# Théorie des groupes/Théorème de Gaschütz
## Complément d'un sous-groupe

Rappelons la définition d'un complément, qui a été donnée au chapitre Produit semi-direct :
Soient H et K des sous-groupes d'un groupe G. On dit que K est un complément de H (dans G) si $G=HK$ et $H\cap K=1$.
Si G = HK, on a aussi G = KH (passer aux inverses, ou encore utiliser le fait, démontré dans la série Groupes, premières notions, que si H et K sont deux sous-groupes d'un groupe G, alors HK = KH si et seulement si HK est un sous-groupe de G). Donc si K est un complément de H, H est un complément de K.
On vérifie facilement que K est un complément de H dans G si et seulement si K est une transversale droite (resp. gauche) de H dans G.
Si deux compléments d'un même sous-groupe sont en relation d'inclusion, ils sont égaux.
Démonstration. Voir exercices.

## Argument de Frattini

Soient G un groupe opérant (à gauche ou à droite) sur un ensemble X et H un sous-groupe de G tel que l'opération de H sur X induite par celle de G soit transitive. Alors, pour tout élément x de X, $\ G=G_{x}H$ (où $\ G_{x}$ désigne le stabilisateur de x dans G). Si de plus $\ H_{x}=1$, $\ G_{x}$ est un complément de H dans G.
La première assertion de l'énoncé a été démontrée dans Théorie des groupes/Action de groupe.
La seconde est claire, puisque $H_{x}=H\cap G_{x}.$

## Théorème de Gaschütz
### Énoncé

Soient G un groupe fini, K un sous-groupe normal et commutatif de G, U un sous-groupe de G tel que $K\leq U$ et $(\vert K\vert ,\vert G:U\vert )=1.$
(a) Si K admet un complément dans U, il admet un complément dans G.
(b) Si $H_{0}$ et $H_{1}$ sont deux compléments de K dans G tels que $H_{0}\cap U=H_{1}\cap U$, alors $H_{0}$ et $H_{1}$ sont conjugués dans G.

### Démonstration

La démonstration qui suit est essentiellement celle que donnent Kurzweil et Stellmacher, qui en créditent G. Glauberman.
Notons tout d’abord que, puisque K est normal dans G, il n'y a pas à distinguer entre classes à gauche et classes à droite modulo K. On peut donc parler d'éléments congrus entre eux modulo K. En revanche, puisque U n’est pas supposé normal dans G, il faut dire explicitement si on considère une classe à gauche ou à droite modulo U.
Démontrons la partie (a) de l'énoncé.
Par hypothèse, nous pouvons choisir un complément A de K dans U. Alors :
    $(1)\qquad U=AK$
et
    $(2)\qquad A\cap K=1.$
Soit W une transversale droite de U dans G.
    $\ (3)$ Deux éléments de KW appartiennent à la même classe à droite modulo U si et seulement s'ils sont congrus modulo K.
Puisque K est contenu dans U, deux éléments de G congrus modulo K appartiennent évidemment à la même classe à droite modulo U.
Réciproquement, soient r, s deux éléments de KW appartenant à la même classe à droite modulo U. Puisque r et s sont supposés appartenir à KW, nous avons $r=k_{1}w_{1}$ et $s=k_{2}w_{2}$, avec $k_{1},k_{2}\in K$ et $w_{1},w_{2}\in W.$
Alors l'hypothèse Ur = Us peut s'écrire
    $Uk_{1}w_{1}=Uk_{2}w_{2}.$
Puisque $k_{1},k_{2}\in K\leq U$, $Uk_{1}=Uk_{2}=U$, donc
    $Uw_{1}=Uw_{2}.$
Puisque $w_{1}$ et $w_{2}$ appartiennent tous deux à la même transversale droite W de U dan G, on a donc $w_{1}=w_{2}.$
Dès lors, les relations $r=k_{1}w_{1}$ et $s=k_{2}w_{2}$ ci-dessus donnent $r\equiv s{\pmod {K}}$, ce qui achève de prouver (3).
