# Théorie des groupes/Produit en couronne

Le produit en couronne est un certain groupe construit à partir d'un groupe et d'un groupe opérant sur un ensemble. Il existe en fait plusieurs notions de produit en couronne, voisines mais distinctes. En théorie des groupes, le produit en couronne, outre qu'il fournit divers contre-exemples, permet notamment de décrire les sous-groupes de Sylow des groupes symétriques finis. On le rencontre également en théorie des graphes, comme groupe des automorphismes de certains graphes, entre autres de certains graphes ayant l'aspect d'une couronne.

## Conventions

Pour un ensemble X, nous désignerons ici par S$_X$ et nous appellerons groupe symétrique de X l'ensemble des permutations de X, muni de la loi de groupe ∘ définie par f ∘ g : X → X : x ↦ f(g(x)). Cette définition convient à l'étude des actions à gauche d'un groupe sur un ensemble. Le groupe opposé du groupe noté ici S$_X$ convient à l'étude des actions à droite. Quand nous parlerons d'une action d'un groupe sur un ensemble, il s'agira d'une action à gauche. On sait qu'une action à gauche d'un groupe G sur un ensemble X peut être vue comme un homomorphisme de groupes de G dans S$_X$.
Pour une permutation α d'un ensemble X et un élément x de X, il nous arrivera d'écrire αx au lieu de α(x). Pour deux permutations α et β d'un même ensemble E, il nous arrivera d'écrire αβ au lieu de α ∘ β, ce qui revient à noter multiplicativement le groupe S$_E$.
On dira qu'une famille $\ (a_{y})_{y\in Y}$ à valeurs dans un groupe G est de support fini si les éléments y de Y tels que a$_y$ ≠ 1 sont en nombre fini. Une telle famille est assimilable à une application de Y dans G. On dira qu'une application f de Y dans G est de support fini si les éléments y de Y tels que f(y) ≠ 1 sont en nombre fini.
Si G est un groupe et Y un ensemble, on notera G$^Y$ le produit direct (externe) de la famille, indexée par Y, de groupes tous égaux à G. Donc G$^Y$ a pour éléments les familles, indexées par Y, d'éléments de G et peut être assimilé au groupe des applications de Y dans G, la loi de groupe étant la « multiplication point par point ».
On notera G$^{(Y)}$ la somme restreinte (externe) de la même famille, indexée par Y, de groupes tous égaux à G. Donc G$^{(Y)}$ a pour éléments les familles de support fini, indexées par Y, d'éléments de G et peut être assimilé au groupe des applications de support fini de Y dans G, la loi de groupe étant la « multiplication point par point ». Si l'ensemble Y est fini, le produit direct et la somme restreinte sont identiques.
G étant un groupe, nous noterons λ(G) l'image de G par l'homomorphisme
    $\lambda :G\to S_{G}:g\mapsto \lambda _{g}:h\mapsto :gh$
de $\ G$ dans $\ S_{G}$. Pour un élément g de G, λ$_g$ est la translation à gauche par g dans G. Donc λ(G) est un groupe de permutations de (l'ensemble sous-jacent de) G et, d'après le théorème de Cayley, le groupe λ(G) est isomorphe à G.
Pour un groupe G, nous appellerons action régulière de G l'action de G sur son ensemble sous-jacent par translations à gauche.

