# Mécanique 2 (PCSI)/Exercices/Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation
## Énergie cinétique d'un ensemble particulier de trois tiges sans masse coplanaires et de quatre points matériels

suite de l'exercice « Moment cinétique vectoriel d'un ensemble particulier de trois tiges sans masse coplanaires et de quatre points matériels » de la série d'exer.$2$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
Une tige $\;AB$, de masse négligeable, de longueur $\;4\;a$, est suspendue en son milieu $\;O\;$ fixe dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}$ ;
en $\;A\;$ et $\;B\;$ sont articulées deux tiges identiques $\;CD\;$ et $\;EF$, de masses négligeables, de longueur $\;2\;a$, $\;{\bigA\;$ milieu de $\;CD$, $\;B\;$ milieu de $\;EF{\big )}\;$ et les articulations sont telles que les trois tiges $\;AB$, $\;CD\;$ et $\;EF\;$ restent dans un même plan dans lequel sont choisis les deux 1$^{ers}$ vecteurs de la base cartésienne orthonormée directe $\;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\right)$, le 3ème vecteur de cette base $\;{\vec {u}}_{z}={\vec {u}}_{x}\wedge {\vec {u}}_{y}\;$ étant $\;\perp \;$ au plan contenant les trois tiges en pointant vers le lecteur, son sens définissant le sens $\;+\;$ des angles algébrisés de ce plan dans le sens antihoraire ;
aux extrémités $\;\left(C\,,\,D\,,\,E\,,\,F\right)\;$ sont fixés quatre points matériels identiques de masse $\;m$ ;
la position angulaire des tiges dans le plan $\;xOy\;$ est définie relativement à l'axe passant par le milieu des tiges et orienté par $\;{\vec {u}}_{x}\;$ selon :
* l'angle algébrisé $\;\varphi (t)={\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {OA}}(t)\right\rbrace }}\;$ pour repérer la tige $\;AB$,
* l'angle algébrisé $\;\alpha (t)={\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {Ax}}\,,\,{\overrightarrow {AC}}(t)\right\rbrace }}\;$ pour repérer la tige $\;CD\;$ et
* l'angle algébrisé $\;\beta (t)={\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {Bx}}\,,\,{\overrightarrow {BE}}(t)\right\rbrace }}\;$ pour repérer la tige $\;EF$.
En admettant le théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique $\;{\big$ou 2ème théorème de Kœnig${\big )}\;$ appliqué à un système de deux points matériels à savoir
En admettant le théorème de Kœnig l'énergie cinétique du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» évaluée à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ «$\;K({\text{syst}},\,t)\;$» est la somme
* de l'énergie cinétique barycentrique du système «$\;K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)\;$» évaluée à l'instant $\;t\;$ et
* de l'énergie cinétique du C.D.I. $\;G\;$ du système évaluée au même instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ $\;{\big$en attribuant au point fictif $\;G\;$ la masse $\;m_{\text{syst}}{\big ]}\;$ «$\;K\!(G,\,t)={\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)\;$»
En admettant le théorème de Kœnig soit, mathématiquement «$\;K({\text{syst}},\,t)=K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+K\!(G,\,t)=K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+{\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)\;$»,
évaluer, dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ et à l'instant $\;t$, l'énergie cinétique du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ constitué des trois tiges et des quatre points matériels «$\;K\!\left({\mathcal {S}},\,t\right)\;$» en fonction des données et des dérivées temporelles $\;\left\lbrace {\dot {\varphi }}(t)\,,\,{\dot {\alpha }}(t)\,,\,{\dot {\beta }}(t)\right\rbrace$.
$\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$
$\;t$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;K\!\left({\mathcal {S}},\,t\right)\;$
$\;t\;$
$\;K\!\left(AB,\,t\right)$
$\;K\!\left(CD_{\text{alourdie}},\,t\right)\;$
$\;K\!\left(EF_{\text{alourdie}},\,t\right)\;$
$\;K\!\left({\mathcal {S}},\,t\right)=K\!\left(AB,\,t\right)+K\!\left(CD_{\text{alourdie}},\,t\right)+K\!\left(EF_{\text{alourdie}},\,t\right)\;$
* «$\;K\!\left(AB,\,t\right)={\dfrac {1}{2}}\;J_{Oz}(AB)\;{\vec {\Omega }}_{AB}^{\,2}(t)\;$» avec «$\;{\vec {\Omega }}_{AB}(t)={\dot {\varphi }}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$ le vecteur rotation instantanée de la tige $\;AB\;$» et «$\;J_{Oz}(AB)\;$ son moment d'inertie relativement à la médiatrice $\;Oz\;$ lequel est nul pour une tige sans masse » d'où «$\;K\!\left(AB,\,t\right)=0\;\;\forall \;t\;$»,
