OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Théorie de la mesure/Mesures

On a vu au chapitre 1 qu'une mesure m sur un ensemble fini X est un objet relativement simple, qui s'écrit $m(A)=\sum _{x\in A}\mu (x)$ pour une certaine fonction positive $\mu$ sur X. Bien que l’on en reste dans cette leçon à des exemples simples, les choses peuvent devenir considérablement plus compliquées sur un ensemble quelconque X.
Une mesure positive est une fonction d'une tribu vers $\left[0,+\infty \right]$, vérifiant certaines propriétés.
Soit $(X,{\mathcal {A}})$ un espace mesurable. Une application $\mu :{\mathcal {A}}\to \left[0,+\infty \right]$ est appelée mesure si les propriétés suivantes sont vérifiées :
* $\mu (\varnothing )=0$ ;
* $\mu$ est $\sigma$-additive : pour toute famille dénombrable $\left(E_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ d'éléments deux à deux disjoints de la tribu ${\mathcal {A}}$,
    $\mu \left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }E_{n}\right)=\sum _{n\in \mathbb {N} }\mu (E_{n})$.
On peut définir une mesure de dénombrement (ou mesure de comptage) par $\mu (S)=\operatorname {card} \left(S\right)$ si $S$ est fini et $\mu (S)=+\infty$ sinon.
| Tribus | Sommaire |
# Théorie de la mesure/Objectifs

* donner les résultats principaux de la théorie de l'intégrale de Lebesgue,
* sans entrer dans tous les détails de certaines démonstrations qui sont délicates.
L'intégrale de Lebesgue permet aussi d’aborder des notions plus évoluées de probabilité et joue un rôle dans la théorie des distributions.
# WinDev/Compiler, ajouter des images et des composants
## Compiler

Pour compiler un projet windev il suffit de lancer l'icône Go de l'éditeur
| Créer un projet | Importer du Visual Basic |
# WinDev/Installation
## Téléchargement

Il existe plusieurs version de WinDev :
* La version express est totalement gratuite sur https://www.pcsoft.fr/windev/WD-Express.htm
* La normale coûte dans les 2 000 € TTC et est réservé aux systèmes d’exploitation Microsoft Windows. Il est possible de l’acheter en ligne, puis de recevoir une clé USB de licence pour s'authentifier ensuite.
* En 2016 la dernière version est la 21, mais on trouve des versions antérieures à la 15 d'occasion pour une vingtaine d'euros.

## Installation

Il faut insérer le dongle de licence avant de lancer l'installation du DVD, puis patienter une demi-heure.
Le chargement d'une base est facultatif, une fois la jauge verte remplie, le PC doit redémarrer.
Par ailleurs, le logiciel permet de choisir si on doit le lancer avec un mot de passe ou pas.

## Test

Ensuite il est possible de créer des projets .wdp à compiler, qui pourront générer au choix des fichiers .exe, Java ou .Net.
# WinDev

| Chap. 1 : | Installation |
| Chap. 2 : | Créer un projet |
| Chap. 3 : | Compiler, ajouter des images et des composants |
| Chap. 4 : | Importer du Visual Basic |
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## Présentation [Modifier]

WinDev n’est pas directement un langage de programmation mais un environnement de développement intégré. Il se concentre au sein d’une même architecture, une flopée d’applications qui rendent les développements logiciels plus faciles et plus rapides.
Le langage de programmation de WinDev est le W-langage. Il est dit de cinquième génération. Il est édité par la société française PC-SOFT, qui a l’immense avantage d’être un langage entièrement francisé (une version en anglais existe pour les puristes).
Très orienté données, le W-langage est multiplateforme (Windows, Linux, Mac, Mobile, Android, Web...). Ce langage est dit de propriétaire (il est nécessaire d’avoir une licence pour écrire du code WinDev).
Aucune connaissance particulière n’est nécessaire mis à part en informatique (algorithmique et bases de données notamment).