## Produit en couronne de deux groupes de permutations

Soient X et Y deux ensembles.
Pour tout élément $\ \eta$ de S$_X$ et tout élément y de Y, convenons de noter $\ \eta _{Y,y}$ la permutation de l'ensemble X × Y (produit cartésien) définie comme suit : pour tout élément x de X et tout élément y' de Y,
    $\ \eta _{Y,y}(x,y')=(\eta x,y)$ si y' = y;
    $\ \eta _{Y,y}(x,y')=(x,y')$ si y' ≠ y.
Pour tout sous-groupe H de S$_X$, convenons de noter $H_{Y,y}$ l’image de H par $\eta \mapsto \eta _{Y,y}.$ Pour tout élément κ de S$_Y$, convenons de noter $\kappa _{X}^{*}$ la permutation de l'ensemble X × Y définie comme suit :
    $\kappa _{X}^{*}(x,y)=(x,\kappa (y)).$
Pour tout sous-groupe K de S$_Y$, convenons de noter $K_{X}^{*}$ l’image de K par $\kappa \mapsto \kappa _{X}^{*}.$
(Les notations $\ \eta _{Y,y}$, $H_{Y,y}$, $\kappa _{X}^{*}$ et $K_{X}^{*}$ ne sont pas standard.)
Soient X et Y des ensembles. Pour tout élément y de Y, $\eta \mapsto \eta _{Y,y}$ définit un homomorphisme injectif du groupe S$_X$ dans le groupe S$_{X×Y}$. Pour tout sous-groupe H de S$_X$, H$_{Y,y}$ est donc un sous-groupe de S$_{X×Y}$ et $\ \eta \mapsto \eta _{Y,y}$ définit donc un isomorphisme du groupe H sur le sous-groupe H$_{Y,y}$ de S$_{X×Y}$.
Démonstration facile, laissée au lecteur. (Voir les exercices.)
Soient X et Y des ensembles, X étant non vide ; $\kappa \mapsto \kappa _{X}^{*}$ définit un homomorphisme injectif du groupe S$_Y$ dans le groupe S$_{X×Y}$. Pour tout sous-groupe K de S$_Y$, $K_{X}^{*}$ est donc un sous-groupe de S$_{X×Y}$ et $\kappa \mapsto \kappa _{X}^{*}$ définit un isomorphisme du groupe K sur le sous-groupe $\ K_{X}^{*}deS_{X\times Y}.$
Démonstration facile, laissée au lecteur. (Voir les exercices.)
Soient X et Y des ensembles, soit H un sous-groupe de S$_X$. La famille $(H_{Y,y})_{y\in Y}$ de sous-groupes de S$_{X×Y}$ est en somme restreinte, c’est-à-dire que le sous-groupe $<H_{Y,y}\vert y\in Y>$ de S$_{X×Y}$ engendré par les $H_{Y,y}$, où y parcourt Y, est somme restreinte interne de la famille $(H_{Y,y})_{y\in Y}.$
Démonstration facile, laissée au lecteur. (Voir les exercices.)
Donc, étant donné une famille de support fini $(\eta _{y})_{y\in Y}$ d'éléments de H, on peut définir sans ambiguïté
    $\ \prod _{y\in Y}(\eta _{y})_{Y,y},$
où le produit correspond à la loi de groupe de S$_{X×Y}$. De plus,
    $\ (\eta _{y})_{y}\mapsto \prod _{y\in Y}(\eta _{y})_{Y,y}$
définit un isomorphisme de H$^{(Y)}$ sur le sous-groupe $<H_{Y,y}\vert y\in Y>$ de S$_{X×Y}$.
Soient X et Y des ensembles non vides, soient H et K des groupes de permutations des ensembles X et Y respectivement. Le produit en couronne de H et K (ou de H par K) est par définition le sous-groupe de S$_{X×Y}$ engendré par les $H_{Y,y}$, où y parcourt Y, et par $\ K_{X}^{*}.$
On le note souvent H ≀ K, mais il existe d'autres notations. Nous conviendrons de n'utiliser ici que la notation H ≀ K, réservant d'autres notations à des versions du produit en couronne qui seront présentées plus loin.
Le sous-groupe $<H_{Y,y}\vert y\in Y>$ de H ≀ K est parfois appelé le groupe de base du produit en couronne H ≀ K et noté B. Donc H ≀ K est engendré par B et $\ K_{X}^{*}.$ D’après le lemme 3, le groupe de base est somme restreinte interne de la famille $(H_{Y,y})_{y\in Y}.$
Soient X et Y des ensembles, H un sous-groupe de S$_X$, K un sous-groupe de S$_Y$, η un élément de H, y un élément de Y, κ un élément de K; alors
    $\kappa _{X}^{*}\ \eta _{Y,y}\ (\kappa _{X}^{*})^{-1}=\eta _{Y,\kappa y}.$
Démonstration facile, laissée au lecteur. (Voir les exercices.)
Soient X et Y des ensembles non vides, soient H et K des sous-groupes de S$_X$ et de S$_Y$ respectivement. Le produit en couronne H ≀ K est produit semi-direct (interne) de son groupe de base $<H_{Y,y}\vert y\in Y>$ par $\ K_{X}^{*}.$
D'après le lemme 4, $\ K_{X}^{*}$ normalise H$_{Y,y}$ pour tout élément y de Y, donc $\ K_{X}^{*}$ normalise le groupe de base $<H_{Y,y}\vert y\in Y>$, donc $<H_{Y,y}\vert y\in Y>$ est un sous-groupe normal de H ≀ K. Puisque H ≀ K est engendré par $<H_{Y,y}\vert y\in Y>$ et $\ K_{X}^{*}$, il ne reste plus qu'à prouver que
    $<H_{Y,y}\vert y\in Y>\cap K_{X}^{*}$
est réduit à l'élément identité de S$_{X×Y}$. Soient y$_1$, ..., y$_n$ des éléments de Y, soient η$_1$, ..., η$_n$ des éléments de H, soit κ un élément de K, tels que
    (1) $(\eta _{1})_{Y,y_{1}}\cdots (\eta _{n})_{Y,y_{n}}=\kappa _{X}^{*}$;
