OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Cinématique (Expert)/Exercices/Torseur des petits déplacements
## Validation de l'approximation des petits déplacements

Calculer l'erreur relative observée lors de l’utilisation de l'hypothèse des petits déplacement dans le cas d'un déplacement plan d'un solide. Tracer la courbe erreur relative petit angle de déplacement.
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle.

## Montage de roulement à contact oblique

Une liaison pivot arbre-bâti est réalisée avec deux roulements à billes à contact oblique $R_{1}$ et $R_{2}$ montée en X de centre de poussée respectifs $C_{1}$ et $C_{2}$ distant de d.
On suppose que tous les solide constituant l’ensemble sont indéformables, exceptées les zones de contactes billes-bagues pour lesquelles on prend en compte les déformations de surface.
Nous supposons connus les déplacements des centres de poussée respectifs, considérés comme des points liés à l'arbre indéformable, à savoir :
Pour $R_{1}$ : ${\overrightarrow {\delta _{C_{1}}}}=u_{1}{\vec {i}}+v_{1}{\vec {j}}+w_{1}{\vec {k}}$ Pour $R_{2}$ : ${\overrightarrow {\delta _{C_{2}}}}=u_{2}{\vec {i}}+v_{2}{\vec {j}}+w_{2}{\vec {k}}$
Ces déplacements sont définis dans un repère liè au bâti.
Dans l'étude l'arbre est supposé ne pas se déplacer autour de z.
* Déterminer les éléments de réduction du torseur des petits déplacements de l'arbre par rapport au bâti.
* Déterminer le déplacement d'un point P quelconque liè à l'arbre, par rapport au bâti. P est tel que : ${\overrightarrow {C_{1}P}}=x{\vec {i}}+y{\vec {j}}+z{\vec {k}}$ avant déformation.
* Application numérique. On donne :
    $u_{1}=53\mu m,\ v_{1}=-45\mu m,\ w_{1}=-24\mu m$
    $u_{2}=-67\mu m,\ v_{2}=-59\mu m$
    ${\overrightarrow {C_{1}P}}=130{\vec {i}}-240{\vec {j}}+170{\vec {k}}\$ , coordonnées en mm.
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle.
| Matrice de passage, vecteur déplacement | Sommaire |
# Fonctions circulaires réciproques

| Chap. 1 : | Fonction arcsin |
| Chap. 2 : | Fonction arccos |
| Chap. 3 : | Fonction arctan |
| Exos. 1 : | Résolution d'équations |
| Exos. 2 : | Fonction arctan |
| Exos. 3 : | Fonction arccos |
| Exos. 4 : | Fonction arcsin |
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## Présentation [Modifier]

On étudie dans cette leçon les fonctions réciproques des fonctions trigonométriques circulaires usuelles.

## Objectifs [Modifier]

Bien connaître les propriétés des fonctions réciproques des fonctions trigonométriques.

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 14.
Fonctions circulaires

## Pour aller plus loin [Modifier]

    Exercices, dont certains corrigés : « 126.01 Fonctions circulaires inverses », sur exo7 (sélectionner d'abord L1 Analyse, puis 126 Fonctions circulaires et hyperboliques)

## Référents [Modifier]

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
* Nicostella
* Loïc Fabiou (discuter)
# Machine tournante à courant alternatif/Prérequis conseillés

Avoir quelques notions sur les champs magnétiques :
    Champ magnétique : les Aimants
    Champ magnétique : les Aimants et les courants électriques
Et quelques notions sur l'électricité de base :
    Résistance et impédance
# Probabilités sur les ensembles finis/Exercices/Contrôle de qualité avec test

