# Mécanique 1 (PCSI)/Loi de la quantité de mouvement : Frottement de glissement
## Contact d’un solide sur un autre dans le cas de « liaisons unilatérale ou bilatérale avec frottement »

Introduit une 1ère fois dans le paragraphe « 3ème exemple de forces de contact, force résultant du contact avec un solide, liaisons unilatérale ou bilatérale, idéale (c.-à-d. sans frottement) ou non idéale (c.-à-d. avec frottement) » du chap.$6$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

### Rappel : liaisons unilatérale ou bilatérale d’un solide sur un autre

Introduit une 1ère fois dans le paragraphe « notions de liaisons unilatérale et bilatérale » du chap.$6$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

#### Liaison unilatérale

$6$
Le solide $\;({\mathcal {S}})\;$ en contact éventuel avec le solide support $\;(\Sigma )\;$ peut être
* en contact effectif, dans ce cas $\;(\Sigma )\;$ exerce des forces de contact sur $\;({\mathcal {S}})\;$ de résultante appelée « réaction de$\;(\Sigma )\;$sur$\;({\mathcal {S}})\;$», cette dernière étant dirigée de$\;(\Sigma )\;$vers$\;({\mathcal {S}})\;$ ou
* « au-dessus de$\;(\Sigma )\;$» sans point de contact avec lui, dans ce cas « la réaction de$\;(\Sigma )\;$sur$\;({\mathcal {S}})\;$» est nulle.

#### Liaison bilatérale

$6$
Le solide$\;({\mathcal {S}})\;$est toujours en contact avec le solide support$\;(\Sigma )\;$ ${\big$plus précisément constitué de deux solides supports «$\;(\Sigma _{\text{inf}})\;$ et $\;(\Sigma _{\text{sup}})\;$»${\big ]}\;$ guidant le solide $\;({\mathcal {S}})$, l'un ou l'autre des solides supports de part et d'autre de $\;({\mathcal {S}})\;$ exerçant sur lui des forces de contact de résultante appelée « réaction de$\;(\Sigma )\;$sur$\;({\mathcal {S}})\;$» pouvant avoir n'importe quelle direction$\;{\big$et même être nulle${\big )}$.

### Rappel : composantes normale et tangentielle de la réaction du support solide sur le système indéformable étudié

$6$
Définissant $\;{\vec {n}}\;$ un vecteur unitaire normal au(x) support(s) solide(s) $\;(\Sigma )\;$ défini au « point d'application de la réaction de $\;(\Sigma )\;$ sur $\;({\mathcal {S}})\;$», point que nous appellerons par la suite « point de contact », le sens de $\;{\vec {n}}\;$ étant choisi usuellement « vers l'extérieur du support solide $\;(\Sigma )\;$ en cas de liaison unilatérale » et dans un « sens arbitraire en cas de liaison bilatérale », nous notons :
* $\;{\vec {R}}_{n}\;$ la projection de $\;{\vec {R}}\;$ sur la normale, soit «$\;{\vec {R}}_{n}=R_{n}\;{\vec {n}}\;$» où «$\;R_{n}={\vec {R}}\cdot {\vec {n}}\;$» est appelée « composante normale de la réaction » et
* $\;{\vec {R}}_{\tau }\;$ la projection de $\;{\vec {R}}\;$ sur le plan tangent à $\;(\Sigma )\;$ au point de contact, soit «$\;{\vec {R}}_{\tau }=R_{\tau }\;{\vec {\tau }}\;$», où «$\;R_{\tau }={\vec {R}}\cdot {\vec {\tau }}\;$» est appelée « composante tangentielle de la réaction » $\;{\big$ou encore « force de frottement solide »${\big )}$ ;
$\;{\vec {R}}=R_{n}\;{\vec {n}}+R_{\tau }\;{\vec {\tau }}\;$
$\;R_{n}\geqslant 0\;$
$\;R_{n}\;$

