# Signaux physiques (PCSI)/Propagation d'un signal : Interférences entre deux ondes acoustiques ou mécaniques de même fréquence
## Dispositif expérimental mettant en évidence le phénomène d'interférences de deux ondes mécaniques sur une cuve à ondes

Le plateau supérieur au fond transparent, contient le liquide $\;{\big$en général de l'eau${\big )}\;$ à la surface duquel sont produites des ondes $\;{\big$dites de surface${\big )}$ ; l'éclairage, au-dessus de l'appareil, projette l'image de la surface du liquide sur l'écran dépoli vertical de la face avant de la cuve, grâce à un miroir placé à $\;45\,{\text{°}}\;$ sous la cuve transparente ; cet éclairage est rendu stroboscopique grâce à un disque rotatif, disposant de deux fentes, placé entre la lampe et la surface du liquide, il permet ainsi, lorsque le disque n'est pas débrayé, d'observer au ralenti le phénomène de propagation des ondes de surface ;
les vibrations peuvent être produites par une pointe vibrante venant frapper la surface du liquide, la position de la surface frappée étant alors la source d'une « onde progressive sinusoïdale de surface » de fréquence égale à la fréquence du vibreur, cette dernière étant réglée par le boîtier de commande ;
pour obtenir deux sources vibrant à la même fréquence on peut utiliser deux pointes vibrantes mues par un même vibreur venant frapper la surface du liquide en deux positions différentes ; comme elles sont mues par le même vibreur, elles sont nécessairement synchrones $\;{\big$même fréquence${\big )}\;$ et en phase si les pointes affleurent la surface libre en même temps ;
dans ce cas l'éclairage stroboscopique permet d'étudier le phénomène de superposition des deux ondes de surface, phénomène trop rapide pour une observation directe.
Les vibrations peuvent aussi être produites par un « jet d'air alimenté par une pompe et effleurant la surface du liquide » si l'on souhaite une seule source ; si l'on souhaite deux sources synchrones nécessaires à l'étude des phénomènes d'interférences, on peut utiliser l'« association de deux canules alimentées en air par un même tuyau, chaque canule effleurant la surface du liquide à un endroit différent » ; un générateur « pneumatique » permet alors de régler la fréquence des vibrations transmises par le courant d'air pulsé.

## Observation stroboscopique, interférences constructives et destructives

Deux perturbations sinusoïdales sont produites en deux points $\;S_{1}\;$ et $\;S_{2}\;$ de la cuve à ondes ; en chaque point atteint par ces deux ondes ces dernières se superposent et s'additionnent algébriquement $-$ on dit qu'elles « interfèrent ».
Ci-contre un schéma où figurent les rides circulaires issues de chaque source vibrante $\;{\big$rides pouvant être rendues d'apparence fixe par strosboscopie${\big )}\;$ ainsi que Ci-contre un schéma où figurent leur superposition constructive $\;{\big$on parle d'interférence constructive${\big )}\;$ matérialisée par les lignes rouges et Ci-contre un schéma où figurent leur superposition destructive $\;{\big$on parle d'interférence destructive${\big )}\;$ matérialisée par les lignes vertes.
On peut observer des lignes d'amplitude maximale $\;{\big$en rouge${\big )}$, lorsque les ondes arrivent en phase : la « différence de marche entre ces deux ondes en un point » définie par $\;d_{1}-d_{2}\;$ est un multiple de la longueur d'onde $\;{\big$condition pour que les ondes soient en phase${\big )}$, et l'amplitude résultante est double de celle d'une onde seule.
On observe également des lignes « neutres » $\;{\big$en vert${\big )}$, lorsque les deux ondes arrivent en opposition de phase : la « différence de marche entre ces deux ondes en un point » définie par $\;d_{1}-d_{2}\;$ est alors égale à une demi-longueur d'onde à un multiple de longueurs d'onde près $\;{\big$condition pour que les ondes soient en opposition de phase${\big )}$, sur ces lignes d'interférence destructive, l'eau est au repos.
On établit que ces lignes, ou « franges » d'interférence sont des hyperboles de foyers $\;S_{1}\;$ et $\;S_{2}\;$.

## Mise en équation du problème d'interférences à la surface du liquide

Les ondes émises par les sources synchrones $\;S_{1}\;$ et $\;S_{2}\;$ étant respectivement «$\;s_{1}(t)=A_{0}\,\sin(\omega \,t)\;$ et $\;s_{2}(t)=A_{0}\,\sin(\omega \,t)\;$» se propagent chacune, pour atteindre un point quelconque $\;M\;$ de la surface du liquide, suivant une direction différente $\;(S_{1}M)\;$ et $\;(S_{2}M)\;$ tout en agissant suivant une même direction $\;\perp \;$ à la surface du liquide ;
au point $\;M\;$ et à l'instant $\;t\;$, avec «$\;k={\dfrac {2\,\pi }{\lambda }}\;$ pulsation spatiale commune », «$\;\lambda =c\,{\dfrac {2\,\pi }{\omega }}\;$ étant la longueur d'onde commune », l'onde issue de $\;S_{1}\;$ et celle issue de $\;S_{2}\;$ s'écrivent respectivement «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}s_{1}(M,\,t)=A_{1}(M)\,\sin(\omega \,t-k\,d_{1})\\s_{2}(M,\,t)=A_{2}(M)\,\sin(\omega \,t-k\,d_{2})\end{array}}\right\rbrace \;$» dans laquelle «$\;A_{1}(M)\;$ et $\;A_{2}(M)\;$ sont respectivement l'amplitude de chaque onde au point $\;M\;$», «$\;d_{1}=S_{1}M\;$ et $\;d_{2}=S_{2}M\;$ étant la distance séparant ce dernier de chaque source » ;
les ondes agissant suivant une même direction transversale peuvent s'ajouter scalairement et on en déduit l'onde résultante au point $\;M\;$ et à l'instant $\;t$, «$\;s_{\text{tot}}(M,\,t)=s_{1}(M,\,t)+s_{2}(M,\,t)=$ $A_{1}(M)\,\sin(\omega \,t-k\,d_{1})+A_{2}(M)\,\sin(\omega \,t-k\,d_{2})\;$» ou, avec «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\varphi _{1}=-k\,d_{1}\\\varphi _{2}=-k\,d_{2}\end{array}}\right\rbrace \;$» pour simplifier l'écriture, «$\;s_{\text{tot}}(M,\,t)=s_{1}(M,\,t)+s_{2}(M,\,t)=A_{1}\,\sin(\omega \,t+\varphi _{1})+A_{2}\,\sin(\omega \,t+\varphi _{2})\;$» ;
la somme de deux fonctions sinusoïdales de $\;t$, de pulsation $\;\omega$, étant une fonction sinusoïdale de $\;t$, de même pulsation $\;\omega$, nous notons l'onde résultante «$\;s_{\text{tot}}(M,\,t)=s_{1}(M,\,t)+s_{2}(M,\,t)=$ $A_{\text{tot}}\,\sin(\omega \,t+\varphi _{\text{tot}})\;$» ; il reste alors à déterminer l'amplitude résultante $\;{\big$et éventuellement la phase initiale résultante${\big )}\;$ à l'aide d'une des méthodes exposées dans le paragraphe « traduction de la somme de deux fonctions sinusoïdales du temps de même pulsation » du chap.$8$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » c.-à-d. exposées dans les sous-paragraphes « amplitude et phase initiale résultantes en termes de vecteur de Fresnel » ou « amplitude et phase initiale résultantes en termes d'amplitude complexe ».

## Détermination de l'amplitude de l'onde résultante en un point en fonction du déphasage par diagramme de Fresnel

Il suffit alors de refaire le traitement exposé au chap.$8$ dans le paragraphe « amplitude et phase initiale en termes de vecteur de Fresnel (diagramme de Fresnel) » de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ; on en déduit :
* l'amplitude résultante «$\;A_{\text{tot}}={\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2\,A_{1}\,A_{2}\,\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}}={\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2\,A_{1}\,A_{2}\,\cos \!\left[k\left(d_{1}-d_{2}\right)\right]}}\;$»,
* la phase initiale résultante par «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\cos(\varphi _{\text{tot}})={\dfrac {A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})}{\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2\,A_{1}\,A_{2}\,\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}}}={\dfrac {A_{1}\,\cos(k\,d_{1})+A_{2}\,\cos(k\,d_{2})}{\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2\,A_{1}\,A_{2}\,\cos \!\left[k\left(d_{1}-d_{2}\right)\right]}}}\\\sin(\varphi _{\text{tot}})={\dfrac {A_{1}\,\sin(\varphi _{1})+A_{2}\,\sin(\varphi _{2})}{\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2\,A_{1}\,A_{2}\,\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}}}={\dfrac {-A_{1}\,\sin(k\,d_{1})-A_{2}\,\sin(k\,d_{2})}{\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2\,A_{1}\,A_{2}\,\cos \!\left[k\left(d_{1}-d_{2}\right)\right]}}}\end{array}}\right\rbrace \;$».
On en déduit l'onde résultante en $\;M\;$ et à l'instant $\;t\;$ «$\;s_{\text{tot}}(M,\,t)=A_{\text{tot}}\,\sin(\omega \,t+\varphi _{\text{tot}})\;$».

