\;$réel, $\;p_{i}>0\;$» ; Cas$\;\color {transparent}{\left(2\right)}$ : si l'objet est linéique transverse, l'image est droite et agrandie car $\;G_{t}={\dfrac {p_{i}}{p_{o}}}<0\;$ et $\;{\dfrac {\vert p_{i}\vert }{\vert p_{o}\vert }}>1\;$ ;
* Cas$\;\left(3\right)$ : ${\big$voir ci-contre en rouge${\big )}$ «$\;A_{o}\;$virtuel entre$\;F_{o}\;$et$\;W_{o}\;$ ${\big$point objet de Weierstrass${\big )}\;$, $\;p_{o}>0\;$ et $\;\in \left]f_{o}{\text{ ; }}2\,f_{o}\right[\;$» $\Rightarrow$ Cas$\;\color {transparent}{\left(3\right)}$ : $\color {transparent}{\big$voir ci-contre en rouge$\color {transparent}{\big )}$ «$\;A_{i}\;$virtuel en deçà de$\;W_{i}\;$ ${\big$point image de Weierstrass${\big )}\;$, $\;p_{i}<0\;$ et $\;\in \left]-\infty {\text{ ; }}2\,f_{i}\right[\;$» ; Cas$\;\color {transparent}{\left(3\right)}$ : si l'objet est linéique transverse, l'image est inversée et agrandie car $\;G_{t}={\dfrac {p_{i}}{p_{o}}}<0\;$ et $\;{\dfrac {\vert p_{i}\vert }{\vert p_{o}\vert }}>1\;$ ;
* Cas$\;\left(3'\right)$ : ${\big$voir ci-contre en vert${\big )}$ «$\;A_{o}\;$virtuel au-delà de$\;W_{o}$ ${\big$point objet de Weierstrass${\big )}\;$, $\;p_{o}>0\;$ et $\;\in \left]2\,f_{o}{\text{ ; }}\,+\infty \right[\;$» $\Rightarrow$ Cas$\;\color {transparent}{\left(3'\right)}$ : $\color {transparent}{\big$voir ci-contre en vert$\color {transparent}{\big )}$ «$\;A_{i}\;$virtuel entre$\;W_{i}\;$ ${\big$point image de Weierstrass${\big )}\;$et$\;F_{i}$, $\;p_{i}<0\;$ et $\;\in \left]2\,f_{i}{\text{ ; }}f_{i}\right[\;$» ; Cas$\;\color {transparent}{\left(3'\right)}$ : si l'objet est linéique transverse, l'image est inversée et rapetissée car $\;G_{t}={\dfrac {p_{i}}{p_{o}}}<0\;$ et $\;{\dfrac {\vert p_{i}\vert }{\vert p_{o}\vert }}<1\;$.
On vérifie chaque affirmation en faisant la construction de l'image d'un objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ d'abscisse $\;p_{o}\;$ choisie dans la discussion de Bouasse précédente :
* Cas$\;\left(1\right)$ : $\;A_{o}\;$ réel $\Rightarrow$ $\;A_{i}\;$ virtuel entre $\;F_{i}\;$ et $\;O\;$ avec image virtuelle droite et rapetissée $\;{\big$figure ci-contre à droite${\big )}$ ; Cas$\;\color {transparent}{\left(1\right)}$ : sur la même figure, par retour inverse de $\;\left(1\right)\;$ on a le cas $\;\left(2\right)\;$ ${\big$en bleu${\big )}$ : Cas$\;\color {transparent}{\left(1\right)}$ : $\;A_{o}\;$ virtuel entre $\;O\;$ et $\;F_{o}\;$ $\Rightarrow$ $\;A_{i}\;$ réel avec image droite et agrandie $\;{\big$attention en retour inverse les indices $\;_{o}\;$ et $\;_{i}\;$ sont permutés, la lumière se propageant de la droite vers la gauche $\;\ldots \;$ il faut donc lire dans le cas $\;\left(2\right)\;$ l'objet $\;A_{i}\;$ virtuel entre le centre optique $\;O\;$ et le foyer principal objet $\;F_{i}\;$ $\Rightarrow$ le point image $\;A_{o}\;$ réel entre le centre optique $\;O\;$ et le foyer principal image $\;F_{o}$, l'image $\;A_{o}B_{o}\;$ étant réelle, droite et agrandie relativement à l'objet réel $\;A_{i}B_{i}{\big ]}$ ;
* Cas$\;\left(3\right)$ : $\;A_{o}\;$ virtuel entre $\;F_{o}\;$ et $\;W_{o}\;$ ${\big$point objet de Weierstrass${\big )}\;$ $\Rightarrow$ $\;A_{i}\;$ virtuel en deçà de $\;W_{i}\;$ ${\big$point image de Weierstrass${\big )}\;$ avec image inversée et agrandie $\;{\big$figure ci-contre à gauche${\big )}$ ; Cas$\;\color {transparent}{\left(3\right)}$ : sur la même figure, par retour inverse de $\;\left(3\right)\;$ on a le cas $\;\left(3'\right)\;$ ${\big$en vert${\big )}$ : Cas$\;\color {transparent}{\left(3\right)}$ : $\;A_{o}\;$ virtuel au-delà de $\;W_{o}\;$ ${\big$point objet de Weierstrass${\big )}\;$ $\Rightarrow$ $\;A_{i}\;$ virtuel entre $\;F_{i}\;$ et $\;W_{i}\;$ ${\big$point image de Weierstrass${\big )}\;$ avec image inversée et rapetissée $\;{\big$attention en retour inverse les indices $\;_{o}\;$ et $\;_{i}\;$ sont permutés, la lumière se propageant de la droite vers la gauche $\;\ldots \;$ il faut donc lire dans le cas $\;\left(3'\right)\;$ l'objet $\;A_{i}\;$ virtuel au-delà du point objet de Weierstrass $\;W_{i}\;$ $\Rightarrow$ le point image $\;A_{o}\;$ virtuel entre le foyer principal image $\;F_{o}\;$ et le point image de Weierstrass $\;W_{o}$, l'image $\;A_{o}B_{o}\;$ étant virtuelle, inversée et rapetissée relativement à l'objet virtuel $\;A_{i}B_{i}{\big ]}$.
Résumé des résultats trouvés par discussion graphique de Bouasse d'une lentille mince divergente :
L'image et l'objet sont toujours de nature différente $\;\succ \;$pour qur l'image réelle d'un objet virtuel soit agrandie il faut que ce dernier soit entre la lentille et le plan objet de Weierstrass$^,$, $\;{\big$l'objet virtuel doit être à une distance de la lentille strictement comprise entre $\;0\;$ ${\big$où le grandissement transverse serait $\;+1{\big )}\;$ et $\;2\,f_{o}\;$ ${\big$où le grandissement transverse serait de valeur absolue égale à $\;1{\big )}\;$ en passant par $\;f_{o}\;$ ${\big$où le grandissement transverse serait infini${\big )}{\big ]}$, $\;\succ \;$sinon l'image réelle d'un objet virtuel est rapetissée, l'objet étant alors en deçà du plan objet de Weierstrass$^,$, $\;{\big$l'objet virtuel doit être à une distance de la lentille supérieure à $\;2\,f_{o}\;$ ${\big$où le grandissement transverse serait de valeur absolue égale à $\;1{\big )}$, le grandissement transverse tendant vers $\;0\;$ quand la distance tend vers l'infini${\big ]}$ ; $\;\succ \;$l'image virtuelle d'un objet réel est toujours rapetissée.
* Résumé de la discussion graphique de Bouasse d'une lentille mince divergente

## Objectif photographique, profondeur de champ de netteté due au grain de la pellicule et temps de pose

L’objectif d’un appareil photographique est modélisé par une lentille sphérique mince convergente de distance « focale image $\;f_{i}=38\;mm\;$».
Le diaphragme d’ouverture de l’objectif a un « diamètre réglable $\;2\,R={\dfrac {f_{i}}{N}}\;$» où $\;N$, appelé « nombre d'ouverture », peut varier par « valeurs discrètes de $\;N=2,0\;$ à $\;N=11,3\;$».
La pellicule ayant une structure granulaire, « la tache image d’un objet ponctuel a le diamètre d’un grain soit $\;a=30\;\mu m\;$».

### Détermination de la profondeur de champ de netteté liée à la nature granulaire de la pellicule

L’objectif étant « mis au point sur un point objet $\;A_{o}\;$ situé à la distance $\;\vert p_{o}\vert =2,50\;m\;$ de l’objectif », L'objectif étant « mis au point sur des points situés au-delà de $\;A_{o}\;$ c'est-à-dire à une distance $\;\vert {p'}_{o,\,M}\vert >2,50\;m\;$ de l’objectif, donnent une image ponctuelle en deçà du film, L'objectif étant « mis au point sur des points situés en deçà de $\;A_{o}\;$ c'est-à-dire à une distance $\;\vert {p'}_{o,\,m}\vert <2,50\;m\;$ de l’objectif, donnent une image ponctuelle au-delà du film, L'objectif étant « mis au point sur des points situés au-delà de $\;\color {transparent}{A_{o}}\;$ dans les deux cas, apparaît une tache sur le film, laquelle semblera ponctuelle si « son diamètre est inférieur à celui du grain du film ».
On définit la « profondeur de champ de netteté » de l'objectif diaphragmé pour une mise au point sur un objet donné On définit la « profondeur de champ de netteté » comme l'intervalle de distance séparant l'objectif et les objets ponctuels à image granulaire considérée comme ponctuelle sur la pellicule, On définit la « profondeur de champ de netteté » comme « intervalle noté $\;\left[\vert p_{o,\,m}\vert \,;\,\vert p_{o,\,M}\vert \right]\;$» ;
On définit la « profondeur de champ de netteté » le minimum de la profondeur de champ est donc $\;\vert p_{o,\,m}\vert \;$ et On définit la « profondeur de champ de netteté » le maximum de la profondeur de champ est donc $\;\vert p_{o,\,M}\vert$, On définit la « profondeur de champ de netteté » la largeur étant définie par «$\;\Delta x(\vert p_{o}\vert ,\,N)=\vert p_{o,\,M}\vert -\vert p_{o,\,m}\vert \;$».
Exprimer, en fonction du grain $\;a\;$ de la pellicule, de la distance focale image $\;f_{i}$, du nombre d'ouverture $\;N\;$ et de la distance de mise au point $\;\vert p_{o}\vert$ : Exprimer, le minimum de la profondeur de champ $\;\vert p_{o,\,m}\vert$, Exprimer, le maximum de la profondeur de champ $\;\vert p_{o,\,M}\vert \;$ et Exprimer, la largeur de la profondeur de champ $\;\Delta x(\vert p_{o}\vert ,\,N)$.
Faire l'application numérique pour les valeurs extrêmes d'ouverture.
Minimum de profondeur de champ : La mise au point étant rigoureusement faite pour la distance $\;\vert p_{o}\vert$, Minimum de profondeur de champ : des points $\;{A'}_{\!o,\,m}\;$ situés sur l'axe optique principal entre $\;A_{o}\;$ et $\;O\;$ donneront des images $\;{A'}_{\!i,\,m}\;$ situées derrière la pellicule et par conséquent le faisceau issu de $\;{A'}_{\!o,\,m}\;$ et limité par le diaphragme émergera selon un faisceau convergeant en $\;{A'}_{\!i,\,m}\;$ laissant une tache $\;{\big$et non un point${\big )}\;$ sur la diapositive $\;{\big$voir figure ci-contre${\big )}$ ;
Minimum de profondeur de champ : ces taches seront vues comme des points pour un diamètre de tache $\;<\;$ au grain de la pellicule c'est-à-dire Minimum de profondeur de champ : ces taches seront vues comme des points pour «$\;HH'({A'}_{\!o,\,m})<a\;$» ou, en notant $\;(HH')_{m}\;$ la valeur maximale du diamètre de la tache pouvant être considérée comme ponctuelle, «$\;(HH')_{\!m}=a\;$» ;
Minimum de profondeur de champ : on écrit tout d'abord la 1ère relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ ${\big$ou relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ de position${\big ]}\;$ de Descartes$^,$ pour le couple $\;(A_{o},\,A_{i})\;$ soit «$\;{\dfrac {1}{p_{i}}}-{\dfrac {1}{-\vert p_{o}\vert }}={\dfrac {1}{f_{i}}}\;$» d'où $\;{\dfrac {1}{p_{i}}}={\dfrac {1}{f_{i}}}-{\dfrac {1}{\vert p_{o}\vert }}={\dfrac {\vert p_{o}\vert -f_{i}}{f_{i}\,\vert p_{o}\vert }}\;$ $\Rightarrow$ «$\;p_{i}={\dfrac {f_{i}\,\vert p_{o}\vert }{\vert p_{o}\vert -f_{i}}}\;\;({\mathfrak {1}})\;$» puis,
Minimum de profondeur de champ : en raisonnant dans le cas limite, la 1ère relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ ${\big$ou relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ de position${\big ]}\;$ de Descartes$^,$ pour le couple $\;(A_{o,\,m},\,A_{i,\,m})\;$ soit «$\;{\dfrac {1}{p_{i,\,m}}}-{\dfrac {1}{-\vert p_{o,\,m}\vert }}={\dfrac {1}{f_{i}}}\;$» d'où $\;{\dfrac {1}{p_{i,\,m}}}=$ ${\dfrac {1}{f_{i}}}-{\dfrac {1}{\vert p_{o,\,m}\vert }}={\dfrac {\vert p_{o,\,m}\vert -f_{i}}{f_{i}\,\vert p_{o,\,m}\vert }}\;$ soit «$\;p_{i,\,m}={\dfrac {f_{i}\,\vert p_{o,\,m}\vert }{\vert p_{o,\,m}\vert -f_{i}}}\;\;({\mathfrak {2}})\;$» enfin,
Minimum de profondeur de champ : les triangles $\;KK'A_{i,\,m}\;$ et $\;HH'A_{i,\,m}\;$ étant semblables, on en déduit : $\;{\dfrac {OA_{i,\,m}}{KK'}}={\dfrac {A_{i}A_{i,\,m}}{(HH')_{m}}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {p_{i,\,m}}{2\,R}}={\dfrac {p_{i,\,m}-p_{i}}{(HH')_{m}}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;(HH')_{m}=$ $2\,R\,{\dfrac {p_{i,\,m}-p_{i}}{p_{i,\,m}}}\;$ qui vaut, dans le cas limite, $\;a\;$» d'où la condition «$\;2\,R\left(1-{\dfrac {p_{i}}{p_{i,\ ,m}}}\right)=a\;\;({\mathfrak {3}})\;$» ;
$\;({\mathfrak {1}})\;$
$\;({\mathfrak {2}})\;$
$\;({\mathfrak {3}})$
$\;2\,R\left(1-{\dfrac {\dfrac {f_{i}\,\vert p_{o}\vert }{\vert p_{o}\vert -f_{i}}}{\dfrac {f_{i}\,\vert p_{o,\,m}\vert }{\vert p_{o,\,m}\vert -f_{i}}}}\right)=a\;$
$\Leftrightarrow$
$\;1-{\dfrac {\vert p_{o}\vert \left(\vert p_{o,\,m}\vert -f_{i}\right)}{\vert p_{o,\,m}\vert \left(\vert p_{o}\vert -f_{i}\right)}}={\dfrac {a}{2\,R}}\;$
$\;1-{\dfrac {\vert p_{o}\vert }{\vert p_{o}\vert -f_{i}}}+{\dfrac {\vert p_{o}\vert \;f_{i}}{\vert p_{o,\,m}\vert \left(\vert p_{o}\vert -f_{i}\right)}}={\dfrac {a}{2\,R}}\;$
$\;-{\dfrac {f_{i}}{\vert p_{o}\vert -f_{i}}}+{\dfrac {\vert p_{o}\vert \;f_{i}}{\vert p_{o,\,m}\vert \left(\vert p_{o}\vert -f_{i}\right)}}={\dfrac {a}{2\,R}}\;$
$\Leftrightarrow$
$\;{\dfrac {\vert p_{o}\vert }{\vert p_{o,\,m}\vert }}={\dfrac {a\left(\vert p_{o}\vert -f_{i}\right)}{2\,R\,f_{i}}}+1\;$
$\;\vert p_{o,\,m}\vert =\vert p_{o}\vert \;{\dfrac {2\,R\,f_{i}}{a\left(\vert p_{o}\vert -f_{i}\right)+2\,R\,f_{i}}}={\dfrac {\vert p_{o}\vert }{{\dfrac {a}{2\,R}}\left({\dfrac {\vert p_{o}\vert }{f_{i}}}-1\right)+1}}\;$
$\;\vert p_{o}\vert \gg f_{i}\;$
$\Rightarrow$
$\;1\ll {\dfrac {\vert p_{o}\vert }{f_{i}}}\;$
$\;\vert p_{o,\,m}\vert \simeq {\dfrac {\vert p_{o}\vert }{1+{\dfrac {a}{2\,R}}\;{\dfrac {\vert p_{o}\vert }{f_{i}}}}}\;$
$\;2\,R={\dfrac {f_{i}}{N}}$
$\;\vert p_{o,\,m}\vert \simeq {\dfrac {\vert p_{o}\vert }{1+{\dfrac {N\;a}{f_{i}}}\;{\dfrac {\vert p_{o}\vert }{f_{i}}}}}\;$
Maximum de profondeur de champ : La mise au point étant rigoureusement faite pour la distance $\;\vert p_{o}\vert$, Maximum de profondeur de champ : des points $\;{A'}_{\!o,\,M}\;$ situés sur l'axe optique principal entre $\;A_{o,\,\infty }\;$ et $\;A_{o}\;$ donneront des images $\;{A'}_{\!i,\,M}\;$ situées devant la pellicule et par conséquent le faisceau issu de $\;{A'}_{\!o,\,M}\;$ et limité par le diaphragme émergera selon un faisceau convergeant en $\;{A'}_{\!i,\,M}\;$ laissant une tache $\;{\big$et non un point${\big )}\;$ sur la diapositive $\;{\big$voir figure ci-contre${\big )}$ ;
Maximum de profondeur de champ : ces taches seront vues comme des points pour un diamètre de tache $\;<\;$ au grain de la pellicule c'est-à-dire Maximum de profondeur de champ : ces taches seront vues comme des points pour «$\;HH'({A'}_{\!o,\,M})<a\;$» ou, en notant $\;(HH')_{M}\;$ la valeur maximale du diamètre de la tache pouvant être considérée comme ponctuelle, «$\;(HH')_{\!M}=a\;$» ;
Maximum de profondeur de champ : ayant écrit tout d'abord la 1ère relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ ${\big$ou relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ de position${\big ]}\;$ de Descartes$^,$ pour le couple $\;(A_{o},\,A_{i})\;$ et y ayant obtenu «$\;p_{i}={\dfrac {f_{i}\,\vert p_{o}\vert }{\vert p_{o}\vert -f_{i}}}\;\;({\mathfrak {1}})\;$», on poursuit
Maximum de profondeur de champ : en raisonnant dans le cas limite, la 1ère relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ ${\big$ou relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ de position${\big ]}\;$ de Descartes$^,$ pour le couple $\;(A_{o,\,M},\,A_{i,\,M})\;$ donnant «$\;{\dfrac {1}{p_{i,\,M}}}-{\dfrac {1}{-\vert p_{o,\,M}\vert }}={\dfrac {1}{f_{i}}}\;$» d'où $\;{\dfrac {1}{p_{i,\,M}}}$ $={\dfrac {1}{f_{i}}}-{\dfrac {1}{\vert p_{o,\,M}\vert }}={\dfrac {\vert p_{o,\,M}\vert -f_{i}}{f_{i}\,\vert p_{o,\,M}\vert }}\;$ soit «$\;p_{i,\,M}={\dfrac {f_{i}\,\vert p_{o,\,M}\vert }{\vert p_{o,\,M}\vert -f_{i}}}\;\;({\mathfrak {2}}')\;$» enfin,
Maximum de profondeur de champ : les triangles $\;KK'A_{i,\,M}\;$ et $\;HH'A_{i,\,M}\;$ étant semblables, on en déduit : $\;{\dfrac {OA_{i,\,M}}{KK'}}={\dfrac {A_{i,\,M}A_{i}}{(HH')_{M}}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {p_{i,\,M}}{2\,R}}={\dfrac {p_{i}-p_{i,\,M}}{(HH')_{M}}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;(HH')_{M}=$ $2\,R\,{\dfrac {p_{i}-p_{i,\,M}}{p_{i,\,M}}}\;$ qui vaut, dans le cas limite, $\;a\;$» d'où la condition «$\;2\,R\left({\dfrac {p_{i}}{p_{i,\,M}}}-1\right)=a\;\;({\mathfrak {3}}')\;$» ;
$\;({\mathfrak {1}})\;$
$\;({\mathfrak {2}}')\;$
$\;({\mathfrak {3}}')$
$\;2\,R\left({\dfrac {\dfrac {f_{i}\,\vert p_{o}\vert }{\vert p_{o}\vert -f_{i}}}{\dfrac {f_{i}\,\vert p_{o,\,M}\vert }{\vert p_{o,\,M}\vert -f_{i}}}}-1\right)=a\;$
$\;{\dfrac {\vert p_{o}\vert \left(\vert p_{o,\,M}\vert -f_{i}\right)}{\vert p_{o,\,M}\vert \left(\vert p_{o}\vert -f_{i}\right)}}-1={\dfrac {a}{2\,R}}\;$
$\;{\dfrac {\vert p_{o}\vert }{\vert p_{o}\vert -f_{i}}}-{\dfrac {\vert p_{o}\vert \;f_{i}}{\vert p_{o,\,M}\vert \left(\vert p_{o}\vert -f_{i}\right)}}-1={\dfrac {a}{2\,R}}\;$
$\;{\dfrac {f_{i}}{\vert p_{o}\vert -f_{i}}}-{\dfrac {\vert p_{o}\vert \;f_{i}}{\vert p_{o,\,M}\vert \left(\vert p_{o}\vert -f_{i}\right)}}={\dfrac {a}{2\,R}}\;$
$\Leftrightarrow$
$\;{\dfrac {\vert p_{o}\vert }{\vert p_{o,\,M}\vert }}=-{\dfrac {a\left(\vert p_{o}\vert -f_{i}\right)}{2\,R\,f_{i}}}+1\;$
$\;\vert p_{o,\,M}\vert =\vert p_{o}\vert \;{\dfrac {2\,R\,f_{i}}{-a\left(\vert p_{o}\vert -f_{i}\right)+2\,R\,f_{i}}}={\dfrac {\vert p_{o}\vert }{-{\dfrac {a}{2\,R}}\left({\dfrac {\vert p_{o}\vert }{f_{i}}}-1\right)+1}}\;$
$\;\vert p_{o}\vert \gg f_{i}\;$
$\Rightarrow$
$\;1\ll {\dfrac {\vert p_{o}\vert }{f_{i}}}\;$
$\;\vert p_{o,\,M}\vert \simeq {\dfrac {\vert p_{o}\vert }{1-{\dfrac {a}{2\,R}}\;{\dfrac {\vert p_{o}\vert }{f_{i}}}}}\;$
$\;2\,R={\dfrac {f_{i}}{N}}$
$\;\vert p_{o,\,M}\vert \simeq {\dfrac {\vert p_{o}\vert }{1-{\dfrac {N\;a}{f_{i}}}\;{\dfrac {\vert p_{o}\vert }{f_{i}}}}}$
$\;\Delta x(\vert p_{o}\vert ,\,N)\;$
$\;\Delta x(\vert p_{o}\vert ,\,N)=\vert p_{o,\,M}\vert -\vert p_{o,\,m}\vert \;$
$\;\vert p_{o,\,m}\vert \;$
$\;\vert p_{o,\,M}\vert \;$
$\;\Delta x(\vert p_{o}\vert ,\,N)={\dfrac {\vert p_{o}\vert }{1-{\dfrac {N\;a}{f_{i}}}\;{\dfrac {\vert p_{o}\vert }{f_{i}}}}}-{\dfrac {\vert p_{o}\vert }{1+{\dfrac {N\;a}{f_{i}}}\;{\dfrac {\vert p_{o}\vert }{f_{i}}}}}\;$
$\;\Delta x(\vert p_{o}\vert ,\,N)=\vert p_{o}\vert \;{\dfrac {2\;{\dfrac {N\;a}{f_{i}}}\;{\dfrac {\vert p_{o}\vert }{f_{i}}}}{1-{\dfrac {N^{2}\;a^{2}}{f_{i}^{2}}}\;{\dfrac {p_{o}^{\!2}}{f_{i}^{2}}}}}\;$
A.N. : $\;\blacktriangleright \;$pour le diaphragme le plus ouvert $\;N=2,0$, une distance de mise au point $\;\vert p_{o}\vert =2,50\;m$, une distance focale $\;{\big$image${\big )}$ $\;f_{i}=38\;mm\;$ et un grain de pellicule de diamètre $\;a=30\;\mu m\;$ on obtient : A.N. : $\;\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$pour le diaphragme le plus ouvert $\;\color {transparent}{N=2,0}$, $\;\succ \;$ un minimum de profondeur de champ $\;\vert p_{o,\,m}\vert \simeq {\dfrac {2,50}{1+{\dfrac {2,0\times 30\;10^{-6}}{38\;10^{-3}}}\times {\dfrac {2,50}{38\;10^{-3}}}}}\;$ en $\;m\;$ soit «$\;\vert p_{o,\,m}\vert \simeq 2,265\;m\;$», A.N. : $\;\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$pour le diaphragme le plus ouvert $\;\color {transparent}{N=2,0}$, $\;\succ \;$ un maximum de profondeur de champ $\;\vert p_{o,\,M}\vert \simeq {\dfrac {2,50}{1-{\dfrac {2,0\times 30\;10^{-6}}{38\;10^{-3}}}\times {\dfrac {2,50}{38\;10^{-3}}}}}\;$ en $\;m\;$ soit «$\;\vert p_{o,\,M}\vert \simeq 2,790\;m\;$» et A.N. : $\;\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$pour le diaphragme le plus ouvert $\;\color {transparent}{N=2,0}$, $\;\succ \;$ une largeur de profondeur de champ $\;\Delta x(2,50\,m,\;2,0)=2,50\times {\dfrac {2\times {\dfrac {2,0\times 30\;10^{-6}}{38\;10^{-3}}}\times {\dfrac {2,50}{38\;10^{-3}}}}{1-{\dfrac {(2,0)^{2}\times (30\;10^{-6})^{2}}{(38\;10^{-3})^{2}}}\times {\dfrac {(2,50)^{2}}{(38\;10^{-3})^{2}}}}}\;$ en $\;m\;$ soit A.N. : $\;\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$pour le diaphragme le plus ouvert $\;\color {transparent}{N=2,0}$, $\;\color {transparent}{\succ }\;$ une largeur de profondeur de champ «$\;\Delta x(2,50\,m,\;2,0)\simeq 0,525\;m\;$» ;
A.N. : $\;\blacktriangleright \;$pour le diaphragme le plus fermé $\;N=11,3$, une distance de mise au point $\;\vert p_{o}\vert =2,50\;m$, une distance focale $\;{\big$image${\big )}$ $\;f_{i}=38\;mm\;$ et un grain de pellicule de diamètre $\;a=30\;\mu m\;$ on obtient : A.N. : $\;\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$pour le diaphragme le plus fermé $\;\color {transparent}{N=11,3}$, $\;\succ \;$ un minimum de profondeur de champ $\;\vert p_{o,\,m}\vert \simeq {\dfrac {2,50}{1+{\dfrac {11,3\times 30\;10^{-6}}{38\;10^{-3}}}\times {\dfrac {2,50}{38\;10^{-3}}}}}\;$ en $\;m\;$ soit «$\;\vert p_{o,\,m}\vert \simeq 1,575\;m\;$», A.N. : $\;\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$pour le diaphragme le plus fermé $\;\color {transparent}{N=11,3}$, $\;\succ \;$ un maximum de profondeur de champ $\;\vert p_{o,\,M}\vert \simeq {\dfrac {2,50}{1-{\dfrac {11,3\times 30\;10^{-6}}{38\;10^{-3}}}\times {\dfrac {2,50}{38\;10^{-3}}}}}\;$ en $\;m\;$ soit «$\;\vert p_{o,\,M}\vert \simeq 6,052\;m\;$» et A.N. : $\;\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$pour le diaphragme le plus fermé $\;\color {transparent}{N=11,3}$, $\;\succ \;$ une largeur de profondeur de champ $\;\Delta x(2,50\,m,\;11,3)=2,50\times {\dfrac {2\times {\dfrac {11,3\times 30\;10^{-6}}{38\;10^{-3}}}\times {\dfrac {2,50}{38\;10^{-3}}}}{1-{\dfrac {(11,3)^{2}\times (30\;10^{-6})^{2}}{(38\;10^{-3})^{2}}}\times {\dfrac {(2,50)^{2}}{(38\;10^{-3})^{2}}}}}\;$ en $\;m\;$ soit A.N. : $\;\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$pour le diaphragme le plus fermé $\;\color {transparent}{N=11,3}$, $\;\color {transparent}{\succ }\;$ une largeur de profondeur de champ «$\;\Delta x(2,50\,m,\;11,3)\simeq 4,477\;m\;$».
Commentaires : La largeur de profondeur de champ est d'autant plus grande que le nombre d'ouverture est grand $\;{\big$c'est-à-dire que le diaphragme est fermé${\big )}\;$, mais une augmentation du nombre d'ouverture $\;{\big$c'est-à-dire une fermeture du diaphragme${\big )}\;$ entraînant une diminution de la puissance moyenne reçue par la pellicule, il faut compenser par une augmentation du temps d'exposition.

### Temps de pose maximal pour que l’image d’un objet se déplaçant latéralement soit nette

L’objectif est mis au point sur un objet situé à une distance de $\;\vert p_{o}\vert =8,00\;m$, objet se déplaçant perpendiculairement à l’axe de visée, à la vitesse de $\;v_{o}=9,0\;km\cdot h^{-1}$.
Quel temps de pose maximum $\;\tau _{\text{max}}\;$ doit-on choisir pour que le déplacement de l'objet photographié n’altère pas la netteté de la photographie ?
L’objet se déplaçant transversalement à la vitesse $\;v_{o}\;$ émet de la lumière pendant tout le temps de pose $\;\tau \;$ à partir de positions différentes du plan transverse, il y a donc a priori une tache image sur la pellicule ; toutefois si le déplacement transversal de l’objet $\;d_{o}=v_{o}\;\tau \;$ correspond à un déplacement transversal de l’image $\;d_{i}\;$ $<\;$ au diamètre $\;a\;$ du grain de la pellicule, il n’y aura qu’un seul point image et cette dernière sera considérée comme nette ;
on détermine $\;d_{i}\;$ à partir de $\;d_{o}=v_{o}\;\tau \;$ à l’aide de la valeur absolue du grandissement transverse définie par $\;\vert G_{t}(A_{o})\vert ={\dfrac {d_{i}}{d_{o}}}\;$ dont la valeur algébrique est évaluée par la relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ de grandissement transverse $\;{\big$ou 2ème relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}{\big ]}\;$ de Descartes $\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {p_{i}}{p_{o}}}\;$, l’objet étant dans un plan transverse situé à $\;\vert p_{o}\vert =8,00\;m\;\gg f_{i}=38\;mm\;$ correspondant à un objet positionné quasiment à l'infini de l'objectif $\Rightarrow$ $\;p_{i}\simeq f_{i}=38\;10^{-3}\;m\;$ d'où $\;\vert G_{t}(A_{o})\vert ={\dfrac {d_{i}}{d_{o}}}\simeq {\dfrac {f_{i}}{\vert p_{o}\vert }}\;$ donnant «$\;d_{i}\simeq {\dfrac {f_{i}}{\vert p_{o}\vert }}\;v_{o}\;\tau \;$» dans laquelle «$\;v_{o}=9,0\;km\!\cdot \!h^{-1}={\dfrac {9,0}{3,6}}\;m\!\cdot \!s^{-1}=2,5\;m\!\cdot \!s^{-1}\;$» ;
$\;d_{i}<a\;$
$\;{\dfrac {f_{i}}{|p_{o}|}}\;v_{o}\;\tau <a\;$
$\;\tau <{\dfrac {a}{v_{o}}}\;{\dfrac {\vert p_{o}\vert }{f_{i}}}\;$
$\;\tau _{\text{max}}={\dfrac {a}{f_{i}}}\;{\dfrac {\vert p_{o}\vert }{v_{o}}}\;$
$\;\tau _{\text{max}}={\dfrac {30\;10^{-6}}{38\;10^{-3}}}\times {\dfrac {8,00}{2,5}}\;$
$\;s\;$
$\;\tau _{\text{max}}\simeq 0,00253\;s\;$
$\;\tau _{\text{max}}\simeq 2,53\;ms\;$

## Viseur

On constitue un viseur à l'aide d'un « objectif de distance focale image $\;f_{i,\,1}=30\,cm\;$» et d'un « oculaire de distance focale image $\;f_{i,\,2}\;$».
L'objet placé à une « distance $\;d\;$ en avant de l'objectif » est vu à travers l'oculaire à l'infini par l'observateur qui n'accommode pas.
Calculer quelle doit être la plage de translation de l'oculaire, relativement à l'objectif, pour que la distance de visée $\;d\;$ soit « réglable de $\;1,00\,m\;$ à l'infini » Calculer quelle doit être la plage de translation de l'oculaire, ${\big \$on définira cette plage de translation par le « tirage de l'oculaire $\;t={\overline {F_{i,\,1}F{o,\,2}}}\;$»${\big \}$.
Il convient bien sûr de faire un schéma explicatif $\;\ldots$
${\big$
$\;A_{o}$
${\big )}\;$
$\;1,00\,m\;$
$\infty \;$
$\;A_{o}{\stackrel {\text{objectif}}{\longrightarrow }}\;A'\;{\stackrel {\text{oculaire}}{\longrightarrow }}A_{i,\,\infty }\;$
$\;A_{o}$
$\;F_{o}$
$\;{\big \A_{o}=F_{o}{\big \}}\;$
$\;A'\;$
$\;F_{o,\,2}$
$\;{\big \\;A'=F_{o,\,2}{\big \}}$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\big$
$\;{\big$
${\big )}{\big ]}\;$
$\;{\overline {F_{o,\,1}F_{o}}}\;{\overline {F_{i,\,1}F_{o,\,2}}}=f_{o,\,1}\;f_{i,\,1}=-f_{i,\,1}^{2}\;$
$\;F_{o}\;$
$\;{\overline {F_{o,\,1}F_{o}}}={\overline {F_{o,\,1}O_{1}}}+{\overline {O_{1}F_{o}}}=f_{i,\,1}-d\;$
$\;F_{o,\,2}\;$
$\;t={\overline {F_{i,\,1}F_{o,\,2}}}\;$
$\;t={\overline {F_{i,\,1}F_{o,\,2}}}={\dfrac {f_{i,\,1}^{2}}{d-f_{i,\,1}}}\;$
numériquement le tirage de l'oculaire «$\;t\;$» varie $\;\succ \;$de «$\;t_{d_{1}}={\dfrac {30^{2}}{100-30}}\;$ en $\;cm\;$» soit «$\;t_{d_{1}}\simeq 12,9\,cm\;$ quand $\;d=1,00\,m\;$»,
numériquement le tirage de l'oculaire «$\;\color {transparent}{t}\;$» varie $\;\succ \;$à «$\;t_{d_{2}}=0\;$ quand $\;d\;$ est $\;\infty \;$», le viseur étant alors afocal.

