# Signaux physiques (PCSI)/Circuits linéaires du premier ordre : régime libre, réponse à un échelon
## Exemples de circuits linéaires du 1er ordre
### Rappel de la définition d'un circuit linéaire du 1er ordre

Un circuit est linéaire du 1er ordre si le lien entre la tension instantanée entre les bornes d'un dipôle passif et l'intensité instantanée du courant traversant ce dernier est une « équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre », le dipôle passif étant fermé sur une source parfaite de tension ou de courant au sens de l'A.R.Q.S..

### « R C série »

Le dipôle $\;R\;C\;$ série est traversé par un même courant d'intensité instantanée $\;i(t)$, la tension $\;u(t)\;$ entre ses bornes étant la somme des tensions aux bornes de chaque dipôle soit «$\;u(t)=$ $R\;i(t)+u_{C}(t)\;\;({\mathfrak {a}})\;$» où «$\;u_{C}(t)\;$ est la tension aux bornes du condensateur liée à l'intensité du courant le traversant par $\;i(t)=C\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)\;$» ;
pour prouver que le dipôle $\;R\;C\;$ série est linéaire du 1er ordre, il faut montrer que $\;u(t)\;$ et $\;i(t)\;$ sont liées entre elles par une « équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre » et pour cela, il suffit d'éliminer $\;u_{C}(t)\;$ en dérivant $\;({\mathfrak {a}})\;$ par rapport au temps soit
$\;{\dfrac {du}{dt}}(t)=R\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{C}}\;i(t)\;$

### « R C parallèle »

Le dipôle $\;R\;C\;$ parallèle est soumis à une même tension instantanée $\;u(t)$, l'intensité instantanée $\;i(t)\;$ du courant traversant l'association parallèle étant la somme des intensités instantanées des courants traversant chaque dipôle soit
$\;i(t)={\dfrac {u(t)}{R}}+C\;{\dfrac {du}{dt}}(t)\;$
$\;R\;C\;$

### « R L série »

Le dipôle $\;R\;L\;$ série est traversé par un même courant d'intensité instantanée $\;i(t)$, la tension $\;u(t)\;$ entre ses bornes étant la somme des tensions aux bornes de chaque dipôle soit
$\;u(t)=R\;i(t)+L\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$
$\;R\;L\;$

### « R L parallèle »

Le dipôle $\;R\;L\;$ parallèle est soumis à une même tension instantanée $\;u(t)$, l'intensité instantanée $\;i(t)\;$ du courant traversant l'association parallèle étant la somme des intensités instantanées des courants traversant chaque dipôle soit «$\;i(t)={\dfrac {u(t)}{R}}+i_{L}(t)\;\;({\mathfrak {b}})\;$» où «$\;i_{L}(t)\;$ est l'intensité du courant traversant la bobine parfaite liée à la tension entre ses bornes par $\;u(t)=L\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)\;$» ;
pour prouver que le dipôle $\;R\;L\;$ parallèle est linéaire du 1er ordre, il faut montrer que $\;u(t)\;$ et $\;i(t)\;$ sont liées entre elles par une « équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre » et pour cela, il suffit d'éliminer $\;i_{L}(t)\;$ en dérivant $\;({\mathfrak {b}})\;$ par rapport au temps soit
$\;{\dfrac {di}{dt}}(t)={\dfrac {1}{R}}\;{\dfrac {du}{dt}}(t)+{\dfrac {u(t)}{L}}\;$

## Relevés expérimentaux
### Relevés expérimentaux dans l'exemple du « R C série » soumis à un échelon de tension
#### Relevé expérimental de l'évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur dans l'exemple du « R C série » soumis à un échelon de tension, observation de sa continuité en t = 0

Pour enregistrer la « réponse en $\;u_{C}(t)\;$ du $\;R\;C\;$ série soumis à un échelon de tension d'amplitude $\;E\;$» à partir du schéma représenté ci-contre à gauche en faisant apparaître l'instant $\;0$, il faut lancer l'enregistrement légèrement avant la fermeture de $\;K$ ;
il faut d'autre part choisir la sensibilité de base de temps pour obtenir la courbe entière sur l'écran soit, avec $\;R=100\;k\Omega \;$ et $\;C=5\;\mu F\;$, une sensibilité de $\;500\;ms\cdot cm^{-1}\;$ ;
enfin l'échelon de tension peut être créé par une A.S. à amplitude variable que l'on choisira par exemple à $\;5\;V$, dans ce cas le zéro de l'A.S. est reliée à la Terre et il est nécessaire de positionner le condensateur comme sur la figure ci-contre à gauche pour des raisons d'unicité de masses ;
on observe alors le diagramme de $\;u_{C}(t)\;$ en fonction de $\;t\;$ ci-contre à droite :
* la charge du condensateur est estimée « terminée » au bout de $\;5\;\tau \;$ avec «$\;\tau =R\;C\;$ constante de temps du $\;R\,C\;$ série », la valeur de la tension est alors égale à l'amplitude de l'échelon ;
* il y a continuité de la tension aux bornes du condensateur à $\;t=0\;$ instant de fermeture de l'interrupteur.
Remarque : il est possible d'automatiser « la création $\;{\big$et la suppression${\big )}\;$ d'un échelon de tension d'amplitude $\;E\;$» à l'aide d'un G.B.F. délivrant une tension « créneau » d'amplitude $\;{\dfrac {E}{2}}\;$ à laquelle on ajoute une composante permanente $\;{\dfrac {E}{2}}\;$ ainsi,
Remarque : sur l'alternance de valeur haute du créneau, la tension délivrée par le G.B.F. vaut $\;E\;$ et
Remarque : sur l'alternance de valeur basse elle vaut $\;0$ ;
Remarque : pour que la création et la suppression soient indépendantes il est nécessaire que la charge et la décharge du condensateur soient terminées c.-à-d. qu'il faut choisir la durée d'une alternance supérieure à $\;5\;\tau \;$ soit, en appelant $\;T\;$ la période du créneau, la condition $\;{\dfrac {T}{2}}>5\;\tau \;$ ou «$\;T>10\;\tau \;$».

#### Relevé expérimental de l'évolution temporelle de l'intensité du courant traversant le condensateur dans l'exemple du « R C série » soumis à un échelon de tension, observation de sa discontinuité de 1ère espèce en t = 0

Dans le but d'enregistrer la « réponse en $\;u_{R}(t)=R\;i(t)\;$ du $\;R\;C\;$ série soumis à un échelon de tension d'amplitude $\;E\;$» il est nécessaire de permuter le condensateur et le conducteur ohmique comme sur le schéma représenté ci-contre à gauche pour des raisons d'unicité de masses si l'échelon de tension est créé par une A.S. ou si on automatise « la création $\;{\big$et la suppression${\big )}\;$ d'un échelon de tension d'amplitude $\;E\;$» à l'aide d'un G.B.F. délivrant une tension « créneau symétrique » ;
dans le cas où on utilise une A.S. on enregistre $\;u_{R}(t)=R\;i(t)\;$ en faisant apparaître l'instant $\;0$, ce qui s'obtient en lançant l'enregistrement légèrement avant la fermeture de $\;K$ ; avec les valeurs $\;R=100\;k\Omega \;$ et $\;C=5\;\mu F\;$, on choisit une même sensibilité de $\;500\;ms\cdot cm^{-1}\;$ ;
l'échelon de tension étant créé par une A.S. à amplitude variable, on choisit cette dernière égale à $\;5\;V$, et on observe alors le diagramme de $\;u_{R}(t)\;$ en fonction de $\;t\;$ ci-contre à droite :
* l'intensité de courant de charge du condensateur est estimée « annulée » au bout de $\;5\;\tau \;$ avec « $\;\tau =R\;C\;$ constante de temps du $\;R\,C\;$ série » ;
* il y a variation très rapide de l'intensité de courant de charge du condensateur à $\;t=0\;$ instant de fermeture de l'interrupteur, variation très rapide modélisée par une discontinuité de 1ère espèce à l'instant $\;t=0\;$ soit finalement une « discontinuité de 1ère espèce de l'intensité du courant de charge du condensateur à $\;t=0$, instant de fermeture de l'interrupteur », la valeur d'intensité à l'instant $\;0^{+}\;$ étant $\;{\dfrac {5\;V}{100\;k\Omega }}=50\;\mu A$.
Remarque : on peut réitérer la remarque du paragraphe précédent à savoir la possibilité d'automatiser « la création (et la suppression) d'un échelon de tension d'amplitude $\;E\;$» à l'aide d'un G.B.F. délivrant une tension « créneau symétrique » d'amplitude $\;{\dfrac {E}{2}}\;$ à laquelle on ajoute une composante permanente $\;{\dfrac {E}{2}}\;$ ainsi,
Remarque : sur l'alternance de valeur haute du créneau, la tension délivrée par le G.B.F. vaut $\;E\;$ et
Remarque : sur l'alternance de valeur basse elle vaut $\;0$ ;
Remarque : la création et la suppression sont indépendantes si la charge et la décharge du condensateur sont terminées c.-à-d. si la durée d'une alternance est supérieure à $\;5\;\tau \;$ soit, en appelant $\;T\;$ la période du créneau, la condition $\;T>10\;\tau \;$.

### Relevés expérimentaux dans l'exemple du « R L série » soumis à un échelon de tension
#### Relevé expérimental de l'évolution temporelle de l'intensité du courant traversant une bobine dans l'exemple du « R L série » soumis à un échelon de tension, observation de sa continuité en t = 0

Dans le but d'enregistrer la « réponse en $\;u_{R}(t)=R\;i(t)\;$ du $\;R\;L\;$ série soumis à un échelon de tension d'amplitude $\;E\;$» il est nécessaire de placer la bobine et le conducteur ohmique comme sur le schéma représenté ci-contre à gauche pour des raisons d'unicité de masses si l'échelon de tension est créé par une A.S. ou si on automatise « la création $\;{\big$et la suppression${\big )}\;$ d'un échelon de tension d'amplitude $\;E\;$» à l'aide d'un G.B.F. délivrant une tension « créneau symétrique » ;
dans le cas où on utilise une A.S. on enregistre $\;u_{R}(t)=R\;i(t)\;$ en faisant apparaître l'instant $\;0$, ce qui s'obtient en lançant l'enregistrement légèrement avant la fermeture de $\;K\;$ ; avec $\;R=100\;\Omega \;$ et $\;L=0,1\;H\;$$^,$, on choisit une sensibilité de $\;1\;ms\cdot cm^{-1}\;$ ;
l'échelon de tension étant créé par une A.S. à amplitude variable, on choisit cette dernière égale à $\;5\;V$, et on observe alors le diagramme de $\;u_{R}(t)\;$ en fonction de $\;t\;$ ci-contre à droite :
* l'intensité du courant traversant la bobine est estimée « établie » au bout de $\;5\;\tau \;$ où «$\;\tau ={\dfrac {L}{R}}\;$ est la constante de temps du $\;R\,L\;$ série », la valeur de la tension aux bornes du conducteur ohmique étant alors égale à l'amplitude de l'échelon dont on tire une intensité de courant en régime établi égale à $\;I_{0}={\dfrac {E}{R}}=$ $50\;mA\;$ ;
* il y a continuité de l'intensité du courant traversant la bobine à $\;t=0\;$ instant de fermeture de l'interrupteur.
Remarque : comme on l'a déjà vu, il est possible $\;{\big$et même souhaitable${\big )}\;$ d'automatiser « la création $\;{\big$et la suppression${\big )}\;$ d'un échelon de tension d'amplitude $\;E\;$» à l'aide d'un G.B.F. délivrant une tension « créneau symétrique » d'amplitude $\;{\dfrac {E}{2}}\;$ à laquelle on ajoute une composante permanente $\;{\dfrac {E}{2}}\;$ ainsi,
Remarque : sur l'alternance de valeur haute du créneau, la tension délivrée par le G.B.F. vaut $\;E\;$ et
Remarque : sur l'alternance de valeur basse elle vaut $\;0$ ;
Remarque : la création et la suppression sont indépendantes si l'établissement et l'annulation du régime permanent du courant dans la bobine sont terminés c.-à-d. si la durée d'une alternance est supérieure à $\;5\;\tau \;$ soit, en appelant $\;T\;$ la période du créneau, la condition $\;T>10\;\tau \;$.

