# Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Mouvement de particules chargées dans des champs électrique et magnétique : Cas particulier d'un champ électrostatique uniforme
## Action d'un champ électrique uniforme sur une particule chargée : analyseur électrostatique

Une particule $\;M\;$ de masse $\;m\;$ et de charge $\;q\;$ est lancée avec un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{0}\;$ d'un point $\;O\;$ situé entre les armatures d'un condensateur plan ;
le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{0}\;$ est situé dans un plan $\;xOy\;\perp \;$ aux armatures et fait un angle orienté $\;\alpha \;$ avec le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{y}\;$ de la direction $\;y'y\;\perp \;$ aux armatures, $\;{\vec {u}}_{y}\;$ étant dans le sens partant de l'armature reliée à la masse vers l'autre armature $\;{\big$c'est-à-dire le sens $\;+\;$ de mesure de tension entre les deux armatures${\big )}$, le sens $\;+\;$ de mesure des angles du plan $\;xOy\;$ étant dans le sens trigonométrique rétrograde $\;{\big$sens horaire${\big )}\;$ défini par un vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{z}$ $\;\perp \;$ au plan $\;xOy\;$ s'éloignant de vous $\;{\big$non représenté ci-contre${\big )}$ ;
nous supposerons que la totalité de la portion de trajectoire de la particule étudiée reste située à l'intérieur du condensateur $\;{\big$voir schéma ci-contre${\big )}$.

### Détermination de la « portée » de la particule en fonction (entre autres) de sa vitesse initiale V$_0$ et l'angle d'inclinaison α de son vecteur vitesse initiale

