# Mécanique 2 (PCSI)/Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un solide en rotation autour d'un axe
## Généralisation de la cinétique des systèmes discrets de points matériels au cas des systèmes continus : masse, centre d’inertie et (vecteur) résultante cinétique
### Introduction

Les problèmes de mécanique à base de système discret $\;{\big$fermé${\big )}\;$ de points matériels ne peuvent être traités sans approximation que si le nombre de points matériels ne dépasse pas «$\;2\;$»,
au-delà de ce nombre et à condition qu'il reste « modéré », le traitement peut être réalisé à l’aide de gros ordinateurs de façon approchée ;
mais le plus souvent le nombre d'« entités élémentaires » assimilables à des points matériels est beaucoup plus grand et il est nécessaire de réaliser des schématisations :
* soit partitionner le système en échantillons mésoscopiques ou macroscopiques assimilables à des points matériels, le système ainsi obtenu étant constitué d’un nombre de points matériels ne dépassant pas le seuil critique de traitement par logiciel de calcul,
* soit se placer dans l'« approximation des milieux continus » : remplacement des répartitions « quantifiées » par des répartitions « continues » judicieusement choisies $\;{\Big \$par exemple lors de la définition de la masse «$\;dm\;$» d'un échantillon mésoscopique fermé de système centré en $\;M\;$ et contenant $\;dN\;$ entités élémentaires occupant un volume $\;d{\mathcal {V}}$, on remplace «$\;\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,dN}m_{k}\;$» par «$\;dm=\mu (M)\;d{\mathcal {V}}\;$» où «$\;\mu (M)\;$ est la masse volumique en $\;M\;$» supposée « variant continûment avec $\;M\;$» correspondant à une « modélisation volumique »$^,$${\Big \}$
Ainsi pour passer d’un système discret de $\;N\;$ points matériels, $\;{\bigN\;$ dépassant le seuil critique de traitement par logiciel de calcul${\big )}$, Ainsi pour passer à un système continu d’expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)$ $\;{\big$c'est-à-dire faire une « modélisation volumique »${\big )}$, Ainsi pour passer on remplace la somme discrète «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;g_{i}\;$» dans laquelle $\;g_{i}\;$ est une grandeur scalaire ou vectorielle caractérisant chaque point matériel Ainsi pour passer on remplace par l'intégrale volumique «$\;\displaystyle \iiint \limits _{\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;d{\mathcal {V}}\;g(M)\;$»$^,$$^,$.

### Masse d’un système continu de masse volumique « µ(M) »

$\;\succ \;$La masse $\;m_{\text{syst}}\;$ d'un système continu de matière, d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)$, de « masse volumique $\;\mu (M),\;M\in \left({\mathcal {V}}\right)\;$», est définie par
$\;m_{\text{syst}}=\displaystyle \iiint \limits _{\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;d{\mathcal {V}}\;$
un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ est « fermé » s'il n'y a pas d'échange de matière entre $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ et son extérieur, la conséquence est que la masse du système reste constante c'est-à-dire
$\;m_{\text{syst. fermé}}=cste\;$
si le volume de l'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, la masse volumique moyenne de ce dernier reste constante, ce qui correspond le plus vraisemblablement à $\;\mu (M)\;$ ne variant pas par rapport au temps $\;t$.
$\;\succ \;$La masse $\;m_{\text{syst}}\;$ d'un système continu de matière, d'expansion surfacique $\;\left(S\right)$, de « masse surfacique $\;\sigma (M),\;M\in \left(S\right)\;$», est définie par
$\;m_{\text{syst}}=\displaystyle \iint \limits _{\left(S\right)}\sigma (M)\;dS\;$
un système continu de matière d'expansion surfacique $\;\left(S\right)\;$ est « fermé » s'il n'y a pas d'échange de matière entre $\;\left(S\right)\;$ et son extérieur, la conséquence est que la masse du système reste constante c'est-à-dire
$\;m_{\text{syst. fermé}}=cste\;$
si l'aire de l'expansion surfacique $\;\left(S\right)\;$ contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, la masse surfacique moyenne de ce dernier reste constante, ce qui correspond le plus vraisemblablement à $\;\sigma (M)\;$ ne variant pas par rapport au temps $\;t$.
$\;\succ \;$La masse $\;m_{\text{syst}}\;$ d'un système continu de matière, d'expansion linéique $\;\left(\Gamma \right)$, de « masse linéique $\;\lambda (M),\;M\in \left(\Gamma \right)\;$», est définie par
$\;m_{\text{syst}}=\displaystyle \int \limits _{\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;d{\mathit {l}}\;$
un système continu de matière d'expansion linéique $\;\left(\Gamma \right)\;$ est « fermé » s'il n'y a pas d'échange de matière entre $\;\left(\Gamma \right)\;$ et son extérieur, la conséquence est que la masse du système reste constante c'est-à-dire
$\;m_{\text{syst. fermé}}=cste\;$
si la longueur de l'expansion linéique $\;\left(\Gamma \right)\;$ contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, la masse linéique moyenne de ce dernier reste constante, ce qui correspond le plus vraisemblablement à $\;\lambda (M)\;$ ne variant pas par rapport au temps $\;t$.
Remarque : Si le système continu de matière est « ouvert », défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle $\;(\Sigma )\;$ fermée, indéformable et fixe, la masse du système $\;m_{\text{syst}}\;$ peut toujours être définie mais celle-ci est alors dépendante de l'instant $\;t\;$ considéré c'est-à-dire «$\;m_{\text{syst. ouv.}}(t)\;$» :
Remarque : si de la matière sort de l'espace intérieur à $\;(\Sigma )\;$ sans qu'il y ait d'entrée $\;{\big$il y a donc fuite de matière${\big )}$, $\;m_{\text{syst. ouv.}}(t)\searrow \;$ quand $\;t\nearrow$,
Remarque : si de la matière entre dans l'espace intérieur à $\;(\Sigma )\;$ sans qu'il y ait de sortie $\;{\big$il y a donc apport de matière${\big )}$, $\;m_{\text{syst. ouv.}}(t)\nearrow \;$ quand $\;t\nearrow$,
Remarque : si de la matière entre dans l'espace intérieur à $\;(\Sigma )\;$ et que, simultanément, il en sort avec le même débit massique $\;{\big$cela correspond à un régime stationnaire de matière${\big )}$, $\;m_{\text{syst. ouv.}}(t)=cste\;$ quand $\;t\nearrow$.

### Centre d’inertie (ou centre de masse) d’un système continu (fermé) de masse volumique µ(M)

$\;\succ \;$Le centre d'inertie $\;{\big$C.D.I.${\big )}\;$ $\;G\;$ du système continu de matière $\;{\big$fermé${\big )}\;$ d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ est le « barycentre des positions instantanées des points décrivant $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ ayant pour densité volumique de cœfficient la masse volumique en chaque point » c'est-à-dire
$\;G\;$
$\;\displaystyle \iiint \limits _{M\in \left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overrightarrow {GM}}\;d{\mathcal {V}}_{M}={\vec {0}}\;$
$\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$
$\;\left({\mathcal {V}}\right)$
avec $\;O\;$ point quelconque de l'espace, le vecteur $\;{\overrightarrow {OG}}\;$ suit la relation «$\;{\overrightarrow {OG}}={\dfrac {\displaystyle \iiint \limits _{M\in \left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overrightarrow {OM}}\;d{\mathcal {V}}_{M}}{\displaystyle \iiint \limits _{M\in \left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}}}={\dfrac {\displaystyle \iiint \limits _{M\in \left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overrightarrow {OM}}\;d{\mathcal {V}}_{M}}{m_{\text{syst}}}}\;$» $\;{\Bigg \$la justification se fait en partant de la définition et en utilisant la relation de Chasles $\;{\overrightarrow {GM}}={\overrightarrow {OM}}-{\overrightarrow {OG}}\;$ d'où $\;\displaystyle \iiint \limits _{M\in \left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left[{\overrightarrow {OM}}-{\overrightarrow {OG}}\right]d{\mathcal {V}}_{M}={\vec {0}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\displaystyle \iiint \limits _{M\in \left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overrightarrow {OM}}\;d{\mathcal {V}}_{M}=\left[\displaystyle \iiint _{M\in \left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]{\overrightarrow {OG}}\;$ $=m_{\text{syst}}\;{\overrightarrow {OG}}\;$ et par suite l'une ou l'autre des expressions de $\;{\overrightarrow {OG}}{\Bigg \}$.
$\;\succ \;$Le centre d'inertie $\;{\big$C.D.I.${\big )}\;$ $\;G\;$ du système continu de matière $\;{\big$fermé${\big )}\;$ d'expansion surfacique $\;\left(S\right)\;$ est le « barycentre des positions instantanées des points décrivant $\;\left(S\right)\;$ ayant pour densité surfacique de cœfficient la masse surfacique en chaque point » c'est-à-dire
$\;G\;$
$\;\displaystyle \iint \limits _{M\in \left(S\right)}\sigma (M)\;{\overrightarrow {GM}}\;dS_{M}={\vec {0}}\;$
$\;dS_{M}\;$
$\;\left(S\right)$
avec $\;O\;$ point quelconque de l'espace, le vecteur $\;{\overrightarrow {OG}}\;$ suit la relation «$\;{\overrightarrow {OG}}={\dfrac {\displaystyle \iint \limits _{M\in \left(S\right)}\sigma (M)\;{\overrightarrow {OM}}\;dS_{M}}{\displaystyle \iint \limits _{M\in \left(S\right)}\sigma (M)\;dS_{M}}}={\dfrac {\displaystyle \iint \limits _{M\in \left(S\right)}\sigma (M)\;{\overrightarrow {OM}}\;dS_{M}}{m_{\text{syst}}}}\;$» $\;{\Bigg \$la justification se fait en partant de la définition et en utilisant la relation de Chasles $\;{\overrightarrow {GM}}={\overrightarrow {OM}}-{\overrightarrow {OG}}\;$ d'où $\;\displaystyle \iint \limits _{M\in \left(S\right)}\sigma (M)\left[{\overrightarrow {OM}}-{\overrightarrow {OG}}\right]dS_{M}={\vec {0}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\displaystyle \iint \limits _{M\in \left(S\right)}\sigma (M)\;{\overrightarrow {OM}}\;dS_{M}=\left[\displaystyle \iint _{M\in \left(S\right)}\sigma (M)\;dS_{M}\right]{\overrightarrow {OG}}\;$ $=m_{\text{syst}}\;{\overrightarrow {OG}}\;$ et par suite l'une ou l'autre des expressions de $\;{\overrightarrow {OG}}{\Bigg \}$.
$\;\succ \;$Le centre d'inertie $\;{\big$C.D.I.${\big )}\;$ $\;G\;$ du système continu de matière $\;{\big$fermé${\big )}\;$ d'expansion linéique $\;\left(\Gamma \right)\;$ est le « barycentre des positions instantanées des points décrivant $\;\left(\Gamma \right)\;$ ayant pour densité linéique de cœfficient la masse linéique en chaque point » c'est-à-dire
$\;G\;$
$\;\displaystyle \int \limits _{M\in \left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;{\overrightarrow {GM}}\;d{\mathit {l}}_{M}={\vec {0}}\;$
$\;d{\mathit {l}}_{M}\;$
$\;\left(\Gamma \right)$
avec $\;O\;$ point quelconque de l'espace, le vecteur $\;{\overrightarrow {OG}}\;$ suit la relation «$\;{\overrightarrow {OG}}={\dfrac {\displaystyle \int \limits _{M\in \left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;{\overrightarrow {OM}}\;d{\mathit {l}}_{M}}{\displaystyle \int \limits _{M\in \left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;d{\mathit {l}}_{M}}}={\dfrac {\displaystyle \int \limits _{M\in \left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;{\overrightarrow {OM}}\;d{\mathit {l}}_{M}}{m_{\text{syst}}}}\;$» $\;{\Bigg \$la justification se fait en partant de la définition et en utilisant la relation de Chasles $\;{\overrightarrow {GM}}={\overrightarrow {OM}}-{\overrightarrow {OG}}\;$ d'où $\;\displaystyle \int \limits _{M\in \left(\Gamma \right)}\lambda (M)\left[{\overrightarrow {OM}}-{\overrightarrow {OG}}\right]d{\mathit {l}}_{M}={\vec {0}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\displaystyle \int \limits _{M\in \left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;{\overrightarrow {OM}}\;d{\mathit {l}}_{M}=\left[\displaystyle \int _{M\in \left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;d{\mathit {l}}_{M}\right]{\overrightarrow {OG}}\;$ $=m_{\text{syst}}\;{\overrightarrow {OG}}\;$ et par suite l'une ou l'autre des expressions de $\;{\overrightarrow {OG}}{\Bigg \}$.

### « Vecteur résultante cinétique » d’un système continu (fermé) de masse volumique µ(M) dans le référentiel d’étude et son expression classique (ou newtonienne)

$\;\succ \;$La résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$ du système continu de matière $\;{\big$fermé${\big )}\;$ d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ dans le cadre de la cinétique classique ou relativiste, est la grandeur vectorielle
$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$
$\;{\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)={\dfrac {d{\vec {p}}}{d{\mathcal {V}}}}(M,\,t)\;$
$\;M\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
en cinétique classique, la résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$ du système continu de matière $\;{\big$fermé${\big )}\;$ d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ se réécrit
$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]d{\mathcal {V}}_{M}\;$
$\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$
$\;M\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;\mu (M)\;$
$\;M\;$
en cinétique classique lien avec le mouvement du C.D.I.$^,$ du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)$ :
$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$
$\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$
$\;G\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;\succ \;$La résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$ du système continu de matière $\;{\big$fermé${\big )}\;$ d'expansion surfacique $\;\left(S\right)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ dans le cadre de la cinétique classique ou relativiste, est la grandeur vectorielle
$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}{\vec {P}}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;dS_{M}\;$
$\;{\vec {P}}_{\text{surfac}}(M,\,t)={\dfrac {d{\vec {p}}}{dS}}(M,\,t)\;$
$\;M\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
en cinétique classique, la résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$ du système continu de matière $\;{\big$fermé${\big )}\;$ d'expansion surfacique $\;\left(S\right)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ se réécrit
$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\left[\sigma (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]dS_{M}\;$
$\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$
$\;M\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;\sigma (M)\;$
$\;M\;$
en cinétique classique lien avec le mouvement du C.D.I.$^,$ du système continu fermé de matière d'expansion surfacique $\;\left(S\right)$ :
$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$
$\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$
$\;G\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;\succ \;$La résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$ du système continu de matière $\;{\big$fermé${\big )}\;$ d'expansion linéique $\;\left(\Gamma \right)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ dans le cadre de la cinétique classique ou relativiste, est la grandeur vectorielle
$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}{\vec {P}}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d{\mathit {l}}_{M}\;$
$\;{\vec {P}}_{\text{lin}}(M,\,t)={\dfrac {d{\vec {p}}}{d{\mathit {l}}}}(M,\,t)\;$
$\;M\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
en cinétique classique, la résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$ du système continu de matière $\;{\big$fermé${\big )}\;$ d'expansion linéique $\;\left(\Gamma \right)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ se réécrit
$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\left[\lambda (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]d{\mathit {l}}_{M}\;$
$\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$
$\;M\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;\lambda (M)\;$
$\;M\;$
en cinétique classique lien avec le mouvement du C.D.I.$^,$ du système continu fermé de matière d'expansion linéique $\;\left(\Gamma \right)$ :
$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$
$\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$
$\;G\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$

