# Mécanique pour l'enseignement technique industriel/Exercices/Mouvements plans
## Préhenseur de support de culasse

    Voir le dossier de travail Préhenseur de support de culasse
Le préhenseur sert à saisir le support sur lequel est fixé la culasse ; cela permet de manutentionner la culasse entre les différents postes d'usinage sans l'abimer.

### Présentation du système

Le préhenseur est composé de six sous-ensembles rigides (classes d'équivalence) :
* CE1 : châssis et corps du vérin ;
* CE2 : piston du vérin et noix ;
* CE3a et CE3b : biellettes ;
* CE4 : pince à deux doigts ;
* CE5 : pince à un doigt.
Lorsque le vérin descend, les biellettes poussent sur les pinces qui s'écartent.

### Hypothèses pour l'étude

* On suppose que toutes les liaisons sont parfaites (frottement entre les pièces négligé) ;
* tous les déplacements des pièces ou ensembles se font dans le plan (O, x, y ) ;
* le poids des pièces est négligeable devant les autres efforts ;
* toutes les actions se situent dans le plan (O, x, y ).

### But de l'étude

La tige de vérin descend à une vitesse de 60 mm/s. On désire déterminer la vitesse d'ouverture des pinces.

### Questions

On rappelle les éléments suivants :
Tableau des mouvements :
| Mouvements entre classes d'équivalence | Nature du mouvement entre classes d'équivalence |
| M$^{vt}$$_{25/CE1}$ | Translation rectiligne d'axe y |
| M$^{vt}$$_{20a/CE1}$ | Mouvement plan quelconque |
| M$^{vt}$$_{7/CE1}$ | Translation rectiligne d'axe x |
Tableau des trajectoires :
| Trajectoires des points | Élément géométrique associé à la trajectoire (ligne rectiligne, arc de cercle, …) |
| T$_{A∈25/CE1}$ | ligne rectiligne (Ay ) |
| T$_{B∈20a/CE1}$ | ligne rectiligne (By ) |
| T$_{D∈20a/CE1}$ | ligne rectiligne (Dx ) |
| T$_{F∈7/CE1}$ | ligne rectiligne (Fx ) |
Sur le schéma ci-contre,
* Tracer ${\vec {v}}_{\mathrm {A} \in \mathrm {CE2/CE1} }$.
* En déduire ${\vec {v}}_{\mathrm {B} \in \mathrm {CE2/CE1} }$ et ${\vec {v}}_{\mathrm {C} \in \mathrm {CE2/CE1} }$.
* On veut déterminer ${\vec {v}}_{\mathrm {F} \in \mathrm {CE4/CE1} }$ en utilisant l'équiprojectivité :
** projeter ${\vec {v}}_{\mathrm {B} \in \mathrm {CE2/CE1} }$ sur la droite (BD) ; cela détermine le vecteur ${\vec {p}}$ ;
** reporter ${\vec {p}}$ en D ;
** tracer la perpendiculaire à (BD) passant par l'extrémité de ce vecteur et la prolonger jusqu'à la droite portant ${\vec {v}}_{\mathrm {D} \in \mathrm {CE3a/CE1} }$ ; cela détermine déterminer ${\vec {v}}_{\mathrm {D} \in \mathrm {CE3a/CE1} }$ ;
** en déduire ${\vec {v}}_{\mathrm {F} \in \mathrm {CE4/CE1} }$ ; donner $\|{\vec {v}}_{\mathrm {F} \in \mathrm {CE4/CE1} }\|$.
* On veut déterminer ${\vec {v}}_{\mathrm {G} \in \mathrm {CE5/CE1} }$ en utilisant la méthode du centre instantané de rotation :
** tracer la perpendiculaire à ${\vec {v}}_{\mathrm {C} \in \mathrm {CE2/CE1} }$ en C, et la perpendiculaire à la direction de ${\vec {v}}_{\mathrm {E} \in \mathrm {CE3b/CE1} }$ en E ; placer le CIR à l'intersection de ces deux droites ;
** faire tourner le point E autour du CIR pour l'amener sur la droite (CIR, C) ; cela définit le point E' ;
** construire le vecteur vitesse ${\vec {v}}_{\mathrm {E'} \in \mathrm {CE3b/CE1} }$ ;
** faire tourner ${\vec {v}}_{\mathrm {E'} \in \mathrm {CE3b/CE1} }$ autour du CIR pour amener son point d'application en E ; déterminer ${\vec {v}}_{\mathrm {E} \in \mathrm {CE3b/CE1} }$ ;
** en déduire ${\vec {v}}_{\mathrm {G} \in \mathrm {CE5/CE1} }$ ; donner $\|{\vec {v}}_{\mathrm {G} \in \mathrm {CE5/CE1} }\|$.
* Conclure.

