# Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Portrait de phase d'un système dynamique
## Notion (très succincte) de système dynamique

En mathématiques et en sciences appliquées, un système dynamique est un ensemble très général de composants en interaction $\;{\big$un système${\big )}$, répartis sur plusieurs états et structurés selon certaines propriétés ; il est le plus souvent régi par un ensemble d'équations différentielles décrivant le mouvement des composants $\;{\big$leur dynamique${\big )}\;$ où interviennent une classe de paramètres accessibles ;
dans notre présentation nous limitons les systèmes dynamiques aux systèmes classiques qui évoluent au cours du temps de façon à la fois :
* causale, c.-à-d. que son avenir ne dépend que de phénomènes du passé ou du présent,
* déterministe, c.-à-d. qu'à une condition initiale donnée à l'instant présent correspond, à chaque instant ultérieur, un et un seul état futur possible ;
l'évolution déterministe d'un système dynamique classique considéré par la suite se modélise par une évolution continue dans le temps, représentée par une équation différentielle ordinaire.

## Espace des phases d'un système dynamique classique
### Notion de variables d'état d'un système dynamique classique
#### La position peut-elle être choisie comme unique variable d'état d'un système dynamique classique à un degré de liberté ?

Comment savoir si un système est en mouvement ou au repos à un instant donné en l'observant uniquement à cet instant, dans la mesure où on définit le mouvement comme un changement de position, Comment savoir si un système est en mouvement ou au repos à un instant donné en l'observant uniquement à cet instant, ${\big$avec la position seule variable directement observable à un instant donné${\big )}$ ? Comment savoir si un système est en mouvement ou au repos à un instant donné $\bullet \;$S'il est en mouvement à un instant donné, le système doit changer de position, or Comment savoir si un système est en mouvement ou au repos à un instant donné $\color {transparent}{\bullet }\;$S’il a une position observable à cet instant qui, par définition, ne change pas à cet instant, Comment savoir si un système est en mouvement ou au repos à un instant donné $\color {transparent}{\bullet }\;$S’il ne semble donc pas en mouvement $\;{\big$alors qu'il l'est${\big )}$, Comment savoir si un système est en mouvement ou au repos à un instant donné $\bullet \;$s'il est au repos à un instant donné, le système devant garder cette position à tout instant, il ne pourrait pas en changer, Comment savoir si un système est en mouvement ou au repos à un instant donné $\color {transparent}{\bullet }\;$mais cette seule observation ne permet pas de conclure, il est nécessaire d'en faire une 2ème à un autre instant, Comment savoir si un système est en mouvement ou au repos à un instant donné $\color {transparent}{\bullet }\;$si on observe un maintien de cette position à cet autre instant il semble au repos Comment savoir si un système est en mouvement ou au repos à un instant donné $\color {transparent}{\bullet }\;$mais cette 2ème observation ne suffit pas pour conclure, il en faudrait une 3ème puis une 4ème $\;\ldots$ Comment savoir si un système est en mouvement ou au repos à un instant donné $\color {transparent}{\bullet }\;$mais cette 2ème observation ne suffit pas pour conclure, jusqu'à un éventuel instant de changement de position, Comment savoir si un système est en mouvement ou au repos à un instant donné $\color {transparent}{\bullet }\;$avec un seul instant d'observation, le système semble au repos $\;{\big$mais il pourrait ne pas l'être${\big )}$, Comment savoir si un système est en mouvement ou au repos à un instant donné $\color {transparent}{\bullet }\;$pour affirmer il est au repos il faut l'observer continûment sur l'intervalle d'observation ;
la cause de cette difficulté $\;{\big$connue sous le nom de « paradoxe de Zénon »${\big )}\;$ est le fait de limiter la description de l'état du système à un instant donné à sa position la cause de cette difficulté $\;\color {transparent}{\big$connue sous le nom de « paradoxe de Zénon »$\color {transparent}{\big )}\;$ est le fait de limiter la description de l'état du système à un instant donné sans introduire la notion de vitesse, la cause de cette difficulté $\;\color {transparent}{\big$connue sous le nom de « paradoxe de Zénon »$\color {transparent}{\big )}\;$ est le fait de limiter or c'est la notion de vitesse qui décrit le changement ou la fixité de la position à un instant donné.

#### Variables d'état (ou dynamiques) d'un système dynamique classique

La description de l'état d'un système dynamique classique à un instant donné nécessite de définir toutes les variables dites d'état $\;{\big$encore appelées variables dynamiques${\big )}\;$ c.-à-d. La description de l'état d'un système dynamique classique à un instant donné nécessite de définir toutes les grandeurs physiques qui déterminent l'état instantané du système et La description de l'état d'un système dynamique classique à un instant donné nécessite de définir toutes les grandeurs physiques qui permettent d'en déduire l'évolution de ce dernier avec le temps.

