# Signaux physiques (PCSI)/Propagation d'un signal : Diffraction à l'infini
## Observation du phénomène de diffraction en optique
### Rappel des fréquences lumineuses dans le domaine visible, longueurs d'onde associées dans le vide

Le domaine du visible en fréquence étant $\;f_{\text{rouge}}=390\;THz<f<f_{\text{violet}}=790\;THz\;$ et la lumière étant une onde électromagnétique de célérité dans le vide $\;c\simeq 3\,10^{8}\;m\!\cdot \!s^{-1}$, on en déduit de domaine des longueurs d'onde dans le vide grâce à $\;\lambda _{0}={\dfrac {c}{f}}\;$ soit :
$\;\lambda _{0,\,{\text{violet}}}=0,380\;\mu m<\lambda _{0}<\lambda _{0,\,{\text{rouge}}}=0,780\;\mu m\;$

### Introduction aux phénomènes de diffraction par limitation d'un faisceau lumineux

Une source lumineuse ponctuelle émet en « espace libre » une onde progressive se propageant dans toutes les directions $\;{\big$milieu tridimensionnel${\big )}$ ; mais pratiquement jamais une expérience n'est entièrement réalisée en espace libre car tous les dispositifs pratiques introduisent des limitations de l'expansion spatiale des ondes, ce sont par exemple :
* les sources entourées d'une enveloppe, percée d'un orifice par lequel sort l'onde,
* les instruments permettant d'analyser l'onde $\;{\big$capteur ou œil${\big )}\;$ et ne collectant qu'une partie de la lumière,
* les éléments optiques rencontrés par la lumière entre les sources et les capteurs et qui n'ont qu'une expansion finie ;
le fait de limiter l'expansion d'une onde lumineuse peut en modifier les propriétés, cette modification éventuelle correspond au phénomène de diffraction.

### Diffraction à l'infini

La cause dominante de limitation de l'expansion spatiale des ondes lumineuses est la présence d'un diaphragme de faible diamètre ou d'une fente de faible largeur ; une observation à grande distance du diaphragme ou de la fente est estimée faite à l'infini et, si on observe un phénomène de diffraction, on parlera de « diffraction à l'infini » ;
un faisceau laser émettant une onde lumineuse progressive « quasi unidimensionnelle » et monochromatique, on place sur le trajet de l'onde une fente de largeur $\;a\;$ réglable et on observe l'impact laissé par l'onde sur un écran placé à grande distance $\;D$ ;
alors qu'on s'attendait à voir une tache lumineuse de même largeur que la fente $\;{\big$trajet de la lumière en pointillés${\big )}$, on observe un étalement de la lumière sur l'écran suivant la direction parallèle à la largeur de la fente, étalement d'autant plus grand que la largeur de la fente est petite avec une répartition non uniforme : « présence d'une tache centrale très lumineuse » entourées de « taches beaucoup moins lumineuses et deux fois moins larges » ;
le phénomène qui apparaît dans cette expérience est la diffraction, celle-ci n'apparaît nettement qu'en-deçà d'une largeur de fente de $\;0,100\;mm$ ;
quelques valeurs numériques : avec un faisceau laser de longueur d'onde à vide $\;\lambda _{0}=0,633\;\mu m\;$ et des largeurs de fente de $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}0,300\;mm\\0,200\;mm\\0,100\;mm\end{array}}\right\rbrace$, l'écran étant situé à une distance $\;D=1,80\;m\;$ de la fente, on observe une largeur de tache centrale approximativement égale à $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}4,0\;mm\\5,5\;mm\\11,5\;mm\end{array}}\right\rbrace \;$$^,$.

### Diffraction par un diaphragme, tache d'Airy

On remplace la fente par une ouverture circulaire de diamètre $\;a\;$ et celle-ci ayant une symétrie de révolution d'axe « la direction du faisceau laser », on observe sur l'écran une figure de diffraction ayant cette même symétrie de révolution, c.-à-d. on observe sur l'écran un disque central très lumineux $\;{\big$appelé « tache d'Airy »${\big )}\;$ entouré d'anneaux nettement moins lumineux et plus étroits que le disque central $\;{\big$voir ci-contre${\big )}$ ;
quelques valeurs numériques : avec le faisceau laser précédent de longueur d'onde à vide $\;\lambda _{0}=0,633\;\mu m\;$ et quelques valeurs numériques : avec des diamètres de diaphragme de $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}0,300\;mm\\0,200\;mm\\0,100\;mm\end{array}}\right\rbrace$, quelques valeurs numériques : l'écran étant situé à une distance $\;D=1,80\;m\;$ de la fente, quelques valeurs numériques : on observe respectivement, avec les diamètres $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}0,300\;mm\\0,200\;mm\\0,100\;mm\end{array}}\right\rbrace \;$ précédents, quelques valeurs numériques : on observe un diamètre de tache d'Airy approximativement égal à $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}5,0\;mm\\6,5\;mm\\14,0\;mm\end{array}}\right\rbrace \;$$^,$.

### Diffraction par un voilage

La lumière arrivant sur un endroit précis du voilage, seule une petite partie de ce dernier est utilisée pour le phénomène de diffraction, l'endroit utilisé du voilage se comportant alors comme une fente rectangulaire ; on observe une diffraction par la largeur $\;a\;$ et la longueur $\;b\;$ fournissant une tache centrale brillante de largeur $\;L_{a}\;$ et de longueur $\;L_{b}\;$ d'autant plus grande respectivement que $\;a\;$ et $\;b\;$ sont petits et des taches secondaires plus sombres sur les deux axes de la tache centrale ;
Ci-contre la figure de diffraction d'un voilage à maille carrée.

### Dimension du trou pour observer le phénomène de diffraction à l'infini

On observe le phénomène de diffraction à l'infini par une ouverture plane On observe le phénomène de diffraction à l'infini dès lors que « la dimension de celle-ci suivant une direction de son plan On observe le phénomène de diffraction à l'infini dès lors que « la dimension de celle-ci est approximativement $\;\lesssim 100\;\lambda _{0}\;$».

