# Mécanique 2 (PCSI)/Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe

La notion de moment cinétique n'étant au programme de physique de P.C.S.I. que dans son aspect newtonien, nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne.

## Rappel : Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné

Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel $\;M\;$ ayant un mouvement circulaire de centre $\;C\;$ dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen a été établi au paragraphe « cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné » du chap.$5$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », il est rappelé ci-dessous :
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;M$
$\;m$
$\;\left(\Delta \right)$
$\;C\;$
$\;R\;$
$\;C\;$
$\;M\;$
$\;{\mathcal {R}}$
$\;C\;$
$\;M\;$
$\;t$
$\;\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!C}\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)\;$
$\;J_{\Delta }(M)$
$=m\;R^{2}\;$
$\;M\;$
$\;\left(\Delta \right)\;$
$\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$
$\;M\;$
$\;\left(\Delta \right)\;$
$\;t\;$
$\;\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!C}\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)=J_{\Delta }(M)\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\Omega }}}{dt}}(t)\;$

## Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen
### « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen

Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen a été établi, dans le cadre d'un système discret de points matériels, au paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen » du chap.$5$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et généralisé à un système continu de matière dans le paragraphe « généralisation à un système continu fermé de matière » du même chapitre de la même leçon, il est rappelé ci-dessous :
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;O\;$
$\;{\mathcal {R}}$
$\;O\;$
$\;t\;$
$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{ext}}}(t)\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;O\;$
$\;t$
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)\;$
$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}})}{dt}}(t)\;$
Dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\;$ avec $\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \;$» les vecteurs moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un point $\;O\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}\;$ sont respectivement définis, à l'instant $\;t$, selon $\;\succ \;$$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{ext}}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right](t)\;$ et $\;\succ \;$$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O}(M_{i},\,t)\;$ ou, dans le cadre de la cinétique newtonienne, $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\overrightarrow {OM_{i}}}(t)\wedge m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)$.
Dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$» et de « masse volumique $\;\mu (M)\;$», les vecteurs moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un point $\;O\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}\;$ sont respectivement définis, à l'instant $\;t$, selon $\;\succ \;$$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{ext}}}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d{\vec {F}}_{V,\,\left\lbrace M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right](M)\;$ dans lequel «$\;d{\vec {F}}_{V,\,\left\lbrace M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\;$ est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point $\;\left(M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right)\;$» ou encore $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{ext}}}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {f}}_{V,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ avec «$\;{\vec {f}}_{V,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\;$ la densité volumique des forces extérieures appliquée en $\;M\;$» et $\;\succ \;$$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ avec «$\;{\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)={\dfrac {d{\vec {p}}}{d{\mathcal {V}}}}(M,\,t)\;$ la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$», soit, en cinétique newtonienne, $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)=$ $\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge \mu (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ avec «$\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ le vecteur vitesse de $\;M\;$ dans $\;({\mathcal {R}})\;$ au même instant $\;t\;$».
Dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$» et de « masse surfacique $\;\sigma (M)\;$», les vecteurs moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un point $\;O\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}\;$ sont respectivement définis, à l'instant $\;t$, selon $\;\succ \;$$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{ext}}}(t)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d{\vec {F}}_{S,\,\left\lbrace M,\,dS_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right](M)\;$ dans lequel «$\;d{\vec {F}}_{S,\,\left\lbrace M,\,dS_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\;$ est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point $\;\left(M,\,dS_{M}\right)\;$» ou encore $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{ext}}}(t)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {f}}_{S,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\;dS_{M}\;$ avec «$\;{\vec {f}}_{S,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\;$ la densité surfacique des forces extérieures appliquée en $\;M\;$» et $\;\succ \;$$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;dS_{M}\;$ avec «$\;{\vec {P}}_{\text{surfac}}(M,\,t)={\dfrac {d{\vec {p}}}{dS}}(M,\,t)\;$ la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$», soit, en cinétique newtonienne, $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)=$ $\;\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge \sigma (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;dS_{M}\;$ avec «$\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ le vecteur vitesse de $\;M\;$ dans $\;({\mathcal {R}})\;$ au même instant $\;t\;$».
Dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique «$\;\left(\Gamma \right)\;$» et de « masse linéique $\;\lambda (M)\;$», les vecteurs moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un point $\;O\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}\;$ sont respectivement définis, à l'instant $\;t$, selon $\;\succ \;$$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{ext}}}(t)=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d{\vec {F}}_{{\mathit {l}},\,\left\lbrace M,\,d{\mathit {l}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right](M)\;$ dans lequel «$\;d{\vec {F}}_{{\mathit {l}},\,\left\lbrace M,\,d{\mathit {l}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\;$ est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point $\;\left(M,\,d{\mathit {l}}_{M}\right)\;$» ou encore $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{ext}}}(t)=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {f}}_{{\mathit {l}},\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ avec «$\;{\vec {f}}_{{\mathit {l}},\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\;$ la densité linéique des forces extérieures appliquée en $\;M\;$» et $\;\succ \;$$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ avec «$\;{\vec {P}}_{\text{lin}}(M,\,t)={\dfrac {d{\vec {p}}}{d{\mathit {l}}}}(M,\,t)\;$ la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$», soit, en cinétique newtonienne, $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)=$ $\;\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge \lambda (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ avec «$\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ le vecteur vitesse de $\;M\;$ dans $\;({\mathcal {R}})\;$ au même instant $\;t\;$».

### Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen

L'expression du théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point $\;A\;$ fixe d'un référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, appliqué à un système fermé de matière, discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique, en rotation autour d'un axe $\;\left(\Delta \right)\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}$, reste celle donnée au paragraphe précédent « rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen »,
il en est de même de la définition du vecteur moment résultant dynamique appliqué à ce système, cette dernière étant également déclinée, suivant la nature discrète ou continue du système, au paragraphe précédent,
la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concernant l'expression du vecteur moment cinétique du système comme c'est rappelé ci-dessous :
Nous avons établi l'expression du moment cinétique vectoriel d'un système discret fermé de points matériels en rotation autour d'un axe $\;\left(\Delta \right)\;$ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point $\;A\;\in \;\left(\Delta \right)$, dans le paragraphe « expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ » du chap.$2$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » puis Nous avons établi l'expression du moment cinétique vectoriel d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)$, surfacique $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ ou linéique $\;\left(\Gamma \right)$, en rotation autour d'un axe $\;\left(\Delta \right)\;$ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point $\;A\;\in \;\left(\Delta \right)$, dans le paragraphe « expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ » du chap.$3$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et Nous avons obtenu : $\;\succ \;$ pour un système discret fermé de points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\;$ avec $\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \;$» en rotation autour d'un axe fixe $\;\left(\Delta \right)\;$ du référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ $\;{\big$voir ci-contre${\big )}$, de vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)={\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ à l'instant $\;t\;$ dans lequel $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de $\;\left(\Delta \right)\;$ orienté par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{\Delta }$, l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système, évalué par rapport à un point $\;A\;$ quelconque de $\;\left(\Delta \right)$,
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;z_{i}\;r_{i}\;{\vec {u}}_{r_{i}}(t)\right]\;$
$\;J_{\Delta }({\text{syst}})=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;r_{i}^{2}\;$
$\;\left(\Delta \right)$
Nous avons obtenu : $\;\succ \;$ pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)$ $\;{\big$de masse volumique $\;\mu (M){\big ]}\;$ en rotation autour d'un axe fixe $\;\left(\Delta \right)\;$ du référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ $\;{\big$voir ci-contre${\big )}$, de vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)$ $={\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ à l'instant $\;t\;$ dans lequel $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de $\;\left(\Delta \right)\;$ orienté par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{\Delta }$, l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système, évalué par rapport à un point $\;A\;$ quelconque de $\;\left(\Delta \right)$,
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;z\;r\;{\vec {u}}_{r}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$
$\;\left(\Delta \right)\;$
$\;J_{\Delta }({\text{syst}})=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}dJ_{\Delta }(M)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}dm\;r^{2}\;$
$\;J_{\Delta }({\text{syst}})=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;r^{2}\;d{\mathcal {V}}_{M}$
Nous avons obtenu : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide ${\Big$dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)$, de masse volumique $\;\mu (M)$, en rotation autour d'un axe fixe $\;\left(\Delta \right)\;$ du référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, de vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)={\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ à l'instant $\;t\;$ dans lequel $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de $\;\left(\Delta \right)\;$ orienté par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{\Delta }{\Big ]}$ : rappelons tout d'abord qu'il est possible d'associer à un tel système en rotation autour d'un axe fixe $\;\left(\Delta \right)$, un tenseur d'inertie selon la « définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) » du chap.$5$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » et que ce tenseur d'inertie peut être représenté par une matrice $\;3\;{\text{x}}\;3\;$ appelée matrice d'inertie du solide comme cela a été précisé dans le paragraphe « matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier » du chap.$5$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », la matrice d'inertie $\;{\big$symétrique${\big )}\;$ étant rappelée ci-dessous, les éléments diagonaux $\;\left[{\begin{array}{c c c}J_{Ax}&&\\&J_{Ay}&\\&&J_{\Delta }\end{array}}\right]\;$ étant les moments d'inertie par rapport à l'axe donné en indice et l'opposé des éléments non diagonaux $\;\left[{\begin{array}{c c c}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{xy}&&I_{yz}\\I_{xz}&I_{yz}&\end{array}}\right]\;$ les produits d'inertie dans le plan passant par $\;A\;$ et de directions notées en indice :
$\;\left[J\right]=\left[{\begin{array}{c c c}\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(y^{2}+z^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}&-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;y\;d{\mathcal {V}}_{M}&-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\\-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;y\;d{\mathcal {V}}_{M}&\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(x^{2}+z^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}&-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;y\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\\-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}&-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;y\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}&\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(x^{2}+y^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}\end{array}}\right]$
Nous avons obtenu : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide si le vecteur rotation instantanée «$\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)={\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$» est représenté, à l'instant $\;t$, par la matrice colonne «$\;\left[\Omega (t)\right]=$ $\left[{\begin{array}{c}0\\0\\{\overline {\Omega }}(t)\end{array}}\right]\,$» et le vecteur moment cinétique du solide par rapport à $\;A\;$ «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\;$» représenté, au même instant $\;t$, par la matrice colonne «$\;\left[\sigma _{\!A}({\text{syst}},\,t)\right]=\left[{\begin{array}{c}{\overline {\sigma }}_{\!A,\,x}({\text{syst}},\,t)\\{\overline {\sigma }}_{\!A,\,y}({\text{syst}},\,t)\\{\overline {\sigma }}_{\!A,\,\Delta }({\text{syst}},\,t)\end{array}}\right]\,$», cette dernière se déduit en formant le produit matriciel suivant $\;\left[\sigma _{\!A}({\text{syst}},\,t)\right]=\left[J\right]\times \left[\Omega (t)\right]\;$ ou $\;\left[{\begin{array}{c}{\overline {\sigma }}_{\!A,\,x}({\text{syst}},\,t)\\{\overline {\sigma }}_{\!A,\,y}({\text{syst}},\,t)\\{\overline {\sigma }}_{\!A,\,\Delta }({\text{syst}},\,t)\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{Ax}&-I_{xy}&-I_{xz}\\-I_{xy}&J_{Ay}&-I_{yz}\\-I_{xz}&-I_{yz}&J_{\Delta }\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}0\\0\\{\overline {\Omega }}(t)\end{array}}\right]\;$ soit finalement
