# Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Oscillateurs amortis : association d'impédances complexes
## Réponse en intensité d'un circuit “L parallèle sur R en série avec C” soumis à une tension de valeur efficace fixée

......On impose au circuit ci-contre une tension sinusoïdale $\;u(t)=U\,{\sqrt {2}}\cos(\omega \,t)$, la réponse forcée en intensité de courant circulant dans le circuit étant mise sous la forme $\;i(t)=I\,{\sqrt {2}}\cos(\omega \,t-\varphi )\;$.

### Condition pour que l'intensité efficace I du courant circulant dans le circuit soit indépendante de R

......Après avoir déterminé l'impédance complexe du circuit, déterminer l'intensité efficace complexe du courant y circulant et en déduire son intensité efficace $\;I\;$ en fonction de $\;L$, $\;C$, $\;R$, $\;U\;$ et $\;\omega$ ;
......déterminer à quelle condition de pulsation $\;I\;$ est indépendante de $\;R$.
......On impose au circuit ci-dessus une tension sinusoïdale $\;u(t)=U\,{\sqrt {2}}\cos(\omega \,t)\;$ à laquelle on associe la tension instantanée complexe $\;{\underline {u}}(t)=U\,{\sqrt {2}}\,\exp(j\,\omega \,t)\;$ et on cherche la réponse forcée en intensité de courant circulant dans le circuit sous la forme $\;i(t)=I\,{\sqrt {2}}\cos(\omega \,t-\varphi )\;$ à laquelle on associe l'intensité instantanée complexe $\;{\underline {i}}(t)={\underline {I}}\,{\sqrt {2}}\,\exp(j\,\omega \,t)\;$ avec l'intensité efficace complexe définie par $\;{\underline {I}}=I\,\exp(-j\,\varphi )\;$ (voir le schéma en complexe ci-contre) ;
......l'impédance complexe du circuit se définit alors selon $\;{\underline {Z}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {u}}(t)}{{\underline {i}}(t)}}={\dfrac {U}{\underline {I}}}={\dfrac {U}{I}}\,\exp(j\,\varphi )=Z(\omega )\,\exp \!\left[j\,\varphi (\omega )\right]$, avec $\;{\dfrac {U}{I}}=Z(\omega )=\vert {\underline {Z}}(j\,\omega )\vert \;$ l'impédance du circuit et $\;\varphi (\omega )=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {Z}}(j\,\omega )\right]\;$ l'avance de phase de la tension sur l'intensité ;
$\;{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )=$
${\dfrac {1}{j\;C\;\omega }}\;$
$\;{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )=j\;L\;\omega$
$\;{\underline {Z_{L\,\parallel \,R}}}(j\,\omega )={\dfrac {R\;j\;L\;\omega }{R+j\;L\;\omega }}\;$
$\;{\underline {Z}}(j\,\omega )={\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{L\,\parallel \,R}}}(j\,\omega )\;$
$={\dfrac {1}{j\;C\;\omega }}+{\dfrac {R\;j\;L\;\omega }{R+j\;L\;\omega }}\;$
$\;{\underline {Z}}(j\,\omega )={\dfrac {R\left(1-L\;C\;\omega ^{2}\right)+j\;L\;\omega }{j\;C\;\omega \left(R+j\;L\;\omega \right)}}$
$\;{\underline {I}}={\dfrac {U}{{\underline {Z}}(j\,\omega )}}={\dfrac {j\;C\;\omega \left(R+j\;L\;\omega \right)}{R\left(1-L\;C\;\omega ^{2}\right)+j\;L\;\omega }}\;U\;$
$\;I={\Bigg \vert }{\dfrac {j\;C\;\omega \left(R+j\;L\;\omega \right)}{R\left(1-L\;C\;\omega ^{2}\right)+j\;L\;\omega }}{\Bigg \vert }\;U\;$
$\;I={\dfrac {C\;\omega \;{\sqrt {R^{2}+L^{2}\;\omega ^{2}}}}{\sqrt {R^{2}\left(1-L\;C\;\omega ^{2}\right)^{2}+L^{2}\;\omega ^{2}}}}\;U\;$
$\;I={\sqrt {\dfrac {R^{2}+L^{2}\;\omega ^{2}}{R^{2}\left(1-L\;C\;\omega ^{2}\right)^{2}+L^{2}\;\omega ^{2}}}}\;C\;\omega \;U$
......l'intensité efficace sera indépendante de R si $\;f(R^{2})=\left({\dfrac {I}{C\;\omega \;U}}\right)^{\!2}={\dfrac {R^{2}+L^{2}\;\omega ^{2}}{R^{2}\left(1-L\;C\;\omega ^{2}\right)^{2}+L^{2}\;\omega ^{2}}}\;$ ne dépend pas de $\;R^{2}$ ;
......on cherchera donc la condition pour que $\;{\dfrac {df}{d(R^{2})}}=0\;$ soit, avec $\;{\dfrac {df}{d(R^{2})}}={\dfrac {\left[R^{2}\left(1-L\;C\;\omega ^{2}\right)^{2}+L^{2}\;\omega ^{2}\right]-\left[R^{2}+L^{2}\;\omega ^{2}\right]\left(1-L\;C\;\omega ^{2}\right)^{2}}{\left[R^{2}\left(1-L\;C\;\omega ^{2}\right)^{2}+L^{2}\;\omega ^{2}\right]^{2}}}=$ ${\dfrac {L^{2}\;\omega ^{2}\left[1-\left(1-L\;C\;\omega ^{2}\right)^{2}\right]}{\left[R^{2}\left(1-L\;C\;\omega ^{2}\right)^{\!2}+L^{2}\;\omega ^{2}\right]^{\!2}}}={\dfrac {L^{2}\;\omega ^{2}\left[L\;C\;\omega ^{2}\left(2-L^{2}\;C^{2}\;\omega ^{2}\right)\right]}{\left[R^{2}\left(1-L\;C\;\omega ^{2}\right)^{\!2}+L^{2}\;\omega ^{2}\right]^{2}}}\;$ dont l'annulation est réalisée si $\;L\;C\;\omega ^{2}=2\;$ c'est-à-dire pour la pulsation $\;\omega _{1}={\sqrt {\dfrac {2}{L\;C}}}\;$.

