# Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Étude d'une suite récurrente
## Exercice 1

Étudier, en fonction du paramètre réel $a$, la suite $\left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ définie par :
    ${\begin{cases}u_{0}=a\\\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n+1}=u_{n}\operatorname {e} ^{u_{n}}.\end{cases}}$
$u_{n+1}=f(u_{n})$ avec $f(x):=x\operatorname {e} ^{x}$ du même signe que $x$ donc la suite est de signe constant (le signe de $a$).
$\forall x\in \mathbb {R} ^{*}\quad f(x)-x=x\left(\operatorname {e} ^{x}-1\right)>0$ et $f(0)=0$ donc :
* si $a=0$, la suite est constamment nulle ;
* si $a\neq 0$, la suite est croissante ; donc, ou bien elle tend vers $+\infty$, ou bien elle converge, et dans ce second cas (comme $f$ est continue) sa limite est nécessairement $0$ (l'unique point fixe de $f$). Plus précisément :
** si $a<0$, puisque la suite est majorée (par $0$), elle converge,
** si $a>0$, puisque la suite est $>0$, elle ne peut que tendre vers $+\infty$.
En déduire, en fonction du paramètre réel $b$, le comportement de la suite $\left(v_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ définie par :
    ${\begin{cases}v_{0}=b\\\forall n\in \mathbb {N} \quad v_{n+1}=v_{n}\operatorname {e} ^{-v_{n}}.\end{cases}}$
En choisissant $a=-b$, on trouve $v_{n}=-u_{n}$. Par conséquent :
* si $b=0$, la suite est constamment nulle ;
* si $b\neq 0$, la suite est décroissante ;
** si $b>0$, $v_{n}\to 0$,
** si $b<0$, $v_{n}\to -\infty$.
On pose $w_{n}=\sum _{k=0}^{n}v_{n}$.
* Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=b\operatorname {e} ^{-w_{n}}$.
* En déduire la limite de la suite $(w_{n})$.
* $b\operatorname {e} ^{-w_{0}}=v_{0}\operatorname {e} ^{-v_{0}}=v_{1}$, et si $v_{n+1}=b\operatorname {e} ^{-w_{n}}$ alors $v_{n+2}=b\operatorname {e} ^{-w_{n}}\operatorname {e} ^{-v_{n+1}}=b\operatorname {e} ^{-w_{n+1}}$.
** Si $b=0$, $w_{n}=0$ ;
** si $b>0$, $\operatorname {e} ^{-w_{n}}\to 0$ donc $w_{n}\to +\infty$ ;
** si $b<0$, $\operatorname {e} ^{-w_{n}}\to +\infty$ donc $w_{n}\to -\infty$.

## Exercice 2

Soit $a\geq 1{,}01$. Calculer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{0}=a$ et $\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n+1}=u_{n}^{3}-{\frac {\arctan u_{n}}{100}}$.
$u_{n+1}-u_{n}=\varphi (u_{n})$ avec $\varphi (x)=x^{3}-x-{\frac {\arctan x}{100}}$ (continue).
Pour $x\geq 1{,}01$, $\varphi (x)\geq x^{3}-x-{\frac {x}{100}}>0$ car $x^{2}>x\geq 1+{\frac {1}{100}}$.
Par conséquent, la suite $\left(u_{n}\right)$ est strictement croissante et n'a pas de limite finie. Donc $\lim u_{n}=+\infty$.

