# Variables aléatoires sur les ensembles finis/Espérance et variance d'une variable aléatoire
## Notation

Pour simplifier l'exposé des formules, nous utiliserons la notation $\sum$ pour signifier la somme sur toutes les valeurs prises par une variable aléatoire (v.a).
Par exemple : $x_{1}+x_{2}+x_{3}+\ldots +x_{n}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}$

## Espérance d'une variable aléatoire

Soit X une v.a dont les valeurs sont les $x_{i}$ (i variant de 1 à n). Soit $p_{i}$ la probabilité que X prenne la valeur $x_{i}$.
L'espérance de X se calcule ainsi :
$E(X)=p_{1}\times x_{1}+p_{2}\times x_{2}+p_{3}\times x_{3}+\ldots +p_{n}\times x_{n}=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\times x_{i}$
L'espérance de X représente ce que X vaut en moyenne, si on recommence l'expérience un grand nombre de fois. Cette remarque est justifiée par le fait que les fréquences des $x_{i}$ tendront alors vers les $p_{i}$ et que le calcul de E(X) est alors exactement celui d'une moyenne avec fréquences (voir Initiation à la statistique).

### Exemple

Reprenons l'exemple du lancer de deux dés, où X représente la somme des deux résultats. La loi de probabilité de X s'écrit :
| $x_{i}$ | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| $p_{i}$ | 1/36 | 2/36 | 3/36 | 4/36 | 5/36 | 6/36 | 5/36 | 4/36 | 3/36 | 2/36 | 1/36 |
On calcule alors $E(X)=2\times {\frac {1}{36}}+3\times {\frac {2}{36}}+\ldots +12\times {\frac {1}{36}}=7$.
Ce résultat signifie que si on répète cette expérience un grand nombre de fois, la somme des deux dés est en moyenne de 7.

## Variance d'une variable aléatoire

Soit X une v.a dont les valeurs sont les $x_{i}$ (i variant de 1 à n).
Soit $p_{i}$ la probabilité que X prenne la valeur $x_{i}$. Soit E(X) l'espérance de X
La variance de X se calcule ainsi :
$V(X)=p_{1}\times (x_{1}-E(X))^{2}+p_{2}\times (x_{2}-E(X))^{2}+p_{3}\times (x_{3}-E(X))^{2}+\ldots +p_{n}\times (x_{n}-E(X))^{2}$
$V(X)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\times (x_{i}-E(X))^{2}$
La variance de X représente la moyenne des carrés des écarts à l'espérance de X.
Elle mesure la tendance de X à la dispersion autour de son espérance,
de manière similaire à la variance d'une série statistique.

### Exemple

Reprenons l'exemple du lancer de deux dés, où X représente la somme des deux résultats.
On calcule alors $V(X)={\frac {1}{36}}\times (2-7)^{2}+{\frac {2}{36}}\times (3-7)^{2}+\ldots +{\frac {1}{36}}(12-7)^{2}=5,833$

### Formule

La formule de la variance ci-dessus est utile pour comprendre la signification de ce nombre,
mais la formule suivante est plus intéressante pour le calcul effectif :
$V(X)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\times x_{i}^{2}-E(X)^{2}$.
Notons $m=E(X)$.
$V(x)=\sum p_{i}(x_{i}-m)^{2}=\sum p_{i}x_{i}^{2}-2m\sum p_{i}x_{i}+m^{2}\sum p_{i}=\sum p_{i}x_{i}^{2}-2m^{2}+m^{2}1=\sum p_{i}x_{i}^{2}-m^{2}$.

### Exemple

Calculer la variance de X dans l'exemple de la somme des résultats du lancer de deux dés.

## Écart-type

L'écart-type d'une variable aléatoire X est la racine carrée de sa variance :
$\sigma (X)={\sqrt {V(X)}}$
L'écart-type mesure également la tendance à la dispersion de la v.a, et ce dans les mêmes unités que celle des $x_{i}$ (si les $x_{i}$ sont des euros, $\sigma$ est en euros). On pourrait alors se demander quel est l’intérêt de la variance, puisqu'elle n’est pas exprimée dans la même unité que les $x_{i}$ ... Une réponse à cette question est que la variance est beaucoup plus facile à manier dans les exposés théoriques grâce à l'absence de racine carrée.
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