# Topologie générale/Exercices/Équicontinuité
## Exercice 1

Soient K un espace compact, E un espace métrique et A un ensemble équicontinu de fonctions de K dans E.
Montrer que sur A, la topologie de la convergence simple et celle de la convergence uniforme coïncident.
Soit f un élément de A. Pour toute partie I de K, notons
    $B_{I}(f,\epsilon )=\{g\in A\ |\ \forall x\in I,d(f(x),g(x))\leq \epsilon \}$.
Une base de voisinages de f dans A pour la topologie de la convergence uniforme (resp. simple) est donnée par les $B_{K}(f,\epsilon )$ pour tout réel $\epsilon >0$ (resp. les $B_{I}(f,\epsilon )$ pour tout réel $\epsilon >0$ et toute partie finie I de K). On a évidemment $B_{I}(f,\epsilon )\supset B_{K}(f,\epsilon )$. Montrons que réciproquement, pour tout réel $\epsilon >0$, il existe une partie finie I de K telle que $B_{K}(f,3\epsilon )\supset B_{I}(f,\epsilon )$.
Par équicontinuité de A, tout point x de K appartient à un ouvert $O_{x}$ tel que pour tout g de A (en particulier pour g = f)
    $\forall y\in O_{x},d(g(x),g(y))\leq \epsilon$.
Par compacité, K est recouvert par un nombre fini de ces ouverts $O_{x}$ : $K=\cup _{x\in I}O_{x}$ pour une certaine partie finie I de K.
Pour tout $y\in K$, soit $x\in I$ tel que $y\in O_{x}$. Pour tout $g\in B_{I}(f,\epsilon )$ on a $d(f(x),g(x))\leq \epsilon$, d'où
    $d(f(y),g(y))\leq d(f(y),f(x))+d(f(x),g(x))+d(g(x),g(y))\leq 3\epsilon$,
d'où l'inclusion voulue.

## Exercice 2

Les deux ensembles suivants sont-ils équicontinus ?
* $A=\{f_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;x\mapsto x+n\mid n\geq 1\}$ ;
* $B=\{g_{n}:\left[0,+\infty \right[\to \mathbb {R} ,\;t\mapsto \sin {\sqrt {t+4n^{2}\pi ^{2}}}\mid n\geq 1\}$.
* $A$ est (uniformément) équicontinu sur $\mathbb {R}$ car les translations sont des isométries donc sont $1$-lipschitziennes.
* $B$ est (uniformément) équicontinu sur $\left[0,+\infty \right[$ car les $g_{n}$ sont ${\frac {1}{4\pi }}$-lipschitziennes, d'après le théorème des acroissements finis.
* Soit $(f_{n})_{n}$ la suite de fonctions de $[0,1]$ dans $\mathbb {R}$ définie par $f_{n}(x)=x^{n}$. En quels points l'ensemble $A:=\{f_{n}\mid n\in \mathbb {N} \}$ est-il équicontinu ?
* Même question pour l'ensemble $B$ des fonctions $g_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ définies par $g_{n}(x)=\arctan(nx)$.
* Les $f_{n}$ sont continues mais leur limite simple est discontinue au point 1 donc en ce point, $A$ n'est pas équicontinu.
    En revanche, $A$ est équicontinu sur $\left[0,1\right[$, et même uniformément équicontinu sur $[0,1-\varepsilon ]$ pour tout $\varepsilon \in \left]0,1\right[$. En effet, d'après le théorème des acroissements finis,
    $\forall x,y\in [0,1-\varepsilon ]\quad |x^{n}-y^{n}|\leq n(1-\varepsilon )^{n-1}|x-y|$
    or quand $n\to \infty$, $n(1-\varepsilon )^{n-1}\to 0$ donc borné.
* Les $g_{n}$ sont continues mais leur limite simple est discontinue au point 0 donc en ce point, $B$ n'est pas équicontinu.
    En revanche, $B$ est équicontinu sur $\mathbb {R} ^{*}$, et même uniformément équicontinu sur $\left]-\infty ,-\varepsilon \right]\cup \left[\varepsilon ,+\infty \right[$ pour tout $\varepsilon >0$, par le même raisonnement que ci-dessus. En effet,
    $\left(\arctan(nx)\right)'={\frac {n}{1+(nx)^{2}}}\leq {\frac {n}{1+(n\varepsilon )^{2}}}\to 0$ quand $n\to \infty$.

