# Signaux physiques - bis (PCSI)/Filtrage linéaire : gabarit d'un filtre, 2ème partie
## Définition du gabarit d'un filtre

Voir le paragraphe « Définition du gabarit d'un filtre » du chap.$8$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».

## Établissement du gabarit d'un 1er ordre fondamental, condition pour l'utiliser en moyenneur ou en intégrateur

Voir le paragraphe « Établissement du gabarit d'un 1er ordre fondamental, condition pour l'utiliser en moyenneur ou en intégrateur » du chap.$8$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».

## Établissement du gabarit d'un 1er ordre non fondamental à transfert statique nul, condition pour l'utiliser en dérivateur

Voir le paragraphe « Établissement du gabarit d'un 1er ordre non fondamental à transfert statique nul, condition pour l'utiliser en dérivateur » du chap.$8$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».

## Établissement du gabarit d'un 2ème ordre du type « réponse en intensité d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante », condition pour l'utiliser en dérivateur, intégrateur ou sélecteur d'harmonique

Voir le paragraphe « Établissement du gabarit d'un 2ème ordre du type “ réponse en intensité d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante ”, condition pour l'utiliser en dérivateur, intégrateur ou sélecteur d'harmonique » du chap.$8$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».

## Établissement du gabarit d'un 2ème ordre du type « réponse en charge d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante », condition pour l'utiliser en moyenneur ou double intégrateur

Voir le paragraphe « Établissement du gabarit d'un 2ème ordre du type “ réponse en charge d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante ”, condition pour l'utiliser en moyenneur ou double intégrateur » du chap.$8$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».

## Établissement du gabarit d'un 2ème ordre du type « réponse en tension aux bornes de la bobine parfaite d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante », condition pour l'utiliser en double dérivateur

Voir le paragraphe « Établissement du gabarit d'un 2ème ordre du type “ réponse en tension aux bornes de la bobine parfaite d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante ”, condition pour l'utiliser en double dérivateur » du chap.$8$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».

## En complément, établissement du gabarit d'un 2ème ordre du type « réponse en tension aux bornes de l'ensemble bobine parfaite et condensateur d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante », condition pour l'utiliser en réjecteur d'un harmonique

Voir le paragraphe « Établissement du gabarit d'un 2ème ordre du type “ réponse en tension aux bornes de l'ensemble bobine parfaite et condensateur d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante ”, condition pour l'utiliser en réjecteur d'un harmonique » du chap.$8$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».

## Mise en cascade de filtres et intérêt de réaliser des filtres à faible impédance de sortie et forte impédance d'entrée

L'avantage de monter des filtres en cascade c'est de permettre de cumuler les propriétés de chaque filtre mais il faut être prudent dans leur montage et respecter les règles suivantes $\;{\big$règles exposées dans le cas où les fonctions de transfert sont les amplifications complexes en tension${\big )}$ :
* l'impédance de sortie du dernier étage doit être très faible de façon à ce que la charge sur laquelle il est branché ne modifie quasiment pas la tension de sortie $\;{\big$impédance de sortie faible $\Rightarrow$ tension de sortie $\;\simeq \;$ tension de sortie à vide par chute ohmique aux bornes de l'impédance de sortie quasi nulle${\big )}\;$ et par suite la fonction de transfert de ce dernier étage est pratiquement celle en sortie ouverte ;
* l'impédance d'entrée du dernier étage doit être très grande de façon à ce que l'avant dernier étage étant fermé sur une charge d'impédance quasi infinie, la fonction de transfert de cet avant dernier étage soit quasi fixée égale à sa fonction de transfert à vide ;
* l'impédance d'entrée de tous les étages $\;{\big$à l'exception du 1er pour lequel la condition n'est pas nécessaire${\big )}\;$ doit être grande pour la même raison que précédemment et ainsi la fonction de transfert de « tous les étages » $\;{\big$y compris le 1er${\big )}\;$ est quasi fixée égale à sa fonction de transfert à vide ;
* dans ces conditions la fonction de transfert globale est le produit des fonctions de transfert individuelles $\;{\big\simeq \;$à vide donc calculables indépendamment des autres étages${\big )}$.
Remarque : on rappelle un autre cas où la fonction de transfert globale est le produit des fonctions de transfert individuelles, c'est le cas où les étages sont identiques et que chaque étage de la chaîne d'étages successifs est fermé sur l'« impédance itérative » de chacun des étages.

## Étude du filtrage linéaire d'un signal non sinusoïdal à partir de son spectre

Préliminaire : A priori le signal n'est pas nécessairement périodique, mais seuls les signaux périodiques sont au programme de physique de P.C.S.I. ; Préliminaire : cette étude ayant déjà été présentée en détails avec des signaux périodiques non sinusoïdaux pour valider la construction des divers gabarits considérés dans le chap.$8$ intitulé « Filtrage linéaire : gabarit d'un filtre, 1ère partie » de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) », nous ne faisons que rappeler le principe d'étude ci-dessous :
Rappel du principe d'étude lors du filtrage d'un signal périodique non sinusoïdal :
* faire l'analyse de Fourier du signal d'entrée c.-à-d. déterminer sa « représentation fréquentielle $\;\left\lbrace C_{0,\,E}\;;\;{\underline {C_{p,\,e}}},\;p\in \mathbb {N} ^{*}\right\rbrace \;$»$^,$ en utilisant les « connaissances » ou un logiciel de calcul,
* déterminer la « réponse fréquentielle du filtre linéaire au signal d'entrée $\;\left\lbrace C_{0,\,S}\;;\;{\underline {C_{p,\,s}}},\;p\in \mathbb {N} ^{*}\right\rbrace \;$» à l'aide de la représentation fréquentielle du signal d'entrée et de la fonction de transfert $\;{\underline {H}}(j\,2\,\pi \,f)\;$ du filtre selon «$\;C_{0,\,S}=H_{0}\;C_{0,\,E}\;$» et «$\;{\underline {C_{p,\,s}}}={\underline {H}}(j\,2\,\pi \,p\,f_{e})\;{\underline {C_{p,\,e}}}\;$ pour $\;p\in \mathbb {N} ^{*}\;$» ;
* faire la synthèse de Fourier du signal de sortie c.-à-d. utiliser un logiciel de calcul pour ajouter tous les harmoniques permettant d'obtenir la réponse temporelle du filtre à partir de sa réponse fréquentielle.
Prolongement du principe d'étude lors du filtrage d'un signal non périodique $\;{\big$traité en complément${\big )}\;$ :
* la décomposition en série de Fourier est remplacée par la « décomposition en intégrale de Fourier », la « représentation fréquentielle du signal d'entrée étant $\;\left\lbrace C_{0,\,E}\;;\;{\underline {\widehat {e}}}(\omega ),\;\forall \;\omega \,\in \,\mathbb {R} ^{*}\right\rbrace \;$»,
* la détermination de la « réponse fréquentielle du filtre linéaire au signal d'entrée $\;\left\lbrace C_{0,\,S}\;;\;{\underline {\widehat {s}}}(\omega ),\;\forall \;\omega \,\in \,\mathbb {R} ^{*}\right\rbrace \;$» à partir de la fonction de transfert $\;{\underline {H}}(j\,\omega )\;$ du filtre et de la représentation fréquentielle du signal d'entrée se fait exactement de la même façon, on obtient «$\;C_{0,\,S}=H_{0}\;C_{0,\,E}\;$» et «$\;{\underline {\widehat {s}}}(\omega )={\underline {H}}(j\,\omega )\;{\underline {\widehat {e}}}(\omega ),\;\forall \;\omega \,\in \,\mathbb {R} ^{*}\;$»,
* enfin connaissant la réponse fréquentielle du filtre on utilise la transformation de Fourier inverse pour en déduire la réponse temporelle $\;s(t)\;$ du filtre au signal d'entrée $\;e(t)\;\ldots$

## Retour sur la réponse d'un système linéaire à un échelon, notion de réponse indicielle
### Rappel : détermination de l'équation différentielle du système linéaire à partir de la fonction de transfert harmonique de ce dernier

