# Mécanique 1 (PCSI)/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Énergie potentielle et énergie mécanique

Préliminaire : Le caractère « conservatif » d'une force n'est introduit que pour les « forces ne dépendant pas explicitement du temps » ;
Préliminaire : une force dépendant explicitement du temps sera, a priori, considérée comme « non conservative » même si elle est, à temps figé, conservative $\;{\big$au sens d'une des deux définitions équivalentes données ci-après${\big )}$.

## 1ère définition d'une force « conservative »

$\;{\vec {F}}(M)\;$
$\;M_{1}\;$
$\;M_{2}\;$
$\;(\Gamma )\;$
$\;(\Gamma )\;$
$\;W_{M_{1}\;{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\;M_{2}}\!\left[{\vec {F}}(M)\right]=\displaystyle \int _{M_{1}\;{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\;M_{2}}{\vec {F}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$
$\;(\Gamma )\;$
Remarque : Une force $\;{\vec {F}}(M)\;$ étant un cas particulier de champ vectoriel de l'espace au plus tridimensionnel, on retrouve dans la 1ère définition d'une force conservative celle d'un champ vectoriel à circulation conservative $\;{\big$voir le paragraphe « Notion de champ vectoriel à circulation conservative » du chap.$28$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »${\big ]}$.
Conséquence : $\;W_{M_{1}\;{\overset {\cancel {(\Gamma )}}{\rightarrow }}\;M_{2}}\!\left[{\vec {F}}(M)\right]=\displaystyle \int _{M_{1}\;{\overset {\cancel {(\Gamma )}}{\rightarrow }}\;M_{2}}{\vec {F}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$ étant indépendant de $\;(\Gamma )\;$ ${\big$mais dépendant de $\;M_{1}\;$ et de $\;M_{2}{\big ]}\;$ peut s'écrire sous la forme d'une différence de fonction énergétique $\;{\Big$notée temporairement $\;S_{\vec {F}}(M){\Big ]}\;$ prise entre $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ c.-à-d. «$\;W_{M_{1}\;{\overset {\cancel {(\Gamma )}}{\rightarrow }}\;M_{2}}\!\left[{\vec {F}}(M)\right]=\displaystyle \int _{M_{1}\;{\overset {\cancel {(\Gamma )}}{\rightarrow }}\;M_{2}}{\vec {F}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$ $=S_{\vec {F}}(M_{2})-S_{\vec {F}}(M_{1})=\Delta S_{\vec {F}}\;$».

## 2ème définition (équivalente) d'une force « conservative » et condition(s) nécessaire(s) [mais a priori non suffisante(s)] pour qu'une force soit conservative
### 2ème définition (équivalente) d'une force « conservative »

$\;{\vec {F}}(M)\;$
$\;\delta W\!\left[{\vec {F}}(M)\right]={\vec {F}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$
Remarque : Une force $\;{\vec {F}}(M)\;$ étant un cas particulier de champ vectoriel de l'espace au plus tridimensionnel, on retrouve dans la 2ème définition d'une force conservative celle d'un champ vectoriel à circulation conservative $\;{\big$voir le paragraphe « Définition équivalente d'un champ vectoriel à circulation conservative » du chap.$28$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
Conséquence : $\;\delta W\!\left[{\vec {F}}(M)\right]={\vec {F}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$ étant une différentielle exacte d'une fonction énergétique $\;{\Big$notée temporairement $\;S_{\vec {F}}(M){\Big ]}\;$ c.-à-d. Conséquence : $\;\color {transparent}{\delta W\!\left[{\vec {F}}(M)\right]={\vec {F}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}}\;$ étant une différentielle exacte «$\;\delta W\!\left[{\vec {F}}(M)\right]={\vec {F}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=dS_{\vec {F}}=S_{\vec {F}}(M')-S_{\vec {F}}(M)\;$ Conséquence : $\;\color {transparent}{\delta W\!\left[{\vec {F}}(M)\right]={\vec {F}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}}\;$ étant une différentielle exacte en notant $\;M'\;$ le point infiniment voisin de $\;M\;$ tel que $\;{\overrightarrow {MM'}}={\overrightarrow {dM}}\;$».

### Justification de l'équivalence entre les deux définitions

Justification directe « 1ère définition $\;\Rightarrow \;$ 2ème définition » : si « le travail de $\;{\vec {F}}(M)\;$ entre deux positions fixées est indépendant du chemin utilisé », cela est encore vrai pour deux points infiniment voisins $\;M\;$ et $\;M'\;$ tels que $\;{\overrightarrow {MM'}}={\overrightarrow {dM}}\;$ ce qui se réécrit « le travail élémentaire de $\;{\vec {F}}(M)\;$ ne dépend que des points extrêmes $\;M'\;$ et $\;M\;$ et non du chemin utilisé » c.-à-d. que « le travail élémentaire est effectivement une différentielle exacte de la fonction énergétique notée temporairement $\;S_{\vec {F}}(M)$, $\;\delta W\!\left[{\vec {F}}\right]\!(M)=S_{\vec {F}}(M')-S_{\vec {F}}(M)=dS_{\vec {F}}\;$ ».
Justification réciproque « 2ème définition $\;\Rightarrow \;$ 1ère définition » : Si « le travail élémentaire de $\;{\vec {F}}(M)\;$ est une différentielle exacte de la fonction énergétique notée temporairement $\;S_{\vec {F}}(M)$ », « le travail de $\;{\vec {F}}(M)\;$ entre $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ est égal à $\;S_{\vec {F}}(M_{2})-S_{\vec {F}}(M_{1})\;$ sans référence au chemin utilisé » montrant que « le travail est effectivement indépendant du chemin utilisé pour aller de $\;M_{1}\;$ à $\;M_{2}\;$ ».

### Condition(s) nécessaire(s) [mais a priori non suffisante(s)] pour qu'une force soit conservative

Préliminaire : Une force $\;{\vec {F}}(M)\;$ étant un cas particulier de champ vectoriel d'un espace au plus tridimensionnel, pour étudier les C.N. $\;{\big$mais a priori non suffisantes${\big )}\;$ pour qu'une force définie en un point $\;M\;$ d'un espace à deux ou trois dimensions soit conservative on peut se référer au paragraphe « C.N. (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative » du chap.$28$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;
Préliminaire : quant au cas d'une force définie en un point $\;M\;$ d'un espace unidimensionnel correspondant au cas d'un champ vectoriel d'un espace à une dimension qui n'est pas abordé dans le chap.$28$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », il est traité en fin de ce paragraphe.
C.N. pour qu'une force définie en un point d'un espace tridimensionnel soit conservative : Une force $\;{\vec {F}}(M)$, fonction des trois coordonnées cartésiennes, cylindro-polaires ou sphériques du point $\;M\;$ notées $\;\left(x\,,\,y\,,\,z\right)\;$ est conservative si les dérivées croisées des fonctions cœfficients des éléments de coordonnées cartésiennes, cylindro-polaires ou sphériques notés $\;\left(dx\,,\,dy\,,\,dz\right)\;$ de son travail élémentaire $\;\delta W\!\left[{\vec {F}}\right]\!(M)={\vec {F}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$ sont égales ce qui s'écrit, suivant le type de repérage,
* en repérage cartésien : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}\left({\dfrac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(M)\!\!&=&\!\!\left({\dfrac {\partial F_{y}}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(M)\\\left({\dfrac {\partial F_{x}}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}(M)\!\!&=&\!\!\left({\dfrac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)_{\!\!y,\,z}(M)\\\left({\dfrac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)_{\!\!x,\,y}(M)\!\!&=&\!\!\left({\dfrac {\partial F_{z}}{\partial y}}\right)_{\!\!x,\,z}(M)\end{array}}\right\rbrace$,
* en repérage cylindro-polaire : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}\left[{\dfrac {\partial F_{\rho }}{\partial \theta }}\right]_{\!\rho ,\,z}(M)\!\!&=&\!\!\left[{\dfrac {\partial (\rho \;F_{\theta })}{\partial \rho }}\right]_{\!\theta ,\,z}(M)\\\left[{\dfrac {\partial F_{\rho }}{\partial z}}\right]_{\!\rho ,\,\theta }(M)\!\!&=&\!\!\left[{\dfrac {\partial F_{z}}{\partial \rho }}\right]_{\!\theta ,\,z}(M)\\\left[{\dfrac {\partial (\rho \;F_{\theta })}{\partial z}}\right]_{\!\rho ,\,\theta }(M)\!\!&=&\!\!\left[{\dfrac {\partial F_{z}}{\partial \theta }}\right]_{\!\rho ,\,z}(M)\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}\left[{\dfrac {\partial F_{\rho }}{\partial \theta }}\right]_{\!\rho ,\,z}(M)\!\!&=&\!\!F_{\theta }(M)+\rho \;\left[{\dfrac {\partial F_{\theta }}{\partial \rho }}\right]_{\!\theta ,\,z}(M)\\\left[{\dfrac {\partial F_{\rho }}{\partial z}}\right]_{\!\rho ,\,\theta }(M)\!\!&=&\!\!\left[{\dfrac {\partial F_{z}}{\partial \rho }}\right]_{\!\theta ,\,z}(M)\\\rho \;\left[{\dfrac {\partial (F_{\theta })}{\partial z}}\right]_{\!\rho ,\,\theta }(M)\!\!&=&\!\!\left[{\dfrac {\partial F_{z}}{\partial \theta }}\right]_{\!\rho ,\,z}(M)\end{array}}\right\rbrace \;$ et
* en repérage sphérique : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}\left\lbrace {\dfrac {\partial F_{r}}{\partial \theta }}\right\rbrace _{\!r,\,\varphi }(M)\!\!&=&\!\!\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[r\;F_{\theta }\right]}{\partial r}}\right\rbrace _{\!\theta ,\,\varphi }(M)\\\left\lbrace {\dfrac {\partial F_{r}}{\partial \varphi }}\right\rbrace _{\!r,\,\theta }(M)\!\!&=&\!\!\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[r\;\sin(\theta )\;F_{\varphi }\right]}{\partial r}}\right\rbrace _{\!\theta ,\,\varphi }(M)\\\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[r\;F_{\theta }\right]}{\partial \varphi }}\right\rbrace _{\!r,\,\theta }(M)\!\!&=&\!\!\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[r\;\sin(\theta )\;F_{\varphi }\right]}{\partial \theta }}\right\rbrace _{\!r,\,\varphi }(M)\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}\left\lbrace {\dfrac {\partial F_{r}}{\partial \theta }}\right\rbrace _{\!r,\,\varphi }(M)\!\!&=&\!\!F_{\theta }(M)+r\;\left[{\dfrac {\partial F_{\theta }}{\partial r}}\right]_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\\\left\lbrace {\dfrac {\partial F_{r}}{\partial \varphi }}\right\rbrace _{\!r,\,\theta }(M)\!\!&=&\!\!\sin(\theta )\;F_{\varphi }(M)+r\;\sin(\theta )\;\left[{\dfrac {\partial F_{\varphi }}{\partial r}}\right]_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\\\left[{\dfrac {\partial F_{\theta }}{\partial \varphi }}\right]_{\!r,\,\theta }(M)\!\!&=&\!\!\cos(\theta )\;F_{\varphi }(M)+\sin(\theta )\;\left[{\dfrac {\partial F_{\varphi }}{\partial \theta }}\right]_{\!r,\,\varphi }(M)\end{array}}\right\rbrace$ ;
C.N. pour qu'une force définie en un point d'un espace tridimensionnel soit conservative : le cas où le point se déplace dans un espace à deux dimensions étant un cas particulier de point se déplaçant dans un espace à trois dimensions avec un déplacement identiquement nul sur la 3ème dimension, la C.N. $\;{\big$mais a priori non suffisante${\big )}\;$ pour que la force définie en un point d'un espace à deux dimensions soit conservative se déduit des C.N. $\;{\big$mais a priori non suffisantes${\big )}\;$ pour que la force définie en un point d'un espace à trois dimensions soit conservative, la seule différence étant le nombre de conditions qui passe de trois à une $\;\ldots$
C.N. pour qu'une force définie en un point d'un espace unidimensionnel soit conservative : Dans le cas d'une force $\;{\vec {F}}(M)\;$ où $\;M\;$ est le point générique d'une courbe continue repéré par sa coordonnée $\;x\;$, le travail élémentaire de la force s'écrivant $\;\delta W\!\left[{\vec {F}}\right]\!(M)={\vec {F}}(M)\cdot dM_{x}\,{\vec {u}}_{x}\;$ ou $\delta W\!\left[{\vec {F}}\right]\!(M)=F_{x}\;dM_{x}=\left(F_{x}\;{\dfrac {dM_{x}}{dx}}\right)dx\;$ est une différentielle exacte si $\;F_{x}\;{\dfrac {dM_{x}}{dx}}\;$ $\;{\big$c.-à-d. la fonction cœfficient de l'élément $\;dx\;$ du travail élémentaire${\big )}\;$ ne dépend que de la variable $\;x\;$.

### Conditions suffisantes pour qu'une force soit conservative

Rappel de préliminaire : Une force $\;{\vec {F}}(M)\;$ étant un cas particulier de champ vectoriel d'un espace au plus tridimensionnel, pour étudier les C.S. pour qu'une force définie en un point $\;M\;$ d'un espace à deux ou trois dimensions soit conservative on peut se référer au paragraphe « C.S. pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative » du chap.$28$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;
Rappel de préliminaire : quant au cas d'une force définie en un point $\;M\;$ d'un espace unidimensionnel correspondant au cas d'un champ vectoriel d'un espace à une dimension qui n'est pas abordé dans le chap.$28$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », il est traité en fin de ce paragraphe.
Ci-dessous le théorème de Poincaré appliqué aux forces d'un espace à deux ou trois dimensions précisant les C.S. pour qu'une force soit conservative.
Toute force d'un espace à deux ou trois dimensions pour lequel le travail élémentaire vérifie les conditions d'égalité des dérivées croisées des fonctions cœfficients des éléments de coordonnées sur un ouvert étoilé de son domaine de définition est une force conservative.
$\Updownarrow$
Toute force d'un espace à deux ou trois dimensions pour lequel le travail élémentaire est fermé sur un ouvert étoilé de son domaine de définition est une force conservative.
C.S. pour qu'une force définie en un point d'un espace unidimensionnel soit conservative : Dans le cas d'une force $\;{\vec {F}}(M)\;$ où $\;M\;$ est le point générique d'une courbe continue repéré par sa coordonnée $\;x\;$ le travail élémentaire de la force s'écrivant $\;\delta W\!\left[{\vec {F}}\right]\!(M)={\vec {F}}(M)\cdot dM_{x}\,{\vec {u}}_{x}\;$ ou $\delta W\!\left[{\vec {F}}\right]\!(M)=F_{x}\;dM_{x}=\left(F_{x}\;{\dfrac {dM_{x}}{dx}}\right)dx\;$ est une différentielle exacte $\;{\big$c.-à-d. la force $\;{\vec {F}}(M)\;$ est conservative pour $\;M\in \;$ à la courbe continue paramétré par $\;x{\big ]}\;$ si $\;F_{x}\;{\dfrac {dM_{x}}{dx}}\;$ $\;{\big$c.-à-d. la fonction cœfficient de l'élément $\;dx\;$ du travail élémentaire${\big )}\;$ ne dépend que de la variable $\;x\;$ en y étant intégrable sur un intervalle ouvert du domaine de variation de cette variable.
Remarque : Toutefois, en physique, les forces qui y sont introduites et pour lesquelles on vérifie la C.N. pour qu'elles soient conservatives $\;{\big$à savoir l'égalité des dérivées croisées sur le travail élémentaire pour $\;M\;$ se déplaçant sur une surface ou dans une expansion tridimensionnelle continues ou encore pour $\;M\;$ se déplaçant sur une courbe continue paramétrée par $\;x\;$ la fonction cœfficient de $\;dx\;$ ne dépendant que de $\;x\;$ ce qu'on peut résumer par le caractère fermé du travail élémentaire${\big ]}\;$ sont usuellement définies sur une partie étoilée et par suite il est d'usage d'affirmer que les forces sont conservatives $\;{\big$c.-à-d. que leur travail élémentaire est une différentielle exacte${\big )}\;$ sans vérifier le caractère étoilé de la partie sur laquelle elles sont définies.

## Énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative
### 1ère définition de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative »

$\;M\;$
$\;{\vec {F}}(M)\;$
${\big$
$\;M\;$
$\;{\vec {F}}(M){\big ]}\;$
$\;U_{\vec {F}}(M)\;$
$\;{\vec {F}}(M)\;$
$\;U_{\vec {F}}(M)$
$\;\delta W\!\left[{\vec {F}}(M)\right]=-dU_{\vec {F}}\;$
$\;{\vec {F}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=-dU_{\vec {F}}\;$
dans le S.I. des unités de mesures, l'énergie potentielle s'exprime en $\;J$.

