# Ondes électromagnétiques/Interface entre deux diélectriques

Dans ce chapitre, on suppose vérifiées les hypothèses suivantes sur les milieux considérés :
* diélectriques
* linéaires, homogènes et isotropes (LHI)
* sans charges ni courants
* non absorbants
* non magnétiques
On se placera dans la jauge de Lorenz. L'origine du repère utilisé est un point O situé à la surface de séparation entre les deux milieux considérés. Le point courant est noté M et repéré par le vecteur ${\overrightarrow {\rm {OM}}}={\vec {r}}$.

## Lois de Snell-Descartes

On étudie le comportement d'une onde électromagnétique :
* plane
* progressive, se propageant dans la direction ${\vec {u}}_{i}$
* monochromatique, de pulsation ω
* polarisée rectilignement
à l'interface entre deux milieux d'indices optiques respectifs n$_1$ et n$_2$.
On note :
* $k_{0}={\frac {\omega }{c}}$ le nombre d'onde dans le vide de cette onde
* $k_{1}=n_{1}\,k_{0}$ le nombre d'onde de cette même onde dans le milieu 1
* $k_{2}=n_{2}\,k_{0}$ le nombre d'onde de cette même onde dans le milieu 2
* ${\vec {n}}$ la normale au dioptre au lieu d'incidence
L'onde incidente a pour vecteur d'onde ${\vec {k}}_{i}=k_{1}{\vec {u}}_{i}$. L'angle d'incidence que ${\vec {k}}_{i}$ forme avec la normale au dioptre est noté $i_{1}$
L'expérience montre qu’il se forme alors deux ondes planes, progressives, monochromatiques de même pulsation ω :
* une onde transmise, de vecteur d'onde ${\vec {k}}_{t}=k_{2}{\vec {u}}_{t}$. L'angle d'incidence que ${\vec {k}}_{t}$ forme avec la normale au dioptre est noté $i_{2}$
* une onde réfléchie, de vecteur d'onde ${\vec {k}}_{r}=k_{1}{\vec {u}}_{r}$. L'angle d'incidence que ${\vec {k}}_{r}$ forme avec la normale au dioptre est noté $i'_{1}$
Au niveau du dioptre, les champs électrique et magnétique, incident, réfléchi et transmis s'écrivent sous la forme générale :
* ${\vec {s}}_{i}({\vec {r}},t)={\vec {s}}_{0i}e^{j(\omega t-{\vec {k}}_{i}\cdot {\vec {r}})}$
* ${\vec {s}}_{r}({\vec {r}},t)={\vec {s}}_{0r}e^{j(\omega t-{\vec {k}}_{r}\cdot {\vec {r}})}e^{j\varphi _{r}}$
* ${\vec {s}}_{t}({\vec {r}},t)={\vec {s}}_{0t}e^{j(\omega t-{\vec {k}}_{t}\cdot {\vec {r}})}e^{j\varphi _{t}}$
* $\varphi _{t}$ et $\varphi _{r}$ ne dépendent pas de ${\vec {r}}$
Le déphasage entre l'onde transmise et l'onde incidente vaut $({\vec {k}}_{i}-{\vec {k}}_{t})\cdot {\vec {r}}+\varphi _{t}$. Les milieux étant supposés homogènes, il est alors nécessaire que cette valeur soit indépendante de ${\vec {r}}$.
De même, le déphasage entre l'onde réfléchie et l'onde incidente vaut $({\vec {k}}_{i}-{\vec {k}}_{r})\cdot {\vec {r}}+\varphi _{r}$, qui doit être indépendant de ${\vec {r}}$.
On aboutit alors au système suivant :
    ${\begin{aligned}{\begin{cases}\forall {\vec {r}},~({\vec {k}}_{i}-{\vec {k}}_{t})\cdot {\vec {r}}=0\\\forall {\vec {r}},~({\vec {k}}_{i}-{\vec {k}}_{r})\cdot {\vec {r}}=0\\\end{cases}}&\Rightarrow {\begin{cases}\forall {\vec {r}},~(n_{1}{\vec {u}}_{i}-n_{2}{\vec {u}}_{t})\cdot {\vec {r}}=0\\\forall {\vec {r}},~({\vec {u}}_{i}-{\vec {u}}_{r})\cdot {\vec {r}}=0\\\end{cases}}\\&\Rightarrow {\begin{cases}(n_{1}{\vec {u}}_{i}-n_{2}{\vec {u}}_{t})~//~{\vec {n}}\\({\vec {u}}_{i}-{\vec {u}}_{r})~//~{\vec {n}}\\\end{cases}}\\\end{aligned}}$
* 1° loi de Descartes : ${\vec {n}},~{\vec {u}}_{i},~{\vec {u}}_{r},~{\vec {u}}_{t}$ sont dans un même plan
* 2° loi de Descartes de la réfraction : $n_{1}\sin(i_{1})=n_{2}\sin(i_{2})$
* 2° loi de Descartes de la réflexion : $i_{1}=-i'_{1}$

