OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Littérature de jeunesse en anglais : Beatrix Potter, Sophie Canétang/La rencontre

| Le départ | Un nid bien douillet |
* Elle atterrit lourdement et se mit à chercher, cahin caha, un endroit bien sec pour se construire un nid. Son regard se posa sur une souche au milieu d'un massif de digitales.
* Mais elle eut la surprise de découvrir, assis sur la souche, un bel homme élégamment vêtu qui lisait son journal. Il avait des oreilles noires pointues et des moustaches rousses.
* -– « Couac ? » lui demanda Sophie Canétang en penchant la tête et le bonnet de côté, « Couac ? »
* Le bel homme leva les yeux de son journal et lui jeta un regard étonné.
* -– « Madame, auriez-vous perdu votre chemin ? » lui demanda-t-il.
* Il avait une queue longue et touffue et s'était assis dessus car la souche était un peu humide.
* Sophie le trouva charmant et fort civil. Elle lui expliqua que non, elle n'était pas perdue mais essayait de trouver un lieu convenable et sec pour son nid.
* -– « Oh, vraiment ? Ça par exemple ! » lui répondit l'homme aux moustaches rousses en la regardant d'une drôle de façon.
* Il replia son journal et le mit dans sa poche de gilet. Sophie lui fit part de ses reproches contre la poule qui lui volait son rôle de mère.
* -– « Mais naturellement ! Comme c'est intéressant ! Ah, si j'avais le loisir de rencontrer cette volaille, je lui montrerais comment s'occuper de ses affaires ! »
| Le départ | Un nid bien douillet |
# Littérature de jeunesse en anglais : Beatrix Potter, Sophie Canétang/Le dernier voyage

| Le gardien | L'intervention des chiens |
* Puis elle pénétra en se dandinant dans la cuisine où elle prit deux oignons dans un panier. En sortant, elle croisa Kep le colley qui lui demanda :
* -– « Que vas-tu donc faire avec ces oignons ? Et où pars-tu donc l'après-midi toute seule, Sophie Canétang ? »
* Sophie était tellement respectueuse de l'autorité du chien de garde qu'elle lui raconta toute l'histoire, du début à la fin. Le colley l'écouta attentivement en penchant la tête de côté. Il fit la grimace quand elle décrivit le monsieur si bien élevé avec ses moustaches rousses.
* Il lui posa plusieurs questions sur le bois, la maison et l'abri pour connaître leur situation précise. Puis il ressortit et descendit au trot jusqu'au village chercher deux chiots de chasse dressés à poursuivre les renards, qui faisaient leur ronde avec le boucher.
* Quant à Sophie, elle remontait le sentier de la colline une dernière fois avant la couvaison ; il faisait un temps splendide. Elle était lourdement chargée des herbes et des oignons dans son sac à main. Elle prit son vol et atterrit près de la maison du gentilhomme à la longue queue touffue.
* Il était assis sur une buche et reniflait de droite à gauche ; il surveillait le bois d'un air inquiet. Quand Sophie arriva il sursauta et bondit.
* -– Entrez chez moi dès que vous en avez terminé avec vos œufs. Donnez-moi les fines herbes pour l'omelette. Dépêchez-vous ! »
* Il parlait d'un ton brusque. Il ne s'était jamais adressé à Sophie Canétang sur ce ton. Quelle surprise ! Elle se sentit mal à l'aise.
| Le gardien | L'intervention des chiens |
# Portugais/Conjugaison/Temps/Indicatif

| Chap. 1 : | Presente (Présent) (4) |
| Chap. 2 : | Pretérit imperfeito (7) |
| Chap. 3 : | Pretérit perfeito (6) |
| Chap. 4 : | Pretérit mais que perfeito (7) |
| Chap. 5 : | Futuro do présente (6) |
| Chap. 6 : | Futuro do pretérit (Conditionnel présent) (8) |
Cette leçon joue aussi le rôle du chapitre 1 de la leçon : Les temps du verbe Chap. préc. : Sommaire

## Présentation [Modifier]

Nous présentons dans cette leçon les temps du mode indicatif. ...

