# Signaux physiques (PCSI)/Introduction au monde quantique : inégalités de Heisenberg
## Grandeurs conjuguées en mécanique quantique, 1ère introduction des opérateurs linéaires « énergie » et « quantité de mouvement » d'une particule quantique
### Grandeurs conjuguées en mécanique quantique

Il existe, en mécanique quantique, des grandeurs deux à deux « conjuguées », liant une grandeur cinétique et une grandeur de positionnement dans l'espace-temps ; ci-dessous des exemples :
* le vecteur quantité de mouvement d'une particule $\;{\vec {p}}\;$ et son vecteur position d'observation $\;{\vec {r}}={\overrightarrow {OM}}\;$,
* l'énergie d'une particule $\;E\;$ et sa date d'observation $\;t$,
la raison du caractère « conjugué » des grandeurs couplées étant qu'il existe un opérateur linéaire agissant sur la fonction d'onde associée à la particule $\;{\underline {\psi }}(M,\,t)\;$ permettant d'obtenir une valeur de la grandeur cinétique, voir détails ci-après $\;\ldots$

### En complément : Induction des opérateurs linéaires « énergie » et « quantité de mouvement » à partir de la fonction d'onde d'une particule d'énergie et de quantité de mouvement fixées

Si on considère une particule « quantique » d'énergie $\;E\;$ et de quantité de mouvement $\;{\vec {p}}\;$ fixées, nous avons vu, dans le paragraphe « notion de fonction d'onde » du chap.$17$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », qu'on peut lui associer une fonction d'onde identique à la grandeur instantanée complexe d'une O.P.P.H. soit $\;{\underline {\psi }}(M,\,t)={\underline {\Psi }}(M)\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E}{\hbar }}\;t\right)\;$ dans laquelle la partie spatiale de la fonction d'onde s'écrit $\;{\underline {\Psi }}(M)={\underline {A}}\;\exp \!\left(i\;{\dfrac {p}{\hbar }}\;r\right)={\underline {A}}\;\exp \!\left(i\;{\dfrac {\vec {p}}{\hbar }}\cdot {\vec {r}}\right)\;$ soit «$\;{\underline {\psi }}(M,\,t)={\underline {A}}\;\exp \!\left(i\;{\dfrac {\vec {p}}{\hbar }}\cdot {\vec {r}}\right)\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E}{\hbar }}\;t\right)\;$»$^,$ ;
en se servant de cette forme on peut induire un opérateur linéaire pour chaque grandeur cinétique agissant sur cette fonction d'onde et donnant la valeur de la grandeur cinétique $\;{\big$voir ci-après${\big )}$.

#### Induction de l'opérateur linéaire « énergie »

L'opérateur linéaire « énergie » noté $\;{\widehat {E}}\left[\;\right]\;$ devant être tel que, si on l'applique à $\;{\underline {\psi }}(M,\,t)={\underline {A}}\;\exp \!\left(i\;{\dfrac {\vec {p}}{\hbar }}\cdot {\vec {r}}\right)\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E}{\hbar }}\;t\right)$, fonction d'onde caractérisant une particule « quantique » d'énergie $\;E\;$ fixée, on obtienne $\;{\widehat {E}}\!\left[{\underline {\psi }}(M,\,t)\right]=E\times {\underline {\psi }}(M,\,t)$, on induit la forme de cet opérateur selon
$\;{\widehat {E}}\left[\;\right]=i\;\hbar \left({\dfrac {\partial }{\partial t}}\right)_{\!M}\left[\;\right]\;$
en effet $\;{\widehat {E}}\!\left[{\underline {\psi }}(M,\,t)\right]=i\;\hbar \left({\dfrac {\partial }{\partial t}}\right)_{\!M}\left[{\underline {A}}\;\exp \!\left(i\;{\dfrac {\vec {p}}{\hbar }}\cdot {\vec {r}}\right)\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E}{\hbar }}\;t\right)\right]=\left(i\;\hbar \right){\underline {A}}\;\exp \!\left(i\;{\dfrac {\vec {p}}{\hbar }}\cdot {\vec {r}}\right)\left(-i\;{\dfrac {E}{\hbar }}\right)\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E}{\hbar }}\;t\right)=E\;{\underline {A}}\;\exp \!\left(i\;{\dfrac {\vec {p}}{\hbar }}\cdot {\vec {r}}\right)\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E}{\hbar }}\;t\right)\;$ soit le résultat escompté
$\;{\widehat {E}}\!\left[{\underline {\psi }}(M,\,t)\right]=E\times {\underline {\psi }}(M,\,t)\;$

