OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Système d'équations linéaires/Présentation de la leçon

Les systèmes d'équations linéaires sont les systèmes d’équations les plus simples. On sait complètement les résoudre avec des outils de calcul et des opérateurs élémentaires (addition, multiplication). Il est aussi possible de dire si ces systèmes possèdent des solutions et combien.
Ils apparaissent même dans des problèmes pratiques, c’est dire l'importance de pouvoir les traiter rapidement.
# Système d'équations linéaires/Objectifs

* Savoir résoudre un système d'équations linéaires.
* Voir comment on peut utiliser un système d'équations pour résoudre un problème de la vie courante.
# Système d'équations linéaires/Prérequis conseillés

* Pour les leçons de niveau 9 :
** Une simple connaissance des additions et multiplications ;
* Pour les leçons de niveau 13 et plus :
** éventuellement, des notions concernant les matrices et leurs déterminants.
# Système d'équations linéaires/Exercices/Systèmes linéaires à deux équations et deux inconnues
## Exercice 1

Résoudre le système d'équations suivant :
${\begin{cases}3x+2y-7=0\\-x+3y+6=0\end{cases}}$
où x et y sont des nombres réels.
${\begin{cases}3x+2y-7=0\\-x+3y+6=0\end{cases}}$
${\begin{cases}3x+2y-7=0\\-3x+9y+18=0\end{cases}}$
${\begin{cases}11y+11=0\\-x+3y+6=0\end{cases}}$
${\begin{cases}11y=-11\\-x+3y+6=0\end{cases}}$
${\begin{cases}y=-1\\-x-3+6=0\end{cases}}$
${\begin{cases}y=-1\\x=3\end{cases}}$

## Exercice 2

On donne deux points $A(3;1)$ et $B(-1;5)$.
Déterminer une équation de la droite $(AB)$ en résolvant
un système de deux équations à deux inconnues.
L'équation générale d'une droite est de la forme y = ax + b où a est la pente et b l'ordonnée à l'origine.
$\ comme~A\in (AB)~alors~1=3a+b$
$\ comme~B\in (AB)~alors~5=-a+b$
On obtient alors le sytème ${\begin{cases}3a+b=1\\-a+b=5\end{cases}}$
On soustrait les 2 équations ${\begin{cases}4a=-4\\-a+b=5\end{cases}}$
${\begin{cases}a=-1\\b=5+a\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}a=-1\\b=4\end{cases}}$
L'équation de la droite (AB) est y = -x + 4
| Sujet de brevet | Systèmes linéaires à trois équations et trois inconnues |
# Système d'équations linéaires/Introduction
## Notion de système d'équations
### Exemple 1

Une boulangerie vend des baguettes. Pierre achète trois baguettes et cinq croissants, il paye 7 €. Paul achète deux baguettes et dix croissants, il paye 10 €. Quel est le prix d'une baguette et celui d'un croissant ?
Pour résoudre ce problème, on peut procéder par tâtonnements, mais la méthode risque d’être longue et incertaine. L'algébrisation du problème permet d'obtenir la solution à coup sûr, et en un temps raisonnable.
Il faut commencer par choisir des inconnues. On note $x$ l'inconnue représentant le prix d'une baguette, et $y$ l'inconnue représentant le prix d'un croissant.
La facture de Pierre se calcule alors de la manière suivante : $3x+5y$. Celle de Paul : $2x+10y$.
Connaissant le prix payé par Pierre et Paul, on peut affirmer que les inconnues $x$ et $y$ doivent vérifier simultanément les deux équations : $\left\{{\begin{array}{l}3x+5y=7\\2x+10y=10\end{array}}\right.$
Le caractère simultané des deux équations est représenté par l'accolade { devant celles-ci.
On dit que les deux équations forment un système de deux équations à deux inconnues.

