# Mécanique pour l'enseignement technique industriel/Exercices/Géométrie
## Arc de cercle
### Freinage d'un convoi ferroviaire

Le cahier des charges du constructeur impose un freinage du convoi roulant à 80 km/h de 180 m sur une voie horizontale et sèche.

#### Hypothèse

    Lors du freinage, il y a roulement sans glissement des roues sur le rail.

#### Donnée

* Diamètre de la roue : 800 mm.

#### Question

    Déterminer l'amplitude de rotation d'une roue pendant la phase de freinage, exprimée en nombre de tours et en radians.
On peut résoudre le problème de deux manières.

#### 1re manière, avec le périmètre

    Le périmètre de la roue fait, en mètres
       p = πD = π × 0,8 = 2,513 m.
    Le nombre de tours est donc
       n = L/p = 180/2,513 = 71,6 tr
    Un tour représente 2π radians soit
       θ = 2π × n = 2π × 71,6 = 450 rad.

#### 2e manière, avec la formule de l'arc

    On a, d’après la formule
       L = r θ ⇒ θ = L/r = 180/0,4 = 450 rad.
    Un tour représente 2π radians soit
       n = θ/2π = 450/2π = 71,6 tr.

### Enrouleur de câble

On désire enrouler un câble de 200 m sur un tambour de diamètre 1 500 mm. Combien faut-il de tour de tambour, en considérant que le diamètre d'enroulement est toujours le même ? Quel angle en radians cela représente-t-il ?
Comme précédemment, il y a deux manières de résoudre le problème.

#### 1re manière, avec le périmètre

    Le périmètre du tambour fait, en mètres
       p = πD = π × 1,5 = 4,712 m.
    Le nombre de tours est donc
       n = L/p = 200/4,712 = 42,4 tr
    Un tour représente 2π radians soit
       θ = 2π × n = 2π × 42,4 = 266,7 rad.

#### 2e manière, avec la formule de l'arc

    On a, d’après la formule
       L = r θ ⇒ θ = L/r = 200/0,75 = 266,7 rad.
    Un tour représente 2π radians soit
       n = θ/2π = 266,7/2π = 42,4 tr.

### Vérin rotatif

Un vérin rotatif est basé sur un système pignon-crémaillère :
* un piston entraîne le déplacement linéaire d'une crémaillère ;
* la crémaillère entraîne la rotation du pignon.
Le pignon a un diamètre primitif de 25 mm. Quelle doit être l'avance du piston pour que le pignon fasse une rotation de 30° ?
L'angle en radians vaut
    360° ↔ 2π rad
    30° ↔ θ
    $\theta ={\frac {2\pi }{360}}\times 30=0,52\ \mathrm {rad}$.
La longueur vaut donc
    L = r θ = 12,5 × 0,52 = 6,5 mm.
On peut aussi s'en sortir sans la formule, en appliquant la loi de proportionnalité : le périmètre du cercle primitif vaut
    p = 2πr = 2π × 12,5 = 78,5 mm
puis
    360° ↔ p
    30° ↔ L
    $\mathrm {L} ={\frac {30}{360}}p={\frac {30}{360}}\times 78,5=6,5\ \mathrm {mm}$.

## Relations dans le triangle rectangle
### Passerelle métallique

On veut construire une passerelle ayant la forme d’un parallélépipède rectangle (forme d’une « brique »), à partir d’un cadre rectangulaire de quatre poutres supporté par quatre poteaux, selon le plan indiqué sur la figure ci-contre.
On envisage de mettre des raidisseurs en diagonale des côtés. Il faut calculer la longueur des raidisseurs afin de commander les matériaux.
Déterminer les longueurs OA et BC.
Le triangle OAB est rectangle en B. D'après le théorème de Pythagore, on a
    $\mathrm {OA} ={\sqrt {\mathrm {OB} ^{2}+\mathrm {BA} ^{2}}}={\sqrt {2\,500^{2}+2\,000^{2}}}=3\,202\ \mathrm {mm}$.
Le triangle ABC est rectangle en A. D'après le théorème de Pythagore, on a
    $\mathrm {BC} ={\sqrt {\mathrm {AB} ^{2}+\mathrm {AC} ^{2}}}={\sqrt {2\,000^{2}+6\,250^{2}}}=6\,562\ \mathrm {mm}$.

