# Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Grandeurs associées à une fonction sinusoïdale du temps : amplitude complexe et vecteur de Fresnel
## Grandeur instantanée complexe et vecteur de Fresnel tournant associés à une fonction sinusoïdale du temps

Soit une fonction sinusoïdale du temps, de pulsation $\;\omega$, «$\;s(t)=\left\lbrace {\begin{array}{c}A_{0}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{0})\\{\text{ou}}\\A_{0}\,\sin(\omega \,t+\varphi _{0})\end{array}}\right.\;$», sur laquelle on souhaite faire une « opération linéaire » comme
* la dériver temporellement $\;{\big$respectivement prendre la primitive temporelle de valeur moyenne nulle${\big )}\;$ ou
* l'ajouter$\;{\big$respectivement la soustraire${\big )}\;$à une autre fonction sinusoïdale du temps, de même pulsation$\;\omega$.
Bien sûr ces opérations linéaires peuvent se faire directement sur la ou les fonction(s) sinusoïdale(s) du temps mais on souhaite définir une méthode rendant ces opérations encore plus simples $\ldots$

### Grandeur instantanée complexe

On utilise le fait que «$\;s(t)=\left\lbrace {\begin{array}{c}A_{0}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{0})\\{\text{ou}}\\A_{0}\,\sin(\omega \,t+\varphi _{0})\end{array}}\right.\;$» est respectivement «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\Re \\{\text{ou}}\\\Im \end{array}}\right\rbrace \;$ de $\;A_{0}\,\exp \!\left[i\left(\omega \,t+\varphi _{0}\right)\right]\;$».
$\;{\underline {s}}(t)\;$
$\;s(t)=$
$\left\lbrace {\begin{array}{c}A_{0}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{0})\\{\text{ou}}\\A_{0}\,\sin(\omega \,t+\varphi _{0})\end{array}}\right.\;$
$\;\color {transparent}{{\underline {s}}(t)}\;$
$\;s(t)\;$
$\;\color {transparent}{{\underline {s}}(t)}\;$
$\;s(t)\;$
$\;\color {transparent}{{\underline {s}}(t)}\;$
$\;s(t)\;$
$\;\color {transparent}{{\underline {s}}(t)}\;$
$\;s(t)\;$
$\;{\underline {s}}(t)=A_{0}\,\exp \!\left[i\left(\omega \,t+\varphi _{0}\right)\right]\;$
$\;s(t)=\left\lbrace {\begin{array}{c}A_{0}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{0})=\Re \!\left[{\underline {s}}(t)\right]\\{\text{ou}}\\A_{0}\,\sin(\omega \,t+\varphi _{0})=\Im \!\left[{\underline {s}}(t)\right]\end{array}}\right.\;$

### Vecteur de Fresnel tournant

Le projeté d'un mouvement circulaire uniforme, de centre $\;O$, de vitesse angulaire $\;\omega >0\;$ et de rayon $\;A_{0}$, sur un diamètre du cercle, est un mouvement rectiligne sinusoïdal d'amplitude $\;A_{0}$, de pulsation $\;\omega \;$ et de phase initiale dépendant du diamètre choisi $\ldots$
$\;{\vec {S}}(t)\;$
$\;s(t)=\left\lbrace {\begin{array}{c}A_{0}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{0})\\{\text{ou}}\\A_{0}\,\sin(\omega \,t+\varphi _{0})\end{array}}\right.\;$
$\;\color {transparent}{{\vec {S}}(t)}\;$
$\;O\;$
$\;\color {transparent}{{\vec {S}}(t)}\;$
$\;\Vert {\vec {S}}(t)\Vert =A_{0}\;$
$\;\color {transparent}{{\vec {S}}(t)}\;$
$\;{\overrightarrow {Ox}}$
$\;\color {transparent}{{\vec {S}}(t)}\;$
$\;t\;$
$\;\color {transparent}{{\vec {S}}(t)}\;$
${\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {u_{x}}}\;{\text{ , }}{\overrightarrow {S}}(t)\right\rbrace }}=\varphi (t)=\omega \,t+\varphi _{0}\;$
$\;{\overrightarrow {Oy}}\;$
$\;\perp \;$
$\;{\overrightarrow {Ox}}$
$\;s(t)=\left\lbrace {\begin{array}{c}A_{0}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{0})=\mathrm {proj.\,sur\,Ox} \left[{\vec {S}}(t)\right]\\{\text{ou}}\\A_{0}\,\sin(\omega \,t+\varphi _{0})=\mathrm {proj.\,sur\,Oy} \left[{\vec {S}}(t)\right]\end{array}}\right.\;$

### Lien entre grandeur instantanée complexe et vecteur de Fresnel tournant

« Le vecteur de Fresnel tournant s'identifie à la représentation de la grandeur instantanée complexe dans le plan complexe » $\;{\Big$l'axe $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ étant l'axe des réels et l'axe $\;{\overrightarrow {Oy}}\;$ celui des imaginaires${\Big ]}\;$ ou, en d'autre terme, « l'affixe du vecteur de Fresnel tournant dans le plan complexe est la grandeur instantanée complexe » ou encore « l'image de la grandeur instantanée complexe dans le plan complexe est le vecteur de Fresnel tournant ».