Tout élément x de G peut se mettre d'une et une seule façon sous la forme :
    $(4)\qquad x=x_{A}x_{KW},$
avec $x_{A}\in A,x_{KW}\in KW,$
et peut aussi se mettre d'une et une seule façon sous la forme
    $(5)\qquad x=x_{A}x_{K}x_{W},$
avec $x_{A}\in A,x_{K}\in K,x_{W}\in W.$
Puisque A et K sont compléments l'un de l'autre dans U, K est une transversale droite de A dans U. D'autre part, W est par hypothèse une transversale droite de U dans G. Donc (voir un exercice de la série Classes modulo un sous-groupe) KW est une transversale droite de A dans G, ce qui prouve (4). L'élément $\ x_{KW}$ de (4) peut se mettre sous la forme $\ x_{K}x_{W},$ avec $\ x_{K}\in K,x_{W}\in W$; cette écriture est unique, puisque W est une transversale droite de U dans G. Ceci prouve (5).
Nous prenons (4) et (5) comme définitions de symboles $\ x_{A},x_{K},x_{W}$ et $\ x_{KW}$. On a donc
    $(6)\qquad x_{KW}=x_{K}x_{W}$
    $(7)\qquad x_{KW}=x_{A}^{-1}x.$
(Remarque : $\ x_{A},x_{K},x_{W}$ et $\ x_{KW}$ dépendent tous de A, de K et de W. Les notations ne sont donc pas explicites.)
D'après (4), $\ x_{W}$ est le seul élément de KW tel que
    $(8)\qquad Ax=Ax_{KW}.$
Puisque $A\leq U$, cette relation entraîne
    $(9)\qquad Ux=Ux_{KW}.$
Par exemple de l'assertion d'unicité de (8), il résulte que
    $(10)\qquad x\in KW\Rightarrow x_{KW}=x.$
Pour tous $g,h\in G,$
    $(11)\qquad g\equiv h{\pmod {K}}\Leftrightarrow (g_{A}=h_{A}\ \mathrm {et} \ g_{W}=h_{W}).$
D'après (5), nous avons $g=g_{A}g_{K}g_{W}$ et $\ h=h_{A}h_{K}h_{W}.$, avec $\ g_{A},h_{A}\in A,g_{K},h_{K}\in K,g_{W},h_{W}\in W.$
Si $g\equiv h{\pmod {K}}$, alors
    $(12)\qquad g_{A}g_{W}\equiv h_{A}h_{W}{\pmod {K}}.$
Puisque $K\leq U$, $g_{A}g_{W}$ et $h_{A}h_{W}$ appartiennent donc à une même classe à droite modulo U. Puisque $g_{A},h_{A}\in A\leq U$, il en résulte que $g_{W}$ et $h_{W}$ appartiennent à une même classe à droite modulo U. Puisque $g_{W}$ et $h_{W}$ appartiennent à la même transversale droite W de U dans G, on a donc $g_{W}=h_{W}.$ Dès lors, (12) donne $g_{A}\equiv h_{A}{\pmod {K}},$ d'où, d’après (2), $g_{A}=h_{A}.$
Nous avons donc prouvé que si $g\equiv h{\pmod {K}}$, alors $g_{A}=h_{A}$ et $g_{W}=h_{W}.$
Réciproquement, supposons que $g_{A}=h_{A}$ et $g_{W}=h_{W}$. D'après les égalités $g=g_{A}g_{K}g_{W}$ et $h=h_{A}h_{K}h_{W}$, il est clair que $g\equiv h{\pmod {K}}$.
Il résulte de (11) que pour tous $g,h\in G,$
    $(13)\qquad g\equiv h{\pmod {K}}\Rightarrow g_{KW}\equiv h_{KW}{\pmod {K}}.$
En effet, si $g\equiv h{\pmod {K}},$ alors, d’après (11), nous avons $g_{W}=h_{W},$ d'où $g_{K}g_{W}\equiv h_{K}h_{W}{\pmod {K}}$, c'est-à-dire, d’après (6), $g_{KW}\equiv h_{KW}{\pmod {K}}.$
Pour tous $r,s,x\in G,$
    $(14)\qquad r\equiv s{\pmod {K}}\Rightarrow (rx)_{KW}\equiv (sx)_{KW}{\pmod {K}}$
    $(15$ et l'implication réciproque est vraie si $r,s\in KW.$
En effet, si $r\equiv s{\pmod {K}}$, alors $rx\equiv sx{\pmod {K}}$, d'où, d’après (13), $(rx)_{KW}\equiv (sx)_{KW}{\pmod {K}}$, ce qui prouve (14).
