# Signaux physiques (PCSI)/Oscillateurs amortis : circuit R L C série et oscillateur mécanique amorti par frottement visqueux
## Relevés expérimentaux de l'évolution temporelle de grandeurs électriques dans l'exemple du « R L C série » soumis à un échelon de tension
### Relevé expérimental de l'évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur avec observation de sa continuité en t = 0

Pour enregistrer la « réponse en $\;u_{C}(t)\;$ du $\;R\;L\;C\;$ série soumis à un échelon de tension d'amplitude $\;E\;$» à partir du schéma représenté ci-contre en faisant apparaître l'instant $\;0$, il faut lancer l'enregistrement légèrement avant la fermeture de $\;K$ ; il faut d'autre part choisir la sensibilité de base de temps pour obtenir la courbe entière sur l'écran, ce choix dépendant des valeurs des paramètres du $\;R\;L\;C\;$ série sera précisé par la suite ; enfin l'échelon de tension peut être créé par une A.S. à amplitude variable que l'on choisira par exemple à $\;1\;V$, dans ce cas le zéro de l'A.S. est reliée à la Terre et il est nécessaire de positionner le condensateur comme sur la figure ci-contre pour des raisons d'unicité de masses.
Si on automatise « la création $\;{\big$et la suppression${\big )}\;$ d'un échelon de tension d'amplitude $\;E\;$» à l'aide d'un G.B.F. délivrant une tension « créneau » d'amplitude $\;{\dfrac {E}{2}}\;$ à laquelle on ajoute une composante permanente $\;{\dfrac {E}{2}}$, on obtient
* sur l'alternance de valeur haute du créneau, une tension délivrée par le G.B.F. valant $\;E\;$ et
* sur l'alternance de valeur basse une tension valant $\;0$ ;
pour que la création et la suppression soient indépendantes il est nécessaire que la charge et la décharge du condensateur soient terminées c'est-à-dire qu'il faut adapter la durée d'une alternance conformément à la durée de l'établissement du régime forcé, laquelle dépendant des valeurs des paramètres du $\;R\;L\;C\;$ série sera précisé par la suite ;
enfin si on utilise un générateur de fonctions il est nécessaire de comptabiliser la résistance de sortie de ce dernier, laquelle vaut usuellement $\;50\;\Omega$, ainsi que la résistance interne de la bobine, laquelle vaut usuellement $\;10\;\Omega$, dans la résistance du $\;R\;L\;C\;$ série.
$\;u_{C}(t)\;$
$\;R\;L\;C\;$
$\;E$
$\;C=5\;\mu F\;$
$\;L=0,2\;H\;$
$\;R\;L\;C\;$
$\;\omega _{0}={\dfrac {1}{\sqrt {L\;C}}}=1000\;rad\cdot s^{-1}\;$
* Ci-dessus à gauche, avec $\;R=40\;\Omega \;{\big$c'est-à-dire $\;30\;\Omega \;$ de résistance additionnelle par boîtes A.O.I.P. s'ajoutant aux $\;10\;\Omega \;$ de résistance de bobine${\big )}\;$ on obtient un cœfficient d'amortissement $\;\sigma =$ $0,1\;$$^,$ correspondant à un régime pseudo-périodique de pseudo-période $\;T\simeq 6,3\;ms\;$ ; dans la pratique le régime forcé est considéré comme établi après une durée de $\;10\;\tau =50\;ms\;$ correspondant à peu près à $\;{\dfrac {10\;\tau }{T}}\simeq 8\;$ pseudo-oscillations ${\big$on choisit comme sensibilité de base de temps $\;10\;ms\cdot cm^{-1}\;$, l'oscillogramme ayant été tronqué à droite${\big )}$.
* Ci-dessus au centre, avec $\;R=400\;\Omega \;{\big$c'est-à-dire $\;390\;\Omega \;$ de résistance additionnelle par boîtes A.O.I.P. s'ajoutant aux $\;10\;\Omega \;$ de résistance de bobine${\big )}\;$ on obtient un cœfficient d'amortissement $\;\sigma =1\;$$^,$ correspondant à un régime apériodique critique $\;{\big$régime à partir duquel on n'observe plus de pseudo-oscillations$^,$${\big )}$, ${\big$on choisit comme sensibilité de base de temps $\;2\;ms\cdot cm^{-1}\;$, l'oscillogramme ayant été tronqué à droite${\big )}$.
* Ci-dessus à droite, avec $\;R=4\;k\Omega \;{\big$c'est-à-dire $\;3,99\;k\Omega \simeq 4\;k\Omega \;$ de résistance additionnelle par boîtes A.O.I.P. s'ajoutant aux $\;10\;\Omega \;$ de résistance de bobine négligeable en pratique${\big )}\;$ on obtient un cœfficient d'amortissement $\;\sigma =10\;$$^,$ correspondant à un régime apériodique $\;{\big$régime sans pseudo-oscillations au-delà du régime apériodique critique$^,$${\big )}$, ${\big$on choisit comme sensibilité de base de temps $\;20\;ms\cdot cm^{-1}\;$, l'oscillogramme ayant été tronqué à droite${\big )}$.
Ci-contre la superposition des trois réponses précédentes sur un même diagramme horaire, ce qui permet de constater que c'est dans le cas du régime apériodique critique $\;{\big$en rouge ci-contre${\big )}\;$ que le régime forcé s'établit le plus rapidement.
Quel que soit le régime pseudo-périodique, apériodique critique ou apériodique, on observe la continuité de la tension aux bornes du condensateur du $\;R\;L\;C\;$ série soumis à un échelon de tension en $\;t=0$, instant de discontinuité de 1ère espèce de l'échelon source.

### Relevé expérimental de l'évolution temporelle de l'intensité du courant traversant le « R L C série » avec observation de sa continuité en t = 0

On rappelle que pour observer l'évolution temporelle d'une intensité instantanée de courant à l'oscilloscope on visualise la tension instantanée aux bornes d'un conducteur ohmique traversé par ce courant, ici nous regarderons la tension aux bornes du « conducteur ohmique de résistance $\;R\;$».
Pour enregistrer la « réponse en $\;u_{R}(t)\;$ tension aux bornes du conducteur ohmique additionnel du $\;R\;L\;C\;$ série soumis à un échelon de tension d'amplitude $\;E\;$» à partir du schéma représenté ci-contre en faisant apparaître l'instant $\;0$, il faut lancer l'enregistrement légèrement avant la fermeture de $\;K$ ; il faut d'autre part choisir la sensibilité de base de temps pour obtenir la courbe entière sur l'écran, choix précisé par la suite ;
enfin l'échelon de tension peut être
* créé de façon unique par une A.S. à amplitude variable que l'on choisira par exemple à $\;1\;V$, $\;{\big$dans ce cas le zéro de l'A.S. est reliée à la Terre et il est nécessaire de positionner le conducteur ohmique comme sur la figure ci-contre pour des raisons d'unicité de masses${\big )}\;$ ou
* automatisé par « création $\;{\big$et suppression${\big )}\;$ d'un échelon de tension d'amplitude $\;E\;$» à l'aide d'un G.B.F. délivrant une tension « créneau » symétrique d'amplitude $\;{\dfrac {E}{2}}\;$ à laquelle on ajoute une composante permanente $\;{\dfrac {E}{2}}$, permettant d'obtenir sur l'alternance de valeur haute du créneau, une tension délivrée par le G.B.F. valant $\;E\;$ et sur l'alternance de valeur basse une tension valant $\;0$ $\;{\big$pour que la création et la suppression soient indépendantes il est nécessaire que l'intensité du courant traversant le $\;R\;L\;C\;$ série ne varie plus c'est-à-dire qu'il faut adapter la durée d'une alternance conformément à la durée de l'établissement du régime forcé, laquelle dépendant des valeurs des paramètres du $\;R\;L\;C\;$ série sera précisé par la suite${\big )}$.
$\;u_{R}(t)\;$
$\;R\;L\;C\;$
$\;E$
$\;C=5\;\mu F\;$
$\;L=0,2\;H\;$
$\;R\;L\;C\;$
$\;\omega _{0}={\dfrac {1}{\sqrt {L\;C}}}=1000\;rad\cdot s^{-1}\;$
* Ci-dessus à gauche, avec $\;R=40\;\Omega \;{\big$c'est-à-dire $\;30\;\Omega \;$ de résistance additionnelle par boîtes A.O.I.P. s'ajoutant aux $\;10\;\Omega \;$ de résistance de bobine${\big )}\;$ on obtient un cœfficient d'amortissement $\;\sigma =0,1\;$$^,$ correspondant à un régime pseudo-périodique de pseudo-période $\;T\simeq 6,3\;ms\;$ ; dans la pratique le régime forcé est considéré comme établi après une durée de $\;10\;\tau =50\;ms\;$ correspondant à peu près à $\;{\dfrac {10\;\tau }{T}}\simeq 8\;$ pseudo-oscillations ${\big$on choisit comme sensibilité de base de temps $\;10\;ms\cdot cm^{-1}\;$, l'oscillogramme ayant été tronqué à droite${\big )}$.
* Ci-dessus au centre, avec $\;R=400\;\Omega \;{\big$c'est-à-dire $\;390\;\Omega \;$ de résistance additionnelle par boîtes A.O.I.P. s'ajoutant aux $\;10\;\Omega \;$ de résistance de bobine${\big )}\;$ on obtient un cœfficient d'amortissement $\;\sigma =1\;$$^,$ correspondant à un régime apériodique critique $\;{\big$régime à partir duquel on n'observe plus de pseudo-oscillations$^,$${\big )}$, ${\big$on choisit comme sensibilité de base de temps $\;2\;ms\cdot cm^{-1}\;$, l'oscillogramme ayant été tronqué à droite${\big )}$.
* Ci-dessus à droite, avec $\;R=4\;k\Omega \;{\big$c'est-à-dire $\;3,99\;k\Omega \simeq 4\;k\Omega \;$ de résistance additionnelle par boîtes A.O.I.P. s'ajoutant aux $\;10\;\Omega \;$ de résistance de bobine négligeable en pratique${\big )}\;$ on obtient un cœfficient d'amortissement $\;\sigma =10\;$$^,$ correspondant à un régime apériodique $\;{\big$régime sans pseudo-oscillations au-delà du régime apériodique critique$^,$${\big )}$, ${\big$sensibilité de base de temps choisie à $\;20\;ms\cdot cm^{-1}\;$, l'oscillogramme ayant été tronqué à droite${\big )}$.
Ci-contre la superposition des trois réponses précédentes sur un même diagramme horaire, ce qui permet de constater que c'est dans le cas du régime apériodique critique $\;{\big$en rouge ci-contre${\big )}\;$ que le régime forcé nul s'établit le plus rapidement.
Quel que soit le régime pseudo-périodique, apériodique critique ou apériodique, on observe la continuité de l'intensité du courant traversant le $\;R\;L\;C\;$ série soumis à un échelon de tension en $\;t=0$, instant de discontinuité de 1ère espèce de l'échelon source.

### Relevé expérimental de l'évolution temporelle de la tension aux bornes de la bobine, observation de sa discontinuité de 1ère espèce en t = 0

Nous cherchons à visualiser la tension aux bornes de la composante parfaite de la bobine réelle, mais ceci n'étant pas possible directement, deux possibilités s'offrent à nous :
* la résistance de la bobine est petite relativement à la résistance additionnelle et nous pourrons assimiler la tension aux bornes de la bobine réelle à sa composante parfaite selon $\;L\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+r_{B}\;i(t)\simeq$ $L\;{\dfrac {di}{dt}}(t)$, ce sera le cas pour les régimes apériodiques critique ou non,
* la résistance de la bobine n'est pas petite relativement à la résistance additionnelle $\;{\big$ce sera le cas pour le régime pseudo-périodique avec $\;R_{\text{additionnelle}}=$ $30\;\Omega \;$ alors que $\;r_{B}=10\;\Omega \;$ donnant $\;R=40\;\Omega \;$ et $\;\sigma =0,1{\big )}$, nous visualiserons $\;u_{B}(t)=L\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+r_{B}\;i(t)\;{\stackrel {?}{\neq }}\;L\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ c'est-à-dire ce que l'on cherche avec une erreur systématique de $\;r_{B}\;i(t)\;$ qu'il conviendrait théoriquement de « soustraire à $\;u_{B}(t)\;$» pour obtenir ce que l'on souhaite.
$\;r_{B}\;\vert i(t)\vert \ll {\bigg \vert }L\;{\dfrac {di}{dt}}(t){\bigg \vert }\;$
$\Rightarrow$
$\;u_{B}(t)\simeq u_{L}(t)\;$
Pour enregistrer la « réponse en $\;u_{L}(t)\simeq u_{B}(t)\;$ tension aux bornes de la bobine du $\;R\;L\;C\;$ série soumis à un échelon de tension d'amplitude $\;E\;$» à partir du schéma représenté ci-contre en faisant apparaître l'instant $\;0$, il faut lancer l'enregistrement légèrement avant la fermeture de $\;K$ ; il faut d'autre part choisir la sensibilité de base de temps pour obtenir la courbe entière sur l'écran, choix précisé par la suite ;
enfin l'échelon de tension peut être
* créé de façon unique par une A.S. à amplitude variable que l'on choisira par exemple à $\;1\;V$, $\;{\big$dans ce cas le zéro de l'A.S. est reliée à la Terre et il est nécessaire de positionner la bobine comme sur la figure ci-contre pour des raisons d'unicité de masses${\big )}\;$ ou
* automatisé par « création $\;{\big$et suppression${\big )}\;$ d'un échelon de tension d'amplitude $\;E\;$» à l'aide d'un G.B.F. délivrant une tension « créneau » symétrique d'amplitude $\;{\dfrac {E}{2}}\;$ à laquelle on ajoute une composante permanente $\;{\dfrac {E}{2}}$, permettant d'obtenir sur l'alternance de valeur haute du créneau, une tension délivrée par le G.B.F. valant $\;E\;$ et sur l'alternance de valeur basse une tension valant $\;0\;$ $\;{\big$pour que la création et la suppression soient indépendantes il est nécessaire que la dérivée temporelle de l'intensité du courant traversant le $\;R\;L\;C\;$ série ne varie plus c'est-à-dire qu'il faut adapter la durée d'une alternance conformément à la durée de l'établissement du régime forcé en $\;u_{L}(t)$, laquelle dépendant des valeurs des paramètres du $\;R\;L\;C\;$ série sera précisé par la suite${\big )}$.
$\;u_{B}(t)\simeq u_{L}(t)\;$
$\;R\;L\;C\;$
$\;E$
$\;C=5\;\mu F\;$
$\;L=0,2\;H\;$
$\;R\;L\;C\;$
$\;\omega _{0}={\dfrac {1}{\sqrt {L\;C}}}=1000\;rad\cdot s^{-1}\;$
* Ci-dessus à gauche, avec $\;R=40\;\Omega \;{\big$c'est-à-dire $\;30\;\Omega \;$ de résistance additionnelle par boîtes A.O.I.P. s'ajoutant aux $\;10\;\Omega \;$ de résistance de bobine${\big )}\;$ on obtient un cœfficient d'amortissement $\;\sigma =0,1\;$$^,$ correspondant à un régime pseudo-périodique de pseudo-période $\;T\simeq 6,3\;ms\;$ ; dans la pratique le régime forcé est considéré comme établi après une durée de $\;10\;\tau =50\;ms\;$ correspondant à peu près à $\;{\dfrac {10\;\tau }{T}}\simeq 8\;$ pseudo-oscillations ${\big$on choisit comme sensibilité de base de temps $\;10\;ms\cdot cm^{-1}\;$, l'oscillogramme ayant été tronqué à droite${\big )}$.
* Ci-dessus au centre, avec $\;R=400\;\Omega \;{\big$c'est-à-dire $\;390\;\Omega \;$ de résistance additionnelle par boîtes A.O.I.P. s'ajoutant aux $\;10\;\Omega \;$ de résistance de bobine${\big )}\;$ on obtient un cœfficient d'amortissement $\;\sigma =1\;$$^,$ correspondant à un régime apériodique critique $\;{\big$régime à partir duquel on n'observe plus de pseudo-oscillations de l'intensité du courant $\;i(t)\;$$^,$${\big )}$, ${\big$on choisit comme sensibilité de base de temps $\;2\;ms\cdot cm^{-1}\;$, l'oscillogramme ayant été tronqué à droite${\big )}$.
* Ci-dessus à droite, avec $\;R=4\;k\Omega \;{\big$c'est-à-dire $\;3,99\;k\Omega \simeq 4\;k\Omega \;$ de résistance additionnelle par boîtes A.O.I.P. s'ajoutant aux $\;10\;\Omega \;$ de résistance de bobine négligeable en pratique${\big )}\;$ on obtient un cœfficient d'amortissement $\;\sigma =10\;$$^,$ correspondant à un régime apériodique $\;{\big$régime sans pseudo-oscillations de l'intensité du courant $\;i(t)\;$ au-delà du régime apériodique critique de cette dernière$^,$${\big )}$, ${\big$on choisit comme sensibilité de base de temps $\;100\;\mu s\cdot cm^{-1}\;$, l'oscillogramme ayant été tronqué à droite${\big )}$.
Ci-contre la superposition des trois réponses précédentes sur un même diagramme horaire, ce qui permet de constater que, contrairement aux réponses en $\;u_{C}\;$ ou en $\;i\;$ pour lesquelles le régime forcé est établi le plus rapidement dans le cas apériodique critique, c'est dans le cas du régime apériodique ${\big$en bleu ci-contre${\big )}\;$ que le régime forcé nul de $\;u_{L}\;$ s'établit le plus rapidement.
Quel que soit le régime pseudo-périodique, apériodique critique ou apériodique, on observe la discontinuité de 1ère espèce de la partie inductive de la tension aux bornes de la bobine du $\;R\;L\;C\;$ série soumis à un échelon de tension en $\;t=0$, instant de discontinuité de 1ère espèce de l'échelon source.

## Étude théorique du « R L C série » soumis à un échelon de tension, réponse en tension aux bornes du condensateur
### Équation différentielle en tension aux bornes du condensateur d'un « R L C série » soumis à un échelon de tension

L'équation différentielle en $\;u_{C}(t)$, tension aux bornes du condensateur, du circuit de charge ci-contre s'obtient par équation de maille dans laquelle ne doit rester que $\;u_{C}(t)\;$ comme inconnue, le circuit série étant traversé par un même courant d'intensité $\;i(t)$ :
pour tout $\;t$, $\;u_{C}(t)+R\;i(t)+L\;{\dfrac {di}{dt}}(t)-E\;Y(t)=0\;$ où il convient d'éliminer $\;i(t)\;$ au profit de $\;u_{C}(t)\;$ selon $\;i(t)=C\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)\;$ d'où $\;u_{C}(t)+R\;C\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)+L\;C\;{\dfrac {d^{2}u_{C}}{dt^{2}}}(t)=E\;Y(t)\;$ soit finalement, en normalisant et ordonnant, l'équation différentielle en $\;u_{C}(t)\;$ suivante
$\;{\dfrac {d^{2}u_{C}}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {R}{L}}\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{L\;C}}\;u_{C}(t)={\dfrac {E}{L\;C}}\;Y(t)\;\;\forall \;t\;$
$\;t=0$

### Discontinuité de 1ère espèce de l'excitation et conséquence induite sur la tension u$_C$(t) aux bornes du condensateur en t = 0

Nous avons admis dans le chap.$21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » que le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reporte sur le plus haut ordre de dérivée du 1er membre $\Rightarrow$ « la dérivée temporelle 2nde de la solution générale est discontinue de 1ère espèce en $\;t=0\;$», et que le numéro d'espèce de discontinuité $\;\searrow \;$ d'une unité à chaque prise de primitive $\Rightarrow$ « la dérivée temporelle 1ère de la solution générale ainsi que la solution générale elle-même sont discontinues de 0ème espèce c'est-à-dire continues en $\;t=0\;$» ;
en conclusion on induit que $\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)\;$ et $\;u_{C}(t)\;$ sont continues en $\;t=0\;$ et on justifie ces inductions par la propriété de continuité de l'intensité du courant traversant une bobine parfaite et celle de la tension aux bornes d'un condensateur parfait dans un circuit « réel ».

### Établissement de la réponse en tension u$_C$(t) aux bornes du condensateur d'un « R L C série » soumis à un échelon de tension, réduction canonique du « R L C série » (pulsation propre, cœfficient d'amortissement ou facteur de qualité), régime libre, réponse forcée (ou permanente), réponse transitoire
#### Rappel de l'équation différentielle en u$_C$(t) écrite pour t > 0 et réponse forcée

Quand $\;t\;$ est positif, $\;Y(t)\;$ vaut $\;1\;$ et l'équation différentielle se réécrit
$\;{\dfrac {d^{2}u_{C}}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {R}{L}}\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{L\;C}}\;u_{C}(t)={\dfrac {E}{L\;C}}\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$
L'excitation étant une constante, la réponse forcée est cherchée sous forme d'une constante d'où
$\;u_{C,\,f}=E\;$

#### Réductions canoniques

Il y a trois réductions canoniques principales :

##### La plus courante en électricité

On définit deux grandeurs canoniques :
* la « pulsation propre $\;\omega _{0}={\dfrac {1}{\sqrt {L\;C}}}\;$ en $\;rad\cdot s^{-1}\;$» et
* un « cœfficient d'amortissement $\;\sigma \geqslant 0\;$ sans dimension » tel que «$\;{\dfrac {R}{L}}=2\;\sigma \;\omega _{0}\;$» ;
l'équation différentielle réduite s'écrit «$\;{\dfrac {d^{2}u_{C}}{dt^{2}}}(t)+2\;\sigma \;\omega _{0}\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)+\omega _{0}^{2}\;u_{C}(t)=\omega _{0}^{2}\;E\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$».

##### La 2ème en importance d'usage dans le domaine électrique

On définit toujours deux grandeurs canoniques :
* la « pulsation propre $\;\omega _{0}={\dfrac {1}{\sqrt {L\;C}}}\;$ en $\;rad\cdot s^{-1}\;$» et
* un « facteur de qualité $\;Q>0\;$ sans dimension » tel que «$\;{\dfrac {R}{L}}={\dfrac {\omega _{0}}{Q}}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;Q={\dfrac {L\;\omega _{0}}{R}}={\dfrac {1}{R\;C\;\omega _{0}}}\;$» ;
l'équation différentielle réduite s'écrit «$\;{\dfrac {d^{2}u_{C}}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {\omega _{0}}{Q}}\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)+\omega _{0}^{2}\;u_{C}(t)=\omega _{0}^{2}\;E\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$».

##### La moins courante en électricité

On définit encore deux grandeurs canoniques :
* la « pulsation propre $\;\omega _{0}={\dfrac {1}{\sqrt {L\;C}}}\;$ en $\;rad\cdot s^{-1}\;$» et
* une « constante de temps $\;\tau >0\;$ en $\;s\;$» tel que «$\;{\dfrac {R}{L}}={\dfrac {1}{\tau }}\;$» ;
l'équation différentielle réduite s'écrit «$\;{\dfrac {d^{2}u_{C}}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {1}{\tau }}\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)+\omega _{0}^{2}\;u_{C}(t)=\omega _{0}^{2}\;E\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$».

#### Détermination de la solution générale libre de l'équation différentielle en u$_C$(t)

La solution générale libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2ème ordre en $\;u_{C}(t)\;$ étant la solution générale de l'équation différentielle homogène
$\;{\dfrac {d^{2}u_{C}}{dt^{2}}}(t)+2\;\sigma \;\omega _{0}\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)+\omega _{0}^{2}\;u_{C}(t)=0\;$
sa détermination passe par la résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle homogène
$\;s^{2}+2\;\sigma \;\omega _{0}\;s+\omega _{0}^{2}=0\;$

##### Évaluation du discriminant réduit

Préliminaire : résolution d'une équation algébrique du 2ème degré avec le monôme de degré un faisant apparaître un facteur $\;2$ soit
$\;a\;x^{2}+2\;b'\;x+c=0\;$
Préliminaire : sans utiliser cette particularité le discriminant s'écrit $\;\Delta =4\;{b'}^{2}-4\;a\;c=4\left({b'}^{2}-a\;c\right)$, la factorisation par $\;4\;$ permet d'introduire la notion de « discriminant réduit $\;\Delta '={b'}^{2}-a\;c\;$», le discriminant étant alors quatre fois ce dernier $\;\Delta =4\;\Delta '\;$ et par l'étude « du signe du discriminant réduit », on obtient :
Préliminaire : $\succ \;$« pour $\;\Delta '>0$, il y a deux racines réelles distinctes $\;x_{\pm }={\dfrac {-b'\pm {\sqrt {\Delta '}}}{a}}\;$»$^,$ ;
Préliminaire : $\succ \;$« pour $\;\Delta '=0$, il y a une racine réelle double $\;x_{d}={\dfrac {-b'}{a}}\;$»$^,$ ;
Préliminaire : $\succ \;$« pour $\;\Delta '<0$, il n'y a aucune racine réelle mais, quand on résout dans $\;\mathbb {C}$, deux racines complexes conjuguées $\;{\underline {x_{\pm }}}={\dfrac {-b'\pm i\;{\sqrt {\vert \Delta '\vert }}}{a}}\;$»$^,$.
Utilisation du préliminaire : le discriminant réduit de l'équation caractéristique «$\;s^{2}+2\;\sigma \;\omega _{0}\;s+\omega _{0}^{2}=0\;$» vaut $\;\Delta '=\left(\sigma \;\omega _{0}\right)^{2}-\omega _{0}^{2}\;$ ou encore
$\;\Delta '=\omega _{0}^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\;$

##### Discussion suivant la valeur du cœfficient d'amortissement σ

Discussion identique à celle exposée dans le paragraphe « résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2nd ordre homogène avec terme du 1er ordre en f(x) et forme de la solution libre réelle de cette équation différentielle » du chap.$2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

###### σ > 1 (fort amortissement)

«$\;\Delta '\;$ étant $\;>0\;$» les racines de l'équation caractéristique sont réelles et distinctes égales à «$\;s_{\pm }=-\sigma \;\omega _{0}\pm \omega _{0}\;{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\;$», la solution générale libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre à laquelle obéit $\;u_{C}(t)\;$ est apériodique et s'écrit
$\;u_{C,\,l}(t)=A_{+}\,\exp \!\left(s_{+}\;t\right)+A_{-}\,\exp \!\left(s_{-}\;t\right)\;$
$\;{\big \A_{+}\;$
$\;A_{-}\;$
${\big \}$
$\;\color {transparent}{u_{C,\,l}(t)}\;$
$=A_{+}\,\exp \!\left[-\omega _{0}\left(\sigma -{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right)\,t\right]+A_{-}\,\exp \!\left[-\omega _{0}\left(\sigma +{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right)\,t\right]\;$
Remarques : La condition de positivité du discriminant réduit de l'équation caractéristique $\;\sigma >1\;$ se réécrit en utilisant la 2ème ou 3ème réduction canonique
* en termes de facteur de qualité $\;Q={\dfrac {1}{2\;\sigma }}\;$ selon «$\;Q<{\dfrac {1}{2}}\;$» et
* en termes de constante de temps $\;\tau ={\dfrac {1}{2\;\sigma \;\omega _{0}}}\;$ selon «$\;\tau <{\dfrac {1}{2\;\omega _{0}}}={\dfrac {T_{0}}{4\;\pi }}\;$».

###### σ = 1 (amortissement critique)

«$\;\Delta '\;$ étant $\;=0\;$» l'équation caractéristique a une racine réelle double égale à «$\;s_{d}=-\omega _{0}\;$», la solution générale libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre à laquelle obéit $\;u_{C}(t)\;$ est apériodique critique et s'écrit
$\;u_{C,\,l}(t)=\left(A+B\;t\right)\,\exp \!\left(s_{d}\;t\right)\;$
$\;{\big \A\;$
$\;B\;$
${\big \}$
$\;\color {transparent}{u_{C,\,l}(t)}\;$
$=\left(A+B\;t\right)\,\exp \!\left(-\omega _{0}\;t\right)\;$
Remarques : La valeur du cœfficient d'amortissement critique $\;\sigma _{c}=1\;$ se transforme, en utilisant la 2ème ou 3ème réduction canonique
* en valeur critique du facteur de qualité $\;Q={\dfrac {1}{2\;\sigma }}\;$ soit «$\;Q_{c}={\dfrac {1}{2}}\;$» et
* en valeur critique de la constante de temps $\;\tau ={\dfrac {1}{2\;\sigma \;\omega _{0}}}\;$ soit «$\;\tau _{c}={\dfrac {1}{2\;\omega _{0}}}={\dfrac {T_{0}}{4\;\pi }}\;$».

###### σ < 1 (faible amortissement)

«$\;\Delta '\;$ étant $\;<0\;$» l'équation caractéristique n'a aucune racine réelle mais deux racines complexes conjuguées «$\;{\underline {s_{\pm }}}=-\sigma \;\omega _{0}\pm j\;\omega _{0}\;{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}\;$» ou, «$\;{\underline {s_{\pm }}}=-\sigma \;\omega _{0}\pm j\;\omega \;$» en introduisant la notion de « pseudo-pulsation $\;\omega =\omega _{0}\;{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}<\omega _{0}\;$»$^,$,
«$\;\color {transparent}{\Delta '}\;$ étant $\;\color {transparent}{<0}\;$» la solution générale libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre à laquelle obéit $\;u_{C}(t)\;$ est pseudo-périodique et s'écrit
$\;u_{C,\,l}(t)=A\,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\cos \!\left(\omega \;t+\varphi \right)\;$
$\;A\;$
$\;\varphi \;$
Remarques : La condition de négativité du discriminant réduit de l'équation caractéristique $\;\sigma <1\;$ se réécrit en utilisant la 2ème ou 3ème réduction canonique
* en termes de facteur de qualité $\;Q={\dfrac {1}{2\;\sigma }}\;$ selon «$\;Q>{\dfrac {1}{2}}\;$» et
* en termes de constante de temps $\;\tau ={\dfrac {1}{2\;\sigma \;\omega _{0}}}\;$ selon «$\;\tau >{\dfrac {1}{2\;\omega _{0}}}={\dfrac {T_{0}}{4\;\pi }}\;$».

###### σ = 0 (absence d'amortissement)

L'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre sans terme du 1er ordre hétérogène en $\;u_{C}(t)\;$ s'écrivant
$\;{\ddot {u_{C}}}(t)+\omega _{0}^{2}\;u_{C}(t)=\omega _{0}^{2}\;E\;Y(t)\;$
on écrit directement la solution générale libre périodique sous la forme
$\;u_{C,\,l}(t)=A\,\cos \!\left(\omega _{0}\;t+\varphi \right)\;$
$\;{\big \A\;$
$\;\varphi \;$
${\big \}$
$\;\color {transparent}{u_{C,\,l}(t)}\;$
$=A'\,\cos \!\left(\omega _{0}\;t\right)+B'\,\sin \!\left(\omega _{0}\;t\right)\;$
$\;{\big \A'\;$
$\;B'\;$
${\big \}$
Remarques : La condition d'absence d'amortissement $\;\sigma =0\;$ se transforme, en utilisant la 2ème ou 3ème réduction canonique
* en limite du facteur de qualité $\;Q={\dfrac {1}{2\;\sigma }}\;$ soit «$\;Q_{\text{lim}}=\infty \;$» et
* en limite de la constante de temps $\;\tau ={\dfrac {1}{2\;\sigma \;\omega _{0}}}\;$ soit «$\;\tau _{\text{lim}}=\infty \;$».

