# Géométrie affine/Exercices/Sous-espaces affines
## Exercice 1-1

On note $M_{a,b}={\begin{pmatrix}1+2a-b&0\\2-a-b&a-b\end{pmatrix}}$ et ${\mathcal {F}}=\{M_{a,b}\mid (a,b)\in k^{2}\}$. Montrer que ${\mathcal {F}}$ est un sous-espace affine de $\mathrm {M} _{2}(k)$.
$M_{a,b}=M_{0,0}+aP+bQ$ avec $P={\begin{pmatrix}2&0\\-1&1\end{pmatrix}}$ et $Q={\begin{pmatrix}-1&0\\-1&-1\end{pmatrix}}$, donc ${\mathcal {F}}=M_{0,0}+\operatorname {Vect} (P,Q)$.

## Exercice 1-2

Soient $A$ un ensemble non vide, $a$ un élément de $A$, et $b$ un scalaire. Montrer que l'ensemble ${\mathcal {F}}:=\{f:A\to k\mid f(a)=b\}$ est un sous-espace affine de l'espace affine ${\mathcal {E}}=k^{A}$ des fonctions de $A$ dans $k$.
Notons $E=k^{A}$ la direction de l'espace affine ${\mathcal {E}}$. Soit $f_{0}\in {\mathcal {F}}$ (par exemple $f_{0}=$ l'application constante $A\to k,\;x\mapsto b$) et soit $F:=\{g\in E\mid g(a)=0\}$ (sous-espace vectoriel de $E$, comme noyau de la forme linéaire $E\to k,\;g\mapsto g(a)$). Alors, ${\mathcal {F}}=f_{0}+F$.
Montrer que l'ensemble ${\mathcal {G}}:=\{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \mid \forall x\in \mathbb {R} \quad f(x+1)=f(x)+1\}$ est un sous-espace affine de $\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }$. En déterminer un point et la direction.
L'application $\mathrm {id} _{\mathbb {R} }:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;x\mapsto x$ appartient à ${\mathcal {G}}$, et l'ensemble $G:=\{f-\mathrm {id} _{\mathbb {R} }\mid f\in {\mathcal {G}}\}$ est l'ensemble des fonctions $1$-périodiques. C'est un sous-espace vectoriel de $\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }$ (comme noyau de l'application linéaire de $\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }$ dans lui-même qui, à toute fonction $g$, associe la fonction différence entre $g$ et sa translatée de $1$) donc ${\mathcal {G}}$ est un sous-espace affine de $\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }$, de direction $G$.

