OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Introduction à la théorie des nombres/Devoir/Développement en série de Engel

Soit $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ une suite croissante d'entiers $\geq 2$.
* Montrer que la série $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{u_{0}u_{1}\dots u_{n}}}$ converge vers un réel $x\in \left]0,1\right]$. On dit alors que $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{u_{0}u_{1}\dots u_{n}}}$ est un développement de $x$ en série de Engel.
* Montrer que $u_{0}=\left\lfloor {\frac {1}{x}}\right\rfloor +1$ et en déduire que le développement de $x$ en série de Engel est unique.
* Montrer que tout réel de $\left]0,1\right]$ possède un développement en série de Engel.
* Montrer que si la suite $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ est stationnaire alors $x$ est rationnel.
* Prouver la réciproque.
* $0<{\frac {1}{u_{0}u_{1}\dots u_{n}}}\leq {\frac {1}{2^{n+1}}}$ et $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n+1}}}=1$.
* Soit $x_{1}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{u_{1}\dots u_{k}}}$. Alors, $x={\frac {1}{u_{0}}}(1+x_{1})$, or (par croissance de $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$) $0<x_{1}\leq \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{u_{0}\dots u_{k-1}}}=x$, donc $0<u_{0}x-1\leq x$, c'est-à-dire $u_{0}-1\leq {\frac {1}{x}}<u_{0}$, autrement dit $u_{0}=\left\lfloor {\frac {1}{x}}\right\rfloor +1$. Par le même raisonnement, $u_{1}=\left\lfloor {\frac {1}{x_{1}}}\right\rfloor +1$ où $x_{1}=u_{0}x-1$, puis $u_{2}=\left\lfloor {\frac {1}{x_{2}}}\right\rfloor +1$ où $x_{2}=u_{1}x_{1}-1$, etc. donc la suite $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ est entièrement déterminée par $x$.
* Réciproquement, en posant $u_{0}=\left\lfloor {\frac {1}{x}}\right\rfloor +1$, $x_{1}=u_{0}x-1$, $u_{1}=\left\lfloor {\frac {1}{x_{1}}}\right\rfloor +1$, $x_{2}=u_{1}x_{1}-1$, etc., on a bien $u_{0}\geq 2$, $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ strictement positive et décroissante, donc $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ croissante, et $x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{u_{0}u_{1}\dots u_{n}}}$ car pour tout $k\in \mathbb {N}$, $x=\sum _{n=0}^{k}{\frac {1}{u_{0}u_{1}\dots u_{n}}}+{\frac {x_{k+1}}{u_{0}u_{1}\dots u_{k}}}$ (par récurrence) or $0<{\frac {x_{k+1}}{u_{0}u_{1}\dots u_{k}}}\leq {\frac {1}{2^{k+1}}}$.
* Si $u_{n}=a$ pour tout $n\geq N$ alors $x_{N}=\sum _{n=N}^{\infty }{\frac {1}{u_{N}\dots u_{n}}}=\sum _{n=N}^{\infty }{\frac {1}{a^{n-N+1}}}={\frac {1}{a-1}}\in \mathbb {Q}$ donc $x=\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {1}{u_{0}u_{1}\dots u_{n}}}+{\frac {x_{N}}{u_{0}u_{1}\dots u_{N-1}}}\in \mathbb {Q}$.
* Réciproquement, supposons que $x$ est rationnel : $x={\frac {A_{0}}{B}}$ et effectuons la division euclidienne de $B$ par $A_{0}$ : $B=A_{0}Q_{0}+R_{0}$ avec $0\leq R_{0}<A_{0}$. Alors, $u_{0}=\left\lfloor {\frac {A_{0}Q_{0}+R_{0}}{A_{0}}}\right\rfloor +1=Q_{0}+1$ et $x_{1}=u_{0}x-1={\frac {A_{0}-R_{0}}{B}}=:{\frac {A_{1}}{B}}$, et l'on itère. Par récurrence, $x_{n}={\frac {A_{n}}{B}}$, où $(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ est une suite d'entiers strictement positive et décroissante donc stationnaire et $u_{n}=\left\lfloor {\frac {B}{A_{n}}}\right\rfloor +1$ donc $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ est également stationnaire.
| Équation de Pell-Fermat | Sommaire |
# Introduction à la théorie des nombres/Devoir/Nombres équivalents