La tension algébrisée $\;U\;$ imposée entre les armatures et la distance $\;h\;$ séparant ces dernières ont été choisies de manière que la trajectoire de la particule $\;M\;$ recoupe l'axe $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ en un point $\;A\;$ situé au-delà de $\;O$ $\;{\big$par analogie avec la chute d'un point matériel lancé obliquement vers le haut dans un champ de pesanteur uniforme, nous pourrons appeler « portée » la distance $\;OA{\big )}$.
Exprimer l'abscisse du point $\;A\;$ en fonction de $\;q$, $\;m$, $\;V_{0}=\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert$, $\;\alpha ={\widehat {\left({\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)}}$, $\;U\;$ et $\;h$.
Préciser les signes respectifs possibles de $\;q\;$ et $\;U\;$ pour que le point $\;A\;$ ait une abscisse positive.
La tension algébrique $\;U\;$ imposée entre les armatures du condensateur plan, l'armature supérieure étant au potentiel $\;V\;$ et l'armature inférieure reliée à la masse, créant un vecteur champ électrostatique uniforme «$\;{\vec {E}}=E_{y}\;{\vec {u}}_{y}\;$» $\;{\big$en sens contraire de $\;{\vec {u}}_{y}\;$ dans le cas où $\;U\;$ est $\;>0\;$ correspondant à $\;E_{y}<0$, voir schéma ci-contre${\big )}$, la particule chargée $\;M\left(q\right)\;$ de masse $\;m\;$ issue de $\;O$ $\;{\big$la source créant $\;M\;$ en $\;O\;$ n'étant pas représentée sur le schéma ci-contre${\big )}\;$ avec un vecteur vitesse initiale «$\;{\vec {V}}_{0}=V_{0}\;\sin(\alpha )\;{\vec {u}}_{x}+V_{0}\;\cos(\alpha )\;{\vec {u}}_{y}\;$» $\;{\bigg$dans lequel $\;V_{0}=\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert \;$ et $\;\alpha ={\widehat {\left({\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)}}>0{\bigg ]}\;$ subit, en entrant dans l'espace champ électrostatique du condensateur plan, l'action de la force électrostatique «$\;{\vec {F}}_{\text{élec}}(M)=q\;{\vec {E}}=q\;E_{y}\;{\vec {u}}_{y}\;$», la seule force à considérer et par suite
la r.f.d.n. appliquée à la particule chargée $\;M\;$ dans le référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ lié au condensateur plan «$\;{\vec {F}}_{\text{élec}}(M)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$» dans laquelle $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ est le vecteur accélération de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ se réécrivant «$\;q\;E_{y}\;{\vec {u}}_{y}=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\vec {a}}_{M}(t)={\dfrac {q}{m}}\;E_{y}\;{\vec {u}}_{y}\;\;\forall \;t\;$» communique à la particule $\;M\;$ un mouvement de vecteur accélération constant $\;{\big$voir chap.$3$ « Description et paramétrage du mouvement d'un point : Mouvement de vecteur accélération constant » de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »${\big ]}$ ;
projetant sur les trois axes nous obtenons $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c}a_{M,\,x}(t)\!\!&=&\!\!0\!\!&=&\!\!{\dot {V}}_{\!M,\,x}(t)\\a_{M,\,y}(t)\!\!&=&\!\!{\dfrac {q}{m}}\;E_{y}\!\!&=&\!\!{\dot {V}}_{\!M,\,y}(t)\\a_{M,\,z}(t)\!\!&=&\!\!0\!\!&=&\!\!{\dot {V}}_{\!M,\,z}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c}V_{\!M,\,x}(t)\!\!&=&\!\!cste_{x}\\V_{\!M,\,y}(t)\!\!&=&\!\!{\dfrac {q}{m}}\;E_{y}\;t+cste_{y}\\V_{\!M,\,z}(t)\!\!&=&\!\!cste_{z}\end{array}}\right\rbrace \;$ soit, en utilisant les C.I. de vitesse, nous obtenons les lois horaires scalaires de vitesse «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c}V_{\!M,\,x}(t)\!\!&=&\!\!V_{0}\;\sin(\alpha )\\V_{\!M,\,y}(t)\!\!&=&\!\!{\dfrac {q}{m}}\;E_{y}\;t+V_{0}\;\cos(\alpha )\\V_{\!M,\,z}(t)\!\!&=&\!\!0\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Leftrightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c}{\dot {x}}_{M}(t)\!\!&=&\!\!V_{0}\;\sin(\alpha )\\{\dot {y}}_{M}(t)\!\!&=&\!\!{\dfrac {q}{m}}\;E_{y}\;t+V_{0}\;\cos(\alpha )\\{\dot {z}}_{M}(t)\!\!&=&\!\!0\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c}x_{M}(t)\!\!&=&\!\!V_{0}\;\sin(\alpha )\;t+{cste'}_{x}\\y_{M}(t)\!\!&=&\!\!{\dfrac {q}{2\;m}}\;E_{y}\;t^{2}+V_{0}\;\cos(\alpha )\;t+{cste'}_{y}\\z_{M}(t)\!\!&=&\!\!{cste'}_{z}\end{array}}\right\rbrace \;$ et, en utilisant les C.I. de position, les lois horaires scalaires de position «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c}x_{M}(t)\!\!&=&\!\!V_{0}\;\sin(\alpha )\;t\\y_{M}(t)\!\!&=&\!\!{\dfrac {q}{2\;m}}\;E_{y}\;t^{2}+V_{0}\;\cos(\alpha )\;t\\z_{M}(t)\!\!&=&\!\!0\end{array}}\right\rbrace \;$» ;
les trois lois horaires scalaires de position de la particule $\;M\;$ étant aussi les trois équations scalaires paramétriques de la trajectoire de cette dernière, nous obtenons les deux équations cartésiennes de celle-ci en éliminant le paramètre $\;t\;$ par l'équation suivant $\;{\vec {u}}_{x}\;$ «$\;t={\dfrac {x_{M}}{V_{0}\;\sin(\alpha )}}\;$» $\;{\big$nécessitant $\;\alpha \neq 0\;$ et $\;\pi {\big ]}\;$ et son report dans les deux autres équations soit «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c}y_{M}\!\!&=&\!\!{\dfrac {q}{2\;m\;V_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha )}}\;E_{y}\;x_{M}^{\,2}+\cot(\alpha )\;x_{M}\\z_{M}\!\!&=&\!\!0\end{array}}\right\rbrace \;$», la 2ème équation traduisant le caractère plan de la trajectoire dans le plan $\;xOy\;$ et la 1re la nature parabolique de celle-ci.
