# Logique des propositions/Définitions
## Syntaxe et sémantique de la logique des propositions
### Objets de base

* Un ensemble de propositions de base, appelées atomes ou propositions atomiques :
    $a,b,c,\dots$
* Un ensemble de connecteurs qui seront :
** unaires : ne s'applique qu’à un atome
*** la négation ou non, qui s'écrit $\lnot$. Exemple : $\lnot a$ qui se prononce « non a ».
** binaires : s'applique à deux atomes
*** la conjonction ou « et », qui s'écrit $\land$. Exemple : $a\land b$ qui se prononce « a et b » ou « la conjonction de a et de b ».
*** la disjonction ou « ou », qui s'écrit $\lor$. Exemple :$a\lor b$ qui se prononce « a ou b » ou « la disjonction de a et de b ».
*** le conditionnel ou « si… alors… », qui s'écrit $\to$. Exemple : $a\to b$ qui se prononce « si a, alors b » ou « le conditionnel dont l'antécédent est a et dont le conséquent est b ».
*** le biconditionnel ou « … si et seulement si… », qui s'écrit $\leftrightarrow$. Exemple : $a\leftrightarrow b$ qui se prononce « a si et seulement si b » ou « le biconditionnel de a et b ».

### Règles syntaxiques

* Règle 1 : Une proposition atomique est une proposition.
* Règle 2 : Si « $a$ » est une proposition, alors « $\lnot a$ » est une proposition.
* Règle 3 : Si « $a$ » et « $b$ » sont des propositions, alors « $a\land b$ » est une proposition.
* Règle 4 : Si « $a$ » et « $b$ » sont des propositions, alors « $a\lor b$ » est une proposition.
* Règle 5 : Si « $a$ » et « $b$ » sont des propositions, alors « $a\to b$ » est une proposition.
* Règle 6 : Si « $a$ » et « $b$ » sont des propositions, alors « $a\leftrightarrow b$ » est une proposition.
* Règle 7 : Rien d’autre n'est une proposition.
Si $a,b,c,d,e$ sont des propositions atomiques, alors
    ${\Bigl{\bigla\land b{\bigr )}\lor {\bigl\lnot c\to d{\bigr )}{\Bigr )}\leftrightarrow {\bigl\lnot e\to \lnot {\Bigld\to \lnot c{\bigr )}{\Bigr )}$
est une proposition.

#### Méthode pour vérifier si une expression est bien formée

Pour cela, on décompose l'énoncé grâce à un arbre syntaxique :
On obtient, après décomposition, chaque atome présent dans l'énoncé initial ; aucun connecteur n'est resté : l'énoncé est donc bien une e.b.f..

### Règles sémantiques

* Règle 1 : Les propositions atomiques sont affectées de la valeur de vérité VRAI (V) ou FAUX (F).
* Règle 2 : Si "$a$" est une proposition, alors la valeur de vérité de $\lnot a$ est :
** V si celle de $a$ est F
** F si celle de $a$ est V
* Règle 3 : Si "$a$" et "$b$" sont des propositions, la valeur de vérité de $a\land b$ est :
** V si et seulement si les valeurs de vérité de $a$ et de $b$ sont V
** F si l'une des valeurs de vérité de $a$ ou $b$ est F
* Règle 4 : Si "$a$" et "$b$" sont des propositions, la valeur de vérité de $a\lor b$ est :
** V si l'une des valeurs de vérité de $a$ ou $b$ est V
** F si et seulement si les valeurs de vérité de $a$ et de $b$ sont F
* Règle 5 : Si "$a$" et "$b$" sont des propositions, la valeur de vérité de $a\to b$ est V dans tous les cas SAUF si la valeur de vérité de l' antécédent ($a$) est V et que la valeur de vérité du conséquent ($b$) est F.
* Règle 6 : Si "$a$" et "$b$" sont des propositions, la valeur de vérité de $a\leftrightarrow b$ est V si et seulement si $a$ et $b$ ont la même valeur de vérité.

#### Tableau de vérité de la négation (¬a)

| $a$ | V | F |
| $\lnot a$ | F | V |

#### Tableau de vérité de la conjonction (a∧b)

| $a\land b$ | V | F |
| V | V | F |
| F | F | F |

#### Tableau de vérité de la disjonction (a∨b)

| $a\lor b$ | V | F |
| V | V | V |
| F | V | F |

#### Tableau de vérité du conditionnel (a→b)

| $a\to b$ | V | F |
| V | V | F |
| F | V | V |

#### Tableau de vérité du biconditionnel (a↔b)

| $a\leftrightarrow b$ | V | F |
| V | V | F |
| F | F | V |

### Démonstration

Reprenons l'exemple précèdent :
On va attribuer une valeur de vérité à chaque atome (soit vrai soit faux) puis voir ce que nous révèle l'arbre ci-dessus vis-à-vis de la valeur vérité de l'énoncé de départ :
* On suppose que les valeurs de vérité de $a,b,c,d,e$ sont respectivement dans cet ordre : V, V, F, F, V.
* On va partir du bas de l'arbre qu'on appelle les feuilles, écrire la valeur de vérité de chaque feuille/atome à côté de ce dernier, puis remonter au nœud supérieur, ainsi de suite jusqu'à la racine en se servant des tableaux de vérité plus haut :
    Partons par exemple du $c$ qui est complètement à droite : On a supposé que sa valeur de vérité était faux.
Au-dessus, nous avons $\lnot c$, qui sera donc vrai.
À côté de $\lnot c$, on a $d$, qui est faux.
La formule du dessus, $(d\to \lnot c)$, si l’on se réfère au tableau de vérité du conditionnel, on a F $\to$ V qui nous donne V.
Si on remonte d'un niveau, on a $\lnot (d\to \lnot c)$, qui sera donc faux puisque c’est la négation d'un énoncé vrai.
On remonte ainsi de suite jusqu'à la racine comme cela :
On obtient ainsi ${\Bigl{\bigla\land b{\bigr )}\lor {\bigl\lnot c\to d{\bigr )}{\Bigr )}\leftrightarrow {\bigl\lnot e\to \lnot {\Bigld\to \lnot c{\bigr )}{\Bigr )}$ qui est VRAI avec cette distribution des valeurs de vérités aux atomes : il est important de souligner que si l’on change la distribution initiale, le résultat final peut changer à tout moment.
Pour vous entraîner, essayez de refaire cet exercice en changeant la distribution :
    Par exemple :
* F,F,F,F,F
* V,V,V,V,V
* F,V,F,V,F
| Introduction | Arbres de Quine |