# Mécanique 1 (PCSI)/Loi de la quantité de mouvement : Forces, principe des actions réciproques
## Systèmes des forces extérieures et des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels, exemples
### Distinction entre extérieur et intérieur à un système de points matériels

Un système de points matériels fermé étant limité par sa surface latérale et un ouvert par la surface de contrôle le définissant, nous observons que dans les deux cas, la surface latérale ou de contrôle sépare l'espace en deux demi-espaces définissant l'intérieur et l'extérieur au système de points matériels ;
toutefois il y a une « différence fondamentale entre systèmes fermé et ouvert en ce qui concernent les définitions d'intérieur et d'extérieur »,
* pour un système de points matériels fermé, « l'extérieur et l'intérieur ne changent pas avec le temps » alors que
* pour un système de points matériels ouvert, « ce qui est à l'extérieur peut passer à l'intérieur et vice-versa » $\;\ldots$

### Système des forces extérieures et système des forces intérieures s’exerçant sur un système de points matériels fermé
#### Système des forces extérieures s’exerçant sur un système de points matériels fermé

Une force extérieure est une force que l'extérieur du système exerce sur un point du système, le système des forces extérieures est défini par l'ensemble des forces $\;{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left\lbrace {\text{ext}}_{k}\right\rbrace }\;$ que chaque système $\;\left(\Sigma _{k}\right)\;$ extérieur au système de points matériels $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ exerce sur chaque point $\;M_{i}\;$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right)$.

#### Système des forces intérieures s’exerçant sur un système de points matériels fermé

Une force intérieure est une force qu'un point du système exerce sur un autre point du système, le système de forces intérieures est défini par l'ensemble des forces $\;{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\;$ que chaque point $\;M_{j}\;$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ exerce sur chaque point $\;M_{i}\;$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right)$.

### Exemples
#### Exemples de forces extérieures

Ce sont des forces de champ « poids, forces électriques $\;\ldots \;$» dans la mesure où la source de « champ de pesanteur ou de champ électrique $\;\ldots \;$» est extérieure au système de points matériels ou Ce sont des forces de contact comme « la tension d'un ressort, la réaction d'un fluide, la réaction d'un support solide ou la tension d'un fil ».

#### Exemples de forces intérieures

Ce sont des forces d'interaction entre les différentes parties du système de points matériels, elles sont principalement d'origine électrostatique « forces d'attraction maintenant la cohésion du système » ou « forces de répulsion si le système est très fortement comprimé » mais elles peuvent être également Ce sont des forces de contact entre deux parties du système comme celles précédemment citées parmi les forces extérieures $\;{\big$exemple de la « tension d'un ressort sur un solide » et de l’« action que le solide exerce sur le ressort » si ressort et solide sont tous deux dans le système de points matériels $\;\ldots {\big ]}$.

## Définition de la résultante dynamique s'exerçant sur un système de points matériels fermé

$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}\;$
$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}=\sum \limits _{i=1}^{i=N}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\;$
$\;{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,{\text{ext}}}=\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left\lbrace {\text{ext}}_{k}\right\rbrace }\;$
$\;(\Sigma _{k})\;$
$\;M_{i}$

## Énoncé du principe des actions réciproques et commentaires
### Énoncé du principe des actions réciproques

$\;M_{1}\;$
$\;M_{2}\;$
$\;{\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}\;$
$\;M_{2}\;$
$\;M_{1}\;$
$\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}\;$
$\;M_{1}\;$
$\;M_{2}\;$
$\;M_{1}\;$
$\;M_{2}$
$\;{\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}+{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}={\vec {0}}\;$
$\;{\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}\wedge {\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}={\vec {0}}\;$

### Commentaires sur le principe des actions réciproques

En « dynamique newtonienne » les forces étant invariantes par changement de référentiel et le déplacement relatif $\;{\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}\;$ en étant indépendant également, En « dynamique newtonienne » le principe est applicable dans n'importe quel référentiel ;
la 2ème relation «$\;{\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}\wedge {\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}={\vec {0}}\;$» peut s'écrire encore, en utilisant la 1ère relation, «$\;{\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}\wedge {\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}={\vec {0}}\;$», la 2ème relation «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}\wedge {\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}={\vec {0}}}\;$» ces deux formes équivalentes traduisent le fait que les supports de $\;{\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}\;$ et $\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}\;$ sont identiques, de support commun $\;\left(M_{1}M_{2}\right)$, la 2ème relation «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}\wedge {\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}={\vec {0}}}\;$» la 1ère relation «$\;{\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}+{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}={\vec {0}}\;$» ajoutant que les forces sont de sens opposées et de même norme ;
une des forces étant appelée arbitrairement « action », l'autre est appelée « réaction ».

## Résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système de points matériels fermé
### Définition de la résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système de points matériels fermé

La résultante des forces intérieures $\;{\vec {F}}_{\text{int}}\;$ s’exerçant sur un système de points matériels fermé est définie selon
$\;{\vec {F}}_{\text{int}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right]=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,i-1}^{j\,=\,i+1\,..\,N}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right]\;$

### 1ère conséquence du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne, la nullité de la résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système de points matériels fermé

Une 1ère conséquence du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne est « la nullité de la résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système de points matériels fermé en dynamique newtonienne » soit
$\;{\vec {F}}_{\text{int}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right]=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,i-1}^{j\,=\,i+1\,..\,N}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right]={\vec {0}}\;$
Démonstration : on peut coupler les forces intérieures selon $\;{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\;$ et $\;{\vec {F}}_{j\,\leftarrow \,i}$, $\;{\vec {F}}_{\text{int}}\;$ se réécrit alors «$\;{\vec {F}}_{\text{int}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i}\left({\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}+{\vec {F}}_{j\,\leftarrow \,i}\right)\right]\;$» et Démonstration : d’après la 1ère relation du principe de l'action et de la réaction en dynamique newtonienne, on a $\;{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}+{\vec {F}}_{j\,\leftarrow \,i}={\vec {0}}\;$ Démonstration : d’où la propriété énoncée «$\;{\vec {F}}_{\text{int}}={\vec {0}}\;$».
Remarques : $\succ \;$pour un instant $\;t_{0}\;$ fixé, le principe des actions réciproques est applicable en dynamique newtonienne à un système de points matériels ouvert puisqu'il n'est alors pas envisagé d'entrée et de sortie de points à travers la surface de contrôle définissant le système ouvert, on peut donc affirmer qu'à cet instant $\;t_{0}\;$ fixé, $\;{\vec {F}}_{\text{int}}(t_{0})={\vec {0}}$ ;
Remarques : $\color {transparent}{\succ }\;$toujours en dynamique newtonienne, dès lors qu'on fait varier l'instant $\;t_{0}\;$ initialement fixé, il peut y avoir entrée et sortie de points à travers la surface de contrôle définissant le système ouvert, ceci entraînant une modification de la définition de la résultante des forces intérieures à un système de points matériels ouvert dès lors que l'on considère l'instant d'étude non figé, par exemple,
Remarques : $\color {transparent}{\succ }\;$toujours en dynamique newtonienne, s'il y a sortie du point $\;M_{k}\;$ pendant $\;\left[t_{0}\,,\,t_{0}^{+}\right]$, cela élimine $\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}^{i\,\neq \,k}\left({\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,k}+{\vec {F}}_{k\,\leftarrow \,i}\right)\;$ initialement présent dans $\;{\vec {F}}_{\text{int}}(t_{0})\;$ mais cette somme $\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}^{i\,\neq \,k}\left({\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,k}+{\vec {F}}_{k\,\leftarrow \,i}\right)\;$ étant nulle à l'instant $\;t_{0}$, cela ne change pas le reste de la somme non éliminée dans $\;{\vec {F}}_{\text{int}}(t_{0}^{+})\;$ qui demeure nulle à l'instant $\;t_{0}^{+}$ ;
Remarques : $\color {transparent}{\succ }\;$toujours en dynamique newtonienne, s'il y a entrée du point $\;M_{k}\;$ pendant $\;\left[t_{0}\,,\,t_{0}^{+}\right]$, cela ajoute $\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}^{i\,\neq \,k}\left({\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,k}+{\vec {F}}_{k\,\leftarrow \,i}\right)\;$ initialement absent dans $\;{\vec {F}}_{\text{int}}(t_{0})\;$ mais cette somme $\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}^{i\,\neq \,k}\left({\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,k}+{\vec {F}}_{k\,\leftarrow \,i}\right)\;$ étant nulle à l'instant $\;t_{0}^{+}\;$ et s'ajoutant à $\;{\vec {F}}_{\text{int}}(t_{0})\;$ qui est initialement nulle, on en déduit $\;{\vec {F}}_{\text{int}}(t_{0}^{+})={\vec {0}}$ ;
Remarques : $\color {transparent}{\succ }\;$en conclusion, si la définition de la résultante des forces intérieures à un système de points matériels ouvert change avec l'instant $\;t_{0}\;$ considéré, la propriété de « nullité de la résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système de points matériels ouvert en dynamique newtonienne » reste applicable pourvu que l'on définisse correctement la résultante des forces intérieures à l'instant d'étude $\;t_{0}$.
Remarques : $\succ \;$Qu'en est-il en dynamique relativiste ? Dans la mesure où le choix du référentiel d'étude de la dynamique relativiste n'influe pas sur l'applicabilité du principe des actions réciproques alors la propriété de « nullité de la résultante des forces intérieures s’exerçant sur le système de points matériels fermé » reste applicable en dynamique relativiste.

## Bilan de forces extérieures appliquées à un système de points matériels fermé

Il y a deux types de forces extérieures appliquées à un système de points matériels fermé :

### 1er type de forces extérieures appliquées à un système de points matériels fermé, les forces de champ

Le 1er type de forces extérieures appliquées à un système de points matériels fermé est l'« ensemble des forces de champ » comme :
* le poids du système $\;m_{\text{syst}}\;{\vec {g}}\;$ appliqué au « centre de gravité », $\;{\vec {g}}\;$ étant le champ de pesanteur terrestre au lieu envisagé,
* la force électrique $\;q_{\text{syst}}\;{\vec {E}}\;$ appliqué au « centre de charge », dans l'hypothèse où les points matériels seraient chargés et soumis à un champ électrique $\;{\vec {E}}\;$ localement uniforme sur la répartition des points matériels chargés,
* $\;\ldots$

### 2ème type de forces extérieures appliquées à un système de points matériels fermé, les forces de contact

Le 2ème type de forces extérieures appliquées à un système de points matériels fermé est l'« ensemble des forces de contact », pour déterminer ces dernières il suffit de réfléchir à ce qui est au contact du système de points matériels fermé, voir les exemples exposés ci-après.

## 1er exemple de forces de contact, force résultant du contact avec un ressort, cas du ressort idéal

Revoir le paragraphe traitant de « l'action d'un ressort idéal sur l'objet avec lequel il est en contact, cause de déséquilibre, loi de Hooke » du chap.$1$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ; on rappelle les grandes lignes ci-dessous :
on considère systématiquement un ressort « idéal » c.-à-d. de « masse négligeable » et « parfaitement élastique », sa longueur à vide étant $\;l_{0}\;$ et sa raideur $\;k\;$, il suit la loi de Hooke à savoir
$\;({\mathcal {S}})\;$
$\;M\;$
$\;{\vec {T}}_{({\mathcal {S}})\,\leftarrow \,{\text{ressort}}}(M)=-k\;\Delta l\;{\vec {u}}_{AM}\;$
$\;{\vec {u}}_{AM}\;$
$\;A\;$
$\;M\;$
$\;\Delta l=l-l_{0}\;$
$\;l=AM\;$

## 2ème exemple de forces de contact, force résultant du contact avec un fluide, résistance à l'avancement (ou force de frottement fluide) linéaire ou quadratique
### Généralités

Il convient tout d'abord de faire la distinction entre :
* forces statiques qui existent par simple contact du fluide et du système de points matériels fermé, que ce dernier soit immobile ou en mouvement relativement au fluide ; ce sont des forces de pression dont un exemple est la « poussée d'Archimède »$^,$ quand le système est entièrement immergé dans le fluide $\;{\big$la poussée d'Archimède est une force verticale ascendante s’exerçant sur le système de points matériels fermé, indéformable et entièrement immergé dans le fluide, égale au poids de « fluide déplacé » et appliquée au « centre de poussée » c.-à-d. le C.D.I. du « fluide déplacé »$^,$, voir le paragraphe « énoncé du théorème d'Archimède appliqué à un corps indéformable » du chap.$5$ de la leçon « Statique des fluides (PCSI) »${\big ]}\;$ et
* forces dynamiques qui nécessitent un « mouvement du système de points matériels fermé relativement au fluide » ; ci-dessous nous nous intéresserons à ces « forces de frottement fluide » que nous noterons $\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(M)$, $\;M\;$ étant le point de contact du fluide avec le système de points matériels.