## Objectifs [Modifier]

* Savoir exprimer une action au présent, passé et futur.
* Connaitre les trois temps du passé.
* Connaitre les deux temps du futur.

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 8.
* Vocabulaire niveau 3.
* Connaitre les personnes du discours.
* Être capable de conjuguer les verbes et auxiliaires au présent.

## Référents

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# Portugais/Conjugaison/Temps/Indicatif/Pretérit imperfeito ind
## Pretérito Imperfeito

Correspond à l'imparfait français mais on l'utilise aussi pour exprimer le conditionnel.
| Ter | Ser | Estar |
| tinha | era | estava |
| tinhas | eras | estavas |
| tinha | era | estava |
| tínhamos | eramos | estávamos |
| tínheis | ereis | estáveis |
| tinham | eram | estavam |
| Falar | Comer | Abrir |
| falava | comia | abria |
| falavas | comias | abrias |
| falava | comia | abria |
| falávamos | comíamos | abríamos |
| faláveis | comíeis | abríeis |
| falavam | comiam | abriam |
| Sair Sortir | Vir Venir | Pôr Mettre |
| saía | vinha | punha |
| saías | vinhas | punhas |
| saía | vinha | punha |
| saíamos | vínhamos | púnhamos |
| saíeis | vínheis | púnheis |
| saíam | vinham | punham |
| Presente ind | Pretérit perfeito ind |
# Portugais/Conjugaison/Temps/Indicatif/Presente ind
## Presente

Identique au présent en français ; nous avons vu la conjugaison des auxiliaires, puis des verbes réguliers des trois groupes et enfin les verbes irréguliers au présent de l'indicatif.
| Sommaire | Pretérit imperfeito ind |
# Portugais/Conjugaison/Temps/Indicatif/Pretérit perfeito ind
## Pretérito Perfeito

Correspond au passé-simple et au passé-composé français. C'est un temps très commun au Portugal et au Brésil, pour parler d'une action accomplie, pour marquer un moment précis du passé.

### Verbes réguliers

| | Falar parler | Comer manger | Abrir ouvrir |
| eu | falei | comi | abri |
| tu | falaste | comeste | abriste |
| você, ele, ela | falou | comeu | abriu |
| nós | falámos | comemos | abrimos |
| vos | falastes | comestes | abristes |
| vocês, eles, elas | falaram | comeram | abriram |

### Les auxiliaires

* Ter
* tive
* tiveste
* teve
* tivemos
* tivestes
* tiveram
* Ser
* fui
* foste
* foi
* fomos
* fostes
* foram
* Estar
* estive
* estiveste
* esteve
* estivemos
* estivestes
* estiveram

### Les verbes irréguliers

* Dar
* Donner
* dei
* deste
* deu
* demos
* destes
* deram
* Dizer
* Dire
* disse
* disseste
* disse
* dissemos
* dissestes
* disseram
* Fazer
* faire
* fiz
* fizeste
* fez
* fizemos
* fizestes
* fizeram
* Poder
* pouvoir
* pude
* pudeste
* pôde
* pudemos
* pudestes
* puderam
* Ir
* aller
* fui
* foste
* foi
* fomos
* fostes
* foram
* Vir
* venir
* vim
* vieste
* veio
* viemos
* viestes
* vieram
* Sair
* sortir
* saí
* saíste
* saiu
* saimos
* saistes
* saíram
* Trazer
* apporter
* trouxe
* trouxeste
* trouxe
* trouxemos
* trouxestes
* trouxeram
* Ver
* voir
* vi
* viste
* viu
* vimos
* vistes
* viram
* Ouvir
* entendre
* ouvi
* ouviste
* ouviu
* ouvimos
* ouvistes
* ouviram
* Saber
* savoir
* soube
* soubeste
* soube
* soubemos
* soubestes
* souberam
* Pôr
* mettre
* pus
* puseste
* pôs
* pusemos
* pusestes
* puseram
| Pretérit imperfeito ind | Pretérit mais ind |
# Portugais/Conjugaison/Temps

| Chap. 1 : | Les temps de l'indicatif |
| Chap. 2 : | Les temps du subjonctif |

## Présentation [Modifier]

Nous étudions ici les temps du verbe ; ceux qui appartiennent au mode indicatif, puis ceux du mode subjonctif ; enfin le cas très particulier de l'infinitif personnel qui constitue un mode à part entière.
Nous aborderons les déclinaisons des verbes réguliers dans un premier temps, puis celles des verbes irréguliers dans un second temps.

