# Espace préhilbertien complexe/Exercices/Espaces hermitiens
## Exercice 1-1

On pose $E=\mathbb {C} ^{3}$ et l'on définit $q:E\to \mathbb {C}$ par :
    $q(x,y,z)=|x|^{2}+3|y|^{2}+6|z|^{2}+\mathrm {i} {\overline {x}}y-\mathrm {i} x{\overline {y}}+2\mathrm {i} y{\overline {z}}-2\mathrm {i} {\overline {y}}z$.
* Démontrer qu'il existe une forme hermitienne $f:E\times E\to \mathbb {C}$ telle que pour tout $u\in E$, $f(u,u)=q(u)$.
* Donner la matrice de $f$ dans la base canonique.
* Déterminer une base orthonormale pour $f$.
* Par la formule de polarisation ou directement, la forme hermitienne cherchée est :
    $f((x,y,z),(x',y',z'))={\overline {x}}x'+3{\overline {y}}y'+6{\overline {z}}z'+\mathrm {i} {\overline {x}}y'-\mathrm {i} {\overline {y}}x'+2\mathrm {i} {\overline {z}}y'-2\mathrm {i} {\overline {y}}z'$.
* Sa matrice dans la base canonique est ${\begin{pmatrix}1&\mathrm {i} &0\\-\mathrm {i} &3&-2\mathrm {i} \\0&2\mathrm {i} &6\end{pmatrix}}$.
* Par l'algorithme de Gauss, $q(x)=X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}$ avec $X_{1}=x_{1}+\mathrm {i} x_{2},\quad X_{2}={\sqrt {2}}(x_{2}-\mathrm {i} x_{3}),\quad X_{3}=2x_{3}$, soit $x_{3}={\frac {X_{3}}{2}},\quad x_{2}={\frac {X_{2}}{\sqrt {2}}}+\mathrm {i} {\frac {X_{3}}{2}},\quad x_{1}=X_{1}-\mathrm {i} {\frac {X_{2}}{\sqrt {2}}}+{\frac {X_{3}}{2}}$ donc $f$ est un produit scalaire hermitien et admet pour base orthonormale :
    $\left((1,0,0),\left(-{\frac {\mathrm {i} }{\sqrt {2}}},{\frac {1}{\sqrt {2}}},0\right),\left({\frac {1}{2}},{\frac {\mathrm {i} }{2}},{\frac {1}{2}}\right)\right)$.
    Une autre méthode possible est d'appliquer l'algorithme de Gram-Schmidt à une base arbitraire de $\mathbb {C} ^{3}$ (par exemple la base canonique).

## Exercice 1-2

Déterminer le rang et la signature de la forme quadratique hermitienne q sur E dans les cas suivants :
* $E=\mathbb {C} ^{3}$ et $q(x,y,z)=|x|^{2}+2|y^{2}|+|z|^{2}+\mathrm {i} {\bar {x}}y-\mathrm {i} x{\bar {y}}-{\bar {x}}z+x{\bar {z}}-2\mathrm {i} y{\bar {z}}+2\mathrm {i} {\bar {y}}z$ ;
* $E=\mathbb {C} ^{3}$ et $q(x,y,z)={\bar {x}}y+x{\bar {y}}-\mathrm {i} {\bar {x}}z+\mathrm {i} x{\bar {z}}+(1+\mathrm {i} )y{\bar {z}}+(1-\mathrm {i} ){\bar {y}}z$ ;
* $E=\mathrm {M} _{n}(\mathbb {C} )$ et $q(A)=\operatorname {Tr} (^{t}\!{\bar {A}}A)$.
* Appliquons l'algorithme de Gauss : ${\begin{aligned}q(x,y,z)&=|x+\mathrm {i} y-z|^{2}-|\mathrm {i} y-z|^{2}+2|y|^{2}+|z|^{2}-2\mathrm {i} y{\bar {z}}+2\mathrm {i} {\bar {y}}z\\&=|x+\mathrm {i} y-z|^{2}+|y|^{2}-\mathrm {i} y{\bar {z}}+\mathrm {i} {\bar {y}}z\\&=|x+\mathrm {i} y-z|^{2}+|y+\mathrm {i} z|^{2}-|z|^{2}\end{aligned}}$ donc $\operatorname {sgn} q=(2,1)$ et $\operatorname {rg} q=2+1=3$.
* De même : ${\begin{aligned}q(x,y,z)&={\overline {(x+(1-\mathrm {i} )z)}}(y-\mathrm {i} z)+(x+(1-\mathrm {i} )z){\overline {(y-\mathrm {i} z)}}-{\overline {(1-\mathrm {i} )z}}(-\mathrm {i} z)-(1-\mathrm {i} )z{\overline {(-\mathrm {i} z)}}\\&={\overline {(x+(1-\mathrm {i} )z)}}(y-\mathrm {i} z)+(x+(1-\mathrm {i} )z){\overline {(y-\mathrm {i} z)}}-2|z|^{2}\\&={\frac {1}{2}}|x+(1-\mathrm {i} )z+y-\mathrm {i} z|^{2}-{\frac {1}{2}}|x+(1-\mathrm {i} )z-y+\mathrm {i} z|^{2}-2|z|^{2}\end{aligned}}$ donc $\operatorname {sgn} q=(1,2)$ et $\operatorname {rg} q=1+2=3$.
* q est associée au produit scalaire hermitien canonique sur $\mathrm {M} _{n}(\mathbb {C} )$ donc $\operatorname {sgn} q=(n^{2},0)$ et $\operatorname {rg} q=n^{2}$.

