# Thermodynamique (PCSI)/Descriptions microscopique et macroscopique d'un système à l'équilibre : Température cinétique d'un gaz, exemple du G.P.M.
## Notion de température cinétique d'un gaz en équilibre thermodynamique
### Énergie cinétique de translation d’une molécule de gaz dans le référentiel d’étude où le gaz est « globalement immobile »

Préliminaire : Nous considérons le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ où le gaz est « globalement immobile » c'est-à-dire où il n'est pas entraîné dans un mouvement d'ensemble $\;{\big$correspondant à une absence de vents${\big )}$.
Exposé : Chaque molécule «$\;_{i}\;$», a priori non ponctuelle, est donc macroscopiquement immobile dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ $\;{\big$mais y possède bien sûr un mouvement microscopique d'agitation thermique${\big )}$,
Exposé : Chaque molécule «$\;\color {transparent}{_{i}}\;$», a priori non ponctuelleelle possède alors deux sortes d’énergie cinétique microscopique $\;{\big$newtonienne${\big )}\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ : Exposé : Chaque molécule «$\;\color {transparent}{_{i}}\;$», a priori non ponctuelle$\;\succ \;$l'énergie cinétique microscopique de translation s’identifiant à l'énergie cinétique de son C.D.I. «$\;G_{i}\;$» dans $\;{\mathcal {R}}\;$ «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;{\vec {V}}_{G_{i}}^{\,2}\!(t)\;$» $\;{\big$avec «$\;m_{p}\;$» masse de la molécule considérée${\big )}\;$ et Exposé : Chaque molécule «$\;\color {transparent}{_{i}}\;$», a priori non ponctuelle$\;\succ \;$l'énergie cinétique microscopique barycentrique définie dans le « référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}_{i}^{*}\;$ de la molécule » correspondant à une rotation autour de son C.D.I. «$\;G_{i}\;$» «$\;{\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{G_{i}}}\;\Omega _{\Delta _{G_{i}}}^{\,2}\!(t)\;$» $\;{\Big \$«$\;J_{\Delta _{G_{i}}}\;$ étant le moment d'inertie de la molécule $\;_{i}\;$ relativement à l'axe instantané de rotation $\;\Delta _{G_{i}}\;$ passant par le C.D.I. $\;G_{i}\;$ de cette dernière », «$\;\Omega _{\Delta _{G_{i}}}\!(t)\;$ la vitesse angulaire instantanée de rotation autour $\;\Delta _{G_{i}}\;$ de la molécule »${\Big \}$ et à une éventuelle déformation dans $\;{\mathcal {R}}_{i}^{*}\;$ «$\;k_{{\text{déform}},\,i}^{\,*}(t)\;$», soit finalement, l'énergie cinétique microscopique barycentrique de la molécule $\;_{i}\;$ s'écrivant «$\;k_{\,i}^{\,*}(t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{G_{i}}}\;\Omega _{\Delta _{G_{i}}}^{\,2}\!(t)+k_{{\text{déform}},\,i}^{\,*}(t)\;$».
Remarque L'énergie cinétique microscopique de la molécule «$\;_{i}\;$» dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ où le gaz est globalement immobile c'est-à-dire «$\;k_{\,i}(t)\;$» résulte de l'application, à cette molécule, du 2ème théorème de Kœnig $\;{\big$ou théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique${\big )}\;$ ${\big \$non explicite dans le programme de physique de PCSI mais dont l'utilisation permet une meilleure compréhension${\big \}$ soit
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c c c}\underbrace {k_{\,i}(t)} \!\!&=&\!\!\underbrace {k_{\,i}^{\,*}(t)} \!\!&+&\!\!\underbrace {{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;{\vec {V}}_{G_{i}}^{\,2}\!(t)} \\\;{\text{dans}}\;{\mathcal {R}}\!\!&&{\text{dans}}\;{\mathcal {R}}^{*}\!\!&&\!\!{\text{dans}}\;{\mathcal {R}}\end{array}}\right\rbrace \;$

### Définition de la température cinétique d’un gaz en équilibre thermodynamique

$\;M\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;T(M)\;$
$\propto \;$
$\;{\big$
$\;m_{p}{\big )}\;$
$\;\left(d{\mathcal {V}}_{M}\right)\;$
$\;M\;$
$\;{\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;{\vec {V}}_{\!G_{Q}}^{\,2}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}\;$
$\;{\Big \G_{Q}\;$
$\;Q\,\in \,\left(d{\mathcal {V}}_{M}\right)\!{\Big \}$
$\;{\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;{\vec {V}}_{\!G_{Q}}^{\,2}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}={\dfrac {3}{2}}\;k_{B}\;T(M)\;$
$\;k_{B}\;$
$\;k_{B}\simeq 1,3806\;10^{-23}\;U.S.I.\;$
$\;T(M)\;$
$\;M\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;\left(d{\mathcal {V}}_{M}\right)\;$
$\;M\;$
$\;V_{\!M}^{*}={\sqrt {{\Big \langle }{\vec {V}}_{\!G_{Q}}^{\,2}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}}}\;$
$\;{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\,\left[V_{\!M}^{\,*}\right]^{2}={\dfrac {3}{2}}\;k_{B}\;T(M)\;:\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$
$\;M\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;T(M)\;$
$\propto \;$
$\;{\big$
$\;m_{p}{\big )}\;$
$\;M\;$
$\;t\;$
$\;({\mathcal {I}}_{\tau })\;$
$\;\tau \;$
$\;{\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}\;$
$\;{\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}={\dfrac {3}{2}}\;k_{B}\;T(M)\;$
$\;k_{B}\;$
$\;k_{B}\simeq 1,3806\;10^{-23}\;U.S.I.\;$
Remarques : L'équivalence des deux définitions est une conséquence de la loi des grands nombres, Remarques : L'équivalence des deux définitions la répartition statistique, à un instant fixé, du vecteur vitesse du C.D.I. de toutes les molécules d'un échantillon mésoscopique centré en $\;M\;$ est identique à Remarques : L'équivalence des deux définitions la répartition statis celle du vecteur vitesse du C.D.I. de la molécule passant par $\;M\;$ en tout instant d'un intervalle de temps d'échelle mésoscopique d'où
$\;{\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;{\vec {V}}_{\!G_{Q}}^{\,2}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}={\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}\;$
Remarques : L'équivalence des deux définitions cette identification permet de définir la « vitesse quadratique moyenne des molécules dont le C.D.I. passe par un point $\;M\;$ fixé en un instant $\;t\;$ quelconque d'un intervalle de temps $\;({\mathcal {I}}_{\tau })\;$ de durée mésoscopique $\;\tau \;$ selon $\;V_{\!M}^{*}={\sqrt {{\Big \langle }{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}}}\;$».
Remarques : Le mouvement microscopique de translation des molécules d'un échantillon mésoscopique centré en $\;M\;$ et observé sur une durée d'échelle mésoscopique définit, localement, le « mouvement brownien du gaz », mouvement microscopique dû à l'agitation thermique de ce dernier.
Propriétés : $\succ \;$ si le gaz est en équilibre thermique avec l'extérieur et si la température de l'extérieur $\;{\big$définie en chaque point de la surface de contact avec le gaz${\big )}\;$ est constante, alors « la température cinétique du gaz ne dépend pas du point $\;M\;$ considéré » $\;{\big$et par suite la vitesse quadratique moyenne des molécules du gaz est également indépendante de son point de localisation${\big )}$, la définition de la température cinétique $\;T\;$ du gaz se simplifie alors en «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\,\left[V^{\,*}\right]^{2}={\dfrac {3}{2}}\;k_{B}\;T\;$» où $\;V^{\,*}\;$ est la vitesse quadratique moyenne du gaz en équilibre thermique avec son environnement thermostaté ;
Propriétés : $\color {transparent}{\succ }\;$si le gaz est en équilibre thermique avec l'extérieur et si la température de l’extérieur n’est pas constante $\;{\big$dépendant du point de la surface de contact avec le gaz${\big )}$, le gaz pourra être localement en équilibre thermique avec son environnement immédiat $\;{\big$la température cinétique locale du gaz en $\;M\;$ étant égale à la température de son environnement surfacique avec l’extérieur au même point $\;M\;$${\big )}\;$ mais la température cinétique du gaz dépendant du point $\;M$, le gaz n’est pas en équilibre thermique interne $\;{\big$les zones où la température cinétique est la plus élevée cédant une partie de leur énergie cinétique microscopique de translation aux zones où la température cinétique est plus faible, ceci caractérisant un déséquilibre thermique interne${\big )}$ $\;{\big \$s'il n'y a pas d'évolution de la température cinétique locale du gaz avec le temps, nous dirons que le gaz est en évolution dynamique stationnaire interne${\big \}$ ;
Propriétés : $\succ \;$si le gaz est en équilibre thermique interne « indépendamment de son extérieur », alors « la température cinétique du gaz ne dépend pas de $\;M\;$» $\;{\big$et par suite la vitesse quadratique moyenne des molécules du gaz est également indépendante de son point de localisation${\big )}$, la définition de la température cinétique $\;T\;$ du gaz se simplifie alors en «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\,\left[V^{\,*}\right]^{2}={\dfrac {3}{2}}\;k_{B}\;T\;$» où $\;V^{\,*}\;$ est la vitesse quadratique moyenne du gaz en équilibre thermique interne ; toutefois il est possible d'observer une situation où
Propriétés : $\color {transparent}{\succ }\;$si le gaz est en équilibre thermique interne « indépendamment de son extérieur », le gaz est « localement en équilibre thermique interne $\;{\big$c'est-à-dire sur une étendue macroscopique réduite et pendant une faible durée macroscopique${\big )}\;$ mais ne l'est pas globalement $\;{\big$c'est-à-dire sur l'étendue macroscopique totale du gaz et pendant une durée macroscopique plus grande${\big )}\;$», dans ce cas il est nécessaire de préciser « le point $\;M\;$ ainsi que l'instant $\;t\;$ » de définition de la température cinétique de l'étendue macroscopique réduite de gaz en équilibre thermique interne ainsi que ceux de définition de la vitesse quadratique moyenne de cette même étendue macroscopique réduite de gaz en équilibre thermique interne, ce qui se traduit par «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\,\left[V_{\!M}^{\,*}(t)\right]^{2}={\dfrac {3}{2}}\;k_{B}\;T(M,\,t)\;$».

