# Fonctions d'une variable réelle/Continuité uniforme

Dans tout ce chapitre, $f:I\to \mathbb {R}$ est une fonction définie sur un intervalle $I$.
Les notions de fonction uniformément continue / höldérienne / lipschitzienne seront étendues aux espaces métriques à peu de frais, dans la leçon « Topologie générale » (niveau 16).

## Définition

Voici une notion de continuité plus fine que la continuité « simple ». Elle sert d'un point de vue théorique notamment à construire l'intégrale de Riemann ou à démontrer le théorème de Weierstrass sur l'approximation de fonctions.
$f$ est dite uniformément continue sur $I$ si :
$\forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad \forall \left(x,y\right)\in I^{2}\quad \left|x-y\right|\leq \delta \Rightarrow \left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|\leq \varepsilon$
La continuité « simple » de $f$ sur $I$ s'écrit par comparaison : $\forall \varepsilon >0\quad \forall x\in I\quad \exists \delta >0\quad \forall y\in I\quad \left|x-y\right|\leq \delta \Rightarrow \left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|\leq \varepsilon$.
Le terme « uniforme » signifie que le choix de $\delta$ en fonction de $\varepsilon$, dans la définition de la continuité uniforme, ne dépend pas du point $x$ considéré ; il est uniforme sur $I$.

## Propriétés et exemples

D'après la comparaison ci-dessus des deux définitions, on a immédiatement :
Toute fonction uniformément continue est continue.
La réciproque est fausse, comme le montre l'exemple suivant :
$g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}$
$\exists \varepsilon >0\quad \forall \delta >0\quad \exists x,y\in \mathbb {R} \quad \left|x-y\right|\leq \delta {\text{ et }}\left|g(x)-g(y)\right|>\varepsilon$
$\varepsilon =2$
$\delta >0$
$x$
$y$
${\frac {1}{\delta }}+\delta$
${\frac {1}{\delta }}$
$\left|x-y\right|\leq \delta \quad {\text{et}}\quad \left|g(x)-g(y)\right|=\left({\frac {1}{\delta ^{2}}}+2\delta {\frac {1}{\delta }}+\delta ^{2}\right)-{\frac {1}{\delta ^{2}}}=2+\delta ^{2}>\varepsilon$
Un autre contre-exemple est la fonction $\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ x\mapsto \sin(\mathrm {e} ^{x})$.
On a cependant une réciproque partielle :
Toute fonction continue sur un intervalle fermé borné est uniformément continue.
Démontrons la contraposée, en supposant $f:\left[a,b\right]\to \mathbb {R}$ non uniformément continue et en prouvant qu'elle est alors discontinue en au moins un point de $\left[a,b\right]$.
Par hypothèse, il existe $\varepsilon >0$ tel que
$\forall \delta >0\quad \exists x,y\in \left[a,b\right]\quad \left|x-y\right|<\delta {\text{ et }}\left|f\left(y\right)-f\left(x\right)\right|\geq \varepsilon$
donc (en prenant $\delta ={\frac {1}{n}}$) pour tout entier $n>0$, on peut alors choisir dans $\left[a,b\right]$ deux éléments $x_{n}$ et $y_{n}$ tels que
$\left|x_{n}-y_{n}\right|<{\frac {1}{n}}$ et $\left|f\left(y_{n}\right)-f\left(x_{n}\right)\right|\geq \varepsilon$.
La suite $\left(x_{n}\right)$ étant à valeurs dans $\left[a,b\right]$, elle est bornée. Le théorème de Bolzano-Weierstrass assure qu'il existe une sous-suite $\left(x_{\varphi \left(n\right)}\right)$ qui converge. Soit $\ell$ sa limite (qui appartient à $\left[a,b\right]$, par passage à la limite dans les inégalités). La relation $\left|x_{\varphi \left(n\right)}-y_{\varphi \left(n\right)}\right|<{\frac {1}{\varphi \left(n\right)}}\leq {\frac {1}{n}}$ montre que $\left(y_{\varphi (n)}\right)$ converge aussi vers $\ell$.
Il s'ensuit que pour tout $\delta >0$, il existe $x,y\in \left]\ell -\delta ,\ell +\delta \right[\cap \left[a,b\right]$ tels que
    $\left|f\left(y\right)-f\left(x\right)\right|\geq \varepsilon$
donc tels que
    $\left|f\left(x\right)-f\left(\ell \right)\right|\geq \varepsilon /2$ ou $\left|f\left(y\right)-f\left(\ell \right)\right|\geq \varepsilon /2$,
ce qui prouve que $f$ est discontinue au point $\ell$.