### Complément, expression « relativiste » du « vecteur résultante cinétique » d’un système continu (fermé) de masse volumique µ(M) dans le référentiel d’étude

$\;\succ \;$Le vecteur résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$ du système continu de matière $\;{\big$fermé${\big )}\;$ d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ s'écrivant
$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=$
$\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$
$\;{\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)={\dfrac {d{\vec {p}}}{d{\mathcal {V}}}}(M,\,t)\;$
$\;M\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;M$
$\;dm$
$\;t$
$\;d{\vec {p}}_{\!M,\,{\text{relativ}}}(t)=\gamma _{M}(t)\;dm\;{\vec {V}}_{M}(t)=$
$\gamma _{M}(t)\;\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$
$\;\gamma _{M}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t)}{c^{2}}}}}}\;$
$\;M$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;\mu (M)\;$
$\;M\;$
on en déduit l'expression relativiste, à l'instant $\;t$, du vecteur résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;$ du système continu de matière $\;{\big$fermé${\big )}\;$ d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ en fonction de la vitesse des points dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$,
$\;{\vec {P}}_{\text{syst., relativ.}}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;\gamma _{M}(t)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$
$\;\gamma _{M}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t)}{c^{2}}}}}}\;$
$\;M\;$
$\;t\;$
Remarques : quand le mouvement du système continu de matière $\;{\big$fermé${\big )}\;$ d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ est quelconque, il n'y a pas d'expression de $\;{\vec {P}}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;$ en fonction du vecteur vitesse du C.D.I.$^,$ $\;G\;$ du système car, si $\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ s'établit aisément à partir de $\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}=m_{\text{syst}}\;{\overrightarrow {OG}}(t)\;$ par dérivation par rapport à $\;t\;$ dans le cas d'un système fermé, on n'en déduit rien sur $\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;\gamma _{M}(t)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ dans la mesure où $\;\gamma _{M}(t)\;$ dépend effectivement de $\;M$ ;
Remarques : dans le cas où le système continu de matière${\underline {\;}$fermé${\underline\;}}$d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ est en translation, tous les points $\;M\;$ ayant même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I.$^,$ du système $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ ont même facteur de Lorentz $\;\gamma _{G}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!G}^{\,2}(t)}{c^{2}}}}}}\;$ et par suite, pouvant factoriser par ce facteur dans l'expression du vecteur résultante cinétique relativiste $\;{\vec {P}}_{\text{syst., relativ.}}(t)=$ $\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;\gamma _{M}(t)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$$^,$ du système continu de matière $\;{\big$fermé${\big )}\;$ d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ en translation, celui-ci est lié au vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ du C.D.I.$^,$ du système par la relation
$\;{\vec {P}}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t)=\gamma _{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$
$\;\succ \;$Le vecteur résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$ du système continu de matière $\;{\big$fermé${\big )}\;$ d'expansion surfacique $\;\left(S\right)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ s'écrivant
$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=$
$\;\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}{\vec {P}}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;dS_{M}\;$
$\;{\vec {P}}_{\text{surfac}}(M,\,t)={\dfrac {d{\vec {p}}}{dS}}(M,\,t)\;$
$\;M\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;M$
$\;dm$
$\;d{\vec {p}}_{\!M,\,{\text{relativ}}}(t)=\gamma _{M}(t)\;dm\;{\vec {V}}_{M}(t)=\gamma _{M}(t)\;\sigma (M)\;dS_{M}\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$
$\;t$
$\;\gamma _{M}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t)}{c^{2}}}}}}\;$
$\;M$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;\sigma (M)\;$
$\;M\;$
on en déduit l'expression relativiste, à l'instant $\;t$, du vecteur résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;$ du système continu de matière $\;{\big$fermé${\big )}\;$ d'expansion surfacique $\;\left(S\right)\;$ en fonction de la vitesse des points dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$,
$\;{\vec {P}}_{\text{syst., relativ.}}(t)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;\gamma _{M}(t)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;dS_{M}\;$
$\;\gamma _{M}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t)}{c^{2}}}}}}\;$
$\;M\;$
$\;t\;$
Remarques : quand le mouvement du système continu de matière $\;{\big$fermé${\big )}\;$ d'expansion surfacique $\;\left(S\right)\;$ est quelconque, il n'y a pas d'expression de $\;{\vec {P}}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;$ en fonction du vecteur vitesse du C.D.I.$^,$ $\;G\;$ du système car, si $\;\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;dS_{M}=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ s'établit aisément à partir de $\;\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;dS_{M}=m_{\text{syst}}\;{\overrightarrow {OG}}(t)\;$ par dérivation par rapport à $\;t\;$ dans le cas d'un système fermé, on n'en déduit rien sur $\;\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;\gamma _{M}(t)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;dS_{M}\;$ dans la mesure où $\;\gamma _{M}(t)\;$ dépend effectivement de $\;M$ ;
Remarques : dans le cas où le système continu de matière${\underline {\;}$fermé${\underline\;}}$d'expansion surfacique $\;\left(S\right)\;$ est en translation, tous les points $\;M\;$ ayant même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I.$^,$ du système $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ ont même facteur de Lorentz $\;\gamma _{G}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!G}^{\,2}(t)}{c^{2}}}}}}\;$ et par suite, pouvant factoriser par ce facteur dans l'expression du vecteur résultante cinétique relativiste $\;{\vec {P}}_{\text{syst., relativ.}}(t)=$ $\;\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;\gamma _{M}(t)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;dS_{M}\;$$^,$ du système continu de matière (fermé) d'expansion surfacique $\;\left(S\right)\;$ en translation, celui-ci est lié au vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ du C.D.I.$^,$ du système par
$\;{\vec {P}}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t)=\gamma _{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$
$\;\succ \;$Le vecteur résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$ du système continu de matière $\;{\big$fermé${\big )}\;$ d'expansion linéique $\;\left(\Gamma \right)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ s'écrivant
$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=$
$\;\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}{\vec {P}}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d{\mathit {l}}_{M}\;$
$\;{\vec {P}}_{\text{lin}}(M,\,t)={\dfrac {d{\vec {p}}}{d{\mathit {l}}}}(M,\,t)\;$
$\;M\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;M$
$\;dm$
$\;d{\vec {p}}_{\!M,\,{\text{relativ}}}(t)=\gamma _{M}(t)\;dm\;{\vec {V}}_{M}(t)=\gamma _{M}(t)\;\lambda (M)\;d{\mathit {l}}_{M}\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$
$\;t$
$\;\gamma _{M}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t)}{c^{2}}}}}}\;$
$\;M$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;\lambda (M)\;$
$\;M\;$
on en déduit l'expression relativiste, à l'instant $\;t$, du vecteur résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;$ du système continu de matière $\;{\big$fermé${\big )}\;$ d'expansion linéique $\;\left(\Gamma \right)\;$ en fonction de la vitesse des points dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$,
$\;{\vec {P}}_{\text{syst., relativ.}}(t)=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;\gamma _{M}(t)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathit {l}}_{M}\;$
$\;\gamma _{M}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t)}{c^{2}}}}}}\;$
$\;M\;$
$\;t\;$
Remarques : quand le mouvement du système continu de matière $\;{\big$fermé${\big )}\;$ d'expansion linéique $\;\left(\Gamma \right)\;$ est quelconque, il n'y a pas d'expression de $\;{\vec {P}}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;$ en fonction du vecteur vitesse du C.D.I.$^,$ $\;G\;$ du système car, si $\;\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathit {l}}_{M}=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ s'établit aisément à partir de $\;\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;d{\mathit {l}}_{M}=m_{\text{syst}}\;{\overrightarrow {OG}}(t)\;$ par dérivation par rapport à $\;t\;$ dans le cas d'un système fermé, on n'en déduit rien sur $\;\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;\gamma _{M}(t)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ dans la mesure où $\;\gamma _{M}(t)\;$ dépend effectivement de $\;M$ ;
Remarques : dans le cas où le système continu de matière${\underline {\;}$fermé${\underline\;}}$d'expansion linéique $\;\left(\Gamma \right)\;$ est en translation, tous les points $\;M\;$ ayant même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I.$^,$ du système $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ ont même facteur de Lorentz $\;\gamma _{G}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!G}^{\,2}(t)}{c^{2}}}}}}\;$ et par suite, pouvant factoriser par ce facteur dans l'expression du vecteur résultante cinétique relativiste $\;{\vec {P}}_{\text{syst., relativ.}}(t)=$ $\;\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;\gamma _{M}(t)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathit {l}}_{M}\;$$^,$ du système continu de matière (fermé) d'expansion linéique $\;\left(\Gamma \right)\;$ en translation, celui-ci est lié au vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ du C.D.I.$^,$ du système par
$\;{\vec {P}}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t)=\gamma _{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$

## Vecteur moment cinétique d’un système continu de matière par rapport à un point « A »
### Définition du vecteur moment cinétique d’un système continu (fermé) de masse volumique µ(M) dans le référentiel d’étude par rapport à un point origine A

$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;\left({\mathcal {V}}\right)$
$\;\mu (M),\;M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)$
$\;{\mathcal {R}}$
$\;A\;$
$\;t$
$\;{\mathcal {R}}$
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$
$\;{\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)={\dfrac {d{\vec {p}}}{d{\mathcal {V}}}}(M,\,t)\;$
$\;M\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge \mu (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$
$\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$
$\;M\;$
$\;({\mathcal {R}})\;$
$\;t\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;\left(S\right)$
$\;\sigma (M),\;M\,\in \,\left(S\right)$
$\;{\mathcal {R}}$
$\;A\;$
$\;t$
$\;{\mathcal {R}}$
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;dS_{M}\;$
$\;{\vec {P}}_{\text{surfac}}(M,\,t)={\dfrac {d{\vec {p}}}{dS}}(M,\,t)\;$
$\;M\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge \sigma (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;dS_{M}\;$
$\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$
$\;M\;$
$\;({\mathcal {R}})\;$
$\;t\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;\left(\Gamma \right)$
$\;\lambda (M),\;M\in \left(\Gamma \right)$
$\;{\mathcal {R}}$
$\;A\;$
$\;t$
$\;{\mathcal {R}}$
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d{\mathit {l}}_{M}\;$
$\;{\vec {P}}_{\text{lin}}(M,\,t)={\dfrac {d{\vec {p}}}{d{\mathit {l}}}}(M,\,t)\;$
$\;M\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge \lambda (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathit {l}}_{M}\;$
$\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$
$\;M\;$
$\;({\mathcal {R}})\;$
$\;t\;$
Remarque : $\;A$, le point origine d'évaluation du vecteur moment cinétique du système relativement à $\;{\mathcal {R}}$, est un point quelconque de ce dernier, il peut y être fixe ou mobile $\;\ldots$

### Cas d’un système continu de matière en translation dans le référentiel d’étude par rapport à un point origine A

$\;\succ \;$Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ en translation dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, de masse volumique $\;\mu (M),\;M\,\in \,({\mathcal {V}})$, les points $\;M\;$ ont tous, dans $\;{\mathcal {R}}$, même vecteur vitesse à un instant $\;t$, vecteur vitesse égal à celui du C.D.I.$^,$ $\;G\;$ du système fermé $\;{\vec {V}}_{G}(t)$, « chaque élément de matière, centré en $\;M$, de masse $\;dm=\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}$, a donc, dans le cadre de la cinétique classique, pour vecteur quantité de mouvement $\;d{\vec {p}}_{M}(t)=dm\;{\vec {V}}_{G}(t)=\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$» et par suite Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {V}}\right)}\;$ en translation le vecteur moment cinétique du système continu, fermé, d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)$, par rapport à un point origine $\;A\;$ quelconque s'écrivant, pour un système en translation dans $\;{\mathcal {R}}$, «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst. en transl.}},\,t)=$ $\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\overrightarrow {AM_{i}}}(t)\wedge m_{i}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$», on peut « factoriser vectoriellement par $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ à droite » ce qui donne «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst. en transl.}},\,t)=$ $\left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overrightarrow {AM}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\wedge {\vec {V}}_{G}(t)\;$» et on reconnaît dans le 1er facteur du 2nd membre «$\;m_{\text{syst}}\;{\overrightarrow {AG}}(t)\;$» soit «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst. en transl.}},\,t)=$ $m_{\text{syst}}\;{\overrightarrow {AG}}(t)\wedge {\vec {V}}_{G}(t)={\overrightarrow {AG}}(t)\wedge \left[m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\right]\;$» ;
« en choisissant le C.D.I.$^,$ $\;G\;$ du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant $\;t$, du vecteur moment cinétique du système en translation dans $\;{\mathcal {R}}$, on en déduit $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!G}({\text{syst. en transl.}},\,t)={\vec {0}}\;$» ;
dans le cas d’un système continu « quasi-quelconque » de matière, « le vecteur résultante cinétique du système $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$ étant lié à sa masse $\;m_{\text{syst}}\;$ et au vecteur vitesse de son C.D.I.$^,$ $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ par la relation $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$», on peut écrire, pour un système en translation dans le cadre de la cinétique classique,
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst. en transl.}},\,t)={\overrightarrow {AG}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!G}({\text{syst. en transl.}},\,t)={\vec {0}}\;$
$\;\succ \;$Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique $\;\left(S\right)\;$ en translation dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, de masse surfacique $\;\sigma (M),\;M\,\in \,(S)$, les points $\;M\;$ ont tous, dans $\;{\mathcal {R}}$, même vecteur vitesse à un instant $\;t$, vecteur vitesse égal à celui du C.D.I.$^,$ $\;G\;$ du système fermé $\;{\vec {V}}_{G}(t)$, « chaque élément de matière, centré en $\;M$, de masse $\;dm=\sigma (M)\;dS_{M}$, a donc, dans le cadre de la cinétique classique, pour vecteur quantité de mouvement $\;d{\vec {p}}_{M}(t)=dm\;{\vec {V}}_{G}(t)=\sigma (M)\;dS_{M}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$» et par suite Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique $\;\color {transparent}{\left(S\right)}\;$ en translation le vecteur moment cinétique du système continu, fermé, d'expansion surfacique $\;\left(S\right)$, par rapport à un point origine $\;A\;$ quelconque s'écrivant, pour un système en translation dans $\;{\mathcal {R}}$, «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst. en transl.}},\,t)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge \sigma (M)\;{\vec {V}}_{G}(t)\;dS_{M}\;$», on peut « factoriser vectoriellement par $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ à droite » ce qui donne «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst. en transl.}},\,t)=$ $\left[\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;{\overrightarrow {AM}}(t)\;dS_{M}\right]\wedge {\vec {V}}_{G}(t)\;$» et on reconnaît dans le 1er facteur du 2nd membre «$\;m_{\text{syst}}\;{\overrightarrow {AG}}(t)\;$» soit «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst. en transl.}},\,t)=$ $m_{\text{syst}}\;{\overrightarrow {AG}}(t)\wedge {\vec {V}}_{G}(t)={\overrightarrow {AG}}(t)\wedge \left[m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\right]\;$» ;
« en choisissant le C.D.I.$^,$ $\;G\;$ du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant $\;t$, du vecteur moment cinétique du système en translation dans $\;{\mathcal {R}}$, on en déduit $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!G}({\text{syst. en transl.}},\,t)={\vec {0}}\;$» ;
dans le cas d’un système continu « quasi-quelconque » de matière, « le vecteur résultante cinétique du système $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$ étant lié à sa masse $\;m_{\text{syst}}\;$ et au vecteur vitesse de son C.D.I.$^,$ $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ par la relation $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$», on peut écrire, pour un système en translation dans le cadre de la cinétique classique,
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst. en transl.}},\,t)={\overrightarrow {AG}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!G}({\text{syst. en transl.}},\,t)={\vec {0}}\;$
$\;\succ \;$Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique $\;\left(\Gamma \right)\;$ en translation dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, de masse linéique $\;\lambda (M),\;M\,\in \,(\Gamma )$, les points $\;M\;$ ont tous, dans $\;{\mathcal {R}}$, même vecteur vitesse à un instant $\;t$, vecteur vitesse égal à celui du C.D.I.$^,$ $\;G\;$ du système fermé $\;{\vec {V}}_{G}(t)$, « chaque élément de matière, centré en $\;M$, de masse $\;dm=\lambda (M)\;d{\mathit {l}}_{M}$, a donc, dans le cadre de la cinétique classique, pour vecteur quantité de mouvement $\;d{\vec {p}}_{M}(t)=dm\;{\vec {V}}_{G}(t)=\lambda (M)\;d{\mathit {l}}_{M}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$» et par suite Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique $\;\color {transparent}{\left(\Gamma \right)}\;$ en translation le vecteur moment cinétique du système continu, fermé, d'expansion linéique $\;\left(\Gamma \right)$, par rapport à un point origine $\;A\;$ quelconque s'écrivant, pour un système en translation dans $\;{\mathcal {R}}$, «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst. en transl.}},\,t)=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge \lambda (M)\;{\vec {V}}_{G}(t)\;d{\mathit {l}}_{M}\;$», on peut « factoriser vectoriellement par $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ à droite » ce qui donne «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst. en transl.}},\,t)=$ $\left[\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;{\overrightarrow {AM}}(t)\;d{\mathit {l}}_{M}\right]\wedge {\vec {V}}_{G}(t)\;$» et on reconnaît dans le 1er facteur du 2nd membre «$\;m_{\text{syst}}\;{\overrightarrow {AG}}(t)\;$» soit «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst. en transl.}},\,t)=$ $m_{\text{syst}}\;{\overrightarrow {AG}}(t)\wedge {\vec {V}}_{G}(t)$ $={\overrightarrow {AG}}(t)\wedge \left[m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\right]\;$» ;
« en choisissant le C.D.I.$^,$ $\;G\;$ du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant $\;t$, du vecteur moment cinétique du système en translation dans $\;{\mathcal {R}}$, on en déduit $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!G}({\text{syst. en transl.}},\,t)={\vec {0}}\;$» ;
dans le cas d’un système continu « quasi-quelconque » de matière, « le vecteur résultante cinétique du système $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$ étant lié à sa masse $\;m_{\text{syst}}\;$ et au vecteur vitesse de son C.D.I.$^,$ $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ par la relation $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$», on peut écrire, pour un système en translation dans le cadre de la cinétique classique,
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst. en transl.}},\,t)={\overrightarrow {AG}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!G}({\text{syst. en transl.}},\,t)={\vec {0}}\;$

