# Mécanique 2 (PCSI)/Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un système discret de points matériels
## Rappel, 1$^{ères}$ notions de cinétique d'un système discret de points matériels : « masse », « centre d’inertie » et « vecteur résultante cinétique »
### Masse d'un système discret (fermé) de points matériels

La masse $\;{\big$inerte${\big )}$ $\;m_{\text{syst}}\;$ du système discret $\;{\big$fermé${\big )}\;$ de points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ est le scalaire positif
$\;m_{\text{syst}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;$
c'est la 1ère grandeur d'inertie introduite, elle caractérise le système discret $\;{\big$fermé${\big )}\;$ de points matériels $\;{\big$elle est alors indépendante du référentiel spatio-temporel dans lequel ce système discret $\;{\big$fermé${\big )}\;$ évolue${\big ]}$.

### Centre d’inertie (ou centre de masse) d’un système discret (fermé) de points matériels

Le centre d'inertie $\;{\big$C.D.I.${\big )}\;$ $\;G\;$ du système discret $\;{\big$fermé${\big )}\;$ de points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ est le « barycentre des positions instantanées des points matériels ayant pour cœfficient leur masse » c'est-à-dire « le point $\;G\;$ tel que $\;\sum \limits _{i=1}^{N}m_{i}\;{\overrightarrow {GM_{i}}}={\vec {0}}\;$» ;
avec $\;O\;$ point quelconque de l'espace, « le vecteur $\;{\overrightarrow {OG}}\;$ suit la relation $\;{\overrightarrow {OG}}={\dfrac {\sum \limits _{i=1}^{N}m_{i}\;{\overrightarrow {OM_{i}}}}{\sum \limits _{i=1}^{N}m_{i}}}={\dfrac {\sum \limits _{i=1}^{N}m_{i}\;{\overrightarrow {OM_{i}}}}{m_{\text{syst}}}}\;$» $\;{\bigg \$la justification se fait en partant de la définition et « en utilisant la relation de Chasles $\;{\overrightarrow {GM_{i}}}={\overrightarrow {OM_{i}}}-{\overrightarrow {OG}}\;$» d'où «$\;\sum \limits _{i=1}^{N}m_{i}\left[{\overrightarrow {OM_{i}}}-{\overrightarrow {OG}}\right]={\vec {0}}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;\sum \limits _{i=1}^{N}m_{i}\;{\overrightarrow {OM_{i}}}=\left(\sum \limits _{i=1}^{N}m_{i}\right){\overrightarrow {OG}}$ $=m_{\text{syst}}\;{\overrightarrow {OG}}\;$» et par suite l'une ou l'autre des expressions de $\;{\overrightarrow {OG}}{\bigg \}$.
Méthode de construction du barycentre d'un système de points matériels : utiliser autant que faire se peut la notion de barycentre partiel et, pour déterminer chacun d'eux, choisir un des points du système d'origine comme point de référence $\;{\big$c'est-à-dire comme point $\;O{\big )}\;\ldots$ voir la « méthode de construction du barycentre du système de trois points pondérés » sur l'exemple du « C.D.I. de la molécule d'eau » dans le chap.$24$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
Remarque : Il est possible de réécrire l'une ou l'autre des expressions de $\;{\overrightarrow {OG}}\;$ à l'aide de la « fonction vectorielle de Leibniz associée à un système de $\;n\;$ points pondérés $\;\left\lbrace A_{k}\,\left(\alpha _{k}\right)\right\rbrace _{k=1,\,\ldots ,\,n\,\geqslant \,p+1}$ d'un espace affine $\;E\;$ de direction $\;W\;$ tous deux de dimension $\;p\;$»,
$\;\forall \;M\in E$
$\;{\vec {f}}(M)=$
$\sum \limits _{k=1}^{n}\alpha _{k}\;{\overrightarrow {MA_{k}}}\;\in W\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N\,\geqslant \,4}\;$
$\;\forall \;A\in E,\;{\vec {f}}(A)=\sum \limits _{i=1}^{N}m_{k}\;{\overrightarrow {AM_{i}}}\;\in W\;$
Remarque : d'où la réécriture de la définition de $\;G\;$ et de l'expression de $\;{\overrightarrow {OG}}$ :
$\;{\vec {f}}(G)={\vec {0}}\;$
$\;{\vec {f}}(G)=\sum \limits _{i=1}^{N}m_{k}\;{\overrightarrow {GM_{i}}}\;$
$\;{\overrightarrow {OG}}={\dfrac {{\vec {f}}(O)}{\sum \limits _{i=1}^{N}m_{k}}}={\dfrac {{\vec {f}}(O)}{m_{\text{syst}}}}\;$
$\;{\vec {f}}(O)=\sum \limits _{i=1}^{N}m_{k}\;{\overrightarrow {OM_{i}}}\;$

### Vecteur résultante cinétique d’un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d’étude

La résultante cinétique $\;{\vec {P}}(t)\;$ du système discret $\;{\big$fermé${\big )}\;$ de points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ est la grandeur vectorielle
$\;{\vec {P}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\vec {p}}_{M_{i}}(t)\;$
$\;{\vec {p}}_{M_{i}}(t)\;$
$\;M_{i}\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;{\vec {P}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\vec {V}}_{\!M_{i}}(t)\;$
$\;{\vec {V}}_{\!M_{i}}(t)\;$
$\;M_{i}\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
Lien avec le mouvement du C.D.I. du système discret fermé de points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}$ :
$\;{\vec {P}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$
$\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$
$\;G\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
Conséquence : en cinétique classique, la résultante cinétique $\;{\vec {P}}(t)\;$ du système discret fermé de points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ est la quantité de mouvement d'un point fictif
* de mouvement identique, à tout instant, à celui du C.D.I. $\;G$ du système fermé dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$ et
* de masse identique à $\;m_{\text{syst}}\;$ c'est-à-dire la masse du système fermé.

### Complément, expression « relativiste » du « vecteur résultante cinétique » d’un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d’étude

En cinétique relativiste, la résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{\text{relativ}}(t)\;$ du système discret $\;{\big$fermé${\big )}\;$ de points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ reste définie selon
$\;{\vec {P}}_{\text{relativ}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\vec {p}}_{M_{i},\,{\text{relativ}}}(t)\;$
$\;{\vec {p}}_{M_{i},\,{\text{relativ}}}(t)\;$
$\;M_{i}\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;{\vec {P}}_{\text{relativ}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;\gamma _{M_{i}}(t)\;{\vec {V}}_{\!M_{i}}(t)\;$
$\;{\vec {V}}_{\!M_{i}}(t)\;$
$\;M_{i}\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;\gamma _{M_{i}}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M_{i}}^{\,2}(t)}{c^{2}}}}}}\;$
$\;M_{i}\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
Remarque : S'il est toujours possible, avec $\;O\;$ point fixe du référentiel $\;{\mathcal {R}}$, de définir le vecteur position du C.D.I. $\;G\;$ d'un système discret fermé de points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ en cinétique relativiste selon «$\;{\overrightarrow {OG}}(t)={\dfrac {\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\overrightarrow {OM_{i}}}(t)}{m_{\text{syst}}}}\;$» et Remarque : s'il est toujours possible, de dériver la relation ci-dessus par rapport à $\;t\;$ pour obtenir le vecteur vitesse du C.D.I. $\;G\;$ du système fermé à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ selon «$\;{\vec {V}}_{G}(t)=$ ${\dfrac {\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\vec {V}}_{\!M_{i}}(t)}{m_{\text{syst}}}}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\vec {V}}_{\!M_{i}}(t)\;$», Remarque : il devient impossible, dans le cas général, de déduire, à partir du 2nd membre de la relation explicitant $\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)$, c'est-à-dire $\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\vec {V}}_{\!M_{i}}(t)$, l'expression «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;\gamma _{M_{i}}(t)\;{\vec {V}}_{\!M_{i}}(t)\;$» explicitant la résultante cinétique relativiste $\;{\vec {P}}_{\text{relativ}}(t)\;$ du système et par suite Remarque : dans le cas général, il n'y a aucun lien entre la résultante cinétique relativiste $\;{\vec {P}}_{\text{relativ}}(t)\;$ du système fermé $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ et le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ du C.D.I. $\;G\;$ du système fermé, au même instant, dans le même référentiel $\;\ldots$
Cas d'un système discret fermé de points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ en translation dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$ : « tous les points matériels $\;M_{i}\;$ ayant même vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\!M_{i}}(t)={\vec {f}}(t),\;\;\forall \;i\in \left[\left[1\,,\,N\right]\right]\;$ avec $\;{\vec {f}}(t)={\vec {V}}_{G}(t)$ $\;{\big$le vecteur vitesse du C.D.I. $\;G\;$ du système fermé${\big ]}\;$», « ont même facteur de Lorentz $\;\gamma _{M_{i}}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M_{i}}^{\,2}(t)}{c^{2}}}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!G}^{\,2}(t)}{c^{2}}}}}}=$ $\gamma _{G}(t),\;\;\forall \;i\in \left[\left[1\,,\,N\right]\right]\;$» et par suite, ce dernier pouvant être factorisé dans la définition du vecteur résultante cinétique relativiste «$\;{\vec {P}}_{\text{relativ}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;\gamma _{M_{i}}(t)\;{\vec {V}}_{\!M_{i}}(t)\;$ du système discret fermé de points matériels en translation » selon «$\;{\vec {P}}_{{\text{relativ}},\,{\text{syst. en transl.}}}(t)$ $=\gamma _{G}(t)\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\vec {V}}_{\!M_{i}}(t)\right]\;$» dans laquelle «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\vec {V}}_{\!M_{i}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$» d'où la liaison entre vecteur résultante cinétique relativiste $\;{\vec {P}}_{{\text{relativ}},\,{\text{syst. en transl.}}}(t)\;$ d'un système fermé en translation et vecteur vitesse de translation $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ de ce dernier selon
$\;{\vec {P}}_{{\text{relativ}},\,{\text{syst. en transl.}}}(t)=\gamma _{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$
$\;\gamma _{G}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!G}^{\,2}(t)}{c^{2}}}}}}\;$

## Vecteur moment cinétique d’un système discret de points matériels dans le référentiel d’étude par rapport à un point A
### Définition du vecteur moment cinétique d’un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d’étude par rapport à un point origine A

