# Résonance ferromagnétique

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Cette leçon nécessite une bonne connaissance préalable de la leçon : Introduction à l'électromagnétisme des milieux matériels

## Préliminaires
### Rapport gyromagnétique

On montre que, pour un atome, le moment magnétique ${\vec {\mathfrak {m}}}$ est relié avec une assez bonne approximation au moment cinétique ${\vec {L}}$ par la relation linéaire ${\vec {\mathfrak {m}}}=\gamma {\vec {L}}$.
γ est appelé rapport gyromagnétique.

### Précession d'un dipôle magnétique

On sait qu'un dipôle magnétique de moment ${\vec {\mathfrak {m}}}$ plongé dans un champ magnétique ${\vec {B}}=B{\vec {u}}_{z}$ est soumis :
* à la force ${\vec {F}}={\vec {\nabla }}({\vec {\mathfrak {m}}}\cdot {\vec {B}})$
* au moment ${\vec {\Gamma }}={\vec {\mathfrak {m}}}\wedge {\vec {B}}$
On applique le théorème du moment cinétique au dipôle :
    ${\frac {{\rm {d}}{\vec {L}}}{{\rm {d}}t}}={\vec {\Gamma }}$, soit ${\frac {{\rm {d}}{\vec {\mathfrak {m}}}}{{\rm {d}}t}}=\gamma {\vec {\mathfrak {m}}}\wedge {\vec {B}}$
$\gamma \,||{\vec {B}}||$ a la dimension d'une pulsation. On pose la pulsation de Larmor la norme du vecteur ${\vec {\Omega }}_{L}=-\gamma {\vec {B}}$.
L'équation du moment cinétique devient ${\frac {{\rm {d}}{\vec {\mathfrak {m}}}}{{\rm {d}}t}}={\vec {\Omega }}_{L}\wedge {\vec {\mathfrak {m}}}$.
Cette équation est caractéristique d'un mouvement de précession.
On projette suivant ${\vec {u}}_{z}$ :
    ${\frac {{\rm {d}}{\vec {\mathfrak {m}}}}{{\rm {d}}t}}\cdot {\vec {u}}_{z}=\gamma ({\vec {\mathfrak {m}}}\wedge {\vec {B}})\cdot {\vec {u}}_{z}$
    Donc ${\frac {{\rm {d}}({\vec {\mathfrak {m}}}\cdot {\vec {u}}_{z})}{{\rm {d}}t}}=0$.
La composante de ${\vec {\mathfrak {m}}}$ suivant ${\vec {u}}_{z}$ est donc constante.
On peut également faire le produit scalaire par ${\vec {\mathfrak {m}}}$ :
    ${\frac {{\rm {d}}{\vec {\mathfrak {m}}}}{{\rm {d}}t}}\cdot {\vec {\mathfrak {m}}}=\gamma ({\vec {\mathfrak {m}}}\wedge {\vec {B}})\cdot {\vec {\mathfrak {m}}}$
    Donc ${\frac {{\rm {d}}({\vec {\mathfrak {m}}}\cdot {\vec {\mathfrak {m}}})}{{\rm {d}}t}}=0$
    C'est-à-dire ${\frac {{\rm {d}}||{\vec {\mathfrak {m}}}\cdot {\vec {\mathfrak {m}}}||^{2}}{{\rm {d}}t}}=0$
On en conclut que la norme de ${\vec {\mathfrak {m}}}$ est également constante.

### Comportement de l'aimantation

On peut relier l'aimantation d'un milieu magnétique en un point à la densité du moment magnétique moyen dans un volume mésoscopique ΔV autour du point :
    ${\vec {M}}=n_{v}\langle {\vec {\mathfrak {m}}}\rangle$
   * n$_v$ est la densité volumique de dipôles magnétiques dans ΔV
   * $\langle {\vec {\mathfrak {m}}}\rangle$ est le moment magnétique moyen des dipôles de ΔV
On peut donc écrire que ${\vec {M}}$ suit la même loi d'évolution que ${\vec {\mathfrak {m}}}$ :
    ${\frac {{\rm {d}}{\vec {M}}}{{\rm {d}}t}}=\gamma {\vec {M}}\wedge {\vec {B}}$
Dans le cas où il y a dissipation d'énergie, un terme de relaxation apparaît
    ${\frac {{\rm {d}}{\vec {M}}}{{\rm {d}}t}}=\gamma ({\vec {M}}\wedge {\vec {B}})+{\vec {R}}$ avec ${\vec {R}}={\frac {\delta }{||{\vec {M}}||}}\left({\vec {M}}\wedge {\frac {\partial {\vec {M}}}{\partial t}}\right)$

