# Signaux physiques (PCSI)/Filtrage linéaire : gabarit d'un filtre
## Définition du gabarit d'un filtre
### Introduction : fonction d'un filtre

......La fonction d'un filtre est de récupérer, dans un ensemble de signaux reçus, le signal utile et de le manipuler pour en retirer une information précise (exemple : un récepteur radio recevant un ensemble d'ondes électromagnétiques radiophoniques en sélectionne une et la traite pour la transformer en ondes sonores audibles$\;\ldots {\big )}$
......Le filtre doit donc :
* éliminer tous les signaux inutiles,
* transmettre sans atténuation et ni déformation (c'est-à-dire sans déphasage pour un signal sinusoïdal) et enfin
* traiter l'information.
......Un filtre réel ne possède pas toutes ces propriétés car
* d'une part le signal utile est en général atténué et déformé (ou déphasé s'il est sinusoïdal) et
* d'autre part le passage entre les fréquences transmises et absorbées n'est pas brutal mais progressif.

### Définition du gabarit d'un filtre en termes d'amplitude

......Le plus simple est de le définir sur l'exemple d'un « filtre passe-bas » et pour cela il faut préciser :
* la dernière fréquence passante $\;f_{p}$, « le filtre doit laisser passer toutes les fréquences $\;f<f_{p}$ »,
* le gain minimum en dB $\;G_{dB,\,{\text{sup}}}\;$ pour les fréquences passantes, « le gain associé aux fréquences passantes doit être $\;G_{dB,\,p}>G_{dB,\,{\text{sup}}}$ »,
* la première fréquence absorbée $\;f_{a}$, « le filtre doit arrêter toutes les fréquences $\;f>f_{a}$ »,
* le gain maximum en dB $\;G_{dB,\,{\text{inf}}}\;$ pour les fréquences absorbées, « le gain associé aux fréquences absorbéees doit être $\;G_{dB,\,a}<G_{dB,\,{\text{inf}}}$ ».
......Par exemple si on choisit $\;G_{dB,\,{\text{sup}}}=-3\;dB\;$ et $\;G_{dB,\,{\text{inf}}}=-60\;dB$, cela signifie
* que toutes les fréquences passantes sont telles que $\;G_{dB,\,p}=20\;\log \!\left[{\dfrac {S_{p}}{E}}\right]>-3\;dB=20\;\log \!\left[{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\right]\;$ soit $\;S_{p}>{\dfrac {E}{\sqrt {2}}}\simeq 0,7\;E\;$ et
* que toutes les fréquences absorbées sont telles que $\;G_{dB,\,a}=20\;\log \!\left[{\dfrac {S_{a}}{E}}\right]<-60\;dB=20\;\log \!\left[10^{-3}\right]\;$ soit $\;S_{a}<10^{-3}\;E=0,001\;E$ ;
......sur cet exemple l'« intervalle passant $\;\left[0\,;\,f_{p}\right]$ » est l'« intervalle passant à -3dB », sa largeur $\;\Delta f=f_{p}\;$ est la « bande passante à -3dB ».

### Influence de la phase sur un filtre

......Tout filtre agissant sur un signal sinusoïdal introduit un déphasage qui dépend de la fréquence et ceci même dans l'intervalle passant ; ce déphasage est équivalent à un décalage temporel en effet $\;s(t)=S_{0}\;{\sqrt {2}}\;\cos(\omega \;t+\varphi _{s})=S_{0}\;{\sqrt {2}}\;\cos \!\left[\omega \left(t+{\dfrac {\varphi _{s}}{\omega }}\right)\right]=S_{0}\;{\sqrt {2}}\;\cos \!\left[\omega \left(t+\Delta t_{s}\right)\right]$, le déphasage $\;\varphi _{s}\;$ étant équivalent à un décalage temporel $\;\Delta t_{s}={\dfrac {\varphi _{s}}{\omega }}\;$.
......Remarque : ne sachant pas construire de filtre analogique simple qui présente simultanément un filtrage idéal en amplitude sans déformer le signal utile par intervention d'un déphasage sur les composantes sinusoïdales, on construit en pratique les filtres en tenant compte uniquement du gabarit en amplitude sans tenir compte de la déformation due au déphasage des composantes sinusoïdales … et
......Remarque : si le déphasage devient primordial, on construit un filtre qui présente une grande régularité en déphasage correspondant à un retard temporel identique pour chaque fréquence, en n'accordant que peu d'importance à la qualité du filtrage en termes d'amplitude …

## Établissement du gabarit d'un 1er ordre fondamental, condition pour l'utiliser en moyenneur ou en intégrateur

......La notion de « moyenneur » pour un filtre passe-bas agissant sur un signal d'entrée périodique à composante permanente correspond au filtre laissant passer la composante permanente et arrêtant tous les autres harmoniques, ......La ncelle d'« intégrateur » pour un même filtre correspond au filtre laissant passer la composante permanente et intégrant tous les autres harmoniques.

### Cahier des charges du passe-bas (traité sur un exemple)

......On cherche à réaliser le filtrage passe-bas suivant :
* les fréquences jusqu'à $\;1,9\;kHz\;$ doivent passer à travers le filtre sans être amplifiées et ne pas être atténuées de plus de $\;3\,dB$,
* les fréquences supérieures à $\;6,2\;kHz\;$ doivent être filtrées et atténuées d'au moins $\;9\,dB$.

