OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Théorie des groupes/Exercices/Représentations complexes des groupes finis, 2
## Problème 1

Soit G un groupe fini admettant une $\mathbb {C}$-représentation (vectorielle ou matricielle) à la fois fidèle et irréductible. Prouver que le centre de G est un groupe cyclique. (Indication. Penser au commutant de la représentation et se rappeler que tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif d'un corps commutatif est cyclique.)
On passe facilement d'une représentation matricielle à une représentation vectorielle qui lui correspond, donc nous nous contenterons de démontrer l'énoncé pour une représentation matricielle T. Désignons par Z le centre du groupe G. Il s'agit de prouver que Z est cyclique. Pour tout élément z de Z et tout élément g de G, nous avons zg = gz, d'où, puisque T est un homomorphisme, T(z) T(g) = T(g) T(z), ce qui montre que T(Z) est contenu dans le commutant de T. Puisque T est supposée irréductible, il résulte d'un théorème démontré dans le chapitre théorique que T(Z) est formé de matrices scalaires. Donc T(Z) est isomorphe à un sous-groupe du groupe multiplicatif du corps $\mathbb {C}$. On a vu au chapitre Automorphismes d'un groupe cyclique que tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif d'un corps commutatif est cyclique, donc T(Z) est cyclique. Jusqu'ici, nous n'avons pas utilisé l'hypothèse selon laquelle T est fidèle. Si c'est le cas, Z est isomorphe à T(Z) et est donc cyclique.
| Représentations complexes des groupes finis, 1 | Caractères complexes des groupes finis, 1 : relations d'orthogonalité |
# Théorie des groupes/Exercices/Théorème de Jordan-Hölder
## Problème 1

Soit n un nombre naturel non nul. En appliquant le théorème de Jordan-Hölder au groupe Z/nZ, prouver que n est le produit d'une famille finie de nombres premiers et que cette famille est unique à l’ordre près.
Puisque n n’est pas nul, le groupe Z/nZ est fini. Comme nous l'avons vu, il en résulte que ce groupe admet une suite de Jordan-Hölder. Puisque le groupe Z/nZ est commutatif, les quotients de cette suite sont des groupes simples commutatifs, donc leurs ordres sont des nombres premiers. Nous avons vu que le produit des ordres des quotients d'une suite de composition d'un groupe est égal à l’ordre de ce groupe, donc l’ordre n de Z/nZ est un produit de nombres premiers, ce qui démontre la première assertion de l'énoncé. Soient maintenant $n=p_{1}\ldots p_{r}$ et $n=q_{1}\ldots q_{s}$ deux décompositions de n en produit de facteurs premiers. Nous savons que si G est un groupe cyclique et d un diviseur de l’ordre de G, G admet un (et un seul) sous-groupe d'indice d et que ce sous-groupe est lui-même cyclique. Posons G$_0$ = Z/nZ et pour tout i ($1\leq i\leq r$), prenons pour G$_i$ le sous-groupe d'indice p$_i$ de G$_{i-1}$. On montre de proche en proche que l'indice de G$_i$ dans G est $n=p_{1}\ldots p_{i}$. En particulier, l'indice de G$_r$ dans G est $p_{1}\ldots p_{r}=n$, donc G$_r$ = 1. Nous avons donc construit une suite de Jordan-Hölder de G dont les quotients sont d'ordres $p_{1},\ldots ,p_{r}$. Il existe de même une suite de Jordan-Hölder $(H_{j})_{0\leq j\leq s}$ de G dont les quotients sont d'ordres $q_{1},\ldots ,q_{s}$. D'après le théorème de Jordan-Hölder, ces deux suites sont équivalentes, donc r = s et il existe une permutation $\ \sigma$ de l’ensemble $\ \{0,\ldots r-1\}$ telle que, pour tout i ($0\leq i\leq r-1$), $\ G_{i}/G_{i+1}$ soit isomorphe à $\ H_{\sigma (i)}/H_{\sigma (i)+1}$. Deux groupes isomorphes ayant le même ordre, on a alors $p_{i+1}=q_{\sigma (i)+1}$ pour tout i ($0\leq i\leq r-1$), ce qui montre que nos deux décompositions de n en facteurs premiers sont les mêmes à l’ordre près.
| Groupes alternés | Groupe à opérateurs |
# Verbes en français/Indicatif passé

Dans le mode indicatif, on distingue :
* le passé composé : utilisé, dans la langue écrite, lorsqu'une action vient de s'achever ;
* le passé simple : utilisé, dans la langue écrite, lorsqu'une action brève est terminée au moment présent ;
* le passé antérieur : utilisé, dans la langue écrite, lorsqu'une action brève terminée est antérieure à une action passée.
Dans la langue française parlée courante, seul le passé composé est utilisé.

