# Introduction aux suites numériques/Suites géométriques
## Définition par récurrence

Une suite est géométrique quand on multiplie toujours par le même nombre pour passer d'un terme au suivant.
Une suite géométrique est donc définie par :
* la valeur de son premier terme $u_{0}$
* une relation de récurrence de la forme : $u_{n+1}=u_{n}\times q$
Le facteur q qui permet de passer d'un terme au suivant s’appelle la raison de la suite $(u_{n})$. Le facteur $q$ est défini par : $q={u_{n+1} \over u_{n}}$

## Être ou ne pas être une suite géométrique

Parmi les suites ci-dessous, lesquelles sont géométriques ? Dans ce cas, donner leur raison.
* $u_{0}=1,u_{1}=2,u_{2}=4,u_{3}=8,u_{4}=16,u_{5}=32,u_{6}=64,...$
* $u_{0}=3,u_{1}=9,u_{2}=27,u_{3}=81,...$
* $u_{0}=1,u_{1}=-5,u_{2}=25,u_{3}=-125,u_{4}=625,...$
* $u_{0}=10,u_{1}=5,u_{2}=2.5,u_{3}=1.25,u_{4}=0.625,...$
* $u_{0}=2,u_{1}=4,u_{2}=9,u_{3}=16,u_{4}=25,u_{5}=36,u_{6}=49,u_{7}=64,u_{8}=81,u_{9}=100,...$
* La première suite est géométrique de raison 2
* La deuxième suite est géométrique de raison 3
* La troisième suite est géométrique de raison -5
* La quatrième suite est géométrique de raison 0.5
* La dernière suite n’est pas géométrique

## Terme général d'une suite géométrique

Pour calculer $u_{n}$, il faut d'abord multiplier n fois la raison $q$ par elle-même et ensuite, multiplier l'ensemble par le premier terme $u_{0}$.
Le terme général d'une suite géométrique $(u_{n})$ est donné par la formule suivante : $u_{n}=u_{0}\times q^{n}$

### Utilisation du terme général

* Soit $(u_{n})$ une suite géométrique telle que $u_{0}=3$ et $q=1,5$. Calculer $u_{11}$
* Soit $(u_{n})$ une suite géométrique telle que $u_{0}=0,5$ et $q=-2$. Calculer $u_{25}$
* Soit $(u_{n})$ une suite géométrique telle que $u_{1}=8$ et $q=0,25$. Calculer $u_{10}$
* Soit $(u_{n})$ une suite géométrique telle que $u_{15}=3^{20}$ et $q=3$. Calculer $u_{0}$
* Soit $(u_{n})$ une suite géométrique telle que $u_{11}=25$ et $u_{14}=200$. Calculer $u_{0}$ et $q$
* $u_{n}=u_{0}\times q^{n}$ donc $u_{11}=3\times (1,5)^{11}\approx 259,5$
* $u_{n}=u_{0}\times q^{n}$ donc $u_{25}=0,5\times (-2)^{25}=-16777216$
* $u_{n}=u_{0}\times q^{n}=u_{1}\times q^{n-1}$ donc $u_{10}=8\times (0,25)^{9}=3,0518\times 10^{-5}$
* $u_{0}={\frac {u_{n}}{q^{n}}}$ donc $u_{0}={\frac {3^{20}}{3^{15}}}=3^{5}=243$
* On a $u_{11}=u_{0}\times q^{11}$ et $u_{14}=u_{0}\times q^{14}$, donc ${\frac {u_{14}}{u_{11}}}=q^{3}=8$, soit $q=2$.
On en déduit : $u_{0}={\frac {u_{11}}{2^{11}}}={\frac {25}{2048}}\approx 1,22\times 10^{-2}$

## Sens de variation d'une suite géométrique

Une suite géométrique de premier terme positif et de raison q réelle est :
* croissante si $q>1$
* décroissante si $0<q<1$
* constante si $q=1$
* non monotone (ni croissante ni décroissante) si $q<0$
Une suite géométrique de premier terme négatif et de raison q réelle est :
* croissante si $0<q<1$
* décroissante si $q>1$
* constante si $q=1$
* non monotone (ni croissante ni décroissante) si $q<0$

## Somme des termes d'une suite géométrique

La somme des termes consécutifs d'une suite géométrique $(u_{n})$ de raison $q$, du rang $i$ au rang $j$, s'exprime par :
où $k=j-i+1$ est le nombre de termes de la somme.
Soit $S:=u_{i}+u_{i+1}+\cdots +u_{j}$ la somme à calculer.
On écrit : $S=u_{i}+u_{i}q+\dots +u_{i}q^{j-i}$

### Si $q\neq 1$, on multiplie les deux membres de l'égalité par $1-q$

    ${\begin{aligned}(1-q)S&=(1-q)(u_{i}+u_{i}q+\dots +u_{i}q^{j-i})\\&=u_{i}+u_{i}q+\dots +u_{i}q^{j-i}\\&{\color {White}=u_{i}}-u_{i}q-\dots -u_{i}q^{j-i}-u_{i}q^{j-i+1}\\&=u_{i}-u_{i}q^{j-i+1}\\&=u_{i}(1-q^{k})\end{aligned}}$
(c'est une somme télescopique).
Finalement, on trouve : $S=u_{i}{\cfrac {1-q^{k}}{1-q}}$.
Si $q=1$, on a simplement : $S=u_{i}+u_{i}+\dots +u_{i}$ ($k$ fois)
On trouve donc : $S=u_{i}k$.

### Calculs de sommes

En utilisant la formule de la somme d'une suite géométrique,
1. Soit $(u_{n})$ une suite géométrique telle que $u_{0}=3$ et $q=2$. Calculer $S=u_{0}+u_{1}+\cdots +u_{20}$
2. Calculer $S=1+3+9+27+81+\cdots +59049$
1. $S=3\times {\frac {1-2^{20+1}}{1-2}}=6291453$
2. On remarque que le quotient est $q=3$, que $u_{0}=1$ et que $u_{10}=59049$. Ainsi, $S=1\times {\frac {1-3^{10+1}}{1-3}}=88573$
Les suites géométriques sont utilisées dans de nombreux domaines. Voir en particulier la leçon « Mathématiques financières ».
| Suites arithmétiques | Sommaire |