# Signaux physiques - bis (PCSI)/Exercices/Oscillateurs amortis : régime sinusoïdal forcé, impédance complexe
## Circuits équivalents d'un condensateur réel en r.s.f.

Un condensateur réel $\;{\big$tenant compte de la conductivité du diélectrique${\big )}\;$ est équivalent en r.s.f. à un des circuits représentés ci-contre dans lesquels les condensateurs sont parfaits :
* une association parallèle d'un conducteur ohmique de résistance $\;R_{1}\;$ et un condensateur parfait de capacité $\;C_{1}\;$ dans laquelle $\;R_{1}\;$ et $\;C_{1}\;$ sont des constantes par rapport à la fréquence,
* une association série d'un conducteur ohmique de résistance $\;R_{2}\;$ et un condensateur parfait de capacité $\;C_{2}\;$ dans laquelle $\;R_{2}\;$ et $\;C_{2}\;$ restent constantes pour une fréquence donnée mais leurs valeurs étant adaptées à cette dernière.

### Conditions d'équivalence des deux associations parallèle et série en r.s.f. de pulsation ω

Déterminer $\;R_{2}\;$ et $\;C_{2}\;$ en fonction de $\;R_{1}$, $\;C_{1}\;$ et $\;\omega \;$ pour que les deux groupements soient équivalents en régime sinusoïdal forcé de pulsation $\;\omega$.
Il faut bien sûr refaire les schémas en électricité complexe associée au r.s.f. de pulsation $\;\omega$, pour cela on introduit, sur les schémas, les tensions et intensités instantanées complexes $\;{\big$usuellement en convention récepteur pour un dipôle passif${\big )}\;$ et on représente tout dipôle passif linéaire par un rectangle en précisant, à son côté, la valeur de son impédance complexe.
$\;(1)$
$\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{{\underline {Y_{1}}}(j\,\omega )}}\;$
$\;{\underline {Y_{1}}}(j\,\omega )\;$
$\;{\dfrac {1}{R_{1}}}\;$
$\;j\,C_{1}\,\omega \;$
$\;{\underline {i}}(t)={\underline {i_{R_{1}}}}(t)+{\underline {i_{C_{1}}}}(t)\;$
$\;{\underline {u}}(t)$
$\;{\underline {i}}(t)={\dfrac {{\underline {u}}(t)}{R_{1}}}+j\,C_{1}\,\omega \;{\underline {u}}(t)\;$
$\;{\underline {i}}(t)=$
$\left[{\dfrac {1}{R_{1}}}+j\,C_{1}\,\omega \right]{\underline {u}}(t)\;$
$\;{\underline {Y_{1}}}(j\,\omega )=$
${\dfrac {{\underline {i}}(t)}{{\underline {u}}(t)}}={\dfrac {1}{R_{1}}}+j\,C_{1}\,\omega \;$
$\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{{\dfrac {1}{R_{1}}}+j\,C_{1}\,\omega }}\;$
$\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )={\dfrac {R_{1}}{1+j\,R_{1}\,C_{1}\,\omega }}\;$
$\;(2)$
$\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;$
$\;R_{2}\;$
$\;{\dfrac {1}{j\,C_{2}\,\omega }}\;$
$\;{\underline {u}}(t)={\underline {u_{R_{2}}}}(t)+{\underline {u_{C_{2}}}}(t)\;$
$\;{\underline {i}}(t)$
$\;{\underline {u}}(t)$
$=R_{2}\;{\underline {i}}(t)+{\dfrac {{\underline {i}}(t)}{j\,C_{2}\,\omega }}\;$
$\;{\underline {u}}(t)=\left[R_{2}+{\dfrac {1}{j\,C_{2}\,\omega }}\right]{\underline {i}}(t)\;$
$\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {u}}(t)}{{\underline {i}}(t)}}=R_{2}+{\dfrac {1}{j\,C_{2}\,\omega }}\;$
Conditions d'équivalence des dipôles : ces dipôles sont équivalents s'ils ont même impédance complexe, c'est-à-dire si leurs parties réelles sont égales et si leurs parties imaginaires le sont aussi ;
Conditions d'équivalence des dipôles : comme on souhaite mettre $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;$ sous la forme algébrique $\;{\mathcal {R}}\!\left[{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\right]+j\,{\mathcal {I}}\!\left[{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\right]$, on multiplie haut et bas par le complexe conjugué du dénominateur $\Rightarrow$ $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )={\dfrac {R_{1}\,(1-j\,R_{1}\,C_{1}\,\omega )}{1+R_{1}^{2}\,C_{1}^{2}\,\omega ^{2}}}={\dfrac {R_{1}}{1+R_{1}^{2}\,C_{1}^{2}\,\omega ^{2}}}-j\,{\dfrac {R_{1}^{2}\,C_{1}\,\omega }{1+R_{1}^{2}\,C_{1}^{2}\,\omega ^{2}}}$,
Conditions d'équivalence des dipôles : la mise de $\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;$ sous la forme algébrique $\;{\mathcal {R}}\!\left[{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\right]+j\,{\mathcal {I}}\!\left[{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\right]\;$ étant quasiment réalisée selon $\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )=$ $R_{2}-j\,{\dfrac {1}{C_{2}\,\omega }}\;$ ;
* en égalant les parties réelles on trouve «$\;R_{2}={\dfrac {R_{1}}{1+R_{1}^{2}\,C_{1}^{2}\,\omega ^{2}}}<R_{1}\;$».
* et, en égalant les parties imaginaires, on obtient $\;{\dfrac {1}{C_{2}\,\omega }}={\dfrac {R_{1}^{2}\,C_{1}\,\omega }{1+R_{1}^{2}\,C_{1}^{2}\,\omega ^{2}}}\;$ soit encore «$\;C_{2}=C_{1}\,{\dfrac {1+R_{1}^{2}\,C_{1}^{2}\,\omega ^{2}}{R_{1}^{2}\,C_{1}^{2}\,\omega ^{2}}}>C_{1}\;$».