#### Relevé expérimental de l'évolution temporelle de la tension aux bornes de la bobine dans l'exemple du « R L série » soumis à un échelon de tension, observation de sa discontinuité de 1ère espèce en t = 0

Enregistrer la « réponse en $\;u_{L}(t)\;$ du $\;R\,L\;$ série soumis à un échelon de tension d'amplitude $\;E\;$» est quasiment impossible car aucune bobine n'est parfaite, elle contient toujours un terme résistif ;
pour obtenir une « réponse en $\;u_{B}(t)\simeq u_{L}(t)\;$ du $\;R\,L\;$ série soumis à un échelon de tension d'amplitude $\;E\;$» il faut que « le terme résistif soit négligeable relativement au terme auto-inductif » ;
on peut alors créer l'échelon de tension d'amplitude $\;E\;$ à l'aide d'une A.S. ou à l'aide d'une tension créneau symétrique créée par un G.B.F., permettant de simuler « la création $\;{\big$et la suppression${\big )}\;$ de l'échelon de tension d'amplitude $\;E\;$» ; dans le cas où on utilise une A.S. on enregistre $\;u_{B}(t)\simeq$ $L\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ en faisant apparaître l'instant $\;0$, ce qui s'obtient en lançant l'enregistrement légèrement avant la fermeture de $\;K\;$ ; avec $\;R=$ $10\;k\Omega \;$ et $\;L=0,1\;H\;$$^,$, on choisit une sensibilité de $\;10\;\mu s\cdot cm^{-1}\;$ ;
dans ces conditions on observe alors le diagramme de $\;u_{L}(t)\;$ en fonction de $\;t\;$ ci-contre à droite :
* la tension aux bornes de la bobine supposée parfaite est estimée « annulée » au bout de $\;5\;\tau \;$ avec «$\;\tau ={\dfrac {L}{R}}\;$ constante de temps du $\;R\,L\;$ série » ;
* il y a variation très rapide de la tension aux bornes de la bobine supposée parfaite à $\;t=0\;$ instant de fermeture de l'interrupteur, variation très rapide modélisée par une discontinuité de 1ère espèce à l'instant $\;t=0\;$ soit finalement « discontinuité de 1ère espèce de la tension aux bornes de la bobine $\;{\big$supposée parfaite${\big )}\;$ à $\;t=0$, instant de fermeture de l'interrupteur », la valeur de la tension aux bornes de la bobine à l'instant $\;0^{+}\;$ étant $\;5\;V$.
Remarque : comme on l'a déjà écrit, il est possible $\;{\big$et même souhaitable${\big )}\;$ d'automatiser « la création $\;{\big$et la suppression${\big )}\;$ d'un échelon de tension d'amplitude $\;E\;$» à l'aide d'un G.B.F. délivrant une tension « créneau symétrique » d'amplitude $\;{\dfrac {E}{2}}\;$ à laquelle on ajoute une composante permanente $\;{\dfrac {E}{2}}\;$ ainsi,
>Remarque : sur l'alternance de valeur haute du créneau, la tension délivrée par le G.B.F. vaut $\;E\;$ et
Remarque : sur l'alternance de valeur basse elle vaut $\;0$ ;
Remarque : la création et la suppression sont indépendantes si l'annulation de la partie inductive de la tension aux bornes de la bobine lors de l'établissement ou de l'annulation du régime permanent du courant est terminée c.-à-d. si la durée d'une alternance est supérieure à $\;5\;\tau \;$ soit, en appelant $\;T\;$ la période du créneau, la condition $\;T>10\;\tau \;$.

## Étude théorique du « R C série » soumis à un échelon de tension
### Recherche de la réponse en tension aux bornes du condensateur d'un « R C série » soumis à un échelon de tension
#### Équation différentielle en tension aux bornes du condensateur d'un « R C série » soumis à un échelon de tension

L'équation différentielle en $\;u_{C}(t)$, tension aux bornes du condensateur, du circuit de charge ci-contre s'obtient par équation de maille dans laquelle ne doit rester que $\;u_{C}(t)\;$ comme inconnue, le circuit série étant traversé par un même courant d'intensité $\;i(t)$ :
pour tout $\;t$, $\;u_{C}(t)+R\;i(t)-E\;Y(t)=0\;$ où il convient d'éliminer $\;i(t)\;$ au profit de $\;u_{C}(t)\;$ selon $\;i(t)=C\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)\;$ d'où $\;u_{C}(t)+R\;C\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)=E\;Y(t)\;$ soit finalement, en normalisant et ordonnant, l'équation différentielle en $\;u_{C}(t)\;$ suivante
$\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{R\;C}}\;u_{C}(t)={\dfrac {E}{R\;C}}\;Y(t)\;\;\forall \;t\;$
$\;t=0\;$

#### Continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parfait dans un circuit résistif

L'énergie électrostatique stockée dans un condensateur parfait étant toujours continue dans un circuit « réel $\;{\big$ou résistif${\big )}\;$», il en est de même de la tension instantanée$\;u_{C}(t)\;$aux bornes du condensateur parfait ainsi que de sa charge instantanée $\;q(t)\;$ mais nous n'avons aucune information sur l'intensité du courant de charge $\;{\big$ou de décharge${\big )}\;$ du condensateur.

#### Établissement de la réponse en tension aux bornes du condensateur d'un « R C série » soumis à un échelon de tension, régime libre et constante de temps d'un « R C série », réponse forcée (ou permanente), réponse transitoire
##### Rappel de l'équation différentielle en u$_C$(t) écrite pour tout t et conséquence (admise) de la discontinuité de 1ère espèce de l'excitation en t = 0

Nous avons établi l'équation différentielle en $\;u_{C}(t)\;$ suivante «$\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{R\;C}}\;u_{C}(t)={\dfrac {E}{R\;C}}\;Y(t)\;\;\forall \;t\;$» dans laquelle nous remarquons que l'excitation est discontinue de 1ère espèce en $\;t=0\;$.
Nous avons admis dans le chap.$21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » que le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reporte sur le plus haut ordre de dérivée du 1er membre soit ici « la dérivée temporelle 1ère de la solution générale est discontinue de 1ère espèce en $\;t=0\;$», et que le numéro d'espèce de discontinuité $\;\searrow \;$ d'une unité à chaque prise de primitive soit ici « la solution générale est discontinue de 0ème espèce c.-à-d. continue en $\;t=0\;$» ;
en conclusion on induit que «$\;u_{C}(t)\;$ est continue en $\;t=0\;$» et on justifie cette induction par la propriété de « continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parfait dans un circuit “ réel ” ».

##### Régime libre et constante de temps τ du « R C série »

Le régime libre étant solution de $\;{\dfrac {du_{C,\,l}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{R\;C}}\;u_{C,\,l}(t)=0$, on pose
$\;\tau =R\;C\;$
$\;R\,C\;$
d'où la forme canonique de l'équation différentielle régissant le régime libre
$\;{\dfrac {du_{C,\,l}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{\tau }}\;u_{C,\,l}(t)=0\;$
dont on déduit la solution libre
$\;u_{C,\,l}(t)=A\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;$
$\;A\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$

##### Équation différentielle en u$_C$(t) écrite pour t > 0 et réponse forcée

Pour $\;t>0$, l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre en $\;u_{C}(t)\;$ hétérogène s'écrit
$\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{R\;C}}\;u_{C}(t)={\dfrac {E}{R\;C}}\;$
dans laquelle, l'excitation étant constante, la réponse forcée est cherchée sous forme constante ce qui donne «$\;u_{C,\,f}=E\;$».

##### Condition initiale (C.I.) et réponse transitoire

L'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre en $\;u_{C}(t)\;$ hétérogène, écrite pour $\;t>0$, admet pour réponse transitoire
$\;u_{C}(t)=u_{C,\,f}+u_{C,\,l}(t)\;$
$\;u_{C}(t)=E+A\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;$
$\;A\;$
$\;u_{C}(0^{+})$
or on sait, d'une part que la tension aux bornes d'un condensateur parfait dans un circuit réel est continue d'où «$\;u_{C}(0^{+})=u_{C}(0^{-})\;$», or on sait, d'autre part que le condensateur est initialement déchargé d'où «$\;u_{C}(0^{-})=0\;$», or on en déduit donc «$\;u_{C}(0^{+})=0\;$» ;
utilisant cette condition on tire $\;u_{C}(0^{+})=E+A\;{\cancel {\exp \!\left(-{\dfrac {0}{\tau }}\right)}}\;$ ou $\;0=E+A\;$ soit $\;A=-E\;$ et par suite la réponse transitoire s'écrit
$\;u_{C}(t)=E\left[1-\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\right]\;\;\forall t>0\;$

##### Amortissement du régime libre et réponse transitoire tendant vers la réponse forcée

Quand $\;t\rightarrow +\infty$, d'une part le régime libre «$\;u_{C,\,l}(t)=A\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\rightarrow 0\;$» et Quand $\;\color {transparent}{t\rightarrow +\infty }$, d'autre part, la réponse transitoire «$\;u_{C}(t)=u_{C,\,f}+A\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\rightarrow u_{C,\,f}\;$» c.-à-d. qu'elle s'identifie à la « réponse forcée » ;
au bout d'une durée théorique $\;\infty$ $\;{\big$et pratique de $\;5\;\tau \;$${\big )}\;$ le condensateur parfait est chargé et la tension entre ses bornes est l'amplitude de l'échelon de tension.

#### Déduction de l'intensité du courant de charge du condensateur d'un « R C série » soumis à un échelon de tension et sa discontinuité de 1ère espèce

On sait que l'intensité du courant de charge du condensateur est «$\;i(t)=C\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)\;$», il suffit donc de dériver l'expression de $\;u_{C}(t)=$ $E\left[1-\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\right]\;\;\forall t>0\;$ ce qui donne $\;i(t)=$ $C\;E\;{\dfrac {1}{\tau }}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;\;\forall t>0\;$ ou, en utilisant $\;\tau =R\;C$,
$\;i(t)={\dfrac {E}{R}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;\;\forall t>0\;$
la valeur $\;i(0^{+})\;$ s'obtenant par limite de l'expression précédente quand $\;t\rightarrow 0\;$ soit «$\;i(0^{+})={\dfrac {E}{R}}\;$» et «$\;i(0^{-})\;$ étant $\;=0\;$», on en déduit
$\;i(t)\;$
$\;t=0\;$
$\;\Delta i(0)=i(0^{+})-i(0^{-})={\dfrac {E}{R}}\;$

### Recherche de la réponse en intensité de courant traversant le condensateur d'un « R C série » soumis à un échelon de tension
#### Équation différentielle en intensité de courant traversant le condensateur d'un « R C série » soumis à un échelon de tension

L'équation différentielle en intensité de courant $\;i(t)\;$ traversant le condensateur d'un $\;R\;C\;$ série soumis à un échelon de tension d'amplitude $\;E\;$ s'obtient par équation de maille dans laquelle ne doit rester que $\;i(t)\;$ comme inconnue ;
pour tout $\;t$, $\;u_{C}(t)+R\;i(t)-E\;Y(t)=0\;\;({\mathfrak {a}})\;$ où il convient d'éliminer $\;u_{C}(t)\;$ au profit de $\;i(t)\;$ selon $\;i(t)=C\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)\;$, ce qui nécessite de dériver la relation $\;({\mathfrak {a}})\;$ par rapport au temps d'où $\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)+R\;{\dfrac {di}{dt}}(t)=E\;\delta (t)\;$ soit, en y reportant $\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)={\dfrac {i(t)}{C}}\;$ et en normalisant
$\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{R\;C}}\;i(t)={\dfrac {E}{R}}\;\delta (t)\;\;\forall \;t\;$
$\;t=0\;$

#### Discontinuité de l'intensité de courant traversant un condensateur dans un circuit résistif soumis à un échelon de tension

Dans un circuit « réel » dans lequel il y a une discontinuité de 1ère espèce de la source à l'instant $\;t=0\;$ et contenant des conducteurs ohmiques ainsi qu'un condensateur parfait, la tension aux bornes de ce dernier étant continue, la discontinuité de 1ère espèce de la source doit être compensée par une autre discontinuité de 1ère espèce de la tension aux bornes des conducteurs ohmiques, c.-à-d. une discontinuité de 1ère espèce de l'intensité du courant circulant dans le circuit à l'instant $\;t=0\;$.