#### Forme de la réponse transitoire en u$_C$(t) suivant la valeur du cœfficient d'amortissement σ

Nous avons vu dans le paragraphe « Rappel de la forme de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2nd ordre hétérogène avec terme du 1er ordre en f(x) » du chap.$2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » que
$\;f(x)=f_{l}(x)+f_{f}(x)\;$
$\;f_{l}(x)\;$
$\;f_{f}(x)\;$

##### σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique

La solution transitoire apériodique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2ème ordre en $\;u_{C}(t)\;$ s'écrit
$\;u_{C}(t)=E+A_{+}\,\exp \!\left(s_{+}\;t\right)+A_{-}\,\exp \!\left(s_{-}\;t\right)$
$\;\color {transparent}{u_{C}(t)}\;$
$=E+A_{+}\,\exp \!\left[-\omega _{0}\left(\sigma -{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right)\,t\right]+A_{-}\,\exp \!\left[-\omega _{0}\left(\sigma +{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right)\,t\right]\;$
$\;{\big \A_{+}\;$
$\;A_{-}\;$
${\big \}$

##### σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique

La solution transitoire apériodique critique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2ème ordre en $\;u_{C}(t)\;$ s'écrit
$\;u_{C}(t)=E+\left(A+B\;t\right)\,\exp \!\left(s_{d}\;t\right)$
$\;\color {transparent}{u_{C}(t)}\;$
$=E+\left(A+B\;t\right)\,\exp \!\left(-\omega _{0}\;t\right)\;$
$\;{\big \A\;$
$\;B\;$
${\big \}$

##### σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique

La solution transitoire pseudo-périodique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2ème ordre en $\;u_{C}(t)\;$ s'écrit
$\;u_{C}(t)=E+A\,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\cos \!\left(\omega \;t+\varphi \right)\;$
$\;\omega =\omega _{0}\;{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}\;$
$\;{\big \A\;$
$\;\varphi \;$
${\big \}$

##### σ = 0 (absence d'amortissement) et réponse périodique

La solution transitoire périodique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2ème ordre en $\;u_{C}(t)\;$ s'écrit
$\;u_{C}(t)=E+A\,\cos \!\left(\omega _{0}\;t+\varphi \right)\;$
$\;\color {transparent}{u_{C}(t)}\;$
$=E+A'\,\cos \!\left(\omega _{0}\;t\right)+B'\,\sin \!\left(\omega _{0}\;t\right)\;$
$\;{\big \A\;$
$\;\varphi \;$
${\big$
$\;A'\;$
$\;B'{\big )}\;$
${\big \}$

#### Détermination des conditions initiales (C.I.) en u$_C$(t)

L'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique $\;{\mathcal {E}}_{C}(t)={\dfrac {1}{2}}\,C\,\left[u_{C}(t)\right]^{2}\;$ ainsi que celle stockée dans la bobine sous forme électromagnétique $\;{\mathcal {E}}_{L}(t)={\dfrac {1}{2}}\,L\,\left[i(t)\right]^{2}\;$ dans le circuit résistif $\;R\,L\,C\;$ série soumis à un échelon de tension étant continues, on en déduit la continuité de la tension $\;u_{C}(t)\;$ aux bornes du condensateur ainsi que celle de l'intensité $\;i(t)=C\;{\dot {u}}_{C}(t)\;$ du courant traversant la bobine soit, avec leur valeur respective à l'instant $\;0^{-}\;$ nulle, $\;u_{C}(0^{+})=u_{C}(0^{-})=0\;$ et $\;i(0^{+})=i(0^{-})=0\;$ d'où
$\;u_{C}(0^{+})=0\;$
$\;{\dot {u}}_{C}(0^{+})=0\;$

#### Expression de la réponse transitoire en u$_C$(t) utilisant les conditions initiales (C.I.) suivant la valeur du cœfficient d'amortissement σ
##### σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique

Faisant $\;t=0^{+}\;$ dans l'expression de $\;u_{C}(t)=E+A_{+}\,\exp \!\left(s_{+}\;t\right)+A_{-}\,\exp \!\left(s_{-}\;t\right)\;$ on trouve «$\;E+A_{+}+A_{-}=0\;$» puis Faisant $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ dans l'express. formant $\;{\dot {u}}_{C}(t)=s_{+}\;A_{+}\,\exp \!\left(s_{+}\;t\right)+s_{-}\;A_{-}\,\exp \!\left(s_{-}\;t\right)\;$ pour en prendre la valeur initiale on trouve «$\;s_{+}\;A_{+}+s_{-}\;A_{-}=0\;$» ;
restant donc à résoudre le « système de deux équations linéaires algébriques aux deux inconnues $\;A_{+}\;$ et $\;A_{-}\;$», «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c r c r}A_{+}\!\!&+&\!\!A_{-}\!\!&=&\!\!-E\\s_{+}\;A_{+}\!\!&+&\!\!s_{-}\;A_{-}\!\!&=&\!\!0\end{array}}\right\rbrace \;$», on en déduit «$\;A_{+}={\dfrac {s_{-}}{s_{+}-s_{-}}}\,E=$ $-{\dfrac {\sigma +{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}{2\;{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}}\,E\;$» et «$\;A_{-}=-{\dfrac {s_{+}}{s_{+}-s_{-}}}\,E={\dfrac {\sigma -{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}{2\;{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}}\,E\;$» ;
finalement la réponse apériodique en tension aux bornes du condensateur s'écrit
$\;u_{C}(t)=E\left[1-{\dfrac {\sigma +{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}{2\;{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}}\,\exp \!\left(s_{+}\;t\right)+{\dfrac {\sigma -{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}{2\;{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}}\,\exp \!\left(s_{-}\;t\right)\right]\;$
$\;s_{\pm }=-\sigma \;\omega _{0}\pm \omega _{0}\;{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\;$

##### σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique

Faisant $\;t=0^{+}\;$ dans l'expression de $\;u_{C}(t)=E+\left(A+B\;t\right)\,\exp \!\left(-\omega _{0}\;t\right)\;$ on trouve «$\;E+A=0\;$» puis Faisant $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ dans l'express. formant $\;{\dot {u}}_{C}(t)=B\,\exp \!\left(-\omega _{0}\;t\right)-\omega _{0}\,\left(A+B\;t\right)\,\exp \!\left(-\omega _{0}\;t\right)\;$ pour en prendre la valeur initiale on trouve «$\;B-\omega _{0}\;A=0\;$» ;
restant donc à résoudre le « système de deux équations linéaires algébriques aux deux inconnues $\;A\;$ et $\;B\;$», «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c r c r}A\!\!&&\!\!\!\!&=&\!\!-E\\-\omega _{0}\;A\!\!&+&\!\!B\!\!&=&\!\!0\end{array}}\right\rbrace \;$», on en déduit «$\;A=-E\;$» et «$\;B=\omega _{0}\,A=-\omega _{0}\,E\;$» ;
finalement la réponse apériodique critique en tension aux bornes du condensateur s'écrit
$\;u_{C}(t)=E\,\left[1-\left(1+\omega _{0}\;t\right)\,\exp \!\left(-\omega _{0}\;t\right)\right]\;$

##### σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique

Faisant $\;t=0^{+}\;$ dans l'expression de $\;u_{C}(t)=E+A\,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\cos \!\left(\omega \;t+\varphi \right)\;$ on trouve «$\;E+A\;\cos \!\left(\varphi \right)=0\;$» puis Faisant $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ dans l'express. formant $\;{\dot {u}}_{C}(t)=-\sigma \;\omega _{0}\;A\,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\cos \!\left(\omega \;t+\varphi \right)-\omega \;A\,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\sin \!\left(\omega \;t+\varphi \right)\;$ pour y faire $\;t=0^{+}\;$ on trouve «$\;-\sigma \;\omega _{0}\;A\;\cos \!\left(\varphi \right)-\omega \;A\;\sin \!\left(\varphi \right)=0\;$» ou encore, avec $\;\omega =\omega _{0}\;{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}$, la C.I. «$\;\sigma \;A\;\cos \!\left(\varphi \right)+{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}\;A\;\sin \!\left(\varphi \right)=0\;$» ;
les deux équations aux deux variables $\;A\;$ et $\;\varphi \;$ ne sont pas linéaires mais, en considérant les deux variables $\;A\,\cos(\varphi )\;$ et $\;A\,\sin(\varphi )\;$ on obtient un « système de deux équations linéaires algébriques aux deux inconnues $\;A\,\cos(\varphi )\;$ et $\;A\,\sin(\varphi )\;$» selon «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c r c r}A\;\cos \!\left(\varphi \right)\!\!&&\!\!\!\!&=&\!\!-E\\\sigma \;A\;\cos \!\left(\varphi \right)\!\!&+&\!\!{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}\;A\;\sin \!\left(\varphi \right)\!\!&=&\!\!0\end{array}}\right\rbrace \;$», on en déduit «$\;A\;\cos \!\left(\varphi \right)=-E\;$» d'une part et «$\;A\;\sin \!\left(\varphi \right)=-{\dfrac {\sigma }{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\,A\;\cos \!\left(\varphi \right)=$ ${\dfrac {\sigma }{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\,E\;$» d'autre part ;
on détermine alors $\;A\;$ par élimination de $\;\varphi \;$ selon «$\;\left[A\;\cos \!\left(\varphi \right)\right]^{2}+\left[A\;\sin \!\left(\varphi \right)\right]^{2}=A^{2}\;$» ou $\;A^{2}=E^{2}+{\dfrac {\sigma ^{2}}{1-\sigma ^{2}}}\,E^{2}={\dfrac {1}{1-\sigma ^{2}}}\,E^{2}\;$ soit, en conservant la valeur positive de $\;A\;$,
$\;A={\dfrac {1}{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\,E\;$
on détermine alors $\;\varphi \;$ par «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c c c c c}\cos(\varphi )\!\!&=&\!\!{\dfrac {-E}{A}}\!\!&=&\!\!-{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}\!\!&<&\!\!0\\\sin(\varphi )\!\!&=&\!\!{\dfrac {{\dfrac {\sigma }{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\,E}{A}}\!\!&=&\!\!\sigma \!\!&>&\!\!0\end{array}}\right\rbrace \;$» ou encore, en choisissant la valeur de $\;\varphi \;$ dans l'intervalle $\;\left]{\dfrac {\pi }{2}}\,;\,+\pi \right[\;$ telle que $\;\tan(\varphi )=-{\dfrac {\sigma }{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\;$ soit, en inversant et en tenant compte de son intervalle de définition
$\;\varphi =\pi +\arctan \!\left[-{\dfrac {\sigma }{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\right]\;$
$\;\varphi =\pi -\alpha \;$
$\;\alpha =\arctan \!\left[{\dfrac {\sigma }{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\right]\;$
finalement la réponse pseudo-périodique en tension aux bornes du condensateur s'écrit
$\;u_{C}(t)=E\left[1+{\dfrac {1}{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\cos \!\left(\omega \;t-\alpha +\pi \right)\right]=E\left[1-{\dfrac {1}{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\cos \!\left(\omega \;t-\alpha \right)\right]\;$
$\;\omega =\omega _{0}\;{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}\;$
$\;\alpha =\arctan \!\left[{\dfrac {\sigma }{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\right]\;$

##### σ = 0 (absence d'amortissement) et réponse périodique

Remarque préliminaire : En absence de conducteur ohmique, le circuit n'est pas résistif, on ne peut donc pas invoquer la continuité de l'énergie stockée par le condensateur sous forme électrostatique ni celle de l'énergie stockée par la bobine sous forme électromagnétique car l'établissement de celles-ci a nécessité d'utiliser le caractère résistif du circuit$^,$ ;
Remarque préliminaire : toutefois on a induit dans le paragraphe « discontinuité de 1ère espèce de l'excitation et conséquence induite sur la tension u$_C$(t) aux bornes du condensateur en t = 0 » plus haut dans ce chapitre, que la discontinuité de 1ère espèce de l'excitation de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2nd ordre en $\;u_{C}(t)\;$ avec $\;{\big$ou sans${\big )}\;$ terme du 1er ordre entraînait la « continuité de $\;u_{C}(t)\;$ et de sa dérivée temporelle $\;{\dot {u}}_{C}(t)\;$» que le circuit soit résistif ou non soit, compte-tenu de la nullité de $\;u_{C}(t)\;$ et de $\;{\dot {u}}_{C}(t)\;$ à l'instant $\;0^{-}$, les C.I. suivantes encore valables dans un circuit $\;L\,C\;$ série soumis à un échelon de tension : «$\;u_{C}(0^{+})=0\;$» et «$\;{\dot {u}}_{C}(0^{+})=0\;$».
Faisant $\;t=0^{+}\;$ dans l'expression de $\;u_{C}(t)=E+A\,\cos \!\left(\omega _{0}\;t\right)+B\,\sin \!\left(\omega _{0}\;t\right)\;$, on trouve «$\;E+A=0\;$» soit «$\;A=-E\;$» puis Faisant $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ dans l'express. formant $\;{\dot {u}}_{C}(t)=-A\;\omega _{0}\,\sin \!\left(\omega _{0}\;t\right)+B\;\omega _{0}\,\cos \!\left(\omega _{0}\;t\right)\;$ pour en prendre la valeur initiale on trouve «$\;B\;\omega _{0}=0\;$» soit «$\;B=0\;$» ;
finalement la réponse périodique en tension aux bornes du condensateur s'écrit
$\;u_{C}(t)=E\left[1-\cos \!\left(\omega _{0}\;t\right)\right]\;$

#### Tracé du diagramme temporel de la variation de u$_C$(t) dans le cas d'une réponse transitoire pseudo-périodique et commentaires

La courbe est pseudo-périodique de pseudo-période $\;T={\dfrac {2\;\pi }{\omega }}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}\;{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}}\;$ ou, en introduisant la période propre $\;T_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}$, une « pseudo-période $\;T={\dfrac {T_{0}}{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\;$ toujours $\;>\;$ à la période propre $\;T_{0}\;$» et ceci d'autant plus que le cœfficient d'amortissement $\;\sigma \;$ se rapproche de sa valeur critique $\;\sigma _{c}=1$ ;
ci-contre, ont également été tracées les « enveloppes » supérieure et inférieure dont « les contacts avec le graphe de $\;u_{C}(t)\;$ correspondent respectivement à $\;\cos \!\left(\omega \;t-\alpha \right)=-1\;$ et $\;\cos \!\left(\omega \;t-\alpha \right)=+1\;$» ;
on en déduit les propriétés suivantes :
* deux points de contact successifs de la courbe avec l'enveloppe supérieure $\;{\big$ou inférieure${\big )}\;$ sont de temps séparés de $\;T$ ;
* deux points de contact successifs de la courbe avec l'enveloppe supérieure et inférieure sont de temps séparés de $\;{\dfrac {T}{2}}$ ;
* un point de contact de la courbe avec l'enveloppe supérieure $\;{\big$ou inférieure${\big )}\;$ et le 1er point coupant la droite $\;u_{C}(t)=u_{C,\,f}\;$ sont de temps séparés de $\;{\dfrac {T}{4}}$ ;
* variation exponentielle des enveloppes supérieure et inférieure avec une « constante de temps égale à $\;{\dfrac {1}{\sigma \;\omega _{0}}}=2\;\tau \;$» $\;{\big$justifiant que l'on estime le régime forcé atteint $\;-\;$ à moins de $\;1\,\%\;$ près $\;-\;$ au bout de $\;10\;\tau {\big )}$, une conséquence étant que les tangentes aux enveloppes à $\;t=0^{+}\;$ recoupe la droite $\;u_{C}(t)=u_{C,\,f}\;$ à la date $\;2\;\tau$ ;
toutes ces propriétés sont largement suffisantes pour assurer un tracé correct du diagramme horaire.
Remarque : les points de contact de la courbe avec les enveloppes correspondent aux instants $\;t_{\text{env}}\;$ tels que $\;\cos \!\left(\omega \;t_{\text{env}}-\alpha \right)=\pm 1\;$ et non aux instants $\;t_{\text{extr}}\;$ pour lesquelles la courbe prend des valeurs « extrémales » ; il n'est pas a priori nécessaire de déterminer les instants $\;t_{\text{extr}}\;$ pour tracer la courbe mais s'il est demandé de les évaluer pour d'autres raisons on procède comme suit :
Remarque : «$\;t_{\text{extr}}\;$ sont définis par $\;{\dot {u}}_{C}(t_{\text{extr}})=0\;$» avec la dérivée temporelle 1ère de $\;u_{C}(t)=E\left[1-{\dfrac {1}{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\cos \!\left(\omega \;t-\alpha \right)\right]\;$ s'explicitant selon «$\;{\dot {u}}_{C}(t)=$ $E\left[{\dfrac {\sigma \;\omega _{0}}{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\cos \!\left(\omega \;t-\alpha \right)+{\dfrac {\omega }{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\sin \!\left(\omega \;t-\alpha \right)\right]\;$» d'où, après simplification évidente, l'équation «$\;\sigma \;\omega _{0}\;\cos \!\left(\omega \;t_{\text{extr}}-\alpha \right)+\omega \;\sin \!\left(\omega \;t_{\text{extr}}-\alpha \right)=0\;$» que l'on résout en évaluant la tangente de l'angle «$\;\tan \!\left(\omega \;t_{\text{extr}}-\alpha \right)=-{\dfrac {\sigma \;\omega _{0}}{\omega }}=$ $-{\dfrac {\sigma }{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\;$», les racines $\;\omega \;t_{\text{extr}}-\alpha \;$ étant définies à $\;\pi \;$ près selon «$\;\omega \;t_{\text{extr}}-\alpha =-\arctan \!\left({\dfrac {\sigma }{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\right)+k\;\pi ,\;\;k\in \mathbb {N} \;$» et enfin, compte-tenu de la valeur de $\;\alpha =\arctan \!\left({\dfrac {\sigma }{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\right)\;$ précédemment déterminée, $\;t_{\text{extr}}=k\;{\dfrac {\pi }{\omega }},\;\;k\in \mathbb {N} \;$ soit finalement «$\;t_{\text{extr}}=k\;{\dfrac {T}{2}},\;\;k\in \mathbb {N} \;$», établissant que les valeurs extrémales sont régulièrement réparties avec une périodicité de $\;{\dfrac {T}{2}}$.

## Étude théorique du « R L C série » soumis à un échelon de tension, réponse en intensité du courant traversant le D.P.L.

Rechercher une réponse en intensité $\;i(t)\;$ du courant traversant le $\;R\,L\,C\;$ série soumis à un échelon de tension peut se faire en cherchant la réponse en tension $\;u_{R}(t)\;$ aux bornes du conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ car la loi d'Ohm $\;u_{R}(t)=R\;i(t)\;$ liant les deux grandeurs en convention récepteur est une relation de proportionnalité.

### Équation différentielle en intensité du courant traversant le « R L C série » soumis à un échelon de tension

L'équation différentielle en $\;i(t)$, intensité du courant du circuit série ci-contre, s'obtient par équation de maille dans laquelle ne doit rester que $\;i(t)$ :
pour tout $\;t$, $\;R\;i(t)+u_{C}(t)+L\;{\dfrac {di}{dt}}(t)-E\;Y(t)=0\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ où il convient d'éliminer $\;u_{C}(t)\;$ au profit de $\;i(t)\;$ en utilisant $\;i(t)=$ $C\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)={\dfrac {i(t)}{C}}\;$ d'où, en dérivant temporellement $\;\left({\mathfrak {a}}\right)$, $\;R\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{C}}\;i(t)+L\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)=E\;\delta (t)\;$ soit finalement, en normalisant et ordonnant, l'équation différentielle en $\;i(t)\;$ suivante
$\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {R}{L}}\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{L\;C}}\;i(t)={\dfrac {E}{L}}\;\delta (t)\;\;\forall \;t\;$
$\;t=0$

### Discontinuité de 2ème espèce de l'excitation et conséquence induite sur l'intensité i(t) du courant traversant le « R L C série » en t = 0

Nous avons admis dans le chap.$21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » que le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reporte sur le plus haut ordre de dérivée du 1er membre $\Rightarrow$ « la dérivée temporelle 2nde de la solution générale est discontinue de 2ème espèce en $\;t=0\;$», et que le numéro d'espèce de discontinuité $\;\searrow \;$ d'une unité à chaque prise de primitive $\Rightarrow$ « la dérivée temporelle 1ère de la solution générale est discontinue de 1ère espèce en $\;t=0\;$» et « la solution générale discontinue de 0ème espèce c'est-à-dire continue en $\;t=0\;$» ;
en conclusion on induit que $\;i(t)\;$ est continue et $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ discontinue de 1ère espèce en $\;t=0$, on justifie la 1ère induction par la propriété de continuité de l'intensité du courant traversant une bobine parfaite dans un circuit « réel » et la 2ème en traçant le circuit à $\;0^{+}\;$ dans lequel on remplace la bobine et le condensateur par leur équivalent, à savoir, dans la mesure où la bobine n'est initialement traversée par aucun courant et le condensateur est initialement déchargé :
* équivalent de la bobine à $\;0^{+}\;\rightsquigarrow \;$ un interrupteur ouvert $\;{\big$on utilise de nouveau la continuité de l'intensité du courant traversant une bobine parfaite dans un circuit « réel »${\big )}\;$ et
* équivalent du condensateur à $\;0^{+}\;\rightsquigarrow \;$ un court-circuit $\;{\big$on utilise ici la propriété de continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parfait dans un circuit « réel »${\big )}$.

### Établissement de la réponse en intensité i(t) du courant traversant le « R L C série » soumis à un échelon de tension, réduction canonique, régime libre, absence de réponse forcée (ou permanente), réponse transitoire
#### Rappel de l'équation différentielle en i(t) écrite pour t > 0 et absence de réponse forcée

Quand $\;t\;$ est positif, $\;\delta (t)\;$ vaut $\;0\;$ et l'équation différentielle se réécrit
$\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {R}{L}}\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{L\;C}}\;i(t)=0\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$
L'équation différentielle linéaire en $\;i(t)\;$ étant homogène pour $\;t>0$, il n'y a pas de réponse forcée.

#### Réduction canonique la plus usitée

Les réductions canoniques ne dépendant que du 1er membre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre et celui-ci étant le même pour une réponse en $\;i(t)\;$ ou en $\;u_{C}(t)\;$ d'un $\;R\,L\,C\;$ série, on a les mêmes réductions canoniques qu'au paragraphe « réductions canoniques {de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2nd ordre en u$_C$(t)} » plus haut dans ce chapitre ;
on utilisera la 1ère pour la suite avec introduction
* de la « pulsation propre $\;\omega _{0}={\dfrac {1}{\sqrt {L\;C}}}\;$» et
* du « cœfficient d'amortissement $\;\sigma \geqslant 0\;$$^,$ tel que $\;{\dfrac {R}{L}}=2\;\sigma \;\omega _{0}\;$» ;
l'équation différentielle réduite s'écrit alors «$\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)+2\;\sigma \;\omega _{0}\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+\omega _{0}^{2}\;i(t)=0\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$».

#### Détermination de la solution générale libre de l'équation différentielle en i(t)

Cette dernière passe par la résolution de l'équation caractéristique «$\;s^{2}+2\;\sigma \;\omega _{0}\;s+\omega _{0}^{2}=0\;$», laquelle étant la même qu'au paragraphe « détermination de la solution générale libre de l'équation différentielle en u$_C$(t) » exposé plus haut dans ce chapitre conduit à la même résolution, à savoir :

##### Évaluation du discriminant réduit

Le discriminant réduit de l'équation caractéristique «$\;s^{2}+2\;\sigma \;\omega _{0}\;s+\omega _{0}^{2}=0\;$» vaut
$\;\Delta '=\left(\sigma \;\omega _{0}\right)^{2}-\omega _{0}^{2}=\omega _{0}^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\;$

##### Discussion suivant la valeur du cœfficient d'amortissement σ
###### σ > 1 (fort amortissement)

«$\;\Delta '\;$ étant $\;>0\;$» les racines de l'équation caractéristique sont réelles et distinctes égales à «$\;s_{\pm }=-\sigma \;\omega _{0}\pm \omega _{0}\;{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\;$», la solution générale libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre à laquelle obéit $\;i(t)\;$ est apériodique et s'écrit
$\;i_{l}(t)=A_{+}\,\exp \!\left(s_{+}\;t\right)+A_{-}\,\exp \!\left(s_{-}\;t\right)\;$
$\;{\big \A_{+}\;$
$\;A_{-}\;$
${\big \}$
$\;\color {transparent}{i_{l}(t)}\;$
$=A_{+}\,\exp \!\left[-\omega _{0}\left(\sigma -{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right)\,t\right]+A_{-}\,\exp \!\left[-\omega _{0}\left(\sigma +{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right)\,t\right]\;$
Remarques : Voir la réécriture de la condition de positivité du discriminant réduit de l'équation caractéristique «$\;\sigma >1\;$» en utilisant la 2ème ou 3ème réduction canonique au paragraphe « σ > 1 (fort amortissement) (remarques) » plus haut dans ce chapitre à savoir «$\;Q<{\dfrac {1}{2}}\;$» ou «$\;\tau <{\dfrac {1}{2\;\omega _{0}}}={\dfrac {T_{0}}{4\;\pi }}\;$».

###### σ = 1 (amortissement critique)

«$\;\Delta '\;$ étant $\;=0\;$» l'équation caractéristique a une racine réelle double égale à «$\;s_{d}=-\omega _{0}\;$», la solution générale libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre à laquelle obéit $\;i(t)\;$ est apériodique critique et s'écrit
$\;i_{l}(t)=\left(A+B\;t\right)\,\exp \!\left(s_{d}\;t\right)\;$
$\;{\big \A\;$
$\;B\;$
${\big \}$
$\;\color {transparent}{i_{l}(t)}\;$
$=\left(A+B\;t\right)\,\exp \!\left(-\omega _{0}\;t\right)\;$
Remarques : Voir la réécriture de la condition de nullité du discriminant réduit de l'équation caractéristique «$\;\sigma =\sigma _{c}=1\;$» en utilisant la 2ème ou 3ème réduction canonique au paragraphe « σ = 1 (amortissement critique) (remarques) » plus haut dans ce chapitre à savoir «$\;Q=Q_{c}={\dfrac {1}{2}}\;$» ou «$\;\tau =\tau _{c}={\dfrac {1}{2\;\omega _{0}}}={\dfrac {T_{0}}{4\;\pi }}\;$».

###### σ < 1 (faible amortissement)

«$\;\Delta '\;$ étant $\;<0\;$» l'équation caractéristique n'a aucune racine réelle mais deux racines complexes conjuguées «$\;{\underline {s_{\pm }}}=-\sigma \;\omega _{0}\pm j\;\omega _{0}\;{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}\;$» ou, «$\;{\underline {s_{\pm }}}=-\sigma \;\omega _{0}\pm j\;\omega \;$» en introduisant la notion de « pseudo-pulsation $\;\omega =\omega _{0}\;{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}<\omega _{0}\;$»,
«$\;\color {transparent}{\Delta '}\;$ étant $\;\color {transparent}{<0}\;$» la solution générale libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre à laquelle obéit $\;i(t)\;$ est pseudo-périodique et s'écrit
$\;i_{l}(t)=A\,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\cos \!\left(\omega \;t+\varphi \right)\;$
$\;A\;$
$\;\varphi \;$
Remarques : Voir la réécriture de la condition de négativité du discriminant réduit de l'équation caractéristique «$\;\sigma <1\;$» en utilisant la 2ème ou 3ème réduction canonique au paragraphe « σ < 1 (faible amortissement) (remarques) » plus haut dans ce chapitre à savoir «$\;Q>{\dfrac {1}{2}}\;$» ou «$\;\tau >{\dfrac {1}{2\;\omega _{0}}}={\dfrac {T_{0}}{4\;\pi }}\;$».

###### σ = 0 (absence d'amortissement)

L'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre sans terme du 1er ordre hétérogène en $\;i(t)\;$ s'écrivant
$\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)+\omega _{0}^{2}\;i(t)={\dfrac {E}{L}}\;\delta (t)\;$
on écrit directement la solution générale libre périodique sous la forme
$\;i_{l}(t)=A\,\cos \!\left(\omega _{0}\;t+\varphi \right)\;$
$\;{\big \A\;$
$\;\varphi \;$
${\big \}$
$\;\color {transparent}{i_{l}(t)}\;$
$=A'\,\cos \!\left(\omega _{0}\;t\right)+B'\,\sin \!\left(\omega _{0}\;t\right)\;$
$\;{\big \A'\;$
$\;B'\;$
${\big \}$
Remarques : Voir la réécriture de la condition d'absence d'amortissement «$\;\sigma =0\;$» en utilisant la 2ème ou 3ème réduction canonique au paragraphe « σ = 0 (absence d'amortissement) (remarques) » plus haut dans ce chapitre à savoir «$\;Q=Q_{\text{lim}}\,:\,\infty \;$» ou «$\;\tau =\tau _{\text{lim}}\,:\,\infty \;$».