Remarque Nous aurions pu déterminer les lois horaires vectorielles de vitesse et de position avant de projeter sur las axes suivant «$\;{\vec {a}}_{M}(t)={\dfrac {q}{m}}\;E_{y}\;{\vec {u}}_{y}\;$» $={\dfrac {d{\vec {V}}_{\!M}}{dt}}(t)\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\vec {V}}_{\!M}(t)={\dfrac {q}{m}}\;E_{y}\;{\vec {u}}_{y}\;t+{\vec {V}}_{0}\;$» en utilisant la C.I. «$\;{\vec {V}}(0)={\vec {V}}_{0}\;$» puis «$\;{\vec {V}}_{\!M}(t)={\dfrac {q}{m}}\;E_{y}\;{\vec {u}}_{y}\;t+{\vec {V}}_{0}\;$» $={\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}(t)\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)={\dfrac {q}{2\;m}}\;E_{y}\;{\vec {u}}_{y}\;t^{2}+{\vec {V}}_{0}\;t\;$» en utilisant la C.I. «$\;{\overrightarrow {OM}}(0)={\vec {0}}\;$» $\;\ldots$
Pour obtenir l'équation cartésienne de la trajectoire de $\;M\;$ dans le plan $\;xOy\;$ en fonction de $\;U\;$ et $\;h\;$ il convient d'éliminer $\;E_{y}\;$ en leur profit en utilisant,
* d'une part, que $\;{\vec {E}}\;$ étant dans le sens des potentiels décroissants, «$\;E_{y}\;$ est $\;<0\;$ pour $\;U>0\;$» et
* d'autre part que le lien entre le champ électrique et le potentiel étant $\;{\vec {E}}\cdot {\overrightarrow {dM}}=-dV\;$ soit, dans le cas présent où le champ électrique est uniforme et $\;\parallel \;$ à $\;{\vec {u}}_{y}$, $\;E_{y}\;dy=-dV\;$ $\Rightarrow$ $\;V=-E_{y}\;y+{\text{cste}}\;$ et $\;U=V_{\text{sup}}-V_{\text{inf}}=-E_{y}\;h\;$ soit finalement «$\;E_{y}=-{\dfrac {U}{h}}\;$» ;
$\;E_{y}$
$\;M\;$
$\;xOy\;$
$\;y_{M}=-{\dfrac {q\;U}{2\;m\;V_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha )\;h}}\;x_{M}^{\,2}+\cot(\alpha )\;x_{M}\;$
$\;A\;$
$\;Ox\;$
$\;O$
$\;x_{A}\;$
$\;\neq 0\;$
$\;y_{M}(x_{M})=0\;$
$\Leftrightarrow$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x_{M}\neq 0\\-{\dfrac {q\;U}{2\;m\;V_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha )\;h}}\;x_{M}^{\,2}+\cot(\alpha )\;x_{M}=0\end{array}}\right\rbrace \;$
$\Leftrightarrow$
$\;-{\dfrac {q\;U}{2\;m\;V_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha )\;h}}\;x_{M}+\cot(\alpha )=0\;$
$\;x_{A}=\cot(\alpha )\;{\dfrac {2\;m\;V_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha )\;h}{q\;U}}={\dfrac {\cos(\alpha )}{\sin(\alpha )}}\;{\dfrac {2\;m\;V_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha )\;h}{q\;U}}$
$\;x_{A}={\dfrac {2\;m\;V_{0}^{2}\;\sin(\alpha )\;\cos(\alpha )\;h}{q\;U}}\;$
$\;x_{A}={\dfrac {m\;V_{0}^{2}\;\sin(2\;\alpha )}{q\;U}}\;h\;$
Pour que $\;A\;$ existe effectivement dans l'espace champ électrostatique du condensateur plan, il faut que son abscisse soit positive ce qui correspond à
* «$\;q\;$ et $\;U\;$ de même signe » pour «$\;\alpha \in \left]0\,,\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$» $\;{\big$c'est-à-dire si $\;U\;$ est $\;>0$ $\;{\big$cas de la figure${\big )}\;$ la charge $\;q\;$ doit être $\;>0\;$ $\Rightarrow$ la force électrique $\;{\vec {F}}_{\text{élec}}(M)\;$ dans le sens de $\;{\vec {E}}\;$ agit sur $\;M\;$ comme force attractive relativement à l'armature inférieure ou si $\;U\;$ est $\;<0$ $\;{\big$le champ électrostatique $\;{\vec {E}}\;$ est dans le sens contraire de celui de la figure${\big )}\;$ la charge $\;q\;$ doit être $\;<0\;$ $\Rightarrow$ la force électrique $\;{\vec {F}}_{\text{élec}}(M)\;$ en sens contraire de $\;{\vec {E}}\;$ agit encore sur $\;M\;$ comme force attractive relativement à l'armature inférieure${\big ]}$ ou
* «$\;q\;$ et $\;U\;$ de signe contraire » pour «$\;\alpha \in \left]+{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,+\pi \right[\;$» $\;{\big$c'est-à-dire si $\;U\;$ est $\;>0$ $\;{\big$cas de la figure${\big )}\;$ avec $\;\alpha \;$ obtus $\;{\big$par exemple en considérant le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{0}\;$ symétrique de celui représenté sur la figure par rapport à l'axe $\;Ox{\big )}\;$ la charge $\;q\;$ doit être $\;<0\;$ $\Rightarrow$ la force électrique $\;{\vec {F}}_{\text{élec}}(M)\;$ en sens contraire de $\;{\vec {E}}\;$ agit sur $\;M\;$ comme force attractive relativement à l'armature supérieure ou si $\;U\;$ est $\;<0$ $\;{\big$le champ électrostatique $\;{\vec {E}}\;$ est dans le sens contraire de celui de la figure${\big )}\;$ avec $\;\alpha \;$ toujours obtus $\;{\big$par exemple en considérant le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{0}\;$ symétrique de celui représenté sur la figure par rapport à l'axe $\;Ox{\big )}\;$ la charge $\;q\;$ doit être $\;>0\;$ $\Rightarrow$ la force électrique $\;{\vec {F}}_{\text{élec}}(M)\;$ dans le sens de $\;{\vec {E}}\;$ agit encore sur $\;M\;$ comme force attractive relativement à l'armature supérieure${\big ]}$.