### Rappel : « liaison avec frottement solide »

$6$
La puissance développée par la réaction $\;{\vec {R}}\;$ que $\;(\Sigma )\;$ exerce sur $\;({\mathcal {S}})\;$ dans un référentiel lié à $\;(\Sigma )\;$ s'écrit, avec $\;M\;$ point d'application de $\;{\vec {R}}$, «$\;{\mathcal {P}}({\vec {R}})={\vec {R}}\cdot {\vec {V}}_{M}$ $={\vec {R}}_{n}\cdot {\vec {V}}_{M}+{\vec {R}}_{\tau }\cdot {\vec {V}}_{M}\;$» ;
La puissance développée par la réaction $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ que $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ exerce sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ or $\;{\vec {R}}_{n}\cdot {\vec {V}}_{M}=0\;$ car, en cas de non glissement de $\;({\mathcal {S}})\;$ sur $\;(\Sigma )$, $\;{\vec {V}}_{M}={\vec {0}}\;$ et, La puissance développée par la réaction $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ que $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ exerce sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ or $\;\color {transparent}{{\vec {R}}_{n}\cdot {\vec {V}}_{M}=0}\;$ car, en cas de glissement, $\;{\vec {V}}_{M}\neq {\vec {0}}\;$ dans le plan tangent à $\;(\Sigma )\;$ en $\;M\;$ donc $\;\perp \;$ à $\;{\vec {R}}_{n}\;$ d'où au final
la puissance développée par la réaction $\;{\vec {R}}\;$ que $\;(\Sigma )\;$ exerce sur $\;({\mathcal {S}})\;$ dans un référentiel lié à $\;(\Sigma )\;$ se réécrit, avec $\;M\;$ point d'application de $\;{\vec {R}}$, selon «$\;{\mathcal {P}}({\vec {R}})={\vec {R}}_{\tau }\cdot {\vec {V}}_{M}\;$».
On dit que la liaison est « avec frottement » $\;{\big$ou « non idéale » ou encore « non parfaite »${\big )}\;$ si $\blacktriangleright \;$en envisageant diverses situations de repos de $\;({\mathcal {S}})$, on en trouve au moins une où$\;{\vec {R}}_{\tau }\;$ est $\;\neq {\vec {0}}\;$ et On dit que la liaison est « avec frottement » $\;\color {transparent}{\big$ou « non idéale » ou encore « non parfaite »$\color {transparent}{\big )}\;$ si $\blacktriangleright \;$dans tous les états de translation de $\;({\mathcal {S}})$, $\;{\vec {R}}_{\tau }\;$ est toujours $\;\neq {\vec {0}}$ ;
On dit que la liaison est « avec frottement » $\;\color {transparent}{\big$ou « non idéale » ou $\;{\big$ce qui est équivalent${\big )}\;$ si $\blacktriangleright \;$il existe des cas de repos de $\;({\mathcal {S}})\;$ où $\;{\vec {R}}\;$ est $\;\not \perp \;$ au plan tangent de $\;(\Sigma )\;$ en $\;M\;$ et On dit que la liaison est « avec frottement » $\;\color {transparent}{\big$ou « non idéale » ou $\;\color {transparent}{\big$ce qui est équivalent$\color {transparent}{\big )}\;$ si $\blacktriangleright \;$dans l'hypothèse de translation de $\;({\mathcal {S}})$, $\;{\vec {R}}\;$ est toujours $\;\not \perp \;$ au plan tangent de $\;(\Sigma )\;$ en $\;M$.
Il est équivalent de définir une liaison « avec frottement » $\;{\big$ou « non idéale » ou encore « non parfaite »${\big )}\;$ comme une liaison telle que$\;{\mathcal {P}}({\vec {R}})\neq 0\;$en cas de mouvement de translation de$\;({\mathcal {S}})\;$sur$\;(\Sigma )$.

## Énoncé des lois empiriques de « Coulomb » du frottement de glissement d’un solide en translation sur un autre solide dans le cas d’équilibre et dans celui de glissement, cœfficients de frottement statique et dynamique caractérisant le contact
### Rappel : loi empirique de Coulomb du frottement de glissement d’un solide en translation sur un autre solide dans le cas d’équilibre