## Objectifs [Modifier]

* Connaitre les temps de la conjugaison portugaise.
* Savoir exprimer une action au présent, passé et futur.
* Conjuguer les trois temps du passé.
* Conjuguer les deux temps du futur.
* Savoir conjuguer un verbe régulier.
* Être capable de choisir et accorder les temps du verbe.
* Connaitre les verbes irréguliers.

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 3.
* Notions basiques de phonétique.
* Notions intermédiaires de vocabulaire.
* Notions avancées de grammaire en particulier le chapitre sur les pronoms.
* Connaitre les personnes du discours.
* Être capable de conjuguer les verbes et auxiliaires au présent.

## Pour aller plus loin [Modifier]

    Wikibook Português para estrangeiros, modo subjuntivo
Wikibook Portugais, o subjontivo

## Référents

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# Portugais/Conjugaison/Temps/Indicatif/Futuro presente ind
## Futuro do Presente

Correspond au futur français le verbe à infinitif + les terminaisons : ei, ás, á, emos, eis, ão (= haver au présent de l'indicatif).
| Falar | Comer | Partir |
| falarei | comerei | partirei |
| falarás | comerás | partirás |
| falará | comerá | partirá |
| falaremos | comeremos | partiremos |
| falareis | comereis | partireis |
| falarão | comerão | partirão |
Une façon simple d'exprimer le futur consiste à conjuguer le verbe auxiliaire "ir" (aller) au présent ; suivi d'un verbe à l'infinitif
| (pt) | Amanhã vou comer peixe. |
| (fr) | Demain je vais manger du poisson. |
| (pt) | Esta noite vamos sair. |
| (fr) | Cette nuit nous allons sortir. |
| Pretérit mais ind | Futuro pretérit ind |
# Portugais/Conjugaison/Temps/Indicatif/Pretérit mais ind
## Pretérito Mais-que-perfeito

| | Falar | Comer | Abrir | Sair |
| eu | falara | comera | abrira | saíra |
| tu | falaras | comeras | abriras | saíras |
| você, ele, ela | falara | comera | abrira | saíra |
| nós | faláramos | comêramos | abríramos | saíramos |
| vós | faláreis | comêreis | abríreis | saíreis |
| vocês, eles, elas | falaram | comeram | abriram | saíram |
| Pretérit perfeito ind | Futuro presente ind |
# Portugais/Conjugaison/Temps/Indicatif/Futuro pretérit ind

* Cette page est une ébauche concernant le portugais. Avant de recréer une ressource du même type, essayez d'abord de compléter celle-ci ; si c'est impossible, remplacez son contenu par le vôtre. Si vous êtes l'auteur(e) de cette page et que vous souhaitez la continuer, retirez ce bandeau.
* Au Brésil on utilise le nom de futuro do pretérit, dans les autres pays lusophone on parle de conditionnel.

## Condicional (ou Futuro do Passado)

Correspond au conditionnel présent de la langue française.
Le code suivant est un Modèle du Wikcionário contenant exemple à dérouler avec des traduction :
{{fraseini|De 1}} :1. ''' Exemplos de [[forma verbal|formas verbais]] no futuro do pretérito simples (fr: présent conditionnel): pt: [[cantaria]] = fr:[[chanterais]]; pt: [[teríamos]] = fr: [[aurions]]; pt: [[chegariam]] = fr: [[arriveraient]]; pt: [[iríamos]] = fr: [[irions]] etc. ''' {{frasefim}}
Exemple d’emploi du "condicional": ninguém é autoridade inconteste para ditar regras sobre como se daria essa “volta ao campo”, da mesma forma que ninguém minimamente sério ousaria garantir que essa gente toda, uma vez de volta à vida campestre, teria um comportamento toleravelmente harmonioso, que é o que se espera de silvícolas de índole rousseauniana. (notícia do jornal O Estado de São Paulo de 29 de agosto de 2008)