il s'agit de prouver que
    (thèse 2) le second membre est égal à l'identité.
D'après la définition de $\ \eta _{Y,y}$, la permutation
    $(\eta _{1})_{Y,y_{1}}\cdots (\eta _{n})_{Y,y_{n}}$
ne modifie jamais la seconde composante d'un couple auquel elle s'applique, donc, d'après (1), $\kappa _{X}^{*}$ ne modifie jamais la seconde composante d'un couple auquel elle s'applique. D'autre part, d'après la définition de $\kappa _{X}^{*}$, la permutation $\kappa _{X}^{*}$ ne modifie jamais la première composante d'un couple auquel elle s'applique. On a donc $\kappa _{X}^{*}=id_{X\times Y}$, ce qui prouve la thèse (2).
Soient X et Y des ensembles non vides, Y étant de plus supposé fini; soient H et K des sous-groupes de S$_X$ et de S$_Y$ respectivement. L'ordre du groupe H ≀ K est
    $\ \qquad \vert H\wr K\vert =\vert H\vert ^{\vert Y\vert }\vert K\vert .$
D'après le théorème 5,
    (1)$\ \qquad \vert H\wr K\vert =\vert <H_{Y,y}\vert y\in Y>\vert \cdot \vert K_{X}^{*}\vert .$
Compte tenu du lemme 3 (et du fait que Y est fini),
    $\ \qquad \vert <H_{Y,y}\vert y\in Y>\vert =\prod _{y\in Y}\vert H_{Y,y}\vert ,$
ce qui, d'après le lemme 1, peut s'écrire
    (2)$\ \qquad \vert <H_{Y,y}\vert y\in Y>\vert =\vert H\vert ^{\vert Y\vert }.$
D'autre part, d'après le lemme 2,
    $\ \qquad \vert K_{X}^{*}\vert =\vert K\vert .$
En portant ceci et (2) dans (1), on obtient l'énoncé.
Pour tout groupe de permutations G d'un ensemble T et pour tout élément t de T, on désignera par $\mathrm {Orb} _{G}(t)$ l'orbite de t pour l'action naturelle de G sur T.
Soit H un groupe de permutations d'un ensemble non vide X, soit K un groupe de permutations d'un ensemble non vide Y. Pour tout élément x de X et tout élément y de Y,
    $\mathrm {Orb} _{H\wr K}(x,y)=\mathrm {Orb} _{H}(x)\times \mathrm {Orb} _{K}(y).$
En particulier, si H et K sont transitifs, $H\wr K$ est transitif.
Soient x ∈ X et y ∈ Y. Prouvons d'abord que
    (thèse 1) $\mathrm {Orb} _{H}(x)\times \mathrm {Orb} _{K}(y)\subseteq \mathrm {Orb} _{H\wr K}(x,y).$
Tout élément de $\mathrm {Orb} _{H\wr K}(x,y)$ est de la forme
    $(\eta x,\kappa y)$
avec $\eta \in H,\kappa \in K.$ Or $(\eta x,\kappa y)=\kappa _{X}^{*}(\eta x,y)=\kappa _{X}^{*}\circ \eta _{Y,y}(x,y),$ avec $\kappa _{X}^{*}\circ \eta _{Y,y}\in H\wr K,$ donc $(\eta x,\kappa y)\in \mathrm {Orb} _{H\wr K}(x,y),$ ce qui prouve la thèse (1).
Réciproquement, prouvons que
    (thèse 2) $\mathrm {Orb} _{H\wr K}(x,y)\subseteq \mathrm {Orb} _{H}(x)\times \mathrm {Orb} _{K}(y).$
D'après la définition de $\eta _{Y,y}$ et celle de $\kappa _{X}^{*}$, nous avons, pour toute permutation $\sigma$ de $X\times Y$ appartenant à $(\bigcup _{y\in Y}H_{Y,y})\cup K_{X}^{*}$ et pour tout (x', y') dans $X\times Y$,
    $\sigma (x',y')\in \mathrm {Orb} _{H}(x')\times \mathrm {Orb} _{K}(y').$
Donc si $\sigma _{1},\cdots ,\sigma _{n}$ sont des permutations de $X\times Y$ appartenant à $(\bigcup _{y\in Y}H_{Y,y})\cup K_{X}^{*}$,
    $\sigma _{n}\circ \cdots \circ \sigma _{1}(x,y)\in \mathrm {Orb} _{H}(x)\times \mathrm {Orb} _{K}(y)$
(récurrence banale sur n). Puisque les $\sigma _{n}\circ \cdots \circ \sigma _{1}$ en question représentent H ≀ K tout entier, la thèse (2) en résulte. Les résultats (1) et (2) prouvent la première assertion de l'énoncé. Si H et K sont transitifs, alors $\mathrm {Orb} _{H}(x)=X$ et $\mathrm {Orb} _{K}(y)=Y$, d'où la seconde assertion de l'énoncé.
Si H, K et L sont trois groupes de permutations d'ensembles non vides, les groupes de permutations (H ≀ K) ≀ L et H ≀ (K ≀ L) sont semblables. Plus précisément, si X, Y et Z sont des ensembles non vides, si H, K et L sont respectivement des groupes de permutations de X, de Y et de Z, si f désigne la bijection ((x, y), z) ↦ (x, (y, z)) de (X × Y) × Z sur X × (Y × Z), si ${\tilde {f}}$ désigne l'isomorphisme s ↦ f ∘ s ∘ f$^{−1}$ de S$_{(X×Y)×Z}$ sur S$_{X×(Y×Z)}$, alors H ≀ (K ≀ L) est l'image de (H ≀ K) ≀ L par ${\tilde {f}}$.
Pour un groupe G et des sous-groupes $G_{1},\cdots ,G_{n}$ de G, on notera $<G_{1},\cdots ,G_{n}>$ le sous-groupe de G engendré par $G_{1}\cup \cdots \cup G_{n}$. Pour un groupe G, pour une propriété P(x) telle que les x possédant cette propriété forment un ensemble E$_P$, pour un terme T(x) tel que T(x) appartient à G pour tout x dans E$_P$, on désignera par $<T(x)\vert P(x)>$ le sous-groupe de G engendré par les éléments de G de la forme T(x), x parcourant E$_P$. On utilisera encore des notations analogues dont le sens sera évident. G est implicite dans ces notations.