## Amplitude complexe et vecteur de Fresnel associés à une fonction sinusoïdale du temps de pulsation fixée
### Amplitude complexe

Compte-tenu de la forme de la grandeur instantanée complexe, il est possible de réécrire cette dernière comme le produit de la fonction complexe «$\;\exp \!\left(i\,\omega \,t\right)\;$» et Compte-tenu de la forme de la grandeur instantanée complexe, il est possible de réécrire cette dernière comme le produit d'une grandeur complexe indépendante du temps «$\;A_{0}\,\exp \!\left(i\,\varphi _{0}\right)\;$».
L'« amplitude complexe » est définie comme la « grandeur complexe $\;{\underline {A_{0}}}\;$» telle que la grandeur instantanée complexe $\;{\underline {s}}(t)\;$ L'« amplitude complexe » est définie comme la « grandeur complexe $\;\color {transparent}{\underline {A_{0}}}\;$» telle que associée s'écrive «$\;{\underline {s}}(t)={\underline {A_{0}}}\,\exp \!\left(i\,\omega \,t\right)\;$» ; « l'amplitude complexe est donc égale à $\;{\underline {A_{0}}}=A_{0}\,\exp \!\left(i\,\varphi _{0}\right)\;$», « son module étant égal à l'amplitude de la fonction sinusoïdale $\;\vert {\underline {A_{0}}}\vert =A_{0}\;$» et « son argument étant égal à la phase initiale de la fonction sinusoïdale $\;\mathrm {arg} \!\left({\underline {A_{0}}}\right)=\varphi _{0}\;$» ; la connaissance de l'amplitude complexe est donc équivalente à celle de la grandeur instantanée complexe et par suite la connaissance de l'amplitude complexe est donc équivalente à celle de la fonction sinusoïdale du temps dans la mesure où on connaît la connaissance de l'amplitude complexe est donc équivalente à celle la forme de cette dernière « cosinusoïdale » ou « sinusoïdale ».

### Vecteur de Fresnel

Le vecteur de Fresnel tournant le faisant tourner à vitesse angulaire constante $\;\omega$, son angle avec l'axe de référence $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ est la somme $\bullet \;$d'un terme $\;\propto \;$ au temps $\;t\;$ «$\;\omega \,t\;$» et Le vecteur de Fresnel tournant le faisant tourner à vitesse angulaire constante $\;\color {transparent}{\omega }$, son angle avec l'axe de référence $\;\color {transparent}{\overrightarrow {Ox}}\;$ est la somme $\bullet \;$d'un terme indépendant du temps $\;t\;$ «$\;\varphi _{0}\;$» ;
quand on travaille sur deux fonctions sinusoïdales de même pulsation, les vecteurs de Fresnel tournants associés tournant à la même vitesse angulaire sont fixes l'un par rapport à l'autre $\Rightarrow$ quand on travaille sur deux fonctions sinusoïdales de même pulsation, il est alors possible de ne pas tenir compte de la rotation.
« Le vecteur de Fresnel$^,$ $\;{\vec {S}}(0)\;$ associé à la fonction $\;s(t)=\left\lbrace {\begin{array}{c}A_{0}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{0})\\{\text{ou}}\\A_{0}\,\sin(\omega \,t+\varphi _{0})\end{array}}\right.\;$» « Le vecteur de Fresnel $\;\color {transparent}{{\vec {S}}(0)}\;$ est « le vecteur de Fresnel tournant construit à l'instant $\;0\;$» « Le vecteur de Fresnel $\;\color {transparent}{{\vec {S}}(0)}\;$ est « le vecteur de Fresnel de « norme égale à l'amplitude de la fonction $\;\Vert {\vec {S}}(0)\Vert =A_{0}\;$» et « Le vecteur de Fresnel $\;\color {transparent}{{\vec {S}}(0)}\;$ est « le vecteur de Fresnel « faisant, avec l'axe de référence $\;{\overrightarrow {Ox}}$, un angle égal à la phase « Le vecteur de Fresnel $\;\color {transparent}{{\vec {S}}(0)}\;$ est « le vecteur de Fresnel « faisant, initiale de la fonction soit $\;{\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {u_{x}}}\;{\text{ , }}{\overrightarrow {S}}(0)\right\rbrace }}=\varphi _{0}\;$» ; on obtient « le vecteur de Fresnel tournant » en « mettant en rotation, à la vitesse angulaire $\;\omega$, et à partir de l'instant $\;0$, on obtient « le vecteur de Fresnel tournant » en « mettant en rotation, le vecteur de Fresnel » d'où on obtient « le vecteur de Fresnel tournant » en « mettant en rotation, «$\;{\vec {S}}(t)=\left\lbrace \mathrm {rot.\,de} \,\omega \,t\right\rbrace \left[{\vec {S}}(0)\right]\;$» on obtient « le vecteur de Fresnel tournant » en « mettant en rotation, «$\;\color {transparent}{{\vec {S}}(t)}$ $\Updownarrow$ on obtient « le vecteur de Fresnel tournant » en « mettant en rot «$\;{\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {u_{x}}}\;{\text{ , }}{\overrightarrow {S}}(t)\right\rbrace }}=\omega \,t+\varphi _{0}\;$» et on obtient « le vecteur de Fresnel tournant » en « mettant en rot «$\;\Vert {\vec {S}}(t)\Vert =A_{0}\;$».