### Futuro do pretérito

O futuro do pretérito (ou condicional) inidica ações futuras em relação ao passado (mas que também podem conter uma condição para a ação ser feita). É acompanhado com um verbo flexionado no passado. (Ex.: Ontem eu tinha dito que amanhã falaria com você). Também serve para indicar ações hipotéticas ou irreais. (Ex.: Eu não teria tanta certeza de que ele não falaria isso!).
| verbos | falar | comer | abrir | sair |
| eu | falaria | comeria | abriria | sairia |
| tu | falarias | comerias | abririas | sairias |
| você, ele, ela | falaria | comeria | abriria | sairia |
| nós | falaríamos | comeríamos | abriríamos | sairíamos |
| vós | falaríeis | comeríeis | abriríeis | sairíeis |
| vocês, eles, elas | falariam | comeriam | abririam | sairiam |
| Futuro presente ind | Sommaire |
# Portugais/Conjugaison/Temps/Indicatif/Objectifs

* Savoir exprimer une action au présent, passé et futur.
* Connaitre les trois temps du passé.
* Connaitre les deux temps du futur.
# Initiation à l'arithmétique/Exercices/Sujets de brevet
## Exercice 1

1. Calculer le P.G.C.D. de 114400 et 60775.
114400 = 60775 × 1 + 53625
60775 = 53625 × 1 + 7150
53625 = 7150 × 7 + 3575
7150 = 3575 × 2 + 0
Le PGCD de 114400 et 60775 est 3575.
2. Donner l'écriture simplifiée de ${\frac {114400}{60775}}$.
${\frac {114400}{60775}}={\frac {3575\times 32}{3575\times 17}}={\frac {32}{17}}$

## Exercice 2

1. Calculer le PGCD de 110 et de 88.
110 = 2 × 5 × 11
88 = 2 × 2 × 2 × 11
le PGCD de 110 et 88 est égal à 2 × 11, soit 22.
2. Un ouvrier dispose de plaques de métal de 110 cm de longueur et de 88 cm de largeur. Il a reçu la consigne suivante : « Découper dans ces plaques des carrés tous identiques, les plus grands possibles, de façon à ne pas avoir de perte. »
    a. Quelle sera la longueur du côté d'un carré ?
La longueur du côté du carré sera égale au PGCD de 110 et 88 c'est-à-dire 22 cm.
    b. Combien obtiendra t-il de carrés par plaque ?
On obtient ainsi 4 rangées de 5 carrés soit 20 carrés par plaques.

## Exercice 3

Écrire sous forme de fraction irréductible le nombre ${\frac {325}{1053}}$.
325 = 25 × 13
1053 = 81 × 13
${\frac {325}{1053}}$ = ${\frac {25}{81}}$.

## Exercice 4

1. Déterminer le PGCD des nombres 108 et 135.
On a 135 = 108 + 27
108 = 27 × 4
donc PGCD (135,108) = 27.
2. Marc a 108 billes rouges et 135 billes noires.
Il veut faire des paquets de sorte que :
* tous les paquets contiennent le même nombre de billes rouges,
* tous les paquets contiennent le même nombre de billes noires,
* toutes les billes rouges et toutes les billes noires soient utilisées.
    a. Quel nombre maximal de paquets pourra-t-il réaliser ?
Il pourra donc faire 27 paquets au maximum.
    b. Combien y aura-t- il alors de billes rouges et de billes noires dans chaque paquet ?
Il y aura par paquet :
4 billes rouges (108 = 4 x 27)
et 5 billes noires (135 = 5 x 27).