* «$\;K\!\left(CD_{\text{alourdie}},\,t\right)=K^{\,*}\!\left(CD_{\text{alourdie}},\,t\right)+{\dfrac {1}{2}}\,\left(2\;m\right)\,{\vec {V}}_{A}^{\,2}(t)\;$» par application du 2ème théorème de Kœnig à l'ensemble de la tige $\;CD\;$ alourdie à ses extrémités par les points matériels de masse $\;m$, «$\;K^{\,*}\!\left(CD_{\text{alourdie}},\,t\right)\;$ étant l'énergie cinétique barycentrique de la tige $\;CD\;$ alourdie » et «$\;A\;$ le C.D.I. de cette tige alourdie de masse $\;2\;m\;$» $\;{\big$la tige étant sans masse${\big )}\;$ avec «$\;K^{\,*}\!\left(CD_{\text{alourdie}},\,t\right)={\dfrac {1}{2}}\;J_{Az}(CD_{\text{alourdie}})\;{\vec {\Omega }}_{{\text{tige }}CD}^{\,2}(t)\;$» dans lequel «$\;{\vec {\Omega }}_{{\text{tige }}CD}(t)={\dot {\alpha }}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$ est le vecteur rotation instantanée de la tige $\;CD\;$» et «$\;J_{Az}(CD_{\text{alourdie}})\;$ le moment d'inertie de la tige $\;CD\;$ alourdie à ses extrémités relativement à la médiatrice $\;Az\;$ encore égal à $\;J_{Az}(CD_{\text{alourdie}})=2\;m\;a^{2}$ $\;{\big$la tige $\;CD\;$ étant sans masse, il ne reste que le moment d'inertie de chaque point matériel${\big )}\;$» d'où «$\;K^{\,*}\!\left(CD_{\text{alourdie}},\,t\right)={\dfrac {1}{2}}\,\left(2\;m\;a^{2}\right)\,{\dot {\alpha }}^{\,2}(t)=m\;a^{2}\;{\dot {\alpha }}^{\,2}(t)\;$» et «$\;{\dfrac {1}{2}}\,\left(2\;m\right)\,{\vec {V}}_{A}^{\,2}(t)=m\,\left[{\vec {\Omega }}_{AB}(t)\wedge 2\;a\;{\vec {u}}_{r}(A,\,t)\right]^{2}=4\;m\;a^{2}\;{\dot {\varphi }}^{\,2}(t)\,\left[{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{r}(A,\,t)\right]^{2}=4\;m\;a^{2}\;{\dot {\varphi }}^{\,2}(t)\;$ » d'où «$\;K\!\left(CD_{\text{alourdie}},\,t\right)=m\;a^{2}\;{\dot {\alpha }}^{\,2}(t)+4\;m\;a^{2}\;{\dot {\varphi }}^{\,2}(t)=m\;a^{2}\,\left[4\;{\dot {\varphi }}^{\,2}(t)+{\dot {\alpha }}^{\,2}(t)\right]\;$»,
* «$\;K\!\left(EF_{\text{alourdie}},\,t\right)=K^{\,*}\!\left(EF_{\text{alourdie}},\,t\right)+{\dfrac {1}{2}}\,\left(2\;m\right)\,{\vec {V}}_{B}^{\,2}(t)\;$» par application du 2ème théorème de Kœnig à l'ensemble de la tige $\;EF\;$ alourdie à ses extrémités par les points matériels de masse $\;m$, «$\;K^{\,*}\!\left(EF_{\text{alourdie}},\,t\right)\;$ étant l'énergie cinétique barycentrique de la tige $\;EF\;$ alourdie » et «$\;B\;$ le C.D.I. de cette tige alourdie de masse $\;2\;m\;$» $\;{\big$la tige étant sans masse${\big )}\;$ avec «$\;K^{\,*}\!\left(EF_{\text{alourdie}},\,t\right)={\dfrac {1}{2}}\;J_{Bz}(EF_{\text{alourdie}})\;{\vec {\Omega }}_{{\text{tige }}EF}^{\,2}(t)\;$» dans lequel «$\;{\vec {\Omega }}_{{\text{tige }}EF}(t)={\dot {\beta }}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$ est le vecteur rotation instantanée de la tige $\;EF\;$» et «$\;J_{Bz}(EF_{\text{alourdie}})\;$ le moment d'inertie de la tige $\;EF\;$ alourdie à ses extrémités relativement à la médiatrice $\;Bz\;$ encore égal à $\;J_{Bz}(EF_{\text{alourdie}})=2\;m\;a^{2}$ $\;{\big$la tige $\;EF\;$ étant sans masse, il ne reste que le moment d'inertie de chaque point matériel${\big )}\;$» d'où «$\;K^{\,*}\!\left(EF_{\text{alourdie}},\,t\right)={\dfrac {1}{2}}\,\left(2\;m\;a^{2}\right)\,{\dot {\beta }}^{\,2}(t)=m\;a^{2}\;{\dot {\beta }}^{\,2}(t)\;$» et «$\;{\dfrac {1}{2}}\,\left(2\;m\right)\,{\vec {V}}_{B}^{\,2}(t)=m\,\left[{\vec {\Omega }}_{AB}(t)\wedge 2\;a\;{\vec {u}}_{r}(B,\,t)\right]^{2}=4\;m\;a^{2}\;{\dot {\varphi }}^{\,2}(t)\,\left[{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{r}(B,\,t)\right]^{2}=4\;m\;a^{2}\;{\dot {\varphi }}^{\,2}(t)\;$ » d'où «$\;K\!\left(EF_{\text{alourdie}},\,t\right)=m\;a^{2}\;{\dot {\beta }}^{\,2}(t)+4\;m\;a^{2}\;{\dot {\varphi }}^{\,2}(t)=m\;a^{2}\,\left[4\;{\dot {\varphi }}^{\,2}(t)+{\dot {\beta }}^{\,2}(t)\right]\;$» ;
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;K\!\left({\mathcal {S}},\,t\right)=K\!\left(AB,\,t\right)+K\!\left(CD_{\text{alourdie}},\,t\right)+K\!\left(EF_{\text{alourdie}},\,t\right)\;$
$\;K\!\left({\mathcal {S}},\,t\right)=m\;a^{2}\,\left[8\;{\dot {\varphi }}^{\,2}(t)+{\dot {\alpha }}^{\,2}(t)+{\dot {\beta }}^{\,2}(t)\right]\;$
Additif, démonstration du 2ème théorème de Kœnig $\;{\big$non demandé${\big )}$ : voir le paragraphe « démonstration (du théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique - ou 2ème théorème de Kœnig - appliqué à un système de deux points matériels) » du chap.$1$ de la leçon « Mécanique des systèmes de points » $\;\ldots$

## Quart de disque homogène de centre C limité par l'arc de cercle AB tournant autour de l'axe CA de son plan (2ème suite)

suite de l'exercice « Quart de disque homogène de centre C limité par l'arc de cercle AB tournant autour de l'axe CA de son plan » de la série d'exer.$5$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » et de l'exercice « Quart de disque homogène de centre C limité par l'arc de cercle AB tournant autour de l'axe CA de son plan (1re suite) » de la série d'exer.$3$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