Réciproquement, supposons $r,s\in KW$ et
    $\qquad (rx)_{KW}\equiv (sx)_{KW}{\pmod {K}}$.
Puisque $K\leq U$, ceci entraîne
    $\qquad U(rx)_{KW}=U(sx)_{KW},$
d'où, d’après (9),
    $\qquad Urx=Usx$
    $\qquad Ur=Us.$
Puisque r et s sont supposés appartenir à KW, (3) donne $r\equiv s{\pmod {K}}$, ce qui prouve (15).
Soient x un élément de G et r, s des éléments de G tels que $r\equiv s{\pmod {K}}$ ; alors
    $(16)\qquad (rx)_{KW}^{-1}(sx)_{KW}=x^{-1}r^{-1}sx.$
En effet, d’après (7), nous avons
    $(17)\qquad (rx)_{KW}=a_{1}rx.$
et
    $(18)\qquad (sx)_{KW}=a_{2}sx$
avec $a_{1},a_{2}\in A.$
D'autre part, puisque $r\equiv s{\pmod {K}}$, (14) donne
    $\qquad (rx)_{KW}\equiv (sx)_{KW}{\pmod {K}},$
ce qui, d’après (17) et (18), peut s'écrire
    $\qquad a_{1}rx\equiv a_{2}sx{\pmod {K}}.$
Toujours parce que $r\equiv s{\pmod {K}}$, ceci donne $a_{1}\equiv a_{2}{\pmod {K}},$ d'où, d’après (2), $a_{1}=a_{2}.$
Dès lors, d’après (17) et (18),
    $\qquad (rx)_{KW}^{-1}(sx)_{KW}=x^{-1}r^{-1}a_{1}^{-1}a_{2}sx=x^{-1}r^{-1}sx,$
ce qui prouve (16).
Pour tous $x,y\in G,$
    $(19)\qquad (yx)_{KW}=(y_{KW}x)_{KW}.$
En effet, d’après la définition (4) ou (8),
    $\qquad y=ay_{KW}$ avec $a\in A,$
d'où
    $(20)\qquad yx=ay_{KW}x.$
D'autre part, toujours d’après la définition (4) ou (8),
    $\qquad y_{KW}x=a'(y_{KW}x)_{KW}$ avec $a'\in A.$
En portant ceci dans (20), nous obtenons
    $\qquad yx=aa'(y_{KW}x)_{KW},$ avec $aa'\in A$ et $(y_{KW}x)_{KW}\in KW,$
d'où, d’après l'assertion d'unicité de (4),
    $\qquad (yx)_{KW}=(y_{KW}x)_{KW},$
ce qui prouve (19).
Soient R et S deux transversales droites de U dans G. On vérifie facilement que
    $\ (21)$ les conditions suivantes sont équivalentes :
    1° $R\subseteq KS$
    2° $S\subseteq KR$
    3° $\ KR=KS$
    4° il existe une numérotation $r_{1},\ldots r_{n}$ des éléments de R et une numérotation $s_{1},\ldots s_{n}$ des éléments de S telles que, pour tout $i(1\leq i\leq n),r_{i}\equiv s_{i}{\pmod {K}}$
    5° un élément de R et un élément de S appartiennent à la même classe à droite modulo U si et seulement si ces deux éléments sont congrus modulo K.
Les conditions 1° à 5° définissent une relation d'équivalence entre transversales droites de U dans G (voir par exemple 3°). Désignons par ${\mathcal {C}}(W)$ la classe de W selon cette relation d'équivalence. Autrement dit,
    $(22)\;{\mathcal {C}}(W)$ est l’ensemble des transversales droites de U dans G contenues dans KW.
Pour toute transversale droite D de U dans G, posons
    $(23)D_{KW}=\{d_{KW}\vert d\in D\},$
où $\ d_{KW}$ est défini comme en (4) en (8).