## Exercice 3

Soient $E,F$ deux espaces métriques, et $(f_{n})_{n}$ une suite de fonctions de $E$ dans $F$, équicontinue en $a$. On suppose que $f_{n}(a)\to b$.
* Montrer que si $x_{n}\to a$ alors $f_{n}(x_{n})\to b$.
* Ce résultat est-il encore vrai si l'on ne suppose plus l'équicontinuité ? On pourra considérer la suite $f_{n}(x)=(1+x)^{n}$ et $x_{n}={\frac {1}{n}}$.
* Soit $\varepsilon >0$. Il existe :
** $\eta >0$ tel que $d(x,y)<\eta \Rightarrow \forall n\in \mathbb {N} \quad d(f_{n}x,f_{n}y)\leq \varepsilon$ ;
** $N\in \mathbb {N}$ tel que $\forall n\geq N\quad d(f_{n}a,b)\leq \varepsilon$.
    Alors, $d(a,x)<\eta \Rightarrow \forall n\in \mathbb {N} \quad d(f_{n}a,f_{n}x)\leq \varepsilon \Rightarrow \forall n\geq N\quad d(b,f_{n}x)\leq 2\varepsilon$, d'où la propriété annoncée.
* Non : dans l'exemple proposé on a $x_{n}\to 0$, $f_{n}(0)=1$, mais $f_{n}(x_{n})\to \mathrm {e} \neq 1$.

## Exercice 4

Soit $\operatorname {Hold} ^{\alpha }(I)$ l'espace de Banach des fonctions höldériennes d'exposant $\alpha \in \left]0,1\right]$ de $I=[0,1]$ dans $\mathbb {R}$, muni de la norme
    $\|f\|_{\alpha }=|f(0)|+\sup _{x\neq y}{\frac {|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}$.
On note ${\overline {B}}_{\alpha }$ la boule unité fermée de $\operatorname {Hold} ^{\alpha }(I)$, et l'on rappelle que pour tout $f\in \operatorname {Hold} ^{\alpha }(I)$, $\|f\|_{\infty }\leq \|f\|_{\alpha }$.
* Montrer que pour tout $x\in I$, ${\overline {B}}_{\alpha }(x)$ est relativement compact dans $\mathbb {R}$.
* Montrer que ${\overline {B}}_{\alpha }$ est équicontinue.
* Dans $(C(I,\mathbb {R} ),\|\cdot \|_{\infty })$, montrer que ${\overline {B}}_{\alpha }$ est fermée et en déduire qu'elle est compacte.
* ${\overline {B}}_{\alpha }(x)$ est borné d'après le rappel, donc relativement compact dans $\mathbb {R}$.
* Si $|x-y|<\eta$ alors pour toute $f\in \operatorname {Hold} ^{\alpha }(I)$ telle que $\|f\|_{\alpha }\leq 1$, $|fx-fy|\leq (1-|f(0)|)\eta ^{\alpha }\leq \eta ^{\alpha }$.
* Toute limite uniforme (ou même limite simple) de fonctions de ${\overline {B}}_{\alpha }$ est encore dans ${\overline {B}}_{\alpha }$ donc cette boule est fermée dans $(C(I,\mathbb {R} ),\|\cdot \|_{\infty })$. Par ailleurs, d'après le théorème d'Ascoli (et les questions 1 et 2), elle est relativement compacte. Elle est donc compacte.

## Exercice 5

Soit $k\in C([0,1]\times [0,1])$ et $K:C([0,1])\to C([0,1])$ définie par
    $Kf(x)=\int _{0}^{1}k(x,t)f(t)\,\mathrm {d} t$.
Soit $(f_{n})_{n}$ une suite bornée de $C([0,1])$.
* Montrer que $k$ est uniformément continue.
* Montrer que $(Kf_{n})_{n}$ est équicontinue.
* Montrer que $(Kf_{n})_{n}$ admet une sous-suite convergente.
* $k$ est continue sur le compact $[0,1]\times [0,1]$ + théorème de Heine.
* D'après la question précédente, $\forall \varepsilon >0\quad \exists \eta >0\quad \forall x,y,s,t\quad |x-y|,|s-t|<\eta \Rightarrow |k(x,t)-k(y,s)|<\varepsilon$, en particulier $\forall x,y,t\quad |x-y|<\eta \Rightarrow |k(x,t)-k(y,t)|<\varepsilon$ donc $\forall x,y\quad |x-y|<\eta \Rightarrow |Kf_{n}(x)-Kf_{n}(y)|\leq \varepsilon M$ pour $M\geq \sup _{n}\|f_{n}\|_{\infty }$.
* Pour tout $x\in [0,1]$, $\{Kf_{n}(x)\mid n\in \mathbb {N} \}$ relativement compact dans $\mathbb {R}$ car borné (par $M\|k\|_{\infty }$) donc d'après le théorème d'Ascoli (et la question précédente), ${\overline {\{Kf_{n}\mid n\in \mathbb {N} \}}}$ est compact.