### Pompe à pistons axiaux

Une pompe à piston axiaux est utilisée pour les circuits hydrauliques, par exemple pour alimenter un vérin. Les pièces principales sont :
* le plateau cyclique ;
* les pistons, liés par une rotule avec le plateau cyclique ;
* le barillet, comprenant des alésages dans lesquels coulissent les pistons (chambres).
* Pièces d'une pompe à pistons axiaux
* Pièces en position
Le moteur entraîne le plateau cyclique et les pistons. Les pistons entraînent le barillet en rotation. Comme l'axe du barillet et du plateau cyclique font un angle, la base des pistons s'éloignent et se rapprochent du barillet. Ce mouvement d'aller-retour des pistons dans les alésages provoquent l'aspiration et le refoulement de l'huile.
L'amplitude L du mouvement dépend :
* de l'angle θ que fait l'axe du plateau cyclique avec l'axe du barillet ;
* de la distance r de l'axe de l'alésage avec l'axe du barillet.
Si la distance r vaut 100 mm et que l'angle θ est de 30°, calculer l'amplitude L ?
Avec le dessin fourni en aide, on voit que L est le côté opposé à θ, et que son côté adjacent vaut 2r. On a donc :
    $\mathrm {TOA} \ :\ \tan \theta ={\frac {\mathrm {oppos{\acute {e}}} }{\mathrm {adjacent} }}={\frac {\mathrm {L} }{2r}}$
donc
    L = 2r tan θ = 2 × 100 × tan(30°) = 115,5 mm

### Foret étagé

Un outilleur doit affûter un foret étagé ; cet outil permet de faire un trou et un fraisurage dans la même opération. Le bureau d'étude lui a fourni les cotes fonctionnelles, c'est-à-dire les longueurs des parties cylindriques ; mais pour régler sa machine, l'outilleur a besoin des hauteurs des parties coniques, que l’on appelle a et b.
Pour résoudre ce problème, il faut considérer les demi-cônes : sur le plan, on a des triangles rectangles dont on connaît un des angles (la moitié de l'angle au sommet du cône).

#### Détermination de a

Pour la partie tronconique, on a donc un triangle rectangle ABC rectangle en C, dont la longueur du côté AC est la différence des rayons des cylindres (c'est un transfert de cotes).
    $\mathrm {AC} ={\frac {\mathrm {D} _{1}-\mathrm {D} _{2}}{2}}$.
Calculer AC, et en déduire a.

#### Détermination de b

En suivant la même démarche, déterminer DF, puis b.
Pour le tronc de cône, on a
    AC = (130 - 75)/2 = 27,5 mm.
Comme on a un angle à 45°, il s'agit d'un triangle rectangle isocèle, donc
    a = BC = AC = 27,5 mm.
Pour le cône d'extrémité, on a
    DF = 75/2 = 37,5 mm.
On peut appliquer la formule de la tangente :
    TOA : $\tan(\theta )={\frac {\mathrm {oppos{\acute {e}}} }{\mathrm {adjacent} }}={\frac {\mathrm {DF} }{\mathrm {FE} }}$
donc
    $b=\mathrm {FE} ={\frac {\mathrm {DF} }{\tan(\theta )}}={\frac {37,5}{\tan(60^{\mathrm {o} })}}=21,7\ \mathrm {mm}$.

## Vecteurs
### Approche graphique

Matériel requis :
* règle graduée ;
* équerre ;
* rapporteur d'angle ;
* calculatrice ;
* crayon à papier et stylographe.

#### Personne dans un train
##### Note

    Il s'agit de refaire, de manière légèrement différente, la construction vue en cours, si possible sans l'aide du professeur.
L’image ci-dessus représente une personne dans un train dans trois situations :
* haut : Train (repère 1) à l’arrêt, la personne (repère 2) marche : ${\vec {v}}_{2/1}$ ;
* milieu : Train rep. 1 en marche, personne rep. 2 immobile : ${\vec {v}}_{1/0}$ ;
* bas : Train rep. 1 en marche, la personne rep. 2 marche : ${\vec {v}}_{2/0}$ ;
Il se passe une seconde (1 s) entre l’image en traits pleins et l’image en pointillés.

