OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Polonais/Grammaire/Pronoms

| Chap. 1 : | Pronoms personnels (2) |
| Chap. 2 : | Pronoms interrogatifs (2) |
| Chap. 3 : | Pronoms indéfinis (2) |
| Chap. 4 : | Pronoms possessifs (2) |
Cette leçon joue aussi le rôle du chapitre 8 de la leçon : Grammaire polonaise Chap. préc. : Adjectifs

## Présentation

La présentation de cette leçon n'a pas été rédigée. Pour le faire, cliquez ici.

## Objectifs

Les objectifs de cette leçon n'ont pas encore été fixés. Pour le faire, cliquez ici.

## Niveau et prérequis conseillés

Leçon de niveau 2. Les prérequis pour cette leçon n'ont pas encore été précisés. Pour le faire, cliquez ici.

## Référents

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
    Personne ne s'est déclaré prêt à aider pour cette leçon. Pour vous ajouter, cliquez ici.
# Polonais/Grammaire/Pronoms/Pronoms indéfinis

Les pronoms indéfinis sont formés en ajoutant -ś aux pronoms interrogatifs. Ils correspondent aux quelque ... en français.
* Kto (qui) > ktoś (quelqu’un)
* Co (quoi) > coś (quelque chose)
* Gdzie (où) > gdzieś (quelque part)
* Kiedy (quand) > kiedyś (un [de ces] jours)
* Jak (comment) > jakoś (d'une façon ou d'une autre)
| Pronoms interrogatifs | Pronoms possessifs |
# Polonais/Grammaire/Pronoms/Pronoms personnels

Les pronoms personnels sujets sont toujours toniques en polonais. Ils sont employés pour accentuer le sujet.
Pronoms personnels :
| polonais | français |
| ja | je, moi |
| ty | tu, toi |
| on | il, lui |
| ona | elle |
| ono | (neutre) il, lui, elle |
| my | nous |
| wy | vous |
| oni | ils, eux |
| one | elles |
| one | ils, eux, elles |
| Sommaire | Pronoms interrogatifs |
# Mallette pédagogique Troubles du comportement
### Menu-Mallette pédagogique Troubles du comportement
## Exemple de rituel quotidien

Chaque jour, un enfant va chercher un smiley dans la boîte à smiley pour indiquer comment il se sent ce matin (un tableau peut être fait auparavant pour planifier les interventions des enfants). L’enfant, s’il le souhaite, peut expliquer à ses camarades pourquoi il se sent en colère, triste, malheureux, heureux, excité….
Ce rituel permet aux élèves d’exprimer leurs sentiments, de mettre des mots sur ce qu’ils ressentent et d’en chercher la ou les raisons, et donc de faire un travail d’introspection.
Parfois, une discussion s’instaure lorsque plusieurs enfants ont les mêmes sentiments ou ont ressenti des émotions identiques. Ils expliquent alors ce qu’ils ont ressenti et ce qui s’est passé ensuite, comment ils ont pu “régler” ou dépasser leur sentiment.
Parfois, un véritable débat s'instaure lorsque plusieurs enfants se rendent compte qu’ils ne réagissent pas de la même manière au même événement. L’enseignant doit rester neutre tout en favorisant le débat entre les pairs.
En début d’année, les échanges ne sont pas très riches, mais petit à petit les élèves prennent de l’assurance : ils apprennent à écouter autrui et à prendre en compte la parole d’autrui pour construire la leur.
On peut proposer quelques variantes :
* La roue des émotions individuelle,
* Le dé des émotions de la “maternelle de Moustache”...
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# Mallette pédagogique Troubles du comportement
### Menu-Mallette pédagogique Troubles du comportement
## Objectif

Savoir responsabiliser les élèves par le biais des règles de la classe.

## Mise en place des règles de la classe

La classe est une mini société où chacun doit et peut se retrouver avec :
* le droit à l'expression,
* le droit à la différence,
* le droit de dire son opinion,
* le droit de ne pas être jugé,
* le droit de ne pas être toujours d'accord.

