# Ondes électromagnétiques/Onde plane

On travaille dans un milieu LHI de perméabilité magnétique μ et de permittivité diélectrique ε sans charges ni courants.

## Introduction

On a vu que, pour toute composante de ${\vec {A}},{\vec {E}}$ ou ${\vec {B}}$, les équations de propagation sont de la forme $\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}s}{\partial t^{2}}}=\Delta s$.
On ne sait pas trouver toutes les solutions de cette équation aux dérivées partielles. On va donc en chercher sous une forme particulière.
Dans la suite, on pose $v={\frac {1}{\sqrt {\epsilon \mu }}}$. Ainsi, $\epsilon \mu ={\frac {1}{v^{2}}}$. On expliquera plus loin dans cette page le pourquoi de cette notation.
On se met à la recherche d'une solution de la forme $s=s(x,t)$.
L'équation aux dérivées partielles de propagation devient alors ${\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}s}{\partial t^{2}}}=\Delta s={\frac {\partial ^{2}s}{\partial x^{2}}}$.
On pourrait tout aussi bien choisir de rechercher les ondes sphériques solution de cette équation de propagation. Ce cas est laissé en exercice.

## Calcul
### Résolution

À présent, on s'interroge sur la forme de s. Comme on sait que l'équation vérifiée par s est une équation de propagation suivant ${\vec {x}}$, on a l'idée, au lieu de paramétrer s par $(x,t)$, de changer de variables. On pose ainsi deux nouvelles variables :
* $u=t-{\frac {x}{v}}$
* $w=t+{\frac {x}{v}}$
Étudions ce que devient l'équation de propagation ${\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}s}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}s}{\partial x^{2}}}$ avec ces nouvelles variables :
* D'après la règle de la chaîne : ${\frac {\partial s}{\partial x}}={\frac {\partial s}{\partial u}}{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial s}{\partial w}}{\frac {\partial w}{\partial x}}\qquad (E)$
** ${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(t-{\frac {x}{v}}\right)=-{\frac {1}{v}}$
** ${\frac {\partial w}{\partial x}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(t+{\frac {x}{v}}\right)={\frac {1}{v}}$
* On obtient: ${\frac {\partial s}{\partial x}}={\frac {1}{v}}\left({\frac {\partial s}{\partial w}}-{\frac {\partial s}{\partial u}}\right)$
* On redérive $(E)$ par rapport à x :
${\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}s}{\partial x^{2}}}&=\left[{\frac {\partial }{\partial u}}\left({\frac {\partial s}{\partial x}}\right){\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial w}}\left({\frac {\partial s}{\partial x}}\right){\frac {\partial w}{\partial x}}\right]\\&={\frac {1}{v^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}s}{\partial u^{2}}}-2{\frac {\partial ^{2}s}{\partial u\partial w}}+{\frac {\partial ^{2}s}{\partial w^{2}}}\right)\end{aligned}}$
* On s'attaque maintenant à la dérivée par rapport au temps :
** On applique la règle de la chaîne : ${\frac {\partial s}{\partial t}}={\frac {\partial s}{\partial u}}{\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {\partial s}{\partial w}}{\frac {\partial w}{\partial t}}\qquad (E')$
** ${\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\left(t-{\frac {x}{v}}\right)=1$
** ${\frac {\partial w}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\left(t+{\frac {x}{v}}\right)=1$
* Donc ${\frac {\partial s}{\partial t}}=\left({\frac {\partial s}{\partial w}}+{\frac {\partial s}{\partial u}}\right)$
* On redérive $(E')$ par rapport au temps :
${\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}s}{\partial t^{2}}}&=\left[{\frac {\partial }{\partial u}}\left({\frac {\partial s}{\partial t}}\right){\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial w}}\left({\frac {\partial s}{\partial t}}\right){\frac {\partial w}{\partial t}}\right]\\&=\left[{\frac {\partial ^{2}s}{\partial u^{2}}}+2{\frac {\partial ^{2}s}{\partial u\partial w}}+{\frac {\partial ^{2}s}{\partial w^{2}}}\right]\end{aligned}}$
L'équation de propagation $\Delta s={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}s}{\partial t^{2}}}$ devient alors (après simplification) ${\frac {1}{v^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}s}{\partial u^{2}}}-2{\frac {\partial ^{2}s}{\partial u\partial w}}+{\frac {\partial ^{2}s}{\partial w^{2}}}\right)={\frac {1}{v^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}s}{\partial u^{2}}}+2{\frac {\partial ^{2}s}{\partial u\partial w}}+{\frac {\partial ^{2}s}{\partial w^{2}}}\right)$
Cela implique ${\frac {\partial ^{2}s}{\partial u\partial w}}=0$, c'est-à-dire $s=f(u)+g(w)$