## Oculaire de Plössl

L'oculaire de Plössl est le « doublet de lentilles minces du type $\;\left(3,\,1,\,3\right)\;$» $\Rightarrow$ la 1ère lentille $\;{\big$dans le sens de propagation de la lumière${\big )}\;$ est de distance focale image «$\;f_{i,\,1}=3\;a\;$», L'oculaire de Plössl est le « doublet de lentilles minces du type $\;\color {transparent}{\left(3,\,1,\,3\right)}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ la distance séparant les centres optiques $\;{\big$dans le sens de propagation de la lumière${\big )}\;$ est «$\;e={\overline {O_{1}O_{2}}}=a\;$» et L'oculaire de Plössl est le « doublet de lentilles minces du type $\;\color {transparent}{\left(3,\,1,\,3\right)}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ la 2ème lentille $\;{\big$dans le sens de propagation de la lumière${\big )}\;$ est de distance focale image «$\;f_{i,\,2}=3\;a_{;}$».

### Détermination des caractéristiques de l'oculaire de Plössl
#### Nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image

Vérifier, sur un schéma à l'échelle, que l'oculaire de Plössl est focal ;
déterminer algébriquement en fonction de $\;a\;$ et retrouver le résultat par construction sur un schéma à l'échelle en choisissant $\;a=2\;cm$ :
* le foyer principal image $\;F_{i}\;$ de l'oculaire de Plössl c'est-à-dire l'image, par l'oculaire, du point à l'infini de l'axe optique principal,
* le foyer principal objet $\;F_{o}\;$ de l'oculaire de Plössl c'est-à-dire l'antécédent, par l'oculaire, du point à l'infini de l'axe optique principal ;
préciser le caractère positif ou négatif de l'oculaire de Plössl sachant qu'un oculaire est dit positif si $\;F_{o}\;$ est réel, négatif si $\;F_{o}\;$ est virtuel.
Un doublet de lentilles minces est « afocal » si le point à l'infini de l'axe optique principal est un point double c'est-à-dire si l'image intermédiaire recherchée $\;{\big$notée $\;?{\big )}\;$ obéit à $\;A_{o,\,\infty }\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{1}}{\longrightarrow }}\;?\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{2}}{\longrightarrow }}\;A_{i,\,\infty }\;$ avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A_{o,\,\infty }\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{1}}{\longrightarrow }}\;F_{i,\,1}=?\\?=F_{o,\,2}\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{2}}{\longrightarrow }}\;A_{i,\,\infty }\end{array}}\right\rbrace \;$ ou encore si $\;F_{i,\,1}=F_{o,\,2}$, il suffit de vérifier, pour prouver que l'oculaire de Plössl est « focal », que le foyer principal image de la 1ère lentille n'est pas confondu avec le foyer principal objet de la 2ème lentille c'est-à-dire «$\;F_{i,\,1}\neq F_{o,\,2}\;$» voir schéma ci-contre.
Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : la définition du foyer principal image peut être écrite selon $\;A_{o,\,\infty }\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{1}}{\longrightarrow }}\;F_{i,\,1}\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{2}}{\longrightarrow }}\;F_{i}\;$ c'est-à-dire que le foyer principal image de l'oculaire de Plössl $\;F_{i}\;$ est l'image par $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ du foyer principal image $\;F_{i,\,1}\;$ de $\;{\mathcal {L}}_{1}\;$ ou «$\;F_{i,\,1}\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{2}}{\longrightarrow }}\;F_{i}\;$» ; Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : pour déterminer la position de $\;F_{i}\;$ il suffit d'utiliser la relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ de position $\;{\big$ou 1ère relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}{\big ]}\;$ de Newton$^,$ de la lentille $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ pour le couple $\;\left(F_{i,\,1}\,,\,F_{i}\right)\;$ soit «$\;\sigma _{i,\,2}\;\sigma _{o,\,2}=f_{i,\,2}\;f_{o,\,2}=-f_{i,\,2}^{\,2}\;$» avec $\;\sigma _{o,\,2}={\overline {F_{o,\,2}F_{i,\,1}}}={\overline {O_{1}F_{i,\,1}}}-{\overline {O_{1}F_{o,\,2}}}={\overline {O_{1}F_{i,\,1}}}-{\overline {O_{1}O_{2}}}-{\overline {O_{2}F_{o,\,2}}}=$ $f_{i,\,1}-e+f_{i,\,2}=3\;a-a+3\;a\;$ soit «$\;\sigma _{o,\,2}=5\;a\;$» d'où $\;\sigma _{i,\,2}={\overline {F_{i,\,2}F_{i}}}=-{\dfrac {f_{i,\,2}^{2}}{\sigma _{o,\,2}}}\;$ donnant numériquement «$\;\sigma _{i,\,2}=-{\dfrac {(3\;a)^{2}}{5\;a}}\;$» soit «$\;{\overline {F_{i,\,2}F_{i}}}=-{\dfrac {9}{5}}\;a\;$» ou, Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : en repérage de Descartes relativement à la 2ème lentille $\;{\overline {O_{2}F_{i}}}={\overline {O_{2}F_{i,\,2}}}+{\overline {F_{i,\,2}F_{i}}}=f_{i,\,2}+{\overline {F_{i,\,2}F_{i}}}=3\;a-{\dfrac {9}{5}}\;a\;$ soit «$\;{\overline {O_{2}F_{i}}}={\dfrac {6}{5}}\;a\;$» ;
Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement la position du foyer principal image de l'oculaire de Plössl Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement en utilisant un rayon incident $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal,  Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement se réfractant à partir de $\;{\mathcal {L}}_{1}\;$ en un rayon intermédiaire passant par le foyer principal image $\;F_{i,\,1}\;$ de $\;{\mathcal {L}}_{1}$, Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement rayon intermédiaire $\;\parallel \;$ à l'axe optique secondaire $\;(\delta )\;$ de la lentille $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement se réfractant, à partir de $\;{\mathcal {L}}_{2}$, en passant par le foyer secondaire image $\;\varphi _{i,\,2}(\delta )\;$ de l'axe optique secondaire $\;(\delta )\;$, Détermination du foyer principal image de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement l'intersection de ce rayon émergent et de l'axe optique principal définissant le foyer principal image $\;F_{i}\;$ de l'oculaire de Plössl $\;{\big$voir schéma ci-dessus où on peut vérifier que la position trouvée graphiquement est conforme à celle obtenue algébriquement${\big )}$.
Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : la définition du foyer principal objet peut être écrite selon $\;F_{o}\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{1}}{\longrightarrow }}\;F_{o,\,2}\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{2}}{\longrightarrow }}\;A_{i,\,\infty }\;$ c'est-à-dire que le foyer principal objet de l'oculaire de Plössl $\;F_{o}\;$ est l'antécédent par $\;{\mathcal {L}}_{1}\;$ du foyer principal objet $\;F_{o,\,2}\;$ de $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ ou «$\;F_{o}\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{1}}{\longrightarrow }}\;F_{o,\,2}\;$» ; Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : pour déterminer la position de $\;F_{o}\;$ il suffit d'utiliser la relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ de position $\;{\big$ou 1ère relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}{\big ]}\;$ de Newton$^,$ de la lentille $\;{\mathcal {L}}_{1}\;$ pour le couple $\;\left(F_{o}\,,\,F_{o,\,2}\right)\;$ soit «$\;\sigma _{i,\,1}\;\sigma _{o,\,1}=f_{i,\,1}\;f_{o,\,1}=-f_{i,\,1}^{\,2}\;$» avec $\;\sigma _{i,\,1}={\overline {F_{i,\,1}F_{o,\,2}}}={\overline {O_{1}F_{o,\,2}}}-{\overline {O_{1}F_{i,\,1}}}={\overline {O_{1}O_{2}}}+{\overline {O_{2}F_{o,\,2}}}-{\overline {O_{1}F_{i,\,1}}}=$ $e-f_{i,\,2}-f_{i,\,1}=a-3\;a-3\;a\;$ soit «$\;\sigma _{i,\,1}=-5\;a\;$» d'où $\;\sigma _{o,\,1}={\overline {F_{o,\,1}F_{o}}}=-{\dfrac {f_{i,\,1}^{2}}{\sigma _{i,\,1}}}\;$ donnant numériquement «$\;\sigma _{o,\,1}=-{\dfrac {(3\;a)^{2}}{-5\;a}}\;$» soit «$\;{\overline {F_{o,\,1}F_{o}}}={\dfrac {9}{5}}\;a\;$» ou, Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : en repérage de Descartes relativement à $\;{\mathcal {L}}_{1}$, $\;{\overline {O_{1}F_{o}}}={\overline {O_{1}F_{o,\,1}}}+{\overline {F_{o,\,1}F_{o}}}=-f_{i,\,1}+{\overline {F_{o,\,1}F_{o}}}=-3\;a+{\dfrac {9}{5}}\;a\;$ soit «$\;{\overline {O_{1}F_{o}}}=-{\dfrac {6}{5}}\;a\;$» ;
Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement la position du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement en utilisant un rayon émergent $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal,  Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement dont l'antécédent en deçà de $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ est un rayon intermédiaire passant par le foyer principal objet $\;F_{o,\,2}\;$ de $\;{\mathcal {L}}_{2}$, Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement rayon intermédiaire $\;\parallel \;$ à l'axe optique secondaire $\;(\delta ')\;$ de la lentille $\;{\mathcal {L}}_{1}\;$ Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement de rayon incident, en deçà de $\;{\mathcal {L}}_{1}$, passant par le foyer secondaire objet $\;\varphi _{o,\,1}(\delta ')\;$ de l'axe optique secondaire $\;(\delta ')\;$, Détermination du foyer principal objet de l'oculaire de Plössl : on détermine graphiquement l'intersection de ce rayon incident et de l'axe optique principal définissant le foyer principal objet $\;F_{o}\;$ de l'oculaire de Plössl $\;{\big$voir partie en bleu du schéma ci-dessus où on peut vérifier que la position trouvée graphiquement est conforme à celle obtenue algébriquement${\big )}$.
Remarque : On observe aisément que l'oculaire de Plössl $\;({\mathcal {Plo}})\;$ est symétrique relativement au milieu $\;M\;$ du segment $\;[O_{1}O_{2}]$, Remarque : ceci signifie que l'on peut retourner l'oculaire relativement à $\;M\;$ ou Remarque : ceci signifie que l'on peut inverser le sens de propagation de la lumière sans retourner l'oculaire Remarque : ceci signifie que l'on peut inverser avec absence de modification optique observable et par conséquent Remarque : ceci signifie que l'on peut déduire la position du foyer principal objet de l'oculaire à partir de celle du foyer principal image ; Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, le foyer principal image de l'oculaire $\;({\mathcal {Plo}})_{\rightarrow }\;$ devient le foyer principal objet de l'oculaire $\;({\mathcal {Plo}})_{\leftarrow }\;$ c'est-à-dire «$\;F_{o}({\mathcal {Plo}})_{\leftarrow }=F_{i}({\mathcal {Plo}})_{\rightarrow }\;$», Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, la face de sortie de l'oculaire $\;({\mathcal {Plo}})_{\rightarrow }\;$ devenant la face d'entrée de l'oculaire $\;({\mathcal {Plo}})_{\leftarrow }\;$ c'est-à-dire «$\;O_{1}({\mathcal {Plo}})_{\leftarrow }=O_{2}({\mathcal {Plo}})_{\rightarrow }\;$», Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, dont on déduit aisément «$\;{\overline {O_{1}F_{o}}}({\mathcal {Plo}})_{\leftarrow }={\overline {O_{2}F_{i}}}({\mathcal {Plo}})_{\rightarrow }\;$» ; Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, avec la connaissance de la position du foyer principal image de l'oculaire $\;({\mathcal {Plo}})_{\rightarrow }\;$ «$\;{\overline {O_{2}F_{i}}}({\mathcal {Plo}})_{\rightarrow }={\dfrac {6}{5}}\;a\;$», Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, on en déduit celle du foyer principal objet de l'oculaire $\;({\mathcal {Plo}})_{\leftarrow }\;$ «$\;{\overline {O_{1}F_{o}}}({\mathcal {Plo}})_{\leftarrow }={\overline {O_{2}F_{i}}}({\mathcal {Plo}})_{\rightarrow }={\dfrac {6}{5}}\;a\;$» et Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, en inversant le sens d'algébrisation $\Rightarrow$ «$\;{\overline {O_{1}F_{o}}}({\mathcal {Plo}})_{\rightarrow }=-{\overline {O_{1}F_{o}}}({\mathcal {Plo}})_{\leftarrow }\;$», Remarque : or si on inverse le sens de propagation de la lumière, on en déduit la position du foyer principal objet de l'oculaire $\;({\mathcal {Plo}})_{\rightarrow }\;$ «$\;{\overline {O_{1}F_{o}}}({\mathcal {Plo}})_{\rightarrow }=-{\dfrac {6}{5}}\;a\;$».
Caractère positif ou négatif de l'oculaire de Plössl : le foyer principal objet $\;F_{o}\;$ de l'oculaire de Plössl étant situé avant la face d'entrée de ce dernier car «$\;{\overline {O_{1}F_{o}}}=-{\dfrac {6}{5}}\;a<0\;$» Caractère positif ou négatif de l'oculaire de Plössl : le foyer principal objet $\;\color {transparent}{F_{o}}\;$ de l'oculaire de Plössl est réel et par suite l'oculaire est dit positif.

#### Caractère convergent de l'oculaire déterminé par construction

En considérant un rayon incident $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal et en traçant le cheminement de ce rayon à travers l'oculaire de Plössl, vérifier que ce dernier est convergent sachant que $\;\succ \;$un système optique est convergent si un rayon incident $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal $\;\Delta \;$ et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système au-dessus de $\;\Delta \;$ en s'en rapprochant ou $\;\color {transparent}{\succ }\;$un système optique est convergent si un rayon incident $\;\color {transparent}{\parallel }\;$ à l'axe optique principal $\;\color {transparent}{\Delta }\;$ et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système au-dessous de $\;\Delta \;$ en s'en éloignant, $\;\succ \;$un système optique est divergent si un rayon incident $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal $\;\Delta \;$ et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système au-dessus de $\;\Delta \;$ en s'en éloignant ou $\;\color {transparent}{\succ }\;$un système optique est divergent si un rayon incident $\;\color {transparent}{\parallel }\;$ à l'axe optique principal $\;\color {transparent}{\Delta }\;$ et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système au-dessous de $\;\Delta \;$ en s'en rapprochant, $\;\succ \;$un système optique est afocal si un rayon incident $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal $\;\Delta$, émerge de la face de sortie du système $\;\parallel \;$ à $\;\Delta$, après $\;{\big$ou sans${\big )}\;$ avoir coupé ce dernier.
On constate, sur le schéma ci-contre, le caractère convergent de l'oculaire de Plössl en effet
On constate, sur le schéma ci-contre, un rayon incident $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal $\;\Delta \;$ et situé au-dessus, On constate, sur le schéma ci-contre, un rayon incident $\;\color {transparent}{\parallel }\;$ émerge de la lentille $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ au-dessus de $\;\Delta \;$ On constate, sur le schéma ci-contre, un rayon incident $\;\color {transparent}{\parallel }\;$ en se rapprochant de ce dernier et On constate, sur le schéma ci-contre, un rayon incident $\;\color {transparent}{\parallel }\;$ en se dirigeant vers le foyer principal image $\;F_{i}$.
Remarque : dans le schéma rappelé ci-contre, le foyer principal image $\;F_{i}\;$ est réel mais attention : Remarque : $\succ \;$d'une part le caractère réel du foyer principal image n'est pas nécessaire pour conclure au caractère convergent du doublet, raison pour laquelle le caractère réel de $\;F_{i}\;$ n'est pas évoqué, Remarque : $\succ \;$d'autre part le caractère réel du foyer principal image n'est pas suffisant pour conclure au caractère convergent du doublet, raison pour laquelle le caractère réel de $\;F_{i}\;$ ne doit pas être évoqué.

#### Détermination de la distance focale (image) de l'oculaire

Les foyers principaux objet et image de l'oculaire de Plössl ayant été déterminés dans la solution de la question « nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image » plus haut dans cet exercice, il devient possible d'utiliser le repérage de Newton pour positionner les points objet et image de l'axe optique principal selon :
* l'abscisse objet de Newton du point objet $\;A_{o}\;$ de l'axe optique principal «$\;\sigma _{o}={\overline {F_{o}A_{o}}}\;$» et
* l'abscisse image de Newton du point image $\;A_{i}\;$ de l'axe optique principal «$\;\sigma _{i}={\overline {F_{i}A_{i}}}\;$» ;
en admettant que la 1ère relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ ${\big$ou relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ de position${\big ]}\;$ de Newton$^,$ est encore applicable à un doublet focal de lentilles minces et que ceci permet de définir la valeur absolue de la distance focale image $\;\vert f_{i}\vert \;$ de ce dernier $\;{\big$la distance focale objet $\;f_{o}\;$ étant toujours opposée à la distance focale image $\;f_{i}{\big )}$, déterminer :
* $\;\vert f_{i}\vert \;$ en appliquant la relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ de position de Newton à l'oculaire de Plössl$^,$ pour un couple de points conjugués judicieusement choisis, puis
* $\;f_{i}\;$ sachant qu'un système convergent a une distance focale image positive $\;{\big$la distance focale image d'un système divergent étant négative${\big )}$.
$\;\vert f_{i}\vert \;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
${\big$
$\;{\big$
${\big )}\;$
${\big ]}\;$
$\;\sigma _{i}\;\sigma _{o}=-f_{i}^{2}\;$
$\;\sigma _{o}={\overline {F_{o}A_{o}}}\;$
$\;\sigma _{i}={\overline {F_{i}A_{i}}}\;$
$\;F_{o,\,1}\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{1}}{\longrightarrow }}\;A_{i,\,1,\,\infty }=A_{o,\,2,\,\infty }\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{2}}{\longrightarrow }}\;F_{i,\,2}\;$
$\;(F_{o,\,1}\,,\,F_{i,\,2})\;$
$\;\sigma _{o}(F_{o,\,1})={\overline {F_{o}F_{o,\,1}}}=-{\overline {F_{o,\,1}F_{o}}}=-{\dfrac {9}{5}}\;a\;$
$\;\sigma _{i}(F_{i,\,2})={\overline {F_{i}F_{i,\,2}}}=-{\overline {F_{i,\,2}F_{i}}}={\dfrac {9}{5}}\;a\;$
$\;\sigma _{o}(F_{o,\,1})\;\sigma _{i}(F_{i,\,2})=-f_{i}^{2}\;$
$\;\left[-{\dfrac {9}{5}}\;a\right]\left[{\dfrac {9}{5}}\;a\right]=-f_{i}^{2}\;$
$\;\vert f_{i}\vert ={\dfrac {9}{5}}\;a\;$
$\;f_{i}\;$
$\;>0\;$
$\;f_{i}={\dfrac {9}{5}}\;a\;$

#### Détermination des points principaux objet H$_o$ et image H$_i$ de l'oculaire

Les points principaux objet et image d'un système optique sont les points conjugués de l'axe optique principal tels que le système optique donne, d'un objet linéique transverse de pied positionné au point principal objet $\;H_{o}$, un grandissement transverse valant «$\;G_{t}(H_{o})=+1\;$» ;
en admettant que les deux formes de la 2ème relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ ${\big$ou relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ de grandissement transverse${\big ]}\;$ de Newton$^,$ sont encore applicables à un doublet focal de lentilles minces, déterminer :
* l'abscisse objet de Newton du point principal objet «$\;\sigma _{o}(H_{o})={\overline {F_{o}H_{o}}}\;$», positionner alors $\;H_{o}\;$ sur l'axe optique principal et
* l'abscisse image de Newton du point principal image «$\;\sigma _{i}(H_{i})={\overline {F_{i}H_{i}}}\;$», positionner de même $\;H_{i}\;$ sur l'axe optique principal.
$\;(H_{o}\,,\,H_{i})\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
${\big$
$\;{\big$
${\big )}\;$
${\big ]}\;$
$\;G_{t}(H_{o})=-{\dfrac {f_{o}}{\sigma _{o}(H_{o})}}\;$
$\;\sigma _{o}(H_{o})$
$={\overline {F_{o}H_{o}}}\;$
$\;G_{t}(H_{o})=+1\;$
$\;{\overline {F_{o}H_{o}}}=-f_{o}=f_{i}={\dfrac {9}{5}}\;a\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
${\big$
$\;{\big$
${\big )}\;$
${\big ]}\;$
$\;(H_{o}\,,\,H_{i})\;$
$\;G_{t}(H_{o})=-{\dfrac {\sigma _{i}(H_{o})}{f_{i}}}\;$
$\;\sigma _{i}(H_{o})={\overline {F_{i}H_{i}}}\;$
$\;G_{t}(H_{o})=+1\;$
$\;{\overline {F_{i}H_{i}}}=-f_{i}=-{\dfrac {9}{5}}\;a\;$
voir le positionnement des points principaux de l'axe optique principal sur la figure ci-dessus $\;{\big \H_{i}\;$ symétrique de $\;H_{o}\;$ par rapport au milieu du segment $\;\left[O_{1}O_{2}\right]$, oculaire symétrique par rapport à ce dernier${\big \}$ et voir la détermination graphique simultanée des foyers principaux et des points principaux$^,$ sur la figure ci-dessous.
On reprend tout d'abord la construction du foyer principal image $\;F_{i}\;$ en noir et On reprend tout d'abord la constr. celle du foyer principal objet $\;F_{o}\;$ en bleu ;
on détermine ensuite le point principal image $\;H_{i}\;$ suivi on détermine ensuite du point principal objet $\;H_{o}\;$ de la façon suivante :
* on considère un objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ $\;{\big$non représenté sur le schéma ci-contre${\big )}\;$ de pied $\;A_{o}\;$ sur l'axe optique principal $\;\Delta \;$ et dont l'autre extrémité est sur le rayon incident $\;\parallel \;$ à $\;\Delta \;$ précédemment utilisé, dans l'hypothèse où $\;A_{o}\;$ serait en $\;H_{o}\;$, l'image $\;A_{i}B_{i}\;$ étant de même taille et de même sens que l'objet $\;A_{o}B_{o}\;$ et l'extrémité $\;B_{i}\;$ devant être sur le rayon émergent de l'oculaire de Plössl passant par le foyer principal image $\;F_{i}\;$, $\;B_{i}\;$ se trouve à l'intersection de ce rayon émergent et du rayon incident conjugué, $\;A_{i}\;$ projeté orthogonal de $\;B_{i}\;$ sur $\;\Delta$ définissant alors la position du point principal image $\;H_{i}$ $\;{\big$voir schéma ci-dessus${\big )}$ ;
* on considère une image linéique transverse $\;H_{i}I_{i}\;$ dont l'autre extrémité $\;I_{i}\;$ est sur un rayon émergent $\;\parallel \;$ à $\;\Delta \;$, l'antécédent $\;H_{o}I_{o}\;$ étant de même taille et de même sens que l'image $\;H_{i}I_{i}\;$ et l'extrémité $\;I_{o}\;$ devant être sur le rayon incident correspondant passant par le foyer principal objet $\;F_{o}\;$, $\;I_{o}\;$ se trouve à l'intersection de ce rayon incident et du rayon émergent conjugué, le point principal objet $\;H_{o}\;$ s'obtenant par projection orthogonale de $\;I_{o}\;$ sur $\;\Delta$ $\;{\big$voir schéma ci-dessus${\big )}$.

#### Définition du repérage de Descartes des points objet et image de l'oculaire

Vérifier, d'après les réponses de la question « détermination des points principaux objet H$_o$ et image H$_i$ de l'oculaire » plus haut dans cet exercice, Vérifier, que les distances focales objet et image de l'oculaire de Plössl peuvent être définies selon «$\;f_{o}={\overline {H_{o}F_{o}}}\;$» et «$\;f_{i}={\overline {H_{i}F_{i}}}\;$».
On définit alors le repérage de Descartes pour les points objet et image de l'axe optique principal de l'oculaire de Plössl selon :
* l'abscisse objet de Descartes du point objet $\;A_{o}\;$ de l'axe optique principal «$\;p_{o}={\overline {H_{o}A_{o}}}\;$» et
* l'abscisse image de Descartes du point image $\;A_{i}\;$ de l'axe optique principal «$\;p_{i}={\overline {H_{i}A_{i}}}\;$» ;
établir les relations de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ de position et de grandissement transverse de Descartes à partir de celles $\;{\big$admises${\big )}\;$ de Newton en effectuant un changement d'origines et vérifier que ces relations de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ de position et de grandissement transverse de Descartes sont identiques à celles d'une lentille mince$^,$.
On vérifie, d'après l'abscisse objet de Newton du point principal objet $\;H_{o}\;$ de l'oculaire de Plössl «$\;{\overline {F_{o}H_{o}}}=-f_{o}\;$» et On vérifie, d'après l'abscisse image de Newton du point principal image $\;H_{o}\;$ du même oculaire «$\;{\overline {F_{i}H_{i}}}=-f_{i}\;$», que
* la distance focale objet $\;f_{o}\;$ de l'oculaire de Plössl peut être définie par «$\;f_{o}={\overline {H_{o}F_{o}}}\;$» et
* la distance focale image $\;f_{i}\;$ du même oculaire de Plössl peut être définie par «$\;f_{i}={\overline {H_{i}F_{i}}}\;$».
Définissant le repérage de Descartes en prenant pour origines
* le point principal objet $\;H_{o}\;$ pour l'abscisse d'un point objet $\;A_{o}\;$ de l'axe optique principal définie par «$\;p_{o}={\overline {H_{o}A_{o}}}\;$» et
* le point principal image $\;H_{i}\;$ pour l'abscisse d'un point image $\;A_{i}\;$ de l'axe optique principal définie par «$\;p_{i}={\overline {H_{i}A_{i}}}\;$»,
on déduit de ce qui précède que la distance focale objet de l'oculaire de Plössl est l'abscisse objet de Descartes du foyer principal objet $\;F_{o}\;$ de l'oculaire et on déduit de ce qui précède que la distance focale image de l'oculaire de Plössl est l'abscisse image de Descartes du foyer principal objet $\;F_{i}\;$ de l'oculaire ;
Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes de l'oculaire de Plössl à partir de celle de Newton : Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes pour cela il suffit de reporter les changements d'origines $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\overline {F_{o}A_{o}}}={\overline {H_{o}A_{o}}}-{\overline {H_{o}F_{o}}}\\{\overline {F_{i}A_{i}}}={\overline {H_{i}A_{i}}}-{\overline {H_{i}F_{i}}}\end{array}}\right\rbrace \;$ ou «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\sigma _{o}=p_{o}-f_{o}\\\sigma _{i}=p_{i}-f_{i}\end{array}}\right\rbrace \;$» Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes pour cela il suffit de reporter dans la 1ère relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ de Newton «$\;\sigma _{i}\;\sigma _{o}=f_{i}\;f_{o}\;$», ce qui donne Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes pour cela il suffit de reporter dans la 1ère relation de conjugaison $\;\color {transparent}{\big$approchée$\color {transparent}{\big )}\;$ de Newton «$\;(p_{i}-f_{i})\;(p_{o}-f_{o})=f_{i}\;f_{o}\;$» soit, Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes en développant $\;p_{i}\;p_{o}-f_{i}\;p_{o}-p_{i}\;f_{o}+{\cancel {f_{i}\;f_{o}}}={\cancel {f_{i}\;f_{o}}}\;$ ou, en divisant les deux membres par $\;p_{i}\;p_{o}\;f_{i}=-p_{i}\;p_{o}\;f_{o}\;$$^,$, Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes en développant $\;{\dfrac {1}{f_{i}}}-{\dfrac {1}{p_{i}}}+{\dfrac {1}{p_{o}}}=0\;$ soit finalement Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes la 1ère relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ de Descartes de l'oculaire de Plössl selon «$\;{\dfrac {1}{p_{i}}}-{\dfrac {1}{p_{o}}}=V\;$»$^,$ avec Établissement de la relation de conjugaison de position de Descartes la 1ère relation de conjugaison $\;\color {transparent}{\big$approchée$\color {transparent}{\big )}\;$ de Descartes «$\;V={\dfrac {1}{f_{i}}}=-{\dfrac {1}{f_{o}}}\;$ vergence du doublet » et «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}p_{o}={\overline {H_{o}A_{o}}}\\p_{i}={\overline {H_{i}A_{i}}}\end{array}}\right\rbrace \;$».
Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes de l'oculaire de Plössl à partir de l'une de celles de Newton : Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter les changements d'origines précédemment établis «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\sigma _{o}=p_{o}-f_{o}\\\sigma _{i}=p_{i}-f_{i}\end{array}}\right\rbrace \;$» Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter dans l'une des 2$^{èmes}$ relations de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ de Newton Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter dans «$\;G_{t}(A_{o})=-{\dfrac {\sigma _{i}}{f_{i}}}\;$» $\;{\bigg$ou «$\;G_{t}(A_{o})=-{\dfrac {f_{o}}{\sigma _{o}}}\;$»${\bigg ]}$, ce qui donne Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter dans «$\;G_{t}(A_{o})=-{\dfrac {p_{i}-f_{i}}{f_{i}}}=-{\dfrac {p_{i}}{f_{i}}}+1\;$» ou encore «$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {p_{i}}{p_{o}}}\;$» Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter ${\bigg\!$en effet $\;{\dfrac {1}{p_{i}}}-{\dfrac {1}{p_{o}}}={\dfrac {1}{f_{i}}}\;$ multipliée par $\;p_{i}\;$ $\Rightarrow$ $\;1-{\dfrac {p_{i}}{p_{o}}}={\dfrac {p_{i}}{f_{i}}}\;$ ou $\;1-{\dfrac {p_{i}}{f_{i}}}={\dfrac {p_{i}}{p_{o}}}\!{\bigg )}$, Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter dans $\;{\bigg$ou «$\;G_{t}(A_{o})=-{\dfrac {f_{o}}{p_{o}-f_{o}}}\;$» dont on déduit «$\;{\dfrac {1}{G_{t}(A_{o})}}=-{\dfrac {p_{o}-f_{o}}{f_{o}}}=-{\dfrac {p_{o}}{f_{o}}}+1\;$» Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter dans $\;\color {transparent}{\bigg$ou encore «$\;{\dfrac {1}{G_{t}(A_{o})}}={\dfrac {p_{o}}{p_{i}}}\;$» Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter ${\bigg\!$en effet $\;{\dfrac {1}{p_{i}}}-{\dfrac {1}{p_{o}}}={\dfrac {1}{f_{i}}}\;$ multipliée par $\;p_{o}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {p_{o}}{p_{i}}}-1=-{\dfrac {p_{o}}{f_{o}}}\;$ ou $\;1-{\dfrac {p_{o}}{f_{o}}}={\dfrac {p_{o}}{p_{i}}}\!{\bigg )}$, Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour cela il suffit de reporter dans $\;\color {transparent}{\bigg$soit en inversant «$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {p_{i}}{p_{o}}}\;$»${\bigg ]}$ ; finalement Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes la 2ème relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ de Descartes de l'oculaire de Plössl selon «$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {p_{i}}{p_{o}}}\;$»$^,$ Établissement de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes la 2ème relation de conjugaison $\;\color {transparent}{\big$approchée$\color {transparent}{\big )}\;$ de Descartes de l'oculaire de Plössl avec «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}p_{o}={\overline {H_{o}A_{o}}}\\p_{i}={\overline {H_{i}A_{i}}}\end{array}}\right\rbrace \;$».