#### Établissement direct de la réponse en intensité de courant traversant le condensateur d'un « R C série » soumis à un échelon de tension, régime libre et constante de temps d'un « R C série », réponse forcée (ou permanente), réponse transitoire
##### Rappel de l'équation différentielle en i(t) écrite pour tout t et conséquence (admise) de la discontinuité de 1ère espèce de l'excitation en t = 0

Nous avons établi l'équation différentielle en $\;i(t)\;$ suivante «$\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{R\;C}}\;i(t)={\dfrac {E}{R}}\;\delta (t)\;\;\forall \;t\;$» dans laquelle nous remarquons que l'excitation est discontinue de 2ème espèce en $\;t=0\;$.
Nous avons admis dans le chap.$21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » que le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reporte sur le plus haut ordre de dérivée du 1er membre soit ici « la dérivée temporelle 1ère de la solution générale est discontinue de 2ème espèce en $\;t=0\;$», et que le numéro d'espèce de discontinuité $\;\searrow \;$ d'une unité à chaque prise de primitive soit ici « la solution générale est discontinue de 1ère espèce en $\;t=0\;$» ;
en conclusion nous induisons que «$\;i(t)\;$ est discontinue de 1ère espèce en $\;t=0\;$» et cette induction nous permet de savoir que « nous obtiendrons $\;i(0^{+})\;$ en traçant le circuit à $\;0^{+}\;$ dans lequel nous utiliserons la continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parfait dans un circuit “ réel ” ».

##### Équation différentielle en i(t) écrite pour t > 0 et absence de réponse forcée

Pour $\;t>0$, l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre en $\;i(t)\;$ s'écrivant «$\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{R\;C}}\;i(t)=0\;$» est homogène, ceci impliquant une absence de réponse forcée.

##### Forme de la réponse transitoire s'identifiant au régime libre et rappel de la constante de temps τ du « R C série »

Le régime libre étant solution de $\;{\dfrac {di_{l}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{R\;C}}\;i_{l}(t)=0$, on pose
$\;\tau =R\;C\;$
$\;R\,C\;$
d'où la forme canonique de l'équation différentielle régissant le régime libre
$\;{\dfrac {di_{l}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{\tau }}\;i_{l}(t)=0\;$
dont on déduit la solution libre laquelle, en absence de réponse forcée, s'identifie à la réponse transitoire
$\;i(t)=i_{l}(t)=A\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;$
$\;A\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$

##### Détermination de la condition initiale (C.I.) par tracé du circuit à 0$^+$ et réponse transitoire

Ci-contre on a tracé le circuit à $\;0^{+}\;$ en utilisant « la continuité de la tension aux bornes du condensateur parfait » c.-à-d. «$\;u_{C}(0^{+})=u_{C}(0^{-})\;$» avec la condition d'absence de charge « pré-initiale » du condensateur «$\;u_{C}(0^{-})=0\;$» d'où la condition initiale $\;{\big$C.I.${\big )}$ «$\;u_{C}(0^{+})=0\;$» ;
de $\;u_{C}(0^{+})=0\;$ nous déduisons que « le condensateur parfait est équivalent, à l'instant $\;0^{+}$, à un court-circuit » d'où le circuit à $\;0^{+}\;$ ci-contre à partir duquel on établit aisément «$\;i(0^{+})={\dfrac {E}{R}}\;$».
Utilisant cette condition dans $\;i(0^{+})=A\;{\cancel {\exp \!\left(-{\dfrac {0}{\tau }}\right)}}\;$ on tire $\;{\dfrac {E}{R}}=A\;$ soit $\;A={\dfrac {E}{R}}\;$ et par suite la réponse transitoire s'écrit
$\;i(t)={\dfrac {E}{R}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;\;\forall t>0\;$

##### Amortissement du régime libre et annulation de la réponse transitoire

Quand $\;t\rightarrow +\infty$, d'une part le régime libre «$\;i_{l}(t)=A\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\rightarrow 0\;$» et Quand $\;\color {transparent}{t\rightarrow +\infty }$, d'autre part, la réponse transitoire «$\;i(t)={\cancel {i_{f}}}+i_{l}(t)\rightarrow 0\;$» par absence de réponse forcée c.-à-d. qu'elle s'annule ;
au bout d'une durée théorique $\;\infty$ $\;{\big$et pratique de $\;5\;\tau \;$${\big )}\;$ le condensateur parfait est chargé et l'intensité du courant le traversant est nulle.

## Étude théorique du « R L série » soumis à un échelon de tension
### Recherche de la réponse en intensité de courant traversant la bobine d'un « R L série » soumis à un échelon de tension
#### Équation différentielle en intensité de courant traversant la bobine d'un « R L série » soumis à un échelon de tension

L'équation différentielle en $\;i(t)$, intensité du courant traversant la bobine du circuit ci-contre s'obtient par équation de maille dans laquelle ne doit rester que $\;i(t)\;$ comme inconnue :
pour tout $\;t$, $\;u_{L}(t)+R\;i(t)-E\;Y(t)=0\;$ où il convient d'éliminer $\;u_{L}(t)\;$ au profit de $\;i(t)\;$ selon $\;u_{L}(t)=L\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ d'où $\;L\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+R\;i(t)=E\;Y(t)\;$ soit finalement, en normalisant et ordonnant, l'équation différentielle en $\;i(t)\;$ suivante
$\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+{\dfrac {R}{L}}\;i(t)={\dfrac {E}{L}}\;Y(t)\;\;\forall \;t\;$
$\;t=0\;$

#### Continuité de l'intensité de courant traversant une bobine parfaite dans un circuit résistif

L'énergie électromagnétique stockée dans une bobine parfaite étant toujours continue dans un circuit « réel $\;{\big$ou résistif${\big )}\;$», il en est de même de l'intensité instantanée du courant$\;i(t)\;$traversant la bobine parfaite mais nous n'avons aucune information sur la tension aux bornes de la bobine.

#### Établissement de la réponse en intensité de courant traversant la bobine d'un « R L série » soumis à un échelon de tension, régime libre et constante de temps d'un « R L série », réponse forcée (ou permanente), réponse transitoire
##### Rappel de l'équation différentielle en i(t) écrite pour tout t et conséquence (admise) de la discontinuité de 1ère espèce de l'excitation en t = 0

Nous avons établi l'équation différentielle en $\;i(t)\;$ suivante «$\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+{\dfrac {R}{L}}\;i(t)={\dfrac {E}{L}}\;Y(t)\;\;\forall \;t\;$» dans laquelle nous remarquons que l'excitation est discontinue de 1ère espèce en $\;t=0\;$.
Nous avons admis dans le chap.$21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » que le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reporte sur le plus haut ordre de dérivée du 1er membre soit ici « la dérivée temporelle 1ère de la solution générale est discontinue de 1ère espèce en $\;t=0\;$», et que le numéro d'espèce de discontinuité $\;\searrow \;$ d'une unité à chaque prise de primitive soit ici « la solution générale est discontinue de 0ème espèce c.-à-d. continue en $\;t=0\;$» ;
en conclusion on induit que «$\;i(t)\;$ est continue en $\;t=0\;$» et on justifie cette induction par la propriété de « continuité de l'intensité du courant traversant une bobine parfaite dans un circuit “ réel ” ».

##### Régime libre et constante de temps τ du « R L série »

Le régime libre étant solution de $\;{\dfrac {di_{l}}{dt}}(t)+{\dfrac {R}{L}}\;i_{l}(t)=0$, on pose
$\;\tau ={\dfrac {L}{R}}\;$
$\;R\,L\;$
d'où la forme canonique de l'équation différentielle régissant le régime libre
$\;{\dfrac {di_{l}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{\tau }}\;i_{l}(t)=0\;$
dont on déduit la solution libre
$\;i_{l}(t)=A\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;$
$\;A\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$

##### Équation différentielle en i(t) écrite pour t > 0 et réponse forcée

Pour $\;t>0$, l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre en $\;i(t)\;$ hétérogène s'écrit
$\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+{\dfrac {R}{L}}\;i(t)={\dfrac {E}{L}}\;$
dans laquelle, l'excitation étant constante, la réponse forcée est cherchée sous forme constante ce qui donne «$\;i_{f}={\dfrac {E}{R}}\;$».

##### Condition initiale (C.I.) et réponse transitoire

L'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre en $\;i(t)\;$ hétérogène, écrite pour $\;t>0$, admet pour réponse transitoire
$\;i(t)=i_{f}+i_{l}(t)\;$
$\;i(t)={\dfrac {E}{R}}+A\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;$
$\;A\;$
$\;i(0^{+})$
or on sait, d'une part que l'intensité du courant traversant une bobine parfaite dans un circuit réel est continue d'où «$\;i(0^{+})=i(0^{-})\;$», or on sait, d'autre part que la bobine est initialement traversée par aucun courant d'où «$\;i(0^{-})=0\;$», or on en déduit donc «$\;i(0^{+})=0\;$» ;
utilisant cette condition on tire $\;i(0^{+})={\dfrac {E}{R}}+A\;{\cancel {\exp \!\left(-{\dfrac {0}{\tau }}\right)}}\;$ ou $\;0={\dfrac {E}{R}}+A\;$ soit $\;A=-{\dfrac {E}{R}}\;$ et par suite la réponse transitoire s'écrit
$\;i(t)={\dfrac {E}{R}}\left[1-\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\right]\;\;\forall t>0\;$

##### Amortissement du régime libre et réponse transitoire tendant vers la réponse forcée

Quand $\;t\rightarrow +\infty$, d'une part le régime libre «$\;i_{l}(t)=A\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\rightarrow 0\;$» et Quand $\;\color {transparent}{t\rightarrow +\infty }$, d'autre part, la réponse transitoire «$\;i(t)=i_{f}+A\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\rightarrow i_{f}\;$» c.-à-d. qu'elle s'identifie à la « réponse forcée » ;
au bout d'une durée théorique $\;\infty$ $\;{\big$et pratique de $\;5\;\tau \;$${\big )}\;$ le courant traversant la bobine parfaite est établi, son intensité étant l'amplitude de l'échelon de tension divisée par la résistance.

#### Déduction de la tension aux bornes de la partie inductive de la bobine d'un « R L série » soumis à un échelon de tension et sa discontinuité de 1ère espèce

On sait que la tension aux bornes de la bobine parfaite est «$\;u_{L}(t)=L\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$», il suffit donc de dériver l'expression de $\;i(t)=$ ${\dfrac {E}{R}}\left[1-\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\right]\;\;\forall t>0\;$ ce qui donne $\;u_{L}(t)=L\;{\dfrac {di}{dt}}(t)=$ $L\;{\dfrac {E}{R}}\;{\dfrac {1}{\tau }}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;\;\forall t>0\;$ ou, en utilisant $\;\tau ={\dfrac {L}{R}}$,
$\;u_{L}(t)=E\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;\;\forall t>0\;$
la valeur $\;u_{L}(0^{+})\;$ s'obtenant par limite de l'expression précédente quand $\;t\rightarrow 0\;$ soit «$\;u_{L}(0^{+})=E\;$» et «$\;u_{L}(0^{-})\;$ étant $\;=0\;$», on en déduit
$\;u_{L}(t)\;$
$\;t=0\;$
$\;\Delta u_{L}(0)=u_{L}(0^{+})-u_{L}(0^{-})=E\;$

### Recherche de la réponse en tension aux bornes de la partie inductive de la bobine d'un « R L série » soumis à un échelon de tension
#### Équation différentielle en tension aux bornes de la partie inductive de la bobine d'un « R L série » soumis à un échelon de tension

L'équation différentielle en tension $\;u_{L}(t)\;$ aux bornes de la bobine parfaite d'un $\;R\;L\;$ série soumis à un échelon de tension d'amplitude $\;E\;$ s'obtient par équation de maille dans laquelle ne doit rester que $\;u_{L}(t)\;$ comme inconnue ;
pour tout $\;t$, $\;u_{L}(t)+R\;i(t)-E\;Y(t)=0\;\;({\mathfrak {a}})\;$ où il convient d'éliminer $\;i(t)\;$ au profit de $\;u_{L}(t)\;$ selon $\;u_{L}(t)=L\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$, ce qui nécessite de dériver la relation $\;({\mathfrak {a}})\;$ par rapport au temps d'où $\;{\dfrac {du_{L}}{dt}}(t)+R\;{\dfrac {di}{dt}}(t)=E\;\delta (t)\;$ soit, en y reportant $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)={\dfrac {u_{L}(t)}{L}}\;$ et en normalisant
$\;{\dfrac {du_{L}}{dt}}(t)+{\dfrac {R}{L}}\;u_{L}(t)={\dfrac {E}{L}}\;\delta (t)\;\;\forall \;t\;$
$\;t=0\;$

#### Discontinuité de la tension aux bornes de la partie inductive d'une bobine dans un circuit résistif soumis à un échelon de tension

Dans un circuit « réel » dans lequel il y a une discontinuité de 1ère espèce de la source à l'instant $\;t=0\;$ et contenant des conducteurs ohmiques ainsi qu'une bobine parfaite, l'intensité du courant traversant cette dernière étant continue, la tension aux bornes des conducteurs ohmiques l'est aussi, la discontinuité de 1ère espèce de la source doit être compensée par une autre discontinuité de 1ère espèce de tension, c.-à-d. une discontinuité de 1ère espèce de la tension aux bornes de la bobine parfaite à l'instant $\;t=0\;$.