### En complément, forces de frottement fluide exercées sur un système de points matériels fermé indéformable en mouvement de translation relativement au fluide immobile, le système n'ayant pas d'axe de symétrie ou, s'il en a un, son vecteur vitesse n'étant pas porté par l'axe

Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable $\;({\mathcal {S}})\;$ en mouvement de translation de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}(t)\;$ relativement au fluide immobile Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ $\succ \;$n'admet pas d'axe de symétrie de la répartition des masses ou Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ $\succ \;$en admet un mais avec un vecteur vitesse de translation non porté par cet axe,
Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ la résultante des forces de frottement fluide exercées sur $\;({\mathcal {S}})\;$ notée $\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}_{({\mathcal {S}})}(t)\;$ Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ la résultante des forces de frottement fluide exercées sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ n'est pas colinéaire à $\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}(t)$ ; on décompose alors $\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}_{({\mathcal {S}})}(t)\;$
Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ $\blacktriangleright \;$sur la direction de $\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}(t)\;$, la composante obtenue étant appelée « traînée » toujours de sens opposé à $\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}(t)$ et Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ $\blacktriangleright \;$sur la direction verticale, la composante obtenue étant appelée « portance », celle-ci étant orientée Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sur la direction verticale, la composante $\succ \;$vers le haut $\;{\big$exemple : aile d'avion${\big )}\;$ ou Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sur la direction verticale, la composante $\succ \;$vers le bas $\;{\big$exemple : aileron de camion ou de voiture de course de $\;F_{1}\;$${\big )}$.

### Forces de frottement fluide exercées sur un système de points matériels fermé indéformable en mouvement de translation relativement au fluide immobile, le système ayant un axe de symétrie et son vecteur vitesse étant porté par l'axe

Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable $\;({\mathcal {S}})\;$ admet un axe de symétrie de la répartition des masses et Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ est en mouvement de translation relativement au fluide immobile avec un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}(t)\;$ porté par cet axe, Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ la résultante des forces de frottement fluide exercées sur $\;({\mathcal {S}})\;$ notée $\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}_{({\mathcal {S}})}(t)\;$ Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ la résultante des forces de frottement fluide est colinéaire et dans le sens contraire au vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}(t)$, Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ la résultante des forces de frottement fluide la forme de sa variation dépendant toutefois de la norme du vecteur vitesse Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ la résultante des forces de frottement fluide la forme de sa variation avec les propriétés communes suivantes :
la norme de la résultante des forces de frottement fluide exercées sur $\;({\mathcal {S}})\;$ à savoir $\;\Vert {\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}_{({\mathcal {S}})}(t)\Vert \;$ varie dans le même sens que $\succ \;$la norme du vecteur vitesse de translation $\;\Vert {\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}(t)\Vert$, la norme de la résultante des forces de frottement fluide exercées sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ à savoir $\;\color {transparent}{\Vert {\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}_{({\mathcal {S}})}(t)\Vert }\;$ varie dans le même sens que $\succ \;$« la dimension transversale de $\;({\mathcal {S}})\;$», la norme de la résultante des forces de frottement fluide exercées sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ à savoir $\;\color {transparent}{\Vert {\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}_{({\mathcal {S}})}(t)\Vert }\;$ varie dans le même sens que $\succ \;$« la viscosité dynamique du fluide » et la norme de la résultante des forces de frottement fluide exercées sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ à savoir $\;\color {transparent}{\Vert {\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}_{({\mathcal {S}})}(t)\Vert }\;$ varie dans le même sens que $\succ \;$« la densité du fluide ».

#### Forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses

Dans le domaine des faibles vitesses de translation du système de points matériels fermé indéformable $\;({\mathcal {S}})\;$ relativement au fluide immobile, la résultante des forces de frottement fluide s'exerçant sur $\;({\mathcal {S}})\;$ ${\big$encore appelée « résistance du fluide »${\big )}$ $\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}_{({\mathcal {S}})}(t)\;$ est de forme linéaire à savoir
$\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}_{({\mathcal {S}})}(t)=-h\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}(t)\;$
$\;h\;$
$\;{\big$
$\;kg\cdot s^{-1}{\big )}\;$

#### Forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des vitesses moyennes

Dans le domaine des vitesses moyennes, la résultante des forces de frottement fluide s'exerçant sur $\;({\mathcal {S}})\;$ ${\big$encore appelée « résistance du fluide »${\big )}$ $\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}_{({\mathcal {S}})}(t)\;$ est de forme quadratique à savoir
$\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}_{({\mathcal {S}})}(t)=-h'\;V_{({\mathcal {S}})}^{2}(t)\;{\vec {\tau }}_{({\mathcal {S}})}(t)\;$
$\;{\vec {\tau }}_{({\mathcal {S}})}(t)\;$
$\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}(t)\;$
${\big$
$\;V_{({\mathcal {S}})}(t)=\Vert {\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}(t)\Vert {\big ]}\;$
$\;h'\;$
$\;{\big$
$\;kg\cdot m^{-1}{\big )}\;$
$\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}_{({\mathcal {S}})}(t)=-h'\;V_{({\mathcal {S}})}(t)\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}(t)\;$
$\;V_{({\mathcal {S}})}(t)=\Vert {\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}(t)\Vert \;$

#### Forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des vitesses élevées

Dans le domaine des vitesses élevées$^,$, la résultante des forces de frottement fluide s'exerçant sur $\;({\mathcal {S}})\;$ ${\big$encore appelée « résistance du fluide »${\big )}$ $\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}_{({\mathcal {S}})}(t)\;$ est de forme variant plus rapidement que quadratiquement à savoir
$\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}_{({\mathcal {S}})}(t)=-{\mathcal {R}}_{{\text{flu}}_{({\mathcal {S}})}}\!\!\left[V_{({\mathcal {S}})}\right](t)\,{\vec {\tau }}_{({\mathcal {S}})}(t)\;$
$\;{\vec {\tau }}_{({\mathcal {S}})}(t)\;$
$\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}(t)\;$
${\big$
$\;V_{({\mathcal {S}})}(t)=\Vert {\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}(t)\Vert {\big ]}\;$
$\;{\mathcal {R}}_{{\text{flu}}_{({\mathcal {S}})}}\!\!\left[V_{({\mathcal {S}})}\right]\;$
$\;>0\;$
$\;V_{({\mathcal {S}})}\;$
$\nearrow \;$
$\;V_{({\mathcal {S}})}^{2}\;$

### En complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable en translation dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide

Pour choisir entre une forme linéaire ou quadratique voire une forme à variation encore plus rapide de frottement fluide Pour choisir on évalue l'ordre de grandeur d'un nombre sans dimension $\;{\mathfrak {R}}e\;$ appelé « nombre de Reynolds » et défini selon «$\;{\mathfrak {R}}e={\dfrac {V_{({\mathcal {S}})}\;L_{({\mathcal {S}})}}{\nu _{\text{flu}}}}\;$» avec Pour choisir on évalue l'ordre de grandeur d'un nombre sans dimension $\;\color {transparent}{{\mathfrak {R}}e}\;$ appelé « nombre de Reynolds » «$\;V_{({\mathcal {S}})}\;$ la norme du vecteur vitesse de translation du système », Pour choisir on évalue l'ordre de grandeur d'un nombre sans dimension $\;\color {transparent}{{\mathfrak {R}}e}\;$ appelé « nombre de Reynolds » «$\;L_{({\mathcal {S}})}\;$ une longueur caractéristique de la dimension transversale du système » et Pour choisir on évalue l'ordre de grandeur d'un nombre sans dimension $\;\color {transparent}{{\mathfrak {R}}e}\;$ appelé « nombre de Reynolds » «$\;\nu _{\text{flu}}\;$ la viscosité cinématique du fluide », ou Pour choisir on évalue l'ordre de grandeur d'un nombre sans dimension $\;\color {transparent}{{\mathfrak {R}}e}\;$ appelé « nombre de Reynolds » et défini selon «$\;{\mathfrak {R}}e={\dfrac {\rho _{\text{flu}}\;V_{({\mathcal {S}})}\;L_{({\mathcal {S}})}}{\eta _{\text{flu}}}}\;$» avec Pour choisir on évalue l'ordre de grandeur d'un nombre sans dimension $\;\color {transparent}{{\mathfrak {R}}e}\;$ appelé « nombre de Reynolds » «$\;V_{({\mathcal {S}})}\;$ la norme du vecteur vitesse de translation du système », Pour choisir on évalue l'ordre de grandeur d'un nombre sans dimension $\;\color {transparent}{{\mathfrak {R}}e}\;$ appelé « nombre de Reynolds » «$\;L_{({\mathcal {S}})}\;$ une longueur caractéristique de la dimension transversale du système », Pour choisir on évalue l'ordre de grandeur d'un nombre sans dimension $\;\color {transparent}{{\mathfrak {R}}e}\;$ appelé « nombre de Reynolds » «$\;\rho _{\text{flu}}\;$ la masse volumique du fluide » et Pour choisir on évalue l'ordre de grandeur d'un nombre sans dimension $\;\color {transparent}{{\mathfrak {R}}e}\;$ appelé « nombre de Reynolds » «$\;\eta _{\text{flu}}\;$ la viscosité dynamique du fluide ».
Suivant la valeur du nombre de Reynolds il est licite de considérer la forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable comme Suivant la valeur du nombre de Reynolds il est licite de considérer la forme de la résistance du fluide $\succ \;$linéaire si $\;{\mathfrak {R}}e\lesssim 1$, l'écoulement du fluide autour de $\;({\mathcal {S}})\;$ étant laminaire ou Suivant la valeur du nombre de Reynolds il est licite de considérer la forme de la résistance du fluide $\succ \;$quadratique si $\;10^{3}\lesssim {\mathfrak {R}}e\lesssim 2\,10^{5}$, l'écoulement du fluide autour de $\;({\mathcal {S}})\;$ étant turbulent.
Remarques : Que choisir si $\;1\lesssim {\mathfrak {R}}e\lesssim 10^{3}$ ? En fait on pourrait considérer $\;{\mathcal {R}}_{{\text{flu}}_{({\mathcal {S}})}}\;$ variant comme $\;V_{({\mathcal {S}})}^{n}\;$ avec $\;n\in \mathbb {Q} \;$ compris entre $\;1\;$ et $\;2$, Remarques : Que choisir si $\;\color {transparent}{1\lesssim {\mathfrak {R}}e\lesssim 10^{3}}$ ? En fait on pourrait considérer $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{{\text{flu}}_{({\mathcal {S}})}}}\;$ variant comme $\;\color {transparent}{V_{({\mathcal {S}})}^{n}}\;$ avec $\;\color {transparent}{n\in \mathbb {Q} }\;$ d'autant plus proche de $\;2\;$ que le nombre de Reynolds est grand mais $\;\ldots \;$ Remarques : Que choisir si $\;\color {transparent}{1\lesssim {\mathfrak {R}}e\lesssim 10^{3}}$ ? pour éviter une trop grande complication on choisira $\;1\;$ pour $\;{\mathfrak {R}}e\lesssim 30\;$ et $\;2\;$ pour le restant de l'intervalle en étant conscient de commettre une erreur.
Remarques : Que choisir si $\;{\mathfrak {R}}e\gtrsim 2\,10^{5}$ ? On pourrait considérer $\;{\mathcal {R}}_{{\text{flu}}_{({\mathcal {S}})}}\;$ variant comme $\;V_{({\mathcal {S}})}^{n}\;$ avec $\;n\in \mathbb {Q} \;$ supérieur à $\;2\;$ et ceci d'autant plus que le nombre de Reynolds est grand mais $\;\ldots \;$ Remarques : Que choisir si $\;\color {transparent}{{\mathfrak {R}}e\gtrsim 2\,10^{5}}$ ? pour éviter une trop grande complication on choisira $\;2\;$ pour $\;{\dfrac {{\mathfrak {R}}e}{2\,10^{5}}}\;$ restant de l'ordre de quelques unités en étant conscient de commettre une erreur et Remarques : Que choisir si $\;\color {transparent}{{\mathfrak {R}}e\gtrsim 2\,10^{5}}$ ? si la comparaison au résultat expérimental n'est pas satisfaisante ou pourra essayer $\;n=3$.