$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;A\;$
$\;t$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M_{i},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\overrightarrow {AM_{i}}}(t)\wedge {\vec {p}}_{M_{i}}(t)\;$
$\;{\vec {p}}_{M_{i}}(t)\;$
$\;M_{i}\;$
$\;({\mathcal {R}})\;$
$\;t\;$
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\overrightarrow {AM_{i}}}(t)\wedge m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;$
$\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;$
$\;M_{i}\;$
$\;({\mathcal {R}})\;$
$\;t\;$
Remarques : $A$, le point origine d'évaluation du vecteur moment cinétique du système relativement à $\;{\mathcal {R}}$, est un point quelconque de ce dernier, il peut y être fixe ou mobile $\;\ldots$
Remarques : Cette définition est applicable que l'espace physique soit « orienté à droite » ou « orienté à gauche » : Remarques : $\;\succ \;$dans le cas quasi-systématique l'espace physique étant « orienté à droite », « le sens des trièdres $\;\left\lbrace {\overrightarrow {AM_{i}}}(t)\,,\,{\vec {p}}_{M_{i}}(t)\,,\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M_{i},\,t)\right\rbrace \;$ est direct $\;\forall \;i\;\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\;$» et
Remarques : $\;\succ \;$dans le cas quasi-inexistant où l'espace physique serait « orienté à gauche », « le sens des trièdres $\;\left\lbrace {\overrightarrow {AM_{i}}}(t)\,,\,{\vec {p}}_{M_{i}}(t)\,,\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M_{i},\,t)\right\rbrace \;$ serait indirect $\;{\big$au sens de la physique${\big )}\;$ $\;\forall \;i\;\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\;$».

### Cas d’un système discret (fermé) de points matériels en translation dans le référentiel d’étude par rapport à un point origine A

Dans un système discret fermé de points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ en translation dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, les points $\;M_{i}\;$ ont tous, dans $\;{\mathcal {R}}$, même vecteur vitesse à un instant $\;t$, vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. $\;G\;$ du système fermé $\;{\vec {V}}_{G}(t)$, ils ont donc chacun, dans le cadre de la cinétique classique, pour vecteur quantité de mouvement $\;{\vec {p}}_{M_{i}}(t)=m_{i}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ et par suite Dans un système discret fermé de points matériels $\;\color {transparent}{\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}}\;$ en translation le vecteur moment cinétique du système discret fermé $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ par rapport à un point origine $\;A\;$ quelconque s'écrivant, pour un système en translation dans $\;{\mathcal {R}}$, «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst. en transl.}},\,t)=$ $\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\overrightarrow {AM_{i}}}(t)\wedge m_{i}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$», on peut « factoriser vectoriellement par $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ à droite » ce qui donne «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst. en transl.}},\,t)$ $=\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\overrightarrow {AM_{i}}}(t)\right]\wedge {\vec {V}}_{G}(t)\;$» et on reconnaît dans le 1er facteur du 2nd membre «$\;m_{\text{syst}}\;{\overrightarrow {AG}}(t)\;$» soit «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst. en transl.}},\,t)=m_{\text{syst}}\;{\overrightarrow {AG}}(t)\wedge {\vec {V}}_{G}(t)\;$» ou encore «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst. en transl.}},\,t)$ $={\overrightarrow {AG}}(t)\wedge \left[m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\right]\;$» ;
« en choisissant le C.D.I. $\;G\;$ du système discret fermé de points matériels comme origine de calcul, à l'instant $\;t$, du vecteur moment cinétique du système en translation dans $\;{\mathcal {R}}$, on en déduit $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!G}({\text{syst. en transl.}},\,t)={\vec {0}}\;$» ;
dans le cas d’un système discret « quasi-quelconque » de points matériels, « le vecteur résultante cinétique du système $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$ étant lié à sa masse $\;m_{\text{syst}}\;$ et au vecteur vitesse de son C.D.I. $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ par la relation $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$», on peut écrire, pour un système en translation dans le cadre de la cinétique classique,
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst. en transl.}},\,t)={\overrightarrow {AG}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!G}({\text{syst. en transl.}},\,t)={\vec {0}}\;$

### Complément, expression « relativiste » du vecteur moment cinétique d’un système discret de points matériels dans le référentiel d’étude par rapport à un point origine A

En cinétique relativiste, le moment cinétique $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst}},\,t)\;$ du système discret $\;{\big$fermé${\big )}\;$ de points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ évalué relativement au point origine $\;A\;$ reste défini selon
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}(M_{i},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\overrightarrow {AM_{i}}}(t)\wedge {\vec {p}}_{M_{i},\,{\text{relativ}}}(t)\;$
$\;{\vec {p}}_{M_{i},\,{\text{relativ}}}(t)\;$
$\;M_{i}\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\overrightarrow {AM_{i}}}(t)\wedge m_{i}\;\gamma _{M_{i}}(t)\;{\vec {V}}_{\!M_{i}}(t)\;$
$\;{\vec {V}}_{\!M_{i}}(t)\;$
$\;M_{i}\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;\gamma _{M_{i}}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M_{i}}^{\,2}(t)}{c^{2}}}}}}\;$
$\;M_{i}\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
Remarque : S'il est toujours possible, avec $\;O\;$ point fixe du référentiel $\;{\mathcal {R}}$, de définir le vecteur position du C.D.I. $\;G\;$ d'un système discret fermé de points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ en cinétique relativiste selon «$\;{\overrightarrow {OG}}(t)={\dfrac {\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\overrightarrow {OM_{i}}}(t)}{m_{\text{syst}}}}\;$» et Remarque : S'il est toujours possible, de dériver la relation ci-dessus par rapport à $\;t\;$ pour obtenir le vecteur vitesse du C.D.I. $\;G\;$ du système fermé à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ selon «$\;{\vec {V}}_{G}(t)=$ ${\dfrac {\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\vec {V}}_{\!M_{i}}(t)}{m_{\text{syst}}}}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\vec {V}}_{\!M_{i}}(t)\;$», Remarque : il devient impossible, dans le cas général, de déduire, à partir du 2nd membre des relations explicitant $\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ ou $\;m_{\text{syst}}\;{\overrightarrow {AG}}(t)$, c'est-à-dire respectivement $\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\vec {V}}_{\!M_{i}}(t)\;$ ou $\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\overrightarrow {AM_{i}}}(t)$, l'expression «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\overrightarrow {AM_{i}}}(t)\wedge m_{i}\;\gamma _{M_{i}}(t)\;{\vec {V}}_{\!M_{i}}(t)\;$» explicitant le moment cinétique relativiste $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst}},\,t)\;$ du système et par suite Remarque : dans le cas général, il n'y a aucun lien entre le moment cinétique relativiste $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst}},\,t)\;$ du système fermé $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ évalué au point origine $\;A\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ et les grandeurs caractérisant le C.D.I. $\;G\;$ du système fermé à savoir $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overrightarrow {AG}}(t)\\{\vec {V}}_{G}(t)\end{array}}\right\rbrace$, au même instant, dans le même référentiel $\;\ldots$
Cas d'un système discret fermé de points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ en translation dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$ : « tous les points matériels $\;M_{i}\;$ ayant même vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\!M_{i}}(t)={\vec {f}}(t),\;\;\forall \;i\in \left[\left[1\,,\,N\right]\right]\;$ avec $\;{\vec {f}}(t)={\vec {V}}_{G}(t)$ $\;{\big$le vecteur vitesse du C.D.I. $\;G\;$ du système fermé${\big ]}\;$», « ont même facteur de Lorentz $\;\gamma _{M_{i}}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M_{i}}^{\,2}(t)}{c^{2}}}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!G}^{\,2}(t)}{c^{2}}}}}}=$ $\gamma _{G}(t),\;\;\forall \;i\in \left[\left[1\,,\,N\right]\right]\;$» et par suite, en factorisant ce dernier dans la définition du vecteur moment cinétique relativiste «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\overrightarrow {AM_{i}}}(t)\wedge m_{i}\;\gamma _{M_{i}}(t)\;{\vec {V}}_{\!M_{i}}(t)\;$» du système discret fermé de points matériels en translation évalué en $\;A\;$ selon «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst. en transl.}},\,t)=\gamma _{G}(t)\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\overrightarrow {AM_{i}}}(t)\wedge m_{i}\;{\vec {V}}_{\!M_{i}}(t)\right]\;$» dans laquelle «$\;{\vec {V}}_{\!M_{i}}(t)=$ ${\vec {V}}_{G}(t)\;$ pour tout point $\;M_{i}\;$» d'où, par factorisation vectorielle à droite par $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$, «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst. en transl.}},\,t)=\gamma _{G}(t)\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\overrightarrow {AM_{i}}}(t)\right]\wedge {\vec {V}}_{G}(t)\;$» soit encore, par propriété du C.D.I. $\;G\;$ du système fermé «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\overrightarrow {AM_{i}}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\overrightarrow {AG}}(t)\;$», l'expression d'un lien entre le vecteur moment cinétique relativiste évalué par rapport au point origine $\;A\;$ «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst. en transl.}},\,t)\;$» d'un système fermé en translation et le vecteur vitesse de translation $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ de ce dernier ainsi que le vecteur $\;{\overrightarrow {AG}}(t)\;$ positionnant son C.D.I.
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst. en transl.}},\,t)=\gamma _{G}(t)\left[{\overrightarrow {AG}}(t)\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\right]\;$
$\;\gamma _{G}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!G}^{\,2}(t)}{c^{2}}}}}}\;$
Cas d'un système discret fermé de points matériels $\;\color {transparent}{\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}}\;$ en translation « en choisissant le C.D.I. $\;G\;$ du système discret fermé de points matériels comme origine de calcul, à l'instant $\;t$, du vecteur moment cinétique relativiste du système en translation dans $\;{\mathcal {R}}\;$», on en déduit «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!G,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst. en transl.}},\,t)={\vec {0}}\;$» ;
Cas d'un système discret fermé de points matériels $\;\color {transparent}{\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}}\;$ en translation dans le cas d’un système discret « quelconque » de points matériels en translation dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$, le vecteur résultante cinétique relativiste du système en translation $\;{\vec {P}}_{{\text{relativ.}}\,{\text{syst. en transl.}}}(t)\;$ étant lié à sa masse $\;m_{\text{syst}}$, à son facteur de Lorentz $\;\gamma _{G}(t)\;$ et à son vecteur vitesse de translation $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ par la relation «$\;{\vec {P}}_{{\text{relativ.}}\,{\text{syst. en transl.}}}(t)=$ $\gamma _{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$», on peut écrire, pour un système en translation,
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst. en transl.}},\,t)={\overrightarrow {AG}}(t)\wedge {\vec {P}}_{{\text{relativ.}}\,{\text{syst. en transl.}}}(t)\;$
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!G,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst. en transl.}},\,t)={\vec {0}}\;$

