# Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Intégrale sur un intervalle, vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe et intégrale curviligne
## Intégrale définie sur un intervalle fermé
### Intégrabilité d'une fonction scalaire d'une variable réelle au sens de Riemann

La fonction scalaire $\;f\;$ de la variable réelle $\;x\;$ définie sur l'intervalle fermé $\;\left[a\,{,}\,b\right]\;$ La fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ est intégrable sur cet intervalle fermé La fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ est intégrable si elle y est continue par morceaux, c.-à-d. La fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ est intégrable s'« il existe une subdivision de l'intervalle d'intégration $\;\left[a\,{,}\,b\right]$, La fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ est intégrable s'«$\;a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{i}<\cdots <x_{n}=b\;$» La fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ est intégrable s'«pour laquelle «$\;f\;$ est continue sur les intervalles ouverts La fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ est intégrable s'«pour laquelle «$\;\color {transparent}{f}\;$ est continue sur$\;\left]x_{i}\,{,}\,x_{i+1}\right[\;\;\forall \,i\;$» avec La fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ est intégrable s'««$\;\lim \limits _{x\rightarrow x_{i}^{+}}\left[f(x)\right]=cste_{i}^{+}\;$ et $\;\lim \limits _{x\rightarrow x_{i+1}^{-}}\left[f(x)\right]=cste_{i+1}^{-}\;$», La fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ est intégrable s'«l'existence de ces deux limites permettant de « prolonger La fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ est intégrable s'«la continuité de $\;f\;$ sur $\;\left[x_{i}\,{,}\,x_{i+1}\right]\;\;\forall \,i\;$».

### Subdivision de l'intervalle d'intégration et définition des sommes de Riemann associées

$\left[a\,{,}\,b\right]$
À partir de « la fonction scalaire $\;f\;$ de la variable réelle $\;x\;$ définie et intégrable sur l'intervalle fermé $\;\left[a\,{,}\,b\right]\;$», on définit À partir de « la fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ $\bullet \;$une « subdivision de $\;\left[a\,{,}\,b\right]\;$», «$\;a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{i}<\cdots <x_{n}=b\;$ À partir de « la fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$une « subdivision de $\;\color {transparent}{\left[a\,{,}\,b\right]}\;$», réalisant la division en $\;n\;$ parties égales » et À partir de « la fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ $\bullet \;$une « somme de Riemann $\;R_{n}=\sum \limits _{i=0}^{n-1}\left[f(c_{i})\,(x_{i+1}-x_{i})\right]\;$» avec «$\;c_{i}\;$ un élément quelconque À partir de « la fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$une « somme de Riemann $\;\color {transparent}{R_{n}=\left[f(c_{i})\,(x_{i+1}-x_{i})\right]}\;$» avec «$\;\color {transparent}{c_{i}}\;$ de $\;\left[x_{i}\,{,}\,x_{i+1}\right]\;$» que À partir de « la fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$nous choisirons en la « borne inférieure de l'intervalle » d'où «$\;c_{i}=a+i\,{\dfrac {b-a}{n}}\;$» $\Rightarrow$ À partir de « la fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$la « somme de Riemann particulière définie par $\;R_{n}={\dfrac {b-a}{n}}\left[\sum \limits _{i=0}^{n-1}f\!\left(a+i\,{\dfrac {b-a}{n}}\right)\right]\;$» et À partir de « la fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$la « somme de Riemann particulière interprétée comme la « somme des aires des rectangles de À partir de « la fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$la « somme de Riemann particulière interprétée comme la « largeur commune $\;{\dfrac {b-a}{n}}\;$ et de À partir de « la fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$la « somme de Riemann particulière interprétée comme la « hauteur $\;f\!\left(a+i\,{\dfrac {b-a}{n}}\right)\;$».
On démontre que « la somme de Riemann choisie » admet une « limite finie » quand $\;n\rightarrow \infty$, limite qui définit l'intégrale de Riemann de la fonction sur l'intervalle d'intégration.

### Définition de l'intégrale de Riemann d'une fonction scalaire d'une variable réelle sur un intervalle fermé

$\;f\;$
$\;\left[a\,{,}\,b\right]\;$
Ayant défini « une subdivision de l'intervalle $\;\left[a\,{,}\,b\right]\;$ en $\;n\;$ parties égales » puis Ayant défini « une somme de Riemann $\;R_{n}={\dfrac {b-a}{n}}\left[\sum \limits _{i=0}^{n-1}f(c_{i})\right]\;$ avec $\;c_{i}\;$ élément quelconque de $\;\left[x_{i}\,{,}\,x_{i+1}\right]\;$», on démontre que « toutes les sommes de Riemann admettent une même limite quand $\;n\rightarrow \infty$, limite définissant on démontre que « toutes l'intégrale de Riemann de la fonction $\;f\;$ sur l'intervalle fermé $\;\left[a\,{,}\,b\right]\;$ notée $\;\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\;$» soit on démontre que « toutes «$\;\lim \limits _{n\rightarrow \infty }\left\lbrace {\dfrac {b-a}{n}}\left[\sum \limits _{i=0}^{n-1}f(c_{i})\right]_{c_{i}\,\in \,\left]x_{i}\,{,}\,x_{i+1}\right\right\rbrace =\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\;$».

### Interprétation géométrique de l'intégrale de Riemann d'une fonction scalaire d'une variable réelle sur un intervalle fermé

Avec «$\;c_{i}=a+i\,{\dfrac {b-a}{n}}\;$», « la somme de Riemann associée peut être interprétée comme la somme des aires des rectangles de longueur de base $\;{\dfrac {b-a}{n}}\;$ et de hauteur $\;f\!\left(a+i\,{\dfrac {b-a}{n}}\right)\;$» ; aussi, « quand $\;n\rightarrow \infty \;$», « la somme de Riemann tendant vers l'intégrale de la fonction $\;f\;$ sur l'intervalle fermé $\;\left[a\,{,}\,b\right]\;$» et aussi, « quand $\;\color {transparent}{n\rightarrow \infty }\;$», « la somme des aires des rectangles tendant vers l'aire de la surface limitée par l'axe des abscisses, le graphe de la fonction ainsi que les droites $\;x=a\;$ et $\;x=b\;$», nous concluons à l'interprétation géométrique suivante de l'intégrale de Riemann :
L'intégrale $\;{\big$de Riemann${\big )}\;$ de la fonction $\;f\;$ sur l'intervalle fermé $\;\left[a\,{,}\,b\right]\;$ notée $\;\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\;$ représente l'aire de la surface limitée par l'axe des abscisses, le graphe de la fonction et les droites frontières$\;x=a\;$ et $\;x=b$.

