OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Rayonnement/Annexe/Formulaire
## Notions qualitatives
### Rayonnement thermique

Le rayonnement thermique est un rayonnement électromagnétique spontané.

### Flux

L’absorption est la conversion de l'énergie électromagnétique en énergie mécanique.
La réflexion (ou diffusion) est la capacité d'un corps à diffuser une partie du rayonnement qu’il reçoit.
Dans la suite de ce cours, on supposera les corps convexes. On étudie les puissances surfaciques, ou flux.
On peut définir plusieurs types de flux :
* $\varphi ^{e}$ : flux émis
* $\varphi ^{a}$ : flux absorbé
* $\varphi ^{r}$ : flux réfléchi
* $\varphi ^{i}$ : flux incident sur le corps : $\varphi ^{i}=\varphi ^{a}+\varphi ^{r}$
* $\varphi ^{p}$ : flux partant du corps : $\varphi ^{p}=\varphi ^{e}+\varphi ^{r}$
Pour des raisons historiques, toutes ces grandeurs sont positives par définition.
Le flux radiatif $\varphi ^{R}$ est le bilan du flux rayonné par le corps : $\varphi ^{R}=\varphi ^{p}-\varphi ^{i}$.
Lorsque $\varphi ^{R}=0$, on dit que le corps est en équilibre radiatif.

## Rayonnement thermique

On suppose la température uniforme dans le corps opaque convexe étudié, ainsi que l'équilibre radiatif établi.
Alors le rayonnement d'équilibre est isotrope et indépendant de la forme du système (sous réserve de convexité).

### Loi de Planck

On considère un volume infinitésimal $d^{3}\tau$ du corps. Il contient une énergie électromagnétique $d^{3}W=u.d^{3}\tau$. Or, u dépend de $\lambda$, donc on est amenés à considérer un « spectre en énergie » : ${\begin{cases}du_{\lambda }=u_{\lambda }d\lambda \\d^{4}W_{\lambda }=u_{\lambda }.d\lambda .d^{3}\tau \end{cases}}$
$u_{\lambda }={\frac {8\pi hc}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{\exp \left({\frac {hc}{\lambda k_{B}T}}\right)-1}}$

### Densité spectrale de flux

On note $\varphi _{\lambda }$ le flux rayonné à la longueur d'onde $\lambda$.
On appelle densité spectrale de flux la grandeur $\Phi _{\lambda }={\frac {d\varphi _{\lambda }}{d\lambda }}$
En faisant un calcul analogue à celui de la théorie cinétique des gaz parfaits, on trouve $\Phi _{\lambda }={\frac {1}{4}}cu_{\lambda }$

### Loi de Stefan

On calcule $\Phi =\int _{0}^{+\infty }\Phi _{\lambda }.d\lambda$
En cours de calcul, une constante apparaît : la constante de Stefan : $\sigma ={\frac {2\pi ^{5}k_{B}^{4}}{15c^{2}h^{3}}}$
Valeur approchée : $\sigma \approx 5,67.10^{-8}{\textrm {SI}}$
$\Phi =\sigma T^{4}$

### Loi de Wien

La loi de Planck fait apparaître un maximum d'énergie pour une certaine longueur d'onde $\lambda _{m}$.
$\lambda _{m}.T=2,8978.10^{-3}{\textrm {K.m}}^{-1}$

### Corps noir

Un corps noir est un corps pour lequel $\phi ^{r}=0$. Tout le rayonnement incident est absorbé.
On suppose le corps noir de surface $\Sigma$ sous un rayonnement d'équilibre à la température T. Alors la variation d'enthalpie du corps noir s'écrit $\int \!\!\!\!\!\int _{\Sigma }\!\!\!\!\!\!\!\!\bigcirc (\sigma T^{4}-\sigma T_{CN}^{4})d^{2}S={\frac {dH}{dT}}$
* Sommaire
# Rayonnement du corps noir

| Chap. 1 : | Définition (14) |
| Chap. 2 : | Lois expérimentales (14) |
| Chap. 3 : | Angles solides (14) |
| Chap. 4 : | Lois thermodynamiques (14) |
| Chap. 5 : | La catastrophe ultraviolette (14) |
| Exercice : | Gaz de photons (14) |
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## Présentation [Modifier]

Le « corps noir » est un modèle théorique permettant d'étudier les interactions entre la matière, la température et la lumière. Son étude a notamment amené aux prémisses de la théorie quantique de la lumière, mais demeure, dans le cadre classique, un outil puissant.