## Détermination de l'amplitude de l'onde résultante en un point en fonction du déphasage par amplitude complexe

Il suffit alors de refaire le traitement du chap.$8$ dans le paragraphe « amplitude et phase initiale en termes d'amplitude complexe » de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ; on en déduit :
* l'amplitude résultante «$\;A_{\text{tot}}={\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2\,A_{1}\,A_{2}\,\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}}={\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2\,A_{1}\,A_{2}\,\cos \!\left[k\left(d_{1}-d_{2}\right)\right]}}\;$»,
* la phase initiale résultante par «$\;\varphi _{\text{tot}}=\left\lbrace {\begin{array}{c l}\arctan \!\left[{\dfrac {A_{1}\,\sin(\varphi _{1})+A_{2}\,\sin(\varphi _{2})}{A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})}}\right]&{\text{si}}\;\;A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})>0\\\pm {\dfrac {\pi }{2}}&{\text{si}}\;\;A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})=0\\\arctan \!\left[{\dfrac {A_{1}\,\sin(\varphi _{1})+A_{2}\,\sin(\varphi _{2})}{A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})}}\right]\pm \pi &{\text{si}}\;\;A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})<0\end{array}}\right\rbrace \;$» ou encore la phase initiale résultante par «$\;\varphi _{\text{tot}}=\left\lbrace {\begin{array}{c l}\arctan \!\left[-{\dfrac {A_{1}\,\sin(k\,d_{1})+A_{2}\,\sin(k\,d_{2})}{A_{1}\,\cos(k\,d_{1})+A_{2}\,\cos(k\,d_{2})}}\right]&{\text{si}}\;\;A_{1}\,\cos(k\,d_{1})+A_{2}\,\cos(k\,d_{2})>0\\\pm {\dfrac {\pi }{2}}&{\text{si}}\;\;A_{1}\,\cos(k\,d_{1})+A_{2}\,\cos(k\,d_{2})=0\\\arctan \!\left[-{\dfrac {A_{1}\,\sin(k\,d_{1})+A_{2}\,\sin(k\,d_{2})}{A_{1}\,\cos(k\,d_{1})+A_{2}\,\cos(k\,d_{2})}}\right]\pm \pi &{\text{si}}\;\;A_{1}\,\cos(k\,d_{1})+A_{2}\,\cos(k\,d_{2})<0\end{array}}\right\rbrace \;$».
On en déduit l'onde résultante en $\;M\;$ et à l'instant $\;t\;$ «$\;s_{\text{tot}}(M,\,t)=A_{\text{tot}}\,\sin(\omega \,t+\varphi _{\text{tot}})\;$».

## Condition d'interférences constructives ou destructives en termes de déphasage

Soient «$\;s_{1}(t)=A_{0}\,\sin(\omega \,t)\;$ et $\;s_{2}(t)=A_{0}\,\sin(\omega \,t)\;$» les ondes émises par les sources synchrones $\;S_{1}\;$ et $\;S_{2}\;$ supposées vibrant en phase ;
au point $\;M\;$ et à l'instant $\;t$, les ondes issues de $\;S_{1}\;$ et de $\;S_{2}\;$ s'écrivant respectivement «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}s_{1}(M,\,t)=A_{1}(M)\,\sin(\omega \,t-k\,d_{1})\\s_{2}(M,\,t)=A_{2}(M)\,\sin(\omega \,t-k\,d_{2})\end{array}}\right\rbrace \;$» dans laquelle «$\;A_{1}(M)\;$ et $\;A_{2}(M)\;$ sont l'amplitude de chaque onde en $\;M\;$», «$\;d_{1}=S_{1}M\;$ et $\;d_{2}=S_{2}M\;$ la distance séparant ce dernier de chaque source », «$\;k={\dfrac {2\,\pi }{\lambda }}\;$ et $\;\lambda =c\,{\dfrac {2\,\pi }{\omega }}\;$ la pulsation spatiale et la longueur d'onde communes », au point $\;\color {transparent}{M}\;$ et à l'instant $\;\color {transparent}{t}$, les ondes issues de $\;\color {transparent}{S_{1}}\;$ et de $\;\color {transparent}{S_{2}}\;$ se superposent en donnant l'onde résultante «$\;s_{\text{tot}}(M,\,t)$ $=s_{1}(M,\,t)+s_{2}(M,\,t)=$ $A_{1}\,\sin(\omega \,t+\varphi _{1})+A_{2}\,\sin(\omega \,t+\varphi _{2})\;$» dans laquelle «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\varphi _{1}=-k\,d_{1}\\\varphi _{2}=-k\,d_{2}\end{array}}\right\rbrace \;$» ou, la somme de deux fonctions sinusoïdales du temps de pulsation $\;\omega \;$ étant une fonction sinusoïdale du temps de même pulsation $\;\omega$, au point $\;\color {transparent}{M}\;$ et à l'instant $\;\color {transparent}{t}$, les ondes issues de $\;\color {transparent}{S_{1}}\;$ et de $\;\color {transparent}{S_{2}}\;$ se superposent en donnant l'onde résultante «$\;s_{\text{tot}}(M,\,t)=s_{1}(M,\,t)+s_{2}(M,\,t)=$ $A_{\text{tot}}\,\sin(\omega \,t+\varphi _{\text{tot}})\;$» ; la détermination de l'amplitude résultante à l'aide du diagramme de Fresnel $\;{\big \$voir le paragraphe « détermination de l'amplitude de l'onde résultante en un point en fonction du déphasage par diagramme de Fresnel » plus haut dans ce chapitre${\big \}$ ou de l'amplitude complexe $\;{\big \$voir le paragraphe « détermination de l'amplitude de l'onde résultante en un point en fonction du déphasage par amplitude complexe » plus haut dans ce chapitre${\big \}$ nous a fourni «$\;A_{\text{tot}}={\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2\,A_{1}\,A_{2}\,\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}}\;$».