#### Forme de la réponse transitoire en i(t) suivant la valeur du cœfficient d'amortissement σ

« En absence de réponse forcée » de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre en $\;i(t)\;$ à l'échelon de tension d'amplitude $\;E$, « la réponse transitoire $\;i(t)\;$ s'identifie à la réponse libre $\;i_{l}(t)\;$» d'où :

##### σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique

$\;i(t)=A_{+}\,\exp \!\left(s_{+}\;t\right)+A_{-}\,\exp \!\left(s_{-}\;t\right)$
$\;\color {transparent}{i(t)}\;$
$=A_{+}\,\exp \!\left[-\omega _{0}\left(\sigma -{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right)\,t\right]+A_{-}\,\exp \!\left[-\omega _{0}\left(\sigma +{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right)\,t\right]\;$
$\;{\big \A_{+}\;$
$\;A_{-}\;$
${\big \}$

##### σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique

$\;i(t)=\left(A+B\;t\right)\,\exp \!\left(s_{d}\;t\right)$
$\;\color {transparent}{i(t)}\;$
$=\left(A+B\;t\right)\,\exp \!\left(-\omega _{0}\;t\right)\;$
$\;{\big \A\;$
$\;B\;$
${\big \}$

##### σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique

$\;i(t)=A\,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\cos \!\left(\omega \;t+\varphi \right)\;$
$\;\omega =\omega _{0}\;{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}\;$
$\;{\big \A\;$
$\;\varphi \;$
${\big \}$

##### σ = 0 (absence d'amortissement) et réponse périodique

$\;i(t)=A\,\cos \!\left(\omega _{0}\;t+\varphi \right)\;$
$\;\color {transparent}{i(t)}\;$
$=A'\,\cos \!\left(\omega _{0}\;t\right)+B'\,\sin \!\left(\omega _{0}\;t\right)\;$
$\;{\big \A\;$
$\;\varphi \;$
${\big$
$\;A'\;$
$\;B'{\big )}\;$
${\big \}$

#### Détermination des conditions initiales (C.I.) en i(t)

L'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique $\;{\mathcal {E}}_{L}(t)={\dfrac {1}{2}}\,L\,\left[i(t)\right]^{2}\;$ dans le circuit résistif $\;R\,L\,C\;$ série soumis à un échelon de tension étant continue, on en déduit la continuité de l'intensité $\;i(t)\;$ du courant traversant la bobine soit, avec sa valeur respective à l'instant $\;0^{-}\;$ nulle, $\;i(0^{+})=$ $i(0^{-})=0$ ;
n'ayant aucune propriété de continuité de $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ dans un circuit réel, nous obtiendrons sa valeur initiale en traçant le circuit à $\;0^{+}\;$ dans lequel on remplace la bobine par un interrupteur ouvert d'après la 1ère C.I. et le condensateur initialement déchargé par un court-circuit voir ci-contre ;
la tension $\;E\;$ aux bornes de la source se retrouve aux bornes de l'interrupteur ouvert remplaçant la bobine à l'instant $\;0^{+}\;$ d'où $\;u_{L}(0^{+})=E\;$ et par suite $\;L\;{\dfrac {di}{dt}}(0^{+})=E\;$ dont on tire la C.I. cherchée $\;{\dfrac {di}{dt}}(0^{+})={\dfrac {E}{L}}$.
$\;i(0^{+})=0\;$
$\;{\dfrac {di}{dt}}(0^{+})={\dfrac {E}{L}}\;$

#### Expression de la réponse transitoire en i(t) utilisant les conditions initiales (C.I.) suivant la valeur du cœfficient d'amortissement σ
##### σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique

Faisant $\;t=0^{+}\;$ dans l'expression de $\;i(t)=A_{+}\,\exp \!\left(s_{+}\;t\right)+A_{-}\,\exp \!\left(s_{-}\;t\right)\;$ on trouve «$\;A_{+}+A_{-}=0\;$» puis Faisant $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ dans l'express. formant $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)=s_{+}\;A_{+}\,\exp \!\left(s_{+}\;t\right)+s_{-}\;A_{-}\,\exp \!\left(s_{-}\;t\right)\;$ pour en prendre la valeur initiale on trouve «$\;s_{+}\;A_{+}+s_{-}\;A_{-}={\dfrac {E}{L}}\;$» ;
restant donc à résoudre le « système de deux équations linéaires algébriques aux deux inconnues $\;A_{+}\;$ et $\;A_{-}\;$», «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c r c r}A_{+}\!\!&+&\!\!A_{-}\!\!&=&\!\!0\\s_{+}\;A_{+}\!\!&+&\!\!s_{-}\;A_{-}\!\!&=&\!\!{\dfrac {E}{L}}\end{array}}\right\rbrace \;$», on en déduit «$\;A_{+}={\dfrac {1}{s_{+}-s_{-}}}\,{\dfrac {E}{L}}=$ ${\dfrac {1}{2\;{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}}\,{\dfrac {E}{L\;\omega _{0}}}={\dfrac {\sigma }{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}\,{\dfrac {E}{R}}\;$» et «$\;A_{-}=-A_{+}=-{\dfrac {1}{2\;{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}}\,{\dfrac {E}{L\;\omega _{0}}}=-{\dfrac {\sigma }{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}\,{\dfrac {E}{R}}\;$» ;
finalement la réponse apériodique en intensité du courant traversant le $\;R\,L\,C\;$ série s'écrit
$\;i(t)={\dfrac {E}{R}}\,{\dfrac {\sigma }{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}\left[\exp \!\left(s_{+}\;t\right)-\exp \!\left(s_{-}\;t\right)\right]\;$
$\;s_{\pm }=-\sigma \;\omega _{0}\pm \omega _{0}\;{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\;$

##### σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique

Faisant $\;t=0^{+}\;$ dans l'expression de $\;i(t)=\left(A+B\;t\right)\,\exp \!\left(-\omega _{0}\;t\right)\;$ on trouve «$\;A=0\;$» puis Faisant $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ dans l'express. formant $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)=B\,\exp \!\left(-\omega _{0}\;t\right)-\omega _{0}\,\left(A+B\;t\right)\,\exp \!\left(-\omega _{0}\;t\right)\;$ pour en prendre la valeur initiale on trouve $\;B-{\cancel {\omega _{0}\;A}}={\dfrac {E}{L}}\;$ soit «$\;B={\dfrac {E}{L}}=$ $2\;\omega _{0}\;{\dfrac {E}{R_{c}}}\;$» ;
finalement la réponse apériodique critique en intensité du courant traversant le $\;R\,L\,C\;$ série s'écrit
$\;i(t)={\dfrac {E}{R_{c}}}\,\left(2\;\omega _{0}\;t\right)\,\exp \!\left(-\omega _{0}\;t\right)\;$
$\;R_{c}=2\;L\;\omega _{0}\;$
$\;R\,L\,C\;$

##### σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique

Faisant $\;t=0^{+}\;$ dans l'expression de $\;i(t)=A\,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\cos \!\left(\omega \;t+\varphi \right)\;$ on trouve «$\;A\;\cos \!\left(\varphi \right)=0\;$» puis Faisant $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ dans l'express. formant $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)=-\sigma \;\omega _{0}\;A\,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\cos \!\left(\omega \;t+\varphi \right)-\omega \;A\,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\sin \!\left(\omega \;t+\varphi \right)\;$ pour y faire $\;t=0^{+}\;$ on trouve «$\;-{\cancel {\sigma \;\omega _{0}\;A\;\cos \!\left(\varphi \right)}}-\omega \;A\;\sin \!\left(\varphi \right)=$ ${\dfrac {E}{L}}\;$» ou encore, avec $\;\omega =\omega _{0}\;{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}$, la C.I. $\;\omega _{0}\;{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}\;A\;\sin \!\left(\varphi \right)=-{\dfrac {E}{L}}\;$ soit «$\;A\;\sin \!\left(\varphi \right)=$ $-{\dfrac {1}{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\;{\dfrac {E}{L\;\omega _{0}}}=-{\dfrac {2\;\sigma }{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\;{\dfrac {E}{R}}\;$» ;
on détermine alors $\;\varphi \;$ par $\;A\;\cos \!\left(\varphi \right)=0\;$ dans laquelle $\;A\neq 0\;$ soit $\;\cos \!\left(\varphi \right)=0\;$ ou «$\;\varphi =\pm {\dfrac {\pi }{2}}\;$» en se limitant à sa détermination de l'intervalle $\;\left]-\pi \,;\,+\pi \right]\;$ et
$\;\varphi =-{\dfrac {\pi }{2}}\;$
$\;A>0\;$
on en déduit alors $\;A\;$ par $\;A\;\sin \!\left(-{\dfrac {\pi }{2}}\right)=-{\dfrac {2\;\sigma }{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\;{\dfrac {E}{R}}\;$ soit
$\;A={\dfrac {2\;\sigma }{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\;{\dfrac {E}{R}}\;$
finalement la réponse pseudo-périodique en intensité du courant traversant le $\;R\,L\,C\;$ série s'écrit
$\;i(t)={\dfrac {E}{R}}\,{\dfrac {2\;\sigma }{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\cos \!\left(\omega \;t-{\dfrac {\pi }{2}}\right)$
$\;\color {transparent}{i(t)}$
$={\dfrac {E}{R}}\,{\dfrac {2\;\sigma }{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\sin \!\left(\omega \;t\right)\;$
$\;\omega =\omega _{0}\;{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}\;$

##### σ = 0 (absence d'amortissement) et réponse périodique

Remarque préliminaire : En absence de conducteur ohmique, le circuit n'est pas résistif, on ne peut donc pas invoquer la continuité de l'énergie stockée par le condensateur sous forme électrostatique ni celle de l'énergie stockée par la bobine sous forme électromagnétique car l'établissement de celles-ci a nécessité d'utiliser le caractère résistif du circuit$^,$ ;
Remarque préliminaire : toutefois on a induit dans le paragraphe « discontinuité de 2ème espèce de l'excitation et conséquence induite sur l'intensité i(t) du courant traversant le R L C série en t = 0 » plus haut dans ce chapitre, que la discontinuité de 2ème espèce de l'excitation de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2nd ordre en $\;i(t)\;$ avec $\;{\big$ou sans${\big )}\;$ terme du 1er ordre entraînait la « continuité de $\;i(t)\;$ et la discontinuité de 1ère espèce de sa dérivée temporelle 1ère $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$» que le circuit soit résistif ou non soit, compte-tenu de la nullité de $\;i(t)\;$ à l'instant $\;0^{-}$, une 1ère C.I. «$\;i(0^{+})=$ $0\;$» restant valable dans un circuit $\;L\,C\;$ série soumis à un échelon de tension, la 2ème C.I. nécessitant de tracer le circuit à $\;0^{+}\;$ en remplaçant la bobine par un interrupteur ouvert et le condensateur par son équivalent à savoir un court-circuit dont on déduit $\;u_{L}(0^{+})=E\;$ et «$\;{\dfrac {di}{dt}}(0^{+})={\dfrac {E}{L}}\;$».
Faisant $\;t=0^{+}\;$ dans l'expression de $\;i(t)=A\,\cos \!\left(\omega _{0}\;t\right)+B\,\sin \!\left(\omega _{0}\;t\right)\;$, on trouve «$\;A=0\;$» puis Faisant $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ dans l'express. formant $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)={\cancel {-A\;\omega _{0}\,\sin \!\left(\omega _{0}\;t\right)}}+B\;\omega _{0}\,\cos \!\left(\omega _{0}\;t\right)\;$ pour en prendre la valeur initiale on trouve «$\;B\;\omega _{0}={\dfrac {E}{L}}\;$» soit «$\;B={\dfrac {E}{L\;\omega _{0}}}=$ $C\;\omega _{0}\;E$» ou, en substituant $\;\omega _{0}={\dfrac {1}{\sqrt {L\;C}}}$, une 3ème expression «$\;B={\sqrt {\dfrac {C}{L}}}\;E\;$» ;
finalement la réponse périodique en intensité du courant traversant le $\;L\,C\;$ série s'écrit
$\;i(t)={\dfrac {E}{L\;\omega _{0}}}\;\sin \!\left(\omega _{0}\;t\right)=C\;\omega _{0}\;E\;\sin \!\left(\omega _{0}\;t\right)={\sqrt {\dfrac {C}{L}}}\;E\;\sin \!\left(\omega _{0}\;t\right)\;$

#### Tracé du diagramme temporel de la variation de i(t) dans le cas d'une réponse transitoire pseudo-périodique et commentaires

Remarque préliminaire : Le tracé et les commentaires sont quasi identiques à ceux exposés dans le paragraphe « tracé du diagramme temporel de la variation de u$_C$(t) dans le cas d'une réponse transitoire pseudo-périodique et commentaires » plus haut dans ce chapitre, ils sont néanmoins “rappelés” ci-dessous.
La courbe est pseudo-périodique de pseudo-période $\;T={\dfrac {2\;\pi }{\omega }}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}\;{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}}\;$ ou, en introduisant la période propre $\;T_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}$, une « pseudo-période $\;T={\dfrac {T_{0}}{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\;$ toujours $\;>\;$ à la période propre $\;T_{0}\;$» et ceci d'autant plus que le cœfficient d'amortissement $\;\sigma \;$ se rapproche de sa valeur critique $\;\sigma _{c}=1$ ;
ci-contre, ont également été tracées les « enveloppes » supérieure et inférieure dont « les contacts avec le graphe de $\;i(t)\;$ correspondent respectivement à $\;\sin \!\left(\omega \;t\right)=-1\;$ et $\;\sin \!\left(\omega \;t\right)=+1\;$» ;
on en déduit les propriétés suivantes :
* deux points de contact successifs de la courbe avec l'enveloppe supérieure $\;{\big$ou inférieure${\big )}\;$ sont de temps séparés de $\;T$ ;
* deux points de contact successifs de la courbe avec l'enveloppe supérieure et inférieure sont de temps séparés de $\;{\dfrac {T}{2}}$ ;
* un point de contact de la courbe avec l'enveloppe supérieure $\;{\big$ou inférieure${\big )}\;$ et le 1er point coupant la droite $\;i(t)=0\;$ sont de temps séparés de $\;{\dfrac {T}{4}}$ ;
* variation exponentielle des enveloppes supérieure et inférieure avec une « constante de temps égale à $\;{\dfrac {1}{\sigma \;\omega _{0}}}=2\;\tau \;$» $\;{\big$justifiant que l'on estime le régime transitoire achevé $\;-\;$ à moins de $\;1\,\%\;$ près $\;-\;$ au bout de $\;10\;\tau {\big )}$, une conséquence étant que les tangentes aux enveloppes à $\;t=0^{+}\;$ recoupe la droite $\;i(t)=0\;$ à la date $\;2\;\tau$ ;
toutes ces propriétés sont largement suffisantes pour assurer un tracé correct du diagramme horaire.
Remarque : les points de contact de la courbe avec les enveloppes correspondent aux instants $\;t_{\text{env}}\;$ tels que $\;\sin \!\left(\omega \;t_{\text{env}}\right)=\pm 1\;$ et non aux instants $\;t_{\text{extr}}\;$ pour lesquelles la courbe prend des valeurs « extrémales » ; il n'est pas a priori nécessaire de déterminer les instants $\;t_{\text{extr}}\;$ pour tracer la courbe mais s'il est demandé de les évaluer pour d'autres raisons on procède comme suit :
Remarque : «$\;t_{\text{extr}}\;$ sont définis par $\;{\dfrac {di}{dt}}(t_{\text{extr}})=0\;$» avec la dérivée temporelle 1ère de $\;i(t)={\dfrac {E}{R}}\,{\dfrac {2\;\sigma }{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\sin \!\left(\omega \;t\right)\;$ s'explicitant selon «$\;{\dfrac {di}{dt}}(t)=$ ${\dfrac {E}{R}}\,{\dfrac {2\;\sigma }{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\,\left[-\sigma \;\omega _{0}\,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\sin \!\left(\omega \;t\right)+\omega \,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\cos \!\left(\omega \;t\right)\right]\;$» d'où, après simplification évidente, l'équation «$\;-\sigma \;\omega _{0}\;\sin \!\left(\omega \;t_{\text{extr}}\right)+\omega \;\cos \!\left(\omega \;t_{\text{extr}}\right)=0\;$» que l'on résout en évaluant la tangente de l'angle «$\;\tan \!\left(\omega \;t_{\text{extr}}\right)={\dfrac {\omega }{\sigma \;\omega _{0}}}=$ ${\dfrac {\sqrt {1-\sigma ^{2}}}{\sigma }}\;$», les racines $\;\omega \;t_{\text{extr}}\;$ étant définies à $\;\pi \;$ près selon «$\;\omega \;t_{\text{extr}}=\arctan \!\left({\dfrac {\sqrt {1-\sigma ^{2}}}{\sigma }}\right)+k\;\pi ,\;\;k\in \mathbb {N} \;$» soit finalement les instants cherchés «$\;t_{\text{extr}}=$ ${\dfrac {\arctan \!\left({\dfrac {\sqrt {1-\sigma ^{2}}}{\sigma }}\right)}{\omega }}+k\;{\dfrac {\pi }{\omega }},\;\;k\in \mathbb {N} \;$», établissant que les valeurs extrémales sont régulièrement réparties avec une périodicité de $\;{\dfrac {T}{2}}$.

## Étude théorique du « R L C série » soumis à un échelon de tension, réponse en tension aux bornes de la bobine (parfaite)
### Équation différentielle en tension aux bornes de la bobine (parfaite) d'un « R L C série » série soumis à un échelon de tension

L'équation différentielle en $\;u_{L}(t)$, tension aux bornes de la bobine $\;{\big$parfaite${\big )}\;$ du circuit série ci-contre, s'obtient par équation de maille dans laquelle ne doit rester que $\;u_{L}(t)$ :
pour tout $\;t$, $\;u_{L}(t)+R\;i(t)+u_{C}(t)-E\;Y(t)=0\;\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$ où il convient d'éliminer $\;i(t)\;$ et $\;u_{C}(t)\;$ au profit de $\;u_{L}(t)\;$ en utilisant $\;i(t)=$ $C\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)={\dfrac {i(t)}{C}}\;$ et $\;u_{L}(t)=L\;{\dfrac {di}{dt}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)={\dfrac {u_{L}(t)}{L}}\;$ d'où, pour tout $\;\color {transparent}{t}$, en dérivant temporellement la relation $\;\left({\mathfrak {b}}\right)$, $\;{\dfrac {du_{L}}{dt}}(t)+R\;{\dfrac {1}{L}}\;u_{L}(t)+{\dfrac {1}{C}}\;i(t)=E\;\delta (t)\;\;\left({\mathfrak {b}}'\right)\;$ puis, pour tout $\;\color {transparent}{t}$, en dérivant temporellement la relation $\;\left({\mathfrak {b'}}\right)\;$ ci-dessus, $\;{\dfrac {d^{2}u_{L}}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {R}{L}}\;{\dfrac {du_{L}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{C}}\;{\dfrac {u_{L}(t)}{L}}=E\;{\dot {\delta }}(t)\;$ soit finalement, pour tout $\;\color {transparent}{t}$, l'équation différentielle en $\;u_{L}(t)\;$ suivante
$\;{\dfrac {d^{2}u_{L}}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {R}{L}}\;{\dfrac {du_{L}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{L\;C}}\;u_{L}(t)=E\;{\dot {\delta }}(t)\;\;\forall \;t\;$
$\;t=0$

### “ Discontinuité de 3ème espèce ” de l'excitation et conséquence induite sur la tension u$_L$(t) aux bornes de la bobine (parfaite) du « R L C série » en t = 0

Nous avons admis dans le chap.$21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » que le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reporte sur le plus haut ordre de dérivée du 1er membre $\Rightarrow$ « la dérivée temporelle 2nde de la solution générale est “ discontinue de 3ème espèce ” en $\;t=0\;$», et que le numéro d'espèce de discontinuité $\;\searrow \;$ d'une unité à chaque prise de primitive $\Rightarrow$ « la dérivée temporelle 1ère de la solution générale est discontinue de 2ème espèce en $\;t=0\;$» et « la solution générale discontinue de 1ère espèce en $\;t=0\;$» ;
en conclusion on induit que $\;u_{L}(t)\;$ est discontinue de 1ère espèce et $\;{\dfrac {du_{L}}{dt}}(t)\;$ discontinue de 2ème espèce en $\;t=0$, en conclusion on justifie la 1ère induction en traçant le circuit à $\;0^{+}\;$ dans lequel on remplace la bobine et le condensateur par leur équivalent, à savoir, dans la mesure où la bobine n'est initialement traversée par aucun courant et le condensateur est initialement déchargé :
* équivalent de la bobine à $\;0^{+}\;\rightsquigarrow \;$ un interrupteur ouvert $\;{\big$on utilise de nouveau la continuité de l'intensité du courant traversant une bobine parfaite dans un circuit « réel »${\big )}\;$ et
* équivalent du condensateur à $\;0^{+}\;\rightsquigarrow \;$ un court-circuit $\;{\big$on utilise ici la propriété de continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parfait dans un circuit « réel »${\big )}\;$
en conclusion ainsi que la 2ème induction en revenant à la relation $\;\left({\mathfrak {b}}'\right)\;$ et en y faisant $\;t=0^{+}\;$ soit $\;{\dfrac {du_{L}}{dt}}(0^{+})+R\;{\dfrac {1}{L}}\;u_{L}(0^{+})+{\dfrac {1}{C}}\;i(0^{+})={\cancel {E\;\delta (0^{+})}}\;$ dans laquelle $\;i(0^{+})\;$ utilise la propriété de continuité de l'intensité du courant traversant une bobine parfaite dans un circuit « réel » et $\;u_{L}(0^{+})\;$ a été déterminé par circuit à $\;0^{+}$.

### Établissement de la réponse en tension u$_L$(t) aux bornes de la bobine (parfaite) du « R L C série » soumis à un échelon de tension, réduction canonique, régime libre, absence de réponse forcée (ou permanente), réponse transitoire
#### Rappel de l'équation différentielle en u$_L$(t) écrite pour t > 0 et absence de réponse forcée

Quand $\;t\;$ est positif, $\;{\dot {\delta }}(t)\;$ vaut $\;0\;$ et l'équation différentielle se réécrit
$\;{\ddot {u}}_{L}(t)+{\dfrac {R}{L}}\;{\dot {u}}_{L}(t)+{\dfrac {1}{L\;C}}\;u_{L}(t)=0\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$
L'équation différentielle linéaire en $\;u_{L}(t)\;$ étant homogène pour $\;t>0\;$, il n'y a pas de réponse forcée.

#### Réduction canonique la plus usitée

Les réductions canoniques ne dépendant que du 1er membre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre et celui-ci étant le même pour une réponse en $\;u_{L}(t)$, en $\;i(t)\;$ ou en $\;u_{C}(t)\;$ d'un $\;R\,L\,C\;$ série, on a les mêmes réductions canoniques qu'au paragraphe « réductions canoniques {de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2nd ordre en u$_C$(t)} » plus haut dans ce chapitre ;
on utilisera la 1ère pour la suite avec introduction
* de la « pulsation propre $\;\omega _{0}={\dfrac {1}{\sqrt {L\;C}}}\;$» et
* du « cœfficient d'amortissement $\;\sigma \geqslant 0\;$$^,$ tel que $\;{\dfrac {R}{L}}=2\;\sigma \;\omega _{0}\;$» ;
l'équation différentielle réduite s'écrit alors «$\;{\dfrac {d^{2}u_{L}}{dt^{2}}}(t)+2\;\sigma \;\omega _{0}\;{\dfrac {du_{L}}{dt}}(t)+\omega _{0}^{2}\;u_{L}(t)=0\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$».

#### Détermination de la solution générale libre de l'équation différentielle en u$_L$(t)

Cette dernière passe par la résolution de l'équation caractéristique «$\;s^{2}+2\;\sigma \;\omega _{0}\;s+\omega _{0}^{2}=0\;$», laquelle étant la même qu'au paragraphe « détermination de la solution générale libre de l'équation différentielle en u$_C$(t) » exposé plus haut dans ce chapitre conduit à la même résolution, à savoir :

##### Évaluation du discriminant réduit

Le discriminant réduit de l'équation caractéristique «$\;s^{2}+2\;\sigma \;\omega _{0}\;s+\omega _{0}^{2}=0\;$» vaut
$\;\Delta '=\left(\sigma \;\omega _{0}\right)^{2}-\omega _{0}^{2}=\omega _{0}^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\;$

##### Discussion suivant la valeur du cœfficient d'amortissement σ
###### σ > 1 (fort amortissement)

«$\;\Delta '\;$ étant $\;>0\;$» les racines de l'équation caractéristique sont réelles et distinctes égales à «$\;s_{\pm }=-\sigma \;\omega _{0}\pm \omega _{0}\;{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\;$», la solution générale libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre à laquelle obéit $\;u_{L}(t)\;$ est apériodique et s'écrit
$\;u_{L,\,l}(t)=A_{+}\,\exp \!\left(s_{+}\;t\right)+A_{-}\,\exp \!\left(s_{-}\;t\right)\;$
$\;{\big \A_{+}\;$
$\;A_{-}\;$
${\big \}$
$\;\color {transparent}{u_{L,\,l}(t)}\;$
$=A_{+}\,\exp \!\left[-\omega _{0}\left(\sigma -{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right)\,t\right]+A_{-}\,\exp \!\left[-\omega _{0}\left(\sigma +{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right)\,t\right]\;$
Remarques : Voir la réécriture de la condition de positivité du discriminant réduit de l'équation caractéristique «$\;\sigma >1\;$» en utilisant la 2ème ou 3ème réduction canonique au paragraphe « σ > 1 (fort amortissement) (remarques) » plus haut dans ce chapitre à savoir «$\;Q<{\dfrac {1}{2}}\;$» ou «$\;\tau <{\dfrac {1}{2\;\omega _{0}}}={\dfrac {T_{0}}{4\;\pi }}\;$».

###### σ = 1 (amortissement critique)

«$\;\Delta '\;$ étant $\;=0\;$» l'équation caractéristique a une racine réelle double égale à «$\;s_{d}=-\omega _{0}\;$», la solution générale libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre à laquelle obéit $\;u_{L}(t)\;$ est apériodique critique et s'écrit
$\;u_{L,\,l}(t)=\left(A+B\;t\right)\,\exp \!\left(s_{d}\;t\right)\;$
$\;{\big \A\;$
$\;B\;$
${\big \}$
$\;\color {transparent}{u_{L,\,l}(t)}\;$
$=\left(A+B\;t\right)\,\exp \!\left(-\omega _{0}\;t\right)\;$
Remarques : Voir la réécriture de la condition de nullité du discriminant réduit de l'équation caractéristique «$\;\sigma =\sigma _{c}=1\;$» en utilisant la 2ème ou 3ème réduction canonique au paragraphe « σ = 1 (amortissement critique) (remarques) » plus haut dans ce chapitre à savoir «$\;Q=Q_{c}={\dfrac {1}{2}}\;$» ou «$\;\tau =\tau _{c}={\dfrac {1}{2\;\omega _{0}}}={\dfrac {T_{0}}{4\;\pi }}\;$».

###### σ < 1 (faible amortissement)

«$\;\Delta '\;$ étant $\;<0\;$» l'équation caractéristique n'a aucune racine réelle mais deux racines complexes conjuguées «$\;{\underline {s_{\pm }}}=-\sigma \;\omega _{0}\pm j\;\omega _{0}\;{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}\;$» ou, «$\;{\underline {s_{\pm }}}=-\sigma \;\omega _{0}\pm j\;\omega \;$» en introduisant la notion de « pseudo-pulsation $\;\omega =\omega _{0}\;{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}<\omega _{0}\;$»,
«$\;\color {transparent}{\Delta '}\;$ étant $\;\color {transparent}{<0}\;$» la solution générale libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre à laquelle obéit $\;u_{L}(t)\;$ est pseudo-périodique et s'écrit
$\;u_{L,\,l}(t)=A\,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\cos \!\left(\omega \;t+\varphi \right)\;$
$\;A\;$
$\;\varphi \;$
Remarques : Voir la réécriture de la condition de négativité du discriminant réduit de l'équation caractéristique «$\;\sigma <1\;$» en utilisant la 2ème ou 3ème réduction canonique au paragraphe « σ < 1 (faible amortissement) (remarques) » plus haut dans ce chapitre à savoir «$\;Q>{\dfrac {1}{2}}\;$» ou «$\;\tau >{\dfrac {1}{2\;\omega _{0}}}={\dfrac {T_{0}}{4\;\pi }}\;$».

###### σ = 0 (absence d'amortissement)

L'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre sans terme du 1er ordre hétérogène en $\;u_{L}(t)\;$ s'écrivant
$\;{\ddot {u}}_{L}(t)+\omega _{0}^{2}\;u_{L}(t)={\dfrac {E}{L}}\;{\dot {\delta }}(t)\;$
on écrit directement la solution générale libre périodique sous la forme
$\;u_{L,\,l}(t)=A\,\cos \!\left(\omega _{0}\;t+\varphi \right)\;$
$\;{\big \A\;$
$\;\varphi \;$
${\big \}$
$\;\color {transparent}{u_{L,\,l}(t)}\;$
$=A'\,\cos \!\left(\omega _{0}\;t\right)+B'\,\sin \!\left(\omega _{0}\;t\right)\;$
$\;{\big \A'\;$
$\;B'\;$
${\big \}$
Remarques : Voir la réécriture de la condition d'absence d'amortissement «$\;\sigma =0\;$» en utilisant la 2ème ou 3ème réduction canonique au paragraphe « σ = 0 (absence d'amortissement) (remarques) » plus haut dans ce chapitre à savoir «$\;Q=Q_{\text{lim}}\,:\,\infty \;$» ou «$\;\tau =\tau _{\text{lim}}\,:\,\infty \;$».

