# Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Propagation d'un signal : Polarisation rectiligne de la lumière, loi de Malus
## Loi de Malus
### Méthode pour obtenir les directions de transmission privilégiées de deux polariseurs successifs perpendiculaires entre elles

On fait passer un faisceau laser non polarisé à travers deux polariseurs successifs «$\;(1)\;$ et $\;(2)\;$». Comment obtenir que les directions de transmission privilégiées de ces polariseurs soient $\;\perp \;$ entre elles ?
$\;(1)\;$
$\;{\vec {v}}_{P_{(1)}}\;$
$\;(2)\;$
$\;(1)\;$
$\;{\vec {v}}_{P_{(1)}}\;$
$\;\perp \;$
$\;{\vec {v}}_{P_{(2)}}\;$
$\;(2)\;$

### Conséquence de l'introduction d'un 3ème polariseur entre les deux précédents à directions de transmission privilégiées perpendiculaires entre elles

Entre les polariseurs «$\;(1)\;$ et $\;(2)\;$» à directions de transmission privilégiées $\;\perp \;$ entre elles, on introduit un polariseur «$\;(3)\;$» dont la direction de transmission privilégiée fait un angle «$\;\alpha \;$» avec celle du polariseur «$\;(1)\;$», 1er polariseur rencontré par la lumière. Qu'observe-t-on a priori ?
Exprimer l'éclairement à la sortie du dispositif en fonction de «$\;\alpha \;$» et de sa valeur maximale «$\;{\mathcal {E}}_{\text{max}}\;$».
Le faisceau laser sortant du polariseur «$\;(1)\;$» polarisé suivant «$\;{\vec {v}}_{P_{(1)}}\;$» $\;{\big$voir figure ci-contre${\big ]}$ a un champ électrique vibrant «$\;{\vec {E}}_{1}\;$» d'amplitude «$\;E_{1,\,0}\;$» pouvant être considéré comme la somme de deux composantes,
* l'une polarisée suivant la direction de transmission privilégiée «$\;{\vec {v}}_{P_{(3)}}\;$» du polariseur «$\;(3)\;$» «$\;{\vec {E}}_{1}\cdot {\vec {v}}_{P_{(3)}}=E_{1}\,\cos(\alpha )\;$» et
* l'autre suivant la direction directement $\;\perp \;$ «$\;-E_{1}\,\sin(\alpha )\;$» ;
à la sortie du polariseur «$\;(3)\;$», le faisceau laser est donc polarisé suivant la direction de transmission privilégiée «$\;{\vec {v}}_{P_{(3)}}\;$» et à la sortie du polariseur «$\;\color {transparent}{(3)}\;$», le faisceau laser est donc polarisé l'amplitude de son champ électrique est «$\;E_{3,\,0}=E_{1,\,0}\,\cos(\alpha )\;$» ;
ce champ électrique «$\;{\vec {E}}_{3}\;$» peut être considéré comme la somme de deux composantes,
* l'une polarisée suivant la direction de transmission privilégiée «$\;{\vec {v}}_{P_{(2)}}\;$» du polariseur «$\;(2)\;$» «$\;{\vec {E}}_{3}\cdot {\vec {v}}_{P_{(2)}}=E_{3}\,\cos \left({\dfrac {\pi }{2}}-\alpha \right)=E_{3}\,\sin(\alpha )\;$» et
* l'autre suivant la direction directement $\;\perp \;$ «$\;-E_{3}\,\cos(\alpha )\;$» ;
finalement à la sortie du polariseur «$\;(2)\;$», le faisceau laser est polarisé suivant la direction de transmission privilégiée «$\;{\vec {v}}_{P_{(2)}}\;$» et finalement à la sortie du polariseur «$\;\color {transparent}{(2)}\;$», le faisceau laser est donc polarisé l'amplitude de son champ électrique est «$\;E_{3,\,0}\,\sin(\alpha )=E_{1,\,0}\,\cos(\alpha )\,sin(\alpha )\;$ finalement à la sortie du polariseur «$\;\color {transparent}{(2)}\;$», le faisceau laser est donc polarisé l'amplitude de son champ électrique est «$\;\color {transparent}{E_{3,\,0}\,\sin(\alpha )}$ $={\dfrac {E_{1,\,0}}{2}}\,\sin(2\,\alpha )\;$».
L'éclairement à la sortie du dispositif est donc, d'après la loi de Malus$^,$ «$\;{\mathcal {E}}_{\text{sortie}}=K\,{\dfrac {E_{1,\,0}^{2}}{4}}\,\sin ^{2}(2\,\alpha )\;$» soit, L'éclairement à la sortie du dispositif est donc, en posant «$\;{\mathcal {E}}_{\text{entrée}}=K\,E_{1,\,0}^{2}\;$», «$\;{\mathcal {E}}_{\text{sortie}}={\dfrac {{\mathcal {E}}_{\text{entrée}}}{4}}\,\sin ^{2}(2\,\alpha )\;$», ou, L'éclairement à la sortie du dispositif est donc, en introduisant sa valeur maximale «$\;{\mathcal {E}}_{\text{max}}={\dfrac {{\mathcal {E}}_{\text{entrée}}}{4}}\;$», «$\;{\mathcal {E}}_{\text{sortie}}={\mathcal {E}}_{\text{max}}\,\sin ^{2}(2\,\alpha )\;$».

