# Théorie des groupes/Représentations complexes des groupes finis, 2
## Commutant d'une représentation

Rappelons que si A est un anneau et X une partie de A, on définit le commutant de X (dans A) comme l'ensemble des éléments de A qui commutent avec tout élément de X pour la multiplication dans A. Le commutant de X dans A est un sous-anneau de A.
Rappelons aussi que si V est un $\mathbb {C}$-espace vectoriel, l'ensemble End(V) des $\mathbb {C}$-endomorphismes de V, muni de l'addition point par point et de la composition des endomorphismes, est un anneau. Si V est de dimension finie d, End(V) est isomorphe à l'anneau de matrices $M_{d}(\mathbb {C} )$. Plus précisément, si B désigne une base numérotée de V, l'application de End(V) sur $M_{d}(\mathbb {C} )$ qui à tout élément u de End(V) fait correspondre la matrice de u dans la base B est un isomorphisme d'anneaux.
$\mathbb {C}$
Soit T une $\mathbb {C}$-représentation vectorielle d'un groupe fini G. Le commutant de T, qu'on notera ${\mathcal {C}}(T)$, est par définition le commutant de T(G) dans l'anneau End(V), où V désigne l'espace de la représentation T.
$\mathbb {C}$
Soit U une $\mathbb {C}$-représentation matricielle d'un groupe fini G. Le commutant de U, qu'on notera ${\mathcal {C}}(U)$, est par définition le commutant de U(G) dans l'anneau $M_{d}(\mathbb {C} )$, où d désigne le degré de la représentation U.
Remarque. Soit G un groupe fini, soit T une $\mathbb {C}$-représentation vectorielle de G, d'espace V, soit U une $\mathbb {C}$-représentation matricielle de G. On suppose que T et U se correspondent via une base numérotée B de V. Désignons par d le degré de T et de U, autrement dit la dimension de V. Si $\sigma _{B,V}$ désigne l'isomorphisme d'anneaux de End(V) sur $M_{d}(\mathbb {C} )$ qui à tout élément u de End(V) fait correspondre la matrice de u dans la base B, on montre facilement que le commutant ${\mathcal {C}}(U)$ de U est égal à $\sigma _{B,V}({\mathcal {C}}(T))$.
Soit G un groupe fini, soient S et T des $\mathbb {C}$-représentations vectorielles irréductibles de G dans des $\mathbb {C}$-espaces V et W respectivement, soit $f:V\rightarrow W$ un homomorphisme de $\mathbb {C}$-espaces (autrement dit une application linéaire) tel que pour tout g dans G, on ait
    $f\circ S(x)=T(x)\circ f$.
Alors f est nul ou est un isomorphisme d'espaces vectoriels (et dans le second cas, les représentations S et T sont équivalentes).
Démonstration. Supposons f non nul. Il s'agit donc de prouver que
    (thèse 1) f est un isomorphisme d'espaces vectoriels.
Pour tout élément v de Ker(f) (noyau de f) et tout élément g de G,
    f(S(g)(v)) = T(g) (f(v)) = T(g) (0) = 0,
donc S(g)(v) appartient à ker(f), ce qui montre que ker(f) est un sous-espace de V invariant par S(G). Ce sous-espace n'est pas V tout entier (puisque f est supposé non nul), donc, puisque S est supposée irréductible, ker(f) est nul, c'est-à-dire que
    (2) f est injectif.
Prouvons maintenant que f est surjectif. Soit w un élément de Im(f) (image de f). Il existe donc un élément u de V tel que w = f(u). Pour tout élément g de G, nous avons
    $T(g)(w)=T(g)(f(u))=T(g)\circ f(u)=f\circ S(g)(u)$,
donc $T(g)(w)$ appartient à Im(f), ce qui montre que le sous-espace Im(f) de W est invariant par T(G). Puisque la représentation T est supposée irréductible, Im(f) est donc nul ou égal à W tout entier. Mais il n'est pas nul (puisque f est supposé non nul), donc il est égal à W, ce qui signifie que f est surjectif. Joint à (2), cela prouve la thèse (1).
