# Étude de fonctions/Fonction dérivée
## Définition

Soient $f$ une fonction et $I$ l'ensemble des nombres réels en lesquels $f$ est dérivable.
La fonction de $I$ dans $\mathbb {R}$ qui à tout nombre $x$ de $I$ associe le nombre dérivé $f^{\prime }(x)$ est appelée fonction dérivée de $f$ et est notée $f^{\prime }$.

## Dérivées successives

Ceci permet de définir par récurrence les dérivées successives de $f$ et sa classe de régularité (voir le § « Classes de régularité et dérivées d'ordre supérieur » du chapitre « Dérivabilité » de la leçon sur les fonctions d'une variable réelle) mais à notre niveau, seule la définition suivante sera parfois utile :
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. Si sa fonction dérivée $f^{\prime }$ est dérivable sur cet intervalle $I$ alors elle admet une fonction dérivée sur $I$ appelée dérivée seconde de $f$ et notée $f^{\prime \prime }$.
On dit alors que $f$ est deux fois dérivable sur $I$.
Avec la notation différentielle, on écrit $f^{\prime }={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}$ et $f^{\prime \prime }={\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} x^{2}}}$.

## Opérations et dérivées

Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$
| Opération | Dérivée |
| Somme | $(u+v)^{\prime }=u^{\prime }+v^{\prime }$ |
| Produit | $(u\times v)^{\prime }=u^{\prime }\times v+v^{\prime }\times u$ |
| Produit par un réel | $(k\times u)^{\prime }=k\times u^{\prime }$ |
| Carré d'une fonction | $\left(u^{2}\right)^{\prime }=2u^{\prime }u$ |
| Cube d'une fonction | $\left(u^{3}\right)^{\prime }=3u^{\prime }u^{2}$ |
| Inverse $u(x)\neq 0$ $\forall x\in I$ | $\left({\frac {1}{u}}\right)^{\prime }={\frac {-u^{\prime }}{u^{2}}}$ |
| Quotient $v(x)\neq 0$ $\forall x\in I$ | $\left({\frac {u}{v}}\right)^{\prime }={\frac {u^{\prime }v-v^{\prime }u}{v^{2}}}$ |
Remarque : Les fonctions polynômes et rationnelles sont dérivables sur tout intervalle de $\mathbb {R}$ où elles sont définies

## Dérivées d'une composée et d'une réciproque

Les deux théorèmes suivants (entre autres) sont démontrés dans le chapitre « Dérivabilité » de la leçon sur les fonctions d'une variable réelle (de niveau 14). Pour d'autres compléments, voir d'abord la leçon « Fonction dérivée », de niveau 12 comme la présente leçon.
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et $g$ une fonction dérivable sur un intervalle $J$ tel que $f(I)\subset J$. Alors $g\circ f$ est dérivable sur $I$ et on a $(g\circ f)^{\prime }=f^{\prime }\times (g^{\prime }\circ f)$.
Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. Pour tout entier naturel $n$ $n\geq 2$ $(u^{n})^{\prime }=nu^{\prime }u^{n-1}$.
Si $u$ est strictement positive sur $I$ $({\sqrt {u}})^{\prime }={\frac {u^{\prime }}{2{\sqrt {u}}}}$
Soient $I,J$ deux intervalles réel et $f:I\to J$ une bijection strictement monotone et dérivable, dont la dérivée ne s'annule pas. Alors la bijection réciproque $f^{-1}:J\to I$ est dérivable et
    $(f^{-1})'={\frac {1}{f'\circ f^{-1}}}$.

## Sens de variation (théorème)

Soit une fonction $f$ définie et dérivable sur un intervalle $I$.
* Si pour tout $x\in I$ on a $f^{\prime }(x)\geq 0$ alors $f$ est croissante sur $I$.
* Si pour tout $x\in I$ on a $f^{\prime }(x)\leq 0$ alors $f$ est décroissante sur $I$.
* Si pour tout $x\in I$ on a $f^{\prime }(x)>0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
* Si pour tout $x\in I$ on a $f^{\prime }(x)<0$ alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.

### Extremum local (théorème)

Soit une fonction $f$ définie et dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb {R}$ et $x_{0}$ un nombre de $I$. Si $f$ admet un extremum local en $x_{0}$ alors $f^{\prime }(x_{0})=0$.

## Tableau des dérivés

| | $(ax+b)^{\prime }=a$ |
| | $(u+v)^{\prime }=u^{\prime }+v^{\prime }$ |
| | $(uv)^{\prime }=u^{\prime }v+v^{\prime }u$ |
| | $(e^{u})^{\prime }=u^{\prime }e^{u}$ |
| | $(u\circ v)^{\prime }=(u^{\prime }\circ v)\times v^{\prime }$ |
| $u>0$ | $(\ln u)^{\prime }={\frac {u^{\prime }}{u}}$ |
| Soit $n>1$ ​Soit $u\neq 0$ et $n\in \mathbb {Z}$ ​Soit $u>0$ et $n\in \mathbb {Q}$ | $\left(u^{n}\right)^{\prime }=nu^{\prime }u^{n-1}$ |
| $\forall {\frac {-\pi }{2}}<x+k\pi <{\frac {\pi }{2}}$ avec $k\in \mathbb {Z}$ | $(\tan x)^{\prime }=1+\tan ^{2}x={\frac {1}{\cos ^{2}x}}$ |
| | $(\cos x)^{\prime }=-\sin x$ |
| | $(\sin x)^{\prime }=\cos x$ |
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