### Propriétés de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative »

$\;{\mathfrak {1}}\;$ : L'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » étant définie à une constante additive près, il faut donc toujours préciser la « référence de l'énergie potentielle dont dérive la force conservative » c.-à-d. l'« endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle ».
$\;{\mathfrak {2}}\;$ : Le travail d'une force conservative entre deux positions fixées est la différence de l'énergie potentielle du point matériel dans le champ de force conservative entre positions initiale et finale quelle que soit la courbe suivie soit «$\;W_{M_{1}\,{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\,M_{2}}\!\left[{\vec {F}}(M)\right]=\displaystyle \int _{M_{1}\,{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\,M_{2}}{\vec {F}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$ indépendant de $\;(\Gamma )\;$» se réécrit avec $\;\delta W\!\left[{\vec {F}}(M)\right]=-dU_{\vec {F}}\;$ «$\;W_{M_{1}\;{\overset {\cancel {(\Gamma )}}{\rightarrow }}\;M_{2}}\!\left[{\vec {F}}(M)\right]=U_{\vec {F}}(M_{1})-U_{\vec {F}}(M_{2})=$ $-\Delta U_{\vec {F}}\;$».

### 2ème définition (équivalente) de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative »

$\;M\;$
$\;{\vec {F}}(M)\;$
${\big$
$\;M\;$
$\;{\vec {F}}(M){\big ]}$
$\;U_{\vec {F}}(M)\;$
$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[U_{\vec {F}}\right]\!(M)\;$
$\;{\vec {F}}(M)\;$
$\;{\vec {F}}(M)=-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[U_{\vec {F}}\right]\!(M)\;$
Justification de l'équivalence : la 1ère définition de l'énergie potentielle du point matériel $\;U_{\vec {F}}(M)\;$ dont dérive la force conservative $\;{\vec {F}}(M)\;$ étant «$\;{\vec {F}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=-dU_{\vec {F}},\;\;\forall \;{\overrightarrow {dM}}\;$» et  Justification de l'équivalence : le gradient du champ scalaire $\;U_{\vec {F}}(M)\;$ étant défini de façon intrinsèque comme le champ vectoriel $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[U_{\vec {F}}\right]\!(M)\;$ tel que sa circulation élémentaire soit la différentielle du champ scalaire c.-à-d. «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[U_{\vec {F}}\right]\!(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=dU_{\vec {F}},\;\;\forall \;{\overrightarrow {dM}}\;$»,  Justification de l'équivalence : on en déduit, en faisant la somme de ces deux relations «$\;\left\lbrace {\vec {F}}(M)+{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[U_{\vec {F}}\right]\!(M)\right\rbrace \cdot {\overrightarrow {dM}}=0,\;\;\forall \;{\overrightarrow {dM}}\;$» et par suite «$\;{\vec {F}}(M)=-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[U_{\vec {F}}\right]\!(M)\;$» ;  Justification de l'équivalence : réciproquement si on multiplie chaque membre de $\;{\vec {F}}(M)=-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[U_{\vec {F}}\right]\!(M)\;$ scalairement par $\;{\overrightarrow {dM}}$, on obtient dans le membre de gauche le travail élémentaire de la force $\;{\vec {F}}(M)\;$ et dans le membre de droite l'opposé de la différentielle de l'énergie potentielle c.-à-d. la 1ère définition de l'énergie potentielle du point matériel dont dérive la force conservative.

## 1ère justification du signe « - » dans la définition de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) » par réécriture du théorème de l'énergie cinétique

Appliquons le théorème de l’énergie cinétique au point matériel $\;M\;$ dans un référentiel galiléen, entre un instant initial $\;t_{1}\;$ et un instant final $\;t_{2}$, en distinguant Appliquons le théorème de l’énergie cinétique $\blacktriangleright \;$les « forces conservatives » $\;{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}(M)\;$ dont on utilise le caractère conservatif Appliquons le théorème de l’énergie cinétique $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$les « forces conservatives » $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}(M)}\;$ en introduisant une énergie potentielle dans le champ de chaque force conservative notée $\;U_{{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}}(M)\;$ Appliquons le théorème de l’énergie cinétique $\blacktriangleright \;$des « forces non conservatives » $\;{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}}(M)$, Appliquons le théorème de l’énergie cinétique soit «$\;\sum \limits _{j}W_{\!\!M_{1}\;{\overset {\cancel {(\Gamma )}}{\rightarrow }}\;M_{2}}\!\left[{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}(M)\right]+\sum \limits _{i}W_{\!\!M_{1}\,{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\,M_{2}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}}(M)\right]=K_{M}(t_{2})-K_{M}(t_{1})=\Delta K_{M}\;$» où on remplace le travail de chaque force conservative par «$\;W_{\!\!M_{1}\;{\overset {\cancel {(\Gamma )}}{\rightarrow }}\;M_{2}}\!\left[{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}(M)\right]=U_{{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}}(M_{1})-U_{{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}}(M_{2})=-\Delta U_{{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;\sum \limits _{j}W_{\!\!M_{1}\;{\overset {\cancel {(\Gamma )}}{\rightarrow }}\;M_{2}}\!\left[{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}(M)\right]=\sum \limits _{j}\left[-\Delta U_{{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}}\right]=-\Delta \!\left[\sum \limits _{j}U_{{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}}\right]\;$» d'où
Appliquons le théorème de l’énergie cinétique la réécriture du théorème de l'énergie cinétique «$\;-\Delta \!\left[\sum \limits _{j}U_{{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}}\right]+\sum \limits _{i}W_{\!\!M_{1}\,{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\,M_{2}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}}(M)\right]=\Delta K_{M}\;$» soit encore, Appliquons le théorème de l’énergie cinétique la réécriture du théorème de l'énergie cinétique en transposant les termes d'énergies potentielles $\;{\big$ce qui entraîne un changement de signe${\big )}$, Appliquons le théorème de l’énergie cinétique la réécriture du théorème de l'énergie cinétique «$\;\sum \limits _{i}W_{\!\!M_{1}\,{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\,M_{2}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}}(M)\right]=\Delta \!\left[K_{M}+\sum \limits _{j}U_{{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}}\right]\;$» c.-à-d. une relation définissant une nouvelle grandeur énergétique, somme de l'énergie cinétique et des énergies potentielles, grandeur restant constante en absence de travail des forces non conservatives ;
Appliquons le théorème de l’énergie cinétique on comprend donc l'importance du signe $\;-\;$ dans la définition de l’énergie potentielle associée à une force conservative, «$\;-\Delta U_{{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}}\;$ devenant, lors du changement de membre, $\;+\Delta U_{{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}}\;$» $\Rightarrow$ « la nouvelle grandeur énergétique conservée si les forces non conservatives ne travaillent pas » est la « somme » $\;{\big$et non la différence${\big )}\;$ de termes ;
Appliquons le théorème de l’énergie cinétique la nouvelle grandeur énergétique «$\;K_{M}+\sum \limits _{j}U_{{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}}\;$» est le résultat de $\;2\;$ contributions $\blacktriangleright \;$«$\;K_{M}\;$» dépendant de la cinétique du point et Appliquons le théorème de l’énergie cinétique la nouvelle grandeur énergétique «$\;\color {transparent}{K_{M}+\sum \limits _{j}U_{{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}}}\;$» est le résultat de $\;\color {transparent}{2}\;$ contributions $\blacktriangleright \;$«$\;\sum \limits _{j}U_{{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}}\;$» dépendant de la position du point Appliquons le théorème de l’énergie cinétique la nouvelle grandeur énergétique «$\;\color {transparent}{K_{M}+\sum \limits _{j}U_{{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}}}\;$» est le résultat de $\;\color {transparent}{2}\;$ contributions $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$«$\;\color {transparent}{\sum \limits _{j}U_{{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}}}\;$» dans le champ de forces conservatives.

## Exemples de forces « non conservatives »
### La plupart des « forces de contact » pouvant s'exercer sur le point étudié sont des forces « non conservatives »
#### Forces de contact d'un solide, sans ou avec frottement solide

La réaction $\;{\vec {R}}\;$ d'un solide sur lequel repose ou se déplace un point matériel $\;M\;$ est non conservative ;
$\;\succ \;$si le contact est sans frottement et s'il y a glissement de $\;M\;$ sur le solide selon $\;(\Gamma )\;$ ${\big$une courbe continue quelconque que le point peut suivre sur la surface du solide pour aller de $\;M_{1}\;$ à $\;M_{2}{\big ]}$, $\;\color {transparent}{\succ }\;$si le contact est sans frottement et s'il y a glissement «$\;W_{M_{1}\,{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\,M_{2}}({\vec {R}})=0\;$» car $\;{\vec {R}}\perp \;$ à la surface du solide en $\;M\;$ est toujours $\;\perp \;$ au vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}$ ; $\;\color {transparent}{\succ }\;$si le contact est sans frottement et s'il y a glissement en conclusion « la réaction d'un solide sur un point $\;M\;$ y glissant sans frottement ne développe aucun travail » ;
$\;\succ \;$si le contact est avec frottement et s'il y a glissement de $\;M\;$ sur le solide selon $\;(\Gamma )\;$ ${\big$une courbe continue quelconque que le point peut suivre sur la surface du solide pour aller de $\;M_{1}\;$ à $\;M_{2}{\big ]}$, $\;\color {transparent}{\succ }\;$si le contact est avec frottement et s'il y a glissement «$\;W_{M_{1}\,{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\,M_{2}}({\vec {R}})=W_{M_{1}\,{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\,M_{2}}({\vec {R_{\tau }}})<0\;$», la composante tangentielle de la réaction $\;{\vec {R}}_{\tau }\;$ étant toujours colinéaire et de sens opposé au $\;\color {transparent}{\succ }\;$si le contact est avec frottement et s'il y a glissement «$\;\color {transparent}{W_{M_{1}\,{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\,M_{2}}({\vec {R}})=W_{M_{1}\,{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\,M_{2}}({\vec {R_{\tau }}})<0}\;$», la composante tangentielle de la réaction $\;\color {transparent}{{\vec {R}}_{\tau }}\;$ étant vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ $\;\color {transparent}{\succ }\;$si le contact est avec frottement et s'il y a glissement ${\Bigg$la courbe $\;(\Gamma )\;$ étant orientée par le vecteur unitaire tangentiel de Frenet $\;{\vec {\tau }}\;$, on peut écrire $\;\color {transparent}{\succ }\;$si le contact est avec frottement et s'il y a glissement le vecteur déplacement élémentaire «$\;{\overrightarrow {dM}}=ds\;{\vec {\tau }}\;$» $\;{\big \s\;$ abscisse curviligne de $\;M\;$ sur $\;(\Gamma )\;$ à partir de l'origine $\;A\;$ sur $\;(\Gamma ){\big \}$ et $\;\color {transparent}{\succ }\;$si le contact est avec frottement et s'il y a glissement la force de frottement solide «$\;{\vec {R}}_{\tau }={\overline {R_{\tau }}}\;{\vec {\tau }}\;$» avec $\;{\overline {R_{\tau }}}=\left\lbrace {\begin{array}{r l}-\Vert {\vec {R}}_{\tau }\Vert \!\!&{\text{si }}\;ds>0\\\Vert {\vec {R}}_{\tau }\Vert \!\!&{\text{si }}\;ds<0\end{array}}\right\rbrace \;$ soit, avec $\;\color {transparent}{\succ }\;$si le contact est avec frottement et s'il y a glissement la force de frottement solide la loi empirique de Coulomb du frottement solide avec glissement «$\;\Vert {\vec {R}}_{\tau }\Vert =\mu _{d}\;R_{n}\;$» avec $\;\color {transparent}{\succ }\;$si le contact est avec frottement et s'il y a glissement la force de frottement solide la loi empirique de Coulomb «$\;\mu _{d}\;$ le cœfficient de frottement dynamique » et $\;\color {transparent}{\succ }\;$si le contact est avec frottement et s'il y a glissement la force de frottement solide la loi empirique de Coulomb «$\;R_{n}>0\;$ la composante normale de la réaction », d'où $\;\color {transparent}{\succ }\;$si le contact est avec frottement et s'il y a glissement l'expression du travail de la force de frottement «$\;W_{M_{1}\,{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\,M_{2}}({\vec {R_{\tau }}})=\displaystyle \int _{M_{1}\,{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\,M_{2}}{\vec {R}}_{\tau }\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$ $=\displaystyle \int _{s_{1}}^{s_{2}}-\mathrm {sgn} (ds)\;\mu _{d}\;R_{n}(s)\;ds\;$» soit, $\;\color {transparent}{\succ }\;$si le contact est avec frottement et s'il y a glissement pour un glissement dans le sens de $\;{\vec {\tau }}$, «$\;W_{M_{1}\,{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\,M_{2}}({\vec {R_{\tau }}})=-\mu _{d}\;\displaystyle \int _{s_{1}}^{s_{2}}R_{n}(s)\;ds<0\;$» et, $\;\color {transparent}{\succ }\;$si le contact est avec frottement et s'il y a glissement pour un glissement dans le sens de $\;\color {transparent}{\vec {\tau }}$, pour $\;R_{n}(s)=cste=R_{n,\,0}\;$, «$\;W_{M_{1}\,{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\,M_{2}}({\vec {R_{\tau }}})=-\mu _{d}\;R_{n,\,0}\left(s_{2}-s_{1}\right)<0\;$», $\;\color {transparent}{\succ }\;$si le contact est avec frottement et s'il y a glissement ce résultat montrant clairement $\;{\big$dans le cas où la composante normale de la réaction reste constante${\big )}\;$ $\;\color {transparent}{\succ }\;$si le contact est avec frottement et s'il y a glissement ce résultat montrant clairement que le travail de la force de frottement dépend effectivement du chemin suivi, $\;\color {transparent}{\succ }\;$si le contact est avec frottement et s'il y a glissement ce résultat montrant clairement que ceci restant vrai même si $\;R_{n}(s)\;$ n'est pas constante${\Bigg ]}$ ; $\;\color {transparent}{\succ }\;$si le contact est avec frottement et s'il y a glissement en conclusion « la réaction d'un solide sur un point $\;M\;$ y glissant avec frottement solide développe un travail négatif », $\;\color {transparent}{\succ }\;$si le contact est avec frottement et s'il y a glissement en conclusion « la force de frottement $\;{\vec {R}}_{\tau }\;$ est donc toujours « résistive » $\;{\big$on la qualifie aussi de « dissipative »${\big )}$.

#### Forces de frottement au contact d'un fluide, frottement fluide (ou visqueux) linéaire ou non

La résistance à l'avancement $\;{\vec {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}\;$ d'un point matériel $\;M\;$ dans un fluide est non conservative, que le frottement soit linéaire, quadratique ou autres ; La résistance à l'avancement $\;\color {transparent}{{\vec {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}}\;$ son travail le long de la courbe $\;(\Gamma )\;$ suivie par $\;M\;$ pour aller de $\;M_{1}\;$ à $\;M_{2}$, «$\;W_{M_{1}\,{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\,M_{2}}({\vec {\mathcal {R}}}_{\text{flu}})=\displaystyle \int _{M_{1}\,{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\,M_{2}}{\vec {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$ est $\;<0\;$» car, La résistance à l'avancement $\;\color {transparent}{{\vec {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}}\;$ pour un solide assimilable à un point matériel, $\;{\vec {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}(M)\;$ est toujours colinéaire et de sens contraire au vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}$ La résistance à l'avancement $\;\color {transparent}{{\vec {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}}\;$ ${\Bigg$la courbe $\;(\Gamma )\;$ étant orientée par le vecteur unitaire tangentiel de Frenet $\;{\vec {\tau }}\;$, on peut écrire La résistance à l'avancement $\;\color {transparent}{{\vec {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}}\;$ le vecteur déplacement élémentaire «$\;{\overrightarrow {dM}}=ds\;{\vec {\tau }}\;$» où $\;s\;$ est l'abscisse curviligne de $\;M\;$ sur $\;(\Gamma )\;$ mesurée à partir de l'origine $\;A\;$ sur celle-ci et La résistance à l'avancement $\;\color {transparent}{{\vec {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}}\;$ la force de frottement fluide «$\;{\vec {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}={\overline {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}\;{\vec {\tau }}\;$» avec $\;{\overline {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}=\left\lbrace {\begin{array}{r l}-\Vert {\vec {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}\Vert \!\!&{\text{si }}\;ds>0\\\Vert {\vec {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}\Vert \!\!&{\text{si }}\;ds<0\end{array}}\right\rbrace \;$, $\;\vert {\overline {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}\vert \;$ fonction $\;\nearrow \;$ de $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert =\vert v_{M}(t)\vert =\vert {\dot {s}}_{M}(t)\vert \;$, La résistance à l'avancement $\;\color {transparent}{{\vec {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}}\;$ d'où l'expression du travail de la force de frottement fluide «$\;W_{M_{1}\,{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\,M_{2}}({\vec {\mathcal {R}}}_{\text{flu}})=\displaystyle \int _{M_{1}\,{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\,M_{2}}{\vec {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$ $=\displaystyle \int _{s_{1}}^{s_{2}}-\mathrm {sgn} (ds)\;\Vert {\vec {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}\!\left[{\dot {s}}(t)\right]\Vert \;ds\;$» La résistance à l'avancement $\;\color {transparent}{{\vec {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}}\;$ soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de $\;{\vec {\tau }}$, «$\;W_{M_{1}\,{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\,M_{2}}({\vec {R_{\tau }}})=-\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\Vert {\vec {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}\!\left[v(t)\right]\Vert \;v(t)\;dt<0\;$» et, La résistance à l'avancement $\;\color {transparent}{{\vec {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}}\;$ soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de $\;\color {transparent}{\vec {\tau }}$, pour une forme quadratique de force de frottement fluide $\;\Vert {\vec {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}\!\left[v(t)\right]\Vert =h'\;v^{2}(t)\;$ avec $\;h'\;$ La résistance à l'avancement $\;\color {transparent}{{\vec {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}}\;$ soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de $\;\color {transparent}{\vec {\tau }}$, pour une forme quadratique constante positive caractéristique de la viscosité dynamique du fluide La résistance à l'avancement $\;\color {transparent}{{\vec {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}}\;$ soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de $\;\color {transparent}{\vec {\tau }}$, pour une forme quadratique constante positive caractéristique et de la densité de ce dernier, La résistance à l'avancement $\;\color {transparent}{{\vec {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}}\;$ soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de $\;\color {transparent}{\vec {\tau }}$, pour une forme quadratique «$\;W_{M_{1}\,{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\,M_{2}}({\vec {R_{\tau }}})=-h'\;\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}v^{3}(t)\;dt<0\;$», La résistance à l'avancement $\;\color {transparent}{{\vec {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}}\;$ ce résultat permettant d'établir $\;{\big$dans le cas d'une forme quadratique de la force de frottement fluide${\big )}$, La résistance à l'avancement $\;\color {transparent}{{\vec {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}}\;$ ce résultat permettant d'établir à condition de connaître la loi horaire de vitesse instantanée ainsi que celle d'abscisse curviligne du point, La résistance à l'avancement $\;\color {transparent}{{\vec {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}}\;$ ce résultat permettant d'établir que le travail de la force de frottement fluide dépend effectivement du chemin suivi, La résistance à l'avancement $\;\color {transparent}{{\vec {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}}\;$ ce résultat permettant d'établir que ceci restant vrai quelle que soit la forme de la force de frottement fluide${\Bigg ]}$ ; La résistance à l'avancement $\;\color {transparent}{{\vec {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}}\;$ en conclusion « la résistance à l'avancement d'un fluide $\;{\vec {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}\;$ sur un point $\;M\;$ développe un travail négatif », La résistance à l'avancement $\;\color {transparent}{{\vec {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}}\;$ en conclusion «${\vec {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}(M)\;$ est donc toujours « résistive » $\;{\big$on la qualifie aussi de « dissipative »${\big )}$.
Remarque : On pouvait aussi dire qu'une force de frottement fluide dépendant explicitement de la vitesse et non de la position ne définit pas un champ de forces et qu'il est par conséquent inutile d'envisager son caractère conservatif, toutefois la justification ci-dessus a permis de souligner son caractère résistif simultanément à la vérification de son caractère non conservatif.

