# Statique des fluides (PCSI)/Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen : Poussée d'Archimède

$\;{\big$
${\big )}\;$

## « Rappel » sur l’évaluation de la résultante des forces pressantes s’exerçant sur un corps sphérique totalement immergé dans un fluide incompressible et homogène en équilibre isotherme dans le champ de pesanteur terrestre uniforme, 1ère notion de poussée d’Archimède
### « Rappel » sur l’évaluation de la résultante des forces pressantes s’exerçant sur un corps sphérique totalement immergé dans un fluide incompressible et homogène en équilibre isotherme dans le champ de pesanteur terrestre uniforme

Dans le paragraphe « autre exemple : résultante des forces pressantes sur un corps sphérique totalement immergé dans un fluide incompressible et homogène en équilibre isotherme dans le champ de pesanteur terrestre uniforme » du chap.$4$ de la leçon « Statique des fluides (PCSI) », Dans le paragraphe on a considéré un corps sphérique $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ de centre $\;C$, de rayon $\;a$, totalement immergé dans un fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ à « masse volumique $\;\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;$ constante » $\;{\big$réalisée si le fluide est incompressible et homogène en équilibre isotherme${\big )}$, le centre $\;C\;$ étant repérée par sa « cote $\;z_{C}\;$» relativement à un axe vertical orienté dans le sens ascendant $\;{\big$voir le schéma ci-contre${\big )}\;$ et Dans le paragraphe on a évalué la « résultante des forces pressantes $\;{\vec {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}\;$ que le fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ exerce sur le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$» $\;{\big$c'est-à-dire la « poussée d'Archimède »${\big )}\;$ par
* calcul d’intégrale surfacique «$\;{\vec {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}=\color {transparent}{\Bigg\!\!\!\color {black}\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \,(S)}{\overrightarrow {dF}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}(M)=\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \,(S)}-p(M)\;dS_{M}\;{\vec {n}}_{{\mathcal {C}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}(M)\;$» $\;{\big\left(S\right)\;$ étant la sphère limitant le corps sphérique $\;\left({\mathcal {C}}\right){\big ]}$,
* après utilisation de l'invariance de la répartition des forces pressantes par symétrie plane relativement à tout plan vertical passant par le centre $\;C\;$ du corps sphérique $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ pour déterminer la direction de la résultante «$\;{\vec {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}={\overline {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}},\,z}\;{\vec {u}}_{z}\;$» et
* après application de l’intégrale 1ère spatiale du fluide à « masse volumique $\;\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;$ constante » $\Rightarrow$ «$\;p(M)=p(z_{C})-\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;g\;a\;\cos(\theta )\;$» en adoptant le repérage sphérique de pôle $\;C\;$ et d'axe $\;{\overrightarrow {z'z}}\;$ vertical ascendant du point générique $\;M\;$ de $\;\left(S\right)$, les coordonnées sphériques de $\;M\;$ étant «$\;\left(a\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)\;$» $\;{\big$avec pour base sphérique liée à $\;M$ «$\;\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{\varphi }\right\rbrace \;$» orthonormée directe de l'espace physique orienté à droite${\big ]}$,
* après projection de $\;{\vec {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}\;$ sur $\;{\vec {u}}_{z}\;$ ${\overset {\ldots }{\Rightarrow }}\;$ «$\;{\overline {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}},\,z}=\color {transparent}{\Bigg\!\!\!\color {black}\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \,(S)}-\left[p(z_{C})-\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;g\;a\;\cos(\theta )\right]\,dS_{M}\,\left[{\vec {n}}_{{\mathcal {C}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}(M)\cdot {\vec {u}}_{z}\right]\;$» soit, avec «$\;{\vec {n}}_{{\mathcal {C}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}(M)={\vec {u}}_{r}(M)\;$» et «$\;{\vec {n}}_{{\mathcal {C}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}(M)\cdot {\vec {u}}_{z}={\vec {u}}_{r}(M)\cdot {\vec {u}}_{z}=\cos(\theta )\;$», «$\;{\overline {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}},\,z}=\color {transparent}{\Bigg\!\!\!\color {black}\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \,(S)}-\left[p(z_{C})-\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;g\;a\;\cos(\theta )\right]\,\cos(\theta )\;dS_{M}\;$»,
* après constatation que la « fonction à intégrer $\;-\left[p(z_{C})-\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;g\;a\;\cos(\theta )\right]\,\cos(\theta )\;$» dans l'intégrale surfacique étant « indépendante du paramètre $\;\varphi$ $\;{\big$ne dépendant que de $\;\theta {\big )}\;$», il est souhaitable de ramplacer $\;dS_{M}\;$ par l'aire d'une surface élémentaire semi-intégrée correspondant à une « couronne sphérique élémentaire comprise entre les deux parallèles de colatitudes infiniment proches $\;\theta \;$ et $\;\theta +d\theta \;$» «$\;dS_{{\text{couronne sphérique sur }}\left[\theta ,\,\theta +d\theta \right]}=$ $2\;\pi \;a^{2}\;\sin(\theta )\;d\theta \;$»$^,$ ${\overset {\ldots }{\Rightarrow }}\;$ «$\;{\overline {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}},\,z}=\displaystyle \int _{0}^{\pi }-\left[p(z_{C})-\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;g\;a\;\cos(\theta )\right]\,\cos(\theta )\,\left[2\;\pi \;a^{2}\;\sin(\theta )\;d\theta \right]\;$ soit finalement
$\;{\overline {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}},\,z}={\dfrac {4\;\pi }{3}}\;\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;g\;a^{3}\;$
$\Rightarrow$
$\;{\vec {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}},\,z}=\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;{\dfrac {4\;\pi \;a^{3}}{3}}\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$

### « Rappel » sur l'équivalence du système des forces pressantes s’exerçant sur un corps sphérique (indéformable) totalement immergé dans un fluide incompressible et homogène en équilibre isotherme dans le champ de pesanteur terrestre uniforme avec une force unique et 1ère notion de poussée d'Archimède

Nous avons établi, au paragraphe « utilisation des propriétés de symétrie pour déterminer la direction de la résultante des forces pressantes (remarque) » du chap.$4$ de la leçon « Statique des fluides (PCSI) », que la répartition des forces pressantes que le fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ exerce sur le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ indéformable est « équivalente à sa résultante $\;{\vec {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}\;$» appliquée en un point $\;P\;$ particulier de l'axe vertical passant par le centre $\;C\;$ du corps sphérique $\;{\big$voir la justification dans la note « $^{12}$ » du chap.$4$ de la leçon « Statique des fluides (PCSI) »${\big ]}$ ; dans ce qui suit nous nous proposons de donner une autre justification à cette propriété :
Nous avons établi, remarquant que toutes les forces pressantes «$\;{\overrightarrow {dF}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}(M)=-p(M)\;dS_{M}\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ que le fluide incompressible et homogène $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ en équilibre isotherme dans le champ de pesanteur uniforme exerce sur le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ sont centrales », nous en déduisons que leur vecteur moment résultant calculé relativement à $\;C\;$ est nul soit
$\;{\vec {\mathcal {M}}}_{C,\,{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}=\color {transparent}{\Bigg\!\!\!\color {black}\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \,(S)}{\overrightarrow {CM}}\wedge {\overrightarrow {dF}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}(M)={\vec {0}}\;$
Nous avons établi, dans la mesure où « la résultante des forces pressantes $\;{\vec {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}\;$ est verticale », le changement d'origine du calcul du vecteur moment résultant de ces forces pressantes s'écrivant
$\;{\vec {\mathcal {M}}}_{A,\,{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}={\vec {\mathcal {M}}}_{C,\,{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}+{\overrightarrow {AC}}\wedge {\vec {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}\;$
$\;A\;$
Nous avons établi, nous en déduisons «$\;{\vec {\mathcal {M}}}_{P,\,{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}={\vec {\mathcal {M}}}_{C,\,{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}={\vec {0}}\;$ pour tout point $\;P\;$ de la verticale passant par le centre $\;C\;$ du corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$» ;
Nous avons établi, or pour que deux systèmes de forces s’appliquant à un corps indéformable soient équivalents il suffit qu’ils aient même résultante et même moment résultant en un point particulier $\;{\big$et d’après la formule de changement d’origine de calcul des moments vectoriels, s’ils ont même moment résultant en un point et même résultante, ils auront même moment résultant en tout point${\big )}\;$ d'où
Nous avons établi, comparant « le système des forces pressantes $\;{\overrightarrow {dF}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}(M)=-p(M)\;dS_{M}\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ que le fluide incompressible et homogène $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ en équilibre isotherme dans le champ de pesanteur uniforme exerce sur le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ indéformable » de résultante «$\;{\vec {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}\;$» et de moment résultant vectoriel au centre $\;C\;$ de $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ «$\;{\vec {\mathcal {M}}}_{C,\,{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}={\vec {0}}\;$» à Nous avons établi, comparant « une force unique égale à $\;{\vec {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}\;$ appliquée au point $\;C\;$» dont le moment vectoriel en $\;C\;$ est évidemment nul, nous concluons que
Nous avons établi, « la répartition des forces pressantes que le fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ exerce sur le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ indéformable » est « équivalente à une force unique égale à la résultante des forces pressantes $\;{\vec {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}\;$» appliquée au centre $\;C\;$ du corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ indéformable.
Conclusion : Le « système des forces pressantes que le fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ à masse volumique $\;\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;$ constante exerce sur le corps sphérique $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ indéformable » est équivalent à une force unique verticale ascendante égale à la résultante de ces forces pressantes $\;{\vec {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}\;$ et appliquée au centre $\;C\;$ du corps sphérique, cette force unique est appelée « poussée d'Archimède » $\;{\big$usuellement notée «$\;{\vec {\Pi }}\;$»${\big )}\;$ et le point d'application $\;C\;$ de cette dernière « centre de poussée » $\;{\big$c'est aussi le C.D.I. du « fluide déplacé »${\big )}$ ;
Conclusion : la norme de la poussée d'Archimède étant égale à celle du poids du « fluide déplacé » nous déduisons, de leur direction et sens respectifs, que « la poussée d'Archimède est égale à l'opposé du poids du fluide déplacé ».

## Généralisation à un « corps de forme quelconque éventuellement déformable » totalement immergé dans un « fluide quelconque » en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme, théorème d’Archimède

Préliminaire : On s'intéresse à un « fluide quelconque » pouvant donc être compressible et hétérogène avec évolution éventuelle globale ou locale de la température des différentes parties le constituant, le corps immergé de forme quelconque pouvant éventuellement être hétérogène et déformable $\;\ldots$

### Théorème d'Archimède

$\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$
$\;{\vec {g}}\;$
$\;{\vec {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}=-m_{{\mathcal {F}}_{\text{déplacé}}}\;{\vec {g}}\;$
$\;m_{{\mathcal {F}}_{\text{déplacé}}}\;$
$\;C$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\vec {\mathcal {M}}}_{C,\,{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}={\vec {0}}\;$
Remarque : Sous cette forme le théorème d'Archimède est applicable même si le « corps considéré est hétérogène et déformable », immergé dans un « fluide compressible et hétérogène » mais, Remarque : dans ce cas, « le système des forces pressantes n'étant pas équivalent à l'ensemble de sa résultante et de son moment vectoriel résultant en un point quelconque », il ne peut se réduire à une force unique égale à la résultante de ces forces pressantes qui serait appliquée en $\;C$ $\;{\big$C.D.I. du fluide déplacé${\big )}\;$ car cette force unique serait incapable d'expliquer une déformation en $\;M$ $\;{\big$point quelconque de la surface $\;\left(S\right)\;$ limitant $\;\left({\mathcal {C}}\right){\big ]}$, laquelle nécessite de connaître la force pressante $\;{\overrightarrow {dF}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}(M)$, c'est-à-dire que la notion de poussée d'Archimède n'a pas de sens ici $\;\ldots$

### Précision sur la notion de « fluide déplacé » (par le corps immergé)

Si le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ totalement immergé dans le fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ est limité par la surface fermée $\;\left(S\right)$, le « fluide déplacé » $\;{\big \$par le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ immergé${\big \}$ est le fluide $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$ que l’on pourrait « fictivement » mettre à la place du corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$, limité par la même surface $\;\left(S\right)\;$ et qui resterait en équilibre avec le reste du fluide, comme le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ l'est.

