# Mécanique 2 (PCSI)/Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Satellites géostationnaires
## Définition et 1ère propriété des satellites géostationnaires, diverses informations les concernant
### Définition d'un satellite géostationnaire

Un satellite géostationnaire est un satellite « artificiel » de la Terre (♁) qui, à tout instant, reste à la verticale d’un même point de la surface terrestre ; « il paraît donc immobile à un observateur lié à la Terre (♁) ».

### 1ère propriété d'un satellite géostationnaire

Pour que le satellite géostationnaire paraisse immobile à un observateur lié à la Terre (♁), il est nécessaire qu’il ait
* même vitesse angulaire, dans le référentiel géocentrique, que le point de la surface terrestre qu’il surplombe, ou encore
* même période, angulaire, dans le référentiel géocentrique, que le point de la surface terrestre qu’il surplombec'est-à-dire la période de rotation d’un point de la surface terrestre dans le référentiel géocentrique, laquelle définit le « jour sidéral » soit $\;1\;j=23\;h\;56\;min\;4\;s\;$» ;
$\;T_{{\text{révolution}},\,{\text{sat. géostat.}}}=86164\;s=23\;h\;56\;min\;4\;s=1\;j\;$

### Conséquence du caractère non galiléen du référentiel géocentrique sur une durée approximative supérieure à 3 jours et compensation des perturbations engendrées

Si le référentiel géocentrique était parfaitement galiléen, une fois le satellite géostationnaire positionné, il n’y aurait pas besoin de lui fournir de l’énergie car « son positionnement le plaçant à une distance suffisamment éloignée de la Terre (♁) pour pouvoir négliger l’atmosphère », l’inexistence des forces de frottement des satellites géostationnaires sur l'atmosphère entraîne la conservation de leur énergie mécanique mais $\;\ldots$
en réalité, le caractère galiléen du référentiel géocentrique, par rapport au galiléen de référence qui est le référentiel de Copernic, n’a qu’une durée limitée «$\;\lesssim \;$ à $\;3\;j\;$ si on travaille à $\;1\;\%\;$ près » et
il est nécessaire de rectifier régulièrement le positionnement du satellite $\;\ldots$
Compensation des perturbations engendrées à échéance supérieure à trois jours : un géostationnaire $\;{\big$contrairement à la plupart des autres satellites${\big )}\;$ est guidé depuis la Terre par un système de « contrôle d’altitude et d’orbite », ce système commandant la mise à feu de réacteurs permettant la compensation des « diverses perturbations de la trajectoire » ; Compensation des perturbations engendrées à échéance supérieure à trois jours : de ce fait le satellite utilise progressivement ses réserves de carburant lesquelles, finissant par s’épuiser, limitent la durée d’exploitation du géostationnaire à une dizaine d’années.

### Autres informations sur les satellites géostationnaires

Fin de vie d'un géostationnaire : Peu avant l’épuisement de la réserve d’« ergols » nécessaire à la rectification du positionnement du géostationnaire, celle-ci est utilisée pour placer ce dernier sur leur « orbite de rebut » située à plus de $\;300\;km\;$ au-dessus de leur orbite nominale $\;{\big \$une fois ce nouveau positionnement effectué, on vide les réservoirs puis on les dépressurise quand cela est possible $\;{\big$afin de se prémunir d’une explosion suite à une collision avec un objet céleste${\big )}\;$ et tous les circuits électriques sont coupés après décharge des batteries $\;{\big$pour éviter que le satellite n’interfère avec les autres satellites près desquels il va passer${\big )}\;$ le satellite est alors en « mort programmée »${\big \}$ ;
Fin de vie d'un géostationnaire : cette « orbite de rebut » présente un point d’anomalie où ont tendance à s’accumuler les satellites morts, proche du méridien «$\;75\;{\text{° est}}\;$» où se manifeste une modification de l’attraction gravitationnelle due vraisemblablement à la présence du « massif Himalayen » $\;\ldots$
Historique : L’orbite géostationnaire est encombrée puisqu'il y a plus de «$\;250\;$ satellites », le 1er satellite géostationnaire a été lancé par les États-Unis en $\;1963$, pays qui sera le seul pendant les dix années suivantes à faire des lancements au nombre d’au moins $\;5\;$ par année, puis l'U.R.S.S. s’y est attelé et maintenant toutes les puissances astronautiques en font $\;\ldots$
Utilité des géostationnaires : La majeure partie concerne des satellites de télécommunications mais on y trouve également des satellites météorologiques $\;{\big$avec une charge utile de télécommunications en plus de leur charge utile principale d’observation de la Terre${\big )}$.