Par définition du produit en couronne de deux groupes de permutations, (H ≀ K) ≀ L est le sous-groupe de S$_{(X×Y)×Z}$ défini par
    (1) $(H\wr K)\wr L=\ <\ <\mu _{Z,z}\vert \mu \in H\wr K,z\in Z>,<\lambda _{X\times Y}^{*}\vert \lambda \in L>\ >,$
où $<\lambda _{X\times Y}^{*}\vert \lambda \in L>$ pourrait d'ailleurs être écrit $\{\lambda _{X\times Y}^{*}\vert \lambda \in L\}.$
Pour tout z dans Z, posons
    $T_{z}=<\mu _{Z,z}\vert \mu \in H\wr K>.$
Alors (1) s'écrit
    (2) $(H\wr K)\wr L=\ <\ <T_{z},z\in Z>,<\lambda _{X\times Y}^{*}\vert \lambda \in L>\ >.$
Il résulte du lemme 1 que, pour un élément z donné de Z, l'application $\mu \mapsto \mu _{Z,z}$ est un homomorphisme de $H\wr K$ dans S$_{(X×Y)×Z}$. Donc, puisque H ≀ K est engendré d'une part par les $\ \eta _{Y,y}$ (où $\ \eta$ parcourt H et où y parcourt Y) et d'autre part par les $\kappa _{X}^{*}$ (où $\kappa$ parcourt K), T$_z$ est engendré par les $\ (\eta _{Y,y})_{Z,z}$ et les $\ (\kappa _{X}^{*})_{Z,z}$, où $\ \eta$ parcourt H, où y parcourt Y et où $\kappa$ parcourt K. La relation (2) peut donc s'écrire
    (3) $(H\wr K)\wr L=\ <\ <(\eta _{Y,y})_{Z,z}\vert \eta \in H,y\in Y,z\in Z>,<(\kappa _{X}^{*})_{Z,z}\vert \kappa \in K,z\in Z>,<\lambda _{X\times Y}^{*}\vert \lambda \in L>\ >.$
D'autre part, par définition du produit en couronne de deux groupes de permutations, H ≀ (K ≀ L) est le sous-groupe de $S_{X\times (Y\times Z)}$ défini par
    (4) $H\wr (K\wr L)=\ <\ <\eta _{Y\times Z,(y,z)}\vert \eta \in H,(y,z)\in Y\times Z>,<\nu _{X}^{*}\vert \nu \in K\wr L>\ >.$
Il résulte du lemme 2 que $\nu \mapsto \nu _{X}^{*}$ définit un homomorphisme de K ≀ L dans $S_{X\times {Y\times Z}}$. Puisque K ≀ L est engendré d'une part par les $\kappa _{Z,z}$ avec κ ∈ K, z ∈ Z et d'autre part par les $\lambda _{Y}^{*}$ avec λ ∈ L, la relation (4) peut donc s'écrire
    (5) $H\wr (K\wr L)=\ <\ <\eta _{Y\times Z,(y,z)}\vert \eta \in H,(y,z)\in Y\times Z>,<(\kappa _{Z,z})_{X}^{*}\vert \kappa \in K,z\in Z>,<(\lambda _{Y}^{*})_{X}^{*}\vert \lambda \in L>\ >.$
Pour prouver le théorème, à savoir que H ≀ (K ≀ L) est l'image de (H ≀ K) ≀ L par :${\tilde {f}}:S_{(X\times Y)\times Z}\rightarrow S_{X\times (Y\times Z)},$ il suffit, d'après (3) et (5), de prouver les trois faits suivants :
    (thèse 6) pour $\eta \in H,$ y ∈ Y et z ∈ Z, ${\tilde {f}}$ applique $(\eta _{Y,y})_{Z,z}$ sur $\eta _{Y\times Z,(y,z)}$;
    (thèse7) pour κ ∈ K et z ∈ Z, ${\tilde {f}}$ applique $(\kappa _{X}^{*})_{Z,z}$ sur $(\kappa _{Z,z})_{X}^{*}$;
    (thèse 8) pour λ ∈ L, ${\tilde {f}}$ applique $\lambda _{X\times Y}^{*}$ sur $(\lambda _{Y}^{*})_{X}^{*}.$
Prouvons la thèse (6). Nous avons
    $f\circ (\eta _{Y,y})_{Z,z}\circ f^{-1}(x,(y',z'))$
    $=f\circ (\eta _{Y,y})_{Z,z}((x,y'),z')$
    $\left\lbrace {\begin{array}{l}=f((x,y'),z')\ \mathrm {si} \ z'\neq z,\\=f(\eta _{Y,y}(x,y'),z)\ \mathrm {si} \ z'=z;\end{array}}\right.$
    $\left\lbrace {\begin{array}{l}=f((x,y'),z')\ \mathrm {si} \ z'\neq z,\\=f((x,y'),z)\ \mathrm {si} \ z'=z\ \mathrm {et} \ y'\neq y,\\=f((\eta x,y),z)\ \mathrm {si} \ z'=z\ \mathrm {et} \ y'=y;\end{array}}\right.$
    $\left\lbrace {\begin{array}{l}=f((x,y'),z')\ \mathrm {si} \ y'\neq y\ \mathrm {ou} \ z'\neq z,\\=f((\eta x,y),z)\ \mathrm {si} \ y'=y\ \mathrm {et} \ z'=z;\end{array}}\right.$
    $\left\lbrace {\begin{array}{l}=(x,(y',z'))\ \mathrm {si} \ (y',z')\neq (y,z),\\=(\eta x,(y,z))\ \mathrm {si} \ (y',z')=(y,z);\end{array}}\right.$
    $=\eta _{Y\times Z,(y,z)}(x,(y',z')).$
Cela montre que
    $f\circ (\eta _{Y,y})_{Z,z}\circ f^{-1}=\eta _{Y\times Z,(y,z)},$
autrement dit
    ${\tilde {f}}((\eta _{Y,y})_{Z,z})=\eta _{Y\times Z,(y,z)},$
ce qui est la thèse (6).
La démonstration des thèses (7) et (8), analogue et encore plus simple, est laissée au lecteur.
Avant d'énoncer un théorème de Kaloujnine sur les sous-groupes de Sylow de S$_n$, on va démontrer un lemme arithmétique.
Pour tout nombre premier p et pour tout nombre naturel r non nul, désignons par v$_p$(r) l'exposant de p dans la décomposition de r en facteurs premiers. Soit n un nombre naturel. Alors v$_p$(n!) peut s'exprimer par les deux formules suivantes :
    1° $v_{p}(n!)=\sum _{j;\ 1\leq j,\ p^{j}\leq n}[n/p^{j}],$
où les crochets désignent la partie entière; autrement dit,
    $v_{p}(n!)=[n/p]+[n/p^{2}]+[n/p^{3}]+\cdots ,$