### Exemple 2

Un champ rectangulaire a une aire de 24 m$^2$ et un périmètre de 20 m. Quelles sont les dimensions du champ ?
Tentons de mettre ce problème en équations.
On commence par choisir des inconnues. On note $x$ l'inconnue désignant la largeur (en mètres) du champ, et $y$ l'inconnue désignant la longueur (en mètres) du champ.
L'aire est alors donnée par la formule $x\times y$, le périmètre par $2x+2y$.
Connaissant l'aire et le périmètre du champ, on peut affirmer que les inconnues $x$ et $y$ doivent vérifier simultanément les deux équations : $\left\{{\begin{array}{l}x\times y=24\\2x+2y=20\end{array}}\right.$
On obtient à nouveau un système de deux équations à deux inconnues.

### Quelles est la différence entre ces deux systèmes ?

Rappelons les deux systèmes obtenus : $\left\{{\begin{array}{l}3x+5y=7\\2x+10y=10\end{array}}\right.$ et $\left\{{\begin{array}{l}x\times y=24\\2x+2y=20\end{array}}\right.$
Dans le premier système, les inconnues $x$ et $y$ apparaissent seulement multipliées par des nombres, alors que dans le deuxième, on voit le produit $x\times y$.
Seul le premier système est dit linéaire, ce sont des systèmes comme celui-ci qui vont être étudiés dans ce cours.
Je vous vois impatient de connaitre le prix d'une baguette et d'un croissant. Pour cela il faudra regarder le chapitre suivant.

## Qu'est-ce qu'un système d'équations ?

Un système d'équations est un ensemble $(S)$ de plusieurs équations à plusieurs inconnues que l’on doit résoudre en même temps.
$(S)\,{\begin{cases}3x+y=5\\4x-y=9\end{cases}}$
Le système d'équations $(S)$ est un système de deux équations à deux inconnues.

## Résolution d'un système d'équations

Résoudre $(S)$, c’est trouver toutes les valeurs qu’il faut donner à chaque inconnue en même temps pour que toutes les égalités soient vraies. Dans les chapitres suivants, nous allons étudier deux méthodes, la méthode par substitution et la méthode par combinaison.
| Sommaire | Résolution par substitution |
# Jean Giraudoux

Faculté de Littérature
Jean Giraudoux est un écrivain et un diplomate français de la première moitié du XXe siècle. Il est aujourd'hui surtout connu pour son théâtre qui compte des pièces célèbres, comme La guerre de Troie n'aura pas lieu (1935) et Électre (1937).
Les objectifs de ce cours sont :
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# Jean Giraudoux/Présentation du cours

Jean Giraudoux est un écrivain et un diplomate français de la première moitié du XXe siècle. Il est aujourd'hui surtout connu pour son théâtre qui compte des pièces célèbres, comme La guerre de Troie n'aura pas lieu (1935) et Électre (1937).
# Jean Racine/Leçons

* Théâtre
* Andromaque, 1668
# Jazz/Voir aussi

* Relations gammes-accords à la guitare (travail de recherche)
* Département de jazz de la Wikiversity anglophone
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# Jean de La Bruyère

Faculté de Littérature
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* L'argumentatif
* Les Caractères, 1688
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# Jean Racine

Faculté de Littérature
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* Théâtre
* Andromaque, 1668
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# Jean de La Bruyère/Leçons

* L'argumentatif
* Les Caractères, 1688
# La pomme de terre « Belle de Fontenay »/Fiche/Fiches botaniques de la pomme de terre

| Sommaire | Mémoire 1 |
# La pomme de terre « Belle de Fontenay »/La pomme de terre, histoire & mémoire

| Invention de la ''Belle de Fontenay'' | Conclusion |
# La pomme de terre « Belle de Fontenay »/Migrations & périgrinations d'un tubercule