Pour un $\mathbb {C}$ espace vectoriel V, on définira une homothétie de V comme un $\mathbb {C}$-endomorphisme f de V possédant la propriété suivante : il existe un scalaire $\lambda \in \mathbb {C}$ tel que, pour tout v dans V, $f(v)=\lambda v$. On n'exclut pas la valeur $\lambda =0$, donc l'endomorphisme nul est une homothétie. Les homothéties de V forment un sous-anneau de End(V). Si V est non nul, ce sous-anneau est un corps isomorphe à $\mathbb {C}$.
Soit G un groupe fini, soient $\sigma$ et $\tau$ des $\mathbb {C}$-représentations matricielles irréductibles de G, de degré s et t respectivement, soit $\alpha$ une $\mathbb {C}$-matrice à t lignes et s colonnes; on suppose que, pour tout g dans G,
    $\alpha \ \sigma (g)=\tau (g)\ \alpha$.
Alors $\alpha$ est nulle ou est une matrice carrée inversible; dans le second cas, les $\mathbb {C}$-représentations matricielles $\sigma$ et $\tau$ sont équivalentes.
Démonstration (de routine). Choisissons des $\mathbb {C}$-espaces vectoriels V et W de dimensions s et t respectivement, choisissons des bases ${\mathcal {V}}$ et ${\mathcal {W}}$ de V et W respectivement. Désignons par S la $\mathbb {C}$-représentation vectorielle de G dans V correspondant à la $\mathbb {C}$-représentation matricielle $\sigma$ via la base ${\mathcal {V}}$ de V. Donc S fait correspondre à l'élément g de G le $\mathbb {C}$-automorphisme de V ayant $\sigma (g)$ pour matrice dans la base ${\mathcal {V}}$ de V. De même, désignons par T la $\mathbb {C}$-représentation vectorielle de G dans W correspondant à la $\mathbb {C}$-représentation matricielle $\tau$ via la base ${\mathcal {W}}$ de W. Donc T fait correspondre à l'élément g de G le $\mathbb {C}$-automorphisme de W ayant $\tau (g)$ pour matrice dans la base ${\mathcal {W}}$ de W. Désignons par A le $\mathbb {C}$-homomorphisme de V dans W qui admet $\alpha$ pour matrice dans les bases ${\mathcal {V}}$ et ${\mathcal {W}}$ de V et W. De l'hypothèse
    $\alpha \ \sigma (g)=\tau (g)\ \alpha$,
on tire, en passant aux matrices dans les bases ${\mathcal {V}}$ et ${\mathcal {W}}$,
    A S(g) = T(g) A
pour tout g dans G. Donc, d'après le théorème 1, le $\mathbb {C}$-homomorphisme A de V dans W est nul ou est un isomorphisme. Donc la matrice $\alpha$ est nulle ou est une matrice carrée inversible; dans le second cas, la relation
    $\alpha \ \sigma (g)=\tau (g)\ \alpha$,
vraie pour tout g dans G, montre que les $\mathbb {C}$-représentations matricielles $\sigma$ et $\tau$ sont équivalentes.
Soit G un groupe fini, soit T une $\mathbb {C}$-représentation vectorielle irréductible de G dans un $\mathbb {C}$-espace V. Alors le commutant de T est formé par les homothéties de V (et est donc un corps isomorphe à $\mathbb {C}$).