## Exercice 3

1. Soient $b>0$ et $a\geq -b$. Étudier la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{0}=a$ et $\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n+1}={\sqrt {b+u_{n}}}$.
2. Soient $r,s>0$ ; qu'en déduit-on pour une suite $\left(v_{n}\right)$ vérifiant $\forall n\in \mathbb {N} \quad v_{n+1}={\sqrt {r+sv_{n}}}$ ?
3. Et pour une suite $\left(w_{n}\right)$ vérifiant $\forall n\in \mathbb {N} \quad w_{n+1}=r+s{\sqrt {w_{n}}}$ ?
1. Soit $f:\left[-b,+\infty \right[\to \mathbb {R} _{+}\subset \left[-b,+\infty \right[,\;x\mapsto {\sqrt {b+x}}$. Son seul point fixe (nécessairement positif) est $\ell :={\frac {1+{\sqrt {1+4b}}}{2}}$.
$x\mapsto f(x)-x$ est continue et ne s'annule qu'en $\ell$, et elle est positive en $-b$ et négative en $+\infty$. Elle est donc positive pour $-b\leq x<\ell$ et négative pour $x>\ell$.
Puisque $f$ est strictement croissante et que $f(\ell )=\ell$, les deux intervalles $\left[-b,\ell \right[$ et $\left]\ell ,+\infty \right[$ sont stables par $f$.
La suite est par conséquent :
* constante si $a=\ell$ ;
* strictement croissante et majorée (par $\ell$) si $a<\ell$ ;
* strictement décroissante et minorée (par $\ell$) si $a>\ell$.
Elle est donc convergente dans tous les cas.
La fonction $f$ étant continue, la limite de $(u_{n})$ ne peut être qu'un point fixe de $f$. Par conséquent, $u_{n}\to \ell$.
2. Si $v_{n+1}={\sqrt {r+sv_{n}}}$ (ce qui suppose implicitement que $v_{n}\geq -{\frac {r}{s}}$) alors, en posant
    $u_{n}:={\frac {v_{n}}{s}}$ et $b:={\frac {r}{s^{2}}}$,
on a
    $u_{0}\geq -b$ et $u_{n+1}={\sqrt {b+u_{n}}}$.
On déduit donc de ce qui précède que $v_{n}\to s{\frac {1+{\sqrt {1+4b}}}{2}}={\frac {s+{\sqrt {s^{2}+4r}}}{2}}$.
3. On se ramène à la question précédente en posant $v_{n}={\sqrt {w_{n}}}$.
3. Soient $b>1$ et $b-b^{2}\leq a\leq b$. Étudier la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{0}=a$ et $\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n+1}={\sqrt {b-u_{n}}}$.
Indication : on pourra montrer que $\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad \left|u_{n+1}-u_{n}\right|\leq {\frac {\left|u_{n}-u_{n-1}\right|}{\sqrt {b}}}$.
4. Soient $s>0$ et $r>s^{2}$ ; qu'en déduit-on pour une suite $\left(v_{n}\right)$ vérifiant $\forall n\in \mathbb {N} \quad v_{n+1}={\sqrt {r-sv_{n}}}$ ?
3. Considérons la fonction $f:\left[b-b^{2},b\right]\to \left[0,b\right]\subset \left[b-b^{2},b\right],\;x\mapsto {\sqrt {b-x}}$.
Soient $x\in \left[0,b\right]$ et $y=f(x)$. Alors, pour $t:=b^{-1/2}y\in \left[0,1\right]$,
    ${\begin{aligned}x+y&=b-y^{2}+y\\&=(1-t^{2})b+t{\sqrt {b}}\\&\geq {\sqrt {b}}\left(1-t^{2}+t\right)\\&={\sqrt {b}}\left[1+t(1-t)\right]\\&\geq {\sqrt {b}}.\end{aligned}}$
En appliquant cela, pour $n\in \mathbb {N} ^{*}$, à $x=u_{n}$ et $y=u_{n+1}$, on en déduit :
    $\left|u_{n+1}-u_{n}\right|={\frac {\left|u_{n+1}^{2}-u_{n}^{2}\right|}{u_{n+1}+u_{n}}}={\frac {\left|(b-u_{n})-(b-u_{n-1})\right|}{u_{n+1}+u_{n}}}={\frac {\left|u_{n}-u_{n-1}\right|}{u_{n+1}+u_{n}}}\leq {\frac {\left|u_{n}-u_{n-1}\right|}{\sqrt {b}}}$,
ce qui, puisque ${\frac {1}{\sqrt {b}}}<1$, prouve que la suite $(u_{n})$ converge.
La fonction $f$ étant continue, la limite $\ell$ de $(u_{n})$ ne peut être qu'un point fixe de $f$ (appartenant donc à $\left[0,b\right]$). Par conséquent, $\ell ={\frac {-1+{\sqrt {1+4b}}}{2}}$.
4. Si $v_{n+1}={\sqrt {r-sv_{n}}}$ (ce qui suppose implicitement que $v_{n}\leq {\frac {r}{s}}$, en particulier $v_{0}\leq {\frac {r}{s}}$ et ${\sqrt {r-sv_{0}}}\leq {\frac {r}{s}}$, donc ${\frac {r}{s}}-{\frac {r^{2}}{s^{3}}}\leq v_{0}\leq {\frac {r}{s}}$) alors, en posant
    $u_{n}:={\frac {v_{n}}{s}}$ et $b:={\frac {r}{s^{2}}}$,
on a
    $b>1$, $b-b^{2}\leq u_{0}\leq b$ et $u_{n+1}={\sqrt {b-u_{n}}}$.
On déduit donc de ce qui précède que $v_{n}\to s{\frac {-1+{\sqrt {1+4b}}}{2}}={\frac {-s+{\sqrt {s^{2}+4r}}}{2}}$.