### 2ème définition de la température cinétique d’un gaz en équilibre thermodynamique

Préliminaire : les définitions du paragraphe « définition de la température cinétique d'un gaz en équilibre thermodynamique » plus haut dans ce chapitre sont énoncées en termes de valeur moyenne de l'énergie cinétique microscopique de translation Préliminaire : les définitions des molécules localisées, à un instant donné, dans un échantillon mésoscopique centré en $\;M\;$ ou Préliminaire : les définitions de la molécule dont le C.D.I. passe par $\;M\;$ en un instant quelconque d'un intervalle de temps de durée mésoscopique ;
Préliminaire : nous nous proposons de réécrire ces définitions en terme grandeur molaire en utilisant la constante d'Avogadro «$\;{\mathcal {N}}\simeq 6,0221\;10^{23}\;mol^{-1}\;$» et le « lien entre la masse d'une molécule $\;m_{p}\;$ et la masse molaire moléculaire du gaz $\;M_{\text{gaz}}=m_{p}\;{\mathcal {N}}\;$» ainsi que la « définition de la constante molaire des G.P. $\;R\;$ en fonction de la constante de Boltzmann $\;k_{B}\;$ à savoir $\;R=k_{B}\;{\mathcal {N}}\;$» $\;{\big \$la constante de Boltzmann valant $\;k_{B}\simeq 1,3806\;10^{-23}\;U.S.I.\;$$^,$ $\Rightarrow$ la constante molaire des G.P. vaut «$\;R=k_{B}\;{\mathcal {N}}\simeq 1,3806\;10^{-23}\times 6,0221\;10^{23}\simeq 8,314\;U.S.I.\;$»$^,$${\big \}$.
$\;M\;$
$\;{\big$
$\;M_{\text{gaz}}{\big )}\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;T(M)\;$
$\propto \;$
$\;\left(d{\mathcal {V}}_{M}\right)\;$
$\;M\;$
$\;{\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;M_{\text{gaz}}\;{\vec {V}}_{\!G_{Q}}^{\,2}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}\;$
$\;{\Big \G_{Q}\;$
$\;Q\,\in \,\left(d{\mathcal {V}}_{M}\right)\!{\Big \}$
$\;{\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;M_{\text{gaz}}\;{\vec {V}}_{\!G_{Q}}^{\,2}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}={\dfrac {3}{2}}\;R\;T(M)\;$
$\;R\;$
$\;R\simeq 8,314\;U.S.I.\;$
$\;T(M)\;$
$\;M\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;\left(d{\mathcal {V}}_{M}\right)\;$
$\;M\;$
$\;V_{\!M}^{*}={\sqrt {{\Big \langle }{\vec {V}}_{\!G_{Q}}^{\,2}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}}}\;$
$\;{\dfrac {1}{2}}\;M_{\text{gaz}}\,\left[V_{\!M}^{\,*}\right]^{2}={\dfrac {3}{2}}\;R\;T(M)\;:\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$
$\;M\;$
$\;{\big$
$\;M_{\text{gaz}}{\big )}\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;T(M)\;$
$\propto \;$
$\;M\;$
$\;t\;$
$\;({\mathcal {I}}_{\tau })\;$
$\;\tau \;$
$\;{\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;M_{\text{gaz}}\;{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}\;$
$\;{\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;M_{\text{gaz}}\;{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}={\dfrac {3}{2}}\;R\;T(M)\;$
$\;R\;$
$\;R\simeq 8,314\;U.S.I.\;$
Remarques : Comme dans le paragraphe « définition de la température cinétique d'un gaz en équilibre thermodynamique (remarques) » plus haut dans ce chapitre nous pouvons identifier « l'énergie cinétique microscopique moyenne de translation molaire d'un échantillon mésoscopique quelconque du gaz $\;\left(d{\mathcal {V}}_{M}\right)\;$ centré en $\;M\;$» avec « celle des molécules dont le C.D.I. passe par $\;M\;$ en un instant $\;t\;$ quelconque de l'intervalle de temps d'observation $\;({\mathcal {I}}_{\tau })\;$ de durée mésoscopique $\;\tau \;$» c'est-à-dire «$\;{\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;M_{\text{gaz}}\;{\vec {V}}_{\!G_{Q}}^{\,2}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}={\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;M_{\text{gaz}}\;{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}\;$», la valeur commune se réécrivant «$\;{\dfrac {1}{2}}\;M_{\text{gaz}}\,\left[V_{\!M}^{*}\right]^{2}\;$» avec «$\;V_{\!M}^{*}={\sqrt {{\Big \langle }{\vec {V}}_{\!G_{Q}}^{\,2}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}}}={\sqrt {{\Big \langle }{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}}}\;$ la vitesse quadratique moyenne des molécules de l'échantillon mésoscopique centré en $\;M\;$ ou celle des molécules dont le C.D.I. passe par $\;M\;$».
Remarques : Toutes les propriétés énoncées dans le paragraphe « définition de la température cinétique d'un gaz en équilibre thermodynamique (propriétés) » plus haut dans ce chapitre restent applicables avec, comme seule exigence, de les exprimer en terme molaire.

### Unité de température cinétique et conséquence sur les unités de la constante de Boltzmann et de la constante molaire des G.P.

L'unité de température cinétique $\;T\;$ en un point $\;M\;$ d'un gaz $\;{\big$mais aussi d'un liquide ou d'un solide${\big )}\;$ est le « kelvin de symbole $\;K\;$».
Conséquence : « unité du S.I. de la constante de Boltzmann le $\;J\cdot K^{-1}\;$» d'où «$\;k_{B}\simeq 1,381\;10^{-23}\;J\cdot K^{-1}\;$» ;
Conséquence : « unité du S.I. de la constante molaire des G.P. le $\;J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}\;$» d'où «$\;R\simeq 8,314\;J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}\;$».

### Température dérivée

L'inconvénient de la température cinétique d'un gaz $\;{\big$mais aussi d'un liquide ou d'un solide${\big )}\;$ est que la « valeur de $\;0\;K\;$» ne peut pas être atteinte car elle correspond à une absence totale de translation microscopique des molécules et par suite à une absence totale d'agitation thermique, ce qui est matériellement impossible ;
de plus les températures ordinaires sont de l'ordre de quelques hectokelvins $\;{\big$de $\;2,50\;$ à $\;3,50\;hK{\big )}$ ;
pour éviter ces inconvénients, nous introduisons une température identique à la température cinétique mais dont le zéro est décalé, c'est la « température Celsius » que nous noterons «$\;\theta \;$» et qui s'exprime en « degré Celsius $\;{\big$symbole $\;{\text{°C}}{\big )}\;$» définie par «$\;\theta ({\text{°C}})=T(K)-273,15\;$».
Propriétés : Une 1ère conséquence de la définition de la température Celsius en fonction de la température cinétique est que la variation entre deux températures Celsius est égale à celle entre les deux températures cinétiques correspondantes soit en écarts finis «$\;\Delta \theta =\Delta T\;$» ou en faibles écarts «$\;\delta \theta =\delta T\;$» ou encore en écarts élémentaires «$\;d\theta =dT\;$» ;
Propriétés : une 2ème conséquence est que les grandeurs définies par unité de température peuvent l’être par unité de température cinétique ou unité de température Celsius comme par exemple la constante de Boltzmann «$\;k_{B}\simeq 1,381\;10^{-23}\;J\cdot K^{-1}=1,381\;10^{-23}\;J\cdot {\text{°C}}^{-1}\;$» ou la constante molaire des G.P. «$\;R\simeq 8,314\;J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}=8,314\;J\cdot mol^{-1}\cdot {\text{°C}}^{-1}\;$».
Remarque : La température Celsius est de nature différente de la température cinétique car cette dernière est une « grandeur mesurable » alors que la 1ère n’est qu'une « grandeur repérable » en effet,
Remarque : une grandeur est dite mesurable si on peut définir la somme de deux valeurs de cette grandeur ainsi que leur rapport « ce qui est le cas pour la température cinétique » $\;{\big$d'une part un gaz a une température cinétique égale à la somme de deux températures cinétiques initiales si l'énergie cinétique microscopique moyenne de translation de ses molécules est la somme des énergies cinétiques microscopiques moyennes de translation de ses molécules pour chaque température cinétique initiale, d'autre part une température cinétique est deux fois plus grande qu’une autre si l’énergie cinétique microscopique moyenne de translation des molécules est deux fois plus grande${\big )}\;$ et
Remarque : une grandeur est dite repérable si elle permet de distinguer deux états différents du système qu'elle caractérise par deux valeurs différentes sans qu'elle soit mesurable c'est-à-dire qu'il n'est pas possible de définir la somme de deux de ses valeurs ainsi que leur rapport, « ce qui est le cas pour la température Celsius » $\;{\big$on ne peut évidemment pas définir le rapport entre une température de $\;100\;{\text{°C}}\;$ et celle de $\;0\;{\text{°C}}\;$$^,$${\big )}$.