où la somme s'arrête dès qu'un terme est nul;
    2° $v_{p}(n!)=\sum _{j;\ 1\leq j,\ p^{j}\leq n}a_{j}(1+\cdots +p^{j-1}),$
où les a$_j$ sont les nombres naturels définis par
    $\qquad n=a_{0}+a_{1}p+\cdots +a_{i}p^{i}$
avec $p^{i}\leq n<p^{i+1},0\leq a_{j}<p$ pout tout $j\in \{0,1,...,i\}$ (écriture de n en base p).
Démontrons l'assertion 1°. Il s'agit de compter les facteurs p dans le produit $1\cdot 2\cdots (n-1)\ n.$ L'idée est de compter d'abord un facteur p dans chacun des nombres 1, 2, ... , n qui est divisible par p, ce qui fournit [n/p] facteurs p, puis de compter un second facteur p dans chacun des nombres 1, 2, ... , n qui est divisible par p$^2$, ce qui fournit [n/p$^2$] facteurs p supplémentaires, etc. Voici une mise en forme de cette idée. Nous avons
    $v_{p}(n!)=v_{p}(\prod _{k=1}^{n}k)$
    $v_{p}(n!)=\sum _{k=1}^{n}v_{p}(k)$
    $v_{p}(n!)=\sum _{t}\ \sum _{k;\ v_{p}(k)=t}t$
    $v_{p}(n!)=\sum _{t}t\ \sum _{k;\ v_{p}(k)=t}1$
    $v_{p}(n!)=\sum _{t}tN_{t},$
où N$_t$ désigne le nombre des $k\in \{1,\ldots ,n\}$ tels que $v_{p}(k)=t.$ Donc
    $\qquad v_{p}(n!)=N_{1}+2N_{2}+3N_{3}+\cdots$
    (1) $\quad v_{p}(n!)=(N_{1}+N_{2}+N_{3}+\cdots )+(N_{2}+N_{3}+\cdots )+\cdots$
Or $N_{1}+N_{2}+N_{3}+\cdots$ est le nombre des $k\in \{1,...,n\}$ divisibles par p, donc
    $N_{1}+N_{2}+N_{3}+\cdots =[n/p].$
De même, $N_{2}+N_{3}+\cdots$ est le nombre des $k\in \{1,...,n\}$ divisibles par p$^2$, donc
    $N_{2}+N_{3}+\cdots =[n/p^{2}].$
Notre résultat (1) peut donc s'écrire
    $v_{p}(n!)=[n/p]+[n/p^{2}]+[n/p^{3}]+\cdots ,$
ce qui est l'assertion 1° de l'énoncé. (On peut également démontrer cette assertion par récurrence sur n. Voir les exercices.)
Prouvons maintenant l'assertion 2° de l'énoncé. D'après l'assertion 1°, nous avons
    (2) $v_{p}(n!)=\sum _{k;\ 1\leq k,\ p^{k}\leq n}[n/p^{k}].$
De $n=\sum _{j;\ 0\leq j,p^{j}\leq n}a_{j}p^{j}$ résulte (pour un k tel qu'en (2))
    ${\frac {n}{p^{k}}}=\sum _{j;\ 0\leq j,p^{j}\leq n}a_{j}p^{j-k}$
    (3) ${\frac {n}{p^{k}}}=\sum _{j;\ j\geq k,p^{j}\leq n}a_{j}p^{j-k}+{\frac {1}{p^{k}}}\sum _{j=0}^{k-1}a_{j}p^{j},$
où la première somme du second membre est un nombre entier. Puisque les a$_j$ sont $\leq p-1$, la seconde somme du second membre est
    $\leq {\frac {p-1}{p^{k}}}\sum _{j=0}^{k-1}p^{j},$
c'est-à-dire
    $\leq {\frac {p-1}{p^{k}}}{\frac {p^{k}-1}{p-1}},$
et donc < 1. La relation (3) donne donc
    $[{\frac {n}{p^{k}}}]=\sum _{j;\ j\geq k,p^{j}\leq n}a_{j}p^{j-k},$
de sorte que (2) peut s'écrire
    $v_{p}(n!)=\sum _{k;\ 1\leq k,\ p^{k}\leq n}\ \sum _{j;\ j\geq k,p^{j}\leq n}a_{j}p^{j-k}$
    $v_{p}(n!)=\sum _{j;\ j\geq 1,\ p^{j}\leq n}a_{j}\ \sum _{k;\ 1\leq k\leq j}p^{j-k},$
ce qui prouve l'assertion 2° de l'énoncé.
Pour un nombre premier p et un nombre naturel r, nous définissons par récurrence sur r le groupe de permutations W(p, r) :
    $W(p,0)=S_{1},$
    $W(p,1)=\lambda (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} ),$
    et $W(p,r+1)=W(p,r)\wr \lambda (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )$ pour $r\geq 1.$
Donc, pour $r\geq 1,$ W(p, r) est le produit en couronne ≀ itéré
    $(\cdots ((\lambda (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )\wr \lambda (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} ))\wr \lambda (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} ))\wr \cdots ),$
avec r facteurs égaux à $\lambda (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} ).$ (D'après la quasi-associativité du produit en couronne ≀, un autre parenthésage du produit en couronne itéré fournirait un groupe de permutations semblable à W(p, r).)
    1° Soient p un nombre premier et r un nombre naturel. Les p-sous-groupes de Sylow de $S_{p^{r}}$ sont semblables à W(p, r).
    2° Soient p un nombre premier et n un nombre naturel, soit
    $n=a_{0}+a_{1}p+\cdots a_{r}p^{r}$
l'écriture de n en base p. Alors les p-sous-groupes de Sylow de S$_n$ sont isomorphes comme groupes au produit direct de a$_1$ copies de W(p, 1), de a$_2$ copies de W(p, 2), ... et de a$_r$ copies de W(p, r).
Démontrons l'assertion 1° de l'énoncé. Par récurrence sur r, on vérifie que W(p, r) est un groupe de permutations d'un ensemble à p$^r$ éléments. Donc
    (1) W(p, r) est semblable à un sous-groupe P de $S_{p^{r}}.$
D'autre part, d'après la définition par récurrence de W(p, r) et le théorème 6, nous avons
    $\vert W(p,r+1)\vert =\vert W(p,r+1)\vert ^{p}p.$