### Lien entre amplitude complexe et vecteur de Fresnel

« Le vecteur de Fresnel$^,$ s'identifie à la représentation de l'amplitude complexe dans le plan complexe » $\;{\Big$l'axe $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ étant l'axe des réels et l'axe $\;{\overrightarrow {Oy}}\;$ celui des imaginaires${\Big ]}\;$ ou, en d'autre terme, « l'affixe du vecteur de Fresnel$^,$$^,$ est l'amplitude complexe » ou encore « l'image de l'amplitude complexe est le vecteur de Fresnel »$^,$.

## Traduction de la dérivation temporelle d'une fonction sinusoïdale du temps de pulsation fixée

La dérivation temporelle étant une « opération linéaire », on en déduit que « la dérivée temporelle de la représentation complexe d'une fonction sinusoïdale du temps » La dérivation temporelle étant une « opération linéaire », on en déduit que « est « la représentation complexe de la dérivée temporelle de la fonction sinusoïdale du temps » et par suite La dérivation temporelle étant une « opération linéaire », on en déduit que « pour déterminer la dérivée temporelle d'une fonction sinusoïdale du temps » La dérivation temporelle étant une « opération linéaire », on en déduit que « pour déterminer il suffit de former la dérivée temporelle de sa représentation complexe ; or « la dérivée temporelle de $\;{\underline {s}}(t)={\underline {A_{0}}}\,\exp \!\left(i\,\omega \,t\right)\;$ étant $\;{\dot {\underline {s}}}(t)={\dfrac {d{\underline {s}}}{dt}}(t)=\left(i\,\omega \right){\underline {A_{0}}}\,\exp \!\left(i\,\omega \,t\right)=\left(i\,\omega \right){\underline {s}}(t)\;$» on en déduit les propriétés ci-dessous concernant l'amplitude complexe ou or « la dérivée temporelle de $\;\color {transparent}{{\underline {s}}(t)={\underline {A_{0}}}\,\exp \!\left(i\,\omega \,t\right)}\;$ étant $\;\color {transparent}{{\dot {\underline {s}}}(t)=d{\underline {s}}(t)=\left(i\,\omega \right){\underline {A_{0}}}\,\exp \!\left(i\,\omega \,t\right)=\left(i\,\omega \right){\underline {s}}(t)}\;$» on en déduit les propriétés ci-dessous concernant le vecteur de Fresnel$^,$ :

### Dérivation temporelle en termes d'amplitude complexe

De «$\;{\dot {\underline {s}}}(t)=\left(i\,\omega \right){\underline {s}}(t)\;$» avec «$\;{\underline {s}}(t)={\underline {A_{0}}}\,\exp \!\left(i\,\omega \,t\right)\;$ où $\;{\underline {A_{0}}}\;$ est l'amplitude complexe de cette dernière » $\Rightarrow$ « l'amplitude complexe de la dérivée temporelle de $\;{\underline {s}}(t)\;$ est $\;i\,\omega \,{\underline {A_{0}}}\;$».
$\;{\underline {s}}(t)\;$
$\;{\underline {A_{0}}}\;$
$\;i\,\omega \;$
$\;{\dot {\underline {s}}}(t)\;$
$\;i\,\omega \,{\underline {A_{0}}}\;$
Conséquences : On peut itérer cette propriété $\Rightarrow$ « l'amplitude complexe de la dérivée temporelle 2nde $\;{\ddot {\underline {s}}}(t)\;$ est $\;\left(i\,\omega \right)^{2}{\underline {A_{0}}}=-\omega ^{2}\,{\underline {A_{0}}}\;$».
Conséquences : On peut aussi inverser la propriété pour obtenir « la primitive temporelle $\;{\big$de valeur moyenne nulle${\big )}\;$ d'une grandeur instantanée complexe »$^,$ Conséquences : On peut aussi inverser la propriété $\Rightarrow$ « l'amplitude complexe de la primitive de valeur moyenne nulle $\;\left[\displaystyle \int _{0}^{t}{\underline {s}}(t')\,dt'\right]_{\text{val. moy. nulle}}\;$ est $\;{\dfrac {\underline {A_{0}}}{i\,\omega }}\;$».

