# Fonction dérivée/Dérivée d'une fonction affine suivie d'une autre fonction
## Théorème sur la dérivation d'une fonction affine suivie d'une autre fonction

On s'intéresse dans ce chapitre à la dérivation d'une fonction dont l’expression à partir d'un réel x est obtenue en deux temps :
* On applique d’abord une fonction affine
* On applique ensuite au résultat une fonction quelconque ƒ
Le schéma étudié est donc le suivant : ${\begin{array}{ccccl}{\mathcal {D}}_{1}&\rightarrow &{\mathcal {D}}_{2}&\rightarrow &\mathbb {R} \\x&\mapsto &\color {blue}ax+b&{\underset {f}{\mapsto }}&f(ax+b)\\\end{array}}$
qui peut se ramener à l'étude de ${\begin{array}{ccl}{\mathcal {D}}_{1}&\rightarrow &\mathbb {R} \\x&{\underset {g}{\mapsto }}&g(x)=f(ax+b)\\\end{array}}$
Soit g une fonction définie sur un domaine ${\mathcal {D}}_{1}$ par $g:x\mapsto f(ax+b)$.
Soit $x\in {\mathcal {D}}_{1}$
    Si ƒ est dérivable au point $ax+b$
    Alors g est dérivable au point x et $g'(x)=a\cdot f'(ax+b)$
* Lorsqu'on utilise ce genre de théorème, il faut être particulièrement vigilant aux domaines de définition et de dérivabilité. Nous allons le voir sur quelques exemples.

## Exemples
### Exemple 1

Soit g la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par $g:x\mapsto (3x+2)^{2}$. Dériver g
* Faire le schéma décomposant les étapes fonction affine/fonction ƒ
* Identifier $ax+b$ et $f$
* Vérifier les domaines de définition et de dérivabilité de ƒ et calculer sa dérivée $f'$
* Vérifier les domaines de définition et de dérivabilité de g et calculer sa dérivée $g'$ avec le théorème
Le schéma est ${\begin{array}{ccccl}\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\x&\mapsto &\color {blue}3x+2&{\underset {\color {red}f}{\mapsto }}&\color {red}(\color {blue}3x+2\color {red})^{2}\\\end{array}}$
et se ramène à ${\begin{array}{ccl}\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\x&{\underset {g}{\mapsto }}&g(x)=\color {red}(\color {blue}3x+2\color {red})^{2}\\\end{array}}$
Soit $x\in \mathbb {R}$
* D'après le théorème, g est dérivable en x lorsque ƒ est dérivable en $ax+b$
* Dans notre cas, $\color {blue}ax+b=3x+2$
* Pour tout $X\in \mathbb {R} ,~\color {red}f(X)=X^{2}$, donc ƒ est dérivable sur $\mathbb {R}$ et, pour tout $X\in \mathbb {R} ,~\color {magenta}f'(X)=2X$
* En particulier, ƒ est dérivable en $ax+b$ donc g est dérivable en x
* On applique la formule du théorème :
    Pour tout $x\in \mathbb {R}$ :
${\begin{aligned}g'(x)&=a\cdot \color {magenta}f'(ax+b)\\&=3\cdot \color {magenta}2(3x+2)\\&=6(3x+2)\end{aligned}}$

### Exemple 2

Soit g la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par $g:x\mapsto (-4x+5)^{3}$. Dériver g
Le schéma est ${\begin{array}{ccccl}\cdots &\rightarrow &\cdots &\rightarrow &\cdots \\x&\mapsto &\cdots &{\underset {f}{\mapsto }}&\cdots \\\end{array}}$
et se ramène à ${\begin{array}{ccl}\cdots &\rightarrow &\cdots \\x&{\underset {g}{\mapsto }}&g(x)=(-4x+5)^{3}\\\end{array}}$
Soit $x\in \mathbb {R}$
* D'après le théorème, g est dérivable en x lorsque ƒ est dérivable en $ax+b$
* Dans notre cas, $ax+b=\cdots$
* Pour tout $X\in \cdots ,~f(X)=\cdots$, donc ƒ est dérivable sur $\cdots$ et, pour tout $X\in \cdots ,~f'(X)=\cdots$
* En particulier, ƒ est dérivable en $ax+b$ donc g est dérivable en x
* On applique la formule du théorème :
    Pour tout $x\in \cdots ,~g'(x)=\cdots$
Le schéma est ${\begin{array}{ccccl}\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\x&\mapsto &\color {blue}-4x+5&{\underset {\color {red}f}{\mapsto }}&\color {red}(\color {blue}-4x+5\color {red})^{3}\\\end{array}}$
et se ramène à ${\begin{array}{ccl}\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\x&{\underset {g}{\mapsto }}&g(x)=\color {red}(\color {blue}-4x+5\color {red})^{3}\\\end{array}}$
Soit $x\in \mathbb {R}$
* D'après le théorème, g est dérivable en x lorsque ƒ est dérivable en $ax+b$
* Dans notre cas, $\color {blue}ax+b=-4x+5$
* Pour tout $X\in \mathbb {R} ,~\color {red}f(X)=X^{3}$, donc ƒ est dérivable sur $\mathbb {R}$ et, pour tout $X\in \mathbb {R} ,~\color {magenta}f'(X)=3X^{2}$
* En particulier, ƒ est dérivable en $ax+b$ donc g est dérivable en x
* On applique la formule du théorème :
    Pour tout $x\in \mathbb {R}$ :
${\begin{aligned}g'(x)&=a\cdot \color {magenta}f'(ax+b)\\&=-4\cdot \color {magenta}3(-4x+5)^{2}\\&=-12(-4x+5)^{2}\end{aligned}}$