### Développement de quelques méthodes de calcul

$\succ \;$Intégrer une fonction dont on connaît une primitive exemple $\;\displaystyle \int _{0}^{1}{\dfrac {dx}{1+x^{2}}}\;$ $=\left[\arctan(x)\right]_{0}^{1}=\arctan(1)-{\cancel {\arctan(0)}}={\dfrac {\pi }{4}}\;$ ou, $\color {transparent}{\succ \;}$Intégrer une fonction dont on devrait connaître une primitive malheureusement partiellement oubliée exemple $\;\displaystyle \int _{1}^{2}{\dfrac {dx}{x^{2}}}=\displaystyle \int _{1}^{2}x^{-2}\;dx$ : on se souvient qu'une primitive de $\;x^{n},\;n\in \mathbb {Z} \setminus \left\lbrace -1\right\rbrace \;$ est $A\;x^{n+1}\;$ en ayant oublié la valeur de $\;A$, pour la retrouver on dérive $\;A\;x^{n+1}\;$ ce qui donne $\;A\,(n+1)\,x^{n}\;$ à identifier à $\;x^{n}\;$ d'où $\;A={\dfrac {1}{n+1}}\;$ et par suite une primitive de $\;x^{n},\;n\in \mathbb {Z} \setminus \left\lbrace -1\right\rbrace \;$ est $\;{\dfrac {x^{n+1}}{n+1}}\;$ soit, dans le cas particulier où $\;n=-2$, une primitive de $\;x^{-2}\;$ est $\;{\dfrac {x^{-1}}{(-1)}}\;$ ou une primitive de $\;{\dfrac {1}{x^{2}}}\;$ est $\;{\dfrac {-1}{x}}\;$ conduisant à $\;\displaystyle \int _{1}^{2}{\dfrac {dx}{x^{2}}}=\left[-{\dfrac {1}{x}}\right]_{1}^{2}=-{\dfrac {1}{2}}+{\dfrac {1}{1}}={\dfrac {1}{2}}$ ;
$\succ \;$intégrer une fonction par changement de variable exemple $\;\displaystyle \int _{0}^{a}{\dfrac {dx}{a^{2}+x^{2}}}$ : souhaitant avoir $\;1+u^{2}\;$ au dénominateur, on y met $\;a^{2}\;$ en facteur $\;\displaystyle \int _{0}^{a}{\dfrac {dx}{a^{2}+x^{2}}}=\displaystyle \int _{0}^{a}{\dfrac {dx}{a^{2}\left[1+\left({\dfrac {x}{a}}\right)^{\!2}\right]}}=$ ${\dfrac {1}{a^{2}}}\;\displaystyle \int _{0}^{a}{\dfrac {dx}{1+\left({\dfrac {x}{a}}\right)^{\!2}}}\;$ suggérant le changement de variable $\;u={\dfrac {x}{a}}\;$ ; on fait alors apparaître la différentielle de cette nouvelle variable au numérateur $\;\displaystyle \int {\dfrac {d\!\left({\dfrac {x}{a}}\right)}{1+\left({\dfrac {x}{a}}\right)^{\!2}}}\;$ mais on se rend compte qu'en faisant ceci on introduit une erreur ${\bigg$car $\;d\!\left({\dfrac {x}{a}}\right)={\dfrac {dx}{a}}\;$ et non $\;dx{\bigg ]}$ qu'il convient de corriger par un facteur multiplicatif $\;a\;$ soit $\displaystyle \int _{0}^{a}{\dfrac {dx}{a^{2}+x^{2}}}={\dfrac {1}{a^{2}}}\;a\;\displaystyle \int _{0}^{a}{\dfrac {d\!\left({\dfrac {x}{a}}\right)}{1+\left({\dfrac {x}{a}}\right)^{\!2}}}\;$ $={\dfrac {1}{a}}\left[\arctan \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\right]_{0}^{a}\;$ donnant finalement $\;\displaystyle \int _{0}^{a}{\dfrac {dx}{a^{2}+x^{2}}}={\dfrac {1}{a}}\left[\arctan(1)-{\cancel {\arctan(0)}}\right]={\dfrac {\pi }{4\,a}}$ ;
$\succ \;$intégrer une fonction trigonométrique en linéarisant$\;{\big$quand cela est possible${\big )}\;$ exemple $\;\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin ^{2}(x)\,dx\;$ avec $\;\sin ^{2}(x)={\dfrac {1-\cos(2\,x)}{2}}\;$ $\Rightarrow$ $\;\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin ^{2}(x)\,dx=\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\dfrac {1-\cos(2\,x)}{2}}\,dx=$ $\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\dfrac {dx}{2}}-\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\dfrac {\cos(2\,x)}{2}}\,dx={\dfrac {\pi }{2}}-{\dfrac {1}{2}}\,\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos(2\,x)\,{\dfrac {d(2\,x)}{2}}\;$ ce qui donne finalement $\;\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin ^{2}(x)\,dx={\dfrac {\pi }{2}}-{\dfrac {1}{4}}\,{\cancel {\left[\sin(2\,x)\right]_{0}^{\pi }}}={\dfrac {\pi }{2}}$ ;
$\succ \;$intégrer un produit de fonctions par parties$\;{\big$dans le but d'aboutir à une intégrale plus simple${\big )}\;$ exemple $\;\displaystyle \int _{0}^{1}x\,\exp(x)\,dx\;$ dans laquelle il serait souhaitable d'arriver à une intégrale du type $\;\displaystyle \int \exp(x)\,dx\;$ sachant qu'on connaît une primitive de la fonction $\;\exp(x)\;$ et pour cela considérer la fonction à intégrer $\;x\;\exp(x)\;$ comme le produit de fonctions $\;x\;$ et $\;\exp(x)\;$ de façon à appliquer la méthode d'intégration par parties $\;{\big$ou I.p.p.${\big )}\;$ exposée ci-dessous ;
$\;\displaystyle \int _{a}^{b}u(x)\,v(x)\,dx\;$
$\;v(x)\;$
$\;V(x)\;$
$\;\displaystyle \int _{a}^{b}u(x)\,v(x)\,dx=$
$\left[u(x)\,V(x)\right]_{a}^{b}-\displaystyle \int _{a}^{b}u'(x)\,V(x)\,dx\;$
$\color {transparent}{\succ }\;$intégrer un produit de fonctions par parties$\;\color {transparent}{\big$dans le but d'aboutir à une intégrale plus simple$\color {transparent}{big)}\;$ exemple ici on pose «$\;u(x)=x\;$ $\Rightarrow$ $\;u'(x)=1\;$» et «$\;v(x)=\exp(x)\;$ $\Rightarrow$ $\;V(x)=\exp(x)\;$» d'où $\;\displaystyle \int _{0}^{1}x\,\exp(x)\,dx=\left[x\,\exp(x)\right]_{0}^{1}-\displaystyle \int _{0}^{1}\exp(x)\,dx=\left[x\,\exp(x)\right]_{0}^{1}-\left[\exp(x)\right]_{0}^{1}=e-e=0$ ;
$\succ \;$intégrer une fonction rationnelle par décomposition en éléments simples exemple $\;\displaystyle \int _{2\,a}^{3\,a}{\dfrac {dx}{x^{2}-a^{2}}}$ : la fonction rationnelle $\;{\dfrac {1}{x^{2}-a^{2}}}\;$ de pôles connus $\;\left\lbrace -a,\,+a\right\rbrace \;$ se décompose en éléments simples $\;{\dfrac {A}{x-a}}\;$ et $\;{\dfrac {B}{x+a}}\;$ c.-à-d. $\;{\dfrac {1}{x^{2}-a^{2}}}={\dfrac {A}{x-a}}+{\dfrac {B}{x+a}}\;$ avec $\;A\;$ et $\;B\;$ constantes réelles à déterminer selon la méthode exposée ci-dessous sur l'exemple ;
$\;A\;$
$\;B\;$
$\;{\dfrac {1}{x^{2}-a^{2}}}={\dfrac {A}{x-a}}+{\dfrac {B}{x+a}}\;$
$\;x-a\;$
${\big$
$\;x+a{\big )}\;$
$\;x=a\;$
${\big$
$\;x=-a{\big )}\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {(x-a)}{x^{2}-a^{2}}}=A+{\dfrac {B\,(x-a)}{x+a}}\Leftrightarrow {\dfrac {1}{x+a}}=A+{\dfrac {B\,(x-a)}{x+a}}\quad {\text{on y fait }}x=a\Rightarrow {\dfrac {1}{2\,a}}=A+{\cancel {\left[{\dfrac {B\,(x-a)}{x+a}}\right]_{x=a}}}\\{\dfrac {(x+a)}{x^{2}-a^{2}}}={\dfrac {A\,(x+a)}{x-a}}+B\Leftrightarrow {\dfrac {1}{x-a}}={\dfrac {A\,(x+a)}{x-a}}+B\quad {\text{on y fait }}x=-a\Rightarrow {\dfrac {-1}{2\,a}}={\cancel {\left[{\dfrac {A\,(x+a)}{x-a}}\right]_{x=-a}}}+B\end{array}}\right\rbrace \;$
$\color {transparent}{\succ }\;$intégrer une fonction rationnelle par décomposition en éléments simples exemple ici on obtient «$\;{\dfrac {1}{x^{2}-a^{2}}}={\dfrac {1}{2\;a}}\left\lbrace {\dfrac {1}{x-a}}-{\dfrac {1}{x+a}}\right\rbrace \;$» d'où la réécriture de l'intégrale en $\;\displaystyle \int _{2\,a}^{3\,a}{\dfrac {dx}{x^{2}-a^{2}}}=$ ${\dfrac {1}{2\,a}}\left[\displaystyle \int _{2\,a}^{3\,a}{\dfrac {dx}{x-a}}-\displaystyle \int _{2\,a}^{3\,a}{\dfrac {dx}{x+a}}\right]\;$ $={\dfrac {1}{2\,a}}\left\lbrace \left[\ln \!\left\vert x-a\right\vert -\ln \!\left\vert x+a\right\vert \right]_{2\,a}^{3\,a}\right\rbrace ={\dfrac {1}{2\,a}}\left[\ln \!\left\vert {\dfrac {x-a}{x+a}}\right\vert \right]_{2\,a}^{3\,a}\;$ soit finalement $\;\displaystyle \int _{2\,a}^{3\,a}{\dfrac {dx}{x^{2}-a^{2}}}={\dfrac {1}{2\,a}}\left[\ln \!\left({\dfrac {2}{4}}\right)-\ln \!\left({\dfrac {1}{3}}\right)\right]={\dfrac {1}{2\,a}}\,\ln \!\left({\dfrac {3}{2}}\right)$ ;
$\succ \;$ $\ldots$