#### Exemple d'un mouvement de translation d'une boule dans l'air

On considère une boule $\;({\mathcal {B}})$, de rayon $\;R$, en translation rectiligne uniforme de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{({\mathcal {B}})}\;$ On considère une boule $\;\color {transparent}{({\mathcal {B}})}$, se déplaçant dans l'air pris dans les conditions de température $\;20\,{\text{°}}C\;$ et de pression $\;1\,bar=10^{5}\,Pa$ ; On considère une boule $\;\color {transparent}{({\mathcal {B}})}$, nous nous proposons de chercher le domaine de valeurs de $\;R\;$ dans les conditions précédentes de température et de pression On considère une boule $\;\color {transparent}{({\mathcal {B}})}$, nous nous proposons de chercher le domaine de valeurs de $\;\color {transparent}{R}\;$ pour que la forme de la résistance de l'air soit linéaire ou quadratique On considère une boule $\;\color {transparent}{({\mathcal {B}})}$, nous nous proposons de chercher connaissant la valeur de la viscosité dynamique de l'air «$\;\eta _{\text{air}}\simeq 1,8\,10^{-5}\;kg\cdot m^{-1}\!\cdot s^{-1}=18\;\mu Pl\;$» ainsi que On considère une boule $\;\color {transparent}{({\mathcal {B}})}$, nous nous proposons de chercher connaissant sa masse volumique «$\;\rho _{\text{air}}\simeq 1,20\,kg\cdot m^{-3}\;$ dans ces conditions de température et de pression » donnant On considère une boule $\;\color {transparent}{({\mathcal {B}})}$, nous nous proposons de chercher connaissant la valeur de une viscosité cinématique de l'air «$\;\nu _{\text{air}}={\dfrac {\eta _{\text{air}}}{\rho _{\text{air}}}}\simeq {\dfrac {1,8\,10^{-5}}{1,20}}\simeq 1,5\,10^{-5}\,m^{2}\!\cdot s^{-1}=15\;cSt\;$», On considère une boule $\;\color {transparent}{({\mathcal {B}})}$, nous nous proposons de chercher connaissant la « longueur transversale $\;L_{({\mathcal {B}})}\;$ caractéristique d'une boule étant son diamètre $\;2\,R\;$» ;
On considère une boule $\;\color {transparent}{({\mathcal {B}})}$, le nombre de Reynolds de la boule en translation rectiligne uniforme dans l'air s'écrivant «$\;{\mathfrak {R}}e={\dfrac {V_{({\mathcal {B}})}\;2\,R}{\nu _{\text{air}}}}\simeq {\dfrac {V_{({\mathcal {B}})}\;2\,R}{1,5\,10^{-5}}}\;$», On considère une boule $\;\color {transparent}{({\mathcal {B}})}$, la forme de la résistance de l'air sera $\blacktriangleright \;$linéaire si «$\;{\mathfrak {R}}e\simeq {\dfrac {V_{({\mathcal {B}})}\;2\,R}{1,5\,10^{-5}}}\lesssim 1\;$» correspondant à une vitesse «$\;V_{({\mathcal {B}})}\lesssim {\dfrac {1,5\,10^{-5}}{2\,R}}\;$ en $\;m\cdot s^{-1}\;$» soit On considère une boule $\;\color {transparent}{({\mathcal {B}})}$, la forme de la résistance de l'air sera $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$linéaire $\succ \;$pour une boule de rayon $\;R=0,5\,mm\;$, «$\;V_{({\mathcal {B}})}\lesssim {\dfrac {1,5\,10^{-5}}{1\,10^{-3}}}\simeq 1,5\,10^{-2}\;m\cdot s^{-1}\;$» soit On considère une boule $\;\color {transparent}{({\mathcal {B}})}$, la forme de la résistance de l'air sera $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$linéaire $\color {transparent}{\succ }\;$pour une boule de rayon $\;\color {transparent}{R=0,5\,mm}\;$, «$\;V_{({\mathcal {B}})}\lesssim 1,5\;cm\cdot s^{-1}\;$» ce qui est lent mais réalisable On considère une boule $\;\color {transparent}{({\mathcal {B}})}$, la forme de la résistance de l'air sera $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$linéaire $\succ \;$pour une boule de rayon $\;R=0,5\,m\;$, «$\;V_{({\mathcal {B}})}\lesssim {\dfrac {1,5\,10^{-5}}{1}}\simeq 1,5\,10^{-5}\;m\cdot s^{-1}\;$» soit On considère une boule $\;\color {transparent}{({\mathcal {B}})}$, la forme de la résistance de l'air sera $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$linéaire $\color {transparent}{\succ }\;$pour une boule de rayon $\;\color {transparent}{R=0,5\,m}\;$, «$\;V_{({\mathcal {B}})}\lesssim 15\;\mu m\cdot s^{-1}\;$» ce qui est beaucoup trop lent pour être réalisable ; On considère une boule $\;\color {transparent}{({\mathcal {B}})}$, la forme de la résistance de l'air sera $\blacktriangleright \;$quadratique si «$\;10^{3}\lesssim {\mathfrak {R}}e\simeq {\dfrac {V_{({\mathcal {B}})}\;2\,R}{1,5\,10^{-5}}}\lesssim 2\,10^{5}\;$» correspondant à «$\;V_{({\mathcal {B}})}\;{\underset {\sim }{\in }}\;\left[{\dfrac {1,5\,10^{-2}}{2\,R}}\;,\;{\dfrac {3}{2\,R}}\right]\;$ en $\;m\cdot s^{-1}\;$» soit On considère une boule $\;\color {transparent}{({\mathcal {B}})}$, la forme de la résistance de l'air sera $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$quadratique $\succ \;$pour une boule de rayon $\;R=0,5\,mm\;$, «$\;V_{({\mathcal {B}})}\;{\underset {\sim }{\in }}\;\left[{\dfrac {1,5\,10^{-2}}{10^{-3}}}\simeq 15\;,\;{\dfrac {3}{10^{-3}}}\simeq 3000\right]\;$ en $\;m\cdot s^{-1}\;$» ou On considère une boule $\;\color {transparent}{({\mathcal {B}})}$, la forme de la résistance de l'air sera $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$quadratique $\color {transparent}{\succ }\;$pour une boule de rayon $\;\color {transparent}{R=0,5\,mm}\;$, «$\;V_{({\mathcal {B}})}\;{\underset {\sim }{\in }}\;\left[15\;m\cdot s^{-1}\;,\;3,0\;km\cdot s^{-1}\right]\;$» tout à fait réalisable On considère une boule $\;\color {transparent}{({\mathcal {B}})}$, la forme de la résistance de l'air sera $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$quadratique $\succ \;$pour une boule de rayon $\;R=0,5\,m\;$, «$\;V_{({\mathcal {B}})}\;{\underset {\sim }{\in }}\;\left[{\dfrac {1,5\,10^{-2}}{1}}\simeq 1,5\,10^{-2}\;,\;{\dfrac {3}{1}}\simeq 3\right]\;$ en $\;m\cdot s^{-1}\;$» ou On considère une boule $\;\color {transparent}{({\mathcal {B}})}$, la forme de la résistance de l'air sera $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$quadratique $\color {transparent}{\succ }\;$pour une boule de rayon $\;\color {transparent}{R=0,5\,m}\;$, «$\;V_{({\mathcal {B}})}\;{\underset {\sim }{\in }}\;\left[1,5\;cm\cdot s^{-1}\;,\;3\;m\cdot s^{-1}\right]\;$» ce qui est réalisable.
En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à $\;1\;m\;$ en translation rectiligne uniforme dans l'air, En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à $\;\color {transparent}{1\;m}\;$ la forme de la résistance de l'air choisie ne peut pas être linéaire, elle doit être au mieux quadratique,
En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à $\;1\;mm\;$ en translation rectiligne uniforme dans l'air, En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à $\;\color {transparent}{1\;mm}\;$ la forme de la résistance de l'air choisie peut être linéaire si l'objet est très lent, En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à $\;\color {transparent}{1\;mm}\;$ la forme de la résistance de l'air sinon elle doit raisonnablement être quadratique.

