# Ondes électromagnétiques guidées/Généralités
## Présentation
### Guide d'ondes

Soit ${\mathcal {G}}$ un cylindre métallique creux supposé :
* parfaitement conducteur
* infini d'axe (Oz)
* de section droite ${\mathcal {C}}$, courbe fermée quelconque
On cherche à propager à l'intérieur de ${\mathcal {G}}$ une onde électromagnétique. ${\mathcal {G}}$ sera par la suite appelé un guide d'ondes.
${\mathcal {G}}$ peut être un guide d'ondes :
* simplement connexe : guide rectangulaire, circulaire… Le guide d'ondes en photo à droite est simplement connexe.
* multiplement connexe : câble coaxial

### Structure du champ électromagnétique propagé

On cherche à propager une onde électromagnétique de pulsation $\omega =2\pi \nu$ imposée par une source à l'intérieur de ${\mathcal {G}}$ suivant la direction ${\vec {u}}_{z}$, direction du guide d'ondes. Cette onde électromagnétique est, dans le cas général, composée :
* d'un champ électrique ${\vec {E}}=\left[{\vec {E}}_{t}(x,y)+E_{z}(x,y){\vec {u}}_{z}\right]e^{j(kz-\omega t)}$, où :
** ${\vec {E}}_{t}$ est la composante transversale du champ électrique $({\vec {E}}_{t}\cdot {\vec {u}}_{z}=0)$
** l'amplitude suivant ${\vec {u}}_{z}$ du champ électrique est représentée par $E_{z}$
* d'un champ magnétique ${\vec {B}}=\left[{\vec {B}}_{t}(x,y)+B_{z}(x,y){\vec {u}}_{z}\right]e^{j(kz-\omega t)}$, où :
** ${\vec {B}}_{t}$ est la composante transversale du champ magnétique $({\vec {B}}_{t}\cdot {\vec {u}}_{z}=0)$
** l'amplitude suivant ${\vec {u}}_{z}$ du champ magnétique est représentée par $B_{z}$
Nous allons montrer dans cette leçon que :
* ${\mathcal {G}}$ n'autorise la propagation que pour certaines valeurs de k quantifiées, appelées modes de propagation.
* Cette quantification est la cause des conditions aux limites vérifiées par le champ électromagnétique.