## Objectifs [Modifier]

* Définir la notion de corps noir (chapitre 1) ;
* Présenter les résultats expérimentaux concernant l'émission du corps noir (chapitre 2) ;
* Introduire ou rappeler la notion d'angle solide (chapitre 3) ;
* Justifier les résultats expérimentaux par des relations thermodynamiques (chapitre 4) ;
* Évoquer l'impact de ces résultats sur le développement de la mécanique quantique (chapitre 5).

## Niveau et prérequis conseillés

Leçon de niveau 14. Les prérequis pour cette leçon n'ont pas encore été précisés. Pour le faire, cliquez ici.

## Référents

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# Rayonnement du corps noir/Définition

Un « corps noir » est un modèle idéal, caractérisé par son comportement : il absorbe tout rayonnement qu’il reçoit — rien ne passe au travers et rien n'est réfléchi. Ceci ne dépend ni de la longueur d'onde du rayonnement, ni de l'angle d'incidence, ni d'un quelconque autre paramètre. En particulier, puisqu’il absorbe toutes les couleurs du spectre visible, un tel corps serait noir, d'où son nom.
Cela ne signifie pas pour autant que le corps noir n'émet pas d'énergie : dans un état stationnaire (caractérisé par une température constante), il émet autant d'énergie qu’il en reçoit. Seulement, le spectre de la lumière émise n’est pas nécessairement lié au spectre de la lumière reçue : cette émission est due à l'agitation, désordonnée, des particules constituant le corps.
L'étude du spectre d'émission du corps noir permet donc de retirer des informations sur la température d'un corps : cette utilisation est par exemple particulièrement courante en astrophysique. Réciproquement, un corps à une température donnée doit émettre un certain rayonnement : on explique ainsi la couleur du fer « chauffé à blanc » ou le principe des lunettes à vision infrarouge. Enfin, un problème soulevé par Max Planck sur le sujet provoqua la naissance de la théorie des quantas — ancêtre de la mécanique quantique — au début du XXe siècle.
En pratique, les corps noirs constituent une approximation honnête aux corps usuels. Lorsqu'on doit travailler avec des corps noirs, cependant, on emploie un dispositif particulier appelé hohlraum (« cavité ») constitué d'un tube fermé éventuellement chauffé — le trou libre se comporte alors, sous certaines conditions, comme un corps noir presque parfait.
| Sommaire | Lois expérimentales |
# Rayonnement

| Chap. 1 : | Généralités sur le rayonnement (15) |
| Annexe : | Formulaire (15) |
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* « Rayonnement » sur Wikipédia
* « rayonnement » sur le Wiktionnaire
* « Rayonnement » sur Wikiquote

## Présentation

La présentation de cette leçon n'a pas été rédigée. Pour le faire, cliquez ici.

## Objectifs [Modifier]

* Étudier les transferts thermiques par rayonnement, exemple du corps noir
* Étudier la relation de Stefan

## Niveau et prérequis conseillés

Leçon de niveau 15. Les prérequis pour cette leçon n'ont pas encore été précisés. Pour le faire, cliquez ici.

## Référents

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# Rayonnement du corps noir/Exercices/Gaz de photons

On admet que, dans une cavité, u(T) = 3 P, avec P la pression de radiation.
    Question 1 — Écrire dS en fonction de dU et de dV.
    Question 2 — En déduire une expression reliant u, T, V, dV, dT et ${\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} T}}$.
    Question 3 — En admettant que le théorème de Schwarz s'applique pour l'entropie, exprimer ${\frac {\mathrm {d} u}{u}}$ en fonction de ${\frac {\mathrm {d} T}{T}}$.
    Question 4 — Montrer que u est proportionnelle à T⁴.
    Question 5 — Exprimer l'enthalpie libre d'un gaz de photons.
    Question 6 — Lorsque la température est suffisamment élevée, les atomes sont ionisés (on forme un plasma). Calculer dans le cas de l'hydrogène la température seuil associée T.
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle.
* Sommaire
# Rayonnement du corps noir/Objectifs

