# Systèmes de liaison arbres-moyeux/Frettage de tubes cylindriques creux
## Hypothèses et définitions

On se place dans le cadre classique de la mécanique des milieux continus, c'est-à-dire un matériau linéaire élastique isotrope.
On suppose que les matériaux de l'arbre et du moyeu sont identiques.
On se place dans le cadre des petits déplacements.
L'arbre a comme rayon intérieur $r_{0}$ et comme rayon extérieur $r_{1}$ alors que le moyeu a comme rayon intérieur $r_{1}-\delta$ et comme rayon extérieur $r_{2}$ (où $\delta$ est le serrage au rayon).
On appelle L la longueur de frettage, f le coefficient de frottement entre l'arbre et le moyeu, E le module d'Young, $\nu$ le coefficient de Poisson.

## Pression de frettage

On utilise la méthode des déplacements, c'est-à-dire que l’on suppose que le champ de déplacement est de la forme
${\overrightarrow {U(M)}}=U_{r}(r){\overrightarrow {e_{r}}}+U_{z}(z){\overrightarrow {e_{z}}}$
On calcule désormais le champ de déformation ${\bar {\bar {\epsilon }}}$.
${\bar {\bar {\epsilon }}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial U_{r}(r)}{\partial r}}&0&0\\0&{\frac {U_{r}(r)}{r}}&0\\0&0&{\frac {\partial U_{z}(z)}{\partial z}}\end{pmatrix}}$
On peut alors calculer le tenseur des contraintes via la loi de Lamé :
${\bar {\bar {\sigma }}}=2\mu {\bar {\bar {\epsilon }}}+\lambda tr({\bar {\bar {\epsilon }}}){\bar {\bar {I}}}$
On déduit donc :
${\bar {\bar {\sigma }}}={\begin{pmatrix}2\mu {\frac {\partial U_{r}(r)}{\partial r}}+\lambda ({\frac {\partial U_{r}(r)}{\partial r}}+{\frac {U_{r}(r)}{r}}+{\frac {\partial U_{z}(z)}{\partial z}})&0&0\\0&2\mu {\frac {U_{r}(r)}{r}}+\lambda ({\frac {\partial U_{r}(r)}{\partial r}}+{\frac {U_{r}(r)}{r}}+{\frac {\partial U_{z}(z)}{\partial z}})&0\\0&0&2\mu {\frac {\partial U_{z}(z)}{\partial z}}+\lambda ({\frac {\partial U_{r}(r)}{\partial r}}+{\frac {U_{r}(r)}{r}}+{\frac {\partial U_{z}(z)}{\partial z}})\end{pmatrix}}$
On doit avoir un champ de contrainte statiquement admissible, donc :
${\overrightarrow {div({\bar {\bar {\sigma }}})}}={\overrightarrow {0}}$
On obtient avec cette équation lorsque l’on projette sur ${\overrightarrow {e_{r}}}$ et ${\overrightarrow {e_{z}}}$ :
* ${\frac {\partial \sigma _{rr}}{\partial r}}+{\frac {\sigma _{rr}-\sigma _{\theta \theta }}{r}}=0$
* ${\frac {\partial \sigma _{zz}}{\partial z}}=0$
En remplaçant, on obtient donc les deux équations différentielles suivantes :
* ${\frac {\partial ^{2}U_{r}(r)}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U_{r}(r)}{\partial r}}-{\frac {U_{r}(r)}{r^{2}}}=0$
* ${\frac {\partial ^{2}U_{z}(z)}{\partial z^{2}}}=0$
On peut montrer que le champ $U_{r}$ est de la forme ${\frac {A_{1}}{r}}+B_{1}r$ et que le champ $U_{z}$ est de la forme $C_{1}z+D_{1}$
On obtient finalement :
${\bar {\bar {\sigma }}}={\begin{pmatrix}A-{\frac {B}{r^{2}}}&0&0\\0&A+{\frac {B}{r^{2}}}&0\\0&0&C\end{pmatrix}}$
Il faut maintenant utiliser les conditions aux limites afin de déterminer les constantes :
* $\sigma _{rr}(r=r_{2})=0\Rightarrow A={\frac {B}{r_{2}^{2}}}$
* $\sigma _{rr}(r=r_{1})=-p_{frettage}\Rightarrow A-{\frac {B}{r_{1}^{2}}}=p_{frettage}$
* Il y a une erreur de signe à ce niveau, mais qui se compense pour la suite :
* $\sigma _{rr}(r)=A-{\frac {B}{r^{2}}}\Rightarrow \sigma _{rr}(r=r_{1})=-p_{frettage}=A-{\frac {B}{r^{2}}}$
* D'où : $A-{\frac {B}{r_{1}^{2}}}=-p_{frettage}$
$\forall r\in [r_{1},r_{2}],\sigma _{rr}^{moyeu}=p_{frettage}{\frac {r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}-r_{1}^{2}}}(1-{\frac {r_{2}^{2}}{r^{2}}})$
$\forall r\in [r_{1},r_{2}],\sigma _{\theta \theta }^{moyeu}=p_{frettage}{\frac {r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}-r_{1}^{2}}}(1+{\frac {r_{2}^{2}}{r^{2}}})$
On procède de même pour l'arbre intérieur au niveau des conditions aux limites et on obtient :
* $\sigma _{rr}(r=r_{0})=0\Rightarrow A={\frac {B}{r_{0}^{2}}}$
* $\sigma _{rr}(r=r_{1})=-p_{frettage}\Rightarrow A-{\frac {B}{r_{1}^{2}}}=p_{frettage}$
$\forall r\in [r_{0},r_{1}],\sigma _{rr}^{arbre}=-p_{frettage}{\frac {r_{1}^{2}}{r_{1}^{2}-r_{0}^{2}}}(1-{\frac {r_{0}^{2}}{r^{2}}})$
$\forall r\in [r_{0},r_{1}],\sigma _{\theta \theta }^{arbre}=-p_{frettage}{\frac {r_{1}^{2}}{r_{1}^{2}-r_{0}^{2}}}(1+{\frac {r_{0}^{2}}{r^{2}}})$
On obtient le champ de déplacement suivant à l'aide de la loi de Hooke :
$\forall r\in [r_{0},r_{1}],U_{r}(r)=r{\frac {\sigma _{\theta \theta }^{arbre}-\nu \sigma _{rr}^{arbre}}{E}}$
$\forall r\in [r_{1},r_{2}],U_{r}(r)=r{\frac {\sigma _{\theta \theta }^{moyeu}-\nu \sigma _{rr}^{moyeu}}{E}}$
On déduit :
$\forall r\in [r_{0},r_{1}],U_{r}(r)=-{\frac {rpr_{1}^{2}}{E(r_{1}^{2}-r_{0}^{2})}}((1-\nu )+(1+\nu ){\frac {r_{0}^{2}}{r^{2}}})$
$\forall r\in [r_{1},r_{2}],U_{r}(r)={\frac {rpr_{1}^{2}}{E(r_{2}^{2}-r_{1}^{2})}}((1-\nu )+(1+\nu ){\frac {r_{2}^{2}}{r^{2}}})$
Or, on a :
$U_{r}(r=r_{1}^{+})-U_{r}(r=r_{1}^{-})=\delta$
On déduit après quelques calculs :
$p_{frettage}={\frac {\delta E}{2r_{1}^{3}}}{\frac {(r_{2}^{2}-r_{1}^{2})(r_{1}^{2}-r_{0}^{2})}{r_{2}^{2}-r_{0}^{2}}}$

