# Corps locaux/Introduction, nombres p-adiques

Nous allons ici donner la construction des nombres p-adiques. L’idée générale est fort simple : il s'agit tout simplement de donner un sens à une série du type $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}p^{n}$.
Les nombres p-adiques ont été introduits à la fin du XIXe siècle par Kurt Hensel. Ils ont depuis trouvé une place cruciale au sein de la théorie des nombres. Nous donnons ici une construction algébrique élémentaire des nombres p-adiques.

## Anneau des entiers p-adiques

On se donne un nombre premier $p$.
On appelle entier p-adique toute suite $(x_{n})_{n\geq 0}$ de $\mathbb {Z}$, vérifiant $\forall n\geq 0\quad x_{n+1}\equiv x_{n}{\pmod {p^{n+1}}}$.
Par définition, nous dirons que deux entiers p-adiques $(x_{n})_{n\geq 0}$ et $(y_{n})_{n\geq 0}$ sont égaux si $\forall n\geq 0\quad y_{n}\equiv x_{n}{\pmod {p^{n+1}}}$.
On note $\mathbb {Z} _{p}$ l’ensemble des entiers p-adiques.
Notons qu'en fait dans notre définition nous avons tout simplement quotienté un ensemble de suites par une relation d'équivalence.
Pour une définition plus moderne et plus compacte, mais nullement nécessaire ici, on peut remarquer que la famille d'anneaux $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ munie des projections naturelles $\mathbb {Z} /p^{q}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{r}\mathbb {Z}$ pour $q\geq r$ forme un système projectif. L'anneau $\mathbb {Z} _{p}$ est alors la limite projective $\lim _{\leftarrow }\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$.
Cette définition a le mérite de munir canoniquement $\mathbb {Z} _{p}$ d'une topologie, la topologie projective, induite par la topologie produit. Néanmoins nous munirons, « à la main », $\mathbb {Z} _{p}$ d'une topologie dite p-adique qui coïncide avec la topologie projective.
On définit sur $\mathbb {Z} _{p}$ les deux opérations suivantes :
* $(x_{n})_{n\geq 0}+(y_{n})_{n\geq 0}=(x_{n}+y_{n})_{n\geq 0}$ ;
* $(x_{n})_{n\geq 0}(y_{n})_{n\geq 0}=(x_{n}y_{n})_{n\geq 0}$.
Muni de ces deux opérations, $\mathbb {Z} _{p}$ est un anneau commutatif d'élément unité $(1,1,\dots )$.
L'application $\left\{{\begin{matrix}\mathbb {Z} &&\longrightarrow &&\mathbb {Z} _{p}\\n&&\longmapsto &&(n,n,\dots )\end{matrix}}\right.$ est un plongement d'anneau de $\mathbb {Z}$ dans $\mathbb {Z} _{p}$ ; on peut donc identifier $\mathbb {Z}$ au sous-anneau des suites constantes de $\mathbb {Z} _{p}$. Pour éviter toute confusion, nous ferons référence aux entiers de $\mathbb {Z}$ sous le nom d'entiers rationnels.
Nous avons une représentation très utile des entiers p-adiques, qu’il ne faut pas hésiter à utiliser car « elle fait bien comprendre ce qui se passe ».
Pour tout entier p-adique $(x_{n})_{n\geq 0}$, il existe une suite $({\overline {x_{n}}})_{n\geq 0}\in \{0,1,\dots ,p-1\}^{\mathbb {N} }$ telle que
    $\forall n\geq 0\quad x_{n}\equiv \sum _{i=0}^{n}{\overline {x_{i}}}p^{i}{\pmod {p^{n+1}}}$.
C'est-à-dire que les suites $(x_{n})_{n\geq 0}$ et $\left(\sum _{i=0}^{n}{\overline {x_{i}}}p^{i}\right)_{n\geq 0}$ définissent le même entier p-adique.
Il suffit de considérer les restes des divisions euclidiennes $x_{n}=qp^{n+1}+r_{n}$.