Dans un atelier, 6 % des pièces fabriquées sont défectueuses. On décide alors de contrôler toutes les pièces qui en sortent à l'aide d'une machine, afin de n'expédier que les pièces que celle-ci acceptera.
* Si la pièce est bonne, elle est acceptée avec une probabilité de 0,98.
* Si la pièce est défectueuse, elle est refusée avec une probabilité de 0,99.
On notera :
* D l'événement : « la pièce est défectueuse » ;
* R l'événement : « la pièce est refusée ».
* Calculer la probabilité de l'événement A : « la pièce est défectueuse et elle est acceptée quand même ».
* Calculer la probabilité de l'événement B : « la pièce est bonne et elle est refusée ».
* Calculer $P(A\cup B)$. Interpréter ce résultat.
* Calculer la probabilité que la pièce soit bonne, sachant qu'elle a été refusée.
* On soumet une production à ce test, pour obtenir un stock de pièces acceptées et un stock de pièces refusées. Donner la composition de ces deux stocks en bonnes pièces et en pièces défectueuses.
* $P(A)=P(D\cap {\overline {R}})=P(D)P({\overline {R}}\mid D)=0{,}06\times 0{,}01=0{,}0006$.
* $P(B)=P({\overline {D}}\cap R)=P({\overline {D}})P(R\mid {\overline {D}})=0{,}94\times 0{,}02=0{,}0188$.
* $A$ et $B$ sont disjoints donc $P(A\cup B)=P(A)+P(B)=0{,}0194$. C'est la probabilité d'erreur de diagnostic.
* $P(R)=P(B)+P(D\cap R)=P(B)+P(D)P(R\mid D)=0{,}0188+0{,}06\times 0{,}99=0{,}0188+0{,}0594=0{,}0792$ donc $P({\overline {D}}\mid R)={\frac {P(B)}{P(R)}}={\frac {0{,}0188}{0{,}0792}}\approx 0{,}23737$.
* Dans les pièces refusées, environ 23,74 % sont bonnes donc environ 76,26 % sont défectueuses. $P(D\mid {\overline {R}})={\frac {P(A)}{P({\overline {R}})}}={\frac {0{,}0006}{1-0{,}0792}}={\frac {0{,}0006}{0{,}9208}}\approx 0{,}000652$ donc dans les pièces acceptées, environ 0,07 % sont défectueuses et 99,93 % sont bonnes.
| Somme de deux dés | Utilisation de tableaux |
# Portugais/Grammaire/Référents

* Lionel Scheepmans
* JackPotte ($♠) 22 juillet 2012 à 11:44 (UTC)
# Loi de Kirchhoff/Loi des mailles
## Loi des mailles

On définit une maille comme étant un ensemble de branches d'un circuit qui forme une boucle. Dans une maille, la somme algébrique des tensions le long de la maille est constamment nulle.
* Cette loi découle de la définition de la tension comme différence de potentiel entre deux points. La tension entre a et b est $\scriptstyle U_{ab}=V_{a}-V_{b}$.
* $\scriptstyle V_{a}$ et $\scriptstyle V_{b}$ étant les potentiels respectifs aux points a et b. En additionnant toutes les tensions d'une maille et en se servant de cette définition, on obtient un résultat nul. Ceci est dû au fait qu'en parcourant la totalité d'une maille, on retourne au point de départ, donc on retrouve le potentiel de départ, la différence de potentiel — de la maille — est ainsi nulle

### Méthode

* On trace le sens de parcours du courant et les tensions associées à chaque dipôle.
* On dessine la maille.
* Si le sens de la maille est différent de la tension associée au dipôle, il faut soustraire cette tension.
* Pour le sens cela dépend de la flèche. La pointe c'est le + et le plat c'est le -.
* On remplace dans l’équation des mailles.

### Application

On applique la première et la deuxième méthode, c'est-à-dire, on dessine la maille et on flèche les tensions de chaque dipôle :
* On n'oublie pas de faire attention aux sens de flèchage des tensions.
* On effectue ensuite l'équation de la loi des mailles :
* $U_{ab}+U_{bc}+U_{cd}=U_{ad}\;$
* Soit :
* $U_{ab}+U_{bc}+U_{cd}-U_{ad}=0\;$
* On trouve donc que la somme des tensions dans une maille est égale à 0.
Remarque : On déduit $\scriptstyle U_{ab}+U_{bc}+U_{cd}-U_{ad}=0\;$ ; mais sachant que pour un dipôle $\scriptstyle U_{ad}=-U_{da}\;$, on peut aussi écrire la relation suivante $\scriptstyle U_{ab}+U_{bc}+U_{cd}+U_{da}=0\;$.