Ce devoir est lié au chapitre 2 : Approximation diophantienne et fractions continues.
On note $\sim$ la relation d'équivalence sur les irrationnels « avoir un quotient complet commun ».
Autrement dit, si deux irrationnels $x=\left[a_{0},a_{1},\dots \right]$ et $y=\left[b_{0},b_{1},\dots \right]$ ont pour suites de quotients complets $\left(x_{n}\right)$ et $\left(y_{n}\right)$ :
$x\sim y\Longleftrightarrow \exists r,s\in \mathbb {N} \quad x_{r}=y_{s}$
1°) Justifier brièvement les deux propriétés suivantes :
    a) avec les mêmes notations : $x_{r}=y_{s}\Longleftrightarrow \forall k\in \mathbb {N} \quad a_{r+k}=b_{s+k}\Longleftrightarrow \forall k\in \mathbb {N} \quad x_{r+k}=y_{s+k}$ ;
    b) pour tout irrationnel $x$ :
2°) On considère d'autre part l'action, sur l'ensemble des irrationnels, du groupe $G:=\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {Z} )$ (les matrices $2\times 2$ à coefficients entiers et de déterminant $\pm 1$), donnée, pour tout irrationnel $x$, par :
$\forall M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in G\quad \quad M\cdot x={\frac {ax+b}{cx+d}}$
    Démontrer que (pour tous irrationnels $x$ et $y$) :
${\text{si}}\quad x\sim y\quad {\text{alors}}\quad \exists M\in G\quad y=M\cdot x$
La suite de l'exercice va consister à démontrer la réciproque, à l'aide du lemme 1 ci-dessus et des lemmes 2 et 3 suivants, élémentaires donc admis : pour tout irrationnel $x$,
(Le lemme 2 est démontré dans l'exercice 2-11.)
3°) Soient $x,y$ deux irrationnels dans la même orbite pour l'action de $G$. Il existe donc $a,b,c,d\in \mathbb {Z}$ tels que
$ad-bc=\pm 1\quad {\text{et}}\quad y={\frac {ax+b}{cx+d}}$
    Montrer qu'on peut même choisir $a,b,c,d$ tels que de plus, $(c,d)=(0,1)$ ou $c>0$.
4°) Montrer que si $(c,d)=(0,1)$ alors $y\sim x$ (utiliser les lemmes 1 et 2).
5°) On étudie maintenant le second cas : $c>0$. On choisit alors, parmi les deux développements du rationnel ${\frac {a}{c}}$ en fraction continue finie, celui dont la longueur $n$ est de parité telle que
$ad-bc=(-1)^{n}$
    On le note
${\frac {a}{c}}=\left[a_{0},\dots ,a_{n-1}\right]$
    et l'on note $h_{i},k_{i}$ (pour $i<n$) les numérateurs et dénominateurs des réduites associées.
    Démontrer successivement :
    a) $a=h_{n-1}$ et $c=k_{n-1}$ ;
    b) $\exists r\in \mathbb {Z} \quad b=rh_{n-1}+h_{n-2}\quad {\text{et}}\quad d=rk_{n-1}+k_{n-2}$ ;
    c) ${\frac {ax+b}{cx+d}}=\left[a_{0},\dots ,a_{n-1},x+r\right]$ ;
    d) et enfin (en utilisant les lemmes 1 et 3) : $y\sim x$.
Anne Bauval, « Preuve simplifiée du théorème de Serret sur les nombres équivalents », sur arXiv, 19 juin 2017
| Théorème des deux carrés de Jacobi | Groupe des inversibles de ℤ/nℤ |
# Arithmétique/Annexe/Crible d'Ératosthène