## Observation du phénomène de diffraction en mécanique

Le phénomène de diffraction peut être observé sur tous les types d'ondes et en particulier les ondes mécaniques :
* les ondes acoustiques dans l'air dont la célérité de propagation est $\;c=340\;m\!\cdot \!s^{-1}\;$ ont des longueurs d'onde de l'échelle « macroscopique » $\;{\Big \$en effet une voix d'homme $\;{\big$respectivement de femme${\big )}\;$ ayant une fréquence moyenne $\;f_{{\text{moy}},\,H}=125\;Hz\;$ ${\big$respectivement $\;f_{{\text{moy}},\,F}=250\;Hz{\big )}\;$ correspond à une longueur d'onde $\;\lambda _{{\text{moy}},\,H}={\dfrac {340}{125}}\simeq 2,7\;m\;$ ${\Big$respectivement $\;\lambda _{{\text{moy}},\,F}={\dfrac {340}{250}}\simeq 1,35\;m{\Big )}\!{\Big \}$, les ondes acoustiques dans l'air la diffraction intervient dès que « la limitation de l'expansion spatiale est $\;\lesssim \;$ à $\;200\;m\;$ pour une voix d'homme » les ondes acoustiques dans l'air la diffraction intervient dès que $\;{\big$respectivement $\;\lesssim \;$ à $\;100\;m\;$ pour une voix de femme${\big )}$, les ondes acoustiques dans l'air la diffraction intervient c.-à-d. quand l'onde sonore associée rencontre une porte ouverte de largeur $\;0,80\;m\;$ ;
* les ondes de vibration sur la surface d'eau de la cuve à ondes sont également sensibles au phénomène de diffraction, voir la figure ci-contre : les ondes de vibration sur la surface d'eau de la cuve à ondes la « fente » y est de largeur approximative $\;4\;$ fois la « longueur d'onde » et les ondes de vibration sur la surface d'eau de la cuve à ondes le phénomène de diffraction y est assez nettement observable.

## Lien (admis) entre la taille de l'ouverture, la longueur d'onde et l'échelle angulaire du phénomène de diffraction
### Expression du lien entre la taille de l'ouverture, la longueur d'onde et l'échelle angulaire du phénomène de diffraction

Le lien expérimental observé précise l'échelle angulaire de diffraction $\;\theta _{1}\;$ ${\big$c.-à-d. la « demi-largeur angulaire » de la tache centrale${\big )}\;$ en fonction de la longueur d'onde $\;\lambda \;$ et Le lien expérimental observé précise l'échelle angulaire de diffraction $\;\color {transparent}{\theta _{1}}\;$ $\color {transparent}{\big$c.-à-d. la « demi-largeur angulaire » de la tache centrale$\color {transparent}{\big )}\;$ en fonction de la largeur de la fente $\;a\;$ soit Le lien expérimental observé précise l'échelle angulaire de diffraction $\;\color {transparent}{\theta _{1}}\;$ «$\;\theta _{1}\simeq \arcsin \!\left({\dfrac {\lambda }{a}}\right)\;$» ;
dans le cas où la fente est remplacée par un diaphragme circulaire, la taille de l'ouverture qui intervient est le diamètre du diaphragme $\;{\big$encore noté $\;a{\big )}\;$ et dans le cas où la fente est remplacée par un diaphragme circulaire, le rayon angulaire de tache centrale $\;{\big$appelée « tache d'Airy »${\big )}\;$ est $\;\theta _{1}\;$ tel que «$\;\theta _{1}\simeq \arcsin \!\left(1,22\;{\dfrac {\lambda }{a}}\right)\;$» ;
on remarque que $\;\theta _{1}\;$ acquiert une valeur observable dès lors que $\;a\;{\cancel {\gg }}\;\lambda \;$.

### Allure de l'amplitude de l'onde diffractée à l'infini par une fente, en fonction de l'angle d'observation

La fonction intervenant dans le tracé de l'amplitude de l'onde diffractée à l'infini par une fente de largeur $\;a\;$ dans la direction repérée par l'angle $\;\theta \;$ est la valeur absolue du « sinus cardinal » $\;{\bigg \$« sinus cardinal » définie selon «$\;\mathrm {sinc} (x)={\dfrac {\sin(x)}{x}}\;$»${\bigg \}$ de la variable $\;{\dfrac {\pi \;a\;\sin(\theta )}{\lambda }}\;$ soit «$\;A(\theta )=a_{0}\;\left\vert \,\mathrm {sinc} \!\left[{\dfrac {\pi \;a\;\sin(\theta )}{\lambda }}\right]\right\vert \;$» dans laquelle $\;a_{0}\;$ est l'amplitude de l'onde incidente sur la fente $\;{\big$O.P.P. suivant la direction $\;\perp \;$ à la fente${\big )}$, voir diagramme ci-dessous :
* Graphe de la fonction sinus cardinal
* additif mathématique : La fonction « sinus cardinal $\;\mathrm {sinc} (x)={\dfrac {\sin(x)}{x}}\;$» est « définie et continue sur $\;\mathbb {R} ^{*}$» ;            additif mathématique : on prolonge sa définition en $\;x=0\;$ par continuité selon «$\;\mathrm {sinc} (0)=1\;$» et ainsi            additif mathématique : on prolonge « son domaine de définition et continuité devient $\;\mathbb {R} \;$» ;            additif mathématique : « son domaine de dérivabilité $\;\mathbb {R} ^{*}\;$ est prolongé par continuité en $\;\mathbb {R} \;$», en effet pour $\;x\neq 0\;$ sa dérivée valant $\;{\dfrac {d\left[\mathrm {sinc} \right]}{dx}}(x)={\dfrac {x\,\cos(x)-\sin(x)}{x^{2}}}\;$ présente une forme indéterminée en $\;x=0\;$ pour laquelle sa levée conduit à une limite nulle d'où le prolongement par continuité de sa définition $\;{\dfrac {d\left[\mathrm {sinc} \right]}{dx}}(0)=0\;$ ;            additif mathématique : on prolonge enfin pour terminer notons les propriétés suivantes :
* additif mathématique : on prolonge $\;\succ \;$la fonction est paire,
* additif mathématique : on prolonge $\;\succ \;$elle s'annule pour les valeurs $\;x_{p}\neq 0\;$ annulant $\;\sin(x_{p})\;$ c.-à-d.            additif mathématique : on prolonge $\;\color {transparent}{\succ }\;$elle s'annule pour $\;x_{p}=p\,\pi ,\;p\in \mathbb {Z} ^{*}$,
* additif mathématique : on prolonge $\;\succ \;$elle a un maximum principal en $\;x_{0}=0\;$ de valeur $\;1\;$ et
* additif mathématique : on prolonge $\;\succ \;$elle a des extrema secondaires en $\;x_{m}\;$ définis par «$\;x_{m}\;\cos(x_{m})=\sin(x_{m})\;$»            additif mathématique : on prolonge $\;\color {transparent}{\succ }\;$elle a des extrema secondaires en $\;\color {transparent}{x_{m}}\;$ définis par «$\;\color {transparent}{x_{m}\;\cos(x_{m})}$ $\Updownarrow$                   additif mathématique : on prolonge $\;\color {transparent}{\succ }\;$elle a des extrema secondaires en $\;\color {transparent}{x_{m}}\;$ définis par «$\;\tan(x_{m})=x_{m}\;$» $\ldots$            additif mathématique : Voir tracé du graphe de sinus cardinal ci-contre.