* Définir la notion de corps noir (chapitre 1) ;
* Présenter les résultats expérimentaux concernant l'émission du corps noir (chapitre 2) ;
* Introduire ou rappeler la notion d'angle solide (chapitre 3) ;
* Justifier les résultats expérimentaux par des relations thermodynamiques (chapitre 4) ;
* Évoquer l'impact de ces résultats sur le développement de la mécanique quantique (chapitre 5).
# Rayonnement/Généralités sur le rayonnement

Représentation schématique du transfert thermique par radiation
Le transfert se fait par rayonnement électromagnétique (par exemple : infrarouge). Le transfert peut se réaliser dans le vide sans la présence de matière. L'exemple caractéristique de ce type de transfert est le rayonnement du soleil dans l'espace.
Exemples de transfert par rayonnement: Système de chauffage dit par radiant; le soleil.
La loi de Stefan-Boltzmann (ou loi de Stefan) permet de quantifier ces échanges. La puissance rayonnée par un corps est donnée par la relation:
$P=\epsilon S\sigma T^{4}$
avec
* $\sigma$ : constante de Stefan-Boltzmann = 5,6703 . 10-8 W.m-2.K-4
* $\epsilon$ : émissivité, coefficient qui vaut 1 pour un corps noir et qui est compris entre 0 et 1 selon l'état de surface du matériau.
* $S$ : surface du corps
* $T$ : température du corps en Kelvin
Si le corps récepteur réfléchit certaines longueurs d'ondes ou est transparent à d'autres, seules les longueurs d'onde absorbées contribuent à son équilibre thermique. Si par contre le corps récepteur est un corps noir, c'est-à-dire qu’il absorbe tous les rayonnements électromagnétiques, alors tous les rayonnements contribuent à son équilibre thermique.
* Sommaire
# Rayonnement/Objectifs

* Étudier les transferts thermiques par rayonnement, exemple du corps noir
* Étudier la relation de Stefan
# Troubles du comportement-References bibliographiques et webographiques

Sources :

# Mallette pédagogique Troubles du comportement
### Menu

* Groupe départemental Élèves à besoins éducatifs particuliers, DSDEN de l’Essonne, septembre 2014, Les troubles du comportement, académie de Versailles, http://www.ac-versailles.fr/public/upload/docs/application/pdf/2015- 06/bep-4pages_1.pdf
* Martin Gendron, Égide Royer, Richard Bertrand et Pierre Potvin, 2005, « Les troubles du comportement, la compétence sociale et la pratique d’activités physiques chez les adolescents », Revue des sciences de l'éducation, vol. 31, n° 1, 2005, p. 211-233, http://id.erudit.org/iderudit/012365ar
* Ministère de l’éducation nationale (DGESCO), 2012, Scolariser les enfants présentant des troubles des conduites et des comportements (TCC), Eduscol, http://cache.media.eduscol.education.fr/file/Handicap/85/6/Formation_TCC_222856.pdf
* Inspection académique de l'ain, 2006, Les élèves présentant des troubles de la conduite et/ou du comportement, Mieux les connaître pour mieux les scolariser, Adaptation scolaire et Scolarisation des élèves Handicapés. http://www2.ac-lyon.fr/etab/ien/ain/ash01/IMG/pdf/5- TCC.pdf
* Académie de Poitiers, Pour une gestion des comportements difficiles à l’école, Vienne, http://ww2.ac-poitiers.fr/ia86- pedagogie/IMG/pdf/201406_dossier-peda_gestion- comportements- difficiles-ecole.pdf
* DDEC 56, Document inter-services, Services Écoles et Psychologie, 2010, Difficultés de comportement et Prévention des troubles du comportement En primaire, http://www.ecoles.ec56.org/IMG/pdf/DAA_05_prevention_troubles_comportement_en_primaire.pdf
* Exemple de comment agir en classe et ce qu’il faut éviter face à une crise ou début de crise, http://www.ecolecomportement.com/trucs1.html
* Docteur Pierre DEFRADAT Psychiatre, 2011, Troubles du comportement http://www.ac-grenoble.fr/savoie/pedagogie/docs_pedas/troubles_comportement_2/troubles_comportement.pdf?PHPSESSID=8f83fd6733a0ec532823351d86416fe4
* Décret 2005-11 du 6 janvier 2005 " Les conditions techniques d'organisation et de fonctionnement des Instituts Thérapeutiques, Éducatifs et Pédagogiques (ITEP)"
* Ouvrage collectif sous la direction de Bruno Egron “scolariser les élèves handicapés mentaux ou psychiques”.
* Serge Boimare, L'enfant et la peur d'apprendre, Dunot, 2014 (3ème édition), Paris
# Mallette pédagogique Troubles du comportement
### Menu-Mallette pédagogique Troubles du comportement