On ne se persuaderait jamais qu'un végétal si sain, si agréable, si productif, qui exige si peu de manipulation pour servir à la nourriture ; qu'une racine si bien garantie contre l'intempérie des saisons ; qu'une plante, en un mot, qui, par un privilège unique, réunit manifestement tous les genres d'avantages sans autre inconvénient que celui de ne pas durer toute l'année, mais qui doit à ce défaut même un avantage de plus, celui de ne point donner de prise à l'avidité des accapareurs, ait pu avoir besoin de deux siècles pour vaincre dés préventions puériles. Cependant nous en avons encore été les témoins."
En 1819, le ministre avait (…) attiré l'attention des habitants sur la culture en grand de la pomme de terre, (…). M. Grizel Sainte-Marie aurait voulu qu’on établit des primes d’encouragement pour ceux qui planteraient en tabac le plus de terres incultes. Il croit que leur insouciance ne tiendrait pas contre un pareil moyen. "Il est étrange, sans doute, dit avec raison cet auteur, qu’il me soit permis de faire cette réflexion, qu’il faille toujours offrir des recompenses à une population, quand on veut la déterminer à embrasser la culture d’un végétal utile. C’est ainsi qu’en France, au centre de toute civilisation, durant les années 1815, 1810 et 1817, sans les primes attachés à l’exploitation du plus précieux tubercule du règne végétal, de la pomme de terre, on ne serait peut-être pas aussi promptement parvenu à décider une population, alors malheureuse, manquant de tout et mourant de faim, a donner ses soins à la culture d’une plante qui devait la sauver de la famine quelle défierait à l’avenir, et la défendre à jamais contre le plus affreux des fléaux qui puisse affliger un grand peuple." (Alfred de Lavalette.- L'agriculture à la Guadeloupe, 1878).

## Agriculture de la pomme de terre

* Répartition par continents des surfaces cultivées en pommes de terre, 2009.
* Structure en tonnage de la production de pomme de terre en France, 2009.
* Pommes de terre France 1961-2009.
* Agriculture de la pomme de terre en France.
* Zones d'agriculture de la pomme de terre en Chine.
| Introduction | Invention de la ''Belle de Fontenay'' |
# La pomme de terre « Belle de Fontenay »/Présentation de la leçon

Cette leçon ne se rattache pas à une discipline exclusive pas plus qu'elle n'est destinée à un seul niveau d'apprentissage. Elle sera néanmoins structurée en séquence et séances pour répondre au besoin d'une formation à la pédagogie. Elle intégrera des réflexions sur l'usage du numérique dans l'acquisition de savoirs et l'apport des projets Wikimedia.
Le thème de la pomme de terre nous permet d’aborder des sujets aussi divers que la colonisation des Amériques, les migrations des végétaux, l'art de la table ou l'espoir d'éradication de la faim dans le monde.
# La pomme de terre « Belle de Fontenay »/Annexe/Lexicographie
## A
### Aliment

Mot : Aliment Définition retenue : Tout ce qui est Nécessité et contingence à la croissance ou à la conservation de la vie et de l’espèce. Wiktionnaire : aliment Wikipédia : Nourriture Dictionnaire Atilf : Aliment Encyclopédie Diderot & D'Alembert : Aliment ; Wikisource.

## M
### Modèle

Mot : Mot Définition retenue : "Texte" Wiktionnaire : Wiktionnaire Wikipédia : Wikipédia Dictionnaire Atilf : Dictionnaire Atilf Encyclopédie Diderot & D'Alembert : Encyclopédie Diderot & D'Alembert : Wikisource, L’Encyclopédie, 1re édition

## P
### Pomme de terre

Mot : Pomme de terre Définition retenue : Plante dicotylédone, herbacée à tubercule, d'origine andine. Et, par métonymie, la tubercule comestible de cette plante. Wiktionnaire : aliment Wikipédia : Pomme de terre Dictionnaire Atilf : Pomme de terre Encyclopédie Diderot & D'Alembert : Pomme de terre : Wikisource.
| Chronologie | Iconographie |
# La pomme de terre « Belle de Fontenay »/Objectifs

La leçon est rédigée pour servir de base à des rencontres entre le public d'un espace intergénérationnel et une société d'histoire.
# La pomme de terre « Belle de Fontenay »/Prérequis conseillés