### Aide à l’application

Sur ce schéma, on voit très rapidement le sens de chaque tension qui nous servira pour la loi des mailles ; on regroupe :
* toutes les tensions fléchées de gauche à droite (ici $\scriptstyle {\color {Blue}U_{ad}}\;$)
* toutes les tensions fléchées de droite à gauche (ici $\scriptstyle {\color {Red}U_{ab}+U_{bc}+U_{cd}}\;$)
Et on déduit notre loi de mailles :
* ${\color {Red}U_{ab}+U_{bc}+U_{cd}}={\color {Blue}U_{ad}}\;$
| Loi des nœuds | Pont diviseur de tension |
# Thyristor/Prérequis conseillés

Diode de redressement : Connaitre les principes d'une diode
# Transistor/Prérequis conseillés

Diode de redressement : Connaitre les principes d'une diode (Pas obligatoire)
# Portugais/Grammaire/Pluriel

Nous conservons ce chapitre dont le contenu est réparti dans différentes leçon, pour en faire une entrée thématique.

## Chapitres

Le pluriel des noms Le pluriel des noms composés Le pluriel des adjectifs (Réviser le nom et le contenu de cette page)

## Quiz & Exo

Pluriel des adjectifs Pluriel des mots composés

## Pluriel des verbes

Les verbes s'accordent avec leur sujet, à la première, deuxième, troisième personne du pluriel.
auxiliaire avoir (Ter) :
| français | portugais |
| 1ère pers du pluriel : Nous avons | Nós temos |
| 2e pers. du pluriel : Vous avez | Vós tendes |
| 3e pers. du pluriel : Ils/elles ont | Eles/elas/vocês têm |
Attention: "vocês" s'accorde avec la troisième personne du pluriel!
# Flûte à bec/Mode d'emploi

* Cette page est une ébauche concernant la musique. Avant de recréer une ressource du même type, essayez d'abord de compléter celle-ci ; si c'est impossible, remplacez son contenu par le vôtre. Si vous êtes l'auteur(e) de cette page et que vous souhaitez la continuer, retirez ce bandeau.
La flûte à bec est un instrument à vent de la famille des bois. Dans l'histoire de cet instrument, on a eu de nombreux types de flûtes à bec. À présent, la famille se décline en instruments en Do et en Fa. Ces flûtes sont du plus aigu au plus grave :
          la flûte exilent (Do), la flûte sopranino (Fa), la flûte soprano (Do), la flûte alto (Fa), la flûte ténor (Do),
          la flûte basse (Fa), la flûte grande-basse (Do), la flûte contrebasse (Fa), la flûte soubasse (Do) et la flûte Sous-soucontrebasse (Fa).
Bases pour l'apprentissage de la flûte à bec soprano :
Les flûtes à bec possèdent 8 trous dont un derrière. On les numérotera ici de 0 à 7, en partant de celui du dessous. Les 6 et 7 sont des doubles-trous. On ajoutera un "a" pour indiquer de ne boucher que la moitié d'un trou. La main gauche se place en haut et sert à boucher les trous 0 à 3 (le trou 0 est bouché par le pouce). Les doigts de la main droite serviront à boucher les trous 4 à 7.
La note la plus grave que l’on peut obtenir est le Do.
| Do 01234567 | Do# 01234567a |
| Ré 0123456 | Ré# 0123456a |
| Mi 012345 | |
| Fa 01234 67 | Fa# 0123 56 |
| Sol 0123 | Sol# 012 456a |
| La 012 | La# 01 34 |
| Si 01 | |
| Do 0 2 | |
| Ré 2 | |
| Mi 0a12345 | |
# Structure de l'atome/Exercices/Électron et noyau