### Cas où les sources synchrones et en phase émettent des signaux de même amplitude

L'application de la formule «$\;A_{\text{tot}}={\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2\,A_{1}\,A_{2}\,\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}}\;$» dans le cas particulier où on néglige l'affaiblissement des amplitudes des ondes individuelles avec la distance parcourue, ce qui correspond à «$\;A_{1}=A_{2}=A_{0}\;$», donne «$\;A_{\text{tot}}={\sqrt {A_{0}^{2}+A_{0}^{2}+2\,A_{0}^{2}\,\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}}=A_{0}\,{\sqrt {2}}\,{\sqrt {1+\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}}\;$» ;
finalement l'amplitude résultante s'écrit «$\;A_{\text{tot}}=A_{0}\,{\sqrt {2}}\,{\sqrt {1+\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}}=2\,A_{0}\,\left\vert \cos \!\left({\dfrac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2}}\right)\right\vert \;$».
Quand les deux ondes interférant sont de même amplitude, il est souhaitable de déterminer l'amplitude résultante directement par diagramme de Fresnel ou par amplitude complexe comme indiqué ci-dessous :
* par diagramme de Fresnel $\;($représenté ci-contre${\big )}$ : il y a deux cas à considérer suivant que $\;\left\vert \varphi _{2}-\varphi _{1}\right\vert \;$ est $\;<\;$ ou $\;>\;$ à $\;\pi \;$ mais dans les deux cas on obtient un losange $\;OBCD\;$ dont on cherche à déterminer la longueur de la diagonale $\;OD$ ; pour cela on utilise le fait que les diagonales d'un losange se coupent en leur milieu, qu'elles sont $\;\perp \;$ et que chacune d'entre elles est bissectrice des angles dont elles joignent les sommets, ce qui permet de trouver : $\succ \;$si $\;\left\vert \varphi _{2}-\varphi _{1}\right\vert <\pi \;$, $\;A_{\text{tot}}=OD=2\,OH=2\,OB\,\cos(\alpha )\;$ où $\;\alpha ={\widehat {BOH}}=$ ${\dfrac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;A_{\text{tot}}=2\,A_{0}\,\cos \!\left({\dfrac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2}}\right)\;$» ; $\succ \;$si $\;\left\vert \varphi _{2}-\varphi _{1}\right\vert >\pi \;$, $\;A_{\text{tot}}=OD=2\,OH=2\,OB\,\cos(\alpha )$, où $\;\alpha ={\widehat {BOH}}=$ $\pi -\beta \;$ et $\;\beta ={\dfrac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2}}\;$ d'où finalement «$\;A_{\text{tot}}=$ $2\,A_{0}\,\cos \!\left(\pi -{\dfrac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2}}\right)=$ $2\,A_{0}\,\left\vert \cos \!\left({\dfrac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2}}\right)\right\vert \;$» ;
* par amplitude complexe : prenant le module de l'amplitude complexe nous obtenons $\;A_{\text{tot}}=\left\vert {\underline {A_{\text{tot}}}}\right\vert =\left\vert A_{0}\,\exp(i\,\varphi _{1})+A_{0}\,\exp(i\,\varphi _{2})\right\vert =$ $A_{0}\,\left\vert \exp \!\left[i\,\left({\dfrac {\varphi _{2}+\varphi _{1}}{2}}\right)\right]\left\lbrace \exp \!\left[i\,\left({\dfrac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2}}\right)\right]+\exp \!\left[-i\,\left({\dfrac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2}}\right)\right]\right\rbrace \right\vert \;$ ou, le 1er facteur de l'expression prise en module étant de module $\;1\;$ et le 2nd se transformant grâce à l'une des formules d'Euler$^,$ «$\;A_{\text{tot}}=2\,A_{0}\,\left\vert \cos \!\left({\dfrac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2}}\right)\right\vert \;$».

#### Interférences constructives

Les ondes en $\;M\;$ interfèrent de façon « constructive » si l'amplitude résultante y est maximale et ceci est réalisé pour Les ondes en $\;\color {transparent}{M}\;$ interfèrent de façon « constructive » si «$\;\varphi _{2}-\varphi _{1}=m\;2\,\pi$, $\;m\in \mathbb {Z} \;$», correspondant à des ondes « en phase » ; Les ondes en $\;\color {transparent}{M}\;$ interfèrent de façon « constructive » l'amplitude résultante vaut alors «$\;A_{\text{tot, max}}=2\,A_{0}\;$».

#### Interférences destructives

Les ondes en $\;M\;$ interfèrent de façon « destructive » si l'amplitude résultante y est minimale et ceci est réalisé pour Les ondes en $\;\color {transparent}{M}\;$ interfèrent de façon « destructive » si «$\;\varphi _{2}-\varphi _{1}=\pi +m\;2\,\pi$, $\;m\in \mathbb {Z} \;$», c.-à-d. pour des ondes « en opposition de phase » ; Les ondes en $\;\color {transparent}{M}\;$ interfèrent de façon « destructive » l'amplitude résultante vaut alors «$\;A_{\text{tot, min}}=0\;$» correspondant à l'absence de mouvement.

### Variation de l'amplitude d'une O.P.H. dans un milieu bidimensionnel (ou tridimensionnel) non absorbant

Dans une propagation unidimensionnelle linéaire sans absorption, « l'amplitude d'une O.P.H. reste constante », ceci correspondant au fait que la « puissance transportée demeurant constante du fait de l'absence d'absorption reste localisée dans un même espace à savoir le voisinage immédiat du point $\;M\;$» ;
dans une propagation bidimensionnelle linéaire sans absorption, la puissance transportée reste constante mais la puissance émise par la source à l'instant $\;t\;$ se retrouvant localisée sur le « cercle d'onde $\;{\big$cercle de rayon $\;r{\big )}\;$ à l'instant $\;t+{\dfrac {r}{c}}\;$ » c.-à-d. « sur un espace dont l'expansion $\;\nearrow \;$ avec $\;r\;$», on en déduit que dans une propagation bidimensionnelle linéaire sans absorption, « la puissance transportée par unité de longueur du cercle d'onde $\;\searrow \;$ comme $\;{\dfrac {1}{r}}\;$ » et par suite que dans une propagation bidimensionnelle linéaire sans absorption, « l'amplitude de l'O.P.H.$\;\searrow \;$comme$\;{\dfrac {1}{\sqrt {r}}}\;$ » ;
dans une propagation tridimensionnelle linéaire sans absorption, la puissance transportée reste constante mais la puissance émise par la source à l'instant $\;t\;$ se retrouvant localisée sur la « sphère d'onde $\;{\big$sphère de rayon $\;r{\big )}\;$ à l'instant $\;t+{\dfrac {r}{c}}\;$ » c.-à-d. « sur un espace dont l'extension $\;\nearrow \;$ avec $\;r\;$», on en déduit que dans une propagation tridimensionnelle linéaire sans absorption, la « puissance transportée par unité de surface de la sphère d'onde $\;\searrow \;$ comme $\;{\dfrac {1}{r^{2}}}\;$ » et par suite que dans une propagation tridimensionnelle linéaire sans absorption, « l'amplitude de l'O.P.H.$\;\searrow \;$comme$\;{\dfrac {1}{r}}\;$ ».

### Cas où les sources synchrones et en phase émettent des signaux d'amplitudes différentes

Les ondes émises par les sources synchrones $\;S_{1}\;$ et $\;S_{2}$, supposées vibrant en phase, s'écrivent «$\;s_{1}(t)=$ $A_{1,\,0}\,\sin(\omega \,t)\;$ et $\;s_{2}(t)=A_{2,\,0}\,\sin(\omega \,t)\;$» avec «$\;A_{2,\,0}\neq A_{1,\,0}\;$» ; Les ondes émises par les sources synchrones $\;\color {transparent}{S_{1}}\;$ et $\;\color {transparent}{S_{2}}$, supposées vibrant elles induisent au point $\;M\;$ et à l'instant $\;t$, des ondes s'exprimant selon «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}s_{1}(M,\,t)=A_{1}(M)\,\sin(\omega \,t-k\,d_{1})\\{\text{et}}\\s_{2}(M,\,t)=A_{2}(M)\,\sin(\omega \,t-k\,d_{2})\end{array}}\right\rbrace \;$» dans laquelle «$\;A_{1}(M)\;$ et $\;A_{2}(M)\;$ sont l'amplitude de chaque onde en $\;M\;$», «$\;d_{1}=S_{1}M\;$ et $\;d_{2}=S_{2}M\;$ la distance séparant ce dernier de chaque source », «$\;k={\dfrac {2\,\pi }{\lambda }}\;$ et $\;\lambda =c\,{\dfrac {2\,\pi }{\omega }}\;$ la pulsation spatiale et la longueur d'onde communes » ; Les ondes émises par les sources synchrones $\;\color {transparent}{S_{1}}\;$ et $\;\color {transparent}{S_{2}}$, supposées vibrant ces ondes en se superposant donnent l'onde résultante «$\;s_{\text{tot}}(M,\,t)=s_{1}(M,\,t)+s_{2}(M,\,t)\;$ c.-à-d. $\;s_{\text{tot}}(M,\,t)=$ $A_{1}\,\sin(\omega \,t+\varphi _{1})+A_{2}\,\sin(\omega \,t+\varphi _{2})=A_{\text{tot}}\,\sin(\omega \,t+\varphi _{\text{tot}})\;$» dans laquelle «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\varphi _{1}=-k\,d_{1}\\\varphi _{2}=-k\,d_{2}\end{array}}\right\rbrace \;$» ; la détermination de l'amplitude résultante à l'aide du diagramme de Fresnel $\;{\big \$voir le paragraphe « détermination de l'amplitude de l'onde résultante en un point en fonction du déphasage par diagramme de Fresnel » plus haut dans ce chapitre${\big \}$ ou de l'amplitude complexe $\;{\big \$voir le paragraphe « détermination de l'amplitude de l'onde résultante en un point en fonction du déphasage par amplitude complexe » plus haut dans ce chapitre${\big \}$ $\Rightarrow$ «$\;A_{\text{tot}}={\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2\,A_{1}\,A_{2}\,\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}}\;$».