$\;{\begin{array}{l c l}{\overline {\sigma }}_{\!A,\,x}({\text{syst}},\,t)\!\!&=-I_{xz}\;{\overline {\Omega }}(t)\!\!&=-{\overline {\Omega }}(t)\left\lbrace \displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \\{\overline {\sigma }}_{\!A,\,y}({\text{syst}},\,t)\!\!&=-I_{yz}\;{\overline {\Omega }}(t)\!\!&=-{\overline {\Omega }}(t)\left\lbrace \displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;y\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \\{\overline {\sigma }}_{\!A,\,\Delta }({\text{syst}},\,t)\!\!&=J_{\Delta }\;{\overline {\Omega }}(t)\!\!&={\overline {\Omega }}(t)\left\lbrace \displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(x^{2}+y^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \end{array}}\;$
Nous avons obtenu : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide on retrouve effectivement les deux termes du vecteur moment cinétique $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\;$ précédemment déterminés directement à savoir
* «$\;J_{\Delta }\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }=\left\lbrace \displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(x^{2}+y^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace {\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }=\left\lbrace \displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;r^{2}\;d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace {\overrightarrow {\Omega }}(t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$» porté par l'axe de rotation et
* «$-I_{xz}\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{x}(t)-I_{yz}\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{y}(t)=-\left\lbrace \displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace {\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{x}(t)-\left\lbrace \displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;y\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace {\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{y}(t)$ ${\big$ou, après factorisation par $\;{\overline {\Omega }}(t){\big ]}$, $=-\left\lbrace \displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;z\left[x\;{\vec {u}}_{x}(t)+y\;{\vec {u}}_{y}(t)\right]d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace {\overline {\Omega }}(t)$ $=-{\overline {\Omega }}(t)\left\lbrace \displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;z\;r\;{\vec {u}}_{r}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \;$» $\;\perp \;$ à l'axe de rotation ;
Nous avons obtenu : $\;\succ \;$ pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique $\;\left({\mathcal {S}}\right)$ $\;{\big$de masse surfacique $\;\sigma (M){\big ]}\;$ en rotation autour d'un axe fixe $\;\left(\Delta \right)\;$ du référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, de vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)$ $={\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ à l'instant $\;t\;$ dans lequel $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de $\;\left(\Delta \right)\;$ orienté par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{\Delta }$, l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système, évalué par rapport à un point $\;A\;$ quelconque de $\;\left(\Delta \right)$, est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle à condition de remplacer les intégrales volumiques par des intégrales surfaciques soit
$\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}\sigma (M)\;z\;r\;{\vec {u}}_{r}(t)\;dS_{M}\right]\,$
$\;\left(\Delta \right)\;$
$\,J_{\Delta }({\text{syst}})=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}dJ_{\Delta }(M)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}dm\;r^{2}\,$
$\,J_{\Delta }({\text{syst}})=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}\sigma (M)\;r^{2}\;dS_{M}$
Nous avons obtenu : $\;\succ \;$ pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique $\;\left(\Gamma \right)$ $\;{\big$de masse linéique $\;\lambda (M){\big ]}\;$ en rotation autour d'un axe fixe $\;\left(\Delta \right)\;$ du référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, de vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)$ $={\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ à l'instant $\;t\;$ dans lequel $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ orienté par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{\Delta }$, l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système, évalué par rapport à n'importe quel point $\;A\;$ de $\;\left(\Delta \right)$, est identique à celle donnée pour une expansion surfacique à condition de remplacer les intégrales surfaciques par des intégrales curvilignes soit
${\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\sigma (M)\;z\;r\;{\vec {u}}_{r}(t)\;d{\mathit {l}}_{M}\right]$
$\;\left(\Delta \right)\;$
$\,J_{\Delta }({\text{syst}})=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}dJ_{\Delta }(M)=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}dm\;r^{2}\,$
$\,J_{\Delta }({\text{syst}})=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;r^{2}\;d{\mathit {l}}_{M}$
Taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe : $\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}})}{dt}}(t)=$ ${\dfrac {d\left\lbrace J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;z\;r\;{\vec {u}}_{r}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\right\rbrace }{dt}}=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\Omega }}}{dt}}(t)-{\dfrac {d{\overline {\Omega }}}{dt}}(t)\left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;z\;r\;{\vec {u}}_{r}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]-$ $\;{\overline {\Omega }}^{2}\!(t)\left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;z\;r\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$$^,$ soit finalement
$\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}})}{dt}}(t)=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\Omega }}}{dt}}(t)-{\dfrac {d{\overline {\Omega }}}{dt}}(t)\left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;z\;r\;{\vec {u}}_{r}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]-{\overline {\Omega }}^{2}\!(t)\left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;z\;r\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$
* la 1re composante du 2ème membre «$\;J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\Omega }}}{dt}}(t)\;$» étant $\;\parallel \;$ à l'axe de rotation $\;\left(\Delta \right)$,
* la 2ème composante du 2ème membre «$\;-{\dfrac {d{\overline {\Omega }}}{dt}}(t)\left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;z\;r\;{\vec {u}}_{r}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$» étant $\;\perp \;$ à l'axe de rotation $\;\left(\Delta \right)\;$ et $\;\propto \;$ à l'accélération angulaire de rotation «$\;{\dfrac {d{\overline {\Omega }}}{dt}}(t)\;$» $\;{\big$composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles radiales${\big ]}\;$ et
* la 3ème composante du 2ème membre «$\;-{\overline {\Omega }}^{2}\!(t)\left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;z\;r\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$» étant $\;\perp \;$ à l'axe de rotation $\;\left(\Delta \right)\;$ et $\;\propto \;$ au carré de la vitesse angulaire de rotation «$\;{\overline {\Omega }}(t)\;$» $\;{\big$composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles orthoradiales${\big ]}$ ;
* dans l'hypothèse où les 2ème et 3ème composantes ne sont pas nulles, elles sont de directions $\;\perp \;$ l'une de l'autre ;
* dans le cas où la 2ème composante est non nulle pour une rotation non uniforme, elle s'annule dès lors que cette rotation devient uniforme $\;{\Big$car $\;\propto \;$ à $\;{\dot {\overline {\Omega }}}(t){\Big ]}$, par contre la 3ème composante également non nulle pour une rotation non uniforme, reste non nulle dès lors que cette rotation devient uniforme $\;{\Big$car $\;\propto \;$ à $\;{\overline {\Omega }}^{2}\!(t){\Big ]}$.