Revoir le chap.$6$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » par exemples les paragraphes Revoir $\succ \;$« réponse fréquentielle d'un système linéaire du 1er ordre fondamental à un signal sinusoïdal de pulsation ω (équation différentielle en y$_s$) » ou Revoir $\succ \;$« réponse fréquentielle d'un système linéaire du 1er ordre non fondamental avec transfert statique nul à un signal sinusoïdal de pulsation ω (équation différentielle en y$_s$) » ou encore revoir le chap.$7$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » par exemple le paragraphe Revoir $\succ \;$« réponse fréquentielle d'un système linéaire du 2ème ordre “ du type réponse en u$_R$ d'un R L C série soumis à une tension de valeur efficace constante ” à un signal sinusoïdal de pulsation ω (équation différentielle en y$_s$) » ;
le principe de la détermination de l'équation différentielle à partir de la fonction de transfert étant le même quel que soit l'ordre et quel que soit son « type », sa méthode est rappelée ci-dessous :
* imposer une entrée $\;x_{e}(t)\;$ sinusoïdale de pulsation $\;\omega \;$ et chercher la réponse sinusoïdale forcée $\;y_{s}(t)\;$ en se plaçant en électricité « complexe » associée au r.s.f. pour en déduire la fonction de transfert harmonique correspondante $\;{\underline {H}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {y_{s}}}(t)}{{\underline {x_{e}}}(t)}}={\dfrac {{\underline {N}}(j\,\omega )}{{\underline {D}}(j\,\omega )}}\;$ mise sous forme de quotient irréductible de polynômes en $\;j\,\omega$, le polynôme du dénominateur $\;{\underline {D}}(j\,\omega )\;$ étant normalisé,
* en déduire l'égalité du produit des extrêmes et des moyens $\;{\underline {D}}(j\,\omega )\left\lbrace {\underline {y_{s}}}(t)\right\rbrace ={\underline {N}}(j\,\omega )\left\lbrace {\underline {x_{e}}}(t)\right\rbrace \;$ et remplacer la « multiplication par $\;\left(j\,\omega \right)^{n}\;$» par la « dérivation temporelle d'ordre n », on obtient alors l'« équation différentielle » en $\;{\underline {y_{s}}}(t)\;$ en régime complexe associé au r.s.f. mais $\;\ldots$
* l'équation différentielle étant indépendante de la forme de l'excitation, c'est encore l'équation différentielle en $\;y_{S}(t)\;$ avec une entrée $\;x_{E}(t)=E\;Y(t)\;$ ou $\;x_{E}(t)=I_{0}\;Y(t)\;$ suivant que l'échelon d'entrée est une tension ou une intensité : dans le 2nd membre «$\;{\underline {x_{e}}}(t)\;$ est remplacé par $\;E\;Y(t)\;$ », «$\;{\dot {\underline {x}}}_{e}(t)\;$ par $\;E\;\delta (t)\;$ », «$\;{\ddot {\underline {x}}}_{e}(t)\;$ par $\;E\;{\dot {\delta }}(t)\;$ ».

### Rappel sur la résolution de l'équation différentielle en la réponse du système linéaire soumis à un échelon d'excitation, introduction de la réponse indicielle d'un filtre

Revoir le chap.$26$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » par exemples les paragraphes Revoir $\succ \;$« recherche de la réponse en tension aux bornes du condensateur d'un “ R C série ” soumis à un échelon de tension » pour un 1er ordre fondamental ou Revoir $\succ \;$« réponse en intensité de courant traversant le condensateur d'un “ R C série ” soumis à un échelon de tension » pour un 1er ordre non fondamental à trasfert statique nul ou encore revoir le chap.$1$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » par exemples les paragraphes Revoir $\succ \;$« établissement de la réponse en tension u$_C$(t) aux bornes du condensateur d'un “ R L C série ” soumis à un échelon tension, réduction canonique du “ R L C série ” (pulsation propre, cœfficient d'amortissement ou facteur de qualité), régime libre, réponse forcée (ou permanente), réponse transitoire » pour un 2ème ordre « du type réponse en charge d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » ou Revoir $\succ \;$« établissement de la réponse en intensité i(t) du courant traversant le “ R L C série ” soumis à un échelon tension, réduction canonique, régime libre, absence de réponse forcée (ou permanente), réponse transitoire » pour un 2ème ordre « du type réponse en intensité du courant traversant le conducteur ohmique d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » ou encore Revoir $\succ \;$« établissement de la réponse en tension u$_L$(t) aux bornes de la bobine (parfaite) du “ R L C série ” soumis à un échelon tension, réduction canonique, régime libre, absence de réponse forcée (ou permanente), réponse transitoire » pour un 2ème ordre « du type réponse en tension aux bornes de la bobine parfaite d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » ;
le principe de la résolution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène $\;{\big$ou homogène${\big )}$ pour $\;t>0$ $\;{\big \$l'excitation résultant de l'imposition d'un échelon de tension $\;{\big$ou de courant${\big )}\;$ au circuit${\big \}$, est le même quel que soit l'ordre et quel que soit son « type », sa méthode étant rappelée ci-dessous :
* déterminer la solution libre par résolution de l'équation caractéristique,
* écrire l'équation différentielle pour $\;t>0\;$ et, dans le cas où le 2nd membre ne serait pas nul, déterminer la réponse forcée $\;{\big$c.-à-d. sous forme d'une constante car de même forme que l'excitation${\big )}$,
* déterminer la $\;{\big$ou les${\big )}\;$ C.I. suivant l'« ordre » de l'équation différentielle linéaire et le « numéro d'espèce de la discontinuité de l'excitation » sachant que ce dernier se reporte sur la plus « haute » dérivée temporelle de la réponse et qu'il diminue de une unité à chaque intégration $\;{\big$au sens des distributions${\big )}\;$ avec effet de stagnation au numéro « zéro » ; en conséquence, pour une équation différentielle du 2ème ordre, $\;\succ \;$ si $\;y_{S}(t)\;$ et $\;{\dot {y_{S}}}(t)\;$ sont continues en $\;t=0$, utiliser les connaissances de continuité de tension aux bornes d'un condensateur et d'intensité de courant traversant une bobine dans un circuit « réel »$^,$ pour le justifier, $\;\succ \;$ si $\;y_{S}(t)\;$ est continue et $\;{\dot {y_{S}}}(t)\;$ discontinue de 1ère espèce en $\;t=0\;$, utiliser les connaissances de continuité de tension aux bornes d'un condensateur ou d'intensité de courant traversant une bobine dans un circuit « réel » pour $\;y_{S}(t)\;$ puis celles des deux continuités évoquées précédemment pour construire le circuit à $\;0^{+}\;$ permettant de déterminer $\;{\dot {y_{S}}}(0^{+})$, $\;\succ \;$ si $\;y_{S}(t)\;$ est discontinue de 1ère espèce et $\;{\dot {y_{S}}}(t)\;$ discontinue de 2ème espèce en $\;t=0\;$, utiliser les connaissances de continuité de tension aux bornes d'un condensateur et d'intensité de courant traversant une bobine dans un circuit « réel » pour construire le circuit à $\;0^{+}\;$ permettant de déterminer $\;y_{S}(0^{+})$ et « intégrer l'équation différentielle écrite pour tout $\;t\;$ entre $\;0^{-}\;$ et $\;0^{+}\;$ pour déterminer $\;{\dot {y_{S}}}(0^{+})\;$»,
* la réponse « transitoire » étant la somme de la réponse libre et de l'éventuelle réponse forcée, utiliser la $\;{\big$ou les${\big )}\;$ C.I. pour déterminer la $\;{\big$ou les${\big )}\;$ constante(s) d'intégration, et par suite obtenir la « réponse temporelle du filtre à l'échelon d'excitation ».
En conclusion, en notant «$\;y_{\text{indicielle}}(t)\;$ la réponse indicielle du filtre », « la réponse temporelle du filtre à l'échelon d'excitation d'amplitude $\;E\;$ s'écrit $\;y_{S}(t)=E\;y_{\text{indicielle}}(t)\;$».