### Solution
#### 1. & 2.

On a ${\vec {v}}_{\mathrm {B} \in \mathrm {CE2/CE1} }={\vec {v}}_{\mathrm {C} \in \mathrm {CE2/CE1} }={\vec {v}}_{\mathrm {A} \in \mathrm {CE2/CE1} }$.

#### 3.

On a ${\vec {v}}_{\mathrm {F} \in \mathrm {CE4/CE1} }={\vec {v}}_{\mathrm {D} \in \mathrm {CE3a/CE1} }$ et $\|{\vec {v}}_{\mathrm {F} \in \mathrm {CE4/CE1} }\|=36\ \mathrm {mm/s}$.

#### 4.

On a ${\vec {v}}_{\mathrm {G} \in \mathrm {CE5/CE1} }={\vec {v}}_{\mathrm {E} \in \mathrm {CE3b/CE1} }$ et $\|{\vec {v}}_{\mathrm {G} \in \mathrm {CE5/CE1} }\|=36\ \mathrm {mm/s}$.

#### 5.

Les résultats des deux méthodes sont identiques.

## Composition des vitesses
### Chasse à l'arc
#### Note

    Cet exercice a déjà été donné précédemment, en tant qu'application de la somme de deux vecteurs (géométrie).
Un chasseur monté sur un char désire abattre un animal avec son arc. Les chevaux galopent à une vitesse de 30 km/h. Lorsque le chasseur tire, la flèche part à l'horizontale avec une vitesse initiale de100 km/h par rapport au chasseur. On s'intéresse à la vitesse au moment où la flèche quitte l'arc, on ne prend donc pas en compte le vent et le freinage par l'air.
Les constructions graphiques se feront sur la figure ci-contre.

#### Cas général

Le char rep. 1 roule sur le sol rep. 0. Le chasseur tire la flèche rep. 2. Donner la relation qui relie ${\vec {v}}_{2/0}$, ${\vec {v}}_{2/1}$ et ${\vec {v}}_{1/0}$.

#### Cas n$^o$ 1

L'animal se trouve devant. Déterminer graphiquement le vecteur vitesse ${\vec {v}}_{2/0}$ (direction, sens, intensité).

#### Cas n$^o$ 2

L'animal se trouve sur l'avant gauche du char, à 30° par rapport à l'axe du charriot. Déterminer graphiquement le vecteur vitesse ${\vec {v}}_{2/0}$ (direction, sens, intensité).

#### Cas n$^o$ 3

L'animal se trouve sur le flanc gauche du char. Déterminer graphiquement le vecteur vitesse ${\vec {v}}_{2/0}$ (direction, sens, intensité).

#### Cas général

D'après la loi de composition des vitesses, on a : ${\vec {v}}_{2/0}={\vec {v}}_{2/1}+{\vec {v}}_{1/0}$.

#### Cas n$^o$1

${\vec {v}}_{2/0}$ est dans l'axe du charriot, vers l'avant, et $\|{\vec {v}}_{2/0}\|=130\ \mathrm {km/h}$.