## Notion d'abscisse curviligne d'un point sur une courbe continue
### Distinction courbe plane - courbe gauche

Une courbe plane est une courbe contenue dans un plan ; exemples : droite, conique $\;{\big$c.-à-d. ellipse dont son cas particulier le cercle, parabole, hyperbole${\big )}\;$ et bien d'autres encore ;
une courbe gauche est une courbe qui n'est pas plane ; exemples : parmi les courbes gauches classiques il n'y a pratiquement que les hélices $\;{\big$la plus connue étant l'hélice circulaire, courbe inscrite sur un cylindre de révolution telle que la tangente en chacun des points de l'hélice a une direction de même inclinaison par rapport à l'axe du cylindre${\big )}$, mais on peut en trouver d'autres plus sophistiquées comme une succession de trois segments non coplanaires $\ldots$

### Abscisse curviligne d'un point sur une courbe continue

Sur une courbe continue $\;(\Gamma )\;$ plane ou gauche, choisissant arbitrairement un sens «$\;+\;$» et une origine $\;A\;$ de mesure des abscisses curvilignes, Sur une courbe continue $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ plane ou gauche, on repère le point générique $\;M\;$ de $\;(\Gamma )\;$ par le nombre réel égal à la longueur algébrique parcourue dans le sens «$\;+\;$» sur $\;(\Gamma )\;$ depuis l'origine $\;A\;$, Sur une courbe continue $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ plane ou gauche, on repère le point générique $\;\color {transparent}{M}\;$ de $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ par le nombre réel égal à la longueur algébrique appelé « abscisse curviligne du point $\;M\;$ et noté $\;s\;$» ; « l'abscisse curviligne de $\;M\;$ sur $\;(\Gamma )\;$ est donc défini par $\;s={\overset {\curvearrowright }{AM}}\;$», « la distance non algébrisée séparant $\;A\;$ de $\;M\;$ sur $\;(\Gamma )\;$ étant $\;\vert s\vert ={\overset {\frown }{AM}}\;$».

### Propriétés de biunivocité entre la courbe et l'ensemble des valeurs d'abscisses curvilignes possibles
#### Cas d'une courbe ouverte

Définition : Une courbe est ouverte si, en suivant continûment la courbe sans rebrousser chemin, on ne repasse jamais par un même endroit, ou Définition : Une courbe est ouverte si, en suivant continûment la courbe sans rebrousser chemin, on repasse au moins une fois en une ou plusieurs positions particulières avant de poursuivre ;
Définition : nous appellerons par la suite « courbe ouverte » une courbe du 1er type, celle du 2ème type étant qualifiée de « courbe ouverte avec points multiples »
Dans le cas d'une « courbe ouverte$\;{\big$sans points multiples${\big )}\;$», « chaque valeur de $\;s\;$ localise une position unique de $\;M\;$ sur la courbe et réciproquement », Dans le cas d'une « courbe ouverte$\;\color {transparent}{\big$sans points multiples$\color {transparent}{\big )}\;$», il y a donc « biunivocité » entre la courbe $\;(\Gamma )\;$ et l'ensemble des valeurs d'abscisses curvilignes des points de $\;(\Gamma )$.

#### Cas d'une courbe fermée

Définition : Une courbe est fermée si, en suivant continûment la courbe à partir de n'importe quel endroit sans rebrousser chemin, on repasse au moins une fois par l'endroit de départ et, de façon cyclique Définition : Une courbe est fermée si, en suivant continûment la courbe à partir de n'importe quel endroit sans rebrousser chemin, et ordonnée, indéfiniment par toutes les positions précédentes ; Définition : une courbe fermée décrite sans rebrousser chemin est une succession minimale de positions constituant un « cycle », la description du point générique de la courbe fermée étant Définition : une courbe fermée décrite sans rebrousser chemin est une succession minimale de positions constituant un « cycle », celle du point générique du « cycle » répétée à l'infini ; Définition : il peut exister une ou plusieurs positions particulières du « cycle » d'une courbe fermée en lesquelles le point générique repasse au moins une fois lors de sa description du « cycle », Définition : il peut exister une ou plusieurs positions particulières du « cycle » d'une courbe fermée en lesquelles le point générique repasse on parle alors de « courbe fermée avec points multiples » ; Définition : nous appellerons par la suite « courbe fermée » une courbe fermée sans points multiples.
Remarque : d'après la définition ci-dessus et celle du paragraphe « cas d'une courbe ouverte (définition) » plus haut dans ce chapitre, une courbe est soit « ouverte » soit « fermée ».
Dans le cas d'une « courbe fermée$\;{\big$sans points multiples${\big )}\;$», « chaque valeur de $\;s\;$ localise une position unique de $\;M\;$ sur la courbe » mais Dans le cas d'une « courbe fermée$\;\color {transparent}{\big$sans points multiples$\color {transparent}{\big )}\;$», « à chaque position de $\;M\;$ il existe une infinité de valeurs de $\;s\;$ séparées entre elles d'un multiple d'une grandeur correspondant à la Dans le cas d'une « courbe fermée$\;\color {transparent}{\big$sans points multiples$\color {transparent}{\big )}\;$», « à chaque position de $\;\color {transparent}{M}\;$ il existe une infinité de valeurs de $\;\color {transparent}{s}\;$ séparées entre elles d'un multiple longueur $\;{\mathcal {L}}\;$ de la courbe fermée » Dans le cas d'une « courbe fermée$\;\color {transparent}{\big$sans points multiples$\color {transparent}{\big )}\;$», ${\big$il y a donc périodicité de la fonction $\;f\;$ qui à $\;s\;$ fait correspondre un point $\;M\;$ de la courbe, la période étant égale à $\;{\mathcal {L}}{\big ]}$ ; Dans le cas d'une « courbe fermée$\;\color {transparent}{\big$sans points multiples$\color {transparent}{\big )}\;$», pour retrouver une « biunivocité » entre la courbe$\;(\Gamma )\;$et un ensemble des valeurs d'abscisses curvilignes des points de $\;(\Gamma )$, Dans le cas d'une « courbe fermée$\;\color {transparent}{\big$sans points multiples$\color {transparent}{\big )}\;$», on restreint le domaine de définition de la fonction$\;f\;$ avec une détermination principale de l'abscisse curviligne$\;s_{\text{princ}}\in \left]-{\dfrac {\mathcal {L}}{2}}\,{,}\,{\dfrac {\mathcal {L}}{2}}\right]$, Dans le cas d'une « courbe fermée$\;\color {transparent}{\big$sans points multiples$\color {transparent}{\big )}\;$», on restreint le domaine de définition de la fonction$\;\color {transparent}{f}\;$ avec l'abscisse curviligne prenant les avaleurs $\;s\left\lbrace {\begin{array}{l}\equiv s_{\text{princ}}{\pmod {\mathcal {L}}}\;{\text{ou}}\\=s_{\text{princ}}+n\,{\mathcal {L}},\;n\in \mathbb {Z} \end{array}}\right\rbrace \;$.

## Vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue
### Définition intrinsèque du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue

On réalise un paramétrage géométrique de la courbe $\;(\Gamma )\;$ par abscisse curviligne, $\;M\;$ étant la position d'un point $\;{\big$non « anguleux »${\big )}\;$ d'abscisse curviligne $\;s\;$ et $\;M'\;$ sa position d'abscisse curviligne infiniment proche $\;s+ds$, le vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe $\;(\Gamma )\;$ du point $\;M\;$ d'abscisse curviligne $\;s\;$ est défini par le vecteur déplacement élémentaire «$\;{\overrightarrow {MM'}}={\overrightarrow {OM'}}-{\overrightarrow {OM}}\;$» soit encore «$\;{\overrightarrow {MM'}}={\overrightarrow {OM}}(s+ds)-{\overrightarrow {OM}}(s)\;$» c.-à-d. le vecteur déplacement élémentaire « la différentielle du vecteur position $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ du point $\;M\;$» d'où une autre expression de la définition du vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe $\;(\Gamma )\;$ du point $\;M\;$ «$\;{\overrightarrow {MM'}}=d\!\left[{\overrightarrow {OM}}\right]\;$» usuellement noté «$\;{\overrightarrow {dM}}\;$».
Remarque : Pour un point $\;M\;$ anguleux de la courbe $\;(\Gamma )\;$ on définit deux vecteurs déplacement élémentaire suivant que le déplacement Remarque : Pour un point $\;\color {transparent}{M}\;$ anguleux de la courbe $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ on définit deux vecteurs envisagé est à gauche « définissant $\;{\overrightarrow {dM^{-}}}\;$» ou Remarque : Pour un point $\;\color {transparent}{M}\;$ anguleux de la courbe $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ on définit deux vecteurs envisagé est à droite « définissant $\;{\overrightarrow {dM^{+}}}\;$» $\ldots$

### Propriété géométrique du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue

Sur la courbe $\;(\Gamma )\;$ paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, $\;M\;$ étant la position d'un point quelconque $\;{\big$non « anguleux »${\big )}\;$ d'abscisse curviligne $\;s\;$ et Sur la courbe $\color {transparent}{\;(\Gamma )\;}$ paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, $\;M''\;$ la position d'un point proche de $\;M\;$ d'abscisse curviligne voisine $\;s+\delta s$, Sur la courbe $\color {transparent}{\;(\Gamma )\;}$ paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, le vecteur « petit déplacement » le long de la courbe $\;(\Gamma )\;$ du point $\;M\;$ «$\;{\overrightarrow {MM''}}\;$» Sur la courbe $\color {transparent}{\;(\Gamma )\;}$ paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, le vecteur « petit déplacement » a pour direction la sécante $\;(MM'')$ ;  Sur la courbe $\color {transparent}{\;(\Gamma )\;}$ paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, quand la variation d'abscisse curviligne $\;\delta s\;$ devient l'infiniment petit $\;ds$, $\;M''\;$ devient $\;M'\;$ et Sur la courbe $\color {transparent}{\;(\Gamma )\;}$ paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, le vecteur « petit déplacement $\;{\overrightarrow {MM''}}\;$» devient le vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {MM'}}={\overrightarrow {dM}}$ ; Sur la courbe $\color {transparent}{\;(\Gamma )\;}$ paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, or la direction de la sécante $\;(MM'')\;$ tend vers la direction tangente à la courbe $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ quand $\;M''\rightarrow M\;$, d'où Sur la courbe $\color {transparent}{\;(\Gamma )\;}$ paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, la propriété suivante pour le vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe $\;(\Gamma )\;$ en un point $\;M\;$ non anguleux :
Le vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ le long de la courbe continue $\;(\Gamma )\;$ en un point $\;M\;$ non anguleux Le vecteur déplacement élémentaire $\;\color {transparent}{\overrightarrow {dM}}\;$ est, dans la mesure où il n'est pas nul, tangent à la courbe $\;(\Gamma )\;$ en $\;M$.

### Définition du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue à l'aide de la base locale de Frenet

Sur une courbe continue $\;(\Gamma )\;$ orientée par le choix $\;{\big$arbitraire${\big )}\;$ d'un sens «$\;+\;$» permettant le repérage de ses points par abscisse curviligne, Sur une courbe continue $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ orientée par le choix $\;\color {transparent}{\big$arbitraire$\color {transparent}{\big )}\;$ d'un sens «$\;\color {transparent}{+}\;$» on définit, en tout point $\;M\;$ non anguleux de $\;(\Gamma )$, Sur une courbe continue $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ orientée par le choix $\;\color {transparent}{\big$arbitraire$\color {transparent}{\big )}\;$ d'un sens «$\;\color {transparent}{+}\;$» on définit, « un vecteur unitaire $\;{\vec {\tau }}\;$ tangent à $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$» orienté dans le sens «$\;+\;$» Sur une courbe continue $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ orientée par le choix $\;\color {transparent}{\big$arbitraire$\color {transparent}{\big )}\;$ d'un sens «$\;\color {transparent}{+}\;$» on définit, « un vecteur unitaire $\;\color {transparent}{\vec {\tau }}\;$ tangent à $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ en $\;\color {transparent}{M}\;$» appelé « vecteur unitaire tangentiel » et Sur une courbe continue $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ orientée par le choix $\;\color {transparent}{\big$arbitraire$\color {transparent}{\big )}\;$ d'un sens «$\;\color {transparent}{+}\;$» on définit, « constituant le « 1er vecteur de la base locale de Frenet » ;
le vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe $\;(\Gamma )\;$ du point $\;M\;$ ${\big$non « anguleux »${\big )}\;$ d'abscisse curviligne $\;s\;$ peut être alors défini par «$\;{\overrightarrow {dM}}=ds\,{\vec {\tau }}\;$»$^,$.

### Circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace le long d'une courbe continue

La circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace $\;{\vec {A}}(M)\;$ le long de la courbe continue $\;(\Gamma )\;$ La circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ est définie, en un point $\;M\;$ non anguleux La circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ est définie, par «$\;\delta {\mathcal {C}}_{(\Gamma )}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]={\vec {A}}(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dM}}\;$» avec La circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ vecteur déplacement élémentaire le long de $\;(\Gamma )\;$ à partir de $\;M\;$.
Utilisation du vecteur unitaire tangentiel de Frenet : si la courbe $\;(\Gamma )\;$ est paramétrée géométriquement par $\;s\;$ l'abscisse curviligne de ses points, Utilisation du vecteur unitaire tangentiel de Frenet : si la courbe $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ est paramétrée géométriquement par $\;\color {transparent}{s}\;$ le vecteur déplacement élémentaire le long de $\;(\Gamma )\;$ à partir de $\;M\;$ s'écrit Utilisation du vecteur unitaire tangentiel de Frenet : si la courbe $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ est paramétrée géométriquement par $\;\color {transparent}{s}\;$ «$\;{\overrightarrow {dM}}=ds\,{\vec {\tau }}(s)\;$» où «$\;{\vec {\tau }}(s)\;$ est le vecteur unitaire tangentiel de Frenet »$^,$ et Utilisation du vecteur unitaire tangentiel de Frenet : la circulation élémentaire du champ vectoriel de l'espace $\;{\vec {A}}(M)\;$ le long de la courbe $\;(\Gamma )\;$ se réécrivant selon Utilisation du vecteur unitaire tangentiel de Frenet : la circulation élémentaire du champ vectoriel de l'espace $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ «$\;\delta {\mathcal {C}}_{(\Gamma )}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]={\vec {A}}\!\left[M(s)\right]\!\cdot \!ds\,{\vec {\tau }}(s)=\left\lbrace {\vec {A}}\!\left[M(s)\right]\!\cdot \!{\vec {\tau }}(s)\right\rbrace ds\;$» Utilisation du vecteur unitaire tangentiel de Frenet : la circulation élémentaire du champ vectoriel de l'espace $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ «$\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\Gamma )}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]}$ est une « forme différentielle de la variable$\;s\;$», Utilisation du vecteur unitaire tangentiel de Frenet : celle-ci s'identifie à une « différentielle de fonction scalaire de la variable$\;s\;$» dès lors que «$\;{\vec {A}}\!\left[M(s)\right]\!\cdot \!{\vec {\tau }}(s)\;$ est une fonction intégrable de $\;s\;$».

## Notion d'intégrale curviligne sur une portion de courbe continue

Une intégrale curviligne sur une portion de courbe continue $\;(\Gamma )\;$ est une intégrale d'une fonction scalaire définie en suivant la courbe $\;(\Gamma )\;$ dans le sens «$\;+\;$» Une intégrale curviligne sur une portion de courbe continue $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ est une intégrale d'une fonction scalaire définie en suivant la courbe $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ d'une position $\;M_{1}\;$ à une position $\;M_{2}$.
Il y a deux types d'intégrales curvilignes d'une fonction scalaire sur une portion de courbe continue possibles :

### Les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue

Il s'agit d'ajouter des contributions élémentaires d'une fonction scalaire $\;f\;$ ou vectorielle $\;{\vec {A}}\;$ d'un point $\;M\;$ assujetti à se déplacer sur une courbe continue $\;(\Gamma )$ :
* «$\;\displaystyle \int _{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}f\!\left[M(s)\right]ds\;$» intégrale curviligne de la fonction scalaire de l'espace $\;f(M)\;$, usuellement appelée « densité linéique de » $\ldots \;$,
* «$\;\displaystyle \int _{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}{\vec {A}}(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dM}}\;$» intégrale curviligne construite à partir de la circulation élémentaire de la fonction vectorielle de l'espace $\;{\vec {A}}(M)$, l'intégrale curviligne ainsi définie correspondant à la « circulation du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ le long de $\;(\Gamma )\;$ de $\;M_{1}\;$ à $\;M_{2}\;$», laquelle est notée «$\;{\mathcal {C}}_{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]\;$».

### Méthode de calcul d'une intégrale curviligne sur une portion de courbe continue

Une intégrale curviligne devient une « intégrale sur un segment » après choix d'un paramétrage de $\;M\;$ sur la courbe $\;(\Gamma )$ ; Une intégrale curviligne devient une « intégrale sur un segment » après choix d'un ce dernier peut être « linéique » par abscisse curviligne $\;s\;$ ou encore Une intégrale curviligne devient une « intégrale sur un segment » après choix d'un ce dernier peut être « temporel » si on connaît le mouvement du point $\;M\;$ sur $\;(\Gamma )$, le paramètre étant alors $\;t$ ;
dans le cas d'un paramétrage par abscisse curviligne, $\;s_{1}\;$ et $\;s_{2}\;$ étant respectivement les abscisses curvilignes de $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ sur $\;(\Gamma )$ : dans le cas d'un paramétrage par abscisse curviligne, $\bullet \;$pour le 1er type d'intégrale curviligne, on obtient «$\;\displaystyle \int _{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}f\!\left[M(s)\right]ds=\displaystyle \int _{s_{1}}^{s_{2}}f\!\left[M(s)\right]ds\;$» et dans le cas d'un paramétrage par abscisse curviligne, $\bullet \;$pour le 2ème type d'intégrale curviligne «$\;\displaystyle \int _{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}{\vec {A}}(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dM}}=\displaystyle \int _{s_{1}}^{s_{2}}\left\lbrace {\vec {A}}\!\left[M(s)\right]\!\cdot \!{\vec {\tau }}(s)\right\rbrace ds\;$».

