# Équations et fonctions du second degré/Exercices/Équations bicarrées

Soient $a\in \mathbb {R} ^{*}$, $b\in \mathbb {R}$ et $c\in \mathbb {R}$
On appelle équation bicarrée toute équation du quatrième degré de la forme $ax^{4}+bx^{2}+c=0$ d'inconnue x.
On considère l'équation bicarrée $(E)~:~ax^{4}+bx^{2}+c=0$ d'inconnue $x\in \mathbb {R}$.
(E) peut se ramener à l'étude d'une équation du second degré en posant simplement $X=x^{2}$
(E) devient $aX^{2}+bX+c=0$.
On déroule alors la méthode habituelle : discriminant, calcul des racines éventuelles…
Toute cette résolution se fait en X. Il faut ensuite revenir en x en utilisant le fait que $x^{2}=X$.
Voyons les différents cas qui se présentent sur différents exercices.

## Équation bicarrée 1

Résoudre l'équation bicarrée $(E_{1})~:~x^{4}-3x^{2}+2=0$ d'inconnue $x\in \mathbb {R}$
* On pose $X=x^{2}$. L'équation devient $(E'_{1})~:~X^{2}-3X+2=0$
* Le discriminant vaut $\Delta =1$
* $\Delta >0$ donc l'équation en X admet deux racines réelles distinctes
$X_{1}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}=1$ et $X_{2}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}=2$
Il faut revenir en x. Pour cela, on cherche les x qui vérifient $x^{2}=X_{1}$ ou $x^{2}=X_{2}$
On trouve ainsi quatre solutions :
* $x_{11}=1~~(x_{11}^{2}=X_{1})$
* $x_{12}=-1~~(x_{12}^{2}=X_{1})$
* $x_{21}={\sqrt {2}}~~(x_{21}^{2}=X_{2})$
* $x_{22}=-{\sqrt {2}}~~(x_{22}^{2}=X_{2})$
L'ensemble des solutions de (E$_1$) est alors ${\mathcal {S}}_{1}=\{1,-1,{\sqrt {2}},-{\sqrt {2}}\}$.

## Équation bicarrée 2

Résoudre l'équation bicarrée $(E_{2})~:~2x^{4}-8{\sqrt {3}}x^{2}+24=0$ d'inconnue $x\in \mathbb {R}$
* On pose $X=x^{2}$. L'équation devient $(E'_{2})~:~2X^{2}-8{\sqrt {3}}X+24=0$
* Le discriminant vaut $\Delta =0$, donc l'équation en X admet une racine réelle « double »
$X_{0}=-{\frac {b}{2a}}=2{\sqrt {3}}$
Il faut revenir en x. Pour cela, on cherche les x qui vérifient $x^{2}=X_{0}$
On trouve ainsi deux solutions :
* $x_{1}={\sqrt {2{\sqrt {3}}}}$
* $x_{2}=-{\sqrt {2{\sqrt {3}}}}$
L'ensemble des solutions de (E$_2$) est alors ${\mathcal {S}}_{2}=\left\{-{\sqrt {2{\sqrt {3}}}};{\sqrt {2{\sqrt {3}}}}\right\}$

## Équation bicarrée 3

Résoudre l'équation bicarrée $(E_{3})~:~-x^{4}-6x^{2}-5=0$ d'inconnue $x\in \mathbb {R}$
* On pose $X=x^{2}$. L'équation devient $(E'_{3})~:~-X^{2}-6X-5=0$
* Le discriminant vaut $\Delta =16$
* $\Delta >0$ donc l'équation en X admet deux racines réelles distinctes
$X_{1}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}=-1$ et $X_{2}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}=-5$
Il faut revenir en x. Pour cela, on cherche les x qui vérifient $x^{2}=X_{1}$ ou $x^{2}=X_{2}$
On trouve ainsi qu’il n'y a pas de solution réelle
L'ensemble des solutions de (E$_3$) est alors ${\mathcal {S}}_{3}=\varnothing$

## Équation bicarrée 4

Résoudre l'équation bicarrée $(E_{4})~:~3x^{6}+3x^{3}-6=0$ d'inconnue $x\in \mathbb {R}$
* On pose $X=x^{3}$. L'équation devient $(E'_{4})~:~3X^{2}+3X-6=0$
* Le discriminant vaut $\Delta =81$
* $\Delta >0$ donc l'équation en X admet deux racines réelles distinctes
$X_{1}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}=-2$ et $X_{2}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}=1$
Il faut revenir en x. Pour cela, on cherche les x qui vérifient $x^{3}=X_{1}$ ou $x^{3}=X_{2}$
On trouve ainsi deux solutions :
* $x_{11}={\sqrt[{3}]{-2}}~~(x_{11}^{3}=X_{1})$
* $x_{12}=1~~(x_{12}^{3}=X_{2})$
L'ensemble des solutions de (E$_4$) est alors ${\mathcal {S}}_{4}=\{{\sqrt[{3}]{-2}},1\}$
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