# Mécanique 1 (PCSI)/Mouvement de particules chargées dans des champs électrique et magnétique : Cas particulier d'un champ magnétostatique uniforme

$\;{\big$
${\big )}\;$

## Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétostatique uniforme, particule entrant perpendiculairement au champ, mise en équation par application de la r.f.d.n. en repérage de Frenet : mouvement plan, uniforme, circulaire, rayon de la trajectoire et période de rotation
### Exposé du problème : mouvement d’une particule chargée entrant dans un espace champ magnétostatique uniforme avec une « vitesse initiale perpendiculaire à ce champ »

Une particule chargée $\;M\left(q\right)$, de masse $\;m$, entre dans un espace champ magnétostatique uniforme de vecteur champ «$\;{\vec {B}}\;$» en la position $\;M_{0}\;$ choisie comme origine $\;O\;$ du repérage intrinsèque avec un vecteur vitesse initiale «$\;{\vec {V}}_{0}\;$ $\perp \;$ à $\;{\vec {B}}\;$» ;
nous nous proposons de déterminer le mouvement ultérieur de la particule dans le référentiel lié à l’espace champ magnétique $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ supposé galiléen quand elle n’est soumise qu’à la seule force magnétique de Lorentz «$\;{\vec {F}}_{\text{mag. de Lor}}(M)=q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\;$», $\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$ étant le vecteur vitesse de la particule à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}$ $\;{\big$en effet, même dans le cas où l'expérience se passe sur Terre, l'influence du poids de la particule peut toujours être négligée devant celle de la force magnétique de Lorentz $\;{\big$y compris quand cette dernière est nulle, donc sans action sur le mouvement de la particule, son poids n'ayant dans la pratique aucune influence car de norme excessivement petite${\big )}{\big ]}$ ;
nous choisissons une base cartésienne orthonormée directe $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ associée au référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ orienté à droite telle que
* $\;{\vec {u}}_{z}\;$ est colinéaire et de même sens que $\;{\vec {B}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {B}}=B\;{\vec {u}}_{z}\;$ avec $\;B=\Vert {\vec {B}}\Vert$,
* $\;{\vec {u}}_{x}\;$ est colinéaire et de même sens que $\;{\vec {V}}_{0}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {V}}_{0}=V_{0}\;{\vec {u}}_{x}\;$ avec $\;V_{0}=\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert \;$ et
* $\;{\vec {u}}_{y}={\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{x}$.

### Mise en équation par application de la r.f.d.n. en repérage intrinsèque dans le référentiel d’étude galiléen

L’application de la r.f.d.n. dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ galiléen à la particule chargée $\;M\left(q\right)\;$ soumise à la seule force magnétique de Lorentz «$\;{\vec {F}}_{\text{mag. de Lor}}(M)=q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\;$», $\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$ étant le vecteur vitesse de la particule à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}$, soit «$\;{\vec {F}}_{\text{mag. de Lor}}(M)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$», conduit, sachant que le vecteur accélération de la particule à l'instant $\;t$, $\;{\vec {a}}_{M}(t)$, est la dérivée temporelle de son vecteur vitesse au même instant $\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{\!M}}{dt}}(t)$, à l’équation différentielle vectorielle du 1er ordre en $\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$
$\;q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}=m\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{\!M}}{dt}}(t)\;:\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$

### Conséquence de « la vitesse initiale perpendiculaire au champ magnétostatique » : nature plane du mouvement

Sachant que tout produit vectoriel non nul de deux vecteurs est $\;\perp \;$ à chacun de ses vecteurs, nous en déduisons que $\;q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\;$ est $\;\perp \;$ à $\;{\vec {B}}\;$ donc à $\;{\vec {u}}_{z}\;$ vecteur unitaire colinéaire à $\;{\vec {B}}\;$ et projetant l'équation différentielle $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ sur $\;{\vec {u}}_{z}\;$ nous obtenons «$\;0=m\;{\dfrac {dV_{z,\,M}}{dt}}(t)\;$» $\Rightarrow$ $\;V_{z,\,M}(t)=cste\;$ et la C.I. $\;{\vec {V}}_{0}\perp {\vec {B}}\;$ imposant «$\;V_{0,\,z}=0\;$» $\Rightarrow$ $\;cste=0\;$ soit «$\;V_{z,\,M}(t)=0\;\;\forall \;t\;$» et projetant l'équation différentielle ( a ) sur uz nous obtenons «$\;0=V_{z,\,M}(t)={\dfrac {dz_{M}}{dt}}(t)\;$» $\Rightarrow$ $\;z_{M}(t)=cste'\;$ et la C.I. $\;M_{0}\;$ en $\;O\;$ imposant «$\;z_{0}=0\;$» $\Rightarrow$ $\;cste'=0\;$ soit «$\;z_{M}(t)=0\;\;\forall \;t\;$».
En conclusion, le mouvement de la particule $\;M\;$ pénétrant dans l'espace champ magnétostatique uniforme avec un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{0}\;\perp \;$ à $\;{\vec {B}}\;$ est, dans le cas où la seule force s'exerçant sur $\;M\;$ est la force magnétique de Lorentz, plan, le plan du mouvement étant $\;\perp \;$ à $\;{\vec {B}}\;$ passant par la position initiale $\;M_{0}\;$ de la particule.

### Conséquence de « la force magnétique de Lorentz, seule force exercée » (ou de la projection de la r.f.d.n. sur le vecteur unitaire tangentiel de Frenet) : nature uniforme du mouvement

La force magnétique de Lorentz ne développant aucune puissance en étant la seule force appliquée à la particule, l’énergie cinétique de cette dernière reste constante par application du théorème de la puissance cinétique et par suite la norme de sa vitesse aussi soit «$\;\Vert {\vec {V}}_{\!M}(t)\Vert =cste\;$», la constante se déterminant par C.I. «$\;\Vert {\vec {V}}_{\!M}(0)\Vert =\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert =V_{0}\;$» d’où «$\;\Vert {\vec {V}}_{\!M}(t)\Vert =V_{0}\;\;\forall \;t\;$» c'est-à-dire un mouvement uniforme de la particule ;
nous pouvions aussi projeter l'équation différentielle «$\;q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}=m\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{\!M}}{dt}}(t)\;:\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$» sur $\;{\vec {\tau }}_{M}$, le vecteur unitaire tangentiel de la base locale de Frenet$^,$, en utilisant nous pouvions aussi d'une part que $\;q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\;$ étant $\;\perp \;$ à $\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$ donc à $\;{\vec {\tau }}_{M}\;$ sa projection sur $\;{\vec {\tau }}_{M}\;$ est nulle et nous pouvions aussi d'autre part que $\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{\!M}}{dt}}(t)\;$ étant $\;={\vec {a}}_{M}(t)\;$ sa projection sur $\;{\vec {\tau }}_{M}\;$ définit l'accélération tangentielle de la particule $\;a_{\tau ,\,M}(t)={\dfrac {dv_{M}}{dt}}(t)\;$ avec $\;v_{M}(t)\;$ la vitesse instantanée de la particule $\;v_{M}(t)={\vec {V}}_{\!M}(t)\cdot {\vec {\tau }}_{M}\;$,
ce qui donnait «$\;0=m\;{\dfrac {dv_{M}}{dt}}(t)\;$» $\Rightarrow$ $\;v_{M}(t)=cste\;$ et la C.I. $\;v_{M}(0)=\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert =V_{0}$ $\;{\big$dans la mesure où $\;{\vec {\tau }}_{M_{0}}\;$ est choisi dans le sens de $\;{\vec {V}}_{0}{\big )}\;$ $\Rightarrow$ $\;cste=V_{0}\;$ soit «$\;v_{M}(t)=V_{0}\;\;\forall \;t\;$» ou encore «$\;v_{M}(t)=v_{0}\;\;\forall \;t\;$» en notant $\;v_{0}\;$ la vitesse instantanée initiale de la particule $\;{\big$égale à $\;V_{0}\;$ dans la mesure où $\;{\vec {\tau }}_{M_{0}}\;$ est choisi dans le sens de $\;{\vec {V}}_{0}{\big )}\;$ c'est-à-dire un mouvement uniforme de la particule.

### Conséquence de la nature plane et uniforme du mouvement avec projection de la r.f.d.n. sur le vecteur unitaire normal principal de Frenet : nature circulaire du mouvement

Le mouvement de la particule $\;M\left(q\right)\;$ étant plan, dans le plan passant par $\;M_{0}=O\;$ et $\;\perp \;$ à $\;{\vec {B}}=B\;{\vec {u}}_{z}$ $\;{\Big$avec $\;B=\Vert {\vec {B}}\Vert {\Big )}$, c'est-à-dire le plan $\;xOy\;$ et la particule entrant dans l'espace champ magnétostatique uniforme en $\;O\;$ avec un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{0}=v_{0}\;{\vec {u}}_{x}$ $\;{\Bigv_{0}\;$ étant la vitesse instantanée initiale de la particule encore égale à $\;\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert \;$ compte-tenu du choix du sens $\;+\;$ sur la trajectoire${\Big )}$, nous obtenons le schéma descriptif ci-contre dans l'hypothèse où $\;q\;$ est $\;>0$ $\;{\bigg$pour savoir de quel côté de $\;{\vec {V}}_{0}\;$ la courbe s’amorce nous déterminons la force magnétique de Lorentz «$\;{\vec {F}}_{\text{mag. de Lor}}(M_{0})=q\;{\vec {V}}_{0}\wedge {\vec {B}}\;$»$^,$, de direction $\;\perp \;$ au plan $\;\left({\vec {V}}_{0}\,,\,{\vec {B}}\right)\;$ ou $\;xOz\;$ c'est-à-dire portée par $\;Oy$, et de sens tel que $\;\left\lbrace q\;{\vec {V}}_{0}\,,\,{\vec {B}}\,,\,{\vec {F}}_{\text{mag. de Lor}}(M_{0})\right\rbrace \;$ soit direct dans l'espace physique orienté à droite $\Rightarrow$ «$\;{\vec {F}}_{\text{mag. de Lor}}(M_{0})\;$» de sens contraire à $\;{\vec {u}}_{y}\;$${\bigg ]}$, la rotation de la particule se faisant dans le sens $\;-\;$ du plan $\;xOy$ $\;{\Big$le sens de $\;{\vec {F}}_{\text{mag. de Lor}}(M_{0})\;$ sur $\;Oy\;$ nous indique le sens du début de rotation mais le mouvement étant uniforme la rotation se poursuit dans le même sens${\Big ]}$ ; pour déterminer la nature de la trajectoire nous utilisons le repérage local de Frenet de base directe «$\;\left\lbrace {\vec {\tau }}_{M}\,,\,{\vec {n}}_{M}\,,\,{\vec {b}}=-{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$»$^,$$^,$ $\;{\big$l'espace physique étant orienté à droite${\big )}\;$ et projetons l'équation différentielle «$\;q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}=m\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{\!M}}{dt}}(t)\;:\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$» sur $\;{\vec {n}}_{M}$, le vecteur unitaire normal principal de la base locale de Frenet$^,$, en utilisant
d'une part que «$\;q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\;$ étant $\;\perp \;$ à $\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$ et $\;{\vec {B}}\;$, donc à $\;{\vec {\tau }}_{M}\;$ et $\;{\vec {u}}_{z}$, est porté par $\;{\vec {n}}_{M}\;$», « son sens se déterminant par $\;\left\lbrace q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\,,\,{\vec {B}}\,,\,q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\right\rbrace \;$ direct est celui de $\;{\vec {n}}_{M}\;$» et
d'autre part que $\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{\!M}}{dt}}(t)\;$ étant $\;={\vec {a}}_{M}(t)\;$ sa projection sur $\;{\vec {n}}_{M}\;$ définit l'accélération normale de la particule $\;a_{n,\,M}(t)={\dfrac {v_{M}^{\,2}}{{\mathcal {R}}_{\!M}}}(t)\;$ avec $\;v_{M}(t)\;$ la vitesse instantanée de la particule $\;v_{M}(t)=$ ${\vec {V}}_{\!M}(t)\cdot {\vec {\tau }}_{M}\;$ et $\;{\mathcal {R}}_{\!M}(t)\;$ le rayon de courbure de la trajectoire en la position de la particule à l'instant $\;t\;$,
ce qui donne «$\;\Vert \,q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\,\Vert =m\;{\dfrac {v_{M}^{\,2}}{{\mathcal {R}}_{\!M}}}(t)\;$» avec «$\;\Vert \,q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\,\Vert =\vert q\vert \,\Vert {\vec {V}}_{\!M}(t)\Vert \,\Vert {\vec {B}}\vert \,{\bigg \vert }\sin \!{\widehat {\left[q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\,,\,{\vec {B}}\right]}}{\bigg \vert }\;$» dans laquelle $\;{\bigg \vert }\sin \!{\widehat {\left[q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\,,\,{\vec {B}}\right]}}{\bigg \vert }=1$ $\;{\Big$le mouvement se faisant dans le plan passant par $\;O\;$ et $\;\perp \;$ à $\;{\vec {B}}{\Big ]}\;$ et $\;\Vert {\vec {V}}_{\!M}(t)\Vert =v_{M}(t)$ $\;{\big$le sens $\;+\;$ étant choisi dans le sens du mouvement${\big ]}\;$ soit encore, en notant $\;\Vert {\vec {B}}\Vert =B$, «$\;\vert q\vert \;v_{M}(t)\;B=m\;{\dfrac {v_{M}^{\,2}}{{\mathcal {R}}_{\!M}}}(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {R}}_{\!M}(t)={\dfrac {m\;v_{M}(t)}{\vert q\vert \;B}}\;$» ;
le mouvement de la particule étant uniforme $\;v_{M}(t)=v_{0},\;\;\forall \;t$, le rayon de courbure de la trajectoire à l'instant $\;t\;$ se réécrit «$\;{\mathcal {R}}_{\!M}(t)={\dfrac {m\;v_{0}}{\vert q\vert \;B}},\;\;\forall \;t\;$» c'est-à-dire une constante et
le mouvement de la particule étant plan, la trajectoire suivie par la particule est circulaire $\;{\big$la seule courbe plane à rayon de courbure constant étant un cercle${\big )}$,
$\;{\mathcal {R}}_{c}={\dfrac {m\;v_{0}}{\vert q\vert \;B}}={\dfrac {p_{0}}{\vert q\vert \;B}}\;$
$\;p_{0}=m\;v_{0}\;$

### Période de rotation

Le mouvement de la particule étant uniforme sur une trajectoire circulaire, nous pouvons définir la vitesse angulaire de rotation $\;{\big$comptée positivement dans le même sens que le vecteur unitaire tangentiel de Frenet $\;{\vec {\tau }}_{M}\;$${\big )}\;$ «$\;\omega _{0}={\dfrac {v_{0}}{{\mathcal {R}}_{c}}}\;$» ou, en reportant l'expression de $\;{\mathcal {R}}_{c}={\dfrac {m\;v_{0}}{\vert q\vert \;B}}\;$ établie au paragraphe précédent «$\;\omega _{0}={\dfrac {\vert q\vert \;B}{m}}\;$» ;
cette vitesse angulaire «$\;\omega _{0}={\dfrac {\vert q\vert \;B}{m}}\;$» ne dépendant que des caractéristiques de la particule et de la norme du champ magnétostatique est appelée « pulsation cyclotron de la particule » et notée «$\;\omega _{c}\;$» soit
$\;\omega _{c}={\dfrac {\vert q\vert }{m}}\;B\;$
$\;{\big$
${\big )}$
la période de rotation de la particule sur sa trajectoire est alors «$\;T={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{c}}}={\dfrac {2\;\pi \;m}{\vert q\vert \;B}}\;$» indépendante de la vitesse linéaire initiale.

## Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétostatique uniforme, particule entrant perpendiculairement au champ, mise en équation par application de la r.f.d.n. en repérage cartésien : mouvement plan, découplage du système d’équations différentielles dans le plan par introduction d’une variable complexes et résolution

$\;\perp \;$
$\;{\big$
${\big )}$

### Exposé du problème : mouvement d’une particule chargée entrant dans un espace champ magnétostatique uniforme avec une « vitesse initiale perpendiculaire à ce champ »

Voir le paragraphe « exposé du problème : mouvement d'une particule chargée entrant dans un espace champ magnétostatique uniforme avec une vitesse initiale perpendiculaire à ce champ » plus haut dans ce chapitre.

### Mise en équation par application de la r.f.d.n. en repérage cartésien dans le référentiel d’étude galiléen

Voir le paragraphe « mise en équation par application de la r.f.d.n. en repérage intrinsèque dans le référentiel d'étude galiléen » plus haut dans ce chapitre pour l'établissement de l'équation différentielle vectorielle du 1er ordre en $\;{\vec {V}}_{\!M}(t)$, le vecteur vitesse de la particule $\;M\left(q\right)\;$ de masse $\;m\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ galiléen,
$\;q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}=m\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{\!M}}{dt}}(t)\;:\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$
il reste à projeter chaque membre de l'équation différentielle $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ sur les vecteurs de base cartésienne orthonormée directe $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ associée au référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ orienté à droite avec
* $\;{\vec {u}}_{z}\;$ colinéaire et de même sens que $\;{\vec {B}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {B}}=B\;{\vec {u}}_{z}\;$ avec $\;B=\Vert {\vec {B}}\Vert$,
* $\;{\vec {u}}_{x}\;$ colinéaire et de même sens que $\;{\vec {V}}_{0}\;$ et $\;{\vec {u}}_{y}={\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{x}$ $\Rightarrow$ $\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {V}}_{\!M}(t)=V_{x,\,M}(t)\;{\vec {u}}_{x}+V_{y,\,M}(t)\;{\vec {u}}_{y}+V_{z,\,M}(t)\;{\vec {u}}_{z}\\{\dfrac {d{\vec {V}}_{\!M}}{dt}}(t)={\dot {V}}_{x,\,M}(t)\;{\vec {u}}_{x}+{\dot {V}}_{y,\,M}(t)\;{\vec {u}}_{y}+{\dot {V}}_{z,\,M}(t)\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right\rbrace \;$ en absence de présupposé sur le mouvement :
les projections du 1er membre de $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ s'obtiennent en utilisant le calcul des composantes d'un produit vectoriel de deux vecteurs exposé dans le paragraphe « définition du produit vectoriel de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace » du chap.$7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » soit $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c c c c}&&q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)&\wedge &{\vec {B}}&=&q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}&{\scriptstyle {\text{♣}}}&q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\\{\vec {u}}_{x}&|&q\;V_{x,\,M}(t)&&0&&q\;V_{y,\,M}(t)\times B-q\;V_{z,\,M}(t)\times 0&=&q\;B\;V_{y,\,M}(t)\\{\vec {u}}_{y}&|&q\;V_{y,\,M}(t)&^{+}{\searrow }&0&&&&\\{\vec {u}}_{z}&|&q\;V_{z,\,M}(t)&_{-}{\nearrow }&B&&&&\end{array}}\right\rbrace$, $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c c c c}&&q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)&\wedge &{\vec {B}}&=&q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}&{\scriptstyle {\text{♣}}}&q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\\{\vec {u}}_{x}&|&q\;V_{x,\,M}(t)&&0&&&&\\{\vec {u}}_{y}&|&q\;V_{y,\,M}(t)&&0&&q\;V_{z,\,M}(t)\times 0-q\;V_{x,\,M}(t)\times 0&=&-q\;B\;V_{x,\,M}(t)\\{\vec {u}}_{z}&|&q\;V_{z,\,M}(t)&^{+}{\searrow }&B&&&&\\{\vec {u}}_{x}&|&q\;V_{x,\,M}(t)&_{-}{\nearrow }&0&&&&\end{array}}\right\rbrace \;$ et $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c c c c}&&q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)&\wedge &{\vec {B}}&=&q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}&{\scriptstyle {\text{♣}}}&q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\\{\vec {u}}_{x}&|&q\;V_{x,\,M}(t)&^{+}{\searrow }&0&&&&\\{\vec {u}}_{y}&|&q\;V_{y,\,M}(t)&_{-}{\nearrow }&0&&&&\\{\vec {u}}_{z}&|&q\;V_{z,\,M}(t)&&B&&q\;V_{x,\,M}(t)\times 0-q\;V_{y,\,M}(t)\times 0&=&0\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où les projetés suivants «$\;\left\lbrace q\;B\;V_{y,\,M}(t)\,,\,-q\;B\;V_{x,\,M}(t)\,,\,0\right\rbrace \;$»,
les proj celles du 2ème membre de $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ étant «$\;\left\lbrace m\;{\dfrac {dV_{x,\,M}}{dt}}(t)\,,\,m\;{\dfrac {dV_{y,\,M}}{dt}}(t)\,,\,m\;{\dfrac {dV_{z,\,M}}{dt}}(t)\right\rbrace \;$» nous en déduisons les trois équations différentielles scalaires du 1er ordre en les composantes cartésiennes du vecteur vitesse de la particule :
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c r}m\;{\dfrac {dV_{x,\,M}}{dt}}(t)&=&q\;B\;V_{y,\,M}(t)&\left({\mathfrak {1}}\right)\\m\;{\dfrac {dV_{y,\,M}}{dt}}(t)&=&-q\;B\;V_{x,\,M}(t)&\left({\mathfrak {2}}\right)\\m\;{\dfrac {dV_{z,\,M}}{dt}}(t)&=&0&\left({\mathfrak {3}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$

### Intégration de l’équation (3) avec « la vitesse initiale perpendiculaire au champ magnétostatique » : nature plane du mouvement

Résolution de l'équation différentielle $\;\left({\mathfrak {3}}\right)$ : «$\;m\;{\dfrac {dV_{z,\,M}}{dt}}(t)=0\;$» $\Rightarrow$ $\;V_{z,\,M}(t)=cste\;$ et la C.I. $\;{\vec {V}}_{0}\perp {\vec {B}}\;$ imposant «$\;V_{0,\,z}=0\;$» $\Rightarrow$ $\;cste=0\;$ soit «$\;V_{z,\,M}(t)=0\;\;\forall \;t\;$» et Résolution de l'équation différentielle ( 3 ) : «$\;0=V_{z,\,M}(t)={\dfrac {dz_{M}}{dt}}(t)\;$» $\Rightarrow$ $\;z_{M}(t)=cste'\;$ et la C.I. $\;M_{0}\;$ en $\;O\;$ imposant «$\;z_{0}=0\;$» $\Rightarrow$ $\;cste'=0\;$ soit «$\;z_{M}(t)=0\;\;\forall \;t\;$».
Résolution de l'équation différentielle ( 3 ) : En conclusion, le mouvement de la particule $\;M\;$ pénétrant dans l'espace champ magnétostatique uniforme avec un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{0}\;\perp \;$ à $\;{\vec {B}}\;$ est, dans le cas où la seule force s'exerçant sur $\;M\;$ est la force magnétique de Lorentz, plan, le plan du mouvement étant $\;xOy\;$.

### Rappel de la méthode de découplage du système d'équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants couplées (1) et (2) du 1er ordre des variables V$_x$(t) et V$_y$(t)

Les équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants $\;\left\lbrace \left({\mathfrak {1}}\right)\,,\,\left({\mathfrak {2}}\right)\right\rbrace \;$ du 1er ordre en $\;V_{x,\,M}(t)\;$ et $\;V_{y,\,M}(t)\;$ du système normalisé «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c r}{\dfrac {dV_{x,\,M}}{dt}}(t)\!\!&=\!\!&\!\!{\dfrac {q\;B}{m}}\;V_{y,\,M}(t)\!\!&\left({\mathfrak {1}}'={\dfrac {\mathfrak {1}}{m}}\right)\\{\dfrac {dV_{y,\,M}}{dt}}(t)\!\!&=\!\!&\!\!-{\dfrac {q\;B}{m}}\;V_{x,\,M}(t)\!\!&\left({\mathfrak {2}}'={\dfrac {\mathfrak {2}}{m}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$» étant couplées de la même façon que celle du paragraphe « présentation de l'exemple $\left\lbrace {\begin{array}{c}{\dfrac {df_{1}}{dx}}(x)+b\;f_{1}(x)=a\;f_{2}(x)+d\;\;\left({\mathfrak {1}}\right)\\{\dfrac {df_{2}}{dx}}(x)+b\;f_{2}(x)=-a\;f_{1}(x)+e\;\;\left({\mathfrak {2}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$» du chap.$30$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans lequel $\;\left(b\,,\,d\,,\,e\right)=\left(0\,,\,0\,,\,0\right)\;$ et $\;a\neq 0$ $\;{\bigg$dans l'exemple étudié ici $\;f_{1}(x)=V_{x,\,M}(t)$, $\;f_{2}(x)=V_{y,\,M}(t)\;$ et $\;a={\dfrac {q\;B}{m}}{\bigg ]}$, nous adoptons la méthode de découplage présentée dans le paragraphe « exposé de la méthode de découplage par combinaison linéaire complexe du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1er ordre couplées » du même chap.$30$ de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » consistant à former la C.L. «$\;\left({\mathfrak {1}}\right)+i\,\left({\mathfrak {2}}\right)\;$» pour obtenir l'équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1er ordre en «$\;{\underline {F}}(x)=f_{1}(x)+i\,f_{2}(x)\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {d{\underline {F}}}{dx}}(x)+b\;{\underline {F}}(x)=-i\;a\;{\underline {F}}(x)+\left(d+i\;e\right)\;$» ou «$\;{\dfrac {d{\underline {F}}}{dx}}(x)+\left(b+i\;a\right)\,{\underline {F}}(x)=\left(d+i\;e\right)\;$».

### Détermination de l'équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1er ordre « (1') + i (2') » en variable complexe « (V$_x$ + i V$_y$)(t) »

Partant de la forme normalisée du système d'équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1er ordre en $\;V_{x,\,M}(t)\;$ et $\;V_{y,\,M}(t)\;$ couplées «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c r}{\dfrac {dV_{x,\,M}}{dt}}(t)\!\!&=\!\!&\!\!{\dfrac {q\;B}{m}}\;V_{y,\,M}(t)\!\!&\left({\mathfrak {1}}'\right)\\{\dfrac {dV_{y,\,M}}{dt}}(t)\!\!&=\!\!&\!\!-{\dfrac {q\;B}{m}}\;V_{x,\,M}(t)\!\!&\left({\mathfrak {2}}'\right)\end{array}}\right\rbrace \;$» et formant la C.L. «$\;\left({\mathfrak {1}}'\right)+i\,\left({\mathfrak {2}}'\right)\;$» nous obtenons $\;{\dfrac {dV_{x,\,M}}{dt}}(t)+i\;{\dfrac {dV_{y,\,M}}{dt}}(t)={\dfrac {q\;B}{m}}\;V_{y,\,M}(t)-i\;{\dfrac {q\;B}{m}}\;V_{x,\,M}(t)\;$ ou, en mettant le cœfficient de $\;V_{x,\,M}(t)\;$ du 2ème membre $\;-i\;{\dfrac {q\;B}{m}}\;$ en facteur dans ce dernier $\;{\dfrac {dV_{x,\,M}}{dt}}(t)+i\;{\dfrac {dV_{y,\,M}}{dt}}(t)=-i\;{\dfrac {q\;B}{m}}\,\left[i\;V_{y,\,M}(t)+V_{x,\,M}(t)\right]$ $\;{\big$utilisant $\;+1=-i^{2}=-i\times i{\big )}\;$ soit finalement
$\;{\underline {\mathcal {V}}}_{\!M}(t)=V_{x,\,M}(t)+i\;V_{y,\,M}(t)\;$
$\;{\dfrac {d{\underline {\mathcal {V}}}_{\!M}}{dt}}(t)+i\;{\dfrac {q\;B}{m}}\;{\underline {\mathcal {V}}}_{\!M}(t)=0\;\;\left({\mathfrak {1}}'+i\;{\mathfrak {2}}'\right)\;$

### Établissement de la solution complexe « (V$_x$ + i V$_y$)(t) » et déduction des lois horaires scalaires de vitesse sur les axes Ox et Oy

La solution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1er ordre en «$\;{\underline {\mathcal {V}}}_{\!M}(t)\;$» homogène «$\;{\dfrac {d{\underline {\mathcal {V}}}_{\!M}}{dt}}(t)+i\;{\dfrac {q\;B}{m}}\;{\underline {\mathcal {V}}}_{\!M}(t)=0\;$» est donc «$\;{\underline {\mathcal {V}}}_{\!M}(t)={\underline {A}}\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {q\;B}{m}}\;t\right)\;$» avec $\;{\underline {A}}\;$ constante complexe à déterminer à l'aide des C.I. $\;\left(V_{0,\,x}=V_{0}=\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert \,,\,V_{0,\,y}=0\right)\;$ $\Rightarrow$ $\;{\underline {\mathcal {V}}}_{\!M}(0)=V_{0}\;$ ou $\;{\underline {A}}=V_{0}\;$ soit finalement la loi horaire de « vitesse complexe »
$\;{\underline {\mathcal {V}}}_{\!M}(t)=V_{x,\,M}(t)+i\;V_{y,\,M}(t)=V_{0}\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {q\;B}{m}}\;t\right)\;$
en prenant la partie réelle de $\;{\underline {\mathcal {V}}}_{\!M}(t)=V_{0}\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {q\;B}{m}}\;t\right)\;$ nous en déduisons la loi horaire de vitesse de la particule selon $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ soit «$\;V_{x,\,M}(t)=\Re \!\left[{\underline {\mathcal {V}}}_{\!M}(t)\right]=V_{0}\;\cos \!\left({\dfrac {q\;B}{m}}\;t\right)\;$» et en prenant la partie imaginaire de $\;{\underline {\mathcal {V}}}_{\!M}(t)=V_{0}\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {q\;B}{m}}\;t\right)\;$ en déduisons la loi horaire de vitesse de la particule selon $\;{\overrightarrow {Oy}}\;$ soit «$\;V_{y,\,M}(t)=\Im \!\left[{\underline {\mathcal {V}}}_{\!M}(t)\right]=-V_{0}\;\sin \!\left({\dfrac {q\;B}{m}}\;t\right)\;$».
Remarque : des lois horaires cartésiennes de vitesse de la particule $\;M\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}$, nous en déduisons la nature de l’hodographe $\;\left({\mathcal {H}}\right)\;$ de pôle $\;O\;$ du mouvement de $\;M\;$ dans ce même référentiel selon la définition $\;\left({\mathcal {H}}\right)=\left\lbrace P,\;{\overrightarrow {OP}}(t)\;{\widehat {=}}\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\right\rbrace \;$$^,$ soit, dans le cas présent «$\;P\,\left\lbrace {\begin{array}{l c r}X_{P}\!\!&{\widehat {=}}&\!\!V_{0}\;\cos \!\left({\dfrac {q\;B}{m}}\;t\right)\\Y_{P}\!\!&{\widehat {=}}&\!\!-V_{0}\;\sin \!\left({\dfrac {q\;B}{m}}\;t\right)\end{array}}\right\rbrace \;$»$^,$ $\Rightarrow$ l’hodographe $\;\left({\mathcal {H}}\right)\;$ de pôle $\;O\;$ du mouvement de $\;M\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ est un cercle du plan $\;XOY$, de centre $\;O$, de rayon $\;{\widehat {=}}\;V_{0}\;$$^,$, de position initiale $\;P_{0}\;\left(X_{P_{0}}\;{\widehat {=}}\;V_{0}\,,\,Y_{P_{0}}\;{\widehat {=}}\;0\right)\;$$^,$, le mouvement de $\;P\;$ y étant uniforme à la vitesse angulaire «$\;-{\dfrac {q\;B}{m}}\;$», c'est-à-dire dans le sens trigonométrique « rétrograde si $\;q\;$ est $\;>0\;$» et « direct si $\;q\;$ est $\;<0\;$».