## En complément, démonstration du théorème d’Archimède
### Principe de solidification

$\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$
Commentaire : Ce principe de solidification s'applique aussi sur la surface $\;\left(S\right)\;$ limitant le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)$, $\;\left(S\right)\;$ devenant, lors de la substitution de $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ par le fluide déplacé $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$, la surface qui sépare ce fluide fictif $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$ du fluide réel $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ présent avant substitution et, Commentaire : comme le fluide réel $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ présent avant substitution reste exactement le même après cette dernière, il est logique d'admettre que le champ de pression y reste également le même, y compris sur la surface $\;\left(S\right)$.

### Centre d'inertie C du « fluide déplacé » (par le corps immergé)

Le fluide déplacé $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$ étant fictif, sa répartition de masse $\;{\big \$dans le cas où le fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ est hétérogène${\big \}$ ne peut être précisée, Le fluide déplacé $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)}\;$ étant fictif, on ne peut alors pas définir son C.D.I. $\;C\;$ par la connaissance de sa répartition de masse, Le fluide déplacé $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)}\;$ étant fictif, il faut donc supposer une répartition de masse du fluide déplacé $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$ qui ne perturbe pas le champ de pression du fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ réel et c'est avec cette répartition de masse supposée de $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)$ $\;{\big$laquelle n'a pas besoin d'être explicitée${\big )}\;$ que l'on peut définir le C.D.I. $\;C\;$ du fluide déplacé $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$ $\;{\big$sans qu'on ait besoin d'effectuer un positionnement de $\;C\;$ à partir de la répartition de masse non précisée de $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right){\big ]}\;$.
En conclusion, nous appellerons « C.D.I. $\;C\;$ du fluide déplacé $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$ le barycentre du système de points $\;\left\lbrace P\,\left[\mu _{{\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}}(P)\right],\,P\in \left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\right\rbrace \;$», «$\;\mu _{{\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}}(P),\;P\in \left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$ étant la masse volumique supposée du fluide déplacé $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$ telle que le champ de pression du fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ réel soit le même qu'en présence de $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$».

### Utilisation des conditions nécessaires d'équilibre du « fluide déplacé » par le corps immergé

A priori, le fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ quelconque étant au repos dans le référentiel d'étude galiléen et y restant quand le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ quelconque y est totalement immergé, il faut supposer que ce dernier est également au repos $\;{\big$sinon le mouvement de $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ dans le fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ créerait vraisemblablement un mouvement de ce dernier, à moins qu'il ne se soit parfait${\big ]}$ ; lorsqu'on effectue l'opération fictive consistant à remplacer le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ par son fluide déplacé $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$, ce dernier est alors naturellement en équilibre avec le reste réel du fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$.

#### Équilibre en translation

Il n’y a que deux répartitions de forces extérieures s’exerçant sur le fluide déplacé $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$ en équilibre avec le reste réel du fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ dans le champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}\;$ uniforme :
* la répartition des forces de pesanteur de résultante « le poids du fluide déplacé $\;m_{{\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}}\;{\vec {g}}\;$» et
* la répartition des forces pressantes exercées par le reste réel du fluide sur la surface $\;\left(S\right)\;$ limitant le fluide déplacé $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$ dont la résultante est «$\;{\vec {R}}_{{\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}=\color {transparent}{\Bigg\!\!\!\color {black}\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \,(S)}{\overrightarrow {dF}}_{{\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}(M)\;$»
d’où une 1ère C.N. d’équilibre du fluide déplacé $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$ plongé dans le reste réel du fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ soumis au champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}\;$ uniforme dans le référentiel galiléen où $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ est au repos
$\;{\vec {R}}_{{\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}+m_{{\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}}\;{\vec {g}}={\vec {0}}\;$
$\Updownarrow$
$\;{\vec {R}}_{{\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}=-m_{{\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}}\;{\vec {g}}\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$

#### Équilibre en rotation

Comme nous l'avons précisé dans le paragraphe précédent, il n’y a que deux répartitions de forces extérieures s’exerçant sur le fluide déplacé $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$ en équilibre avec le reste réel du fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ dans le champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}\;$ uniforme :
* la répartition des forces de pesanteur de vecteur moment résultant en $\;C$, C.D.I. du fluide déplacé $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$, nul «$\;{\vec {\mathcal {M}}}_{C}\!\left[m_{{\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}}\;{\vec {g}}\right]={\vec {0}}\;$» $\;{\big \$les forces de pesanteur s'exerçant sur $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$ étant équivalentes à une force unique égale à leur résultante appliquée au C.D.I. $\;C\;$ de $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right){\big \}$ et
* la répartition des forces pressantes exercées par le reste réel du fluide sur la surface $\;\left(S\right)\;$ limitant le fluide déplacé $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$ dont le vecteur moment résultant en $\;C$, C.D.I. du fluide déplacé $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$, vaut «$\;{\vec {\mathcal {M}}}_{C,\,{\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}=\color {transparent}{\Bigg\!\!\!\color {black}\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \,(S)}{\overrightarrow {CM}}\wedge {\overrightarrow {dF}}_{{\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}(M)\;$»
d’où une 2ème C.N. d’équilibre du fluide déplacé $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$ plongé dans le reste réel du fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ soumis au champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}\;$ uniforme dans le référentiel galiléen où $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ est au repos
$\;{\vec {\mathcal {M}}}_{C,\,{\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}{\cancel {+\;{\vec {\mathcal {M}}}_{C}\!\left[m_{{\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}}\;{\vec {g}}\right]}}={\vec {0}}\;$
$\Updownarrow$
$\;{\vec {\mathcal {M}}}_{C,\,{\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}={\vec {0}}\;\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$

### Application du principe de solidification

D'après le principe de solidification, le champ de pression du fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ à l'extérieur du corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ restant le même quand nous substituons fictivement ce dernier par le fluide déplacé $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$, D'après le principe de solidification nous en déduisons que « les forces pressantes que le fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ exerce sur le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ totalement immergé dans le fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ au repos » sont les mêmes que « celles que le fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ exerce sur le fluide déplacé $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$ » et en particulier D'après le principe de solidification nous en déduisons que elles ont « même résultante » c'est-à-dire «$\;{\vec {R}}_{{\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}={\vec {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}\;$» et D'après le principe de solidification nous en déduisons que elles ont « même moment vectoriel résultant en $\;C\;$ C.D.I. du fluide déplacé $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$ » c'est-à-dire «$\;{\vec {\mathcal {M}}}_{C,\,{\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}={\vec {\mathcal {M}}}_{C,\,{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}\;$» ;
compte-tenu des deux C.N. d’équilibre du fluide déplacé $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$ plongé dans le reste réel du fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ soumis au champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}\;$ uniforme dans le référentiel galiléen où $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ est au repos «$\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$» et «$\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$» nous en déduisons :
* la « résultante des forces pressantes que le fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ exerce sur le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ totalement immergé dans le fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ au repos $\;{\vec {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}=-m_{{\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}}\;{\vec {g}}\;$» C.Q.F.D.P. et
* le « moment résultant vectoriel des forces pressantes que le fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ exerce sur le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ totalement immergé dans le fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ au repos, moment évalué en $\;C\;$ C.D.I. du fluide déplacé $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$ $\;{\vec {\mathcal {M}}}_{C,\,{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}={\vec {0}}\;$» C.Q.F.D.P..

### Extension pratique du domaine d'application du théorème d'Archimède

Nous admettrons que le théorème d’Archimède est encore applicable quand le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)$, totalement immergé dans un fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ au repos dans le champ de pesanteur terrestre uniforme, est en mouvement pourvu que « le mouvement de $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ ne perturbe pas le champ de pression que le fluide exerce sur $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$» $\;{\big \$et ceci est réalisé si la vitesse de déplacement du corps relativement au fluide reste très modérée${\big \}$.

## Cas particulier du théorème d’Archimède appliqué à un corps indéformable, notion de poussée d’Archimède
### Introduction

Si le corps immergé $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ est indéformable ${\big$c'est-à-dire un solide au sens de la mécanique${\big )}$, le mouvement de $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ et par suite son équilibre dans un champ de forces, dépendant uniquement Si le corps immergé $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {C}}\right)}\;$ est indéformable de la résultante du champ de forces et Si le corps immergé $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {C}}\right)}\;$ est indéformable du vecteur moment résultant de ce dernier, nous en déduisons que deux champs de forces de même résultante et même vecteur moment résultant ayant des actions identiques sur le corps immergé $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ indéformable sont équivalents ; Si le corps immergé $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {C}}\right)}\;$ dans le cas présent d'un solide $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ totalement immergé dans un fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ au repos dans le champ de pesanteur terrestre uniforme, le champ des forces de pression du fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ sur le solide $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ ayant Si le corps immergé $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {C}}\right)}\;$ $\succ \;$une résultante «$\;{\vec {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}=-m_{{\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}}\;{\vec {g}}\;$» et Si le corps immergé $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {C}}\right)}\;$ $\succ \;$un vecteur moment résultant nul au C.D.I. $\;C\;$ du fluide déplacé $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$ «$\;{\vec {\mathcal {M}}}_{C,\,{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}={\vec {0}}\;$», Si le corps immergé $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {C}}\right)}\;$ constatant qu'« une force unique appliquée en $\;C\;$ égale à $\;-m_{{\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}}\;{\vec {g}}\;$» a « même résultante et même vecteur moment résultant en $\;C\;$ que le champ des forces de pression du fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ sur le solide $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$», nous en déduisons l'expression du théorème d'Archimède appliqué à un corps indéformable.

### Énoncé du théorème d'Archimède appliqué à un corps indéformable

$\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$
$\;{\vec {g}}\;$
$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {C}}\right)}\;$
$\;{\vec {\Pi }}\;$
$\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$
$\;C\;$
$\;C\;$
$\;{\vec {\Pi }}=-m_{{\mathcal {F}}_{\text{déplacé}}}\;{\vec {g}}\;$
$\;m_{{\mathcal {F}}_{\text{déplacé}}}\;$
$\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$

## « 1ère application du théorème d’Archimède », aérostat
### Définition d’un aérostat

« Un aérostat est un ballon fermé, à enveloppe élastique, rempli d’un gaz moins dense que l'air en équilibre thermodynamique avec l'atmosphère, cette dernière étant globalement immobile dans le référentiel terrestre d'étude » ;
usuellement une nacelle contenant du matériel embarqué pour mesures ou expériences est accroché au ballon ;
nous considérerons le champ de pesanteur terrestre uniforme dans le référentiel terrestre galiléen et nous prendrons le modèle G.P. de l'« atmosphère en équilibre dans le champ de pesanteur uniforme » pour connaître la variation du champ de pression de l'atmosphère avec l'altitude.