#### Forces de liaison par fil idéal tendu

La force $\;{\vec {T}}\;$ exercée par un fil idéal tendu sur un point matériel $\;M\;$ dont la norme $\;T=\Vert {\vec {T}}\Vert \;$ définit la tension du fil idéal est non conservative, son travail élémentaire $\;\delta W({\vec {T}})=$ ${\vec {T}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$ n’étant en général pas une différentielle exacte$^,$.
Exemple de la$\;\uparrow \;$verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : on suspend un point matériel $\;M\;$ de masse $\;m\;$ à l'aide d'une corde idéale Exemple de la$\;\color {transparent}{\uparrow }\;$verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : on suspend un point matériel $\;\color {transparent}{M}\;$ dans le champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}\;$ uniforme ; Exemple de la$\;\color {transparent}{\uparrow }\;$verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : sur $\;M\;$ s'exercent $\blacktriangleright \;$son poids $\;m\;{\vec {g}}\;$ qui fait que le point $\;\downarrow \;$ en absence d'autres forces et Exemple de la$\;\color {transparent}{\uparrow }\;$verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : sur $\;\color {transparent}{M}\;$ s'exercent $\blacktriangleright \;$la réaction $\;{\vec {T}}\;$ de la corde de même direction et de sens opposé au poids d'où Exemple de la$\;\color {transparent}{\uparrow }\;$verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : sur $\;\color {transparent}{M}\;$ s'exercent $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$la réaction $\;{\vec {T}}\;$ verticale $\;\uparrow$ ;
Exemple de la$\;\color {transparent}{\uparrow }\;$verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : l'application de la r.f.d.n. au point $\;M\;$ dans le référentiel terrestre supposé galiléen donne Exemple de la$\;\color {transparent}{\uparrow }\;$verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : «$\;m\;{\vec {g}}+{\vec {T}}=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$» ou, en prenant $\;{\vec {u}}_{z}\;$ vecteur unitaire vertical $\;\uparrow$, Exemple de la$\;\color {transparent}{\uparrow }\;$verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : «$\;-m\;g\;{\vec {u}}_{z}+T\;{\vec {u}}_{z}=m\;a_{M,\,z}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» $\Rightarrow$ «$\;T=m\left[g+a_{M,\,z}(t)\right]\;$» c.-à-d. que Exemple de la$\;\color {transparent}{\uparrow }\;$verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : « la tension de la corde est directement liée au mouvement que l'on veut imposer au point $\;M\;$» ;
Exemple de la$\;\color {transparent}{\uparrow }\;$verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour hisser $\;M\;$ d'une position $\;M_{1}\;$ à une position $\;M_{2}\;$ on peut régler le mouvement de montée Exemple de la$\;\color {transparent}{\uparrow }\;$verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : ${\big$c.-à-d. qu'on peut régler $\;a_{M,\,z}(t)\;$ en modifiant la tension de la corde${\big ]}\;$ et Exemple de la$\;\color {transparent}{\uparrow }\;$verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : le travail de $\;{\vec {T}}\;$ exercée par la corde dépendant alors de la façon dont la montée est effectuée Exemple de la$\;\color {transparent}{\uparrow }\;$verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : le travail de $\;\color {transparent}{\vec {T}}\;$ ne dépend pas uniquement des positions extrêmes d'où «$\;{\vec {T}}\;$ non conservatif » ;
Exemple de la$\;\color {transparent}{\uparrow }\;$verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une $\;\uparrow$, $\;a_{M,\,z}(t)\;$ doit être $\;>0$, le travail élémentaire de $\;{\vec {T}}\;$ exercée par la corde s’écrivant Exemple de la$\;\color {transparent}{\uparrow }\;$verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une $\;\color {transparent}{\uparrow }$, «$\;\delta W({\vec {T}})={\vec {T}}\cdot {\overrightarrow {dM}}=T\;{\vec {u}}_{z}\cdot dz\;{\vec {u}}_{z}=T\;dz\;$ avec $\;dz>0\;$» est tel que Exemple de la$\;\color {transparent}{\uparrow }\;$verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une $\;\color {transparent}{\uparrow }$, «$\;\delta W({\vec {T}})=m\left[g+a_{M,\,z}(t)\right]dz\;$ est $\;>0\;$», $\Rightarrow$ Exemple de la$\;\color {transparent}{\uparrow }\;$verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une $\;\color {transparent}{\uparrow }$, le travail de $\;{\vec {T}}\;$ pour $\;M\;$ montant de $\;M_{1}\;$ à $\;M_{2}\;$ le long de la verticale $\;(\zeta )\;$ s'écrit Exemple de la$\;\color {transparent}{\uparrow }\;$verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une $\;\color {transparent}{\uparrow }$, «$\;W_{M_{1}\,{\overset {(\zeta )}{\rightarrow }}\,M_{2}}({\vec {T}})=\displaystyle \int _{M_{1}\,{\overset {(\zeta )}{\rightarrow }}\,M_{2}}{\vec {T}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$ $=\displaystyle \int _{z_{1}}^{z_{2}}m\left[g+a_{M,\,z}(t)\right]dz>0\;$» Exemple de la$\;\color {transparent}{\uparrow }\;$verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une $\;\color {transparent}{\uparrow }$, d'où la nécessité de connaître le mouvement le long de $\;(\zeta )\;$ pour terminer l'évaluation, Exemple de la$\;\color {transparent}{\uparrow }\;$verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une $\;\color {transparent}{\uparrow }$, celle-ci vérifiant que le travail de $\;{\vec {T}}\;$ ne dépend pas que des positions extrêmes$^,$ Exemple de la$\;\color {transparent}{\uparrow }\;$verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une $\;\color {transparent}{\uparrow }$, $\Rightarrow \;$ la force $\;{\vec {T}}\;$ exercée par la corde est d'une part effectivement « non conservative » et Exemple de la$\;\color {transparent}{\uparrow }\;$verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une $\;\color {transparent}{\uparrow }$, $\color {transparent}{\Rightarrow }\;$ la force $\;\color {transparent}{\vec {T}}\;$ exercée par la corde est d'autre part « motrice ».
Exemple de la$\;\downarrow \;$verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : dans le paragraphe précédent relatif à la $\;\uparrow \;$ du point matériel $\;M$, on a établi que Exemple de la$\;\color {transparent}{\downarrow }\;$verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : dans le paragraphe précédent la force $\;{\vec {T}}\;$ exercée par la corde sur $\;M\;$ s'écrit Exemple de la$\;\color {transparent}{\downarrow }\;$verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : dans le paragraphe précédent la force $\;{\vec {T}}=m\left[g+a_{M,\,z}(t)\right]{\vec {u}}_{z}$, $\;{\vec {u}}_{z}\;$ unitaire vertical $\;\uparrow$ ; Exemple de la$\;\color {transparent}{\downarrow }\;$verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une $\;\downarrow$, $\;a_{M,\,z}(t)\;$ doit être $\;<0\;$ $\Rightarrow$ le travail élémentaire de $\;{\vec {T}}\;$ exercée par la corde Exemple de la$\;\color {transparent}{\downarrow }\;$verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une $\;\color {transparent}{\downarrow }$, «$\;\delta W({\vec {T}})={\vec {T}}\cdot {\overrightarrow {dM}}=T\;{\vec {u}}_{z}\cdot dz\;{\vec {u}}_{z}=T\;dz\;$ où $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}dz<0\\T>0\end{array}}\right\rbrace \;$» suit Exemple de la$\;\color {transparent}{\downarrow }\;$verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une $\;\color {transparent}{\downarrow }$, «$\;\delta W({\vec {T}})=m\left[g+a_{M,\,z}(t)\right]dz<0\;$», $\Rightarrow$ le travail de $\;{\vec {T}}\;$ pour $\;M\;$ $\downarrow \;$ de Exemple de la$\;\color {transparent}{\downarrow }\;$verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une $\;\color {transparent}{\downarrow }$, $\;M_{1}\;$ à $\;M_{2}\;$ le long de la verticale $\;(\zeta )\;$ s'écrit $\;W_{M_{1}\,{\overset {(\zeta )}{\rightarrow }}\,M_{2}}({\vec {T}})=$ Exemple de la$\;\color {transparent}{\downarrow }\;$verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une $\;\color {transparent}{\downarrow }$, $\;\color {transparent}{M_{1}}\;$ à $\;\color {transparent}{M_{2}}\;$ $\displaystyle \int _{M_{1}\,{\overset {(\zeta )}{\rightarrow }}\,M_{2}}{\vec {T}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$ $=\displaystyle \int _{z_{1}}^{z_{2}}m\left[g+a_{M,\,z}(t)\right]dz<0\;$ Exemple de la$\;\color {transparent}{\downarrow }\;$verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une $\;\color {transparent}{\downarrow }$, d'où la nécessité de connaître le mouvement le long de $\;(\zeta )\;$ pour terminer, Exemple de la$\;\color {transparent}{\downarrow }\;$verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une $\;\color {transparent}{\downarrow }$, d'où $\Rightarrow \;$ le travail de $\;{\vec {T}}\;$ ne dépend pas que des positions extrêmes$^,$ et Exemple de la$\;\color {transparent}{\downarrow }\;$verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une $\;\color {transparent}{\downarrow }$, d'où $\color {transparent}{\Rightarrow }\;$ la force $\;{\vec {T}}\;$ exercée par la corde est d'une part « non conservative » et Exemple de la$\;\color {transparent}{\downarrow }\;$verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une $\;\color {transparent}{\downarrow }$, d'où $\color {transparent}{\Rightarrow }\;$ la force $\;\color {transparent}{\vec {T}}\;$ exercée par la corde est d'autre part « résistive ».
En conclusion, la force $\;{\vec {T}}\;$ exercée par une corde idéale sur un point $\;M\;$ est « non conservative » et En conclusion, la force $\;\color {transparent}{\vec {T}}\;$ exercée par une corde idéale sur un point $\;\color {transparent}{M}\;$ développe « un travail positif ou négatif », $\;{\vec {T}}(M)\;$ est donc « motrice ou résistive ».

### Seule « force de contact » pouvant s'exercer sur le point étudié « conservative » : force exercée par un ressort idéal

Parmi toutes les forces de contact ${\big$détaillées dans le chap.$6$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »${\big ]}\;$ qu'un point $\;M\;$ peut subir c'est l'« unique force de contact conservative », elle sera étudiée au paragraphe « 3ème exemple de force conservative : la tension d'un ressort idéal lié à un point matériel et l'énergie potentielle élastique du point » plus bas dans ce chapitre.

## Définition de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)

L'« énergie mécanique d'un point matériel $\;M\;$ dans le champ de forces conservatives $\;\sum \limits _{j}{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}(M)\;$» L'« énergie mécanique est la grandeur scalaire $\;E_{m,\,M}(t)\;$ définie à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ selon L'« énergie mécanique est la grandeur scalaire «$\;E_{m,\,M}(t)=K_{M}(t)+\sum \limits _{j}U_{{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}}(M)\;$» avec L'« énergie mécanique est la grandeur scal $\succ \;$«$\;K_{M}(t)\;$ l'énergie cinétique du point à l'instant $\;t\;$» dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ et L'« énergie mécanique est la grandeur scal $\succ \;$«$\;\sum \limits _{j}U_{{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}}(M)\;$ l'énergie potentielle de $\;M\;$ dans le champ de forces conservatives L'« énergie mécanique est la grandeur scal $\color {transparent}{\succ }\;$ l'énergie potentielle de $\;\color {transparent}{M}\;$ dans le champ de $\;\sum \limits _{j}{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}(M)\;$», L'« énergie mécanique est la grandeur scal $\color {transparent}{\succ }\;$ cette énergie ne dépendant pas explicitement de $\;t\;$ et L'« énergie mécanique est la grandeur scal $\color {transparent}{\succ }\;$ cette énergie étant indépendante du référentiel $\;{\mathcal {R}}$.
Dans le S.I. des unités, l'énergie mécanique s'exprime, comme l'énergie cinétique et l'énergie potentielle dans un champ de forces conservatives, en $\;J$ ;
l'énergie mécanique étant, par l'intermédiaire de l'énergie potentielle dans un champ de forces conservatives, définie à une constante additive près, il faut, lors de la définition de l'énergie mécanique, préciser la « référence de l'énergie potentielle dont dérive le champ de forces conservatives » c.-à-d. l'« endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle ».

## Théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)

Les théorèmes de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) ne sont pas explicitement au programme de physique de P.C.S.I., seuls les cas de conservation introduits dans le paragraphe « Point matériel à mouvement conservatif » plus bas dans ce chapitre et seuls les cas de conservation détaillés au chap.$17$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » seuls les cas de conservation introduitssont explicitement au programme de physique de P.C.S.I..

### Énoncé du « théorème de la variation de l'énergie mécanique » d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)

$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;\sum \limits _{i}W_{M_{1}\,{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\,M_{2}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}}(M)\right]\;$
$\;{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}}(M)\;$
$\;M\;$
$\;(\Gamma )\;$
$\;M_{1}\;$
$\;M_{2}\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;M\;$
$\;\sum \limits _{j}{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}(M)\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;t_{1}\;$
$\;t_{2}\;$
$\;\Delta E_{m,\,M}=E_{m,\,M}(t_{2})-E_{m,\,M}(t_{1})\;$
$\;\sum \limits _{i}W_{M_{1}\,{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\,M_{2}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}}(M)\right]=E_{m,\,M}(t_{2})-E_{m,\,M}(t_{1})=\Delta E_{m,\,M}\;$
Selon ce théorème on peut affirmer que les causes de la variation de l’énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) sur une durée finie dans un référentiel galiléen Selon ce théorème on peut affirmer que les causes de la variation de l’énergie mécanique sont les travaux$\;{\big$non nuls${\big )}\;$des forces non conservatives sur cette même durée.

### Énoncé du « théorème de la variation de l'énergie mécanique » d'un point matériel « sur une durée élémentaire » dans un champ de force(s) conservative(s)

$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;\sum \limits _{i}\delta W\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}}(M)\right]\;$
$\;{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}}(M)\;$
$\;M\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
${\big$
${\big )}\;$
$\;M\;$
$\;\sum \limits _{j}{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}(M)\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;t$
$\;dE_{m,\,M}=E_{m,\,M}(t+dt)-E_{m,\,M}(t)\;$
$\;\sum \limits _{i}\delta W\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}}(M)\right]=E_{m,\,M}(t+dt)-E_{m,\,M}(t)=dE_{m,\,M}\;$
Selon ce théorème on peut affirmer que les causes de la variation élémentaire de l’énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) dans un référentiel galiléen Selon ce théorème on peut affirmer que les causes de la variation élémentaire de l’énergie mécanique sont les travaux élémentaires$\;{\big$non nuls${\big )}\;$des forces non conservatives.

