# Introduction à la théorie des nombres/Exercices/Géométrie des nombres
## Exercice 6-1

Construire dans le plan :
* un convexe d'aire infinie mais ne contenant aucun point de $\mathbb {Z} ^{2}$ ;
* une partie symétrique par rapport à l'origine et d'aire infinie mais ne contenant aucun point de $\mathbb {Z} ^{2}$.
* $\mathbb {R} \times \left]0,1\right[$ ;
* $\mathbb {R} ^{2}\setminus \mathbb {Z} ^{2}$.

## Exercice 6-2

On rappelle les deux points du théorème de Minkowski :
Soit $C\subset \mathbb {R} ^{n}$ un convexe symétrique par rapport à $0$.
* Si $\operatorname {vol} (C)>2^{n}$, alors $C$ contient au moins un élément non nul de $\mathbb {Z} ^{n}$.
* Si $\operatorname {vol} (C)=2^{n}$ et si $C$ est compact, on a la même conclusion.
Montrez que chacun des deux points se déduit de l'autre.
* $2\Rightarrow 1$ car tout convexe $0$-symétrique $C$ de volume $>2^{n}$ contient un convexe $0$-symétrique compact de volume $2^{n}$ : si $\operatorname {vol} (C)<+\infty$ alors $k:={\frac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{\operatorname {vol} (C)}}>1$ donc ${\frac {1}{k}}\,{\overline {C}}\subset {\stackrel {\ \circ }{C}}\subset C$ (cf. Topologie générale/Exercices/Espaces topologiques#Exercice 2 : Mesurabilité des convexes). Si $\operatorname {vol} (C)=+\infty$, remplacer au préalable $C$ par $C\cap B\left(0,R\right)$ avec $R$ suffisamment grand pour que le volume reste $>2^{n}$.
* $1\Rightarrow 2$ car si $C$ est compact et si $\forall j\in \mathbb {N} ^{*}\quad \exists z_{j}\in \left(\mathbb {Z} ^{n}\setminus \{0\}\right)\cap \left(1+{\frac {1}{j}}\right)C$, la suite $\left(z_{j}\right)$ est bornée donc (quitte à la remplacer par une sous-suite) convergente : $z_{j}\to z$. Alors, $z$ appartient au fermé $\mathbb {Z} ^{n}\setminus \{0\}$, mais aussi au fermé $C$ car ${\frac {1}{1+{\frac {1}{j}}}}z_{j}\to z$. (Variante de raisonnement, évitant d'extraire une sous-suite : la suite $\left(z_{j}\right)$, à valeurs discrètes et bornées, prend une infinité de fois la même valeur $z$. Alors, ${\frac {1}{1+{\frac {1}{j}}}}z\in C$ pour des $j$ arbitrairement grands, donc la limite $z$ appartient au fermé $C$.)