## Établir les règles de la classe et les sanctions

Les règles doivent être établies avec tous les enfants en réfléchissant à ce qu’ils peuvent faire, ce qu’ils doivent faire, ce qui est interdit. Les règles sont claires, affichées à un endroit précis, on y revient régulièrement et à chaque manquement pour instaurer un climat de classe serein. Elles peuvent prendre l’aspect de pictogrammes en maternelle. Elles sont formulées à l'affirmatif. Les règles font que chacun pourra être écouté, entendu. L'enseignant met en place un cadre ferme mais bienveillant.
Les sanctions/réparations seront envisagées avec les élèves.
Avant tout, la sanction se doit d’être éducative. Elle participe à la formation de la personne. La sanction est toujours expliquée, jamais différée, elle a lieu immédiatement sinon elle n’a plus de sens. Celui qui a commis une erreur va la réparer.
Par exemple, j’ai abîmé fortement le livre d’un copain, je vais le lui racheter avec mon argent de poche. Autre exemple : j'ai fait mal à un pair, je mets en mots ce que j'ai fait et je présente mes excuses.
On compte sur les interactions entre pairs également car nous formons les citoyens de demain. Les règles de vie sont le fondement de la loi dans la classe et elles s’imposent à tous.
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# Mallette pédagogique Troubles du comportement
### Menu-Mallette pédagogique Troubles du comportement
## Objectif

Savoir que les rituels rassurent tous les élèves, plus particulièrement ceux ayant des troubles du comportement.

## Explications

Les rituels structurent le temps, participent à l’élaboration du vivre ensemble. Ils instaurent un cadre sécurisant et contenant. Lors des rituels on peut asseoir les règles de vie, on répète des savoirs et des savoir-faire.
- A éviter : des rituels trop longs, des rituels qui n’évoluent jamais.
- A privilégier : des rituels en début/ fin de séance, de journée, ou au retour des récréations si le passage entre le dedans et le dehors est compliqué (tout dépendra du profil de la classe)

## On peut distinguer différents rituels

Rituels de politesse (micro-rituels) : salutations, demandes, remerciements...
Rituels de transition : déplacements, regroupements, endormissement, mise en place et synthèse des ateliers, poésie…
Rituels de passage : anniversaires, perte d’une dent...
Rituels culturels traditionnels (mémoire collective) : les fêtes
Activités ritualisées d’apprentissage : le calendrier, la date, l’appel, la météo...

## L’exemple de l’accueil en classe

L’élève a besoin de se sentir exister en tant que personne dès l’entrée dans la classe. On privilégiera l’accueil de chacun avec une reconnaissance individuelle. On va trouver des rituels (serrage de main, comptine…) pour favoriser le lien entre le dehors et le dedans. Chaque élève a besoin d’être accueilli, reconnu.
Pour la maternelle : comptine d’Anne Sylvestre par exemple sur le Bonjour.
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# Mallette pédagogique Troubles du comportement
### Menu-Mallette pédagogique Troubles du comportement
## Objectif

Savoir comment aider les élèves à adopter les bonnes attitudes.

## Introduction

L’entraide est essentielle pour aider l’élève présentant des troubles à se socialiser. Il faut favoriser le lien avec les autres, créer de l’empathie, permettre à l’enfant de comprendre ses camarades et l’enseignant pour créer une cohésion de groupe et ressentir une appartenance au groupe classe.
Plusieurs points doivent être travaillés :
* Montrer les attitudes adaptées avec le bon vocabulaire mais aussi la bonne attitude physique.
* Développer les encouragements et l’entraide dans la classe en permettant aux élèves de s’encourager. Si un élève a réussi à progresser sur un point, c’est toute la classe qui va le féliciter : applaudissement, mots gentils.
* Permettre l’apprentissage de l’expression des sentiments : savoir s’écouter soi-même (Qu’est-ce que j’ai ressenti ? Qu’est ce que cela m’a fait physiquement?), savoir exprimer ce ressenti par des mots.
* Développer les activités collaboratives et coopératives pour apprendre à travailler et communiquer ensemble.