Comme $r_{n}$ est strictement inférieur à $p^{n+1}$, il admet une décomposition dans la base $p$ de la forme :$r_{n}=\sum _{i=0}^{n}r_{n}^{i}p^{i}$.
Comme $x_{n}\equiv x_{n+1}{\pmod {p^{n+1}}}$, on en déduit $r_{n}\equiv r_{n+1}{\pmod {p^{n+1}}}$, ce qui donne par une simple récurrence, pour $0\leq i\leq n$, $r_{n}^{i}=r_{n+1}^{i}$. En posant ${\overline {x_{i}}}=r_{n}^{i}$ pour n’importe quel $n\geq i$, on a bien le résultat attendu.
On peut donc écrire tout entier p-adique comme $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}p^{n}$, où $0\leq a_{n}\leq p-1$, en gardant à l'esprit que cette série représente en fait la suite de ses sommes partielles. Néanmoins, il n'y a aucun danger à manipuler les entiers p-adiques comme des sommes infinies formelles. Nous verrons plus bas que tout nombre p-adique est la limite de la série $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}p^{n}$ qui le définit, la limite étant prise pour la norme p-adique.
Nous allons maintenant caractériser les unités de $\mathbb {Z} _{p}$ nous allons voir qu’il existe un critère extrêmement simple pour savoir si un entier p-adique est inversible dans $\mathbb {Z} _{p}$.
Soit $x=(x_{0},x_{1},\dots )$ un entier p-adique, alors $x$ est inversible si et seulement si $x_{0}\not \equiv 0{\pmod {p}}$.
Supposons que $a$ soit une unité, on a $a=(a_{0},a_{1},\dots )$, soit $b=(b_{0},b_{1},\dots )$ son inverse, on a $ab=(1,1,\dots )=(a_{0}b_{0},\dots )$ donc $a_{0}b_{0}\equiv 1{\pmod {p}}$ ; on ne saurait alors avoir $a_{0}\equiv 0{\pmod {p}}$.
Réciproquement supposons que $a_{0}$ n’est pas divisible par $p$. Il s'ensuit qu’il existe $b_{0}<p$ tel que $a_{0}b_{0}\equiv 1{\pmod {p}}$. Supposons avoir construit $b_{0},\dots ,b_{n-1}$ vérifiant $b_{k}\equiv b_{k+1}{\pmod {p^{k+1}}}$ et tel que $a_{k}b_{k}\equiv 1{\pmod {p^{k+1}}}$. Comme $a_{n}\not \equiv 0{\pmod {p}}$, $a_{n}$ et $p^{n+1}$ sont premiers entre eux. Il existe donc $b_{n}$ tel que $a_{n}b_{n}\equiv 1{\pmod {p^{n+1}}}$. On avait $a_{n-1}\equiv a_{n}{\pmod {p^{n}}}$ et $a_{n-1}b_{n-1}\equiv a_{n}b_{n}{\pmod {p^{n}}}$ ; il s'ensuit que $b_{n}\equiv b_{n-1}{\pmod {p^{n}}}$ et donc $(b_{n})_{n\geq 0}$ définit bien un entier p-adique qui est l'inverse de $a$.
Notons que cette démonstration est l'analogue de la démonstration dans l'anneau des séries formelles $k[[T]]$ de l'inversibilité d'une série formelle dont le terme constant est non nul. La différence notable entre l'anneau des séries formelles $k[[T]]$ et celui des entiers p-adiques réside dans le fait « qu’il y a une retenue » dans $\mathbb {Z} _{p}$.
Pour le lecteur familier avec la géométrie algébrique, cet analogue est le reflet de l'analogue entre corps de fonctions (c'est-à-dire courbe algébrique projective lisse) et corps de nombres.