### But recherché

Nous nous proposons de trouver la « condition de décollage de l'aérostat » $\;{\big$en termes de quantité de gaz à utiliser compte-tenu de sa nature et de la masse de l'« ensemble “enveloppe élastique - nacelle et matériel embarqué” », dans les conditions locales de pression et température de l'atmosphère${\big ]}\;$ et, une fois ce dernier réussi, Nous nous proposons de voir l'« évolution de son mouvement » $\;{\big$dans le cas d'un aérostat non motorisé encore appelé « ballon »${\big )}$ ainsi que Nous nous proposons de voir l'« évolution de son enveloppe élastique » $\;{\big$dans le cas d'un « ballon »${\big )}\;$ ${\big$en particulier la variation du volume limité par cette dernière avec les conséquences que sa variation éventuelle entraîne${\big ]}$.

### Notion de force ascensionnelle exercée sur l'aérostat à l’altitude z

Dans ce paragraphe nous nous intéressons aux forces appliquées à l'aérostat hors de toutes forces motrices éventuellement utilisées pour engendrer un mouvement horizontal de l'aérostat $\;{\big$c'est-à-dire aux seules forces appliquées sur un aérostat non motorisé encore appelé « ballon »${\big )}$.
La « force ascensionnelle exercée sur l'aérostat à l'altitude $\;z\;$» est la « résultante des forces appliquées sur l'aérostat $\;{\big$non motorisé${\big )}\;$ à cette altitude $\;z\;$», La « force ascension elle est effectivement ascensionnelle si sa projection sur un axe vertical ascendant est positive ;
le bilan des forces appliquées sur l'aérostat $\;{\big$non motorisé${\big )}\;$ est, avec choix d'un vecteur unitaire vertical ascendant $\;{\vec {u}}_{z}\;$ lié au référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen et, le bilan des forces appliquées sur l'aérostat $\;\color {transparent}{\big$non motorisé$\color {transparent}{\big )}\;$ est, dans l'hypothèse où l'aérostat n'est pas en mouvement ou, le bilan des forces appliquées sur l'aérostat $\;\color {transparent}{\big$non motorisé$\color {transparent}{\big )}\;$ est, dans l'hypothèse où l'aérostat n'est pas en mouvement vertical à faible vitesse $\Rightarrow$ la force de résistance à l'avancement négligée dans le bilan de forces :
* le poids de l’enveloppe, de la nacelle et du matériel embarqué «$\;m_{\,{\text{bal}}}\;{\vec {g}}=-m_{\,{\text{bal}}}\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$»,
* le poids du gaz contenu dans l'enveloppe élastique «$\;m_{\,{\text{gaz}}}\;{\vec {g}}=-m_{\,{\text{gaz}}}\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$» et
* la résultante des forces pressantes que l'atmosphère exerce sur l'aérostat «$\;{\vec {\Pi }}(z)=m_{\,{\text{atm}}_{\,{\text{bal}}}}(z)\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$» $\;{\big$seule force ascendante${\big )}$, dans laquelle $\;m_{\,{\text{atm}}_{\,{\text{bal}}}}(z)\;$ est la masse d'atmosphère déplacée $\;{\big$par l'aérostat${\big )}\;$ ;
la force ascensionnelle exercée sur l'aérostat s'écrit donc «$\;{\vec {F}}=m_{\,{\text{bal}}}\;{\vec {g}}+m_{\,{\text{gaz}}}\;{\vec {g}}+{\vec {\Pi }}(z)=\left[m_{\,{\text{atm}}_{\,{\text{bal}}}}(z)-m_{\,{\text{bal}}}-m_{\,{\text{gaz}}}\right]\,g\;{\vec {u}}_{z}\;$».
Détermination de la masse d'atmosphère déplacée $\;{\big$par l'aérostat${\big )}\;$ : notant $\;M_{\text{air}}\;$ la masse molaire moyenne de l'air, $\;z\;$ l'altitude du C.D.I. $\;C\;$ de l'atmosphère déplacée $\;{\big$par l'aérostat${\big )}\;$, $\;V(z)\;$ le volume de l'aérostat, $\;p_{\text{moy}}(z)\;$ la pression moyenne de l'atmosphère et $\;T(z)\;$ la température de l'atmosphère, ces trois dernières grandeurs étant définies à l'altitude $\;z$, Détermination de la masse d'atmosphère déplacée $\;\color {transparent}{\big$par l'aérostat$\color {transparent}{\big )}\;$ : nous déduisons, du modèle G.P. adopté pour l'atmosphère et de la forme globale de l'équation d'état de ce modèle, la quantité d'atmosphère déplacée $\;{\big$par l'aérostat${\big )}\;$ à l'altitude $\;z\;$ «$\;n_{\,{\text{atm}}_{\,{\text{bal}}}}(z)={\dfrac {p_{\text{moy}}(z)\;V(z)}{R\;T(z)}}\;$» dans laquelle «$\;R\;$ est la constante molaire des G.P. » et par suite, Détermination de la masse d'atmosphère déplacée $\;\color {transparent}{\big$par l'aérostat$\color {transparent}{\big )}\;$ : nous déduisons, la masse d'atmosphère déplacée $\;{\big$par l'aérostat${\big )}\;$ «$\;m_{\,{\text{atm}}_{\,{\text{bal}}}}(z)=M_{\text{air}}\;n_{\,{\text{atm}}_{\,{\text{bal}}}}(z)=M_{\text{air}}\;{\dfrac {p_{\text{moy}}(z)\;V(z)}{R\;T(z)}}\;$».
Lien entre la masse de gaz et les trois grandeurs thermodynamiques locales $\;{\big$pression moyenne, température et volume de gaz${\big )}$ : notant $\;M_{\text{gaz}}\;$ la masse molaire du gaz, le volume de gaz $\;{\big$très légèrement inférieur au volume de l'aérostat mais confondu avec ce dernier${\big )}\;$ vaut $\;V(z)$, l'équilibre thermodynamique entre l'aérostat et l'atmosphère de contact ayant pour conséquences que $\;p_{\text{moy}}(z)\;$ est aussi la pression moyenne du gaz et $\;T(z)\;$ assimilé à la température du gaz, ces trois dernières grandeurs étant définies à l'altitude $\;z$, Lien entre la masse de gaz et les trois grandeurs thermodynamiques locales $\;\color {transparent}{\big$pression moyenne, température et volume de gaz$\color {transparent}{\big )}\;$ : nous déduisons, du modèle G.P. adopté pour le gaz et de la forme globale de l'équation d'état de ce modèle, la quantité de gaz embarquée $\;{\big$celle-ci étant constante${\big )}\;$ «$\;n_{\,{\text{gaz}}}={\dfrac {p_{\text{moy}}(z)\;V(z)}{R\;T(z)}}\;$» dans laquelle «$\;R\;$ est la constante molaire des G.P. » et par suite, Lien entre la masse de gaz et les trois grandeurs thermodynamiques locales $\;\color {transparent}{\big$pression moyenne, température et volume de gaz$\color {transparent}{\big )}\;$ : nous déduisons, la masse de gaz embarquée $\;{\big$également constante${\big )}\;$ «$\;m_{\,{\text{gaz}}}=$ $M_{\text{gaz}}\;n_{\,{\text{gaz}}}=M_{\text{gaz}}\;{\dfrac {p_{\text{moy}}(z)\;V(z)}{R\;T(z)}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {p_{\text{moy}}(z)\;V(z)}{R\;T(z)}}={\dfrac {m_{\,{\text{gaz}}}}{M_{\text{gaz}}}}=cste\;$».
Masse d'atmosphère déplacée $\;{\big$par l'aérostat${\big )}\;$ en fonction de la masse de gaz : reportant «$\;{\dfrac {p_{\text{moy}}(z)\;V(z)}{R\;T(z)}}={\dfrac {m_{\,{\text{gaz}}}}{M_{\text{gaz}}}}\;$» dans «$\;m_{\,{\text{atm}}_{\,{\text{bal}}}}(z)=M_{\text{air}}\;{\dfrac {p_{\text{moy}}(z)\;V(z)}{R\;T(z)}}\;$» nous obtenons
$\;m_{\,{\text{atm}}_{\,{\text{bal}}}}(z)=m_{\,{\text{gaz}}}\;{\dfrac {M_{\text{air}}}{M_{\text{gaz}}}}\;$
Finalement la force ascensionnelle exercée sur l'aérostat à l'altitude $\;z\;$ se réécrivant selon
$\;{\vec {F}}=m_{\,{\text{bal}}}\;{\vec {g}}+m_{\,{\text{gaz}}}\;{\vec {g}}+{\vec {\Pi }}(z)=\left[m_{\,{\text{gaz}}}\left({\dfrac {M_{\text{air}}}{M_{\text{gaz}}}}-1\right)-m_{\,{\text{bal}}}\right]\,g\;{\vec {u}}_{z}\;$
Finalement la force ascensionnelle est constante $\;{\big$indépendante de l'altitude $\;z{\big )}\;$ et Finalement la force ascensionnelle est effectivement ascensionnelle si la masse de gaz est suffisante par rapport à celle de l'« ensemble “enveloppe élastique - nacelle et matériel embarqué” ».

### Condition de décollage

Pour que l'aérostat décolle quand les amarres sont larguées, il faut que « la force ascensionnelle $\;{\vec {F}}\;$ soit réellement dans le sens des altitudes $\;\nearrow \;$ au niveau du sol » c'est-à-dire «$\;{\vec {F}}(0)\cdot {\vec {u}}_{z}\geqslant 0\;$» ou
$\;m_{\,{\text{gaz}}}\left({\dfrac {M_{\text{air}}}{M_{\text{gaz}}}}-1\right)\geqslant m_{\,{\text{bal}}}\;$
$\Leftrightarrow$
$\;m_{\,{\text{gaz}}}\geqslant {\dfrac {m_{\,{\text{bal}}}}{{\dfrac {M_{\text{air}}}{M_{\text{gaz}}}}-1}}\;$
Numériquement, avec une masse de l'« ensemble “enveloppe élastique - nacelle et matériel embarqué” » $\;m_{\,{\text{bal}}}=100\;kg$, Numériquement, avec une masse molaire moyenne de l'atmosphère $\;M_{\text{air}}\simeq 29\;g\cdot mol^{-1}$, Numériquement, avec l'utilisation d'hélium $\;{\text{He}}_{\,2}\;$ comme gaz moins dense que l'air $\Rightarrow$ une masse molaire de gaz $\;M_{\text{gaz}}\simeq 4,0\;g\cdot mol^{-1}$, Numériquement, la masse de gaz à stocker initialement est «$\;m_{\,{\text{gaz}}}\geqslant {\dfrac {100}{{\dfrac {29}{4,0}}-1}}\simeq 16\;kg\;$» $\;{\Bigg$l'emploi du gaz le moins dense $\;{\big$à savoir le dihydrogène $\;{\text{H}}_{\,2}\;$ de masse molaire $\;M_{\text{gaz}}\simeq 2,0\;g\cdot mol^{-1}{\big )}\;$ conduirait à une masse minimale de gaz plus faible $\;{\Bigg\!$avec le dihydrogène on trouverait «$\;m_{\,{\text{gaz}}}\geqslant {\dfrac {100}{{\dfrac {29}{2,0}}-1}}\simeq 7,4\;kg\;$»$\!{\Bigg )}$ mais son emploi s'étant soldé par des accidents suffisamment spectaculaires dont celui du zeppelin LZ 129 Hindenburg le $\;6\;$ mai $\;1937\;$ lors de son atterrissage à Lakehurst dans le New Jersey aux États-Unis d'Amérique du Nord, il fut prohibé par la suite${\Bigg ]}$ ;
au niveau du sol, la pression étant «$\;p_{0}=1\;bar=10^{5}\;Pa\;$» et la température «$\;T_{0}=293\;K\;$», la constante molaire des G.P. valant $\;R\simeq 8,314\;J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}$, au niveau du sol, le volume limité par l’enveloppe du ballon doit être «$\;V_{0}={\dfrac {m_{\,{\text{gaz}}}}{M_{\text{gaz}}}}\;{\dfrac {R\;T_{0}}{p_{0}}}\simeq {\dfrac {16}{4\;10^{-3}}}\times {\dfrac {8,314\times 293}{10^{5}}}\simeq 97,4\;m^{3}\;$» dont nous en déduisons au niveau du sol, le rayon du ballon limité par l'enveloppe élastique $\;{\big$au niveau du sol${\big )}\;$ «$\;R_{{\text{bal}},\,0}={\sqrt[{3}]{\dfrac {3\;V_{0}}{4\;\pi }}}\;$» soit «$\;R_{{\text{bal}},\,0}\simeq {\sqrt[{3}]{\dfrac {3\times 97,4}{4\;\pi }}}\simeq 2,85\;m\;$» correspondant à au niveau du sol, un diamètre de «$\;5,7\;m\;$» $\;{\big$au niveau du sol${\big )}$ $\;{\bigg \$avec l'emploi de dihydrogène la masse de gaz à utiliser serait «$\;7,4\;kg\;$», son volume au niveau du sol «$\;\simeq {\dfrac {7,4}{2\;10^{-3}}}\times {\dfrac {8,314\times 293}{10^{5}}}$ $\simeq 90,1\;m^{3}\;$» et le diamètre du ballon «$\;\simeq 2\times {\sqrt[{3}]{\dfrac {3\times 90,1}{4\;\pi }}}\simeq 5,6\;m\;$»${\bigg \}$.

