# Signaux physiques - bis (PCSI)/Exercices/Filtrage linéaire : gabarit d'un filtre, 1ère partie
## Filtrage d'un 1er ordre d'une superposition d'harmoniques

Rappeler la fonction de transfert d'un système « passe-bas » du 1er ordre et
préciser la sortie $\;s(t)\;$ du montage avec une entrée égale à «$\;e(t)=E\;{\sqrt {2}}\;\sin ^{3}\left(\omega _{0}\;t\right)\;$» $\;{\big \$en particulier on précisera le fonctionnement du filtre en passe-bas ou intégrateur suivant la position de la fréquence $\;f_{0}\;$ du signal d'entrée relativement à la fréquence de coupure à $\;-3\;dB_{;}$ du filtre${\big \}$.
Données : «$\;\sin ^{3}(x)={\dfrac {3}{4}}\;\sin(x)-{\dfrac {1}{4}}\;\sin \!\left(3\;x\right)\;$».
$\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {s}}(t)}{{\underline {e}}(t)}}\;$
$\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {A_{0}}{1+j\,\tau \,\omega }}\;$
$\;A_{0}\;$
$\;\tau \;$
La pulsation de coupure à $\;-3\;dB\;$ du passe-bas du 1er ordre vaut «$\;\omega _{c}={\dfrac {1}{\tau }}\;$» $\Rightarrow$ la fréquence de coupure à $\;-3\;dB\;$ «$\;f_{c}={\dfrac {\omega _{c}}{2\;\pi }}={\dfrac {1}{2\;\pi \;\tau }}\;$», l'intervalle de fréquences passant à $\;-3\;dB\;$ étant «$\;\left[0\;,\;f_{c}\right]\;$».
Compte-tenu de «$\;e(t)=E\;{\sqrt {2}}\;\sin ^{3}\left(\omega _{0}\;t\right)={\dfrac {3\;E\;{\sqrt {2}}}{4}}\;\sin \left(\omega _{0}\;t\right)-{\dfrac {E\;{\sqrt {2}}}{4}}\;\sin \!\left(3\;\omega _{0}\;t\right)\;$» tension d'entrée périodique de fréquence $\;f_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}\;$ composée
* de l'harmonique fondamental «$\;e_{1}(t)={\dfrac {3\;E}{4}}\;{\sqrt {2}}\;\sin \left(\omega _{0}\;t\right)\;$» de valeur instantanée complexe associée «$\;{\underline {e_{1}}}(t)=E_{1}\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\;\omega _{0}\;t\right)\;$», $\;E_{1}={\dfrac {3\;E}{4}}\;$ étant la valeur efficace de cet harmonique et
* de l'harmonique de rang $\;3\;$ «$\;e_{3}(t)=-{\dfrac {E}{4}}\;{\sqrt {2}}\;\sin \left(3\;\omega _{0}\;t\right)\;$» de valeur instantanée complexe associée «$\;{\underline {e_{3}}}(t)=-E_{3}\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\;\omega _{0}\;t\right)\;$», $\;E_{3}={\dfrac {E}{4}}\;$ étant la valeur efficace de cet harmonique,
nous déduisons, du caractère linéaire du filtre, que la tension de sortie de ce dernier «$\;s(t)\;$» est périodique de fréquence $\;f_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}\;$ composée
* de l'harmonique fondamental «$\;s_{1}(t)\;$» de valeur instantanée complexe associée «$\;{\underline {s_{1}}}(t)={\underline {A}}(j\,\omega _{0})\;{\underline {e_{1}}}(t)={\underline {S_{1}}}(j\,\omega _{0})\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\;\omega _{0}\;t\right)\;$» avec $\;{\underline {S_{1}}}(j\,\omega _{0})\;$ la valeur efficace complexe de cet harmonique vérifiant «$\;{\underline {S_{1}}}(j\,\omega _{0})={\underline {A}}(j\,\omega _{0})\;E_{1}=S_{1}(\omega _{0})\;\exp \!