## Passé composé

Le passé composé est formé en conjuguant l'auxiliaire au présent de l'indicatif suivi du participe passé du verbe.
| | Tomber | Parler |
| Je | suis tombé(e) | ai parlé |
| Tu | es tombé(e) | as parlé |
| Il, elle, on | est tombé(e) | a parlé |
| Nous | sommes tombé(e)s | avons parlé |
| Vous | êtes tombé,e,s,es | avez parlé |
| Ils, elles | sont tombé(e)s | ont parlé |

## Passé simple
### Auxiliaires être et avoir

| | Être | Avoir |
| Je | fus | eus |
| Tu | fus | eus |
| Il, elle, on | fut | eut |
| Nous | fûmes | eûmes |
| Vous | fûtes | eûtes |
| Ils, elles | furent | eurent |

### Verbes réguliers

On forme le futur simple de l'indicatif à partir de l'infinitif présent du verbe auquel on ajoute les terminaisons du futur simple.
| | 1er groupe | 2ème groupe | 3ème groupe |
| Infinitif présent | Chanter | Finir | Cueillir |
| Je | chantai | finis | cueillis |
| Tu | chantas | finis | cueillis |
| Il, elle, on | chanta | finit | cueillit |
| Nous | chantâmes | finîmes | cueillîmes |
| Vous | chantâtes | finîtes | cueillîtes |
| Ils, elles | chantèrent | finirent | cueillirent |

### Quelques verbes irréguliers

| | Dire | Vouloir | Pouvoir | Prendre | Courir | Faire | Savoir | Se taire |
| Je | dis | voulus | pus | pris | courus | fis | sus | me tus |
| Tu | dis | voulus | pus | pris | courus | fis | sus | te tus |
| Il, elle, on | dit | voulut | put | prit | courut | fit | sut | se tut |
| Nous | dîmes | voulûmes | pûmes | prîmes | courûmes | fîment | sûment | nous tûmes |
| Vous | dîtes | voulûtes | pûtes | prîtes | courûtes | fîtes | sûtes | vous tûtes |
| Ils, elles | dirent | voulurent | purent | prirent | coururent | firent | surent | se turent |

## Passé antérieur

Le passé antérieur est un temps composé. On le forme en conjuguant l'auxiliaire au passé simple suivi du participe passé du verbe.
| | Tomber | Parler |
| Je | fus tombé(e) | eus parlé(e) |
| Tu | fus tombé(e) | eus parlé(e) |
| Il, elle, on | fut tombé(e) | eut parlé(e) |
| Nous | fûmes tombé(e)s | eûmes parlé(e)s |
| Vous | fûtes tombé(e)s | eûtes parlé(e)s |
| Ils, elles | furent tombé(e)s | eurent parlé(e)s |
| Indicatif futur | Indicatif imparfait |
# Verbes en français/Présentation de la leçon

Le verbe est un mot qui prend la marque de la personne, du nombre, du temps et du mode, et qui décrit les actions, les états ou les modifications. C'est un essentiel d'une phrase, qui exprime ce que fait le sujet, ce qu'on lui fait ou ce qu'il est. Le verbe s'accorde toujours avec son sujet. Dans d'autres sens, le mot "verbe" signifie "parole", "expression de la pensée" par des mots. Exemple : Ce grand poète a la magie du verbe.
# Verbes en français/Indicatif présent

Le présent de l'indicatif a plusieurs emplois :
* Présent de vérité générale. Exemple : "Le soleil se lève à l'Est."
* Présent de narration.