## Objectifs [Modifier]

* Découvrir l'environnement de développement de WinDev
* Créer une application simple
* Créer une application en mode RAD
* Créer une application mobile
* Créer une Base de données HFSQL et HFSQL client /serveur
* Créer une application Web
* Faire une interaction entre trois applications WinDev
* WebService SOAP et REST

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 12.
* Introduction générale à la programmation

## Référents [Modifier]

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
JackPotte ($♠) 9 septembre 2011 à 19:48 (UTC)
# Statique des fluides (PCSI)/Prérequis conseillés

Être issu d'une section scientifique d'un lycée francophone.
# Statique des fluides (PCSI)/Objectifs

* dans le cadre de l'approximation des milieux continus définir les fluides et les champs de forces appliqués quand ils sont en équilibre.
* avec la notion de champ de pression dans un fluide présenter la relation fondamentale de la statique des fluides sous forme différentielle puis locale.
* faire une étude d'équilibre de l'atmosphère terrestre supposée isotherme et en déduire les 1$^{ères}$ notions de statistique sur un système de particules en équilibre à une température fixée.
* présenter la notion de résultante de forces pressantes exercées par un fluide en équilibre ainsi que celle de poussée d'Archimède.
# Statique des fluides (PCSI)/Référents

Phl7605
# Statique des fluides (PCSI)/Présentation de la leçon

La leçon porte essentiellement sur l'introduction des notions de statique des fluides (liquides ou gazeux) dans un référentiel galiléen et sur une présentation élémentaire de la statistique des systèmes de particules en équilibre à une température fixée.
# Systèmes et représentations/Fonctions d'entrée courantes
## Fonctions causales

On appelle fonction causale une fonction f de la variable réelle t définie sur $\mathbb {R}$ et supposée nulle pour $t\leq 0$.
* Fonction normale : $\forall t\in \mathbb {R} ,\;f(t)=0$
* Fonction causale :
** $\forall t\in \left]-\infty ;0\right],\;f(t)=0$
** $\forall t\in \left]0;+\infty \right[,\;f(t)$ est définie
À noter que dans toute la suite, on ne considérera que des fonctions d'entrée causales.

## Fonctions impulsions
### Impulsion physique (créneau)

Il est défini par :
* $\forall t\in \left]-\infty ;0\right]\bigcup \left[t_{1};+\infty \right],\quad x(t)=0$
* $\forall t\in \left]0;t_{1}\right[,\quad x(t)=A$

### Impulsion de Dirac

On définit une impulsion comme un créneau de surface unité (A = 1/$t_{1}$).
L'impulsion de Dirac s'obtient en faisant tendre $t_{1}$ vers 0. Cela revient à générer un signal d'amplitude infinie pendant un temps nul.
Un tel signal ne correspond à aucun signal physique réel, mais il permet de définir ultérieurement des caractéristiques temporelles importantes d'un système dynamique. Il modélise par exemple les chocs que peut recevoir un système.
On représente une impulsion de Dirac avec une flèche :

## Échelon unité (fonction existence)

Cette fonction est définie par :
* $\forall t\in \left]-\infty ;0\right],\quad x(t)=0$
* $\forall t\in \left]0;+\infty \right[,\quad x(t)=1$

## Fonction rampe

Cette fonction est définie par :
* $\forall t\in \left]-\infty ;0\right],\quad x(t)=0$
* $\forall t\in \left]0;+\infty \right[,\quad x(t)=a\times t$

## Fonction sinusoïdale

Cette fonction est définie par :
* $\forall t\in \left]-\infty ;0\right],\quad x(t)=0$
* $\forall t\in \left]0;+\infty \right[,\quad x(t)=\sin \left(\omega \,t\right)$
avec ω la pulsation (en rad/s).
| Linéarité, principe de superposition, invariance | Représentation des systèmes |
# Systèmes et représentations/Linéarité, principe de superposition, invariance

Un système linéaire est un système pour lequel les relations entre les grandeurs d'entrée et les grandeurs de sortie peuvent se mettre sous la forme d'un ensemble d'équations différentielles linéaires à coefficients constants.