#### Construction de l'image, par l'oculaire de Plössl, d'un objet linéique transverse en utilisant les plans principaux et justification du caractère convergent (ou divergent) d'un doublet de lentilles

Montrer qu'un rayon incident $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal $\;\Delta \;$ et rencontrant $\;{\big$réellement ou fictivement${\big )}\;$ le plan principal objet en $\;I_{o}$, Montrer qu'un rayon incident émerge du plan principal image $\;{\big$réellement ou fictivement${\big )}\;$ en $\;I_{i}\;$ situé à la même distance de $\;\Delta \;$ que $\;I_{o}$, Montrer qu'le rayon émergeant en direction du foyer principal image $\;F_{i}$ ;
en déduire une méthode de construction de l'image $\;A_{i}B_{i}$, par l'oculaire de Plössl, d'un objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ de pied $\;A_{o}\;$ en utilisant les plans principaux objet et image de l'oculaire.
En utilisant la méthode de construction qui vient d'être évoquée, justifier la propriété rappelée ci-dessous pour déterminer le caractère convergent $\;{\big$ou divergent${\big )}\;$ d'un système optique :
* un système optique est convergent si un rayon incident $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal $\;\Delta \;$ en étant au-dessus de ce dernier émerge de la face de sortie du système au-dessus de $\;\Delta \;$ en s'en rapprochant ou un système optique est convergent si un rayon incident $\;\color {transparent}{\parallel }\;$ à l'axe optique principal $\;\color {transparent}{\Delta }\;$ en étant au-dessus de ce dernier émerge de la face de sortie du système au-dessous de $\;\Delta \;$ en s'en éloignant ;
* un système optique est divergent si un rayon incident $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal $\;\Delta \;$ en étant au-dessus de ce dernier émerge de la face de sortie du système au-dessus de $\;\Delta \;$ en s'en éloignant ou un système optique est divergent si un rayon incident $\;\color {transparent}{\parallel }\;$ à l'axe optique principal $\;\color {transparent}{\Delta }\;$ en étant au-dessus de ce dernier émerge de la face de sortie du système au-dessous de $\;\Delta \;$ en s'en rapprochant.
Les plans principaux et les foyers principaux ayant été positionnés sur l'oculaire de Plössl ci-contre, on y considère un rayon incident $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal $\;\Delta \;$ qui rencontre $\;{\big$fictivement${\big )}\;$ le plan principal objet en $\;I_{o}$, dessinant ainsi un objet linéique transverse fictif $\;H_{o}I_{o}\;$ dans le plan principal objet ; on y considère cet objet fictif a pour conjugué, par l'oculaire de Plössl, l'image fictive $\;H_{i}I_{i}\;$ dans le plan principal image, image de même taille que l'objet $\;H_{o}I_{o}\;$ ; on peut affirmer que le rayon incident $\;\parallel \;$ à $\;\Delta \;$ et rencontrant $\;{\big$fictivement${\big )}\;$ le plan principal objet en $\;I_{o}\;$ émerge $\;{\big$fictivement${\big )}\;$ du plan principal image en $\;I_{i}\;$ situé à la même distance de $\;\Delta \;$ que $\;I_{o}$ ; de plus on peut affirmer que le rayon incident étant $\;\parallel \;$ à $\;\Delta$, le rayon émergent doit passer $\;{\big$réellement${\big )}\;$ par le foyer principal image $\;F_{i}\;$ et par conséquent sa partie fictive à partir de $\;I_{i}\;$ devra avoir un prolongement passant par $\;F_{i}$ ; ${\Big$de même un rayon incident passant $\;{\big$réellement${\big )}\;$ par le foyer principal objet $\;F_{o}\;$ et rencontrant $\;{\big$fictivement${\big )}\;$ le plan principal objet en $\;J_{o}\;$, émerge $\;{\big$fictivement${\big )}\;$ du plan principal image en $\;J_{i}\;$ situé à la même distance de $\;\Delta \;$ que $\;J_{o}\;$ en étant $\;\parallel \;$ à $\;\Delta$, le rayon émergeant réellement au-delà de la face de sortie parallèlement à l'axe optique principal $\;{\big \$tracé non représenté mais facilement imaginable, l'oculaire de Plössl étant symétrique par rapport au milieu du segment $\;\left[O_{1}O_{2}\right]\;$$^,$, le tracé peut être obtenu en pratiquant le retour inverse de la lumière sur le symétrique $\;{\big$par rapport au milieu du segment $\;\left[O_{1}O_{2}\right]{\big )}\;$ du « tracé du rayon incident $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal $\;\Delta \;$ émergeant en passant par le $\;F_{i}\;$»${\big \}$.
Méthode de construction de l'image$\;A_{i}B_{i}\;$d'un objet linéique transverse$\;A_{o}B_{o}\;$de pied$\;A_{o}\;$en utilisant les plans principaux objet et image de l'oculaire : $\;{\big$voir schéma ci-dessus en vert${\big )}$ ; Méthode de construction de l'image$\;\color {transparent}{A_{i}B_{i}}\;$on considère deux rayons incidents issus de $\;B_{o}$, Méthode de construction de l'image$\;\color {transparent}{A_{i}B_{i}}\;$on considère $\succ \;$l'un $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal rencontrant le plan principal objet en $\;I_{o}\;$ puis Méthode de construction de l'image$\;\color {transparent}{A_{i}B_{i}}\;$on considère $\color {transparent}{\succ }\;$l'un émergeant du plan principal image à partir de $\;I_{i}\;$ tel que $\;{\overline {H_{i}I_{i}}}={\overline {H_{o}I_{o}}}\;$ en passant par le foyer principal image $\;F_{i}$, Méthode de construction de l'image$\;\color {transparent}{A_{i}B_{i}}\;$on considère $\succ \;$l'autre passant par le foyer principal objet $\;F_{o}\;$ rencontrant le plan principal objet en $\;J_{o}\;$ puis Méthode de construction de l'image$\;\color {transparent}{A_{i}B_{i}}\;$on considère $\color {transparent}{\succ }\;$l'autre émergeant du plan principal image à partir de $\;J_{i}\;$ tel que $\;{\overline {H_{i}J_{i}}}={\overline {H_{o}J_{o}}}\;$ parallèlement à l'axe optique principal ; Méthode de construction de l'image$\;\color {transparent}{A_{i}B_{i}}\;$on considère l'image $\;B_{i}\;$ étant alors à l'intersection des deux rayons émergents définis ci-dessus, Méthode de construction de l'image$\;\color {transparent}{A_{i}B_{i}}\;$on considère le pied $\;A_{i}\;$ de l'image $\;A_{i}B_{i}\;$ étant le projeté orthogonal de $\;B_{i}\;$ sur l'axe optique principal.
Justification de la propriété pour déterminer le caractère convergent$\;{\big$ou divergent${\big )}\;$d'un système optique :
Justification du caractère convergent : un système optique est « convergent » si sa distance focale image est positive c'est-à-dire si «$\;f_{i}={\overline {H_{i}F_{i}}}\;$ est $\;>0\;$» ou Justification du caractère convergent : un système optique est « convergent » si sa distance focale objet est négative c'est-à-dire si «$\;f_{o}={\overline {H_{o}F_{o}}}\;$ est $\;<0\;$», Justification du caractère convergent : un système optique est « convergent » le plan principal image doit être en deçà du plan focal image et simultanément Justification du caractère convergent : un système optique est « convergent » le plan principal objet au-delà du plan focal objet Justification du caractère convergent : un système optique est « convergent » d'où les quatre dispositions $\;{\big$non exhaustives${\big )}\;$ ci-contre : Justification du caractère convergent : $\succ \;$pour les deux figures de gauche $\;H_{o}\;$ en deçà de $\;H_{i}\;$ avec une face de sortie en deçà ou au-delà de $\;F_{i}\;$ ${\big$dans le 1er cas le foyer principal image est réel, le rayon émerge au-dessus de l'axe optique principal $\;\Delta \;$ en s'en rapprochant et dans le 2ème il est virtuel, le rayon émerge au-dessous de $\;\Delta \;$ en s'en éloignant${\big )}$, Justification du caractère convergent : $\succ \;$pour les deux figures de droite $\;H_{o}\;$ au-delà de $\;H_{i}\;$ avec une face de sortie en deçà ou au-delà de $\;F_{i}\;$ ${\big$dans le 1er cas le foyer principal image est réel, le rayon émerge au-dessus de l'axe optique principal $\;\Delta \;$ en s'en rapprochant et dans le 2ème il est virtuel, le rayon émerge au-dessous de $\;\Delta \;$ en s'en éloignant${\big )}$ ;
Justification du caractère divergent : un système optique est « divergent » si sa distance focale image est négative c'est-à-dire si «$\;f_{i}={\overline {H_{i}F_{i}}}\;$ est $\;<0\;$» ou Justification du caractère divergent : un système optique est « divergent » si sa distance focale objet est positive c'est-à-dire si «$\;f_{o}={\overline {H_{o}F_{o}}}\;$ est $\;>0\;$»), Justification du caractère divergent : un système optique est « divergent » le plan principal image doit être au-delà du plan focal image et simultanément Justification du caractère divergent : un système optique est « divergent » le plan principal objet en deçà du plan focal objet Justification du caractère divergent : un système optique est « divergent » d'où les quatre dispositions $\;{\big$non exhaustives${\big )}\;$ ci-contre : Justification du caractère convergent : $\succ \;$pour les deux figures de gauche $\;F_{o}\;$ en deçà de $\;F_{i}\;$ avec une face de sortie au-delà ou en deçà de $\;F_{i}\;$ ${\big$dans le 1er cas le foyer principal image est virtuel, le rayon émerge au-dessus de l'axe optique principal $\;\Delta \;$ en s'en éloignant et dans le 2ème il est réel, le rayon émerge au-dessous de $\;\Delta \;$ en s'en rapprochant${\big )}$, Justification du caractère convergent : $\succ \;$pour les deux figures de droite $\;F_{o}\;$ au-delà de $\;F_{i}\;$ avec une face de sortie au-delà ou en deçà de $\;F_{i}\;$ ${\big$dans le 1er cas le foyer principal image est virtuel, le rayon émerge au-dessus de l'axe optique principal $\;\Delta \;$ en s'en éloignant et dans le 2ème il est réel, le rayon émerge au-dessous de $\;\Delta \;$ en s'en rapprochant${\big )}$.

#### Axes optiques secondaires de l'oculaire et foyers secondaires objet ou image associés à un axe optique secondaire

Tout rayon incident, incliné par rapport à l'axe optique principal et passant $\;{\big$directement ou par son prolongement${\big )}\;$ par le point principal objet de l'oculaire de Plössl ainsi que son émergent issu $\;{\big$directement ou par son prolongement${\big )}\;$ du point principal image son émergent constituent un axe optique secondaire ;
montrer que les « deux demi-droites issues des points principaux d'un axe optique secondaire de l'oculaire de Plössl sont $\;\parallel \;$».
En vous basant sur la définition des foyers secondaires associés à un axe optique secondaire d'une lentille mince, introduire cette notion pour un doublet de lentilles et en particulier En vous basant sur la définition des foyers secondaires associés à un axe optique secondaire d'une lentille mince, introduire cette notion pour l'oculaire de Plössl puis
En vous basant sur la définition des foyers secondaires associés à un axe optique secondaire d'une lentille mince, en déduire une méthode de construction du point image, par l'oculaire de Plössl, d'un point objet de l'axe optique principal, méthode utilisant exclusivement la notion de foyers secondaires objet ou image.
Considérons un rayon incident, incliné par rapport à l'axe optique principal $\;\Delta \;$ ${\big$plus précisément en faisant l'angle algébrisé $\;e\;$ avec $\;\Delta {\big )}\;$ et dont le prolongement passe par le point principal objet $\;H_{o}\;$ de l'oculaire de Plössl et soit Considérons $\;B_{o}\;$ un point objet de ce rayon, puis ; construisons l'image $\;B_{i}\;$ par l'oculaire de Plössl en utilisant deux rayons incidents issus de $\;B_{o}$,
* un rayon $\;\parallel \;$ à $\;\Delta \;$ qui rencontre le plan principal objet en un point à la distance $\;d\;$ de $\;\Delta \;$ et émerge, du plan principal image d'un point à une même distance $\;d\;$ de $\;\Delta \;$ en direction du foyer principal image $\;F_{i}\;$ ${\big$en vert sur le schéma${\big )}$,
* un rayon passant par le foyer principal objet $\;F_{o}\;$ qui rencontre le plan principal objet en un point à la distance $\;d'\;$ de $\;\Delta \;$ et émerge, du plan principal image d'un point à une même distance $\;d'\;$ de $\;\Delta \;$ parallèlement à $\;\Delta \;$ ${\big$en gris sur le schéma${\big )}$ ;
construisons l'image $\;B_{i}\;$ par l'oculaire de Plössl est à l'intersection des deux rayons émergents correspondant aux deux rayons incidents issus de $\;B_{o}$ ; construisons l'image $\;\color {transparent}{B_{i}}\;$ par l'oculaire de Plössl est à l'intersection des deux le rayon émergent associé au rayon incident $\;(B_{o}H_{o})\;$ est alors $\;(H_{i}B_{i})$, construisons l'image $\;\color {transparent}{B_{i}}\;$ par l'oculaire de Plössl est à l'intersection des deux le rayon émergent il sort de l'oculaire de Plössl en étant incliné relativement à l'axe optique principal construisons l'image $\;\color {transparent}{B_{i}}\;$ par l'oculaire de Plössl est à l'intersection des deux le rayon émergent il sort de l'oculaire de Plössl en étant incliné ${\big$plus précisément en faisant l'angle algébrisé $\;s\;$ avec $\;\Delta {\big )}\;$ et construisons l'image $\;\color {transparent}{B_{i}}\;$ par l'oculaire de Plössl est à l'intersection des deux le rayon émergent il sort de l'oculaire de Plössl en étant incliné nous allons établir que $\;s=e$ ; ......les angles obéissant aux conditions de Gauss$^,$$^,$ sont petits $\;{\big$leur valeur absolue en $\;rad$, à savoir $\;\vert e\vert \;$ et $\;\vert s\vert$, sont $\;\ll 1{\big )}\;$ et on déduit
* de «$\;\tan(e)={\dfrac {\overline {A_{o}B_{o}}}{\overline {H_{o}A_{o}}}}\;$» $\;{\big$en effet $\;{\overline {A_{o}B_{o}}}\;$ est $\;>0$, $\;{\overline {H_{o}A_{o}}}<0\;$ et $\;e<0{\big ]}\;$ ou, avec $\;\vert e\vert \ll 1\;$ $\Rightarrow$ $\;\tan(e)\simeq e\;$, «$\;e={\dfrac {\overline {A_{o}B_{o}}}{p_{o}}}\;$»,
* de «$\;\tan(s)={\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{\overline {H_{i}A_{i}}}}\;$» $\;{\big$en effet $\;{\overline {A_{i}B_{i}}}\;$ est $\;<0$, $\;{\overline {H_{i}A_{i}}}>0\;$ et $\;s<0{\big ]}\;$ ou, avec $\;\vert s\vert \ll 1\;$ $\Rightarrow$ $\;\tan(s)\simeq s\;$, «$\;s={\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{p_{i}}}\;$»,
on en déduit «$\;{\dfrac {s}{e}}={\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{\overline {A_{o}B_{o}}}}\;{\dfrac {p_{o}}{p_{i}}}=G_{t}(A_{o})\;{\dfrac {p_{o}}{p_{i}}}\;$» en utilisant la définition du grandissement tranverse d'un objet linéique transverse de pied $\;A_{o}\;$ et, on en déduit avec la 2ème relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ de Descartes de l'oculaire de Plössl «$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {p_{i}}{p_{o}}}\;$» on obtient «${\dfrac {s}{e}}={\dfrac {p_{i}}{p_{o}}}\;{\dfrac {p_{o}}{p_{i}}}=1\;$» d'où «$\;s=e\;$» ;
en conclusion, un axe optique de l'oculaire de Plössl est l'< u>association d'un rayon incident dont le prolongement passe par le point principal objet$\;H_{o}\;$et du rayon émergent correspondant, de prolongement issu du point principal image$\;H_{i}\;$et de direction$\;\parallel \;$au rayon incident ; en conclusion, l'axe optique est dit secondaire s'il est incliné relativement à l'axe de symétrie de l'oculaire de Plössl, axe de symétrie définissant l'axe optique principal.
Notion de foyers secondaires objet et image associé à un axe optique secondaire :
* l'intersection de la partie émergente $\;(\delta )_{i}\;$ d'un axe optique secondaire $\;(\delta )\;$ avec le plan focal image définit le foyer secondaire image $\;\varphi _{i,\,\delta }\;$ associé à l'axe optique secondaire $\;(\delta )$ ; on a la propriété suivante «$\;B_{o,\,\infty ,\,\delta }\;{\stackrel {({\mathcal {Plo}})}{\longrightarrow }}\;\varphi _{i,\,\delta }\;$» c'est-à-dire que « tout rayon incident $\;\parallel \;$ à $\;(\delta )\;$ et rencontrant le plan principal objet en $\;I_{o}\;$ émerge de $\;I_{i}\;$ ${\big$conjugué de $\;I_{o}\;$ et situé dans le plan principal image à la même distance de $\;\Delta \;$ que $\;I_{o}{\big )}\;$ en passant par le foyer secondaire image $\;\varphi _{i,\,\delta }\;$ associé à l'axe optique secondaire $\;(\delta )\;$»,
* l'intersection de la partie incidente $\;(\delta ')_{\!o}\;$ d'un axe optique secondaire $\;(\delta ')\;$ avec le plan focal objet définit le foyer secondaire objet $\;\varphi _{o,\,\delta '}\;$ associé à l'axe optique secondaire $\;(\delta ')$ ; on a la propriété suivante «$\;\varphi _{o,\,\delta '}\;{\stackrel {({\mathcal {Plo}})}{\longrightarrow }}\;B_{i,\,\infty ,\,\delta '}\;$» c'est-à-dire que « tout rayon incident passant par le foyer secondaire objet $\;\varphi _{o}\;$ et rencontrant le plan principal objet en $\;I_{o}\;$ émerge de $\;I_{i}\;$ ${\big$conjugué de $\;I_{o}\;$ et situé dans le plan principal image à la même distance de $\;\Delta \;$ que $\;I_{o}{\big )}\;$ parallèlement à l'axe optique secondaire $\;(\delta ')\;$ associé au foyer secondaire objet $\;\varphi _{o}\;$ ${\big$axe optique secondaire $\;(\delta ')\;$ comprenant la partie incidente $\;(\varphi _{o}H_{o})\;$ et la partie émergente $\;\parallel \;$ à la partie incidente issue de $\;H_{i}{\big ]}\;$».
Construction de l'image, par l'oculaire de Plössl, d'un point objet situé sur l'axe optique principal par utilisation exclusive de la notion de foyers secondaires objet ou image : voir ci-contre ;
* en noir utilisation de la notion de foyer secondaire image : soit un rayon incident issu du point objet $\;A_{o}\;$ de l'axe optique principal $\;\Delta$, ce rayon coupant le plan principal objet en $\;I_{o}\;$ émergera du plan principal image en $\;I_{i}\;$ situé à la même distance de $\;\Delta$ que $\;I_{o}$, en passant par le foyer secondaire image $\;\varphi _{i,\,\delta }\;$ associé à l'axe optique secondaire $\;(\delta )\;$ dont la partie incidente est la $\;\parallel \;$ issue de $\;H_{o}\;$ au rayon incident $\;{\big$la partie émergente étant $\;\parallel \;$ à la partie incidente issue de $\;H_{i}{\big )}$ ;
* en gris utilisation de la notion de foyer secondaire image : soit un rayon incident issu du point objet $\;A_{o}\;$ de l'axe optique principal $\;\Delta$, ce rayon coupant le plan focal objet en un foyer secondaire objet $\;\varphi _{o}\;$ et le plan principal objet en $\;J_{o}\;$ émergera du plan principal image en $\;J_{i}\;$ situé à la même distance de $\;\Delta$ que $\;J_{o}$, parallèlement à l'axe optique secondaire $\;(\delta ')\;$ associé au foyer secondaire objet $\;\varphi _{o}\;$ dont la partie incidente est $\;H_{o}\varphi _{o}\;$ ${\big$la partie émergente étant $\;\parallel \;$ à la partie incidente issue de $\;H_{i}{\big )}$ ;
Construction de l'image, par l'oculaire de Plössl, d'un point objet situé sur l'axe optique principal $\;A_{i}\;$ se détermine par l'intersection d'un des deux rayons émergents avec $\;\Delta$.

### Détermination du grossissement de l'oculaire en fonction de sa « puissance optique » pour un objet situé à l'infini

Préliminaire : la puissance optique d'un oculaire est le degré auquel l'oculaire fait converger ou diverger la lumière, Préliminaire : la puissance optique d'un oculaireelle est égale au quotient de l'angle sous lequel l'œil voit l'image en sortie de l'oculaire sur la taille de l'objet, Préliminaire : la puissance optique d'un oculaireelle est exprimée en dioptries $\;{\big\delta {\big )}$.

#### Détermination du rayon angulaire que l'oculaire de Plössl donne de l'image d'un objet situé dans le plan focal objet de ce doublet de lentilles minces

Un disque transverse centré sur l'axe optique principal de l'oculaire de Plössl est placé dans le plan focal objet de ce dernier ; Un disque transverse sachant que le rayon du disque est $\;\rho \;$ déterminer le rayon angulaire $\;\alpha '\;$ de son image à l'infini.
$\;A_{o}=F_{o}\;$
$\;B_{o}\;$
$\;A_{o}B_{o}\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{1}}{\longrightarrow }}\;F_{o,\,2}\varphi _{o,\,2}\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{2}}{\longrightarrow }}\;A_{i,\,\infty }B_{i,\,\infty }\;$
$\;\varphi _{o,\,2}\;$
$\;B_{o}O_{1}\;$
$\;{\big \$
$\;\varphi _{o,\,2}$
$\;(\delta ){\big \}$
$\;(\delta )\;$
$\;B_{i,\,\infty }\;$
$\;B_{o}\;$
$\;(\delta )$
$\;{\big$
$\;A_{i,\,\infty }\;$
$\;A_{o}\;$
$\;\Delta {\big ]}$
l'angle non algébrisé sous lequel de $\;O_{2}\;$ on voit $\;A_{i,\,\infty }B_{i,\,\infty }\;$ étant $\;\alpha '\;$ ${\big \$c'est aussi l'angle d'inclinaison, relativement à l'axe optique principal $\;\Delta$, de l'axe optique secondaire de la 2ème lentille $\;(\delta )\;$ associé au foyer secondaire objet de cette même lentille${\big \}$ avec «$\;\alpha '\ll 1\;$» $\Rightarrow$ $\;\tan(\alpha ')\simeq \alpha '\;$, $\;\tan(\alpha ')\;$ se déterminant dans le triangle rectangle $\;O_{2}F_{o,\,2}\varphi _{o,\,2}\;$ selon $\;\tan(\alpha ')={\dfrac {{\Big \vert }{\overline {F_{o,\,2}\varphi _{o,\,2}}}{\Big \vert }}{{\Big \vert }{\overline {O_{2}F_{o,\,2}}}{\Big \vert }}}\;$ soit «$\;\alpha '\simeq {\dfrac {{\Big \vert }{\overline {F_{o,\,2}\varphi _{o,\,2}}}{\Big \vert }}{{\Big \vert }{\overline {O_{2}F_{o,\,2}}}{\Big \vert }}}\;$» expression nécessitant d'évaluer le rayon de l'image intermédiaire $\;{\Big \vert }{\overline {F_{o,\,2}\varphi _{o,\,2}}}{\Big \vert }$ ;
$\;F_{o,\,2}\varphi _{o,\,2}\;$ étant vu de $\;O_{1}\;$ sous le même angle non algébrisé $\;\alpha \;$ que $\;A_{o}B_{\;}$ nous en déduisons, en travaillant dans les triangles rectangles $\;O_{1}A_{o}B_{o}\;$ et $\;O_{1}F_{o,\,2}\varphi _{o,\,2}$, $\;\tan(\alpha )={\dfrac {{\Big \vert }{\overline {A_{o}B_{o}}}{\Big \vert }}{{\Big \vert }{\overline {O_{1}F_{o}}}{\Big \vert }}}={\dfrac {{\Big \vert }{\overline {F_{o,\,2}\varphi _{o,\,2}}}{\Big \vert }}{{\Big \vert }{\overline {O_{1}F_{o,\,2}}}{\Big \vert }}}\;$ avec «$\;\alpha \ll 1\;$» $\Rightarrow$ $\;\tan(\alpha )\simeq \alpha \;$ soit «$\;\alpha \simeq {\dfrac {{\Big \vert }{\overline {A_{o}B_{o}}}{\Big \vert }}{{\Big \vert }{\overline {O_{1}F_{o}}}{\Big \vert }}}={\dfrac {{\Big \vert }{\overline {F_{o,\,2}\varphi _{o,\,2}}}{\Big \vert }}{{\Big \vert }{\overline {O_{1}F_{o,\,2}}}{\Big \vert }}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\Big \vert }{\overline {F_{o,\,2}\varphi _{o,\,2}}}{\Big \vert }={\Big \vert }{\overline {A_{o}B_{o}}}{\Big \vert }\;{\dfrac {{\Big \vert }{\overline {O_{1}F_{o,\,2}}}{\Big \vert }}{{\Big \vert }{\overline {O_{1}F_{o}}}{\Big \vert }}}\;$» ou, avec «$\;{\Big \vert }{\overline {A_{o}B_{o}}}{\Big \vert }=\rho \;$» d'une part, «$\;{\Big \vert }{\overline {O_{1}F_{o}}}{\Big \vert }={\dfrac {6}{5}}\;a\;$» d'autre part et «$\;{\Big \vert }{\overline {O_{1}F_{o,\,2}}}{\Big \vert }=$ ${\Big \vert }{\overline {O_{1}O_{2}}}+{\overline {O_{2}F_{o,\,2}}}{\Big \vert }=\vert a-3\;a\vert =2\;a\;$» d'où $\;{\Big \vert }{\overline {F_{o,\,2}\varphi _{o,\,2}}}{\Big \vert }=\rho \;{\dfrac {2\;a}{{\dfrac {6}{5}}\;a}}\;$ soit finalement «$\;{\Big \vert }{\overline {F_{o,\,2}\varphi _{o,\,2}}}{\Big \vert }={\dfrac {5}{3}}\;\rho \;$» ;
le report de «$\;{\Big \vert }{\overline {O_{2}F_{o,\,2}}}{\Big \vert }=f_{i,\,2}=3\;a\;$» et de «$\;{\Big \vert }{\overline {F_{o,\,2}\varphi _{o,\,2}}}{\Big \vert }={\dfrac {5}{3}}\;\rho \;$» dans «$\;\alpha '\simeq {\dfrac {{\Big \vert }{\overline {F_{o,\,2}\varphi _{o,\,2}}}{\Big \vert }}{{\Big \vert }{\overline {O_{2}F_{o,\,2}}}{\Big \vert }}}\;$» détermine la valeur du rayon angulaire de l'image à l'infini «$\;\alpha '={\dfrac {{\dfrac {5}{3}}\;\rho }{3\;a}}\;$» soit «$\;\alpha '={\dfrac {5}{9}}\;{\dfrac {\rho }{a}}\;$».

#### Calcul de la puissance de l'oculaire

Évaluer la puissance de l'oculaire de Plössl «$\;{\mathcal {P}}={\dfrac {\alpha '}{\rho }}\;$» en fonction de $\;a\;$ puis calculer sa valeur en dioptries si $\;a=2,0\;cm$.
$\;\alpha '={\dfrac {5}{9}}\;{\dfrac {\rho }{a}}\;$
$\;{\mathcal {P}}={\dfrac {\alpha '}{\rho }}\;$
$\;{\mathcal {P}}={\dfrac {5}{9\;a}}\;$
$\;a=2,0\;cm$
$\;{\mathcal {P}}={\dfrac {5}{9\times 2,0\;10^{-2}}}\;$
$\;m^{-1}\;$
$\;{\mathcal {P}}\simeq 27,8\;\delta \simeq 28\;\delta \;$

#### Évaluation du grossissement de l'oculaire relativement à l'observation du disque au punctum proximum de l'œil de l'observateur

L'objet observé à l'œil nu, à la distance minimale de vision distincte $\;d=25\;cm$, serait vu sous le rayon angulaire $\;\alpha _{0}$, L'objet observé à travers l'oculaire de Plössl, il est vu sous le rayon angulaire $\;\alpha '$ ; évaluer le grossissement de l'oculaire «$\;G={\dfrac {\alpha '}{\alpha _{0}}}\;$» en fonction de la puissance de ce dernier et de la distance minimale de vision distincte puis calculer sa valeur numérique.
L'angle non algébrisé $\;\alpha _{0}\;$ sous lequel un œil normal voit le disque placé à son punctum proximum étant «$\;\alpha _{0}={\dfrac {\rho }{d}}\;$» et l'angle non algébrisé $\;\alpha '\;$ sous lequel l'œil normal n'accommodant pas voit le disque à travers l'oculaire de Plössl «$\;\alpha '={\dfrac {5}{9}}\;{\dfrac {\rho }{a}}={\mathcal {P}}\;\rho \;$», on en déduit le grossissement de l'oculaire de Plössl «$\;G={\dfrac {\alpha '}{\alpha _{0}}}={\dfrac {{\mathcal {P}}\;\rho }{\dfrac {\rho }{d}}}\;$» soit finalement «$\;G={\mathcal {P}}\;d\;$» ou numériquement «$\;G=27,8\times 0,25\simeq 6,95\simeq 7,0\;$».

## Doublet de lentilles minces non accolées constitué d'une lentille convergente et d'une divergente

Soit le « doublet de lentilles minces du type $\;\left(4,\,1,\,-2\right)\;$» $\Rightarrow$ la 1ère lentille $\;{\big$dans le sens de propagation de la lumière${\big )}\;$ est convergente de distance focale image «$\;f_{i,\,1}=4\;a\;$», Soit le « doublet de lentilles minces du type $\;\color {transparent}{\left(4,\,1,\,-2\right)}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ la distance séparant les centres optiques $\;{\big$dans le sens de propagation de la lumière${\big )}\;$ est «$\;e={\overline {O_{1}O_{2}}}=a\;$» et Soit le « doublet de lentilles minces du type $\;\color {transparent}{\left(4,\,1,\,-2\right)}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ la 2ème lentille $\;{\big$dans le sens de propagation de la lumière${\big )}\;$ est divergente de distance focale image «$\;f_{i,\,2}=-2\;a_{;}$» ;
Soit ce doublet de lentilles minces non accolées pouvant être utilisé pour voir un objet avec plus de détails constitue un « oculaire ».

### Déterminations algébrique et graphique des foyers principaux objet F$_o$ et image F$_i$ de l'oculaire

Vérifier, sur un schéma à l'échelle, que l'oculaire est focal ;
déterminer, en fonction de $\;a\;$, le positionnement des foyers principaux objet $\;F_{o}\;$ et image $\;F_{i}\;$ de l'oculaire et
dire si cet oculaire est « positif ou négatif » sachant qu'un oculaire est dit positif si son foyer principal objet $\;F_{o}\;$ est réel et dire si cet oculaire est « positif ou négatif » sachant qu'un oculaire est dit négatif sison foyer principal objet$\;F_{o}\;$ est virtuel.
$\;{\big$
$\;?{\big )}\;$
$\;A_{o,\,\infty }\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{1}}{\longrightarrow }}\;?\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{2}}{\longrightarrow }}\;A_{i,\,\infty }\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A_{o,\,\infty }\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{1}}{\longrightarrow }}\;F_{i,\,1}=?\\?=F_{o,\,2}\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{2}}{\longrightarrow }}\;A_{i,\,\infty }\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;F_{i,\,1}=F_{o,\,2}$
$\;F_{i,\,1}\neq F_{o,\,2}\;$
Détermination du foyer principal image de l'oculaire : la définition du foyer principal image peut être écrite selon $\;A_{o,\,\infty }\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{1}}{\longrightarrow }}\;F_{i,\,1}\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{2}}{\longrightarrow }}\;F_{i}\;$ c'est-à-dire que le foyer principal image de l'oculaire $\;F_{i}\;$ est l'image par $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ du foyer principal image $\;F_{i,\,1}\;$ de $\;{\mathcal {L}}_{1}\;$ ou «$\;F_{i,\,1}\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{2}}{\longrightarrow }}\;F_{i}\;$» ; Détermination du foyer principal image de l'oculaire : pour déterminer la position de $\;F_{i}\;$ il suffit d'utiliser la relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ de position $\;{\big$ou 1ère relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}{\big ]}\;$ de Newton$^,$ de la lentille $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ pour le couple $\;\left(F_{i,\,1}\,,\,F_{i}\right)\;$ soit «$\;\sigma _{i,\,2}\;\sigma _{o,\,2}=f_{i,\,2}\;f_{o,\,2}=-f_{i,\,2}^{\,2}\;$» avec $\;\sigma _{o,\,2}={\overline {F_{o,\,2}F_{i,\,1}}}={\overline {O_{1}F_{i,\,1}}}-{\overline {O_{1}F_{o,\,2}}}={\overline {O_{1}F_{i,\,1}}}-{\overline {O_{1}O_{2}}}-{\overline {O_{2}F_{o,\,2}}}=f_{i,\,1}-e+f_{i,\,2}=$ $4\;a-a-2\;a\;$ soit «$\;\sigma _{o,\,2}=a\;$» d'où $\;\sigma _{i,\,2}={\overline {F_{i,\,2}F_{i}}}=-{\dfrac {f_{i,\,2}^{2}}{\sigma _{o,\,2}}}\;$ donnant numériquement «$\;\sigma _{i,\,2}=-{\dfrac {(-2\;a)^{2}}{a}}\;$» soit «$\;{\overline {F_{i,\,2}F_{i}}}=-4\;a\;$» ou, Détermination du foyer principal image de l'oculaire : en repérage de Descartes relativement à la 2ème lentille $\;{\overline {O_{2}F_{i}}}={\overline {O_{2}F_{i,\,2}}}+{\overline {F_{i,\,2}F_{i}}}=f_{i,\,2}+{\overline {F_{i,\,2}F_{i}}}=-2\;a-4\;a\;$ soit «$\;{\overline {O_{2}F_{i}}}=-6\;a\;$» ;
Détermination du foyer principal image de l'oculaire : on détermine graphiquement la position du foyer principal image de l'oculaire Détermination du foyer principal image de l'oculaire : on détermine graphiquement en utilisant un rayon incident $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal,  Détermination du foyer principal image de l'oculaire : on détermine graphiquement se réfractant à partir de $\;{\mathcal {L}}_{1}\;$ en un rayon intermédiaire passant par le foyer principal image $\;F_{i,\,1}\;$ de $\;{\mathcal {L}}_{1}$, Détermination du foyer principal image de l'oculaire : on détermine graphiquement rayon intermédiaire $\;\parallel \;$ à l'axe optique secondaire $\;(\delta )\;$ de la lentille $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ Détermination du foyer principal image de l'oculaire : on détermine graphiquement se réfractant, à partir de $\;{\mathcal {L}}_{2}$, en passant par le foyer secondaire image $\;\varphi _{i,\,2}(\delta )\;$ de l'axe optique secondaire $\;(\delta )\;$, Détermination du foyer principal image de l'oculaire : on détermine graphiquement l'intersection de ce rayon émergent et de l'axe optique principal définissant le foyer principal image $\;F_{i}\;$ de l'oculaire $\;{\big$voir schéma ci-dessus où on peut vérifier que la position trouvée graphiquement est conforme à celle obtenue algébriquement${\big )}$.
Détermination du foyer principal objet de l'oculaire : la définition du foyer principal objet peut être écrite selon $\;F_{o}\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{1}}{\longrightarrow }}\;F_{o,\,2}\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{2}}{\longrightarrow }}\;A_{i,\,\infty }\;$ c'est-à-dire que le foyer principal objet de l'oculaire $\;F_{o}\;$ est l'antécédent par $\;{\mathcal {L}}_{1}\;$ du foyer principal objet $\;F_{o,\,2}\;$ de $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ ou «$\;F_{o}\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{1}}{\longrightarrow }}\;F_{o,\,2}\;$» ; Détermination du foyer principal objet de l'oculaire : pour déterminer la position de $\;F_{o}\;$ il suffit d'utiliser la relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ de position $\;{\big$ou 1ère relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}{\big ]}\;$ de Newton$^,$ de la lentille $\;{\mathcal {L}}_{1}\;$ pour le couple $\;\left(F_{o}\,,\,F_{o,\,2}\right)\;$ soit «$\;\sigma _{i,\,1}\;\sigma _{o,\,1}=f_{i,\,1}\;f_{o,\,1}=-f_{i,\,1}^{\,2}\;$» avec $\;\sigma _{i,\,1}={\overline {F_{i,\,1}F_{o,\,2}}}={\overline {O_{1}F_{o,\,2}}}-{\overline {O_{1}F_{i,\,1}}}={\overline {O_{1}O_{2}}}+{\overline {O_{2}F_{o,\,2}}}-{\overline {O_{1}F_{i,\,1}}}=e-f_{i,\,2}-f_{i,\,1}=$ $a-(-2\;a)-4\;a\;$ soit «$\;\sigma _{i,\,1}=-a\;$» d'où $\;\sigma _{o,\,1}={\overline {F_{o,\,1}F_{o}}}=-{\dfrac {f_{i,\,1}^{2}}{\sigma _{i,\,1}}}\;$ donnant numériquement «$\;\sigma _{o,\,1}=-{\dfrac {(4\;a)^{2}}{-a}}\;$» soit «$\;{\overline {F_{o,\,1}F_{o}}}=16\;a\;$» ou, Détermination du foyer principal objet de l'oculaire : en repérage de Descartes relativement à $\;{\mathcal {L}}_{1}$, $\;{\overline {O_{1}F_{o}}}={\overline {O_{1}F_{o,\,1}}}+{\overline {F_{o,\,1}F_{o}}}=-f_{i,\,1}+{\overline {F_{o,\,1}F_{o}}}=-4\;a+16\;a\;$ soit «$\;{\overline {O_{1}F_{o}}}=12\;a\;$» ;
Détermination du foyer principal objet de l'oculaire : on détermine graphiquement la position du foyer principal objet de l'oculaire Détermination du foyer principal objet de l'oculaire : on détermine graphiquement en utilisant un rayon émergent $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal,  Détermination du foyer principal objet de l'oculaire : on détermine graphiquement dont l'antécédent en deçà de $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ est un rayon intermédiaire passant par le foyer principal objet $\;F_{o,\,2}\;$ de $\;{\mathcal {L}}_{2}$, Détermination du foyer principal objet de l'oculaire : on détermine graphiquement rayon intermédiaire $\;\parallel \;$ à l'axe optique secondaire $\;(\delta ')\;$ de la lentille $\;{\mathcal {L}}_{1}\;$ Détermination du foyer principal objet de l'oculaire : on détermine graphiquement de rayon incident, en deçà de $\;{\mathcal {L}}_{1}$, passant par le foyer secondaire objet $\;\varphi _{o,\,1}(\delta ')\;$ de l'axe optique secondaire $\;(\delta ')\;$, Détermination du foyer principal objet de l'oculaire : on détermine graphiquement l'intersection de ce rayon incident et de l'axe optique principal définissant le foyer principal objet $\;F_{o}\;$ de l'oculaire $\;{\big$voir schéma ci-dessus où on peut vérifier que la position trouvée graphiquement est relativement conforme à celle obtenue algébriquement${\big )}$.
Caractère positif ou négatif de l'oculaire : le foyer principal objet $\;F_{o}\;$ de l'oculaire étant situé après la face d'entrée de ce dernier car «$\;{\overline {O_{1}F_{o}}}=12\;a>0\;$» Caractère positif ou négatif de l'oculaire : le foyer principal objet $\;\color {transparent}{F_{o}}\;$ de l'oculaire est virtuel et par suite l'oculaire est dit négatif.

