# Mécanique 2 (PCSI)/Exercices/Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique
## Chute d'un arbre

On assimile un arbre à une tige longue et homogène de « longueur $\;L\;$» et de « masse $\;m\;$» ;
un bûcheron le coupe à sa base et l'arbre bascule dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen en tournant autour de son point d'appui au sol $\;{\big$on suppose que son point d'appui reste fixe, ne glissant donc pas${\big )}$ ; le champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}\;$ étant uniforme d'intensité $\;g$, on repère alors la position de l'arbre par l'« angle $\;\theta \;$ qu'il fait avec la verticale ascendante » ;
à «$\;t=0\;$ l'arbre fait un angle $\;\theta _{0}=5\,{\text{°}}\;$ avec la verticale et est immobile » ;
on rappelle le moment d'inertie d'une tige homogène, de longueur $\;{\mathit {l}}$, de masse $\;m$, par rapport à un axe $\;\Delta \;\perp \;$ à la tige et passant par une de ses extrémités «$\;J_{\Delta }={\dfrac {1}{3}}\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}\;$».

### Détermination de l'équation différentielle du 2ème ordre en θ(t) du mouvement de basculement de l'arbre

En appliquant le théorème du moment cinétique scalaire à l'arbre relativement à son axe de basculement dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen,
déterminer l'équation différentielle en $\;\theta (t)\;$ du mouvement de chute de l'arbre et
vérifier que cette équation n'admet pas de solutions analytiques.
On étudie le mouvement de l'arbre en rotation autour de son point d'appui noté $\;O\;$ et supposé fixe, la position verticale de l'arbre en $\;O\;$ étant choisie comme axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ orienté dans le sens ascendant et le plan vertical d'inclinaison initiale choisie comme plan $\;xOz$, l'axe $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ étant horizontal orienté du côté de l'inclinaison initiale de l'arbre et l'axe $\;{\overrightarrow {Oy}}$ $\;\perp \;$ au plan vertical d'inclinaison initiale de sens tel que le trièdre $\;\left\lbrace {\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {Oy}}\,,\,{\overrightarrow {Oz}}\right\rbrace \;$ soit direct, le sens du vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{y}\;$ orientant $\;{\overrightarrow {Oy}}\;$ définissant le sens $\;+\;$ des angles algébrisés du plan $\;xOz$ $\;{\big$voir schéma ci-contre${\big )}$ ;
les seules forces extérieures appliquées à l'arbre sont « son poids $\;m\;{\vec {g}}=-m\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$» et « la réaction du point d'appui $\;{\vec {R}}(t)\;$» $\;{\Big \$le texte précisant que l'arbre bascule en tournant autour d'un axe de basculement passant par le point d'appui, axe de basculement évidemment $\;\perp \;$ au plan initial d'inclinaison, cela signifie que le C.D.I. $\;G\;$ de l'arbre a un mouvement de rotation autour de cet axe, mouvement contenu dans le plan d'inclinaison initiale $\;xOz$ $\;{\Big$l'axe de basculement de l'arbre étant l'axe $\;{\overrightarrow {Oy}}{\Big )}$, de plus l'accélération du C.D.I. $\;G\;$ de l'arbre étant nécessairement dans le plan de la trajectoire du point $\;G$, « la résultante dynamique $\;m\;{\vec {g}}+{\vec {R}}(t)\;$ égale à $\;m\;{\vec {a}}_{G}(t)\;$ par application du théorème du mouvement du C.D.I. à l'arbre dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen y est aussi » et par suite « la réaction du point d'appui $\;{\vec {R}}(t)=m\;{\vec {a}}_{G}(t)-m\;{\vec {g}}\;$ y demeure pour tout $\;t\;$» $\;{\big$comme représenté ci-contre${\big )}{\Big \}$ ;
$\;Oy\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$
$\;{\mathcal {M}}_{Oy}\!\left(m\;{\vec {g}}\,,\,t\right)+{\mathcal {M}}_{Oy}\!\left[{\vec {R}}(t)\right]$
$=J_{Oy}\;{\ddot {\theta }}(t)\;$
$\;J_{Oy}={\dfrac {1}{3}}\;m\;L^{2}\;$
$\;{\mathcal {M}}_{Oy}\!\left[{\vec {R}}(t)\right]=0$
$\;{\big$
$\;{\vec {R}}(t)\;$
${\big )}\;$
$\;{\mathcal {M}}_{Oy}\!\left(m\;{\vec {g}}\,,\,t\right)=+m\;g\;b=m\;g\,\left\lbrace {\dfrac {L}{2}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace$
$\;{\bigg \$
$\;b={\dfrac {L}{2}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]{\bigg \}$
$\;{\dfrac {1}{3}}\;m\;L^{2}\;{\ddot {\theta }}(t)=m\;g\;{\dfrac {L}{2}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;$
$\;\theta (t)\;$
$\;{\ddot {\theta }}(t)-{\dfrac {3\;g}{2\;L}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=0\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$
L'équation différentielle $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ étant du 2ème ordre non linéaire de la forme «$\;{\dfrac {d^{2}f}{dx^{2}}}(x)+k\;\sin \!\left[f(x)\right]=0\;$» dans laquelle «$\;f(x)\;$ et $\;k\;$ sont respectivement $\;\theta (t)\;$ et $\;-{\dfrac {3\;g}{2\;L}}\;$» n'a effectivement pas de solution analytique comme cela a été admis dans le paragraphe « absence de solution analytique dans le cas général d'élongations non petites (de l'équation différentielle du mouvement d'un pendule pesant non amorti) » du chap.$8$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » $\;{\big \$la seule différence entre l'équation $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ et celle d'un pendule pesant étant le signe de $\;k{\big \}$.
Additif : détermination du moment d'inertie d'une tige homogène relativement à un axe${\underline {\;\perp \;}}$passant par une de ses extrémités : soit une tige $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ homogène, de masse linéique $\;\lambda _{0}$, de longueur $\;{\mathit {l}}\;$ et de masse $\;m$, le moment d'inertie $\;J\;$ de $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ relativement à un axe $\;\left(\Delta \right)\;\perp \;$ passant par une de ses extrémités choisie comme origine $\;O\;$ de repérage des points de la tige étant définie par «$\;J_{\Delta }=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)}\lambda _{0}\;\vert x_{M}\vert ^{2}\;dx_{M}\;$» avec $\;x_{M}={\overline {OM}}\;$ orienté vers l'autre extrémité, soit «$\;J_{\Delta }=\lambda _{0}\;\displaystyle \int _{0}^{+{\mathit {l}}}x_{M}^{\,2}\;dx_{M}=\lambda _{0}\,\left[{\dfrac {x_{M}^{\,3}}{3}}\right]_{0}^{+{\mathit {l}}}$ $=\lambda _{0}\;{\dfrac {{\mathit {l}}^{\,3}}{3}}\;$» dans laquelle nous pouvons reconnaître la masse de la tige $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ «$\;m=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)}\lambda _{0}\;dx_{M}\;$» égale à «$\;m=$ $\lambda _{0}\;{\mathit {l}}\;$» d'où «$\;J_{\Delta }={\dfrac {m\;{\mathit {l}}^{\,2}}{3}}\;$» C.Q.F.V.

### Détermination d'une intégrale 1re du mouvement de basculement de l'arbre

À partir de l'équation différentielle du 2ème ordre en $\;\theta (t)\;$ du mouvement de chute de l'arbre, intégrer une fois par rapport à $\;t\;$ pour en déduire une intégrale 1re du mouvement de basculement de l'arbre $\;{\big \$on explicitera $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ en fonction de $\;\theta (t)\;$ entre autres${\big \}$ ;
retrouver cette intégrale 1re du mouvement de basculement de l'arbre en utilisant le théorème de la variation de l'énergie mécanique de l'arbre dans le champ de pesanteur terrestre.
Pour intégrer une 1re fois l'équation $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ par rapport au temps $\;t\;$ on multiplie d'abord par $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ de façon à reconnaître dans le membre de gauche une somme de dérivées temporelles soit,
* dans le 1er terme du membre de gauche «$\;{\ddot {\theta }}(t)\;{\dot {\theta }}(t)={\dfrac {d\!\left[{\dfrac {1}{2}}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\right]}{dt}}\;$» et
* dans le 2nd terme du membre de gauche «$\;-{\dfrac {3\;g}{2\;L}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\theta }}(t)={\dfrac {d\!\left\lbrace {\dfrac {3\;g}{2\;L}}\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace }{dt}}\;$» d'où
$\;{\dfrac {1}{2}}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+{\dfrac {3\;g}{2\;L}}\;\cos \!\left[\theta (t)\right]=cste\;$
$\;cste\;$
$\;\left\lbrace \theta (0)=\theta _{0}=5\;{\text{°}}\,,\,{\dot {\theta }}(0)=0\right\rbrace \;$
$\Rightarrow$
$\;cste=$
${\dfrac {3\;g}{2\;L}}\;\cos \!\left(\theta _{0}\right)\;$
$\;{\dfrac {1}{2}}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+{\dfrac {3\;g}{2\;L}}\;\cos \!\left[\theta (t)\right]={\dfrac {3\;g}{2\;L}}\;\cos \!\left(\theta _{0}\right)\;$
$\Leftrightarrow$
$\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)={\dfrac {3\;g}{L}}\left\lbrace \cos \!\left(\theta _{0}\right)-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$
$\;{\dot {\theta }}(t)={\sqrt {\dfrac {3\;g}{L}}}\;{\sqrt {\cos \!\left(\theta _{0}\right)-\cos \!\left[\theta (t)\right]}}\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$
Autre détermination de l'intégrale 1re du mouvement de basculement de l'arbre : la « réaction du point d'appui $\;{\vec {R}}(t)\;$ ne travaillant pas » $\;{\big$son point d'application $\;O\;$ étant fixe${\big )}$, le « poids $\;m\;{\vec {g}}\;$ étant conservatif » et seules les forces extérieures pouvant travailler $\;{\big$l'arbre étant un solide${\big )}$, nous en déduisons que l'arbre en basculement est un système conservatif $\Rightarrow$ « son énergie mécanique $\;E_{m}=K+U_{\text{pes}}\;$ est conservée » ;
Autre détermination de l'intégrale 1re du mouvement de basculement de l'arbre : à l'instant $\;t$, l'énergie cinétique de rotation de l'arbre est «$\;K(t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{Oy}\;{\dot {\theta }}^{2}(t)={\dfrac {1}{6}}\;m\;L^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}(t)\;$» et son énergie potentielle de pesanteur $\;U_{\text{pes}}(t)=m\;g\;z_{G}(t)\;$ en prenant sa référence au niveau du sol soit encore, en explicitant $\;z_{G}\;$ en fonction de $\;\theta$, «$\;U_{\text{pes}}(t)=m\;g\;{\dfrac {L}{2}}\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\;$» d'où l'expression de son énergie mécanique «$\;E_{m}(t)=$ ${\dfrac {1}{6}}\;m\;L^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+m\;g\;{\dfrac {L}{2}}\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\;$» ;
$\;E_{m}(0)=m\;g\;{\dfrac {L}{2}}\;\cos \!\left(\theta _{0}\right)\;$
$\;{\dfrac {1}{6}}\;m\;L^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+m\;g\;{\dfrac {L}{2}}\;\cos \!\left[\theta (t)\right]=m\;g\;{\dfrac {L}{2}}\;\cos \!\left(\theta _{0}\right)\;$
$\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)={\dfrac {3\;g}{L}}\left\lbrace \cos \!\left(\theta _{0}\right)-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$
$\;{\dot {\theta }}(t)={\sqrt {\dfrac {3\;g}{L}}}\;{\sqrt {\cos \!\left(\theta _{0}\right)-\cos \!\left[\theta (t)\right]}}\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$

### Détermination de la durée de chute de l'arbre

En intégrant une nouvelle fois l'intégrale 1re du mouvement de basculement de l'arbre, déterminer la durée de chute «$\;\Delta t\;$» d'un arbre de ce type sous forme intégrale de l'inclinaison initiale jusqu'au sol puis
la calculer numériquement pour une hauteur d'arbre «$\;L=30\;m\;$», sachant que «$\;g\simeq 9,8\;m\cdot s^{-2}\;$» et «$\;\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{\frac {\pi }{2}}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {\cos(\theta _{0})-\cos(\theta )}}}\simeq 5,1\;$».
L'intégrale 1re du mouvement de basculement de l'arbre «$\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;\;{\text{:}}\;\;{\dot {\theta }}(t)={\sqrt {\dfrac {3\;g}{L}}}\;{\sqrt {\cos \!\left(\theta _{0}\right)-\cos \!\left[\theta (t)\right]}}\;$» s'intègre en séparant les variables selon «$\;dt={\sqrt {\dfrac {L}{3\;g}}}\;{\dfrac {d\theta }{\sqrt {\cos \!\left(\theta _{0}\right)\,-\,\cos \!\left(\theta \right)}}}\;$» d'où l'expression intégrale de la durée $\;\Delta t\;$ de chute de l'arbre de l'inclinaison initiale jusqu'au sol «$\;\Delta t={\sqrt {\dfrac {L}{3\;g}}}\;\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{\frac {\pi }{2}}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {\cos(\theta _{0})-\cos(\theta )}}}\;$» ;
numériquement, avec «$\;\theta _{0}=5\;{\text{°}}=5\;{\dfrac {\pi }{180}}\;rad={\dfrac {\pi }{36}}\;rad\;$» ainsi que «$\;\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{\frac {\pi }{2}}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {\cos(\theta _{0})-\cos(\theta )}}}\simeq 5,1\;$ obtenu par intégration numérique », «$\;L=30\;m\;$» et «$\;g\simeq 9,8\;m\cdot s^{-2}\;$», nous obtenons «$\;\Delta t\simeq$ ${\sqrt {\dfrac {30}{3\times 9,8}}}\times 5,1\;$ en $\;s\;$» soit finalement, une durée de chute de cet arbre estimée à «$\;\Delta t\simeq 5,2\;s\;$».
Additif : évaluation numérique de l'intégrale «$\;\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{\frac {\pi }{2}}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {\cos(\theta _{0})-\cos(\theta )}}}\;$» par utilisation du logiciel de calcul « Scilab », les lignes de programme (en noir), les réponses de Scilab (en rouge) et mes commentaires entre parenthèses (en bleu) donnant :
Additif : évaluation numérique de l'intégrale%theta0 = %pi/36 ;
Additif : évaluation numérique de l'intégralefunction y = f(u) ; y = 1/sqrt(cos(%theta0)-cos(u)) ; endfunction
Additif : évaluation numérique de l'intégrale%Delta = integrate('f(u)','u',%theta0,%pi/2) %Delta = 5.1445633 (évaluation numérique de l'intégrale)

## Roulement sans glissement d'un demi-disque sur un plan, aspect cinématique puis énergétique

Soit un demi-disque $\;{\mathcal {D}}\;$ homogène, de masse surfacique $\;\sigma _{0}$, de centre $\;C\;$, de centre de masse $\;{\big$ou C.D.I.${\big )}$ $\;G$, de rayon $\;R\;$ et de masse $\;m$ $\;{\big$voir schéma ci-contre${\big )}$ ;
ce demi-disque $\;{\mathcal {D}}\;$ disposé verticalement sur un plan horizontal est en contact avec ce dernier par l'intermédiaire de sa tranche circulaire $\;{\big$un dispositif non représenté forçant le demi-disque à rester dans le plan vertical initial sans faire intervenir un quelconque frottement solide${\big )}$, $\;{\mathcal {D}}\;$ peut ainsi rouler sans glisser sur ce plan horizontal ;
le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ dans lequel est étudié le mouvement de $\;{\mathcal {D}}\;$ est supposé galiléen pour son étude dynamique, il lui est associé un repère cartésien $\;\left\lbrace O\,,\,{\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ orthonormé direct, $\;{\vec {u}}_{z}\;$ orientant la direction verticale dans le sens ascendant, $\;{\vec {u}}_{y}\;$ la direction horizontale le long de laquelle le demi-disque roule sans glisser et $\;{\vec {u}}_{x}\;$ la direction horizontale $\;\perp \;$ au plan vertical contenant $\;{\mathcal {D}}\;$ orientant les angles algébrisés de ce dernier dans le sens trigonométrique direct ;
le champ de pesanteur terrestre est uniforme égal à $\;{\vec {g}}=-g\;{\vec {u}}_{z}\;$ avec $\;g\;$ intensité de la pesanteur ;
désignant par $\;I\;$ le point de contact entre le sol et $\;{\mathcal {D}}\;$ à l'instant $\;t$, on repère la position du demi-disque par l'ordonnée «$\;y_{C}(t)\;$» de son centre $\;C\;$ et par l'angle algébrisé «$\;\alpha (t)={\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {CI}}(t)\,,\,{\overrightarrow {CG}}(t)\right\rbrace }}\;$».
À l'instant initial, on lâche le demi-disque sans vitesse initiale dans la position repérée par $\;\alpha _{0}$, l'ordonnée du point de contact correspondant $\;I_{0}\;$ valant $\;y_{0}$.
Nous supposerons connus la distance séparant le centre $\;C\;$ du demi-disque de son C.D.I. $\;G\;$ «$\;CG={\dfrac {4\;R}{3\;\pi }}\;$ notée $\;b\;$» ainsi que Nous supposerons connus le moment d'inertie de $\;{\mathcal {D}}\;$ par rapport à un axe passant par $\;C\;$ et $\;\perp \;$ au plan contenant $\;{\mathcal {D}}\;$ «$\;J={\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\;$».

### Étude cinématique du roulement sans glissement du demi-disque sur le plan horizontal

Remarque : cette question étant la 1re de l'exercice « Roulement sans glissement d'un demi-disque sur un plan, aspect cinématique puis dynamique » de la série d'exer.$6$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » est rappelée pour mémoire, la différence entre ces deux exercices portant sur l'aspect utilisé pour résoudre le roulement sans glissement du demi-disque $\;{\big \$résolution par théorèmes de la dynamique de translation et rotation pour la 2ème question de l'exercice précité, résolution par théorème énergétique pour la 2ème question de l'exercice présent${\big \}$.
Établir le lien traduisant le roulement sans glissement du demi-disque $\;{\mathcal {D}}\;$ sur le plan horizontal entre Établir le lien la composante horizontale du vecteur vitesse du centre $\;C\;$ du demi-disque dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ «$\;{\dot {y}}_{C}(t)\;$» et Établir le lien sa vitesse angulaire «$\;{\dot {\alpha }}(t)\;$» de rotation autour de l'axe horizontal $\;{\overrightarrow {Cx}}\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{C}\;$ lié à $\;C\;$ en translation relativement à $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}$.
En déduire les composantes cartésiennes des vecteurs vitesse et accélération du centre de masse $\;{\big$ou C.D.I.${\big )}$ $\;G\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ en fonction de «$\;b=CG\;$», de «$\;\alpha (t)\;$» et de « ses dérivées temporelles d'ordre un et deux ».
Remarque : cette question étant la 1re de l'exercice « Roulement sans glissement d'un demi-disque sur un plan, aspect cinématique puis dynamique » de la série d'exer.$6$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », sa solution est rappelée ci-dessous pour mémoire.
Le roulement sans glissement du demi-disque $\;{\mathcal {D}}\;$ sur le plan horizontal $\;\left(xOy\right)\;$ se traduit selon «$\;{\vec {V}}_{I\,\in \,{\mathcal {D}}}(t)={\vec {V}}_{I\,\in \,\left(xOy\right)}(t)\;$» avec
* «$\;{\vec {V}}_{I\,\in \,\left(xOy\right)}(t)={\vec {0}}\;$» $\;{\big \I\;\in \;\left(xOy\right)\;$ considéré à l'instant $\;t\;$ étant, par définition, immobile relativement au plan horizontal${\big \}$ et
* «$\;{\vec {V}}_{I\,\in \,{\mathcal {D}}}(t)=$ ${\vec {V}}_{C}(t)+{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {D}}\,/\,{\mathcal {R}}_{C}}(t)\wedge {\overrightarrow {CI}}={\dot {y}}_{C}(t)\;{\vec {u}}_{y}+{\dot {\alpha }}(t)\;{\vec {u}}_{x}\wedge \left(-R\;{\vec {u}}_{z}\right)\;$» ${\big \$le mouvement de $\;I\;\in \;{\mathcal {D}}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ résultant de la composition d'une translation de vecteur vitesse de translation $\;{\vec {V}}_{C}(t)\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ et d'une rotation de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {D}}\,/\,{\mathcal {R}}_{C}}(t)\;$ autour de $\;{\overrightarrow {Cx}}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{C}$ $\;{\big$le référentiel lié à $\;C\;$ en translation relativement à $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}{\big )}{\big \}$ ou «$\;{\vec {V}}_{I\,\in \,{\mathcal {D}}}(t)=\left[{\dot {y}}_{C}(t)+R\;{\dot {\alpha }}(t)\right]\,{\vec {u}}_{y}\;$»,
$\;{\mathcal {D}}\;$
$\;{\dot {y}}_{C}(t)+R\;{\dot {\alpha }}(t)=0\;\;\forall \;t\;$
Additif : détermination du C.D.I. du demi-disque ${\underline {{\mathcal {D}}\;}}$ : soit le demi-disque $\;{\mathcal {D}}\;$ homogène, de masse surfacique $\;\sigma _{0}$, de centre $\;C\;$, de rayon $\;R\;$ et de masse $\;m\;$ dans sa position d'équilibre $\;{\mathcal {D}}_{\text{éq}}$ $\;{\big$l'axe de symétrie de répartition de masse de $\;{\mathcal {D}}_{\text{éq}}\;$ est donc confondu avec $\;{\overrightarrow {Cz'}}\;$${\big ]}$, la position du C.D.I. $\;G\;$ de $\;{\mathcal {D}}$, repérée par rapport à $\;C$, étant définie par $\;{\overrightarrow {CG}}={\dfrac {\displaystyle \iint _{\mathcal {D}}{\overrightarrow {CM}}\;\sigma _{0}\;dS_{M}}{\displaystyle \iint _{\mathcal {D}}\sigma _{0}\;dS_{M}}}\;$$^,$ ou, $\;{\overrightarrow {Cz'}}\;$ étant un axe de symétrie de répartition de masse de $\;{\mathcal {D}}_{\text{éq}}\;$ $\Rightarrow$ le C.D.I. de $\;{\mathcal {D}}_{\text{éq}}$ «$\;G\;\in \;Cz'\;$» et par suite sa détermination s'établit uniquement par l'évaluation de sa cote $\;{z_{G}}\!'={\dfrac {\displaystyle \iint _{\mathcal {D}}{z_{M}}\!'\;dS_{M}}{\dfrac {\pi \;R^{2}}{2}}}\;$ $\;{\bigg \\displaystyle \iint _{\mathcal {D}}dS_{M}\;$ étant l'aire du demi-disque valant $\;{\dfrac {\pi \;R^{2}}{2}}{\bigg \}$ ou, en repérage polaire de $\;M\;$ de pôle $\;C\;$ et d'axe polaire $\;{\overrightarrow {Cz'}}\;$, le plan de $\;{\mathcal {D}}_{\text{éq}}\;$ étant orienté dans le sens trigonométrique direct, $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{z_{M}}\!'=\rho \;\cos(\theta )\\dS_{M}=\rho \;d\rho \;d\theta \end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ «$\;\displaystyle \iint _{\mathcal {D}}{z_{M}}\!'\;dS_{M}=$ $\displaystyle \int _{\rho \,=\,0}^{\rho \,=\,R}\rho ^{2}\left[\displaystyle \int _{\theta \,=\,-{\frac {\pi }{2}}}^{\theta \,=\,{\frac {\pi }{2}}}\cos(\theta )\;d\theta \right]\,d\rho =\displaystyle \int _{\rho \,=\,0}^{\rho \,=\,R}\rho ^{2}\,\left\lbrace \left[\sin(\theta )\right]_{\theta \,=\,-{\frac {\pi }{2}}}^{\theta \,=\,{\frac {\pi }{2}}}\right\rbrace \,d\rho =2\;{\dfrac {R^{3}}{3}}\;$» d'où «$\;{z_{G}}\!'={\dfrac {2\;{\dfrac {R^{3}}{3}}}{\dfrac {\pi \;R^{2}}{2}}}={\dfrac {4\;R}{3\;\pi }}\;$» C.Q.F.V. ;
Additif : détermination du C.D.I. du demi-disque : ce résultat peut aussi être vérifié par utilisation du théorème de Guldin $\;{\big$théorème hors programme de physique de P.C.S.I.${\big )}\;$ dont l'énoncé est le suivant :
$\;{\mathcal {V}}\;$
$\;{\mathcal {D}}\;$
$\;(\Delta )\;$
$\;{\mathcal {A}}_{\mathcal {D}}\;$
$\;G\;$
$\;\alpha \;d\!\left(\Delta \,,\,G\right)\;$
$\;d\!\left(\Delta \,,\,G\right)\;$
$\;(\Delta )\;$
$\;\alpha \;$
$\;rad\;$
$\;{\mathcal {V}}={\mathcal {A}}_{\mathcal {D}}\;\times \;\alpha \;d\!\left(\Delta \,,\,G\right)\;$
$\;(\Delta )\;$
$\;{\mathcal {D}}\;$
$\;{\mathcal {D}}\;$
$\;(\Delta )\;$
$\;C\;$
$\;R\;$
$\;{\mathcal {V}}={\dfrac {4}{3}}\;\pi \;R^{3}\;$
$\;{\mathcal {A}}_{\mathcal {D}}={\dfrac {\pi \;R^{2}}{2}}$
$\;{\dfrac {4}{3}}\;\pi \;R^{3}={\dfrac {\pi \;R^{2}}{2}}\;\times \;\alpha \;d\!\left(\Delta \,,\,G\right)\;$
$\;\alpha =2\;\pi \;$
$\;d\!\left(\Delta \,,\,G\right)=$
${\dfrac {{\dfrac {4}{3}}\;\pi \;R^{3}}{{\dfrac {\pi \;R^{2}}{2}}\,\left(2\;\pi \right)}}={\dfrac {4\;R}{3\;\pi }}\;$
Explicitation des vecteurs vitesse et accélération du C.D.I.${\underline {\;G\;}}$du demi-disque${\underline {\;{\mathcal {D}}\;}}$ : le vecteur position du C.D.I. $\;G\;$ du demi-disque $\;{\mathcal {D}}\;$ s'évaluant par utilisation de la relation de Chasles selon «$\;{\overrightarrow {OG}}(t)=$ ${\overrightarrow {OC}}(t)+{\overrightarrow {CG}}(t)=\left\lbrace y_{C}(t)\;{\vec {u}}_{y}+R\;{\vec {u}}_{z}\right\rbrace +\left\lbrace b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\vec {u}}_{y}-b\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$» ou «$\;{\overrightarrow {OG}}(t)\,\left\lbrace {\begin{array}{l c}y_{C}(t)+b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]&{\text{sur }}{\vec {u}}_{y}\\R-b\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]&{\text{sur }}{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right\rbrace \;$» soit, en dérivant par rapport à $\;t\;$ une 1re fois puis une 2ème fois,
* les composantes cartésiennes du vecteur vitesse du C.D.I. $\;G\;$ du demi-disque $\;{\mathcal {D}}\;$ «$\;{\vec {V}}_{G}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {OG}}}{dt}}(t)\,\left\lbrace {\begin{array}{r c}{\dot {y}}_{C}(t)+b\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}(t)&{\text{sur }}{\vec {u}}_{y}\\b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}(t)&{\text{sur }}{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right\rbrace \;$» ou encore, en utilisant l'expression traduisant le roulement sans glissement «$\;{\dot {y}}_{C}(t)=-R\;{\dot {\alpha }}(t)\;$», «$\;{\vec {V}}_{G}(t)\,\left\lbrace {\begin{array}{r c}\left\lbrace -R+b\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace \,{\dot {\alpha }}(t)&{\text{sur }}{\vec {u}}_{y}\\b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}(t)&{\text{sur }}{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right\rbrace \;$» soit finalement «$\;{\vec {V}}_{G}(t)=\left\lbrace -R+b\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace \,{\dot {\alpha }}(t)\;{\vec {u}}_{y}+b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» et
* les composantes cartésiennes du vecteur accélération du C.D.I. $\;G\;$ du demi-disque $\;{\mathcal {D}}\;$ «$\;{\vec {a}}_{G}(t)={\dfrac {d{\vec {V}}_{G}}{dt}}(t)\,\left\lbrace {\begin{array}{r c}{\ddot {y}}_{C}(t)-b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}^{2}(t)+b\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\,{\ddot {\alpha }}(t)&{\text{sur }}{\vec {u}}_{y}\\b\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}^{2}(t)+b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\ddot {\alpha }}(t)&{\text{sur }}{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right\rbrace \;$» ou encore, en utilisant l'expression dérivée temporellement traduisant le roulement sans glissement «$\;{\ddot {y}}_{C}(t)=-R\;{\ddot {\alpha }}(t)\;$», «$\;{\vec {a}}_{G}(t)\,\left\lbrace {\begin{array}{r c}\left\lbrace -R+b\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace \,{\ddot {\alpha }}(t)-b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}^{2}(t)&{\text{sur }}{\vec {u}}_{y}\\b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\ddot {\alpha }}(t)+b\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}^{2}(t)&{\text{sur }}{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right\rbrace \;$» soit finalement «$\;{\vec {a}}_{G}(t)={\Big \\left\lbrace -R+b\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace \,{\ddot {\alpha }}(t)-b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}^{2}(t){\Big \}}\,{\vec {u}}_{y}+{\Big \b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\ddot {\alpha }}(t)+b\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}^{2}(t){\Big \}}\,{\vec {u}}_{z}\;$».