\left[j\;\varphi _{s_{1}}(\omega _{0})\right]\;$» $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}S_{1}(\omega _{0})=G(\omega _{0})\;E_{1}={\dfrac {\vert A_{0}\vert }{\sqrt {1+\tau ^{2}\;\omega _{0}^{2}}}}\;{\dfrac {3\;E}{4}}\\\varphi _{s_{1}}(\omega _{0})=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {A}}(j\,\omega _{0})\right]+0=-\arctan(\tau \;\omega _{0})\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ «$\;s_{1}(t)={\dfrac {3\,\vert A_{0}\vert \,E\;{\sqrt {2}}}{4\,{\sqrt {1+\tau ^{2}\;\omega _{0}^{2}}}}}\;\sin \left[\omega _{0}\;t+\varphi _{s_{1}}(\omega _{0})\right]\;$» soit «$\;s_{1}(t)={\dfrac {3\,\vert A_{0}\vert \,E\;{\sqrt {2}}}{4\,{\sqrt {1+\tau ^{2}\;\omega _{0}^{2}}}}}\;\sin \left[\omega _{0}\;t-\arctan(\tau \;\omega _{0})\right]\;$»,
* de l'harmonique de rang $\;3\;$ «$\;s_{3}(t)\;$» de valeur instantanée complexe associée «$\;{\underline {s_{3}}}(t)={\underline {A}}(j\,3\,\omega _{0})\;{\underline {e_{3}}}(t)={\underline {S_{3}}}(j\,3\,\omega _{0})\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\;3\;\omega _{0}\;t\right)\;$» avec $\;{\underline {S_{3}}}(j\,3\,\omega _{0})\;$ la valeur efficace complexe de cet harmonique vérifiant «$\;{\underline {S_{3}}}(j\,3\,\omega _{0})={\underline {A}}(j\,3\,\omega _{0})\;E_{3}=S_{3}(3\,\omega _{0})\;\exp \!\left[j\;\varphi _{s_{3}}(3\,\omega _{0})\right]\;$» $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}S_{3}(3\,\omega _{0})=G(3\,\omega _{0})\;E_{3}={\dfrac {\vert A_{0}\vert }{\sqrt {1+9\;\tau ^{2}\;\omega _{0}^{2}}}}\;{\dfrac {E}{4}}\\\varphi _{s_{3}}(3\,\omega _{0})=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {A}}(j\,3\,\omega _{0})\right]+\pi =\pi -\arctan(3\;\tau \;\omega _{0})\end{array}}\right\rbrace \;$ et «$\;s_{3}(t)={\dfrac {\vert A_{0}\vert \,E\;{\sqrt {2}}}{4\,{\sqrt {1+9\;\tau ^{2}\;\omega _{0}^{2}}}}}\;\sin \left[3\;\omega _{0}\;t+\varphi _{s_{3}}(3\,\omega _{0})\right]\;$» soit «$\;s_{3}(t)=-{\dfrac {\vert A_{0}\vert \,E\;{\sqrt {2}}}{4\,{\sqrt {1+9\;\tau ^{2}\;\omega _{0}^{2}}}}}\;\sin \left[3\;\omega _{0}\;t-\arctan(3\;\tau \;\omega _{0})\right]\;$».
$\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {A_{0}}{1+j\,\tau \,\omega }}\;$
$\;e(t)=E\;{\sqrt {2}}\;\sin ^{3}\left(\omega _{0}\;t\right)\;$
$\;s(t)=s_{1}(t)+s_{3}(t)={\dfrac {3\,\vert A_{0}\vert \,E\;{\sqrt {2}}}{4\,{\sqrt {1+\tau ^{2}\;\omega _{0}^{2}}}}}\;\sin \left[\omega _{0}\;t-\arctan(\tau \;\omega _{0})\right]-{\dfrac {\vert A_{0}\vert \,E\;{\sqrt {2}}}{4\,{\sqrt {1+9\;\tau ^{2}\;\omega _{0}^{2}}}}}\;\sin \left[3\;\omega _{0}\;t-\arctan(3\;\tau \;\omega _{0})\right]\;$
Fonctionnement du filtre suivant la fréquence du signal d'entrée $\;{\big$relativement à la fréquence de coupure à $\;-3\;dB{\big )}\;$ : on choisit $\;f_{0}=10\;Hz$, $\;E=1\;V$, $\;A_{0}=1\;$ et $\;f_{c}\;$ prenant successivement les valeurs $\;300\;Hz$, $\;100\;Hz$, $\;30\;Hz$, $\;10\;Hz\;$ et $\;1\;Hz$ $\;{\big \$voir la justification dans le paragraphe « condition pour utiliser le filtre comme intégrateur ou moyenneur sur l'exemple (d'un 1er ordre fondamental) » du chap.$8$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) »${\big \}$ ;
$\succ \;$pour $\;f_{c}=300\;Hz$, les harmoniques $\;e_{1}(t)\;$ de fréquence $\;f_{0}=10\;Hz\;$ et $\;e_{3}(t)\;$ de fréquence $\;3\;f_{0}=30\;Hz\;$ ont tous deux une fréquence dans la zone passante d'où «$\;s(t)=A_{0}\;e(t)=e(t)\;$»,