| Atome | Abondances isotopiques |
# Fiche Pédagogique : CSMA/CD

Le CSMA/CD (Carrier Sense Multiple Access with Collision Detection) est un protocole de contrôle d'accès au support (MAC protocol) utilisé dans les réseaux Ethernet pour gérer les transmissions et les collisions éventuelles sur un support filaire commun. Cela était essentiel dans les premiers réseaux Ethernet, où le partage du support était une caractéristique fondamentale.

## Fonctionnement de base
### Carrier Sense (CS) :

Avant de commencer une transmission, un appareil vérifie si le canal est libre. S'il détecte une autre transmission en cours, il attend.

### Multiple Access (MA) :

Tous les appareils du réseau partagent le même canal de communication et ont un accès égal pour transmettre les données.

### Collision Detection (CD) :

Pendant la transmission, l'appareil continue de surveiller le canal pour détecter d'éventuelles collisions. Une collision se produit lorsque deux appareils transmettent simultanément, ce qui entraîne une interférence des signaux. Lorsqu'une collision est détectée, les appareils cessent immédiatement de transmettre et envoient un signal de brouillage pour informer les autres appareils de la collision. Chaque appareil attend ensuite une période de temps aléatoire (choisi dans un intervalle dont la taille double après chaque tentative mise en échec) avant de tenter une nouvelle transmission, réduisant ainsi la probabilité de collisions répétées.

## Support de fonctionnement en full duplex

Bien que le CSMA/CD soit principalement conçu pour le fonctionnement en mode half duplex sur un média partagé, la norme IEEE 802.3 spécifie également sa capacité à fonctionner en full duplex. En full duplex, les transmissions peuvent se faire simultanément dans les deux directions, ce qui augmente l'efficacité du réseau.

## Applications et limitations

Le CSMA/CD a été largement utilisé dans les réseaux Ethernet classiques. Cependant, avec l'évolution des technologies, il est devenu moins courant dans les réseaux modernes qui utilisent des commutateurs (switches) pour isoler les domaines de collision, améliorant ainsi l'efficacité et la performance du réseau.

## Conclusion

Le CSMA/CD a joué un rôle fondamental dans le développement des réseaux locaux en offrant une méthode robuste pour gérer les transmissions de données et minimiser les collisions. Bien qu'il soit moins utilisé aujourd'hui, sa compréhension reste essentielle pour l'étude des protocoles de contrôle d'accès au support dans les réseaux informatiques.
# Grandes puissances et conflits

| Chap. 1 : | Intro (13) |
| Chap. 2 : | États-Unis et le monde (13) |
| Chap. 3 : | Chine et le monde (13) |
| Chap. 4 : | Moyen-Orient (13) |
| Fiche : | Plan et notions-clés (13) |
| Annexe : | Liens externes (13) |
| Exos. 1 : | Obama à West Point (13) |
| Exos. 2 : | Compositions envisageables (13) |
| Exos. 3 : | La Chine de 1960 à 1980 (13) |
| Exos. 4 : | États-Unis et le monde fin 60's (13) |
| Exos. 5 : | Relations sino-soviétiques (13) |
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## Présentation [Modifier]

Deuxième thème d'histoire. L'objectif est de fournir quelques clés pour comprendre le monde actuel, à travers trois études : respectivement sur la domination des États-Unis, la montée en puissance de la Chine et les conflits du Moyen-Orient.

## Objectifs [Modifier]

* éclairer les enjeux majeurs du monde actuel ;
* fournir de quoi assurer au bac.

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 13.
* la maîtrise des méthodes d'argumentation (la composition) et d'analyse de document(s) vues au premier chapitre ;
* les chapitres de l'an passé (niveau 12) sur les guerres au XXe siècle (depuis 1945, notamment la guerre froide et les attentats de 2001).