On ne peut mettre en place un outil seul mais on doit l’inclure dans un système lié à une réflexion globale pour instaurer un véritable fonctionnement de classe. Ce système comprenant outre le tableau, les règles de classe, les contrats, le conseil de classe...
La mise en place et la gestion du système peuvent paraître chronophages mais elles sont nécessaires pour établir un climat de classe favorable aux apprentissages.
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# Mallette pédagogique Troubles du comportement
### Menu-Mallette pédagogique Troubles du comportement
## Objectif

Savoir quels sont les bénéfices de cette mallette.

## Pourquoi prendre du temps pour mettre en place les différents dispositifs proposés dans cette mallette ?

Ce qui est important de comprendre, c'est que tout ce qui va être mis en place va prendre du temps sur les moments d'apprentissage mais que si vous voulez retrouver une classe sereine, vous n'avez pas vraiment le choix. C'est perdre du temps en début d'année et travailler sur le côté plus "éducateur" qu'"enseignant" pour gagner du temps ensuite et regagner une bonne ambiance de classe.
| 1ère option | 2ème option |
| Je ne veux pas perdre du temps sur les apprentissages | Je décide de passer par la phase "éducateur" avant d'être enseignant. |
| Je limite mes actions sur le comportement | Je perds du temps en début d'année, à mettre en place les différents points vus dans cette mallette pour travailler sur les comportements de mes élèves |
| Résultats : | Résultats : |
| Ambiance difficile tout le temps. Je passe mon temps à faire la police Je ne prends pas de plaisir à enseigner Les élèves ne se sentent pas bien dans la classe Les élèves avec des problèmes ou troubles continuent de dégrader l'ambiance de la classe et sont aussi en souffrance. La classe n'avance pas sur les programmes car je perds du temps à intervenir, recadrer, à gérer les crises. Je culpabilise et suis angoissé Des parents pourraient se plaindre car ils seront inquiets pour leur enfant, cela me rajoute une pression supplémentaire. Je finis l'année sur les rotules. | Je passe de moins en moins de temps à faire la police et je gagne du temps sur les apprentissages au fur et à mesure de l'année. Les élèves se sentent de mieux en mieux dans la classe. Les élèves avec problèmes ou troubles du comportement sont apaisés. L'ambiance dans la classe est plus sereine. Je me sens mieux dans ma classe et moins angoissé. Je prends de plus en plus de plaisir à enseigner. J'ai moins de soucis avec les parents car ils seront moins inquiets. Je ne culpabilise pas ou moins car j'ai fait mon possible. Je ne suis pas Superman, je ne fais pas de miracles mais j'ai fait de mon mieux. Il faut accepter que je ne peux pas tout contrôler et tout gérer. |
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# Mallette pédagogique Troubles du comportement
### Menu
## Variante 1

Vous pouvez faire varier le nombre de cases de couleur dans le tableau.

## Variante 2

Si l'enfant se situe entre le violet et le orange, cela signifie qu'il ne se comporte pas comme un élève. Il n'adopte pas les "bonnes" attitudes d'élève donc il n'a plus tout à fait les mêmes droits. Par exemple, si dans le règlement de classe, en tant qu'élève je suis autorisée à aller boire au robinet de la classe quand je le souhaite ou quand j'ai terminé mon travail, en ne respectant pas mon engagement, je perds ce droit. Je devrai attendre les temps de pause (récréation, pause du midi) pour aller boire. C'est un moyen de faire comprendre que tout n'est pas dû et qu'un élève a des droits mais aussi des devoirs. S'il ne respecte pas certains devoirs, alors il peut perdre certains droits momentanément.
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# Mallette pédagogique Troubles du comportement
### Menu