### Complément : expression « relativiste » du vecteur moment cinétique d’un système continu (fermé) de masse volumique µ(M) dans le référentiel d’étude par rapport à un point origine A

$\;\succ \;$En cinétique relativiste, le moment cinétique $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst}},\,t)\;$ du système continu $\;{\big$fermé${\big )}\;$ d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ évalué relativement au point origine $\;A\;$ reste défini selon
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\vec {P}}_{{\text{volum}},\,{\text{relativ}}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$
$\;{\vec {P}}_{{\text{volum}},\,{\text{relativ}}}(M,\,t)={\dfrac {d{\vec {p}}_{\text{relativ}}}{d{\mathcal {V}}}}(M,\,t)=\gamma _{M}(t)\;\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$
$\;M\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge \gamma _{M}(t)\;\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$
$\;\mu (M)\;$
$\;M$
$\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$
$\;M\;$
$\;({\mathcal {R}})\;$
$\;t\;$
$\;\gamma _{M}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t)}{c^{2}}}}}}\;$
$\;M\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
Remarque : S'il est toujours possible, avec $\;O\;$ point fixe du référentiel $\;{\mathcal {R}}$, de définir le vecteur position du C.D.I.$^,$ $\;G\;$ d'un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ en cinétique relativiste selon «$\;{\overrightarrow {OG}}(t)={\dfrac {\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}}{m_{\text{syst}}}}\;$» et Remarque : S'il est toujours possible, de dériver la relation ci-dessus par rapport à $\;t\;$ pour obtenir le vecteur vitesse du C.D.I.$^,$ $\;G\;$ du système fermé à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ selon «$\;{\vec {V}}_{G}(t)$ $={\dfrac {\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}}{m_{\text{syst}}}}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)=\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$», Remarque : il devient impossible, dans le cas général, de déduire, à partir du 2nd membre des relations explicitant $\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ ou $\;m_{\text{syst}}\;{\overrightarrow {AG}}(t)$, correspondant à $\;\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ ou $\;\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overrightarrow {AM}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$, l'expression «$\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge \gamma _{M}(t)\;\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» explicitant le moment cinétique relativiste $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst}},\,t)\;$ du système et par suite Remarque : dans le cas général, il n'y a aucun lien entre le moment cinétique relativiste $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst}},\,t)\;$ du système continu fermé d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ évalué au point origine $\;A\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ et les grandeurs caractérisant le C.D.I.$^,$ $\;G\;$ du système fermé à savoir $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overrightarrow {AG}}(t)\\{\vec {V}}_{G}(t)\end{array}}\right\rbrace$, au même instant, dans le même référentiel $\;\ldots$
Cas d'un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ en translation dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$ : « tous les éléments de matière centrés en $\;M\;$ ayant même vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\!M}(t)={\vec {f}}(t),\;$ $\;\forall \;M\in \left({\mathcal {V}}\right)\;$ avec $\;{\vec {f}}(t)={\vec {V}}_{G}(t)\;$ le vecteur vitesse du C.D.I.$^,$ $\;G\;$ du système fermé », « ont même facteur de Lorentz $\;\gamma _{M}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t)}{c^{2}}}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!G}^{\,2}(t)}{c^{2}}}}}}=\gamma _{G}(t),\;\;\forall \;M\in \left({\mathcal {V}}\right)\;$» et par suite, en factorisant ce dernier dans la définition du vecteur moment cinétique relativiste «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge \gamma _{M}(t)\;\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» du système continu, fermé, d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)$, en translation, évalué en $\;A\;$ selon «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst. en transl.}},\,t)=\gamma _{G}(t)\left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge \mu (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]$» dans laquelle $\;{\vec {V}}_{\!M}(t)={\vec {V}}_{G}(t)\;$ pour tout point $\;M\;$ d'où, par factorisation vectorielle à droite par $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$, «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst. en transl.}},\,t)=$ $\gamma _{G}(t)\left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overrightarrow {AM}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\wedge {\vec {V}}_{G}(t)\;$» soit encore, par propriété du C.D.I.$^,$ $\;G\;$ du système fermé «$\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overrightarrow {AM}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}$ $=m_{\text{syst}}\;{\overrightarrow {AG}}(t)\;$», l'expression d'un lien entre le vecteur moment cinétique relativiste évalué par rapport à $\;A\;$ «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst. en transl.}},\,t)\;$» d'un système fermé en translation et le vecteur vitesse de translation $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ de ce dernier ainsi que le vecteur $\;{\overrightarrow {AG}}(t)\;$ positionnant son C.D.I.$^,$
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst. en transl.}},\,t)=\gamma _{G}(t)\left[{\overrightarrow {AG}}(t)\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\right]\;$
$\;\gamma _{G}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!G}^{\,2}(t)}{c^{2}}}}}}\;$
Cas d'un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {V}}\right)}\;$ en translation « en choisissant le C.D.I.$^,$ $\;G\;$ du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant $\;t$, du vecteur moment cinétique relativiste du système en translation dans $\;{\mathcal {R}}\;$», on en déduit «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!G,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst. en transl.}},\,t)={\vec {0}}\;$» ;
Cas d'un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {V}}\right)}\;$ en translation dans le cas d’un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$, le vecteur résultante cinétique relativiste du système en translation $\;{\vec {P}}_{{\text{relativ.}}\,{\text{syst. en transl.}}}(t)\;$ étant lié à sa masse $\;m_{\text{syst}}$, à son facteur de Lorentz $\;\gamma _{G}(t)\;$ et à son vecteur vitesse de translation $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ par la relation «$\;{\vec {P}}_{{\text{relativ.}}\,{\text{syst. en transl.}}}(t)$ $=\gamma _{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$», on peut écrire, pour un système en translation,
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst. en transl.}},\,t)={\overrightarrow {AG}}(t)\wedge {\vec {P}}_{{\text{relativ.}}\,{\text{syst. en transl.}}}(t)\;$
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!G,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst. en transl.}},\,t)={\vec {0}}\;$
$\;\succ \;$En cinétique relativiste, le moment cinétique $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst}},\,t)\;$ du système continu $\;{\big$fermé${\big )}\;$ d'expansion surfacique $\;\left(S\right)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ évalué relativement au point origine $\;A\;$ reste défini selon
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\vec {P}}_{{\text{surfac}},\,{\text{relativ}}}(M,\,t)\;dS_{M}\;$
$\;{\vec {P}}_{{\text{surfac}},\,{\text{relativ}}}(M,\,t)={\dfrac {d{\vec {p}}_{\text{relativ}}}{dS}}(M,\,t)=\gamma _{M}(t)\;\sigma (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$
$\;M\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge \gamma _{M}(t)\;\sigma (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;dS_{M}\;$
$\;\sigma (M)\;$
$\;M\;$
$\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$
$\;M\;$
$\;({\mathcal {R}})\;$
$\;t\;$
$\;\gamma _{M}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t)}{c^{2}}}}}}\;$
$\;M\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
Remarque : S'il est toujours possible, avec $\;O\;$ point fixe du référentiel $\;{\mathcal {R}}$, de définir le vecteur position du C.D.I.$^,$ $\;G\;$ d'un système continu fermé d'expansion surfacique $\;\left(S\right)\;$ en cinétique relativiste selon «$\;{\overrightarrow {OG}}(t)={\dfrac {\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;dS_{M}}{m_{\text{syst}}}}\;$» et Remarque : S'il est toujours possible, de dériver la relation ci-dessus par rapport à $\;t\;$ pour obtenir le vecteur vitesse du C.D.I.$^,$ $\;G\;$ du système fermé à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ selon «$\;{\vec {V}}_{G}(t)$ $={\dfrac {\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;dS_{M}}{m_{\text{syst}}}}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)=\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;dS_{M}\;$», Remarque : il devient impossible, dans le cas général, de déduire, à partir du 2nd membre des relations explicitant $\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)$ ou $\;m_{\text{syst}}\;{\overrightarrow {AG}}(t)$, correspondant à $\;\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;dS_{M}\;$ ou $\;\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;{\overrightarrow {AM}}(t)\;dS_{M}\;$, l'expression «$\;\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge \gamma _{M}(t)\;\sigma (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;dS_{M}\;$» explicitant le moment cinétique relativiste $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst}},\,t)\;$ du système et par suite Remarque : dans le cas général, il n'y a aucun lien entre le moment cinétique relativiste $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst}},\,t)\;$ du système continu fermé d'expansion surfacique $\;\left(S\right)\;$ évalué au point origine $\;A\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ et les grandeurs caractérisant le C.D.I.$^,$ $\;G\;$ du système fermé à savoir $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overrightarrow {AG}}(t)\\{\vec {V}}_{G}(t)\end{array}}\right\rbrace$, au même instant, dans le même référentiel $\;\ldots$
Cas d'un système continu fermé d'expansion surfacique $\;\left(S\right)\;$ en translation dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$ : « tous les éléments de matière centrés en $\;M\;$ ayant même vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\!M}(t)={\vec {f}}(t),\;$ $\;\forall \;M\in \left(S\right)\;$ avec $\;{\vec {f}}(t)={\vec {V}}_{G}(t)\;$ le vecteur vitesse du C.D.I.$^,$ $\;G\;$ du système fermé », « ont même facteur de Lorentz $\;\gamma _{M}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t)}{c^{2}}}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!G}^{\,2}(t)}{c^{2}}}}}}=\gamma _{G}(t),\;\;\forall \;M\in \left(S\right)\;$» et par suite, en factorisant ce dernier dans la définition du vecteur moment cinétique relativiste «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge \gamma _{M}(t)\;\sigma (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;dS_{M}\;$» du système continu, fermé, d'expansion surfacique $\;\left(S\right)$, en translation, évalué en $\;A\;$ selon «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst. en transl.}},\,t)=\gamma _{G}(t)\left[\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge \sigma (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;dS_{M}\right]$» dans laquelle $\;{\vec {V}}_{\!M}(t)={\vec {V}}_{G}(t)\;$ pour tout point $\;M\;$ d'où, par factorisation vectorielle à droite par $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$, «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst. en transl.}},\,t)=$ $\gamma _{G}(t)\left[\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;{\overrightarrow {AM}}(t)\;dS_{M}\right]\wedge {\vec {V}}_{G}(t)\;$» soit encore, par propriété du C.D.I.$^,$ $\;G\;$ du système fermé «$\;\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;{\overrightarrow {AM}}(t)\;dS_{M}=$ $m_{\text{syst}}\;{\overrightarrow {AG}}(t)\;$», l'expression d'un lien entre le vecteur moment cinétique relativiste évalué par rapport à $\;A\;$ «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst. en transl.}},\,t)\;$» d'un système fermé en translation et le vecteur vitesse de translation $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ de ce dernier ainsi que le vecteur $\;{\overrightarrow {AG}}(t)\;$ positionnant son C.D.I.$^,$
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst. en transl.}},\,t)=\gamma _{G}(t)\left[{\overrightarrow {AG}}(t)\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\right]\;$
$\;\gamma _{G}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!G}^{\,2}(t)}{c^{2}}}}}}\;$
Cas d'un système continu fermé d'expansion surfacique $\;\color {transparent}{\left(S\right)}\;$ en translation « en choisissant le C.D.I.$^,$ $\;G\;$ du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant $\;t$, du vecteur moment cinétique relativiste du système en translation dans $\;{\mathcal {R}}\;$», on en déduit «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!G,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst. en transl.}},\,t)={\vec {0}}\;$» ;
Cas d'un système continu fermé d'expansion surfacique $\;\color {transparent}{\left(S\right)}\;$ en translation dans le cas d’un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$, le vecteur résultante cinétique relativiste du système en translation $\;{\vec {P}}_{{\text{relativ.}}\,{\text{syst. en transl.}}}(t)\;$ étant lié à sa masse $\;m_{\text{syst}}$, à son facteur de Lorentz $\;\gamma _{G}(t)\;$ et à son vecteur vitesse de translation $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ par la relation «$\;{\vec {P}}_{{\text{relativ.}}\,{\text{syst. en transl.}}}(t)$ $=\gamma _{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$», on peut écrire, pour un système en translation,
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst. en transl.}},\,t)={\overrightarrow {AG}}(t)\wedge {\vec {P}}_{{\text{relativ.}}\,{\text{syst. en transl.}}}(t)\;$
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!G,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst. en transl.}},\,t)={\vec {0}}\;$
$\;\succ \;$En cinétique relativiste, le moment cinétique $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst}},\,t)\;$ du système continu $\;{\big$fermé${\big )}\;$ d'expansion linéique $\;\left(\Gamma \right)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ évalué relativement au point origine $\;A\;$ reste défini selon
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\vec {P}}_{{\text{lin}},\,{\text{relativ}}}(M,\,t)\;d{\mathit {l}}_{M}\;$
$\;{\vec {P}}_{{\text{lin}},\,{\text{relativ}}}(M,\,t)={\dfrac {d{\vec {p}}_{\text{relativ}}}{d{\mathit {l}}}}(M,\,t)=\gamma _{M}(t)\;\lambda (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$
$\;M\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge \gamma _{M}(t)\;\lambda (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathit {l}}_{M}\;$
$\;\lambda (M)\;$
$\;M\;$
$\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$
$\;M\;$
$\;({\mathcal {R}})\;$
$\;t\;$
$\;\gamma _{M}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t)}{c^{2}}}}}}\;$
$\;M\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
Remarque : S'il est toujours possible, avec $\;O\;$ point fixe du référentiel $\;{\mathcal {R}}$, de définir le vecteur position du C.D.I.$^,$ $\;G\;$ d'un système continu fermé d'expansion linéique $\;\left(\Gamma \right)\;$ en cinétique relativiste selon «$\;{\overrightarrow {OG}}(t)={\dfrac {\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;d{\mathit {l}}_{M}}{m_{\text{syst}}}}\;$» et Remarque : S'il est toujours possible, de dériver la relation ci-dessus par rapport à $\;t\;$ pour obtenir le vecteur vitesse du C.D.I.$^,$ $\;G\;$ du système fermé à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ selon «$\;{\vec {V}}_{G}(t)$ $={\dfrac {\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathit {l}}_{M}}{m_{\text{syst}}}}\;$», Remarque : il devient impossible, dans le cas général, de déduire, à partir du 2nd membre des relations explicitant $\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)$ ou $\;m_{\text{syst}}\;{\overrightarrow {AG}}(t)$, correspondant à $\;\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ ou $\;\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;{\overrightarrow {AM}}(t)\;d{\mathit {l}}_{M}\;$, l'expression «$\;\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge \gamma _{M}(t)\;\lambda (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathit {l}}_{M}\;$» explicitant le moment cinétique relativiste $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst}},\,t)\;$ du système et par suite Remarque : dans le cas général, il n'y a aucun lien entre le moment cinétique relativiste $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst}},\,t)\;$ du système continu fermé d'expansion linéique $\;\left(\Gamma \right)\;$ évalué au point origine $\;A\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ et les grandeurs caractérisant le C.D.I.$^,$ $\;G\;$ du système fermé à savoir $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overrightarrow {AG}}(t)\\{\vec {V}}_{G}(t)\end{array}}\right\rbrace$, au même instant, dans le même référentiel $\;\ldots$
Cas d'un système continu fermé d'expansion linéique $\;\left(\Gamma \right)\;$ en translation dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$ : « tous les éléments de matière centrés en $\;M\;$ ayant même vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\!M}(t)={\vec {f}}(t),\;$ $\;\forall \;M\in \left(\Gamma \right)\;$ avec $\;{\vec {f}}(t)=$ ${\vec {V}}_{G}(t)\;$ le vecteur vitesse du C.D.I.$^,$ $\;G\;$ du système fermé », « ont même facteur de Lorentz $\;\gamma _{M}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t)}{c^{2}}}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!G}^{\,2}(t)}{c^{2}}}}}}=\gamma _{G}(t),\;\;\forall \;M\in \left(\Gamma \right)\;$» et par suite, en factorisant ce dernier dans la définition du vecteur moment cinétique relativiste «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge \gamma _{M}(t)\;\lambda (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathit {l}}_{M}\;$» du système continu, fermé, d'expansion linéique $\;\left(\Gamma \right)$, en translation, évalué en $\;A\;$ selon «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst. en transl.}},\,t)=\gamma _{G}(t)\left[\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge \lambda (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathit {l}}_{M}\right]\;$» dans laquelle $\;{\vec {V}}_{\!M}(t)={\vec {V}}_{G}(t)\;$ pour tout point $\;M\;$ d'où, par factorisation vectorielle à droite par $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$, «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst. en transl.}},\,t)=$ $\gamma _{G}(t)\left[\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;{\overrightarrow {AM}}(t)\;d{\mathit {l}}_{M}\right]\wedge {\vec {V}}_{G}(t)\;$» soit encore, par propriété du C.D.I.$^,$ $\;G\;$ du système fermé «$\;\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;{\overrightarrow {AM}}(t)\;d{\mathit {l}}_{M}$ $=m_{\text{syst}}\;{\overrightarrow {AG}}(t)\;$», l'expression d'un lien entre le vecteur moment cinétique relativiste évalué par rapport à $\;A\;$ «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst. en transl.}},\,t)\;$» d'un système fermé en translation et le vecteur vitesse de translation $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ de ce dernier ainsi que le vecteur $\;{\overrightarrow {AG}}(t)\;$ positionnant son C.D.I.$^,$
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst. en transl.}},\,t)=\gamma _{G}(t)\left[{\overrightarrow {AG}}(t)\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\right]\;$
$\;\gamma _{G}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!G}^{\,2}(t)}{c^{2}}}}}}\;$
Cas d'un système continu fermé d'expansion linéique $\;\color {transparent}{\left(\Gamma \right)}\;$ en translation « en choisissant le C.D.I.$^,$ $\;G\;$ du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant $\;t$, du vecteur moment cinétique relativiste du système en translation dans $\;{\mathcal {R}}\;$», on en déduit «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!G,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst. en transl.}},\,t)={\vec {0}}\;$» ;
Cas d'un système continu fermé d'expansion linéique $\;\color {transparent}{\left(\Gamma \right)}\;$ en translation dans le cas d’un système continu « quelconque » de points en translation dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$, le vecteur résultante cinétique relativiste du système en translation $\;{\vec {P}}_{{\text{relativ.}}\,{\text{syst. en transl.}}}(t)\;$ étant lié à sa masse $\;m_{\text{syst}}$, à son facteur de Lorentz $\;\gamma _{G}(t)\;$ et à son vecteur vitesse de translation $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ par la relation «$\;{\vec {P}}_{{\text{relativ.}}\,{\text{syst. en transl.}}}(t)$ $=\gamma _{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$, on peut écrire, pour un système en translation,
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst. en transl.}},\,t)={\overrightarrow {AG}}(t)\wedge {\vec {P}}_{{\text{relativ.}}\,{\text{syst. en transl.}}}(t)\;$
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!G,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst. en transl.}},\,t)={\vec {0}}\;$