$6$
Le solide $\;({\mathcal {S}})\;$ est donc au repos sur le support solide $\;(\Sigma )\;$ avec, a priori, « présence d'une force de frottement solide » et absence de glissement ;
si une force $\;{\vec {F}}_{m}\;$ tend à faire glisser $\;({\mathcal {S}})\;$ sur $\;(\Sigma )\;$ tangentiellement à ce dernier suivant $\;{\vec {V}}_{\text{hyp, mouv}}\;$, si une force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ tend à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ le support solide $\;(\Sigma )\;$ réagit en exerçant sur $\;({\mathcal {S}})\;$ une force de frottement solide $\;{\vec {R}}_{\tau }\;$ s’opposant à la mise en mouvement, c.-à-d. si une force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ tend à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ le support solide $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ réagit en exerçant sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ une force de frottement solide $\;\color {transparent}{{\vec {R}}_{\tau }}\;$ de même direction mais de sens contraire à $\;{\vec {V}}_{\text{hyp, mouv}}$ ; si une force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ tend à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ le support solide $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ réagit en exerçant sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ comme il n'y a pas glissement, $\;{\vec {R}}_{\tau }=-{\vec {F}}_{m}\;$ soit si une force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ tend à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ en choisissant le vecteur unitaire tangentiel$\;{\vec {\tau }}\;$ du plan tangent à $\;(\Sigma )\;$ au point de contact suivant la direction et le sens de$\;{\vec {F}}_{m}\;$, si une force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ tend à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ c.-à-d. tel que $\;{\vec {F}}_{m}=F_{m}\;{\vec {\tau }}\;$ avec $\;F_{m}>0\;$ et $\;{\vec {R}}_{\tau }=R_{\tau }\;{\vec {\tau }}\;$ où $\;R_{\tau }\;$ est la valeur algébrique de la « force de frottement solide », si une force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ tend à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ le support solide $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ réagit en exerçant sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ on déduit, de la condition de non glissement, «$\;R_{\tau }=-F_{m}<0\;$» ;
si une force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ tend à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ le support solide $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ réagit en exerçant sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ si on fait $\;\nearrow \Vert F_{m}\Vert =F_{m}$, $\Rightarrow$ $\;R_{\tau }=-F_{m}<0\;$ telle que $\;\vert R_{\tau }\vert =\Vert {\vec {R}}_{\tau }\Vert =F_{m}\nearrow \;$ mais $\;\ldots \;$ si une force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ tend à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ le support solide $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ réagit en exerçant sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ si on fait $\;\color {transparent}{\nearrow \Vert F_{m}\Vert =F_{m}}$, $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\vert R_{\tau }\vert =\Vert {\vec {R}}_{\tau }\Vert \;$ ne peut $\;\nearrow \;$ indéfiniment, si une force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ tend à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ le support solide $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ réagit en exerçant sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ si on fait $\;\color {transparent}{\nearrow }$, il existe une valeur de $\;F_{m}=\Vert {\vec {F}}_{m}\Vert \;$ à partir de laquelle le glissement s'amorcera, si une force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ tend à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ le support solide $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ réagit en exerçant sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ si on fait $\;\color {transparent}{\nearrow }$, il existe cette force seuil définissant le « seuil d'adhérence de$\;({\mathcal {S}})\;$ sur $\;(\Sigma )\;$» ;
si une force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ tend à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ parallèlement la composante normale de la réaction $\;{\vec {R}}_{n}=R_{n}\;{\vec {n}}\;$ s’oppose à la pénétration de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans $\;(\Sigma )\;$, si une force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ tend à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ parallèlement la force tendant à la pénétration étant appelée « force pressante de $\;({\mathcal {S}})\;$ sur $\;(\Sigma )\;$» et notée $\;{\vec {F}}_{p}\;$ ; si une force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ tend à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ parallèlement la force tendant à la pénétration comme il n'y a pas pénétration, $\;{\vec {R}}_{n}=-{\vec {F}}_{p}$ soit si une force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ tend à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ en choisissant le vecteur unitaire normal$\;{\vec {n}}\;$ au plan tangent à $\;(\Sigma )\;$ au point de contact en sens contraire de$\;{\vec {F}}_{p}\;$ si le sens de $\;{\vec {F}}_{p}\;$ ne varie pas ou si une force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ tend à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ en choisissant le vecteur unitaire normal$\;\color {transparent}{\vec {n}}\;$ au plan tangent à $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ au point de contact de sens a priori arbitraire si le sens de $\;{\vec {F}}_{p}\;$ peut varier et, si une force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ tend à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ en posant $\;{\vec {F}}_{p}=-F_{p}\;{\vec {n}}\;$ quel que soit le sens choisi pour $\;{\vec {n}}\;$ ainsi que $\;{\vec {R}}_{n}=R_{n}\;{\vec {n}}\;$ où $\;R_{n}\;$ est la « réaction normale au support », si une force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ tend à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ parallèlement la force tendant à la pénétration on déduit, de la condition de non pénétration, «$\;R_{n}=F_{p}\;$» avec, si une force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ tend à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ parallèlement la force tendant à la pénétration si le sens de$\;{\vec {n}}\;$est choisi de sens contraire à$\;{\vec {F}}_{p}\;$ quand le sens de $\;{\vec {F}}_{p}\;$ ne varie pas, «$\;R_{n}>0\;$» ou, si une force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ tend à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ parallèlement la force tendant à la pénétration si le sens de$\;{\vec {n}}\;$est arbitraire, «$\;R_{n}>0\;$ si le sens de $\;{\vec {F}}_{p}\;$ est contraire au sens de $\;{\vec {n}}\;$» et si une force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ tend à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ parallèlement la force tendant à la pénétration si le sens de$\;\color {transparent}{\vec {n}}\;$est arbitraire, «$\;R_{n}<0\;$ si le sens de $\;{\vec {F}}_{p}\;$ est dans le sens de $\;{\vec {n}}\;$» ;
supposant que la force$\;{\vec {F}}_{m}\;$tendant à faire glisser$\;({\mathcal {S}})\;$ sur $\;(\Sigma )\;$ tangentiellement à ce dernier ne modifie pas la force pressante$\;{\vec {F}}_{p}\;$ de $\;({\mathcal {S}})\;$ sur $\;(\Sigma )\;$, Supposant que la «$\;\nearrow \;$ de $\;F_{m}=\Vert {\vec {F}}_{m}\Vert \;$ à $\;F_{p}\;$ constant » entraîne une «$\;\nearrow \;$ de $\;\vert R_{\tau }\vert \;$ à $\;R_{n}\;$ constant » et Supposant que la «$\;\color {transparent}{\nearrow }\;$ de $\;\color {transparent}{F_{m}=\Vert {\vec {F}}_{m}\Vert }\;$ à $\;\color {transparent}{F_{p}}\;$ constant » entraîne un « démarrage du glissement pour une valeur critique$\;\vert R_{\tau ,\,c}\vert \;$ de $\;\vert R_{\tau }\vert \;$ à $\;R_{n}\;$ constant », Supposant que la «$\;\color {transparent}{\nearrow }\;$ de $\;\color {transparent}{F_{m}=\Vert {\vec {F}}_{m}\Vert }\;$ à $\;\color {transparent}{F_{p}}\;$ constant » entraîne « le rapport de cette valeur critique $\;\vert R_{\tau ,\,c}\vert \;$ sur $\;\vert R_{n}\vert \;$» définissant le « cœfficient de frottement statique » noté $\;\mu _{s}\;$ soit Supposant que la «$\;\color {transparent}{\nearrow }\;$ de $\;\color {transparent}{F_{m}=\Vert {\vec {F}}_{m}\Vert }\;$ à $\;\color {transparent}{F_{p}}\;$ constant » entraîne «$\;\mu _{s}={\dfrac {\vert R_{\tau ,\,c}\vert }{\vert R_{n}\vert }}\;$ sans unité et dépendant de l'adhérence de $\;({\mathcal {S}})\;$ sur $\;(\Sigma )\;$» encore égal à «$\;\mu _{s}={\dfrac {F_{m,\,c}}{\vert F_{p}\vert }}\;$».
$\;({\mathcal {S}})\;$
$\;(\Sigma )$
$\;R_{\tau }\;$
$\;R_{n}\;$
$\;{\vec {R}}\;$
$\;(\Sigma )\;$
$\;({\mathcal {S}})\;$
$\;\vert R_{\tau }\vert <\mu _{s}\;\vert R_{n}\vert \;$
$\;\mu _{s}>0\;$
$\;({\mathcal {S}})\;$
$\;(\Sigma )$
la composante tangentielle $\;{\vec {R}}_{\tau }\;$ étant toujours de direction et de sens contraire au mouvement de glissement susceptible de se produire.