### Lien entre la fonction de transfert harmonique du filtre et les propriétés de sa réponse indicielle

* l'existence d'un transfert statique $\;H_{0}\neq 0\;$ ${\big$c.-à-d. un filtre de type « passe-bas »${\big ]}\;$ correspond à la présence d'une composante permanente dans la réponse indicielle, cette composante étant la réponse forcée $\;H_{0}\times 1\;$ ou encore «$\;y_{{\text{indicielle}},\,f}=H_{0}\times 1=\lim \limits _{\omega \,\rightarrow \,0}\!\left\lbrace {\underline {H}}(j\,\omega )\times 1\right\rbrace \;$» ;
* l'absence d'un transfert H.F. $\;\lim \limits _{\omega \,\rightarrow \,\infty }\!\left\lbrace {\underline {H}}(j\,\omega )\right\rbrace =0\;$ ${\big$c.-à-d. un filtre de type « passe-bas » du 1er ordre $\;{\big$uniquement le « fondamental »${\big )}\;$ ou de type « passe-bas ou passe-bande » du 2ème ordre${\big ]}\;$ correspond à la continuité de la réponse indicielle en $\;t=0\;$ ${\Big$en effet l'absence de transfert H.F. nécessitant que le degré de $\;{\underline {N}}(j\,\omega )\;$ soit inférieur d'au moins une unité au degré de $\;{\underline {D}}(j\,\omega )$, il s'en suit que le « numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation au plus égal à l'ordre de l'équation différentielle » se reporte sur la dérivée temporelle la plus « haute » de la réponse avec diminution d'une unité à chaque intégration, et par suite que le numéro « zéro » d'espèce de discontinuité est atteint pour la réponse $\;{\big$dans le cas où le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation est au plus égal à l'ordre de l'équation différentielle${\big )}\;$ ou pour sa dérivée temporelle $\;{\big$dans le cas où le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation est au plus inférieur de une unité à l'ordre de l'équation différentielle${\big )}\;$ ce qui entraîne nécessairement que la réponse est elle-même discontinue de « 0ème espèce » c.-à-d. continue${\Big ]}\;$ et ceci se traduit mathématiquement sous la forme «$\;y_{\text{indicielle}}(0^{+})=\lim \limits _{\omega \,\rightarrow \,\infty }\!\left\lbrace {\underline {H}}(j\,\omega )\times 1\right\rbrace =0\;$», le système étant initialement au repos ;
* l'existence d'un transfert H.F. $\;\lim \limits _{\omega \,\rightarrow \,\infty }\!\left\lbrace {\underline {H}}(j\,\omega )\right\rbrace \neq 0\;$ ${\big$c.-à-d. un filtre de type « passe-haut » du 1er ordre $\;{\big$sans ou avec transfert statique${\big )}\;$ ou de type « passe-haut ou coupe-bande » du 2ème ordre${\big ]}\;$ correspond à la discontinuité de 1ère espèce de la réponse indicielle en $\;t=0\;$ ${\Big$en effet la présence de transfert H.F. nécessitant que le degré de $\;{\underline {N}}(j\,\omega )\;$ soit égal au degré de $\;{\underline {D}}(j\,\omega )$, il s'en suit que le « numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation plus grand d'une unité que l'ordre de l'équation différentielle » se reporte sur la dérivée temporelle la plus « haute » de la réponse avec diminution d'une unité à chaque intégration, et par suite que le numéro « un » d'espèce de discontinuité est atteint pour la réponse${\Big ]}\;$ et ceci se traduit mathématiquement sous la forme «$\;y_{\text{indicielle}}(0^{+})=\lim \limits _{\omega \,\rightarrow \,\infty }\!\left\lbrace {\underline {H}}(j\,\omega )\times 1\right\rbrace \neq 0\;$», le système étant initialement au repos ;
* l'absence d'un transfert H.F. pour la fonction de transfert “ dérivée ” $\;\lim \limits _{\omega \,\rightarrow \,\infty }\!\left\lbrace j\,\omega \;{\underline {H}}(j\,\omega )\right\rbrace =0\;$ ${\big$c.-à-d. un filtre de type « passe-bas » du 2ème ordre${\big ]}\;$ correspond à la continuité de la dérivée temporelle de la réponse indicielle en $\;t=0\;$ ${\Big$en effet l'absence de transfert H.F. pour la fonction de transfert “ dérivée ” nécessitant que le degré de $\;{\underline {N}}(j\,\omega )\;$ soit égal au degré de $\;{\underline {D}}(j\,\omega )\;$ diminué de deux unités, il s'en suit que le « numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation égal à l'ordre de l'équation différentielle diminué d'une unité » se reporte sur la dérivée temporelle la plus « haute » de la réponse avec diminution d'une unité à chaque intégration, et par suite que le numéro « zéro » d'espèce de discontinuité est atteint pour la dérivée temporelle de la réponse${\Big ]}\;$ et ceci se traduit mathématiquement sous la forme «$\;{\dfrac {dy_{\text{indicielle}}}{dt}}(0^{+})=\lim \limits _{\omega \,\rightarrow \,\infty }\!\left\lbrace j\,\omega \;{\underline {H}}(j\,\omega )\times 1\right\rbrace =0\;$», le système étant initialement au repos ;
* l'existence d'un transfert H.F. pour la fonction de transfert “ dérivée ” $\;\lim \limits _{\omega \,\rightarrow \,\infty }\!\left\lbrace j\,\omega \;{\underline {H}}(j\,\omega )\right\rbrace \neq 0\;$ ${\big$c.-à-d. par exemple un filtre de type « passe-bande » du 2ème ordre${\big ]}\;$ correspond à la discontinuité de 1ère espèce de la dérivée temporelle de la réponse indicielle en $\;t=0\;$ ${\Big$en effet la présence de transfert H.F. pour la fonction de transfert “ dérivée ” nécessitant que le degré de $\;{\underline {N}}(j\,\omega )\;$ soit égal au degré de $\;{\underline {D}}(j\,\omega )\;$ diminué d'une unité, il s'en suit que le « numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation égal à l'ordre de l'équation différentielle » se reporte sur la dérivée temporelle la plus « haute » de la réponse avec diminution d'une unité à chaque intégration, et par suite que le numéro « un » d'espèce de discontinuité est atteint pour la dérivée temporelle de la réponse${\Big ]}\;$ et ceci se traduit mathématiquement sous la forme «$\;{\dfrac {dy_{\text{indicielle}}}{dt}}(0^{+})=\lim \limits _{\omega \,\rightarrow \,\infty }\!\left\lbrace j\,\omega \;{\underline {H}}(j\,\omega )\times 1\right\rbrace \neq 0\;$», le système étant initialement au repos.
Avantage de ces propriétés : rapidité d'obtention de la réponse indicielle uniquement à partir de la fonction de transfert « sans qu'il soit utile d'écrire l'équation différentielle ni de la résoudre » $\;\ldots$

## Exemple de filtrage non linéaire : redressement simple ou double alternance et propriétés d'un filtre non linéaire « enrichissement du spectre »
### Redresseur simple alternance
#### Définition d'un redresseur simple alternance

Un redresseur simple alternance positif est un quadripôle pour lequel $\;u_{S}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}u_{E}(t)\;\;{\text{si }}\;u_{E}(t)>0\\0\qquad \;\,{\text{si }}\;u_{E}(t)<0\end{array}}\right\rbrace \;$ et Un redresseur simple alternance négatifest un quadripôlepour lequel $\;u_{S}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\qquad \;\,{\text{si }}\;u_{E}(t)>0\\u_{E}(t)\;\;{\text{si }}\;u_{E}(t)<0\end{array}}\right\rbrace$.