#### Cas n$^o$2

${\vec {v}}_{2/0}$ fait un angle de 23° avec l'axe du charriot, est dirigé vers l'avant, et $\|{\vec {v}}_{2/0}\|=127\ \mathrm {km/h}$.

#### Cas n$^o$3

${\vec {v}}_{2/0}$ fait un angle de 73° avec l'axe du charriot, est dirigé vers l'avant, et $\|{\vec {v}}_{2/0}\|=104\ \mathrm {km/h}$.

### Enfant sur un tourniquet

Un enfant est assis sur un tourniquet rep. 1 de 3 m de diamètre, et faisant un tour en 5 s par rapport au sol rep. 0.
* Déterminer la fréquence de rotation N$_{1/0}$ en tr/s.
* Calculer la vitesse tangentielle de l'enfant.
* L'enfant lâche une balle rep. 2, supposée ponctuelle, sans lui donner d'impulsion. Tracer le vecteur vitesse initiale de la balle par rapport au sol ${\vec {v}}_{2/0}$ ; on prendra une échelle de 1 cm pour 1 m/s.
* L'enfant lance la balle rep. 2 vers l'extérieur avec une vitesse radiale ${\vec {v}}_{2/1}$ ayant pour norme 7 m/s. Déterminer graphiquement la vitesse de la balle par rapport au sol ${\vec {v}}_{2/0}$.

#### Formules

* ω = 2πN ;
* v = Rω.
* N$_{1/0}$ = 1/5 = 0,2 tr/min.
* ω$_{1/0}$ = 2πN$_{1/0}$ = 2π × 0,2 = 1,26 rad/s ; v$_{1/0}$ = Rω$_{1/0}$ = 1,5 × 1,26 = 1,88 m/s.
* On trace un vecteur orienté selon y et de longueur 1,9 cm.
* On trouve $\|{\vec {v}}_{2/0}\|=7,2\ \mathrm {m/s}$.

## Ascenseur convoyeur
### Mise en situation

Un équipementier automobile est équipé d'une ligne d'usinage entièrement automatisée. Le premier module de cette ligne d'usinage, qui est l’objet de notre étude, est un ascenseur. L'objectif de cet ascenseur comme le montre l'illustration ci-contre est de charger des bruts d'un convoyeur bas vers un convoyeur haut.

### Fonctionnement

Le cycle de fonctionnement comporte six phases :
* La pince descend.
* La pince vient saisir le brut sur le convoyeur bas.
* La pince remonte avec le brut.
* La pince pivote d'un quart de tour avec le brut.
* La pince dépose le brut sur le convoyeur haut.
* La pince pivote d'un quart de tour dans l'autre sens pour revenir en position initiale.
On ne s'intéresse qu’à la rotation de la pince lorsque l'ascenseur est en position haute (phase 4).
La rotation de la pince est assurée par un vérin pneumatique. Un vérin auxiliaire de maintien a été conçu afin de maintenir en position l'ascenseur en cas de coupure d'électricité.
Caractéristiques techniques :
| Élément | Caractéristiques |
| Vérin de maintien | ∅ piston : 32 mm Pression dans le vérin : 0,55 MPa |
| Vérin assurant la rotation de la pièce | ∅ piston : 32 mm Pression dans le vérin : 0,6 MPa |
La partie étudiée comprend quatre sous-ensembles rigides :
* SE5 : support ;
* SE6 : corps du vérin ;
* SE7 : tige du vérin ;
* SE8 : pince.
Le schéma cinématique du sous-ensemble est donné ci-contre.