## Exercice 1-3

Soit $E=\mathbb {C} _{n}[X]$ le $\mathbb {C}$-espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à $n$.
* Vérifier que $\langle P,Q\rangle ={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\overline {P(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t})}}Q(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t})\,\mathrm {d} t$ définit un produit scalaire hermitien sur $E$ et que la base $(1,X,\dots ,X^{n})$ est orthonormée pour ce produit scalaire.
* Soit $Q=X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\dots +a_{0}\in E$ ; calculer $\|Q\|^{2}$.
* On pose $M=\sup\{|Q(z)|\mid |z|=1\}$. Montrer que $M\geq 1$ et étudier les cas d'égalité.
* Immédiat.
* D'après la question précédente, $\|Q\|^{2}=1+\sum _{k=0}^{n-1}|a_{k}|^{2}$
* D'après la question précédente, $1\leq \|Q\|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|Q(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t})|^{2}\,\mathrm {d} t\leq M^{2}$ donc $M\geq 1$, et si $M=1$ alors les $a_{k}$ sont nuls c'est-à-dire $Q=X^{n}$. Réciproquement, si $Q=X^{n}$ alors (évidemment) $M=1$.

## Exercice 1-4

* L'ensemble des matrices hermitiennes est-il un sous-$\mathbb {C}$-espace de $\mathrm {M} _{n}(\mathbb {C} )$ ?
* Démontrer que c'en est un sous-$\mathbb {R}$-espace et calculer sa dimension.
* Démontrer que l'ensemble des matrices $A$ antihermitiennes, c'est-à-dire vérifiant $^{t}\!{\bar {A}}=-A$, en est un supplémentaire.
* Non : par exemple $\mathrm {I} _{n}$ est hermitienne mais $\mathrm {iI} _{n}$ ne l'est pas.
* L'ensemble des matrices hermitiennes est un sous-$\mathbb {R}$-espace car c'est un sous-espace propre (pour la valeur propre 1) de l'application $\mathbb {R}$-linéaire $A\mapsto ^{t}\!{\bar {A}}$. Sa dimension est $n+n(n-1)=n^{2}$ car pour une matrice hermitienne, la diagonale doit être réelle puis on doit se donner un complexe (soit deux réels) pour la partie triangulaire supérieure.
* L'ensemble des matrices antihermitiennes est un sous-$\mathbb {R}$-espace car c'est un sous-espace propre (pour la valeur propre –1) de l'application $\mathbb {R}$-linéaire $A\mapsto ^{t}\!{\bar {A}}$. Cette application linéaire est involutive donc ses deux sous-espaces propres pour 1 et –1 sont supplémentaires.

## Exercice 1-5

Soit $E$ un espace hermitien et $f$ un endomorphisme de $E$. On suppose que tout vecteur de $E$ est orthogonal à son image par $f$.
* Démontrer que $\langle f(x),y\rangle =0$ pour tous $x$ et $y$ de $E$.
* En déduire que $f$ est l'endomorphisme nul.
* Que penser de l'énoncé analogue sur un espace euclidien ?
* Pour tous $x$ et $y$ de $E$, $0=\langle f(x+y),x+y\rangle =\langle f(x),y\rangle +\langle f(y),x\rangle$ donc (en remplaçant $y$ par $\mathrm {i} y$) $0=\mathrm {i} (\langle f(x),y\rangle -\langle f(y),x\rangle )$. En divisant cette seconde égalité par $\mathrm {i}$ puis en lui ajoutant la première, on en déduit que $\langle f(x),y\rangle =0$.
* En particulier, $\langle f(x),f(x)\rangle =0$ donc $f(x)=0$.
* Dans le cas réel, ce n'est plus vrai. Par exemple, en dimension 2, la rotation d'angle $\pi /2$ envoie tout vecteur sur un vecteur orthogonal et n'est évidemment pas nulle.