Le crible des nombres premiers est une méthode relativement efficace pour trouver tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à un nombre précis. Disons que nous voulons tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à 50.
Premièrement, nous écrivons tous les nombres compris entre 0 et 51 dans une table comme ci-dessous
    ${\begin{matrix}1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\11&12&13&14&15&16&17&18&19&20\\21&22&23&24&25&26&27&28&29&30\\31&32&33&34&35&36&37&38&39&40\\41&42&43&44&45&46&47&48&49&50\\\end{matrix}}$
On enlève 1, car il n’est pas premier.
    ${\begin{matrix}X&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\11&12&13&14&15&16&17&18&19&20\\21&22&23&24&25&26&27&28&29&30\\31&32&33&34&35&36&37&38&39&40\\41&42&43&44&45&46&47&48&49&50\\\end{matrix}}$
Maintenant, 2 est le plus petit nombre pas encore rayé dans la table. Nous marquons 2 comme un nombre premier et nous rayons tous ses multiples 4, 6, 8, 10 ...
    ${\begin{matrix}X&2_{p}&3&X&5&X&7&X&9&X\\11&X&13&X&15&X&17&X&19&X\\21&X&23&X&25&X&27&X&29&X\\31&X&33&X&35&X&37&X&39&X\\41&X&43&X&45&X&47&X&49&X\\\end{matrix}}$
Maintenant, 3 est le plus petit nombre pas encore marqué. Nous marquons 3 comme un nombre premier et nous rayons tous ses multiples 6, 9, 12, 15 ...
    ${\begin{matrix}X&2_{p}&3_{p}&X&5&X&7&X&X&X\\11&X&13&X&X&X&17&X&19&X\\X&X&23&X&25&X&X&X&29&X\\31&X&X&X&35&X&37&X&X&X\\41&X&43&X&X&X&47&X&49&X\\\end{matrix}}$
Maintenant 5 est le plus petit nombre pas encore marqué. Nous marquons 5 comme un nombre premier et nous rayons tous les multiples de 5.
    ${\begin{matrix}X&2_{p}&3_{p}&X&5_{p}&X&7&X&X&X\\11&X&13&X&X&X&17&X&19&X\\X&X&23&X&X&X&X&X&29&X\\31&X&X&X&X&X&37&X&X&X\\41&X&43&X&X&X&47&X&49&X\end{matrix}}$
Maintenant 7 est le plus petit nombre pas encore marqué. Nous marquons 7 comme un nombre premier et nous rayons tous les multiples de 7.
    ${\begin{matrix}X&2_{p}&3_{p}&X&5_{p}&X&7_{p}&X&X&X\\11&X&13&X&X&X&17&X&19&X\\X&X&23&X&X&X&X&X&29&X\\31&X&X&X&X&X&37&X&X&X\\41&X&43&X&X&X&47&X&X&X\\\end{matrix}}$
Voilà les nombres premiers, compris entre 1 et 50, trouvés par la méthode du crible d'Ératosthène.
| Sommaire | Sommaire |
# Argots à base française/Objectifs

présenter les argots à base française.
# Argots à base française/Prérequis conseillés

* pas besoin de connaître des notions de linguistique pour aborder cette leçon.
* tout le monde peut être intéressé par l'argot sans prérequis.
# Argots à base française/Présentation de la leçon

Le but de cette leçon est de donner un aperçu des différents argots à base française dans le monde.
# Arithmétique

| Chap. 1 : | Divisibilité et congruences dans Z |
| Chap. 2 : | PGCD |
| Chap. 3 : | Théorèmes de Bézout et Gauss |
| Chap. 4 : | Nombres premiers |
| Chap. 5 : | PPCM |
| Annexe : | Crible d'Ératosthène |
| Exos. 1 : | Division euclidienne |
| Exos. 2 : | Multiples et diviseurs |
| Exos. 3 : | Diviseurs communs |
| Exos. 4 : | PPCM et PGCD |
| Exos. 5 : | Théorème de Gauss |
| Exos. 6 : | Théorème de Bézout |
| Exos. 7 : | Fractions |
| Exos. 8 : | Numération |
| Exos. 9 : | Congruences |
| Exos. 10 : | Nombres premiers |
| Exos. 11 : | Divers |
| Exos. 12 : | Pour les cracks |
| Devoir 1 : | Nombres polymonadiques |
| Devoir 2 : | Nombres premiers d'une suite |
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## Présentation [Modifier]

L'arithmétique est la science des nombres entiers et de leurs relations, notamment de divisibilité. Outre de nombreuses applications, elle devient à plus haut niveau la théorie des nombres.