## Auxiliaires être et avoir

| | Être | Avoir |
| Je | suis | ai |
| Tu | es | as |
| Il, elle, on | est | a |
| Nous | sommes | avons |
| Vous | êtes | avez |
| Ils, elles | sont | ont |

## Verbes réguliers
### Modèles

| | 1er groupe | 2ème groupe | 3ème groupe |
| Infinitif présent | Chanter | Finir | Cueillir |
| Je | chante | finis | cueille |
| Tu | chantes | finis | cueilles |
| Il, elle, on | chante | finit | cueille |
| Nous | chantons | finissons | cueillons |
| Vous | chantez | finissez | cueillez |
| Ils, elles | chantent | finissent | cueillent |

### Règles d'orthographe

L'orthographe de certains radicaux peut changer selon les terminaisons qu’il prend, afin de préserver les sons :
| | Manger | Jeter | Apercevoir |
| Je | mange | jette | aperçois |
| Tu | manges | jettes | aperçois |
| Il, elle, on | mange | jette | aperçoit |
| Nous | mangeons | jetons | apercevons |
| Vous | mangez | jetez | apercevez |
| Ils, elles | mangent | jettent | aperçoivent |

## Quelques verbes irréguliers

| | Aller | Dire | Vouloir | Pouvoir | Dormir | Faire | Savoir |
| Je | vais | dis | veux | peux | dors | fais | sais |
| Tu | vas | dis | veux | peux | dors | fais | sais |
| Il, elle, on | va | dit | veut | peut | dort | fait | sait |
| Nous | allons | disons | voulons | pouvons | dormons | faisons | savons |
| Vous | allez | dites | voulez | pouvez | dormez | faites | savez |
| Ils, elles | vont | disent | veulent | peuvent | dorment | font | savent |
Les personnes désirant approfondir ce chapitre peuvent consulter la leçon spécialisée : Présent de l'indicatif en conjugaison française
| Sommaire | Indicatif futur |
# Very High Speed Integrated Circuit Hardware Description Language/Annexe/Altera et les problèmes d'installation sous LINUX

L'installation d'Altera sous Linux dépend, comme toujours de la version Linux que vous avez.

## Installation Quartus 16 sous Ubuntu 18.04

Voici un mail que nous a envoyé un collègue :
Pour quartus 2 lite 16 et son problème de libpng12.so, voilà les commandes à lancer une par une ou bien les 3 à la fois avec les &&
j'ai dû ajouter le sudo devant chacune, dans mes conditions de lancement sur ma machine ...
Ces commandes sont trouvées ici.
Gilles
Cette installation fonctionne mais pas USB Blaster pour le téléchargement des fichiers .sof dans le FPGA.

## Installation de Quartus 18.1 Lite sous Ubuntu 18.04

Nous avons aussi reçu le mail suivant :
Ce n'est vraiment pas glorieux mais tout est ok pour quartus. Donc comme j'en avais un peu marre de ne pas trouver comment résoudre mon problème pour programmer, j'ai fini par installer la version quartus 18.1 lite.
Et là tout a marché quasiment du premier coup .
En premier lieu, j'ai pu installer quartus sans retirer modelsim ni quartus_help , contrairement à ce que j'avais dû faire pour la 16.0.
Ensuite, programmer a détecté automatiquement le circuit sur la carte DE2 115 et il a même associé le fichier de configuration .sof automatiquement en prenant celui du projet en cours dans quartus !
le téléchargement n'a pas fonctionné du premier coup... je ne sais plus bien si j'ai éteint la carte puis redémarré... enfin en tout cas au second ou troisième essai de téléchargement.... FPGA configuré !!!
Pour ton PC pro à venir, cette version 18.1 LITE pourrait être un bon choix...
Gilles
# Verbes en français/Indicatif plus-que-parfait

Le plus-que-parfait de l'indicatif est un temps composé utilisé pour décrire une action antérieure au passé et qui a duré.

## Formation

Pour former le plus-que-parfait, on conjugue l'auxiliaire à l'imparfait de l'indicatif suivi du participe passé du verbe.
| | Tomber | Parler |
| J' | étais tombé(e) | avais parlé |
| Tu | étais tombé(e) | avais parlé |
| Il, elle, on | était tombé(e) | avait parlé |
| Nous | étions tombé(e)s | avions parlé |
| Vous | étiez tombé(e)s | aviez parlé |
| Ils, elles | étaient tombé(e)s | avaient parlé |
| Indicatif imparfait | Mode subjonctif |
# Évolution temporelle des systèmes mécaniques/Prérequis conseillés

Forces, travail et énergie (niveau 12), en particulier : théorème de l'énergie cinétique
# Évolution temporelle des systèmes mécaniques/Systèmes mécaniques oscillants

Le terme oscillant définit un mouvement de part et d’autre d'une position d'équilibre. On considèrera 2 cas :
* le pendule pesant ;
* le pendule élastique, constitué d’un solide fixé sur un ressort.