### Définition de l'espace des phases d'un système dynamique classique

L'espace des phases est une structure correspondant à l'ensemble de tous les états possibles du système considéré.
Si le système a $\;n\;$ degrés de liberté, l'espace des phases possède $\;2\;n\;$ dimensions et, Si le système a $\;\color {transparent}{n}\;$ degrés de liberté, dans l'hypothèse où l'espace des phases est vectoriel, chaque état est décrit par un vecteur à $\;2\;n\;$ composantes.

### Espace des phases d'un système dynamique classique à un degré de liberté

L'espace des phases d'un système dynamique à un degré de liberté est donc un espace $\;{\big$vectoriel${\big )}\;$ à deux dimensions.

### Exemples de système dynamique classique à un degré de liberté, espace des phases correspondant
#### Exemples de système dynamique classique à un degré de liberté

La notion de système dynamique classique à un degré de liberté est, dans l'enseignement français, essentiellement introduite en mécanique mais La notion de système dynamique classique à un degré de liberté peut être utilisée dans tous les domaines y compris le domaine électrique ;
pour que le système à un degré de liberté soit qualifié de « dynamique » il faut qu'il évolue au cours du temps de façon causale et déterministe ; pour que le système à un degré de liberté soit qualifié de « dynamique » il doit donc y avoir deux types de variables $\bullet \;$celle qui décrit l'état du système à un instant donné, « variable descriptive d'état », pour que le système à un degré de liberté soit qualifié de « dynamique » il doit donc y avoir deux types de variables $\color {transparent}{\bullet }\;$sans permettre de savoir dans quel état sera le système ultérieurement, pour que le système à un degré de liberté soit qualifié de « dynamique » il doit donc y avoir deux types de variables $\bullet \;$celle qui permet de connaître le futur immédiat du système à un instant donné, pour que le système à un degré de liberté soit qualifié de « dynamique » il doit donc y avoir deux types de variables $\color {transparent}{\bullet }\;$« variable de modification d'état », en général $\;=$ $\;{\big$ou $\propto \!{\big )}\;$ à la dérivée temporelle pour que le système à un degré de liberté soit qualifié de « dynamique » il doit donc y avoir deux types de variables $\color {transparent}{\bullet }\;$« variable de modification d'état », en général $\;\color {transparent}{=}$ $\;\color {transparent}{\big$ou $\color {transparent}{\propto \!{\big )}}\;$ à de la précédente ; pour que le système à un degré de liberté soit qualifié de « dynamique » l'évolution du système est alors régie par une équation différentielle en la « variable descriptive d'état ».
La plupart des exemples de système dynamique classique à un degré de liberté viennent de la mécanique, les variables dynamiques étant la position du système $\;{\big$une « variable descriptive d'état »${\big )}\;$ et La plupart des exemples de système dynamique classique à un degré de liberté viennent de la mécanique, les variables dynamiques étant sa vitesse $\;{\big$remplaçable par sa quantité de mouvement${\big ]}\;$ La plupart des exemples de système dynamique classique à un degré de liberté viennent de la mécanique, les variables dynamiques étant sa ${\big$une « variable de modification d'état »${\big )}\;$ mais
il existe aussi des exemples tirés d'autres domaines comme celui de l'électricité de l'A.R.Q.S. dans laquelle $\bullet \;$l'intensité $\;{\big$instantanée${\big )}\;$ du courant de charge d'un condensateur parfait il existe aussi des exemples tirés d'autres domaines comme celui de l'électricité de l'A.R.Q.S. dans laquelle $\color {transparent}{\bullet }\;$l'intensité est $\propto \;$ à la dérivée temporelle de la tension $\;{\big$instantanée${\big )}\;$ entre ses bornes, il existe aussi des exemples tirés d'autres domaines comme celui de l'électricité de l'A.R.Q.S. dans laquelle $\color {transparent}{\bullet }\;$l'intensité $\;{\big$instantanée${\big )}\;$ étant une « variable de modification d'état » alors que il existe aussi des exemples tirés d'autres domaines comme celui de l'électricité de l'A.R.Q.S. dans laquelle $\color {transparent}{\bullet }\;$la tension $\;{\big$instantanée${\big )}\;$ est une « variable descriptive d'état » ou encore il existe aussi des exemples tirés d'autres domaines comme celui de l'électricité de l'A.R.Q.S. dans laquelle $\bullet \;$la tension $\;{\big$instantanée${\big )}\;$ aux bornes d'une bobine pure il existe aussi des exemples tirés d'autres domaines comme celui de l'électricité de l'A.R.Q.S. dans laquelle $\color {transparent}{\bullet }\;$la tension est $\;\propto \;$ à la dérivée temporelle de l'intensité $\;{\big$instantanée${\big )}\;$ du courant il existe aussi des exemples tirés d'autres domaines comme celui de l'électricité de l'A.R.Q.S. dans laquelle $\color {transparent}{\bullet }\;$la tension est $\;\color {transparent}{\propto }\;$ à la dérivée temporelle de l'intensité $\;\color {transparent}{\big$instantanée$\color {transparent}{\big )}\;$ la traversant, il existe aussi des exemples tirés d'autres domaines comme celui de l'électricité de l'A.R.Q.S. dans laquelle $\color {transparent}{\bullet }\;$la tension $\;{\big$instantanée${\big )}\;$ étant une « variable de modification d'état » alors que il existe aussi des exemples tirés d'autres domaines comme celui de l'électricité de l'A.R.Q.S. dans laquelle $\color {transparent}{\bullet }\;$l'intensité $\;{\big$instantanée${\big )}\;$ du courant est une « variable descriptive d'état » $\;\ldots$