### Exemples de longueur de courbe ou d'arc de courbe

Préliminaire : Un calcul de longueur de courbe ou d'arc de courbe est une intégrale curviligne de la fonction scalaire $\;f(M)=1\;$ sur la courbe ou la portion de courbe dont on cherche la longueur ; Préliminaire : le résultat ainsi que son établissement doit être connu sans hésitation en ce qui concerne un cercle ou un arc de cercle.
$\rightsquigarrow$
Longueur d'un arc de cercle de rayon $\;R\;$ vue de son centre $\;C\;$ sous l'angle $\;\alpha \;rad\;$ : «$\;{\mathcal {L}}_{\text{arc de cercle}}(\alpha )=R\,\alpha \;$». Longueur d'un cercle de rayon $\;R\;$ : «$\;{\mathcal {L}}_{\text{cercle}}=2\,\pi \,R\;$».
Établissement de la longueur d'un arc de cercle$\;({\mathcal {C}})\;$de rayon$\;R\;$vue de son centre$\;C\;$sous l'angle$\;\alpha \;rad$ : on utilise le repérage polaire de pôle $\;C$, «$\;\theta \;$ variant de $\;0\;$ à $\;\alpha \;$» et Établissement de la longueur d'un arc de cercle$\;\color {transparent}{({\mathcal {C}})}\;$de rayon$\;\color {transparent}{R}\;$vue de son centre$\;\color {transparent}{C}\;$sous l'angle$\;\color {transparent}{\alpha \;rad}$ : on utilise le repérage polaire de pôle $\;\color {transparent}{C}$, «$\;\rho \;$ restant égal à $\;R\;$» d'où Établissement de la longueur d'un arc de cercle$\;\color {transparent}{({\mathcal {C}})}\;$de rayon$\;\color {transparent}{R}\;$vue de son centre$\;\color {transparent}{C}\;$sous l'angle$\;\color {transparent}{\alpha \;rad}$ : la longueur élémentaire $\;ds\;$ d'arc associé à la variation élémentaire $\;d\theta \;$ d'angle au centre Établissement de la longueur d'un arc de cercle$\;\color {transparent}{({\mathcal {C}})}\;$de rayon$\;\color {transparent}{R}\;$vue de son centre$\;\color {transparent}{C}\;$sous l'angle$\;\color {transparent}{\alpha \;rad}$ : la longueur élémentaire $\;\color {transparent}{ds}\;$ d'arc s'évalue par «$\;ds=R\;d\theta \;$» et par suite Établissement de la longueur d'un arc de cercle$\;\color {transparent}{({\mathcal {C}})}\;$de rayon$\;\color {transparent}{R}\;$vue de son centre$\;\color {transparent}{C}\;$sous l'angle$\;\color {transparent}{\alpha \;rad}$ : la longueur de l'arc de cercle $\;{\overset {\frown }{AB}}\;$ se calcule par «$\;\displaystyle \int _{A\,{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}\,B}ds=\displaystyle \int _{0}^{\alpha }R\;d\theta =R\;\alpha \;$».
Établissement de la longueur d'un cercle$\;({\mathcal {C}})\;$de rayon$\;R$ : on utilise le même repérage polaire de pôle $\;C$ $\;{\big$le centre du cercle${\big )}$, «$\;\theta \;$ variant de $\;0\;$ à $\;2\,\pi \;$» et Établissement de la longueur d'un cercle$\;\color {transparent}{({\mathcal {C}})}\;$de rayon$\;\color {transparent}{R}$ : on utilise le même repérage polaire de pôle $\;\color {transparent}{C}$ $\;\color {transparent}{\big$le centre du cercle$\color {transparent}{\big )}$, «$\;\rho \;$ restant égal à $\;R\;$» d'où Établissement de la longueur d'un cercle$\;\color {transparent}{({\mathcal {C}})}\;$de rayon$\;\color {transparent}{R}$ : la longueur élémentaire $\;ds\;$ d'arc associé à la variation élémentaire $\;d\theta \;$ d'angle au centre s'évalue par «$\;ds=R\;d\theta \;$» et par suite Établissement de la longueur d'un cercle$\;\color {transparent}{({\mathcal {C}})}\;$de rayon$\;\color {transparent}{R}$ : la longueur du cercle se calcule par «$\;\displaystyle \oint _{({\mathcal {C}})}ds=\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }R\;d\theta =2\;\pi \;R\;$».
Autres exemples : $\blacktriangleright \;$Longueur d'un arc de la parabole$\;({\mathcal {P}})\;$d'équation cartésienne$\;y=a\;x^{2}\;$${\big$avec$\;a>0{\big )}\;$entre son sommet$\;O\;$et un point$\;M_{0}\;$d'abscisse$\;x_{0}>0\;$quelconque : Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'un arc de la parabole$\;\color {transparent}{({\mathcal {P}})}\;$le vecteur déplacement élémentaire en $\;M\;$ quelconque le long de $\;({\mathcal {P}})\;$ étant «$\;{\overrightarrow {dM}}=\left[{\vec {u}}_{x}+2\,a\,x\,{\vec {u}}_{y}\right]dx\;$», Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'un arc de la parabole$\;\color {transparent}{({\mathcal {P}})}\;$la longueur élémentaire en ce même point $\;M\;$ se calcule par «$\;\vert ds\vert ={\Big \Vert }{\overrightarrow {dM}}{\Big \Vert }={\sqrt {1+4\;a^{2}\;x^{2}}}\;\vert dx\vert \;$» ou, Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'un arc de la parabole$\;\color {transparent}{({\mathcal {P}})}\;$en orientant $\;({\mathcal {P}})\;$ dans le sens $\;\nearrow \;$ des $\;x$, par «$\;ds={\sqrt {1+4\;a^{2}\;x^{2}}}\;dx\;$» d'où Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'un arc de la parabole$\;\color {transparent}{({\mathcal {P}})}\;$la longueur de l'arc de parabole $\;{\overset {\frown }{OM_{0}}}_{({\mathcal {P}})}\;$ égale à «$\;\displaystyle \int _{O\,{\overset {({\mathcal {P}})}{\rightarrow }}\,M_{0}}ds=\displaystyle \int _{0}^{x_{0}}{\sqrt {1+4\;a^{2}\;x^{2}}}\;dx\;$» s'évalue en faisant Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'un arc de la parabole$\;\color {transparent}{({\mathcal {P}})}\;$un 1er changement de variable $\;u=2\;a\;x\;$ $\Rightarrow$ $\;dx={\dfrac {du}{2\;a}}\;$ soit «$\;{\overset {\frown }{OM_{0}}}_{({\mathcal {P}})}={\dfrac {1}{2\;a}}\;\displaystyle \int _{0}^{u_{0}}{\sqrt {1+u^{2}}}\;du\;$» avec «$\;u_{0}=2\;a\;x_{0}\;$» puis Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'un arc de la parabole$\;\color {transparent}{({\mathcal {P}})}\;$un 2nd changement de variable $\;u=\sinh(\xi )\;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c c l}{\sqrt {1+u^{2}}}\!\!&=&\!\!{\sqrt {1+\sinh ^{2}(\xi )}}\!\!&=&\!\!\cosh(\xi )\\du\!\!&=&\!\!\cosh(\xi )\;d\xi \end{array}}\right\rbrace \;$ dont nous déduisons Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'un arc de la parabole$\;\color {transparent}{({\mathcal {P}})}\;$«$\;{\overset {\frown }{OM_{0}}}_{({\mathcal {P}})}={\dfrac {1}{2\;a}}\;\displaystyle \int _{0}^{\xi _{0}}\cosh ^{2}(\xi )\;d\xi \;$» avec $\;\xi _{0}=\mathrm {argsinh} (u_{0})\;$ et, avec la relation de duplication «$\;\cosh ^{2}(\xi )={\dfrac {1+\cosh(2\;\xi )}{2}}\;$», Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'un arc de la parabole$\;\color {transparent}{({\mathcal {P}})}\;$«$\;{\overset {\frown }{OM_{0}}}_{({\mathcal {P}})}={\dfrac {1}{4\;a}}\;\displaystyle \int _{0}^{\xi _{0}}d\xi +{\dfrac {1}{8\;a}}\;\displaystyle \int _{0}^{\xi _{0}}\cosh(2\;\xi )\;d(2\;\xi )\;$» ce qui s'intègre en «$\;{\overset {\frown }{OM_{0}}}_{({\mathcal {P}})}={\dfrac {\xi _{0}}{4\;a}}+{\dfrac {\sinh(2\;\xi _{0})-0}{8\;a}}\;$» ou encore, Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'un arc de la parabole$\;\color {transparent}{({\mathcal {P}})}\;$avec «$\;\sinh(2\;\xi _{0})=2\;\sinh(\xi _{0})\;\cos(\xi _{0})\;$», «$\;{\overset {\frown }{OM_{0}}}_{({\mathcal {P}})}={\dfrac {\xi _{0}+\sinh(\xi _{0})\;\cos(\xi _{0})}{4\;a}}\;$» soit enfin, Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'un arc de la parabole$\;\color {transparent}{({\mathcal {P}})}\;$avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c c c}\xi _{0}\!\!&=&\!\!\mathrm {argsinh} (u_{0})\!\!&=&\!\!\mathrm {argsinh} (2\;a\;x_{0})\\\sinh(\xi _{0})\!\!&=&\!\!u_{0}\!\!&=&\!\!2\;a\;x_{0}\\\cosh(\xi _{0})\!\!&=&\!\!{\sqrt {1+\sinh ^{2}(\xi _{0})}}\!\!&=&\!\!{\sqrt {1+4\;a^{2}\;x_{0}^{2}}}\end{array}}\right\rbrace \;$, «$\;{\overset {\frown }{OM_{0}}}_{({\mathcal {P}})}={\dfrac {\mathrm {argsinh} (2\;a\;x_{0})+2\;a\;x_{0}\;{\sqrt {1+4\;a^{2}\;x_{0}^{2}}}}{4\;a}}\;$» ou Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'un arc de la parabole$\;\color {transparent}{({\mathcal {P}})}\;$en remplaçant la fonction argument sinus hyperbolique par sa forme logarithmique «$\;\mathrm {argsinh} (2\;a\;x_{0})=\ln \!\left[2\;a\;x_{0}+{\sqrt {1+4\;a^{2}\;x_{0}^{2}}}\right]\;$» Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'un arc de la parabole$\;\color {transparent}{({\mathcal {P}})}\;$«$\;{\overset {\frown }{OM_{0}}}_{({\mathcal {P}})}={\dfrac {\ln \!\left[2\;a\;x_{0}+{\sqrt {1+4\;a^{2}\;x_{0}^{2}}}\right]+2\;a\;x_{0}\;{\sqrt {1+4\;a^{2}\;x_{0}^{2}}}}{4\;a}}\;$».