### Travail demandé
#### Objectif de l'étude

Afin de réduire le temps de cycle de l'ascenseur, le service méthode propose notamment l’augmentation du débit dans le vérin assurant la rotation de la pince. La vitesse de la pièce transférée ne doit pas dépasser 1,5 m/s en phase de rotation pour éviter l'éjection de la pièce.
L'augmentation du débit de fluide dans le vérin permet d'augmenter la vitesse de translation de l’ensemble tige-piston (rep. 20) par rapport au corps du vérin (rep. 19), soit
    $\left\|{\overrightarrow {\mathrm {V} }}_{\mathrm {B} \in \mathrm {SE7/SE6} }\right\|=0,15\ \mathrm {m/s}$.

#### Étude préliminaire

* À partir du schéma cinématique ci-dessus, remplir le tableau des liaisons ci-dessous.
* Compléter le tableau des mouvements et trajectoires ci-dessous.
Tableau des liaisons :
| Solides en contact | Degrés de liberté | Degrés de liberté | Degrés de liberté | Degrés de liberté | Degrés de liberté | Degrés de liberté | Désignation de la liaison |
| Solides en contact | TX | TY | TZ | RX | RY | RZ | Désignation de la liaison |
| SE5/SE6 | | | | | | | |
| SE6/SE7 | | | | | | | |
| SE7/SE8 | | | | | | | |
| SE5/SE8 | | | | | | | |
Tableau des mouvements et trajectoires :
| Mouvement | Mouvement | Trajectoire | Trajectoire |
| Désignation | Type | Désignation | Élément géométrique associé |
| M$^{vt}$$_{SE8/SE5}$ | | T$_{A∈pièce/SE5}$ | |
| M$^{vt}$$_{SE8/SE5}$ | | T$_{B∈SE8/SE5}$ | |
| M$^{vt}$$_{SE8/SE5}$ | | T$_{C∈SE8/SE5}$ |