## Exercice 6-3

Soit un entier $r\geq 1$.
* Démontrer le « principe des tiroirs pour les mesures » :
    Soient $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ un espace mesuré et $(X_{j})$ une suite de parties mesurables de $X$.
    Si $\sum _{j}\mu (X_{j})>r\,\mu (\cup _{j}X_{j})$, alors il existe un point de $X$ appartenant à au moins $r+1$ de ces parties.
* En déduire le théorème de Blichfeldt :
    Soit $R$ une partie Lebesgue-mesurable de $\mathbb {R} ^{n}$.
*   * Si $\operatorname {vol} (R)>r$, alors $R$ contient $r+1$ points distincts dont les différences sont à coordonnées entières.
*   * Si $\operatorname {vol} (R)=r$ et si $R$ est compact, on a la même conclusion.
* En notant $\mathbb {1} _{Y}$ l'indicatrice de toute partie $Y$ de $X$, on a $\int _{\cup _{j}X_{j}}\sum _{n}\mathbb {1} _{X_{n}}\ \mathrm {d} \mu >\int _{\cup _{j}X_{j}}r\ \mathrm {d} \mu$ donc la fonction $\sum _{n}\mathbb {1} _{X_{n}}$ est strictement supérieure à $r$ en au moins un point.
** Supposons $\operatorname {vol} (R)>r$ et notons $D:=\left[0,1\right[^{n}$. Par les mêmes arguments que dans le cas $r=1$ (lemme de Blichfeldt du cours), on a : $\sum _{u\in \mathbb {Z} ^{n}}\operatorname {vol} \left((R-u)\cap D\right)>r\,\operatorname {vol} \left(\cup _{u\in \mathbb {Z} ^{n}}(R-u)\cap D\right)$. D'après le principe des tiroirs, il existe donc au moins un point $z\in D$ et $r+1$ vecteurs distincts $u_{0},\dots ,u_{r}\in \mathbb {Z} ^{n}$ tels que $\forall i\in \{0,\dots ,r\}\quad z\in R-u_{i}$. Les $r+1$ points $x_{i}:=z+u_{i}\in R$ sont alors distincts, et leurs différences $x_{i}-x_{j}=u_{i}-u_{j}$ sont bien à coordonnées entières.
** Le second point se déduit du premier exactement comme dans l'exercice précédent.
Bibliographie complémentaire : Lekkerkerker, Olds-Lax-Davidoff.

## Exercice 6-4

Soit un nombre premier
    $p\equiv 1{\bmod {4}}$.
Il existe donc un entier $a$ tel que $-1\equiv a^{2}{\bmod {p}}$.
En considérant le réseau $\Gamma :=\{\left(ps+at,t\right)\mid s,t\in \mathbb {Z} \}\subset \mathbb {R} ^{2}$ et le disque ouvert $C$ de centre $0$ et de rayon ${\sqrt {2p}}$, redémontrer le théorème des deux carrés « de Fermat » :
    $p$ est somme de deux carrés.
Le covolume de $\Gamma ={\begin{pmatrix}p&a\\0&1\end{pmatrix}}\left(\mathbb {Z} ^{2}\right)$ est $p$ et l'aire de $C$ est $\pi 2p>2^{2}p$. D'après le théorème de Minkowski, il existe donc $\left(x,y\right)\in \Gamma \cap C\setminus \{0\}$.
* Puisque $\left(x,y\right)\in \Gamma$, on a $x\equiv ay{\bmod {p}}$ donc $x^{2}+y^{2}\equiv \left(a^{2}+1\right)y^{2}\equiv 0{\bmod {p}}$.
* Puisque $\left(x,y\right)\in C\setminus \{0\}$, on a $0<x^{2}+y^{2}<2p$.
Par conséquent, $x^{2}+y^{2}=p$.

## Exercice 6-5

* Soit un nombre premier $p>2$. Il existe donc des entiers $r,s$ tels que $r^{2}+s^{2}\equiv -1{\bmod {p}}$. En considérant le réseau $\Gamma :=A\left(\mathbb {Z} ^{4}\right)$ pour $A={\begin{pmatrix}p&0&r&s\\0&p&s&-r\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$ et la boule ouverte $C\subset \mathbb {R} ^{4}$ de centre $0$ et de rayon $R={\sqrt {2p}}$, démontrer que
    $p$ est somme de quatre carrés.
* En utilisant l'identité des quatre carrés d'Euler, selon laquelle le produit de deux sommes de quatre carrés est une somme de quatre carrés, en déduire le théorème des quatre carrés de Lagrange :
    tout entier positif est somme de quatre carrés.
* Le covolume de $\Gamma$ est $p^{2}$ et le volume de $C$ est $\pi ^{2}R^{4}/2=2\pi ^{2}p^{2}>2^{4}p^{2}$. D'après le théorème de Minkowski, il existe donc $\left(x,y,z,t\right)\in \Gamma \cap C\setminus \{0\}$.
** Puisque $\left(x,y,z,t\right)\in \Gamma$, on a $x\equiv rz+st{\bmod {p}}$ et $y\equiv sz-rt{\bmod {p}}$ donc $x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}\equiv \left(r^{2}+s^{2}+1\right)\left(z^{2}+t^{2}\right)\equiv 0{\bmod {p}}$.
** Puisque $\left(x,y,z,t\right)\in C\setminus \{0\}$, on a $0<x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}<2p$.
    Par conséquent, $x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}=p$.
* Il suffit, pour compléter l'argument, de vérifier que $0$, $1$ et $2$ sont aussi sommes de quatre carrés.