### En complément, 1ère notion d'équipartition de l'énergie

L'énergie cinétique microscopique de translation d'une molécule quelconque «$\;_{i}\;$», à l'instant $\;t$, de C.D.I. $\;G_{i}$, «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;{\vec {V}}_{\!G_{i}}^{\,2}(t)\;$» étant la somme de trois termes indépendants les uns des autres selon «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;{\vec {V}}_{\!G_{i}}^{\,2}(t)$ $={\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;V_{\!G_{i},\,x}^{\,2}(t)+{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;V_{\!G_{i},\,y}^{\,2}(t)+{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;V_{\!G_{i},\,z}^{\,2}(t)\;$» $\;{\big$il y a donc « trois degrés de liberté pour l'énergie cinétique microscopique de translation d'une molécule »${\big )}$, nous en déduisons
* l'énergie cinétique microscopique moyenne de translation des molécules localisées dans un échantillon mésoscopique $\;\left(d{\mathcal {V}}_{M}\right)\;$ centré en $\;M\;$ «$\;{\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;{\vec {V}}_{\!G_{Q}}^{\,2}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}\;$» $\;{\Big \G_{Q}\;$ étant le C.D.I. de la molécule quelconque $\;Q\,\in \,\left(d{\mathcal {V}}_{M}\right)\!{\Big \}$ égale à «$\;{\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;{\vec {V}}_{\!G_{Q}}^{\,2}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}={\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;V_{\!G_{Q},\,x}^{\,2}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}+{\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;V_{\!G_{Q},\,y}^{\,2}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}+{\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;V_{\!G_{Q},\,z}^{\,2}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}\;$» ou encore
* l'énergie cinétique microscopique moyenne de translation des molécules dont le C.D.I. passe par $\;M\;$ en un instant $\;t\;$ quelconque de l'intervalle de temps d'observation $\;({\mathcal {I}}_{\tau })\;$ de durée mésoscopique $\;\tau \;$ «$\;{\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}\;$» égale à «$\;{\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}={\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;V_{\!M,\,x}^{\,2}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}+{\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;V_{\!M,\,y}^{\,2}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}+{\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;V_{\!M,\,z}^{\,2}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}\;$» ;
compte-tenu de l'isotropie de la répartition statistique des vecteurs vitesse des molécules d'un gaz et de la stationnarité de cette dernière dans un gaz en équilibre thermodynamique nous en déduisons $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\Big \langle }V_{\!G_{Q},\,x}^{\,2}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}\simeq {\Big \langle }V_{\!G_{Q},\,y}^{\,2}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}\simeq {\Big \langle }V_{\!G_{Q},\,z}^{\,2}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}\\{\text{ou}}\\{\Big \langle }V_{\!M,\,x}^{\,2}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}\simeq {\Big \langle }V_{\!M,\,y}^{\,2}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}\simeq {\Big \langle }V_{\!M,\,z}^{\,2}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;{\vec {V}}_{\!G_{Q}}^{\,2}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}\simeq \;3\;\;{\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;V_{\!G_{Q},\,x}^{\,2}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}\\{\text{ou}}\\{\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}\simeq \;3\;\;{\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;V_{\!M,\,x}^{\,2}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}\end{array}}\right\rbrace \;$» ;
de la définition de la température cinétique au point $\;M\;$ du gaz en équilibre thermodynamique nous en déduisons «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\dfrac {3}{2}}\;k_{B}\;T(M)\simeq \;3\;\;{\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;V_{\!G_{Q},\,x}^{\,2}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}\\{\text{ou}}\\{\dfrac {3}{2}}\;k_{B}\;T(M)\simeq \;3\;\;{\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;V_{\!M,\,x}^{\,2}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}\end{array}}\right\rbrace \;$» soit, après simplification évidente «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;V_{\!G_{Q},\,x}^{\,2}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}\simeq {\dfrac {1}{2}}\;k_{B}\;T(M)\\{\text{ou}}\\{\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;V_{\!M,\,x}^{\,2}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}\simeq {\dfrac {1}{2}}\;k_{B}\;T(M)\end{array}}\right\rbrace \;$» et plus précisément
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;V_{\!G_{Q},\,x}^{\,2}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}\simeq {\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;V_{\!G_{Q},\,y}^{\,2}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}\simeq {\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;V_{\!G_{Q},\,z}^{\,2}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}\simeq {\dfrac {1}{2}}\;k_{B}\;T(M)\\{\text{ou}}\\{\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;V_{\!M,\,x}^{\,2}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}\simeq {\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;V_{\!M,\,y}^{\,2}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}\simeq {\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;V_{\!M,\,z}^{\,2}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}\simeq {\dfrac {1}{2}}\;k_{B}\;T(M)\end{array}}\right\rbrace \;$
En conclusion, l'énergie cinétique microscopique moyenne de translation des molécules d'un gaz en équilibre thermodynamique, cette dernière dépendant de trois degrés de liberté, se détermine en comptant «$\;{\dfrac {1}{2}}\;k_{B}\;T(M)\;$ par degré de liberté » $\;{\big \$caractérisant l'équipartition de l'énergie cinétique microscopique de translation des molécules d'un gaz en équilibre thermodynamique $\;{\big$dans ce cas l'équipartition de l'énergie est rigoureuse dans la mesure où il y a isotropie et stationnarité de la répartition statistique des vecteurs vitesse$^,$ car elle découle de la définition de la température cinétique du gaz en $\;M{\big )}{\big \}$ d'où
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;{\vec {V}}_{\!G_{Q}}^{\,2}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}\simeq 3\times {\dfrac {1}{2}}\;k_{B}\;T(M)\\{\text{ou}}\\{\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}\simeq 3\times {\dfrac {1}{2}}\;k_{B}\;T(M)\end{array}}\right\rbrace \;$

## Différentes « composantes » de l'énergie cinétique moyenne d’agitation d’une molécule de gaz

Préliminaire : Il faut entendre « composantes de l’énergie cinétique moyenne d’agitation d’une molécule de gaz » au sens de « différents termes de la somme représentant cette énergie » et non au sens de « composantes vectorielles », l'énergie étant une grandeur scalaire.