## Exercice 1-6

Dans $\mathbb {C} ^{3}$ muni de sa structure hermitienne standard et de sa base canonique, on note $F$ le plan d'équation $x_{1}-x_{2}+\mathrm {i} x_{3}=0$.
* Déterminer l'orthogonal de $F$.
* Expliciter la matrice de la projection orthogonale sur $F$ dans la base canonique.
* Trouver une base orthogonale de $F$.
* $F=v^{\bot }$ où $v=(1,-1,-\mathrm {i} )$, donc $F^{\bot }=\mathbb {C} v$.
* $p(x)=x-{\frac {\langle v,x\rangle }{\|v\|^{2}}}v=x-{\frac {x_{1}-x_{2}+\mathrm {i} x_{3}}{3}}(1,-1,-\mathrm {i} )=\left({\frac {2x_{1}+x_{2}-\mathrm {i} x_{3}}{3}},{\frac {x_{1}+2x_{2}+\mathrm {i} x_{3}}{3}},{\frac {\mathrm {i} x_{1}-\mathrm {i} x_{2}+2x_{3}}{3}}\right)$ donc $p$ a pour matrice (dans la base canonique) ${\frac {1}{3}}{\begin{pmatrix}2&1&-\mathrm {i} \\1&2&\mathrm {i} \\\mathrm {i} &-\mathrm {i} &2\end{pmatrix}}$.
* Pour construire une base orthogonale $(e,f)$ de $F$, choisissons d'abord dans $F$ un vecteur non nul, par exemple $e=(1,1,0)$. Puis cherchons dans $F$ un vecteur $f\neq 0$ orthogonal à $e$ : ($x_{1}-x_{2}+\mathrm {i} x_{3}=0$ et $x_{1}+x_{2}=0$) équivaut à ($x_{2}=-x_{1}$ et $x_{3}=2\mathrm {i} x_{1}$), d'où la solution $f=(1,-1,2\mathrm {i} )$ par exemple.

## Exercice 1-7

Pour une matrice complexe $A$, notons $A^{*}=^{t}\!{\bar {A}}$.
* Soit $A\in \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {R} )$. Démontrer que $A^{*}A$ est la matrice d'un produit scalaire réel.
* Que devient cet énoncé si $A\in \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )$ ?
* Si $A\in \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {R} )$ alors $A^{*}A$ est égale à $^{t}\!AA$, qui est réelle symétrique et inversible. De plus, pour tout vecteur réel $X$, $^{t}\!X(^{t}\!AA)X=^{t}\!(AX)AX\in \mathbb {R} _{+}$.
* Si $A\in \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )$ alors $A^{*}A$ est la matrice d'un produit scalaire hermitien. En effet, elle est hermitienne et inversible, et pour tout vecteur complexe $X$, $X^{*}(A^{*}A)X=(AX)^{*}AX\in \mathbb {R} _{+}$.