## Propriétés générales
### Champ propagé

Pour étudier la structure du champ électromagnétique à l'intérieur de ${\mathcal {G}}$, il faut disposer de relations.
* À partir de l'équation de propagation du champ électrique dans le vide ${\vec {\Delta }}{\vec {E}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}$, on peut obtenir une relation entre $E_{z}$ et $\Delta E_{z}$ et entre ${\vec {E}}_{t}$ et ${\vec {\Delta }}{\vec {E}}_{t}$.
    ${\vec {E}}=(E_{x}(x,y){\vec {u}}_{x}+E_{y}(x,y){\vec {u}}_{y}+E_{z}(x,y){\vec {u}}_{z})e^{j(kz-\omega t)}$
    Le laplacien vecteur ${\vec {\Delta }}{\vec {E}}$ est obtenu à partir du laplacien des coordonnées :
          $\Delta E_{x}={\frac {\partial ^{2}E_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}E_{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}E_{x}}{\partial z^{2}}}=\left({\frac {\partial ^{2}E_{x}}{\partial x^{2}}}(x,y)+{\frac {\partial ^{2}E_{x}}{\partial y^{2}}}(x,y)-k^{2}E_{x}(x,y)\right)e^{j(kz-\omega t)}$
          $\Delta E_{y}=\left({\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial x^{2}}}(x,y)+{\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial y^{2}}}(x,y)-k^{2}E_{y}(x,y)\right)e^{j(kz-\omega t)}$
          $\Delta E_{z}=\left({\frac {\partial ^{2}E_{z}}{\partial x^{2}}}(x,y)+{\frac {\partial ^{2}E_{z}}{\partial y^{2}}}(x,y)-k^{2}E_{z}(x,y)\right)e^{j(kz-\omega t)}$
    Par ailleurs, ${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}=-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}{\vec {E}}$
    Le laplacien de E$_z$ est $\Delta E_{z}={\frac {\partial ^{2}E_{z}}{\partial x^{2}}}(x,y)+{\frac {\partial ^{2}E_{z}}{\partial y^{2}}}(x,y)$
    Enfin, le laplacien vecteur de ${\vec {E}}_{t}$ est :
    ${\begin{aligned}{\vec {\Delta }}{\vec {E}}_{t}&=\Delta E_{x}{\vec {u}}_{x}+\Delta E_{y}{\vec {u}}_{y}\\&=\left({\frac {\partial ^{2}E_{x}}{\partial x^{2}}}(x,y)+{\frac {\partial ^{2}E_{x}}{\partial y^{2}}}(x,y)\right){\vec {u}}_{x}+\left({\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial x^{2}}}(x,y)+{\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial y^{2}}}(x,y)\right){\vec {u}}_{y}\end{aligned}}$
    Exploitons la relation de propagation :
    ${\begin{aligned}{\vec {\Delta }}{\vec {E}}=-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}{\vec {E}}&\Leftrightarrow \Delta E_{x}{\vec {u}}_{x}+\Delta E_{y}{\vec {u}}_{y}+\Delta E_{z}{\vec {u}}_{z}=-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}{\vec {E}}\\&\Leftrightarrow {\vec {\Delta }}{\vec {E}}_{t}~e^{j(kz-\omega t)}-k^{2}~{\vec {E}}_{t}~e^{j(kz-\omega t)}+\Delta E_{z}~e^{j(kz-\omega t)}{\vec {u}}_{z}-k^{2}~E_{z}~e^{j(kz-\omega t)}{\vec {u}}_{z}=\left(-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}{\vec {E}}_{t}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}E_{z}{\vec {u}}_{z}\right)e^{j(kz-\omega t)}\\&\Leftrightarrow {\vec {\Delta }}{\vec {E}}_{t}-k^{2}{\vec {E}}_{t}+(\Delta E_{z}-k^{2}E_{z}){\vec {u}}_{z}=-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}{\vec {E}}_{t}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}E_{z}{\vec {u}}_{z}\\&\Leftrightarrow {\begin{cases}{\vec {\Delta }}{\vec {E}}_{t}=\left(k^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right){\vec {E}}_{t}\\\Delta E_{z}=\left(k^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)E_{z}\end{cases}}\\\end{aligned}}$
Dans le domaine des fréquences où cette relation a un sens, on pose :
    $k_{\perp }^{2}={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}-k^{2}$.
Le sens de cette notation sera expliqué dans les chapitres suivants.
Finalement:
* L'équation de propagation du champ magnétique dans le vide ${\vec {\Delta }}{\vec {B}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {B}}}{\partial t^{2}}}$ étant identique, on peut obtenir par le même calcul la relation suivante entre $B_{z}$ et $\Delta B_{z}$ et entre ${\vec {B}}_{t}$ et ${\vec {\Delta }}{\vec {B}}_{t}$.