#### Induction de l'opérateur linéaire « quantité de mouvement »

L'opérateur linéaire « quantité de mouvement » noté $\;{\widehat {\vec {p}}}\left[\;\right]\;$ devant être tel que, si on l'applique à $\;{\underline {\psi }}(M,\,t)={\underline {A}}\;\exp \!\left(i\;{\dfrac {\vec {p}}{\hbar }}\cdot {\vec {r}}\right)\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E}{\hbar }}\;t\right)$, fonction d'onde caractérisant une particule « quantique » de quantité de mouvement $\;{\vec {p}}\;$ fixée, on obtienne $\;{\widehat {\vec {p}}}\!\left[{\underline {\psi }}(M,\,t)\right]={\vec {p}}\times {\underline {\psi }}(M,\,t)$, on induit la forme de cet opérateur selon
$\;{\widehat {\vec {p}}}\left[\;\right]=-i\;\hbar \;\left({\vec {\nabla }}\right)_{\!t}\left[\;\right]\;$
en effet $\;{\widehat {\vec {p}}}\!\left[{\underline {\psi }}(M,\,t)\right]=-i\;\hbar \left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}+{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y,\,t}\right\rbrace \left[{\underline {A}}\;\exp \!\left(i\;{\dfrac {\vec {p}}{\hbar }}\cdot {\vec {r}}\right)\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E}{\hbar }}\;t\right)\right]$ en effet $\;\color {transparent}{{\widehat {\vec {p}}}\!\left[{\underline {\psi }}(M,\,t)\right]}$ $=\left(-i\;\hbar \right){\underline {A}}\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E}{\hbar }}\;t\right)\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\right\rbrace \exp \!\left(i\;{\dfrac {p_{x}\;x+p_{y}\;y+p_{z}\;z}{\hbar }}\right)$ en effet $\;\color {transparent}{{\widehat {\vec {p}}}\!\left[{\underline {\psi }}(M,\,t)\right]}$ $=\left(-i\;\hbar \right){\underline {A}}\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E}{\hbar }}\;t\right)\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,\left(i\;{\dfrac {p_{x}}{\hbar }}\right)+{\vec {u}}_{y}\,\left(i\;{\dfrac {p_{y}}{\hbar }}\right)+{\vec {u}}_{z}\,\left(i\;{\dfrac {p_{z}}{\hbar }}\right)\right\rbrace \exp \!\left(i\;{\dfrac {p_{x}\;x+p_{y}\;y+p_{z}\;z}{\hbar }}\right)={\vec {p}}\;{\underline {A}}\;\exp \!\left(i\;{\dfrac {\vec {p}}{\hbar }}\cdot {\vec {r}}\right)\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E}{\hbar }}\;t\right)\;$ soit le résultat escompté
$\;{\widehat {\vec {p}}}\!\left[{\underline {\psi }}(M,\,t)\right]={\vec {p}}\times {\underline {\psi }}(M,\,t)\;$

## En complément : Définition des opérateurs linéaires « énergie » et « quantité de mouvement » d'une particule quantique, fonctions propres et valeurs propres associées d'un opérateur linéaire, caractère « commutable » (ou non) de deux opérateurs linéaires
### Définition des opérateurs linéaires « énergie » et « quantité de mouvement » d'une particule quantique

La définition de ces deux opérateurs linéaires a déjà été précédemment induite à partir de la fonction d'onde d'une particule « quantique » d'énergie et de quantité de mouvement fixées ; dans ce paragraphe on admet la validité de la définition lorsqu'on l'applique à une fonction d'onde d'une particule « quantique » dans n'importe quel état.

#### Opérateur linéaire « énergie »

L'opérateur linéaire « énergie » est défini selon «$\;{\widehat {E}}\left[\;\right]=i\;\hbar \left({\dfrac {\partial }{\partial t}}\right)_{\!M}\left[\;\right]\;$ », l'opérateur linéaire « énergie » étant $\;\propto \;$ à l'opérateur linéaire « dérivation partielle relativement au temps » $\Rightarrow$ les deux grandeurs « énergie » et « temps » sont dites « conjuguées ».

#### Opérateur linéaire « quantité de mouvement »

L'opérateur linéaire $\;{\big$vectoriel${\big )}\;$ « quantité de mouvement » est défini selon «$\;{\widehat {\vec {p}}}\left[\;\right]=-i\;\hbar \;\left({\vec {\nabla }}\right)_{\!t}\left[\;\right]\;$ », l'opérateur linéaire vectoriel « quantité de mouvement » étant $\;\propto \;$ à l'opérateur linéaire vectoriel « nabla » $\Rightarrow$ les composantes respectives des deux grandeurs vectorielles « quantité de mouvement » et « position » sont dites « conjuguées ».

### Fonctions propres et valeurs propres associées d'un opérateur linéaire

Une fonction propre d'un opérateur linéaire scalaire $\;{\mathcal {OL}}\left[\;\right]\;$ est une fonction $\;{\underline {f}}(M,\,t)\;$ non identiquement nulle satisfaisant la relation
$\;{\mathcal {OL}}\left[{\underline {f}}\right](M,\,t)=\mu \;{\underline {f}}(M,\,t)\;$
$\;\mu \;$
${\underline {f}}(M,\,t)$
$\;\mu \;$
${\underline {f}}(M,\,t)\;$

### Fonctions propres et valeurs propres associées de l'opérateur « énergie »

On cherche donc les fonctions du temps à valeurs complexes $\;{\underline {f}}(t)\;$ telles que «$\;{\widehat {E}}\left[{\underline {f}}\right](t)=E\;{\underline {f}}(t)\;$» ou encore «$\;i\;\hbar \;{\dfrac {d{\underline {f}}}{dt}}=E\;{\underline {f}}(t)\;$» c.-à-d. une équation différentielle linéaire du 1er ordre à cœfficients constants homogène d'« équation caractéristique $\;i\;\hbar \;{\underline {s}}=E\;$ donnant pour solution $\;{\underline {s}}={\dfrac {E}{i\;\hbar }}=-i\;{\dfrac {E}{\hbar }}\;$», On cherche donc la « fonction propre associée à la valeur propre $\;E\;$ étant alors $\;{\underline {f}}_{E}(t)={\underline {A}}\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E}{\hbar }}\;t\right)\;$ où $\;{\underline {A}}\;$ est une constante d'intégration ».

### Fonctions propres et valeurs propres associées de l'opérateur « quantité de mouvement »
#### Recherche des fonctions propres et valeurs propres associées de l'opérateur « quantité de mouvement » d'une particule « quantique »