Démonstration. On vérifie facilement que toute homothétie de V commute (pour la composition) avec tout élément de End(V) et en particulier avec tout élément de T(G), donc toute homothétie de V appartient au commutant de T. Réciproquement, soit f un élément du commutant de T et prouvons que f est une homothétie. Puisque la représentation T est supposée irréductible, V est non nul, ce qui nous dispensera de certaines précautions de langage. Puisque le corps $\mathbb {C}$ est algébriquement clos, f admet au moins une valeur propre. Choisissons-en une, soit $\lambda$. Puisque f et $\lambda I$ (où I désigne l'endomorphisme identité de V) appartiennent au commutant de T, $f-\lambda I$ appartient lui aussi au commutant de T. Mais en appliquant le théorème 1 au cas où S et T sont une même $\mathbb {C}$-représentation vectorielle irréductible de G, nous trouvons que tout élément du commutant de T est nul ou inversible, donc $f-\lambda I$ est nul ou inversible. Il n'est pas inversible, puisque $\lambda$ est une valeur propre de f, donc il est nul, ce qui revient à dire que f est égal à l'homothétie $\lambda I$.
Soit G un groupe fini, soit U une $\mathbb {C}$-représentation matricielle irréductible de G, de degré d. Alors le commutant de U est formé par les matrices scalaires appartenant à $M_{d}(\mathbb {C} )$.
Considérer une représentation vectorielle correspondant à U. Les détails sont laissés au lecteur.
Soit G un groupe fini abélien, soit T une $\mathbb {C}$-représentation (vectorielle ou matricielle) irréductible de G. Alors T est de degré 1.
Démonstration. Il suffit de le démontrer dans le cas où T est une représentation vectorielle (puisqu'une représentation matricielle et une représentation vectorielle qui se correspondent ont le même degré et sont ensemble irréductibles ou non). Soit alors V l'espace de la représentation T. Puisque G est abélien, T(G) l'est aussi, donc T(G) est contenu dans son commutant (dans End(V)), c'est-à-dire dans le commutant de T. Compte tenu du théorème 2, ce commutant est formé des homothéties, donc pour tout élément g de G, T(g) est une homothétie. Il en résulte que tout sous-espace W de V est invariant par T(G). Puisque T est irréductible, ce n'est possible que si V est de dimension 1, donc T est de degré 1. Remarque. Nous démontrerons dans la suite du cours, à l'aide de la théorie des caractères, que le théorème 3 admet cette réciproque : si G est un groupe fini dont toute $\mathbb {C}$-représentation irréductible est de degré 1, G est abélien.

## Théorèmes de Frobenius et de Schur

Les théorèmes faisant l'objet de la présente section serviront dans la théorie des caractères, qui sera exposée dans un chapitre ultérieur.
Soit G un groupe fini. Pour toute $\mathbb {C}$-représentation matricielle $\tau$ de G, désignons par $\mathrm {deg} (\tau )$ le degré de $\tau$ et pour tout couple (i, j) d'indices tels que $1\leq i,j\leq \mathrm {deg} (\tau )$, désignons par $\tau _{i,j}$ l'application de G dans $\mathbb {C}$ qui à l'élément g de G fait correspondre le (i, j)-ième coefficient de la matrice $\tau (g)$. (On a donc $\tau (g)=(\tau _{i,j}(g))_{1\leq i,j\leq \mathrm {deg} (\tau )}$.)
(i) Soient $\rho$ et $\sigma$ des représentations matricielles irréductibles et non équivalentes de G.
Alors, pour tous i, j tels que $1\leq i,j\leq \mathrm {deg} (\rho )$ et pour tous r, s tels que $1\leq r,s\leq \mathrm {deg} (\sigma )$,
    $\sum _{g\in G}\rho _{i,j}(g)\sigma _{r,s}(g^{-1})=0.$
(ii) Soit $\rho$ une représentation matricielle irréductible de G. Si on pose $m=\mathrm {deg} (\rho )$, on a, pour tous i, j, r, s tels que $1\leq i,j,r,s\leq m$,
    $\sum _{g\in G}\rho _{i,j}(g)\rho _{r,s}(g^{-1})={\frac {\vert G\vert }{m}}\delta _{i,s}\delta _{j,r}$,
où $\delta$ est le symbole de Kronecker dans $\mathbb {C}$.