### Fonctions génératrices

Nous allons à présent montrer qu'on peut exprimer les coordonnées transversales des champs ${\vec {E}}$ et ${\vec {B}}$ à partir uniquement des composantes suivant la direction de propagation E$_z$ et B$_z$. Ceci se fait en exploitant les deux équations de Maxwell aux rotationnels :
    ${\overrightarrow {\rm {rot}}}({\vec {B}})={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$
    ${\overrightarrow {\rm {rot}}}({\vec {E}})=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$
Nous ferons ici le calcul dans le cas des coordonnées cartésiennes. le cas d'autres systèmes de coordonnées sera laissé en exercice.
La première équation donne :
    ${\rm {(1)}}~:~{\frac {\partial B_{z}}{\partial y}}+jkB_{y}={\frac {j\omega }{c^{2}}}E_{x}$
    ${\rm {(2)}}~:~-jkB_{x}-{\frac {\partial B_{z}}{\partial x}}={\frac {j\omega }{c^{2}}}E_{y}$
La deuxième équation donne :
    ${\rm {(3)}}~:~{\frac {\partial E_{z}}{\partial y}}+jkE_{y}=-j\omega B_{x}$
    ${\rm {(4)}}~:~-jkE_{x}-{\frac {\partial E_{z}}{\partial x}}=-j\omega B_{y}$
Réorganisées, ces 4 équations nous donnent deux systèmes à 2 inconnues. Regroupons (1) et (4) ainsi que (2) et (3) :
    ${\begin{cases}\displaystyle {{\frac {j\omega }{c^{2}}}E_{x}-jkB_{y}={\frac {\partial B_{z}}{\partial y}}}\\\displaystyle {-jkE_{x}+j\omega B_{y}={\frac {\partial E_{z}}{\partial x}}}\end{cases}}$
    ${\begin{cases}\displaystyle {-jkB_{x}-{\frac {j\omega }{c^{2}}}E_{y}={\frac {\partial B_{z}}{\partial x}}}\\\displaystyle {j\omega B_{x}+jkE_{y}=-{\frac {\partial E_{z}}{\partial y}}}\end{cases}}$
Le déterminant de ces deux systèmes vaut $k^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=-k_{\perp }^{2}$.
On détermine donc les solutions suivantes :

### Conditions aux limites

La propagation d'un champ électromagnétique à l'intérieur du guide étant conditionnée par les conditions aux limites, on s'intéresse maintenant à ce qui se passe au niveau de la paroi de ${\mathcal {G}}$. On rappelle que les équations de passage du champ électromagnétique sont :
    ${\begin{cases}\displaystyle {{\vec {E}}=-{\frac {\sigma }{\epsilon _{0}}}{\vec {n}}}\\\displaystyle {{\vec {B}}=-\mu _{0}{\vec {j}}_{S}\wedge {\vec {n}}}\\\end{cases}}$
Ce qui nous intéresse plus précisément pour remonter aux conditions aux limites sur E$_z$ et B$_z$ est la propriété suivante :
    ${\begin{cases}{\vec {E}}_{\mathcal {C}}\wedge {\vec {n}}={\vec {0}}\\{\vec {B}}_{\mathcal {C}}\cdot {\vec {n}}=0\\\end{cases}}$
* Le champ électrique le long de ${\mathcal {C}}$ est :
    ${\vec {E}}_{\mathcal {G}}=\left({\vec {E}}_{t}(x_{\mathcal {C}},y_{\mathcal {C}})+E_{z}(x_{\mathcal {C}},y_{\mathcal {C}}){\vec {u}}_{z}\right)e^{j(kz-\omega t)}$
    ${\vec {E}}_{\mathcal {C}}\wedge {\vec {n}}\Rightarrow E_{z}(x_{\mathcal {C}},y_{\mathcal {C}})=0$ donc E$_z$ est nul sur ${\mathcal {C}}$
* Le champ magnétique le long de la paroi est :
    ${\vec {B}}_{\mathcal {C}}\cdot {\vec {n}}=({\vec {B}}_{t}(x_{\mathcal {C}},y_{\mathcal {C}})\cdot {\vec {n}}+B_{z}(x_{\mathcal {C}},y_{\mathcal {C}}){\vec {u}}_{z}\cdot {\vec {n}})e^{j(kz-\omega t)}$
    La propriété ${\vec {B}}_{\mathcal {C}}\cdot {\vec {n}}=0$ implique ${\vec {B}}_{t}(x_{\mathcal {C}},y_{\mathcal {C}})\cdot {\vec {n}}=0$.
    Par ailleurs, ${\vec {\nabla }}({\rm {div}}({\vec {B}}_{t}))=-jk{\vec {\nabla }}B_{z}$
    On sait aussi que ${\vec {\nabla }}({\rm {div}}({\vec {B}}_{t}))={\overrightarrow {\rm {rot}}}({\overrightarrow {\rm {rot}}}({\vec {B}}_{t}))+{\vec {\Delta }}{\vec {B}}_{t}$
    Or, ${\overrightarrow {\rm {rot}}}({\overrightarrow {\rm {rot}}}({\vec {B}}_{t}))={\vec {0}}$ et ${\vec {\Delta }}{\vec {B}}_{t}=-k_{\perp }^{2}{\vec {B}}_{t}$
    Donc $jk{\vec {\nabla }}B_{z}=k_{\perp }^{2}{\vec {B}}_{t}$
    Finalement, le long du guide, la dérivée normale de B$_z$ vérifie ${\vec {\nabla }}B_{z}|_{\mathcal {C}}\cdot {\vec {n}}=0$
Les grandeurs E$_z$ et B$_z$ vérifient les conditions aux limites suivantes :
    ${\begin{cases}E_{z}|_{\mathcal {C}}=0\\{\vec {\nabla }}B_{z}|_{\mathcal {C}}\cdot {\vec {n}}=0\end{cases}}$