### Allure de l'amplitude de l'onde diffractée à l'infini par un diaphragme, en fonction de l'angle d'observation

La fonction intervenant dans le tracé de l'amplitude de l'onde diffractée à l'infini par un diaphragme de diamètre $\;a\;$ dans la direction repérée par l'angle $\;\theta \;$ est définie à partir de la « fonction de Bessel de 1ère espèce $\;J_{1}(x)\;$»$^,$ de la variable $\;{\dfrac {a\;\sin(\theta )}{\lambda }}\;$ soit «$\;A(\theta )=a_{0}\,\left\lbrace 2\;\left\vert \,{\dfrac {J_{1}\!\left[\pi \,{\dfrac {a\;\sin(\theta )}{\lambda }}\right]}{\pi \,{\dfrac {a\;\sin(\theta )}{\lambda }}}}\right\vert \right\rbrace \;$» dans laquelle $\;a_{0}\;$ est l'amplitude de l'onde incidente sur le diaphragme $\;{\big$O.P.P. suivant la direction $\;\parallel \;$ à l'axe du diaphragme${\big )}$, voir diagramme ci-dessous :
* Fonctions de Bessel de 1ère espèce $\;J_{0}(x)\;$ en rouge et $\;J_{1}(x)\;$ en vert
* additif mathématique : Les fonctions de Bessel de 1ère espèce $\;J_{n}(x),\;n\in \mathbb {N} \;$ peuvent être définies :
* sous forme intégrale «$\;J_{n}(x)={\dfrac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]d\tau \;$» soit, pour les deux 1$^{ères}$ fonctions «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}J_{0}(x)={\dfrac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[x\,\sin(\tau )\right]d\tau \\J_{1}(x)={\dfrac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[\tau -x\,\sin(\tau )\right]d\tau \end{array}}\right\rbrace \;$» ou
* sous forme de solution particulière de l'équation différentielle du 2ème ordre en $\;y(x)\;$ non linéaire et homogène «$\;x^{2}\,{\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}(x)+x\,{\dfrac {dy}{dx}}(x)+\left[x^{2}-n^{2}\right]y(x)=0\;$», $\;{\big$les C.I. restant à préciser suivant la valeur de $n{\big )}\;$ ainsi      «$\;J_{1}(x)\;$ est définie comme la solution particulière avec $\;J_{1}(0)=0\;$ et $\;{\dfrac {dJ_{1}}{dx}}(0)={\dfrac {1}{2}}\;$ comme C.I. de l'équation $\;x^{2}\,{\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}(x)+x\,{\dfrac {dy}{dx}}(x)+\left[x^{2}-1\right]y(x)=0\;$» alors que      «$\;J_{0}(x)\;$ est la solution particulière avec $\;J_{0}(0)=1\;$ et $\;{\dfrac {dJ_{0}}{dx}}(0)=0\;$ comme C.I. de l'équation $\;x^{2}\,{\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}(x)+x\,{\dfrac {dy}{dx}}(x)+x^{2}\,y(x)=0\;$».
De $\;J_{n}(x)={\dfrac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]d\tau \;$ on tire $\;{\dfrac {dJ_{n}}{dx}}(x)={\dfrac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]\sin(\tau )d\tau \;$ puis $\;{\dfrac {d^{2}J_{n}}{dx^{2}}}(x)={\dfrac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{\pi }-\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]\sin ^{2}(\tau )d\tau \;$ et on forme le 1er membre de l'équation différentielle «$\;A_{n}=$ $x^{2}\,{\dfrac {d^{2}J_{n}}{dx^{2}}}(x)+x\,{\dfrac {dJ_{n}}{dx}}(x)+\left[x^{2}-n^{2}\right]J_{n}(x)\;$» afin de vérifier qu'il vaut $\;0$, le report des expressions intégrales conduisant à «$\;A_{n}=$ ${\dfrac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]\left[-x^{2}\,\sin ^{2}(\tau )+x^{2}-n^{2}\right]d\tau +\cdots$ $\cdots \,{\dfrac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]x\,\sin(\tau )d\tau =A_{n,\,1}+A_{n,\,2}\;$» soit, en simplifiant l'« intégrande » de la 1ère intégrale $\;A_{n,\,1}\;$ par utilisation de $\;-x^{2}\,\sin ^{2}(\tau )+x^{2}=x^{2}\,\cos ^{2}(\tau )\;$ d'où $\;A_{n,\,1}=$ ${\dfrac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]\left[x^{2}\,\cos ^{2}(\tau )-n^{2}\right]d\tau \;$ et, en transformant la 2nde $\;A_{n,\,2}\;$ par intégration par parties $\;{\big$i.p.p.${\big )}\;$ $\;\displaystyle \int _{a}^{b}u\,dv=\left[u\,v\right]_{a}^{b}-\displaystyle \int _{a}^{b}v\,du\;$ avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}u=\sin \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]\\dv=x\,\sin(\tau )d\tau \end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}du=\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]\,\left\lbrace n-x\,\cos(\tau )\right\rbrace d\tau \\v=-x\,\cos(\tau )\end{array}}\right\rbrace \;$ soit «$\;\pi \,A_{n,\,2}$ $={\cancel {\left[\sin \!\left\lbrace n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right\rbrace \left\lbrace -x\,\cos(\tau )\right\rbrace \right]_{0}^{\pi }}}-\cdots$ $\cdots \;\displaystyle \int _{0}^{\pi }\left[-x\,\cos(\tau )\right]\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]\,\left\lbrace n-x\,\cos(\tau )\right\rbrace d\tau =$ $\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]\,\left[n\,x\,\cos(\tau )-x^{2}\,\cos ^{2}(\tau )\right]d\tau \;$» soit, en regroupant avec la 1ère intégrale $\;A_{n,\,1}\;$ qui est telle que $\;\pi \;A_{n,\,1}=$ $\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]\left[x^{2}\,\cos ^{2}(\tau )-n^{2}\right]d\tau$, on trouve «$\;\pi \;A_{n}$ $=-n\;\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]\left[n-x\,\cos(\tau )\right]d\tau \;$» dont on termine l'intégration par changement de variable $\;\tau '=n\,\tau -x\,\sin(\tau )\;$ soit «$\;A_{n}$ $=-n\,{\dfrac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]d\!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]=$ $-{\dfrac {n}{\pi }}{\cancel {\left[\sin \!\left\lbrace n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right\rbrace \right]_{0}^{\pi }}}=0\;$» C.Q.F.V..