On considère le quart de disque homogène $\;{\mathcal {D}}\;$ limité par le quart de cercle $\;{\overset {\;\frown }{\!AB}}\;$ et les deux rayons $\;CA\;$ et $\;CB\;$ respectivement perpendiculaires, avec $\;C\;$ centre du quart de cercle et $\;R\;$ le rayon de ce dernier $\;{\big$voir schéma ci-contre${\big )}$ ;
appelant $\;\sigma _{0}\;$ la masse surfacique constante du quart de disque, on se propose $\;{\Big \$en utilisant éventuellement les résultats de l'exercice précité en préambule à savoir la position du C.D.I. $\;G\;$ du quart de disque $\;{\mathcal {D}}\;$ ainsi que le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ de $\;G\;$ dans le référentiel du laboratoire $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}=\omega _{0}\;{\vec {u}}_{(CA)}\;$ de $\;{\mathcal {D}}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ $\;{\big{\vec {u}}_{(CA)}\;$ étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation${\big ]}\;$ ou de sa 1re suite précitée en préambule à savoir le vecteur moment cinétique $\;{\vec {L}}_{C}({\mathcal {D}},\,t)\;$ du quart de disque $\;{\mathcal {D}}\;$ relativement à $\;C\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}{\Big \}$ de déterminer l'énergie cinétique du quart de disque $\;{\mathcal {D}}\;$ relativement au référentiel du laboratoire $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}$.

### Détermination de l'énergie cinétique du quart de disque en rotation autour de l'axe CA avec un vecteur rotation instantanée connu dans le référentiel du laboratoire

Considérant la rotation du quart de disque limité par le quart de cercle $\;{\overset {\;\frown }{\!AB}}\;$ et les deux rayons respectivement perpendiculaires autour de l'axe $\;(CA)\;$ avec $\;C\;$ centre de l'arc de cercle, à la vitesse angulaire constante $\;\omega _{0}\;$ dans le référentiel du laboratoire $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}$,
* exprimer, sous forme d'une intégrale surfacique, l'énergie cinétique $\;K({\mathcal {D}},\,t)\;$ du quart de disque $\;{\mathcal {D}}\;$ dans le référentiel du laboratoire $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}$ $\;{\big$on pourra introduire le vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}=\omega _{0}\;{\vec {u}}_{z}\;$ avec $\;{\vec {u}}_{z}={\vec {u}}_{(CA)}\;$ le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation${\big ]}\;$ puis
* vérifier que l'énergie cinétique $\;K({\mathcal {D}},\,t)\;$ du quart de disque $\;{\mathcal {D}}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ suit la formule classique en fonction des vecteurs moment cinétique $\;{\vec {L}}_{C}({\mathcal {D}},\,t)\;$ et rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}=\omega _{0}\;{\vec {u}}_{z}\;$ d'un solide en rotation autour d'un axe fixe et
* évaluer l'énergie cinétique en fonction des données.
Le quart de disque homogène $\;{\mathcal {D}}\;$ limité par le quart de cercle $\;{\overset {\;\frown }{\!AB}}\;$ et les deux rayons $\;CA\;$ et $\;CB\;$ respectivement $\;\perp$ $\;{\bigC\;$ étant le centre du quart de cercle et $\;R\;$ le rayon de ce dernier${\big )}$, est en rotation uniforme autour de l'axe $\;CA\;$ de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}=\omega _{0}\;{\vec {u}}_{(CA)}=\omega _{0}\;{\vec {u}}_{z}\;$ ${\Big$on choisit de repérer le point générique $\;M\;$ de $\;{\mathcal {D}}\;$ par le système de coordonnées cylindro-polaires d'axe $\;CA\;$ appelé $\;{\overrightarrow {Cz}}\;$ par la suite, la base cylindro-polaire liée à $\;M\;$ étant notée «$\;\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho }(M)\,,\,{\vec {u}}_{\theta }(M)\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$» et les coordonnées cylindro-polaires de $\;M\;$ «$\;\left\lbrace \rho _{M}\,,\,\theta _{M}=\omega _{0}\;t+\theta _{(M,\,0)}\,,\,z_{M}\right\rbrace \;$» $\;{\big$voir ci-contre le repérage cylindro-polaire du C.D.I. $\;G\;$ du quart de disque $\;{\mathcal {D}}$, celui du point générique $\;M\;$ s'imaginant aisément${\big )}{\Big ]}$ ;
$\;K({\mathcal {D}},\,t)\;$
$\;{\mathcal {D}}\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$
$\;K({\mathcal {D}},\,t)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,{\mathcal {D}}}{\dfrac {1}{2}}\;\sigma _{0}\;{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t)\;dS_{M}\;$
$\;dS_{M}\;$
$\;M\in {\mathcal {D}}$
$\;{\mathcal {D}}\;$
$\;Cz\;$
$\;{\vec {\Omega }}=\omega _{0}\;{\vec {u}}_{z}\;$
$\;{\vec {V}}_{\!M}(t)={\vec {\Omega }}\wedge {\overrightarrow {CM}}(t)\;$
$\;{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t)=$
${\vec {V}}_{\!M}(t)\cdot \left[{\vec {\Omega }}\wedge {\overrightarrow {CM}}(t)\right]={\vec {\Omega }}\cdot \left[{\overrightarrow {CM}}(t)\wedge {\overrightarrow {CM}}(t)\right]\;$
$\;K({\mathcal {D}},\,t)={\dfrac {1}{2}}\;{\vec {\Omega }}\cdot \displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,{\mathcal {D}}}{\overrightarrow {CM}}(t)\wedge \sigma _{0}\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;dS_{M}\;$
