# Mécanique 1 (PCSI)/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Équilibre et stabilité
## Définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre « forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement » et « forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement »

Nous supposerons dans tout ce chapitre $\;{\big$sauf avis contraire${\big )}$, le P.P.S. constitué d'un point matériel $\;M$, de masse $\;m$, liée à un point fixe $\;O\;$ par l'intermédiaire d'une tige idéale $\;{\big$et non d'un fil idéal${\big )}$ de longueur $\;l\;$ dans le champ de pesanteur terrestre uniforme $\;{\vec {g}}\;$ d'intensité de pesanteur $\;g\;$.

### Définition des positions d'équilibre du P.P.S. à un degré de liberté

L'équation différentielle du P.P.S. à un degré de liberté, de paramètre de position $\;\theta$, $\;{\big$c.-à-d. l'abscisse angulaire de $\;M\;$ relativement à la verticale $\;\downarrow$ $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ choisie comme axe polaire dans le plan vertical de son mouvement${\big )}\;$ est
* $\;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {g}{l}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=0\;$ en absence de frottement fluide ou,
* $\;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {h}{m}}\;{\dot {\theta }}(t)+{\dfrac {g}{l}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=0\;$ s'il est amorti par résistance de fluide linéaire $\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(M)=-h\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$$^,$ ;
dans les deux cas, les positions d’équilibre correspondant à $\;{\ddot {\theta }}(t)=0,\;\;\forall \;t\;$ et $\;{\dot {\theta }}(t)=0,\;\;\forall \;t\;$ conduisent à $\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=0,\;\;\forall \;t\;$ c.-à-d. à deux positions d'équilibre «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\theta _{{\text{éq}},\,1}\equiv 0{\pmod {2\;\pi }}\\\theta _{{\text{éq}},\,2}\equiv \pi {\pmod {2\;\pi }}\end{array}}\right\rbrace \;$».

### Distinction entre « forces causes de modification du mouvement » (ou forces « motrices ») et « forces sans influence sur une modification éventuelle du mouvement » (ou forces « non motrices ») dans le cas du P.P.S. à un degré de liberté

$\succ \;$Un P.P.S., en absence de frottement fluide, est soumis à deux forces $\blacktriangleright \;$son poids $\;m\;{\vec {g}}=m\;g\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\,{\vec {u}}_{r}-m\;g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\,{\vec {u}}_{\theta }\;$ et $\color {transparent}{\succ }\;$Un P.P.S., en absence de frottement fluide, est soumis à deux forces $\blacktriangleright \;$la tension de la tige $\;{\vec {T}}(t)={\overline {T}}(t)\;{\vec {u}}_{r}$,
$\color {transparent}{\succ }\;$seule la composante orthoradiale du poids $\;-m\;g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\,{\vec {u}}_{\theta }\;$ est « cause de modification du mouvement » $\;{\big$ou force « motrice »${\big )}$,
$\color {transparent}{\succ }\;$seule la composante radiale du poids $\;m\;g\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\,{\vec {u}}_{r}\;$ et la tension de la tige $\;{\vec {T}}(t)={\overline {T}}(t)\;{\vec {u}}_{r}\;$ étant $\;\perp \;$ à la direction du mouvement sont $\color {transparent}{\succ }\;$seule la composante radiale du poids $\;\color {transparent}{m\;g\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\,{\vec {u}}_{r}}\;$ et la tension de la tige $\;\color {transparent}{{\vec {T}}(t)={\overline {T}}(t)\;{\vec {u}}_{r}}\;$ « sans influence sur une modification éventuelle mouvement » $\;{\big$ou forces « non motrices »${\big )}$.
$\succ \;$Un P.P.S., en présence de frottement fluide, est soumis à trois forces $\blacktriangleright \;$son poids $\;m\;{\vec {g}}=m\;g\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\,{\vec {u}}_{r}-m\;g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\,{\vec {u}}_{\theta }$, $\color {transparent}{\succ }\;$Un P.P.S., en présence de frottement fluide, est soumis à trois forces $\blacktriangleright \;$la résistance du fluide linéaire $\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(M)=-h\;{\vec {V}}_{M}(t)=-h\;l\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ et $\color {transparent}{\succ }\;$Un P.P.S., en présence de frottement fluide, est soumis à trois forces $\blacktriangleright \;$la tension de la tige $\;{\vec {T}}(t)={\overline {T}}(t)\;{\vec {u}}_{r}$,
$\color {transparent}{\succ }\;$la composante orthoradiale du poids $\;-m\;g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\,{\vec {u}}_{\theta }\;$ et la résistance du fluide linéaire $\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(M)=-h\;l\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ sont les deux composantes de forces $\color {transparent}{\succ }\;$la composante orthoradiale du poids $\;\color {transparent}{-m\;g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\,{\vec {u}}_{\theta }}\;$ et la résistance du fluide linéaire $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(M)=-h\;l\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }}\;$ « causes de modification du mouvement » $\;{\big$ou forces « motrices »${\big )}$,
$\color {transparent}{\succ }\;$la composante radiale du poids $\;m\;g\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\,{\vec {u}}_{r}\;$ et la tension de la tige $\;{\vec {T}}(t)={\overline {T}}(t)\;{\vec {u}}_{r}\;$ étant $\;\perp \;$ à la direction du mouvement sont $\color {transparent}{\succ }\;$la composante radiale du poids $\;\color {transparent}{m\;g\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\,{\vec {u}}_{r}}\;$ et la tension de la tige $\;\color {transparent}{{\vec {T}}(t)={\overline {T}}(t)\;{\vec {u}}_{r}}\;$ « sans influence sur une modification éventuelle mouvement » $\;{\big$ou forces « non motrices »${\big )}$.
$\succ \;$Dans les deux cas, les positions d'équilibre du P.P.S. à un degré de liberté s'obtiennent en « écrivant la nullité de la résultante des forces$\;{\big$ou composantes de forces${\big )}\;$causes de modification du mouvement » $\;{\big$c.-à-d. en écrivant la nullité de la résultante des forces « motrices »${\big )}\;$ soit ici
$\color {transparent}{\succ }\;$$\;\bullet \;$«$\;-m\;g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\,{\vec {u}}_{\theta }={\vec {0}}\;$ si le P.P.S. est N.A. » ou «$\;-m\;g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=0,\;\;\forall \;t\;$» ou encore «$\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=0,\;\;\forall \;t\;$»,
$\color {transparent}{\succ }\;$$\;\bullet \;$«$\;-m\;g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\,{\vec {u}}_{\theta }-h\;l\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }={\vec {0}}\;$ si le P.P.S. est A. » ou «$\;-m\;g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]-h\;l\;{\dot {\theta }}(t)=0,\;\;\forall \;t\;$» ou encore $\color {transparent}{\succ }\;$$\;\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{-m\;g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\,{\vec {u}}_{\theta }-h\;l\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }={\vec {0}}}\;$ si le P.P.S. est A. » ou «$\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=0,\;\;\forall \;t\;$ dans la mesure où $\;{\dot {\theta }}(t)=0,\;\;\forall \;t\;$ pour tout équilibre »,
$\color {transparent}{\succ }\;$d'où, dans les deux cas, les positions d'équilibre sont repérées par «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\theta _{{\text{éq}},\,1}\equiv 0{\pmod {2\;\pi }}\\\theta _{{\text{éq}},\,2}\equiv \pi {\pmod {2\;\pi }}\end{array}}\right\rbrace \;$».

## Généralisation de la définition de positions d'équilibre d'un P.P.S. à celles d'un point matériel « à un degré de liberté »

$\;x\;$
$\;\theta \;$

### Retour sur la « distinction » entre forces « motrices » et forces « non motrices »

Quand on fait le bilan des forces appliquées à un point matériel $\;M$, on distingue deux types de forces :
* les « actions » comme les forces à distance $\;{\big$forces de champ : pesanteur, gravitation ou électrostatique${\big )}\;$ ou les « actions » comme certaines forces de contact résultant d'une disposition antérieure $\;{\big$tension d’un ressort qui nécessite d'avoir auparavant déformé le ressort${\big )}$, ou encore les « actions » comme certaines forces de contact pour mettre en mouvement ou modifier ce dernier $\;{\big$force de poussée sur véhicule${\big )}\;$ et
* les « réactions » dont l'existence disparaît avec l'action et dont le rôle est de résister au mouvement que l'action tendrait à créer dans une ou plusieurs directions, ces réactions se classant en deux sous groupes : $\succ \;$les réactions de contact ne disparaissant pas avec l'éventuel mouvement $\;{\big$réaction de contact sur un solide avec ou sans frottement, ces réactions se classant en deux sous groupes : $\color {transparent}{\succ }\;$les réactions de contact ne disparaissant pas avec l'éventuel mouvement tension d'un fil inélastique${\big )}\;$ et ces réactions se classant en deux sous groupes : $\succ \;$les réactions de contact disparaissant avec l'éventuel mouvement $\;{\big$résultant d'un frottement fluide linéaire ou non${\big )}$ ;
parmi toutes ces forces $\;{\big$ou composantes de forces${\big )}$, il est intéressant de distinguer celles qui peuvent engendrer une modification du mouvement $\;{\big$que je qualifie de « motrices »${\big )}\;$ de parmi toutes ces forces $\;\color {transparent}{\big$ou composantes de forces$\color {transparent}{\big )}$, il est intéressant de distinguer celles qui n'ont aucune influence sur une éventuelle modification de mouvement $\;{\big$que je qualifie de « non motrices »${\big )}$, parmi toutes les deux types de composantes de forces se classant alors selon $\succ \;$les composantes de forces « causes de modification du mouvement » $\;{\big$ou simplement « motrices »${\big )}\;$ c.-à-d. les parmi toutes les deux types de composantes de forces se classant alors selon $\color {transparent}{\succ }\;$les « composantes des actions dans la direction du mouvement » et les parmi toutes les deux types de composantes de forces se classant alors selon $\color {transparent}{\succ }\;$les « composantes des réactions de contact dans la direction du mouvement » parmi toutes les deux types de composantes de forces se classant alors selon $\color {transparent}{\succ }\;$les « composantes des réactions ${\big$comme les forces « de frottement solide » ou « de frottement fluide »${\big )}$, parmi toutes les deux types de composantes de forces se classant alors selon $\succ \;$les composantes de forces « sans influence sur une modification éventuelle de mouvement » parmi toutes les deux types de composantes de forces se classant alors selon $\color {transparent}{\succ }\;$les composantes de forces « sans influence sur une modification ${\big$ou simplement « non motrices »${\big )}\;$ c.-à-d. les parmi toutes les deux types de composantes de forces se classant alors selon $\color {transparent}{\succ }\;$les « composantes des actions dans les directions $\;\perp \;$ au mouvement » et les parmi toutes les deux types de composantes de forces se classant alors selon $\color {transparent}{\succ }\;$les « composantes des réactions de contact dans les directions $\;\perp \;$ au mouvement » parmi toutes les deux types de composantes de forces se classant alors selon $\color {transparent}{\succ }\;$les « composantes des réactions ${\big$comme la composante normale de réaction solide ou la « tension de tige ou de fil »${\big )}$.
Remarque : Quand on recherche les positions d’équilibre d'un point matériel $\;M\;$ dont le mouvement éventuel ne peut se faire que suivant une direction fixée, seules les composantes de forces « causes de modification du mouvement » $\;{\big$que j'appelle « motrices »${\big )}\;$ sont à prendre en compte et,
Remarque : parmi les composantes de forces « motrices », seules celles ne disparaissant pas avec le mouvement sont à considérer $\;{\big$ainsi les frottements fluides ne sont pas à prendre en compte pour la recherche des positions d'équilibre contrairement aux frottements solides${\big )}$.

### Limitation de l'étude aux mouvements « rectiligne ou circulaire »

Préliminaire : L'étude générale de l'équilibre d'un point matériel $\;M\;$ sur une trajectoire fixée quelconque n'est pas au programme de physique de P.C.S.I. ;
Préliminaire : dans le cas où cette étude se présenterait, il faut se ramener à la C.N. d'équilibre «$\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{k}(M)={\vec {0}}\;$», Préliminaire : dans le cas où cette étude se présenterait, les composantes de forces pouvant modifier le mouvement étant alors celles $\;\parallel \;$ au 1er vecteur unitaire tangentiel de base de Frenet $\;{\vec {\tau }}\;$, Préliminaire : dans le cas où cette étude se présenterait, d'où la réécriture de la C.N. d'équilibre «$\;\sum \limits _{k}F_{k,\,\tau }(M)=0\;$» dans laquelle seules les composantes « motrices » sont à considérer Préliminaire : dans le cas où cette étude se présenterait, ${\big$« les composantes de forces $\;\perp \;$ à $\;{\vec {\tau }}\;$» s'adaptent alors pour que le point suive la trajectoire imposée${\big )}$.
C.N. d'équilibre d'un point d'abscisse$\;x\;$sur la droite$\;x'x$ : pour un mouvement éventuel du point $\;M\;$ rectiligne suivant $\;{\overrightarrow {x'x}}\;$ dont la résultante des forces « motrices » $\;{\big$à l'exclusion des éventuelles C.N. d'équilibre d'un point d'abscisse$\;\color {transparent}{x}\;$sur la droite$\;\color {transparent}{x'x}$ : pour forces de frottement fluide qui disparaissent avec le mouvement${\big )}\;$ s’écrit «$\;{\vec {F}}(M)=F(x)\;{\vec {u}}_{x}$», $\;x\;$ étant l'abscisse du point $\;M\;$ sur la C.N. d'équilibre d'un point d'abscisse$\;\color {transparent}{x}\;$sur la droite$\;\color {transparent}{x'x}$ : pour droite $\;x'x$, les équilibres $\;M_{\text{éq}}\;$ de $\;M\;$ ont pour abscisses $\;x_{\text{éq}}\;$ définies par «$\;F(x_{\text{éq}})=0\;$», c.-à-d. comme C.N. d'équilibre d'un point d'abscisse$\;\color {transparent}{x}\;$sur la droite$\;\color {transparent}{x'x}$ : pour droite $\;\color {transparent}{x'x}$, les équilibres $\;\color {transparent}{M_{\text{éq}}}\;$ de $\;\color {transparent}{M}\;$ ont pour abscisses $\;\color {transparent}{x_{\text{éq}}}\;$ étant les « zéros de $\;F(x)\;$» ;
C.N. d'équilibre d'un point d'abscisse angulaire$\;\theta \;$sur le cercle de centre$\;O\;$et de rayon$\;R$ : pour un mouvement éventuel du point $\;M\;$ circulaire suivant le cercle centré en $\;O\;$ et de rayon $\;R\;$ dont la C.N. d'équilibre d'un point d'abscisse angulaire$\;\color {transparent}{\theta }\;$sur le cercle de centre$\;\color {transparent}{O}\;$et de rayon$\;\color {transparent}{R}$ : pour résultante des forces « motrices » $\;{\big$à l'exclusion des éventuelles forces de frottement fluide qui C.N. d'équilibre d'un point d'abscisse angulaire$\;\color {transparent}{\theta }\;$sur le cercle de centre$\;\color {transparent}{O}\;$et de rayon$\;\color {transparent}{R}$ : pour disparaissent avec le mouvement${\big )}\;$ s’écrit «$\;{\vec {F}}(M)=F(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\;$», $\;\theta \;$ étant l'abscisse angulaire du C.N. d'équilibre d'un point d'abscisse angulaire$\;\color {transparent}{\theta }\;$sur le cercle de centre$\;\color {transparent}{O}\;$et de rayon$\;\color {transparent}{R}$ : pour point $\;M\;$ sur le cercle, les équilibres $\;M_{\text{éq}}\;$ de $\;M\;$ ont pour abscisses angulaires $\;\theta _{\text{éq}}\;$ définies par C.N. d'équilibre d'un point d'abscisse angulaire$\;\color {transparent}{\theta }\;$sur le cercle de centre$\;\color {transparent}{O}\;$et de rayon$\;\color {transparent}{R}$ : pour «$\;F(\theta _{\text{éq}})=0\;$», c.-à-d. comme étant les « zéros de $\;F(\theta )\;$».

## Définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.) à partir de son profil d’énergie potentielle
### Rappel des positions d'équilibre du P.P.S. à un degré de liberté

Ce sont les zéros de la composante orthoradiale de la force « motrice » $\;{\big$à l'exclusion de celle de l'éventuelle force de frottement fluide qui s'annule naturellement en les positions d'équilibre${\big ]}$ c.-à-d. Ce sont les zéros de la composante orthoradiale de la force « motrice » les zéros de $\;F(\theta )=-m\;g\;\sin(\theta )\;$ soit «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\theta _{{\text{éq}},\,1}\equiv 0\!{\pmod {2\;\pi }}\\\theta _{{\text{éq}},\,2}\equiv \pi \!{\pmod {2\;\pi }}\end{array}}\right\rbrace \;$».

### Caractéristique du profil d'énergie potentielle du P.P.S. à un degré de liberté aux positions d'équilibre

On constate que le profil d’énergie potentielle du P.P.S. à un degré de liberté est extrémal en les positions d'équilibre repérées par $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\theta _{{\text{éq}},\,1}\equiv 0\!{\pmod {2\;\pi }}\\\theta _{{\text{éq}},\,2}\equiv \pi \!{\pmod {2\;\pi }}\end{array}}\right\rbrace$, plus exactement On constate que le profil d’énergie potentielle du P.P.S. à un degré de liberté est minimal en $\;\theta _{{\text{éq}},\,1}\equiv 0\!{\pmod {2\;\pi }}\;$ et On constate que le profil d’énergie potentielle du P.P.S. à un degré de liberté est maximal en $\;\theta _{{\text{éq}},\,2}\equiv \pi \!{\pmod {2\;\pi }}$.

## Rappel du lien entre force conservative et énergie potentielle dont elle « dérive »
### Rappel de la 2ème définition d'une force conservative et des deux définitions équivalentes de l'énergie potentielle dont « dérive » la force

« Une force $\;{\vec {F}}(M)\;$ est conservative ssi son travail élémentaire$\;\delta W({\vec {F}})={\vec {F}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$est une différentielle exacte » ;
l'énergie potentielle $\;U_{\vec {F}}(M)\;$ dont dérive la force conservative est définie par «$\;\delta W({\vec {F}})=-dU_{\vec {F}}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;{\vec {F}}(M)=-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[U_{\vec {F}}\right]\!(M)\;$».

### Cas d'une force conservative unidirectionnelle selon l'axe x'x

Le travail élémentaire de cette force $\;{\vec {F}}(M)=F(x)\;{\vec {u}}_{x}\;$ s'écrivant $\;\delta W({\vec {F}})={\vec {F}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=F(x)\;dx\;$ est une différentielle exacte$^,$ et par suite Le travail élémentaire de cette force $\;{\vec {F}}(M)=F(x)\;{\vec {u}}_{x}\;$ est une force conservative ;
l'énergie potentielle $\;U_{\vec {F}}(M)\;$ dont elle dérive obéit à $\;F(x)\;dx=-dU_{\vec {F}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;F(x)=-{\dfrac {dU_{\vec {F}}}{dx}}(x)\;$ soit la projection de $\;{\vec {F}}(M)=-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[U_{\vec {F}}\right]\!(M)\;$ sur $\;{\vec {u}}_{x}$ ; on détermine donc $\;U_{\vec {F}}(x)\;$ comme « primitive de $\;-F(x)\;$», la constante d'intégration étant identifiée par définition de la référence de l'énergie potentielle $\;\ldots$
Remarque : en notant $\;x_{{\text{réf de }}U_{\vec {F}}}\;$ l'abscisse correspondant à la référence de $\;U_{\vec {F}}(x)\;$, on obtient, en intégrant la relation $\;dU_{\vec {F}}=-F(x)\;dx$, Remarque : en notant $\;\color {transparent}{x_{{\text{réf de }}U_{\vec {F}}}}\;$ l'abscisse correspondant à la référence de $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}(x)}\;$, on obtient, «$\;U_{\vec {F}}(x)=\displaystyle \int _{x_{{\text{réf de }}U_{\vec {F}}}}^{x}-F(x')\;dx'\;$»$^,$.

### Cas d'une force conservative s'appliquant tangentiellement à la trajectoire circulaire de rayon R décrite par le point subissant la force

Le travail élémentaire de cette force $\;{\vec {F}}(M)=F(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ s'écrivant $\;\delta W({\vec {F}})={\vec {F}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=F(\theta )\;R\;d\theta \;$ est une différentielle exacte$^,$ et par suite Le travail élémentaire de cette force $\;{\vec {F}}(M)=F(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ est une force conservative ;
l'énergie potentielle $\;U_{\vec {F}}(M)\;$ dont elle dérive obéit à $\;F(\theta )\;R\;d\theta =-dU_{\vec {F}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;F(\theta )=-{\dfrac {1}{R}}\;{\dfrac {dU_{\vec {F}}}{d\theta }}(\theta )\;$ soit la projection de $\;{\vec {F}}(M)=$ $-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[U_{\vec {F}}\right]\!(M)\;$ sur $\;{\vec {u}}_{\theta }$ ; on détermine donc $\;U_{\vec {F}}(\theta )\;$ comme « primitive de $\;-R\;F(\theta )\;$», la constante d'intégration étant identifiée par définition de la référence de l'énergie potentielle $\;\ldots$
Remarque : en notant $\;\theta _{{\text{réf de }}U_{\vec {F}}}\;$ l'abscisse angulaire correspondant à la référence de $\;U_{\vec {F}}(\theta )\;$, on obtient, en intégrant $\;dU_{\vec {F}}=-R\;F(\theta )\;d\theta$, Remarque : en notant $\;\color {transparent}{\theta _{{\text{réf de }}U_{\vec {F}}}}\;$ l'abscisse angulaire correspondant à la référence de $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}(\theta )}\;$, on obtient, «$\;U_{\vec {F}}(\theta )=\displaystyle \int _{\theta _{{\text{réf de }}U_{\vec {F}}}}^{\theta }-R\;F(\theta ')\;d\theta '\;$»$^,$.

## Généralisation de la définition de positions d'équilibre d'un P.P.S. à partir de son diagramme d'énergie potentielle à celle de positions d'équilibre d'un point matériel à un degré de liberté, démonstration à partir de la 1ère définition
### Cas d'une force « motrice » unidirectionnelle selon l'axe x'x

Les positions d'équilibre d'abscisses $\;x_{\text{éq}}\;$ étant définies comme les zéros de $\;F(x)={\vec {F}}(M)\cdot {\vec {u}}_{x}\;$ c.-à-d. telles que $\;F(x_{\text{éq}})=0\;$ et
l'énergie potentielle $\;U_{\vec {F}}(x)\;$ dont dérive la force $\;{\vec {F}}(M)=F(x)\;{\vec {u}}_{x}\;$ lui étant liée par $\;F(x)=-{\dfrac {dU_{\vec {F}}}{dx}}(x)$, nous en déduisons que
les positions d'équilibre d'abscisses$\;x_{\text{éq}}\;$peuvent aussi être définies par$\;{\dfrac {dU_{\vec {F}}}{dx}}(x_{\text{éq}})=0\;$ c.-à-d. comme les « abscisses rendant l’énergie potentielle stationnaire ».

### Cas d'une force « motrice » s'appliquant tangentiellement à la trajectoire circulaire de rayon R décrite par le point subissant la force

Les positions d'équilibre d'abscisses angulaires $\;\theta _{\text{éq}}\;$ étant définies comme les zéros de $\;F(\theta )={\vec {F}}(M)\cdot {\vec {u}}_{\theta }\;$ c.-à-d. telles que $\;F(\theta _{\text{éq}})=0\;$ et
l'énergie potentielle $\;U_{\vec {F}}(\theta )\;$ dont dérive la force $\;{\vec {F}}(M)=F(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ lui étant liée par $\;F(\theta )=-{\dfrac {1}{R}}\;{\dfrac {dU_{\vec {F}}}{d\theta }}(\theta )$, nous en déduisons que
les positions d'équilibre d'abscisses angulaires$\;\theta _{\text{éq}}\;$peuvent aussi être définies par$\;{\dfrac {dU_{\vec {F}}}{d\theta }}(\theta _{\text{éq}})=0\;$ c.-à-d. comme les « abscisses angulaires rendant l’énergie potentielle stationnaire ».
Remarque : on pourra noter que l'exemple du P.P.S. ne nous donne pas tous les cas d'équilibre possibles relativement au profil d'énergie potentielle Remarque : on pourra noter que l'exemple du P.P.S. ne nous donne pas tous les cas d'équilibre car n'y figure pas la possibilité de points d’inflexion à tangente $\;\parallel \;$ à l'axe des abscisses angulaires.

## Définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en termes de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté
### Définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en termes de force

L'équilibre d'un point matériel à un degré de liberté est « stable » si, écarté de cette position d'une petite quantité et lâché sans vitesse initiale, le point y retourne spontanément.
Conséquence : au voisinage d'un équilibre stable, le point est soumis à une force « motrice » de rappel $\;{\big$relativement à la position d'équilibre${\big )}$.
L'équilibre d'un point matériel à un degré de liberté est « instable » si, écarté de cette position d'une petite quantité et lâché sans vitesse initiale, le point s'en écarte spontanément.
Conséquence : au voisinage d'un équilibre instable, le point est soumis à une force « motrice » répulsive $\;{\big$relativement à la position d'équilibre${\big )}$.
Dans certains cas $\;{\big$très peu fréquents${\big )}\;$ l'équilibre du point matériel étudié peut être $\succ \;$stable par écart de la position d'équilibre Dans certains cas $\;\color {transparent}{\big$très peu fréquents$\color {transparent}{\big )}\;$ l'équilibre du point matériel étudié peut être $\color {transparent}{\succ }\;$stable par écart dans un sens et Dans certains cas $\;\color {transparent}{\big$très peu fréquents$\color {transparent}{\big )}\;$ l'équilibre du point matériel étudié peut être $\succ \;$instable par écart de cette position d'équilibre Dans certains cas $\;\color {transparent}{\big$très peu fréquents$\color {transparent}{\big )}\;$ l'équilibre du point matériel étudié peut être $\color {transparent}{\succ }\;$instable par écart dans l'autre sens, Dans certains cas $\;\color {transparent}{\big$très peu fréquents$\color {transparent}{\big )}\;$ on parle alors d'équilibre « globalement instable ».

### Stabilité ou instabilité des équilibres en termes de force sur l'exemple du P.P.S. à un degré de liberté

Dans l'exemple du P.P.S. à un degré de liberté, la force « motrice » est la composante orthoradiale du poids notée $\;{\vec {F}}(\theta )=F(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ avec $\;F(\theta )=$ $-m\;g\;\sin(\theta )$, on peut vérifier le caractère
* « stable » des équilibres repérés par $\;\theta _{{\text{éq}},\,1}\equiv 0\!\!{\pmod {2\;\pi }}\;$ et
* « instable » des équilibres repérés par $\;\theta _{{\text{éq}},\,2}\equiv \pi \!\!{\pmod {2\;\pi }}\;$
de deux façons, l'une graphique permettant de vérifier rapidement si la force « motrice » est « de rappel » ou « répulsive », de deux façons, l'autre algébrique correspondant à l'obtention du même résultat par calcul.

#### Méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté

Il s'agit de faire un schéma dans lequel on met le P.P.S. à un degré de liberté dans la situation de petit écart relativement à la position d'équilibre étudiée et Il s'agit d'y représenter la force dont la composante est « motrice » c.-à-d. le poids $\;m\;{\vec {g}}\;$ ainsi que sa projection sur la direction du mouvement $\;{\vec {F}}(\theta )=F(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }$, Il s'agit d'y représenter la force $\blacktriangleright \;$si l'action de la force est de ramener le P.P.S. à un degré de liberté vers la position d'équilibre étudiée, l'équilibre est bien « stable », c'est effectivement le cas de la position d'équilibre repérée par $\;\theta _{{\text{éq}},\,1}=0$ $\;{\big$voir schéma ci-contre à gauche${\big )}$, Il s'agit d'y représenter la force $\blacktriangleright \;$si l'action de la force est d'éloigner le P.P.S. à un degré de liberté de la position d'équilibre étudiée, l'équilibre est bien « instable », c'est effectivement le cas de la position d'équilibre repérée par $\;\theta _{{\text{éq}},\,2}=\pi$ $\;{\big$voir schéma ci-contre à droite${\big )}$.
Remarque : Usuellement on choisit un écart positif pour faire le schéma sans refaire ce dernier avec un écart négatif car Remarque : Usuellement on choisit un écart positif pour faire le schéma le résultat observé est en général indépendant du signe, Remarque : Usuellement on choisit un écart positif pour faire le schéma toutefois si ceci est bien le cas sur le P.P.S. à un degré de liberté, ce n'est pas assuré sur tous les exemples, pour vérifier que c'est bien le cas $\;{\big$sans refaire un schéma, l'intérêt de cette méthode étant sa rapidité${\big )}\;$ il suffit d'imaginer la situation avec un écart négatif et de vérifier que la conclusion reste inchangée $\;\ldots$

#### Méthode algébrique de détermination de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté

On écarte le P.P.S. à un degré de liberté d'une petite quantité $\;\varepsilon \;$ de sa position d'équilibre étudiée repérée par $\;\theta _{\text{éq}}$, le P.P.S. à un degré de liberté dans cette situation étant alors repéré par $\;\theta =\theta _{\text{éq}}+\varepsilon$, on effectue le D.L. à l'ordre un en $\;\varepsilon \;$ de la composante « motrice » $\;F(\theta )=-m\;g\;\sin(\theta )\;$ au voisinage de $\;\theta _{\text{éq}}\;$ repérant la position d'équilibre étudiée soit :
* étude de $\;\theta _{{\text{éq}},\,1}\equiv 0\!\!{\pmod {2\;\pi }}$ : $\;F(\theta )=-m\;g\;\sin \!\left(\theta _{{\text{éq}},\,1}+\varepsilon \right)=-m\;g\;\sin(\varepsilon )\simeq -m\;g\;\varepsilon \;$ à l'ordre un en $\;\varepsilon \;$ caractérisant effectivement une force de rappel d'où la stabilité des équilibres repérés par $\;\theta _{{\text{éq}},\,1}\equiv 0\!\!{\pmod {2\;\pi }}$,
* étude de $\;\theta _{{\text{éq}},\,2}\equiv \pi 0\!\!{\pmod {2\;\pi }}$ : $\;F(\theta )=-m\;g\;\sin \!\left(\theta _{{\text{éq}},\,2}+\varepsilon \right)=-m\;g\;\sin(\pi +\varepsilon )=m\;g\;\sin(\varepsilon )\simeq m\;g\;\varepsilon \;$ à l'ordre un en $\;\varepsilon \;$ caractérisant effectivement une force répulsive d'où l'instabilité des équilibres repérés par $\;\theta _{{\text{éq}},\,2}\equiv \pi \!\!{\pmod {2\;\pi }}$.

## Méthode de détermination « algébrique » de la stabilité (ou de l’instabilité) d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en termes de force

Préliminaire : La façon la plus rapide pour déterminer la stabilité $\;{\big$ou l'instabilité${\big )}\;$ d'un équilibre est la méthode « graphique » dans la mesure où le sens de déplacement consécutif à l'écart initial imposé avec lâcher sans vitesse initiale se détermine usuellement par simple tracé $\;{\big$comme sur l'exemple du P.P.S. à un degré de liberté${\big )}\;\ldots$
Préliminaire : toutefois, si la méthode « graphique » n'aboutit pas, il ne reste alors que la méthode « algébrique », laquelle, bien que plus longue, conduit toujours à une solution ;
Préliminaire : de plus, on demande fréquemment, à la suite de la recherche des positions d’équilibres stables, d'étudier le mouvement des petites élongations autour de ces positions $\;{\big$ce qui constitue l'objet du chapitre suivant${\big )}$, dans ces conditions, la méthode « algébrique » amorçant cette dernière étude $\;{\big$comme ce sera vu au chapitre suivant${\big )}$, on constate finalement que, très souvent, la méthode « algébrique » s'avère être globalement la plus courte $\;\ldots$

### Méthode à mettre en œuvre pour déterminer algébriquement la stabilité (ou l'instabilité) d'un équilibre de point matériel en termes de force

Remarque préliminaire : La méthode à mettre en œuvre pour une détermination algébrique de la stabilité $\;{\big$ou de l'instabilité${\big )}\;$ d'un équilibre de point matériel en termes de force étant exposée en restant dans le cadre du programme de physique de P.C.S.I. c.-à-d. un point matériel $\;M\;$ à un degré de liberté dont la force « motrice » est
Remarque préliminaire : $\succ \;$unidirectionnelle selon un axe $\;{\overrightarrow {x'x}}\;$ soit $\;{\vec {F}}(x)=F(x)\;{\vec {u}}_{x}\;$ ou
Remarque préliminaire : $\succ \;$s'appliquant tangentiellement à sa trajectoire circulaire de rayon $\;R\;$ soit $\;{\vec {F}}(\theta )=F(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }$.
Exposé de la méthode algébrique : On écarte le point matériel $\;M\;$ d'une petite quantité $\;\varepsilon \;$ de sa position d'équilibre étudiée en termes de force et repérée par $\;x_{\text{éq}}$ $\;{\big$ou par $\;\theta _{\text{éq}}{\big )}$, $\;M\;$ dans cette situation étant alors repéré par $\;x=x_{\text{éq}}+\varepsilon$ $\;{\big$ou par $\;\theta =\theta _{\text{éq}}+\varepsilon {\big )}$, puis
Exposé de la méthode algébrique : on effectue le D.L. « à l'ordre le plus bas non nul » en $\;\varepsilon \;$ de la composante « motrice » $\;F(x)$ $\;{\big$ou $\;F(\theta ){\big ]}\;$ Exposé de la méthode algébrique : on effectue le D.L. « à l'ordre le plus bas non nul » au voisinage de $\;x_{\text{éq}}$ $\;{\big$ou de $\;\theta _{\text{éq}}{\big ]}\;$$^,$ repérant la position d'équilibre étudiée et
Exposé de la méthode algébrique : suivant le D.L. obtenu, on conclut : $\succ \;$si le D.L. obtenu est « de rappel », l'équilibre est « u>stable »,
Exposé de la méthode algébrique : suivant le D.L. obtenu, on conclut : $\succ \;$si le D.L. obtenu est « de répulsion », l'équilibre est « instable » et enfin
Exposé de la méthode algébrique : suivant le D.L. obtenu, on conclut : $\succ \;$si le D.L. obtenu est « de rappel d'un côté et de répulsion de l'autre », l'équilibre est « globalement instable ».

### Cas d'une force « motrice » unidirectionnelle selon l'axe x'x

On envisage donc un petit déplacement $\;\varepsilon \;$ de $\;M\;$ relativement à une de ses positions d'équilibre étudiée et repérée par $\;x_{\text{éq}}$, On envisage donc un petit déplacement $\;\color {transparent}{\varepsilon }\;$ de $\;M\;$ dans cette situation étant alors repéré par $\;x=x_{\text{éq}}+\varepsilon \;$ $\Leftrightarrow$ $\;\varepsilon =x-x_{\text{éq}}\;$ et
on évalue $\;F(x)=F(x_{\text{éq}}+\varepsilon )\;$ en utilisant la formule de Taylor-Young$^,$ à un ordre suffisant pour conclure $\;{\big$le plus souvent $\;F'(x_{\text{éq}})\neq 0\;$ et le développement est suffisant à l'ordre un${\big ]}$, d'où on évalue $\;\color {transparent}{F(x)=F(x_{\text{éq}}+\varepsilon )}\;$ le D.L. à l'ordre $\;n\;$ «$\;F(x)\simeq {\cancel {F(x_{\text{éq}})\;+}}\;F'(x_{\text{éq}})\;\varepsilon +{\dfrac {F''(x_{\text{éq}})}{2}}\;\varepsilon ^{2}+{\dfrac {F'''(x_{\text{éq}})}{6}}\;\varepsilon ^{3}+{\dfrac {F^{(IV)}(x_{\text{éq}})}{24}}\;\varepsilon ^{4}+{\dfrac {F^{(V)}(x_{\text{éq}})}{120}}\;\varepsilon ^{5}+\cdots +{\dfrac {F^{(n)}(x_{\text{éq}})}{n!}}\;\varepsilon ^{n}\;$»,
on évalue $\;\color {transparent}{F(x)=F(x_{\text{éq}}+\varepsilon )}\;$ le D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ «$\;\color {transparent}{F(x)\simeq }$ le 1er terme $\;F(x_{\text{éq}})\;$ étant nul par condition d'équilibre $\Rightarrow$ $\;F(x)\;$ est un infiniment petit de même ordre que on évalue $\;\color {transparent}{F(x)=F(x_{\text{éq}}+\varepsilon )}\;$ le D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ «$\;\color {transparent}{F(x)\simeq }$ le 1er terme $\;\color {transparent}{F(x_{\text{éq}})}\;$ étant nul par condition d'équilibre $\;\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;\color {transparent}{F(x)}\;$ le 1er terme non nul $\;{\big$terme qualifié de « prépondérant »${\big ]}$.
Généralités : Pour qu'on puisse définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, il faut et il suffit que le terme prépondérant du D.L. de $\;F(x)\;$ soit « impair » c.-à-d. Généralités : Pour qu'on puisse définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, il faut et il suffit que «$\;F(x)\simeq {\dfrac {F^{(2\,p+1)}(x_{\text{éq}})}{(2\,p+1)!}}\;\varepsilon ^{(2\,p+1)}\;$ avec $\;p\in \mathbb {N} \;$» dont on tire Généralités : Pour qu'on puisse définir $\blacktriangleright \;$le D.L. de $\;F(x)\;$ de même signe que $\;\varepsilon \;$ si $\;F^{(2\,p+1)}(x_{\text{éq}})\;$ est $\;>0\;$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {F}}(x)\;$ est « répulsif » et par suite l'équilibre est « instable », Généralités : Pour qu'on puisse définir $\blacktriangleright \;$le D.L. de $\;F(x)\;$ de signe contraire à $\;\varepsilon \;$ si $\;F^{(2\,p+1)}(x_{\text{éq}})\;$ est $\;<0\;$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {F}}(x)\;$ est « de rappel » et par suite l'équilibre est « stable ».