Notons que l'arithmétique de $\mathbb {Z} _{p}$ est alors très simple, il n'y a qu'un seul nombre premier, à savoir $p$. C’est une caractéristique d'un anneau local. De plus, comme tous les entiers rationnels $n$ premiers à $p$ sont inversibles dans $\mathbb {Z} _{p}$, nous avons une injection du localisé de $\mathbb {Z}$ en $(p)$, qui est l’ensemble des éléments de $\mathbb {Q}$ de la forme $a/b$ avec $a\in \mathbb {Z}$ et $p$ ne divise pas $b$. On note traditionnellement $\mathbb {Z} _{(p)}$ le localisé de $\mathbb {Z}$ en $(p)$.
De plus, nous avons une simple conséquence du théorème précédent :
Soit $a$ un entier p-adique non nul. Il existe un unique inversible $\epsilon$ de $\mathbb {Z} _{p}$ et un unique entier naturel $m$ tels que $a=p^{m}\epsilon$.
L'entier naturel $m$ ainsi défini est appelé la valuation p-adique de $a$ ou l’ordre en $p$ de $a$ et est noté $ord_{p}(a)$ ou encore $v_{p}(a)$.
Existence.
Soit donc $a$ un entier p-adique non nul. On ne saurait avoir $p^{n+1}\mid a_{n}$ pour tous les $n\geq 0$. Soit donc $m$ le plus petit entier naturel tel que $p^{m+1}\not \mid a_{m}$. Comme $a_{m-1}\equiv 0{\pmod {p^{m}}}$, il s'ensuit que $a_{m+\ell }\equiv 0{\pmod {p^{m}}}$ pour tout $\ell \geq 0$. Posons alors $\epsilon _{\ell }=a_{m+\ell }/p^{m}$, qui est donc dans $\mathbb {N}$, et l’on a bien sûr $\epsilon _{\ell }\equiv \epsilon _{\ell +1}{\pmod {p^{\ell +1}}}$. On a alors, d’après la propriété précédente, $\epsilon$ est une unité de $\mathbb {Z} _{p}$ et $p^{n}\epsilon =a$.
Unicité.
Supposons $p^{m}\epsilon =p^{n}\eta$ et, sans perte de généralité, $m>n$. Il est alors facile de constater que $p^{n}$ divise $p^{n}\eta$ et que $p^{n}\eta /p^{n}$ est une unité de $\mathbb {Z} _{p}$ donc $p^{m-n}\epsilon _{0}$ est premier avec $p$, ce qui implique que $n=m$ : on a le résultat voulu.
Nous en déduisons le corollaire important
L'anneau $\mathbb {Z} _{p}$ est intègre.

## Corps des nombres p-adiques

Le corps des nombres p-adiques, noté $\mathbb {Q} _{p}$, est le corps des fractions de $\mathbb {Z} _{p}$.
* Ne pas le confondre avec un corps DE nombres p-adiques, qui sera précisément une extension finie du corps $\mathbb {Q} _{p}$ DES nombres p-adiques.
Le théorème suivant est évident mais fondamental.
Tout nombre p-adique $\alpha$ admet une unique écriture sous la forme $\alpha =p^{\ell }\epsilon$, où $\ell \in \mathbb {Z}$ et $\epsilon \in \mathbb {Z} _{p}^{\times }$.
Nous avons simplement « rajouté » l'élément $1/p$ à $\mathbb {Z} _{p}$. On étend la valuation p-adique à $\mathbb {Q} _{p}$, en définissant $v_{p}(a)$ comme l'entier relatif $\ell$ du théorème précédent. On pose par convention $v_{p}(0)=+\infty$. La valuation p-adique sur $\mathbb {Q} _{p}$ est non archimédienne.
* $v_{p}(\alpha \beta )=v_{p}(\alpha )+v_{p}(\beta )$.
* $v_{p}(\alpha +\beta )\geq \min(v_{p}(\alpha ),v_{p}(\beta ))$ avec égalité si et seulement si $v_{p}(\alpha )\neq v_{p}(\beta )$.
* Le nombre $\alpha$ divise $\beta$ si et seulement si $v_{p}(\alpha )\leq v_{p}(\beta )$.