#### Interférences constructives

Les ondes en $\;M\;$ interfèrent de façon « constructive » si l'amplitude résultante y est maximale et ceci est réalisé pour Les ondes en $\;\color {transparent}{M}\;$ interfèrent de façon « constructive » si «$\;\varphi _{2}-\varphi _{1}=m\;2\,\pi$, $\;m\in \mathbb {Z} \;$» correspondant à des ondes « en phase » ; Les ondes en $\;\color {transparent}{M}\;$ interfèrent de façon « constructive » l'amplitude résultante vaut alors «$\;A_{\text{tot, max}}=A_{1}+A_{2}\;$» soit, dans le cas où on néglige l'« étalement de l'onde avec la distance parcourue depuis la source », «$\;A_{\text{tot, max}}=A_{1,\,0}+A_{2,\,0}\;$».

#### Interférences destructives

Les ondes en $\;M\;$ interfèrent de façon « destructive » si l'amplitude résultante y est minimale et ceci est réalisé pour Les ondes en $\;\color {transparent}{M}\;$ interfèrent de façon « destructive » si «$\varphi _{2}-\varphi _{1}=$ $\pi +m\;2\,\pi$, $\;m\in \mathbb {Z} \;$», correspondant à des ondes « en opposition de phase » ; Les ondes en $\;\color {transparent}{M}\;$ interfèrent de façon « destructive » l'amplitude résultante vaut alors «$\;A_{\text{tot, min}}=\left\vert A_{2}-A_{1}\right\vert \;$» soit, dans le cas où on néglige l'« étalement de l'onde avec la distance parcourue depuis la source », «$\;A_{\text{tot, min}}=\left\vert A_{2,\,0}-A_{1,\,0}\right\vert \;$».

## Notion de différence de marche et d'ordre d'interférences

Le déphasage entre les deux ondes au point $\;M\;$ se réécrit à l'aide de la pulsation spatiale commune $\;k\;$ et des distances séparant $\;M\;$ des sources $\;d_{1}\;$ et $\;d_{2}\;$ selon
$\;\Delta \varphi =\varphi _{2}-\varphi _{1}=-k\,(d_{2}-d_{1})=-{\dfrac {2\,\pi }{\lambda }}\,(d_{2}-d_{1})\;$
$\;\lambda \;$

### Notion de différence de marche

$\;M\;$
$\;S_{1}\;$
$\;S_{2}\;$
$\;M\;$
$\;\delta =d_{2}-d_{1}\;$
$\;d_{1}=S_{1}M\;$
$\;d_{2}=S_{2}M$
$\;m$

### Notion d'ordre d'interférences

$\;M\;$
$\;S_{1}\;$
$\;S_{2}\;$
$\;M\;$
$\;p={\dfrac {\delta }{\lambda }}\;$

### Expression du déphasage en fonction de la différence de marche ou de l'ordre d'interférences

$\;\Delta \varphi =-{\dfrac {2\,\pi }{\lambda }}\,\delta =-2\,\pi \,p\;$

## Condition d'interférences constructives ou destructives en termes de différence de marche ou d'ordre d'interférences
### Condition d'interférences en termes de différence de marche

$\;\Delta \varphi =-{\dfrac {2\,\pi }{\lambda }}\,\delta \;$

#### Interférences constructives

La condition en termes de déphasage $\;{\big$mathématique${\big )}\;$ étant «$\;\Delta \varphi =\varphi _{2}-\varphi _{1}=m'\;2\,\pi ,\;m'\in \mathbb {Z} \;$» se réécrit «$\;-{\dfrac {2\,\pi }{\lambda }}\,\delta =m'\;2\,\pi ,\;m'\in \mathbb {Z} \;$» soit
$\;\delta =m\;\lambda ,\;m\in \mathbb {Z} \;$

#### Interférences destructives

La condition en termes de déphasage $\;{\big$mathématique${\big )}\;$ «$\;\Delta \varphi =\varphi _{2}-\varphi _{1}=\pi +m'\;2\,\pi ,\;m'\in \mathbb {Z} \;$ ou $\;\Delta \varphi =\left({\dfrac {1}{2}}+m'\right)2\,\pi ,\;m'\in \mathbb {Z} \;$» se réécrit «$\;-{\dfrac {2\,\pi }{\lambda }}\,\delta =\left({\dfrac {1}{2}}+m'\right)2\,\pi ,\;m'\in \mathbb {Z} \;$ ou $\;\delta =-\left({\dfrac {1}{2}}+m'\right)\lambda ,\;m'\in \mathbb {Z} \;$» soit
$\;\delta =\left(m+{\dfrac {1}{2}}\right)\lambda ,\;m\in \mathbb {Z} \;$

### Nature des franges lors d'une propagation bidimensionnelle

Une frange d'interférences constructives étant l'ensemble des points $\;M\;$ tel que «$\;\delta =S_{2}M-S_{1}M=m\,\lambda$, $\;m\;$ étant un entier relatif fixé », Une frange d'interférences constructives est une « branche d'hyperbole de foyers $\;S_{1}\;$ et $\;S_{2}\;$» $\;{\big \$à l'exception de la « frange d'interférences constructives à différence de marche nulle $\;{\big$ou à ordre d'interférences nul${\big )}\;$» laquelle est la « médiatrice de $\;\left[S_{1}S_{2}\right]\;$»${\big \}$ ;
une frange d'interférences destructives étant l'ensemble des points $\;M\;$ vérifiant «$\;\delta =S_{2}M-S_{1}M=\left(m+{\dfrac {1}{2}}\right)\lambda$, $\;m\;$ étant un entier relatif fixé », une frange d'interférences destructives est aussi « branche d'hyperbole de foyers $\;S_{1}\;$ et $\;S_{2}\;$».

### Nature des surfaces équiphases (ou de même état vibratoire) lors d'une propagation tridimensionnelle

Préliminaire : Dans le cas d'une propagation tridimensionnelle, un ensemble de points $\;M\;$ à différence de marche fixée $\;{\big$ou à ordre d'interférences fixé${\big )}\;$ étant une surface et non plus une courbe, on ne parle plus de « frange d'interférences » mais de « surface équiphase d'interférences ».
Exposé : Une surface équiphase d'interférences constructives étant l'ensemble des points $\;M\;$ tel que «$\;\delta =S_{2}M-S_{1}M=m\,\lambda$, $\;m\;$ étant un entier relatif fixé », Exposé : Une surface équiphase d'interférences constructives est une « nappe d'hyperboloïde de révolution à deux nappes de foyers $\;S_{1}\;$ et $\;S_{2}\;$» $\;{\big \$à l'exception de la « surface équiphase d'interférences constructives à différence de marche nulle $\;{\big$ou à ordre d'interférences nul${\big )}\;$» laquelle est le « plan médiateur de $\;\left[S_{1}S_{2}\right]\;$»${\big \}$ ;
Exposé : une surface équiphase d'interférences destructives étant l'ensemble des points $\;M\;$ vérifiant «$\;\delta =S_{2}M-S_{1}M=\left(m+{\dfrac {1}{2}}\right)\lambda$, $\;m\;$ étant un entier relatif fixé », Exposé : une surface équiphase d'interférences destructives est aussi une « nappe d'hyperboloïde de révolution à deux nappes de foyers $\;S_{1}\;$ et $\;S_{2}\;$».
Remarque : Toute coupe d'une surface équiphase d'interférences constructives $\;{\big$ou destructives${\big )}\;$ par un plan quelconque contenant les sources $\;S_{1}\;$ et $\;S_{2}$, c.-à-d. $\;\left(\Pi \right)_{\ni \,S_{1}S_{2}}$, définissant une frange d'interférences constructives $\;{\big$ou destructives${\big )}\;$ du plan $\;\left(\Pi \right)_{\ni \,S_{1}S_{2}}\;$ est une « branche d'hyperbole du plan $\;\left(\Pi \right)_{\ni \,S_{1}S_{2}}\;$ de foyers $\;S_{1}\;$ et $\;S_{2}\;$» $\;{\big \$à l'exception de la « frange d'interférences constructives à différence de marche nulle $\;{\big$ou à ordre d'interférences nul${\big )}\;$» laquelle est la « médiatrice de $\;\left[S_{1}S_{2}\right]\;$»${\big \}$.
Remarque : Toute coupe d'une surface équiphase d'interférences constructives $\;{\big$ou destructives${\big )}\;$ par un plan quelconque $\;\perp \;$ à la droite contenant les sources $\;S_{1}\;$ et $\;S_{2}$, c.-à-d. $\;\left(\Pi \right)_{\perp \,S_{1}S_{2}}$, définissant une frange d'interférences constructives $\;{\big$ou destructives${\big )}\;$ du plan $\;\left(\Pi \right)_{\perp \,S_{1}S_{2}}\;$ est une « cercle du plan $\;\left(\Pi \right)_{\perp \,S_{1}S_{2}}\;$ centré sur la droite contenant $\;S_{1}\;$ et $\;S_{2}\;$».