#### Détermination de la vitesse du brut

On désire déterminer graphiquement la vitesse ${\overrightarrow {\mathrm {V} }}_{\mathrm {A} \in \mathrm {SE8/SE5} }$ en phase de rotation de la pince. La construction se fera sur la figure ci-jointe.
* Tracer ${\overrightarrow {\mathrm {V} }}_{\mathrm {B} \in \mathrm {SE7/SE6} }$.
* Tracer la direction de ${\overrightarrow {\mathrm {V} }}_{\mathrm {B} \in \mathrm {SE7/SE5} }$, perpendiculaire à [CB].
* Tracer la direction de ${\overrightarrow {\mathrm {V} }}_{\mathrm {B} \in \mathrm {SE6/SE5} }$, perpendiculaire à [BD].
* Déterminer ${\overrightarrow {\mathrm {V} }}_{\mathrm {B} \in \mathrm {SE7/SE5} }$ sachant que
    ${\overrightarrow {\mathrm {V} }}_{\mathrm {B} \in \mathrm {SE7/SE5} }={\overrightarrow {\mathrm {V} }}_{\mathrm {B} \in \mathrm {SE7/SE6} }+{\overrightarrow {\mathrm {V} }}_{\mathrm {B} \in \mathrm {SE6/SE5} }$.
    $\left\|{\overrightarrow {\mathrm {V} }}_{\mathrm {B} \in \mathrm {SE7/SE5} }\right\|_{\mathrm {graphique} }=\dots$
* On a ${\overrightarrow {\mathrm {V} }}_{\mathrm {B} \in \mathrm {SE7/SE5} }={\overrightarrow {\mathrm {V} }}_{\mathrm {B} \in \mathrm {SE8/SE5} }$ ; justifier.
* Faire tourner ce vecteur autour de C afin d'amener son point d'application sur la droite (CA). Finir la construction pour trouver la vitesse du point A.
    $\left\|{\overrightarrow {\mathrm {V} }}_{\mathrm {A} \in \mathrm {SE8/SE5} }\right\|_{\mathrm {graphique} }=\dots$
* Évolution de l’ensemble pince par rapport au bâti en phase de rotation ; courbe obtenue pour une vitesse de translation de la tige de vérin de V = 0,15 m/s. Cliquez pour télécharger le fichier et imprimez-le à l'échelle 1. À l'aide du graphique ci-contre, indiquer la valeur maximale de la vitesse ${\overrightarrow {\mathrm {V} }}_{\mathrm {A} \in \mathrm {SE8/SE5} }$ obtenue par simulation. Conclure.
    $\left\|{\overrightarrow {\mathrm {V} }}_{\mathrm {A} \in \mathrm {SE8/SE5} }\right\|_{\mathrm {simulation} }=\dots$
Le sujet se présente sous la forme d'une procédure à exécuter. On peut donc le résoudre sans comprendre ce que l’on fait ; une telle attitude serait improductive (autant ne pas faire l'exercice).
Essayez de comprendre par vous-même chaque étape, comme si chaque question se terminait par « Justifiez. » Si vous ne comprenez pas la démarche du sujet, consultez l'explication ci-dessous ; on exécute mieux si l’on comprend…
On veut déterminer la vitesse du centre du brut ${\overrightarrow {\mathrm {V} }}_{\mathrm {A} \in \mathrm {SE8/SE5} }$. On connait la vitesse de rentrée de tige ${\overrightarrow {\mathrm {V} }}_{\mathrm {B} \in \mathrm {SE7/SE6} }$, puisqu'on la commande par le débit d'air comprimé.
Si l’on arrive à déterminer le vecteur vitesse du point ${\overrightarrow {\mathrm {V} }}_{\mathrm {B} \in \mathrm {SE8/SE5} }$, on aura ${\overrightarrow {\mathrm {V} }}_{\mathrm {A} \in \mathrm {SE8/SE5} }$ : pour un mouvement de rotation, la vitesse est proportionnelle à la distance du point au centre, on peut faire un triangle des vitesses (voir la section Champ de vitesse). Comme le point B est le centre du pivot entre SE7 et SE8, on a ${\overrightarrow {\mathrm {V} }}_{\mathrm {B} \in \mathrm {SE8/SE5} }={\overrightarrow {\mathrm {V} }}_{\mathrm {B} \in \mathrm {SE7/SE5} }$.
Comme nous l'avons vu en cours, le mouvement de la tige de vérin se compose de la rentrée de tige SE7 par rapport au corps SE6, et de la rotation du corps SE6 par rapport au support SE5. On a donc pour les vectrices vitesses :
    ${\overrightarrow {\mathrm {V} }}_{\mathrm {B} \in \mathrm {SE7/SE5} }={\overrightarrow {\mathrm {V} }}_{\mathrm {B} \in \mathrm {SE7/SE6} }+{\overrightarrow {\mathrm {V} }}_{\mathrm {B} \in \mathrm {SE6/SE5} }$
La relation vectorielle ci-dessus se traduit graphiquement par le fait que les trois vecteurs forment un triangle. On connait un des côtés du triangle, ${\overrightarrow {\mathrm {V} }}_{\mathrm {B} \in \mathrm {SE7/SE6} }$, on connaît les directions des deux autres côté :
* ${\overrightarrow {\mathrm {V} }}_{\mathrm {B} \in \mathrm {SE7/SE5} }$ : comme SE7 tourne par rapport à SE5, $\mathrm {B} \in \mathrm {SE7/SE5}$ parcours un cercle de centre C, le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire donc perpendiculaire au rayon [CB] ;
* ${\overrightarrow {\mathrm {V} }}_{\mathrm {B} \in \mathrm {SE6/SE5} }$ : comme SE6 tourne par rapport à SE5, $\mathrm {B} \in \mathrm {SE6/SE5}$ parcours un cercle de centre D, le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire donc perpendiculaire au rayon [DB].