$\succ \;$pour $\;f_{c}=100\;Hz$, seul l'harmonique $\;e_{1}(t)\;$ de fréquence $\;f_{0}=$ $10\;Hz\;$ a une fréquence dans la zone passante, l'harmonique $\;e_{3}(t)\;$ de fréquence $\;3\;f_{0}=30\;Hz\;$ ayant une fréquence dans la zone intermédiaire d'où «$\;s(t)\;$ de valeurs de crêtes légèrement plus faibles que celles de $\;e(t)\;$ et légèrement déformé par rapport à $\;e(t)\;$» $\;{\big \$voir ci-contre à gauche, le diagramme temporel du signal $\;e(t)\;$ étant en noir, celui du signal $\;s(t)\;$ en rouge${\big \}$,  $\succ \;$pour $\;f_{c}=30\;Hz$, les harmoniques $\;e_{1}(t)\;$ de fréquence $\;f_{0}=$ $10\;Hz\;$ et $\;e_{3}(t)\;$ de fréquence $\;3\;f_{0}=30\;Hz\;$ ont tous deux une fréquence dans la zone intermédiaire d'où «$\;s(t)\;$ de valeurs de crêtes plus faibles de façon notable que celles de $\;e(t)\;$ et plus déformé par rapport à $\;e(t)\;$» $\;{\big \$voir ci-contre à droite, le diagramme temporel du signal $\;e(t)\;$ étant en noir, celui du signal $\;s(t)\;$ en rouge${\big \}$,
$\succ \;$pour $\;f_{c}=10\;Hz$, les harmoniques $\;e_{1}(t)\;$ de fréquence $\;f_{0}=$ $10\;Hz\;$ et $\;e_{3}(t)\;$ de fréquence $\;3\;f_{0}=30\;Hz\;$ ont tous deux une fréquence de pénétration plus profonde dans la zone intermédiaire d'où «$\;s(t)\;$ de valeurs de crêtes assez nettement plus faibles que celles de $\;e(t)\;$ et aussi nettement plus déformé par rapport à $\;e(t)\;$» $\;{\big \$voir ci-contre à gauche, le diagramme temporel du signal $\;e(t)\;$ étant en noir, celui du signal $\;s(t)\;$ en rouge${\big \}$ et  $\succ \;$pour $\;f_{c}=1\;Hz$, les harmoniques $\;e_{1}(t)\;$ de fréquence $\;f_{0}=$ $10\;Hz\;$ et $\;e_{3}(t)\;$ de fréquence $\;3\;f_{0}=30\;Hz\;$ ont tous deux une fréquence dans la zone intégrative d'où «$\;s(t)\;$ $\;\propto \;$ à une primitive de $\;e(t)\;$ mais de valeurs de crêtes relativement faibles » $\;{\big \$voir ci-contre à droite, le diagramme temporel du signal $\;e(t)\;$ étant en noir, celui du signal $\;s(t)\;$ en rouge${\big \}$.
$\succ \;$pour $\;f_{c}=1\;Hz$, les harmoniques $\;e_{1}(t)\;$ de fréquence $\;f_{0}=$ $10\;Hz\;$ et $\;e_{3}(t)\;$ de fréquence $\;3\;f_{0}=30\;Hz\;$ ont tous deux une fréquence dans la zone intégrative d'où «$\;s(t)\;$ $\;\propto \;$ à une primitive de $\;e(t)\;$ mais de valeurs de crêtes relativement faibles » $\;{\big \$voir ci-contre à gauche, le diagramme temporel du signal $\;s(t)$ seul $\;{\big\!\propto \;$ à une primitive de $\;e(t){\big ]}\;$ et représenté avec un cœfficient d'amplification de $\;10{\big \}$,  $\succ \;$ci-contre à droite, le diagramme du signal $\;{\big$représenté seul${\big )}\;$ «$\;e(t)$ $=E\;{\sqrt {2}}\;\sin ^{3}\left(\omega _{0}\;t\right)\;$» de fréquence «$\;f_{0}=10\;Hz\;$» envoyé à l'entrée d'un filtre du 1er ordre fondamental de fréquence de coupure à $\;-3\;dB\;$ «$\;f_{c}=300\;Hz\;$», les deux harmoniques $\;e_{1}(t)\;$ de fréquence $\;f_{0}=$ $10\;Hz\;$ et $\;e_{3}(t)\;$ de fréquence $\;3\;f_{0}=30\;Hz\;$ ayant tous deux une fréquence dans la zone passante, le diagramme temporel du signal de sortie «$\;s(t)\;$» $\;{\big$non représenté${\big )}\;$ est identique à celui de «$\;e(t)\;$».