Démonstration. Prouvons d'abord le point (i). Posons $m=\mathrm {deg} (\rho )$ et $n=\mathrm {deg} (\sigma )$. Pour toute matrice M à m lignes et n colonnes à coefficients dans $\mathbb {C}$, posons
    (1) $L_{M}=\sum _{g\in G}\rho (g)\ M\ \sigma (g^{-1}).$
Pour tout élément h de G, nous avons
    $\rho (h)L_{M}=\rho (h)\sum _{g\in G}\rho (g)\ M\ \sigma (g^{-1})$
    $\rho (h)L_{M}=\sum _{g\in G}\rho (h)\rho (g)\ M\ \sigma (g^{-1})$
    $\rho (h)L_{M}=\sum _{g\in G}\rho (hg)\ M\ \sigma ((hg)^{-1})\sigma (h)$
    $\rho (h)L_{M}=(\sum _{g\in G}\rho (hg)\ M\ \sigma ((hg)^{-1}))\sigma (h)$.
Comme $g\mapsto hg$ définit une permutation de G, cela peut s'écrire
    $\rho (h)L_{M}=(\ \sum _{g\in G}\rho (g)\ M\ \sigma ((g)^{-1})\ )\ \sigma (h)$
    $\rho (h)L_{M}=L_{M}\ \sigma (h)$ pour tout h dans G.
Puisque $\rho$ et $\sigma$ sont supposées irréductibles et non équivalentes, il résulte donc du cas particulier du lemme de Schur (théorème 1 ci-dessus) que
    $L_{M}=0$,
c'est-à-dire, d'après la définition (1) de $L_{M}$, que
    (2) $\sum _{g\in G}\rho (g)\ M\ \sigma (g^{-1})=0$
pour toute matrice M à m lignes et n colonnes à coefficients dans $\mathbb {C}$. Appliquons cela à la matrice $M=E_{j,r}$ à m lignes et n colonnes dont le (j, r)-ième coefficient est 1 et dont tous les autres coefficients sont nuls. Autrement dit,
    $M=(m_{j',t'})_{1\leq j'\leq m,1\leq t'\leq n}$
avec
    $m_{j',t'}=\delta _{j',j}$
Alors (détails des calculs laissés au lecteur) $\rho (g)\ M\ \sigma (g^{-1})$ est la matrice à m lignes et n colonnes
    $(b_{t,t''})_{1\leq t\leq m,1\leq t''\leq n}$
avec $b_{t,t''}=\rho _{t,j}(g)\ \sigma _{r,t''}(g^{-1})$. La relation (2) peut donc s'écrire
    $\sum _{g\in G}\rho _{t,j}(g)\ \sigma _{r,t''}(g^{-1})=0$
pour tous t, t'', ce qui revient à l'assertion (i) de l'énoncé.
Prouvons maintenant le point (ii) de l'énoncé. Pour toute matrice M à m lignes et m colonnes à coefficients dans $\mathbb {C}$, posons
    $L_{M}=\sum _{g\in G}\rho (g)\ M\ \rho (g^{-1}).$
Comme dans la démonstration du point (ii), nous avons
    $\rho (h)L_{M}=L_{M}\rho (h)$ pour tout h dans G,
ce qui revient à dire que $L_{M}$ appartient au commutant de la représentation matricielle $\rho$. Puisque cette représentation est supposée irréductible, la matrice $L_{M}$ est donc scalaire (voir théorème 2 bis ci-dessus). Appliquons ceci au cas où M est la matrice $E_{j,r}$ à m lignes et m colonnes dont le (j, r)-ième coefficient est 1 et dont tous les autres coefficients sont nuls. Il existe donc un scalaire $\lambda _{j,r}\in \mathbb {C}$ tel que ($I_{m}$ désignant la matrice unité $\in M_{n}(\mathbb {C} )$)