## Exercice 5

1. Donner l'égalité traduisant la division euclidienne de 1512 par 21.
1512 = 21 × 72
2. Rendre irréductible la fraction ${\frac {720}{1512}}$.
${\frac {720}{1512}}$ = ${\frac {72\times 10}{72\times 21}}$ = ${\frac {10}{21}}$

## Exercice 6

Calculer le PGCD des nombres 1183 et 455 en précisant la méthode utilisée.
Calcul du PGCD de 1183 et 455 en utilisant successivement la division euclidienne :
1183 = 2 × 455 + 273
455 = 1 × 273 + 182
273 = 1 × 182+ 91
182 = 2 × 91. Comme le reste est 0, alors le PGCD de 1183 et 455 est 91.
Écrire sous la forme irréductible la fraction ${\frac {1183}{455}}$ (on indiquera le détail des calculs).
${\frac {1183}{455}}$ = ${\frac {91\times 13}{91\times 5}}$ = ${\frac {13}{5}}$
| Sommaire | Nombres premiers |
# Initiation à l'arithmétique/Divisibilité
## Qu’est ce que l'arithmétique ?

Ce nom vient du grec arithmos qui signifie « nombre ». L'arithmétique est la science des nombres entiers.

## Diviseurs et multiples

Un entier a est divisible par un autre entier b s'il existe un entier fini q tel que : a = b×q. On note alors : b | a et l'on dit que :
* b divise a.
* b est un diviseur de a.
* a est un multiple de b.
$21=3\times 7=7\times 3$
3 et 7 sont des diviseurs de 21.
21 est divisible par 7 et par 3.
21 est un multiple de 3 et de 7. C'est donc un multiple commun de 3 et 7.
$28=7\times 4$
$35=7\times 5$
7 est un diviseur de 28 et de 35. C'est donc un diviseur commun de 28 et 35.
* Tout entier a est divisible par lui-même et par 1 car : a = a×1 = 1×a.
* Si b divise a et c divise b, alors c divise a car si a = b×x et b = c×y, alors a = c×(x×y).
* 0 est divisible par tout entier a car : 0 = a×0. La réciproque est fausse. On ne peut pas diviser par 0.
* Le seul multiple de 0 est 0 car : 0×x = 0.

## Critères de divisibilité

Un nombre est divisible :
* par 2 lorsque son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8 ;
* par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3 ;
* par 5 lorsque son chiffre des unités est 0 ou 5 ;
* par 9 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 9 ;
* par 10 lorsque son chiffre des unités est 0.
| Sommaire | Division euclidienne |
# Initiation à l'arithmétique/Prérequis conseillés

Introduction aux mathématiques élémentaires
# Initiation à l'arithmétique/Annexe/Triplets pythagoriciens
## Définition

On appelle triplet pythagoricien la donnée de trois nombres entiers non nuls $a$, $b$ et $c$ vérifiant la relation : $a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
Par exemple, $(3,4,5)$ est un triplet pythagoricien car $3^{2}+4^{2}=5^{2}$.
$(3,7,8)$ n’est pas un triplet pythagoricien car $3^{2}+7^{2}\neq 8^{2}$.

## Les premiers triplets Pythagoriciens

| 3 ; 4 ; 5 | 6 ; 8 ; 10 | 5 ; 12 ; 13 | 8 ; 15 ; 17 | 12 ; 16 ; 20 |
| 7 ; 24 ; 25 | 10 ; 24 ; 26 | 20 ; 21 ; 29 | 16 ; 30 ; 34 | 9 ; 40 ; 41 |
| 12 ; 35 ; 37 | 24 ; 32 ; 40 | 27 ; 36 ; 45 | 20 ; 48 ; 52 | 11 ; 60 ; 61 |
| 14 ; 48 ; 50 | 28 ; 45 ; 53 | 40 ; 42 ; 58 | 33 ; 56 ; 65 | 24 ; 70 ; 74 |
* Sommaire
# Initiation à l'arithmétique/Exercices/Nombres premiers
## Exercice 1