## Exercice 1-8

Soit $E$ un espace hermitien de dimension $n$.
* Soit $f$ un endomorphisme hermitien de $E$.
** Montrer que les valeurs propres de $f$ sont réelles. On les notera dans la suite $\lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \dots \leq \lambda _{n}$.
** Montrer que pour tout vecteur non nul $x$ de $E$, ${\frac {\langle f(x),x\rangle }{\|x\|^{2}}}\leq \lambda _{n}$.
** Trouver un $x\in E$ tel que l'inégalité ci-dessus soit une égalité.
* Soit $f$ un endomorphisme quelconque de $E$.
** Montrer que pour tout $x\in E$, $\langle (f^{*}\circ f)(x),x\rangle =\|f(x)\|^{2}$.
** Montrer que l'endomorphisme $f^{*}\circ f$ de $E$ est hermitien positif. (Un endomorphisme hermitien est dit positif si toutes ses valeurs propres (réelles) sont positives.)
** En déduire que $\sup _{x\in E,x\neq 0}{\frac {\|f(x)\|}{\|x\|}}=\max\{{\sqrt {\lambda }}\mid \lambda \in \operatorname {Spec} (f^{*}\circ f)\}$.
* Application à $f$ endomorphisme de $\mathbb {C} ^{2}$ dont la matrice dans la base canonique est $A:={\begin{pmatrix}1&\mathrm {i} \\2&2\mathrm {i} \end{pmatrix}}$.
** Soient $\lambda$ une valeur propre de $f$ et $x\neq 0$ un vecteur propre associé. Alors, $\langle f(x),x\rangle =\langle \lambda x,x\rangle ={\bar {\lambda }}\|x\|^{2}$. Mais comme $f$ est hermitien ($f^{*}=f$), $\langle f(x),x\rangle$ est aussi égal à $\langle x,f(x)\rangle =\langle x,\lambda x\rangle =\lambda \|x\|^{2}$, ce qui prouve que ${\bar {\lambda }}=\lambda$, c'est-à-dire $\lambda \in \mathbb {R}$.
** Soit $(e_{1},\dots ,e_{n})$ une base orthonormée de $E$ telle que $f(e_{i})=\lambda _{i}e_{i}$. Pour tout $x=\sum x_{i}e_{i}\in E$, $\langle f(x),x\rangle =\langle \sum x_{i}\lambda _{i}e_{i},\sum x_{j}e_{j}\rangle =\sum \lambda _{i}|x_{i}|^{2}\leq \lambda _{n}\sum |x_{i}|^{2}=\lambda _{n}\|x\|^{2}$.
** L'inégalité précédente est une égalité si et seulement si tous les $x_{i}$ correspondant à des $\lambda _{i}<\lambda _{n}$ sont nuls, c'est-à-dire si $x$ est propre pour $\lambda _{n}$ (par exemple : $x=e_{n}$).
** Par définition de l'adjoint $f^{*}$, $\langle f^{*}\circ f(x),x\rangle =\langle f(x),f(x)\rangle =\|f(x)\|^{2}$.
** $f^{*}\circ f$ est hermitien car $(f^{*}\circ f)^{*}=f^{*}\circ (f^{*})^{*}=f^{*}\circ f$. Montrons qu'il est positif : soit $\lambda$ une valeur propre de $f^{*}\circ f$ et $x\neq 0$ un vecteur propre associé ; $\|f(x)\|^{2}=\langle (f^{*}\circ f)(x),x\rangle =\langle \lambda x,x\rangle ={\bar {\lambda }}\|x\|^{2}$ donc $\lambda \in \mathbb {R} _{+}$.
** Comme $f^{*}\circ f$ est hermitien, on a, d'après la question 1, $\sup _{x\in E,x\neq 0}{\frac {\|f(x)\|}{\|x\|}}=\max(\operatorname {Spec} (f^{*}\circ f))$. Grâce à la question 2.1, on en déduit l'égalité voulue.
* La matrice $A$ est de rang 1 donc 0 est valeur propre de la matrice $A^{*}A={\begin{pmatrix}5&5\mathrm {i} \\-5\mathrm {i} &5\end{pmatrix}}$, l'autre valeur propre étant par conséquent $5+5-0=10$, si bien que $\sup _{x\in E,x\neq 0}{\frac {\|f(x)\|}{\|x\|}}={\sqrt {10}}$.

## Exercice 1-9

Soit $U\in \mathrm {M} _{2}(\mathbb {C} )$ une matrice unitaire de déterminant $1$. Montrer qu'il existe $\alpha ,\beta \in \mathbb {C}$ tels que $|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1$ et $U={\begin{pmatrix}\alpha &-{\bar {\beta }}\\\beta &{\bar {\alpha }}\end{pmatrix}}$.
$U={\begin{pmatrix}\alpha &\gamma \\\beta &\delta \end{pmatrix}}$ avec $\alpha \delta -\beta \gamma =\det U=1$ et ${\begin{pmatrix}{\bar {\alpha }}&{\bar {\beta }}\\{\bar {\gamma }}&{\bar {\delta }}\end{pmatrix}}=U^{*}=U^{-1}={\begin{pmatrix}\delta &-\gamma \\-\beta &\alpha \end{pmatrix}}$, c'est-à-dire $\gamma =-{\bar {\beta }}$ et $\delta ={\bar {\alpha }}$.

