OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Formulation relativiste de l'électromagnétisme/Équations du mouvement

La donnée du Lagrangien de la particule plongée dans le champ permet de déterminer son impulsion,son énergie, et l'équation de son mouvement.

## Impulsion généralisée

Par définition, $\mathbf {P} ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {v} }}$
d'où, après calcul,
$\mathbf {P} ={\frac {m\mathbf {v} }{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}+q\mathbf {A} =\mathbf {p} +q\mathbf {A}$
avec $\mathbf {p}$ l'impulsion relativiste de la particule (partie spatiale de la quadri-impulsion).

## Énergie

Par définition, $E=\mathbf {P} \cdot \mathbf {v} -{\mathcal {L}}$
d'où, après calcul :
$E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}+q\phi$

## Équation du mouvement

Il s'agit de l'équation de Lagrange :
${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {v} }}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {r} }}=\mathbf {0}$
On a d’une part ${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {v} }}={\frac {d\mathbf {P} }{dt}}={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}+q{\frac {d\mathbf {A} }{dt}}={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}+q{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+q(\mathbf {v} \cdot \mathbf {\nabla } )\mathbf {A}$
Et d’autre part ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {r} }}=q{\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {v} )-q{\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {r} }}$
or ${\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {v} )=(\mathbf {A} \cdot \mathbf {\nabla } )\mathbf {v} +(\mathbf {v} \cdot \mathbf {\nabla } )\mathbf {A} +\mathbf {A} \times (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {v} )+\mathbf {v} \times (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} )=(\mathbf {v} \cdot \mathbf {\nabla } )\mathbf {A} +\mathbf {v} \times (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} )$
d'où ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {r} }}=q[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {\nabla } )\mathbf {A} +\mathbf {v} \times (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} )]-q\mathbf {\nabla } \phi$
et l'équation du mouvement est donc :
${\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=-q\mathbf {\nabla } \phi -q{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+q\mathbf {v} \times (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} )=q\mathbf {E} +q\mathbf {v} \times \mathbf {B}$
On retrouve bien l’expression de la force de Lorentz $\mathbf {F} =q\mathbf {E} +q\mathbf {v} \times \mathbf {B}$
| Le quadri-potentiel et le Lagrangien | Le tenseur champ électromagnétique |
# Formule d'inversion de Pascal/Application au dénombrement des dérangements

Nous appellerons dérangement, une permutation ne laissant aucun point fixe.
Nous noterons N$_n$ le nombre de permutations d’un ensemble à n éléments ne laissant aucun point fixe, appelées aussi dérangements.
Le nombre total de permutations d’un ensemble à n élément étant n!, nous procéderons comme dans le chapitre précédent en décomposant celui-ci en la somme des nombres des applications dérangeant successivement k éléments pour k allant de 0 à n.
Pour déranger k éléments dans un ensemble à n éléments, il faut choisir les k éléments devant être dérangés, soit $\scriptstyle {n \choose k}$ possibilités. Puis effectivement déranger ces k éléments, soit N$_k$ possibilités. Il y a donc $\scriptstyle {n \choose k}$ × N$_k$ façons de déranger k éléments dans un ensemble de n éléments.
Nous pouvons donc écrire :
$n!=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}N_{k}$
en posant u$_n$ = n! et v$_n$ = N$_n$ dans la formule d’inversion de Pascal :
$\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}v_{k}\Leftrightarrow v_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}u_{k}$
nous obtenons :
$\forall n\in \mathbb {N} \quad n!=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}N_{k}\Leftrightarrow N_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}k!$
Le nombre de dérangements d’un ensemble à n éléments est donc :
$N_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}k!$
En remarquant que :
${n \choose k}\times k!={\frac {n!}{(n-k)!}}$
on peut écrire :
$N_{n}=n!\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{n-k}}{(n-k)!}}$
Et en faisant le changement d’indice k ↦ n - k, on obtient :
$N_{n}=n!\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}$
Nous retiendrons :
Le nombre de permutations d’un ensemble à n éléments ne laissant aucun point fixe, appelées aussi dérangements, est donné par :
$N_{n}=n!\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}$
Voir aussi : Formule du crible/Dénombrement des dérangements.
| Application au dénombrement des surjections | Démonstration polynomiale |
# Formule d'inversion de Pascal/Démonstration par récurrence