### Intégration temporelle de « (V$_x$ + i V$_y$)(t) » et déduction des lois horaires scalaires de position sur les axes Ox et Oy

Définissant la « coordonnée complexe » $\;{\underline {\mathcal {X}}}_{\!M}(t)=x_{M}(t)+i\;y_{M}(t)\;$ de la particule $\;M\;$ liée à la « vitesse complexe » $\;{\underline {\mathcal {V}}}_{\!M}(t)=V_{x,\,M}(t)+i\;V_{y,\,M}(t)\;$ par «$\;{\underline {\mathcal {V}}}_{\!M}(t)={\dfrac {d{\underline {\mathcal {X}}}_{\!M}}{dt}}(t)\;$», nous obtenons cette « coordonnée complexe » par intégration temporelle de «$\;{\dfrac {d{\underline {\mathcal {X}}}_{\!M}}{dt}}(t)=V_{0}\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {q\;B}{m}}\;t\right)\;$» soit $\;{\underline {\mathcal {X}}}_{\!M}(t)={\dfrac {V_{0}}{-i\;{\dfrac {q\;B}{m}}}}\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {q\;B}{m}}\;t\right)+{\underline {cste}}=i\;{\dfrac {m\;V_{0}}{q\;B}}\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {q\;B}{m}}\;t\right)+{\underline {cste}}\;$ avec $\;{\underline {cste}}\;$ à déterminer à l'aide des C.I. $\;\left\lbrace x(0)=0\,,\,y(0)=0\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;{\underline {\mathcal {X}}}_{\!M}(0)=0\;$ ou $\;i\;{\dfrac {m\;V_{0}}{q\;B}}+{\underline {cste}}=0\;$ soit $\;{\underline {cste}}=-i\;{\dfrac {m\;V_{0}}{q\;B}}\;$ et finalement la loi horaire de « coordonnée complexe »
$\;{\underline {\mathcal {X}}}_{\!M}(t)=x_{M}(t)+i\;y_{M}(t)=-i\;{\dfrac {m\;V_{0}}{q\;B}}\,\left[1-\exp \!\left(-i\;{\dfrac {q\;B}{m}}\;t\right)\right]\;$
en prenant la partie réelle de $\;{\underline {\mathcal {X}}}_{\!M}(t)=-i\;{\dfrac {m\;V_{0}}{q\;B}}\,\left[1-\exp \!\left(-i\;{\dfrac {q\;B}{m}}\;t\right)\right]\;$ nous en déduisons la loi horaire d'abscisse de la particule $\;x_{M}(t)=\Re \!\left[{\underline {\mathcal {X}}}_{\!M}(t)\right]=-i\;{\dfrac {m\;V_{0}}{q\;B}}\times \left[i\;\sin \!\left({\dfrac {q\;B}{m}}\;t\right)\right]\;$ ou
$\;x_{M}(t)={\dfrac {m\;V_{0}}{q\;B}}\;\sin \!\left({\dfrac {q\;B}{m}}\;t\right)\;$
en prenant la partie imaginaire de $\;{\underline {\mathcal {X}}}_{\!M}(t)=-i\;{\dfrac {m\;V_{0}}{q\;B}}\,\left[1-\exp \!\left(-i\;{\dfrac {q\;B}{m}}\;t\right)\right]\;$ en déduisons la loi horaire d'ordonnée de la particule $\;y_{M}(t)=\Im \!\left[{\underline {\mathcal {X}}}_{\!M}(t)\right]=-{\dfrac {m\;V_{0}}{q\;B}}\times \left[1-\cos \!\left({\dfrac {q\;B}{m}}\;t\right)\right]\;$ ou
$\;y_{M}(t)={\dfrac {m\;V_{0}}{q\;B}}\left[\cos \!\left({\dfrac {q\;B}{m}}\;t\right)-1\right]\;$
Nature de la trajectoire de la particule : les deux lois horaires cartésiennes de position de la particule $\;M\;$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l l}x_{M}(t)=\!\!&\!\!{\dfrac {m\;V_{0}}{q\;B}}\;\sin \!\left({\dfrac {q\;B}{m}}\;t\right)\\y_{M}(t)=\!\!&\!\!{\dfrac {m\;V_{0}}{q\;B}}\left[\cos \!\left({\dfrac {q\;B}{m}}\;t\right)-1\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» étant aussi les deux équations paramétriques de la trajectoire de $\;M\;$ dans le plan $\;xOy$, nous obtenons l'équation cartésienne de cette dernière en éliminant le paramètre $\;t\;$ et pour cela nous explicitons les sinus et cosinus de l'argument angulaire $\;{\dfrac {q\;B}{m}}\;t\;$ à partir de chacune des équations paramétriques «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l l}\sin \!\left({\dfrac {q\;B}{m}}\;t\right)=\!\!&\!\!{\dfrac {x_{M}}{\dfrac {m\;V_{0}}{q\;B}}}\;\\\cos \!\left({\dfrac {q\;B}{m}}\;t\right)=\!\!&\!\!{\dfrac {y_{M}+{\dfrac {m\;V_{0}}{q\;B}}}{\dfrac {m\;V_{0}}{q\;B}}}\end{array}}\right\rbrace \;$», l'élimination de $\;t\;$ utilisant «$\;\sin ^{2}\!\left({\dfrac {q\;B}{m}}\;t\right)+\cos ^{2}\!\left({\dfrac {q\;B}{m}}\;t\right)=1\;$» $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {x_{M}^{\,2}}{\left({\dfrac {m\;V_{0}}{q\;B}}\right)^{\!2}}}+{\dfrac {\left(y_{M}+{\dfrac {m\;V_{0}}{q\;B}}\right)^{\!2}}{\left({\dfrac {m\;V_{0}}{q\;B}}\right)^{\!2}}}=1\;$ d'où l'équation cartésienne de la trajectoire de $\;M\;$ dans le plan $\;xOy$
$\;x_{M}^{\,2}+\left(y_{M}+{\dfrac {m\;V_{0}}{q\;B}}\right)^{\!2}=\left({\dfrac {m\;V_{0}}{q\;B}}\right)^{\!2}\;$
$\;O$
$\;C\left(x_{C}=0\,,\,y_{C}=-{\dfrac {m\;V_{0}}{q\;B}}\right)\;$
$\;{\mathcal {R}}_{c}={\dfrac {m\;V_{0}}{\vert q\vert \;B}}$
Remarque :$\;\succ \;$Pour $\;q>0$, les lois horaires de position de $\;M\;$ se réécrivant selon «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l l}x_{M}(t)=\!\!&\!\!{\mathcal {R}}_{c}\;\cos \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-{\dfrac {\vert q\vert \;B}{m}}\;t\right)\\y_{M}(t)=\!\!&\!\!{\mathcal {R}}_{c}\left[\sin \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-{\dfrac {\vert q\vert \;B}{m}}\;t\right)-1\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{r l}x_{M}(t)=\!\!&\!\!{\mathcal {R}}_{c}\;\cos \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-{\dfrac {\vert q\vert \;B}{m}}\;t\right)\\y_{M}(t)+{\mathcal {R}}_{c}=\!\!&\!\!{\mathcal {R}}_{c}\;\sin \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-{\dfrac {\vert q\vert \;B}{m}}\;t\right)\end{array}}\right\rbrace \;$» démontre que le mouvement circulaire se fait autour du centre «$\;C\,\left(x_{C}=0\,,\,y_{C}=-{\mathcal {R}}_{c}\right)\;$» dans le sens $\;-\;$ à la « vitesse angulaire $\;-{\dfrac {\vert q\vert \;B}{m}}=-\omega _{c}\;$» c'est-à-dire l'opposé de la pulsation cyclotron de la particule,
Remarque : $\;\succ \;$pour $\;q<0$, les lois horaires de position de $\;M\;$ se réécrivant selon «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l l l l}x_{M}(t)=\!\!&\!\!-{\dfrac {m\;V_{0}}{\vert q\vert \;B}}\;\sin \!\left(-{\dfrac {\vert q\vert \;B}{m}}\;t\right)\!\!&\!\!=\!\!&\!\!{\mathcal {R}}_{c}\;\cos \!\left({\dfrac {\vert q\vert \;B}{m}}\;t-{\dfrac {\pi }{2}}\right)\\y_{M}(t)=\!\!&\!\!-{\dfrac {m\;V_{0}}{\vert q\vert \;B}}\left[\cos \!\left(-{\dfrac {\vert q\vert \;B}{m}}\;t\right)-1\right]\!\!&\!\!=\!\!&\!\!{\mathcal {R}}_{c}\left[\sin \!\left({\dfrac {\vert q\vert \;B}{m}}\;t-{\dfrac {\pi }{2}}\right)+1\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ ou encore selon $\;\left\lbrace {\begin{array}{r l}x_{M}(t)=\!\!&\!\!{\mathcal {R}}_{c}\;\cos \!\left({\dfrac {\vert q\vert \;B}{m}}\;t-{\dfrac {\pi }{2}}\right)\\y_{M}(t)-{\mathcal {R}}_{c}=\!\!&\!\!{\mathcal {R}}_{c}\;\sin \!\left({\dfrac {\vert q\vert \;B}{m}}\;t-{\dfrac {\pi }{2}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$» démontre que le mouvement circulaire se fait autour du centre «$\;C\,\left(x_{C}=0\,,\,y_{C}={\mathcal {R}}_{c}\right)\;$» dans le sens $\;+\;$ à la « vitesse angulaire $\;{\dfrac {\vert q\vert \;B}{m}}=\omega _{c}\;$» c'est-à-dire la pulsation cyclotron de la particule.

### Résumé des principaux résultats

Ci-contre, à gauche, la description du mouvement suivi par la particule chargée «$\;M\left(q>0\right)\;$» pénétrant en $\;O\;$ dans l'espace champ magnétostatique uniforme de vecteur champ «$\;{\vec {B}}=B\;{\vec {u}}_{z}\;$» avec un vecteur vitesse initiale «$\;{\vec {V}}_{0}=V_{0}\;{\vec {u}}_{x}\;$» $\;{\big$donc $\;\perp \;$ à $\;{\vec {B}}{\big )}$, mouvement de nature plane dans $\;xOy$, uniforme de vitesse instantanée «$\;v_{0}=V_{0}\;$» dans le sens rétrograde, circulaire de rayon «$\;{\mathcal {R}}_{c}=$ ${\dfrac {m\;v_{0}}{q\;B}}\;$», de centre $\;C\,\left(0\,,\,-{\mathcal {R}}_{c}\right)\;$ et de vitesse angulaire «$\;-\omega _{c}=-{\dfrac {q\;B}{m}}\;$» $\;{\big\omega _{c}\;$ étant la pulsation cyclotron de la particule${\big )}$, la période de rotation étant «$\;T={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{c}}}={\dfrac {2\;\pi \;m}{q\;B}}\;$» indépendante de la vitesse initiale ;
ci-contre, à droite, la description du mouvement suivi par la particule chargée «$\;M\left(q<0\right)\;$» pénétrant en $\;O\;$ dans l'espace champ magnétostatique uniforme de vecteur champ «$\;{\vec {B}}=B\;{\vec {u}}_{z}\;$» avec un vecteur vitesse initiale «$\;{\vec {V}}_{0}=V_{0}\;{\vec {u}}_{x}\;$» $\;{\big$donc $\;\perp \;$ à $\;{\vec {B}}{\big )}$, mouvement de nature plane dans $\;xOy$, uniforme de vitesse instantanée «$\;v_{0}=V_{0}\;$» dans le sens direct, circulaire de rayon «$\;{\mathcal {R}}_{c}={\dfrac {m\;v_{0}}{\vert q\vert \;B}}\;$», de centre $\;C\,\left(0\,,\,{\mathcal {R}}_{c}\right)\;$ et de vitesse angulaire «$\;\omega _{c}={\dfrac {\vert q\vert \;B}{m}}\;$» $\;{\big\omega _{c}\;$ étant la pulsation cyclotron de la particule${\big )}$, la période de rotation étant «$\;T={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{c}}}={\dfrac {2\;\pi \;m}{\vert q\vert \;B}}\;$» indépendante de la vitesse initiale.

## Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétostatique uniforme, particule entrant perpendiculairement au champ, détermination de la nature plane du mouvement par projection de la r.f.d.n. sur la direction du champ magnétostatique puis du rayon de courbure en admettant que la trajectoire est circulaire et en utilisant le repérage cylindro-polaire de pôle le centre du cercle

« Admettre le caractère circulaire » de la trajectoire d'une particule chargée dans un espace champ magnétostatique uniforme quand cette dernière pénètre perpendiculairement au champ magnétostatique est explicite dans le programme de physique de P.C.S.I., de plus il est demandé de déterminer le rayon « sans calcul », ce qui, évidemment, est impossible $\;\ldots$ Sans doute faut-il remplacer « sans calcul » par « sans intégration d’équations différentielles » $\;\ldots$

### Exposé du problème : mouvement d’une particule chargée entrant dans un champ magnétostatique uniforme avec une « vitesse initiale perpendiculaire à ce champ »

Voir le paragraphe « exposé du problème : mouvement d'une particule chargée entrant dans un espace champ magnétostatique uniforme avec une vitesse initiale perpendiculaire à ce champ » plus haut dans ce chapitre, avec toutefois une différence l'origine $\;O\;$ du repérage intrinsèque n'est plus choisie en la position initiale $\;M_{0}\;$ de la particule chargée $\;{\bigO\;$ sera choisie au centre du cercle décrit par cette dernière${\big )}$.

### Projection de la r.f.d.n. sur la « direction du champ magnétostatique » et conséquence de « la vitesse initiale perpendiculaire au champ magnétostatique » : nature plane du mouvement

L’application de la r.f.d.n. dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ galiléen à la particule chargée $\;M\left(q\right)\;$ soumise à la seule force magnétique de Lorentz «$\;{\vec {F}}_{\text{mag. de Lor}}(M)=q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\;$», $\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$ étant le vecteur vitesse de la particule à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}$, nous conduisant à l’équation différentielle vectorielle du 1er ordre en $\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$ «$\;q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}=m\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{\!M}}{dt}}(t)\;:\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$» $\;{\big$voir le paragraphe « mise en équation par application de la r.f.d.n. en repérage intrinsèque dans le référentiel d'étude galiléen » plus haut dans ce chapitre${\big ]}$, nous projetons les deux membres de cette équation sur $\;{\vec {u}}_{z}$ $\;{\big$vecteur unitaire de la direction de $\;{\vec {B}}\;$ choisi dans le sens de ce dernier${\big )}\;$ et obtenons «$\;0=m\;{\dfrac {dV_{z,\,M}}{dt}}(t)\;$» $\Rightarrow$ $\;V_{z,\,M}(t)=cste\;$ soit «$\;V_{z,\,M}(t)=0\;\;\forall \;t\;$», la C.I. $\;{\vec {V}}_{0}\perp {\vec {B}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;V_{0,\,z}=0\;$» et
«$\;0=V_{z,\,M}(t)={\dfrac {dz_{M}}{dt}}(t)\;$» $\Rightarrow$ $\;z_{M}(t)=cste'\;$ soit «$\;z_{M}(t)=0\;\;\forall \;t\;$», le plan $\;xOy\perp \;$ à $\;{\vec {B}}\;$ étant choisi passant par la position initiale $\;M_{0}\;$ de la particule $\Rightarrow$ «$\;z_{0}=0\;$».
En conclusion, le mouvement de la particule $\;M\;$ pénétrant dans l'espace champ magnétostatique uniforme avec un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{0}\;\perp \;$ à $\;{\vec {B}}\;$ est, dans le cas où la seule force s'exerçant sur $\;M\;$ est la force magnétique de Lorentz, plan, le plan du mouvement étant $\;\perp \;$ à $\;{\vec {B}}\;$ passant par la position initiale $\;M_{0}\;$ de la particule.