### Dérivation temporelle en termes de vecteur de Fresnel

Compte-tenu du lien entre amplitude complexe et vecteur de Fresnel$^,$ on en déduit la propriété ci-dessous :
« Le vecteur de Fresnel$^,$ de la dérivée temporelle d'une fonction sinusoïdale $\;s(t)\;$ de vecteur de Fresnel$^,$ associé $\;{\vec {S}}(0)\;$ « Le vecteur de Fresnel de la dérivée temporelle s'obtient en multipliant la norme de $\;{\vec {S}}(0)\;$ par $\;\omega \;$ et « Le vecteur de Fresnel de la dérivée temporelle s'obtient en lui faisant subir une rotation de $\;+{\dfrac {\pi }{2}}\;$» soit encore « Le vecteur de Fresnel de la dérivée temporelle « la norme du vecteur de Fresnel$^,$ de $\;{\dot {s}}(t)\;$ égale à $\;\omega \times \Vert {\vec {S}}(0)\Vert \;$» et « Le vecteur de Fresnel de la dérivée temporelle « l'angle qu'il fait avec l'axe de référence $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ égal à $\;\varphi _{0}+{\dfrac {\pi }{2}}\;$».
Conséquences : On peut itérer cette propriété $\Rightarrow$ « le vecteur de Fresnel$^,$ de la dérivée temporelle 2nde $\;{\ddot {s}}(t)\;$ s'obtient en multipliant la norme du vecteur de Fresnel$^,$ $\;{\vec {S}}(0)\;$ par $\;\omega ^{2}\;$ et Conséquences : On peut itérer cette propriété $\color {transparent}{\Rightarrow }$ « le vecteur de Fresnel de la dérivée temporelle 2nde $\;\color {transparent}{{\ddot {s}}(t)}\;$ s'obtient en lui faisant subir une rotation de $\;+\pi \;$».
Conséquences : On peut aussi inverser la propriété pour obtenir « la primitive temporelle $\;{\big$de valeur moyenne nulle${\big )}\;$ d'une fonction sinusoïdale » Conséquences : On peut aussi inverser la propriété $\Rightarrow$ « le vecteur de Fresnel$^,$ de la primitive de valeur moyenne nulle $\;\left[\displaystyle \int _{0}^{t}s(t')\,dt'\right]_{\text{val. moy. nulle}}\;$ Conséquences : On peut aussi inverser la propriété $\color {transparent}{\Rightarrow }$ « le vecteur de Fresnel de la primitive s'obtient en divisant la norme du vecteur de Fresnel$^,$ $\;{\vec {S}}(0)\;$ par $\;\omega \;$ et Conséquences : On peut aussi inverser la propriété $\color {transparent}{\Rightarrow }$ « le vecteur de Fresnel de la primitive s'obtient en lui faisant subir une rotation de $\;-{\dfrac {\pi }{2}}\;$».

