# Fonction dérivée/Dérivées usuelles
## Prérequis
### Définition de la dérivée

Revoir (chapitres précédents) les définitions d'un nombre dérivé et d'une fonction dérivable et sa fonction dérivée.

### Tableau récapitulatif : dérivée et opérations

Admis pour l'instant. Voir : Dérivée d'un produit et Dérivée d'un quotient.
| Opération | Dérivée | Précision |
| $au+bv$ | $au'+bv'$ | $a,b\in \mathbb {R}$ |
| $u\times v$ | $u'v+uv'$ | |
| ${\frac {1}{u}}$ | ${\frac {-u'}{u^{2}}}$ | $u\neq 0$ |
| ${\frac {u}{v}}$ | ${\frac {u'v-uv'}{v^{2}}}$ | $v\neq 0$ |

## Dérivées des fonctions usuelles
### Fonctions x ↦ x$^n$ avec n ∈ Z

Le cas n = 0 se règle directement : x ↦ x$^0$ est la fonction constante 1 (même au point x = 0, par convention) donc sa dérivée sur $\mathbb {R}$ est la fonction nulle.
Soit $n\in \mathbb {Z} ^{*}$.
La fonction $f:x\mapsto x^{n}$ est dérivable sur $\mathbb {R} ^{*}$ et pour tout $x\in \mathbb {R} ^{*}$, $f'(x)=n\,x^{n-1}$.
De plus, si $n\geq 0$, $f'(0)=0$.
* Sur $\mathbb {R}$ :
** $f(x)=x=x^{1}\Rightarrow f'(x)=1x^{0}=1$,
** $f(x)=x^{2}\Rightarrow f'(x)=2x^{1}=2x$,
** $f(x)=x^{3}\Rightarrow f'(x)=3x^{2}$,
** $f(x)=x^{5}\Rightarrow f'(x)=5x^{4}$ ;
* Sur $\mathbb {R} ^{*}$ :
** $f(x)={\frac {1}{x}}=x^{-1}\Rightarrow f'(x)=-1x^{-2}=-{\frac {1}{x^{2}}}$,
** $f(x)={\frac {1}{x^{2}}}=x^{-2}\Rightarrow f'(x)=-2x^{-3}={\frac {-2}{x^{3}}}$.
Soit $(x,n)\in \mathbb {R} \times \mathbb {N} ^{*}$.
${\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}=\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}h^{k-1}x^{n-k}\right)-x^{n}h^{-1}=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}h^{k-1}x^{n-k}$.
Or :
* pour $k=1$, ${\binom {n}{k}}h^{k-1}x^{n-k}={\binom {n}{1}}h^{0}x^{n-1}=nx^{n-1}$ ;
* pour $k\geq 2$, $\lim _{h\to 0}h^{k-1}=0$.
Donc $\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}=nx^{n-1}$.
Soit la propriété ${\mathcal {H}}_{n}:{\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,x^{n}=nx^{n-1}$ (sur $\mathbb {R}$), à démontrer pour tout $n\in \mathbb {N}$.
Initialisation : Pour $n=0$,
${\begin{aligned}{\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}x^{0}={\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(1)&=0\\&=0\times x^{0-1}=0\end{aligned}}$
donc ${\mathcal {H}}_{0}$ est vraie.
Hérédité : Supposons ${\mathcal {H}}_{n}$ vraie.
${\begin{aligned}{\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}x^{n+1}&={\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(x^{n}\times x)\\&=nx^{n-1}\times x+x^{n}\times 1\;\;\;\mathrm {par} \;{\mathcal {H}}_{n}\\&=nx^{n}+x^{n}\\&=(n+1)x^{n}\end{aligned}}$
donc ${\mathcal {H}}_{n+1}$ est vraie.
Conclusion : la propriété ${\mathcal {H}}_{n}$ est vraie pour $n=0$ et est héréditaire.
Le principe de récurrence permet de conclure qu'elle est vraie pour tout $n\in \mathbb {N}$.
On trouvera encore une autre démonstration (pour n positif) à la fin du § « Dérivée des fonctions usuelles » d'un chapitre de la leçon « Fonctions d'une variable réelle ».
Soient $n$ un entier négatif et $m$ l'entier opposé (positif). Alors, sur $\mathbb {R} ^{*}$, $x^{n}=x^{-m}={\dfrac {1}{x^{m}}}$ et ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x^{m}\right)=mx^{m-1}$ donc
${\begin{aligned}{\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x^{n}\right)&={\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {1}{x^{m}}}\right)\\&=-{\dfrac {mx^{m-1}}{(x^{m})^{2}}}\\&=-mx^{m-1-2m}\\&=-mx^{-m-1}\\&=nx^{n-1}\end{aligned}}$

### Fonction racine carrée

La fonction dérivée de la fonction racine carrée est donnée par : ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\sqrt {x}}:\left]0,+\infty \right[\to \mathbb {R} ,\;x\mapsto {1 \over 2{\sqrt {x}}}$.
Cette propriété est démontrée dans la leçon « Fonction racine carrée ».
Ce résultat s'écrit aussi ${\frac {\mathrm {d} x^{\frac {1}{2}}}{\mathrm {d} x}}={\frac {1}{2}}x^{-{\frac {1}{2}}}$, ce qui prolonge la règle ${\frac {\mathrm {d} x^{n}}{\mathrm {d} x}}=nx^{n-1}$ vue précédemment pour $n$ entier.

### Tableau récapitulatif des dérivées usuelles

Soient $n\in \mathbb {Z} ^{*}$, $a\in \mathbb {R}$ et $b\in \mathbb {R}$.
| $f(x)$ | $f'(x)$ | Intervalle(s) de dérivabilité |
| $ax+b$ | $a$ | $\mathbb {R}$ |
| $x^{n}$ | $n\,x^{n-1}$ | si $n>0:\mathbb {R}$ si $n<0:\mathbb {R} _{-}^{*}$ et $\mathbb {R} _{+}^{*}$ |
| ${\frac {1}{x}}$ | $-{\frac {1}{x^{2}}}$ | $\mathbb {R} _{-}^{*}$ et $\mathbb {R} _{+}^{*}$ |
| ${\sqrt {x}}$ | ${\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$ | $\mathbb {R} _{+}^{*}$ |
| $\cos(x)$ | $-\sin(x)$ | $\mathbb {R}$ |
| $\sin(x)$ | $\cos(x)$ | $\mathbb {R}$ |
| $\exp(x)$ | $\exp(x)$ | $\mathbb {R}$ |
| $\ln(x)$ | ${\frac {1}{x}}$ | $\mathbb {R} _{+}^{*}$ |
| Fonction dérivée | Dérivée et variations |