### Condition de focalisation d'un pinceau de particules identiques monocinétiques issu de O et de faible ouverture

Montrer que pour un pinceau « bidimensionnel » de faible ouverture $\;\Delta \alpha \;$ dans le plan $\;xOy$, constitué de particules identiques issues du même point $\;O\;$ et lancées avec un vecteur vitesse de même norme $\;V_{0}\;$ au voisinage d'une direction particulière repérée par $\;\alpha =\alpha _{0}$, les trajectoires se recoupent toutes en un même point $\;A\;$ d'abscisse $\;x_{0}$.
Calculer $\;\alpha _{0}\;$ et exprimer $\;x_{0}\;$ en fonction de $\;q$, $\;m$, $\;V_{0}$, $\;U\;$ et $\;h$.
Pour que les trajectoires de toutes les particules monocinétiques du pinceau « bidimensionnel » issu de $\;O\;$ dont la direction du vecteur vitesse initiale repérée par l'angle orienté du plan $\;xOy\;$ «$\;\alpha ={\widehat {\left({\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)}}$» vérifie «$\;\alpha \in \left[\alpha _{0}-{\dfrac {\Delta \alpha }{2}}\,,\,\alpha _{0}+{\dfrac {\Delta \alpha }{2}}\right]\;$» $\;{\big\Delta \alpha \;$ étant de faible valeur considérée comme infiniment petite d'ordre un${\big )}\;$ se recoupent en un même point $\;A$, il suffit d'écrire que « l'abscisse de $\;A\;$ reste constant relativement à $\;\delta \alpha =\alpha -\alpha _{0}$ $\;{\bigg\delta \alpha \;$ étant de valeur absolue $\;\leqslant \;$ à $\;{\dfrac {\Delta \alpha }{2}}\;$ est aussi un infiniment petit d'ordre un${\bigg )}\;$ quand on fait le D.L. de $\;x_{A}(\alpha )\;$ à l'ordre un en $\;\delta \alpha \;$ au voisinage de $\;\alpha _{0}\;$» ;
$\;\delta \alpha \;$
$\;x_{A}(\alpha )\;$
$\;\alpha _{0}\;$
$\;x_{A}(\alpha )\simeq x_{A}(\alpha _{0})+{\dfrac {dx_{A}}{d\alpha }}(\alpha _{0})\,\left(\alpha -\alpha _{0}\right)\;$
$\;x_{A}(\alpha )\simeq x_{A}(\alpha _{0})+{\dfrac {dx_{A}}{d\alpha }}(\alpha _{0})\;\delta \alpha \;$
$\;\delta \alpha \;$
$\;\alpha _{0}\;$
$\;{\dfrac {dx_{A}}{d\alpha }}(\alpha )\;$
$\;{\big$
$\;\alpha _{0}$
$\;x_{A}(\alpha )\;$
$\;x_{A}(\alpha _{0})\;$
$\;x_{A}(\alpha )\;$
$\;\alpha _{0}{\big ]}\;$
$\;x_{A}(\alpha )={\dfrac {m\;V_{0}^{2}\;\sin(2\;\alpha )}{q\;U}}\;h\;$
$\Rightarrow$
$\;{\dfrac {dx_{A}}{d\alpha }}(\alpha )={\dfrac {2\;m\;V_{0}^{2}\;\cos(2\;\alpha )}{q\;U}}\;h\;$
$\;{\dfrac {dx_{A}}{d\alpha }}(\alpha _{0})=0\;$
$\;\cos(2\;\alpha _{0})=0\;$
$\;\alpha _{0}={\dfrac {\pi }{4}}\;$
$\;{\dfrac {3\;\pi }{4}}\;$
$\;{\big\alpha \;$
${\big )}\;$
$\;{\big\alpha \;$
${\big )}\;$
$\;x_{A}\;$
$\;Ox\;$
$\;O\;$
$\;\alpha _{0}\;$
$\;x_{A}(\alpha _{0})={\dfrac {m\;V_{0}^{2}}{q\;U}}\;h\;$
$\;x_{0}\;$

