# Probabilités de l'ingénieur : algorithmes stochastiques et simulation/Introduction et rappels
## Théorèmes utiles
### Loi des grands nombres

Cette loi est une propriété fondamentale dans la théorie des probabilités, qui dit qu’il est possible, à partir d'un grand échantillon de variables aléatoires de même loi, de retrouver les propriétés de cette loi.
La loi des grands nombres existe sous deux formes : la faible et la forte.
Soit $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}$ une suite de variables aléatoires indépendantes définies sur un même espace probabilisé, ayant même espérance $\mathbb {E} (X)$ et même variance finie $V(X)$. Alors : $\forall \varepsilon >0,\quad \lim _{n\to +\infty }\mathbb {P} \left(\left|{\frac {X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}}{n}}-\mathbb {E} (X)\right|\geqslant \varepsilon \right)=0$
Par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on a : $\mathbb {P} (|Y-\mathbb {E} (Y)|\geqslant \varepsilon )\leqslant {\frac {V(Y)}{\varepsilon ^{2}}}$ .
On remarque que la variable aléatoire $Y_{n}={\frac {X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}}{n}}$ a pour espérance $\mathbb {E} (X)$ et pour variance ${\frac {V(X)}{n}}$. Ainsi, pour tout n :
$\mathbb {P} \left(\left|{\frac {X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}}{n}}-\mathbb {E} (X)\right|\geqslant \varepsilon \right)\leqslant {\frac {V(X)}{n\,\varepsilon ^{2}}}$.
Ainsi, on dit qu’il y a convergence en probabilité de la moyenne des variables aléatoires (la variable Y) vers leur espérance $\mathbb {E} (X)$.
La loi forte des grands nombres permet, à partir d'hypothèses moindres sur les variables aléatoires, d'obtenir un résultat de convergence plus fort :
Soit $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ une suite de variables aléatoires indépendantes définies sur un même espace probabilisé, intégrables ($\mathbb {E} (|X_{1}|)<+\infty$). Alors : $\mathbb {P} \left(\lim _{n\to +\infty }{\frac {X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}}{n}}=\mathbb {E} (X_{0})\right)=1$
Ainsi, on dit qu’il y a convergence presque sûre de la moyenne des variables aléatoires vers leur espérance $\mathbb {E} (X)$.
Il existe plusieurs démonstrations de la loi forte, notamment par Kolmogorov.

### Théorème de la limite centrale

Le théorème de la limite centrale est un grand résultat des probabilités, qui permet d'approcher la loi de probabilité de la somme d'un grand nombre de variables aléatoires par une loi normale.
Deux remarques avant le théorème :
Soit X une variable aléatoire d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$.
Alors : $\mathbb {E} \left({\frac {X-\mu }{\sigma }}\right)=0$ et $V\left({\frac {X-\mu }{\sigma }}\right)=1$
Soit $X_{1},\ldots ,X_{n}$ un ensemble de n variables aléatoires définies sur le même espace de probabilité, suivant la même loi et indépendantes, d'espérance $\mu$ et l'écart-type $\sigma$ finies ($\sigma \neq 0$).
Alors : $\mathbb {E} \left(\sum _{k=1}^{n}X_{k}\right)=n\mu$ et $\sigma \left(\sum _{k=1}^{n}X_{k}\right)=\sigma {\sqrt {n}}$
Soit $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ une suite de variables aléatoires définies sur le même espace de probabilité, suivant la même loi et indépendantes, d'espérance $\mu$ et l'écart-type $\sigma$ finies ($\sigma \neq 0$).
Soit la somme $S_{n}=X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}$, et posons : $Z_{n}={\frac {S_{n}-n\mu }{\sigma {\sqrt {n}}}}.$
Alors la loi de $Z_{n}$ converge vers la loi normale centrée réduite ${\mathcal {N}}(0,1)$ quand n tend vers l'infini.
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