#### Exemple d'un mouvement de translation d'une boule dans l'eau

On considère une boule $\;({\mathcal {B}})$, de rayon $\;R$, en translation rectiligne uniforme de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{({\mathcal {B}})}\;$ se déplaçant dans l'eau ; On considère une boule $\;\color {transparent}{({\mathcal {B}})}$, nous nous proposons de chercher le domaine de valeurs de $\;R\;$ pour que la forme de la résistance de l'eau soit linéaire ou quadratique On considère une boule $\;\color {transparent}{({\mathcal {B}})}$, nous nous proposons de chercher connaissant la valeur de la viscosité dynamique de l'eau «$\;\eta _{\text{eau}}\simeq 10^{-3}\;kg\cdot m^{-1}\!\cdot s^{-1}=1,0\;mPl\;$» ainsi que On considère une boule $\;\color {transparent}{({\mathcal {B}})}$, nous nous proposons de chercher connaissant sa masse volumique «$\;\rho _{\text{eau}}\simeq 10^{3}\,kg\cdot m^{-3}\;$» donnant On considère une boule $\;\color {transparent}{({\mathcal {B}})}$, nous nous proposons de chercher connaissant la valeur de une viscosité cinématique de l'eau «$\;\nu _{\text{eau}}={\dfrac {\eta _{\text{eau}}}{\rho _{\text{eau}}}}\simeq {\dfrac {10^{-3}}{10^{3}}}\simeq 10^{-6}\,m^{2}\!\cdot s^{-1}=1,0\;cSt\;$», On considère une boule $\;\color {transparent}{({\mathcal {B}})}$, nous nous proposons de chercher connaissant la « longueur transversale $\;L_{({\mathcal {B}})}\;$ caractéristique d'une boule étant son diamètre $\;2\,R\;$» ;
On considère une boule $\;\color {transparent}{({\mathcal {B}})}$, le nombre de Reynolds de la boule en translation rectiligne uniforme dans l'eau s'écrivant «$\;{\mathfrak {R}}e={\dfrac {V_{({\mathcal {B}})}\;2\,R}{\nu _{\text{eau}}}}\simeq {\dfrac {V_{({\mathcal {B}})}\;2\,R}{1,0\,10^{-6}}}\;$», On considère une boule $\;\color {transparent}{({\mathcal {B}})}$, la forme de la résistance de l'eau sera $\blacktriangleright \;$linéaire si «$\;{\mathfrak {R}}e\simeq {\dfrac {V_{({\mathcal {B}})}\;2\,R}{1,0\,10^{-6}}}\lesssim 1\;$» correspondant à une vitesse «$\;V_{({\mathcal {B}})}\lesssim {\dfrac {1,0\,10^{-6}}{2\,R}}\;$ en $\;m\cdot s^{-1}\;$» soit On considère une boule $\;\color {transparent}{({\mathcal {B}})}$, la forme de la résistance de l'eau sera $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$linéaire $\succ \;$pour une boule de rayon $\;R=0,5\,mm\;$, «$\;V_{({\mathcal {B}})}\lesssim {\dfrac {1,0\,10^{-6}}{1,0\,10^{-3}}}\simeq 1,0\,10^{-3}\;m\cdot s^{-1}\;$» soit On considère une boule $\;\color {transparent}{({\mathcal {B}})}$, la forme de la résistance de l'eau sera $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$linéaire $\color {transparent}{\succ }\;$pour une boule de rayon $\;\color {transparent}{R=0,5\,mm}\;$, «$\;V_{({\mathcal {B}})}\lesssim 1,0\;mm\cdot s^{-1}\;$» ce qui est très lent mais réalisable On considère une boule $\;\color {transparent}{({\mathcal {B}})}$, la forme de la résistance de l'eau sera $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$linéaire $\succ \;$pour une boule de rayon $\;R=0,5\,m\;$, «$\;V_{({\mathcal {B}})}\lesssim {\dfrac {1,0\,10^{-6}}{1,0}}\simeq 1,0\,10^{-6}\;m\cdot s^{-1}\;$» soit On considère une boule $\;\color {transparent}{({\mathcal {B}})}$, la forme de la résistance de l'eau sera $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$linéaire $\color {transparent}{\succ }\;$pour une boule de rayon $\;\color {transparent}{R=0,5\,m}\;$, «$\;V_{({\mathcal {B}})}\lesssim 1,0\;\mu m\cdot s^{-1}\;$» beaucoup trop lent pour être réalisable ; On considère une boule $\;\color {transparent}{({\mathcal {B}})}$, la forme de la résistance de l'eau sera $\blacktriangleright \;$quadratique si «$\;10^{3}\lesssim {\mathfrak {R}}e\simeq {\dfrac {V_{({\mathcal {B}})}\;2\,R}{1,0\,10^{-6}}}\lesssim 2\,10^{5}\;$» correspondant à «$\;V_{({\mathcal {B}})}\;{\underset {\sim }{\in }}\;\left[{\dfrac {1,0\,10^{-3}}{2\,R}}\;,\;{\dfrac {0,20}{2\,R}}\right]\;$ en $\;m\cdot s^{-1}\;$» soit On considère une boule $\;\color {transparent}{({\mathcal {B}})}$, la forme de la résistance de l'eau sera $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$quadratique $\succ \;$pour une boule de rayon $\;R=0,5\,mm\;$, «$\;V_{({\mathcal {B}})}\;{\underset {\sim }{\in }}\;\left[{\dfrac {1,0\,10^{-3}}{1,0\,10^{-3}}}\simeq 1,0\;;\,{\dfrac {0,20}{1,0\,10^{-3}}}\simeq 200\right]$ en $m\cdot s^{-1}\;$» On considère une boule $\;\color {transparent}{({\mathcal {B}})}$, la forme de la résistance de l'eau sera $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$quadratique $\color {transparent}{\succ }\;$pour une boule de rayon $\;\color {transparent}{R=0,5\,mm}\;$, ou «$\;V_{({\mathcal {B}})}\;{\underset {\sim }{\in }}\;\left[1,0\;m\cdot s^{-1}\;,\;200\;m\cdot s^{-1}\right]\;$» tout à fait réalisable On considère une boule $\;\color {transparent}{({\mathcal {B}})}$, la forme de la résistance de l'eau sera $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$quadratique $\succ \;$pour une boule de rayon $\;R=0,5\,m\;$, «$\;V_{({\mathcal {B}})}\;{\underset {\sim }{\in }}\;\left[{\dfrac {1,0\,10^{-3}}{1,0}}\simeq 10^{-3}\;,\,{\dfrac {0,20}{1,0}}\simeq 0,20\right]$ en $m\cdot s^{-1}\;$» ou On considère une boule $\;\color {transparent}{({\mathcal {B}})}$, la forme de la résistance de l'eau sera $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$quadratique $\color {transparent}{\succ }\;$pour une boule de rayon $\;\color {transparent}{R=0,5\,m}\;$, «$\;V_{({\mathcal {B}})}\;{\underset {\sim }{\in }}\;\left[1,0\;mm\cdot s^{-1}\;,\;20\;cm\cdot s^{-1}\right]\;$» ce qui est réalisable en étant toutefois un peu faible voire très faible.
En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à $\;1\;m\;$ en translation rectiligne uniforme dans l'eau, En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à $\;\color {transparent}{1\;m}\;$ la forme de la résistance de l'eau choisie ne peut pas être linéaire, elle doit être au mieux quadratique,
En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à $\;1\;mm\;$ en translation rectiligne uniforme dans l'eau, En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à $\;\color {transparent}{1\;mm}\;$ la forme de la résistance de l'eau choisie peut être linéaire si l'objet est très lent, En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à $\;\color {transparent}{1\;mm}\;$ la forme de la résistance de l'eau sinon elle doit raisonnablement être quadratique.

#### Exemple d'un mouvement de translation d'une boule dans la glycérine

On considère une boule $\;({\mathcal {B}})$, de rayon $\;R$, en translation rectiligne uniforme de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{({\mathcal {B}})}\;$ se déplaçant dans la glycérine ; On considère une boule $\;\color {transparent}{({\mathcal {B}})}$, nous nous proposons de chercher le domaine de valeurs de $\;R\;$ pour que la forme de la résistance de la glycérine soit linéaire ou quadratique On considère une boule $\;\color {transparent}{({\mathcal {B}})}$, nous nous proposons de chercher connaissant la valeur de la viscosité dynamique de la glycérine «$\;\eta _{\text{glyc}}\simeq 1,49\;kg\cdot m^{-1}\!\cdot s^{-1}=1,49\;Pl\;$ ainsi que On considère une boule $\;\color {transparent}{({\mathcal {B}})}$, nous nous proposons de chercher connaissant sa masse volumique «$\;\rho _{\text{glyc}}\simeq 1,26\,10^{3}\,kg\cdot m^{-3}\;$» donnant On considère une boule $\;\color {transparent}{({\mathcal {B}})}$, nous nous proposons de chercher connaissant la valeur de une viscosité cinématique de glycérine «$\;\nu _{\text{glyc}}={\dfrac {\eta _{\text{glyc}}}{\rho _{\text{glyc}}}}\simeq {\dfrac {1,49}{1,26\,10^{3}}}\simeq 1,18\,10^{-3}\,m^{2}\!\cdot s^{-1}=11,8\;St\;$, On considère une boule $\;\color {transparent}{({\mathcal {B}})}$, nous nous proposons de chercher connaissant la « longueur transversale $\;L_{({\mathcal {B}})}\;$ caractéristique d'une boule étant son diamètre $\;2\,R\;$» ;
On considère une boule $\;\color {transparent}{({\mathcal {B}})}$, le nombre de Reynolds de la boule en translation rectiligne uniforme dans la glycérine s'écrivant «$\;{\mathfrak {R}}e={\dfrac {V_{({\mathcal {B}})}\;2\,R}{\nu _{\text{glyc}}}}\simeq {\dfrac {V_{({\mathcal {B}})}\;2\,R}{1,18\,10^{-3}}}\;$», On considère une boule $\;\color {transparent}{({\mathcal {B}})}$, la forme de la résistance de la glycérine sera $\blacktriangleright \;$linéaire si «$\;{\mathfrak {R}}e\simeq {\dfrac {V_{({\mathcal {B}})}\;2\,R}{1,18\,10^{-3}}}\lesssim 1\;$» correspondant à une vitesse «$\;V_{({\mathcal {B}})}\lesssim {\dfrac {1,18\,10^{-3}}{2\,R}}\;$ en $\;m\cdot s^{-1}\;$» soit On considère une boule $\;\color {transparent}{({\mathcal {B}})}$, la forme de la résistance de la glycérine sera $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$linéaire $\succ \;$pour une boule de rayon $\;R=0,5\,mm\;$, «$\;V_{({\mathcal {B}})}\lesssim {\dfrac {1,18\,10^{-3}}{1,0\,10^{-3}}}\simeq 1,18\;m\cdot s^{-1}\;$» soit On considère une boule $\;\color {transparent}{({\mathcal {B}})}$, la forme de la résistance de la glycérine sera $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$linéaire $\color {transparent}{\succ }\;$pour une boule de rayon $\;\color {transparent}{R=0,5\,mm}\;$, «$\;V_{({\mathcal {B}})}\lesssim 1,18\;m\cdot s^{-1}\;$» réalisable même si les objets de taille millimétrique se déplacent usuellement beaucoup plus rapidement On considère une boule $\;\color {transparent}{({\mathcal {B}})}$, la forme de la résistance de la glycérine sera $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$linéaire $\succ \;$pour une boule de rayon $\;R=0,5\,m\;$, «$\;V_{({\mathcal {B}})}\lesssim {\dfrac {1,18\,10^{-3}}{1,0}}\simeq 1,18\,10^{-3}\;m\cdot s^{-1}\;$» soit On considère une boule $\;\color {transparent}{({\mathcal {B}})}$, la forme de la résistance de la glycérine sera $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$linéaire $\color {transparent}{\succ }\;$pour une boule de rayon $\;\color {transparent}{R=0,5\,m}\;$, «$\;V_{({\mathcal {B}})}\lesssim 1,18\;mm\cdot s^{-1}\;$» ce qui est très lent mais néanmoins réalisable même si la vitesse reste « escargotesque » ; On considère une boule $\;\color {transparent}{({\mathcal {B}})}$, la forme de la résistance de la glycérine sera $\blacktriangleright \;$quadratique si «$\;10^{3}\lesssim {\mathfrak {R}}e\simeq {\dfrac {V_{({\mathcal {B}})}\;2\,R}{1,18\,10^{-3}}}\lesssim 2\,10^{5}\;$» correspondant à «$\;V_{({\mathcal {B}})}\;{\underset {\sim }{\in }}\;\left[{\dfrac {1,18}{2\,R}}\;,\;{\dfrac {236}{2\,R}}\right]\;$ en $\;m\cdot s^{-1}\;$» soit On considère une boule $\;\color {transparent}{({\mathcal {B}})}$, la forme de la résistance de la glycérine sera $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$quadratique $\succ \;$pour une boule de rayon $\;R=0,5\,mm\;$, «$\;V_{({\mathcal {B}})}\;{\underset {\sim }{\in }}\;\left[{\dfrac {1,18}{1,0\,10^{-3}}}\simeq 1,18\,10^{3}\;;\;{\dfrac {236}{1,0\,10^{-3}}}\simeq 236\,10^{3}\right]\;$ On considère une boule $\;\color {transparent}{({\mathcal {B}})}$, la forme de la résistance de la glycérine sera $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$quadratique $\color {transparent}{\succ }\;$pour une boule de rayon $\;\color {transparent}{R=0,5\,mm}\;$, «$\;\color {transparent}{V_{({\mathcal {B}})}\;{\underset {\sim }{\in }}}\;$ en $\;m\cdot s^{-1}\;$» On considère une boule $\;\color {transparent}{({\mathcal {B}})}$, la forme de la résistance de la glycérine sera $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$quadratique $\color {transparent}{\succ }\;$pour une boule de rayon $\;\color {transparent}{R=0,5\,mm}\;$, ou «$\;V_{({\mathcal {B}})}\;{\underset {\sim }{\in }}\;\left[1,18\;km\cdot s^{-1}\;,\;236\;km\cdot s^{-1}\right]\;$» On considère une boule $\;\color {transparent}{({\mathcal {B}})}$, la forme de la résistance de la glycérine sera $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$quadratique $\color {transparent}{\succ }\;$pour une boule de rayon $\;\color {transparent}{R=0,5\,mm}\;$, «$\;\color {transparent}{V_{({\mathcal {B}})}\;{\underset {\sim }{\in }}}\;$ ce qui est réalisable On considère une boule $\;\color {transparent}{({\mathcal {B}})}$, la forme de la résistance de la glycérine sera $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$quadratique $\succ \;$pour une boule de rayon $\;R=0,5\,m\;$, «$\;V_{({\mathcal {B}})}\;{\underset {\sim }{\in }}\;\left[{\dfrac {1,18}{1,0}}\simeq 1,18\;,\;{\dfrac {236}{1,0}}\simeq 236\right]\;$ en $\;m\cdot s^{-1}\;$» ou On considère une boule $\;\color {transparent}{({\mathcal {B}})}$, la forme de la résistance de la glycérine sera $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$quadratique $\color {transparent}{\succ }\;$pour une boule de rayon $\;\color {transparent}{R=0,5\,m}\;$, «$\;V_{({\mathcal {B}})}\;{\underset {\sim }{\in }}\;\left[1,18\;m\cdot s^{-1}\;,\;236\;m\cdot s^{-1}\right]\;$» On considère une boule $\;\color {transparent}{({\mathcal {B}})}$, la forme de la résistance de la glycérine sera $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$quadratique $\color {transparent}{\succ }\;$pour une boule de rayon $\;\color {transparent}{R=0,5\,m}\;$, «$\;\color {transparent}{V_{({\mathcal {B}})}\;{\underset {\sim }{\in }}}\;$ ce qui est réalisable.
En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à $\;1\;m\;$ en translation rectiligne uniforme dans la glycérine, En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à $\;\color {transparent}{1\;m}\;$ la forme de la résistance de la glycérine choisie peut certes être linéaire pour un objet de vitesse « escargotesque », En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à $\;\color {transparent}{1\;m}\;$ la forme de la résistance de la glycérine mais, plus vraisemblablement, elle doit être quadratique,
En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à $\;1\;mm\;$ en translation rectiligne uniforme dans la glycérine, En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à $\;\color {transparent}{1\;mm}\;$ la forme de la résistance de la glycérine choisie peut encore linéaire aux faibles vitesses, En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à $\;\color {transparent}{1\;mm}\;$ la forme de la résistance de la glycérine mais elle doit raisonnablement être quadratique.