* additif mathématique $\;{\big$fin${\big )}\;$ : Pour terminer le tour d'horizon, quelques relations de récurrence «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}J_{n+1}(x)={\dfrac {n\,J_{n}(x)}{x}}-{\dfrac {dJ_{n}}{dx}}(x)\\J_{n+1}(x)+J_{n-1}(x)={\dfrac {2\,n}{x}}\,J_{n}(x)\\J_{n+1}(x)-J_{n-1}(x)=-2\,{\dfrac {dJ_{n}}{dx}}(x)\end{array}}\right\rbrace \;$» permettant de déduire            additif mathématique $\;\color {transparent}{\big$fin$\color {transparent}{\big )}\;$ : Pour terminer le tour d'horizon, «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}J_{1}(x)=-{\dfrac {dJ_{0}}{dx}}(x)\\{\dfrac {d}{dx}}\left[x^{n}\,J_{n}(x)\right]=x^{n}\,J_{n-1}(x)\end{array}}\right\rbrace \;$» et en particulier «$\;{\dfrac {d\left[x\,J_{1}\right]}{dx}}(x)=x\,J_{0}(x)\;$» en faisant $\;n=1\;$ dans la 2ème relation               additif mathématique $\;\color {transparent}{\big$fin$\color {transparent}{\big )}\;$ : Pour terminer le tour d'horizon, «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\dfrac {d}{dx}}\left[x^{n}\,J_{n}(x)\right]=x^{n}\,J_{n-1}(x)\right\rbrace }\;$» et en particulier «$\;\color {transparent}{{\dfrac {d\left[x\,J_{1}\right]}{dx}}(x)}$ $\Updownarrow$            additif mathématique $\;\color {transparent}{\big$fin$\color {transparent}{\big )}\;$ : Pour terminer le tour d'horizon, «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\begin{array}{l}J_{1}(x)=-{\dfrac {dJ_{0}}{dx}}(x)\\{\dfrac {d}{dx}}\left[x^{n}\,J_{n}(x)\right]=x^{n}\,J_{n-1}(x)\end{array}}\right\rbrace }\;$» et en particulier «$\;J_{1}(x)+x\,{\dfrac {dJ_{1}}{dx}}(x)=x\,J_{0}(x)\;$» dont on tire            additif mathématique $\;\color {transparent}{\big$fin$\color {transparent}{\big )}\;$ : Pour terminer le tour d'horizon, l'expression de la dérivée 1ère de $\;J_{1}(x)$, soit «$\;{\dfrac {dJ_{1}}{dx}}(x)=J_{0}(x)-{\dfrac {J_{1}(x)}{x}}\;$» $\ldots$            additif mathématique $\;\color {transparent}{\big$fin$\color {transparent}{\big )}\;$ : Pour terminer le tour d'horizon, Voir le graphe des deux fonctions de Bessel $\;J_{0}\;$ et $\;J_{1}\;$ ci-dessus à droite.
De la définition de la fonction de Bessel de 1ère espèce sous forme intégrale «$\;J_{n+1}(x)={\dfrac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[(n+1)\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]d\tau$ $={\dfrac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left\lbrace \left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]+\tau \right\rbrace d\tau \;$» on tire $\;\pi \,J_{n+1}(x)=$ $\displaystyle \int _{0}^{\pi }\left\lbrace \cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]\cos(\tau )-\sin \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]\sin(\tau )\right\rbrace d\tau \;$ par formule trigonométrique d'addition soit, l'intégrale d'une somme d'« intégrandes » étant la somme des intégrales de chacun des « intégrandes » $\;{\big \$dans la mesure de l'existence de chacune${\big \}$, «$\;\pi \,J_{n+1}(x)$ $=\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]\cos(\tau )\,d\tau -\cdots$ $\cdots \,\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]\sin(\tau )d\tau \;$» dans laquelle la 2ème intégrale est $\;\pi \;$ fois la dérivée de $\;J_{n}(x)\;$ par rapport à $\;x\;$ car $\;J_{n}(x)={\dfrac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]d\tau$ $\Rightarrow$ ${\dfrac {dJ_{n}}{dx}}(x)=$ ${\dfrac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]\sin(\tau )d\tau$ ; pour évaluer la 1ère intégrale $\;I_{1}=\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]\cos(\tau )d\tau \;$ on la transforme en remarquant que $\;\cos(\tau )={\dfrac {\left[n-x\,\cos(\tau )\right]-n}{-x}}\;$ soit $\;I_{1}=$ ${\dfrac {-1}{x}}\,\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]\left\lbrace \left[n-x\,\cos(\tau )\right]-n\right\rbrace \,d\tau \;$ d'où $\;x\,I_{1}$ $=-\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]\left[n-x\,\cos(\tau )\right]d\tau +\cdots$ $\cdots \,n\,\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]d\tau \;$ de façon à faire apparaître dans la 1ère intégrale la forme $\;\cos \!\left[g(\tau )\right]g'(\tau )d\tau \;$ admettant $\;\sin \!\left[g(\tau )\right]\;$ comme primitive d'où $\;x\,I_{1}=-{\cancel {\left[\sin \!\left\lbrace n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right\rbrace \right]_{0}^{\pi }}}+\cdots$ $\cdots \,n\,\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]d\tau$, la dernière intégrale s'identifiant à $\;n\,\pi \,J_{n}(x)\;$ d'où «$\;\pi \,J_{n+1}(x)={\dfrac {n\,\pi \,J_{n}(x)}{x}}-\pi \,{\dfrac {dJ_{n}}{dx}}(x)\;$» ; on a donc établi la 1ère relation de récurrence à savoir «$\;J_{n+1}(x)=$ ${\dfrac {n\,J_{n}(x)}{x}}-{\dfrac {dJ_{n}}{dx}}(x)\;$».
L'amplitude de l'onde diffractée à l'infini par un diaphragme de diamètre $\;a\;$ dans la direction repérée par l'angle $\;\theta \;$ d'observation s'écrivant «$\;A(u)=a_{0}\,\left\lbrace 2\;\left\vert {\dfrac {J_{1}(\pi \,u)}{\pi \,u}}\right\vert \right\rbrace \;$ avec $\;u={\dfrac {a\,\sin(\theta )}{\lambda }}\;$ variable sans dimension » est une forme indéterminée en $\;x=\pi \,u=0\;$ car $\;J_{1}(x)=0$ ; on lève l'indétermination par $\;J_{1}(x)+x\,{\dfrac {dJ_{1}}{dx}}(x)=x\,J_{0}(x)\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {J_{1}(x)}{x}}=J_{0}(x)-{\dfrac {dJ_{1}}{dx}}(x)\;$» et par suite $\;\lim \limits _{x\rightarrow 0}{\dfrac {J_{1}(x)}{x}}=J_{0}(0)-{\dfrac {dJ_{1}}{dx}}(0)=1-{\dfrac {1}{2}}\;$ soit «$\;\lim \limits _{x\rightarrow 0}{\dfrac {J_{1}(x)}{x}}={\dfrac {1}{2}}\;$» d'où la « valeur $\;{\dfrac {1}{2}}\;$ pour $\;{\dfrac {J_{1}(x)}{x}}\;$ en $\;x=0\;$, en prolongeant sa définition par continuité » $\Rightarrow$ «$\;\lim \limits _{u\rightarrow 0}2\;{\dfrac {J_{1}(\pi \,u)}{\pi \,u}}=1\;$» d'où l'« amplitude de l'onde incidente sur le diaphragme $\;a_{0}\;$» est aussi l'« amplitude de l'onde diffractée à l'infini par le diaphragme de diamètre $\;a\;$ dans la direction repérée par l'angle d'observation $\;\theta =0\;$» c.-à-d. l'amplitude au centre de la tache d'Airy $\;{\big$correspondant à la valeur maximale d'amplitude${\big )}$.