#### Espace des phases sur les exemples précédents de système dynamique classique à un degré de liberté

Ce sont des espaces à deux dimensions dont un point définit l'état instantané du système et Ce sont des espaces à deux dimensions dont un point a pour coordonnées $\bullet \;$en mécanique à un degré de liberté, la position $\;{\big$« variable descriptive d'état »${\big )}\;$ et Ce sont des espaces à deux dimensions dont un point a pour coordonnées $\color {transparent}{\bullet }\;$en mécanique à un degré de liberté, la vitesse $\;{\big$« variable de modification d'état »${\big )}\;$ Ce sont des espaces à deux dimensions dont un point a pour coordonnées $\color {transparent}{\bullet }\;$en mécanique à un degré de liberté, la vitesse $\;{\big$remplaçable par la quantité de mouvement${\big ]}$, Ce sont des espaces à deux dimensions dont un point a pour coordonnées $\bullet \;$en électricité de l'A.R.Q.S. dans un circuit série comportant un condensateur parfait, Ce sont des espaces à deux dimensions dont un point a pour coordonnées $\color {transparent}{\bullet }\;$en électricité de l'A.R.Q.S. la tension aux bornes du condensateur $\;{\big$« variable descriptive d'état »${\big )}\;$ Ce sont des espaces à deux dimensions dont un point a pour coordonnées $\color {transparent}{\bullet }\;$en électricité de l'A.R.Q.S. la tension aux bornes du condensateur $\;{\big$remplaçable par sa charge${\big ]}\;$ et Ce sont des espaces à deux dimensions dont un point a pour coordonnées $\color {transparent}{\bullet }\;$en électricité de l'A.R.Q.S. l'intensité du courant le traversant $\;{\big$« variable de modification d'état »${\big )}\;$, Ce sont des espaces à deux dimensions dont un point a pour coordonnées $\bullet \;$en électricité de l'A.R.Q.S. dans un circuit série comportant une bobine parfaite sans condensateur parfait, Ce sont des espaces à deux dimensions dont un point a pour coordonnées $\color {transparent}{\bullet }\;$en électricité de l'A.R.Q.S. l'intensité du courant traversant la bobine $\;{\big$« variable descriptive d'état »${\big )}\;$ et Ce sont des espaces à deux dimensions dont un point a pour coordonnées $\color {transparent}{\bullet }\;$en électricité de l'A.R.Q.S. la tension aux bornes de la bobine $\;{\big$« variable de modification d'état »${\big )}\;$ Ce sont des espaces à deux dimensions dont un point a pour coordonnées $\color {transparent}{\bullet }\;$en électricité de l'A.R.Q.S. la tension aux bornes de la bobine $\;{\big$remplaçable par la f.e.m. y étant engendrée${\big ]}$.

