# Polynôme/Définitions

Dans toute la suite, $K$ représentera indistinctement le corps $\mathbb {R}$ des réels ou celui $\mathbb {C}$ des complexes (ou plus généralement un corps commutatif quelconque).

## Définition

On appelle fonction polynomiale toute application de K dans K qui a tout indéterminée « X » associe un réel de la forme
    $P(X)=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\dots +a_{n}X^{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}X^{k}$
et les exposants sont des entiers naturels
NB : X n'est pas un paramètre mais bien une indéterminée
* La fonction de K dans K qui à tout X associe $5+2X+3{X^{2}}$ est un polynôme.
* La fonction de K dans K qui à tout X associe $\quad -7$ est un polynôme.
* La fonction des réels positifs dans les réels ${\sqrt {X}}$ n'est pas un polynôme. En effet, une fonction polynomiale est une fonction de K dans K.
* La fonction de K dans K qui à tout X associe sa racine cubique n'est pas une fonction polynomiale. Pour le démontrer, on peut montrer que toutes les fonctions polynomiales sont dérivables sur K tout entier alors que la fonction racine cubique ne l'est pas en 0.

## Unicité

Théorème :
Soit deux fonctions polynomiales $f$ et $g$ telles que $f=g$ et
$f:K\rightarrow K$ $g:K\rightarrow K$
$X\rightarrow a_{n}X^{n}+...+a_{2}X^{2}+a_{1}X+a_{0}$ $X\rightarrow b_{n}X^{n}+...+b_{2}X^{2}+b_{1}X+b_{0}$
Alors, $a_{n}=b_{n}...a_{2}=b_{2};a_{1}=b_{1};a_{0}=b_{0}$
Démonstration
On définit la fonction polynomiale $f-g:K\rightarrow K$
$X\rightarrow f(X)-g(X)$
Donc, $f(X)-g(X)=(a_{n}-b_{n})X^{n}+...+(a_{2}-b_{2})X^{2}+(a_{1}-b_{1})X+(a_{0}-b_{0})=0$ pour tout $X$
Montrons le lemme suivant qui rendra alors le théorème évident : toute fonction polynomiale $h$ nulle pour toute valeur de $X$ (on dit que $h$ est identiquement nulle) a ses coefficients tous nuls.
Pour le démontrer, remarquons tout d'abord que si une fonction polynomiale est différente de 0 en 0, alors, il existe un réel $\eta$ tel que $\forall x\in \sqsubset -\eta ;\eta \sqsupset$, $h(x)\neq 0$ . En effet, la fonction polynôme est continue.
Après cette remarque, résonnons par récurrence sur n :
Initialisation : Si $n=0$, $h(x)=a_{0}$et donc $a_{0}=0$
Hérédité : Supposons que la propriété soit vraie pour $n-1$. Montrons que c'est aussi le cas pour $n$.
Soit le polynôme $B$ tel que $B(X)=\beta _{n}X^{n}+...+\beta _{2}X^{2}+...\beta _{1}X+\beta _{0}$ et $B(x)=0$ pour tout $x$.
Donc, $B(0)=\beta _{0}=0$.
On peut donc écrire $B$ sous la forme $B(X)=\beta _{n}X^{n}+...+\beta _{3}X^{3}+\beta _{2}X^{2}+\beta _{1}X$.
On pose maintenant le polynôme $A(X)$ tel que $A(x)\times x=B(x)$. Ainsi, $A(X)=\beta _{n}X^{n-1)+...+\beta _{3}X^{2}+\beta _{2}X+\beta _{1}$
D'autre part, pour tout $x\neq 0$, $A(x)=0$. Or, d'après le lemme démontré précédemment, $A(0)=0$. En effet, sinon ce la signifiait qu'il existerait un réel $\eta$ tel que $\forall x\in \sqsubset -\eta ;\eta \sqsupset$, $A(x)\neq 0$ ce qui est faux.
Donc, d'après l'hypothèse de récurrence, $\beta _{1}=\beta _{2}=...\beta _{n}=0=\beta _{0}$.
Donc, la propriété est démontrée pour le rang $n$.
Donc, tout polynôme identiquement nul a ses coefficients qui sont tous nuls.
Ainsi, $f-g$ est identiquement nulle. Donc, $a_{n}=b_{n}...a_{2}=b_{2};a_{1}=b_{1};a_{0}=b_{0}$: le théorème est démontré.
Montrons maintenant une autre propriété qui est la suivante
Propriété :
Soit deux fonctions polynomiales $f$ et $g$ telles que $f=g$ et
$f:K\rightarrow K$ $g:K\rightarrow K$
$X\rightarrow a_{n}X^{n}+...+a_{2}X^{2}+a_{1}X+a_{0}$ $X\rightarrow b_{m}X^{m}+...+b_{2}X^{2}+b_{1}X+b_{0}$
Avec $n$ et $m$ différents de 0.
On a alors $n=m$ et $a_{n}=b_{m}...a_{2}=b_{2};a_{1}=b_{1};a_{0}=b_{0}$.

## Degré d'un polynôme

Soit $P(X)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}X^{k}\in K[X]$.
Coefficients : $a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}$ sont appelés les coefficients de P.
Degré : le degré d’un polynôme est l'exposant de la plus grande puissance de X à coefficient non nul. On le notera $\deg(P)$ ou $\mathrm {d} ^{o}(P)$.
Formellement, $\deg(P)=\max\{k\in \mathbb {N} \mid a_{k}\neq 0\}$.
Par convention, le degré du polynôme nul est − ∞
La propriété démontrée précédemment montre donc que deux polynômes égaux ont le même degré.
On nomme coefficient dominant du pôlynome le coefficient associé à l'indéterminé X de plus haut degré.
Soient $P,Q\in K[X]$. Alors :
* $\deg PQ=\deg P+\deg Q$ ;
* $\deg(P+Q)\leq \max(\deg P,\deg Q)$ avec égalité sauf si $\deg P=\deg Q$ et si la somme des monômes de plus haut degré de $P$ et $Q$ est nulle.
* $3{X^{2}}$ est un monôme de degré 2
* $-7{X^{5}}$ est un monôme de degré 5
* ${\sqrt {2}}{X^{0}}$, est un monôme de degré 0
* $-7{X^{5}}+7{X^{5}}$, est un polynôme de degré moins l'infini.
Soit $P\in (K[X])^{\times }$. Il existe $Q\in K[X]$ tel que $PQ=1$.
En particulier, $\deg P+\deg Q=\deg 1=0\Rightarrow \deg P=\deg Q=0$ car les degrés sont des entiers naturels. On en déduit le résultat voulu.
On note $K_{n}[X]$ le sous-espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à $n$ (par convention, on pose $\deg 0=-\infty <n$ ).
La base canonique de $K[X]$ est $(1,X,X^{2},\ldots ,X^{n},\ldots )$. En particulier :
* $K[X]$ est de dimension infinie ;
* $K_{n}[X]$ est de dimension n + 1 car $(1,X,X^{2},\ldots ,X^{n})$ en est la base canonique.
Soit $(P_{n})$ une famille de polynômes telle que $P_{n}$ soit de degré $n$. Alors, pour tout $n$, $(P_{0},P_{1},\ldots ,P_{n})$ forme une base de $K_{n}[X]$.
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