### Linéarité

Un système est dit linéaire si et seulement si : si $e(t)\Longrightarrow s(t)$ alors $a\times e(t)\Longrightarrow a\times s(t)$

### Additivité (principe de superposition)

On suppose que pour une entrée e1(t), on obtient une sortie s1(t) et pour une entrée e2(t), on obtient une sortie s2(t). Alors, le principe de superposition indique :
$\forall (a,b)\in \mathbb {R} ^{2},\;\forall t,\;a\times e_{1}(t)+b\times e_{2}(t)=a\times s_{1}(t)+b\times s_{2}(t)$

### Invariance

Un système invariant est un système dont les caractéristiques de comportement ne se modifient pas dans le temps. On dit que "le système ne vieillit pas".
Ainsi, si $e(t)\Longrightarrow s(t)$, alors pour un décalage temporel $\tau >0$, on : $e(t-\tau )\Longrightarrow s(t-\tau )$.
| Définitions d'un système continu | Fonctions d'entrée courantes |
# Systèmes et représentations/Prérequis conseillés

* Décomposition d'une expression en éléments simples
* Notions sur les équations différentielles linéaires
# Systèmes et représentations/Présentation de la leçon

Un mécanisme réel est un système complexe alliant de nombreuses technologies (mécanique, électronique, informatique...). Comment alors modéliser un tel mécanisme de manière à utiliser l'outil mathématique pour faire tous les calculs nécessaires (comportement, rapidité, stabilité...) et ensuite améliorer les caractéristiques de ce système ? C'est ce que va vous expliquer cette leçon en définissant tout d’abord les propriétés fondamentales des systèmes physiques puis en introduisant les outils mathématiques nécessaires (transformée de Laplace).
# Systèmes monétaires

| Chap. 1 : | Introduction |
| Les Systèmes monétaires ||
| Chap. 2 : | Système monétaire international |
| Chap. 3 : | Système monétaire européen |
| Chap. 4 : | zone euro |
| Chap. 5 : | Systèmes monétaires régionaux |
| Les Monnaies ||
| Chap. 6 : | Monnaie électronique |
| Chap. 7 : | Cybermonnaie |
| Chap. 8 : | Système de monnaie de compte |
| Chap. 9 : | Système de monnaie de paiement |
| Chap. 10 : | Monnaie libre |
| Chap. 11 : | Monnaie Locale & Complémentaire |
| Chap. 12 : | Création monétaire |
| Histoire ||
| Chap. 13 : | Systèmes monétaires de l'Antiquité |
| Chap. 14 : | Système monétaire de l'Ancien Régime Français |
| Annexe : | Agrégats monétaires dans la zone euro |
| Quiz 1 : | QCM Le SME et l' Euro |
| Quiz 2 : | QCM Cybermonnaie |
| Exercice : | Systèmes monétaires |
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## Présentation [Modifier]

Un système monétaire est un ensemble de règles et d'institutions visant à organiser la monnaie au sein d'un espace monétaire donné.
Les systèmes monétaires relèvent souvent des États dans le cadre de la politique économique intérieure, mais il existe aussi des systèmes supranationaux, comme la zone euro.
Un système monétaire est organisé autour de deux composantes essentielles :
      * Un système de monnaie de compte
      * Un système de monnaie de paiement
La monnaie à présent existe sous différentes formes:
      * monnaie 1.0 : La monnaie fiduciaire comprenant les pièces et les billets de banque
      * monnaie 2.0 : la monnaie scripturale circulant par simple jeu d'écriture et la monnaie électronique
      * monnaie 3.0 : les crypto-actifs (ou crypto-monnaies).

## Objectifs [Modifier]

* Comprendre les objectifs des systèmes monétaires comme le SME, la zone Euro, etc ...
* D'une manière plus large, comprendre les limites d'un système économique

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 13.
* Connaître la définition d'un système économique.
* Connaître la définition et les conséquences -sur les importations et les exportations- d'une dévaluation d'une monnaie.

## Pour aller plus loin [Modifier]

* ZMO : Zone Monétaire Optimale

## Référents [Modifier]

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
* Abdow.Beraida
# Systèmes monétaires/Annexe/Agrégats monétaires dans la zone euro

La masse monétaire est une mesure de la quantité de monnaie dans un pays ou une zone économique. C'est l’ensemble des valeurs susceptibles d’être converties en liquidités, c’est l’agrégat de la monnaie fiduciaire, des dépôts bancaires et des titres de créances négociables, tous susceptibles d’être immédiatement utilisables comme moyen de paiement.