#### Forme de la réponse transitoire en u$_L$(t) suivant la valeur du cœfficient d'amortissement σ

« En absence de réponse forcée » de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre en $\;u_{L}(t)\;$ à l'échelon de tension d'amplitude $\;E$, « la réponse transitoire $\;u_{L}(t)\;$ s'identifie à la réponse libre $\;u_{L,\,l}(t)\;$» d'où :

##### σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique

$\;u_{L}(t)=A_{+}\,\exp \!\left(s_{+}\;t\right)+A_{-}\,\exp \!\left(s_{-}\;t\right)$
$\;\color {transparent}{u_{L}(t)}\;$
$=A_{+}\,\exp \!\left[-\omega _{0}\left(\sigma -{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right)\,t\right]+A_{-}\,\exp \!\left[-\omega _{0}\left(\sigma +{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right)\,t\right]\;$
$\;{\big \A_{+}\;$
$\;A_{-}\;$
${\big \}$

##### σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique

$\;u_{L}(t)=\left(A+B\;t\right)\,\exp \!\left(s_{d}\;t\right)$
$\;\color {transparent}{u_{L}(t)}\;$
$=\left(A+B\;t\right)\,\exp \!\left(-\omega _{0}\;t\right)\;$
$\;{\big \A\;$
$\;B\;$
${\big \}$

##### σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique

$\;u_{L}(t)=A\,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\cos \!\left(\omega \;t+\varphi \right)\;$
$\;\omega =\omega _{0}\;{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}\;$
$\;{\big \A\;$
$\;\varphi \;$
${\big \}$

##### σ = 0 (absence d'amortissement) et réponse périodique

$\;u_{L}(t)=A\,\cos \!\left(\omega _{0}\;t+\varphi \right)\;$
$\;\color {transparent}{u_{L}(t)}\;$
$=A'\,\cos \!\left(\omega _{0}\;t\right)+B'\,\sin \!\left(\omega _{0}\;t\right)\;$
$\;{\big \A\;$
$\;\varphi \;$
${\big$
$\;A'\;$
$\;B'{\big )}\;$
${\big \}$

#### Détermination des conditions initiales (C.I.) en u$_L$(t)

N'ayant aucune propriété de continuité de $\;u_{L}(t)\;$ ainsi que de sa dérivée temporelle $\;{\dfrac {du_{L}}{dt}}(t)\;$ dans un circuit réel, nous obtiendrons la valeur initiale de la 1ère en traçant le circuit à $\;0^{+}\;$ dans lequel on remplace la bobine par un interrupteur ouvert et le condensateur initialement déchargé par un court-circuit voir ci-contre ;
la tension $\;E\;$ aux bornes de la source se retrouve aux bornes de l'interrupteur ouvert remplaçant la bobine à l'instant $\;0^{+}\;$ d'où $\;u_{L}(0^{+})=E$ ;
la 2ème C.I. nécessite de revenir à la relation $\;\left({\mathfrak {b}}'\right)\;$ et d'y faire $\;t=0^{+}\;$ en utilisant la propriété de continuité de l'intensité du courant traversant une bobine parfaite dans un circuit «~réel~» dans le cas où initialement la bobine n'est traversée par aucun courant et $\;u_{L}(0^{+})\;$ précédemment déterminée par circuit à $\;0^{+}\;$ d'où la relation $\;({\mathfrak {b}}')(0^{+})\;$ donnant $\;{\dfrac {du_{L}}{dt}}(0^{+})+R\;{\dfrac {1}{L}}\;u_{L}(0^{+})+{\cancel {{\dfrac {1}{C}}\;i(0^{+})}}={\cancel {E\;\delta (0^{+})}}\;$ ou $\;{\dfrac {du_{L}}{dt}}(0^{+})=-{\dfrac {R}{L}}\;E$.
$\;u_{L}(0^{+})=E\;$
$\;{\dfrac {du_{L}}{dt}}(0^{+})=-{\dfrac {R}{L}}\;E\;$

#### Expression de la réponse transitoire en u$_L$(t) utilisant les conditions initiales (C.I.) suivant la valeur du cœfficient d'amortissement σ
##### σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique

Faisant $\;t=0^{+}\;$ dans l'expression de $\;u_{L}(t)=A_{+}\,\exp \!\left(s_{+}\;t\right)+A_{-}\,\exp \!\left(s_{-}\;t\right)\;$ on trouve «$\;A_{+}+A_{-}=E\;$» puis Faisant $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ dans l'express. formant $\;{\dfrac {du_{L}}{dt}}(t)=s_{+}\;A_{+}\,\exp \!\left(s_{+}\;t\right)+s_{-}\;A_{-}\,\exp \!\left(s_{-}\;t\right)\;$ pour en prendre la valeur initiale on trouve «$\;s_{+}\;A_{+}+s_{-}\;A_{-}=-{\dfrac {R}{L}}\;E\;$» ;
restant donc à résoudre le « système de deux équations linéaires algébriques aux deux inconnues $\;A_{+}\;$ et $\;A_{-}\;$», «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c r c r}A_{+}\!\!&+&\!\!A_{-}\!\!&=&\!\!E\\s_{+}\;A_{+}\!\!&+&\!\!s_{-}\;A_{-}\!\!&=&\!\!-{\dfrac {R}{L}}\;E\end{array}}\right\rbrace \;$», on en déduit «$\;A_{+}=-{\dfrac {{\dfrac {R}{L}}+s_{-}}{s_{+}-s_{-}}}\,E=$ ${\dfrac {s_{+}}{s_{+}-s_{-}}}\,E\;$ ou $\;A_{+}={\dfrac {-\sigma +{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}{2\;{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}}\,E\;$» et «$\;A_{-}=E-A_{+}={\dfrac {\sigma +{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}{2\;{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}}\,E\;$» ;
finalement la réponse apériodique en tension aux bornes de la bobine $\;{\big$parfaite${\big )}\;$ du $\;R\,L\,C\;$ série s'écrit
$\;u_{L}(t)={\dfrac {E}{2\;{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}}\left[-\left(\sigma -{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right)\,\exp \!\left(s_{+}\;t\right)+\left(\sigma +{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right)\,\exp \!\left(s_{-}\;t\right)\right]\;$
$\;s_{\pm }=-\sigma \;\omega _{0}\pm \omega _{0}\;{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\;$

##### σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique

Faisant $\;t=0^{+}\;$ dans l'expression de $\;u_{L}(t)=\left(A+B\;t\right)\,\exp \!\left(-\omega _{0}\;t\right)\;$ on trouve «$\;A=E\;$» puis Faisant $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ dans l'express. formant $\;{\dfrac {du_{L}}{dt}}(t)=B\,\exp \!\left(-\omega _{0}\;t\right)-\omega _{0}\,\left(A+B\;t\right)\,\exp \!\left(-\omega _{0}\;t\right)\;$ pour y faire $\;t=0^{+}\;$ on trouve $\;B-\omega _{0}\;A=-{\dfrac {R_{c}}{L}}\;E\;$ soit «$\;B=\left(\omega _{0}-{\dfrac {R_{c}}{L}}\right)\,E=-\omega _{0}\;E\;$» ;
finalement la réponse apériodique critique en tension aux bornes de la bobine $\;{\big$parfaite${\big )}\;$ du $\;R\,L\,C\;$ série s'écrit
$\;u_{L}(t)=E\,\left(1-\omega _{0}\;t\right)\,\exp \!\left(-\omega _{0}\;t\right)\;$
$\;\omega _{0}={\dfrac {R_{c}}{2\;L}}\;$
$\;R_{c}\;$
$\;R\,L\,C\;$

##### σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique

Faisant $\;t=0^{+}\;$ dans l'expression de $\;u_{L}(t)=A\,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\cos \!\left(\omega \;t+\varphi \right)\;$ on trouve «$\;A\;\cos \!\left(\varphi \right)=E\;$» puis Faisant $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ dans l'express. formant $\;{\dfrac {du_{L}}{dt}}(t)=-\sigma \;\omega _{0}\;A\,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\cos \!\left(\omega \;t+\varphi \right)-\omega \;A\,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\sin \!\left(\omega \;t+\varphi \right)\;$ pour y faire $\;t=0^{+}\;$ on trouve «$\;-\sigma \;\omega _{0}\;A\;\cos \!\left(\varphi \right)-\omega \;A\;\sin \!\left(\varphi \right)$ $=-{\dfrac {R}{L}}\;E\;$» ou encore, avec $\;\omega =\omega _{0}\;{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}$, la C.I. se réécrit «$\;\sigma \;A\;\cos \!\left(\varphi \right)+{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}\;A\;\sin \!\left(\varphi \right)=$ ${\dfrac {R}{L\;\omega _{0}}}\;E\;=2\;\sigma \;E\;$» ;
les deux équations aux deux variables $\;A\;$ et $\;\varphi \;$ ne sont pas linéaires mais, en considérant les deux variables $\;A\,\cos(\varphi )\;$ et $\;A\,\sin(\varphi )\;$ on obtient un « système de deux équations linéaires algébriques aux deux inconnues $\;A\,\cos(\varphi )\;$ et $\;A\,\sin(\varphi )\;$» selon «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c r c r}A\;\cos \!\left(\varphi \right)\!\!&&\!\!\!\!&=&\!\!E\\\sigma \;A\;\cos \!\left(\varphi \right)\!\!&+&\!\!{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}\;A\;\sin \!\left(\varphi \right)\!\!&=&\!\!2\;\sigma \;E\end{array}}\right\rbrace \;$», on en déduit «$\;A\;\cos \!\left(\varphi \right)=E\;$» d'une part et «$\;A\;\sin \!\left(\varphi \right)={\dfrac {-\sigma \;A\;\cos \!\left(\varphi \right)+2\;\sigma \;E}{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\,=$ ${\dfrac {\sigma }{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\,E\;$» d'autre part ;
on détermine alors $\;A\;$ par élimination de $\;\varphi \;$ selon «$\;\left[A\;\cos \!\left(\varphi \right)\right]^{2}+\left[A\;\sin \!\left(\varphi \right)\right]^{2}=A^{2}\;$» ou $\;A^{2}=E^{2}+{\dfrac {\sigma ^{2}}{1-\sigma ^{2}}}\,E^{2}={\dfrac {1}{1-\sigma ^{2}}}\,E^{2}\;$ soit, en conservant la valeur positive de $\;A\;$,
$\;A={\dfrac {1}{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\,E\;$
on détermine alors $\;\varphi \;$ par «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c c c c c}\cos(\varphi )\!\!&=&\!\!{\dfrac {E}{A}}\!\!&=&\!\!{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}\!\!&>&\!\!0\\\sin(\varphi )\!\!&=&\!\!{\dfrac {{\dfrac {\sigma }{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\,E}{A}}\!\!&=&\!\!\sigma \!\!&>&\!\!0\end{array}}\right\rbrace \;$» ou encore, en choisissant la valeur de $\;\varphi \;$ dans l'intervalle $\;\left]0\,;\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$ telle que $\;\tan(\varphi )={\dfrac {\sigma }{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\;$ soit, en inversant et en tenant compte de son intervalle de définition
$\;\varphi =\arctan \!\left[{\dfrac {\sigma }{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\right]\;$
finalement la réponse pseudo-périodique en tension aux bornes de la bobine $\;{\big$parfaite${\big )}\;$ du $\;R\,L\,C\;$ série s'écrit
$\;u_{L}(t)={\dfrac {E}{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\cos \!\left(\omega \;t+\varphi \right)\;$
$\;\omega =\omega _{0}\;{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}\;$
$\;\varphi =\arctan \!\left({\dfrac {\sigma }{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\right)\;$

##### σ = 0 (absence d'amortissement) et réponse périodique

Remarque préliminaire : En absence de conducteur ohmique, le circuit n'est pas résistif, on ne peut donc pas invoquer la continuité de l'énergie stockée par le condensateur sous forme électrostatique ni celle de l'énergie stockée par la bobine sous forme électromagnétique car l'établissement de celles-ci a nécessité d'utiliser le caractère résistif du circuit$^,$ ;
Remarque préliminaire : toutefois on a induit dans le paragraphe « discontinuité de 3ème espèce de l'excitation et conséquence induite sur la tension u$_L$(t) aux bornes de la bobine (parfaite) du R L C série en t = 0 » plus haut dans ce chapitre, que la “ discontinuité de 3ème espèce ” de l'excitation de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2nd ordre en $\;u_{L}(t)\;$ avec $\;{\big$ou sans${\big )}\;$ terme du 1er ordre entraînait la « discontinuité de 1ère espèce de $\;u_{L}(t)\;$ et la celle de 2ème espèce de sa dérivée temporelle 1ère $\;{\dfrac {du_{L}}{dt}}(t)\;$» que le circuit soit résistif ou non soit, Remarque préliminaire : une 1ère C.I. obtenue par tracé du circuit à $\;0^{+}\;$ en remplaçant la bobine par un interrupteur ouvert et le condensateur par un court-circuit «$\;u_{L}(0^{+})=$ $E\;$» restant valable dans un circuit $\;L\,C\;$ série soumis à un échelon de tension, Remarque préliminaire : la 2ème C.I. s'obtenant en revenant à la relation $\;\left({\mathfrak {b}}'\right)\;$ et en y faisant $\;t=0^{+}\;$, équation dans laquelle on utilise la propriété de continuité de l'intensité du courant dans le cas où initialement la bobine n'est traversée par aucun courant, soit finalement la 2ème C.I. «$\;{\dfrac {du_{L}}{dt}}(0^{+})=0\;$» valable dans un circuit $\;L\,C\;$ série soumis à un échelon de tension.
Faisant $\;t=0^{+}\;$ dans l'expression de $\;u_{L}(t)=A\,\cos \!\left(\omega _{0}\;t\right)+B\,\sin \!\left(\omega _{0}\;t\right)\;$, on trouve «$\;A=E\;$» puis Faisant $\;\color {transparent}{t=0^{+}}\;$ dans l'express. formant $\;{\dfrac {du_{L}}{dt}}(t)=-A\;\omega _{0}\,\sin \!\left(\omega _{0}\;t\right)+B\;\omega _{0}\,\cos \!\left(\omega _{0}\;t\right)\;$ pour en prendre la valeur initiale on trouve «$\;B\;\omega _{0}=0\;$» soit «$\;B=0\;$» ;
finalement la réponse périodique en tension aux bornes de la bobine $\;{\big$parfaite${\big )}\;$ du $\;L\,C\;$ série s'écrit
$\;u_{L}(t)=E\;\cos \!\left(\omega _{0}\;t\right)\;$

#### Tracé du diagramme temporel de la variation de u$_L$(t) dans le cas d'une réponse transitoire pseudo-périodique et commentaires

Remarque préliminaire : Le tracé et les commentaires sont quasi identiques à ceux exposés dans le paragraphe « tracé du diagramme temporel de la variation de u$_C$(t) dans le cas d'une réponse transitoire pseudo-périodique et commentaires » plus haut dans ce chapitre, ils sont néanmoins “rappelés” ci-dessous.
La courbe est pseudo-périodique de pseudo-période $\;T={\dfrac {2\;\pi }{\omega }}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}\;{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}}\;$ ou, en introduisant la période propre $\;T_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}$, une « pseudo-période $\;T={\dfrac {T_{0}}{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\;$ toujours $\;>\;$ à la période propre $\;T_{0}\;$» et ceci d'autant plus que le cœfficient d'amortissement $\;\sigma \;$ se rapproche de sa valeur critique $\;\sigma _{c}=1$ ;
ci-contre, ont également été tracées les « enveloppes » supérieure et inférieure dont « les contacts avec le graphe de $\;u_{L}(t)\;$ correspondent respectivement à $\;\cos \!\left(\omega \;t+\varphi \right)=+1\;$ et $\;\cos \!\left(\omega \;t+\varphi \right)=-1\;$» ;
on en déduit les propriétés suivantes :
* deux points de contact successifs de la courbe avec l'enveloppe supérieure $\;{\big$ou inférieure${\big )}\;$ sont de temps séparés de $\;T$ ;
* deux points de contact successifs de la courbe avec l'enveloppe supérieure et inférieure sont de temps séparés de $\;{\dfrac {T}{2}}$ ;
* un point de contact de la courbe avec l'enveloppe supérieure $\;{\big$ou inférieure${\big )}\;$ et le 1er point coupant la droite $\;u_{L}(t)=0\;$ sont de temps séparés de $\;{\dfrac {T}{4}}$ ;
* variation exponentielle des enveloppes supérieure et inférieure avec une « constante de temps égale à $\;{\dfrac {1}{\sigma \;\omega _{0}}}=2\;\tau \;$» $\;{\big$justifiant que l'on estime le régime transitoire achevé $\;-\;$ à moins de $\;1\,\%\;$ près $\;-\;$ au bout de $\;10\;\tau {\big )}$, une conséquence étant que les tangentes aux enveloppes à $\;t=0^{+}\;$ recoupe la droite $\;u_{L}(t)=0\;$ à la date $\;2\;\tau$ ;
toutes ces propriétés sont largement suffisantes pour assurer un tracé correct du diagramme horaire.
Remarque : les points de contact de la courbe avec les enveloppes correspondent aux instants $\;t_{\text{env}}\;$ tels que $\;\cos \!\left(\omega \;t_{\text{env}}+\varphi \right)=\pm 1\;$ et non aux instants $\;t_{\text{extr}}\;$ pour lesquelles la courbe prend des valeurs « extrémales » ; il n'est pas a priori nécessaire de déterminer les instants $\;t_{\text{extr}}\;$ pour tracer la courbe mais s'il est demandé de les évaluer pour d'autres raisons on procède comme suit :
Remarque : «$\;t_{\text{extr}}\;$ sont définis par $\;{\dfrac {du_{L}}{dt}}(t_{\text{extr}})=0\;$» avec la dérivée temporelle 1ère de $\;u_{L}(t)={\dfrac {E}{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\cos \!\left(\omega \;t+\varphi \right)\;$ s'explicitant selon «$\;{\dfrac {du_{L}}{dt}}(t)=$ ${\dfrac {E}{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\,\left[-\sigma \;\omega _{0}\,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\cos \!\left(\omega \;t+\varphi \right)-\omega \,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\sin \!\left(\omega \;t+\varphi \right)\right]\;$» d'où, après simplification évidente, l'équation «$\;-\sigma \;\omega _{0}\;\cos \!\left(\omega \;t_{\text{extr}}+\varphi \right)-\omega \;\sin \!\left(\omega \;t_{\text{extr}}+\varphi \right)=0\;$» que l'on résout en évaluant la tangente de l'angle «$\;\tan \!\left(\omega \;t_{\text{extr}}+\varphi \right)=-{\dfrac {\sigma \;\omega _{0}}{\omega }}=$ $-{\dfrac {\sigma }{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\;$», les racines $\;\omega \;t_{\text{extr}}+\varphi \;$ étant définies à $\;\pi \;$ près selon «$\;\omega \;t_{\text{extr}}+\varphi =-\arctan \!\left({\dfrac {\sigma }{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\right)+k\;\pi ,\;\;k\in \mathbb {N} ^{*}\;$» soit finalement, avec $\;\varphi =\arctan \!\left({\dfrac {\sigma }{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\right)$, les instants cherchés «$\;t_{\text{extr}}=$ $-2\;{\dfrac {\arctan \!\left({\dfrac {\sigma }{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\right)}{\omega }}+k\;{\dfrac {\pi }{\omega }}=-2\;{\dfrac {\varphi }{\omega }}+k\;{\dfrac {\pi }{\omega }},\;\;k\in \mathbb {N} ^{*}\;$», établissant que les valeurs extrémales sont régulièrement réparties avec une périodicité de $\;{\dfrac {T}{2}}$.

## Bilan de puissance d'un « R L C série » soumis à un échelon de tension et conséquences
### Bilan de puissance d'un « R L C série » soumis à un échelon de tension d'amplitude E

« La puissance instantanée électrique fournie par l'échelon de tension » se retrouve en « gain horaire d'énergie stockée dans le dipôle $\;L\,C\;$ série sous forme électromagnétique » et en « puissance calorifique dissipée par effet Joule dans le conducteur ohmique » soit
$\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)={\dfrac {d{\mathcal {E}}}{dt}}(t)+{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)\;$
$\;{\mathcal {E}}(t)\;$
$\;L\,C\;$
$\;{\mathcal {E}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;C\;\left[u_{C}(t)\right]^{2}+{\dfrac {1}{2}}\;L\;\left[i(t)\right]^{2}\;$
$\;E\;Y(t)\;i(t)={\dfrac {d{\mathcal {E}}}{dt}}(t)+R\;\left[i(t)\right]^{2}\;$

### Équations différentielles en grandeurs électriques d'un « R L C série » soumis à un échelon de tension déduites du bilan de puissance du D.P.L.
#### Déduire, du bilan de puissance, l'équation différentielle en tension de charge du condensateur

Il suffit d'« expliciter la dérivée temporelle 1ère de l'énergie stockée dans le $\;L\,C\;$ série » à savoir $\;{\mathcal {E}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;C\,\left[u_{C}(t)\right]^{2}+{\dfrac {1}{2}}\;L\,\left[i(t)\right]^{2}\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}}{dt}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;C\;2\,\left[u_{C}(t)\right]\,{\dot {u_{C}}}(t)+{\dfrac {1}{2}}\;L\;2\,\left[i(t)\right]\,{\dfrac {di}{dt}}(t)=$ $C\;u_{C}(t)\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)+L\;i(t)\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$» que l'on reporte dans le bilan de puissance soit «$\;E\;Y(t)\;i(t)=$ $C\;u_{C}(t)\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)+L\;i(t)\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+R\;i^{2}(t)\;$» ou, Il suffit d' en utilisant l'expression de l'intensité de charge du condensateur en fonction de la tension entre ses bornes $\;C\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)=i(t)\;$$^,$ dans le but de simplifier le bilan, «$\;E\;Y(t)\;i(t)=$ $u_{C}(t)\;i(t)+L\;i(t)\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+R\;i^{2}(t)\;$» soit, Il suffit d' après simplification par$\;i(t)$, l'expression «$\;E\;Y(t)=u_{C}(t)+L\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+R\;i(t)\;$» dans laquelle il nous reste à Il suffit d' éliminer$\;i(t)\;$ au profit de$\;u_{C}(t)\;$ en réutilisant $\;i(t)=C\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)\;$ d'où «$\;E\;Y(t)=u_{C}(t)+L\;C\;{\dfrac {d^{2}u_{C}}{dt^{2}}}(t)+R\;C\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)\;$» soit, en ordonnant et normalisant, l'équation différentielle en tension de charge $\;u_{C}(t)\;$ du condensateur d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à un échelon de tension d'amplitude $\;E$ :
$\;{\dfrac {d^{2}u_{C}}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {R}{L}}\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{L\;C}}\;u_{C}(t)={\dfrac {1}{L\;C}}\;E\;Y(t)\;$

#### Déduire, du bilan de puissance, l'équation différentielle en intensité du courant de charge du condensateur

Le début est identique, il suffit d'« expliciter la dérivée temporelle 1ère de l'énergie stockée dans le $\;L\,C\;$ série à savoir $\;{\mathcal {E}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;C\,\left[u_{C}(t)\right]^{2}+{\dfrac {1}{2}}\;L\,\left[i(t)\right]^{2}\;$ ce qui donne «$\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}}{dt}}(t)\;{\overset {\cdots }{=}}\;$ $C\;u_{C}(t)\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)+L\;i(t)\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$» que l'on reporte dans le bilan de puissance «$\;C\;u_{C}(t)\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)+L\;i(t)\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+R\;i^{2}(t)=$ $E\;Y(t)\;i(t)\;$» ou, Le début est identique, il suffit d' en utilisant l'expression de l'intensité de charge du condensateur en fonction de la tension entre ses bornes $\;C\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)=i(t)\;$ dans le but de simplifier le bilan, «$\;u_{C}(t)\;i(t)+L\;i(t)\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+R\;i^{2}(t)$ $=E\;Y(t)\;i(t)\;$» soit, Le début est identique, il suffit d' après simplification par$\;i(t)$, l'« expression intermédiaire $\;({\mathfrak {1}})\;\;u_{C}(t)+L\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+R\;i(t)=E\;Y(t)\;$» dans laquelle il nous reste à Le début est identique, il suffit d' éliminer$\;u_{C}(t)\;$ au profit de$\;i(t)\;$ en réutilisant $\;C\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)=i(t)\;$ ce qui nécessite de dériver l'expression $\;({\mathfrak {1}})\;$ soit «$\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)+L\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)+R\;{\dfrac {di}{dt}}(t)=E\;\delta (t)\;$» ou «$\;{\dfrac {i(t)}{C}}+L\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)+R\;{\dfrac {di}{dt}}(t)=E\;\delta (t)\;$» soit, en ordonnant et normalisant, l'équation différentielle en intensité de courant de charge $\;i(t)\;$ du condensateur d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à un échelon de tension d'amplitude $\;E$ :
$\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {R}{L}}\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{L\;C}}\;i(t)={\dfrac {E}{L}}\;\delta (t)\;$

#### Déduire, du bilan de puissance, l'équation différentielle en tension aux bornes de la bobine (parfaite)

Le début est encore identique, il suffit d'« expliciter la dérivée temporelle 1ère de l'énergie stockée dans le $\;L\,C\;$ série » à savoir $\;{\mathcal {E}}(t)=$ ${\dfrac {1}{2}}\;C\,\left[u_{C}(t)\right]^{2}+{\dfrac {1}{2}}\;L\,\left[i(t)\right]^{2}\;$ ce qui donne «$\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}}{dt}}(t)\;{\overset {\cdots }{=}}\;$ $C\;u_{C}(t)\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)+L\;i(t)\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$» et, après report dans le bilan de puissance, la relation suivante «$\;C\;u_{C}(t)\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)+L\;i(t)\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+R\;i^{2}(t)=$ $E\;Y(t)\;i(t)\;$» ou, Le début est encore identique, il suffit d' en utilisant l'expression de l'intensité de charge du condensateur en fonction de la tension entre ses bornes $\;C\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)=i(t)\;$ dans le but de simplifier le bilan, «$\;u_{C}(t)\;i(t)+L\;i(t)\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+R\;i^{2}(t)=E\;Y(t)\;i(t)\;$» soit, Le début est encore identique, il suffit d' après simplification par$\;i(t)$, l'« expression intermédiaire $\;({\mathfrak {1}})\;\;u_{C}(t)+L\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+R\;i(t)=E\;Y(t)\;$» dans laquelle il nous reste Le début est encore identique, il suffit d' à éliminer$\;u_{C}(t)\;$ au profit de$\;i(t)\;$ en réutilisant $\;C\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)=i(t)\;$ ce qui nécessite de dériver $\;({\mathfrak {1}})\;$ selon «$\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)+L\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)+R\;{\dfrac {di}{dt}}(t)=$ $E\;\delta (t)\;$» ou «$\;{\dfrac {i(t)}{C}}+L\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)+R\;{\dfrac {di}{dt}}(t)=E\;\delta (t)\;\;({\mathfrak {2}})\;$» puis, Le début est encore identique, il suffit d' à éliminer$\;i(t)\;$ au profit de$\;u_{L}(t)\;$ en utilisant $\;L\;{\dfrac {di}{dt}}(t)=u_{L}(t)\;$ ce qui nécessite de dériver $\;({\mathfrak {2}})\;$ selon «$\;{\dfrac {1}{C}}\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+L\;{\dfrac {d^{3}i}{dt^{3}}}(t)+R\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)=$ $E\;{\dot {\delta }}(t)\;$» ou «$\;{\dfrac {1}{C}}\;{\dfrac {u_{L}(t)}{L}}+{\dfrac {d^{2}u_{L}}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {R}{L}}\;{\dfrac {du_{L}}{dt}}(t)=E\;{\dot {\delta }}(t)\;$» soit, en ordonnant, l'équation différentielle en tension $\;u_{L}(t)\;$ aux bornes de la bobine $\;{\big$parfaite${\big )}\;$ d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à un échelon de tension d'amplitude $\;E$ :
$\;{\dfrac {d^{2}u_{L}}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {R}{L}}\;{\dfrac {du_{L}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{L\;C}}\;u_{L}(t)=E\;{\dot {\delta }}(t)\;$

### Bilan d'énergie d'un « R L C série » soumis à un échelon de tension, dissipation d'énergie dans le conducteur ohmique, évolution des énergie stockées dans le condensateur et la bobine
#### Bilan d'énergie d'un « R L C série » soumis à un échelon de tension sur [ t ; t + dt ]

On obtient le bilan d'énergie sur l'intervalle $\;\left[t\,;\,t+dt\right]\;$ d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à un échelon de tension d'amplitude $\;E\;$ en multipliant le bilan de puissance «$\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)={\dfrac {d{\mathcal {E}}}{dt}}(t)+{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)\;$» défini à l'instant $\;t\;$ par la durée $\;dt$, bilan d'énergie s'énonçant selon : On obtient le bilan d'énergie sur l'intervalle $\;\color {transparent}{\left[t\,;\,t+dt\right]}\;$ « le travail électrique élémentaire $\;\delta W_{e,\,f,\,{\text{source}}}\;$ fourni par l'échelon de tension se retrouve en gain élémentaire d'énergie électromagnétique $\;d{\mathcal {E}}\;$ stockée dans le $\;L\,C\;$ série et en énergie calorifique $\;\delta Q_{R}\;$ dissipée dans le conducteur ohmique de résistance $\;R\;$» soit
$\;\delta W_{e,\,f,\,{\text{source}}}=d{\mathcal {E}}+\delta Q_{R}\;$
$\;\delta W_{e,\,f,\,{\text{source}}}=E\;Y(t)\;i(t)\;dt=E\;Y(t)\;C\;du_{C}\;$
$\;{\mathcal {E}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;C\,\left[u_{C}(t)\right]^{2}+{\dfrac {1}{2}}\;L\,\left[i(t)\right]^{2}\;$
$\;{\big \$
$\;d{\mathcal {E}}\;$
${\big \}$
$\;\delta Q_{R}=R\,\left[i(t)\right]^{2}\;dt\;$
$\Downarrow$
$\;E\;Y(t)\;C\;du_{C}=d\!\left\lbrace {\dfrac {1}{2}}\;C\,\left[u_{C}(t)\right]^{2}+{\dfrac {1}{2}}\;L\,\left[i(t)\right]^{2}\right\rbrace +R\,\left[i(t)\right]^{2}\;dt\;$

#### Bilan d'énergie d'un « R L C série » soumis à un échelon de tension sur [ 0$^+$ ; t ]

On intègre le bilan élémentaire ci-dessus entre $\;0^{+}\;$ et $\;t\;$ et on obtient, dans la mesure où le système est initialement au repos $\;{\big \$ce qui a pour conséquence, en utilisant la continuité de $\;u_{C}(t)\;$ et $\;i(t)\;$ en $\;t=0$, les valeurs suivantes «$\;u_{C}(0^{+})=0\;$ et $\;i(0^{+})=0\;$»${\big \}$
$\;W_{e,\,f,\,{\text{source sur}}\,\left[0^{+}\,;\,t\right]}=\displaystyle \int _{0^{+}}^{t}E\;Y(t')\;C\;du_{C}(t')=\displaystyle \int _{0^{+}}^{t}d{\mathcal {E}}(t')+Q_{R,\,{\text{sur}}\,\left[0^{+}\,;\,t\right]}\;$
$\;\left[0^{+}\,;\,t\right]\;$
$\;R\,L\,C\;$
$\;E\;$
$\;W_{e,\,f,\,{\text{source sur}}\,\left[0^{+}\,;\,t\right]}=C\;E\;u_{C}(t)={\mathcal {E}}(t)+Q_{R,\,{\text{sur}}\,\left[0^{+}\,;\,t\right]}\;$
« le travail électrique $\;W_{e,\,f,\,{\text{source sur}}\,\left[0^{+}\,;\,t\right]}\;$ fourni par l'échelon de tension sur l'intervalle $\;\left[0^{+}\,;\,t\right]\;$ se retrouve en énergie stockée à l'instant $\;t\;$ dans le $\;L\,C\;$ série $\;{\mathcal {E}}(t)\;$ sous forme électromagnétique et en chaleur $\;Q_{R,\,{\text{sur}}\,\left[0^{+}\,;\,t\right]}\;$ dissipée dans le conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ par effet Joule »,
l'« énergie électrique fournie la source » se réécrivant, suivant le régime transitoire de la tension de charge $\;u_{C}(t)\;$ du condensateur, sous les formes suivantes :

##### Énergie électrique fournie par l'échelon de tension d'amplitude E sur l'intervalle [ 0$^+$ ; t] dans le cas d'une réponse apériodique de tension de charge du condensateur

La réponse apériodique de tension de charge du condensateur d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à un échelon de tension d'amplitude $\;E\;$ «$\;u_{C}(t)$ $=E\left[1-{\dfrac {\sigma +{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}{2\;{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}}\,\exp \!\left(s_{+}\;t\right)+{\dfrac {\sigma -{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}{2\;{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}}\,\exp \!\left(s_{-}\;t\right)\right]\;$» avec «$\;s_{\pm }=$ $-\sigma \;\omega _{0}\pm \omega _{0}\;{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\;$» ayant été déterminée au paragraphe « σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique en u$_C$(t) » plus haut dans ce chapitre, on en déduit l'expression de l'énergie électrique fournie par l'échelon de tension d'amplitude $\;E\;$ sur l'intervalle $\;\left[0^{+}\,;\,t\right]\;$
$\;W_{e,\,f,\,{\text{source sur}}\,\left[0^{+}\,;\,t\right]}=C\;E^{2}\left[1-{\dfrac {\sigma +{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}{2\;{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}}\,\exp \!\left(s_{+}\;t\right)+{\dfrac {\sigma -{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}{2\;{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}}\,\exp \!\left(s_{-}\;t\right)\right]\;$
$\;\nearrow \;$
$\;0\;$
$\;W_{e,\,f,\,{\text{source sur}}\,\left[0^{+}\,;\,+\infty \right=C\;E^{2}\;$
Cette énergie électrique fournie par l'échelon de tension se retrouve :
* en énergie stockée dans le «$\;L\,C\;$ série » sous forme électromagnétique «$\;{\mathcal {E}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;C\,\left[u_{C}(t)\right]^{2}+{\dfrac {1}{2}}\;L\,\left[i(t)\right]^{2}\;$» ${\big$voir son diagramme horaire ci-contre en vert${\big ]}\;$ simplement $\;\nearrow \;$ jusqu'à $\;{\mathcal {E}}(+\infty )={\dfrac {1}{2}}\;C\;E^{2}\;$ et
* en énergie calorifique dissipée dans le conducteur ohmique par effet Joule «$\;Q_{R,\,{\text{sur}}\,\left[0^{+}\,;\,t\right]}=\displaystyle \int _{0^{+}}^{t}R\,\left[i(t')\right]^{2}\;dt'\;$» ${\big$voir son diagramme horaire ci-contre en rouge${\big ]}\;$ $\;\nearrow \;$ de $\;0\;$ à $\;Q_{R,\,{\text{sur}}\,\left[0^{+}\,;\,+\infty \right={\dfrac {1}{2}}\;C\;E^{2}\;$.