### Mouvement ascendant de l'aérostat et son évolution

L'aérostat $\;{\big$non motorisé${\big )}\;$ étant soumis à une force ascensionnelle constante, on pourrait s'attendre à une accélération constante, mais il faut tenir compte de la résistance de l'air $\;{\big$verticale descendante dans la mesure où le mouvement est vertical ascendant${\big )}\;$ «$\;{\overrightarrow {\mathcal {R}}}_{\text{air}}=-{\mathcal {R}}_{\text{air}}\!\left[V_{z}(z)\right]\,{\vec {u}}_{z}\;$» dans laquelle $\;V_{z}(z)\;$ est la vitesse de l'aérostat à l'altitude $\;z\;$ et $\;{\mathcal {R}}_{\text{air}}\!\left[V_{z}(z)\right]\;$ une fonction $\;\nearrow \;$ de $\;V_{z}\;$, l'application du théorème du mouvement du C.D.I. à l'aérostat $\;{\big$non motorisé${\big )}\;$ conduisant à l'accélération de ce dernier le long de l'axe vertical ascendant «$\;a_{z}(z)={\dfrac {{\vec {F}}\cdot {\vec {u}}_{z}-{\mathcal {R}}_{\text{air}}\!\left[V_{z}(z)\right]}{m_{\text{bal}}+m_{\,{\text{gaz}}}}}\;$» soit encore «$\;a_{z}(z)=$ ${\dfrac {m_{\,{\text{gaz}}}\left({\dfrac {M_{\text{air}}}{M_{\text{gaz}}}}-1\right)-m_{\,{\text{bal}}}}{m_{\text{bal}}+m_{\,{\text{gaz}}}}}\;g-{\dfrac {{\mathcal {R}}_{\text{air}}\!\left[V_{z}(z)\right]}{m_{\text{bal}}+m_{\,{\text{gaz}}}}}\;$» qui est $\;\searrow \;$ tant que $\;a_{z}\;$ est $\;>0\;$ entraînant une $\;\nearrow \;$ de $\;V_{z}$, la diminution de l’accélération étant d’autant plus rapide que la vitesse est grande $\;{\big \$nous supposons que le mouvement de l'aérostat, même rapide, ne perturbe pas de façon importante l'expression de la résultante des forces pressantes de l'atmosphère c'est-à-dire que le théorème d'Archimède reste applicable${\big \}$ ;
quand la force ascensionnelle est compensée par la résistance de l’air, le ballon continue son ascension à vitesse constante $\;{\big \$c’est la vitesse limite introduite dans le paragraphe « existence d'une vitesse limite de chute du parachutiste pratiquement accessible » du chap.$11$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », cette notion étant indépendante du sens du mouvement du corps${\big \}$.
Dans l'hypothèse simplificatrice où il y a un équilibre thermique entre le gaz contenu dans l'aérostat et l'atmosphère environnant, le volume de gaz à l'altitude $\;z\;$ s'obtenant par utilisation de la forme globale de l'équation d'état du gaz dans laquelle la quantité de gaz vaut $\;n_{\,{\text{gaz}}}={\dfrac {m_{\,{\text{gaz}}}}{M_{\text{gaz}}}}\;$ s'écrit «$\;V(z)={\dfrac {m_{\,{\text{gaz}}}}{M_{\text{gaz}}}}\;{\dfrac {R\;T(z)}{p_{\text{moy}}(z)}}\;$» et par suite $\;\nearrow \;$ avec l'altitude $\;z\;$ en effet :
* si le modèle de l’atmosphère isotherme a été choisi, la pression moyenne de l'atmosphère à l'altitude $\;z\;$ c'est-à-dire $\;p_{\text{moy}}(z)\searrow \;$ quand $\;z\nearrow \;$ et
* si le modèle de l'atmosphère à gradient de température constant $\;{\big$à raison d’une $\;\searrow \;$ de température de $\;6,5\;K\;$ par $\;km{\big )}\;$ a été choisi, la pression moyenne de l'atmosphère à l'altitude $\;z\;$ s’écrit «$\;p_{\text{moy}}(z)=$ $p_{\text{moy}}(0)\,\left[{\dfrac {T(z)}{T_{0}}}\right]^{\,{\frac {M_{\text{air}}\;g}{R\;a}}}$» avec $\;a\simeq 6,5\;K\cdot km^{-1}\;$ ou «$\;p_{\text{moy}}(z)=p_{\text{moy}}(0)\,\left[{\dfrac {T(z)}{T_{0}}}\right]^{k}\;$» avec $\;k\simeq 5,26\;$ ${\big$voir le paragraphe « évaluation du champ de pression (dans le modèle de l'atmosphère à gradient de température constant) » du chap.$2$ de la leçon « Statique des fluides (PCSI) »${\big ]}\;$ soit, sachant que «$\;T(z)=T_{0}\,\left[{\dfrac {T(z)}{T_{0}}}\right]\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {T(z)}{p_{\text{moy}}(z)}}={\dfrac {T_{0}}{p_{\text{moy}}(0)}}\,\left[{\dfrac {T(z)}{T_{0}}}\right]^{(1-k)}\;$» soit finalement «$\;V(z)={\dfrac {m_{\,{\text{gaz}}}}{M_{\text{gaz}}}}\;{\dfrac {R\;T_{0}}{p_{\text{moy}}(0)}}\;\left[{\dfrac {T_{0}}{T(z)}}\right]^{(k-1)}\;$» avec $\;{\dfrac {T_{0}}{T(z)}}={\dfrac {T_{0}}{T_{0}-a\;z}}>1\;$ et $\;k-1\simeq 4,26\;$ d'où «$\;V(z)\;$ fonction $\;\nearrow \;$ de l'altitude $\;z\;$» ;
dans les modèles d'atmosphère envisagés ci-dessus avec condition simplificatrice d'équilibre thermique entre le gaz contenu dans l'aérostat et l'atmosphère environnant, dans les modèles d'atmosphère envisagés ci-dessus la $\;\nearrow \;$ du volume de gaz avec l'altitude $\;z\;$ s'accompagnant d'un accroissement de la tension de l'enveloppe élastique, dans les modèles d'atmosphère envisagés ci-dessus on en déduit la sortie de l'enveloppe de son domaine d'élasticité, la poursuite de son gonflement irréversible et l'entrée dans son domaine de rupture d'où dans les modèles d'atmosphère envisagés ci-dessus on en déduit l'explosion de l'aérostat à une altitude dépendant essentiellement des qualités de résistance à la rupture de l'enveloppe élastique

## « 2ème application du théorème d’Archimède », montgolfière
### Définition d’une montgolfière

« Une montgolfière est un ballon ouvert, de volume intérieur constant, rempli d’air chauffé par un brûleur en équilibre mécanique $\;{\big$mais non thermique${\big )}\;$ avec l’atmosphère, cette dernière étant globalement immobile dans le référentiel terrestre d'étude » ;
une nacelle contenant du matériel embarqué pour mesures ou expériences et au moins un humain pour piloter la montgolfière est accroché au ballon ;
nous considérerons le champ de pesanteur terrestre uniforme dans le référentiel terrestre galiléen et nous prendrons le modèle G.P. de l'« atmosphère en équilibre dans le champ de pesanteur uniforme » pour connaître la variation du champ de pression de l'atmosphère avec l'altitude.

### But recherché

Nous nous proposons de trouver la « condition de décollage de la montgolfière » $\;{\big$en termes de différentiel de température à imposer à l'air stagnant dans le ballon ouvert relativement à l'air extérieur pour une masse de l'« ensemble “ballon ouvert - nacelle - matériel et humains embarqués” », dans les conditions locales de pression et température de l'atmosphère${\big ]}\;$ et, une fois ce dernier réussi, Nous nous proposons de voir « comment adapter le différentiel de température à imposer à l'air stagnant dans le ballon ouvert relativement à l'air extérieur compte-tenu de l’évolution souhaitée du mouvement de la montgolfière ».