## Exercice 1-10

* Soit $A={\begin{pmatrix}4&\mathrm {i} &-\mathrm {i} \\-\mathrm {i} &4&1\\\mathrm {i} &1&4\end{pmatrix}}$. Trouver une matrice unitaire $U$ et une matrice diagonale $D$ telles que $D=U^{-1}AU$.
* Même question avec la matrice $B={\begin{pmatrix}1&\mathrm {i} &-\mathrm {i} \\-\mathrm {i} &1&-1\\\mathrm {i} &-1&1\end{pmatrix}}$.
$A$ et $B$ sont hermitiennes donc à valeurs propres réelles, et diagonalisables dans une base orthonormée, c'est-à-dire avec une matrice de passage unitaire.
* $\det(A-X\mathrm {I} _{3})=(2-X)(X-5)^{2}$. Le sous-espace propre associé à la valeur propre $2$ est la droite d'équations $y+z=0=x+\mathrm {i} y$, donc engendrée par le vecteur $u:=(\mathrm {i} ,-1,1)$. Le sous-espace propre associé à $5$ est donc le plan $u^{\bot }$, d'équation $z=\mathrm {i} x+y$. Pour construire une base orthogonale $(v,w)$ de ce plan, procédons comme dans l'exercice 6 question 3. On choisit d'abord par exemple $v:=(0,1,1)\in u^{\bot }$, puis on résout $y+z=0=\mathrm {i} x+y-z$ et l'on trouve $w:=(2\mathrm {i} ,1,-1)$. Une base orthonormée propre pour $A$ est donc $(u/{\sqrt {3}},v/{\sqrt {2}},w/{\sqrt {6}})$, et $U^{-1}AU=\operatorname {diag} (2,5,5)$ avec $U={\begin{pmatrix}\mathrm {i} /{\sqrt {3}}&0&2\mathrm {i} /{\sqrt {6}}\\-1/{\sqrt {3}}&1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {6}}\\1/{\sqrt {3}}&1/{\sqrt {2}}&-1/{\sqrt {6}}\end{pmatrix}}$.
* $B$ est de rang $1$ donc $0$ est valeur propre double, l'autre valeur propre étant par conséquent $1+1+1-2\times 0=3$. Le sous-espace propre associé à cette valeur propre $3$ est la droite d'équations $y+z=0=x-\mathrm {i} y$, donc engendrée par le vecteur $u:=(\mathrm {i} ,1,-1)$. Le sous-espace propre associé à $0$ est donc le plan $u^{\bot }$, d'équation $y=\mathrm {i} x+z$. $v:=(0,1,1)\in u^{\bot }$, $w:=(2\mathrm {i} ,-1,1)\in u^{\bot }\cap v^{\bot }$. $V^{-1}BV=\operatorname {diag} (3,0,0)$ avec $V={\begin{pmatrix}\mathrm {i} /{\sqrt {3}}&0&2\mathrm {i} /{\sqrt {6}}\\1/{\sqrt {3}}&1/{\sqrt {2}}&-1/{\sqrt {6}}\\-1/{\sqrt {3}}&1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {6}}\end{pmatrix}}$. Ou plus simplement : $B=-{\bar {A}}+5\mathrm {I} _{3}$ donc ${\bar {U}}^{-1}B{\bar {U}}=-{\overline {\operatorname {diag} (2,5,5)}}+\operatorname {diag} (5,5,5)=\operatorname {diag} (3,0,0)$.

## Exercice 1-11

* Soit $H\in \operatorname {M} _{n}(\mathbb {C} )$ une matrice hermitienne positive. Montrer qu'il existe une unique matrice hermitienne positive $R$ telle que $H=R^{2}$. On dit alors que $R$ est la racine carrée de $H$.
* Soit $A\in \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )$. Montrer qu'il existe un unique couple de matrices $(U,H)$, avec $U$ unitaire et $H$ hermitienne positive, tel que $A=UH$ (on montrera que si un tel $(U,H)$ existe alors $H$ est la racine carrée de $A^{*}A$).
Dans les deux questions, procédons par analyse-synthèse.
* Si $R$ est une matrice hermitienne positive de carré $H$ alors pour chaque valeur propre $\mu$ de $R$, pour tout vecteur $x$ du sous-espace propre associé, on a $H(x)=R^{2}(x)=\mu ^{2}x$. Donc $H$ et $R$ ont mêmes sous-espaces propres et les valeurs propres de $R$ sont les racines carrées de celles de $H$. Ceci prouve l'unicité de $R$. Réciproquement, par construction, la matrice $R$ ainsi définie est bien hermitienne positive et de carré $H$.
* Pour un tel $(U,H)$, $A^{*}A=H^{*}U^{*}UH=H\mathrm {I} _{n}H=H^{2}$ donc $H$ est la racine carrée de $A^{*}A$, et $U=AH^{-1}$ ($H$ est bien inversible car $A$ l'est). Réciproquement, pour les matrices ainsi définies $H$ (racine carrée de $A^{*}A$, qui est bien hermitienne positive, comme remarqué lors de l'exercice 8, question 2.1) et $U$ (telle que $A=UH$), $U$ est bien unitaire car $U^{*}U=(H^{-1})^{*}A^{*}AH^{-1}=(H^{*})^{-1}H^{2}H^{-1}=H^{-1}H^{2}H^{-1}=\mathrm {I} _{n}$.