## Objectifs [Modifier]

Les objectifs de cette leçon sont multiples. Il s'agit dans un premier temps de comprendre le principe du raisonnement en arithmétique qui est différent de celui connu depuis le collège.

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 13.
* Initiation à l'arithmétique (Niveau 10)
* Nombre entier relatif (Niveau 8)
* Vocabulaire et notations mathématiques : page pour comprendre certaines notations utilisées dans ce cours.

## Pour aller plus loin [Modifier]

* Anneau (mathématiques)
* Introduction à la théorie des nombres

## Référents [Modifier]

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
* Loïc Fabiou (discuter)
# Arithmétique/Devoir/Nombres polymonadiques

Un nombre polymonadique est un nombre qui ne s'écrit qu'avec des 1, comme 1, 11, 111, 1111, 11111, etc.
Une définition équivalente est de dire qu'un nombre polymonadique est un nombre de la forme ${\frac {10^{n}-1}{9}}$, avec n entier naturel, n ⩾ 1, le nombre n indiquant le nombre de chiffres 1 pour écrire ce nombre dans le système décimal.
On pose :
    $e_{n}={\frac {10^{n}-1}{9}}$.
On s'intéresse au problème suivant : existe-t-il des nombres polymonadiques premiers ?
1° Démontrer que lorsque n est pair, e$_n$ est divisible par 11.
2° Démontrer que lorsque m divise n, e$_m$ divise e$_n$.
    Aide : vous pouvez utiliser l'expression d'une somme de termes consécutifs d'une suite géométrique de raison b ≠ 1 :
       $\sum _{i=0}^{r-1}b^{i}={\frac {b^{r}-1}{b-1}}$.
3° Déduisez-en que si e$_n$ est premier, alors n est premier. Montrer que la réciproque est fausse en examinant le cas de e$_3$.
4° a) À l'aide de l'identité pour m ⩾ n :
       $b^{m}-1=b^{m-n}\left(b^{n}-1\right)+b^{m-n}-1$,
    démontrer que les diviseurs communs à e$_m$ et e$_n$ sont les diviseurs communs à e$_{m–n}$ et e$_n$.
    b) En déduire que $\operatorname {pgcd} (e_{m},e_{n})=e_{\operatorname {pgcd} (m,n)}$ (en particulier, si m et n sont premiers entre eux, alors e$_m$ et e$_n$ sont premiers entre eux).
1° Modulo 11, $9e_{2k}=\left(10^{2}\right)^{k}-1\equiv 1^{k}-1=0$ donc 11 divise $9e_{2k}$. D'après le théorème de Gauss, il divise donc $e_{2k}$.
    On peut aussi le déduire de la question suivante (cas m = 2).
2° ${\frac {e_{mr}}{e_{m}}}={\frac {10^{mr}-1}{10^{m}-1}}=\sum _{i=0}^{r-1}\left(10^{m}\right)^{i}\in \mathbb {N}$ donc e$_m$ divise e$_{mr}$. On peut aussi le déduire de la question 4, puisque $a\mid b\Leftrightarrow \operatorname {pgcd} (a,b)=a$.
3° On en déduit que si n n'est pas premier alors e$_n$ non plus (car si 1 < m < n alors 1 < e$_m$ < e$_n$). Par contraposition, si e$_n$ est premier alors n est premier.
    La réciproque est fausse : 3 est premier mais e$_3$ = 111 = 3 × 37.
4° a) $e_{m}=10^{m-n}e_{n}+e_{m-n}$.
    b) Raisonner par anthyphérèse.
| Sommaire | Nombres premiers d'une suite |
# Rwanda