### Dans cette condition évaluation de l'intensité efficace I$_1$ du courant ainsi que l'avance de phase φ$_1$ de la tension sur l'intensité

......La condition précédente étant réalisée déterminer la valeur $\;I_{1}\;$ de l'intensité efficace du courant traversant le circuit et
......La condition précédente étant réalisée déterminer la valeur $\;\varphi _{1}\;$ de l'avance de phase de la tension imposée au circuit sur l'intensité du courant le traversant.
$\;\omega =\omega _{1}\;$
$\;L\;C\;\omega _{1}^{2}=2$
$\;{\underline {I}}_{1}={\dfrac {j\;C\;\omega _{1}\left(R+j\;L\;\omega _{1}\right)}{-R+j\;L\;\omega _{1}}}\;U\;$
$\;I_{1}=\vert |{\underline {I}}_{1}\vert |=C\;\omega _{1}\;U={\sqrt {\dfrac {2\;C}{L}}}\;U$
$\;\varphi _{1}=-\mathrm {arg} \!\left[{\underline {I}}_{1}\right]=$
$-\mathrm {arg} \!\left(j\;C\;\omega _{1}\right)-\mathrm {arg} \!\left(R+j\;L\;\omega _{1}\right)+\mathrm {arg} \!\left(-R+j\;L\;\omega _{1}\right)=-{\dfrac {\pi }{2}}-\arctan \!\left({\dfrac {L\,\omega _{1}}{R}}\right)+\mathrm {arg} \;\left[(-1)(R-j\;L\;\omega _{1})\right]\;$
$\;\mathrm {arg} (-1)=\pi \;$
$\;\varphi _{1}=-{\dfrac {\pi }{2}}-\arctan \!\left({\dfrac {L\,\omega _{1}}{R}}\right)+\pi -\arctan \!\left({\dfrac {L\,\omega _{1}}{R}}\right)\;$
$\;\varphi _{1}={\dfrac {\pi }{2}}-2\,\arctan \!\left({\dfrac {L\,\omega _{1}}{R}}\right)={\dfrac {\pi }{2}}-2\,\arctan \!\left({\dfrac {1}{R}}\;{\sqrt {\dfrac {2\;L}{C}}}\right)$

### Condition supplémentaire pour que la tension et l'intensité soient en phase

......En déduire la condition supplémentaire pour que $\;\varphi _{1}\;$ soit nul.
......$\;\varphi _{1}=0\;$ si $\;\arctan \!\left({\dfrac {L\,\omega _{1}}{R}}\right)=\arctan \!\left({\dfrac {1}{R}}\;{\sqrt {\dfrac {2\;L}{C}}}\right)={\dfrac {\pi }{4}}\;$ ce qui est réalisé si $\;R=L\;\omega _{1}\;$ soit encore $\;R={\sqrt {\dfrac {2\;L}{C}}}$.

## Réponse en intensité d'un circuit “R C série” en parallèle sur une bobine réelle en phase avec la tension imposée de valeur efficace fixée

......On considère le circuit représenté ci-contre où la f.e.m. du générateur de tension parfait est $\;e(t)\;$ sinusoïdale de valeur efficace fixée $\;E\;$ et de pulsation variable $\;\omega$ ; on s'intéresse à la réponse sinusoïdale forcée en $\;i(t)\;$ intensité du courant délivré au circuit ci-contre par le générateur.
......Sous réserve de condition sur $\;r$, $\;R$, $\;L\;$ et $\;C$, il existe une pulsation $\;\omega _{1}\;$ pour laquelle l'intensité $\;i(t)\;$ est en phase avec la tension $\;e(t)$.
......Déterminer la pulsation $\;\omega _{1}\;$ et
......préciser les conditions associées.
......L'intensité $\;i(t)\;$ du courant traversant le circuit et la tension $\;e(t)\;$ aux bornes du circuit seront en phase si l'impédance complexe du circuit entre A et B $\;{\underline {Z_{AB}}}(j\,\omega )\;$ est un réel positif ;
......or $\;{\underline {Z_{AB}}}(j\,\omega )={\dfrac {(r+j\;L\;\omega )\left(R+{\dfrac {1}{j\;C\;\omega }}\right)}{(r+j\;L\;\omega )+\left(R+{\dfrac {1}{j\;C\;\omega }}\right)}}\;$ ce que l'on peut réécrire en multipliant haut et bas par $\;j\;C\;\omega \;$ de façon à obtenir un quotient de polynômes en $\;j\;\omega \;$ sous une 1ère forme $\;{\underline {Z_{AB}}}(j\,\omega )={\dfrac {(r+j\;L\;\omega )\,(1+j\;R\;C\;\omega )}{1-L\;C\;\omega ^{2}+j\;(R+r)\;C\;\omega }}\;$ ou, en développant le numérateur, $\;{\underline {Z_{AB}}}(j\,\omega )={\dfrac {r-R\;L\;C\;\omega ^{2}+j\;(L\;\omega +r\;R\;C\;\omega )}{1-L\;C\;\omega ^{2}+j\;(R+r)\;C\;\omega }}\;$ on en déduit :
$\;\varphi (\omega )=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {Z_{AB}}}(j\,\omega )\right]=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {N}}(j\,\omega )\right]-\mathrm {arg} \!\left[{\underline {D}}(j\,\omega )\right]$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\underline {N}}(j\,\omega )&=&r-R\;L\;C\;\omega ^{2}+j\;(L\;\omega +r\;R\;C\;\omega )&=&j\;(L\;\omega +r\;R\;C\;\omega )\left[1+j\;{\dfrac {R\;L\;C\;\omega ^{2}-r}{L\;\omega +r\;R\;C\;\omega }}\right]\\{\underline {D}}(j\,\omega )&=&1-L\;C\;\omega ^{2}+j\;(R+r)\;C\;\omega &=&j\;(R+r)\;C\;\omega \left[1+j\;{\dfrac {L\;C\;\omega ^{2}-1}{(R+r)\;C\;\omega }}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\mathrm {arg} \!\left[{\underline {N}}(j\,\omega )\right]={\dfrac {\pi }{2}}+\arctan \!\left[{\dfrac {R\;L\;C\;\omega ^{2}-r}{L\;\omega +r\;R\;C\;\omega }}\right]\\\mathrm {arg} \!\left[{\underline {D}}(j\,\omega )\right]={\dfrac {\pi }{2}}+\arctan \!\left[{\dfrac {L\;C\;\omega ^{2}-1}{(R+r)\;C\;\omega }}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;e(t)\;$
$\;i(t)\;$
$\;\varphi (\omega )=\arctan \!\left[{\dfrac {R\;L\;C\;\omega ^{2}-r}{L\;\omega +r\;R\;C\;\omega }}\right]-\arctan \!\left[{\dfrac {L\;C\;\omega ^{2}-1}{(R+r)\;C\;\omega }}\right]\;$
......il reste à écrire que $\;\varphi (\omega _{1})=0\;$ soit encore $\;\arctan \!\left[{\dfrac {R\;L\;C\;\omega _{1}^{2}-r}{L\;\omega _{1}+r\;R\;C\;\omega _{1}}}\right]=\arctan \!\left[{\dfrac {L\;C\;\omega _{1}^{2}-1}{(R+r)\,C\;\omega _{1}}}\right]\;$ ou $\;{\dfrac {R\;L\;C\;\omega _{1}^{2}-r}{L+r\;R\;C}}={\dfrac {L\;C\;\omega _{1}^{2}-1}{(R+r)\;C}}\;$ réalisée pour $\;\omega _{1}\;$ telle que $\;\left[R\;L\;C^{2}\;(R+r)-(L+r\;R\;C)\;L\;C\right]\omega _{1}^{2}=r\;(R+r)\;C-L-r\;R\;C\;$ ou, après simplification $\;\omega _{1}^{2}={\dfrac {r^{2}\;C-L}{L\;C\;(R^{2}\;C-L)}}\;$ ;
......cette pulsation $\;\omega _{1}\;$ existe si
* $\;r\;$ et $\;R\;$ sont toutes deux $\;>{\sqrt {\dfrac {L}{C}}}\;$ ou
* ..............................toutes deux $\;<{\sqrt {\dfrac {L}{C}}}$,
$\;\omega _{1}={\dfrac {1}{\sqrt {L\;C}}}\;{\sqrt {\dfrac {r^{2}\;C-L}{R^{2}\;C-L}}}$
$\;{\underline {Z}}_{AB}(j\,\omega _{1})={\dfrac {r-R\;L\;C\;\omega _{1}^{2}+j\;(L\;\omega _{1}+r\;R\;C\;\omega _{1})}{1-L\;C\;\omega _{1}^{2}+j\;(R+r)\;C\;\omega _{1}}}\;$
$\;{\underline {Z}}_{AB}(j\,\omega _{1})={\dfrac {L+r\;R\;C}{(R+r)\;C}}\;$