##### Énergie électrique fournie par l'échelon de tension d'amplitude E sur l'intervalle [ 0$^+$ ; t] dans le cas d'une réponse apériodique critique de tension de charge du condensateur

La réponse apériodique critique de tension de charge du condensateur d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à un échelon de tension d'amplitude $\;E\;$ «$\;u_{C}(t)$ $=E\,\left[1-\left(1+\omega _{0}\;t\right)\,\exp \!\left(-\omega _{0}\;t\right)\right]\;$» ayant été déterminée au paragraphe « σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique en u$_C$(t) » plus haut dans ce chapitre, on en déduit l'expression de l'énergie électrique fournie par l'échelon de tension d'amplitude $\;E\;$ sur l'intervalle $\;\left[0^{+}\,;\,t\right]\;$
$\;W_{e,\,f,\,{\text{source sur}}\,\left[0^{+}\,;\,t\right]}=C\;E^{2}\left[1-\left(1+\omega _{0}\;t\right)\,\exp \!\left(-\omega _{0}\;t\right)\right]\;$
$\;\nearrow \;$
$\;0\;$
$\;W_{e,\,f,\,{\text{source sur}}\,\left[0^{+}\,;\,+\infty \right=C\;E^{2}\;$
Cette énergie électrique fournie par l'échelon de tension se retrouve :
* en énergie stockée dans le «$\;L\,C\;$ série » sous forme électromagnétique «$\;{\mathcal {E}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;C\,\left[u_{C}(t)\right]^{2}+{\dfrac {1}{2}}\;L\,\left[i(t)\right]^{2}\;$» ${\big$voir son diagramme horaire ci-contre en vert${\big ]}\;$ simplement $\;\nearrow \;$ jusqu'à $\;{\mathcal {E}}(+\infty )={\dfrac {1}{2}}\;C\;E^{2}\;$ et
* en énergie calorifique dissipée dans le conducteur ohmique par effet Joule «$\;Q_{R,\,{\text{sur}}\,\left[0^{+}\,;\,t\right]}=\displaystyle \int _{0^{+}}^{t}R\,\left[i(t')\right]^{2}\;dt'\;$» ${\big$voir son diagramme horaire ci-contre en rouge${\big ]}\;$ $\;\nearrow \;$ de $\;0\;$ à $\;Q_{R,\,{\text{sur}}\,\left[0^{+}\,;\,+\infty \right={\dfrac {1}{2}}\;C\;E^{2}\;$.

##### Énergie électrique fournie par l'échelon de tension d'amplitude E sur l'intervalle [ 0$^+$ ; t] dans le cas d'une réponse pseudo-périodique de tension de charge du condensateur

La réponse pseudo-périodique de tension de charge du condensateur d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à un échelon de tension d'amplitude $\;E\;$ «$\;u_{C}(t)$ $=E\left[1-{\dfrac {1}{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\cos \!\left(\omega \;t-\alpha \right)\right]\;$» avec «$\;\omega =\omega _{0}\;{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}\;$ et $\;\alpha =\arctan \!\left[{\dfrac {\sigma }{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\right]\;$» ayant été déterminée au paragraphe « σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique en u$_C$(t) » plus haut dans ce chapitre, on en déduit l'expression de l'énergie électrique fournie par l'échelon de tension d'amplitude $\;E\;$ sur l'intervalle $\;\left[0^{+}\,;\,t\right]\;$
$\;W_{e,\,f,\,{\text{source sur}}\,\left[0^{+}\,;\,t\right]}=C\;E^{2}\left[1-{\dfrac {1}{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\cos \!\left(\omega \;t-\alpha \right)\right]\;$
$\;0\;$
$\;W_{e,\,f,\,{\text{source sur}}\,\left[0^{+}\,;\,+\infty \right=C\;E^{2}\;$
Cette énergie électrique fournie par l'échelon de tension se retrouve :
* en énergie stockée dans le «$\;L\,C\;$ série » sous forme électromagnétique «$\;{\mathcal {E}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;C\,\left[u_{C}(t)\right]^{2}+{\dfrac {1}{2}}\;L\,\left[i(t)\right]^{2}\;$» ${\big$voir son diagramme horaire ci-contre en vert${\big ]}\;$ partant de $\;0\;$ et oscillant avec un amortissement exponentielle autour de $\;{\mathcal {E}}(+\infty )=$ ${\dfrac {1}{2}}\;C\;E^{2}\;$ et
* en énergie calorifique dissipée dans le conducteur ohmique par effet Joule «$\;Q_{R,\,{\text{sur}}\,\left[0^{+}\,;\,t\right]}=\displaystyle \int _{0^{+}}^{t}R\,\left[i(t')\right]^{2}\;dt'\;$» ${\big$voir son diagramme horaire ci-contre en rouge${\big ]}\;$ $\;\nearrow \;$ de $\;0\;$ à $\;Q_{R,\,{\text{sur}}\,\left[0^{+}\,;\,+\infty \right={\dfrac {1}{2}}\;C\;E^{2}\;$ avec toutefois une $\;\nearrow \;$ irrégulière dans la mesure où $\;i(t)\;$ est oscillante.

## Ordre de grandeur de la durée du régime transitoire d'une des réponses du « R L C série » soumis à un échelon de tension en fonction du cœfficient d'amortissement (ou du facteur de qualité)
### Recherche du critère de l'établissement pratique d'une des réponses forcées du « R L C série » soumis à un échelon de tension

Jusqu'à présent, lors de l'établissement d'une réponse forcée permanente avec un régime transitoire pseudo-périodique à amplitude $\;\searrow \;$ exponentiellement, nous avons considéré que la réponse forcée était établie après une « durée de $\;10\;\tau \;$», ce qui correspondait à une « réponse établie à moins de $\;1\,\%\;$ près » ;
toutefois ce critère est trop sélectif car, la plupart du temps, une réponse établie à moins de $\;5\,\%\;$ près est amplement suffisante et avec ce nouveau critère une réponse forcée permanente après un régime transitoire pseudo-périodique à amplitude $\;\searrow \;$ exponentiellement est considérée comme établie après une « durée de $\;6\;\tau \;$».

### Définition de T$_R$ le temps de réponse à 5 %

Le temps de réponse à $\;5\;\%$, noté $\;T_{R}$, est la durée nécessaire pour que la réponse forcée permanente soit établie à moins de $\;5\;\%\;$ près ;
le temps de réponse à $\;5\;\%\;$ en $\;u_{C}(t)\;$ d'un circuit $\;R\;L\;C\;$ série soumis à un échelon de tension est calculable pour chaque valeur de cœfficient d'amortissement $\;\sigma \;$ et exprimable en fonction de la valeur correspondante de la constante de temps $\;\tau ={\dfrac {1}{2\;\sigma \;\omega _{0}}}$, on obtient, suivant la nature du régime transitoire des exemples ci-après pour lesquels la pulsation propre est $\;\omega _{0}={\dfrac {1}{\sqrt {L\;C}}}={\dfrac {1}{\sqrt {0,2\times 5\;10^{-6}}}}=$ $1000\;rad\cdot s^{-1}$, les résultats ci-dessous :

#### Temps de réponse à 5 % pour un régime transitoire pseudo-périodique (c'est-à-dire avec un faible amortissement)

La valeur du cœfficient d'amortissement $\;\sigma \;$ est liée à celle de la constante de temps $\;\tau \;$ de la réduction canonique du $\;R\,L\,C\;$ série par $\;\tau =$ ${\dfrac {L}{R}}={\dfrac {1}{2\;\sigma \;\omega _{0}}}\;$ soit, «$\;\sigma =0,1\;$» $\Rightarrow$ «$\;\tau ={\dfrac {1}{2\times 0,1\times 10^{3}}}=$ $5\;10^{-3}\;s=5\;ms\;$» ${\bigg \$la pseudo-période valant «$\;T={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}\;{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}}=$ ${\dfrac {2\;\pi }{10^{3}\times {\sqrt {1-(0,1)^{2}}}}}$ $\simeq 6,31\;ms\;$»${\bigg \}$ ;
ci-dessous à gauche le diagramme horaire de $\;u_{C}=u_{C}(t)\;$ pour $\;\sigma =0,1\;$ sur lequel on détermine graphiquement le temps de réponse à $\;5\;\%\;$ soit «$\;T_{R}\simeq 29\;ms\;$» ou, en fonction de la constante de temps $\;\tau =5\;ms$,
$\;T_{R}\simeq 5,8\;\tau \simeq 6\;\tau \;$
Remarque : à partir de $\;T_{R}\simeq 29\;ms\;$ on en déduit le paramètre sans dimension «$\;\omega _{0}\;T_{R}\simeq 29\;$ pour $\;\sigma =0,1\;$».

#### Temps de réponse à 5 % pour un régime transitoire apériodique critique (c'est-à-dire avec un amortissement critique)

La valeur du cœfficient d'amortissement $\;\sigma \;$ est liée à celle de la constante de temps $\;\tau \;$ de la réduction canonique du $\;R\,L\,C\;$ série par $\;\tau =$ ${\dfrac {L}{R}}={\dfrac {1}{2\;\sigma \;\omega _{0}}}\;$ soit, «$\;\sigma =1\;$» $\Rightarrow$ «$\;\tau ={\dfrac {1}{2\times 1\times 10^{3}}}=$ $5\;10^{-4}\;s=500\;\mu s\;$» ;
ci-dessus au centre le diagramme horaire de $\;u_{C}=u_{C}(t)\;$ pour $\;\sigma =1\;$ sur lequel on détermine graphiquement le temps de réponse à $\;5\;\%\;$ soit «$\;T_{R}\simeq 4,7\;ms\;$» ou, en fonction de la constante de temps $\;\tau =0,5\;ms$,
$\;T_{R}\simeq 9,4\;\tau \simeq 10\;\tau \;$
Remarque : à partir de $\;T_{R}\simeq 4,7\;ms\;$ on en déduit le paramètre sans dimension «$\;\omega _{0}\;T_{R}\simeq 4,7\;$ pour $\;\sigma =1\;$».

#### Temps de réponse à 5 % pour un régime transitoire apériodique c'est-à-dire avec un fort amortissement)

La valeur du cœfficient d'amortissement $\;\sigma \;$ est liée à celle de la constante de temps $\;\tau \;$ de la réduction canonique du $\;R\,L\,C\;$ série par $\;\tau =$ ${\dfrac {L}{R}}={\dfrac {1}{2\;\sigma \;\omega _{0}}}\;$ soit, «$\;\sigma =10\;$» $\Rightarrow$ «$\;\tau ={\dfrac {1}{2\times 10\times 10^{3}}}=$ $5\;10^{-5}\;s=50\;\mu s\;$» ;
ci-dessus à droite le diagramme horaire de $\;u_{C}=u_{C}(t)\;$ pour $\;\sigma =10\;$ sur lequel on détermine graphiquement le temps de réponse à $\;5\;\%\;$ soit «$\;T_{R}\simeq 60\;ms\;$» ou, en fonction de la constante de temps $\;\tau =0,05\;ms$,
$\;T_{R}\simeq 1200\;\tau \;$
Remarque : à partir de $\;T_{R}\simeq 60\;ms\;$ on en déduit le paramètre sans dimension «$\;\omega _{0}\;T_{R}\simeq 60\;$ pour $\;\sigma =10\;$».

### Diagramme en échelle logarithmique du paramètre sans dimension « ω$_0$ T$_R$ » en fonction du cœfficient d'amortissement σ

Traçant «$\;\log \!\left(\omega _{0}\;T_{R}\right)\;$ en fonction de $\;\log(\sigma )\;$ avec les axes gradués directement en $\;\omega _{0}\;T_{R}\;$ et en $\;\sigma \;$», on obtient le diagramme représenté ci-contre en noir sur lequel ont été ajoutées, en rouge, la modélisation linéaire pour une réponse permanente après un régime transitoire à faible cœfficient d'amortissement ainsi que celle après un régime transitoire à fort cœfficient d'amortissement ;
on y observe un « minimum pour $\;\sigma _{\text{min}}\simeq 0,69\;$» correspondant à «$\;\left(\omega _{0}\;T_{R}\right)_{\text{min}}\simeq 3\;$», le temps de réponse $\;{\big$à $\;5\;\%{\big )}\;$ minimal est donc obtenu en régime pseudo-périodique $\;{\big$assez proche du régime apériodique critique${\big )}$, il vaut « approximativement $\;T_{R,\,{\text{min}}}\simeq {\dfrac {3}{\omega _{0}}}$ $={\dfrac {3}{2\;\pi }}\;T_{0}\simeq 0,5\;T_{0}\simeq 3\;ms\;$» soit encore «$\;T_{R,\,{\text{min}}}\simeq 4,2\;\tau _{\text{min}}\;$».
Remarque sur les modélisations linéaires :
* après un régime transitoire à faible cœfficient d'amortissement c'est-à-dire $\;\sigma \lesssim 0,1$, on observe que la modélisation linéaire est de pente $\;-1$, correspondant à «$\;\log \!\left(\omega _{0}\;T_{R}\right)=cste-\log(\sigma )\;$» ou «$\;\omega _{0}\;T_{R}\propto {\dfrac {1}{\sigma }}\;$» ou encore, $\;\omega _{0}\;$ étant constant dans les mesures considérées, «$\;T_{R}\propto {\dfrac {1}{\sigma }}\;$» ;
* après un régime transitoire à fort cœfficient d'amortissement c'est-à-dire $\;\sigma \gtrsim 2$, on observe que la modélisation linéaire est de pente $\;+1$, correspondant à «$\;\log \!\left(\omega _{0}\;T_{R}\right)=cste+\log(\sigma )\;$» ou «$\;\omega _{0}\;T_{R}\propto \sigma \;$» ou encore, $\;\omega _{0}\;$ étant constant dans les mesures considérées, «$\;T_{R}\propto \sigma \;$».

### Détermination du temps de réponse à 5 % pour le régime transitoire pseudo-périodique à cœfficient d'amortissement sous-critique σ = 0,69 et conséquence

Ci-contre le diagramme horaire de $\;u_{C}=u_{C}(t)\;$ pour le régime transitoire pseudo-périodique à cœfficient d'amortissement sous-critique $\;\sigma =0,69\;$ sur lequel on détermine graphiquement le temps de réponse à $\;5\;\%\;$ soit «$\;T_{R}\simeq 2,9\;ms\;$» ou, en fonction de la constante de temps $\;\tau =0,72\;ms\;$,
$\;T_{R}\simeq 4\;\tau \;$
Conséquence : pour obtenir le plus rapidement possible la réponse forcée permanente à $\;5\;\%\;$ près il faut « se placer dans les conditions de régime transitoire sous-critique, plus précisément à cœfficient d'amortissement $\;\sigma \simeq 0,7\;$», « le temps nécessaire pour estimer la réponse forcée établie étant, avec $\;\tau \;$ constante de temps du $\;R\,L\,C\;$ série, de l'ordre de $\;4\;\tau \;$».

## Portraits de phase de l'évolution des grandeurs électriques d'un « R L C série » soumis à un échelon de tension suivant les valeurs du cœfficient d'amortissement (ou du facteur de qualité)
### Portrait de phase de la charge du condensateur d'un « R L C série » soumis à un échelon de tension suivant les valeurs du cœfficient d'amortissement (ou du facteur de qualité)
#### Particularités de l'obtention du portrait de phase de la charge du condensateur d'un « R L C série » soumis à un échelon de tension d'amplitude E

Alors que l'équation cartésienne du portrait de phase de la charge du condensateur d'un $\;R\,C\;$ série soumis à un échelon de tension se déduisait directement de l'équation différentielle en charge du condensateur $\;{\big$en effet le portrait de phase est un lien entre $\;q(t)\;$ et $\;{\dot {q}}(t)\;$ tout comme l'équation différentielle${\big ]}\;$ ce n'est pas le cas ici car l'équation différentielle est un lien entre $\;q(t)$, $\;{\dot {q}}(t)\;$ et $\;{\ddot {q}}(t)\;$ alors que le portrait de phase n'est qu'un lien entre $\;q(t)\;$ et $\;{\dot {q}}(t)$, aussi nous n'obtiendrons pas d'équation cartésienne pour le portrait de phase ;
les seules façons d'obtenir le portrait de phase cherché sont :
* expérimentale $\;\rightsquigarrow \;$ on forme la courbe de Lissajous en se plaçant en fonctionnement $\;(x,\,y)\;$ de l'oscilloscope, la tension aux bornes du condensateur étant envoyée sur $\;CH1\;$ ${\big$en “ horizontal ”${\big )}\;$ et celle aux bornes du conducteur ohmique sur $\;CH2\;$ ${\big$en “ vertical ”${\big )}\;$, ou
* par ses équations paramétriques obtenues par résolution de l'équation différentielle.

#### Tracé du portrait de phase de la charge du condensateur d'un « R L C série » soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement

Les tracés ci-dessus ont été obtenus à partir de leurs équations paramétriques résultant de l'intégration de l'équation différentielle avec les C.I. précédemment utilisées $\;{\big$à savoir condensateur « initialement » déchargé et absence de courant « initial » dans le circuit${\big )}$, le dernier diagramme ci-contre superposant les trois portraits de phase à celui que l'on obtiendrait pour un « circuit oscillant non amorti ».

#### Propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un « R L C série » soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement

Compte-tenu des C.I. le point générique des portraits de phase part de l'origine $\;\left(q=0\;;\,i=0\right)\;$ et décrit les portraits de phase dans le sens horaire $\;{\big$ou sens « trigonométrique indirect »${\big )}\;$ pour tendre, quand il y a amortissement, vers le point d'« équilibre » $\;\left(q_{f}=C\;E=5\;\mu C\;;\,i_{f}=0\right)\;$ correspondant au régime forcé permanent, de façon directe si $\;\sigma \geqslant 1\;$ ${\big$ci-dessus à droite et au centre${\big )}\;$ ou « spiralante » si $\;\sigma <1\;$ en étant $\;\neq 0\;$ ${\big$ci-dessus à gauche${\big )}$ ;
sur le dernier diagramme ci-contre figure aussi le portrait de phase correspondant à un circuit oscillant non amorti $\;{\big$en vert${\big )}$, ce dernier $\;{\big$dans lequel s'inscrit tous les autres portraits de phase${\big )}\;$ diffère des précédents par les propriétés suivantes :
* c'est une courbe fermée traduisant le caractère « répétitif » de la charge du condensateur, le portrait de phase étant décrit successivement en repassant par les mêmes points $\;{\big$la charge et l'intensité du courant de charge ont les mêmes valeurs lors du nème tour que celles qu'elles avaient lors du tour précédent${\big )}$,
* la nullité du cœfficient d'amortissement se manifeste par l'absence de point d'« équilibre » vers lequel tend le point générique, ceci traduisant le fait que la réponse « transitoire » ne tend pas vers la réponse forcée permanente mais oscille autour de cette dernière sans amortissement, ce qui s'exprime par « le point $\;\left(q_{f}=C\;E=5\;\mu C\;;\,i_{f}=0\right)\;$ correspondant au régime forcé permanent est le centre de symétrie du portrait de phase» »,
* c'est une ellipse, les équations paramétriques obtenues par résolution de l'équation différentielle en $\;q(t)\;$ étant $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}q(t)=C\;E\,\left[1-\cos(\omega _{0}\;t)\right]\\i(t)=C\;E\;\omega _{0}\;\sin(\omega _{0}\;t)\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c r}q(t)-C\;E\!\!&=&\!\!-C\;E\;\cos(\omega _{0}\;t)\\i(t)\!\!&=&\!\!C\;E\;\omega _{0}\;\sin(\omega _{0}\;t)\end{array}}\right\rbrace$, ce qui définit une ellipse de « centre $\;\left(q_{f}=C\;E=5\;\mu C\;;\,i_{f}=0\right)\;$», d'axes « l'axe des $\;q\;$» et « celui des $\;i\;$», dont l'équation cartésienne est $\;{\dfrac {\left(q-C\;E\right)^{2}}{\left(C\;E\right)^{2}}}+{\dfrac {i^{2}}{\left(C\;E\;\omega _{0}\right)^{2}}}=1\;$$^,$.

### Portrait de phase de l'intensité du courant traversant le « R L C série » soumis à un échelon de tension suivant les valeurs du cœfficient d'amortissement (ou du facteur de qualité)
#### Particularités du portrait de phase de l'intensité du courant traversant le « R L C série » soumis à un échelon de tension d'amplitude E

Alors que l'équation cartésienne du portrait de phase de l'intensité du courant de charge du condensateur d'un $\;R\,C\;$ série soumis à un échelon de tension se déduisait directement de l'équation différentielle en courant de charge du condensateur $\;{\bigg$en effet le portrait de phase est un lien entre $\;i(t)\;$ et $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ tout comme l'équation différentielle${\bigg ]}\;$ ce n'est pas le cas ici car l'équation différentielle est un lien entre $\;i(t)$, $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ et $\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)\;$ alors que le portrait de phase n'est qu'un lien entre $\;i(t)\;$ et $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)$, aussi nous n'obtiendrons pas d'équation cartésienne pour le portrait de phase ;
les seules façons d'obtenir le portrait de phase cherché sont :
* expérimentale $\;\rightsquigarrow \;$ on forme la courbe de Lissajous en se plaçant en fonctionnement $\;(x,\,y)\;$ de l'oscilloscope, la tension aux bornes du conducteur ohmique étant envoyée sur $\;CH1\;$ ${\big$en “ horizontal ”${\big )}\;$ et celle aux bornes de la bobine $\;{\big$parfaite${\big )}\;$ sur $\;CH2\;$ ${\big$en “ vertical ”${\big )}\;$, ou
* par ses équations paramétriques obtenues par résolution de l'équation différentielle.

#### Tracé du portrait de phase de l'intensité du courant traversant le « R L C série » soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement

Les tracés ci-dessus ont été obtenus à partir de leurs équations paramétriques résultant de l'intégration de l'équation différentielle avec les C.I. précédemment utilisées $\;{\big$à savoir condensateur « initialement » déchargé et absence de courant « initial » dans le circuit${\big )}$, le dernier diagramme ci-contre superposant les trois portraits de phase à celui que l'on obtiendrait pour un « circuit oscillant non amorti ».

#### Propriétés des portraits de phase de l'intensité du courant traversant le « R L C série » soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement

Compte-tenu des C.I. le point générique des portraits de phase part de l'origine $\;\left(i=0\;;\,{\dfrac {di}{dt}}={\dfrac {E}{L}}\right)\;$ et décrit les portraits de phase dans le sens horaire $\;{\big$ou sens « trigonométrique indirect »${\big )}\;$ pour tendre, quand il y a amortissement, vers le point d'« équilibre » $\;\left(i=0\;;\,{\dfrac {di}{dt}}=0\right)\;$ correspondant au repos, de façon directe si $\;\sigma >1\;$ ${\big$ci-dessus à droite${\big )}$, avec un « rebond » si $\;\sigma =1\;$ ${\big$ci-dessus au centre${\big )}\;$ ou « spiralante » si $\;\sigma <1\;$ en étant $\;\neq 0\;$ ${\big$ci-dessus à gauche${\big )}$ ;
sur le dernier diagramme ci-contre figure aussi le portrait de phase correspondant à un circuit oscillant non amorti $\;{\big$en vert${\big )}$, ce dernier $\;{\big$dans lequel s'inscrit tous les autres portraits de phase${\big )}\;$ diffère des précédents par les propriétés suivantes :
* c'est une courbe fermée traduisant le caractère « répétitif » du courant de charge du condensateur, le portrait de phase étant décrit successivement en repassant par les mêmes points $\;{\big$l'intensité du courant de charge et la partie inductive de la tension aux bornes de la bobine ont les mêmes valeurs lors du nème tour que celles qu'elles avaient lors du tour précédent${\big )}$,
* la nullité du cœfficient d'amortissement se manifeste par l'absence de point d'« équilibre » vers lequel tend le point générique, ceci traduisant le fait que la réponse « transitoire » ne tend pas vers l'état de repos mais oscille autour de ce dernier sans amortissement, ce qui s'exprime par « le point $\;\left(i=0\;;\,{\dfrac {di}{dt}}=0\right)\;$ correspondant à l'état de repos est le centre de symétrie du portrait de phase» »,
* c'est une ellipse, les équations paramétriques obtenues par résolution de l'équation différentielle en $\;i(t)\;$ $\left\lbrace {\begin{array}{l c r}i(t)\!\!&=&\!\!C\;E\;\omega _{0}\;\sin(\omega _{0}\;t)\\{\dfrac {di}{dt}}(t)\!\!&=&\!\!C\;E\;\omega _{0}^{2}\;\cos(\omega _{0}\;t)\end{array}}\right\rbrace \;$ définissant une ellipse de « centre $\;\left(i=0\;;\,{\dfrac {di}{dt}}=0\right)\;$», d'axes « l'axe des $\;i\;$» et « celui des $\;{\dfrac {di}{dt}}\;$», dont l'équation cartésienne est $\;{\dfrac {i^{2}}{\left(C\;E\;\omega _{0}\right)^{2}}}+{\dfrac {\left({\dfrac {di}{dt}}\right)i^{2}}{\left(C\;E\;\omega _{0}^{2}\right)^{2}}}=1\;$$^,$.

### Commentaire sur l'éventuel portrait de phase de la tension aux bornes de la bobine (parfaite) d'un « R L C série » soumis à un échelon de tension

Étant donné que la dérivée temporelle de la tension $\;u_{L}(t)\;$ aux bornes de la bobine $\;{\big$parfaite${\big )}\;$ d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à un échelon de tension d'amplitude $\;E\;$ ne représente, même à un cœfficient multiplicatif près, aucune grandeur électrique $\;{\big$contrairement à la dérivée temporelle de la charge ou celle de l'intensité de courant de charge du condensateur${\big )}$, la notion de portrait de phase de $\;u_{L}(t)\;$ n'a qu'un intérêt très limité et ne sera pas introduite dans ce cours.

### Description de l'évolution temporelle d'une grandeur connaissant le portrait de phase qui lui est associé

Pour plus de détails voir le paragraphe « évolution d'un système dynamique à un degré de liberté à partir d'un point d'un de ses portraits de phase hors axe des abscisses » du chap.$22$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », les principaux commentaires sont rappelés ci-dessous sur l'exemple d'un portrait de phase de charge pseudo-périodique du condensateur d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à un échelon de tension d'amplitude $\;E$ :
* aux instants correspondant aux points $\;Q\;$ du portrait de phase de la zone $\;{\dot {q}}>0\;$ ${\big$respectivement $\;{\dot {q}}<0{\big )}$, $\;q\nearrow \;$ ${\big$respectivement $\;q\searrow {\big )}$ $\;{\big$ce qui correspond au fait que $\;Q\;$ se déplace vers la droite ${\big$respectivement $\;Q\;$ se déplace vers la gauche${\big )}{\big ]}$,
* aux instants correspondant aux points $\;Q\;$ du portrait de phase sur l'axe des charges, $\;{\dot {q}}=0\;$ et par suite, si le portrait de phase coupe cet axe dans le sens des $\;{\dot {q}}\nearrow \;$ ${\big$respectivement dans le sens des $\;{\dot {q}}\searrow {\big )}$, il s'agit d'un minimum local $\;{\big$respectivement d'un maximum local${\big )}\;$ de charge $\;{\big$ceci correspondant au fait que $\;Q\;$ traverse l'axe des charges perpendiculairement à cet axe et qu'il le franchisse dans le sens des $\;{\dot {q}}\nearrow \;$ ou $\;{\dot {q}}\searrow$, impliquant qu'il « tourne » obligatoirement dans le sens rétrograde${\big ]}$,
* en présence d'amortissement, le portrait de phase se « termine » par un « point asymptote » correspondant à un point d'« équilibre » ou « de repos » situé sur l'axe des abscisses,
* en absence d'amortissement $\;{\big$portrait de phase de charge du condensateur d'un $\;L\,C\;$ série soumis à un échelon de tension, à imaginer à partir du portrait de phase ci-contre${\big )}$, le portrait de phase est fermé correspondant à une rotation autour d'un point d'« équilibre » ou « de repos » situé sur l'axe des abscisses, le régime de variation de l'abscisse étant oscillatoire non amorti ; sur les exemples des portraits de phase de charge ou d'intensité du courant de charge du condensateur d'un $\;L\,C\;$ série soumis à un échelon de tension, le point d'« équilibre » ou « de repos » situé sur l'axe des abscisses est un centre de symétrie du portrait de phase, caractérisant l'égalité des quatre durées entre les abscisses extrêmes et l'abscisse du point d'équilibre ou de repos en croissant ou en décroissant.