### Notion de force ascensionnelle exercée sur la montgolfière à l’altitude z

La « force ascensionnelle exercée sur la montgolfière à l'altitude $\;z\;$» est la « résultante des forces qui lui sont appliquées à cette altitude $\;z\;$», La « force ascension elle est effectivement ascensionnelle si sa projection sur un axe vertical ascendant est positive ;
le bilan des forces appliquées sur la montgolfière est, avec choix d'un vecteur unitaire vertical ascendant $\;{\vec {u}}_{z}\;$ lié au référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen et, le bilan des forces appliquées sur la montgolfière est, dans l'hypothèse où la montgolfière n'est pas en mouvement ou, le bilan des forces appliquées sur la montgolfière est, dans l'hypothèse où la montgolfière n'est pas en mouvement vertical à faible vitesse $\Rightarrow$ la force de résistance à l'avancement négligée dans le bilan de forces :
* le poids du ballon ouvert, de la nacelle, du matériel et des humains embarqués «$\;m_{\,{\text{bal}}}\;{\vec {g}}=-m_{\,{\text{bal}}}\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$»,
* le poids de l'air intérieur au ballon ouvert «$\;m_{\,{\text{air int}}}(z)\;{\vec {g}}=-m_{\,{\text{air int}}}(z)\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$» et
* la résultante des forces pressantes que l'atmosphère exerce sur la montgolfière «$\;{\vec {\Pi }}(z)=m_{\,{\text{atm}}_{\,{\text{bal}}}}(z)\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$» $\;{\big$seule force ascendante${\big )}$, dans laquelle $\;m_{\,{\text{atm}}_{\,{\text{bal}}}}(z)\;$ est la masse d'atmosphère déplacée $\;{\big$par la montgolfière${\big )}\;$ ;
la force ascensionnelle exercée sur la montgolfière s'écrit donc «$\;{\vec {F}}(z)=m_{\,{\text{bal}}}\;{\vec {g}}+m_{\,{\text{air int}}}(z)\;{\vec {g}}+{\vec {\Pi }}(z)=\left[m_{\,{\text{atm}}_{\,{\text{bal}}}}(z)-m_{\,{\text{bal}}}-m_{\,{\text{air int}}}(z)\right]\,g\;{\vec {u}}_{z}\;$».
Détermination de la masse d'atmosphère déplacée $\;{\big$par la montgolfière${\big )}\;$ : notant $\;M_{\text{air}}\;$ la masse molaire moyenne de l'air, $\;z\;$ l'altitude du C.D.I. $\;C\;$ de l'atmosphère déplacée $\;{\big$par la montgolfière${\big )}\;$, $\;V\;$ le volume de la montgolfière, $\;p_{\text{moy}}(z)\;$ la pression moyenne de l'atmosphère et $\;T_{\text{atm}}(z)\;$ la température de l'atmosphère, ces deux dernières grandeurs étant définies à l'altitude $\;z$, Détermination de la masse d'atmosphère déplacée $\;\color {transparent}{\big$par la montgolfière$\color {transparent}{\big )}\;$ : nous déduisons, du modèle G.P. adopté pour l'atmosphère et de la forme globale de l'équation d'état de ce modèle, la quantité d'atmosphère déplacée $\;{\big$par la montgolfière${\big )}\;$ à l'altitude $\;z\;$ «$\;n_{\,{\text{atm}}_{\,{\text{bal}}}}(z)={\dfrac {p_{\text{moy}}(z)\;V}{R\;T_{\text{atm}}(z)}}\;$» dans laquelle «$\;R\;$ est la constante molaire des G.P. » et par suite, Détermination de la masse d'atmosphère déplacée $\;\color {transparent}{\big$par la montgolfière$\color {transparent}{\big )}\;$ : nous déduisons, la masse d'atmosphère déplacée $\;{\big$par la montgolfière${\big )}\;$ «$\;m_{\,{\text{atm}}_{\,{\text{bal}}}}(z)=M_{\text{air}}\;n_{\,{\text{atm}}_{\,{\text{bal}}}}(z)=$ $M_{\text{air}}\;{\dfrac {p_{\text{moy}}(z)\;V}{R\;T_{\text{atm}}(z)}}\;$».
Lien entre la masse d'air intérieur au ballon ouvert et les deux grandeurs thermodynamiques locales $\;{\big$pression moyenne, température d'air${\big )}$ : notant $\;M_{\text{air}}\;$ la masse molaire moyenne de l'air, le volume d'air $\;{\big$très légèrement inférieur au volume de la montgolfière mais confondu avec ce dernier${\big )}\;$ vaut $\;V$, l'équilibre mécanique entre l'air du ballon ouvert et l'atmosphère de contact ayant pour conséquence que $\;p_{\text{moy}}(z)\;$ est aussi la pression moyenne de l'air contenu dans le ballon ouvert, $\;T_{\text{air int}}(z)\;$ étant la température de l'air contenu dans le ballon ouvert $\;{\big$celle-ci étant supposée uniforme dans le ballon${\big )}$, ces deux dernières grandeurs étant définies à l'altitude $\;z$, Lien entre la masse d'air intérieur au ballon ouvert et les deux grandeurs thermodynamiques locales $\;\color {transparent}{\big$pression moyenne, température d'air$\color {transparent}{\big )}\;$ : nous déduisons, du modèle G.P. adopté pour l'air intérieur au ballon ouvert et de la forme globale de l'équation d'état de ce modèle, la quantité d'air contenu dans le ballon ouvert à l'altitude $\;z\;$ «$\;n_{\,{\text{air int}}}(z)={\dfrac {p_{\text{moy}}(z)\;V}{R\;T_{\text{air int}}(z)}}\;$» dans laquelle «$\;R\;$ est la constante molaire des G.P. » et par suite, Lien entre la masse d'air intérieur au ballon ouvert et les deux grandeurs thermodynamiques locales $\;\color {transparent}{\big$pression moyenne, température d'air$\color {transparent}{\big )}\;$ : nous déduisons, la masse d'air contenu dans le ballon ouvert à l'altitude $\;z\;$ «$\;m_{\,{\text{air int}}}(z)=M_{\text{air}}\;n_{\,{\text{air int}}}(z)=M_{\text{air}}\;{\dfrac {p_{\text{moy}}(z)\;V}{R\;T_{\text{air int}}(z)}}\;$» $\;{\Bigg \$laquelle est $\;<\;$ à la masse d'atmosphère déplacée $\;{\big$par la montgolfière${\big )}$ $\;m_{\,{\text{atm}}_{\,{\text{bal}}}}(z)$, puisque $\;T_{\text{air int}}(z)\;$ est $\;>\;$ à la température locale de l'atmosphère $\;T_{\text{atm}}(z)$, plus exactement $\;m_{\,{\text{air int}}}(z)=m_{\,{\text{atm}}_{\,{\text{bal}}}}(z)\;{\dfrac {T_{\text{atm}}(z)}{T_{\text{air int}}(z)}}{\Bigg \}$.
Finalement la force ascensionnelle exercée sur la montgolfière à l'altitude $\;z\;$ se réécrivant selon
$\;{\vec {F}}(z)=m_{\,{\text{bal}}}\;{\vec {g}}+m_{\,{\text{air int}}}(z)\;{\vec {g}}+{\vec {\Pi }}(z)=\left\lbrace {\dfrac {M_{\text{air}}}{R}}\;p_{\text{moy}}(z)\;V\left[{\dfrac {1}{T_{\text{atm}}(z)}}-{\dfrac {1}{T_{\text{air int}}(z)}}\right]-m_{\,{\text{bal}}}\right\rbrace \,g\;{\vec {u}}_{z}\;$
$\;\color {transparent}{{\vec {F}}(z)=m_{\,{\text{bal}}}\;{\vec {g}}+m_{\,{\text{air int}}}(z)\;{\vec {g}}+{\vec {\Pi }}(z)}\;$
$=\left[{\dfrac {M_{\text{air}}}{R}}\;p_{\text{moy}}(z)\;V\;{\dfrac {T_{\text{air int}}(z)-T_{\text{atm}}(z)}{T_{\text{atm}}(z)\;T_{\text{air int}}(z)}}-m_{\,{\text{bal}}}\right]\,g\;{\vec {u}}_{z}\;$
Finalement la force ascensionnelle est effectivement ascensionnelle $\;{\big$mais visiblement non constante${\big )}\;$ sous deux C.N. Finalement la force ascensionnelle est effectivement ascensionnelle un volume intérieur au ballon ouvert suffisant relativement à la masse de l'« ensemble “ballon ouvert - nacelle - matériel et humains embarqués” » dans les conditions atmosphériques de l'altitude $\;z\;$ c'est-à-dire «$\;M_{\text{air}}\;{\dfrac {p_{\text{moy}}(z)\;V}{R\;T_{\text{atm}}(z)}}>m_{\,{\text{bal}}}\;$» et Finalement la force ascensionnelle est effectivement ascensionnelle une température de l'air contenu dans le ballon ouvert suffisante relativement à la masse de l'« ensemble “ballon ouvert - nacelle - matériel et humains embarqués” » dans les conditions atmosphériques de l'altitude $\;z\;$ c'est-à-dire «$\;M_{\text{air}}\;{\dfrac {p_{\text{moy}}(z)\;V}{R\;T_{\text{atm}}(z)}}-M_{\text{air}}\;{\dfrac {p_{\text{moy}}(z)\;V}{R\;T_{\text{air int}}(z)}}\nless m_{\,{\text{bal}}}\;$».