## Changement d’origine de calcul du moment cinétique vectoriel d’un système continu de matière

Compte-tenu de la similitude de traitement pour les systèmes continus de matière dans le cas d'une modélisation volumique, surfacique ou linéique, la seule différence étant la nature des intégrales, laquelle est respectivement volumique, surfacique ou curviligne, nous n'aborderons le changement d'origine de calcul du moment cinétique vectoriel d'un système continu de matière que dans le cas d'une modélisation volumique, les autres modélisations surfacique ou linéique s'en déduisant sans difficulté $\;\ldots$

### Formule de changement d’origine du calcul du vecteur moment cinétique d’un système continu (fermé) de matière dans le référentiel d’étude

Le vecteur moment cinétique, à l'instant $\;t$, du système continu $\;{\big$fermé${\big )}\;$ de matière, d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)$, dans le référentiel d’étude $\;{\mathcal {R}}$, par rapport au point origine $\;A\;$ étant défini selon «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)$ $=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» avec «$\;{\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)={\dfrac {d{\vec {p}}}{d{\mathcal {V}}}}(M,\,t)\;$ la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$», ou encore, selon «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)$ $=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge d{\vec {p}}_{M}(t)\;$» c'est-à-dire « la somme continue » des vecteurs moment cinétique de chaque pseudo-point de l'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ et
Le vecteur moment cinétique, à l'instant $\;\color {transparent}{t}$, du système continu $\;\color {transparent}{\big$fermé$\color {transparent}{\big )}\;$ de matière, le changement d'origine du vecteur moment cinétique de chaque pseudo-point s’écrivant, avec $\;A'\;$ nouvelle origine d'évaluation des moments vectoriels, selon «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{A'}\!\left(M,\,t\right)=$ ${\overrightarrow {\sigma }}_{A}\!\left(M,\,t\right)+{\overrightarrow {A'A}}\wedge d{\vec {p}}_{M}(t)\;$», Le vecteur moment cinétique, à l'instant $\;\color {transparent}{t}$, du système continu $\;\color {transparent}{\big$fermé$\color {transparent}{\big )}\;$ de matière, on obtient, en en faisant « la somme continue »,
$\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d{\overrightarrow {\sigma }}_{A'}\!\left(M,\,t\right)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d{\overrightarrow {\sigma }}_{A}\!\left(M,\,t\right)+\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {A'A}}\wedge d{\vec {p}}_{M}(t)\;$
Le vecteur moment cinétique, à l'instant $\;\color {transparent}{t}$, du système continu $\;\color {transparent}{\big$fermé$\color {transparent}{\big )}\;$ de matière, on obtient, en faisant une « factorisation vectorielle par $\;{\overrightarrow {A'A}}\;$ à gauche » dans le 2ème terme du 2nd membre et en reconnaissant dans le 1er terme du 2nd membre le vecteur moment cinétique $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}\left({\text{syst}},\,t\right)\;$ du système par rapport à $\;A\;$ ainsi que dans le 1er membre le vecteur moment cinétique $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A'}\left({\text{syst}},\,t\right)\;$ du système par rapport à $\;A'$, «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A'}\left({\text{syst}},\,t\right)=$ ${\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}\left({\text{syst}},\,t\right)+{\overrightarrow {A'A}}\wedge \left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d{\vec {p}}_{M}(t)\right]\;$» soit enfin, Le vecteur moment cinétique, à l'instant $\;\color {transparent}{t}$, du système continu $\;\color {transparent}{\big$fermé$\color {transparent}{\big )}\;$ de matière, on obtient, en reconnaissant le vecteur résultante cinétique «$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$» dans le 2ème facteur du produit vectoriel du 2ème membre
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A'}\left({\text{syst}},\,t\right)={\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}\left({\text{syst}},\,t\right)+{\overrightarrow {A'A}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$

### Changement d’origine du calcul du vecteur moment cinétique d’un système continu « fermé » de matière en cinétique newtonienne

Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, à l'instant $\;t$, du système continu $\;{\big$fermé${\big )}\;$ de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ dans le référentiel d’étude $\;{\mathcal {R}}\;$ suivant, dans le cadre de la cinétique classique ou relativiste, la formule
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A'}\left({\text{syst}},\,t\right)={\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}\left({\text{syst}},\,t\right)+{\overrightarrow {A'A}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A'}\left({\text{syst}},\,t\right)\\{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}\left({\text{syst}},\,t\right)\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A'\\A\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$
dans le cadre de la cinétique classique la résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$ du système étant liée au vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ de son C.D.I.$^,$ $\;G\;$ selon «$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$», son report dans la formule de changement d'origine du calcul du moment cinétique $\;{\big$vectoriel${\big )}\;$ du système donne
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A'}\left({\text{syst}},\,t\right)={\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}\left({\text{syst}},\,t\right)+{\overrightarrow {A'A}}\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$
Cas particulier : Si on choisit le C.D.I.$^,$ $\;G\;$ du système comme 1er point origine de calcul du vecteur moment cinétique d’un système continu $\;{\big$fermé${\big )}\;$ de matière, le vecteur moment cinétique du système évalué relativement à un 2ème point origine $\;A\;$ suivra la relation
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}\left({\text{syst}},\,t\right)={\overrightarrow {\sigma }}_{\!G}\left({\text{syst}},\,t\right)+{\overrightarrow {AG}}\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$
Cas particulier : que l'on peut interpréter en remarquant que le 2ème terme du 2ème membre est le vecteur moment cinétique du C.D.I.$^,$ $\;G$ $\;{\big$considéré comme point fictif de masse $\;m_{\text{syst}}\;$ et de quantité de mouvement $\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)={\vec {P}}_{\text{syst}}(t){\big ]}\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport à $\;A\;$ alors que le 1er terme du 2ème membre est le vecteur moment cinétique du système au même instant $\;t\;$ dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport à $\;G\;\ldots$
Conclusion : « le vecteur moment cinétique d'un système continu fermé de matière par rapport à $\;A\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d’étude $\;{\mathcal {R}}\;$ est la somme du vecteur moment cinétique du système par rapport à $\;G$ $\;{\big$C.D.I.$^,$ du système${\big )}\;$ au même instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ et du vecteur moment cinétique de $\;G\,\left(m_{\text{syst}}\right)\;$ par rapport à $\;A\;$ au même instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$».

### Complément : changement d’origine du calcul du vecteur moment cinétique d’un système continu « quelconque » de matière « en translation » en cinétique relativiste

Nous avons vu au paragraphe précédent que le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, à l'instant $\;t$, du système continu « quelconque » de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ dans le référentiel d’étude $\;{\mathcal {R}}\;$ reste applicable en cinétique relativiste sous la forme
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A',\,{\text{relativ}}}\left({\text{syst}},\,t\right)={\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ}}}\left({\text{syst}},\,t\right)+{\overrightarrow {A'A}}\wedge {\vec {P}}_{{\text{relativ}},\,{\text{syst}}}(t)\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A',\,{\text{relativ}}}\left({\text{syst}},\,t\right)\\{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ}}}\left({\text{syst}},\,t\right)\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A'\\A\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;{\vec {P}}_{{\text{volum}},\,{\text{relativ}}}(M,\,t)={\dfrac {d{\vec {p}}_{\text{relativ}}}{d{\mathcal {V}}}}(M,\,t)=\gamma _{M}(t)\;\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$
$\;M\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;{\vec {P}}_{{\text{relativ}},\,{\text{syst}}}(t)\;$
$\;{\vec {P}}_{{\text{relativ}},\,{\text{syst}}}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\vec {P}}_{{\text{volum}},\,{\text{relativ}}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\gamma _{M}(t)\;\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$
$\;\ldots$
si le mouvement du système continu « quelconque » de matière n'est pas une translation, il n'y a, a priori, aucune simplification de $\;{\vec {P}}_{{\text{relativ}},\,{\text{syst}}}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\gamma _{M}(t)\;\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» $\;\ldots$
Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ : « tous les pseudo-points $\;M\;\left(d{\mathcal {V}}_{M}\right)\;$ ayant même vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\!M}(t)={\vec {V}}_{G}(t)\;$ c'est-à-dire le vecteur vitesse du C.D.I.$^,$ $\;G\;$ du système fermé », « ont aussi même facteur de Lorentz $\;\gamma _{M}(t)=$ ${\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t)}{c^{2}}}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!G}^{\,2}(t)}{c^{2}}}}}}=\gamma _{G}(t),\;\;\forall \;M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)\;$» et par suite, nous avons déduit une expression simplifiée de $\;{\vec {P}}_{{\text{relativ}},\,{\text{syst}}}(t)\;$ dans le paragraphe « complément, expression relativiste du vecteur résultante cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique µ(M) dans le référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre, cette expression étant
$\;{\vec {P}}_{{\text{relativ}},\,{\text{syst. en transl.}}}(t)=\gamma _{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$
$\;\gamma _{G}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!G}^{\,2}(t)}{c^{2}}}}}}\;$
Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel d'étude $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}$ : le report de cette expression dans la formule de changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste, à l'instant $\;t$, du système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel d’étude $\;{\mathcal {R}}\;$ nous conduit à
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A',\,{\text{relativ}}}\left({\text{syst}},\,t\right)={\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ}}}\left({\text{syst}},\,t\right)+{\overrightarrow {A'A}}\wedge \gamma _{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)$
Cas particulier : Si on choisit le C.D.I.$^,$ $\;G\;$ du système comme 1er point origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste d’un système continu $\;{\big$fermé${\big )}\;$ de matière en translation, le vecteur moment cinétique relativiste du système évalué relativement à un 2ème point origine $\;A\;$ s'obtient par
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ}}}\left({\text{syst. en transl.}},\,t\right)=\;{\cancel {{\overrightarrow {\sigma }}_{\!G,\,{\text{relativ}}}\left({\text{syst. en transl.}},\,t\right)+}}\;{\overrightarrow {AG}}\wedge \gamma _{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$
Cas particulier : que l'on interprète en remarquant que le 2ème membre est le vecteur moment cinétique relativiste du C.D.I.$^,$ $\;G$ $\;{\big$considéré comme point fictif de masse $\;m_{\text{syst}}\;$ et de quantité de mouvement relativiste $\;\gamma _{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)={\vec {P}}_{{\text{relativ.}},\,{\text{syst. en transl.}}}(t){\big ]}\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport à $\;A\;\ldots$