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Le génocide rwandais
Le génocide rwandais (1994) a entraîné le massacre de centaines de milliers de Tutsis et de sympathisants hutus modérés au Rwanda et a été la plus grande atrocité de la guerre civile rwandaise et l'une des atrocités humaines les plus importantes du XXe siècle.
Caractéristiques du génocide sont:
* Le génocide rwandais a été principalement perpétré par deux milices extrémistes hutu, les Interahamwe et les Impuzamugambi, pendant environ 100 jours, du 6 avril à la mi-juillet 1994.
* Quelque part entre un demi-million et un million de personnes ont été systématiquement massacrées en trois mois (~ 100 jours).
* Au moins 500 000 Tutsis et des milliers de Hutus modérés sont morts. Notez que plusieurs estimations placent le nombre de morts entre 700 000 et 1 000 000, selon la source.
# Règles et rudiments du jeu d’échecs/Prérequis conseillés

Il est possible de jouer aux échecs à n’importe quel âge. Cependant les joueurs les plus jeunes auront sûrement un peu de mal à respecter toutes les règles de déplacement ou à terminer une partie.
* Certains jeux d'échecs contiennent des petites pièces qui avalées peuvent représenter un danger pour les plus jeunes. À savoir : il existe des jeux d'échecs aux pièces étudiées pour l’utilisation par les plus jeunes, lesquelles sont plus grandes et moins dures.
# Règles et rudiments du jeu d’échecs/Présentation de la leçon

Le jeu d'échecs est un célèbre jeu de stratégie, où le joueur incarne une armée devant vaincre l'armée adverse, en utilisant une réflexion poussée pour pouvoir anticiper les mouvements de son ennemi de façon à triompher. De la découverte de ce jeu vieux de plusieurs siècles à son maniement, il n'y a qu'un pas que cette leçon vous permettra, nous l'espérons, de faire.
# Rythmes pour l'improvisation

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## Introduction
### Présentation

Le but de cette leçon est d'explorer des rythmes inhabituels pour travailler les gammes et les arpèges. En effet, le plus souvent, et à juste titre, on travaille ces exercices en notes égales (en croches ou en doubles croches), afin de se concentrer sur la difficulté mélodique et d'assimiler les doigtés.
Cependant, à la longue, ces exercices peuvent se révéler ennuyeux. Par conséquent, il nous paraît bon de varier les rythmes et nous nous proposons donc d'explorer de façon systématique tous les principaux rythmes possibles dans une mesure à 4/4, combinant des croches ou des triolets de croches, ce qui correspond aux rythmes les plus fréquents dans une improvisation de jazz, du moins pour un improvisateur débutant.

### Conseils de travail

* Prendre un rythme et l'appliquer à une gamme, un arpège ou bien l'exploiter de façon systématique pour une improvisation.

### Composition des motifs rythmiques

Pour chaque temps, nous avons 5 (sous-)motifs possibles différents :
Pour une mesure à 4 temps, cela donne $5^{4}=625$ motifs différents pour une durée d'une mesure.
| Nb notes | Total |
| 0 | 1 |
| 1 | 8 |
| 2 | 28 |
| 3 | 60 |
| 4 | 94 |
| 5 | 116 |
| 6 | 114 |
| 7 | 92 |
| 8 | 61 |
| 9 | 32 |
| 10 | 14 |
| 11 | 4 |
| 12 | 1 |
| Total | 625 |

### Sélection des motifs rythmiques

Parmi les 625 motifs rythmiques dénombrés dans le tableau ci-dessus, tous ne sont pas intéressants, loin s'en faut. Ainsi, il est de peu d'intérêt de travailler le motif :
Nous avons donc sélectionné les motifs de 3 à 9 notes, exposés dans les sections qui suivent. Il y en a en tout 569, soit plus de 91 % du total.
# Règles et rudiments du jeu d’échecs/Objectifs

* Apprendre les règles de base
* Comprendre les manœuvres les plus utilisées
# Règles et rudiments du jeu d’échecs/Introduction

Le jeu d'échecs est un célèbre jeu de stratégie où le joueur incarne une armée devant vaincre l'armée adverse.