##### Travail demandé

* Pour chaque situation, tracer le vecteur vitesse (en m/s) de la personne.
* Déterminer les caractéristiques des vecteurs vitesse et remplir le tableau ci-dessous.
* Vérifier la composition des vitesses : ${\vec {v}}_{2/0}={\vec {v}}_{2/1}+{\vec {v}}_{1/0}$.
Caractéristiques des vecteurs vitesse :
| Nom | Direction | Sens | Norme |
| ${\vec {v}}_{2/1}$ | … | … | … |
| ${\vec {v}}_{1/0}$ | … | … | … |
| ${\vec {v}}_{2/0}$ | … | … | … |
Caractéristiques des vecteurs vitesse :
| Nom | Direction | Sens | Norme |
| ${\vec {v}}_{2/1}$ | ∠ 54° | ↗ | (9 mm) |
| ${\vec {v}}_{1/0}$ | — | → | (21 mm) |
| ${\vec {v}}_{2/0}$ | ∠ 15° | ↗ | (27 mm) |
Sur la figure, on trace le vecteur ${\vec {v}}_{2/0}$ à partir de la 3e figure ; puis, on vérifie, en retraçant les vecteurs à partir du point O, que l’on a bien un triangle fermé.
Notons qu’il s'agit ici de projection de vecteur sur une vue en perspective. On a pour cette raison laissé la norme en millimètres mesurés. Les angles sont des angles apparents.

#### Chasse à l'arc

Un chasseur monté sur un char désire abattre un animal avec son arc. Les chevaux galopent à une vitesse de 30 km/h. Lorsque le chasseur tire, la flèche part à l'horizontale avec une vitesse initiale de100 km/h par rapport au chasseur. On s'intéresse à la vitesse au moment où la flèche quitte l'arc, on ne prend donc pas en compte le vent et le freinage par l'air.

##### Travail demandé

Pour chacune des trois situations ci-contre, tracer les vecteurs vitesse :
* ${\vec {v}}_{1/0}$ du char rep. 1 par rapport au sol rep. 0 ;
* ${\vec {v}}_{2/1}$ de la flèche rep. 2 par rapport au char rep. 1 ;
* ${\vec {v}}_{2/0}$ de la flèche rep. 2 par rapport au sol rep. 0 ;
en appliquant la règle de composition des vitesses :
    ${\vec {v}}_{2/0}={\vec {v}}_{2/1}+{\vec {v}}_{1/0}$.
Déterminer graphiquement les caractéristiques des vecteurs vitesse et remplir le tableau ci-dessous (les directions sont relevées au rapporteur d'angle, les longueurs à la règle graduée).
Caractéristiques des vecteurs vitesse :
| Cas 1 (haut) ||||
| Nom | Direction | Sens | Norme |
| ${\vec {v}}_{1/0}$ | … | … | … |
| ${\vec {v}}_{2/1}$ | … | … | … |
| ${\vec {v}}_{2/0}$ | … | … | … |
| Cas 2 (milieu) ||||
| Nom | Direction | Sens | Norme |
| ${\vec {v}}_{1/0}$ | … | … | … |
| ${\vec {v}}_{2/1}$ | … | … | … |
| ${\vec {v}}_{2/0}$ | … | … | … |
| Cas 3 (bas) ||||
| Nom | Direction | Sens | Norme |
| ${\vec {v}}_{1/0}$ | … | … | … |
| ${\vec {v}}_{2/1}$ | … | … | … |
| ${\vec {v}}_{2/0}$ | … | … | … |
Caractéristiques des vecteurs vitesse :
| Cas 1 (haut) ||||
| Nom | Direction | Sens | Norme |
| ${\vec {v}}_{1/0}$ | — | → | 30 km/h |
| ${\vec {v}}_{2/1}$ | — | → | 100 km/h |
| ${\vec {v}}_{2/0}$ | — | → | 130 km/h |
| Cas 2 (milieu) ||||
| Nom | Direction | Sens | Norme |
| ${\vec {v}}_{1/0}$ | — | → | 30 km/h |
| ${\vec {v}}_{2/1}$ | ∠ 30° | ↗ | 100 km/h |
| ${\vec {v}}_{2/0}$ | ∠ 23° | ↗ | 126 km/h |
| Cas 3 (bas) ||||
| Nom | Direction | Sens | Norme |
| ${\vec {v}}_{1/0}$ | — | → | 30 km/h |
| ${\vec {v}}_{2/1}$ | | | ↑ | 100 km/h |
| ${\vec {v}}_{2/0}$ | ∠ 73° | ↗ | 104 km/h |
On admet une erreur de ±1° sur la lecture de la direction du vecteur ${\vec {v}}_{2/1}$ dans le cas 2, et de ±2° pour le vecteur ${\vec {v}}_{2/0}$ (erreur de construction + lecture) dans tous les cas.
On admet une erreur de ±2 mm pour la longueur du vecteur ${\vec {v}}_{2/0}$ (erreur de tracé + lecture), donc une erreur de ±4 km/h pour le résultat.