On en tire par récurrence sur r, pour tout $r\geq 0,$
    (2) $\vert W(p,r)\vert =p^{p^{r-1}+\cdots +p+1},$
d'où, d'après (1),
    (3) $\vert P\vert =p^{p^{r-1}+\cdots +p+1}.$
Mais d'après le lemme 9, assertion 1°, l'exposant de p dans la décomposition de (p$^r$) ! est $p^{p^{r-1}+\cdots +p+1},$ donc (3) montre que P est un p-sous-groupe de Sylow de $S_{p^{r}}.$ D'après (1), W(p, r) est donc semblable à un p-sous-groupe de Sylow de $S_{p^{r}}.$ Puisque les p-sous-groupes de Sylow de $S_{p^{r}}$ sont conjugués dans $S_{p^{r}},$ ils sont semblables, donc tout p-sous-groupe de Sylow de $S_{p^{r}}$ est semblable à W(p, r), ce qui démontre l'assertion 1° de l'énoncé.
Démontrons maintenant l'assertion 2° de l'énoncé. Puisque, par hypothèse, l'écriture de n en base p est
    $n=a_{0}+a_{1}p+\cdots a_{r}p^{r},$
nous pouvons choisir une partition de l'ensemble {1, 2, ... , n} en a$_0$ singletons, a$_1$ parties à p éléments, ... , a$_r$ parties à p$^r$ éléments. Pour chaque i dans {0, 1, ..., r}, désignons par $E_{i,1},\ldots E_{i,a_{i}}$ celles de ces parties dont le cardinal est p$^i$. Pour tout i dans {0, 1, ..., r} et tout j dans {1, ..., a$_i$}, choisissons un p-sous-groupe de Sylow P$_{i,j}$ de $S_{E_{i,j}}$. D'après l'assertion 1° de l'énoncé,
    (4) P$_{i,j}$ est semblable, et donc isomorphe comme groupe, à W(p, i).
En faisant correspondre à chaque permutation $\sigma$ de E$_{i,j}$ la permutation de {1, ... , n} qui coïncide avec $\sigma$ en tout élément de E$_{i,j}$ et qui laisse fixe tout élément de {1, ... , n} \ E$_{i,j}$, nous définissons un homomorphisme injectif de $S_{E_{i,j}}$ dans S$_n$. Soit ${\overline {P_{i,j}}}$ l'image de $P_{i,j}$ par cet homomorphisme. Donc ${\overline {P_{i,j}}}$ est un sous-groupe de S$_n$ isomorphe comme groupe à $P_{i,j}$. D'après (4), il en résulte que
    (5) $P_{i,j}$ est isomorphe comme groupe à W(p, i).
Pour des couples (i, j) et (i', j') distincts, le support de tout élément de ${\overline {P_{i,j}}}$ et le support de tout élément de ${\overline {P_{i',j'}}}$ sont disjoints. Donc, pour un couple (i, j) donné,
    (6) ${\overline {P_{i,j}}}\cap <{\overline {P_{i',j'}}}\vert (i',j')\neq (i,j)>=1$
(puisque le support d'une composée de permutations est contenu dans la réunion des supports de ces permutations). D'autre part, puisque deux permutations à supports disjoints commutent entre elles, les ${\overline {P_{i,j}}}$ se centralisent mutuellement. Joint à (6), cela montre que les ${\overline {P_{i,j}}}$ sont en produit direct. Le sous-groupe P de S$_n$ engendré par les ${\overline {P_{i,j}}}$ est donc isomorphe au produit direct externe
    ${\underset {\underset {j=1,...,a_{i}}{i=0,...,r}}{\times }}{\overline {P_{i,j}}}$
et donc aussi, d'après (5), au produit direct externe
    ${\underset {\underset {j=1,...,a_{i}}{i=0,...,r}}{\times }}W(p,i)$
ou encore au produit direct externe
    ${\underset {i=0,...,r}{\times }}\ \ {\underset {j=1,...,a_{i}}{\times }}W(p,i).$
Donc si on convient de désigner par $W(p,i)^{s}$ le produit direct externe de s groupes égaux à W(p, i),
    (7) le sous-groupe P de S$_n$ est isomorphe à ${\underset {i=0,...,r}{\times }}W(p,i)^{a_{i}}.$
Puisque le groupe W(p, 0) est trivial, on peut se limiter aux $i\geq 1$. D'après (2), l'ordre de P est donc
    $\prod _{i=1}^{r}p^{a_{i}(p^{i-1}+\cdots +p+1)},$
autrement dit
    $\vert P\vert =p^{\sum _{i=1}^{r}a_{i}(p^{i-1}+\cdots +p+1)}.$
D'après l'assertion 2° du lemme 9, cela revient à dire que P est un p-sous-groupe de Sylow de S$_n$. Donc, d'après (7), il y a un p-sous-groupe de Sylow de S$_n$ qui est isomorphe à ${\underset {i=0,...,r}{\times }}W(p,i)^{a_{i}}.$ Puisque les p-sous-groupes de Sylow sont isomorphes entre eux, l'assertion 2° de l'énoncé en résulte.
Si G et H sont deux groupes quelconques (qu'on ne suppose pas opérer sur des ensembles), on appelle produit en couronne régulier de G par H le produit en couronne λ(G) ≀ λ(H) (où λ est défini comme dans la section Conventions). On le note parfois $G\ _{r}^{\wr }H$. On observera que, contrairement à ce qui est le cas du produit en couronne ≀ , $\ (G\ _{r}^{\wr }H)\ _{r}^{\wr }K$ n'est pas forcément isomorphe comme groupe à $\ G\ _{r}^{\wr }(H\ _{r}^{\wr }K).$ (On le tire facilement du théorème 6, qui donne l'ordre du produit en couronne G ≀ H quand Y est fini.)
Dans la suite de ce chapitre, on se contentera d'esquisser quelques notions et théorèmes complémentaires.