## Exercice 1-12

Soient $E$ un espace hermitien et $f$ un endomorphisme normal de $E$ (c'est-à-dire $f^{*}\circ f=f\circ f^{*}$).
* Montrer que $\|f(x)\|=\|f^{*}(x)\|$.
* En déduire que $\ker f=\ker f^{*}$ et $\operatorname {im} f=\operatorname {im} f^{*}$.
* Que dire alors de $\ker f$ et $\operatorname {im} f$ ? En déduire que $\ker f=\ker f^{2}$.
* Si $g$ est un autre endomorphisme normal de $E$, montrer que $f\circ g=0$ si et seulement si $g\circ f=0$.
* Même calcul que dans l'exercice 8, question 2.1.
* On en déduit immédiatement : $\ker f=\ker f^{*}$ donc $(\ker f)^{\bot }=(\ker f^{*})^{\bot }$, c'est-à-dire $\operatorname {im} f^{*}=\operatorname {im} f$.
* En particulier, $\operatorname {im} f=\operatorname {im} f^{*}=(\ker f)^{\bot }$. Autrement dit : $\operatorname {im} f$ et $\ker f$ sont supplémentaires orthogonaux l'un de l'autre. Leur intersection est donc réduite à $\{0_{E}\}$, c'est-à-dire que si $f(x)\in \ker f$ alors $f(x)=0_{E}$, ou encore : $\ker f^{2}\subset \ker f$. L'inclusion réciproque étant toujours vraie, on a donc $\ker f^{2}=\ker f$.
* $f\circ g=0\Leftrightarrow \operatorname {im} g\subset \ker f\Leftrightarrow \operatorname {im} g\perp \operatorname {im} f$. De même, $g\circ f=0\Leftrightarrow \operatorname {im} f\perp \operatorname {im} g$. Donc $f\circ g=0\Leftrightarrow g\circ f=0$.

## Exercice 1-13

Soit $M\in \operatorname {M} _{n}(\mathbb {C} )$.
* Montrer qu'il existe un unique couple $(H,H')$ de matrices hermitiennes tel que $M=H+\mathrm {i} H'$.
* Montrer que $M$ est normale si et seulement si $HH'=H'H$.
* Il s'agit de montrer qu'il existe une unique matrice hermitienne $H'$ telle que $(M-\mathrm {i} H')^{*}=M-\mathrm {i} H'$, c'est-à-dire telle que $H'={\frac {\mathrm {i} }{2}}(M^{*}-M)$. Il suffit donc de vérifier que $\mathrm {i} (M^{*}-M)$ est bien hermitienne, ce qui est immédiat.
* $M^{*}M=MM^{*}\Leftrightarrow (H-\mathrm {i} H')(H+\mathrm {i} H')=(H+\mathrm {i} H')(H-\mathrm {i} H')\Leftrightarrow 2\mathrm {i} (HH'-H'H)=0\Leftrightarrow HH'=H'H$.

## Exercice 1-14

* Trouver toutes les matrices réelles normales de taille 2.
* Dans $\operatorname {M} _{n}(\mathbb {R} )$, quel sous-espace vectoriel les matrices normales engendrent-elles ?
* Une matrice réelle $M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ est normale si et seulement si $^{t}\!MM=M^{t}\!M$, ce qui équivaut à $b^{2}=c^{2}$ et $(a-d)(c-b)=0$, c'est-à-dire $c=b$ ou ($c=-b$ et $d=a$).
* Ces matrices engendrent $\operatorname {M} _{n}(\mathbb {R} )$ tout entier car parmi elles figurent les matrices symétriques et les matrices antisymétriques.