### Caractère divergent de l'oculaire déterminé par construction

En considérant un rayon incident $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal et en traçant le cheminement de ce rayon à travers l'oculaire, vérifier que ce dernier est divergent sachant que $\;\succ \;$un système optique est convergent si un rayon incident $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal $\;\Delta \;$ et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système au-dessus de $\;\Delta \;$ en s'en rapprochant ou $\;\color {transparent}{\succ }\;$un système optique est convergent si un rayon incident $\;\color {transparent}{\parallel }\;$ à l'axe optique principal $\;\color {transparent}{\Delta }\;$ et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système au-dessous de $\;\Delta \;$ en s'en éloignant, $\;\succ \;$un système optique est divergent si un rayon incident $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal $\;\Delta \;$ et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système au-dessus de $\;\Delta \;$ en s'en éloignant ou $\;\color {transparent}{\succ }\;$un système optique est divergent si un rayon incident $\;\color {transparent}{\parallel }\;$ à l'axe optique principal $\;\color {transparent}{\Delta }\;$ et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système au-dessous de $\;\Delta \;$ en s'en rapprochant, $\;\succ \;$un système optique est afocal si un rayon incident $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal $\;\Delta$, émerge de la face de sortie du système $\;\parallel \;$ à $\;\Delta$, après $\;{\big$ou sans${\big )}\;$ avoir coupé ce dernier.
On constate, sur le schéma ci-dessus, le caractère divergent de l'oculaire en effet
On constate, sur le schéma ci-dessus, un rayon incident $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal $\;\Delta \;$ et situé au-dessus, On constate, sur le schéma ci-dessus, un rayon incident $\;\color {transparent}{\parallel }\;$ émerge de la lentille $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ au-dessus de $\;\Delta \;$ On constate, sur le schéma ci-dessus, un rayon incident $\;\color {transparent}{\parallel }\;$ en s'éloignant de ce dernier et On constate, sur le schéma ci-dessus, un rayon incident $\;\color {transparent}{\parallel }\;$ en dont le prolongement provient du foyer principal image $\;F_{i}$.
Remarque : dans le schéma rappelé ci-dessus, le foyer principal image $\;F_{i}\;$ est virtuel mais attention : Remarque : $\succ \;$d'une part le caractère virtuel du foyer principal image n'est pas nécessaire pour conclure au caractère divergent du doublet, raison pour laquelle le caractère virtuel de $\;F_{i}\;$ n'est pas évoqué, Remarque : $\succ \;$d'autre part le caractère virtuel du foyer principal image n'est pas suffisant pour conclure au caractère divergent du doublet, raison pour laquelle le caractère virtuel de $\;F_{i}\;$ ne doit pas être évoqué.

### Détermination de la distance focale (image) de l'oculaire

Les foyers principaux objet et image de l'oculaire ayant été déterminés dans la solution de la question « déterminations algébrique et graphique des foyers principaux objet F$_o$ et image F$_i$ de l'oculaire » plus haut dans cet exercice, il devient possible d'utiliser le repérage de Newton pour positionner les points objet et image de l'axe optique principal selon :
* l'abscisse objet de Newton du point objet $\;A_{o}\;$ de l'axe optique principal «$\;\sigma _{o}={\overline {F_{o}A_{o}}}\;$» et
* l'abscisse image de Newton du point image $\;A_{i}\;$ de l'axe optique principal «$\;\sigma _{i}={\overline {F_{i}A_{i}}}\;$» ;
en admettant que la 1ère relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ ${\big$ou relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ de position${\big ]}\;$ de Newton$^,$ est encore applicable à un doublet focal de lentilles minces et que ceci permet de définir la valeur absolue de la distance focale image $\;\vert f_{i}\vert \;$ de ce dernier $\;{\big$la distance focale objet $\;f_{o}\;$ étant toujours opposée à la distance focale image $\;f_{i}{\big )}$, déterminer :
* $\;\vert f_{i}\vert \;$ en appliquant la relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ de position de Newton à l'oculaire pour un couple de points conjugués judicieusement choisis, puis
* $\;f_{i}\;$ sachant qu'un système convergent a une distance focale image positive $\;{\big$la distance focale image d'un système divergent étant négative${\big )}$.
$\;\vert f_{i}\vert \;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
${\big$
$\;{\big$
${\big )}\;$
${\big ]}\;$
$\;\sigma _{i}\;\sigma _{o}$
$=-f_{i}^{2}\;$
$\;\sigma _{o}={\overline {F_{o}A_{o}}}\;$
$\;\sigma _{i}={\overline {F_{i}A_{i}}}\;$
$\;F_{o,\,1}\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{1}}{\longrightarrow }}\;A_{i,\,1,\,\infty }=A_{o,\,2,\,\infty }\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{2}}{\longrightarrow }}\;F_{i,\,2}\;$
$\;(F_{o,\,1}\,,\,F_{i,\,2})\;$
$\;\sigma _{o}(F_{o,\,1})={\overline {F_{o}F_{o,\,1}}}=-{\overline {F_{o,\,1}F_{o}}}=-16\;a\;$
$\;\sigma _{i}(F_{i,\,2})={\overline {F_{i}F_{i,\,2}}}=-{\overline {F_{i,\,2}F_{i}}}=4\;a\;$
$\;\sigma _{o}(F_{o,\,1})\;\sigma _{i}(F_{i,\,2})=-f_{i}^{2}\;$
$\;\left[-16\;a\right]\left[4\;a\right]=-f_{i}^{2}\;$
$\;\vert f_{i}\vert =8\;a\;$
$\;f_{i}\;$
$\;<0\;$
$\;f_{i}=-8\;a\;$

### Détermination des points principaux objet H$_o$ et image H$_i$ de l'oculaire

Les points principaux objet et image d'un système optique sont les points conjugués de l'axe optique principal tels que le système optique donne, d'un objet linéique transverse de pied positionné au point principal objet $\;H_{o}$, un grandissement transverse valant «$\;G_{t}(H_{o})=+1\;$» ;
en admettant que les deux formes de la 2ème relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ ${\big$ou relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ de grandissement transverse${\big ]}\;$ de Newton$^,$ sont encore applicables à un doublet focal de lentilles minces, déterminer :
* l'abscisse objet de Newton du point principal objet «$\;\sigma _{o}(H_{o})={\overline {F_{o}H_{o}}}\;$», positionner alors $\;H_{o}\;$ sur l'axe optique principal et
* l'abscisse image de Newton du point principal image «$\;\sigma _{i}(H_{i})={\overline {F_{i}H_{i}}}\;$», positionner de même $\;H_{i}\;$ sur l'axe optique principal.
Déterminer graphiquement la position des points principaux objet $\;H_{o}\;$ et image $\;H_{i}\;$ de l'oculaire en utilisant la méthode de détermination graphique exposée ci-après $\;{\big$on vérifiera l'accord avec la détermination algébrique précédente${\big )}$ :
* lors de la détermination du foyer principal image $\;F_{i}\;$ de l'oculaire, on considère un rayon incident $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal $\;\Delta \;$ qui se réfracte à partir de la lentille $\;{\mathcal {L}}_{1}\;$ en un rayon intermédiaire dont le prolongement passe par le foyer principal image $\;F_{i,\,1}\;$ de cette dernière, ce rayon intermédiaire $\;\parallel \;$ à l'axe optique secondaire $\;(\delta )\;$ de la lentille $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ conduisant à un rayon émergent, à partir de cette lentille, passant par le foyer secondaire image $\;\varphi _{i,\,2}(\delta )\;$ correspondant à cet axe optique secondaire $\;(\delta )\;$ et l'intersection de ce rayon émergent et de l'axe optique principal $\;\Delta \;$ définissant le foyer principal image $\;F_{i}\;$ de l'oculaire ; considérant ensuite un objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ de pied $\;A_{o}\;$ sur l'axe optique principal $\;\Delta \;$ et dont l'autre extrémité est sur le rayon incident $\;\parallel \;$ à $\;\Delta \;$ précédemment utilisé, dans l'hypothèse où $\;A_{o}\;$ serait en $\;H_{o}\;$, l'image $\;A_{i}B_{i}\;$ étant de même taille et de même sens que l'objet $\;A_{o}B_{o}\;$ et l'extrémité $\;B_{i}\;$ devant être sur le rayon émergent de l'oculaire passant par le foyer principal image $\;F_{i}\;$, $\;B_{i}\;$ se trouve à l'intersection de ce rayon émergent et du rayon incident conjugué, $\;A_{i}\;$ projeté orthogonal de $\;B_{i}\;$ sur $\;\Delta$ définissant alors la position du point principal image $\;H_{i}$ ;
* lors de la détermination du foyer principal objet $\;F_{o}\;$ de l'oculaire, on considère un rayon émergent $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal $\;\Delta \;$ dont l'antécédent en deçà de la lentille $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ est un rayon intermédiaire de prolongement passant par le foyer principal objet $\;F_{o,\,2}\;$ de cette dernière, ce rayon intermédiaire $\;\parallel \;$ à l'axe optique secondaire $\;(\delta ')\;$ de la lentille $\;{\mathcal {L}}_{1}\;$ conduisant à un rayon incident, en deçà de cette lentille, passant par le foyer secondaire objet $\;\varphi _{i,\,1}(\delta ')\;$ correspondant à cet axe optique secondaire $\;(\delta ')\;$ et l'intersection de ce rayon incident et de l'axe optique principal $\;\Delta \;$ définissant le foyer principal objet $\;F_{o}\;$ de l'oculaire ; considérant ensuite une image linéique transverse $\;H_{i}I_{i}\;$ dont l'autre extrémité $\;I_{i}\;$ est sur un rayon émergent $\;\parallel \;$ à $\;\Delta \;$, l'antécédent $\;H_{o}I_{o}\;$ étant de même taille et de même sens que l'image $\;H_{i}I_{i}\;$ et l'extrémité $\;I_{o}\;$ devant être sur le rayon incident correspondant passant par le foyer principal objet $\;F_{o}\;$, $\;I_{o}\;$ se trouve à l'intersection de ce rayon incident et du rayon émergent conjugué, le point principal objet $\;H_{o}\;$ s'obtenant par projection orthogonale de $\;I_{o}\;$ sur $\;\Delta$.
$\;(H_{o}\,,\,H_{i})\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
${\big$
$\;{\big$
${\big )}\;$
${\big ]}\;$
$\;G_{t}(H_{o})=$
$-{\dfrac {f_{o}}{\sigma _{o}(H_{o})}}\;$
$\;\sigma _{o}(H_{o})={\overline {F_{o}H_{o}}}\;$
$\;G_{t}(H_{o})=+1\;$
$\;{\overline {F_{o}H_{o}}}$
$=-f_{o}=f_{i}=-8\;a\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
${\big$
$\;{\big$
${\big )}\;$
${\big ]}\;$
$\;(H_{o}\,,\,H_{i})\;$
$\;G_{t}(H_{o})$
$=-{\dfrac {\sigma _{i}(H_{o})}{f_{i}}}\;$
$\;\sigma _{i}(H_{o})={\overline {F_{i}H_{i}}}\;$
$\;G_{t}(H_{o})=+1\;$
$\;{\overline {F_{i}H_{i}}}=-f_{i}=8\;a\;$
voir le positionnement des points principaux de l'axe optique principal sur la figure ci-dessus $\;{\big \$on remarque que $\;H_{i}\;$ se confond avec $\;F_{o,\,2}\;$ et $\;H_{o}\;$ avec $\;F_{i,\,1}{\big \}$ et voir la détermination graphique simultanée des foyers principaux et des points principaux sur la figure ci-dessous :
On reprend tout d'abord la construction du foyer principal image $\;F_{i}\;$ en noir $\;{\big \$rayon incident $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal $\;\Delta$, rayon intermédiaire passant par le foyer principal image $\;F_{i,\,1}\;$ de $\;{\mathcal {L}}_{1}$, rayon émergent passant par le foyer secondaire image $\;\varphi _{i,\,2}(\delta )\;$ de $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ associé à son axe optique secondaire $\;(\delta )\;$ $\parallel \;$ au rayon intermédiaire, l'intersection du rayon émergent $\;{\big$plus exactement du prolongement du rayon émergent${\big )}\;$ avec l'axe optique principal $\;\Delta \;$ définissant le foyer principal image $\;F_{i}\;$ de l'oculaire${\big \}$ et on détermine ensuite le point principal image $\;H_{i}\;$ en rouge $\;{\big \$objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ tel que $\;B_{o}\;$ se trouve $\;{\big$a priori avec n'importe quel positionnement possible${\big )}\;$ sur le rayon incident $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal $\;\Delta \;$ utilisé pour la détermination de $\;F_{i}\;$, si $\;A_{o}B_{o}\;$ est dans le plan principal objet, $\;A_{i}B_{i}\;$ est alors dans le plan principal image, droite et de même taille que $\;A_{o}B_{o}$, $\;B_{i}\;$ étant sur le rayon émergent de $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ d'où à l'intersection de ce rayon émergent et du rayon incident $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal $\;\Delta \;$ puisque $\;A_{i}B_{i}\;$ est droite et de même taille que $\;A_{o}B_{o}$, le projeté orthogonal de $\;B_{i}\;$ sur l'axe optique principal $\;\Delta \;$ définissant le point principal image $\;H_{i}\;$ de l'oculaire $\;{\big$graphiquement la position géométrique de $\;H_{i}\;$ se confond avec celle du foyer principal objet $\;F_{o,\,2}\;$ de $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$${\big \}$ ;  on poursuit avec la construction du foyer principal objet $\;F_{o}\;$ en bleu $\;{\big \$rayon émergent $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal $\;\Delta$, rayon intermédiaire passant par le foyer principal objet $\;F_{o,\,2}\;$ de $\;{\mathcal {L}}_{2}$, rayon incident passant par le foyer secondaire objet $\;\varphi _{o,\,1}(\delta ')\;$ de $\;{\mathcal {L}}_{1}\;$ associé à son axe optique secondaire $\;(\delta ')\;$ $\parallel \;$ au rayon intermédiaire, l'intersection du rayon incident $\;{\big$plus exactement du prolongement du rayon incident${\big )}\;$ avec l'axe optique principal $\;\Delta \;$ définissant le foyer principal objet $\;F_{o}\;$ de l'oculaire${\big \}$ et on détermine ensuite le point principal objet $\;H_{o}\;$ en rouge $\;{\big \$image linéique transverse $\;A_{i}B_{i}=H_{i}I_{i}\;$ dans le plan principal image avec $\;I_{i}\;$ sur le rayon émergent $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal $\;\Delta \;$ utilisé pour la détermination de $\;F_{o}$ $\;{\big$ce rayon émergent étant dans le prolongement du rayon incident $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal $\;\Delta \;$ utilisé pour la détermination de $\;F_{i}{\big )}$, l'antécédent $\;A_{o}B_{o}\;$ de l'image $\;A_{i}B_{i}=H_{i}I_{i}\;$ est dans le plan principal objet, droit et de même taille que $\;A_{i}B_{i}=H_{i}I_{i}$, $\;B_{o}=I_{o}\;$ étant sur le rayon incident de $\;{\mathcal {L}}_{1}\;$ d'où à l'intersection de ce rayon incident et du rayon émergent $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal $\;\Delta \;$ puisque $\;A_{i}B_{i}=H_{i}I_{i}\;$ est droite et de même taille que $\;A_{o}B_{o}=A_{o}I_{o}$, le projeté orthogonal de $\;B_{o}=I_{o}\;$ sur l'axe optique principal $\;\Delta \;$ définissant le point principal objet $\;H_{o}\;$ de l'oculaire $\;{\big$graphiquement la position géométrique de $\;H_{o}\;$ se confond avec celle du foyer principal image $\;F_{i,\,1}\;$ de $\;{\mathcal {L}}_{1}\;$${\big \}$.

## Détermination de la vergence d'une lentille mince, méthode d'autocollimation

On se propose de déterminer expérimentalement la vergence «$\;V\;$» d'une lentille mince convergence $\;{\mathcal {L}}$, de centre optique $\;O$, de distance focale $\;{\big$image${\big )}\;$ «$\;f_{i}\;$» inconnue On se propose de déterminer expérimentalement la vergence «$\;\color {transparent}{V}\;$» d'une lentille mince convergence $\;\color {transparent}{\mathcal {L}}$, par la méthode d'autocollimation ;
pour cela on accole à la lentille $\;{\mathcal {L}}$, un miroir plan $\;{\mathcal {M}}\;$ et on obtient le système catadioptrique «$\;{\mathcal {L}}\,\cup \,{\mathcal {M}}\,\cup \,{\mathcal {L}}^{-1}\;$» ;
le système obtenu étant catadioptrique, on adopte l'algébrisation physique de l'axe optique principal $\;{\big$on précisera en indice le sens de propagation de la partie d'axe optique principal considérée${\big )}$.

### Détermination de la distance algébrique δ entre l'objet et l'image par le système catadioptrique

Lorsque le point objet $\;A_{o}\;$ considéré d'abscisse de Descartes «$\;p_{o}={\overline {OA_{o}}}_{\rightarrow }\;$» se déplace sur l'axe optique principal, son image $\;A_{i}\;$ par le système catadioptrique «$\;{\mathcal {L}}\,\cup \,{\mathcal {M}}\,\cup \,{\mathcal {L}}^{-1}\;$», point image d'abscisse de Descartes «$\;p_{i}={\overline {OA_{i}}}_{\leftarrow }\;$», se déplace aussi ;
déterminer l'expression de la mesure algébrique «$\;\delta ={\overline {A_{o}A_{i}}}_{\rightarrow }\;$» en fonction de «$\;p_{o}\;$ et de $\;f_{i}\;$».
Il convient bien sûr de faire un schéma explicatif $\;\ldots$
Le système catadioptrique «$\;{\mathcal {L}}\,\cup \,{\mathcal {M}}\,\cup \,{\mathcal {L}}^{-1}\;$» reliant le point objet $\;A_{o}\;$ de l'axe optique principal $\;\Delta \;$ au point image $\;A_{i}\;$ de $\;\Delta \;$ en passant par les points image intermédiaires $\;A_{1}\;$ et $\;A_{2}\;$ de $\;\Delta \;$ selon «$\;A_{o}\;{\stackrel {\mathcal {L}}{\rightarrow }}\;A_{1}\;{\stackrel {\mathcal {M}}{\rightarrow }}\;A_{2}\;{\stackrel {{\mathcal {L}}^{-1}}{\rightarrow }}\;A_{i}\;$», on écrit successivement la 1ère relation de conjugaison $\;{\big$approchée ou rigoureuse${\big )}\;$ ${\big$ou relation de conjugaison $\;{\big$approchée ou rigoureuse${\big )}\;$ de position${\big ]}\;$ de Descartes pour $\;{\mathcal {L}}$, $\;{\mathcal {M}}\;$ et $\;{\mathcal {L}}^{-1}\;$ appliquée aux points conjugués soit :
* «$\;A_{o}\;{\stackrel {\mathcal {L}}{\rightarrow }}\;A_{1}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {1}{{\overline {OA_{1}}}_{\rightarrow }}}-{\dfrac {1}{{\overline {OA_{o}}}_{\rightarrow }}}={\dfrac {1}{f_{i}}}\;$»$^,$ ou «$\;{\dfrac {1}{{\overline {OA_{1}}}_{\rightarrow }}}={\dfrac {1}{f_{i}}}+{\dfrac {1}{p_{o}}}\;$»$^,$ $\Rightarrow$ «$\;{\overline {OA_{1}}}_{\rightarrow }={\dfrac {f_{i}\,p_{o}}{f_{i}+p_{o}}}\;$» ;
* «$\;A_{1}\;{\stackrel {\mathcal {M}}{\rightarrow }}\;A_{2}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\overline {OA_{2}}}_{\leftarrow }={\overline {OA_{1}}}_{\rightarrow }\;$»$^,$ $\;{\big \$«$\;A_{2}\;$» étant le symétrique géométrique de «$\;A_{1}\;$» par rapport au miroir plan $\;{\mathcal {M}}{\big \}$ d'où «$\;{\overline {OA_{2}}}_{\leftarrow }={\dfrac {f_{i}\,p_{o}}{f_{i}+p_{o}}}\;$» ;
* «$\;A_{2}\;{\stackrel {{\mathcal {L}}^{-1}}{\rightarrow }}\;A_{i}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {1}{{\overline {OA_{i}}}_{\leftarrow }}}-{\dfrac {1}{{\overline {OA_{2}}}_{\leftarrow }}}={\dfrac {1}{f_{i}}}\;$»$^,$$^,$ d'où «$\;{\dfrac {1}{p_{i}}}={\dfrac {1}{f_{i}}}+{\dfrac {1}{{\overline {OA_{2}}}_{\leftarrow }}}\;$»$^,$ $\Rightarrow$ «$\;p_{i}={\dfrac {f_{i}\,{\overline {OA_{2}}}_{\leftarrow }}{f_{i}+{\overline {OA_{2}}}_{\leftarrow }}}={\dfrac {f_{i}\,{\dfrac {f_{i}\,p_{o}}{f_{i}+p_{o}}}}{f_{i}+{\dfrac {f_{i}\,p_{o}}{f_{i}+p_{o}}}}}\;$» soit, en multipliant haut et bas par «$\;f_{i}+p_{o}\;$», «$\;p_{i}=$ ${\dfrac {f_{i}^{2}\,p_{o}}{f_{i}\,(f_{i}+p_{o})+f_{i}\,p_{o}}}={\dfrac {f_{i}\,p_{o}}{(f_{i}+p_{o})+p_{o}}}\;$» et finalement «$\;p_{i}={\dfrac {f_{i}\,p_{o}}{f_{i}+2\,p_{o}}}\;$».
La distance «$\;\delta ={\overline {A_{o}A_{i}}}_{\rightarrow }={\overline {OA_{i}}}_{\rightarrow }-{\overline {OA_{o}}}_{\rightarrow }=-{\overline {OA_{i}}}_{\leftarrow }-{\overline {OA_{o}}}_{\rightarrow }\;$» ou «$\;\delta =-p_{i}-p_{o}=-{\dfrac {f_{i}\,p_{o}}{f_{i}+2\,p_{o}}}-p_{o}=-{\dfrac {f_{i}\,p_{o}+p_{o}\,(f_{i}+2\,p_{o})}{f_{i}+2\,p_{o}}}=-{\dfrac {2\,f_{i}\,p_{o}+2\,p_{o}^{2}}{f_{i}+2\,p_{o}}}\;$» et finalement «$\;\delta =-2p_{o}{\dfrac {f_{i}+p_{o}}{f_{1}+2\,p_{o}}}\;$».

### Étude de la variation de δ en fonction de l'abscisse de Descartes de l'objet

Étudier la variation de la distance algébrique entre l'objet et l'image «$\;\delta ={\overline {A_{o}A_{i}}}_{\rightarrow }\;$» en fonction de l'abscisse de Descartes de l'objet «$\;p_{o}\;$» ;
préciser pour quelles valeurs de «$\;p_{o}\;$» on obtient «$\;\delta =0\;$».
On détermine la variation de «$\;\delta ={\overline {A_{o}A_{i}}}_{\rightarrow }=-2p_{o}{\dfrac {f_{i}+p_{o}}{f_{1}+2\,p_{o}}}\;$» avec «$\;p_{o}\;$» en calculant la dérivée «$\;{\dfrac {d\delta }{dp_{o}}}(p_{o})=-2{\dfrac {f_{i}+p_{o}}{f_{1}+2\,p_{o}}}-2p_{o}{\dfrac {(f_{1}+2\,p_{o})-(f_{i}+p_{o})\,2}{\left(f_{1}+2\,p_{o}\right)^{2}}}=2{\dfrac {-(f_{i}+p_{o})(f_{i}+2p_{o})+f_{i}\,p_{o}}{\left(f_{1}+2\,p_{o}\right)^{2}}}\;$», On détermine la variation de «$\;\color {transparent}{\delta ={\overline {A_{o}A_{i}}}_{\rightarrow }=-2p_{o}{\dfrac {f_{i}+p_{o}}{f_{1}+2\,p_{o}}}}\;$» avec «$\;\color {transparent}{p_{o}}\;$» en calculant la dérivée soit «$\;{\dfrac {d\delta }{dp_{o}}}(p_{o})=-2{\dfrac {2p_{o}^{2}+2f_{i}\,p_{o}+f_{i}^{2}}{\left(f_{1}+2\,p_{o}\right)^{2}}}\;$» puis On détermine la variation de «$\;\color {transparent}{\delta ={\overline {A_{o}A_{i}}}_{\rightarrow }=-2p_{o}{\dfrac {f_{i}+p_{o}}{f_{1}+2\,p_{o}}}}\;$» avec «$\;\color {transparent}{p_{o}}\;$» en étudiant son signe, «$\;{\dfrac {d\delta }{dp_{o}}}(p_{o})=-2{\dfrac {2p_{o}^{2}+2f_{i}\,p_{o}+f_{i}^{2}}{\left(f_{1}+2\,p_{o}\right)^{2}}}\;$» qui est de signe contraire de «$\;2p_{o}^{2}+2f_{i}\,p_{o}+f_{i}^{2}\;$» dont le discriminant réduit vaut «$\;\Delta '=f_{i}^{2}-2f_{i}^{2}=-f_{i}^{2}<0\;$» $\Rightarrow$ «$\;2p_{o}^{2}+2f_{i}\,p_{o}+f_{i}^{2}\;$ toujours $\;>0\;$» et par suite «$\;{\dfrac {d\delta }{dp_{o}}}(p_{o})\;$ toujours $\;<0\;$» et On détermine la variation de «$\;\color {transparent}{\delta ={\overline {A_{o}A_{i}}}_{\rightarrow }=-2p_{o}{\dfrac {f_{i}+p_{o}}{f_{1}+2\,p_{o}}}}\;$» avec «$\;\color {transparent}{p_{o}}\;$» en concluant «$\;\delta ={\overline {A_{o}A_{i}}}_{\rightarrow }=-2p_{o}{\dfrac {f_{i}+p_{o}}{f_{1}+2\,p_{o}}}\;$ fonction $\;\searrow \;$ de $\;p_{o}\;$».
«$\;p_{o}\;$ devant être $\;<0\;$ pour que l'objet soit réel », on a, avec «$\;A_{o}\;$ considéré initialement à l'infini sur l'axe optique principal $\;\Delta \;$ et se rapprochant de $\;{\mathcal {L}}\;$»,  «$\;\color {transparent}{p_{o}}\;$ devant être $\;\color {transparent}{<0}\;$ pour que l'objet soit réel », on a, $\succ \;$«$\;p_{o}\nearrow \;$ de $\;-\infty \;$ à $\;-{\dfrac {f_{i}}{2}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;\delta \searrow \;$ de $\;+\infty \;$ à $\;-\infty \;$»,  «$\;\color {transparent}{p_{o}}\;$ devant être $\;\color {transparent}{<0}\;$ pour que l'objet soit réel », on a, $\succ \;$«$\;p_{o}\nearrow \;$ de $\;-{\dfrac {f_{i}}{2}}\;$ à $\;0\;$» $\Rightarrow$ «$\;\delta \searrow \;$ de $\;+\infty \;$ à $\;0\;$» ;
les valeurs de «$\;p_{o}\;$» pour lesquelles on obtient «$\;\delta ={\overline {A_{o}A_{i}}}_{\rightarrow }=-2p_{o}{\dfrac {f_{i}+p_{o}}{f_{1}+2\,p_{o}}}=0\;$» sont «$\;p_{o}=-f_{i}\;$» et les valeurs de «$\;\color {transparent}{p_{o}}\;$» pour lesquelles on obtient «$\;\color {transparent}{\delta ={\overline {A_{o}A_{i}}}_{\rightarrow }=-2p_{o}{\dfrac {f_{i}+p_{o}}{f_{1}+2\,p_{o}}}=0}\;$» sont «$\;p_{o}=0\;$».

### Mise en œuvre de la méthode d'autocollimation

On déplace l'ensemble « lentille $\;{\mathcal {L}}\;$ - miroir plan $\;{\mathcal {M}}\;$» relativement à un « objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$» de façon à recueillir l'« image $\;A_{i}B_{i}\;$ dans le plan de front de l'objet », On déplace l'ensemble « lentille $\;\color {transparent}{\mathcal {L}}\;$ - miroir plan $\;\color {transparent}{\mathcal {M}}\;$» relativement à un « objet linéique transverse $\;\color {transparent}{A_{o}B_{o}}\;$» la distance algébrisée « objet - lentille » étant alors «$\;p_{o}=-33,3\,cm\;$» ;
On déplace l'ensemble « lentille $\;\color {transparent}{\mathcal {L}}\;$ - miroir plan $\;\color {transparent}{\mathcal {M}}\;$» relativement à un « objet linéique transverse $\;\color {transparent}{A_{o}B_{o}}\;$» en déduire la vergence «$\;V\;$» de la lentille «$\;{\mathcal {L}}\;$».
On recueille l'image dans le même plan transverse que l'objet signifie que «$\;\delta =0\;$» ce qui est réalisé «$\;p_{o}=-f_{i}\;$» et comme cette situation correspond à «$\;p_{o}=-33,3\,cm\;$», on en déduit «$\;f_{i}=33,3\,cm\;$» et par suite la vergence de la lentille est «$\;V={\dfrac {1}{f_{i}}}={\dfrac {1}{0,333}}\;$ en $\;m^{-1}\;$» soit «$\;V=+3\,\delta \;$».

## Téléobjectif

Un téléobjectif est constitué de deux lentilles minces coaxiales, l'une «$\;{\mathcal {L}}_{1}\;$» convergente de distance focale image «$\;f_{i,\,1}=100\,mm\;$» et Un téléobjectif est constitué de deux lentilles minces coaxiales, l'autre «$\;{\mathcal {L}}_{2}\;$» divergente de distance focale image «$\;f_{i,\,2}=-40\,mm\;$». Lorsque le téléobjectif est mis au point sur l'infini, son encombrement $\;{\big$distance de la lentille mince $\;{\mathcal {L}}_{1}\;$ à la plaque photographique${\big )}\;$ est «$\;D=190\,mm\;$».

### Calcul de la distance séparant les centres optiques des deux lentilles minces coxiales du téléobjectif avec la mise au point de ce dernier à l'infini

Calculer la distance «$\;e=O_{1}O_{2}\;$» entre les centres optiques de $\;{\mathcal {L}}_{1}\;$ et $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ du téléobjectif dont la mise au point est faite sur l'infini $\;{\big \$pour cela on explicitera le foyer principal image «$\;F_{i}\;$» du téléobjectif par rapport à $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ et on utilisera la définition de $\;D{\big \}$.
Il faut bien sûr ajouter un schéma explicatif positionnant les deux lentilles minces avec leurs foyers principaux et leur centre optique respectifs.
Notant «$\;A_{o,\,\infty }\;$ le point à l'infini de l'axe optique principal » nous déduisons, de la définition du « foyer principal image $\;F_{i}\;$ du téléobjectif », les conjugaisons suivantes «$\;A_{o,\,\infty }\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{1}}{\longrightarrow }}\;F_{i,\,1}\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{2}}{\longrightarrow }}\;F_{i}\;$» c'est-à-dire Notant «$\;\color {transparent}{A_{o,\,\infty }}\;$ le point à l'infini de l'axe optique principal » nous déduisons, que «$\;F_{i}\;$ est l'image, par l'oculaire $\;{\mathcal {L}}_{2}$, du foyer principal image $\;F_{i,\,1}\;$ de l'objectif $\;{\mathcal {L}}_{1}\;$» ou «$\;F_{i,\,1}\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{2}}{\longrightarrow }}\;F_{i}\;$» ;
utilisant la relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ de position $\;{\big$ou 1ère relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}{\big ]}\;$ de Newton de la lentille mince «$\;{\mathcal {L}}_{2}\;$» pour le « couple de points conjugués $\;(F_{i,\,1},\,F_{i})\;$ par $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$», on obtient «$\;{\overline {F_{i,\,2}F_{i}}}\;{\overline {F_{o,\,2}F_{i,\,1}}}=-f_{i,\,2}^{2}\;$» ;
connaissant l'« encombrement du téléobjectif » quand la « mise au point de ce dernier est faite sur l'infini » $\Rightarrow$ «$\;D={\overline {O_{1}F_{i}}}=190\,mm\;$» et le réécrivant selon connaissant l'« encombrement du téléobjectif » quand la « mise au point de ce dernier est faite sur l'infini » $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;D=O_{1}O_{2}+{\overline {O_{2}F_{i,\,2}}}+{\overline {F_{i,\,2}F_{i}}}=e+f_{i,\,2}+{\overline {F_{i,\,2}F_{i}}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\overline {F_{i,\,2}F_{i}}}=D-e-f_{i,\,2}\;$», connaissant la disposition relative des deux lentilles mince par «$\;{\overline {F_{o,\,2}F_{i,\,1}}}={\overline {F_{o,\,2}O_{2}}}+{\overline {O_{2}O_{1}}}+{\overline {O_{1}F_{i,\,1}}}=-f_{o,\,2}-e+f_{i,\,1}\;$» soit «$\;{\overline {F_{o,\,2}F_{i,\,1}}}=f_{i,\,2}-e+f_{i,\,1}\;$»,
on déduit, de la relation de conjugaison «$\;{\overline {F_{i,\,2}F_{i}}}\;{\overline {F_{o,\,2}F_{i,\,1}}}=-f_{i,\,2}^{2}\;$», que «$\;e\;$ est solution de «$\;\left(D-e-f_{i,\,2}\right)\left(f_{i,\,2}-e+f_{i,\,1}\right)=-f_{i,\,2}^{2}\;$», équation algébrique du 2ème degré, ou encore, on déduit, de la relation de conjugaison «$\;\color {transparent}{{\overline {F_{i,\,2}F_{i}}}\;{\overline {F_{o,\,2}F_{i,\,1}}}=-f_{i,\,2}^{2}}\;$», que «$\;\color {transparent}{e}\;$ est solution de «$\;e^{2}-e\left(D+f_{i,\,1}\right)+D\left(f_{i,\,2}+f_{i,\,1}\right)-f_{i,\,1}\,f_{i,\,2}=0\;$» après développement et classement par puissances $\;\searrow$, on déduit, de la relation de conjugaison «$\;\color {transparent}{{\overline {F_{i,\,2}F_{i}}}\;{\overline {F_{o,\,2}F_{i,\,1}}}=-f_{i,\,2}^{2}}\;$», que «$\;\color {transparent}{e}\;$ est solution de de discriminant «$\;\Delta =\left(D+f_{i,\,1}\right)^{2}-4\,D\left(f_{i,\,2}+f_{i,\,1}\right)+4\,f_{i,\,1}\,f_{i,\,2}$ on déduit, de la relation de conjugaison «$\;\color {transparent}{{\overline {F_{i,\,2}F_{i}}}\;{\overline {F_{o,\,2}F_{i,\,1}}}=-f_{i,\,2}^{2}}\;$», que «$\;\color {transparent}{e}\;$ est solution de de discriminant «$\;\color {transparent}{\Delta }$ $=\left(D-f_{i,\,1}\right)^{2}-4\,f_{i,\,2}\left(D-f_{i,\,1}\right)=\left(D-f_{i,\,1}\right)\left(D-f_{i,\,1}-4\,f_{i,\,2}\right)\;$» soit numériquement on déduit, de la relation de conjugaison «$\;\color {transparent}{{\overline {F_{i,\,2}F_{i}}}\;{\overline {F_{o,\,2}F_{i,\,1}}}=-f_{i,\,2}^{2}}\;$», que «$\;\color {transparent}{e}\;$ est solution de de discriminant «$\;\Delta =\left[190-100\right]\left[190-100-4\times \left(-40\right)\right]=22500=(150)^{2}\;$» d'où on déduit, de la relation de conjugaison «$\;\color {transparent}{{\overline {F_{i,\,2}F_{i}}}\;{\overline {F_{o,\,2}F_{i,\,1}}}=-f_{i,\,2}^{2}}\;$», que «$\;e={\dfrac {D+f_{i,\,1}\pm {\sqrt {\left(D-f_{i,\,1}\right)\left(D-f_{i,\,1}-4\,f_{i,\,2}\right)}}}{2}}\;$» et numériquement «$\;e={\dfrac {190+100\pm 150}{2}}\;$» c'est-à-dire on déduit, de la relation de conjugaison «$\;\color {transparent}{{\overline {F_{i,\,2}F_{i}}}\;{\overline {F_{o,\,2}F_{i,\,1}}}=-f_{i,\,2}^{2}}\;$», que «$\;\color {transparent}{e={\dfrac {D+f_{i,\,1}\pm {\sqrt {\left(D-f_{i,\,1}\right)\left(D-f_{i,\,1}-4\,f_{i,\,2}\right)}}}{2}}}\;$» et numériquement «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}e_{+}=220\,mm\\e_{-}=70\,mm\end{array}}\right\rbrace \;$» ;
or la distance «$\;e=O_{1}O_{2}\;$ devant être $\;<\;$ à l'encombrement $\;D=O_{1}F_{i}\;$», puisque la plaque photographique « réelle » ne peut être qu'au-delà de la face de sortie, on retient «$\;e=O_{1}O_{2}=70\,mm\;$».