## Pour aller plus loin [Modifier]

    Histoire, « regards historiques sur le monde actuel » :
* les mémoires, lecture historique ;
* grandes puissances et conflits dans le monde depuis 1945 : États-Unis, Chine et Proche-Orient ;
* les échelles de gouvernement : gouverner la France, l'Europe et le monde.
Géographie, « mondialisation et dynamiques géographiques des territoires » :
* des cartes pour comprendre le monde ;
* les dynamiques de la mondialisation : fonctionnement et territoires ;
* dynamiques géographiques de grandes aires continentales : Amérique, Afrique, Asie du Sud et de l'Est.

## Référents [Modifier]

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
* Lvcvlvs (une question ou une remarque ?) ;
# Transformée de Laplace/Exercices/Courant dans un circuit RLC

Dans un laboratoire, un technicien étudie l'établissement d'un courant d'intensité i dans un circuit de type RLC. i est une fonction à valeur réelles de la variable t définie comme suit :
${\begin{cases}{\mbox{si }}t<0{\mbox{ alors }}i(t)=0\\{\mbox{si }}t\geq 0{\mbox{ alors }}{\frac {1}{2}}i''(t)+i'(t)+i(t)=(t+1)U(t)\\i(0^{+})=1\\i'(0^{+})=0\end{cases}}$
U est la fonction échelon unité, définie par :
${\begin{cases}U(t)=0{\mbox{ si }}t<0\\U(t)=1{\mbox{ si }}t\geq 0\\\end{cases}}$
1. Déterminer, à l'aide de la variable réelle p, la transformée de Laplace de la fonction $t\mapsto (t+1)U(t)$
2. Exprimer, à l'aide de la variable réelle p et de la transformée de Laplace I de i, la transformée de Laplace de la fonction $t\mapsto {\frac {1}{2}}i''(t)+i'(t)+i(t)$
3. En déduire, pour $p>0$, I(p) en fonction de p
4. Montrer que, pour $p>0$, I(p) s'écrit sous la forme : $I(p)={\frac {1}{p^{2}}}+{\frac {p+1}{\left(p+1\right)^{2}+1}}$
5. Déduire de ce qui précède l’expression de i(t) en fonction de t.
Le technicien chargé de l'étude s'intéresse maintenant aux valeurs approchées de i(t) lorsque t est positif et proche de 0. Il considère, à cet effet, la fonction f définie sur $\mathbb {R}$ par : $f(x)=x+\cos {x}+e^{-x}$.
6. Déterminer le développement limité de f à l’ordre 3 en x = 0 (on pourra utiliser les développements limités de $\cos {x}$ et $e^{-x}$ à l'ordre 3 en zéro). On admettra que le technicien peut alors écrire $i(t)=1+{\frac {1}{3}}t^{3}+t^{3}\varepsilon (t)$ avec $\lim _{t\to 0^{+}}\varepsilon (t)=0$
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle.
| Mouvement amorti | Sommaire |
# Fonction inverse/Introduction
## Fonction inverse

La fonction inverse associe à tout réel $x$ différent de zéro son inverse ${\frac {1}{x}}$.
On note : $f:x\mapsto {\frac {1}{x}}$ ou $f(x)={\frac {1}{x}}$
* La fonction inverse n’est pas définie en $x=0$ qui est une valeur interdite.
    Son ensemble de définition est $D_{f}=]-\infty ;0[\cup ]0;+\infty [=\mathbb {R} ^{*}$

## Dérivée

La dérivée de la fonction inverse est définie par : $f'(x)={-1 \over x^{2}}$
Le domaine de dérivabilité de la fonction est : $\Delta _{f}=\mathbb {R} ^{*}$
Le signe de la dérivée $f'(x)$ est toujours négatif sur son ensemble de définition.

## Sens de variation

La fonction inverse est strictement décroissante sur $]-\infty ;0[$ et strictement décroissante sur $]0;+\infty [$.
Attention : on ne peut pas dire que la fonction inverse est strictement décroissante globalement sur son ensemble de définition.