### Choix de l'ordre du filtre (pour l'exemple précédent)

......On le détermine en calculant la pente nécessaire dans la zone de transition, la valeur absolue de celle-ci donnant un minorant de la pente nécessaire dans la zone absorbante (voir exemple ci-contre) ;
......on passe de $\;f_{p}=1,9\;kHz\;$ à $\;f_{a}=6,2\;kHz\;$ soit $\;\log \!\left({\dfrac {f_{a}}{f_{p}}}\right)=\log \!\left({\dfrac {6,2}{1,9}}\right)\simeq 0,51\;{\text{décade}}\;$ associée à une chute de $\;9-3=6\;dB\;$ dans la zone intermédiaire soit une pente dans cette zone de $\;{\dfrac {-6\;dB}{0,51\;{\text{décade}}}}\simeq$ $-11,8\;dB/{\text{décade}}\;$ d'où le choix d'une pente de $\;-20\;dB/{\text{décade}}\;$ dans la zone absorbante c'est-à-dire le choix d'un 1er ordre fondamental.

### Choix de la fréquence caractéristique du filtre (c'est-à-dire, dans le cas présent, de sa fréquence de coupure à -3dB) pour l'exemple précédent

......Compte-tenu de la valeur de $\;f_{p}=1,9\;kHz\;$ avec $\;G_{dB,\,{\text{sup}}}=-3\,dB$, la fréquence de coupure à -3dB $\;f_{c}\;$ doit vérifier $\;f_{c}\geqslant f_{p}$ ;
......compte-tenu de la valeur de $\;f_{a}=6,2\;kHz\;$ avec $\;G_{dB,\,{\text{inf}}}=-9\,dB$, la fréquence de coupure à -3dB $\;f_{c}\;$ doit vérifier $\;f_{c}\leqslant {\dfrac {f_{a}}{2,82}}\;$ car l'abscisse de la droite de pente $\;-20\;dB/{\text{décade}}\;$ passant par le point $\;\left(f_{a}=6,2\,kHz\;,\,G_{dB,\,{\text{inf}}}=-9\,dB\right)\;$ est séparé de $\;f_{a}=6,2\,kHz\;$ de $\;{\dfrac {-9\,dB}{-20\,dB/{\text{décade}}}}$ $\simeq 0,45\,{\text{décade}}\;$ soit un rapport entre l'abscisse cherchée et $\;f_{a}=6,2\,kHz\;$ de $\;10^{0,45}\simeq 2,82$ ;
$\;f_{p}=1,9\;kHz\leqslant f_{c}\leqslant {\dfrac {f_{a}}{2,82}}={\dfrac {6,2\;kHz}{2,82}}\simeq 2,2\;kHz$

### Choix des éléments constitutifs du filtre sur l'exemple précédent

......On choisit un « $R\;C\;$ série » avec « sortie aux bornes de $\;C$ », tel que $\;1,9\;kHz\leqslant f_{c}={\dfrac {1}{2\,\pi \,R\,C}}\leqslant 2,2\;kHz\;$ soit, en inversant et divisant tous les membres par $\;2\,\pi \;$ après rétablissement en unités S.I., $\;72\;10^{-5}\;s\simeq {\dfrac {1}{2,2\;10^{3}\times 2\,\pi }}\leqslant R\;C\leqslant {\dfrac {1}{2,2\;10^{3}\times 2\,\pi }}\simeq 84\;10^{-5}\;s\;$ et finalement
$\;\tau =R\;C\;{\underset {\sim }{\in }}\;\left[72\;\mu s\;;\;84\;\mu s\right]$
......on peut par exemple choisir
* $\;R=1\;k\Omega \;$ et $\;72\;nF\lesssim C\lesssim 84\;nF\;$ ou
* $\;R=2\;k\Omega \;$ et $\;36\;nF\lesssim C\lesssim 42\;nF\;$ ou encore
* $\;R=10\;k\Omega \;$ et $\;7,2\;nF\lesssim C\lesssim 8,4\;nF\;$ …
......Avec $\;R=1\;k\Omega \;$ et $\;C\simeq 80\;nF$, on obtient une fréquence de coupure à -3dB $\;f_{c}\simeq 2,0\;kHz\;$ et ......$\;\succ \;$ pour $\;f_{p}=1,9\;kHz$, le gain en dB vaut $\;G_{dB}(f_{p})=20\;\log \!\!\left[{\dfrac {1}{\sqrt {1+\left(R\;C\;\omega _{p}\right)^{2}}}}\right]=-10\;\log \!\left[1+\left({\dfrac {f_{p}}{f_{c}}}\right)^{\!\!2}\right]\;$ soit pratiquement $\;G_{dB}(f_{p})$ $\simeq -10\;\log \!\left[1+\left({\dfrac {1,9}{2,0}}\right)^{\!\!2}\right]\simeq -2,79\;dB\simeq -2,8\;dB>-3\;dB=G_{dB,\,{\text{sup}}}$ alors que ......$\;\succ \;$ pour $\;f_{a}=6,2\;kHz$, le gain en dB vaut $\;G_{dB}(f_{a})=20\;\log \!\!\left[{\dfrac {1}{\sqrt {1+\left(R\;C\;\omega _{a}\right)^{2}}}}\right]=-10\;\log \!\left[1+\left({\dfrac {f_{a}}{f_{c}}}\right)^{\!\!2}\right]\;$ soit pratiquement $\;G_{dB}(f_{a})$ $\simeq -10\;\log \!\left[1+\left({\dfrac {6,2}{2,0}}\right)^{\!\!2}\right]\simeq -10,26\;dB\simeq -10,3\;dB<-9\;dB=G_{dB,\,{\text{inf}}}$.