### Étude énergétique du roulement sans glissement du demi-disque sur le plan horizontal

En admettant le théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique $\;{\big$ou 2ème théorème de Kœnig${\big )}\;$ appliqué à un système continu de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique à savoir, dans le cas d'une expansion tridimensionnelle où $\;\mu (M)\;$ est la masse volumique locale en $\;M$,
En admettant le théorème de Kœnig l'énergie cinétique du système continu d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ «$\;\left\lbrace M\;\left[dm=\mu (M)\;d{\mathcal {V}}\right]\right\rbrace _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\;$» évaluée à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ «$\;K({\text{syst}},\,t)\;$» est la somme
* de l'énergie cinétique barycentrique du système «$\;K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)\;$» évaluée à l'instant $\;t\;$ et
* de l'énergie cinétique du C.D.I. $\;G\;$ du système évaluée au même instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ $\;{\big$en attribuant au point fictif $\;G\;$ la masse $\;m_{\text{syst}}{\big ]}\;$ «$\;K\!(G,\,t)={\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)\;$»
En admettant le théorème de Kœnig soit, mathématiquement «$\;K({\text{syst}},\,t)=K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+K\!(G,\,t)=K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+{\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)\;$»,
En admettant le théorème de Kœnig évaluer, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ et à l'instant $\;t$, l'énergie cinétique du demi-disque $\;{\mathcal {D}}\;$ roulant sans glisser sur le plan horizontal en fonction de «$\;m$, $\;R$, $\;b=CG\;$ et $\;{\dot {\alpha }}(t)\;$» $\;{\Big \$pour résoudre cette question il est nécessaire de déterminer le moment d'inertie de $\;{\mathcal {D}}\;$ relativement à $\;\left(Gx\right)\;$ et pour cela on utilisera le théorème de Huygens$^,$ liant les moments d'inertie d'un solide relativement à deux axes $\;\parallel \;$ dont l'un passe par le C.D.I. $\;G\;$ du solide «$\;J_{\Delta }\!\left({\mathcal {S}}\right)=J_{\Delta _{G}}\!\left({\mathcal {S}}\right)+m_{({\mathcal {S}})}\;d^{2}\;$ avec $\;d\;$ la distance séparant les deux axes »${\Big \}$ ;
exprimer l'énergie potentielle de pesanteur «$\;U_{\text{pes}}\;$» du demi-disque $\;{\mathcal {D}}\;$ roulant sans glisser sur le plan horizontal en fonction de «$\;m$, $\;R$, $\;b=CG\;$ et $\;\alpha (t)\;$» puis en déduire
exprimer l'énergie mécanique dans le champ de pesanteur terrestre «$\;E_{m}\;$» du demi-disque $\;{\mathcal {D}}\;$ roulant sans glisser sur le plan horizontal dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ en fonction de «$\;m$, $\;R$, $\;b=CG$, $\;\alpha (t)\;$ et $\;{\dot {\alpha }}(t)\;$».
Rappeler la loi empirique de Coulomb du frottement de glissement pour un « cœfficient de frottement entre le sol et le demi-disque égal à $\;f\;$» $\;{\Big \$on notera $\;{\overline {R_{\tau }}}(t)\;$ et $\;R_{n}(t)\;$ les composantes tangentielle et normale de la réaction du plan horizontal sur le demi-disque${\Big \}$ puis,
Rappeler l'expression de la puissance instantanée développée par la réaction du plan horizontal sur le demi-disque dans le cas où ce dernier roule sans glisser sur le 1er dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}$, enfin
déterminer une intégrale 1re énergétique du demi-disque $\;{\mathcal {D}}\;$ roulant sans glisser sur le plan horizontal dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}$ ;
justifier cette affirmation « cette intégrale 1re énergétique est celle d'un oscillateur $\;{\big$non harmonique${\big )}\;$» $\;{\big \$on rappellera succinctement la méthode d'étude par diagramme d'énergies potentielle et mécanique permettant d'aboutir à cette conclusion${\big \}$.
Bien que ce ne soit pas en général simplificateur dans le cas d'un oscillateur non harmonique, déduire de l'intégrale 1re énergétique, l'équation différentielle du 2ème ordre en $\;\alpha (t)\;$ du mouvement de rotation de $\;{\mathcal {D}}\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}$.
Ci-contre le schéma descriptif du demi-disque $\;{\mathcal {D}}\;$ homogène, de masse surfacique $\;\sigma _{0}$, de centre $\;C\;$, de C.D.I. $\;G$, de rayon $\;R\;$ et de masse $\;m$, roulant sans glisser sur le plan horizontal $\;\left(xOy\right)\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen, les forces extérieures s'exerçant sur $\;{\mathcal {D}}\;$ étant
* son poids vertical descendant $\;m\;{\vec {g}}=-m\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$ appliqué au C.D.I. $\;G\;$ de $\;{\mathcal {D}}\;$ et
* la réaction du plan horizontal $\;{\vec {R}}(t)\;$ se décomposant en une composante tangentielle $\;{\vec {R}}_{\tau }(t)={\overline {R_{\tau }}}(t)\;{\vec {u}}_{y}$ $\;{\big{\vec {R}}_{\tau }(t)\;$ étant de sens contraire au vecteur vitesse de glissement hypothétique susceptible de se produire selon la loi empirique de Coulomb du frottement de glissement${\big ]}\;$ et une composante normale $\;{\vec {R}}_{n}(t)=R_{n}(t)\;{\vec {u}}_{z}$ $\;{\big$avec $\;{\vec {R}}_{n}(t)\;$ de sens contraire à la pénétration possible de $\;{\mathcal {D}}\;$ dans le plan horizontal $\Rightarrow$ $\;R_{n}(t)>0{\big ]}$.
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\mathcal {D}}\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}$
$\;{\mathcal {D}}\;$
$\;K({\mathcal {D}},\,t)\;$
$\;t$
$\;K^{\,*}\!({\mathcal {D}},\,t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{\left(Gx\right)}\;{\dot {\alpha }}^{2}(t)\;$
$\;{\bigg \J_{\left(Gx\right)}$
$\;{\mathcal {D}}\;$
$\;\left(Gx\right)$
$\;J={\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}$
$\;{\mathcal {D}}\;$
$\;\left(Cx\right)$
$\;CG=b$
$\;J_{(Cx)}\!\left({\mathcal {D}}\right)=J_{(Gx)}\!\left({\mathcal {D}}\right)+m_{({\mathcal {D}})}\;b^{2}\;$
$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}=J_{(Gx)}+m\;b^{2}\;$
$\Rightarrow$
$\;J_{(Gx)}=m\left({\dfrac {R^{2}}{2}}-b^{2}\right)\;$
${\bigg \}$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$
$\;t$
$\;G\;$
$\;K\!(G,\,t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)\;$
$\;{\vec {V}}_{G}(t)=$
$\left\lbrace -R+b\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace \,{\dot {\alpha }}(t)\;{\vec {u}}_{y}+b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\Rightarrow$
$\;K\!(G,\,t)=$
${\dfrac {1}{2}}\;m\left(\left\lbrace -R+b\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace ^{2}+b^{2}\;\sin ^{2}\!\left[\alpha (t)\right]\right)\,{\dot {\alpha }}^{2}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\left\lbrace R^{2}+b^{2}-2\;R\;b\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace \,{\dot {\alpha }}^{2}(t)\;$
$\;K({\mathcal {D}},\,t)={\dfrac {1}{2}}\;m\left({\dfrac {R^{2}}{2}}-b^{2}\right)\,{\dot {\alpha }}^{2}(t)+{\dfrac {1}{2}}\;m\left\lbrace R^{2}+b^{2}-2\;R\;b\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace \,{\dot {\alpha }}^{2}(t)\;$
$\;K({\mathcal {D}},\,t)={\dfrac {1}{2}}\;m\left\lbrace {\dfrac {3}{2}}\;R^{2}-2\;R\;b\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace \,{\dot {\alpha }}^{2}(t)={\dfrac {3}{4}}\;m\;R^{2}\left\lbrace 1-{\dfrac {4}{3}}\;{\dfrac {b}{R}}\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace \,{\dot {\alpha }}^{2}(t)\;$
le poids du demi-disque $\;m\;{\vec {g}}=-m\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$ appliqué au C.D.I. $\;G\;$ du demi-disque étant conservatif, il « dérive » de l'« énergie potentielle de pesanteur $\;U_{\text{pes}}({\mathcal {D}})=m\;g\;z_{G}\;$» $\;{\big$avec choix de sa référence sur le plan horizontal $\;xOy{\big )}\;$ dans laquelle la cote de $\;G\;$ à l'instant $\;t\;$ vaut «$\;z_{G}(t)=R-b\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\;$» $\;{\big$voir solution de la question précédente « étude cinématique du roulement sans glissement du demi-disque sur le plan horizontal »${\big )}\;$ d'où l'expression, à l'instant $\;t$, de l'énergie potentielle de pesanteur du demi-disque $\;{\mathcal {D}}\;$ roulant sans glisser sur le plan horizontal «$\;U_{\text{pes}}\!({\mathcal {D}},\,t)=m\;g\left\lbrace R-b\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace \;$ avec référence sur $\;xOy\;$» ;
$\;t$
$\;{\mathcal {D}}\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$
$\;E_{m}(t)$
$=K({\mathcal {D}},\,t)+U_{\text{pes}}={\dfrac {3}{4}}\;m\;R^{2}\left\lbrace 1-{\dfrac {4}{3}}\;{\dfrac {b}{R}}\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace \,{\dot {\alpha }}^{2}(t)+m\;g\left\lbrace R-b\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace \;$
$\;E_{m}(t)={\dfrac {3}{4}}\;m\;R^{2}\left(\left\lbrace 1-{\dfrac {4}{3}}\;{\dfrac {b}{R}}\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace \,{\dot {\alpha }}^{2}(t)+{\dfrac {4}{3}}\;{\dfrac {g}{R}}\left\lbrace 1-{\dfrac {b}{R}}\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace \right)\;$
Pour que le roulement du demi-disque $\;{\mathcal {D}}\;$ sur le plan horizontal $\;xOy\;$ se fasse sans glissement il faut que les « composantes tangentielle et normale de la réaction du plan horizontal $\;{\vec {R}}_{\tau }(t)={\overline {R}}_{\tau }(t)\;{\vec {u}}_{y}\;$ et $\;R_{n}(t)=R_{n}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» suivent la loi empirique de Coulomb du frottement de glissement en absence de glissement $\;{\big$le cœfficient de frottement entre le sol et le demi-disque étant égal à $\;f{\big )}$, à savoir
$\;\succ \;$« la composante tangentielle $\;{\vec {R}}_{\tau }\;$ est toujours de direction et de sens contraire au mouvement de glissement susceptible de se produire » et
$\;\succ \;$$\;\vert {\overline {R}}_{\tau }(t)\vert <f\;\vert R_{n}(t)\vert \;$ ou, $\;R_{n}(t)\;$ étant nécessairement $\;>0$, «$\;\vert {\overline {R}}_{\tau }(t)\vert <f\;R_{n}(t)\;$» ;
la puissance instantanée développée, à l'instant $\;t$, dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}$, par la réaction $\;{\vec {R}}(t)={\vec {R}}_{n}(t)+{\vec {R}}_{\tau }(t)\;$ du plan horizontal $\;\left(xOy\right)\;$ sur le demi-disque $\;{\mathcal {D}}\;$ définie selon «$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {R}}(t)\right]=$ ${\vec {R}}(t)\cdot {\vec {V}}_{I\,\in \,{\mathcal {D}}}(t)={\cancel {{\vec {R}}_{n}(t)\cdot {\vec {V}}_{I\,\in \,{\mathcal {D}}}(t)\;+}}\;{\vec {R}}_{\tau }(t)\cdot {\vec {V}}_{I\,\in \,{\mathcal {D}}}(t)\;$» $\;{\Big \{\vec {V}}_{I\,\in \,{\mathcal {D}}}(t)\cdot {\vec {u}}_{z}\;$ étant nul même en cas de glissement${\Big \}$ se réécrit, dans les conditions de roulement sans glissement de $\;{\mathcal {D}}\;$ sur le plan horizontal $\;\left(xOy\right)\;$ où $\;{\vec {V}}_{I\,\in \,{\mathcal {D}}}(t)$ $={\vec {V}}_{I\,\in \,\left(xOy\right)}(t)\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {R}}(t)\right]={\vec {R}}_{\tau }(t)\cdot {\vec {V}}_{I\,\in \,\left(xOy\right)}(t)\;$» soit finalement «$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {R}}(t)\right]=0\;$» car $\;{\vec {V}}_{I\,\in \,\left(xOy\right)}(t)={\vec {0}}\;$ $\;{\Big \\left(xOy\right)\;$ étant fixe dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}{\Big \}$.
$\;{\mathcal {D}}$
$\;{\vec {R}}(t)\;$
$\;\left(xOy\right)\;$
$\;{\mathcal {D}}$
$\;{\mathcal {D}}\;$
$\;\left(xOy\right)$
$\;{\mathcal {D}}\;$
$\;\left(xOy\right)\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$
$\;{\mathcal {D}}\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$
$\;E_{m}(t)=E_{m}(0)\;$
$\;E_{m}(t)={\dfrac {3}{4}}\;m\;R^{2}\left(\left\lbrace 1-{\dfrac {4}{3}}\;{\dfrac {b}{R}}\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace \,{\dot {\alpha }}^{2}(t)+{\dfrac {4}{3}}\;{\dfrac {g}{R}}\left\lbrace 1-{\dfrac {b}{R}}\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace \right)\;$
$\;\left\lbrace \alpha (0)=\alpha _{0}\,,\,{\dot {\alpha }}(0)=0\right\rbrace \;$
$\Rightarrow$
$\;E_{m}(0)={\dfrac {3}{4}}\;m\;R^{2}\left\lbrace {\dfrac {4}{3}}\;{\dfrac {g}{R}}\left[1-{\dfrac {b}{R}}\;\cos \!\left(\alpha _{0}\right)\right]\right\rbrace \;$
$\;{\mathcal {D}}\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$
$\;{\dfrac {3}{4}}\;m\;R^{2}\left(\left\lbrace 1-{\dfrac {4}{3}}\;{\dfrac {b}{R}}\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace \,{\dot {\alpha }}^{2}(t)+{\dfrac {4}{3}}\;{\dfrac {g}{R}}\left\lbrace 1-{\dfrac {b}{R}}\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace \right)={\dfrac {3}{4}}\;m\;R^{2}\left\lbrace {\dfrac {4}{3}}\;{\dfrac {g}{R}}\left[1-{\dfrac {b}{R}}\;\cos \!\left(\alpha _{0}\right)\right]\right\rbrace \;$
$\;{\dfrac {3}{4}}\;m\;R^{2}$
$\;{\mathcal {D}}\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$
$\;\left\lbrace 1-{\dfrac {4}{3}}\;{\dfrac {b}{R}}\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace \,{\dot {\alpha }}^{2}(t)+{\dfrac {4}{3}}\;{\dfrac {g}{R}}\left\lbrace 1-{\dfrac {b}{R}}\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace ={\dfrac {4}{3}}\;{\dfrac {g}{R}}\left[1-{\dfrac {b}{R}}\;\cos \!\left(\alpha _{0}\right)\right]\;\;{\text{:}}\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$
$\;\alpha (t)$
$\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$
$\;\propto \;$
$\;{\dot {\alpha }}^{2}\!(t)\;$
$\;>0\;$
$\;{\big$
${\big )}$
$\;{\dot {\alpha }}(t)\;$
$\;{\big$
${\big )}$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;\alpha (t)\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;\alpha =0\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;\alpha \,\in \,\left]-\alpha _{0}\,,\,+\alpha _{0}\right[\;$
$\;\alpha _{0}\;$
$\;>0\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;\pm \alpha _{0}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\mathcal {D}}\;$
$\;\left(xOy\right)\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
${\underline {\;\alpha (t)\;}}$
${\underline {\;{\mathcal {D}}\;}}$
${\underline {\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;}}$
$\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$
$\;{\mathcal {D}}\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}$
$\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;{\text{:}}\;\left\lbrace 1-{\dfrac {4}{3}}\;{\dfrac {b}{R}}\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace \,{\dot {\alpha }}^{2}(t)+{\dfrac {4}{3}}\;{\dfrac {g}{R}}\left\lbrace 1-{\dfrac {b}{R}}\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace ={\dfrac {4}{3}}\;{\dfrac {g}{R}}\left[1-{\dfrac {b}{R}}\;\cos \!\left(\alpha _{0}\right)\right]\;$
$\;\left\lbrace {\dfrac {4}{3}}\;{\dfrac {b}{R}}\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}(t)\right\rbrace \,{\dot {\alpha }}^{2}(t)+\left\lbrace 1-{\dfrac {4}{3}}\;{\dfrac {b}{R}}\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace \,2\;{\dot {\alpha }}(t)\;{\ddot {\alpha }}(t)+{\dfrac {4}{3}}\;{\dfrac {g}{R}}\left\lbrace {\dfrac {b}{R}}\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}(t)\right\rbrace =0\;$
$\;{\dot {\alpha }}(t)\;$
$\;{\dfrac {3}{2}}$
$\;\alpha (t)\;$
$\;{\mathcal {D}}\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$
$\;\left\lbrace 3-{\dfrac {4\;b}{R}}\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace \,{\ddot {\alpha }}(t)+{\dfrac {2\;b}{R}}\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}^{2}(t)+{\dfrac {2\;g\;b}{R^{2}}}\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]=0\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$
Additif, démonstration du 2ème théorème de Kœnig $\;{\big$non demandé${\big )}$ : voir le paragraphe « démonstration (du théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique - ou 2ème théorème de Kœnig - appliqué à un système continu de matière) » du chap.$4$ de la leçon « Mécanique des systèmes de points » $\;\ldots$

### Étude des petites oscillations rotatives du demi-disque dans son mouvement de roulement sans glissement sur le plan horizontal

Remarque : cette question étant la 3ème de l'exercice « Roulement sans glissement d'un demi-disque sur un plan, aspect cinématique puis dynamique » de la série d'exer.$6$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » est rappelée pour mémoire, la différence entre ces deux exercices portant sur l'aspect utilisé pour résoudre le roulement sans glissement du demi-disque $\;{\big \$résolution par théorèmes de la dynamique de translation et rotation pour la 2ème question de l'exercice précité, résolution par théorème énergétique pour la 2ème question de l'exercice présent${\big \}$.
Considérant $\;\vert \alpha _{0}\vert \;$ petit, montrer que l'équation différentielle en $\;\alpha (t)\;$ du mouvement de rotation de $\;{\mathcal {D}}\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ peut être linéarisée et
Considérant α$_0$ petit, exprimer le résultat de cette linéarisation ;
Considérant α$_0$ petit, en déduire la loi horaire $\;\alpha (t)\;$ des petites élongations angulaires de $\;{\mathcal {D}}\;$ dans son mouvement de rotation autour de $\;\Delta _{G}\;$ ainsi que
Considérant α$_0$ petit, en déduire sa période des petites élongations angulaires $\;T_{0}\;$ en fonction de $\;g$, $\;R\;$ et $\;b\;$ puis
Considérant α$_0$ petit, en déduire sa période des petites élongations angulaires T en fonction de $\;g\;$ et $\;R$.
Remarque : cette question étant la 3ème de l'exercice « Roulement sans glissement d'un demi-disque sur un plan, aspect cinématique puis dynamique » de la série d'exer.$6$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », sa solution est rappelée ci-dessous pour mémoire.
$\;{\mathcal {D}}\;$
$\;C\;$
$\;y_{0}\;$
$\;\alpha ={\widehat {\left({\overrightarrow {CI}}\,,\,{\overrightarrow {CG}}\right)}}\;$
$\;\alpha _{0}\;$
$\;\vert \alpha _{0}\vert \ll 1$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;\vert \alpha (t)\vert \ll 1\;\;\forall \;t\;$
$\;\alpha (t)\;$
$\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;\;\left\lbrace 3-{\dfrac {4\;b}{R}}\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace \,{\ddot {\alpha }}(t)+{\dfrac {2\;b}{R}}\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}^{2}(t)+{\dfrac {2\;g\;b}{R^{2}}}\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]=0\;$
$\;\alpha (t)\;$
$\;{\big \$
$\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\;{\ddot {\alpha }}(t)\;$
$\;{\ddot {\alpha }}(t)\;$
$\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\;$
$\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\simeq 1\;$
${\big \}$
$\;{\big \$
$\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}^{2}(t)\;$
$\;{\dot {\alpha }}^{2}(t)\;$
$\Rightarrow$
$\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}^{2}(t)\simeq 0\;$
${\big \}$
$\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\;$
$\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\simeq \alpha (t)\;$
$\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$
$\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$
$\;\left\lbrace 3-{\dfrac {4\;b}{R}}\right\rbrace \,{\ddot {\alpha }}(t)+{\dfrac {2\;g\;b}{R^{2}}}\;\alpha (t)=0\;$
$\Leftrightarrow$
$\;\left\lbrace 3\;R-4\;b\right\rbrace \,{\ddot {\alpha }}(t)+{\dfrac {2\;g\;b}{R}}\;\alpha (t)=0\;$
$\;{\ddot {\alpha }}(t)+{\dfrac {2\;g\;b}{R\,\left(3\;R-4\;b\right)}}\;\alpha (t)=0\;\;\left({\mathfrak {b}}'\right)\;$
$\;\left({\mathfrak {b}}'\right)\;$
$\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {2\;g\;b}{R\,\left(3\;R-4\;b\right)}}}\;$
$\;\alpha (t)\;$
$\;{\mathcal {D}}\;$
$\;\Delta _{G}\;$
$\;\alpha (t)=A\;\cos(\omega _{0}\;t)+B\;\sin(\omega _{0}\;t)\;$
$\;A\;$
$\;B\;$
$\;\left\lbrace \alpha (0)=\alpha _{0}\,,\,{\dot {\alpha }}(0)=0\right\rbrace \;$
$\Downarrow {\scriptscriptstyle \vdots }$
$\;\alpha (t)=\alpha _{0}\;\cos(\omega _{0}\;t)\;$
la période des petites élongations angulaires de $\;{\mathcal {D}}\;$ dans son mouvement de rotation autour de $\;\Delta _{G}\;$ est «$\;T_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {R\,\left(3\;R-4\;b\right)}{2\;g\;b}}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {R}{g}}}\;{\sqrt {{\dfrac {3\;R}{2\;b}}-2}}\;$» ou la période des petites élongations angulaires de D dans son mouvement de rotation autour avec $\;b={\dfrac {4\;R}{3\;\pi }}$, «$\;T_{0}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {R}{g}}}\;{\sqrt {{\dfrac {3\;R}{2\;{\dfrac {4\;R}{3\;\pi }}}}-2}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {R}{g}}}\;{\sqrt {{\dfrac {9\;\pi }{8}}-2}}\simeq 2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {1,534\;R}{g}}}\;$».