## Montrer les bonnes attitudes
### Objectif

Acquérir des aptitudes sociales (gestes, paroles)

### Déroulement

Il est important de gérer le conflit à tête reposée, une fois la pression de l’élève retombée, mais sans être trop éloigné de l’événement. Dans la classe, collectivement, vous pouvez faire un retour sur la dispute entre les élèves. Vous les prenez à part devant la classe. Chacun doit pouvoir s’exprimer sur ce qui s’est passé et sur ce qu’il a ressenti. Vous allez faire revivre la scène aux enfants tout en les questionnant pour qu’ils arrivent à se comprendre.
“Qu’as-tu ressenti à ce moment là?” “Qu’est-ce qui t’a mis en colère ?””Pourquoi as tu réagi de cette manière ?””Comment te serais-tu senti à sa place?” “Si quelqu’un t’avait fait la même chose, comment aurais-tu réagi ?”
Puis une fois que les élèves se sont exprimés, donnez la possibilité au reste de la classe d’intervenir. Les autres élèves vont donner des solutions, des pistes pour présenter l’attitude qui aurait été correcte et qui aurait permis de ne pas entrer en conflit.
Le raisonnement collaboratif pour résoudre les conflits à l’école est important. Il permet de montrer les bonnes pratiques à l’élève ayant des troubles et donc d’apprendre à faire différemment, d’apprendre les codes sociaux. Par ailleurs, cela permet de prendre du recul. Les autres élèves ont un autre regard sur la situation car ils n’y ont pas pris partie.
Il est possible aussi de reproduire une première fois, puis de le reprendre de nouveau, mais, cette fois-ci, lorsqu’un point difficile apparaît, un élève de la classe tape dans ses mains pour se signaler et vient prendre la place d’un des élèves pour montrer des solutions et les bonnes attitudes à adopter.
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# Trace et transposée de matrice

| Chap. 1 : | Définition de la trace d'une matrice |
| Chap. 2 : | Propriétés |
| Chap. 3 : | Définition de la trace d'un endomorphisme |
| Chap. 4 : | Propriétés plus élaborées |
| Chap. 5 : | Espace euclidien sur un ensemble de matrices |
| Chap. 6 : | Résolution au mieux d'un système d'équations insoluble |
| Chap. 7 : | Droite de régression de y en x |
| Exos. 1 : | Propriétés de la trace |
| Exos. 2 : | Résolution au mieux d'un système impossible à résoudre |
| Exos. 3 : | Calcul de l'équation d'une droite de régression |
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## Présentation [Modifier]

Cette leçon étudie plus en détail la trace et la transposée d'une matrice pour se prémunir des questions élaborées que l’on peut rencontrer dans les concours d'entrée aux grandes écoles. Nous verrons en particulier comment des notions aussi élémentaires que la trace et la transposée peuvent, dans un premier temps, nous permettre de définir une structure d'espace euclidien sur un ensemble de matrices et, dans un second temps, nous amener à élaborer une méthode de résolution approchée au mieux d'un système d'équations insoluble.

## Objectifs [Modifier]

* Approfondir une notion du cours d'algèbre linéaire.
* Être mieux préparé aux concours d'entrée aux grandes écoles.