## Effort axial

L’effort axial maximal transmissible qui peut être appliqué entre l'arbre et le moyeu est la résultante, sur la surface de contact des deux pièces, des forces tangentielles provenant de la pression de frettage et du coefﬁcient de frottement entre arbre et moyeu est :
$F_{a}=2\pi$
$r_{1}$
$L$
$f$
$p_{frettage}$
En effet, en appliquant le principe fondamental de la dynamique sur l'arbre et en le projetant sur l'axe de l'arbre, on obtient :
$F_{a}+T=0$
donc
$F_{a}=2\pi$
$r_{1}$
$L$
$f$
$p_{frettage}$
Cet effort représente aussi l'effort qu’il faut appliquer pour fretter les deux pièces.

## Couple transmissible

De même, en appliquant le théorème du moment dynamique autour de l'axe de l'arbre, on obtient :
$C_{a}=2\pi r_{1}^{2}Lfp_{frettage}$

## Critère de Von Misès

On regarde le critère de Von Misès à l'interface arbre/moyeu.

## Remarques

Lorsque l’on a $r_{0}=0$, on obtient le cas où l'arbre est plein. Il s'agit d'un cas particulier de la loi vu plus haut dans le chapitre.

## Vitesse de rotation critique

Les assemblages frettés ne sont valides qu'en dessous d'une certaine vitesse appelée vitesse critique à partir de laquelle il n'y a plus de serrage à l'interface arbre/moyeu (arbre et moyeu ne sont alors plus solidaires).
Lorsque l'assemblage fretté est en rotation, il est soumis à une force volumique radiale F de valeur $F=\rho \omega ^{2}r$. Cette force est alors prise en compte dans le principe fondamental de la dynamique utilisée plus haut dans la méthode des déplacements.
On obtient ainsi la valeur de cette vitesse de rotation limite/critique.
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