## Exercice 1-3

Soit ${\mathcal {E}}$ un espace affine réel de dimension $3$, muni d’un repère cartésien $(O,u,v,w)$. Soient :
* les points $A{\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}},\quad B{\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}},\quad C{\begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix}}$ ;
* les droites $d_{1}{\begin{cases}x&=3-\lambda \\y&=1+2\lambda \\z&=-1+\lambda \end{cases}},\;\lambda \in \mathbb {R} ,\quad d_{2}{\begin{cases}x&=1+3\mu \\y&=-2\mu \\z&=3+5\mu \end{cases}},\;\mu \in \mathbb {R}$ ;
* les plans $(P_{1}){\begin{cases}x&=1-2\lambda +3\mu \\y&=-2+\lambda +\mu \\z&=4-\lambda -2\mu \end{cases}},\;\lambda ,\mu \in \mathbb {R} ,\quad (P_{2})\;2x-y+3z-1=0,\quad (P_{3})\;x+2z-4=0$.
* Donner une équation cartésienne de $(P_{1})$.
* Déterminer une représentation paramétrique de $(P_{2})\cap (P_{3})$.
* Donner une équation cartésienne du plan contenant $A$, $B$ et $C$.
* Déterminer l'intersection $d_{1}\cap P_{2}$.
* Donner une équation cartésienne du plan contenant $d_{1}$ et parallèle à $d_{2}$.
* Déterminer $P_{1}\cap P_{2}\cap P_{3}$.
* Déterminer l'intersection de $P_{2}$ avec la droite $(AB)$.
* Donner une représentation paramétrique de la droite passant par $A$, parallèle à $P_{2}$ et coupant $d_{1}$.
* Donner une équation cartésienne du plan passant par $C$ et contenant $d_{1}$.
* ${\begin{cases}x&=1-2\lambda +3\mu \\y&=-2+\lambda +\mu \\z&=4-\lambda -2\mu \end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}x&=1-2\lambda +3\mu \\y&=-2+4-z-2\mu +\mu \\\lambda &=4-z-2\mu \end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}x&=1-2\lambda +3\mu \\\mu &=2-y-z\\\lambda &=4-z-2(2-y-z)\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}x&=1-2(2y+z)+3(2-y-z)\\\mu &=2-y-z\\\lambda &=2y+z\end{cases}}$ donc une équation cartésienne de $(P_{1})$ est $x+7y+5z-7=0$.
* ${\begin{cases}2x-y+3z-1&=0\\x+2z-4&=0\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}y&=7-z\\x&=4-2z\end{cases}}$ donc une représentation paramétrique de la droite $(P_{2})\cap (P_{3})$ est : ${\begin{cases}x&=4-2t\\y&=7-t\\z&=t\end{cases}},\;t\in \mathbb {R}$.
* $\det({\overrightarrow {CA}},{\overrightarrow {CB}},{\overrightarrow {CM}})={\begin{vmatrix}1&2&x\\1&-2&y-1\\5&4&z+2\end{vmatrix}}=14x+6(y-1)-4(z+2)=2(7x+3y-2z-7)$ donc une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est : $7x+3y-2z-7=0$.
* $2(3-\lambda )-(1+2\lambda )+3(-1+\lambda )-1=0\Leftrightarrow \lambda =1\Leftrightarrow$ donc le point de l'intersection $d_{1}\cap P_{2}$ a pour coordonnées ${\begin{pmatrix}2\\3\\0\end{pmatrix}}$.
* ${\begin{cases}x&=3-\lambda +3\mu \\y&=1+2\lambda -2\mu \\z&=-1+\lambda +5\mu \end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}x&=3-\lambda +3\mu \\y&=1+2(z+1-5\mu )-2\mu \\\lambda &=z+1-5\mu \end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}x&=3-\lambda +3\mu \\y&=3+2z-12\mu \\\lambda &=z+1-5\mu \end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}x&=3-\lambda +3\mu \\\mu &={\frac {3+2z-y}{12}}\\\lambda &=z+1-5{\frac {3+2z-y}{12}}\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}x&=3-{\frac {-3+2z+5y}{12}}+{\frac {3+2z-y}{4}}\\\mu &={\frac {3+2z-y}{12}}\\\lambda &={\frac {-3+2z+5y}{12}}\end{cases}}$ donc une équation cartésienne du plan contenant $d_{1}$ et parallèle à $d_{2}$ est $3x+2y-z-12=0$.
* Utilisons les questions 1 et 2. $(4-2t)+7(7-t)+5t-7=0\Leftrightarrow t={\frac {23}{2}}$ donc le point de $P_{1}\cap P_{2}\cap P_{3}$ est ${\begin{pmatrix}-19\\-{\dfrac {9}{2}}\\{\dfrac {23}{2}}\end{pmatrix}}$.
* Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est : ${\begin{cases}x&=1+t\\y&=2-3t\\z&=3-t\end{cases}}$. $2(1+t)-(2-3t)+3(3-t)-1=0\Leftrightarrow t=-4$ donc le point d'intersection de $P_{2}$ avec $(AB)$ est ${\begin{pmatrix}-3\\14\\7\end{pmatrix}}$.
* Cherchons d'abord le point $M(\lambda )$ de $d_{1}$ tel que ${\overrightarrow {AM(\lambda )}}$ soit parallèle à $P_{2}$. $2(3-\lambda -1)-(1+2\lambda -2)+3(-1+\lambda -3)=0\Leftrightarrow \lambda =-7\Leftrightarrow M(\lambda )={\begin{pmatrix}10\\-13\\-8\end{pmatrix}}$. Une représentation paramétrique de la droite $(AM(\lambda ))$ est ${\begin{cases}x&=1+9t\\y&=2-15t\\z&=3-11t\end{cases}},\;t\in \mathbb {R}$.
* Un plan d'équation $ax+by+cz+d=0$ contient $C$ si et seulement si $b-2c+d=0$, et contient $d_{1}$ si et seulement si $\forall \lambda \in \mathbb {R} \quad 0=a(3-\lambda )+b(1+2\lambda )+c(-1+\lambda )+d=(3a+b-c+d)+\lambda (-a+2b+c)$. ${\begin{cases}b-2c+d&=0\\3a+b-c+d&=0\\-a+2b+c&=0\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}d&=-b+2c\\3(2b+c)+b-c+(-b+2c)&=0\\a&=2b+c\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}d&=-4b\\c&=-{\dfrac {3b}{2}}\\a&={\dfrac {b}{2}}\end{cases}}$. Le plan passant par $C$ et contenant $d_{1}$ a donc pour équation cartésienne : $x+2y-3z-8=0$.