### Solution
#### 1.

Tableau des liaisons :
| Solides en contact | Degrés de liberté | Degrés de liberté | Degrés de liberté | Degrés de liberté | Degrés de liberté | Degrés de liberté | Désignation de la liaison |
| Solides en contact | TX | TY | TZ | RX | RY | RZ | Désignation de la liaison |
| SE5/SE6 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | Liaison pivot |
| SE6/SE7 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | Liaison pivot glissant |
| SE7/SE8 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | Liaison pivot |
| SE5/SE8 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | Liaison pivot |

#### 2.

Tableau des mouvements et trajectoires :
| Mouvement | Mouvement | Trajectoire | Trajectoire |
| Désignation | Type | Désignation | Élément géométrique associé |
| M$^{vt}$$_{SE8/SE5}$ | Rotation de centre C | T$_{A∈pièce/SE5}$ | Arc de cercle de centre C et de rayon [AC] |
| M$^{vt}$$_{SE8/SE5}$ | Rotation de centre C | T$_{B∈SE8/SE5}$ | Arc de cercle de centre C et de rayon [BC] |
| M$^{vt}$$_{SE8/SE5}$ | Rotation de centre C | T$_{C∈SE8/SE5}$ | point C (immobile) |

#### 1.

Le solide SE7 a un mouvement de translation rectiligne par rapport à SE6 (mouvement classique d'ne tige de vérin par rapport au corps), donc le point B∈SE7/SE6 a une trajectoire rectiligne : droite (BD). Le vecteur ${\overrightarrow {\mathrm {V} }}_{\mathrm {B} \in \mathrm {SE7/SE6} }$ a donc les caractéristiques suivantes :
* direction : droite (BD) ;
* sens : de B vers D (pour que la bras tourne dans le sens positif, il faut un mouvement de rentrée de tige) ;
* longueur : 0,15/0,075 = 2 cm.

#### 2. et 3.

Voir la figure ci-contre.

#### 4.

On trace le triangle à partir du côté connu (${\overrightarrow {\mathrm {V} }}_{\mathrm {B} \in \mathrm {SE7/SE6} }$) et des directions des deux autres côtés ⊥(BC) et ⊥(BD). Pour ${\overrightarrow {\mathrm {V} }}_{\mathrm {B} \in \mathrm {SE7/SE5} }$, on mesure un trait d'environ 3 cm, soit
    $\left\|{\overrightarrow {\mathrm {V} }}_{\mathrm {B} \in \mathrm {SE7/SE5} }\right\|_{\mathrm {graphique} }=3\times 0,075=0,225\ \mathrm {m/s}$

#### 5.

Le point B est le centre du pivot entre les pièces SE7 et SE8, donc ${\overrightarrow {\mathrm {V} }}_{\mathrm {B} \in \mathrm {SE7/SE5} }={\overrightarrow {\mathrm {V} }}_{\mathrm {B} \in \mathrm {SE8/SE5} }$.

#### 6.

On trace le triangle des vitesses pour les points de (CA), passant par C et l'extrémité de ${\overrightarrow {\mathrm {V} }}_{\mathrm {B} '\in \mathrm {SE7/SE5} }$. Pour ${\overrightarrow {\mathrm {V} }}_{\mathrm {A} \in \mathrm {SE8/SE5} }$, on mesure un trait d'environ 12,2 cm, soit
    $\left\|{\overrightarrow {\mathrm {V} }}_{\mathrm {A} \in \mathrm {SE8/SE5} }\right\|_{\mathrm {graphique} }=12,2\times 0,075=0,92\ \mathrm {m/s}$

#### 7.

Le maximum du graphique est à t = 0 ; on lit
    $\left\|{\overrightarrow {\mathrm {V} }}_{\mathrm {A} \in \mathrm {SE8/SE5} }\right\|_{\mathrm {simulation} }=0,94\ \mathrm {m/s}$
La détermination graphique est cohérente avec la simulation. La vitesse ne dépasse pas 1,5 m/s, on ne risque donc pas l'éjection de la pièce.