$={\dfrac {1}{2}}\;{\vec {\Omega }}\cdot {\vec {L}}_{C}({\mathcal {D}},\,t)\;$
$\;\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,{\mathcal {D}}}{\overrightarrow {CM}}(t)\wedge \sigma _{0}\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;dS_{M}={\vec {L}}_{C}({\mathcal {D}},\,t)\;$
$\;M\;$
$\;{\vec {L}}_{C}({\mathcal {D}},\,t)=\sigma _{0}\;\omega _{0}\left[{\dfrac {\pi \;R^{\,4}}{16}}\;{\vec {u}}_{z}-{\dfrac {R^{\,4}}{8}}\;{\vec {u}}_{\rho }\right]\;$
$\;K({\mathcal {D}},\,t)={\dfrac {1}{2}}\;{\vec {\Omega }}\cdot {\vec {L}}_{C}({\mathcal {D}},\,t)$
$={\dfrac {1}{2}}\;\omega _{0}\;{\vec {u}}_{z}\cdot \left\lbrace \sigma _{0}\;\omega _{0}\left[{\dfrac {\pi \;R^{\,4}}{16}}\;{\vec {u}}_{z}-{\dfrac {R^{\,4}}{8}}\;{\vec {u}}_{\rho }\right]\right\rbrace \;$
$\;K({\mathcal {D}},\,t)=\sigma _{0}\;\omega _{0}^{\,2}\;{\dfrac {\pi \;R^{\,4}}{32}}\;$
$\;m_{\mathcal {D}}={\dfrac {\sigma _{0}\;\pi \;R^{\,2}}{4}}\;$
$\;{\vec {\Omega }}=\omega _{0}\;{\vec {u}}_{z}\;$
$\;K({\mathcal {D}},\,t)={\dfrac {m_{\mathcal {D}}\;R^{\,2}}{8}}\;{\vec {\Omega }}^{\,2}={\dfrac {1}{2}}\;J_{Cz}({\mathcal {D}})\;{\vec {\Omega }}^{\,2}\;$
$\;J_{Cz}({\mathcal {D}})=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,{\mathcal {D}}}\sigma _{0}\;\rho _{M}^{\,2}\;dS_{M}\;$
$\;{\mathcal {D}}\;$
$\;J_{Cz}({\mathcal {D}})={\dfrac {m_{\mathcal {D}}\;R^{\,2}}{4}}\;$

## Énergie cinétique d'un roulement à billes

Un roulement à billes est constitué de $\;n\;$ billes sphériques homogènes de masse $\;m$ $\;{\bign\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \left\lbrace 1\,,\,2\,,\,3\right\rbrace {\big )}$ ;
dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}$, la couronne intérieure de surface latérale cylindrique de rayon $\;R_{1}\;$ est fixe et dans le référentiel d'étude la couronne extérieure $\;{\big$assimilable à un tuyau cylindrique dont la masse $\;M\;$ est répartie uniformément sur sa surface${\big )}$, de rayon $\;R_{2}\;$ tourne à la vitesse angulaire $\;\Omega \;$ autour de l'axe $\;\Delta \;$ commun aux deux couronnes et au roulement à billes dont $\;O\;$ est le centre de symétrie.
Nous supposons que les billes, n'ayant pas de contact entre elles, roulent sans glisser à la fois sur la couronne intérieure et sur la couronne extérieure.
Nous admettons les expressions des moments d'inertie des solides suivants relativement à leur axe de révolution
* une boule $\;\left({\mathcal {B}}\right)$, homogène, de masse $\;m_{\left({\mathcal {B}}\right)}$, de rayon $\;r_{\left({\mathcal {B}}\right)}\;$ autour d'un diamètre quelconque $\;\Delta \;$ «$\;J_{\Delta }\!\left({\mathcal {B}}\right)={\dfrac {2}{5}}\;m_{\left({\mathcal {B}}\right)}\;r_{\left({\mathcal {B}}\right)}^{\,2}\;$»,
* un tuyau cylindrique $\;\left({\mathcal {T}}c\right)$, homogène, de masse $\;m_{\left({\mathcal {T}}c\right)}$, de rayon $\;r_{\left({\mathcal {T}}c\right)}\;$ autour de son axe de révolution $\;\Delta \;$ «$\;J_{\Delta }\!\left({\mathcal {T}}c\right)=m_{\left({\mathcal {T}}c\right)}\;r_{\left({\mathcal {T}}c\right)}^{\,2}\;$».
En admettant le théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique $\;{\big$ou 2ème théorème de Kœnig${\big )}\;$ appliqué à un système continu de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique à savoir, dans le cas d'une expansion tridimensionnelle,
En admettant le théorème de Kœnig l'énergie cinétique du système continu d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ «$\;\left\lbrace M\;\left(dm=\mu (M)\;d{\mathcal {V}}\right)\right\rbrace _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\;$» évaluée à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ «$\;K({\text{syst}},\,t)\;$» est la somme
* de l'énergie cinétique barycentrique du système «$\;K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)\;$» évaluée à l'instant $\;t\;$ et
* de l'énergie cinétique du C.D.I. $\;G\;$ du système évaluée au même instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ $\;{\big$en attribuant au point fictif $\;G\;$ la masse $\;m_{\text{syst}}{\big ]}\;$ «$\;K\!(G,\,t)={\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)\;$»
En admettant le théorème de Kœnig soit, mathématiquement «$\;K({\text{syst}},\,t)=K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+K\!(G,\,t)=K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+{\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)\;$»,
évaluer, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ et à l'instant $\;t$, l'énergie cinétique du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ constitué des couronnes intérieure et extérieure ainsi que du roulement à billes «$\;K\!\left({\mathcal {S}},\,t\right)\;$» en fonction de «$\;M$, $\;m$, $\;R_{2}$, $\;n\;$ et $\;\Omega \;$».