## Fonctions lipschitziennes et höldériennes

$f$ est dite lipschitzienne sur $I$ si, pour une certaine constante $k$ :
$\forall x,y\in I\quad \left|f(x)-f(y)\right|\leq k\left|x-y\right|$
On dit alors que $f$ est $k$-lipschitzienne. S'il existe de tels $k$ alors le plus petit d'entre eux existe et est appelé la constante de Lipschitz de $f$.
Une fonction dérivable sur un intervalle réel est lipschitzienne si et seulement si sa dérivée est bornée.
Si $f$ est $k$-lipschitzienne sur un intervalle $I$ alors, pour tous $x,y\in I$ distincts, $\left|{\frac {f(y)-f(x)}{y-x}}\right|\leq k$. Par passage à la limite quand $y\to x$, on en déduit que $\left|f'\left(x\right)\right|\leq k$ pour tout $x\in I$.
Réciproquement, si $|f'|\leq k$ alors $f$ est $k$-lipschitzienne : c'est l'inégalité des accroissements finis.
* Si $f$ est de classe C$^1$ sur un intervalle $I$ fermé borné alors $f$ est lipschitzienne sur $I$ (en effet, $f'$, continue sur $I$, est bornée d'après le théorème des bornes).
* Soit $\alpha \in \left]0,1\right[$. Pour tout $\varepsilon >0$, la fonction $f:x\mapsto x^{\alpha }$ n'est pas lipschitzienne sur $\left[0,\varepsilon \right]$ ni même (ce qui par continuité est en fait équivalent) sur $\left]0,\varepsilon \right]$ :
** Démonstration directe : $\forall x>0\quad {\frac {f(x)-f(0)}{x}}=x^{\alpha -1}$, qui n’est pas bornée au voisinage de $0$.
** Démonstration en utilisant la dérivée : $f':\left]0,\varepsilon \right]\to \mathbb {R} ,\;x\mapsto \alpha x^{\alpha -1}$ n'est pas bornée.
* Soit $\alpha \in \left]1,+\infty \right[$. Pour tout $A>0$, la fonction $f:x\mapsto x^{\alpha }$ n'est pas lipschitzienne sur $\left]A,+\infty \right[$ :
** Démonstration directe : $\forall x>0\quad {\frac {f(2x)-f(x)}{2x-x}}=\left(2^{\alpha }-1\right)x^{\alpha -1}$, qui n'est pas bornée au voisinage de l'infini.
** Démonstration en utilisant la dérivée : $f':\left]A,+\infty \right[\to \mathbb {R} ,\;x\mapsto \alpha x^{\alpha -1}$ n'est pas bornée.
$f$
$I$
$a\in \left]0,1\right]$
$k$
$\forall x,y\in I\quad \left|f(x)-f(y)\right|\leq {k\left|x-y\right|^{a}}$
On dit alors que $f$ est $a$-höldérienne : si $a=1$ , on retrouve la notion de fonction lipschitzienne.
* La fonction puissance d'exposant $a$, pour $0<a\leq 1$, est $a$-höldérienne (cf. cet exercice corrigé du chapitre « Dérivabilité »).
* En particulier, la fonction $\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto {\sqrt {x}}$ est ${\tfrac {1}{2}}$-höldérienne. En effet, on démontre facilement la majoration suivante :$\forall x,y\in \mathbb {R} _{+}\quad \left|{\sqrt {x}}-{\sqrt {y}}\right|\leq {\sqrt {\left|x-y\right|}}$.
Toute fonction höldérienne est uniformément continue.
Il suffit de prendre $\delta \leq \left(\varepsilon /k\right)^{1/a}$ dans la définition de la continuité uniforme.
La réciproque est fausse, comme le montre l'exemple suivant :
La fonction $f$ définie sur $\left[0,1/2\right]$ par : $f(0)=0$ et $\forall x\in \left]0,1/2\right]\quad f(x)=1/\ln x$ est continue donc (d'après le théorème de Heine) uniformément continue, mais elle n'est $a$-höldérienne pour aucune valeur de $a$.
| Convexité | Courbes asymptotes |