## Exercice 4

Soient $a,b\in \mathbb {R}$ et $p\geq 3$ un entier naturel impair. On suppose $b>{\frac {p-1}{p^{\frac {p}{p-1}}}}$ et l'on définit la suite $(u_{n})$ par :
    $u_{0}=a$ et $\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n+1}={\sqrt[{p}]{u_{n}+b}}$.
* Montrer que la fonction $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\quad x\mapsto {\sqrt[{p}]{x+b}}$ est monotone.
* Étudier les variations de la fonction $\varphi :\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\quad x\mapsto x+b-x^{p}$, puis son signe. En déduire que $f$ a un unique point fixe $\ell$, et préciser le signe de $f(x)-x$ selon la position de $x$ par rapport à $\ell$.
* Déduire de la question 1 que $f(x)$ est du même côté de $\ell$ que $x$.
* En déduire le comportement de la suite $(u_{n})$, selon la position de $a$ par rapport à $\ell$.
* Par translation de la variable, $f$ est strictement croissante sur $\mathbb {R}$, de même que la fonction racine p-ième.
* $\varphi '(x)=1-px^{p-1}$ s'annule en $x_{+}:={\frac {1}{\sqrt[{p-1}]{p}}}$ et en $x_{-}:=-x_{+}$, d'où le tableau : ${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&x_{-}&&x_{+}&&+\infty \\\hline \varphi '(x)&&-&0&+&0&-&\\\hline &+\infty &&&&y_{+}&&\\\varphi (x)&&\searrow &&\nearrow &&\searrow &\\&&&y_{-}&&&&-\infty \\\hline \end{array}}$ $y_{+}>y_{-}=\varphi \left(x_{-}\right)=b-{\frac {p-1}{p^{\frac {p}{p-1}}}}>0$ donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, $\varphi$ (qui est bien continue) s'annule exactement une fois, en un point $\ell >x_{+}$. Par croissance (stricte) de $t\mapsto t^{p}$, $f(x)-x$ est du même signe que $f(x)^{p}-x^{p}=\varphi (x)$ : ${\begin{array}{c|ccccc|}x&-\infty &&\ell &&+\infty \\\hline f(x)-x&&+&0&-&\\\hline \end{array}}$
* Si $x<\ell$ alors $f(x)<f(\ell )=\ell$ et si $x>\ell$ alors $f(x)>f(\ell )=\ell$.
* Si $a=\ell$, la suite est constante. Si $a<\ell$ alors, d'après la question précédente, la suite est majorée par $\ell$ donc d'après la question 2, la suite est croissante (strictement). Par conséquent, elle converge. Par continuité de $f$, la limite de la suite est un point fixe de $f$. Donc $u_{n}\to \ell$. De même, si $a>\ell$, la suite est minorée et décroissante et converge vers $\ell$.