## Exercice 6-6

Soient $x,y\in \mathbb {R}$ et $n\in \mathbb {N} ^{*}$. Montrer qu'il existe :
* $a,b,c\in \mathbb {Z}$ tels que $0<c\leq n$ et $\left(x-a/c\right)^{2}+\left(y-b/c\right)^{2}\leq {\frac {4}{\pi nc^{2}}}$ (considérer $C:=\{\left(a,b,c\right)\in \mathbb {R} ^{3}\mid \left(cx-a\right)^{2}+\left(cy-b\right)^{2}\leq {\frac {4}{\pi n}}{\text{ et }}|c|\leq n\}$) ;
* $a,b,c\in \mathbb {Z}$ tels que $|a|,|b|\leq n$, $\left(a,b\right)\neq \left(0,0\right)$ et $\left|ax+by+c\right|<1/n^{2}$.
* Le convexe $C$ ($0$-symétrique) est un cyclindre oblique de base $\pi {\frac {4}{\pi n}}$ et de hauteur $2n$, donc de volume $8=2^{3}$. Il est compact donc contient un point non nul $\left(a,b,c\right)\in \mathbb {Z} ^{3}$.
** Si $c\neq 0$, on peut choisir $c>0$.
** Si $c=0$, $1\leq a^{2}+b^{2}\leq {\frac {4}{\pi n}}$ donc $n=1$, et l'on cherche un autre $\left(a,b\right)\in \mathbb {Z} ^{2}$ (avec $c=1$) tel que $\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}\leq {\frac {4}{\pi }}$. En prenant les deux entiers les plus proches de $x$ et $y$, on a bien $(1/2)^{2}+(1/2)^{2}=1/2<{\frac {4}{\pi }}$.
* Un cas particulier du corollaire du théorème de Minkowski sur les formes linéaires est : $\forall b_{1},\dots ,b_{d}\in \mathbb {R} \quad \forall Q\geq 1\quad \exists q\in \mathbb {Z} ^{d}\setminus \{0\}\quad |q_{j}|\leq Q\quad {\text{et}}\quad d\left(\sum b_{j}q_{j},\,\mathbb {Z} \right)<Q^{-d}$. Pour $d=2,b_{1}=x,b_{2}=y,Q=n$, il donne : $\exists (a,b)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{0\}\quad |a|,|b|\leq n\quad {\text{et}}\quad d(ax+by,\mathbb {Z} )<1/n^{2}$.

## Exercice 6-7

Soient $m>1$ et $a$ deux entiers. Montrer que pour tout réel $X\in \left]1,m\right[$, il existe deux entiers $x$ et $y$ tels que $ax\equiv y{\bmod {m}}$, $1\leq x<X$ et $|y|\leq m/X$.
Appliquons le théorème de Minkowski pour les formes linéaires à $L_{1}=ax-y-mz,L_{2}=x,L_{3}=y,\lambda _{1}=1,\lambda _{2}=X,\lambda _{3}=m/X$. Alors, $\det A=m=\prod \lambda _{i}$ donc il existe un vecteur non nul $\left(x,y,z\right)\in \mathbb {Z} ^{3}$ tel que $\left|ax-y-mz\right|<1$ (donc $ax=y+mz$), $|x|<X$ et $|y|\leq m/X$. De plus, $x\neq 0$ car sinon, on aurait $\left(0,0,0\right)\neq \left(x,y,z\right)=\left(0,mz,z\right)$ donc $z\neq 0$ et $|mz|\leq m/X$, c'est-à-dire $1\leq |z|\leq 1/X$, ce qui est exclu car $X>1$. On peut donc choisir $x>0$ (en remplaçant si nécessaire $\left(x,y,z\right)$ par son opposé).