Alors $D_{KW}\in {\mathcal {C}}(W).$
En effet, d’après (4) ou (8), $d_{KW}$ appartient à la même classe à droite modulo U que d. Or il est clair que si, dans une transversale droite de U dans G, on remplace chaque élément x par un élément qui appartient à la même classe à droite modulo U que x, on obtient encore une transversale droite de U dans G. Donc $D_{KW}$ est une transversale droite de U dans G.
Par exemple d’après la définition (4), $d_{KW}$ appartient à KW, donc $D_{KW}$ est contenue dans KW, ce qui achève de prouver que $D_{KW}\in {\mathcal {C}}(W).$
D'après (8), il est clair que
    $(24)\;D_{KW}$ est le seul élément de ${\mathcal {C}}(W)$ tel que $AD=AD_{KW}.$
D'autre part,
    $\ (25)$ L'application $d\mapsto d_{KW}$ de $D$ sur $D_{KW}$ est une bijection.
En effet, c’est évidemment une surjection et si $d,d'\in D,$ si $d_{KW}=d'_{KW}$, alors, d’après (9), $Ud=Ud'$, d'où, puisque $D$ est une transversale droite de $U$ dans $G,d=d'.$
Il résulte de (10) que
    $(26)\qquad D\subseteq KW\Rightarrow D_{KW}=D.$
Soient x un élément de G et D une transversale droite de U dans G.
    $(27)$ L'ensemble Dx est lui aussi une transversale droite de U dans G.
C'est démontré dans un exercice de la série Classes modulo un sous-groupe.
Donc, d’après (24),
    $\ (28)\qquad (Dx)_{KW}\in {\mathcal {C}}(W).$
Il résulte de (19) que, pour toute transversale droite D de U dans G et pour tout élément x de G,
    $(29)\qquad (Dx)_{KW}=(D_{KW}x)_{KW}.$
Pour tout élément S de ${\mathcal {C}}(W)$ et pour tout élément x de G, posons
    $(30)\qquad S^{x}=(Sx)_{KW}.$
D'après (28),
    $(31)\qquad S^{x}\in {\mathcal {C}}(W).$
Pour tous $x,y\in G,$
    $\qquad (S^{x})^{y}=(S^{x}y)_{KW}$
    $\qquad (S^{x})^{y}=((Sx)_{KW}y)_{KW},$
d'où, d’après (29),
    $\qquad (S^{x})^{y}=(Sxy)_{KW}$
    $(32)\qquad (S^{x})^{y}=S^{xy}.$
De plus, $\ S^{1}=(S1)_{KW}=S_{KW};$ puisque $S\subseteq KW,$ (26) donne $S_{KW}=S,$ donc $S^{1}=S.$
De ceci et de (32), il résulte que (30) définit une opération à droite de $G$ sur ${\mathcal {C}}(W).$
Si $k\in K$ et $S\in {\mathcal {C}}(W),$ alors
    $(33)\qquad S^{k}=Sk.$
En effet, d’après la définition (30), $S^{k}=(Sk)_{KW},$ donc, d’après (26), il suffit de prouver que $Sk\subseteq KW.$ Puisque $K$ est normal dans $G,KW=WK,$ donc de $S\subseteq KW$ résulte $S\subseteq WK,$ d'où $Sk\subseteq WK=KW,$ ce qui prouve notre argument.
Nous allons maintenant définir une relation d'équivalence dans ${\mathcal {C}}(W)$ qui nous permettra de passer de l'opération (30) de G sur ${\mathcal {C}}(W)$ à une opération de G sur le quotient de ${\mathcal {C}}(W)$ par la relation d'équivalence en question.
Pour toute classe à droite X de G modulo U et pour tout élément T de ${\mathcal {C}}(W)$, désignons par repr(X, T) le représentant de X dans T, c'est-à-dire l'unique élément de T qui appartient à X.
Si T$_1$ et T$_2$ sont deux éléments de ${\mathcal {C}}(W)$, repr(X, T$_1$) et repr(X, T$_2$) sont congrus modulo K. (Voir (21), 5°.)