## Mouvement d'une barre appuyée contre un mur

Une barre $\;AB$, homogène, de longueur $\;2\;b\;$ et de C.D.I. $\;G$, milieu de $\;AB$, est posée sur le sol horizontal par son extrémité $\;A\;$ et repose, par son autre extrémité $\;B$, contre un mur vertical, le plan initial $\;\left(\Pi \right)\;$ contenant la barre étant vertical $\;\perp \;$ au mur ; les contacts sur le sol en $\;A\;$ et sur le mur en $\;B\;$ sont supposés sans frottement solide.
Nous nous intéressons au mouvement de la barre dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen et pour cela nous choisissons un repère cartésien associé à ce référentiel avec $\;O\;$ le point d'intersection du mur, du sol et du plan vertical $\;\left(\Pi \right)\;$ contenant initialement la barre, $\;{\vec {u}}_{x}\;$ le vecteur unitaire horizontal $\;\perp \;$ au plan vertical $\;\left(\Pi \right)\;$ et pointant vers le lecteur, son sens orientant les angles algébrisés du plan $\;\left(\Pi \right)\;$ dans le sens anti-horaire, $\;{\vec {u}}_{y}\;$ le vecteur unitaire horizontal du plan $\;\left(\Pi \right)\;$ orientant le sol de ce plan en s'éloignant du mur et $\;{\vec {u}}_{z}\;$ le vecteur unitaire vertical ascendant, la base cartésienne $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ étant directe $\;{\big$voir schéma ci-contre${\big )}$.
En supposant que la barre, en absence de vitesse initiale, a un mouvement restant localisé dans le plan vertical $\;\left(\Pi \right)\;$ contenant initialement la barre, nous repérons la position de celle-ci par l'angle algébrisé «$\;\alpha (t)={\widehat {\left[{\vec {u}}_{y}\,,\,{\overrightarrow {OG}}(t)\right]}}\;$».

### Justification de la nature plane du mouvement de la barre

Établir que le mouvement de la barre s'effectue dans le plan vertical $\;\left(\Pi \right)\;$ contenant initialement la barre dans la mesure où la barre est lâchée sans vitesse initiale.
Les forces extérieures s'appliquant sur la barre $\;AB\;$ posée sur le sol horizontal par son extrémité $\;A\;$ et reposant, par son autre extrémité $\;B$, contre un mur vertical, sont :
* son poids «$\;m\;{\vec {g}}=-m\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$» appliqué au C.D.I. $\;G\;$ de la barre, force conservative « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur «$\;U_{\text{pes}}=$ $m\;g\;z_{G}\;$» avec $\;z_{G}\;$ la cote de $\;G\;$ et choix de la référence en $\;z=0\;$,
* la réaction «$\;{\vec {R}}_{A}(t)=R_{A}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» appliqué en l'extrémité $\;A\;$ de la barre au contact avec le sol $\;{\big{\vec {R}}_{A}(t)\;$ étant $\;\perp \;$ au plan $\;xOy\;$ par absence de frottement solide${\big ]}$, force non conservative et
* la réaction «$\;{\vec {R}}_{B}(t)=R_{B}(t)\;{\vec {u}}_{y}\;$» appliqué en l'extrémité $\;B\;$ de la barre au contact avec le mur $\;{\big{\vec {R}}_{B}(t)\;$ étant $\;\perp \;$ au plan $\;xOz\;$ par absence de frottement solide${\big ]}$, force non conservative ;
l'application du théorème du mouvement du C.D.I. à la barre dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen s'écrivant «$\;m\;{\vec {g}}+{\vec {R}}_{A}(t)+{\vec {R}}_{B}(t)=$ $m\;{\vec {a}}_{G}(t)\;$», sa projection sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ donne $\;0+0+0=m\;a_{G,\,x}(t)\;$ $\Rightarrow$ «$\;a_{G,\,x}(t)=0\;$» s'intégrant en «$\;V_{G,\,x}(t)=cste\;$» c'est-à-dire, en utilisant la « C.I. $\;{\vec {V}}_{G}(0)=0\;$», «$\;V_{G,\,x}(t)=0\;$» qui s'intègre en «$\;x_{G}(t)=cste'\;$» c'est-à-dire, en utilisant la « 2ème C.I. $\;{\overrightarrow {OG}}(0)\in \left(yOz\right)\;$», «$\;x_{G}(t)=0\;$» prouvant que le mouvement éventuel de $\;G\;$ se fait dans le plan $\;\left(yOz\right)$ ;
l'application du théorème du moment cinétique vectoriel à la barre dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen, les moments cinétique et de forces extérieures étant évalués relativement au C.D.I. $\;G\;$ de la barre s'écrivant «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{G}\!\left[m\;{\vec {g}},\,t\right]+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{G}\!\left[{\vec {R}}_{A}(t)\right]+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{G}\!\left[{\vec {R}}_{B}(t)\right]={\dfrac {d{\vec {\sigma }}_{G}(AB)}{dt}}(t)\;$» soit, avec «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{G}\!\left[m\;{\vec {g}},\,t\right]={\vec {0}}\;$» $\;{\big \$le bras de levier du poids étant nul${\big \}$ et «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{G}\!\left[{\vec {R}}_{A}(t)\right]+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{G}\!\left[{\vec {R}}_{B}(t)\right]=\left[{\overrightarrow {GA}}(t)\wedge {\vec {R}}_{A}(t)\right]+\left[{\overrightarrow {GB}}(t)\wedge {\vec {R}}_{B}(t)\right]\;$ $\parallel \;$ à $\;{\vec {u}}_{x}\;$», «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\dfrac {d\sigma _{G,\,y}(AB)}{dt}}(t)=0\\{\dfrac {d\sigma _{G,\,z}(AB)}{dt}}(t)=0\end{array}}\right\rbrace \;$» dont nous déduisons «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\sigma _{G,\,y}(AB,\,t)=cste_{y}\\\sigma _{G,\,z}(AB,\,t)=cste_{z}\end{array}}\right\rbrace \;$» soit enfin, en utilisant l'absence de vitesse initiale «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\sigma _{G,\,y}(AB,\,t)=0\\\sigma _{G,\,z}(AB,\,t)=0\end{array}}\right\rbrace \;$» prouvant que le moment cinétique vectoriel éventuel de la barre évalué par rapport à son C.D.I. $\;G\;$ est colinéaire à $\;{\vec {u}}_{x}\;$ et par suite que le mouvement éventuel de la barre ne peut se faire que dans le plan $\;\left(yOz\right)$.

### Établissement de l'intégrale 1re énergétique du mouvement de la barre

Exprimer l’intégrale 1re énergétique du mouvement de la barre en supposant qu’à l’instant initial, celle-ci est immobile avec une inclinaison relativement à l'horizontale «$\;{\widehat {\left[{\vec {u}}_{y}\,,\,{\overrightarrow {OG}}(t=0)\right]}}=\alpha _{0}\;$ $\neq \;$ de $\;0\;$ et $\;{\dfrac {\pi }{2}}\;$» $\;{\bigg \$nous admettrons que le moment d'inertie $\;J_{\Delta }\;$ d'une tige linéique homogène $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ de masse $\;m\;$ et de longueur $\;{\mathit {l}}\;$ par rapport à une médiatrice $\;\Delta \;$ vaut «$\;J_{\Delta }={\dfrac {1}{12}}\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}\;$»${\bigg \}$ puis
vérifier que l'inclinaison $\;\alpha (t)\;$ de la barre relativement au sol est une fonction $\;\searrow \;$ du temps $\;t$.
Les seules forces extérieures non conservatives, à savoir les réactions «$\;{\vec {R}}_{A}(t)\;$ et $\;{\vec {R}}_{B}(t)$» du sol et du mur sur la barre, ne travaillant pas, la barre est un système conservatif $\Rightarrow$ l'énergie mécanique de cette dernière dans le champ de pesanteur terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen «$\;E_{m}(t)=K(t)+U_{\text{pes}}(t)\;$» est conservée dans laquelle $\;K(t)\;$ et $\;U_{\text{pes}}(t)\;$ sont respectivement les énergies cinétique et potentielle de pesanteur de la barre à expliciter ;
la 1re se détermine en utilisant le théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique $\;{\big$ou 2ème théorème de Kœnig${\big )}\;$ appliqué à un solide «$\;K(t)=K^{*}(t)+{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)\;$» dans laquelle «$\;K^{*}(t)\;$ est l'énergie cinétique barycentrique de la barre » et «$\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ le vecteur vitesse du C.D.I. $\;G\;$ de la barre » ;
la 1re la barre ayant, dans le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ un mouvement de rotation autour de l'axe $\;\left(Gx\right)\;$ fixe de $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ à la vitesse angulaire $\;{\dot {\alpha }}(t)\;$ nous en déduisons «$\;K^{*}(t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{(Gx)}\;{\dot {\alpha }}^{2}(t)\;$» avec $\;J_{(Gx)}\;$ le moment d'inertie de la barre par rapport à la médiatrice $\;\left(Gx\right)\;$ lequel se réécrit, avec $\;2\;b\;$ pour longueur de barre, «$\;J_{(Gx)}={\dfrac {1}{12}}\;m\;\left(2\;b\right)^{2}={\dfrac {1}{3}}\;m\;b^{2}\;$» soit finalement «$\;K^{*}(t)={\dfrac {1}{6}}\;m\;b^{2}\;{\dot {\alpha }}^{2}(t)\;$» ;
la 1re la barre étant homogène, son C.D.I. $\;G\;$ est au milieu de $\;AB\;$ et le triangle $\;AOB\;$ étant rectangle en $\;O\;$ les trois points $\;\left(A\,,\,O\,,\,B\right)\;$ sont sur un même cercle de diamètre $\;AB\;$ donc de centre $\;G\;$ dont nous déduisons «$\;OG=b\;$» et par suite «$\;{\overrightarrow {OG}}(t)=b\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\,{\vec {u}}_{y}+b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\vec {u}}_{z}\;$» soit, en dérivant temporellement, «$\;{\vec {V}}_{G}(t)=-b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}(t)\;{\vec {u}}_{y}+b\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)=b^{2}\;{\dot {\alpha }}^{2}(t)\;$» conduisant finalement à «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;b^{2}\;{\dot {\alpha }}^{2}(t)\;$» ;
la 1re l'expression de l'énergie cinétique de la barre dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ à l'instant $\;t\;$ est donc «$\;K(t)={\dfrac {1}{6}}\;m\;b^{2}\;{\dot {\alpha }}^{2}(t)+{\dfrac {1}{2}}\;m\;b^{2}\;{\dot {\alpha }}^{2}(t)\;$» soit finalement «$\;K(t)={\dfrac {2}{3}}\;m\;b^{2}\;{\dot {\alpha }}^{2}(t)\;$» ;
la 2nde est «$\;U_{\text{pes}}(t)=m\;g\;z_{G}(t)\;$» avec «$\;z_{G}(t)\;$ la cote de $\;G\;$ à l'instant $\;t\;$ à savoir $\;z_{G}(t)=b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\;$», la référence de l'énergie potentielle de la barre ayant été choisie au niveau du sol, soit «$\;U_{\text{pes}}(t)=$ $m\;g\;b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\;$» ;
$\;t$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$
$\;E_{m}(t)=K(t)+U_{\text{pes}}(t)={\dfrac {2}{3}}\;m\;b^{2}\;{\dot {\alpha }}^{2}(t)+m\;g\;b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\;$
$\;E_{m,\,0}=K(0)+U_{\text{pes}}(0)=m\;g\;b\;\sin \!\left(\alpha _{0}\right)\;$
$\;{\Bigg \$
$\;{\widehat {\left[{\vec {u}}_{y}\,,\,{\overrightarrow {OG}}(t=0)\right]}}=\alpha _{0}{\Bigg \}$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$
$\;E_{m}(t)=E_{m,\,0}\;$
$\;{\dfrac {2}{3}}\;m\;b^{2}\;{\dot {\alpha }}^{2}(t)+m\;g\;b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]=m\;g\;b\;\sin \!\left(\alpha _{0}\right)\;$
$\;{\dfrac {2}{3}}\;b\;{\dot {\alpha }}^{2}(t)+g\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]=g\;\sin \!\left(\alpha _{0}\right)\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$
Vérification de la décroissance de α(t) : De la relation $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ nous déduisons «$\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]-\sin \!\left(\alpha _{0}\right)=-{\dfrac {2\;b}{3\;g}}\;{\dot {\alpha }}^{2}(t)\leqslant 0\;$» soit, sur $\;\left]0\,,\,{\dfrac {\pi }{2}}\right[$, «$\;\alpha (t)\leqslant \alpha _{0}\;$» ;
Vérification de la décroissance de α(t) : si, en utilisant la relation $\;\left({\mathfrak {a}}\right)$, nous traçons le diagramme d'énergies potentielle et mécanique $\;{\big$à un facteur multiplicatif près${\big )}$, la courbe d'énergie potentielle $\;\left({\Gamma '}_{\!\!u}\right)$, $\;{\big$au facteur multiplicatif près${\big )}$, c'est-à-dire le quart de motif sinusoïdal sur $\;\left]0\,,\,{\dfrac {\pi }{2}}\right[$, est $\;\nearrow \;$ et la courbe d'énergie mécanique $\;\left({\Gamma '}_{\!\!m}\right)$, $\;{\big$au même facteur multiplicatif près${\big )}$, c'est-à-dire la droite $\;\parallel \;$ à l'axe des $\;\alpha \;$ d'ordonnée $\;g\;\sin \!\left(\alpha _{0}\right)\;$ étant située au-dessous de $\;\left({\Gamma '}_{\!\!u}\right)\;$ pour $\;\alpha >\alpha _{0}$, nous observons l'existence d'un mur d'énergie potentielle $\;{\big$au même facteur multiplicatif près${\big )}\;$ en $\;\alpha =\alpha _{0}\;$ rendant l'intervalle «$\;\left]\alpha _{0}\,,\,{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$ interdit » d'où, $\;\alpha _{0}\;$ n'étant pas une position d'équilibre $\;{\big$car la pente de $\;\left({\Gamma '}_{\!\!u}\right)\;$ en $\;\alpha _{0}\;$ n'est pas nulle${\big ]}$, $\;\alpha \searrow \;$ $\Rightarrow$ l'énergie cinétique de la barre $\;\nearrow \;$ jusqu'en $\;\alpha =0$.
Additif : détermination du moment d'inertie d'une tige homogène relativement à une médiatrice : soit une tige $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ homogène, de masse linéique $\;\lambda _{0}$, de longueur $\;{\mathit {l}}$, de C.D.I. $\;G\;$ et de masse $\;m$, le moment d'inertie $\;J\;$ de $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ relativement à une médiatrice $\;\left(\Delta \right)\;$ étant définie par «$\;J_{\Delta }=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)}\lambda _{0}\;\vert x_{M}\vert ^{2}\;dx_{M}\;$» avec $\;x_{M}={\overline {GM}}\;$ orienté dans n'importe quel sens, soit «$\;J_{\Delta }=\lambda _{0}\;\displaystyle \int _{-{\frac {\mathit {l}}{2}}}^{+{\frac {\mathit {l}}{2}}}x_{M}^{\,2}\;dx_{M}=\lambda _{0}\,\left[{\dfrac {x_{M}^{\,3}}{3}}\right]_{-{\frac {\mathit {l}}{2}}}^{+{\frac {\mathit {l}}{2}}}$ $=2\;\lambda _{0}\;{\dfrac {{\mathit {l}}^{\,3}}{24}}=\lambda _{0}\;{\dfrac {{\mathit {l}}^{\,3}}{12}}\;$» dans laquelle nous pouvons reconnaître la masse de la tige $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ «$\;m=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)}\lambda _{0}\;dx_{M}\;$» égale à «$\;m=\lambda _{0}\;\displaystyle \int _{-{\frac {\mathit {l}}{2}}}^{+{\frac {\mathit {l}}{2}}}dx_{M}=\lambda _{0}\;{\mathit {l}}\;$» d'où «$\;J_{\Delta }={\dfrac {m\;{\mathit {l}}^{\,2}}{12}}\;$» C.Q.F.V.

### Détermination de l'inclinaison de la barre relativement au sol à partir de laquelle celle-ci quitte le mur

Évaluer la réaction $\;{\vec {R}}_{B}(t)\;$ du mur sur la barre et
en déduire pour quelle inclinaison «$\;{\widehat {\left[{\vec {u}}_{y}\,,\,{\overrightarrow {OG}}(t_{1})\right]}}=\alpha _{1}\;$» relativement à l'horizontale la barre quitte le mur.
Le théorème du mouvement du C.D.I. appliqué à la barre dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen «$\;m\;{\vec {g}}+{\vec {R}}_{A}(t)+{\vec {R}}_{B}(t)=m\;{\vec {a}}_{G}(t)\;$» se projette sur $\;{\vec {u}}_{y}\;$ selon «$\;0+0+R_{B}(t)=m\;a_{G,\,y}(t)\;$» avec $\;{\vec {a}}_{G}(t)={\dfrac {d{\vec {V}}_{G}}{dt}}(t)\;$ dans lequel $\;{\vec {V}}_{G}(t)=-b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}(t)\;{\vec {u}}_{y}+b\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\vec {a}}_{G}(t)=\left\lbrace -b\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}^{2}(t)-b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\ddot {\alpha }}(t)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{y}+\left\lbrace -b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}^{2}(t)+b\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\,{\ddot {\alpha }}(t)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{z}\;$» d'où l'expression de la réaction du mur sur la barre «$\;{\vec {R}}_{B}(t)=R_{B}(t)\;{\vec {u}}_{y}\;$ avec $\;R_{B}(t)=-m\;b\,\left\lbrace \cos \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}^{2}(t)+\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\ddot {\alpha }}(t)\right\rbrace \;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$» ;
à partir de la relation «$\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;{\text{:}}\;{\dfrac {2}{3}}\;b\;{\dot {\alpha }}^{2}(t)+g\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]=g\;\sin \!\left(\alpha _{0}\right)\;$» on tire «$\;{\dot {\alpha }}^{2}(t)={\dfrac {3\;g}{2\;b}}\;\left\lbrace \sin \!\left(\alpha _{0}\right)-\sin \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace \;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {a}}'\right)\;$» d'une part et
en la dérivant temporellement «$\;{\dot {\alpha }}^{2}(t)={\dfrac {3\;g}{2\;b}}\;\left\lbrace \sin \!\left(\alpha _{0}\right)-\sin \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace \;$» on tire«$\;2\;{\dot {\alpha }}(t)\;{\ddot {\alpha }}(t)={\dfrac {3\;g}{2\;b}}\;\left\lbrace -\cos \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}(t)\right\rbrace \;$» ou «$\;{\ddot {\alpha }}(t)=-{\dfrac {3\;g}{4\;b}}\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {a}}''\right)\;$» d'autre part,
$\;\left({\mathfrak {a}}'\right)\;$
$\;\left({\mathfrak {a}}''\right)\;$
$\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$
$\;{\dfrac {R_{B}(t)}{-m\;b}}=\cos \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dfrac {3\;g}{2\;b}}\;\left\lbrace \sin \!\left(\alpha _{0}\right)-\sin \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace +\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,\left\lbrace -{\dfrac {3\;g}{4\;b}}\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace =-{\dfrac {3\;g}{4\;b}}\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\,\left\lbrace 3\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]-2\;\sin \!\left(\alpha _{0}\right)\right\rbrace \;$
$\;{\vec {R}}_{B}(t)=R_{B}(t)\;{\vec {u}}_{y}\;$
$\;R_{B}(t)={\dfrac {3}{4}}\;m\;g\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\,\left\lbrace 3\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]-2\;\sin \!\left(\alpha _{0}\right)\right\rbrace \;$
La condition pour que la barre ne quitte pas le mur étant «$\;R_{B}(t)>0\;$» nous vérifions que celle-ci est validée à l'instant initial car «$\;R_{B}(0)={\dfrac {3}{4}}\;m\;g\;\cos \!\left(\alpha _{0}\right)\;\sin \!\left(\alpha _{0}\right)={\dfrac {3}{8}}\;m\;g\;\sin \!\left(2\;\alpha _{0}\right)>0\;$» et
La condition pour que la barre ne quitte pas le mur étant RB(t) > 0 nous vérifions qu'elle cesse d'être validée quand l'inclinaison de la barre relativement au sol vérifie «$\;3\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]<2\;\sin \!\left(\alpha _{0}\right)\;$» soit finalement,
$\;{\widehat {\left[{\vec {u}}_{y}\,,\,{\overrightarrow {OG}}(t_{1})\right]}}=\alpha _{1}\;$
$\;\alpha _{1}=\arcsin \!\left[{\dfrac {2}{3}}\;\sin \!\left(\alpha _{0}\right)\right]\;$

## Fermeture d'une portière de voiture lors d'un démarrage

Une voiture démarre sur une route horizontale avec un vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{\text{voit}}\;$ égal à $\;{\vec {a}}\;$ constant relativement au référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen $\;{\big$voir le schéma en vue de dessus ci-contre${\big )}$ ;
initialement la portière avant gauche est grande ouverte $\;{\big$avec un axe de rotation $\;\Delta \;$ vertical orienté par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ descendant${\big )}$, faisant un angle $\;\alpha _{0}=90\;{\text{°}}\;$ avec le châssis de la voiture $\;{\big$les angles algébrisés des plans horizontaux étant orientés par $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ c'est-à-dire, sur le schéma ci-contre, dans le sens horaire${\big )}$, la liaison entre la portière et l'axe de ses gonds étant du type liaison pivot idéale.
Nous nous proposons de déterminer, de deux façons différentes, le mouvement de fermeture de la portière initialement restée ouverte lors du démarrage de la voiture en l'étudiant d'une part dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen et d'autre part dans le référentiel lié à la voiture $\;{\mathcal {R}}_{\text{voit}}\;$ non galiléen $\;{\big{\mathcal {R}}_{\text{voit}}\;$ en translation rectiligne non uniforme relativement à $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen n'étant donc pas galiléen${\big )}$.
Pour cette étude le champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}\;$ est uniforme d'intensité $\;g\;$ et nous supposons que la liaison de la portière sur ses gonds est parfaite ;
la portière, de masse $\;m$, de C.D.I. $\;G$, de moment d’inertie $\;J_{\Delta }\;$ relativement à l’axe $\;\Delta \;$ de ses gonds est modélisée par un parallélépipède rectangle homogène de largeur $\;b$, de hauteur $\;h\;$ et d’épaisseur faible par rapport aux deux autres dimensions $\;{\big$soit encore, une modélisation surfacique par un rectangle homogène de largeur $\;b\;$ et de hauteur $\;h{\big ]}$, on admettra que $\;J_{\Delta }\;$ s'évalue selon «$\;J_{\Delta }={\dfrac {1}{3}}\;m\;b^{2}\;$».