* Niveau collège
* Usage de l'outil informatique
# La pomme de terre « Belle de Fontenay »/Conclusion

* I : Maestoso – Allegro con brio ed appassionato
* noicon
* II : Arietta – Adagio molto, semplice e cantabile
* noicon
* Des difficultés à utiliser ces médias ?
| La pomme de terre, histoire & mémoire | Sommaire |
# La pomme de terre « Belle de Fontenay »/Invention de la ''Belle de Fontenay''

​ ​{{C|[[w:fr:Belle de Fontenay|<span style="font-size:1.2em">Belle de Fontenay</span>]]}}
| Migrations & périgrinations d'un tubercule | La pomme de terre, histoire & mémoire |
# Lois du courant continu/Objectifs

* Connaitre les noms des lois électriques de base utilisées dans le cadre du courant continu.
* Savoir choisir et appliquer une ou plusieurs lois en fonction du contexte et d'un énoncé (exercice, problème, recherche etc).
# Lois du courant continu/Prérequis conseillés

* Connaitre les définitions littérales et mathématiques des trois phénomènes et grandeurs électriques de base (intensité, tension, résistance).
* Maitriser les règles de calcul mathématiques faisant intervenir les quatre opérations de base (addition, soustraction, multiplication, division).
# Lois du courant continu/Présentation de la leçon

Cette leçon présente l’ensemble des lois électriques faisant intervenir les trois phénomènes et grandeurs électriques de base (intensité, tension et résistance) dans le cadre du courant continu (tension constante générée ou courant constant traversant le générateur).
# Lois fondamentales de l'électricité

Faculté de Sciences de l'ingénieur
Ce cours présente les lois fondamentales de l'électricité
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Les prérequis conseillés sont :
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# Lois fondamentales de l'électricité/Présentation du cours

Ce cours présente les lois fondamentales de l'électricité
# Lois fondamentales de l'électricité/Voir aussi

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# Échantillonnage et estimation pour le bio-médical/Exercices/Test du χ²
## L'expérience de Mendel

La différence de couleur entre les deux lignées considérées de pois est contrôlée par un seul gène, ou de manière équivalente, un seul couple d'allèles C et c : la couleur jaune étant dominante (C) et le vert récessif (c). De même, la forme des pois (rond ou ridé) est portée par un autre gène à deux allèles R (dominant) pour la forme ronde et r (récessif) pour la forme ridée.
On observe alors les descendances d'hétérozygotes CcRr. Les lois de Mendel prévoient la répartition théorique : 9/16 de pois jaunes et ronds ([CR]), 3/16 de pois jaunes et ridés ([Cr]), 3/16 de pois verts et ronds ([cR]) et enfin, 1/16 de pois verts et ridés ([cr]). Dans ses expériences, Mendel a obtenu les résultats suivants : 315 jaunes ronds, 101 jaunes ridés, 108 verts ronds et 32 verts ridés. On se propose d'utiliser un test du χ² pour vérifier que les lois de Mendel s'appliquent bien ici.
* Donnez dans un tableau les effectifs observés et les effectifs théoriques.
* Si l'on se fixe le risque d’erreur 0,05, donnez le seuil critique correspondant.
* Calculez la valeur t du test correspondant à l'échantillon.
* Conclusion ?
1.
| | CR | Cr | cR | cr |
| Effectifs observés | 315 | 101 | 108 | 32 |
| Effectifs théoriques | 556 × 9/16 = 312,75 | 556 × 3/16 = 104,25 | 556 × 3/16 = 104,25 | 556 × 1/16 = 34,75 |
2. Il y a 4 catégories. Le degré de liberté du test du χ² est donc 4 − 1 = 3. Si l'on prend le risque d’erreur 0,05, le seuil critique correspondant est alors 7,815.
3. $t={\frac {(312{,}75-315)^{2}}{312{,}75}}+{\frac {(104{,}25-101)^{2}}{104{,}25}}+{\frac {(104{,}25-108)^{2}}{104{,}25}}+{\frac {(37{,}75-32)^{2}}{34{,}75}}\approx 0{,}47$.
4. Les conditions de validité du test sont bien vérifiées : 556 > 30 et les effectifs théoriques sont tous supérieurs à 5. On a t < 7,815 ; on peut donc considérer que la différence entre les valeurs trouvées sur l'échantillon et le modèle théorique n'est pas significative. La loi de Mendel semble s'appliquer.
* Sommaire
# Échantillonnage et estimation pour le bio-médical/Objectifs