Un roulement de $\;n\;$ billes sphériques homogènes de masse $\;m$, $\;{\bign\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \left\lbrace 1\,,\,2\,,\,3\right\rbrace {\big )}$, sans contact entre elles, roule sans glisser
* sur la couronne intérieure $\;\left({\mathcal {C}}_{\text{int}}\right)\;$ de surface latérale cylindrique de rayon $\;R_{1}\;$ fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ ainsi que sur
* sur la couronne extérieure $\;\left({\mathcal {C}}_{\text{ext}}\right)$ $\;{\big$assimilable à un tuyau cylindrique de masse $\;M\;$ répartie uniformément sur sa surface${\big )}$, de rayon $\;R_{2}\;$ tournant, dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}$, à la vitesse angulaire $\;\Omega \;$ autour de l'axe $\;\Delta \;$ commun aux deux couronnes et au roulement à billes avec le point $\;O\;$ pour centre de symétrie de l'ensemble,
le roulement sans glissement d'une bille quelconque $\;\left({\mathcal {B}}\right)$, de rayon $\;r={\dfrac {R_{2}-R_{1}}{2}}$, de centre $\;C\;$ se faisant avec un vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\omega }}$ $\;{\big$à déterminer${\big )}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}$, $\;I_{1}\;$ étant le point de contact de la bille $\;\left({\mathcal {B}}\right)\;$ avec la couronne intérieure $\;\left({\mathcal {C}}_{\text{int}}\right)\;$ et $\;I_{2}\;$ celui avec la couronne extérieure $\;\left({\mathcal {C}}_{\text{ext}}\right)$,
nous repérons la position de $\;C\;$ dans le plan passant par $\;O\;$ et $\;\perp \;$ à $\;\Delta$ $\;{\big \$axe orienté par $\;{\vec {u}}_{z}\;$ dont le sens est choisi de façon à ce que le mouvement de la couronne extérieure $\;\left({\mathcal {C}}_{\text{ext}}\right)\;$ se fasse dans le sens $\;+{\big \}$ par repérage polaire de pôle $\;O\;$ avec $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\right\rbrace \;$ la base polaire liée au centre $\;C\;$ de coordonnées polaires $\;\left\lbrace r_{C}={\dfrac {R_{1}+R_{2}}{2}}\,,\,\theta _{C}=\Omega _{C}\;t+\theta _{0}\right\rbrace$, $\;\Omega _{C}\;$ étant la vitesse angulaire $\;{\big$à déterminer${\big )}\;$ du point $\;C\;$ autour de $\;\Delta \;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}$ $\;{\big$voir, ci-contre, la représentation d'une bille quelconque entre les deux couronnes${\big )}$ ;
le roulement sans glissement de la bille $\;\left({\mathcal {B}}\right)\;$ de centre $\;C$, sur la couronne intérieure $\;\left({\mathcal {C}}_{\text{int}}\right)\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ se traduit par «$\;{\vec {V}}_{I_{1}\,\in \,\left({\mathcal {B}}\right)}(t)={\vec {V}}_{I_{1}\,\in \,\left({\mathcal {C}}_{\text{int}}\right)}(t)\;$» avec «$\;{\vec {V}}_{I_{1}\,\in \,\left({\mathcal {C}}_{\text{int}}\right)}(t)={\vec {0}}\;$» et «$\;{\vec {V}}_{I_{1}\,\in \,\left({\mathcal {B}}\right)}(t)={\vec {V}}_{C}(t)+{\vec {\omega }}\wedge {\overrightarrow {CI_{1}}}(t)\;$» ${\Big \$le mouvement de $\;I_{1}\;\in \;{\mathcal {B}}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ résultant de la composition d'une translation de vecteur vitesse de translation $\;{\vec {V}}_{C}(t)\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ et d'une rotation de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\omega }}\;$ autour de $\;{\overrightarrow {Cz}}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{C}$ $\;{\big$le référentiel lié à $\;C\;$ en translation relativement à $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}{\big )}{\Big \}$ dans lequel «$\;{\vec {V}}_{C}(t)=\Omega _{C}\;{\vec {u}}_{z}\wedge {\overrightarrow {OC}}(t)=\Omega _{C}\;{\vec {u}}_{z}\wedge r_{C}\;{\vec {u}}_{r}=r_{C}\;\Omega _{C}\;{\vec {u}}_{\theta }\;$» et «$\;{\vec {\omega }}\wedge {\overrightarrow {CI_{1}}}(t)=\omega \;{\vec {u}}_{z}\wedge \left(-r\;{\vec {u}}_{r}\right)=-r\;\omega \;{\vec {u}}_{\theta }\;$» d'où la réécriture de la condition de non glissement de la bille $\;\left({\mathcal {B}}\right)\;$ sur la couronne intérieure $\;\left({\mathcal {C}}_{\text{int}}\right)\;$ «$\;r_{C}\;\Omega _{C}-r\;\omega =0\;$» ou «$\;{\dfrac {R_{2}+R_{1}}{2}}\;\Omega _{C}-{\dfrac {R_{2}-R_{1}}{2}}\;\omega =0\;$» soit finalement «$\;\left(R_{2}+R_{1}\right)\,\Omega _{C}-\left(R_{2}-R_{1}\right)\,\omega =0\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$» ;