## Montage déphaseur

......On considère le circuit ci-contre où on étudie la réponse sinusoïdale forcée en $\;u(t)=U\,{\sqrt {2}}\,\cos(\omega \,t+\varphi )\;$ tension de sortie du pont d'impédances en r.s.f. de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ alimenté en entrée par $\;e(t)=E\;{\sqrt {2}}\;\cos(\omega \;t)$ ;

### Tension efficace de sortie indépendante de R, L et C

......Déterminer la tension efficace complexe de sortie $\;{\underline {U}}=U\;\exp \!\left(j\,\varphi \right)\;$ en fonction de la tension efficace complexe d'entrée $\;E\;$, des grandeurs caractérisant le pont de type Wheatstone et de la pulsation $\;\omega \;$ du r.s.f. ;
......en déduire la tension efficace de sortie $\;U\;$ et vérifier qu'elle est indépendante de $\;R$, $\;L\;$ et $\;C$.
......Il s'agit d'un pont de type Wheatstone en sortie ouverte représenté ci-contre en complexe associée au r.s.f. de fréquence $\;f=$ ${\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ alimenté en entrée par $\;{\underline {e}}(t)=E\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$, la tension instantanée complexe de sortie $\;{\underline {u}}(t)={\underline {U}}\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$ s'identifiant à la f.e.m. instantanée complexe de Thévenin $\;{\underline {e_{\text{Th}}}}(t)={\underline {v_{A}}}(t)-{\underline {v_{B}}}(t)\;$ où $\;{\underline {v_{A}}}(t)\;$ et $\;{\underline {v_{A}}}(t)\;$ sont respectivement les potentiels instantanés complexes des bornes $\;A\;$ et $\;B$, peut être déterminée par théorème de Millmann en $\;A\;$ puis $\;B\;$, la masse ayant été choisie en $\;D\;$ le potentiel instantané complexe en $\;F\;$ étant $\;{\underline {v_{F}}}(t)={\underline {e}}(t)\;$ soit :
......application du théorème de Millman en A : $\;{\underline {v_{A}}}(t)={\dfrac {{\dfrac {{\underline {e}}(t)}{R}}+0\,j\,C\,\omega }{{\dfrac {1}{R}}+j\,C\,\omega }}={\dfrac {{\underline {e}}(t)}{1+j\,R\,C\,\omega }}$,
......application du théorème de Millman en B : $\;{\underline {v_{B}}}(t)={\dfrac {{\dfrac {{\underline {e}}(t)}{j\,L\,\omega }}+{\dfrac {0}{j\,L\,\omega }}}{\dfrac {2}{j\,L\,\omega }}}={\dfrac {{\underline {e}}(t)}{2}}$,
$\;{\underline {e_{\text{Th}}}}(t)={\dfrac {{\underline {e}}(t)}{1+j\,R\,C\,\omega }}-{\dfrac {{\underline {e}}(t)}{2}}={\dfrac {{\underline {e}}(t)\left[2-(1+j\,R\,C\,\omega )\right]}{2\,(1+j\,R\,C\,\omega )}}\;$
$\;{\underline {u}}(t)={\underline {e_{\text{Th}}}}(t)={\dfrac {{\underline {e}}(t)}{2}}\,{\dfrac {1-j\,R\,C\,\omega }{1+j\,R\,C\,\omega }}\;$
$\;{\underline {U}}={\dfrac {E}{2}}\,{\dfrac {1-j\,R\,C\,\omega }{1+j\,R\,C\,\omega }}$
$\;U=\vert {\underline {U}}\vert ={\dfrac {E}{2}}\;{\bigg \vert }{\dfrac {1-j\,R\,C\,\omega }{1+j\,R\,C\,\omega }}{\bigg \vert }={\dfrac {E}{2}}\;$
......c'est-à-dire que la tension efficace de sortie $\;U\;$ est effectivement indépendante de $\;R$, $\;L\;$ et $\;C$.