## Traduction du déphasage entre deux fonctions sinusoïdales du temps de même pulsation

« L'avance de phase $\;{\big$mathématique${\big )}\;$ de la fonction sinusoïdale $\;s_{2}(t)=A_{2}\;\cos(\omega \;t+\varphi _{2})\;$ sur la fonction sinusoïdale de même pulsation $\;s_{1}(t)=A_{1}\;\cos(\omega \;t+\varphi _{1})\;$ « L'avance de phase $\;\color {transparent}{\big$mathématique$\color {transparent}{\big )}\;$ est définie par $\;\varphi _{2}-\varphi _{1}\;$» : $\succ \;$si $\;\varphi _{2}-\varphi _{1}\;$ est $\;>0$, $\;s_{2}(t)\;$ est « mathématiquement en avance » sur $\;s_{1}(t)$ ; « L'avance de phase $\;\color {transparent}{\big$mathématique$\color {transparent}{\big )}\;$ est définie par $\;\color {transparent}{\varphi _{2}-\varphi _{1}}\;$» : $\succ \;$si $\;\varphi _{2}-\varphi _{1}\;$ est $\;<0$, $\;s_{2}(t)\;$ est « mathématiquement en retard » sur $\;s_{1}(t)$.
Remarque : toutefois, ce qui compte physiquement, ce n'est pas l'avance ou le retard « mathématique » mais l'avance ou le retard « physique », pour cela Remarque : on définit le déphasage physique $\;{\big$c._à_d. la détermination principale du déphasage $\;{\big$mathématique${\big )}$ $\;\varphi _{2}-\varphi _{1}\;$ noté «$\;(\varphi _{2}-\varphi _{1})_{\text{princ.}}\;$»${\big ]}\;$ et Remarque : on définit le déphasage physique $\succ$$\;s_{2}(t)\;$ est « physiquement en avance » sur $\;s_{1}(t)\;$ si $\;(\varphi _{2}-\varphi _{1})_{\text{princ.}}\;$ est $\;>0$, Remarque : on définit le déphasage physique $\succ$$\;s_{2}(t)\;$ est « physiquement en retard » sur $\;s_{1}(t)\;$ si $\;(\varphi _{2}-\varphi _{1})_{\text{princ.}}\;$ est $\;<0$.
En termes de grandeurs instantanées complexes, l'avance de phase $\;{\big$mathématique${\big )}\;$ de $\;s_{2}(t)\;$ sur $\;s_{1}(t)\;$ se calcule par «$\;\varphi _{2}-\varphi _{1}=\mathrm {arg} \!\left[{\dfrac {{\underline {s_{2}}}(t)}{{\underline {s_{1}}}(t)}}\right]\;$».

### Déphasage en termes d'amplitude complexe

Compte-tenu du lien entre grandeur instantanée complexe et amplitude complexe, on a la propriété suivante :
« L'avance de phase $\;{\big$mathématique${\big )}\;$ de $\;s_{2}(t)=A_{2}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{2})\;$ sur $\;s_{1}(t)=$ $A_{1}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{1})\;$» se calcule, en termes d'amplitudes complexes, par «$\;\varphi _{2}-\varphi _{1}=\mathrm {arg} \!\left[{\dfrac {\underline {A_{2}}}{\underline {A_{1}}}}\right]\;$».

### Déphasage en termes de vecteur de Fresnel

Compte-tenu du lien entre amplitude complexe et vecteur de Fresnel$^,$ on a la propriété suivante :
« L'avance de phase $\;{\big$mathématique${\big )}\;$ de $\;s_{2}(t)=A_{2}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{2})\;$ sur $\;s_{1}(t)=$ $A_{1}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{1})\;$» se calcule, en termes de vecteurs de Fresnel, par «$\;\varphi _{2}-\varphi _{1}={\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {S_{1}}}(0)\;{\text{ , }}{\overrightarrow {S_{2}}}(0)\right\rbrace }}\;$».

## Traduction de la somme de deux fonctions sinusoïdales du temps de même pulsation

Soit à déterminer la somme $\;s_{1}(t)+s_{2}(t)\;$ avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}s_{1}(t)=A_{1}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{1})\\s_{2}(t)=A_{2}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{2})\end{array}}\right\rbrace \;$, nous l'exposons d'abord en utilisant les vecteurs de Fresnel$^,$ associés aux deux fonctions sinusoïdales, Soit à déterminer la somme $\;\color {transparent}{s_{1}(t)+s_{2}(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\left\lbrace s_{1}(t)=A_{1}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{1})\right\rbrace }\;$, nous l'exposons d'abord en utilisant construits à partir d'une même origine $\;O$, le diagramme obtenu étant appelé Soit à déterminer la somme $\;\color {transparent}{s_{1}(t)+s_{2}(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\left\lbrace s_{1}(t)=A_{1}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{1})\right\rbrace }\;$, nous l'exposons d'abord en utilisant construits à partir d'une même origine $\;\color {transparent}{O}$, « diagramme de Fresnel ».