### Condition pour utiliser le filtre comme intégrateur ou moyenneur sur l'exemple précédent

......Le filtre se comportera comme un « intégrateur » si les harmoniques d'un signal d'entrée à valeur moyenne nulle sont tous dans la zone intégrative à savoir $\;f\gtrsim 10\;f_{c}\;$ ${\big \$le choix d'une fréquence de coupure à -3dB égale à $\;f_{c}\simeq 2,0\;kHz$, donne une zone intégrative $\;\left[20\;kHz\;,\;+\infty \right[\;$ mais le « signal ne sera réellement intégré que s'il est d'amplitude notable »${\big \}$ voir ci-contre ;
......le filtre agissant sur un signal d'entrée à valeur moyenne non nulle laissera passer sans atténuation la composante permanente de ce signal et, dans la mesure où les autres harmoniques du signal d'entrée sont tous dans la zone intégrative à savoir $\;f\gtrsim 10\;f_{c}$, il se comportera comme un « intégrateur à composante permanente » $\;\ldots \;$ à condition que « l'amplitude des harmoniques intégrés soit de valeur notable » voir ci-dessous à gauche.
......Le filtre agissant sur un signal d'entrée à valeur moyenne non nulle laissant passer sans atténuation la composante permanente de ce signal, se comportera comme « moyenneur (à composante permanente) » si les autres harmoniques du signal d'entrée sont tous dans la zone intégrative mais tels que « la fréquence du signal d'entrée soit suffisamment éloignée de la borne inférieure » de façon à ce que l'amplitude des formes intégrées des harmoniques de rang non nul soit trop petite pour être observée voir ci-dessous à droite.

## Établissement du gabarit d'un 1er ordre non fondamental à transfert statique nul, condition pour l'utiliser en dérivateur
### Cahier des charges du passe-haut (traité sur un exemple)

......On cherche à réaliser le filtrage passe-haut suivant :
* les fréquences jusqu'à $\;1,9\;kHz\;$ doivent être filtrées et atténuées d'au moins $\;9\,dB$,
* les fréquences supérieures à $\;6,2\;kHz\;$ doivent passer à travers le filtre sans être amplifiées et ne pas être atténuées de plus de $\;3\,dB$.

### Choix de l'ordre du filtre (pour l'exemple précédent)

......On le détermine en calculant la pente nécessaire dans la zone de transition, celle-ci donnant un minorant de la pente nécessaire dans la zone absorbante (voir exemple ci-contre) ;
......on passe de $\;f_{a}=1,9\;kHz\;$ à $\;f_{p}=6,2\;kHz\;$ soit $\;\log \!\left({\dfrac {f_{p}}{f_{a}}}\right)=\log \!\left({\dfrac {6,2}{1,9}}\right)\simeq 0,51\;{\text{décade}}\;$ associée à une croissance de $\;9-3=6\;dB\;$ dans la zone intermédiaire soit une pente dans cette zone de $\;{\dfrac {6\;dB}{0,51\;{\text{décade}}}}\simeq$ $11,8\;dB/{\text{décade}}\;$ d'où le choix d'une pente de $\;+20\;dB/{\text{décade}}\;$ dans la zone absorbante c'est-à-dire le choix d'un 1er ordre non fondamental à transfert statique nul.

### Choix de la fréquence caractéristique du filtre (c'est-à-dire, dans le cas présent, de sa fréquence de coupure à -3dB) pour l'exemple précédent

......Compte-tenu de la valeur de $\;f_{p}=6,2\;kHz\;$ avec $\;G_{dB,\,{\text{sup}}}=-3\,dB$, la fréquence de coupure à -3dB $\;f_{c}\;$ doit vérifier $\;f_{c}\leqslant f_{p}$ ;
......compte-tenu de la valeur de $\;f_{a}=1,9\;kHz\;$ avec $\;G_{dB,\,{\text{inf}}}=-9\,dB$, la fréquence de coupure à -3dB $\;f_{c}\;$ doit vérifier $\;f_{c}\geqslant 2,82\times f_{a}\;$ car l'abscisse de la droite de pente $\;+20\;dB/{\text{décade}}\;$ passant par le point $\;\left(f_{a}=1,9\,kHz\;,\,G_{dB,\,{\text{inf}}}=-9\,dB\right)\;$ est séparé de $\;f_{p}=6,2\,kHz\;$ de $\;{\dfrac {9\,dB}{20\,dB/{\text{décade}}}}$ $\simeq 0,45\,{\text{décade}}\;$ soit un rapport entre l'abscisse cherchée et $\;f_{a}=1,9\,kHz\;$ de $\;10^{0,45}\simeq 2,82$ ;
$\;2,82\times f_{a}=2,82\times 1,9\;kHz\simeq 5,4\;kHz\leqslant f_{c}\leqslant f_{p}=6,2\;kHz$