## Portrait de phase d'un système dynamique classique
### Définition du portrait de phase d'un système dynamique classique à un degré de liberté

Le « portrait de phase » d'un système dynamique classique à un degré de liberté est une représentation géométrique, dans l'espace des phases du système, Le « portrait de phase » d'un système dynamique classique à un degré de liberté est une représentation géométrique, des trajectoires des points caractérisant l'état du système Le « portrait de phase » d'un système dynamique classique à un degré de liberté est une représentation géométrique, des trajectoires des points caractérisant l'état pour chaque ensemble de C.I. ; Le « portrait de phase » d'un système dynamique classique à un degré de liberté est cette représentation géométrique est $\bullet \;$une courbe liant la variable de modification d'état $\;{\big$notée $\;{\dot {x}}\;$ par la suite${\big )}\;$ Le « portrait de phase » d'un système dynamique classique à un degré de liberté est cette représentation géométrique est $\color {transparent}{\bullet }\;$une courbe liantà la variable descriptive d'état $\;{\big$notée $\;x\;$ par la suite${\big )}\;$ Le « portrait de phase » d'un système dynamique classique à un degré de liberté est cette représentation géométrique est $\color {transparent}{\bullet }\;$pour des C.I. impliquant une évolution du système, ou, Le « portrait de phase » d'un système dynamique classique à un degré de liberté est cette représentation géométrique est $\bullet \;$un point correspondant à la variable de modification d'état $\;{\dot {x}}=0$, Le « portrait de phase » d'un système dynamique classique à un degré de liberté est cette représentation géométrique est $\color {transparent}{\bullet }\;$un point correspondant à la variable descriptive d'état $\;x\;$ étant constante, Le « portrait de phase » d'un système dynamique classique à un degré de liberté est cette représentation géométrique est $\color {transparent}{\bullet }\;$pour des C.I. caractérisant un état de repos du système.

### Liens entre portraits de phase d'un système dynamique classique à un degré de liberté et l'évolution de ce dernier

$\;x\;$
$\;{\dot {x}}\;$

#### Évolution du système dynamique classique à un degré de liberté à partir d'un point d'un de ses portraits de phase hors axe des x