## Exercice 5

Soient $a,b\in \mathbb {R}$. On se propose d'étudier la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{0}=a$ et $\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n+1}={\sqrt[{3}]{b+u_{n}}}$. Le cas $b=0$ étant immédiat et le cas $b<0$ se ramenant facilement au cas $b>0$ (en remplaçant $a,b,u_{n}$ par leurs opposés), on se limitera au cas $b>0$.
Étudier la suite $\left(u_{n}\right)$ en distinguant trois cas : $b>{\frac {2}{3{\sqrt {3}}}}$, $0<b<{\frac {2}{3{\sqrt {3}}}}$ et $b={\frac {2}{3{\sqrt {3}}}}$.
Indication : poser $f(x)={\sqrt[{3}]{b+x}}$ et étudier les variations puis le signe de $\varphi (x):=\left(f(x)\right)^{3}-x^{3}$.
C'est le cas particulier $p=3$ de l'exercice précédent.
Le seul changement par rapport au cas précédent est qu'à présent, $y_{-}<0<y_{+}$ donc $f$ a trois points fixes $\ell _{1},\ell _{2},\ell _{3}$, tels que $\ell _{1}<-{\frac {1}{\sqrt {3}}}<\ell _{2}<{\frac {1}{\sqrt {3}}}<\ell _{3}$ (et $\ell _{2}<0$ puisque $h(0)=b>0$).
Les quatre intervalles délimités par ces trois valeurs étant, comme précédemment, stables par $f$, on en déduit :
* si $a<\ell _{1}$, $(u_{n})$ est strictement croissante et tend vers $\ell _{1}$ ;
* si $\ell _{1}<a<\ell _{2}$, $(u_{n})$ est strictement décroissante et tend vers $\ell _{1}$ ;
* si $\ell _{2}<a<\ell _{3}$, $(u_{n})$ est strictement croissante et tend vers $\ell _{3}$ ;
* si $a>\ell _{3}$, $(u_{n})$ est strictement décroissante et tend vers $\ell _{3}$.
(Si $a$ est égal à l'un des trois points fixes, $(u_{n})$ est évidemment constante.)
À présent, $y_{-}=0<y_{+}$ donc les trois points fixes $\ell _{1}<-{\frac {1}{\sqrt {3}}}<\ell _{2}<{\frac {1}{\sqrt {3}}}<\ell _{3}$ dégénèrent en deux : $\ell _{1}=\ell _{2}=-{\frac {1}{\sqrt {3}}}$ et $\ell _{3}={\frac {2}{\sqrt {3}}}$, et la conclusion devient :
* si $a<-{\frac {1}{\sqrt {3}}}$, $(u_{n})$ est strictement croissante et tend vers $-{\frac {1}{\sqrt {3}}}$ ;
* si $-{\frac {1}{\sqrt {3}}}<a<{\frac {2}{\sqrt {3}}}$, $(u_{n})$ est strictement croissante et tend vers ${\frac {2}{\sqrt {3}}}$ ;
* si $a>{\frac {2}{\sqrt {3}}}$, $(u_{n})$ est strictement décroissante et tend vers ${\frac {2}{\sqrt {3}}}$.
Soient $r,s>0$ ; qu'en déduit-on pour une suite $\left(v_{n}\right)$ vérifiant : $\forall n\in \mathbb {N} \quad v_{n+1}={\sqrt[{3}]{r+sv_{n}}}$ ?
Posons $u_{n}:={\frac {v_{n}}{\sqrt {s}}}$, $a:=u_{0}$ et $b:={\frac {r}{s{\sqrt {s}}}}$. Alors, $u_{n+1}={\sqrt[{3}]{b+u_{n}}}$ donc d'après ce qui précède, $(u_{n})$ converge vers une racine $\ell$ de l'équation $x^{3}-x-b=0$ (lorsque cette équation a plusieurs racines réelles, $\ell$ est la plus petite ou la plus grande, selon la position de $a$), et $v_{n}\to \ell {\sqrt {s}}$, racine de $x^{3}-sx-r=0$.