#### Tentative de réalisation pratique d'un redresseur simple alternance

À l'aide d'une diode à jonction $\;{\big$voir schéma ci-contre pour obtenir un redressement simple alternance « positif »${\big )}$, la tension de seuil de la diode étant «$\;U_{\text{seuil}}\simeq 0,6\,V\;$» et la résistance dynamique dans le sens passant «$\;r_{d}\simeq 1\,\Omega \;$», la résistance de la charge $\;R_{u}\;$ étant choisie « de façon à être grande devant $\;r_{d}\;$» et « telle que l'intensité du courant traversant la diode soit inférieure à son maximum toléré $\;I_{{\text{max}},\,d}\simeq 150\,mA\;$ » ;
l'amplitude du signal d'entrée pouvant atteindre $\;10\,V$, nous calculons la valeur minimale de la résistance d'utilisation pour que l'amplitude de l'intensité du courant dans le circuit ne dépasse pas $\;150\,mA\;$ soit «$\;I_{E,\,m}=I_{S,\,m}={\dfrac {U_{S,\,m}}{R_{u}}}\;$ qui doit être $\;<\;$ à $\;I_{{\text{max}},\,d}\;$» ce qui nécessite «$\;R_{u}>{\dfrac {U_{S,\,m}}{I_{{\text{max}},\,d}}}\;$» inégalité réalisée dans la mesure où «$\;R_{u}>{\dfrac {U_{E,\,m}}{I_{{\text{max}},\,d}}}$ $={\dfrac {10}{0,15}}\simeq 67\;\Omega \;$» ;
nous choisissons $\;R_{u}=100\,\Omega \;$ dont une conséquence est que «$\;r_{d}\ll R_{u}\;$» et nous choisissons $\;\color {transparent}{R_{u}=100\,\Omega }\;$ dont une autre est que nous pouvons adopter le « modèle idéal avec seuil » pour la diode à jonction.
Justification$\;{\big$ou non${\big )}\;$du fonctionnement redresseur simple alternance positif :
* « si $\;u_{E}(t)>0\;$», la diode est « polarisée en direct » et $\;\succ \;$« si $\;u_{E}(t)>U_{\text{seuil}}\;$» elle est « vraisemblablement passante », la tension $\;u_{S}(t)=u_{E}(t)-U_{\text{seuil}}\;$ par loi de maille est effectivement positive par hypothèse $\;u_{E}(t)>U_{\text{seuil}}\;$ et l'intensité $\;i_{S}(t)={\dfrac {u_{S}(t)}{R_{u}}}\;$ étant aussi $\;>0\;$ valide le caractère « passant » de la diode $\;{\big$et aussi le caractère « polarisée en direct »${\big )}\;$ d'où «$\;u_{E}(t)>U_{\text{seuil}}\;\Rightarrow \;u_{S}(t)=u_{E}(t)-U_{\text{seuil}}\;$», alors que  $\;\succ \;$« si $\;0<u_{E}(t)<U_{\text{seuil}}\;$» elle est « vraisemblablement bloquante », l'intensité $\;i_{S}(t)=0\;$ par même intensité dans des éléments en série et la tension $\;u_{S}(t)=R_{u}\;i_{S}(t)=0\;$ par loi d'Ohm, la tension aux bornes de la diode se déterminant par loi de maille selon $\;u_{D}=u_{E}(t)-u_{S}(t)\;$ et s'écrivant encore $\;u_{D}=u_{E}(t)\;$ laquelle étant $\;<\;$ à $\;U_{\text{seuil}}\;$ valide le caractère « bloquant » de la diode $\;{\big$et aussi le caractère « polarisée en direct » par $\;u_{D}>0{\big )}\;$ d'où «$\;0<u_{E}(t)<U_{\text{seuil}}\;\Rightarrow \;u_{S}(t)=0\;$» ;
* « si $\;u_{E}(t)<0\;$», la diode est « polarisée en inverse » et par suite est « bloquante », l'intensité $\;i_{S}(t)=0\;$ par même intensité dans des éléments en série et la tension $\;u_{S}(t)=R_{u}\;i_{S}(t)=0\;$ par loi d'Ohm, la tension aux bornes de la diode se déterminant par loi de maille selon $\;u_{D}=u_{E}(t)-u_{S}(t)\;$ et s'écrivant encore $\;u_{D}=u_{E}(t)\;$ laquelle étant $\;<0\;$ valide le caractère « polarisé en inverse » de la diode d'où «$\;u_{E}(t)<0\;\Rightarrow \;u_{S}(t)=0\;$».
En conclusion la tension de sortie est telle que «$\;u_{S}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}u_{E}(t)-U_{\text{seuil}}\;\;\,{\text{si }}\;u_{E}(t)>U_{\text{seuil}}\\0\qquad \qquad \qquad {\text{si }}\;u_{E}(t)<U_{\text{seuil}}\end{array}}\right\rbrace \;$», c.-à-d. un redresseur simple alternance positif avec défaut de seuil ; ce défaut est minimisé si la valeur de crête positive de la tension d'entrée est grande devant la tension de seuil c.-à-d. $\;u_{E,\,{\text{max}}}\gg U_{\text{seuil}}\;$.
Ci-contre des deux côtés, avec une tension d'entrée sinusoïdale «$\;u_{E}(t)$ $=U_{e,\,{\text{max}}}\;\sin(2\,\pi \,f\,t)\;$» avec «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}f=100\,Hz\\U_{e,\,{\text{max}}}=6\,V\end{array}}\right\rbrace \;$»,
* à gauche, en fonctionnement bicourbe $\;\left(y\,,\,t\right)$, l'oscillogramme avec $\;u_{E}(t)\;$ sur la voie $\;CH1\;$ représentée en noir et $\;u_{S}(t)\;$ sur la voie $\;CH2\;$ représentée en rouge,
* à droite, en fonctionnement $\;\left(x\,,\,y\right)$, l'oscillogramme en courbe de Lissajous $\;u_{E}(t)\;$ en abscisse obtenue par la voie $\;CH1\;$ et $\;u_{S}(t)\;$ en ordonnée obtenue par la voie $\;CH2$.
Remarque : nous constatons que l'oscillogramme en bicourbe diffère, sur la voie $\;CH2$, de celui d'un r.s.a.p., on y observe un retrait de $\;U_{\text{seuil}}=0,6\;V\;$ sur la partie de la courbe pour $\;u_{E}(t)>U_{\text{seuil}}$, le filtre obtenu étant appelé r.s.a.p. avec défaut de seuil et
Remarque : nous constatons que la courbe de Lissajous diffère de celle d'un r.s.a.p. par la partie située dans le quadrant supérieur droit $\;{\big \$pour un r.s.a.p. la partie située dans le quadrant supérieur est portée par la 1ère bissectrice, ici elle se compose d'un segment d'origine $\;(0\,,\,0)$, de longueur $\;U_{\text{seuil}}$, porté par l'axe des abscisses et d'une partie $\;\parallel \;$ à la 1ère bissectrice issue de $\;\left(U_{\text{seuil}}\,,\,0\right)\!{\big \}$, cette courbe de Lissajous est caractéristique d'un r.s.a.p. avec défaut de seuil.

#### Caractère non linéaire du filtre « redresseur simple alternance »

Le filtre serait linéaire en A.R.Q.S.$^,$ s'il y avait un lien d'équation différentielle linéaire à cœfficients constants entre la tension de sortie et la tension d'entrée, ce qui nécessiterait Le filtre serait linéaire en A.R.Q.S. , s'il y avait un lien de proportionnalité en régime permanent, comme cette dernière condition n'est pas vérifiée, « le filtre n'est pas linéaire ».