## Réflexion et transmission du champ électrique en incidence normale

Dans cette section, on se place dans le cas simplifié où l'onde incidente est normale au dioptre. On a alors :
    ${\begin{cases}i_{1}=0\\i'_{1}=0\\i_{2}=0\end{cases}}$
On se place dans la base $({\vec {u}}_{x},{\vec {u}}_{y},{\vec {u}}_{z})$ telle que :
* l'onde incidente soit polarisée rectilignement suivant ${\vec {u}}_{x}$
* le vecteur d'onde de l'onde incidente ait même sens et ^même direction que ${\vec {u}}_{z}$

### L'onde incidente a

* pour vecteur d'onde ${\vec {k}}_{i}=n_{1}k_{0}{\vec {u}}_{z}$
* pour champ électrique ${\vec {E}}_{i}=E_{0i}e^{j(\omega t-n_{1}k_{0}z)}{\vec {u}}_{x}$
* pour champ magnétique ${\vec {B}}_{i}=B_{0i}e^{j(\omega t-n_{1}k_{0}z)}{\vec {u}}_{y}$, où $B_{0i}=n_{1}{\frac {E_{0i}}{c}}$

### L'onde réfléchie a

* pour vecteur d'onde ${\vec {k}}_{r}=-n_{1}k_{0}{\vec {u}}_{z}$
* pour champ électrique ${\vec {E}}_{r}={\vec {E}}_{0r}e^{j(\omega t+n_{1}k_{0}z)}e^{j\varphi _{r}}$
* pour champ magnétique ${\vec {B}}_{r}={\vec {B}}_{0r}e^{j(\omega t+n_{1}k_{0}z)}e^{j\varphi _{r}}$ avec ${\vec {B}}_{0r}=-{\frac {n_{1}}{c}}{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {E}}_{0r}$