le roulement sans glissement de la bille $\;\left({\mathcal {B}}\right)\;$ de centre $\;C$, sur la couronne extérieure $\;\left({\mathcal {C}}_{\text{ext}}\right)\;$ tournant à la vitesse angulaire $\;\Omega \;$ autour de $\;\Delta \;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ se traduit par «$\;{\vec {V}}_{I_{2}\,\in \,\left({\mathcal {B}}\right)}(t)={\vec {V}}_{I_{2}\,\in \,\left({\mathcal {C}}_{\text{ext}}\right)}(t)\;$» avec «$\;{\vec {V}}_{I_{1}\,\in \,\left({\mathcal {C}}_{\text{ext}}\right)}(t)=\Omega \;{\vec {u}}_{z}\wedge {\overrightarrow {OI_{2}}}(t)=\Omega \;{\vec {u}}_{z}\wedge R_{2}\;{\vec {u}}_{r}=R_{2}\;\Omega \;{\vec {u}}_{\theta }\;$» et «$\;{\vec {V}}_{I_{2}\,\in \,\left({\mathcal {B}}\right)}(t)={\vec {V}}_{C}(t)+{\vec {\omega }}\wedge {\overrightarrow {CI_{2}}}(t)\;$» ${\Big \$le mouvement de $\;I_{2}\;\in \;{\mathcal {B}}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ résultant de la composition d'une translation de vecteur vitesse de translation $\;{\vec {V}}_{C}(t)\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ et d'une rotation de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\omega }}\;$ autour de $\;{\overrightarrow {Cz}}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{C}$ $\;{\big$le référentiel lié à $\;C\;$ en translation relativement à $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}{\big )}{\Big \}$ dans lequel «$\;{\vec {V}}_{C}(t)=r_{C}\;\Omega _{C}\;{\vec {u}}_{\theta }\;$» et «$\;{\vec {\omega }}\wedge {\overrightarrow {CI_{2}}}(t)=\omega \;{\vec {u}}_{z}\wedge r\;{\vec {u}}_{r}=r\;\omega \;{\vec {u}}_{\theta }\;$» d'où la réécriture de la condition de non glissement de la bille $\;\left({\mathcal {B}}\right)\;$ sur la couronne extérieure $\;\left({\mathcal {C}}_{\text{ext}}\right)\;$ «$\;r_{C}\;\Omega _{C}+r\;\omega =$ $R_{2}\;\Omega \;$» ou «$\;{\dfrac {R_{2}+R_{1}}{2}}\;\Omega _{C}+{\dfrac {R_{2}-R_{1}}{2}}\;\omega =R_{2}\;\Omega \;$» soit finalement «$\;\left(R_{2}+R_{1}\right)\,\Omega _{C}+\left(R_{2}-R_{1}\right)\,\omega =2\;R_{2}\;\Omega \;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$» ;
éliminant $\;\Omega _{C}\;$ en formant «$\;\left({\mathfrak {2}}\right)-\left({\mathfrak {1}}\right)\;$» nous obtenons «$\;2\,\left(R_{2}-R_{1}\right)\,\omega =2\;R_{2}\;\Omega \;$» soit la vitesse angulaire de rotation de la bille autour de son centre $\;C\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ «$\;\omega ={\dfrac {R_{2}}{R_{2}-R_{1}}}\;\Omega \;$» et
éliminant $\;\omega \;$ en formant «$\;\left({\mathfrak {2}}\right)+\left({\mathfrak {1}}\right)\;$» nous obtenons «$\;2\,\left(R_{2}+R_{1}\right)\,\Omega _{C}=2\;R_{2}\;\Omega \;$» soit la vitesse angulaire de rotation du centre $\;C\;$ de la bille autour de $\;O\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ «$\;\Omega _{C}={\dfrac {R_{2}}{R_{2}+R_{1}}}\;\Omega \;$».
L'énergie cinétique «$\;K\!\left({\mathcal {S}},\,t\right)\;$» du « système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ constitué des couronnes intérieure et extérieure ainsi que du roulement à billes » dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ à l'instant $\;t$, étant la somme des énergies cinétiques de ses constituants au même instant et dans le même référentiel, s'évalue selon «$\;K\!\left({\mathcal {S}},\,t\right)=K\!\left({\mathcal {C}}_{\text{int}},\,t\right)+K\!\left({\mathcal {C}}_{\text{ext}},\,t\right)+n\;K\!\left({\mathcal {B}},\,t\right)\;$» avec
* «$\;K\!\left({\mathcal {C}}_{\text{int}},\,t\right)=0\;$», la couronne intérieure étant fixe dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}$,