### Complément, application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'« un de ses axes principaux d’inertie » Δ$_p$ fixe dans un référentiel d'étude galiléen

La notion d'axe principal d'inertie d'un solide a déjà été introduite dans le paragraphe « complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne » du chap.$2$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » mais aussi, à partir de la notion de tenseur d'inertie d'un solide, dans le paragraphe « définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier » du chap.$5$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », seules les grandes lignes sont rappelées ci-dessous :
L'axe «$\;\left(\Delta _{p}\right)\;$» est un axe principal d'inertie du solide étudié s'il existe un point particulier «$\;O_{p}\;\in \;\left(\Delta _{p}\right)\;$» tel que le vecteur moment cinétique du solide quand ce dernier est en rotation par rapport à $\;\left(\Delta _{p}\right)\;$ fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$, moment évalué par rapport à $\;O_{p}$, est porté par l'axe $\;\left(\Delta _{p}\right)$ ;
dans le cas où le solide est un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ de masse volumique $\;\mu (M)$, on a donc, en repérant $\;M\;$ par ses coordonnées cylindro-polaires $\;\left(r,\,\theta ,\,z\right)\;$ de pôle $\;O_{p}\;$ et d'axe $\;\left(\Delta _{p}\right)\;$ orienté par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{\Delta _{p}}$,
$\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;z\;r\;{\vec {u}}_{r}(M)\;d{\mathcal {V}}_{M}={\vec {0}}\;$
$\;O_{p}$
$\;\left(\Delta _{p}\right)\;$
$\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)$
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O_{p}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)=J_{\Delta _{p}}\!\left({\text{syst}}\right)\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$
$\;J_{\Delta _{p}}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;r^{2}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$
$\;\left(\Delta _{p}\right)\;$
Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie ${\Big$dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)$, de masse volumique $\;\mu (M)$, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe $\;\left(\Delta \right)\;$ orienté par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ du référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}{\Big ]}$ : pour un tel système susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe $\;\left(\Delta \right)$, on définit un tenseur d'inertie selon la « définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) » du chap.$5$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » et ce tenseur d'inertie peut être représenté par une matrice $\;3\;{\text{x}}\;3\;$ appelée matrice d'inertie du solide $\;{\big$voir le paragraphe « matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier » du chap.$5$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) »${\big ]}$, la matrice d'inertie $\;{\big$symétrique${\big )}\;$ étant rappelée ci-dessous, les éléments diagonaux $\;\left[{\begin{array}{c c c}J_{Ax}&&\\&J_{Ay}&\\&&J_{\Delta }\end{array}}\right]\;$ étant les moments d'inertie par rapport à l'axe donné en indice et l'opposé des éléments non diagonaux $\;\left[{\begin{array}{c c c}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{xy}&&I_{yz}\\I_{xz}&I_{yz}&\end{array}}\right]\;$ les produits d'inertie dans le plan passant par $\;A\;$ et de directions notées en indice :
$\;\left[J\right]=\left[{\begin{array}{c c c}\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(y^{2}+z^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}&-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;y\;d{\mathcal {V}}_{M}&-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\\-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;y\;d{\mathcal {V}}_{M}&\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(x^{2}+z^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}&-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;y\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\\-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}&-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;y\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}&\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(x^{2}+y^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}\end{array}}\right]$
Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie comme cela a été exposé dans le paragraphe « définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier » au chap.$5$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », la nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie $\;\left[J\right]\;$ du solide relativement au référentiel lié à ce dernier, dans la base orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{\Delta }\right\rbrace \;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel tridimensionnel euclidien $\;W$, direction de l'espace affine modélisant l'espace physique, rend la matrice d'inertie diagonalisable ; il est donc possible de choisir une nouvelle base orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{X}\,,\,{\vec {u}}_{Y}\,,\,{\vec {u}}_{Z}\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ pour que la matrice d'inertie du solide soit transformée en $\;\left[{\mathcal {J}}\right]\;$ diagonale ; les axes $\;\left\lbrace {\overrightarrow {AX}}\,,\,{\overrightarrow {AY}}\,,\,{\overrightarrow {AZ}}\right\rbrace \;$ passant par le point $\;A\;$ et respectivement orientés par $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{X}\,,\,{\vec {u}}_{Y}\,,\,{\vec {u}}_{Z}\right\rbrace \;$ définissent les axes principaux d'inertie du solide issus de $\;A$ $\;{\big$point fixe de ce dernier${\big )}$ ; les éléments diagonaux de $\;\left[{\mathcal {J}}\right]\;$ à savoir $\;J_{AX}$, $\;J_{AY}\;$ et $\;J_{AZ}\;$ sont appelés moments principaux d'inertie du solide relativement aux axes respectifs $\;\left\lbrace {\overrightarrow {AX}}\,,\,{\overrightarrow {AY}}\,,\,{\overrightarrow {AZ}}\right\rbrace$, leurs valeurs dépendent de la répartition des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle centré en $\;M\;$ du solide autour des axes principaux d'inertie de ce dernier ;
Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie $\;\left[{\mathcal {J}}\right]\;$ du solide dans le référentiel lié à ce dernier et relativement axes principaux d'inertie $\;\left\lbrace {\overrightarrow {AX}}\,,\,{\overrightarrow {AY}}\,,\,{\overrightarrow {AZ}}\right\rbrace \;$ de ce dernier issus du point $\;A$, point fixe du référentiel lié au solide, s'écrit, avec $\;J_{AX}$, $\;J_{AY}\;$ et $\;J_{AZ}\;$ moments principaux d'inertie du solide, selon «$\;\left[{\mathcal {J}}\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{AX}&0&0\\0&J_{AY}&0\\0&0&J_{AZ}\end{array}}\right]\;$».
Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie Lors de la rotation d'un solide autour d'un axe fixe passant par un point $\;A_{p}\;$ fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, il existe au moins $\;3\;$ axes de rotation du solide, axes respectivement $\;\perp$, pour lesquels le vecteur moment cinétique du solide par rapport à $\;A_{p}$, à l'instant $\;t$, «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A_{p}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$» est colinéaire au vecteur rotation instantanée «$\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$» du solide au même instant $\;t$, chaque axe définissant un axe principal d'inertie du solide noté $\;\left(\Delta _{p}\right)$, le cœfficiçent de proportionnalité étant le moment principal d'inertie du solide noté «$\;J_{\Delta _{p}}\!\left({\text{syst}}\right)\;$» soit «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A_{p}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)=J_{\Delta _{p}}\!\left({\text{syst}}\right)\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$».
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;O_{p}\;$
$\;{\mathcal {R}}$
$\;O_{p}\;$
$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O_{p},\,{\text{ext}}}(t)\;$
$\;t\;$
$\;\left(\Delta _{p}\right)\;$
$\;O_{p}\;$
$\;J_{\Delta _{p}}({\text{syst}})\;$
$\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;t$
$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O_{p},\,{\text{ext}}}(t)=J_{\Delta _{p}}({\text{syst}})\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\Omega }}}{dt}}(t)\;$

### Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ$_G$ passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude »

Nous avons établi, en complément, « l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie (C.D.I.) G de ce dernier dans le référentiel d'étude galiléen » dans le paragraphe précité du chap.$5$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », applicabilité dans la mesure où l'origine de calcul des moments vectoriels est le C.D.I. $\;G\;$ du système étudié $\;{\big$qu'il soit discret ou continu de matière${\big )}\;$ et le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ est galiléen soit «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!G}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)\;$» quel que soit le mouvement de $\;G\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen ;
par contre, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen est la composition
* d'un mouvement de translation de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ et
* d'un mouvement de rotation autour d'un axe $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ passant par le C.D.I. $\;G\;$ du système et gardant une direction fixe, de vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)$,
le vecteur moment cinétique du système par rapport à $\;G\;$ s'exprime, dans le cas d'un système discret fermé de points matériels $\;\left\lbrace M_{i},\,(m_{i})\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}$, selon «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!G}\!\left({\text{syst}},\,t\right)=$ $J_{\Delta _{G}}({\text{syst}})\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;z_{i}\;r_{i}\;{\vec {u}}_{r_{i}}(t)\right]\;$» avec $\;J_{\Delta _{G}}({\text{syst}})=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;r_{i}^{2}\;$ moment d'inertie du système par rapport à $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ ;
l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système (discret ou) continu de matière en rotation autour d'un axe (fixe) » déjà exposée au paragraphe « application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen » plus haut dans le chapitre reste applicable car, ni le caractère « fixe » de l'axe, ni le caractère « continu » du système, n'interviennent dans le calcul d'où «$\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!G}({\text{syst}})}{dt}}(t)=J_{\Delta _{G}}({\text{syst}})\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\Omega }}}{dt}}(t)-{\dfrac {d{\overline {\Omega }}}{dt}}(t)\left[\sum _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;z_{i}\;r_{i}\;{\vec {u}}_{r_{i}}(t)\right]-{\overline {\Omega }}^{2}\!(t)\left[\sum _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;z_{i}\;r_{i}\;{\vec {u}}_{\theta _{i}}(t)\right]\;$» et donc, a priori, «$\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!G}({\text{syst}})}{dt}}(t)\neq J_{\Delta _{G}}({\text{syst}})\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\Omega }}}{dt}}(t)\;$» sauf si l'axe $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ est un des axes principaux d'inertie du solide issus du C.D.I. $\;G\;$ de ce dernier car la condition pour que $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ soit axe principal d'inertie du solide s'écrit «$\;\sum _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;z_{i}\;r_{i}\;{\vec {u}}_{r_{i}}={\vec {0}}\;$» dont on déduit, par rotation de $\;+{\dfrac {\pi }{2}}\;$ autour de $\;\left(\Delta _{G}\right)$, «$\;\sum _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;z_{i}\;r_{i}\;{\vec {u}}_{\theta _{i}}={\vec {0}}\;$».
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;G\;$
$\;{\mathcal {R}}$
$\;G\;$
$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)\;$
$\;t\;$
$\;\left(\Delta _{G}\right)\;$
$\;G\;$
$\;J_{\Delta _{G}}({\text{syst}})\;$
$\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;t$
$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)=J_{\Delta _{G}}({\text{syst}})\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\Omega }}}{dt}}(t)\;$

## Rappel : Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée

Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel $\;M\;$ ayant un mouvement circulaire d'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen a été établi au paragraphe « cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée » du chap.$5$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », il est rappelé ci-dessous :
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;M$
$\;m$
$\;\left(\Delta \right)\;$
$\;R\;$
$\;\left(\Delta \right)\;$
$\;M\;$
$\;{\mathcal {R}}$
$\;\left(\Delta \right)\;$
$\;M\;$
$\;t$
$\;\sum _{k}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)\;$
$\;J_{\Delta }(M)=m\;R^{2}\;$
$\;M\;$
$\;\left(\Delta \right)\;$
$\;{\overline {\Omega }}(t)\;$
$\;M\;$
$\;\left(\Delta \right)\;$
$\;t$
$\;{\big$
$\;{\overline {\Omega }}(t)\;$
$\;\theta (t)\;$
$\;M\;$
${\big ]}\;$
$\;\sum _{k}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)=J_{\Delta }(M)\;{\dfrac {d{\overline {\Omega }}}{dt}}(t)=J_{\Delta }(M)\;{\dfrac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}(t)\;$

## Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen
### « Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen

Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen a été établi, dans le cadre d'un système discret de points matériels, au paragraphe « théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen » du chap.$5$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et généralisé à un système continu de matière dans le paragraphe « généralisation (du théorème du moment cinétique scalaire) à un système continu fermé de matière » du même chapitre de la même leçon, il est rappelé ci-dessous :
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;\left(\Delta \right)\;$
$\;{\mathcal {R}}$
$\;\left(\Delta \right)\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;\left(\Delta \right)\;$
$\;t$
$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}},\,t)\;$
$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}})}{dt}}(t)\;$
Dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\;$ avec $\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \;$» les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe $\;\left(\Delta \right)\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}\;$ sont respectivement définis, à l'instant $\;t$, selon $\;\succ \;$$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right](t)\;$ et $\;\succ \;$$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\sigma _{\!\Delta }(M_{i},\,t)\;$ ou, dans le cadre de la cinétique newtonienne, $\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left[{\overrightarrow {OM_{i}}}(t)\wedge m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }$ $\;{\big{\vec {u}}_{\Delta }\;$ étant le vecteur unitaire orientant l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ et $\;O\;$ un point fixe choisi quelconque sur $\;\left(\Delta \right){\big ]}$.
Dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$» et de « masse volumique $\;\mu (M)\;$», les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe $\;\left(\Delta \right)\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}\;$ sont respectivement définis, à l'instant $\;t$ $\;{\big$avec $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ le vecteur unitaire orientant l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ et $\;O\;$ un point fixe choisi quelconque sur $\;\left(\Delta \right){\big ]}\;$ selon $\;\succ \;$$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[d{\vec {F}}_{V,\,\left\lbrace M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right](M)\;$ dans lequel «$\;d{\vec {F}}_{V,\,\left\lbrace M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\;$ est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point $\;\left(M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right)\;$» ou encore $\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {f}}_{V,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ avec «$\;{\vec {f}}_{V,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\;$ la densité volumique des forces extérieures appliquée en $\;M\;$» et $\;\succ \;$$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ avec «$\;{\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)={\dfrac {d{\vec {p}}}{d{\mathcal {V}}}}(M,\,t)\;$ la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$», soit, en cinétique newtonienne, $\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}},\,t)=$ $\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge \mu (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ avec «$\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ le vecteur vitesse de $\;M\;$ dans $\;({\mathcal {R}})\;$ au même instant $\;t\;$».
Dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$» et de « masse surfacique $\;\sigma (M)\;$», les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe $\;\left(\Delta \right)\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}\;$ sont respectivement définis, à l'instant $\;t$ $\;{\big$avec $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ le vecteur unitaire orientant l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ et $\;O\;$ un point fixe choisi quelconque sur $\;\left(\Delta \right){\big ]}\;$ selon $\;\succ \;$$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[d{\vec {F}}_{S,\,\left\lbrace M,\,dS_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right](M)\;$ dans lequel «$\;d{\vec {F}}_{S,\,\left\lbrace M,\,dS_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\;$ est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point $\;\left(M,\,dS_{M}\right)\;$» ou encore $\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}\left[{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {f}}_{S,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;dS_{M}\;$ avec «$\;{\vec {f}}_{S,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\;$ la densité surfacique des forces extérieures appliquée en $\;M\;$» et $\;\succ \;$$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}\left[{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{surfac}}(M,\,t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;dS_{M}\;$ avec «$\;{\vec {P}}_{\text{surfac}}(M,\,t)={\dfrac {d{\vec {p}}}{dS}}(M,\,t)\;$ la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$», soit, en cinétique newtonienne, $\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}},\,t)=$ $\;\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}\left[{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge \sigma (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;dS_{M}\;$ avec «$\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ le vecteur vitesse de $\;M\;$ dans $\;({\mathcal {R}})\;$ au même instant $\;t\;$».
Dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique «$\;\left(\Gamma \right)\;$» et de « masse linéique $\;\lambda (M)\;$», les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe $\;\left(\Delta \right)\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}\;$ sont respectivement définis, à l'instant $\;t$ $\;{\big$avec $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ le vecteur unitaire orientant l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ et $\;O\;$ un point fixe choisi quelconque sur $\;\left(\Delta \right){\big ]}\;$ selon $\;\succ \;$$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[d{\vec {F}}_{{\mathit {l}},\,\left\lbrace M,\,d{\mathit {l}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right](M)\;$ dans lequel «$\;d{\vec {F}}_{{\mathit {l}},\,\left\lbrace M,\,d{\mathit {l}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\;$ est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point $\;\left(M,\,d{\mathit {l}}_{M}\right)\;$» ou encore $\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\left[{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {f}}_{{\mathit {l}},\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ avec «$\;{\vec {f}}_{{\mathit {l}},\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\;$ la densité linéique des forces extérieures appliquée en $\;M\;$» et $\;\succ \;$$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\left[{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{lin}}(M,\,t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ avec «$\;{\vec {P}}_{\text{lin}}(M,\,t)={\dfrac {d{\vec {p}}}{d{\mathit {l}}}}(M,\,t)\;$ la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$», soit, en cinétique newtonienne, $\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}},\,t)=$ $\;\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\left[{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge \lambda (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ avec «$\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ le vecteur vitesse de $\;M\;$ dans $\;({\mathcal {R}})\;$ au même instant $\;t\;$».

### Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen

L'expression du théorème du moment cinétique scalaire, par rapport à un axe $\;\left(\Delta \right)\;$ fixe d'un référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, appliqué à un système fermé de matière, discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique, en rotation autour de cet axe $\;\left(\Delta \right)\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}$, reste celle donnée au paragraphe précédent « rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen »,
il en est de même de la définition du moment résultant dynamique scalaire appliqué à ce système, cette dernière étant également déclinée, suivant la nature discrète ou continue du système, au paragraphe précédent,
la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concernant l'expression du moment cinétique scalaire du système comme c'est rappelé ci-dessous :
Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire d'un système discret fermé de points matériels en rotation autour d'un axe $\;\left(\Delta \right)\;$ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ de rotation du système, dans le paragraphe « expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ » du chap.$2$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » puis Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)$, surfacique $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ ou linéique $\;\left(\Gamma \right)$, en rotation autour d'un axe $\;\left(\Delta \right)\;$ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ de rotation du système, dans le paragraphe « expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ » du chap.$3$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et Nous avons obtenu : $\;\succ \;$ pour un système discret fermé de points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\;$ avec $\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \;$» en rotation autour d'un axe fixe $\;\left(\Delta \right)\;$ du référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ à l'instant $\;t$, l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système, évalué par rapport à l'axe $\;\left(\Delta \right)$,
$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\overline {\Omega }}(t)\;$
$\;J_{\Delta }({\text{syst}})=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;r_{i}^{2}\;$
$\;\left(\Delta \right)\;$
Nous avons obtenu : $\;\succ \;$ pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)$ $\;{\big$de masse volumique $\;\mu (M){\big ]}\;$ en rotation autour d'un axe fixe $\;\left(\Delta \right)\;$ du référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ à l'instant $\;t$, l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système, évalué par rapport à l'axe $\;\left(\Delta \right)$,
$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\overline {\Omega }}(t)\;$
$\;\left(\Delta \right)\;$
$\;J_{\Delta }({\text{syst}})=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}dJ_{\Delta }(M)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}dm\;r^{2}\;$
$\;J_{\Delta }({\text{syst}})=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;r^{2}\;d{\mathcal {V}}_{M}$
Nous avons obtenu : $\;\succ \;$ pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique $\;\left({\mathcal {S}}\right)$ $\;{\big$de masse surfacique $\;\sigma (M){\big ]}\;$ en rotation autour d'un axe fixe $\;\left(\Delta \right)\;$ du référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ à l'instant $\;t$, l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système, évalué par rapport à l'axe $\;\left(\Delta \right)$, l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système, évalué par rapport à l'axe $\;\left(\Delta \right)$, est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle à condition de remplacer les intégrales volumiques par des intégrales surfaciques soit
$\,\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\overline {\Omega }}(t)\;$
$\;\left(\Delta \right)\;$
$\,J_{\Delta }({\text{syst}})=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}dJ_{\Delta }(M)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}dm\;r^{2}\,$
$\,J_{\Delta }({\text{syst}})=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}\sigma (M)\;r^{2}\;dS_{M}$
Nous avons obtenu : $\;\succ \;$ pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique $\;\left(\Gamma \right)$ $\;{\big$de masse linéique $\;\lambda (M){\big ]}\;$ en rotation autour d'un axe fixe $\;\left(\Delta \right)\;$ du référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ à l'instant $\;t$, l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système, évalué par rapport à l'axe $\;\left(\Delta \right)$, est identique à celle donnée pour une expansion surfacique à condition de remplacer les intégrales surfaciques par des intégrales curvilignes soit
$\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\overline {\Omega }}(t)\;$
$\;\left(\Delta \right)\;$
$\,J_{\Delta }({\text{syst}})=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}dJ_{\Delta }(M)=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}dm\;r^{2}\,$
$\,J_{\Delta }({\text{syst}})=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;r^{2}\;d{\mathit {l}}_{M}$
Taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe : $\;{\dfrac {d\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}})}{dt}}(t)=$ ${\dfrac {d\left[J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\overline {\Omega }}(t)\right]}{dt}}=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\dfrac {d{\overline {\Omega }}}{dt}}(t)\;$ ou $\;{\big$la vitesse angulaire instantanée $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée $\;\theta (t)\;$ repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$${\big ]}\;$ les deux formes possibles du taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe :
$\;{\dfrac {d\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}})}{dt}}(t)=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\dfrac {d{\overline {\Omega }}}{dt}}(t)=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\dfrac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}(t)$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;\left(\Delta \right)\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;\left(\Delta \right)\;$
$\;\left(\Delta \right)\;$
$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}\!\left(t\right)\;$
$\;t\;$
$\;J_{\Delta }({\text{syst}})\;$
$\;\left(\Delta \right)\;$
$\;{\overline {\Omega }}(t)\;$
$\;\left(\Delta \right)\;$
$\;t$
$\;{\big$
$\;{\overline {\Omega }}(t)\;$
$\;\theta (t)\;$
$\;{\mathcal {R}}{\big ]}\;$
$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}\!\left(t\right)=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\dfrac {d{\overline {\Omega }}}{dt}}(t)=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\dfrac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}(t)\;$

### Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ$_G$ passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude »

Ayant établi, en complément, « l'applicabilité du théorème du moment cinétique scalaire à un système (discret) fermé de matière relativement à un axe Δ$_G$ passant par le centre d'inertie (C.D.I.) G du système, axe en translation dans le référentiel d'étude galiléen » au chap.$5$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » $\;{\big$rappelé ci-dessous${\big )}\;$
* Dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, et prenant pour origine des moments scalaires l'axe $\;\left(\Delta _{G}\right)$, de direction fixée, passant par le C.D.I. $\;G\;$ du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de $\;G\;$, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ appliqué à ce système à l'instant $\;t$, à savoir «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{G},\,{\text{ext}}}(t)\;$», est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire de ce dernier par rapport à $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ au même instant $\;t$, soit «$\;\sigma _{\Delta _{G}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$», ce qui, mathématiquement, s'écrit encore «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{G},\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\,\sigma _{\Delta _{G}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)\;$»
et cette applicabilité étant valable pour tout mouvement du système relativement à $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ de direction fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen,
et cette applicabilité l'est donc quand le système est en rotation autour de cet axe $\;\left(\Delta _{G}\right)$, la 2ème composante du mouvement du système étant, dans $\;{\mathcal {R}}$, une translation de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\!G}(t)$,
et cette applicabilité le moment cinétique scalaire du système relativement à l'axe $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ de rotation à l'instant $\;t\;$ s'écrivant, d'après le prolongement de l'expression adaptée à une rotation autour d'un axe fixe obtenue aux paragraphes « expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ » et « expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ » des chap.$2$ et $3$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » au cas d'une rotation autour d'un axe de direction fixe passant par le C.D.I. du solide
$\;\sigma _{\Delta _{G}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)=J_{\!\Delta _{G}}\!\left({\text{syst}}\right)\;{\overline {\Omega }}(t)\;$
$\;J_{\!\Delta _{G}}\!\left({\text{syst}}\right)\;$
$\;\left(\Delta _{G}\right)\;$
$\;{\overline {\Omega }}(t)\;$
$\;t\;$
$\;{\big$
${\big ]}$
et cette applicabilité le taux horaire du moment cinétique scalaire du système relativement à $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ étant, à l'instant $\;t$, «$\;{\dfrac {d\sigma _{\Delta _{G}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)=$ $J_{\!\Delta _{G}}\!\left({\text{syst}}\right)\;{\dfrac {d{\overline {\Omega }}}{dt}}(t)\;$» on en déduit l'énoncé ci-dessous :
* Dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, et prenant pour origine des moments scalaires l'axe $\;\left(\Delta _{G}\right)$, de direction fixée, passant par le C.D.I. $\;G\;$ du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de $\;G\;$, système fermé de matière dont le mouvement à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ est « la composition d'une translation de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\!G}(t)\;$ et d'une rotation de vitesse angulaire instantanée $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ autour de $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$», le moment résultant dynamique scalaire par rapport à $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ appliqué à ce système à l'instant $\;t$, à savoir «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{G},\,{\text{ext}}}(t)\;$», est égal au produit du moment d'inertie du système relativement à $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ soit «$\;J_{\!\Delta _{G}}\!\left({\text{syst}}\right)\;$» et de la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée de ce dernier par rapport à $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ au même instant $\;t$, soit «$\;{\overline {\Omega }}(t)\;$», ce qui, mathématiquement, s'écrit encore «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{G},\,{\text{ext}}}(t)=J_{\!\Delta _{G}}\!\left({\text{syst}}\right)\;{\dfrac {d{\overline {\Omega }}}{dt}}(t)=J_{\!\Delta _{G}}\!\left({\text{syst}}\right)\;{\dfrac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}(t)\;$» avec $\;{\bigg\theta (t)\;$ l'abscisse angulaire instantanée repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$, la vitesse angulaire instantanée $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ étant la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée $\;\theta (t)\;$ et $\;{\dfrac {d{\overline {\Omega }}}{dt}}(t)={\dfrac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}(t)\;$ l'accélération angulaire instantanée du solide dans sa rotation propre${\bigg ]}$.
Justification de l'expression du moment cinétique scalaire d'un solide dont le mouvement, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, est la composition d'une translation de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\!G}(t)$, avec $\;G\;$ C.D.I. du solide, et d'une rotation autour de l'axe $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ passant par $\;G$, l'axe lui restant solidaire, et de direction fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, l'origine du moment cinétique scalaire étant $\;\left(\Delta _{G}\right)$ :
Justification Soit un système discret fermé de points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\;$ avec $\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \;$» dont $\;G\;$ est le C.D.I. de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\!G}(t)\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ à l'instant $\;t\;$ et $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ l'axe issu de $\;G$, restant solidaire à ce dernier, de direction fixe, orienté par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{\Delta _{G}}$, autour duquel le système de points matériels tourne avec un vecteur rotation instantanée, à l'instant $\;t$, égal à $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)={\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta _{G}}\;$ dans lequel $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ est la vitesse angulaire instantanée au même instant $\;t$, Justification le moment cinétique scalaire du système de points matériels relativement à l'axe $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ au même instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ se calcule selon «$\;\sigma _{\!\Delta _{G}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)={\overrightarrow {\sigma }}_{\!G}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\cdot {\vec {u}}_{\Delta _{G}}$ $=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left[{\overrightarrow {GM_{i}}}(t)\wedge m_{i}\;{\vec {V}}_{\!M_{i}\,/\,{\mathcal {R}}}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta _{G}}\;$» dans lequel $\;{\vec {V}}_{\!M_{i}\,/\,{\mathcal {R}}}(t)$, vecteur vitesse de $\;M_{i}\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ à l'instant $\;t$, s'évalue selon «$\;{\vec {V}}_{\!M_{i}\,/\,{\mathcal {R}}}(t)={\vec {V}}_{\!G}(t)+{\overrightarrow {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\;$», $\;H_{i}\;$ étant le centre du cercle que décrit le point $\;M_{i}\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ lié à $\;G\;$ en translation dans $\;{\mathcal {R}}\;$ soit, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle d'une part puis de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle d'autre part,
$\;\sigma _{\!\Delta _{G}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left[{\overrightarrow {GM_{i}}}(t)\wedge m_{i}\;{\vec {V}}_{\!G}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta _{G}}+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left\lbrace {\overrightarrow {GM_{i}}}(t)\wedge m_{i}\left[{\overrightarrow {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\right]\right\rbrace \cdot {\vec {u}}_{\Delta _{G}}$
* le 1er terme du 2ème membre «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left[{\overrightarrow {GM_{i}}}(t)\wedge m_{i}\;{\vec {V}}_{\!G}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta _{G}}\;$» se réécrivant «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left\lbrace \left[m_{i}\;{\overrightarrow {GM_{i}}}(t)\right]\wedge {\vec {V}}_{\!G}(t)\right\rbrace \cdot {\vec {u}}_{\Delta _{G}}\;$» ou encore, par factorisations scalaire puis vectorielle à droite, «$\;\left\lbrace \left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\overrightarrow {GM_{i}}}(t)\right]\wedge {\vec {V}}_{\!G}(t)\right\rbrace \cdot {\vec {u}}_{\Delta _{G}}\;$» dans lequel on reconnaît la définition du C.D.I. du système discret fermé «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\overrightarrow {GM_{i}}}(t)={\vec {0}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left[{\overrightarrow {GM_{i}}}(t)\wedge m_{i}\;{\vec {V}}_{\!G}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta _{G}}$ $=0\;$» et
* le 2ème terme du 2ème membre «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left\lbrace {\overrightarrow {GM_{i}}}(t)\wedge m_{i}\left[{\overrightarrow {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\right]\right\rbrace \cdot {\vec {u}}_{\Delta _{G}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left[{\overrightarrow {GM_{i}}}(t)\wedge m_{i}\;{\vec {V}}_{\!M_{i}\,/\,{\mathcal {R}}^{*}}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta _{G}}\;$» dans lequel «$\;{\vec {V}}_{\!M_{i}\,/\,{\mathcal {R}}^{*}}(t)\;$» étant le vecteur vitesse du point $\;M_{i}\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}^{*}$ $\;{\big$c'est-à-dire le référentiel lié à $\;G\;$ en translation par rapport à $\;{\mathcal {R}}{\big ]}\;$ à l'instant $\;t$, définit le moment cinétique scalaire du système en rotation autour de l'axe $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}^{*}$, moment cinétique scalaire évalué, au même instant $\;t$, relativement à $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ soit «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left\lbrace {\overrightarrow {GM_{i}}}(t)\wedge m_{i}\left[{\overrightarrow {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\right]\right\rbrace \cdot {\vec {u}}_{\Delta _{G}}=J_{\!\Delta _{G}}\!\left({\text{syst}}\right)\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ avec $\;J_{\!\Delta _{G}}\!\left({\text{syst}}\right)=$ $\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;[H_{i}M_{i}]^{2}=$ $\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;r_{i}^{2}\;$ le moment d'inertie du système relativement à $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$» d'où
$\;\sigma _{\!\Delta _{G}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)=J_{\!\Delta _{G}}\!\left({\text{syst}}\right)\;{\overline {\Omega }}(t)\;$
Remarque : On peut, sans aucune restriction, substituer le système discret fermé de points matériels par un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)$, surfacique $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ ou linéique $\;\left(\Gamma \right)$, la seule modification consistant à remplacer les sommes discrètes par des intégrales volumique, surfacique ou curviligne et chaque point matériel $\;M_{i}\;$ par un pseudo point centré en $\;M\;$ d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique $\;\ldots$