### Étude du mouvement de fermeture de la portière dans le référentiel terrestre galiléen

Appliquer le théorème de la puissance cinétique à la portière dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen lors du démarrage de la voiture $\;{\bigg \$l'énergie cinétique de la portière dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen lors du démarrage de la voiture étant explicitée en admettant le théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique $\;{\big$ou 2ème théorème de Kœnig${\big )}\;$ appliqué à un système continu de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique à savoir,
dans le cas d'une expansion surfacique où $\;\sigma (M)\;$ est la masse surfacique locale en $\;M$, l'énergie cinétique du système continu d'expansion surfacique $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ «$\;\left\lbrace M\;\left(dm=\sigma (M)\;dS\right)\right\rbrace _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}\;$» évaluée à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ «$\;K({\text{syst}},\,t)\;$» est la somme
* de l'énergie cinétique barycentrique du système «$\;K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)\;$» évaluée à l'instant $\;t\;$ $\;{\Big$on admettra le théorème de Huygens$^,$ liant les moments d'inertie d'un solide relativement à deux axes $\;\parallel \;$ dont l'un passe par le C.D.I. $\;G\;$ du solide «$\;J_{\Delta }\!\left({\text{sol}}\right)=J_{\Delta _{G}}\!\left({\text{sol}}\right)+m_{({\text{sol}})}\;d^{2}\;$ avec $\;d\;$ la distance séparant les deux axes »${\Big ]}\;$ et
* de l'énergie cinétique du C.D.I. $\;G\;$ du système évaluée au même instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ $\;{\big$en attribuant au point fictif $\;G\;$ la masse $\;m_{\text{syst}}{\big ]}\;$ «$\;K\!(G,\,t)={\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)\;$»
soit, mathématiquement «$\;K({\text{syst}},\,t)=K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+K\!(G,\,t)=K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+{\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)\;$»${\bigg \}$ et
en intégrant une fois relativement au temps, déterminer l'intégrale 1re énergétique du mouvement de la portière dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen puis
en déduire la vitesse angulaire de rotation $\;{\dot {\alpha }}(t)\;$ de la portière autour de ses gonds à l'instant $\;t\;$ en fonction, entre autres, de son angle d'ouverture $\;\alpha (t)\;$ et
en déduire la durée $\;\Delta t_{\text{ferm}}$, sous forme intégrale, nécessaire pour que la portière se referme $\;{\Big$c'est-à-dire déterminer l'instant $\;t_{\text{ferm}}\;$ à partir duquel $\;\alpha (t_{\text{ferm}})=0{\Big ]}$.
Pour étudier le mouvement de la portière dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen, nous lui associons un repère cartésien «$\;\left\lbrace O\,,\,\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)\right\rbrace \;$ avec «$\;O\;$ un point fixe de la route » sur laquelle la voiture démarre, «$\;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)\;$ une base orthonormée directe » où «$\;{\vec {u}}_{y}\;$ est le vecteur unitaire porté par la route horizontale dans le sens du vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{\text{voit}}={\vec {a}}\;$ de la voiture », «$\;{\vec {u}}_{z}={\vec {u}}_{\Delta }\;$ le vecteur unitaire vertical descendant » et «$\;{\vec {u}}_{x}={\vec {u}}_{y}\wedge {\vec {u}}_{z}\;$ le vecteur unitaire horizontal $\;\perp \;$ à la route dirigé vers le côté où la portière est restée ouverte ».
La portière étant un solide, les forces intérieures appliquées à cette dernière développent des puissances se compensant deux à deux, seules les forces extérieures s'exerçant sur elle sont à prendre en compte c'est-à-dire
* le poids de la portière «$\;m\;{\vec {g}}=m\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$» appliqué au C.D.I. $\;G\;$ de cette dernière développant, dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen, une puissance «$\;{\mathcal {P}}\!\left[m\;{\vec {g}},\,t\right]=m\;{\vec {g}}\cdot {\vec {V}}_{G\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}(t)=0\;$» $\;{\Big \$le mouvement de $\;G\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ résultant de la composition du mouvement rectiligne uniformément accéléré de la voiture le long de la route $\;{\big$donc $\;\perp \;$ à $\;m\;{\vec {g}}{\big )}$ $\;{\big$ou de $\;O_{\Delta }\;$ le point fixe de l'axe de rotation $\;\Delta \;$ de la portière choisi dans le plan horizontal passant par $\;G{\big ]}$, et du mouvement de rotation de la portière autour de son axe de rotation $\;\Delta \;$ de vecteur rotation instantanée «$\;{\dot {\alpha }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$» $\;{\big$donc également $\;\perp \;$ à $\;m\;{\vec {g}}{\big )}{\Big \}$ et
* les actions de l'axe des gonds sur la portière modélisées en une « résultante $\;{\vec {R}}(t)\;$ appliquée en $\;O_{\Delta }\;$» et un « couple de moment vectoriel $\;{\vec {\Gamma }}(t)\;$ de direction $\;\perp \;$ à $\;\Delta \;$ dans la mesure où la liaison pivot est idéale », ces actions développant, dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen, une puissance «$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {R}}(t)\right]+{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {\Gamma }},\,t\right]={\vec {R}}(t)\cdot {\vec {V}}_{O_{\Delta }\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}(t)+{\vec {\Gamma }}\cdot {\dot {\alpha }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$» dans laquelle les actions «$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {\Gamma }},\,t\right]=0$ $\;{\big \{\vec {\Gamma }}\;$ étant $\;\perp \;$ à $\;{\vec {u}}_{\Delta }{\big \}$» mais les actions «$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {R}}(t)\right]\neq 0\;$ dans la mesure où $\;{\vec {R}}(t)\;$ doit avoir une composante horizontale pour que la portière reste attachée à la voiture » en effet les actions l'application du théorème du mouvement du C.D.I. à la portière dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen s'écrivant «$\;m\;{\vec {g}}+{\vec {R}}(t)=m\;{\vec {a}}_{G\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}(t)\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$» où le « vecteur accélération du C.D.I. $\;{\vec {a}}_{G\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}(t)\;$» étant la dérivée temporelle du « vecteur vitesse correspondant $\;{\vec {V}}_{G\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}(t)=$ ${\vec {V}}_{O_{\Delta }\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}(t)+{\dot {\alpha }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\overrightarrow {O_{\Delta }G}}(t)\;$» $\;{\Big \$le mouvement de $\;G\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ résultant de la composition du mouvement rectiligne uniformément accéléré de la voiture le long de la route $\;{\big$ou de $\;O_{\Delta }\;$ le point fixe de l'axe de rotation $\;\Delta \;$ de la portière choisi dans le plan horizontal passant par $\;G{\big ]}$, et du mouvement de rotation de la portière autour de son axe de rotation $\;\Delta \;$ de vecteur rotation instantanée «$\;{\dot {\alpha }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$»${\Big \}$ soit «$\;{\vec {V}}_{G\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}(t)=a\;t\;{\vec {u}}_{y}+{\dot {\alpha }}(t)\;{\vec {u}}_{z}\wedge \left\lbrace -{\dfrac {b}{2}}\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\,{\vec {u}}_{y}+{\dfrac {b}{2}}\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\vec {u}}_{x}\right\rbrace \;$ ou, en développant, $\;{\vec {V}}_{G\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}(t)$ $={\dfrac {b}{2}}\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}(t)\;{\vec {u}}_{x}+\left\lbrace a\;t+{\dfrac {b}{2}}\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}(t)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{y}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\vec {a}}_{G\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}(t)={\dfrac {b}{2}}\,\left\lbrace -\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}^{2}(t)+\cos \!\left[\alpha (t)\right]\,{\ddot {\alpha }}(t)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{x}+\left\lbrace a+{\dfrac {b}{2}}\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}^{2}(t)+{\dfrac {b}{2}}\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\ddot {\alpha }}(t)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{y}\;$» conduisant finalement, en projetant la relation $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ sur $\;{\vec {u}}_{x}$, $\;{\vec {u}}_{y}\;$ et $\;{\vec {u}}_{z}\;$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c}0+R_{x}(t)\!\!&=&\!\!m\;{\dfrac {b}{2}}\,\left\lbrace -\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}^{2}(t)+\cos \!\left[\alpha (t)\right]\,{\ddot {\alpha }}(t)\right\rbrace \\0+R_{y}(t)\!\!&=&\!\!m\,\left\lbrace a+{\dfrac {b}{2}}\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}^{2}(t)+{\dfrac {b}{2}}\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\ddot {\alpha }}(t)\right\rbrace \\m\;g+R_{z}(t)\!\!&=&\!\!0\end{array}}\right\rbrace \;$ dont nous déduisons l'expression de la résultante des actions des gonds sur la portière «$\;{\vec {R}}(t)=m\;{\dfrac {b}{2}}\,\left\lbrace -\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}^{2}(t)+\cos \!\left[\alpha (t)\right]\,{\ddot {\alpha }}(t)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{x}+m\,\left\lbrace a+{\dfrac {b}{2}}\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}^{2}(t)+{\dfrac {b}{2}}\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\ddot {\alpha }}(t)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{y}-m\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$» et par suite, les actions la puissance développée par cette résultante, dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}$, «$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {R}}(t)\right]={\vec {R}}(t)\cdot {\vec {V}}_{O_{\Delta }\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}(t)=$ $m\,\left\lbrace a+{\dfrac {b}{2}}\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}^{2}(t)+{\dfrac {b}{2}}\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\ddot {\alpha }}(t)\right\rbrace \,a\;t\;$» ;
$\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$
$\;K_{{\text{port}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}(t)\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;K_{{\text{port}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}(t)=K^{\,*}\!({\text{port}},\,t)+{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{G\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}^{\,2}(t)\;$
$\;K^{\,*}\!({\text{port}},\,t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{G}}\;{\dot {\alpha }}^{\,2}(t)\;$
$\;t\;$
$\;{\bigg \$
$\;J_{\Delta _{G}}\;$
$\;\Delta _{G}\;$
$\;G\;$
$\;\parallel \;$
$\;\Delta \;$
$\;J_{\Delta }\;$
$\;J_{\Delta }=J_{\Delta _{G}}+m\,\left({\dfrac {b}{2}}\right)^{2}\;$
$\Rightarrow$
$\;J_{\Delta _{G}}=J_{\Delta }-m\;{\dfrac {b^{2}}{4}}\;$
$\;J_{\Delta }={\dfrac {1}{3}}\;m\;b^{2}\;$
$\;J_{\Delta _{G}}={\dfrac {1}{3}}\;m\;b^{2}-{\dfrac {1}{4}}\;m\;b^{2}={\dfrac {1}{12}}\;m\;b^{2}\;$
${\bigg \}$
$\Rightarrow$
$\;K^{\,*}\!({\text{port}},\,t)={\dfrac {1}{24}}\;m\;b^{2}\;{\dot {\alpha }}^{\,2}(t)\;$
$\;K(G,\,t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{G\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}^{\,2}(t)\;$
$\;G\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$
$\;{\vec {V}}_{G\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}(t)=$
${\dfrac {b}{2}}\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}(t)\;{\vec {u}}_{x}+\left\lbrace a\;t+{\dfrac {b}{2}}\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}(t)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{y}\;$
$\;K(G,\,t)={\dfrac {1}{2}}\;m\,\left[{\dfrac {b}{2}}\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}(t)\;{\vec {u}}_{x}+\left\lbrace a\;t+{\dfrac {b}{2}}\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}(t)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{y}\right]^{2}\;$
$\;K(G,\,t)$
$={\dfrac {1}{2}}\;m\,\left[{\dfrac {b^{2}}{4}}\;\cos ^{2}\!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}^{2}(t)+\left\lbrace a\;t+{\dfrac {b}{2}}\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}(t)\right\rbrace ^{2}\right]={\dfrac {1}{2}}\;m\,\left[{\dfrac {b^{2}}{4}}\;\cos ^{2}\!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}^{2}(t)+\left\lbrace a^{2}\;t^{2}+{\dfrac {b^{2}}{4}}\;\sin ^{2}\!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}^{2}(t)+a\;t\;b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}(t)\right\rbrace \right]\;$
$\;K(G,\,t)$
$={\dfrac {1}{2}}\;m\,\left[{\dfrac {b^{2}}{4}}\;{\dot {\alpha }}^{2}(t)+a^{2}\;t^{2}+a\;t\;b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}(t)\right]\;$
$\;K_{{\text{port}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}(t)=K^{\,*}\!({\text{port}},\,t)+K(G,\,t)={\dfrac {1}{24}}\;m\;b^{2}\;{\dot {\alpha }}^{\,2}(t)+{\dfrac {1}{2}}\;m\,\left[{\dfrac {b^{2}}{4}}\;{\dot {\alpha }}^{2}(t)+a^{2}\;t^{2}+a\;t\;b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}(t)\right]\;$
$\;K_{{\text{port}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}(t)={\dfrac {1}{6}}\;m\;b^{2}\;{\dot {\alpha }}^{\,2}(t)+{\dfrac {1}{2}}\;m\;a^{2}\;t^{2}+{\dfrac {1}{2}}\;m\;a\;t\;b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}(t)\;$
l'application du théorème de la puissance cinétique à la portière dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen lors du démarrage de la voiture «$\;{\dot {K}}_{{\text{port}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}(t)={\mathcal {P}}\!\left[m\;{\vec {g}},\,t\right]+{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {R}}(t)\right]+{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {\Gamma }},\,t\right]\;$» s'explicite, en réinjectant les expressions des puissances des actions précédemment trouvées, selon «$\;{\dfrac {dK_{{\text{port}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}}{dt}}(t)=m\,\left\lbrace a+{\dfrac {b}{2}}\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}^{2}(t)+{\dfrac {b}{2}}\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\ddot {\alpha }}(t)\right\rbrace \,a\;t\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$».
$\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$
$\;t$
$\;{\big \$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$
$\;\left[0\,,\,t\right]\;$
${\big \}$
$\;K_{{\text{port}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}(t)\;{\cancel {-\;K_{{\text{port}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}(0)}}=m\;a\;\displaystyle \int _{0}^{t}\left\lbrace a\;t'+{\dfrac {b}{2}}\;t'\;\cos \!\left[\alpha (t')\right]\,{\dot {\alpha }}^{2}(t')+{\dfrac {b}{2}}\;t'\;\sin \!\left[\alpha (t')\right]\,{\ddot {\alpha }}(t')\right\rbrace dt'=m\;a\;\displaystyle \int _{0}^{t}\left\lbrace a\;t'+{\dfrac {b}{2}}\;t'\;{\dfrac {d\left[\sin \!\left(\alpha \right)\,{\dot {\alpha }}\right]}{dt'}}(t')\right\rbrace dt'=$
$m\;a^{2}\;{\dfrac {t^{2}}{2}}+m\;a\;{\dfrac {b}{2}}\;\displaystyle \int _{0}^{t}t'\;{\dfrac {d\left[\sin \!\left(\alpha \right)\,{\dot {\alpha }}\right]}{dt'}}(t')\;dt'\;$
$\;\displaystyle \int _{0}^{t}t'\;{\dfrac {d\left[\sin \!\left(\alpha \right)\,{\dot {\alpha }}\right]}{dt'}}(t')\;dt'=\left[t'\;\left\lbrace \sin \!\left[\alpha (t')\right]\,{\dot {\alpha }}(t')\right\rbrace \right]_{0}^{t}-\displaystyle \int _{0}^{t}\sin \!\left[\alpha (t')\right]\,{\dot {\alpha }}(t')\;dt'\;$
$\;\displaystyle \int _{0}^{t}t'\;{\dfrac {d\left[\sin \!\left(\alpha \right)\,{\dot {\alpha }}\right]}{dt'}}(t')\;dt'$
$=t\;\left\lbrace \sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}(t)\right\rbrace +\displaystyle \int _{0}^{t}{\dfrac {d\cos \!\left(\alpha \right)}{dt'}}(t')\;dt'=\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}(t)\;t+{\Big\cos \!\left[\alpha (t')\right]{\Big ]}_{0}^{t}=\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}(t)\;t+\cos \!\left[\alpha (t)\right]\;$
${\bigg$
$\;\alpha (0)={\dfrac {\pi }{2}}{\bigg ]}\;$
$\;{\big \$
${\big \}$
$\;W_{{\text{ext}},\,\left[0\,,\,t\right]}=m\;a^{2}\;{\dfrac {t^{2}}{2}}+m\;a\;{\dfrac {b}{2}}\,\left\lbrace \sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}(t)\;t+\cos \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace \;$
$\;K_{{\text{port}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}(t)={\dfrac {1}{6}}\;m\;b^{2}\;{\dot {\alpha }}^{\,2}(t)+{\dfrac {1}{2}}\;m\;a^{2}\;t^{2}+{\dfrac {1}{2}}\;m\;a\;t\;b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}(t)\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$
$\;{\dfrac {1}{6}}\;m\;b^{2}\;{\dot {\alpha }}^{\,2}(t)+{\dfrac {1}{2}}\;m\;a^{2}\;t^{2}+{\dfrac {1}{2}}\;m\;a\;t\;b\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}(t)=m\;a^{2}\;{\dfrac {t^{2}}{2}}+m\;a\;{\dfrac {b}{2}}\,\left\lbrace \sin \!\left[\alpha (t)\right]\,{\dot {\alpha }}(t)\;t+\cos \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace \;$
$\;{\dfrac {1}{6}}\;m\;b^{2}\;{\dot {\alpha }}^{\,2}(t)=m\;a\;{\dfrac {b}{2}}\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {c}}\right)\;$
$\;{\dfrac {1}{3}}\;b\;{\dot {\alpha }}^{\,2}(t)=a\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {c}}'\right)\;$
De la relation $\;\left({\mathfrak {c}}'\right)\;$ nous déduisons la vitesse angulaire de rotation $\;{\dot {\alpha }}(t)\;$ de la portière autour de ses gonds à l'instant $\;t\;$ «$\;{\dot {\alpha }}(t)=-{\sqrt {\dfrac {3\;a\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]}{b}}}\;$» $\;{\big \$la fonction $\;\alpha (t)\;$ étant $\;\searrow {\big \}$.
$\;{\dfrac {d\alpha }{dt}}(t)=-{\sqrt {\dfrac {3\;a\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]}{b}}}\;$
$\;{\dfrac {d\alpha }{\sqrt {\cos \!\left(\alpha \right)}}}=-{\sqrt {\dfrac {3\;a}{b}}}\;dt\;$
$\Rightarrow$
$\;dt=-{\sqrt {\dfrac {b}{3\;a}}}\;{\dfrac {d\alpha }{\sqrt {\cos \!\left(\alpha \right)}}}\;$
$\;\Delta t_{\text{ferm}}\;$
$\;\Delta t_{\text{ferm}}=\displaystyle \int _{\frac {\pi }{2}}^{0}-{\sqrt {\dfrac {b}{3\;a}}}\;{\dfrac {d\alpha }{\sqrt {\cos \!\left(\alpha \right)}}}\;$
$\;\Delta t_{\text{ferm}}={\sqrt {\dfrac {b}{3\;a}}}\;\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\dfrac {d\alpha }{\sqrt {\cos \!\left(\alpha \right)}}}\;$
Additif : évaluation numérique de l'intégrale «$\;\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\dfrac {d\alpha }{\sqrt {\cos(\alpha )}}}\;$» par utilisation du logiciel de calcul « Scilab », les lignes de programme (en noir), les réponses de Scilab (en rouge) et mes commentaires entre parenthèses (en bleu) donnant :
Additif : évaluation numérique de l'intégralefunction y = f(u) ; y = 1/sqrt(cos(u)) ; endfunction
Additif : évaluation numérique de l'intégrale%Delta = integrate('f(u)','u',0,%pi/2) %Delta = 2.6220576 (évaluation numérique de l'intégrale)
$\;\Delta t_{\text{ferm}}\simeq {\sqrt {\dfrac {b}{3\;a}}}\times 2,622\simeq 1,514\;{\sqrt {\dfrac {b}{a}}}\;$
$\;b=80\;cm\;$
$\;a=3\;m\cdot s^{-2}$
$\;\Delta t_{\text{ferm}}\simeq 1,514\;{\sqrt {\dfrac {0,80}{3,0}}}\simeq 0,78\;s\;$
Additif, démonstration du 2ème théorème de Kœnig $\;{\big$non demandé${\big )}$ : voir le paragraphe « démonstration (du théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique - ou 2ème théorème de Kœnig - appliqué à un système continu de matière) » du chap.$4$ de la leçon « Mécanique des systèmes de points » $\;\ldots$
Additif : détermination du moment d'inertie d'une plaque homogène rectangulaire relativement à un côté : soit une plaque $\;\left({\mathcal {P}}\right)\;$ homogène, de masse surfacique $\;\sigma _{0}$, de hauteur $\;h$, de largeur $\;{\mathit {l}}\;$ et de masse $\;m$, le moment d'inertie $\;J\;$ de $\;\left({\mathcal {P}}\right)\;$ relativement à un de ses côtés $\;AB\;$ de hauteur $\;h\;$ étant définie par «$\;J_{AB}=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {P}}\right)}\sigma _{0}\;HM^{2}\;dS_{M}\;$» avec «$\;H\;$ le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur $\;AB\;$» et «$\;dS_{M}\;$ l'aire de la surface élémentaire de centre $\;M\;$», soit en repérage cartésien, avec «$\;O\;$ le milieu de $\;AB\;$», «$\;{\overrightarrow {Oy}}\;$ choisi sur $\;AB\;$ de $\;A\;$ vers $\;B\;$» et «$\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ $\perp \;$ à $\;AB\;$ choisi sur la surface de $\;\left({\mathcal {P}}\right)\;$ dirigé vers le côté opposé à $\;AB\;$», «$\;dS_{M}$ $=dx_{M}\;dy_{M}\;$» et «$\;HM=x_{M}\;$», «$\;J_{AB}=\sigma _{0}\;\displaystyle \int _{0}^{\mathit {l}}x_{M}^{\,2}\;\left[\displaystyle \int _{-{\frac {h}{2}}}^{+{\frac {h}{2}}}dy_{M}\right]\;dx_{M}=\sigma _{0}\;h\,\left[{\dfrac {x_{M}^{\,3}}{3}}\right]_{0}^{\mathit {l}}=\sigma _{0}\;h\;{\dfrac {{\mathit {l}}^{\,3}}{3}}\;$» dans laquelle nous pouvons reconnaître la masse de la plaque $\;\left({\mathcal {P}}\right)\;$ «$\;m=\sigma _{0}\;h\;{\mathit {l}}\;$» d'où «$\;J_{AB}=$ ${\dfrac {m\;{\mathit {l}}^{\,2}}{3}}\;$» C.Q.F.V.