### Conditions de fréquence pour que les deux associations parallèle et série en r.s.f. aient même constante de temps

Pour quelle valeur $\;\omega _{0}\;$ de $\;\omega \;$ a-t-on même constante de temps pour les deux circuits en r.s.f. $\;{\big$on précisera les valeurs de $\;R_{2}\;$ et $\;C_{2}\;$ en fonction de $\;R_{1}\;$ et $\;C_{1}\;$ pour cette valeur de pulsation${\big )}$ ?
$\;R_{1}\,C_{1}=R_{2}\,C_{2}\;$
$\;R_{2}\;$
$\;C_{2}\;$
$\;R_{1}$
$\;C_{1}\;$
$\;\omega \;$
$\;R_{2}={\dfrac {R_{1}}{1+R_{1}^{2}\,C_{1}^{2}\,\omega ^{2}}}\;$
$\;C_{2}=$
$C_{1}\,{\dfrac {1+R_{1}^{2}\,C_{1}^{2}\,\omega ^{2}}{R_{1}^{2}\,C_{1}^{2}\,\omega ^{2}}}\;$
$\;R_{1}\,C_{1}={\dfrac {R_{1}}{1+R_{1}^{2}\,C_{1}^{2}\,\omega ^{2}}}\;C_{1}\,{\dfrac {1+R_{1}^{2}\,C_{1}^{2}\,\omega ^{2}}{R_{1}^{2}\,C_{1}^{2}\,\omega }}\;$
$\;1={\dfrac {1}{R_{1}^{2}\,C_{1}^{2}\,\omega ^{2}}}\;$
$\;1={\dfrac {1}{R_{1}\,C_{1}\,\omega }}\;$
$\;\omega _{0}={\dfrac {1}{R_{1}\,C_{1}}}={\dfrac {1}{R_{2}\,C_{2}}}\;$
pour cette pulsation on trouve «$\;R_{2}(\omega _{0})={\dfrac {R_{1}}{2}}\;$» et «$\;C_{2}(\omega _{0})=2\,C_{1}\;$».