## Gyrotropie

Dans cette partie, on va s'attacher à déterminer le tenseur de susceptibilité magnétique ${\bar {\bar {\chi }}}_{m}$, défini par :
    ${\vec {M}}={\bar {\bar {\chi }}}_{m}{\vec {H}}$
Pour ce faire, on remplace ${\vec {B}}$ par ${\vec {H}}$ dans l'équation de précession en sachant que ${\vec {B}}=\mu _{0}({\vec {M}}+{\vec {H}})$:
    ${\begin{aligned}{\frac {{\rm {d}}{\vec {M}}}{{\rm {d}}t}}&=\gamma \mu _{0}({\vec {M}}\wedge ({\vec {M}}+{\vec {H}}))+{\vec {R}}\\&=-\gamma ({\vec {M}}\wedge {\vec {H}})+{\vec {R}}\end{aligned}}$
On pose $\gamma _{m}=-\gamma \,\mu _{0}$ le coefficient magnétomécanique.
Décomposons les champs ${\vec {M}}$ et ${\vec {H}}$ en deux composantes :
* Une composante d'équilibre (on a ${\vec {M}}_{0}$ et ${\vec {H}}_{0}$ colinéaires)
* Une composante dépendante du temps
${\begin{cases}{\vec {M}}={\vec {M}}_{0}+{\vec {M}}(t)\\{\vec {H}}={\vec {H}}_{0}+{\vec {H}}(t)\\\end{cases}}$
Pour trouver ${\bar {\bar {\chi }}}_{m}$ grâce à l'équation ${\vec {M}}(t)={\bar {\bar {\chi }}}_{m}{\vec {H}}(t)$, il faut linéariser le système, ce qui est possible lorsque
    ${\begin{cases}||{\vec {M}}(t)||\ll ||{\vec {M}}_{0}||\\||{\vec {H}}(t)||\ll ||{\vec {H}}_{0}||\\\end{cases}}$
    ${\begin{aligned}{\frac {{\rm {d}}{\vec {M}}}{{\rm {d}}t}}&=-\gamma _{m}({\vec {M}}\wedge {\vec {H}})+{\vec {R}}\\&=-\gamma _{m}\left(({\vec {M}}_{0}+{\vec {M}}(t))\wedge ({\vec {H}}_{0}+{\vec {H}}(t))\right)+{\frac {\delta }{||{\vec {M}}_{0}+{\vec {M}}(t)||}}\left(({\vec {M}}_{0}+{\vec {M}}(t))\wedge {\frac {\partial ({\vec {M}}_{0}+{\vec {M}}(t))}{\partial t}}\right)\\&=-\gamma _{m}\left({\vec {M}}_{0}\wedge {\vec {H}}(t)+{\vec {M}}(t)\wedge {\vec {H}}_{0}+{\vec {M}}(t)\wedge {\vec {H}}(t)\right)+{\frac {\delta }{||{\vec {M}}_{0}+{\vec {M}}(t)||}}\left({\vec {M}}_{0}\wedge {\frac {\partial {\vec {M}}(t)}{\partial t}}+{\vec {M}}(t)\wedge {\frac {\partial {\vec {M}}(t)}{\partial t}}\right)\\&\approx -\gamma _{m}\left({\vec {M}}_{0}\wedge {\vec {H}}(t)+{\vec {M}}(t)\wedge {\vec {H}}_{0}\right)+{\frac {\delta }{||{\vec {M}}_{0}||}}\left({\vec {M}}_{0}\wedge {\frac {\partial {\vec {M}}(t)}{\partial t}}+{\vec {M}}(t)\wedge {\frac {\partial {\vec {M}}(t)}{\partial t}}\right)\\\end{aligned}}$
Les grandeurs étant sinusoïdales, ${\frac {\partial }{\partial t}}=j\omega$, donc :