### Tableau de variations

| x | $-\infty$ $0$ $+\infty$ |
| f | $\|$ $\searrow$ $\|$ $\searrow$ $\|$ |

## Représentation graphique

* La représentation graphique de la fonction inverse est une courbe appelée hyperbole.
* Cette courbe est symétrique par rapport à l'origine O.
* Elle possède deux asymptotes :

## Parité

La fonction inverse est impaire, c'est-à-dire qu'elle est définie sur un intervalle centré en $0$ et que pour tout $x$ réel différent de $0$, $f(-x)=-f(x)$.

### Conséquence graphique

La courbe représentative de la fonction inverse admet l'origine du repère pour centre de symétrie.
* Sommaire
# Introduction à la logique mathématique/Quiz/Composition des opérateurs NON, ET et OU

L'opérateur qui, à deux propositions A et B, associe la proposition $\lnot (A\vee B)$, s’appelle l'opérateur NON-OU. Comme son nom l'indique, l'opérateur NON-OU est simplement la négation de l'opérateur OU.
En anglais, NON-OU se dit NOR, contraction de NOT-OR. Cet opérateur est utile car il existe un composant électronique, la porte logique NOR qui fait partie de ce que l’on appelle les « portes universelles », c'est-à-dire qu'on peut réaliser n’importe quelle fonction logique avec uniquement des portes NOR.
    → Voir le cours sur les portes logiques pour plus d'information à ce sujet.

## Négation des ET ou OU de deux propositions

Vous venez de voir que le NON n'est distributif ni sur le ET ni sur le OU, c'est-à-dire que :
* $\lnot (A\wedge B)$ et $(\lnot A)\wedge (\lnot B)$ ont des tables de vérité différentes
* $\lnot (A\vee B)$ et $(\lnot A)\vee (\lnot B)$ ont des tables de vérité différentes
Quelles sont alors les règles permettant de distribuer le NON dans ces deux cas ?

### Comparez cette fois-ci les tables de vérité

* des propositions $\lnot (A\wedge B)$ et $(\lnot A)\vee (\lnot B)$
* des propositions $\lnot (A\vee B)$ et $(\lnot A)\wedge (\lnot B)$
Déduisez-en les règles de distribution de l'opérateur NON sur les opérateurs ET et OU.
    →Ces règles s'appellent les lois de De Morgan.
| Manipulation des opérateurs NON, ET et OU | Manipulation des opérateurs IMPLIQUE et EQUIVALENT |
# Introduction à la logique mathématique/Quiz/Manipulation des opérateurs NON, ET et OU
### Commentaire

L'opérateur qui, à deux propositions A et B, associe la proposition $((\lnot A)\wedge B)\vee (A\wedge (\lnot B))$, s’appelle l'opérateur OU EXCLUSIF.
En anglais, OU EXCLUSIF se dit XOR, contraction de EXCLUSIVE OR. Il existe un composant électronique, la porte logique XOR, qui reproduit cette fonction de manière électronique. On la rencontre dans des montages aussi importants que les boucles à verrouillage de phase.
    → Voir le cours sur les portes logiques pour plus d'information à ce sujet.
| Sommaire | Composition des opérateurs NON, ET et OU |
# Cartes à jouer/Présentation de la leçon

Les cartes à jouer peuvent être traditionnelles (jeu de 52 cartes, jeu de tarot, etc.) ou avoir été créées spécifiquement pour un jeu de société particulier ( par exemple le « Jeu des 1000 Bornes » ou le « Jeu des 7 familles » ).
On a en général 4 “enseignes” (ou « couleurs ») dont les plus courantes sont (trèfle, carreaux, cœur, pique) mais cela peut être aussi : grelots, épées, etc.
Les “valeurs” sont souvent des nombres (as, deux, … , dix) ou des figures (valet, dame, roi, etc.).
L'ordre des cartes est déterminé en associant une valeur à une enseigne (par exemple « roi de pique » ou « dame de cœur ») et cet ordre varie d'un jeu de cartes à l'autre.
Dans cette leçon, on étudiera l'histoire des cartes à jouer et des jeux de cartes ainsi que les différentes figures utilisées.
# Introduction à la thermodynamique/Exercices/Coefficients thermoélastiques
## Exercice 1
### Compression adiabatique et quasi-statique