#### Spectre d'un signal redressé simple alternance positif à tension d'entrée sinusoïdale

Nous supposons le redressement « sans défaut de seuil », la décomposition en série de Fourier$^,$ est alors assujettie à sa représentation fréquentielle «$\;\left\lbrace C_{S,\,0}\;;\;{\underline {C_{s,\,p}}},\;p\in \mathbb {N} ^{*}\right\rbrace \;$» dont le spectre est représenté en rouge ci-contre en superposition du spectre du signal d'entrée en noir $\;{\big$une seule raie à $\;f=100\;Hz{\big )}$, la représentation fréquentielle «$\;\left\lbrace C_{S,\,0}\;;\;{\underline {C_{s,\,p}}},\;p\in \mathbb {N} ^{*}\right\rbrace \;$» du signal de sortie étant :
* «$\;C_{S,\,0}={\dfrac {U_{e,\,{\text{max}}}}{\pi }}\;$» composante permanente représentant la valeur moyenne du signal redressé simple alternance positif,
* «$\;{\underline {C_{s,\,1}}}=-j\,{\dfrac {U_{e,\,{\text{max}}}}{2}}\;$» $\Rightarrow$ l'« harmonique fondamental $\;{\dfrac {U_{e,\,{\text{max}}}}{2}}\;\cos \!\left(2\,\pi \,f\,t-{\dfrac {\pi }{2}}\right)={\dfrac {U_{e,\,{\text{max}}}}{2}}\;\sin \!\left(2\,\pi \,f\,t\right)\;$»,
* «$\;{\underline {C_{s,\,2\,k+1}}}=0,\;\;\forall \;k\in \mathbb {N} ^{*}\;$» $\Rightarrow$ l'harmonique fondamental est le seul harmonique de rang impair non nul,
* «$\;{\underline {C_{s,\,2\,k}}}=-{\dfrac {2\;U_{e,\,{\text{max}}}}{\pi \left(4\,k^{2}-1\right)}},\;\;\forall \;k\in \mathbb {N} ^{*}\;$» d'où l'« harmonique de rang pair $\;{\big$plus précisément de rang $\;2\;k,\;k\in \mathbb {N} ^{*}{\big )}\;$ selon $\;-{\dfrac {2\;U_{e,\,{\text{max}}}}{\pi \left(4\,k^{2}-1\right)}}\;\cos \!\left(4\,k\,\pi \,f\,t\right),\;k\in \mathbb {N} ^{*}\;$».

#### Caractéristique spectrale d'un filtrage non linéaire

Un filtrage non linéaire réalise « un enrichissement du spectre du signal de sortie » relativement à celui du signal d'entrée ${\big$on trouve dans le signal de sortie des fréquences qui n'existaient pas dans le signal d'entrée${\big )}$ ; sur l'exemple ci-dessus le spectre du signal d'entrée est composé d'une raie, alors qu'il y a un nombre discret de raies dans le signal de sortie.

### Redresseur double alternance
#### Définition d'un redresseur double alternance

Un redresseur double alternance est un quadripôle pour lequel $\;u_{S}(t)=\vert u_{E}(t)\vert =\left\lbrace {\begin{array}{l}u_{E}(t)\quad \;{\text{si }}\;u_{E}(t)>0\\-u_{E}(t)\;\,{\text{si }}\;u_{E}(t)<0\end{array}}\right\rbrace$.