## Exercice 6

On considère l'espace de Banach $\mathrm {L} ^{1}(\mathbb {R} )$, muni de sa norme habituelle $\|f\|_{1}=\int _{\mathbb {R} }|f|$. Pour tout $f\in \mathrm {L} ^{1}(\mathbb {R} )$, on pose, pour $r>0$, $h\in \mathbb {R}$ et $x\in \mathbb {R}$ :
* $f_{r}(x)={\frac {1}{2r}}\int _{x-r}^{x+r}f(t)\,\mathrm {d} t$ ;
* $\tau _{h}(f)(x)=f(x+h)$.
Soit ${\mathcal {A}}\subset \mathrm {L} ^{1}(\mathbb {R} )$ un sous-ensemble fermé tel que :
    (i) ${\mathcal {A}}$ est borné ;
    (ii) $\sup _{u\in {\mathcal {A}}}\|\tau _{h}(u)-u\|_{1}\to 0$ quand $h\to 0$ ;
    (iii) $\sup _{u\in {\mathcal {A}}}\int _{|x|>R}|u(t)|\,\mathrm {d} t\to 0$ quand $R\to \infty$.
On cherche à montrer que ${\mathcal {A}}$ est compact dans $\mathrm {L} ^{1}(\mathbb {R} )$ car complet et précompact.
* Montrer que pour tout $r>0$, $f_{r}$ est continue et intégrable.
* Montrer que $\sup _{f\in {\mathcal {A}}}\|f_{r}-f\|_{1}\to 0$ quand $r\to 0$.
* Montrer que pour tout $r>0$, l'ensemble ${\mathcal {A}}_{r}:=\{f_{r}\mid f\in {\mathcal {A}}\}$ est équicontinu.
* En déduire que pour tout $R>0$, ${\mathcal {A}}_{r}$ est d'adhérence compacte dans $C([-R,R])$, puis dans $\mathrm {L} ^{1}([-R,R])$.
* Montrer que ${\mathcal {A}}$ est compact dans $\mathrm {L} ^{1}(\mathbb {R} )$.
* $f_{r}$ est continue par convergence dominée. Elle est intégrable car $\iint _{|t-x|<r}|f(t)|\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} x=\iint _{|x-t|<r}|f(t)|\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} t=2r\|f\|_{1}$.
* $f_{r}(x)-f(x)={\frac {1}{2r}}\int _{|h|<r}(\tau _{h}(f)(x)-f(x))\,\mathrm {d} h$ donc $\|f_{r}-f\|_{1}\leq {\frac {1}{2r}}\iint _{|h|<r}|\tau _{h}(f)(x)-f(x)|\,\mathrm {d} h\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2r}}\iint _{|h|<r}|\tau _{h}(f)(x)-f(x)|\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} h={\frac {1}{2r}}\int _{|h|<r}\|\tau _{h}(f)-f\|_{1}\,\mathrm {d} h\leq \sup _{|h|<r}\|\tau _{h}(f)-f\|_{1}$, si bien que quand $r\to 0$, $\sup _{f\in {\mathcal {A}}}\|f_{r}-f\|_{1}=\sup _{|h|<r}\sup _{f\in {\mathcal {A}}}\|\tau _{h}(f)-f\|_{1}\to 0$.
* $|f_{r}(x+h)-f_{r}(x)|={\frac {1}{2r}}\left|\int _{|t-x|<r}(\tau _{h}(f)(t)-f(t))\,\mathrm {d} t\right|\leq {\frac {1}{2r}}\|\tau _{h}(f)-f\|_{1}$ donc $\forall x\in \mathbb {R} \quad \sup _{f\in {\mathcal {A}}}|f_{r}(x+h)-f_{r}(x)|\leq {\frac {1}{2r}}\sup _{f\in {\mathcal {A}}}\|\tau _{h}(f)-f\|_{1}\to 0$ quand $h\to 0$.
* ${\mathcal {A}}_{r}$ est équicontinu et ${\mathcal {A}}_{r}(x)$ est borné pour tout $x$ (par ${\frac {1}{2r}}\sup _{f\in {\mathcal {A}}}\|f\|_{1}$) donc par le théorème d'Ascoli, ${\mathcal {A}}_{r}$ est d'adhérence compacte dans $C([-R,R])$. Pour tout $\varepsilon >0$, ${\mathcal {A}}_{r}$ est donc recouvert par un nombre fini de $\varepsilon /(2R)$-boules pour la norme sup sur $[-R,R]$. Elles sont contenues dans les boules pour la norme $\mathrm {L} ^{1}([-R,R])$ de mêmes centres et de rayon $\varepsilon$, qui recouvrent donc également ${\mathcal {A}}_{r}$. Ainsi, ${\mathcal {A}}_{r}$ est précompact dans $\mathrm {L} ^{1}([-R,R])$ qui est complet, donc ${\mathcal {A}}_{r}$ est d'adhérence compacte dans $\mathrm {L} ^{1}([-R,R])$.
* Soit $\varepsilon >0$. D'après 2), il existe $r$ tel que $\sup _{f\in {\mathcal {A}}}\|f_{r}-f\|_{1}\leq \varepsilon$ et a fortiori, $\forall R>0\quad \sup _{f\in {\mathcal {A}}}\|f_{r}\chi _{[-R,R]}-f\chi _{[-R,R]}\|_{1}\leq \varepsilon$. D'après (iii), il existe $R$ tel que $\sup _{f\in {\mathcal {A}}}\|f-f\chi _{[-R,R]}\|_{1}\leq \varepsilon$. Pour tout $f\in {\mathcal {A}}$ on a alors : $\|f-f_{r}\chi _{[-R,R]}\|_{1}\leq 2\varepsilon$. D'après 4), l'ensemble de ces $f_{r}\chi _{[-R,R]}$ est recouvert par un nombre fini de $\varepsilon$-boules dans $\mathrm {L} ^{1}$. Tout élément de ${\mathcal {A}}$ est donc dans l'une des $3\varepsilon$-boules de mêmes centres. Ceci prouve que ${\mathcal {A}}$ est précompact dans $\mathrm {L} ^{1}(\mathbb {R} )$, donc compact puisqu'on l'a supposé fermé et que $\mathrm {L} ^{1}(\mathbb {R} )$ est complet.