## Pendule pesant

Un pendule pesant est un solide mobile autour d’un axe ne passant pas par son centre d'inertie.
On caractérise la position du pendule à tout un instant par un angle, l'abscisse angulaire (ou élongation) $\alpha$.
Le pendule possède deux positions d'équilibre, une stable et une instable. Le système oscille autour de la position d'équilibre stable, c'est-à-dire celle pour laquelle le centre d'inertie du solide est sous l'axe.

### Pendule non amorti

Les caractéristiques d’un tel pendule sont :
* $\alpha _{max}$ : amplitude (plus grande valeur de l'angle)
* $T_{0}$ : période propre, temps nécessaire pour faire une oscillation complète (aller-retour)

### Isochronisme des petites oscillations

Tant que l'amplitude est faible, $T_{0}$ ne dépend pas de l'amplitude. On parle d'isochronisme.

### Pendule amorti

* Dans le cas d’un amortissement faible, la pseudo période est considérée comme égale à la période propre.
* Dans le cas d’un amortissement fort, le régime est apériodique, le mouvement a pour direction la position d'équilibre.
* Amplitude des oscillations d’un pendule amorti (frottement sec)
* Amplitude des oscillations d’un pendule en régime apériodique

## Pendule simple

Le pendule simple est un cas particulier de pendule pesant. Il consiste en un solide ponctuel relié à un fil inextensible de masse négligeable. Il possède donc une seule position d'équilibre. On peut donc calculer l'énergie cinétique à tout instant car tous les points du solide vont à la même vitesse.

### Position d'équilibre

À la position d'équilibre, ${\overrightarrow {T}}+{\overrightarrow {P}}={\overrightarrow {0}}\Leftrightarrow {\overrightarrow {P}}=-{\overrightarrow {T}}$

### Expression de la période
#### Définition

La période est la durée entre 2 passages consécutifs dans le même sens pour une position donnée.

##### Rappel

    $T_{0}={\frac {1}{f_{0}}}$, avec $f_{0}$ la fréquence propre, en Hertz.
| Mouvement des planètes et des satellites | Dispositif solide-ressort |
# Évolution temporelle des systèmes mécaniques/Présentation de la leçon

Cette leçon a pour objectif premier de situer le système mécanique (on entend par là sa position dans l'espace) au cours du temps. Pour cela, on utilise différentes grandeurs physiques utiles telles que :
- L'accélération (a)
- La vitesse (v)
Pour déterminer ces valeurs, les calculs sont relativement simples. Cependant, d'autres facteurs entre en ligne de compte à l'échelle du solide. Notamment, les forces qui influent de façon plus ou moins importante sur le mouvement du solide (on citera le poids, la poussée d'Archimède ou les forces de frottement).
# Évolution temporelle des systèmes mécaniques

| Chap. 1 : | La mécanique de Newton (13) |
| Chap. 2 : | Chute verticale d’un solide (13) |
| Chap. 3 : | Mouvement parabolique dans un champ de pesanteur uniforme (13) |
| Chap. 4 : | Mouvement des planètes et des satellites (13) |
| Chap. 5 : | Systèmes mécaniques oscillants (13) |
| Chap. 6 : | Dispositif solide-ressort (13) |
| Chap. 7 : | Travail et énergie (13) |
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## Présentation [Modifier]

Cette leçon a pour objectif premier de situer le système mécanique (on entend par là sa position dans l'espace) au cours du temps. Pour cela, on utilise différentes grandeurs physiques utiles telles que :
- L'accélération (a)
- La vitesse (v)
Pour déterminer ces valeurs, les calculs sont relativement simples. Cependant, d'autres facteurs entre en ligne de compte à l'échelle du solide. Notamment, les forces qui influent de façon plus ou moins importante sur le mouvement du solide (on citera le poids, la poussée d'Archimède ou les forces de frottement).

## Objectifs [Modifier]

* Étudier quelques systèmes mécaniques.