#### Conclusion

L'étude précédente nous montre qu'une forme linéaire de résistance de fluide est rare car nécessitant, le plus souvent, des vitesses trop faibles, à l'exception de fluide très visqueux comme la glycérine, il est donc vraisemblable que la résistance du fluide soit quadratique.

## 3ème exemple de forces de contact, force résultant du contact avec un solide, liaisons unilatérale ou bilatérale, idéales (c.-à-d. sans frottement) ou non idéales (c.-à-d. avec frottement)
### Notions de liaisons unilatérale ou bilatérale

Nous supposons que le système de points matériels fermé indéformable $\;({\mathcal {S}})\;$ est en contact avec un ou deux support${\big$s${\big )}$ solide${\big$s${\big )}$, Nous supposons suivant le nombre de supports en contact « un » ou « deux » $\;({\mathcal {S}})\;$ est dit en liaisons « unilatérale » ou « bilatérale » soit, plus précisément :

#### Liaison unilatérale

Lorsqu'un système de points matériels fermé indéformable $\;({\mathcal {S}})\;$ est au contact de la surface d'un support solide $\;(\Sigma )\;$ et Lorsqu'il peut occuper toute position située d'un côté de cette surface $\;{\big$en général l'extérieur du support${\big )}$, on dit qu'il est en « liaison unilatérale » Lorsqu'il peut occuper toute position située d'un côté de cette surface $\;{\big$voir figure ci-contre à droite${\big )}$ ;
le support solide $\;(\Sigma )\;$ exerce en tout point de contact avec le système de points matériels fermé indéformable $\;({\mathcal {S}})\;$ le support solide $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ exerce une force empêchant ce dernier de traverser la surface de contact, la résultante des forces exercées par $\;(\Sigma )\;$ sur $\;({\mathcal {S}})\;$ est appelée « réaction de $\;(\Sigma )\;$ sur $\;({\mathcal {S}})\;$» et notée $\;{\vec {R}}_{({\mathcal {S}})\,\leftarrow \,(\Sigma )}\;$ ou plus simplement la résultante des forces exercées par $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ est appelée « réaction de $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$» et notée $\;{\vec {R}}\;$ quand il n'y a pas d'ambiguïté ;
quand il y a contact effectif entre $\;({\mathcal {S}})\;$ et $\;(\Sigma )$, «$\;{\vec {R}}\;$ est dirigée vers l'extérieur de $\;(\Sigma )\;$ si le domaine non interdit de $\;({\mathcal {S}})\;$ est l'extérieur de $\;(\Sigma )\;$» et quand il n'y a plus contact entre $\;({\mathcal {S}})\;$ et $\;(\Sigma )$, «$\;{\vec {R}}={\vec {0}}\;$»
$\;{\big$
${\big )}$

#### Liaison bilatérale

Lorsqu'un système de points matériels fermé indéformable $\;({\mathcal {S}})\;$ est au contact des surfaces voisines $\;\Sigma _{\text{int}}\;$ et $\;\Sigma _{\text{ext}}\;$ de deux supports solides et Lorsqu'il ne peut occuper que les positions situées entre ces deux surfaces, on dit qu'il est en « liaison bilatérale » $\;{\big$voir figure ci-contre à gauche${\big )}$ ;
pratiquement le contact est assuré avec l'une ou l'autre des surfaces des supports solides $\;(\Sigma _{\text{int}})\;$ et $\;(\Sigma _{\text{ext}})$, mais pas les deux simultanément, pratiquement quand l'un d'entre eux $\;(\Sigma _{\text{int}})\;$ ou $\;(\Sigma _{\text{ext}})\;$ est en contact effectif avec le système de points matériels fermé indéformable $\;({\mathcal {S}})\;$ pratiquement quand l'un d'entre eux $\;(\Sigma _{\text{int}})\;$ ou $\;(\Sigma _{\text{ext}})\;$ exerce, en tout point de ce contact, une force empêchant $\;({\mathcal {S}})\;$ de traverser la surface de contact, pratiquement quand l'un d'entre eux la résultante des forces exercées par l'une ou l'autre des surfaces des supports solides $\;(\Sigma _{\text{int}})\;$ ou $\;(\Sigma _{\text{ext}})\;$ pratiquement quand l'un d'entre eux la résultante des forces est appelée « réaction de $\;(\Sigma )\;$ sur $\;({\mathcal {S}})\;$» et notée $\;{\vec {R}}_{({\mathcal {S}})\,\leftarrow \,(\Sigma )}\;$ ou plus simplement pratiquement quand l'un d'entre eux la résultante des forces est appelée « réaction de $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$» et notée $\;{\vec {R}}\;$ quand il n'y a pas d'ambiguïté ;
«$\;{\vec {R}}\;$ est donc dans un sens ou un autre suivant que le contact effectif est avec l'une ou l'autre des surfaces des supports solides $\;(\Sigma _{\text{int}})\;$ ou $\;(\Sigma _{\text{ext}})\;$» :
$\;\succ \;$si le contact effectif de $\;({\mathcal {S}})\;$ est avec $\;(\Sigma _{\text{int}})\;$, «$\;{\vec {R}}\;$ est dirigé vers $\;(\Sigma _{\text{ext}})\;$» $\;{\big$voir figure ci-contre à gauche${\big )}\;$ et
$\;\succ \;$si le contact effectif de $\;({\mathcal {S}})\;$ est avec $\;(\Sigma _{\text{ext}})\;$, «$\;{\vec {R}}\;$ est dirigé vers $\;(\Sigma _{\text{int}})\;$» $\;{\big$voir figure ci-contre à gauche${\big )}$.

### Composante normale de réaction et force de frottement solide

Soit $\;{\vec {n}}\;$ un vecteur unitaire normal à la surface $\;{\big$commune${\big )}$ $\;\Sigma \;$ du ou des support${\big$s${\big )}$ solide${\big$s${\big )}\;$ défini au « point d’application de la réaction de $\;{\vec {R}}\;$ sur $\;({\mathcal {S}})\;$», Soit $\;\color {transparent}{\vec {n}}\;$ son sens est choisi usuellement, « en cas de liaison unilatérale, vers l'extérieur du support solide de surface $\;\Sigma \;$ si le domaine non interdit de $\;({\mathcal {S}})\;$ est l'extérieur de $\;(\Sigma )\;$ » et Soit $\;\color {transparent}{\vec {n}}\;$ son sens est choisi arbitrairement « en cas de liaison bilatérale » ;
nous notons $\;\blacktriangleright \;$«$\;{\vec {R}}_{n}\;$ la projection de $\;{\vec {R}}\;$ sur la normale » soit «$\;{\vec {R}}_{n}=R_{n}\;{\vec {n}}\;$» où $\;R_{n}\;$ est appelée « composante normale de la réaction » nous notons $\;\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$«$\;\color {transparent}{{\vec {R}}_{n}}\;$ la projection de $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ sur la normale » soit «$\;\color {transparent}{{\vec {R}}_{n}=R_{n}\;{\vec {n}}}\;$» où $\;\color {transparent}{R_{n}}\;$ laquelle est $\;\geqslant 0\;$ pour une liaison unilatérale et de valeur réelle quelconque pour une liaison bilatérale et nous notons $\;\blacktriangleright \;$«$\;{\vec {R}}_{\tau }\;$ la projection de $\;{\vec {R}}\;$ sur le plan tangent à $\;(\Sigma )\;$ au point de contact » soit «$\;{\vec {R}}_{\tau }=R_{\tau }\;{\vec {\tau }}\;$» où $\;{\vec {R}}_{\tau }\;$ est appelée « force de frottement solide » ;
finalement «$\;{\vec {R}}=R_{n}\;{\vec {n}}+{\vec {R}}_{\tau }\;$» avec «$\;R_{n}\geqslant 0\;$ en liaison unilatérale et $\;R_{n}\;$ quelconque en liaison bilatérale ».

### Notions de liaisons « idéale » (ou sans frottement) et « non idéale » (ou avec frottement)

$14$
La puissance développée par la réaction $\;{\vec {R}}\;$ du support $\;(\Sigma )\;$ sur le système de points matériels fermé indéformable $\;({\mathcal {S}})\;$ dans un référentiel lié à $\;(\Sigma )\;$ s'écrivant «$\;{\mathcal {P}}({\vec {R}})={\vec {R}}\cdot {\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}(t)\;$», La puissance développée par la réaction $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ du support $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ sur le système de points matériels fermé indéformable $\;({\mathcal {S}})\;$ étant en translation de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}(t)\;$ relativement à $\;(\Sigma )$, La puissance développée par la réaction $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ se réécrit, en utilisant la décomposition de $\;{\vec {R}}\;$ précédemment introduite, «$\;{\mathcal {P}}({\vec {R}})=\left[R_{n}\;{\vec {n}}+{\vec {R}}_{\tau }\right]\!\cdot {\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}(t)={\cancel {R_{n}\;{\vec {n}}\cdot {\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}(t)\;+}}\;{\vec {R}}_{\tau }\cdot {\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}(t)\;$», La puissance développée par la réaction $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ se réécrit, en utilisant la décomposition de $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ précédemment introduite $\;{\big$le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}(t)\;$ étant nécessairement dans le plan tangent à $\;(\Sigma ){\big ]}$, La puissance développée par la réaction $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ se réécrit, «$\;{\mathcal {P}}({\vec {R}})={\vec {R}}_{\tau }\cdot {\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}(t)\;$» ; on distingue alors deux types de liaisons :

#### Liaison idéale (ou sans frottement)

Le système de points matériels fermé indéformable $\;({\mathcal {S}})\;$ est dit « en liaison idéale$\;{\big$ou sans frottement${\big )}\;$» avec la surface $\;\Sigma \;$ du ou des support${\big$s${\big )}$ solide${\big$s${\big )}$ si «$\;{\vec {R}}_{\tau }={\vec {0}}\;$» ;
$\;{\vec {R}}\;$
$\;\Sigma \;$
$\;({\mathcal {S}})\;$
$\;\perp \;$
$\;\Sigma \;$
${\big$
${\big )}$
${\big$
${\big )}$
Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable $\;({\mathcal {S}})\;$ est en mouvement de translation relativement au référentiel lié à $\;(\Sigma )$, Dans le cas où il est équivalent de définir la liaison de $\;({\mathcal {S}})\;$ avec la surface $\;\Sigma \;$ du ou des support${\big$s${\big )}$ solide${\big$s${\big )}$ comme « idéale$\;{\big$ou sans frottement${\big )}\;$» si «$\;{\mathcal {P}}({\vec {R}})=0\;$».