### Démonstration du « théorème de la variation de l'énergie mécanique » d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)

La démonstration du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) appliqué sur un intervalle de temps de durée finie a déjà été effectuée dans le paragraphe « 1ère justification du signe “ - ” dans la définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) par réécriture du théorème de l'énergie cinétique » plus haut dans ce chapitre, la nouvelle grandeur énergétique qui y a été introduite étant en fait l'énergie mécanique du point ;
le théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) appliqué à une durée élémentaire découle du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) appliqué sur un intervalle de temps de durée finie, il suffit de poser $\;t_{1}=t\;$ et $\;t_{2}=t+dt\;$ ${\big \$en se rappelant la propriété de la différentielle d'une fonction d'une variable applicable en physique car $\;dt\;$ y est toujours aussi petit que possible${\big \}$.

### Point matériel « à mouvement conservatif »

Un point matériel $\;M\;$ est dit « à mouvement conservatif » dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ Un point matériel $\;\color {transparent}{M}\;$ est dit « à mouvement conservatif » s'il n'est soumis qu'à des forces conservatives ou Un point matériel $\;\color {transparent}{M}\;$ est dit « à mouvement conservatif » si les éventuelles forces non conservatives ne travaillent pas.
Propriété d'un point matériel à mouvement conservatif dans un référentiel galiléen : d'après l'un ou l'autre des théorèmes de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de forces conservatives appliqué à un point matériel « à mouvement conservatif », on déduit la propriété suivante :

## 2ème justification du signe « - » dans la définition de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » par explication de la façon de créer la réserve d'énergie potentielle dans le champ de force conservative
### Exposé de la méthode à utiliser pour constituer la réserve d'énergie potentielle dont dérive une force conservative

Pour constituer la réserve d'énergie potentielle du point matériel $\;M\;$ dont dérive la force conservative $\;{\vec {F}}_{\text{cons.}}(M)\;$ qui lui est imposé dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, Pour constituer la réserve d'énergie potentielle on exerce sur $\;M\;$ une force motrice $\;{\vec {F}}_{\text{mot}}(M)\;$ compensant à chaque instant $\;t\;$ la force conservative $\;{\vec {F}}_{\text{cons.}}(M)\;$ et Pour constituer la réserve d'énergie potentielle on exerce sur $\;\color {transparent}{M}\;$ une force motrice $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{\text{mot}}(M)}\;$ permettant le déplacement du point d'une position initiale $\;M_{\text{ini}}\;$ vers une position finale $\;M_{\text{fin}}\;$ Pour constituer la réserve d'énergie potentielle on exerce sur $\;\color {transparent}{M}\;$ une force motrice $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{\text{mot}}(M)}\;$ permettant le déplacement du point de façon « quasi-statique »,
Pour constituer la réserve d'énergie potentielle « le travail développé dans $\;{\mathcal {R}}\;$ par la force motrice $\;W_{M_{\text{ini}}\,{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\,M_{\text{fin}}}({\vec {F}}_{\text{mot}})\;$» constitue alors, d'après le théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) « l'augmentation d'énergie potentielle du point matériel dans le champ de la force conservative $\;{\vec {F}}_{\text{cons.}}(M)\;$ en absence de travail des éventuelles autres forces non conservatives à déplacement quasi-statique » soit Pour constituer la réserve d'énergie potentielle «$\;W_{M_{\text{ini}}\,{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\,M_{\text{fin}}}({\vec {F}}_{\text{mot}})=\Delta E_{m,\,M}={\cancel {\Delta K_{M}\;+}}\;\Delta U_{{\vec {F}}_{\text{cons.}}}=U_{{\vec {F}}_{\text{cons.}}}(M_{\text{fin}})-U_{{\vec {F}}_{\text{cons.}}}(M_{\text{ini}})\;$» Pour constituer la réserve d'énergie potentielle «$\;\color {transparent}{W_{M_{\text{ini}}\,{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\,M_{\text{fin}}}({\vec {F}}_{\text{mot}})=\Delta E_{m,\,M}={\cancel {\Delta K_{M}\;+}}\;\Delta U_{{\vec {F}}_{\text{cons.}}}}\;$ $\Downarrow$ Pour constituer la réserve d'énergie potentielle «$\;\color {transparent}{W_{M_{\text{ini}}\,{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\,M_{\text{fin}}}({\vec {F}}_{\text{mot}})=\Delta E_{m,\,M}}\;$ «$\;U_{{\vec {F}}_{\text{cons.}}}(M_{\text{fin}})=U_{{\vec {F}}_{\text{cons.}}}(M_{\text{ini}})+W_{M_{\text{ini}}\,{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\,M_{\text{fin}}}({\vec {F}}_{\text{mot}})\;$».

### Justification de la constitution de la réserve d'énergie potentielle dont dérive une force conservative

En l'absence de forces non conservatives travaillant lors d'un déplacement quasi-statique$^,$ c.-à-d. l'absence de forces de contact comme « la tension d'une corde ou En l'absence de forces non conservatives travaillant lors d'un déplacement quasi-statique c.-à-d. l'absence de forces de contact comme « une force de frottement solide »$^,$, En l'absence de forces non conservatives on exerce sur le point matériel $\;M$, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ supposé galiléen, En l'absence de forces non conservatives on exerce sur le point matériel $\;\color {transparent}{M}$, une force motrice $\;{\vec {F}}_{\text{mot}}(M)\;$ compensant à chaque instant $\;t\;$ la force conservative $\;{\vec {F}}_{\text{cons.}}(M)$, soit En l'absence de forces non conservatives on exerce sur le point matériel $\;\color {transparent}{M}$, une force motrice «$\;{\vec {F}}_{\text{mot}}(M)=-{\vec {F}}_{\text{cons.}}(M),\;\;\forall \;t\;$» et
En l'absence de forces non conservatives on applique à $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, le théorème de la variation de l'énergie mécanique dans le champ de force conservative $\;{\vec {F}}_{\text{cons.}}(M)\;$ soit En l'absence de forces non conservatives «$\;W_{M_{\text{ini}}\,{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\,M_{\text{fin}}}({\vec {F}}_{\text{mot}})\;{\cancel {+\;\sum \limits _{i}W_{M_{\text{ini}}\,{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\,M_{\text{fin}}}({\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons. à trav. nul}}})}}\;=\Delta E_{m,\,M}=E_{m}(M_{\text{fin}})-E_{m}(M_{\text{ini}})\;$» avec, En l'absence de forces non conservatives compte-tenu du déplacement quasi-statique de $\;M\;$, «$\;E_{m,\,M}(t)=K_{M}(t)+U_{{\vec {F}}_{\text{cons.}}}(M)\simeq U_{{\vec {F}}_{\text{cons.}}}(M)\;$» soit finalement En l'absence de forces non conservatives «$\;W_{M_{\text{ini}}\,{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\,M_{\text{fin}}}({\vec {F}}_{\text{mot}})=\Delta U_{{\vec {F}}_{\text{cons.}}}=U_{{\vec {F}}_{\text{cons.}}}(M_{\text{fin}})-U_{{\vec {F}}_{\text{cons.}}}(M_{\text{ini}})\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$».
En l'absence de forces non conservatives Or la force motrice étant choisie telle que $\;{\vec {F}}_{\text{mot}}(M)=-{\vec {F}}_{\text{cons.}}(M),\;\;\forall \;t$, on en déduit «$\;W_{M_{\text{ini}}\,{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\,M_{\text{fin}}}({\vec {F}}_{\text{mot}})=-W_{M_{\text{ini}}\;{\overset {\cancel {(\Gamma )}}{\rightarrow }}\;M_{\text{fin}}}({\vec {F}}_{\text{cons.}})\;$» En l'absence de forces non conservatives d'où, par report dans la relation $\;\left({\mathfrak {a}}\right)$, «$\;-W_{M_{\text{ini}}\;{\overset {\cancel {(\Gamma )}}{\rightarrow }}\;M_{\text{fin}}}({\vec {F}}_{\text{cons.}})=\Delta U_{{\vec {F}}_{\text{cons.}}}=U_{{\vec {F}}_{\text{cons.}}}(M_{\text{fin}})-U_{{\vec {F}}_{\text{cons.}}}(M_{\text{ini}})\;$» dont on déduit la propriété suivante En l'absence de forces non conservatives par report dans la relation $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {a}}\right)}$, «$\;W_{M_{\text{ini}}\;{\overset {\cancel {(\Gamma )}}{\rightarrow }}\;M_{\text{fin}}}({\vec {F}}_{\text{cons.}})=-\Delta U_{{\vec {F}}_{\text{cons.}}}\;$» ou, en considérant un déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ quelconque, En l'absence de forces non conservatives par report dans la relation $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {a}}\right)}$, «$\;\delta W({\vec {F}}_{\text{cons.}})=U_{{\vec {F}}_{\text{cons.}}}(M_{t})-U_{{\vec {F}}_{\text{cons.}}}(M_{t+dt})=-dU_{{\vec {F}}_{\text{cons.}}}(M)\;$»$^,$ En l'absence de forces non conservatives par report dans la relation $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {a}}\right)}$, «$\;\color {transparent}{\delta W({\vec {F}}_{\text{cons.}})}$ $\Downarrow$ En l'absence de forces non conservatives par report dans la relation $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {a}}\right)}$, «$\;{\vec {F}}_{\text{cons.}}(M)=-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[U_{{\vec {F}}_{\text{cons.}}}\right]\!(M)\;$»$^,$ En l'absence de forces non conservatives ce qui justifie la présence du signe «$\;-\;$» dans les définitions de l'énergie potentielle de $\;M\;$ dans le champ de la force conservative $\;{\vec {F}}_{\text{cons.}}(M)\;$$^,$.

## Définition de la « puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force conservative » et énoncé de la forme locale « théorème de la puissance mécanique » associée à la forme intégrale « théorème de la variation de l'énergie mécanique »
### Définition de la « puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) »

La puissance mécanique d'un point matériel $\;M\;$ dans un champ de force(s) conservative(s) définie dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ à l'instant $\;t\;$ est la dérivée temporelle de l'énergie mécanique du point $\;M\;$ dans le champ de force(s) conservative(s) définie dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ et au même instant $\;t\;$ c.-à-d. $\;{\dfrac {dE_{m,\,M}}{dt}}(t)\;$ ${\big$comme il n'y a aucune notation particulière pour noter la puissance mécanique nous utiliserons la notation compacte $\;{\dot {E}}_{m,\,M}(t){\big ]}$.

### Établissement de la forme locale associée à la forme intégrée « théorème de la variation de l'énergie mécanique »

À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique d'un point matériel $\;M\;$ dans un champ de force(s) conservative(s) appliqué dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen sur une durée élémentaire $\;dt$, À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique on peut trouver la forme locale associée à cette forme intégrale écrite sous forme élémentaire en divisant cette dernière par $\;dt\;$ soit À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique on peut trouver la forme locale associée à cette forme intégrale «$\;{\dfrac {\sum \limits _{i}\delta W\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}}(M)\right]}{dt}}={\dfrac {dE_{m,\,M}}{dt}}\;$» ou, À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique en reconnaissant la puissance mécanique du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le membre de droite et À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique en reconnaissant la puissance des forces non conservatives appliquée à $\;M\;$ au même instant $\;t\;$ dans le membre de gauche
$\;\sum \limits _{i}{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}}(M)\right]={\dot {E}}_{m,\,M}(t)\;$

### Énoncé du « théorème de la puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) »

$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$
$\;M\;$
$\;t\;$
$\;M\;$
$\;t\;$
$\;\sum \limits _{i}{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}}(M)\right](t)={\dot {E}}_{m,\,M}(t)\;$
Selon ce théorème on peut affirmer que les causes de variation instantanée de la puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) dans un référentiel galiléen Selon ce théorème on peut affirmer que les causes de variation instantanée de la puissance mécanique sont les puissances$\;{\big$non nulles${\big )}\;$des forces non conservatives.

### Retour sur le cas d'un point matériel « à mouvement conservatif »

On peut énoncer la définition d'un point matériel à mouvement conservatif d'une façon légèrement modifiée comme ci-dessous :
Définition$\;{\big$équivalente${\big )}$ : Un point matériel $\;M\;$ est dit « à mouvement conservatif » dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ si toutes les forces appliquées y sont conservatives ou Définition$\;\color {transparent}{\big$équivalente$\color {transparent}{\big )}$ : Un point matériel $\;\color {transparent}{M}\;$ est dit « à mouvement conservatif » dans un référentiel $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ si les éventuelles forces non conservatives ne développent aucune puissance soit Définition$\;\color {transparent}{\big$équivalente$\color {transparent}{\big )}$ : Un point matériel $\;\color {transparent}{M}\;$ est dit « à mouvement conservatif » dans un référentiel $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ si les éventuelles forces non conservatives «$\;\sum \limits _{i}{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}}(M)\right](t)=0\;$».
Conséquence dans un référentiel galiléen : L'application du théorème de la « puissance mécanique » à un point matériel $\;M\;$ à mouvement conservatif dans un référentiel galiléen Conséquence dans un référentiel galiléen : L'application du théorème de la « puissance mécanique » nous conduisant à une « puissance mécanique nulle » nous permet d'affirmer que Conséquence dans un référentiel galiléen : L'application du théorème de la « puissance mécanique » « l'énergie mécanique du point$\;M\;$à mouvement conservatif est conservée dans le référentiel galiléen ».

## 1er exemple de force conservative : le « poids d'un point matériel » (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme) et l'« énergie potentielle de pesanteur du point »
### Établissement du caractère « conservatif » du poids d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme)

Supposant le champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}\;$ « uniforme », le poids d'un point matériel $\;M\;$ de masse $\;m\;$ s'écrit, en cartésienne ou cylindro-polaire avec $\;{\vec {u}}_{z}\;$ vertical ascendant, Supposant le champ de pesanteur terrestre $\;\color {transparent}{\vec {g}}\;$ « uniforme », le poids d'un point matériel $\;\color {transparent}{M}\;$ de masse $\;\color {transparent}{m}\;$ s'écrit, «$\;m\;{\vec {g}}=-m\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$» où $\;g=\Vert {\vec {g}}\Vert \;$ est l'intensité de la pesanteur terrestre ;
pour prouver le caractère conservatif du poids du point matériel on forme son travail élémentaire «$\;\delta W(m\;{\vec {g}})=m\;{\vec {g}}\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$» et pour prouver le caractère conservatif du poids du point matériel on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte soit, en cartésien, pour prouver le caractère conservatif du poids du point matériel on forme son travail élémentaire «$\;\delta W(m\;{\vec {g}})=\left[-m\;g\;{\vec {u}}_{z}\right]\cdot \left[dx\;{\vec {u}}_{x}+dy\;{\vec {u}}_{y}+dz\;{\vec {u}}_{z}\right]=-m\;g\;dz\;$» qui est effectivement une différentielle exacte dans la mesure où « le cœfficient de $\;dz\;$ ne dépend que de $\;z\;$ et est intégrable sur tout ouvert de $\;\mathbb {R} \;$» $\;{\big$en effet, le cœfficient de $\;dz\;$ est une constante${\big )}\;$ d'où
$\;m\;{\vec {g}}\;$

### « Énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel » (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme)

L'énergie potentielle du point matériel $\;M\;$ dans le champ de pesanteur terrestre uniforme encore appelée « énergie potentielle de pesanteur » et notée $\;U_{\text{pes}}(M)$, L'énergie potentielle du point matériel $\;\color {transparent}{M}\;$ dans le champ de pesanteur terrestre uniforme se détermine par «$\;\delta W(m\;{\vec {g}})=-dU_{\text{pes}}\;$» soit «$\;-m\;g\;dz=-dU_{\text{pes}}\;$» ou L'énergie potentielle du point matériel $\;\color {transparent}{M}\;$ dans le champ de pesanteur terrestre uniforme se détermine par «$\;{\dfrac {dU_{\text{pes}}}{dz}}=m\;g\;$» $\Rightarrow$ «$\;U_{\text{pes}}(M)=U_{\text{pes}}(z)=m\;g\;z+cste\;$» ;
en choisissant la référence de l'énergie potentielle de pesanteur en$\;z=0\;{\big$niveau du sol${\big )}\;$ c.-à-d. $\;U_{\text{pes}}(0)=0$, on en déduit «$\;U_{\text{pes}}(z)=m\;g\;z\;$».
À retenir : Si l'axe $\;Oz\;$ est vertical $\;\uparrow$, «$\;U_{\text{pes}}(z)=m\;g\;z\;$ avec la référence en $\;z=0\;$» ${\big$l'énergie potentielle de pesanteur est une fonction $\;\nearrow \;$ de l'altitude $\;z{\big ]}$ ;
À retenir : si l'axe $\;Oz\;$ est vertical $\;\downarrow$, on obtient, « avec la même référence, $\;U_{\text{pes}}(z)=-m\;g\;z\;$» ${\big$l'énergie potentielle de pesanteur est une fonction $\;\searrow \;$ de la profondeur $\;z{\big ]}$.