### Choix des éléments constitutifs du filtre sur l'exemple précédent

......On choisit un « $R\;C\;$ série » avec « sortie aux bornes de $\;R$ », tel que $\;5,4\;kHz\leqslant f_{c}={\dfrac {1}{2\,\pi \,R\,C}}\leqslant 6,2\;kHz\;$ soit, en inversant et divisant tous les membres par $\;2\,\pi \;$ après rétablissement en unités S.I., $\;2,5\;10^{-5}\;s\simeq {\dfrac {1}{6,2\;10^{3}\times 2\,\pi }}\leqslant R\;C\leqslant {\dfrac {1}{5,4\;10^{3}\times 2\,\pi }}\simeq 3,0\;10^{-5}\;s\;$ et finalement
$\;\tau =R\;C\;{\underset {\sim }{\in }}\;\left[25\;\mu s\;;\;30\;\mu s\right]$
......on peut par exemple choisir
* $\;R=1\;k\Omega \;$ et $\;25\;nF\lesssim C\lesssim 30\;nF\;$ ou
* $\;R=2\;k\Omega \;$ et $\;12,5\;nF\lesssim C\lesssim 15\;nF\;$ ou encore
* $\;R=10\;k\Omega \;$ et $\;2,5\;nF\lesssim C\lesssim 3,0\;nF\;$ …
......Avec $\;R=1\;k\Omega \;$ et $\;C\simeq 29\;nF$, on obtient une fréquence de coupure à -3dB $\;f_{c}\simeq 5,5\;kHz\;$ et ......$\;\succ \;$ pour $\;f_{a}=1,9\;kHz$, le gain en dB vaut $\;G_{dB}(f_{a})=20\;\log \!\!\left[{\dfrac {R\;C\;\omega _{a}}{\sqrt {1+\left(R\;C\;\omega _{a}\right)^{2}}}}\right]=-10\;\log \!\left[1+\left({\dfrac {f_{c}}{f_{a}}}\right)^{\!\!2}\right]\;$ soit en pratique $\;G_{dB}(f_{a})$ $\simeq -10\;\log \!\left[1+\left({\dfrac {5,5}{1,9}}\right)^{\!\!2}\right]\simeq -9,72\;dB\simeq -9,7\;dB<-9\;dB=G_{dB,\,{\text{inf}}}$ alors que ......$\;\succ \;$ pour $\;f_{p}=6,2\;kHz$, le gain en dB vaut $\;G_{dB}(f_{p})=20\;\log \!\!\left[{\dfrac {R\,C\,\omega _{p}}{\sqrt {1+\left(R\;C\;\omega _{p}\right)^{2}}}}\right]=-10\;\log \!\left[1+\left({\dfrac {f_{c}}{f_{p}}}\right)^{\!\!2}\right]\;$ soit pratiquement $\;G_{dB}(f_{p})$ $\simeq -10\;\log \!\left[1+\left({\dfrac {5,5}{6,2}}\right)^{\!\!2}\right]\simeq -2,52\;dB\simeq -2,5\;dB>-3\;dB=G_{dB,\,{\text{sup}}}$.

### Condition pour utiliser le filtre comme dérivateur sur l'exemple précédent

......Le filtre se comportera comme un « dérivateur » si les 1$^{ers}$ harmoniques qui importent pour construire le signal dérivé d'un signal d'entrée à valeur moyenne nulle sont tous dans la zone dérivative à savoir $\;n_{\text{min construction dérivé}}\;f\lesssim {\dfrac {f_{c}}{10}}\;$ ou $\;f\lesssim {\dfrac {f_{c}}{10\;n_{\text{min construction dérivé}}}}\;$ ${\big \$le choix d'une fréquence de coupure à -3dB égale à $\;f_{c}\simeq 5,5\;kHz$, donne une zone dérivative $\;\left[0\;,\;550\;Hz\right]\;$ mais le « signal ne sera réellement dérivé que s'il est d'amplitude notable (laquelle doit être le plus souvent très grande) »${\big \}$, ci-contre le signal de sortie avec une amplitude du signal d'entrée de $\;1\;V\;$ est inobservable car son amplitude théorique serait de $\;2\;mV\;$ inférieure à celle des parasites ;
......en fait la condition $\;f\lesssim {\dfrac {f_{c}}{10\;n_{\text{min construction dérivé}}}}\;$ de dérivation est beaucoup trop stricte, si on élargit cette condition à $\;f\lesssim {\dfrac {f_{c}}{n_{\text{min construction dérivé}}}}\;$ on observe encore une dérivation possible à condition que l'amplitude du signal dérivé ne soit pas trop faible, ci-contre le signal de sortie avec une amplitude du signal d'entrée de $\;1\;V\;$ reste peu observable car son amplitude théorique est de $\;20\;mV\;$ de même ordre de grandeur que celle des parasites mais si on augmente l'amplitude du signal d'entrée, celle du signal de sortie l'étant en même proportion, ce dernier devient observable malgré la présence de parasites (voir ci-dessous à gauche le signal de sortie théorique sans la présence de parasites avec augmentation de la sensibilité d'observation) ;
......si on élargit encore la condition de dérivation d'un facteur $\;10$, la dérivation se devine encore mais avec une distorsion un peu trop importante : voir ci-dessous à droite l'observation de la tentative de dérivation d'un signal triangulaire de fréquence voisine de $\;{\dfrac {f_{c}}{3}}\simeq 2,0\;kHz\;$ avec une distorsion importante mais une amplitude notable.

## Établissement du gabarit d'un 2ème ordre du type « réponse en intensité d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante », condition pour l'utiliser en dérivateur, intégrateur ou sélecteur d'harmonique
### Cahier des charges d'un passe-bande (traité sur un exemple)

......On cherche à réaliser le filtrage passe-bande suivant :
* les fréquences entre $\;161,6\;kHz\;$ et $\;162,4\;kHz\;$ doivent passer à travers le filtre et ne pas être atténuées de plus de $\;3\,dB$,
* les fréquences inférieures à $\;112\;kHz\;$ et supérieures à $\;212\;kHz\;$ doivent être filtrées et atténuées d'au moins $\;40\,dB$.