### Exemple 3

* Soit g la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par $g:x\mapsto \left({\frac {1}{2}}x+5\right)^{4}$. Dériver g
Le schéma est ${\begin{array}{ccccl}\cdots &\rightarrow &\cdots &\rightarrow &\cdots \\x&\mapsto &\cdots &{\underset {f}{\mapsto }}&\cdots \\\end{array}}$
et se ramène à ${\begin{array}{ccl}\cdots &\rightarrow &\cdots \\x&{\underset {g}{\mapsto }}&g(x)=\left({\frac {1}{2}}x+5\right)^{4}\\\end{array}}$
Soit $x\in \mathbb {R}$
* D'après le théorème, g est dérivable en x lorsque ƒ est dérivable en $ax+b$
* Dans notre cas, $ax+b=\cdots$
* Pour tout $X\in \cdots ,~f(X)=\cdots$, donc ƒ est dérivable sur $\cdots$ et, pour tout $X\in \cdots ,~f'(X)=\cdots$
* En particulier, ƒ est dérivable en $ax+b$ donc g est dérivable en x
* On applique la formule du théorème :
    Pour tout $x\in \cdots ,~g'(x)=\cdots$
Le schéma est ${\begin{array}{ccccl}\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\x&\mapsto &\color {blue}{\frac {1}{2}}x+5&{\underset {\color {red}f}{\mapsto }}&\color {red}\left(\color {blue}{\frac {1}{2}}x+5\color {red}\right)^{4}\\\end{array}}$
et se ramène à ${\begin{array}{ccl}\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\x&{\underset {g}{\mapsto }}&g(x)=\color {red}\left(\color {blue}{\frac {1}{2}}x+5\color {red}\right)^{4}\\\end{array}}$
Soit $x\in \mathbb {R}$
* D'après le théorème, g est dérivable en x lorsque ƒ est dérivable en $ax+b$
* Dans notre cas, $\color {blue}ax+b={\frac {1}{2}}x+5$
* Pour tout $X\in \mathbb {R} ,~\color {red}f(X)=X^{4}$, donc ƒ est dérivable sur $\mathbb {R}$ et, pour tout $X\in \mathbb {R} ,~\color {magenta}f'(X)=4X^{3}$
* En particulier, ƒ est dérivable en $ax+b$ donc g est dérivable en x
* On applique la formule du théorème :
    Pour tout $x\in \mathbb {R}$ :
${\begin{aligned}g'(x)&=a\cdot \color {magenta}f'(ax+b)\\&={\frac {1}{2}}\cdot \color {magenta}4\left({\frac {1}{2}}x+5\right)^{3}\\&=2\left({\frac {1}{2}}x+5\right)^{3}\end{aligned}}$

### Exemple 4

* Soit g la fonction définie sur un domaine ${\mathcal {D}}$ par $g:x\mapsto {\frac {1}{(2x+1)^{3}}}$. Dériver g.
* Voici notre premier exemple de fonction qui n’est pas définie partout. Il faudra donc faire attention aux domaines de définition et de dérivabilité.