On peut donc à partir de cette valuation construire une norme :
Soit $\rho$ un réel quelconque de $\left]0,1\right[$ alors en posant $|\alpha |_{p}=\rho ^{v_{p}(\alpha )}$, on définit une norme ultramétrique sur $\mathbb {Q} _{p}$, appelée norme p-adique.
Notons que pour des raisons plus profondes (la formule du produit) il est habile de choisir la normalisation $\rho =p^{-1}$.
De plus, pour qu'une suite $(x_{n})_{n>0}$ tende vers un certain $x$, il faut et il suffit que $v_{p}(x_{n}-x){\xrightarrow[{n\rightarrow \infty }]}+\infty$, autrement dit : plus un nombre p-adique est divisible par p, plus il est petit.

## Topologie p-adique

Nous avons donc défini une norme sur $\mathbb {Q} _{p}$ ce qui en fait un espace métrique. Examinons plus avant sa topologie.
$\mathbb {Z} _{p}$ est ouvert dans $\mathbb {Q} _{p}$ et compact.
* $\mathbb {Z} _{p}$ est ouvert : $x\in \mathbb {Z} _{p}\Leftrightarrow v_{p}(x)>-1/2$ donc $\mathbb {Z} _{p}$ est image réciproque d'un ouvert par la norme $|.|_{p}$, qui est continue.
* $\mathbb {Z} _{p}$ est compact : puisque c'est un espace métrique, il suffit de remarquer qu'il est séquentiellement compact, comme produit dénombrable d'espaces qui le sont : $\mathbb {Z} _{p}\simeq \left(\{0,1,\dots ,p-1\}\right)^{\mathbb {N} }$, d'après la représentation en série.
L'espace $\mathbb {Q} _{p}$ est localement compact et complet.
* Compacité locale : $x+\mathbb {Z} _{p}$ est un voisinage compact de $x$.
* Complétude : toute suite de Cauchy dans $\mathbb {Q} _{p}$ est bornée, c'est-à-dire à valeurs dans un certain $p^{n}\mathbb {Z} _{p}$. Par compacité de ce dernier, la suite est donc convergente.
La notion de convergence p-adique est beaucoup plus simple que la convergence par exemple dans $\mathbb {R}$ :
Une suite $(x_{n})_{n}$ de nombres p-adiques converge si et seulement si $v_{p}\left(x_{n+1}-x_{n}\right)\to \infty$.
L'une des implications étant triviale, contentons-nous de prouver l'autre.
Remarquons tout d’abord que la convergence de la suite $(x_{n})_{n}$ est équivalente la convergence de la série $\sum _{n}(x_{n+1}-x_{n})$. Soit alors $M>0$ il existe $N>0$ tel que pour $n>N$, on ait $v_{p}(x_{n+1}-x_{n})\geq M$ et par suite $v_{p}(\sum _{k=n}^{\infty }(x_{k+1}-x_{k}))\geq \min _{k\geq n}v_{p}(x_{k+1}-x_{k})\geq M$.
Ce qui prouve que $\sum _{n}(x_{n+1}-x_{n})$ converge et par suite la suite $(x_{n})_{n}$ converge.
Autrement dit : une série p-adique converge si et seulement si son terme général tend vers 0.

## Congruences p-adiques

Nous allons nous intéresser aux congruences dans l'anneau $\mathbb {Z} _{p}$. La propriété suivante est quasi immédiate ; elle résulte en fait du développement en série que nous avons vu plus haut. Comme les seuls éléments non inversibles de $\mathbb {Z} _{p}$ sont les $p^{k}$, il nous suffit de nous intéresser aux congruences modulo $p^{k}$.
Tout entier p-adique est congru à un entier rationnel modulo $p^{k}$. Autrement dit : $\mathbb {Z} _{p}/p^{k}\mathbb {Z} _{p}\simeq \mathbb {Z} /p^{k}\mathbb {Z}$, l'isomorphisme étant un isomorphisme d'anneaux.