### Condition d'interférences en termes d'ordre d'interférences

$\;\Delta \varphi =-2\,\pi \,p\;$

#### Interférences constructives

La condition en termes de déphasage $\;{\big$mathématique${\big )}\;$ étant «$\;\Delta \varphi =\varphi _{2}-\varphi _{1}=m'\;2\,\pi ,\;m'\in \mathbb {Z} \;$» se réécrit «$\;-2\,\pi \,p=m'\;2\,\pi ,\;m'\in \mathbb {Z} \;$» soit
$\;p=m,\;m\in \mathbb {Z} \;$

#### Interférences destructives

La condition en termes de déphasage $\;{\big$mathématique${\big )}\;$ «$\;\Delta \varphi =\varphi _{2}-\varphi _{1}=\pi +m'\;2\,\pi ,\;m'\in \mathbb {Z} \;$ ou $\;\Delta \varphi =\left({\dfrac {1}{2}}+m'\right)2\,\pi ,\;m'\in \mathbb {Z} \;$» se réécrit «$\;-2\,\pi \,p=\left({\dfrac {1}{2}}+m'\right)2\,\pi ,\;m'\in \mathbb {Z} \;$ ou $\;p=-\left({\dfrac {1}{2}}+m'\right)\!,\;m'\in \mathbb {Z} \;$» soit
$\;p=\left(m+{\dfrac {1}{2}}\right)\!,\,m\in \mathbb {Z} \;$

### Résultats fondamentaux

$\;\Delta \varphi \equiv 0\!\!{\pmod {2\,\pi }}\;$
$\Leftrightarrow$
$\;\delta =m\,\lambda ,\;m\in \mathbb {Z} \;$
$\Leftrightarrow$
$\;p=m,\;m\in \mathbb {Z} \;$
$\;\Delta \varphi \equiv \pi \!\!{\pmod {2\,\pi }}\;$
$\Leftrightarrow$
$\;\delta =\left(m+{\dfrac {1}{2}}\right)\lambda ,\;m\in \mathbb {Z} \;$
$\Leftrightarrow$
$\;p=\left(m+{\dfrac {1}{2}}\right)\!,\;m\in \mathbb {Z} \;$

## Échelle de longueur du phénomène d'interférences et notion d'interfrange dans le plan d'observation, échelle angulaire
### Observation dans un plan transversal situé à une distance finie « d » des sources, cas où le plan d'observation est éloigné des sources

On suppose que les sources synchrones et en phase $\;S_{1}\;$ et $\;S_{2}\;$ sont à une distance «$\;a\;$» l'une de l'autre et que le plan transversal d'observation, $\;\parallel \;$ au plan vertical contenant les deux sources, en est séparé d'une distance «$\;d\;$» ; on appelle $\;O'\;$ le milieu de $\;\left[S_{1}S_{2}\right]$, $\;O\;$ étant l'intersection de la « médiatrice horizontale de $\;\left[S_{1}S_{2}\right]\;$» avec la « droite d'observation » ; on repère le phénomène d'interférences le long de cette droite d'observation orientée selon $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$, le point $\;M\;$ où on observe les interférences étant d'abscisse $\;x$ ;
partant de $\;O\;$ où on observe une vibration d'amplitude maximale, on remarque $-$ en se déplaçant le long de $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ dans le sens de ce dernier $-$ que l'amplitude de vibration $\;\searrow \;$ jusqu'à un point $\;M_{\frac {1}{2}}\;$ sans vibration, puis $\;\nearrow \;$ jusqu'à $\;M_{1}\;$ où la vibration est de nouveau d'amplitude maximale etc. $\ldots$ $\succ \;$«$\;O,\,M_{1},\,M_{2}\;$ étant successivement les traces des franges d'interférences constructives d'ordre $\;0,\,1,\,2\;$ sur la droite d'observation » et $\succ \;$«$\;M_{\frac {1}{2}},\,M_{\frac {3}{2}},\,M_{\frac {5}{2}}\;$ les traces des franges d'interférences destructives d'ordre $\;{\dfrac {1}{2}},\,{\dfrac {3}{2}},\,{\dfrac {5}{2}}\;$ sur la droite d'observation » ;
les positions successives où on observe une interférence constructive sont-elles réparties régulièrement ? La réponse est « NON » mais les positions successives où on observe une interférence constructive sont-elles réparties régulièrement ? « elles le sont néanmoins pratiquement si la distance$\;d\gg a\;$et que l'on observe en restant au voisinage de$\;O\;$c.-à-d. avec$\;\vert x\vert \gg d\;$», nous nous plaçons pour la suite dans les conditions d'observation suivantes «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}d\gg a\\d\gg \vert x\vert \end{array}}\right.\;$».

### Évaluation de la différence de marche pour une observation éloignée des sources

Tout d'abord on évalue le carré de chaque distance aux sources soit «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}d_{2}^{\,2}=(S_{2}M)^{2}=d^{2}+\left({\dfrac {a}{2}}+x\right)^{\!2}\\d_{1}^{\,2}=(S_{1}M)^{2}=d^{2}+\left(x-{\dfrac {a}{2}}\right)^{\!2}\end{array}}\right\rbrace \;$» puis, formant la différence, on obtient «$\;d_{2}^{\,2}-d_{1}^{\,2}=2\,a\,x\;$» ; ensuite la différence de marche $\;\delta =d_{2}-d_{1}\;$ s'évalue par $\;d_{2}-d_{1}={\dfrac {d_{2}^{\,2}-d_{1}^{\,2}}{d_{2}+d_{1}}}$, soit «$\;\delta =d_{2}-d_{1}={\dfrac {2\,a\,x}{d_{2}+d_{1}}}=2\,{\dfrac {a}{d}}\,{\dfrac {x}{d}}\,{\dfrac {d^{2}}{d_{2}+d_{1}}}\;$» $\;{\bigg \$dans la mesure où $\;{\dfrac {a}{d}}\;$ et $\;{\dfrac {x}{d}}\;$ sont des infiniment petits de même ordre un, le produit des deux est un infiniment petit d'ordre deux et par suite, pour déterminer le terme prépondérant de $\;\delta$, il suffira de chercher le terme prépondérant de $\;{\dfrac {d^{2}}{d_{2}+d_{1}}}{\bigg \}$ ; on poursuit en évaluant le terme prépondérant de $\;d_{2}+d_{1}\;$ sachant que «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}d_{2}={\sqrt {d^{2}+\left({\dfrac {a}{2}}+x\right)^{\!2}}}=d\;{\sqrt {1+\left({\dfrac {a}{2\,d}}+{\dfrac {x}{d}}\right)^{\!2}}}\simeq d\\d_{1}={\sqrt {d^{2}+\left(x-{\dfrac {a}{2}}\right)^{\!2}}}=d\;{\sqrt {1+\left({\dfrac {x}{d}}-{\dfrac {a}{2\,d}}\right)^{\!2}}}\simeq d\end{array}}\right\rbrace \;$», d'où $\;d_{2}+d_{1}\simeq 2\,d\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {d^{2}}{d_{2}+d_{1}}}\simeq {\dfrac {d}{2}}\;$» ; pour terminer on reporte le terme prépondérant de $\;{\dfrac {d^{2}}{d_{2}+d_{1}}}\;$ dans l'expression de $\;\delta \;$ $\Rightarrow \;$ $\;\delta =2\,{\dfrac {a}{d}}\,{\dfrac {x}{d}}\,{\dfrac {d^{2}}{d_{2}+d_{1}}}\simeq 2\,{\dfrac {a}{d}}\,{\dfrac {x}{d}}\,{\dfrac {d}{2}}\;$ soit finalement
$\;\delta \simeq {\dfrac {a\,x}{d}}\;$
$\;{\bigg \$
$\;{\dfrac {\vert x\vert }{d}}\;$
$\Rightarrow$
$\;\vert \delta \vert \ll a\;$
${\bigg \}$
Remarque : il était possible de déterminer directement la différence de marche $\;\delta =d_{2}-d_{1}\;$ en formant le D.L. de «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}d_{2}={\sqrt {d^{2}+\left({\dfrac {a}{2}}+x\right)^{\!2}}}=d\;\left[1+\left({\dfrac {a}{2\,d}}+{\dfrac {x}{d}}\right)^{\!2}\right]^{\frac {1}{2}}\\d_{1}={\sqrt {d^{2}+\left(x-{\dfrac {a}{2}}\right)^{\!2}}}=d\;\left[1+\left({\dfrac {x}{d}}-{\dfrac {a}{2\,d}}\right)^{\!2}\right]^{\frac {1}{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$» à l'ordre un des « infiniment petits $\;\left({\dfrac {a}{2\,d}}+{\dfrac {x}{d}}\right)^{\!2}\;$ ou $\;\left({\dfrac {x}{d}}-{\dfrac {a}{2\,d}}\right)^{\!2}\;$» soit «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}d_{2}=d\;\left[1+\left({\dfrac {a}{2\,d}}+{\dfrac {x}{d}}\right)^{\!2}\right]^{\frac {1}{2}}\simeq d\;\left[1+{\dfrac {1}{2}}\,\left({\dfrac {a}{2\,d}}+{\dfrac {x}{d}}\right)^{\!2}\right]\\d_{1}=d\;\left[1+\left({\dfrac {x}{d}}-{\dfrac {a}{2\,d}}\right)^{\!2}\right]^{\frac {1}{2}}\simeq d\;\left[1+{\dfrac {1}{2}}\,\left({\dfrac {x}{d}}-{\dfrac {a}{2\,d}}\right)^{\!2}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ à l'ordre un en $\;\left({\dfrac {a}{2\,d}}+{\dfrac {x}{d}}\right)^{\!2}\;$ ou $\;\left({\dfrac {x}{d}}-{\dfrac {a}{2\,d}}\right)^{\!2}\;$» d'où $\;d_{2}-d_{1}\simeq$ $\;{\dfrac {d}{2}}\left[\left({\dfrac {a}{2\,d}}+{\dfrac {x}{d}}\right)^{\!2}-\left({\dfrac {x}{d}}-{\dfrac {a}{2\,d}}\right)^{\!2}\right]={\dfrac {d}{2}}\left[\left({\dfrac {a^{2}}{4\,d^{2}}}+2\,{\dfrac {a}{2\,d}}\,{\dfrac {x}{d}}+{\dfrac {x^{2}}{d^{2}}}\right)-\left({\dfrac {x^{2}}{d^{2}}}-2\,{\dfrac {x}{d}}\,{\dfrac {a}{2\,d}}+{\dfrac {a^{2}}{4\,d^{2}}}\right)\right]\;$ soit finalement «$\;\delta =d_{2}-d_{1}\simeq {\dfrac {a\,x}{d}}\;$».