On cherche donc les fonctions de la position à valeurs complexes $\;{\underline {f}}(M)\;$ telles que «$\;{\widehat {\vec {p}}}\left[{\underline {f}}\right](M)={\vec {p}}\;{\underline {f}}(M)\;$» ou «$\;-i\;\hbar \left({\vec {\nabla }}\right)\left[{\underline {f}}\right](M)={\vec {p}}\;{\underline {f}}(M)\;$ $\Leftrightarrow$ $\;-i\;\hbar \;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}_{t}\left[{\underline {f}}\right](M)={\vec {p}}\;{\underline {f}}(M)\;$» soit encore, en adoptant le repérage cartésien «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}-i\;\hbar \left({\dfrac {\partial {\underline {f}}}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(M)=p_{x}\;{\underline {f}}(M)\\-i\;\hbar \left({\dfrac {\partial {\underline {f}}}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(M)=p_{y}\;{\underline {f}}(M)\\-i\;\hbar \left({\dfrac {\partial {\underline {f}}}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}(M)=p_{z}\;{\underline {f}}(M)\end{array}}\right\rbrace \;$» ou,
en cherchant «$\;{\underline {f}}(x,\,y,\,z)\;$ sous la forme d'un produit de fonctions d'une variable c.-à-d. $\;{\underline {f}}(x,\,y,\,z)={\underline {f_{1}}}(x)\;{\underline {f_{2}}}(y)\;{\underline {f_{3}}}(z)\;$», «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}-i\;\hbar \;{\dfrac {d{\underline {f_{1}}}}{dx}}(x)\;{\underline {f_{2}}}(y)\;{\underline {f_{3}}}(z)=p_{x}\;{\underline {f_{1}}}(x)\;{\underline {f_{2}}}(y)\;{\underline {f_{3}}}(z)\\-i\;\hbar \;{\dfrac {d{\underline {f_{2}}}}{dy}}(y)\;{\underline {f_{1}}}(x)\;{\underline {f_{3}}}(z)=p_{y}\;{\underline {f_{1}}}(x)\;{\underline {f_{2}}}(y)\;{\underline {f_{3}}}(z)\\-i\;\hbar \;{\dfrac {d{\underline {f_{3}}}}{dz}}(z)\;{\underline {f_{1}}}(x)\;{\underline {f_{2}}}(y)=p_{z}\;{\underline {f_{1}}}(x)\;{\underline {f_{2}}}(y)\;{\underline {f_{3}}}(z)\end{array}}\right\rbrace \;$» soit, après simplification évidente «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}-i\;\hbar \;{\dfrac {d{\underline {f_{1}}}}{dx}}(x)=p_{x}\;{\underline {f_{1}}}(x)\\-i\;\hbar \;{\dfrac {d{\underline {f_{2}}}}{dy}}(y)=p_{y}\;{\underline {f_{2}}}(y)\\-i\;\hbar \;{\dfrac {d{\underline {f_{3}}}}{dz}}(z)=p_{z}\;{\underline {f_{3}}}(z)\end{array}}\right\rbrace \;$» c.-à-d. trois équations différentielles linéaires du 1er ordre à cœfficients constants homogènes d'« équations caractéristiques $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}-i\;\hbar \;{\underline {s_{1}}}=p_{x}\\-i\;\hbar \;{\underline {s_{2}}}=p_{y}\\-i\;\hbar \;{\underline {s_{3}}}=p_{z}\end{array}}\right\rbrace \;$ ayant pour solutions respectives $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\underline {s_{1}}}=-{\dfrac {p_{x}}{i\;\hbar }}=i\;{\dfrac {p_{x}}{\hbar }}\\{\underline {s_{2}}}=-{\dfrac {p_{y}}{i\;\hbar }}=i\;{\dfrac {p_{y}}{\hbar }}\\{\underline {s_{3}}}=-{\dfrac {p_{z}}{i\;\hbar }}=i\;{\dfrac {p_{z}}{\hbar }}\end{array}}\right\rbrace \;$»,
On cherche donc la fonction propre associée à la valeur propre $\;p_{x}\;$ ${\big$respectivement $\;p_{y}\;$ et $\;p_{z}{\big ]}\;$ étant alors «$\;{\underline {f_{1}}}_{p_{x}}(x)={\underline {A_{1}}}\;\exp \!\left(i\;{\dfrac {p_{x}}{\hbar }}\;x\right)\;$» ${\bigg$respectivement $\;{\underline {f_{2}}}_{p_{y}}(y)={\underline {A_{2}}}\;\exp \!\left(i\;{\dfrac {p_{y}}{\hbar }}\;y\right)\;$ et $\;{\underline {f_{3}}}_{p_{z}}(z)$ $={\underline {A_{3}}}\;\exp \!\left(i\;{\dfrac {p_{z}}{\hbar }}\;z\right){\bigg ]}\;$ où $\;{\underline {A_{1}}}\;$ ${\big$respectivement $\;{\underline {A_{2}}}\;$ et $\;{\underline {A_{3}}}{\big ]}\;$ sont des constantes d'intégration.
Conclusion : les fonctions propres de l'opérateur linéaire vectoriel « quantité de mouvement » de « valeur propre $\;{\vec {p}}=p_{x}\;{\vec {u}}_{x}+p_{y}\;{\vec {u}}_{y}+p_{z}\;{\vec {u}}_{z}\;$» peuvent se réécrire Conclusion : les fonctions propres de l'opérateur linéaire vectoriel « quantité de mouvement » selon «$\;{\underline {f}}_{\vec {p}}(M)={\underline {A}}\;\exp \!\left(i\;{\dfrac {{\vec {p}}\cdot {\vec {r}}}{\hbar }}\right)\;$»$^,$.

#### Densité volumique de probabilité de présence d'une particule « quantique » de vecteur quantité de mouvement fixée et conséquences

La densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » de quantité de mouvement $\;{\vec {p}}\;$ fixée La densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » dont l'état est caractérisé par la « fonction d'onde associée » «$\;{\underline {\psi }}_{\vec {p}}(M,\,t)={\underline {A}}(t)\;\exp \!\left(i\;{\dfrac {\vec {p}}{\hbar }}\cdot {\vec {r}}\right)\;$» s'écrivant La densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » «$\;{\mathcal {P}}_{V}(M,\,t)=\vert {\underline {\psi }}_{\vec {p}}(M,\,t)\vert ^{2}=\vert {\underline {A}}(t)\vert ^{2}\;$» est uniforme sur tout l'espace $\Rightarrow$ La densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » il est impossible de déterminer le positionnement de la particule « quantique ».
Conséquences : on découvre une propriété des grandeurs conjuguées d'une particule « quantique » à savoir « quantité de mouvement » et « position » : Conséquences : on découvre une propriété si la quantité de mouvement d'une particule « quantique » est fixée $\;{\big$c.-à-d. d'incertitude « quantique » sur la quantité de mouvement nulle soit $\;\Delta {\vec {p}}={\vec {0}}{\big )}$, Conséquences : on découvre une propriété si la position de la particule « quantique » est inconnue $\;{\big$c.-à-d. d'incertitude « quantique » sur la position infinie soit $\;\Vert \Delta {\vec {r}}\Vert =\infty \;$${\big )}$ ;
Conséquences : plus précisément la densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » de quantité de mouvement sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ de valeur $\;p_{x}\;$ fixée Conséquences : plus précisément la densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » d'état caractérisé par la « fonction d'onde associée » Conséquences : plus précisément la densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » d'état caractérisé par «$\;{\underline {\psi }}_{p_{x}}(M,\,t)={\underline {A_{1}}}(t)\;{\underline {f_{2}}}(y,\,t)\;{\underline {f_{3}}}(z,\,t)\;\exp \!\left(i\;{\dfrac {p_{x}}{\hbar }}x\right)\;$» étant Conséquences : plus précisément la densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » «$\;{\mathcal {P}}_{V}(M,\,t)=\vert {\underline {\psi }}_{p_{x}}(M,\,t)\vert ^{2}=\vert {\underline {A_{1}}}(t)\;{\underline {f_{2}}}(y,\,t)\;{\underline {f_{3}}}(z,\,t)\vert ^{2}\;$» est indépendante de$\;x\;$ $\Rightarrow$ Conséquences : plus précisément la densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » il est impossible de déterminer le positionnement de la particule « quantique » sur $\;{\vec {u}}_{x}$ ;
Conséquences : nous découvrons une propriété plus précise des grandeurs conjuguées d'une particule « quantique » à savoir « quantité de mouvement et position sur une même direction » : Conséquences : nous découvrons une propriété si la quantité de mouvement d'une particule « quantique » est fixée sur une direction $\;{\big$c.-à-d. d'incertitude « quantique » sur la composante de la quantité de mouvement sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ ${\big$respectivement sur $\;{\vec {u}}_{y}\;$ ou sur $\;{\vec {u}}_{z}{\big )}$, nulle soit $\;\Delta p_{x}=0\;$ ${\big$respectivement $\;\Delta p_{y}=0\;$ ou $\;\Delta p_{z}=0{\big )}{\big ]}$, Conséquences : nous découvrons une propriété si la position de la particule « quantique » sur la même direction est inconnue $\;{\big$c.-à-d. d'incertitude « quantique » sur la composante de la position sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ ${\big$respectivement sur $\;{\vec {u}}_{y}\;$ ou sur $\;{\vec {u}}_{z}{\big )}$, infinie soit $\;\Delta x=\infty \;$ ${\big$respectivement $\;\Delta y=\infty \;$ ou $\;\Delta z=\infty {\big )}{\big ]}$.

### Caractère « non commutable » des opérateurs linéaires « quantité de mouvement sur une direction » et « position sur la même direction »