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 13.
Forces, travail et énergie (niveau 12), en particulier : théorème de l'énergie cinétique

## Référents

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
    Personne ne s'est déclaré prêt à aider pour cette leçon. Pour vous ajouter, cliquez ici.
# Évolution temporelle des systèmes mécaniques/Chute verticale d’un solide
## Introduction

Comme on peut le voir sur cette image, il y a deux phases observables dans le mouvement du solide :
* un régime transitoire où la vitesse augmente et l'accélération diminue peu à peu ;
* un régime établi, où la vitesse est constante (c'est la vitesse limite) et l'accélération nulle.
Le but de ce cours est d'expliquer l'allure de cette courbe via une mise en équation.

## Équation du mouvement
### Deuxième loi de Newton

L'étude d’une chute verticale d’un solide indéformable que l’on assimile à un point M se fait dans un référentiel supposé galiléen. On lance l’objet à une vitesse initiale nulle et du point $A(x;y;z)$. On négligera les forces de frottements. L'objet est donc soumis que à son poids ${\vec {P}}=m{\vec {g}}$. La deuxième loi de Newton nous donne immédiatement :
$\Sigma _{{\vec {F}}ext}=m{\vec {a}}$
Les frottements étant négligés pour cette étude, on arrive à la conclusion que seul le poids s'applique au système ponctuel :
$m{\vec {g}}=m{\vec {a}}$

### Le vecteur accélération

La formule trouvée ci-dessus, nous donne en simplifiant par $m$ :
${\vec {a}}={\vec {g}}$
On déduit ainsi facilement les coordonnées de l'accélération qui sont les mêmes que celle du vecteur ${\vec {g}}$ :
${\vec {a}}{\begin{cases}a_{x}=0\\a_{y}=0\\a_{z}=-g\end{cases}}$
On voit en effet que sur l’axe $(Ox)~$ le vecteur pesanteur est nul et sur $(Oz)~$ sa projection est égale à sa norme et on rajoute un $-~$ puisqu’il est en sens opposé à ${\vec {z}}$
On va pouvoir maintenant déduire les coordonnées du vecteur vitesse.

### Le vecteur vitesse

Les coordonnées de ce vecteur s'obtiennent par intégration selon le temps de celles du vecteur accélération, d’après la relation
${\vec {a}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}$
Ainsi, on obtient :
${\vec {v}}{\begin{cases}v_{x}=C_{1}\\v_{y}=C_{2}\\v_{z}=-gt+C_{3}\end{cases}}$
Où C$_1$, C$_2$ et C$_3$ sont des constantes que l’on va déterminer d’après les conditions initiales.
En effet, on sait que la vitesse initiale, donc :
${\vec {v}}{\begin{cases}v_{x}=0\\v_{y}=0\\v_{z}=-gt+0\end{cases}}$
On peut à présent déterminer le vecteur vitesse du point M à tout instant de la chute libre. On va à présent déterminer la position de ce point dans le plan $(xOz)~$

### Le vecteur OM

De manière analogue que pour le vecteur vitesse, on a : ${\vec {v}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {OM}}}{\mathrm {d} t}}$
On procède donc de la même façon que pour la vitesse en intégrant ses coordonnées, on arrive à :
${\vec {OM}}{\begin{cases}x=C_{1}\\y=C_{2}\\z=-{\frac {1}{2}}gt^{2}+C_{3}\end{cases}}$
Toujours de façon similaire, on détermine les constantes C$_1$, C$_2$ et C$_3$ en se plaçant à l'instant initial. Les constantes sont ainsi les coordonnées du point M à $t=0$, qui sont celles du point A. On arrive enfin aux équations du mouvement a proprement parler :
${\vec {OM}}{\begin{cases}x=x_{A}\\y=y_{A}\\z=-{\frac {1}{2}}gt^{2}+z_{A}\end{cases}}$
| La mécanique de Newton | Mouvement parabolique dans un champ de pesanteur uniforme |
# Particule élémentaire/Exercices/Électron

L'électron est une particule régie par la dualité onde/corpuscule, onde pour les orbitales atomiques en mécanique quantique par exemple et corpuscule doté d'une masse, qui peut interagir comme dans l'effet Compton. L'objectif de cet exercice est de calculer pas à pas des grandeurs électriques/magnétiques relatives à l'électron. Une hypothèse de structure de l'électron est alors mise en évidence pour calculer le magnéton de Bohr.
L'objectif de l'exercice est de calculer les grandeurs d'un anneau de charge qui tourne à la vitesse de la lumière c, hypothèse de calcul pour retrouver le magnéton de Bohr.