### Avance de phase de la tension de sortie sur la tension d'entrée et justification du nom du montage

......Exprimer l'avance de phase $\;\varphi \;$ de la tension de sortie $\;u(t)\;$ sur celle d'entrée $\;e(t)\;$ et
......préciser comment $\;\varphi \;$ varie lorsque l'on fait varier $\;R\;$ de 0 à $\;\infty$.
......Justifier le nom du montage.
......La phase à l'origine de $\;u(t)\;$ se détermine par $\;\varphi =\mathrm {arg} \!({\underline {U}})=-2\,\arctan(R\,C\,\omega )\;$ ;
......$\;\varphi \searrow \;$ de 0 à $\;-\pi \;$ quand $\;R\nearrow \;$ de 0 à $\;\infty \;$ et ainsi seule la phase varie (l'amplitude restant constante).
......Le nom de « montage déphaseur » résulte du fait que la tension de sortie est d'amplitude constante (la moitié de l'amplitude de la tension d'entrée) et qu'il est possible de régler son avance de phase par rapport à la tension d'entrée grâce à la résistance variable R $\;{\bigg$comme l'avance de phase de $\;u(t)\;$ sur $\;e(t)\;$ est négative, cela veut dire que $\;u(t)\;$ est en fait en retard de phase par rapport à $\;e(t)$, ce retard variant de 0 à $\;\pi$, tensions d'entrée et de sortie quasiment en phase pour $\;R\;$ très faible et quasiment en opposition de phase pour $\;R\;$ très grande, la tension de sortie étant en quadrature retard sur celle d'entrée pour $\;R={\dfrac {1}{C\,\omega }}{\bigg ]}$.

## R.D.L.A. en r.s.f. équivalent, pour une fréquence particulière, à un générateur de courant quand il est fermé sur un conducteur ohmique

......On considère le circuit ci-contre dans lequel le générateur de fonctions délivre une f.e.m. instantanée sinusoïdale $\;e(t)=E\,{\sqrt {2}}\,\sin(\omega \,t)\;$, de valeur efficace $\;E\;$ fixée et de pulsation $\;\omega \;$ que l'on fait varier ; de plus, son dipôle passif interne est supposé d'impédance négligeable.
......Le reste du circuit est composé d'un pont diviseur de tension en r.s.f. dont le D.P.L. d'attaque est un condensateur de capacité $\;C\;$ et le D.P.L. aux bornes duquel est la sortie est une bobine parfaite d'inductance propre $\;L$ ; on place en sortie un conducteur ohmique de résistance $\;R$.

### Valeur de la pulsation pour que l'intensité efficace du courant traversant R soit indépendante de R

......Déterminer l'intensité instantanée complexe $\;{\underline {i}}(t)={\underline {I}}\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$ du courant circulant dans le conducteur ohmique avec $\;{\underline {I}}=I\;\exp \!\left(j\,\varphi \right)\;$ intensité efficace complexe puis
......en déduire cette dernière $\;{\underline {I}}\;$ ainsi que l'intensité efficace $\;I$ ;
......déterminer la valeur de la pulsation $\;\omega _{1}\;$ pour laquelle l'intensité efficace $\;I\;$ traversant le conducteur ohmique est indépendante de $\;R$.
......Bien sûr il convient de refaire le schéma en représentation complexe.
......On travaille en sinusoïdal forcé et on associe à $\;e(t)=E\,{\sqrt {2}}\,\sin(\omega \,t)$, la f.e.m. instantanée complexe $\;{\underline {e}}(t)=E\,{\sqrt {2}}\,\exp(j\,\omega \,t)\;$.
......Mettons B à la masse et appliquons le théorème de Millmann complexe en A, en considérant que le dipôle délivre un courant d'intensité instantanée complexe $\;{\underline {i}}(t)\;$, on obtient : $\;{\underline {v_{A}}}(t)={\dfrac {j\,C\,\omega \,{\underline {e}}(t)+{\dfrac {0}{j\,L\,\omega }}-{\underline {i}}(t)}{j\,C\,\omega +{\dfrac {1}{j\,L\,\omega }}}}={\dfrac {-L\,C\,\omega ^{2}\,{\underline {e}}(t)-j\,L\,\omega \,{\underline {i}}(t)}{1-L\,C\,\omega ^{2}}}$ ;
$\;{\underline {v_{B}}}(t)=0\;$
$\;{\underline {u_{AB}}}(t)={\underline {v_{A}}}(t)-{\underline {v_{B}}}(t)={\dfrac {-L\,C\,\omega ^{2}\,{\underline {e}}(t)-j\,L\,\omega \,{\underline {i}}(t)}{1-L\,C\,\omega ^{2}}}\;$
$\;R\;$
$\;{\underline {u_{AB}}}(t)=R\,{\underline {i}}(t)\;$
$\;{\dfrac {-L\,C\,\omega ^{2}\,{\underline {e}}(t)-j\,L\,\omega \,{\underline {i}}(t)}{1-L\,C\,\omega ^{2}}}=R\,{\underline {i}}(t)\;$
$\Leftrightarrow$
$\;{\dfrac {-L\,C\,\omega ^{2}\,{\underline {e}}(t)}{1-L\,C\,\omega ^{2}}}=$
$\left[{\dfrac {j\,L\,\omega }{1-L\,C\,\omega ^{2}}}+R\right]{\underline {i}}(t)\;$
$\;{\underline {i}}(t)={\dfrac {\dfrac {-L\,C\,\omega ^{2}\,{\underline {e}}(t)}{1-L\,C\,\omega ^{2}}}{{\dfrac {j\,L\,\omega }{1-L\,C\,\omega ^{2}}}+R}}\;$
$\;{\underline {i}}(t)={\dfrac {-L\,C\,\omega ^{2}\,{\underline {e}}(t)}{j\,L\,\omega +R\left(1-L\,C\,\omega ^{2}\right)}}\;$
$\;{\underline {I}}={\dfrac {-L\,C\,\omega ^{2}\,E}{j\,L\,\omega +R\left(1-L\,C\,\omega ^{2}\right)}}\;$
$\;I=\vert {\underline {I}}\vert ={\dfrac {L\,C\,\omega ^{2}}{\sqrt {R^{2}\,\left(1-L\,C\,\omega ^{2}\right)^{2}+L^{2}\,\omega ^{2}}}}\;E$
......laquelle sera indépendante de $\;R\;$ si $\;1-L\,C\,\omega ^{2}=0\;$ c'est-à-dire pour la pulsation $\;\omega _{1}={\dfrac {1}{\sqrt {L\;C}}}$ ;
......pour $\;\omega _{1}\;$ l'intensité efficace complexe vaut $\;{\underline {I}}(\omega _{1})={\dfrac {-{\underline {E}}}{j\,L\,\omega _{1}}}={\dfrac {j\,{\underline {E}}}{L\,\omega _{1}}}=j\,C\,\omega _{1}\,{\underline {E}}\;$ ce qui montre que la phase de $\;i(t)\;$ est également indépendante de $\;R\;$ $\;{\bigg$plus précisément, la phase initiale de $\;e(t)\;$ étant nulle, celle de $\;i(t)\;$ vaut $\;\varphi _{i}={\dfrac {\pi }{2}}{\bigg ]}$ ;
$\;\omega _{1}$
$\;i(t)=C\,\omega _{1}\,E\,{\sqrt {2}}\,\sin \!\left(\omega _{1}\,t+{\dfrac {\pi }{2}}\right)\;$
$\;i(t)=C\,\omega _{1}\,E\,{\sqrt {2}}\,\cos \!\left(\omega _{1}\,t\right)$