### Séparation isotopique par focalisation distincte d'un pinceau de particules moncinétiques et isotopiques issu de O et de faible ouverture autour de la direction particulière repérée par α$_0$

Le pinceau de particules de faible ouverture lancées de $\;O$, au voisinage de la direction $\;\alpha _{0}$, est constitué maintenant de deux types de particules de masses $\;m_{1}\;$ et $m_{2}$, de même charge $\;q\;$ et de vitesses initiales de même norme $\;V_{0}$.
Calculer $\;V_{0}\;$ pour que les points de focalisation $\;A_{1}\;$ et $\;A_{2}\;$ soient séparés d'une distance de $\;1\;cm\;$ dans le cas où les particules sont des ions argon, portant tous la même charge $\;q=1,60\;10^{-19}\;C\;$ et obtenues à partir des deux isotopes de l'argon de nombre de masse $\;38\;$ et $\;40$.
Données : $\;U=1000\;V$, $\;h=10,0\;cm\;$ et la constante d'Avogadro vaut $\;{\mathcal {N}}=6,02\;10^{23}\;mol^{-1}$.
Un ion isotope de « nombre de masse $\;A\;$» correspondant à une « masse molaire atomique $\;M\simeq (A)\;g\cdot mol^{-1}=(A\times 10^{-3})\;kg\cdot mol^{-1}\;$» a une « masse égale à $\;m={\dfrac {M}{\mathcal {N}}}={\dfrac {(A\times 10^{-3})}{N}}\;kg\;$» dans laquelle $\;N={\mathcal {N}}\times 1\;mol\simeq 6,02\;10^{23}$ ;
ainsi « l'ion isotope $\;^{38}\!Ar^{+}\;$ de masse $\;m_{1}\;$» étant plus léger que « l'ion isotope $\;^{40}\!Ar^{+}\;$ de masse $\;m_{2}\;$», son point de focalisation $\;A_{1}\;$ sur l'axe $\;Ox\;$ sera plus rapproché de $\;O\;$ que celui $\;A_{2}\;$ sur le même axe $\;Ox\;$ de l'autre ion $\;{\bigx_{0}\;$ étant $\;\propto \;$ à $\;m{\big )}$, la distance les séparant étant «$\;d={\overline {A_{1}A_{2}}}=x_{0,\,2}-x_{0,\,1}\;$» ;
nous en déduisons donc l'équation «$\;d={\dfrac {m_{1}\;V_{0}^{2}}{q\;U}}\;h-{\dfrac {m_{2}\;V_{0}^{2}}{q\;U}}\;h=h\;{\dfrac {V_{0}^{2}}{q\;U}}\;{\dfrac {\left[A\!\left(^{40}\!Ar\right)-A\!\left(^{38}\!Ar\right)\right]\,10^{-3}}{N}}\;$» soit finalement «$\;V_{0}={\sqrt {{\dfrac {d}{h}}\;q\;U\;{\dfrac {N}{\left[A\!\left(^{40}\!Ar\right)-A\!\left(^{38}\!Ar\right)\right]\,10^{-3}}}}}\;$» ;
numériquement on obtient $\;V_{0}\simeq {\sqrt {{\dfrac {1}{10}}\times 1,60\;10^{-19}\times 1000\times {\dfrac {6,02\;10^{23}}{\left(40-38\right)\times 10^{-3}}}}}\simeq 69,4\;10^{3}\;m\cdot s^{-1}\;$ soit finalement «$\;V_{0}\simeq 69,4\;km\cdot s^{-1}\;$».

## Expérience (de la gouttelette d'huile) de Millikan

Voir cet exercice « Expérience (de la gouttelette d'huile) de Millikan » dans la série d'exercices n°$11$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».