#### Établissement direct de la réponse en tension aux bornes de la partie inductive de la bobine d'un « R L série » soumis à un échelon de tension, régime libre et constante de temps d'un « R L série », réponse forcée (ou permanente), réponse transitoire
##### Rappel de l'équation différentielle en u$_L$(t) écrite pour tout t et conséquence (admise) de la discontinuité de 1ère espèce de l'excitation en t = 0

Nous avons établi l'équation différentielle en $\;u_{L}(t)\;$ suivante «$\;{\dfrac {du_{L}}{dt}}(t)+{\dfrac {R}{L}}\;u_{L}(t)={\dfrac {E}{L}}\;\delta (t)\;\;\forall \;t\;$» dans laquelle nous remarquons que l'excitation est discontinue de 2ème espèce en $\;t=0\;$.
Nous avons admis dans le chap.$21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » que le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reporte sur le plus haut ordre de dérivée du 1er membre soit ici « la dérivée temporelle 1ère de la solution générale est discontinue de 2ème espèce en $\;t=0\;$», et que le numéro d'espèce de discontinuité $\;\searrow \;$ d'une unité à chaque prise de primitive soit ici « la solution générale est discontinue de 1ère espèce en $\;t=0\;$» ;
en conclusion nous induisons que «$\;u_{L}(t)\;$ est discontinue de 1ère espèce en $\;t=0\;$» et cette induction nous permet de savoir que « nous obtiendrons $\;u_{L}(0^{+})\;$ en traçant le circuit à $\;0^{+}\;$ dans lequel nous utiliserons la continuité de l'intensité du courant traversant une bobine parfaite dans un circuit “ réel ” ».

##### Équation différentielle en u$_L$(t) écrite pour t > 0 et absence de réponse forcée

Pour $\;t>0$, l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre en $\;u_{L}(t)\;$ s'écrivant «$\;{\dfrac {du_{L}}{dt}}(t)+{\dfrac {R}{L}}\;u_{L}(t)=0\;$» est homogène, ceci impliquant une absence de réponse forcée.

##### Forme de la réponse transitoire s'identifiant au régime libre et rappel de la constante de temps τ du « R L série »

Le régime libre étant solution de $\;{\dfrac {du_{L,\,l}}{dt}}(t)+{\dfrac {R}{L}}\;u_{L,\,l}(t)=0$, on pose
$\;\tau ={\dfrac {L}{R}}\;$
$\;R\,L\;$
d'où la forme canonique de l'équation différentielle régissant le régime libre
$\;{\dfrac {du_{L,\,l}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{\tau }}\;u_{L,\,l}(t)=0\;$
dont on déduit la solution libre laquelle, en absence de réponse forcée, s'identifie à la réponse transitoire
$\;u_{L}(t)=u_{L,\,l}(t)=A\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;$
$\;A\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$

##### Détermination de la condition initiale (C.I.) par tracé du circuit à 0$^+$ et réponse transitoire

Ci-contre on a tracé le circuit à $\;0^{+}\;$ en utilisant « la continuité de l'intensité du courant traversant la bobine parfaite » c.-à-d. «$\;i(0^{+})=i(0^{-})\;$» avec la condition d'absence de courant « pré-initial » dans la bobine «$\;i(0^{-})=0\;$» d'où la condition initiale $\;{\big$C.I.${\big )}\;$ «$\;i(0^{+})=0\;$» ;
de $\;i(0^{+})=0\;$ nous déduisons que « la bobine parfaite est équivalent, à l'instant $\;0^{+}$, à un interrupteur ouvert » d'où le circuit à $\;0^{+}\;$ ci-contre à partir duquel on établit aisément «$\;u_{L}(0^{+})=E\;$».
Utilisant cette condition dans $\;u_{L}(0^{+})=A\;{\cancel {\exp \!\left(-{\dfrac {0}{\tau }}\right)}}\;$ on tire $\;E=A\;$ soit $\;A=E\;$ et par suite la réponse transitoire s'écrit
$\;u_{L}(t)=E\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;\;\forall t>0\;$

##### Amortissement du régime libre et annulation de la réponse transitoire

Quand $\;t\rightarrow +\infty$, d'une part le régime libre «$\;u_{L,\,l}(t)=A\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\rightarrow 0\;$» et Quand $\;\color {transparent}{t\rightarrow +\infty }$, d'autre part, la réponse transitoire «$\;u_{L}(t)={\cancel {u_{L,\,f}}}+i_{L,\,l}(t)\rightarrow 0\;$» par absence de réponse forcée c.-à-d. qu'elle s'annule ;
au bout d'une durée théorique $\;\infty$ $\;{\big$et pratique de $\;5\;\tau \;$${\big )}\;$ la bobine n'est le siège d'aucune f.e.m. auto-induite et la tension à ses bornes est nulle.

## Portraits de phase
### Rappel de la notion de portrait de phase d'un système dynamique classique à un degré de liberté

La notion de portrait de phase a été intriduite dans le paragraphe « définition du portrait de phase d'un système dynamique classique à un degré de liberté » du chap.$22$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », elle est rappelée ci-dessous dans son application au domaine électrique :
Le « portrait de phase » d'un système dynamique classique à un degré de liberté est une représentation géométrique, dans l'espace des phases du système, des trajectoires des points caractérisant l'état du système pour chaque ensemble de C.I. ;
cette représentation géométrique est
* soit une courbe liant la variable descriptive d'état $\;{\big$comme la charge $\;{\big$ou la tension${\big )}\;$ pour un condensateur et l'intensité pour une bobine${\big ]}\;$ à la variable de modification d'état $\;{\big$usuellement la dérivée temporelle de la variable descriptive d'état${\big )}\;$ pour des C.I. impliquant une évolution du système,
* soit un point correspondant nécessairement à la variable de modification d'état nulle, la variable descriptive d'état étant alors constante pour des C.I. caractérisant un état de repos du système.

### Portait de phase de la charge d'un condensateur dans un « R C série » soumis à un échelon de tension
#### Portrait de phase de la charge d'un condensateur (initialement déchargé) dans un « R C série » soumis à un échelon de tension

On le définit comme étant le diagramme de l'intensité du courant de charge $\;i(t)\;$ du condensateur dans un $\;R\,C\;$ série soumis à l'échelon de tension d'amplitude $\;E$, en fonction de la charge instantanée du condensateur $\;q(t)\;$ ou de la tension aux bornes du condensateur $\;u_{C}(t)={\dfrac {q(t)}{C}}\;$ ${\big \$voir ci-dessous à gauche le 1er portrait de phase avec choix de la charge comme variable descriptive d'état et ci-dessous à droite le 2ème portrait de phase avec choix de la tension${\big \}$ et pour cela on dispose de l'équation différentielle «$\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{R\;C}}\;u_{C}(t)={\dfrac {E}{R\;C}}\;Y(t)\;\;\forall \;t\;$» que l'on peut réécrire en termes de charge instantanée $\;q(t)\;$ grâce à $\;u_{C}(t)={\dfrac {q(t)}{C}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {1}{C}}\;{\dfrac {dq}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{R\;C^{2}}}\;q(t)={\dfrac {E}{R\;C}}\;Y(t)\;\;\forall \;t\;$ ou «$\;{\dfrac {dq}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{R\;C}}\;q(t)={\dfrac {E}{R}}\;Y(t)\;\;\forall \;t\;$» soit enfin, avec $\;i(t)={\dfrac {dq}{dt}}(t)$, l'équation du portrait de phase de la charge $\;q\;$ du condensateur $\;{\big$initialement déchargé${\big )}\;$ dans un $\;R\,C\;$ série soumis à un échelon de tension d'amplitude $\;E$
$\;i(t)={\dfrac {E}{R}}\;Y(t)-{\dfrac {1}{R\;C}}\;q(t)\;\;\forall \;t\;$
le portrait de phase $\;{\big$représenté ci-contre à gauche${\big )}\;$ étant d'équation, pour $\;t>0$, «$\;i(t)={\dfrac {E}{R}}-{\dfrac {1}{R\;C}}\;q(t)\;$», est porté par une droite
* de « pente $\;-{\dfrac {1}{R\;C}}=-{\dfrac {1}{\tau }}\;$» et
* d'« ordonnée à l'origine $\;i(0^{+})={\dfrac {E}{R}}\;$»,
* son abscisse à l'origine étant «$\;q_{f}=C\;E\;$».
Avec le choix de la tension $\;u_{C}\;$ aux bornes du condensateur comme variable descriptive d'état liée à la charge $\;q\;$ par $\;u_{C}(t)={\dfrac {q(t)}{C}}$, l'équation du portrait de phase de la tension $\;u_{C}\;$ aux bornes du condensateur $\;{\big$initialement déchargé${\big )}\;$ dans un $\;R\,C\;$ série soumis à un échelon de tension d'amplitude $\;E$ se réécrit selon
$\;i(t)={\dfrac {E}{R}}\;Y(t)-{\dfrac {1}{R}}\;u_{C}(t)\;\;\forall \;t\;$
le portrait de phase $\;{\big$représenté ci-dessus à droite${\big )}\;$ étant d'équation, pour $\;t>0$, «$\;i(t)={\dfrac {E}{R}}-{\dfrac {1}{R}}\;u_{C}(t)\;$», est porté par une droite
* de « pente $\;-{\dfrac {1}{R}}\;$» et
* d'« ordonnée à l'origine $\;i(0^{+})={\dfrac {E}{R}}\;$»,
* son abscisse à l'origine étant «$\;u_{C,\,f}$ $=E\;$».
Il faut savoir « lire » un portrait de phase c.-à-d. décrire l'« évolution du système dynamique à partir du portrait de phase » :
* à $\;0^{+}\;$ l'intensité est $\;>0\;$ entraînant une $\;\nearrow \;$ de la charge à partir de sa valeur nulle, cette $\;\nearrow \;$ s'accompagne d'une $\;\searrow \;$ de l'intensité et $\;\ldots$
* tant que l'intensité reste $\;>0$, la charge continue de $\;\nearrow \;$ et l'intensité de $\;\searrow \;$ $\ldots$
* Quand l'intensité devient nulle, la charge cesse alors d'augmenter ce qui correspond à un « état d'équilibre ».
Commentaire : le temps n'apparaissant pas explicitement sur un portrait de phase, nous ne pouvons tirer aucune information sur les durées écoulées entre deux points quelconques du portrait de phase en particulier nous ne savons pas qu'il faut en théorie une durée infinie pour passer du point initial au point final du portrait de phase.

#### Portrait de phase de l'intensité du courant de charge d'un condensateur (initialement déchargé) dans un « R C série » soumis à un échelon de tension

Préliminaire : Il s'agit d'une généralisation, la variable descriptive d'état du condensateur, à savoir « la charge $\;q\;$» $\;{\big$ou « la tension $\;u_{C}\;$»${\big )}\;$ n'apparaissant pas mais étant remplacée par la variable de modification d'état du condensateur, à savoir « l'intensité du courant $\;i\;$», permettant de repérer la façon dont le condensateur se charge, la variable de modification d'état correspondant alors à « la dérivée temporelle de l'intensité du courant $\;{\dfrac {di}{dt}}\;$» traduisant la variabilité de la façon dont le condensateur se charge ; Préliminaire : le diagramme représentant $\;{\dfrac {di}{dt}}\;$ en fonction de $\;i$, soit «$\;{\dfrac {di}{dt}}={\dfrac {di}{dt}}(i)\;$», peut être considéré comme un « portrait de phase avec pour variables dynamiques $\;\left(i\,,\,{\dfrac {di}{dt}}\right)\;$».
Le portrait de phase de l'intensité du courant de charge d'un condensateur $\;{\big$initialement déchargé${\big )}\;$ dans un $\;R\,C\;$ série soumis à un échelon de tension d'amplitude $\;E\;$ est défini comme le diagramme du taux horaire de variation de l'intensité du courant de charge $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ du condensateur en fonction de l'intensité du courant de charge $\;i(t)\;$ du condensateur et pour cela on dispose de l'équation différentielle $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{R\;C}}\;i(t)={\dfrac {E}{R}}\;\delta (t)\;\;\forall \;t\;$ donnant l'équation du portrait de phase cherché «$\;{\dfrac {di}{dt}}(t)={\dfrac {E}{R}}\;\delta (t)-{\dfrac {1}{R\;C}}\;i(t)\;\;\forall \;t\;$» ;
le portrait de phase ${\big$représenté ci-contre${\big )}\;$ de l'intensité $\;i\;$ du courant de charge d'un condensateur $\;{\big$initialement déchargé${\big )}\;$ dans un $\;R\,C\;$ série soumis à un échelon de tension d'amplitude $\;E\;$ étant d'équation, pour $\;t>0$, «$\;{\dfrac {di}{dt}}(t)=-{\dfrac {1}{R\;C}}\;i(t)\;$», est porté par une droite
* de « pente $\;-{\dfrac {1}{R\;C}}=-{\dfrac {1}{\tau }}\;$»
* aboutissant à l'« origine $\;\left\lbrace i_{\infty }=0\,,\,\left({\dfrac {di}{dt}}\right)_{\!\infty }=0\right\rbrace \;$»,
* le « point de départ étant $\;\left\lbrace i_{0^{+}}={\dfrac {E}{R}}\,,\,\left({\dfrac {di}{dt}}\right)_{\!0^{+}}=-{\dfrac {E}{R\;\tau }}=-{\dfrac {E}{R^{2}\;C}}\right\rbrace \;$»$^,$.