#### Tentative de réalisation pratique d'un redresseur double alternance

À l'aide d'un pont de quatre diodes à jonction dit « pont de Graetz » $\;{\big$voir schéma ci-contre où le quadripôle limité par des tiretés définit le redresseur double alternance${\big )}$, la tension de seuil des diodes supposées identiques étant «$\;U_{\text{seuil}}$ $\simeq 0,6\,V\;$» et la résistance dynamique dans le sens passant «$\;r_{d}\simeq 1\,\Omega \;$», la résistance de la charge $\;R_{u}\;$ étant choisie « de façon à être grande devant $\;r_{d}\;$» et « telle que l'intensité du courant traversant chaque diode soit inférieure à son maximum toléré $\;I_{{\text{max}},\,d}$ $\simeq 150\,mA\;$ » ;
les diodes à jonction sont montées de telle sorte que, suivant la polarisation de la tension d'entrée, le courant éventuel traverse la charge toujours dans le même sens, en effet il traverse
* soit une diode $\;D_{1}$, la charge et une diode $\;D_{2}$,
* soit une diode $\;D_{3}$, la charge dans le même sens et une diode $\;D_{4}$ ;
l'amplitude du signal d'entrée pouvant atteindre $\;10\,V$, le calcul de la valeur minimale de la résistance d'utilisation pour que l'amplitude de l'intensité du courant dans le circuit ne dépasse pas $\;150\,mA\;$ s'obtient par la même méthode que celle utilisée lors de la « tentative de réalisation pratique d'un redresseur simple alternance » plus haut dans ce chapitre, impliquant «$\;R_{u}>{\dfrac {U_{S,\,m}}{I_{{\text{max}},\,d}}}\;$» et dont l'inégalité est réalisée si «$\;R_{u}>{\dfrac {U_{E,\,m}}{I_{{\text{max}},\,d}}}={\dfrac {10}{0,15}}\simeq 67\;\Omega \;$» ;
nous choisissons $\;R_{u}=100\,\Omega \;$ dont une conséquence est que «$\;r_{d}\ll R_{u}\;$» et nous choisissons $\;\color {transparent}{R_{u}=100\,\Omega }\;$ dont une autre est que nous pouvons adopter le « modèle idéal avec seuil » pour les diodes à jonction.
Justification$\;{\big$ou non${\big )}\;$du fonctionnement redresseur double alternance :
* « si $\;u_{E}(t)>0\;$», $\;u(t)\;$ l'est aussi, « si $\;\color {transparent}{u_{E}(t)>0}\;$», si le pont de diodes conduit, «$\;i(t)\;$ est $\;>0\;$» $\Rightarrow$ « si $\;\color {transparent}{u_{E}(t)>0}\;$», $\;\succ \;$ la diode $\;D_{4}\;$ est bloquante et la diode $\;D_{1}\;$ passante si la tension $\;u_{d,\,1}(t)\;$ est suffisante ; « si $\;\color {transparent}{u_{E}(t)>0}\;$», $\;\succ \;$ à la sortie de la diode $\;D_{1}$, la diode $\;D_{3}\;$ étant bloquante, le courant $\;{\big$en rouge sur le schéma${\big )}\;$ traverse le conducteur ohmique de résistance $\;R_{u}\;$ dans le sens $\;+\;$ de $\;i_{S}\;$ d'où «$\;i_{S}(t)=i(t)\;$» puis traverse la diode $\;D_{2}\;$ qui est passante si la tension $\;u_{d,\,2}(t)\;$ est, là encore, suffisante ; « si $\;\color {transparent}{u_{E}(t)>0}\;$», $\;\color {transparent}{\succ }\;$ dans ce cas on a «$\;u(t)=u_{d,\,1}(t)+u_{S}(t)+u_{d,\,2}(t)=2\;U_{\text{seuil}}+u_{S}(t)\;$» soit finalement «$\;u_{S}(t)=u_{E}(t)-2\;U_{\text{seuil}}\;$» ; « si $\;\color {transparent}{u_{E}(t)>0}\;$», il faut valider que le pont de diodes conduit en vérifiant «$\;i(t)>0\;$», « si $\;\color {transparent}{u_{E}(t)>0}\;$», il faut valider que le pont de diodes conduit or «$\;u(t)=2\;U_{\text{seuil}}+u_{S}(t)=2\;U_{\text{seuil}}+R_{u}\;i_{S}(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;i_{S}(t)={\dfrac {u(t)-2\;U_{\text{seuil}}}{R_{u}}}=i(t)>0\;$» si «$\;u(t)=u_{E}(t)>2\;U_{\text{seuil}}\;$» ; « si $\;\color {transparent}{u_{E}(t)>0}\;$», il faut valider que le pont de diodes conduit dans le cas où «$\;0<u_{E}(t)<2\;U_{\text{seuil}}\;$», la seule possibilité est «$\;i(t)=0\;$» ${\big$toutes les diodes sont bloquantes${\big )}$, « si $\;\color {transparent}{u_{E}(t)>0}\;$», il faut valider que le pont de diodes conduit dans le cas où «$\;\color {transparent}{0<u_{E}(t)<2\;U_{\text{seuil}}}\;$», aucun courant ne traverse le conducteur ohmique de résistance $\;R_{u}\;$ d'où «$\;i_{S}(t)=0\;$» et « si $\;\color {transparent}{u_{E}(t)>0}\;$», il faut valider que le pont de diodes conduit dans le cas où «$\;\color {transparent}{0<u_{E}(t)<2\;U_{\text{seuil}}}\;$», aucun courant ne traverse le conducteur ohmique de résistance $\;\color {transparent}{R_{u}}\;$ d'où «$\;u_{S}(t)=0\;$» aussi ; « si $\;\color {transparent}{u_{E}(t)>0}\;$», en résumé «$\;u_{S}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}u_{E}(t)-2\;U_{\text{seuil}}\;\;{\text{si }}\;u_{E}(t)>2\;U_{\text{seuil}}\\0\qquad \qquad \qquad \;\;{\text{si }}\;0<u_{E}(t)<2\;U_{\text{seuil}}\end{array}}\right\rbrace \;$» ;
* « si $\;u_{E}(t)<0\;$», $\;u(t)\;$ l'est aussi et «$\;-u(t)\;$ est $\;>0\;$», « si $\;\color {transparent}{u_{E}(t)<0}\;$», si le pont de diodes conduit, «$\;i'(t)=-i(t)\;$ est $\;>0\;$» $\Rightarrow$ « si $\;\color {transparent}{u_{E}(t)<0}\;$», $\;\succ \;$ la diode $\;D_{2}\;$ est bloquante et la diode $\;D_{3}\;$ passante si la tension $\;u_{d,\,3}(t)\;$ est suffisante ; « si $\;\color {transparent}{u_{E}(t)<0}\;$», $\;\succ \;$ à la sortie de la diode $\;D_{3}$, la diode $\;D_{2}\;$ étant bloquante, le courant $\;{\big$en bleu sur le schéma${\big )}\;$ traverse le conducteur ohmique de résistance $\;R_{u}\;$ dans le sens $\;+\;$ de $\;i_{S}\;$ d'où «$\;i_{S}(t)=i'(t)=-i(t)>0\;$» puis traverse la diode $\;D_{4}\;$ qui est passante si la tension $\;u_{d,\,4}(t)\;$ est, là encore, suffisante ; « si $\;\color {transparent}{u_{E}(t)<0}\;$», $\;\color {transparent}{\succ }\;$ dans ce cas on a «$\;-u(t)=u_{d,\,3}(t)+u_{S}(t)+u_{d,\,4}(t)=2\;U_{\text{seuil}}+u_{S}(t)\;$» soit finalement «$\;u_{S}(t)=-u_{E}(t)-2\;U_{\text{seuil}}\;$» ; « si $\;\color {transparent}{u_{E}(t)<0}\;$», il faut valider que le pont de diodes conduit en vérifiant «$\;i'(t)>0\;$» ${\big$ou «$\;i(t)=-i'(t)<0\;$»${\big ]}$, « si $\;\color {transparent}{u_{E}(t)<0}\;$», il faut valider que le pont de diodes conduit or «$\;-u(t)=2\;U_{\text{seuil}}+u_{S}(t)=2\;U_{\text{seuil}}+R_{u}\;i_{S}(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;i_{S}(t)={\dfrac {-u(t)-2\;U_{\text{seuil}}}{R_{u}}}=i'(t)>0\;$» si $\;\cdots$ « si $\;\color {transparent}{u_{E}(t)<0}\;$», il faut valider que le pont de diodes conduit or «$\;\color {transparent}{-u(t)=2\;U_{\text{seuil}}+u_{S}(t)=2\;U_{\text{seuil}}+R_{u}\;i_{S}(t)}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;-u(t)=-u_{E}(t)>2\;U_{\text{seuil}}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;u_{E}(t)<-2\;U_{\text{seuil}}\;$» ; « si $\;\color {transparent}{u_{E}(t)<0}\;$», il faut valider que le pont de diodes conduit dans le cas où «$\;-2\;U_{\text{seuil}}<u_{E}(t)<0\;$», la seule possibilité est «$\;i'(t)=0\;$» ${\big$toutes les diodes sont bloquantes${\big )}$, « si $\;\color {transparent}{u_{E}(t)<0}\;$», il faut valider que le pont de diodes conduit dans le cas où «$\;\color {transparent}{-2\;U_{\text{seuil}}<u_{E}(t)<0}\;$», aucun courant ne traverse le conducteur ohmique de résistance $\;R_{u}\;$ d'où «$\;i_{S}(t)=0\;$» et « si $\;\color {transparent}{u_{E}(t)<0}\;$», il faut valider que le pont de diodes conduit dans le cas où «$\;\color {transparent}{-2\;U_{\text{seuil}}<u_{E}(t)<0}\;$», aucun courant ne traverse le conducteur ohmique de résistance $\;\color {transparent}{R_{u}}\;$ d'où «$\;u_{S}(t)=0\;$» ; « si $\;\color {transparent}{u_{E}(t)<0}\;$», en résumé «$\;u_{S}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}-u_{E}(t)-2\;U_{\text{seuil}}\;\;{\text{si }}\;u_{E}(t)<-2\;U_{\text{seuil}}\\0\qquad \qquad \qquad \quad \;{\text{si }}\;-2\;U_{\text{seuil}}<u_{E}(t)<0\end{array}}\right\rbrace \;$».
En conclusion «$\;u_{S}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}u_{E}(t)-2\;U_{\text{seuil}}\quad \;{\text{si }}\;u_{E}(t)>2\;U_{\text{seuil}}\\0\qquad \qquad \qquad \quad \;{\text{si }}\;-2\;U_{\text{seuil}}<u_{E}(t)<2\;U_{\text{seuil}}\\-u_{E}(t)-2\;U_{\text{seuil}}\;\;{\text{si }}\;u_{E}(t)<-2\;U_{\text{seuil}}\end{array}}\right\rbrace \;$» ou, En conclusion «$\;u_{S}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}\vert u_{E}(t)\vert -2\;U_{\text{seuil}}\;\;\,{\text{si }}\;\vert u_{E}(t)\vert >2\;U_{\text{seuil}}\\0\qquad \qquad \qquad \quad \;{\text{si }}\;\vert u_{E}(t)\vert <2\;U_{\text{seuil}}\end{array}}\right\rbrace \;$» sachant que $\;\vert u_{E}(t)\vert =\left\lbrace {\begin{array}{l}u_{E}(t)\quad \,\,{\text{si }}\;u_{E}(t)>0\\-u_{E}(t)\;\;{\text{si }}\;u_{E}(t)<0\end{array}}\right\rbrace$, c.-à-d. que En conclusion c'est la tension de sortie d'un redresseur double alternance avec défaut de seuil ; ce défaut est minimisé si la valeur de crête positive de la tension d'entrée ainsi que la valeur absolue de la valeur de crête négative de la tension d'entrée sont grandes devant deux fois la tension de seuil c.-à-d. $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}u_{E,\,{\text{max}}}\\{\text{et}}\\\vert u_{E,\,{\text{min}}}\vert \end{array}}\right\rbrace \gg 2\;U_{\text{seuil}}\;$.
Ci-contre des deux côtés, avec une tension d'entrée sinusoïdale «$\;u_{E}(t)$ $=U_{e,\,{\text{max}}}\;\sin(2\,\pi \,f\,t)\;$» avec «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}f=100\,Hz\\U_{e,\,{\text{max}}}=6\,V\end{array}}\right\rbrace \;$»,
* à gauche, en fonctionnement bicourbe $\;\left(y\,,\,t\right)$, l'oscillogramme avec $\;u_{E}(t)\;$ sur la voie $\;CH1\;$ représentée en noir et $\;u_{S}(t)\;$ sur la voie $\;CH2\;$ représentée en rouge,
* à droite, en fonctionnement $\;\left(x\,,\,y\right)$, l'oscillogramme en courbe de Lissajous $\;u_{E}(t)\;$ en abscisse obtenue par la voie $\;CH1\;$ et $\;u_{S}(t)\;$ en ordonnée obtenue par la voie $\;CH2$.
Remarque : nous constatons que l'oscillogramme en bicourbe diffère, sur la voie $\;CH2$, de celui d'un r.d.a., on y observe un retrait de $\;2\;U_{\text{seuil}}=1,2\;V\;$ sur la partie de la courbe pour $\;u_{E}(t)>U_{\text{seuil}}$ ainsi que sur la partie de la courbe inversée pour $\;u_{E}(t)<-U_{\text{seuil}}$, le filtre obtenu étant appelé r.d.a. avec défaut de seuil et
Remarque : nous constatons que la courbe de Lissajous diffère de celle d'un r.d.a. par la partie située dans le quadrant supérieur droit $\;{\big \$pour un r.d.a. la partie située dans le quadrant supérieur droit est portée par la 1ère bissectrice, ici elle se compose d'un segment d'origine $\;(0\,,\,0)$, de longueur $\;2\;U_{\text{seuil}}$, porté par l'axe des abscisses et d'une partie $\;\parallel \;$ à la 1ère bissectrice issue de $\;\left(2\;U_{\text{seuil}}\,,\,0\right)\!{\big \}$ ainsi que par la partie située dans le quadrant supérieur gauche $\;{\big \$pour un r.d.a. la partie située dans le quadrant supérieur gauche est portée par la 2ème bissectrice, ici elle se compose d'un segment d'origine $\;(0\,,\,0)$, de longueur $\;2\;U_{\text{seuil}}$, porté par l'axe des abscisses mais en sens inverse et d'une partie $\;\parallel \;$ à la 2ème bissectrice issue de $\;\left(-2\;U_{\text{seuil}}\,,\,0\right)\!{\big \}$, cette courbe de Lissajous est caractéristique d'un r.d.a. avec défaut de seuil.