### Choix des caractéristiques du filtre (c'est-à-dire, dans le cas présent, de sa fréquence de résonance et de sa bande passante à -3dB) pour l'exemple précédent

......La fréquence centrale étant $\;f_{0}=162,0\;kHz\;$, les fréquences de coupure à -3dB basse et haute doivent être respectivement inférieure à $\;f_{p}^{-}=161,6\;kHz\;$ et supérieure à $\;f_{p}^{+}=162,4\;kHz$, la bande passante à -3dB étant donc supérieure à $\;f_{p}^{+}-f_{p}^{-}=0,8\;kHz$, l'acuité de la résonance doit être inférieure à $\;{\dfrac {f_{0}}{f_{p}^{+}-f_{p}^{-}}}={\dfrac {162,0}{0,8}}\simeq$ $202,5\;$ c'est-à-dire $\;Q\lesssim 202,5\simeq 203$ ;
......compte-tenu du fait que $\;{\dfrac {f_{a}^{-}}{f_{0}}}={\dfrac {112}{162}}\simeq 0,69\not \lesssim {\dfrac {1}{10}}\;$ et $\;{\dfrac {f_{a}^{+}}{f_{0}}}={\dfrac {212}{162}}\simeq 1,31\not \gtrsim 10$, nous ne pouvons a priori considérer que les points $\;\left\lbrace f_{a}^{-}=112\,kHz\,;\,G_{dB}(f_{a}^{-})\right\rbrace \;$ et $\;\left\lbrace f_{a}^{+}=212\,kHz\,;\,G_{dB}(f_{a}^{+})\right\rbrace \;$ se trouvent respectivement sur l'asymptote B.F. ou H.F. de la courbe de gain du diagramme de Bode du filtre et par conséquent les conditions $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}G_{dB}(f_{a}^{-})<-40\,dB\\G_{dB}(f_{a}^{+})<-40\,dB\end{array}}\right\rbrace \;$ nécessitent d'utiliser l'expression complète du gain en dB du filtre à savoir, si on envisage de construire le filtre avec un R L C série, $\;G_{dB}(f)=20\,\log \!\left[{\dfrac {1}{\sqrt {1+Q^{2}\left({\dfrac {f}{f_{0}}}-{\dfrac {f_{0}}{f}}\right)^{\!\!2}}}}\right]\;$ ou encore $\;G_{dB}(f)=-10\,\log \!\left[1+Q^{2}\left({\dfrac {f}{f_{0}}}-{\dfrac {f_{0}}{f}}\right)^{\!\!2}\right]$, les deux conditions précédentes se réécrivant $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\log \!\left[1+Q^{2}\left({\dfrac {f_{a}^{-}}{f_{0}}}-{\dfrac {f_{0}}{f_{a}^{-}}}\right)^{\!\!2}\right]>4\\\log \!\left[1+Q^{2}\left({\dfrac {f_{a}^{+}}{f_{0}}}-{\dfrac {f_{0}}{f_{a}^{+}}}\right)^{\!\!2}\right]>4\end{array}}\right\rbrace \;$ soit $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\cancel {1+}}\;Q^{2}\left({\dfrac {f_{a}^{-}}{f_{0}}}-{\dfrac {f_{0}}{f_{a}^{-}}}\right)^{\!\!2}>10^{4}\\{\cancel {1+}}\;Q^{2}\left({\dfrac {f_{a}^{+}}{f_{0}}}-{\dfrac {f_{0}}{f_{a}^{+}}}\right)^{\!\!2}>10^{4}\end{array}}\right\rbrace \;$ ou $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}Q\;{\bigg \vert }{\dfrac {f_{a}^{-}}{f_{0}}}-{\dfrac {f_{0}}{f_{a}^{-}}}{\bigg \vert }>100\\Q\;{\bigg \vert }{\dfrac {f_{a}^{+}}{f_{0}}}-{\dfrac {f_{0}}{f_{a}^{+}}}{\bigg \vert }>100\end{array}}\right\rbrace \;$ et finalement $\;Q\gtrsim \left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {100}{{\dfrac {1}{0,69}}-0,69}}\simeq 131,7\simeq 132\\{\dfrac {100}{1,31-{\dfrac {1}{1,31}}}}\simeq 182,9\simeq 183\end{array}}\right\rbrace$, ces deux conditions étant réalisées si $\;Q\gtrsim 183$ ;
$\;183\lesssim Q\lesssim 203\;$
$\;Q\simeq 200$
......nous vérifions que les valeurs du gain en décibels de la courbe pour les fréquences $\;f_{a}^{-}=112\;kHz\;$ et $\;f_{a}^{+}=212\;kHz\;$ satisfont effectivement le cahier des charges avec cette valeur de facteur de qualité car
* $\;G_{dB}(f_{a}^{-})=-10\,\log \!\left[1+200^{2}\left(0,69-{\dfrac {1}{0,69}}\right)^{\!\!2}\right]\simeq -43,6\,dB<-40\,dB\;$ et
* $\;G_{dB}(f_{a}^{+})=-10\,\log \!\left[1+200^{2}\left(1,31-{\dfrac {1}{1,31}}\right)^{\!\!2}\right]\simeq -40,8\,dB<-40\,dB$.

### Choix des éléments constitutifs du filtre sur l'exemple précédent

......On choisit donc un « R L C série » avec « sortie aux bornes de R », tel que $\;f_{0}={\dfrac {1}{2\,\pi \,{\sqrt {L\;C}}}}=162\,kHz\;$ soit $\;L\;C={\dfrac {1}{\left(2\;\pi \times 162\,10^{3}\right)^{2}}}\simeq$ $9,65\;10^{-13}\;s^{2}$ ; on peut, par exemple, choisir
* $\;L=100\;mH\;$ et $\;C=9,7\;pF\;$ ou
* $\;L=10\;mH\;$ et $\;C=97\;pF\;$ ou encore …
* $\;L=1\;mH\;$ et $\;C=0,97\;nF$,
......le facteur de qualité permet de choisir $\;R\;$ par l'intermédiaire $\;Q={\dfrac {L\;\omega _{0}}{R}}={\dfrac {L\;2\,\pi \;f_{0}}{R}}\;$ soit $\;R={\dfrac {L\;2\,\pi \;f_{0}}{Q}}\;$ donnant, avec le choix suivant
$\;L=100\,mH\;$
$\;C=9,7\;pF$
$\;R={\dfrac {0,1\times 2\,\pi \times 162\;10^{3}}{200}}\simeq 510\;\Omega$