Donc
    $(34)\qquad \mathrm {repr} (X,T_{1}^{-1})\mathrm {repr} (X,T_{2})\in K.$
Puisque K est supposé commutatif, nous pouvons définir le produit de n’importe quelle famille finie d'éléments de K. Compte tenu de (34), nous pouvons poser, pour tout couple (T$_1$, T$_2$) d'éléments de ${\mathcal {C}}(W)$ (et en désignant par G/U l’ensemble des classes à droite modulo U)
    $(35)\qquad T_{1}\vert T_{2}=\prod _{X\in G/U}\mathrm {repr} (X,T_{1})^{-1}\mathrm {repr} (X,T_{2})\in K,$
ce qui peut encore s'écrire
    $(36)\qquad T_{1}\vert T_{2}={\underset {Kt_{1}=Kt_{2}}{\underset {(t_{1},t_{2})\in T_{1}\times T_{2}}{\stackrel{\prod }}}}t_{1}^{-1}t_{2}\in K.$
Il résulte de (35) que, pour tous éléments T$_1$, T$_2$, T$_3$ de ${\mathcal {C}}(W)$,
    $(37)\qquad (T_{1}\vert T_{2})(T_{2}\vert T_{3})=T_{1}\vert T_{3}.$
En faisant $T_{1}=T_{2}=T_{3},$ nous trouvons
    $(38)\qquad T\vert T=1$
pour toute $T\in {\mathcal {C}}(W).$ En faisant maintenant $T_{1}=T_{3}$ dans (37), nous trouvons, compte tenu de (38),
    $(39)\qquad (T_{1}\vert T_{2})(T_{2}\vert T_{1})=1.$
(On pourrait évidemment démontrer (38) et (39) plus directement.)
Les résultats (37) à (39) entraînent que
    $(40)$ la relation $T_{1}\vert T_{2}=1$ est une relation d'équivalence dans ${\mathcal {C}}(W).$
Pour tout $k\in K$ et toutes $R,S\in {\mathcal {C}}(W),$
    $(41)\qquad S^{k}\vert R=k^{-\vert G:U\vert }(S\vert R).$
En effet, d’après (33),
    $(42)\qquad S^{k}\vert R=Sk\vert R=\prod _{X\in G/U}\mathrm {repr} (X,Sk)^{-1}\mathrm {repr} (X,R).$
(Note : $Sk\vert R$ désigne $(Sk)\vert R.$ On donne la priorité à l'opérateur juxtaposition sur l'opérateur $\vert$.)
Il est clair que, dans (42),
    $(43)\qquad \mathrm {repr} (X,Sk)=\mathrm {repr} (Xk^{-1},S)k.$
De plus, $Xk^{-1}=X.$ En effet, X est une classe à droite modulo U et est donc de la forme Ux avec $x\in G.$ Alors $Xk^{-1}=Uxk^{-1}.$ Puisque K est normal dans G, $xk^{-1}$ est de la forme $k'x$ avec $k'\in K.$ Alors $Xk^{-1}=Uk'x.$ Puisque $K\leq U,Uk'=U,$ donc $Xk^{-1}=Ux,$autrement dit $Xk^{-1}=X$ comme annoncé.
La relation (43) peut donc s'écrire
    $\qquad \mathrm {repr} (X,Sk)=\mathrm {repr} (X,S)k,$
donc (42) donne
    $\qquad S^{k}\vert R=\prod _{X\in G/U}k^{-1}\mathrm {repr} (X,S)^{-1}\mathrm {repr} (X,R)$
    $\qquad S^{k}\vert R=k^{-\vert G:U\vert }\prod _{X\in G/U}\mathrm {repr} (X,S)^{-1}\mathrm {repr} (X,R)$,
ce qui revient à (41).