### Rappel : loi empirique de Coulomb du frottement de glissement d’un solide en translation sur un autre solide dans le cas effectif de glissement

$6$
Le solide $\;({\mathcal {S}})\;$ a donc été « mis en mouvement sur le support solide $\;(\Sigma )\;$ par l'action d'une force tangentielle $\;{\vec {F}}_{m}\;$ suffisante pour faire glisser $\;({\mathcal {S}})\;$ sur $\;(\Sigma )\;$ suivant $\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}\;$», il s'en suit que
Le solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ a donc été « mis en mouvement sur le support solide $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ le support solide $\;(\Sigma )\;$ réagit en exerçant sur $\;({\mathcal {S}})\;$ ${\big$en plus de la composante normale de la réaction $\;{\vec {R}}_{n}\;$${\big ]}\;$ Le solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ a donc été « mis en mouvement sur le support solide $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ le support solide $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ réagit en exerçant sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ une « force de frottement solide$\;{\vec {R}}_{\tau }\;$s'opposant au mouvement » Le solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ a donc été « mis en mouvement sur le support solide $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ le support solide $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ réagit en exerçant sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ une « ${\big$c.-à-d. de même direction et de sens contraire à$\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}{\big ]}$ ;
Le solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ a donc été « mis en mouvement lors du glissement « le rapport $\;{\dfrac {\vert R_{\tau }\vert }{\vert R_{n}\vert }}\;$ reste constant », constante positive définissant le « cœfficient de frottement dynamique » noté $\;\mu _{d}\;$ Le solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ a donc été « mis en mouvement lors du glissement « le rapport $\;\color {transparent}{\vert R_{\tau }\vert }\;$ reste constant », constante positive toujours $\;\lesssim \;$ au cœfficient de frottement statique $\;\mu _{s}\;$ c.-à-d. «$\;\mu _{d}\lesssim \mu _{s}\;$», Le solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ a donc été « mis en mouvement ainsi, quand il y a glissement «$\;{\dfrac {\vert R_{\tau }\vert }{\vert R_{n}\vert }}=\mu _{d}\;$» sans unité et dépendant de la nature des deux solides en présence Le solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ a donc été « mis en mouvement ainsi, quand il y a glissement avec «$\;\mu _{d}\lesssim \mu _{s}={\dfrac {\vert R_{\tau ,\,c}\vert }{\vert R_{n}\vert }}\;$» ${\big$sans unité et dépendant de l'adhérence de $\;({\mathcal {S}})\;$ sur $\;(\Sigma ){\big ]}\;$ «$\;\mu _{s}\;$ encore égal à $\;{\dfrac {F_{m,\,c}}{\vert F_{p}\vert }}\;$».
Remarque : pour que le glissement démarre il est nécessaire de $\;F_{m}\;$ soit $\;>\;$ à $\;F_{m,\,c}$, Remarque : mais une fois le glissement amorcé $\;F_{m}\;$ peut devenir $\;<\;$ à $\;F_{m,\,c}$ sans que le glissement cesse ; Remarque : par contre si ce dernier s'arrête, il faudra de nouveau que $\;F_{m}\;$ soit $\;>\;$ à $\;F_{m,\,c}\;$ pour qu'il redémarre.
$\;({\mathcal {S}})\;$
$\;(\Sigma )$
$\;R_{\tau }\;$
$\;R_{n}\;$
$\;{\vec {R}}\;$
$\;(\Sigma )\;$
$\;({\mathcal {S}})\;$
$\;\vert R_{\tau }\vert =\mu _{d}\;\vert R_{n}\vert \;$
$\;\mu _{d}>0\;$
$\;({\mathcal {S}})\;$
$\;(\Sigma )$
la composante tangentielle $\;{\vec {R}}_{\tau }\;$ étant toujours de direction et de sens contraire au mouvement de glissement effectif.

### Approximation usuelle sur les cœfficients de frottement statique et dynamique

Comme on l'a affirmé précédemment le cœfficient de frottement dynamique $\;\mu _{d}\;$ est toujours inférieur au cœfficient de frottement statique $\;\mu _{s}\;$ soit
$\;\mu _{d}<\mu _{s}\;$
dans les cas les plus fréquents, ces cœfficients restant proches, on peut alors « les confondre »$^,$ et, dans ce cas, usuellement on pose
$\;f=\mu _{d}\simeq \mu _{s}$

### Étude du démarrage du glissement d'un système indéformable sur un support solide dans le cas où les cœfficients de frottement statique et dynamique sont suffisamment distincts