Redémontrons par récurrence forte sur $n\in \mathbb {N}$ le théorème des deux chapitres précédents :
Soient $u_{0},\dots ,u_{n},v_{0},\dots ,v_{n}\in G$ où $\left(G,+\right)$ est un groupe abélien (par exemple $G=\mathbb {R}$), nous avons :
    $\left(\forall k\leq n\quad u_{k}=\sum _{i=0}^{k}{\binom {k}{i}}v_{i}\right)\Leftrightarrow \left(\forall k\leq n\quad v_{k}=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{k-i}{\binom {k}{i}}u_{i}\right)$.
Comme au chapitre 1, il suffit de démontrer le sens direct car la réciproque s'en déduit.
L'implication est vraie pour n = 0 car elle se ramène alors à :
    $u_{0}=v_{0}\Rightarrow v_{0}=u_{0}$.
Supposons l'implication vraie jusqu’à n et démontrons qu’elle est vraie jusqu’à n + 1, c’est-à-dire montrons que :
    $\left(\forall k\leq n+1\quad u_{k}=\sum _{i=0}^{k}{\binom {k}{i}}v_{i}\right)\Rightarrow \left(\forall k\leq n+1\quad v_{k}=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{k-i}{\binom {k}{i}}u_{i}\right)$.
Supposons :
    $\forall k\leq n+1\quad u_{k}=\sum _{i=0}^{k}{\binom {k}{i}}v_{i}$.
Nous avons alors, par hypothèse de récurrence :
    $\forall k\leq n\quad v_{k}=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{k-i}{\binom {k}{i}}u_{i}$
et
    $v_{n+1}=u_{n+1}-\sum _{k=0}^{n}{\binom {n+1}{k}}v_{k}=u_{n+1}-\sum _{k=0}^{n}{\binom {n+1}{k}}\sum _{i=0}^{k}(-1)^{k-i}{\binom {k}{i}}u_{i}$.
Or pour $i\leq k\leq n+1$, ${\binom {n+1}{k}}{\binom {k}{i}}={\binom {n+1}{i}}{\binom {n+1-i}{k-i}}$ (Combinatoire/Exercices/Combinaisons#Exercice 4-1) donc
    $v_{n+1}=u_{n+1}-\sum _{i=0}^{n}{\binom {n+1}{i}}u_{i}\sum _{j=0}^{n-i}(-1)^{j}{\binom {n+1-i}{j}}$.
La formule du binôme permet d’écrire :
    $\sum _{j=0}^{n+1-i}(-1)^{j}{\binom {n+1-i}{j}}=(1-1)^{n+1-i}=0$
donc :
    $\sum _{j=0}^{n-i}(-1)^{j}{\binom {n+1-i}{j}}=-(-1)^{n+1-i}{n+1-i \choose n+1-i}=(-1)^{n-i}$.
On a alors :
    $v_{n+1}=u_{n+1}-\sum _{i=0}^{n}{\binom {n+1}{i}}u_{i}(-1)^{n-i}=\sum _{i=0}^{n+1}(-1)^{n+1-i}{\binom {n+1}{i}}u_{i}$.
| Démonstration par calcul matriciel | Application au dénombrement des surjections |
# Formule d'inversion de Pascal/Démonstration par techniques sommatoires