Autres exemples : $\blacktriangleright \;$Longueur d'un arc de la spirale logarithmique$\;({\mathcal {S}}p)\;$d'équation polaire$\;\rho =\rho _{0}\;\exp \!\left(k\;\theta \right)\;$${\big$avec$\;k>0\;$${\big )}\;$entre$\;A\,\left(\theta _{A}=0\right)\;$et$\;M_{0}\;$d'abscisse angulaire$\;\theta _{0}>0\;$quelconque : Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'un arc de la spirale logarithmique$\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}p)}\;$le vecteur déplacement élémentaire en $\;M\;$ quelconque le long de $\;({\mathcal {S}}p)\;$ s'évaluant selon «$\;{\overrightarrow {dM}}=d\rho \,{\vec {u}}_{\rho }+\rho \,d\theta \,{\vec {u}}_{\theta }\;$» soit, Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'un arc de la spirale logarithmique$\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}p)}\;$après différenciation et factorisation «$\;{\overrightarrow {dM}}=\rho _{0}\;\exp \!\left(k\;\theta \right)\,\left[k\;{\vec {u}}_{\rho }+{\vec {u}}_{\theta }\right]\,d\theta \;$», nous en déduisons Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'un arc de la spirale logarithmique$\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}p)}\;$la longueur élémentaire en ce même point $\;M\;$ «$\;\vert ds\vert ={\Big \Vert }{\overrightarrow {dM}}{\Big \Vert }=\rho _{0}\;\exp \!\left(k\;\theta \right)\,{\sqrt {k^{2}+1}}\;\vert d\theta \vert \;$» ou, Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'un arc de la spirale logarithmique$\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}p)}\;$en orientant $\;({\mathcal {S}}p)\;$ dans le sens $\;\nearrow \;$ des $\;\theta$, «$\;ds={\sqrt {1+k^{2}}}\;\rho _{0}\;\exp \!\left(k\;\theta \right)\,d\theta \;$» d'où Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'un arc de la spirale logarithmique$\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}p)}\;$la longueur de l'arc de spirale logarithmique $\;{\overset {\frown }{AM_{0}}}_{({\mathcal {S}}p)}\;$ égale à «$\;\displaystyle \int _{A\,{\overset {({\mathcal {S}}p)}{\rightarrow }}\,M_{0}}ds=\displaystyle \int _{0}^{\theta _{0}}{\sqrt {1+k^{2}}}\;\rho _{0}\;\exp \!\left(k\;\theta \right)\,d\theta \;$» valant Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'un arc de la spirale logarithmique$\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}p)}\;$«$\;{\overset {\frown }{AM_{0}}}_{({\mathcal {S}}p)}={\dfrac {{\sqrt {1+k^{2}}}\;\rho _{0}}{k}}\;\displaystyle \int _{0}^{\theta _{0}}\exp \!\left(k\;\theta \right)\,d\left(k\;\theta \right)={\dfrac {{\sqrt {1+k^{2}}}\;\rho _{0}}{k}}\;\left[\exp \!\left(k\;\theta \right)\right]_{0}^{\theta _{0}}\;$» soit finalement Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'un arc de la spirale logarithmique$\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}p)}\;$«$\;{\overset {\frown }{AM_{0}}}_{({\mathcal {S}}p)}=\rho _{0}\;{\dfrac {\sqrt {1+k^{2}}}{k}}\;\left[\exp \!\left(k\;\theta _{0}\right)-1\right]\;$» ; Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$la longueur d'un arc de spirale logarithmique $\;({\mathcal {S}}p)\;$ d'équation polaire $\;\rho =\rho _{0}\;\exp \!\left(k\;\theta \right)\;$ ${\big$avec$\;k>0\;$${\big )}\;$ entre $\;A\,\left(\theta _{A}=0\right)\;$ et $\;M_{0}\;$ d'abscisse angulaire $\;\theta _{0}<0\;$ quelconque Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'un arc de la spirale logarithmique$\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}p)}\;$s'évalue de la même façon mais en tenant compte du fait que $\;d\theta \;$ est $\;<0\;$ ce qui entraîne les modifications suivantes : Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'un arc de la spirale logarithmique$\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}p)}\;$«$\;\vert ds\vert =\rho _{0}\;\exp \!\left(k\;\theta \right)\,{\sqrt {k^{2}+1}}\;\vert d\theta \vert =-\rho _{0}\;\exp \!\left(k\;\theta \right)\,{\sqrt {k^{2}+1}}\;d\theta \;$» et par suite Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'un arc de la spirale logarithmique$\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}p)}\;$«$\;{\overset {\frown }{AM_{0}}}_{({\mathcal {S}}p)}=\displaystyle \int _{A\,{\overset {({\mathcal {S}}p)}{\rightarrow }}\,M_{0}}\vert ds\vert =\displaystyle \int _{0}^{\theta _{0}}-{\sqrt {1+k^{2}}}\;\rho _{0}\;\exp \!\left(k\;\theta \right)\,d\theta =-{\dfrac {{\sqrt {1+k^{2}}}\;\rho _{0}}{k}}\;\left[\exp \!\left(k\;\theta \right)\right]_{0}^{\theta _{0}}\;$» soit finalement Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'un arc de la spirale logarithmique$\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}p)}\;$«$\;{\overset {\frown }{AM_{0}}}_{({\mathcal {S}}p)}=\rho _{0}\;{\dfrac {\sqrt {1+k^{2}}}{k}}\;\left[1-\exp \!\left(k\;\theta _{0}\right)\right]\;\rightarrow \;\rho _{0}\;{\dfrac {\sqrt {1+k^{2}}}{k}}\;$ quand $\;\theta _{0}\rightarrow -\infty \;$».
Autres exemples : $\blacktriangleright \;$Longueur d'une ellipse$\;({\mathcal {E}})\;$d'équations cartésiennes paramétriques de centre$\;O$, d'axe focal$\;x'x$, de demi-grand axe$\;a\;$et de demi-petit-axe$\;b\;$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x=a\;\cos(\theta )\\y=b\;\sin(\theta )\end{array}}\right\rbrace \;$» : Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'une ellipse$\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$le vecteur déplacement élémentaire en $\;M\;$ quelconque le long de $\;({\mathcal {E}})\;$ s'évaluant selon «$\;{\overrightarrow {dM}}=dx\,{\vec {u}}_{x}+dy\,{\vec {u}}_{y}\;$» soit, Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'une ellipse$\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$après différenciation et factorisation «$\;{\overrightarrow {dM}}=\left[-a\;\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{x}+b\;\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{y}\right]\,d\theta \;$», nous en déduisons Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'une ellipse$\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$la longueur élémentaire en ce même point $\;M\;$ «$\;\vert ds\vert ={\Big \Vert }{\overrightarrow {dM}}{\Big \Vert }={\sqrt {a^{2}\;\sin ^{2}(\theta )+b^{2}\;\cos ^{2}(\theta )}}\;\vert d\theta \vert \;$» ou, Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'une ellipse$\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$en orientant $\;({\mathcal {E}})\;$ dans le sens $\;\nearrow \;$ des $\;\theta$, «$\;ds={\sqrt {a^{2}\;\sin ^{2}(\theta )+b^{2}\;\cos ^{2}(\theta )}}\;d\theta \;$» soit, en faisant apparaître l'excentricité $\;e={\dfrac {c}{a}}\;$ avec Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'une ellipse$\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$en