### Différentes « composantes » de l’énergie cinétique d’agitation d’une molécule de gaz et leur moyenne

Comme nous l'avons introduit au paragraphe « énergie cinétique de translation d'une molécule de gaz dans le référentiel d'étude où le gaz est globalement immobile (exposé) » plus haut dans ce chapitre, l'énergie cinétique microscopique d'agitation thermique d'une molécule «$\;_{i}\;$» de gaz, à l'instant $\;t$, dans le référentiel d’étude $\;{\mathcal {R}}\;$ dans lequel le gaz est globalement immobile «$\;k_{i}(t)\;$» est, selon l'application à la molécule «$\;_{i}\;$» du 2ème théorème de Kœnig $\;{\big$ou théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique${\big )}\;$$^,$, $\;{\big$a priori${\big )}\;$ la somme de deux termes,
* l'un de translation dans $\;{\mathcal {R}}\;$ «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;{\vec {V}}_{\!G_{i}}^{\,2}(t)\;$» $\;{\big \$avec $\;m_{p}\;$ la masse de la molécule et $\;{\vec {V}}_{\!G_{i}}(t)\;$ le vecteur vitesse du C.D.I. $\;G_{i}\;$ de la molécule à l'instant $\;t{\big \}$,
* l'autre de rotation et éventuellement de déformation dans le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}_{i}^{*}\;$ de la molécule » «$\;k_{\,i}^{\,*}(t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{G_{i}}}\;\Omega _{\Delta _{G_{i}}}^{\,2}\!(t)+k_{{\text{déform}},\,i}^{\,*}(t)\;$» $\;{\big \$avec $\;J_{\Delta _{G_{i}}}\;$ le moment d'inertie de la molécule relativement à l'axe instantané de rotation $\;\Delta _{G_{i}}\;$ passant par le C.D.I. $\;G_{i}\;$ de cette dernière et $\;\Omega _{\Delta _{G_{i}}}\!(t)\;$ la vitesse angulaire instantanée de rotation $\;{\big$barycentrique${\big )}\;$ de la molécule à l'instant $\;t\;$ autour $\;\Delta _{G_{i}}\;$, $\;k_{{\text{déform}},\,i}^{\,*}(t)\;$ étant l'éventuelle énergie cinétique microscopique barycentrique de déformation de la molécule au même instant $\;t{\big \}$ ;
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c c c}\underbrace {k_{\,i}(t)} \!\!&=&\!\!\underbrace {{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;{\vec {V}}_{G_{i}}^{\,2}\!(t)} \!\!&+&\!\!\underbrace {k_{\,i}^{\,*}(t)} \\\;{\text{dans}}\;{\mathcal {R}}\!\!&&\!\!{\text{dans}}\;{\mathcal {R}}\!\!&&{\text{dans}}\;{\mathcal {R}}^{*}\\\overbrace {k_{\,i}(t)} \!\!&=&\!\!\overbrace {{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;{\vec {V}}_{G_{i}}^{\,2}\!(t)} \!\!&+&\!\!\overbrace {{\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{G_{i}}}\;\Omega _{\Delta _{G_{i}}}^{\,2}\!(t)+k_{{\text{déform}},\,i}^{\,*}(t)} \end{array}}\right\rbrace \;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$
Nous en déduisons, en prenant la moyenne de chaque membre des relations $\;\left({\mathfrak {a}}\right)$, l'énergie cinétique microscopique moyenne d'agitation thermique des molécules localisées dans un échantillon mésoscopique de gaz $\;\left(d{\mathcal {V}}_{M}\right)\;$ centré en $\;M\;$ «$\;{\Big \langle }k_{Q}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}={\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;{\vec {V}}_{G_{Q}}^{\,2}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}+{\Big \langle }k_{Q}^{\,*}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}\;$» $\;{\bigg \$le 1er terme du 2ème membre «$\;{\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;{\vec {V}}_{G_{Q}}^{\,2}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}\;$» $\;{\big$avec $\;G_{Q}\;$ le C.D.I. de la molécule $\;Q{\big )}$, étant l'énergie cinétique microscopique moyenne de translation des molécules $\;{\big$terme définissant la température cinétique $\;T(M){\big ]}$, le 2nd terme du 2ème membre «$\;{\Big \langle }k_{Q}^{\,*}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}\;$» l'énergie cinétique microscopique barycentrique moyenne des molécules, encore égale à «$\;{\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{G_{Q}}}\;\Omega _{\Delta _{G_{Q}}}^{\,2}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}+{\Big \langle }k_{{\text{déform}},\,Q}^{\,*}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}\;$» $\;{\big$avec $\;J_{\Delta _{G_{Q}}}\;$ le moment d'inertie de la molécule par rapport à l'axe instantané de rotation $\;\Delta _{G_{Q}}\;$ passant par le C.D.I. $\;G_{Q}\;$ de cette dernière et $\;\Omega _{\Delta _{G_{Q}}}\;$ la vitesse angulaire instantanée de rotation $\;{\big$barycentrique${\big )}\;$ de la molécule autour $\;\Delta _{G_{Q}}\;$${\big ]}\;$ c'est-à-dire à la somme des énergies cinétiques microscopiques de rotation et de déformation barycentriques moyennes${\bigg \}$ soit finalement
$\;{\Big \langle }k_{Q}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}={\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;{\vec {V}}_{G_{Q}}^{\,2}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}+{\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{G_{Q}}}\;\Omega _{\Delta _{G_{Q}}}^{\,2}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}+{\Big \langle }k_{{\text{déform}},\,Q}^{\,*}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}\;$
$\;\color {transparent}{{\Big \langle }k_{Q}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}}\;$
$\;=\quad \;{\dfrac {3}{2}}\;k_{B}\;T(M)\quad \quad \quad +{\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{G_{Q}}}\;\Omega _{\Delta _{G_{Q}}}^{\,2}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}+{\Big \langle }k_{{\text{déform}},\,Q}^{\,*}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}\;$
De même, en prenant la moyenne temporelle de chaque membre des relations $\;\left({\mathfrak {a}}\right)$, nous en déduisons l'énergie cinétique microscopique moyenne d'agitation thermique des molécules «$\;_{i}\;$» dont le C.D.I. passe par $\;M\;$ en un instant $\;t\;$ quelconque de l'intervalle de temps d'observation $\;({\mathcal {I}}_{\tau })\;$ de durée mésoscopique $\;\tau \;$ «$\;{\Big \langle }k_{i}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}={\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;{\vec {V}}_{G_{i}\,=\,M}^{\,2}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}+{\Big \langle }k_{i}^{\,*}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}\;$» $\;{\bigg \$le 1er terme du 2ème membre «$\;{\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;{\vec {V}}_{G_{i}\,=\,M}^{\,2}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}\;$» étant l'énergie cinétique microscopique moyenne de translation des molécules «$\;_{i}\;$» dont le C.D.I. passe par $\;M$ $\;{\big$terme définissant la température cinétique $\;T(M){\big ]}$, le 2nd terme du 2ème membre «$\;{\Big \langle }k_{i}^{\,*}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}\;$» l'énergie cinétique microscopique barycentrique moyenne de ces molécules, égale à «$\;{\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{M}}\;\Omega _{\Delta _{M}}^{\,2}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}+{\Big \langle }k_{{\text{déform}},\,i}^{\,*}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}\;$» $\;{\big$avec $\;J_{\Delta _{M}}\;$ le moment d'inertie de la molécule par rapport à l'axe instantané de rotation $\;\Delta _{M}\;$ passant par le C.D.I. $\;M\;$ de cette dernière et $\;\Omega _{\Delta _{M}}\;$ la vitesse angulaire instantanée de rotation $\;{\big$barycentrique${\big )}\;$ de la molécule autour $\;\Delta _{M}\;$${\big ]}\;$ c'est-à-dire à la somme des énergies cinétiques microscopiques de rotation et de déformation barycentriques moyennes${\bigg \}$ soit finalement
$\;{\Big \langle }k_{i}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}={\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;{\vec {V}}_{G_{i}\,=\,M}^{\,2}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}+{\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{M}}\;\Omega _{\Delta _{M}}^{\,2}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}+{\Big \langle }k_{{\text{déform}},\,i}^{\,*}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}\;$
$\;\color {transparent}{{\Big \langle }k_{i}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}}\;$
$\;\;=\quad \quad \;\;{\dfrac {3}{2}}\;k_{B}\;T(M)\quad \quad \quad \;+{\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{M}}\;\Omega _{\Delta _{M}}^{\,2}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}+{\Big \langle }k_{{\text{déform}},\,i}^{\,*}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}\;$