Soient (u$_n$)$_{n∈ℕ}$ et (v$_n$)$_{n∈ℕ}$ deux suites à valeurs dans un groupe abélien $\left(G,+\right)$ (par exemple $G=\mathbb {R}$), nous avons :
$\left(\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}v_{k}\right)\Leftrightarrow \left(\forall n\in \mathbb {N} \quad v_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}u_{k}\right)$.
Plus précisément : $\forall u_{0},\dots ,u_{N},v_{0},\dots ,v_{N}\in G$
    $\left(\forall n\leq N\quad u_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}v_{k}\right)\Leftrightarrow \left(\forall n\leq N\quad v_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{\binom {n}{k}}u_{k}\right)$.
* Démonstration par techniques sommatoires
* On montre d'abord le lemme :
* $\forall i\in \{0,1,\dots ,n\}\quad \sum _{k=i}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}{k \choose i}={n \choose i}0^{n-i}$.
* Démonstration
* Pour $i\leq k\leq n$, ${\binom {n}{k}}{\binom {k}{i}}={\binom {n}{i}}{n-i \choose n-k}$ (Combinatoire/Exercices/Combinaisons#Exercice 4-1) donc
* ${\begin{aligned}\sum _{k=i}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}{k \choose i}&={\binom {n}{i}}\sum _{k=i}^{n}(-1)^{n-k}{n-i \choose n-k}\\&={\binom {n}{i}}(1-1)^{n-i}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\text{(Formule du binôme)}}\\&={\binom {n}{i}}0^{n-i}.\end{aligned}}$
* Remarque : une autre façon de démontrer ce lemme est de remarquer que la somme à calculer est le coefficient de $x^{n-i}$ dans le développement en série de $\exp(-x)\exp(x)=1$.
* Démontrons maintenant le sens direct ($\Rightarrow$) de l'équivalence. Supposons donc que :
* $\forall n\leq N\quad u_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}v_{k}$.
* Alors :
* ${\begin{aligned}\forall n\leq N\quad \sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}u_{k}&=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}\sum _{i=0}^{k}{k \choose i}v_{i}\\&=\sum _{i=0}^{n}v_{i}\sum _{k=i}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}{k \choose i}\qquad \qquad \qquad {\text{(Inversion de somme)}}\\&=\sum _{i=0}^{n}v_{i}{n \choose i}0^{n-i}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\text{(Lemme)}}\\&={v_{n}}{n \choose n}0^{n-n}\\&=v_{n}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\text{(Car }}{\text}}\end{aligned}}$
* Réciproquement ($\Leftarrow$), supposons que :
* $\forall n\leq N\quad v_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}u_{k}$
* c'est-à-dire, en posant (pour tout $n\leq N$) $u'_{n}=(-1)^{n}v_{n}$ et $v'_{n}=(-1)^{n}u_{n}$ :
* $\forall n\leq N\quad u'_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}v'_{k}$.
* Alors, d'après le sens direct :
* $\forall n\leq N\quad \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}v_{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}(-1)^{k}u'_{k}=(-1)^{n}v'_{n}=u_{n}$.
| Sommaire | Démonstration par calcul matriciel |
# Formulation relativiste de l'électromagnétisme/Prérequis conseillés

* Relativité restreinte
* Introduction à la mécanique analytique
* Analyse vectorielle
# Formule d'inversion de Pascal

| Chap. 1 : | Démonstration par techniques sommatoires (15) |
| Chap. 2 : | Démonstration par calcul matriciel (15) |
| Chap. 3 : | Démonstration par récurrence (15) |
| Chap. 4 : | Application au dénombrement des surjections (15) |
| Chap. 5 : | Application au dénombrement des dérangements (15) |
| Chap. 6 : | Démonstration polynomiale (15) |
| Exos. 1 : | Dénombrement des surjections (15) |
| Exos. 2 : | Dénombrement des dérangements (15) |
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## Présentation [Modifier]

Bien qu'étant, à l'origine, une propriété concernant les suites numériques, la formule d'inversion de Pascal intervient principalement dans les cours sur les dénombrements. On la rencontre plus particulièrement dans les classes préparatoires aux grandes écoles commerciales (prépa H.E.C).
Comme les questions concernant la formule d'inversion de Pascal concernent souvent l'une de ses démonstrations, nous présenterons dans cette leçon les trois principales.
Après avoir réussi à démontrer cette formule de trois manières différentes, nous verrons son application à l'établissement d'autres formules intervenant dans les dénombrements.

## Objectifs [Modifier]

* Être mieux préparé aux concours d'entrée aux grandes écoles commerciales ;
* Être en mesure de résoudre certains problèmes de dénombrement.

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 15.
* Sommation
* Matrice

## Référents [Modifier]

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
* Lydie Noria
* Loïc Fabiou (discuter)
# Formule d'inversion de Pascal/Démonstration polynomiale