Pour tout $x\in G$ et toutes $R,S\in {\mathcal {C}}(W),$
    $(44)\qquad R^{x}\vert S^{x}=x^{-1}(R\vert S)x.$
En effet, d’après la définition (30),
    $(45)\qquad R^{x}\vert S^{x}=(Rx)_{KW}\vert (Sx)_{KW}.$
Puisque $r\mapsto rx$ définit une bijection de R sur Rx, il résulte de (25) que $r\mapsto (rx)_{KW}$ définit une bijection de $R$ sur $\ (Rx)_{KW}.$ De même, $s\mapsto (sx)_{KW}$ définit une bijection de $\ S$ sur $\ (Sx)_{KW}.$
Donc, compte tenu de la définition (36), (45) peut s'écrire
    $(46)\qquad R^{x}\vert S^{x}={\underset {(r,s)\in R\times S}{\underset {(rx)_{KW}\equiv (sx)_{KW}{\pmod {K}}}{\stackrel{\prod }}}}(rx)_{KW}^{-1}(sx)_{KW}.$
D'après (14) et (15), la condition $(rx)_{KW}\equiv (sx)_{KW}{\pmod {K}}$ équivaut à $r\equiv s{\pmod {K}}.$ Donc, d’après (16), (46) peut s'écrire
    $\qquad R^{x}\vert S^{x}={\underset {(r,s)\in R\times S}{\underset {Kr=Ks}{\stackrel{\prod }}}}x^{-1}r^{-1}sx$
    $\qquad R^{x}\vert S^{x}=x^{-1}({\underset {(r,s)\in R\times S}{\underset {Kr=Ks}{\stackrel{\prod }}}}r^{-1}s)x,$
ce qui revient à (44).
Il résulte de (44) que, pour tout $x\in G$ et toutes $R,S\in {\mathcal {C}}(W),$
    $(47)\qquad R\vert S=1\Rightarrow R^{x}\vert S^{x}=1.$
Utilisons maintenant (ce que nous n'avons pas encore fait) l'hypothèse selon laquelle $\vert K\vert$ et $\vert G:U\vert$ sont premiers entre eux. D'après un exercice de la série Groupes monogènes, ordre d'un élément,
    $\ (48)$ l’application $k\mapsto k^{\vert G:U\vert }$ est une permutation de K.
(Puisque K est commutatif, cette permutation est même un automorphisme, mais cela ne nous servira pas.)
Soient R, S deux éléments de ${\mathcal {C}}(W).$
D'après (48), il existe un (et un seul) élément $k_{S,R}$ de K tel que
    $\qquad k_{S,R}^{\vert G:U\vert }=S\vert R.$
Alors (41) donne
    $(49)\qquad S^{k_{S,R}}\vert R=1.$
La relation (41) montre aussi que si $k\in K$, si $R,S\in {\mathcal {C}}(W)$, si on a à la fois $S\vert R=1$ et $S^{k}\vert R=1$, alors $k^{\vert G:U\vert }=1$, d'où, d’après (48), $\ k=1.$
En particulier, si $R\in {\mathcal {C}}(W),$ si $k\in K,$
    $(50)\qquad R^{k}\vert R=1\Rightarrow k=1.$
Nous avons vu en (40) que la relation $T_{1}\vert T_{2}=1$ est une relation d'équivalence dans ${\mathcal {C}}(W).$ Notons $\sim$ cette relation d'équivalence, ${\mathcal {C}}(W)/\sim$ le quotient de ${\mathcal {C}}(W)$ par $\sim$ et ${\tilde {R}}$ la classe d'un élément $R$ de ${\mathcal {C}}(W)$ selon $\sim$.
La relation (47) revient à dire que si $x\in G,$ si $R,S\in {\mathcal {C}}(W),$ si $R\sim S,$ alors $R^{x}\sim S^{x}.$
Il existe donc une (et une seule) application de $G\times ({\mathcal {C}}(W)/\sim )$ dans ${\mathcal {C}}(W)/\sim$ qui envoie $(x,{\tilde {R}})$ sur $(R^{x}){\tilde}$ et
    $(51)$ cette application définit une opération à droite de $G$ sur ${\mathcal {C}}(W)/\sim .$
Soient $R,S\in {\mathcal {C}}(W).$ D'après (49),
    $\qquad S^{k_{S,R}}\sim R,$
donc
    $(52)$ K opère transitivement sur ${\mathcal {C}}(W)/\sim .$
Soient $k\in K$ et $R\in {\mathcal {C}}(W)$ ; d’après (50),
    $\qquad R^{k}\sim R\Rightarrow k=1,$
ce qui montre que
    $(53)$ le stabilisateur de ${\tilde {R}}$ dans $K$ est réduit à l'élément neutre.
De (52) et de (53), il résulte, compte tenu de la forme générale de l'argument de Frattini, que
    $(54)$ le stabilisateur dans G de n’importe quel élément ${\tilde {R}}$ de ${\mathcal {C}}(W)/\sim$ est un complément de K dans G.