### En complément, notion d'équipartition de l'énergie (suite)

Rappel : Nous avons établi, au paragraphe « en complément, 1ère notion d'équipartition de l'énergie » plus haut dans ce chapitre, que l'énergie cinétique microscopique moyenne de translation des molécules d'un gaz en équilibre thermodynamique s'évalue en comptant «$\;{\dfrac {1}{2}}\;k_{B}\;T(M)\;$ par degré de liberté » $\;{\big \$caractérisant l'équipartition de l'énergie cinétique microscopique de translation des molécules d'un gaz en équilibre thermodynamique${\big \}$ soit, sachant qu'il y a trois degrés de liberté pour l'énergie cinétique microscopique de translation d'une molécule,
$\;{\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;{\vec {V}}_{G_{Q}}^{\,2}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}={\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;{\vec {V}}_{G_{i}\,=\,M}^{\,2}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}=3\,\times \,{\dfrac {1}{2}}\;k_{B}\;T(M)={\dfrac {3}{2}}\;k_{B}\;T(M)\;$
Prolongement empirique : Observant l'existence d'une plus ou moins grande corrélation entre les énergies cinétiques microscopiques de rotation et de déformation barycentriques moyennes des molécules d'un gaz en équilibre thermodynamique $\;{\big$ainsi que l'énergie potentielle microscopique de déformation barycentrique moyenne${\big )}\;$ et leur énergie cinétique microscopique moyenne de translation, Prolongement empirique : nous admettons le prolongement empirique de la notion d'équipartition de l'énergie aux énergies cinétiques microscopiques de rotation et de déformation barycentriques des molécules d'un gaz en équilibre thermodynamique $\;{\big$ainsi qu'à l'énergie potentielle microscopique de déformation barycentrique moyenne${\big )}\;$ selon Prolongement empirique : nous admettons «$\;\simeq {\dfrac {1}{2}}\;k_{B}\;T(M)\;$ par degré de liberté associé à l'énergie cinétique microscopique de rotation barycentrique » et Prolongement empirique : nous admettons «$\;\simeq 2\times {\dfrac {1}{2}}\;k_{B}\;T(M)=k_{B}\;T(M)\;$ par degré de liberté associé aux énergies cinétique et potentielle microscopiques de vibration barycentrique » Prolongement empirique : $\;{\big \$toutefois l'applicabilité approximative de l'équipartition de l'énergie à ces énergies cinétiques $\;{\big$et éventuellement potentielles${\big )}\;$ microscopiques barycentriques nécessite des valeurs de température cinétique plus ou moins élevées dépendant du type de molécules $\;{\big$restant à préciser${\big )}{\big \}$.
Remarque : Comme l'intervention d'un degré de liberté de vibration barycentrique d'une molécule fait intervenir, simultanément à son énergie cinétique microscopique de vibration barycentrique, une énergie potentielle associée, nous remplaçons ci-après le qualificatif « cinétique » donnée à l'énergie microscopique envisagée par celui de « mécanique » $\;{\big$même dans le cas d'absence de degré de liberté de vibration barycentrique${\big )}$.
Exemples : $\blacktriangleright \;$pour des molécules monoatomiques, les énergies mécaniques microscopiques de rotation ou de déformation barycentriques n'existant pas, leur énergie mécanique microscopique moyenne «$\;{\Big \langle }e_{m,\,Q}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}=$ ${\Big \langle }e_{m,\,i}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}\;$» s'identifie à leur énergie cinétique microscopique moyenne de translation c'est-à-dire «$\;{\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;{\vec {V}}_{G_{Q}}^{\,2}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}={\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;{\vec {V}}_{G_{i}\,=\,M}^{\,2}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}\;$» rigoureusement égale à «$\;{\dfrac {3}{2}}\;k_{B}\;T(M)\;$» ;
Exemples : $\blacktriangleright \;$pour des molécules diatomiques non déformables, il y a deux degrés de liberté de rotation associés à l'énergie cinétique microscopique de rotation barycentrique et les molécules étant non déformables, l'énergie mécanique microscopique de déformation barycentrique n'existe pas $\Rightarrow$ leur énergie mécanique microscopique moyenne «$\;{\Big \langle }e_{m,\,Q}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}={\Big \langle }e_{m,\,i}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}\;$» s'identifie à l'énergie cinétique microscopique moyenne de translation «$\;{\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;{\vec {V}}_{G_{Q}}^{\,2}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}=$ ${\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;{\vec {V}}_{G_{i}\,=\,M}^{\,2}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}\;$» rigoureusement égale à «$\;{\dfrac {3}{2}}\;k_{B}\;T(M)\;$» à laquelle il convient d'ajouter celle de rotation barycentrique «$\;{\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{G_{Q}}}\;\Omega _{\Delta _{G_{Q}}}^{\,2}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}$ $={\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{M}}\;\Omega _{\Delta _{M}}^{\,2}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}\;$» approximativement $\;{\big$sous condition de température cinétique suffisante${\big )}\;$ égale à «$\;2\,\times \,{\dfrac {1}{2}}\;k_{B}\;T(M)=k_{B}\;T(M)\;$» d'où
$\;{\Big \langle }e_{m,\,Q}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}={\Big \langle }e_{m,\,i}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}\simeq {\dfrac {5}{2}}\;k_{B}\;T(M)\;$
$\;{\Big \langle }e_{m,\,Q}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}={\Big \langle }e_{m,\,i}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}\in \left[{\dfrac {3}{2}}\;k_{B}\;T(M)\,,\,{\dfrac {5}{2}}\;k_{B}\;T(M)\right]\;$
Exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$$\;\succ \;$exemple du dihydrogène «$\;H_{2}\;$» : pour $\;T\gtrsim 300\;K\;$ «$\;{\Big \langle }e_{m,\,Q}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}={\Big \langle }e_{m,\,i}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}\simeq {\dfrac {5}{2}}\;k_{B}\;T(M)\;$», Exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$$\;\color {transparent}{\succ }\;$exemple du dihydrogène «$\;\color {transparent}{H_{2}}\;$» : pour $\;T\leqslant 85\;K\;$ les degrés de liberté de rotation barycentrique sont gelés et «$\;{\Big \langle }e_{m,\,Q}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}={\Big \langle }e_{m,\,i}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}={\dfrac {3}{2}}\;k_{B}\;T(M)\;$», Exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$$\;\color {transparent}{\succ }\;$exemple du dihydrogène «$\;\color {transparent}{H_{2}}\;$» : pour $\;85\;K\leqslant T\lesssim 300\;K\;$ les degrés de liberté de rotation barycentrique sont partiellement débloqués $\;{\big$et donc aussi partiellement gelés${\big )}\;$ «$\;{\Big \langle }e_{m,\,Q}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}$ $={\Big \langle }e_{m,\,i}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}\in \left[{\dfrac {3}{2}}\;k_{B}\;T(M)\,,\,{\dfrac {5}{2}}\;k_{B}\;T(M)\right]\;$» par exemple pour $\;T\simeq 145\;K\;$ «$\;{\Big \langle }e_{m,\,Q}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}={\Big \langle }e_{m,\,i}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}\simeq 2\;k_{B}\;T(M)\;$ ${\big \$les degrés de liberté de rotation barycentrique étant débloqués à $\;50\;\%{\big \}$» ;
Exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$$\;\succ \;$exemple du dioxygène «$\;O_{2}\;$» : pour $\;T\gtrsim 90\;K\;$ le dioxygène est gazeux à pression ordinaire «$\;{\Big \langle }e_{m,\,Q}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}={\Big \langle }e_{m,\,i}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}\simeq {\dfrac {5}{2}}\;k_{B}\;T(M)\;$»$^,$ ;
Exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$$\;\succ \;$les degrés de liberté de rotation barycentrique des molécules diatomiques sont, à température ordinaire, toujours débloqués $\;{\big \$leur gel nécessitant une température très basse $\;{\big85\;K\;$ pour $\;H_{2}$, $\;42\;K\;$ pour le dideutérium $\;D_{2}$, inaccessible sous forme gazeuse pour les autres gaz diatomiques${\big )}\!{\big \}$ ;
Exemples : $\blacktriangleright \;$pour des molécules diatomiques déformables, il y a deux degrés de liberté de rotation associés à l'énergie cinétique microscopique de rotation barycentrique, de plus les molécules étant déformables $\;{\big$sous condition de température cinétique suffisante${\big )}$, il y a un degré de liberté de vibration entre les deux atomes des molécules auquel est associé leur énergie mécanique $\;{\big$c'est-à-dire cinétique et potentielle${\big )}\;$ microscopique de vibration barycentrique $\Rightarrow$ l'énergie mécanique microscopique moyenne des molécules diatomiques déformables «$\;{\Big \langle }e_{m,\,Q}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}={\Big \langle }e_{m,\,i}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}\;$» s'identifie à l'énergie cinétique microscopique moyenne de translation «$\;{\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;{\vec {V}}_{G_{Q}}^{\,2}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}=$ ${\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;{\vec {V}}_{G_{i}\,=\,M}^{\,2}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}\;$» rigoureusement égale à «$\;{\dfrac {3}{2}}\;k_{B}\;T(M)\;$» à laquelle il convient d'ajouter celle de rotation barycentrique «$\;{\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{G_{Q}}}\;\Omega _{\Delta _{G_{Q}}}^{\,2}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}=$ ${\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{M}}\;\Omega _{\Delta _{M}}^{\,2}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}\;$» approximativement $\;{\big$sous 1ère condition de température cinétique suffisante${\big )}\;$ égale à «$\;2\,\times \,{\dfrac {1}{2}}\;k_{B}\;T(M)=k_{B}\;T(M)\;$» et l'énergie mécanique microscopique moyenne de vibration barycentrique «$\;{\Big \langle }e_{m,\,{\text{déform}},\,Q}^{\,*}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}={\Big \langle }e_{m,\,{\text{déform}},\,i}^{\,*}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}\;$» approximativement $\;{\big$sous 2ème condition de température cinétique suffisante${\big )}\;$ égale à «$\;1\,\times \,k_{B}\;T(M)=k_{B}\;T(M)\;$» d'où, en ne considérant que les cas où la déformation des molécules diatomiques est effective $\;{\big$c'est-à-dire avec le degré de liberté de vibration barycentrique non gelé${\big )}$,
$\;{\Big \langle }e_{m,\,Q}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}={\Big \langle }e_{m,\,i}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}\simeq {\dfrac {7}{2}}\;k_{B}\;T(M)\;$
$\;{\Big \langle }e_{m,\,Q}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}={\Big \langle }e_{m,\,i}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}\in \left[{\dfrac {5}{2}}\;k_{B}\;T(M)\,,\,{\dfrac {7}{2}}\;k_{B}\;T(M)\right]\;$
Exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$$\;\succ \;$exemple du dihydrogène «$\;H_{2}\;$» : pour $\;T\gtrsim 800\;K\;$ le degré de vibration barycentrique commence à se dégeler $\;{\big$alors que ceux de rotation barycentrique le sont entièrement${\big )}\;$ d'où «$\;{\Big \langle }e_{m,\,Q}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}$ $={\Big \langle }e_{m,\,i}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}\in \left[{\dfrac {5}{2}}\;k_{B}\;T(M)\,,\,{\dfrac {7}{2}}\;k_{B}\;T(M)\right]\;$», la borne supérieure de l'intervalle qui correspondrait au degré de vibration barycentrique entièrement dégelé nécessitant une température cinétique $\;T\gtrsim 6100\;K\;$ est quasiment inaccessible dans la pratique $\;{\bigg \$par exemple, si $\;T\simeq 2500\;K$, le degré de vibration barycentrique est débloqué à $\;\simeq 80\;\%$ $\;{\big$donc gelé à $\;\simeq 20\;\%{\big )}\;$ et «$\;{\Big \langle }e_{m,\,Q}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}$ $={\Big \langle }e_{m,\,i}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}\simeq {\dfrac {6,6}{2}}\;k_{B}\;T(M)=3,3\;k_{B}\;T(M)\;$»${\bigg \}$ ;
Exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$$\;\succ \;$exemple du dioxygène «$\;O_{2}\;$» : pour $\;T\gtrsim 300\;K\;$ le degré de vibration barycentrique commence à se dégeler $\;{\big$alors que ceux de rotation barycentrique le sont entièrement${\big )}\;$ d'où «$\;{\Big \langle }e_{m,\,Q}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}$ $={\Big \langle }e_{m,\,i}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}\in \left[{\dfrac {5}{2}}\;k_{B}\;T(M)\,,\,{\dfrac {7}{2}}\;k_{B}\;T(M)\right]\;$», la borne supérieure de l'intervalle correspondant au degré de vibration barycentrique entièrement dégelé nécessite une température cinétique $\;T\gtrsim 2230\;K$ $\;{\bigg \$par exemple, si $\;T\simeq 900\;K$, le degré de vibration barycentrique est débloqué à $\;\simeq 80\;\%$ $\;{\big$donc gelé à $\;\simeq 20\;\%{\big )}\;$ et «$\;{\Big \langle }e_{m,\,Q}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}={\Big \langle }e_{m,\,i}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}\simeq$ ${\dfrac {6,6}{2}}\;k_{B}\;T(M)=3,3\;k_{B}\;T(M)\;$»${\bigg \}$ ;
Exemples : $\blacktriangleright \;$pour des molécules triatomiques linéaires, exemple du dioxyde de carbone «$\;CO_{2}\;$» : il y a deux degrés de liberté de rotation associés à l'énergie cinétique microscopique de rotation barycentrique et quatre degrés de liberté de vibration associés à l'énergie cinétique $\;{\big$et potentielle${\big )}\;$ microscopique de vibration barycentrique, chaque degré de liberté étant débloqué sous condition de température cinétique suffisante $\;{\big$pratiquement la température minimale pour dégeler entièrement un degré de liberté de rotation barycentrique est toujours assez nettement inférieure à celles pour dégeler entièrement chaque degré de liberté de vibration barycentrique${\big )}$ ; de plus il est nécessaire d'imposer $\;T\gtrsim 194,5\;K\;$ pour que le dioxyde de carbone soit gazeux à pression ordinaire, les degrés de liberté de rotation barycentrique s'en trouvent alors débloqués, toutefois «$\;{\Big \langle }e_{m,\,Q}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}={\Big \langle }e_{m,\,i}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}>{\dfrac {5}{2}}\;k_{B}\;T(M)\;$» pour $\;T\gtrsim 194,5\;K\;$ car les degrés de liberté de vibration barycentrique sont déjà plus ou moins partiellement débloqués $\;{\bigg \$par exemple, pour $\;T\simeq 194,5\;K$, «$\;{\Big \langle }e_{m,\,Q}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}={\Big \langle }e_{m,\,i}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}\simeq 3,2\;k_{B}\;T(M)={\dfrac {6,4}{2}}\;k_{B}\;T(M)\;$» ce qui pourrait correspondre à un 1er degré de liberté de vibration débloqué à $\;70\;\%$ $\;{\big$en supposant qu'il n'y ait qu'un degré de liberté de vibration débloqué${\big )}\!{\bigg \}$ ; finalement «$\;{\Big \langle }e_{m,\,Q}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}={\Big \langle }e_{m,\,i}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}\in \left[{\dfrac {5}{2}}\;k_{B}\;T(M)\,,\,{\dfrac {13}{2}}\;k_{B}\;T(M)\right]\;$», la borne supérieure de l'intervalle correspondant aux degrés de vibration barycentrique entièrement dégelés nécessite une température cinétique théorique $\;T\gtrsim 3400\;K$ $\;{\big$mais cette valeur est déjà approchée à $\;1\;\%\;$ près à la température de $\;2400\;K{\big )}$ ;
Exemples : $\blacktriangleright \;$pour des molécules triatomiques non linéaires, exemple de l'eau «$\;H_{2}O\;$» : il y a trois degrés de liberté de rotation associés à l'énergie cinétique microscopique de rotation barycentrique et trois degrés de liberté de vibration associés à l'énergie cinétique $\;{\big$et potentielle${\big )}\;$ microscopique de vibration barycentrique, chaque degré de liberté étant débloqué sous condition de température cinétique suffisante $\;{\big$pratiquement la température minimale pour dégeler entièrement un degré de liberté de rotation barycentrique est toujours assez nettement inférieure à celles pour dégeler entièrement chaque degré de liberté de vibration barycentrique${\big )}$ ; de plus il est nécessaire d'imposer $\;T\gtrsim 373\;K\;$ pour que l'eau soit sous phase vapeur à pression ordinaire, les degrés de liberté de rotation barycentrique s'en trouvent alors débloqués, toutefois «$\;{\Big \langle }e_{m,\,Q}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}={\Big \langle }e_{m,\,i}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}>3\;k_{B}\;T(M)\;$» pour $\;T\gtrsim 373\;K\;$ car les degrés de liberté de vibration barycentrique sont déjà plus ou moins partiellement débloqués $\;{\bigg \$par exemple, pour $\;T\simeq 373\;K$, «$\;{\Big \langle }e_{m,\,Q}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}={\Big \langle }e_{m,\,i}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}\simeq 3,4\;k_{B}\;T(M)={\dfrac {6,8}{2}}\;k_{B}\;T(M)\;$» ce qui pourrait correspondre à un 1er degré de liberté de vibration débloqué à $\;40\;\%$ $\;{\big$en supposant qu'il n'y ait qu'un degré de liberté de vibration débloqué${\big )}\!{\bigg \}$ ; finalement «$\;{\Big \langle }e_{m,\,Q}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}={\Big \langle }e_{m,\,i}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}\in \left[3\;k_{B}\;T(M)\,,\,6\;k_{B}\;T(M)\right]\;$», la borne supérieure de l'intervalle correspondant aux degrés de vibration barycentrique entièrement dégelés nécessite une température cinétique théorique $\;T\gtrsim 5400\;K$ $\;{\big$ce qui est difficilement accessible en laboratoire${\big )}$ ;
Exemples : $\blacktriangleright \;$pour des molécules tétratomiques non linéaires, exemple de l'ammoniac «$\;NH_{3}\;$» : il y a trois degrés de liberté de rotation associés à l'énergie cinétique microscopique de rotation barycentrique et six degrés de liberté de vibration associés à l'énergie cinétique $\;{\big$et potentielle${\big )}\;$ microscopique de vibration barycentrique, chaque degré de liberté étant débloqué sous condition de température cinétique suffisante $\;{\big$pratiquement la température minimale pour dégeler entièrement un degré de liberté de rotation barycentrique est toujours assez nettement inférieure à celles pour dégeler entièrement chaque degré de liberté de vibration barycentrique${\big )}$ ; de plus il est nécessaire d'imposer $\;T\gtrsim 240\;K\;$ pour que l'ammoniac soit gazeux à pression ordinaire, les degrés de liberté de rotation barycentrique s'en trouvent alors débloqués, toutefois «$\;{\Big \langle }e_{m,\,Q}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}={\Big \langle }e_{m,\,i}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}>3\;k_{B}\;T(M)\;$» pour $\;T\gtrsim 240\;K\;$ car les degrés de liberté de vibration barycentrique sont déjà plus ou moins partiellement débloqués $\;{\bigg \$par exemple, pour $\;T\simeq 573\;K$, «$\;{\Big \langle }e_{m,\,Q}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}={\Big \langle }e_{m,\,i}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}\simeq 3,55\;k_{B}\;T(M)={\dfrac {7,1}{2}}\;k_{B}\;T(M)\;$» ce qui pourrait correspondre à un 1er degré de liberté de vibration débloqué à $\;55\;\%$ $\;{\big$en supposant qu'il n'y ait qu'un degré de liberté de vibration débloqué${\big )}\!{\bigg \}$ ; finalement «$\;{\Big \langle }e_{m,\,Q}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}={\Big \langle }e_{m,\,i}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}\in \left[3\;k_{B}\;T(M)\,,\,9\;k_{B}\;T(M)\right]\;$», la borne supérieure de l'intervalle correspondant aux degrés de vibration barycentrique entièrement dégelés nécessite une température cinétique théorique $\;T\gtrsim 4800\;K$ $\;{\big$difficilement accessible en laboratoire${\big )}$.