## Exercice 1-4

* Montrer que dans $k^{2}$, deux droites affines soit sont parallèles, soit se coupent en un unique point.
* Que se passe-t-il dans $k^{3}$ ?
* Dans $k^{2}$, deux droites affines non parallèles sont supplémentaires donc (cf. cours) se coupent en un unique point.
* Dans $k^{3}$, une troisième possibilité est que les deux droites soient non coplanaires. Exemple : ${\mathcal {D}}=\{(x,0,0)\mid x\in k\}$ et ${\mathcal {D}}'=\{(0,y,1)\mid y\in k\}$.

## Exercice 1-5

Un parallélogramme est un quadrilatère $(A,B,C,D)$ tel que ${\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {DC}}$. Montrer que les trois propriétés suivantes sont équivalentes.
* $(A,B,C,D)$ est un parallélogramme ;
* $(A,D,C,B)$ est un parallélogramme ;
* les diagonales $[A,C]$ et $[B,D]$ se coupent en leurs milieux.
$1\Rightarrow 2$ : si ${\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {DC}}$ alors ${\overrightarrow {AD}}={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BD}}={\overrightarrow {BD}}+{\overrightarrow {DC}}={\overrightarrow {BC}}$.
$2\Rightarrow 3$ : si ${\overrightarrow {AD}}={\overrightarrow {BC}}$ alors, en notant $I$ le milieu de $[A,C]$ : ${\overrightarrow {BI}}={\overrightarrow {BC}}+{\overrightarrow {CI}}={\overrightarrow {AD}}+{\overrightarrow {IA}}={\overrightarrow {ID}}$ donc $I$ est aussi le milieu de $[B,D]$.
$3\Rightarrow 1$ : si $[A,C]$ et $[B,D]$ ont même milieu $I$ alors ${\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {AI}}+{\overrightarrow {IB}}={\overrightarrow {IC}}+{\overrightarrow {DI}}={\overrightarrow {DC}}$.
Autre méthode :
$1\Leftrightarrow 2$ : $1\Rightarrow 2$ comme ci-dessus donc réciproquement, si $(A',B',C',D')=(A,D,C,B)$ est un parallélogramme alors $(A',D',C',B')=(A,B,C,D)$ aussi.
$1\Leftrightarrow 3$ : soit $s$ la symétrie par rapport au milieu de $[A,C]$. Alors, ${\overrightarrow {s(B)C}}={\overrightarrow {s(B)s(A)}}=-{\overrightarrow {BA}}={\overrightarrow {AB}}$, donc ${\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {DC}}\Leftrightarrow D=s(B)$.

## Exercice 1-6

Soient ${\cal {E}}$ un espace affine, ${\cal {F}}$ un sous-espace affine de ${\cal {E}}$, et ${\cal {H}}$ un hyperplan affine.
Montrer que l'une des deux assertions suivantes est vérifiée :
* ${\overrightarrow {F}}\subset {\overrightarrow {H}}$ ;
* ${\cal {F\cap {\cal {H}}}}$ est un sous-espace affine de dimension $\dim({\cal {F}})-1$.
Si ${\overrightarrow {F}}\not \subset {\overrightarrow {H}}$, alors ${\overrightarrow {F}}+{\overrightarrow {H}}={\overrightarrow {E}}$. Soient alors $A\in {\cal {F}}$ et $B\in {\cal {H}}$. Il y a une identité vectorielle ${\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {f}}+{\overrightarrow {h}}$ et donc $A+{\overrightarrow {f}}\in {\cal {F}}\cap {\cal {H}}$. L'espace ${\cal {F}}\cap {\cal {H}}$ est alors $A+{\overrightarrow {F}}\cap {\overrightarrow {H}}$ et sa dimension est :
    $\dim({\overrightarrow {F}}\cap {\overrightarrow {H}})=\dim {\overrightarrow {F}}+\dim {\overrightarrow {H}}-\dim {\overrightarrow {E}}=\dim({\cal {F}})-1.$