### Sous condition de cette pulsation, circuit équivalent à un générateur de courant

......Vérifier qu'à cette pulsation $\;\omega _{1}\;$ le P.D.T. situé entre $\;A\;$ et $\;B\;$ dans la partie en pointillés est équivalent (lorsqu'il est branché aux bornes d'un conducteur ohmique) à une source de courant parfaite dont on donnera le c.e.m. en fonction des données.
$\;AB\;$
$\;\eta (t)=C\,\omega _{1}\,E\,{\sqrt {2}}\,\cos \left(\omega _{1}\,t\right)\;$
$\;\eta (t)={\dfrac {E}{L\,\omega _{1}}}\,{\sqrt {2}}\,\cos \left(\omega _{1}\,t\right)={\sqrt {\dfrac {C}{L}}}\,E\,{\sqrt {2}}\,\cos \left(\omega _{1}\,t\right)\;$

## Modèle de Thévenin d'un réseau dipolaire linéaire actif

......On considère le circuit ci-contre alimenté entre $\;A\;$ et $\;B\;$ par une source de tension sinusoïdale de f.e.m. $\;e(t)=$ $E\,{\sqrt {2}}\ \cos(\omega \,t)\;$ ; à la sortie de cette source de tension sinusoïdale on branche un « pont diviseur de tension en r.s.f. à deux étages » constitué
* d'un 1er étage alimenté par $\;e(t)=E\,{\sqrt {2}}\ \cos(\omega \,t)\;$, de D.P.L. d'attaque composé d'un conducteur ohmique de résistance $\;R$, la sortie de ce 1er étage étant aux bornes d'une bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$ et
* d'un 2e étage alimenté par la sortie du 1er étage, de D.P.L. d'attaque composé d'un conducteur ohmique de même résistance $\;R$, la sortie de ce 2e étage étant aux bornes d'un condensateur de capacité $\;C$ ;
......de plus pour ce circuit la fréquence du générateur est telle que $\;L\,C\,\omega ^{2}=1\;$ et $\;R\,C\,\omega =1$.
......Déterminer les caractéristiques du générateur de Thévenin complexe équivalent au R.D.L.A. ci-dessus en complexe associé au r.s.f. de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ entre $\;F\;$ et $\;G\;$ en supposant que le R.D.L.A. délivre un courant sortant par $\;F\;$ et entrant par $\;G\;$ d'intensité instantanée complexe $\;{\underline {i}}(t)={\underline {I}}\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)$.
......Nous déterminerons le générateur de Thévenin complexe équivalent au R.D.L.A. ci-contre par utilisation du théorème de Millman en $\;F\;$ puis en $\;D\;$ en ayant choisi la masse en $\;G$.
$\;{\underline {v_{F}}}(t)={\dfrac {{\dfrac {{\underline {v_{D}}}(t)}{R}}+{\dfrac {0}{{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )}}-{\underline {i}}(t)}{{\dfrac {1}{R}}+{\dfrac {1}{{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )}}}}={\dfrac {{\dfrac {{\underline {v_{D}}}(t)}{R}}-{\underline {i}}(t)}{{\dfrac {1}{R}}+j\,C\,\omega }}\;$
$\;{\underline {v_{F}}}(t)={\dfrac {{\underline {v_{D}}}(t)-R\,{\underline {i}}(t)}{1+j\,R\,C\,\omega }}\;$
$\;R\,C\,\omega =1$
$\;{\underline {v_{F}}}(t)={\dfrac {{\underline {v_{D}}}(t)-R\,{\underline {i}}(t)}{1+j}}$
$\;{\underline {v_{B}}}(t)={\underline {v_{G}}}(t)=0\;$
$\Rightarrow$
$\;{\underline {v_{A}}}(t)={\underline {e}}(t)\;$
$\;{\underline {v_{D}}}(t)={\dfrac {{\dfrac {{\underline {e}}(t)}{R}}+{\dfrac {0}{{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )}}+{\dfrac {{\underline {v_{F}}}(t)}{R}}}{{\dfrac {1}{R}}+{\dfrac {1}{{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )}}+{\dfrac {1}{R}}}}={\dfrac {{\dfrac {{\underline {e}}(t)}{R}}+{\dfrac {{\underline {v_{F}}}(t)}{R}}}{{\dfrac {2}{R}}+{\dfrac {1}{j\,L\,\omega }}}}\;$
$\;{\underline {v_{D}}}(t)={\dfrac {j\,L\,\omega \left[{\underline {e}}(t)+{\underline {v_{F}}}(t)\right]}{R+2\,j\,L\,\omega }}\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}L\,C\,\omega ^{2}=1={\dfrac {L\,\omega }{R}}\;R\,C\,\omega \;&\Rightarrow &\;{\dfrac {L\,\omega }{R}}={\dfrac {1}{R\,C\,\omega }}\;\;({\mathfrak {1}})\\R\,C\,\omega =1\;\;{\text{et}}\;\;({\mathfrak {1}})\;&\Rightarrow &\;{\dfrac {L\,\omega }{R}}=1\;\Leftrightarrow \;L\,\omega =R\end{array}}\right\rbrace$