## Vecteur moment cinétique d’un « système continu de matière » en rotation autour d’un axe
### Expression du vecteur moment cinétique d’un « système continu de matière en rotation autour d’un axe Δ fixe » dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ

Le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ étant en rotation autour d'un axe $\left(\Delta \right)\;$ fixe du référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ et choisissant comme point origine de calcul du vecteur moment cinétique du système un point $\;A\;$ quelconque de $\;\left(\Delta \right)$, on peut, en cinétique classique, écrire « le vecteur moment cinétique du pseudo-point centré en $\;M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport à $\;A\;$ sous la forme
$\;d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M,\,t)=$
$dm\;r^{2}\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-dm\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\overline {AH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\;$
$\;H\;$
$\;M\;$
$\;\left(\Delta \right)\;$
$\;r\;$
$\;M\;$
le vecteur moment cinétique du système par rapport à $\;A$, $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\;$ étant la « somme continue » des vecteurs moment cinétique de chaque pseudo-point centré en $\;M\;$, soit
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M,\,t)=\!\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[r^{2}\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\;{\overline {AH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\right]\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$
après distribution de la « somme continue » sur chaque terme de l'expression entre crochets puis après factorisation par $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$ ou $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ dans le 1er ou 2ème terme,
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=\left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;r^{2}\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overline {AH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$
définissant le moment d'inertie${\underline {\;J_{\Delta }\;}}$du système relativement à l'axe de rotation $\;\left(\Delta \right)\;$ comme la grandeur scalaire «$\;J_{\Delta }=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}dJ_{\Delta }(M)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}dm\;r^{2}=$ $\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;r^{2}\;d{\mathcal {V}}_{M}$»$^,$ exprimée en $\;kg\cdot m^{2}$ $\;{\big$il s'agit de la 2ème grandeur d'inertie caractérisant le système, la 1ère étant sa masse $\;m_{\text{syst}}{\big ]}\;$ et
repérant le point $\;M\;$ par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle $\;A\;$ et d'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }$ $\;{\big$de sens a priori arbitraire sur $\;\left(\Delta \right)\;$ mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu${\big ]}\;$ «$\;\left(r,\,\theta ,\,z\right)\;$» $\;{\big$la base cylindro-polaire liée à $\;M\;$ étant notée $\;\left({\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{\Delta }\right)\;$${\big ]}$,
le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ en rotation autour de l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}$, de vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$, évalué au même instant $\;t\;$ par rapport à $\;A\;$ point quelconque de $\;\left(\Delta \right)$, se réécrit selon
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;z\;r\;{\vec {u}}_{r}\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$
le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ en rotation autour de l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}$, de vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$, évalué au même instant $\;t\;$ par rapport à $\;A\;$ point quelconque de $\;\left(\Delta \right)\;$ est donc la somme de deux termes,
* le 1er «$\;J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$» porté par l'axe de rotation en étant $\;\propto \;$ à la vitesse angulaire et
* le 2ème «$\;-{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;z\;r\;{\vec {u}}_{r}\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$» $\;\perp \;$ à l'axe de rotation en étant $\;\propto \;$ à la vitesse angulaire et tournant à la même vitesse angulaire que le système continu de matière $\;\ldots$
Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : rappelons tout d'abord qu'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ en rotation autour d'un axe fixe $\;\left(\Delta \right)\;$ est nécessairement un solide, il est donc possible de lui associer un tenseur d'inertie selon la « définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) » du chap.$5$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » ; Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : ce tenseur d'inertie peut être représenté par une matrice $\;3\;{\text{x}}\;3\;$ appelée matrice d'inertie du solide comme cela a été précisé dans le paragraphe « matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier » du chap.$5$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », la matrice d'inertie $\;{\big$symétrique${\big )}\;$ étant rappelée ci-dessous :
$\;\left[J\right]=\left[{\begin{array}{c c c}\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(y^{2}+z^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}&-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;y\;d{\mathcal {V}}_{M}&-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\\-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;y\;d{\mathcal {V}}_{M}&\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(x^{2}+z^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}&-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;y\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\\-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}&-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;y\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}&\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(x^{2}+y^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}\end{array}}\right]$
Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : parmi les cœfficients de la matrice d'inertie du solide ci-dessus on distingue :
* les éléments diagonaux définissant les moments d'inertie du solide par rapport à un axe privilégié plus précisément $\;\succ \;J_{Ox}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(y^{2}+z^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}\;$ « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe $\;Ox\;$», $\;\succ \;J_{Oy}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(x^{2}+z^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}\;$ « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe $\;Oy\;$» et $\;\succ \;J_{Oz}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(x^{2}+y^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}\;$ « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe $\;Oz\;$»,
* l'opposé des éléments non diagonaux définissant les produits d'inertie du solide dans un plan privilégié plus précisément $\;\succ \;I_{xy}=\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;y\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ « produit d'inertie du solide dans le plan $\;xOy\;$», $\;\succ \;I_{xz}=\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ « produit d'inertie du solide dans le plan $\;xOz\;$» et $\;\succ \;I_{yz}=\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;y\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ « produit d'inertie du solide dans le plan $\;yOz\;$»,
Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : d'où la réécriture de la matrice d'inertie du solide selon «$\;\left[J\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{Ox}&-I_{xy}&-I_{xz}\\-I_{xy}&J_{Oy}&-I_{yz}\\-I_{xz}&-I_{yz}&J_{Oz}\end{array}}\right]\;$» ;
Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : choisissant le point origine $\;A\;$ de calcul du moment cinétique vectoriel du solide comme origine du repère et l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ comme axe $\;{\overrightarrow {Az}}$, les axes $\;{\overrightarrow {Ax}}\;$ et $\;{\overrightarrow {Ay}}\;$ respectivement orientés par $\;{\vec {u}}_{x}\;$ et $\;{\vec {u}}_{y}\;$ étant choisis $\;\perp \;$ à $\;\left(\Delta \right)\;$ tels que la base $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{\Delta }\right\rbrace \;$ soit de même orientation que la base cylindro-polaire liée à $\;M\;$, la matrice d'inertie du solide se réécrit «$\;\left[J\right]=$ $\left[{\begin{array}{c c c}J_{Ox}&-I_{xy}&-I_{xz}\\-I_{xy}&J_{Oy}&-I_{yz}\\-I_{xz}&-I_{yz}&J_{\Delta }\end{array}}\right]\;$» ;
Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : on peut alors vérifier que « la matrice colonne $\;\left[\sigma _{\!A}({\text{syst}},\,t)\right]=\left[{\begin{array}{c}{\overline {\sigma }}_{\!A,\,x}({\text{syst}},\,t)\\{\overline {\sigma }}_{\!A,\,y}({\text{syst}},\,t)\\{\overline {\sigma }}_{\!A,\,\Delta }({\text{syst}},\,t)\end{array}}\right]\;$ représentant le vecteur moment cinétique $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\;$ du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ en rotation autour d'un axe fixe $\;\left(\Delta \right)\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$» avec « un vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$ représenté par la matrice colonne $\;\left[\Omega (t)\right]=$ $\left[{\begin{array}{c}0\\0\\{\overline {\Omega }}(t)\end{array}}\right]\;$» s'évalue en formant la multiplication matricielle suivante «$\;\left[\sigma _{\!A}({\text{syst}},\,t)\right]=\left[J\right]\times \left[\Omega (t)\right]\;$» ou «$\;\left[{\begin{array}{c}{\overline {\sigma }}_{\!A,\,x}({\text{syst}},\,t)\\{\overline {\sigma }}_{\!A,\,y}({\text{syst}},\,t)\\{\overline {\sigma }}_{\!A,\,\Delta }({\text{syst}},\,t)\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{Ox}&-I_{xy}&-I_{xz}\\-I_{xy}&J_{Oy}&-I_{yz}\\-I_{xz}&-I_{yz}&J_{\Delta }\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}0\\0\\{\overline {\Omega }}(t)\end{array}}\right]\;$» soit finalement
$\;{\begin{array}{l c l}{\overline {\sigma }}_{\!A,\,x}({\text{syst}},\,t)\!\!&=-I_{xz}\;{\overline {\Omega }}(t)\!\!&=-{\overline {\Omega }}(t)\left\lbrace \displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \\{\overline {\sigma }}_{\!A,\,y}({\text{syst}},\,t)\!\!&=-I_{yz}\;{\overline {\Omega }}(t)\!\!&=-{\overline {\Omega }}(t)\left\lbrace \displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;y\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \\{\overline {\sigma }}_{\!A,\,\Delta }({\text{syst}},\,t)\!\!&=J_{\Delta }\;{\overline {\Omega }}(t)\!\!&={\overline {\Omega }}(t)\left\lbrace \displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(x^{2}+y^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \end{array}}\;$
Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : on retrouve effectivement les deux termes du vecteur moment cinétique $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\;$ précédemment déterminés directement à savoir
* «$\;J_{\Delta }\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }=\left\lbrace \displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(x^{2}+y^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace {\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }=\left\lbrace \displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;r^{2}\;d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace {\overrightarrow {\Omega }}(t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$» porté par l'axe de rotation et
* «$\;-I_{xz}\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{x}-I_{yz}\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{y}=-\left\lbrace \displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace {\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{x}-\left\lbrace \displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;y\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace {\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{y}=-\left\lbrace \displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;z\left(x\;{\vec {u}}_{x}+y\;{\vec {u}}_{y}\right)d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace {\overline {\Omega }}(t)\;$ $\;{\big$obtenu après factorisation par $\;{\overline {\Omega }}(t){\big ]}$ soit finalement $\;-I_{xz}\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{x}-I_{yz}\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{y}=-{\overline {\Omega }}(t)\left\lbrace \displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;z\;r\;{\vec {u}}_{r}\;d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \;$» $\;\perp \;$ à l'axe de rotation.

### Complément : vecteur moment cinétique d’un système continu de matière en rotation autour d’un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ dans le cadre de la cinétique relativiste

Comme cela a été établi dans le paragraphe « complément, expression relativiste du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique µ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A » plus haut dans ce chapitre, le vecteur moment cinétique relativiste du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)$, à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$, évalué par rapport au point origine $\;A$, se détermine selon
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\vec {P}}_{{\text{volum}},\,{\text{relativ}}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$
$\;{\vec {P}}_{{\text{volum}},\,{\text{relativ}}}(M,\,t)={\dfrac {d{\vec {p}}_{\text{relativ}}}{d{\mathcal {V}}}}(M,\,t)=\gamma _{M}(t)\;\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$
$\;M\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge \gamma _{M}(t)\;\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$
$\;\mu (M)\;$
$\;M\;$
$\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$
$\;M\;$
$\;({\mathcal {R}})\;$
$\;t\;$
$\;\gamma _{M}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t)}{c^{2}}}}}}\;$
$\;M\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ étant en rotation autour d'un axe $\left(\Delta \right)\;$ fixe du référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ et choisissant comme point origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste du système un point $\;A\;$ quelconque de $\;\left(\Delta \right)$, on peut écrire le moment cinétique $\;{\big$vectoriel${\big )}\;$ relativiste de tout pseudo-point centré en $\;M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport à $\;A\;$ selon
$\;d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ}}}(M,\,t)=\gamma _{M}(t)\;d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{newton}}}(M,\,t)=\gamma _{M}(t)\;dm\;r^{2}\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-\gamma _{M}(t)\;dm\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\overline {AH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\;$
$\;H\;$
$\;M\;$
$\;\left(\Delta \right)\;$
$\;r\;$
$\;M\;$
$\;\gamma _{M}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {r^{2}\;{\Big \Vert }{\overrightarrow {\Omega }}(t){\Big \Vert }^{\,2}}{c^{2}}}}}}\;$
$\;M\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
en déduire le vecteur moment cinétique relativiste $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ}}}({\text{syst. en rot.}},\,t)\;$ du système continu fermé en rotation autour de l'axe fixe $\;\left(\Delta \right)\;$ évalué par rapport au point origine $\;A\;$ quelconque sur l'axe,
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ}}}({\text{syst. en rot.}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ}}}(M,\,t)=\left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\gamma _{M}(t)\;dm\;r^{2}\right]{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\gamma _{M}(t)\;dm\;{\overline {AH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\right]\;$
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ}}}({\text{syst. en rot.}},\,t)=\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {\mu (M)\;r^{2}}{\sqrt {1-{\dfrac {r^{2}\;{\Big \Vert }{\overrightarrow {\Omega }}(t){\Big \Vert }^{\,2}}{c^{2}}}}}}\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {\mu (M)\;{\overline {AH}}}{\sqrt {1-{\dfrac {r^{2}\;{\Big \Vert }{\overrightarrow {\Omega }}(t){\Big \Vert }^{\,2}}{c^{2}}}}}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$
comme en cinétique classique, le vecteur moment cinétique relativiste du système continu fermé en rotation autour de l'axe fixe $\;\left(\Delta \right)\;$ évalué par rapport au point origine $\;A\;$ quelconque sur l'axe est la somme de deux termes
* le 1er «$\;\left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\gamma _{M}(t)\;\mu (M)\;r^{2}\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]{\overrightarrow {\Omega }}(t)=\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {\mu (M)\;r^{2}}{\sqrt {1-{\dfrac {r^{2}\;{\Big \Vert }{\overrightarrow {\Omega }}(t){\Big \Vert }^{\,2}}{c^{2}}}}}}\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$»$^,$ porté par l'axe de rotation et
* le 2ème «$\;-{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\gamma _{M}(t)\;\mu (M)\;{\overline {AH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]=-{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {\mu (M)\;{\overline {AH}}}{\sqrt {1-{\dfrac {r^{2}\;{\Big \Vert }{\overrightarrow {\Omega }}(t){\Big \Vert }^{\,2}}{c^{2}}}}}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$» $\;\perp \;$ à l'axe de rotation $\;\ldots$
Choisissant le point origine $\;A\;$ de calcul du vecteur moment cinétique relativiste du système comme origine du repère et l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ comme axe $\;{\overrightarrow {Az}}$, les axes $\;{\overrightarrow {Ax}}\;$ et $\;{\overrightarrow {Ay}}\;$ respectivement orientés par $\;{\vec {u}}_{x}\;$ et $\;{\vec {u}}_{y}\;$ étant choisis $\;\perp \;$ à $\;\left(\Delta \right)\;$ tels que la base $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{\Delta }\right\rbrace \;$ soit de même orientation que la base cylindro-polaire $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{\Delta }\right\rbrace \;$ liée à $\;M\;$, le point $\;M\;$ ayant alors pour coordonnées cylindro-polaires de pôle $\;A\;$ et d'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }$, «$\;\left(r,\,\theta ,\,z\right)\;$», l'expression relativiste du vecteur moment cinétique du système en rotation autour de $\;\left(\Delta \right)$, de vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$, calculé par rapport à $\;A\;$ point quelconque de $\;\left(\Delta \right)$, se réécrit selon
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ}}}({\text{syst. en rot.}},\,t)=\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {\mu (M)\;r^{2}}{\sqrt {1-{\dfrac {r^{2}\;{\Big \Vert }{\overrightarrow {\Omega }}(t){\Big \Vert }^{\,2}}{c^{2}}}}}}\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {\mu (M)\;z\;r}{\sqrt {1-{\dfrac {r^{2}\;{\Big \Vert }{\overrightarrow {\Omega }}(t){\Big \Vert }^{\,2}}{c^{2}}}}}}\;{\vec {u}}_{r}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$