Généralités : Pour qu'on puisse définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, il faut et il suffit si le terme prépondérant du D.L. de $\;F(x)\;$ est « pair » c.-à-d. Généralités : Pour qu'on puisse définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, il faut et il suffit si «$\;F(x)\simeq {\dfrac {F^{(2\,p)}(x_{\text{éq}})}{(2\,p)!}}\;\varepsilon ^{(2\,p)}\;$ avec $\;p\in \mathbb {N} ^{*}\;$», Généralités : Pour qu'on puisse définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, il faut et il suffit on ne peut pas définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre Généralités : Pour qu'on puisse définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, il faut et il suffit on ne peut pas définir indépendamment du sens de l'écart, en effet Généralités : Pour qu'on puisse définir $\succ \;$si $\;F^{(2\,p)}(x_{\text{éq}})\;$ est $\;>0$, le D.L. de $\;F(x)\;$ est $\;>0\;$ avec $\;\varepsilon <0\;$ ou $\;\varepsilon >0\;$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {F}}(x)\;$ est « de rappel à gauche » et « répulsif à droite » d'où Généralités : Pour qu'on puisse définir $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{F^{(2\,p)}(x_{\text{éq}})}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, le D.L. de $\;\color {transparent}{F(x)}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$ avec $\;\color {transparent}{\varepsilon <0}\;$ ou $\;\color {transparent}{\varepsilon >0}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ l'équilibre est stable à gauche et instable à droite c.-à-d. Généralités : Pour qu'on puisse définir $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{F^{(2\,p)}(x_{\text{éq}})}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, le D.L. de $\;\color {transparent}{F(x)}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$ avec $\;\color {transparent}{\varepsilon <0}\;$ ou $\;\color {transparent}{\varepsilon >0}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ l'équilibre est « globalement instable », Généralités : Pour qu'on puisse définir $\succ \;$si $\;F^{(2\,p)}(x_{\text{éq}})\;$ est $\;<0$, le D.L. de $\;F(x)\;$ est $\;<0\;$ avec $\;\varepsilon <0\;$ ou $\;\varepsilon >0\;$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {F}}(x)\;$ est « répulsif à gauche » et « de rappel à droite » d'où Généralités : Pour qu'on puisse définir $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{F^{(2\,p)}(x_{\text{éq}})}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}$, le D.L. de $\;\color {transparent}{F(x)}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$ avec $\;\color {transparent}{\varepsilon <0}\;$ ou $\;\color {transparent}{\varepsilon >0}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ l'équilibre est instable à gauche et stable à droite c.-à-d. Généralités : Pour qu'on puisse définir $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{F^{(2\,p)}(x_{\text{éq}})}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}$, le D.L. de $\;\color {transparent}{F(x)}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$ avec $\;\color {transparent}{\varepsilon <0}\;$ ou $\;\color {transparent}{\varepsilon >0}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ l'équilibre est « globalement instable ».
Résumé de l'étude : Détaillons les possibilités de terme prépondérant du D.L. de $\;F(x)\;$ à l'ordre le plus bas non nul en $\;\varepsilon \;$ au voisinage de $\;x_{\text{éq}}$ :
Résumé de l'étude : $\succ \;$cas usuel $\;F'(x_{\text{éq}})\neq 0$ : le développement de $\;F(x)\;$ au voisinage de $\;x_{\text{éq}}\;$ est limité à l'ordre un $\;F(x_{\text{éq}}+\varepsilon )\simeq F'(x_{\text{éq}})\;\varepsilon$,
Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas usuel avec $\;F'(x_{\text{éq}})<0$, $\;{\vec {F}}(x)\;$ est « de rappel » et l'équilibre est « stable »,
Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas usuel avec $\;F'(x_{\text{éq}})>0$, $\;{\vec {F}}(x)\;$ est « répulsif » et l'équilibre est « instable » ;
Résumé de l'étude : $\succ \;$cas peu fréquent $\;F'(x_{\text{éq}})=0$ : le développement de $\;F(x)\;$ au voisinage de $\;x_{\text{éq}}\;$ est limité à l'ordre deux ou plus :
Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas peu fréquent $\;\color {transparent}{F'(x_{\text{éq}})=0}$ : avec $\;F''(x_{\text{éq}})\neq 0$, $\;F(x_{\text{éq}}+\varepsilon )\simeq {\dfrac {F''(x_{\text{éq}})}{2}}\;\varepsilon ^{2}\;$ toujours de signe de $\;F''(x_{\text{éq}})\;$ quel que soit le signe de $\;\varepsilon \;$ correspondant à un Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas peu fréquent $\;\color {transparent}{F'(x_{\text{éq}})=0}$ : avec $\;\color {transparent}{F''(x_{\text{éq}})\neq 0}$, $\;\color {transparent}{F(x_{\text{éq}}+\varepsilon )\simeq F''(x_{\text{éq}})\;\varepsilon ^{2}}\;$ toujours de signe de $\;\color {transparent}{F''(x_{\text{éq}})}\;$ équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas peu fréquent $\;\color {transparent}{F'(x_{\text{éq}})=0}$ : avec $\;\color {transparent}{F''(x_{\text{éq}})\neq 0}$, $\;\color {transparent}{F(x_{\text{éq}}+\varepsilon )\simeq F''(x_{\text{éq}})\;\varepsilon ^{2}}\;$ toujours de signe de $\;\color {transparent}{F''(x_{\text{éq}})}\;$ équilibre « globalement instable »,
Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas peu fréquent $\;\color {transparent}{F'(x_{\text{éq}})=0}$ : avec $\;F''(x_{\text{éq}})=0\;$ mais $\;F'''(x_{\text{éq}})\neq 0$, $\;F(x_{\text{éq}}+\varepsilon )\simeq {\dfrac {F'''(x_{\text{éq}})}{6}}\;\varepsilon ^{3}\;$ changeant de signe simultanément avec $\;\varepsilon \;$ et par suite Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas peu fréquent $\;\color {transparent}{F'(x_{\text{éq}})=0}$ : avec $\;\color {transparent}{F''(x_{\text{éq}})=0}\;$ mais $\;\color {transparent}{F'''(x_{\text{éq}})\neq 0}$, $\;\color {transparent}{F(x_{\text{éq}}+\varepsilon )\simeq F'''(x_{\text{éq}})\;\varepsilon ^{3}}\;$ changeant l'équilibre est soit stable soit instable, plus précisément
Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas peu fréquent $\;\color {transparent}{F'(x_{\text{éq}})=0}$ : avec $\;\color {transparent}{F''(x_{\text{éq}})=0}\;$ avec $\;F'''(x_{\text{éq}})<0$, $\;{\vec {F}}(x)\;$ est « de rappel » et l'équilibre est « stable »,
Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas peu fréquent $\;\color {transparent}{F'(x_{\text{éq}})=0}$ : avec $\;\color {transparent}{F''(x_{\text{éq}})=0}\;$ avec $\;F'''(x_{\text{éq}})>0$, $\;{\vec {F}}(x)\;$ est « répulsif » et l'équilibre est « instable » ;
Résumé de l'étude : $\succ \;$cas inexistant en pratique $\;F'(x_{\text{éq}})=0$, $\;F''(x_{\text{éq}})=0\;$ et $\;F'''(x_{\text{éq}})=0$ : le développement de $\;F(x)\;$ au voisinage de $\;x_{\text{éq}}\;$ est limité à l'ordre quatre ou plus, Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas inexistant en pratique $\;\color {transparent}{F'(x_{\text{éq}})=0}$, $\;\color {transparent}{F''(x_{\text{éq}})=0}\;$ et $\;\color {transparent}{F'''(x_{\text{éq}})=0}$ : si limité à l'ordre quatre, $\;F(x_{\text{éq}}+\varepsilon )\simeq {\dfrac {F^{(IV)}(x_{\text{éq}})}{24}}\;\varepsilon ^{4}\;$ toujours de signe de $\;F^{(IV)}(x_{\text{éq}})\;$ Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas inexistant en pratique $\;\color {transparent}{F'(x_{\text{éq}})=0}$, $\;\color {transparent}{F''(x_{\text{éq}})=0}\;$ et $\;\color {transparent}{F'''(x_{\text{éq}})=0}$ : si limité à l'ordre quatre, quel que soit le signe de $\;\varepsilon \;$ $\Rightarrow$ équilibre « globalement instable » mais, Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas inexistant en pratique $\;\color {transparent}{F'(x_{\text{éq}})=0}$, $\;\color {transparent}{F''(x_{\text{éq}})=0}\;$ et $\;\color {transparent}{F'''(x_{\text{éq}})=0}$ : si $\;F^{(IV)}(x_{\text{éq}})=0\;$ avec $\;F^{(V)}(x_{\text{éq}})\neq 0$, on a $\;F(x_{\text{éq}}+\varepsilon )\simeq {\dfrac {F^{(V)}(x_{\text{éq}})}{120}}\;\varepsilon ^{5}\;$ changeant Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas inexistant en pratique $\;\color {transparent}{F'(x_{\text{éq}})=0}$, $\;\color {transparent}{F''(x_{\text{éq}})=0}\;$ et $\;\color {transparent}{F'''(x_{\text{éq}})=0}$ : si $\;\color {transparent}{F^{(IV)}(x_{\text{éq}})=0}\;$ avec $\;\color {transparent}{F^{(V)}(x_{\text{éq}})\neq 0}$, de signe simultanément avec $\;\varepsilon \;$ correspondant Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas inexistant en pratique $\;\color {transparent}{F'(x_{\text{éq}})=0}$, $\;\color {transparent}{F''(x_{\text{éq}})=0}\;$ et $\;\color {transparent}{F'''(x_{\text{éq}})=0}$ : si $\;\color {transparent}{F^{(IV)}(x_{\text{éq}})=0}\;$ avec $\;\color {transparent}{F^{(V)}(x_{\text{éq}})\neq 0}$, à un équilibre « stable » pour $\;F^{(V)}(x_{\text{éq}})<0\;$ et Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas inexistant en pratique $\;\color {transparent}{F'(x_{\text{éq}})=0}$, $\;\color {transparent}{F''(x_{\text{éq}})=0}\;$ et $\;\color {transparent}{F'''(x_{\text{éq}})=0}$ : si $\;\color {transparent}{F^{(IV)}(x_{\text{éq}})=0}\;$ avec $\;\color {transparent}{F^{(V)}(x_{\text{éq}})\neq 0}$, à un équilibre « instable » pour $\;F^{(V)}(x_{\text{éq}})>0$, Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas inexistant en pratique $\;\color {transparent}{F'(x_{\text{éq}})=0}$, $\;\color {transparent}{F''(x_{\text{éq}})=0}\;$ et $\;\color {transparent}{F'''(x_{\text{éq}})=0}$ : si $\;\color {transparent}{F^{(IV)}(x_{\text{éq}})=0}\;$ avec $\;\color {transparent}{F^{(V)}(x_{\text{éq}})\neq 0}$, $\;\ldots$