### Condition pour utiliser le filtre comme dérivateur, intégrateur ou sélecteur d'harmonique sur l'exemple précédent

......Le filtre se comportera comme un « dérivateur » si les 1$^{ers}$ harmoniques qui importent pour construire le signal dérivé d'un signal d'entrée sont tous dans la zone dérivative à savoir $\;n_{\text{min construction dérivé}}\;f\lesssim {\dfrac {f_{0}}{5}}\;$ ou $\;f\lesssim {\dfrac {f_{0}}{5\;n_{\text{min construction dérivé}}}}\;$ ${\big \$le choix d'une fréquence propre égale à $\;f_{0}\simeq 162\;kHz$, donne une zone dérivative $\;\left[0\;;\;32,4\;kHz\right]\;$ mais le « signal ne sera réellement dérivé que s'il est d'amplitude notable (laquelle devrait être le plus souvent trop grande pour aboutir à une observation) »${\big \}$, ci-dessous à gauche le signal de sortie espéré créneau avec une amplitude du signal d'entrée triangulaire de $\;1\;V\;$ est totalement inobservable car son amplitude théorique serait de $\;20\;\mu V\;$ approximativement mille fois plus faible que celle des parasites, ci-dessous à droite le signal de sortie créneau attendu en absence de parasites et avec un facteur de loupe de $\;50000\;$ autrement dit d'observation totalement illusoire ;
......le filtre se comportera comme un « intégrateur » si la fréquence du signal d'entrée est dans la zone intégrative à savoir $\;f\gtrsim 5\;f_{0}\;$ ${\big \$le choix d'une fréquence propre égale à $\;f_{0}\simeq 162\;kHz$, donne une zone intégrative $\;\left[810\;kHz\;;\;+\infty \right[\;$ mais le « signal ne sera réellement intégré que s'il est d'amplitude notable (laquelle devrait être le plus souvent relativement grande pour aboutir à une observation) »${\big \}$, ci-dessous à gauche le signal de sortie espéré triangulaire avec une amplitude du signal d'entrée créneau de $\;1\;V\;$ est totalement inobservable car son amplitude théorique serait de $\;1,4\;mV\;$ approximativement dix fois plus faible que celle des parasites, ci-dessous à droite le signal de sortie attendu en absence de parasites et avec un facteur de loupe de $\;700\;$ autrement dit d'observation quasi-illusoire ;
......le filtre se comportera comme un « sélecteur d'harmonique » si la fréquence du signal d'entrée est telle que l'harmonique souhaité est dans la zone passante et ces voisins les plus proches dans les zones absorbantes à savoir (ci-dessous sélection des harmoniques d'un créneau) :
* pour l'harmonique fondamental $\;f\in \left[161,6\,kHz\;;\;162,4\,kHz\right]$, l'harmonique de rang 3 étant de fréquence $\;3\;f\in \left[484,8\,kHz\;;\;487,2\,kHz\right]\;$ largement au-dessus de $\;212\,kHz\;$ ci-dessous à gauche simultanément avec l'observation du signal d'entrée créneau ;
* pour l'harmonique de rang 3 tel que $\;3\;f\in \left[161,6\,kHz\;;\;162,4\,kHz\right]\;$ $\Leftrightarrow$ $\;f\in \left[{\dfrac {161,6\,kHz}{3}}\simeq 53,9\,kHz\;;\;{\dfrac {162,4\,kHz}{3}}\simeq 54,1\,kHz\right]$, l'harmonique fondamental est au-dessous de $\;112\,kHz\;$ et l'harmonique de rang 5 étant de fréquence $\;5\;f\in \left[269,3\,kHz\;;\;270,7\,kHz\right]\;$ au-dessus de $\;212\,kHz\;$ ci-dessous à droite simultanément avec l'observation du signal d'entrée créneau ;
* pour l'harmonique de rang 5 tel que $\;5\;f\in \left[161,6\,kHz\;;\;162,4\,kHz\right]\;$ $\Leftrightarrow$ $\;f\in \left[{\dfrac {161,6\,kHz}{5}}\simeq 32,3\,kHz\;;\;{\dfrac {162,4\,kHz}{5}}\simeq 32,5\,kHz\right]$, l'harmonique de rang 3 étant de fréquence $\;3\;f\in \left[97,0\,kHz\;;\;97,4\,kHz\right]\;$ au-dessous de $\;112\,kHz\;$ et l'harmonique de rang 7 étant de fréquence $\;7\;f\in \left[226,2\,kHz\;;\;227,4\,kHz\right]\;$ au-dessus de $\;212\,kHz$ ;
* pour l'harmonique de rang 7 tel que $\;7\;f\in \left[161,6\,kHz\;;\;162,4\,kHz\right]\;$ $\Leftrightarrow$ $\;f\in \left[{\dfrac {161,6\,kHz}{7}}\simeq 23,1\,kHz\;;\;{\dfrac {162,4\,kHz}{7}}\simeq 23,2\,kHz\right]$, l'harmonique de rang 5 étant de fréquence $\;5\;f\in \left[115,4\,kHz\;;\;116,0\,kHz\right]\;$ c'est-à-dire légèrement au-dessus de $\;112\,kHz\;$ et l'harmonique de rang 9 étant de fréquence $\;9\;f\in \left[207,8\,kHz\;;\;208,8\,kHz\right]\;$ c'est-à-dire légèrement au-dessous de $\;212\,kHz$, l'harmonique de rang 7 du signal créneau étant donc le 1er harmonique dont la sélection introduira de très faibles distorsions dues à la présence des harmoniques de rangs 5 et 9 ci-dessous à gauche simultanément avec l'observation du signal d'entrée créneau et ci-dessous à droite seul avec une croissance de sensibilité d'un facteur 7 permettant d'observer une très légère distorsion ;
* $\;\ldots \;$ pour les harmoniques suivants, la distorsion va être lentement croissante car l'amplitude des harmoniques d'un créneau décroît lentement de façon inversement proportionnelle au rang de l'harmonique et ainsi
* pour l'harmonique de rang $\;19\;$ tel que $\;19\;f\in \left[161,6\,kHz\;;\;162,4\,kHz\right]\;$ $\Leftrightarrow$ $\;f\in \left[{\dfrac {161,6\,kHz}{19}}\simeq 8,51\,kHz\;;\;{\dfrac {162,4\,kHz}{19}}\simeq 8,55\,kHz\right]$, l'harmonique de rang $\;17\;$ étant de fréquence $\;17\;f\in \left[144,6\,kHz\;;\;145,3\,kHz\right]\;$ c'est-à-dire au-dessus de $\;112\,kHz\;$ et l'harmonique de rang $\;21\;$ étant de fréquence $\;21\;f\in \left[178,6\,kHz\;;\;179,5\,kHz\right]\;$ c'est-à-dire au-dessous de $\;212\,kHz$, l'harmonique de rang 19 du signal créneau étant un harmonique dont la sélection introduira des distorsions dues à la présence des harmoniques de rangs 17 et 21 ci-dessous à gauche simultanément avec l'observation du signal d'entrée créneau et ci-dessous à droite seul avec une croissance de sensibilité d'un facteur $\;16\;$ permettant d'observer une légère distorsion.
...Remarque : pour déterminer la limite théorique du sélectionneur d'harmonique sans avoir à les essayer tous, nous pouvons admettre que la sélection cessera si les harmoniques de rang $\;2\,p-1\;$ et $\;2\,p+1\;$ sont séparés de moins de $\;49,6\,kHz\;$ soit $\;(2\,p+1)\;f-(2\,p-1)\;f=49,6\;kHz\;$ donnant $\;f=24,8\,kHz\;$ avec $\;(2\,p+1)\,f=161,6\,kHz\;$ soit finalement $\;2\,p+1={\dfrac {161,6}{24,8}}\simeq 6,52\;$ établissant que le 1er harmonique théoriquement non sélectionnable est de rang $\;7$, le dernier sélectionnable étant de rang 5 $\ldots \;$ Ainsi on peut théoriquement sélectionner les harmoniques d'un créneau jusqu'au rang 5 inclus à condition que leur amplitude soit « acceptable ».