Supposons le solide $\;({\mathcal {S}})\;$ reposant initialement sur le plan support horizontal $\;(\Sigma )\;$ et supposons qu'on cherche à faire glisser $\;({\mathcal {S}})\;$ le long d'un axe horizontal $\;x'x\;$ du plan support $\;(\Sigma )\;$ dans le sens $\;+\;$ de cet axe supposons qu'on cherche à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ en exerçant sur $\;({\mathcal {S}})\;$ une force $\;{\vec {F}}_{m}\;$ horizontale dirigée dans le sens $\;+\;$ de l'axe $\;x'x$ ;
sur $\;({\mathcal {S}})\;$ s'exercent trois forces : $\succ \;$le poids de $\;({\mathcal {S}})\;$ ${\big$comme cette force est $\;\perp \;$ à $\;(\Sigma )\;$ elle s'identifie à la force pressante $\;{\vec {F}}_{p}\;$ tendant à la pénétration de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans $\;(\Sigma ){\big ]}\;$ soit sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ s'exercent trois forces : $\color {transparent}{\succ }\;$le poids de $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ $\;m_{({\mathcal {S}})}\;{\vec {g}}\;$ vertical descendant $\;{\big$on choisit alors $\;{\vec {n}}$, le vecteur unitaire normal à $\;(\Sigma )$, dans le sens vertical ascendant sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ s'exercent trois forces : $\color {transparent}{\succ }\;$le poids de $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ $\;\color {transparent}{m_{({\mathcal {S}})}\;{\vec {g}}}\;$ vertical descendant $\;{\big$pour que le sens de $\;{\vec {n}}\;$ soit dans le sens contraire de la force pressante${\big )}\;$ et par suite sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ s'exercent trois forces : $\color {transparent}{\succ }\;$le poids de $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ $\;\color {transparent}{m_{({\mathcal {S}})}\;{\vec {g}}}\;$ vertical descendant «$\;{\vec {F}}_{p}=-F_{p}\;{\vec {n}}\;$» se réécrit «$\;m_{({\mathcal {S}})}\;{\vec {g}}=-m_{({\mathcal {S}})}\;g\;\;{\vec {n}}\;$» avec «$\;F_{p}=m_{({\mathcal {S}})}\;g>0\;$»${\big ]}$,
sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ s'exercent trois forces : $\succ \;$la force $\;{\vec {F}}_{m}\;$ s'exerçant tangentiellement à $\;(\Sigma )$, plus exactement le long de l'axe horizontal $\;x'x\;$ dans le sens $\;+\;$ sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ s'exercent trois forces : $\color {transparent}{\succ }\;$la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ s'exerçant tangentiellement à $\;\color {transparent}{(\Sigma )}$, ${\big$on choisit alors $\;{\vec {\tau }}$, le vecteur unitaire tangentiel à $\;(\Sigma )$, dans le sens $\;+\;$ de $\;x'x\;$ sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ s'exercent trois forces : $\color {transparent}{\succ }\;$la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ s'exerçant tangentiellement à $\;\color {transparent}{(\Sigma )}$, $\;{\big$pour que le sens de $\;{\vec {\tau }}\;$ soit dans le sens de l'éventuel glissement${\big )}\;$ et par suite sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ s'exercent trois forces : $\color {transparent}{\succ }\;$la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ s'exerçant tangentiellement à $\;\color {transparent}{(\Sigma )}$, «$\;{\vec {F}}_{m}=F_{m}\;{\vec {\tau }}\;$» avec «$\;F_{m}>0\;$»${\big ]}\;$ et
sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ s'exercent trois forces : $\succ \;$la réaction $\;{\vec {R}}\;$ de $\;(\Sigma )\;$ sur $\;({\mathcal {S}})\;$ de composantes normale «$\;{\vec {R}}_{n}=R_{n}\;{\vec {n}}\;$» et tangentielle «$\;{\vec {R}}_{\tau }=R_{\tau }\;{\vec {\tau }}\;$» ${\big$encore appelée force de frottement solide${\big )}$ ;
la composante normale de la réaction $\;{\vec {R}}_{n}\;$ compensant le poids nous en déduisons «$\;R_{n}=m_{({\mathcal {S}})}\;g>0\;$» et,
$\blacktriangleright \;$tant que la force $\;{\vec {F}}_{m}\;$ n'a pas atteint la valeur critique correspondant au seuil d'adhérence, il n'y a pas glissement, la composante tangentielle de la réaction $\;{\vec {R}}_{\tau }\;$ compense alors $\;{\vec {F}}_{m}\;$ d'où $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$tant que la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ n'a pas atteint la valeur critique correspondant au seuil d'adhérence, il n'y a pas glissement, «$\;R_{\tau }=-F_{m}<0\;$» ${\big$la force de frottement solide dans le sens contraire $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$tant que la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ n'a pas atteint la valeur critique correspondant au seuil d'adhérence, il n'y a pas glissement, «$\;\color {transparent}{R_{\tau }=-F_{m}<0}\;$» $\color {transparent}{\big$la force de frottement solide du glissement possible${\big )}$ ; $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$tant que la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ n'a pas atteint la valeur critique correspondant au seuil d'adhérence, l'absence de glissement $\Rightarrow$ selon la loi empirique de Coulomb de frottement solide sans glissement, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$tant que la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ n'a pas atteint la valeur critique correspondant au seuil d'adhérence, l'absence de glissement $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\vert R_{\tau }\vert <\mu _{s}\;R_{n}\;$»$^,$ soit encore «$\;F_{m}<\mu _{s}\;m_{({\mathcal {S}})}\;g\;$» d'où $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$tant que la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{m}}\;$ n'a pas atteint la valeur critique correspondant au seuil d'adhérence, la force motrice critique permettant la mise en mouvement de $\;({\mathcal {S}})\;$ est de norme «$\;F_{m,\,c}=\mu _{s}\;m_{({\mathcal {S}})}\;g\;$» ;
$\blacktriangleright \;$notant $\;t=0\;$ l'instant où $\;F_{m}\;$ atteint sa valeur critique $\;F_{m,\,c}$, le glissement de $\;({\mathcal {S}})\;$ sur le plan support horizontal $\;(\Sigma )\;$ commence alors à $\;t=0^{+}\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$notant $\;\color {transparent}{t=0}\;$ l'instant où $\;\color {transparent}{F_{m}}\;$ atteint sa valeur critique $\;\color {transparent}{F_{m,\,c}}$, avec la composante normale de la réaction compensant toujours le poids de $\;({\mathcal {S}})\;$ soit «$\;R_{n}=m_{({\mathcal {S}})}\;g>0\;$» et $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$notant $\;\color {transparent}{t=0}\;$ l'instant où $\;\color {transparent}{F_{m}}\;$ atteint sa valeur critique $\;\color {transparent}{F_{m,\,c}}$, avec la composante tangentielle de la réaction déterminée par la loi empirique de Coulomb de frottement solide avec glissement $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$notant $\;\color {transparent}{t=0}\;$ l'instant où $\;\color {transparent}{F_{m}}\;$ atteint sa valeur critique $\;\color {transparent}{F_{m,\,c}}$, avec «$\;\vert R_{\tau }\vert =\mu _{d}\;R_{n}\;$»$^,$ ou encore «$\;\vert R_{\tau }\vert =\mu _{d}\;m_{({\mathcal {S}})}\;g\;$» avec «$\;R_{\tau }<0\;$» $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$notant $\;\color {transparent}{t=0}\;$ l'instant où $\;\color {transparent}{F_{m}}\;$ atteint sa valeur critique $\;\color {transparent}{F_{m,\,c}}$, avec «$\;\color {transparent}{\vert R_{\tau }\vert =\mu _{d}\;R_{n}}\;$» ${\big$la force de frottement solide étant toujours dans le sens contraire du glissement effectif${\big )}$, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$la projection sur $\;{\vec {u}}_{x}={\vec {\tau }}\;$ du théorème du mouvement du C.D.I. appliquée à $\;({\mathcal {S}})\;$ $\Rightarrow$ «$\;F_{m}+R_{\tau }=m_{({\mathcal {S}})}\;a_{({\mathcal {S}}),\,x}\;$» ou, avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l c l c l}F_{m}\!\!&=&\!\!F_{m,\,c}\!\!&=&\!\!\mu _{s}\;m_{({\mathcal {S}})}\;g\!\!&>&\!\!0\\R_{\tau }!\!&=&\!\!-\mu _{d}\;R_{n}\!\!&=&\!\!-\mu _{d}\;m_{({\mathcal {S}})}\;g\!\!&<&\!\!0\end{array}}\right\rbrace$, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$on obtient l'équation différentielle du mouvement de glissement de $\;({\mathcal {S}})\;$ selon «$\;\mu _{s}\;m_{({\mathcal {S}})}\;g-\mu _{d}\;m_{({\mathcal {S}})}\;g=m_{({\mathcal {S}})}\;a_{({\mathcal {S}}),\,x}\;$» soit finalement, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$on obtient une accélération horizontale constante pour $\;({\mathcal {S}})\;$ égale à «$\;a_{({\mathcal {S}}),\,x}=\left(\mu _{s}-\mu _{d}\right)\,g>0\;$» ;
$\blacktriangleright \;$ainsi, bien que l'on ait imposé la force minimale pour la mise en mouvement, le solide $\;({\mathcal {S}})\;$ a acquis une accélération non nulle dès $\;t=0^{+}$, d'autant plus grande que $\;\mu _{s}-\mu _{d}\;$ l'est $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ainsi, bien que l'on ait imposé la force minimale pour la mise en mouvement, ${\big$le solide subit donc une accélération possédant une discontinuité de 1ère espèce à l'instant du démarrage${\big ]}$.