## Les agrégats

Les composantes de la masse monétaire sont des agrégats. Les agrégats monétaires sont des indicateurs statistiques regroupant dans des ensembles homogènes les moyens de paiement détenus par les agents d'un territoire donné. Il y a plusieurs niveaux d'agrégats statistiques dans la masse monétaire, selon le degré de liquidité.
    M0 appelée aussi base monétaire ou monnaie centrale représente l’ensemble des engagements monétaires d'une banque centrale (pièces et billets en circulation, avoirs en monnaie scripturale comptabilisée par la banque centrale).
    M1 correspond aux billets, pièces et dépôts à vue (515 000 000 000 € de billets et de pièces en l'an 2000 dans la zone euro).
    M2 correspond à M1 plus les dépôts à termes inférieurs ou égaux à deux ans et les dépôts assortis d'un préavis de remboursement inférieur ou égal à trois mois (par exemple, pour la France, le livret jeune ou le CODEVI, les livrets A et bleu, le compte d'épargne logement, le livret d'épargne populaire...).
    M3 correspond à M2 plus les instruments négociables sur le marché monétaire émis par les institutions financières monétaires (IFM), et qui représentent des avoirs dont le degré de liquidité est élevé avec peu de risque de perte de capital en cas de liquidation (ex : OPCVM monétaire, certificat de dépôt, créance inférieure ou égale à deux ans).
    M4 correspond à M3 plus les Bons du Trésor, les billets de trésorerie et les bons à moyen terme émis par les sociétés non financières.
Au 15 janvier 2013, les différents agrégats monétaires pour la zone euro étaient les suivants :
Base monétaire = 1630,9 Md €
       - ( Dont billets = 903,5 Md € ; réserves = 489 Md € (dont réserves obligatoires = 106 Md €) ; facilités de dépôt = 238,4 Md €. )
Masses monétaires
    M1 = 5121 Md € ( Dont billets = 903,5 Md € ; Dont Dépôts à Vue = 4218 Md € )
    M2 = 9017 Md €
       Soit M1 (5121 Md €) + les dépôts à moins de 3 mois (2089 Md €) + les dépôts à moins de 2 ans (1807 Md €)
    M3 = 9785 Md €
       Soit M2 (9017 Md €) + les pensions (132 Md €) + les OPCVM monétaires (463 Md €) + les titres de créance à moins de 2 ans (173 Md €)
* Sommaire
# Série entière/Exercices/Rayon de convergence 2

Déterminer le rayon de convergence et la somme de chacune des séries entières suivantes de la variable réelle x :
Cette série géométrique a pour rayon $\mathrm {e} ^{3}$ et pour somme ${\frac {1}{1-x/\mathrm {e} ^{3}}}={\frac {\mathrm {e} ^{3}}{\mathrm {e} ^{3}-x}}$.
Le rayon de convergence $R$ de cette série $T(x)$ est le même que celui de la série géométrique $S(x):=\sum _{n=0}^{+\infty }(x/4)^{n}$ donc $R=4$.
De plus, pour $x\in \left]-4,4\right[$, $S(x)={\frac {4}{4-x}}$ et ${\frac {4}{(4-x)^{2}}}=S'(x)=\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {n}{4^{n}}}x^{n-1}={\frac {1}{x}}T(x)$ donc $T(x)={\frac {4x}{(4-x)^{2}}}$.
Le rayon de convergence $R$ de cette série est le même que celui de la série géométrique $T(x):=\sum _{n=0}^{+\infty }x^{n}$ donc $R=1$.
De plus, $T(x)={\frac {1}{1-x}}$ pour $|x|<1$. Alors, $\sum _{n\geq 1}nx^{n-1}=T'(x)={\frac {1}{(1-x)^{2}}}$ et $\sum _{n\geq 2}n(n-1)x^{n-2}=T''(x)={\frac {2}{(1-x)^{3}}}$ donc $\sum _{n\geq 1}n^{2}x^{n}=\sum _{n\geq 2}n(n-1)x^{n}+\sum _{n\geq 1}nx^{n}=x^{2}T''(x)+xT'(x)={\frac {2x^{2}}{(1-x)^{3}}}+{\frac {x}{(1-x)^{2}}}={\frac {x^{2}+x}{(1-x)^{3}}}$.
Soit $T(y)=\sum _{n\geq 0}y^{n}={\frac {1}{1-y}}$, de rayon de convergence 1. Alors, $\sum _{n\geq 1}ny^{n-1}=T'(y)={\frac {1}{(1-y)^{2}}}$ (avec même rayon de convergence) donc
    $\sum _{n\geq 1}(-1)^{n-1}nx^{2n+1}=x^{3}T'(-x^{2})={\frac {x^{3}}{(1+x^{2})^{2}}}$, de rayon de convergence 1.
Première méthode :
    ${\begin{aligned}\sum _{n\geq 0}{\frac {n+1}{n!}}x^{n}&=\sum _{n\geq 1}{\frac {nx^{n}}{n!}}+\sum _{n\geq 0}{\frac {x^{n}}{n!}}\\&=x\sum _{n\geq 1}{\frac {x^{n-1}}{(n-1)!}}+\sum _{n\geq 0}{\frac {x^{n}}{n!}}\\&=\left(x+1\right)\sum _{n\geq 0}{\frac {x^{n}}{n!}}\\&=\left(x+1\right)\mathrm {e} ^{x}.\end{aligned}}$
Seconde méthode :
    ${\begin{aligned}\sum _{n\geq 0}{\frac {n+1}{n!}}x^{n}&=\sum _{n\geq 0}{\frac {(x^{n+1})'}{n!}}\\&=\left(x\sum _{n\geq 0}{\frac {x^{n}}{n!}}\right)'\\&=\left(x\mathrm {e} ^{x}\right)'\\&=\left(x+1\right)\mathrm {e} ^{x}.\end{aligned}}$
Le rayon de convergence est infini.
| Rayon de convergence et polynôme | Rayon de convergence 3 |
# Série entière