Ce dispositif a déjà fait ses preuves dans des classes d'ITEP, dans des ZEP ou REP ou classes dites difficiles.
Cet outil n'est qu'une pierre à l'édifice. Il est d'autant plus efficace lorsqu'on y associe d'autres dispositifs. C'est tout un fonctionnement de classe qui doit être retravaillé lorsque l'on a des élèves avec des problèmes ou des troubles du comportement.
Effectivement, cela peut être chronophage au début de son utilisation, mais vous verrez qu'en avançant dans l'année, on finit par gagner du temps grâce aux comportements qui ne seront plus à reprendre. Ainsi, l'ambiance de la classe sera plus saine et les tensions seront apaisées.
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# Énigmes mathématiques/Prérequis conseillés

* L'addition.
* La soustraction.
* La multiplication.
* La division.
* La réflexion.
* La détermination.
# Éolienne/Introduction

Avec la croissance des industries et par conséquent avec l’augmentation des émissions de gaz à effet de serre dans l’atmosphère, le problème des énergies renouvelables est un sujet d’actualité. C’est pour cette raison, que nous allons ici nous intéresser à un des outils permettant de produire une énergie renouvelable: les éoliennes. En effet, elles sont aujourd’hui de plus en plus répandues dans le monde, et plus particulièrement en France.
Nous verrons tout d’abord les différents éléments qui composent une éolienne.
Puis dans une seconde partie, nous verrons comment elle fonctionne, c’est-à-dire comment à partir d’un élément naturel, le vent, nous arrivons à créer de l’électricité. En effet, c’est une conversion d’énergie cinétique en énergie électrique.
Finalement dans une troisième partie, nous expliquerons comment nous obtenons de l'électricité à la fréquence du réseau.
| Sommaire | Une éolienne qu'est-ce que c’est ? |
# Énigmes mathématiques/Référents

* @anonymeUSB sur discord
* @johndejean sur discord
# Éolienne

| Chap. 1 : | Introduction |
| Chap. 2 : | Une éolienne qu'est-ce que c’est ? |
| Chap. 3 : | Du vent à l'électricité |
| Chap. 4 : | La conversion du courant, du courant alternatif à fréquence variable au courant alternatif à la fréquence du réseau |
| TP : | Le principe de Bernoulli |
Sur les autres projets Wikimedia :
* « Éolienne » sur Wikipédia
* « Éolienne » sur le Wiktionnaire

## Présentation [Modifier]

Nous étudions ici le fonctionnement d'une éolienne.

## Objectifs [Modifier]

* comprendre le fonctionnement général d'une éolienne
* sensibiliser les étudiants au sujet des énergies renouvelables
* acquérir une culture scientifique

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 12.
* Tension électrique
* Intensité du courant
* Forces, travail et énergie
* Électromagnétisme

## Référents [Modifier]

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* L3_PAE
# Énoncé mathématique des principes de la statique/Principe des actions mutuelles

    ${\begin{Bmatrix}{\mathcal {T}}_{0\rightarrow 1}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}X&L\\Y&M\\Z&N\end{Bmatrix}}_{A,R}\Leftrightarrow {\begin{Bmatrix}-{\mathcal {T}}_{1\rightarrow 0}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}-X&-L\\-Y&-M\\-Z&-N\end{Bmatrix}}_{A,R}$
| Sommaire | Principe fondamental de la statique par un solide soumis à n forces |
# Énoncé mathématique des principes de la statique

| Chap. 1 : | Principe des actions mutuelles (12) |
| Chap. 2 : | Principe fondamental de la statique par un solide soumis à n forces (12) |

## Présentation

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## Objectifs

Les objectifs de cette leçon n'ont pas encore été fixés. Pour le faire, cliquez ici.

## Niveau et prérequis conseillés

Leçon de niveau 12. Les prérequis pour cette leçon n'ont pas encore été précisés. Pour le faire, cliquez ici.

## Référents [Modifier]

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* Aumars (discuter)
# Éolienne/La conversion du courant, du courant alternatif à fréquence variable au courant alternatif à la fréquence du réseau
## Production de courant alternatif à fréquence variable

La vitesse du vent n’est pas un facteur constant donc la rotation du rotor varie, elle aussi, ceci entraîne alors un courant à fréquence variable. De plus, la génératrice implique un changement de pôle magnétique avec la rotation du rotor dans le stator. Ce qui implique la production d’un courant alternatif. Ainsi à la sortie de la génératrice, nous obtenons un courant alternatif à fréquence variable, qui est la même que celle qui s’applique au stator.

