# Gestion de portefeuille/Rentabilité et risque

Les investissements boursiers sont incertains et tout choix financier se doit d’inclure l’appréciation du risque encouru. Il faut donc faire appel à des méthodes statistiques pour analyser la situation.

## Fonction d'utilité

En économie, l'utilité est une mesure du bien-être ou de la satisfaction. Un investisseur est rationnel quand il maximise son utilité de richesse.
À l'origine, la notion d'utilité est essentiellement liée à la prise de risque. La « Théorie sur la mesure du risque » de Bernoulli, et dans celle-ci, le Paradoxe de Saint-Pétersbourg ont été les points de départ de futures notions économiques et financières comme l'aversion au risque, la prime de risque.
On suppose généralement que la préférence de l'investisseur pour un couple risque / rendement peut être décrite par une fonction d'utilité. Cette fonction mesure le niveau de satisfaction de l’investisseur en fonction de sa richesse $W$. Le choix d'une fonction d'utilité plutôt qu'une autre implique une idée préconçue de ce qui est bon et ce choix correspond donc à une idéologie.
On note θ le coefficient d'aversion au risque.
La fonction d'utilité $U(W)$ est une fonction de la richesse $W$ avec
       ${\frac {dU}{dW}}=U'>0$
Le signe de la dérivée seconde U'' va indiquer comment se comporte l'investisseur par rapport au risque :
* si ${\frac {d^{2}U}{dW^{2}}}>0$ alors la fonction est convexe et l'investisseur est risquophile ( i.e. qui aime prendre des risques θ < 0 ).
* si ${\frac {d^{2}U}{dW^{2}}}<0$ alors la fonction est concave et l'investisseur est risquophobe ( i.e. qui n'aime pas prendre des risques θ > 0 ).
* si ${\frac {d^{2}U}{dW^{2}}}=0$ alors la fonction est une droite et l'investisseur est neutre par rapport au risque ( θ = 0 ).
On a
          θ = - U'' / U' ( approximation d' Arrow-Pratt )

## Espérance et variance

L'investisseur s’intéresse surtout au rendement attendu (l'espérance de gain E) et à la volatilité (l'écart type) ( voir Variable aléatoire discrète/Espérance, variance et écart-type ).
* le rendement d'un portefeuille est une combinaison linéaire de celui des actifs qui le composent, pondérés par leur poids $w_{i}$ dans le portefeuille. ;
* la volatilité du portefeuille est une fonction de la corrélation entre les actifs qui le composent. Cette fonction n'est pas linéaire.
Pour un portefeuille composé de deux actifs A et B, on a :
    Espérance : $\operatorname {E} (R_{p})=w_{A}\operatorname {E} (R_{A})+w_{B}\operatorname {E} (R_{B})=w_{A}\operatorname {E} (R_{A})+(1-w_{A})\operatorname {E} (R_{B})$
    Variance : $\sigma _{p}^{2}=w_{A}^{2}\sigma _{A}^{2}+w_{B}^{2}\sigma _{B}^{2}+2w_{A}w_{B}\sigma _{AB}$
Lorsque le portefeuille est composé de trois actifs, la variance devient :
    $w_{A}^{2}\sigma _{A}^{2}+w_{B}^{2}\sigma _{B}^{2}+w_{C}^{2}\sigma _{C}^{2}+2w_{A}w_{B}\sigma _{AB}+2w_{A}w_{C}\sigma _{AC}+2w_{B}w_{C}\sigma _{BC}$
Pour un portefeuille comportant $i$ actifs :
* Rendement attendu (espérance) :
          $\operatorname {E} (R_{p})=\sum _{i}w_{i}\operatorname {E} (R_{i})\quad$
* Variance du portefeuille :
    La variance du portefeuille est la somme des produits des poids $w_{i}$ de chaque couple d'actifs par leur covariance $\sigma _{ij}\,$ - cette somme inclut les poids au carré et les variances $\sigma _{ii}\,$ (ou $\sigma _{i}^{2}$) pour chaque actif i. La covariance est souvent exprimée en termes de corrélation $\rho _{ij}\,$ des rendements entre deux actifs où $\sigma _{ij}=\sigma _{i}\sigma _{j}\rho _{ij}\,$
          $\sigma _{p}^{2}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}w_{i}w_{j}\sigma _{ij}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}w_{i}w_{j}\sigma _{i}\sigma _{j}\rho _{ij}$
* Volatilité du portefeuille :
          $\sigma _{p}={\sqrt {\sigma _{p}^{2}}}$
Plus le nombre $i$ d'actifs grandit, plus la puissance de calcul nécessaire est importante. Pour faire les calculs, on utilise généralement des logiciels spécialisés.
Alors qu'elle constitue un bon outil de prévision, l'espérance mathématique échoue à décrire le comportement des êtres humains face à un gain futur incertain. Ainsi, un agent averse au risque préfère gagner 1 000 € tout de suite plutôt que de jouer à un jeu où il a une chance sur 100 de gagner 100 000 €, alors que l'espérance des deux est identique. Les économistes systématisent cet argument en termes d'aversion au risque et d'utilité marginale décroissante pour expliquer ce phénomène.