### Signification physique de l'« énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel » (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme)

Toute énergie potentielle d'un point matériel $\;M\;$ est une « réserve d'énergie pour $\;M\;$» $\blacktriangleright \;$utilisable pour « être transformée spontanément en une autre forme d'énergie $\;{\big$par exemple Toute énergie potentielle d'un point matériel $\;\color {transparent}{M}\;$ est une « réserve d'énergie pour $\;\color {transparent}{M}\;$» $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$utilisable pour « être transformée spontanément en énergie cinétique${\big )}\;$» et Toute énergie potentielle d'un point matériel $\;\color {transparent}{M}\;$ est une « réserve d'énergie pour $\;\color {transparent}{M}\;$» $\blacktriangleright \;$« dont on peut provoquer la reconstitution par apport énergétique » ;
$\;\succ \;$ un point matériel $\;M\;$ au repos à une altitude $\;z$, possède l’énergie potentielle de pesanteur $\;U_{\text{pes}}(z)=m\;g\;z>0\;$ si la référence de cette dernière est choisie au niveau du sol et $\;\color {transparent}{\succ }\;$ un point matériel $\;\color {transparent}{M}\;$ au repos à une altitude $\;\color {transparent}{z}$, possède la même énergie mécanique car initialement le point matériel est au repos ; $\;\color {transparent}{\succ }\;$ abandonné à lui-même, il chute spontanément en acquérant de l’énergie cinétique $\;K_{M}\nearrow \;$ à partir de $\;0\;$ et parallèlement sa réserve d’énergie potentielle de pesanteur $\;\searrow$, $\;\color {transparent}{\succ }\;$ abandonné à lui-même, la chute correspondant à une « conservation de l'énergie mécanique du point matériel en absence de frottements de l'air » $\;\ldots$
$\;\succ \;$ si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle $\;{\big$c.-à-d. le replacer à l'altitude initiale $\;z{\big )}$, il faut exercer sur lui une force motrice $\;{\vec {F}}_{\text{mot}}(M)\;$ $\uparrow \;$ de manière « quasi-statique », $\;\color {transparent}{\succ }\;$ si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle (cela correspondant à une transformation d'une partie de notre énergie musculaire $\;{\big$énergie potentielle pour nous${\big )}\;$ $\;\color {transparent}{\succ }\;$ si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle (cela correspondant à une transformation en énergie potentielle de pesanteur de $\;M\;$ $\Rightarrow$ sa réserve d’énergie potentielle de pesanteur $\;\nearrow$, $\;\color {transparent}{\succ }\;$ si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle (le théorème de la variation d’énergie mécanique appliqué à $\;M\;$ $\Rightarrow$ «$\;E_{m}(M_{z})-E_{m}(M_{0})=U_{\text{pes}}(M_{z})-U_{\text{pes}}(M_{0})$ $\;\color {transparent}{\succ }\;$ si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle (le théorème de la variation d’énergie mécanique appliqué à $\;\color {transparent}{M}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\color {transparent}{E_{m}(M_{z})-E_{m}(M_{0})}$ $=W_{M_{0}\,{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\,M_{z}}({\vec {F}}_{\text{mot}})>0\;$» ; $\;\color {transparent}{\succ }\;$ la force motrice $\;{\vec {F}}_{\text{mot}}(M)\;$ à exercer pour que le mouvement de $\;M\;$ se fasse de façon « quasi-statique » est l'opposé de $\;m\;{\vec {g}}\;$ soit «$\;{\vec {F}}_{\text{mot}}(M)=-m\;{\vec {g}}\;$» dont on tire $\;\color {transparent}{\succ }\;$ la force motrice $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{\text{mot}}(M)}\;$ à exercer «$\;W_{M_{0}\,{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\,M_{z}}({\vec {F}}_{\text{mot}})=W_{M_{0}\;{\overset {\cancel {(\Gamma )}}{\rightarrow }}\;M_{z}}(-m\;{\vec {g}})=-W_{M_{0}\;{\overset {\cancel {(\Gamma )}}{\rightarrow }}\;M_{z}}(m\;{\vec {g}})\;$» d'où «$\;U_{\text{pes}}(M_{z})-U_{\text{pes}}(M_{0})=-W_{M_{0}\;{\overset {\cancel {(\Gamma )}}{\rightarrow }}\;M_{z}}(m\;{\vec {g}})\;$».

## 2ème exemple de force conservative : la « force de gravitation créée par un astre sur un point matériel » et l'« énergie potentielle gravitationnelle du point »

$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\big$
${\big )}$

### Expression de la force de gravitation créée par un « astre à symétrie sphérique » sur un point matériel, cas particulier de la Terre

On utilise le repérage sphérique de pôle, le centre $\;O_{\!{\mathcal {A}}}\;$ de l'astre $\;{\mathcal {A}}\;$ de masse $\;m_{\!{\mathcal {A}}}\;$ et de rayon $\;R_{\!{\mathcal {A}}}\;$, les coordonnées sphériques du point matériel $\;M\;$ de masse $\;m\;$ sont $\;\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)\;$ et On utilise le repérage sphérique de pôle, le centre $\;\color {transparent}{O_{\!{\mathcal {A}}}}\;$ de l'astre $\;\color {transparent}{\mathcal {A}}\;$ de masse $\;\color {transparent}{m_{\!{\mathcal {A}}}}\;$ et de rayon $\;\color {transparent}{R_{\!{\mathcal {A}}}}\;$, la base sphérique liée à $\;M$, $\;\left({\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{\varphi }\right)\;$ ;
la position de $\;M\;$ restant à l'extérieur de l'astre $\;{\mathcal {A}}\;$ c.-à-d. telle que $\;r>R_{\!{\mathcal {A}}}$, l'astre crée autour de lui un espace champ de gravitation de vecteur champ gravitationnel au point $\;M\;$ égal à la position de $\;\color {transparent}{M}\;$ restant à l'extérieur de l'astre $\;\color {transparent}{\mathcal {A}}\;$ c.-à-d. telle que $\;\color {transparent}{r>R_{\!{\mathcal {A}}}}$, l'astre crée autour de lui «$\;{\vec {G}}_{\!{\mathcal {A}}}(M)=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\!{\mathcal {A}}}}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$», «$\;{\mathcal {G}}\;$ étant la constante de gravitation universelle la position de $\;\color {transparent}{M}\;$ restant à l'extérieur de l'astre $\;\color {transparent}{\mathcal {A}}\;$ c.-à-d. telle que $\;\color {transparent}{r>R_{\!{\mathcal {A}}}}$, l'astre crée autour de lui «$\;\color {transparent}{{\vec {G}}_{\!{\mathcal {A}}}(M)=-{\mathcal {G}}\;m_{\!{\mathcal {A}}}\;{\vec {u}}_{r}}\;$», « $\;{\mathcal {G}}\simeq 6,67\;10^{-11}\;S.I.\;$» et
la position de $\;\color {transparent}{M}\;$ restant à l'extérieur de l'astre $\;\color {transparent}{\mathcal {A}}\;$ le point matériel $\;M\;$ de masse $\;m\;$ subit, de la part de l'astre, une force d'attraction gravitationnelle «$\;{\vec {F}}_{M\,\leftarrow {\mathcal {A}}}=m\;{\vec {G}}_{\!{\mathcal {A}}}(M)=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\!{\mathcal {A}}}\;m}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$».
la position de $\;\color {transparent}{M}\;$ restant à l'extérieur de l'astre $\;\color {transparent}{\mathcal {A}}\;$ La force de gravitation terrestre exercée sur un point matériel $\;M\;$ de masse $\;m\;$ s’écrit donc «$\;{\vec {F}}_{M\,\leftarrow ({\text{♁}})}=m\;{\vec {G}}_{\text{♁}}(M)=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$».

### Établissement du caractère « conservatif » de la force de gravitation qu'un astre à symétrie sphérique exerce sur un point matériel, cas particulier de la Terre

Pour prouver le caractère conservatif de la force d'attraction gravitationnelle $\;{\vec {F}}_{M\,\leftarrow {\mathcal {A}}}=m\;{\vec {G}}_{\!{\mathcal {A}}}(M)=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\!{\mathcal {A}}}\;m}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ que l'astre $\;{\mathcal {A}}\;$ à symétrie sphérique exerce sur le point matériel $\;M$, pour prouver le caractère conservatif on forme son travail élémentaire «$\;\delta W({\vec {F}}_{M\,\leftarrow {\mathcal {A}}})={\vec {F}}_{M\,\leftarrow {\mathcal {A}}}\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$» et pour prouver le caractère conservatif on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte soit, en sphérique, pour prouver le caractère conservatif on forme son travail élémentaire «$\;\delta W({\vec {F}}_{M\,\leftarrow {\mathcal {A}}})=\left[-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\!{\mathcal {A}}}\;m}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\right]\cdot \left[dr\;{\vec {u}}_{r}+r\;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+r\;\sin(\theta )\;d\varphi \;{\vec {u}}_{\varphi }\right]\;$ $=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\!{\mathcal {A}}}\;m}{r^{2}}}\;dr\;$» qui est effectivement une différentielle exacte car « le cœfficient de $\;dr\;$ ne dépend que de $\;r\;$ et est intégrable sur tout ouvert de $\;\mathbb {R} _{+}^{*}\;$» $\;{\bigg$en effet, le cœfficient de $\;dr\;$ est une fonction en $\;{\dfrac {-1}{r^{2}}}\;$ qui s'intègre en ${\dfrac {1}{r}}{\bigg )}\;$
$\;{\vec {F}}_{M\,\leftarrow {\mathcal {A}}}=m\;{\vec {G}}_{\!{\mathcal {A}}}(M)=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\!{\mathcal {A}}}\;m}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$
$\;{\mathcal {A}}\;$
$\;M\;$
$\Downarrow$
$\;M\;$
$\;m\;$
$\;{\vec {F}}_{M\,\leftarrow ({\text{♁}})}=m\;{\vec {G}}_{\text{♁}}(M)=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$

### Énergie potentielle gravitationnelle d'un point matériel dans le champ d'un astre à symétrie sphérique, cas particulier de la Terre

L'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel $\;M\;$ dans le champ de gravitation créé par l'astre $\;{\mathcal {A}}\;$ à symétrie sphérique notée $\;U_{{\text{gravit}}\,\leftarrow \,{\mathcal {A}}}(M)$, L'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel $\;\color {transparent}{M}\;$ se définit par «$\;\delta W({\vec {F}}_{M\,\leftarrow {\mathcal {A}}})=-dU_{{\text{gravit}}\,\leftarrow \,{\mathcal {A}}}\;$» soit «$\;-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\!{\mathcal {A}}}\;m}{r^{2}}}\;dr=-dU_{{\text{gravit}}\,\leftarrow \,{\mathcal {A}}}\;$» ou «$\;{\dfrac {dU_{{\text{gravit}}\,\leftarrow \,{\mathcal {A}}}}{dr}}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\!{\mathcal {A}}}\;m}{r^{2}}}\;$» L'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel $\;\color {transparent}{M}\;$ se détermine $\Rightarrow$ «$\;U_{{\text{gravit}}\,\leftarrow \,{\mathcal {A}}}(M)=U_{{\text{gravit}}\,\leftarrow \,{\mathcal {A}}}(r)=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\!{\mathcal {A}}}\;m}{r}}+cste\;$», L'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel $\;\color {transparent}{M}\;$ se détermine ${\big$l'énergie potentielle gravitationnelle due à l'astre $\;{\mathcal {A}}\;$ est une fonction $\;\nearrow \;$ de la distance $\;r\;$ de $\;M\;$ au centre $\;O_{\!{\mathcal {A}}}\;$ de l'astre${\big ]}$.
En choisissant la référence de l'énergie gravitationnelle due à l'astre à symétrie sphérique à l'$\infty \;$ de ce dernier c.-à-d. $\;\lim \limits _{r\rightarrow \infty }U_{{\text{gravit}}\,\leftarrow \,{\mathcal {A}}}(r)=0$, on obtient «$\;U_{{\text{gravit}}\,\leftarrow \,{\mathcal {A}}}(r)=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\!{\mathcal {A}}}\;m}{r}}\;$» ;
$\Downarrow$
$\;M\;$
$\;m\;$
$\;U_{{\text{gravit}}\,\leftarrow \,({\text{♁}})}(r)=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m}{r}}\;$
${\big$
$\;\nearrow \;$
$\;r\;$
$\;M\;$
${\big ]}$
Autre choix de référence pour l'énergie potentielle gravitationnelle due à l'astre à symétrie sphérique : en choisissant la référence au niveau du sol de l'astre c.-à-d. $\;r=R_{\!{\mathcal {A}}}\;$ $\Rightarrow$ $\;U_{{\text{gravit}}\,\leftarrow \,{\mathcal {A}}}(R_{\!{\mathcal {A}}})=0\;$ dont on déduit $\;-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\!{\mathcal {A}}}\;m}{R_{\!{\mathcal {A}}}}}+cste=0\;$ soit $\;cste={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\!{\mathcal {A}}}\;m}{R_{\!{\mathcal {A}}}}}\;$ d'où en choisissant la référence au niveau du sol de l'astre l'expression de l'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel $\;M\;$ dans le champ de gravitation de l'astre $\;{\mathcal {A}}\;$ à symétrie sphérique en choisissant la référence au niveau du sol de l'astre «$\;U_{{\text{gravit}}\,\leftarrow \,{\mathcal {A}}}(r)={\mathcal {G}}\;m_{\!{\mathcal {A}}}\;m\left[{\dfrac {1}{R_{\!{\mathcal {A}}}}}-{\dfrac {1}{r}}\right]={\mathcal {G}}\;m_{\!{\mathcal {A}}}\;m\;{\dfrac {r-R_{\!{\mathcal {A}}}}{R_{\!{\mathcal {A}}}\;r}}\;$ avec référence à la surface de l'astre », en choisissant la référence au niveau du sol de l'astre ${\big$l'énergie potentielle gravitationnelle due à l'astre $\;{\mathcal {A}}\;$ est une fonction $\;\nearrow \;$ de la distance $\;r\;$ de $\;M\;$ au centre $\;O_{\!{\mathcal {A}}}\;$ de l'astre${\big ]}$.
$\Downarrow$
$\;M\;$
$\;m\;$
$\;U_{{\text{gravit}}\,\leftarrow \,({\text{♁}})}(r)={\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m\left[{\dfrac {1}{R_{\text{♁}}}}-{\dfrac {1}{r}}\right]={\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m\;{\dfrac {r-R_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}\;r}}\;$
${\big$
$\;\nearrow \;$
$\;r\;$
$\;M\;$
${\big ]}$

### Tracé de l'énergie potentielle de gravitation terrestre d'un point matériel en fonction de sa distance au centre de la Terre

Voir ci-contre, l'énergie potentielle gravitationnelle terrestre du point matériel $\;M\;$ de masse $\;m\;$ avec choix de la référence à l'infini s'écrivant «$\;U_{{\text{gravit}}\,\leftarrow \,({\text{♁}})}(r)=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m}{r}}\;$», son graphe en fonction de $\;r\;$ est Voir ci-contre, une portion de branche d'hyperbole équilatère partant du point $\;\left(R_{\text{♁}}\,,\,-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}}\right)\;$ et Voir ci-contre, une portion de branche d'hyperbole équilatère $\;\nearrow \;$ jusqu'à l'asymptote horizontale « l'axe des $\;r\;$».
L'énergie potentielle gravitationnelle terrestre du point matériel $\;M\;$ de masse $\;m\;$ avec choix de la référence au niveau de la surface de la Terre s'écrivant «$\;U_{{\text{gravit}}\,\leftarrow \,({\text{♁}})}(r)=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m}{r}}+{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}}\;$», son graphe en fonction de $\;r\;$ se déduit du tracé ci-contre par translation dans le sens positif de $\;U_{{\text{gravit}}\,\leftarrow \,({\text{♁}})}(M)\;$ de la quantité $\;{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}}\;$ ${\big \$à tracer soi-même${\big \}$, d'où le graphe s'identifiant à une portion de branche d'hyperbole équilatère partant du point $\;\left(R_{\text{♁}}\,,\,0\right)\;$ et une portion de branche d'hyperbole équilatère $\;\nearrow \;$ jusqu'à l'asymptote horizontale une portion de branche d'hyperbole équilatère $\;\color {transparent}{\nearrow }\;$ jusqu'à d'équation «$\;U_{{\text{gravit}}\,\leftarrow \,({\text{♁}})}(r)={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}},\;\;\forall \;r\;$» soit une portion de branche d'hyperbole équilatère $\;\color {transparent}{\nearrow }\;$ jusqu'à la droite $\;\parallel \;$ à l'axe des $\;r\;$ et d'ordonnée $\;{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}}$.