### Conséquence de « la force magnétique de Lorentz, seule force exercée » : nature uniforme du mouvement

Voir le paragraphe « conséquence de la force magnétique de Lorentz, seule force exercée … : nature uniforme du mouvement » plus haut dans ce chapitre $\;{\big$uniquement la 1ère méthode de résolution utilisant la puissance développée par la force magnétique de Lorentz, le but poursuivi ici étant d'éviter l'introduction de la base de Frenet hors programme de physique de P.C.S.I.${\big )}$ ;
en conclusion, le mouvement de la particule $\;M\;$ pénétrant dans l'espace champ magnétostatique uniforme avec un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{0}\;\perp \;$ à $\;{\vec {B}}\;$ est, dans le cas où la seule force s'exerçant sur $\;M\;$ est la force magnétique de Lorentz, uniforme, la norme du vecteur vitesse du mouvement restant égale à celle du vecteur vitesse initiale soit «$\;\Vert {\vec {V}}_{\!M}(t)=\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert =V_{0},\;\;\forall \;t\;$».

### Détermination du rayon de courbure de la trajectoire de nature (admise) circulaire par projection de la r.f.d.n. sur le vecteur unitaire radial de base cylindro-polaire de pôle « le centre du cercle »

Admettant la nature circulaire du mouvement de la particule chargée $\;M\left(q\right)\;$ dans le plan $\;\perp \;$ à $\;{\vec {B}}\;$ passant par $\;M_{0}$ $\;{\big$la position initiale de la particule${\big )}$, les angles de ce plan étant toujours orientés par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{z}\;$ choisi dans la direction et le sens de $\;{\vec {B}}$, nous adoptons le repérage polaire de $\;M\;$ dans ce plan en choisissant le centre $\;C\;$ du cercle comme pôle $\;O\;$ du repérage, la base cartésienne du plan étant toujours $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}={\dfrac {{\vec {V}}_{0}}{V_{0}}}\,,\,{\vec {u}}_{y}={\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{x}\right\rbrace$, les coordonnées polaires de $\;M\;$ étant «$\;\left\lbrace r_{M}=CM={\mathcal {R}}_{c}\,,\,\theta _{M}={\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\overrightarrow {CM}}\right)}}\right\rbrace \;$ avec $\;{\mathcal {R}}_{c}\;$ le rayon du cercle à déterminer ».
Ci-contre la description du mouvement suivi par la particule chargée «$\;M\left(q>0\right)\;$» pénétrant en $\;M_{0}\;$ dans l'espace champ magnétostatique uniforme de vecteur champ «$\;{\vec {B}}=B\;{\vec {u}}_{z}\;$» avec un vecteur vitesse initiale «$\;{\vec {V}}_{0}=V_{0}\;{\vec {u}}_{x}\;$» $\;{\big$donc $\;\perp \;$ à $\;{\vec {B}}{\big )}$, mouvement de nature plane dans $\;xM_{0}y$, uniforme de vitesse instantanée «$\;v_{0}=V_{0}\;$» dans le sens rétrograde et circulaire $\;{\big$admis${\big )}\;$ de centre $\;C\;$ choisi comme pôle du repérage polaire de $\;M\;$ dans le plan $\;xM_{0}y$, ses coordonnées étant $\;\left({\mathcal {R}}_{c}\,,\,\theta _{M}\right)$ $\;{\big$abscisse angulaire simplement notée $\;\theta \;$ sur le schéma${\big ]}$ ;
Ci-contre projetant l'équation différentielle vectorielle du 1er ordre en $\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$ «$\;q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}=m\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{\!M}}{dt}}(t)\;:\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$» $\;{\big$voir le paragraphe « mise en équation par application de la r.f.d.n. en repérage intrinsèque dans le référentiel d'étude galiléen » plus haut dans ce chapitre${\big ]}\;$ sur $\;{\vec {u}}_{r}$ $\;{\big$vecteur unitaire radial de la base polaire $\;\left({\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\right)\;$ lié à $\;M\;$ dans le plan du mouvement de ce dernier${\big ]}\;$ nous obtenons, Ci-contre sachant que $\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{\!M}}{dt}}(t)={\vec {a}}_{\!M}(t)\;$ se projette sur $\;{\vec {u}}_{r}\;$ en l'« accélération radiale $\;a_{r,\,M}(t)=\;{\cancel {{\ddot {r}}_{\!M}(t)}}\;-r_{\!M}\;{\dot {\theta }}_{\!M}^{\,2}\;$» $\;{\bigg$le 1er terme étant nul car $\;r_{\!M}(t)=cste\;\;\forall \;t\;$ et le 2nd constant car $\;{\dot {\theta }}_{\!M}(t)={\dfrac {V_{\theta ,\,M}(t)}{r_{\!M}(t)}}\;$ $={\dfrac {-V_{0}}{r_{\!M}}}\;\;\forall \;t$, le mouvement circulaire étant uniforme dans le sens rétrograde${\bigg ]}\;$ et Ci-contre sachant que «$\;q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}=q\;V_{\theta ,\,M}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }\wedge B\;{\vec {u}}_{z}=q\;V_{\theta ,\,M}(t)\;B\;{\vec {u}}_{r}\;$» $\Rightarrow$ projeté sur $\;{\vec {u}}_{r}\;$ en «$\;{\overline {F}}_{\text{mag. de Lor}}(t)=q\;r_{\!M}\;{\dot {\theta }}_{\!M}\;B\;$» $\;{\big$la vitesse orthoradiale $\;V_{\theta ,\,M}(t)=r_{\!M}(t)\;{\dot {\theta }}_{\!M}(t)\;$ étant constante car chacun des facteurs l'est et $\;<0$, la vitesse angulaire l'étant${\big ]}$, Ci-contre pour projection radiale de $\;\left({\mathfrak {a}}\right)$ : «$\;q\;r_{\!M}\;{\dot {\theta }}_{\!M}\;B=-m\;r_{\!M}\;{\dot {\theta }}_{\!M}^{\,2}\;$» dont nous tirons la « vitesse angulaire $\;{\dot {\theta }}_{\!M}=-{\dfrac {q\;B}{m}}=-\omega _{c}\;$» $\;{\big$dans la mesure où $\;q\;$ est $\;>0$, $\;\omega _{c}\;$ étant la pulsation cyclotron de la particule${\big )}$ $\;{\bigg$la période de rotation étant «$\;T={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{c}}}={\dfrac {2\;\pi \;m}{q\;B}}\;$» indépendante de la vitesse initiale${\bigg ]}$, puis le rayon de la trajectoire circulaire à l'aide de l'identification de la vitesse orthoradiale $\;V_{\theta ,\,M}=r_{\!M}\;{\dot {\theta }}_{\!M}\;$ avec l'opposé de la norme du vecteur vitesse initiale $\;-V_{0}\;$ d'où $\;r_{\!M}={\dfrac {-V_{0}}{{\dot {\theta }}_{\!M}}}={\dfrac {-V_{0}}{-{\dfrac {q\;B}{m}}}}\;$ soit finalement
$\;{\mathcal {R}}_{c}={\dfrac {m\;V_{0}}{q\;B}}\;$
$\;{\big$
$\;q>0{\big )}$
Ci-contre, la description du mouvement suivi par la particule chargée «$\;M\left(q<0\right)\;$» pénétrant en $\;M_{0}\;$ dans l'espace champ magnétostatique uniforme de vecteur champ «$\;{\vec {B}}=B\;{\vec {u}}_{z}\;$» avec un vecteur vitesse initiale «$\;{\vec {V}}_{0}=V_{0}\;{\vec {u}}_{x}\;$» $\;{\big$donc $\;\perp \;$ à $\;{\vec {B}}{\big )}$, mouvement de nature plane dans $\;xM_{0}y$, uniforme de vitesse instantanée «$\;v_{0}=V_{0}\;$» dans le sens direct et circulaire $\;{\big$admis${\big )}\;$ de centre $\;C\;$ choisi comme pôle du repérage polaire de $\;M\;$ dans le plan $\;xM_{0}y$, ses coordonnées étant $\;\left({\mathcal {R}}_{c}\,,\,\theta _{M}\right)$ $\;{\big$abscisse angulaire simplement notée $\;\theta \;$ sur le schéma${\big ]}$ ;
ci-contre projetant l'équation différentielle vectorielle du 1er ordre en $\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$ «$\;q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}=m\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{\!M}}{dt}}(t)\;:\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$» $\;{\big$voir le paragraphe « mise en équation par application de la r.f.d.n. en repérage intrinsèque dans le référentiel d'étude galiléen » plus haut dans ce chapitre${\big ]}\;$ sur $\;{\vec {u}}_{r}$ $\;{\big$vecteur unitaire radial de la base polaire $\;\left({\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\right)\;$ lié à $\;M\;$ dans le plan du mouvement de ce dernier${\big ]}\;$ nous obtenons, Ci-contre sachant que $\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{\!M}}{dt}}(t)={\vec {a}}_{\!M}(t)\;$ se projette sur $\;{\vec {u}}_{r}\;$ en l'« accélération radiale $\;a_{r,\,M}(t)=\;{\cancel {{\ddot {r}}_{\!M}(t)}}\;-r_{\!M}\;{\dot {\theta }}_{\!M}^{\,2}\;$» $\;{\bigg$le 1er terme étant nul car $\;r_{\!M}(t)=cste\;\;\forall \;t\;$ et le 2nd constant car $\;{\dot {\theta }}_{\!M}(t)={\dfrac {V_{\theta ,\,M}(t)}{r_{\!M}(t)}}\;$ $={\dfrac {V_{0}}{r_{\!M}}}\;\;\forall \;t$, le mouvement circulaire étant uniforme dans le sens direct${\bigg ]}\;$ et Ci-contre sachant que «$\;q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}=q\;V_{\theta ,\,M}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }\wedge B\;{\vec {u}}_{z}=q\;V_{\theta ,\,M}(t)\;B\;{\vec {u}}_{r}\;$» $\Rightarrow$ projeté sur $\;{\vec {u}}_{r}\;$ en «$\;{\overline {F}}_{\text{mag. de Lor}}(t)=q\;r_{\!M}\;{\dot {\theta }}_{\!M}\;B\;$» $\;{\big$la vitesse orthoradiale $\;V_{\theta ,\,M}(t)=r_{\!M}(t)\;{\dot {\theta }}_{\!M}(t)\;$ étant constante car chacun des facteurs l'est et $\;>0$, la vitesse angulaire l'étant${\big ]}$, Ci-contre pour projection radiale de $\;\left({\mathfrak {a}}\right)$ : «$\;q\;r_{\!M}\;{\dot {\theta }}_{\!M}\;B=-m\;r_{\!M}\;{\dot {\theta }}_{\!M}^{\,2}\;$» dont nous tirons la « vitesse angulaire $\;{\dot {\theta }}_{\!M}=-{\dfrac {q\;B}{m}}={\dfrac {\vert q\vert \;B}{m}}=\omega _{c}\;$» $\;{\big$dans la mesure où $\;q\;$ est $\;<0$, $\;\omega _{c}\;$ étant la pulsation cyclotron de la particule${\big )}$ $\;{\bigg$la période de rotation étant «$\;T={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{c}}}={\dfrac {2\;\pi \;m}{\vert q\vert \;B}}\;$» indépendante de la vitesse initiale${\bigg ]}$, puis le rayon de la trajectoire circulaire à l'aide de l'identification de la vitesse orthoradiale $\;V_{\theta ,\,M}=r_{\!M}\;{\dot {\theta }}_{\!M}\;$ avec la norme du vecteur vitesse initiale $\;V_{0}\;$ d'où $\;r_{\!M}={\dfrac {V_{0}}{{\dot {\theta }}_{\!M}}}={\dfrac {V_{0}}{\dfrac {\vert q\vert \;B}{m}}}\;$ soit finalement
$\;{\mathcal {R}}_{c}={\dfrac {m\;V_{0}}{\vert q\vert \;B}}\;$
$\;{\big$
$\;q<0{\big )}$

### Conclusion

Bien que l'exposé précédent ait l'inconvénient d'admettre la nature de la trajectoire suivie par la particule c'est ce qui est explicitement demandé dans le programme de physique de P.C.S.I., les principaux résultats étant ceux rappelés dans le paragraphe « résumé des principaux résultats » plus haut dans ce chapitre, les schémas qui y sont tracés restant les mêmes à condition que l'origine $\;O\;$ du repère cartésien associé au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ soit positionné au centre $\;C\;$ du cercle décrit, la vitesse instantanée $\;v_{0}\;$ s'identifiant à la norme du vecteur vitesse initiale $\;V_{0}$.

## En complément, mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétostatique uniforme, particule entrant obliquement par rapport au champ, mouvement hélicoïdal
### Exposé du problème : mouvement d’une particule chargée entrant dans un champ magnétostatique uniforme avec une « vitesse initiale oblique relativement à ce champ »

Une particule chargée $\;M\left(q\right)$, de masse $\;m$, entre dans un espace champ magnétostatique uniforme de vecteur champ «$\;{\vec {B}}\;$» en la position $\;M_{0}\;$ choisie comme origine $\;O\;$ du repérage intrinsèque avec un vecteur vitesse initiale «$\;{\vec {V}}_{0}\;$ ${\cancel {\perp }}\;$ et $\;\nparallel \;$ à $\;{\vec {B}}\;$» $\;{\big$à considérer comme complément $\;{\big$même si c'est un cas relativement fréquent dans la nature${\big )}\;$ car non explicitement au programme de physique de P.C.S.I.${\big ]}$ ;
nous nous proposons de déterminer le mouvement ultérieur de la particule dans le référentiel lié à l’espace champ magnétique $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ supposé galiléen quand elle n’est soumise qu’à la seule force magnétique de Lorentz «$\;{\vec {F}}_{\text{mag. de Lor}}(M)=q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\;$», $\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$ étant le vecteur vitesse de la particule à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}$ $\;{\big$en effet, même dans le cas où l'expérience se passe sur Terre, l'influence du poids de la particule peut toujours être négligée devant celle de la force magnétique de Lorentz $\;{\big$y compris quand cette dernière est nulle, donc sans action sur le mouvement de la particule, son poids n'ayant dans la pratique aucune influence car de norme excessivement petite${\big )}{\big ]}$ ;
nous choisissons une base cartésienne orthonormée directe $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ associée au référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ orienté à droite telle que
* $\;{\vec {u}}_{z}\;$ est colinéaire et de même sens que $\;{\vec {B}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {B}}=B\;{\vec {u}}_{z}\;$ avec $\;B=\Vert {\vec {B}}\Vert$,
* $\;{\vec {u}}_{x}\;$ tel que le vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}\;$ de la particule soit dans le plan de vecteurs directeurs $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{z}\,,\,{\vec {u}}_{x}\right\rbrace \;$ passant par la position initiale $\;M_{0}\;$ et tel que $\;V_{0,\,x}={\vec {V}}_{0}\cdot {\vec {u}}_{x}\;$ soit $\;>0\;$ et
* $\;{\vec {u}}_{y}={\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{x}\;$ orientant les angles du plan de vecteurs directeurs $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{z}\,,\,{\vec {u}}_{x}\right\rbrace \;$ passant par la position initiale $\;M_{0}$ ;
notant «$\;\beta _{0}={\widehat {\left({\vec {u}}_{z}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)}}\;$» l'angle d'inclinaison que fait le vecteur vitesse initiale avec le vecteur champ magnétostatique, de valeur «$\;\in \;\left]0\,,\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;\cup \;\left]+{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,+\pi \right[\;$», nous en déduisons
$\;{\vec {V}}_{0}=V_{0}\;\cos(\beta _{0})\;{\vec {u}}_{z}+V_{0}\;\sin(\beta _{0})\;{\vec {u}}_{x}\;$
$\;V_{0}=\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert \;$