a) Décomposer 118 et 177 en produits de facteurs premiers puis,
après réduction au même dénominateur, calculer :
    ${\frac {15}{118}}+{\frac {11}{177}}$.
b) De même avec :
    ${\frac {2}{75}}-{\frac {3}{50}}$.
c) De même avec :
    ${\frac {1}{56}}-{\frac {3}{49}}+{\frac {5}{42}}$.
a) 118 = 2 × 59 et 177 = 3 × 59. Le plus petit dénominateur commun est 2 × 3 × 59 = 3 × 118 = 2 × 177.
    ${\frac {15}{118}}+{\frac {11}{177}}={\frac {15\times 3}{118\times 3}}+{\frac {11\times 2}{177\times 2}}={\frac {45+22}{354}}={\frac {67}{354}}\approx 0{,}19$.
b) 75 = 3 × 25 et 50 = 2 × 25.
    ${\frac {2}{75}}-{\frac {3}{50}}={\frac {2\times 2}{2\times 75}}-{\frac {3\times 3}{3\times 50}}={\frac {4-9}{150}}=-{\frac {5}{150}}=-{\frac {1}{30}}\approx -0{,}33$.
c) 56 = 7 × 8, 49 = 7 × 7 et 42 = 7 × 6.
    ${\frac {1}{56}}-{\frac {3}{49}}+{\frac {5}{42}}={\frac {21}{56\times 21}}-{\frac {3\times 24}{49\times 24}}+{\frac {5\times 28}{42\times 28}}={\frac {21-72+140}{1176}}={\frac {89}{1176}}\approx 0{,}076$.

## Exercice 2

a) Décomposer 210 en produits de facteurs premiers.
b) Calculer en réduisant au même dénominateur puis en simplifiant :
    ${\frac {17}{42}}+{\frac {13}{210}}-{\frac {31}{105}}$.
a) 210 = 2 × 3 × 5 × 7.
b) ${\frac {17}{42}}+{\frac {13}{210}}-{\frac {31}{105}}={\frac {17\times 5}{42\times 5}}+{\frac {13}{210}}-{\frac {31\times 2}{105\times 2}}={\frac {85+13-62}{210}}={\frac {36}{210}}={\frac {6}{35}}\approx 0{,}17$.

## Exercice 3

a) Décomposer 45 et 210 en produits de facteurs premiers.
b) Calculer en choisissant le plus petit dénominateur commun possible puis simplifier :
    ${\frac {17}{30}}-{\frac {13}{210}}+{\frac {31}{45}}$.
a) 45 = 3$^2$ × 5 et 210 = 2 × 3 × 5 × 7.
b) ${\frac {17}{30}}-{\frac {13}{210}}+{\frac {31}{45}}={\frac {17\times 21}{30\times 21}}-{\frac {13\times 3}{210\times 3}}+{\frac {31\times 14}{45\times 14}}={\frac {357-39+434}{630}}={\frac {752}{630}}={\frac {376}{315}}\approx 1{,}19$.

## Exercice 4

a) Calculer à la calculatrice ${\frac {27}{20000}}$ et ${\frac {5\times 10^{6}}{3703703703}}$. Qu'observe-t-on ?
On trouve 0.00135 pour les deux.
b) Démontrer que ces deux nombres sont distincts.
$27\times 3703703703$ est impair donc différent de $20000\times 5\times 10^{6}$ (en fait, le second est égal à $10^{11}$ et le premier un peu moins : 99 999 999 981).

## Exercice 5

a) Décomposer 36 et 52 en produit de facteurs premiers.
36 = 2$^2$ × 3$^2$ et 52 = 2$^2$ × 13.
b) Donner toutes les tailles entières possibles, en dm de côté, de dalles carrées identiques permettant de carreler une pièce rectangulaire de 3,60 m sur 5,20 m.
Indiquer dans chaque cas le nombre de dalles.
Les diviseurs communs à 36 et 52 sont les diviseurs de 2$^2$. On pourra donc carreler en dalles de côté :
* 4 dm (3$^2$ × 13 = 117 dalles) ;
* 2 dm (4 × 117 = 468 dalles) ;
* 1 dm (4 × 468 = 1 872 dalles).
| Sujets de brevet | Sommaire |
# Initiation à l'arithmétique/Objectifs

Étudier les méthodes qui permettent de faire des additions, multiplications et simplifications de fractions dont le numérateur et le dénominateur sont des grands nombres.
# Initiation à l'arithmétique/Division euclidienne