## Rotation d'une direction de polarisation

«$\;N+1\;$» polariseurs sont placés les uns à la suite des autres.
La direction de transmission privilégiée de chaque polariseur fait un «$\;\alpha \;$ avec la direction de transmission privilégiée du polariseur précédent ». Ainsi la direction de transmission privilégiée du dernier polariseur fait un angle «$\;\theta =N\,\alpha \;$ avec celle du 1er polariseur ».
On considère un faisceau lumineux incident caractérisé à l'entrée du système par un éclairement «$\;{\mathcal {E}}_{0}\;$» et une polarisation rectiligne $\;\parallel \;$ à la direction de transmission privilégiée du 1er polariseur.

### Expression de l'éclairement du faisceau sortant en fonction de N entre autres, cas de N infini

En négligeant les pertes, exprimer l'éclairement «$\;{\mathcal {E}}\;$» du faisceau sortant en fonction de «$\;{\mathcal {E}}_{0}$, $\;N\;$ et $\;\theta \;$».
En négligeant les pertes, En donner une expression approchée pour «$\;N\gg 1\;$».
En négligeant les pertes, Quel est l'intérêt de ce dispositif ?
$\;{\mathcal {E}}_{0}\;$
$\;\alpha ={\dfrac {\theta }{N}}\;$
$\;{\mathcal {E}}_{1}={\mathcal {E}}_{0}\,\cos ^{2}(\alpha )\;$
$\;\ldots$
$\;\alpha ={\dfrac {\theta }{N}}\;$
$\;\color {transparent}{\alpha ={\dfrac {\theta }{N}}}\;$
$\;{\mathcal {E}}_{i}={\mathcal {E}}_{i-1}\,\cos ^{2}(\alpha )={\mathcal {E}}_{0}\,\cos ^{(2\,i)}(\alpha )\;$
$\;\ldots$
$\;\alpha ={\dfrac {\theta }{N}}\;$
$\;\color {transparent}{\alpha ={\dfrac {\theta }{N}}}\;$
$\;{\mathcal {E}}_{N}={\mathcal {E}}_{N-1}\,\cos ^{2}(\alpha )={\mathcal {E}}_{0}\,\cos ^{(2\,N)}(\alpha )\;$
$\;{\mathcal {E}}={\mathcal {E}}_{N}={\mathcal {E}}_{0}\,\left[\cos \!\left({\dfrac {\theta }{N}}\right)\right]^{(2\,N)}\;$
$\;N\gg 1\;$
$\;{\dfrac {\theta }{N}}\;$
$\;\cos \!\left({\dfrac {\theta }{N}}\right)\simeq 1-{\dfrac {\theta ^{2}}{2\,N^{2}}}\;$
$\;\cos(x)\;$
$\;0\;$
$\;\color {transparent}{N\gg 1}\;$
$\;{\mathcal {E}}\simeq {\mathcal {E}}_{0}\,\left[1-{\dfrac {\theta ^{2}}{2\,N^{2}}}\right]^{(2\,N)}\;$
$\;{\dfrac {\theta ^{2}}{2\,N^{2}}}\;$
$\;{\mathcal {E}}\simeq {\mathcal {E}}_{0}\,\left[1-(2\,N)\,{\dfrac {\theta ^{2}}{2\,N^{2}}}\right]\;$
$\;{\mathcal {E}}\simeq {\mathcal {E}}_{0}\,\left[1-{\dfrac {\theta ^{2}}{N}}\right]\;$
$\;N\gg 1\;$
Intérêt du dispositif : Le dispositif permet de faire tourner la direction de polarisation d'un angle «$\;\theta \;$» fixé avec une perte minimale d'éclairement, perte d'autant plus faible que «$\;N\;$ est grand » car «$\;\lim \limits _{N\rightarrow \infty }{\mathcal {E}}={\mathcal {E}}_{0}\;$».