Nous avons démontré par diverses méthodes, dans les trois premiers chapitres :
Pour tous $u_{0},\dots ,u_{N},v_{0},\dots ,v_{N}\in G$ où $\left(G,+\right)$ est un groupe abélien (par exemple $G=\mathbb {R}$) :
    $\left(\forall n\leq N\quad u_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}v_{k}\right)\Leftrightarrow \left(\forall n\leq N\quad v_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{\binom {n}{k}}u_{k}\right)$.
Redémontrons ce théorème par une technique bien plus efficace : celle des fonctions génératrices (qui sont en général des séries formelles mais seront ici des polynômes on ne peut plus simples).
Il s'agit de montrer (pour $n$ fixé) que
* $\forall v_{0},\dots ,v_{n}\in G\quad \sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{\binom {n}{k}}\left(\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}v_{j}\right)=v_{n}$ ;
* $\forall u_{0},\dots ,u_{n}\in G\quad \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\left(\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{\binom {k}{j}}u_{j}\right)=u_{n}$.
Démontrons le point 1 (le point 2 se démontre de la même façon, ou se déduit du point 1 comme au chapitre 1).
Par interversion de l'ordre de sommation, on a
    $\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{\binom {n}{k}}\left(\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}v_{j}\right)=\sum _{j=0}^{n}d_{n,j}v_{j}$
avec (pour $0\leq j\leq n$)
    $d_{n,j}=\sum _{k=j}^{n}(-1)^{n-k}{\binom {n}{k}}{\binom {k}{j}}$.
Il s'agit donc simplement de vérifier que $d_{n,n}=1$ et $\forall j<n\quad d_{n,j}=0$.
Or (par construction même)
    $\sum _{j=0}^{n}d_{n,j}X^{j}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{\binom {n}{k}}\left(\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}X^{j}\right)$
donc (d'après la formule du binôme)
    $\sum _{j=0}^{n}d_{n,j}X^{j}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{\binom {n}{k}}\left(1+X\right)^{k}=\left(\left(1+X\right)-1\right)^{n}=X^{n}$,
ce qui (par identification des coefficients) prouve le résultat.
| Application au dénombrement des dérangements | Sommaire |
# Formulation relativiste de l'électromagnétisme/Présentation de la leçon

Cette leçon présente l'étude du champ électromagnétique dans le cadre de la relativité restreinte, et avec le formalisme lagrangien. On y voit en particulier l'étude du mouvement d'une particule chargée relativiste dans un champ, et la démonstration des équations fondamentales de l'électromagnétisme.
# Formule d'inversion de Pascal/Application au dénombrement des surjections

Une surjection d’un ensemble E dans un ensemble F est une application de E dans F où chaque élément de F admet au moins un antécédent.
Nous noterons S$_{p,n}$ le nombre de surjections d’un ensemble de p éléments dans un ensemble de n éléments.
Nous allons trouver une formule exprimant S$_{p,n}$ grâce à la formule d’inversion de Pascal.
Pour cela, nous remarquerons que le nombre des applications d’un ensemble de p éléments dans un ensemble de n éléments peut s’écrire comme la somme :
* du nombre d'applications où aucun élément de l’ensemble d’arrivée n'a d'antécédents ;
* du nombre d'applications où 1 seul élément de l’ensemble d’arrivée a des antécédents ;
* du nombre d'applications où 2 éléments de l’ensemble d’arrivée ont des antécédents ;
* du nombre d'applications où les n éléments de l’ensemble d’arrivée ont des antécédents.
Pour calculer le nombre d’applications où exactement k éléments ont des antécédents, il suffit de dénombrer les choix des k éléments, soit ${\binom {n}{k}}$, et de multiplier ensuite par le nombre de surjections vers les k éléments choisis, soit S$_{p,k}$.
Il y a donc ${\binom {n}{k}}S_{p,k}$ applications où exactement k éléments de l’ensemble d’arrivée ont au moins un antécédent. Comme le nombre total d’applications d’un ensemble à p éléments vers un ensemble à n éléments est n$^p$, on peut écrire :
    $n^{p}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}S_{p,k}$,
et c’est ici que nous pouvons utiliser la formule d’inversion de Pascal pour en déduire S$_{p,n}$.
Il suffit, pour $p\in \mathbb {N}$ fixé, de poser u$_n$ = n$^p$ et v$_n$ = S$_{p,n}$ dans :
    $\left(\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}v_{k}\right)\Leftrightarrow \left(\forall n\in \mathbb {N} \quad v_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{\binom {n}{k}}u_{k}\right)$
pour obtenir :
    $\left(\forall n\in \mathbb {N} \quad n^{p}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}S_{p,k}\right)\Leftrightarrow \left(\forall n\in \mathbb {N} \quad S_{p,n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{\binom {n}{k}}k^{p}\right)$.
On peut donc énoncer :
Le nombre S$_{p,n}$ de surjections d’un ensemble de p éléments vers un ensemble de n éléments est donné par :
    $S_{p,n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}k^{p}$.
Voir aussi : Formule du crible/Dénombrement des surjections et Combinatoire/Exercices/Combinaisons#Exercice 4-7.
| Démonstration par récurrence | Application au dénombrement des dérangements |
# Onde mécanique progressive/Les ondes mécaniques autour de nous
## Des ondes mécaniques autour de nous ?

