# Espaces vectoriels normés/Espaces de Banach - Complétude

Dans toute la suite, (E, ∥ ∥) est un espace vectoriel normé (e.v.n.).

## Suites de Cauchy

La notion générale de suite de Cauchy à valeurs dans un espace métrique se particularise à un e.v.n., avec la définition suivante :
Une suite $(u_{n})$ d'éléments de E est dite de Cauchy si :
$\forall \varepsilon >0\quad \exists n\in \mathbb {N} \quad \forall p,q\in \mathbb {N} \quad p,q\geq n\Rightarrow \|u_{q}-u_{p}\|<\varepsilon$
Voici deux propriétés vraies dans tout espace métrique :
* Toute suite de Cauchy est bornée.
* Toute suite convergente est de Cauchy.

## Espace de Banach

* E est dit complet si, dans E, toute suite de Cauchy est convergente.
* On appelle espace de Banach tout espace vectoriel normé complet.
ℝ$^n$ est complet pour la norme ∥ ∥$_p$, pour tout p ∈ [1, +∞] (donc en fait pour toutes les normes sur cet espace car, comme nous le verrons au chapitre suivant, toutes sont équivalentes).
* L'exemple classique d'espace métrique non complet est ℚ (muni de la distance usuelle).
* Pour trouver un exemple d'espace vectoriel normé (sur ℝ) non complet, il faut sortir des sentiers battus puisque d'après l'exemple ci-dessus, les e.v.n. réels de dimension finie sont complets. Mais en fait, tout e.v.n. réel de dimension dénombrable est non complet. Plus concrètement : $\mathbb {R} [X]$ vu comme sous-e.v.n. de $C([0,1])$ (l'espace des fonctions continues de $[0,1]$ dans $\mathbb {R}$, muni de la norme de la convergence uniforme), est (comme ℚ dans ℝ) dense (théorème de Stone-Weierstrass) donc non fermé donc non complet.
Pour toute série convergente à valeurs dans E, on a une majoration de la norme de la somme (par passage à la limite dans la majoration évidente des normes des sommes partielles) :
    $\left\|\sum _{n=0}^{+\infty }x_{n}\right\|\leq \sum _{n=0}^{+\infty }\|x_{n}\|$,
mais ce majorant peut être $+\infty$.
    Une série à valeurs dans E est dite « absolument convergente » si elle vérifie : $\sum \|x_{n}\|<+\infty$.
Cette appellation est trompeuse car — contrairement au cas où E est de dimension finie — si E est un e.v.n. quelconque, une telle série ne converge pas nécessairement dans E ; l'implication qu'elle sous-entend est en fait une caractérisation des espaces de Banach :
E est complet si et seulement si, dans E, toute série absolument convergente est convergente.
* Supposons que E est complet. Soit, dans E, une série absolument convergente, de terme général $x_{n}$. Alors, la suite de ses sommes partielles $S_{n}:=\sum _{k=0}^{n}x_{k}$ est de Cauchy, car pour $q>p\geq n$, $\left\|S_{q}-S_{p}\right\|=\left\|\sum _{k=p+1}^{q}x_{k}\right\|\leq \sum _{k=p+1}^{q}\left\|x_{k}\right\|\leq \sum _{k=n+1}^{\infty }\left\|x_{k}\right\|\to 0$ quand $n\to \infty$. Par conséquent, E étant complet, la suite $(S_{n})$ — et donc la série de terme général $x_{n}$ — est convergente.
* Réciproquement, supposons que dans E, toute série absolument convergente est convergente et considérons une suite de Cauchy $(x_{n})$. Elle admet alors une sous-suite $(s_{n})$ telle que $\left\|s_{n+1}-s_{n}\right\|\leq 2^{-n}$. La série de terme général $s_{n+1}-s_{n}$ est absolument convergente donc (par hypothèse sur E) convergente, autrement dit la sous-suite $(s_{n})$ converge, donc la suite de Cauchy $(x_{n})$ aussi, ce qui prouve que E est complet. Ou encore (par contraposition) : si E n'est pas complet, soient $S$ un vecteur qui n'appartient pas à E mais seulement à son complété et $(S_{n})$ une suite dans E telle que $\left\|S-S_{n}\right\|\leq 2^{-n}$, alors la série de terme général $S_{n+1}-S_{n}$ est absolument convergente, mais sa somme dans le complété, $S-S_{0}$, n'appartient pas à E.

## Théorèmes

Dans un espace de Banach, on dispose, comme dans tout espace métrique complet, du théorème des fermés emboîtés, du critère de Cauchy pour une fonction et du théorème du point fixe de Picard-Banach.
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