### Position des points d'interférences constructives (ou d'interférences destructives)

Préliminaire : Par abus on pourra entendre « positions des franges $\ldots \;$» mais dans l'expérience de la cuve à ondes il ne s'agit que de l'intersection des franges et de la droite d'observation.
Exposé : Le « point $\;M_{p}\;$ d'interférences constructives d'ordre $\;p\;$ a pour abscisse $\;x_{p}\;$» telle que la différence de marche correspondante vaut «$\;\delta (x_{p})={\dfrac {a\,x_{p}}{d}}=p\,\lambda ,\;p\in \mathbb {Z} \;$» soit «$\;x_{p}=$ $p\,{\dfrac {\lambda \,d}{a}}\;$» $\;{\bigg \$on remarque que ces points sont « régulièrement répartis », séparés les uns des autres de la longueur$\;{\dfrac {\lambda \,d}{a}}{\bigg \}$ ;
Exposé : le « point $\;M_{\left({\frac {1}{2}}+p\right)}\;$ d'interférences destructives d'ordre $\;p+{\dfrac {1}{2}}\;$ a pour abscisse $\;x_{\left({\frac {1}{2}}+p\right)}\;$» telle que la différence de marche correspondante vaut «$\;\delta \!\left[x_{\left({\frac {1}{2}}+p\right)}\right]={\dfrac {a\,x_{\left({\frac {1}{2}}+p\right)}}{d}}=$ $\left(p+{\dfrac {1}{2}}\right)\lambda ,\;p\in \mathbb {Z} \;$» soit «$\;x_{\left({\frac {1}{2}}+p\right)}={\dfrac {\lambda \,d}{2\,a}}+p\,{\dfrac {\lambda \,d}{a}}\;$» $\;{\bigg \$on remarque que ces points sont séparés des points d'interférences constructives les plus proches de$\;{\dfrac {\lambda \,d}{2\,a}}\;$ d'une part et d'autre part « régulièrement répartis », séparés les uns des autres de la longueur$\;{\dfrac {\lambda \,d}{a}}{\bigg \}$.

### Échelle de longueur du phénomène d'interférences dans le plan d'observation, notion d'interfrange

Ayant remarqué que les points d'interférences constructives sont « régulièrement répartis » dans le plan d'observation et qu'il en est de même des points d'interférences destructives, la distance séparant deux points d'interférences constructives consécutifs $\;{\big$ou deux points d'interférences destructives consécutifs${\big )}\;$ définit l'« échelle de longueur caractérisant le phénomène d'interférences dans ce plan d'observation et s'écrit $\;{\mathit {l}}={\dfrac {\lambda \,d}{a}}\;$».
$\;{\mathit {i}}\;$
$\;{\mathit {i}}={\dfrac {\lambda \,d}{a}}\;$

### Échelle angulaire du phénomène d'interférences, lien avec l'échelle de longueur du phénomène d'interférences dans le plan d'observation