## Exercice 6

1. Soient $b>1$ et $a\in \left[b-b^{3},b\right]$. Étudier la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{0}=a$ et $\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n+1}={\sqrt[{3}]{b-u_{n}}}$.
Indication : on pourra s'inspirer de la question 3 de l'exercice 3 ci-dessus.
2. Soient $s>0$ et $r>s^{2}$ ; qu'en déduit-on pour une suite $\left(v_{n}\right)$ vérifiant : ${\frac {r}{s}}-{\frac {r^{3}}{s^{4}}}\leq v_{0}\leq {\frac {r}{s}}$ et $\forall n\in \mathbb {N} \quad v_{n+1}={\sqrt[{3}]{r-sv_{n}}}$ ?
1. Considérons la fonction $f:\left[b-b^{3},b\right]\to \left[0,b\right]\subset \left[b-b^{3},b\right],\;x\mapsto {\sqrt[{3}]{b-x}}$.
Soient $x\in \left[0,b\right]$ et $y=f(x)$. Alors, pour $t:=b^{-1/3}y\in \left[0,1\right]$,
    ${\begin{aligned}x^{2}+xy+y^{2}&=(b-y^{3})^{2}+(b-y^{3})y+y^{2}\\&=b^{2}(1-t^{3})^{2}+b^{4/3}(1-t^{3})t+b^{2/3}t^{2}\\&\geq b^{2/3}\left[(1-t^{3})^{2}+(1-t^{3})t+t^{2}\right]\\&=b^{2/3}\left[1+t+t^{2}-2t^{3}-t^{4}+t^{6}\right]\\&=b^{2/3}\left[1+t(1-t)+t^{2}(1-t)^{2}+t^{2}(1-t^{2})^{2}\right]\\&\geq b^{2/3}.\end{aligned}}$
En appliquant cela, pour $n\in \mathbb {N} ^{*}$, à $x=u_{n}$ et $y=u_{n+1}$, on en déduit :
    $\left|u_{n+1}-u_{n}\right|={\frac {\left|u_{n+1}^{3}-u_{n}^{3}\right|}{u_{n+1}^{2}+u_{n+1}u_{n}+u_{n}^{2}}}={\frac {\left|(b-u_{n})-(b-u_{n-1})\right|}{u_{n+1}^{2}+u_{n+1}u_{n}+u_{n}^{2}}}={\frac {\left|u_{n}-u_{n-1}\right|}{u_{n+1}^{2}+u_{n+1}u_{n}+u_{n}^{2}}}\leq b^{-2/3}\left|u_{n}-u_{n-1}\right|$,
ce qui, puisque $b^{-2/3}<1$, prouve que la suite $(u_{n})$ converge.
La fonction $f$ étant continue, la limite $\ell$ de $(u_{n})$ ne peut être que le point fixe de $f$, c'est-à-dire la racine réelle de l'équation du troisième degré $x^{3}+x-b=0$.
2. En posant $u_{n}={\frac {v_{n}}{\sqrt {s}}}$ et $b={\frac {r}{s{\sqrt {s}}}}$, on obtient :
    $b>1$, $b-b^{3}\leq u_{0}\leq b$ et $u_{n+1}={\sqrt[{3}]{b-u_{n}}}$.
On déduit donc de ce qui précède que $v_{n}\to \ell {\sqrt {s}}$, la racine réelle de $x^{3}+sx-r=0$.

## Exercice 7

Soit $a\in \left]0,\pi \right[$.
* Étudier la suite des sinus itérés de $a$, définie par $u_{0}=a,\quad u_{n+1}=\sin u_{n}$.
* Montrer que la suite $\left({\frac {1}{u_{n+1}^{2}}}-{\frac {1}{u_{n}^{2}}}\right)$ converge et donner sa limite.
* L'intervalle $\left]0,\pi \right[$ est stable par la fonction sinus, donc $u_{n}\in \left]0,\pi \right[$. De plus, on a $\sin x<x$ sur cet intervalle, donc $(u_{n})$ est strictement décroissante. Comme elle est minorée par 0, elle converge vers un réel $\ell \in \left[0,\pi \right[$. Par continuité de $\sin$, on a $\sin \ell =\ell$ donc $\ell =0$.
* ${\frac {1}{\sin ^{2}x}}-{\frac {1}{x^{2}}}={\frac {x+\sin x}{x^{2}\sin ^{2}x}}(x-\sin x)\,{\underset {x\to 0}{\sim }}\,{\frac {2x}{x^{4}}}{\frac {x^{3}}{6}}={\frac {1}{3}}$ donc ${\frac {1}{u_{n+1}^{2}}}-{\frac {1}{u_{n}^{2}}}\to {\frac {1}{3}}$.
Pour aller plus loin, voir Équivalents et développements de suites/Exercices/Équivalent d'une suite définie par récurrence#Exercice 4-3.