Si le point $\;Q\;$ d'un portrait de phase du système est d'ordonnée $\;{\dot {x}}_{Q}>0$, Si le point $\;\color {transparent}{Q}\;$ d'un portrait de phase du système son abscisse $\;x_{Q}\nearrow \;$ $\bullet \;$jusqu'à $\;+\infty \;$ dans la mesure où le portrait de phase ne coupe pas l'axe des abscisses, Si le point $\;\color {transparent}{Q}\;$ d'un portrait de phase du système son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\nearrow }\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$jusqu'à $\;\color {transparent}{+\infty }\;$ le portrait de phase est qualifié d'« ouvert » vers les $\;x>0$, Si le point $\;\color {transparent}{Q}\;$ d'un portrait de phase du système son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\nearrow }\;$ $\bullet \;$jusqu'à une valeur maximale $\;x_{Q_{\text{max}}}\;$ si le portrait de phase coupe l'axe des abscisses en $\;x_{Q_{\text{max}}}$, Si le point $\;\color {transparent}{Q}\;$ d'un portrait de phase du système son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\nearrow }\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$jusqu'à une valeur maximale $\;\color {transparent}{x_{Q_{\text{max}}}}\;$ l'ordonnée du point y ayant pour valeur $\;{\dot {x}}_{Q_{\text{max}}}=0$, suivi Si le point $\;\color {transparent}{Q}\;$ d'un portrait de phase du système son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\nearrow }\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$jusqu'à une valeur maximale $\;\color {transparent}{x_{Q_{\text{max}}}}\;$ $\succ \;$d'un arrêt dans la mesure où $\;x_{Q_{\text{max}}}\;$ repère un équilibre du système dynamique ou Si le point $\;\color {transparent}{Q}\;$ d'un portrait de phase du système son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\nearrow }\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$jusqu'à une valeur maximale $\;\color {transparent}{x_{Q_{\text{max}}}}\;$ $\succ \;$d'un passage dans la zone d'ordonnée $\;{\dot {x}}_{Q}<0$, Si le point $\;\color {transparent}{Q}\;$ d'un portrait de phase du système son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\nearrow }\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$jusqu'à une valeur maximale $\;\color {transparent}{x_{Q_{\text{max}}}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$son abscisse $\;x_{Q}\searrow \;$ $\blacktriangleright \;$jusqu'à $\;-\infty \;$ si le portrait de phase ne recoupe pas l'axe des Si le point $\;\color {transparent}{Q}\;$ d'un portrait de phase du système son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\nearrow }\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$jusqu'à une valeur maximale $\;\color {transparent}{x_{Q_{\text{max}}}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\searrow }\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$jusqu'à $\;\color {transparent}{-\infty }\;$ si le portrait de phase ne recoupe pas abscisses, Si le point $\;\color {transparent}{Q}\;$ d'un portrait de phase du système son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\nearrow }\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$jusqu'à une valeur maximale $\;\color {transparent}{x_{Q_{\text{max}}}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\searrow }\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$le portrait de phase étant « ouvert » vers les $\;x<0$, Si le point $\;\color {transparent}{Q}\;$ d'un portrait de phase du système son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\nearrow }\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$jusqu'à une valeur maximale $\;\color {transparent}{x_{Q_{\text{max}}}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\searrow }\;$ $\blacktriangleright \;$jusqu'à une valeur minimale $\;x_{Q_{\text{min}}}\;$ si le portrait de phase Si le point $\;\color {transparent}{Q}\;$ d'un portrait de phase du système son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\nearrow }\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$jusqu'à une valeur maximale $\;\color {transparent}{x_{Q_{\text{max}}}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\searrow }\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$jusqu'à une valeur mini recoupe l'axe des abscisses en $\;x_{Q_{\text{min}}}$, Si le point $\;\color {transparent}{Q}\;$ d'un portrait de phase du système son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\nearrow }\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$jusqu'à une valeur maximale $\;\color {transparent}{x_{Q_{\text{max}}}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\searrow }\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$l'ordonnée du point y ayant pour valeur $\;{\dot {x}}_{Q_{\text{min}}}=0$, suivi Si le point $\;\color {transparent}{Q}\;$ d'un portrait de phase du système son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\nearrow }\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$jusqu'à une valeur maximale $\;\color {transparent}{x_{Q_{\text{max}}}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\searrow }\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$jusqu'à une valeur minimale $\triangleright \;$d'un retour de $\;Q\;$ dans la zone Si le point $\;\color {transparent}{Q}\;$ d'un portrait de phase du système son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\nearrow }\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$jusqu'à une valeur maximale $\;\color {transparent}{x_{Q_{\text{max}}}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\searrow }\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$jusqu'à une valeur minimale $\color {transparent}{\triangleright }\;$d'un retour d'ordonnée $\;{\dot {x}}_{Q}>0$, Si le point $\;\color {transparent}{Q}\;$ d'un portrait de phase du système son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\nearrow }\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$jusqu'à une valeur maximale $\;\color {transparent}{x_{Q_{\text{max}}}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\searrow }\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$jusqu'à une valeur minimale $\color {transparent}{\triangleright }\;$son abscisse $\;x_{Q}\nearrow \;$ etc $\ldots \;$ Si le point $\;\color {transparent}{Q}\;$ d'un portrait de phase du système son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\nearrow }\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$jusqu'à une valeur maximale $\;\color {transparent}{x_{Q_{\text{max}}}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\searrow }\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$le point générique du portrait de phase tournant alors dans le Si le point $\;\color {transparent}{Q}\;$ d'un portrait de phase du système son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\nearrow }\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$jusqu'à une valeur maximale $\;\color {transparent}{x_{Q_{\text{max}}}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\searrow }\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« sens indirect » ; le portrait de phase est Si le point $\;\color {transparent}{Q}\;$ d'un portrait de phase du système son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\nearrow }\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$jusqu'à une valeur maximale $\;\color {transparent}{x_{Q_{\text{max}}}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\searrow }\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$$\succ \;$soit « fermé » s'il repasse par les points précédents, Si le point $\;\color {transparent}{Q}\;$ d'un portrait de phase du système son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\nearrow }\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$jusqu'à une valeur maximale $\;\color {transparent}{x_{Q_{\text{max}}}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\searrow }\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$$\succ \;$soit « spiralant » autour d'un point $\;\left(x_{Q_{0}}\,,\,{\dot {x}}_{Q_{0}}=0\right)$, Si le point $\;\color {transparent}{Q}\;$ d'un portrait de phase du système son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\nearrow }\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$jusqu'à une valeur maximale $\;\color {transparent}{x_{Q_{\text{max}}}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\searrow }\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$$\color {transparent}{\succ }\;$l'abscisse $\;x_{Q_{0}}\;$ correspondant à un arrêt du système.