Voir quelques applications de l'échantillonnage et de l'estimation aux sciences bio-médicales.
# Échantillonnage et estimation pour le bio-médical/Présentation de la leçon

Si cette leçon est dite destinée aux sciences biomédicales, c'est principalement parce que les exemples du cours et les exercices sont empruntés à ce domaine. En effet, les sciences biomédicales sont grandes consommatrices de statistiques et en particulier de tests statistiques pour vérifier la conformité de certaines observations avec certaines normes. Cette leçon reste toutefois assez élémentaire et ne s'adresse pas à des mathématiciens chevronnés mais à des utilisateurs dans le cadre de professions médicales. Les résultats seront donc la plupart du temps énoncés sans démonstrations et l'accent sera mis sur les applications pratiques.
# Échantillonnage et estimation pour le bio-médical

| Chap. 1 : | Introduction |
| Chap. 2 : | Échantillonnage |
| Chap. 3 : | Estimation |
| Chap. 4 : | Tests de conformité |
| Chap. 5 : | Tests d'homogénéité |
| Exercice : | Test du χ² |
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## Présentation [Modifier]

Si cette leçon est dite destinée aux sciences biomédicales, c'est principalement parce que les exemples du cours et les exercices sont empruntés à ce domaine. En effet, les sciences biomédicales sont grandes consommatrices de statistiques et en particulier de tests statistiques pour vérifier la conformité de certaines observations avec certaines normes. Cette leçon reste toutefois assez élémentaire et ne s'adresse pas à des mathématiciens chevronnés mais à des utilisateurs dans le cadre de professions médicales. Les résultats seront donc la plupart du temps énoncés sans démonstrations et l'accent sera mis sur les applications pratiques.

## Objectifs [Modifier]

Voir quelques applications de l'échantillonnage et de l'estimation aux sciences bio-médicales.

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 14.
* Éventuellement la leçon Initiation à l'échantillonnage et l'estimation, mais ce n'est pas nécessaire.

## Pour aller plus loin [Modifier]

* Statistique inférentielle

## Référents [Modifier]

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
* Lydie Noria
* Loïc Fabiou (discuter)
# Outils mathématiques pour la physique en classe préparatoire PCSI/Produit vectoriel
## Base directe

Soient trois vecteurs ${\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}}$ formant une base orthonormée (vecteurs unitaires et orthogonaux deux à deux). En imaginant le pouce de la main droite donnant la direction de ${\vec {i}}$ et l'indexe celle de ${\vec {j}}$, on dit que $({\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}})$ est une base directe si la direction de ${\vec {k}}$ est donnée par le majeur. Sinon elle est dite indirecte.

## Interprétation géométrique

| Produit scalaire | Barycentre |
# Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Prérequis conseillés

Être issu d'une section scientifique d'un lycée francophone.
# Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Objectifs

d'apporter les principales connaissances mathématiques utiles pour comprendre les leçons développées dans la fin du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».
# Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Présentation de la leçon

Cette leçon fait suite à celle intitulée « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et, comme dans cette dernière,
chaque chapitre de la leçon est a priori indépendant du précédent, l'ordre des chapitres correspondant à l'apparition de leur nécessité dans la suite du cours « Physique en classe préparatoire PCSI » à savoir :
* Mécanique 2,
* Statique des fluides,
* Thermodynamique,
* Induction et forces de Laplace.
# Outils mathématiques utilisés en mécanique quantique

| Chap. 1 : | Espaces hilbertiens |
| Chap. 2 : | Opérateurs linéaires |
| Chap. 3 : | Notations de Dirac |
| Chap. 4 : | Diagonalisation d'opérateurs linéaires |
| Chap. 5 : | Transformée de Fourier |