### Complément : notion d’axes principaux d'inertie d’un « système continu de matière »

Cette notion introduite pour un système discret de points matériels au paragraphe « définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier » du chap.$5$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » est applicable à un système continu de matière, que l'expansion soit tridimensionnelle, surfacique ou linéique, à condition de remplacer « point matériel » par « pseudo-point » $^{ou}$ $^{ou}$ $\;\ldots$

### Complément : « moments principaux d’inertie » de quelques solides homogènes

Déjà introduits dans le paragraphe « axes principaux d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu d'expansion spatiale finie » du chap.$5$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », seuls les résultats sont rappelés ci-dessous, les établissements étant à voir dans le paragraphe précité :

#### Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie

$\;\mu _{0}\;$
* « Boule $\;\left({\mathcal {B}}\right)$, homogène », de rayon $\;R$, de centre $\;G\;$ et de « masse $\;m={\dfrac {4}{3}}\;\pi \;\mu _{0}\;R^{3}\;$», « tout axe $\;\Delta _{G}\;$ passant par son centre $\;G\;$ est axe principal d'inertie », « le moment principal d'inertie correspondant étant $\;J_{\Delta _{G}}\!\left({\mathcal {B}}\right)={\dfrac {2}{5}}\;m\;R^{2}\;$».
* « Cylindre de révolution $\;\left({\mathcal {C}}\right)$, homogène », de rayon $\;R$, de longueur $\;H$, de centre $\;G\;$ et de « masse $\;m=\pi \;\mu _{0}\;R^{2}\;H\;$», « Cylindre de révolution $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {C}}\right)}$, homogène », $\succ \;$« l'axe $\;\Delta _{Gz}\;$ passant par son centre $\;G\;$ et confondu avec l'axe de révolution est axe principal d'inertie », « le moment principal d'inertie correspondant étant $\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)={\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\;$» et « Cylindre de révolution $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {C}}\right)}$, homogène », $\succ \;$« tout axe $\;\Delta _{G,\,\perp \,Gz}\;$ passant par son centre $\;G\;$ et $\;\perp \;$ à l'axe de révolution est aussi axe principal d'inertie », « le moment principal d'inertie correspondant étant $\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)=$ ${\dfrac {1}{4}}\;m\;R^{2}+{\dfrac {1}{12}}\;m\;H^{2}\;$».

#### Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion surfacique finie

$\;\sigma _{0}\;$
* « Sphère $\;\left(S\right)$, homogène », de rayon $\;R$, de centre $\;G\;$ et de « masse $\;m=4\;\pi \;\sigma _{0}\;R^{2}\;$», « tout axe $\;\Delta _{G}\;$ passant par son centre $\;G\;$ est axe principal d'inertie », « le moment principal d'inertie correspondant étant $\;J_{\Delta _{G}}\!\left(S\right)={\dfrac {2}{3}}\;m\;R^{2}\;$».
* « Tuyau cylindrique de révolution $\;\left({\mathcal {T}}\right)$, homogène », de rayon $\;R$, de longueur $\;H$, de centre $\;G$, ouvert aux deux extrémités et de « masse $\;m=$ $2\;\pi \;\sigma _{0}\;R\;H\;$», « Tuyau cylindrique de révolution $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {T}}\right)}$, homogène », $\succ \;$« l'axe $\;\Delta _{Gz}\;$ passant par son centre $\;G\;$ et confondu avec l'axe de révolution est axe principal d'inertie », « le moment principal d'inertie correspondant étant $\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)=$ $m\;R^{2}\;$» et « Tuyau cylindrique de révolution $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {T}}\right)}$, homogène », $\succ \;$« tout axe $\;\Delta _{G,\,\perp \,Gz}\;$ passant par son centre $\;G\;$ et $\;\perp \;$ à l'axe de révolution est aussi axe principal d'inertie », « le moment principal d'inertie correspondant étant $\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)={\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}+{\dfrac {1}{12}}\;m\;H^{2}\;$».
* « Disque $\;\left({\mathcal {D}}\right)$, homogène », de rayon $\;R$, de centre $\;G\;$ et de « masse $\;m=\pi \;\sigma _{0}\;R^{2}\;$», « Disque $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {D}}\right)}$, homogène », $\succ \;$« l'axe $\;\Delta _{Gz}\;$ passant par son centre $\;G\;$ et confondu avec l'axe du disque est axe principal d'inertie », « le moment principal d'inertie correspondant étant $\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)=$ ${\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\;$» et « Disque $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {D}}\right)}$, homogène », $\succ \;$« tout axe $\;\Delta _{G,\,\perp \,Gz}\;$ passant par son centre $\;G\;$ et $\;\perp \;$ à l'axe du disque $\;{\big$c'est-à-dire tout support de diamètre${\big )}\;$ est aussi axe principal d'inertie, le moment principal d'inertie correspondant étant $\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)={\dfrac {1}{4}}\;m\;R^{2}\;$».

#### Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie

$\;\lambda _{0}\;$
* « Cercle $\;\left({\mathcal {C}}\right)$, homogène », de rayon $\;R$, de centre $\;G\;$ et de « masse $\;m=2\;\pi \;\lambda _{0}\;R\;$», « Cercle $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {C}}\right)}$, homogène », $\succ \;$« l'axe $\;\Delta _{Gz}\;$ passant par son centre $\;G\;$ et confondu avec l'axe du cercle est axe principal d'inertie », « le moment principal d'inertie correspondant étant $\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)=$ $m\;R^{2}\;$» et « Cercle $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {C}}\right)}$, homogène », $\succ \;$« tout axe $\;\Delta _{G,\,\perp \,Gz}\;$ passant par son centre $\;G\;$ et $\;\perp \;$ à l'axe du cercle $\;{\big$c'est-à-dire tout support de diamètre${\big )}\;$ est aussi axe principal d'inertie, le moment principal d'inertie correspondant étant $\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)={\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\;$».
* « Tige rectiligne $\;\left({\mathcal {T}}\right)$, homogène », de longueur $\;{\mathit {l}}$, de centre d'inertie $\;G\;$ et de « masse $\;m=\lambda _{0}\;{\mathit {l}}\;$», « Tige rectiligne $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {T}}\right)}$, homogène », $\succ \;$« l'axe $\;\Delta _{Gz}\;$ passant par son centre d'inertie $\;G\;$ et confondu avec l'axe de la tige pourrait être considéré comme axe principal d'inertie si toutefois le moment principal d'inertie correspondant était non nul » mais «$\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)=0\;$» $\;{\big$la valeur nulle de $\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)\;$ fait qu'en pratique l'axe $\;\Delta _{Gz}\;$ n'est pas comptabilisé dans les axes principaux d'inertie de $\;{\mathcal {T}}{\big ]}\;$ et « Tige rectiligne $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {T}}\right)}$, homogène », $\succ \;$« tout axe $\;\Delta _{G,\,\perp \,Gz}\;$ passant par son centre $\;G\;$ et $\;\perp \;$ à l'axe de la tige $\;{\big$c'est-à-dire tout support de médiatrice${\big )}\;$ est axe principal d'inertie », « le moment principal d'inertie correspondant étant $\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)={\dfrac {1}{12}}\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}\;$».