## Modèle du G.P.M. (gaz parfait monoatomique)

Un G.P.M. est un G.P. c'est-à-dire un gaz de « molécules identiques » « quasi-ponctuelles » « sans interaction intermoléculaire » ; de plus les molécules sont « monoatomiques » $\;{\big$le G.P.M. n’a alors pas de degrés de liberté de rotation et de vibration barycentriques${\big )}$.
Pour un G.P.M. on adopte la répartition statistique des vecteurs vitesse des molécules traduisant les propriétés d'isotropie, d'homogénéité et de stationnarité $\;{\big$cette dernière propriété si le G.P.M. est en équilibre thermodynamique${\big )}\;$.
Remarque : si le gaz est composé de « plusieurs types de molécules monoatomiques », « quasi-ponctuelles » et « sans interaction intermoléculaire » y compris entre deux types différents de molécules, le gaz est un « mélange idéal de G.P.M. » $\;{\big$et non un G.P.M.${\big )}$.

## Généralisation, modèle du G.P.P. (gaz parfait polyatomique)

Un G.P.P. est un G.P. c'est-à-dire un gaz de « molécules identiques » « quasi-ponctuelles » « sans interaction intermoléculaire » ; de plus les molécules sont « polyatomiques » $\;{\big \$le G.P.P. a alors des degrés de liberté de rotation et de vibration barycentriques $\;{\big$qui peuvent bien sûr être gelés entièrement ou partiellement${\big )}{\big \}$.
Pour un G.P.P. on adopte la répartition statistique des vecteurs vitesse des molécules traduisant les propriétés d'isotropie, d'homogénéité et de stationnarité $\;{\big$cette dernière propriété si le G.P.P. est en équilibre thermodynamique${\big )}\;$.
Remarques : si le gaz est composé de « plusieurs types de molécules polyatomiques », « quasi-ponctuelles » et « sans interaction intermoléculaire » y compris entre deux types différents de molécules, le gaz est un « mélange idéal de G.P.P. » $\;{\big$et non un G.P.P.${\big )}$.
Remarques : si le gaz est composé de « plusieurs types de molécules dont au moins un type correspond à une molécule polyatomique », « quasi-ponctuelles » et « sans interaction intermoléculaire » y compris entre deux types différents de molécules, le gaz est un « mélange idéal de G.P. » $\;{\big$et non un G.P.${\big )}$.