orientant $\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$ dans le sens $\;\color {transparent}{\nearrow }\;$ des $\;\color {transparent}{\theta }$, «$\;\color {transparent}{ds={\sqrt {a^{2}\;\sin ^{2}(\theta )+b^{2}\;\cos ^{2}(\theta )}}\;d\theta }\;$» soit, $\;c\;$ la distance séparant le centre $\;O\;$ de $\;({\mathcal {E}})\;$ Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'une ellipse$\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$en orientant $\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$ dans le sens $\;\color {transparent}{\nearrow }\;$ des $\;\color {transparent}{\theta }$, «$\;\color {transparent}{ds={\sqrt {a^{2}\;\sin ^{2}(\theta )+b^{2}\;\cos ^{2}(\theta )}}\;d\theta }\;$» soit, $\;\color {transparent}{c}\;$ la distance séparant de l'un ou l'autre de ses foyers et Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'une ellipse$\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$en orientant $\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$ dans le sens $\;\color {transparent}{\nearrow }\;$ des $\;\color {transparent}{\theta }$, «$\;\color {transparent}{ds={\sqrt {a^{2}\;\sin ^{2}(\theta )+b^{2}\;\cos ^{2}(\theta )}}\;d\theta }\;$» soit, en éliminant $\;b\;$ au profit de $\;\left(a\,,\,e\right)$ par $\;a^{2}=b^{2}+c^{2}\;$ Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'une ellipse$\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$en orientant $\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$ dans le sens $\;\color {transparent}{\nearrow }\;$ des $\;\color {transparent}{\theta }$, «$\;\color {transparent}{ds={\sqrt {a^{2}\;\sin ^{2}(\theta )+b^{2}\;\cos ^{2}(\theta )}}\;d\theta }\;$» soit, $\Rightarrow$ $\;b^{2}=a^{2}-c^{2}\;$ ou, avec $\;c=a\;e$, «$\;b^{2}=a^{2}\left(1-e^{2}\right)\;$» Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'une ellipse$\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$et, en reportant l'expression de $\;b^{2}\;$ dans celle de $\;ds$, «$\;ds={\sqrt {a^{2}\;\sin ^{2}(\theta )+a^{2}\,\left(1-e^{2}\right)\,\cos ^{2}(\theta )}}\;d\theta =a\;{\sqrt {1-\cos ^{2}(\theta )+\left(1-e^{2}\right)\,\cos ^{2}(\theta )}}\;d\theta \;$» Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'une ellipse$\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$soit finalement «$\;ds=a\;{\sqrt {1-e^{2}\;\cos ^{2}(\theta )}}\;d\theta \;$» d'où la longueur de l'ellipse $\;{\mathcal {L}}_{({\mathcal {E}})}\;$ se calculant par «$\;\displaystyle \oint _{({\mathcal {E}})}ds\;$ $=\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }a\;{\sqrt {1-e^{2}\;\cos ^{2}(\theta )}}\;d\theta =$
Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'une ellipse$\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$$4\;a\;\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-e^{2}\;\cos ^{2}(\theta )}}\;d\theta \;$»$^,$ ; la longueur de l'ellipse $\;{\mathcal {L}}_{({\mathcal {E}})}\;$ se réécrit, Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'une ellipse$\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$en faisant le changement de variable «$\;u^{2}=\cos ^{2}(\theta )\;$ avec $\;u\geqslant 0\;$» $\Rightarrow$ $\;2\;u\;du=$ Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'une ellipse$\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$$-2\;\cos(\theta )\;\sin(\theta )\;d\theta \;$ $\Rightarrow$ «$\;d\theta =-{\dfrac {u\;du}{\cos(\theta )\;\sin(\theta )}}\;$» ou, comme $\;\theta \in \left[0\,,\,{\dfrac {\pi }{2}}\right]$, Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'une ellipse$\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$$\cos(\theta )=u\;$ permet la simplification suivante «$\;d\theta =-{\dfrac {du}{\sin(\theta )}}\;$» et enfin, avec Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'une ellipse$\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$$\sin(\theta )\geqslant 0\;$ $\Rightarrow$ $\;\sin(\theta )={\sqrt {1-\cos ^{2}(\theta )}}={\sqrt {1-u^{2}}}$, «$\;d\theta =-{\dfrac {du}{\sqrt {1-u^{2}}}}\;$» Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'une ellipse$\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$d'où la longueur de l'ellipse se réécrit «$\;{\mathcal {L}}_{({\mathcal {E}})}=-4\;a\;\displaystyle \int _{1}^{0}{\sqrt {1-e^{2}\;u^{2}}}\;{\dfrac {du}{\sqrt {1-u^{2}}}}$ Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'une ellipse$\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$$=4\;a\;\displaystyle \int _{0}^{1}{\dfrac {\sqrt {1-e^{2}\;u^{2}}}{\sqrt {1-u^{2}}}}\;du\;$» $\;{\Bigg$la recherche de la longueur de l'ellipse a Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'une ellipse$\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$conduit à l'élaboration d'un nouveau type de fonction définie sous forme intégrale Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'une ellipse$\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$l'« intégrale elliptique incomplète de 2ème espèce notée $\;E(x\,;\,k)\;$ et définie par Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'une ellipse$\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$l'«$\;E(x\,;\,k)=\displaystyle \int _{0}^{x}{\dfrac {\sqrt {1-k^{2}\;t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\;dt\;$»${\bigg ]}\;$ d'où «$\;{\mathcal {L}}_{({\mathcal {E}})}=4\;a\;\displaystyle \int _{0}^{1}{\dfrac {\sqrt {1-e^{2}\;u^{2}}}{\sqrt {1-u^{2}}}}\;du$ Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'une ellipse$\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$l'«$\;\color {transparent}{E(x\,;\,k)=\displaystyle \int _{0}^{x}{\dfrac {\sqrt {1-k^{2}\;t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\;dt}\;$»$\color {transparent}{\bigg ]}\;$ d'où «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}_{({\mathcal {E}})}}$ $=4\;a\;E(1\,;\,e)\;$» ; Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'une ellipse$\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$voir diagramme ci-contre donnant la longueur d'une ellipse de demi-grand axe $\;a\;$ Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'une ellipse$\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$voir diagramme ci-contre donnant la longueur en fonction de son excentricité $\;e$ : Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'une ellipse$\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$on retrouve la longueur du cercle pour $\;e=0$, «$\;E(1\,;\,0)\;$ valant $\;{\dfrac {\pi }{2}}\;$» et au fur et à mesure que $\;e\;$ $\nearrow$, «$\;E(1\,;\,e)\;\searrow \;$ c.-à-d. que $\;{\mathcal {L}}_{({\mathcal {E}})}\searrow$, Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'une ellipse$\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$par exemple pour $\;e=0,5\;$ «$\;E(1\,;\,e)\simeq 1,4675\;$ $\;{\big$le demi-petit axe vaut alors $\;b\simeq 0,8660\;a{\big )}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\mathcal {L}}_{({\mathcal {E}})}(e=0,5)\simeq 0,9342\times \left(2\;\pi \;a\right)\;$» ou Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'une ellipse$\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$par exemple pour $\;e=0,8\;$ «$\;E(1\,;\,e)\simeq 1,2763\;$ $\;{\big$le demi-petit axe vaut alors $\;b\simeq 0,6000\;a{\big )}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\mathcal {L}}_{({\mathcal {E}})}(e=0,8)\simeq 0,8125\times \left(2\;\pi \;a\right)\;$» $\ldots$