#### Liaison non idéale (ou avec frottement)

Le système de points matériels fermé indéformable $\;({\mathcal {S}})\;$ est dit « en liaison non idéale$\;{\big$ou avec frottement${\big )}\;$» avec la surface $\;\Sigma \;$ du ou des support${\big$s${\big )}$ solide${\big$s${\big )}$ si,  Le système de points matériels fermé indéformable $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ est dit « en liaison non idéale$\succ \;$en envisageant toute situation de repos de $\;({\mathcal {S}})\;$ par rapport à $\;(\Sigma )$, « il y en a au moins une où $\;{\vec {R}}_{\tau }\neq {\vec {0}}\;$» et Le système de points matériels fermé indéformable $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ est dit « en liaison non idéale$\succ \;$dans tout état de translation de $\;({\mathcal {S}})\;$ par rapport à $\;(\Sigma )$, « la force de frottement solide $\;{\vec {R}}_{\tau }\;$ est toujours $\;\neq {\vec {0}}\;$» ;
Le système de points matériels fermé indéformable $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ est dit « en liaison non idéalela réaction $\;{\vec {R}}\;$ de la surface $\;\Sigma \;$ sur le système $\;({\mathcal {S}})\;$ est donc telle que Le système de points matériels fermé indéformable $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ est dit « en liaison non idéale la réaction $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$$\blacktriangleright \;$il existe « au moins un cas de repos de $\;({\mathcal {S}})\;$ relativement à $\;(\Sigma )\;$ où $\;{\vec {R}}\;\not \perp \;$ à $\;\Sigma \;$» et Le système de points matériels fermé indéformable $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ est dit « en liaison non idéale la réaction $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$$\blacktriangleright \;$dans l'hypothèse de translation de $\;({\mathcal {S}})\;$ par rapport à $\;(\Sigma )$, Le système de points matériels fermé indéformable $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ est dit « en liaison non idéale la réaction $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$$\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$dans l'hypothèse de translation de $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ « la réaction $\;{\vec {R}}\;$ de $\;(\Sigma )\;$ sur $\;({\mathcal {S}})\;$ est toujours $\;\not \perp \;$ à $\;\Sigma \;$».
Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable $\;({\mathcal {S}})\;$ est en mouvement de translation relativement au référentiel lié à $\;(\Sigma )$, Dans le cas où il est équivalent de définir la liaison de $\;({\mathcal {S}})\;$ avec la surface $\;\Sigma \;$ du ou des support${\big$s${\big )}$ solide${\big$s${\big )}$ comme « non idéale$\;{\big$ou avec frottement${\big )}\;$» si «$\;{\mathcal {P}}({\vec {R}})\neq 0\;$».

### Expressions empiriques des lois de frottement « solide » de Coulomb

En toute rigueur il y a toujours des frottements naturels dus à la rugosité entre $\;({\mathcal {S}})\;$ et $\;(\Sigma )$, indispensables dans certaines situations $\;{\big$sans frottements, nous ne pourrions pas marcher sur Terre${\big )}\;$ mais En toute rigueur il y a toujours des frottements naturels dus à la rugosité entre $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ et $\;\color {transparent}{(\Sigma )}$, indésirables dans d’autres ;
pour éliminer les frottements naturels si tel est le cas, il est nécessaire d'avoir des surfaces très polies $\;{\big$comme des surfaces verglacées${\big )}\;$ ou $\;{\big$et${\big )}\;$ pour éliminer les frottements naturels si tel est le cas, il est nécessaire de mettre une « couche de fluide $\;{\big$coussin d’air ou film d’huile${\big )}\;$ entre $\;({\mathcal {S}})\;$ et $\;(\Sigma )\;$», pour éliminer les frottements naturels si tel est le cas, il est nécessaire de mettre ceci entraînant une «$\;\searrow \;$ importante des forces de frottement solide », pour éliminer les frottements naturels si tel est le cas, il est nécessaire de mettre il devient légitime de négliger les frottements initialement solides c.-à-d. de considérer la liaison comme idéale.
Dans le cas d'une liaison réellement non idéale, on doit distinguer la situation de « repos » de $\;({\mathcal {S}})\;$ sur le ou les support${\big$s${\big )}$ solide${\big$s${\big )}\;$ de surface $\;\Sigma \;$ dans le référentiel lié à cette dernière Dans le cas d'une liaison réellement non idéale, on doit distinguer de celle du « mouvement de translation » de $\;({\mathcal {S}})\;$ sur le ou les support${\big$s${\big )}$ solide${\big$s${\big )}\;$ de surface $\;\Sigma \;$ dans le référentiel lié à $\;(\Sigma )$ Dans le cas d'une liaison réellement non idéale, on doit distinguer pour énoncer les lois empiriques de frottement solide de Coulomb :

#### Loi de frottement « solide » sans glissement de Coulomb

$\;({\mathcal {S}})\;$ est au repos sur le ou les support${\big$s${\big )}$ solide${\big$s${\big )}\;$ de surface $\;\Sigma \;$ dans le référentiel lié à cette dernière ${\big$a priori « présence de force de frottement solide $\;{\vec {R}}_{\tau }\;$» avec absence de glissement${\big ]}$ $\;{\big$voir schéma ci-contre où la liaison est unilatérale${\big )}$ ;
si une force $\;{\vec {F}}_{m}\;$ tend à faire glisser $\;({\mathcal {S}})\;$ sur $\;(\Sigma )\;$ suivant $\;{\vec {V}}_{{\text{mouv. hyp}}_{{\mathcal {S}})}\;$ ${\big\!\Rightarrow$ choix du vecteur unitaire tangentiel $\;{\vec {\tau }}\;$ dans le « sens de la force qui pourrait créer le déplacement » c.-à-d. le « sens de $\;{\vec {V}}_{{\text{mouv. hyp}}_{{\mathcal {S}})}\;$» ou encore le « sens du mouvement de glissement susceptible de se produire »${\big ]}$,
si une force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ tend à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ suivant $\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{{\text{mouv. hyp}}_{{\mathcal {S}})}}\;$ le support solide $\;(\Sigma )\;$ réagit en exerçant sur $\;({\mathcal {S}})\;$ une force de frottement solide $\;{\vec {R}}_{\tau }\;$ s'opposant à la mise en mouvement de $\;({\mathcal {S}})\;$ sur $\;\Sigma$ $\;{\big$c.-à-d. de même direction et de sens contraire à $\;{\vec {V}}_{{\text{mouv. hyp}}_{{\mathcal {S}})}{\big ]}$ ;
sur l'exemple ci-contre, la force $\;{\vec {F}}_{m}\;$ tendant à déplacer $\;({\mathcal {S}})\;$ est exercée vers la gauche $\Rightarrow$ la création, de la part de $\;(\Sigma )$, d'une force de frottement solide $\;{\vec {R}}_{\tau }\;$ orientée vers la droite ;
sur l'exemple ci-contre, s'il n'y a pas glissement, $\;{\vec {R}}_{\tau }=-{\vec {F}}_{m}$, sur l'exemple ci-contre, si on fait $\;\nearrow \,\Vert {\vec {F}}_{m}\Vert$, la norme de la force de frottement solide $\;\Vert {\vec {R}}_{\tau }\Vert \,\nearrow \;$ pour maintenir le repos $\;\ldots \;$ mais $\;\Vert {\vec {R}}_{\tau }\Vert \;$ ne pouvant $\;\nearrow \;$ indéfiniment, on observe qu'il existe une valeur de $\;\Vert {\vec {F}}_{m}\Vert \;$ à partir de laquelle le glissement s'amorcera ;
sur l'exemple ci-contre, de même la composante normale de la réaction $\;R_{n}\,{\vec {n}}\;$ s’oppose à la pénétration de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans $\;(\Sigma )$, or sur l'exemple ci-contre, de même la force pressante $\;{\vec {F}}_{p}\;$ de $\;({\mathcal {S}})\;$ sur $\;(\Sigma )\;$ s'exerçant normalement $\Rightarrow$ $\;R_{n}\,{\vec {n}}=-{\vec {F}}_{p}\;$ en absence de pénétration sur l'exemple ci-contre, de même et si la force $\;{\vec {F}}_{m}\;$ tangentielle varie sans modifier la force pressante $\;{\vec {F}}_{p}\;$ de direction normale, $\;R_{n}\,{\vec {n}}=-{\vec {F}}_{p}\;$ en absence de pénétration reste applicable $\Rightarrow$ la norme de la composante normale de la réaction $\;R_{n}\;$ reste une constante indépendante de $\;\Vert {\vec {F}}_{m}\Vert$ ;
sur l'exemple ci-contre, en résumé, tant que $\;({\mathcal {S}})\;$ ne glisse pas sur $\;(\Sigma )$, la $\;\nearrow \;$ de $\;\Vert {\vec {F}}_{m}\Vert \;$ sans modifier $\;{\vec {F}}_{p}\;$ s'accompagne d'une $\;\nearrow \;$ de $\;\Vert {\vec {R}}_{\tau }\Vert \;$ à $\;R_{n}\;$ constant c.-à-d. sur l'exemple ci-contre, en résumé, tant que $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ ne glisse pas sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}$, la $\;\color {transparent}{\nearrow }\;$ de $\;\color {transparent}{\Vert {\vec {F}}_{m}\Vert }\;$ sans modifier $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{p}}\;$ s'accompagne d'une $\;\nearrow \;$ de l'inclinaison de $\;{\vec {R}}\;$ relativement à la normale ;
sur l'exemple ci-contre, la « valeur maximale de $\;\Vert {\vec {F}}_{m}\Vert \;$ pour laquelle le non glissement est maintenu », définit un « angle maximal d’inclinaison de $\;{\vec {R}}\;$ par rapport à la normale pour qu'il n'y ait pas glissement » ; cet angle maximal d'inclinaison est noté $\;\varphi \;$ et appelé « angle limite de frottement$\;{\big$solide${\big )}\;$» ;
sur l'exemple ci-contre, on définit aussi le « cône limite de frottement$\;{\big$solide${\big )}\;$» au point de contact $\;M\;$, comme le « cône de révolution, de sommet $\;M$, d’axe normal à $\;(\Sigma )\;$ en $\;M\;$ et de demi angle au sommet $\;\varphi \;$» $\;{\big$voir schéma ci-contre${\big )}$ ;
sur l'exemple ci-contre, la condition de non glissement s'énonce alors selon :
$\;({\mathcal {S}})\;$
$\;(\Sigma )\;$
$\;{\vec {R}}\;$
sur l'exemple ci-contre, d'après le schéma précédent ci-dessus à droite, $\;{\vec {R}}\;$ reste strictement à l'intérieur du cône limite de frottement sur l'exemple ci-contre, d'après le schéma précédent ci-dessus à droite, « ssi $\;\alpha <\varphi \;$ avec $\;\alpha \;$ l'angle non orienté entre $\;{\vec {R}}\;$ et $\;{\vec {n}}\;$» sur l'exemple ci-contre, d'après le schéma précédent ci-dessus à droite, ce qui est une 2nde écriture de la condition de non glissement ;
sur l'exemple ci-contre, on en déduit encore, avec «$\;\tan(\alpha )={\dfrac {\Vert {\vec {R}}_{\tau }\Vert }{R_{n}}}\;$» et en introduisant le « cœfficient de frottement solide $\;f=\tan(\varphi )\;$», sur l'exemple ci-contre, on en déduit encore, que la condition de non glissement $\;\alpha <\varphi \;$ $\Rightarrow$ $\;\tan(\alpha )<\tan(\varphi )\;$ se réécrit «$\;{\dfrac {\Vert {\vec {R}}_{\tau }\Vert }{R_{n}}}<f\;$» et au final
$\;\Vert {\vec {R}}_{\tau }\Vert <f\;R_{n}\;$
$\;f\;$
$\;({\mathcal {S}})\;$
$\;(\Sigma )\;$

