# Fonction logarithme/Exercices/Utilisation des propriétés du logarithme
## Propriétés algébriques

1. Simplifier les nombres suivants au maximum.
    a. $\ln(81)$
    b. $\ln(0{,}0001)$
    c. $\ln {\frac {49}{12}}$
    d. $\ln(1024)$
    e. $\ln(0{,}125)$
2. Simplifier au maximum les expressions algébriques suivantes.
    a. $3\ln(x^{2})$
    b. $\ln(x^{2}+2x+1)$
    c. $\ln(2x+2)-\ln(x+1)$
    d. $\ln {\frac {1}{x^{3}}}$
3. Résoudre les équations
    a. $\ln(x+1)=2\ln 2-\ln(x-2)$
    b. $\ln(x+2)-2\ln 2+\ln(x-1)=0$
1. a. $\ln(81)=\ln(3^{4})=4~\ln 3$
    b. $\ln(0{,}0001)=\ln(10^{-4})=-4~\ln(10)$
    c. $\ln {\frac {49}{12}}=\ln(49)-\ln(12)=\ln(7^{2})-\ln(3\times 4)=2~\ln(7)-\ln(3)-\ln(4)=2~\ln(7)-\ln(3)-\ln(2^{2})=2~(\ln(7)-\ln(2))-\ln(3)$
    d. $\ln(1024)=\ln(2^{10})=10\ln 2$
    e. $\ln(0{,}125)=\ln \left(2^{-3}\right)=-3\ln 2$
2. a. $3\ln(x^{2})=6\ln x$
    b. $\ln(x^{2}+2x+1)=\ln((x+1)^{2})=2~\ln(x+1)$
    c. $\ln(2x+2)-\ln(x+1)=\ln(2(x+1))-\ln(x+1)=\ln(2)+\ln(x+1)-\ln(x+1)=~\ln 2$
    d. $\ln \left({\frac {1}{x^{3}}}\right)=-\ln(x^{3})=-3\ln x$
3. a. L'équation équivaut à $x>2$ et $0=(x+1)(x-2)-4=x^{2}-x-6=(x-3)(x+2)$ donc son unique solution est $x=3$.
    b. L'équation équivaut à $x>1$ et $0=(x-1)(x+2)-4=x^{2}+x-6=(x+3)(x-2)$ donc son unique solution est $x=2$.

## Utilisation de la stricte croissance et du signe

1. Comparer les nombres suivants sans calculer de valeurs approchées.
    a. $\ln(20)$ et $\ln(22)$ ;
    b. $\ln(3)$ et $1$.
2. Quel est le plus petit entier $n$ tel que $3^{n}>6~666~666~666$ ?
3. Comparer les expressions algébriques suivantes.
    a. $\ln(x^{2}+x+2)$ et $0$ pour $x\in \mathbb {R}$ ;
    b. $\ln(x^{2}+1)$ et $\ln(2x)$ pour $x\in \mathbb {R} _{+}^{*}$.
4. Résoudre l'inéquation $3\ln(2x)\leq 2$.
On utilisera constamment que $\ln$ est strictement croissante.
1.a
    $20<22$ donc $\ln(20)<\ln(22)$.
1.b.
    $3>\mathrm {e}$ donc $\ln 3>\ln {\mathrm {e} }=1$.
2. L'inégalité $3^{n}>6~666~666~666$ est équivalente à :
    $\ln \left(3^{n}\right)>\ln \left(6~666~666~666\right)$
    ou encore à :
    $n\ln 3>\ln \left(6~666~666~666\right)$,
    c'est-à-dire à :
    $n>{\frac {\ln {6~666~666~666}}{\ln 3}}$.
    Le plus petit entier $n$ vérifiant cette inégalité est donc
    $1+E\left({\frac {\ln {6~666~666~666}}{\ln 3}}\right)=E\left(1+{\frac {\ln {6~666~666~666}}{\ln 3}}\right)$,
    où $E$ désigne la fonction partie entière.
    $6~666~666~666=1~111~111~111\times 6=9~999~999~999\times {\frac {6}{9}}=(10^{10}-1)\times {\frac {2}{3}}\approx 10^{10}\times {\frac {2}{3}}$
    donc
    $1+{\frac {\ln {6~666~666~666}}{\ln 3}}\approx 1+{\frac {10\ln {10}+\ln 2-\ln 3}{\ln 3}}={\frac {10\ln {10}+\ln 2}{\ln 3}}\approx 21{,}6$.
    La solution est donc finalement :
    $n=21$,
    à condition que l'approximation de $10^{10}-1$ par $10^{10}$ n'ait pas provoqué une erreur par excès, donc vérifions :
    $3^{20}=3~486~784~401<6~666~666~666$.
3.a. $0=\ln 1$. On va donc chercher à comparer $x^{2}+x+2$ à $1$.
    $\left(x^{2}+x+2\right)-1=x^{2}+x+1=(x+1/2)^{2}+3/4\geq 3/4>0$, c'est-à-dire $x^{2}+x+2>1$
    donc
    $\forall x\in \mathbb {R} \quad \ln \left(x^{2}+x+2\right)>0$.
3.b. Soit $x\in \mathbb {R} _{+}^{*}$.
    $x^{2}+1-2x=(x-1)^{2}\geq 0$
    donc
    $x^{2}+1\geq 2x$
    donc
    $\forall x\in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad \ln(x^{2}+1)\geq \ln(2x)$
    (l'inégalité est même stricte, sauf si $x=1$).
4. $3\ln(2x)\leq 2\Leftrightarrow \ln(2x)\leq {\frac {2}{3}}\Leftrightarrow 0<2x\leq \operatorname {e} ^{\frac {2}{3}}\Leftrightarrow 0<x\leq {\frac {1}{2}}\operatorname {e} ^{\frac {2}{3}}$.

## Ensemble de définition

Démontrer que l'expression $\ln(x^{2}-4x+5)$ est définie pour tout réel $x$.
$x^{2}-4x+5=(x-2)^{2}+1\geq 1>0$.

## Étude d'une fonction

Étudier la fonction $f$ définie par $f(x)=\ln(x^{2}-x-2)$ : domaine de définition et de dérivabilité, dérivée, variations, limites aux bornes, graphe.
$x^{2}-x-2=(x+1)(x-2)>0\Leftrightarrow x\in \left]-\infty ,-1\right[\cup \left]2,+\infty \right[$.
Sur ce domaine, $f$ est définie et dérivable et $f'(x)={\frac {2x-1}{x^{2}-x-2}}$.
Le tableau de variations (avec les limites aux bornes) est donc
${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&-1&&2&&+\infty \\\hline &+\infty &&&&&&+\infty \\f(x)&&\searrow &&&&\nearrow &\\&&&-\infty &&-\infty &&\\\hline \end{array}}$
Graphe
| Une fonction logarithme comme solution d'une équation différentielle | Primitive d'une fraction rationnelle |