### Comparaison sur un même diagramme de l'allure de l'amplitude des ondes diffractées à l'infini par une fente et un diaphragme de même dimension, en fonction de l'angle d'observation

Lors de la superposition du graphe donnant l'allure de l'amplitude des ondes diffractées à l'infini par une fente de largeur $\;a\;$ en fonction de l'angle $\;\theta \;$ d'observation $\;{\big$graphe en traits continus rouges sur le diagramme ci-dessus${\big )}\;$ et Lors de la superposition du graphe donnant l'allure de l'amplitude des ondes diffractées à l'infini par un diaphragme de diamètre $\;a\;$ en fonction de l'angle $\;\theta \;$ d'observation $\;{\big$graphe en tiretés bleus sur le diagramme ci-dessus${\big )}$, Lors de la superposition on remarque que :
* l'« amplitude des ondes diffractées à l'infini dans la direction centrale » est égale à l'amplitude $\;a_{0}\;$ de l'onde incidente, que la diffraction se fasse par une fente ou un diaphragme,
* la demi-largeur angulaire de la tache centrale dans le cas de la diffraction par une fente «$\;\theta _{1,\,{\text{fente}}}\simeq \arcsin \!\left({\dfrac {\lambda }{a}}\right)\;$» est « légèrement plus petite » que le rayon angulaire de la « tache d'Airy » dans le cas de la diffraction par un diaphragme de diamètre égale à la largeur de la fente «$\;\theta _{1,\,{\text{diaph.}}}\simeq \arcsin \!\left(1,22\;{\dfrac {\lambda }{a}}\right)\;$» $\;{\big \$voir le paragraphe « expression du lien entra la taille de l'ouverture, la longueur d'onde et l'échelle angulaire du phénomène de diffraction » plus haut dans ce chapitre${\big \}$, le cœfficient multiplicateur de $\;1,22\;$ est approximativement dans un rapport de $\;5\;$ pour $\;4$, et enfin,
* le contraste entre le disque central « disque d'Airy » et le 1er anneau dans le cas de la diffraction par un diaphragme est « plus marqué » que celui entre la tache centrale et les 1$^{ères}$ taches dans le cas de la diffraction par une fente.