#### Loi de frottement « solide » avec glissement de Coulomb

Si une force $\;{\vec {F}}_{m}\;$ tend à faire glisser $\;({\mathcal {S}})\;$ sur le ou les support${\big$s${\big )}$ solide${\big$s${\big )}\;$ de surface $\;\Sigma \;$ dans le référentiel lié à cette dernière suivant $\;{\vec {V}}_{{\text{mouv. hyp}}_{{\mathcal {S}})}$, le support solide $\;(\Sigma )\;$ réagit en exerçant sur $\;({\mathcal {S}})\;$ une force de frottement $\;{\big$solide${\big )}$ $\;{\vec {R}}_{\tau }\;$ s'opposant à sa mise en mouvement $\;{\big$c.-à-d. de même direction et de sens contraire à $\;{\vec {V}}_{{\text{mouv. hyp}}_{{\mathcal {S}})}{\big ]}$ $\;{\big$dernier schéma dans « loi de frottement solide sans glissement de Coulomb » plus haut dans ce chapitre${\big )}\;$ et
Si une force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ tend à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ si $\;\Vert {\vec {F}}_{m}\Vert \;$ dépasse la valeur maximale de non glissement $\;\Vert {\vec {F}}_{m}\Vert _{\text{max pour non glissement}}$, le système $\;({\mathcal {S}})\;$ se met à glisser sur $\;(\Sigma )\;$ dans la direction et le sens de $\;{\vec {F}}_{m}\;$ ${\big$qui sont aussi la direction et le sens de $\;{\vec {V}}_{{\text{mouv. hyp}}_{{\mathcal {S}})}$, le mouvement hypothétique devenant ainsi réel${\big ]}\;$ avec un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}(t)\;$ dépendant de l'instant $\;t\;$ repéré à partir du début du glissement ;
Si une force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ tend à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ pendant le temps du glissement de $\;({\mathcal {S}})\;$ sur $\;(\Sigma )\;$, la force de frottement $\;{\big$solide${\big )}$ $\;{\vec {R}}_{\tau }\;$ garde la direction de $\;{\vec {F}}_{m}\;$ et le sens opposé à celui de cette dernière $\;{\big{\vec {R}}_{\tau }\;$ a pour direction celle de $\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}(t)\;$ et pour sens le sens opposé à $\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}(t){\big ]}$, elle s'oppose donc au mouvement de $\;({\mathcal {S}})\;$ sur $\;(\Sigma )\;$ dans le référentiel lié au${\big$x${\big )}$ support${\big$s${\big )}$ solide${\big$s${\big )}$ ; reste à évaluer la norme de la force de frottement $\;{\big$solide${\big )}$ $\;{\vec {R}}_{\tau }$, on vérifie alors expérimentalement que celle-ci garde la valeur qu'elle a prise quand le glissement a démarré ;
Si une force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ tend à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ la condition de glissement $\;({\mathcal {S}})\;$ sur $\;(\Sigma )\;$ peut se traduire d'une 1ère façon selon :
$\;({\mathcal {S}})\;$
$\;(\Sigma )\;$
$\;{\vec {R}}\;$
$\;{\big$
${\big )}$
Si une force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ tend à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ pendant le temps du glissement de $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}$, la force pressante $\;{\vec {F}}_{p}\;$ de $\;({\mathcal {S}})\;$ sur $\;(\Sigma )\;$ s'exerçant normalement reste de norme constante, en absence de pénétration $\;R_{n}\,{\vec {n}}=-{\vec {F}}_{p}\;$ et par suite, la norme de la composante normale de la réaction $\;R_{n}\;$ reste une constante indépendante de $\;\Vert {\vec {F}}_{m}\Vert$ ;
Si une force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ tend à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ d'après le schéma ci-dessous à droite, $\;{\vec {R}}\;$ reste sur le cône limite de frottement Si une force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ tend à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ d'après le schéma ci-dessous à droite, « ssi $\;\alpha =\varphi \;$ avec $\;\alpha \;$ l'angle non orienté entre $\;{\vec {R}}\;$ et $\;{\vec {n}}\;$» Si une force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ tend à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ d'après le schéma ci-dessous à droite, ce qui est une 2nde écriture de la condition de glissement ;
Si une force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ tend à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ on en déduit, avec «$\;\tan(\alpha )={\dfrac {\Vert {\vec {R}}_{\tau }\Vert }{R_{n}}}\;$» et le « cœfficient de frottement solide$\;f=\tan(\varphi )\;$», Si une force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ tend à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ on en déduit, que la condition de glissement $\;\alpha =\varphi \Rightarrow \tan(\alpha )=\tan(\varphi )\;$ se réécrit «$\;{\dfrac {\Vert {\vec {R}}_{\tau }\Vert }{R_{n}}}=f\;$»
$\;\Vert {\vec {R}}_{\tau }\Vert =f\;R_{n}\;$
$\;f\;$
$\;({\mathcal {S}})\;$
$\;(\Sigma )\;$
$\;{\vec {R}}_{\tau }\;$
$\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}(t)\;$
$\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}(t)$
Remarques : on observe que, pendant le glissement du système de points matériels fermé indéformable $\;({\mathcal {S}})\;$ sur le ou les support${\big$s${\big )}$ solide${\big$s${\big )}\;$ de surface $\;\Sigma$, $\;\Vert {\vec {R}}_{\tau }\Vert \;$ reste constante quelle que soit la norme de la force $\;{\vec {F}}_{m}\;$ à condition que la norme $\;R_{n}\;$ de la composante normale de la réaction soit constante, cette dernière exigence nécessitant que la norme de la force pressante de $\;({\mathcal {S}})\;$ sur $\;(\Sigma )\;$, à savoir $\;\Vert {\vec {F}}_{p}\Vert \;$ le soit.
Remarques : En fait le cœfficient de frottement $\;f\;$ défini comme le rapport $\;{\dfrac {\Vert {\vec {R}}_{\tau }\Vert }{R_{n}}}\;$ de la norme de la force de frottement solide sur celle de la composante normale de la réaction quand il y a glissement est légèrement $\;\neq \;$ de la valeur maximale du rapport $\;{\dfrac {\Vert {\vec {R}}_{\tau }\Vert }{R_{n}}}\;$ de la norme de la force de frottement solide sur celle de la composante normale de la réaction pour qu'il n'y ait pas glissement, le 1er étant légèrement $\;<\;$ au 2nd mais dans la pratique on ne fait pas la différence ;
Remarques : toutefois le programme de physique de P.C.S.I. introduit cette distinction en appelant « cœfficient de frottement dynamique $\;f_{d}\;$» le 1er et Remarques : toutefois le programme de physique de P.C.S.I. introduit cette distinction en appelant « cœfficient de frottement statique $\;f_{s}\;$» le 2nd Remarques : toutefois le programme de physique de P.C.S.I. introduit cette distinction en appelant avec «$\;f_{d}\lesssim f_{s}\;$» ;
Remarques : toutefois le programme de physique de P.C.S.I. introduit cette distinction la condition de non glissement s'écrit alors «$\;\Vert {\vec {R}}_{\tau }\Vert <f_{s}\;R_{n}\;$» et
Remarques : toutefois le programme de physique de P.C.S.I. introduit cette distinction la condition de glissement s'écrit alors «$\;\Vert {\vec {R}}_{\tau }\Vert =f_{d}\;R_{n}\;$» qui est alors «$\;\lesssim f_{s}\;R_{n}\;$» ;
Remarques : toutefois le programme de physique de P.C.S.I. il faut aussi faire la distinction entre angles limites de frottement dynamique $\;\varphi _{d}\;$ et statique $\;\varphi _{s}\;$ avec «$\;\varphi _{d}\lesssim \varphi _{s}\;$» tout comme Remarques : toutefois le programme de physique de P.C.S.I. il faut aussi faire la distinction entre cônes limites de frottement dynamique et statique, le 1er étant d'angle au sommet $\;\lesssim \;$ à celui du 2nd $\;\ldots$
Puissance développée par la réaction$\;{\vec {R}}\;$du support solide$\;(\Sigma )\;$ sur le système$\;({\mathcal {S}})\;$lors du glissement de ce dernier sur la surface du 1er : Puissance développée par la réaction$\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$sachant que «$\;{\mathcal {P}}({\vec {R}})={\vec {R}}_{\tau }\cdot {\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}(t)\;$» et que «$\;{\vec {R}}_{\tau }\;$ est de même direction que $\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}(t)\;$ mais de sens opposé », on en déduit «$\;{\mathcal {P}}({\vec {R}})<0\;$» puis,
Puissance développée par la réaction$\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$sachant que «$\;\Vert {\vec {R}}_{\tau }\Vert =f\;R_{n}\;$» $\;{\big$loi de frottement « solide » avec glissement de Coulomb${\big )}\;$ il en découle «$\;{\mathcal {P}}({\vec {R}})=-f\;R_{n}\;v_{({\mathcal {S}})}(t)\;$» avec Puissance développée par la réaction$\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$sachant que «$\;v_{({\mathcal {S}})}(t)\;$ la vitesse instantanée de glissement de $\;({\mathcal {S}})\;$ sur $\;(\Sigma )\;$ ».

## 4ème exemple de forces de contact, force résultant du contact avec un fil, cas du fil idéal
### Notion de fil idéal

Un fil est dit « idéal » si sa masse peut être négligée relativement aux autres masses et si sa longueur est considérée comme constante ;

### Liaison d'un système de points matériels fermé à un fil idéal

Supposons un système de points matériels $\;({\mathcal {S}})\;$ fermé, indéformable et attaché en $\;M\;$ à une extrémité d'un fil idéal $\;({\mathit {f}})$, ce fil étant libre entre ses deux extrémités et tendu par action sur l'autre extrémité non attachée au système $\;({\mathcal {S}})\;$ d'une force $\;{\vec {F}}_{m}\;$ ${\big$voir schéma ci-contre${\big )}$ ;
on constate que le fil est rectiligne de direction identique à celle de la force $\;{\vec {F}}_{m}\;$ et
on constate qu'il exerce une force sur $\;({\mathcal {S}})\;$ notée $\;{\vec {F}}_{({\mathcal {S}})\,\leftarrow \,({\mathit {f}})}\;$ $\succ \;$de support « la direction du fil en $\;M\;$»,  on constate qu'il exerce une force sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ notée $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{({\mathcal {S}})\,\leftarrow \,({\mathit {f}})}}\;$ $\succ \;$de sens « de $\;M\;$ vers $\;({\mathit {f}})\;$» et  on constate qu'il exerce une force sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ notée $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{({\mathcal {S}})\,\leftarrow \,({\mathit {f}})}}\;$ $\succ \;$de norme « non nulle dans la mesure où le fil est tendu »$^,$ ;
en appelant $\;{\vec {u}}_{({\mathcal {S}})\,\rightarrow \,({\mathit {f}})}\;$ le vecteur unitaire orientant le fil en $\;M\;$ lié à $\;({\mathcal {S}})\;$ vers $\;({\mathit {f}})$, on peut écrire «$\;{\vec {F}}_{({\mathcal {S}})\,\leftarrow \,({\mathit {f}})}=F_{({\mathcal {S}})\,\leftarrow \,({\mathit {f}})}\;{\vec {u}}_{({\mathcal {S}})\,\rightarrow \,({\mathit {f}})}\;$» en appelant $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{({\mathcal {S}})\,\rightarrow \,({\mathit {f}})}}\;$ le vecteur unitaire orientant le fil en $\;\color {transparent}{M}\;$ lié à $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ vers $\;\color {transparent}{({\mathit {f}})}$, on peut écrire avec «$\;F_{({\mathcal {S}})\,\leftarrow \,({\mathit {f}})}>0\;$» appelé en appelant $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{({\mathcal {S}})\,\rightarrow \,({\mathit {f}})}}\;$ le vecteur unitaire orientant le fil en $\;\color {transparent}{M}\;$ lié à $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ vers $\;\color {transparent}{({\mathit {f}})}$, on peut écrire « tension du fil en $\;M\;$».