## Circuit « R' L' C' parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I$_0$, grandeurs canoniques (usuelles) associées au « R' L' C' parallèle »
### Rappel de la notion de dualité « série - parallèle » en électricité

La notion de dualité « série - parallèle » en électricité a été introduite dans le paragraphe « initiation à la dualité série - parallèle en électricité » du chap.$26$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », les principales grandeurs et relations duales utiles ici étant rappelées ci-dessous :
| association série | association parallèle |
| intensité $\;i\;$ commune traversant les dipôles | tension $\;u\;$ commune aux bornes des dipôles |
| tension $\;u_{k}\;$ aux bornes du dipôle $\;_{k}\;$ et tension $\;u=\sum \limits _{k}u_{k}\;$ aux bornes de l'association $\;{\big$loi des mailles${\big )}$ | intensité $\;i_{k}\;$ du courant traversant le dipôle $\;_{k}\;$ et intensité $\;i=\sum \limits _{k}i_{k}\;$ traversant l'association $\;{\big$loi des nœuds${\big )}$ |
| association en sortie ouverte $\;i=0\;$ ou en série avec un interrupteur ouvert | association court-circuitée $\;u=0\;$ ou en $\;\parallel \;$ avec un interrupteur fermé |
| association soumise à une source de tension parfaite de f.e.m. $\;e$ | association alimentée par une source de courant parfaite de c.e.m. $\;\eta$ |
| association soumise à un échelon de tension d'amplitude $\;E\;$ | association alimentée par un échelon de courant d'amplitude $\;I_{0}$ |
| conducteur ohmique de résistance $\;R={\dfrac {u}{i}}$ | conducteur ohmique de conductance $\;G={\dfrac {i}{u}}$ |
| condensateur parfait de capacité $\;C\;$ telle que $\;i=C\;{\dfrac {du}{dt}}$ | bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$ telle que $\;u=L\;{\dfrac {di}{dt}}$ |
| bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$ telle que $\;u=L\;{\dfrac {di}{dt}}$ | condensateur parfait de capacité $\;C\;$ telle que $\;i=C\;{\dfrac {du}{dt}}$ |
| dans un circuit réel « continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parfait » | dans un circuit réel « continuité de l'intensité du courant traversant une bobine parfaite » |
| dans un circuit réel « continuité de l'intensité du courant traversant une bobine parfaite » | dans un circuit réel « continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parfait » |
| puissance calorifique dissipée dans un conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ traversé par un courant d'intensité $\;i$ : $\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal. dissipée dans }}R}=R\;i^{2}$ | puissance calorifique dissipée dans un conducteur ohmique de conductance $\;G\;$ soumis à une tension $\;u$ : $\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal. dissipée dans }}G}=G\;u^{2}$ |
| énergie électrostatique stockée dans un condensateur parfait de capacité $\;C\;$ soumis à une tension $\;u_{C}$ : $\;{\mathcal {E}}_{{\text{électrostat. stockée dans }}C}={\dfrac {1}{2}}\;C\;u_{C}^{2}$ | énergie électromagnétique stockée dans une bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$ traversée par un courant d'intensité $\;i_{L}$ : $\;{\mathcal {E}}_{{\text{électromagn. stockée dans }}L}={\dfrac {1}{2}}\;L\;i_{L}^{2}$ |
| énergie électromagnétique stockée dans une bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$ traversée par un courant d'intensité $\;i$ : $\;{\mathcal {E}}_{{\text{électromagn. stockée dans }}L}={\dfrac {1}{2}}\;L\;i^{2}$ | énergie électrostatique stockée dans un condensateur parfait de capacité $\;C\;$ soumis à une tension $\;u$ : $\;{\mathcal {E}}_{{\text{électrostat. stockée dans }}C}={\dfrac {1}{2}}\;C\;u^{2}$ |
| puissance instantanée électrique fournie par une source de tension parfaite de f.e.m. $\;e\;$ délivrant un courant d'intensité $\;i$ : $\;{\mathcal {P}}_{\text{élect. fournie par la source de tension parfaite}}=e\;i$ | puissance instantanée électrique fournie par une source de courant parfaite de c.e.m. $\;\eta \;$ imposant une tension $\;u$ : $\;{\mathcal {P}}_{\text{élect. fournie par la source de courant parfaite}}=\eta \;u$ |

### Circuit « R' L' C' parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I$_0$, circuit dual d'un « R L C série » soumis à un échelon de tension d'amplitude E

De ce qui précède on déduit que le « circuit dual d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à un échelon de tension d'amplitude $\;E\;$» est un « circuit $\;R'\,C'\,L'\;$ parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude $\;I_{0}\;$», les réponses duales correspondantes étant :
| Circuit $\;R\,L\,C\;$ série soumis à un échelon de tension d'amplitude $\;E\;$ | Circuit $\;R'\,L'\,C'\;$ parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude $\;I_{0}\;$ |
| réponse en tension $\;u_{C}(t)\;$ aux bornes du condensateur du $\;R\,L\,C\;$ série soumis à un échelon de tension | réponse en intensité $\;i_{L'}(t)\;$ du courant traversant la bobine $\;{\big$parfaite${\big )}\;$ du $\;R'\,L'\,C'\;$ parallèle soumis à un échelon de courant |
| réponse en intensité $\;i(t)\;$ du courant traversant le $\;R\,L\,C\;$ série soumis à un échelon de tension | réponse en tension $\;u(t)\;$ aux bornes du $\;R'\,L'\,C'\;$ parallèle soumis à un échelon de courant |
| réponse en tension $\;u_{L}(t)\;$ aux bornes de la bobine $\;{\big$parfaite${\big )}\;$ du $\;R\,L\,C\;$ série soumis à un échelon de tension | réponse en intensité $\;i_{C'}(t)\;$ du courant traversant le condensateur du $\;R'\,L'\,C'\;$ parallèle soumis à un échelon de courant |

### Réductions canoniques d'un « R' L' C' parallèle »

Comme pour le $\;R\,L\,C\;$ série soumis à un échelon de tension, on définit trois réductions canoniques pour le $\;R'\,C'\,L'\;$ parallèle soumis à un échelon de courant dont la 1ère est encore la plus usuelle :

#### Réduction canonique usuelle d'un « R' L' C' parallèle »

Les deux grandeurs canoniques $\;{\big$obtenues par dualité${\big )}\;$ sont :
* « la pulsation propre $\;\omega _{0}={\dfrac {1}{\sqrt {C'\;L'}}}\;$» en $\;rad\cdot s^{-1}\;$ et
* un « cœfficient d'amortissement $\;\sigma '\geqslant 0\;$» sans dimension tel que «$\;{\dfrac {G'}{C'}}={\dfrac {1}{R'\;C'}}=2\;\sigma '\;\omega _{0}\;$»$^,$$^,$.

#### La 2ème réduction canonique en importance d'un « R' L' C' parallèle »

On définit toujours deux grandeurs canoniques $\;{\big$obtenues par dualité${\big )}$ :
* « la pulsation propre $\;\omega _{0}={\dfrac {1}{\sqrt {C'\;L'}}}\;$» en $\;rad\cdot s^{-1}\;$ et
* un « facteur de qualité $\;Q'>0\;$» sans dimension tel que «$\;{\dfrac {G'}{C'}}={\dfrac {1}{R'\;C'}}={\dfrac {\omega _{0}}{Q'}}\;$»$^,$ $\Leftrightarrow$ «$\;Q'=R'\;C'\;\omega _{0}={\dfrac {R'}{L'\;\omega _{0}}}\;$».

#### La 3ème réduction canonique la moins utilisée d'un « R' L' C' parallèle »

On définit encore deux grandeurs canoniques $\;{\big$obtenues par dualité${\big )}$ :
* « la pulsation propre $\;\omega _{0}={\dfrac {1}{\sqrt {C'\;L'}}}\;$» en $\;rad\cdot s^{-1}\;$ et
* une « constante de temps $\;\tau '>0\;$» en $\;s\;$ tel que «$\;{\dfrac {G'}{C'}}={\dfrac {1}{R'\;C'}}={\dfrac {1}{\tau '}}\;$» ou «$\;\tau '=R'\;C'\;$».

### Équations différentielles et réponses transitoires d'un « R' L' C' parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I$_0$
#### Équations différentielles et réponses transitoires obtenues par dualité
##### Équation différentielle en i$_{L'}$(t), intensité de courant traversant la bobine (parfaite) du « R' L' C' parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I$_0$ et réponses transitoires suivant la valeur de σ'

L'équation différentielle en $\;i_{L'}(t)$, intensité de courant traversant la bobine $\;{\big$parfaite${\big )}\;$ du $\;R'\,L'\,C'\;$ parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude $\;I_{0}\;$ obtenue par dualité est
$\;{\dfrac {d^{2}i_{L'}}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {1}{R'\;C'}}\;{\dfrac {di_{L'}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{C'\;L'}}\;i_{L'}(t)={\dfrac {I_{0}}{C'\;L'}}\;Y(t)\;\;\forall \;t\;$
$\;{\dfrac {d^{2}i_{L'}}{dt^{2}}}(t)+2\;\sigma '\;{\omega '}_{0}\;{\dfrac {di_{L'}}{dt}}(t)+{\omega '}_{0}^{2}\;i_{L'}(t)={\omega '}_{0}^{2}\;I_{0}\;Y(t)\;\;\forall \;t\;$
$\;t=0$
Les réponses transitoires ainsi que leur dérivée temporelle 1ère sont continues en $\;t=0\;$ et s'expriment suivant le cœfficient d'amortissement $\;\sigma '\;$ selon :
* « si $\;\sigma '>1\;$» $\;{\big$régime apériodique${\big )}\;$ «$\;i_{L'}(t)=I_{0}\left[1-{\dfrac {\sigma '+{\sqrt {{\sigma '}^{2}-1}}}{2\;{\sqrt {{\sigma '}^{2}-1}}}}\,\exp \!\left({s'}_{+}\;t\right)+{\dfrac {\sigma '-{\sqrt {{\sigma '}^{2}-1}}}{2\;{\sqrt {{\sigma '}^{2}-1}}}}\,\exp \!\left({s'}_{-}\;t\right)\right]\;$» avec «$\;{s'}_{\pm }=$ $-\sigma '\;{\omega '}_{0}\pm {\omega '}_{0}\;{\sqrt {{\sigma '}^{2}-1}}\;$» ;
* « si $\;\sigma '=1\;$» $\;{\big$régime apériodique critique${\big )}\;$ «$\;i_{L'}(t)=I_{0}\,\left[1-\left(1+{\omega '}_{0}\;t\right)\,\exp \!\left(-{\omega '}_{0}\;t\right)\right]\;$» ;
* « si $\;\sigma '<1\;$ en étant $\;\neq 0\;$» $\;{\big$régime pseudo-périodique${\big )}\;$ «$\;i_{L'}(t)=I_{0}\left[1-{\dfrac {1}{\sqrt {1-{\sigma '}^{2}}}}\,\exp \!\left(-\sigma '\;{\omega '}_{0}\;t\right)\,\cos \!\left(\omega '\;t-\alpha '\right)\right]\;$» avec «$\;\omega '=$ ${\omega '}_{0}\;{\sqrt {1-{\sigma '}^{2}}}\;$ la pseudo-pulsation » et «$\;\alpha '=$ $\arctan \!\left[{\dfrac {\sigma '}{\sqrt {1-{\sigma '}^{2}}}}\right]\;$» ;
* « si $\;\sigma '=0\;$» $\;{\big$régime périodique${\big )}\;$ «$\;i_{L'}(t)=I_{0}\left[1-\cos \!\left({\omega '}_{0}\;t\right)\right]\;$».

##### Équation différentielle en u(t), tension commune aux bornes du « R' L' C' parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I$_0$ et réponses transitoires suivant la valeur de σ'

L'équation différentielle en $\;u(t)$, tension commune aux bornes du $\;R'\,L'\,C'\;$ parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude $\;I_{0}\;$ obtenue par dualité est
$\;{\dfrac {d^{2}u}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {1}{R'\;C'}}\;{\dfrac {du}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{C'\;L'}}\;u(t)={\dfrac {I_{0}}{C'}}\;\delta (t)\;\;\forall \;t\;$
$\;{\dfrac {d^{2}u}{dt^{2}}}(t)+2\;\sigma '\;{\omega '}_{0}\;{\dfrac {du}{dt}}(t)+{\omega '}_{0}^{2}\;u(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}2\,R'\,\sigma '\,{\omega '}_{0}\;I_{0}\;\delta (t)\;{\text{si}}\;\sigma '\neq 0\\{\dfrac {I_{0}}{C'}}\;\delta (t)\qquad \qquad \;{\text{si }}\;\sigma '=0\end{array}}\right\rbrace \;\forall \;t\;$
$\;t=0$
Les réponses transitoires sont continues en $\;t=0\;$ alors que leur dérivée temporelle 1ère sont discontinues de 1ère espèce, les 1$^{ères}$ s'exprimant suivant le cœfficient d'amortissement $\;\sigma '\;$ selon :
* « si $\;\sigma '>1\;$» $\;{\big$régime apériodique${\big )}\;$ «$\;u(t)=R'\,I_{0}\;{\dfrac {\sigma '}{\sqrt {{\sigma '}^{2}-1}}}\left[\exp \!\left({s'}_{+}\;t\right)-\exp \!\left({s'}_{-}\;t\right)\right]\;$» avec «$\;{s'}_{\pm }=$ $-\sigma '\;{\omega '}_{0}\pm {\omega '}_{0}\;{\sqrt {{\sigma '}^{2}-1}}\;$» ;
* « si $\;\sigma '=1\;$» $\;{\big$régime apériodique critique${\big )}\;$ «$\;u(t)={R'}_{c}\;I_{0}\,\left(2\;{\omega '}_{0}\;t\right)\,\exp \!\left(-{\omega '}_{0}\;t\right)\;$» ;
* « si $\;\sigma '<1\;$ en étant $\;\neq 0\;$» $\;{\big$régime pseudo-périodique${\big )}\;$ «$\;u(t)=R'\;I_{0}\,{\dfrac {2\;\sigma '}{\sqrt {1-{\sigma '}^{2}}}}\,\exp \!\left(-\sigma '\;{\omega '}_{0}\;t\right)\,\sin \!\left(\omega '\;t\right)\;$» avec «$\;\omega '=$ ${\omega '}_{0}\;{\sqrt {1-{\sigma '}^{2}}}\;$ la pseudo-pulsation » ;
* « si $\;\sigma '=0\;$» $\;{\big$régime périodique${\big )}\;$ «$\;u(t)={\dfrac {I_{0}}{C'\;{\omega '}_{0}}}\;\sin \!\left({\omega '}_{0}\;t\right)=L'\;{\omega '}_{0}\;I_{0}\;\sin \!\left({\omega '}_{0}\;t\right)={\sqrt {\dfrac {L'}{C'}}}\;I_{0}\;\sin \!\left({\omega '}_{0}\;t\right)\;$»$^,$.

##### Équation différentielle en i$_{C'}$(t), intensité de courant traversant le condensateur du « R' L' C' parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I$_0$ et réponses transitoires suivant la valeur de σ'

L'équation différentielle en $\;i_{C'}(t)$, intensité de courant traversant le condensateur du $\;R'\,L'\,C'\;$ parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude $\;I_{0}\;$ obtenue par dualité est
$\;{\dfrac {d^{2}i_{C'}}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {1}{R'\;C'}}\;{\dfrac {di_{C'}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{L'\;C'}}\;i_{C'}(t)=I_{0}\;{\dot {\delta }}(t)\;\;\forall \;t\;$
$\;{\dfrac {d^{2}i_{C'}}{dt^{2}}}(t)+2\;\sigma '\;{\omega '}_{0}\;{\dfrac {di_{C'}}{dt}}(t)+{\omega '}_{0}^{2}\;i_{C'}(t)=I_{0}\;{\dot {\delta }}(t)\;\;\forall \;t\;$
$\;t=0$
Les réponses transitoires sont discontinues de 1ère espèce en $\;t=0\;$ alors que leur dérivée temporelle 1ère l'est de 2ème espèce, les 1$^{ères}$ s'exprimant suivant le cœfficient d'amortissement $\;\sigma '\;$ selon :
* « si $\;\sigma '>1\;$» $\;{\big$régime apériodique${\big )}\;$ «$\;i_{C'}(t)={\dfrac {I_{0}}{2\;{\sqrt {{\sigma '}^{2}-1}}}}\left[-\left(\sigma '-{\sqrt {{\sigma '}^{2}-1}}\right)\,\exp \!\left({s'}_{+}\;t\right)+\left(\sigma '+{\sqrt {{\sigma '}^{2}-1}}\right)\,\exp \!\left({s'}_{-}\;t\right)\right]\;$» avec «$\;{s'}_{\pm }=$ $-\sigma '\;{\omega '}_{0}\pm {\omega '}_{0}\;{\sqrt {{\sigma '}^{2}-1}}\;$» ;
* « si $\;\sigma '=1\;$» $\;{\big$régime apériodique critique${\big )}\;$ «$\;i_{C'}(t)=I_{0}\,\left(1-{\omega '}_{0}\;t\right)\,\exp \!\left(-{\omega _{0}'}\;t\right)\;$» ;
* « si $\;\sigma '<1\;$ en étant $\;\neq 0\;$» $\;{\big$régime pseudo-périodique${\big )}\;$ «$\;i_{C'}(t)={\dfrac {I_{0}}{\sqrt {1-{\sigma '}^{2}}}}\,\exp \!\left(-\sigma '\;{\omega '}_{0}\;t\right)\,\cos \!\left(\omega '\;t+\varphi '\right)\;$» avec « la pseudo-pulsation $\;\omega '=$ ${\omega '}_{0}\;{\sqrt {1-{\sigma '}^{2}}}\;$» et «$\;\varphi =$ $\arctan \!\left({\dfrac {\sigma '}{\sqrt {1-{\sigma '}^{2}}}}\right)\;$» ;
* « si $\;\sigma '=0\;$» $\;{\big$régime périodique${\big )}\;$ «$\;i_{C'}(t)=I_{0}\;\cos \!\left({\omega '}_{0}\;t\right)\;$».

#### Équations différentielles et réponses transitoires obtenues par étude directe
##### Équation différentielle en i$_{L'}$(t), intensité de courant traversant la bobine (parfaite) du « R' L' C' parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I$_0$ déterminée par loi de nœud et réponses transitoires suivant la valeur de σ'

L'équation différentielle en $\;i_{L'}(t)$, intensité du courant traversant la bobine $\;{\big$parfaite${\big )}\;$ du circuit ci-contre s'obtient par équation de nœud dans laquelle ne doit rester que $\;i_{L'}(t)\;$ comme inconnue, le circuit parallèle étant soumis à une même tension $\;u(t)$ :
pour tout $\;t$, $\;i_{C'}(t)+i_{R'}(t)+i_{L'}(t)=I_{0}\;Y(t)\;$ où il convient d'éliminer $\;i_{C'}(t)\;$ et $\;i_{R'}(t)\;$ au profit de $\;i_{L'}(t)\;$ en utilisant $\;i_{C'}(t)=$ $C'\;{\dfrac {du}{dt}}(t)\;$ avec $\;u(t)=L'\;{\dfrac {di_{L'}}{dt}}(t)\;$ d'une part et $\;i_{R'}(t)={\dfrac {u(t)}{R'}}\;$ avec l'expression précédente de $\;u(t)\;$ en fonction de $\;i_{L'}(t)\;$ d'autre part d'où $\;C'\;L'\;{\dfrac {d^{2}i_{L'}}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {L'}{R'}}\;{\dfrac {di_{L'}}{dt}}(t)+i_{L'}(t)=$ $I_{0}\;Y(t)\;$ soit finalement, en normalisant et ordonnant, l'équation différentielle en $\;i_{L'}(t)\;$ suivante
$\;{\dfrac {d^{2}i_{L'}}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {1}{R'\;C'}}\;{\dfrac {di_{L'}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{L'\;C'}}\;i_{L'}(t)={\dfrac {I_{0}}{L'\;C'}}\;Y(t)\;\;\forall \;t\;$
$\;t=0$
La réduction canonique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants normalisée en $\;i_{L'}(t)\;$ définissant :
* le cœfficient du terme d'ordre zéro «$\;{\dfrac {1}{L'\;C'}}={\omega '}_{0}^{2}\;$» avec «$\;{\omega '}_{0}>0\;$ pulsation propre » et
* le cœfficient du terme d'ordre un «$\;{\dfrac {1}{R'\;C'}}=2\;\sigma '\;{\omega '}_{0}={\dfrac {{\omega '}_{0}}{Q'}}={\dfrac {1}{\tau '}}\;$» avec «$\,\sigma '\geqslant 0\;$ cœfficient d'amortissement » ou $\;Q'>0\;$ facteur de qualité ou $\;\tau '\;$ constante de temps,
on choisit la 1ère forme canonique pour sa facilité de discussion de réponse libre d'où l'expression canonique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants normalisée hétérogène en $\;i_{L'}(t)\;$
$\;{\dfrac {d^{2}i_{L'}}{dt^{2}}}(t)+2\;\sigma '\;{\omega '}_{0}\;{\dfrac {di_{L'}}{dt}}(t)+{\omega '}_{0}^{2}\;i_{L'}(t)={\omega '}_{0}^{2}\;I_{0}\;Y(t)\;\;\forall \;t\;$
La réponse forcée étant une solution particulière de l'équation hétérogène pour $\;t>0\;$ «$\;{\dfrac {d^{2}i_{L'}}{dt^{2}}}(t)+2\;\sigma '\;{\omega '}_{0}\;{\dfrac {di_{L'}}{dt}}(t)+{\omega '}_{0}^{2}\;i_{L'}(t)={\omega '}_{0}^{2}\;I_{0}\;$» de même forme que l'excitation $\Rightarrow$ «$\;i_{L',\,f}=I_{0}\;$».
La réponse libre étant la solution générale de l'équation homogène $\;{\dfrac {d^{2}i_{L'}}{dt^{2}}}(t)+2\;\sigma '\;{\omega '}_{0}\;{\dfrac {di_{L'}}{dt}}(t)+{\omega '}_{0}^{2}\;i_{L'}(t)=0$, elle s'obtient par résolution de l'équation caractéristique $\;s^{2}+2\;\sigma '\;{\omega '}_{0}\;s+{\omega '}_{0}^{2}=0\;$ et conduit à la discussion usuelle identique à celle exposée au paragraphe « détermination de la solution générale libre de l'équation différentielle en u$_C$(t) (du $\;R\,L\,C\;$ série soumis à un échelon de tension) » plus haut dans ce chapitre d'où les réponses libres « apériodique si $\;\sigma '>1\;$», « apériodique critique si $\;\sigma '=1\;$», « pseudo-périodique si $\;\sigma '<1\;$ en étant $\;\neq 0\;$» et « périodique si $\;\sigma '=0\;$».
La réponse transitoire étant la somme de la réponse forcée et de la réponse libre, il reste à préciser les C.I. pour finaliser la résolution, pour cela on utilise, dans le cas d'un circuit résistif c'est-à-dire si $\;\sigma '\neq 0$,
* la continuité de l'intensité du courant traversant la bobine et celle-ci n'étant initialement traversé par aucun courant c'est-à-dire $\;i_{L'}(0^{-})=0\;$ $\Rightarrow$ la 1ère C.I. «$\;i_{L'}(0^{+})=0\;$» et
* la continuité de la tension aux bornes du condensateur et celui-ci étant initialement déchargé c'est-à-dire $\;u(0^{-})=0$, on en déduit $\;u(0^{+})=0\;$ ou, cette tension étant aussi celle aux bornes de la bobine $\;{\big$parfaite${\big )}$ $\;L'\;{\dfrac {di_{L'}}{dt}}(0^{+})=0\;$ soit enfin la 2ème C.I. «$\;{\dfrac {di_{L'}}{dt}}(0^{+})=0\;$» ;
cas particulier : dans le cas où $\;\sigma '=0$, c'est-à-dire dans le cas du « circuit oscillant $\;L'\,C'\;$ parallèle », le circuit n'étant pas résisitif, on ne peut pas utiliser les continuités précédentes mais celles-ci sont néanmoins vérifiées car l'équation différentielle en $\;i_{L'}(t)\;$ étant $\;{\dfrac {d^{2}i_{L'}}{dt^{2}}}(t)+{\omega '}_{0}^{2}\;i_{L'}(t)={\omega '}_{0}^{2}\;I_{0}\;Y(t)\;\;\forall \;t$, la discontinuité de 1ère espèce de l'excitation se reportant sur la dérivée temporelle de plus haut ordre on en déduit que $\;{\dfrac {d^{2}i_{L'}}{dt^{2}}}(t)\;$ est discontinue de 1ère espèce et, par prise successive de primitive, $\;{\dfrac {di_{L'}}{dt}}(t)\;$ et $\;i_{L'}(t)\;$ sont continues d'où les mêmes C.I.
L'utilisation de ces deux C.I. dans les expressions des solutions transitoires apériodique, apériodique critique, pseudo-périodique et périodique conduisent aux mêmes expressions que celles trouvées par dualité, voir le paragraphe « équation différentielle en i$_{L'}$(t) intensité de courant traversant la bobine (parfaite) du R' L' C' parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude I$_0$ et réponses transitoires suivant la valeur de σ' (obtenues par dualité) » plus haut dans le chapitre.

##### Équation différentielle en u(t), tension commune aux bornes du « R' L' C' parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I$_0$ déterminée par loi de nœud et réponses transitoires suivant la valeur de σ'

L'équation différentielle en $\;u(t)$, tension commune aux bornes du $\;R'\,L'\,C'\;$ parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude $\;I_{0}\;$ s'obtient par équation de nœud dans laquelle ne doit rester que $\;u(t)\;$ comme inconnue :
pour tout $\;t$, $\;i_{C'}(t)+i_{R'}(t)+i_{L'}(t)=I_{0}\;Y(t)\;$ où il convient d'éliminer $\;i_{C'}(t)$, $\;i_{R'}(t)\;$ et $\;i_{L'}(t)\;$ au profit de $\;u(t)\;$ en utilisant $\;i_{C'}(t)=$ $C'\;{\dfrac {du}{dt}}(t)\;$, $\;i_{R'}(t)={\dfrac {u(t)}{R'}}\;$ et $\;u(t)=$ $L'\;{\dfrac {di_{L'}}{dt}}(t)\;$ ou $\;{\dfrac {di_{L'}}{dt}}(t)={\dfrac {u(t)}{L'}}\;$ montrant la nécessité de dériver temporellement l'équation de nœud pour éliminer $\;i_{L'}(t)\;$ au profit de $\;u(t)\;$ soit $\;C'\;{\dfrac {d^{2}u}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {1}{R'}}\;{\dfrac {du}{dt}}(t)+{\dfrac {u(t)}{L'}}=$ $I_{0}\;\delta (t)\;$ et finalement, en normalisant, l'équation différentielle en $\;u(t)\;$ suivante
$\;{\dfrac {d^{2}u}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {1}{R'\;C'}}\;{\dfrac {du}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{L'\;C'}}\;u(t)={\dfrac {I_{0}}{C'}}\;\delta (t)\;\;\forall \;t\;$
$\;t=0$
La réduction canonique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants normalisée en $\;u(t)\;$ étant la même que celle en $\;i_{L'}(t)\;$ on obtient
$\;{\dfrac {d^{2}u}{dt^{2}}}(t)+2\;\sigma '\;{\omega '}_{0}\;{\dfrac {du}{dt}}(t)+{\omega '}_{0}^{2}\;u(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}2\,R'\,\sigma '\,{\omega '}_{0}\;I_{0}\;\delta (t)\;{\text{si}}\;\sigma '\neq 0\\{\dfrac {I_{0}}{C'}}\;\delta (t)\qquad \qquad \;{\text{si }}\;\sigma '=0\end{array}}\right\rbrace \;\forall \;t\;$
La réponse libre étant la solution générale de l'équation homogène $\;{\dfrac {d^{2}u}{dt^{2}}}(t)+2\;\sigma '\;{\omega '}_{0}\;{\dfrac {du}{dt}}(t)+{\omega '}_{0}^{2}\;u(t)=0$, elle s'obtient par résolution de l'équation caractéristique $\;s^{2}+2\;\sigma '\;{\omega '}_{0}\;s+{\omega '}_{0}^{2}=0\;$ et conduit à la discussion usuelle identique à celle exposée au paragraphe « détermination de la solution générale libre de l'équation différentielle en u$_C$(t) (du R L C série soumis à un échelon de tension) » plus haut dans ce chapitre d'où les réponses libres « apériodique si $\;\sigma '>1\;$», « apériodique critique si $\;\sigma '=1\;$», « pseudo-périodique si $\;\sigma '<1\;$ en étant $\;\neq 0\;$» et « périodique si $\;\sigma '=0\;$».
La réponse transitoire se réduisant à la réponse libre par absence de réponse forcée, il reste, pour finaliser la résolution, à préciser les C.I. en utilisant, dans le cas d'un circuit résistif c'est-à-dire si $\;\sigma '\neq 0$,
* la continuité de la tension aux bornes du condensateur et celui-ci étant initialement déchargé c'est-à-dire $\;u(0^{-})=0$, on en déduit la 1ère C.I. «$\;u(0^{+})=0\;$» d'une part et
* d'autre part, la 2ème C.I. portant sur $\;{\dot {u}}(0^{+})\;$ se détermine par circuit à $\;0^{+}\;$ dans lequel on remplace le condensateur initialement déchargé par un court-circuit et la bobine $\;{\big$parfaite${\big )}\;$ initialement traversé par aucun courant par un interrupteur ouvert compte-tenu de la continuité de l'intensité du courant traversant la bobine dans un circuit résistif, le courant délivré par la source de courant parfaite traversant de ce fait le court-circuit soit $\;i_{C'}(0^{+})=I_{0}\;$ d'où, avec $\;i_{C'}(t)=$ $C'\;{\dot {u}}(t)$, la 2ème C.I. «$\;{\dot {u}}(0^{+})={\dfrac {I_{0}}{C'}}=2\;\sigma '\;{\omega '}_{0}\;R'\;I_{0}\;$» ;
cas particulier : dans le cas où $\;\sigma '=0$, c'est-à-dire dans le cas du « circuit oscillant $\;L'\,C'\;$ parallèle », le circuit n'étant pas résisitif, on ne peut pas utiliser les C.I. précédentes obtenues par continuités dans un circuit résistif, ce dernier ne l'étant pas, mais celles-ci sont néanmoins vérifiées car l'équation différentielle en $\;u(t)\;$ étant $\;{\dfrac {d^{2}u}{dt^{2}}}(t)+{\omega '}_{0}^{2}\;u(t)={\dfrac {I_{0}}{C'}}\;\delta (t)\;\;\forall \;t$, la discontinuité de 2ème espèce de l'excitation se reportant sur la dérivée temporelle de plus haut ordre on en déduit que $\;{\dfrac {d^{2}u}{dt^{2}}}(t)\;$ est discontinue de 2ème espèce et, par prise successive de primitive, $\;{\dfrac {du}{dt}}(t)\;$ l'est de 1ère espèce et $\;u(t)\;$ est continue d'où cas particulier : dans le cas où $\;\color {transparent}{\sigma '=0}$, la 1ère C.I. $\;u(0^{+})=0$ ; cas particulier : dans le cas où $\;\color {transparent}{\sigma '=0}$, la 2ème C.I. portant sur $\;{\dot {u}}(0^{+})\;$ peut s'obtenir alors en intégrant l'équation différentielle $\;{\dfrac {d^{2}u}{dt^{2}}}(t)+{\omega '}_{0}^{2}\;u(t)={\dfrac {I_{0}}{C'}}\;\delta (t)\;\;\forall \;t\;$ entre $\;0^{-}\;$ et $\;0^{+}\;$ soit $\;{\dfrac {du}{dt}}(0^{+})+{\cancel {{\omega '}_{0}^{2}\;\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}u(t')\;dt'}}={\dfrac {I_{0}}{C'}}\;$.
L'utilisation de ces deux C.I. dans les expressions des solutions transitoires apériodique, apériodique critique, pseudo-périodique et périodique conduisent aux mêmes expressions que celles trouvées par dualité, voir le paragraphe « équation différentielle en u(t) tension commune aux bornes du R' L' C' parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude I$_0$ et réponses transitoires suivant la valeur de σ' (obtenues par dualité( » plus haut dans ce chapitre.