### Portrait de phase de l'établissement de l'intensité du courant traversant une bobine dans un « R L série » soumis à un échelon de tension
#### Portrait de phase de l'établissement de l'intensité du courant traversant une bobine (initialement traversée par aucun courant) dans un « R L série » soumis à un échelon de tension

On le définit comme étant le diagramme de la tension $\;u_{L}(t)\;$ aux bornes de la bobine parfaite dans un $\;R\,L\;$ série soumis à l'échelon de tension d'amplitude $\;E$, en fonction de l'intensité traversant la bobine $\;i(t)\;$ ${\big \$voir ci-contre le portrait de phase avec choix de la tension $\;u_{L}\;$ aux bornes de la bobine parfaite comme variable de modification d'état, la variable descriptive d'état étant l'intensité $\;i\;$ du courant traversant la bobine${\big \}$ et pour cela on dispose de l'équation différentielle «$\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+{\dfrac {R}{L}}\;i(t)={\dfrac {E}{L}}\;Y(t)\;\;\forall \;t\;$» que l'on peut réécrire en éliminant $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ au profit de $\;u_{L}(t)=L\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)={\dfrac {u_{L}(t)}{L}}\;$ d'où «$\;{\dfrac {u_{L}(t)}{L}}+{\dfrac {R}{L}}\;i(t)=$ ${\dfrac {E}{L}}\;Y(t)\;\;\forall \;t\;$» et finalement l'équation du portrait de phase de l'intensité $\;i\;$ du courant traversant la bobine $\;{\big$initialement traversée par aucun courant${\big )}\;$ d'un $\;R\,L\;$ série soumis à un échelon de tension d'amplitude $\;E\;$ ${\big \$la variable de modification d'état étant la tension $\;u_{L}\;$ aux bornes de la bobine parfaite${\big \}$ s'écrit
$\;u_{L}(t)=E\;Y(t)-R\;i(t)\;\;\forall \;t\;$
le portrait de phase $\;{\big$représenté ci-contre${\big )}\;$ étant d'équation, pour $\;t>0$, «$\;u_{L}(t)=E-R\;i(t)\;$», est porté par une droite
* de « pente $\;-R\;$ » et
* d'« ordonnée à l'origine $\;u_{L}(0^{+})=E\;$»,
* son abscisse à l'origine étant «$\;i_{f}={\dfrac {E}{R}}\;$».
Il faut savoir « lire » un portrait de phase c.-à-d. décrire l'« évolution du système dynamique à partir du portrait de phase » :
* à $\;0^{+}\;$ la tension aux bornes de la bobine parfaite est $\;>0\;$ $\Rightarrow$ le taux horaire de variation de l'intensité du courant traversant la bobine l'est aussi entraînant une $\;\nearrow \;$ de l'intensité à partir de sa valeur nulle, cette $\;\nearrow \;$ s'accompagne d'une $\;\searrow \;$ de la partie inductive de la tension aux bornes de la bobine et $\;\ldots$
* tant que la tension aux bornes de la bobine parfaite reste $\;>0$, l'intensité du courant continue de $\;\nearrow \;$ et la partie inductive de la tension aux bornes de la bobine de $\;\searrow$ $\;\ldots$
* Quand la tension aux bornes de la bobine parfaite devient nulle, l'intensité du courant cesse alors d'augmenter ce qui correspond à un « état d'équilibre ».
Commentaire : on rappelle que le temps n'apparaissant pas explicitement sur un portrait de phase, nous ne pouvons tirer aucune information sur les durées écoulées entre deux points quelconques du portrait de phase.

#### Portrait de phase de l'établissement de la tension aux bornes d'une bobine parfaite (initialement traversée par aucun courant) dans un « R L série » soumis à un échelon de tension

Préliminaire : Il s'agit d'une généralisation, la variable descriptive d'état de la bobine parfaite, à savoir « l'intensité du courant $\;i\;$» n'apparaissant pas mais étant remplacée par la variable de modification d'état de la bobine parfaite, à savoir « la tension à ses bornes $\;u_{L}\;$», permettant de repérer la façon dont le courant traversant la bobine est créé, la variable de modification d'état correspondant alors à « la dérivée temporelle de la partie inductive de la tension $\;{\dfrac {du_{L}}{dt}}\;$» traduisant la variabilité de la façon dont le courant traversant la bobine est créé ; Préliminaire : le diagramme représentant $\;{\dfrac {du_{L}}{dt}}\;$ en fonction de $\;u_{L}$, soit «$\;{\dfrac {du_{L}}{dt}}={\dfrac {du_{L}}{dt}}(u_{L})\;$», peut être considéré comme un « portrait de phase avec pour variables dynamiques $\;\left(u_{L}\,,\,{\dfrac {du_{L}}{dt}}\right)\;$».
Le portrait de phase de l'établissement de la tension aux bornes d'une bobine parfaite $\;{\big$initialement traversée par aucun courant${\big )}\;$ dans un $\;R\,L\;$ série soumis à un échelon de tension d'amplitude $\;E\;$ est défini comme le diagramme du taux horaire de variation de la tension $\;{\dfrac {du_{L}}{dt}}(t)\;$ aux bornes de la bobine parfaite en fonction de la partie inductive de la tension $\;u_{L}(t)\;$ aux bornes de la bobine et pour cela on dispose de l'équation différentielle $\;{\dfrac {du_{L}}{dt}}(t)+{\dfrac {R}{L}}\;u_{L}(t)=E\;\delta (t)\;\;\forall \;t\;$ donnant l'équation du portrait de phase cherché «$\;{\dfrac {du_{L}}{dt}}(t)=$ $E\;\delta (t)-{\dfrac {R}{L}}\;u_{L}(t)\;\;\forall \;t\;$» ;
le portrait de phase ${\big$représenté ci-contre${\big )}\;$ de la tension $\;u_{L}\;$ aux bornes d'une bobine parfaite $\;{\big$initialement traversée par aucun courant${\big )}\;$ dans un $\;R\,L\;$ série soumis à un échelon de tension d'amplitude $\;E\;$ étant d'équation, pour $\;t>0$, «$\;{\dfrac {du_{L}}{dt}}(t)=-{\dfrac {R}{L}}\;u_{L}(t)\;$», est porté par une droite
* de « pente $\;-{\dfrac {R}{L}}=-{\dfrac {1}{\tau }}\;$»
* aboutissant à l'« origine $\;\left\lbrace u_{L,\,\infty }=0\,,\,\left({\dfrac {du_{L}}{dt}}\right)_{\!\infty }=0\right\rbrace \;$»,
* le « point de départ étant $\;\left\lbrace u_{L,\,0^{+}}=E\,,\,\left({\dfrac {du_{L}}{dt}}\right)_{\!0^{+}}=-{\dfrac {E}{\tau }}=-{\dfrac {R\;E}{L}}\right\rbrace \;$»$^,$.

## Initiation à la dualité « série - parallèle » en électricité
### Introduction à la dualité « série - parallèle »

On remarque, d'une part, pour deux dipôles en série, que « l'intensité du courant traversant ces deux dipôles est la même » et que « la tension aux bornes de l'association de ces deux dipôles est la somme des tensions aux bornes de chaque dipôle »,
On remarque, d'autre part, pour deux dipôles en parallèle, que « la tension aux bornes de ces deux dipôles est la même » et que « l'intensité du courant traversant l'association parallèle de ces deux dipôles est la somme des intensités des courants traversant de chaque dipôle » ;
cette analogie électrique est connue sous le nom de « dualité série - parallèle », un exposé $\;{\big$partiel${\big )}\;$ des « grandeurs duales série - parallèle » est donné dans le paragraphe suivant.

### Grandeurs duales « série - parallèle »

| association série | association parallèle |
| intensité $\;i\;$ commune traversant les dipôles | tension $\;u\;$ commune aux bornes des dipôles |
| tension $\;u_{k}\;$ aux bornes du dipôle $\;_{k}\;$ et tension $\;u=\sum \limits _{k}u_{k}\;$ aux bornes de l'association $\;{\big$loi des mailles${\big )}\;$ | intensité $\;i_{k}\;$ du courant traversant le dipôle $\;_{k}\;$ et intensité $\;i=\sum \limits _{k}i_{k}\;$ traversant l'association $\;{\big$loi des nœuds${\big )}\;$ |
| association court-circuitée $\;u=0\;$ ou en $\;\parallel \;$ avec un interrupteur fermé | association en sortie ouverte $\;i=0\;$ ou en série avec un interrupteur ouvert |
| association en sortie ouverte $\;i=0\;$ ou en série avec un interrupteur ouvert | association court-circuitée $\;u=0\;$ ou en $\;\parallel \;$ avec un interrupteur fermé |
| association soumise à une source de tension parfaite de f.e.m. $\;e$ | association alimentée par une source de courant parfaite de c.e.m. $\;\eta$ |
| association soumise à un échelon de tension d'amplitude $\;E\;$ | association alimentée par un échelon de courant d'amplitude $\;I_{0}$ |
| conducteur ohmique de résistance $\;R={\dfrac {u}{i}}$ | conducteur ohmique de conductance $\;G={\dfrac {i}{u}}$ |
| condensateur parfait de capacité $\;C\;$ telle que $\;i=C\;{\dfrac {du}{dt}}$ | bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$ telle que $\;u=L\;{\dfrac {di}{dt}}$ |
| bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$ telle que $\;u=L\;{\dfrac {di}{dt}}$ | condensateur parfait de capacité $\;C\;$ telle que $\;i=C\;{\dfrac {du}{dt}}$ |