Deux opérateurs linéaires sont dits « commutables » si l'ordre d'application de ces opérateurs peut être permutés c.-à-d., $\;{\mathcal {OL}}_{1}\left[\;\right]\;$ et $\;{\mathcal {OL}}_{2}\left[\;\right]\;$ étant deux opérateurs linéaires et Deux opérateurs linéaires sont dits « commutables » si l'ordre d'application de ces opérateurs peut être permutés c.-à-d., $\;{\underline {\psi }}(M,\;t)\;$ une fonction d'onde quelconque, Deux opérateurs linéaires sont dits « commutables » si «$\;{\mathcal {OL}}_{1}\left\lbrace {\mathcal {OL}}_{2}\left[{\underline {\psi }}\right]\right\rbrace (M,\;t)={\mathcal {OL}}_{2}\left\lbrace {\mathcal {OL}}_{1}\left[{\underline {\psi }}\right]\right\rbrace (M,\;t)\;$»,
Deux opérateurs linéaires sont dits « commutables » dans le cas contraire, les deux opérateurs sont dits « non commutables ».
Or nous vérifions aisément que «$\;{\widehat {x}}\left\lbrace {\widehat {p_{x}}}\left[{\underline {\psi }}\right]\right\rbrace (M,\;t)\neq {\widehat {p_{x}}}\left\lbrace {\widehat {x}}\left[{\underline {\psi }}\right]\right\rbrace (M,\;t)\;$» en effet, pour cela, calculons «$\;\left\lbrace {\widehat {x}}\;{\widehat {p_{x}}}-{\widehat {p_{x}}}\;{\widehat {x}}\right\rbrace \left[{\underline {\psi }}\right](M,\;t)\;$» et vérifions que le résultat n'est pas nul soit Or nous vérifions aisément que «$\;\left\lbrace {\widehat {x}}\;{\widehat {p_{x}}}-{\widehat {p_{x}}}\;{\widehat {x}}\right\rbrace \left[{\underline {\psi }}\right](M,\;t)=x\left\lbrace -i\;\hbar \left({\dfrac {\partial {\underline {\psi }}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}(M,\,t)\right\rbrace -\left\lbrace -i\;\hbar \left({\dfrac {\partial \left[x\;{\underline {\psi }}\right]}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}(M,\;t)\right\rbrace \;$ Or nous vérifions aisément que «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\widehat {x}}\;{\widehat {p_{x}}}-{\widehat {p_{x}}}\;{\widehat {x}}\right\rbrace \left[{\underline {\psi }}\right](M,\;t)}\;$$=-i\;\hbar \;x\left({\dfrac {\partial {\underline {\psi }}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}(M,\,t)+i\;\hbar \left[{\underline {\psi }}(M,\,t)+x\left({\dfrac {\partial {\underline {\psi }}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z,\,t}(M,\,t)\right]$ Or nous vérifions aisément que «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\widehat {x}}\;{\widehat {p_{x}}}-{\widehat {p_{x}}}\;{\widehat {x}}\right\rbrace \left[{\underline {\psi }}\right](M,\;t)}\;$$=i\;\hbar \;{\underline {\psi }}(M,\,t)\neq 0\;$» d'où le caractère « non commutable » des deux opérateurs linéaires $\;{\widehat {x}}\;$ et $\;{\widehat {p_{x}}}\;$ ;
Or nous pourrions vérifier aussi que le couple d'opérateurs linéaires conjugués $\;\left\lbrace {\widehat {y}}\left[\;\right]\,,\,{\widehat {p_{y}}}\left[\;\right]\right\rbrace \;$ est composé d'opérateurs linéaires « non commutables » Or nous pourrions vérifier ainsi que le couple d'opérateurs linéaires conjugués $\;\left\lbrace {\widehat {z}}\left[\;\right]\,,\,{\widehat {p_{z}}}\left[\;\right]\right\rbrace \;$ est composé d'opérateurs linéaires « non commutables ».
Par contre les opérateurs linéaires non conjugués comme $\;\left\lbrace {\widehat {x}}\left[\;\right]\,,\,{\widehat {p_{y}}}\left[\;\right]\right\rbrace \;$ sont « commutables » en effet, pour cela, il suffit de calculer «$\;\left\lbrace {\widehat {x}}\;{\widehat {p_{y}}}-{\widehat {p_{y}}}\;{\widehat {x}}\right\rbrace \left[{\underline {\psi }}\right](M,\;t)\;$» et de vérifier un résultat nul : Par contre les opérateurs linéaires non conjugués soit «$\;\left\lbrace {\widehat {x}}\;{\widehat {p_{y}}}-{\widehat {p_{y}}}\;{\widehat {x}}\right\rbrace \left[{\underline {\psi }}\right](M,\;t)=x\left\lbrace -i\;\hbar \left({\dfrac {\partial {\underline {\psi }}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}(M,\,t)\right\rbrace -\left\lbrace -i\;\hbar \left({\dfrac {\partial \left[x\;{\underline {\psi }}\right]}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}(M,\;t)\right\rbrace \;$ Par contre les opérateurs linéaires non conjugués soit «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\widehat {x}}\;{\widehat {p_{y}}}-{\widehat {p_{y}}}\;{\widehat {x}}\right\rbrace \left[{\underline {\psi }}\right](M,\;t)}\;$$=-i\;\hbar \;x\left({\dfrac {\partial {\underline {\psi }}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}(M,\,t)+i\;\hbar \left[0\times {\underline {\psi }}(M,\,t)+x\left({\dfrac {\partial {\underline {\psi }}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z,\,t}(M,\,t)\right]=0\;$»$^,$ ;
de même les opérateurs linéaires non conjugués comme $\;\left\lbrace {\widehat {x}}\left[\;\right]\,,\,{\widehat {p_{z}}}\left[\;\right]\right\rbrace$, $\;\left\lbrace {\widehat {y}}\left[\;\right]\,,\,{\widehat {p_{x}}}\left[\;\right]\right\rbrace$, $\;\left\lbrace {\widehat {y}}\left[\;\right]\,,\,{\widehat {p_{z}}}\left[\;\right]\right\rbrace$, $\;\left\lbrace {\widehat {z}}\left[\;\right]\,,\,{\widehat {p_{x}}}\left[\;\right]\right\rbrace \;$ et $\;\left\lbrace {\widehat {z}}\left[\;\right]\,,\,{\widehat {p_{y}}}\left[\;\right]\right\rbrace \;$ sont « commutables ».
Si « la quantité de mouvement sur une direction$\;{\vec {u}}\;$est fixée » il y a impossibilité théorique « de connaître la position sur$\;{\vec {u}}\;$» $\;{\big \$conséquence du caractère « non commutable » des opérateurs associés${\big \}$ et
si « la quantité de mouvement sur une direction$\;{\vec {u}}\;$est fixée » il y a possibilité théorique « de connaître la position sur une direction$\;{\vec {v}}\perp {\vec {u}}\;$» ${\big \\!\!\Leftarrow \;$par le caractère « commutable » des opérateurs associés${\big \}$.

### Impossibilité théorique de connaître l'instant d'observation d'une particule quantique si son énergie est fixée

Contrairement aux grandeurs position et quantité de mouvement, il n'existe pas d'opérateur linéaire associé à l'instant d'observation, Contrairement aux grandeurs position et quantité de mouvement, l'impossibilité théorique de connaître l'instant d'observation d'une particule « quantique » si son énergie est fixée Contrairement aux grandeurs position et quantité de mouvement, l'impossibilité théorique n'est donc pas de même nature que les précédentes $\;{\big \$justification $\;{\big$exposée ci-dessous${\big )}\;$ résultant de l'autre façon invoquée pour expliquer l'impossibilité théorique de connaître l'abscisse d'une particule « quantique » si la composante de sa quantité de mouvement sur l'axe des abscisses est fixée${\big \}$ :
Contrairement aux grandeurs position et quantité de mouvement, la densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » d'énergie $\;E\;$ fixée Contrairement aux grandeurs position et quantité de mouvement, la densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » d'état caractérisé par la « fonction d'onde associée » Contrairement aux grandeurs position et quantité de mouvement, la densité volumique de probabilité de présence de la particule « quantique » $\;{\underline {\psi }}_{E}(M,\,t)={\underline {\Psi }}(M)\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E}{\hbar }}t\right)\;$ Contrairement aux grandeurs position et quantité de mouvement, la densité volumique de probabilité de présence s'écrivant $\;{\mathcal {P}}_{V}(M,\,t)=\vert {\underline {\psi }}_{E}(M,\,t)\vert ^{2}=\vert {\underline {\Psi }}(M)\vert ^{2}\;$ est indépendante de$\;t\;$ $\Rightarrow$ Contrairement aux grandeurs position et quantité de mouvement, la densité volumique de probabilité de présence il est impossible de déterminer l'instant d'observation de la particule « quantique ».
Conséquence : nous découvrons une propriété du couple de grandeurs conjuguées « énergie et instant d'observation » d'une particule « quantique » : Conséquence : nous découvrons une propriété si l'énergie d'une particule « quantique » est fixée $\;{\big$c.-à-d. d'incertitude « quantique » sur l'énergie nulle soit $\;\Delta E=0{\big )}$, Conséquence : nous découvrons une propriété si l'instant d'observation de la particule « quantique » est inconnu $\;{\big$c.-à-d. d'incertitude « quantique » sur l'instant d'observation infinie soit $\;\Delta t=\infty {\big )}$.