    $L_{E_{j,r}}=\lambda _{j,r}I_{m}$,
c'est-à-dire, par définition de $L_{M}$,
    (3) $\sum _{g\in G}\rho (g)\ E_{j,r}\ \rho (g^{-1})=\lambda _{j,r}I_{m}.$
Comme dans la démonstration du point (i), $\rho (g)\ E_{j,r}\ \rho (g^{-1})$ est la matrice $m\times m$
    $(b_{t,t''})_{1\leq t,t''\leq m}$
avec $b_{t,t''}=\rho _{t,j}(g)\ \rho _{r,t''}(g^{-1}).$ La relation (3) peut donc s'écrire
    $\sum _{g\in G}(\ \rho _{t,j}(g)\ \rho _{r,t''}(g^{-1})\ )_{1\leq t,t''\leq m}=\lambda _{j,r}I_{m}.$
Cela revient à dire que, pour tous t, t'' dans {1, ... , m},
    (4) $\sum _{g\in G}\rho _{t,j}(g)\ \rho _{r,t''}(g^{-1})=\lambda _{j,r}\delta _{t,t''}.$
Puisque $g\mapsto g^{-1}$ définit une permutation de G, cela peut encore s'écrire
    $\sum _{g\in G}\rho _{t,j}(g^{-1})\ \rho _{r,t''}(g)=\lambda _{j,r}\delta _{t,t''}$
ou encore (puisque le corps \mathbb{C} est commutatif)
    (5) $\sum _{g\in G}\rho _{r,t''}(g)\rho _{t,j}(g^{-1})=\lambda _{j,r}\delta _{t,t''}.$
Par un changement de variables dans (4), on trouve que le premier membre de (5) égale
    $\lambda _{t'',t}\delta _{r,j},$
donc (5) donne
    $\lambda _{j,r}\delta _{t,t''}=\lambda _{t'',t}\delta _{r,j}.$
En faisant $t''=t$, nous trouvons
    (6) $\lambda _{j,r}=\lambda _{t,t}\delta _{r,j}$
pour tous r, j, t. Donc
    (7) $\lambda _{j,r}=0$ si $j\neq r$.
D'autre part, en faisant r = j dans (6), nous trouvons
    $\lambda _{j,j}=\lambda _{t,t}$ pour tout t.
Il existe donc un scalaire $\lambda$ tel que, pour tout t,
    (8) $\lambda _{t,t}=\lambda$.
Les relations (7) et (8) donnent
    $\lambda _{j,r}=\lambda \delta _{j,r}$,
que j et r soient égaux ou distincts. La relation (4) peut donc s'écrire
    (9) $\sum _{g\in G}\rho _{t,j}(g)\ \rho _{r,t''}(g^{-1})=\lambda \delta _{j,r}\delta _{t,t''}.$
En faisant r = j et t'' = t, nous trouvons
    $\sum _{g\in G}\rho _{t,j}(g)\ \rho _{j,t}(g^{-1})=\lambda$,
d'où, en sommant sur j,
    $\sum _{j=1}^{m}\sum _{g\in G}\rho _{t,j}(g)\ \rho _{j,t}(g^{-1})=m\lambda$
    (10) $\sum _{g\in G}\sum _{j=1}^{m}\rho _{t,j}(g)\ \rho _{j,t}(g^{-1})=m\lambda$.
Or $\sum _{j=1}^{m}\rho _{t,j}(g)\ \rho _{j,t}(g^{-1})$ est le (t,t)-ième coefficient de la matrice
    $\rho (g)\ \rho (g^{-1})=\rho (1)=I_{m}$,
autrement dit
    $\sum _{j=1}^{m}\rho _{t,j}(g)\ \rho _{j,t}(g^{-1})=1.$
La relation (10) peut donc s'écrire
    $\sum _{g\in G}1=m\lambda$,
    $\vert G\vert =m\lambda$,
    $\lambda ={\frac {\vert G\vert }{m}}.$
En tenant compte de ceci, on met (9) sous la forme
    $\sum _{g\in G}\rho _{t,j}(g)\ \rho _{r,t''}(g^{-1})={\frac {\vert G\vert }{m}}\delta _{j,r}\delta _{t,t''},$
ce qui revient à l'assertion (ii) de l'énoncé.