### Interprétation

Étudions le cas du terme $f\left(t-{\frac {x}{v}}\right)$, l'étude de l'autre terme se menant de manière parfaitement identique.
* À l'instant t$_0$ et à l'abscisse x$_0$, ce terme prend la valeur $f\left(t_{0}-{\frac {x_{0}}{v}}\right)=\alpha$.
* À l'instant $t_{0}+\Delta t$, donc un peu plus tard, l'onde s'est propagée. On cherche à quelle abscisse $x+\Delta x$ on a $f\left((t_{0}+\Delta t)-{\frac {x_{0}+\Delta x}{v}}\right)=\alpha$.
Cette égalité est vérifiée tout à fait logiquement lorsque $t_{0}-{\frac {x_{0}}{v}}=(t_{0}+\Delta t)-{\frac {x_{0}+\Delta x}{v}}$ (la fonction ƒ appliquée au même nombre va donner le même résultat).
Après développement et simplification, on aboutit à la relation $v={\frac {\Delta x}{\Delta t}}$. v est donc la vitesse de propagation de l'onde dans le milieu étudié.
* Dans le vide : $\epsilon _{0}\,\mu _{0}\,c^{2}=1$
* Dans un milieu LHI de permittivité diélectrique ε et de
perméabilité magnétique μ : $\epsilon \mu v^{2}=1$
v étant définie positive, cette onde se propage dans le sens des x croissants.
* La solution trouvée plus haut peut alors s'interpréter comme suit :
* Le terme en $f\left(t-{\frac {x}{v}}\right)$ correspond à une onde se propageant vers les x croissants à la vitesse v
* Le terme en $g\left(t+{\frac {x}{v}}\right)$ correspond à une onde se propageant vers les x décroissants à la vitesse v

## Propriétés

Un champ est dit transverse lorsqu’il n'admet pas de composante suivant la direction de propagation de l'onde.

### Transversalité du champ électrique

On se place dans la jauge de Coulomb.
Comme ${\vec {E}}$ est seule fonction de x et t, sa divergence se réduit à $\mathrm {div} ({\vec {E}})={\frac {\partial E_{x}}{\partial x}}$.
Or, dans un milieu sans charges, $\mathrm {div} ({\vec {E}})=0$, donc E$_x$ ne dépend pas de x.
Le champ électrique est également défini par ${\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}V-{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}=-{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}$.
On projette suivant x : $E_{x}=-{\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}$.
On dérive par rapport à t : ${\frac {\partial E_{x}}{\partial t}}=-{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial t^{2}}}$.
L'équation de propagation du potentiel vecteur dans un milieu sans courants permet d'obtenir $\epsilon \mu {\frac {\partial E_{x}}{\partial t}}=-\Delta A_{x}$.
Comme le potentiel vecteur n'est lui aussi fonction que de x et t, $\epsilon \mu {\frac {\partial E_{x}}{\partial t}}=-{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x^{2}}}$.
Comme, dans la jauge de Coulomb, $\mathrm {div} ({\vec {A}})={\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}=0$, on a finalement ${\frac {\partial E_{x}}{\partial t}}=0$, soit E$_x$ indépendant de t.
Finalement, E$_x$ est une constante dans le temps et dans l'espace. Le cas des composantes continues étant traité dans le cours d'électrostatique, on ne s'intéressera qu'aux régimes variables.
On aboutit alors à E$_x$=0.
${\vec {E}}$ est transverse.

### Transversalité du champ magnétique

Comme ${\vec {B}}$ est seul fonction de x et t, sa divergence se réduit à $\mathrm {div} ({\vec {B}})={\frac {\partial B_{x}}{\partial x}}$.
Or, $\mathrm {div} ({\vec {B}})=0$, donc B$_x$ ne dépend pas de x.
De plus, ${\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {E}})=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$
On projette suivant x : ${\frac {\partial B_{x}}{\partial t}}={\frac {\partial E_{y}}{\partial z}}-{\frac {\partial E_{z}}{\partial y}}=0$, donc B$_x$ ne dépend pas de t non plus.
Finalement, B$_x$ est une constante dans le temps et dans l'espace. Le cas des composantes continues étant traité dans le cours de magnétostatique, on ne s'intéressera qu'aux régimes variables.
On a abouti alors à B$_x$=0.
${\vec {B}}$ est transverse.

### Transversalité du potentiel vecteur

Comme ${\vec {A}}$ est seul fonction de x et t, sa divergence se réduit dans la jauge de Coulomb à $\mathrm {div} ({\vec {A}})={\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}$.
Or, $\mathrm {div} ({\vec {A}})=0$, donc A$_x$ ne dépend pas de x.
De plus, ${\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}$
On projette suivant x : ${\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}=-E_{x}=0$, donc A$_x$ ne dépend pas de t non plus.
Finalement, A$_x$ est une constante dans le temps et dans l'espace, et pour les mêmes arguments que précédemment on choisit A$_x$=0.
${\vec {A}}$ est transverse.

### Relation entre les champs

On suppose désormais travailler avec une onde plane se propageant suivant les ${\vec {x}}$ croissants.
On part de l’expression des coordonnées du potentiel vecteur : ${\begin{cases}A_{x}=0\\A_{y}=f\left(t-{\frac {x}{v}}\right)\\A_{z}=g\left(t-{\frac {x}{v}}\right)\\\end{cases}}$
On obtient alors ${\vec {E}}$ et ${\vec {B}}$ grâce aux relations ${\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}$ et ${\vec {B}}={\overrightarrow {\rm {rot}}}({\vec {A}})$ ${\begin{cases}E_{x}=0\\E_{y}=-f'\left(t-{\frac {x}{v}}\right)\\E_{z}=-g'\left(t-{\frac {x}{v}}\right)\\\end{cases}}$
${\begin{cases}B_{x}=0\\B_{y}={\frac {1}{v}}g'\left(t-{\frac {x}{v}}\right)\\B_{z}=-{\frac {1}{v}}f'\left(t-{\frac {x}{v}}\right)\\\end{cases}}$
On arrive alors à la relation suivante :
Pour une onde plane progressive ${\vec {B}}={\frac {1}{v}}{\vec {x}}\wedge {\vec {E}}$
| Propagation | Onde plane progressive monochromatique |