    ${\begin{aligned}j\omega {\vec {M}}(t)&=-\gamma _{m}{\vec {M}}_{0}\wedge {\vec {H}}(t)-\gamma _{m}{\vec {M}}(t)\wedge {\vec {H}}_{0}+{\frac {\delta }{M_{0}}}\left(j\omega M_{0}{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {M}}(t)+j\omega {\vec {M}}(t)\wedge {\vec {M}}(t)\right)\\&\approx -\gamma _{m}{\vec {M}}_{0}\wedge {\vec {H}}(t)-\gamma _{m}{\vec {M}}(t)\wedge {\vec {H}}_{0}+{\frac {\delta }{M_{0}}}j\omega M_{0}{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {M}}(t)\\&=-\gamma _{m}M_{0}{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {H}}(t)+\gamma _{m}H_{0}{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {M}}(t)+j\delta \omega {\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {M}}(t)\\&={\vec {u}}_{z}\wedge \left(-\gamma _{m}M_{0}{\vec {H}}(t)+\gamma _{m}H_{0}{\vec {M}}(t)+j\delta \omega {\vec {M}}(t)\right)\\\end{aligned}}$
On pose ${\begin{cases}{\underline {\omega }}_{H}=\gamma _{m}H_{0}+j\delta \omega \\\omega _{H}=\Re ({\underline {\omega }}_{H})=\gamma _{m}H_{0}\\\omega _{M}=\gamma _{m}M_{0}\end{cases}}$
On aboutit à $j\omega {\vec {M}}(t)={\vec {u}}_{z}\wedge ({\underline {\omega }}_{H}{\vec {M}}-\omega _{M}{\vec {H}})$
On projette suivant ${\vec {u}}_{x}$ et ${\vec {u}}_{y}$ :
    ${\begin{cases}j\omega M_{x}=-{\underline {\omega }}_{H}M_{y}+\omega _{M}H_{y}\\j\omega M_{y}={\underline {\omega }}_{H}M_{x}-\omega _{M}H_{x}\\\end{cases}}~{\rm {donc}}~{\begin{cases}j\omega M_{x}+{\underline {\omega }}_{H}M_{y}=\omega _{M}H_{y}\\-{\underline {\omega }}_{H}M_{x}+j\omega M_{y}=-\omega _{M}H_{x}\\\end{cases}}$
Le but du calcul étant de trouver ${\bar {\bar {\chi }}}_{m}$, on inverse ce système :
    ${\begin{cases}\displaystyle {M_{x}={\frac {\omega _{M}({\underline {\omega }}_{H}H_{x}+j\omega H_{y})}{{\underline {\omega }}_{H}^{2}-\omega ^{2}}}}\\\displaystyle {M_{y}={\frac {\omega _{M}(-j\omega H_{x}+{\underline {\omega }}_{H}H_{y})}{{\underline {\omega }}_{H}^{2}-\omega ^{2}}}}\\\end{cases}}~{\rm {soit}}~{\begin{cases}\displaystyle {M_{x}={\frac {\omega _{M}{\underline {\omega }}_{H}}{{\underline {\omega }}_{H}^{2}-\omega ^{2}}}H_{x}+j{\frac {\omega _{M}\omega }{{\underline {\omega }}_{H}^{2}-\omega ^{2}}}H_{y}}\\\displaystyle {M_{y}=-j{\frac {\omega _{M}\omega }{{\underline {\omega }}_{H}^{2}-\omega ^{2}}}H_{x}+{\frac {\omega _{M}{\underline {\omega }}_{H}}{{\underline {\omega }}_{H}^{2}-\omega ^{2}}}H_{y}}\\\end{cases}}$
On pose
    $\chi ={\frac {\omega _{M}{\underline {\omega }}_{H}}{{\underline {\omega }}_{H}^{2}-\omega ^{2}}}$
    $\chi _{a}={\frac {\omega _{M}\omega }{{\underline {\omega }}_{H}^{2}-\omega ^{2}}}$
* On aboutit à l’expression du tenseur de susceptibilité magnétique :
* ${\bar {\bar {\chi }}}_{m}=\left[{\begin{matrix}\chi &j\chi _{a}&0\\-j\chi _{a}&\chi &0\\0&0&0\end{matrix}}\right]$
Le tenseur ${\bar {\bar {\chi }}}_{m}$ est hermitien. Cette propriété est à la source du phénomène de gyrotropie.