Soit donc $\alpha =(\alpha _{0},\alpha _{1},\dots )$ un entier p-adique, intéressons-nous aux congruences modulo $p^{k}$, où $k\geq 1$. Posons $N=\alpha _{k-1}$ qui est un entier rationnel. Nous savons que $\alpha _{k-1}\equiv \alpha _{i}{\pmod {p^{i}}}$ pour tout $i\leq k-1$. De ce fait, si l’on pose $\beta =\alpha -N$, on a pour $i\leq k-1$ $\beta _{i}\equiv \alpha _{k-1}-\alpha _{i}\equiv 0{\pmod {p^{i}}}$, ce qui signifie que $v_{p}(\beta )\geq k$ soit $p^{k}\mid \beta$ et donc $\alpha \equiv N{\pmod {p^{k}}}$.
Au passage, nous avons démontré les résultats suivants.
* Soit $\alpha =(\alpha _{0},\alpha _{1},\dots )\in \mathbb {Z} _{p}$, alors $\alpha _{k}\equiv \alpha {\pmod {p^{k+1}}}$.
* Tout entier p-adique est limite de la suite d'entiers rationnels qui le définit ; ainsi, $\mathbb {Z}$ est dense dans $\mathbb {Z} _{p}$.
Nous avons alors prouvé que la série $\sum _{n\geq 0}a_{n}p^{n}$ converge bien au sens p-adique vers l'entier p-adique qu'elle définit.
Nous terminons par une (des nombreuses) versions du lemme de Hensel, qui nous permet de « relever une solution » d'une équation dans $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ en solution de la même équation dans $\mathbb {Z} _{p}$.
Soit $P$ un polynôme de $\mathbb {Z} _{p}[X_{1},\dots ,X_{n}]$. On suppose qu’il existe $\delta \in \mathbb {N}$ et des entiers p-adiques $(\gamma _{1},\dots ,\gamma _{n})$ tels que :
* $P(\gamma _{1},\dots ,\gamma _{n})\equiv 0{\pmod {p^{2\delta +1}}}$ ;
* $\partial _{1}P(\gamma _{1},\dots ,\gamma _{n})\equiv 0{\pmod {p^{\delta }}}$ ;
* $\partial _{1}P(\gamma _{1},\dots ,\gamma _{n})\not \equiv 0{\pmod {p^{\delta +1}}}$.
Alors, il existe $\theta _{1}\equiv \gamma _{1}{\pmod {p^{\delta +1}}},\dots ,\theta _{n}\equiv \gamma _{n}{\pmod {p^{\delta +1}}}$, n entiers p-adiques, tels que $P(\theta _{1},\dots ,\theta _{n})=0$.
On considère $Q(X)=P(X,\gamma _{2},\dots ,\gamma _{n})$. On pose $\theta _{i}=\gamma _{i}$ pour $i>1$. Il nous suffit alors de trouver un certain $\alpha \equiv \gamma _{1}{\pmod {p^{\delta +1}}}$ tel que $Q(\alpha )=0$.
Cherchons une suite
    $(\alpha _{i})_{i}$ telle que $Q(\alpha _{i})\equiv 0{\pmod {p^{2\delta +1+i}}}$
avec
    $\alpha _{i}\equiv \gamma _{i}{\pmod {p^{\delta +1}}}$.
Pour $i=0$, on choisit $\alpha _{0}=\gamma _{1}$.
Supposons avoir trouvé $\alpha _{1},\dots ,\alpha _{m}$.
On a
    $Q(X)=Q(\alpha _{m})+Q'(\alpha _{m})(X-\alpha _{m})+\cdots$
avec $Q(\alpha _{m})\equiv 0{\pmod {p^{2\delta +1+m}}}$, c'est-à-dire qu’il existe $\zeta _{1}\in \mathbb {Z} _{p}$ tel que
* $Q(\alpha _{m})=p^{2\delta +m+1}\zeta _{1}$.