### L'onde transmise a

* pour vecteur d'onde ${\vec {k}}_{t}=n_{2}k_{0}{\vec {u}}_{z}$
* pour champ électrique ${\vec {E}}_{t}={\vec {E}}_{0t}e^{j(\omega t-n_{2}k_{0}z)}e^{j\varphi _{t}}$
* pour champ magnétique ${\vec {B}}_{t}={\vec {B}}_{0t}e^{j(\omega t-n_{2}k_{0}z)}e^{j\varphi _{t}}$ avec ${\vec {B}}_{0t}={\frac {n_{2}}{c}}{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {E}}_{0t}$
Dans l'hypothèse de deux milieux sans charges ni courants, ni volumiques ni surfaciques :
* les équations de passage du champ électrique donnent $E_{0i}{\vec {u}}_{x}+{\vec {E}}_{0r}e^{j\varphi _{r}}={\vec {E}}_{0t}e^{j\varphi _{t}}$
* les équations de passage du champ magnétique donnent $n_{1}E_{0i}{\vec {u}}_{y}-n_{1}{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {E}}_{0r}e^{j\varphi _{r}}=n_{2}{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {E}}_{0t}e^{j\varphi _{t}}$
En remplaçant ${\vec {E}}_{t}$ par sa valeur dans la deuxième équation, celle-ci devient :
    $-(n_{2}+n_{1}){\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {E}}_{0r}e^{j\varphi _{r}}=(n_{2}-n_{1})E_{0i}{\vec {u}}_{y}$
On fait alors le produit vectoriel par ${\vec {u}}_{z}$ :
    ${\vec {E}}_{0r}e^{j\varphi _{r}}={\frac {n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}E_{0i}{\vec {u}}_{x}$
    L'équation de passage du champ électrique permet alors d'exprimer le champ transmis :
    ${\vec {E}}_{0t}e^{j\varphi _{t}}={\frac {2n_{1}}{n_{1}+n_{2}}}E_{0i}{\vec {u}}_{x}$
* ${\underline {r}}={\frac {{\underline {E}}_{0r}}{E_{0i}}}={\frac {E_{0r}e^{j\varphi _{r}}}{E_{0i}}}=\rho e^{j\varphi _{r}}$
* ${\underline {t}}={\frac {{\underline {E}}_{0t}}{E_{0i}}}={\frac {E_{0t}e^{j\varphi _{t}}}{E_{0i}}}=\tau e^{j\varphi _{t}}$
* $\rho ={\frac {n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}$
* $\varphi _{r}={\begin{cases}0{\rm {~si~}}n_{1}>n_{2}\\\pi {\rm {~si~}}n_{1}<n_{2}\\\end{cases}}$
* $t=\tau ={\frac {2n_{1}}{n_{1}+n_{2}}}$
* $\varphi _{t}=0$

## Réflexion et transmission de l'énergie en incidence normale

Les vecteurs de Poynting des ondes considérées sont :
* Pour l'onde incidente, ${\vec {\Pi }}_{i}={\frac {{\vec {E}}_{i}\wedge {\vec {B}}_{i}}{\mu }}={\frac {n_{1}E_{0i}^{2}}{\mu c}}e^{2j\omega t}{\vec {u}}_{z}$
* Pour l'onde réfléchie, ${\vec {\Pi }}_{r}={\frac {{\vec {E}}_{r}\wedge {\vec {B}}_{r}}{\mu }}=-{\frac {n_{1}E_{0r}^{2}}{\mu c}}e^{2j\omega t}e^{2j\varphi _{r}}{\vec {u}}_{z}$
* Pour l'onde transmise, ${\vec {\Pi }}_{t}={\frac {{\vec {E}}_{t}\wedge {\vec {B}}_{t}}{\mu }}={\frac {n_{2}E_{0t}^{2}}{\mu c}}e^{2j\omega t}e^{2j\varphi _{t}}{\vec {u}}_{z}$
On définit respectivement les pouvoirs réflecteur et transmetteur de l'interface comme la proportion d'énergie réfléchie/transmise par l'interface.
* $R={\frac {{\mathcal {P}}_{r}}{{\mathcal {P}}_{i}}}$
* $T={\frac {{\mathcal {P}}_{t}}{{\mathcal {P}}_{i}}}$
La puissance surfacique étant reliée directement à la norme du vecteur de Poynting, on aboutit rapidement aux expressions suivantes.
* $R=r^{2}=\left({\frac {n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}\right)^{2}$
* $T={\frac {n_{2}}{n_{1}}}t^{2}={\frac {4n_{1}n_{2}}{(n_{1}+n_{2})^{2}}}$
Dans l'hypothèse faite où il n'y a aucune perte, on retrouve tout à fait logiquement la relation $R+T=1$
* Les expressions des coefficients obtenus dans ce chapitre ne sont valables qu'en incidence normale.
Lorsque l'incidence varie, les résultats changent considérablement.
    → Pour plus d'information sur ce sujet, consulter le chapitre sur la polarisation par réflexion dans le cours sur la Polarisation de la lumière.
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