## Modes transverses
### TE et TM

On appelle mode transverse électrique, ou mode TE un mode de propagation tel que $E_{z}\equiv 0$, c'est-à-dire tel que le champ électrique est orthogonal à la direction de propagation.
On appelle mode transverse magnétique, ou mode TM un mode de propagation tel que $B_{z}\equiv 0$, c'est-à-dire tel que le champ magnétique est orthogonal à la direction de propagation.
* Pour un mode TE, $\omega {\vec {B}}_{t}=k{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {E}}_{t}\Rightarrow {\vec {B}}_{t}\perp {\vec {E}}_{t}$
* Pour un mode TM, $-{\frac {\omega }{c^{2}}}{\vec {E}}_{t}=k{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {B}}_{t}\Rightarrow {\vec {E}}_{t}\perp {\vec {B}}_{t}$
Pour un mode TE ou TM, ${\vec {E}}_{t}\cdot {\vec {B}}_{t}=0$
On a ainsi les relations suivantes entre ${\vec {E}}_{t},~{\vec {B}}_{t}$ et la vitesse de phase $v_{\varphi }$ dans le guide d'ondes :
    ${\begin{array}{|c|c|}{\textrm {Mode~TE}}&{\textrm {Mode~TM}}\\\hline \displaystyle {{\vec {B}}_{t}={\frac {k}{\omega }}{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {E}}_{t}}&\displaystyle {-{\frac {\omega }{kc^{2}}}{\vec {E}}_{t}={\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {B}}_{t}}\\\displaystyle {{\frac {E_{t}}{B_{t}}}={\frac {\omega }{k}}=v_{\varphi }}&\displaystyle {{\frac {E_{t}}{B_{t}}}=c^{2}{\frac {k}{\omega }}={\frac {c^{2}}{v_{\varphi }}}}\\\end{array}}$

### TEM

On appelle mode transverse électrique-magnétique, ou mode TEM un mode de propagation tel que $E_{z}\equiv 0$ et $B_{z}\equiv 0$, c'est-à-dire tel que les champs électrique et magnétique sont tous deux orthogonaux à la direction de propagation.
C'est donc à la fois un mode TE et TM.
${\begin{aligned}{\frac {E_{t}}{B_{t}}}=v_{\varphi }={\frac {c^{2}}{v_{\varphi }}}&\Leftrightarrow v_{\varphi }=c\\&\Leftrightarrow {\frac {\omega }{k}}=c\\\end{aligned}}$
* La relation de dispersion est $k={\frac {\omega }{c}}$
* La vitesse de phase est $v_{\varphi }=c$
* La vitesse de groupe est $v_{g}={\frac {{\rm {d}}\omega }{{\rm {d}}k}}=c$
On peut remarquer qu'on retrouve les mêmes expressions que dans le cas de la progression de l'onde plane monochromatique progressive dans le vide. En particulier, la relation de dispersion est linéaire, ce qui rend le guide non dispersif pour un tel mode.
Dans l'hypothèse d'un guide simplement connexe, à l'intérieur du guide, on a donc un potentiel ψ uniforme, ce qui conduit à ${\vec {E}}_{t}(x,y)\equiv 0$ et ${\vec {B}}_{t}(x,y)\equiv 0$.
Un guide simplement connexe ne peut pas propager de modes TEM.
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