## Changement d’origine de calcul du moment cinétique vectoriel d’un système discret de points matériels
### Formule de changement d’origine du calcul du vecteur moment cinétique d’un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d’étude

Le vecteur moment cinétique, à l'instant $\;t$, du système discret $\;{\big$fermé${\big )}\;$ de points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ dans le référentiel d’étude $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport au point origine $\;A\;$ étant la somme des vecteurs moment cinétique, au même instant, de chaque point matériel $\;M_{i}\;$ dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport au même point origine $\;A\;$ et le changement d'origine du vecteur moment cinétique de chaque point $\;M_{i}\;$ s’écrivant, avec $\;A'\;$ nouvelle origine d'évaluation des moments vectoriels «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{A'}\!\left(M_{i},\,t\right)=$ ${\overrightarrow {\sigma }}_{A}\!\left(M_{i},\,t\right)+{\overrightarrow {A'A}}\wedge {\vec {p}}_{M_{i}}(t)\;$», on obtient, en faisant la somme de ces $\;N\;$ relations,
$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\overrightarrow {\sigma }}_{A'}\!\left(M_{i},\,t\right)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\overrightarrow {\sigma }}_{A}\!\left(M_{i},\,t\right)+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\overrightarrow {A'A}}\wedge {\vec {p}}_{M_{i}}(t)\;$
en faisant une « factorisation vectorielle par $\;{\overrightarrow {A'A}}\;$ à gauche » dans le 2ème terme du 2nd membre et en reconnaissant dans le 1er terme du 2nd membre le vecteur moment cinétique $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}\left({\text{syst}},\,t\right)\;$ du système par rapport à $\;A\;$ ainsi que en reconnaissant dans le 1er membre le vecteur moment cinétique $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A'}\left({\text{syst}},\,t\right)\;$ du système par rapport à $\;A'$, on obtient
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A'}\left({\text{syst}},\,t\right)=$
${\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}\left({\text{syst}},\,t\right)+{\overrightarrow {A'A}}\wedge \left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\vec {p}}_{M_{i}}(t)\right]\;$
soit enfin, en reconnaissant le vecteur résultante cinétique «$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$» dans le 2ème facteur du produit vectoriel du 2nd membre
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A'}\left({\text{syst}},\,t\right)={\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}\left({\text{syst}},\,t\right)+{\overrightarrow {A'A}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$

### Changement d’origine du calcul du vecteur moment cinétique d’un système discret « fermé » de points matériels en cinétique newtonienne

Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, à l'instant $\;t$, du système discret $\;{\big$fermé${\big )}\;$ de points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ dans le référentiel d’étude $\;{\mathcal {R}}\;$ suivant, dans le cadre de la cinétique classique ou relativiste, la formule
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A'}\left({\text{syst}},\,t\right)={\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}\left({\text{syst}},\,t\right)+{\overrightarrow {A'A}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A'}\left({\text{syst}},\,t\right)\\{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}\left({\text{syst}},\,t\right)\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A'\\A\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$
dans le cadre de la cinétique classique la résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$ du système étant liée au vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ de son C.D.I. $\;G\;$ selon «$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$», son report dans la formule de changement d'origine du calcul du moment cinétique $\;{\big$vectoriel${\big )}\;$ du système donne
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A'}\left({\text{syst}},\,t\right)={\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}\left({\text{syst}},\,t\right)+{\overrightarrow {A'A}}\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$
Cas particulier : Si on choisit le C.D.I. $\;G\;$ du système comme 1er point origine de calcul du vecteur moment cinétique d’un système discret $\;{\big$fermé${\big )}\;$ de points matériels, le vecteur moment cinétique du système évalué relativement à un 2ème point origine $\;A\;$ suivra la relation
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}\left({\text{syst}},\,t\right)={\overrightarrow {\sigma }}_{\!G}\left({\text{syst}},\,t\right)+{\overrightarrow {AG}}\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$
Cas particulier : Si on choisit le C.D.I. $\;\color {transparent}{G}\;$ que l'on peut interpréter en remarquant que le 2ème terme du 2ème membre est le vecteur moment cinétique du C.D.I. $\;G$ $\;{\big$considéré comme point fictif de masse $\;m_{\text{syst}}\;$ et de quantité de mouvement $\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)={\vec {P}}_{\text{syst}}(t){\big ]}\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport à $\;A\;$ alors que le 1er terme du 2ème membre est le vecteur moment cinétique du système au même instant $\;t\;$ dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport à $\;G\;\ldots$
Cas particulier : Conclusion : « le vecteur moment cinétique d'un système discret fermé de points matériels par rapport à $\;A\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d’étude $\;{\mathcal {R}}\;$ est la somme du vecteur moment cinétique du système par rapport à $\;G$ $\;{\big$C.D.I. du système${\big )}\;$ au même instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ et du vecteur moment cinétique de $\;G\,\left(m_{\text{syst}}\right)\;$ par rapport à $\;A\;$ au même instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$».

### Complément, changement d’origine du calcul du vecteur moment cinétique d’un système discret « quelconque » de points matériels « en translation » en cinétique relativiste

Nous avons vu au paragraphe précédent que le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, à l'instant $\;t$, du système discret « quelconque » de points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ dans le référentiel d’étude $\;{\mathcal {R}}\;$ reste applicable en cinétique relativiste sous la forme
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A',\,{\text{relativ}}}\left({\text{syst}},\,t\right)={\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ}}}\left({\text{syst}},\,t\right)+{\overrightarrow {A'A}}\wedge {\vec {P}}_{{\text{relativ}},\,{\text{syst}}}(t)\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A',\,{\text{relativ}}}\left({\text{syst}},\,t\right)\\{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ}}}\left({\text{syst}},\,t\right)\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A'\\A\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;{\vec {P}}_{{\text{relativ}},\,{\text{syst}}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\vec {p}}_{M_{i},\,{\text{relativ}}}(t)\;$
$\;\ldots$
si le mouvement du système discret « quelconque » de points matériels n'est pas une translation, il n'y a, a priori, aucune simplification du vecteur résultante cinétique relativiste du système $\;\ldots$
Cas d'un système discret « quelconque » de points matériels en translation dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ : « tous les points matériels $\;M_{i}\;$ ayant même vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\!M_{i}}(t)=$ ${\vec {V}}_{G}(t)\;$ c'est-à-dire le vecteur vitesse du C.D.I. $\;G\;$ du système fermé », ont aussi « même facteur de Lorentz $\;\gamma _{M_{i}}(t)=$ ${\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M_{i}}^{\,2}(t)}{c^{2}}}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!G}^{\,2}(t)}{c^{2}}}}}}=\gamma _{G}(t),\;\;\forall \;i\in \left[\left[1\,,\,N\right]\right]\;$» et par suite, nous avons déduit une expression simplifiée de $\;{\vec {P}}_{{\text{relativ}},\,{\text{syst}}}(t)\;$ dans le paragraphe « complément, expression relativiste du vecteur résultante cinétique d'un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre, cette expression étant
$\;{\vec {P}}_{{\text{relativ}},\,{\text{syst. en transl.}}}(t)=\gamma _{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$
$\;\gamma _{G}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!G}^{\,2}(t)}{c^{2}}}}}}\;$
le report de cette expression dans la formule de changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste, à l'instant $\;t$, du système discret « quelconque » de points matériels en translation dans le référentiel d’étude $\;{\mathcal {R}}\;$ nous conduit à
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A',\,{\text{relativ}}}\left({\text{syst}},\,t\right)={\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ}}}\left({\text{syst}},\,t\right)+{\overrightarrow {A'A}}\wedge \gamma _{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)$
Cas particulier : Si on choisit le C.D.I. $\;G\;$ du système comme 1er point origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste d’un système discret (fermé) de points matériels en translation, le vecteur moment cinétique relativiste du système évalué relativement à un 2ème point origine $\;A\;$ s'obtient par
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ}}}\left({\text{syst. en transl.}},\,t\right)=\;{\cancel {{\overrightarrow {\sigma }}_{\!G,\,{\text{relativ}}}\left({\text{syst. en transl.}},\,t\right)+}}\;{\overrightarrow {AG}}\wedge \gamma _{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$
Cas particulier : Si on choisit le C.D.I. $\;\color {transparent}{G}\;$ que l'on peut interpréter en remarquant que le 2ème membre est le vecteur moment cinétique relativiste du C.D.I. $\;G$ $\;{\big$considéré comme point fictif de masse $\;m_{\text{syst}}\;$ et de quantité de mouvement relativiste $\;\gamma _{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)={\vec {P}}_{{\text{relativ.}},\,{\text{syst. en transl.}}}(t){\big ]}\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport à $\;A\;\ldots$

## Cas où le système discret de points matériels est en rotation autour d’un axe fixe
### Expression du vecteur moment cinétique d’un système discret de points matériels en rotation autour d’un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ

Le système discret fermé de points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ étant en rotation autour d'un axe $\left(\Delta \right)\;$ fixe du référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ et choisissant comme point origine de calcul du vecteur moment cinétique du système un point $\;A\;$ quelconque de $\;\left(\Delta \right)$, on peut, en cinétique classique, écrire le « vecteur moment cinétique du point $\;M_{i},\;\;\forall \;i\in \left[\left[1\,,\,N\right]\right]\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport à $\;A\;$ sous la forme
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M_{i},\,t)=$
$m_{i}\;r_{i}^{2}\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-m_{i}\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\overline {AH_{i}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\;$
$\;H_{i}\;$
$\;M_{i}\;$
$\;\left(\Delta \right)\;$
$\;r_{i}\;$
$\;M_{i}\;$
le vecteur moment cinétique du système $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\;$ étant la somme des vecteurs moment cinétique de chaque point $\;M_{i}$, on en déduit donc
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=$
$\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M_{i},\,t)=$
$\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left[m_{i}\;r_{i}^{2}\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-m_{i}\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\overline {AH_{i}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\right]\;$
après distribution de la somme sur chaque terme de l'expression entre crochets puis factorisation par $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$ ou $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ dans le 1er ou 2ème terme,
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;r_{i}^{2}\right]{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\overline {AH_{i}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\right]\;$
définissant le moment d'inertie$\;J_{\Delta }\;$du système relativement à l'axe de rotation $\;\left(\Delta \right)\;$ comme la grandeur scalaire «$\;J_{\Delta }=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}J_{\Delta }(M_{i})=$ $\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;r_{i}^{2}\;$» exprimée en $\;kg\cdot m^{2}$ $\;{\big$il s'agit de la 2ème grandeur d'inertie caractérisant le système, la 1ère étant sa masse $\;m_{\text{syst}}{\big ]}\;$ et
repérant le point $\;M_{i}\;$ par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle $\;A\;$ et d'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }$ $\;{\big$de sens a priori arbitraire sur $\;\left(\Delta \right)\;$ mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu${\big ]}\;$ «$\;\left(r_{i},\,\theta _{i},\,z_{i}\right)\;$» $\;{\big$la base cylindro-polaire liée à $\;M_{i}\;$ étant notée $\;\left({\vec {u}}_{r_{i}}\,,\,{\vec {u}}_{\theta _{i}}\,,\,{\vec {u}}_{\Delta }\right)\;$${\big ]}$,
le vecteur moment cinétique du système discret fermé de points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ en rotation autour de l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}$, de vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$, évalué au même instant $\;t\;$ par rapport à $\;A\;$ point quelconque de $\;\left(\Delta \right)$, se réécrit selon
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;z_{i}\;r_{i}\;{\vec {u}}_{r_{i}}(t)\right]\;$
le vecteur moment cinétique du système discret fermé de points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ en rotation autour de l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}$, de vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$, évalué au même instant $\;t\;$ par rapport à $\;A\;$ point quelconque de $\;\left(\Delta \right)\;$ est donc la somme de deux termes,
* le 1er «$\;J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$» porté par l'axe de rotation en étant $\;\propto \;$ à la vitesse angulaire et
* le 2ème «$\;-{\overline {\Omega }}(t)\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;z_{i}\;r_{i}\;{\vec {u}}_{r_{i}}(t)\right]\;$» $\;\perp \;$ à l'axe de rotation en étant $\;\propto \;$ à la vitesse angulaire et tournant à la même vitesse angulaire que le système de points matériels $\;\ldots$
Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : rappelons tout d'abord qu'un système discret fermé de points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ en rotation autour d'un axe fixe $\;\left(\Delta \right)\;$ est nécessairement un solide, il est donc possible de lui associer un tenseur d'inertie selon la « définition du tenseur d'inertie d'un solide (système de points matériels indéformable) » du chap.$5$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » ; Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : ce tenseur d'inertie peut être représenté par une matrice $\;3\;{\text{x}}\;3\;$ appelée matrice d'inertie du solide comme cela a été précisé dans le paragraphe « matrice d'inertie d'un solide ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier » du chap.$5$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », la matrice d'inertie $\;{\big$symétrique${\big )}\;$ étant rappelée ci-dessous :
$\;\left[J\right]=\left[{\begin{array}{c c c}\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\left(y_{i}^{2}+z_{i}^{2}\right)&-\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;x_{i}\;y_{i}&-\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;x_{i}\;z_{i}\\-\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;x_{i}\;y_{i}&\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\left(x_{i}^{2}+z_{i}^{2}\right)&-\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;y_{i}\;z_{i}\\-\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;x_{i}\;z_{i}&-\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;y_{i}\;z_{i}&\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\right)\end{array}}\right]\;$
Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : parmi les cœfficients de la matrice d'inertie du solide ci-dessus on distingue :
* les éléments diagonaux définissant les moments d'inertie du solide par rapport à un axe privilégié plus précisément $\;\succ \;J_{Ox}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\left(y_{i}^{2}+z_{i}^{2}\right)\;$ « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe $\;Ox\;$», $\;\succ \;J_{Oy}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\left(x_{i}^{2}+z_{i}^{2}\right)\;$ « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe $\;Oy\;$» et $\;\succ \;J_{Oz}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\right)\;$ « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe $\;Oz\;$»,
* l'opposé des éléments non diagonaux définissant les produits d'inertie du solide dans un plan privilégié plus précisément $\;\succ \;I_{xy}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;x_{i}\;y_{i}\;$ « produit d'inertie du solide dans le plan $\;xOy\;$», $\;\succ \;I_{xz}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;x_{i}\;z_{i}\;$ « produit d'inertie du solide dans le plan $\;xOz\;$» et $\;\succ \;I_{yz}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;y_{i}\;z_{i}\;$ « produit d'inertie du solide dans le plan $\;yOz\;$»,
Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : d'où la réécriture de la matrice d'inertie du solide selon «$\;\left[J\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{Ox}&-I_{xy}&-I_{xz}\\-I_{xy}&J_{Oy}&-I_{yz}\\-I_{xz}&-I_{yz}&J_{Oz}\end{array}}\right]\;$» ;
Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : choisissant le point origine $\;A\;$ de calcul du moment cinétique vectoriel du solide comme origine du repère et l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ comme axe $\;{\overrightarrow {Az}}\;$, les axes $\;{\overrightarrow {Ax}}\;$ et $\;{\overrightarrow {Ay}}\;$ respectivement orientés par $\;{\vec {u}}_{x}\;$ et $\;{\vec {u}}_{y}\;$ étant choisis $\;\perp \;$ à $\;\left(\Delta \right)\;$ tels que la base $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{\Delta }\right\rbrace \;$ soit de même orientation que la base cylindro-polaire liée à $\;M_{i}\;$, la matrice d'inertie du solide se réécrit «$\;\left[J\right]=$ $\left[{\begin{array}{c c c}J_{Ox}&-I_{xy}&-I_{xz}\\-I_{xy}&J_{Oy}&-I_{yz}\\-I_{xz}&-I_{yz}&J_{\Delta }\end{array}}\right]\;$» ;
Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : on peut alors vérifier que « la matrice colonne $\;\left[\sigma _{\!A}({\text{syst}},\,t)\right]=\left[{\begin{array}{c}{\overline {\sigma }}_{\!A,\,x}({\text{syst}},\,t)\\{\overline {\sigma }}_{\!A,\,y}({\text{syst}},\,t)\\{\overline {\sigma }}_{\!A,\,\Delta }({\text{syst}},\,t)\end{array}}\right]\;$ représentant le vecteur moment cinétique $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\;$ du système discret fermé de points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ en rotation autour d'un axe fixe $\;\left(\Delta \right)\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$» avec « un vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$ représenté par la matrice colonne $\;\left[\Omega (t)\right]=$ $\left[{\begin{array}{c}0\\0\\{\overline {\Omega }}(t)\end{array}}\right]\;$» s'évalue en formant la multiplication matricielle suivante «$\;\left[\sigma _{\!A}({\text{syst}},\,t)\right]=\left[J\right]\times \left[\Omega (t)\right]\;$» ou «$\;\left[{\begin{array}{c}{\overline {\sigma }}_{\!A,\,x}({\text{syst}},\,t)\\{\overline {\sigma }}_{\!A,\,y}({\text{syst}},\,t)\\{\overline {\sigma }}_{\!A,\,\Delta }({\text{syst}},\,t)\end{array}}\right]=$ $\left[{\begin{array}{c c c}J_{Ox}&-I_{xy}&-I_{xz}\\-I_{xy}&J_{Oy}&-I_{yz}\\-I_{xz}&-I_{yz}&J_{\Delta }\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}0\\0\\{\overline {\Omega }}(t)\end{array}}\right]\;$» soit finalement
$\;{\begin{array}{l c l}{\overline {\sigma }}_{\!A,\,x}({\text{syst}},\,t)\!\!&=-I_{xz}\;{\overline {\Omega }}(t)\!\!&=-{\overline {\Omega }}(t)\left\lbrace \sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;x_{i}\;z_{i}\right\rbrace \\{\overline {\sigma }}_{\!A,\,y}({\text{syst}},\,t)\!\!&=-I_{yz}\;{\overline {\Omega }}(t)\!\!&=-{\overline {\Omega }}(t)\left\lbrace \sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;y_{i}\;z_{i}\right\rbrace \\{\overline {\sigma }}_{\!A,\,\Delta }({\text{syst}},\,t)\!\!&=J_{\Delta }\;{\overline {\Omega }}(t)\!\!&={\overline {\Omega }}(t)\left\lbrace \sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\right)\right\rbrace \end{array}}\;$
Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : on retrouve effectivement les deux termes du vecteur moment cinétique $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\;$ précédemment déterminés directement à savoir
* «$\;J_{\Delta }\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }=\left\lbrace \sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\right)\right\rbrace {\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }=\left\lbrace \sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;r_{i}^{2}\right\rbrace {\overrightarrow {\Omega }}(t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$» porté par l'axe de rotation et
* «$\;-I_{xz}\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{x}-I_{yz}\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{y}=-\left\lbrace \sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;x_{i}\;z_{i}\right\rbrace {\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{x}-\left\lbrace \sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;y_{i}\;z_{i}\right\rbrace {\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{y}$ $\;{\big$ou encore, après factorisation par $\;{\overline {\Omega }}(t){\big ]}$, $=-\left\lbrace \sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;z_{i}\left(x_{i}\;{\vec {u}}_{x}+y_{i}\;{\vec {u}}_{y}\right)\right\rbrace {\overline {\Omega }}(t)$ $=-{\overline {\Omega }}(t)\left\lbrace \sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;z_{i}\;r_{i}\;{\vec {u}}_{r_{i}}\right\rbrace \;$» $\;\perp \;$ à l'axe de rotation.