## Localisation équatoriale d'un satellite géostationnaire

Dans le référentiel géocentrique le mouvement d’un satellite artificiel terrestre est situé dans un plan contenant le centre $\;O\;$ de force gravitationnelle c'est-à-dire le centre de la Terre (♁), lequel est un des foyers de l'ellipse décrite par le satellite $\;{\big$voir ci-contre où le plan orbital est incliné par rapport au plan équatorial de la Terre (♁), la trace au sol du plan du mouvement ayant une inclinaison fixe par rapport au plan équatorial terrestre${\big )}$ ;
une conséquence de ceci est que le satellite a deux positions «$\;E_{1}\;$ et $\;E_{2}\;$ de son orbite à la verticale de l'équateur terrestre » $\;{\big$«$\;E_{1}\;$ et $\;E_{2}\;$» sont fixes dans le référentiel géocentrique mais tournent dans le référentiel terrestre d’Est en Ouest, ce ne sont donc pas les mêmes points de l’équateur terrestre qui sont à la verticale de «$\;E_{1}\;$ et $\;E_{2}\;$»${\big )}$, toutes les autres positions de l'orbite du satellite étant à la verticale de points de l’hémisphère Nord ou de l’hémisphère Sud ;
dans le cas usuel où le satellite tourne d’Ouest vers l’Est, on en déduit qu’observateur terrestre « verra » le satellite se déplacer suivant le mouvement composé de son « mouvement principal vers l’Est » et d'un « mouvement secondaire vers l'hémisphère Sud pour un observateur de l'hémisphère Nord » ou vice-versa avec une « lente dérive d’Est en Ouest » $\;\ldots$
Dans le cas représenté ci-contre nous ne sommes donc pas dans la condition géostationnaire d'un satellite.
Inclinaison nécessaire au plan de l'orbite d'un satellite pour qu'il soit géostationnaire : une condition nécessaire pour qu'un satellite terrestre soit géostationnaire pour tous les points fixes de la Terre est que le plan orbital du satellite considéré ne soit pas incliné par rapport au plan équatorial de la Terre (♁) $\;{\big$inclinaison nulle${\big ]}\;$ et ainsi toutes les positions du satellite sont de « type $\;E_{1}\;$ ou $\;E_{2}\;$» c'est-à-dire à la verticale de l’équateur $\;\ldots$
Inclinaison nécessaire au plan de l'orbite d'un satellite pour qu'il soit géostationnaire : en conséquence un observateur terrestre verra toujours le satellite d'inclinaison nulle à la verticale de l’équateur de la Terre (♁) mais, a priori il observera encore, sauf si on impose au satellite d'autres conditions pour qu'il soit géostationnaire,
* un « mouvement principal vers l’Est » dans la mesure où la période de révolution du satellite dans le référentiel géocentrique est inférieure à la période de rotation de la Terre sur elle-même et
* une « lente dérive d’Est en Ouest » $\;{\big$plus précisément après chaque période de révolution du satellite à inclinaison nulle dans le référentiel géocentrique le point de l'équateur terrestre surplombé par le satellite est décalé vers l'Ouest par rapport à l'observation précédente${\big ]}$.
Inclinaison nécessaire au plan de l'orbite d'un satellite pour qu'il soit géostationnaire : Pour obtenir un satellite géostationnaire, il est nécessaire de le placer dans un plan équatorial mais cette condition n’est pas suffisante $\;\ldots$

## Détermination de l'altitude d'un satellite géostationnaire

Nous nous proposons de déterminer la (ou les) condition(s) nécessaire(s) à imposer à un satellite pour qu'il soit géostationnaire $\;{\big$condition(s) supplémentaire(s) relativement au caractère équatorial de sa trajectoire $\;{\big$voir le paragraphe « localisation équatoriale d'un satellite géostationnaire » précédent${\big )}{\big ]}\;$ traduisant la « 1ère propriété d'un satellite géostationnaire » déterminée plus haut dans ce chapitre précisant sa période de révolution dans le référentiel géocentrique «$\;T_{{\text{révolution}},\,{\text{sat. géostat.}}}=86164\;s=23\;h\;56\;min\;4\;s=1\;j\;$» .