### Principales relations du dualité « série - parallèle »

Compte-tenu des grandeurs duales énoncées au paragraphe précédent, nous pouvons induire un certain nombre de relations restant valables par transformation duale, les principales étant les suivantes :
| association série | association parallèle |
| dans un circuit réel « continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parfait » | dans un circuit réel « continuité de l'intensité du courant traversant une bobine parfaite » |
| dans un circuit réel « continuité de l'intensité du courant traversant une bobine parfaite » | dans un circuit réel « continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parfait » |
| résistance équivalente à une association série $\;R_{\text{éq}}=\sum \limits _{k}R_{k}$ | conductance équivalente à une association parallèle $\;G_{\text{éq}}=\sum \limits _{k}G_{k}$ |
| modèle générateur de tension $\;{\big$ou de Thévenin${\big )}\;$ : association série d'une source de tension parfaite de f.e.m. $\;e_{\text{Th}}\;$ et d'un conducteur ohmique de résistance $\;r_{\text{Th}}\;$ $\Updownarrow$ $\;u=e_{\text{Th}}-r_{\text{Th}}\;i\;$ ${\big$en convention générateur${\big )}$ | modèle générateur de courant $\;{\big$ou de Norton${\big )}\;$ : association parallèle d'une source de courant parfaite de c.e.m. $\;\eta _{\text{N}}\;$ et d'un conducteur ohmique de conductance $\;g_{\text{N}}\;$ $\Updownarrow$ $\;i=\eta _{\text{N}}-g_{\text{N}}\;u\;$ ${\big$en convention générateur${\big )}$ |
| modèle générateur de Norton équivalent au modèle générateur de tension $\;\left(e_{\text{Th}}\,,\,r_{\text{Th}}\right)\;$ : $\;\eta _{N}={\dfrac {e_{\text{Th}}}{r_{\text{Th}}}}\;$ et $\;g_{N}={\dfrac {1}{r_{\text{Th}}}}$ | modèle générateur de Thévenin équivalent au modèle générateur de courant $\;\left(\eta _{N}\,,\,g_{N}\right)\;$ : $\;e_{\text{Th}}={\dfrac {\eta _{N}}{g_{N}}}\;$ et $\;r_{\text{Th}}={\dfrac {1}{g_{N}}}$ soit encore $\;e_{\text{Th}}=\eta _{N}\;r_{\text{Th}}$ |
| P.D.T. alimenté en entrée par une tension $\;u_{E}\;$ et de tension de sortie $\;u_{S}\;$ : équivalent, vu de la sortie, à un générateur de Thévenin de f.e.m. $\;e_{\text{Th}}={\dfrac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}\;u_{E}\;$ et de résistance $\;r_{\text{Th}}=R_{1}\parallel R_{2}=$ ${\dfrac {R_{1}\;R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}\;$ | P.D.C. alimenté en entrée par un courant d'intensité $\;i_{E}\;$ et d'intensité de courant de sortie $\;i_{S}\;$ : équivalent, vu de la sortie, à un générateur de Norton de c.e.m. $\;\eta _{N}={\dfrac {G_{2}}{G_{1}+G_{2}}}\;i_{E}\;$$^,$ et de conductance $\;g_{N}=G_{1}{\text{ série }}G_{2}={\dfrac {G_{1}\;G_{2}}{G_{1}+G_{2}}}\;$$^,$ |
| puissance calorifique dissipée dans un conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ traversé par un courant d'intensité $\;i$ : $\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal. dissipée dans }}R}=R\;i^{2}$ | puissance calorifique dissipée dans un conducteur ohmique de conductance $\;G\;$ soumis à une tension $\;u$ : $\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal. dissipée dans }}G}=G\;u^{2}$ |
| énergie électrostatique stockée dans un condensateur parfait de capacité $\;C\;$ soumis à une tension $\;u_{C}$ : $\;{\mathcal {E}}_{{\text{électrostat. stockée dans }}C}={\dfrac {1}{2}}\;C\;u_{C}^{2}$ | énergie électromagnétique stockée dans une bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$ traversée par un courant d'intensité $\;i_{L}$ : $\;{\mathcal {E}}_{{\text{électromagn. stockée dans }}L}={\dfrac {1}{2}}\;L\;i_{L}^{2}$ |
| énergie électromagnétique stockée dans une bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$ traversée par un courant d'intensité $\;i$ : $\;{\mathcal {E}}_{{\text{électromagn. stockée dans }}L}={\dfrac {1}{2}}\;L\;i^{2}$ | énergie électrostatique stockée dans un condensateur parfait de capacité $\;C\;$ soumis à une tension $\;u$ : $\;{\mathcal {E}}_{{\text{électrostat. stockée dans }}C}={\dfrac {1}{2}}\;C\;u^{2}$ |
| puissance instantanée électrique fournie par une source de tension parfaite de f.e.m. $\;e\;$ délivrant un courant d'intensité $\;i$ : $\;{\mathcal {P}}_{\text{élect. fournie par la source de tension parfaite}}=e\;i$ | puissance instantanée électrique fournie par une source de courant parfaite de c.e.m. $\;\eta \;$ imposant une tension $\;u$ : $\;{\mathcal {P}}_{\text{élect. fournie par la source de courant parfaite}}=\eta \;u$ |

### Circuits parallèle duaux des circuits série « R C série et R L série soumis à un échelon de tension »

L'intérêt de reconnaître le circuit dual d'un circuit déjà étudié est que les résultats de ce dernier peuvent fournir les résultats du 1er par simples relations de dualité.

#### « Circuit R' L parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude I$_0$ » dual d'un « R C série » soumis à un échelon de tension d'amplitude E, réponses en i$_L$ et en u obtenues par dualité

Le circuit dual d'un $\;R\,C\;$ série soumis à un échelon de tension d'amplitude $\;E\;$ ${\big$ci-contre à gauche${\big )}\;$ est Le circuit dual d’un $\;R'\,L\;$ parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude $\;I_{0}\;$ $\;{\big$ci-contre à droite${\big )}$ ;
les réponses duales en $\;u_{C}\;$ ou en $\;i\;$ sont les réponses celles en $\;i_{L}\;$ ou en $\;u$ ;
| $\;R\,C\;$ série soumis à un échelon de tension d'amplitude $\;E\;$ | $\;R'\,L\;$ parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude $\;I_{0}\;$ |
| constante de temps d'un $\;R\,C\;$ série : $\;\tau =R\;C$ | constante de temps d'un $\;R'\,L\;$ parallèle : $\;\tau =G'\;L={\dfrac {L}{R'}}\;$ |
| équation différentielle en $\;u_{C}$, tension aux bornes du condensateur parfait : $\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{\tau }}\;u_{C}(t)={\dfrac {1}{\tau }}\;E\;Y(t)\;\;\forall t$ obtenue par loi de maille et normalisation | équation différentielle en $\;i_{L}$, intensité du courant traversant la bobine parfaite : $\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{\tau }}\;i_{L}(t)={\dfrac {1}{\tau }}\;I_{0}\;Y(t)\;\;\forall t$ à obtenir par loi de nœud et normalisation |
| réponse en $\;u_{C}$, tension aux bornes du condensateur parfait : $\;u_{C}(t)=E\left[1-\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\right]\;\;{\text{pour }}t>0$ | réponse en $\;i_{L}$, intensité du courant traversant la bobine parfaite : $\;i_{L}(t)=I_{0}\left[1-\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\right]\;\;{\text{pour }}t>0$ |
| continuité de $\;u_{C}$, tension aux bornes du condensateur parfait | continuité de $\;i_{L}$, intensité du courant traversant la bobine parfaite |
| équation différentielle en $\;i$, intensité du courant de charge du condensateur parfait : $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{\tau }}\;i(t)={\dfrac {E}{R}}\;\delta (t)\;\;\forall t$ obtenue par dérivation temporelle de loi de maille et division par $\;R\;$ | équation différentielle en $\;u$, tension aux bornes de la bobine parfaite : $\;{\dfrac {du}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{\tau }}\;u(t)={\dfrac {I_{0}}{G'}}\;\delta (t)\;\;\forall t\;$ à obtenir par dérivation temporelle de loi de nœud et division par $\;G'\;$ |
| réponse en $\;i$, intensité du courant de charge du condensateur parfait : $\;i(t)={\dfrac {E}{R}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;\;{\text{pour }}t>0$ | réponse en $\;u$, tension aux bornes de la bobine parfaite : $\;u(t)={\dfrac {I_{0}}{G'}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)=R'\;I_{0}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;\;{\text{pour }}t>0$ |
| discontinuité de 1ère espèce en $\;t=0\;$ de $\;i$, intensité du courant de charge du condensateur parfait | discontinuité de 1ère espèce en $\;t=0\;$ de $\;u$, tension aux bornes de la bobine parfaite |

#### « Circuit R' C parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude I$_0$ » dual d'un « R L série » soumis à un échelon de tension d'amplitude E, réponses en u et en i$_C$ obtenues par dualité

Le circuit dual d'un $\;R\,L\;$ série soumis à un échelon de tension d'amplitude $\;E\;$ ${\big$ci-contre à gauche${\big )}\;$ est Le circuit dual d’un $\;R'\,C\;$ parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude $\;I_{0}\;$ $\;{\big$ci-contre à droite${\big )}$ ;
les réponses duales en $\;i\;$ ou en $\;u_{L}\;$ sont les réponses celles en $\;u\;$ ou en $\;i_{C}$ ;
| $\;R\,L\;$ série soumis à un échelon de tension d'amplitude $\;E\;$ | $\;R'\,C\;$ parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude $\;I_{0}\;$ |
| constante de temps d'un $\;R\,L\;$ série : $\;\tau ={\dfrac {L}{R}}$ | constante de temps d'un $\;R'\,C\;$ parallèle : $\;\tau ={\dfrac {C}{G'}}=R'\;C\;$ |
| équation différentielle en $\;i$, intensité du courant traversant la bobine parfaite : $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{\tau }}\;i(t)={\dfrac {E}{L}}\;Y(t)\;\;\forall t$ obtenue par loi de maille et normalisation | équation différentielle en $\;u$, tension aux bornes du condensateur parfait : $\;{\dfrac {du}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{\tau }}\;u(t)={\dfrac {I_{0}}{C}}\;Y(t)\;\;\forall t$ à obtenir par loi de nœud et normalisation |
| réponse en $\;i$, intensité du courant traversant la bobine parfaite : $\;i(t)={\dfrac {E}{R}}\left[1-\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\right]\;\;{\text{pour }}t>0$ | réponse en $\;u$, tension aux bornes du condensateur parfait : $\;u(t)={\dfrac {I_{0}}{G'}}\left[1-\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\right]=R'\;I_{0}\left[1-\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\right]\;\;{\text{pour }}t>0$ |
| continuité de $\;i$, intensité du courant traversant la bobine parfaite | continuité de $\;u$, tension aux bornes du condensateur parfait |
| équation différentielle en $\;u_{L}$, tension aux bornes de la bobine parfaite : $\;{\dfrac {du_{L}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{\tau }}\;u_{L}(t)=E\;\delta (t)\;\;\forall t$ obtenue par dérivation temporelle de loi de maille | équation différentielle en $\;i_{C}$, intensité du courant de charge du condensateur parfait : $\;{\dfrac {di_{C}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{\tau }}\;i_{C}(t)=I_{0}\;\delta (t)\;\;\forall t$ à obtenir par dérivation temporelle de loi de nœud |
| réponse en $\;u_{L}$, tension aux bornes de la bobine parfaite : $\;u_{L}(t)=E\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;\;{\text{pour }}t>0$ | réponse en $\;i_{C}$, intensité du courant de charge du condensateur parfait : $\;i_{C}(t)=I_{0}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;\;{\text{pour }}t>0$ |
| discontinuité de 1ère espèce en $\;t=0\;$ de $\;u_{L}$, tension aux bornes de la bobine parfaite | discontinuité de 1ère espèce en $\;t=0\;$ de $\;i_{C}$, intensité du courant de charge du condensateur parfait |

## Étude théorique d'un « R C parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I$_0$
### Recherche de la réponse en tension aux bornes du condensateur parfait d'un « R C parallèle » soumis à un échelon de courant
#### Équation différentielle en tension aux bornes du condensateur d'un « R C parallèle » soumis à un échelon de courant

L'équation différentielle en $\;u(t)$, tension aux bornes du condensateur du circuit ci-contre s'obtient par équation de nœud dans laquelle ne doit rester que $\;u(t)\;$ comme inconnue :
pour tout $\;t$, $\;i_{C}(t)+{\dfrac {u(t)}{R'}}=\eta (t)\;$ où il convient d'éliminer $\;i_{C}(t)\;$ au profit de $\;u(t)\;$ selon $\;i_{C}(t)=$ $C\;{\dfrac {du}{dt}}(t)\;$ d'où $\;C\;{\dfrac {du}{dt}}(t)+{\dfrac {u(t)}{R'}}=I_{0}\;Y(t)\;$ soit finalement, en normalisant, l'équation différentielle en $\;u(t)\;$ suivante
$\;{\dfrac {du}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{R'\;C}}\;u(t)={\dfrac {I_{0}}{C}}\;Y(t)\;\;\forall \;t\;$
$\;t=0\;$

#### Continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parfait dans un circuit résistif

L'énergie électrostatique stockée dans un condensateur parfait étant toujours continue dans un circuit « réel $\;{\big$ou résistif${\big )}\;$», il en est de même de la tension$\;u(t)\;$aux bornes du condensateur parfait mais nous n'avons aucune information sur l'intensité du courant traversant le condensateur.

#### Établissement de la réponse en tension aux bornes du condensateur d'un « R C parallèle » soumis à un échelon de courant, régime libre et constante de temps d'un « R C parallèle », réponse forcée (ou permanente), réponse transitoire
##### Rappel de l'équation différentielle en u(t) écrite pour tout t et conséquence (admise) de la discontinuité de 1ère espèce de l'excitation en t = 0

Nous avons établi l'équation différentielle en $\;u(t)\;$ suivante «$\;{\dfrac {du}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{R'\;C}}\;u(t)={\dfrac {I_{0}}{C}}\;Y(t)\;\;\forall \;t\;$» dans laquelle on remarque que l'excitation est discontinue de 1ère espèce en $\;t=0\;$.
Nous avons admis dans le chap.$21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » que le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reporte sur le plus haut ordre de dérivée du 1er membre soit ici « la dérivée temporelle 1ère de la solution générale est discontinue de 1ère espèce en $\;t=0\;$», et que le numéro d'espèce de discontinuité $\;\searrow \;$ d'une unité à chaque prise de primitive soit ici « la solution générale est discontinue de 0ème espèce c.-à-d. continue en $\;t=0\;$» ;
en conclusion on induit que «$\;u(t)\;$ est continue en $\;t=0\;$» et on justifie cette induction par la propriété de « continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parfait dans un circuit “ réel ” ».