#### Caractère non linéaire du filtre « redresseur double alternance »

Là encore le filtre serait linéaire en A.R.Q.S.$^,$ s'il y avait un lien d'équation différentielle linéaire à cœfficients constants entre la tension de sortie et la tension d'entrée, ce qui nécessiterait Là encore le filtre serait linéaire en A.R.Q.S. , s'il y avait un lien de proportionnalité en régime permanent, comme cette dernière condition n'est pas vérifiée, « le filtre n'est pas linéaire ».

#### Spectre d'un signal redressé double alternance à tension d'entrée sinusoïdale

Préliminaire : les harmoniques de la réponse d'un filtre à un signal d'entrée périodique sont toujours définis relativement à la fréquence du signal d'entrée, Préliminaire : pour un filtre linéaire, le signal de sortie étant périodique de même fréquence que le signal d'entrée, ses harmoniques sont aussi définis relativement à la fréquence du signal de sortie mais Préliminaire : pour un filtre non linéaire, si le signal de sortie est périodique, sa fréquence n'est pas nécessairement celle du signal d'entrée et dans ce cas ses harmoniques définis relativement à la fréquence du signal d'entrée ont un rang différent de celui qu'ils auraient si ses harmoniques étaient définis relativement à la fréquence du signal qu'ils constituent $\;{\big \$en définissant les harmoniques du signal de sortie relativement à la fréquence du signal d'entrée, l'harmonique fondamental du signal de sortie est la sortie de l'harmonique fondamental du signal d'entrée et non l'harmonique de même fréquence que celle du signal de sortie étudié, c'est le cas du filtre r.d.a.${\big \}$, de plus Préliminaire : pour un filtre non linéaire, il est possible que le signal de sortie ne soit pas périodique, dans ce cas le développement en série de Fourier doit être remplacé par un développement en intégrale de Fourier et la notion de rang d'harmonique pour le signal de sortie n'a plus de sens $\;\ldots$
Nous supposons le redressement « sans défaut de seuil », la décomposition en série de Fourier$^,$ est alors assujettie à sa représentation fréquentielle «$\;\left\lbrace C_{S,\,0}\;;\;{\underline {C_{s,\,p}}},\;p\in \mathbb {N} ^{*}\right\rbrace \;$» pour laquelle les harmoniques du signal redressé double alternance sont définis relativement à la fréquence du signal d'entrée et dont le spectre est représenté en rouge ci-contre en superposition du spectre du signal d'entrée en noir $\;{\big$une seule raie à $\;f=100\;Hz{\big )}$, la représentation fréquentielle «$\;\left\lbrace C_{S,\,0}\;;\;{\underline {C_{s,\,p}}},\;p\in \mathbb {N} ^{*}\right\rbrace \;$» du signal de sortie étant :
* «$\;C_{S,\,0}={\dfrac {2\;U_{e,\,{\text{max}}}}{\pi }}\;$» composante permanente représentant la valeur moyenne du signal redressé double alternance,
* «$\;{\underline {C_{s,\,1}}}=0\;$» $\Rightarrow$ il n'y a pas d'harmonique de fréquence égale à celle du signal d'entrée $\;{\bigg \$la justification est que le signal redressé double alternance étant de « période $\;T_{s}={\dfrac {T}{2}}\;$», sa fréquence est «$\;f_{s}=2\;f\;$» d'où l'harmonique fondamental du redressé double alternance $\;{\big$défini relativement à la fréquence de ce dernier et non relativement à la fréquence du signal d'entrée${\big )}\;$ est de fréquence «$\;f_{s}=2\;f\;$» ce qui correspond à l'harmonique de rang $\;2\;$ du redressé double alternance $\;{\big$défini relativement à la fréquence du signal d'entrée et non relativement à la fréquence du signal de sortie étudié${\big )}{\bigg \}$
* «$\;{\underline {C_{s,\,2\,k+1}}}=0,\;\;\forall \;k\in \mathbb {N} \;$» $\Rightarrow$ il n'y a donc pas d'harmoniques de rang impair du signal redressé double alternance $\;{\big$définis relativement à la fréquence du signal d'entrée et non relativement à la fréquence du signal de sortie étudié${\big )}$ $\;{\bigg \$ceci résultant du fait qu'un harmonique de rang impair selon la référence précédente ne peut être un multiple de la fréquence du signal redressé double alternance car $\;{\dfrac {(2\,k+1)\;f}{f_{s}}}={\dfrac {2\,k+1}{2}}\not \in \mathbb {N} {\bigg \}$
* «$\;{\underline {C_{s,\,2\,k}}}=-{\dfrac {4\;U_{e,\,{\text{max}}}}{\pi \left(4\,k^{2}-1\right)}},\;k\in \mathbb {N} ^{*}\;$» d'où l'« harmonique de rang pair $\;{\big$plus précisément de rang $\;2\;k,\;k\in \mathbb {N} ^{*}{\big )}\;$ ${\big$défini relativement à la fréquence du signal d'entrée et non relativement à la fréquence du signal de sortie étudié${\big )}\;$ s'écrivant $\;-{\dfrac {4\;U_{e,\,{\text{max}}}}{\pi \left(4\,k^{2}-1\right)}}\;\cos \!\left(4\,k\,\pi \,f\,t\right),\;k\in \mathbb {N} ^{*}\;$» $\Rightarrow$ l'harmonique de rang $\;2\;$ ${\big$défini relativement à la fréquence du signal d'entrée et non relativement à la fréquence du signal de sortie étudié${\big )}\;$ du signal redressé double alternance $\;{\big \$c.-à-d. son harmonique fondamental $\;{\big$défini relativement à sa fréquence et non à la fréquence du signal d'entrée${\big )}{\big \}$ «$-{\dfrac {4\;U_{e,\,{\text{max}}}}{3\;\pi }}\;\cos \!\left(4\,\pi \,f\,t\right)\;$».
ci-contre le spectre du signal de sortie d'un r.d.a. en rouge en superposition des spectres du signal d'entrée en noir et du signal de sortie d'un r.s.a.p. en bleu $\;{\big \$mis à part l'absence d'harmonique de fréquence $\;100\;Hz\;$ dans le signal de sortie d'un r.d.a. alors qu'il est présent dans le signal de sortie d'un r.s.a.p., tous les harmoniques du signal de sortie d'un r.d.a. ont une amplitude double des harmoniques de même fréquence du signal de sortie d'un r.s.a.p pour un même signal d'entrée${\big \}$.

#### Caractéristique spectrale d'un filtrage non linéaire

Là encore on constate qu'un filtrage non linéaire réalise « un enrichissement du spectre du signal de sortie » relativement à celui du signal d'entrée $\;{\big$on trouve dans le signal de sortie des fréquences qui n'existaient pas dans le signal d'entrée${\big )}$ ; sur l'exemple ci-dessus le spectre du signal d'entrée est composé d'une raie, alors qu'il y a un nombre discret de raies dans le signal de sortie.
Remarque : sur l'exemple du r.d.a. on constate la disparition de la fréquence du signal d'entrée dans le spectre du signal de sortie ce qui a pour conséquence que la fréquence du signal de sortie est supérieure à celle du signal d'entrée $\;{\big$plus précisément, sur cet exemple, la fréquence du signal de sortie est le double de la fréquence du signal d'entrée${\big )}$.