### Principe de Huygens Fresnel et tentative d'explication du phénomène de diffraction
#### Hypothèse de Huygens (1678)

Chaque point $\;M\;$ d'une surface d'onde $\;\Sigma \;$ créée à partir d'une source ponctuelle $\;S\;$ peut être considéré à son tour comme une source ponctuelle secondaire $\;M_{S}\;$ émettant des « ondelettes » dans toutes les directions, ces ondelettes secondaires interférant entre elles de telle sorte que toute nouvelle surface d'onde d'origine $\;\Sigma '\;$ soit l'« enveloppe » de toutes les surfaces d'onde secondaires émises par les sources ponctuelles secondaires $\;M_{S}$.
Ci-contre deux exemples, le 1er à gauche correspondant à des ondes sphériques issues d'une source ponctuelle $\;S\;$ à distance finie, Ci-contre deux exemples, le 2ème à droite correspondant à des ondes planes pouvant être considérées comme issues d'une source ponctuelle $\;S\;$ située à l'infini.
Explication de l'utilisation de l'hypothèse de Huygens :
Soit une surface d'onde primaire $\;\Sigma \;$ considérée à l'instant $\;t\;$ et Soit la surface d'onde primaire correspondante $\;\Sigma '\;$ à l'instant $\;t+T$, on cherche à expliquer l'état vibratoire de l'onde en $\;M'\;$ ${\big$point générique de la surface d'onde primaire $\;\Sigma '{\big )}\;$ à l'instant $\;t+T\;$ à partir de l'interférence des ondelettes sphériques secondaires issues des sources secondaires $\;M_{S}\;$ confondues avec $\;M\;$ ${\big$point générique de la surface d'onde primaire $\;\Sigma {\big )}\;$ à l'instant $\;t$ ; ces ondelettes secondaires peuvent être séparées en :
* une ondelette sphérique secondaire de centre $\;M_{S}\;$ qui arrive en $\;M'\;$ dans le « même état vibratoire » que celui de sa création en $\;M\;$ car $\;MM'=\lambda \;$,
* des ondelettes sphériques secondaires centrées en $\;M_{S'}\in \Sigma \;$ situés de part et d'autres de $\;M_{S}$, des ondelettes sphériques secondaires centrées en $\;\color {transparent}{M_{S'}\in \Sigma }\;$ celles reçues par $\;M'\;$ à l'instant $\;t+dt\;$ étant celles émises par $\;M_{S'}\;$ à l'instant «$\;t+dt-{\dfrac {M_{S'}M'}{c}}\;$» ; des ondelettes sphériques secondaires centrées en $\;\color {transparent}{M_{S'}\in \Sigma }\;$ à chaque ondelette centrée en un point particulier $\;M_{S'}\;$ on peut faire correspondre une ondelette centrée en un autre point particulier $\;M_{S''}\;$ situé dans le voisinage de $\;M_{S'}\;$ telle que leur superposition en $\;M'\;$ donne une « interférence destructive » $\;{\bigg\!$par exemple si $\;M_{S'}M'=1,2\,\lambda \;$ on choisit $\;M_{S''}\;$ tel que $\;M_{S''}M'=1,7\,\lambda \;$ et ainsi la différence de marche $\;M_{S''}M'-M_{S'}M'\;$ valant $\;0,5\,\lambda \;$ leurs ondelettes reçues par $\;M'\;$ à l'instant $\;t+dt\;$ sont celles émises par $\;M_{S'}\;$ et $\;M_{S''}\;$ aux instants séparés de $\;{\dfrac {0,5\,\lambda }{c}}=0,5\;T\;$ donc en opposition de phase ce qui génère, en $\;M'$, une interférence destructive à l'instant $\;t+dt\;$ entre ces ondelettes$\!{\bigg )}$ ;
$\;M_{S}\;$
$\;M'$
$\ldots$

#### Principe de Huygens - Fresnel (1820) (énoncé partiel)

Fresnel interprète les idées de Huygens pour expliquer $\;{\big$et « calculer »${\big )}\;$ les phénomènes de diffraction, il énonce le principe suivant :
Tout point $\;P\;$ atteint par la lumière issue d'une source primaire peut être considéré comme une source secondaire $\;P_{S}\;$ émettant une onde sphérique, l'état vibratoire de cette source secondaire $\;P_{S}\;$ étant $\;\propto \;$ à celui de l'onde incidente arrivant en $\;P$ ; on peut obtenir l'état vibratoire de tout point $\;M\;$ atteint postérieurement à $\;P\;$ par la lumière issue de la source primaire, en étudiant l'interférence des ondelettes issues de toutes les sources secondaires $\;P_{S}$.

#### Contribution de Fraunhofer

Alors que le principe de Huygens-Fresnel$^,$ est « applicable » pour calculer la diffraction à distance « quelconque » de la « pupille » cause de la diffraction, Alors que Fraunhofer énonce le principe en considérant le point $\;M\;$ d'observation de la diffraction, à l'« infini de la pupille diffractante » ce qui « simplifie notablement les calculs ».