## Exercice 1-15

Soient $E$ un espace hermitien de dimension finie et $f,g,h,u$ des endomorphismes de $E$.
* Pour tous polynômes $P,Q\in \mathbb {C} [X]$ tels que $Q(f)$ soit inversible, montrer que $P(f)Q(f)^{-1}=Q(f)^{-1}P(f)$. Ceci justifie la notation $R(f):={P(f) \over Q(f)}$ pour cet endomorphisme. Exprimer alors les valeurs propres de $R(f)$ en fonction de celles de $f$.
* Soit $\alpha \in C$. Montrer que si $f-\alpha \mathrm {id}$ est inversible et $g={f+\alpha \mathrm {id} \over f-\alpha \mathrm {id} }$ alors $\mathrm {id} -g$ est inversible et $f=-\alpha {\mathrm {id} +g \over \mathrm {id} -g}$. En déduire que $[h+\mathrm {i\,id}$ est inversible et $u={h-\mathrm {i\,id} \over h+\mathrm {i\,id} }]\Leftrightarrow [\mathrm {id} -u$ est inversible et $h=i{\mathrm {id} +u \over \mathrm {id} -u}]$.
* Pour $h,u$ vérifiant les propriétés équivalentes de ci-dessus, montrer que les valeurs propres de $h$ sont réelles si et seulement si celles de $u$ sont de module 1.
* Pour $h,u$ vérifiant encore les propriétés équivalentes ci-dessus, montrer que $h$ est autoadjoint si et seulement si $u$ est unitaire.
* Montrer que si $h$ est autoadjoint alors $h+\mathrm {i\,id}$ est inversible.
* $Q(h)P(h)=P(h)Q(h)$ d'où (en composant à gauche et à droite par $Q(h)^{-1}$) $P(h)Q(h)^{-1}=Q(h)^{-1}P(h)$. Si $T$ est la matrice de $h$ dans une base de triangularisation, celle de $R(h)$ est $R(T)$, donc les valeurs propres de $R(h)$ sont les $R(\lambda )$ pour $\lambda$ valeur propre de $h$.
* Si $f-\alpha \mathrm {id}$ est inversible et $g={f+\alpha \mathrm {id} \over f-\alpha \mathrm {id} }=\mathrm {id} +{2\alpha \mathrm {id} \over f-\alpha \mathrm {id} }$ alors $\mathrm {id} -g$ est inversible et $(\mathrm {id} -g)^{-1}={-1 \over 2\alpha }(f-\alpha \mathrm {id} )$ donc $f=\alpha \mathrm {id} -{2\alpha \mathrm {id} \over \mathrm {id} -g}=-\alpha {\mathrm {id} +g \over \mathrm {id} -g}$. Appliqué à $f=h,\alpha =-\mathrm {i} ,g=u$, ceci donne le $\Rightarrow$ de l'équivalence. Appliqué à $f=u,\alpha =1,g=\mathrm {i} h$, ceci donne le $\Leftarrow$.
* D'après 1, les valeurs propres $\lambda (\neq -\mathrm {i} )$ de $h$ et $\mu (\neq 1)$ de $u$ sont reliées par $\mu ={\lambda -\mathrm {i} \over \lambda +\mathrm {i} }$ (ou encore : $\lambda =\mathrm {i} {1+\mu \over 1-\mu }$), d'où $|\mu |=1\Leftrightarrow {\overline {\lambda }}=\lambda$.
* (Généralisation du calcul précédent) $uu^{*}=\mathrm {id} \Leftrightarrow \mathrm {id} ={h-\mathrm {i\,id} \over h+\mathrm {i\,id} }{h^{*}+\mathrm {i\,id} \over h^{*}-\mathrm {i\,id} }\Leftrightarrow$ (en identifiant numérateur et dénominateur) $h^{*}=h$ (et de même, $u^{*}u=\mathrm {id} \Leftrightarrow h^{*}=h$).
* Les valeurs propres de $h$ autoadjoint sont réelles, donc $\neq -\mathrm {i}$.