## Conversion en courant continu

Cependant ce courant produit n’est pas utilisable dans le réseau électrique public. L’emploi de thyristors et de grands transistors de puissance permet de convertir le courant alternatif en courant continu. Le thyristor est un composant qui devient conducteur en courant continu à la suite d'une impulsion électrique sur son électrode appelée "gâchette". Non seulement cette conduction est franche et brutale mais elle est permanente même après cessation de ce courant de gâchette.

## Conversion en courant alternatif à fréquence fixe

Le courant continu obtenu est ensuite converti en courant alternatif à fréquence fixe grâce à l’utilisation d’un transformateur, de thyristors ou même de transistors. Ce courant n’est pas lisse : nous obtenons un courant alternatif à ondes carrées, qui ne ressemble pas au courant sinusoïdal souhaité.

## Filtrage du courant alternatif

Grâce à des inductances et à des condensateurs appropriés, nous sommes capables de diminuer la forme carrée des ondes. Avec ce système dit de filtrage, nous obtenons une courbe quasi-identique à celle souhaitée.
* Du vent à l'électricité
# Série entière/Exercices/Rayon de convergence 3
## Question 1

Soit $(a_{n})_{n\geq 0}$ une suite de réels décroissante, de limite 0, et telle que $\sum _{n\geq 0}a_{n}$ diverge. Quel est le rayon de convergence de la série entière $\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n}$ ?
La série entière diverge en $z=1$ et converge en $z=-1$ (par le critère de convergence des séries alternées) donc $R=1$.

## Question 2

Sachant que le rayon de convergence d’une série entière $\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n}$ est $R$, quel est le rayon de convergence de la série entière $\sum _{n\geq 0}a_{n}^{2}z^{n}$ ?
Pour tout réel $\rho \geq 0$, les $a_{n}^{2}\rho ^{n}=(a_{n}({\sqrt {\rho }})^{n})^{2}$ forment une suite bornée si et seulement si la suite $(a_{n}({\sqrt {\rho }})^{n})$ est bornée, ce qui est vrai lorsque ${\sqrt {\rho }}<R$ et faux lorsque ${\sqrt {\rho }}>R$. Donc le rayon de convergence de la série entière $\sum _{n\geq 0}a_{n}^{2}z^{n}$ est $R^{2}$.
| Rayon de convergence 2 | Calcul de sommes |
# Série entière/Introduction
## À quoi ça ressemble

Une série entière est une série de fonctions de la forme $\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n}$. C’est en quelque sorte une généralisation de la notion de polynôme.
Cependant attention, les polynômes sont des objets de l'algèbre, alors que les séries entières sont des objets de l'analyse, cela conduit à des problèmes différents et surtout à des approches différentes.
Mais cette définition intuitive permet de cerner cet objet mathématique, et d'obtenir quelques premières notions.
| Sommaire | Définition formelle - rayon de convergence |
# Série entière/Objectifs

* Savoir calculer un rayon de convergence.
* Savoir faire un développement en série entière.
* Connaitre les développements en séries entières des fonctions usuelles.
# Série entière/Exercices/Rayon de convergence et polynôme

Soit $P$ un polynôme non nul de $\mathbb {C} [X]$ et $\sum a_{n}z^{n}$ une série entière. Montrer que les rayons de convergence des séries entières $\sum P(n)a_{n}z^{n}$ et $\sum a_{n}z^{n}$ sont les mêmes.
Soient $R$ le rayon de convergence de $\sum a_{n}z^{n}$ et $R'$ celui de $\sum P(n)a_{n}z^{n}$.
* Pour tout $\rho >R$, $\sum |a_{n}|\rho ^{n}$ diverge et a fortiori, $\sum |P(n)a_{n}|\rho ^{n}$ diverge, donc $R'\leq R$.
* Pour tout $\rho <R$, soit $r$ strictement compris entre $\rho$ et $R$. Alors $\sum |a_{n}|r^{n}$ converge et a fortiori, $\sum |P(n)a_{n}|\rho ^{n}$ converge, donc $R\leq R'$.
Donc $R'=R$.
| Rayon de convergence 1 | Rayon de convergence 2 |