## Risque

Une somme est risquée si elle est une variable aléatoire.

### prime de risque

Dans l'évaluation des actifs financiers, la prime de risque mesure la rentabilité supplémentaire demandée quand on renonce à un actif sans risque pour acquérir un portefeuille composé d'actifs risqués. Cette prime va dépendre de l'aversion au risque et du degré de risque moyen de l'investissement.
La prime est la différence entre la rentabilité moyenne des actions ( espérance de gain ) et la rentabilité moyenne des actifs sans risque ( équivalent certain ) sur une longue période.
Pour estimer la prime de risque, on peut:
* faire des sondages auprès des gestionnaires de portefeuilles. On trouve ces informations dans des revues économiques ou sur internet (par exemple Merrill Lynch)
* se baser sur des données historiques en utilisant des méthodes statistiques
       On a parfois peu de données historiques pour certains pays émergents et il faut alors ajouter une prime supplémentaire:
             Prime de risque = prime sur un marché mature + prime du pays
* utiliser le modèle d'évaluation par arbitrage et des modèles multifacteurs.
       Si on veut éviter d'utiliser les données historiques, on peut évaluer la prime de risque en supposant que le cours des actions reflète bien leur valeur.
On note Π(W,L) la prime de risque de la loterie L avec une richesse initiale W .
Si E est l'espérance de gain, alors
* E(U(W)) est l'utilité de la loterie
* E(L) est la moyenne espérée
* la « somme certaine » ou utilité de placement correspond à : U[ W + E(L) - Π(W,L) ]
et on a
                $E[U(W+L)]=U[W+E(L)-\Pi (W,L)]$
En faisant un développement limité, on obtient:
                $\Pi (W,L)\thickapprox {\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(-{\frac {U''}{U'}})$

## Exemples de fonctions d'utilité

On peut choisir différentes fonctions pour décrire la fonction d'utilité U(W). Le choix de U est une étape importante dans la gestion de portefeuille.

### Constante relative risk aversion ( CRRA )

          $U={\frac {W^{1-\theta }}{1-\theta }}$ où W est la richesse et $\theta$ le coefficient d'aversion.

### La fonction d'utilité logarithmique

          $U=Ln(W)$
On a $U'={\frac {1}{W}}$ et $U''=-{\frac {1}{W^{2}}}$ ( la courbe U(W) est convexe ) et on a $\theta =-U''/U'={\frac {1}{W}}>0$
Cette fonction d'utilité logarithmique U correspond donc à un investisseur risquophobe.

### La fonction d'utilité quadratique

          $U=W-{\frac {\theta }{2}}W^{2}$

## La fonction d'utilité moyenne-variance - Théorie moderne du portefeuille de Markowitz

La théorie moderne du portefeuille est une théorie financière développée en 1952 par Harry Markowitz. Elle expose comment des investisseurs rationnels utilisent la diversification afin d'optimiser leur portefeuille, et quel devrait être le prix d'un actif étant donné son risque par rapport au risque moyen du marché. Cette théorie fait appel aux concepts de frontière efficiente, coefficient bêta, droite de marché des capitaux et droite de marché des titres.
Dans ce modèle, le rendement d'un actif est une variable aléatoire et un portefeuille est une combinaison linéaire pondérée d'actifs. Par conséquent, le rendement d'un portefeuille est également une variable aléatoire et possède une espérance et une variance.
          $E(L)-{\frac {\theta }{2}}\sigma _{L}^{2}\rightarrow max$
L’optimisation moyenne-variance de Markowitz qui est très sensible aux anticipations de rendement.

## Modèle d'évaluation des actifs financiers (MEDAF)

Le modèle d'évaluation des actifs financiers (MEDAF) ( Capital Asset Pricing Model ) donne une estimation du taux de rentabilité attendu par le marché pour un actif financier en fonction de son risque systématique. Il explique la réalisation de l'équilibre du marché par l'offre et la demande pour chaque titre. Il permet de déterminer la rentabilité d'un actif risqué par son risque systématique.
Les transactions cesseront lorsque les opérateurs auront un portefeuille identique.
L'évaluation va dépendre :
* de la mesure du risque systématique de l'actif, c'est-à-dire au risque non diversifiable (l'investisseur diversifiera son portefeuille directement sur le marché), noté $\beta _{actif}\,$ (coefficient bêta de l'actif) ;
* de la rentabilité espérée sur le marché (rentabilité implicite du marché), notée $E\left(R_{M}\right)$ ;
* du taux d'intérêt sans risque (généralement des emprunts d'État), noté $R_{F}\,$.
$E(R_{actif})=R_{F}+\beta _{actif}\cdot [E(R_{M})-R_{F}]$
$[E(R_{M})-R_{F}]\,$ est la prime de risque du marché, c'est-à-dire le surplus de rentabilité exigé par les investisseurs lorsque ces derniers placent leur argent sur le marché, plutôt que dans un actif sans risque.

