# Cinétique et dynamique d'un système de deux points matériels/Théorèmes de la dynamique newtonienne des systèmes de deux points matériels applicables sans modification dans le référentiel barycentrique (a priori non galiléen) du système
## Introduction

Dans le cas général d'un système de deux points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$», ce dernier n'étant ni isolé, ni pseudo-isolé, son C.D.I. $\;G\;$ n'est pas en mouvement rectiligne uniforme relativement au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen et par suite le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ du système n'est pas galiléen ;
on en déduit qu'a priori les théorèmes de la dynamique newtonienne des systèmes de deux points matériels ne s'appliquent pas dans le référentiel barycentrique du système,
le fait que le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ soit en translation de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ galiléen nécessite, a priori, l'ajout, aux systèmes de forces extérieures et intérieures appliqués au système, une pseudo-force d'inertie d'entraînement appliquée sur chaque point matériel $\;M_{i}\;$ du système «$\;{\vec {f}}_{{\text{in. e}},\,M_{i}}(t)=-m_{i}\;{\vec {a}}_{G}(t)\;$» pour pouvoir appliquer les théorèmes de la dynamique newtonienne au système dans le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ dans la mesure où ce dernier est non galiléen, toutefois $\;\ldots$
Il existe un théorème applicable sans modification dans le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ d'un système de deux points matériels ni isolé, ni pseudo-isolé, c'est le théorème du moment cinétique vectoriel avec, pour origine d'évaluation des moments vectoriels, le C.D.I. $\;G\;$ du système, voir ci-après.

## Théorème du moment cinétique barycentrique vectoriel
### Énoncé et démonstration

$\;{\mathcal {R}}^{*}\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;G\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)$
$\;G\;$
$\;t$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)\;$
$\;t$
$\;{\overrightarrow {\sigma ^{*}}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$
$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\,{\overrightarrow {\sigma ^{*}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
Démonstration : Le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ étant galiléen, on peut appliquer au système de deux points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» le prolongement du théorème du moment cinétique vectoriel avec pour point origine d'évaluation des moments vectoriels le C.D.I. $\;G\;$ du système soit
$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\,{\overrightarrow {\sigma _{\!G}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t),\;\;\left({\mathfrak {c}}\right)\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
Démonstration : «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)\;$» le vecteur moment résultant dynamique par rapport à $\;G\;$ appliqué, à l'instant $\;t$, au système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ et Démonstration : «$\;{\overrightarrow {\sigma _{\!G}}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$» le vecteur moment cinétique de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ par rapport à $\;G\;$ au même instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ puis, Démonstration : on applique le 1er théorème de Kœnig au système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ pour lier le vecteur moment cinétique barycentrique du système au vecteur moment cinétique de ce dernier dans le référentiel d'étude «$\;{\vec {\sigma }}_{O}\!({\text{syst}},\,t)={\vec {\sigma }}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {OG}}(t)\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t),\;\;\forall \;O$» soit, en prenant $\;O\;$ en $\;G$, «$\;{\vec {\sigma }}_{G}\!({\text{syst}},\,t)={\vec {\sigma }}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)\;$» dont on déduit Démonstration : «$\;\left[{\dfrac {d\,{\overrightarrow {\sigma _{\!G}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}\right]_{/\,{\mathcal {R}}}\!(t)=\left[{\dfrac {d\,{\overrightarrow {\sigma ^{*}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}\right]_{/\,{\mathcal {R}}^{*}}\!(t)\;$» $\;{\big$la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle étant indépendante du référentiel dans lequel la dérivation est faite pourvu que les deux référentiels soient en translation l'un par rapport à l'autre${\big ]}\;$ d'où, par report dans la relation $\;\left({\mathfrak {c}}\right)$, «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)=\left[{\dfrac {d\,{\overrightarrow {\sigma ^{*}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}\right]_{/\,{\mathcal {R}}^{*}}\!(t)\;$» ou simplement «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\,{\overrightarrow {\sigma ^{*}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)\;$» R.Q.F.D. dans la mesure où les seuls référentiels utilisés sont en translation l'un par rapport à l'autre.