Une compression adiabatique et quasi-statique sera aussi dite isentropique ou encore réversible.
On appelle compressibilité adiabatique, le coefficient:
       $\chi _{S}=-{\frac {1}{V}}.{\Bigl{\frac {\partial V}{\partial p}}{\Bigr )}_{S}=\chi _{S}(p,S)$
1) Calculer les variations dT et dµ quand on fait une variation dP lors d'un processus adiabatique et quasi-statique.
2) Montrer que:
          ${\frac {c_{P}}{c_{v}}}={\frac {\chi _{T}}{\chi _{S}}}$
En déduire une relation telle que $\chi _{T}-\chi _{S}=f(T,v,c_{P},\alpha )$
    1)
             $dT=\left({\frac {\partial T}{\partial P}}\right)_{S,N,...}dP$
comme
             $\left({\frac {\partial T}{\partial P}}\right)_{S}.\left({\frac {\partial P}{\partial S}}\right)_{T}.\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{P}=-1$
donc
             $\left({\frac {\partial T}{\partial P}}\right)_{S}=-{\frac {\left({\frac {\partial S}{\partial P}}\right)_{T}}{\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{P}}}=+{\frac {\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P}}{\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{P}}}={\frac {\alpha .V}{\left({\frac {{\mathcal {C}}_{p}}{T}}\right)}}$
comme on a pour N moles : ${\mathcal {C}}_{p}=N.c_{p}\ \ \ \ et\ \ \ \ V=N.v$
alors
                                           $dT=\left({\frac {\partial T}{\partial P}}\right)_{S}dP={\frac {T.\alpha .v}{c_{p}}}\ .\ dP$
Pour une petite variation δP, on aura une variation δT telle que:
de même, on aura:
          $d\mu =\left({\frac {\partial \mu }{\partial P}}\right)_{S}dP$
et
          $d\mu =v.dP-s.dT$
on en déduit:
          $\left({\frac {\partial \mu }{\partial P}}\right)_{S}=v-s.\left({\frac {\partial T}{\partial P}}\right)_{S}=v-s.{\frac {T.\alpha .v}{c_{p}}}$
donc
    2)
       $\chi _{S}=-{\frac {1}{V}}.{\Bigl{\frac {\partial V}{\partial p}}{\Bigr )}_{S}$
             $\left({\frac {\partial V}{\partial P}}\right)_{S}=-{\frac {\left({\frac {\partial S}{\partial P}}\right)_{V}}{\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{P}}}=-{\frac {\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{V}.\left({\frac {\partial T}{\partial P}}\right)_{V}}{\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{P}.\left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{P}}}=-{\frac {c_{v}}{c_{p}}}.\left({\frac {\partial T}{\partial P}}\right)_{V}.{\frac {1}{\alpha .V}}$
             $\left({\frac {\partial T}{\partial P}}\right)_{V}=-{\frac {\left({\frac {\partial V}{\partial P}}\right)_{T}}{\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P}}}=-{\frac {\chi _{T}.V}{\alpha .V}}=-{\frac {\chi _{T}}{\alpha }}$
donc $:\ \ \ \ \chi _{S}=+{\frac {1}{V}}.{\frac {c_{v}}{c_{p}}}.{\frac {\chi _{T}}{\alpha }}.(\alpha .V)={\frac {c_{v}}{c_{p}}}.\chi _{T}$
    et
comme $:\ \ \ \ \ \ c_{p}-c_{v}=T.v.\alpha ^{2}/\chi _{T}$
On en déduit que:
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