## Angles limites de frottement statique et dynamique, autres énoncés des lois empiriques de Coulomb du frottement de glissement d’un solide en translation sur un autre solide dans le cas d’équilibre et dans celui de glissement

$6$

### Inclinaison de la réaction que le support solide exerce sur le système indéformable étudié relativement à la normale au support solide au point d’application de la réaction

$6$
Notant $\;\alpha \;$ l'inclinaison de la réaction $\;{\vec {R}}\;$ de $\;(\Sigma )\;$ sur $\;({\mathcal {S}})\;$ relativement au vecteur unitaire $\;{\vec {n}}\;$ normal à $\;(\Sigma )\;$ au point de contact de ce dernier avec $\;({\mathcal {S}})\;$, on en déduit «$\;\tan(\alpha )={\dfrac {\vert R_{\tau }\vert }{\vert R_{n}\vert }}\;$» ;
si on cherche à faire glisser $\;({\mathcal {S}})\;$ sur $\;(\Sigma )\;$ à l'aide d’une force tangentielle $\;{\vec {F}}_{m}\;$ dont on fait $\;\nearrow \;$ la norme à partir de la valeur nulle et si on cherche à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ tant que $\;({\mathcal {S}})\;$ reste en équilibre, il y a compensation entre $\;\blacktriangleright \;$la composante tangentielle $\;{\vec {R}}_{\tau }\;$ de la réaction avec $\;{\vec {F}}_{m}\;$ et si on cherche à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ tant que $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ reste en équilibre, il y a compensation entre $\;\blacktriangleright \;$la composante normale $\;{\vec {R}}_{n}\;$ de la réaction avec la force pressante $\;{\vec {F}}_{p}\;$ si on cherche à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ tant que $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ reste en équilibre, il y a compensation entre $\;\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$la composante normale $\;\color {transparent}{{\vec {R}}_{n}}\;$ de la réaction avec ${\big{\vec {F}}_{p}\;$ étant très souvent due au poids de $\;({\mathcal {S}}){\big ]}$ ;
si on cherche à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ tant que $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ reste en équilibre, si $\;R_{n}\;$ reste constante $\;{\big$réalisé si $\;F_{p}\;$ ne varie pas${\big )}$, l'angle $\;\alpha \nearrow \;$ simultanément avec la $\;\nearrow \;$ de $\;F_{m}$, c.-à-d. que si on cherche à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ tant que $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ reste en équilibre, si $\;\color {transparent}{R_{n}}\;$ reste constante $\;\color {transparent}{\big$réalisé si $\;\color {transparent}{F_{p}}\;$ ne varie pas$\color {transparent}{\big )}$, l'inclinaison de la réaction $\;{\vec {R}}\;$ si on cherche à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ tant que $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ reste en équilibre, si $\;\color {transparent}{R_{n}}\;$ reste constante $\;\color {transparent}{\big$réalisé si $\;\color {transparent}{F_{p}}\;$ ne varie pas$\color {transparent}{\big )}$, l'inclinaison par rapport à la normale à $\;(\Sigma )\;$ au point de contact $\;\nearrow \;$ si on cherche à faire glisser $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ tant que $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ reste en équilibre, si $\;\color {transparent}{R_{n}}\;$ reste constante $\;\color {transparent}{\big$réalisé si $\;\color {transparent}{F_{p}}\;$ ne varie pas$\color {transparent}{\big )}$, l'angle $\;\color {transparent}{\alpha \nearrow }\;$ simultanément à la $\;\nearrow \;$ de $\;F_{m}\;$.