## Établissement du gabarit d'un 2ème ordre du type « réponse en charge d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante », condition pour l'utiliser en moyenneur ou double intégrateur
### Cahier des charges d'un passe-bas du 2ème ordre (traité sur un exemple)

......On cherche à réaliser le filtrage passe-bas suivant :
* les fréquences jusqu'à $\;1,9\;kHz\;$ doivent passer à travers le filtre sans être amplifiées et ne pas être atténuées de plus de $\;3\,dB$,
* les fréquences supérieures à $\;6,2\;kHz\;$ doivent être filtrées et atténuées d'au moins $\;20\,dB$.

### Choix de l'ordre du filtre sur l'exemple précédent

......On le détermine en calculant la pente nécessaire dans la zone de transition, la valeur absolue de celle-ci donnant un minorant de la pente nécessaire dans la zone absorbante (voir exemple ci-contre) ;
......on passe de $\;f_{p}=1,9\;kHz\;$ à $\;f_{a}=6,2\;kHz\;$ soit $\;\log \!\left({\dfrac {f_{a}}{f_{p}}}\right)=\log \!\left({\dfrac {6,2}{1,9}}\right)\simeq 0,51\;{\text{décade}}\;$ associée à une chute de $\;20-3=17\;dB\;$ dans la zone intermédiaire soit une pente dans cette zone de $\;{\dfrac {-17\;dB}{0,51\;{\text{décade}}}}\simeq$ $-33,3\;dB/{\text{décade}}\;$ d'où le choix d'une pente de $\;-40\;dB/{\text{décade}}\;$ dans la zone absorbante c'est-à-dire le choix d'un 2ème ordre du type réponse en charge d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante.

### Choix des caractéristiques du filtre (c'est-à-dire, dans le cas présent, de sa fréquence propre et de son facteur de qualité) pour l'exemple précédent

......Compte-tenu de la valeur de $\;f_{p}=1,9\;kHz\;$ avec $\;G_{dB,\,{\text{sup}}}=-3\,dB$, la fréquence de coupure à -3dB $\;f_{c}\;$ doit vérifier $\;f_{c}\gtrsim f_{p}$ ;
......compte-tenu de la valeur de $\;f_{a}=6,2\;kHz\;$ avec $\;G_{dB,\,{\text{inf}}}=-20\,dB$, la fréquence de coupure à -3dB $\;f_{c}\;$ doit vérifier $\;f_{c}\lesssim {\dfrac {f_{a}}{3,16}}\;$ car l'abscisse de la droite de pente $\;-40\;dB/{\text{décade}}\;$ passant par le point $\;\left(f_{a}=6,2\,kHz\;,\,G_{dB,\,{\text{inf}}}=-20\,dB\right)\;$ est séparé de $\;f_{a}=6,2\,kHz\;$ de $\;{\dfrac {-20\,dB}{-40\,dB/{\text{décade}}}}$ $\simeq 0,5\,{\text{décade}}\;$ soit un rapport entre l'abscisse cherchée et $\;f_{a}=6,2\,kHz\;$ de $\;10^{0,5}\simeq 3,16$ ;
$\;f_{p}=1,9\;kHz\lesssim f_{c}\lesssim {\dfrac {f_{a}}{3,16}}={\dfrac {6,2\;kHz}{3,16}}\simeq 1,96\;kHz$
......pour obtenir un passe-bas il faut que le facteur de qualité $\;Q\;$ ne soit pas trop élevé et le choix de $\;Q\leqslant {\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\simeq 0,707\;$ correspondra à un passe-bas sans résonance.