Ceci est démontré pour toute transversale droite W de U dans G. Puisqu’il existe au moins une telle transversale, la partie (a) de l'énoncé est démontrée.
Démontrons maintenant la partie (b) de l'énoncé.
Soient donc $H_{0}$ et $H_{1}$ deux compléments de K dans G tels que
    $\qquad H_{0}\cap U=H_{1}\cap U.$
Il s'agit de prouver que $H_{0}$ et $H_{1}$ sont conjugués dans G.
Posons $A=H_{0}\cap U=H_{1}\cap U.$
Alors
    $(55)$ A est un complément de K dans U.
Pour le prouver, montrons que, de façon générale,
    $(56)$ si G est un groupe, K et U des sous-groupes de G tels que $K\leq U\leq G,$ si T est une transversale droite de K dans G, alors $T\cap U$ est une transversale droite de K dans U.
De G = KT résulte $U\leq KT,$ d'où (puisque $K\leq U$) :
    $U\leq K(T\cap U)$,
    $U=K(T\cap U)$.
D'autre part, la relation $K\cap T=1$ entraîne évidemment $K\cap (T\cap U)=1$; donc $T\cap U$ est une transversale droite de K dans U, ce qui prouve (56).
En appliquant les résultats précédents pour $T=H_{0},$ on obtient (55).
Les hypothèses faites dans la démonstration de la partie (a) de l'énoncé sont donc satisfaites.
Une transversale droite de A dans $H_{0}$ (resp. $H_{1}$) est aussi une transversale droite de U dans G.
Puisque $G=KH_{0}$ et que $K\leq U,$ nous avons $G=UH_{0}.$
De façon générale, prouvons que si H et U sont des sous-groupes d'un groupe G, si G = UH, si T est une transversale droite de $U\cap H$ dans H, alors T est une transversale droite de U dans G. Puisque T est une transversale droite de $U\cap H$ dans $H$,
    $\qquad H=(U\cap H)T$ ;
l'hypothèse G = UH peut donc s'écrire
    $\qquad G=U(U\cap H)T$ ;
comme $U(U\cap H)=U,$ ceci peut s'écrire
    $\qquad G=UT$.
D'autre part, puisque $T\subseteq H,$
    $\qquad U\cap T=U\cap (H\cap T)$
    $\qquad U\cap T=(U\cap H)\cap T.$
Puisque T est une transversale droite de $U\cap H$ dans H, le second membre est égal à 1, donc $U\cap T=1$, ce qui achève de prouver que T est une transversale droite de U dans G.
Choisissons une transversale droite $W_{0}$ de $A$ dans $H_{0}$.
D'après ce qu'on vient de noter, $W_{0}$ est une transversale droite de U dans G et satisfait donc aux hypothèses faites sur W dans la démonstration du point (a) de l'énoncé.
Conformément à la définition (22), désignons par ${\mathcal {C}}(W_{0})$ l’ensemble des transversales droites de U dans G contenues dans $KW_{0}$.
Soit $w$ un élément de $W_{0}$. Puisque $H_{1}$ est un complément de K dans G, il existe un et un seul $k_{w}\in K$ tel que
    $(58)\qquad k_{w}w\in H_{1}.$
Posons
    $(59)\qquad W_{1}=\{k_{w}w\vert w\in W_{0},$
autrement dit
    $(60)\qquad W_{1}=KW_{0}\cap H_{1}.$
Alors
    $(61)W_{1}$ est une transversale droite de A dans $H_{1}.$
D'après (55), $K$ est une transversale droite de A dans U. D'autre part, $W_{0}$, comme on l'a noté, est une transversale droite de U dans G.
D'après un exercice de la série Classes modulo un sous-groupe qui nous a déjà servi à démontrer (5), $KW_{0}$ est une transversale droite de A dans G.
Donc, d’après (56), $KW_{0}\cap H_{1}$ est une transversale droite de $A$ dans $H_{1}$.
Il est clair, d’après (59), ou encore d’après (57) et (61), que $\ W_{1}$ est une transversale droite de U dans G.