### Amplitude et phase initiale résultantes en termes de vecteur de Fresnel

On trace d'abord les deux vecteurs de Fresnel $\;{\vec {S_{1}}}(0)\;$ et $\;{\vec {S_{2}}}(0)\;$ à partir d'une même origine $\;O\;$ puis on construit la somme de ces deux vecteurs $\;{\overrightarrow {S_{\text{tot}}}}(0)={\vec {S_{1}}}(0)+{\vec {S_{2}}}(0)\;$ en utilisant la règle du parallélogramme ;
nous cherchons donc à évaluer la norme de $\;{\overrightarrow {S_{\text{tot}}}}(0)\;$ et l'angle que fait ce vecteur avec l'axe de référence $\;{\overrightarrow {Ox}}$, nous aurons donc respectivement l'amplitude de la fonction résultante et sa phase initiale :
* $\;{\bigg \Vert }{\overrightarrow {S_{\text{tot}}}}(0){\bigg \Vert }^{2}=\left[{\overrightarrow {S_{\text{tot}}}}(0)\right]^{2}=\left[{\vec {S_{1}}}(0)+{\vec {S_{2}}}(0)\right]^{2}=\left[{\vec {S_{1}}}(0)\right]^{2}+\left[{\vec {S_{2}}}(0)\right]^{2}+2\,{\vec {S_{1}}}(0)\!\cdot \!{\vec {S_{1}}}(0)\;$ d'où, en notant $\;A_{\text{tot}}\;$ l'amplitude de la « somme des fonctions sinusoïdales de même pulsation $\;\omega \;$» et, en utilisant les définitions des vecteurs de Fresnel$^,$ associés à chaque fonction sinusoïdale «$\;A_{\text{tot}}^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2\,A_{1}\,A_{2}\,\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\;$» ;
* nous pouvons obtenir la phase initiale $\;\varphi _{\text{tot}}\;$ de la fonction résultante en projetant le diagramme de Fresnel ci-contre sur les axes $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ et $\;{\overrightarrow {Oy}}$ : «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\bigg \Vert }{\overrightarrow {S_{\text{tot}}}}(0){\bigg \Vert }\,\cos(\varphi _{\text{tot}})={\bigg \Vert }{\vec {S_{1}}}(0){\bigg \Vert }\,\cos(\varphi _{1})+{\bigg \Vert }{\vec {S_{2}}}(0){\bigg \Vert }\,\cos(\varphi _{2})\\{\bigg \Vert }{\overrightarrow {S_{\text{tot}}}}(0){\bigg \Vert }\,\sin(\varphi _{\text{tot}})={\bigg \Vert }{\vec {S_{1}}}(0){\bigg \Vert }\,\sin(\varphi _{1})+{\bigg \Vert }{\vec {S_{2}}}(0){\bigg \Vert }\,\sin(\varphi _{2})\end{array}}\right.\;$» dont on tire le cosinus et le sinus de $\;\varphi _{\text{tot}}\;$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\cos(\varphi _{\text{tot}})={\dfrac {A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})}{A_{\text{tot}}}}\\\sin(\varphi _{\text{tot}})={\dfrac {A_{1}\,\sin(\varphi _{1})+A_{2}\,\sin(\varphi _{2})}{A_{\text{tot}}}}\end{array}}\right.\;$».
Par diagramme de Fresnel on détermine l'amplitude $\;A_{\text{tot}}\;$ et la phase initiale $\;\varphi _{\text{tot}}\;$ de la somme des deux fonctions sinusoïdales de pulsation $\;\omega$, respectivement d'amplitudes et de phase initiales $\;(A_{1}\,{\text{,}}\,\varphi _{1})\;$ et $\;(A_{2}\,{\text{,}}\,\varphi _{2})$ ; on trouve ainsi : Par diagramme de Fresnel «$\;A_{\text{tot}}={\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2\,A_{1}\,A_{2}\,\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}}\;$» pour l'amplitude et Par diagramme de Fresnel la phase initiale est solution de «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\cos(\varphi _{\text{tot}})={\dfrac {A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})}{\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2\,A_{1}\,A_{2}\,\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}}}\\\sin(\varphi _{\text{tot}})={\dfrac {A_{1}\,\sin(\varphi _{1})+A_{2}\,\sin(\varphi _{2})}{\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2\,A_{1}\,A_{2}\,\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}}}\end{array}}\right.\;$».