$\;{\underline {v_{D}}}(t)={\dfrac {j\,R\left[{\underline {e}}(t)+{\underline {v_{F}}}(t)\right]}{R+2\,j\,R}}={\dfrac {j\left[{\underline {e}}(t)+{\underline {v_{F}}}(t)\right]}{1+2\,j}}={\dfrac {{\underline {e}}(t)+{\underline {v_{F}}}(t)}{2-j}}\;$
$\;{\underline {v_{D}}}(t)\;$
$\;{\underline {v_{F}}}(t)\;$
$\;{\underline {v_{F}}}(t)={\dfrac {{\dfrac {{\underline {e}}(t)+{\underline {v_{F}}}(t)}{2-j}}-R\,{\underline {i}}(t)}{1+j}}=$
${\dfrac {{\underline {e}}(t)+{\underline {v_{F}}}(t)-R\,(2-j)\,{\underline {i}}(t)}{(1+j)\,(2-j)}}={\dfrac {{\underline {e}}(t)+{\underline {v_{F}}}(t)-R\,(2-j)\,{\underline {i}}(t)}{3+j}}\;$
$\;{\underline {v_{F}}}(t)\left[(3+j)-1\right]={\underline {e}}(t)-R\,(2-j)\,{\underline {i}}(t)\;$
$\;{\underline {v_{F}}}(t)={\dfrac {{\underline {e}}(t)}{2+j}}-{\dfrac {2-j}{2+j}}\;R\;{\underline {i}}(t)$
......Finalement le générateur de Thévenin complexe équivalent au R.D.L.A. complexe associé au r.s.f. de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ a pour
* f.e.m. instantanée complexe (de Thévenin) $\;{\underline {e_{\text{Th}}}}(t)={\dfrac {{\underline {e}}(t)}{2+j}}={\dfrac {E}{2+j}}\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$ à laquelle correspond la f.e.m. efficace complexe (de Thévenin) $\;{\underline {E_{\text{Th}}}}={\dfrac {E}{2+j}}\;$ dont on tire la f.e.m. efficace (de Thévenin) en en prenant le module soit $\;E_{\text{Th}}={\dfrac {E}{\sqrt {5}}}\;$ et la phase à l'origine de la f.e.m. instantanée (de Thévenin) en en prenant l'argument $\;\varphi _{e_{\text{Th}}}=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {E_{\text{Th}}}}\right]=-\arctan \!\left({\dfrac {1}{2}}\right)\simeq -26,6\;{\text{°}}\;$ et
* impédance complexe (de Thévenin) $\;{\underline {z_{\text{Th}}}}={\dfrac {2-j}{2+j}}\;R={\dfrac {(2-j)^{2}}{5}}\;R={\dfrac {3-4\,j}{5}}\;R$, de résistance $\;r_{\text{Th}}=\Re e\!\left[{\underline {z_{\text{Th}}}}\right]={\dfrac {3\,R}{5}}$, de réactance (capacitive) $\;x_{\text{Th}}=$ $\Im m\!\left[{\underline {z_{\text{Th}}}}\right]=-{\dfrac {4\,R}{5}}\;$ et d'impédance $\;z_{\text{Th}}=\vert {\underline {z_{\text{Th}}}}\vert =R$.

## Ponts d'impédances

......On étudie successivement les trois ponts universels d'impédances en r.s.f. de fréquence fixe $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}$ ; on admettra que le R.D.L.A. en complexe associée au r.s.f. aux bornes duquel est branché un détecteur est équivalent à un générateur de Thévenin complexe de f.e.m. instantanée complexe s'annulant si $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )={\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )\;$ à condition que $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\neq 0\\{\text{et}}\\{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )\neq 0\end{array}}\right\rbrace \;$ avec $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;$ et $\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;$ de part et d'autre d'une des bornes reliée au détecteur ainsi que $\;{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )\;$ et $\;{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )\;$ de part et d'autre de l'autre borne reliée au détecteur, les indices $\;_{1},\;_{2},\;_{3},\;_{4}\;$ correspondant à la disposition des impédances en circulation dans le sens horaire (ou trigonométrique direct).