| Chap. 1 : | Introduction (15) |
| Chap. 2 : | Définition formelle - rayon de convergence (15) |
| Chap. 3 : | Propriétés (15) |
| Chap. 4 : | Développement en série entière (15) |
| Chap. 5 : | Fonction exponentielle (15) |
| Exos. 1 : | Rayon de convergence 1 (15) |
| Exos. 2 : | Rayon de convergence et polynôme (15) |
| Exos. 3 : | Rayon de convergence 2 (15) |
| Exos. 4 : | Rayon de convergence 3 (15) |
| Exos. 5 : | Calcul de sommes (15) |
| Exos. 6 : | Série entière et équation différentielle (15) |
| Exos. 7 : | Produit de Cauchy (15) |
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## Présentation [Modifier]

La théorie des séries entières exprime la majorité des fonctions usuelles comme somme de séries. Ceci permet de démontrer des propriétés de ces fonctions, de calculer des sommes compliquées et également de résoudre des équations différentielles.
À partir des séries entières, on peut définir des séries formelles pour lesquelles la variable est une indéterminée. On peut alors utiliser les outils des séries entières sans avoir à s'inquiéter de la notion de convergence.

## Objectifs [Modifier]

* Savoir calculer un rayon de convergence.
* Savoir faire un développement en série entière.
* Connaitre les développements en séries entières des fonctions usuelles.

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 15.
* Série numérique
* Suites et séries de fonctions : notion de convergence

## Référents [Modifier]

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
* Loïc Fabiou (discuter)
# Série entière/Développement en série entière
## Fonctions développables en série entière autour d'un point

Soit $f:\Omega \rightarrow \mathbb {C}$, où $\Omega$ est un ouvert de $\mathbb {C}$. On dit que $f$ est développable en série entière autour de $a\in \Omega$ s'il existe $(a_{n})\in \mathbb {C} ^{\mathbb {N} }$ et $r>0$ tels que :
* ${\mathcal {B}}(a,r)\subset \Omega$ ;
* $\forall z\in {\mathcal {B}}(a,r),\ f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}(z-a)^{n}$.
Si tel est le cas, la série entière étudiée aura un rayon de convergence R supérieur ou égal à r, donc strictement positif.
$f$ est développable en série entière autour de $a$ si et seulement si $z\mapsto f(a+z)$ est développable autour de $0$.
On dit qu'une fonction $f:\Omega \rightarrow \mathbb {C}$ est analytique si elle est développable en série entière en tout point de $\Omega$.
Si $f$ est développable en série entière en un point, alors son développement en ce point est unique.