### Comparaison de l'énergie potentielle de gravitation terrestre d'un point matériel et celle de pesanteur du même point matériel avec une même référence au niveau du sol

Après définition de l'« altitude du point $\;M\;$ par rapport au niveau du sol terrestre selon $\;z=r-R_{\text{♁}}\;$», on peut réécrire Après définition de l’énergie potentielle de gravitation terrestre du point $\;M\;$ avec référence au niveau du sol «$\;U_{{\text{gravit}}\,\leftarrow \,({\text{♁}})}(r)={\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m\;{\dfrac {r-R_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}\;r}}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}}\;{\dfrac {z}{R_{\text{♁}}+z}}=U_{{\text{gravit}}\,\leftarrow \,({\text{♁}})}(z)\;$» Après définition de l’énergie potentielle de gravitation terrestre du point $\;\color {transparent}{M}\;$ avec référence au niveau du sol selon $\;{\big$on vérifie qu'il s'agit d'une fonction $\;\nearrow \;$ de l'altitude $\;z=r-R_{\text{♁}}{\big ]}$ ;
dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite par rapport au rayon terrestre $\;{\bigg\!$par exemple $\;z\lesssim {\dfrac {R_{\text{♁}}}{100}}\simeq 64\;km\!{\bigg )}$, dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite on peut considérer $\;{\dfrac {z}{R_{\text{♁}}}}\ll 1\;$ comme un infiniment petit d'ordre un et dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite on peut réécrire l'énergie potentielle de gravitation terrestre de l'objet en faisant apparaître cet infiniment petit d'ordre un selon dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite on peut réécrire «$\;U_{{\text{gravit}}\,\leftarrow \,({\text{♁}})}(z)={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}}\;{\dfrac {\dfrac {z}{R_{\text{♁}}}}{1+{\dfrac {z}{R_{\text{♁}}}}}}\;$» ou, en en prenant un D.L. à l'ordre un dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite on peut réécrire «$\;U_{{\text{gravit}}\,\leftarrow \,({\text{♁}})}(z)\simeq {\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}}\;{\dfrac {z}{R_{\text{♁}}}}\;$»$^,$ ou «$\;U_{{\text{gravit}}\,\leftarrow \,({\text{♁}})}(z)\simeq m\;{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}^{\,2}}}\;z=m\;G_{({\text{♁}}),\,0}\;z\;$» dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite on peut réécrire avec «$\;G_{({\text{♁}}),\,0}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}^{\,2}}}\;$ l'intensité du champ de gravitation terrestre sur la Terre ».
dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite En 1ère approximation on peut confondre l'intensité du champ de gravitation terrestre sur la Terre $\;G_{({\text{♁}}),\,0}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}^{\,2}}}\;$ avec dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite En 1ère approximation on peut confondre l'intensité de la pesanteur terrestre au niveau du sol $\;g$, on observe alors dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite En 1ère approximation l'identification de l'énergie potentielle gravitationnelle terrestre de $\;M\;$ dans l'hypothèse où $\;z\ll R_{\text{♁}}\;$ dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite En 1ère approximation l'identification avec son énergie potentielle de pesanteur terrestre à champ de pesanteur uniforme soit dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite En 1ère approximation «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c c l}U_{{\text{gravit}}\,\leftarrow \,({\text{♁}})}(M)\simeq m\;G_{({\text{♁}}),\,0}\;z\!\!&\simeq &\!\!m\;g\;z=U_{\text{pes}}(M)\\\qquad {\text{si }}z\ll R_{\text{♁}}\!\!&&\!\!{\text{si }}{\vec {g}}{\text{ est uniforme}}\end{array}}\right\rbrace \;$».

## 3ème exemple de force conservative : la « tension d'un ressort idéal lié à un point matériel » et l'« énergie potentielle élastique du point »
### Rappel de la « loi de Hooke » donnant l'expression de la tension d'un ressort idéal lié à un point matériel, cas où l'autre extrémité est fixe

Notant $\;A\;$ l'autre extrémité du ressort « idéal » lié au point matériel $\;M$, Notant $\;{\vec {u}}_{AM}\;$ le vecteur unitaire orientant l'axe du ressort de $\;A\;$ vers $\;M$, Notant $\;l_{0}\;$ la longueur à vide du ressort et $\;k\;$ la raideur de ce dernier, la « force que le ressort exerce sur $\;M\;$» notée $\;{\vec {T}}\;$ est donnée par la loi de Hooke «$\;{\vec {T}}=-k\;\Delta l\;{\vec {u}}_{AM}\;$» dans laquelle la « force que le ressort exerce sur $\;\color {transparent}{M}\;$» notée $\;\color {transparent}{\vec {T}}\;$ est donnée par «$\;\Delta l=l-l_{0}\;$ est l'allongement algébrique par rapport à la longueur à vide », la « force que le ressort exerce sur $\;\color {transparent}{M}\;$» notée $\;\color {transparent}{\vec {T}}\;$ est donnée par «$\;l=\Vert {\overrightarrow {AM}}\Vert \;$ étant la longueur à charge du ressort »,
la « force que le ressort exerce sur $\;\color {transparent}{M}\;$» notée $\;\color {transparent}{\vec {T}}\;$ est donnée par la loi de Hooke que l'on peut réécrire selon «$\;{\vec {T}}=-k\;{\overrightarrow {M_{0}M}}\;$» avec la « force que le ressort exerce sur $\;\color {transparent}{M}\;$» notée $\;\color {transparent}{\vec {T}}\;$ est donnée par la «$\;M_{0}\;$ la position de $\;M\;$ lorsque le ressort est à vide en supposant que la « force que le ressort exerce sur $\;\color {transparent}{M}\;$» notée $\;\color {transparent}{\vec {T}}\;$ est donnée par la la direction de l'axe n'a pas changé par rapport à sa position à charge » ;
quand $\;A\;$ est fixe $\;{\big$voir schéma ci-contre${\big )}$, le meilleur repérage du point $\;M\;$ est le repérage sphérique de pôle $\;A\;$, dans ces conditions quand $\;\color {transparent}{A}\;$ est fixe $\;\color {transparent}{\big$voir schéma ci-contre$\color {transparent}{\big )}$, «$\;{\vec {u}}_{AM}\;$ s’identifie au 1er vecteur de base sphérique $\;{\vec {u}}_{r}\;$ lié à $\;M\;$», quand $\;\color {transparent}{A}\;$ est fixe $\;\color {transparent}{\big$voir schéma ci-contre$\color {transparent}{\big )}$, « la longueur à charge $\;l\;$ s'identifiant au rayon polaire $\;r\;$ du point $\;M\;$».

### Établissement du caractère « conservatif » de la tension du ressort idéal qui s'exerce sur un point matériel

Pour prouver le caractère « conservatif » du vecteur tension du ressort idéal qui s'exerce sur le point matériel $\;M$, Pour prouver le caractère « conservatif » on déplace de façon élémentaire le point $\;M\;$ selon le vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}$, l'extrémité $\;A\;$ étant fixe $\;{\big$voir schéma ci-dessus${\big )}$, Pour prouver le caractère « conservatif » en adoptant le « repérage sphérique de pôle $\;A\;$ » pour $\;M\;$ ${\big$la 1ère coordonnée sphérique étant la longueur $\;l\;$ à charge du ressort, Pour prouver le caractère « conservatif » en adoptant le « repérage sphérique de pôle $\;\color {transparent}{A}\;$ » pour $\;\color {transparent}{M}\;$ $\color {transparent}{\big$les deux autres étant angulaires notées respectivement $\;\theta \;$ et $\;\varphi \;$${\big ]}\;$ et Pour prouver le caractère « conservatif » le vecteur déplacement élémentaire se réécrit selon «$\;{\overrightarrow {dM}}=dl\;{\vec {u}}_{r}+l\;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+l\;\sin(\theta )\;d\varphi \;{\vec {u}}_{\varphi }\;$» ; Pour prouver le caractère « conservatif » on en déduit le travail élémentaire de $\;{\vec {T}}$, «$\;\delta W({\vec {T}})={\vec {T}}\cdot {\overrightarrow {dM}}=-k\;(l-l_{0})\;{\vec {u}}_{r}\cdot \left[dl\;{\vec {u}}_{r}+l\;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+l\;\sin(\theta )\;d\varphi \;{\vec {u}}_{\varphi }\right]=-k\;(l-l_{0})\;dl\;$» et Pour prouver le caractère « conservatif » on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte dans la mesure où « le cœfficient de $\;dl\;$ ne dépend que de $\;l\;$ et est intégrable sur tout ouvert de $\;\mathbb {R} _{+}^{*}\;$» Pour prouver le caractère « conservatif » on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte dans la mesure où $\;{\big$en effet le cœfficient de $\;dl\;$ est une fonction affine s'intégrant en fonction quadratique${\big )}\;$
$\;{\vec {T}}=-k\;\Delta l\;{\vec {u}}_{AM}\;$
$\;M\;$
$\;A\;$
Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de $\;{\vec {T}}=-k\;{\overrightarrow {M_{0}M}}\;$ avec «$\;M_{0}\;$ la position de $\;M\;$ lorsque le ressort est à vide en supposant que Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de $\;\color {transparent}{{\vec {T}}=-k\;{\overrightarrow {M_{0}M}}}\;$ avec «$\;\color {transparent}{M_{0}}\;$ la direction de l'axe n'a pas changé par rapport à sa position à charge $\;M_{t}\;$», Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de $\;\color {transparent}{{\vec {T}}=-k\;{\overrightarrow {M_{0}M}}}\;$ soit un vecteur déplacement élémentaire de $\;M\;$ avec l'autre extrémité $\;A\;$ du ressort idéal fixe, Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de $\;\color {transparent}{{\vec {T}}=-k\;{\overrightarrow {M_{0}M}}}\;$ on envisage «$\;{\overrightarrow {dM}}=d\!\left[{\overrightarrow {AM}}\right]=d\!\left[{\overrightarrow {AM_{0}}}\right]+d\!\left[{\overrightarrow {M_{0}M}}\right]\;$» d'où le travail élémentaire de $\;{\vec {T}}\;$ s'écrit Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de $\;\color {transparent}{{\vec {T}}=-k\;{\overrightarrow {M_{0}M}}}\;$ «$\;\delta W({\vec {T}})={\vec {T}}\cdot {\overrightarrow {dM}}=-k\;{\overrightarrow {M_{0}M}}\cdot \left\lbrace d\!\left[{\overrightarrow {AM_{0}}}\right]+d\!\left[{\overrightarrow {M_{0}M}}\right]\right\rbrace \;$ Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de $\;\color {transparent}{{\vec {T}}=-k\;{\overrightarrow {M_{0}M}}}\;$ «$\;\color {transparent}{\delta W({\vec {T}})}$ $=-k\;{\overrightarrow {M_{0}M}}\cdot d\!\left[{\overrightarrow {AM_{0}}}\right]-k\;{\overrightarrow {M_{0}M}}\cdot d\!\left[{\overrightarrow {M_{0}M}}\right]\;$» ;
Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de $\;\color {transparent}{{\vec {T}}=-k\;{\overrightarrow {M_{0}M}}}\;$ explicitons $\;d\!\left[{\overrightarrow {AM_{0}}}\right]={\overrightarrow {AM_{0,\,t+dt}}}-{\overrightarrow {AM_{0,\,t}}}={\overrightarrow {M_{0,\,t}M_{0,\,t+dt}}}\;$ qui étant $\;\perp \;$ à $\;{\overrightarrow {AM_{0}}}$, Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de $\;\color {transparent}{{\vec {T}}=-k\;{\overrightarrow {M_{0}M}}}\;$ ${\bigg \$en effet $\;{\overrightarrow {AM_{0}}}^{2}=l_{0}^{\,2}=cste\;$ $\Rightarrow$ $\;2\;{\overrightarrow {AM_{0}}}\cdot d\!\left[{\overrightarrow {AM_{0}}}\right]=0\;$ d'où $\;d\!\left[{\overrightarrow {AM_{0}}}\right]\perp \;$ à $\;{\overrightarrow {AM_{0}}}{\bigg \}$ Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de $\;\color {transparent}{{\vec {T}}=-k\;{\overrightarrow {M_{0}M}}}\;$ explicitons $\;\color {transparent}{d\!\left[{\overrightarrow {AM_{0}}}\right]={\overrightarrow {AM_{0,\,t+dt}}}-{\overrightarrow {AM_{0,\,t}}}={\overrightarrow {M_{0,\,t}M_{0,\,t+dt}}}}\;$ qui est aussi $\;\perp \;$ à $\;{\overrightarrow {AM_{t}}}\;$ ou Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de $\;\color {transparent}{{\vec {T}}=-k\;{\overrightarrow {M_{0}M}}}\;$ explicitons $\;\color {transparent}{d\!\left[{\overrightarrow {AM_{0}}}\right]={\overrightarrow {AM_{0,\,t+dt}}}-{\overrightarrow {AM_{0,\,t}}}={\overrightarrow {M_{0,\,t}M_{0,\,t+dt}}}}\;$ qui est aussi $\;\color {transparent}{\perp }\;$ à $\;{\overrightarrow {M_{0,\,t}M_{t}}}\;$ Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de $\;\color {transparent}{{\vec {T}}=-k\;{\overrightarrow {M_{0}M}}}\;$ explicitons d'où «$\;{\overrightarrow {M_{0}M}}\cdot d\!\left[{\overrightarrow {AM_{0}}}\right]=0\;$» permettant de réécrire le travail élémentaire de $\;{\vec {T}}\;$ selon Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de $\;\color {transparent}{{\vec {T}}=-k\;{\overrightarrow {M_{0}M}}}\;$ «$\;\delta W({\vec {T}})=-k\;{\overrightarrow {M_{0}M}}\cdot d\!\left[{\overrightarrow {M_{0}M}}\right]\;$» qui est effectivement une différentielle exacte car Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de $\;\color {transparent}{{\vec {T}}=-k\;{\overrightarrow {M_{0}M}}}\;$ «$\;\color {transparent}{\delta W({\vec {T}})=-k\;{\overrightarrow {M_{0}M}}\cdot d\!\left[{\overrightarrow {M_{0}M}}\right]}\;$» qui est effectivement $\;{\overrightarrow {M_{0}M}}\cdot d\!\left[{\overrightarrow {M_{0}M}}\right]=d\!\left[{\dfrac {{\overrightarrow {M_{0}M}}^{2}}{2}}\right]$.
$\;{\vec {T}}=-k\;{\overrightarrow {M_{0}M}}\;$
$\;M\;$
$\;A\;$

### « Énergie potentielle élastique » d'un point matériel

L'énergie potentielle élastique du point matériel $\;M\;$ c.-à-d. son « énergie potentielle dont dérive la tension du ressort idéal » notée $\;U_{\text{élast}}(M)$, L'énergie potentielle élastique du point matériel $\;\color {transparent}{M}\;$ se définit par «$\;\delta W({\vec {T}})=-dU_{\text{élast}}\;$» soit «$\;-k\;(l-l_{0})\;dl=-dU_{\text{élast}}\;$» ou encore «$\;-k\;(l-l_{0})\;d(l-l_{0})=-dU_{\text{élast}}\;$» $\Rightarrow$ L'énergie potentielle élastique du point matériel $\;\color {transparent}{M}\;$ se définit par «$\;\color {transparent}{\delta W({\vec {T}})=-dU_{\text{élast}}}\;$» soit «$\;{\dfrac {dU_{\text{élast}}}{d(l-l_{0})}}=k\;(l-l_{0})\;$» ou, en introduisant l'« allongement algébrique $\;\Delta l=l-l_{0}\;$», L'énergie potentielle élastique du point matériel $\;\color {transparent}{M}\;$ se définit par «$\;\color {transparent}{\delta W({\vec {T}})=-dU_{\text{élast}}}\;$» soit «$\;{\dfrac {dU_{\text{élast}}}{d\,\Delta l}}=k\;\Delta l\;$» $\Rightarrow$ «$\;U_{\text{élast}}(M)=U_{\text{élast}}(\Delta l)={\dfrac {k\,\left(\Delta l\right)^{2}}{2}}+cste\;$» L'énergie potentielle élastique du point matériel $\;\color {transparent}{M}\;$ se définit par «$\;\color {transparent}{\delta W({\vec {T}})=-dU_{\text{élast}}}\;$» soit ${\big$l'énergie potentielle élastique est une fonction $\;\nearrow \;$ de $\;\vert \Delta l\vert \;$ c.-à-d. L'énergie potentielle élastique du point matériel $\;\color {transparent}{M}\;$ se définit par «$\;\color {transparent}{\delta W({\vec {T}})=-dU_{\text{élast}}}\;$» soit $\color {transparent}{\big$l'énergie potentielle élastique est une fonction $\;\color {transparent}{\nearrow }\;$ de la valeur absolue de l'allongement algébrique${\big ]}$.
En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal c.-à-d. $\;U_{\text{élast}}(\Delta l=0)=0$, on en déduit «$\;U_{\text{élast}}(\Delta l)={\dfrac {1}{2}}\;k\,\left(\Delta l\right)^{2}={\dfrac {1}{2}}\;k\,\left(l-l_{0}\right)^{2}\;$» En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal c.-à-d. $\;\color {transparent}{U_{\text{élast}}(\Delta l=0)=0}$, on en déduit «$\;\color {transparent}{U_{\text{élast}}(\Delta l)=}$ avec référence « ressort à vide » ; En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal on montre aisément que l'énergie potentielle élastique du point matériel $\;M\;$ peut se réécrire En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal «$\;U_{\text{élast}}(M)={\dfrac {1}{2}}\;k\;{\overrightarrow {M_{0}M}}^{2}\;$ avec référence en $\;M_{0}\;$ ${\big$position de $\;M\;$ avec ressort à vide, la En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal direction de l'axe étant inchangée En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal par rapport à sa position à charge${\big )}\;$».