## Exercice 1-7

Soit ${\cal {E}}$ un espace affine de dimension $n$, d'espace vectoriel directeur ${\overrightarrow {E}}$.
* Soit $\phi$ une application affine non constante de ${\cal {E}}$ dans $\mathbb {R}$. Montrer que $\phi$ est surjective. Montrer que $\phi ^{-1}(\{0\})$ est un hyperplan affine de ${\cal {E}}$. Réciproquement, montrer que tout hyperplan affine de ${\cal {E}}$ est de cette forme.
** Dans ${\overrightarrow {E}}$, montrer que pour $1\leq d\leq n$, tout sous-espace vectoriel de dimension $n-d$ est intersection de $d$ hyperplans vectoriels.
** En déduire que tout sous-espace affine de ${\cal {E}}$ de dimension $n-d$ est de la forme $\cap _{i=1}^{d}\phi _{i}^{-1}(\{0\})$ pour $(\phi _{i})_{i=1,\dots ,d}$ une famille d'applications affines ${\cal {E}}\to \mathbb {R}$, c'est-à-dire est intersection de $d$ hyperplans affines.
** Montrer que dans ce cas, l'application affine produit $\times _{i}\phi _{i}:{\cal {E}}\to \mathbb {R} ^{d}$ est surjective.
* Réciproquement, montrer que si $\phi _{1},\dots ,\phi _{d}$ sont des fonctions affines telles que l'application affine produit est surjective, alors l'intersection $\bigcap _{i=1,\dots ,d}\phi _{i}^{-1}(\{0\})$ est un sous-espace affine de dimension $n-d$ (on pourra procéder par récurrence sur $d$, et utiliser l'exercice précédent).
Soient $A$ et $B$ deux points tels que $\phi (A)\neq \phi (B)$. Alors, pour tout $\lambda \in \mathbb {R}$, on trouve $\phi (\lambda A+(1-\lambda )B)=\lambda \phi (A)+(1-\lambda )\phi (B)$, ce qui est une paramétrisation de $\mathbb {R}$. Donc $\phi$ est surjective.
Soit ${\overrightarrow {H}}$ le noyau de l'application linéaire associée à $\phi$. C'est un hyperplan de ${\overrightarrow {E}}$. L'ensemble $\phi ^{-1}(\{0\})$ est un sous-espace affine dirigé par ${\overrightarrow {H}}$.
Tout hyperplan affine ${\cal {H}}$ admet un hyperplan directeur ${\overrightarrow {H}}$. On choisit une forme linéaire ${\overrightarrow {\phi }}$ qui admette ${\overrightarrow {H}}$ pour noyau. Soit alors $O$ un point de ${\cal {H}}$, tout point $A$ de ${\cal {E}}$ s'écrit de manière unique $A=O+{\overrightarrow {OA}}$, et l'on définit l'application affine : $\phi (A)={\overrightarrow {\phi }}({\overrightarrow {OA}}),$ dont on vérifie facilement qu'elle répond au problème.
Dans un espace vectoriel ${\overrightarrow {E}}$ de dimension $n$, tout sous-espace vectoriel ${\overrightarrow {F}}$ de dimension $n-d$ est intersection des noyaux de $d$ formes linéaires. Elles peuvent être obtenues par exemple de la façon suivante : on fixe un supplémentaire ${\overrightarrow {G}}$ de ${\overrightarrow {F}}$ dans ${\overrightarrow {E}}$, on choisit une base $(e_{1},\dots e_{n-d},e_{n-d+1},\dots e_{n})$ de ${\overrightarrow {E}}$ adaptée à cette décomposition ; on considère la base duale associée, et la famille de formes linéaires $(e_{n-d+1}^{*},\dots e_{n}^{*})$ convient.
Soit ${\cal {F}}$ un sous-espace affine de ${\cal {E}}$ de dimension $n-d$. Sa direction ${\overrightarrow {F}}$ est $\cap {\overrightarrow {H_{i}}}$ d'après ce qui précède, avec ${\overrightarrow {H_{i}}}={\overrightarrow {\phi _{i}}}^{-1}(\{0\})$. On conclut comme précédemment en prenant $O\in {\cal {F}}$.
L'application produit des $\phi _{i}$ est bien une application affine. Son image est un sous-espace affine de $\mathbb {R} ^{d}$. Le noyau de l'application linéaire associée est ${\overrightarrow {F}}$. Par dimension, on obtient la surjectivité de l'application linéaire associée, donc de l'application affine.
Pour la réciproque, on procède par exemple par récurrence : le cas $d=1$ est traité ; supposons que l'assertion est vraie pour un certain $d$. Soient $d+1$ fonctions affines telles que l'application produit soit surjective (sur $\mathbb {R} ^{d+1}$). Alors l'application produit sur les $d$ premières est aussi surjective (sur $\mathbb {R} ^{d}$). On note ${\cal {F}}$ le sous-espace affine $\bigcap _{i=1,\dots ,d}\phi _{i}^{-1}(\{0\})$ ; il est de dimension $n-d$ par hypothèse de récurrence. Sa direction ${\overrightarrow {F}}$ n'est pas incluse dans ${\overrightarrow {H}}_{d+1}$ (car sinon le noyau de $\times _{i=1,\dots ,d+1}{\overrightarrow {\phi }}_{i}$ contiendrait ${\overrightarrow {F}}$, serait donc de dimension au moins $n-d$, et le rang de l'application serait au plus $d$). On conclut avec l'exercice précédent.