## Résonance ferromagnétique
### Composante résonante

$\omega _{H}=\gamma _{m}H_{0}$ est appelée pulsation de résonance magnétique.
Pour étudier la résonance, on va s'intéresser aux composantes circulaires de ${\vec {M}}$ et ${\vec {H}}$ dans la base $({\vec {u}}_{x},{\vec {u}}_{y})$.
On introduit ainsi les composantes polarisées à droite (indice +) et à gauche (indice -) de ces deux champs :
    ${\begin{cases}M_{+}=M_{x}+jM_{y}\\H_{+}=H_{x}+jH_{y}\\\end{cases}}~{\rm {et}}~{\begin{cases}M_{-}=M_{x}-jM_{y}\\H_{-}=H_{x}-jH_{y}\\\end{cases}}$
On introduit de même les susceptibilités magnétiques à droite et à gauche par les relations suivantes :
    ${\begin{cases}M_{+}=\chi _{+}H_{+}\\M_{-}=\chi _{-}H_{-}\\\end{cases}}$
La relation matricielle $\left[{\begin{matrix}M_{x}\\M_{y}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\chi &j\chi _{a}\\-j\chi _{a}&\chi \end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}H_{x}\\H_{y}\end{matrix}}\right]$ donne après développement les expressions de ces susceptibilités :
    ${\begin{cases}\displaystyle {\chi _{+}=\chi +\chi _{a}={\frac {\omega _{M}({\underline {\omega }}_{H}+\omega )}{{\underline {\omega }}_{H}^{2}-\omega ^{2}}}={\frac {\omega _{M}}{{\underline {\omega }}_{H}-\omega }}}\\\displaystyle {\chi _{-}=\chi -\chi _{a}={\frac {\omega _{M}({\underline {\omega }}_{H}-\omega )}{{\underline {\omega }}_{H}^{2}-\omega ^{2}}}={\frac {\omega _{M}}{{\underline {\omega }}_{H}+\omega }}}\end{cases}}$
La résonance n'existe que pour la composante polarisée à droite.

### Étude de la résonance

Séparons partie réelle et partie imaginaire. On pose $\chi _{+}=\chi _{+}'-j\chi _{+}''$
* La partie réelle influe sur la réfraction du milieu
* La partie imaginaire représente l'atténuation due aux pertes dans le milieu.
${\begin{aligned}\chi _{+}&={\frac {\omega _{M}}{{\underline {\omega }}_{H}-\omega }}\\&={\frac {\omega _{M}({\underline {\omega }}_{H}^{*}-\omega )}{({\underline {\omega }}_{H}-\omega )({\underline {\omega }}_{H}^{*}-\omega )}}\\&={\frac {\omega _{M}({\underline {\omega }}_{H}^{*}-\omega )}{{\underline {\omega }}_{H}{\underline {\omega }}_{H}^{*}-\omega ({\underline {\omega }}_{H}^{*}+{\underline {\omega }}_{H})+\omega ^{2}}}\\&={\frac {\omega _{M}({\underline {\omega }}_{H}^{*}-\omega )}{\omega _{H}^{2}+(\delta \omega )^{2}-2\omega \omega _{H}+\omega ^{2}}}\\&={\frac {\omega _{M}(\omega _{H}-\omega )}{(\omega _{H}-\omega )^{2}+(\delta \omega )^{2}}}-j{\frac {\delta \omega _{M}\omega }{(\omega _{H}-\omega )^{2}+(\delta \omega )^{2}}}\\\end{aligned}}$
La partie réelle de la susceptibilité magnétique change brusquement de signe au voisinage de la fréquence de résonance. C'est également (et surtout) l'endroit où l'atténuation est la plus forte. En pratique, on repère la résonance ferromagnétique par le fait que l'intensité reçue par les détecteurs chute brusquement.