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 15.
* Matrice
* Réduction des endomorphismes

## Référents [Modifier]

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
* Lydie Noria
* Loïc Fabiou (discuter)
# Trace et transposée de matrice/Définition de la trace d'une matrice

Pour faire cette étude, nous nous placerons en dimension finie, la dimension des espaces étant respectivement m et n. Nous savons qu’à tout endomorphisme, dans une base donnée, nous pouvons associer une matrice carrée. Nous commencerons donc par donner la définition de la trace d’une matrice carrée. Ceci fait, nous montrerons par la suite que cette définition ne dépend pas de la base choisie, ce qui permettra de définir la trace d’un endomorphisme.
Soit M une matrice, on notera m$_{i,j}$ le coefficient de la ligne i colonne j.
Cette notation est utilisée par exemple dans la définition du produit de deux matrices :
    $\forall A\in \mathrm {M} _{m,n}(K)\quad \forall B\in \mathrm {M} _{n,p}(K)\quad \forall C\in \mathrm {M} _{m,p}(K)\qquad AB=C\Leftrightarrow \forall i,j\quad c_{i,j}=\sum _{k=1}^{n}a_{i,k}b_{k,j}$.
Pour toute matrice carrée $A\in \mathrm {M} _{n,n}(K)$, on appelle trace de la matrice A, et l’on note Tr(A), la somme des éléments de la diagonale principale. C’est-à-dire :
    $\operatorname {Tr} (A)=\sum _{k=1}^{n}(A)_{k,k}$.
| Sommaire | Propriétés |
# Trace et transposée de matrice/Exercices/Calcul de l'équation d'une droite de régression

Des mesures du nombre N$_i$ de bactéries par millilitre sont effectuées à divers instants t$_i$.
On obtient le tableau suivant, où ln N$_i$ désigne le logarithme népérien de N$_i$.
| Valeur de i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| t$_i$ en heures | 0 | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 | 2,5 | 3 |
| y$_i$ = ln N$_i$ | 9,15 | 9,30 | 9,38 | 9,50 | 9,65 | 9,72 | 9,85 |
En représentant les points de coordonnées (t$_i$,y$_i$) dans un repère, on constate que les points sont à peu prés alignés.
* Calculer y en fonction de t par un ajustement affine (sans utiliser une calculatrice ayant des fonctions statistiques).
* En déduire N en fonction de t.
* Quel sera probablement le nombre de bactéries au bout de 4 heures.
1) Une façon pratique de procéder est de construire le tableau suivant :
| i | t$_i$ | y$_i$ | t$_i$$^2$ | y$_i$$^2$ | t$_i$y$_i$ |
| 1 | 0 | 9,15 | 0 | 83,7225 | 0 |
| 2 | 0,5 | 9,30 | 0,25 | 86,49 | 4,65 |
| 3 | 1 | 9,38 | 1 | 87,9844 | 9,38 |
| 4 | 1,5 | 9,50 | 2,25 | 90,25 | 14,25 |
| 5 | 2 | 9,65 | 4 | 93,1225 | 19,3 |
| 6 | 2,5 | 9,72 | 6,25 | 94,4784 | 24,3 |
| 7 | 3 | 9,85 | 9 | 97,0225 | 29,55 |
| Total | 10,5 | 66,55 | 22,75 | 633,0703 | 101,43 |
Grâce au tableau ci-dessus, nous pouvons calculer facilement ce qui nous est nécessaire pour obtenir a et b.
Nous avons :
${\bar {t}}={\frac {\sum t_{i}}{n}}={\frac {10,5}{7}}=1,5$
${\bar {y}}={\frac {\sum y_{i}}{n}}={\frac {66,55}{7}}=9,507$
$cov(t,y)={\frac {\sum t_{i}y_{i}}{n}}-{\bar {t}}{\bar {y}}={\frac {101,43}{7}}-1,5\times 9,507=0,2293$
$var(t)={\frac {\sum t_{i}^{2}}{n}}-({\bar {t}})^{2}={\frac {22,75}{7}}-1,5^{2}=1$
Et par conséquent, nous avons :
$a={\frac {cov(t,y)}{var(t)}}={\frac {0,2293}{1}}\simeq 0,23$
$b={\bar {y}}-a{\bar {t}}=9,507-0,2293\times 1,5\simeq 9,16$
L'équation de la droite de régression est donc :
$y=0,23x+9,16$
2) Comme y = ln N, nous obtenons en remplaçant :
$\ln(N)=0,23x+9,16$
Et donc :
$N=e^{0,23x+9,16}=9538.e^{0,23x}$
3) Au bout de 4 heures, par millilitre, il y aura :
$N=9538.e^{0,23\times 4}\simeq 23934$
Soit environ 24000 bactéries par millilitre.
| Résolution au mieux d'un système impossible à résoudre | Sommaire |
# Trace et transposée de matrice/Définition de la trace d'un endomorphisme