### Angle limite de frottement statique et angle limite de frottement dynamique

$6$
Tant que $\;F_{m}=\Vert {\vec {F}}_{m}\Vert \;$ tentant de créer un glissement de $\;({\mathcal {S}})\;$ sur $\;(\Sigma )\;$ n'a pas atteint sa valeur critique $\;F_{m,\,c}\;$ correspondant au seuil d’adhérence, l'équilibre de$\;({\mathcal {S}})\;$sur$\;(\Sigma )\;$perdure ; dans ce cas
l’inclinaison$\;\alpha \;$de la réaction$\;{\vec {R}}\;$par rapport à la normale à$\;(\Sigma )\;$au point de contact est$\;<\;$à une inclinaison limite définissant l'« angle limite de frottement statique » noté $\;\varphi _{s}$, d'où l’inclinaison$\;\color {transparent}{\alpha }\;$de la réaction$\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$par rapport à la normale à$\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$au point de contact est$\;\color {transparent}{<}\;$à une inclinaison limite la condition de non glissement «$\;\alpha <\varphi _{s}\;$»,
l’inclinaison$\;\color {transparent}{\alpha }\;$de la réaction$\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$par rapport à la normale à$\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$au point de contact est$\;\color {transparent}{<}\;$à une inclinaison limite l'angle limite de frottement statique $\;\varphi _{s}\;$ étant lié au cœfficient de frottement statique $\;\mu _{s}\;$ l’inclinaison$\;\color {transparent}{\alpha }\;$de la réaction$\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$par rapport à la normale à$\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$au point de contact est$\;\color {transparent}{<}\;$à une inclinaison limite l'angle limite de frottement stat par «$\;\varphi _{s}=\arctan(\mu _{s})\;$» ou «$\;\mu _{s}=\tan(\varphi _{s})\;$».
Pour que la mise en mouvement de $\;({\mathcal {S}})\;$ se produise, il faut que l'inclinaison $\;\alpha \;$ de la réaction $\;{\vec {R}}\;$ relativement à la normale à $\;(\Sigma )\;$ au point de contact atteigne la valeur limite $\;\varphi _{s}\;$ et,
Pour que la mise en mouvement de $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ se produise, dès que le glissement commence, l'inclinaison$\;\alpha \;$de la réaction$\;{\vec {R}}\;$relativement à la normale à$\;(\Sigma )\;$au point de contact Pour que la mise en mouvement de $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ se produise, dès que le glissement commence, l'inclinaison$\;\color {transparent}{\alpha }\;$chute à une nouvelle inclinaison limite définissant l'« angle limite de frottement dynamique$\;\varphi _{d}\;$» Pour que la mise en mouvement de $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ se produise, dès que le glissement commence, l'inclinaison$\;\color {transparent}{\alpha }\;$chute à une nouvelle inclinaison limite d'où la condition de glissement «$\;\alpha =\varphi _{d}<\varphi _{s}\;$»,
Pour que la mise en mouvement de $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ se produise, dès que le glissement commence, l'inclinaison$\;\color {transparent}{\alpha }\;$chute à une nouvelle inclinaison limite d'où l'angle limite de frottement dynamique $\;\varphi _{d}\;$ étant lié Pour que la mise en mouvement de $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ se produise, dès que le glissement commence, l'inclinaison$\;\color {transparent}{\alpha }\;$chute à une nouvelle inclinaison limite d'où au cœfficient de frottement dynamique $\;\mu _{d}\;$ par Pour que la mise en mouvement de $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ se produise, dès que le glissement commence, l'inclinaison$\;\color {transparent}{\alpha }\;$chute à une nouvelle inclinaison limite l'angle limite de frottement «$\;\varphi _{d}=\arctan(\mu _{d})\;$»$^,$ Pour que la mise en mouvement de $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ se produise, dès que le glissement commence, l'inclinaison$\;\color {transparent}{\alpha }\;$chute à une nouvelle inclinaison limite l'angle limite de frottement ou «$\;\mu _{d}=\tan(\varphi _{d})\;$».

### Autre énoncé de la loi empirique de Coulomb du frottement de glissement d’un solide en translation sur un autre solide dans le cas d’équilibre

$\;({\mathcal {S}})\;$
$\;(\Sigma )$
$\;{\vec {R}}\;$
$\;(\Sigma )\;$
$\;({\mathcal {S}})\;$
$\;(\Sigma )\;$
$\;\alpha \;$
$\;\alpha <\varphi _{s}\;$
$\;\varphi _{s}>0\;$
$\;({\mathcal {S}})\;$
$\;(\Sigma )$
la réaction $\;{\vec {R}}\;$ étant toujours dans « le plan contenant la normale et la direction du glissement susceptible de se produire, inclinée de sens contraire à ce dernier ».

### Autre énoncé de la loi empirique de Coulomb du frottement de glissement d’un solide en translation sur un autre solide dans le cas effectif de glissement

$\;({\mathcal {S}})\;$
$\;(\Sigma )$
$\;{\vec {R}}\;$
$\;(\Sigma )\;$
$\;({\mathcal {S}})\;$
$\;(\Sigma )\;$
$\;\alpha \;$
$\;\alpha =\varphi _{d}\;$
$\;\varphi _{d}>0\;$
$\;({\mathcal {S}})\;$
$\;(\Sigma )$
la réaction $\;{\vec {R}}\;$ étant toujours dans « le plan contenant la normale et la direction du glissement effectif, inclinée de sens contraire à ce dernier ».