## Rappel du lien entre la taille de l'ouverture, la longueur d'onde et l'échelle angulaire du phénomène de diffraction

Si on considère un photon d'un faisceau $\;\parallel$, photon de quantité de mouvement $\;{\vec {p}}=p\;{\vec {u}}_{z}\;$ Si on considère un photon d'un faisceau $\;\color {transparent}{\parallel }$, photon arrivant orthogonalement sur une fente de largeur $\;a\;$ suivant $\;{\vec {u}}_{x}$, Si on considère un photon d'un faisceau $\;\color {transparent}{\parallel }$, photon arrivant orthogonalement sur une fente de grande longueur suivant $\;{\vec {u}}_{y}\;$, Si on considère un photon d'un faisceau $\;\color {transparent}{\parallel }$, on observe un phénomène de diffraction du faisceau $\;\parallel$ $\;{\big$à condition que la largeur de la fente $\;a\;$ ne soit pas grande devant la longueur d'onde dans le vide $\;\lambda _{0}\;$ du photon c.-à-d. $\;a\,{\cancel {\gg }}\,\lambda _{0}\;$${\big )}\;$ avec un demi-angle d'ouverture $\;\theta _{1}$ du faisceau principal de diffraction vérifiant la relation «$\;\sin(\theta _{1})={\dfrac {\lambda _{0}}{a}}\;$» ;
$\Downarrow$

## Incertitudes théoriques sur la « quantité de mouvement » et sur la « position » transversales du photon lors de l'expérience de diffraction appliquée à un photon

La position transversale la plus probable, juste à la sortie de la fente, du photon diffracté, est au centre $\;O\;$ de la fente c.-à-d. d'abscisse $\;x_{\text{la plus probable}}={\overline {x}}=0\;$, les autres positions transversales possibles étant d'abscisse $\;x\neq 0\;$ affectées d'une densité linéique de probabilité de présence $\;{\mathcal {P}}_{\mathit {l}}(x)\;$ ;
La position transversale comme sur toute série de valeurs, on définit l'écart quadratique moyen sur les valeurs de $\;x\;$ par «$\;\Delta x={\sqrt {\left\langle \left(x-{\overline {x}}\right)^{2}\right\rangle }}\;$», La position transversale comme sur toute série de valeurs, on définit cet écart quadratique moyen servant de définition à l'« incertitude quantique » sur $\;x\;$ estimée par la demi-largeur de la fente soit La position transversale comme sur toute série de valeurs, on définit l'écart quadratique moyen sur les valeurs de $\;\color {transparent}{x}\;$ par «$\;\Delta x\sim {\dfrac {a}{2}}\;$» ;
la composante transversale la plus probable, juste à la sortie de la fente, de la quantité de mouvement du photon diffracté est nulle $\;{\big$faisceau principal de diffraction symétrique par rapport à $\;Oz{\big )}\;$ la composante transversale la plus probable, juste à la sortie de la fente, de la quantité de mouvement du photon diffracté est nulle c.-à-d. de composante $\;p_{x,\;{\text{la plus probable}}}={\overline {p_{x}}}=0\;$, les autres composantes transversales possibles étant de valeur $\;p_{x}\neq 0\;$ affectées d'une densité linéique de probabilité de présence d'autant plus petite que la valeur s'écarte de $\;0\;$,
La composante transversale comme sur toute série de valeurs, on définit l'écart quadratique moyen sur les valeurs de $\;p_{x}\;$ par «$\;\Delta p_{x}={\sqrt {\left\langle \left(p_{x}-{\overline {p_{x}}}\right)^{2}\right\rangle }}\;$», La composante transversale comme sur toute série de valeurs, on définit cet écart quadratique moyen servant de définition à l'« incertitude quantique » sur $\;p_{x}\;$ estimée à partir du rayon angulaire La composante transversale comme sur toute série de valeurs, on définit cet écart quadratique moyen servant de définition à l'« incertitude quantique » sur $\;\color {transparent}{p_{x}}\;$ du faisceau principal de diffraction La composante transversale comme sur toute série de valeurs, on définit l'écart quadratique moyen sur les valeurs de $\;\color {transparent}{p_{x}}\;$ soit «$\;\Delta p_{x}\sim p\;\sin(\theta _{1})={\dfrac {h}{\lambda _{0}}}\;{\dfrac {\lambda _{0}}{a}}\;$ ou $\;\Delta p_{x}\sim {\dfrac {h}{a}}\;$».
Conclusion : dans le cadre du phénomène de diffraction par une fente, les « incertitudes quantiques » sur les deux grandeurs conjuguées « composantes de la position et de la quantité de mouvement » du photon sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ au niveau de la fente sont liées par la relation « approchée » «$\;\Delta x\;\Delta p_{x}\sim {\dfrac {a}{2}}\;{\dfrac {h}{a}}={\dfrac {h}{2}}\;$» ;
Conclusion : ainsi, en localisant transversalement le photon avec une plus grande précision $\;{\big$c.-à-d. en $\;\searrow \;$ l'« incertitude quantique » sur $\;x\;$ réalisé par la $\;\searrow \;$ de la largeur de la fente${\big )}$, Conclusion : ainsi, en localisant transversalement le photon on $\;\nearrow \;$ la dispersion sur la composante transversale de sa quantité de mouvement $\;{\big$on $\;\nearrow \;$ donc l'« incertitude quantique » sur $\;p_{x}\;$ $\Rightarrow$ Conclusion : ainsi, en localisant transversalement le photon on $\;\color {transparent}{\nearrow }\;$ la dispersion sur la composante transversale de sa quantité de mouvement $\;\color {transparent}{\big$on la demi-largeur angulaire du faisceau diffracté $\;\nearrow {\big )}$.