### Tracé de l'énergie potentielle élastique d'un point matériel en fonction de l'allongement algébrique du ressort idéal

Le tracé du diagramme de l'énergie potentielle élastique $\;U_{\text{élast}}\;$ du point matériel $\;M\;$ relié à un ressort idéal de raideur $\;k\;$ et de longueur à vide $\;l_{0}\;$ en fonction de l'allongement algébrique $\;\Delta l=l-l_{0}\;$ du ressort $\;{\bigl\;$ étant la longueur du ressort à charge${\big )}$, Le tracé du diagramme de l'énergie potentielle élastique est fait ci-contre, le « ressort à vide » étant choisi comme référence, Le tracé du diagramme de l'énergie potentielle élastique est fait ci-contre avec une unité d’abscisse arbitraire notée $\;a$, Le tracé du diagramme de l'énergie potentielle élastique est fait ci-contre avec l'unité d'ordonnée correspondante étant $\;{\dfrac {1}{2}}\;k\;a^{2}$.
Remarque : Le choix de la référence à vide n’est pas le seul choix possible, en particulier lorsque le point $\;M\;$ a une position d'« équilibre stable » qui « n'est pas la position à vide », on prend usuellement cette position d'équilibre stable comme référence de l'énergie potentielle élastique ;
Remarque : la position d'équilibre stable étant repérée par un allongement algébrique $\;\Delta l_{\text{éq}}\;$ et l'énergie potentielle élastique s'écrivant $\;U_{\text{élast}}(\Delta l)={\dfrac {1}{2}}\;k\,\left(\Delta l\right)^{2}+cste$, la condition de référence $\;U_{\text{élast}}(\Delta l_{\text{éq}})=0\;$ nous conduit à $\;{\dfrac {1}{2}}\;k\,\left(\Delta l_{\text{éq}}\right)^{\!2}+cste$ $=0\;$ soit $\;cste=-{\dfrac {1}{2}}\;k\,\left(\Delta l_{\text{éq}}\right)^{\!2}\;$ et par suite
$\;U_{\text{élast}}(\Delta l)={\dfrac {1}{2}}\;k\,\left[\left(\Delta l\right)^{2}-\left(\Delta l_{\text{éq}}\right)^{\!2}\right]\;$
Remarque : si on note «$\;x\;$ l'allongement algébrique supplémentaire relativement à celui à l'équilibre » soit «$\;\Delta l=\Delta l_{\text{éq}}+x\;$», on peut réécrire l'énergie potentielle élastique «$\;U_{\text{élast}}(\Delta l_{\text{éq}}+x)={\dfrac {1}{2}}\;k\,\left[\left(\Delta l_{\text{éq}}+x\right)^{\!2}-\left(\Delta l_{\text{éq}}\right)^{\!2}\right]={\dfrac {1}{2}}\;k\;x^{2}+k\;\Delta l_{\text{éq}}\;x\;$» ce qui permet usuellement des simplifications avec l'introduction de l'énergie potentielle due à l'autre force conservative $\;\ldots$

## 4ème exemple de force conservative : la « force électrostatique exercée sur un point matériel de charge q placé dans un champ électrique uniforme » et l'« énergie potentielle électrostatique du point »
### Établissement du caractère « conservatif » de la force électrostatique exercée sur un point matériel de charge q placé dans un champ électrique uniforme

Soit un champ électrique $\;{\vec {E}}\;$ « uniforme », la force électrique s'exerçant sur un point $\;M\;$ de charge $\;q\;$ s'écrit, en cartésienne ou cylindro-polaire avec $\;{\vec {u}}_{z}$ $\;\parallel \;$ et de sens contraire à $\;{\vec {E}}\;$$^,$, Soit un champ électrique $\;\color {transparent}{\vec {E}}\;$ « uniforme », la force électrique s'exerçant sur un point $\;\color {transparent}{M}\;$ de charge $\;\color {transparent}{q}\;$ s'écrit, «$\;q\;{\vec {E}}=-q\;E\;{\vec {u}}_{z}\;$» où $\;E=\Vert {\vec {E}}\Vert \;$ est la norme du champ électrique terrestre et Soit un champ électrique $\;\color {transparent}{\vec {E}}\;$ « uniforme », la force électrique s'exerçant sur un point $\;\color {transparent}{M}\;$ de charge $\;\color {transparent}{q}\;$ s'écrit, «$\;\color {transparent}{q\;{\vec {E}}=-q\;E\;{\vec {u}}_{z}}\;$» où la « référence des potentiels électriques » choisie Soit un champ électrique $\;\color {transparent}{\vec {E}}\;$ « uniforme », la force électrique s'exerçant sur un point $\;\color {transparent}{M}\;$ de charge $\;\color {transparent}{q}\;$ s'écrit, «$\;\color {transparent}{q\;{\vec {E}}=-q\;E\;{\vec {u}}_{z}}\;$» où la « référence confondue avec l’origine des cotes ;
pour prouver le caractère conservatif de la force électrique s'exerçant sur le point chargé on forme son travail élémentaire «$\;\delta W(q\;{\vec {E}})=q\;{\vec {E}}\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$» et pour prouver le caractère conservatif de la force électrique s'exerçant sur le point chargé on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte soit, en cartésien, pour prouver le caractère conservatif de la force électrique s'exerçant sur le point chargé on forme son travail élémentaire «$\;\delta W(q\;{\vec {E}})=\left[-q\;E\;{\vec {u}}_{z}\right]\cdot \left[dx\;{\vec {u}}_{x}+dy\;{\vec {u}}_{y}+dz\;{\vec {u}}_{z}\right]=-q\;E\;dz\;$» qui est effectivement une différentielle exacte dans la mesure où « le cœfficient de $\;dz\;$ ne dépend que de $\;z\;$ et est intégrable sur tout ouvert de $\;\mathbb {R} \;$» $\;{\big$le cœfficient de $\;dz\;$ étant une constante${\big )}\;$
$\;q\;$
$\;{\vec {E}}\;$
$\;q\;{\vec {E}}\;$

### Énergie potentielle électrostatique d'un point matériel de charge q dans un champ électrique uniforme

L'énergie potentielle électrostatique du point $\;M\;$ de charge $\;q\;$ dans le champ de électrique $\;{\vec {E}}\;$ uniforme notée $\;{\mathcal {E}}_{\text{pot, élect}}(M)\;$, L'énergie potentielle électrostatique du point $\;\color {transparent}{M}\;$ de charge $\;\color {transparent}{q}\;$ dans le champ de électrique $\;\color {transparent}{\vec {E}}\;$ uniforme se définit par «$\;\delta W(q\;{\vec {E}})=-d{\mathcal {E}}_{\text{pot, élect}}\;$» soit «$\;-q\;E\;dz=-d{\mathcal {E}}_{\text{pot, élect}}\;$» ou L'énergie potentielle électrostatique du point $\;\color {transparent}{M}\;$ de charge $\;\color {transparent}{q}\;$ dans le champ de électrique $\;\color {transparent}{\vec {E}}\;$ uniforme se détermine par «$\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{\text{pot, élect}}}{dz}}=q\;E\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {E}}_{\text{pot, élect}}(M)={\mathcal {E}}_{\text{pot, élect}}(z)$ L'énergie potentielle électrostatique du point $\;\color {transparent}{M}\;$ de charge $\;\color {transparent}{q}\;$ dans le champ de électrique $\;\color {transparent}{\vec {E}}\;$ uniforme se détermine par «$\;\color {transparent}{d{\mathcal {E}}_{\text{pot, élect}}=q\;E}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\color {transparent}{{\mathcal {E}}_{\text{pot, élect}}(M)}$ $=q\;E\;z+cste\;$» ;
en choisissant la référence de l'énergie potentielle électrostatique en $\;z=0\;$ ${\big$endroit de la référence des potentiels électriques${\big )}\;$ soit $\;{\mathcal {E}}_{\text{pot, élect}}(0)=0$, on en déduit «$\;{\mathcal {E}}_{\text{pot, élect}}(z)=q\;E\;z\;$».
Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique $\;{\vec {E}}\;$ uniforme «$\;\delta {\mathcal {C}}({\vec {E}})={\vec {E}}\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$» s'écrivant, en cartésienne ou cylindro-polaire avec les mêmes choix de bases et d'origines, Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique $\;\color {transparent}{\vec {E}}\;$ uniforme «$\;\delta {\mathcal {C}}({\vec {E}})=\left[-E\;{\vec {u}}_{z}\right]\cdot \left[dx\;{\vec {u}}_{x}+dy\;{\vec {u}}_{y}+dz\;{\vec {u}}_{z}\right]=-E\;dz\;$» Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique $\;\color {transparent}{\vec {E}}\;$ uniforme «$\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}({\vec {E}})}$ est donc une différentielle exacte $\;{\big$« cœfficient de $\;dz\;$ ne dépendant que de $\;z\;$ et Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique $\;\color {transparent}{\vec {E}}\;$ uniforme «$\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}({\vec {E}})}$ est donc une différentielle exacte $\;\color {transparent}{\big$« cœfficient de $\;\color {transparent}{dz}\;$ étant intégrable sur tout ouvert de $\;\mathbb {R} \;$»${\big ]}\;$ Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique $\;\color {transparent}{\vec {E}}\;$ uniforme «$\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}({\vec {E}})}$ est donc une différentielle exacte $\;\color {transparent}{\big$« cœfficient de $\;\color {transparent}{dz}\;$${\big$en effet, le cœfficient de $\;dz\;$ est une constante${\big )}\;$
$\;{\vec {E}}\;$
Parallèlement le potentiel électrique $\;V(M)\;$ dont le champ électrique $\;{\vec {E}}\;$ uniforme dérive étant défini par «$\;\delta {\mathcal {C}}({\vec {E}})={\vec {E}}\cdot {\overrightarrow {dM}}=-dV\;$», soit «$\;-E\;dz=-dV\;$» ou Parallèlement le potentiel électrique $\;\color {transparent}{V(M)}\;$ dont le champ électrique $\;\color {transparent}{\vec {E}}\;$ uniforme dérive étant défini par «$\;{\dfrac {dV}{dz}}=E\;$» $\Rightarrow$ «$\;V(M)=V(z)=E\;z+cste'\;$» et, Parallèlement le potentiel électrique $\;\color {transparent}{V(M)}\;$ dont le champ électrique $\;\color {transparent}{\vec {E}}\;$ uniforme dérive étant défini par avec choix de la référence des potentiels électriques en $\;z=0$, $\Rightarrow$ $\;cste'=0$, Parallèlement le potentiel électrique $\;\color {transparent}{V(M)}\;$ dont le champ électrique $\;\color {transparent}{\vec {E}}\;$ uniforme dérive étant défini par «$\;V(M)=V(z)=E\;z\;$ ${\big$référence à l'origine des cotes${\big )}\;$».
Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique du point $\;M\;$ de charge $\;q\;$ dans le champ électrique $\;{\vec {E}}\;$ uniforme soit $\;{\mathcal {E}}_{\text{pot, élect}}(M)\;$ Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique est liée au potentiel électrique dont dérive le champ électrique $\;{\vec {E}}\;$ uniforme en $\;M\;$ noté $\;V(M)\;$ Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique est liée et à la charge $\;q\;$ du point par Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «$\;{\mathcal {E}}_{\text{pot, élect}}(M)=q\;V(M)\;$» à condition que « la référence de l'énergie potentielle électrostatique soit Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «$\;\color {transparent}{{\mathcal {E}}_{\text{pot, élect}}(M)=q\;V(M)}\;$» à condition que « identique à celle du potentiel électrique » et Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «$\;\color {transparent}{{\mathcal {E}}_{\text{pot, élect}}(M)=q\;V(M)}\;$» si cette référence commune est l'origine des cotes «$\;V(M)=E\;z\;$» Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «$\;\color {transparent}{{\mathcal {E}}_{\text{pot, élect}}(M)=q\;V(M)}\;$» avec $\;{\vec {u}}_{z}\;$ dans le sens $\;\nearrow \;$ des potentiels électriques.
Conclusion : Remarque : en prenant l'opposé du gradient de «$\;{\mathcal {E}}_{\text{pot, élect}}(M)=q\;V(M)\;$» on obtient «$\;-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[{\mathcal {E}}_{\text{pot, élect}}\right](M)=-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[q\;V\right](M)=q\left\lbrace -{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[V\right](M)\right\rbrace \;$» d'où Conclusion : Remarque : avec «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {F}}(M)=-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[{\mathcal {E}}_{\text{pot, élect}}\right](M)\\{\vec {E}}(M)=-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[V\right](M)\end{array}}\right\rbrace \;$»$^,$ on retrouve «$\;{\vec {F}}(M)=q\;{\vec {E}}(M)\;$».

### En complément, généralisation admise relative à un champ électrique non uniforme

On admet qu'un champ électrique $\;{\vec {E}}(M)\;$ quelconque est un « champ à circulation conservative » qui dérive d’un potentiel électrique $\;V(M)\;$ par «$\;\delta {\mathcal {C}}({\vec {E}})={\vec {E}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=-dV\;$» On admet qu'un champ électrique $\;\color {transparent}{{\vec {E}}(M)}\;$ quelconque est un « champ à circulation conservative » qui dérive d’un potentiel électrique $\;\color {transparent}{V(M)}\;$ par ou «$\;{\vec {E}}(M)=-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[V\right](M)\;$» ;
« la force électrique exercée sur un point $\;M\;$ de charge $\;q\;$ placé dans un champ électrique $\;{\vec {E}}(M)\;$ quelconque c.-à-d. $\;q\;{\vec {E}}(M)\;$ étant donc conservative », « la force électrique exercée sur un point $\;\color {transparent}{M}\;$ de charge $\;\color {transparent}{q}\;$ dérive de l'énergie potentielle électrostatique du point $\;M\;$ c.-à-d. $\;{\mathcal {E}}_{\text{pot, élect}}(M)$, « la force électrique exercée sur un point $\;\color {transparent}{M}\;$ de charge $\;\color {transparent}{q}\;$ dérive de cette dernière étant liée au potentiel électrique $\;V(M)\;$ dont dérive le champ électrique $\;{\vec {E}}(M)\;$ quelconque et « la force électrique exercée sur un point $\;\color {transparent}{M}\;$ de charge $\;\color {transparent}{q}\;$ dérive de cette dernière étant liée à la charge $\;q\;$ du point par « la force électrique exercée sur un point $\;\color {transparent}{M}\;$ de charge $\;\color {transparent}{q}\;$ dérive de «$\;{\mathcal {E}}_{\text{pot, élect}}(M)=q\;V(M)\;$» avec références d'énergie potentielle électrostatique et de potentiel électrique identiques.

## 5ème exemple de force conservative : la « force électrostatique exercée sur un point matériel M de charge q placé dans le champ électrique créé par un autre point matériel O de charge q$_O$ » et l'« énergie potentielle électrostatique du point M »
### Expression de la force électrostatique créée par un point matériel O de charge q$_O$ s’exerçant sur un autre point matériel M de charge q, cas particulier du champ électrique créé par un proton
#### Loi d'interaction de Coulomb

Entre deux points matériels $\;M\;$ et $\;M'\;$ de charges respectives $\;q\;$ et $\;q'\;$ s'exerce une « interaction électrostatique » telle que Entre deux points matériels $\;\color {transparent}{M}\;$ et $\;\color {transparent}{M'}\;$ de charges respectives $\;\color {transparent}{q}\;$ et $\;\color {transparent}{q'}\;$ « la force que $\;M'\;$ exerce sur $\;M\;$ dans le vide s’écrivant $\;{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,M'}={\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\;{\dfrac {q\;q'}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{M'M}\;$» avec Entre deux points matériels $\;\color {transparent}{M}\;$ et $\;\color {transparent}{M'}\;$ de charges respectives $\;\color {transparent}{q}\;$ et $\;\color {transparent}{q'}\;$ « la force «$\;r\;$ distance séparant $\;M\;$ et $\;M'\;$», «$\;{\vec {u}}_{M'M}\;$ vecteur unitaire de la droite $\;MM'\;$ dirigé de $\;M'\;$ vers $\;M\;$», Entre deux points matériels $\;\color {transparent}{M}\;$ et $\;\color {transparent}{M'}\;$ de charges respectives $\;\color {transparent}{q}\;$ et $\;\color {transparent}{q'}\;$ « la force que $\;M\;$ exerce sur $\;M'\;$ dans le vide est l'opposé de celle que $\;M'\;$ exerce sur $\;M\;$ dans le vide » soit Entre deux points matériels $\;\color {transparent}{M}\;$ et $\;\color {transparent}{M'}\;$ de charges respectives $\;\color {transparent}{q}\;$ et $\;\color {transparent}{q'}\;$ «$\;{\vec {F}}_{M'\,\leftarrow \,M}=-{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,M'}=-{\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\;{\dfrac {q\;q'}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{M'M}={\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\;{\dfrac {q\;q'}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{MM'}\;$»,
Entre deux points matériels $\;\color {transparent}{M}\;$ et $\;\color {transparent}{M'}\;$ de charges respectives $\;\color {transparent}{q}\;$ et $\;\color {transparent}{q'}\;$ ces forces étant appelées « forces de Coulomb » avec Entre deux points matériels $\;\color {transparent}{M}\;$ et $\;\color {transparent}{M'}\;$ de charges respectives $\;\color {transparent}{q}\;$ et $\;\color {transparent}{q'}\;$ «$\;\varepsilon _{0}\;$ la permittivité diélectrique du vide » de valeur telle que «$\;{\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\simeq 9\;10^{9}\,U.S.I.\;$ ».
Remarque : L'interaction électrostatique est « attractive pour $\;q\;q'\;<0\;$» et Remarque : L'interaction électrostatique est « répulsive pour $\;q\;q'\;>0\;$».