### Pont de Sauty parallèle en r.s.f.

......Le 1er pont est le pont de Sauty parallèle : (voir schéma ci-contre) ce pont (de type P/Q) sert à mesurer la capacité $\;C\;$ d'un condensateur avec résistance de fuite $\;R$, à l’aide d'un conducteur ohmique étalon de résistance $\;R_{1}\;$ variable et d'un condensateur (parfait) étalon de capacité variable $\;C_{1}\;$ monté en parallèle sur la même branche, les deux autres D.P.L. étant des conducteurs ohmiques étalon.
...........Le 1er pont est le pont de Sauty parallèle : Vérifier que le R.D.L.A. branché aux bornes du détecteur vérifie les conditions d'équivalence à un générateur de Thévenin en complexe associée au r.s.f. de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ et
...........Le 1er pont est le pont de Sauty parallèle : déterminer les valeurs de $\;C\;$ et de $\;R\;$ du condensateur étudié en fonction des autres grandeurs étalon en écrivant la condition d'équilibre du pont en complexe.
......Il convient bien sûr de refaire le schéma ci-dessus en complexe associée au r.s.f. de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ dans lequel les impédances complexes sont les suivantes : $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )={\dfrac {R_{1}\;{\dfrac {1}{j\;C_{1}\;\omega }}}{R_{1}+{\dfrac {1}{j\;C_{1}\;\omega }}}}={\dfrac {R_{1}}{1+j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega }}$, $\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )=R_{2}$, $\;{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )=R_{3}\;$ et $\;{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )={\dfrac {R\;{\dfrac {1}{j\;C\;\omega }}}{R+{\dfrac {1}{j\;C\;\omega }}}}={\dfrac {R}{1+j\;R\;C\;\omega }}$.
......On vérifie que $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )={\dfrac {R_{1}}{1+j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega }}+R_{2}\neq 0\;\;\forall \;\omega \;$ et $\;{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )=R_{3}+{\dfrac {R}{1+j\;R\;C\;\omega }}\neq 0\;\;\forall \;\omega \;$ d'où l'existence d'un générateur de Thévenin complexe équivalent au R.D.L.A. branché aux bornes du détecteur.
......La condition d'équilibre du pont étant $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )={\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )\;$ s'écrit $\;{\dfrac {R_{1}}{1+j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega }}\;R_{3}=R_{2}\;{\dfrac {R}{1+j\;R\;C\;\omega }}\;$ dont on tire l'impédance complexe cherchée $\;{\dfrac {R}{1+j\;R\;C\;\omega }}={\dfrac {R_{3}}{R_{2}}}\;{\dfrac {R_{1}}{1+j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega }}\;$ soit, en mettant chaque membre sous forme algébrique $\;{\dfrac {R\;(1-j\;R\;C\;\omega )}{1+R^{2}\;C^{2}\;\omega ^{2}}}={\dfrac {R_{3}}{R_{2}}}\;{\dfrac {R_{1}\;(1-j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega )}{1+R_{1}^{2}\;C_{1}^{2}\;\omega ^{2}}}\;$ et en identifiant parties réelles et parties imaginaires de chaque membre $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\dfrac {R}{1+R^{2}\;C^{2}\;\omega ^{2}}}={\dfrac {R_{3}}{R_{2}}}\;{\dfrac {R_{1}}{1+R_{1}^{2}\;C_{1}^{2}\;\omega ^{2}}}\\-R\;{\dfrac {R\;C\;\omega }{1+R^{2}\;C^{2}\;\omega ^{2}}}=-{\dfrac {R_{3}\;R_{1}}{R_{2}}}\;{\dfrac {R_{1}\;C_{1}\;\omega }{1+R_{1}^{2}\;C_{1}^{2}\;\omega ^{2}}}\end{array}}\right\rbrace$ ;
......on résout le système des deux équations non linéaires en $\;R\;$ et $\;C\;$
* en divisant membre à membre la 2e équation par la 1ère soit $\;-R\;C\;\omega =-R_{1}\;C_{1}\;\omega \;$ d'où $\;R\;C\;\omega =R_{1}\;C_{1}\;\omega \;$ ou $\;R\;C=R_{1}\;C_{1}\;$ entraînant, par report dans la 2e équation et simplification évidente $\;-R\;{\cancel {\dfrac {R_{1}\;C_{1}\;\omega }{1+R_{1}^{2}\;C_{1}^{2}\;\omega ^{2}}}}=-{\dfrac {R_{3}\;R_{1}}{R_{2}}}\;{\cancel {\dfrac {R_{1}\;C_{1}\;\omega }{1+R_{1}^{2}\;C_{1}^{2}\;\omega ^{2}}}}\;$ soit $\;R={\dfrac {R_{3}\;R_{1}}{R_{2}}}\;$ d'une part
* et d'autre part, en réinjectant l'expression de $\;R\;$ dans $\;R\;C=R_{1}\;C_{1}\;$ on en déduit $\;C=C_{1}\;{\dfrac {R_{1}}{\dfrac {R_{3}\;R_{1}}{R_{2}}}}\;$ soit $\;C=C_{1}\;{\dfrac {R_{2}}{R_{3}}}$.
......La condition d'équilibre étant réalisée quelle que soit la fréquence, on se place donc d'abord en régime permanent (les condensateurs ne jouant alors aucun rôle) et on règle $\;R_{1}\;$ pour obtenir un courant nul, on en déduit alors la valeur de $\;R$ ;
......La condition d'équilibre étant réalisée quelle que soit la fréquence, ce réglage étant fait, on passe en sinusoïdal et on règle la valeur de $\;C_{1}$ sans modifier $\;R_{1}\;$ pour retrouver un courant d'intensité instantanée nulle, on en déduit alors la valeur de $\;C$.