### Coefficient bêta

Le coefficient bêta est le coefficient clé du Modèle d'évaluation des actifs financiers (MEDAF).
Il correspond à un rapport historique de la volatilité du prix d'un actif (par exemple le cours de bourse d'une action) sur celle des prix du marché en général (par exemple un indice boursier significatif).
Il est un indicateur utile dans la mise en place d'une stratégie de diversification des risques.
Le bêta est le rapport de la covariance de la rentabilité implicite du portefeuille ($R_{M}$) avec celle du marché ($R_{actif}$) et de la variance de la rentabilité implicite du marché, soit :
    $\beta _{actif}={\frac {cov(R_{M},R_{actif})}{var(R_{M})}}$
Le bêta est aussi le rapport entre la rentabilité de cet actif et celle du marché puisque la volatilité concerne les variations de cours qui sont un élément essentiel de rentabilité.
Par exemple, si le bêta d'une action est de 0,8, son cours a varié en moyenne dans la période précédente de 0,8 % quand le marché variait de 1 %. C'est donc la sensibilité ou élasticité du cours du titre par rapport à l'indice boursier représentant le marché.
C'est aussi un indicateur de risque : si l'évolution du marché est à la baisse, l'action sera susceptible de baisser moins que le marché s'il est inférieur à 1 et plus que le marché s'il est supérieur à 1.
Il y a donc un lien entre la rentabilité et le risque : plus le cours est censé pouvoir progresser fortement quand le marché est haussier, plus il a de risque de baisser fortement quand il est baissier.
On peut aussi démontrer que plus le risque est élevé, plus le cours tend à être bas (phénomène de prime de risque), mais cela indépendamment du bêta puisque la prime de risque s'applique à l'ensemble du marché (risque systématique).
Dans le modèle MEDAF, on peut montrer que ce coefficient correspond à l'élasticité du cours du titre par rapport à l'indice boursier représentant le marché.
       $\beta _{actif}={\frac {\partial \sigma _{actif}}{\partial \sigma _{M}}}\cdot {\frac {\sigma _{actif}}{\sigma _{M}}}$
où $\sigma _{M}\,$ représente le risque du marché (l'écart-type de $R_{M}\,$) et $\sigma _{actif}\,$ le risque de l'actif (l'écart-type de la rentabilité attendue de l'actif).
Ainsi, un actif représentant le marché aura un $\beta _{actif}\,$ égal à 1. Pour un actif sans risque, il sera égal à 0.

### critiques

Benoît Mandelbrot à travers ses nombreux travaux sur le sujet (notamment son étude historique sur le cours du marché du coton sur plus d'un siècle) remet totalement en question la validité de la théorie de Markowitz et de son corollaire le MEDAF. Il considère que ces théories, issues de l’École de Chicago, si belles soient-elles en apparence et si simples dans leur application, sont totalement déconnectées de la réalité des marchés financiers. Elles ont été incapables de prévoir les différents krachs boursiers. Elles ont conduit à des politiques de gestion des risques pouvant être qualifiées d'irresponsables de la part des institutions financières.
Pour Nassim Taleb, la théorie moderne du portefeuille de Markowitz et ses applications comme le MEDAF ou la formule de Black-Scholes-Merton sont mathématiquement cohérentes, très faciles à utiliser mais reposent sur des hypothèses qui simplifient à outrance la réalité au point de s'en éloigner complètement. Les prévisions fondées sur cette théorie n'ont aucune validité et peuvent souvent se révéler néfastes ( par exemple, crise des subprimes, faillite de LTCM, Lehman Brothers, etc.). Selon Taleb, l'utilisation de la loi normale en finance est une erreur. Il considère qu'il est préférable d'utiliser la loi de puissance ou la loi de Pareto pour appréhender le hasard ou les valeurs extrêmes atteintes par les variables financières lors des crises.

## Théorie de la décision dans le risque et l'incertain

L'environnement est risqué si l'agent qui prend la décision connaît les distributions de probabilité sur les différents états du monde possibles. Si ces probabilités sont inconnues, on dit que l'environnement est incertain.
Dans la théorie du choix dans l'incertain, on suppose que l'on a des loteries. Dans une loterie à deux choix ( gain x et gain y ), si le gain x a une probabilité α alors y aura une probabilité (1-α) et cette loterie est alors notée:
          L(x,y;α)
L'utilité U de cette loterie est alors :
          U(L) = α U(x) + (1-α) U(y)
i.e. c'est la moyenne pondérée des utilités de gain U(x) et U(y).

## Modèle de Black-Litterman

C'est un modèle d’optimisation de portefeuille sous contraintes mis au point par Fischer Black et Robert Litterman en 1992. Il a été développé pour pallier le manque de fiabilité et de souplesse des modèles quantitatifs d’allocation d’actifs.
Le modèle combine l’équilibre de marché avec les anticipations des investisseurs pour produire une allocation pertinente et qui reflète les prévisions des investisseurs. Il s’appuie sur deux modèles de référence de la théorie moderne du portefeuille que sont l’optimisation moyenne-variance de Markowitz et le modèle d'évaluation des actifs financiers ( MEDAF ).