## Quelques notions de filtrage en mécanique

La notion de filtrage n'est pas spécifique aux circuits électriques, elle existe dans tous les domaines de la physique dès lors qu'apparaissent des grandeurs variant avec le temps $\;{\big$qu'elles soient périodiques ou non${\big )}$ ;
dans le programme de physique de P.C.S.I., on se limite à évoquer le prolongement de la notion de filtrage dans le domaine mécanique $\;\ldots$

### Analogue mécanique d'un « passe-bas » : « sismomètre » avec réponse en élongation d'une excitation ondulatoire pour un faible facteur de qualité

Revoir le paragraphe « analogie électromagnétique, résonance en élongation d'un oscillateur mécanique amorti par frottement fluide linéaire soumis à une force excitatrice sinusoïdale » du chap.$4$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) », on rappelle qu'il s'agit d'un « passe-bas sans résonance » si le facteur de qualité $\;Q\lesssim {\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;\ldots$
Voir aussi les articles de wikipédia sur les sismomètres et sur la mesure en sismologie $\;\ldots$
Sur le site « http://lyc.lumiere.luxeuil.free.fr/lycee_lumiere/import/SitesIn/physique/sismologie/EOST/fiche3/sismo_int.htm » est développé le fonctionnement d'un sismomètre $\;\ldots$

### Analogue mécanique d'un « passe-haut » : « accéléromètre » avec réponse en accélération d'une excitation ondulatoire pour un faible facteur de qualité

Revoir le paragraphe « établissement du gabarit d'un 2ème ordre du type “ réponse en tension aux bornes de la bobine parfaite d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante ”, condition pour l'utiliser en double dérivateur » du chap.$8$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » ainsi que l'exercice « réponse en tension aux bornes de la bobine (parfaite) d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable, lien avec la réponse en tension aux bornes du condensateur » de la série d'exercices du chap.$4$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) », on rappelle qu'il s'agit d'un « passe-haut sans résonance » si le facteur de qualité $\;Q\lesssim {\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;\ldots$
Voir aussi l'article de wikipédia sur les accéléromètres et celui de wikiversity sur les capteurs d'accélération - accéléromètres $\;\ldots$

### Analogue mécanique d'un « coupe-bande » : « amortisseur » avec réponse complémentaire de celle en vitesse d'une excitation ondulatoire

On se place dans le cas où on souhaite un amortissement important pour une fréquence particulièrement gênante, cette fréquence devant donc être la fréquence d'antirésonance du filtre, l'antirésonance étant réalisée quelle que soit la valeur du facteur de qualité, lequel représente l'acuité de l'antirésonance $\;\ldots$
Remarque : Un exemple cinématographique de passe-bande en mécanique se trouve dans le film Le Salaire de la peur réalisé en $\;1952\;$ par Henri-Georges Clouzot (1907 - 1977) scénariste, dialoguiste, réalisateur et producteur de cinéma français ; on y observe le phénomène de résonance du camion relié à ses roues par suspension et excité sinusoïdalement par le passage de ses roues sur une tôle ondulée à une certaine vitesse ; pour étudier plus simplement le phénomène il est intéressant d'introduire la notion de pseudo-force d'inertie d'entraînement voir ci-dessous :
Remarque : notion de pseudo-force d'inertie d'entraînement : la r.f.d.n. appliquée à un solide ponctuel $\;M\;$ de masse $\;m\;$ s'écrit, dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ galiléen, «$\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{k}(M,\,t)=$ $m\;{\vec {a}}_{{\mathcal {R}}_{\text{gal}}}(M,\,t)\;$» dans laquelle $\;{\vec {F}}_{k}(M,\,t)\;$ est la force que le système $\;\left(\Sigma _{k}\right)\;$ exerce sur $\;M\;$ à l'instant $\;t$ $\;{\big \$l'indice $_{k}\;$ définissant un des systèmes parmi tous ceux ayant une action sur $\;M{\big \}$ et $\;{\vec {a}}_{{\mathcal {R}}_{\text{gal}}}(M,\,t)\;$ le vecteur accélération de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ galiléen ; Remarque : notion de pseudo-force d'inertie d'entraînement : dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ en translation de vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{{\mathcal {R}}_{\text{gal}}}({\mathcal {R}},\,t)\neq {\vec {0}}\;$ par rapport au référentiel galiléen$^,$ pour lequel on peut appliquer la loi de composition des accélérations suivante «$\;{\vec {a}}_{{\mathcal {R}}_{\text{gal}}}(M,\,t)={\vec {a}}_{{\mathcal {R}}_{\text{gal}}}({\mathcal {R}},\,t)+{\vec {a}}_{\mathcal {R}}(M,\,t)\;$», la r.f.d.n. peut être réécrit selon «$\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{k}(M,\,t)-m\;{\vec {a}}_{{\mathcal {R}}_{\text{gal}}}({\mathcal {R}},\,t)=$ $m\;{\vec {a}}_{\mathcal {R}}(M,\,t)\;$», c.-à-d. que la r.f.d.n. est encore applicable dans $\;{\mathcal {R}}\;$ référentiel non galiléen en translation par rapport $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ ${\big$référentiel galiléen${\big )}\;$ à condition d'ajouter aux forces appliquées $\;{\big$invariantes par changement de référentiel${\big )}\;$ une pseudo-force dite d'inertie d'entraînement $\;{\vec {f}}_{\text{inertie d'entraîn}}(M,\,t)=-m\;{\vec {a}}_{{\mathcal {R}}_{\text{gal}}}({\mathcal {R}},\,t)\;$ ${\big$cette pseudo-force ne dépendant que de la masse de $\;M\;$ et non du mouvement de ce dernier dans l'un ou l'autres des deux référentiels${\big ]}$, la r.f.d.n. appliqué à $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ s'écrivant alors «$\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{k}(M,\,t)+{\vec {f}}_{\text{inertie d'entraîn}}(M,\,t)=m\;{\vec {a}}_{\mathcal {R}}(M,\,t)\;$» ;
Remarque : appliqué à l'exemple du camion relié à ses roues par suspension et passant sur une tôle ondulée à une certaine vitesse, on simplifie l'étude en la menant dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ lié aux centres d'inertie des roues, référentiel non galiléen car en translation de mouvement vertical oscillant par rapport au référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ se déplaçant à vitesse constante horizontale relativement à l'hypothétique route horizontale, le châssis $\;{\mathcal {C}}\;$ du camion étant alors soumis aux composantes verticales des forces suivantes
* actions des ressorts liés aux axes des roues,
* composante verticale de la résistance à l'avancement dans l'air $\;{\big$nous supposons cette résistance linéaire${\big )}$,
Remarque : mais le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ étant non galiléen et en translation par rapport à un galiléen il faut ajouter, pour appliquer la r.f.d.n. au châssis $\;{\mathcal {C}}\;$ du camion, une pseudo-force d'inertie d'entraînement $\;{\vec {f}}_{\text{inertie d'entraîn}}({\mathcal {C}},\,t)=$ $-m_{\mathcal {C}}\;{\vec {a}}_{{\mathcal {R}}_{\text{gal}}}({\mathcal {R}},\,t)$ laquelle joue le rôle de « force » excitatrice verticale sinusoïdale $\;{\big$la fréquence d'excitation étant proportionnelle à la vitesse de déplacement de $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ par rapport à la route horizontale${\big )}$ $\;{\big \$voir aussi le paragraphe « analogie électromécanique d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable : pendule élastique amorti par frottement fluide linéaire auquel on applique une force sinusoïdale d'amplitude constante et de fréquence variable selon l'axe du ressort (façon la plus simple d'obtenir l'équivalent d'une force excitatrice sinusoïdale …) » du chap.$4$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) »${\big \}$.