### Complément, vecteur moment cinétique d’un système discret de points matériels en rotation autour d’un axe Δ fixe dans le référentiel étude dans le cadre de la cinétique relativiste, le point origine de calcul étant un point A de Δ

Comme cela a été établi dans le paragraphe « complément, expression relativiste du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A » plus haut dans ce chapitre, le vecteur moment cinétique relativiste du système discret fermé de points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}$, à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$, évalué par rapport au point origine $\;A$, se détermine selon
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}(M_{i},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\overrightarrow {AM_{i}}}(t)\wedge {\vec {p}}_{M_{i},\,{\text{relativ}}}(t)\;$
$\;{\vec {p}}_{M_{i},\,{\text{relativ}}}(t)\;$
$\;M_{i}\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\overrightarrow {AM_{i}}}(t)\wedge m_{i}\;\gamma _{M_{i}}(t)\;{\vec {V}}_{\!M_{i}}(t)\;$
$\;{\vec {V}}_{\!M_{i}}(t)\;$
$\;M_{i}\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;\gamma _{M_{i}}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M_{i}}^{\,2}(t)}{c^{2}}}}}}\;$
$\;M_{i}\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
le système discret fermé de points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ étant en rotation autour d'un axe $\left(\Delta \right)\;$ fixe du référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ et choisissant comme point origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste du système un point $\;A\;$ quelconque de $\;\left(\Delta \right)$, on peut écrire le vecteur moment cinétique relativiste du point $\;M_{i},\;\;\forall \;i\in \left[\left[1\,,\,N\right]\right]\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport à $\;A\;$ sous la forme
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ}}}(M_{i},\,t)=\gamma _{M_{i}}(t)\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{newton}}}(M_{i},\,t)=\gamma _{M_{i}}(t)\;m_{i}\;r_{i}^{2}\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-\gamma _{M_{i}}(t)\;m_{i}\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\overline {AH_{i}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\;$
$\;H_{i}\;$
$\;M_{i}\;$
$\;\left(\Delta \right)\;$
$\;r_{i}\;$
$\;M_{i}\;$
$\;\gamma _{M_{i}}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {r_{i}^{2}\;{\Big \Vert }{\overrightarrow {\Omega }}(t){\Big \Vert }^{\,2}}{c^{2}}}}}}\;$
$\;M_{i}\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
en déduire le vecteur moment cinétique relativiste $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ}}}({\text{syst. en rot.}},\,t)\;$ du système discret fermé en rotation autour de l'axe fixe $\;\left(\Delta \right)\;$ évalué par rapport au point origine $\;A\;$ quelconque sur l'axe, selon
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ}}}({\text{syst. en rot.}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ}}}(M_{i},\,t)=\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\gamma _{M_{i}}(t)\;m_{i}\;r_{i}^{2}\right]{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\gamma _{M_{i}}(t)\;m_{i}\;{\overline {AH_{i}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\right]\;$
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ}}}({\text{syst. en rot.}},\,t)=\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\dfrac {m_{i}\;r_{i}^{2}}{\sqrt {1-{\dfrac {r_{i}^{2}\;{\Big \Vert }{\overrightarrow {\Omega }}(t){\Big \Vert }^{\,2}}{c^{2}}}}}}\right]{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\dfrac {m_{i}\;{\overline {AH_{i}}}}{\sqrt {1-{\dfrac {r_{i}^{2}\;{\Big \Vert }{\overrightarrow {\Omega }}(t){\Big \Vert }^{\,2}}{c^{2}}}}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\right]\;$
comme en cinétique classique, le vecteur moment cinétique relativiste du système discret fermé en rotation autour de l'axe fixe $\;\left(\Delta \right)\;$ évalué par rapport au point origine $\;A\;$ quelconque sur l'axe est la somme de deux termes
* le 1er «$\;\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\gamma _{M_{i}}(t)\;m_{i}\;r_{i}^{2}\right]{\overrightarrow {\Omega }}(t)=\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\dfrac {m_{i}\;r_{i}^{2}}{\sqrt {1-{\dfrac {r_{i}^{2}\;{\Big \Vert }{\overrightarrow {\Omega }}(t){\Big \Vert }^{\,2}}{c^{2}}}}}}\right]{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$» porté par l'axe de rotation et
* le 2ème «$\;-{\overline {\Omega }}(t)\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\gamma _{M_{i}}(t)\;m_{i}\;{\overline {AH_{i}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\right]=-{\overline {\Omega }}(t)\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\dfrac {m_{i}\;{\overline {AH_{i}}}}{\sqrt {1-{\dfrac {r_{i}^{2}\;{\Big \Vert }{\overrightarrow {\Omega }}(t){\Big \Vert }^{\,2}}{c^{2}}}}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\right]\;$» $\;\perp \;$ à l'axe de rotation $\;\ldots$
Repérant le point $\;M_{i}\;$ par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle $\;A\;$ et d'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }$ $\;{\big$de sens a priori arbitraire sur $\;\left(\Delta \right)\;$ mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu${\big ]}\;$ «$\;\left(r_{i},\,\theta _{i},\,z_{i}\right)\;$» $\;{\big$la base cylindro-polaire liée à $\;M_{i}\;$ étant notée $\;\left({\vec {u}}_{r_{i}}\,,\,{\vec {u}}_{\theta _{i}}\,,\,{\vec {u}}_{\Delta }\right)\;$${\big ]}$, l'expression relativiste du vecteur moment cinétique du système en rotation autour de $\;\left(\Delta \right)$, de vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$, calculé par rapport à $\;A\;$ point quelconque de $\;\left(\Delta \right)$, se réécrit selon
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ}}}({\text{syst. en rot.}},\,t)=\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\dfrac {m_{i}\;r_{i}^{2}}{\sqrt {1-{\dfrac {r_{i}^{2}\;{\Big \Vert }{\overrightarrow {\Omega }}(t){\Big \Vert }^{\,2}}{c^{2}}}}}}\right]{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\dfrac {m_{i}\;z_{i}\;r_{i}}{\sqrt {1-{\dfrac {r_{i}^{2}\;{\Big \Vert }{\overrightarrow {\Omega }}(t){\Big \Vert }^{\,2}}{c^{2}}}}}}\;{\vec {u}}_{r_{i}}(t)\right]\;$