### Cas d'une force « motrice » s'appliquant tangentiellement à la trajectoire circulaire de rayon R décrite par le point subissant la force

On envisage donc un petit déplacement $\;\varepsilon \;$ de $\;M\;$ relativement à une de ses positions d'équilibre étudiée et repérée par $\;\theta _{\text{éq}}$, On envisage donc un petit déplacement $\;\color {transparent}{\varepsilon }\;$ de $\;M\;$ dans cette situation étant alors repéré par $\;\theta =\theta _{\text{éq}}+\varepsilon \;$ $\Leftrightarrow$ $\;\varepsilon =\theta -\theta _{\text{éq}}\;$ et
on évalue $\;F(\theta )=F(\theta _{\text{éq}}+\varepsilon )\;$ en utilisant la formule de Taylor-Young$^,$ à un ordre suffisant pour conclure $\;{\big$le plus souvent $\;F'(\theta _{\text{éq}})\neq 0\;$ et le développement est suffisant à l'ordre un${\big ]}$, d'où on évalue $\;\color {transparent}{F(x)=F(x_{\text{éq}}+\varepsilon )}\;$ le D.L. à l'ordre $\;n\;$ «$\;F(\theta )\simeq {\cancel {F(\theta _{\text{éq}})\;+}}\;F'(\theta _{\text{éq}})\;\varepsilon +{\dfrac {F''(\theta _{\text{éq}})}{2}}\;\varepsilon ^{2}+{\dfrac {F'''(\theta _{\text{éq}})}{6}}\;\varepsilon ^{3}+{\dfrac {F^{(IV)}(\theta _{\text{éq}})}{24}}\;\varepsilon ^{4}+{\dfrac {F^{(V)}(\theta _{\text{éq}})}{120}}\;\varepsilon ^{5}+\cdots +{\dfrac {F^{(n)}(\theta _{\text{éq}})}{n!}}\;\varepsilon ^{n}\;$»,
on évalue $\;\color {transparent}{F(\theta )=F(\theta _{\text{éq}}+\varepsilon )}\;$ le D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ «$\;\color {transparent}{F(\theta )\simeq }$ le 1er terme $\;F(\theta _{\text{éq}})\;$ étant nul par condition d'équilibre $\Rightarrow$ $\;F(\theta )\;$ est un infiniment petit de même ordre que on évalue $\;\color {transparent}{F(\theta )=F(\theta _{\text{éq}}+\varepsilon )}\;$ le D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ «$\;\color {transparent}{F(\theta )\simeq }$ le 1er terme $\;\color {transparent}{F(\theta _{\text{éq}})}\;$ étant nul par condition d'équilibre $\;\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;\color {transparent}{F(\theta )}\;$ le 1er terme non nul $\;{\big$terme qualifié de « prépondérant »${\big ]}$.
Généralités : Pour qu'on puisse définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, il faut et il suffit que le terme prépondérant du D.L. de $\;F(\theta )\;$ soit « impair » c.-à-d. Généralités : Pour qu'on puisse définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, il faut et il suffit que «$\;F(\theta )\simeq {\dfrac {F^{(2\,p+1)}(\theta _{\text{éq}})}{(2\,p+1)!}}\;\varepsilon ^{(2\,p+1)}\;$ avec $\;p\in \mathbb {N} \;$» dont on tire Généralités : Pour qu'on puisse définir $\blacktriangleright \;$le D.L. de $\;F(\theta )\;$ de même signe que $\;\varepsilon \;$ si $\;F^{(2\,p+1)}(\theta _{\text{éq}})\;$ est $\;>0\;$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {F}}(\theta )\;$ est « répulsif » et par suite l'équilibre est « instable », Généralités : Pour qu'on puisse définir $\blacktriangleright \;$le D.L. de $\;F(\theta )\;$ de signe contraire à $\;\varepsilon \;$ si $\;F^{(2\,p+1)}(\theta _{\text{éq}})\;$ est $\;<0\;$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {F}}(\theta )\;$ est « de rappel » et par suite l'équilibre est « stable ».
Généralités : Pour qu'on puisse définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, il faut et il suffit si le terme prépondérant du D.L. de $\;F(\theta )\;$ est « pair » c.-à-d. Généralités : Pour qu'on puisse définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, il faut et il suffit si «$\;F(\theta )\simeq {\dfrac {F^{(2\,p)}(\theta _{\text{éq}})}{(2\,p)!}}\;\varepsilon ^{(2\,p)}\;$ avec $\;p\in \mathbb {N} ^{*}\;$», Généralités : Pour qu'on puisse définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, il faut et il suffit on ne peut pas définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre Généralités : Pour qu'on puisse définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, il faut et il suffit on ne peut pas définir indépendamment du sens de l'écart, en effet Généralités : Pour qu'on puisse définir $\succ \;$si $\;F^{(2\,p)}(\theta _{\text{éq}})\;$ est $\;>0$, le D.L. de $\;F(\theta )\;$ est $\;>0\;$ avec $\;\varepsilon <0\;$ ou $\;\varepsilon >0\;$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {F}}(\theta )\;$ est « de rappel à gauche » et « répulsif à droite » d'où Généralités : Pour qu'on puisse définir $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{F^{(2\,p)}(\theta _{\text{éq}})}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, le D.L. de $\;\color {transparent}{F(\theta )}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$ avec $\;\color {transparent}{\varepsilon <0}\;$ ou $\;\color {transparent}{\varepsilon >0}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ l'équilibre est stable à gauche et instable à droite c.-à-d. Généralités : Pour qu'on puisse définir $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{F^{(2\,p)}(\theta _{\text{éq}})}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, le D.L. de $\;\color {transparent}{F(\theta )}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$ avec $\;\color {transparent}{\varepsilon <0}\;$ ou $\;\color {transparent}{\varepsilon >0}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ l'équilibre est « globalement instable », Généralités : Pour qu'on puisse définir $\succ \;$si $\;F^{(2\,p)}(\theta _{\text{éq}})\;$ est $\;<0$, le D.L. de $\;F(\theta )\;$ est $\;<0\;$ avec $\;\varepsilon <0\;$ ou $\;\varepsilon >0\;$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {F}}(\theta )\;$ est « répulsif à gauche » et « de rappel à droite » d'où Généralités : Pour qu'on puisse définir $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{F^{(2\,p)}(\theta _{\text{éq}})}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}$, le D.L. de $\;\color {transparent}{F(\theta )}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$ avec $\;\color {transparent}{\varepsilon <0}\;$ ou $\;\color {transparent}{\varepsilon >0}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ l'équilibre est instable à gauche et stable à droite c.-à-d. Généralités : Pour qu'on puisse définir $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{F^{(2\,p)}(\theta _{\text{éq}})}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}$, le D.L. de $\;\color {transparent}{F(\theta )}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$ avec $\;\color {transparent}{\varepsilon <0}\;$ ou $\;\color {transparent}{\varepsilon >0}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ l'équilibre est « globalement instable ».
Résumé de l'étude : Détaillons les possibilités de terme prépondérant du D.L. de $\;F(\theta )\;$ à l'ordre le plus bas non nul en $\;\varepsilon \;$ au voisinage de $\;\theta _{\text{éq}}$ :
Résumé de l'étude : $\succ \;$cas usuel $\;F'(\theta _{\text{éq}})\neq 0$ : le développement de $\;F(\theta )\;$ au voisinage de $\;\theta _{\text{éq}}\;$ est limité à l'ordre un $\;F(\theta _{\text{éq}}+\varepsilon )\simeq F'(\theta _{\text{éq}})\;\varepsilon$,
Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas usuel avec $\;F'(\theta _{\text{éq}})<0\ ;$, $\;{\vec {F}}(\theta )\;$ est « de rappel » et l'équilibre est « stable »,
Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas usuel avec $\;F'(\theta _{\text{éq}})>0\ ;$, $\;{\vec {F}}(\theta )\;$ est « répulsif » et l'équilibre est « instable » ;
Résumé de l'étude : $\succ \;$cas peu fréquent $\;F'(\theta _{\text{éq}})=0$ : le développement de $\;F(\theta )\;$ au voisinage de $\;\theta _{\text{éq}}\;$ est limité à l'ordre deux ou plus :
Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas peu fréquent $\;\color {transparent}{F'(\theta _{\text{éq}})=0}$ : avec $\;F''(\theta _{\text{éq}})\neq 0$, $\;F(\theta _{\text{éq}}+\varepsilon )\simeq {\dfrac {F''(\theta _{\text{éq}})}{2}}\;\varepsilon ^{2}\;$ toujours de signe de $\;F''(\theta _{\text{éq}})\;$ quel que soit le signe de $\;\varepsilon \;$ correspondant à un Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas peu fréquent $\;\color {transparent}{F'(\theta _{\text{éq}})=0}$ : avec $\;\color {transparent}{F''(\theta _{\text{éq}})\neq 0}$, $\;\color {transparent}{F(\theta _{\text{éq}}+\varepsilon )\simeq F''(\theta _{\text{éq}})\;\varepsilon ^{2}}\;$ toujours de signe de $\;\color {transparent}{F''(\theta _{\text{éq}})}\;$ équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas peu fréquent $\;\color {transparent}{F'(\theta _{\text{éq}})=0}$ : avec $\;\color {transparent}{F''(\theta _{\text{éq}})\neq 0}$, $\;\color {transparent}{F(\theta _{\text{éq}}+\varepsilon )\simeq F''(\theta _{\text{éq}})\;\varepsilon ^{2}}\;$ toujours de signe de $\;\color {transparent}{F''(\theta _{\text{éq}})}\;$ équilibre « globalement instable »,
Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas peu fréquent $\;\color {transparent}{F'(\theta _{\text{éq}})=0}$ : avec $\;F''(\theta _{\text{éq}})=0\;$ mais $\;F'''(\theta _{\text{éq}})\neq 0$, $\;F(\theta _{\text{éq}}+\varepsilon )\simeq {\dfrac {F'''(\theta _{\text{éq}})}{6}}\;\varepsilon ^{3}\;$ changeant de signe simultanément avec $\;\varepsilon \;$ et par suite Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas peu fréquent $\;\color {transparent}{F'(\theta _{\text{éq}})=0}$ : avec $\;\color {transparent}{F''(\theta _{\text{éq}})=0}\;$ mais $\;\color {transparent}{F'''(\theta _{\text{éq}})\neq 0}$, $\;\color {transparent}{F(\theta _{\text{éq}}+\varepsilon )\simeq F'''(\theta _{\text{éq}})\;\varepsilon ^{3}}\;$ changeant l'équilibre est soit stable soit instable, plus précisément
Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas peu fréquent $\;\color {transparent}{F'(\theta _{\text{éq}})=0}$ : avec $\;\color {transparent}{F''(\theta _{\text{éq}})=0}\;$ avec $\;F'''(\theta _{\text{éq}})<0$, $\;{\vec {F}}(\theta )\;$ est « de rappel » et l'équilibre est « stable »,
Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas peu fréquent $\;\color {transparent}{F'(\theta _{\text{éq}})=0}$ : avec $\;\color {transparent}{F''(\theta _{\text{éq}})=0}\;$ avec $\;F'''(\theta _{\text{éq}})>0$, $\;{\vec {F}}(\theta )\;$ est « répulsif » et l'équilibre est « instable » ;
Résumé de l'étude : $\succ \;$cas inexistant en pratique $\;F'(\theta _{\text{éq}})=0$, $\;F''(\theta _{\text{éq}})=0\;$ et $\;F'''(\theta _{\text{éq}})=0$ : le développement de $\;F(\theta )\;$ au voisinage de $\;\theta _{\text{éq}}\;$ est limité à l'ordre quatre ou plus, Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas inexistant en pratique $\;\color {transparent}{F'(\theta _{\text{éq}})=0}$, $\;\color {transparent}{F''(\theta _{\text{éq}})=0}\;$ et $\;\color {transparent}{F'''(\theta _{\text{éq}})=0}$ : si limité à l'ordre quatre, $\;F(\theta _{\text{éq}}+\varepsilon )\simeq {\dfrac {F^{(IV)}(\theta _{\text{éq}})}{24}}\;\varepsilon ^{4}\;$ toujours de signe de $\;F^{(IV)}(\theta _{\text{éq}})\;$ Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas inexistant en pratique $\;\color {transparent}{F'(\theta _{\text{éq}})=0}$, $\;\color {transparent}{F''(\theta _{\text{éq}})=0}\;$ et $\;\color {transparent}{F'''(\theta _{\text{éq}})=0}$ : si limité à l'ordre quatre, quel que soit le signe de $\;\varepsilon \;$ $\Rightarrow$ équilibre « globalement instable » mais, Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas inexistant en pratique $\;\color {transparent}{F'(\theta _{\text{éq}})=0}$, $\;\color {transparent}{F''(\theta _{\text{éq}})=0}\;$ et $\;\color {transparent}{F'''(\theta _{\text{éq}})=0}$ : si $\;F^{(IV)}(\theta _{\text{éq}})=0\;$ avec $\;F^{(V)}(\theta _{\text{éq}})\neq 0$, on a $\;F(\theta _{\text{éq}}+\varepsilon )\simeq {\dfrac {F^{(V)}(\theta _{\text{éq}})}{120}}\;\varepsilon ^{5}\;$ changeant Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas inexistant en pratique $\;\color {transparent}{F'(\theta _{\text{éq}})=0}$, $\;\color {transparent}{F''(\theta _{\text{éq}})=0}\;$ et $\;\color {transparent}{F'''(\theta _{\text{éq}})=0}$ : si $\;\color {transparent}{F^{(IV)}(\theta _{\text{éq}})=0}\;$ avec $\;\color {transparent}{F^{(V)}(\theta _{\text{éq}})\neq 0}$, de signe simultanément avec $\;\varepsilon \;$ correspondant Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas inexistant en pratique $\;\color {transparent}{F'(\theta _{\text{éq}})=0}$, $\;\color {transparent}{F''(\theta _{\text{éq}})=0}\;$ et $\;\color {transparent}{F'''(\theta _{\text{éq}})=0}$ : si $\;\color {transparent}{F^{(IV)}(\theta _{\text{éq}})=0}\;$ avec $\;\color {transparent}{F^{(V)}(\theta _{\text{éq}})\neq 0}$, à un équilibre « stable » pour $\;F^{(V)}(\theta _{\text{éq}})<0\;$ et Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas inexistant en pratique $\;\color {transparent}{F'(\theta _{\text{éq}})=0}$, $\;\color {transparent}{F''(\theta _{\text{éq}})=0}\;$ et $\;\color {transparent}{F'''(\theta _{\text{éq}})=0}$ : si $\;\color {transparent}{F^{(IV)}(\theta _{\text{éq}})=0}\;$ avec $\;\color {transparent}{F^{(V)}(\theta _{\text{éq}})\neq 0}$, à un équilibre « instable » pour $\;F^{(V)}(\theta _{\text{éq}})>0$, Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas inexistant en pratique $\;\color {transparent}{F'(\theta _{\text{éq}})=0}$, $\;\color {transparent}{F''(\theta _{\text{éq}})=0}\;$ et $\;\color {transparent}{F'''(\theta _{\text{éq}})=0}$ : si $\;\color {transparent}{F^{(IV)}(\theta _{\text{éq}})=0}\;$ avec $\;\color {transparent}{F^{(V)}(\theta _{\text{éq}})\neq 0}$, $\;\ldots$

## Définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en termes de profil d'énergie potentielle

Remarque préliminaire : La définition de la stabilité $\;{\big$ou de l'instabilité${\big )}\;$ d'un équilibre de point matériel en termes de profil d'énergie potentielle est exposée en restant dans le cadre du programme de physique de P.C.S.I. c.-à-d. un point matériel $\;M\;$ à un degré de liberté dont la force « motrice » conservative est
Remarque préliminaire : $\succ \;$unidirectionnelle selon un axe $\;{\overrightarrow {x'x}}\;$ soit $\;{\vec {F}}(x)=F(x)\;{\vec {u}}_{x}\;$ $\Rightarrow$ $\;U_{\vec {F}}=U_{\vec {F}}(x)\;$ ou
Remarque préliminaire : $\succ \;$s'appliquant tangentiellement à sa trajectoire circulaire de rayon $\;R\;$ soit $\;{\vec {F}}(\theta )=F(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ $\Rightarrow$ $\;U_{\vec {F}}=U_{\vec {F}}(\theta )$.

### Méthode à mettre en œuvre pour déterminer algébriquement la stabilité (ou l'instabilité) d'un équilibre de point matériel en termes de profil d'énergie potentielle

Le lien existant entre la force « motrice » conservative $\;{\vec {F}}(M)=F(x)\;{\vec {u}}_{x}\;$ dans le cas d'une force unidirectionnelle selon $\;{\overrightarrow {x'x}}\;$ agissant sur le point $\;M\;$ étudié ou Le lien existant entre la force « motrice » conservative $\;{\vec {F}}(M)=F(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ dans le cas d'une force tangentielle à la trajectoire circulaire de rayon $\;R\;$ du point $\;M\;$ étudié et
Le lien existant entre l'énergie potentielle dont elle dérive $\;U_{\vec {F}}(M)=U_{\vec {F}}(x)\;$ dans le 1er cas ou Le lien existant entre l'énergie potentielle dont elle dérive $\;U_{\vec {F}}(M)=U_{\vec {F}}(\theta )\;$ dans le 2ème cas Le lien existant étant, dans les deux cas, «$\;{\vec {F}}(M)=-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[U_{\vec {F}}\right]\!(M)\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;dU_{\vec {F}}=-{\vec {F}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=-\delta W({\vec {F}})\;$» soit Le lien existant étant, $\succ \;$dans le cas d'une force unidirectionnelle selon $\;{\overrightarrow {x'x}}\;$ agissant sur le point $\;M\;$ étudié : «$\;F(x)=-{\dfrac {dU_{\vec {F}}}{dx}}(x)\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;dU_{\vec {F}}=-F(x)\;dx\;$» ou Le lien existant étant, $\succ \;$dans le cas d'une force tangentielle à la trajectoire circulaire de rayon $\;R\;$ du point $\;M\;$ étudié : «$\;F(\theta )=-{\dfrac {1}{R}}\;{\dfrac {dU_{\vec {F}}}{d\theta }}(\theta )\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;dU_{\vec {F}}=-F(\theta )\;R\;d\theta \;$»,
les positions d'équilibre du point $\;M\;$ ayant pour paramètres de position $\;x_{\text{éq}}\;$ tels que $\;F(x_{\text{éq}})=0\;$ dans le 1er cas ou les positions d'équilibre du point $\;\color {transparent}{M}\;$ ayant pour paramètres de position $\;\theta _{\text{éq}}\;$ tels que $\;F(\theta _{\text{éq}})=0\;$ dans le 2ème cas les positions d'équilibre du point $\;\color {transparent}{M}\;$ ont aussi pour abscisses les valeurs du paramètre de position rendant l'énergie potentielle « stationnaire » plus précisément les positions d'équilibre du point $\;\color {transparent}{M}\;$ ayant pour paramètres de position $\;x_{\text{éq}}\;$ tels que $\;{\dfrac {dU_{\vec {F}}}{dx}}(x_{\text{éq}})=0\;$ dans le 1er cas ou les positions d'équilibre du point $\;\color {transparent}{M}\;$ ayant pour paramètres de position $\;\theta _{\text{éq}}\;$ tels que $\;{\dfrac {dU_{\vec {F}}}{d\theta }}(\theta _{\text{éq}})=0\;$ dans le 2ème cas.
Il reste à définir les conditions de stabilité (ou d'instabilité) en termes de profil énergétique à partir de celles en termes de force.
Rappel de la méthode mise en œuvre pour déterminer algébriquement la stabilité$\;{\big$ou l'instabilité${\big )}\;$d'un équilibre de point matériel en termes de force : pour étudier « algébriquement » la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté, on doit faire un D.L. « à l’ordre le plus bas non nul » de $\;F(x)$ $\;{\big$ou de $\;F(\theta ){\big ]}\;$ au voisinage de $\;x_{\text{éq}}$ $\;{\big$ou de $\;\theta _{\text{éq}}{\big ]}\;$ et :
Rappel l'équilibre est « stable » si la force $\;{\vec {F}}(M)=F(x)\;{\vec {u}}_{x}$ $\;{\big$ou $\;{\vec {F}}(M)=F(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }{\big ]}\;$ est « de rappel » c.-à-d. si
Rappel l'équilibre est « stable » $\succ \;$ «$F(x)\simeq F'(x_{\text{éq}})\;\varepsilon \;$ avec $\;F'(x_{\text{éq}})<0\;$» $\;{\big$ou «$\;F(\theta )\simeq F'(\theta _{\text{éq}})\;\varepsilon \;$ avec $\;F'(\theta _{\text{éq}})<0\;$»${\big ]}\;$ ou encore
Rappel l'équilibre est « stable » $\succ \;$ «$\;F(x)\simeq {\dfrac {F'''(x_{\text{éq}})}{6}}\;\varepsilon ^{3}\;$ avec $\;F'''(x_{\text{éq}})<0\;$» $\;{\Bigg$ou «$\;F(\theta )\simeq {\dfrac {F'''(\theta _{\text{éq}})}{6}}\;\varepsilon ^{3}\;$ avec $\;F'''(\theta _{\text{éq}})<0\;$»${\Bigg ]}$,
Rappel l'équilibre est « instable » si la force $\;{\vec {F}}(M)=F(x)\;{\vec {u}}_{x}$ $\;{\big$ou $\;{\vec {F}}(M)=F(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }{\big ]}\;$ est « répulsive » c.-à-d. si
Rappel l'équilibre est « instable » $\succ \;$ «$\;F(x)\simeq F'(x_{\text{éq}})\;\varepsilon \;$ avec $\;F'(x_{\text{éq}})>0\;$» $\;{\big$ou «$\;F(\theta )\simeq F'(\theta _{\text{éq}})\;\varepsilon \;$ avec $\;F'(\theta _{\text{éq}})>0\;$»${\big ]}\;$ ou encore
Rappel l'équilibre est « instable » $\succ \;$ «$\;F(x)\simeq {\dfrac {F'''(x_{\text{éq}})}{6}}\;\varepsilon ^{3}\;$ avec $\;F'''(x_{\text{éq}})>0\;$» $\;{\Bigg$ou «$\;F(\theta )\simeq {\dfrac {F'''(\theta _{\text{éq}})}{6}}\;\varepsilon ^{3}\;$ avec $\;F'''(\theta _{\text{éq}})>0\;$»${\Bigg ]}$,
Rappel l'équilibre est « globalement instable » si la force $\;{\vec {F}}(M)=F(x)\;{\vec {u}}_{x}$ $\;{\big$ou $\;{\vec {F}}(M)=F(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }{\big ]}\;$ est « de rappel d'un côté et répulsive de l'autre côté » c.-à-d. si
Rappel l'équilibre est « globalement instable » $\succ \;$ «$\;F(x)\simeq {\dfrac {F''(x_{\text{éq}})}{2}}\;\varepsilon ^{2}\;$ avec $\;F''(x_{\text{éq}})\neq 0\;$» $\;{\Bigg$ou «$\;F(\theta )\simeq {\dfrac {F''(\theta _{\text{éq}})}{2}}\;\varepsilon ^{2}\;$ avec $\;F''(\theta _{\text{éq}})\neq 0\;$»${\Bigg ]}$.
Méthode à mettre en œuvre pour déterminer algébriquement la stabilité$\;{\big$ou l'instabilité${\big )}\;$d'un équilibre de point matériel en termes de profil énergétique : Méthode à mettre en œuvre pour étudier « algébriquement » la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en termes de profil énergétique, Méthode à mettre en œuvre pour étudier « algébriquement » on doit faire un D.L. de $\;U_{\vec {F}}(x)$ $\;{\big$ou de $\;U_{\vec {F}}(\theta ){\big ]}\;$ « à l'ordre le plus bas non nul autre que zéro »$^,$ au voisinage de $\;x_{\text{éq}}$ $\;{\big$ou Méthode à mettre en œuvre pour étudier « algébriquement » on doit faire un D.L. de $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}(x)}$ $\;\color {transparent}{\big$ou de $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}(\theta ){\big ]}}\;$ « à l'ordre le plus bas non nul autre que zéro » au voisinage de $\;\theta _{\text{éq}}{\big ]}\;$ et Méthode à mettre en œuvre pour étudier « algébriquement » on doit conclure selon le résultat obtenu :
Méthode à mettre en œuvre l'équilibre est « stable » si le profil de l'énergie potentielle $\;U_{\vec {F}}(M)=U_{\vec {F}}(x)$ $\;{\big$ou $\;U_{\vec {F}}(M)=U_{\vec {F}}(\theta ){\big ]}$, au voisinage de la position d'équilibre, est « un puits », en effet Méthode à mettre en œuvre l'équilibre est « stable » la force « motrice » devant être « de rappel » au voisinage de la position d'équilibre $\Rightarrow$ une composante «$\;>0\;$ à gauche et $\;<0\;$ à droite » c.-à-d. Méthode à mettre en œuvre l'équilibre est « stable » une dérivée d'énergie potentielle par rapport au paramètre de position «$\;<0\;$ à gauche et $\;>0\;$ à droite », rendant Méthode à mettre en œuvre l'équilibre est « stable » l'énergie potentielle « localement minimale » en la position d'équilibre étudiée,
Méthode à mettre en œuvre l'équilibre est « instable » si le profil de l'énergie potentielle $\;U_{\vec {F}}(M)=U_{\vec {F}}(x)$ $\;{\big$ou $\;U_{\vec {F}}(M)=U_{\vec {F}}(\theta ){\big ]}$, au voisinage de la position d'équilibre, est « une crête », en effet Méthode à mettre en œuvre l'équilibre est « instable » la force « motrice » devant être « répulsive » au voisinage de la position d'équilibre $\Rightarrow$ une composante «$\;<0\;$ à gauche et $\;>0\;$ à droite » c.-à-d. Méthode à mettre en œuvre l'équilibre est « instable » une dérivée d'énergie potentielle par rapport au paramètre de position «$\;>0\;$ à gauche et $\;<0\;$ à droite », rendant Méthode à mettre en œuvre l'équilibre est « instable » l'énergie potentielle « localement maximale » en la position d'équilibre étudiée,
Méthode à mettre en œuvre l'équilibre est « globalement instable » si le profil de l'énergie potentielle $\;U_{\vec {F}}(M)=U_{\vec {F}}(x)$ $\;{\big$ou $\;U_{\vec {F}}(M)=U_{\vec {F}}(\theta ){\big ]}$, au voisinage de la position d'équilibre, Méthode à mettre en œuvre l'équilibre est « globalement instable » si le profil de l'énergie potentielle est « un replat dans une montée ou une descente », en effet Méthode à mettre en œuvre l'équilibre est « globalement instable » la force « motrice » devant être « de rappel d'un côté et répulsive de l'autre côté » au voisinage de la position d'équilibre, correspond à Méthode à mettre en œuvre l'équilibre est « globalement instable » une composante simultanément «$\;<0\;$ ${\big$ou $\;>0{\big )}\;$ des deux côtés » c.-à-d. Méthode à mettre en œuvre l'équilibre est « globalement instable » une dérivée d'énergie potentielle par rapport au paramètre de position simultanément «$\;>0\;$ ${\big$ou $\;<0{\big )}\;$ des deux côtés », rendant Méthode à mettre en œuvre l'équilibre est « globalement instable » l'énergie potentielle « localement stationnaire avec point d'inflexion » en la position d'équilibre étudiée.