##### Équation différentielle en i$_{C'}$(t), intensité du courant traversant le condensateur du « R' L' C' parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I$_0$ déterminée par loi de nœud et réponses transitoires suivant la valeur de σ'

L'équation différentielle en $\;i_{C'}(t)$, intensité du courant traversant le condensateur du $\;R'\,L'\,C'\;$ parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude $\;I_{0}\;$ s'obtient par équation de nœud dans laquelle ne doit rester que $\;i_{C'}(t)\;$ comme inconnue :
pour tout $\;t$, $\;i_{C'}(t)+i_{R'}(t)+i_{L'}(t)=I_{0}\;Y(t)\;$ où il convient d'éliminer $\;i_{R'}(t)\;$ et $\;i_{L'}(t)\;$ au profit de $\;i_{C'}(t)\;$ en utilisant $\;i_{C'}(t)=$ $C'\;{\dfrac {du}{dt}}(t)\;$ avec $\;u(t)=L'\;{\dfrac {di_{L'}}{dt}}(t)\;$ d'où $\;i_{C'}(t)=$ $C'\;L'\;{\dfrac {d^{2}i_{L'}}{dt^{2}}}(t)\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {d^{2}i_{L'}}{dt^{2}}}(t)={\dfrac {i_{C'}(t)}{L'\;C'}}\;$ et $\;i_{R'}(t)={\dfrac {u(t)}{R'}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;u(t)=R'\;i_{R'}(t)\;$ d'où $\;i_{C'}(t)=$ $C'\;R'\;{\dfrac {di_{R'}}{dt}}(t)\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {di_{R'}}{dt}}(t)={\dfrac {i_{C'}(t)}{R'\;C'}}\;$ montrant la nécessité de dériver temporellement l'équation de nœud successivement deux fois pour éliminer $\;i_{L'}(t)\;$ et $\;i_{R'}(t)\;$ au profit de $\;i_{C'}(t)\;$ soit $\;{\dfrac {d^{2}i_{C'}}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {d^{2}i_{R'}}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {d^{2}i_{L'}}{dt^{2}}}(t)=$ $I_{0}\;{\dot {\delta }}(t)\;$ et finalement, en reportant les expressions précédemment établies, l'équation différentielle en $\;i_{C'}(t)\;$ suivante
$\;{\dfrac {d^{2}i_{C'}}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {1}{R'\;C'}}\;{\dfrac {di_{C'}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{L'\;C'}}\;i_{C'}(t)=I_{0}\;{\dot {\delta }}(t)\;\;\forall \;t\;$
$\;t=0$
La réduction canonique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants normalisée en $\;i_{C'}(t)\;$ étant la même que celle en $\;i_{L'}(t)\;$ on obtient
$\;{\dfrac {d^{2}i_{C'}}{dt^{2}}}(t)+2\;\sigma '\;{\omega '}_{0}\;{\dfrac {di_{C'}}{dt}}(t)+{\omega '}_{0}^{2}\;i_{C'}(t)=I_{0}\;{\dot {\delta }}(t)\;\;\forall \;t\;$
La réponse libre étant la solution générale de l'équation homogène $\;{\dfrac {d^{2}i_{C'}}{dt^{2}}}(t)+2\;\sigma '\;{\omega '}_{0}\;{\dfrac {di_{C'}}{dt}}(t)+{\omega '}_{0}^{2}\;i_{C'}(t)=0$, elle s'obtient par résolution de l'équation caractéristique $\;s^{2}+2\;\sigma '\;{\omega '}_{0}\;s+{\omega '}_{0}^{2}=0\;$ et conduit à la discussion usuelle identique à celle exposée au paragraphe « détermination de la solution générale libre de l'équation différentielle en u$_C$(t) (du R L C série soumis à un échelon de tension) » plus haut dans ce chapitre d'où les réponses libres « apériodique si $\;\sigma '>1\;$», « apériodique critique si $\;\sigma '=1\;$», « pseudo-périodique si $\;\sigma '<1\;$ en étant $\;\neq 0\;$» et « périodique si $\;\sigma '=0\;$».
La réponse transitoire se réduisant à la réponse libre par absence de réponse forcée, il reste, pour finaliser la résolution, à préciser les C.I. en utilisant, dans le cas d'un circuit résistif c'est-à-dire si $\;\sigma '\neq 0$,
* d'une part le circuit à $\;0^{+}\;$ dans lequel on remplace le condensateur et la bobine $\;{\big$parfaite${\big )}\;$ par leur équivalent à savoir un court-circuit pour le condensateur et un interrupteur ouvert pour la bobine, le courant délivré par la source de courant parfaite traversant de ce fait le court-circuit soit «$\;i_{C'}(0^{+})=I_{0}\;$» et
* d'autre part la 2ème C.I. portant sur $\;{\dfrac {di_{C'}}{dt}}(0^{+})\;$ se détermine en faisant $\;t=0^{+}\;$ dans l'équation de nœud dérivée une fois dans laquelle on utilise $\;{\dfrac {di_{L'}}{dt}}(t)$ $={\dfrac {u(t)}{L'}}\;$ et $\;{\dfrac {di_{R'}}{dt}}(t)={\dfrac {d\left[{\dfrac {u(t)}{R'}}\right]}{dt}}=$ ${\dfrac {1}{R'}}\;{\dfrac {du}{dt}}(t={\dfrac {1}{R'}}\;{\dfrac {i_{C'}(t)}{C'}}={\dfrac {1}{R'\;C'}}\;i_{C'}(t)\;$ d'où $\;{\dfrac {di_{C'}}{dt}}(0^{+})+{\dfrac {1}{R'\;C'}}\;i_{C'}(0^{+})+{\cancel {{\dfrac {1}{L'}}\;u(0^{+})}}=$ ${\cancel {I_{0}\;\delta (0^{+})}}\;$ donnant finalement «$\;{\dfrac {di_{C'}}{dt}}(0^{+})=-{\dfrac {1}{R'\;C'}}\;i_{C'}(0^{+})=-{\dfrac {1}{R'\;C'}}\;I_{0}\;$» ;
cas particulier : dans le cas où $\;\sigma '=0$, c'est-à-dire dans le cas du « circuit oscillant $\;L'\,C'\;$ parallèle », le circuit n'étant pas résisitif, on ne peut pas utiliser les C.I. précédentes obtenues par continuités dans un circuit résistif, ce dernier ne l'étant pas, mais celles-ci sont néanmoins vérifiées car l'équation différentielle en $\;i_{C'}(t)\;$ étant $\;{\dfrac {d^{2}i_{C'}}{dt^{2}}}(t)+{\omega '}_{0}^{2}\;i_{C'}(t)=I_{0}\;{\dot {\delta }}(t)\;\;\forall \;t$, la “ discontinuité de 3ème espèce ” de l'excitation se reportant sur la dérivée temporelle de plus haut ordre on en déduit que $\;{\dfrac {d^{2}i_{C'}}{dt^{2}}}(t)\;$ est “ discontinuité de 3ème espèce ” et, par prise successive de primitive, $\;{\dfrac {di_{C'}}{dt}}(t)\;$ l'est de 2ème espèce et $\;i_{C'}(t)\;$ l'est de 1ère espèce d'où cas particulier : dans le cas où $\;\color {transparent}{\sigma '=0}$, la 1ère C.I. obtenue en faisant $\;t=0^{+}\;$ dans l'équation de nœud avant toute dérivation dans laquelle on utilise $\;i_{R'}(t)={\dfrac {u(t)}{R'}}\;$ continue $\;{\bigg \$compte-tenu du fait que $\;{\dot {u}}(t)={\dfrac {i_{C'}(t)}{C'}}\;$ étant discontinue de 1ère espèce, sa primitive $\;u(t)\;$ est continue${\bigg \}$ $\Rightarrow$ $\;i_{R'}(0^{+})=0\;$ et $\;i_{L'}(t)\;$ continue $\;{\bigg \$compte-tenu du fait que c'est une primitive de $\;{\dfrac {di_{L'}}{dt}}(t)={\dfrac {u(t)}{L'}}\;$ qui est continue${\bigg \}$ $\Rightarrow$ $\;i_{L'}(0^{+})=0\;$ d'où $\;i_{C'}(0^{+})+{\cancel {i_{R'}(0^{+})}}+{\cancel {i_{L'}(0^{+})}}=I_{0}\;Y(0^{+})\;$ donnant finalement $\;i_{C'}(0^{+})=I_{0}$ ; cas particulier : dans le cas où $\;\color {transparent}{\sigma '=0}$, la 2ème C.I. portant sur $\;{\dfrac {di_{C'}}{dt}}(0^{+})\;$ peut s'obtenir alors en intégrant l'équation différentielle $\;{\dfrac {d^{2}i_{C'}}{dt^{2}}}(t)+{\omega '}_{0}^{2}\;i_{C'}(t)=I_{0}\;{\dot {\delta }}(t)\;\;\forall \;t\;$ entre $\;0^{-}\;$ et $\;0^{+}\;$ soit $\;{\dfrac {di_{C'}}{dt}}(0^{+})+{\cancel {{\omega '}_{0}^{2}\;\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}i_{C'}(t')\;dt'}}={\cancel {I_{0}\;\delta (0^{+})}}\;$ et finalement $\;{\dfrac {di_{C'}}{dt}}(0^{+})=0$.
L'utilisation de ces deux C.I. dans les expressions des solutions transitoires apériodique, apériodique critique, pseudo-périodique et périodique conduisent aux mêmes expressions que celles trouvées par dualité, voir le paragraphe « équation différentielle en i$_{C'}$(t) intensité du courant traversant le condensateur du R' L' C' parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude I$_0$ et réponses transitoires suivant la valeur de σ' (obtenues par dualité) » plus haut dans ce chapitre.

### Bilan de puissance d'un « R' L' C' parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I$_0$ et conséquences
#### Bilan de puissance obtenu par dualité

Le bilan de puissance du $\;R'\,L'\,C'\;$ parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude $\;I_{0}\;$ obtenu par dualité est
$\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{échelon de courant}}}(t)={\dfrac {d{\mathcal {E}}}{dt}}(t)+{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,G'}(t)\;$
$\;{\mathcal {E}}(t)={\mathcal {E}}_{{\text{électromag}},\;L'}(t)+{\mathcal {E}}_{{\text{électrostat}},\;C'}(t)\;$
$\;I_{0}\;Y(t)\;u(t)={\dfrac {d{\mathcal {E}}}{dt}}(t)+{\dfrac {\left[u(t)\right]^{2}}{R'}}\;$

#### Bilan de puissance obtenu par étude directe

« La puissance instantanée électrique fournie par l'échelon de courant » se retrouve en « gain horaire d'énergie stockée dans le dipôle $\;L'\,C'\;$ parallèle sous forme électromagnétique » et en « puissance calorifique dissipée par effet Joule dans le conducteur ohmique » soit
$\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)={\dfrac {d{\mathcal {E}}}{dt}}(t)+{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)\;$
$\;{\mathcal {E}}(t)\;$
$\;L'\,C'\;$
$\;{\mathcal {E}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;C'\,\left[u(t)\right]^{2}+{\dfrac {1}{2}}\;L'\,\left[i_{L'}(t)\right]^{2}\;$
$\;I_{0}\;Y(t)\;u(t)={\dfrac {d{\mathcal {E}}}{dt}}(t)+{\dfrac {\left[u(t)\right]^{2}}{R'}}\;$

#### Conséquences : obtention d'équations différentielles d'un « R' L' C' parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I$_0$ par bilan de puissance

Il suffit d'expliciter la dérivée temporelle 1ère de $\;{\mathcal {E}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;C'\,\left[u(t)\right]^{2}+{\dfrac {1}{2}}\;L'\,\left[i_{L'}(t)\right]^{2}$, ce qui donne «$\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}}{dt}}(t)=C'\;u(t)\;{\dfrac {du}{dt}}(t)+L'\;i_{L'}(t)\;{\dfrac {di_{L'}}{dt}}(t)\;$», et de reporter le résultat obtenu dans le bilan de puissance soit «$\;I_{0}\;Y(t)\;u(t)=C'\;u(t)\;{\dfrac {du}{dt}}(t)+L'\;i_{L'}(t)\;{\dfrac {di_{L'}}{dt}}(t)+{\dfrac {\left[u(t)\right]^{2}}{R'}}\;$», la suite dépendant de l'équation différentielle cherchée par exemple :
$\;\rightsquigarrow \;$pour l'équation différentielle en $\;i_{L'}(t)$, il faut d'une part simplifier par une tension c'est-à-dire $\;u(t)\;$ en utilisant $\;L'\;{\dfrac {di_{L'}}{dt}}(t)=u(t)\;$ d'où «$\;I_{0}\;Y(t)=C'\;{\dfrac {du}{dt}}(t)+i_{L'}(t)+{\dfrac {u(t)}{R'}}\;$» et $\;\color {transparent}{\rightsquigarrow }\;$pour l'équation différentielle en $\;\color {transparent}{i_{L'}(t)}$, il faut d'autre part éliminer toute grandeur associée à $\;u(t)\;$ en utilisant $\;u(t)=L'\;{\dfrac {di_{L'}}{dt}}(t)\;$ et $\;{\dfrac {du}{dt}}(t)=L'\;{\dfrac {d^{2}i_{L'}}{dt^{2}}}(t)\;$ ce qui donne
$\;I_{0}\;Y(t)=C'\;L'\;{\dfrac {d^{2}i_{L'}}{dt^{2}}}(t)+i_{L'}(t)+{\dfrac {L'}{R'}}\;{\dfrac {di_{L'}}{dt}}(t)\;$
$\;\rightsquigarrow \;$pour l'équation différentielle en $\;u(t)$, il suffit de dériver temporellement l'équation différentielle en $\;i_{L'}(t)\;$ $\Rightarrow$ «$\;I_{0}\;\delta (t)=C'\;L'\;{\dfrac {d^{3}i_{L'}}{dt^{3}}}(t)+{\dfrac {di_{L'}}{dt}}(t)+{\dfrac {L'}{R'}}\;{\dfrac {d^{2}i_{L'}}{dt^{2}}}(t)\;$» et $\;\color {transparent}{\rightsquigarrow }\;$pour l'équation différentielle en $\;\color {transparent}{u(t)}$, il suffit d'y reporter $\;{\dfrac {di_{L'}}{dt}}(t)={\dfrac {u(t)}{L'}}$, $\;{\dfrac {d^{2}i_{L'}}{dt^{2}}}(t)={\dfrac {{\dot {u}}(t)}{L'}}\;$ et $\;{\dfrac {d^{3}i_{L'}}{dt^{3}}}(t)={\dfrac {{\ddot {u}}(t)}{L'}}\;$ ce qui donne
$\;I_{0}\;\delta (t)=C'\;{\dfrac {d^{2}u}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {u(t)}{L'}}+{\dfrac {1}{R'}}\;{\dfrac {du}{dt}}(t)\;$
$\;\rightsquigarrow \;$pour l'équation différentielle en $\;i_{C'}(t)$, il suffit de dériver temporellement l'équation différentielle en $\;u(t)\;$ $\Rightarrow$ «$\;I_{0}\;{\dot {\delta }}(t)=C'\;{\dfrac {d^{3}u}{dt^{3}}}(t)+{\dfrac {1}{L'}}\;{\dfrac {du}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{R'}}\;{\dfrac {d^{2}u}{dt^{2}}}(t)\;$» et $\;\color {transparent}{\rightsquigarrow }\;$pour l'équation différentielle en $\;\color {transparent}{i_{C'}(t)}$, il suffit d'y reporter $\;{\dfrac {du}{dt}}(t)={\dfrac {i_{C'}(t)}{C'}}$, $\;{\dfrac {d^{2}u}{dt^{2}}}(t)={\dfrac {1}{C'}}\;{\dfrac {di_{C'}}{dt}}(t)\;$ et $\;{\dfrac {d^{3}u}{dt^{3}}}(t)={\dfrac {1}{C'}}\;{\dfrac {d^{2}i_{C'}}{dt^{2}}}(t)\;$ ce qui donne
$\;I_{0}\;{\dot {\delta }}(t)={\dfrac {d^{2}i_{C'}}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {i_{C'}(t)}{L'\;C'}}+{\dfrac {1}{R'\;C'}}\;{\dfrac {di_{C'}}{dt}}(t)\;$

## Oscillateur mécanique harmonique amorti sur l'exemple du pendule élastique vertical amorti (P.E.V.A.), l'analogue électromécanique du « R L C série » soumis à un échelon de tension
### Analogie électromécanique entre un pendule élastique vertical non amorti lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et un circuit oscillant (non amorti) « L C série » soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine (parfaite) initialement traversée par aucun courant

Nous avons étudié en exercices du chap.$1$ « oscillateur harmonique » de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » le « pendule élastique vertical non amorti » ; nous avons établi l'équation différentielle en longueur du ressort et pouvons aisément en déduire l'équation différentielle en allongement du ressort repérée par rapport à la position à vide de ce dernier $\;\Delta z=z-l_{0}\;$ suivante
$\;m\;{\ddot {\Delta z}}(t)+k\;\Delta z(t)=m\;g\;Y(t)\;\;\forall \;t\;$
dans ce chapitre nous avons étudié la charge du condensateur d'un circuit oscillant $\;{\big$non amorti${\big )}$ $\;L\,C\;$ série soumis à un échelon de tension d'amplitude $\;E\;$ et établi l'équation différentielle en charge du condensateur $\;q(t)\;$ suivante
$\;L\;{\ddot {q}}(t)+{\dfrac {1}{C}}\;q(t)=E\;Y(t)\;\;\forall \;t\;$
nous constatons ainsi une analogie dite « électromécanique » entre un pendule élastique vertical non amorti $\;{\big$P.E.V.N.A.${\big )}\;$ lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et un circuit oscillant série non amorti $\;{\bigL\,C\;$ série${\big )}\;$ soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine $\;{\big$parfaite${\big )}\;$ initialement traversée par aucun courant avec les correspondances suivantes :
| $\;L\,C\;$ série soumis à un échelon de tension d'amplitude $\;E\;$ | P.E.V.N.A. dans un champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}\;$ |
| condensateur parfait de capacité $\;C\;$ | ressort sans masse de raideur $\;k\;$ à extrémité supérieure fixée en $\;A\;$ |
| bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$ en série avec le condensateur | solide $\;M\;$ de masse $\;m\;$ relié à l'extrémité inférieure du ressort |
| charge instantanée $\;q(t)\;$ du condensateur | allongement instantané $\;\Delta z(t)\;$ du ressort |
| $\;C\;$ capacité du condensateur | $\;{\dfrac {1}{k}}\;$ inverse de la raideur du ressort |
| tension instantanée aux bornes du condensateur $\;u_{C}(t)={\dfrac {q(t)}{C}}\;$ | force d'action du ressort sur le solide $\;{\vec {F}}_{M\leftarrow {\text{ressort}}}=-k\;\Delta z(t)\;{\vec {u}}_{O\rightarrow M}\;$ |
| intensité instantanée du courant de charge $\;i(t)={\dfrac {dq}{dt}}(t)$ du condensateur | vecteur vitesse instantané $\;{\vec {v}}(t)={\dfrac {d\Delta z}{dt}}(t)\;{\vec {u}}_{O\rightarrow M}\;$ du solide |
| $\;L\;$ inductance propre de la bobine | $\;m\;$ masse du solide |
| tension instantanée aux bornes de la bobine parfaite en convention récepteur $\;u_{L}(t)=L\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ | dérivée temporelle du vecteur quantité de mouvement instantané $\;{\vec {p}}(t)\;$ du solide $\;{\dfrac {d{\vec {p}}}{dt}}(t)=m\;{\dfrac {dv}{dt}}(t)\;{\vec {u}}_{O\rightarrow M}\;$ |
| échelon de tension $\;e(t)=E\;Y(t)\;$ d'amplitude $\;E\;$ imposé au circuit oscillant série | échelon de poids $\;m\;{\vec {g}}\;Y(t)\;$ imposé au solide à partir du moment où ce dernier est lâché |
| loi de maille appliqué au $\;L\,C\;$ série soumis à un échelon de tension $\;u_{C}(t)+u_{L}(t)=e(t)\;$ | relation fondamentale de la dynamique appliquée au solide $\;{\vec {F}}_{M\leftarrow {\text{ressort}}}+m\;{\vec {g}}\;Y(t)={\dfrac {d{\vec {p}}}{dt}}(t)\;$ |
| équation différentielle en $\;q(t)\;$ du $\;L\,C\;$ série soumis à l'échelon de tension d'amplitude $\;E\;$ $\;L\;{\ddot {q}}(t)+{\dfrac {1}{C}}\;q(t)=E\;Y(t)\;\;\forall \;t\;$ | équation différentielle en $\;\Delta z(t)\;$ du P.E.V.N.A. soumis à l'échelon de poids du solide $\;m\;{\ddot {\Delta z}}(t)+k\;\Delta z(t)=m\;g\;Y(t)\;\;\forall \;t\;$ |
| pulsation propre du circuit oscillant série non amorti $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {1}{L\;C}}}\;$ | pulsation propre du pendule élastique vertical non amorti $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k}{m}}}\;$ |
| discontinuité de 1ère espèce de $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ en $\;t=0\;$ continuité de l'intensité $\;i(t)\;$ et de la charge $\;q(t)\;$ en $\;t=0\;$ | discontinuité de 1ère espèce de l'accélération $\;{\dfrac {dv}{dt}}(t)\;$ en $\;t=0\;$ continuité de la vitesse $\;v(t)\;$ et de la cote $\;\Delta z(t)\;$ en $\;t=0\;$ |
| énergie électrostatique stockée dans le condensateur parfait de capacité $\;C\;$ de charge instantanée $\;q(t)$ : $\;{\mathcal {E}}_{{\text{électrostat. stockée dans }}C}(t)={\dfrac {1}{2\;C}}\,\left[q(t)\right]^{2}\;$ | énergie potentielle élastique stockée dans le ressort de raideur $\;k\;$ allongé de $\;\Delta z(t)\;$ par rapport à sa longueur à vide : $\;{\mathcal {E}}_{\text{élastique stockée dans ressort}}(t)={\dfrac {k}{2}}\,\left[\Delta z(t)\right]^{2}$ |
| énergie électromagnétique stockée dans la bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$ traversée par un courant d'intensité $\;i(t)$ : $\;{\mathcal {E}}_{{\text{électromagn. stockée dans }}L}(t)={\dfrac {1}{2}}\;L\,\left[i(t)\right]^{2}$ | énergie cinétique du solide de masse $\;m\;$ et de vitesse $\;v(t)$ : $\;{\mathcal {E}}_{{\text{cinétique de }}M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\,\left[v(t)\right]^{2}$ |
| énergie électromagnétique stockée dans le $\;L\,C\;$ série : $\;{\mathcal {E}}_{\text{électrom. tot}}(t)=$ ${\mathcal {E}}_{{\text{électrostat. stockée dans }}C}(t)+{\mathcal {E}}_{{\text{électromagn. stockée dans }}L}(t)$ | énergie mécanique du pendule élastique vertical non amorti : $\;{\mathcal {E}}_{\text{méca}}(t)=$ ${\mathcal {E}}_{\text{élastique stockée dans ressort}}(t)+{\mathcal {E}}_{{\text{cinétique de }}M}(t)$ |
| puissance instantanée électrique fournie par l'échelon de tension d'amplitude $\;E\;$ délivrant un courant d'intensité $\;i(t)$ : $\;{\mathcal {P}}_{\text{élect. fournie par l'échelon de tension}}(t)=E\;Y(t)\;i(t)$ | puissance instantanée développée par l'échelon de poids $\;m\;g\;$ quand le solide est de vitesse $\;v(t)$ : $\;{\mathcal {P}}_{\text{développée par mg}}(t)=m\;g\;Y(t)\;v(t)$ |
| bilan de puissance du $\;L\,C\;$ série soumis à un échelon de tension : $\;{\mathcal {P}}_{\text{élect. fournie par l'échelon de tension}}(t)={\dfrac {d{\mathcal {E}}_{\text{électrom. tot}}}{dt}}(t)\;$ | bilan de puissance du P.E.V.N.A. soumis à un échelon de poids : $\;{\mathcal {P}}_{\text{développée par mg}}(t)={\dfrac {d{\mathcal {E}}_{\text{méca}}}{dt}}(t)\;$ |

### Pendule élastique vertical amorti par frottement fluide linéaire (P.E.V.A.)

Nous introduirons le frottement fluide linéaire dans le paragraphe « 2ème exemple de forces de contact, force résultant du contact avec un fluide,résistance à l'avancement (ou force de frottement fluide) linéaire ou quadratique » du chap.$6$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » et Nous y apprendrons que, dans la mesure où le fluide est peu visqueux et que la vitesse relative du solide par rapport au fluide reste très modérée, la résistance à l'avancement du solide $\;M\;$ dans le fluide, $\;{\vec {\mathcal {R}}}_{M\leftarrow {\text{flu}}}$, est linéaire c'est-à-dire «$\;{\vec {\mathcal {R}}}_{M\leftarrow {\text{flu}}}=-h\;{\vec {v}}_{\text{relat au flu}}(M)\;$», $\;h\;$ étant une constante caractérisant le fluide ainsi que la nature du contact entre solide et fluide.
Soit un « pendule élastique vertical amorti $\;{\big$P.E.V.A.${\big )}\;$» constitué d'un « ressort idéal » à « spires non jointives » d'axe vertical, de raideur $\;k\;$ et de longueur à vide $\;l_{0}$, fixe à une extrémité et sur lequel est attaché un solide $\;M\;$ de masse $\;m\;$ à l'autre extrémité, solide dont on étudie le mouvement selon l'axe $\;x'x\;$ du ressort orienté dans le sens descendant, le solide étant dans le champ de pesanteur terrestre uniforme $\;{\vec {g}}\;$ et se déplaçant dans un fluide immobile qui exerce sur lui une force de frottement linéaire de « cœfficient de frottement $\;h\;$ constant » ;
ci-contre la représentation « indispensable » des trois schémas se côtoyant,
* le 1er représentant le ressort à vide,
* le 2ème représentant le ressort à l'équilibre avec le solide $\;M\;$ suspendu et les deux forces agissant sur $\;M_{\text{éq}}\;$ à savoir son poids «$\;m\;{\vec {g}}=m\;g\;{\vec {u}}_{x}\;$» et la tension du ressort «$\;{\vec {T}}_{\text{éq}}=-k\;\Delta l_{\text{éq}}\;{\vec {u}}_{x}\;$» où «$\;\Delta l_{\text{éq}}=l_{\text{éq}}-l_{0}\;$» est l'allongement du ressort à l'équilibre,
* le 3ème représentant le ressort à l'instant $\;t\;$ avec le solide $\;M\;$ suspendu et les trois forces agissant sur $\;M\;$ à savoir son poids «$\;m\;{\vec {g}}=m\;g\;{\vec {u}}_{x}\;$», la tension du ressort «$\;{\vec {T}}(t)=-k\;\Delta l(t)\;{\vec {u}}_{x}\;$» où «$\;\Delta l(t)=l(t)-l_{0}\;$» est l'allongement du ressort à l'instant $\;t\;$ s'écrivant encore, avec $\;l(t)=l_{\text{éq}}+x(t)\;$ dans lequel $\;x(t)\;$ est l'allongement supplémentaire à l'instant $\;t\;$ relativement à la position d'équilibre, «$\;\Delta l(t)=\Delta l_{\text{éq}}+x(t)\;$» et la force de frottement fluide «$\;{\vec {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}(t)=$ $-h\;{\vec {v}}(t)\;$» où «$\;{\vec {v}}(t)={\dot {x}}(t)\;{\vec {u}}_{x}\;$» est le vecteur vitesse de $\;M\;$ à l'instant $\;t$.

### Mise en équation par application de la r.f.d.n.

Nous allons appliquer la r.f.d.n. qui a été rappelée au paragraphe « rappel de dynamique, relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.) » du chap.$1$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » $\Rightarrow$ «$\;m\;{\vec {g}}+{\vec {T}}(t)+{\vec {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}(t)=m\;{\vec {a}}(t)\;$» où «$\;{\vec {a}}(t)\;$ est le vecteur accélération de $\;M\;$ s'écrivant encore $\;{\vec {a}}(t)=$ ${\ddot {x}}(t)\;{\vec {u}}_{x}\;$» soit, en reportant les expressions des forces et en projetant sur l'axe $\;{\overrightarrow {x'x}}$ :
$\;m\;g\;-k\,\left[\Delta l_{\text{éq}}+x(t)\right]-h\;{\dot {x}}(t)=m\;{\ddot {x}}(t)\;$
ou, en regroupant les termes dépendant de $\;x(t)\;$ dans un même membre et en ordonnant
$\;m\;{\ddot {x}}(t)+h\;{\dot {x}}(t)+k\;x(t)=m\;g-k\;\Delta l_{\text{éq}}\;\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$
écrivant la « condition d'équilibre $\;m\;g-k\;\Delta l_{\text{éq}}=0\;$» on en déduit l'équation différentielle du mouvement du solide sous forme normalisée
$\;{\ddot {x}}(t)+{\dfrac {h}{m}}\;{\dot {x}}(t)+{\dfrac {k}{m}}\;x(t)=0\;\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$

### Analogie électromécanique entre le P.E.V.A. lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et le dipôle « R L C série » soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine (parfaite) initialement traversée par aucun courant