### Rappel de la mise en équation par application de la r.f.d.n. en repérage intrinsèque dans le référentiel d’étude galiléen et nature du mouvement du projeté « M$_z$ » sur la direction du champ

Voir le paragraphe « mise en équation par application de la r.f.d.n. en repérage intrinsèque dans le référentiel d'étude galiléen » plus haut dans ce chapitre pour l'établissement de l'équation différentielle vectorielle du 1er ordre en $\;{\vec {V}}_{\!M}(t)$, le vecteur vitesse de la particule $\;M\left(q\right)\;$ de masse $\;m\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ galiléen,
$\;q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}=m\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{\!M}}{dt}}(t)\;:\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$
la projection de l'équation différentielle vectorielle $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ sur $\;{\vec {u}}_{z}\;$ conduisant à «$\;0=m\;{\dfrac {dV_{z,\,M}}{dt}}(t)\;$» $\;{\big$en rappelant que tout produit vectoriel non nul de deux vecteurs est $\;\perp \;$ à chacun de ses vecteurs${\big ]}\;$ nous en déduisons $\;V_{z,\,M}(t)=cste\;$ et la C.I. imposant «$\;V_{0,\,z}=V_{0}\;\cos(\beta _{0})\;$» $\Rightarrow$ $\;cste=V_{0}\;\cos(\beta _{0})\;$ soit «$\;V_{z,\,M}(t)=V_{0}\;\cos(\beta _{0})\;\;\forall \;t\;$» et la projection de l'équation différentielle vectorielle ( a) sur uz conduisant à «$\;V_{0}\;\cos(\beta _{0})=V_{z,\,M}(t)={\dfrac {dz_{M}}{dt}}(t)\;$» $\Rightarrow$ $\;z_{M}(t)=V_{0}\;\cos(\beta _{0})\;t+cste'\;$ et la C.I. $\;M_{0}\;$ en $\;O\;$ imposant «$\;z_{0}=0\;$» $\Rightarrow$ $\;cste'=0\;$ soit «$\;z_{M}(t)=V_{0}\;\cos(\beta _{0})\;t,\;\;\forall \;t\;$».
En conclusion, le mouvement du projeté orthogonal $\;M_{z}\;$ de la particule $\;M\;$ sur l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ après pénétration de cette dernière dans l'espace champ magnétostatique uniforme avec un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{0}\;$ incliné d'un angle $\;\beta _{0}\;$ par rapport à $\;{\vec {B}}\;$ est, dans le cas où la seule force s'exerçant sur $\;M\;$ est la force magnétique de Lorentz, rectiligne uniforme, de vitesse «$\;V_{0,\,z}=V_{0}\;\cos(\beta _{0})\;$» à partir de la cote initiale $\;z_{0}=0\;$ de la particule.

### Équation différentielle vectorielle du 1er ordre en « la composante vectorielle de la vitesse perpendiculaire au champ magnétostatique » résultant de la projection du vecteur vitesse sur le plan perpendiculaire à la direction du champ passant par la position initiale et nature du mouvement du projeté « M$_{xy}$ » de la particule sur le plan précédent

Décomposant le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$ de la particule $\;M\;$ suivant la direction du champ magnétostatique $\;{\overrightarrow {Mz}}\;$ et du plan $\;xMy\;\perp \;$ à $\;{\vec {B}}\;$ passant par $\;M\;$ soit «$\;{\vec {V}}_{\!M}(t)={\vec {V}}_{\!M,\,z}(t)+{\vec {V}}_{\!M,\,xy}(t)\;$», le 1er terme étant $\;\parallel \;$ à $\;{\vec {u}}_{z}\;$ et le 2nd $\;\parallel \;$ au plan $\;xMy\;$ ainsi que
Décomposant le vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{\!M}(t)\;$ de la particule $\;M\;$ suivant la direction du champ magnétostatique $\;{\overrightarrow {Mz}}\;$ et du plan $\;xMy\;\perp \;$ à $\;{\vec {B}}\;$ passant par $\;M\;$ soit «$\;{\vec {a}}_{M}(t)={\vec {a}}_{M,\,z}(t)+{\vec {a}}_{M,\,xy}(t)\;$», le 1er terme étant $\;\parallel \;$ à $\;{\vec {u}}_{z}\;$ et le 2nd $\;\parallel \;$ au plan $\;xMy$,
les liens entre les vecteurs accélérations et vitesses étant «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {a}}_{M}(t)={\dot {\vec {V}}}_{\!M}(t)\\{\vec {a}}_{M,\,z}(t)={\dot {\vec {V}}}_{\!M,\,z}(t)\\{\vec {a}}_{M,\,xy}(t)={\dot {\vec {V}}}_{\!M,\,xy}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$»,
l'équation différentielle vectorielle $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ du 1er ordre en $\;{\vec {V}}_{\!M}(t)$ se réécrit selon «$\;q\left[{\vec {V}}_{\!M,\,z}(t)+{\vec {V}}_{\!M,\,xy}(t)\right]\wedge {\vec {B}}=m\;{\dfrac {d\left[{\vec {V}}_{\!M,\,z}+{\vec {V}}_{\!M,\,xy}\right]}{dt}}(t)\;$» ou, en utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle ainsi que la linéarité de la dérivation temporelle, «$\;{\cancel {q\;{\vec {V}}_{\!M,\,z}(t)\wedge {\vec {B}}\;+}}\;q\;{\vec {V}}_{\!M,\,xy}(t)\wedge {\vec {B}}={\cancel {m\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{\!M,\,z}}{dt}}(t)\;+}}\;m\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{\!M,\,xy}}{dt}}(t)\;$» le 1er terme de chaque membre étant séparément nul $\;{\big$pour le membre de gauche parce que les deux vecteurs du produit vectoriel sont colinéaires et pour le membre de droite parce qu'il a été établi au paragraphe « rappel de la mise en équation par application de la r.f.d.n. en repérage intrinsèque dans le référentiel d'étude galiléen et nature du mouvement du projeté M$_z$ sur la direction du champ » plus haut dans ce chapitre que le mouvement de $\;M_{z}\;$ est uniforme${\big ]}$ d'où l'équation différentielle vectorielle $\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$ du 1er ordre en le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\!M,\,xy}(t)\;$ du projeté orthogonal $\;M_{xy}\;$ de la particule sur le plan $\;xOy$,
$\;q\;{\vec {V}}_{\!M,\,xy}(t)\wedge {\vec {B}}=m\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{\!M,\,xy}}{dt}}(t)\;:\;\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$
le problème de la détermination du mouvement du projeté orthogonal $\;M_{xy}\;$ de la particule $\;M\;$ sur le plan $\;\perp \;$ au champ $\;{\vec {B}}\;$ et passant par la position initiale de cette dernière étant le même que celui du paragraphe « exposé du problème : mouvement d'une particule chargée entrant dans un espace champ magnétostatique uniforme avec une vitesse initiale perpendiculaire à ce champ » plus haut dans ce chapitre, le vecteur vitesse initiale de $\;M_{xy}\;$ étant $\;{\vec {V}}_{0,\,xy}=V_{0}\;\sin(\beta _{0})\;{\vec {u}}_{x}$, nous en déduisons que le mouvement de $\;M_{xy}\;$ est
* uniforme de vitesse instantanée «$\;v_{M_{xy}}(t)=V_{0}\;\sin(\beta _{0})\;\;\forall \;t\;$» $\;{\big \$celle-ci étant définie comme composante du vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\!M,\,xy}(t)\;$ sur $\;{\vec {\tau }}_{xy}\;$ $\;{\big$le vecteur unitaire tangentiel de Frenet lié à $\;M_{xy}\;$ sur la trajectoire de ce dernier, choisi tel que $\;{\vec {\tau }}_{xy}(0)\;$ soit dans le sens de $\;{\vec {V}}_{0,\,xy}{\big ]}{\big \}$ ou encore «$\;v_{M_{xy}}(t)=v_{0,\,xy}\;\;\forall \;t\;$» en notant «$\;v_{0,\,xy}=V_{0}\;\sin(\beta _{0})\;$ la vitesse instantanée initiale de $\;M_{xy}\;$ sur sa trajectoire » et
* circulaire de rayon «$\;{\mathcal {R}}_{c,\,xy}={\dfrac {m\;v_{0,\,xy}}{\vert q\vert \;B}}\;$» ou encore «$\;{\mathcal {R}}_{c,\,xy}={\dfrac {m\;V_{0}\;\sin(\beta _{0})}{\vert q\vert \;B}}\;$» ;
la vitesse angulaire de rotation de $\;M_{xy}\;$ sur sa trajectoire $\;{\big$vitesse angulaire comptée positivement dans le même sens que $\;{\vec {\tau }}_{xy}\;$ et non relativement au sens $\;+\;$ du plan $\;xOy\;$ défini par $\;{\vec {u}}_{z}{\big )}\;$ est donc «$\;{\dfrac {v_{0,\,xy}}{{\mathcal {R}}_{c,\,xy}}}=$ ${\dfrac {v_{0,\,xy}}{\dfrac {m\;v_{0,\,xy}}{\vert q\vert \;B}}}={\dfrac {\vert q\vert \;B}{m}}\;$» c'est-à-dire «$\;\omega _{c}\;$ la pulsation cyclotron de la particule » et la période de rotation de $\;M_{xy}\;$ sur sa trajectoire est alors «$\;T_{xy}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{c}}}={\dfrac {2\;\pi \;m}{\vert q\vert \;B}}\;$» toujours indépendante de la vitesse linéaire initiale.

### Nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule

Le mouvement de la particule $\;M\left(q\right)\;$ entrant obliquement en $\;O$, dans l'espace champ magnétostatique uniforme de vecteur champ $\;{\vec {B}}=B\;{\vec {u}}_{z}\;$ dans lequel $\;B=\Vert {\vec {B}}\Vert$, avec un vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}$ $=V_{0,\,z}\;{\vec {u}}_{z}+v_{0,\,xy}\;{\vec {u}}_{x}\;$ dans lequel $\;\left(V_{0,\,z}\,,\,v_{0,\,xy}\right)\neq \left(0\,,\,0\right)$ $\;{\bigv_{0,\,xy}\;$ étant la vitesse instantanée initiale du projeté orthogonal $\;M_{xy}\;$ de la particule sur le plan $\;xOy$, comptée algébriquement dans le sens du mouvement choisi comme sens $\;+\;$ sur la trajectoire de $\;M_{xy}\;$${\big ]}\;$ étant le composé du mouvement circulaire uniforme du projeté orthogonal $\;M_{xy}\;$ de la particule sur le plan $\;xOy\;$ et du mouvement de dérive uniforme du projeté orthogonal $\;M_{z}\;$ de $\;M\;$ sur la direction $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ est un mouvement hélicoïdal uniforme, inscrit sur un cylindre de révolution d’axe $\;Cz$ $\;{\bigC\;$ étant le centre du cercle décrit par $\;M_{xy}{\big )}\;$ et de rayon «$\;{\mathcal {R}}_{c,\,xy}={\dfrac {m\;v_{0,\,xy}}{\vert q\vert \;B}}\;$», le « pas de l’hélice » étant «$\;p=\vert V_{0,\,z}\vert \;T_{xy}\;$» avec «$\;T_{xy}={\dfrac {2\;\pi \;m}{\vert q\vert \;B}}\;$ la période de rotation de $\;M_{xy}\;$ et $\;V_{0,\,z}\;$ la vitesse de dérive de $\;M_{z}\;$» soit «$\;p={\dfrac {2\;\pi \;m\;\vert V_{0,\,z}\vert }{\vert q\vert \;B}}\;$».
Ci-contre, à gauche, le cas d'une particule de charge $\;q>0\;$ entrant obliquement en $\;O\;$ dans l'espace champ magnétostatique uniforme de champ $\;{\vec {B}}\;$ avec une composante de vitesse initiale le long du champ $\;V_{0,\,z}>0$, l'hélice décrite est alors « gauche » $\;{\big$dans le cas non représenté où la composante de vitesse initiale le long du champ $\;V_{0,\,z}\;$ est $\;<0$, l'hélice décrite est alors « droite »${\big ]}$ ; notant «$\;\beta _{0}={\widehat {\left({\vec {u}}_{z}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)}}\;$» l'angle d'inclinaison que fait le vecteur vitesse initiale avec le vecteur champ magnétostatique, angle orienté par $\;{\vec {u}}_{y}$, nous en déduisons
* $\;V_{0,\,z}=V_{0}\;\cos(\beta _{0})$, l'hélice est alors « gauche pour $\;\beta _{0}\in \left]0\,,\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;\;$» et « droite pour $\;\beta _{0}\in \left]+{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,+\pi \right[\;\;$», son pas se réécrivant «$\;p={\dfrac {2\;\pi \;m\;V_{0}\;\vert \cos(\beta _{0})\vert }{q\;B}}\;$» ainsi que
* $\;v_{0,\,xy}=V_{0}\;\sin(\beta _{0})$, le rayon du cylindre support de l'hélice se réécrivant «$\;{\mathcal {R}}_{c,\,xy}={\dfrac {m\;V_{0}\;\sin(\beta _{0})}{q\;B}}\;$» ;
Ci-contre, à droite, le cas d'une particule de charge $\;q<0\;$ entrant obliquement en $\;O\;$ dans l'espace champ magnétostatique uniforme de champ $\;{\vec {B}}\;$ avec une composante de vitesse initiale le long du champ $\;V_{0,\,z}>0$, l'hélice décrite est alors « droite » $\;{\big$dans le cas non représenté où la composante de vitesse initiale le long du champ $\;V_{0,\,z}\;$ est $\;<0$, l'hélice décrite est alors « gauche »${\big ]}$ ; notant «$\;\beta _{0}={\widehat {\left({\vec {u}}_{z}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)}}\;$» l'angle d'inclinaison que fait le vecteur vitesse initiale avec le vecteur champ magnétostatique, angle orienté par $\;{\vec {u}}_{y}$, nous en déduisons
* $\;V_{0,\,z}=V_{0}\;\cos(\beta _{0})$, l'hélice est alors « droite pour $\;\beta _{0}\in \left]0\,,\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;\;$» et « gauche pour $\;\beta _{0}\in \left]+{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,+\pi \right[\;\;$», le pas de cette dernière se réécrivant «$\;p=$ ${\dfrac {2\;\pi \;m\;V_{0}\;\vert \cos(\beta _{0})\vert }{\vert q\vert \;B}}\;$» ainsi que
* $\;v_{0,\,xy}=V_{0}\;\sin(\beta _{0})$, le rayon du cylindre support de l'hélice se réécrivant «$\;{\mathcal {R}}_{c,\,xy}={\dfrac {m\;V_{0}\;\sin(\beta _{0})}{\vert q\vert \;B}}\;$».

## En complément, précession du vecteur vitesse de la particule chargée autour du champ magnétostatique uniforme, sens de rotation, retour sur la pulsation cyclotron de la particule

L'étude de la précession du vecteur vitesse d'une particule chargée $\;M\left(q\right)\;$ «$\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$» autour d'un champ magnétostatique uniforme «$\;{\vec {B}}\;$» quand $\;M\;$ n'est soumise qu'à la seule force magnétique de Lorentz «$\;{\vec {F}}_{\text{mag. de Lor}}(M)=q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\;$» n'est pas explicite dans le programme de physique de P.C.S.I., le choix d'exposer « la précession de $\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$ autour de $\;{\vec {B}}\;$» en complément de dynamique newtonienne résulte du fait que cette notion est un élément important de culture générale.