## Présentation

Comme tous les jeux de stratégie, le jeu d'échecs ne fait pas intervenir le hasard (sauf pour éventuellement déterminer qui prend les blancs et commence), mais la tactique et la réflexion. Pour jouer, on utilise un plateau quadrillé appelé échiquier. Ce jeu simule une bataille entre deux armées, avec des pièces représentant différents soldats. Contrairement au jeu de go où l’idée de territoire est importante et où toutes les pièces sont semblables, le jeu d'échec s'oriente plutôt vers l'affrontement, chaque pièce ayant ses particularités.
Il ne doit pas être confondu avec le jeu de dame, qui est tout de même différent.

## Origine

On sait que le jeu d'échecs est apparu en Inde il y a longtemps. Mais quand exactement ? Est-ce quelqu’un de précis qui l'a inventé ? Où précisément ? On trouve plusieurs légendes à ce sujet, ainsi que des explications plus "matérielles".
| Sommaire | Règles du jeu d'échecs |
# Règles et rudiments du jeu d’échecs/Quiz/Déplacements des pièces

| Pièces du jeu d'échecs | Sommaire |
# Règles et rudiments du jeu d’échecs

| Chap. 1 : | Introduction |
| Chap. 2 : | Règles du jeu d'échecs |
| Chap. 3 : | Tactiques |
| Quiz 1 : | Pièces du jeu d'échecs |
| Quiz 2 : | Déplacements des pièces |
Sur les autres projets Wikimedia :
* « Règles du jeu d'échecs » sur Wikipédia
* « Apprendre à jouer aux échecs » sur Wikibooks

## Présentation [Modifier]

Le jeu d'échecs est un célèbre jeu de stratégie, où le joueur incarne une armée devant vaincre l'armée adverse, en utilisant une réflexion poussée pour pouvoir anticiper les mouvements de son ennemi de façon à triompher. De la découverte de ce jeu vieux de plusieurs siècles à son maniement, il n'y a qu'un pas que cette leçon vous permettra, nous l'espérons, de faire.

## Objectifs [Modifier]

* Apprendre les règles de base
* Comprendre les manœuvres les plus utilisées

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau débutant.
Il est possible de jouer aux échecs à n’importe quel âge. Cependant les joueurs les plus jeunes auront sûrement un peu de mal à respecter toutes les règles de déplacement ou à terminer une partie.
* Certains jeux d'échecs contiennent des petites pièces qui avalées peuvent représenter un danger pour les plus jeunes. À savoir : il existe des jeux d'échecs aux pièces étudiées pour l’utilisation par les plus jeunes, lesquelles sont plus grandes et moins dures.

## Référents [Modifier]

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
* Rayman3640
* Hérisson grognon (discuter)
# Variables aléatoires discrètes/Loi binomiale
## Définition

Rappel (cf. prérequis) :
Soient $p$ un nombre réel compris entre 0 et 1 et $n$ un entier positif.
Une variable aléatoire discrète X suit une loi binomiale de paramètre $(n,p)$ si :
$\forall k\in [0,n]\quad \mathbb {P} (X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}$
On note cette loi ${\mathcal {B}}(n,p)$.
Remarquons que ceci définit bien une loi de probabilités sur $[0,n]$ :
    $\sum _{k=0}^{n}\mathbb {P} (X=k)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}=\left(p+(1-p)\right)^{n}=1$
d'après la formule du binôme.