## Exercice 6-8

Soient $m$ réels $x_{1},\dots ,x_{m}$, et un entier $n\geq 1$. Démontrer qu'il existe un entier $q\geq 1$ et des entiers relatifs $p_{1},\dots ,p_{m}$ tels que
    $q\leq n^{m}\quad {\text{et}}\quad \forall i\in \left\{1,\dots ,m\right\}\quad \left|qx_{i}-p_{i}\right|<{\frac {1}{n}}$.
Indication :
* 1re méthode : imiter la preuve du cas $m=1$ vue au chapitre 2 (Application du principe des tiroirs) en considérant la partie fractionnaire de multiples convenables des $x_{i}$ et en découpant l'hypercube $\left[0,1\right[^{m}$ en sous-hypercubes adéquats.
* 2e méthode : exploiter le théorème de Minkowski pour des formes linéaires.
* 1re méthode (Hardy et Wright theorem 200, en rectifiant la ligne 5 de leur preuve) : partitionnons le « cube unité semi-ouvert » $\left[0,1\right[^{m}$ en $n^{m}$ sous-cubes semi-ouverts de côté ${\frac {1}{n}}$. En notant $\{y\}=y-\lfloor y\rfloor \in \left[0,1\right[$ la partie fractionnaire de tout réel $y$, considérons les $n^{m}+1$ points (non nécessairement distincts) $P_{k}:=\left(\{kx_{1}\},\{kx_{2}\},\dots ,\{kx_{m}\}\right)\in \left[0,1\right[^{m},\quad k\in \left\{0,\dots ,n^{m}\right\}.$ D'après le principe des tiroirs, l'un des $n^{m}$ sous-cubes contient deux de ces points, $P_{j}$ et $P_{k}$ avec $0\leq j<k\leq n^{m}$. Alors, l'entier $q:=k-j$ vérifie $1\leq q\leq n^{m}$ et pour tout $i\in \left\{1,\dots ,m\right\}$, l'entier $p_{i}:=\lfloor kx_{i}\rfloor -\lfloor jx_{i}\rfloor$ vérifie $\left|qx_{i}-p_{i}\right|=\left|\{kx_{i}\}-\{jx_{i}\}\right|<{\frac {1}{n}}$.
* 2e méthode : posons $r=m+1$, $L_{1}\left(q,p_{1},\dots ,p_{m}\right)=q$, $\lambda _{1}=n^{m}$ et pour tout $i\in \left\{1,\dots ,m\right\}$, $L_{i+1}\left(q,p_{1},\dots ,p_{m}\right)=x_{i}q-p_{i}\quad {\text{et}}\quad \lambda _{i+1}={\frac {1}{n}}$. La matrice $A\in \operatorname {M} _{r}(\mathbb {R} )$ associée aux $L_{i}$ est triangulaire et $|\det A|=\left|(-1)^{m}\right|=1=\prod _{i=1}^{r}\lambda _{i}$ donc d'après le théorème de Minkowski pour des formes linéaires, il existe $\left(q,p_{1},\dots ,p_{m}\right)\in \mathbb {Z} ^{m+1}\setminus \{0\}$ tel que $|q|\leq n^{m}\quad {\text{et}}\quad \forall i\in \left\{1,\dots ,m\right\}\quad \left|qx_{i}-p_{i}\right|<{\frac {1}{n}}$. L'entier $q$ est alors forcément non nul, sinon tous les entiers $p_{i}$ le seraient aussi car on aurait $\left|p_{i}\right|<{\frac {1}{n}}$. On peut donc se ramener au cas $q>0$ en remplaçant si nécessaire $\left(q,p_{1},\dots ,p_{m}\right)$ par son opposé.