## Température cinétique d’un G.P.M. et lien avec l’énergie cinétique moyenne d’agitation moléculaire
### Énergie cinétique moyenne d’agitation d’une molécule de G.P.M. «〈 k$_{molécule}$ 〉»

Comme une molécule de G.P.M. n’a aucun degré de liberté de rotation barycentrique $\;{\big$la molécule étant monoatomique se confond avec son C.D.I.${\big )}\;$ ni aucun degré de liberté de vibration barycentrique $\;{\big$la molécule étant monoatomique n'inclut aucune liaison covalente${\big )}$, son énergie cinétique microscopique moyenne d’agitation thermique s’identifie à celle de translation dans le référentiel d’étude $\;{\mathcal {R}}\;$ soit
$\;{\Big \langle }k_{\text{molécule}}{\Big \rangle }(M)={\Big \langle }k_{Q}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}={\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\,\left[{\vec {V}}_{Q}\right]^{2}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}={\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\,\left[V_{M}^{\,*}\right]^{2}\;$
$\;\color {transparent}{{\Big \langle }k_{\text{molécule}}{\Big \rangle }(M)}\;$
$={\Big \langle }k_{i}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}={\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;{\vec {V}}_{M}^{\,2}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}={\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\,\left[V_{M}^{\,*}\right]^{2}\;$
$\;V_{M}^{\,*}\;$
$\;M\;$
$\;M\;$
$\;t\;$

### Température cinétique « T » d’un G.P.M. et lien avec l’énergie cinétique moyenne d’agitation moléculaire «〈 k$_{molécule}$ 〉»

La température cinétique en un point $\;M\;$ d’un G.P.M. «$\;T(M)\;$» étant définie par «$\;{\dfrac {3}{2}}\;k_{B}\;T(M)={\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\,\left[V_{M}^{\,*}\right]^{2}\;$» et l’énergie cinétique microscopique moyenne d’agitation thermique d’une molécule de G.P.M. passant par $\;M\;$ s'identifiant à celle de translation selon «$\;{\Big \langle }k_{\text{molécule}}{\Big \rangle }(M)={\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\,\left[V_{M}^{\,*}\right]^{2}\;$», nous en déduisons le lien entre la température cinétique d’un G.P.M. en $\;M\;$ et l’énergie cinétique microscopique moyenne d'agitation thermique d’une molécule de ce gaz passant par le même point $\;M\;$
$\;{\dfrac {3}{2}}\;k_{B}\;T(M)={\Big \langle }k_{\text{molécule}}{\Big \rangle }(M)\;$
$\;{\big$
${\big )}$
si le G.P.M. est en équilibre thermodynamique interne indépendamment de son extérieur ou avec un extérieur dont la température est constante, la température cinétique du G.P.M. est indépendante du point $\;M\;$ où elle est définie $\;{\big$de même que l'énergie cinétique microscopique moyenne d'agitation thermique des molécules du G.P.M.${\big )}\;$ soit
$\;{\dfrac {3}{2}}\;k_{B}\;T={\Big \langle }k_{\text{molécule}}{\Big \rangle }\;$
$\;M\;$

## Généralisation, température cinétique d’un G.P.P. et lien avec l’énergie cinétique moyenne de translation moléculaire
### Énergie cinétique moyenne d’agitation d’une molécule de G.P.P. «〈 k$_{molécule}$ 〉»

Comme une molécule de G.P.P. possède au moins deux degrés de liberté de rotation barycentrique $\;{\big$la molécule étant au moins diatomique ne peut être confondue avec son C.D.I. $\;{\big$même si ses dimensions propres sont négligeables devant le libre parcours moyen du gaz${\big )}{\big ]}\;$ et au moins un degré de liberté de vibration barycentrique $\;{\big$la molécule étant au moins diatomique il y a au minimum une liaison covalente dont la longueur peut osciller,${\big )}$, son énergie cinétique microscopique moyenne d’agitation thermique est égale à la somme de celle de translation dans le référentiel d’étude $\;{\mathcal {R}}\;$ et de celles de rotation et de vibration dans le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ soit
$\;{\Big \langle }k_{\text{molécule}}{\Big \rangle }(M)={\Big \langle }k_{Q}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}={\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\,\left[{\vec {V}}_{G_{Q}}\right]^{2}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}+{\Big \langle }k_{Q}^{\,*}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}={\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\,\left[V_{M}^{\,*}\right]^{2}+{\Big \langle }k_{\text{molécule}}^{\,*}{\Big \rangle }(M)\;$
$\;\color {transparent}{{\Big \langle }k_{\text{molécule}}{\Big \rangle }(M)}\;$
$={\Big \langle }k_{i}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}={\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;{\vec {V}}_{G_{i}=M}^{\,2}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}+{\Big \langle }k_{i}^{\,*}{\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}={\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\,\left[V_{M}^{\,*}\right]^{2}+{\Big \langle }k_{\text{molécule}}^{\,*}{\Big \rangle }(M)\;$
$\;V_{M}^{\,*}\;$
$\;M\;$
$\;M\;$
$\;{\Big \langle }k_{\text{molécule}}^{\,*}{\Big \rangle }(M)\;$
$\;t\;$

### Température cinétique « T » d’un G.P.P. et lien avec l’énergie cinétique moyenne d’agitation moléculaire de translation «〈 k$_{molécule,transl}$ 〉»

La température cinétique en un point $\;M\;$ d’un G.P.P. «$\;T(M)\;$» étant définie par «$\;{\dfrac {3}{2}}\;k_{B}\;T(M)={\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\,\left[V_{M}^{\,*}\right]^{2}\;$» et l’énergie cinétique microscopique moyenne de translation d’une molécule de G.P.P. dont le C.D.I. passe par $\;M\;$ vérifiant «$\;{\Big \langle }k_{\text{molécule, transl}}{\Big \rangle }(M)={\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\,\left[V_{M}^{\,*}\right]^{2}\;$», nous pouvons réécrire le lien entre la température cinétique d’un G.P.P. en $\;M\;$ et l’énergie cinétique microscopique moyenne de translation d’une molécule de ce gaz dont le C.D.I. passe par le même point $\;M\;$ selon
$\;{\dfrac {3}{2}}\;k_{B}\;T(M)={\Big \langle }k_{\text{molécule, transl}}{\Big \rangle }(M)\;$
si le G.P.P. est en équilibre thermodynamique interne indépendamment de son extérieur ou avec un extérieur dont la température est constante, la température cinétique du G.P.P. est indépendante du point $\;M\;$ où elle est définie $\;{\big$de même que l'énergie cinétique microscopique moyenne de translation des molécules du G.P.P.${\big )}\;$ soit
$\;{\dfrac {3}{2}}\;k_{B}\;T={\Big \langle }k_{\text{molécule, transl}}{\Big \rangle }\;$
$\;M\;$

### En complément, condition sur la température cinétique du G.P.P. en équilibre thermodynamique pour que l'énergie cinétique moyenne d’agitation moléculaire du G.P.P. se limite à celle de translation

$\;M\;$
La condition sur la température cinétique «$\;T\;$» du G.P.P. en équilibre thermodynamique pour que l'énergie cinétique microscopique moyenne d’agitation thermique du G.P.P. «$\;{\Big \langle }k_{\text{molécule}}{\Big \rangle }\;$» se limite à celle de translation «$\;{\Big \langle }k_{\text{molécule, transl}}{\Big \rangle }\;$» est que La condition l'énergie microscopique cinétique moyenne de rotation et de vibration barycentriques d’une molécule de G.P.P. en équilibre thermodynamique «$\;{\Big \langle }k_{\text{molécule}}^{\,*}{\Big \rangle }\;$» soit quasi-nulle, c'est-à-dire que La condition ses degrés de liberté de rotation barycentrique ainsi que celui $\;{\big$ou ceux${\big )}\;$ de liberté de vibration barycentrique soient gelés, La condition ceci étant, en pratique, réalisé à très basse température $\;{\big$pouvant être de l’ordre de « quelques kelvins »${\big )}\;$ c'est-à-dire
$\;T<T_{\text{blocage}}\;$
$\;T_{\text{blocage}}\;$
$\;{\big$
${\big )}$
La condition nous en déduisons «$\;{\Big \langle }k_{\text{molécule}}{\Big \rangle }\simeq {\Big \langle }k_{\text{molécule, transl}}{\Big \rangle }\;$» c'est-à-dire qu'« à $\;T<T_{\text{blocage}}\;$» le G.P.P. se comporte comme un G.P.M. dans la mesure où il est en équilibre thermodynamique.

## Ordre de grandeur de la vitesse quadratique moyenne des molécules d’un G.P. en équilibre thermodynamique
### « Rappel » du lien entre la température cinétique d’un G.P. en équilibre thermodynamique et la vitesse quadratique moyenne des molécules de ce gaz

Le lien entre la température cinétique d’un G.P. en équilibre thermodynamique et la vitesse quadratique moyenne des molécules de ce gaz a été donné au paragraphe « 2ème définition de la température cinétique d'un gaz en équilibre thermodynamique » plus haut dans ce chapitre, il est rappelé ci-dessous
$\;{\dfrac {1}{2}}\;M_{\text{gaz}}\,\left[V_{\!M}^{\,*}\right]^{2}={\dfrac {3}{2}}\;R\;T(M)\;:\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$
$\;M_{\text{gaz}}\;$
$\;R\simeq 8,314\;J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}\;$