### Rectification de l'expression de l'éclairement du faisceau sortant tenant compte des pertes par réflexion et absorption sur chaque polariseur, étude d'un cas particulier

En fait les pertes par réflexion sur les surfaces des polariseurs et par absorption par les polariseurs font que l'éclairement à la sortie de chaque polariseur n'est égal qu'« à $\;\rho =80\,\%\;$ de ce qu'il serait si ce polariseur était idéal ». Quelle est l'expression de «$\;{\mathcal {E}}\;$» si l'on tient compte de ces pertes ?
Dans le cas où «$\;\theta ={\dfrac {\pi }{2}}\;$» calculer «$\;{\dfrac {\mathcal {E}}{{\mathcal {E}}_{0}}}\;$» pour $\;N\;$ allant de $\;1\;$ à $\;8$.
Dans le cas où «$\;\color {transparent}{\theta ={\dfrac {\pi }{2}}}\;$» Quel est alors le meilleur choix pour $\;N$ ?
$\;\rho \;{\mathcal {E}}_{0}\;$
$\;\alpha ={\dfrac {\theta }{N}}\;$
$\;{\mathcal {E}}_{1}=\rho ^{2}\;{\mathcal {E}}_{0}\,\cos ^{2}(\alpha )\;$
$\;\ldots$
$\;\alpha ={\dfrac {\theta }{N}}\;$
$\;\color {transparent}{\alpha ={\dfrac {\theta }{N}}}\;$
$\;{\mathcal {E}}_{i}=\rho \;{\mathcal {E}}_{i-1}\,\cos ^{2}(\alpha )=\rho ^{\,i+1}\;{\mathcal {E}}_{0}\,\cos ^{(2\,i)}(\alpha )\;$
$\;\ldots$
$\;\alpha ={\dfrac {\theta }{N}}\;$
$\;\color {transparent}{\alpha ={\dfrac {\theta }{N}}}\;$
$\;{\mathcal {E}}_{N}=\rho \;{\mathcal {E}}_{N-1}\,\cos ^{2}(\alpha )=\rho ^{\,N+1}\;{\mathcal {E}}_{0}\,\cos ^{(2\,N)}(\alpha )\;$
$\;{\mathcal {E}}={\mathcal {E}}_{N}=\rho ^{\,N+1}\;{\mathcal {E}}_{0}\,\left[\cos \!\left({\dfrac {\theta }{N}}\right)\right]^{(2\,N)}\;$
Dans le cas où «$\;\theta ={\dfrac {\pi }{2}}\;$» le calcul de «$\;{\dfrac {\mathcal {E}}{{\mathcal {E}}_{0}}}\;$» pour $\;N\;$ allant de $\;1\;$ à $\;8\;$ donne :
$\;{\begin{array}{| c | c | c | c | c | c | c | c | c |}\hline \quad N\quad &\quad 1\quad &\quad 2\quad &\quad 3\quad &\quad 4\quad &\quad 5\quad &\quad 6\quad &\quad 7\quad &\quad 8\quad \\\hline \quad {\dfrac {\mathcal {E}}{{\mathcal {E}}_{0}}}\quad &\quad 0\quad &\quad 0,1280\quad &\quad 0,1728\quad &\quad 0,1739\quad &\quad 0,1587\quad &\quad 0,1383\quad &\quad 0,1176\quad &\quad 0,0984\quad \\\hline \end{array}}\;$
Dans le cas où «$\;\color {transparent}{\theta ={\dfrac {\pi }{2}}}\;$» le meilleur choix pour $\;N\;$ est donc «$\;N=4\;$» qui correspond à un maximum d'éclairement transmis, ce dernier n'étant toutefois que de «$\;17,4\,\%\;$».