## Exercice 1-8

Soient ${\cal {E}}$ un espace affine de dimension $n$ et ${\cal {H}}_{0},\dots ,{\cal {H}}_{n}$ $n+1$ hyperplans affines tels que l'intersection $\cap _{i=0}^{n}{\overrightarrow {H}}_{i}$ des espaces vectoriels directeurs soit réduite au vecteur nul. Notons $\phi _{i}$ des fonctions affines telles que $\phi _{i}^{-1}(\{0\})={\cal {H}}_{i}$.
* Montrer que l'application linéaire produit $\times _{i=0}^{n}{\overrightarrow {\phi }}_{i}:{\overrightarrow {E}}\to \mathbb {R} ^{n+1}$ est injective. En déduire que la famille $({\overrightarrow {\phi _{i}}})_{i=0,\dots ,n}$ engendre l'espace des formes linéaires sur ${\overrightarrow {E}}$ (les relations de colinéarité de cette famille s'identifient à l'orthogonal de $\operatorname {im} \left(\times _{i=0}^{n}{\overrightarrow {\phi }}_{i}\right)$ dans $\mathbb {R} ^{n+1}$ muni du produit scalaire canonique).
** Justifier qu'on peut supposer que la sous-famille $({\overrightarrow {\phi _{i}}})_{i=1,\dots ,n}$ est une base.
** Montrer que l'intersection $\cap _{i=1}^{n}{\cal {H}}_{i}$ est réduite à un point $O$ (on pourra utiliser l'exercice précédent).
* Montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes :
** $\cap _{i=0}^{n}{\cal {H}}_{i}\neq \varnothing$ ;
** la famille de fonctions affines $(\phi _{i})_{i=0,\dots ,n}$ est liée ;
** pour tout repère affine $(A_{0},\dots ,A_{n})$, la matrice $\left({\begin{array}{ccc}\phi _{0}(A_{0})&\dots &\phi _{n}(A_{0})\\\vdots &&\vdots \\\phi _{0}(A_{n})&\dots &\phi _{n}(A_{n})\\\end{array}}\right)$ n'est pas inversible.
* L'application linéaire produit $\times _{i=0}^{n}{\overrightarrow {\phi }}_{i}$ est injective de ${\overrightarrow {E}}$ dans $\mathbb {R} ^{n+1}$, donc de rang $n$. Toute relation de colinéarité $\sum _{i}\alpha _{i}{\overrightarrow {\phi }}_{i}$ s'identifie au vecteur des coefficients $\alpha _{i}$, et induit pour tout $x$ la relation d'orthogonalité : $\langle (\alpha _{i})_{i},({\overrightarrow {\phi }}_{i}(x))_{i}\rangle$. L'espace de ces relations de colinéarité est donc de dimension 1, en tant qu'orthogonal d'un sous-espace de dimension $n$ dans un espace de dimension $n+1$. On en déduit que l'espace engendré par les $\phi _{i}$ a pour dimension $n+1-1=n$, et donc la conclusion.
** De toute famille génératrice on peut extraire une sous-famille génératrice minimale ; cela justifie l'hypothèse.
** Le second point est un cas particulier de la dernière question de l'exercice précédent.
** $(1)\Rightarrow (2)$ : on suppose donc $O\in {\cal {H}}_{0}$, et l'on se donne une expression ${\overrightarrow {\phi }}_{0}=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\overrightarrow {\phi _{i}}}$. Alors pour tout point $M$, $\phi _{0}(M)=\phi _{0}(O)+{\overrightarrow {\phi }}_{0}({\overrightarrow {OM}})=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\overrightarrow {\phi }}_{i}({\overrightarrow {OM}})=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\phi _{i}(M)$, ce qui montre que la famille $(\phi _{i})_{i}$ est liée.
** $(2)\Rightarrow (1)$ : il n'y a pas de dépendance linéaire non triviale dans $({\overrightarrow {\phi }}_{i})_{i=1,\dots ,n}$ ; il n'y en a donc a fortiori pas dans $(\phi _{i})_{i=1,\dots ,n}$. On peut donc supposer qu'on a une relation de la forme $\phi _{0}-\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\phi _{i}=0$. Le point $O$ est alors clairement dans ${\cal {H}}_{0}$.
** $(2)\Leftrightarrow (3)$ est clair : une relation de dépendance linéaire entre les $\phi _{i}$ fournit une relation de dépendance linéaire entre les colonnes de la matrice et réciproquement (car on a un repère).