### Complément : « théorème de Huygens »

Le « théorème de Huygens » $\;{\big$encore appelé « théorème de Steiner » ou « théorème des axes parallèles »${\big ]}\;$ permet d'évaluer le moment d'inertie d'un solide relativement à un axe $\;\left(\Delta \right)\;$ connaissant celui relativement à l'axe $\;\left(\Delta _{G}\right)$ $\;{\big$axe $\;\parallel \;$ à $\;\left(\Delta \right)\;$ passant par $\;G$, C.D.I.$^,$ du solide${\big ]}$, la distance orthogonale entre $\;\left(\Delta \right)\;$ et $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ ainsi que la masse du solide.
$\;({\mathcal {S}})\;$
$\;m_{({\mathcal {S}})}$
$\;G\;$
$\;\left(\Delta \right)\;$
$\;({\mathcal {S}})\;$
$\;\left(\Delta \right)$
$\;J_{\Delta }\!\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;J_{\Delta }\!\left({\mathcal {S}}\right)=J_{\Delta _{G}}\!\left({\mathcal {S}}\right)+m_{({\mathcal {S}})}\;d^{2}\;$
$\;J_{\Delta _{G}}\!\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;({\mathcal {S}})\;$
$\;\left(\Delta _{G}\right)$
$\;{\big$
$\;\parallel \;$
$\;\left(\Delta \right)\;$
$\;G{\big ]}\;$
$\;d\;$
$\;\left(\Delta \right)\;$
$\;\left(\Delta _{G}\right)\;$
Démonstration $\;{\big$faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right){\big ]}$ : « le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ étant défini par $\;J_{\Delta }=$ $\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;HM^{2}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» avec «$\;H\;$ le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur $\;\left(\Delta \right)\;$» et «$\;\mu (M)\;$ la masse volumique du solide », Démonstration $\;\color {transparent}{\big$faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {V}}\right){\big ]}}$ : « le moment d'inertie « celui par rapport à l'axe $\;\left(\Delta _{G}\right)\;\parallel \;$ à $\;\left(\Delta \right)\;$ passant par le C.D.I.$^,$ $\;G\;$ du solide, par $\;J_{\Delta _{G}}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;KM^{2}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» avec «$\;K\;$ le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$», Démonstration $\;\color {transparent}{\big$faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {V}}\right){\big ]}}$ : on passe de l'un à l'autre en utilisant la relation de Chasles «$\;{\overrightarrow {HM}}={\overrightarrow {HK}}+{\overrightarrow {KM}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\overrightarrow {HM}}^{2}$ $={\overrightarrow {HK}}^{2}+{\overrightarrow {KM}}^{2}+2\;{\overrightarrow {HK}}\cdot {\overrightarrow {KM}}\;$» puis, Démonstration $\;\color {transparent}{\big$faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {V}}\right){\big ]}}$ : on passe de l'un à l'autre en multipliant chaque membre par «$\;\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» et Démonstration $\;\color {transparent}{\big$faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {V}}\right){\big ]}}$ : on passe de l'un à l'autre en intégrant membre à membre, «$\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;HM^{2}\;d{\mathcal {V}}_{M}=$ $HK^{2}\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}+\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;KM^{2}\;d{\mathcal {V}}_{M}+2\;{\overrightarrow {HK}}\cdot \displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overrightarrow {KM}}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$»$^,$ d'où, en reconnaissant «$\;J_{\Delta }\;$ dans le 1er membre », «$\;J_{\Delta _{G}}\;$ dans la 2ème intégrale du 2ème membre », «$\;m_{\text{syst}}\;d^{2}\;$ dans le 1er terme du 2ème membre » $\;{\bigg \$en effet $\;HK$ $=d\;$ et $\;\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}=m_{\text{syst}}{\bigg \}$ et «$\;2\;{\overrightarrow {HK}}\cdot m_{\text{syst}}\;{\overrightarrow {KG}}\;$ dans le 3ème terme du 2ème membre » $\;{\bigg \$en effet, selon une propriété du C.D.I.$^,$ $\;G\;$ du solide $\;\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overrightarrow {KM}}\;d{\mathcal {V}}_{M}=$ $m_{\text{syst}}\;{\overrightarrow {KG}}\;$${\bigg \}$, la simplification suivante
$\;J_{\Delta }=m_{\text{syst}}\;d^{2}+J_{\Delta _{G}}\;{\cancel {+\;2\;m_{\text{syst}}\;{\overrightarrow {HK}}\cdot {\overrightarrow {KG}}}}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
Exemples d'application, ci-dessous liste non exhaustive :
* « Boule $\;\left({\mathcal {B}}\right)$, homogène », de rayon $\;R$, de centre $\;G$, de « masse $\;m={\dfrac {4}{3}}\;\pi \;\mu _{0}\;R^{3}\;$» et un « axe $\;\Delta \;$ tangent en $\;A\;$ à la sphère limitant $\;\left({\mathcal {B}}\right)\;$», le moment d'inertie de $\;\left({\mathcal {B}}\right)\;$ relativement à $\;\Delta \;$ est «$\;J_{\Delta }\!\left({\mathcal {B}}\right)=$ $J_{\Delta _{G}}\!\left({\mathcal {B}}\right)+m\;AG^{2}\;$ $\;={\dfrac {2}{5}}\;m\;R^{2}+m\;R^{2}={\dfrac {7}{5}}\;m\;R^{2}$» $\;{\big$très peu utilisé${\big )}$.
* « Cylindre de révolution $\;\left({\mathcal {C}}\right)$, homogène », de rayon $\;R$, de longueur $\;H$, de centre $\;G$, de « masse $\;m=\pi \;\mu _{0}\;R^{2}\;H\;$» et « Cylindre de révolution $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {C}}\right)}$, homogène », $\succ \;$un « axe $\;\Delta \;$ confondu avec une génératrice du tuyau cylindrique limitant $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$», le moment d'inertie de $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ relativement à $\;\Delta \;$ est «$\;J_{\Delta }\!\left({\mathcal {C}}\right)=$ $J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)+m\;\left[d\left(\Delta \,,\,\Delta _{Gz}\right)\right]^{2}\;$ $\;={\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}+m\;R^{2}={\dfrac {3}{2}}\;m\;R^{2}$» $\;{\big$peu utilisé${\big )}$, ou « Cylindre de révolution $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {C}}\right)}$, homogène », $\succ \;$un « axe $\;\Delta '\;$ passant par le centre d'une des bases limitant $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ et $\;\perp \;$ à l'axe de révolution », le moment d'inertie de $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ relativement à $\;\Delta '\;$ est «$\;J_{\Delta '}\!\left({\mathcal {C}}\right)$ $=J_{{\Delta '}_{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)+m\;\left[d\left(\Delta '\,,\,{\Delta '}_{G,\,\perp \,Gz}\right)\right]^{2}\;$ $\;=\left[{\dfrac {1}{4}}\;m\;R^{2}+{\dfrac {1}{12}}\;m\;H^{2}\right]+m\;{\dfrac {H^{2}}{4}}\;$» d'où finalement «$\;J_{\Delta '}\!\left({\mathcal {C}}\right)$ $={\dfrac {1}{4}}\;m\;R^{2}+{\dfrac {1}{3}}\;m\;H^{2}\;$» $\;{\big$peu utilisé${\big )}$.
* « Sphère $\;\left(S\right)$, homogène », de rayon $\;R$, de centre $\;G$, de « masse $\;m=4\;\pi \;\sigma _{0}\;R^{2}\;$» et un « axe $\;\Delta \;$ tangent à la sphère en $\;A\;$», le moment d'inertie de $\;\left(S\right)\;$ relativement à $\;\Delta \;$ est «$\;J_{\Delta }\!\left(S\right)=$ $J_{\Delta _{G}}\!\left(S\right)+m\;AG^{2}\;$ $\;={\dfrac {2}{3}}\;m\;R^{2}+m\;R^{2}={\dfrac {5}{3}}\;m\;R^{2}\;$» $\;{\big$très peu utilisé${\big )}$.
* « Tuyau cylindrique de révolution $\;\left({\mathcal {T}}\right)$, homogène », de rayon $\;R$, de longueur $\;H$, de centre $\;G$, ouvert aux deux extrémités, de « masse $\;m=$ $2\;\pi \;\sigma _{0}\;R\;H\;$» et « Tuyau cylindrique de révolution $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {T}}\right)}$, homogène », $\succ \;$un « axe $\;\Delta \;$ confondu avec une génératrice du tuyau cylindrique », le moment d'inertie de $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ relativement à $\;\Delta \;$ est «$\;J_{\Delta }\!\left({\mathcal {T}}\right)=$ $J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)+m\;\left[d\left(\Delta \,,\,\Delta _{Gz}\right)\right]^{2}\;$ $\;=m\;R^{2}+m\;R^{2}=2\;m\;R^{2}\;$» $\;{\big$peu utilisé${\big )}$, ou « Tuyau cylindrique de révolution $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {T}}\right)}$, homogène », $\succ \;$un « axe $\;\Delta '\;$ passant par le centre d'un des cercles limitant $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ et $\;\perp \;$ à l'axe de révolution », le moment d'inertie de $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ relativement à $\;\Delta '\;$ est «$\;J_{\Delta '}\!\left({\mathcal {T}}\right)=$ $J_{{\Delta '}_{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)+m\;\left[d\left(\Delta '\,,\,{\Delta '}_{G,\,\perp \,Gz}\right)\right]^{2}\;$ $\;=\left[{\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}+{\dfrac {1}{12}}\;m\;H^{2}\right]+m\;{\dfrac {H^{2}}{4}}\;$» d'où finalement «$\;J_{\Delta '}\!\left({\mathcal {C}}\right)$ $={\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}+{\dfrac {1}{3}}\;m\;H^{2}\;$» $\;{\big$très peu utilisé${\big )}$.
* « Disque $\;\left({\mathcal {D}}\right)$, homogène », de rayon $\;R$, de centre $\;G$, de « masse $\;m=\pi \;\sigma _{0}\;R^{2}\;$» et « Disque $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {D}}\right)}$, homogène », $\succ \;$un « axe $\;\Delta \;$ passant par un point $\;A\;$ du cercle limitant le disque et $\;\parallel \;$ à l'axe $\;\Delta _{Gz}\;$ du disque », le moment d'inertie de $\;\left({\mathcal {D}}\right)\;$ relativement à $\;\Delta \;$ est «$\;J_{\Delta }\!\left({\mathcal {D}}\right)=$ $J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)+m\;AG^{2}=$ ${\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}+m\;R^{2}={\dfrac {3}{2}}\;m\;R^{2}\;$» $\;{\big$peu utilisé${\big )}\;$ ou « Disque $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {D}}\right)}$, homogène », $\succ \;$un « axe $\;\Delta '\;$ tangent en un point $\;A\;$ du cercle limitant le disque », le moment d'inertie de $\;\left({\mathcal {D}}\right)\;$ relativement à $\;\Delta '\;$ est «$\;J_{\Delta '}\!\left({\mathcal {D}}\right)=$ $J_{{\Delta '}_{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)+m\;AG^{2}\;$ $\;={\dfrac {1}{4}}\;m\;R^{2}+m\;R^{2}=$ ${\dfrac {5}{4}}\;m\;R^{2}\;$» $\;{\big$peu utilisé${\big )}$.
* « Cercle $\;\left({\mathcal {C}}\right)$, homogène », de rayon $\;R$, de centre $\;G$, de « masse $\;m=2\;\pi \;\lambda _{0}\;R\;$» et « Cercle $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {C}}\right)}$, homogène », $\succ \;$un « axe $\;\Delta \;$ passant par un point $\;A\;$ du cercle et $\;\parallel \;$ à l'axe $\;\Delta _{Gz}\;$ de ce dernier », le moment d'inertie de $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ relativement à $\;\Delta \;$ est «$\;J_{\Delta }\!\left({\mathcal {C}}\right)=J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)+m\;AG^{2}=$ $m\;R^{2}+m\;R^{2}=2\;m\;R^{2}\;$» $\;{\big$peu utilisé${\big )}\;$ ou « Cercle $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {C}}\right)}$, homogène », $\succ \;$un « axe $\;\Delta '\;$ tangent en un point $\;A\;$ du cercle », le moment d'inertie du cercle $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ relativement à $\;\Delta '\;$ se calcule par «$\;J_{\Delta '}\!\left({\mathcal {C}}\right)=$ $J_{{\Delta '}_{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)+m\;AG^{2}\;$ $\;=$ ${\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}+m\;R^{2}=$ ${\dfrac {3}{2}}\;m\;R^{2}\;$» $\;{\big$peu utilisé${\big )}$.
* « Tige rectiligne $\;\left({\mathcal {T}}\right)$, homogène », de longueur $\;{\mathit {l}}$, de centre d'inertie $\;G$, de « masse $\;m=\lambda _{0}\;{\mathit {l}}\;$» et un « axe $\;\Delta \;$ passant par $\;A$, une extrémité de la tige et $\;\perp \;$ à l'axe $\;Gz\;$ de cette dernière », le moment d'inertie $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ relativement à $\;\Delta \;$ est «$\;J_{\Delta }\!\left({\mathcal {T}}\right)=J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)+m\;AG^{2}\;$ $={\dfrac {1}{12}}\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}+m\;{\dfrac {{\mathit {l}}^{\,2}}{4}}\;$» soit finalement «$\;J_{\Delta }\!\left({\mathcal {T}}\right)={\dfrac {1}{3}}\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}\;$» $\;{\big$assez fréquemment utilisé${\big )}$.

## Moment cinétique (scalaire) d’un système continu de matière par rapport à un axe « Δ »

Il s'agit de transposer aux systèmes continus $\;{\big$fermés${\big )}\;$ de matière ce qui a été établi dans le paragraphe « équiprojectivité du vecteur champ moment cinétique d'un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude et conséquence : notion de moment cinétique scalaire du système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un axe Δ » du chap.$2$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
Compte-tenu de la similitude de traitement pour les systèmes continus de matière dans le cas d'une modélisation volumique, surfacique ou linéique, nous n'aborderons l'équiprojectivité du vecteur champ moment cinétique d'un système continu de matière que dans le cas d'une modélisation volumique, les autres modélisations surfacique ou linéique correspondant à un traitement identique $\;{\big$la différence n'intervenant que dans la nature des intégrales mais celle-ci n'apparaissant pas ci-dessous $\;{\big$sauf dans le contenu des remarques${\big )}$, il n'y a donc aucune différence${\big ]}\;\ldots$

### Équiprojectivité du « vecteur champ moment cinétique d’un système continu (fermé) de matière » dans le référentiel d’étude

La « définition de l'équiprojectivité d'un champ de vecteurs d'un espace affine euclidien tridimensionnel » introduite au chap.$1$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » est d'abord rappelée ci-dessous dans le but de la tester sur la notion de moment cinétique $\;{\big$vectoriel${\big )}\;$ d'un système continu $\;{\big$fermé${\big )}\;$ de matière d'expansion tridimensionnelle en un point origine $\;A\;$ quelconque :
$\;{\vec {f}}(M)\;$
$\;M\in {\mathcal {E}}\;$
$\;\forall \;\left(M\,,\,N\right)\in {\mathcal {E}}^{2},\;{\vec {f}}(M)\cdot {\overrightarrow {MN}}={\vec {f}}(N)\cdot {\overrightarrow {MN}}\;$
Pour démontrer l'équiprojectivité du vecteur moment cinétique d'un système continu $\;{\big$fermé${\big )}\;$ de matière, on utilise la « formule de changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de matière dans le référentiel d'étude » établie plus haut dans ce chapitre soit
$\;\forall \;\left(A\,,\,A'\right)\in {\mathcal {E}}^{2},\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A'}\left({\text{syst}},\,t\right)={\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}\left({\text{syst}},\,t\right)+{\overrightarrow {A'A}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$
$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$
Pour démontrer l'équiprojectivité du vecteur moment cinétique d'un système continu $\;\color {transparent}{\big$fermé$\color {transparent}{\big )}\;$ de matière, on multiplie scalairement les deux membres par $\;{\overrightarrow {A'A}}\;$ d'où
$\;\forall \;\left(A\,,\,A'\right)\in {\mathcal {E}}^{2},\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A'}\left({\text{syst}},\,t\right)\cdot {\overrightarrow {A'A}}=\left[{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}\left({\text{syst}},\,t\right)+{\overrightarrow {A'A}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\right]\cdot {\overrightarrow {A'A}}\;$
Pour démontrer l'équiprojectivité du vecteur moment cinétique d'un système continu $\;\color {transparent}{\big$fermé$\color {transparent}{\big )}\;$ de matière, la multiplication scalaire étant distributive par rapport à l'addition vectorielle,
$\;\forall \;\left(A\,,\,A'\right)\in {\mathcal {E}}^{2},\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A'}\left({\text{syst}},\,t\right)\cdot {\overrightarrow {A'A}}={\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}\left({\text{syst}},\,t\right)\cdot {\overrightarrow {A'A}}\;{\cancel {+\left[{\overrightarrow {A'A}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\right]\cdot {\overrightarrow {A'A}}}}\;$
Pour démontrer l'équiprojectivité du vecteur moment cinétique d'un système continu $\;\color {transparent}{\big$fermé$\color {transparent}{\big )}\;$ de matière, ce qui établit l'équiprojectivité du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de matière dans le référentiel d'étude.
Remarques : $\;\succ \;$On pouvait aussi utiliser l'équiprojectivite du vecteur moment cinétique d'un point matériel établie dans le paragraphe « équiprojectivité du vecteur champ moment cinétique de M dans le référentiel d'étude et conséquence, notion de moment cinétique de M dans le référentiel d'étude par rapport à un axe Δ » du chap.$1$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » en la transposant à celle de pseudo-point $\;M\;(dm)\;$ d'une expansion tridimensionnelle
$\;\forall \;\left(A\,,\,A'\right)\in {\mathcal {E}}^{2},\;\;d{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M,\,t)\cdot {\overrightarrow {AA'}}=d{\overrightarrow {\sigma }}_{A'}(M,\,t)\cdot {\overrightarrow {AA'}},\;\;\forall \;M\in \left({\mathcal {V}}\right)\;$
Remarques : $\;\color {transparent}{\succ }\;$On pouvait aussi utiliser la définition du moment cinétique vectoriel du système évalué en $\;A\;$ et en $\;A'\;$ selon «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}\left({\text{syst}},\,t\right)=\displaystyle \iiint _{M\,\in \,({\mathcal {V}}}d{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M,\,t)\\{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A'}\left({\text{syst}},\,t\right)=\displaystyle \iiint _{M\,\in \,({\mathcal {V}}}d{\overrightarrow {\sigma }}_{A'}(M,\,t)\end{array}}\right\rbrace \;$», Remarques : $\;\color {transparent}{\succ }\;$il suffit de faire la « somme continue » des relations d'équiprojectivité pour les pseudo-points du système et de factoriser scalairement par $\;{\overrightarrow {AA'}}\;$ dans chaque membre en reconnaissant dans l'autre facteur le moment cinétique vectoriel du système évalué en $\;A\;$ pour le membre de gauche et en $\;A'\;$ pour le membre de droite $\;{\big$C.Q.F.D.${\big )}\;$.
Remarques : $\;\succ \;$En utilisant la notion $\;{\big$hors programme de physique de P.C.S.I.${\big )}\;$ de « torseur » introduite dans le chap.$1$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », le moment cinétique $\;{\big$vectoriel${\big )}\;$ du système continu $\;{\big$fermé${\big )}\;$ de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ par rapport à $\;A\;$ «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\;$» étant le moment du torseur cinétique «$\;{\mathcal {T}}_{\text{cinét. du syst.}}\;$» du système continu $\;{\big$fermé${\big )}\;$ de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ d'éléments de réduction en $\;A\;$ «$\;{\mathcal {T}}_{\text{cinét. du syst.}}=\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=\displaystyle \iiint _{M\,\in \,({\mathcal {V}})}d{\vec {p}}_{M}(t)\\{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iiint _{M\,\in \,({\mathcal {V}})}{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge d{\vec {p}}_{M}(t)\end{array}}\right\rbrace _{A}$» et Remarques : $\;\color {transparent}{\succ }\;$En utilisant le fait que le « moment d'un torseur au point $\;A\;$» est par définition un « champ de vecteurs équiprojectif » Remarques : $\;\color {transparent}{\succ }\;$nous en déduisons, sans autre développement, le caractère « équiprojectif » du « vecteur moment cinétique du système continu $\;{\big$fermé${\big )}\;$ de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport à $\;A\;$».

