# Notions de base d'optique géométrique/Lois de Snell-Descartes

Les lois de Snell-Descartes expliquent la déviation et la réflexion d’un rayon lorsqu’il rencontre un dioptre (une surface séparant deux milieux homogènes). Pour exprimer mathématiquement ces lois, on définit les notions suivantes illustrées sur le schéma ci-contre :
* le plan d'incidence est le plan perpendiculaire au dioptre et contenant le rayon incident ;
* l'angle d'incidence $\scriptstyle \theta$ est l'angle entre le rayon et la normale au dioptre.
Après la rencontre d’un dioptre, tout rayon reste dans le plan d'incidence.

## Loi de la réflexion

Tout ou partie de la lumière est susceptible d’être réfléchie lorsqu'elle rencontre un objet totalement ou partiellement réfléchissant. C’est ce qui se produit par exemple sur un miroir ou sur des vitres.
Le rayon réfléchi est symétrique au rayon incident par rapport à la normale à la surface réfléchissante. Sur le schéma ci-contre, cela veut dire que
$\theta _{1}=\theta _{2}$
On se propose de démontrer cette loi à partir du principe de Fermat. Pour cela, supposons que le rayon parte du point A de coordonnées (x$_A$ , y$_A$) jusqu'au point B de coordonnées (x$_B$ , y$_B$). Il passe par un point P situé sur le miroir de coordonnées (x , 0). On cherche à déterminer ce point P.
Le chemin optique parcouru est
    ${\begin{matrix}L&=&n\,AP+n\,PB\\&=&n\cdot {\frac {y_{A}}{\cos \theta _{1}}}+n\cdot {\frac {y_{B}}{\cos \theta _{2}}}\end{matrix}}$,
où n est l'indice du milieu.
Le principe de Fermat nous indique qu’il faut rendre L extrémal, c'est-à-dire qu’il faut que la dérivée de L par rapport à x s'annule :
    $0={\frac {\partial L}{\partial x}}={\frac {\partial \theta _{1}}{\partial x}}{\frac {\partial L}{\partial \theta _{1}}}+{\frac {\partial \theta _{2}}{\partial x}}{\frac {\partial L}{\partial \theta _{2}}}$.
Or d’une part :
    ${\frac {\partial L}{\partial \theta _{1}}}=ny_{A}{\frac {\sin \theta _{1}}{\cos ^{2}\theta _{1}}}$,
et
    ${\frac {\partial L}{\partial \theta _{2}}}=ny_{B}{\frac {\sin \theta _{2}}{\cos ^{2}\theta _{2}}}$.
et d’autre part :
    ${\frac {1}{\cos ^{2}\theta _{1}}}{\frac {\partial \theta _{1}}{\partial x}}={\frac {\partial \tan \theta _{1}}{\partial x}}={\frac {1}{y_{A}}}{\frac {\partial (x-x_{A})}{\partial x}}={\frac {1}{y_{A}}}\Rightarrow {\frac {\partial \theta _{1}}{\partial x}}={\frac {\cos ^{2}\theta _{1}}{y_{A}}}$,
et
    ${\frac {1}{\cos ^{2}\theta _{2}}}{\frac {\partial \theta _{2}}{\partial x}}={\frac {\partial \tan \theta _{2}}{\partial x}}={\frac {1}{y_{B}}}{\frac {\partial (x_{B}-x)}{\partial x}}=-{\frac {1}{y_{B}}}\Rightarrow {\frac {\partial \theta _{2}}{\partial x}}=-{\frac {\cos ^{2}\theta _{2}}{y_{B}}}$.
Donc finalement on obtient :
    ${\begin{matrix}0&=&{\frac {\cos ^{2}\theta _{1}}{y_{A}}}n\,y_{A}{\frac {\sin \theta _{1}}{\cos ^{2}\theta _{1}}}-{\frac {\cos ^{2}\theta _{2}}{y_{B}}}ny_{B}{\frac {\sin \theta _{2}}{\cos ^{2}\theta _{2}}}\\&=&n(\sin \theta _{2}-\sin \theta _{1})\end{matrix}}$.
On est parvenu à démontrer que
    $\theta _{1}=\theta _{2}$.