### Condition de décollage

Pour que la montgolfière décolle quand les amarres sont larguées, il faut que « la force ascensionnelle $\;{\vec {F}}(z)\;$ soit réellement dans le sens des altitudes $\;\nearrow \;$ au niveau du sol » c'est-à-dire «$\;{\vec {F}}(0)\cdot {\vec {u}}_{z}\geqslant 0\;$» ce qui donne les conditions équivalentes suivantes
$\;{\dfrac {M_{\text{air}}}{R}}\;p_{\text{moy}}(0)\;V\left[{\dfrac {1}{T_{\text{atm}}(0)}}-{\dfrac {1}{T_{\text{air int}}(0)}}\right]\geqslant m_{\,{\text{bal}}}\;$
$\Leftrightarrow$
$\;{\dfrac {1}{T_{\text{atm}}(0)}}-{\dfrac {1}{T_{\text{air int}}(0)}}\geqslant {\dfrac {m_{\,{\text{bal}}}}{{\dfrac {M_{\text{air}}}{R}}\;p_{\text{moy}}(0)\;V}}\;$
$\;{\dfrac {1}{T_{\text{air int}}(0)}}\leqslant {\dfrac {1}{T_{\text{atm}}(0)}}\left[1-{\dfrac {m_{\,{\text{bal}}}}{M_{\text{air}}\;{\dfrac {p_{\text{moy}}(0)\;V}{R\;T_{\text{atm}}(0)}}}}\right]\;$
$\Leftrightarrow$
$\;T_{\text{air int}}(0)\geqslant {\dfrac {T_{\text{atm}}(0)}{1-{\dfrac {m_{\,{\text{bal}}}}{M_{\text{air}}}}\;{\dfrac {R\;T_{\text{atm}}(0)}{p_{\text{moy}}(0)\;V}}}}\;$
Commentaire sur la condition de décollage au niveau du sol : remarquant que «$\;{\dfrac {p_{\text{moy}}(0)\;V}{R\;T_{\text{atm}}(0)}}\;$ est la quantité d'air stagnant dans le ballon ouvert de la montgolfière à la température de l’air extérieur » et par suite que «$\;{M_{\text{air}}}\;{\dfrac {p_{\text{moy}}(0)\;V}{R\;T_{\text{atm}}(0)}}\;$ est la masse d'air stagnant dans le ballon ouvert de la montgolfière avant chauffage notée $\;m_{{\text{air int}},\,T_{\text{atm}}(0)}\;$», la condition de décollage de la montgolfière au niveau du sol nécessite que l'air stagnant dans le ballon ouvert de la montgolfière soit porté à une température «$\;T_{\text{air int}}(0)\geqslant {\dfrac {T_{\text{atm}}(0)}{1-{\dfrac {m_{\,{\text{bal}}}}{m_{{\text{air int}},\,T_{\text{atm}}(0)}}}}}\;$» ; Commentaire sur la condition de décollage au niveau du sol : cette dernière formulation de la condition de décollage montre que la masse d'air introduite dans le ballon ouvert doit être, avant chauffage, plus grande que la masse de l'« ensemble “ballon ouvert - nacelle - matériel et humains embarqués” » $\;{\big$de façon à ce que le dénominateur du 2ème membre soit $\;>0{\big )}\;$ mais aussi Commentaire sur la condition de décollage au niveau du sol : cette dernière formulation de la condition de décollage montre que la température minimale de chauffage de l'air initialement introduit dans le ballon ouvert sera d’autant moins élevée que le rapport $\;{\dfrac {m_{{\text{air int}},\,T_{\text{atm}}(0)}}{m_{\,{\text{bal}}}}}\;$ sera grand $\;{\big$plus ce rapport est grand, plus le dénominateur du 2ème membre de la dernière formulation de la condition de décollage de la montgolfière au niveau du sol est grand${\big )}$.
Numériquement, avec une masse de l'« ensemble “ballon ouvert - nacelle - matériel et humains embarqués” » $\;m_{\,{\text{bal}}}=500\;kg$, Numériquement, avec une masse molaire moyenne de l'atmosphère $\;M_{\text{air}}\simeq 29\;g\cdot mol^{-1}$, la constante molaire des G.P. valant $\;R\simeq 8,314\;J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}$, Numériquement, avec des conditions locales d'atmosphère au niveau du sol correspondant à une température «$\;T_{\text{atm}}(0)\simeq 293\;K\;$» et une pression moyenne «$\;p_{\text{moy}}(0)\simeq 1,0\;bar=10^{5}\;Pa\;$», Numériquement, souhaitant porter la température de l'air initialement introduit dans le ballon ouvert quand ce dernier est au niveau du sol à la valeur «$\;T_{\text{air int}}(0)\simeq 1000\;K\;$»$^,$, nous en déduisons
Numériquement, la condition sur la « masse d'air contenu dans le ballon ouvert avant chauffage $\;m_{{\text{air int}},\,T_{\text{atm}}(0)}\;$» par «$\;T_{\text{air int}}(0)\geqslant {\dfrac {T_{\text{atm}}(0)}{1-{\dfrac {m_{\,{\text{bal}}}}{m_{{\text{air int}},\,T_{\text{atm}}(0)}}}}}\;$» $\Leftrightarrow$ $\;1-{\dfrac {m_{\,{\text{bal}}}}{m_{{\text{air int}},\,T_{\text{atm}}(0)}}}\geqslant {\dfrac {T_{\text{atm}}(0)}{T_{\text{air int}}(0)}}\;$ ou encore $\;{\dfrac {m_{\,{\text{bal}}}}{m_{{\text{air int}},\,T_{\text{atm}}(0)}}}\leqslant 1-{\dfrac {T_{\text{atm}}(0)}{T_{\text{air int}}(0)}}\;$ $\Leftrightarrow$ «$\;{\dfrac {m_{{\text{air int}},\,T_{\text{atm}}(0)}}{m_{\,{\text{bal}}}}}\geqslant {\dfrac {T_{\text{air int}}(0)}{T_{\text{air int}}(0)-T_{\text{atm}}(0)}}\simeq {\dfrac {1000}{1000-293}}\simeq 1,41\;$» soit «$\;m_{{\text{air int}},\,T_{\text{atm}}(0)}\geqslant 1,414\;m_{\,{\text{bal}}}\simeq 707\;kg\;$» correspondant à Numériquement, la « quantité d'air contenu dans le ballon ouvert avant chauffage $\;n_{{\text{air int}},\,T_{\text{atm}}(0)}={\dfrac {m_{{\text{air int}},\,T_{\text{atm}}(0)}}{M_{\text{air}}}}\;$» soit «$\;n_{{\text{air int}},\,T_{\text{atm}}(0)}\geqslant {\dfrac {707}{29\;10^{-3}}}\simeq 24,38\;10^{3}\;mol\simeq 24,4\;kmol\;$» dont nous tirons, par utilisation de l'équation d'état d'un G.P. sous sa forme globale, Numériquement, le « volume d'air contenu dans le ballon ouvert dans les conditions atmosphériques locales au niveau du sol $\;V={\dfrac {n_{{\text{air int}},\,T_{\text{atm}}(0)}\;R\;T_{\text{atm}}(0)}{p_{\text{moy}}(0)}}\;$» soit «$\;V\geqslant {\dfrac {24,38\;10^{3}\times 8,314\times 293}{1,0\;10^{5}}}\;$ $\simeq 594\;m^{3}\;$» ce qui donne, pour contenance du ballon ouvert, la valeur minimale de «$\;V_{\text{min}}\simeq 594\;m^{3}\;$» c'est-à-dire, avec l'hypothèse d'une forme sphérique pour l'enveloppe du ballon ouvert, Numériquement, un rayon minimal du ballon ouvert valant «$\;R_{{\text{bal}}\,{\text{min}}}={\sqrt[{3}]{\dfrac {3\;V_{\text{min}}}{4\;\pi }}}\simeq {\sqrt[{3}]{\dfrac {3\times 594}{4\;\pi }}}\simeq 5,21\;m\;$» soit un « diamètre minimal de $\;10,4\;m\;$».

### Mouvement ascendant de la montgolfière et son évolution

Après le largage des amarres retenant la montgolfière au sol, la force ascensionnelle «$\;{\vec {F}}(z)=\left\lbrace {\dfrac {M_{\text{air}}}{R}}\;p_{\text{moy}}(z)\;V\left[{\dfrac {1}{T_{\text{atm}}(z)}}-{\dfrac {1}{T_{\text{air int}}(z)}}\right]-m_{\,{\text{bal}}}\right\rbrace \,g\;{\vec {u}}_{z}\;$» initialement dans le sens des $\;z\nearrow \;$ dans la mesure où la condition de décollage est réalisée $\Rightarrow$ une accélération initiale ascendante de la montgolfière et par suite un mouvement vertical ascendant à vitesse initialement $\;\nearrow$ $\;\ldots$
$\;\succ \;$Dans une 1ère étude simplifiée dans laquelle est faite l'hypothèse que «$\;{\dfrac {1}{T_{\text{atm}}(z)}}-{\dfrac {1}{T_{\text{air int}}(z)}}\;$ est maintenu constant quand $\;z\nearrow \;$», nous constatons que la « composante verticale dans le sens des $\;z\nearrow \;$ de la force ascensionnelle $\;F={\vec {F}}\cdot {\vec {u}}_{z}\searrow \;$ quand $\;z\nearrow \;$» et ceci tant que l'hypothèse «$\;{\dfrac {1}{T_{\text{atm}}(z)}}-{\dfrac {1}{T_{\text{air int}}(z)}}\;$ est maintenu constant », $\;\color {transparent}{\succ }\;$Dans une 1ère étude simplifiée dans laquelle est faite l'hypothèse que «$\;\color {transparent}{{\dfrac {1}{T_{\text{atm}}(z)}}-{\dfrac {1}{T_{\text{air int}}(z)}}}\;$ est maintenu constant quand $\;\color {transparent}{z\nearrow }\;$», «$\;F\;$ cessant de $\;\searrow \;$ quand sa valeur devient nulle dont la conséquence est que la montgolfière atteint un plafond ».
$\;\succ \;$Dans une 2nde étude avec «$\;{\dfrac {1}{T_{\text{atm}}(z)}}-{\dfrac {1}{T_{\text{air int}}(z)}}\;$ non maintenu constant quand $\;z\nearrow \;$», la « variation, quand $\;z\nearrow$, de la composante verticale ascendante de la force ascensionnelle $\;F={\vec {F}}\cdot {\vec {u}}_{z}\;$ ne peut pas être déterminée sans autre hypothèse » car, si la pression moyenne atmosphérique $\;p_{\text{moy}}(z)\searrow \;$ quand $\;z\nearrow$, la variation de l'autre facteur $\;{\dfrac {1}{T_{\text{atm}}(z)}}-{\dfrac {1}{T_{\text{air int}}(z)}}\;$ n'est pas a priori connu ; $\;\color {transparent}{\succ }\;$Dans une 2nde étude avec «$\;\color {transparent}{{\dfrac {1}{T_{\text{atm}}(z)}}-{\dfrac {1}{T_{\text{air int}}(z)}}}\;$ non maintenu constant quand $\;\color {transparent}{z\nearrow }\;$», $\blacktriangleright \;$« si $\;{\dfrac {1}{T_{\text{atm}}(z)}}-{\dfrac {1}{T_{\text{air int}}(z)}}\searrow \;$ quand $\;z\nearrow \;$», la « composante verticale, dans le sens des $\;z\nearrow$, de la force ascensionnelle $\;F={\vec {F}}\cdot {\vec {u}}_{z}\searrow \;$» ce qui, si la $\;\searrow \;$ perdure, conduira à sa nullité temporaire et par suite à un « plafond temporaire pour la montgolfière », $\;\color {transparent}{\succ }\;$Dans une 2nde étude avec «$\;\color {transparent}{{\dfrac {1}{T_{\text{atm}}(z)}}-{\dfrac {1}{T_{\text{air int}}(z)}}}\;$ non maintenu constant quand $\;\color {transparent}{z\nearrow }\;$», $\blacktriangleright \;$« si $\;{\dfrac {1}{T_{\text{atm}}(z)}}-{\dfrac {1}{T_{\text{air int}}(z)}}\;$ est approximativement constant ou $\;\nearrow \;$ quand $\;z\nearrow \;$», la « composante verticale, dans le sens des $\;z\nearrow$, de la force ascensionnelle $\;F={\vec {F}}\cdot {\vec {u}}_{z}\searrow \;$» est néanmoins, vraisemblablement, $\;\searrow \;$ ce qui, dans le cas où la $\;\searrow \;$ conjecturée perdure, conduira à sa nullité temporaire et par suite à un « plafond temporaire pour la montgolfière » $\;\ldots$
En conclusion, dans le cadre d'une étude simplifiée ou un peu plus élaborée et, en absence de réchauffage ou de ventilation de l'air contenu dans le ballon ouvert, la « composante verticale, dans le sens des $\;z\nearrow$, de la force ascensionnelle $\;F={\vec {F}}\cdot {\vec {u}}_{z}\;$ étant approximativement $\;\searrow \;$ quand $\;z\nearrow \;$ à partir d'une valeur initialement $\;>0\;$ ${\big$condition pour que la montgolfière décolle${\big )}\;$ s'annule », ce qui conduit à un « plafond temporaire pour la montgolfière » $\;\ldots$

