# Suites et récurrence/Exercices/Sujet de bac S

Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie novembre 2007
N.B. Dans le programme officiel maths TS 2011, le « théorème des gendarmes » n'est mentionné qu'au sujet des suites, et est impérativement admis.

## Exercice 3
### Question de cours

1. Soit $f$ une fonction réelle définie sur $[a;+\infty [$. Compléter la phrase suivante :
    On dit que $f$ admet une limite finie $L$ en $+\infty$ si $...$
2. Démontrer le "théorème des gendarmes".
Soient $f$, $g$ et $h$ trois fonctions définies sur $[a;+\infty [$ et $L$ un nombre réel.
Si $g$ et $h$ ont pour limite commune $L$ quand $x$ tend vers $+\infty$,
et si pour tout $x$ assez grand, $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$,
alors la limite de $f$ quand $x$ tend vers $+\infty$ est égale à $L$.

### Partie A

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par :
$f(x)=e^{x}-x-1$
et soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal du plan.
La droite $(D)$ d'équation $y=-x-1$ est asymptote à $(C)$.
1. Soit $a$ un nombre réel. Écrire, en fonction de $a$,
une équation de la tangente $(T)$ à $(C)$ au point $M$ d'abscisse $a$.
f est dérivable sur $\mathbb {R}$ et $f'(x)=e^{x}-1$.
L'équation de la tangente (T) en $x=a$ est :
$y=f'(a)(x-a)+f(a)$
donc
$y=(e^{a}-1)(x-a)+e^{a}-a-1=(e^{a}-1)x-ae^{a}+a+e^{a}-a-1$
finalement (T) a pour équation :
$y=(e^{a}-1)x+e^{a}(1-a)-1$
2. Cette tangente $(T)$ coupe la droite $(D)$ au point $N$ d'abscisse $b$. Vérifier que $b-a=-1$.
L'ordonnée du point d'intesection d'abscisse b vérifie l'équation :
$-b-1=(e^{a}-1)b+e^{a}(1-a)-1$
si et seulement si :
$-b=be^{a}-b+e^{a}(1-a)-1$
si et seulement si :
$0=be^{a}+e^{a}(1-a)$
comme pour tout réel a, $e^{a}$ est non nul, ceci équivaut à :
$0=b+1-a$
si et seulement si :
$b-a=-1$
3. En déduire une construction de la tangente $(T)$ à $(C)$au point $M$ d'abscisse 1,5.
(T) est la droite passant par
$M(1,5;f(1,5))$ et par $N(1,5-1;-(1,5-1)-1)=(0,5;-1,5)$.

### Partie B

1. Déterminer graphiquement le signe de $f$.
Pour tout réel x, on constate graphiquement que $f(x)\geq 0$.
En fait f ne s'annule qu'en $x=0$.
2. En déduire, pour tout entier naturel non nul $n$, les inégalités suivantes :
$(1)\ e^{\frac {1}{n}}\geq 1+{\frac {1}{n}}\ ;\ (2)\ e^{\frac {-1}{n+1}}\geq 1-{\frac {1}{n+1}}$
Pour tout entier n strictement positif, en posant $x={\frac {1}{n}}$ dans l'inégalité $f(x)=e^{x}-x-1\geq 0$, on obtient :
$e^{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n}}-1\geq 0$
donc on obtient l'inégalité (1) :
$e^{\frac {1}{n}}\geq 1+{\frac {1}{n}}$.
Pour tout entier n strictement positif, en posant $x=-{\frac {1}{n+1}}$ dans l'inégalité $f(x)=e^{x}-x-1\geq 0$, on obtient :
$e^{-{\frac {1}{n+1}}}+{\frac {1}{n+1}}-1\geq 0$
donc il s'ensuit l'inégalité (2) :
$e^{-{\frac {1}{n+1}}}\geq 1-{\frac {1}{n+1}}$
3. En utilisant l'inégalité (1), démontrer que, pour tout entier naturel non nul $n$ :
$(1+{\frac {1}{n}})^{n}\leq e$
Puisque n est strictement positif, la fonction $x\mapsto x^{n}$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0;+\infty [$.
On l'applique aux deux membres de l'inégalité (1) qui est conservée :
${\bige^{\frac {1}{n}}{\big )}^{n}\geq {\big1+{\frac {1}{n}}{\big )}^{n}$.
donc
$e\geq {\big1+{\frac {1}{n}}{\big )}^{n}$
4. a) Déduire de l'inégalité (2) l'inégalité (3) suivante :
$e^{\frac {1}{n+1}}\leq {\frac {1}{1-{\frac {1}{n}}}}$
On a
$e^{-{\frac {1}{n+1}}}\geq 1-{\frac {1}{n+1}}$
Les deux membres sont strictement positifs. En leur appliquant la fonction $x\mapsto {\frac {1}{x}}$, décroissante sur $]0;+\infty [$, l'inégalité change de sens et devient :
$e^{\frac {1}{n+1}}\leq {\frac {1}{1-{\frac {1}{n+1}}}}$
    b) Démontrer que pour tout entier naturel non nul n :
${\frac {1}{1-{\frac {1}{n}}}}=1+{\frac {1}{n}}$
Pout tout n strictement positif :
${\frac {1}{1-{\frac {1}{n+1}}}}={\frac {1}{\frac {n+1-1}{n+1}}}$
$={\frac {1}{\frac {n}{n+1}}}$
$={\frac {n+1}{n}}$
$=1+{\frac {1}{n}}$
    c) En déduire que pour tout entier naturel non nul n :
$e\leq (1+{\frac {1}{n}})^{n+1}$
D'après (3) et (4b),
$O<e^{\frac {1}{n+1}}\leq 1+{\frac {1}{n}}$
En appliquant la fonction $x\mapsto x^{n+1}$, croissante sur $[0;+\infty [$, aux deux membres positifs :
$(e^{\frac {1}{n+1}})^{n+1}\leq (1+{\frac {1}{n}})^{n+1}$
donc
$e\leq (1+{\frac {1}{n}})^{n+1}$.
5. Déterminer à partir des questions précédentes un encadrement de :
$(1+{\frac {1}{n}})^{n}$
puis sa limite en $+\infty$.
D'après (4c), pour tout n entier strictement positif :
$e\leq (1+{\frac {1}{n}})^{n+1}$
donc en divisant par $1+{\frac {1}{n}}>0$, on obtient :
${\frac {e}{1+{\frac {1}{n}}}}\leq (1+{\frac {1}{n}})^{n}$
donc avec (3), on a l'encadrement :
${\frac {e}{1+{\frac {1}{n}}}}\leq (1+{\frac {1}{n}})^{n}\leq e$.
Or $\lim _{n\to +\infty }({\frac {e}{1+{\frac {1}{n}}}})=e$ et $\lim _{n\to +\infty }e=e$
donc d’après le théorème "des gendarmes" :
$\lim _{n\to +\infty }(1+{\frac {1}{n}})^{n}=e$
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