## Exercice 8

Soient $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\,x\mapsto {\frac {1-x^{2}}{4}}$ et $a\in [0,1]=I$. Considérons la suite définie par récurrence par $u_{0}=a$ et $\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n+1}=f(u_{n})$.
* Préciser les variations de $f$ sur $I$ et en déduire que $f(I)\subset I$.
* Montrer que $\forall n\in \mathbb {N} \quad 0\leq u_{n}\leq 1$.
* Établir que $f$ n'a dans $I$ qu'un point fixe, qui sera noté $\ell$.
* Montrer que pour tout $x\in I$, $|f(x)-\ell |\leq {\frac {|x-\ell |}{2}}$.
* En déduire que $|u_{n}-\ell |\leq {\frac {|u_{0}-\ell |}{2^{n}}}$. Conclure.
* $f'(x)=-{\frac {x}{2}}$ donc $f$ est continue et décroissante sur $I$ donc $f(I)=[f(1),f(0)]=\left[0,{\frac {1}{4}}\right]\subset I$.
* $u_{0}\in I$ stable par $f$ donc par récurrence, $u_{n}\in I$.
* $f(x)=x\Leftrightarrow x^{2}+4x-1=0\Leftrightarrow x=-2\pm {\sqrt {5}}$. Le seul point fixe dans $I$ est $-2+{\sqrt {5}}$.
* On peut invoquer le théorème des accroissements finis ou plus simplement calculer : pour tout $x\in I$, $|f(x)-\ell |={\frac {|1-x^{2}-4\ell |}{4}}={\frac {|\ell ^{2}-x^{2}|}{4}}={\frac {|x-\ell |(x+\ell )}{4}}\leq {\frac {|x-\ell |}{2}}$.
* Par récurrence, $|u_{n}-\ell |\leq {\frac {|u_{0}-\ell |}{2^{n}}}$ donc $u_{n}\to \ell$.

## Exercice 9

Considérons la fonction $f:\left]0,+\infty \right[\to \left]0,+\infty \right[$ définie par
    $f(x)={\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {5}{x}}\right)$.
et la suite $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ définie par récurrence par
    $u_{0}=a$ et $\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n+1}=f(u_{n})$,
pour un $a\in \left]0,+\infty \right[$ fixé arbitrairement.
* Démontrer que $f$ a un seul point fixe $\ell$ et le déterminer.
* Démontrer que l'image de $f$ est $\left[\ell ,+\infty \right[$.
* Montrer que sur cet intervalle, $f(x)\leq x$.
* Qu'en déduit-on sur la suite $(u_{n})$ ?
* Démontrer que pour tout $x\geq \ell$, $f(x)-\ell \leq {\frac {x-\ell }{2}}$.
* En déduire que pour tout $n\in \mathbb {N} ^{*}$, $u_{n}-\ell \leq {\frac {u_{1}-\ell }{2^{n-1}}}$.
* $f(x)=x\Leftrightarrow 2x=x+{\frac {5}{x}}\Leftrightarrow x=\ell :={\sqrt {5}}$.
* Une rapide étude de variations le prouve.
* Même calcul qu'en question 1, en remplaçant les égalités par des inégalités.
* On en déduit qu'à partir de l'indice 1, la suite $(u_{n})$ est à valeurs dans $\left[\ell ,+\infty \right[$ et décroissante, donc convergente. La seule limite possible est $\ell$.
* On peut invoquer le théorème des accroissements finis ou plus simplement calculer : pour tout $x\geq \ell$, $f(x)-\ell ={\frac {(x-\ell )^{2}}{2x}}\leq {\frac {x-\ell }{2}}$.
* Immédiat par récurrence (ce qui redémontre que $u_{n}\to \ell$).