De nombreux phénomènes se produisent tout autour de nous, sans que nous sachions forcément à quoi ils sont dus.
Par exemple les séismes, le son, les vagues et beaucoup d'autres. Les phénomènes précédemment cités font tous partie de la catégorie des ondes mécaniques progressives (nous verrons de quoi il s'agit dans le prochain chapitre).

## Quelques exemples

Voici un exemple tout simple : enfants, je pense que nous avons tous joué avec un fil (câble d'aspirateur, tuyau d'arrosage ou autres), en le soulevant brusquement et le reposant. S'en suit une déformation (verticale), plus ou moins en forme de "U" à l’envers qui se déplace le long du fil.
Encore un exemple très simple : lorsque qu'une goutte d'eau tombe dans un récipient rempli d'eau, on voit une onde se propager à la surface de l'eau, dans un espace à deux dimensions. (Images à venir, le temps de les faire et de trouver comment on les upload)
Maintenant, un exemple un peu plus complexe : Le son que nous entendons est émis par la vibration de différentes parties de nos organes de l'audition. Les vibrations créées par nos cordes vocales (les muscles qui les contrôlent) sont transmises par l'air jusqu'à nos oreilles.
Ces vibrations peuvent être produites par un objet quelconque, et non seulement par les cordes vocales. Par exemple la guitare est un instrument de musique qui produit des vibrations (de la membrane située à l'extrémité de l'instrument), mais aussi tous les autres instruments de musique.

## Les ondes mécaniques progressives

Les ondes mécaniques progressives sont des ondes qui se propagent dans l'espace à trois dimensions.
Les ondes mécaniques progressives peuvent être produites soit par un objet en mouvement (le fil que nous avions soulevé plus haut, les cordes vocales, etc.) soit par un objet en repos (une goutte d'eau dans un récipient, la guitare, etc.).
Une onde mécanique progressive peut être représentée par une onde sinusoïdale, c'est-à-dire une onde qui a une forme en "sinus".
Cette onde n'a pas de vitesse de propagation, mais une onde mécanique progressive a une vitesse de propagation (que nous verrons au prochain chapitre, lorsque nous aurons vu comment les ondes mécaniques peuvent se propager).
| Sommaire | Pourquoi la guitare émet-elle un son ? |
# Ondes sismiques et structure interne de la Terre/Bibliographie
## Ouvrages en français

* M. Cara (1989). Géophysique, Dunod-Bordas « Géosciences », Paris. (ISBN 2-04-012340-7).
* J. Dubois & M. Diament (1997). Géophysique, Masson, Paris. (ISBN 2-225-83033-9).
* P. Mechler (1982). Les méthodes de la géophysique, Dunod-Bordas « Dunod Université », Paris. (ISBN 2-04-010414-3).
* Jean Paul Poirier, Les Profondeurs de la terre, Masson, coll. « Cahiers des sciences de l'univers », 1997, 2e éd., 140 p. (ISBN 978-2-225-85223-7)

## Ouvrages en anglais

* D.L. Anderson (1989). Theory of the Earth, Blackwell Scientific Publications, Oxford. (ISBN 0-86542-123-4). Theory of the Earth [archive]
* K.E. Bullen (1975). The Earth's Density, Chapman & Hall, London. (ISBN 0-412-10860-7).
* C.M.R. Fowler (1990). The Solid Earth (An Introduction to Global Geophysics), Cambridge University Press, Cambridge. (ISBN 0-521-38590-3).
* Keiiti Aki & Paul G. Richards (2002), Quantitative Seismology, 2nd Edition, University Science Books (ISBN 978-1891389634).
* Seth Stein & Michael Wysession (2002), Introduction to Seismology, Earthquakes, and Earth Structure, Wiley-Blackwell (ISBN 978-0865420786).