## Loi de la réfraction

Lorsqu'un rayon incident, d'angle d'incidence θ$_1$, est réfracté avec un angle θ$_2$, la relation suivante doit être vérifiée :
$n_{1}\,\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}$
Considérons un rayon lumineux partant de $A$ traversant un dioptre en $X$ et aboutissant en $B$. La séparation air et eau sera prise comme axe des abscisses. Soient $A'$ et $B'$ les projections orthogonales de $A$ et de $B$ sur l'axe des abscisses. En résumé, le rayon lumineux part du point $A(a,h_{a})$, traverse le dioptre en $X(x,0)$ et aboutit en $B(b,h_{b})$.
En $X$, la normale au dioptre forme un angle $\theta _{1}$ avec le rayon incident et un angle $\theta _{2}$ avec le rayon réfracté.
Avec ce choix de coordonnées, le segment $A'X$ a pour longueur $x-a$, et le segment $XB'$ mesure $b-x$.
Calculons la longueur des trajets $AX$ et $XB$ :
    $AX={\sqrt {~{h_{a}}^{2}+(x-a)^{2}}}~~{\text{et}}~~XB={\sqrt {~{h_{b}}^{2}+(b-x)^{2}}}$
Si $v_{a}$ et $v_{b}$ désignent les vitesses respectives de la lumière dans l'air et dans l'eau, la durée des deux trajets sera :
    $t_{a}={\frac {\sqrt {~{h_{a}}^{2}+(x-a)^{2}}}{v_{a}}}~~{\text{et}}~~t_{b}={\frac {\sqrt {~{h_{b}}^{2}+(b-x)^{2}}}{v_{b}}}$
Le temps total $t$ = $t_{a}$ et $t_{b}$ sera une fonction de $t(x)$ qui devra être minimisée :
    $t(x)={\frac {\sqrt {~{h_{a}}^{2}+(x-a)^{2}}}{v_{a}}}+{\frac {\sqrt {~{h_{b}}^{2}+(b-x)^{2}}}{v_{b}}}$
Pour obtenir la valeur de $x$ correspondant à ce minimum, calculons la dérivée de $t(x)$ :
    $t'(x)={\frac {x-a}{v_{a}~{\sqrt {~{h_{a}}^{2}+(x-a)^{2}}}}}-{\frac {b-x}{v_{b}~{\sqrt {~{h_{b}}^{2}+(b-x)^{2}}}}}$
Quelle est la valeur de x qui annule cette dérivée Les numérateurs et dénominateurs ont un sens géométrique simple et on obtient :
    $t'(x)={\frac {A'X}{v_{a}.AX}}-{\frac {B'X}{v_{b}.BX}}$
Chacun des deux termes de cette différence concerne un triangle rectangle : $AA'X$ pour le premier et $BB'X$ pour le second. On y reconnaît le rapport d'un côté à l'hypoténuse et donc la définition d'un sinus :
    ${\frac {A'X}{AX}}=\mathbf {sin~} \theta _{1}~~{\text{et}}~~{\frac {B'X}{BX}}=\mathbf {sin~} \theta _{2}$
On obtient finalement
    $t'(x)=0\iff {\frac {\mathbf {sin~} \theta _{1}}{v_{a}}}-{\frac {\mathbf {sin~} \theta _{2}}{v_{b}}}=0\iff {\frac {\mathbf {sin~} \theta _{1}}{v_{a}}}={\frac {\mathbf {sin~} \theta _{2}}{v_{b}}}$
La loi de réfraction s'exprime traditionnellement en utilisant les indices de réfraction.
L'indice de réfraction $n$ d'un milieu est défini comme le rapport entre la vitesse $c$ de la lumière dans le vide et sa vitesse $v$ dans le milieu considéré. On a donc $n={\frac {c}{v}}$. Il est donc inversement proportionnel à la vitesse de la lumière dans le milieu. On retrouve ainsi la loi des sinus :
    $n_{a}~\mathbf {sin~} \theta _{1}=n_{b}~\mathbf {sin~} \theta _{2}$