## Exercice 1-9

Soit ${\cal {E}}$ un espace affine de dimension $n$. Soit ${\cal {D}}_{0},\dots ,{\cal {D}}_{n-1}$ des droites toutes parallèles (${\overrightarrow {u}}$ un vecteur directeur). Montrer que les trois propositions suivantes sont équivalentes (on parlera de droites parallèles en configuration générique) :
* pour $1\leq d\leq n$, tout $d$-uplet de ces droites engendre un sous-espace de ${\cal {E}}$ de dimension $d$ ;
* le sous-espace affine engendré par ${\cal {D}}_{0},\dots ,{\cal {D}}_{n-1}$ est ${\cal {E}}$ tout entier.
* pour tout choix de $0\leq k\leq n-1$, pour toute donnée de points $A_{i}\in {\cal {D}}_{i}$ ($0\leq i\leq n-1$), en posant $A_{n}=A_{k}+{\overrightarrow {u}}$, $(A_{0},\dots ,A_{n})$ est un repère affine de ${\cal {E}}$.
$(1)\Rightarrow (2)$ est évident.
$(2)\Rightarrow (3)$. Le sous-espace affine engendré par ces droites est aussi le sous-espace affine engendré par les points ainsi donnés : une inclusion est évidente, l'autre provient facilement du paramétrage ${\cal {D}}_{i}=A_{i}+\mathbb {R} {\overrightarrow {u}}$. Le $(n+1)$-uplet de points $(A_{0},\dots ,A_{n})$ engendre ${\cal {E}}$ ; c'est donc un repère affine.
$(3)\Rightarrow (1)$. La donnée d'un $d$-uplet de droites revient à extraire une famille de $d+1$ points d'un repère affine ; ces $d+1$ points engendrent donc un espace affine de dimension $d$.