### Amplitude et phase initiale résultantes en termes d'amplitude complexe

Aux fonctions sinusoïdales du temps de pulsation $\;\omega$, $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}s_{1}(t)=A_{1}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{1})\\s_{2}(t)=A_{2}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{2})\end{array}}\right\rbrace \;$, on associe respectivement les amplitudes complexes $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\underline {A_{1}}}=A_{1}\,\exp(i\,\varphi _{1})\\{\underline {A_{2}}}=A_{2}\,\exp(i\,\varphi _{2})\end{array}}\right\rbrace$ ;
la somme des deux fonctions sinusoïdales du temps de pulsation $\;\omega \;$ c.-à-d. $\;s_{\text{tot}}(t)=s_{1}(t)+s_{2}(t)\;$ étant une fonction sinusoïdale du temps de même pulsation $\;\omega \;$, la somme des deux fonctions sinusoïdales du temps de pulsation $\;\color {transparent}{\omega }\;$ c.-à-d. $\;\color {transparent}{s_{\text{tot}}(t)=s_{1}(t)+s_{2}(t)}\;$ étant une fonction que l'on notera $\;s_{\text{tot}}(t)=A_{\text{tot}}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{\text{tot}})$, on lui associe la somme des deux fonctions sinusoïdales du temps de pulsation $\;\color {transparent}{\omega }\;$ c.-à-d. $\;\color {transparent}{s_{\text{tot}}(t)=s_{1}(t)+s_{2}(t)}\;$ étant une « amplitude complexe $\;{\underline {A_{\text{tot}}}}=A_{\text{tot}}\,\exp(i\,\varphi _{\text{tot}})\;$ égale à la somme la somme des deux fonctions sinusoïdales du temps de pulsation $\;\color {transparent}{\omega }\;$ c.-à-d. $\;\color {transparent}{s_{\text{tot}}(t)=s_{1}(t)+s_{2}(t)}\;$ étant des amplitudes complexes soit $\;{\underline {A_{\text{tot}}}}={\underline {A_{1}}}+{\underline {A_{2}}}\;$» soit finalement la somme des deux fonctions sinusoïdales du temps de pulsation $\;\color {transparent}{\omega }\;$ c.-à-d. $\;\color {transparent}{s_{\text{tot}}(t)=s_{1}(t)+s_{2}(t)}\;$ étant «$\;A_{\text{tot}}\,\exp(i\,\varphi _{\text{tot}})=A_{1}\,\exp(i\,\varphi _{1})+A_{2}\,\exp(i\,\varphi _{2})\;$» ; on en déduit :
la somme des deux fonctions sinusoïdales $\succ \;$l'amplitude $\;A_{\text{tot}}\;$ de $\;s_{\text{tot}}(t)=s_{1}(t)+s_{2}(t)\;$ en prenant le module de l'amplitude complexe soit «$\;A_{\text{tot}}=\vert {\underline {A_{\text{tot}}}}\vert ={\sqrt {\vert {\underline {A_{\text{tot}}}}\vert ^{2}}}\;$» avec la somme des deux fonctions sinusoïdales $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\vert {\underline {A_{\text{tot}}}}\vert ^{2}=\left({\underline {A_{\text{tot}}}}\right)\times \left({\underline {A_{\text{tot}}}}\right)^{*}\;$» ou «$\;\vert {\underline {A_{\text{tot}}}}\vert ^{2}=$ $\left({\underline {A_{1}}}+{\underline {A_{2}}}\right)\times \left({\underline {A_{1}}}+{\underline {A_{2}}}\right)^{*}=\left({\underline {A_{1}}}+{\underline {A_{2}}}\right)\times \left({\underline {A_{1}}}^{*}+{\underline {A_{2}}}^{*}\right)\;$» soit la somme des deux fonctions sinusoïdales $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\vert {\underline {A_{\text{tot}}}}\vert ^{2}=\left[A_{1}\,\exp(i\,\varphi _{1})+A_{2}\,\exp(i\,\varphi _{2})\right]\times \left[A_{1}\,\exp(-i\,\varphi _{1})+A_{2}\,\exp(-i\,\varphi _{2})\right]\;$» ou, en développant la somme des deux fonctions sinusoïdales $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\vert {\underline {A_{\text{tot}}}}\vert ^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{1}\,A_{2}\left\lbrace \exp \!\left[i\,(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right]+\exp \!\left[-i\,(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right]\right\rbrace =A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2\,A_{1}\,A_{2}\cos \!\left(\varphi _{2}-\varphi _{1}\right)\;$» la somme des deux fonctions sinusoïdales $\color {transparent}{\succ }\;$après utilisation de la formule d'Euler relative au cosinus, $\;\cos(x)={\dfrac {exp(i\,x)+\exp(-i\,x)}{2}}\;$ et