### Pilotage de la montgolfière

Le pilote de la montgolfière pouvant inverser $\;{\big$en quelques secondes${\big )}\;$ le sens de variation de la force ascensionnelle «$\;{\vec {F}}(z)=\left\lbrace {\dfrac {M_{\text{air}}}{R}}\;p_{\text{moy}}(z)\;V\left[{\dfrac {1}{T_{\text{atm}}(z)}}-{\dfrac {1}{T_{\text{air int}}(z)}}\right]-m_{\,{\text{bal}}}\right\rbrace \,g\;{\vec {u}}_{z}\;$» exercée sur la montgolfière en modifiant la « température de l'air $\;T_{\text{air int}}\;$ contenu dans le ballon ouvert », nous en déduisons, pour un pilote qualifié et en absence de mouvements notables d'air dans l'atmosphère, une certaine précision dans un vol de montgolfière :
* si le pilote ayant atteint un niveau d'altitude $\;z_{0}\;{\big$c'est-à-dire un plafond temporaire${\big )}\;$ souhaite rester à ce niveau, il doit régulièrement chauffer l’air intérieur pour maintenir la température $\;T_{\text{air int}}(z_{0})\;$ et ainsi conserver la nullité de la force ascensionnelle $\;{\vec {F}}(z_{0})$,
* si le pilote ayant atteint un niveau d'altitude $\;\color {transparent}{z_{0}\;{\big}$c'est-à-dire un plafond temporaire$\color {transparent}{\big )}\;$ souhaite reprendre l’ascension de la montgolfière, il doit au contraire maintenir le chauffage de l'air intérieur pour que la température de ce dernier $\;T_{\text{air int}}\nearrow \;$ $\Rightarrow$ la force ascensionnelle est de nouveau dans le sens des $\;z\nearrow \;$ $\Rightarrow$ une remontée de la montgolfière jusqu'à un niveau plus élevé d'altitude $\;{z'}_{\!0}>z_{0}\;{\big$c'est-à-dire un nouveau plafond temporaire à une altitude plus élevée${\big )}$ $\;{\big$l'ascension de la montgolfière entraînant une $\;\searrow \;$ de $\;F={\vec {F}}\cdot {\vec {u}}_{z}\;$ jusqu'à la nullité de cette dernière $\;{\big$voir la conclusion du paragraphe « mouvement ascendant de la montgolfière et son évolution » plus haut dans ce chapitre${\big )}{\big ]}$,
* si le pilote ayant atteint un niveau d'altitude $\;\color {transparent}{z_{0}\;{\big}$c'est-à-dire un plafond temporaire$\color {transparent}{\big )}\;$ souhaite redescendre, il « ventile » l’intérieur du ballon ouvert de la montgolfière pour faire $\;\searrow \;$ la température de l'air intérieur $\;T_{\text{air int}}\;$ plus rapidement que par simple échange thermique avec l’extérieur $\Rightarrow$ la force ascensionnelle passe dans le sens des $\;z\searrow \;$ ${\big$c'est-à-dire devient « descensionnelle »${\big )}\;$ $\Rightarrow$ une descente de la montgolfière jusqu'à un niveau moins élevé d'altitude $\;{z''}_{\!\!0}<z_{0}\;{\big$c'est-à-dire un nouveau plafond temporaire à une altitude moins élevée${\big )}$ $\;{\big$la descente de la montgolfière entraînant une $\;\nearrow \;$ de $\;F={\vec {F}}\cdot {\vec {u}}_{z}\;$ jusqu'à la nullité de cette dernière $\;{\big$voir la conclusion du paragraphe « mouvement ascendant de la montgolfière et son évolution » plus haut dans ce chapitre${\big )}$, il s'agit d'ailleurs de la méthode utilisée pour réaliser un atterrissage${\big ]}$.

## « 3ème application du théorème d’Archimède », stabilité de la flottaison des navires
### Exposé du problème

Un navire, a priori indéformable, pouvant être considéré totalement immergé dans deux fluides différents « l'air et l'eau » supposés au repos dans le référentiel terrestre, Un navire, a priori indéformable, il est possible de lui appliquer la forme réservée aux corps indéformables du théorème d'Archimède$^,$ explicitant que le « système des forces pressantes » est équivalent à une « force unique appelée poussée d'Archimède » égale à l’opposé du poids de « fluides déplacés »$^,$ appliquée au « centre d'inertie de ces derniers appelé centre de poussée ».
Expression de la poussée d'Archimède : la poussée d'Archimède exercée sur le navire étant l'opposée du poids des fluides déplacés$^,$ c'est-à-dire l'opposée de la somme du poids d'eau et de celui d'air respectivement déplacés$^,$ mais « ce dernier étant de norme négligeable par rapport à celle du 1er », nous en déduisons que Expression de la poussée d'Archimède : la poussée d'Archimède exercée sur le navire s'exprime, de façon approchée, par l'opposé du poids d'eau déplacé soit, avec $\;\mu _{\,{\text{eau}}}\;$ la masse volumique de l'eau et $\;{\mathcal {V}}_{\text{eau dépl}}\;$ le volume de la partie de navire au-dessous de la surface de flottaison, l'expression approchée suivante de la poussée d'Archimède exercée sur le navire
$\;{\vec {\Pi }}\simeq -\mu _{\,{\text{eau}}}\;{\mathcal {V}}_{\text{eau dépl}}\;{\vec {g}}=\mu _{\,{\text{eau}}}\;{\mathcal {V}}_{\text{eau dépl}}\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$
$\;{\vec {u}}_{z}\;$
Positionnement du centre de poussée : le centre de poussée étant le C.D.I. des fluides déplacés$^,$ c'est-à-dire le barycentre du C.D.I. de l'eau et de celui de l'air respectivement déplacés$^,$ affectés de leur masse mais « celle de ce dernier étant de valeur négligeable par rapport à celle du 1er », nous en déduisons que Positionnement du centre de poussée : le centre de poussée se réduit pratiquement au C.D.I. de l'eau déplacée soit, avec $\;\Omega _{\text{eau dépl}}\;$ l'expansion tridimensionnelle de l'eau déplacée $\;{\big$ou de la partie de navire sous la surface de flottaison${\big )}\;$ et $\;O\;$ un point fixe de cette dernière, l'expression approchée du positionnement du centre de poussée $\;C$,
$\;{\overrightarrow {OC}}\simeq \displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\Omega _{\text{eau dépl}}}\mu _{\,{\text{eau}}}\;d{\mathcal {V}}_{\text{eau dépl}}\;{\overrightarrow {OM}}\;$
. Dans ce qui suit, nous nous limitons à l'étude de l'équilibre du navire relativement à l'eau supposée au repos dans le référentiel terrestre galiléen.

### Étude de la stabilité par rapport aux translations verticales

Le navire est en équilibre quand la poussée d’Archimède «$\;{\vec {\Pi }}\simeq \mu _{\,{\text{eau}}}\;{\mathcal {V}}_{\text{eau dépl}}\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$» compense le poids du navire «$\;m_{\,{\text{nav}}}\;{\vec {g}}=-m_{\,{\text{nav}}}\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$», Le navire est en équilibre la C.N. d'équilibre en translation se réécrivant «$\;\mu _{\,{\text{eau}}}\;{\mathcal {V}}_{{\text{eau dépl}},\,{\text{éq}}}\simeq m_{\,{\text{nav}}}\;$» définit le volume d'eau déplacée à l'équilibre $\;{\mathcal {V}}_{{\text{eau dépl}},\,{\text{éq}}}\;$ et par suite Le navire est en équilibre la C.N. d'équilibre en translation se réécrivant «$\;\color {transparent}{\mu _{\,{\text{eau}}}\;{\mathcal {V}}_{{\text{eau dépl}},\,{\text{éq}}}\simeq m_{\,{\text{nav}}}}\;$» définit la surface de flottaison $\;{\big$quand celle-ci existe${\big )}$ :
Le navire est en équilibre $\succ \;$si une perturbation extérieure $\;{\big$de très faible durée${\big )}\;$ crée une pénétration plus importante du navire dans l'eau ${\Big$c'est-à-dire si le « volume d'eau déplacée $\;{\mathcal {V}}_{\text{eau dépl}}\;$ est $\;>\;$ au volume d'eau déplacée à l'équilibre $\;{\mathcal {V}}_{{\text{eau dépl}},\,{\text{éq}}}\;$»${\Big ]}$, « la composante sur l'axe vertical ascendant de la poussée d’Archimède $\;{\vec {\Pi }}\cdot {\vec {u}}_{z}\simeq \mu _{\,{\text{eau}}}\;{\mathcal {V}}_{\text{eau dépl}}\;g\;$ est $\;>\;$ à celle de la poussée d’Archimède à l'équilibre $\;{\vec {\Pi }}_{\text{éq}}\cdot {\vec {u}}_{z}\simeq \mu _{\,{\text{eau}}}\;{\mathcal {V}}_{{\text{eau dépl}},\,{\text{éq}}}\;g\;$» alors que « celle du poids du navire $\;m_{\,{\text{nav}}}\;{\vec {g}}\cdot {\vec {u}}_{z}=-m_{\,{\text{nav}}}\;g\;$ reste constante », nous en déduisons que Le navire est en équilibre $\color {transparent}{\succ }\;$si une perturbation extérieure $\;\color {transparent}{\big$de très faible durée$\color {transparent}{\big )}\;$ crée une pénétration plus importante du navire dans l'eau « la composante sur l'axe vertical ascendant de la résultante des forces s'exerçant sur le navire après perturbation est $\;\mu _{\,{\text{eau}}}\;{\mathcal {V}}_{\text{eau dépl}}\;g-m_{\,{\text{nav}}}\;g>0\;$» entraînant un déplacement spontané du navire vers le haut c'est-à-dire « un retour vers la position d’équilibre »,
Le navire est en équilibre $\succ \;$si une perturbation extérieure $\;{\big$de très faible durée${\big )}\;$ crée une élévation du navire dans l'eau ${\Big$c'est-à-dire si le « volume d'eau déplacée $\;{\mathcal {V}}_{\text{eau dépl}}\;$ est $\;<\;$ au volume d'eau déplacée à l'équilibre $\;{\mathcal {V}}_{{\text{eau dépl}},\,{\text{éq}}}\;$»${\Big ]}$, « la composante sur l'axe vertical ascendant de la poussée d’Archimède $\;{\vec {\Pi }}\cdot {\vec {u}}_{z}\simeq \mu _{\,{\text{eau}}}\;{\mathcal {V}}_{\text{eau dépl}}\;g\;$ est $\;<\;$ à celle de la poussée d’Archimède à l'équilibre $\;{\vec {\Pi }}_{\text{éq}}\cdot {\vec {u}}_{z}\simeq \mu _{\,{\text{eau}}}\;{\mathcal {V}}_{{\text{eau dépl}},\,{\text{éq}}}\;g\;$» alors que « celle du poids du navire $\;m_{\,{\text{nav}}}\;{\vec {g}}\cdot {\vec {u}}_{z}=-m_{\,{\text{nav}}}\;g\;$ reste constante », nous en déduisons que Le navire est en équilibre $\color {transparent}{\succ }\;$si une perturbation extérieure $\;\color {transparent}{\big$de très faible durée$\color {transparent}{\big )}\;$ crée une élévation du navire dans l'eau « la composante sur l'axe vertical ascendant de la résultante des forces s'exerçant sur le navire après perturbation est $\;\mu _{\,{\text{eau}}}\;{\mathcal {V}}_{\text{eau dépl}}\;g-m_{\,{\text{nav}}}\;g<0\;$» entraînant un déplacement spontané du navire vers le bas c'est-à-dire « un retour vers la position d’équilibre ».

