# Calcul avec les nombres complexes/Division de deux complexes
## Division de deux nombres complexes
### Produit d'un nombre complexe et de son conjugué

Pour tout nombre complexe z non nul, le produit $z{\bar {z}}$ est un nombre réel strictement positif.
Avec la forme algébrique de z, on a :
${\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {x-iy}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-{\frac {iy}{x^{2}+y^{2}}}$ car $z\neq 0$ et ${\bar {z}}\neq 0$.

### Division de nombres complexes

La propriété précédente nous permet de diviser deux nombres complexes en multipliant au numérateur et au dénominateur par ${\bar {z}}$.
Soit $z=2+3i$, calculer ${\frac {1}{z}}$ ${\frac {1}{z}}={\frac {1}{2+3i}}={\frac {2-3i}{(2+3i)(2-3i)}}={\frac {2-3i}{4-i^{2}\times 9}}={\frac {2-3i}{4+9}}={\frac {2-3i}{13}}$

### Opérations avec les nombres complexes conjugués

La conjugaison "se comporte bien" avec les quatre opérations.
C'est-à-dire l’ordre dans lequel les calculs (opérations ou conjugué) sont effectués n'a pas d'importance.
* ${\overline {z_{1}+z_{2}}}={\bar {z}}_{1}+{\bar {z}}_{2}$
* ${\overline {z_{1}-z_{2}}}={\bar {z}}_{1}-{\bar {z}}_{2}$
* ${\overline {z_{1}\times z_{2}}}={\bar {z}}_{1}\times {\bar {z}}_{2}$
* ${\overline {\left({\frac {1}{z}}\right)}}={\frac {1}{\bar {z}}}$.
* ${\overline {\left({\frac {z_{1}}{z_{2}}}\right)}}={\frac {{\bar {z}}_{1}}{{\bar {z}}_{2}}}$
Par extension à la multiplication et à l'inverse, nous pouvons aussi calculer le nombre complexe conjugué d'un nombre complexe à la puissance $n\in \mathbb {Z}$ :
* ${\overline {z^{n}}}={\left({\bar {z}}\right)}^{n}$
Soit $z=a+ib$ et $z'=c+id$, on a:
* Pour l'addition (et la soustraction) :
** $z+z'=a+ib+c+id=a+c+i(b+d)$.
** ${\bar {z}}+{\bar {z}}'=a-ib+c-id=a+c-i(b+d)$.
** ${\overline {z+z'}}={\overline {a+ib+c+id}}={\overline {a+c+i(b+d)}}=a+c-i(b+d)={\bar {z}}+{\bar {z}}'$.
* Pour la multiplication (et la puissance) :
** $z\times z'=(a+ib)\times (c+id)=ac-bd+i(ad+cb)$.
** ${\bar {z}}\times {\bar {z}}'=(a-ib)\times (c-id)=ac-bd-i(ad+cb)$.
** ${\overline {z\times z'}}={\overline {(a+ib)\times (c+id)}}={\overline {ac-bd+i(ad+cb)}}=ac-bd-i(ad+cb)={\bar {z}}\times {\bar {z}}'$.
* Pour l'inverse : avec $z'\neq 0$,
** ${\frac {1}{z}}'={\frac {c-id}{c^{2}+d^{2}}}$.
** ${\frac {1}{\bar {z'}}}={\frac {1}{c-id}}={\frac {c+id}{c^{2}+d^{2}}}$.
** ${\overline {\left({\frac {1}{z'}}\right)}}={\overline {\left({\frac {c-id}{c^{2}+d^{2}}}\right)}}={\frac {c+id}{c^{2}+d^{2}}}={\frac {1}{\bar {z'}}}$.
* Pour la division : avec $z'\neq 0$, ${\overline {\left({\frac {z}{z'}}\right)}}={\overline {z\times {\frac {1}{z'}}}}={\bar {z}}\times {\overline {\left({\frac {1}{z'}}\right)}}={\bar {z}}\times {\frac {1}{\bar {z'}}}={\frac {\bar {z}}{\bar {z'}}}$
Soit $z_{1}=3+i$ et $z_{2}=-2-5i$, le conjugué de $z_{1}\times z_{2}$ est :
* Première méthode
${\overline {z_{1}\times z_{2}}}={\overline {(3+i)\times (-2-5i)}}={\overline {-6-15i-2i+5}}={\overline {-1-17i}}=-1+17i$
* Seconde méthode
${\overline {z_{1}\times z_{2}}}={\overline {(3+i)}}\times {\overline {(-2-5i)}}=(3-i)\times (-2+5i)=-6+15i+2i+5=-1+17i$ Les deux méthodes conduisent donc bien au même résultat.

### Expression des parties réelle et imaginaire avec le conjugué

Au lieu de séparer parties réelle et imaginaire pour mettre un nombre complexe sous forme algébrique, nous pouvons les calculer directement grâce à ces formules.
Pour $z=x+iy$ La partie réelle est $\Re (z)=\mathrm {Re} (z)={\frac {z+{\bar {z}}}{2}}$ et la partie imaginaire est $\Im (z)=\mathrm {Im} (z)={\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}$
La démonstration est simple, pour $z=x+iy$, il suffit de faire l'addition de $z+{\bar {z}}$ pour obtenir la partie réelle et la soustraction $z-{\bar {z}}$ pour obtenir la partie imaginaire. $z+{\bar {z}}=x+iy+x-iy=2x=2\Re (z)$ $z-{\bar {z}}=x+iy-(x-iy)=2iy=2i\Im (z)$
Par extension, on a la propriété suivante :
* On a z réel si et seulement si : $z-{\bar {z}}=0$
* Et z est un imaginaire pur si et seulement si $z+{\bar {z}}=0$
| Conjugué d'un nombre complexe | Module et argument |