### Fil idéal tendu, libre entre ses extrémités, notion de tension en un point du fil

La cohésion d'un fil idéal $\;({\mathit {f}})$, libre entre ses deux extrémités, suppose qu'un élément de longueur $\;dl\;$ situé en n'importe quel point du fil, subit de la part du reste du fil deux forces notées respectivement sur le schéma ci-contre $\;{\vec {F}}_{dl\,\leftarrow \,({\mathit {f}}_{\text{gauche}})}\;$ et $\;{\vec {F}}_{dl\,\leftarrow \,({\mathit {f}}_{\text{droite}})}$, telles que la r.f.d.n. du point appliquée à l'« élément de longueur $\;dl\;$ » détermine son mouvement ;
compte-tenu du fait que le fil est supposé sans masse $\;{\big$dans un champ de pesanteur il est donc également sans poids${\big )}\;$ et compte-tenu du fait qu'il est libre entre ses deux extrémités, compte-tenu l'élément de longueur $\;dl\;$ n'est soumis qu'à ces deux forces d'où, en appelant $\;{\vec {a}}_{dl}(t)\;$ son vecteur accélération, compte-tenu l'élément de longueur $\;\color {transparent}{dl}\;$ n'est soumis qu'à ces deux forces d'où, la r.f.d.n. s'écrit compte-tenu l'élément de longueur $\;\color {transparent}{dl}\;$ n'est soumis qu'à ces deux forces d'où, «$\;{\vec {F}}_{dl\,\leftarrow \,({\mathit {f}}_{\text{gauche}})}+{\vec {F}}_{dl\,\leftarrow \,({\mathit {f}}_{\text{droite}})}=0\times {\vec {a}}_{dl}(t)\;$»$^,$ ou compte-tenu l'élément de longueur $\;\color {transparent}{dl}\;$ n'est soumis qu'à ces deux forces d'où, «$\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{dl\,\leftarrow \,({\mathit {f}}_{\text{gauche}})}+{\vec {F}}_{dl\,\leftarrow \,({\mathit {f}}_{\text{droite}})}}$$\;={\vec {0}}\;$ soit «$\;{\vec {F}}_{dl\,\leftarrow \,({\mathit {f}}_{\text{gauche}})}=-{\vec {F}}_{dl\,\leftarrow \,({\mathit {f}}_{\text{droite}})}\;\;({\mathfrak {a}})\;$» ;
les deux forces ont donc une direction commune « celle du fil au point $\;P$, centre de l'élément de longueur $\;dl\;$», les deux forces ont donc une direction commune et appelant «$\;{\vec {\tau }}_{P}\;$ le vecteur unitaire tangentiel au point $\;P\;$ orienté de la gauche vers la droite », il vient «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {F}}_{dl\,\leftarrow \,({\mathit {f}}_{\text{droite}})}=F_{dl\,\leftarrow \,({\mathit {f}}_{\text{droite}})}\;{\vec {\tau }}_{P}\\{\vec {F}}_{dl\,\leftarrow \,({\mathit {f}}_{\text{gauche}})}=-F_{dl\,\leftarrow \,({\mathit {f}}_{\text{gauche}})}\;{\vec {\tau }}_{P}\end{array}}\right\rbrace \;$» les deux forces ont donc une direction commune et appelant «$\;\color {transparent}{{\vec {\tau }}_{P}}\;$ le vecteur unitaire tangentiel au point $\;\color {transparent}{P}\;$ orienté de la gauche vers la droite », traduisant le sens des forces sur la direction de $\;{\vec {\tau }}_{P}$ ;
les deux forces ont donc une direction commune avec la relation $\;({\mathfrak {a}})\;$ on en déduit «$\;F_{dl\,\leftarrow \,({\mathit {f}}_{\text{gauche}})}=F_{dl\,\leftarrow \,({\mathit {f}}_{\text{droite}})}\;$» c.-à-d. la même tension du fil aux deux extrémités de l'élément de longueur $\;dl$.
En conclusion, un « fil idéal, tendu, libre entre ses deux extrémités, est rectiligne et la tension en ses différents points est la même »$^,$.

### Fil idéal tendu, au contact « parfait » d'un support solide entre ses deux extrémités, notion de tension en un point du fil reposant sur le support solide

Nous supposons un contact « parfait », c.-à-d. sans frottement solide, entre le fil idéal $\;({\mathit {f}})\;$ et le support solide $\;{\big$sur l'exemple ci-contre le support solide est un cylindre de révolution d'axe passant par $\;O\;$ et $\;\perp \;$ au plan de la figure contenant le fil${\big )}$ ;
nous admettons, pour l'instant, que le fil idéal au contact parfait du support solide, nous admettons, pour l'instant, que le fil idéal tendu entre les deux points de contact extrêmes avec le support $\;A\;$ et $\;B\;$, nous admettons, pour l'instant, que le fil idéal $\succ \;$suit la courbure du support entre ces deux points et nous admettons, pour l'instant, que le fil idéal $\succ \;$que « la tension du fil y est constante »$^,$ ;
$\;{\vec {F}}_{dl\,\leftarrow \,({\mathit {f}}_{\text{gauche}})}\;$ et $\;{\vec {F}}_{dl\,\leftarrow \,({\mathit {f}}_{\text{droite}})}\;$ s'exerçant sur l'élément de longueur $\;dl\;$ n’ont pas la même direction, en effet, $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{dl\,\leftarrow \,({\mathit {f}}_{\text{gauche}})}}\;$ et $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{dl\,\leftarrow \,({\mathit {f}}_{\text{droite}})}}\;$ l'élément de longueur $\;dl\;$ suivant la courbure du support solide, ce dernier exerce sur lui, en absence de frottement solide, une réaction $\;{\vec {R}}\neq {\vec {0}}\;$ de direction $\perp \;$ à la surface du support et par suite, $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{dl\,\leftarrow \,({\mathit {f}}_{\text{gauche}})}}\;$ et $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{dl\,\leftarrow \,({\mathit {f}}_{\text{droite}})}}\;$ l’application de la r.f.d.n. du point appliquée à l'« élément de longueur $\;dl\;$ » donne, $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{dl\,\leftarrow \,({\mathit {f}}_{\text{gauche}})}}\;$ et $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{dl\,\leftarrow \,({\mathit {f}}_{\text{droite}})}}\;$ l’application de la r.f.d.n. compte-tenu du fait que le fil est supposé sans masse $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{dl\,\leftarrow \,({\mathit {f}}_{\text{gauche}})}}\;$ et $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{dl\,\leftarrow \,({\mathit {f}}_{\text{droite}})}}\;$ l’application de la r.f.d.n. «$\;{\vec {F}}_{dl\,\leftarrow \,({\mathit {f}}_{\text{gauche}})}+{\vec {F}}_{dl\,\leftarrow \,({\mathit {f}}_{\text{droite}})}+{\vec {R}}=0\times {\vec {a}}_{dl}(t)\;$»$^,$ ou $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{dl\,\leftarrow \,({\mathit {f}}_{\text{gauche}})}}\;$ et $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{dl\,\leftarrow \,({\mathit {f}}_{\text{droite}})}}\;$ l’application de la r.f.d.n. «$\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{dl\,\leftarrow \,({\mathit {f}}_{\text{gauche}})}+{\vec {F}}_{dl\,\leftarrow \,({\mathit {f}}_{\text{droite}})}+{\vec {R}}}$$\;={\vec {0}}\;$» d'où
$\;{\vec {F}}_{dl\,\leftarrow \,({\mathit {f}}_{\text{gauche}})}+{\vec {F}}_{dl\,\leftarrow \,({\mathit {f}}_{\text{droite}})}=-{\vec {R}}\neq {\vec {0}}\;$
$\Rightarrow$
$\;{\vec {F}}_{dl\,\leftarrow \,({\mathit {f}}_{\text{gauche}})}\;$
$\;{\vec {F}}_{dl\,\leftarrow \,({\mathit {f}}_{\text{droite}})}\;$
Remarques : Dans le cas du schéma ci-dessus $\;{\big$c.-à-d. d'un support solide cylindrique de révolution${\big )}$, le support de la réaction $\;{\vec {R}}$, en absence de frottement solide, passe par $\;O\;$, Remarques : Dans le cas du schéma ci-dessus $\;\color {transparent}{\big$c.-à-d. d'un support solide cylindrique de révolution$\color {transparent}{\big )}$, ce support étant localement axe de symétrie de la figure, il est donc licite d'induire une même symétrie entre $\;{\vec {F}}_{dl\,\leftarrow \,({\mathit {f}}_{\text{gauche}})}\;$ et $\;{\vec {F}}_{dl\,\leftarrow \,({\mathit {f}}_{\text{droite}})}$ et par suite l'égalité de leur norme, cette valeur commune définissant alors la tension du fil au point $\;P\;$ centre de l'élément de longueur $\;dl$.
Remarques : Si le contact du fil sur le support solide est « avec frottement $\;{\big$solide${\big )}\;$», le fil « suit toujours la courbure du support entre les deux points de contact extrême » mais Remarques : Si le contact du fil sur le support solide est « avec frottement $\;\color {transparent}{\big$solide$\color {transparent}{\big )}\;$», « la tension n’y est plus rigoureusement constante » car la réaction $\;{\vec {R}}\;$ du support sur le fil au point $\;P\;$ Remarques : Si le contact du fil sur le support solide est « avec frottement $\;\color {transparent}{\big$solide$\color {transparent}{\big )}\;$», « la tension n’y est plus rigoureusement constante » car la réaction $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ est $\;{\cancel {\perp }}\;$ au support : en effet Remarques : Si le contact du fil sur le support solide est « avec frottement $\;\color {transparent}{\big$solide$\color {transparent}{\big )}\;$», si le fil tend à glisser vers la droite $\;{\big$parce qu'une force plus importante y est exercée${\big ]}\;$ Remarques : Si le contact du fil sur le support solide est « avec frottement $\;\color {transparent}{\big$solide$\color {transparent}{\big )}\;$», si le fil tend à glisser vers la droite la réaction est inclinée vers la gauche correspondant à Remarques : Si le contact du fil sur le support solide est « avec frottement $\;\color {transparent}{\big$solide$\color {transparent}{\big )}\;$», si le fil tend à glisser vers la droite une force de frottement solide $\;{\vec {R}}_{\tau }\;$ orientée vers la gauche, d'où Remarques : Si le contact du fil sur le support solide est « avec frottement $\;\color {transparent}{\big$solide$\color {transparent}{\big )}\;$», si le fil tend à glisser vers la droite «$\;\Vert {\vec {F}}_{dl\,\leftarrow \,({\mathit {f}}_{\text{gauche}})}\Vert \;$ est légèrement plus faible que $\;\Vert {\vec {F}}_{dl\,\leftarrow \,({\mathit {f}}_{\text{droite}})}\Vert \;$».

## Protocole expérimental pour étudier une loi de force

On veut étudier une « loi de force » en statique ou en dynamique, dans chaque cas On veut étudier une « loi de force » en statique ou en dynamique, il convient de préciser sans ambiguïté le système de points matériels fermé subissant la force que l'on cherche à étudier ainsi que On veut étudier une « loi de force » en statique ou en dynamique, il convient de préciser sans ambiguïté le référentiel d’étude lequel, pour l'instant, doit être « galiléen » ; dans un 1er temps, On veut étudier une « loi de force » en statique ou en dynamique, $\succ \;$faire le bilan des forces appliquées, en conservant uniquement les forces prédominantes parmi lesquelles doit figurer On veut étudier une « loi de force » en statique ou en dynamique, $\color {transparent}{\succ }\;$faire le bilan des forces appliquées, en conservant la force dont on recherche la loi de force puis On veut étudier une « loi de force » en statique ou en dynamique, $\succ \;$en statique, déterminer les expressions de toutes les forces prédominantes autres que celle que l'on étudie et On veut étudier une « loi de force » en statique ou en dynamique, $\color {transparent}{\succ }\;$en statique, en déduire cette dernière en écrivant la condition d’équilibre c.-à-d. « la nullité de la somme des forces appliquées » ; On veut étudier une « loi de force » en statique ou en dynamique, $\color {transparent}{\succ }\;$en statique, éventuellement changer quelques conditions paramétrables comme la pression ou la température imposées et On veut étudier une « loi de force » en statique ou en dynamique, $\color {transparent}{\succ }\;$en statique, éventuellement en déduire la conséquence correspondante sur la loi de force trouvée ; On veut étudier une « loi de force » en statique ou en dynamique, $\succ \;$en dynamique, déterminer les expressions de toutes les forces prédominantes autres que celle que l'on étudie ainsi que On veut étudier une « loi de force » en statique ou en dynamique, $\color {transparent}{\succ }\;$en dynamique, déterminer le vecteur accélération de translation du système de points matériels fermé et On veut étudier une « loi de force » en statique ou en dynamique, $\color {transparent}{\succ }\;$en dynamique, déterminer la masse de ce dernier puis On veut étudier une « loi de force » en statique ou en dynamique, $\color {transparent}{\succ }\;$en dynamique, en déduire la loi de force cherchée en écrivant la « r.f.d.n. »$^,$ c.-à-d. « l'égalité entre la somme des forces appliquées et le produit de la masse du système par le vecteur accélération de ce dernier » ; On veut étudier une « loi de force » en statique ou en dynamique, $\color {transparent}{\succ }\;$en dynamique, éventuellement changer quelques conditions paramétrables comme la pression ou la température imposées et On veut étudier une « loi de force » en statique ou en dynamique, $\color {transparent}{\succ }\;$en dynamique, éventuellement en déduire la conséquence correspondante sur la loi de force trouvée.