### Condition nécessaire sur les places respectives du centre de poussée et du centre de d’inertie du navire pour une stabilité vis-à-vis des rotations (roulis et tangage)

À l'équilibre, le navire n'est soumis qu'à deux forces extérieures verticales « la poussée d'Archimède $\;{\vec {\Pi }}\;$ et le poids du navire $\;m_{\,{\text{nav}}}\;{\vec {g}}\;$», À l'équilibre, de la C.N. d'équilibre en rotation nous déduisons que le centre de poussée $\;C\;$ ${\big$point d'application de la poussée d'Archimède${\big )}\;$ et le C.D.I. du navire $\;G\;$ ${\big$point d'application du poids du navire${\big )}\;$ doivent être sur la même verticale de façon à ce que la somme des moments vectoriels du poids et de la poussée d’Archimède relativement à $\;G\;$ soit nul, en effet À l'équilibre, de la C.N. d'équilibre en rotation «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{G}(m_{\,{\text{nav}}}\;{\vec {g}})+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{G}({\vec {\Pi }})={\vec {0}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\cancel {{\overrightarrow {GG}}\wedge m_{\,{\text{nav}}}\;{\vec {g}}\;+}}\;{\overrightarrow {GC}}\wedge {\vec {\Pi }}={\vec {0}}\;$» ce qui est réalisé si «$\;{\overrightarrow {GC}}\;$ a même direction que $\;{\vec {\Pi }}\;$» c'est-à-dire verticale.
À l'équilibre, Cette C.N. d'équilibre en rotation nous donne trois cas de figures : «$\;C\;$ et $\;G\;$ confondus », À l'équilibre, Cette C.N. d'équilibre en rotation nous donne trois cas de figures : «$\;C\;$ sur la verticale de $\;G\;$ au-dessus de ce dernier » et À l'équilibre, Cette C.N. d'équilibre en rotation nous donne trois cas de figures : «$\;C\;$ sur la verticale de $\;G\;$ au-dessous de ce dernier » :
À l'équilibre, Cette C.N. d'équilibre en rotation $\succ \;$«$\;C\;$ et $\;G\;$ confondus », équilibre en rotation indifférent, évidemment à rejeter pour un navire $\;\ldots$
Stabilité ou instabilité de l'équilibre d'un navire relativement au roulis :
$\,\succ \;$«$\;C\;$ sur la verticale de $\;G\;$ au-dessus de ce dernier » $\;{\big$voir schéma d'équilibre ci-contre à gauche${\big )}$ :
$\,\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{C}\;$ sur la verticale de $\;\color {transparent}{G}\;$ au-dessus de ce dernier » si une perturbation extérieure écarte le navire de cette position d’équilibre d’un « petit angle $\;\alpha ={\widehat {\left({\overrightarrow {Gz}}\,,\,{\overrightarrow {GC}}\right)}}>0\;$» dans un plan $\;\perp \;$ à la « direction poupe - proue » $\;{\big$voir schéma ci-contre à droite dans lequel nous supposons que le navire est géométriquement symétrique par rapport au plan contenant l'« axe poupe - proue » et $\;\perp \;$ au pont supérieur $\Rightarrow$ l'invariance du volume d'eau déplacée dans la mesure où le centre de poussée $\;C\;$ demeure au même niveau par rapport à la surface de flottaison et par suite l'invariance de la norme de la poussée d'Archimède restant égale à $\;\Pi _{\text{éq}}{\big )}$, la somme $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G}\;$ des moments vectoriels du poids et de la poussée d’Archimède relativement à $\;G\;$ s'écrivant «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{G}(m_{\,{\text{nav}}}\;{\vec {g}})+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{G}({\vec {\Pi }}_{\text{éq}})={\cancel {{\overrightarrow {GG}}\wedge m_{\,{\text{nav}}}\;{\vec {g}}\;+}}\;{\overrightarrow {GC}}\wedge {\vec {\Pi }}_{\text{éq}}\;$» est de sens tel que le navire revient spontanément à sa position d'équilibre $\;{\Big$avec $\;\alpha >0\;$ sur le schéma de droite, le moment vectoriel résultant dynamique $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G}\;$ tend à faire tourner le navire autour de $\;G\;$ dans le sens «$\;-\;$» d'après le théorème du moment cinétique vectoriel relativement au C.D.I. $\;G\;$${\Big )}\;$ d'où équilibre stable en roulis ; À l'équilibre, Cette C.N. d'équilibre en rotation $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{C}\;$ sur la verticale de $\;\color {transparent}{G}\;$ au-dessus de ce dernier » remarque : nous admettons que la stabilité de l'équilibre en roulis du navire reste valable en pratique même si ce dernier n'est pas géométriquement symétrique par rapport au plan contenant l'« axe poupe - proue » et $\;\perp \;$ au pont supérieur du navire mais À l'équilibre, Cette C.N. d'équilibre en rotation $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{C}\;$ sur la verticale de $\;\color {transparent}{G}\;$ au-dessus de ce dernier » remarque : nous admettons dans ce cas, avec une perturbation extérieure écartant le navire de la position d’équilibre d’un « petit angle $\;\alpha ={\widehat {\left({\overrightarrow {Gz}}\,,\,{\overrightarrow {GC}}\right)}}>0\;$» dans un plan $\;\perp \;$ à la « direction poupe - proue », le volume d'eau déplacée fluctuant $\;{\big$par rapport à sa valeur d'équilibre${\big )}$, que le centre de poussée $\;C\;$ reste ou non au même niveau par rapport à la surface de flottaison, il en est de même de la norme de la poussée d'Archimède $\;{\Big \Vert }{\vec {\Pi }}{\Big \Vert }\;$ ${\Big$par rapport à sa valeur d'équilibre $\;{\Big \Vert }{\vec {\Pi }}_{\text{éq}}{\Big \Vert }{\Big )}\;$ À l'équilibre, Cette C.N. d'équilibre en rotation $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{C}\;$ sur la verticale de $\;\color {transparent}{G}\;$ au-dessus de ce dernier » remarque : nous admettons dans ce cas, $\Rightarrow$ l'existence d'une résultante dynamique tendant à ramener le navire à sa position d'équilibre en translation ainsi qu'à celle d'un moment vectoriel résultant dynamique par rapport à $\;G\;$ tendant à ramener le navire à sa position d'équilibre en roulis $\;\ldots$
$\,\succ \;$«$\;C\;$ sur la verticale de $\;G\;$ au-dessous de ce dernier » $\;{\big$voir schéma d'équilibre ci-contre à gauche${\big )}$ :
$\,\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{C}\;$ sur la verticale de $\;\color {transparent}{G}\;$ au-dessous de ce dernier » si une perturbation extérieure écarte le navire de cette position d’équilibre d’un « petit angle $\;\alpha ={\widehat {\left({\overrightarrow {Gz}}\,,\,{\overrightarrow {GC}}\right)}}>0\;$» dans un plan $\;\perp \;$ à la « direction poupe - proue » $\;{\big$voir schéma ci-contre à droite dans lequel nous supposons que le navire est géométriquement symétrique par rapport au plan contenant l'« axe poupe - proue » et $\;\perp \;$ au pont supérieur $\Rightarrow$ l'invariance du volume d'eau déplacée dans la mesure où le centre de poussée $\;C\;$ demeure au même niveau par rapport à la surface de flottaison et par suite l'invariance de la norme de la poussée d'Archimède restant égale à $\;\Pi _{\text{éq}}{\big )}$, la somme $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G}\;$ des moments vectoriels du poids et de la poussée d’Archimède relativement à $\;G\;$ s'écrivant «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G}$ $={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{G}(m_{\,{\text{nav}}}\;{\vec {g}})+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{G}({\vec {\Pi }}_{\text{éq}})={\cancel {{\overrightarrow {GG}}\wedge m_{\,{\text{nav}}}\;{\vec {g}}\;+}}\;{\overrightarrow {GC}}\wedge {\vec {\Pi }}_{\text{éq}}\;$» est de sens tel que le navire s'éloigne spontanément de sa position d'équilibre $\;{\Big$avec $\;\alpha >0\;$ sur le schéma de droite, le moment vectoriel résultant dynamique $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G}\;$ tend à faire tourner le navire autour de $\;G\;$ dans le sens «$\;+\;$» d'après le théorème du moment cinétique vectoriel relativement au C.D.I. $\;G\;$${\Big )}\;$ d'où équilibre instable en roulis ; À l'équilibre, Cette C.N. d'équilibre en rotation $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{C}\;$ sur la verticale de $\;\color {transparent}{G}\;$ au-dessous de ce dernier » remarque : nous admettons que l'instabilité de l'équilibre en roulis du navire reste valable en pratique même si ce dernier n'est pas géométriquement symétrique par rapport au plan contenant l'« axe poupe - proue » et $\;\perp \;$ au pont supérieur du navire mais À l'équilibre, Cette C.N. d'équilibre en rotation $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{C}\;$ sur la verticale de $\;\color {transparent}{G}\;$ au-dessous de ce dernier » remarque : nous admettons dans ce cas, avec une perturbation extérieure écartant le navire de la position d’équilibre d’un « petit angle $\;\alpha ={\widehat {\left({\overrightarrow {Gz}}\,,\,{\overrightarrow {GC}}\right)}}>0\;$» dans un plan $\;\perp \;$ à la « direction poupe - proue », le volume d'eau déplacée fluctuant $\;{\big$par rapport à sa valeur d'équilibre${\big )}$, que le centre de poussée $\;C\;$ reste ou non au même niveau par rapport à la surface de flottaison, il en est de même de la norme de la poussée d'Archimède $\;{\Big \Vert }{\vec {\Pi }}{\Big \Vert }\;$ ${\Big$par rapport à sa valeur d'équilibre $\;{\Big \Vert }{\vec {\Pi }}_{\text{éq}}{\Big \Vert }{\Big )}\;$ À l'équilibre, Cette C.N. d'équilibre en rotation $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{C}\;$ sur la verticale de $\;\color {transparent}{G}\;$ au-dessous de ce dernier » remarque : nous admettons dans ce cas, $\Rightarrow$ l'existence d'une résultante dynamique qui tendrait à ramener le navire à sa position d'équilibre en translation mais surtout à celle d'un moment vectoriel résultant dynamique par rapport à $\;G\;$ tendant à éloigner le navire de sa position d'équilibre en roulis et par suite à un retournement du navire $\;\ldots$
Stabilité ou instabilité de l'équilibre d'un navire relativement au tangage : tout ce qui a été exposé $\;{\big$ou presque${\big )}\;$ sur la stabilité $\;{\big$ou l'instabilité${\big )}\;$ de l'équilibre d'un navire relativement au roulis peut être répété pour l'étude de l'équilibre d'un navire relativement au tangage $\;{\bigg \$toutefois il n'y a usuellement pas symétrie géométrique du navire par rapport au plan contenant l'« axe babord - tribord passant par $\;G\;$» et $\;\perp \;$ au pont supérieur, et par suite,
avec une perturbation extérieure écartant le navire de la position d’équilibre d’un « petit angle $\;\beta ={\widehat {\left({\overrightarrow {GC_{\text{éq}}}}\,,\,{\overrightarrow {GC}}\right)}}>0\;$» dans le plan vertical contenant l'« axe poupe - proue », le volume d'eau déplacée fluctue $\;{\big$par rapport à sa valeur d'équilibre${\big )}$, que le centre de poussée $\;C\;$ reste ou non au même niveau par rapport à la surface de flottaison et il en est de même de la norme de la poussée d'Archimède $\;{\Big \Vert }{\vec {\Pi }}{\Big \Vert }\;$ ${\Big$par rapport à sa valeur d'équilibre $\;{\Big \Vert }{\vec {\Pi }}_{\text{éq}}{\Big \Vert }{\Big )}$, il conviendrait donc de calquer le raisonnement sur la remarque faite dans chaque cas «$\;C\;$ sur la verticale de $\;G\;$ au-dessus de ce dernier » et «$\;C\;$ sur la verticale de $\;G\;$ au-dessous de ce dernier » mais nous admettrons le résultat${\bigg \}$ : Stabilité ou instabilité de l'équilibre d'un navire relativement au tangage : en conclusion «$\;C\;$ sur la verticale de $\;G\;$ au-dessus de ce dernier » : équilibre stable en tangage $\;{\big$et en translation${\big )}$, Stabilité ou instabilité de l'équilibre d'un navire relativement au tangage : en conclusion «$\;C\;$ sur la verticale de $\;G\;$ au-dessous de ce dernier » : équilibre instable en tangage $\;{\big$et bien qu'il soit stable en translation, cette stabilité ne peut pas être observée à cause du retournement du navire${\big )}$.
Remarque : lors de la construction d'un navire et pour que le centre de poussée $\;C\;$ soit à un niveau au-dessus du C.D.I. $\;G\;$ du navire, on procède à un alourdissement de la quille de ce dernier de façon à ce que $\;G\;$ soit nettement déplacé vers le bas, ce qui permet d'assurer une stabilité de l'équilibre en roulis $\;{\big$ainsi qu'en tangage${\big )}$, et si ces stabilités sont déjà réalisées, d'améliorer ces dernières $\;\ldots$