### Mise en évidence de la précession du vecteur vitesse de la particule chargée autour de la direction du champ magnétostatique

Considérant une particule chargée $\;M\left(q\right)\;$ dans l'espace champ magnétostatique uniforme de vecteur champ $\;{\vec {B}}\;$ dans laquelle « elle entre en $\;O\;$ avec un vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}\;$ de direction quelconque relativement à celle de $\;{\vec {B}}\;$», la particule n'étant soumis qu'à la seule « force magnétique de Lorentz $\;{\vec {F}}_{\text{mag. de Lor}}(M)=q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\;$» $\;{\big$avec $\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$ le vecteur vitesse de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ lié à la source du champ magnétostatique${\big ]}\;$ et
appliquant la r.f.d.n. à la particule $\;M\;$ de masse $\;m\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ supposé galiléen nous obtenons «$\;{\vec {F}}_{\text{mag. de Lor}}(M)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$» dans laquelle $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ est le vecteur accélération de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ c'est-à-dire la dérivée temporelle du vecteur vitesse de la particule au même instant $\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{\!M}}{dt}}(t)$, soit finalement l’équation différentielle vectorielle du 1er ordre en $\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$
$\;q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}=m\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{\!M}}{dt}}(t)\;:\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$
$\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{\!M}}{dt}}(t)={\dfrac {q}{m}}\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\;:\;\;{\dfrac {\left({\mathfrak {a}}\right)}{m}}=\left({\mathfrak {a}}'\right)\;$
définissant l'hodographe $\;\left({\mathcal {H}}\right)\;$ de pôle $\;O\;$ du mouvement de $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ selon la définition $\;\left({\mathcal {H}}\right)=\left\lbrace P,\;{\overrightarrow {OP}}(t)\;{\widehat {=}}\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {d{\overrightarrow {OP}}}{dt}}(t)={\vec {V}}_{\!P}(t)\;{\widehat {=}}\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{\!M}}{dt}}(t)\;$$^,$, nous pouvons réécrire l'équation différentielle vectorielle du 1er ordre en $\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$ «$\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{\!M}}{dt}}(t)={\dfrac {q}{m}}\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\;:\;\;\left({\mathfrak {a}}'\right)\;$» selon «$\;{\vec {V}}_{\!P}(t)={\dfrac {q}{m}}\;{\overrightarrow {OP}}(t)\wedge {\vec {B}}\;$» ou, en utilisant l'anticommutativité de la multiplication vectorielle, selon
$\;{\vec {V}}_{\!P}(t)=-{\dfrac {q}{m}}\;{\vec {B}}\wedge {\overrightarrow {OP}}(t)\;:\;\;\left({{\mathfrak {a}}'}_{P}\right)\;$
nous reconnaissons dans la relation $\;\left({{\mathfrak {a}}'}_{P}\right)\;$ l’« expression intrinsèque du vecteur vitesse d'un point $\;P\;$ en mouvement circulaire de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}=-{\dfrac {q}{m}}\;{\vec {B}}\;$ autour de l'axe passant par l'origine $\;O\;$ du repérage intrinsèque et support de $\;{\vec {\Omega }}\;$»
$\;{\vec {V}}_{\!P}(t)={\vec {\Omega }}\wedge {\overrightarrow {OP}}(t)\;$
ci-contre à gauche le schéma descriptif de la précession d'un champ vectoriel temporel quelconque $\;{\vec {A}}(t)\;$ en représentant ce dernier à partir d'un point fixe $\;O\;$ selon $\;{\overrightarrow {OP}}(t)\;{\widehat {=}}\;{\vec {A}}(t)\;$, la précession étant de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}\;$ autour de l'axe passant par $\;O\;$ et de même direction que $\;{\vec {\Omega }}$, la trajectoire de $\;P\;$ étant le cercle représenté en tiretés dans un plan $\;\perp \;$ à l'axe ; ci-contre à gauche ce schéma général est bien sûr applicable dans le cas particulier où $\;{\vec {A}}(t)={\vec {V}}_{\!M}(t)\;{\widehat {=}}\;{\overrightarrow {OP}}(t)\;$, la trajectoire de $\;P\;$ étant alors l'hodographe $\;\left({\mathcal {H}}\right)\;$ du mouvement de la particule $\;M\left(q\right)\;$ de masse $\;m\;$ dans l'espace champ magnétostatique uniforme de champ $\;{\vec {B}}\;$, le vecteur rotation instantanée étant $\;{\vec {\Omega }}=-{\dfrac {q}{m}}\;{\vec {B}}$ ;
ci-contre à droite le schéma descriptif de la précession du vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$ de la particule $\;M\left(q\right)\;$ de masse $\;m\;$ dans l'espace champ magnétostatique uniforme de champ $\;{\vec {B}}\;$ en représentant $\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$ à partir d'un point fixe $\;O$, la précession étant de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}=-{\dfrac {q}{m}}\;{\vec {B}}\;$ autour de l'axe passant par $\;O\;$ et de même direction que $\;{\vec {B}}$, ci-contre à droite ${\vec {\Omega }}\;$ étant de sens contraire à $\;{\vec {B}}\;$ pour une particule de charge positive $\;{\big$cas de la figure${\big )}\;$ et ci-contre à droite de même sens que $\;{\vec {B}}\;$ pour une particule de charge négative $\;{\big$cas non représenté${\big )}$ ; ci-contre à droite l'extrémité $\;P\;$ de $\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$ représenté à partir du point fixe $\;O$ $\;{\Big$telle que $\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;{\widehat {=}}\;{\overrightarrow {OP}}(t)\;$${\Big ]}\;$ décrit un cercle représenté en tiretés, le vecteur vitesse, à l'instant $\;t$, du point générique $\;P\;$ de ce cercle représentant le vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ de la particule au même instant $\;t$ ;
ci-contre à droite conséquences de la précession de ${\vec {V}}_{\!M}(t)$ autour de ${\vec {B}}$ : «$\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$ représenté à partir du point fixe $\;O\;$ restant sur un cône de révolution de sommet $\;O\;$ et d’axe de vecteur directeur $\;{\vec {\Omega }}=-{\dfrac {q}{m}}\;{\vec {B}}\;$» nous en déduisons ci-contre à droite $\;\succ \;$« l'angle non algébrisé $\;{\widehat {\left\lbrace {\vec {\Omega }}\,,\,{\vec {V}}_{\!M}(t)\right\rbrace }}\;$ reste constant égal à $\;\alpha _{0}\;$» $\;{\big$voir schéma ci-dessus à droite${\big )}\;$ ou encore que « l'angle d'inclinaison du vecteur vitesse ${\vec {V}}_{\!M}(t)$ de la particule relativement au vecteur champ magnétostatique $\;{\vec {B}}\;$ reste constant, de valeur $\;\pi -\alpha _{0}\;$ pour $\;q>0\;$ et $\;\alpha _{0}\;$ pour $\;q<0\;$» ainsi que ci-contre à droite $\;\succ \;$« l'extrémité $\;P\;$ de $\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$ représenté à partir du point fixe $\;O\;$ reste à égale distance du point $\;O\;$» c'est-à-dire «$\;\Vert {\vec {V}}_{\!M}(t)\Vert \;$ reste constante égale à $\;V_{0}$, permettant de retrouver la nature uniforme du mouvement de la particule $\;M\;$ dans l'espace champ magnétostatique uniforme ».

### Sens de rotation

D'après le paragraphe précédent, nous constatons que le sens de la précession dépend simultanément du sens du champ magnétostatique $\;{\vec {B}}\;$ sur la direction de précession et du signe de la charge $\;q\;$ de la particule :
* pour une particule de charge $\;q>0$, «$\;{\vec {\Omega }}=-{\dfrac {q}{m}}\;{\vec {B}}\;$ étant de sens contraire à $\;{\vec {B}}\;$» et, définissant le sens $\;+\;$ de rotation par le sens de $\;{\vec {B}}$, nous en déduisons que « le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$ de la particule $\;M\;$ est en précession dans le sens $\;-\;$» $\;{\big$c'est-à-dire le sens rétrograde $\;{\big$ou trigonométrique inverse ou encore horaire${\big )}\;$ en positionnant l'observateur tel que $\;{\vec {B}}\;$ vienne vers lui, voir schéma du paragraphe précédent ci-dessus à droite${\big ]}$ ;
* pour une particule de charge $\;q<0$, «$\;{\vec {\Omega }}=-{\dfrac {q}{m}}\;{\vec {B}}\;$ étant de même sens que $\;{\vec {B}}\;$» et, définissant le sens $\;+\;$ de rotation par le sens de $\;{\vec {B}}$, nous en déduisons que « le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$ de la particule $\;M\;$ est en précession dans le sens $\;+\;$» $\;{\big$c'est-à-dire le sens trigonométrique direct $\;{\big$ou anti-horaire${\big )}\;$ en positionnant l'observateur tel que $\;{\vec {B}}\;$ vienne vers lui, cas non représenté sur un schéma${\big ]}$.

### Retour sur la pulsation cyclotron de la particule

En comparant le vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}=-{\dfrac {q}{m}}\;{\vec {B}}\;$ de la précession du vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$ de la particule $\;M\left(q\right)\;$ de masse $\;m\;$ dans l'espace champ magnétostatique uniforme autour du champ $\;{\vec {B}}\;$ de ce dernier et En comparant la pulsation cyclotron $\;\omega _{c}={\dfrac {\vert q\vert \;B}{m}}\;$ de la particule $\;M\left(q\right)\;$ de masse $\;m\;$ dans ce même espace champ magnétostatique uniforme de vecteur champ magnétostatique $\;{\vec {B}}$ $\;{\bigB\;$ étant la norme du champ magnétostatique $\;\Vert {\vec {B}}\Vert {\big )}\;$, nous en déduisons que
$\;\omega _{c}\;$
$\;M\left(q\right)\;$
$\;m\;$
$\;{\vec {B}}\;$
$\;\Vert {\vec {\Omega }}\Vert \;$
$\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$
$\;M\;$
$\;{\vec {B}}\;$
$\;\omega _{c}=\Vert {\vec {\Omega }}\Vert ={\bigg \Vert }\!-{\dfrac {q}{m}}\;{\vec {B}}\,{\bigg \Vert }={\dfrac {\vert q\vert \;B}{m}}\;$

### Rayon de courbure de l’hélice décrite par la particule chargée entrant obliquement dans l’espace champ magnétostatique

L’application de la r.f.d.n. dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ galiléen à la particule chargée $\;M\left(q\right)\;$ de masse $\;m\;$ soumise à la seule force magnétique de Lorentz «$\;{\vec {F}}_{\text{mag. de Lor}}(M)=q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\;$» avec $\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$ le vecteur vitesse de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}$, référentiel lié à la source de l'espace champ magnétostatique uniforme de vecteur champ $\;{\vec {B}}$, donnant «$\;q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}=m\;{\vec {a}}_{M}(t),\;\;\left({\mathfrak {c}}\right)\;$» avec $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ le vecteur accélération de $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ au même instant $\;t\;$ et la projection de la relation $\;\left({\mathfrak {c}}\right)\;$ sur le « vecteur unitaire normal principal de la base locale de Frenet $\;{\vec {n}}_{M}\;$» nous conduisant à
$\;\Vert q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\,\Vert =m\;a_{n,\,M}(t)\;$
dans laquelle «$\;a_{n,\,M}(t)={\dfrac {v_{M}^{\,2}(t)}{{\mathcal {R}}_{c}(t)}}\;$ est l'accélération normale de la particule à l'instant $\;t\;$», $\;v_{M}(t)\;$ étant la vitesse instantanée de la particule $\;v_{M}(t)=$ ${\vec {V}}_{\!M}(t)\cdot {\vec {\tau }}_{M}\;$ et $\;{\mathcal {R}}_{c}(t)\;$ le rayon de courbure de la trajectoire en la position de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ et
dans laquelle «$\;\Vert q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\,\Vert =\vert q\vert \;\Vert {\vec {V}}_{\!M}(t)\Vert \;\Vert {\vec {B}}\Vert \;{\Bigg \vert }\sin \!\left[{\widehat {\left\lbrace q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\,,\,{\vec {B}}\right\rbrace }}\right]{\Bigg \vert }\;$» ou, $\;{\vec {\tau }}_{M_{0}}\;$ étant choisi dans le sens de $\;{\vec {V}}_{0}\;$ et le mouvement étant uniforme $\;{\big$voir le paragraphe « mise en évidence de la précession du vecteur vitesse de la particule chargée autour de la direction du champ magnétostatique (2ème conséquence) » $\;\Vert {\vec {V}}_{\!M}(t)\Vert =V_{0}\;$ plus haut dans ce chapitre${\big ]}\;$ $\Rightarrow$ $\;v_{M}(t)=\Vert {\vec {V}}_{\!M}(t)\Vert$ $\;{\big=V_{0}{\big ]}\;$ et,
dans laquelle l'« angle non algébrisé $\;{\widehat {\left\lbrace {\vec {\Omega }}\,,\,{\vec {V}}_{\!M}(t)\right\rbrace }}$ $\;{\bigg$avec $\;{\vec {\Omega }}=-{\dfrac {q}{m}}\;{\vec {B}}\;$ le vecteur rotation instantanée de précession du vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$ de la particule autour du champ magnétostatique $\;{\vec {B}}{\bigg ]}\;$ restant constant égal à $\;\alpha _{0}\;$ » $\;{\big$voir le paragraphe « mise en évidence de la précession du vecteur vitesse de la particule chargée autour de la direction du champ magnétostatique (1ère conséquence) » plus haut dans ce chapitre${\big ]}\;$ ou, avec «$\;{\widehat {\left\lbrace {\vec {\Omega }}\,,\,{\vec {V}}_{\!M}(t)\right\rbrace }}=\pi -{\widehat {\left\lbrace {\vec {B}}\,,\,q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\right\rbrace }}\;$» $\Rightarrow$ «${\widehat {\left\lbrace {\vec {B}}\,,\,q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\right\rbrace }}=\pi -\alpha _{0}={\widehat {\left\lbrace q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\,,\,{\vec {B}}\right\rbrace }}\;$» car non algébrisé $\Rightarrow$ ${\Bigg \vert }\sin \!\left[{\widehat {\left\lbrace q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\,,\,{\vec {B}}\right\rbrace }}\right]{\Bigg \vert }=\sin(\alpha _{0})\;$ soit finalement la réécriture de la norme de la force magnétique de Lorentz sous la forme dans laquelle «$\;\Vert q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\,\Vert =\vert q\vert \;v_{M}(t)\;B\;\sin(\alpha _{0})$ $\;{\bigB\;$ étant égal à $\;\Vert {\vec {B}}\Vert {\big ]}\;$ dans laquelle $\;v_{M}(t)=V_{0}\;$» ;
la projection de la relation $\;\left({\mathfrak {c}}\right)\;$ sur $\;{\vec {n}}_{M}\;$ se réécrit donc «$\;\vert q\vert \;v_{M}(t)\;B\;\sin(\alpha _{0})=m\;{\dfrac {v_{M}^{\,2}(t)}{{\mathcal {R}}_{c}(t)}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {R}}_{c}(t)={\dfrac {m\;v_{M}(t)}{\vert q\vert \;B\;\sin(\alpha _{0})}}\;$» ou, avec $\;v_{M}(t)=\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert =V_{0}\;\;\forall \;t$, l'expression du rayon de courbure de la trajectoire suivie par la particule dans l'espace champ magnétostatique uniforme de vecteur champ $\;{\vec {B}}$,
$\;{\mathcal {R}}_{c}(t)={\dfrac {m\;V_{0}}{\vert q\vert \;B\;\sin(\alpha _{0})}}=cste\;\;\forall \;t\;$
$\Downarrow$
$\;\alpha _{0}\neq {\dfrac {\pi }{2}}$
$\;{\big$
${\big )}$
$\;\alpha _{0}={\dfrac {\pi }{2}}$
$\;{\big$
${\big )}$
Remarque : Ayant établi dans le paragraphe « nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule » plus haut dans ce chapitre que le mouvement du projeté orthogonal sur le plan $\;xOy\;$ de la particule $\;M\left(q\right)\;$ entrant obliquement en $\;O$, dans l'espace champ magnétostatique uniforme de vecteur champ $\;{\vec {B}}=B\;{\vec {u}}_{z}\;$ dans lequel $\;B=\Vert {\vec {B}}\Vert$, avec un vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}$ $=V_{0,\,z}\;{\vec {u}}_{z}+v_{0,\,xy}\;{\vec {u}}_{x}\;$ dans lequel $\;\left(V_{0,\,z}\,,\,v_{0,\,xy}\right)\neq \left(0\,,\,0\right)$ $\;{\bigv_{0,\,xy}\;$ étant la vitesse instantanée initiale du projeté orthogonal $\;M_{xy}\;$ de la particule sur le plan $\;xOy$, comptée algébriquement dans le sens du mouvement choisi comme sens $\;+\;$ sur la trajectoire de $\;M_{xy}\;$${\big ]}\;$ est circulaire uniforme de rayon «$\;{\mathcal {R}}_{c,\,xy}={\dfrac {m\;v_{0,\,xy}}{\vert q\vert \;B}}\;$» soit, Remarque : en notant «$\;\beta _{0}={\widehat {\left({\vec {u}}_{z}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)}}\;$» l'angle d'inclinaison que fait le vecteur vitesse initiale avec le vecteur champ magnétostatique $\Rightarrow$ «$\;v_{0,\,xy}=V_{0}\;\sin(\beta _{0})\;$ avec $\;V_{0}=\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert \;$» ou, en introduisant l'angle non algébrisé $\;\alpha _{0}={\widehat {\left({\vec {\Omega }}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)}}$ $\;{\bigg$avec $\;{\vec {\Omega }}=-{\dfrac {q}{m}}\;{\vec {B}}\;$ le vecteur rotation instantanée de précession du vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$ de la particule autour du champ magnétostatique $\;{\vec {B}}{\bigg ]}$, «$\;\beta _{0}={\widehat {\left({\vec {u}}_{z}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)}}$ $=\left\lbrace {\begin{array}{l r}\pi -\alpha _{0}\!\!&\!\!{\text{pour }}q>0\\\alpha _{0}\!\!&\!\!{\text{pour }}q<0\end{array}}\right.\;$» $\Rightarrow$ «$\;v_{0,\,xy}=V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;$» et par suite Remarque : le rayon de la trajectoire circulaire suivie par $\;M_{xy}$ se réécrivant «$\;{\mathcal {R}}_{c,\,xy}={\dfrac {m\;V_{0}\;\sin(\alpha _{0})}{\vert q\vert \;B}}\;$» $\;{\bigg$lequel est aussi le rayon du cylindre de révolution support de la trajectoire hélicoïdale suivie par la particule $\;M\;$ de rayon de courbure «$\;{\mathcal {R}}_{c}={\dfrac {m\;V_{0}}{\vert q\vert \;B\;\sin(\alpha _{0})}}\;$»${\bigg ]}$, nous en déduisons le lien entre le rayon de courbure de l'hélice «$\;{\mathcal {R}}_{c}\;$», le rayon du cylindre de révolution support de l'hélice «$\;{\mathcal {R}}_{c,\,xy}\;$» et l'angle non algébrisé entre une tangente à l'hélice en un point quelconque et l'axe du cylindre «$\;\alpha _{0}\;$» soit
$\;{\mathcal {R}}_{c}={\dfrac {{\mathcal {R}}_{c,\,xy}}{\sin ^{2}(\alpha _{0})}}\;$