Si le point $\;Q\;$ d'un portrait de phase du système est d'ordonnée $\;{\dot {x}}_{Q}<0$, Si le point $\;\color {transparent}{Q}\;$ d'un portrait de phase du système son abscisse $\;x_{Q}\searrow \;$ $\bullet \;$jusqu'à $\;-\infty \;$ dans la mesure où le portrait de phase ne coupe pas l'axe des abscisses, Si le point $\;\color {transparent}{Q}\;$ d'un portrait de phase du système son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\searrow }\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$jusqu'à $\;\color {transparent}{-\infty }\;$ le portrait de phase est qualifié d'« ouvert » vers les $\;x<0$, Si le point $\;\color {transparent}{Q}\;$ d'un portrait de phase du système son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\searrow }\;$ $\bullet \;$jusqu'à une valeur minimale $\;x_{Q_{\text{min}}}\;$ si le portrait de phase coupe l'axe des abscisses en $\;x_{Q_{\text{min}}}$, Si le point $\;\color {transparent}{Q}\;$ d'un portrait de phase du système son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\searrow }\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$jusqu'à une valeur minimale $\;\color {transparent}{x_{Q_{\text{min}}}}\;$ l'ordonnée du point y ayant pour valeur $\;{\dot {x}}_{Q_{\text{min}}}=0$, suivi Si le point $\;\color {transparent}{Q}\;$ d'un portrait de phase du système son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\searrow }\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$jusqu'à une valeur minimale $\;\color {transparent}{x_{Q_{\text{min}}}}\;$ $\succ \;$d'un arrêt dans la mesure où $\;x_{Q_{\text{min}}}\;$ repère un équilibre du système dynamique ou Si le point $\;\color {transparent}{Q}\;$ d'un portrait de phase du système son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\searrow }\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$jusqu'à une valeur minimale $\;\color {transparent}{x_{Q_{\text{min}}}}\;$ $\succ \;$d'un passage dans la zone d'ordonnée $\;{\dot {x}}_{Q}>0$, Si le point $\;\color {transparent}{Q}\;$ d'un portrait de phase du système son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\searrow }\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$jusqu'à une valeur minimale $\;\color {transparent}{x_{Q_{\text{min}}}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$son abscisse $\;x_{Q}\nearrow \;$ $\blacktriangleright \;$jusqu'à $\;+\infty \;$ si le portrait de phase ne recoupe pas l'axe des Si le point $\;\color {transparent}{Q}\;$ d'un portrait de phase du système son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\searrow }\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$jusqu'à une valeur minimale $\;\color {transparent}{x_{Q_{\text{min}}}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\nearrow }\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$jusqu'à $\;\color {transparent}{+\infty }\;$ si le portrait de phase ne recoupe pas abscisses, Si le point $\;\color {transparent}{Q}\;$ d'un portrait de phase du système son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\searrow }\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$jusqu'à une valeur minimale $\;\color {transparent}{x_{Q_{\text{min}}}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\nearrow }\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$le portrait de phase étant « ouvert » vers les $\;x>0$, Si le point $\;\color {transparent}{Q}\;$ d'un portrait de phase du système son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\searrow }\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$jusqu'à une valeur minimale $\;\color {transparent}{x_{Q_{\text{min}}}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\nearrow }\;$ $\blacktriangleright \;$jusqu'à une valeur maximale $\;x_{Q_{\text{max}}}\;$ si le portrait de phase Si le point $\;\color {transparent}{Q}\;$ d'un portrait de phase du système son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\nearrow }\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$jusqu'à une valeur maximale $\;\color {transparent}{x_{Q_{\text{max}}}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\searrow }\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$jusqu'à une valeur mini recoupe l'axe des abscisses en $\;x_{Q_{\text{max}}}$, Si le point $\;\color {transparent}{Q}\;$ d'un portrait de phase du système son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\searrow }\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$jusqu'à une valeur minimale $\;\color {transparent}{x_{Q_{\text{min}}}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\nearrow }\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$l'ordonnée du point y ayant pour valeur $\;{\dot {x}}_{Q_{\text{max}}}=0$, suivi Si le point $\;\color {transparent}{Q}\;$ d'un portrait de phase du système son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\searrow }\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$jusqu'à une valeur minimale $\;\color {transparent}{x_{Q_{\text{min}}}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\nearrow }\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$jusqu'à une valeur maximale $\triangleright \;$d'un retour de $\;Q\;$ dans la zone Si le point $\;\color {transparent}{Q}\;$ d'un portrait de phase du système son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\searrow }\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$jusqu'à une valeur minimale $\;\color {transparent}{x_{Q_{\text{min}}}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\nearrow }\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$jusqu'à une valeur maximale $\color {transparent}{\triangleright }\;$d'un retour d'ordonnée $\;{\dot {x}}_{Q}<0$, Si le point $\;\color {transparent}{Q}\;$ d'un portrait de phase du système son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\searrow }\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$jusqu'à une valeur minimale $\;\color {transparent}{x_{Q_{\text{min}}}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\nearrow }\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$jusqu'à une valeur maximale $\color {transparent}{\triangleright }\;$son abscisse $\;x_{Q}\searrow \;$ etc $\ldots \;$ Si le point $\;\color {transparent}{Q}\;$ d'un portrait de phase du système son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\searrow }\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$jusqu'à une valeur minimale $\;\color {transparent}{x_{Q_{\text{min}}}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\nearrow }\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$le point générique du portrait de phase tournant alors dans le Si le point $\;\color {transparent}{Q}\;$ d'un portrait de phase du système son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\searrow }\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$jusqu'à une valeur minimale $\;\color {transparent}{x_{Q_{\text{min}}}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\nearrow }\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« sens indirect » ; le portrait de phase est Si le point $\;\color {transparent}{Q}\;$ d'un portrait de phase du système son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\searrow }\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$jusqu'à une valeur minimale $\;\color {transparent}{x_{Q_{\text{min}}}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\nearrow }\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$$\succ \;$soit « fermé » s'il repasse par les points précédents, Si le point $\;\color {transparent}{Q}\;$ d'un portrait de phase du système son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\searrow }\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$jusqu'à une valeur minimale $\;\color {transparent}{x_{Q_{\text{min}}}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\nearrow }\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$$\succ \;$soit « spiralant » autour d'un point $\;\left(x_{Q_{0}}\,,\,{\dot {x}}_{Q_{0}}=0\right)$, Si le point $\;\color {transparent}{Q}\;$ d'un portrait de phase du système son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\searrow }\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$jusqu'à une valeur minimale $\;\color {transparent}{x_{Q_{\text{min}}}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$son abscisse $\;\color {transparent}{x_{Q}\nearrow }\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$$\color {transparent}{\succ }\;$l'abscisse $\;x_{Q_{0}}\;$ correspondant à un arrêt du système.