### Cas d'une force « motrice » unidirectionnelle selon l'axe x'x « dérivant » d'une énergie potentielle U(x)

On envisage donc un petit déplacement $\;\varepsilon \;$ de $\;M\;$ relativement à une de ses positions d'équilibre étudiée et repérée par $\;x_{\text{éq}}$, On envisage donc un petit déplacement $\;\color {transparent}{\varepsilon }\;$ de $\;M\;$ dans cette situation étant alors repéré par $\;x=x_{\text{éq}}+\varepsilon \;$ $\Leftrightarrow$ $\;\varepsilon =x-x_{\text{éq}}\;$ et
on évalue $\;U_{\vec {F}}(x)=U_{\vec {F}}(x_{\text{éq}}+\varepsilon )\;$ en utilisant la formule de Taylor-Young$^,$ à un ordre suffisant pour conclure $\;{\big$le plus souvent $\;U_{\vec {F}}''(x_{\text{éq}})\neq 0\;$ $\Rightarrow$ développement à l'ordre un suffisant${\big ]}$, d'où le on évalue $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}(x)=U_{\vec {F}}(x_{\text{éq}}+\varepsilon )}\;$ D.L. à l'ordre $\;n\;$ «$\;U_{\vec {F}}(x)\simeq U_{\vec {F}}(x_{\text{éq}})\,{\cancel {+\,U_{\vec {F}}'(x_{\text{éq}})\,\varepsilon }}\,+{\dfrac {U_{\vec {F}}''(x_{\text{éq}})}{2}}\,\varepsilon ^{2}+{\dfrac {U_{\vec {F}}'''(x_{\text{éq}})}{6}}\,\varepsilon ^{3}+{\dfrac {U_{\vec {F}}^{(IV)}(x_{\text{éq}})}{24}}\,\varepsilon ^{4}+{\dfrac {U_{\vec {F}}^{(V)}(x_{\text{éq}})}{120}}\,\varepsilon ^{5}+\cdots +{\dfrac {U_{\vec {F}}^{(n)}(x_{\text{éq}})}{n!}}\,\varepsilon ^{n}\;$»,
on évalue $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}(x)=U_{\vec {F}}(x_{\text{éq}}+\varepsilon )}\;$ D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ «$\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}(x)\simeq }$ le 2ème terme d'ordre un étant nul par condition d'équilibre car $\;U_{\vec {F}}'(x_{\text{éq}})=-F(x_{\text{éq}})=0\;$ mais on évalue $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}(x)=U_{\vec {F}}(x_{\text{éq}}+\varepsilon )}\;$ D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ «$\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}(x)\simeq }$ le 1er terme d'ordre zéro $\;U_{\vec {F}}(x_{\text{éq}})\;$ ne l'étant pas nécessairement cela dépendant du choix de la référence de $\;U_{\vec {F}}(x)\;$ $\Rightarrow$ on évalue $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}(x)=U_{\vec {F}}(x_{\text{éq}}+\varepsilon )}\;$ D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ «$\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}(x)\simeq }$ l'écart de l'énergie potentielle par rapport à sa valeur à l'équilibre $\;\delta U_{\vec {F}}(x)=U_{\vec {F}}(x)-U_{\vec {F}}(x_{\text{éq}})\;$ est un infiniment petit de même on évalue $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}(x)=U_{\vec {F}}(x_{\text{éq}}+\varepsilon )}\;$ D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ «$\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}(x)\simeq }$ l'écart de l'énergie potentielle par rapport à sa valeur à l'équilibre $\;\color {transparent}{\delta U_{\vec {F}}(x)}=$ ordre que le 1er terme non nul de $\;\delta U_{\vec {F}}(x)\;$ on évalue $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}(x)=U_{\vec {F}}(x_{\text{éq}}+\varepsilon )}\;$ D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ «$\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}(x)\simeq }$ l'écart de l'énergie potentielle par rapport à sa valeur à l'équilibre $\;\color {transparent}{\delta U_{\vec {F}}(x)}=$ ordre que ${\big$terme qualifié de « prépondérant »${\big ]}$.
Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, ssi le terme prépondérant du D.L. de $\;F(x)\;$ est « impair » c.-à-d. Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, ssi «$\;F(x)\simeq {\dfrac {F^{(2\,p+1)}(x_{\text{éq}})}{(2\,p+1)!}}\;\varepsilon ^{(2\,p+1)}\;$ avec $\;p\in \mathbb {N} \;$» $\Rightarrow$ par intégration et Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, ssi changement de signe, la C.N.S. précédente en termes de $\;\delta U_{\vec {F}}(x)\;$ $\Rightarrow$ Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, ssi le terme prépondérant du D.L. de $\;\delta U_{\vec {F}}(x)\;$ est « pair » c.-à-d. Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, ssi «$\;\delta U_{\vec {F}}(x)\simeq {\dfrac {U_{\vec {F}}^{(2\,p)}(x_{\text{éq}})}{(2\,p)!}}\;\varepsilon ^{(2\,p)}\;$ avec $\;p\in \mathbb {N} ^{*}\;$» d'où Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, ssi le terme prépondérant du D.L. de $\;\delta U_{\vec {F}}(x)\;$ étant de même signe Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, ssi le terme prépondérant du D.L. de $\;\color {transparent}{\delta U_{\vec {F}}(x)}\;$ étant que $\;U_{\vec {F}}^{(2\,p)}(x_{\text{éq}})\;$ $\Rightarrow$ Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité $\blacktriangleright \;$le D.L. de $\;\delta U_{\vec {F}}(x)\;$ est « minimal » en la position d'équilibre si $\;U_{\vec {F}}^{(2\,p)}(x_{\text{éq}})\;$ est $\;>0$, l'équilibre étant alors « stable », Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité $\blacktriangleright \;$le D.L. de $\;\delta U_{\vec {F}}(x)\;$ est « maximal » en la position d'équilibre si $\;U_{\vec {F}}^{(2\,p)}(x_{\text{éq}})\;$ est $\;<0$, l'équilibre étant alors « instable ».
Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, si le terme prépondérant du D.L. de $\;\delta U_{\vec {F}}(x)\;$ est « impair » c.-à-d. Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, si «$\;\delta U_{\vec {F}}(x)\simeq {\dfrac {U_{\vec {F}}^{(2\,p+1)}(x_{\text{éq}})}{(2\,p+1)!}}\;\varepsilon ^{(2\,p+1)}\;$ avec $\;p\in \mathbb {N} ^{*}\;$», Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, on ne peut pas définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, on ne peut pas définir indépendamment du sens de l'écart, en effet Généralités : Ayant vu la possibilité de définir $\succ \;$si $\;U_{\vec {F}}^{(2\,p+1)}(x_{\text{éq}})\;$ est $\;>0$, le D.L. de $\;\delta U_{\vec {F}}(x)$ $\;\nearrow \;$ avec $\;\varepsilon \;$ en étant stationnaire en la position d'équilibre $\Rightarrow$ Généralités : Ayant vu la possibilité de définir $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}^{(2\,p+1)}(x_{\text{éq}})}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, le profil de $\;\delta U_{\vec {F}}(x)\;$ présente « un replat dans une montée » $\;{\big \$le point d'inflexion du profil énergétique en la Généralités : Ayant vu la possibilité de définir $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}^{(2\,p+1)}(x_{\text{éq}})}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, position d'équilibre $\;{\big\delta U_{\vec {F}}(x)\;$ y étant stationnaire${\big ]}\;$ présente, par rapport aux portions du profil en deçà et au-delà du Généralités : Ayant vu la possibilité de définir $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}^{(2\,p+1)}(x_{\text{éq}})}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, point d'inflexion, respectivement une crête et une cuvette $\Rightarrow$ un équilibre instable à gauche et stable à droite${\big \}$ soit Généralités : Ayant vu la possibilité de définir $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}^{(2\,p+1)}(x_{\text{éq}})}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, point d'inflexion, respectivement une crête et une cuvette $\color {transparent}{\Rightarrow }$ un équilibre « globalement instable », Généralités : Ayant vu la possibilité de définir $\succ \;$si $\;U_{\vec {F}}^{(2\,p+1)}(x_{\text{éq}})\;$ est $\;<0$, le D.L. de $\;\delta U_{\vec {F}}(x)$ $\;\searrow \;$ avec $\;\varepsilon \;$ en étant stationnaire en la position d'équilibre $\Rightarrow$ Généralités : Ayant vu la possibilité de définir $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}^{(2\,p+1)}(x_{\text{éq}})}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}$, le profil de $\;\delta U_{\vec {F}}(x)\;$ présente « un replat dans une descente » $\;{\big \$le point d'inflexion du profil énergétique en la Généralités : Ayant vu la possibilité de définir $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}^{(2\,p+1)}(x_{\text{éq}})}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}$, position d'équilibre $\;{\big\delta U_{\vec {F}}(x)\;$ y étant stationnaire${\big ]}\;$ présente, par rapport aux portions du profil en deçà et au-delà du Généralités : Ayant vu la possibilité de définir $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}^{(2\,p+1)}(x_{\text{éq}})}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}$, point d'inflexion, respectivement une cuvette et une crête $\Rightarrow$ un équilibre stable à gauche et instable à droite${\big \}$ soit Généralités : Ayant vu la possibilité de définir $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}^{(2\,p+1)}(x_{\text{éq}})}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}$, point d'inflexion, respectivement une cuvette et une crête $\color {transparent}{\Rightarrow }$ un équilibre « globalement instable ».
Résumé de l'étude : Détaillons les possibilités de terme prépondérant du D.L. de $\;\delta U_{\vec {F}}(x)\;$ à l'ordre le plus bas non nul en $\;\varepsilon \;$ au voisinage de $\;x_{\text{éq}}$ :
Résumé de l'étude : $\succ \;$cas usuel $\;U_{\vec {F}}''(x_{\text{éq}})\neq 0$ : le développement de $\;\delta U_{\vec {F}}(x)\;$ au voisinage de $\;x_{\text{éq}}\;$ est limité à l'ordre deux $\;\delta U_{\vec {F}}(x_{\text{éq}}+\varepsilon )\simeq {\dfrac {U_{\vec {F}}''(x_{\text{éq}})}{2}}\;\varepsilon ^{2}\;$ du signe de $\;U_{\vec {F}}''(x_{\text{éq}})\;$ pour $\;\varepsilon \neq 0$,
Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas usuel avec $\;U_{\vec {F}}''(x_{\text{éq}})>0$, $\;\delta U_{\vec {F}}(x)\;$ est « minimal » en $\;x_{\text{éq}}\;$ et l'équilibre est « stable »,
Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas usuel avec $\;U_{\vec {F}}''(x_{\text{éq}})<0$, $\;\delta U_{\vec {F}}(x)\;$ est « maximal » en $\;x_{\text{éq}}\;$ et l'équilibre est « instable » ;
Résumé de l'étude : $\succ \;$cas peu fréquent $\;U_{\vec {F}}''(x_{\text{éq}})=0$ : le développement de $\;\delta U_{\vec {F}}(x)\;$ au voisinage de $\;x_{\text{éq}}\;$ est limité à l'ordre trois ou plus :
Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas peu fréquent $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}''(x_{\text{éq}})=0}$ : avec $\;U_{\vec {F}}'''(x_{\text{éq}})\neq 0$, $\;\delta U_{\vec {F}}(x_{\text{éq}}+\varepsilon )\simeq {\dfrac {U_{\vec {F}}'''(x_{\text{éq}})}{6}}\;\varepsilon ^{3}\;$ changeant de signe simultanément avec $\;\varepsilon \;$ correspondant à un Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas peu fréquent $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}''(x_{\text{éq}})=0}$ : avec $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}'''(x_{\text{éq}})\neq 0}$, $\;\color {transparent}{\delta U_{\vec {F}}(x_{\text{éq}}+\varepsilon )\simeq U_{\vec {F}}'''(x_{\text{éq}})\;\varepsilon ^{3}}\;$ changeant de signe simultanément avec $\;\color {transparent}{\varepsilon }\;$ équilibre stable d'un côté et Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas peu fréquent $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}''(x_{\text{éq}})=0}$ : avec $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}'''(x_{\text{éq}})\neq 0}$, $\;\color {transparent}{\delta U_{\vec {F}}(x_{\text{éq}}+\varepsilon )\simeq U_{\vec {F}}'''(x_{\text{éq}})\;\varepsilon ^{3}}\;$ changeant de signe simultanément avec $\;\color {transparent}{\varepsilon }\;$ équilibre instable de l'autre donc Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas peu fréquent $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}''(x_{\text{éq}})=0}$ : avec $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}'''(x_{\text{éq}})\neq 0}$, $\;\color {transparent}{\delta U_{\vec {F}}(x_{\text{éq}}+\varepsilon )\simeq U_{\vec {F}}'''(x_{\text{éq}})\;\varepsilon ^{3}}\;$ changeant de signe simultanément avec $\;\color {transparent}{\varepsilon }\;$ équilibre « globalement instable »,
Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas peu fréquent $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}''(x_{\text{éq}})=0}$ : avec $\;U_{\vec {F}}'''(x_{\text{éq}})=0\;$ mais $\;U_{\vec {F}}^{(IV)}(x_{\text{éq}})\neq 0$, $\;\delta U_{\vec {F}}(x_{\text{éq}}+\varepsilon )\simeq {\dfrac {U_{\vec {F}}^{(IV)}(x_{\text{éq}})}{24}}\;\varepsilon ^{4}\;$ de même signe que $\;U_{\vec {F}}^{(IV)}(x_{\text{éq}})\;$ pour $\;\varepsilon \neq 0\;$ d'où Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas peu fréquent $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}''(x_{\text{éq}})=0}$ : avec $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}'''(x_{\text{éq}})=0}\;$ mais $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}^{(IV)}(x_{\text{éq}})\neq 0}$, $\;\color {transparent}{\delta U_{\vec {F}}(x_{\text{éq}}+\varepsilon )\simeq U_{\vec {F}}^{(IV)}(x_{\text{éq}})\;\varepsilon ^{4}}\;$ l'équilibre est soit stable soit instable, plus précisément
Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas peu fréquent $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}''(x_{\text{éq}})=0}$ : avec $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}'''(x_{\text{éq}})=0}\;$ avec $\;U_{\vec {F}}^{(IV)}(x_{\text{éq}})>0$, $\;\delta U_{\vec {F}}(x)\;$ est « minimal » en la position d'équilibre et ce dernier est « stable »,
Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas peu fréquent $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}''(x_{\text{éq}})=0}$ : avec $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}'''(x_{\text{éq}})=0}\;$ avec $\;U_{\vec {F}}^{(IV)}(x_{\text{éq}})<0$, $\;\delta U_{\vec {F}}(x)\;$ est « maximal » en la position d'équilibre et ce dernier est « instable » ;
Résumé de l'étude : $\succ \;$cas inexistant en pratique $\;U_{\vec {F}}''(x_{\text{éq}})=0$, $\;U_{\vec {F}}'''(x_{\text{éq}})=0\;$ et $\;U_{\vec {F}}^{(IV)}(x_{\text{éq}})=0$ : le développement de $\;\delta U_{\vec {F}}(x)\;$ au voisinage de $\;x_{\text{éq}}\;$ est limité à l'ordre cinq ou plus, Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas inexistant en pratique $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}''(x_{\text{éq}})=0}$, $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}'''(x_{\text{éq}})=0}\;$ et $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}^{(IV)}(x_{\text{éq}})=0}$ : si limité à l'ordre cinq, $\;\delta U_{\vec {F}}(x_{\text{éq}}+\varepsilon )\simeq {\dfrac {U_{\vec {F}}^{(V)}(x_{\text{éq}})}{120}}\;\varepsilon ^{5}\;$ changeant de signe avec $\;\varepsilon \;$ Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas inexistant en pratique $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}''(x_{\text{éq}})=0}$, $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}'''(x_{\text{éq}})=0}\;$ et $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}^{(IV)}(x_{\text{éq}})=0}$ : si limité à l'ordre cinq, $\Rightarrow$ équilibre « globalement instable » mais, Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas inexistant en pratique $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}''(x_{\text{éq}})=0}$, $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}'''(x_{\text{éq}})=0}\;$ et $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}^{(IV)}(x_{\text{éq}})=0}$ : si $\;U_{\vec {F}}^{(V)}(x_{\text{éq}})=0\;$ avec $\;U_{\vec {F}}^{(VI)}(x_{\text{éq}})\neq 0$, on a $\;\delta U_{\vec {F}}(x_{\text{éq}}+\varepsilon )\simeq {\dfrac {U_{\vec {F}}^{(VI)}(x_{\text{éq}})}{720}}\;\varepsilon ^{6}\;$ Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas inexistant en pratique $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}''(x_{\text{éq}})=0}$, $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}'''(x_{\text{éq}})=0}\;$ et $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}^{(IV)}(x_{\text{éq}})=0}$ : si $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}^{(V)}(x_{\text{éq}})=0}\;$ avec $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}^{(VI)}(x_{\text{éq}})\neq 0}$, on a du signe de $\;U_{\vec {F}}^{(VI)}(x_{\text{éq}})\;$ $\Rightarrow$ équilibre Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas inexistant en pratique $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}''(x_{\text{éq}})=0}$, $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}'''(x_{\text{éq}})=0}\;$ et $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}^{(IV)}(x_{\text{éq}})=0}$ : si $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}^{(V)}(x_{\text{éq}})=0}\;$ avec $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}^{(VI)}(x_{\text{éq}})\neq 0}$, on a « stable » si $\;U_{\vec {F}}^{(VI)}(x_{\text{éq}})>0\;$ et Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas inexistant en pratique $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}''(x_{\text{éq}})=0}$, $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}'''(x_{\text{éq}})=0}\;$ et $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}^{(IV)}(x_{\text{éq}})=0}$ : si $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}^{(V)}(x_{\text{éq}})=0}\;$ avec $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}^{(VI)}(x_{\text{éq}})\neq 0}$, on a « instable » si $\;U_{\vec {F}}^{(VI)}(x_{\text{éq}})<0\;$, Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas inexistant en pratique $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}''(x_{\text{éq}})=0}$, $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}'''(x_{\text{éq}})=0}\;$ et $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}^{(IV)}(x_{\text{éq}})=0}$ : si $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}^{(V)}(x_{\text{éq}})=0}\;$ avec $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}^{(VI)}(x_{\text{éq}})\neq 0}$, $\;\ldots$