Soient a et b deux nombres entiers positifs, avec b non nul.
Faire la division euclidienne de a par b consiste à calculer les valeurs des nombres entiers q et r (uniques) tels que :
* a = q × b + r
* et r < b
Vocabulaire de la division euclidienne :
* a : Dividende
* b : Diviseur
* q : Quotient
* r : Reste
L'entier a est divisible par b si et seulement si le reste r est nul.
* La division euclidienne de 7 par 2 a pour quotient 3 et pour reste 1 car
    7 = 2 × 3 + 1 et 1 < 2 ;
* la division euclidienne de 6 par 3 a pour quotient 2 et pour reste 0 ; on écrit :
    6 = 2 × 3 + 0.
| Divisibilité | PGCD |
# Initiation à l'arithmétique/PGCD
## Plus grand diviseur commun de deux nombres entiers positifs

Soient deux nombres entiers non nuls a et b. Le plus grand diviseur commun de ces deux nombres s'appelle PGCD et se note $pgcd(a,b)$.
Il s'agit du plus grand nombre entier par lequel a et b sont divisibles.
Les diviseurs de 24 sont 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24.
Les diviseurs de 36 sont 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 et 36.
Les diviseurs communs de 24 et 36 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12.
Donc le plus grand diviseur commun de 24 et 36 est pgcd(24, 36) = 12.

## Algorithme d’Euclide : une méthode pour trouver le PGCD

Le mot algorithme vient du mathématicien arabe du XIe siècle Al-Khwarizmi.
Euclide est un savant grec du IIIe siècle avant J.C., auteur des fameux Éléments.
Un algorithme est une procédure automatisée qui permet de trouver un résultat « sans réfléchir ». Par exemple, quand on pose une opération, on applique un algorithme.
L'algorithme d'Euclide est une méthode pour trouver le PGCD de deux nombres entiers par divisions euclidiennes successives.

### Propriété de transmission du PGCD

Soient $a,b,q,r$ quatre nombres entiers non nuls.
Si $a=b\times q+r$, alors $\operatorname {pgcd} (a,b)=\operatorname {pgcd} (b,r)$.
    $49=14\times 3+7$.
$\operatorname {pgcd} (49,14)=\operatorname {pgcd} (14,7)=7$.

### Algorithme d’Euclide : exemple

On veut le PGCD de $702$ et $273$.
On effectue les divisions successives :
    $702=273\times 2+156$ ;
    $273=156\times 1+117$ ;
    $156=117\times 1+39$ ;
    $117=39\times 3+0$.
Le dernier reste non nul est $39$ donc $\operatorname {pgcd} (702,273)=39$.

## Applications du PGCD
### Nombres premiers entre eux
#### Définition

Deux entiers sont dits premiers entre eux si leurs seuls diviseurs communs sont 1 et –1.

#### PGCD de deux nombres premiers entre eux

Deux nombres entiers non nuls sont premiers entre eux si et seulement si leur PGCD est égal à 1.

#### Exemple

25 et 36 sont premiers entre eux (bien qu’aucun des deux ne soit premier !) car leur PGCD vaut 1.

#### Contre-exemple

24 et 36 ne sont pas premiers entre eux, car leur PGCD vaut 12 (leurs diviseurs communs sont donc : 1, 2, 3, 4, 6, 12).

### Rendre une fraction irréductible

Une fraction est irréductible si le numérateur (en haut) et le dénominateur (en bas) sont premiers entre eux.
Pour rendre une fraction irréductible, il faut la simplifier par le PGCD du numérateur et du dénominateur.
Pour rendre irréductible la fraction ${\frac {75}{60}}$ :
* calculons, avec l'algorithme d'Euclide, le PGCD de $75$ et $60$.
    $75=60\times 1+15$
    $60=15\times 4+0$
    donc $\operatorname {pgcd} (75,60)=15$
    donc ${\frac {75}{60}}={\frac {5\times 15}{4\times 15}}={\frac {5}{4}}$
    et cette dernière fraction est irréductible.
* ou bien simplifions successivement par les diviseurs communs évidents :
    ${\frac {75}{60}}={\frac {5\times 15}{5\times 12}}={\frac {15}{12}}$
    ${\frac {15}{12}}={\frac {3\times 5}{3\times 4}}={\frac {5}{4}}$.
| Division euclidienne | Nombres premiers |