Reprenant l'analogie électromécanique entre un « P.E.V.N.A. lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre » et le « dipôle $\;L\,C\;$ série soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine $\;{\big$parfaite${\big )}\;$ initialement traversée par aucun courant » introduite au paragraphe « analogie électromécanique entre un P.E.V.N.A. lâché sans vitesse initiale de la position de repos du ressort dans le champ de pesanteur terrestre et un L C série soumis à un échelon de tension, C étant initialement déchargé et L initialement traversée par aucun courant » plus haut dans ce chapitre, il convient, pour que l'analogie soit étendue au couple « P.E.V.A. et dipôle $\;R\,L\,C\;$ série »,
* de faire un changement d'origine des cotes pour qu'à la charge initiale du condensateur $\;q(0^{-})=0\;$ corresponde la cote initiale du solide $\;x'(0^{-})$ $=0$, ceci nécessitant que l'origine du repérage de $\;M\;$ soit la position de ce dernier quand le ressort est à vide c'est-à-dire $\;O'\;$ sur le schéma $\;{\big$et non sa position quand il y équilibre dans le champ de pesanteur c'est-à-dire $\;O\;$ sur le schéma${\big )}\;$ soit $\;x'(t)=$ $\Delta l(t)\;$ ou $\;x'(t)=\Delta l_{\text{éq}}+x(t)$, d'où la réécriture de l'équation différentielle en $\;x'(t)\;$ suivante «$\;m\;{\ddot {x'}}(t)+h\;{\dot {x'}}(t)+k\;x'(t)=m\;g\;\;\left({\mathfrak {1}}'\right)\;$» ou, après normalisation, l'équation différentielle en la position du solide avec son nouveau repérage «$\;{\ddot {x'}}(t)+{\dfrac {h}{m}}\;{\dot {x'}}(t)+{\dfrac {k}{m}}\;x'(t)=g\;\;\left({\mathfrak {2}}'\right)\;$» et
* de prolonger l'analogie selon :
| $\;R\,L\,C\;$ série soumis à un échelon de tension d'amplitude $\;E\;$ | P.E.V.A. dans un champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}\;$ |
| rappel : charge instantanée $\;q(t)\;$ du condensateur de capacité $\;C\;$ | rappel : allongement total $\;\Delta l(t)=x'(t)\;$ du ressort de raideur $\;k\;$ |
| rappel : intensité instantanée $\;i(t)={\dot {q}}(t)\;$ du courant traversant la bobine d'inductante propre $\;L\;$ | rappel : vitesse instantanée $\;v(t)={\dot {x'}}(t)\;$ du solide de masse $\;m\;$ le long de l'axe du ressort |
| conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ | fluide dans lequel se déplace $\;M\;$ avec un cœfficient de frottement linéaire $\;h\;$ |
| tension instantanée aux bornes du conducteur ohmique $\;u_{R}(t)=R\;i(t)\;$ | force de résistance à l'avancement exercée par le fluide sur le solide $\;{\vec {\mathcal {R}}}_{M\leftarrow {\text{flu}}}=-h\;{\vec {v}}(t)=-h\;{\dot {x'}}(t)\;{\vec {u}}_{O\rightarrow M}\;$ |
| loi de maille appliqué au $\;R\,L\,C\;$ série soumis à un échelon de tension $\;u_{C}(t)+u_{R}(t)+u_{L}(t)=e(t)\;$ | relation fondamentale de la dynamique appliquée au solide $\;{\vec {F}}_{M\leftarrow {\text{ressort}}}+{\vec {\mathcal {R}}}_{M\leftarrow {\text{flu}}}+m\;{\vec {g}}\;Y(t)={\dfrac {d{\vec {p}}}{dt}}(t)\;$ |
| équation différentielle en $\;q(t)\;$ du $\;R\,L\,C\;$ série soumis à l'échelon de tension d'amplitude $\;E$ $\;L\;{\ddot {q}}(t)+R\;{\dot {q}}(t)+{\dfrac {1}{C}}\;q(t)=E\;Y(t)\;\;\forall \;t\;$ | équation différentielle en $\;\Delta l(t)=x'(t)\;$ du P.E.V.A. soumis à l'échelon de poids du solide $\;m\;{\ddot {x'}}(t)+h\;{\dot {x'}}(t)+k\;x'(t)=m\;g\;Y(t)\;\;\forall \;t\;$ |
| réponse forcée en charge du condensateur $\;q_{f}=C\;E\;$ c'est-à-dire la charge du condensateur à l'équilibre | réponse forcée en allongement du ressort $\;{x'}_{f}={\dfrac {1}{k}}\;m\;g\;$ c'est-à-dire l'allongement du ressort à l'équilibre $\;\Delta l_{\text{éq}}={\dfrac {m\;g}{k}}\;$ |
| rappel : discontinuité de 1ère espèce de $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ en $\;t=0\;$ rappel :continuité de l'intensité $\;i(t)\;$ et de la charge $\;q(t)\;$ en $\;t=0\;$ | rappel : discontinuité de 1ère espèce de l'accélération $\;{\dfrac {dv}{dt}}(t)\;$ en $\;t=0\;$ rappel : continuité de la vitesse $\;v(t)\;$ et de la cote $\;x'(t)\;$ en $\;t=0\;$ |
| réduction canonique du $\;R\,L\,C\;$ série 1ère grandeur canonique : pulsation propre du R L C série $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {1}{L\;C}}}\;$ 2$^{èmes}$ grandeurs canoniques : cœfficient d'amortissement $\;\sigma \geqslant 0\;$ tel que $\;{\dfrac {R}{L}}=2\;\sigma \;\omega _{0}\;$ facteur de qualité $\;Q={\dfrac {1}{2\;\sigma }}>0\;$ tel que $\;{\dfrac {R}{L}}={\dfrac {\omega _{0}}{Q}}\;$ ou $\;Q={\dfrac {L\;\omega _{0}}{R}}\;$ constante de temps $\;\tau >0\;$ telle que $\;{\dfrac {R}{L}}={\dfrac {1}{\tau }}\;$ ou $\;\tau ={\dfrac {L}{R}}\;$ forme canonique de l'équation différentielle normalisée en $\;q(t)\;$ : $\;{\ddot {q}}(t)+2\;\sigma \;\omega _{0}\;{\dot {q}}(t)+\omega _{0}^{2}\;q(t)={\dfrac {E}{L}}\;Y(t)\;\;\forall \;t\;$ continuité de la charge du condensateur et continuité de l'intensité du courant traversant la bobine | réduction canonique du P.E.V.A. 1ère grandeur canonique : pulsation propre du P.E.V.A. $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k}{m}}}\;$ 2$^{èmes}$ grandeurs canoniques : cœfficient d'amortissement $\;\sigma \geqslant 0\;$ tel que $\;{\dfrac {h}{m}}=2\;\sigma \;\omega _{0}\;$ facteur de qualité $\;Q={\dfrac {1}{2\;\sigma }}>0\;$ tel que $\;{\dfrac {h}{m}}={\dfrac {\omega _{0}}{Q}}\;$ ou $\;Q={\dfrac {m\;\omega _{0}}{h}}\;$ constante de temps $\;\tau >0\;$ telle que $\;{\dfrac {h}{m}}={\dfrac {1}{\tau }}\;$ ou $\;\tau ={\dfrac {m}{h}}\;$ forme canonique de l'équation différentielle normalisée en $\;x'(t)\;$ : $\;{\ddot {x'}}(t)+2\;\sigma \;\omega _{0}\;{\dot {x'}}(t)+\omega _{0}^{2}\;x'(t)=g\;Y(t)\;\;\forall \;t\;$ continuité de l'allongement du ressort et continuité de la vitesse du solide suspendu |
| forme canonique de l'équation différentielle normalisée en $\;i(t)\;$ : $\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)+2\;\sigma \;\omega _{0}\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+\omega _{0}^{2}\;i(t)={\dfrac {E}{L}}\;\delta (t)\;\;\forall \;t\;$ continuité de l'intensité $\;i(t)\;$ du courant traversant la bobine et discontinuité de 1ère espèce de son taux horaire de variation $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ | forme canonique de l'équation différentielle normalisée en $\;v(t)\;$ : $\;{\dfrac {d^{2}v}{dt^{2}}}(t)+2\;\sigma \;\omega _{0}\;{\dfrac {dv}{dt}}(t)+\omega _{0}^{2}\;v(t)=g\;\delta (t)\;\;\forall \;t\;$ continuité de la vitesse $\;v(t)\;$ du solide suspendu et discontinuité de 1ère espèce de son accélération $\;{\dfrac {dv}{dt}}(t)\;$ |
| forme canonique de l'équa diff. normalisée en $\;u_{L}(t)=L\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ : $\;{\dfrac {d^{2}u_{L}}{dt^{2}}}(t)+2\;\sigma \;\omega _{0}\;{\dfrac {du_{L}}{dt}}(t)+\omega _{0}^{2}\;u_{L}(t)=E\;{\dot {\delta }}(t)\;\;\forall \;t\;$ discontinuité de 1ère espèce de la tension $\;u_{L}(t)\;$ aux bornes de la bobine et discontinuité de 2ème espèce de son taux horaire de variation $\;{\dfrac {du_{L}}{dt}}(t)\;$ | forme canonique de l'équa diff. normalisée en $\;F(t)=m\;{\dfrac {dv}{dt}}(t)\;$ : $\;{\dfrac {d^{2}F}{dt^{2}}}(t)+2\;\sigma \;\omega _{0}\;{\dfrac {dF}{dt}}(t)+\omega _{0}^{2}\;F(t)=m\;g\;{\dot {\delta }}(t)\;\;\forall \;t\;$ discontinuité de 1ère espèce de la résultante dynamique $\;F(t)\;$ de $\;M\;$ et discontinuité de 2ème espèce de son taux horaire de variation $\;{\dfrac {dF}{dt}}(t)\;$ |

### Analogie électromécanique en termes de puissance et d'énergie entre le P.E.V.A. lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et le dipôle « R L C série » soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine (parfaite) initialement traversée par aucun courant

Reprenant l'analogie électromécanique entre un « P.E.V.N.A. lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre » et le « dipôle $\;L\,C\;$ série soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine $\;{\big$parfaite${\big )}\;$ initialement traversée par aucun courant » introduite au paragraphe « analogie électromécanique entre un P.E.V.N.A. lâché sans vitesse initiale de la position de repos du ressort dans le champ de pesanteur terrestre et un L C série soumis à un échelon de tension, C étant initialement déchargé et L initialement traversée par aucun courant » plus haut dans ce chapitre, il convient, là encore, pour étendre cette analogie au couple « P.E.V.A. et dipôle $\;R\,L\,C\;$ série »,
* de prendre pour origine du repérage de $\;M\;$ la position de ce dernier quand le ressort est à vide c'est-à-dire $\;O'\;$ sur le schéma d'où $\;x'(t)=\Delta l(t)\;$ comme nouvelle cote liée à la précédente par $\;x'(t)=$ $\Delta l_{\text{éq}}+x(t)\;$ et
* de prolonger l'analogie selon :
| $\;R\,L\,C\;$ série soumis à un échelon de tension d'amplitude $\;E\;$ | P.E.V.A. dans un champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}\;$ |
| rappel : énergie électrostatique stockée dans le condensateur parfait de capacité $\;C\;$ de charge instantanée $\;q(t)$ : $\;{\mathcal {E}}_{{\text{électrostat. stockée dans }}C}(t)={\dfrac {1}{2\;C}}\,\left[q(t)\right]^{2}\;$ | rappel : énergie potentielle élastique stockée dans le ressort de raideur $\;k\;$ allongé de $\;x'(t)=\Delta l(t)\;$ par rapport à sa longueur à vide : $\;{\mathcal {E}}_{\text{élastique stockée dans ressort}}(t)={\dfrac {k}{2}}\,\left[x'(t)\right]^{2}$ |
| rappel : énergie électromagnétique stockée dans la bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$ traversée par un courant d'intensité $\;i(t)$ : $\;{\mathcal {E}}_{{\text{électromagn. stockée dans }}L}(t)={\dfrac {1}{2}}\;L\,\left[i(t)\right]^{2}$ | rappel : énergie cinétique du solide de masse $\;m\;$ et de vitesse $\;v(t)$ : $\;{\mathcal {E}}_{{\text{cinétique de }}M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\,\left[v(t)\right]^{2}$ |
| rappel : énergie électromagnétique stockée dans le $\;L\,C\;$ série : $\;{\mathcal {E}}_{\text{électrom.}}(t)=$ ${\mathcal {E}}_{{\text{électrostat. stockée dans }}C}(t)+{\mathcal {E}}_{{\text{électromagn. stockée dans }}L}(t)$ | rappel : énergie mécanique du pendule élastique vertical : $\;{\mathcal {E}}_{\text{méca}}(t)=$ ${\mathcal {E}}_{\text{élastique stockée dans ressort}}(t)+{\mathcal {E}}_{{\text{cinétique de }}M}(t)$ |
| rappel : puissance instantanée électrique fournie par l'échelon de tension d'amplitude $\;E\;$ délivrant un courant d'intensité $\;i(t)$ : $\;{\mathcal {P}}_{\text{élect. fournie par l'échelon de tension}}(t)=E\;Y(t)\;i(t)$ | rappel : puissance instantanée développée par l'échelon de poids $\;m\;g\;$ quand le solide est de vitesse $\;v(t)$ : $\;{\mathcal {P}}_{\text{développée par mg}}(t)=m\;g\;Y(t)\;v(t)$ |
| puissance instantanée calorifique dissipée par effet Joule dans le conducteur ohmique de résistance $\;R$ : $\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal. dissipée dans }}R}(t)=R\;i^{2}(t)\;$ | puissance instantanée développée par la résistance à l'avancement du fluide sur $\;M$ : $\;{\mathcal {P}}_{{\text{développée par }}{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{M\leftarrow {\text{flu}}}}}}(t)={\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{M\leftarrow {\text{flu}}}}}\cdot {\vec {v}}(t)=-h\;v^{2}(t)\;$ |
| bilan de puissance du $\;R\,L\,C\;$ série soumis à un échelon de tension : $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{\text{électrom.}}}{dt}}(t)={\mathcal {P}}_{\text{élect. fourn. par échel. de tens.}}(t)-{\mathcal {P}}_{{\text{cal. dans }}R}(t)\;$ ou $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{\text{électrom. tot}}}{dt}}(t)=E\;Y(t)\;i(t)-R\;i^{2}(t)\;$ | bilan de puissance du P.E.V.A. soumis à un échelon de poids : $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{\text{méca}}}{dt}}(t)={\mathcal {P}}_{\text{développée par mg}}(t)+{\mathcal {P}}_{{\text{développée par }}{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{M\leftarrow {\text{flu}}}}}}(t)\;$ ou $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{\text{méca}}}{dt}}(t)=m\;g\;Y(t)\;v(t)-h\;v^{2}(t)\;$ |
| retrouver l'équation différentielle en $\;q(t)\;$ par bilan de puissance : expliciter $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{\text{électrom.}}}{dt}}(t)$ $={\dfrac {1}{2\;C}}\;2\;q(t)\;{\dfrac {dq}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{2}}\;L\;2\;i(t)\;{\dfrac {di}{dt}}(t)$, reporter dans le bilan d'où $\;\left[{\dfrac {q(t)}{C}}+L\,{\dfrac {d^{2}q}{dt^{2}}}(t)\right]\,{\cancel {i(t)}}=\left[E\;Y(t)-R\;{\dfrac {dq}{dt}}(t)\right]\,{\cancel {i(t)}}\;$ | retrouver l'équation différentielle en $\;x'(t)\;$ par bilan de puissance : expliciter $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{\text{méca}}}{dt}}(t)$ $={\dfrac {k}{2}}\;2\;x'(t)\;{\dfrac {dx'}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{2}}\;m\;2\;v(t)\;{\dfrac {dv}{dt}}(t)$, reporter dans le bilan d'où $\;\left[k\,x'(t)+m\,{\dfrac {d^{2}x'}{dt^{2}}}(t)\right]{\cancel {v(t)}}=\left[m\,g\,Y(t)-h\,{\dfrac {dx'}{dt}}(t)\right]{\cancel {v(t)}}\;$ |
| retrouver l'équation différentielle en $\;i(t)\;$ par bilan de puissance puis dérivation par rapport au temps utilisant $\;i(t)={\dfrac {dq}{dt}}(t)\;\ldots$ | retrouver l'équation différentielle en $\;v(t)\;$ par bilan de puissance puis dérivation par rapport au temps utilisant $\;v(t)={\dfrac {dx'}{dt}}(t)\;\ldots$ |
| retrouver l'équation différentielle en $\;u_{L}(t)\;$ par bilan de puissance puis double dérivation par rapport au temps utilisant $\;u_{L}(t)=L\;{\dfrac {d^{2}q}{dt^{2}}}(t)\;\ldots$ | retrouver l'équation différentielle en $\;F(t)\;$ par bilan de puissance puis double dérivation par rapport au temps utilisant $\;F(t)=m\;{\dfrac {d^{2}x'}{dt^{2}}}(t)\;\ldots$ |

### Détermination directe de l'équation différentielle du mouvement du P.E.V.A. par théorème de la puissance mécanique

Nous verrons le théorème de la puissance mécanique dans le paragraphe « énoncé du théorème de la puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) » du chap.$16$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » à savoir : “ dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, « la puissance $\;\sum \limits _{i}{\mathcal {P}}\!\left({\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}}\right)\;$ développée par les forces non conservatives $\;{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}}\;$ appliquées à un point matériel $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$» est égale, dans ce même référentiel $\;{\mathcal {R}}$, à « la puissance mécanique de $\;M\;$» soit la relation «$\;\sum \limits _{i}{\mathcal {P}}\left({\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}}\right)={\dot {\mathcal {E}}}_{m}(t)\;$» ”.
Comme à la tension du ressort s'exerçant sur le solide $\;M\;$ on associe une énergie potentielle, les seules forces à considérer comme non conservatives sont le poids $\;m\;{\vec {g}}\;$ du solide $\;M\;$ et la force de résistance à l'avancement $\;{\vec {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}(t)=-h\;{\vec {v}}(t)\;$ que le fluide exerce sur $\;M$ ;
l'énergie mécanique de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ étant définie selon «$\;{\mathcal {E}}_{m}(t)={\mathcal {E}}_{\text{élast. stockée dans ress.}}(t)+{\mathcal {E}}_{{\text{cinét. de }}M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;k\;{x'}^{2}(t)+{\dfrac {1}{2}}\;m\;v^{2}(t)\;$», la puissance mécanique du solide $\;M\;$ c'est-à-dire $\;{\dot {\mathcal {E}}}_{m}(t)\;$ est égale à la somme des puissances développées par le poids de $\;M\;$ et par la force de résistance à l'avancement que le fluide exerce sur $\;M\;$ soit
$\;{\dot {\mathcal {E}}}_{m}(t)={\mathcal {P}}(m\;{\vec {g}})+{\mathcal {P}}({\vec {\mathcal {R}}}_{\text{flu}})=m\;{\vec {g}}\cdot {\vec {v}}(t)+{\vec {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}(t)\cdot {\vec {v}}(t)=m\;g\;v(t)-h\;v^{2}(t)\;\;{\text{pour }}t>0\;$
explicitant la puissance mécanique du solide $\;M\;$ selon «$\;{\dot {\mathcal {E}}}_{m}(t)={\dfrac {1}{2}}\;k\;2\;x'(t)\;{\dot {x'}}(t)+{\dfrac {1}{2}}\;m\;2\;v(t)\;{\dot {v}}(t)=k\;x'(t)\;v(t)+m\;{\ddot {x'}}(t)\;v(t)\;$» et reportant dans le théorème de la puissance mécanique, on obtient «$\;\left[k\;x'(t)+m\;{\ddot {x'}}(t)\right]v(t)=\left[m\;g-h\;{\dot {x'}}(t)\right]v(t)\;\;{\text{pour }}t>0\;$» ou, en simplifiant par $\;v(t)\;$, l'équation différentielle suivante «$\;k\;x'(t)+m\;{\ddot {x'}}(t)=m\;g-h\;{\dot {x'}}(t)\;\;{\text{pour }}t>0\;$» soit, en ordonnant,
$\;m\;{\ddot {x'}}(t)+h\;{\dot {x'}}(t)+k\;x'(t)=m\;g\;\;{\text{pour }}t>0\;$

### Réponses transitoires du P.E.V.A. suivant le cœfficient d'amortissement σ

Nous supposons qu'initialement le solide $\;M\;$ est au repos en $\;O'\;$, son poids étant compensé par une force de maintien de même norme dans le sens ascendant, force que l'on supprime à l'instant $\;t=0\;$, les conditions pour $\;t<0\;$ correspondant à l'analogue électromécanique du dipôle $\;R\,L\,C\;$ série à condensateur déchargé et bobine traversée par aucun courant avant qu'on lui impose un échelon de tension.

#### Réponses transitoires en élongation du P.E.V.A. suivant le cœfficient d'amortissement σ

On rappelle la forme canonique de l'équation différentielle normalisée en $\;x'(t)$, élongation du P.E.V.A.
$\;{\dfrac {d^{2}x'}{dt^{2}}}(t)+2\;\sigma \;\omega _{0}\;{\dfrac {dx'}{dt}}(t)+\omega _{0}^{2}\;x'(t)=g\;Y(t)\;\;\forall \;t\;$
$\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k}{m}}}\;$
$\;\sigma >0\;$
$\;2\;\sigma \;\omega _{0}={\dfrac {h}{m}}\;$
on établit aisément les réponses transitoires en adoptant la même démarche que celle utilisée dans le paragraphe « établissement de la réponse en tension u$_C$(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série soumis à un échelon de tension, réduction canonique du R L C série (pulsation propre, cœfficient d'amortissement ou facteur de qualité), régime libre, réponse forcée (ou permanente), réponse transitoire » plus haut dans ce chapitre et en utilisant la continuité des réponses transitoires ainsi que celle de leur dérivée temporelle 1ère en $\;t=0$, on obtient ainsi, suivant le cœfficient d'amortissement $\;\sigma$ :
* « si $\;\sigma >1\;$» ${\big$régime apériodique${\big )}$ «$\;x'(t)={\dfrac {m\;g}{k}}\left[1-{\dfrac {\sigma +{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}{2\;{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}}\,\exp \!\left(s_{+}\;t\right)+{\dfrac {\sigma -{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}{2\;{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}}\,\exp \!\left(s_{-}\;t\right)\right]\;$» avec «$\;s_{\pm }=$ $-\sigma \;\omega _{0}\pm \omega _{0}\;{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\;$» ;
* « si $\;\sigma =1\;$» ${\big$régime apériodique critique${\big )}$ «$\;x'(t)={\dfrac {m\;g}{k}}\,\left[1-\left(1+\omega _{0}\;t\right)\,\exp \!\left(-\omega _{0}\;t\right)\right]\;$» ;
* « si $\;\sigma <1\;$ en étant $\;\neq 0\;$» ${\big$régime pseudo-périodique${\big )}$ «$\;x'(t)={\dfrac {m\;g}{k}}\left[1-{\dfrac {1}{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\cos \!\left(\omega \;t-\alpha \right)\right]\;$» avec «$\;\omega =$ $\omega _{0}\;{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}\;$ la pseudo-pulsation » et «$\;\alpha =$ $\arctan \!\left[{\dfrac {\sigma }{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\right]\;$» ;
* « si $\;\sigma =0\;$» ${\big$régime périodique${\big )}$ «$\;x'(t)={\dfrac {m\;g}{k}}\left[1-\cos \!\left(\omega _{0}\;t\right)\right]\;$».
Remarque : pratiquement, quel que soit le fluide utilisé, le régime transitoire en élongation du P.E.V.A. observé est pseudo-périodique car le cœfficient de frottement fluide linéaire $\;h\;$ ne peut pas être grand compte-tenu des « fluides visqueux à notre disposition ».

#### Réponses transitoires en vitesse du P.E.V.A. suivant le cœfficient d'amortissement σ

On rappelle la forme canonique de l'équation différentielle normalisée en $\;v(t)$, vitesse du solide du P.E.V.A.
$\;{\dfrac {d^{2}v}{dt^{2}}}(t)+2\;\sigma \;\omega _{0}\;{\dfrac {dv}{dt}}(t)+\omega _{0}^{2}\;v(t)=g\;\delta (t)\;\;\forall \;t\;$
$\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k}{m}}}\;$
$\;\sigma >0\;$
$\;2\;\sigma \;\omega _{0}={\dfrac {h}{m}}\;$
on établit aisément les réponses transitoires en adoptant la même démarche que celle utilisée dans le paragraphe « établissement de la réponse en intensité i(t) du courant traversant le R L C série soumis à un échelon de tension, réduction canonique, régime libre, absence de réponse forcée (ou permanente), réponse transitoire » plus haut dans ce chapitre et en utilisant la continuité des réponses transitoires ainsi que la discontinuité de 1ère espèce de leur dérivée temporelle 1ère en $\;t=0$, la valeur $\;{\dfrac {dv}{dt}}(0^{+})=g\;$ étant obtenue par r.f.d.n. écrite à l'instant $\;0^{+}\;$ sachant que la tension du ressort et la résistance à l'avancement du solide dans le fluide y sont nulles, on obtient ainsi, suivant le cœfficient d'amortissement $\;\sigma$ :
* « si $\;\sigma >1\;$» ${\big$régime apériodique${\big )}$ «$\;v(t)={\dfrac {m\;g}{h}}\,{\dfrac {\sigma }{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}\left[\exp \!\left(s_{+}\;t\right)-\exp \!\left(s_{-}\;t\right)\right]\;$» avec «$\;s_{\pm }=$ $-\sigma \;\omega _{0}\pm \omega _{0}\;{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\;$» ;
* « si $\;\sigma =1\;$» ${\big$régime apériodique critique${\big )}$ «$\;v(t)={\dfrac {m\;g}{h_{c}}}\,\left[1-\left(1+\omega _{0}\;t\right)\,\exp \!\left(-\omega _{0}\;t\right)\right]\;$» ;
* « si $\;\sigma <1\;$ en étant $\;\neq 0\;$» ${\big$régime pseudo-périodique${\big )}$ «$\;v(t)={\dfrac {m\;g}{h}}\,{\dfrac {2\;\sigma }{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\sin \!\left(\omega \;t\right)\;$» avec «$\;\omega =$ $\omega _{0}\;{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}\;$ la pseudo-pulsation » et «$\;\alpha =$ $\arctan \!\left[{\dfrac {\sigma }{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\right]\;$» ;
* « si $\;\sigma =0\;$» ${\big$régime périodique${\big )}$ «$\;v(t)={\dfrac {g}{\omega _{0}}}\;\sin \!\left(\omega _{0}\;t\right)={\sqrt {\dfrac {m}{k}}}\;g\;\sin \!\left(\omega _{0}\;t\right)\;$».
Remarque : pratiquement, quel que soit le fluide utilisé, le régime transitoire en vitesse du P.E.V.A. observé est encore pseudo-périodique, le cœfficient de frottement fluide linéaire $\;h\;$ ne pouvant pas être grand compte-tenu des « fluides visqueux à disposition ».

#### Réponses transitoires en résultante dynamique du P.E.V.A. suivant le cœfficient d'amortissement σ

On rappelle la forme canonique de l'équation différentielle normalisée en $\;F(t)$, résultante dynamique du solide du P.E.V.A.
$\;{\dfrac {d^{2}F}{dt^{2}}}(t)+2\;\sigma \;\omega _{0}\;{\dfrac {dF}{dt}}(t)+\omega _{0}^{2}\;F(t)=m\;g\;{\dot {\delta }}(t)\;\;\forall \;t\;$
$\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k}{m}}}\;$
$\;\sigma >0\;$
$\;2\;\sigma \;\omega _{0}={\dfrac {h}{m}}\;$
on établit aisément les réponses transitoires en adoptant la même démarche que celle utilisée dans le paragraphe « établissement de la réponse en tension u$_L$(t) aux bornes de la bobine (parfaite) du R L C série soumis à un échelon de tension, réduction canonique, régime libre, absence de réponse forcée (ou permanente), réponse transitoire » plus haut dans ce chapitre et en utilisant la discontinuité de 1ère espèce des réponses transitoires ainsi que celle de 2ème espèce de leur dérivée temporelle 1ère en $\;t=0$, la valeur $\;F(0^{+})=m\;g\;$ étant obtenue par r.f.d.n. écrite à l'instant $\;0^{+}\;$ sachant que la tension du ressort et la résistance à l'avancement du solide dans le fluide y sont nulles et celle $\;{\dfrac {dF}{dt}}(0^{+})=-h\;g\;$ par exemple en intégrant l'équation différentielle écrite pour tout $\;t\;$ entre $\;0^{-}\;$ et $\;0^{+}\;$, on obtient ainsi, suivant le cœfficient d'amortissement $\;\sigma$ :
* « si $\;\sigma >1\;$» ${\big$régime apériodique${\big )}$ «$\;F(t)={\dfrac {m\;g}{2\;{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}}\left[-\left(\sigma -{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right)\,\exp \!\left(s_{+}\;t\right)+\left(\sigma +{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right)\,\exp \!\left(s_{-}\;t\right)\right]\;$» avec «$\;s_{\pm }=$ $-\sigma \;\omega _{0}\pm \omega _{0}\;{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\;$» ;
* « si $\;\sigma =1\;$» ${\big$régime apériodique critique${\big )}$ «$\;F(t)=m\;g\,\left(1-\omega _{0}\;t\right)\,\exp \!\left(-\omega _{0}\;t\right)\;$» ;
* « si $\;\sigma <1\;$ en étant $\;\neq 0\;$» ${\big$régime pseudo-périodique${\big )}$ «$\;F(t)={\dfrac {m\;g}{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\cos \!\left(\omega \;t+\varphi \right)\;$» avec «$\;\omega =$ $\omega _{0}\;{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}\;$ la pseudo-pulsation » et «$\;\varphi =$ $\arctan \!\left[{\dfrac {\sigma }{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\right]\;$» ;
* « si $\;\sigma =0\;$» ${\big$régime périodique${\big )}$ «$\;F(t)=m\;g\;\cos \!\left(\omega _{0}\;t\right)\;$».
Remarque : pratiquement, quel que soit le fluide utilisé, le régime transitoire en résistance dynamique du solide du P.E.V.A. observé est encore pseudo-périodique, le cœfficient de frottement fluide linéaire $\;h\;$ ne pouvant pas être grand compte-tenu des « fluides visqueux à disposition ».

### Portrait de phase en élongation (ou en vitesse) du P.E.V.A. suivant le cœfficient d'amortissement

Utilisant l'analogie électromécanique entre un P.E.V.A. et un $\;R\,L\,C\;$ série, nous en déduisons que les portraits de phase en élongation du P.E.V.A. $\;{\big$ce serait le même principe pour ses portraits de phase en vitesse${\big ]}\;$ peuvent se tracer à partir des équations paramétriques $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x'=x'(t)\\v={\dot {x'}}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$ ${\bigg$ou $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}v=v(t)\\a={\dot {v}}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$ pour ses portraits de phase en vitesse${\bigg ]}\;$ déterminées par résolution de l'équation différentielle en élongation $\;{\big$ou en vitesse${\big ]}\;$ avec C.I. $\;\ldots$
Les C.I. correspondant au P.E.V.A. à solide lâché sans vitesse initiale de la position telle que le ressort soit ni allongé ni comprimé aboutissant aux portraits de phase en élongation $\;{\big$ou en vitesse${\big ]}\;$ analogues électromécaniques de ceux tracés dans le paragraphe « tracé du portrait de la charge du condensateur d'un R L C série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement » $\;{\big$ou dans le paragraphe « tracé du portrait de la charge de l'intensité du courant traversant le R L C série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement »${\big ]}\;$ plus haut dans ce chapitre, ne seront pas retracés mais simplement revus dans les paragraphes précités en faisant les modifications analogiques nécessaires ;
Ci-dessous nous nous plaçons dans des C.I. quelconques $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x'(0^{-})={x'}_{0}\neq 0\\v(0^{-})=v_{0}\neq 0\end{array}}\right\rbrace \;$ et nous limitons aux tracés des portraits de phase en élongation du P.E.V.A. correspondants :
tout d'abord dans les C.I. d'allongement relativement à la longueur à vide et de lâché avec vitesse vers le bas c'est-à-dire $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x'(0^{-})={x'}_{0}>0\\v(0^{-})=v_{0}>0\end{array}}\right\rbrace$, à gauche un « régime pseudo-périodique avec $\;\sigma =$ $0,125\;$», au centre un « régime pseudo-périodique à très faible cœfficient d'amortissement $\;\sigma =0,0125\;$ permettant d'approcher le cas du régime périodique d'un P.E.V.N.A. pour lequel le portrait de phase en élongation est une courbe fermée $\;{\big \$plus exactement une ellipse de centre $\;\left(x'=0\,;v=0\right)\;$ et d'axes, l'axe des élongations et celui des vitesses${\big \}$» et à droite un «régime apériodique critique $\;\sigma =1\;$ simultanément à un régime apériodique quelconque avec $\;\sigma =2\;$» ;
* Portrait de phase en élongation pseudo-périodique d'un P.E.V.A. dans C.I. élongation et vitesse positives
* Portrait de phase en élongation pseudo-périodique à très faible cœfficient d'amortissement d'un P.E.V.A. dans C.I. élongation et vitesse positives
* Portraits de phase en élongation apériodique critique et apériodique d'un P.E.V.A. dans C.I. élongation et vitesse positives
puis dans les C.I. d'allongement relativement à la longueur à vide et de lâché avec vitesse vers le haut c'est-à-dire $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x'(0^{-})={x'}_{0}<0\\v(0^{-})=v_{0}<0\end{array}}\right\rbrace$, à gauche un « régime pseudo-périodique avec $\;\sigma =0,125\;$» et à droite un « régime apériodique critique $\;\sigma =1\;$ simultanément à un régime apériodique quelconque avec $\;\sigma =2\;$» ;
* Portraits de phase en élongation pseudo-périodique d'un P.E.V.A. dans C.I. élongation et vitesse négatives
* Portraits de phase en élongation apériodique critique et apériodique d'un P.E.V.A. dans C.I. élongation et vitesse négatives

### Les deux définitions équivalentes d'un oscillateur harmonique
#### Définition non énergétique d'un oscillateur harmonique

Un système à un degré de liberté de paramètre d'état $\;y\;$ est un oscillateur harmonique si son paramètre d'état obéit à une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre, homogène si le paramètre d'état est nul lorsque le système est en équilibre ;
le système est dit « non amorti » en absence de terme du 1er ordre dans l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre et le système est dit « amorti »non en sa présence.

#### Définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique

Un système à un degré de liberté de paramètre d'état $\;y\;$ est un oscillateur harmonique si le diagramme d'énergie potentielle en fonction du paramètre d'état est une parabole, l'éventuelle grandeur de dissipation étant linéaire en fonction de la dérivée temporelle du paramètre d'état $\;{\big$si cette grandeur de dissipation n'existe pas l'oscillateur est dit « non amorti » et si elle existe, il est dit « amorti »${\big )}\;$.