### Nature uniforme du mouvement d'un satellite géostationnaire

Rappel : Un satellite géostationnaire devant rester à la verticale d’un même point de la surface terrestre et celle-ci tournant à une vitesse angulaire constante dans le référentiel géocentrique, il doit en être de même du satellite dans le référentiel géocentrique d’où la nature uniforme du mouvement du satellite dans le géocentrique de vitesse angulaire «$\;\Omega _{{\text{sat. géostat.}}\,/\,{\text{géocent.}}}={\dfrac {2\;\pi }{T_{{\text{révolution}},\,{\text{sat. géostat.}}}}}\;$».

### Nature circulaire du mouvement d'un satellite géostationnaire

Un satellite géocentrique ayant un mouvement elliptique dont « le centre de la Terre (♁) $\;O\;$ est un des foyers » et la loi des aires lui étant applicable «$\;r_{\text{sat. géostat.}}^{\,2}\;\Omega _{{\text{sat. géostat.}}\,/\,{\text{géocent.}}}=C\;$» avec «$\;C\;$ la constante des aires et $\;r_{\text{sat. géostat.}}\;$ le rayon polaire $\;{\big$repérage polaire de pôle $\;O{\big )}\;$ du satellite dans le plan de son mouvement $\;{\big$c'est-à-dire le plan équatorial${\big )}\;$» on déduit de «$\;\Omega _{{\text{sat. géostat.}}\,/\,{\text{géocent.}}}=cste\;$» la constance du rayon polaire du satellite géostationnaire soit «$\;r_{\text{sat. géostat.}}=cste'\;$» et par suite la nature circulaire de son mouvement dans le géocentrique.

### Détermination de l'altitude d'un satellite géostationnaire

Appliquant au satellite terrestre de mouvement circulaire prévu pour être géostationnaire la 3ème loi de Kepler à savoir «$\;{\dfrac {r_{\text{sat. géostat.}}^{\,3}}{T_{{\text{révolution}},\,{\text{sat. géostat.}}}^{\,2}}}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{(♁)}}}{4\;\pi ^{2}}}\;$» dans laquelle «$\;{\mathcal {G}}\simeq 6,67\;10^{-11}\;U.S.I.\;$ est la constante de gravitation universelle et $\;m_{\text{♁}}\simeq 5,98\;10^{24}\;kg\simeq 6,0\;10^{24}\;kg\;$ la masse de la Terre (♁) » on en déduit «$\;r_{\text{sat. géostat.}}={\sqrt[{3}]{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{(♁)}}\;T_{{\text{révolution}},\,{\text{sat. géostat.}}}^{\,2}}{4\;\pi ^{2}}}}\;$» soit numériquement $\;r_{\text{sat. géostat.}}\simeq$ ${\sqrt[{3}]{\dfrac {6,67\;10^{-11}\times 5,98\;10^{24}\times \left(86164\right)^{2}}{4\;\pi ^{2}}}}\simeq 42,174\;10^{6}\;m\;$ ou «$\;r_{\text{sat. géostat.}}\simeq 42174\;km\;$» et par suite
l'altitude d'un satellite géostationnaire doit être «$\;z_{\text{sat. géostat.}}=r_{\text{sat. géostat.}}-R_{\text{(♁)}}\;$» dans laquelle «$\;R_{\text{(♁)}}\simeq 6378\;km\simeq 6400\;km\;$ est le rayon de la Terre (♁) à l'équateur » donnant numériquement $\;z_{\text{sat. géostat.}}\simeq \left(42174-6378\right)\,km\simeq 35796\;km\;$ soit finalement
$\;z_{\text{sat. géostat.}}\simeq 36000\;km\;$
Remarque : On vérifie aisément qu'un satellite terrestre « en mouvement circulaire dans le plan équatorial à l'altitude $\;z_{\text{sat.}}\simeq 36000\;km\;$» est effectivement géostationnaire.