## Présentation [Modifier]

La mécanique quantique utilise un ensemble d’outils mathématiques que l’on se propose ici d'exposer. Ces outils font appel notamment à des notions d'algèbre linéaire et sont indispensables à l'étude rigoureuse de la mécanique quantique.
Ceci n’est pas un cours de mathématiques, mais plutôt un ensemble de rappels utiles et pratiques, vus sous l'angle de la mécanique quantique. Pour une étude plus rigoureuse des notions abordées, se référer à la faculté de mathématiques.

## Objectifs [Modifier]

Cette leçon a pour but de vous permettre de connaître les bases mathématiques nécessaires à la résolution algébrique des équations rencontrées en mécanique quantique. C'est-à-dire :
* Les espaces hilbertiens
* Les opérateurs linéaires (section vide)
* La notation de Dirac (section vide)
* La diagonalisation d'opérateurs linéaires
* La transformée de Fourier (section vide)
* Le delta de Dirac (section vide)

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 14.
* Notions de base d'algèbre linéaire
* Notions de base d'analyse et de calcul intégral

## Référents

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    Personne ne s'est déclaré prêt à aider pour cette leçon. Pour vous ajouter, cliquez ici.
# Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Référents

Phl7605
# Traçage artificiel/Annexe/Fluorescence de l'eau

| élément | émission au pic de l'EEM (nm) |
| Anthracène | |
| Stilbène | |
| Napthalène | |
| Pyrène | |
| Pétrole dans un milieu marin | 330 et 380 |
| Caractéristiques des traceurs fluorescents | Sommaire |
# Traçage artificiel/Introduction

Un traçage artificiel en hydrogéologie consiste à suivre un traceur, d'un point d'injection à un point de restitution. Les applications des traçages artificiels sont très divers et variés. La plus ancienne et la plus commune sert aux spéléologues à faire le lien entre différents points d'un ou plusieurs réseaux karstiques - les spéléologues utilisent pour cela des colorants qui peuvent être visibles à l'œil nu. Les traçages artficiels sont aussi utilisés selon des techniques encore plus pointues, où les traceurs ne sont plus visibles à l'œil nu et sont analysés par des instruments très précis.

## les différents traceurs artificiels

Il existe en théorie une diversité énorme de traceurs pouvant tracés les écoulements de l'eau souterraine, des plus basiques comme une poignée de feuilles mortes (traceur solide) jetée au flot d'une perte karstique, aux plus pointus comme les traceurs radioactifs en passant par les traceurs fluorescents et salins.
| Sommaire | Organisation |
# Trente-six fables d'Ésope/La grue et le renard

* La fontaine de Versailles par G. Bickham, 1768
* Le quatrain de Benserade, 1678
| La fable d'Ésope | Le quatrain de Bensérade |
| La Grue pria ensuite le Renard à manger, et lui servit aussi de la bouillie, mais dans une fiole, où faisant entrer son grand bec, elle la mangea toute, elle seule. | Le renard chez la grue alla pareillement, Un vase étroit, et long fut mis sur nappe blanche, De la langue le bec se vengea pleinement, Est-il pas naturel de prendre sa revanche ? |
* La fontaine de Versailles
* Sur un petit rocher la cigogne a son bec dans un vase de cristal.
* que forme l'eau et qui est garni de vermeil doré.
* Le renard auprès jette de l'eau.
* Traduction du texte de Edward HOLSWORTH
* Sur un petit rocher de rocaille une grue est représentée,
* le bec profondément plongé dans un vase de cristal
* rempli de riches viandes.
* Le vase est décoré en vert et bien doré.
* Le renard est debout à côté,
* jetant un œil plein d'envie sur son amie,
* mais il projette en l'air un gros jet d'eau,
* comme s'il n'était pas concerné par cette vengeance juste et rusée.
Le texte d'origine en anglais