##### Régime libre et constante de temps τ du « R C parallèle »

Le régime libre étant solution de $\;{\dfrac {du_{l}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{R'\;C}}\;u_{l}(t)=0$, on pose
$\;\tau =R'\;C\;$
$\;R'\,C\;$
d'où la forme canonique de l'équation différentielle régissant le régime libre
$\;{\dfrac {du_{l}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{\tau }}\;u_{l}(t)=0\;$
dont on déduit la solution libre
$\;u_{l}(t)=A\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;$
$\;A\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$

##### Équation différentielle en u(t) écrite pour t > 0 et réponse forcée

Pour $\;t>0$, l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre en $\;u(t)\;$ hétérogène s'écrit
$\;{\dfrac {du}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{R'\;C}}\;u(t)={\dfrac {I_{0}}{C}}\;$
dans laquelle, l'excitation étant constante, la réponse forcée est cherchée sous forme constante ce qui donne «$\;u_{f}=R'\;I_{0}\;$».

##### Condition initiale (C.I.) et réponse transitoire

L'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre en $\;u(t)\;$ hétérogène, écrite pour $\;t>0$, admet pour réponse transitoire
$\;u(t)=u_{f}+u_{l}(t)\;$
$\;u(t)=R'\;I_{0}+A\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;$
$\;A\;$
$\;u(0^{+})$
or on sait, d'une part que la tension aux bornes d'un condensateur parfait dans un circuit réel est continue d'où «$\;u(0^{+})=u(0^{-})\;$», or on sait, d'autre part que le condensateur est initialement déchargé donc soumis à une tension nulle d'où «$\;u(0^{-})=0\;$», or on en déduit donc «$\;u(0^{+})=0\;$» ;
utilisant cette condition on tire $\;u(0^{+})=R'\;I_{0}+A\;{\cancel {\exp \!\left(-{\dfrac {0}{\tau }}\right)}}\;$ ou $\;0=R'\;I_{0}+A\;$ soit $\;A=-R'\;I_{0}\;$ et par suite la réponse transitoire s'écrit
$\;u(t)=R'\;I_{0}\left[1-\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\right]\;\;\forall t>0\;$

##### Amortissement du régime libre et réponse transitoire tendant vers la réponse forcée

Quand $\;t\rightarrow +\infty$, d'une part le régime libre «$\;u_{l}(t)=A\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\rightarrow 0\;$» et Quand $\;\color {transparent}{t\rightarrow +\infty }$, d'autre part, la réponse transitoire «$\;u(t)=u_{f}+A\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\rightarrow u_{f}\;$» c.-à-d. qu'elle s'identifie à la « réponse forcée » ;
au bout d'une durée théorique $\;\infty$ $\;{\big$et pratique de $\;5\;\tau \;$${\big )}\;$ la tension aux bornes du condensateur parfait est établie, égale à celle aux bornes du conducteur ohmique dont l'intensité du courant le traversant est l'amplitude de l'échelon de courant.

#### Déduction de l'intensité du courant traversant le condensateur d'un « R C parallèle » soumis à un échelon de courant et sa discontinuité de 1ère espèce

On sait que l'intensité du courant de charge du condensateur parfait est «$\;i_{C}(t)=C\;{\dfrac {du}{dt}}(t)\;$», il suffit donc de dériver l'expression de $\;u(t)=$ $R'\;I_{0}\left[1-\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\right]\;\;\forall t>0\;$ ce qui donne $\;i_{C}(t)=C\;R'\;I_{0}\;{\dfrac {1}{\tau }}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;\;\forall t>0\;$ ou, en utilisant $\;\tau =R'\;C$,
$\;i_{C}(t)=I_{0}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;\;\forall t>0\;$
la valeur $\;i_{C}(0^{+})\;$ s'obtenant par limite de l'expression précédente quand $\;t\rightarrow 0\;$ soit «$\;i_{C}(0^{+})=I_{0}\;$» et «$\;i_{C}(0^{-})\;$ étant $\;=0\;$», on en déduit
$\;i_{C}(t)\;$
$\;t=0\;$
$\;\Delta i_{C}(0)=i_{C}(0^{+})-i_{C}(0^{-})=I_{0}\;$

### Recherche de la réponse en intensité du courant traversant le condensateur d'un « R C parallèle » soumis à un échelon de courant
#### Équation différentielle en intensité du courant traversant le condensateur d'un « R C parallèle » soumis à un échelon de courant

L'équation différentielle en intensité $\;i_{C}(t)\;$ de courant de charge du condensateur parfait d'un $\;R'\;C\;$ parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude $\;I_{0}\;$ s'obtient par équation de nœud dans laquelle ne doit rester que $\;i_{C}(t)\;$ comme inconnue ;
pour tout $\;t$, $\;i_{C}(t)+{\dfrac {u(t)}{R'}}=I_{0}\;Y(t)\;\;({\mathfrak {a}})\;$ où il convient d'éliminer $\;u(t)\;$ au profit de $\;i_{C}(t)\;$ selon $\;i_{C}(t)=C\;{\dfrac {du}{dt}}(t)\;$, ce qui nécessite de dériver la relation $\;({\mathfrak {a}})\;$ par rapport au temps d'où $\;{\dfrac {di_{C}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{R'}}\;{\dfrac {du}{dt}}(t)=I_{0}\;\delta (t)\;$ soit, en y reportant $\;{\dfrac {du}{dt}}(t)={\dfrac {i_{C}(t)}{C}}\;$
$\;{\dfrac {di_{C}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{R'\;C}}\;i_{C}(t)=I_{0}\;\delta (t)\;\;\forall \;t\;$
$\;t=0\;$

#### Discontinuité de l'intensité du courant traversant un condensateur dans un circuit résistif soumis à un échelon de courant

Dans un circuit « réel » dans lequel il y a une discontinuité de 1ère espèce de la source à l'instant $\;t=0\;$ et contenant des conducteurs ohmiques ainsi qu'un condensateur parfait, la tension aux bornes de ce dernier étant continue, il en est de même de celle aux bornes des conducteurs ohmiques et de l'intensité des courants les traversant, la discontinuité de 1ère espèce de la source doit être compensée par une autre discontinuité de 1ère espèce d'intensité de courant, soit une discontinuité de 1ère espèce de l'intensité de courant de charge du condensateur parfait à l'instant $\;t=0\;$.

#### Établissement direct de la réponse en intensité du courant traversant le condensateur d'un « R C parallèle » soumis à un échelon de courant, régime libre et constante de temps d'un « R C parallèle », réponse forcée (ou permanente), réponse transitoire
##### Rappel de l'équation différentielle en i$_C$(t) écrite pour tout t et conséquence (admise) de la discontinuité de 1ère espèce de l'excitation en t = 0

Nous avons établi l'équation différentielle en $\;i_{C}(t)\;$ suivante «$\;{\dfrac {di_{C}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{R'\;C}}\;i_{C}(t)=I_{0}\;\delta (t)\;\;\forall \;t\;$» dans laquelle on remarque que l'excitation est discontinue de 2ème espèce en $\;t=0\;$.
Nous avons admis dans le chap.$21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » que le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reporte sur le plus haut ordre de dérivée du 1er membre soit ici « la dérivée temporelle 1ère de la solution générale est discontinue de 2ème espèce en $\;t=0\;$», et que le numéro d'espèce de discontinuité $\;\searrow \;$ d'une unité à chaque prise de primitive soit ici « la solution générale est discontinue de 1ère espèce en $\;t=0\;$» ;
en conclusion nous induisons que «$\;i_{C}(t)\;$ est discontinue de 1ère espèce en $\;t=0\;$» et cette induction nous permet de savoir que « nous obtiendrons $\;i_{C}(0^{+})\;$ en traçant le circuit à $\;0^{+}\;$ dans lequel nous utiliserons la continuité de la tension aux bornes du condensateur parfait dans un circuit “ réel ” ».

##### Équation différentielle en i$_C$(t) écrite pour t > 0 et absence de réponse forcée

Pour $\;t>0$, l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre en $\;i_{C}(t)\;$ s'écrivant «$\;{\dfrac {di_{C}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{R'\;C}}\;i_{C}(t)=0\;$» est homogène, ceci impliquant une absence de réponse forcée.

##### Forme de la réponse transitoire s'identifiant au régime libre et rappel de la constante de temps τ du « R C parallèle »

Le régime libre étant solution de $\;{\dfrac {di_{C,\,l}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{R'\;C}}\;i_{C,\,l}(t)=0$, on pose
$\;\tau =R'\;C\;$
$\;R'\,C\;$
d'où la forme canonique de l'équation différentielle régissant le régime libre
$\;{\dfrac {di_{C,\,l}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{\tau }}\;i_{C,\,l}(t)=0\;$
dont on déduit la solution libre laquelle, en absence de réponse forcée, s'identifie à la réponse transitoire
$\;i_{C}(t)=i_{C,\,l}(t)=A\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;$
$\;A\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$

##### Détermination de la condition initiale (C.I.) par tracé du circuit à 0$^+$ et réponse transitoire

Ci-contre on a tracé le circuit à $\;0^{+}\;$ en utilisant « la continuité de la tension aux bornes du condensateur parfait » c.-à-d. «$\;u(0^{+})=u(0^{-})\;$» avec la condition d'absence de tension « pré-initiale » aux bornes du condensateur «$\;u(0^{-})=0\;$» d'où la condition initiale $\;{\big$C.I.${\big )}\;$ «$\;u(0^{+})$ $=0\;$» ;
de $\;u(0^{+})=0\;$ nous déduisons que « le condensateur parfait est équivalent, à l'instant $\;0^{+}$, à un interrupteur fermé » d'où le circuit à $\;0^{+}\;$ ci-contre à partir duquel on établit aisément «$\;i_{C}(0^{+})=I_{0}\;$».
utilisant cette condition dans $\;i_{C}(0^{+})=A\;{\cancel {\exp \!\left(-{\dfrac {0}{\tau }}\right)}}\;$ on tire $\;I_{0}=A\;$ soit $\;A=I_{0}\;$ et par suite la réponse transitoire s'écrit
$\;i_{C}(t)=I_{0}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;\;\forall t>0\;$

##### Amortissement du régime libre et annulation de la réponse transitoire

Quand $\;t\rightarrow +\infty$, d'une part le régime libre «$\;i_{C,\,l}(t)=A\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\rightarrow 0\;$» et Quand $\;\color {transparent}{t\rightarrow +\infty }$, d'autre part, la réponse transitoire «$\;i_{C}(t)={\cancel {i_{C,\,f}}}+i_{L,\,l}(t)\rightarrow 0\;$» par absence de réponse forcée c.-à-d. qu'elle s'annule ;
au bout d'une durée théorique $\;\infty$ $\;{\big$et pratique de $\;5\;\tau \;$${\big )}\;$ le condensateur n'est traversé par aucun courant.

## Étude théorique du « R L parallèle » soumis à un échelon de courant
### Recherche de la réponse en intensité du courant traversant la bobine d'un « R L parallèle » soumis à un échelon de courant
#### Équation différentielle en intensité du courant traversant la bobine d'un « R L parallèle » soumis à un échelon de courant

L'équation différentielle en $\;i_{L}(t)$, intensité du courant traversant la bobine parfaite, du circuit ci-contre s'obtient par équation de nœud dans laquelle ne doit rester que $\;i_{L}(t)\;$ comme inconnue, le circuit parallèle étant soumis à une même tension $\;u(t)$ :
pour tout $\;t$, $\;i_{L}(t)+{\dfrac {u(t)}{R'}}=I_{0}\;Y(t)\;$ où il convient d'éliminer $\;u(t)\;$ au profit de $\;i_{L}(t)\;$ selon $\;u(t)=$ $L\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)\;$ d'où $\;i_{L}(t)+{\dfrac {L}{R'}}\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)=I_{0}\;Y(t)\;$ soit finalement, en normalisant et ordonnant, l'équation différentielle en $\;i_{L}(t)\;$ suivante
$\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)+{\dfrac {R'}{L}}\;i_{L}(t)={\dfrac {R'}{L}}\;I_{0}\;Y(t)\;\;\forall \;t\;$
$\;t=0\;$

#### Continuité de l'intensité du courant traversant une bobine dans un circuit résistif

L'énergie électromagnétique stockée dans une bobine parfaite étant toujours continue dans un circuit « réel $\;{\big$ou résistif${\big )}\;$», il en est de même de l'intensité instantanée du courant$\;i_{L}(t)\;$traversant la bobine parfaite mais nous n'avons aucune information sur la tension aux bornes de la bobine.