### Cas particuliers

$\;\succ \;$Il y a conservation du moment cinétique barycentrique vectoriel d'un système de deux points matériels à savoir «$\;{\overrightarrow {\sigma ^{*}}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)={\overrightarrow {\text{cste}}},\;\;\forall \;t\;$» si le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système par rapport à $\;G$, C.D.I. du système, est nul à tout instant $\;t\;$ c'est-à-dire si «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{G,\,{\text{ext}}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$», cette propriété résultant de l'application du théorème du moment cinétique barycentrique vectoriel au système de deux points matériels dans le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ a priori non galiléen, le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ étant, quant à lui, galiléen soit «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{G,\,{\text{ext}}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)={\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma ^{*}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)\;$» dans lequel la nullité du 1er membre conduit à celle du 2ème membre c'est-à-dire à «$\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma ^{*}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» d'où, après intégration par rapport au temps, «$\;{\overrightarrow {\sigma ^{*}}}\left({\text{syst}},\,t\right)={\overrightarrow {\text{cste}}},\;\;\forall \;t$».
$\;\succ \;$Si le système de deux points matériels est en rotation autour de $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ de direction fixe orientée par $\;{\vec {u}}_{\Delta _{G}}\;$ et passant par $\;G$, on peut déduire du théorème du moment cinétique barycentrique vectoriel appliqué au système étudié dans le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ a priori non galiléen, le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ étant, quant à lui, galiléen, le théorème du moment cinétique barycentrique scalaire relativement à l'axe $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ de direction fixe appliqué dans le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ a priori non galiléen, en multipliant scalairement les deux membres du théorème du moment cinétique barycentrique vectoriel par $\;{\vec {u}}_{\Delta _{G}}\;$ soit «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{G,\,{\text{ext}}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\cdot {\vec {u}}_{\Delta _{G}}={\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma ^{*}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta _{G}}={\dfrac {d\!\left[{\overrightarrow {\sigma ^{*}}}\!\left({\text{syst}}\right)\cdot {\vec {u}}_{\Delta _{G}}\right]}{dt}}(t)\;$», $\;{\vec {u}}_{\Delta _{G}}\;$ étant un vecteur constant, soit finalement, par définition du moment scalaire de forces et du moment cinétique scalaire,
$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{G},\,{\text{ext}}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)={\dfrac {d\sigma _{\Delta _{G}}^{\,*}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)\;$
$\;\left(\Delta _{G}\right)\;$
$\;{\mathcal {R}}^{*}\;$
$\;{\mathcal {R}}^{*}\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
le système étant en rotation autour de $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ de direction fixe, on peut écrire «$\;\sigma _{\Delta _{G}}^{\,*}\!\left({\text{syst}},\,t\right)=J_{\Delta _{G}}\!\left({\text{syst}}\right)\;{\overline {\Omega }}(t)\;$» avec «$\;J_{\Delta _{G}}\!\left({\text{syst}}\right)\;$ le moment d'inertie du système » et «$\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ la vitesse angulaire instantanée de ce dernier autour de l'axe $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ à l'instant $\;t\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{G},\,{\text{ext}}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)=J_{\Delta _{G}}\!\left({\text{syst}}\right)\;{\dfrac {d{\overline {\Omega }}}{dt}}(t)\;$» $\;{\bigJ_{\Delta _{G}}\!\left({\text{syst}}\right)\;$ étant une constante${\big ]}\;$ soit la réécriture du théorème du moment cinétique barycentrique scalaire pour un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ fixe dans le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ du système,
$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{G},\,{\text{ext}}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)=J_{\Delta _{G}}\!\left({\text{syst}}\right)\;{\dfrac {d{\overline {\Omega }}}{dt}}(t)\;$
$\;\left(\Delta _{G}\right)\;$
$\;{\mathcal {R}}^{*}\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
si le vecteur moment résultant dynamique du système en rotation par rapport $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ fixe dans le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ du système, avec le C.D.I. de ce dernier comme origine d'évaluation du moment vectoriel, est nul c'est-à-dire «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{G,\,{\text{ext}}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{G},\,{\text{ext}}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)=0,\;\;\forall \;t\;$», on déduit de l'application du théorème du moment cinétique barycentrique scalaire au système en rotation autour de $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}^{*}$,
$\;{\overline {\Omega }}(t)\;$
$\;\left(\Delta _{G}\right)\;$
$\;{\mathcal {R}}^{*}\;$
$\;{\overline {\Omega }}(t)={\text{cste}},\;\;\forall \;t\;$
$\;\left(\Delta _{G}\right)\;$
$\;{\mathcal {R}}^{*}\;$