### Conséquence : notion de « moment cinétique scalaire du système continu (fermé) de matière dans le référentiel d'étude par rapport à un axe Δ »

Considérant un axe $\;\Delta \;$ quelconque et deux points quelconques $\;{\big$distincts${\big )}\;$ de cet axe $\;\left(A\,,\,A'\neq A\right)\in \Delta ^{2}$, nous déduisons de l'équiprojectivité du vecteur moment cinétique du système continu $\;{\big$fermé${\big )}\;$ de matière dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ la relation
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A'}\left({\text{syst}},\,t\right)\cdot {\overrightarrow {A'A}}={\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}\left({\text{syst}},\,t\right)\cdot {\overrightarrow {A'A}}\;$
$\;\Delta \;$
$\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$
$\Rightarrow$
$\;{\overrightarrow {AA'}}={\overline {AA'}}\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$
$\;{\overline {AA'}}\neq 0$
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A'}({\text{syst}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }={\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$
cette valeur constante sur $\;\Delta \;$ définissant le moment cinétique $\;{\big$scalaire${\big )}\;$ du système continu $\;{\big$fermé${\big )}\;$ de matière dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport à l'axe $\;\Delta$ $\;{\big$cette définition est valable en cinétique classique ou relativiste, elle s'étend aux systèmes continus ouverts de matière dans le cadre classique ou relativiste${\big ]}$.
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;\Delta \;$
$\;t$
$\;\sigma _{\Delta }({\text{syst}},\,t)={\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;\;\forall \;A\in \Delta \;$
$\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$
$\;\Delta \;$
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\;$
$\;({\mathcal {R}})\;$
$\;A\;$
$\;\Delta \;$
$\;t\;$
$\;\sigma _{\Delta }({\text{syst}},\,t)=\left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,({\mathcal {V}})}{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge d{\vec {p}}_{M}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;\;\forall \;A\in \Delta \;$
$\;d{\vec {p}}_{M}(t)\;$
$\;M\;(dm)\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;t\;$
Commentaire : cette grandeur traduit la réserve de « mouvement inertiel » du système continu $\;{\big$fermé${\big )}\;$ de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ par rapport à l'axe $\;\Delta$, elle tient compte de l'inertie d'une part et de la composante de la vitesse de chaque pseudo-point $\;M\;(dm)\;$ dans un plan $\;\perp \;$ à $\;\Delta \;$ ainsi que de la disposition du point $\;M\;$ par rapport à cet axe d'autre part, la grandeur dépend donc du référentiel $\;({\mathcal {R}})$.

## Moment cinétique (scalaire) d’un système continu de matière en rotation autour d’un axe

Là encore, compte-tenu de la similitude de traitement pour les systèmes continus de matière dans le cas d'une modélisation volumique, surfacique ou linéique, nous n'expliciterons le moment cinétique scalaire d'un système continu de matière que dans le cas d'une modélisation volumique, les autres modélisations surfacique ou linéique correspondant à un traitement identique $\;{\big$à la différence de la nature des intégrales${\big ]}\;\ldots$

### Expression du moment cinétique scalaire d’un système continu de matière en rotation autour d’un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l’axe Δ

Pour expliciter le moment cinétique scalaire du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ en rotation autour d'un axe $\;\left(\Delta \right)$, orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }$, avec un vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)=$ ${\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }$, $\;{\big{\overline {\Omega }}(t)\;$ étant la vitesse angulaire de rotation du système autour de $\;\left(\Delta \right){\big ]}$, Pour expliciter le moment cinétique scalaire du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {V}}\right)}\;$ en rotation nous choisissons un point $\;A\;$ quelconque de cet axe de rotation $\;\left(\Delta \right)\;$ et utilisons l'explicitation du vecteur moment cinétique classique $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\;$ du système par rapport à $\;A\;$ établie dans le paragraphe « expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ » plus haut dans le chapitre à savoir
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overline {AH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]$
$\;H\;$
$\;M\;$
$\;\left(\Delta \right)\;$
$\;J_{\Delta }=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;r^{2}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$
$\;\left(\Delta \right)\;$
$\;r=HM\;$
Pour expliciter le moment cinétique scalaire du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {V}}\right)}\;$ en rotation nous multiplions les deux membres de l'expression de $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\;$ scalairement par $\;{\vec {u}}_{\Delta }$,
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=\left\lbrace J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overline {AH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\right\rbrace \cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$
$\;=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }-{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overline {AH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$
Pour expliciter le moment cinétique scalaire du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {V}}\right)}\;$ en rotation nous remarquons la nullité du 2ème terme du 2ème membre après constatation que «$\;\left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overline {AH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$ est $\;\perp \;$ à $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$», le 1er terme du 2ème membre se simplifiant selon «$\;J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=J_{\Delta }\;{\overline {\Omega }}(t)\;$» et le 1er membre définissant le moment cinétique scalaire du système relativement à $\;\left(\Delta \right)\;$ «$\;\sigma _{\Delta }({\text{syst}},\,t)$ $={\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$ si $\;A\,\in \,\left(\Delta \right)\;$».
Finalement le moment cinétique scalaire classique $\;\sigma _{\Delta }({\text{syst}},\,t)\;$ du système continu de matière en rotation autour de l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ fixe dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ avec un vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)=$ ${\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }$, moment évalué par rapport à l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ de rotation orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }$, s'écrit
$\;\sigma _{\Delta }({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overline {\Omega }}(t)\;$
$\;J_{\Delta }\;$
$\;\left(\Delta \right)\;$
$\;{\overline {\Omega }}(t)\;$
$\;\left(\Delta \right)\;$

### Complément : expression relativiste du moment cinétique scalaire d’un système continu de matière en rotation autour d’un axe fixe Δ dans le référentiel d’étude par rapport à l’axe « Δ »

Pour expliciter le moment cinétique scalaire relativiste du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ en rotation autour d'un axe $\;\left(\Delta \right)$, orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }$, avec un vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)=$ ${\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }$, $\;{\big{\overline {\Omega }}(t)\;$ étant la vitesse angulaire de rotation du système autour de $\;\left(\Delta \right){\big ]}$, Pour expliciter le moment cinétique scalaire relativiste du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {V}}\right)}\;$ en rotation nous choisissons un point $\;A\;$ quelconque de cet axe de rotation $\;\left(\Delta \right)\;$ et utilisons l'explicitation du vecteur moment cinétique classique relativiste $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ}}}({\text{syst. en rot.}},\,t)\;$ du système par rapport à $\;A\;$ établie dans le paragraphe « complément, vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ dans le cadre de la cinétique relativiste » plus haut dans le chapitre à savoir
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ}}}({\text{syst. en rot.}},\,t)=$
$\left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\gamma _{M}(t)\;dm\;r^{2}\right]{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\gamma _{M}(t)\;dm\;{\overline {AH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\right]\;$
$\;H\;$
$\;M\;$
$\;\left(\Delta \right)\;$
$\;r=HM\;$
$\;M\;$
$\;\left(\Delta \right)\;$
$\;\gamma _{M}(t)=$
${\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {r^{2}\;{\Big \Vert }{\overrightarrow {\Omega }}(t){\Big \Vert }^{\,2}}{c^{2}}}}}}\;$
$\;M\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}$
Pour expliciter le moment cinétique scalaire relativiste du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {V}}\right)}\;$ en rotation nous multiplions scalairement par $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ les deux membres de l'expression de $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ}}}({\text{syst. en rot.}},\,t)$,
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ}}}({\text{syst. en rot.}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=\left\lbrace \left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\gamma _{M}(t)\;dm\;r^{2}\right]{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\gamma _{M}(t)\;dm\;{\overline {AH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\right]\right\rbrace \cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$
$\;=\left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\gamma _{M}(t)\;dm\;r^{2}\right]{\overrightarrow {\Omega }}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }-{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\gamma _{M}(t)\;dm\;{\overline {AH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$
Pour expliciter le moment cinétique scalaire relativiste du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {V}}\right)}\;$ en rotation nous remarquons la nullité du 2ème terme du 2ème membre due au fait que les deux facteurs vectoriels «$\;\left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\gamma _{M}(t)\;dm\;{\overline {AH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\right]\;$ et $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ sont $\;\perp \;$», le 1er terme du 2ème membre se simplifiant selon «$\;\left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\gamma _{M}(t)\;dm\;r^{2}\right]{\overrightarrow {\Omega }}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=$ $\left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\gamma _{M}(t)\;dm\;r^{2}\right]{\overline {\Omega }}(t)\;$ » et le 1er membre définissant le moment cinétique scalaire relativiste du système relativement à $\;\left(\Delta \right)\;$ «$\;\sigma _{\Delta ,\,{\text{relativ}}}({\text{syst. en rot.}},\,t)$ $={\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ}}}({\text{syst. en rot.}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$ si $\;A\,\in \,\left(\Delta \right)\;$».
Finalement le moment cinétique scalaire relativiste $\;\sigma _{\Delta ,\,{\text{relativ}}}({\text{syst. en rot.}},\,t)\;$ du système continu de matière en rotation autour de l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ fixe dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ avec un vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)={\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }$, moment évalué par rapport à l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ de rotation orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }$, s'écrit
$\;\sigma _{\Delta ,\,{\text{relativ}}}({\text{syst. en rot.}},\,t)=\left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\gamma _{M}(t)\;dm\;r^{2}\right]{\overline {\Omega }}(t)\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}$
$\;\gamma _{M}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {r^{2}\;{\Big \Vert }{\overrightarrow {\Omega }}(t){\Big \Vert }^{\,2}}{c^{2}}}}}}\;$
$\;M\;$
$\;r\;$
$\;M\;$
$\;{\overline {\Omega }}(t)\;$
$\;\left(\Delta \right)\;$

## Lien entre grandeurs cinétique, cinématique et d’inertie d’un solide en rotation autour d’un axe

Il s'agit d'étendre « l'analogie entre la cinétique d'un point matériel en mouvement quelconque et celle d'un point matériel en mouvement de rotation autour d'un axe Δ ${\big$dans le cadre classique${\big )}\;$» établie dans le chap.$1$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » au cas de système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion volumique, surfacique ou linéique.
Rappel de l'analogie entre cinétique de mouvement quelconque et celle de rotation d'un point matériel :
${\begin{array}{c}&&{\text{grandeur cinétique}}&=&{\text{grandeur d'inertie}}&\times &{\text{grandeur cinématique}}&\\&{\text{mouvement quelconque}}&{\vec {p}}_{M}(t)&=&m&\times &{\vec {V}}_{M}(t)\\&&\updownarrow &&\updownarrow &&\updownarrow &\\{\text{« }}&\!\!\!\!\!{\text{rotation de centre}}\;C&{\overrightarrow {\sigma }}_{C}(M,\,t)&=&J_{\Delta }(M)&\times &{\overrightarrow {\Omega }}(t)&{\text{ ».}}\\&&\updownarrow &&\updownarrow &&\updownarrow &\\&{\text{rotation d'axe}}\;\Delta &\sigma _{\Delta }(M,\,t)&=&J_{\Delta }(M)&\times &{\overline {\Omega }}(t)&\end{array}}$
Rappel des résultats concernant la cinétique de translation et celle de rotation d'un solide :
* en cinétique classique d'un solide en translation, le lien entre la grandeur cinétique « la résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$», la grandeur cinématique « le vecteur vitesse d'entraînement $\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)$ $={\vec {V}}_{G}(t)\;$» $\;{\bigG\;$ étant le C.D.I.$^,$${\big ]}\;$ et la grandeur d’inertie « la masse du solide $\;m_{\text{syst}}\;$» est «$\;{\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$» ;
* en cinétique classique d’un solide en rotation autour d’un axe fixe $\;\Delta$, le lien entre la grandeur cinétique « le moment cinétique scalaire relativement à l'axe $\;\sigma _{\Delta }\!\left({\text{syst. en rot.}},\,t\right)\;$», la grandeur cinématique « la vitesse angulaire de rotation $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$» et la grandeur d’inertie « le moment d’inertie du solide relativement à l’axe $\;J_{\Delta }\!\left({\text{syst}}\right)\;$» est «$\;\sigma _{\Delta }\!\left({\text{syst. en rot.}},\,t\right)=J_{\Delta }\!\left({\text{syst}}\right)\;{\overline {\Omega }}(t)\;$» ;
Rappel des résultats concernant la cinétique de translation et celle de rotation d'un solide : on a donc la même analogie entre solide en translation et solide en rotation autour d’un axe qu’entre point matériel en mouvement quelconque et point matériel en rotation autour d’un axe à savoir
${\begin{array}{c}&\!\!\!\!\!\!&{\text{grandeur cinétique}}&=&{\text{grandeur d'inertie}}&\times &{\text{grandeur cinématique}}&\\&\!\!\!\!{\text{translation}}&{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)&=&m_{\text{syst}}&\times &{\vec {V}}_{G}(t)&\\{\text{« }}&\!\!\!\!&\updownarrow &&\updownarrow &&\updownarrow &{\text{ ».}}\\&\!\!\!\!{\text{rotation d'axe}}\;\Delta &\sigma _{\Delta }\!\left({\text{syst}},\,t\right)&=&J_{\Delta }\!\left({\text{syst}}\right)&\times &{\overline {\Omega }}(t)&\end{array}}$

## Signification physique du moment d’inertie d’un solide relativement à un axe

Pour un « moment cinétique scalaire du solide en rotation fixé », plus le moment d'inertie du solide relativement à cet axe est grand, plus la vitesse angulaire est faible $\;{\big \$par exemple : un patineur sur glace tournant sur lui-même ralentit dès lors qu'il écarte les bras, pour le moment cinétique scalaire qu'il possède, il fait croître son moment d’inertie $\Rightarrow$ sa vitesse angulaire de rotation diminue${\big \}$ ;
parallèlement un solide ayant une vitesse angulaire autour de son axe de rotation fixée, aura un moment cinétique scalaire par rapport à cet axe $\;{\big$c'est-à-dire une réserve cinétique en rotation${\big )}\;$ d’autant plus grand que son moment d’inertie relativement à cet axe sera grand $\;{\big \$par exemple le volant d’inertie d’un « gyrobus » lancé avant le départ du bus avec une vitesse angulaire fixée possède un grand moment d’inertie permettant d’avoir un grand moment cinétique scalaire, ce dernier restitué progressivement fournissant une plus grande autonomie au gyrobus sans avoir besoin de relancer le volant d’inertie${\big \}$.
Remarque : La détermination expérimentale du moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe nous informe sur la répartition des masses à l’intérieur du solide, en comparant le résultat de cette mesure à celui que l’on aurait trouvé pour un solide homogène et de même forme ;
Remarque : par exemple des mesures astronomiques du moment d’inertie de la Terre par rapport à son axe $\;\Delta _{S-N}\;$ donnent «$\;J_{\Delta _{S-N}}({\text{♁}})\simeq$ $0,33\;m_{\text{♁}}\,R_{\text{♁}}^{\,2}\;$» où «$\;m_{\text{♁}}\;$ et $\;R_{\text{♁}}\;$ sont respectivement la masse et le rayon de la Terre » alors que Remarque : par exemple si la Terre était homogène on trouverait «$\;{\dfrac {2}{5}}\;m_{\text{♁}}\,R_{\text{♁}}^{\,2}=$ $0,4\;\;m_{\text{♁}}\,R_{\text{♁}}^{\,2}\;$» ; Remarque : par exemple on en déduit donc la présence d’une couche profonde près de l’axe de rotation plus dense que la couche superficielle, la première définissant le noyau de la Terre ;
Remarque : par exemple la dimension du noyau de la Terre ayant été déterminée par ondes sismiques soit $\;R_{\text{noyau de la ♁}}\simeq 3490\;km$, on en a déduit Remarque : par exemple celle de l’ensemble « manteau - croûte » comme complément à $\;R_{\text{♁}}\simeq 6370\;km\;$ soit $\;2880\;km$ ; Remarque : par exemple la densité des couches superficielles constituant l’ensemble « manteau - croûte » étant par ailleurs déterminée $\;{\big \$entre «$\;2,7\;$ et $\;2,9\;$ pour la croûte d’épaisseur maximale $\;35\;km\;$» et «$\;\simeq 3,3\;$ pour le manteau »${\big \}$, associée à Remarque : par exemple la détermination expérimentale du moment d’inertie de la Terre relativement à son axe $\;\Delta _{S-N}\;$ permettent de Remarque : par exemple déduire l’ordre de grandeur de la « densité du noyau »$^,$ laquelle, correspondant à celle du fer à haute pression, permet de conjecturer que le noyau est essentiellement composé de fer $\;\ldots$