#### Portraits de phase d'un système dynamique classique à un degré de liberté dont l'évolution est décrite par une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre en x

Si l'équation différentielle décrivant l'évolution d'un système dynamique classique à un degré de liberté Si l'équation différentielle est linéaire à cœfficients constants du 1er ordre en $\;x\;$ selon $\;{\dot {x}}(t)+k\;x(t)=k\;x_{\text{éq}}\;$ avec $\;x_{\text{éq}}\;$ valeur de la variable descriptive d'état du système dynamique à l'équilibre, Si l'équation différentielle est linéaire à cœfficients constants du 1er ordre en $\;\color {transparent}{x}\;$ selon $\;\color {transparent}{{\dot {x}}(t)+k\;x(t)=k\;x_{\text{éq}}}\;$ le portrait de phase est une droite d'équation $\;{\dot {x}}=k\;\left[x_{\text{éq}}-x\right]\;$ Si l'équation différentielle est linéaire à cœfficients constants du 1er ordre en $\;\color {transparent}{x}\;$ selon $\;\color {transparent}{{\dot {x}}(t)+k\;x(t)=k\;x_{\text{éq}}}\;$ le portrait de phase est une droite $\searrow \;$ si $\;k\;$ est $\;>0$ et Si l'équation différentielle est linéaire à cœfficients constants du 1er ordre en $\;\color {transparent}{x}\;$ selon $\;\color {transparent}{{\dot {x}}(t)+k\;x(t)=k\;x_{\text{éq}}}\;$ le portrait de phase est une droite $\nearrow \;$ si $\;k\;$ est $\;<0$ ; réciproquement si le portrait de phase d'un système dynamique classique à un degré de liberté si le portrait de phase est une droite d'équation $\;{\dot {x}}=a\;x+b$, l'équation différentielle décrivant l'évolution du système dynamique si le portrait de phase est une droite d'équation $\;\color {transparent}{{\dot {x}}=a\;x+b}$, l'équation différentielle est linéaire à cœfficients constants du 1er ordre en $\;x\;$ selon $\;{\dot {x}}(t)-a\;x(t)=b$, si le portrait de phase est une droite d'équation $\;\color {transparent}{{\dot {x}}=a\;x+b}$, l'équation différentielle est linéaire à cœfficients constants du 1er ordre en $\;\color {transparent}{x}\;$ la stabilité nécessitant que $\;a\;$ soit $\;<0$, si le portrait de phase est une droite d'équation $\;\color {transparent}{{\dot {x}}=a\;x+b}$, l'équation différentielle la valeur de la variable descriptive d'état du système dynamique à l'équilibre étant $\;x_{\text{éq}}=-{\dfrac {b}{a}}$.