#### Tentative d'explication du phénomène de diffraction à l'infini d'une onde plane par une fente infiniment longue

* Tentative d'explication de diffraction à l'infini d'une onde plane par une fente infiniment longue en utilisant les ondelettes secondaires de Huygens
Considérant une fente infiniment longue de largeur $\;a\;$ éclairée par une onde plane dont la « direction de propagation lui est $\;\perp \;$» on observe, au-delà de la fente, Considérant une fente infiniment longue de largeur $\;\color {transparent}{a}\;$ éclairée par une onde quasi plane très légèrement déformée sur les bords si «$\;a\gg 100\,\lambda \;$» $\;{\big \$en effet, à l'exception des bords, tout se passe comme s'il n'y avait pas de limitation d'expansion de l'onde d'où la transmission, au-delà de la fente, du caractère plan $\;{\big$on peut alors refaire l'explication donnée dans le paragraphe « hypothèse de Huygens (1678) » plus haut dans le chapitre${\big )}\;$ mais, sur les bords, en $\;M'\;$ par exemple sur la figure ci-dessus, il y a une dissymétrie de répartition des sources secondaires relativement à $\;H\;$ projeté orthogonal de $\;M'\;$ sur le plan de la fente d'où une « déformation de la surface d'onde en $\;M'\;$» et par suite de la « direction de propagation » ; Considérant une fente infiniment longue de largeur $\;\color {transparent}{a}\;$ éclairée par si «$\;a\lesssim 100\,\lambda \;$», la partie « onde quasi plane » de la surface d'onde s'amenuise d'autant plus que $\;a\;$ est petit, Considérant une fente infiniment longue de largeur $\;\color {transparent}{a}\;$ éclairée par si «$\;\color {transparent}{a\lesssim 100\,\lambda }\;$», ce qui rend la diffraction d'autant plus observable $\ldots$

### Diffraction sur un obstacle

La diffraction est observable lorsque la lumière est limitée par une pupille mais aussi lorsqu'elle rencontre un obstacle, par exemple La diffraction est observable lors de la diffraction à l'infini d'une onde plane lumineuse par un cheveu $\;{\big$ou un objet opaque de diamètre $\;a\lesssim 100\,\lambda {\big )}$, La diffraction est observable on observe $-$ à la place de l'ombre projetée du cheveu $-$ des franges lumineuses et obscures de diffraction qui peuvent être justifiées en faisant intervenir l'interférence des ondelettes issues des sources secondaires centrées en tout point, hors cheveu, du plan d'onde contenant ce dernier $\ldots$

## Choix de la taille de l'ouverture relativement à la longueur d'onde pour observer le phénomène de diffraction en optique ou en mécanique, exemple de l'interférence lumineuse d'une onde monochromatique séparée par fentes d'Young
### Rappel du résultat

$\;100\,\lambda \;$
$\;a\lesssim 100\,\lambda \;$

### Notion de sources cohérentes

Pour observer un phénomène d'interférences entre deux ondes, il faut que ces dernières soient synchrones et « en phase lors de leur émission par les sources les ayant créées » ;  si on fait se croiser deux faisceaux laser émettant la même longueur d'onde dans le vide, les ondes sont effectivement synchrones mais « les sources ne sont pas en phase »$^,$ et on n'observe pas d'interférences, les ondes émises sont dites « incohérentes » ;  pour obtenir des ondes « cohérentes », il suffit qu'elles proviennent d'une même source avec une séparation du faisceau issu de la source en deux faisceaux à déphasage indépendant du temps comme lors de l'observation d'interférences par séparation d'un faisceau laser par fentes d'Young $\;{\big$voir le paragraphe « exemple de l'interférence lumineuse d'une onde monochromatique séparée par fentes d'Young » plus loin dans ce chapitre${\big )}$.

### Exemple de l'interférence lumineuse d'une onde monochromatique séparée par fentes d'Young

On obtient une onde « plane » monochromatique à l'aide d'un faisceau laser « hélium-néon »$^,$ et on réalise sa séparation en deux faisceaux synchrones et « cohérents », divergeant par phénomène de diffraction, à partir de chacune des deux fentes d'Young que le faisceau laser incident éclaire $\;{\big$voir la figure ci-contre${\big )}$ ;
pour chaque fente de largeur $\;d$, la demi-largeur angulaire de la « tache centrale de diffraction » vaut «$\;\theta _{1}=\arcsin \!\left({\dfrac {\lambda _{0}}{d}}\right)\;$» $\;{\big \$en rappelant que la diffraction par une fente infiniment longue se fait uniquement dans le plan $\;\perp \;$ à la longueur de la fente $\Rightarrow$ la « tache centrale de diffraction » s'étale seulement sur la partie de l'écran située dans le plan de la figure ci-contre${\big \}$ ;  il y a donc un champ d'interférences « intersection des deux taches centrales de diffraction » mais pour que les « franges » d'interférences soient observables sur un écran, ce dernier doit être situé au-delà du point $\;A\;$ ${\big$voir figure ci-dessus${\big )}\;$ défini par $\;\tan(\theta _{1})={\dfrac {\dfrac {a}{2}}{O'A}}\;$ d'où la distance $\;D\;$ entre l'écran et le plan des fentes d'Young «$\;D>O'A={\dfrac {a}{2\,\tan(\theta _{1})}}\;$» $\;{\bigg \$avec $\;d=0,05\,mm$, la demi-largeur angulaire de la « tache centrale de diffraction » vaut «$\;\theta _{1}=\arcsin \!\left({\dfrac {633\;10^{-9}}{0,05\;10^{-3}}}\right)\simeq$ $0,0127\;rad$ $\simeq 0{\text{°}}\,43'\;$» et, en prenant $\;a=0,5\,mm\;$, la distance à partir de laquelle on peut observer des interférences est «$\;D_{\text{min}}=$ ${\dfrac {0,5\;10^{-3}}{2\times \tan(0,0127)}}\simeq 0,020\;m\;$»${\bigg \}$ ;
on prend alors «$\;D=2,000\;m\;$» et la largeur $\;L\;$ du champ d'interférences sur l'écran vaut «$\;L=2\,\left[D\,\tan(\theta _{1})-{\dfrac {a}{2}}\right]=2\,D\,\tan(\theta _{1})-a\;$» donnant numériquement on prend alors «$\;\color {transparent}{D=2,000\;m}\;$» et la largeur $\;\color {transparent}{L}\;$ du champ d'interférences sur l'écran vaut «$\;L=2\times 2,000\times \tan(0,0127)-0,5\;10^{-3}\;$ en $\;m\;$» soit finalement «$\;L\simeq 5,0\;cm\;$» ;
on prend alors «$\;\color {transparent}{D=2,000\;m}\;$» d'autre part nous avons déterminé, dans le paragraphe « échelle de longueur du phénomène d'interférences dans le plan d'observation, notion d'interfrange » du chap.$5$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » traitant des interférences acoustiques et mécaniques mais dont les résultats se prolongent en optique, l'interfrange «$\;{\mathit {i}}={\dfrac {\lambda _{0}\,D}{a}}={\dfrac {633\;10^{-9}\times 2,000}{0,5\;10^{-3}}}\simeq$ $2,5\;10^{-3}\;$ en $\;m\;$» soit «$\;{\mathit {i}}\simeq 2,5\;mm\;$» et nous en déduisons le nombre d'interfranges dans le champ d'interférences sur l'écran «$\;N={\dfrac {L}{\mathit {i}}}=20\;$» ;
$\;{\mathcal {A}}(\theta )\;$
$\;\theta \;$