Dans cette leçon, tous les espaces vectoriels considérés sont supposés de dimension finie.
Nous venons de voir que deux matrices semblables ont la même trace. Nous savons que les matrices associées à un endomorphisme dans des bases différentes sont semblables. Par conséquent, la trace de la matrice associée à un endomorphisme donné sera la même quelle que soit la base choisie. On peut donc donner la définition suivante :
La trace d’un endomorphisme est la trace de la matrice associée à cet endomorphisme dans une base quelconque.
Les propriétés rappelées précédemment se réécrivent en termes de traces d'endomorphismes :
$\forall f,g\in \mathrm {L} (E)\quad \forall \alpha ,\beta \in K\quad \operatorname {Tr} (\alpha f+\beta g)=\alpha \operatorname {Tr} (f)+\beta \operatorname {Tr} (g)$
$\forall f\in \mathrm {L} (E)\quad \operatorname {Tr} (^{t}f)=\operatorname {Tr} (f)$, où $^{t}\!f\in \mathrm {L} (E^{*})$ est l'application transposée de $f$, l'espace $E^{*}$ étant le dual de $E$.
$\forall f\in \mathrm {L} (E,F)\quad \forall g\in \mathrm {L} (F,E)\quad \operatorname {Tr} (f\circ g)=\operatorname {Tr} (g\circ f)$.
| Propriétés | Propriétés plus élaborées |
# Trace et transposée de matrice/Exercices/Propriétés de la trace
## Exercice 1-1

Soient $E$ un $K$-espace vectoriel et $h:\mathrm {M} _{n}(K)\to E$ une application linéaire invariante par similitude, c'est-à-dire telle que pour toutes matrices $A,P\in \mathrm {M} _{n}(K)$ avec $P$ inversible, $h(P^{-1}AP)=h(A)$.
* Montrer que si $i\neq j$ alors $h(E_{i,i}+E_{i,j})=h(E_{i,i})=h(E_{1,1})$, où $E_{i,j}$ est la notation usuelle pour les $n^{2}$ matrices de la base canonique de $\mathrm {M} _{n}(K)$.
* En déduire qu'il existe $e\in E$ tel que $\forall A\in \mathrm {M} _{n}(K)\quad h(A)=\operatorname {tr} (A)\,e$.
* En déduire que si $f:\mathrm {M} _{n}(K)\to E$ est une application linéaire vérifiant $\forall A,B\in \mathrm {M} _{n}(K)\quad f(AB)=f(BA)$, alors il existe $e\in E$ tel que $\forall A\in \mathrm {M} _{n}(K)\quad f(A)=\operatorname {tr} (A)\,e$.
* Les matrices $E_{i,i}+E_{i,j}$ (pour $i\neq j$), $E_{i,i}$ et $E_{1,1}$ sont semblables car elles ont une droite propre pour la valeur 1 et supplémentaire de leur noyau (elles sont mêmes semblables par des matrices de passage inversibles dans les matrices à coefficients entiers).
* Soit $e=h(E_{1,1})$. Pour toute matrice $A=\sum a_{i,j}\,E_{i,j}$, on a $h(A)=\sum a_{i,j}\,h(E_{i,j})=\sum a_{i,i}\,e=\operatorname {tr} (A)\,e$.
* Une telle application $f$ vérifie en particulier (pour toutes matrices $A,P\in \mathrm {M} _{n}(K)$ avec $P$ inversible) $f(P^{-1}AP)=f(APP^{-1})=f(A)$, ce qui permet d'appliquer la question précédente.
Référence : Bourbaki, Algèbre, p. II.158, prop. 8.