#### On commence comme d'habitude par identifier les éléments $ax+b$ et ƒ

Le schéma est ${\begin{array}{ccccl}{\mathcal {D}}&\rightarrow &?&\rightarrow &\mathbb {R} \\x&\mapsto &\cdots &{\underset {f}{\mapsto }}&\cdots \\\end{array}}$
et se ramène à ${\begin{array}{ccl}{\mathcal {D}}&\rightarrow &\mathbb {R} \\x&{\underset {g}{\mapsto }}&g(x)=\displaystyle {\frac {1}{(2x+1)^{3}}}\\\end{array}}$
Le schéma est ${\begin{array}{ccccl}{\mathcal {D}}&\rightarrow &?&\rightarrow &\mathbb {R} \\x&\mapsto &\color {blue}2x+1&{\underset {\color {red}f}{\mapsto }}&\displaystyle {\color {red}{\frac {1}{\left(\color {blue}2x+1\color {red}\right)^{3}}}}\\\end{array}}$
et se ramène à ${\begin{array}{ccl}{\mathcal {D}}&\rightarrow &\mathbb {R} \\x&{\underset {g}{\mapsto }}&g(x)=\displaystyle {\color {red}{\frac {1}{\left(\color {blue}2x+1\color {red}\right)^{3}}}}\\\end{array}}$
La fonction ƒ est définie par $f:X\mapsto \cdots$ sur le domaine $\cdots$. Compléter dans le schéma l'emplacement « ? » avec cette nouvelle donnée.
$ax+b=\cdots$
En déduire pour quelle(s) valeur(s) de x la fonction g n’est pas définie. En déduire le domaine ${\mathcal {D}}$
Vérifier la dérivabilité.
La fonction ƒ est définie par $f:X\mapsto {\frac {1}{X^{3}}}$ sur le domaine $\mathbb {R} ^{*}$
${\begin{array}{ccccl}{\mathcal {D}}&\rightarrow &\mathbb {R} ^{*}&\rightarrow &\mathbb {R} \\x&\mapsto &\color {blue}2x+1&{\underset {\color {red}f}{\mapsto }}&\displaystyle {\color {red}{\frac {1}{\left(\color {blue}2x+1\color {red}\right)^{3}}}}\\\end{array}}$
$ax+b=2x+1$
Soit $x\in \mathbb {R}$ ${\begin{aligned}(2x+1)^{3}=0&\Leftrightarrow 2x+1=0\\&\Leftrightarrow x=-{\frac {1}{2}}\end{aligned}}$
ƒ est dérivable sur $\mathbb {R} ^{*}$, donc g est dérivable sur ${\mathcal {D}}$.
Par ailleurs, pour tout $X\in \mathbb {R} ^{*},~f'(X)=-{\frac {3}{X^{4}}}$
* Enfin, on applique la formule du théorème :
    Pour tout $x\in \cdots ,~g'(x)=\cdots$
    Pour tout $x\in {\mathcal {D}}$ :
${\begin{aligned}g'(x)&=a\cdot f'(ax+b)\\&=2\cdot \left(-{\frac {3}{(2x+1)^{4}}}\right)\\&={\frac {-6}{(2x+1)^{4}}}\end{aligned}}$

### Exemple 5

Soit g la fonction définie sur un domaine ${\mathcal {D}}$ par $g:x\mapsto {\sqrt {5x+3}}$
Le schéma est ${\begin{array}{ccccl}{\mathcal {D}}&\rightarrow &?&\rightarrow &\mathbb {R} \\x&\mapsto &\cdots &{\underset {f}{\mapsto }}&\cdots \\\end{array}}$
et se ramène à ${\begin{array}{ccl}{\mathcal {D}}&\rightarrow &\mathbb {R} \\x&{\underset {g}{\mapsto }}&g(x)={\sqrt {5x+3}}\\\end{array}}$
Le schéma est ${\begin{array}{ccccl}{\mathcal {D}}&\rightarrow &?&\rightarrow &\mathbb {R} \\x&\mapsto &\color {blue}5x+3&{\underset {\color {red}f}{\mapsto }}&\color {red}{\sqrt {\color {blue}5x+3}}\\\end{array}}$
et se ramène à ${\begin{array}{ccl}{\mathcal {D}}&\rightarrow &\mathbb {R} \\x&{\underset {g}{\mapsto }}&g(x)=\color {red}{\sqrt {\color {blue}5x+3}}\\\end{array}}$
La fonction ƒ est définie par $f:X\mapsto \cdots$ sur le domaine $\cdots$. Compléter dans le schéma l'emplacement « ? » avec cette nouvelle donnée.
$ax+b=\cdots$
La fonction ƒ est définie par $f:X\mapsto {\sqrt {X}}$ sur le domaine $[0;+\infty [$
${\begin{array}{ccccl}{\mathcal {D}}&\rightarrow &[0;+\infty [&\rightarrow &\mathbb {R} \\x&\mapsto &\color {blue}5x+3&{\underset {\color {red}f}{\mapsto }}&\color {red}{\sqrt {\color {blue}5x+3}}\\\end{array}}$
$ax+b=5x+3$
Étudier le signe de l’expression $5x+3$. En déduire le domaine ${\mathcal {D}}$
Soit $x\in \mathbb {R}$ ${\begin{aligned}5x+3\geq 0&\Leftrightarrow 5x\geq -3\\&\Leftrightarrow x\geq -{\frac {3}{5}}\end{aligned}}$
Vérifier la dérivabilité.
ƒ est n'est dérivable que sur $\color {red}]\color {black}0;+\infty [$
g n'est donc dérivable que si $ax+b\not =0$, c'est-à-dire si $x\not =-{\frac {3}{5}}$
Par ailleurs, pour tout $X\in ]0;+\infty [,~f'(X)={\frac {1}{2{\sqrt {X}}}}$
* Enfin, on applique la formule du théorème :
    Pour tout $x\in \cdots ,~g'(x)=\cdots$
    Pour tout $x\in \left]-{\frac {3}{5}};+\infty \right[$ :
${\begin{aligned}g'(x)&=a\cdot f'(ax+b)\\&={\frac {5}{2{\sqrt {5x+3}}}}\\\end{aligned}}$
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