## Exercice 10

Soit un réel $\alpha >-1$. Étudier, en fonction de $\alpha$, la suite $(u_{n})$ définie par :
    $u_{0}=\alpha$ et $\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n+1}=\ln(u_{n}+2)$.
L'application $f:x\mapsto \ln(x+2)$ est bien définie sur l'intervalle $I:=\left]-1,+\infty \right[$ et $f(I)=\left]0,+\infty \right[\subset I$ donc la suite est bien définie.
En tout point $x\in I$, la dérivée de la fonction $x\mapsto f(x)-x$ est ${\frac {1}{x+2}}-1<0$ donc quand $x$ croît de $-1$ à $+\infty$, $f(x)-x$ décroît (continûment) de $1$ à $-\infty$, en passant la valeur $0$ en un certain $x_{0}$.
Comme $f$ est croissante, elle laisse stables les deux sous-intervalles $\left]-1,x_{0}\right[$ et $\left]x_{0},+\infty \right[$.
Par conséquent :
* si $\alpha <x_{0}$, la suite est $<x_{0}$ et croissante (puisque $f(x)-x>0$ sur $\left]-1,x_{0}\right[$) donc convergente, et la limite ne peut être que $x_{0}$ (l'unique point fixe de $f$) ;
* de même, si $\alpha >x_{0}$, la suite est $>x_{0}$ et décroissante et converge vers $x_{0}$ ;
* si $\alpha =x_{0}$, la suite est constante

## Exercice 11

Soit la suite $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ définie par $x_{0}=4$ et $x_{n+1}={\frac {2x_{n}^{2}-3}{x_{n}+2}}$ ($\forall n\in \mathbb {N}$).
* Démontrer que ($\forall n\in \mathbb {N}$) $x_{n}>3$ et $x_{n+1}-3>{\frac {9}{5}}(x_{n}-3)>0$.
* Quelle est la limite de cette suite ?
* $x_{0}>3$ et ${\frac {x_{n+1}-3}{x_{n}-3}}={\frac {2x_{n}^{2}-3x_{n}-9}{x_{n}^{2}-x_{n}-6}}=2-{\frac {1}{x_{n}+2}}$ donc si $x_{n}>3$ alors ${\frac {x_{n+1}-3}{x_{n}-3}}>2-{\frac {1}{5}}={\frac {9}{5}}>0$ donc $x_{n+1}>3$.
* Par récurrence, $x_{n}-3>(9/5)^{n}$ donc $\lim x_{n}=+\infty$.

## Exercice 12

Soit $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ une fonction dérivable. Fixons un réel $a$ tel que $f(a)\neq a$ et considérons la suite $u$ définie par $u_{n+1}=f(u_{n})$, $u_{0}=a$.
* On suppose que $f'(x)\geq 1$ pour tout $x$. Montrer que $u_{n}\to +\infty$ si $f(a)>a$ et $u_{n}\to -\infty$ si $f(a)<a$. Indication : prouver d'abord les inégalités $u_{n+1}-u_{n}\geq u_{1}-u_{0}$ si $f(a)>a$ et $u_{n+1}-u_{n}\leq u_{1}-u_{0}$ si $f(a)<a$.
* On suppose maintenant que pour tout $x$, $|f'(x)|\leq {\frac {1}{2}}$ et $f(3)=3$. Montrer que la suite $u$ converge.
* $u_{n+1}-u_{n}=f(u_{n})-f(u_{n-1})=f'(c_{n})(u_{n}-u_{n-1})$, d'où :
** si $f(a)>a$, $u_{n+1}-u_{n}\geq u_{n}-u_{n-1}\geq \dots \geq u_{1}-u_{0}$ et donc $u_{n+1}-a\geq n(f(a)-a)$, si bien que $u_{n}\to +\infty$ ;
** si $f(a)<a$, de même, $u_{n+1}-u_{n}\leq u_{1}-u_{0}$ donc $u_{n+1}-a\leq n(f(a)-a)$ et $u_{n}\to -\infty$.
* $|u_{n+1}-a|=|f(u_{n})-f(a)|=|f'(c_{n})(u_{n}-3)|\leq {\frac {1}{2}}|u_{n}-3|$. On en déduit : $|u_{n+1}-3|\leq {\frac {1}{2^{n}}}|u_{1}-u_{0}|$, ce qui montre que $u_{n}\to 3$.

