# Champ magnétique, magnétostatique/Dipôle magnétique
## Moment magnétique
### Dipôle magnétique

Un dipôle magnétique est une boucle de courant dont on considère le champ à grande distance.

### Moment magnétique

${\vec {\mathfrak {m}}}$
${\vec {n}}$
${\vec {\mathfrak {m}}}=aI{\vec {n}}$

## Champ créé à grande distance par un dipôle magnétique

On dispose d'une spire circulaire de centre O, de rayon R, d'axe (Ox), parcourue par un courant i.
On veut calculer le champ magnétique créé en un point M à grande distance de la spire :
    ${\overrightarrow {OM}}=r{\vec {u}}_{r}$
    $r\gg R~$
Soit P un point courant de la spire, repéré par l'angle $\varphi$ entre ${\vec {u}}_{y}$ et ${\overrightarrow {OP}}$. Le champ magnétique créé en M par un élément $\mathrm {d} {\vec {l}}$ de spire placé en P vaut :
    $\mathrm {d} {\vec {B}}(M)={\frac {\mu _{0}i}{4\pi }}{\frac {\mathrm {d} {\vec {l}}\wedge {\overrightarrow {PM}}}{PM^{3}}}$.
avec :
    $\mathrm {d} {\vec {l}}=\mathrm {d} {\overrightarrow {OP}}=\mathrm {d} \varphi ~{\begin{array}{|l}0\\-R\sin(\varphi )\\R\cos(\varphi )\\\end{array}}$
    ${\overrightarrow {PM}}={\overrightarrow {OM}}-{\overrightarrow {OP}}=~{\begin{array}{|l}r\cos(\theta )\\r\sin(\theta )-R\cos(\varphi )\\-R\sin(\varphi )\\\end{array}}$
    $PM^{3}=||{\overrightarrow {PM}}||^{3}=(R^{2}+r^{2}-2rR\sin(\theta )\cos(\varphi ))^{\frac {3}{2}}$ donc ${\frac {1}{PM^{3}}}={\frac {1}{r^{3}}}\left(1-2{\frac {R}{r}}\sin(\theta )\cos(\varphi )+{\frac {R^{2}}{r^{2}}}\right)^{-{\frac {3}{2}}}$
En faisant un développement limité à l’ordre 1 en ${\frac {R}{r}}$, on obtient :
    ${\frac {1}{PM^{3}}}\approx {\frac {1}{r^{3}}}\left(1+3{\frac {R}{r}}\sin(\theta )\cos(\varphi )\right)$
On calcule le produit vectoriel :
    $\mathrm {d} {\vec {l}}\wedge {\overrightarrow {PM}}=\mathrm {d} \varphi ~{\begin{array}{|l}R^{2}\sin ^{2}(\varphi )+R^{2}\cos ^{2}(\varphi )-rR\cos(\varphi )\sin(\theta )\\rR\cos(\theta )\cos(\varphi )\\rR\cos(\theta )\sin(\varphi )\\\end{array}}$
On reprend l’expression de $\mathrm {d} {\vec {B}}(M)$ :
    ${\begin{aligned}\mathrm {d} {\vec {B}}(M)&={\frac {\mu _{0}i~\mathrm {d} \varphi }{4\pi r^{3}}}\left(1+3{\frac {R}{r}}\sin(\theta )\cos(\varphi )\right)~{\begin{array}{|l}R^{2}\sin ^{2}(\varphi )+R^{2}\cos ^{2}(\varphi )-rR\cos(\varphi )\sin(\theta )\\rR\cos(\theta )\cos(\varphi )\\rR\cos(\theta )\sin(\varphi )\\\end{array}}\\&={\frac {\mu _{0}i~\mathrm {d} \varphi }{4\pi r^{3}}}~{\begin{array}{|l}(R^{2}-rR\cos(\varphi )\sin(\theta ))\left(1+3{\frac {R}{r}}\sin(\theta )\cos(\varphi )\right)\\rR\cos(\theta )\cos(\varphi )+3R^{2}\sin(\theta )\cos(\theta )\cos ^{2}(\varphi )\\rR\cos(\theta )\sin(\varphi )+3R^{2}\sin(\theta )\cos(\theta )\cos(\varphi )\sin(\varphi )\\\end{array}}\end{aligned}}$