### Étude du mouvement de fermeture de la portière dans le référentiel voiture non galiléen

En admettant que les théorèmes de la dynamique des systèmes continus fermés de matière s'appliquent encore dans un référentiel non galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ en translation relativement à un référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ à condition d'ajouter aux forces extérieures appliquées en chaque pseudo-point $\;M\,\left(dm\right)\;$ du système, les « pseudo-forces d'inertie d'entraînement $\;d{\vec {f}}_{\text{in. e}}(M)=-dm\;{\vec {a}}_{{\mathcal {R}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{gal}}}(t)\;$» dans lesquelles «$\;{\vec {a}}_{{\mathcal {R}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{gal}}}(t)\;$ est le vecteur accélération, à l'instant $\;t$, du référentiel non galiléen relativement au référentiel galiléen »,
écrire l'intégrale 1re énergétique du mouvement de la portière dans le référentiel voiture $\;{\mathcal {R}}_{\text{voit}}\;$ non galiléen lors du démarrage de celle-ci dans le référentiel terrestre puis
en déduire la vitesse angulaire de rotation $\;{\dot {\alpha }}(t)\;$ de la portière autour de ses gonds à l'instant $\;t\;$ en fonction, entre autres, de son angle d'ouverture $\;\alpha (t)\;$ et
en déduire la durée $\;\Delta t_{\text{ferm}}$, sous forme intégrale, nécessaire pour que la portière se referme $\;{\Big$c'est-à-dire déterminer l'instant $\;t_{\text{ferm}}\;$ à partir duquel $\;\alpha (t_{\text{ferm}})=0{\Big ]}$.
Nous nous proposons de reprendre l'étude de la fermeture de la portière en travaillant dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{voit}}\;$ non galiléen $\;{\big$ce référentiel étant en translation rectiligne non uniforme relativement au référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen${\big )}\;$ en admettant l'applicabilité du théorème de la puissance cinétique aux solides dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ non galiléen en translation relativement à un référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ à condition d'ajouter aux « vraies » forces extérieures, les « pseudo-forces d'inertie d'entraînement $\;d{\vec {f}}_{\text{in. e}}(M)=-dm\;{\vec {a}}_{{\mathcal {R}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{gal}}}(t)\;$» agissant sur chaque pseudo-point $\;M\,\left(dm\right)\;$ du solide.
Au référentiel voiture $\;{\mathcal {R}}_{\text{voit}}\;$ non galiléen, nous associons un repère cartésien «$\;\left\lbrace O_{\Delta }\,,\,\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)\right\rbrace \;$ avec «$\;O_{\Delta }\;$ le point fixe de $\;\Delta$ $\;{\big$l'axe des gonds de la portière${\big )}\;$ dans le même plan horizontal que le C.D.I. $\;G\;$ de cette dernière », «$\;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)\;$ une base orthonormée directe » où «$\;{\vec {u}}_{y}\;$ est le vecteur unitaire porté par la route horizontale dans le sens du vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{\text{voit}}={\vec {a}}\;$ de la voiture », «$\;{\vec {u}}_{z}={\vec {u}}_{\Delta }\;$ le vecteur unitaire vertical descendant » et «$\;{\vec {u}}_{x}={\vec {u}}_{y}\wedge {\vec {u}}_{z}\;$ le vecteur unitaire horizontal $\;\perp \;$ à la route dirigé vers le côté où la portière est restée ouverte ».
La portière étant un solide, les forces intérieures appliquées à cette dernière développent, dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{voit}}$, des puissances se compensant deux à deux, seules les forces extérieures $\;{\big$en plus des « pseudo-forces d'inertie d'entraînement $\;d{\vec {f}}_{\text{in. e}}(M)=-dm\;{\vec {a}}_{{\mathcal {R}}_{\text{voit}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}(t)=-dm\;{\vec {a}}\;$» conséquence du caractère non galiléen en translation du référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{voit}}{\big )}\;$ s'exerçant sur la portière sont à prendre en compte c'est-à-dire
* le poids de la portière «$\;m\;{\vec {g}}=m\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$» appliqué au C.D.I. $\;G\;$ de cette dernière développant, dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{voit}}\;$ non galiléen, une puissance «$\;{\mathcal {P}}\!\left[m\;{\vec {g}},\,t\right]=m\;{\vec {g}}\cdot {\vec {V}}_{G\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{voit}}}(t)=0\;$» $\;{\Big \$le mouvement de $\;G\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{voit}}\;$ étant un mouvement de rotation autour de son axe des gonds $\;\Delta \;$ de vecteur rotation instantanée «$\;{\dot {\alpha }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$» $\;{\big$donc $\;\perp \;$ à $\;m\;{\vec {g}}{\big )}{\Big \}$ et
* les actions de l'axe des gonds sur la portière modélisées en une « résultante $\;{\vec {R}}(t)\;$ appliquée en $\;O_{\Delta }\;$» et un « couple de moment vectoriel $\;{\vec {\Gamma }}(t)\;$ de direction $\;\perp \;$ à $\;\Delta \;$ dans la mesure où la liaison pivot est idéale », ces actions développant, dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{voit}}\;$ non galiléen, une puissance «$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {R}}(t)\right]+{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {\Gamma }},\,t\right]={\vec {R}}(t)\cdot {\vec {V}}_{O_{\Delta }\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{voit}}}(t)+{\vec {\Gamma }}\cdot {\dot {\alpha }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$» dans laquelle d'une part «$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {\Gamma }},\,t\right]=0$ $\;{\big \{\vec {\Gamma }}\;$ étant $\;\perp \;$ à $\;{\vec {u}}_{\Delta }{\big \}$» et d'autre part «$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {R}}(t)\right]=0$ $\;{\big \$car $\;{\vec {V}}_{O_{\Delta }\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{voit}}}(t)={\vec {0}}$, $\;O_{\Delta }\;$ étant un point fixe du référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{voit}}{\big \}$» soit «$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {R}}(t)\right]+{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {\Gamma }},\,t\right]=0\;$» ;
$\;{\mathcal {R}}_{\text{voit}}\;$
$\;d{\vec {f}}_{\text{in. e}}(M)=-dm\;{\vec {a}}\;$
$\;{\mathcal {P}}_{\text{in. e}}(t)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\text{port}}\right)}d{\vec {f}}_{\text{in. e}}(M)\cdot {\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{voit}}}(t)\;$
$\;{\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{voit}}}(t)={\dot {\alpha }}(t)\;{\vec {u}}_{z}\wedge {\overrightarrow {O_{\Delta }M}}(t)\;$
$\Rightarrow$
$\;d{\vec {f}}_{\text{in. e}}(M)\cdot {\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{voit}}}(t)=$
$d{\vec {f}}_{\text{in. e}}(M)\cdot \left[{\dot {\alpha }}(t)\;{\vec {u}}_{z}\wedge {\overrightarrow {O_{\Delta }M}}(t)\right]={\dot {\alpha }}(t)\;{\vec {u}}_{z}\cdot \left[{\overrightarrow {O_{\Delta }M}}(t)\wedge d{\vec {f}}_{\text{in. e}}(M)\right]\;$
$\;d{\vec {f}}_{\text{in. e}}(M)\cdot {\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{voit}}}(t)=$
${\dot {\alpha }}(t)\;{\vec {u}}_{z}\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O_{\Delta }}\!\left[d{\vec {f}}_{\text{in. e}}(M),\,t\right]\;$
$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O_{\Delta }}\!\left[d{\vec {f}}_{\text{in. e}}(M),\,t\right]\;$
$\;O_{\Delta }\;$
$\;d{\vec {f}}_{\text{in. e}}(M)\;$
$\;M$
$\;d{\vec {f}}_{\text{in. e}}(M)\cdot {\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{voit}}}(t)$
$={\dot {\alpha }}(t)\,\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O_{\Delta }}\!\left[d{\vec {f}}_{\text{in. e}}(M),\,t\right]\cdot {\vec {u}}_{z}\right\rbrace ={\dot {\alpha }}(t)\;{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[d{\vec {f}}_{\text{in. e}}(M),\,t\right]\;$
$\;{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[d{\vec {f}}_{\text{in. e}}(M),\,t\right]\;$
$\;\Delta \;$
$\;d{\vec {f}}_{\text{in. e}}(M)\;$
$\;M$
$\;{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[d{\vec {f}}_{\text{in. e}}(M),\,t\right]=-\Vert d{\vec {f}}_{\text{in. e}}(M)\Vert \,\left\lbrace HM\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\right\rbrace =-dm\;a\;HM\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\;$
$\;{\Big \d{\vec {f}}_{\text{in. e}}(M)\;$
$\;M\;$
$\;HM\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]{\Big \}$
$\;d{\vec {f}}_{\text{in. e}}(M)\cdot {\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{voit}}}(t)=-dm\;a\;HM\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\;{\dot {\alpha }}(t)>0\;$
$\;{\mathcal {P}}_{\text{in. e}}(t)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\text{port}}\right)}d{\vec {f}}_{\text{in. e}}(M)\cdot {\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{voit}}}(t)\;$
$\;M$
$\;{\mathcal {P}}_{\text{in. e}}(t)=-a\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\;{\dot {\alpha }}(t)\;\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\text{port}}\right)}dm\;HM\;$
$\;{\mathcal {P}}_{\text{in. e}}(t)=-a\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\;{\dot {\alpha }}(t)\;\sigma _{0}\;\displaystyle \int _{-{\frac {h}{2}}}^{\frac {h}{2}}\left[\displaystyle \int _{0}^{b}HM\;d\!\left(HM\right)\right]dz_{M}\;$
$\;{\Big \$
$\;dm=$
$\sigma _{0}\;dS_{M}\;$
$\;dS_{M}=dz_{M}\;d\!\left(HM\right){\Big \}$
$\;{\mathcal {P}}_{\text{in. e}}(t)=-a\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\;{\dot {\alpha }}(t)\;\sigma _{0}\;h\;\left[{\dfrac {HM^{2}}{2}}\right]_{0}^{b}=-a\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\;{\dot {\alpha }}(t)\;\sigma _{0}\;h\;{\dfrac {b^{2}}{2}}\;$
$\;\sigma _{0}\;h\;b=m\;$
$\;{\mathcal {P}}_{\text{in. e}}(t)=-m\;a\;{\dfrac {b}{2}}\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\;{\dot {\alpha }}(t)>0\;$
$\;{\dot {\alpha }}(t)\;$
$\;<0$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{voit}}\;$
$\;\Delta \;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{voit}}\;$
$\;{\dot {\alpha }}(t)\;$
$\;t$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{voit}}\;$
$\;K_{{\text{port}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{voit}}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta }\;{\dot {\alpha }}^{\,2}(t)\;$
$\;J_{\Delta }\;$
$\;\Delta \;$
$\;J_{\Delta }={\dfrac {1}{3}}\;m\;b^{2}\;$
$\;K_{{\text{port}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{voit}}}(t)={\dfrac {1}{6}}\;m\;b^{2}\;{\dot {\alpha }}^{\,2}(t)\;$
L'application du théorème de la puissance cinétique à la portière dans le référentiel voiture $\;{\mathcal {R}}_{\text{voit}}\;$ non galiléen lors du démarrage de la voiture «$\;{\dot {K}}_{{\text{port}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{voit}}}(t)={\mathcal {P}}\!\left[m\;{\vec {g}},\,t\right]+{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {R}}(t)\right]+{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {\Gamma }},\,t\right]+{\mathcal {P}}_{\text{in. e}}(t)\;$» s'explicite, en réinjectant les expressions des puissances des actions et des « pseudo-forces d'inertie d'entraînement » précédemment trouvées, selon «$\;{\dfrac {dK_{{\text{port}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{voit}}}}{dt}}(t)=-m\;a\;{\dfrac {b}{2}}\;\sin \!\left[\alpha (t)\right]\;{\dot {\alpha }}(t)\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {b}}'\right)\;$».
$\;\left({\mathfrak {b}}'\right)\;$
$\;t$
$\;{\big \$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{voit}}\;$
$\;\left[0\,,\,t\right]\;$
${\big \}$
$\;K_{{\text{port}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{voit}}}(t)\;{\cancel {-\;K_{{\text{port}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{voit}}}(0)}}=-m\;a\;{\dfrac {b}{2}}\;\displaystyle \int _{0}^{t}\sin \!\left[\alpha (t')\right]\;{\dot {\alpha }}(t')\;dt'\;$
$\;K_{{\text{port}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{voit}}}(t)$
$=m\;a\;{\dfrac {b}{2}}\;\displaystyle \int _{\alpha \,=\,{\frac {\pi }{2}}}^{\alpha \,=\,\alpha (t)}d\left[\cos \!\left(\alpha \right)\right]=m\;a\;{\dfrac {b}{2}}\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\;$
$\;{\Big \$
$\;\left[0\,,\,t\right]\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{voit}}\;$
$\;W_{{\text{in. e}},\,\left[0\,,\,t\right]}{\Big \}$
$\;K_{{\text{port}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{voit}}}(t)={\dfrac {1}{6}}\;m\;b^{2}\;{\dot {\alpha }}^{\,2}(t)\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{voit}}\;$
$\;{\dfrac {1}{6}}\;m\;b^{2}\;{\dot {\alpha }}^{\,2}(t)=m\;a\;{\dfrac {b}{2}}\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {c}}\right)\;$
$\;{\dfrac {1}{3}}\;b\;{\dot {\alpha }}^{\,2}(t)=a\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {c}}'\right)\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\dot {\alpha }}(t)\;$
$\;t\;$
$\;{\dot {\alpha }}(t)=-{\sqrt {\dfrac {3\;a\;\cos \!\left[\alpha (t)\right]}{b}}}\;$
$\;{\big \$
$\;\alpha (t)\;$
$\;\searrow {\big \}$
$\;\Delta t_{\text{ferm}}={\sqrt {\dfrac {b}{3\;a}}}\;\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\dfrac {d\alpha }{\sqrt {\cos \!\left(\alpha \right)}}}\;$

## Oscillations d'un cylindre dans une gouttière

On considère un cylindre de révolution $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ homogène, de C.D.I. $\;G$, de masse $\;m$, de rayon $\;a\;$ et de moment d’inertie $\;J={\dfrac {1}{2}}\;m\;a^{2}\;$ par rapport à son axe de révolution ;
ce cylindre $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ roule sans glisser à l’intérieur d’un tuyau cylindrique de révolution, fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ galiléen, d'axe horizontal $\;\Delta \;$ et de rayon $\;b>a$ $\;{\big$le roulement du cylindre de révolution $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ à l'intérieur du tuyau cylindrique également de révolution a pour conséquence que les axes de $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ et du tuyau sont $\;\parallel {\big ]}$ ;
pour étudier le mouvement de $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ plongé dans un champ de pesanteur terrestre uniforme $\;{\vec {g}}\;$ d'intensité $\;g$, on associe, au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}$, le repère cartésien $\;\left\lbrace O\;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)\right\rbrace$, $\;O\;$ étant un point fixe de $\;\Delta$, $\;{\vec {u}}_{z}\;$ le vecteur unitaire vertical descendant, $\;{\vec {u}}_{y}\;$ le vecteur unitaire horizontal orientant les axes de révolution $\;{\big$pointant vers le lecteur sur le schéma ci-contre $\Rightarrow$ le sens $\;+\;$ de rotation dans le plan vertical $\;\perp \;$ aux axes de révolution est anti-horaire${\big ]}\;$ et $\;{\vec {u}}_{x}\;$ le vecteur unitaire horizontal tel que la base $\;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)\;$ soit directe $\Rightarrow$ $\;{\vec {u}}_{x}={\vec {u}}_{y}\wedge {\vec {u}}_{z}$.
On repère la position de $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}$ $\;{\big$voir le schéma ci-contre${\big )}\;$ par
* celle de son C.D.I. $\;G\;$ en définissant l'abscisse angulaire de ce dernier $\;\theta (t)={\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {Oz}}\,,\,{\overrightarrow {OG}}(t)\right\rbrace }}\;$ et
* celle de $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ dans le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ de ce dernier par l'abscisse angulaire $\;\varphi (t)={\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {Gz}}\,,\,{\overrightarrow {GA}}(t)\right\rbrace }}$, $\;A\;$ étant un point lié à la périphérie de $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ choisi dans le plan $\;zOx$ $\;{\Big \$l'angle $\;\varphi (t)\;$ n'est pas représenté sur le schéma ci-contre, seule la vitesse angulaire de rotation de $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ autour de son axe $\;Gy\;$ à savoir «$\;\omega (t)={\dot {\varphi }}(t)\;$» y est représentée${\Big \}$.

### Établissement de la condition de roulement sans glissement du cylindre de révolution dans la gouttière cylindrique de section circulaire

Établir la relation $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ entre $\;{\dot {\theta }}(t)$, $\;{\dot {\varphi }}(t)=\omega (t)$, $\;a\;$ et $\;b\;$ traduisant la condition de roulement sans glissement du cylindre de révolution $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ à l'intérieur de la gouttière cylindrique de section droite circulaire.
La position de $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}$ étant repérée par
* celle de son C.D.I. $\;G\;$ en définissant l'abscisse angulaire de ce dernier $\;\theta (t)={\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {Oz}}\,,\,{\overrightarrow {OG}}(t)\right\rbrace }}\;$ et
* celle de $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ dans le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ de ce dernier par l'abscisse angulaire $\;\varphi (t)={\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {Gz}}\,,\,{\overrightarrow {GA}}(t)\right\rbrace }}$, $\;A\;$ étant un point lié à la périphérie de $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ choisi dans le plan $\;zOx$ $\;{\Big \$l'angle $\;\varphi (t)\;$ n'est pas représenté sur le schéma ci-contre, seule la vitesse angulaire de rotation de $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ autour de son axe $\;Gy\;$ à savoir «$\;\omega (t)={\dot {\varphi }}(t)\;$» y est représentée${\Big \}$,
$\;I\;$ étant le point de contact de $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ sur l’intérieur du tuyau cylindrique de révolution $\;{\mathcal {T}}\!c$, fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}$, d'axe horizontal $\;\Delta \;$ et de rayon $\;b>a$, la condition de roulement sans glissement de $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ à l'intérieur de $\;{\mathcal {T}}\!c$ s'écrit «$\;{\vec {V}}_{I\,\in \,\left({\mathcal {C}}\right)}(t)={\vec {V}}_{I\,\in \,{\mathcal {T}}\!c}(t)\;\;\forall \;t\;$» avec
* «$\;{\vec {V}}_{I\,\in \,{\mathcal {T}}\!c}(t)={\vec {0}}\;$» $\;{\big \{\mathcal {T}}\!c\;$ étant fixe dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}{\big \}$ et
* «$\;{\vec {V}}_{I\,\in \,\left({\mathcal {C}}\right)}(t)={\vec {V}}_{G}(t)+\omega (t)\;{\vec {u}}_{y}\wedge {\overrightarrow {GI}}(t)\;$» $\;{\big \$le mouvement de $\;I\,\in \,\left({\mathcal {C}}\right)\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ résultant de la composition d'une translation du C.D.I. $\;G\;$ de $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ et d'une rotation autour de $\;\left(Gy\right){\big \}$ dans lequel $\;\succ \;$ «$\;{\vec {V}}_{G}(t)={\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{y}\wedge {\overrightarrow {OG}}(t)={\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{y}\wedge \left[\left(b-a\right)\,{\vec {u}}_{r}(t)\right]=\left(b-a\right)\,{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\;$» $\;{\big \$en repérant $\;G\;$ par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle $\;O\;$ et d'axe $\;{\overrightarrow {Oy}}$, la base cylindro-polaire liée à $\;G\;$ étant $\;\left[{\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{y}\right]$, $\;G\;$ décrivant un cercle d'axe $\;\left(Oy\right)$, de rayon $\;OG=$ $b-a\;$ avec une vitesse angulaire $\;{\dot {\theta }}(t){\big \}$ et $\;\succ \;$ «$\;\omega (t)\;{\vec {u}}_{y}\wedge {\overrightarrow {GI}}(t)={\dot {\varphi }}(t)\;{\vec {u}}_{y}\wedge \left[a\;{\vec {u}}_{r}(t)\right]=a\;{\dot {\varphi }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\;$» $\;{\big \$en utilisant la même base cylindro-polaire d'axe $\;{\overrightarrow {Oy}}\;$ liée à $\;G\;$ à savoir $\;\left[{\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{y}\right]{\big \}$ soit, en composant les deux, «$\;{\vec {V}}_{I\,\in \,\left({\mathcal {C}}\right)}(t)=\left[\left(b-a\right)\,{\dot {\theta }}(t)+a\;{\dot {\varphi }}(t)\right]\,{\vec {u}}_{\theta }(t)=\left[\left(b-a\right)\,{\dot {\theta }}(t)+a\;\omega (t)\right]\,{\vec {u}}_{\theta }(t)\;$»,
$\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$
$\;{\mathcal {T}}\!c$
$\;\left[\left(b-a\right)\,{\dot {\theta }}(t)+a\;{\dot {\varphi }}(t)\right]\,{\vec {u}}_{\theta }(t)={\vec {0}}\;$
$\;\left[\left(b-a\right)\,{\dot {\theta }}(t)+a\;\omega (t)\right]\,{\vec {u}}_{\theta }(t)={\vec {0}}\;$
$\;\left(b-a\right)\,{\dot {\theta }}(t)+a\;{\dot {\varphi }}(t)=0,\;\;\forall \;t\;$
$\;\left(b-a\right)\,{\dot {\theta }}(t)+a\;\omega (t)=0,\;\;\forall \;t\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$

### Expression de l'énergie cinétique du cylindre de révolution

En admettant le théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique $\;{\big$ou 2ème théorème de Kœnig${\big )}\;$ appliqué à un système continu de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique à savoir, dans le cas d'une expansion tridimensionnelle où $\;\mu (M)\;$ est la masse volumique locale en $\;M$,
En admettant le théorème de Kœnig l'énergie cinétique du système continu d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ «$\;\left\lbrace M\;\left[dm=\mu (M)\;d{\mathcal {V}}\right]\right\rbrace _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\;$» évaluée à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ «$\;K({\text{syst}},\,t)\;$» est la somme
* de l'énergie cinétique barycentrique du système «$\;K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)\;$» évaluée à l'instant $\;t\;$ et
* de l'énergie cinétique du C.D.I. $\;G\;$ du système évaluée au même instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ $\;{\big$en attribuant au point fictif $\;G\;$ la masse $\;m_{\text{syst}}{\big ]}\;$ «$\;K\!(G,\,t)={\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)\;$»
En admettant le théorème de Kœnig soit, mathématiquement «$\;K({\text{syst}},\,t)=K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+K\!(G,\,t)=K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+{\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)\;$»,
En admettant le théorème de Kœnig évaluer l'énergie cinétique du cylindre de révolution $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ roulant sans glisser à l'intérieur de la gouttière cylindrique de section droite circulaire en fonction de $\;m$, $\;a$, $\;b\;$ et $\;{\dot {\theta }}(t)$ $\;{\bigg \$nous admettrons que le moment d'inertie d'un cylindre de révolution homogène, de masse $\;m$, de rayon $\;R$, relativement à son axe $\;\Delta \;$ de révolution vaut «$\;J_{\Delta }={\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\;$»${\bigg \}$.
Appliquant le théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique $\;{\big$ou 2ème théorème de Kœnig${\big )}\;$ au cylindre de révolution $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}$, nous en déduisons que l'« énergie cinétique, à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}$, du cylindre de révolution $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ roulant sans glisser à l'intérieur de la gouttière cylindrique de section droite circulaire $\;K({\mathcal {C}},\,t)\;$» est la somme de
* l'« énergie cinétique barycentrique, évaluée à l'instant $\;t$, du cylindre de révolution $\;K^{\,*}\!({\mathcal {C}},\,t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{\left(Gy\right)}\;\omega ^{2}(t)\;$» $\;{\bigg \$le moment d'inertie du cylindre de révolution $\;{\mathcal {C}}\;$ homogène, de masse $\;m$, de rayon $\;a\;$ relativement à son axe de révolution $\;\left(Gy\right)$, valant «$\;J_{\left(Gy\right)}={\dfrac {1}{2}}\;m\;a^{2}$»${\bigg \}$ d'où «$\;K^{\,*}\!({\mathcal {C}},\,t)={\dfrac {1}{4}}\;m\;a^{2}\;\omega ^{2}(t)\;$» et de
* l'« énergie cinétique, évaluée dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ au même instant $\;t$, du C.D.I. $\;G\;$ du cylindre de révolution $\;K\!(G,\,t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)\;$» avec «$\;{\vec {V}}_{G}(t)=\left(b-a\right)\,{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\;$» $\;{\big$voir solution de la question précédente « établissement de la condition de roulement sans glissement du cylindre de révolution dans la gouttière cylindrique de section circulaire »${\big )}\;$ $\Rightarrow$ «$\;K\!(G,\,t)={\dfrac {1}{2}}\;m\,\left(b-a\right)^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}(t)\;$» d'où
$\;K({\mathcal {C}},\,t)={\dfrac {1}{4}}\;m\;a^{2}\;\omega ^{2}(t)+{\dfrac {1}{2}}\;m\,\left(b-a\right)^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}(t)\;$
$\;\omega (t)\;$
$\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;{\text{:}}\;\left(b-a\right)\,{\dot {\theta }}(t)+a\;\omega (t)=0,\;\;\forall \;t\;$
$\;K({\mathcal {C}},\,t)=$
${\dfrac {1}{4}}\;m\left\lbrace -\left(b-a\right)\,{\dot {\theta }}(t)\right\rbrace ^{2}+{\dfrac {1}{2}}\;m\,\left(b-a\right)^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}(t)\;$
$\;K({\mathcal {C}},\,t)={\dfrac {3}{4}}\;m\,\left(b-a\right)^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}(t)\;$

### Établissement de l'intégrale 1re énergétique du mouvement de roulement sans glissement du cylindre de révolution dans la gouttière cylindrique de section circulaire

Établir l'expression de l'énergie mécanique du cylindre de révolution $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ dans le champ de pesanteur terrestre et
montrer que cette dernière est conservée ;
notant $\;\theta _{m}\;$ la valeur positive maximale de l'abscisse angulaire du C.D.I. $\;G\;$ du cylindre de révolution $\;\left({\mathcal {C}}\right)$ $\;{\bigg$nous supposons $\;\theta _{m}<{\dfrac {\pi }{2}}{\bigg )}$, expliciter l'intégrale 1re énergétique $\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$ du mouvement de roulement sans glissement du cylindre de révolution $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ dans la gouttière cylindrique de section circulaire en fonction de $\;m$, $\;a$, $\;b$, $\;g$, $\;\theta _{m}$, $\;\theta (t)\;$ et $\;{\dot {\theta }}(t)$.
Justifier l'affirmation « cette intégrale 1re énergétique est celle d'un oscillateur $\;{\big$non harmonique${\big )}\;$» $\;{\big \$on rappellera succinctement la méthode d'étude par diagramme d'énergies potentielle et mécanique permettant d'aboutir à cette conclusion${\big \}$.
$\;\left({\mathcal {C}}\right)$
$\;m\;{\vec {g}}\;$
$\;\left({\mathcal {C}}\right)$
$\;U_{\text{pes}}=-m\;g\;z_{G}+cste\;$
$\;{\big$
${\big ]}$
$\;U_{\text{pes}}\;$
$\;z_{G}=b-a$
$\;{\big$
$\;\theta =0{\big ]}\;$
$\;0=-m\;g\,\left(b-a\right)+cste\;$
$\Rightarrow$
$\;cste=m\;g\,\left(b-a\right)\;$
$\;U_{\text{pes}}\!\left({\mathcal {C}}\right)=m\;g\,\left[\left(b-a\right)-z_{G}\right]=m\;g\,\left(b-a\right)\,\left[1-\cos(\theta )\right]\;$
$\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$
$\;E_{m}(t)=K({\mathcal {C}},\,t)+U_{\text{pes}}\!\left({\mathcal {C}},\,t\right)\;$
$\;E_{m}(t)={\dfrac {3}{4}}\;m\,\left(b-a\right)^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}(t)+m\;g\,\left(b-a\right)\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$
Parmi les forces extérieures non conservatives s'exerçant sur le cylindre de révolution $\;\left({\mathcal {C}}\right)$, la réaction de la gouttière cylindrique de section circulaire sur le cylindre de révolution $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ à savoir «$\;{\vec {R}}_{n}(t)+{\vec {R}}_{\tau }(t)\;$» appliquée au point de contact $\;I\;$ développe une puissance «$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {R}}_{n}(t)+{\vec {R}}_{\tau }(t)\right]=\left[{\vec {R}}_{n}(t)+{\vec {R}}_{\tau }(t)\right]\cdot {\vec {V}}_{I\,\in \,\left({\mathcal {C}}\right)}(t)=0\;$» dans la mesure où le roulement de $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ à l'intérieur de la gouttière cylindrique de section circulaire se fait sans glissement c'est-à-dire tel que «$\;{\vec {V}}_{I\,\in \,\left({\mathcal {C}}\right)}(t)={\vec {V}}_{I\,\in \,{\mathcal {T}}\!c}(t)={\vec {0}}\;$» ;
$\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$
$\;E_{m}(t)=cste\;$
$\;cste\;$
$\;\max \limits _{t\,>\,0}\left[\theta (t)\right]=\theta _{m}\;$
$\;\left\lbrace t_{max,\,k}\right\rbrace _{k\,\in \,\mathbb {N} ^{*}}\;$
$\;{\dot {\theta }}(t_{max,\,k})=0\;$
$\;{\Big \$
$\;\theta (t)\;$
$\;C^{2}\;$
$\;{\ddot {\theta }}(t_{max,\,k})\;$
$\;<0\;$
$\;\theta (t_{max,\,k})\;$
${\Big \}$
$\Rightarrow$
$\;cste=m\;g\,\left(b-a\right)\,\left[1-\cos \!\left(\theta _{m}\right)\right]\;$
$\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$
$\;{\dfrac {3}{4}}\;m\,\left(b-a\right)^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}(t)+m\;g\,\left(b-a\right)\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace =m\;g\,\left(b-a\right)\,\left[1-\cos \!\left(\theta _{m}\right)\right]\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$
$\;\theta (t)$
$\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$
$\;\propto \;$
$\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;$
$\;>0\;$
$\;{\dot {\theta }}(t)\;$
$\;\theta (t)\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;\theta =0\;$
$\;\theta \,\in \,\left]-\theta _{m}\,,\,+\theta _{m}\right[\;$
$\;\theta _{m}\;$
$\;>0\;$
$\;\pm \theta _{m}\;$
$\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$

### Étude des petites oscillations de roulement sans glissement du cylindre de révolution dans la gouttière cylindrique de section circulaire

Bien que ce ne soit pas en général simplificateur dans le cas d'un oscillateur non harmonique, déduire de l'intégrale 1re énergétique, l'équation différentielle du 2ème ordre en $\;\theta (t)\;$ du mouvement de roulement sans glissement du cylindre de révolution $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ à l'intérieur de la gouttière cylindrique de section circulaire relativement au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}$.
Nous plaçant maintenant dans les conditions de petites oscillations angulaires c'est-à-dire «$\;\theta _{m}\ll 1\;$», montrer que l'équation différentielle en $\;\theta (t)\;$ du mouvement de roulement sans glissement de $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ à l'intérieur de la gouttière cylindrique dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}$ peut être linéarisée et
Nous plaçant maintenant dans les conditions de petites oscillations angulaires exprimer le résultat de cette linéarisation ;
Nous plaçant maintenant dans les conditions de petites oscillations angulaires en déduire la loi horaire $\;\theta (t)\;$ des petites élongations angulaires de $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ dans son mouvement de roulement sans glissement ainsi que
Nous plaçant maintenant dans les conditions de petites oscillations angulaires sa période des petites élongations angulaires $\;T_{0}\;$ puis
Nous plaçant maintenant dans les conditions de petites oscillations angulaires l'évaluer numériquement avec $\;m=2,0\;kg$, $\;g=9,8\;m\cdot s^{-2}$, $\;a=5,0\;cm\;$ et $\;b=20\;cm$.
$\;\theta (t)\;$
$\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$
$\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;{\text{:}}\;{\dfrac {3}{4}}\;m\,\left(b-a\right)^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}(t)+m\;g\,\left(b-a\right)\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace =m\;g\,\left(b-a\right)\,\left[1-\cos \!\left(\theta _{m}\right)\right]\;$
$\;{\dfrac {3}{4}}\;m\,\left(b-a\right)^{2}\;2\;{\dot {\theta }}(t)\;{\ddot {\theta }}(t)+m\;g\,\left(b-a\right)\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\,{\dot {\theta }}(t)=0\;$
$\;m\,\left(b-a\right)\,{\dot {\theta }}(t)\;$
$\;{\dfrac {2}{3\,\left(b-a\right)}}$
$\;\theta (t)$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$
$\;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {2\;g}{3\,\left(b-a\right)}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=0\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {c}}\right)\;$
$\;\theta _{m}\;$
$\;\theta _{m}\ll 1\;$
$\;\vert \theta (t)\vert \ll 1\;\;\forall \;t\;$
$\;{\Big \$
$\Rightarrow$
$\;\theta (t)\,\in \,\left[-\theta _{m}\,,\,+\theta _{m}\right]{\Big \}$
$\;\theta (t)\;$
$\;\left({\mathfrak {c}}\right)\;\;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {2\;g}{3\,\left(b-a\right)}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=0\;$
$\;\theta (t)$
$\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;$
$\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\simeq \theta (t)\;$
$\;\left({\mathfrak {c}}\right)\;$
$\;\left({\mathfrak {c}}\right)\;$
$\;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {2\;g}{3\,\left(b-a\right)}}\;\theta (t)=0\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {c}}'\right)\;$
$\;\left({\mathfrak {c}}'\right)\;$
$\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {2\;g}{3\,\left(b-a\right)}}}\;$
$\;\theta (t)\;$
$\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$
$\;\theta (t)=A\;\cos(\omega _{0}\;t)+B\;\sin(\omega _{0}\;t)\;$
$\;A\;$
$\;B\;$
$\;\left\lbrace \theta (0)=\theta _{m}\,,\,{\dot {\theta }}(0)=0\right\rbrace \;$
$\Downarrow {\scriptscriptstyle \vdots }$
$\;\theta (t)=\theta _{m}\;\cos(\omega _{0}\;t)\;$
la période des petites élongations angulaires de $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ dans son mouvement de roulement sans glissement est «$\;T_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {3\,\left(b-a\right)}{2\;g}}}\;$» ou numériquement, la période des petites élongations angulaires de C avec $\;g=9,8\;m\cdot s^{-2}$, $\;a=5,0\;cm\;$ et $\;b=20\;cm$, «$\;T_{0}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {3\times \left(0,20-0,05\right)}{2\times 9,8}}}\simeq 0,95\;s\;$».