### Pont de Maxwell en r.s.f.

......Le 2e pont est le pont de Maxwell : (voir schéma ci-contre) ce pont (de type PQ) sert à mesurer l'inductance propre $\;L\;$ et la résistance $\;R\;$ d'une bobine, à l’aide d'un conducteur ohmique étalon de résistance $\;R_{1}\;$ variable et d'un condensateur (parfait) étalon de capacité variable $\;C_{1}\;$ monté en parallèle sur la même branche, les deux autres D.P.L. étant des conducteurs ohmiques étalon.
...........Le 2e pont est le pont de Maxwell : Vérifier que le R.D.L.A. branché aux bornes du détecteur vérifie les conditions d'équivalence à un générateur de Thévenin en complexe associée au r.s.f. de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ et
...........Le 2e pont est le pont de Maxwell : déterminer les valeurs de $\;L\;$ et de $\;R\;$ de la bobine étudiée en fonction des autres grandeurs étalon en écrivant la condition d'équilibre du pont en complexe.
......Il convient bien sûr de refaire le schéma ci-dessus en complexe associée au r.s.f. de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ dans lequel les impédances complexes sont les suivantes : $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )={\dfrac {R_{1}\;{\dfrac {1}{j\;C_{1}\;\omega }}}{R_{1}+{\dfrac {1}{j\;C_{1}\;\omega }}}}={\dfrac {R_{1}}{1+j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega }}$, $\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )=R_{2}$, $\;{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )=R+j\;L\;\omega \;$ et $\;{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )=R_{3}$.
......On vérifie que $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )={\dfrac {R_{1}}{1+j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega }}+R_{2}\neq 0\;\;\forall \;\omega \;$ et $\;{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )=R+j\;L\;\omega +R_{3}\neq 0\;\;\forall \;\omega \;$ d'où l'existence d'un générateur de Thévenin complexe équivalent au R.D.L.A. branché aux bornes du détecteur.
......La condition d'équilibre du pont étant $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )={\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )\;$ s'écrit $\;{\dfrac {R_{1}}{1+j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega }}\left[R+j\;L\;\omega \right]=R_{2}\;R_{3}\;$ dont on tire l'impédance complexe cherchée $\;R+j\;L\;\omega =R_{2}\;R_{3}\;{\dfrac {1+j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega }{R_{1}}}\;$ soit, en identifiant parties réelles et parties imaginaires de chaque membre $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}R={\dfrac {R_{2}\;R_{3}}{R_{1}}}\\L\;{\cancel {\omega }}=R_{2}\;R_{3}\;C_{1}\;{\cancel {\omega }}\end{array}}\right\rbrace$.
......La condition d'équilibre étant réalisée quelle que soit la fréquence, on se place donc d'abord en régime permanent (le condensateur et la partie inductive de la bobine ne jouant alors aucun rôle) et on règle $\;R_{1}\;$ pour obtenir un courant nul, on en déduit alors la valeur de $\;R$ ;
......La condition d'équilibre étant réalisée quelle que soit la fréquence, ce réglage étant fait, on passe en sinusoïdal et on règle la valeur de $\;C_{1}$ sans modifier $\;R_{1}\;$ pour retrouver un courant d'intensité instantanée nulle, on en déduit alors la valeur de $\;L$.

### Pont de Robinson en r.s.f.

......Le 3e pont est le pont de Robinson : (voir schéma ci-contre) ce pont (de type P/Q, sert à mesurer la fréquence à l'aide d'une part d'un conducteur ohmique étalon de résistance $\;R_{1}\;$ variable et d'un condensateur (parfait) étalon de capacité fixe $\;C_{1}\;$ monté en parallèle sur une même branche et d'autre part d'un même conducteur ohmique étalon de résistance $\;R_{1}\;$ variable (les deux résistances $\;R_{1}\;$ restant couplées dans leur variation) et d'un condensateur (parfait) étalon de capacité fixe $\;C_{1}\;$ monté en série sur une même autre branche, les deux autres D.P.L. étant des conducteurs ohmiques étalon.
...........Le 3e pont est le pont de Robinson : Vérifier que le R.D.L.A. branché aux bornes du détecteur vérifie les conditions d'équivalence à un générateur de Thévenin en complexe associée au r.s.f. de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ et
...........Le 3e pont est le pont de Robinson : déterminer la valeur de la fréquence $\;f\;$ en fonction des autres grandeurs étalon en écrivant la condition d'équilibre du pont en complexe.
......Il convient bien sûr de refaire le schéma ci-dessus en complexe associée au r.s.f. de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ dans lequel les impédances complexes sont les suivantes : $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )={\dfrac {R_{1}\;{\dfrac {1}{j\;C_{1}\;\omega }}}{R_{1}+{\dfrac {1}{j\;C_{1}\;\omega }}}}={\dfrac {R_{1}}{1+j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega }}$, $\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )=R_{2}$, $\;{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )=R_{3}\;$ et $\;{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )=R_{1}+{\dfrac {1}{j\;C_{1}\;\omega }}={\dfrac {1+j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega }{j\;C_{1}\;\omega }}$.
......On vérifie que $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )={\dfrac {R_{1}}{1+j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega }}+R_{2}\neq 0\;\;\forall \;\omega \;$ et $\;{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )=R_{3}+{\dfrac {1+j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega }{j\;C_{1}\;\omega }}\neq 0\;\;\forall \;\omega \;$ d'où l'existence d'un générateur de Thévenin complexe équivalent au R.D.L.A. branché aux bornes du détecteur.
......La condition d'équilibre du pont étant $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )={\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )\;$ s'écrit $\;{\dfrac {R_{1}}{1+j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega }}\;R_{3}=R_{2}\;{\dfrac {1+j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega }{j\;C_{1}\;\omega }}\;$ dont on tire l'équation suivante $\;{\dfrac {(1+j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega )^{2}}{j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega }}={\dfrac {R_{3}}{R_{2}}}\;$ soit, en développant le numérateur du 1er membre $\;{\dfrac {(1-R_{1}^{2}\;C_{1}^{2}\;\omega ^{2})+2\;j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega }{j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega }}={\dfrac {R_{3}}{R_{2}}}\;$ ou $\;2-j\;{\dfrac {(1-R_{1}^{2}\;C_{1}^{2}\;\omega ^{2})}{R_{1}\;C_{1}\;\omega }}={\dfrac {R_{3}}{R_{2}}}\;$ soit finalement, en identifiant les parties réelles et imaginaires de chaque membre $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}2&=&{\dfrac {R_{3}}{R_{2}}}\\-{\dfrac {(1-R_{1}^{2}\;C_{1}^{2}\;\omega ^{2})}{R_{1}\;C_{1}\;\omega }}&=&0\end{array}}\right\rbrace$ ;
......il faut adapter les conducteurs ohmiques étalon de résistance $\;R_{3}\;$ et $\;R_{2}\;$ telles que $\;R_{3}=2\;R_{2}\;$ et
......la pulsation $\;\omega \;$ est alors telle que $\;R_{1}\;C_{1}\;\omega =1\;$ soit $\;\omega ={\dfrac {1}{R_{1}\;C_{1}}}$, la fréquence s'obtenant par $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}={\dfrac {1}{2\;\pi \;R_{1}\;C_{1}}}$.
......La relation liant les deux résistances étalon $\;R_{3}=2\;R_{2}\;$ étant réalisée, on se place en régime sinusoïdal à la fréquence souhaitée et on règle $\;R_{1}\;$ pour obtenir un courant d'intensité instantanée nulle, on en déduit alors la valeur de la fréquence $\;f\;$.