Il est maintenant grand temps d'intégrer cette expression pour $\varphi$ variant entre 0 et $2\pi$. Sachant que :
    $\int _{0}^{2\pi }\cos(\varphi )~\mathrm {d} \varphi =\int _{0}^{2\pi }\sin(\varphi )~\mathrm {d} \varphi =0$
    $\int _{0}^{2\pi }\cos(\varphi )\sin(\varphi )~\mathrm {d} \varphi =0$
    $\int _{0}^{2\pi }\sin ^{2}(\varphi )~\mathrm {d} \varphi =\int _{0}^{2\pi }\cos ^{2}(\varphi )~\mathrm {d} \varphi =\pi$
Il vient ainsi :
    ${\begin{aligned}{\vec {B}}(M)&={\frac {\mu _{0}i}{4\pi r^{3}}}~{\begin{array}{|l}2\pi R^{2}-3\pi R^{2}\sin ^{2}(\theta )\\3\pi R^{2}\sin(\theta )\cos(\theta )\\0\\\end{array}}\\&={\frac {\mu _{0}i}{4\pi r^{3}}}\pi R^{2}~{\begin{array}{|l}2-3\sin ^{2}(\theta )\\3\sin(\theta )\cos(\theta )\\0\\\end{array}}\\&={\frac {\mu _{0}{\mathfrak {m}}}{4\pi r^{3}}}~{\begin{array}{|l}3\cos ^{2}(\theta )-1\\3\sin(\theta )\cos(\theta )\\0\\\end{array}}\\\end{aligned}}$
Dans un repère polaire, le champ magnétique dipolaire créé par une boucle de courant de moment magnétique ${\mathfrak {m}}$ vaut ${\vec {B}}(M)={\frac {\mu _{0}{\mathfrak {m}}}{4\pi r^{3}}}(2\cos(\theta ){\vec {u}}_{r}+\sin(\theta ){\vec {u}}_{\theta })$
On remarquera la ressemblance importante avec le dipôle électrostatique, tant dans la forme des équations que dans les lignes de champ engendrées.
${\begin{array}{|c|c|}{\textrm {Magnetostatique}}&{\textrm {Electrostatique}}\\\hline \displaystyle {{\vec {B}}(M)={\frac {\mu _{0}{\mathfrak {m}}}{4\pi r^{3}}}(2\cos(\theta ){\vec {u}}_{r}+\sin(\theta ){\vec {u}}_{\theta })}&\displaystyle {{\vec {E}}(M)={\frac {p}{4\pi \varepsilon _{0}r^{3}}}(2\cos(\theta ){\vec {u}}_{r}+\sin(\theta ){\vec {u}}_{\theta })}\\\hline \mu _{0}{\mathfrak {m}}&\displaystyle {\frac {p}{\varepsilon _{0}}}\\\end{array}}$
* Il faut bien garder en tête que cette expression n'est qu'une approximation valable à grande distance du dipôle uniquement.

## Efforts exercés sur un dipôle rigide

On considère un dipôle magnétique disposé dans un champ magnétique extérieur ${\vec {B}}$.
Le dipôle :
* possède une énergie potentielle magnétique $W_{m}=-{\vec {\mathfrak {m}}}\cdot {\vec {B}}$
* est soumis à une force ${\vec {F}}=-{\vec {\nabla }}W_{m}={\vec {\nabla }}({\vec {\mathfrak {m}}}\cdot {\vec {B}})$
* est soumis à un moment ${\vec {\Gamma }}={\vec {\mathfrak {m}}}\wedge {\vec {B}}$
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