## Expression plus générale

Pour rassembler les trois lois de Snell-Descartes que l’on vient de voir, on peut utiliser les notations suivantes :
* $\scriptstyle {\vec {u}}_{1}$ est le vecteur directeur unitaire du rayon incident,
* $\scriptstyle {\vec {u}}_{2}$ est le vecteur directeur unitaire du rayon sortant,
* $\scriptstyle {\vec {N}}$ est le vecteur orthogonal à la surface au point d'incidence.
Les lois de Snell-Descartes se résument à :
(Pour la loi de la réflexion il faut choisir $\scriptstyle n_{1}=n_{2}$)

## Conséquence : théorème de Malus

Les rayons lumineux sont perpendiculaires aux surfaces d'onde.
Pour démontrer ce théorème, il faut d’abord se rendre compte que dans un milieu homogène, il est forcément vrai. En effet, dans un tel milieu les rayons partant en ligne droite du centre O forment une onde sphérique. Les surfaces d'ondes sont alors perpendiculaires aux rayons.
Dans un milieu non-homogène, ce n’est pas aussi évident. Pour simplifier, on va montrer que le théorème est vrai pour une succession de dioptres (un milieu dont l'indice varie par paliers). Ensuite il suffira de supposer que ces dioptres sont infiniment proches pour obtenir un milieu dont l'indice varie continûment. Mais d’abord, considérons le cas où l’on place un seul dioptre sur le trajet d’un rayon. On note A le point d'incidence du rayon sur le dioptre, et B un point que ce rayon atteint après le dioptre avec un chemin optique L. On note également $\scriptstyle {\vec {u}}_{1}$ le vecteur directeur de $\scriptstyle {\vec {OA}}$ et $\scriptstyle {\vec {u}}_{2}$ le vecteur directeur de $\scriptstyle {\vec {AB}}$. Le chemin optique s'écrit :
    $L=n_{1}OA+n_{2}AB=n_{1}{\vec {u}}_{1}\cdot {\overrightarrow {OA}}+n_{2}{\vec {u}}_{2}\cdot {\overrightarrow {AB}}$
Prenons alors un autre rayon infiniment proche passant par O, A' et B' . On note $\scriptstyle {\vec {u}}_{1}\,'$ et $\scriptstyle {\vec {u}}_{2}'$ ses vecteurs directeurs. Pour trouver la différence de chemin optique entre ces deux rayons, on calcule la différentielle de L :
    $\mathrm {d} L$ $=n_{1}{\vec {u}}_{1}\cdot \mathrm {d} {\overrightarrow {OA}}+n_{2}{\vec {u}}_{2}\cdot \mathrm {d} {\overrightarrow {AB}}$ $=n_{1}{\vec {u}}_{1}\cdot \mathrm {d} {\overrightarrow {OA}}-n_{2}{\vec {u}}_{2}\cdot \mathrm {d} {\overrightarrow {OA}}+n_{2}{\vec {u}}_{2}\cdot \mathrm {d} {\overrightarrow {OB}}$ $=\underbrace {(n_{1}{\vec {u}}_{1}-n_{2}{\vec {u}}_{2})\cdot \mathrm {d} {\overrightarrow {OA}}} _{=0}+n_{2}{\vec {u}}_{2}\cdot \mathrm {d} {\overrightarrow {OB}}$ $=n_{2}{\vec {u}}_{2}\cdot {\overrightarrow {BB'}}$
Donc finalement, si B et B’ font partie de la même surface d'onde (dL = 0 par définition), alors les vecteurs $\scriptstyle {\vec {u}}_{2}$ et $\scriptstyle {\vec {BB'}}$ sont perpendiculaires. Autrement dit, le rayon est perpendiculaire à la surface d'onde.
On a ainsi démontré le théorème de Malus pour un seul dioptre. Pour terminer la démonstration, une récurrence serait nécessaire, mais les étapes sont identiques à cette dernière.
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