On peut définir l'inclinaison $\;\theta \;$ de la direction $\;O'M\;$ relativement à celle de $\;O'O\;$ et c'est en fonction de ce « paramètre angulaire » que nous devons évaluer la différence de marche ;
on évalue d'abord $\;x\;$ en fonction de $\;\theta$, par «$\;\sin(\theta )={\dfrac {x}{r}}\;$» où «$\;r=O'M\;$ est la distance séparant $\;M\;$ du milieu $\;O'\;$ de $\;\left[S_{1}S_{2}\right]\;$» $\Rightarrow$ «$\;x=r\,\sin(\theta )\;$», que l'on reporte dans l'expression de $\;d_{2}^{\,2}-d_{1}^{\,2}=(S_{2}M)^{2}-(S_{1}M)^{2}\;$ déterminée au début du paragraphe « évaluation de la différence de marche pour une observation éloignée des sources » plus haut dans ce chapitre soit «$\;d_{2}^{\,2}-d_{1}^{\,2}=2\,a\,x=2\,a\,r\,\sin(\theta )\;$» ;
on en déduit la différence de marche «$\;\delta =d_{2}-d_{1}={\dfrac {d_{2}^{\,2}-d_{1}^{\,2}}{d_{2}+d_{1}}}={\dfrac {2\,a\,r\,\sin(\theta )}{d_{2}+d_{1}}}\;$» ou encore «$\;\delta =2\,{\dfrac {a}{r}}\,\sin(\theta )\,{\dfrac {r^{2}}{d_{2}+d_{1}}}\;$» $\;{\bigg \$dans la mesure où $\;{\dfrac {a}{r}}\;$ et $\;\sin(\theta )={\dfrac {x}{r}}\;$ sont des infiniment petits de même ordre un, le produit des deux est un infiniment petit d'ordre deux $\Rightarrow$ le terme prépondérant de $\;{\dfrac {r^{2}}{d_{2}+d_{1}}}\;$ suffit à la détermination du terme prépondérant de $\;\delta {\bigg \}$ ;
on poursuit en évaluant le terme prépondérant de $\;d_{2}+d_{1}\;$ sachant que «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}d_{2}=S_{2}M={\sqrt {\left({\overrightarrow {S_{2}O'}}+{\overrightarrow {O'M}}\right)^{\!2}}}={\sqrt {{\dfrac {a^{2}}{4}}+r^{2}+2\,{\dfrac {a}{2}}\,r\,\cos \!\left[{\widehat {\left({\overrightarrow {S_{2}O'}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {O'M}}\right)}}\right]}}\\d_{1}=S_{1}M={\sqrt {\left(-{\overrightarrow {S_{2}O'}}+{\overrightarrow {O'M}}\right)^{\!2}}}={\sqrt {{\dfrac {a^{2}}{4}}+r^{2}-2\,{\dfrac {a}{2}}\,r\,\cos \!\left[{\widehat {\left({\overrightarrow {S_{2}O'}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {O'M}}\right)}}\right]}}\end{array}}\right\rbrace \;$» soit, en mettant en facteur le terme prépondérant dans les expressions de $\;d_{2}\;$ et de $\;d_{1}$, «$\;\left[{\begin{array}{c}d_{2}=r\,\left\lbrace 1+{\dfrac {a}{r}}\;\cos \!\left[{\widehat {\left({\overrightarrow {S_{2}O'}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {O'M}}\right)}}\right]+{\dfrac {a^{2}}{4\,r^{2}}}\right\rbrace ^{\!{\frac {1}{2}}}\simeq r\\d_{1}=r\,\left\lbrace 1-{\dfrac {a}{r}}\;\cos \!\left[{\widehat {\left({\overrightarrow {S_{2}O'}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {O'M}}\right)}}\right]+{\dfrac {a^{2}}{4\,r^{2}}}\right\rbrace ^{\!{\frac {1}{2}}}\simeq r\end{array}}\right]\;$» d'où $\;d_{2}+d_{1}\simeq 2\,r\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {r^{2}}{d_{2}+d_{1}}}\simeq {\dfrac {r}{2}}\;$» ; pour terminer on reporte le terme prépondérant de $\;{\dfrac {r^{2}}{d_{2}+d_{1}}}\;$ dans l'expression de $\;\delta \;$ $\Rightarrow \;$ $\;\delta =2\,{\dfrac {a}{r}}\,\sin(\theta )\,{\dfrac {r^{2}}{d_{2}+d_{1}}}\simeq 2\,{\dfrac {a}{r}}\,\sin(\theta )\,{\dfrac {r}{2}}\;$ soit finalement
$\;\delta \simeq a\,\sin(\theta )\;$
$\;{\bigg \$
$\;\sin(\theta )={\dfrac {x}{r}}\;$
$\Rightarrow$
$\;\vert \delta \vert \ll a\;$
${\bigg \}$
Remarque : Il était possible de déterminer directement la différence de marche $\;\delta =d_{2}-d_{1}\;$ en formant le D.L. de «$\;\left[{\begin{array}{c}d_{2}=r\,\left\lbrace 1+{\dfrac {a}{r}}\;\cos \!\left[{\widehat {\left({\overrightarrow {S_{2}O'}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {O'M}}\right)}}\right]+{\dfrac {a^{2}}{4\,r^{2}}}\right\rbrace ^{\!{\frac {1}{2}}}\\d_{1}=r\,\left\lbrace 1-{\dfrac {a}{r}}\;\cos \!\left[{\widehat {\left({\overrightarrow {S_{2}O'}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {O'M}}\right)}}\right]+{\dfrac {a^{2}}{4\,r^{2}}}\right\rbrace ^{\!{\frac {1}{2}}}\end{array}}\right]\;$» à l'ordre un de l'« infiniment petit $\;{\dfrac {a}{r}}\;$» soit «$\;\left[{\begin{array}{c}d_{2}\simeq r\,\left\lbrace 1+{\dfrac {a}{r}}\;\cos \!\left[{\widehat {\left({\overrightarrow {S_{2}O'}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {O'M}}\right)}}\right]\right\rbrace ^{\frac {1}{2}}\simeq r\,\left\lbrace 1+{\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {a}{r}}\;\cos \!\left[{\widehat {\left({\overrightarrow {S_{2}O'}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {O'M}}\right)}}\right]\right\rbrace \\d_{1}\simeq r\,\left\lbrace 1-{\dfrac {a}{r}}\;\cos \!\left[{\widehat {\left({\overrightarrow {S_{2}O'}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {O'M}}\right)}}\right]\right\rbrace ^{\frac {1}{2}}\simeq r\,\left\lbrace 1-{\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {a}{r}}\;\cos \!\left[{\widehat {\left({\overrightarrow {S_{2}O'}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {O'M}}\right)}}\right]\right\rbrace \end{array}}\right]\;$ à l'ordre un en $\;{\dfrac {a}{r}}\;$» et, en faisant la différence de ces deux D.L. à l'ordre un en $\;{\dfrac {a}{r}}$, «$\;d_{2}-d_{1}\simeq \;r\,\left[\left\lbrace 1+{\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {a}{r}}\;\cos \!\left[{\widehat {\left({\overrightarrow {S_{2}O'}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {O'M}}\right)}}\right]\right\rbrace -\left\lbrace 1-{\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {a}{r}}\;\cos \!\left[{\widehat {\left({\overrightarrow {S_{2}O'}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {O'M}}\right)}}\right]\right\rbrace \right]=r\;{\dfrac {a}{r}}\;\cos \!\left[{\widehat {\left({\overrightarrow {S_{2}O'}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {O'M}}\right)}}\right]=a\;\cos \!\left[{\widehat {\left({\overrightarrow {S_{2}O'}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {O'M}}\right)}}\right]\;$» soit finalement, en observant que «$\;{\widehat {\left({\overrightarrow {S_{2}O'}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {O'M}}\right)}}=\theta -{\dfrac {\pi }{2}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;\cos \!\left[{\widehat {\left({\overrightarrow {S_{2}O'}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {O'M}}\right)}}\right]=\cos \!\left(\theta -{\dfrac {\pi }{2}}\right)=\cos \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sin(\theta )\;$»,
$\;\delta =d_{2}-d_{1}\simeq a\;\sin(\theta )\;$
Détermination de la direction des points d'interférences : Le point $\;M_{p}\;$ d'interférences constructives d'ordre$\;p\;$ est donc « dans la direction $\;\theta _{p}\;$» telle que la « différence de marche $\;\delta (\theta _{p})=$ $a\,\sin(\theta _{p})=$ $p\,\lambda ,\;p\in \mathbb {Z} \;$» d'où «$\;\sin(\theta _{p})=p\,{\dfrac {\lambda }{a}}\;$» ou, avec $\;\vert \theta \vert \ll 1$,
$\;\theta _{p}\simeq p\,{\dfrac {\lambda }{a}},\;p\in \mathbb {Z} \;$
Détermination de la direction des points d'interférences : le point $\;M_{\left({\frac {1}{2}}+p\right)}\;$ d'interférences destructives d'ordre$\;p+{\dfrac {1}{2}}\;$ est « dans la direction $\;\theta _{\left({\frac {1}{2}}+p\right)}\;$» telle que la « différence de marche $\;\delta \!\left[\theta _{\left({\frac {1}{2}}+p\right)}\right]$ $=a\,\sin \!\left[\theta _{\left({\frac {1}{2}}+p\right)}\right]=\left(p+{\dfrac {1}{2}}\right)\lambda ,\;p\in \mathbb {Z} \;$» soit «$\;\sin \!\left[\theta _{\left({\frac {1}{2}}+p\right)}\right]={\dfrac {\lambda }{2\,a}}+p\,{\dfrac {\lambda }{a}}\;$» ou, avec $\;\vert \theta \vert \ll 1$,
$\;\theta _{\left({\frac {1}{2}}+p\right)}\simeq {\dfrac {\lambda }{2\,a}}+p\,{\dfrac {\lambda }{a}},\;p\in \mathbb {Z} \;$
Détermination de la direction des points d'interférences : Ayant remarqué que les points d'interférences constructives ont des directions régulièrement réparties et qu'il en est de même des points d'interférences destructives, l'écart angulaire séparant deux directions d'interférences constructives consécutives $\;{\big$ou deux directions d'interférences destructives consécutives${\big )}\;$ définit l'« échelle angulaire caractérisant le phénomène d'interférences et s'écrit $\;\alpha ={\dfrac {\lambda }{a}}\;$ ${\big\alpha$ étant en $rad{\big )}\;$».
Lien entre les échelles angulaire et de longueur dans le plan d'observation du phénomène d'interférences : De la relation liant $\;\theta \;$ et $\;x\;$ définie dans le plan d'observation situé à la distance $\;d\;$ du plan vertical des deux sources $\;S_{1}\;$ et $\;S_{2}$, «$\;\tan(\theta )={\dfrac {x}{d}}\;$» ou, avec $\;\vert \theta \vert \ll 1$, «$\;\theta \simeq {\dfrac {x}{d}}\;$ ${\big\theta$ étant en $rad{\big )}\;$», on en déduit le « lien entre l'échelle angulaire$\;\alpha ={\dfrac {\lambda }{a}}\;$et l'échelle de longueur dans le plan d'observation$\;{\mathit {l}}={\dfrac {\lambda \,d}{a}}\;$du phénomène d'interférences à savoir $\;\alpha ={\dfrac {\mathit {l}}{d}}\;$» que l'on peut réécrire selon
$\underbrace {\qquad \;\;\;{\mathit {l}}\qquad \;\;\;} _{\text{échelle de longueur}}=\underbrace {\qquad \;\alpha \qquad \;} _{\text{échelle angulaire}}\times \underbrace {\qquad \quad \;d\qquad \quad \;} _{\text{éloignement de l'écran}}\;$

## Phénomène d'interférences de deux ondes acoustiques
### Modifications par rapport aux interférences de deux ondes mécaniques sur une cuve à ondes

Le milieu de propagation étant maintenant tridimensionnel et supposant toujours la propagation linéaire et non dispersive, le phénomène d'interférences est visible dans tout l'espace et les lieux d'observation des interférences constructives$\;{\big$ou destructives${\big )}\;$ ne sont plus des courbes $-$ comme cela était dans un milieu bidimensionnel $-$ mais des surfaces ;
on peut aisément prolonger $-$ en adaptant si besoin est $-$ tout ce qui a été vu lors de l'étude des interférences de deux ondes mécaniques sur la surface du liquide de la cuve à ondes.