De plus, le fait que $\gamma _{1}\equiv \alpha _{m}{\pmod {p^{\delta +1}}}$ donne $Q'(\alpha _{m})\equiv Q'(\gamma _{1}){\pmod {p^{\delta +1}}}$ et donc $v_{p}(Q'(\alpha _{m}))=\delta$. Il s'ensuit qu’il existe
    $\zeta _{2}\in \mathbb {Z} _{p}^{*}$ $Q(X)=p^{2\delta +m+1}\zeta _{1}+p^{\delta }\zeta _{2}(X-\alpha _{m})+O((X-\alpha _{m})^{2})$.
Prenons $x\in \mathbb {Z} _{p}$ tel que $x-\alpha _{m}=p^{\delta +m+1}y$ où $y$ est un certain entier p-adique. On a alors
    $Q(x)\equiv p^{2\delta +m+1}(\zeta _{1}+y\zeta _{2}){\pmod {p^{2\delta +m+2}}}$.
Par suite, comme $\zeta _{2}\not \equiv 0{\pmod {p}}$, il existe $y$ tel que
    $\zeta _{1}+y\zeta _{2}\equiv 0{\pmod {p}}$.
On a donc bien construit une suite $(\alpha _{m})_{m}$ vérifiant les propriétés voulues.
Par ailleurs,
    $v_{p}(\alpha _{m+1}-\alpha _{m})\geq \delta +i+1{\xrightarrow[{i\to \infty }]}\infty$,
ce qui prouve que $(\alpha _{m})_{m}$ converge vers un certain $\alpha \in \mathbb {Z} _{p}$.
De plus,
    $v_{p}(Q(\alpha _{i}))\geq 2\delta +i+1{\xrightarrow[{i\to \infty }]}\infty$
donc par continuité de $Q$
    $Q(\alpha )=0$.

## Une construction analytique des nombres p-adiques

Il existe une façon beaucoup plus analytique de construire les nombres p-adiques, qui ressemble de beaucoup à la façon de construire les réels à partir de $\mathbb {Q}$. Commençons par mentionner un résultat important (et intéressant en soi), le théorème d'Ostrowski, qui donne naissance à l'importante notion de place d'un corps de nombre, qui généralise la notion de nombre premier.
Toute valuation sur $\mathbb {Q}$ est :
* soit de la forme $|.|^{a}$ avec $a\in [0,1]$
* soit de la forme $\rho ^{v_{p}}$ où $\rho \in [0,1[$.
Soit $\varphi$ une métrique (non triviale) sur $\mathbb {Q}$.
Il est clair que l’on a $\varphi (1)=1$ et par suite
    $\varphi (n)\leq \varphi (1)+\dots +\varphi (1)\leq n$.
Deux cas se présentent. Soit il existe un entier $a>1$ tel que $\varphi (a)>1$.
Dans ce cas, posons $\varphi (a)=a^{\alpha }$ où $\alpha \in ]0,1]$. Soit alors $N\in \mathbb {N}$. L'écriture de $N$ en base $a$ donne
    $N=\sum _{i=0}^{d}q_{i}a^{i}$.
On a donc $a^{d}\leq N<a^{d+1}$. Le calcul de $\varphi (N)$ donne alors :
    $\varphi (N)\leq \sum _{i=0}^{d}\varphi (q_{i})a^{i\alpha }\leq (a-1){\frac {a^{\alpha (d+1)}-1}{a^{\alpha }-1}}\leq (a-1){\frac {a}{a^{\alpha }-1}}a^{d\alpha }\leq (a-1){\frac {a}{a^{\alpha }-1}}N^{\alpha }$.
Il existe donc une constante $C$ indépendante de $N$ telle que
    $\varphi (N)\leq CN^{\alpha }$.
Mais alors $\varphi (N)^{q}=\varphi (N^{q})\leq CN^{q\alpha }$ donne
    $\varphi (N)\leq C^{1/q}N^{\alpha }$.