### Valeur limite du cœfficient de frottement solide pour que le roulement du cylindre de révolution à l'intérieur de la gouttière cylindrique de section circulaire se fasse sans glissement

Nous plaçant de nouveau dans les conditions d'amplitude d'oscillations non petite c'est-à-dire «$\;\theta _{m}\;$ a priori $\;{\cancel {\ll }}\;1\;$»,
déterminer les expressions des composantes « normale $\;R_{n}(t)\;$» et « tangentielle $\;R_{\tau }(t)\;$» de la réaction $\;{\vec {R}}(t)\;$ de la gouttière cylindrique de section circulaire sur le cylindre de révolution $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ s'exerçant en $\;I$ $\;{\Bigg \$pour cela on utilisera le repérage cylindro-polaire lié au C.D.I. $\;G\;$ de $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ de pôle $\;O\;$ et d'axe $\;Oy$, la base associée étant «$\;\left[{\vec {u}}_{r}={\dfrac {\overrightarrow {OG}}{OG}}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }={\vec {u}}_{y}\wedge {\vec {u}}_{r}\right]\;$» et les composantes normale et tangentielle de $\;{\vec {R}}(t)\;$ étant définies selon «$\;\left[{\begin{array}{c}R_{n}(t)={\vec {R}}(t)\cdot {\vec {u}}_{r}\\R_{\tau }(t)={\vec {R}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\theta }\end{array}}\right]\;$»${\Bigg \}$ puis
déterminer leur variation respective avec $\;\theta (t)$.
Après avoir rappelé la loi empirique de Coulomb du frottement de glissement pour un « cœfficient de frottement entre la gouttière cylindrique de section circulaire et le cylindre de révolution $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ égal à $\;f\;$», montrer que, pour qu’il y ait effectivement toujours roulement sans glissement, le coefficient de frottement de glissement $\;f\;$ doit être supérieur à une certaine valeur fonction de $\;\theta _{m}\;$ que l’on précisera.
$\;R_{n}(t)={\vec {R}}(t)\cdot {\vec {u}}_{r}(t)\;$
$\;R_{\tau }(t)={\vec {R}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\theta }(t)\;$
$\;{\vec {R}}(t)\;$
$\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$
$\;I$
$\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$
$\;{\vec {u}}_{r}(t)\;$
$\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\;$
$\;G\;$
$\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$
$\;m\;{\vec {g}}+{\vec {R}}(t)=m\;{\vec {a}}_{G}(t)\;$
$\;{\vec {a}}_{G}(t)\;$
$\;G\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}m\;g\;\cos \!\left[\theta (t)\right]+R_{n}(t)=m\;a_{G,\,r}(t)\\-m\;g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]+R_{\tau }(t)=m\;a_{G,\,\theta }(t)\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;G\;$
$\;\left(Oy\right)$
$\;OG=b-a\;$
$\;{\dot {\theta }}(t)\;$
$\Rightarrow$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}a_{G,\,r}(t)=-\left(b-a\right)\,{\dot {\theta }}^{2}(t)\\a_{G,\,\theta }(t)=\left(b-a\right)\,{\ddot {\theta }}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}R_{n}(t)=-m\,\left\lbrace \left(b-a\right)\,{\dot {\theta }}^{2}(t)+g\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \\R_{\tau }(t)=m\,\left\lbrace \left(b-a\right)\,{\ddot {\theta }}(t)+g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \end{array}}\right\rbrace \;$
$\;{\dot {\theta }}^{2}(t)\;$
$\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;{\text{:}}\;{\dfrac {3}{4}}\;m\,\left(b-a\right)^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}(t)+m\;g\,\left(b-a\right)\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace =m\;g\,\left(b-a\right)\,\left[1-\cos \!\left(\theta _{m}\right)\right]\;$
$\Rightarrow$
$\;{\dot {\theta }}^{2}(t)={\dfrac {4}{3}}\;{\dfrac {g}{b-a}}\,\left\lbrace \cos \!\left[\theta (t)\right]-\cos \!\left(\theta _{m}\right)\right\rbrace \;$
$\;{\ddot {\theta }}(t)\;$
$\;\theta (t)\;$
$\;\left({\mathfrak {c}}\right)\;{\text{:}}\;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {2\;g}{3\,\left(b-a\right)}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=0\;\;$
$\Rightarrow$
$\;{\ddot {\theta }}(t)=-{\dfrac {2\;g}{3\,\left(b-a\right)}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;$
$\;R_{n}(t)={\vec {R}}(t)\cdot {\vec {u}}_{r}(t)\;$
$\;R_{\tau }(t)={\vec {R}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\theta }(t)\;$
$\;{\vec {R}}(t)\;$
$\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$
$\;I\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}R_{n}(t)=-m\,\left\lbrace \left(b-a\right)\,{\dfrac {4}{3}}\;{\dfrac {g}{b-a}}\,\left\lbrace \cos \!\left[\theta (t)\right]-\cos \!\left(\theta _{m}\right)\right\rbrace +g\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \\R_{\tau }(t)=m\,\left\lbrace \left(b-a\right)\,{\dfrac {-2\;g}{3\,\left(b-a\right)}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]+g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \end{array}}\right\rbrace \;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}R_{n}(t)=-{\dfrac {m\;g}{3}}\,\left\lbrace 7\;\cos \!\left[\theta (t)\right]-4\;\cos \!\left(\theta _{m}\right)\right\rbrace \\R_{\tau }(t)={\dfrac {m\;g}{3}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$
dont nous déduisons la variation avec $\;\theta \;$ sur l'intervalle $\;\left[0\,,\,+\theta _{m}\right]$ :
* «$\;R_{n}=-{\dfrac {m\;g}{3}}\,\left[7\;\cos \!\left(\theta \right)-4\;\cos \!\left(\theta _{m}\right)\right]\;\nearrow \;$» car la fonction $\;\cos(\theta )\;$ y est $\;\searrow$, «$\;R_{n}\;\nearrow \;$ de $\;-{\dfrac {m\;g}{3}}\,\left[7-4\;\cos \!\left(\theta _{m}\right)\right]<0\;$ à $\;-{\dfrac {m\;g}{3}}\,\left[3\;\cos \!\left(\theta _{m}\right)\right]=-m\;g\;\cos(\theta _{m})<0\;$» d'où «$\;\vert R_{n}\vert \searrow \;$ sur $\;\left[0\,,\,+\theta _{m}\right]$ de $\;{\dfrac {m\;g}{3}}\,\left[7-4\;\cos \!\left(\theta _{m}\right)\right]\;$ à $\;m\;g\;\cos(\theta _{m})\;$» ;
* «$\;R_{\tau }={\dfrac {m\;g}{3}}\;\sin \!\left(\theta \right)\;\nearrow \;$» car la fonction $\;\sin(\theta )\;$ y est $\;\nearrow$, «$\;R_{\tau }\;\nearrow \;$ de $\;0\;$ à $\;{\dfrac {m\;g}{3}}\;\sin \!\left(\theta _{m}\right)>0\;$».
Pour que le roulement du cylindre de révolution $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ à l'intérieur de la gouttière cylindrique de section circulaire se fasse sans glissement il faut que les « composantes tangentielle et normale de la réaction de la gouttière cylindrique $\;{\vec {R}}_{\tau }(t)=R_{\tau }(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\;$ et $\;R_{n}(t)=R_{n}(t)\;{\vec {u}}_{r}(t)\;$» suivent la loi empirique de Coulomb du frottement de glissement en absence de glissement $\;{\big$le cœfficient de frottement de glissement entre l'intérieur de la gouttière cylindrique et le cylindre de révolution étant égal à $\;f{\big )}$, à savoir
$\;\succ \;$« la composante tangentielle $\;{\vec {R}}_{\tau }\;$ est toujours de direction et de sens contraire au mouvement de glissement susceptible de se produire » et
$\;\succ \;$«$\;\vert R_{\tau }(t)\vert <f\;\vert R_{n}(t)\vert \;\;\forall \;t\;$» ;
$\;\left[0\,,\,\theta _{m}\right]$
$\;R_{\tau }\;$
$\;\nearrow \;$
$\;\vert R_{n}\vert \searrow$
$\;\vert R_{\tau }(t)\vert <f\;\vert R_{n}(t)\vert \;$
$\;\theta \;$
$\;\theta _{m}\;$
$\;{\dfrac {m\;g}{3}}\;\sin \!\left(\theta _{m}\right)\;$
$\;f\;m\;g\;\cos(\theta _{m})\;$
$\;f>{\dfrac {1}{3}}\;\tan(\theta _{m})\;$

## Mouvement d'une bille dans une gouttière cycloïdale

Préliminaire : cet exercice a déjà été partiellement traité, en ce qui concerne la 1re question considérant la bille comme ponctuelle, dans « Pendule cycloïdal par traitement énergétique » de la série d'exer.$17$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », la différence dans cet exercice porte sur la 2ème question où la bille $\;{\big$non ponctuelle${\big )}\;$ roule sans glisser dans la rainure cycloïdale.

### Mouvement d'une bille ponctuelle dans une rainure cycloïdale

Remarque : cette question étant l'exercice complet « Pendule cycloïdal par traitement énergétique » de la série d'exer.$17$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » $\;{\big$mis à part la liaison qui était bilatérale dans l'exercice complet ci-rappelé et qui est unilatérale dans la question ci-dessous, ce changement n'ayant aucune conséquence dans les conditions de l'exercice${\big )}\;$ est rappelée pour mémoire ainsi que sa solution.
Un point matériel $\;M\;$ de masse $\;m\;$ est assujetti à se déplacer dans le plan vertical $\;xOy\;$ sur la portion de cycloïde dont les équations paramétriques sont : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x&=&R\,\left[\theta -\sin(\theta )\right]\\y&=&-R\,\left[1-\cos(\theta )\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ avec $\;\theta \in \left[0\,,\,2\,\pi \right]\;$ $\;{\big$voir ci-contre${\big )}$.
À la date $\;t=0$, on lâche $\;M\;$ de $\;M_{0}$, de paramètre angulaire $\;\theta _{0}\in \left]0\,,\,+\pi \right[\;$ sans vitesse initiale ; il est soumis au champ de pesanteur $\;{\vec {g}}\;$ uniforme et se déplace en liaison unilatérale sans frottement sur la portion de cycloïde.

#### Intégrale 1re énergétique du mouvement du point matériel M

Après avoir vérifié que le point matériel $\;M\;$ est bien « à mouvement conservatif » expliciter l'intégrale 1re énergétique du mouvement de ce point en fonction, entre autres, de $\;\theta (t)\;$ et de sa dérivée temporelle.
Les forces appliquées à $\;M\;$ étant
* son poids $\;m\;{\vec {g}}$, force conservative dérivant de l'énergie potentielle de pesanteur $\;U_{\text{pes}}(M)=m\;g\;y+cste$, la constante dépendant du choix de la référence et
* la réaction $\;{\vec {R}}(t)\;$ de la cycloïde sur le point $\;M$, force non conservative ne développant aucun travail en absence de frottement car $\;{\vec {R}}(t)\;$ est $\;\perp \;$ au vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ le long de la cycloïde,
on vérifie effectivement que le mouvement du point $\;M\;$ est « conservatif » ;
on peut alors appliquer, comme intégrale 1re énergétique, la conservation de l'énergie mécanique du point $\;M\;$ en définissant celle-ci à l'instant $\;t\;$ par $\;E_{m}(t)=K_{M}(t)+U_{{\text{pes}},\,M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{M}^{\,2}(t)+U_{{\text{pes}},\,M}(t)\;$ avec
* $\;U_{{\text{pes}},\,M}(t)=m\;g\,\left\lbrace y\!\left[\theta (t)\right]+2\;R\right\rbrace \;$ en prenant comme référence $\;y_{\text{min}}=-2\;R\;$ soit encore, en y reportant $\;y(\theta )=$ $-R\,\left[1-\cos(\theta )\right]\;$ et après simplification, $\;U_{{\text{pes}},\,M}(t)=m\;g\;R\,\left\lbrace 1+\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$ et
* $\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}(t)\;{\text{:}}\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dot {x}}(t)=R\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \,{\dot {\theta }}(t)\\{\dot {y}}(t)=-R\,\sin \!\left[\theta (t)\right]\,{\dot {\theta }}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {V}}_{M}^{\,2}(t)={\dot {x}}^{2}(t)+{\dot {y}}^{2}(t)=R^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}(t)\,\left[\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace ^{2}+\sin ^{2}\!\left[\theta (t)\right]\right]\;$ soit, après simplification évidente, $\;{\vec {V}}_{M}^{\,2}(t)=2\;R^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}(t)\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$ d'où $\;K_{M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{M}^{\,2}(t)=m\;R^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}(t)\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$ soit finalement
$\;E_{m}(t)=m\;R^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}(t)\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace +m\;g\;R\,\left\lbrace 1+\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \!$
$\;E_{m,\,0}={\cancel {K_{M}(0^{+})\;+}}\;U_{\text{pes}}(\theta _{0}^{+})=m\;g\;R\,\left[1+\cos(\theta _{0})\right]$
$\;E_{m}(t)=E_{m,\,0}\;$
$\;m\;R^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}(t)\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace +m\;g\;R\,\left\lbrace 1+\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace =m\;g\;R\,\left[1+\cos(\theta _{0})\right]\;$
$\;{\dot {\theta }}^{2}(t)\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace ={\dfrac {g}{R}}\,\left\lbrace \cos(\theta _{0})-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace$

#### Établissement, par diagramme d'énergies potentielle et mécanique du point matériel M, de la nature oscillatoire puis périodique du mouvement de ce dernier et évaluation de sa période ainsi que de la longueur du pendule pesant simple synchrone

Tracer le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du point matériel $\;M\;$ et en déduire :
* la nature oscillatoire du mouvement de ce dernier ainsi que
* sa nature périodique ;
expliciter la période $\;{\mathcal {T}}_{\text{ponct}}\;$ du mouvement du pendule cycloïdal sous forme intégrale puis
la calculer et
vérifier qu'il y a « isochronisme des oscillations » du pendule cycloïdal.
Préciser la longueur du pendule pesant simple à « petites oscillations » qui lui est synchrone.
Tracé du diagramme d'énergies potentielle et mécanique : voir ci-contre $\;{\big \$la courbe d'énergie potentielle $\;(\Gamma _{u})\;$ est en noir, c'est une portion de sinusoïde définie sur $\;\left[0\,,\,2\;\pi \right]\;$ et celle d'énergie mécanique $\;(\Gamma _{m})\;$ en rouge, c'est un segment de droite $\;\parallel \;$ à l'axe des $\;\theta \;$ d'ordonnée $\;E_{m,\,0}{\big \}$.
Établissement de la nature oscillatoire du mouvement du pendule cycloïdal : la nature oscillatoire du mouvement de $\;M\;$ découle de l'existence d'un puits d'énergie potentielle $\;{\big$c'est-à-dire deux murs d'énergie potentielle en regard${\big ]}\;$ dans lequel les points génériques $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ de $\;(\Gamma _{u})\;$ et $\;(\Gamma _{m})\;$ ne peuvent sortir$^,$ :
* tout d'abord les points $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ sont sur l'intersection de $\;(\Gamma _{u})\;$ et $\;(\Gamma _{m})\;$ c'est-à-dire le mur d'énergie potentielle de gauche d'abscisse $\;\theta _{0}$, l'énergie cinétique y étant nulle, le point $\;M\;$ est en situation de repos mais n'y reste pas car ce n'est pas une position d'équilibre, $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ se déplacent vers la droite $\;{\big$seule possibilité en accord avec $\;{\overline {P_{u}P_{m}}}\;{\widehat {=}}\;K(M)>0\;$${\big ]}\;$ et ceci jusqu'à l'autre intersection de $\;(\Gamma _{u})\;$ et $\;(\Gamma _{m})\;$ c'est-à-dire le mur d'énergie potentielle de droite d'abscisse $\;2\;\pi -\theta _{0}$ $\;{\big$symétrique du mur d'énergie potentielle de gauche par rapport à l'axe de symétrie de la portion de cycloïde à savoir $\;\theta =\pi {\big ]}\;$ où l'énergie cinétique est redevenue nulle, mais
* le point $\;M\;$ temporairement en situation de repos n'y reste pas car ce n'est pas une position d'équilibre, $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ se déplacent vers la gauche $\;{\big$seule possibilité en accord avec $\;{\overline {P_{u}P_{m}}}\;{\widehat {=}}\;K(M)>0\;$${\big ]}\;$ et ceci jusqu'à la 1re intersection de $\;(\Gamma _{u})\;$ et $\;(\Gamma _{m})\;$ c'est-à-dire le mur d'énergie potentielle de gauche d'abscisse $\;\theta _{0}\;$ où l'énergie cinétique est de nouveau nulle, $\;\ldots$
* nous avons donc une succession de déplacements de $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ vers la droite puis vers la gauche correspondant à des oscillations de $\;M\;$ autour de la position repérée par $\;\theta _{\text{éq}}=\pi$, cette position étant en fait la position $\;{\big$unique${\big )}\;$ d'équilibre $\;M_{\text{éq}}\;$ car c'est le seul endroit où le poids de $\;M\;$ étant $\;\perp \;$ à la cycloïde peut être compensé par la réaction $\;{\vec {R}}\;$ de celle-ci sur $\;M$.
Établissement de la nature périodique du mouvement du pendule cycloïdal : pour cela on évalue la durée du nème aller-retour de $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ dans la cuvette d'énergie potentielle et on montre qu'elle ne dépend pas de $\;n\;$ soit :
* durée du nème aller : $\;\Delta t_{\theta _{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,2\,\pi -\theta _{0}}=\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{2\,\pi -\theta _{0}}dt(\theta )\;$ avec $\;{\bigg \vert }{\dfrac {d\theta }{dt}}(t){\bigg \vert }={\sqrt {\dfrac {g\,\left\lbrace \cos(\theta _{0})-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace }{R\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace }}}\;$ obtenu par intégrale 1re énergétique d'où, $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ étant $\;\geqslant 0\;$ dans cette phase, $\;dt={\sqrt {\dfrac {R\,\left[1-\cos(\theta )\right]}{g\,\left[\cos(\theta _{0})-\cos(\theta )\right]}}}\;d\theta \;$ et par suite $\;\Delta t_{\theta _{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,2\,\pi -\theta _{0}}=\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{2\,\pi -\theta _{0}}{\sqrt {\dfrac {R\,\left[1-\cos(\theta )\right]}{g\,\left[\cos(\theta _{0})-\cos(\theta )\right]}}}\;d\theta \;$,
* durée du nème retour : $\;\Delta t_{2\,\pi -\theta _{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,\theta _{0}}=\displaystyle \int _{2\,\pi -\theta _{0}}^{\theta _{0}}dt(\theta )\;$ avec la même expression de $\;{\bigg \vert }{\dfrac {d\theta }{dt}}(t){\bigg \vert }={\sqrt {\dfrac {g\,\left\lbrace \cos(\theta _{0})-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace }{R\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace }}}\;$ d'où, $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ étant $\;\leqslant 0\;$ dans cette phase, $\;dt=-{\sqrt {\dfrac {R\,\left[1-\cos(\theta )\right]}{g\,\left[\cos(\theta _{0})-\cos(\theta )\right]}}}\;d\theta \;$ et par suite $\;\Delta t_{2\,\pi -\theta _{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,\theta _{0}}=\displaystyle \int _{2\,\pi -\theta _{0}}^{\theta _{0}}-{\sqrt {\dfrac {R\,\left[1-\cos(\theta )\right]}{g\,\left[\cos(\theta _{0})-\cos(\theta )\right]}}}\;d\theta \;$ égale à la durée du nème aller $\;\Delta t_{\theta _{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,2\,\pi -\theta _{0}}\;$,
* finalement la durée du nème aller-retour $\;\Delta t_{n}=\Delta t_{\theta _{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,2\,\pi -\theta _{0}}+\Delta t_{2\,\pi -\theta _{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,\theta _{0}}=2\;\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{2\,\pi -\theta _{0}}{\sqrt {\dfrac {R\,\left[1-\cos(\theta )\right]}{g\,\left[\cos(\theta _{0})-\cos(\theta )\right]}}}\;d\theta \;$ est effectivement indépendante de n ce qui montre la nature périodique du mouvement du pendule cycloïdal.
$\;{\mathcal {T}}_{\text{ponct}}\;$
$\;{\mathcal {T}}_{\text{ponct}}=2\;\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{2\,\pi -\theta _{0}}{\sqrt {\dfrac {R\,\left[1-\cos(\theta )\right]}{g\,\left[\cos(\theta _{0})-\cos(\theta )\right]}}}\;d\theta =4\;\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{\pi }{\sqrt {\dfrac {R\,\left[1-\cos(\theta )\right]}{g\,\left[\cos(\theta _{0})-\cos(\theta )\right]}}}\;d\theta \;$
$\;{\sqrt {1-\cos(\theta )}}=$
${\sqrt {2\;\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}={\sqrt {2}}\;\sin \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\;$
$\;{\sqrt {\cos(\theta _{0})-\cos(\theta )}}={\sqrt {\left[1+\cos(\theta _{0})\right]-\left[1+\cos(\theta )\right]}}={\sqrt {2\,\left[\cos ^{2}\!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)-\cos ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\right]}}\;$
$\;{\sqrt {\dfrac {1-\cos(\theta )}{\cos(\theta _{0})-\cos(\theta )}}}\;d\theta =2\;{\dfrac {\sin \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\,d\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}{\sqrt {\cos ^{2}\!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)-\cos ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}}=$
$-2\;{\dfrac {d\!\left[\cos \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\right]}{\sqrt {\cos ^{2}\!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)-\cos ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}}\;$
$\;{\mathcal {T}}_{\text{ponct}}\;$
$\;{\mathcal {T}}_{\text{ponct}}=-8\;{\sqrt {\dfrac {R}{g}}}\;\displaystyle \int _{\theta =\theta _{0}}^{\theta =\pi }{\dfrac {d\!\left[\cos \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\right]}{\sqrt {\cos ^{2}\!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)-\cos ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}}\;$
$\;u=\cos \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\;$
$\;\cos \!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)=u_{0}\;$
$\;\cos \!\left({\dfrac {\pi }{2}}\right)=0$
$\;{\mathcal {T}}_{\text{ponct}}=-8\;{\sqrt {\dfrac {R}{g}}}\;\displaystyle \int _{u_{0}}^{0}{\dfrac {du}{\sqrt {u_{0}^{2}-u^{2}}}}=8\;{\sqrt {\dfrac {R}{g}}}\;\displaystyle \int _{0}^{u_{0}}{\dfrac {du}{\sqrt {u_{0}^{2}-u^{2}}}}=8\;{\sqrt {\dfrac {R}{g}}}\;\displaystyle \int _{{\frac {u}{u_{0}}}=0}^{{\frac {u}{u_{0}}}=1}{\dfrac {d\!\left({\dfrac {u}{u_{0}}}\right)}{\sqrt {1-\left({\dfrac {u}{u_{0}}}\right)^{\!\!2}}}}=8\;{\sqrt {\dfrac {R}{g}}}\;\left[\arcsin \!\left({\dfrac {u}{u_{0}}}\right)\right]_{{\frac {u}{u_{0}}}=0}^{{\frac {u}{u_{0}}}=1}\;$
$\Rightarrow$
$\;{\mathcal {T}}_{\text{ponct}}=$
$8\;{\sqrt {\dfrac {R}{g}}}\,\left[\arcsin(1)\;{\cancel {-\arcsin(0)}}\right]=8\;{\sqrt {\dfrac {R}{g}}}\;{\dfrac {\pi }{2}}\;$
$\;{\mathcal {T}}_{\text{ponct}}=4\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {R}{g}}}\;$
$\;\theta _{0}\;$
$\;l\;$
$\;g\;$
$\;{\mathcal {T}}_{P.P.S.}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {l}{g}}}\;$
$\;{\mathcal {T}}_{\text{ponct}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {4\;R}{g}}}$
$\;l_{\text{synch. du P.Cycl.}}=4\;R$

### Mouvement d'une bille (non ponctuelle) roulant sans glisser dans une gouttière cycloïdale

Le point matériel $\;M\;$ de masse $\;m\;$ étant remplacé par une bille homogène $\;{\mathcal {B}}\;$ de même masse $\;m$, de C.D.I. $\;G\;$ et de rayon $\;a\;$ assujetti à rouler sans glisser sur la gouttière cycloïdale $\;{\big$surface cylindrique à section droite cycloïdale${\big )}\;$ dont les équations paramétriques de la section droite du plan vertical $\;xOy\;$ sont celles de la portion de cycloïde de la question précédente, le point de contact de la bille $\;{\mathcal {B}}\;$ sur la gouttière cycloïdale étant noté $\;I$ ; dans tout ce qui suit nous supposons «$\;a<4\;R\;$».
À la date $\;t=0$, on lâche la bille $\;{\mathcal {B}}\;$ dans la position où $\;I\;$ est en $\;I_{0}$, de paramètre angulaire $\;\theta _{0}\in \left]0\,,\,+\pi \right[\;$ sans vitesse initiale ; elle est soumise au champ de pesanteur $\;{\vec {g}}\;$ uniforme et roule en liaison unilatérale sur la gouttière cycloïdale sans glisser.