## Exercice 1-2

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$. Existe-t-il $A,B\in \mathrm {M} _{n}(K)$ telles que $AB-BA=\mathrm {I} _{n}$ ?
Non car $\operatorname {tr} (AB-BA)=0<n=\operatorname {tr} (I_{n})$.
| Sommaire | Résolution au mieux d'un système impossible à résoudre |
# Topologie générale/Équicontinuité
## Définition de l'équicontinuité

Soient X un espace topologique et E un espace métrique. Un ensemble A d'applications de X dans E est dit :
* équicontinu au point $x\in X$ si
    $\forall \varepsilon >0\quad \exists V{\text{ voisinage de }}x\quad \forall y\in V\quad \forall f\in A\quad d(f(x),f(y))\leq \varepsilon$ ;
* équicontinu s'il est équicontinu en tout point de X ;
* uniformément équicontinu si de plus X est un espace métrique et
    $\forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad \forall x\in X\quad \forall y\in B(x,\delta )\quad \forall f\in A\quad d(f(x),f(y))\leq \varepsilon$.
À titre de comparaison, la quantification de la phrase suivante : « les fonctions de A sont toutes continues » s'écrit :
    $\forall f\in A\quad \forall x\in X\quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad \forall y\in B\left(x,\delta \right)\quad d\left(f(x),f(y)\right)\leq \varepsilon$.
Tout dépend de l'ordre des quantificateurs : pour la continuité, δ dépend de ε, de $x$ et de $f$. Pour l'équicontinuité, δ dépend seulement de ε et de $x$, alors que l'équicontinuité uniforme, la plus forte, ne fait dépendre δ que de ε.

## Théorème d'Ascoli

Soient K un espace compact, E un espace métrique et C(K, E) l'espace des fonctions continues de K dans E, muni de la distance uniforme.
Une partie A de C(K, E) est relativement compacte (c'est-à-dire incluse dans un compact) si et seulement si, pour tout point x de K :
* A est équicontinue en x ;
* la partie A(x) = {f(x) | f ∈A} de E est relativement compacte.
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# Toward a Theory of Property Rights

* Auteur : Harold Demsetz
* Année : 1967
* Titre : Toward a Theroy of Property Rights
* Nature : Article de journal scientifique
* Journal : The American Economic Review
* Éditeur : American Economic Association
* Volume : 57
* Numéro : 2
* Pages : 347-359
* Site web : https://www.jstor.org/stable/1821637

## Résumé

L'article est construit en 3 parties. D'abord, il introduit le concept de droits de propriété. Ensuite, explique leur apparition. Enfin, présente les principes permettant de comprendre comment les droits de propriété impacte le pouvoir des agents.

### Application à des situations concrètes

L'auteur indique qu'il y a 3 niveaux de propriété : la propriété communautaire, la propriété privée et la propriété de l'Etat. Dans le cas de la propriété communautaire, il y a trop d'agents; ainsi, les coûts de transaction sont très élevés, et les équilibres ne prennent pas en compte les externalités, notamment la prise en compte de la valeur future des biens. Dans le cas de la propriété privée, la réduction du nombre d'interlocuteurs dans chaque transaction permet de conclure des transactions, et donc d'internaliser des coûts.
C'est ce fonctionnement qui a permis le développement de grandes entreprises : la désignation de directeurs différents des actionnaires, la responsabilité limité et la facilité d'acheter ou de vendre des actions permet de transférer la propriété privée, en l'occurrence de la déléguer à la direction générale. Sans droits de propriété correctement définis, des structures de telle taille ne pourraient pas émerger.