En faisant tendre $q$ vers $\infty$, on trouve
    $\varphi (N)\leq N^{\alpha }$.
Notons maintenant qu’il existe $0\leq b<a^{d+1}-a^{d}$ tel que $N=a^{d+1}-b$. On a alors
    $\varphi (a)^{d+1}-\varphi (b)\geq a^{\alpha (d+1)}-\varphi (b)\geq a^{\alpha (d+1)}-(a^{d+1}-a^{d})^{\alpha }\geq a^{\alpha (d+1)}(1-{\frac {(a^{d+1}-a^{d})^{\alpha }}{a^{\alpha (d+1)}}})$
donc il existe une constante $D>0$ telle que
    $\varphi (N)\geq DN^{\alpha }$.
On montre comme précédemment que $\varphi (N)\geq N^{\alpha }$. Donc pour tout entier $N$ on a
    $\varphi (N)=|N|^{\alpha }$.
Il est alors facile d’en déduire que $\varphi =|.|^{\alpha }$.
Supposons maintenant que pour tout entier naturel $a$ on ait $\varphi (a)\leq 1$, on supppose qu’il existe $a_{0}\in \mathbb {N}$ tel que $\varphi (a_{0})<1$, alors il existe un nombre premier $p$ tel que $\varphi (p)<1$, sinon on aurait pour tout $n\in \mathbb {N}$,
    $\forall n\in \mathbb {N} \quad \varphi (n)=\prod _{i}\varphi (p_{i})^{\nu _{i}}=1$,
ce qui a été écarté.
Ce nombre premier $p$ est alors unique puisque s'il existait un autre nombre premier $q$ tel que $\varphi (q)<1$, on aurait pour des entiers $\ell ,u,v$ bien choisis :
    $1=\varphi (up^{\ell }+vq^{\ell })\leq \varphi (p)^{\ell }+\varphi (q)^{\ell }<1$.
Donc $p$ est unique. Posons $\varphi (p)=\rho$. Il est clair que
    $\varphi =\rho ^{v_{p}}$
où $v_{p}$ désigne la valuation p-adique, et le théorème est démontré.
Remarquons qu'en fait ce théorème dit qu’il y a exactement une valuation (à équivalence topologique près) pour chaque nombre premier, et une supplémentaire, pour le plongement de $\mathbb {Q}$ dans $\mathbb {R}$. Tout se passe comme si l’on « manquait » un nombre premier infini. Ce fait sera confirmé par la fait que l’on peut voir $\mathbb {R}$ comme le complété $\infty$-adique de $\mathbb {Q}$ et nous le noterons d'ailleurs souvent $\mathbb {Q} _{\infty }$. Ce fait remarquable se généralise à un corps de nombres de la manière suivante.
Pour un corps de nombres $K$, il existe exactement une valuation (à équivalence topologique près) pour chaque idéal premier de $O_{K}$ (l'anneau des entiers de $K$) et une valuation pour chaque plongement réel, et pour chaque paire de plongements complexes conjugués. Une place du corps $K$ sera donc une classe d'équivalence de valuations. Il existe donc une place par idéal premier ${\mathfrak {p}}$ qui sont dites finies, ces places correspondent à des valuations non archimédiennes, et nous avons en plus des places infinies, qui correspondent aux plongements de $K$ dans $\mathbb {R}$ ou $\mathbb {C}$, les valuations correspondantes sont archimédiennes. Nous aurons l’occasion d'y revenir.
Nous pouvons alors définir le corps $\mathbb {Q} _{p}$ de la façon suivante.
Le corps des nombres p-adiques, noté $\mathbb {Q} _{p}$, est le complété de $\mathbb {Q}$ pour la norme $|.|_{p}$.
Comme $\mathbb {Q} _{p}$ est complet et contient $\mathbb {Q}$ comme sous-corps dense, il résulte de théorèmes généraux (sur les complétés d'un corps pour une valuation) que les deux définitions coïncident.
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