## Exercice 7

Soit $V$ un sous-espace fermé de l'espace vectoriel $C([0,1])$ des fonctions continues de $[0,1]$ dans $\mathbb {R}$. Montrer que :
* si toute application $f\in V$ est de classe C$^1$, alors $V$ est de dimension finie ;
* si toute application $f\in V$ est höldérienne, alors $V$ est de dimension finie. (Indication : considérer les $F_{n}:=\{f\in V\mid \forall x,y\in [0,1]\quad |f(x)-f(y)|\leq n|x-y|^{1/n}\|f\|_{\infty }\}$.)
Dans les deux cas, il s'agit, d'après le théorème de Riesz et celui d'Ascoli, de démontrer que la boule unité fermée $B$ de $V$ est équicontinue.
* Par le théorème du graphe fermé et le théorème d'interversion limite-dérivée, l'opérateur de dérivation, de $V$ dans $C([0,1])$ est continu, si bien qu'il existe une constante $C$ telle que $\forall f\in V\quad \|f'\|_{\infty }\leq C\|f\|_{\infty }$. On conclut à l'aide du théorème des accroissements finis.
* $V=\cup _{n\geq 1}F_{n}$ et les $F_{n}$ sont fermés dans $V$. Le théorème de Baire implique donc que pour $n$ assez grand, $F_{n}$ est d'intérieur non vide. Il contient alors une boule fermée ${\overline {B}}(f_{0},\varepsilon )$ de rayon $\varepsilon >0$. Pour toute $f\in B$, en utilisant le fait que $f_{0}+\varepsilon f\in F_{n}$, on en déduit : $|f(x)-f(y)|\leq n|x-y|^{1/n}+|f_{0}(x)-f_{0}(y)|/\varepsilon \leq n(1+1/\varepsilon )|x-y|^{1/n}$, ce qui conclut.

## Lien externe

« Théorème de Stone-Weierstrass – Théorème d'Ascoli », sur exo7
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