## Préambule

Calculer le rayon r de l'anneau de charge ainsi que sa fréquence de rotation $\nu$, en prenant l'équivalence de l’énergie de masse de l'électron avec l’énergie de l'un des deux photons qui se collisionnent pour donner la paire e+ et e-. Le photon aura la même fréquence $\nu$.
L'équivalence de l'énergie entre le photon et l'électron donne : $h\nu =mc^{2}$ La fréquence de rotation de l'anneau de charge est donc $\nu ={\frac {mc^{2}}{h}}$ Le rayon r de l'anneau est tel que $2{\pi }r{\nu }=c$

## Question 1

Calculer l'intensité du courant I le long de l'anneau de rayon r , on utilisera pour cela la charge q de l'électron
Sur un point donné de l'anneau de charge répartie, la quantité d'électricité q a tourné un tour complet à la fréquence ν. La quantité de charge par unité de temps est donc : I=qν. On peut aussi calculer la densité linéique de charge le long de la circonférence de l'anneau et dire que cette charge se déplace à la vitesse c.

## Question 2

Calculer le moment magnétique de cet anneau de charge
Le moment magnétique est ${\vec {\mu }}=I\,{\vec {S}}$, soit $\mu ={\pi }r^{2}I={\pi }{\left({\frac {h}{2{\pi }mc}}\right)^{2}\left({\frac {qmc^{2}}{h}}\right)}$
* Sommaire
# Particule élémentaire/Présentation de la leçon

Les particules élémentaires sont les particules insécables, qui ne peuvent être divisées. Vous apprendrez dans cette leçon leur noms, fonctions et propriétés.
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| Notions avancées | Faire l'état des lieux d'un article, un thème |
# Particule élémentaire

| Chap. 1 : | Fermions |
| Chap. 2 : | Bosons |
| Exercice : | Électron |
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## Présentation [Modifier]

Les particules élémentaires sont les particules insécables, qui ne peuvent être divisées. Vous apprendrez dans cette leçon leur noms, fonctions et propriétés.

## Objectifs [Modifier]

* Connaître les particules découvertes ou hypothétiques.
* Connaître le sens des termes « saveur », « spin », « génération », « modèle standard »...

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 15.
Connaître les atomes, électrons, protons, neutrons et la notion d’interaction fondamentale.

## Référents [Modifier]

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
* Ramsès XXIV (discussion)
# Particule élémentaire/Objectifs

* Connaître les particules découvertes ou hypothétiques.
* Connaître le sens des termes « saveur », « spin », « génération », « modèle standard »...
# Particule élémentaire/Prérequis conseillés

Connaître les atomes, électrons, protons, neutrons et la notion d’interaction fondamentale.
# Polynôme/Dérivation formelle

Soit $P=\sum _{k=0}^{n}a_{k}X^{k}\in K[X]$.
$P'=\sum _{k=1}^{n}ka_{k}X^{k-1}$
$P^{(0)}=P$
$P^{(p+1)}=(P^{(p)})'$
C'est une notion « formelle » et purement algébrique : bien que définie par analogie avec l’analyse, elle se définit ici sans référer à la notion de limite.
On remarquera que, si la caractéristique du corps K n'est pas nulle (en particulier si K est un corps fini), cette notion peut donner lieu à des bizarreries (surtout en référence à l'analyse) : par exemple, si $K=\mathbb {Z} /3\mathbb {Z}$ et $P=X^{3}$ , alors $P'=3X^{2}=0$ mais $P$ n’est pas constant.
On dispose d'une formule de Taylor-Young (sans reste, comme pour une fonction polynomiale en analyse) :
Soient $K$ un corps de caractéristique nulle, $P$ un polynôme de $P\in K[X]$ de degré inférieur ou égal à $n$ et $a\in K$. Alors :
$P=\sum _{k=0}^{n}{\frac {P^{(k)}(a)}{k!}}(X-a)^{k}=P(a)+P^{\prime }(a)\left(X-a\right)+{\frac {P''(a)}{2!}}\left(X-a\right)^{2}+\ldots +{\frac {P^{(n)}\left(a\right)}{n!}}\left(X-a\right)^{n}$.
Les $n+1$ polynômes $(X-a)^{p},\;0\leq p\leq n$, forment une base de $K_{n}[X]$ et chacun d'eux vérifie l'équation, d'où le résultat par linéarité.
| Arithmétique des polynômes | Racines d’un polynôme |