### Complément, notion d'axes principaux d’inertie en cinétique newtonienne

Pour tout point${\underline {\;A\;}}$origine de calcul de vecteur moment cinétiqueclassique du système discret fermé de points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ en rotation autour d'un axe «$\left(\Delta \right)\,\ni \,A\;$», axe fixe du référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, nous admettrons qu'il existe au moins trois directions de l'axe de rotation $\;\left\lbrace \left(\Delta _{p,\,k}\right)\right\rbrace _{k\,=\,1\,..\,3}$, deux à deux${\underline {\;\perp }}$, telles que
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A\,\in \,\left(\Delta _{p,\,k}\right)}({\text{syst}},\,t)\;$
$\;\parallel \;$
$\;\left(\Delta _{p,\,k}\right)\;$
$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\overline {AH_{i,\,k}}}\;{\overrightarrow {H_{i,\,k}M_{i}}}(t)={\vec {0}}\;$
$\;H_{i,\,k}\;$
$\;M_{i}\;$
$\;\left(\Delta _{p,\,k}\right)\;$
$\Downarrow$
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A\,\in \,\left(\Delta _{p,\,k}\right)}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta _{p,_{,}k}}\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$
$\;J_{\Delta _{p,_{,}k}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;r_{i,\,k}^{\,2}\;$
$\;r_{i,\,k}=H_{i,\,k}M_{i}\;$
$\;\left(\Delta _{p,\,k}\right)\;$
$\;A\;$
$\;J_{\Delta _{p,_{,}k}}\;$
$\;\left(\Delta _{p,\,k}\right)\;$
$\;A\;$
Remarque : Pour un système discret fermé de points matériels indéformable, on peut définir au moins trois directions, deux à deux $\;\perp$, d'axe de rotation du système telles que « le vecteur moment cinétique de ce dernier évalué par rapport à un point $\;A\;$ quelconque, avec pour axe de rotation un axe issu de $\;A\;$ ayant l'une des trois directions précédentes, $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\;$ soit $\;\parallel \;$ au vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$», c'est-à-dire qu'on peut toujours trouver trois axes principaux d'inertie du système issus de n'importe quel point $\;A$, ou encore on peut définir un repère principal d'inertie du système à partir de n’importe quel point origine $\;A\;$ mais $\;\ldots$
Remarque : Pour un système discret fermé de points matériels indéformable, un axe quelconque de rotation${\underline {\;(\Delta )\;}}$peut ne jamais être principal d'inertie pour un de ses points${\underline {\;A}}\;$ c'est-à-dire que le 2ème terme du vecteur moment cinétique $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A\,\in \,\left(\Delta \right)}({\text{syst}},\,t)\;$ du système en rotation autour de $\;\left(\Delta \right)$, de vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)$, à savoir «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\overline {AH_{i}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\perp \left(\Delta \right)\;$», peut être non nul pour tous les points $\;A\in \left(\Delta \right)\;$.
Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide (suite) : un système discret fermé de points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ en rotation autour d'un axe fixe $\;\left(\Delta \right)\;$ étant nécessairement un solide, il est possible de lui associer un tenseur d'inertie selon la « définition du tenseur d'inertie d'un solide (système de points matériels indéformable) » du chap.$5$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », ce tenseur d'inertie pouvant être représenté par une matrice $\;3\;{\text{x}}\;3\;$ appelée matrice d'inertie du solide comme cela a été précisé dans le paragraphe « matrice d'inertie d'un solide ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier » du même chap.$5$ de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », matrice d'inertie $\;{\big$symétrique${\big )}\;$ rappelée ci-dessous
$\;\left[J\right]=\left[{\begin{array}{c c c}\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\left(y_{i}^{2}+z_{i}^{2}\right)&-\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;x_{i}\;y_{i}&-\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;x_{i}\;z_{i}\\-\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;x_{i}\;y_{i}&\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\left(x_{i}^{2}+z_{i}^{2}\right)&-\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;y_{i}\;z_{i}\\-\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;x_{i}\;z_{i}&-\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;y_{i}\;z_{i}&\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\right)\end{array}}\right]\;$
Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide (suite) : $\;\succ \;$les éléments diagonaux définissent les moments d'inertie du solide par rapport à un axe privilégié plus précisément
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}J_{Ox}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\left(y_{i}^{2}+z_{i}^{2}\right)\\J_{Oy}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\left(x_{i}^{2}+z_{i}^{2}\right)\\J_{Oz}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$
Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide (suite) : $\;\succ \;$l'opposé des éléments non diagonaux définissent les produits d'inertie du solide dans un plan privilégié plus précisément
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}I_{xy}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;x_{i}\;y_{i}\\I_{xz}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;x_{i}\;z_{i}\\I_{yz}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;y_{i}\;z_{i}\end{array}}\right\rbrace \;$
Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide (suite) : d'où la réécriture de la matrice d'inertie du solide selon «$\;\left[J\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{Ox}&-I_{xy}&-I_{xz}\\-I_{xy}&J_{Oy}&-I_{yz}\\-I_{xz}&-I_{yz}&J_{Oz}\end{array}}\right]\;$».
Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide (suite) : Comme il est admis dans le paragraphe « caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide » du chap.$5$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » :
$\;\left[A\right]\;$
$\;\left[D\right]\;$
$\;\left[A\right]$
$\;{\big \$
$\;\left[P\right]\;$
$\;\left[D\right]\;$
$\;\left[A\right]=$
$\left[P\right]\times \left[D\right]\times \left[P\right]^{-1}{\big \}$
Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide (suite) : on en déduit donc que « la matrice d'inertie $\;\left[J\right]\;$ est diagonalisable ».
Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide (suite) : Comme cela est exposé dans le paragraphe « définition des axes principaux d'inertie d'un solide et moments principaux d'inertie de ce dernier » du chap.$5$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » la nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie $\;\left[J\right]\;$ du solide relativement à un référentiel lié à ce dernier, dans la base orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{\Delta }\right\rbrace \;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel tridimensionnel euclidien $\;W$, direction de l'espace affine modélisant l'espace physique, rendant la matrice diagonalisable, il existe au moins un changement de base $\;{\big$en fait il en existe au moins trois${\big )}\;$ telle que la matrice d'inertie du solide soit transformée en «$\;\left[{\mathcal {J}}\right]\;$ diagonale » ;
Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide (suite) : soit $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{X,\,k}\,,\,{\vec {u}}_{Y,\,k}\,,\,{\vec {u}}_{\Delta _{p,\,k}}\right\rbrace _{k\,=\,1\,..\,3}\;$ l'une des bases orthonormées de $\;W\;$ pour laquelle la matrice d'inertie du solide est rendue diagonale, Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide (suite) : soit $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {u}}_{X,\,k}\,,\,{\vec {u}}_{Y,\,k}\,,\,{\vec {u}}_{\Delta _{p,\,k}}\right\rbrace _{k\,=\,1\,..\,3}}\;$ les axes $\;\left\lbrace \left(AX_{k}\right)\,,\,\left(AY_{k}\right)\,,\,\left(\Delta _{p,\,k}\right)\right\rbrace _{k\,=\,1\,..\,3}\;$$^,$ issus de $\;A\;$ et orientés par les vecteurs de la nouvelle base $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{X,\,k}\,,\,{\vec {u}}_{Y,\,k}\,,\,{\vec {u}}_{\Delta _{p,\,k}}\right\rbrace _{k\,=\,1\,..\,3}\;$ définissent alors les axes principaux d'inertie du solide, axes caractérisant la répartition de masse du solide autour de $\;A$ $\;{\big$point fixe du solide${\big )}$ ; Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide (suite) : soit $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {u}}_{X,\,k}\,,\,{\vec {u}}_{Y,\,k}\,,\,{\vec {u}}_{\Delta _{p,\,k}}\right\rbrace _{k\,=\,1\,..\,3}}\;$ les éléments diagonaux de la nouvelle matrice d'inertie diagonale $\;\left[{\mathcal {J}}\right]\;$ à savoir $\;J_{AX_{k}}$, $\;J_{AY_{k}}\;$ et $\;J_{\Delta _{p,\,k}}\;$ sont appelés moments principaux d'inertie du solide relativement aux axes respectifs $\;\left\lbrace \left(AX_{k}\right)\,,\,\left(AY_{k}\right)\,,\,\left(\Delta _{p,\,k}\right)\right\rbrace _{k\,=\,1\,..\,3}\;$$^,$$^,$, leurs valeurs dépendent de la répartition des points matériels $\;M_{i}\,(m_{i})\;$ du solide autour des axes principaux d'inertie de ce dernier.
Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide (suite) : Compte-tenu de ce qui vient d'être rappelé, la matrice d'inertie $\;\left[{\mathcal {J}}\right]\;$ du solide dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ lié au solide et relativement axes principaux d'inertie $\;\left\lbrace \left(AX_{k}\right)\,,\,\left(AY_{k}\right)\,,\,\left(\Delta _{p,\,k}\right)\right\rbrace _{k\,=\,1\,..\,3}\;$ de ce dernier issus du point $\;A$, point fixe de $\;{\mathcal {R}}\;$, s'écrit, avec «$\;J_{AX_{k}}$, $\;J_{AY_{k}}\;$ et $\;J_{\Delta _{p,\,k}}\;$ moments principaux d'inertie du solide », selon
$\;\left[{\mathcal {J}}\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{AX_{k}}&0&0\\0&J_{AY_{k}}&0\\0&0&J_{\Delta _{p,\,k}}\end{array}}\right]\;$
Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide (suite) : Dans cette nouvelle base $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{X,\,k}\,,\,{\vec {u}}_{Y,\,k}\,,\,{\vec {u}}_{\Delta _{p,\,k}}\right\rbrace _{k\,=\,1\,..\,3}\;$, dans la mesure où la rotation du système $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ se fait autour de l'axe principal d'inertie $\;\left(\Delta _{p,\,k}\right)$, « son vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$ est représenté par la matrice colonne $\;\left[\Omega (t)\right]=\left[{\begin{array}{c}0\\0\\{\overline {\Omega }}(t)\end{array}}\right]\;$» et « le vecteur moment cinétique du système en rotation autour de $\;\left(\Delta _{p,\,k}\right)$, moment évalué par rapport à $\;A$, $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)$, l'est par la matrice colonne $\;\left[\sigma _{\!A}({\text{syst}},\,t)\right]=\left[{\mathcal {J}}\right]\times \left[\Omega (t)\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{AX_{k}}&0&0\\0&J_{AY_{k}}&0\\0&0&J_{\Delta _{p,\,k}}\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}0\\0\\{\overline {\Omega }}(t)\end{array}}\right]=$ $\left[{\begin{array}{c}0\\0\\J_{\Delta _{p,\,k}}\;{\overline {\Omega }}(t)\end{array}}\right]\;$» dont on déduit
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta _{p,\,k}}\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta _{p,\,k}}=J_{\Delta _{p,\,k}}\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$
$\;\left(\Delta _{p,\,k}\right)\;$
$\;A\;$
$\;J_{\Delta _{p,\,k}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\,\left(X_{i,\,k}^{\,2}+Y_{i,\,k}^{\,2}\right)\;$
$\;\left(\Delta _{p,\,k}\right)\;$
$\;J_{\Delta _{p,\,k}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;r_{i,\,k}^{\,2}\;$
$\;r_{i,\,k}\;$
$\;M_{i}\;$
$\;\left(\Delta _{p,\,k}\right)\;$

### Complément, exemples de détermination d'axes principaux d'inertie de systèmes discrets fermés indéformables particuliers de points matériels