#### Intégrale 1re énergétique du mouvement de la bille roulant sans glisser sur la gouttière cycloïdale

Préliminaire : déterminer, en fonction du « paramètre angulaire $\;\theta _{I}\;$ repérant le point $\;I\;$ sur la portion de cycloïde », l'« angle orienté $\;\beta _{I}\;$ que fait la tangente à la portion cycloïdale en $\;I\;$ avec l'axe horizontal $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$» à savoir «$\;\beta _{I}={\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\overrightarrow {dI}}\right)}}\;$» où $\;{\overrightarrow {dI}}\;$ est le vecteur déplacement élémentaire de $\;I\;$ le long de la portion de cycloïde.
Déterminer les coordonnées cartésiennes du C.D.I. $\;G\;$ de la bille puis
Déterminer les composantes cartésiennes de son vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{G}(t)$ ;
expliciter la condition de non glissement $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ du roulement de la bille $\;{\mathcal {B}}\;$ sur la gouttière cycloïdale $\;{\big \$la bille tournant autour de l'axe $\;\Delta _{G}\;$ passant par $\;G\;$ et $\;\perp \;$ au plan vertical $\;xOy\;$ à la vitesse angulaire $\;\omega (t){\big \}$ en fonction de $\;\omega (t)$, $\;R$, $\;a$, $\;\theta _{I}(t)\;$ et $\;{\dot {\theta }}_{I}(t)$.
En admettant le théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique $\;{\big$ou 2ème théorème de Kœnig${\big )}\;$ appliqué à un système continu de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique à savoir, dans le cas d'une expansion tridimensionnelle où $\;\mu (M)\;$ est la masse volumique locale en $\;M$,
En admettant le théorème de Kœnig l'énergie cinétique du système continu d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ «$\;\left\lbrace M\;\left[dm=\mu (M)\;d{\mathcal {V}}\right]\right\rbrace _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\;$» évaluée à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ «$\;K({\text{syst}},\,t)\;$» est la somme
* de l'énergie cinétique barycentrique du système «$\;K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)\;$» évaluée à l'instant $\;t\;$ et
* de l'énergie cinétique du C.D.I. $\;G\;$ du système évaluée au même instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ $\;{\big$en attribuant au point fictif $\;G\;$ la masse $\;m_{\text{syst}}{\big ]}\;$ «$\;K\!(G,\,t)={\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)\;$»
En admettant le théorème de Kœnig soit, mathématiquement «$\;K({\text{syst}},\,t)=K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+K\!(G,\,t)=K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+{\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)\;$»,
En admettant le théorème de Kœnig évaluer, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ et à l'instant $\;t$, l'énergie cinétique de la bille $\;{\mathcal {B}}\;$ roulant sans glisser sur la gouttière cycloïdale en fonction de «$\;m$, $\;R$, $\;a$, $\;\theta _{I}(t)\;$ et $\;{\dot {\theta }}_{I}(t)\;$» $\;{\bigg \$on admettra que le moment d'inertie d'une bille homogène, de masse $\;m$, de rayon $\;a$, par rapport à un axe $\;\Delta _{G}\;$ passant par son C.D.I. $\;G\;$ vaut «$\;J_{\Delta _{G}}={\dfrac {2}{5}}\;m\;a^{2}\;$»${\bigg \}$.
Après avoir vérifié que la bille $\;{\mathcal {B}}\;$ est bien « à mouvement conservatif » expliciter l'intégrale 1re énergétique du mouvement de roulement sans glissement de la bille $\;{\mathcal {B}}\;$ sur la gouttière cycloïdale en fonction, entre autres, de $\;\theta _{I}(t)\;$ et de sa dérivée temporelle.
${\underline {\;\beta _{I}={\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\overrightarrow {dI}}\right)}}\;}}$
${\underline {\;{\overrightarrow {dI}}\;}}$
${\underline {\;I\;}}$
$\;{\overrightarrow {dI}}$
$\;I\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{I}=R\,\left[\theta _{I}-\sin(\theta _{I})\right]\\y_{I}=-R\,\left[1-\cos(\theta _{I})\right]\end{array}}\right\rbrace \;$
$\Rightarrow$
$\;{\overrightarrow {dI}}\;\left\lbrace {\begin{array}{l}dx_{I}\\dy_{I}\end{array}}\right.$
$\;\left.{\begin{array}{l}=R\,\left[1-\cos(\theta _{I})\right]\,d\theta _{I}\\=-R\,\left[\sin(\theta _{I})\right]\,d\theta _{I}\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;\tan(\beta _{I})={\dfrac {dy_{I}}{dx_{I}}}={\dfrac {-\sin(\theta _{I})}{1-\cos(\theta _{I})}}=-{\dfrac {2\;\sin \!\left({\dfrac {\theta _{I}}{2}}\right)\,\cos \!\left({\dfrac {\theta _{I}}{2}}\right)}{2\;\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\theta _{I}}{2}}\right)}}=-\cot \!\left({\dfrac {\theta _{I}}{2}}\right)=\tan \!\left({\dfrac {\theta _{I}}{2}}-{\dfrac {\pi }{2}}\right)\;$
$\;\beta _{I}\;$
$\;\left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$
$\;\theta _{I}\;$
$\;\left[0\,,\,2\;\pi \right]\;$
$\Rightarrow$
$\;{\dfrac {\theta _{I}}{2}}-{\dfrac {\pi }{2}}\;\in \;\left[-{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right]\;$
$\;\beta _{I}\;$
$\;\theta _{I}\,\in \,\left]0\,,\,2\;\pi \right[\;$
$\;{\bigg$
$\;\parallel \;$
$\;y$
$\;\beta _{I}=\mp {\dfrac {\pi }{2}}{\bigg )}$
$\;\beta _{I}={\dfrac {\theta _{I}}{2}}-{\dfrac {\pi }{2}}\;$
Le vecteur position du C.D.I. $\;G\;$ de la bille $\;{\mathcal {B}}\;$ s'écrivant «$\;{\overrightarrow {OG}}(t)={\overrightarrow {OI}}(t)+{\overrightarrow {IG}}(t)\;$ avec $\;{\overrightarrow {OI}}(t)=x_{I}(t)\;{\vec {u}}_{x}+y_{I}(t)\;{\vec {u}}_{y}\;$ et $\;{\overrightarrow {IG}}(t)=$ $-a\;\sin \!\left[\beta _{I}(t)\right]\,{\vec {u}}_{x}+a\;\cos \!\left[\beta _{I}(t)\right]\,{\vec {u}}_{y}\;$» nous en déduisons $\;\succ \;$les « coordonnées cartésiennes de $\;G\,\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{G}(t)=x_{I}(t)-a\;\sin \!\left[\beta _{I}(t)\right]=R\,\left\lbrace \theta _{I}(t)-\sin \!\left[\theta _{I}(t)\right]\right\rbrace -a\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}-{\dfrac {\pi }{2}}\right]=R\,\left\lbrace \theta _{I}(t)-\sin \!\left[\theta _{I}(t)\right]\right\rbrace +a\;\cos \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]\\y_{G}(t)=y_{I}(t)+a\;\cos \!\left[\beta _{I}(t)\right]=-R\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta _{I}(t)\right]\right\rbrace +a\;\cos \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}-{\dfrac {\pi }{2}}\right]=-R\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta _{I}(t)\right]\right\rbrace +a\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» $\;{\big$voir préliminaire${\big )}\;$ et $\;\succ \;$les « composantes cartésiennes du vecteur vitesse de $\;G$, $\;{\vec {V}}_{G}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {OG}}}{dt}}(t)\,\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{G,\,x}(t)=R\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta _{I}(t)\right]\right\rbrace \,{\dot {\theta }}_{I}(t)-a\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]\,{\dfrac {{\dot {\theta }}_{I}(t)}{2}}\\V_{G,\,y}(t)=-R\,\left\lbrace \sin \!\left[\theta _{I}(t)\right]\right\rbrace \,{\dot {\theta }}_{I}(t)+a\;\cos \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]\,{\dfrac {{\dot {\theta }}_{I}(t)}{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$» ou, en utilisant $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}1-\cos(\alpha )=2\;\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\alpha }{2}}\right)\\\sin(\alpha )=2\;\sin \!\left({\dfrac {\alpha }{2}}\right)\,\cos \!\left({\dfrac {\alpha }{2}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ et en factorisant, «$\;{\vec {V}}_{G}(t)\,\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{G,\,x}(t)=\left\lbrace 2\;R\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]-{\dfrac {a}{2}}\right\rbrace \,\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]\,{\dot {\theta }}_{I}(t)\\V_{G,\,y}(t)=-\left\lbrace 2\;R\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]-{\dfrac {a}{2}}\right\rbrace \,\cos \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]\,{\dot {\theta }}_{I}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ «$\;{\vec {V}}_{G}(t)=V_{G,\,x}(t)\;{\vec {u}}_{x}+V_{G,\,y}(t)\;{\vec {u}}_{y}=\left\lbrace 2\;R\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]-{\dfrac {a}{2}}\right\rbrace \,{\dot {\theta }}_{I}(t)\,\left\lbrace \sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]\,{\vec {u}}_{x}-\cos \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]\,{\vec {u}}_{y}\right\rbrace \;$» après factorisation par $\;\left\lbrace 2\;R\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]-{\dfrac {a}{2}}\right\rbrace \,{\dot {\theta }}_{I}(t)\;$ $\Rightarrow$ $\;V_{G}(t)\;$ est colinéaire au vecteur $\;{\big$unitaire${\big )}\;$ «$\;\left\lbrace \sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]\,{\vec {u}}_{x}-\cos \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]\,{\vec {u}}_{y}\right\rbrace \;$».
Le roulement sans glissement de la bille $\;{\mathcal {B}}\;$ sur la gouttière cycloïdale $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ se traduit selon «$\;{\vec {V}}_{I\,\in \,{\mathcal {B}}}(t)={\vec {V}}_{I\,\in \,\left({\mathcal {C}}\right)}(t)\;$» avec
* «$\;{\vec {V}}_{I\,\in \,\left({\mathcal {C}}\right)}(t)={\vec {0}}\;$» $\;{\big \I\;\in \;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ considéré à l'instant $\;t\;$ étant, par définition, immobile relativement à la cycloïde${\big \}$ et
* «$\;{\vec {V}}_{I\,\in \,{\mathcal {B}}}(t)={\vec {V}}_{G}(t)+{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {B}}\,/\,{\mathcal {R}}^{*}}(t)\wedge {\overrightarrow {GI}}(t)\;$» ${\big \$le mouvement de $\;I\;\in \;{\mathcal {B}}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ résultant de la composition d'une translation de vecteur vitesse de translation $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ et d'une rotation de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {B}}\,/\,{\mathcal {R}}^{*}}(t)\;$ autour de $\;{\overrightarrow {Gz}}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}^{*}$ $\;{\big$le référentiel barycentrique de la bille${\big )}$, $\;{\vec {u}}_{z}\;$ étant le vecteur unitaire $\;\perp \;$ au plan $\;\left(xOy\right)\;$ de sens sortant de ce plan et orientant les angles algébrisés de ce dernier dans le sens anti-horaire${\big \}$ dans lequel $\;\succ \;$«$\;{\vec {V}}_{G}(t)=\left\lbrace 2\;R\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]-{\dfrac {a}{2}}\right\rbrace \,{\dot {\theta }}_{I}(t)\,\left\lbrace \sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]\,{\vec {u}}_{x}-\cos \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]\,{\vec {u}}_{y}\right\rbrace \;$» et $\;\succ \;$«$\;{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {B}}\,/\,{\mathcal {R}}^{*}}(t)\wedge {\overrightarrow {GI}}(t)=\omega (t)\;{\vec {u}}_{z}\wedge \left\lbrace a\;\sin \!\left[\beta _{I}(t)\right]\,{\vec {u}}_{x}-a\;\cos \!\left[\beta _{I}(t)\right]\,{\vec {u}}_{y}\right\rbrace =a\;\omega (t)\,\left\lbrace \sin \!\left[\beta _{I}(t)\right]\,{\vec {u}}_{y}+\cos \!\left[\beta _{I}(t)\right]\,{\vec {u}}_{x}\right\rbrace =a\;\omega (t)\,\left\lbrace \sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}-{\dfrac {\pi }{2}}\right]\,{\vec {u}}_{y}+\cos \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}-{\dfrac {\pi }{2}}\right]\,{\vec {u}}_{x}\right\rbrace \;$» $\;{\big$voir préliminaire${\big )}\;$ soit enfin «$\;{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {B}}\,/\,{\mathcal {R}}^{*}}(t)\wedge {\overrightarrow {GI}}(t)=a\;\omega (t)\,\left\lbrace \sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]\,{\vec {u}}_{x}-\cos \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]\,{\vec {u}}_{y}\right\rbrace \;$» d'où, en ajoutant ces deux contributions et en factorisant par $\;\left\lbrace \sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]\,{\vec {u}}_{x}-\cos \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]\,{\vec {u}}_{y}\right\rbrace \;$, $\;\succ \;$«$\;{\vec {V}}_{I\,\in \,{\mathcal {B}}}(t)={\vec {V}}_{G}(t)+{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {B}}\,/\,{\mathcal {R}}^{*}}(t)\wedge {\overrightarrow {GI}}(t)={\bigg\left\lbrace 2\;R\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]-{\dfrac {a}{2}}\right\rbrace \,{\dot {\theta }}_{I}(t)+a\;\omega (t){\bigg ]}\,\left\lbrace \sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]\,{\vec {u}}_{x}-\cos \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]\,{\vec {u}}_{y}\right\rbrace \;$» ;
* nous en déduisons le lien recherché traduisant le roulement sans glissement de la bille $\;{\mathcal {B}}\;$ sur la gouttière cycloïdale $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ «$\;\left\lbrace 2\;R\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]-{\dfrac {a}{2}}\right\rbrace \,{\dot {\theta }}_{I}(t)+a\;\omega (t)=0\;\;\forall \;t\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$».
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\mathcal {B}}\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}$
$\;{\mathcal {B}}\;$
$\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$
$\;K({\mathcal {B}},\,t)\;$
$\;t$
$\;K^{\,*}\!({\mathcal {B}},\,t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{\left(Gz\right)}\;\omega ^{2}(t)\;$
$\;{\bigg \J_{\left(Gz\right)}\;$
$\;{\mathcal {B}}\;$
$\;\left(Gz\right)$
$\;J_{\left(Gz\right)}={\dfrac {2}{5}}\;m\;a^{2}{\bigg \}$
$\;K^{\,*}\!({\mathcal {B}},\,t)={\dfrac {1}{5}}\;m\;a^{2}\;\omega ^{2}(t)\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$
$\;t$
$\;G\;$
$\;K\!(G,\,t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)\;$
$\;{\vec {V}}_{G}(t)=$
$\left\lbrace 2\;R\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]-{\dfrac {a}{2}}\right\rbrace \,{\dot {\theta }}_{I}(t)\,\left\lbrace \sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]\,{\vec {u}}_{x}-\cos \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]\,{\vec {u}}_{y}\right\rbrace \;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\Rightarrow$
$\;K\!(G,\,t)$
$={\dfrac {1}{2}}\;m\left\lbrace 2\;R\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]-{\dfrac {a}{2}}\right\rbrace ^{\!2}\,{\dot {\theta }}_{I}^{2}(t)\;$
$\;K({\mathcal {B}},\,t)={\dfrac {1}{5}}\;m\;a^{2}\;\omega ^{2}(t)+{\dfrac {1}{2}}\;m\left\lbrace 2\;R\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]-{\dfrac {a}{2}}\right\rbrace ^{\!2}\,{\dot {\theta }}_{I}^{2}(t)\;$
$\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$
$\Rightarrow$
$\;a\;\omega (t)=-\left\lbrace 2\;R\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]-{\dfrac {a}{2}}\right\rbrace \,{\dot {\theta }}_{I}(t)$
$\;K({\mathcal {B}},\,t)$
$={\dfrac {1}{5}}\;m\,{\Bigg-\left\lbrace 2\;R\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]-{\dfrac {a}{2}}\right\rbrace \,{\dot {\theta }}_{I}(t){\Bigg ]}^{2}+{\dfrac {1}{2}}\;m\left\lbrace 2\;R\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]-{\dfrac {a}{2}}\right\rbrace ^{\!2}\,{\dot {\theta }}_{I}^{2}(t)\;$
$\;K({\mathcal {B}},\,t)={\dfrac {7}{10}}\;m\left\lbrace 2\;R\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]-{\dfrac {a}{2}}\right\rbrace ^{\!2}\,{\dot {\theta }}_{I}^{2}(t)\;$
La puissance instantanée développée, à l'instant $\;t$, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}$, par la réaction $\;{\vec {R}}(t)={\vec {R}}_{n}(t)+{\vec {R}}_{\tau }(t)\;$ de la gouttière cycloïdale $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ sur la bille $\;{\mathcal {B}}\;$ définie selon «$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {R}}(t)\right]={\vec {R}}(t)\cdot {\vec {V}}_{I\,\in \,{\mathcal {B}}}(t)$ $={\cancel {{\vec {R}}_{n}(t)\cdot {\vec {V}}_{I\,\in \,{\mathcal {B}}}(t)\;+}}\;{\vec {R}}_{\tau }(t)\cdot {\vec {V}}_{I\,\in \,{\mathcal {B}}}(t)\;$» $\;{\Big \{\vec {V}}_{I\,\in \,{\mathcal {B}}}(t)\cdot {\vec {n}}\;$ étant nul même en cas de glissement${\Big \}$ se réécrit, dans les conditions de roulement sans glissement de $\;{\mathcal {B}}\;$ sur la gouttière cycloïdale $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ où $\;{\vec {V}}_{I\,\in \,{\mathcal {B}}}(t)$ $={\vec {V}}_{I\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}(t)\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {R}}(t)\right]={\vec {R}}_{\tau }(t)\cdot {\vec {V}}_{I\,\in \,\left({\mathcal {C}}\right)}(t)\;$» soit finalement «$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {R}}(t)\right]=0\;$» car $\;{\vec {V}}_{I\,\in \,\left({\mathcal {C}}\right)}(t)={\vec {0}}\;$ $\;{\Big \\left({\mathcal {C}}\right)\;$ étant fixe dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}{\Big \}$ ;
$\;{\mathcal {B}}$
$\;{\vec {R}}(t)\;$
$\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$
$\;{\mathcal {B}}$
${\big \$
$\;m\;g\;$
$\;U_{\text{pes}}(G)=m\;g\;y_{G}\;$
$\;y=0\;$
${\big \}$
$\;{\mathcal {B}}\;$
$\;\left({\mathcal {C}}\right)$
$\;{\mathcal {B}}\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$
$\;{\mathcal {B}}\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$
$\;E_{m}(t)=E_{m}(0)\;$
$\;E_{m}(t)={\dfrac {7}{10}}\;m\left\lbrace 2\;R\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]-{\dfrac {a}{2}}\right\rbrace ^{\!2}\,{\dot {\theta }}_{I}^{2}(t)+m\;g\;y_{G}(t)\;$
$\;E_{m}(t)={\dfrac {7}{10}}\;m\left\lbrace 2\;R\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]-{\dfrac {a}{2}}\right\rbrace ^{\!2}\,{\dot {\theta }}_{I}^{2}(t)-m\;g\,{\bigg \R\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta _{I}(t)\right]\right\rbrace -a\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]{\bigg \}}={\dfrac {7}{10}}\;m\left\lbrace 2\;R\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]-{\dfrac {a}{2}}\right\rbrace ^{\!2}\,{\dot {\theta }}_{I}^{2}(t)-m\;g\,\left\lbrace 2\,R\;\sin ^{2}\!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]-a\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]\right\rbrace \;$
$\;E_{m}(t)=m\,{\Bigg{\dfrac {7}{10}}\,\left\lbrace 2\;R\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]-{\dfrac {a}{2}}\right\rbrace ^{\!2}\,{\dot {\theta }}_{I}^{2}(t)-g\,\left\lbrace 2\;R\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]-a\right\rbrace \,\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]{\Bigg )}\;$
$\;\left\lbrace \theta _{I}(0)=\theta _{0}\,,\,{\dot {\theta }}_{I}(0)=0\right\rbrace \;$
$\Rightarrow$
$\;E_{m}(0)=$
$-m\;g\,\left\lbrace 2\;R\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right]-a\right\rbrace \,\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right]\;$
$\;{\mathcal {B}}\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$
$\;m\,{\Bigg{\dfrac {7}{10}}\,\left\lbrace 2\;R\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]-{\dfrac {a}{2}}\right\rbrace ^{\!2}\,{\dot {\theta }}_{I}^{2}(t)-g\,\left\lbrace 2\;R\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]-a\right\rbrace \,\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]{\Bigg )}=-m\;g\,\left\lbrace 2\;R\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right]-a\right\rbrace \,\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right]\;$
$\;m$
$\;{\dfrac {7}{10}}\,\left\lbrace 2\;R\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]-{\dfrac {a}{2}}\right\rbrace ^{\!2}\,{\dot {\theta }}_{I}^{2}(t)-g\,\left\lbrace 2\;R\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]-a\right\rbrace \,\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]=-g\,\left\lbrace 2\;R\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right]-a\right\rbrace \,\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right]\;\;{\text{:}}\;\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$

#### Établissement, par diagramme d'énergies potentielle et mécanique de la bille, de la nature oscillatoire puis périodique du mouvement de cette dernière avec évaluation de sa période sous forme intégrale