### Détermination des foyers principaux image F$_i$ et objet F$_o$ du téléobjectif

Préciser la position du foyer principal image «$\;F_{i}\;$» du téléobjectif et déterminer celle du foyer principal objet «$\;F_{o}\;$» de ce dernier.
Le foyer principal image «$\;F_{i}\;$» du téléobjectif étant dans le plan de la plaque photographique est à la distance «$\;D=190mm\;$» de la face d'entrée, c'est-à-dire Le foyer principal image «$\;\color {transparent}{F_{i}}\;$» du téléobjectif étant dans le plan de la plaque photographique est situé dans l'espace image réelle à une distance «$\;D-e=120\,mm\;$» au-delà de la face de sortie ;
notant «$\;A_{i,\,\infty }\;$ le point image à l'infini sur l'axe optique principal » nous déduisons, de la définition du « foyer principal objet $\;F_{o}\;$ du téléobjectif », les conjugaisons suivantes «$\;F_{o}\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{1}}{\longrightarrow }}\;F_{o,\,2}\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{2}}{\longrightarrow }}\;A_{i,\,\infty }\;$» c'est-à-dire notant «$\;\color {transparent}{A_{i,\,\infty }}\;$ le point image à l'infini sur l'axe optique principal » nous déduisons, que «$\;F_{o}\;$ est l'antécédent, par l'objectif $\;{\mathcal {L}}_{1}$, du foyer principal objet $\;F_{o,\,2}\;$ de l'oculaire $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$» ou «$\;F_{o}\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{1}}{\longrightarrow }}\;F_{o,\,2}\;$» ;
utilisant la relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ de position $\;{\big$ou 1ère relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}{\big ]}\;$ de Newton de la lentille mince «$\;{\mathcal {L}}_{1}\;$» pour le « couple de points conjugués $\;(F_{o},\,F_{o,\,2})\;$ par $\;{\mathcal {L}}_{1}\;$», on obtient «$\;{\overline {F_{i,\,1}F_{o,\,2}}}\;{\overline {F_{o,\,1}F_{o}}}=-f_{i,\,1}^{2}\;$» ;
ayant établi précédemment «$\;{\overline {F_{o,\,2}F_{i,\,1}}}=f_{i,\,2}-e+f_{i,\,1}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\overline {F_{i,\,1}F_{o,\,2}}}=e-f_{i,\,2}-f_{i,\,1}\;$»,
$\;{\overline {F_{i,\,1}F_{o,\,2}}}\;{\overline {F_{o,\,1}F_{o}}}=-f_{i,\,1}^{2}\;$
$\;{\overline {F_{o,\,1}F_{o}}}={\dfrac {f_{i,\,1}^{2}}{f_{i,\,2}-e+f_{i,\,1}}}\;$
$\;{\overline {F_{o,\,1}F_{o}}}={\dfrac {100^{2}}{-40-70+100}}=-1000\,mm\;$
$\;\color {transparent}{{\overline {F_{i,\,1}F_{o,\,2}}}\;{\overline {F_{o,\,1}F_{o}}}=-f_{i,\,1}^{2}}\;$
$\;\color {transparent}{{\overline {F_{o,\,1}F_{o}}}={\dfrac {f_{i,\,1}^{2}}{f_{i,\,2}-e+f_{i,\,1}}}}\;$
$\;{\overline {O_{1}F_{o}}}={\overline {O_{1}F_{o,\,1}}}+{\overline {F_{o,\,1}F_{o}}}=-100-1000=-1100\,mm\;$
$\;F_{o}\;$
$\;1,100\,m\;$

### Détermination de la distance focale image f$_i$ du téléobjectif

En admettant l'applicabilité, au doublet de lentilles minces coaxiales, de la relation de conjugaison $\;{\big$appliquée${\big )}\;$ de position $\;{\big$ou 1ère relation de conjugaison $\;{\big$appliquée${\big )}{\big ]}\;$ de Newton, déterminer la distance focale image «$\;f_{i}\;$» de ce téléobjectif $\;{\big$on vérifiera auparavant le caractère convergent du doublet${\big )}$.
En déduire le principal avantage de ce téléobjectif par rapport à un objectif simple de même focale.
* Schéma de justification du caractère convergent du téléobjectif
On vérifie le caractère convergent du doublet de lentilles minces coaxiales constituant le téléobjectif par la constatation $\;{\big$sur le schéma ci-dessus${\big )}\;$ qu'un rayon incident $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal converge vers $\;F_{i}\;$ sans avoir auparavant recoupé l'axe optique principal.
$\;\vert f_{i}\vert \;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
${\big$
$\;{\big$
${\big )}\;$
${\big ]}\;$
$\;\sigma _{i}\;\sigma _{o}$
$=-f_{i}^{2}\;$
$\;\sigma _{o}={\overline {F_{o}A_{o}}}\;$
$\;\sigma _{i}={\overline {F_{i}A_{i}}}\;$
$\;F_{o,\,1}\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{1}}{\longrightarrow }}\;A_{i,\,1,\,\infty }=A_{o,\,2,\,\infty }\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{2}}{\longrightarrow }}\;F_{i,\,2}\;$
$\;(F_{o,\,1}\,,\,F_{i,\,2})\;$
pour ce couple on a «$\;\sigma _{o}(F_{o,\,1})={\overline {F_{o}F_{o,\,1}}}=-{\overline {F_{o,\,1}F_{o}}}=-1000\,mm\;$» et pour ce couple on a «$\;\sigma _{i}(F_{i,\,2})={\overline {F_{i}F_{i,\,2}}}=-{\overline {F_{i,\,2}F_{i}}}=160\,mm\;$» pour ce couple on a d'où «$\;\sigma _{o}(F_{o,\,1})\;\sigma _{i}(F_{i,\,2})=-f_{i}^{2}\;$» se réécrivant «$\;\left[-1000\,mm\right]\;\left[160\,mm\right]=-f_{i}^{2}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;f_{i}^{2}=160000\,mm^{2}\;$» soit «$\;\vert f_{i}\vert =400\,mm\;$» ;
$\;f_{i}\;$
$\;>0\;$
$\;\color {transparent}{f_{i}}\;$
$\;f_{i}=400\,mm\;$
L'utilisation de ce téléobjectif permet une réduction de l'encombrement «$\;19\,cm\;$ au lieu de $\;40\,cm\;$ qui serait nécessaire avec un objectif simple de même distance focale de $\;400\;mm\;$».

### Détermination de la dimension de l'image d'une tour supposée à l'infini par le téléobjectif

Calculer la dimension de l'image, par le téléobjectif, d'une tour si très éloignée de faible diamètre angulaire apparent «$\;\alpha =0,03\,rad\;$» $\;{\big$par exemple tour de $\;30\,m\;$ de haut située à $\;d=1\,km\;$ du téléobjectif${\big )}$.
La tour étant située à $\;d=1\,km\;$ du téléobjectif peut être considérée comme à l'infini de ce dernier et par suite son image par l'objectif $\;{\mathcal {L}}_{1}\;$ est dans le plan focal image $\;{\big$de pied $\;F_{i,\,1}{\big )}\;$ de ce dernier, l'image définitive par l'oculaire $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ étant dans le plan focal image $\;{\big$de pied $\;F_{i}{\big )}\;$ du téléobjectif ;
$\;A_{o,\,\infty }B_{o,\,\infty }\;$
$\;F_{i,\,1}B_{1}\;$
$\;{\mathcal {L}}_{1}\;$
$\;F_{i}B_{i}\;$
$\;G_{t}(A_{o,\,\infty }B_{o,\,\infty })\;{\overset {\text{déf}}{=}}\;{\dfrac {\overline {F_{i}B_{i}}}{\overline {A_{o,\,\infty }B_{o,\,\infty }}}}\;$
$\;G_{t}(A_{o,\,\infty }B_{o,\,\infty })\;{\overset {\text{déf}}{=}}\;{\dfrac {\overline {F_{i}B_{i}}}{\overline {F_{i,\,1}B_{1}}}}\times {\dfrac {\overline {F_{i,\,1}B_{1}}}{\overline {A_{o,\,\infty }B_{o,\,\infty }}}}=G_{t,\,2}(F_{i,\,1}B_{1})\times G_{t,\,1}(A_{o,\,\infty }B_{o,\,\infty })\;$
$\;G_{t,\,1}(A_{o,\,\infty }B_{o,\,\infty })\;{\overset {\text{déf}}{=}}\;{\dfrac {\overline {F_{i,\,1}B_{1}}}{\overline {A_{o,\,\infty }B_{o,\,\infty }}}}\;$
$\;{\mathcal {L}}_{1}\;$
$\;G_{t,\,2}(F_{i,\,1}B_{1})\;{\overset {\text{déf}}{=}}\;{\dfrac {\overline {F_{i}B_{i}}}{\overline {F_{i,\,1}B_{1}}}}\;$
$\;{\mathcal {L}}_{2}\;$
$\;{\mathcal {L}}_{1}\;$
on applique alors la 2ème relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ ${\big$ou relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ de grandissement transverse${\big ]}\;$ de Descartes$^,$
* à l'« objectif $\;{\mathcal {L}}_{1}\;$ pour le couple $\;\left(A_{o,\,\infty }\,,\,F_{i,\,1}\right)\;$» soit «$\;G_{t,\,1}(A_{o,\,\infty }B_{o,\,\infty })={\dfrac {\overline {O_{1}F_{i,\,1}}}{\overline {O_{1}A_{o,\,\infty }}}}\simeq {\dfrac {f_{i,\,1}}{-d}}\simeq {\dfrac {100}{-10^{6}}}\simeq -10^{-4}\;$» et
* à l'« oculaire $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ pour le couple $\;\left(F_{i,\,1}\,,\,F_{i}\right)\;$» soit «$\;G_{t,\,2}(F_{i,\,1}B_{1})={\dfrac {\overline {O_{2}F_{i}}}{\overline {O_{2}F_{i,\,1}}}}={\dfrac {D-e}{f_{i,\,1}-e}}\simeq {\dfrac {190-70}{100-70}}\simeq 4\;$»,
soit finalement le grandissement transverse de ce téléobjectif pour la tour valant ««$\;G_{t}(A_{o,\,\infty }B_{o,\,\infty })\simeq -4\,10^{-4}\;$» dont on déduit, par définition du grandissement transverse «$\;G_{t}(A_{o,\,\infty }B_{o,\,\infty })\;{\overset {\text{déf}}{=}}\;{\dfrac {\overline {F_{i}B_{i}}}{\overline {A_{o,\,\infty }B_{o,\,\infty }}}}\;$», la dimension de l'image de la tour par le téléobjectif «$\;F_{i}B_{i}=A_{o,\,\infty }B_{o,\,\infty }\times \vert G_{t}(A_{o,\,\infty }B_{o,\,\infty })\vert \simeq 30\times (4\,10^{-4})\;$ en $\;m\;$ ou $\;F_{i}B_{i}=12\;mm\;$» c'est-à-dire « une image de$\;12\,mm\;$de haut ».

## Vergence et aberrations chromatiques d'une lentille sphérique mince puis d'un doublet de lentilles sphériques minces accolées ou non, formule de Gullstrand
### Vergence et aberrations chromatiques d'une lentille sphérique mince

Une lentille sphérique est un cas particulier de « système dioptrique centré » d'axe de révolution jouant le rôle d'axe optique principal $\;\Delta$, Une lentille sphérique est un cas particulier de « système dioptrique centré » obtenu par la juxtaposition de deux dioptres sphériques ou plan dont l'un au moins est sphérique, Une lentille sphérique est un cas particulier de « système dioptrique centré » obtenu par la juxtaposition de deux dioptres de même espace optique intermédiaire d'indice $\;n$ :
* le 1er dioptre $\;{\mathcal {D}}_{e}$, dit dioptre d'entrée, est de sommet $\;S_{e}$, de centre $\;C_{e}$, de rayon de courbure algébrisé $\;{\overline {R_{e}}}={\overline {S_{e}C_{e}}}\neq 0\;$, séparant l'espace optique d'indice $\;n_{o}\;$ ${\big$jouant le rôle d'espace objet réel pour la lentille sphérique${\big )}\;$ et l'espace optique intermédiaire d'indice $\;n$ ;
* le 2ème dioptre $\;{\mathcal {D}}_{s}$, dit dioptre de sortie, est de sommet $\;S_{s}$, de centre $\;C_{s}$, de rayon de courbure algébrisé $\;{\overline {R_{s}}}={\overline {S_{s}C_{s}}}\neq 0\;$, séparant l'espace optique intermédiaire d'indice $\;n\;$ et l'espace optique d'indice $\;n_{i}\;$ ${\big$jouant le rôle d'espace image réelle pour la lentille sphérique${\big )}$ ;
nous admettrons les relations de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}\;$ d'un dioptre sphérique établies dans la solution des questions « conclusion : stigmatisme approché du dioptre sphérique (concave convergent) pour le point objet A$_o$ et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) » et « relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) » de la série $13$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » à savoir $\;{\big \$le dioptre sphérique étant de sommet $\;S\;$ séparant un milieu d'indice $\;n_{o}\;$ situé à gauche de $\;S\;$ d'un milieu d'indice $\;n_{i}\;$ situé à droite de $\;S$, le rayon de courbure algébrisé étant $\;{\overline {R}}={\overline {SC}}\;$ où $\;C\;$ est le centre de courbure${\big \}$ :
* la 1ère relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ ${\big$ou relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ de position${\big ]}\;$ de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}\;$ «$\;{\dfrac {n_{i}}{\overline {SA_{i}}}}-{\dfrac {n_{o}}{\overline {SA_{o}}}}=V\;$» avec «$\;V\;$ une constante définissant la vergence du dioptre sphérique selon $\;V={\dfrac {-(n_{o}-n_{i})}{\overline {R}}}\;$» $\;{\big$dans le cas d'un dioptre plan cette relation est encore applicable avec $\;V=0{\big ]}$ ;
* la 2ème relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ ${\big$ou relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ de grandisssement transverse${\big ]}\;$ de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}\;$ «$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {n_{o}}{n_{i}}}\;{\dfrac {\overline {SA_{i}}}{\overline {SA_{o}}}}\;$» $\;{\big$encore applicable dans le cas d'un dioptre plan${\big ]}$.

#### Vergence d'une lentille sphérique mince

Une lentille sphérique étant « mince » si « son épaisseur $\;e=S_{e}S_{s}\;$ est très petite » c'est-à-dire si « les sommets des faces d'entrée et de sortie peuvent être confondus » $\;S_{e}\simeq S_{s}$, le point commun définissant le centre optique $\;O\;$ de la lentille sphérique mince, établir les 1ère et 2ème relations de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ de Descartes à partir de celles des dioptres d'entrée et de sortie $\;{\big$avec origine au sommet respectif${\big )}\;$ et déterminer l'expression de la vergence de la lentille sphérique mince séparant l'espace objet réel d'indice $\;n_{o}\;$ de l'espace image réelle d'indice $\;n_{i}$,
puis retrouver les relations de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ de position et de grandissement transverse de Descartes dans le cas où la lentille sphérique mince est plongée dans l'air et puis réécrire l'expression de sa vergence.
Considérant une lentille sphérique a priori non mince conjuguant le point objet $\;A_{o}\;$ et le point image $\;A_{i}\;$ selon «$\;A_{o}\;{\stackrel {{\mathcal {D}}_{e}}{\longrightarrow }}\;A_{1}\;{\stackrel {{\mathcal {D}}_{s}}{\longrightarrow }}\;A_{i}\;$» dans les conditions de stigmatisme $\;{\big$approché${\big )}\;$ de Gauss$^,$, on écrit les relations de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ de position de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet respectif${\big )}\;$ appliquées à chaque dioptre soit «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\dfrac {n}{\overline {S_{e}A_{1}}}}-{\dfrac {n_{o}}{\overline {S_{e}A_{o}}}}=V_{e}\;{\text{ avec }}\;V_{e}={\dfrac {-(n_{o}-n)}{{\overline {R}}_{e}}}\\{\dfrac {n_{i}}{\overline {S_{s}A_{i}}}}-{\dfrac {n}{\overline {S_{s}A_{1}}}}=V_{s}\;{\text{ avec }}\;V_{s}={\dfrac {-(n-n_{i})}{{\overline {R}}_{s}}}\end{array}}\right\rbrace \;$» dans lesquelles nous voyons la difficulté pour éliminer l'image intermédiaire $\;A_{1}\;$ dans le cas d'une lentille sphérique « épaisse », difficulté engendrée par $\;S_{e}\neq S_{s}$ ;
$\;S_{e}\simeq S_{s}\simeq O\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\dfrac {n}{\overline {OA_{1}}}}-{\dfrac {n_{o}}{\overline {OA_{o}}}}=V_{e}\\{\dfrac {n_{i}}{\overline {OA_{i}}}}-{\dfrac {n}{\overline {OA_{1}}}}=V_{s}\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;A_{1}\;$
$\Rightarrow$
$\;{\dfrac {n_{i}}{\overline {OA_{i}}}}-{\dfrac {n_{o}}{\overline {OA_{o}}}}=V_{e}+V_{s}\;$
$\;V_{e}+V_{s}\;$
$\;V\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
${\big$
$\;{\big$
${\big )}\;$
${\big ]}\;$
$\;{\dfrac {n_{i}}{p_{i}}}-{\dfrac {n_{o}}{p_{o}}}=V\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}p_{o}={\overline {OA_{o}}}\\p_{i}={\overline {OA_{i}}}\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;V={\dfrac {(n_{i}-n)}{{\overline {R}}_{s}}}-{\dfrac {(n_{o}-n)}{{\overline {R}}_{e}}}\;$
considérant encore une lentille sphérique a priori non mince conjuguant l'objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ et l'image correspondante $\;A_{i}B_{i}\;$ selon «$\;A_{o}B_{o}\;{\stackrel {{\mathcal {D}}_{e}}{\longrightarrow }}\;A_{1}B_{1}\;{\stackrel {{\mathcal {D}}_{s}}{\longrightarrow }}\;A_{i}B_{i}\;$» dans les conditions de stigmatisme et d'aplanétisme $\;{\big$approchés${\big )}\;$ de Gauss$^,$$^,$, on écrit les relations de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ de grandissement transverse de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet respectif${\big )}\;$ appliquées à chaque dioptre selon «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}G_{t,\,e}(A_{o}){\stackrel {\text{déf}}{=}}{\dfrac {\overline {A_{1}B_{1}}}{\overline {A_{o}B_{o}}}}={\dfrac {n_{o}}{n}}\;{\dfrac {\overline {S_{e}A_{1}}}{\overline {S_{e}A_{o}}}}\\G_{t,\,s}(A_{1}){\stackrel {\text{déf}}{=}}{\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{\overline {A_{1}B_{1}}}}={\dfrac {n}{n_{i}}}\;{\dfrac {\overline {S_{s}A_{i}}}{\overline {S_{s}A_{1}}}}\end{array}}\right\rbrace \;$», le grandissement transverse de l'objet $\;A_{o}B_{o}\;$ par la lentille sphérique « épaisse » se définissant par «$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{\overline {A_{o}B_{o}}}}\;$» et pouvant aisément se réécrire «$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{\overline {A_{1}B_{1}}}}\times {\dfrac {\overline {A_{1}B_{1}}}{\overline {A_{o}B_{o}}}}\;$» ou «$\;G_{t}(A_{o})=G_{t,\,s}(A_{1})\;G_{t,\,e}(A_{o})\;$», on en déduit «$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {n}{n_{i}}}\;{\dfrac {\overline {S_{s}A_{i}}}{\overline {S_{s}A_{1}}}}\;{\dfrac {n_{o}}{n}}\;{\dfrac {\overline {S_{e}A_{1}}}{\overline {S_{e}A_{o}}}}\;$» soit encore «$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {n_{o}}{n_{i}}}\;{\dfrac {\overline {S_{s}A_{i}}}{\overline {S_{e}A_{o}}}}\;{\dfrac {\overline {S_{e}A_{1}}}{\overline {S_{s}A_{1}}}}\;$» dans laquelle l'élimination définitive de l'image intermédiaire ne semble pas aisée ;
$\;S_{e}\simeq S_{s}\simeq O\;$
$\;{\dfrac {\overline {S_{e}A_{1}}}{\overline {S_{s}A_{1}}}}={\dfrac {\overline {OA_{1}}}{\overline {OA_{1}}}}=1$
$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {n_{o}}{n_{i}}}\;{\dfrac {\overline {OA_{i}}}{\overline {OA_{o}}}}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
${\big$
$\;{\big$
${\big )}\;$
${\big ]}\;$
$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {n_{o}}{n_{i}}}\;{\dfrac {p_{i}}{p_{o}}}\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}p_{o}={\overline {OA_{o}}}\\p_{i}={\overline {OA_{i}}}\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;n_{o}=n_{i}\simeq 1\;$
$\Rightarrow$
$\;{\big$
${\big )}\;$
${\big$
$\;{\big$
${\big )}\;$
${\big ]}\;$
$\;{\dfrac {1}{p_{i}}}-{\dfrac {1}{p_{o}}}=V\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}p_{o}={\overline {OA_{o}}}\\p_{i}={\overline {OA_{i}}}\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;V=(1-n)\left({\dfrac {1}{{\overline {R}}_{s}}}-{\dfrac {1}{{\overline {R}}_{e}}}\right)\;$
$\;\color {transparent}{n_{o}=n_{i}\simeq 1}\;$
$\color {transparent}{\Rightarrow }$
$\;{\big$
${\big )}\;$
${\big$
$\;{\big$
${\big )}\;$
${\big ]}\;$
$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {p_{i}}{p_{o}}}\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}p_{o}={\overline {OA_{o}}}\\p_{i}={\overline {OA_{i}}}\end{array}}\right\rbrace \;$

#### Aberrations chromatiques d'une lentille sphérique mince

La vergence d'une lentille sphérique mince plongée dans l'air dépendant de l'indice $\;n\;$ du milieu constituant la lentille et celui-ci étant a priori plus ou moins dispersif, on observe, suivant la couleur considérée d'un faisceau incident de lumière blanche, $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal, que chaque couleur émerge en se focalisant sur l'axe optique principal en des foyers principaux image dont la localisation dépend de la couleur $\;{\big$voir ci-contre${\big )}$, défauts appelés aberrations chromatiques de la lentille sphérique mince et quantifiés de deux façons :
* en « aberration chromatique longitudinale » $\;{\overline {A_{L}}}\;$ définie par la distance algébrique qui sépare le foyer principal image bleu $\;F_{i,\,F}\;$ du foyer principal image rouge $\;F_{i,\,C}\;$ ${\big \$on observe donc un défaut de focalisation ponctuelle sur l'axe optique principal $\;\Delta \;$ du faisceau incident de lumière blanche $\;\parallel \;$ à $\;\Delta$, le point foyer principal image de couleur blanche n'existant pas mais étant remplacé, sur $\;\Delta$, par un segment de couleurs étalées $\;[F_{i,\,F}F_{i,\,C}]\;$${\big \}$,
* en « aberration chromatique transversale » $\;A_{T}\;$ définie comme le rayon de la plus petite tache lumineuse observée dans les plans focaux image de chaque couleur, le faisceau incident, $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal $\;\Delta \;$ de la lentille sphérique mince, étant de lumière blanche $\;{\big \$il s'agit donc d'un défaut de focalisation ponctuelle dans les plans focaux image du faisceau incident de lumière blanche $\;\parallel \;$ à $\;\Delta$, par exemple dans le plan focal image rouge $\;{\big$bleu ou autre${\big )}\;$, la focalisation est ponctuelle pour le rouge $\;{\big$bleu ou autre${\big )}\;$ et remplacée par un disque de plus ou moins grand rayon pour chaque autre couleur$^,$${\big \}$.
Sachant que le caractère plus ou moins dispersif d'un milieu se quantifie par la constringence $\;{\big$ou le nombre d'Abbe${\big )}\;$ de ce dernier «$\;\nu _{D}={\dfrac {n_{D}-1}{n_{F}-n_{C}}}\;$» dans laquelle les indices $\;_{C}$, $\;_{D}\;$ et $\;_{F}\;$ représentent respectivement les couleurs « rouge $\;\lambda _{0,\,C}=$ $0,6563\;\mu m\;$ ${\big$raie $\;C\;$ de l'hydrogène${\big )}\;$», « jaune $\;\lambda _{0,\,D}=$ $0,5893\;\mu m\;$ ${\big$raie $\;D\;$ du sodium${\big )}\;$» et « bleu $\;\lambda _{0,\,F}=0,4861\;\mu m\;$ ${\big$raie $\;F\;$ de l'hydrogène${\big )}\;$», on se propose de déterminer les aberrations chromatiques longitudinale et transversale d'une lentille sphérique mince biconvexe de rayons de courbure non algébrisés d'entrée $\;R_{e}=$ $20\;cm\;$ et de sortie $\;R_{s}=80\;cm$, de diamètre d'ouverture $\;D=6\;cm\;$ et d'indice suivant la relation de Cauchy «$\;n=a+{\dfrac {b}{\lambda _{0}^{2}}}\;$ avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}a=1,657\\b=8,3\;10^{-3}\;\mu m^{2}\end{array}}\right\rbrace \;$».

##### Détermination de la constringence du milieu et de la vergence moyenne de la lentille sphérique mince biconvexe précédemment définie

À partir des données précédemment introduites déterminer, pour la lentille sphérique mince biconvexe, algébriquement et numériquement
* la constringence du milieu la constituant et commenter le choix de ce milieu pour limiter les aberrations chromatiques de la lentille,
* la vergence moyenne ainsi que la distance focale image moyenne de la lentille.
* constringence du milieu constituant la lentille sphérique mince : compte-tenu de la définition $\;\nu _{D}={\dfrac {n_{D}-1}{n_{F}-n_{C}}}$, il convient d'évaluer l'indice pour les trois couleurs de référence par utilisation de la relation de Cauchy $\;n=a+{\dfrac {b}{\lambda _{0}^{2}}}\;$ avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}a=1,657\\b=8,3\;10^{-3}\;\mu m^{2}\end{array}}\right\rbrace$ : constringence du milieu constituant la lentille sphérique mince : $\succ \;$ couleur jaune $\;\lambda _{0,\,D}=0,5893\;\mu m\;$ ${\big$raie $\;D\;$ du sodium${\big )}$, $\;n_{D}=a+{\dfrac {b}{\lambda _{0,\,D}^{2}}}\;$ soit numériquement $\;n_{D}=1,657+{\dfrac {8,3\;10^{-3}}{(0,5893)^{2}}}\;$ ou constringence du milieu constituant la lentille sphérique mince : $\color {transparent}{\succ }\;$ couleur jaune $\;\color {transparent}{\lambda _{0,\,D}=0,5893\;\mu m}\;$ $\color {transparent}{\big$raie $\;\color {transparent}{D}\;$ du sodium$\color {transparent}{\big )}$, $\;n_{D}\simeq 1,68090\;$ puis constringence du milieu constituant la lentille sphérique mince : $\succ \;$ couleur bleu $\;\lambda _{0,\,F}=0,4861\;\mu m\;$ ${\big$raie $\;F\;$ de l'hydrogène${\big )}$, $\;n_{F}=a+{\dfrac {b}{\lambda _{0,\,F}^{2}}}\;$ soit numériquement $\;n_{F}=1,657+{\dfrac {8,3\;10^{-3}}{(0,4861)^{2}}}\;$ ou constringence du milieu constituant la lentille sphérique mince : $\color {transparent}{\succ }\;$ couleur bleu $\;\color {transparent}{\lambda _{0,\,F}=0,4861\;\mu m}\;$ $\color {transparent}{\big$raie $\;\color {transparent}{F}\;$ de l'hydrogène$\color {transparent}{\big )}$, $\;n_{F}\simeq 1,69213\;$ et enfin constringence du milieu constituant la lentille sphérique mince : $\succ \;$ couleur rouge $\;\lambda _{0,\,C}=0,6563\;\mu m\;$ ${\big$raie $\;C\;$ de l'hydrogène${\big )}$, $\;n_{C}=a+{\dfrac {b}{\lambda _{0,\,C}^{2}}}\;$ soit numériquement $\;n_{F}=1,657+{\dfrac {8,3\;10^{-3}}{(0,6563)^{2}}}\;$ ou constringence du milieu constituant la lentille sphérique mince : $\color {transparent}{\succ }\;$ couleur rouge $\;\color {transparent}{\lambda _{0,\,C}=0,6563\;\mu m}\;$ $\color {transparent}{\big$raie $\;\color {transparent}{C}\;$ de l'hydrogène$\color {transparent}{\big )}$, $\;n_{C}\simeq 1,67627$ ; constringence du milieu constituant la lentille sphérique mince : on en déduit littéralement la constringence $\;\nu _{D}={\dfrac {a-1+{\dfrac {b}{\lambda _{0,\,D}^{2}}}}{b\left({\dfrac {1}{\lambda _{0,\,F}^{2}}}-{\dfrac {1}{\lambda _{0,\,C}^{2}}}\right)}}\;$ donnant numériquement $\;\nu _{D}\simeq {\dfrac {1,68090-1}{1,69213-1,67627}}\simeq 42,93\;$ soit constringence du milieu constituant la lentille sphérique mince : on en déduit littéralement la constringence«$\;\nu _{D}\simeq 43\;$» ; constringence du milieu constituant la lentille sphérique mince : la valeur de la constringence étant $\;\lesssim 50$, il s'agit d'un « flint » qualifié de « très dispersif » et donc constringence du milieu constituant la lentille sphérique mince : la valeur de la constringence étant $\;\color {transparent}{\lesssim 50}$, il s'agit d'un « flint » mal adapté à la limitation des aberrations chromatiques.
* Vergence et distance focale image moyennes de la lentille sphérique mince biconvexe : le rayon de courbure algébrisé d'entrée est positif car le dioptre sphérique d'entrée qualifié de convexe avant insertion dans un montage reste, une fois inséré, convexe, $\;C_{e}\;$ étant à droite de $\;S_{e}\simeq O$, d'où «$\;{\overline {R_{e}}}=R_{e}=20\;cm\;$» et Vergence et distance focale image moyennes de la lentille sphérique mince biconvexe : le rayon de courbure algébrisé de sortie est négatif car, le dioptre sphérique de sortie qualifié de convexe avant insertion dans un montage est, une fois inséré, concave, $\;C_{s}\;$ étant à gauche de $\;S_{s}\simeq O$, d'où «$\;{\overline {R_{s}}}=-R_{s}=-80\;cm\;$» ; Vergence et distance focale image moyennes de la lentille sphérique mince biconvexe : la vergence moyenne de la lentille sphérique mince biconvexe vaut $\;V_{D}=(n_{D}-1)\left({\dfrac {1}{\overline {R_{e}}}}-{\dfrac {1}{\overline {R_{s}}}}\right)\;$ ou encore Vergence et distance focale image moyennes de la lentille sphérique mince biconvexe : la vergence moyenne de la lentille sphérique mince biconvexe vaut $\;V_{D}=\left(a-1+{\dfrac {b}{\lambda _{0,\,D}^{2}}}\right)\left({\dfrac {1}{\overline {R_{e}}}}-{\dfrac {1}{\overline {R_{s}}}}\right)\;$ donnant numériquement $\;V_{D}=(1,68090-1)\left({\dfrac {1}{0,200}}-{\dfrac {1}{-0,800}}\right)\simeq 4,2556$ en $\;m^{-1}\;$ soit «$\;V_{D}\simeq 4,256\;\delta \;$» ; Vergence et distance focale image moyennes de la lentille sphérique mince biconvexe : la distance focale image moyenne de la lentille sphérique mince biconvexe s'obtient par $\;f_{i,\,D}={\dfrac {1}{V_{D}}}\;$ ou Vergence et distance focale image moyennes de la lentille sphérique mince biconvexe : la distance focale image moyenne «$\;f_{i,\,D}={\dfrac {1}{\left(a-1+{\dfrac {b}{\lambda _{0,\,D}^{2}}}\right)\left({\dfrac {1}{\overline {R_{e}}}}-{\dfrac {1}{\overline {R_{s}}}}\right)}}\;$» donnant numériquement Vergence et distance focale image moyennes de la lentille sphérique mince biconvexe : la distance focale image moyenne «$\;f_{i,\,D}\simeq {\dfrac {1}{4,2556}}\simeq 0,23498\;$ en $\;m\;$» soit Vergence et distance focale image moyennes de la lentille sphérique mince biconvexe : la distance focale image moyenne «$\;f_{i,\,D}\simeq 235,0\;mm\;$».