### Cas d'une force « motrice » s'appliquant tangentiellement à la trajectoire circulaire de rayon R décrite par le point subissant la force « dérivant » d'une énergie potentielle U(θ)

On envisage donc un petit déplacement $\;\varepsilon \;$ de $\;M\;$ relativement à une de ses positions d'équilibre étudiée et repérée par $\;\theta _{\text{éq}}$, On envisage donc un petit déplacement $\;\color {transparent}{\varepsilon }\;$ de $\;M\;$ dans cette situation étant alors repéré par $\;\theta =\theta _{\text{éq}}+\varepsilon \;$ $\Leftrightarrow$ $\;\varepsilon =\theta -\theta _{\text{éq}}\;$ et
on évalue $\;U_{\vec {F}}(\theta )=U_{\vec {F}}(\theta _{\text{éq}}+\varepsilon )\;$ en utilisant la formule de Taylor-Young$^,$ à un ordre suffisant pour conclure $\;{\big$le plus souvent $\;U_{\vec {F}}''(\theta _{\text{éq}})\neq 0\;$ $\Rightarrow$ développement à l'ordre deux suffisant${\big ]}$, d'où le on évalue $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}(\theta )=U_{\vec {F}}(\theta _{\text{éq}}+\varepsilon )}\;$ D.L. à l'ordre $\;n\;$ «$\;U_{\vec {F}}(\theta )\simeq U_{\vec {F}}(\theta _{\text{éq}})\,{\cancel {+\,U_{\vec {F}}'(\theta _{\text{éq}})\,\varepsilon }}\,+{\dfrac {U_{\vec {F}}''(\theta _{\text{éq}})}{2}}\,\varepsilon ^{2}+{\dfrac {U_{\vec {F}}'''(\theta _{\text{éq}})}{6}}\,\varepsilon ^{3}+{\dfrac {U_{\vec {F}}^{(IV)}(\theta _{\text{éq}})}{24}}\,\varepsilon ^{4}+{\dfrac {U_{\vec {F}}^{(V)}(\theta _{\text{éq}})}{120}}\,\varepsilon ^{5}+\cdots +{\dfrac {U_{\vec {F}}^{(n)}(\theta _{\text{éq}})}{n!}}\,\varepsilon ^{n}\;$»,
on évalue $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}(\theta )=U_{\vec {F}}(\theta _{\text{éq}}+\varepsilon )}\;$ D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ «$\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}(\theta )\simeq }$ le 2ème terme d'ordre un étant nul par condition d'équilibre car $\;U_{\vec {F}}'(\theta _{\text{éq}})=-R\;F(\theta _{\text{éq}})=0\;$ mais on évalue $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}(\theta )=U_{\vec {F}}(\theta _{\text{éq}}+\varepsilon )}\;$ D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ «$\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}(\theta )\simeq }$ le 1er terme d'ordre zéro $\;U_{\vec {F}}(\theta _{\text{éq}})\;$ ne l'étant pas nécessairement cela dépendant du choix de la référence de $\;U_{\vec {F}}(\theta )\;$ $\Rightarrow$ on évalue $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}(\theta )=U_{\vec {F}}(\theta _{\text{éq}}+\varepsilon )}\;$ D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ «$\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}(\theta )\simeq }$ l'écart de l'énergie potentielle par rapport à sa valeur à l'équilibre $\;\delta U_{\vec {F}}(\theta )=U_{\vec {F}}(\theta )-U_{\vec {F}}(\theta _{\text{éq}})\;$ est un infiniment petit de même on évalue $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}(\theta )=U_{\vec {F}}(\theta _{\text{éq}}+\varepsilon )}\;$ D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ «$\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}(\theta )\simeq }$ l'écart de l'énergie potentielle par rapport à sa valeur à l'équilibre $\;\color {transparent}{\delta U_{\vec {F}}(\theta )}=$ ordre que le 1er terme non nul de $\;\delta U_{\vec {F}}(\theta )\;$ on évalue $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}(\theta )=U_{\vec {F}}(\theta _{\text{éq}}+\varepsilon )}\;$ D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ «$\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}(\theta )\simeq }$ l'écart de l'énergie potentielle par rapport à sa valeur à l'équilibre $\;\color {transparent}{\delta U_{\vec {F}}(\theta )}=$ ordre que ${\big$terme qualifié de « prépondérant »${\big ]}$.
Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, ssi le terme prépondérant du D.L. de $\;F(\theta )\;$ est « impair » c.-à-d. Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, ssi «$\;F(\theta )\simeq {\dfrac {F^{(2\,p+1)}(\theta _{\text{éq}})}{(2\,p+1)!}}\;\varepsilon ^{(2\,p+1)}\;$ avec $\;p\in \mathbb {N} \;$» $\Rightarrow$ par intégration et Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, ssi multiplication par $\;-R$, la C.N.S. précédente en termes de $\;\delta U_{\vec {F}}(\theta )\;$ $\Rightarrow$ Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, ssi le terme prépondérant du D.L. de $\;\delta U_{\vec {F}}(\theta )\;$ est « pair » c.-à-d. Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, ssi «$\;\delta \delta U_{\vec {F}}(\theta )\simeq {\dfrac {U_{\vec {F}}^{(2\,p)}(\theta _{\text{éq}})}{(2\,p)!}}\;\varepsilon ^{(2\,p)}\;$ avec $\;p\in \mathbb {N} ^{*}\;$» d'où Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, ssi le terme prépondérant du D.L. de $\;\delta U_{\vec {F}}(\theta )\;$ étant de même signe Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, ssi le terme prépondérant du D.L. de $\;\color {transparent}{\delta U_{\vec {F}}(\theta )}\;$ étant que $\;U_{\vec {F}}^{(2\,p)}(\theta _{\text{éq}})\;$ $\Rightarrow$ Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité $\blacktriangleright \;$le D.L. de $\;\delta U_{\vec {F}}(\theta )\;$ est « minimal » en la position d'équilibre si $\;U_{\vec {F}}^{(2\,p)}(\theta _{\text{éq}})\;$ est $\;>0$, l'équilibre étant alors « stable », Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité $\blacktriangleright \;$le D.L. de $\;\delta U_{\vec {F}}(\theta )\;$ est « maximal » en la position d'équilibre si $\;U_{\vec {F}}^{(2\,p)}(\theta _{\text{éq}})\;$ est $\;<0$, l'équilibre étant alors « instable ».
Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, si le terme prépondérant du D.L. de $\;\delta U_{\vec {F}}(\theta )\;$ est « impair » c.-à-d. Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, si «$\;\delta U_{\vec {F}}(\theta )\simeq {\dfrac {U_{\vec {F}}^{(2\,p+1)}(\theta _{\text{éq}})}{(2\,p+1)!}}\;\varepsilon ^{(2\,p+1)}\;$ avec $\;p\in \mathbb {N} ^{*}\;$», Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, on ne peut pas définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, on ne peut pas définir indépendamment du sens de l'écart, en effet Généralités : Ayant vu la possibilité de définir $\succ \;$si $\;U_{\vec {F}}^{(2\,p+1)}(\theta _{\text{éq}})\;$ est $\;>0$, le D.L. de $\;\delta U_{\vec {F}}(\theta )$ $\;\nearrow \;$ avec $\;\varepsilon \;$ en étant stationnaire en la position d'équilibre $\Rightarrow$ Généralités : Ayant vu la possibilité de définir $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}^{(2\,p+1)}(\theta _{\text{éq}})}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, le profil de $\;\delta U_{\vec {F}}(\theta )\;$ présente « un replat dans une montée » $\;{\big \$le point d'inflexion du profil énergétique en la Généralités : Ayant vu la possibilité de définir $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}^{(2\,p+1)}(\theta _{\text{éq}})}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, position d'équilibre $\;{\big\delta U_{\vec {F}}(\theta )\;$ y étant stationnaire${\big ]}\;$ présente, par rapport aux portions du profil en deçà et au-delà du Généralités : Ayant vu la possibilité de définir $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}^{(2\,p+1)}(\theta _{\text{éq}})}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, point d'inflexion, respectivement une crête et une cuvette $\Rightarrow$ un équilibre instable à gauche et stable à droite${\big \}$ soit Généralités : Ayant vu la possibilité de définir $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}^{(2\,p+1)}(\theta _{\text{éq}})}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, point d'inflexion, respectivement une crête et une cuvette $\color {transparent}{\Rightarrow }$ un équilibre « globalement instable », Généralités : Ayant vu la possibilité de définir $\succ \;$si $\;U_{\vec {F}}^{(2\,p+1)}(\theta _{\text{éq}})\;$ est $\;<0$, le D.L. de $\;\delta U_{\vec {F}}(\theta )$ $\;\searrow \;$ avec $\;\varepsilon \;$ en étant stationnaire en la position d'équilibre $\Rightarrow$ Généralités : Ayant vu la possibilité de définir $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}^{(2\,p+1)}(\theta _{\text{éq}})}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}$, le profil de $\;\delta U_{\vec {F}}(\theta )\;$ présente « un replat dans une descente » $\;{\big \$le point d'inflexion du profil énergétique en la Généralités : Ayant vu la possibilité de définir $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}^{(2\,p+1)}(\theta _{\text{éq}})}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}$, position d'équilibre $\;{\big\delta U_{\vec {F}}(\theta )\;$ y étant stationnaire${\big ]}\;$ présente, par rapport aux portions du profil en deçà et au-delà du Généralités : Ayant vu la possibilité de définir $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}^{(2\,p+1)}(\theta _{\text{éq}})}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}$, point d'inflexion, respectivement une cuvette et une crête $\Rightarrow$ un équilibre stable à gauche et instable à droite${\big \}$ soit Généralités : Ayant vu la possibilité de définir $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}^{(2\,p+1)}(\theta _{\text{éq}})}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}$, point d'inflexion, respectivement une cuvette et une crête $\color {transparent}{\Rightarrow }$ un équilibre « globalement instable ».
Résumé de l'étude : Détaillons les possibilités de terme prépondérant du D.L. de $\;\delta U_{\vec {F}}(\theta )\;$ à l'ordre le plus bas non nul en $\;\varepsilon \;$ au voisinage de $\;\theta _{\text{éq}}$ :
Résumé de l'étude : $\succ \;$cas usuel $\;U_{\vec {F}}''(\theta _{\text{éq}})\neq 0$ : le développement de $\;\delta U_{\vec {F}}(\theta )\;$ au voisinage de $\;\theta _{\text{éq}}\;$ est limité à l'ordre deux $\;\delta U_{\vec {F}}(\theta _{\text{éq}}+\varepsilon )\simeq {\dfrac {U_{\vec {F}}''(\theta _{\text{éq}})}{2}}\;\varepsilon ^{2}\;$ du signe de $\;U_{\vec {F}}''(\theta _{\text{éq}})\;$ pour $\;\varepsilon \neq 0$,
Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas usuel avec $\;U_{\vec {F}}''(\theta _{\text{éq}})>0$, $\;\delta U_{\vec {F}}(\theta )\;$ est « minimal » en $\;\theta _{\text{éq}}\;$ et l'équilibre est « stable »,
Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas usuel avec $\;U_{\vec {F}}''(\theta _{\text{éq}})<0$, $\;\delta U_{\vec {F}}(\theta )\;$ est « maximal » en $\;\theta _{\text{éq}}\;$ et l'équilibre est « instable » ;
Résumé de l'étude : $\succ \;$cas peu fréquent $\;U_{\vec {F}}''(\theta _{\text{éq}})=0$ : le développement de $\;\delta U_{\vec {F}}(\theta )\;$ au voisinage de $\;\theta _{\text{éq}}\;$ est limité à l'ordre trois ou plus :
Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas peu fréquent $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}''(\theta _{\text{éq}})=0}$ : avec $\;U_{\vec {F}}'''(\theta _{\text{éq}})\neq 0$, $\;\delta U_{\vec {F}}(\theta _{\text{éq}}+\varepsilon )\simeq {\dfrac {U_{\vec {F}}'''(\theta _{\text{éq}})}{6}}\;\varepsilon ^{3}\;$ changeant de signe simultanément avec $\;\varepsilon \;$ correspondant à un Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas peu fréquent $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}''(\theta _{\text{éq}})=0}$ : avec $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}'''(\theta _{\text{éq}})\neq 0}$, $\;\color {transparent}{\delta U_{\vec {F}}(\theta _{\text{éq}}+\varepsilon )\simeq U_{\vec {F}}'''(\theta _{\text{éq}})\;\varepsilon ^{3}}\;$ changeant de signe simultanément avec $\;\color {transparent}{\varepsilon }\;$ équilibre stable d'un côté et Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas peu fréquent $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}''(\theta _{\text{éq}})=0}$ : avec $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}'''(\theta _{\text{éq}})\neq 0}$, $\;\color {transparent}{\delta U_{\vec {F}}(\theta _{\text{éq}}+\varepsilon )\simeq U_{\vec {F}}'''(\theta _{\text{éq}})\;\varepsilon ^{3}}\;$ changeant de signe simultanément avec $\;\color {transparent}{\varepsilon }\;$ équilibre instable de l'autre donc Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas peu fréquent $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}''(\theta _{\text{éq}})=0}$ : avec $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}'''(\theta _{\text{éq}})\neq 0}$, $\;\color {transparent}{\delta U_{\vec {F}}(\theta _{\text{éq}}+\varepsilon )\simeq U_{\vec {F}}'''(\theta _{\text{éq}})\;\varepsilon ^{3}}\;$ changeant de signe simultanément avec $\;\color {transparent}{\varepsilon }\;$ équilibre « globalement instable »,
Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas peu fréquent $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}''(\theta _{\text{éq}})=0}$ : avec $\;U_{\vec {F}}'''(\theta _{\text{éq}})=0\;$ mais $\;U_{\vec {F}}^{(IV)}(\theta _{\text{éq}})\neq 0$, $\;\delta U_{\vec {F}}(\theta _{\text{éq}}+\varepsilon )\simeq {\dfrac {U_{\vec {F}}^{(IV)}(\theta _{\text{éq}})}{24}}\;\varepsilon ^{4}\;$ de même signe que $\;U_{\vec {F}}^{(IV)}(\theta _{\text{éq}})\;$ pour $\;\varepsilon \neq 0\;$ d'où Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas peu fréquent $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}''(\theta _{\text{éq}})=0}$ : avec $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}'''(\theta _{\text{éq}})=0}\;$ mais $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}^{(IV)}(\theta _{\text{éq}})\neq 0}$, $\;\color {transparent}{\delta U_{\vec {F}}(\theta _{\text{éq}}+\varepsilon )\simeq U_{\vec {F}}^{(IV)}(\theta _{\text{éq}})\;\varepsilon ^{4}}\;$ l'équilibre est soit stable soit instable, plus précisément
Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas peu fréquent $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}''(\theta _{\text{éq}})=0}$ : avec $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}'''(\theta _{\text{éq}})=0}\;$ avec $\;U_{\vec {F}}^{(IV)}(\theta _{\text{éq}})>0$, $\;\delta U_{\vec {F}}(\theta )\;$ est « minimal » en la position d'équilibre et ce dernier est « stable »,
Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas peu fréquent $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}''(\theta _{\text{éq}})=0}$ : avec $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}'''(\theta _{\text{éq}})=0}\;$ avec $\;U_{\vec {F}}^{(IV)}(\theta _{\text{éq}})<0$, $\;\delta U_{\vec {F}}(\theta )\;$ est « maximal » en la position d'équilibre et ce dernier est « instable » ;
Résumé de l'étude : $\succ \;$cas inexistant en pratique $\;U_{\vec {F}}''(\theta _{\text{éq}})=0$, $\;U_{\vec {F}}'''(\theta _{\text{éq}})=0\;$ et $\;U_{\vec {F}}^{(IV)}(\theta _{\text{éq}})=0$ : le développement de $\;\delta U_{\vec {F}}(\theta )\;$ au voisinage de $\;\theta _{\text{éq}}\;$ est limité à l'ordre cinq ou plus, Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas inexistant en pratique $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}''(\theta _{\text{éq}})=0}$, $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}'''(\theta _{\text{éq}})=0}\;$ et $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}^{(IV)}(\theta _{\text{éq}})=0}$ : si limité à l'ordre cinq, $\;\delta U_{\vec {F}}(\theta _{\text{éq}}+\varepsilon )\simeq {\dfrac {U_{\vec {F}}^{(V)}(\theta _{\text{éq}})}{120}}\;\varepsilon ^{5}\;$ changeant de signe avec $\;\varepsilon \;$ Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas inexistant en pratique $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}''(\theta _{\text{éq}})=0}$, $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}'''(\theta _{\text{éq}})=0}\;$ et $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}^{(IV)}(\theta _{\text{éq}})=0}$ : si limité à l'ordre cinq, $\Rightarrow$ équilibre « globalement instable » mais, Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas inexistant en pratique $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}''(\theta _{\text{éq}})=0}$, $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}'''(\theta _{\text{éq}})=0}\;$ et $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}^{(IV)}(\theta _{\text{éq}})=0}$ : si $\;U_{\vec {F}}^{(V)}(\theta _{\text{éq}})=0\;$ avec $\;U_{\vec {F}}^{(VI)}(\theta _{\text{éq}})\neq 0$, on a $\;\delta U_{\vec {F}}(\theta _{\text{éq}}+\varepsilon )\simeq {\dfrac {U_{\vec {F}}^{(VI)}(\theta _{\text{éq}})}{720}}\;\varepsilon ^{6}\;$ Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas inexistant en pratique $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}''(\theta _{\text{éq}})=0}$, $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}'''(\theta _{\text{éq}})=0}\;$ et $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}^{(IV)}(\theta _{\text{éq}})=0}$ : si $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}^{(V)}(\theta _{\text{éq}})=0}\;$ avec $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}^{(VI)}(\theta _{\text{éq}})\neq 0}$, on a du signe de $\;U_{\vec {F}}^{(VI)}(\theta _{\text{éq}})\;$ $\Rightarrow$ équilibre Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas inexistant en pratique $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}''(\theta _{\text{éq}})=0}$, $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}'''(\theta _{\text{éq}})=0}\;$ et $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}^{(IV)}(\theta _{\text{éq}})=0}$ : si $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}^{(V)}(\theta _{\text{éq}})=0}\;$ avec $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}^{(VI)}(\theta _{\text{éq}})\neq 0}$, on a « stable » si $\;U_{\vec {F}}^{(VI)}(\theta _{\text{éq}})>0\;$ et Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas inexistant en pratique $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}''(\theta _{\text{éq}})=0}$, $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}'''(\theta _{\text{éq}})=0}\;$ et $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}^{(IV)}(\theta _{\text{éq}})=0}$ : si $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}^{(V)}(\theta _{\text{éq}})=0}\;$ avec $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}^{(VI)}(\theta _{\text{éq}})\neq 0}$, on a « instable » si $\;U_{\vec {F}}^{(VI)}(\theta _{\text{éq}})<0\;$, Résumé de l'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$cas inexistant en pratique $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}''(\theta _{\text{éq}})=0}$, $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}'''(\theta _{\text{éq}})=0}\;$ et $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}^{(IV)}(\theta _{\text{éq}})=0}$ : si $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}^{(V)}(\theta _{\text{éq}})=0}\;$ avec $\;\color {transparent}{U_{\vec {F}}^{(VI)}(\theta _{\text{éq}})\neq 0}$, $\;\ldots$

### Résultats fondamentaux concernant la stabilité (ou l'instabilité) d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en termes de profil d'énergie potentielle

Suivant la nature de la stationnarité du profil d'énergie potentielle du point matériel à un degré de liberté en la position d'équilibre étudiée, on en déduit que cet équilibre est
* « stable » si « l'énergie potentielle est localement minimale » en la position d'équilibre,
* « instable » si « l'énergie potentielle est localement maximale » en la position d'équilibre et
* « globalement instable » $\;{\big$c.-à-d. stable d'un côté et instable de l'autre${\big ]}\;$ si, en la position d'équilibre, « le profil d'énergie potentielle admet un point d'inflexion ».