## Exercice 1-10

Soient ${\cal {E}}$ un espace affine dirigé par un espace vectoriel réel $E$, ${\cal {F}}$ une partie de ${\cal {E}}$, et $F$ un s.e.v. de $E$.
a) Démontrer que (i),(ii),(iii),(iv) sont équivalents et impliquent (v) :
    i) ${\cal {F}}\neq \varnothing$ et $\forall P\in {\cal {F}}\quad P+F={\cal {F}}$ ;
    ii) ${\cal {F}}$ est un sous-espace affine de ${\cal {E}}$ de direction $F$ (c'est-à-dire — rappel — $\exists P\in {\cal {F}}\quad P+F={\cal {F}}$) ;
    iii) $\exists P\in {\cal {F}}\quad F=\{{\overrightarrow {PQ}}\mid Q\in {\cal {F}}\}$ ;
    iv) ${\cal {F}}\neq \varnothing$ et $\forall P\in {\cal {F}}\quad F=\{{\overrightarrow {PQ}}\mid Q\in {\cal {F}}\}$ ;
    v) $F=\{{\overrightarrow {PQ}}\mid P,Q\in {\cal {F}}\}$.
b) Déduire de (a) une méthode pour prouver qu'une partie donnée ${\cal {F}}$ de ${\cal {E}}$ est ou n'est pas un sous-espace affine. Appliquer cette méthode pour prouver que tout singleton de ${\cal {E}}$ est un sous-espace affine.
c) Montrer par un contre-exemple que (v) ne suffit pas pour que ${\cal {F}}$ soit un sous-espace affine.
a)
* $i\Rightarrow ii$ : immédiat.
* $ii\Rightarrow iii$ : si $P+F={\cal {F}}$ alors $\{{\overrightarrow {PQ}}\mid Q\in {\cal {F}}\}=\{{\overrightarrow {PQ}}\mid Q\in P+F\}=\{{\overrightarrow {P,P+x}}\mid x\in F\}=\{x\mid x\in F\}=F$.
* $iii\Rightarrow iv$ : supposons que $\{{\overrightarrow {PQ}}\mid Q\in {\cal {F}}\}=F$. Alors cet ensemble est non vide (contenant au moins le vecteur nul) donc ${\cal {F}}$ est non vide. Soit $R\in {\cal {F}}$ (quelconque donc non nécessairement égal à $P$), alors ${\overrightarrow {PR}}\in F$ donc $\{{\overrightarrow {RQ}}\mid Q\in {\cal {F}}\}={\overrightarrow {RP}}+\{{\overrightarrow {PQ}}\mid Q\in {\cal {F}}\}=F-{\overrightarrow {PR}}=F$ (car $F$ est un s.e.v.).
* $iv\Rightarrow i$ : pour tout $P$, si $\{{\overrightarrow {PQ}}\mid Q\in {\cal {F}}\}=F$ alors $P+F=\{P+{\overrightarrow {PQ}}\mid Q\in {\cal {F}}\}=\{Q\mid Q\in {\cal {F}}\}={\cal {F}}$.
* $\Leftrightarrow$ : d'après la boucle d'implications ci-dessus, (i),(ii),(iii),(iv) sont équivalents.
* $iv\Rightarrow v$ : si ${\mathcal {F}}\neq \varnothing$ et $\forall P\in {\cal {F}},F=\{{\overrightarrow {PQ}}\mid Q\in {\cal {F}}\}$ alors $\{{\overrightarrow {PQ}}\mid P,Q\in {\cal {F}}\}=\cup _{P\in {\cal {F}}}\{{\overrightarrow {PQ}}\mid Q\in {\cal {F}}\}=\cup _{P\in {\cal {F}}}F=F$.
b)
* $iii\Rightarrow ii$ donc pour prouver que ${\cal {F}}$ est un s.e.a. de ${\cal {E}}$, il suffit de choisir un point $P$ de ${\cal {F}}$ et de montrer que $\{{\overrightarrow {PQ}}\mid Q\in {\cal {F}}\}$ est un s.e.v. de $E$.
* $ii\Rightarrow iv$ donc pour prouver que ${\cal {F}}$ n'est pas un s.e.a. de ${\cal {E}}$, il suffit (si ${\cal {F}}\neq \varnothing$) de choisir un point $P$ de ${\cal {F}}$ et de montrer que $\{{\overrightarrow {PQ}}\mid Q\in {\cal {F}}\}$ n'est pas un s.e.v. de $E$.
* Soit $A\in {\cal {E}}$, posons ${\cal {F}}=\{A\}$ et prouvons que ${\cal {F}}$ est un s.e.a. de ${\cal {E}}$ : $A\in {\cal {F}}$ et $\{{\overrightarrow {AQ}}\mid Q\in {\cal {F}}\}=\{{\overrightarrow {AA}}\}=\{0\}$ est un s.e.v. de $E$.
c) Il suffit de prendre pour ${\cal {F}}$ une demi-droite affine et pour $F$ la droite vectorielle associée, par exemple ${\cal {F}}=\mathbb {R} _{+}$ dans ${\cal {E}}=\mathbb {R}$ vérifie (v) puisque $\{{\overrightarrow {PQ}}\mid P,Q\in {\cal {F}}\}=\{q-p\mid p,q\in \mathbb {R} _{+}\}=\mathbb {R}$ est un s.e.v. de $E=\mathbb {R}$, et pourtant ne vérifie pas (iv) puisque pour $P=0$ on a $P\in {\cal {F}}$ et l'ensemble $\{{\overrightarrow {PQ}}\mid Q\in {\cal {F}}\}=\{q-0\mid p\in \mathbb {R} _{+}\}=\mathbb {R} _{+}$ n'est pas un s.e.v. de $\mathbb {R}$.
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