##### Détermination de l'aberration chromatique longitudinale de la lentille sphérique mince biconvexe précédemment définie

À partir des mêmes données précédemment introduites déterminer, algébriquement puis numériquement, en fonction de la constringence et de la distance focale image moyenne$^,$ À partir des mêmes données précédemment introduites déterminer, algébriquement puis numériquement, l'aberration chromatique longitudinale de la lentille sphérique mince biconvexe.
L'aberration chromatique longitudinale de la lentille sphérique mince biconvexe définie selon «$\;{\overline {A_{L}}}={\overline {F_{i,\,F}F_{i,\,C}}}\;$» s'évalue à partir des distances focales images bleu $\;f_{i,\,F}\;$ et rouge $\;f_{i,\,C}\;$ L'aberration chromatique longitudinale de la lentille sphérique mince biconvexe définie selon «$\;{\overline {A_{L}}}=f_{i,\,C}-f_{i,\,F}\;$» avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}f_{i,\,C}=f_{i,\,D}+\left(f_{i,\,C}-f_{i,\,D}\right)=f_{i,\,D}\left(1+{\dfrac {f_{i,\,C}-f_{i,\,D}}{f_{i,\,D}}}\right)\simeq f_{i,\,D}\left(1+\varepsilon _{C}\right)\\f_{i,\,F}=f_{i,\,D}+\left(f_{i,\,F}-f_{i,\,D}\right)=f_{i,\,D}\left(1-{\dfrac {f_{i,\,D}-f_{i,\,F}}{f_{i,\,D}}}\right)\simeq f_{i,\,D}\left(1-\varepsilon _{F}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ L'aberration chromatique longitudinale de la lentille sphérique mince biconvexe définie où $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\varepsilon _{C}={\dfrac {f_{i,\,C}-f_{i,\,D}}{f_{i,\,D}}}\\\varepsilon _{F}={\dfrac {f_{i,\,D}-f_{i,\,F}}{f_{i,\,D}}}\end{array}}\right\rbrace \;$ sont des infiniment petits de même ordre un, soit encore «$\;{\overline {A_{L}}}\simeq f_{i,\,D}\;(\varepsilon _{C}+\varepsilon _{F})\;$» ;
il reste à expliciter $\;\varepsilon _{C}+\varepsilon _{F}\;$ en fonction, entre autres, de la constringence «$\;\nu _{D}={\dfrac {n_{D}-1}{n_{F}-n_{C}}}\;$» du milieu constituant la lentille, il reste à expliciter $\;\color {transparent}{\varepsilon _{C}+\varepsilon _{F}}\;$ en fonction, entre autres, de la constringence que l'on peut réécrire «$\;\nu _{D}={\dfrac {n_{D}-1}{(n_{F}-1)-(n_{C}-1)}}\;$» ou, en multipliant haut et bas par $\;\left(\!{\dfrac {1}{\overline {R_{e}}}}-{\dfrac {1}{\overline {R_{s}}}}\!\right)\;$ il reste à expliciter $\;\color {transparent}{\varepsilon _{C}+\varepsilon _{F}}\;$ en fonction, entre autres, de la constringence que l'on peut réécrire «$\;\nu _{D}={\dfrac {(n_{D}-1)\left({\dfrac {1}{{\overline {R}}_{e}}}-{\dfrac {1}{{\overline {R}}_{s}}}\right)}{(n_{F}-1)\left({\dfrac {1}{{\overline {R}}_{e}}}-{\dfrac {1}{{\overline {R}}_{s}}}\right)-(n_{C}-1)\left({\dfrac {1}{{\overline {R}}_{e}}}-{\dfrac {1}{{\overline {R}}_{s}}}\right)}}={\dfrac {V_{D}}{V_{F}-V_{C}}}\;$» puis, il reste à expliciter $\;\color {transparent}{\varepsilon _{C}+\varepsilon _{F}}\;$ en fonction, entre autres, de la avec la définition de la vergence en fonction de la distance focale image, «$\;\nu _{D}={\dfrac {\dfrac {1}{f_{i,\,D}}}{{\dfrac {1}{f_{i,\,F}}}-{\dfrac {1}{f_{i,\,C}}}}}={\dfrac {1}{{\dfrac {f_{i,\,D}}{f_{i,\,F}}}-{\dfrac {f_{i,\,D}}{f_{i,\,C}}}}}\;$» il reste à expliciter $\;\color {transparent}{\varepsilon _{C}+\varepsilon _{F}}\;$ en fonction, entre autres, de la dans laquelle «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\dfrac {f_{i,\,F}}{f_{i,\,D}}}\simeq 1-\varepsilon _{F}\\{\dfrac {f_{i,\,C}}{f_{i,\,D}}}\simeq 1+\varepsilon _{C}\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\dfrac {f_{i,\,D}}{f_{i,\,F}}}\simeq {\dfrac {1}{1-\varepsilon _{F}}}\simeq 1+\varepsilon _{F}\\{\dfrac {f_{i,\,D}}{f_{i,\,C}}}\simeq {\dfrac {1}{1+\varepsilon _{C}}}\simeq 1-\varepsilon _{C}\end{array}}\right\rbrace \;$» et par suite il reste à expliciter $\;\color {transparent}{\varepsilon _{C}+\varepsilon _{F}}\;$ en fonction, entre autres, de la constringence «$\;\nu _{D}={\dfrac {1}{{\dfrac {f_{i,\,D}}{f_{i,\,F}}}-{\dfrac {f_{i,\,D}}{f_{i,\,C}}}}}\simeq {\dfrac {1}{(1+\varepsilon _{F})-(1-\varepsilon _{C})}}={\dfrac {1}{\varepsilon _{F}+\varepsilon _{C}}}\;$» soit «$\;\varepsilon _{F}+\varepsilon _{C}\simeq {\dfrac {1}{\nu _{D}}}\;$» ;
le report dans l'expression de l'aberration chromatique longitudinale «$\;{\overline {A_{L}}}\simeq f_{i,\,D}\;(\varepsilon _{C}+\varepsilon _{F})\;$» précédemment trouvée nous conduit à «$\;{\overline {A_{L}}}\simeq {\dfrac {f_{i,\,D}}{\nu _{D}}}\;$» ou numériquement, le report dans l'expression de l'aberration chromatique longitudinale «$\;\color {transparent}{{\overline {A_{L}}}\simeq f_{i,\,D}\;(\varepsilon _{C}+\varepsilon _{F})}\;$» précédemment trouvée nous conduit à «$\;{\overline {A_{L}}}\simeq {\dfrac {235,0}{42,93}}\simeq 5,4740\;$ en $\;mm\;$» soit finalement le report dans l'expression de l'aberration chromatique longitudinale «$\;\color {transparent}{{\overline {A_{L}}}\simeq f_{i,\,D}\;(\varepsilon _{C}+\varepsilon _{F})}\;$» précédemment trouvée nous conduit à «$\;{\overline {A_{L}}}\simeq 5,5\;mm\;$».
Remarque : vérifions s'il est réellement licite de considérer $\;{\dfrac {f_{i,\,C}-f_{i,\,D}}{f_{i,\,D}}}=\varepsilon _{C}\;$ et $\;{\dfrac {f_{i,\,D}-f_{i,\,F}}{f_{i,\,D}}}=\varepsilon _{F}\;$ comme des infiniment petits de même ordre de grandeur en évaluant chaque distance focale image :  Remarque : $\succ \;$couleur rouge de vergence $\;V_{C}=(n_{C}-1)\left({\dfrac {1}{\overline {R_{e}}}}-{\dfrac {1}{\overline {R_{s}}}}\right)\simeq (1,67627-1)\left({\dfrac {1}{0,200}}-{\dfrac {1}{-0,800}}\right)\simeq 4,22669\;$ en $\;m^{-1}\;$ soit «$\;V_{C}\simeq 4,226\;\delta \;$» et Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$couleur rouge de distance focale image «$\;f_{i,\,C}={\dfrac {1}{V_{C}}}\simeq {\dfrac {1}{4,22669}}\simeq 0,236592\;$ en $\;m\;$» soit «$\;f_{i,\,D}\simeq 236,6\;mm\;$» donnant numériquement Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$couleur rouge «$\;f_{i,\,C}-f_{i,\,D}\simeq 236,6-235,0\;$ en $\;mm\;$» soit «$\;f_{i,\,C}-f_{i,\,D}\simeq 1,6\;mm\;$» et par suite «$\;\varepsilon _{C}={\dfrac {f_{i,\,C}-f_{i,\,D}}{f_{i,\,D}}}\simeq {\dfrac {1,6}{235,0}}\simeq 0,68\,\%\;$»,  Remarque : $\succ \;$couleur bleu de vergence $\;V_{F}=(n_{F}-1)\left({\dfrac {1}{\overline {R_{e}}}}-{\dfrac {1}{\overline {R_{s}}}}\right)\simeq (1,69213-1)\left({\dfrac {1}{0,200}}-{\dfrac {1}{-0,800}}\right)\simeq 4,32581\;$ en $\;m^{-1}\;$ soit «$\;V_{F}\simeq 4,326\;\delta \;$» et Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$couleur bleu de distance focale image «$\;f_{i,\,F}={\dfrac {1}{V_{F}}}\simeq {\dfrac {1}{4,32581}}\simeq 0,2311706\;$ en $\;m\;$» soit «$\;f_{i,\,F}\simeq 231,1\;mm\;$» donnant numériquement Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$couleur bleu «$\;f_{i,\,D}-f_{i,\,F}\simeq 235,0-231,1\;$ en $\;mm\;$» soit «$\;f_{i,\,D}-f_{i,\,F}\simeq 3,9\;mm\;$» et par suite «$\;\varepsilon _{F}={\dfrac {f_{i,\,D}-f_{i,\,F}}{f_{i,\,D}}}\simeq {\dfrac {3,9}{235,0}}\simeq 1,66\,\%\;$» ;  Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$couleur bleu bien que $\;\varepsilon _{F}={\dfrac {f_{i,\,D}-f_{i,\,F}}{f_{i,\,D}}}\;$ étant $\;\nless 1\,\%\;$ et qu'il n'était pas rigoureusement licite de le considérer comme un infiniment petit d'ordre un en travaillant à $\;1\,\%\;$ près, Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$couleur bleu bien que $\;\color {transparent}{\varepsilon _{F}={\dfrac {f_{i,\,D}-f_{i,\,F}}{f_{i,\,D}}}}\;$ étant $\;\color {transparent}{\nless 1\,\%}\;$ l'erreur commise en faisant cette hypothèse peut être négligée, en effet Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$couleur bleu bien que $\;\color {transparent}{\varepsilon _{F}={\dfrac {f_{i,\,D}-f_{i,\,F}}{f_{i,\,D}}}}\;$ étant $\;\color {transparent}{\nless 1\,\%}\;$ on obtient la même valeur d'aberration chromatique longitudinale en la calculant directement Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$couleur bleu bien que $\;\color {transparent}{\varepsilon _{F}={\dfrac {f_{i,\,D}-f_{i,\,F}}{f_{i,\,D}}}}\;$ étant $\;\color {transparent}{\nless 1\,\%}\;$ on obtient la même valeur à partir des valeurs de distances focales images rouge et bleu Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$couleur bleu bien que $\;\color {transparent}{\varepsilon _{F}={\dfrac {f_{i,\,D}-f_{i,\,F}}{f_{i,\,D}}}}\;$ étant $\;\color {transparent}{\nless 1\,\%}\;$ on obtient la même valeur «$\;{\overline {A_{L}}}=f_{i,\,C}-f_{i,\,F}\simeq 236,6-231,1\simeq 5,5\;mm\;$».

##### Détermination de l'aberration chromatique transversale de la lentille sphérique mince biconvexe précédemment définie

À partir des mêmes données précédemment introduites déterminer algébriquement l'aberration chromatique transversale de la lentille sphérique mince biconvexe,  À partir des mêmes données précédemment introduites déterminer $\succ \;$d'abord en fonction de l'aberration chromatique longitudinale, des distances focales des couleurs extrêmes et du diamètre d'ouverture  À partir des mêmes données précédemment introduites déterminer $\succ \;$puis en fonction de la constringence et du diamètre d'ouverture,  À partir des mêmes données précédemment introduites et terminer en faisant l'application numérique ;
comparer les deux aberrations chromatiques et commenter.
L'aberration chromatique transversale étant définie par «$\;A_{T}=HB'=HB''\;$», on détermine
* $\;HB'\;$ en utilisant l'homothétie des triangles $\;OBF_{i,\,C}\;$ et $\;HB'F_{i,\,C}\;$ et
* $\;HB''\;$ en utilisant l'homothétie des triangles $\;OBF_{i,\,F}\;$ et $\;HB''F_{i,\,F}\;$,
soit, avec le rayon d'ouverture de la lentille $\;OB={\dfrac {D}{2}}$,
* $\;{\dfrac {\overline {HF_{i,\,C}}}{HB'}}={\dfrac {\overline {OF_{i,\,C}}}{\dfrac {D}{2}}}\;$ dont on déduit «$\;{\overline {HF_{i,\,C}}}=2\;f_{i,\,C}\;{\dfrac {A_{T}}{D}}\;$»,
* $\;{\dfrac {\overline {F_{i,\,F}H}}{HB''}}={\dfrac {\overline {OF_{i,\,F}}}{\dfrac {D}{2}}}\;$ dont on déduit «$\;{\overline {F_{i,\,F}H}}=2\;f_{i,\,F}\;{\dfrac {A_{T}}{D}}\;$»
et enfin, en faisant la somme des deux expressions $\;{\overline {HF_{i,\,C}}}\;$ et $\;{\overline {F_{i,\,F}H}}\;$, «$\;{\overline {F_{i,\,F}H}}+{\overline {HF_{i,\,C}}}={\overline {F_{i,\,F}F_{i,\,C}}}$ $={\overline {A_{L}}}\;$» on en déduit finalement «$\;{\overline {A_{L}}}=2\;(f_{i,\,C}+f_{i,\,F})\;{\dfrac {A_{T}}{D}}\;$» d'où une 1ère expression de l'aberration chromatique transversale «$\;A_{T}={\overline {A_{L}}}\;{\dfrac {D}{2\;(f_{i,\,C}+f_{i,\,F})}}\;$».
On sait, d'après la solution de la question « détermination de l'aberration chromatique longitudinale de la lentille sphérique mince biconvexe précédemment définie » plus haut dans cet exercice, On sait, que «$\;{\overline {A_{L}}}\simeq {\dfrac {f_{i,\,D}}{\nu _{D}}}\;$» d'où, par report dans l'expression précédente de $\;A_{T}$, on obtient «$\;A_{T}\simeq {\dfrac {f_{i,\,D}}{\nu _{D}}}\;{\dfrac {D}{2\;(f_{i,\,C}+f_{i,\,F})}}\;$» ou encore «$\;A_{T}\simeq {\dfrac {1}{2\;\nu _{D}}}\;{\dfrac {f_{i,\,D}\;D}{f_{i,\,C}+f_{i,\,F}}}\;$» dans lequel le facteur $\;{\dfrac {1}{2\;\nu _{D}}}\;$ étant de l'ordre de $\;10^{-2}\;$ est un infiniment petit d'ordre un $\Rightarrow$ «$\;A_{T}\;$ est un infiniment petit au moins d'ordre un » ;
comme cela est vu dans le paragraphe « déterminer le D.L. à l'ordre n d'un produit de deux fonctions dont le D.L. d'une des fonctions a pour terme prépondérant un infiniment petit d'ordre p » du chap.$14$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », comme cela est vu dans le paragraphe pour obtenir le D.L. à l'ordre un du « produit $\;A_{T}\simeq {\dfrac {1}{2\;\nu _{D}}}\;{\dfrac {f_{i,\,D}\;D}{f_{i,\,C}+f_{i,\,F}}}\;$» sachant que le 1er facteur $\;{\dfrac {1}{2\;\nu _{D}}}\;$ est considéré comme un infiniment petit d'ordre un, comme cela est vu dans le paragraphe pour obtenir le D.L. à l'ordre un du « produit il suffit de prendre le D.L. à l'ordre zéro du 2ème facteur $\;{\dfrac {f_{i,\,D}\;D}{f_{i,\,C}+f_{i,\,F}}}\;$ dans lequel «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}f_{i,\,C}\simeq f_{i,\,D}\left(1+\varepsilon _{C}\right)\\f_{i,\,F}\simeq f_{i,\,D}\left(1-\varepsilon _{F}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$» où «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\varepsilon _{C}={\dfrac {f_{i,\,C}-f_{i,\,D}}{f_{i,\,D}}}\\\varepsilon _{F}={\dfrac {f_{i,\,D}-f_{i,\,F}}{f_{i,\,D}}}\end{array}}\right\rbrace \;$ sont des infiniment petits de même ordre un », d'où les « D.L. à l'ordre zéro des distances focales images rouge et bleu $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}f_{i,\,C}\simeq f_{i,\,D}\\f_{i,\,F}\simeq f_{i,\,D}\end{array}}\right\rbrace \;$» et par suite le « D.L. à l'ordre zéro du 2ème facteur de l'aberration chromatique transversale $\;{\dfrac {f_{i,\,D}\;D}{f_{i,\,C}+f_{i,\,F}}}\simeq {\dfrac {f_{i,\,D}\;D}{2\;f_{i,\,D}}}={\dfrac {D}{2}}\;$» ; finalement la 2ème expression cherchée de l'aberration chromatique transversale est «$\;A_{T}\simeq {\dfrac {D}{4\;\nu _{D}}}\;$».
Numériquement on obtient «$\;A_{T}\simeq {\dfrac {6}{4\times 42,93}}\simeq 3,494\,10^{-2}\;$ en $\;cm\;$» soit «$\;A_{T}\simeq 0,35\;mm\;$» ;
$\;{\overline {A_{L}}}\simeq 5,5\;mm\;$
$\;A_{T}\simeq 0,35\;mm\;$

### Doublet de lentilles sphériques minces accolées, condition d'équivalence à une lentille sphérique mince et vergence de cette dernière, achromat mince

Les deux lentilles sphériques minces $\;{\mathcal {L}}_{1}\;$ et $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ de même axe optique principal $\;\Delta \;$ d'un doublet sont dites « accolées » quand leurs centres optiques $\;O_{1}\;$ et $\;O_{2}\;$ sont confondus, leur position commune étant notée $\;O$ ; notant $\;V_{1}\;$ et $\;V_{2}\;$ les vergences respectives des lentilles sphériques $\;{\mathcal {L}}_{1}\;$ et $\;{\mathcal {L}}_{2}$, on se propose de déterminer
* à quel système dioptrique le doublet de lentilles sphériques minces $\;{\mathcal {L}}_{1}\;$ et $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ accolées est équivalent puis,
* dans le cas où il serait équivalent à une lentille sphérique mince, dans quelle mesure il est possible de construire un achromat mince de vergence fixée en accolant deux lentilles sphériques minces de vergence adaptée et d'indice judicieusement choisi.

#### Applicabilité des relations de conjugaison de position et de grandissement transverse au doublet de lentilles sphériques minces accolées

Vérifier que le point $\;O\;$ est un point double du doublet de lentilles sphériques minces accolées puis
établir les relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Descartes du doublet en choisissant $\;O\;$ comme origine du repérage de Descartes des points objets et des points images correspondant.
Soient $\;{\mathcal {L}}_{1}\;$ et $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ deux lentilles sphériques minces de même axe optique principal $\;\Delta$, de centre optique commun $\;O_{1}\simeq O_{2}\;$ noté $\;O$, de vergences respectives $\;V_{1}\;$ et $\;V_{2}$, on vérifie aisément que le « point $\;O\;$ est un point double du doublet de lentilles sphériques minces accolées », c'est-à-dire «$\;O\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{1}}{\longrightarrow }}\;O\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{2}}{\longrightarrow }}\;O\;$» car $\;O\simeq O_{1}\;$ est un point double de $\;{\mathcal {L}}_{1}\;$ et $\;O\simeq O_{2}\;$ un point double de $\;{\mathcal {L}}_{2}$ d'où «$\;O\;$ est un point double du doublet de lentilles sphériques minces accolées » $\;{\big \$le choix de $\;O\;$ comme origine du repérage de Descartes des points objet et image du doublet de lentilles sphériques minces accolées permet un traitement simplifié des relations de conjugaison par le doublet${\big \}$ :
soient $\;A_{o}\;$ un point objet de $\;\Delta$, d'abscisse de Descartes $\;p_{o}={\overline {OA_{o}}}$, soient $\;A_{1}\in \Delta \;$ le point conjugué par $\;{\mathcal {L}}_{1}$, d'abscisse de Descartes $\;p_{1}={\overline {OA_{1}}}\;$ et soient $\;A_{i}\in \Delta \;$ le point image par le doublet de lentilles sphériques minces accolées, d'abscisse de Descartes $\;p_{i}={\overline {OA_{i}}}\;$ c'est-à-dire soient «$\;A_{o}\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{1}}{\longrightarrow }}\;A_{1}\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{2}}{\longrightarrow }}\;A_{i}\;$», nous pouvons appliquer successivement la 1ère relation de conjugaison de Descartes$^,$ à la lentille $\;{\mathcal {L}}_{1}\;$ puis nous pouvons appliquer successivement la 1ère relation de conjugaison de Descartes à la lentille $\;{\mathcal {L}}_{2}$, nous pouvons appliquer successivement la 1ère relation de conjugaison de Descartes nous obtenons «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\dfrac {1}{p_{1}}}-{\dfrac {1}{p_{o}}}=V_{1}\\{\dfrac {1}{p_{i}}}-{\dfrac {1}{p_{1}}}=V_{2}\end{array}}\right\rbrace \;$» et nous pouvons appliquer successivement la 1ère relation de conjugaison de Descartes nous éliminons aisément l'abscisse de l'image intermédiaire en faisant la somme de ces deux relations d'où nous pouvons appliquer successivement la 1ère relation de conjugaison de Descartes du doublet de lentilles sphériques minces accolées «$\;{\dfrac {1}{p_{i}}}-{\dfrac {1}{p_{o}}}=V_{1}+V_{2}\;$» ;
soient $\;A_{o}B_{o}\;$ un objet linéique transverse de pied $\;A_{o}\;$ d'abscisse de Descartes $\;p_{o}={\overline {OA_{o}}}$, soient $\;A_{1}B_{1}\;$ l'image conjuguée par $\;{\mathcal {L}}_{1}$, de pied $\;A_{1}\;$ d'abscisse de Descartes $\;p_{1}={\overline {OA_{1}}}\;$ et soient $\;A_{i}B_{i}\;$ l'image par le doublet de lentilles sphériques minces accolées, de pied $\;A_{i}\;$ d'abscisse de Descartes $\;p_{i}={\overline {OA_{i}}}\;$ c'est-à-dire soient «$\;A_{o}B_{o}\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{1}}{\longrightarrow }}\;A_{1}B_{1}\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{2}}{\longrightarrow }}\;A_{i}B_{i}\;$», nous pouvons appliquer successivement la 2ème relation de conjugaison de Descartes$^,$ à la lentille $\;{\mathcal {L}}_{1}\;$ puis nous pouvons appliquer successivement la 2ème relation de conjugaison de Descartes à la lentille $\;{\mathcal {L}}_{2}$, nous pouvons appliquer successivement la 2ème relation de conjugaison de Descartes nous obtenons «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}G_{t,\,1}(A_{o})\;{\stackrel {\text{déf}}{\;=\;}}\;{\dfrac {\overline {A_{1}B_{1}}}{\overline {A_{o}B_{o}}}}={\dfrac {p_{1}}{p_{o}}}\\G_{t,\,2}(A_{1})\;{\stackrel {\text{déf}}{\;=\;}}\;{\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{\overline {A_{1}B_{1}}}}={\dfrac {p_{i}}{p_{1}}}\end{array}}\right\rbrace \;$» ;
définissant le grandissement transverse de l'objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ par le doublet selon «$\;G_{t}(A_{o})\;{\stackrel {\text{déf}}{\;=\;}}\;{\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{\overline {A_{o}B_{o}}}}\;{\stackrel {\text{déf}}{\;=\;}}\;{\dfrac {\overline {A_{1}B_{1}}}{\overline {A_{o}B_{o}}}}\;{\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{\overline {A_{1}B_{1}}}}\;$» soit finalement «$\;G_{t}(A_{o})=$ $G_{t,\,1}(A_{o})\;G_{t,\,2}(A_{1})\;$», nous pouvons appliquer successivement la 2ème relation de conjugaison de Descartes nous éliminons aisément l'abscisse du pied de l'image intermédiaire en faisant le produit de ces deux relations de conjugaison de grandissement transverse de Descartes soit «$\;G_{t}(A_{o})=G_{t,\,1}(A_{o})\;G_{t,\,2}(A_{1})={\dfrac {p_{1}}{p_{o}}}\;{\dfrac {p_{i}}{p_{1}}}\;$» d'où nous pouvons appliquer successivement la 2ème relation de conjugaison de Descartes du doublet de lentilles sphériques minces accolées «$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {p_{i}}{p_{o}}}\;$».

#### Équivalence du doublet de lentilles sphériques minces accolées dans le cas où les vergences des deux lentilles sont opposées

Vérifier que tous les points objet $\;A_{o}\;$ sont des points doubles du doublet de lentilles sphériques minces accolées dans le cas où les vergences de celles-ci sont opposées et
préciser le système dioptrique équivalent au doublet de lentilles sphériques minces accolées.
Les relations de conjugaison de Descartes d'un doublet de lentilles sphériques minces accolées de vergences opposées étant «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\dfrac {1}{p_{i}}}-{\dfrac {1}{p_{o}}}=0\;\Leftrightarrow \;p_{i}=p_{o}\\G_{t}(A_{o})\;{\stackrel {\text{déf}}{\;=\;}}\;{\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{\overline {A_{o}B_{o}}}}={\dfrac {p_{i}}{p_{o}}}\end{array}}\right\rbrace \;$» ou encore «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overline {OA_{i}}}={\overline {OA_{o}}}\\{\overline {A_{i}B_{i}}}={\overline {A_{o}B_{o}}}\end{array}}\right\rbrace \;$», la 1ère relation établissant que tous les points $\;A_{o}\in \Delta \;$ sont des points doubles du doublet de lentilles sphériques minces accolées de vergences opposées et la 2ème relation établissant que l'image $\;A_{i}B_{i}\;$ se superpose point par point à l'objet $\;A_{o}B_{o}\;$ ;  en conclusion, le doublet de lentilles sphériques minces accolées de vergences opposées est équivalent à une lame d'air à faces$\;\parallel \;$.

#### Équivalence du doublet de lentilles sphériques minces accolées dans le cas où les vergences des deux lentilles ne sont pas opposées

Vérifier que le doublet de lentilles sphériques minces accolées est équivalent à une lentille sphérique mince dont le centre optique est le point $\;O\;$ dans le cas où les vergences des lentilles ne sont pas opposées et
préciser la vergence de la lentille sphérique mince équivalente en fonction des vergences des lentilles individuelles.
Les relations de conjugaison de Descartes d'un doublet de lentilles sphériques minces accolées de vergences non opposées étant «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\dfrac {1}{p_{i}}}-{\dfrac {1}{p_{o}}}=V_{1}+V_{2}\neq 0\\G_{t}(A_{o})\;{\stackrel {\text{déf}}{\;=\;}}\;{\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{\overline {A_{o}B_{o}}}}={\dfrac {p_{i}}{p_{o}}}\end{array}}\right\rbrace \;$» établissent l'équivalence du doublet à une lentille sphérique mince de même axe optique principal$\;\Delta$, de centre optique$\;O\;$et dont la vergence est la somme des vergences des lentilles individuelles soit «$\;V=V_{1}+V_{2}\;$».

#### Construction d'un achromat mince de vergence fixée en accolant deux lentilles sphériques minces de vergence adaptée utilisant des milieux d'indice judicieusement choisi