#### Poulie de tyrolienne

La poulie d'une tyrolienne rep. 0 est soumise à la traction de son câble de support rep. 1. Les caractéristiques de ces forces ${\vec {\mathrm {F} }}_{1}$ et ${\vec {\mathrm {F} }}_{2}$ sont indiquées ci-dessous.
Caractéristiques des forces :
| Nom | Point d'application | Direction | Sens | Intensité |
| ${\vec {\mathrm {F} }}_{1}$ | A | ∠ 152° | ↖ | 900 N |
| ${\vec {\mathrm {F} }}_{2}$ | B | ∠ 28° | ↗ | 900 N |

##### Travail demandé

* Tracer la résultante des forces de traction, ${\vec {\mathrm {R} }}={\vec {\mathrm {F} }}_{1}+{\vec {\mathrm {F} }}_{2}$.
* Déterminer l'échelle de représentation des vecteurs-force, et en déduire l'intensité de ${\vec {\mathrm {R} }}$.
* Remplir le tableau ci-dessous.
Échelle des forces : 1 mm pour … Caractéristiques de la résultante :
| Nom | Point d'application | Direction | Sens | Intensité |
| ${\vec {\mathrm {R} }}$ | I | … | … | … |
Les vecteurs ${\vec {\mathrm {F} }}_{1}$ et ${\vec {\mathrm {F} }}_{2}$ sont représentés par une flèche de 18 mm de long :
    18 mm → 900 N
    1 mm → 50 N
(règle de proportionnalité/produit en croix). La force résultante est représentée par une flèche de 17 mm de long, soit
    $\|{\vec {\mathrm {R} }}\|=17\times 50=850\ \mathrm {N}$.
Échelle des forces : 1 mm pour 50 N Caractéristiques de la résultante :
| Nom | Point d'application | Direction | Sens | Intensité |
| ${\vec {\mathrm {R} }}$ | I | | | ↑ | 850 N |

### Approche analytique
#### Usinage d'un trou oblong

Un technicien d’usinage doit écrire un programme pour réaliser un trou oblong d’un point A à un point B (voir figure 1). Il faut pour cela qu’il détermine les vecteurs déplacement de son outil :
* vecteur ${\overrightarrow {\mathrm {OA} }}{\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}$ depuis l’origine pièce O jusqu’au point A ;
* vecteur ${\overrightarrow {\mathrm {AB} }}{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}}$ depuis le point A jusqu’au point B.
Le programme sera du type
Pour déterminer la durée de l’usinage, il faut aussi connaître la longueur $\|{\overrightarrow {\mathrm {AB} }}\|$.
* Dans le repère (Oxy), déterminer les coordonnées des points O, A et B ;
* Déterminer les composantes des vecteurs ${\overrightarrow {\mathrm {OA} }}$ et ${\overrightarrow {\mathrm {AB} }}$ ;
* Déterminer la longueur du vecteur $\|{\overrightarrow {\mathrm {AB} }}\|$.

## Aires et volumes
### Pompe à pistons axiaux

Reprenons l'exemple de la pompe à pistons axiaux (voir ci-dessus). Cette pompe a trois pistons de diamètre 20 mm. La cylindrée est la quantité de liquide pouvant être pompée lorsque le système effectue un tour complet.
* Quel est le volume balayé par un piston pendant un tour ?
* Quelle est la cylindrée de la pompe.
On exprimera le résultat en cm$^3$.
    1 – Le volume balayé est un cylindre de diamètre 20 mm = 2 cm et de hauteur 115,5 mm = 11,55 cm. On a donc
       S = πR$^2$ = π × 2$^2$ = 12,56 cm$^2$
    soit
       V = Sh = 12,56 × 11,55 = 145,1 cm$^3$.
    2 – Comme on a trois cylindres, la cylindrée vaut 3 V soit 435 cm$^3$.