# Ondes électromagnétiques/Exercices/Propagation dans un plasma

* La propagation d'une onde monochromatique plane dans un plasma est un exercice extrêmement classique. La démarche à suivre, les grandes étapes du raisonnement doivent être absolument connues.
Un plasma neutre est constitué d'atomes ionisés dans le vide. On note n la densité volumique d'électrons libres ainsi produits. Les ions positifs, beaucoup plus lourds, seront considérés comme immobiles.
On désire propager une onde électromagnétique plane monochromatique dans ce plasma.
* Montrer que la propagation est possible à condition d’avoir une certaine relation entre k et ω que l’on déterminera. On fera apparaître une pulsation de coupure caractéristique.
* Calculer la vitesse de phase $v_{\varphi }={\frac {\omega }{k}}$
* Calculer la vitesse de groupe $v_{g}=\left.{\frac {{\rm {d}}\omega }{{\rm {d}}k}}\right|_{k_{0}}$
* Calculer numériquement la fréquence caractéristique apparue dans la question 1 dans le cas de l'ionosphère.
Données:
* Charge élémentaire : $e=1,6.10^{-19}\mathrm {~C}$
* Masse de l'électron : $m=9.10^{-31}\mathrm {~kg}$
* $n=10^{12}\mathrm {~m} ^{-3}$ pour l'ionosphère
1. Dans ce plasma, les équations de Maxwell sont :
* $\mathrm {div} ({\vec {E}})=0$ car l’ensemble est électriquement neutre
* $\mathrm {div} ({\vec {B}})=0$
* ${\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {E}})=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$
* ${\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {B}})=\mu _{0}{\vec {j}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$
Pour obtenir la relation de dispersion, on calcule :
    ${\begin{aligned}{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {E}}))&={\vec {\nabla }}(\mathrm {div} ({\vec {E}}))-{\vec {\Delta }}{\vec {E}}=-{\vec {\Delta }}{\vec {E}}\\&={\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\left(-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\right)=-{\frac {\partial ({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {B}}))}{\partial t}}=-\mu _{0}{\frac {\partial {\vec {j}}}{\partial t}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}$
De plus, en notation complexe, ${\underline {\vec {E}}}={\underline {\vec {E}}}_{0}e^{i(\omega t-kx)}$.
On calcule le laplacien de ${\vec {E}}$:
    ${\begin{aligned}{\vec {\Delta }}{\underline {\vec {E}}}&=\Delta {\underline {E}}_{x}{\vec {u}}_{x}+\Delta {\underline {E}}_{y}{\vec {u}}_{y}+\Delta {\underline {E}}_{z}{\vec {u}}_{z}\\&={\frac {\partial }{\partial x^{2}}}\left({\underline {E}}_{0y}e^{i(\omega t-kx)}\right){\vec {u}}_{y}+{\frac {\partial }{\partial x^{2}}}\left({\underline {E}}_{0z}e^{i(\omega t-kx)}\right){\vec {u}}_{z}\\&=-k^{2}{\underline {\vec {E}}}_{0}e^{i(\omega t-kx)}\\&=-k^{2}{\underline {\vec {E}}}\end{aligned}}$
En outre, ${\frac {\partial ^{2}{\underline {\vec {E}}}}{\partial t^{2}}}=-\omega ^{2}{\underline {\vec {E}}}$
L'égalité $-\mu _{0}{\frac {\partial {\underline {\vec {j}}}}{\partial t}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\underline {\vec {E}}}}{\partial t^{2}}}=-{\vec {\Delta }}{\underline {\vec {E}}}$ devient $-i\omega \mu _{0}{\underline {\vec {j}}}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}{\underline {\vec {E}}}=k^{2}{\underline {\vec {E}}}$
Il nous reste à expliciter ${\underline {\vec {j}}}$. Par définition, ${\underline {\vec {j}}}=-ne{\underline {\vec {v}}}$. Il faut maintenant le relier à ${\underline {\vec {E}}}$. Comme on ne peut pas être certain a priori que la loi d'Ohm puisse s'appliquer, on revient aux bases en appliquant le principe fondamental de la dynamique à un électron du plasma dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen : $m{\frac {\mathrm {d} {\underline {\vec {v}}}}{\mathrm {d} t}}=-e{\underline {\vec {E}}}\Leftrightarrow i\omega m{\underline {\vec {v}}}=-e{\underline {\vec {E}}}$
Ceci aboutit à ${\underline {\vec {v}}}=i{\frac {e{\underline {\vec {E}}}}{m\omega }}$, c'est-à-dire ${\underline {\vec {j}}}=-i{\frac {ne^{2}{\underline {\vec {E}}}}{m\omega }}$
On remplace ${\underline {\vec {j}}}$ par son expression : $-\mu _{0}{\frac {ne^{2}{\underline {\vec {E}}}}{m}}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}{\underline {\vec {E}}}=k^{2}{\underline {\vec {E}}}$
Cette relation de dispersion fait apparaître une fréquence de coupure caractéristique ω$_c$ qui vérifie ${\frac {\omega _{c}^{2}}{c^{2}}}={\frac {\mu _{0}ne^{2}}{m}}$.
2. De la relation de dispersion $k^{2}={\frac {\omega ^{2}-\omega _{c}^{2}}{c^{2}}}$ on tire $\left({\frac {k}{\omega }}\right)^{2}={\frac {1}{c^{2}}}\left(1-\left({\frac {\omega _{c}}{\omega }}\right)^{2}\right)$
3. Toujours en partant de la relation de dispersion, $c^{2}k^{2}+\omega _{c}^{2}=\omega ^{2}$.
On prend la différentielle : $2c^{2}k\,{\rm {d}}k=2\omega \,{\rm {d}}\omega$
Donc ${\frac {{\rm {d}}\omega }{{\rm {d}}k}}=c^{2}{\frac {k}{\omega }}={\frac {c^{2}}{v_{\varphi }}}$
4. L'application numérique pour la fréquence de coupure donne f$_c$=9,02 MHz
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