#### Force électrostatique créée par un point matériel O de charge q$_O$ s'exerçant sur un autre point matériel M de charge q et expression du champ électrique créé par le point matériel O de charge q$_O$ en M

D'après la loi d'interaction de Coulomb, le point $\;O\;$ de charge $\;q_{O}\;$ exerce sur le point $\;M\;$ de charge $\;q\;$ la force électrostatique de Coulomb D'après la loi d'interaction de Coulomb, le point $\;\color {transparent}{O}\;$ de charge $\;\color {transparent}{q_{O}}\;$ exerce «$\;{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,O}={\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\;{\dfrac {q_{O}\;q}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$» avec «$\;r\;$ la 1ère coordonnée sphérique du point $\;M\;$» et D'après la loi d'interaction de Coulomb, le point $\;\color {transparent}{O}\;$ de charge $\;\color {transparent}{q_{O}}\;$ exerce «$\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,O}=4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;q_{O}\;q\;{\vec {u}}_{r}}\;$» avec «$\;{\vec {u}}_{r}\;$ le 1er vecteur de base sphérique liée à $\;M\;$», D'après la loi d'interaction de Coulomb, le point $\;\color {transparent}{O}\;$ de charge $\;\color {transparent}{q_{O}}\;$ exerce «$\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,O}=4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;q_{O}\;q\;{\vec {u}}_{r}}\;$» le repérage sphérique étant de pôle $\;O\;$.
Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point $\;O\;$ de charge $\;q_{O}\;$ crée autour de lui un espace champ électrostatique caractérisé en chaque point $\;M\;$ de l'espace par Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point $\;\color {transparent}{O}\;$ de charge $\;\color {transparent}{q_{O}}\;$ crée autour de lui un vecteur champ électrique $\;{\vec {E}}_{O}(M)\;$ dont l'action sur un point $\;M\;$ de charge $\;q\;$ se révèle Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point $\;\color {transparent}{O}\;$ de charge $\;\color {transparent}{q_{O}}\;$ crée autour de lui par « la force électrique définie par $\;{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,{\vec {E}}_{O}}=q\;{\vec {E}}_{O}(M)\;$ identique à $\;{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,O}\;$» d'où Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point $\;\color {transparent}{O}\;$ de charge $\;\color {transparent}{q_{O}}\;$ crée autour de lui «$\;{\vec {E}}_{O}(M)={\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\;{\dfrac {q_{O}}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$» $\;{\big$existant même en absence de charge $\;q\;$${\big )}$, Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point $\;\color {transparent}{O}\;$ de charge $\;\color {transparent}{q_{O}}\;$ crée autour de lui si $\;q_{O}\;$ est $\;>0\;$ le champ électrique $\;{\vec {E}}_{O}(M)\;$ est centrifuge et Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point $\;\color {transparent}{O}\;$ de charge $\;\color {transparent}{q_{O}}\;$ crée autour de lui si $\;q_{O}\;$ est $\;<0\;$ le champ électrique $\;{\vec {E}}_{O}(M)\;$ est centripète.

#### Cas particulier du champ électrique créé par un proton

« Un proton placé en $\;O\;$ étant de charge $\;q_{O}=+e\simeq 1,6\;10^{-19}\;C\;$» crée autour de lui « un champ électrique $\;{\vec {E}}_{O}(M)={\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\;{\dfrac {e}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ centrifuge », « Un proton placé en $\;\color {transparent}{O}\;$ étant de charge $\;\color {transparent}{q_{O}=+e\simeq 1,6\;10^{-19}\;C}\;$» crée autour de lui « un champ électrique variant comme le champ de gravitation créé par un astre à symétrie sphérique « Un proton placé en $\;\color {transparent}{O}\;$ étant de charge $\;\color {transparent}{q_{O}=+e\simeq 1,6\;10^{-19}\;C}\;$» crée autour de lui « un champ électrique variant comme le champ de gravitation ${\big$à l'exception du sens bien entendu${\big )}$.

### Établissement du caractère « conservatif » de la force électrostatique qu'un point matériel O de charge q$_O$ exerce sur un autre point matériel M de charge q

Pour prouver le caractère conservatif de la force électrostatique $\;{\vec {F}}_{M\,\leftarrow O}=q\;{\vec {E}}_{O}(M)={\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\;{\dfrac {q_{O}\;q}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ qu'un point $\;O\;$ de charge $\;q_{O}\;$ exerce sur un autre point $\;M\;$ de charge $\;q$, pour prouver le caractère conservatif on forme son travail élémentaire «$\;\delta W({\vec {F}}_{M\,\leftarrow O})={\vec {F}}_{M\,\leftarrow O}\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$» et pour prouver le caractère conservatif on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte soit, en sphérique, pour prouver le caractère conservatif on forme son travail élémentaire «$\;\delta W({\vec {F}}_{M\,\leftarrow O})=\left[{\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\;{\dfrac {q_{O}\;q}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\right]\cdot \left[dr\;{\vec {u}}_{r}+r\;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+r\;\sin(\theta )\;d\varphi \;{\vec {u}}_{\varphi }\right]\;$ $={\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\;{\dfrac {q_{O}\;q}{r^{2}}}\;dr\;$» qui est effectivement une différentielle exacte car « le cœfficient de $\;dr\;$ ne dépend que de $\;r\;$ et est intégrable sur tout ouvert de $\;\mathbb {R} _{+}^{*}\;$» $\;{\bigg$en effet, le cœfficient de $\;dr\;$ est une fonction en $\;{\dfrac {1}{r^{2}}}\;$ qui s'intègre en ${\dfrac {-1}{r}}{\bigg )}\;$ d'où
$\;{\vec {F}}_{M\,\leftarrow O}=q\;{\vec {E}}_{O}(M)={\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\;{\dfrac {q_{O}\;q}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$
$\;O\;$
$\;q_{O}\;$
$\;M\;$
$\;q\;$
$\Downarrow$
$\;Pr\;$
$\;+e\;$
$\;El\;$
$\;-e\;$
$\;{\vec {F}}_{El\,\leftarrow Pr}=-e\;{\vec {E}}_{Pr}(M)=-{\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\;{\dfrac {e^{2}}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$
$\;\color {transparent}{Pr}\;$
$\;\color {transparent}{+e}\;$
$\;\color {transparent}{El}\;$
$\;\color {transparent}{-e}\;$
$\;{\big$
$\;Pr\;$
$\;El{\big )}$

### Énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q$_O$

L'énergie potentielle électrostatique du point $\;M\;$ de charge $\;q\;$ dans le champ électrique créé par le point $\;O\;$ de charge $\;q_{O}\;$ notée $\;{\mathcal {E}}_{{\text{pot, élect}}\,\leftarrow \,O}(M)$, L'énergie potentielle électrostatique du point $\;\color {transparent}{M}\;$ se détermine par «$\;\delta W({\vec {F}}_{M\,\leftarrow O})=-d{\mathcal {E}}_{{\text{pot, élect}}\,\leftarrow \,O}\;$» soit «$\;{\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\;{\dfrac {q_{O}\;q}{r^{2}}}\;dr=-d{\mathcal {E}}_{{\text{pot, élect}}\,\leftarrow \,O}\;$» ou L'énergie potentielle électrostatique du point $\;\color {transparent}{M}\;$ se détermine par «$\;\color {transparent}{\delta W({\vec {F}}_{M\,\leftarrow O})=-d{\mathcal {E}}_{{\text{pot, élect}}\,\leftarrow \,O}}\;$» soit «$\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{{\text{pot, élect}}\,\leftarrow \,O}}{dr}}=-{\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\;{\dfrac {q_{O}\;q}{r^{2}}}\;dr\;$» qui s'intègre en L'énergie potentielle électrostatique du point $\;\color {transparent}{M}\;$ se détermine par «$\;\color {transparent}{\delta W({\vec {F}}_{M\,\leftarrow O})=-d{\mathcal {E}}_{{\text{pot, élect}}\,\leftarrow \,O}}\;$» soit «$\;{\mathcal {E}}_{{\text{pot, élect}}\,\leftarrow \,O}(M)={\mathcal {E}}_{{\text{pot, élect}}\,\leftarrow \,O}(r)={\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\;{\dfrac {q_{O}\;q}{r}}+cste\;$», L'énergie potentielle électrostatique du point $\;\color {transparent}{M}\;$ se détermine par ${\big$l'énergie potentielle électrostatique due au point $\;O\;$ de charge $\;q_{O}\;$ L'énergie potentielle électrostatique du point $\;\color {transparent}{M}\;$ se détermine par $\color {transparent}{\big$l'énergie potentielle électrostatique est une fonction de valeur absolue $\;\searrow \;$ avec la distance $\;r\;$ du point $\;M\;$ au point $\;O{\big ]}$.
En choisissant la référence de l'énergie électrostatique due au point$\;O\;$de charge$\;q_{O}\;$à l'infini de ce dernier c.-à-d. $\;\lim \limits _{r\rightarrow \infty }{\mathcal {E}}_{{\text{pot, élect}}\,\leftarrow \,O}(r)=0$, on en déduit «$\;{\mathcal {E}}_{{\text{pot, élect}}\,\leftarrow \,O}(r)={\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\;{\dfrac {q_{O}\;q}{r}}\;$» ;
$\;M\;$
$\;q\;$
$\;O\;$
$\;q_{O}\;$
$\;{\mathcal {E}}_{{\text{pot, élect}}\,\leftarrow \,O}(r)={\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\;{\dfrac {q_{O}\;q}{r}}\;$
${\big$
$\;q\;q_{O}\;$
$\;>0$
$\;\searrow \;$
$\;r\;$
$\;M\;$
$\;O$
$\;q\;q_{O}\;$
$\;<0$
$\;\nearrow \;$
$\;r\;$
$\;M\;$
$\;O{\big ]}$
Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique $\;{\vec {E}}_{O}(M)\;$ créé par le point $\;O\;$ de charge $\;q_{O}\;$ soit «$\;\delta {\mathcal {C}}({\vec {E}}_{O})={\vec {E}}_{O}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$» s'écrivant, en sphérique de pôle $\;O$, Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique $\;\color {transparent}{{\vec {E}}_{O}(M)}\;$ «$\;\delta {\mathcal {C}}({\vec {E}}_{O})=\left[{\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\;{\dfrac {q_{O}}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\right]\cdot \left[dr\;{\vec {u}}_{r}+r\;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+r\;\sin(\theta )\;d\varphi \;{\vec {u}}_{\varphi }\right]\;$ $={\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\;{\dfrac {q_{O}}{r^{2}}}\;dr\;$», Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique $\;\color {transparent}{{\vec {E}}_{O}(M)}\;$ «$\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}({\vec {E}}_{O})}$ est donc une différentielle exacte $\;{\bigg$« cœfficient de $\;dr\;$ ne dépendant que de $\;r\;$ et Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique $\;\color {transparent}{{\vec {E}}_{O}(M)}\;$ «$\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}({\vec {E}}_{O})}$ est donc une différentielle exacte $\;\color {transparent}{\big$« cœfficient de $\;\color {transparent}{dr}\;$ étant intégrable sur tout ouvert de $\;\mathbb {R} _{+}^{*}\;$», Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique $\;\color {transparent}{{\vec {E}}_{O}(M)}\;$ «$\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}({\vec {E}}_{O})}$ est donc une différentielle exacte $\;\color {transparent}{\big$le cœfficient de $\;dr\;$ étant une fonction en $\;{\dfrac {-1}{r^{2}}}\;$ s'intégrant en ${\dfrac {1}{r}}{\bigg ]}\;$
$\;{\vec {E}}_{O}(M)\;$
$\;O\;$
$\;q_{O}\;$
$\;M\;$
Parallèlement le potentiel électrique $\;V_{O}(M)\;$ dont le champ électrique $\;{\vec {E}}_{O}(M)\;$ créé par le point $\;O\;$ de charge $\;q_{O}\;$ dérive étant défini par «$\;\delta {\mathcal {C}}({\vec {E}}_{O})={\vec {E}}_{O}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=-dV_{O}\;$», soit Parallèlement le potentiel électrique $\;\color {transparent}{V_{O}(M)}\;$ dont le champ électrique $\;\color {transparent}{{\vec {E}}_{O}(M)}\;$ créé par le point $\;\color {transparent}{O}\;$ de charge $\;\color {transparent}{q_{O}}\;$ dérive étant défini par «$\;{\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\;{\dfrac {q_{O}}{r^{2}}}\;dr=-dV_{O}\;$» ou Parallèlement le potentiel électrique $\;\color {transparent}{V_{O}(M)}\;$ dont le champ électrique $\;\color {transparent}{{\vec {E}}_{O}(M)}\;$ créé par le point $\;\color {transparent}{O}\;$ de charge $\;\color {transparent}{q_{O}}\;$ dérive étant défini par «$\;{\dfrac {dV_{O}}{dr}}=-{\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\;{\dfrac {q_{O}}{r^{2}}}\;$» qui s'intègre en Parallèlement le potentiel électrique $\;\color {transparent}{V_{O}(M)}\;$ dont le champ électrique $\;\color {transparent}{{\vec {E}}_{O}(M)}\;$ créé par le point $\;\color {transparent}{O}\;$ de charge $\;\color {transparent}{q_{O}}\;$ dérive étant défini par «$\;V_{O}(M)=V_{O}(r)={\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\;{\dfrac {q_{O}}{r}}+cste'\;$» ou, Parallèlement le potentiel électrique $\;\color {transparent}{V_{O}(M)}\;$ dont le champ électrique $\;\color {transparent}{{\vec {E}}_{O}(M)}\;$ créé par le point $\;\color {transparent}{O}\;$ de charge $\;\color {transparent}{q_{O}}\;$ dérive étant défini par avec l'$\infty \;$ pour référence des potentiels électriques, Parallèlement le potentiel électrique $\;\color {transparent}{V_{O}(M)}\;$ dont le champ électrique $\;\color {transparent}{{\vec {E}}_{O}(M)}\;$ créé par le point $\;\color {transparent}{O}\;$ de charge $\;\color {transparent}{q_{O}}\;$ dérive étant défini par «$\;V_{O}(M)=V_{O}(r)={\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\;{\dfrac {q_{O}}{r}}\;$».
Conclusion : d'après les $\;2\;$ sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique de $\;M\;$ de charge $\;q\;$ dans le champ électrique $\;{\vec {E}}_{O}(M)\;$ créé par $\;O\;$ de charge $\;q_{O}$ $\;{\mathcal {E}}_{{\text{pot, élect}}\,\leftarrow \,O}(M)\;$ Conclusion : d'après les $\;\color {transparent}{2}\;$ sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique est liée au potentiel électrique en $\;M$, $\;V_{O}(M)$, dont dérive le champ électrique $\;{\vec {E}}_{O}(M)\;$ Conclusion : d'après les $\;\color {transparent}{2}\;$ sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique est liée au potentiel électrique en $\;\color {transparent}{M}$, $\;\color {transparent}{V_{O}(M)}$, dont dérive le champ électrique créé par $\;O\;(q_{O})\;$ en $\;M$ Conclusion : d'après les $\;\color {transparent}{2}\;$ sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique est liée et à la charge $\;q\;$ du point par Conclusion : d'après les $\;\color {transparent}{2}\;$ sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «$\;{\mathcal {E}}_{{\text{pot, élect}}\,\leftarrow \,O}(M)=q\;V_{O}(M)\;$» si « la référence de l'énergie potentielle électrostatique Conclusion : d'après les $\;\color {transparent}{2}\;$ sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «$\;\color {transparent}{{\mathcal {E}}_{{\text{pot, élect}}\,\leftarrow \,O}(M)=q\;V_{O}(M)}\;$» si « la référence est identique à celle du potentiel électrique » et Conclusion : d'après les $\;\color {transparent}{2}\;$ sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «$\;\color {transparent}{{\mathcal {E}}_{{\text{pot, élect}}\,\leftarrow \,O}(M)=q\;V_{O}(M)}\;$» si cette référence commune est l'$\infty \;$ on a $\;V_{O}(M)={\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\;{\dfrac {q_{O}}{r}}$.
Conclusion : Remarque : en prenant l'opposé du gradient de «$\;{\mathcal {E}}_{{\text{pot, élect}}\,\leftarrow \,O}(M)=q\;V_{O}(M)\;$» on obtient «$\;-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[{\mathcal {E}}_{{\text{pot, élect}}\,\leftarrow \,O}\right](M)=$ $-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[q\;V_{O}\right](M)=q\left\lbrace -{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[V_{O}\right](M)\right\rbrace \;$» Conclusion : Remarque : d'où, avec «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,O}=-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[{\mathcal {E}}_{{\text{pot, élect}},\leftarrow \,O}\right](M)\\{\vec {E}}_{O}(M)=-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[V_{O}\right](M)\end{array}}\right\rbrace \;$»$^,$ on retrouve «$\;{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,O}=q\;{\vec {E}}_{O}(M)\;$».

### « Énergie potentielle électrostatique d’un électron dans le champ électrique créé par un proton »

Cas particulier de l'exposé du paragraphe « énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M da charge q dans le champ électrique d'un autre poit matériel O de charge q$_O$ » Cas particulier de l'exposé du paragraphe plus haut dans ce chapitre, Cas particulier « l'énergie potentielle électrostatique d’un électron $\;El\;$ de charge $\;-e\;$ dans le champ électrique créé par un proton $\;Pr\;$ de charge $\;+e\;$» s'écrit Cas particulier « l'énergie potentielle électrostatique d’un électron $\;\color {transparent}{El}\;$ «$\;{\mathcal {E}}_{{\text{pot, élect}},\leftarrow \,Pr}(El)=-e\;V_{Pr}(El)=-e\;{\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\;{\dfrac {e}{r}}=-{\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\;{\dfrac {e^{2}}{r}}<0\;$» avec Cas particulier « l'énergie potentielle électrostatique d’un électron $\;\color {transparent}{El}\;$ référence commune de l'énergie potentielle électrostatique et du potentiel électrique à l'infini, Cas particulier « l'énergie potentielle électrostatique d’un électron $\;\color {transparent}{El}\;$ «$\;r\;$ étant la distance séparant l'électron du proton ».