Ci-dessous une liste $\;{\big$non exhaustive${\big )}\;$ d'axes principaux d'inertie pour des systèmes discrets fermés indéformables particuliers de points matériels :
* Tout axe de symétrie d'un système pour sa répartition de masse est axe principal d'inertie du système pour tous les points de l'axe $\;{\Big$en effet deux points symétriques par rapport à cet axe $\;\left(\Delta \right)$, $\;M_{p}\;$ et $\;M_{q},\,q\neq p\;$ ont même masse $\;m_{p}=m_{q},\,q\neq p$, même cote $\;z_{p}=z_{q},\,q\neq p\;$ quel que soit le point origine $\;A\in \left(\Delta \right)$, même distance orthogonale à l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ soit $\;r_{p}=r_{q},\,q\neq p\;$ et un vecteur unitaire radial de leur base cylindro-polaire associée opposé l'un à l'autre $\;{\vec {u}}_{r_{q}}=-{\vec {u}}_{r_{p}},\,q\neq p\;$ d'où «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\overline {AH_{i}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)=$ $\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;z_{i}\;r_{i}\;{\vec {u}}_{r_{i}}={\vec {0}},\;\;\forall \;A\in \left(\Delta \right)\;$» $\Rightarrow$ $\;\left(\Delta \right)\;$ est un axe principal d'inertie du système pour tous les points de l'axe${\Big ]}$, exemple d'axes principaux d'inertie pour un cylindre de révolution « homogène » de hauteur finie : l'axe de symétrie de révolution mais aussi tout axe $\;\perp \;$ à ce dernier passant par le centre d'inertie du cylindre $\;\ldots$
* Tout « axe de symétrie d’ordre $\;p\geqslant 3\;$ » d'un système pour sa répartition de masse est axe principal d'inertie du système pour tous les points de l'axe $\;{\Big$en effet supposons que $\;\left(\Delta _{s}\right)\;$ soit un axe de symétrie d’ordre $\;p=3$, cela signifie que les points de chaque triplet de points matériels symétriques d’ordre $\;3\;$ par rapport à $\;\left(\Delta _{s}\right)$, $\;\left\lbrace M_{n},\,M_{p},\,M_{q}\right\rbrace _{n\,\neq p\,\neq \,q\,{\text{et}}\,n\,\neq \,q}\;$ se déduisant l'un de l'autre dans une permutation circulaire $\;_{1}\,\rightarrow \,_{2}\,$ $\rightarrow \,_{3}\,\rightarrow \,_{1}\;$ par rotation autour de cet axe d’angle $\;{\dfrac {2\;\pi }{3}}\;$ ont même masse $\;m_{n}=m_{p}=m_{q}$, même cote $\;z_{n}=z_{p}=$ $z_{q}\;$ quel que soit le point origine $\;A\in \left(\Delta _{s}\right)$, même distance orthogonale à l'axe $\;\left(\Delta _{s}\right)\;$ soit $\;r_{n}=r_{p}=r_{q}\;$ et un vecteur unitaire radial de leur base cylindro-polaire associée se déduisant l'un de l'autre par rotation $\;{\text{rot}}_{(\Delta _{s})}\!\!\left({\dfrac {2\;\pi }{3}}\right)\;$ autour de $\;\left(\Delta _{s}\right)\;$ d’angle $\;{\dfrac {2\;\pi }{3}}\;$ soit $\;{\vec {u}}_{r_{n}}\;{\overset {{\text{rot}}_{(\Delta _{s})}\!\left({\frac {2\;\pi }{3}}\right)}{\longrightarrow }}\;{\vec {u}}_{r_{p}}\;{\overset {{\text{rot}}_{(\Delta _{s})}\!\left({\frac {2\;\pi }{3}}\right)}{\longrightarrow }}\;{\vec {u}}_{r_{q}}\;{\overset {{\text{rot}}_{(\Delta _{s})}\!\left({\frac {2\;\pi }{3}}\right)}{\longrightarrow }}\;{\vec {u}}_{r_{n}}\;$ d'où «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\overline {AH_{i}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)=$ $\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;z_{i}\;r_{i}\;{\vec {u}}_{r_{i}}={\vec {0}},\;\;\forall \;A\in \left(\Delta _{s}\right)\;$» $\Rightarrow$ $\;\left(\Delta _{s}\right)\;$ est un axe principal d'inertie du système pour tous les points de l'axe${\Big ]}$, exemple d'axes principaux d'inertie pour une expansion tridimensionnelle tétraédrique régulière « homogène » : les quatre axes passant par l'un des quatre sommets et par le centre d'inertie du tétraèdre car ce sont des axes de symétrie d'ordre $\;3\;\ldots$
* Tout axe perpendiculaire à un plan de symétrie de système pour sa répartition de masse est axe principal d'inertie du système pour le pied ${\underline {\;A_{p}\;}}$de l'axe sur le plan $\;{\Big$en effet deux points symétriques par rapport au plan $\;\left(\Pi \right)$, $\;M_{p}\;$ et $\;M_{q},\,q\neq p\;$ ont même masse $\;m_{p}=m_{q},\,q\neq p$, même distance orthogonale à l'axe $\;\left(\Delta \right)\perp \;$ à $\;\left(\Pi \right)$, $\;r_{p}=r_{q},\,q\neq p$, même vecteur unitaire radial de leur base cylindro-polaire commune associée $\;{\vec {u}}_{r_{q}}={\vec {u}}_{r_{p}}$,$\,q\neq p\;$ et une cote opposée l'une de l'autre $\;z_{q}=-z_{p},\,q\neq p\;$ pour le point origine $\;A_{p}=\left(\Delta \right)\cap \left(\Pi \right)\;$ d'où «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\overline {A_{p}H_{i}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)=$ $\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;z_{i}\;r_{i}\;{\vec {u}}_{r_{i}}={\vec {0}}\;$ pour $\;A_{p}=\left(\Delta \right)\cap \left(\Pi \right)\;$» $\Rightarrow$ $\;\left(\Delta \right)\;$ est un axe principal d'inertie du système pour le point $\;A_{p}\;$ pied de l'axe sur le plan de symétrie${\Big ]}$, autre exemple d'axes principaux d'inertie pour un cylindre de révolution « homogène » de hauteur finie : le plan passant par le centre d'inertie du cylindre et $\;\perp \;$ à l'axe de symétrie de révolution étant un plan de symétrie, tout axe $\;\perp \;$ à ce plan en $\;A_{p}$, c'est-à-dire $\;\parallel \;$ à l'axe de symétrie de révolution et issu de $\;A_{p}$, est un axe principal d'inertie du cylindre pour le point origine $\;A_{p}\;\ldots$

## Définition du moment cinétique (scalaire) d’un système discret (fermé) de points matériels par rapport à un axe Δ
### Équiprojectivité du « vecteur champ moment cinétique d’un système discret (fermé) de points matériels » dans le référentiel d’étude et conséquence : notion de « moment cinétique scalaire du système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un axe Δ »
#### Équiprojectivité du « vecteur champ moment cinétique d’un système discret (fermé) de points matériels » dans le référentiel d’étude

La « définition de l'équiprojectivité d'un champ de vecteurs d'un espace affine euclidien tridimensionnel » introduite au chap.$1$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » est d'abord rappelée ci-dessous dans le but de la tester sur la notion de moment cinétique $\;{\big$vectoriel${\big )}\;$ d'un système discret $\;{\big$fermé${\big )}\;$ de points matériels évalué en un point origine $\;A\;$ quelconque :
$\;{\vec {f}}(M)\;$
$\;M\,\in \,{\mathcal {E}}\;$
$\;\forall \;\left(M\,,\,N\right)\in {\mathcal {E}}^{2},\;{\vec {f}}(M)\cdot {\overrightarrow {MN}}={\vec {f}}(N)\cdot {\overrightarrow {MN}}\;$
Pour démontrer l'équiprojectivité du vecteur moment cinétique d'un système discret $\;{\big$fermé${\big )}\;$ de points matériels, on utilise la « formule de changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique d'un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude » établie plus haut dans ce chapitre soit
$\;\forall \;\left(A\,,\,A'\right)\,\in \,{\mathcal {E}}^{2},\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A'}\left({\text{syst}},\,t\right)={\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}\left({\text{syst}},\,t\right)+{\overrightarrow {A'A}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$
$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$
Pour démontrer l'équiprojectivité du vecteur moment cinétique d'un système discret $\;\color {transparent}{\big$fermé$\color {transparent}{\big )}\;$ de points matériels, on multiplie scalairement les deux membres par $\;{\overrightarrow {A'A}}\;$ d'où
$\;\forall \;\left(A\,,\,A'\right)\in {\mathcal {E}}^{2},\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A'}\left({\text{syst}},\,t\right)\cdot {\overrightarrow {A'A}}=\left[{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}\left({\text{syst}},\,t\right)+{\overrightarrow {A'A}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\right]\cdot {\overrightarrow {A'A}}\;$
Pour démontrer l'équiprojectivité du vecteur moment cinétique d'un système discret $\;\color {transparent}{\big$fermé$\color {transparent}{\big )}\;$ de points matériels, la multiplication scalaire étant distributive par rapport à l'addition vectorielle,
$\;\forall \;\left(A\,,\,A'\right)\in {\mathcal {E}}^{2},\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A'}\left({\text{syst}},\,t\right)\cdot {\overrightarrow {A'A}}={\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}\left({\text{syst}},\,t\right)\cdot {\overrightarrow {A'A}}\;{\cancel {+\left[{\overrightarrow {A'A}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\right]\cdot {\overrightarrow {A'A}}}}\;$
Pour démontrer l'équiprojectivité du vecteur moment cinétique d'un système discret $\;\color {transparent}{\big$fermé$\color {transparent}{\big )}\;$ de points matériels, ce qui établit l'équiprojectivité du vecteur moment cinétique d'un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude.
Remarques : $\;\succ \;$On pouvait aussi utiliser l'équiprojectivite du vecteur moment cinétique d'un point matériel établie dans le paragraphe « équiprojectivité du vecteur champ moment cinétique de M dans le référentiel d'étude et conséquence, notion de moment cinétique de M dans le référentiel d'étude par rapport à un axe Δ » du chap.$1$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »
$\;\forall \;\left(A\,,\,A'\right)\in {\mathcal {E}}^{2},\;\;{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M_{i},\,t)\cdot {\overrightarrow {AA'}}={\overrightarrow {\sigma }}_{A'}(M_{i},\,t)\cdot {\overrightarrow {AA'}},\;\;\forall \;M_{i}\in \left\lbrace M_{k}\right\rbrace _{k\,=\,1\,..\,N}\;$
Remarques : $\;\color {transparent}{\succ }\;$On pouvait aussi utiliser la définition du moment cinétique vectoriel du système évalué en $\;A\;$ et en $\;A'\;$ selon «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}\left({\text{syst}},\,t\right)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M_{i},\,t)\\{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A'}\left({\text{syst}},\,t\right)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\overrightarrow {\sigma }}_{A'}(M_{i},\,t)\end{array}}\right\rbrace \;$», Remarques : $\;\color {transparent}{\succ }\;$il suffit alors de faire la somme des $\;N\;$ relations d'équiprojectivité pour les $\;N\;$ points matériels du système et de factoriser scalairement par $\;{\overrightarrow {AA'}}\;$ dans chaque membre en reconnaissant dans l'autre facteur le moment cinétique vectoriel du système évalué en $\;A\;$ pour le membre de gauche et en $\;A'\;$ pour le membre de droite $\;{\big$C.Q.F.D.${\big )}\;$.
Remarques : $\;\succ \;$En utilisant la notion $\;{\big$hors programme de physique de P.C.S.I.${\big )}\;$ de « torseur » introduite dans le chap.$1$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », le moment cinétique $\;{\big$vectoriel${\big )}\;$ du système discret $\;{\big$fermé${\big )}\;$ de points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ par rapport à $\;A\;$ «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\;$» étant le moment du torseur cinétique «$\;{\mathcal {T}}_{\text{cinét. du syst.}}\;$» du système discret $\;{\big$fermé${\big )}\;$ de points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ d'éléments de réduction en $\;A\;$ «$\;{\mathcal {T}}_{\text{cinét. du syst.}}=\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\vec {p}}_{M_{i}}(t)\\{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\overrightarrow {AM_{i}}}(t)\wedge {\vec {p}}_{M_{i}}(t)\end{array}}\right\rbrace _{A}$» et Remarques : $\;\color {transparent}{\succ }\;$En utilisant le fait que le « moment d'un torseur au point $\;A\;$» est par définition un « champ de vecteurs équiprojectif » Remarques : $\;\color {transparent}{\succ }\;$nous en déduisons, sans autre développement, le caractère « équiprojectif » du « vecteur moment cinétique du système discret $\;{\big$fermé${\big )}\;$ de points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport à $\;A\;$».