* «$\;K\!\left({\mathcal {C}}_{\text{ext}},\,t\right)={\dfrac {1}{2}}\;J_{Oz}\!\left({\mathcal {C}}_{\text{ext}}\right)\;\Omega ^{\,2}={\dfrac {1}{2}}\;M\;R_{2}^{\,2}\;\Omega ^{\,2}\;$», la couronne extérieure tournant à la vitesse angulaire $\;\Omega \;$ autour de son axe $\;\left(Oz\right)\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}$ avec un moment d'inertie $\;J_{Oz}\!\left({\mathcal {C}}_{\text{ext}}\right)=M\;R_{2}^{\,2}\;$ et
* «$\;K\!\left({\mathcal {B}},\,t\right)\;$» se déterminant par application du 2ème théorème de Kœnig $\;{\big$ou théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique${\big )}\;$ dans le cadre d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle soit «$\;K\!\left({\mathcal {B}},\,t\right)=K^{\,*}\!({\mathcal {B}},\,t)+K\!(C,\,t)=K^{\,*}\!({\mathcal {B}},\,t)+{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{C}^{\,2}(t)\;$», «$\;C\;$ étant le C.D.I. de la bille $\;\left({\mathcal {B}}\right)$ $\;{\bigg$lequel décrit, dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}$, un cercle d'axe $\;Oz$, de rayon $\;r_{C}={\dfrac {R_{1}+R_{2}}{2}}$, à la vitesse angulaire $\;\Omega _{C}={\dfrac {R_{2}}{R_{2}+R_{1}}}\;\Omega {\bigg )}\;$ $\Rightarrow$ $\;V_{C}(t)=r_{C}\;\Omega _{C}={\dfrac {R_{1}+R_{2}}{2}}\;{\dfrac {R_{2}}{R_{2}+R_{1}}}\;\Omega ={\dfrac {R_{2}}{2}}\;\Omega \;$ $\Rightarrow$ $\;K\!(C,\,t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{C}^{\,2}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\,\left({\dfrac {R_{2}}{2}}\;\Omega \right)^{\!2}={\dfrac {1}{8}}\;m\;R_{2}^{\,2}\;\Omega ^{\,2}\;$» et «$\;K^{\,*}\!({\mathcal {B}},\,t)\;$ l'énergie cinétique barycentrique de la bille $\;\left({\mathcal {B}}\right)\;$ $\;{\bigg \$le mouvement de $\;\left({\mathcal {B}}\right)$ dans le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{\,*}\;$ de celle-ci étant une rotation autour de l'axe $\;Cz$, fixe dans $\;{\mathcal {R}}^{\,*}$, à la vitesse angulaire $\;\omega ={\dfrac {R_{2}}{R_{2}-R_{1}}}\;\Omega {\bigg \}$ $\Rightarrow$ $\;K^{\,*}\!({\mathcal {B}},\,t)=$ ${\dfrac {1}{2}}\;J_{Cz}\!\left({\mathcal {B}}\right)\;\omega ^{\,2}={\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {2}{5}}\;m\;r^{\,2}\;\omega ^{\,2}\;$ avec $\;J_{Cz}\!\left({\mathcal {B}}\right)={\dfrac {2}{5}}\;m\;r^{\,2}\;$ pour moment d'inertie de $\;\left({\mathcal {B}}\right)\;$ relativement à son axe $\;\left(Cz\right)\;$ ou encore $\;K^{\,*}\!({\mathcal {B}},\,t)={\dfrac {1}{5}}\;m\;r^{\,2}\;\omega ^{\,2}={\dfrac {m}{5}}\,\left({\dfrac {R_{2}-R_{1}}{2}}\right)^{\!2}\,\left({\dfrac {R_{2}}{R_{2}-R_{1}}}\;\Omega \right)^{\!2}=$ ${\dfrac {1}{20}}\;m\;R_{2}^{\,2}\;\Omega ^{\,2}\;$» soit finalement «$\;K\!\left({\mathcal {B}},\,t\right)=K^{\,*}\!({\mathcal {B}},\,t)+K\!(C,\,t)={\dfrac {1}{20}}\;m\;R_{2}^{\,2}\;\Omega ^{\,2}+{\dfrac {1}{8}}\;m\;R_{2}^{\,2}\;\Omega ^{\,2}={\dfrac {7}{40}}\;m\;R_{2}^{\,2}\;\Omega ^{\,2}\;$»,
$\;K\!\left({\mathcal {S}},\,t\right)\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$
$\;t$
$\;K\!\left({\mathcal {S}},\,t\right)=K\!\left({\mathcal {C}}_{\text{int}},\,t\right)+K\!\left({\mathcal {C}}_{\text{ext}},\,t\right)+n\;K\!\left({\mathcal {B}},\,t\right)=0+{\dfrac {1}{2}}\;M\;R_{2}^{\,2}\;\Omega ^{\,2}+n\;{\dfrac {7}{40}}\;m\;R_{2}^{\,2}\;\Omega ^{\,2}\;$
$\;K\!\left({\mathcal {S}},\,t\right)={\dfrac {1}{2}}\left(M+{\dfrac {7\;n}{20}}\;m\right)R_{2}^{\,2}\;\Omega ^{\,2}={\dfrac {1}{2}}\;M\;R_{2}^{\,2}\;\Omega ^{\,2}\times \left(1+{\dfrac {7\;n\;m}{20\;M}}\right)\;$
Additif, démonstration du 2ème théorème de Kœnig $\;{\big$non demandé${\big )}$ : voir le paragraphe « démonstration (du théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique - ou 2ème théorème de Kœnig - appliqué à un système continu de matière) » du chap.$4$ de la leçon « Mécanique des systèmes de points » $\;\ldots$