## Exercice 13

Soient $a\in [-1,1]$ et $b\in [0,1]$.
* Étudier la suite $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ définie par $u_{n+1}=au_{n}^{2}+(1-a)u_{n}$ et $u_{0}=b$.
* Quelles sont les suites $(v_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ dont l'étude se ramène à celle de $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ par homothétie-translation ?
* Soit $f(x)=ax^{2}+(1-a)x$. Alors, $f(x)-x=ax(x-1)$ s'annule pour $x=0$ ou $1$ et $f$ est croissante sur $[0,1]$, donc $[0,1]$ est stable par $f$, si bien que $u_{n}\in [0,1]$ et $u_{n+1}-u_{n}$ est du signe de $-a$. Ainsi, si $a>0$ la suite $(u_{n})$ est décroissante et converge vers $0$, tandis que si $a<0$ la suite $(u_{n})$ est croissante et converge vers $1$ (si $a=0$ la suite est constant).
* Les suites $(v_{n})$ telles que $u_{n}=\alpha v_{n}+\beta$ (avec $\alpha >0$ sans perte de généralité) sont les suites telles que $\alpha v_{n+1}+\beta =(a(\alpha v_{n}+\beta )+1-a)(\alpha v_{n}+\beta )$ et $\alpha v_{0}+\beta \in [0,1]$, c'est-à-dire : $v_{n+1}=a\alpha v_{n}^{2}+(1-a+2\beta a)b_{n}+{\frac {a\beta (\beta -1)}{\alpha }}$, $v_{0}\in \left[-{\frac {\beta }{\alpha }},{\frac {1-\beta }{\alpha }}\right]$ et $|a|\leq 1$. Leur comportement (monotonie, convergence) se déduit immédiatement de celui de $(u_{n})$.
Soient $a\in \mathbb {R}$ et $(u_{n})$ la suite définie par $u_{0}=a$ et $u_{n+1}={u_{n}^{2}+u_{n} \over 2}\ (\forall n\in \mathbb {N} )$. Étudier, en fonction de $a$, l'existence et la valeur de $\lim _{n\to \infty }u_{n}$.
Soit $f(x)={x^{2}+x \over 2}$. $f(\ell )=\ell$ a pour solutions $\ell =0{\rm {\ ou\ }}1$ donc si $a=0{\rm {\ ou\ }}1$, la suite est constante.
Si $a>0$, $u_{n}>0$ et comme $f$ est croissante sur $\left]-1/2,+\infty \right[$, la suite est monotone. $u_{1}-u_{0}={a(a-1) \over 2}$ donc la suite est décroissante si $0<a<1$ (et $>0$ donc convergente, nécessairement vers $0$ puisque $u_{n}<1$), et croissante si $a>1$.
Montrons que si $a>1$, $u_{n}\to +\infty$. Posons $v_{n}=u_{n}-1$ : $v_{n+1}={u_{n}^{2}+u_{n} \over 2}-1={(v_{n}+1)^{2}+v_{n}+1 \over 2}-1={v_{n}(v_{n}+3) \over 2}$. Si $a>1$, $v_{n}>0$ et $v_{n+1}>{3 \over 2}v_{n}$, donc $v_{n}>\left({\frac {3}{2}}\right)^{n}(a-1)\to +\infty$. $u_{1}={a^{2}+a \over 2}$ est $>1$ si et seulement si $a^{2}+a-2=(a+2)(a-1)>0$ donc le cas $a<-2$ se ramène au cas $a>1$ par décalage.
$u_{1}\in \left]0,1\right[$ si et seulement si $a(a+1)>0$ et $(a+2)(a-1)<0$ donc le cas $-2<a<-1$ se ramène de même au cas $0<a<1$, et les « cas limites » $a=-2$, $a=-1$ se ramènent respectivement aux cas $a=1,a=0$.
Reste à étudier le cas $-1<a<0$. Comme $a<0$, $u_{1}>u_{0}$, donc si $-1/2\leq a<0$, la suite est croissante $<0$ donc converge vers $0$. Le dernier sous-cas $-1<a<-1/2$ se ramène au précédent, puisqu'alors $-1/8\leq u_{1}<0$.

## Lien externe

« Exercices corrigés - Suites de nombres réels ou complexes - suites récurrentes », sur bibmath.net
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