## Produit en couronne restreint d'un groupe par un groupe opérant
### Définition

D'après (1), l'action de $\ H_{X}^{*}$ sur B par conjugaison se décrit comme suit : pour tout élément $\ (\gamma _{y})_{y\in Y}$ de G$^{(Y)}$,
    $\ (1)\qquad \eta _{X}^{*}(\prod _{y\in Y}(\gamma _{y})_{Y,y})\eta _{X}^{*^{-1}}=\prod _{y\in Y}(\gamma _{y})_{Y,\eta y},$
autrement dit
    $\ \qquad \eta _{X}^{*}(\prod _{y\in Y}(\gamma _{y})_{Y,y})\eta _{X}^{*^{-1}}=\prod _{y\in Y}(\gamma _{\eta ^{-1}y})_{Y,y}.$
De façon générale, si G est un groupe (et non forcément un groupe de permutations), si H est un groupe opérant sur un ensemble Y (sans être forcément un groupe de permutations), appelons action par décalage de H sur G$^{(Y)}$ (associée à l'action de H sur Y) l'action de H sur G$^{(Y)}$ par automorphismes définie comme suit :
    $\ H\times G^{(Y)}\rightarrow G^{(Y)}:(\eta ,(\gamma _{y})_{y\in Y})\mapsto (\gamma _{\eta ^{-1}y})_{y\in Y}.$
On tire de (1) que si G est un groupe de permutations d'un ensemble X, si H est un groupe de permutations d'un ensemble Y, alors
    (2) G ≀ H est isomorphe au produit semi-direct externe G$^{(Y)}$ ⋊ H de G$^{(Y)}$ par H relativement à l'action par décalage de H sur G$^{(Y)}$ (cette action par décalage étant définie à partir de l'action naturelle de H).
Cela nous suggère cette définition plus générale : pour un groupe G et pour un groupe H opérant sur un ensemble non vide Y, le produit en couronne restreint de G par H (relativement à l'action en question de H sur Y) est le produit semi-direct externe G$^{(Y)}$ ⋊ H de G$^{(Y)}$ par H relativement à l'action par décalage de H sur G$^{(Y)}$ (associée à l'action de H sur Y).
On voit que ce produit en couronne ne dépend pas d'une action de G sur un ensemble. Il est appelé « restreint » parce qu'il est construit à partir de la somme restreinte G$^{(Y)}$. Il est souvent noté G ≀ H, mais pour le distinguer du produit en couronne de deux groupes de permutations, nous le noterons dans le présent chapitre $\ G\ _{w}H$. Notre résultat (2) signifie donc que si G et H sont des groupes de permutations, G ≀ H est isomorphe (comme groupe) à $\ G\ _{w}H$, défini relativement à l'opération naturelle de H.
On dit que le sous-groupe $B=G^{(Y)}\times {1}$ de $\ G\ _{w}H$ est le groupe de base du produit en couronne restreint.
Comme l'observent plusieurs auteurs, les notations courantes du produit en couronne restreint (G ≀ H, $\ G\ _{w}H$ etc.) manquent de précision, puisqu'elles omettent l'opération de H sur Y, qui est un élément essentiel de la définition.

### Version permutationnelle du produit en couronne restreint

Soit G un groupe opérant sur un ensemble non vide X, soit H un groupe opérant sur un ensemble non vide Y. Pour la simplicité des expressions dans ce qui suit, nous allons noter les éléments de G$^{(Y)}$ comme des applications plutôt que comme des familles. Désignons par φ l'homomorphisme de G dans S$_X$ correspondant à l'action de G sur X et par ψ l'homomorphisme de H dans S$_Y$ correspondant à l'action de H sur Y. Si les deux actions en question sont fidèles, G est isomorphe à φ(G) et H à ψ(H) et on montre que
    $\ (f,h)\mapsto (\prod _{y\in Y}(\varphi (f(y)))_{Y,y})\circ (\psi (h))_{X}^{*}$
(où, pour $\ \gamma$ dans S$_X$, pour y dans Y et pour η dans S$_Y$, $\ \gamma _{Y,y}$ et $\eta _{X}^{*}$ ont le sens qui leur a été donné dans la précédente section) définit un isomorphisme du produit en couronne restreint $\ G\ _{w}H$ sur le produit en couronne φ(G) ≀ ψ(H) des groupes de permutations φ(G) et ψ(H). (Comme noté dans la section précédente, $\ \prod _{y\in Y}$ ne pose pas de problème.) On dit que φ(G) ≀ ψ(H) est la version permutationnelle du produit en couronne restreint $\ G\ _{w}H$.

## Produit en couronne complet

Soit G un groupe, soit H un groupe opérant sur un ensemble non vide Y. Dans la définition du produit en couronne restreint $\ G\ _{w}H$, rien n'empêche de remplacer la somme restreinte G$^{(Y)}$ par le produit direct G$^Y$ et l'action par décalage de H sur G$^{(Y)}$ par l'action par décalage de H sur G$^Y$ :
    $\ H\times G^{Y}\rightarrow G^{Y}:(\eta ,(\gamma _{y})_{y\in Y})\mapsto (\gamma _{\eta ^{-1}y})_{y\in Y}.$
On obtient ainsi la définition suivante :
    pour un groupe G et pour un groupe H opérant sur un ensemble Y, le produit en couronne complet de G par H (relativement à l'action en question de H sur Y) est le produit semi-direct externe G$^Y$ ⋊ H de G$^Y$ par H relativement à l'action par décalage de H sur G$^Y$.
Nous noterons $\ G\ _{W}H$ ce produit en couronne complet. Le produit en couronne restreint $\ G\ _{w}H$ est sous-groupe de $\ G\ _{W}H$. Si l'ensemble Y est fini, $\ G\ _{w}H$ et $\ G\ _{W}H$ sont identiques.
On ne peut pas calquer sur le cas restreint une « version permutationnelle » du produit en couronne complet, car si une famille d'éléments d'un groupe n'est pas de support fini, le produit de cette famille d'éléments n'est pas défini.