## Ouvrages historiques

* B. Gutenberg, editor (1951). Internal Constitution of the Earth, Dover Publications, New York. [Ce volume, bien que très ancien, contient encore beaucoup d'informations valables et permet de se faire une idée de la façon de dégager lentement les grandes unités structurales de la Terre, dans la première moitié du XXe siècle.]
* B.F. Howell (1969). Introduction à la géophysique, Masson, Paris. [Manuel de référence sur la géophysique interne avant l'avènement de la théorie de la tectonique des plaques.]
* H. Jeffreys (1970). The Earth — Its Origin, History and Physical Constitution (Fifth Edition), Cambridge University Press, Cambridge. (ISBN 0-521-07278-6). [Avant-dernière édition de la bible de haut niveau écrite pour les géophysiciens internes par l'un des géophysiciens les plus connus du XXe siècle, même s'il ne s'est jamais rallié à la théorie de la tectonique des plaques).]
* P.J. Smith (1973). Topics in Geophysics, The Open University Press, Milton Keynes, U.K. (ISBN 0-335-02350-9).
* Modèle sismique de la Terre
# Onde mécanique progressive/Définitions

Lorsqu'on crée une déformation en un point d'une corde ou d'un élastique (tendu), ou à la surface de l'eau, la déformation ne reste pas localisée, elle se propage. On appelle ce phénomène une onde.
La propagation se fait de proche en proche, donc on dit que l'onde est progressive.
Ces ondes progressives sont dites mécaniques car elles ont besoin d'un support matériel pour se propager comme une corde ou encore un élastique...
Une onde mécanique progressive est donc une déformation en un point d'un support matériel qui se propage de proche en proche.
| Pourquoi la guitare émet-elle un son ? | Propriétés générales d'une onde mécanique progressive |
# Onde mécanique progressive/Présentation de la leçon

Cette leçon a pour objectif de vous permettre de comprendre la notion d'onde mécanique. Ce sont elles qui sont responsables, par exemple, des tremblements de terre.
# Ondes sismiques et structure interne de la Terre

| Chap. 1 : | Hypothèses mathématiques simplificatrices (10) |
| Chap. 2 : | Ondes sismiques et paramètres élastiques (10) |
| Chap. 3 : | Modèle sismique de la Terre (10) |
| Chap. 4 : | Bibliographie (10) |
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## Présentation [Modifier]

Cette leçon aborde tout d'abord les bases mathématiques et physiques permettant de décrire la structure géologique interne de la Terre grâce à l'analyse des ondes sismiques. Dans un second temps, le "modèle Terre" est présenté et discuté.

## Objectifs [Modifier]

* Connaître le cadre physique et mathématique permettant d'élaborer un modèle sismique de la Terre
* Acquérir les connaissances de base sur la physique des ondes sismiques
* Connaître les grandes structures géologiques internes de la Terre

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 10.
Notions de base sur les ondes mécaniques :
* Onde mécanique progressive
* Mécanique ondulatoire
Et pour les plus matheux sur les milieux continus :
* Mécanique des milieux continus

## Référents

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# Onde mécanique progressive/Prérequis conseillés

Pour les prérequis et afin d’aborder ce sujet quantitativement il faut savoir manier les calculs différentiels (règle de la chaîne...).
# Ondes sismiques et structure interne de la Terre/Objectifs

* Connaître le cadre physique et mathématique permettant d'élaborer un modèle sismique de la Terre
* Acquérir les connaissances de base sur la physique des ondes sismiques
* Connaître les grandes structures géologiques internes de la Terre
# Une compétence en seconde - Résoudre un problème utilisant des fonctions

| Chap. 1 : | Introduction (0) |
| Chap. 2 : | Définir la compétence (0) |
| Chap. 3 : | Progresser dans la compétence (0) |
| Chap. 4 : | Evaluer la compétence (0) |
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## Présentation [Modifier]

L'enseignement des mathématiques en France est en pleine évolution depuis notamment l'arrivée du socle commun des connaissances et des compétences. Le terme même de compétence a vu sa définition évoluée laissant les professeurs perplexes.
Cette leçon se veut une aide apportée aux enseignements de mathématiques dans l'approche des compétences à partir d'un exemple.

## Objectifs [Modifier]

* Comprendre la notion de compétence
* Apprendre à travailler une compétence avec les élèves
* Voir comment on peut évaluer une compétence

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 11.
* Connaître le programme de mathématiques de seconde

## Référents

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# Une compétence en seconde - Résoudre un problème utilisant des fonctions/Objectifs

* Comprendre la notion de compétence
* Apprendre à travailler une compétence avec les élèves
* Voir comment on peut évaluer une compétence
# Un modèle de l'atome/Présentation de la leçon

L’atome est le plus petit particule, que l’on puisse obtenir par la décomposition chimique d’une substance.
Un atome est constitué d’un noyau et d’électrons en mouvement de celui-ci.