On se propose de réaliser un objectif achromatique mince, de vergence $\;V=4,25\;\delta \;$, en accolant deux lentilles sphériques minces :
* l'une plan convexe, de rayons de courbure non algébrisés $\;R_{e,\,1}\;$ et $\;R_{s,\,1}=\infty \;$ en verre « crown » de constringence $\;\nu _{D,\,1}=52\;$ et d'indice $\;n_{D,\,1}$ $=1,516\;$ pour la radiation jaune,
* l'autre plan concave, de rayons de courbure non algébrisés $\;R_{e,\,2}=\infty \;$ et $\;R_{s,\,2}\;$ en verre « flint » de constringence $\;\nu _{D,\,2}=43\;$ et d'indice $\;n_{D,\,2}=1,681\;$ pour la radiation jaune ;
en utilisant la vergence d'une lentille sphérique mince en fonction des rayons de courbures algébrisés des faces d'entrée et de sortie ainsi que de l'indice du milieu constituant la lentille en utilisant la vergence d'une lentille sphérique mince «$\;V=(1-n)\left({\dfrac {1}{{\overline {R}}_{s}}}-{\dfrac {1}{{\overline {R}}_{e}}}\right)\;$» $\;{\big$voir solution de la question « vergence d'une lentille sphérique mince » plus haut dans cet exercice${\big )}$, en utilisant la relation de Cauchy gérant la variation de l'indice d'un milieu «$\;n=a+{\dfrac {b}{\lambda _{0}^{2}}}\;$» avec $\;a\;$ et $\;b\;$ constantes caractéristiques du milieu et en utilisant la définition de la constringence d'un milieu «$\;\nu _{D}={\dfrac {n_{D}-1}{n_{F}-n_{C}}}\;$», laquelle, associée à la formule de Cauchy, permet de déterminer la valeur de la constante $\;b\;$ de la relation de Cauchy, en fonction de la constringence $\;\nu _{D}$, de l'indice $\;n_{D}\;$ pour la radiation jaune et des longueurs d'onde de référence, «$\;b=$ ${\dfrac {n_{D}-1}{\nu _{D}\left({\dfrac {1}{\lambda _{0,\,F}^{2}}}-{\dfrac {1}{\lambda _{0,\,C}^{2}}}\right)}}\;$»,
* déterminer une 1ère expression de la vergence $\;V\;$ du doublet de lentilles sphériques minces accolées en fonction des vergences $\;V_{1}\;$ et $\;V_{2}\;$ de chaque lentille individuelle $\;{\big$dont l'expression pour la radiation jaune définit la relation $\;({\mathfrak {1}}){\big ]}$, puis déterminer une 2ème expression en fonction des rayons de courbure algébrisés des faces d'entrée et de sortie ainsi que des indices des milieux présents et enfin,
* déterminer la condition pour que le doublet de lentilles sphériques minces accolées soit achromatique en écrivant que la dérivée de sa vergence par rapport à la longueur d'onde dans le vide $\;\lambda _{0}\;$ est nulle pour $\;\lambda _{0}=\lambda _{0,\,D}\;$, on explicitera cette condition en fonction de la vergence pour la radiation jaune et de la constringence de chaque lentille individuelle $\;{\big$relation $\;({\mathfrak {2}}){\big ]}$ ;
résoudre littéralement et numériquement le système d'équations linéaires $\;\left\lbrace ({\mathfrak {1}})\,;\,({\mathfrak {2}})\right\rbrace \;$ aux deux inconnues $\;[V_{1}(\lambda _{0,\,D})\,;\,V_{2}(\lambda _{0,\,D})]\;$ puis
préciser la nature « convergente ou divergente » de l'achromat mince obtenu et enfin
en déduire littéralement et numériquement :  en déduire les distances focales image de chaque lentille pour la radiation jaune,  en déduire les rayons de courbure non algébrisés d'entrée de la lentille plan convexe et de sortie de la lentille plan concave.
* D'après la solution de la question « équivalence du doublet de lentilles sphériques minces accolées dans le cas où les vergences des deux lentilles ne sont pas opposées » plus haut dans cet exercice, les vergences des lentilles composant le doublet de lentilles sphériques minces accolées sont liées à celle du doublet par «$\;V_{i}+V_{2}=V\;$», l'expression écrite pour la radiation jaune définissant la relation «$\;({\mathfrak {1}})\quad V_{1}(\lambda _{0,\,D})+V_{2}(\lambda _{0,\,D})=V(\lambda _{0,\,D})\;$» ; la vergence du doublet s'explicite en fonction des rayons de courbure algébrisés des faces d'entrée et de sortie de chaque lentille individuelle «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\text{pour }}{\mathcal {L}}_{1}\;\;{\overline {R_{e,\,1}}}=R_{e,\,1}\;{\text{ et }}\;R_{s,\,1}=\infty \\{\text{pour }}{\mathcal {L}}_{2}\;\;R_{e,\,2}=\infty \;{\text{ et }}\;{\overline {R_{s,\,2}}}=R_{s,\,2}\end{array}}\right\rbrace \;$» ainsi que la vergence du doublet s'explicite en fonction des indices des milieux composant chaque lentille «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\text{pour }}{\mathcal {L}}_{1}\;\;n_{1}=a_{1}+{\dfrac {b_{1}}{\lambda _{0}^{2}}}\\{\text{pour }}{\mathcal {L}}_{2}\;\;n_{2}=a_{2}+{\dfrac {b_{2}}{\lambda _{0}^{2}}}\end{array}}\right\rbrace \;$» d'où la vergence du doublet «$\;\left(1-n_{1}\right)\left({\dfrac {1}{\overline {R_{s,\,1}}}}-{\dfrac {1}{\overline {R_{e,\,1}}}}\right)+\left(1-n_{2}\right)\left({\dfrac {1}{\overline {R_{s,\,2}}}}-{\dfrac {1}{\overline {R_{e,\,2}}}}\right)=V\;$» ou «$\;{\dfrac {n_{1}-1}{R_{e,\,1}}}-{\dfrac {n_{2}-1}{R_{s,\,2}}}=V\;$», soit l'expression de la vergence du doublet écrite pour la radiation jaune «$\;({\mathfrak {1}})\quad {\dfrac {n_{D,\,1}-1}{R_{e,\,1}}}-{\dfrac {n_{D,\,2}-1}{R_{s,\,2}}}=V_{D}\;$».
* La condition pour que le doublet de lentilles sphériques minces accolées soit achromatique s'écrit «$\;{\dfrac {dV}{d\lambda _{0}}}(\lambda _{0,\,D})=0\;$» avec «$\;{\dfrac {dV}{d\lambda _{0}}}(\lambda _{0})={\dfrac {dn_{1}}{d\lambda _{0}}}(\lambda _{0})\;{\dfrac {1}{R_{e,\,1}}}-{\dfrac {dn_{2}}{d\lambda _{0}}}(\lambda _{0})\;{\dfrac {1}{R_{s,\,2}}}\;$» et La condition pour que le doublet de lentilles sphériques minces accolées soit achromatique s'écrit «$\;\color {transparent}{{\dfrac {dV}{d\lambda _{0}}}(\lambda _{0,\,D})=0}\;$» avec «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\dfrac {dn_{1}}{d\lambda _{0}}}(\lambda _{0})=-2\;{\dfrac {b_{1}}{\lambda _{0}^{3}}}\\{\dfrac {dn_{2}}{d\lambda _{0}}}(\lambda _{0})=-2\;{\dfrac {b_{2}}{\lambda _{0}^{3}}}\end{array}}\right\rbrace \;$» d'où La condition pour que le doublet de lentilles sphériques minces accolées soit achromatique s'écrit «$\;-2\;{\dfrac {b_{1}}{\lambda _{0,\,D}^{3}}}\;{\dfrac {1}{R_{e,\,1}}}+2\;{\dfrac {b_{2}}{\lambda _{0,\,D}^{3}}}\;{\dfrac {1}{R_{s,\,2}}}=0\;$» dans laquelle $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}b_{1}={\dfrac {n_{D,\,1}-1}{\nu _{D,\,1}\left({\dfrac {1}{\lambda _{0,\,F}^{2}}}-{\dfrac {1}{\lambda _{0,\,C}^{2}}}\right)}}\\b_{2}={\dfrac {n_{D,\,2}-1}{\nu _{D,\,2}\left({\dfrac {1}{\lambda _{0,\,F}^{2}}}-{\dfrac {1}{\lambda _{0,\,C}^{2}}}\right)}}\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ La condition pour que le doublet de lentilles sphériques minces accolées soit achromatique s'écrit «$\;-2\;{\dfrac {n_{D,\,1}-1}{\nu _{D,\,1}\;\lambda _{0,\,D}^{3}\left({\dfrac {1}{\lambda _{0,\,F}^{2}}}-{\dfrac {1}{\lambda _{0,\,C}^{2}}}\right)}}\;{\dfrac {1}{R_{e,\,1}}}+2\;{\dfrac {n_{D,\,2}-1}{\nu _{D,\,2}\;\lambda _{0,\,D}^{3}\left({\dfrac {1}{\lambda _{0,\,F}^{2}}}-{\dfrac {1}{\lambda _{0,\,C}^{2}}}\right)}}\;{\dfrac {1}{R_{s,\,2}}}=0\;$» ou La condition pour que le doublet de lentilles sphériques minces accolées soit achromatique s'écrit «$\;{\dfrac {1}{\nu _{D,\,1}}}\;{\dfrac {n_{D,\,1}-1}{R_{e,\,1}}}={\dfrac {1}{\nu _{D,\,2}}}\;{\dfrac {n_{D,\,2}-1}{R_{s,\,2}}}\;$» après simplification évidente, soit, La condition pour que le doublet de lentilles sphériques minces accolées soit achromatique s'écrit en reconnaissant «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}{\dfrac {n_{D,\,1}-1}{R_{e,\,1}}}\!\!&=&\!\!V_{1}(\lambda _{0,\,D})>0\\-{\dfrac {n_{D,\,2}-1}{R_{s,\,2}}}\!\!&=&\!\!V_{2}(\lambda _{0,\,D})<0\end{array}}\right\rbrace \;$», la réécriture de la condition d'achromatisme du doublet de lentilles sphériques minces accolées selon la relation «$\;({\mathfrak {2}})\quad {\dfrac {V_{1}(\lambda _{0,\,D})}{\nu _{D,\,1}}}=-{\dfrac {V_{2}(\lambda _{0,\,D})}{\nu _{D,\,2}}}\;$».
Résolution du système d'équations linéaires à deux inconnues «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c r c l}V_{1}(\lambda _{0,\,D})\!\!&+&\!\!V_{2}(\lambda _{0,\,D})\!\!&=&\!\!V\quad ({\mathfrak {1}})\\\nu _{D,\,2}\;V_{1}(\lambda _{0,\,D})\!\!&+&\!\!\nu _{D,\,1}\;V_{2}(\lambda _{0,\,D})\!\!&=&\!\!0\quad ({\mathfrak {2}}')\end{array}}\right\rbrace \;$» : on détermine, en résolvant par C.L.$^,$,  Résolution du système d'équations linéaires à deux inconnues $\;\succ$$\;V_{1}(\lambda _{0,\,D})\;$ par « C.L. $\;\nu _{D,\,1}\;({\mathfrak {1}})-({\mathfrak {2}}')\;$» donnant la solution «$\;V_{1}(\lambda _{0,\,D})={\dfrac {\nu _{D,\,1}\;V}{\nu _{D,\,1}-\nu _{D,\,2}}}\;$» soit numériquement Résolution du système d'équations linéaires à deux inconnues $\;\color {transparent}{\succ }$$\;\color {transparent}{V_{1}(\lambda _{0,\,D})}\;$ par « C.L. $\;\color {transparent}{\nu _{D,\,1}\;({\mathfrak {1}})-({\mathfrak {2}}')}\;$» donnant la solution «$\;V_{1}(\lambda _{0,\,D})={\dfrac {52\times 4,25}{52-43}}\simeq 24,56\;\delta \;$» et  Résolution du système d'équations linéaires à deux inconnues $\;\succ$$\;V_{2}(\lambda _{0,\,D})\;$ par « C.L. $\;-\nu _{D,\,2}\;({\mathfrak {1}})+({\mathfrak {2}}')\;$» donnant la solution «$\;V_{2}(\lambda _{0,\,D})=-{\dfrac {\nu _{D,\,2}\;V}{\nu _{D,\,1}-\nu _{D,\,2}}}\;$» soit numériquement Résolution du système d'équations linéaires à deux inconnues $\;\color {transparent}{\succ }$$\;\color {transparent}{V_{2}(\lambda _{0,\,D})}\;$ par « C.L. $\;\color {transparent}{-\nu _{D,\,2}\;({\mathfrak {1}})+({\mathfrak {2}}')}\;$» donnant la solution «$\;V_{2}(\lambda _{0,\,D})=-{\dfrac {43\times 4,25}{52-43}}\simeq -20,31\;\delta \;$».
Nature de l'achromat mince obtenu : la vergence de l'achromat mince pour la couleur jaune valant «$\;V_{D}=V_{1}(\lambda _{0,\,D})+V_{2}(\lambda _{0,\,D})\simeq 24,56\;\delta +(-20,31\;\delta )\simeq 4,25\;\delta \;$» est $\;>0\;$ d'où Nature de l'achromat mince obtenu : le caractère convergent de l'achromat mince construit $\;{\big$avec d'autres données il est bien sûr possible de construire un achromat mince divergent${\big )}$.
Distance focale image de chaque lentille pour la radiation jaune : $\succ \;$pour la lentille $\;{\mathcal {L}}_{1}\;$ on a «$\;f_{i,\,1,\,D}={\dfrac {1}{V_{1}(\lambda _{0,\,D})}}={\dfrac {\nu _{D,\,1}-\nu _{D,\,2}}{\nu _{D,\,1}\;V}}\;$» donnant numériquement Distance focale image de chaque lentille pour la radiation jaune : $\color {transparent}{\succ }\;$pour la lentille $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}_{1}}\;$ on a «$\;f_{i,\,1,\,D}\simeq {\dfrac {1}{24,56}}\simeq 0,04072\;$ en $\;m\;$» ou «$\;f_{i,\,1,\,D}\simeq 40,7\;mm\;$» et  Distance focale image de chaque lentille pour la radiation jaune : $\succ \;$pour la lentille $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ on a «$\;f_{i,\,2,\,D}={\dfrac {1}{V_{2}(\lambda _{0,\,D})}}=-{\dfrac {\nu _{D,\,1}-\nu _{D,\,2}}{\nu _{D,\,2}\;V}}\;$» donnant numériquement Distance focale image de chaque lentille pour la radiation jaune : $\color {transparent}{\succ }\;$pour la lentille $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}_{2}}\;$ on a «$\;f_{i,\,2,\,D}\simeq {\dfrac {1}{-20,31}}\simeq -0,04924\;$ en $\;m\;$» ou «$\;f_{i,\,2,\,D}\simeq -49,2\;mm\;$».
Rayon de courbure non algébrisé de la face d'entrée$\;{\big$ou de sortie${\big )}\;$de chaque lentille : $\succ \;$pour la lentille plan convexe $\;{\mathcal {L}}_{1}\;$ on a «$\;V_{1}(\lambda _{0,\,D})={\dfrac {n_{D,\,1}-1}{R_{e,\,1}}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;R_{e,\,1}={\dfrac {n_{D,\,1}-1}{V_{1}(\lambda _{0,\,D})}}\;$» donnant numériquement Rayon de courbure non algébrisé de la face d'entrée$\;\color {transparent}{\big$ou de sortie$\color {transparent}{\big )}\;$de chaque lentille : $\color {transparent}{\succ }\;$pour la lentille plan convexe $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}_{1}}\;$ on a «$\;R_{e,\,1}\simeq {\dfrac {1,516-1}{24,56}}\simeq 0,0211\;$ en $\;m\;$» soit «$\;R_{e,\,1}\simeq 21,1\;mm\;$» et  Rayon de courbure non algébrisé de la face d'entrée$\;\color {transparent}{\big$ou de sortie$\color {transparent}{\big )}\;$de chaque lentille : $\succ \;$pour la lentille plan concave $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ on a «$\;V_{2}(\lambda _{0,\,D})={\dfrac {1-n_{D,\,2}}{R_{s,\,2}}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;R_{s,\,2}={\dfrac {1-n_{D,\,2}}{V_{2}(\lambda _{0,\,D})}}\;$» donnant numériquement Rayon de courbure non algébrisé de la face d'entrée$\;\color {transparent}{\big$ou de sortie$\color {transparent}{\big )}\;$de chaque lentille : $\color {transparent}{\succ }\;$pour la lentille plan concave $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}_{2}}\;$ on a «$\;R_{s,\,2}\simeq {\dfrac {1-1,681}{-20,31}}\simeq 0,0335\;$ en $\;m\;$» soit «$\;R_{s,\,2}\simeq 33,5\;mm\;$».

### Doublet de lentilles sphériques minces non accolées, formule de Gullstrand et condition d'achromatisme du doublet

On considère un doublet de lentilles sphériques minces non accolées constitué
* d'une 1ère lentille sphérique mince convergente $\;{\mathcal {L}}_{1}$, de centre optique $\;O_{1}$, d'axe optique principal $\;\Delta \;$ et de vergence $\;V_{1}>0\;$ puis
* d'une 2ème lentille sphérique mince divergente ou convergente $\;{\mathcal {L}}_{2}$, de centre optique $\;O_{2}$, de même axe optique principal $\;\Delta \;$ et de vergence $\;V_{2}>\;{\text{ou}}\;<0$, d'une 2ème lentille sphérique mince séparée de la précédente $\;{\mathcal {L}}_{1}\;$ de la distance $\;e=O_{1}O_{2}$ ;
on se propose dans un 1er temps de déterminer les caractéristiques du doublet en fonction des vergences de chaque lentille ainsi que de la distance les séparant, c'est-à-dire on se propose dans un 1er temps de préciser à quelle condition le doublet est focal et, dans cette hypothèse, de positionner les foyers principaux objet et image de ce doublet, puis
on se propose dans un 2ème temps de déterminer la valeur absolue de la distance focale image du doublet par applicabilité des deux relations de conjugaison approchée de Newton au doublet, on se propose dans un 2ème temps enfin, en admettant $\;\succ \;$le caractère convergent du doublet de lentilles sphériques minces simultanément convergentes si «$\;e<f_{i,\,1}+f_{i,\,2}\;$» et on se propose dans un 2ème temps enfin, en admettant $\;\color {transparent}{\succ }\;$le caractère divergent du doublet de lentilles sphériques minces simultanément convergentes ou on se propose dans un 2ème temps enfin, en admettant $\;\color {transparent}{\succ }\;$le caractère divergent du doublet de lentilles sphériques minces simultanément divergentes si «$\;e>f_{i,\,1}+f_{i,\,2}\;$» ainsi que on se propose dans un 2ème temps enfin, en admettant $\;\succ \;$le caractère convergent du doublet de lentilles sphériques minces de natures différentes si «$\;e>f_{i,\,1}+f_{i,\,2}\;$» et on se propose dans un 2ème temps enfin, en admettant $\;\color {transparent}{\succ }\;$le caractère divergent du doublet de lentilles sphériques minces de natures différentes si «$\;e<f_{i,\,1}+f_{i,\,2}\;$», on se propose dans un 2ème temps pour en déduire la formule de Gullstrand précisant la vergence du doublet, et enfin
on se propose dans un 3ème temps de déterminer l'écartement $\;e\;$ pour un doublet achromatique avec $\;{\mathcal {L}}_{1}\;$ en verre « crown » de constringence $\;\nu _{D,\,1}=56\;$$^,$ et on se propose dans un 3ème temps de déterminer l'écartement $\;\color {transparent}{e}\;$ pour un doublet achromatique avec $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}_{1}}\;$ en verre « crown » de vergence pour la radiation jaune $\;V_{D,\,1}=6,25\;\delta \;$$^,$ et on se propose dans un 3ème temps de déterminer l'écartement $\;\color {transparent}{e}\;$ pour un doublet achromatique avec $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ en verre « flint » de constringence $\;\nu _{D,\,2}=40\;$$^,$ et on se propose dans un 3ème temps de déterminer l'écartement $\;\color {transparent}{e}\;$ pour un doublet achromatique avec $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}_{2}}\;$ en verre « flint » de vergence pour la radiation jaune $\;V_{D,\,2}=-12,5\;\delta \;$$^,$ ou,  on se propose dans un 3ème temps de déterminer l'écartement $\;\color {transparent}{e}\;$ pour un doublet achromatique avec $\;{\mathcal {L}}_{1}\;$ de vergence pour la radiation jaune $\;V_{D,\,1}=6,25\;\delta \;$$^,$ et on se propose dans un 3ème temps de déterminer l'écartement $\;\color {transparent}{e}\;$ pour un doublet achromatique avec $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ de vergence pour la radiation jaune $\;V_{D,\,2}=12,5\;\delta \;$$^,$, on se propose dans un 3ème temps de déterminer l'écartement $\;\color {transparent}{e}\;$ pour un doublet achromatique avec toutes deux en verre « flint » de constringence $\;\nu _{D}=40\;$$^,$.

#### Condition pour que le doublet de lentilles sphériques minces non accolées soit focal et détermination des positions des foyers principaux objet et image

Préciser à quelle condition liant les distances focales image des deux lentilles à la distance les séparant, le doublet de lentilles sphériques minces est focal puis
positionner algébriquement les foyers principaux objet $\;F_{o}\;$ et image $\;F_{i}\;$ du doublet.
La condition pour qu'un doublet de lentilles sphériques minces soit « afocal » étant que le point à l'infini de l'axe optique principal soit un point double, nécessite que l'image intermédiaire recherchée $\;{\big$notée $\;?{\big )}\;$ obéisse à «$\;A_{o,\,\infty }\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{1}}{\longrightarrow }}\;?\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{2}}{\longrightarrow }}\;A_{i,\,\infty }\;$» avec «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A_{o,\,\infty }\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{1}}{\longrightarrow }}\;F_{i,\,1}=?\\?=F_{o,\,2}\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{2}}{\longrightarrow }}\;A_{i,\,\infty }\end{array}}\right\rbrace \;$» c'est-à-dire que «$\;F_{i,\,1}=F_{o,\,2}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;e={\overline {O_{1}O_{2}}}={\overline {O_{1}F_{i,\,1}}}+{\cancel {\overline {F_{i,\,1}F_{o,\,2}}}}+{\overline {F_{o,\,2}O_{2}}}\;$» soit finalement La condition pour qu'un doublet de lentilles sphériques minces soit « afocal » le doublet de lentilles sphériques minces non accolées est afocal ssi «$\;e=f_{i,\,1}+f_{i,\,2}\;$», a contrario La condition pour qu'un doublet de lentilles sphériques minces soit « afocal » le doublet de lentilles sphériques minces non accolées est « focal » ssi «$\;e\neq f_{i,\,1}+f_{i,\,2}\;$».
Détermination du foyer principal image du doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées : le foyer principal image du doublet $\;F_{i}\;$ est défini selon «$\;A_{o,\,\infty }\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{1}}{\longrightarrow }}\;F_{i,\,1}\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{2}}{\longrightarrow }}\;F_{i}\;$» c'est-à-dire «$\;F_{i,\,1}\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{2}}{\longrightarrow }}\;F_{i}\;$», Détermination du foyer principal image du doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées : le foyer principal image du doublet $\;F_{i}\;$ est donc l'image par $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ du foyer principal image $\;F_{i,\,1}\;$ de $\;{\mathcal {L}}_{1}$ ; Détermination du foyer principal image du doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées : pour déterminer la position de $\;F_{i}\;$ il suffit d'utiliser la relation de conjugaison de position $\;{\big$ou 1ère relation de conjugaison${\big )}\;$ de Newton$^,$ de la lentille $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ avec «$\;\sigma _{o,\,2}={\overline {F_{o,\,2}F_{i,\,1}}}=$ ${\overline {O_{1}F_{i,\,1}}}-{\overline {O_{1}F_{o,\,2}}}={\overline {O_{1}F_{i,\,1}}}-{\overline {O_{1}O_{2}}}-{\overline {O_{2}F_{o,\,2}}}=f_{i,\,1}-e+f_{i,\,2}\;$» soit «$\;\sigma _{o,\,2}=f_{i,\,1}+f_{i,\,2}-e\;$» $\Rightarrow$ «$\;\sigma _{i,\,2}=$ ${\overline {F_{i,\,2}F_{i}}}=-{\dfrac {f_{i,\,2}^{2}}{\sigma _{o,\,2}}}\;$» ou «$\;\sigma _{i,\,2}=-{\dfrac {f_{i,\,2}^{2}}{f_{i,\,1}+f_{i,\,2}-e}}\;$» soit finalement «$\;{\overline {F_{i,\,2}F_{i}}}={\dfrac {f_{i,\,2}^{2}}{e-(f_{i,\,1}+f_{i,\,2})}}\;$» ou encore, Détermination du foyer principal image du doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées : en repérage de Descartes relativement à la 2ème lentille $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ «$\;{\overline {O_{2}F_{i}}}={\overline {O_{2}F_{i,\,2}}}+{\overline {F_{i,\,2}F_{i}}}=$ $f_{i,\,2}+{\dfrac {f_{i,\,2}^{2}}{e-(f_{i,\,1}+f_{i,\,2})}}\;$» ou, après réduction au même dénominateur, «$\;{\overline {O_{2}F_{i}}}={\dfrac {f_{i,\,2}\;[e-(f_{i,\,1}+f_{i,\,2})+f_{i,\,2}]}{e-(f_{i,\,1}+f_{i,\,2})}}\;$» soit finalement «$\;{\overline {O_{2}F_{i}}}={\dfrac {f_{i,\,2}\;(e-f_{i,\,1})}{e-(f_{i,\,1}+f_{i,\,2})}}\;$».
Détermination du foyer principal objet du doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées : le foyer principal objet du doublet $\;F_{o}\;$ est défini selon «$\;F_{o}\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{1}}{\longrightarrow }}\;F_{o,\,2}\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{2}}{\longrightarrow }}\;A_{i,\,\infty }\;$» c'est-à-dire «$\;F_{o}\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{1}}{\longrightarrow }}\;F_{o,\,2}\;$», Détermination du foyer principal objet du doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées : le foyer principal objet du doublet $\;F_{o}\;$ est donc l'antécédent par $\;{\mathcal {L}}_{1}\;$ du foyer principal objet $\;F_{o,\,2}\;$ de $\;{\mathcal {L}}_{2}$ ; Détermination du foyer principal objet du doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées : pour déterminer la position de $\;F_{o}\;$ il suffit d'utiliser la relation de conjugaison de position $\;{\big$ou 1ère relation de conjugaison${\big )}\;$ de Newton$^,$ de la lentille $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ avec «$\;\sigma _{i,\,1}={\overline {F_{i,\,1}F_{o,\,2}}}=$ ${\overline {O_{1}F_{o,\,2}}}-{\overline {O_{1}F_{i,\,1}}}={\overline {O_{1}O_{2}}}+{\overline {O_{2}F_{o,\,2}}}-{\overline {O_{1}F_{i,\,1}}}=e-f_{i,\,2}-f_{i,\,1}\;$» soit «$\;\sigma _{i,\,1}=e-(f_{i,\,1}+f_{i,\,2})\;$» $\Rightarrow$ «$\;\sigma _{o,\,1}=$ ${\overline {F_{o,\,1}F_{o}}}=-{\dfrac {f_{i,\,1}^{2}}{\sigma _{i,\,1}}}\;$» ou «$\;\sigma _{o,\,1}=-{\dfrac {f_{i,\,1}^{2}}{e-(f_{i,\,1}+f_{i,\,2})}}\;$» soit finalement «$\;{\overline {F_{o,\,1}F_{o}}}={\dfrac {f_{i,\,1}^{2}}{f_{i,\,1}+f_{i,\,2}-e}}\;$» ou encore, Détermination du foyer principal objet du doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées : en repérage de Descartes relativement à la 1ère lentille $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ «$\;{\overline {O_{1}F_{o}}}={\overline {O_{1}F_{o,\,1}}}+{\overline {F_{o,\,1}F_{o}}}=$ $-f_{i,\,1}+{\dfrac {f_{i,\,1}^{2}}{f_{i,\,1}+f_{i,\,2}-e}}\;$» ou, après réduction au même dénominateur, «$\;{\overline {O_{1}F_{o}}}={\dfrac {f_{i,\,1}\;[-(f_{i,\,1}+f_{i,\,2}-e)+f_{i\,1}]}{f_{i,\,1}+f_{i,\,2}-e}}\;$» soit finalement «$\;{\overline {O_{1}F_{o}}}={\dfrac {f_{i,\,1}\;(e-f_{i,\,2})}{f_{i,\,1}+f_{i,\,2}-e}}\;$».

#### Établissement de la formule de Gullstrand déterminant la vergence du doublet de lentilles sphériques minces non accolées dans le cas où il est focal

En supposant applicables au doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées les relations de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ de position et de grandissement transverse de Newton$^,$, En supposant applicables au doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées déterminer, en choisissant un couple de points conjugués par le doublet, En supposant applicables au doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées déterminer, la valeur absolue de la distance focale image $\;\vert f_{i}\vert \;$ de ce dernier puis En supposant applicables au doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées déterminer, la valeur absolue de sa vergence $\;\vert V\vert ={\dfrac {1}{\vert f_{i}\vert }}\;$ et enfin
en admettant le caractère convergent du doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées si «$\;e\left\lbrace {\begin{array}{c}<f_{i,\,1}+f_{i,\,2}\;{\text{ avec }}\;f_{i,\,1}\;f_{i,\,2}>0\\>f_{i,\,1}+f_{i,\,2}\;{\text{ avec }}\;f_{i,\,1}\;f_{i,\,2}<0\end{array}}\right\rbrace \;$» et en admettant le caractère divergent du doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées si «$\;e\left\lbrace {\begin{array}{c}>f_{i,\,1}+f_{i,\,2}\;{\text{ avec }}\;f_{i,\,1}\;f_{i,\,2}>0\\<f_{i,\,1}+f_{i,\,2}\;{\text{ avec }}\;f_{i,\,1}\;f_{i,\,2}<0\end{array}}\right\rbrace \;$», établir la formule de Gullstrand précisant la vergence du doublet $\;V={\dfrac {1}{f_{i}}}\;$ en fonction de $\;e$, $\;f_{i,\,1}\;$ et $\;f_{i,\,2}$.
Pour déterminer la valeur absolue de la distance focale image $\;\vert f_{i}\vert \;$ du doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées en lui appliquant la 1ère relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ de Newton «$\;\sigma _{i}\;\sigma _{o}=$ $-f_{i}^{2}\;$» avec «$\;\sigma _{o}={\overline {F_{o}A_{o}}}\;$ et $\;\sigma _{i}={\overline {F_{i}A_{i}}}\;$», relation applicable à tout couple de points conjugués par le doublet focal, Pour déterminer la valeur absolue de la distance focale image on choisit des points conjugués particuliers, les plus faciles à utiliser étant ceux dont l'image intermédiaire est à l'infini sur l'axe optique principal Pour déterminer la valeur absolue de la distance focale image on choisit des points conjugués particuliers, soit «$\;F_{o,\,1}\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{1}}{\longrightarrow }}\;A_{i,\,1,\,\infty }=A_{o,\,2,\,\infty }\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{2}}{\longrightarrow }}\;F_{i,\,2}\;$» établissant que Pour déterminer la valeur absolue de la distance focale image on choisit des points conjugués particuliers, le couple $\;(F_{o,\,1}\,,\,F_{i,\,2})\;$ est conjugué par le doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées ;
Pour déterminer la valeur absolue de la distance focale image on choisit des points conjugués particuliers, pour ce couple on a «$\;\sigma _{o}(F_{o,\,1})={\overline {F_{o}F_{o,\,1}}}=-{\overline {F_{o,\,1}F_{o}}}=-{\dfrac {f_{i,\,1}^{2}}{f_{i,\,1}+f_{i,\,2}-e}}\;$» et Pour déterminer la valeur absolue de la distance focale image on choisit des points conjugués particuliers, pour ce couple on a «$\;\sigma _{i}(F_{i,\,2})={\overline {F_{i}F_{i,\,2}}}=-{\overline {F_{i,\,2}F_{i}}}=-{\dfrac {f_{i,\,2}^{2}}{e-(f_{i,\,1}+f_{i,\,2})}}\;$» d'où Pour déterminer la valeur absolue de la distance focale image on choisit des points conjugués particuliers, «$\;\sigma _{o}(F_{o,\,1})\;\sigma _{i}(F_{i,\,2})={\dfrac {f_{i,\,1}^{2}}{f_{i,\,1}+f_{i,\,2}-e}}\;{\dfrac {f_{i,\,2}^{2}}{e-(f_{i,\,1}+f_{i,\,2})}}=-\left[{\dfrac {f_{i,\,1}\;f_{i,\,2}}{f_{i,\,1}+f_{i,\,2}-e}}\right]^{2}\;$», Pour déterminer la valeur absolue de la distance focale image l'applicabilité $\;{\big$admise${\big )}\;$ de la 1ère relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ de Newton au doublet $\Rightarrow$ «$\;-\left[{\dfrac {f_{i,\,1}\;f_{i,\,2}}{f_{i,\,1}+f_{i,\,2}-e}}\right]^{2}=-f_{i}^{2}\;$» d'où Pour déterminer la valeur absolue de la distance focale image l'expression de la valeur absolue de la distance focale image du doublet focal «$\;\vert f_{i}\vert ={\Bigg \vert }{\dfrac {f_{i,\,1}\;f_{i,\,2}}{f_{i,\,1}+f_{i,\,2}-e}}{\Bigg \vert }\;$» ou, en inversant, Pour déterminer la valeur absolue de la distance focale image l'expression de la valeur absolue de la vergence du doublet focal «$\;\vert V\vert ={\dfrac {1}{\vert f_{i}\vert }}={\Bigg \vert }{\dfrac {1}{f_{i,\,1}}}+{\dfrac {1}{f_{i,\,2}}}-{\dfrac {e}{f_{i,\,1}\;f_{i,\,2}}}{\Bigg \vert }\;$» ;
il reste à préciser le signe commun de la distance focale image et de la vergence du doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées il reste à préciser le signe commun en utilisant la condition de convergence $\;{\big$ou de divergence${\big )}\;$ de ce doublet focal rappelée dans l'énoncé de la question ci-dessus à savoir il reste à préciser le signe commun en utilisant la condition de convergence $\;\color {transparent}{\big$ou de divergence$\color {transparent}{\big )}\;$ $\succ \;$si «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}e<f_{i,\,1}+f_{i,\,2}\;{\text{ avec }}\;f_{i,\,1}\;f_{i,\,2}>0\\e>f_{i,\,1}+f_{i,\,2}\;{\text{ avec }}\;f_{i,\,1}\;f_{i,\,2}<0\end{array}}\right\rbrace \;$» le doublet est convergent c'est-à-dire $\;V>0\;$ ou $\;f_{i}>0\;$ et il reste à préciser le signe commun en utilisant la condition de convergence $\;\color {transparent}{\big$ou de divergence$\color {transparent}{\big )}\;$ $\succ \;$si «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}e>f_{i,\,1}+f_{i,\,2}\;{\text{ avec }}\;f_{i,\,1}\;f_{i,\,2}>0\\e<f_{i,\,1}+f_{i,\,2}\;{\text{ avec }}\;f_{i,\,1}\;f_{i,\,2}<0\end{array}}\right\rbrace \;$» le doublet est divergent c'est-à-dire $\;V<0\;$ ou $\;f_{i}<0$ ;
il reste à préciser le signe commun tenant compte des deux conditions rappelées ci-dessus nous en déduisons l'expression de la distance focale image du doublet focal «$\;f_{i}={\dfrac {f_{i,\,1}\;f_{i,\,2}}{f_{i,\,1}+f_{i,\,2}-e}}\;$» et il reste à préciser le signe commun tenant compte des deux conditions rappelées ci-dessus nous en déduisons l'expression de la vergence du doublet focal «$\;V={\dfrac {1}{f_{i}}}={\dfrac {1}{f_{i,\,1}}}+{\dfrac {1}{f_{i,\,2}}}-{\dfrac {e}{f_{i,\,1}\;f_{i,\,2}}}\;$» il reste à préciser le signe commun tenant compte des deux conditions rappelées ci-dessus nous en déduisons l'expression de la connue sous le nom de « formule de Gullstrand ».

#### Condition sur la distance séparant les deux lentilles sphériques minces du doublet focal de ces dernières non accolées pour que le doublet soit achromatique