## En complément, établissement de l’expression du rayon de courbure relativiste de la trajectoire quand la particule relativiste entre perpendiculairement au champ magnétostatique uniforme par utilisation de la r.f.d.r.
### Exposé du problème : mouvement d’une particule chargée entrant dans un champ magnétostatique uniforme avec une « vitesse initiale perpendiculaire à ce champ » mais justifiant d’un traitement relativiste

Une particule chargée $\;M\left(q\right)$, de masse $\;m$, entre dans un espace champ magnétostatique uniforme de vecteur champ «$\;{\vec {B}}\;$» en la position $\;M_{0}\;$ choisie comme origine $\;O\;$ du repérage intrinsèque avec un vecteur vitesse initiale «$\;{\vec {V}}_{0}\;$ $\perp \;$ à $\;{\vec {B}}\;$» et de norme telle que la particule $\;M\;$ relève initialement de la cinétique relativiste $\;{\bigg \$c'est-à-dire que sa quantité de mouvement initiale $\;{\vec {p}}_{0}\neq m\;{\vec {V}}_{0}\;$ à plus de $\;1\;\%\;$ dans la mesure où la norme de sa vitesse relative $\;\Vert {\vec {\beta }}_{0}\Vert ={\bigg \Vert }{\dfrac {{\vec {V}}_{0}}{c}}{\bigg \Vert }\;$ est $\;{\cancel {\lesssim }}\;0,14$ $\;{\big$voir le paragraphe « définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique relativiste » du chap.$7$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »${\big ]}\;$ et que son énergie cinétique initiale $\;K_{0}\neq {\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{0}^{\,2}\;$ à plus de $\;1\;\%\;$ dans la mesure où la norme de sa vitesse relative $\;\Vert {\vec {\beta }}_{0}\Vert ={\bigg \Vert }{\dfrac {{\vec {V}}_{0}}{c}}{\bigg \Vert }\;$ est $\;{\cancel {\lesssim }}\;0,115$ $\;{\big$voir le paragraphe « définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinématique du point (condition de vitesse pour que l'énergie cinétique du point soit newtonienne) » du chap.$15$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »${\big ]}{\bigg \}$ ;
nous nous proposons de déterminer le mouvement ultérieur de la particule dans le référentiel lié à l’espace champ magnétique $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ supposé galiléen quand elle n’est soumise qu’à la seule force magnétique de Lorentz «$\;{\vec {F}}_{\text{mag. de Lor}}(M)=q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\;$», $\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$ étant le vecteur vitesse de la particule à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}$ $\;{\big$en effet, même dans le cas où l'expérience se passe sur Terre, l'influence du poids de la particule peut toujours être négligée devant celle de la force magnétique de Lorentz dans la mesure où celle-ci n'est pas nulle $\;{\big$et même si celle-ci était nulle il serait illusoire de tenir compte du poids, ce dernier étant de norme excessivement petite${\big )}{\big ]}$ ;
nous choisissons une base cartésienne orthonormée directe $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ associée au référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ orienté à droite telle que
* $\;{\vec {u}}_{z}\;$ est colinéaire et de même sens que $\;{\vec {B}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {B}}=B\;{\vec {u}}_{z}\;$ avec $\;B=\Vert {\vec {B}}\Vert$,
* $\;{\vec {u}}_{x}\;$ est colinéaire et de même sens que $\;{\vec {V}}_{0}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {V}}_{0}=V_{0}\;{\vec {u}}_{x}\;$ avec $\;V_{0}=\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert \;$ et
* $\;{\vec {u}}_{y}={\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{x}$.

### Conséquence de « la force magnétique de Lorentz, seule force exercée » : nature uniforme du mouvement

La force magnétique de Lorentz ne développant aucune puissance en étant la seule force appliquée à la particule, l’énergie cinétique de cette dernière $\;K_{M}(t)\;$ reste constante par application du théorème de la puissance cinétique et par suite le « facteur de Lorentz de la particule $\;{\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t)}{c^{2}}}}}}\;$ noté $\;\gamma _{M}(t)=1+{\dfrac {K_{M}(t)}{E^{\,0}}}$ $\;{\big$avec $\;E^{\,0}=m\;c^{2}\;$ l'énergie de masse de $\;M{\big )}\;$ aussi », la constante se déterminant par C.I. «$\;\Vert {\vec {V}}_{\!M}(0)\Vert =\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert =V_{0}\;$» $\Rightarrow$ $\;\gamma _{M}(0)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(0)}{c^{2}}}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{0}^{\,2}}{c^{2}}}}}}=\gamma _{0}\;$ soit «$\;\gamma _{M}(t)=\gamma _{0}\;\;\forall \;t\;$» dont nous pouvons déduire la nature uniforme du mouvement de la particule $\;{\Bigg\gamma _{M}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t)}{c^{2}}}}}}\;$ $\Rightarrow$ $\;1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t)}{c^{2}}}={\dfrac {1}{\gamma _{M}^{\,2}(t)}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{\!M}(t)\Vert }{c}}={\sqrt {1-{\dfrac {1}{\gamma _{M}^{\,2}(t)}}}}\;$ d'où «$\;\gamma _{M}(t)=\gamma _{0},\;\;\forall \;t\;$ $\Rightarrow$ $\;\Vert {\vec {V}}_{\!M}(t)\Vert =c\;{\sqrt {1-{\dfrac {1}{\gamma _{0}^{\,2}}}}}=V_{0},\;\;\forall \;t\;$»${\Bigg ]}$.

### Réécriture de la r.f.d.r. dans le « cas d’un mouvement uniforme »

L’application de la r.f.d. dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ galiléen à la particule chargée $\;M\left(q\right)\;$ de masse $\;m\;$ soumise à la seule force magnétique de Lorentz «$\;{\vec {F}}_{\text{mag. de Lor}}(M)=q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\;$», $\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$ étant le vecteur vitesse de la particule à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}$, soit
$\;{\vec {F}}_{\text{mag. de Lor}}(M)={\dfrac {d{\vec {p}}_{\!M}}{dt}}(t)\;$
$\;{\vec {p}}_{\!M}(t)\;$
$\;t\;$
L'application de la r.f.d. conduit, sachant que le vecteur quantité de mouvement de la particule à l'instant $\;t\;$ s'exprime en fonction des grandeurs d'inertie et cinématique sous la forme relativiste suivante «$\;{\vec {p}}_{\!M}(t)=$ $\gamma _{M}(t)\;m\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$ avec $\;\gamma _{M}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t)}{c^{2}}}}}}\;$ le facteur de Lorentz du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$» ou, le mouvement de $\;M\;$ étant uniforme $\Rightarrow$ «$\;\gamma _{M}(t)=\gamma _{0}\;\;\forall \;t\;$» $\;{\big$voir, dans le cadre de la dynamique relativiste, le paragraphe « conséquence de “ la force magnétique de Lorentz, seule force exercée ” : nature uniforme du mouvement » plus haut dans ce chapitre${\big ]}$, «$\;{\vec {p}}_{\!M}(t)=$ $\gamma _{0}\;m\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {d{\vec {p}}_{\!M}}{dt}}(t)=\gamma _{0}\;m\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{\!M}}{dt}}(t)\;$»,
L'application de la r.f.d. conduit à l'équation différentielle vectorielle du 1er ordre en $\;{\vec {V}}_{\!M}(t)$, le vecteur vitesse relativiste de la particule $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}$
$\;q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}=\gamma _{0}\;m\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{\!M}}{dt}}(t)\;:\;\;\left({\mathfrak {a}}''\right)\;$
$\;\gamma _{0}={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{0}^{\,2}}{c^{2}}}}}}\;$
$\;\gamma _{0}\;m=m_{\text{app}}\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$
$\;q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}=m_{\text{app}}\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{\!M}}{dt}}(t)\;:\;\;\left({\mathfrak {a}}''\right)\;$

### Conséquence de « la vitesse initiale perpendiculaire au champ magnétostatique » : nature plane du mouvement

Sachant que tout produit vectoriel non nul de deux vecteurs est $\;\perp \;$ à chacun de ses vecteurs, nous en déduisons que $\;q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\;$ est $\;\perp \;$ à $\;{\vec {B}}\;$ donc à $\;{\vec {u}}_{z}\;$ vecteur unitaire colinéaire à $\;{\vec {B}}\;$ et projetant l'équation différentielle $\;\left({\mathfrak {a}}''\right)\;$ sur $\;{\vec {u}}_{z}\;$ nous obtenons «$\;0=m_{\text{app}}\;{\dfrac {dV_{z,\,M}}{dt}}(t)\;$» $\Rightarrow$ $\;V_{z,\,M}(t)=cste\;$ et la C.I. $\;{\vec {V}}_{0}\perp {\vec {B}}\;$ imposant «$\;V_{0,\,z}=0\;$» $\Rightarrow$ $\;cste=0\;$ soit «$\;V_{z,\,M}(t)=0\;\;\forall \;t\;$» et projetant l'équation différentielle ( a ) sur uz nous obtenons «$\;0=V_{z,\,M}(t)={\dfrac {dz_{M}}{dt}}(t)\;$» $\Rightarrow$ $\;z_{M}(t)=cste'\;$ et la C.I. $\;M_{0}\;$ en $\;O\;$ imposant «$\;z_{0}=0\;$» $\Rightarrow$ $\;cste'=0\;$ soit «$\;z_{M}(t)=0\;\;\forall \;t\;$».
En conclusion, le mouvement de la particule $\;M\;$ pénétrant dans l'espace champ magnétostatique uniforme avec un vecteur vitesse relativiste $\;{\vec {V}}_{0}\;\perp \;$ à $\;{\vec {B}}\;$ est, dans le cas où la seule force s'exerçant sur $\;M\;$ est la force magnétique de Lorentz, plan, le plan du mouvement étant $\;\perp \;$ à $\;{\vec {B}}\;$ passant par la position initiale $\;M_{0}\;$ de la particule.

### Conséquence de la nature plane et uniforme du mouvement avec projection de la r.f.d.r. sur le vecteur unitaire normal principal de Frenet : nature circulaire du mouvement