Additifs : détermination du moment d'inertie d'un tuyau cylindrique${\underline {\;\left({\mathcal {T}}c\right)\;}}$relativement à son axe de révolution${\underline {\;\left(Oz\right)}}\;$ : soit le tuyau cylindrique $\;\left({\mathcal {T}}c\right)\;$ homogène, de masse surfacique $\;\sigma _{0}$, d'axe de révolution $\;\left(Oz\right)$, de rayon $\;r_{\left({\mathcal {T}}c\right)}$, de masse $\;m_{\left({\mathcal {T}}c\right)}\;$ et de moment d'inertie $\;J_{\left(Oz\right)}\!\left({\mathcal {T}}c\right)\;$ par rapport à l'axe $\;\left(Oz\right)$ $\;{\big$moment d'inertie à évaluer${\big ]}$, son moment d'inertie $\;J_{\left(Oz\right)}\!\left({\mathcal {T}}c\right)\;$ relativement à l'axe $\;\left(Oz\right)\;$ est défini par «$\;J_{\left(Oz\right)}\!\left({\mathcal {T}}c\right)=$ $\displaystyle \iint _{\left({\mathcal {T}}c\right)}\sigma _{0}\;r_{\left({\mathcal {T}}c\right)}^{\,2}\;dS_{M}\;$»$^,$ soit «$\;J_{\left(Oz\right)}\!\left({\mathcal {T}}c\right)=\sigma _{0}\;r_{\left({\mathcal {T}}c\right)}^{\,3}\;\displaystyle \int _{z\,=\,-{\frac {h}{2}}}^{z\,=\,+{\frac {h}{2}}}\left[\displaystyle \int _{\theta \,=\,-\pi }^{\theta \,=\,\pi }d\theta \right]\,dz=\sigma _{0}\;r_{\left({\mathcal {T}}c\right)}^{\,3}\;2\;\pi \;h\;$» et finalement, la masse de $\;\left({\mathcal {T}}c\right)\;$ étant égale à $\;m_{\left({\mathcal {T}}c\right)}=$ $\sigma _{0}\;2\;\pi \;r_{\left({\mathcal {T}}c\right)}\;h$, «$\;J_{\left(Oz\right)}\!\left({\mathcal {T}}c\right)=m_{\left({\mathcal {T}}c\right)}\;r_{\left({\mathcal {T}}c\right)}^{\,2}\;$» C.Q.F.V. ;
additifs : détermination du moment d'inertie d'une boule${\underline {\;\left({\mathcal {B}}\right)\;}}$relativement à un de ses axes de symétrie${\underline {\;\left(Cz\right)}}\;$ : soit la boule $\;\left({\mathcal {B}}\right)\;$ homogène, de masse volumique $\;\mu _{0}$, ayant $\;\left(Cz\right)\;$ pour axe de symétrie, de rayon $\;r_{\left({\mathcal {B}}\right)}$, de masse $\;m_{\left({\mathcal {B}}\right)}\;$ et de moment d'inertie $\;J_{\left(Cz\right)}\!\left({\mathcal {B}}\right)\;$ par rapport à l'axe $\;\left(Cz\right)$ $\;{\big$grandeur à évaluer${\big ]}$, son moment d'inertie $\;J_{\left(Cz\right)}\!\left({\mathcal {B}}\right)\;$ par rapport à $\;\left(Cz\right)\;$ est défini par «$\;J_{\left(Cz\right)}\!\left({\mathcal {B}}\right)=\displaystyle \iiint _{\left({\mathcal {B}}\right)}\mu _{0}\;\rho ^{2}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$»$^,$ soit, avec «$\;\rho =r\;\sin(\theta )\;$» $\;{\Big\rho \;$ étant la coordonnée radiale du repérage cylindro-polaire d'axe $\;{\overrightarrow {Cz}}\;$ exprimée en fonction des coordonnées sphériques${\Big ]}$, en utilisant la méthode de calcul d'une intégrale volumique «$\;J_{\left(Cz\right)}\!\left({\mathcal {B}}\right)$ $=\mu _{0}\;\displaystyle \int _{r\,=\,0}^{r\,=\,r_{\left({\mathcal {B}}\right)}}r^{4}\left[\displaystyle \int _{\theta \,=\,0}^{\theta \,=\,\pi }\sin ^{3}(\theta )\,\left(\displaystyle \int _{\varphi \,=\,0}^{\varphi \,=\,2\;\pi }d\varphi \right)\,d\theta \right]dr=\mu _{0}\;2\;\pi \left[{\dfrac {r^{5}}{5}}\right]_{r\,=\,0}^{r\,=\,r_{\left({\mathcal {B}}\right)}}\displaystyle \int _{\theta \,=\,0}^{\theta \,=\,\pi }\sin ^{3}(\theta )\;d\theta ={\dfrac {2\;\pi \;\mu _{0}\;r_{\left({\mathcal {B}}\right)}^{\,5}}{5}}\;\displaystyle \int _{\cos(\theta )\,=\,1}^{\cos(\theta )\,=\,-1}\left[\cos ^{2}(\theta )-1\right]\,d\!\left[\cos(\theta )\right]\;$» ${\big \$ce dernier facteur étant une intégrale de la variable $\;\cos(\theta )\;$ aisément calculable${\big \}$ $\Rightarrow$ «$\;J_{\left(Cz\right)}\!\left({\mathcal {B}}\right)={\dfrac {2\;\pi \;\mu _{0}\;r_{\left({\mathcal {B}}\right)}^{\,5}}{5}}\left[{\dfrac {\cos ^{3}(\theta )}{3}}-\cos(\theta )\right]_{\cos(\theta )\,=\,1}^{\cos(\theta )\,=\,-1}={\dfrac {2\;\pi \;\mu _{0}\;r_{\left({\mathcal {B}}\right)}^{\,5}}{5}}\,\left\lbrace 2\left[{\dfrac {-1}{3}}-\left(-1\right)\right]\right\rbrace ={\dfrac {8\;\pi \;\mu _{0}\;r_{\left({\mathcal {B}}\right)}^{\,5}}{15}}\;$» soit finalement, la masse de $\;\left({\mathcal {B}}\right)\;$ étant égale à $\;m_{\left({\mathcal {B}}\right)}$ $=\mu _{0}\;{\dfrac {4\;\pi }{3}}\;r_{\left({\mathcal {B}}c\right)}^{\,3}$, «$\;J_{\left(Cz\right)}\!\left({\mathcal {B}}\right)={\dfrac {2}{5}}\;m_{\left({\mathcal {B}}\right)}\;r_{\left({\mathcal {B}}\right)}^{\,2}\;$» C.Q.F.V.