la somme des deux fonctions sinusoïdales $\succ \;$la phase initiale $\;\varphi _{\text{tot}}\;$ de $\;s_{\text{tot}}(t)=s_{1}(t)+s_{2}(t)\;$ en prenant l'argument de l'amplitude complexe soit «$\;\varphi _{\text{tot}}=$ $\mathrm {arg} ({\underline {A_{\text{tot}}}})\;$» ou encore la somme des deux fonctions sinusoïdales $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\varphi _{\text{tot}}=\mathrm {arg} \!\left[A_{1}\,\exp(i\,\varphi _{1})+A_{2}\,\exp(i\,\varphi _{2})\right]\;$» ou, en prenant la forme algébrique de chaque amplitude complexe pour obtenir la somme des deux fonctions sinusoïdales $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{\varphi _{\text{tot}}=\mathrm {arg} \!\left[A_{1}\,\exp(i\,\varphi _{1})+A_{2}\,\exp(i\,\varphi _{2})\right]}\;$» ou, en prenant la forme algébrique de l'amplitude complexe résultante la somme des deux fonctions sinusoïdales $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\varphi _{\text{tot}}=\mathrm {arg} \!\left\lbrace \left[A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})\right]+i\left[A_{1}\,\sin(\varphi _{1})+A_{2}\,\sin(\varphi _{2})\right]\right\rbrace \;$», on obtient, suivant la valeur de la partie réelle la somme des deux fonctions sinusoïdales $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{\varphi _{\text{tot}}=\mathrm {arg} \!\left\lbrace \left[A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})\right]+i\left[A_{1}\,\sin(\varphi _{1})+A_{2}\,\sin(\varphi _{2})\right]\right\rbrace }\;$», on obtient, suivant de l'amplitude complexe résultante :
la somme des deux fonctions sinusoïdales $\color {transparent}{\succ }\;$ $\blacktriangleright \;$« pour $\;A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})=0\;$», «$\;\varphi _{\text{tot}}=\left\lbrace {\begin{array}{c}+{\dfrac {\pi }{2}}\;\;{\text{si}}\;\;A_{1}\,\sin(\varphi _{1})+A_{2}\,\sin(\varphi _{2})>0\\-{\dfrac {\pi }{2}}\;\;{\text{si}}\;\;A_{1}\,\sin(\varphi _{1})+A_{2}\,\sin(\varphi _{2})<0\end{array}}\right.\;$»,
la somme des deux fonctions sinusoïdales $\color {transparent}{\succ }\;$ $\blacktriangleright \;$« pour $\;A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})>0\;$», «$\;\varphi _{\text{tot}}=\arctan \!\left[{\dfrac {A_{1}\,\sin(\varphi _{1})+A_{2}\,\sin(\varphi _{2})}{A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})}}\right]\;$»,
la somme des deux fonctions sinusoïdales $\color {transparent}{\succ }\;$ $\blacktriangleright \;$« pour $\;A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})<0\;$», la forme de $\;\varphi _{\text{tot}}\;$ dépend de la valeur de la partie imaginaire soit :
la somme des deux fonctions sinusoïdales $\color {transparent}{\succ }\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« pour $\;\color {transparent}{A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})<0}\;$», $\bullet \;$avec $\;A_{1}\,\sin(\varphi _{1})+A_{2}\,\sin(\varphi _{2})=0$, «$\;\varphi _{\text{tot}}=+\pi \;$» ou,
la somme des deux fonctions sinusoïdales $\color {transparent}{\succ }\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« pour $\;\color {transparent}{A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})<0}\;$», $\bullet \;$avec $\;A_{1}\,\sin(\varphi _{1})+A_{2}\,\sin(\varphi _{2})>0$, «$\;\varphi _{\text{tot}}=\arctan \!\left[{\dfrac {A_{1}\,\sin(\varphi _{1})+A_{2}\,\sin(\varphi _{2})}{A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})}}\right]+\pi \;$» ou,
la somme des deux fonctions sinusoïdales $\color {transparent}{\succ }\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« pour $\;\color {transparent}{A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})<0}\;$», $\bullet \;$avec $\;A_{1}\,\sin(\varphi _{1})+A_{2}\,\sin(\varphi _{2})<0$, «$\;\varphi _{\text{tot}}=\arctan \!\left[{\dfrac {A_{1}\,\sin(\varphi _{1})+A_{2}\,\sin(\varphi _{2})}{A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})}}\right]-\pi \;$».
$\;A_{\text{tot}}\;$
$\;\varphi _{\text{tot}}\;$
$\;\omega$
$\;(A_{1}\,{\text{,}}\,\varphi _{1})\;$
$\;(A_{2}\,{\text{,}}\,\varphi _{2})$
$\;A_{\text{tot}}={\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2\,A_{1}\,A_{2}\,\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}}\;$
$\;\varphi _{\text{tot}}=\left\lbrace {\begin{array}{c}\arctan \!\left[{\dfrac {A_{1}\,\sin(\varphi _{1})+A_{2}\,\sin(\varphi _{2})}{A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})}}\right]\qquad \;{\text{si}}\;\;A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})>0\\\pm {\dfrac {\pi }{2}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;\;\;{\text{si}}\;\;A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})=0\\\arctan \!\left[{\dfrac {A_{1}\,\sin(\varphi _{1})+A_{2}\,\sin(\varphi _{2})}{A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})}}\right]\pm \pi \;\;{\text{si}}\;\;A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})<0\end{array}}\right.\;$