Le mouvement de la particule $\;M\left(q\right)\;$ étant plan, dans le plan passant par $\;M_{0}=O\;$ et $\;\perp \;$ à $\;{\vec {B}}=B\;{\vec {u}}_{z}$ $\;{\Big$avec $\;B=\Vert {\vec {B}}\Vert {\Big )}$, c'est-à-dire le plan $\;xOy\;$ et la particule entrant dans l'espace champ magnétostatique uniforme en $\;O\;$ avec un vecteur vitesse relativiste $\;{\vec {V}}_{0}=v_{0}\;{\vec {u}}_{x}$ $\;{\Bigv_{0}\;$ étant la vitesse instantanée initiale de la particule encore égale à $\;\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert \;$ compte-tenu du choix du sens $\;+\;$ sur la trajectoire${\Big )}$, nous obtenons le schéma descriptif ci-contre dans l'hypothèse où $\;q\;$ est $\;>0$ $\;{\bigg$pour savoir de quel côté de $\;{\vec {V}}_{0}\;$ la courbe s’amorce nous déterminons la force magnétique de Lorentz «$\;{\vec {F}}_{\text{mag. de Lor}}(M_{0})=q\;{\vec {V}}_{0}\wedge {\vec {B}}\;$»$^,$, de direction $\;\perp \;$ au plan $\;\left({\vec {V}}_{0}\,,\,{\vec {B}}\right)\;$ ou $\;xOz\;$ c'est-à-dire portée par $\;Oy$, et de sens tel que $\;\left\lbrace q\;{\vec {V}}_{0}\,,\,{\vec {B}}\,,\,{\vec {F}}_{\text{mag. de Lor}}(M_{0})\right\rbrace \;$ soit direct dans l'espace physique orienté à droite $\Rightarrow$ «$\;{\vec {F}}_{\text{mag. de Lor}}(M_{0})\;$» de sens contraire à $\;{\vec {u}}_{y}{\bigg ]}$, la rotation de la particule se faisant dans le sens $\;-\;$ du plan $\;xOy$ $\;{\Big$le sens de $\;{\vec {F}}_{\text{mag. de Lor}}(M_{0})\;$ sur $\;Oy\;$ nous indique le sens du début de rotation mais le mouvement étant uniforme la rotation se poursuit dans le même sens${\Big ]}$ ; pour déterminer la nature de la trajectoire nous utilisons le repérage local de Frenet de base directe «$\;\left\lbrace {\vec {\tau }}_{M}\,,\,{\vec {n}}_{M}\,,\,{\vec {b}}=-{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$»$^,$$^,$$^,$ $\;{\big$l'espace physique étant orienté à droite${\big )}\;$ et projetons l'équation différentielle «$\;q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}=m_{\text{app}}\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{\!M}}{dt}}(t)\;:\;\;\left({\mathfrak {a}}''\right)\;$» sur $\;{\vec {n}}_{M}$, le vecteur unitaire normal principal de la base locale de Frenet$^,$, en utilisant
d'une part que «$\;q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\;$ étant $\;\perp \;$ à $\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$ et $\;{\vec {B}}\;$, donc à $\;{\vec {\tau }}_{M}\;$ et $\;{\vec {u}}_{z}$, est porté par $\;{\vec {n}}_{M}\;$», « son sens se déterminant par $\;\left\lbrace q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\,,\,{\vec {B}}\,,\,q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\right\rbrace \;$ direct dans l'espace physique orienté à droite est celui de $\;{\vec {n}}_{M}\;$» et
d'autre part que $\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{\!M}}{dt}}(t)\;$ étant $\;={\vec {a}}_{M}(t)\;$ sa projection sur $\;{\vec {n}}_{M}\;$ définit l'accélération normale de la particule $\;a_{n,\,M}(t)={\dfrac {v_{M}^{\,2}}{{\mathcal {R}}_{\!M}}}(t)\;$ avec $\;v_{M}(t)\;$ la vitesse instantanée de la particule $\;v_{M}(t)=$ ${\vec {V}}_{\!M}(t)\cdot {\vec {\tau }}_{M}\;$ et $\;{\mathcal {R}}_{\!M}(t)\;$ le rayon de courbure de la trajectoire en la position de la particule à l'instant $\;t\;$,
ce qui donne «$\;\Vert \,q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\,\Vert =m_{\text{app}}\;{\dfrac {v_{M}^{\,2}}{{\mathcal {R}}_{\!M}}}(t)\;$» avec «$\;\Vert \,q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\,\Vert =\vert q\vert \,\Vert {\vec {V}}_{\!M}(t)\Vert \,\Vert {\vec {B}}\vert \,{\bigg \vert }\sin \!{\widehat {\left[q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\,,\,{\vec {B}}\right]}}{\bigg \vert }\;$» dans laquelle $\;{\bigg \vert }\sin \!{\widehat {\left[q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\,,\,{\vec {B}}\right]}}{\bigg \vert }=1$ $\;{\Big$le mouvement se faisant dans le plan passant par $\;O\;$ et $\;\perp \;$ à $\;{\vec {B}}{\Big ]}\;$ et $\;\Vert {\vec {V}}_{\!M}(t)\Vert =v_{M}(t)$ $\;{\big$le sens $\;+\;$ étant choisi dans le sens du mouvement${\big ]}\;$ soit, en notant $\;\Vert {\vec {B}}\Vert =B$, «$\;\vert q\vert \;v_{M}(t)\;B=m_{\text{app}}\;{\dfrac {v_{M}^{\,2}}{{\mathcal {R}}_{\!M}}}(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {R}}_{\!M}(t)={\dfrac {m_{\text{app}}\;v_{M}(t)}{\vert q\vert \;B}}\;$» ;
le mouvement de la particule étant uniforme $\;v_{M}(t)=v_{0},\;\;\forall \;t$, le rayon de courbure de la trajectoire à l'instant $\;t\;$ se réécrit «$\;{\mathcal {R}}_{\!M}(t)={\dfrac {m_{\text{app}}\;v_{0}}{\vert q\vert \;B}},\;\;\forall \;t\;$» c'est-à-dire une constante et
le mouvement de la particule étant plan, la trajectoire suivie par la particule est circulaire $\;{\big$la seule courbe plane à rayon de courbure constant étant un cercle${\big )}$,
$\;{\mathcal {R}}_{c}={\dfrac {m_{\text{app}}\;v_{0}}{\vert q\vert \;B}}={\dfrac {\gamma _{0}\;m\;v_{0}}{\vert q\vert \;B}}={\dfrac {p_{0}}{\vert q\vert \;B}}\;$
$\;p_{0}=\gamma _{0}\;m\;v_{0}={\dfrac {m}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{0}^{\,2}}{c^{2}}}}}}\;v_{0}\;$
Remarque : La détermination du rayon de courbure $\;{\mathcal {R}}_{c}\;$ de la trajectoire d’une particule chargée dans un champ magnétostatique uniforme permet d’en déduire la norme de sa quantité de mouvement $\;p_{0}\;$ pourvu que sa charge $\;q\;$ soit connue $\;{\big$en fait seule sa valeur absolue est utile${\big )}\;$ ainsi que la norme du champ magnétostatique $\;B\;$ par «$\;p_{0}=\vert q\vert \;B\;{\mathcal {R}}_{c}\;$», cette même formule étant applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

## Approche documentaire, analyse de documents scientifiques montrant les limites relativistes avec utilisation des formules relativistes de l’énergie cinétique et de la quantité de mouvement : microscopie électronique

$\;\succ \;$La microscopie électronique permet d'obtenir une image très agrandie d’un échantillon, « les grossissements peuvent aller jusqu'à $\;5\;10^{6}\;$» soit $\;2500\;$ fois plus que ce qu’on peut obtenir avec le meilleur microscope optique, les deux principaux types de microscopes électroniques sont :
* le MET $\;{\big$acronyme de M(icroscope) E(lectronique en) T(ransmission)${\big ]}\;$ dans lequel un faisceau d'électrons accélérés $\;{\big$leur énergie cinétique valant de $\;40\;$ à $\;400\;keV\;$${\big )}\;$ est « transmis » à travers un échantillon très mince, les interactions de ces électrons avec l'échantillon fournissant une image électronique projetée à l'aide d'un système de lentilles magnétiques sur un écran phosphorescent, ce qui permet finalement d'observer une image optique ; le grossissement de ce microscope varie entre $\;10^{4}\;$ et $\;10^{5}$, la résolution de ce dernier pouvant atteindre $\;0,4\;{\text{Å}}\;$ est essentiellement limitée par les aberrations des lentilles magnétiques ; le principe du MET a été mis au point en $\;1931\;$ par Max Knoll et Ernst Ruska ce qui valut à ce dernier la moitié du prix Nobel de physique en $\;1986$ $\;{\big$ci-contre le principe de fonctionnement${\big ]}$ ;
* le MEB $\;{\big$acronyme de M(icroscope) E(lectronique à) B(alayage)${\big ]}\;$ dans lequel un faisceau d'électrons accélérés $\;{\big$leur énergie cinétique variant de $\;2\;$ à $\;20\;keV\;$ suivant le type d'émission électronique $\;{\big$thermoionique nécessitant une tension accélératrice de $\;20\;kV\;$ ou par effet de champ avec une tension accélératrice de $\;2\;$ à $\;7\;kV{\big )}\;$ utilisée provenant de la cathode${\big ]}\;$ est « focalisé » en un point balayant la surface d'un échantillon de façon à analyser cette surface, les interactions de ces électrons avec la surface locale de l'échantillon entourant le point de focalisation produisant, dans l'espace d'arrivée de ces électrons, leur renvoi $\;{\big$électrons rétrodiffusés $\;{\big$incidents déviés de façon quasi-élastiques${\big )}{\big ]}$ ou l'émission d'autres particules $\;{\big$électrons secondaires $\;{\big$peu liés aux atomes${\big )}$, électrons Auger $\;{\big$émis à partir de couche interne lors de la désexcitation d’atomes${\big )}\;$ et rayons X${\big ]}$, l'ensemble étant capté par différents détecteurs permettant de reconstruire une image en trois dimensions de la surface grâce au balayage de celle-ci ; le grossissement de ce microscope peut atteindre $\;2\;10^{4}$, sa résolution varie de $\;4\;$ à $\;200\;{\text{Å}}\;$ ; le 1er MEB construit en $\;1938\;$ par Manfred von Ardenne était en fait un METB $\;{\big$acronyme de M(icroscope) E(lectronique en) T(ransmission à) B(alayage)${\big ]}\;$ permettant l'étude d'échantillons très fins en transmission par balayage, le 1er vrai MEB fut construit par Charles William Oatley et Dennis McMullan en $\;1952\;$ avec une résolution de $\;500\;{\text{Å}}\;$ ce qui rendait ainsi pour la 1ère fois cet effet de relief caractéristique de la microscopie électronique à balayage $\;{\big$ci-contre le principe de fonctionnement${\big ]}$.
$\;\succ \;$En pratique « la résolution spatiale intrinsèque » est « toujours plus grande » que la longueur d’onde du rayonnement incident ${\Bigg\!$longueur d'onde de de Broglie des électrons incidents «$\;\lambda _{d.B.}={\dfrac {h}{p}}\;$» soit, dans un MEB où les électrons incidents sont quasi-newtoniens $\Rightarrow$ $\;K={\dfrac {p^{2}}{2\;m}}\left[=e\;U_{\text{accél}}\right]\;$ $\Rightarrow$ $\;p={\sqrt {2\;m\;K}}={\sqrt {2\;m\;e\;U_{\text{accél}}}}\;$ d'où «$\;\lambda _{d.B.}={\dfrac {h}{\sqrt {2\;m\;e\;U_{\text{accél}}}}}\;$» c'est-à-dire pour $\;U_{\text{accél}}\in \left[2,0\;kV\,;\,20\;kV\right]\;$ «$\;\lambda _{d.B.}\in \left[0,087\;{\text{Å}}\,;\,0,275\;{\text{Å}}\right]\;$» et, dans un MET où les électrons incidents sont usuellement relativistes $\Rightarrow$ $\;K\left[=e\;U_{\text{accél}}\right]={\mathcal {E}}-E^{\,0}\;$ avec $\;E^{\,0}=m\;c^{2}\;$ l'énergie de masse de l'électron et $\;{\mathcal {E}}={\sqrt {p^{2}\;c^{2}+\left(E^{\,0}\right)^{\!2}}}\;$ l'énergie totale de ce dernier d'où $\;p\;c={\sqrt {{\mathcal {E}}^{2}-\left(E^{\,0}\right)^{\!2}}}={\sqrt {\left(E^{\,0}+K\right)^{\!2}-\left(E^{\,0}\right)^{\!2}}}={\sqrt {K\,\left(2\;E^{\,0}+K\right)}}={\sqrt {e\;U_{\text{accél}}\,\left(2\;E^{\,0}+e\;U_{\text{accél}}\right)}}\;$ d'où «$\;\lambda _{d.B.}={\dfrac {h\;c}{\sqrt {e\;U_{\text{accél}}\,\left(2\;E^{\,0}+e\;U_{\text{accél}}\right)}}}\;$» c'est-à-dire pour $\;U_{\text{accél}}\;$ variant entre $\;40\;kV\;$ et $\;400\;kV\;$ «$\;\lambda _{d.B.}\in \left[0,0165\;{\text{Å}}\,;\,0,060\;{\text{Å}}\right]\;$»${\Bigg )}$.
$\;\succ \;$A priori il n'y a donc que dans le cas d'un MET où les électrons incidents sont relativistes mais, bien que ce ne soit pas usuellement le cas dans un MEB, nous les considérerons également relativistes $\;{\big$les particules newtoniennes étant un cas particulier des mêmes relativistes${\big )}$ ; ci-dessous un tableau récapitulatif de valeurs correspondantes $\;\left\lbrace U_{\text{accél}}\,,\,\lambda _{d.B.}\,,\,{\mathcal {E}}\,,\,\gamma \,,\,\beta \right\rbrace$ $\;{\bigg$pour les valeurs de la norme de vitesse relative des électrons incidents $\;\beta ={\dfrac {\Vert {\vec {V}}\Vert }{c}}\lesssim \;0,1\;$ les électrons auraient pu être considérés comme newtoniens${\bigg ]}$, ce que confirment les valeurs de la colonne supplémentaire «$\;\lambda _{d.B.,\,{\text{hyp. newt.}}}={\dfrac {h}{p_{\text{hyp. newt.}}}}=$ ${\dfrac {h}{\sqrt {2\;m\;e\;U_{\text{accél}}}}}\;$» du tableau évaluées dans l'hypothèse d'un électron supposé newtonien, les valeurs des constantes étant celles rappelées dans les notes « $^{70}$ » et « $^{67}$ » plus haut dans ce chapitre $\;{\Bigg$la formule pour évaluer la longueur d'onde de de Broglie en fonction de la tension accélératrice dans le cas d'un électron relativiste étant «$\;\lambda _{d.B.}={\dfrac {h\;c}{\sqrt {e\;U_{\text{accél}}\,\left(2\;E^{\,0}+e\;U_{\text{accél}}\right)}}}\;$» $\;{\big$établie un peu plus haut dans ce paragraphe${\big )}$, «$\;{\mathcal {E}}=K+E^{\,0}=e\;U_{\text{accél}}+E^{\,0}\;$», «$\;\gamma ={\dfrac {\mathcal {E}}{E^{\,0}}}\;$» et de $\;\gamma ={\dfrac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\;$ on tire $\;1-\beta ^{2}={\dfrac {1}{\gamma ^{2}}}\;$ soit «$\;\beta ={\sqrt {1-{\dfrac {1}{\gamma ^{2}}}}}={\dfrac {\sqrt {\gamma ^{2}-1}}{\gamma }}\;$»${\Bigg ]}$ :
$\;{\begin{array}{|c | c | c | c | c | c |}\hline \quad U_{\text{accél}}\;\left(kV\right)\quad &\quad \lambda _{d.B.}\;\left(pm\right)\quad &\quad {\mathcal {E}}\;\left(keV\right)\quad &\qquad \gamma \qquad &\qquad \beta \qquad &\;\;\lambda _{d.B.,\,{\text{hyp. newt.}}}\;\left(pm\right)\;\;\\\hline 1,00&38,8&512&1,002&0,062&38,9\\\hline 2,00&27,4&513&1,004&0,088&27,5\\\hline 5,00&17,3&516&1,010&0,139&17,4\\\hline 10,0&12,2&521&1,020&0,195&12,3\\\hline 20,0&8,60&531&1,039&0,272&8,70\\\hline 50,0&5,36&561&1,098&0,413&5,50\\\hline 100&3,71&611&1,196&0,548&3,89\\\hline 200&2,51&711&1,391&0,695&2,75\\\hline 500&1,42&1011&1,978&0,863&1,74\\\hline 1000&0,872&1511&2,957&0,941&1,23\\\hline \end{array}}\;$
Conclusion : Sachant que seules les trois 1$^{ères}$ lignes de ce tableau satisfont à la condition d'électrons incidents newtoniens à savoir «$\;K\lesssim 10^{-2}\;E^{\,0}\simeq 5,11\;keV\;$ $\Leftarrow$ $\;U_{\text{accél}}\lesssim 5,11\;kV\;$», nous vérifions que la longueur d’onde de de Broglie des électrons incidents évaluée dans le cadre de la cinétique relativiste ou newtonienne donne effectivement le même résultat à moins de $\;1\;\%\;$ près et que
Conclusion : nous pouvons être moins strict dans la possibilité d'utiliser la cinétique newtonienne pour évaluer la longueur d'onde de de Broglie de ces électrons à moins de $\;1\;\%\;$ près, le tableau nous montrant que la « condition $\;U_{\text{accél}}\leqslant 10,0\;kV\;$» est suffisante ;
Conclusion : dans les autres lignes nous observons que la longueur d’onde de de Broglie des électrons incidents est surestimée dans l’approximation newtonienne par rapport à l'évaluation relativiste et par conséquent que
Conclusion : « la résolution spatiale intrinsèque nécessite de tenir compte de l’approximation relativiste pour obtenir des résultats en accord avec l’expérience ».