### Ordre de grandeur de la vitesse quadratique moyenne des molécules de quelques G.P.

$\;M\;$
De la relation $\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$ rappelée dans le paragraphe « rappel du lien entre la température cinétique d'un G.P. en équilibre thermodynamique et la vitesse quadratique moyenne des molécules de ce gaz » plus haut dans ce chapitre nous en déduisons De la relation $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {b}}\right)}\;$ l'expression de la vitesse quadratique moyenne des molécules d'un G.P. $\;V_{\text{gaz}}^{\,*}\;$ en fonction de la température cinétique $\;T\;$ de ce dernier «$\;V_{\text{gaz}}^{\,*}(T)={\sqrt {\dfrac {3\;R\;T}{M_{\text{gaz}}}}}\;:\;\left({\mathfrak {c}}\right)\;$».
Exemples : $\blacktriangleright \;$le dihydrogène «$\;H_{2}\;$» étant le gaz à plus faible masse molaire moléculaire $\;M_{H_{2}}\simeq 2,0\;g\cdot mol^{-1}\;$ est celui dont les molécules ont la plus grande vitesse quadratique moyenne $\;V_{\text{gaz}}^{\,*}(T)\;$ à température cinétique $\;T\;$ fixée, par exemple : Exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$le dihydrogène «$\;\color {transparent}{H_{2}}\;$» $\succ \;$à température cinétique ordinaire $\;T_{1}\simeq 293\;K$, «$\;V_{H_{2}}^{\,*}(T_{1})\simeq {\sqrt {\dfrac {3\times 8,314\times 293}{2,0\;10^{-3}}}}\simeq 1910\;m\cdot s^{-1}\;$», Exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$le dihydrogène «$\;\color {transparent}{H_{2}}\;$» $\succ \;$à très basse température cinétique $\;T_{2}\simeq 20,4\;K$ $\;{\big$la plus basse température laissant le dihydrogène en phase gazeuse sous pression ordinaire${\big )}$, la vitesse quadratique moyenne des molécules est $\;{\sqrt {\dfrac {293}{20,4}}}\simeq 3,8\;$ fois plus faible que celle à température ordinaire soit «$\;V_{H_{2}}^{\,*}(T_{2})\simeq {\sqrt {\dfrac {3\times 8,314\times 20,4}{2,0\;10^{-3}}}}\simeq 500\;m\cdot s^{-1}\;$», Exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$le dihydrogène «$\;\color {transparent}{H_{2}}\;$» $\succ \;$à température cinétique élevée $\;T_{3}\simeq 2500\;K$, la vitesse quadratique moyenne des molécules est $\;{\sqrt {\dfrac {2500}{293}}}\simeq 2,9\;$ fois plus grande que celle à température ordinaire soit «$\;V_{H_{2}}^{\,*}(T_{3})\simeq {\sqrt {\dfrac {3\times 8,314\times 2500}{2,0\;10^{-3}}}}\simeq 5580\;m\cdot s^{-1}\;$» ;
Exemples : $\blacktriangleright \;$le diazote «$\;N_{2}\;$», principal constituant de l'air à $\;\simeq 78\;\%\;$ en quantité, étant de masse molaire moléculaire $\;M_{N_{2}}\simeq 28,0\;g\cdot mol^{-1}\;$ est tel que la vitesse quadratique moyenne de ses molécules $\;V_{N_{2}}^{\,*}(T)\;$ à une température cinétique $\;T\;$ est $\;{\sqrt {\dfrac {28,0}{2,0}}}\simeq 3,7\;$ fois plus faible que celle des molécules du dihydrogène $\;V_{H_{2}}^{\,*}(T)\;$ à la même température cinétique, par exemple : Exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$le diazote «$\;\color {transparent}{N_{2}}\;$» $\succ \;$à température cinétique ordinaire $\;T_{1}\simeq 293\;K$, «$\;V_{N_{2}}^{\,*}(T_{1})\simeq {\sqrt {\dfrac {3\times 8,314\times 293}{28,0\;10^{-3}}}}\simeq 510\;m\cdot s^{-1}\;$», Exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$le diazote «$\;\color {transparent}{N_{2}}\;$» $\succ \;$à très basse température cinétique $\;{T'}_{\!\!2}\simeq 77,4\;K$ $\;{\big$la plus basse température laissant le diazote en phase gazeuse sous pression ordinaire${\big )}$, la vitesse quadratique moyenne des molécules est $\;{\sqrt {\dfrac {293}{77,4}}}\simeq 1,95\;$ fois plus faible que celle à température ordinaire soit «$\;V_{N_{2}}^{\,*}({T'}_{\!\!2})\simeq {\sqrt {\dfrac {3\times 8,314\times 77,4}{28,0\;10^{-3}}}}\simeq 260\;m\cdot s^{-1}\;$», Exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$le diazote «$\;\color {transparent}{N_{2}}\;$» $\succ \;$à température cinétique élevée $\;T_{3}\simeq 2500\;K$, la vitesse quadratique moyenne des molécules est $\;{\sqrt {\dfrac {2500}{293}}}\simeq 2,9\;$ fois plus grande que celle à température ordinaire soit «$\;V_{N_{2}}^{\,*}(T_{3})\simeq {\sqrt {\dfrac {3\times 8,314\times 2500}{28,0\;10^{-3}}}}\simeq 1490\;m\cdot s^{-1}\;$» ;
Exemples : $\blacktriangleright \;$le dioxygène «$\;O_{2}\;$», constituant de l'air à $\;\simeq 21\;\%\;$ en quantité, étant de masse molaire moléculaire $\;M_{O_{2}}\simeq 32,0\;g\cdot mol^{-1}\;$ est tel que la vitesse quadratique moyenne de ses molécules $\;V_{O_{2}}^{\,*}(T)\;$ à une température cinétique $\;T\;$ est $\;{\sqrt {\dfrac {32,0}{2,0}}}\simeq 4,0\;$ fois plus faible que celle des molécules du dihydrogène $\;V_{H_{2}}^{\,*}(T)\;$ à la même température cinétique, par exemple : Exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$le dioxygène «$\;\color {transparent}{O_{2}}\;$» $\succ \;$à température cinétique ordinaire $\;T_{1}\simeq 293\;K$, «$\;V_{O_{2}}^{\,*}(T_{1})\simeq {\sqrt {\dfrac {3\times 8,314\times 293}{32,0\;10^{-3}}}}\simeq 480\;m\cdot s^{-1}\;$», Exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$le dioxygène «$\;\color {transparent}{O_{2}}\;$» $\succ \;$à très basse température cinétique $\;{T''}_{\!\!\!2}\simeq 90,0\;K$ $\;{\big$la plus basse température laissant le dioxygène en phase gazeuse sous pression ordinaire${\big )}$, la vitesse quadratique moyenne des molécules est $\;{\sqrt {\dfrac {293}{90,0}}}\simeq 1,8\;$ fois plus faible que celle à température ordinaire soit «$\;V_{O_{2}}^{\,*}({T''}_{\!\!\!2})\simeq {\sqrt {\dfrac {3\times 8,314\times 90,0}{32,0\;10^{-3}}}}\simeq 265\;m\cdot s^{-1}\;$», Exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$le dioxygène «$\;\color {transparent}{O_{2}}\;$» $\succ \;$à température cinétique élevée $\;T_{3}\simeq 2500\;K$, la vitesse quadratique moyenne des molécules est $\;{\sqrt {\dfrac {2500}{293}}}\simeq 2,9\;$ fois plus grande que celle à température ordinaire soit «$\;V_{O_{2}}^{\,*}(T_{3})\simeq {\sqrt {\dfrac {3\times 8,314\times 2500}{32,0\;10^{-3}}}}\simeq 1400\;m\cdot s^{-1}\;$» ;
Exemples : $\blacktriangleright \;$la vapeur d'eau «$\;H_{2}O\;$», principal constituant des nuages, étant de masse molaire moléculaire $\;M_{H_{2}O}\simeq 18,0\;g\cdot mol^{-1}\;$ est tel que la vitesse quadratique moyenne de ses molécules $\;V_{H_{2}O}^{\,*}(T)\;$ à une température cinétique $\;T\;$ est $\;{\sqrt {\dfrac {18,0}{2,0}}}\simeq 3,0\;$ fois plus faible que celle des molécules du dihydrogène $\;V_{H_{2}}^{\,*}(T)\;$ à la même température cinétique, par exemple : Exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$la vapeur d'eau «$\;\color {transparent}{H_{2}O}\;$» $\succ \;$à température cinétique ordinaire $\;T_{1}\simeq 293\;K$ $\;{\big$pour que l'eau soit en phase vapeur à cette température cinétique il faut que sa pression soit $\;\lesssim 0,025\;bar{\big )}$, {{Nobr|«$\;V_{H_{2}O}^{\,*}(T_{1})\simeq {\sqrt {\dfrac {3\times 8,314\times 293}{18,0\;10^{-3}}}}\simeq 640\;m\cdot s^{-1}\;$», Exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$la vapeur d'eau «$\;\color {transparent}{H_{2}O}\;$» $\succ \;$à la température cinétique normale d'ébullition $\;{T'''}_{\!\!\!\!\!2}\simeq 373\;K$ $\;{\big$la plus basse température laissant l'eau en phase vapeur sous pression ordinaire${\big )}$, la vitesse quadratique moyenne des molécules est $\;{\sqrt {\dfrac {373}{293}}}\simeq 1,13\;$ fois plus grande que celle à température ordinaire soit «$\;V_{H_{2}O}^{\,*}({T'''}_{\!\!\!\!\!2})\simeq {\sqrt {\dfrac {3\times 8,314\times 373}{18,0\;10^{-3}}}}\simeq 720\;m\cdot s^{-1}\;$», Exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$la vapeur d'eau «$\;\color {transparent}{H_{2}O}\;$» $\succ \;$à température cinétique élevée $\;T_{3}\simeq 2500\;K$, la vitesse quadratique moyenne des molécules est $\;{\sqrt {\dfrac {2500}{293}}}\simeq 2,9\;$ fois plus grande que celle à température ordinaire soit «$\;V_{H_{2}O}^{\,*}(T_{3})\simeq {\sqrt {\dfrac {3\times 8,314\times 2500}{18,0\;10^{-3}}}}\simeq 1860\;m\cdot s^{-1}\;$».