# Théorie des groupes/Exercices/Groupes caractéristiquement simples, sous-groupes normaux minimaux
## Problème 1

Si G est un groupe, désignons par G$^l$ le sous-groupe de S$_G$ formé par les translations gauches g$^l$ : G → G : x ↦ gx, où g parcourt G. On sait que G$^l$ est isomorphe à G. (Voir le chapitre Holomorphe d'un groupe.) Soit G un groupe caractéristiquement simple (et non réduit à l'élément neutre). Prouver que G$^l$ est sous-groupe normal minimal de l'holomorphe Hol(G) de G.
Puisque G$^l$ est isomorphe à G, il est caractéristiquement simple (et non réduit à l'élément neutre). Prouvons que G$^l$ est sous-groupe normal minimal de Hol(G). Soit N un sous-groupe normal de Hol(G) contenu dans G$^l$; il s'agit de prouver que N est égal à 1 ou à G$^l$. D'après le chapitre Holomorphe d'un groupe, le fait que N soit normal dans Hol(G) et contenu dans G$^l$ entraîne que N est caractéristique dans G$^l$. Nous avons noté que G$^l$ est caractéristiquement simple, donc N est égal à 1 ou à G$^l$, ce qu’il fallait démontrer.
Remarque. Puisque G$^l$ est isomorphe à G, l'énoncé prouve que tout groupe caractéristiquement simple (et non réduit à l'élément neutre) peut être plongé dans un groupe dont il est sous-groupe normal minimal. C'est une réciproque au théorème, démontré dans le chapitre théorique, selon lequel tout sous-groupe normal minimal d'un groupe est un groupe caractéristiquement simple.

## Problème 2

Soit G un groupe fini résoluble, soit M un sous-groupe maximal de G. Prouver que l'indice de M dans G est une puissance de nombre premier. Indication : raisonner par récurrence sur l'ordre de G; choisir un sous-groupe normal minimal N de G et déduire du chapitre théorique une propriété de $\vert N\vert$; puis, distinguer selon que M contient N ou ne le contient pas; s'il le contient, appliquer l'hypothèse de récurrence au groupe G/N.
On va raisonner par récurrence sur l'ordre de G. Puisque G est supposé avoir un sous-groupe maximal, il n'est pas trivial, donc nous pouvons choisir un sous-groupe normal minimal N de G. D'après le chapitre théorique (et compte tenu que G est résoluble), il existe un nombre premier $p$ tel que N soit un p-groupe abélien élémentaire. Retenons seulement que
    (1)$\qquad$ l'ordre de N est une puissance de nombre premier.
Puisque N est normal dans G,
    $\qquad$MN est un sous-groupe de G.
Supposons d'abord que
    (hyp. 2)$\qquad$M ne contienne pas N.
Alors MN > M, donc, puisque M est un sous-groupe maximal de G,
    $\qquad$MN = G,
    $\qquad \vert MN\vert =\vert G\vert$,
ce qui, d'après la formule du produit, peut s'écrire
    $\qquad \vert M\vert \cdot \vert N\vert /\vert M\cap N\vert =\vert G\vert$,
donc $\vert G\vert$ divise $\vert M\vert \cdot \vert N\vert$,
    $\qquad \vert G\vert /\vert M\vert$ divise $\vert N\vert .$
Puisque nous avons vu en (1) que $\vert N\vert$ est une puissance de nombre premier, il en résulte que l'indice $\vert G\vert /\vert M\vert$ de M dans G est une puissance de nombre premier. Donc
    (3)$\qquad$l'énoncé est vrai dans notre hypothèse (2), où M ne contient pas N.
Supposons maintenant que
    (hyp. 4)$\qquad$M contient N.
Alors N est un sous-groupe normal de M, donc nous pouvons considérer le groupe M/N. Puisque M est un sous-groupe maximal de G, il résulte du théorème de correspondance que
    (5)$\qquad$M/N est un sous-groupe maximal de G/N.
Puisque, par définition, un sous-groupe normal minimal est non trivial, N est non trivial, donc
    (6)$\vert G/N\vert <\vert G\vert .$
De plus,
    (7)$\qquad$G/N est résoluble.
De (5), (6), (7) et de notre hypothèse de récurrence, il résulte que
    l'indice de M/N dans G/N est une puissance de nombre premier.
Mais l'indice de M/N dans G/N est égal à l'indice de M dans G, donc
    l'indice de M dans G est une puissance de nombre premier,
donc l'énoncé est encore vrai dans notre hypothèse (4), où M contient N. Joint à (3), cela achève la démonstration.
Remarque. L'énoncé de cet exercice était connu de Galois.