Rappelons qu'on note $\mathbb {C} ^{G}$ le $\mathbb {C}$-espace vectoriel libre construit sur l'ensemble G (autrement dit, puisque G est fini, le $\mathbb {C}$-espace vectoriel formé par les applications de G dans $\mathbb {C}$) et que cet espace vectoriel est de dimension $\vert G\vert$ (voir Représentations complexes des groupes finis, 1).
Soit G un groupe fini, soient $T_{1},\ldots ,T_{k}$ des $\mathbb {C}$-représentations matricielles de G, irréductibles et deux à deux non équivalentes, de degrés $n_{1},\ldots ,n_{k}$ respectivement. Pour tout s dans {1, ..., k}, pour tous i, j dans {1, ... , n$_s$}, désignons par $t_{i,j}^{(s)}$ l'application de G dans $\mathbb {C}$ qui à l'élément g de G fait correspondre le (i, j)-ième coefficient de la matrice $T_{s}(g)$. Autrement dit
    $T_{s}(g)=(t_{i,j}^{(s)}(g))_{1\leq i,j\leq n_{s}}.$
Alors la famille (triple)
    $(t_{i,j}^{(s)})_{1\leq s\leq k,1\leq i,j\leq n_{s}}$
est linéairement indépendante dans le $\mathbb {C}$-espace vectoriel $\mathbb {C} ^{G}$.
Démonstration. Soit
    $(\lambda _{i,j}^{(s)})_{1\leq s\leq k,1\leq i,j\leq n_{s}}$
une famille de scalaires telle que
    (1) $\sum _{s,i,j}\lambda _{i,j}^{(s)}t_{i,j}^{(s)}=0$ dans $\mathbb {C} ^{G}$.
Il s'agit de prouver que
    (thèse 2) $\lambda _{i,j}^{(s)}=0$ pour tout s dans $\{1,...,k\}$ et tous i, j dans $\{1,...,n_{s}\}$.
L'hypothèse (1) signifie que, pour tout g dans G,
    $\sum _{s,i,j}\lambda _{i,j}^{(s)}t_{i,j}^{(s)}(g)=0$ dans $\mathbb {C}$.
Donc, pour tout $s'$ dans $\{1,...,k\}$, pour tous $i',j'$ dans $\{1,...,n_{s'}\}$ et pour tout g dans G, nous avons
    $n_{s'}\ (\ \sum _{s,i,j}\lambda _{i,j}^{(s)}t_{i,j}^{(s)}(g)\ )\ t_{i',j'}^{(s')}(g^{-1})=0$,
d'où, en sommant sur $g\in G$,
    (3) $\sum _{s,i,j}\lambda _{i,j}^{(s)}n_{s'}\sum _{g\in G}t_{i,j}^{(s)}(g)\ t_{i',j'}^{(s')}(g^{-1})=0.$
Si $s$ est distinct de $s'$, alors, par hypothèse de l'énoncé, $T_{s}$ et $T_{s'}$ ne sont pas équivalentes, donc, d'après le point (i) du théorème 4, nous avons dans ce cas
    $\sum _{g\in G}t_{i,j}^{(s)}(g)\ t_{i',j'}^{(s')}(g^{-1})=0.$
Donc, dans (3), nous pouvons limiter la sommation sur s à l'indice s'. Nous trouvons ainsi
    $\sum _{i,j}\lambda _{i,j}^{(s')}n_{s'}\sum _{g\in G}t_{i,j}^{(s')}(g)\ t_{i',j'}^{(s')}(g^{-1})=0.$
D'après le point (ii) du théorème 4, cela peut s'écrire
    $\sum _{i,j}\lambda _{i,j}^{(s')}\delta _{i,j'}\delta _{j,i'}\vert G\vert =0$
    $\lambda _{j',i'}^{(s')}\vert G\vert =0$
d'où
    $\lambda _{j',i'}^{(s')}=0.$
Ceci étant vrai pour tout $s'$ dans $\{1,...,k\}$ et pour tous $i',j'$ dans $\{1,...,n_{s'}\}$, notre thèse (2) est démontrée.