## Moments
### Espérance

L'espérance d'une loi binomiale est $np$.
En utilisant la propriété :
$X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\sim {\mathcal {B}}(p)\Rightarrow X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}\sim {\mathcal {B}}(n,p)$
on a, par linéarité :
$\mathbb {E} (X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n})=n\mathbb {E} (X_{1})=np$

### Variance

* La variance d'une loi binomiale est $np(1-p)$.
* Son écart type est donc ${\sqrt {np(1-p)}}$.
En utilisant la propriété :
$X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\sim {\mathcal {B}}(p)\Rightarrow X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}\sim {\mathcal {B}}(n,p)$
on a, grâce à l'indépendance des variables :
$V(X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n})=nV(X_{1})=np(1-p)$

## Épreuves de Bernoulli

L'illustration la plus classique de la loi binomiale se déduit d'épreuves de Bernoulli : en effet, si $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}$ sont n variables aléatoires indépendantes de même loi, la loi de Bernoulli de paramètre p, alors leur somme $S=X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}$ suit une loi binomiale de paramètres n et p.
En effet, si $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}$ suivent une loi de Bernoulli, elles prennent toutes pour valeurs 0 ou 1, donc leur somme S prend des valeurs entre 0 et n. Ensuite, il faut calculer $\mathbb {P} (S=k)$, soit, parmi les n variables, la probabilité que k d'entre elles valent 1. Connaissant le paramètre p, on déduit la valeur recherchée.

## Loi binomiale négative

La loi binomiale négative s'inspire de la définition de la loi binomiale, mais s'intéresse aux nombres d'échecs :
On réalise des tirages indépendants d'une loi de Bernoulli de paramètre p jusqu'à obtenir n succès. Le nombre d'échecs obtenus est une variable aléatoire suivant une loi binomiale négative.
Une variable aléatoire discrète X suit une loi binomiale négative si :
$\forall k\in \mathbb {N} \ \ \mathbb {P} (X=k)={\binom {k+n-1}{k}}p^{n}(1-p)^{k}$
où $p$ est un nombre réel compris entre 0 et 1 appelé paramètre de la loi, et n un entier positif.
On note cette loi ${\mathcal {NB}}(n,p)$.
Le nom de loi binomiale négative vient du fait qu'on peut également écrire la probabilité en utilisant les coefficients binomiaux généralisés aux entiers négatifs :
$\forall k\in \mathbb {N} \ \ \mathbb {P} (X=k)={\binom {-n}{k}}p^{n}(-(1-p))^{k}$
| Loi de Bernoulli | Loi géométrique |
# Variables aléatoires discrètes/Objectifs

Acquérir de bonnes bases sur les variables aléatoires discrètes les plus courantes.
# Variables aléatoires discrètes/Présentation de la leçon

Cette leçon introduit aux variables aléatoires discrètes, c'est-à-dire à valeurs dans un ensemble fini ou dénombrable (en général : un ensemble d'entiers). Les exemples classiques sont ensuite développés.
# Variables aléatoires discrètes/Loi de Bernoulli
## Définition

Une variable aléatoire discrète suit une loi de Bernoulli si :
$\mathbb {P} (X=0)=1-p\ {\text{et}}\ \mathbb {P} (X=1)=p$
où $p$ est un nombre réel compris entre 0 et 1 appelé paramètre de la loi.
On note cette loi ${\mathcal {B}}(p)$.

## Moments
### Espérance

L'espérance d'une loi de Bernoulli est $p$.
Si $X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$, soit $X\sim {\mathcal {B}}(p)$. Alors $\mathbb {E} (X)=0\times (1-p)+1\times p=p$.

### Variance

* La variance d'une loi de Bernoulli est $p(1-p)$.
* Son écart type est donc ${\sqrt {p(1-p)}}$.
${\begin{aligned}V(X)&=\mathbb {E} (X^{2})-(\mathbb {E} (X))^{2}\\&=0\times (1-p)+1^{2}\times p-p^{2}\\&=p-p^{2}\\&=p(1-p),\end{aligned}}$
d'où $\sigma ={\sqrt {V(x)}}={\sqrt {p(1-p)}}$.

## Épreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est un schéma où l’on ne considère que deux possibilités :
* le succès (valeur 1)
* l'échec (valeur 0)
L'exemple le plus simple est le tirage à pile ou face : si la pièce est équilibrée, le fait d’avoir pile suit une loi de Bernoulli de paramètre 1/2.
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