## Induction de l'inégalité de Heisenberg spatiale à partir de la relation de diffraction appliquée à un photon

La relation entre les « incertitudes quantiques » sur deux grandeurs conjuguées comme les « composantes de la position et de la quantité de mouvement » d'un photon sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$, La relation entre les « incertitudes quantiques » sur deux grandeurs conjuguées induite à partir de la relation de diffraction appliquée à un photon, ne fournit qu'un ordre de grandeur ;
Werner Heisenberg a établi une relation plus « précise », connue sous le nom d'« inégalité de Heisenberg »$^,$ «$\;\Delta x\;\Delta p_{x}\geqslant {\dfrac {\hbar }{2}}\;$», avec $\;\hbar ={\dfrac {h}{2\;\pi }}\;$ « constante réduite de Planck » Werner Heisenberg a établi une relation plus « précise », connue sous le nom d'« inégalité de Heisenberg » «$\;\color {transparent}{\Delta x\;\Delta p_{x}\geqslant {\dfrac {\hbar }{2}}}\;$», valant «$\;\hbar \simeq 1,056\;10^{-34}\;J\cdot s\;$»,
La relation entre les « incertitudes quantiques » sur une coordonnée de position et la composante correspondante de la quantité de mouvement du photon sont liées par «$\;\Delta x\;\Delta p_{x}\gtrsim 0,5\;10^{-34}\;J\cdot s\;$» La relation entre les « incertitudes quantiques » sur une coordonnée de position et la composante correspondante de la quantité de mouvement du photon$\;{\big$ou une inégalité identique sur $\;{\vec {u}}_{y}\;$ ou sur $\;{\vec {u}}_{z}{\big )}$ ;
cette inégalité représente une contrainte fondamentale : « plus la position du photon sur une direction est connue avec précision », cette inégalité représente une contrainte fondamentale : « moins celle de la composante correspondante de la quantité de mouvement du photon l'est » cette inégalité représente une contrainte fondamentale : et inversement.

## Généralisation à la matière de l'inégalité de Heisenberg spatiale

On généralise sans aucune restriction l'« inégalité de Heisenberg » sur n'importe quelle direction par exemple, On généralise sans aucune restriction l'« inégalité de Heisenberg » sur la direction $\;{\vec {u}}_{x}$, l'inégalité «$\;\Delta x\;\Delta p_{x}\geqslant {\dfrac {\hbar }{2}}\;$» avec $\;\hbar ={\dfrac {h}{2\;\pi }}\;$ la « constante réduite de Planck » où On généralise sans aucune restriction l'« inégalité de Heisenberg » sur la direction $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{x}}$, l'inégalité «$\;\Delta x\;$ est l'incertitude « quantique » sur la position de la particule « quantique » selon $\;{\vec {u}}_{x}\;$ et On généralise sans aucune restriction l'« inégalité de Heisenberg » sur la direction $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{x}}$, l'inégalité «$\;\color {transparent}{\Delta x}$$\;\Delta p_{x}\;$ l'incertitude « quantique » sur la composante sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ de sa quantité de mouvement,
On généralise sans aucune restriction l'« inégalité de Heisenberg » sur la direction $\;{\vec {u}}_{y}$, l'inégalité «$\;\Delta y\;\Delta p_{y}\geqslant {\dfrac {\hbar }{2}}\;$» avec $\;\hbar ={\dfrac {h}{2\;\pi }}\;$ la « constante réduite de Planck » où On généralise sans aucune restriction l'« inégalité de Heisenberg » sur la direction $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{y}}$, l'inégalité «$\;\Delta y\;$ est l'incertitude « quantique » sur la position de la particule « quantique » selon $\;{\vec {u}}_{y}\;$ et On généralise sans aucune restriction l'« inégalité de Heisenberg » sur la direction $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{y}}$, l'inégalité «$\;\color {transparent}{\Delta y}$$\;\Delta p_{y}\;$ l'incertitude « quantique » sur la composante sur $\;{\vec {u}}_{y}\;$ de sa quantité de mouvement et
On généralise sans aucune restriction l'« inégalité de Heisenberg » sur la direction $\;{\vec {u}}_{z}$, l'inégalité «$\;\Delta z\;\Delta p_{z}\geqslant {\dfrac {\hbar }{2}}\;$» avec $\;\hbar ={\dfrac {h}{2\;\pi }}\;$ la « constante réduite de Planck » où On généralise sans aucune restriction l'« inégalité de Heisenberg » sur la direction $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{z}}$, l'inégalité «$\;\Delta z\;$ est l'incertitude « quantique » sur la position de la particule « quantique » selon $\;{\vec {u}}_{z}\;$ et On généralise sans aucune restriction l'« inégalité de Heisenberg » sur la direction $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{z}}$, l'inégalité «$\;\color {transparent}{\Delta z}$$\;\Delta p_{z}\;$ l'incertitude « quantique » sur la composante sur $\;{\vec {u}}_{z}\;$ de sa quantité de mouvement.
Remarques : L'impossibilité théorique de connaître simultanément la position et la quantité de mouvement sur une même direction d'une particule microscopique Remarques : L'impossibilité théorique rend obsolète la notion de trajectoire à l'échelle microscopique, celle-ci nécessitant de connaître parfaitement position et quantité de mouvement :
Remarques : 1er exemple : électron d'un atome d'hydrogène pris dans son état fondamental, Remarques : 1er exemple : l'incertitude « quantique » sur la 1ère coordonnée sphérique ayant un ordre de grandeur pouvant être estimé au rayon de l'atome d'hydrogène dans son état fondamental soit Remarques : 1er exemple : l'incertitude « quantique » sur la 1ère coordonnée sphérique ayant un ordre de grandeur $\Delta r\sim r_{0}=0,53\;{\text{Ǻ}}=5,3\;10^{-11}\;m$, Remarques : 1er exemple : l'incertitude « quantique » sur la 1ère composante radiale de sa quantité de mouvement est donc au minimum $\;\Delta p_{r}\sim {\dfrac {\hbar }{2\;\Delta r}}={\dfrac {1,056\;10^{-34}}{2\times 5,3\;10^{-11}}}\simeq 10^{-24}\;kg\cdot m\cdot s^{-1}\;$ Remarques : 1er exemple : l'incertitude « quantique » sur la 1ère coordonnée sphérique ayant un ordre de grandeur ou, compte-tenu de la masse de l'électron $\;m_{e}\simeq 0,91\;10^{-30}\;kg$, Remarques : 1er exemple : l'incertitude « quantique » sur la vitesse radiale de l'électron est estimée au minimum à $\;\Delta v_{r}={\dfrac {\Delta p_{r}}{m_{e}}}\simeq {\dfrac {10^{-24}}{0,91\;10^{-30}}}\simeq 1,1\;10^{6}\;m\cdot s^{-1}=1100\;km\cdot s^{-1}$, a priori Remarques : 1er exemple : l'incertitude « quantique » sur la vitesse radiale de l'électron «$\;\not \ll \;$ par rapport à la vitesse orthoradiale d'un électron classique tournant autour du noyau d'hydrogène à Remarques : 1er exemple : l'incertitude « quantique » sur la vitesse radiale de l'électron «$\;\color {transparent}{\not \ll }\;$ par rapport à la vitesse une distance de $\;0,53\;{\text{Ǻ}}\;$ sous l'action de la force électrique attractive », Remarques : 1er exemple : on peut donc conclure à une très grande imprécision sur la vitesse radiale et par suite à une impossibilité de parler de trajectoire $\;\ldots \;$ Remarques : 1er exemple : La mécanique classique n'est donc plus applicable à l'échelle microscopique, il faut utiliser la mécanique quantique.
Remarques : En revanche la limitation imposée par l'inégalité de Heisenberg n'est pas perceptible à l'échelle mésoscopique et encore moins à l'échelle macroscopique :
Remarques : 2ème exemple : grain de sable de diamètre$\;2\;mm$, de masse$\;20\;mg$, emporté par le vent suivant une direction$\;Ox$, Remarques : 2ème exemple : supposons une incertitude « quantique » sur son positionnement transversal $\;\Delta y=1\;mm$, Remarques : 2ème exemple : l'incertitude « quantique » sur la composante transversale de sa quantité de mouvement est au minimum $\;\Delta p_{y}\sim {\dfrac {\hbar }{2\;\Delta y}}={\dfrac {1,056\;10^{-34}}{2\times 1,0\;10^{-3}}}\simeq 5,3\;10^{-32}\;kg\cdot m\cdot s^{-1}\;$ Remarques : 2ème exemple : et l'incertitude « quantique » sur la composante transversale de sa vitesse est estimée au minimum à $\;\Delta v_{y}={\dfrac {\Delta p_{y}}{m}}\simeq {\dfrac {5,3\;10^{-32}}{20\;10^{-6}}}\simeq 2,6\;10^{-27}\;m\cdot s^{-1}\;$ c.-à-d. Remarques : 2ème exemple : l'incertitude « quantique » sur la composante transversale de sa vitesse excessivement petite devant la vitesse du grain de sable dans le vent ; Remarques : 2ème exemple : on peut donc estimer que la vitesse est connue « sans imprécision » et par suite la notion de trajectoire garde une signification à l'échelle mésoscopique Remarques : 2ème exemple : on peut donc estimer que la vitesse est connue « sans imprécision » et par suite ${\big$on peut donc continuer d'appliquer la r.f.d.n. à un objet mésoscopique${\big )}$.