## Techniques usuelles de développement en série entière
### Linéarité

Les développements en séries entières sont linéaires sur leur disque de convergence.

### Produit

Par produit de Cauchy, $(fg)(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }(\sum _{p+q=n}a_{p}b_{q})x^{n}$ pour un développement en série entière autour de 0, avec $\sum a_{n}X^{n}$ et $\sum b_{n}X^{n}$ les développements respectifs de $f$ et $g$.

### Avec une équation différentielle
## Série de Taylor-MacLaurin

Pour que $f$ soit développable en série entière, il faut que :
* $f$ soit de classe ${\mathcal {C}}^{\infty }$ au voisinage de 0;
* $\sum {\frac {f^{(n-1)}(0)}{n!}}z^{n}$ soit de rayon de convergence strictement positif,
auquel cas cette série, dite de Taylor-MacLaurin, est l'unique développement possible de $f$ autour de 0.
* Cette condition est largement insuffisante pour assurer l’existence d'un développement en série entière. Par exemple la fonction plateau
* $f:t\rightarrow {\begin{cases}e^{-1/t^{2}}&{\text{si}}\ t\neq 0\\0&{\text{si}}\ t=0\end{cases}}$
* admet des dérivées successives toutes nulles en 0 ! Ainsi, la série entière associée ci-dessus est la série nulle, donc de rayon $+\infty >0$, mais ne coïncide pas avec $f$ sur une boule ouverte centrée en 0.
| Propriétés | Fonction exponentielle |
# Série de Fourier/Théorèmes fondamentaux

Les séries de Fourier sont l'objet de deux théorèmes fondamentaux : le théorème de Parseval et celui de Jordan-Dirichlet.

## Théorème de Parseval

Soit $f$ une fonction continue par morceaux et de période $T=2\pi$.
Si $f$ est de carré intégrable, alors l'égalité de Parseval est :
    $\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{|c_{n}|^{2}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{|f(x)|^{2}\,\mathrm {d} x}$
$\sum _{n=-\infty }^{\infty }{|c_{n}|^{2}}={\frac {a_{0}^{2}}{4}}+{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{+\infty }\left({a_{k}}^{2}+{b_{k}}^{2}\right)$

## Théorème de Jordan-Dirichlet

Soit une fonction $f$ continue par morceaux et de période $T=2\pi$.
Alors sa série de Fourier converge ponctuellement vers sa normalisée :
    $\forall x\in \mathbb {R} \quad \lim _{n\to \infty }{S_{n}(f)}(x)={\frac {f(x+0)+f(x-0)}{2}}$
$f(x+0)$ et $f(x-0)$ sont les limites à droite et à gauche de la fonction $f$.

## Applications

Ces deux théorèmes sont fréquemment utilisés pour calculer des sommes infinies qu'on ne pourrait pas calculer avec la théorie des séries entières ou des séries numériques.
Voir à ce propos la leçon : « Sommation ».
| Étude de la convergence | Sommaire |
# Série de Fourier/Étude de la convergence

Considérons la suite des sommes partielles :
$S_{N,f}(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{N}\left(a_{n}\cos \left({\frac {2\pi n}{T}}x\right)+b_{n}\sin \left({\frac {2\pi n}{T}}x\right)\right)$
Les termes $a_{n}\cos \left({\frac {2\pi n}{T}}x\right)+b_{n}\sin \left({\frac {2\pi n}{T}}x\right)$ peuvent aussi s'écrire $\alpha _{n}\cos \left({\frac {2\pi n}{T}}x+\varphi _{n}\right)$
où $\alpha _{n}={\sqrt {a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}$ et $\tan(\varphi _{n})=-{\frac {b_{n}}{a_{n}}}$
On appelle première harmonique le terme : $\alpha _{1}\cos \left({\frac {2\pi }{T}}x+\varphi _{1}\right)$
De même on appelle n-ième harmonique le terme : $\alpha _{n}\cos \left({\frac {2\pi n}{T}}x+\varphi _{n}\right)$
Plus l'indice $n$ augmente et tend vers l'infini, plus la suite des sommes partielles tend vers la fonction $f$ qui est, le plus généralement, exprimée en morceaux. La série de Fourier converge alors vers la fonction de départ.
| Généralités | Théorèmes fondamentaux |