## Intensités dans chaque branche montée en parallèle et soumise à une tension sinusoïdale de valeur efficace et de fréquence fixées

On considère le circuit ci-contre constitué de deux branches soumises à une même tension sinusoïdale $\;u(t)=U\,{\sqrt {2}}\cos(\omega \,t)$ :
* la branche $\;({\mathfrak {1}})\;$ associant en série un conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ et une bobine parfaite d'inductance propre $\;L$,
* la branche $\;({\mathfrak {2}})\;$ associant en série un même conducteur ohmique de résistance $\;R$, une même bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$ et un condensateur parfait de capacité $\;C$.

### Détermination des intensités efficaces et des phases à l'origine des courants circulant dans chaque branche

Déterminer les intensités efficaces $\;I_{1}\;$ et $\;I_{2}\;$ ainsi que les phases à l'origine $\;\varphi _{i_{1}}\;$ et $\;\varphi _{i_{2}}\;$ des courants d'intensités instantanées $\;i_{1}(t)\;$ et $\;i_{2}(t)$.
Il convient d'abord de refaire le schéma en notation complexe associée au r.s.f. de pulsation $\;\omega \;$ ${\big$voir ci-contre${\big )}$, la tension instantanée complexe imposée aux deux branches étant «$\;{\underline {u}}(t)={\underline {U}}\,{\sqrt {2}}\,\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$» avec «$\;{\underline {U}}=U\;$ la tension efficace complexe » ;
la branche $\;({\mathfrak {1}})\;$ est traversée par un courant d'intensité instantanée complexe «$\;{\underline {i_{1}}}(t)={\underline {I_{1}}}\,{\sqrt {2}}\,\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$» avec «$\;{\underline {I_{1}}}=$ $I_{1}\,\exp \!\left(j\,\varphi _{i_{1}}\right)$ l'intensité efficace complexe du courant circulant dans la branche $\;({\mathfrak {1}})\;$» et
la branche $\;({\mathfrak {2}})\;$ est traversée par un courant d'intensité instantanée complexe «$\;{\underline {i_{2}}}(t)={\underline {I_{2}}}\,{\sqrt {2}}\,\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$ avec $\;{\underline {I_{2}}}=$ $I_{2}\,\exp \!\left(j\,\varphi _{i_{2}}\right)$ l'intensité efficace complexe du courant circulant dans la branche $\;({\mathfrak {2}})\;$».
$\;(1)$
$\;R\;$
$\;j\,L\,\omega \;$
$\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )=R+j\,L\,\omega \;$
$\;{\underline {I_{1}}}={\dfrac {U}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}}={\dfrac {U}{R+j\,L\,\omega }}\;$
$\;\color {transparent}{(1)}$
$\;I_{1}=\vert {\underline {I_{1}}}\vert ={\dfrac {U}{\sqrt {R^{2}+L^{2}\,\omega ^{2}}}}\;$
$\;\color {transparent}{(1)}$
$\;\varphi _{i_{1}}=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {I_{1}}}\right]=0-\arctan \!\left({\dfrac {L\,\omega }{R}}\right)=-\arctan \!\left({\dfrac {L\,\omega }{R}}\right)\;$
$\;(2)$
$\;R$
$\;j\,L\,\omega \;$
$\;{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}\;$
$\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )=R+j\,L\,\omega +{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}=R+j\left(L\,\omega -{\dfrac {1}{C\,\omega }}\right)\;$
$\;{\underline {I_{2}}}={\dfrac {U}{{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}={\dfrac {U}{R+j\left(L\,\omega -{\dfrac {1}{C\,\omega }}\right)}}\;$
$\;\color {transparent}{(2)}$
$\;I_{2}=\vert {\underline {I_{2}}}\vert ={\dfrac {U}{\sqrt {R^{2}+\left(L\,\omega -{\dfrac {1}{C\,\omega }}\right)^{\!\!2}}}}\;$
$\;\color {transparent}{(2)}$
$\;\varphi _{i_{2}}=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {I_{2}}}\right]=0-\arctan \!\left({\dfrac {L\,\omega -{\dfrac {1}{C\,\omega }}}{R}}\right)=-\arctan \!\left({\dfrac {L\,\omega -{\dfrac {1}{C\,\omega }}}{R}}\right)\;$