D'après (60), $W_{1}\subseteq KW_{0}$, donc
    $\qquad W_{1}\in {\mathcal {C}}(W_{0}).$
D'autre part, d’après (58) et la définition (59) de $W_{1}$, il est clair que
    $(62)W_{1}$ est le seul élément de ${\mathcal {C}}(W_{0})$ qui est contenu dans $H_{1}.$
De même,
    $(63)W_{0}$ est le seul élément de ${\mathcal {C}}(W_{0})$ qui est contenu dans $H_{0}.$
Un élément de ${\mathcal {C}}(W_{0})$ est de la forme
    $\qquad R=\{k'_{w}w\vert w\in W_{0}\},$
où $(k'_{w})_{w\in W_{0}}$ est une famille telle que $k'_{w}\in K$ pour tout $w\in W_{0}$. Si R est contenu dans $H_{0}$, alors $k'_{w}w\in H_{0}$ pour tout $w\in W_{0}$. Puisque $W_{0}\subseteq H_{0}$, on doit avoir $k'_{w}\in H_{0}$ ; puisque $H_{0}$ est un complément de K dans G, on doit donc avoir $k'_{w}=1$ pour tout $w\in W_{0}$, d'où $R=W_{0}$, ce qui prouve (63).
Soit $i\in \{0,1\},$ soit $D_{i}$ une transversale droite de U dans G contenue dans $H_{i}.$
Si nous définissons $(D_{i})_{KW_{0}}$ comme en (23), alors, par définition, $(D_{i})_{KW_{0}}\in {\mathcal {C}}(W_{0})$ et, d’après (24),
    $\qquad (D_{i})_{KW_{0}}\subseteq AD_{i},$ d'où, puisque $A\subseteq H_{i},$
    $\qquad (D_{i})_{KW_{0}}\subseteq H_{i}.$
Donc les relations (62) et (63) donnent
    $(64)\qquad (D_{i})_{KW_{0}}=W_{i}.$
Soit x un élément de $H_{i}.$ D'après (27), $W_{i}x$ est une transversale droite de U dans G. Cette transversale est contenue dans $H_{i}$, donc nous pouvons faire $D_{i}=W_{i}x$ dans (64). Nous trouvons
    $\qquad (W_{i}x)_{KW_{0}}=W_{i}.$
Donc, pour l'opération de G sur ${\mathcal {C}}(W_{0})/\sim$ définie comme en (51),
    $\qquad {\tilde {W_{i}}}^{x}={\tilde {W_{i}}},$
donc $H_{i}$ fixe l'élément ${\tilde {W_{i}}}$, donc
    $(65)\qquad H_{i}\leq G_{\tilde {W_{i}}}.$
D'après (54), $G_{\tilde {W_{i}}}$ est un complément de K dans G. Puisque $H_{i},$ par hypothèse, est lui-même un complément de K dans G, (65) montre que $H_{i}$ et $G_{\tilde {W_{i}}}$ sont deux compléments de K dans G en relation d'inclusion, donc, d’après un lemme ci-dessus,
    $(66)\qquad H_{i}=G_{\tilde {W_{i}}}.$
D'après (52), l'action de K, et a fortiori l'action de G, sur ${\mathcal {C}}(W_{0})/\sim$ est transitive, donc (voir le chapitre Action de groupe) le stabilisateur de ${\tilde {W_{0}}}$ et le stabilisateur de ${\tilde {W_{1}}}$ dans G sont conjugués dans G, c'est-à-dire, d’après (66), que $H_{0}$ et $H_{1}$ sont conjugués dans G, ce qui démontre la partie (b) de l'énoncé.

## Forme faible du théorème de Schur-Zassenhaus

Soient G un groupe fini et K un sous-groupe normal et commutatif de G tels que $\vert K\vert$ et $\vert G/K\vert$ soient premiers entre eux. Alors K admet un complément dans G et tous les compléments de K dans G sont conjugués entre eux dans G.
Dans le théorème précédent, faire U = K.
Dans le chapitre suivant, on verra que le théorème de Schur-Zassenhaus reste vrai si on ne suppose pas K commutatif.
On trouvera dans les exercices du présent chapitre une autre démonstration de la forme faible (K commutatif) du théorème de Schur-Zassenhaus.