## En complément : Inégalité de Heisenberg temporelle

Il existe également une inégalité de Heisenberg entre les deux grandeurs conjuguées d'une particule « quantique » massique ou non massique à savoir « énergie » et « temps » mais Il existe également cette inégalité n'est pas de même nature que les précédentes car il n'existe pas d'opérateur linéaire associée à la date d'observation de la particule et, Il existe également cette inégalité n'est pas de même nature que les précédentes même si on peut définir un opérateur linéaire associé à l'énergie de la particule, Il existe également cette inégalité n'est pas de même nature que les précédentes il n'y a évidemment pas d'opérateurs linéaires non commutables associés à cette inégalité.
L'inégalité de Heisenberg temporelle s'énonce selon «$\;\Delta E\;\Delta t\geqslant {\dfrac {\hbar }{2}}\;$» avec $\;\hbar ={\dfrac {h}{2\;\pi }}\;$ la « constante réduite de Planck » où L'inégalité de Heisenberg temporelle s'énonce selon « $\Delta E\;$ est l'incertitude « quantique » sur l'énergie de la particule « quantique » et L'inégalité de Heisenberg temporelle s'énonce selon «$\;\color {transparent}{\Delta E}$$\;\Delta t\;$ l'incertitude « quantique » sur la date d'observation de la particule ;
commentaire : cette inégalité représente encore une contrainte : « plus la date d'observation de la particule est connue avec exactitude », « moins son énergie l'est avec précision » et inversement.
Exemple de la désintégration d'un état instable d'un atome excité : l'état excité ayant une durée de vie $\;\tau$, on peut estimer l'incertitude « quantique » sur la date de désexcitation $\;\Delta t\sim \tau \;$ et Exemple de la désintégration d'un état instable d'un atome excité : l'état excité ayant une durée de vie $\;\color {transparent}{\tau }$, on en déduit un minimum de l'incertitude « quantique » sur l'énergie de cet état excité Exemple de la désintégration d'un état instable d'un atome excité : l'état excité ayant une durée de vie $\;\color {transparent}{\tau }$, on en déduit un minimum de l'incertitude « quantique » sur l'énergie «$\;(\Delta E)_{\text{min}}\sim {\dfrac {\hbar }{2\;\tau }}\;$» $\;\ldots$