## Citations

   « What I have suggested in this paper is an approach to problems in property rights. But it is more than that. It is also a different way of viewing traditional problems. An elaboration of this approach will, I hope, illuminate a great number of social-economic problems. » — Harold Demsetz, Toward a theory of property rights
# Trace et transposée de matrice/Espace euclidien sur un ensemble de matrices

On notera $\langle \;\mid \;\rangle$ l’application définie par :
${\begin{aligned}\langle \;\mid \;\rangle :\left(\operatorname {M} _{m,n}(\mathbb {R} )\right)^{2}&\longrightarrow \mathbb {R} \\(A,B)&\longmapsto \operatorname {Tr} (^{t}\!AB)=\sum _{1\leq i\leq m,\,1\leq j\leq n}A_{i,j}B_{i,j}.\end{aligned}}$
Soient les matrices : $A={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}$ $B={\begin{pmatrix}2&3\\4&5\end{pmatrix}}$. Alors :
    $\langle A\mid B\rangle =\mathrm {Tr} \,{\begin{pmatrix}14&18\\20&26\end{pmatrix}}=14+26=40$.
$\langle \;\mid \;\rangle$ est un produit scalaire sur M$_{m,n}$(ℝ).
On reconnait l'écriture du produit scalaire canonique sur ℝ$^{mn}$, naturellement isomorphe à M$_{m,n}$(ℝ).
Ce produit scalaire induit une norme (la norme de Frobenius) : voir Analyse numérique et calcul scientifique/Généralités sur les matrices (niveau 16).
Nous noterons par la suite, pour toutes matrices A, B, C, D appartenant à M$_{m,n}$(ℝ) :
* ${\overrightarrow {AB}}:=B-A$ ;
* ${\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {CD}}:=\langle {\overrightarrow {AB}}\mid {\overrightarrow {CD}}\rangle =\langle B-A\mid D-C\rangle =\operatorname {Tr} \left(^{t}(B-A)(D-C)\right)$ ;
* $AB:={\sqrt {{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AB}}}}={\sqrt {\langle B-A\mid B-A\rangle }}={\sqrt {\operatorname {Tr} \left(^{t}(B-A)(B-A)\right)}}$.
AB sera alors la distance de la matrice A à la matrice B.
Si 0 est la matrice nulle, on notera simplement le vecteur :
    ${\overrightarrow {A}}={\overrightarrow {0A}}$
On introduit ainsi une géométrie matricielle.
Les propriétés générales des espaces euclidiens s’appliquent ainsi à M$_{m,n}$(ℝ).
On a par exemple :
Pour toutes matrices A, B, C appartenant à M$_{m,n}$(ℝ),
    ${\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}=0\Leftrightarrow BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$.
Autrement dit, dans tout triangle matriciel rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
$\forall A,B\in \operatorname {M} _{m,n}(\mathbb {R} )\quad \mathrm {Tr} (^{t}\!BA)\leq {\sqrt {\mathrm {Tr} (^{t}\!AA)\mathrm {Tr} (^{t}\!BB)}}$.
$\forall A\in \operatorname {M} _{m,n}(\mathbb {R} )\quad \forall B\in \operatorname {M} _{n,p}(\mathbb {R} )\quad \forall C\in \operatorname {M} _{m,p}(\mathbb {R} )\quad \langle AB\mid C\rangle _{\operatorname {M} _{m,p}}=\langle B\mid (^{t}\!A)C\rangle _{\operatorname {M} _{n,p}}$.
    $\langle AB\mid C\rangle =\operatorname {Tr} \left(^{t}\!(AB)C\right)=\operatorname {Tr} \left(^{t}\!B^{t}\!AC\right)=\langle B\mid (^{t}\!A)C\rangle$.
| Propriétés plus élaborées | Résolution au mieux d'un système d'équations insoluble |
# Triangle rectangle/Présentation de la leçon

Les triangles rectangles possèdent des propriétés intéressantes. En particulier, le théorème de Pythagore permet, en connaissant la longueur de deux côtés, de déduire la longueur du troisième côté. Ou encore de déterminer si un triangle est effectivement rectangle.