Soit G un groupe fini. Les classes d'équivalence de $\mathbb {C}$-représentations matricielles irréductibles de G sont en nombre fini. Si $C_{1},\ldots ,C_{k}$ désignent ces différentes classes, si pour tout s dans $\{1,...,k\}$, $n_{s}$ désigne le degré des représentations appartenant à la classe $C_{s}$, alors
    $n_{1}^{2}+\cdots +n_{k}^{2}\leq \vert G\vert$.
En particulier, le nombre k des classes d'équivalence de $\mathbb {C}$-représentations matricielles irréductibles de G est $\leq \vert G\vert$.
Démonstration. Soit $k'$ un nombre naturel, soient $C_{1},\ldots ,C_{k'}$ différentes classes d'équivalence de $\mathbb {C}$-représentations matricielles irréductibles de G. Pour tout s dans $\{1,...,k'\}$, choisissons une représentation $T_{s}$ appartenant à la classe $C_{s}$. Les applications $t_{i,j}^{(s)}$ considérées au théorème 5 (où s parcourt $\{1,...,k'\}$ et où i, j parcourent $\{1,...,n_{s}\}$) sont en nombre
    $n_{1}^{2}+\cdots +n_{k'}^{2}$.
Puisque, d'après le théorème 5, ces applications sont linéairement indépendantes dans le $\mathbb {C}$-espace vectoriel $\mathbb {C} ^{G}$ et que, comme rappelé, cet espace vectoriel est de dimension $\vert G\vert$, on a donc
    $n_{1}^{2}+\cdots +n_{k'}^{2}\leq \vert G\vert$,
d'où (puisque les $n_{s}$ sont non nuls)
    $k'\leq \vert G\vert$.
Ceci est prouvé pour tout nombre naturel $k'$ tel qu'on puisse trouver $k'$ différentes classes de $\mathbb {C}$-représentations matricielles irréductibles de G. L'énoncé en résulte.
Remarque. La théorie des caractères nous permettra de préciser que k est le nombre des classes de conjugaison d'éléments de G et que $n_{1}^{2}+\cdots +n_{k}^{2}=\vert G\vert$.
Pour obtenir un énoncé analogue au théorème précédent en termes de représentations vectorielles, on ne pourrait pas remplacer simplement le mot « matricielles » par « vectorielles », puisqu'on a évité de définir la classe d'équivalence d'une représentation vectorielle. On pourrait par exemple énoncer :
Soit G un groupe fini. Il existe (au moins) un ensemble fini E de $\mathbb {C}$-représentations vectorielles irréductibles de G tel que toute $\mathbb {C}$-représentation vectorielle irréductible de G soit équivalente à une et une seule représentation appartenant à E. Si E' est un autre ensemble de $\mathbb {C}$-représentations vectorielles irréductibles de G possédant la même propriété que E, E' est équipotent à E. Si k désigne le cardinal d'un tel ensemble E, si $T_{1},\ldots ,T_{k}$ est une énumération des éléments de E, si pour tout s dans $\{1,...,k\}$, $n_{s}$ désigne le degré de la représentation $T_{s},$ alors
    $n_{1}^{2}+\cdots +n_{k}^{2}\leq \vert G\vert$.
En particulier, $k\leq \vert G\vert$.
Le nombre k dont question ici est évidemment égal au nombre des classes d'équivalence de $\mathbb {C}$-représentations matricielles irréductibles de G. On désigne encore k comme « le nombre de $\mathbb {C}$-représentations irréductibles non équivalentes de G», sans qu'il soit nécessaire de préciser si on parle de représentations vectorielles ou matricielles.