## Exercice 1-16

Soient $A=(a_{i,j})\in M_{n}(\mathbb {C} )$, $P=(\mathrm {Re} (a_{i,j}))$ et $Q=(\mathrm {Im} (a_{i,j}))$. Soit $B={\begin{pmatrix}P&-Q\\Q&P\end{pmatrix}}\in M_{2n}(\mathbb {R} )$.
* Montrer que $A$ est hermitienne si et seulement si $B$ est symétrique, et que dans ce cas, $A$ est positive si et seulement si $B$ l'est et définie si et seulement si $B$ l'est.
* Montrer que $A$ est unitaire si et seulement si $B$ est orthogonale.
* $A^{*}=A\Leftrightarrow P^{T}-\mathrm {i} Q^{T}=P+\mathrm {i} Q\Leftrightarrow P^{T}=P,Q^{T}=-Q\Leftrightarrow B^{T}=B$. De plus, pour tous $X,Y\in \mathbb {R} ^{n}$ et $Z={\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2n}$, on a $(X+\mathrm {i} Y)^{*}A(X+\mathrm {i} Y)=(X^{T}-\mathrm {i} Y^{T})(P+\mathrm {i} Q)(X+\mathrm {i} Y)=[X^{T}(PX-QY)+Y^{T}(QX+PY)]+\mathrm {i} [X^{T}(QX+PY)-Y^{T}(PX-QY)]=Z^{T}BZ+\mathrm {i} Z^{T}B'Z$ avec $B'={\begin{pmatrix}Q&P\\-P&Q\end{pmatrix}}$. Lorsque $B^{T}=B$, on a $B'^{T}=-B'$ donc $(X+\mathrm {i} Y)^{*}A(X+\mathrm {i} Y)=Z^{T}BZ$, d'où les conclusions.
* $A^{*}A=(P^{T}-\mathrm {i} Q^{T})(P+\mathrm {i} Q)=(P^{T}P+Q^{T}Q)+\mathrm {i} (P^{T}Q-Q^{T}P)$ et $B^{T}B={\begin{pmatrix}P^{T}&Q^{T}\\-Q^{T}&P^{T}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}P&-Q\\Q&P\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}P^{T}P+Q^{T}Q&-(P^{T}Q-Q^{T}P)\\P^{T}Q-Q^{T}P&P^{T}P+Q^{T}Q\end{pmatrix}}$, donc $A^{*}A=\mathrm {I} _{n}\Leftrightarrow B^{T}B=\mathrm {I} _{2n}$.

## Exercice 1-17

Soit $H=\mathbb {C} _{2}[X]$ (l'espace des polynômes à coefficients complexes de degré $\leq 2$). On définit sur $H$ le produit hermitien $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ suivant : pour $P,Q\in H$, avec $P(X)=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}$ et $Q(X)=b_{0}+b_{1}X+b_{2}X^{2}$ : $\langle P,Q\rangle =\sum _{k=0}^{2}{\overline {a_{k}}}b_{k}$. Pour tout $P\in H$, on pose $u(P)=P(\mathrm {i} X)$ et $v(P)(X)=(X+\mathrm {i} )P'\left({\frac {X-\mathrm {i} }{2}}\right)$.
* Donnez, pour $Q\in H$, l'expression de $u^{*}(Q)$ et vérifiez que $u$ est unitaire.
* Déterminez $v^{*}$ (par exemple en donnant sa matrice dans la base canonique $(1,X,X^{2})$ de $H$).
* On rappelle que pour tout $f\in \mathrm {L} (H)$, l'endomorphisme $f^{*}f$ est hermitien et positif. Donnez une base propre pour $g:=v^{*}v$. Déterminez la racine carrée $\rho$ de $g$ en explicitant la matrice de $\rho$ dans une base de votre choix.
* $u(a+bX+cX^{2})=a+\mathrm {i} bX-cX^{2}$ donc la matrice de $u$ dans la base orthonormée $(1,X,X^{2})$ est $U=\mathrm {diag} (1,\mathrm {i} ,-1)$ donc celle de $u^{*}$ est $U^{*}=\mathrm {diag} (1,-\mathrm {i} ,-1)$, d'où $u^{*}(Q)(X)=Q(-\mathrm {i} X)$. $u$ est unitaire car $U^{*}U=\mathrm {diag} (1,1,1)=\mathrm {I} _{3}$.
* $v(a+bX+cX^{2})=(X+\mathrm {i} )(b+c(X-\mathrm {i} ))=(c+\mathrm {i} b)+bX+cX^{2}$ donc la matrice de $v$ dans $(1,X,X^{2})$ est $V:={\begin{pmatrix}0&\mathrm {i} &1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$ donc celle de $v^{*}$ est $V^{*}={\begin{pmatrix}0&0&0\\-\mathrm {i} &1&0\\1&0&1\end{pmatrix}}$.
* $G:=V^{*}V={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&2&-\mathrm {i} \\0&\mathrm {i} &2\end{pmatrix}}$ donc $g$ a pour valeurs propres $\lambda =0,1,3$ et pour droites propres associées $\mathbb {C} \varepsilon _{\lambda }$ avec $\varepsilon _{0}=1,\varepsilon _{1}=\mathrm {i} X+X^{2},\varepsilon _{3}=X+\mathrm {i} X^{2}$. Donc $(\varepsilon _{0},\varepsilon _{1},\varepsilon _{3})$ est une base propre pour $g$. La matrice de $g$ dans cette base est $\mathrm {diag} (0,1,3)$ donc celle de $\rho ={\sqrt {g}}$ est $\mathrm {diag} (0,1,{\sqrt {3}})$.
* Sommaire