#### Conséquence de l'invariance par antisymétrie relativement à l'axe des x des portraits de phase d'un système dynamique classique à un degré de liberté sur l'évolution de ce système

Si les portraits de phase d'un système dynamique classique à un degré de liberté de variables « descriptive d'état $\;x\;$» et « de modification d'état $\;{\dot {x}}\;$»$^,$ sont Si les portraits de phase « invariants par antisymétrie relativement à l'axe des $\;x\;$» $\Rightarrow$ $\bullet \;$les portraits de phase sont fermés $\;{\big$en effet ce sont des courbes continues avec présence de points génériques Si les portraits de phase « invariants par antisymétrie relativement à l'axe des $\;\color {transparent}{x}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{\bullet }\;$les portraits de phase sont fermés $\;\color {transparent}{\big$en effet de part et d'autre de l'axe des $\;x$, ce qui nécessite le passage par Si les portraits de phase « invariants par antisymétrie relativement à l'axe des $\;\color {transparent}{x}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{\bullet }\;$les portraits de phase sont fermés $\;\color {transparent}{\big$en effet ${\dot {x}}=0\;$ correspondant à un changement de sens de variation de $\;x$, Si les portraits de phase « invariants par antisymétrie relativement à l'axe des $\;\color {transparent}{x}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{\bullet }\;$les portraits de phase sont fermés $\;\color {transparent}{\big$en effet le caractère « spiralant » des portraits de phase étant exclu comme Si les portraits de phase « invariants par antisymétrie relativement à l'axe des $\;\color {transparent}{x}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{\bullet }\;$les portraits de phase sont fermés $\;\color {transparent}{\big$en effet contraire à l'invariance par antisymétrie relativement à l'axe des $\;x{\big )}$, Si les portraits de phase « invariants par antisymétrie relativement à l'axe des $\;\color {transparent}{x}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{\bullet }\;$les portraits de phase sont fermés ceci nécessitant que le système dynamique considéré ne soit pas amorti et Si les portraits de phase « invariants par antisymétrie relativement à l'axe des $\;\color {transparent}{x}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\bullet \;$la grandeur instantanée caractéristique de l'état du système dynamique considéré est telle que Si les portraits de phase « invariants par antisymétrie relativement à l'axe des $\;\color {transparent}{x}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{\bullet }\;$« à tout couple $\;\left(x\,,\,{\dot {x}}\right)\;$» correspond « le couple $\;\left(x\,,\,-{\dot {x}}\right)\;$», c.-à-d. que Si les portraits de phase « invariants par antisymétrie relativement à l'axe des $\;\color {transparent}{x}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{\bullet }\;$le système dynamique passe par les mêmes états lors de la $\;\nearrow \;$ ou de la $\;\searrow \;$ de $\;x\;$ Si les portraits de phase « invariants par antisymétrie relativement à l'axe des $\;\color {transparent}{x}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{\bullet }\;$le système dynamique passe par les mêmes états à l'inversion du temps près.
Exemple de mécanique du point à un degré de liberté : Exemple de mécanique le système dynamique classique à un degré de liberté étant le point matériel $\;M\;$ de variable descriptive d'état $\;x\;$ ${\Big$abscisse de $\;M\;$ si ce dernier se déplace sur l'axe $\;{\overrightarrow {x'x}}{\Big ]}\;$ et Exemple de mécanique le système dynamique classique à un degré de liberté étant le point matériel $\;\color {transparent}{M}\;$ de variable de modification d'état $\;{\dot {x}}\;$ ${\Big$vitesse algébrique de $\;M\;$ sur l'axe $\;{\overrightarrow {x'x}}{\Big ]}$, Exemple de mécanique l'invariance des portraits de phase par antisymétrie relativement à l'axe des $\;x\;$ correspond à un mouvement oscillatoire de $\;M\;$ autour d'un point fixe de l'axe $\;{\overrightarrow {x'x}}\;$, Exemple de mécanique l'invariance des portraits de phase par antisymétrie relativement à l'axe des $\;\color {transparent}{x}\;$ correspond à un mouvement oscillatoire de $\;\color {transparent}{M}\;$ de caractère périodique, Exemple de mécanique l'invariance des portraits de phase par antisymétrie relativement à l'axe des $\;\color {transparent}{x}\;$ correspond à un mouvement oscillatoire de $\;\color {transparent}{M}\;$ avec la même durée de mouvement dans un sens Exemple de mécanique l'invariance des portraits de phase par antisymétrie relativement à l'axe des $\;\color {transparent}{x}\;$ correspond à un mouvement oscillatoire de $\;\color {transparent}{M}\;$ avec la même durée que dans l'autre sens.