### Notion de cône limite de frottement statique et de cône limite de frottement dynamique

$6$
Dans la mesure où $\;({\mathcal {S}})\;$ reste en équilibre sur $\;(\Sigma )$, la réaction$\;{\vec {R}}\;$ de $\;(\Sigma )\;$ sur $\;({\mathcal {S}})\;$ étant inclinée relativement à la normale à $\;(\Sigma )\;$ en son point d’application $\;I\;$ d'un angle non orienté $\;\alpha <\varphi _{s}\;$ avec $\;\varphi _{s}\;$ angle limite de frottement statique, « reste strictement à l'intérieur d'un cône de révolution de sommet $\;I$, d’axe “la normale à $\;(\Sigma )\;$ en $\;I$” et de demi-angle au sommet $\;\varphi _{s}\;$», cône appelé « cône limite de frottement statique » et caractérisant l’adhérence de $\;({\mathcal {S}})\;$ sur $\;(\Sigma )\;$ en $\;I$.
Dans la mesure où $\;({\mathcal {S}})\;$ glisse sur $\;(\Sigma )$, la réaction $\;{\vec {R}}\;$ de $\;(\Sigma )\;$ sur $\;({\mathcal {S}})\;$ étant inclinée relativement à la normale à $\;(\Sigma )\;$ en son point d’application $\;I\;$ d'un angle non orienté $\;\alpha =\varphi _{d}\;$ avec $\;\varphi _{d}\;$ angle limite de frottement dynamique, « reste sur un cône de révolution de sommet $\;I$, d’axe “la normale à $\;(\Sigma )\;$ en $\;I$” et de demi-angle au sommet $\;\varphi _{d}\;$», cône appelé « cône limite de frottement dynamique » et caractérisant le collé relativement au glissé de $\;({\mathcal {S}})\;$ sur $\;(\Sigma )\;$ en $\;I$.
De $\;\varphi _{d}<\varphi _{s}\;$ on déduit que le cône limite de frottement dynamique est inclus dans celui de frottement statique, la mise en mouvement se traduisant par le passage instantané de la réaction $\;{\vec {R}}\;$ de $\;(\Sigma )\;$ sur $\;({\mathcal {S}})\;$ de la surface du cône limite de frottement statique à celle du cône limite de frottement dynamique en restant dans un même demi-plan méridien ;
De $\;\color {transparent}{\varphi _{d}<\varphi _{s}}\;$ on déduit que lors d'un démarrage il y a donc un léger redressement instantané de$\;{\vec {R}}$, l'inclinaison de cette dernière restant constante par la suite.
Remarque : dans les cas les plus fréquents où on peut confondre $\;\varphi _{d}\;$ et $\;\varphi _{s}$, de valeur commune notée $\;\varphi \;$ et simplement appelée « angle limite de frottement », cet angle limite étant lié au cœfficient de frottement solide $\;f=\mu _{d}\simeq \mu _{s}\;$ par $\;\varphi =\arctan(f)\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\tan(\varphi )=f$, les deux cônes limites de frottement statique et dynamique se confondent également et le cône commun est simplement appelé « cône limite de frottement ».

## Méthode de traitement d’une liaison « unilatérale (ou bilatérale) » avec frottement

$\;{\mathfrak {1}}$. Faire l'hypothèse d'équilibre de $\;({\mathcal {S}})\;$ sur $\;(\Sigma )$,
$\;{\mathfrak {2}}$. utiliser la C.N. d’équilibre pour évaluer les composantes normale et tangentielle de la réaction puis
$\;{\mathfrak {3}}$. valider $\;{\big$ou non${\big )}\;$ l’hypothèse d'équilibre par vérification $\;{\big$ou non${\big )}\;$ de la loi empirique de Coulomb du frottement sans glissement d’un solide sur un autre ;
$\;{\mathfrak {4}}$. dans le cas où l’hypothèse d’équilibre ne serait pas vérifiée, le solide $\;({\mathcal {S}})\;$ est alors en translation sur l'autre $\;(\Sigma )$, faire l'hypothèse de glissement dans un sens,
$\;{\mathfrak {5}}$. utiliser la loi empirique de Coulomb du frottement avec glissement d’un solide sur un autre pour exprimer la norme de la composante tangentielle de la réaction en fonction de celle de la composante normale puis
$\;{\mathfrak {6}}$. utiliser le théorème du mouvement du C.D.I.$^,$ pour en déduire, en tenant compte des C.I. la vitesse de glissement du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ sur $\;(\Sigma )\;$ ${\big$dans les cas usuels où $\;(\Sigma )\;$ est plan, la norme de la composante normale de la réaction ne dépend pas de la vitesse de glissement, ce qui simplifie fortement la détermination de cette dernière mais, dans les cas où $\;(\Sigma )\;$ n'est pas plan, la norme de la composante normale de la réaction dépendant de la vitesse de glissement, la détermination de cette dernière se complique et peut même nécessiter une résolution numérique par calculateur$\;\ldots {\big ]}\;$ et enfin
$\;{\mathfrak {7}}$. valider $\;{\big$ou non${\big )}\;$ le sens du glissement $\;{\big$on rappelle que la vitesse doit être de sens contraire à la composante tangentielle de la réaction${\big ]}$ ;
$\;{\mathfrak {8}}$. dans le cas où le sens de glissement ne serait pas le bon, refaire le traitement en inversant le sens du glissement $\;\ldots$