### Principaux résultats

La superposition, en $\;M\;$ et à l'instant $\;t$, de deux ondes acoustiques issues des deux sources $\;S_{1}\;$ et $\;S_{2}\;$ synchrones et en phase, «$\;s_{1}(M,\,t)=A_{1}(M)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{1}(M)\right]\;$» et «$\;s_{2}(M,\,t)=$ $A_{2}(M)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{2}(M)\right]\;$» avec «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\varphi _{1}(M)=-k\,d_{1}\\\varphi _{2}(M)=-k\,d_{2}\end{array}}\right\rbrace \;$», «$\;k\;$ étant la pulsation spatiale » et «$\;(d_{1},\,d_{2})\;$ les distances respectives séparant $\;M\;$ des sources $\;S_{1}\;$ et $\;S_{2}\;$», La superposition, donne une onde résultante «$\;s_{\text{tot}}(M,\,t)=s_{1}(M,\,t)+s_{2}(M,\,t)=A_{\text{tot}}(M)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{\text{tot}}(M)\right]\;$» avec «$\;A_{\text{tot}}={\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2\,A_{1}\,A_{2}\,\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}}\;$»$^,$ La superposition, donne une onde résultante où le déphasage $\;\Delta \varphi =\varphi _{2}-\varphi _{1}\;$ est lié à la différence de marche $\;\delta =d_{2}-d_{1}\;$ selon «$\;\Delta \varphi =-k\,\delta \;$» ou La superposition, donne une onde résultante où le déphasage $\;\color {transparent}{\Delta \varphi =\varphi _{2}-\varphi _{1}}\;$ est lié à l'ordre d'interférences $\;p={\dfrac {\delta }{\lambda }}\;$ selon «$\;\Delta \varphi =-2\,\pi \,p\;$».
Conditions équivalentes d'interférences constructives : «$\;\Delta \varphi \equiv 0{\pmod {2\,\pi }}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;\delta =m\,\lambda ,\;m\in \mathbb {Z} \;$» $\Leftrightarrow$ «$\;p=m,\;m\in \mathbb {Z} \;$» ;
Conditions équivalentes d'interférences constructives : la 2ème condition se réécrivant «$\;S_{2}M-S_{1}M=m\,\lambda ,\;m\in \mathbb {Z} \;$» soit encore, pour $\;m\;$ entier relatif fixé, «$\;S_{2}M-S_{1}M=cste\;$», on en déduit que la surface d'interférences constructives d'ordre $\;m\neq 0\;$ est une « nappe d'hyperboloïde de révolution à deux nappes de foyers $\;S_{1}\;$ et $\;S_{2}\;$», la surface d'interférences constructives d'ordre $\;m=0\;$ étant le plan médiateur de $\;[S_{1}S_{2}]$.
Conditions équivalentes d'interférences destructives : «$\;\Delta \varphi \equiv \pi {\pmod {2\,\pi }}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;\delta ={\dfrac {\lambda }{2}}+m\,\lambda ,\;m\in \mathbb {Z} \;$» $\Leftrightarrow$ «$\;p={\dfrac {1}{2}}+m,\;m\in \mathbb {Z} \;$» ;
Conditions équivalentes d'interférences destructives : la 2ème condition se réécrivant «$\;S_{2}M-S_{1}M=\left(m+{\dfrac {1}{2}}\right)\lambda ,\;m\in \mathbb {Z} \;$» soit, pour $\;m\;$ entier relatif fixé$^,$, «$\;S_{2}M-S_{1}M=cste\;$», on en déduit que la surface d'interférences destructives d'ordre $\;m+{\dfrac {1}{2}}\;$ est aussi une « nappe d'hyperboloïde de révolution à deux nappes de foyers $\;S_{1}\;$ et $\;S_{2}\;$».

### Dispositif expérimental

On peut utiliser le dispositif expérimental schématisé ci-contre :
deux émetteurs d'ultrasons alimentés par le même générateur de signaux sinusoïdaux réglé sur la fréquence $\;f=$ $44\;kHz\;$ et écartés l'un de l'autre d'une distance $\;a=10\;cm\;$ envoient des ondes acoustiques ultrasonores dans l'espace situé devant eux,
ces ondes pouvant être captées par un récepteur d'ultrasons situé à une distance $\;d=1,00\;m\;$ des émetteurs ;
un dispositif non représenté permet le déplacement transversal du récepteur $\;{\big$c.-à-d. parallèlement à la droite joignant les deux émetteurs${\big )}\;$ et un dispositif non représenté permet de repérer sa position sur une règle graduée fixe longue de $\;80\;cm$ ;
le récepteur, captant le signal résultant, le transforme en tension sinusoïdale de même fréquence dont l'amplitude est mesurée par un oscilloscope numérique, cette tension étant $\;\propto \;$ à l'amplitude du signal résultant.

### Résultats expérimentaux

On appelle $\;O'\;$ le milieu du segment joignant les deux émetteurs et On appelle $\;O\;$ la position centrale du récepteur, c.-à-d. l'intersection de la médiatrice du segment joignant les deux émetteurs avec le rail permettant de déplacer le récepteur, comme indiqués sur le schéma du paragraphe « dispositif expérimental » plus haut dans ce chapitre ;
quand le récepteur est en position centrale on observe des interférences constructives $\;{\big$maximum d'amplitude${\big )}\;$ puis en déplaçant le récepteur d'un côté de $\;O'O\;$ ${\big$puis de l'autre${\big )}$, on observe une alternance « interférences destructives $\;{\big$minimum d'amplitude${\big )}\;$ $-$ interférences constructives » repérées par la mesure de l'amplitude de la tension $\;V_{\text{max}}\;$ enregistrée par l'oscilloscope simultanément au repérage de la position $\;x\;$ du récepteur ;
on résume ces résultats sur un diagramme où $\;x\;$ est en abscisse et $\;V_{\text{max}}\;$ en ordonnée $\;{\big$voir ci-contre${\big )}$ :
* entre $\;-32\,cm\;$ et $\;32\,cm\;$ on observe huit interfranges d'où $\;{\mathit {i}}_{\text{exp}}\simeq {\dfrac {64}{8}}\,cm\;$ soit «$\;{\mathit {i}}_{\text{exp}}\simeq 8,0\,cm\;$» ;
* de $\;d=1,00\,m\;$ et de $\;a=10\,cm\;$ on en déduit le rapport «$\;{\dfrac {d}{a}}=10\;$» ; si on admet la validité de la formule théorique «$\;{\mathit {i}}_{\text{th}}=\lambda \,{\dfrac {d}{a}}\;$» on peut déduire de la valeur expérimentale de l'interfrange, la longueur d'onde des ondes acoustiques ultrasonores «$\;\lambda _{\text{exp}}\simeq {\dfrac {{\mathit {i}}_{\text{exp}}}{\dfrac {d}{a}}}\simeq 8,0\,mm\;$» ;
* on peut alors évaluer la célérité des ondes ultrasonores par $\;\lambda ={\dfrac {c}{f}}\;$ $\Leftrightarrow$ «$\;c=\lambda \;f\;$» d'où on peut alors évaluer la célérité des ondes ultrasonores «$\;c_{\text{exp}}=\lambda _{\text{exp}}\;f\simeq 8,0\,10^{-3}\times 44\,10^{3}\simeq 352\,m\!\cdot \!s^{-1}\;$» à comparer à «$\;c_{\text{donnée}}\simeq 343\,m\!\cdot \!s^{-1}\;$ à $\;20\,{\text{°C}}\;$» soit le même résultat à $\;2,5\,\%\;$ près.