### Condition pour que les courants circulant dans chaque branche soit en quadrature de phase

Pour quelle valeur de $\;C$, $\;i_{1}(t)\;$ et $\;i_{2}(t)\;$ sont-elles en quadrature de phase ?
$\;\vert \varphi _{i_{2}}\vert =\arctan \!\left({\dfrac {{\bigg \vert }L\,\omega -{\dfrac {1}{C\,\omega }}{\bigg \vert }}{R}}\right)<\arctan \!\left({\dfrac {L\,\omega }{R}}\right)=\vert \varphi _{i_{1}}\vert \;$
$\;\varphi _{i_{1}}<0\;$
$\Rightarrow$
$\;\varphi _{i_{2}}>\varphi _{i_{1}}$
$\;i_{1}(t)\;$
$\;i_{2}(t)\;$
$\;i_{2}(t)\;$
$\;i_{1}(t)\;$
$\;\varphi _{i_{2}}-\varphi _{i_{1}}={\dfrac {\pi }{2}}\;$
$\;\tan(\varphi _{i_{2}}-\varphi _{i_{1}})=+\infty \;$
$\;\tan(\varphi _{i_{2}}-\varphi _{i_{1}})={\dfrac {\tan(\varphi _{i_{2}})-\tan(\varphi _{i_{1}})}{1+\tan(\varphi _{i_{2}})\,\tan(\varphi _{i_{1}})}}\;$
$\;+\infty \;$
$\;\tan(\varphi _{i_{2}})\,\tan(\varphi _{i_{1}})=-1\;$
$\;\left({\dfrac {L\,\omega -{\dfrac {1}{C\,\omega }}}{R}}\right)\!{\dfrac {L\,\omega }{R}}=-1\;$
$\;L\,\omega -{\dfrac {1}{C\,\omega }}=-{\dfrac {R^{2}}{L\,\omega }}\;$
$\Leftrightarrow$
$\;{\dfrac {1}{C\,\omega }}=$
$L\,\omega +{\dfrac {R^{2}}{L\,\omega }}\;$
$\;{\dfrac {1}{C\,\omega }}={\dfrac {R^{2}+L^{2}\,\omega ^{2}}{L\,\omega }}\;$
$\;i_{2}(t)\;$
$\;i_{1}(t)\;$
$\;C={\dfrac {L}{R^{2}+L^{2}\,\omega ^{2}}}\;$

### Condition supplémentaire pour que les courants circulant dans chaque branche aient même intensité efficace

On veut de plus que $\;i_{1}(t)\;$ et $\;i_{2}(t)\;$ aient même valeur efficace ;
déterminer alors $\;R\;$ et $\;C\;$ en fonction de $\;L\;$ et $\;\omega$.
$\;I_{2}\;$
$\;I_{2}={\dfrac {U}{\sqrt {R^{2}+\left(L\,\omega -{\dfrac {1}{C\,\omega }}\right)^{\!2}}}}=$
${\dfrac {U}{\sqrt {R^{2}+\left(L\,\omega -{\dfrac {R^{2}+L^{2}\,\omega ^{2}}{L\,\omega }}\right)^{\!2}}}}={\dfrac {U}{\sqrt {R^{2}+{\dfrac {R^{4}}{L^{2}\,\omega ^{2}}}}}}\;$
$\;I_{2}={\dfrac {U\,L\,\omega }{R\,{\sqrt {L^{2}\,\omega ^{2}+R^{2}}}}}\;$
$\;i_{1}(t)\;$
$\;i_{2}(t)\;$
$\;I_{2}={\dfrac {U\,L\,\omega }{R\,{\sqrt {L^{2}\,\omega ^{2}+R^{2}}}}}\;$
$\;I_{1}={\dfrac {U}{\sqrt {R^{2}+L^{2}\,\omega ^{2}}}}\;$
$\;R=L\,\omega \;$
$\;C={\dfrac {L}{R^{2}+L^{2}\,\omega ^{2}}}={\dfrac {L}{2\,L^{2}\,\omega ^{2}}}\;$
$\;C={\dfrac {1}{2\,L\,\omega ^{2}}}\;$
$\;{\dfrac {1}{C\,\omega }}=2\,L\,\omega \;$