Admettant la disparition des aberrations chromatiques du doublet de lentilles sphériques minces non accolées Admettant la disparition des aberrations chromatiques du doublet si sa vergence $\;V={\dfrac {1}{f_{i}}}\;$ est indépendant de la longueur d'onde dans le vide de la lumière le traversant, Admettant la disparition des aberrations chromatiques du doublet avec « la vergence d'une lentille sphérique mince d'indice $\;n(\lambda _{0})\;$ s'écrivant $\;[1-n(\lambda _{0})]\left({\dfrac {1}{{\overline {R}}_{s}}}-{\dfrac {1}{{\overline {R}}_{e}}}\right)\;$»$^,$, Admettant la disparition des aberrations chromatiques du doublet déterminer la condition pour que le doublet de lentilles sphériques minces non accolées soit achromatique Admettant la disparition des aberrations chromatiques du doublet déterminer en écrivant que la dérivée de sa vergence par rapport à la longueur d'onde dans le vide $\;\lambda _{0}\;$ est nulle pour $\;\lambda _{0}=\lambda _{0,\,D}\;$ $\;{\Bigg$on rappelle la relation de Cauchy gérant la variation de l'indice d'un milieu «$\;n=a+{\dfrac {b}{\lambda _{0}^{2}}}\;$» avec $\;a\;$ et $\;b\;$ constantes caractéristiques du milieu et la définition de la constringence d'un milieu «$\;\nu _{D}=$ ${\dfrac {n_{D}-1}{n_{F}-n_{C}}}\;$», laquelle, associée à la formule de Cauchy, permet de déterminer la valeur de la constante $\;b\;$ de la relation de Cauchy, en fonction de la constringence $\;\nu _{D}$, de l'indice $\;n_{D}\;$ pour la radiation jaune et des longueurs d'onde de référence, «$\;b=$ ${\dfrac {n_{D}-1}{\nu _{D}\left({\dfrac {1}{\lambda _{0,\,F}^{2}}}-{\dfrac {1}{\lambda _{0,\,C}^{2}}}\right)}}\;$»${\Bigg ]}\;$ ${\big \$on explicitera cette condition d'abord en fonction de la vergence pour la radiation jaune et de la constringence de chaque lentille individuelle, puis en fonction des distances focales image pour la radiation jaune et de la constringence des mêmes lentilles${\big \}$.
Étudier chaque cas proposé ci-après : $\succ \;$lentille sphérique mince $\;{\mathcal {L}}_{1}\;$ en verre « crown » de constringence $\;\nu _{D,\,1}=56\;$$^,$ et de vergence pour la radiation jaune $\;V_{D,\,1}=6,25\;\delta \;$$^,$ et Étudier chaque cas proposé ci-après : $\color {transparent}{\succ }\;$lentille sphérique mince $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ en verre « flint » de constringence $\;\nu _{D,\,2}=40\;$$^,$ et de vergence pour la radiation jaune $\;V_{D,\,2}=-12,5\;\delta \;$$^,$,
Étudier chaque cas proposé ci-après : $\succ \;$lentille sphérique mince $\;{\mathcal {L}}_{1}\;$ de vergence pour la radiation jaune $\;V_{D,\,1}=6,25\;\delta \;$$^,$ et Étudier chaque cas proposé ci-après : $\color {transparent}{\succ }\;$lentille sphérique mince $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ de vergence pour la radiation jaune $\;V_{D,\,2}=12,5\;\delta \;$$^,$, Étudier chaque cas proposé ci-après : $\color {transparent}{\succ }\;$lentille sphérique mince toutes deux en verre « flint » de constringence $\;\nu _{D}=40\;$$^,$.
La condition d'achromatisme du doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées de vergence $\;V(\lambda _{0})=V_{1}(\lambda _{0})+V_{2}(\lambda _{0})-e\;V_{1}(\lambda _{0})\;V_{2}(\lambda _{0})\;$ s'écrit La condition d'achromatisme du doublet focal «$\;{\dfrac {dV}{d\lambda _{0}}}(\lambda _{0,\,D})=0\;$»$^,$, avec «$\;{\dfrac {dV}{d\lambda _{0}}}(\lambda _{0})={\dfrac {dV_{1}}{d\lambda _{0}}}(\lambda _{0,\,D})+{\dfrac {dV_{2}}{d\lambda _{0}}}(\lambda _{0,\,D})-e\left[{\dfrac {dV_{1}}{d\lambda _{0}}}(\lambda _{0,\,D})\;V_{2}(\lambda _{0})+V_{1}(\lambda _{0})\;{\dfrac {dV_{2}}{d\lambda _{0}}}(\lambda _{0,\,D})\right]\;$» et La condition d'achromatisme du doublet focal «$\;\color {transparent}{{\dfrac {dV}{d\lambda _{0}}}(\lambda _{0,\,D})=0}\;$», avec «$\;V_{1}(\lambda _{0})=[1-n_{1}(\lambda _{0})]\left({\dfrac {1}{{\overline {R}}_{s,\,1}}}-{\dfrac {1}{{\overline {R}}_{e,\,1}}}\right)\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {dV_{1}}{d\lambda _{0}}}(\lambda _{0})=-{\dfrac {dn_{1}}{d\lambda _{0}}}(\lambda _{0})\left({\dfrac {1}{{\overline {R}}_{s,\,1}}}-{\dfrac {1}{{\overline {R}}_{e,\,1}}}\right)\;$» où La condition d'achromatisme du doublet focal «$\;\color {transparent}{{\dfrac {dV}{d\lambda _{0}}}(\lambda _{0,\,D})=0}\;$», avec «$\;\color {transparent}{V_{1}(\lambda _{0})=[1-n_{1}(\lambda _{0})]\left({\dfrac {1}{{\overline {R}}_{s,\,1}}}-{\dfrac {1}{{\overline {R}}_{e,\,1}}}\right)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;{\dfrac {dn_{1}}{d\lambda _{0}}}(\lambda _{0})=-{\dfrac {2\;b_{1}}{\lambda _{0}^{3}}}\;$ où $\;b_{1}={\dfrac {n_{D,\,1}-1}{\nu _{D,\,1}\left({\dfrac {1}{\lambda _{0,\,F}^{2}}}-{\dfrac {1}{\lambda _{0,\,C}^{2}}}\right)}}\;$ d'où La condition d'achromatisme du doublet focal «$\;\color {transparent}{{\dfrac {dV}{d\lambda _{0}}}(\lambda _{0,\,D})=0}\;$», avec «$\;\color {transparent}{V_{1}(\lambda _{0})=[1-n_{1}(\lambda _{0})]\left({\dfrac {1}{{\overline {R}}_{s,\,1}}}-{\dfrac {1}{{\overline {R}}_{e,\,1}}}\right)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;{\dfrac {dV_{1}}{d\lambda _{0}}}(\lambda _{0,\,D})={\dfrac {2\;(n_{D,\,1}-1)}{\nu _{D,\,1}\;\lambda _{0,\,D}^{3}\left({\dfrac {1}{\lambda _{0,\,F}^{2}}}-{\dfrac {1}{\lambda _{0,\,C}^{2}}}\right)}}\left({\dfrac {1}{{\overline {R}}_{s,\,1}}}-{\dfrac {1}{{\overline {R}}_{e,\,1}}}\right)\;$» La condition d'achromatisme du doublet focal «$\;\color {transparent}{{\dfrac {dV}{d\lambda _{0}}}(\lambda _{0,\,D})=0}\;$», avec «$\;\color {transparent}{V_{1}(\lambda _{0})=[1-n_{1}(\lambda _{0})]\left({\dfrac {1}{{\overline {R}}_{s,\,1}}}-{\dfrac {1}{{\overline {R}}_{e,\,1}}}\right)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ ou encore «$\;{\dfrac {dV_{1}}{d\lambda _{0}}}(\lambda _{0,\,D})={\dfrac {-2\;V_{1}(\lambda _{0,\,D})}{\nu _{D,\,1}\;\lambda _{0,\,D}^{3}\left({\dfrac {1}{\lambda _{0,\,F}^{2}}}-{\dfrac {1}{\lambda _{0,\,C}^{2}}}\right)}}\;$» ainsi que
La condition d'achromatisme du doublet focal «$\;\color {transparent}{{\dfrac {dV}{d\lambda _{0}}}(\lambda _{0,\,D})=0}\;$», avec «$\;V_{2}(\lambda _{0})=[1-n_{2}(\lambda _{0})]\left({\dfrac {1}{{\overline {R}}_{s,\,2}}}-{\dfrac {1}{{\overline {R}}_{e,\,2}}}\right)\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {dV_{2}}{d\lambda _{0}}}(\lambda _{0})=-{\dfrac {dn_{2}}{d\lambda _{0}}}(\lambda _{0})\left({\dfrac {1}{{\overline {R}}_{s,\,2}}}-{\dfrac {1}{{\overline {R}}_{e,\,2}}}\right)\;$» où La condition d'achromatisme du doublet focal «$\;\color {transparent}{{\dfrac {dV}{d\lambda _{0}}}(\lambda _{0,\,D})=0}\;$», avec «$\;\color {transparent}{V_{2}(\lambda _{0})=[1-n_{2}(\lambda _{0})]\left({\dfrac {1}{{\overline {R}}_{s,\,2}}}-{\dfrac {1}{{\overline {R}}_{e,\,2}}}\right)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;{\dfrac {dn_{2}}{d\lambda _{0}}}(\lambda _{0})=-{\dfrac {2\;b_{2}}{\lambda _{0}^{3}}}\;$ où $\;b_{2}={\dfrac {n_{D,\,2}-1}{\nu _{D,\,2}\left({\dfrac {1}{\lambda _{0,\,F}^{2}}}-{\dfrac {1}{\lambda _{0,\,C}^{2}}}\right)}}\;$ d'où La condition d'achromatisme du doublet focal «$\;\color {transparent}{{\dfrac {dV}{d\lambda _{0}}}(\lambda _{0,\,D})=0}\;$», avec «$\;\color {transparent}{V_{2}(\lambda _{0})=[1-n_{2}(\lambda _{0})]\left({\dfrac {1}{{\overline {R}}_{s,\,2}}}-{\dfrac {1}{{\overline {R}}_{e,\,2}}}\right)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;{\dfrac {dV_{2}}{d\lambda _{0}}}(\lambda _{0,\,D})={\dfrac {2\;(n_{D,\,2}-1)}{\nu _{D,\,2}\;\lambda _{0,\,D}^{3}\left({\dfrac {1}{\lambda _{0,\,F}^{2}}}-{\dfrac {1}{\lambda _{0,\,C}^{2}}}\right)}}\left({\dfrac {1}{{\overline {R}}_{s,\,2}}}-{\dfrac {1}{{\overline {R}}_{e,\,2}}}\right)\;$» La condition d'achromatisme du doublet focal «$\;\color {transparent}{{\dfrac {dV}{d\lambda _{0}}}(\lambda _{0,\,D})=0}\;$», avec «$\;\color {transparent}{V_{2}(\lambda _{0})=[1-n_{2}(\lambda _{0})]\left({\dfrac {1}{{\overline {R}}_{s,\,2}}}-{\dfrac {1}{{\overline {R}}_{e,\,2}}}\right)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ ou encore «$\;{\dfrac {dV_{2}}{d\lambda _{0}}}(\lambda _{0,\,D})={\dfrac {-2\;V_{2}(\lambda _{0,\,D})}{\nu _{D,\,2}\;\lambda _{0,\,D}^{3}\left({\dfrac {1}{\lambda _{0,\,F}^{2}}}-{\dfrac {1}{\lambda _{0,\,C}^{2}}}\right)}}\;$» ;
la condition d'achromatisme du doublet focal «$\;{\dfrac {dV}{d\lambda _{0}}}(\lambda _{0,\,D})=0\;$» nous conduisant à «$\;e={\dfrac {{\dfrac {dV_{1}}{d\lambda _{0}}}(\lambda _{0,\,D})+{\dfrac {dV_{2}}{d\lambda _{0}}}(\lambda _{0,\,D})}{{\dfrac {dV_{1}}{d\lambda _{0}}}(\lambda _{0,\,D})\;V_{2}(\lambda _{0})+V_{1}(\lambda _{0})\;{\dfrac {dV_{2}}{d\lambda _{0}}}(\lambda _{0,\,D})}}\;$», on y reporte les expressions précédentes d'où, la condition d'achromatisme du doublet focal «$\;\color {transparent}{{\dfrac {dV}{d\lambda _{0}}}(\lambda _{0,\,D})=0}\;$» nous conduisant à «$\;e={\dfrac {{\dfrac {-2\;V_{1}(\lambda _{0,\,D})}{\nu _{D,\,1}\;\lambda _{0,\,D}^{3}\left({\dfrac {1}{\lambda _{0,\,F}^{2}}}-{\dfrac {1}{\lambda _{0,\,C}^{2}}}\right)}}+{\dfrac {-2\;V_{2}(\lambda _{0,\,D})}{\nu _{D,\,2}\;\lambda _{0,\,D}^{3}\left({\dfrac {1}{\lambda _{0,\,F}^{2}}}-{\dfrac {1}{\lambda _{0,\,C}^{2}}}\right)}}}{{\dfrac {-2\;V_{1}(\lambda _{0,\,D})}{\nu _{D,\,1}\;\lambda _{0,\,D}^{3}\left({\dfrac {1}{\lambda _{0,\,F}^{2}}}-{\dfrac {1}{\lambda _{0,\,C}^{2}}}\right)}}\;V_{2}(\lambda _{0})+V_{1}(\lambda _{0})\;{\dfrac {-2\;V_{2}(\lambda _{0,\,D})}{\nu _{D,\,2}\;\lambda _{0,\,D}^{3}\left({\dfrac {1}{\lambda _{0,\,F}^{2}}}-{\dfrac {1}{\lambda _{0,\,C}^{2}}}\right)}}}}\;$» ce qui se réécrit, après simplification par $\;{\dfrac {-2}{\lambda _{0,\,D}^{3}\left({\dfrac {1}{\lambda _{0,\,F}^{2}}}-{\dfrac {1}{\lambda _{0,\,C}^{2}}}\right)}}$, «$\;e={\dfrac {{\dfrac {V_{1}(\lambda _{0,\,D})}{\nu _{D,\,1}}}+{\dfrac {V_{2}(\lambda _{0,\,D})}{\nu _{D,\,2}}}}{{\dfrac {V_{1}(\lambda _{0,\,D})}{\nu _{D,\,1}}}\;V_{2}(\lambda _{0,\,D})+V_{1}(\lambda _{0,\,D})\;{\dfrac {V_{2}(\lambda _{0,\,D})}{\nu _{D,\,2}}}}}\;$» soit finalement, en multipliant haut et bas par $\;\nu _{D,\,1}\;\nu _{D,\,2}$, la condition suivante d'achromatisme du doublet focal la condition d'achromatisme du doublet focal «$\;\color {transparent}{{\dfrac {dV}{d\lambda _{0}}}(\lambda _{0,\,D})=0}\;$» nous conduisant à «$\;e={\dfrac {\nu _{D,\,2}\;V_{1}(\lambda _{0,\,D})+\nu _{D,\,1}\;V_{2}(\lambda _{0,\,D})}{V_{1}(\lambda _{0,\,D})\;V_{2}(\lambda _{0,\,D})\;(\nu _{D,\,1}+\nu _{D,\,2})}}\;$» ;
la condition d'achromatisme du doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées peut s'écrire encore, en divisant haut et bas par $\;V_{1}(\lambda _{0,\,D})\;V_{2}(\lambda _{0,\,D})$, selon la condition d'achromatisme du doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées peut s'écrire encore, «$\;e={\dfrac {\nu _{D,\,2}}{\nu _{D,\,1}+\nu _{D,\,2}}}\;{\dfrac {1}{V_{2}(\lambda _{0,\,D})}}+{\dfrac {\nu _{D,\,1}}{\nu _{D,\,1}+\nu _{D,\,2}}}\;{\dfrac {1}{V_{1}(\lambda _{0,\,D})}}\;$» ou, en introduisant la distance focale image de chaque lentille pour la radiation jaune à savoir $\;f_{i,\,1}(\lambda _{0,\,D})=$ ${\dfrac {1}{V_{1}(\lambda _{0,\,D})}}\;$ et $\;f_{i,\,2}(\lambda _{0,\,D})={\dfrac {1}{V_{2}(\lambda _{0,\,D})}}$, la condition d'achromatisme du doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées peut s'écrire encore, «$\;e={\dfrac {\nu _{D,\,2}}{\nu _{D,\,1}+\nu _{D,\,2}}}\;f_{i,\,2}(\lambda _{0,\,D})+{\dfrac {\nu _{D,\,1}}{\nu _{D,\,1}+\nu _{D,\,2}}}\;f_{i,\,1}(\lambda _{0,\,D})\;$» ou la condition d'achromatisme du doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées peut s'écrire encore, «$\;e={\dfrac {\nu _{D,\,1}\;f_{i,\,1}(\lambda _{0,\,D})+\nu _{D,\,2}\;f_{i,\,2}(\lambda _{0,\,D})}{\nu _{D,\,1}+\nu _{D,\,2}}}\;$».
* 1er exemple : lentille sphérique mince $\;{\mathcal {L}}_{1}\;$ en verre « crown » de constringence $\;\nu _{D,\,1}=56\;$$^,$ et de vergence pour la radiation jaune $\;V_{D,\,1}=6,25\;\delta \;$$^,$ et 1er exemple : lentille sphérique mince $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ en verre « flint » de constringence $\;\nu _{D,\,2}=40\;$$^,$ et de vergence pour la radiation jaune $\;V_{D,\,2}=-12,5\;\delta \;$$^,$, 1er exemple : la distance d'achromatisme séparant les deux lentilles sphériques minces est «$\;e={\dfrac {\nu _{D,\,2}\;V_{1}(\lambda _{0,\,D})+\nu _{D,\,1}\;V_{2}(\lambda _{0,\,D})}{V_{1}(\lambda _{0,\,D})\;V_{2}(\lambda _{0,\,D})\;(\nu _{D,\,1}+\nu _{D,\,2})}}={\dfrac {40\times 6,25+56\times (-12,5)}{6,25\times (-12,5)\times (56+40)}}=0,06\;m\;$» 1er exemple : la distance d'achromatisme avec les distances focales image des deux lentilles composantes pour la radiation jaune «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}f_{i,\,1}(\lambda _{0,\,D})={\dfrac {1}{V_{1}(\lambda _{0,\,D})}}={\dfrac {1}{6,25}}=0,16\;m\\f_{i,\,2}(\lambda _{0,\,D})={\dfrac {1}{V_{2}(\lambda _{0,\,D})}}={\dfrac {1}{-12,5}}=-0,08\;m\end{array}}\right\rbrace \;$», 1er exemple : le doublet achromatique de ces lentilles sphériques minces est donc du type «$\;(8,\,3,\,-4)\;$»$^,$$^,$$^,$ ;
* 2ème exemple : lentille sphérique mince $\;{\mathcal {L}}_{1}\;$ de vergence pour la radiation jaune $\;V_{D,\,1}=6,25\;\delta \;$$^,$ et 2ème exemple : lentille sphérique mince $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ de vergence pour la radiation jaune $\;V_{D,\,2}=12,5\;\delta \;$$^,$, 2ème exemple : lentille sphérique mince toutes deux en verre « flint » de constringence $\;\nu _{D}=40\;$$^,$, 2ème exemple : la distance d'achromatisme séparant les deux lentilles sphériques minces est «$\;e={\dfrac {\nu _{D,\,2}\;V_{1}(\lambda _{0,\,D})+\nu _{D,\,1}\;V_{2}(\lambda _{0,\,D})}{V_{1}(\lambda _{0,\,D})\;V_{2}(\lambda _{0,\,D})\;(\nu _{D,\,1}+\nu _{D,\,2})}}={\dfrac {40\times 6,25+40\times 12,5}{6,25\times 12,5\times (40+40)}}=0,12\;m\;$» 2ème exemple : la distance d'achromatisme avec les distances focales image des deux lentilles composantes pour la radiation jaune «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}f_{i,\,1}(\lambda _{0,\,D})={\dfrac {1}{V_{1}(\lambda _{0,\,D})}}={\dfrac {1}{6,25}}=0,16\;m\\f_{i,\,2}(\lambda _{0,\,D})={\dfrac {1}{V_{2}(\lambda _{0,\,D})}}={\dfrac {1}{12,5}}=0,08\;m\end{array}}\right\rbrace \;$», 2ème exemple : le doublet achromatique de ces lentilles sphériques minces est donc du type «$\;(4,\,3,\,2)\;$»$^,$ connu sous le nom d'oculaire d'Huygens$^,$$^,$.

## Étude d'un triplet de lentilles sphériques minces convergentes

On considère le système constitué de trois lentilles sphériques minces convergentes «$\;{\mathcal {L}}_{1}$, $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ et $\;{\mathcal {L}}_{3}\;$», de distances focales $\;{\big$image${\big )}\;$ respectives «$\;f_{1,\,i}=3\,a$, $\;f_{2,\,i}=x\;$ et $\;f_{3,\,i}=a\;$» On considère le système constitué de trois lentilles sphériques minces convergentes «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}_{1}}$, $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}_{2}}\;$ et $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}_{3}}\;$», telles que «$\;O_{1}O_{2}=3\,a\;$ et $\;O_{2}O_{3}=a\;$», On considère le système constitué de trois lentilles sphériques minces convergentes «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}_{1}}$, $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}_{2}}\;$ et $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}_{3}}\;$», les trois lentilles sphériques minces ayant même axe optique principal.

### Détermination de la distance focale image f$_{i,2}$ de la 2ème lentille pour que le centre optique O$_2$ de cette dernière soit un point double du triplet

Déterminer la distance focale image «$\;x=f_{i,\,2}\;$» de la 2ème lentille sphérique mince $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ pour que le centre optique $\;O_{2}\;$ de cette dernière soit son propre conjugué par le triplet.
La condition pour que le centre optique $\;O_{2}\;$ de la 2ème lentille sphérique mince $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ soit son propre conjugué par le triplet s'écrivant «$\;O_{2}\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{1}}{\rightarrow }}\;{O'}_{\!1}\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{2}}{\rightarrow }}\;{O'}_{\!2}\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{3}}{\rightarrow }}\;O_{2}\;$», on détermine donc :
* l'« image $\;{O'}_{\!1}\;$ de $\;O_{2}\;$ par $\;{\mathcal {L}}_{1}\;$» soit «$\;O_{2}\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{1}}{\rightarrow }}\;{O'}_{\!1}\;$» en appliquant la 1ère relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ ${\big$ou relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ de position${\big ]}\;$ de Descartes à $\;{\mathcal {L}}_{1}\;$ pour le couple $\;\left(O_{2}\,,\,{O'}_{\!1}\right)\;$ soit «$\;{\dfrac {1}{\overline {O_{1}{O'}_{\!1}}}}-{\dfrac {1}{\overline {O_{1}O_{2}}}}={\dfrac {1}{f_{i,\,1}}}\;$» avec «$\;f_{i,\,1}=3\,a\;$ et $\;{\overline {O_{1}O_{2}}}=3\,a\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\overline {O_{1}{O'}_{\!1}}}={\dfrac {3\,a}{2}}\;$», puis
* l'« antécédent $\;{O'}_{\!2}\;$ de $\;O_{2}\;$ par $\;{\mathcal {L}}_{3}\;$» soit «$\;{O'}_{\!2}\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{3}}{\rightarrow }}\;O_{2}\;$» en appliquant la 1ère relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ ${\big$ou relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ de position${\big ]}\;$ de Descartes à $\;{\mathcal {L}}_{3}\;$ pour le couple $\;\left({O'}_{\!2}\,,\,O_{2}\right)\;$ soit «$\;{\dfrac {1}{\overline {O_{3}O_{2}}}}-{\dfrac {1}{\overline {O_{3}{O'}_{\!2}}}}={\dfrac {1}{f_{i,\,3}}}\;$» avec «$\;f_{i,\,3}=a\;$ et $\;{\overline {O_{3}O_{2}}}=-a\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\overline {O_{3}{O'}_{\!2}}}=-{\dfrac {a}{2}}\;$», enfin
* la « distance focale image $\;x=f_{i,\,2}\;$ de $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$» en appliquant la 1ère relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ ${\big$ou relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ de position${\big ]}\;$ de Descartes à $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ pour le couple $\;\left({O'}_{\!1}\,,\,{O'}_{\!2}\right)\;$ soit «$\;{\dfrac {1}{\overline {O_{2}{O'}_{\!2}}}}-{\dfrac {1}{\overline {O_{2}{O'}_{\!1}}}}={\dfrac {1}{f_{i,\,2}}}\;$» avec «$\;f_{i,\,2}=x$, $\;{\overline {O_{2}{O'}_{\!1}}}={\overline {O_{2}O_{1}}}+{\overline {O_{1}{O'}_{\!1}}}=-3\,a+{\dfrac {3\,a}{2}}=-{\dfrac {3\,a}{2}}\;$ et $\;{\overline {O_{2}{O'}_{\!2}}}={\overline {O_{2}O_{3}}}+{\overline {O_{3}{O'}_{\!2}}}=a-{\dfrac {a}{2}}={\dfrac {a}{2}}\;$» d'où «$\;{\dfrac {1}{x}}={\dfrac {2}{a}}-{\dfrac {-2}{3\,a}}={\dfrac {8}{3\,a}}\;$» soit finalement «$\;x={\dfrac {3\,a}{8}}\;$».
En conclusion la distance focale image «$\;x=f_{i,\,2}\;$» de la 2ème lentille sphérique mince $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ pour que le centre optique $\;O_{2}\;$ de cette dernière soit un point double du triplet est «$\;f_{i,\,2}={\dfrac {3\,a}{8}}\;$».

### Détermination des caractéristiques du système optique équivalent

On se propose de déterminer les caractéristiques du système optique équivalent au triplet de lentilles sphériques minces coaxiales «$\;{\mathcal {L}}_{1}$, $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ et $\;{\mathcal {L}}_{3}\;$», On se propose de déterminer les caractéristiques du système optique équivalent au triplet le centre optique $\;O_{2}\;$ de la 2ème lentille $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ étant un point double du triplet.

#### Point conjugué, par le triplet, du point objet situé à l'infini sur l'axe optique principal

Déterminer le point conjugué, par le triplet, du point à l'infini sur l'axe optique principal ; comment peut-on alors qualifier le système ?
On a d'une part «$\;{\overline {O_{1}O_{2}}}=3\,a=f_{i,\,1}={\overline {O_{1}F_{i,\,1}}}\;$» dont on déduit que le foyer principal image $\;F_{i,\,1}\;$ de la 1ère lentille $\;{\mathcal {L}}_{1}\;$ est confondu avec le centre optique $\;O_{2}\;$ de la 2ème lentille $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ et On a d'autre part «$\;{\overline {O_{2}O_{3}}}=a=f_{i,\,3}=-{\overline {O_{3}F_{o,\,3}}}={\overline {F_{o,\,3}O_{3}}}\;$» dont on déduit que le foyer principal objet $\;F_{o,\,3}\;$ de la 3ème lentille $\;{\mathcal {L}}_{3}\;$ est confondu avec le centre optique $\;O_{2}\;$ de la 2ème lentille $\;{\mathcal {L}}_{2}$ ;
on peut donc en déduire les conjugaisons suivantes «$\;A_{o\,\infty }\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{1}}{\rightarrow }}\;F_{i,\,1}=O_{2}\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{2}}{\rightarrow }}\;O_{2}=F_{o,\,3}\;{\stackrel {{\mathcal {L}}_{3}}{\rightarrow }}\;A_{i\,\infty }\;$» c'est-à-dire que le point à l'infini de l'axe optique principal est un point double du triplet et par suite on peut donc en déduire le caractère afocal du système optique équivalent au triplet de lentilles sphériques minces coaxiales «$\;{\mathcal {L}}_{1}$, $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ et $\;{\mathcal {L}}_{3}\;$» construit pour que $\;O_{2}\;$ soit un point double du triplet.

#### Construction de l'image A$_i$B$_i$ donnée par le triplet, d'un objet linéique transverse A$_o$B$_o$ et grandissement transverse du triplet associé à cet objet

Faire la construction de l'image $\;A_{i}B_{i}\;$ donnée par le triplet, d'un objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$, $\;A_{o}\;$ étant sur l'axe optique principal ;
en déduire que « le grandissement transverse $\;G_{t}(A_{o})\;$ du triplet associé à cet objet est indépendant de la position de ce dernier » et
en déduire que « le grandissement transverse $\;\color {transparent}{G_{t}(A_{o})}\;$ du triplet déterminer sa valeur «$\;G_{t}\;$».
* Triplet de lentilles sphériques minces convergentes coaxiales «$\;{\mathcal {L}}_{1}$, $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ et $\;{\mathcal {L}}_{3}\;$» tel que le centre optique $\;O_{2}\;$ de la 2ème lentille $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ soit un point double du triplet et construction de l'image $\;A_{i}B_{i}\;$ par le triplet, d'un objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$, $\;A_{o}\;$ étant sur l'axe optique principal
Pour construire l'image $\;A_{i}B_{i}\;$ par le triplet de lentilles sphériques minces convergentes coaxiales «$\;{\mathcal {L}}_{1}$, $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ et $\;{\mathcal {L}}_{3}\;$» d'un objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ de pied $\;A_{o}\;$, on choisit deux rayons incidents particuliers issus de $\;B_{o}\;$ de façon à déterminer son image $\;B_{i}\;$ par le triplet, le choix porte sur
$\succ \;$un rayon $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal, issu de $\;B_{o}$, qui émerge de $\;{\mathcal {L}}_{1}\;$ en passant par $\;F_{i,\,1}=O_{2}$, puis traverse $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ sans être dévié et ressort de $\;{\mathcal {L}}_{3}\;$ $\parallel \;$ à l'axe optique principal $\;{\big$car $\;O_{2}=F_{o,\,3}{\big )}$,
$\succ \;$un rayon issu de $\;B_{o}\;$ passant par $\;O_{1}$, qui traverse $\;{\mathcal {L}}_{1}\;$ sans être dévié, coupe le plan focal objet de $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ en $\;\varphi _{o,\,2}\;$ ${\big \$foyer secondaire objet de $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ auquel est associé l'axe optique secondaire $\;\left(O_{2}\varphi _{o,\,2}\right)\!{\big \}$, émerge de $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ parallèlement à l'axe optique secondaire $\;\left(O_{2}\varphi _{o,\,2}\right)\;$ associé à $\;\varphi _{o,\,2}$, ce dernier rayon coupant le plan focal objet de $\;{\mathcal {L}}_{3}\;$ ${\big$qui est aussi le plan de la lentille $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ car $\;F_{o,\,3}=O_{2}{\big ]}\;$ en $\;\varphi _{o,\,3}\;$ ${\big \$foyer secondaire objet de $\;{\mathcal {L}}_{3}\;$ auquel est associé l'axe optique secondaire $\;\left(O_{3}\varphi _{o,\,3}\right)\!{\big \}$ émerge de $\;{\mathcal {L}}_{3}\;$ parallèlement à $\;\left(O_{3}\varphi _{o,\,3}\right)$,
l'image $\;B_{i}\;$ est alors définie comme l'intersection des deux rayons émergents du triplet, $\;A_{i}\;$ s'obtenant en projetant orthogonalement $\;B_{i}\;$ sur l'axe optique principal $\;{\big$l'aplanétisme approché du triplet étant supposé${\big )}$ $\;{\big \$dans le cas de la figure on constate que «$\;A_{i}B_{i}\;$ est virtuelle, inversée et rapetissée »${\big \}$.
Grandissement transverse, par le triplet, de l'objet linéique transverse$\;A_{o}B_{o}\;$ : Considérons un objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ de « dimension $\;t_{o}=\left[A_{o}B_{o}\right]\;$» fixée et Grandissement transverse, par le triplet, de l'objet linéique transverse$\;\color {transparent}{A_{o}B_{o}}\;$ : Considérons un objet linéique transverse $\;\color {transparent}{A_{o}B_{o}}\;$ « positionné en $\;A_{o}\;$ quelconque sur l'axe optique principal » puis Grandissement transverse, par le triplet, de l'objet linéique transverse$\;\color {transparent}{A_{o}B_{o}}\;$ : envisageons le déplacement de $\;A_{o}\;$ sur ce dernier, simultanément Grandissement transverse, par le triplet, de l'objet linéique transverse$\;\color {transparent}{A_{o}B_{o}}\;$ : envisageons le déplacement de $\;B_{o}\;$ se déplace sur la droite $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal situé à la distance $\;t_{o}\;$ de ce dernier ;
$\;\color {transparent}{A_{o}B_{o}}\;$
$\;\parallel \;$
$\;t_{o}\;$
$\;{\mathcal {L}}_{1}\;$
$\;O_{2}$
$\;{\mathcal {L}}_{2}\;$
$\;{\mathcal {L}}_{3}\;$
$\;t_{i}\;$
$\;{\dfrac {t_{i}}{t_{o}}}={\dfrac {O_{2}O_{3}}{O_{2}O_{1}}}={\dfrac {1}{3}}\;$
$\Rightarrow$
$\;t_{i}={\dfrac {t_{o}}{3}}\;$
Grandissement transverse, par le triplet, de l'objet linéique transverse$\;\color {transparent}{A_{o}B_{o}}\;$ : en conclusion, quelle que soit la position de $\;A_{o}\;$ sur l'axe optique principal, Grandissement transverse, par le triplet, de l'objet linéique transverse$\;\color {transparent}{A_{o}B_{o}}\;$ : en conclusion, quelle que soit la position de $\;B_{o}\;$ reste sur le rayon incident $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal à la distance $\;t_{o}\;$ de ce dernier Grandissement transverse, par le triplet, de l'objet linéique transverse$\;\color {transparent}{A_{o}B_{o}}\;$ : en conclusion, et $\;B_{i}\;$ sur le rayon émergent parallèlement à l'axe optique principal à la distance $\;t_{i}={\dfrac {t_{o}}{3}}\;$ de ce dernier $\Rightarrow$ Grandissement transverse, par le triplet, de l'objet linéique transverse$\;\color {transparent}{A_{o}B_{o}}\;$ : en conclusion, le grandissement transverse, par le triplet, de l'objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ à savoir «$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{\overline {A_{o}B_{o}}}}\;$» Grandissement transverse, par le triplet, de l'objet linéique transverse$\;\color {transparent}{A_{o}B_{o}}\;$ : en conclusion, le grandissement transverse, est indépendant de la position de ce dernier, il vaut Grandissement transverse, par le triplet, de l'objet linéique transverse$\;\color {transparent}{A_{o}B_{o}}\;$ : en conclusion, le grandissement transverse, «$\;G_{t}=-{\dfrac {t_{i}}{t_{o}}}={\dfrac {\overline {O_{2}O_{3}}}{\overline {O_{2}O_{1}}}}={\dfrac {\overline {F_{o,\,3}O_{3}}}{\overline {F_{i,\,1}O_{1}}}}={\dfrac {\overline {O_{3}F_{o,\,3}}}{\overline {O_{1}F_{i,\,1}}}}=-{\dfrac {f_{i,\,3}}{f_{i,\,1}}}=-{\dfrac {1}{3}}\;$».

#### Construction de l'émergent d'un rayon incident passant par A$_o$ et grandissement angulaire du triplet associé au pinceau incident situé entre ce rayon incident et l'axe optique principal

Faire la construction de l'émergent, par le triplet, d'un rayon incident passant par un point objet $\;A_{o}\;$ de l'axe optique principal et légèrement incliné par rapport à ce dernier $\;{\big \$la lumière localisée entre ce rayon incident et l'axe optique principal définissant un « pinceau incident issu de $\;A_{o}\;$»${\big \}$ ;
en admettant l'applicabilité de la relation de Lagrange - Helmholtz$^,$ d'un système dioptrique dans l'air, en admettant l'applicabilité de la relation de Lagrange - Helmholtz déduire que « le grandissement angulaire $\;G_{a}(A_{o})\;$ du triplet associé au pinceau incident de sommet $\;A_{o}\;$ est le même $\;\forall \;A_{o}\;$» et en admettant l'applicabilité de la relation de Lagrange - Helmholtz déterminer la valeur $\;G_{a}\;$ de ce dernier.
* Triplet de lentilles sphériques minces convergentes coaxiales «$\;{\mathcal {L}}_{1}$, $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ et $\;{\mathcal {L}}_{3}\;$» tel que le centre optique $\;O_{2}\;$ de la 2ème lentille $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ soit un point double du triplet et construction de l'émergent, par le triplet, d'un rayon incident passant par un point objet $\;A_{o}\;$ de l'axe optique principal et légèrement incliné par rapport à ce dernier
Le rayon incident, issu de $\;A_{o}\;$ et faiblement incliné de $\;\theta _{o}\;$ relativement à l'axe optique principal, étant $\;\parallel \;$ à l'axe optique secondaire de $\;{\mathcal {L}}_{1}\;$ noté $\;\left(O_{1}\varphi _{i,\,1}\right)\;$, Le rayon incident, émerge en passant par $\;\varphi _{i,\,1}\;$ ${\big \$foyer secondaire image de $\;{\mathcal {L}}_{1}\;$ associé à l'axe optique secondaire $\;\left(O_{1}\varphi _{i,\,1}\right)\!{\big \}$, puis
le rayon émergent de $\;{\mathcal {L}}_{1}\;$ coupant le plan focal objet de $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ en $\;\varphi _{o,\,2}\;$ ${\big \$foyer secondaire objet de $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ auquel est associé l'axe optique secondaire $\;\left(O_{2}\varphi _{o,\,2}\right)\!{\big \}$, le rayon émergent de $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}_{1}}\;$ émerge de $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ parallèlement à $\;\left(O_{2}\varphi _{o,\,2}\right)\;$ et enfin,
ce dernier rayon émergent de $\;{\mathcal {L}}_{2}\;$ étant $\;\parallel \;$ à l'axe optique secondaire de $\;{\mathcal {L}}_{3}\;$ noté $\;\left(O_{3}\varphi _{i,\,3}\right)\;$ ce dernier rayon émergent de $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}_{2}}\;$ émerge en passant par $\;\varphi _{i,\,3}\;$ ${\big \$foyer secondaire image de $\;{\mathcal {L}}_{3}\;$ associé à l'axe optique secondaire $\;\left(O_{3}\varphi _{i,\,3}\right)\!{\big \}$ légèrement incliné de $\;\theta _{i}\;$ relativement à l'axe optique principal ;
l'image $\;A_{i}\;$ de $\;A_{o}\;$ par le triplet est alors définie comme l'intersection du rayon émergent de $\;{\mathcal {L}}_{3}\;$ avec l'axe optique principal, « le pinceau incident issu de $\;A_{o}\;$ d'angle d'ouverture $\;\theta _{o}\;$» devenant, après traversée du triplet, « un pinceau émergent issu de $\;A_{i}\;$ d'angle d'ouverture $\;\theta _{i}\;$».
Grandissement angulaire, par le triplet, du pinceau incident de sommet$\;A_{o}$ : Le grandissement angulaire $\;G_{a}(A_{o})\;$ du triplet associé au pinceau incident de sommet $\;A_{o}\;$ étant défini selon «$\;G_{a}(A_{o})={\dfrac {\theta _{i}}{\theta _{o}}}\;$» Grandissement angulaire, par le triplet, du pinceau incident de sommet$\;\color {transparent}{A_{o}}$ : Le grandissement angulaire $\;\color {transparent}{G_{a}(A_{o})}\;$ peut se déterminer par utilisation de la relation de Lagrange - Helmholtz$^,$ dont l'applicabilité au triplet est admise soit «$\;G_{t}(A_{o})\;G_{a}(A_{o})=+1\;$» dans laquelle $\;G_{t}(A_{o})\;$ est le grandissement transverse, par le triplet, d'un objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ de pied $\;A_{o}$ ;
Grandissement angulaire, par le triplet, du pinceau incident de sommet$\;\color {transparent}{A_{o}}$ : or le grandissement transverse $\;G_{t}(A_{o})$, par le triplet, d'un objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ de pied $\;A_{o}\;$ étant le même $\;\forall \;A_{o}\;$, Grandissement angulaire, par le triplet, du pinceau incident de sommet$\;\color {transparent}{A_{o}}$ : de l'utilisation $\;{\big$admise${\big )}\;$ de la relation de Lagrange - Helmholtz$^,$ au triplet on en déduit que Grandissement angulaire, par le triplet, du pinceau incident de sommet$\;\color {transparent}{A_{o}}$ : le grandissement angulaire, par le triplet, du pinceau incident de sommet$\;A_{o}\;$ à savoir $\;G_{a}(A_{o})={\dfrac {\theta _{i}}{\theta _{o}}}\;$est indépendant de$\;A_{o}$, il vaut Grandissement angulaire, par le triplet, du pinceau incident de sommet$\;\color {transparent}{A_{o}}$ : le grandissement angulaire, $\;G_{a}={\dfrac {+1}{G_{t}}}={\dfrac {+1}{-{\dfrac {1}{3}}}}\;$ soit finalement «$\;G_{a}=-3\;$».