## Conséquences de la diffraction sur la focalisation et sur la propagation d'un faisceau laser
### Divergence d'un faisceau laser

Un faisceau laser n'est pas rigoureusement $\;\parallel$, cela résulte de son expansion transversale finie, par exemple Un faisceau laser n'est pas rigoureusement $\;\color {transparent}{\parallel }$, pour la longueur d'onde dans le vide du laser hélium-néon $\;\lambda _{0}=633\;nm\;$ et Un faisceau laser n'est pas rigoureusement $\;\color {transparent}{\parallel }$, pour un diamètre de sortie $\;a=0,5\;mm$, Un faisceau laser n'est pas rigoureusement $\;\color {transparent}{\parallel }$, le rayon angulaire ou « demi-angle d'ouverture » vaut «$\;\theta _{1}=\arcsin \!\left(1,22\;{\dfrac {\lambda _{0}}{a}}\right)$ $=\arcsin \!\left(1,22\times {\dfrac {633\;10^{-9}}{0,5\;10^{-3}}}\right)$ $\simeq 1,55\;10^{-3}\;rad\simeq 5,4'\;$» ;
Un faisceau laser n'est pas rigoureusement $\;\color {transparent}{\parallel }$, plaçant un écran à une distance $\;D=5\;m\;$ on observe une « tache de diamètre $\;d\simeq 2\left(D\;\theta _{1}\right)\simeq 2\times \left(5\times 1,55\;10^{-3}\right)\simeq 15,5\;mm=1,55\;cm\;$» Un faisceau laser n'est pas rigoureusement $\;\color {transparent}{\parallel }$, plaçant un écran à une distance $\;\color {transparent}{D=5\;m}\;$ c.-à-d. un élargissement « non négligeable » du diamètre du faisceau à grande distance de la source.

### Focalisation d'un faisceau laser

La diffraction se manifeste aussi quand on cherche à focaliser un faisceau laser à l'aide d'un objectif de microscope de « distance focale $\;{\mathit {f}}_{\mathit {i}}\;$», La diffraction se manifeste la dimension transversale du faisceau ne s'annule pas $\;{\big \$contrairement à ce qu'exigerait une focalisation parfaite résultant de la 1ère loi de l'optique géométrique${\big \}$, La diffraction se manifeste elle passe simplement par une valeur minimale «$\;a_{\text{min}}\;$» que l'on détermine également par la relation «$\;\sin(\theta )=1,22\;{\dfrac {\lambda _{0}}{a_{\text{min}}}}\;$» où «$\;\theta \;$ est le demi-angle d'ouverture du faisceau convergent imposé par l'objectif de microscope » et «$\;a_{\text{min}}\;$ la valeur minimale du diamètre du faisceau à l'endroit de la convergence » soit encore La diffraction se manifeste elle passe simplement par une valeur minimale «$\;a_{\text{min}}=1,22\;{\dfrac {\lambda _{0}}{\sin(\theta )}}\;$» ;
La diffraction se manifeste avec la relation déterminant le demi-angle d'ouverture $\;\theta \;$ à partir de la distance focale de l'objectif de microscope et du diamètre $\;a\;$ du faisceau incident «$\;\tan(\theta )={\dfrac {\dfrac {a}{2}}{{\mathit {f}}_{\mathit {i}}}}\;$» ou, La diffraction se manifeste sachant que l'angle $\;\theta \;$ est petit ce qui permet l'approximation «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\tan(\theta )\simeq \theta \\\sin(\theta )\simeq \theta \end{array}}\right\rbrace \;$ à l'ordre un en $\;\theta \;$» et par suite de « confondre $\;\tan(\theta )\;$ avec $\;\sin(\theta )\;$ au même ordre un en $\;\theta \;$», d'où «$\;\sin(\theta )\simeq {\dfrac {a}{2\,{\mathit {f}}_{\mathit {i}}}}\;$ à l'ordre un en $\;\theta \;$» ; La diffraction se manifeste finalement « la valeur minimale du diamètre du faisceau à l'endroit de la convergence s'évalue par $\;a_{\text{min}}\simeq 1,22\;{\dfrac {2\;\lambda _{0}\;{\mathit {f}}_{\mathit {i}}}{a}}\;$» ;
La diffraction se manifeste si «$\;{\mathit {f}}_{\mathit {i}}=10\;cm\;$ avec $\;a=0,50\;mm\;$ et $\;\lambda _{0}=633\;nm\;$» on trouve «$\;a_{\text{min}}\simeq 1,22\times {\dfrac {2\times 633\;10^{-9}\times 0,1}{0,50\;10^{-3}}}\simeq 0,30\;10^{-3}\;m=0,30\;mm\;$».