#### Établissement de la réponse en intensité du courant traversant la bobine d'un « R L parallèle » soumis à un échelon de courant, régime libre et constante de temps d'un « R L parallèle », réponse forcée (ou permanente), réponse transitoire
##### Rappel de l'équation différentielle en i$_L$(t) écrite pour tout t et conséquence (admise) de la discontinuité de 1ère espèce de l'excitation en t = 0

Nous avons établi l'équation différentielle en $\;i_{L}(t)\;$ suivante «$\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)+{\dfrac {R'}{L}}\;i_{L}(t)={\dfrac {R'}{L}}\;I_{0}\;Y(t)\;\;\forall \;t\;$» dans laquelle on remarque que l'excitation est discontinue de 1ère espèce en $\;t=0\;$.
Nous avons admis dans le chap.$21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » que le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reporte sur le plus haut ordre de dérivée du 1er membre soit ici « la dérivée temporelle 1ère de la solution générale est discontinue de 1ère espèce en $\;t=0\;$», et que le numéro d'espèce de discontinuité $\;\searrow \;$ d'une unité à chaque prise de primitive soit ici « la solution générale est discontinue de 0ème espèce c.-à-d. continue en $\;t=0\;$» ;
en conclusion on induit que «$\;i_{L}(t)\;$ est continue en $\;t=0\;$» et on justifie cette induction par la propriété de « continuité de l'intensité du courant traversant une bobine parfaite dans un circuit “ réel ” ».

##### Régime libre et constante de temps τ du « R L parallèle »

Le régime libre étant solution de $\;{\dfrac {di_{L,\,l}}{dt}}(t)+{\dfrac {R'}{L}}\;i_{L,\,l}(t)=0$, on pose
$\;\tau ={\dfrac {L}{R'}}\;$
$\;R\,L\;$
d'où la forme canonique de l'équation différentielle régissant le régime libre
$\;{\dfrac {di_{L,\,l}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{\tau }}\;i_{L,\,l}(t)=0\;$
dont on déduit la solution libre
$\;i_{L,\,l}(t)=A\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;$
$\;A\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$

##### Équation différentielle en i$_L$(t) écrite pour t > 0 et réponse forcée

Pour $\;t>0$, l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre en $\;i_{L}(t)\;$ hétérogène s'écrit
$\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)+{\dfrac {R'}{L}}\;i_{L}(t)={\dfrac {R'}{L}}\;I_{0}\;$
dans laquelle, l'excitation étant constante, la réponse forcée est cherchée sous forme constante ce qui donne «$\;i_{L,\,f}=I_{0}\;$».

##### Condition initiale (C.I.) et réponse transitoire

L'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre en $\;i_{L}(t)\;$ hétérogène, écrite pour $\;t>0$, admet pour réponse transitoire
$\;i_{L}(t)=i_{L,\,f}+i_{L,\,l}(t)\;$
$\;i_{L}(t)=I_{0}+A\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;$
$\;A\;$
$\;i_{L}(0^{+})$
or on sait, d'une part que l'intensité du courant traversant une bobine parfaite dans un circuit réel est continue d'où «$\;i_{L}(0^{+})=i_{L}(0^{-})\;$», or on sait, d'autre part que la bobine est initialement traversée par aucun courant d'où «$\;i_{L}(0^{-})=0\;$», or on en déduit donc «$\;i_{L}(0^{+})=0\;$» ;
utilisant cette condition on tire $\;i_{L}(0^{+})=I_{0}+A\;{\cancel {\exp \!\left(-{\dfrac {0}{\tau }}\right)}}\;$ ou $\;0=I_{0}+A\;$ soit $\;A=-I_{0}\;$ et par suite la réponse transitoire s'écrit
$\;i_{L}(t)=I_{0}\left[1-\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\right]\;\;\forall t>0\;$

##### Amortissement du régime libre et réponse transitoire tendant vers la réponse forcée

Quand $\;t\rightarrow +\infty$, d'une part le régime libre «$\;i_{L,\,l}(t)=A\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\rightarrow 0\;$» et Quand $\;\color {transparent}{t\rightarrow +\infty }$, d'autre part, la réponse transitoire «$\;i_{L}(t)=i_{L,\,f}+A\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\rightarrow i_{L,\,f}\;$» c.-à-d. qu'elle s'identifie à la « réponse forcée » ;
au bout d'une durée théorique $\;\infty$ $\;{\big$et pratique de $\;5\;\tau \;$${\big )}\;$ l'intensité du courant traversant la bobine parfaite est devenue égale à l'amplitude de l'échelon de courant.

#### Déduction de la tension aux bornes de la partie inductive de la bobine d'un « R L parallèle » soumis à un échelon de courant et sa discontinuité de 1ère espèce

On sait que la tension aux bornes de la bobine parfaite est «$\;u(t)=L\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)\;$», il suffit donc de dériver l'expression de $\;i_{L}(t)=$ $I_{0}\left[1-\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\right]\;\;\forall t>0\;$ ce qui donne $\;u(t)=$ $L\;I_{0}\;{\dfrac {1}{\tau }}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;\;\forall t>0\;$ ou, en utilisant $\;\tau ={\dfrac {L}{R'}}$,
$\;u(t)=R'\;I_{0}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;\;\forall t>0\;$
la valeur $\;u(0^{+})\;$ s'obtenant par limite de l'expression précédente quand $\;t\rightarrow 0\;$ soit «$\;u(0^{+})=R'\;I_{0}\;$» et «$\;u(0^{-})\;$ étant $\;=0\;$», on en déduit
$\;u(t)\;$
$\;t=0\;$
$\;\Delta u(0)=u(0^{+})-u(0^{-})=R'\;I_{0}\;$

### Recherche de la réponse en tension aux bornes de la partie inductive de la bobine d'un « R L parallèle » soumis à un échelon de courant
#### Équation différentielle en tension aux bornes de la partie inductive de la bobine d'un « R L parallèle » soumis à un échelon de courant

L'équation différentielle en tension $\;u(t)\;$ aux bornes de la bobine parfaite d'un $\;R'\;L\;$ parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude $\;I_{0}\;$ s'obtient par équation de nœud dans laquelle ne doit rester que $\;u(t)\;$ comme inconnue ;
pour tout $\;t$, $\;i_{L}(t)+{\dfrac {u(t)}{R'}}=I_{0}\;Y(t)\;\;({\mathfrak {a}})\;$ où il convient d'éliminer $\;i_{L}(t)\;$ au profit de $\;u(t)\;$ selon $\;u(t)=L\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)\;$, ce qui nécessite de dériver la relation $\;({\mathfrak {a}})\;$ par rapport au temps d'où $\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{R'}}\;{\dfrac {du}{dt}}(t)=I_{0}\;\delta (t)\;$ soit, en y reportant $\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)={\dfrac {u(t)}{L}}\;$ et en normalisant
$\;{\dfrac {du}{dt}}(t)+{\dfrac {R'}{L}}\;u(t)=R'\;I_{0}\;\delta (t)\;\;\forall \;t\;$
$\;t=0\;$

#### Discontinuité de la tension aux bornes de la partie inductive d'une bobine dans un circuit résistif soumis à un échelon de courant

Dans un circuit « réel » dans lequel il y a une discontinuité de 1ère espèce de la source à l'instant $\;t=0\;$ et contenant des conducteurs ohmiques ainsi qu'une bobine parfaite, l'intensité du courant traversant cette dernière étant continue, la discontinuité de 1ère espèce de la source doit être compensée par une autre discontinuité de 1ère espèce de l'intensité de courant aux bornes des conducteurs ohmiques, c.-à-d. une discontinuité de 1ère espèce de la tension aux bornes des dipôles montés en parallèle dans le circuit à l'instant $\;t=0\;$.

#### Établissement direct de la réponse en tension aux bornes de la partie inductive de la bobine d'un « R L parallèle » soumis à un échelon de courant, régime libre et constante de temps d'un « R L parallèle », réponse forcée (ou permanente), réponse transitoire
##### Rappel de l'équation différentielle en u(t) écrite pour tout t et conséquence (admise) de la discontinuité de 1ère espèce de l'excitation en t = 0

Nous avons établi l'équation différentielle en $\;u(t)\;$ suivante «$\;{\dfrac {du}{dt}}(t)+{\dfrac {R'}{L}}\;u(t)=R'\;I_{0}\;\delta (t)\;\;\forall \;t\;$» dans laquelle on remarque que l'excitation est discontinue de 2ème espèce en $\;t=0\;$.
Nous avons admis dans le chap.$21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » que le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reporte sur le plus haut ordre de dérivée du 1er membre soit ici « la dérivée temporelle 1ère de la solution générale est discontinue de 2ème espèce en $\;t=0\;$», et que le numéro d'espèce de discontinuité $\;\searrow \;$ d'une unité à chaque prise de primitive soit ici « la solution générale est discontinue de 1ère espèce en $\;t=0\;$» ;
en conclusion nous induisons que «$\;u(t)\;$ est discontinue de 1ère espèce en $\;t=0\;$» et cette induction nous permet de savoir que « nous obtiendrons $\;u(0^{+})\;$ en traçant le circuit à $\;0^{+}\;$ dans lequel nous utiliserons la continuité de l'intensité du courant traversant la bobine parfaite dans un circuit “ réel ” ».

##### Équation différentielle en u(t) écrite pour t > 0 et absence de réponse forcée

Pour $\;t>0$, l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre en $\;u(t)\;$ s'écrivant «$\;{\dfrac {du}{dt}}(t)+{\dfrac {R'}{L}}\;u(t)=0\;$» est homogène, ceci impliquant une absence de réponse forcée.

##### Forme de la réponse transitoire s'identifiant au régime libre et rappel de la constante de temps τ du « R L parallèle »

Le régime libre étant solution de $\;{\dfrac {du_{l}}{dt}}(t)+{\dfrac {R'}{L}}\;u_{l}(t)=0$, on pose
$\;\tau ={\dfrac {L}{R'}}\;$
$\;R\,L\;$
d'où la forme canonique de l'équation différentielle régissant le régime libre
$\;{\dfrac {du_{l}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{\tau }}\;u_{l}(t)=0\;$
dont on déduit la solution libre laquelle, en absence de réponse forcée, s'identifie à la réponse transitoire
$\;u(t)=u_{l}(t)=A\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;$
$\;A\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$

##### Détermination de la condition initiale (C.I.) par tracé du circuit à 0$^+$ et réponse transitoire

Ci-contre on a tracé le circuit à $\;0^{+}\;$ en utilisant « la continuité de l'intensité du courant traversant la bobine parfaite » c.-à-d. «$\;i_{L}(0^{+})=i_{L}(0^{-})\;$» avec la condition d'absence de courant « pré-initial » dans la bobine «$\;i_{L}(0^{-})=0\;$» d'où la condition initiale $\;{\big$C.I.${\big )}$ «$\;i_{L}(0^{+})=0\;$» ;
de $\;i_{L}(0^{+})=0\;$ nous déduisons que « la bobine parfaite est équivalente, à l'instant $\;0^{+}$, à un interrupteur ouvert » d'où le circuit à $\;0^{+}\;$ ci-contre à partir duquel on établit aisément «$\;u(0^{+})=R'\;I_{0}\;$».
utilisant cette condition dans $\;u(0^{+})=A\;{\cancel {\exp \!\left(-{\dfrac {0}{\tau }}\right)}}\;$ on tire $\;R'\;I_{0}=A\;$ soit $\;A=R'\;I_{0}\;$ et par suite la réponse transitoire s'écrit
$\;u(t)=R'\;I_{0}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;\;\forall t>0\;$

##### Amortissement du régime libre et annulation de la réponse transitoire

Quand $\;t\rightarrow +\infty$, d'une part le régime libre «$\;u_{l}(t)=A\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\rightarrow 0\;$» et Quand $\;\color {transparent}{t\rightarrow +\infty }$, d'autre part, la réponse transitoire «$\;u(t)={\cancel {u_{f}}}+u_{l}(t)\rightarrow 0\;$» par absence de réponse forcée c.-à-d. qu'elle s'annule ;
au bout d'une durée théorique $\;\infty$ $\;{\big$et pratique de $\;5\;\tau \;$${\big )}\;$ le courant traversant la bobine parfaite est établi et la tension aux bornes de cette dernière est nulle.