## Exemples

* On entendra ici par « graphe » un graphe non orienté (au sens de la théorie des graphes).
    Considérons d'abord le graphe obtenu comme suit.
* Graphe Γ
* Graphe Γ$_1$
* Graphe Γ$_2$
    On représente les 5 sommets d'un pentagone régulier et à partir de chaque sommet, on trace vers l'extérieur du pentagone 3 segments fermés, en veillant à ce que deux segments fermés issus de deux sommets distincts n'aient jamais de point commun. (Les nombres 5 et 3 sont en fait arbitraires.) On prend pour sommets du graphe les sommets du pentagone et les autres extrémités des segments. On prend pour arêtes du graphe les segments. On obtient ainsi un graphe Γ à 5 composantes connexes. Ces composantes connexes sont toutes isomorphes à un graphe dont le groupe des automorphismes est isomorphe à S$_3$. On montre que, pour toute permutation s des 5 sommets du pentagone, il existe 3$^5$ automorphismes du graphe Γ qui permutent ces 5 sommets de la même façon que s, et que le groupe des isomorphismes de Γ est isomorphe à S$_3$ ≀ S$_5$.
    Cela peut être ramené au fait général suivant : si E est un ensemble, si $\ (F_{i})_{i\in I}$ est une partition de E en ensembles tous équipotents à un même ensemble F, les permutations f de E telles que, pour tout élément i de I, il existe un élément j de I satisfaisant à $\ f(F_{i})=F_{j}$ (autrement dit les permutations de E qui permutent les E$_i$ entre eux) forment un sous-groupe de S$_E$ isomorphe à $\ S_{F}\ _{W}S_{I}$ (défini relativement à l'opération naturelle de $\ S_{I}$).
    La non-connexité du graphe Γ n'est évidemment pas essentielle : si aux sommets de Γ, on ajoute le centre du pentagone et qu'aux arêtes du graphe, on ajoute les segments joignant le centre aux sommets du pentagone, on obtient un graphe Γ$_1$, cette fois-ci connexe, dont le groupe des automophismes est lui aussi isomorphe à S$_3$ ≀ S$_5$.
    Reprenons le graphe (non connexe) Γ et ajoutons à ses arêtes les 5 côtés du pentagone. Soit Γ$_2$ le graphe ainsi obtenu. Contrairement à ce qui était le cas de Γ, un automorphisme de Γ$_2$ ne peut pas permuter de façon quelconque les 5 sommets du pentagone, il doit les permuter à la façon d'une rotation ou d'une symétrie axiale. On montre que le groupe des automorphismes de Γ$_2$ est isomorphe à $\ S_{3}\wr \lambda (D_{10}),$ où D$_{10}$ désigne le groupe diédral d'ordre 10.

## Contre-exemples construits à l'aide du produit en couronne

* Soient G un groupe abélien non trivial (par trivial, on entend ici réduit à l'élément neutre) et H un groupe opérant fidèlement et transitivement sur un ensemble non vide Y, soit $\ G\ _{w}H$ le produit en couronne restreint correspondant, soit B le groupe de base. On montre que le centre de $\ G\ _{w}H$ est le sous-groupe de B formé par les couples (f, 1), où f parcourt les applications de Y dans G qui sont à la fois constantes]et de support fini. Si Y est infini, une application de support fini de Y dans G ne peut être constante que si elle a partout la valeur 1, donc, dans le cas où Y est infini, le centre de $\ G\ _{w}H$ est réduit à l'élément neutre.
    Soit p un nombre premier. Nous pouvons choisir un p-groupe infini K (par exemple le produit direct ou la somme directe d'une famille infinie de groupes d'ordre p). Prenons pour Y l'ensemble sous-jacent de K et pour H le groupe λ(K) opérant naturellement sur Y = K; prenons pour G un groupe d'ordre p. D'après ce qui précède, le centre de $\ G\ _{w}H$ est réduit à l'élément neutre. Or la somme restreinte d'une famille (finie ou infinie) de p-groupes est un p-groupe et un produit semi-direct de deux p-groupes est un p-groupe, donc $\ G\ _{w}H$ est un p-groupe. Ceci montre que, contrairement aux p-groupes finis non triviaux, un p-groupe infini peut avoir un centre trivial.
* Le produit en couronne restreint $\ \mathbb {Z} \ _{w}\lambda (\mathbb {Z} )$ (correspondant à l'action naturelle de $\ \lambda (\mathbb {Z} )$) est engendré par les deux éléments (f$_1$, 0) et (0, λ$_1$), où f$_1$ désigne l'application de Z dans Z nulle partout sauf en 1 où elle vaut 1, et où λ$_1$ désigne la translation x ↦ x + 1 dans Z. D'autre part, le groupe de base de ce produit en couronne n'est pas de type fini, car la somme restreinte d'une famille infinie de groupes tous non triviaux n'est pas un groupe de type fini. Ceci montre qu'un sous-groupe d'un groupe de type fini n'est pas forcément de type fini.
    Remarque : au lieu du groupe λ(Z) et de son action naturelle, on aurait pu considérer le groupe Z et son action régulière.
* Soit W le produit en couronne complet
    $\ W=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \ _{W}\mathbb {Z}$
    relativement à l'action régulière de $\ \mathbb {Z}$
    W est donc le produit semi-direct de $\ (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{\mathbb {Z} }$ par $\ \mathbb {Z}$ relativement à l'action de $\ \mathbb {Z}$ sur $\ (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{\mathbb {Z} }$ par décalage :
    $\ \mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{\mathbb {Z} }\rightarrow (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{\mathbb {Z} }:(k,(u_{n})_{n\in \mathbb {Z} })\mapsto (u_{n-k})_{n\in \mathbb {Z} }$
    Désignons par V$_0$ le sous-groupe de $\ (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{\mathbb {Z} }$ formé par les familles nulles en tout indice strictement négatif. Soit V le sous-groupe V$_0$ × {0} de W. Pour tout entier rationnel k, le sous-groupe (0,k) V (0, k)$^{-1}$ de W (où 0 désigne la famille nulle partout) est formé par les familles qui sont nulles en tout n < k. Donc si k > 0, alors (0,k) V (0, k)$^{-1}$ est strictement contenu dans V. Ceci montre qu'un conjugué d'un sous-groupe peut être strictement contenu dans ce sous-groupe. Donc pour qu'un élément x d'un groupe G normalise un sous-groupe H de G, il ne suffit pas toujours que xHx$^{-1}$ soit contenu dans H.

## Théorème de Kaloujnine et Krasner

Krasner et Kaloujnine ont démontré en 1951 que si K et Q sont des groupes, toute extension de K par Q (c'est-à-dire tout groupe G ayant un sous-groupe normal N isomorphe à K tel que G/N soit isomorphe à Q) est isomorphe à un sous-groupe du produit en couronne complet de K par Q relativement à l'action régulière de Q.