Rappeler la méthode d'utilisation du diagramme d'énergies potentielle et mécanique de la bille $\;{\mathcal {B}}\;$ roulant sans glisser sur la gouttière cycloïdale pour en déduire :
* la nature oscillatoire du mouvement de cette dernière ainsi que
* sa nature périodique ;
expliciter la période $\;{\mathcal {T}}\;$ du mouvement du pendule cycloïdal sous forme intégrale $\;{\big \$que l'on ne cherchera pas à calculer${\big \}$,
puis comparer la limite de $\;{\mathcal {T}}\;$ quand $\;a\rightarrow 0\;$ à la période $\;{\mathcal {T}}_{\text{ponct}}\;$ du mouvement du « pendule cycloïdal ponctuel » déterminée à la question « établissement, par diagramme d'énergies potentielle et mécanique du point matériel M, de la nature oscillatoire puis périodique du mouvement de ce dernier et évaluation de sa période ainsi que de la longueur du pendule pesant simple synchrone » plus haut dans l'exercice et
puis justifier l'écart observé.
$\;\theta _{I}\;$
$\;{\bigg \$
$\;u_{\text{pes}}(\theta _{I})=-g\,\left[2\;R\;\sin \!\left({\dfrac {\theta _{I}}{2}}\right)-a\right]\,\sin \!\left({\dfrac {\theta _{I}}{2}}\right)\;$
$\;2\;\pi$
$\;{\dfrac {du_{\text{pes}}}{d\left(\theta _{I}/2\right)}}(\theta _{I})=-g\,\left[2\;R\;\sin \!\left({\dfrac {\theta _{I}}{2}}\right)-a\right]\,\cos \!\left({\dfrac {\theta _{I}}{2}}\right)-g\,\left[2\;R\;\cos \!\left({\dfrac {\theta _{I}}{2}}\right)\right]\,\sin \!\left({\dfrac {\theta _{I}}{2}}\right)\;$
$\;{\dfrac {du_{\text{pes}}}{d\left(\theta _{I}/2\right)}}(\theta _{I})=-g\;\cos \!\left({\dfrac {\theta _{I}}{2}}\right)\,\left[4\;R\;\sin \!\left({\dfrac {\theta _{I}}{2}}\right)-a\right]\;$
$\;\theta _{I,\,{\text{max}},\,1}=2\;\arcsin \!\left[{\dfrac {a}{4\;R}}\right]\;$
$\;\theta _{I,\,{\text{max}},\,2}=$
$2\;\pi -2\;\arcsin \!\left[{\dfrac {a}{4\;R}}\right]\;$
$\;u_{\text{pes, max}}\;$
$\;\theta _{I,\,{\text{min}}}=\pi \;$
$\;u_{\text{pes min}}=-g\,\left(2\;R-a\right)$
$\;u_{\text{pes}}\;$
$\;\nearrow \;$
$\;\left[0\,,\,\theta _{I,\,{\text{max}},\,1}\right]\;$
$\;0\;$
$\;u_{\text{pes max}}\;$
$\;\searrow \;$
$\;\left[\theta _{I,\,{\text{max}},\,1}\,,\,\pi \right]\,$
$\;u_{\text{pes max}}\;$
$\;u_{\text{pes min}}$
$\;\nearrow \;$
$\;\left[\pi \,,\,\theta _{I,\,{\text{max}},\,2}\right]\;$
$\;u_{\text{pes min}}\;$
$\;u_{\text{pes max}}\;$
$\;\searrow \;$
$\;\left[\theta _{I,\,{\text{max}},\,2}\,,\,2\;\pi \right]\;$
$\;u_{\text{pes max}}\;$
$\;0{\bigg \}$
$\;\theta _{I}\,\in \,\left]-\theta _{0}\,,\,2\;\pi -\theta _{0}\right[\;$
$\;\theta _{0}\;\in \;\left[\theta _{I,\,{\text{max}},\,1}\,,\,\pi \right]$
$\;\theta _{0}\;$
$\;2\;\pi -\theta _{0}\;$
$\Rightarrow$
$\;{\mathcal {B}}\;$
$\;\theta _{I,\,{\text{min}}}=\pi \;$
$\;\theta _{0}\;\in \;\left[\theta _{I,\,{\text{max}},\,1}\,,\,\pi \right]\;$
Toujours en supposant $\;\theta _{0}\;\in \;\left[\theta _{I,\,{\text{max}},\,1}\,,\,\pi \right]$, nous établissons la nature périodique du mouvement de $\;{\mathcal {B}}\;$ en vérifiant que la durée du nème aller-retour $\;{\bign\,\in \,\mathbb {N} ^{*}{\big )}\;$ est indépendant de $\;n\;$ et pour cela évaluons
* la durée du nème aller $\;\Delta t_{\theta _{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,2\;\pi -\theta _{0}}=\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{2\;\pi -\theta _{0}}{\dfrac {dt}{d\theta }}\;d\theta \;$ avec «$\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;{\dfrac {7}{10}}\,\left\lbrace 2\;R\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]-{\dfrac {a}{2}}\right\rbrace ^{\!2}\,{\dot {\theta }}_{I}^{2}(t)-g\,\left\lbrace 2\;R\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]-a\right\rbrace \,\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]=-g\,\left\lbrace 2\;R\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right]-a\right\rbrace \,\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right]\;$» $\Rightarrow$ $\;{\dot {\theta }}_{I}(t)$ $={\sqrt {\dfrac {10\;g}{7}}}\;{\dfrac {\sqrt {\left\lbrace 2\;R\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]-a\right\rbrace \,\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]-\left\lbrace 2\;R\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right]-a\right\rbrace \,\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right]}}{2\;R\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]-{\dfrac {a}{2}}}}\;$ d'où $\;{\dfrac {dt}{d\theta }}={\sqrt {\dfrac {7}{10\;g}}}\;{\dfrac {2\;R\;\sin \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)-{\dfrac {a}{2}}}{\sqrt {\left[2\;R\;\sin \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)-a\right]\,\sin \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)-\left[2\;R\;\sin \!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)-a\right]\,\sin \!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)}}}\;$ dont nous déduisons la durée du nème aller sous forme intégrale «$\;\Delta t_{\theta _{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,2\;\pi -\theta _{0}}=\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{2\;\pi -\theta _{0}}{\sqrt {\dfrac {7}{10\;g}}}\;{\dfrac {\left[2\;R\;\sin \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)-{\dfrac {a}{2}}\right]d\theta }{\sqrt {\left[2\;R\;\sin \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)-a\right]\,\sin \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)-\left[2\;R\;\sin \!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)-a\right]\,\sin \!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)}}}\;$» puis
* la durée du nème retour $\;\Delta t_{\theta _{0}\,{\overset {n}{\leftarrow }}\,2\;\pi -\theta _{0}}=\displaystyle \int _{2\;\pi -\theta _{0}}^{\theta _{0}}{\dfrac {dt}{d\theta }}\;d\theta \;$ avec «$\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;{\dfrac {7}{10}}\,\left\lbrace 2\;R\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]-{\dfrac {a}{2}}\right\rbrace ^{\!2}\,{\dot {\theta }}_{I}^{2}(t)-g\,\left\lbrace 2\;R\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]-a\right\rbrace \,\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]=-g\,\left\lbrace 2\;R\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right]-a\right\rbrace \,\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right]\;$» $\Rightarrow$ $\;{\dot {\theta }}_{I}(t)$ $=-{\sqrt {\dfrac {10\;g}{7}}}\;{\dfrac {\sqrt {\left\lbrace 2\;R\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]-a\right\rbrace \,\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]-\left\lbrace 2\;R\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right]-a\right\rbrace \,\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right]}}{2\;R\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]-{\dfrac {a}{2}}}}\;$ d'où $\;{\dfrac {dt}{d\theta }}=-{\sqrt {\dfrac {7}{10\;g}}}\;{\dfrac {2\;R\;\sin \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)-{\dfrac {a}{2}}}{\sqrt {\left[2\;R\;\sin \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)-a\right]\,\sin \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)-\left[2\;R\;\sin \!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)-a\right]\,\sin \!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)}}}\;$ dont nous déduisons la durée du nème retour sous forme intégrale «$\;\Delta t_{\theta _{0}\,{\overset {n}{\leftarrow }}\,2\;\pi -\theta _{0}}=\displaystyle \int _{2\;\pi -\theta _{0}}^{\theta _{0}}-{\sqrt {\dfrac {7}{10\;g}}}\;{\dfrac {\left[2\;R\;\sin \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)-{\dfrac {a}{2}}\right]d\theta }{\sqrt {\left[2\;R\;\sin \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)-a\right]\,\sin \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)-\left[2\;R\;\sin \!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)-a\right]\,\sin \!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)}}}\;$» s'écrivant encore «$\;\Delta t_{\theta _{0}\,{\overset {n}{\leftarrow }}\,2\;\pi -\theta _{0}}=\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{2\;\pi -\theta _{0}}{\sqrt {\dfrac {7}{10\;g}}}\;{\dfrac {\left[2\;R\;\sin \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)-{\dfrac {a}{2}}\right]d\theta }{\sqrt {\left[2\;R\;\sin \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)-a\right]\,\sin \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)-\left[2\;R\;\sin \!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)-a\right]\,\sin \!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)}}}=\Delta t_{\theta _{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,2\;\pi -\theta _{0}}\;$» d'où
$\;{\bign\,\in \,\mathbb {N} ^{*}{\big )}\;$
$\;\Delta _{n}=2\;\Delta t_{\theta _{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,2\;\pi -\theta _{0}}={\sqrt {\dfrac {14}{5\;g}}}\;\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{2\;\pi -\theta _{0}}{\dfrac {\left[2\;R\;\sin \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)-{\dfrac {a}{2}}\right]d\theta }{\sqrt {\left[2\;R\;\sin \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)-a\right]\,\sin \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)-\left[2\;R\;\sin \!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)-a\right]\,\sin \!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)}}}\;$
$\;n$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\mathcal {B}}$
$\;{\mathcal {T}}={\sqrt {\dfrac {14}{5\;g}}}\;\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{2\;\pi -\theta _{0}}{\dfrac {\left[2\;R\;\sin \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)-{\dfrac {a}{2}}\right]d\theta }{\sqrt {\left[2\;R\;\sin \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)-a\right]\,\sin \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)-\left[2\;R\;\sin \!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)-a\right]\,\sin \!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)}}}\;$
$\;\lim \limits _{a\,\rightarrow \,0}{\mathcal {T}}={\sqrt {\dfrac {14}{5\;g}}}\;\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{2\;\pi -\theta _{0}}{\dfrac {\left[2\;R\;\sin \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\right]d\theta }{\sqrt {\left[2\;R\;\sin \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\right]\,\sin \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)-\left[2\;R\;\sin \!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)\right]\,\sin \!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)}}}=2\;{\sqrt {\dfrac {14\;R}{5\;g}}}\;\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{2\;\pi -\theta _{0}}{\dfrac {\sin \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\,d\theta }{\sqrt {2\;\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)-2\;\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)}}}\;$
$\;{\dfrac {\theta }{2}}\;$
$\;{\dfrac {\theta }{2}}\;$
$\;\pi -{\dfrac {\theta }{2}}$
$\;\lim \limits _{a\,\rightarrow \,0}{\mathcal {T}}=4\;{\sqrt {\dfrac {14\;R}{5\;g}}}\;\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{\pi }{\dfrac {\sin \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\,d\theta }{\sqrt {2\;\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)-2\;\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)}}}=4\;{\sqrt {\dfrac {7\;R}{5\;g}}}\;\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{\pi }{\dfrac {{\sqrt {2\;\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}\,d\theta }{\sqrt {2\;\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)-2\;\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)}}}=4\;{\sqrt {\dfrac {7\;R}{5\;g}}}\;\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{\pi }{\dfrac {{\sqrt {1-\cos \!\left(\theta \right)}}\,d\theta }{\sqrt {\cos(\theta _{0})-\cos(\theta )}}}\;$
$\;{\mathcal {T}}_{\text{ponct}}=4\;\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{\pi }{\sqrt {\dfrac {R\,\left[1-\cos(\theta )\right]}{g\,\left[\cos(\theta _{0})-\cos(\theta )\right]}}}\;d\theta \;$
$\;\lim \limits _{a\,\rightarrow \,0}{\mathcal {T}}={\sqrt {\dfrac {7}{5}}}\;{\mathcal {T}}_{\text{ponct}}\;$
la raison de ces comportements différents étant qu'il n'y a aucune rotation propre du point matériel $\;M\;$ dans le cas du « pendule cycloïdal ponctuel »
la raison de ces comportements différents alors que, si la limite $\;a\rightarrow 0\;$ transforme effectivement la bille $\;{\mathcal {B}}\;$ en un point matériel, celle de la condition de roulement sans glissement $\;\lim \limits _{a\,\rightarrow \,0}\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ dans laquelle «$\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;{\text{:}}$ $\left\lbrace 2\;R\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]-{\dfrac {a}{2}}\right\rbrace \,{\dot {\theta }}_{I}(t)+a\;\omega (t)=0\;$» ayant pour limite «$\;2\;R\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]\;{\dot {\theta }}_{I}(t)+\lim \limits _{a\,\rightarrow \,0}\left[a\;\omega (t)\right]=0\;$» avec un 1er terme fini non nul nécessitant, pour que la somme soit nulle, un 2ème terme fini non nul opposé au 1er terme, ce qui n'est possible qu'avec $\;\omega (t)\rightarrow \infty$, c'est-à-dire une rotation propre de vitesse angulaire infinie,
la limite de rayon nul pour une bille roulant sans glisser sur la gouttière cycloïdale est donc un point matériel glissant sur la gouttière cycloïdale en tournant sur lui-même à vitesse angulaire infinie $\;{\big$limite totalement hypothétique car non réalisable physiquement${\big )}$, ce n'est donc pas un « pendule cycloïdal ponctuel ».

#### Étude du mouvement des petites oscillations de la bille roulant sans glisser sur la gouttière cycloïdal et comparaison de sa période des petites oscillations avec celle du pendule cycloïdal ponctuel

Déduire de l'intégrale 1re énergétique, l'équation différentielle du 2ème ordre en $\;\theta _{I}(t)\;$ du mouvement de roulement sans glissement de $\;{\mathcal {B}}\;$ sur la gouttière cycloïdale du référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}$.
Nous plaçant maintenant dans les conditions de petites oscillations de la bille $\;{\mathcal {B}}\;$ roulant sans glisser sur la gouttière cycloïdale c'est-à-dire «$\;\pi -\theta _{0}\ll 1\;$», vérifier que l'oscillateur est linéarisable puis
Nous plaçant maintenant dans les conditions de petites oscillations donner l'expression de la période des petites oscillations $\;{\mathcal {T}}_{0}\;$ du roulement sans glissement de $\;{\mathcal {B}}\;$ sur la gouttière cycloïdale et enfin
Nous plaçant maintenant dans les conditions de petites oscillations former le rapport «$\;{\dfrac {{\mathcal {T}}_{0}}{{\mathcal {T}}_{\text{ponct}}}}\;$» de la période des petites oscillations de la bille roulant sans glisser sur la gouttière cycloïdale relativement à celle du « pendule cycloïdal ponctuel ».
Préliminaire : pour établir l'équation différentielle du 2ème ordre en $\;\theta _{I}(t)\;$ du mouvement de roulement sans glissement de la bille $\;{\mathcal {B}}\;$ sur la gouttière cycloïdale dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ galiléen, il suffit de dériver temporellement la relation «$\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;{\dfrac {7}{10}}\,\left\lbrace 2\;R\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]-{\dfrac {a}{2}}\right\rbrace ^{\!2}\,{\dot {\theta }}_{I}^{2}(t)-g\,\left\lbrace 2\;R\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]-a\right\rbrace \,\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]=-g\,\left\lbrace 2\;R\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right]-a\right\rbrace \,\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right]\;$» ce qui donne
$\;{\dfrac {7}{10}}\,\left\lbrace 2\;R\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]-{\dfrac {a}{2}}\right\rbrace \,R\;\cos \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]\,{\dot {\theta }}_{I}^{3}(t)+{\dfrac {7}{5}}\,\left\lbrace 2\;R\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]-{\dfrac {a}{2}}\right\rbrace ^{\!2}\,{\dot {\theta }}_{I}(t)\;{\ddot {\theta }}_{I}(t)-g\;R\;\cos \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]\,{\dot {\theta }}_{I}(t)\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]-g\,\left\lbrace 2\;R\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]-a\right\rbrace \,\cos \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]\;{\dfrac {{\dot {\theta }}_{I}(t)}{2}}=0\;$
$\;{\dfrac {7}{5}}\,\left\lbrace 2\;R\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]-{\dfrac {a}{2}}\right\rbrace ^{\!2}\;{\ddot {\theta }}_{I}(t)+{\dfrac {7}{10}}\,\left\lbrace 2\;R\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]-{\dfrac {a}{2}}\right\rbrace \,R\;\cos \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]\,{\dot {\theta }}_{I}^{2}(t)-g\;\cos \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]\,\left\lbrace 2\;R\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]-{\dfrac {a}{2}}\right\rbrace =0\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {c}}\right)\;$
$\;{\mathcal {B}}\;$
$\;I\;$
$\;y(\theta _{I})\;$
$\;\theta _{I}(0)=\theta _{0}=\pi +\varepsilon _{0}\;$
$\;\varepsilon _{0}<0\;$
$\;\vert \varepsilon \vert \ll 1\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;\varepsilon (t)=\theta _{I}(t)-\pi \;$
$\;\vert \varepsilon (t)\vert \ll 1\;\;\forall \;t\;$
$\;\varepsilon (t)\;$
$\;\left({\mathfrak {c}}\right)\;{\dfrac {7}{5}}\,\left\lbrace 2\;R\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]-{\dfrac {a}{2}}\right\rbrace ^{\!2}\;{\ddot {\theta }}_{I}(t)+{\dfrac {7}{10}}\,\left\lbrace 2\;R\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]-{\dfrac {a}{2}}\right\rbrace \,R\;\cos \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]\,{\dot {\theta }}_{I}^{2}(t)-g\;\cos \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]\,\left\lbrace 2\;R\;\sin \!\left[{\dfrac {\theta _{I}(t)}{2}}\right]-{\dfrac {a}{2}}\right\rbrace =0\;$
$\;\varepsilon (t)\;$
$\;\left({\mathfrak {c}}\right)\;{\dfrac {7}{5}}\,\left\lbrace 2\;R\;\cos \!\left[{\dfrac {\varepsilon (t)}{2}}\right]-{\dfrac {a}{2}}\right\rbrace ^{\!2}\;{\ddot {\varepsilon }}(t)-{\dfrac {7}{10}}\,\left\lbrace 2\;R\;\cos \!\left[{\dfrac {\varepsilon (t)}{2}}\right]-{\dfrac {a}{2}}\right\rbrace \,R\;\sin \!\left[{\dfrac {\varepsilon (t)}{2}}\right]\,{\dot {\varepsilon }}^{2}(t)+g\;\sin \!\left[{\dfrac {\varepsilon (t)}{2}}\right]\,\left\lbrace 2\;R\;\cos \!\left[{\dfrac {\varepsilon (t)}{2}}\right]-{\dfrac {a}{2}}\right\rbrace =0\;$
$\;{\Bigg$
$\;\left\lbrace 2\;R\;\cos \!\left[{\dfrac {\varepsilon (t)}{2}}\right]-{\dfrac {a}{2}}\right\rbrace ^{\!2}\;{\ddot {\varepsilon }}(t)\;$
$\;{\ddot {\varepsilon }}(t)\;$
$\;\left\lbrace 2\;R\;\cos \!\left[{\dfrac {\varepsilon (t)}{2}}\right]-{\dfrac {a}{2}}\right\rbrace ^{\!2}\;$
$\;\left\lbrace 2\;R\;\cos \!\left[{\dfrac {\varepsilon (t)}{2}}\right]-{\dfrac {a}{2}}\right\rbrace ^{\!2}\simeq \left\lbrace 2\;R-{\dfrac {a}{2}}\right\rbrace ^{\!2}\;$
${\Bigg ]}$
$\;{\Bigg$
$\;\left({\mathfrak {c}}\right)\;$
$\;\left\lbrace 2\;R\;\cos \!\left[{\dfrac {\varepsilon (t)}{2}}\right]-{\dfrac {a}{2}}\right\rbrace \,R\;\sin \!\left[{\dfrac {\varepsilon (t)}{2}}\right]\,{\dot {\varepsilon }}^{2}(t)\;$
$\;{\dot {\varepsilon }}^{2}(t)\;$
$\Rightarrow$
$\;\left\lbrace 2\;R\;\cos \!\left[{\dfrac {\varepsilon (t)}{2}}\right]-{\dfrac {a}{2}}\right\rbrace \,R\;\sin \!\left[{\dfrac {\varepsilon (t)}{2}}\right]\,{\dot {\varepsilon }}^{2}(t)\simeq 0\;$
${\Bigg ]}\;$
$\;\sin \!\left[{\dfrac {\varepsilon (t)}{2}}\right]\;$
$\;\sin \!\left[{\dfrac {\varepsilon (t)}{2}}\right]\simeq {\dfrac {\varepsilon (t)}{2}}\;$
$\;{\Bigg$
$\;\sin \!\left[{\dfrac {\varepsilon (t)}{2}}\right]\,\left\lbrace 2\;R\;\cos \!\left[{\dfrac {\varepsilon (t)}{2}}\right]-{\dfrac {a}{2}}\right\rbrace \;$
$\;\sin \!\left[{\dfrac {\varepsilon (t)}{2}}\right]\;$
$\;\left\lbrace 2\;R\;\cos \!\left[{\dfrac {\varepsilon (t)}{2}}\right]-{\dfrac {a}{2}}\right\rbrace \;$
$\;\left\lbrace 2\;R\;\cos \!\left[{\dfrac {\varepsilon (t)}{2}}\right]-{\dfrac {a}{2}}\right\rbrace \simeq \left\lbrace 2\;R-{\dfrac {a}{2}}\right\rbrace \;$
${\Bigg ]}$
$\;\left({\mathfrak {c}}\right)\;$
$\;\left({\mathfrak {c}}\right)\;$
$\;{\dfrac {7}{5}}\,\left\lbrace 2\;R-{\dfrac {a}{2}}\right\rbrace ^{\!2}\;{\ddot {\varepsilon }}(t)+g\;{\dfrac {\varepsilon (t)}{2}}\,\left\lbrace 2\;R-{\dfrac {a}{2}}\right\rbrace =0\;$
$\Leftrightarrow$
$\;{\dfrac {7}{20}}\,\left(4\;R-a\right)^{2}\;{\ddot {\varepsilon }}(t)+{\dfrac {g}{4}}\,\left(4\;R-a\right)\,\varepsilon (t)=0\;$
$\;{\ddot {\varepsilon }}(t)+{\dfrac {5}{7}}\;{\dfrac {g}{4\;R-a}}\;\varepsilon (t)=0\;\;\left({\mathfrak {c}}'\right)\;$
$\;a<4\;R\;$
$\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {5\;g}{7\,\left(4\;R-a\right)}}}\;$
dont nous déduisons l'expression de la période des petites oscillations $\;{\mathcal {T}}_{0}\;$ du roulement sans glissement de $\;{\mathcal {B}}\;$ sur la gouttière cycloïdale «$\;{\mathcal {T}}_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {7\,\left(4\;R-a\right)}{5\;g}}}\;$» soit encore,
$\;{\mathcal {T}}_{\text{ponct}}=4\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {R}{g}}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {4\;R}{g}}}\;$
$\;{\dfrac {{\mathcal {T}}_{0}}{{\mathcal {T}}_{\text{ponct}}}}={\sqrt {\dfrac {7}{5}}}\;{\sqrt {1-{\dfrac {a}{4\;R}}}}\;$
$\;{\bigg$
$\;{\sqrt {\dfrac {7}{5}}}\;$
$\;a\,\rightarrow \,0{\bigg )}$
Remarques : Si $\;a\;$ est $\;>\;$ à $\;4\;R$, l'expression de l'approximation à l'ordre un de l'équation différentielle $\;\left({\mathfrak {c}}\right)\;$ «$\;{\ddot {\varepsilon }}(t)+{\dfrac {5}{7}}\;{\dfrac {g}{4\;R-a}}\;\varepsilon (t)=0\;\;\left({\mathfrak {c}}'\right)\;$» n'est pas celle d'un oscillateur harmonique non amorti $\;{\bigg$le cœfficient de $\;\varepsilon (t)\;$ c'est-à-dire «$\;{\dfrac {5}{7}}\;{\dfrac {g}{4\;R-a}}\;$» étant $\;<0{\bigg ]}$ $\;{\big$ni celle d'un oscillateur${\big )}\;$ en accord avec le fait que la courbe d'énergie potentielle massique d'équation «$\;u_{\text{pes}}(\theta _{I})=-g\,\left[2\;R\;\sin \!\left({\dfrac {\theta _{I}}{2}}\right)-a\right]\,\sin \!\left({\dfrac {\theta _{I}}{2}}\right)\;$» de dérivée «$\;{\dfrac {du_{\text{pes}}}{d\left(\theta _{I}/2\right)}}(\theta _{I})=-g\;\cos \!\left({\dfrac {\theta _{I}}{2}}\right)\,\left[4\;R\;\sin \!\left({\dfrac {\theta _{I}}{2}}\right)-a\right]\;$» ne s'annulant que pour $\;\theta _{I}=\pi \;$ en étant $\;>0\;$ pour $\;\theta _{I}<\pi \;$ et $\;<0\;$ pour $\;\theta _{I}>\pi \;$ ce qui fait de $\;\theta _{I}=\pi \;$ l'abscisse d'un maximum de la courbe d'énergie potentielle massique c'est-à-dire que la bille en $\;\theta _{I}=\pi \;$ est en équilibre instable.
Remarques : Si $\;a\;$ est $\;=\;$ à $\;4\;R$, l'approximation à l'ordre un de l'équation différentielle $\;\left({\mathfrak {c}}\right)\;$ s'écrivant «$\;\left(4\;R-a\right)\,{\ddot {\varepsilon }}(t)+{\dfrac {5\;g}{7}}\;\varepsilon (t)=0\;$» avec un 1er membre de 1er terme identiquement nul si $\;{\ddot {\varepsilon }}(t)\;$ reste fini et un 2ème terme non identiquement nul ne peut jamais être égal à $\;0\;$ sauf dans le cas où le 1er terme est une forme indéterminée c'est-à-dire si $\;{\ddot {\varepsilon }}(t)\;$ est infini rendant $\;{\Big \vert }{\ddot {\varepsilon }}(t){\Big \vert }\;{\cancel {\ll }}\;1\;$ et l'approximation à l'ordre un de l'équation différentielle $\;\left({\mathfrak {c}}\right)\;$ sans signification physique $\;{\big$il en serait de même à n'importe quel ordre${\big )}$ ; Remarques : Si a est égal à 4 R, ceci est en accord avec le fait que la courbe d'énergie potentielle massique d'équation «$\;u_{\text{pes}}(\theta _{I})=-2\;g\;R\,\left[\sin \!\left({\dfrac {\theta _{I}}{2}}\right)-2\right]\,\sin \!\left({\dfrac {\theta _{I}}{2}}\right)\;$» de dérivée «$\;{\dfrac {du_{\text{pes}}}{d\left(\theta _{I}/2\right)}}(\theta _{I})=$ $-4\;g\;R\;\cos \!\left({\dfrac {\theta _{I}}{2}}\right)\,\left[\sin \!\left({\dfrac {\theta _{I}}{2}}\right)-1\right]\;$» de zéro double $\;\theta _{I}=\pi \;$ en étant $\;>0\;$ pour $\;\theta _{I}<\pi \;$ et $\;<0\;$ pour $\;\theta _{I}>\pi \;$ ce qui fait de $\;\theta _{I}=\pi \;$ l'abscisse d'un maximum de la courbe d'énergie potentielle massique c'est-à-dire que la bille en $\;\theta _{I}=\pi \;$ est en équilibre instable.