#### Conséquence, notion de « moment cinétique scalaire du système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un axe Δ »

Considérant un axe $\;\Delta \;$ quelconque et deux points quelconques $\;{\big$distincts${\big )}\;$ de cet axe $\;\left(A\,,\,A'\neq A\right)\,\in \,\Delta ^{2}$, nous déduisons de l'équiprojectivité du vecteur moment cinétique du système discret $\;{\big$fermé${\big )}\;$ de points matériels dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ la relation
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A'}\left({\text{syst}},\,t\right)\cdot {\overrightarrow {A'A}}=$
${\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}\left({\text{syst}},\,t\right)\cdot {\overrightarrow {A'A}}\;$
en orientant l'axe $\;\Delta \;$ par $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ $\Rightarrow$ $\;{\overrightarrow {AA'}}={\overline {AA'}}\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ et en simplifiant par $\;{\overline {AA'}}\neq 0$,
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A'}({\text{syst}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }={\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$
cette valeur constante sur $\;\Delta \;$ définissant le moment cinétique $\;{\big$scalaire${\big )}\;$ du système discret $\;{\big$fermé${\big )}\;$ de points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport à l'axe $\;\Delta$ $\;{\big$cette définition est valable en cinétique classique ou relativiste, elle s'étend aux systèmes ouverts de points matériels dans le cadre classique ou relativiste${\big ]}$.
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;\left\lbrace M_{i}\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;\Delta \;$
$\;t$
$\;\sigma _{\Delta }({\text{syst}},\,t)={\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;\;\forall \;A\in \Delta \;$
$\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$
$\;\Delta \;$
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\;$
$\;\left\lbrace M_{i}\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$
$\;({\mathcal {R}})\;$
$\;A\;$
$\;\Delta \;$
$\;t\;$
$\;\sigma _{\Delta }({\text{syst}},\,t)=\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\overrightarrow {AM_{i}}}(t)\wedge {\vec {p}}_{M_{i}}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;\;\forall \;A\in \Delta \;$
$\;{\vec {p}}_{M_{i}}(t)\;$
$\;M_{i}\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;t\;$
Commentaire : cette grandeur traduit la réserve de « mouvement inertiel » du système discret $\;{\big$fermé${\big )}\;$ de points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ par rapport à l'axe $\;\Delta$, elle tient compte de l'inertie d'une part et de la composante de la vitesse de chaque point $\;M_{i}\;$ dans un plan $\;\perp \;$ à $\;\Delta \;$ ainsi que de la disposition du point $\;M_{i}\;$ par rapport à cet axe d'autre part, la grandeur dépend donc du référentiel $\;({\mathcal {R}})$.

### Expression du moment cinétique scalaire d’un système discret de points matériels en rotation autour d’un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ

Pour expliciter le moment cinétique scalaire du système discret de points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ en rotation autour d'un axe $\;\left(\Delta \right)$, orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }$, avec un vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)=$ ${\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }$, $\;{\big{\overline {\Omega }}(t)\;$ étant la vitesse angulaire de rotation du système autour de $\;\left(\Delta \right){\big ]}$, Pour expliciter le moment cinétique scalaire du système discret de points matériels $\;\color {transparent}{\left\lbrace M_{i}\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}}\;$ en rotation nous choisissons un point $\;A\;$ quelconque de cet axe de rotation $\;\left(\Delta \right)\;$ et utilisons l'explicitation du vecteur moment cinétique classique $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\;$ du système par rapport à $\;A\;$ établie dans le paragraphe « expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ » plus haut dans le chapitre à savoir
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\overline {AH_{i}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\right]\;$
$\;H_{i}\;$
$\;M_{i}\;$
$\;\left(\Delta \right)\;$
$\;J_{\Delta }=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;r_{i}^{2}\;$
$\;\left(\Delta \right)\;$
$\;r_{i}=H_{i}M_{i}\;$
Pour expliciter le moment cinétique scalaire du système discret de points matériels $\;\color {transparent}{\left\lbrace M_{i}\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}}\;$ en rotation nous multiplions les deux membres de l'expression de $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\;$ scalairement par $\;{\vec {u}}_{\Delta }$,
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=\left\lbrace J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\overline {AH_{i}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\right]\right\rbrace \cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$
$\;=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }-{\overline {\Omega }}(t)\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\overline {AH_{i}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$
Pour expliciter le moment cinétique scalaire du système discret de points matériels $\;\color {transparent}{\left\lbrace M_{i}\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}}\;$ en rotation nous remarquons la nullité du 2ème terme du 2ème membre «$\;\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\overline {AH_{i}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\right]\;$ étant $\;\perp \;$ à $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$», le 1er terme du 2ème membre se simplifiant selon «$\;J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=J_{\Delta }\;{\overline {\Omega }}(t)\;$» et le 1er membre définissant le moment cinétique scalaire du système relativement à $\;\left(\Delta \right)\;$ «$\;\sigma _{\Delta }({\text{syst}},\,t)$ $={\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$ si $\;A\,\in \,\left(\Delta \right)\;$».
Finalement le moment cinétique scalaire classique $\;\sigma _{\Delta }({\text{syst}},\,t)\;$ du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ fixe dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ avec un vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)={\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }$, moment évalué par rapport à l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ de rotation orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }$, s'écrit
$\;\sigma _{\Delta }({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overline {\Omega }}(t)\;$
$\;J_{\Delta }\;$
$\;\left(\Delta \right)\;$
$\;{\overline {\Omega }}(t)\;$
$\;\left(\Delta \right)\;$

### Complément, expression relativiste du moment cinétique scalaire d’un système discret de points matériels en rotation autour d’un axe fixe Δ dans le référentiel d’étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ

Pour expliciter le moment cinétique scalaire relativiste du système discret de points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ en rotation autour d'un axe $\;\left(\Delta \right)$, orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }$, avec un vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)=$ ${\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }$, $\;{\big{\overline {\Omega }}(t)\;$ étant la vitesse angulaire de rotation du système autour de $\;\left(\Delta \right){\big ]}$, Pour expliciter le moment cinétique scalaire relativiste du système discret de points matériels $\;\color {transparent}{\left\lbrace M_{i}\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}}\;$ en rotation nous choisissons un point $\;A\;$ quelconque de cet axe de rotation $\;\left(\Delta \right)\;$ et utilisons l'explicitation du vecteur moment cinétique classique relativiste $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ}}}({\text{syst. en rot.}},\,t)\;$ du système par rapport à $\;A\;$ établie dans le paragraphe « complément, vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude dans le cadre de la cinétique relativiste, le point origine de calcul étant un point A de Δ » plus haut dans le chapitre à savoir
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ}}}({\text{syst. en rot.}},\,t)=$
$\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\gamma _{M_{i}}(t)\;m_{i}\;r_{i}^{2}\right]{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\gamma _{M_{i}}(t)\;m_{i}\;{\overline {AH_{i}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\right]\;$
$\;H_{i}\;$
$\;M_{i}\;$
$\;\left(\Delta \right)\;$
$\;r_{i}=H_{i}M_{i}\;$
$\;M_{i}\;$
$\;\left(\Delta \right)\;$
$\;\gamma _{M_{i}}(t)=$
${\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {r_{i}^{2}\;{\Big \Vert }{\overrightarrow {\Omega }}(t){\Big \Vert }^{\,2}}{c^{2}}}}}}\;$
$\;M_{i}\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
Pour expliciter le moment cinétique scalaire relativiste du système discret de points matériels $\;\color {transparent}{\left\lbrace M_{i}\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}}\;$ en rotation nous multiplions les deux membres de l'expression de $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ}}}({\text{syst. en rot.}},\,t)\;$ scalairement par $\;{\vec {u}}_{\Delta }$,
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ}}}({\text{syst. en rot.}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=\left\lbrace \left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\gamma _{M_{i}}(t)\;m_{i}\;r_{i}^{2}\right]{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\gamma _{M_{i}}(t)\;m_{i}\;{\overline {AH_{i}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\right]\right\rbrace \cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$
$\;=\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\gamma _{M_{i}}(t)\;m_{i}\;r_{i}^{2}\right]\,{\overrightarrow {\Omega }}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }-{\overline {\Omega }}(t)\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\gamma _{M_{i}}(t)\;m_{i}\;{\overline {AH_{i}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$
Pour expliciter le moment cinétique scalaire relativiste du système discret de points matériels $\;\color {transparent}{\left\lbrace M_{i}\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}}\;$ en rotation nous remarquons la nullité du 2ème terme du 2ème membre due au fait que les deux facteurs vectoriels «$\;\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\gamma _{M_{i}}(t)\;m_{i}\;{\overline {AH_{i}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\right]\;$ et $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ sont $\;\perp \;$», le 1er terme du 2ème membre se simplifiant selon «$\;\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\gamma _{M_{i}}(t)\;m_{i}\;r_{i}^{2}\right]{\overrightarrow {\Omega }}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\gamma _{M_{i}}(t)\;m_{i}\;r_{i}^{2}\right]{\overline {\Omega }}(t)\;$» et le 1er membre définissant le moment cinétique scalaire relativiste du système relativement à $\;\left(\Delta \right)\;$ «$\;\sigma _{\Delta ,\,{\text{relativ}}}({\text{syst. en rot.}},\,t)$ $={\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ}}}({\text{syst. en rot.}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$ si $\;A\,\in \,\left(\Delta \right)\;$».
Finalement le moment cinétique scalaire relativiste $\;\sigma _{\Delta ,\,{\text{relativ}}}({\text{syst. en rot.}},\,t)\;$ du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ fixe dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ avec un vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)={\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }$, moment évalué par rapport à l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ de rotation orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }$, s'écrit
$\;\sigma _{\Delta ,\,{\text{relativ}}}({\text{syst. en rot.}},\,t)=\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\gamma _{M_{i}}(t)\;m_{i}\;r_{i}^{2}\right]{\overline {\Omega }}(t)\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}$
$\;\gamma _{M_{i}}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {r_{i}^{2}\;{\Big \Vert }{\overrightarrow {\Omega }}(t){\Big \Vert }^{\,2}}{c^{2}}}}}}\;$
$\;M_{i}\;$
$\;r_{i}\;$
$\;M_{i}\;$
$\;{\overline {\Omega }}(t)\;$
$\;\left(\Delta \right)\;$