### Choix des éléments constitutifs du filtre sur l'exemple précédent

......On choisit donc un « R L C série » avec « sortie aux bornes de C », tel que la fréquence de coupure à -3dB $\;f_{c}\;{\underset {\sim }{\in }}\;\left[1,9\;kHz\;;\;1,96\;kHz\right]\;$ et le facteur de qualité $\;Q\in \left]0\;;\;{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\simeq 0,707\right]$ ;
......si nous choisissons la plus grande valeur du facteur de qualité compatible avec l'encadrement précédent c'est-à-dire $\;Q={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\simeq 0,707$, la fréquence de coupure à -3dB se confond alors avec la fréquence propre c'est-à-dire $\;f_{c}=f_{0}={\dfrac {1}{2\,\pi \,{\sqrt {L\;C}}}}\;$ ${\Bigg \$en effet la fonction de transfert $\;{\underline {A}}(j\,f)={\dfrac {1}{1-{\dfrac {f^{2}}{f_{0}^{2}}}+j\,{\dfrac {f}{Q\,f_{0}}}}}\;$ se réécrit $\;{\underline {A}}_{(Q\,=\,1/{\sqrt {2}})}(j\,f)={\dfrac {1}{1-{\dfrac {f^{2}}{f_{0}^{2}}}+j\,{\sqrt {2}}\,{\dfrac {f}{f_{0}}}}}\;$ donnant un gain $\;G_{(Q\,=\,1/{\sqrt {2}})}(f)={\dfrac {1}{\sqrt {\left(1-{\dfrac {f^{2}}{f_{0}^{2}}}\right)^{\!\!2}+2\,{\dfrac {f^{2}}{f_{0}^{2}}}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {1+{\dfrac {f^{4}}{f_{0}^{4}}}}}}\;$ d'où, par définition de la fréquence de coupure à -3dB $\;G_{(Q\,=\,1/{\sqrt {2}})}(f_{c})={\dfrac {G_{(Q\,=\,1/{\sqrt {2}},\,{\text{max}})}}{\sqrt {2}}}$, l'équation $\;{\dfrac {1}{\sqrt {1+{\dfrac {f_{c}^{4}}{f_{0}^{4}}}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;$ de solution physique $\;f_{c}=f_{0}{\Bigg \}$ ;
......ainsi pour $\;Q={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}$, nous en déduisons un encadrement pour la fréquence propre $\;1,9\,kHz\lesssim f_{0}={\dfrac {1}{2\,\pi \,{\sqrt {L\;C}}}}\lesssim 1,96\,kHz\;$ soit, en inversant et divisant tous les membres par $\;2\,\pi \;$ et en élevant au carré après rétablissement en unités S.I., $\;{\dfrac {1}{\left(1,96\;10^{3}\times 2\,\pi \right)^{2}}}\lesssim L\;C\lesssim {\dfrac {1}{\left(1,9\;10^{3}\times 2\,\pi \right)^{2}}}\;$ ou encore $\;6,59\;10^{-9}\;s^{2}\lesssim L\;C\lesssim 7,02\;10^{-9}\;s^{2}$ ; on peut, par exemple, choisir
* $\;L=100\;mH\;$ et $\;66\;nF\lesssim C\lesssim 70\;nF\;$ ou
* $\;L=10\;mH\;$ et $\;0,66\;\mu F\lesssim C\lesssim 0,70\;\mu F\;$ ou encore …
* $\;L=1\;mH\;$ et $\;6,6\;\mu F\lesssim C\lesssim 7,0\;\mu F$,
......le facteur de qualité permet de choisir $\;R\;$ par l'intermédiaire $\;Q={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}={\dfrac {L\;\omega _{0}}{R}}={\dfrac {L\;2\,\pi \;f_{0}}{R}}\;$ soit $\;R={\dfrac {L\;2\,\pi \;f_{0}}{Q}}=L\;2\,{\sqrt {2}}\,\pi \;f_{0}\;$ donnant, avec le choix suivant
$\;L=100\,mH\;$
$\;C=70\;nF$
$\;R=0,1\times 2\times {\sqrt {2}}\times \pi \times 1,9\;10^{3}\simeq 1,69\,10^{3}\;\Omega \;$
$\;R\simeq 1,69\;k\Omega$
......nous vérifions alors que le gain en dB pour $\;f_{p}=f_{c}=1,9\;kHz\;$ vaut $\;G_{dB}(f_{p})=-3\,dB=G_{dB,\,{\text{max}}}\;$ ainsi que ......nous vérifions alors que le gain en dB pour $\;f_{a}=6,2\;kHz\;$ vaut $\;G_{dB}(f_{a})=-10\,\log \!\left[1+{\dfrac {f_{a}^{4}}{f_{0}^{4}}}\right]=-10\,\log \!\left[1+{\dfrac {(6,2)^{4}}{(1,9)^{4}}}\right]\simeq -20,6\,dB\;$ effectivement $\;\lesssim -20\,dB=G_{dB,\,{\text{inf}}}$.
......Remarque : un facteur de qualité strictement inférieur à $\;{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;$ pourrait être envisagé mais la condition portant sur la fréquence de coupure à -3dB, laquelle ne s'identifie plus avec la fréquence propre, la poursuite nécessiterait de déterminer l'« expression de $\;f_{c}\;$ en fonction de $\;f_{0}\;$ et $\;Q$ » pour en déduire un encadrement sur $\;f_{0}\;$ compte-tenu de la valeur de $\;Q\;$ souhaitée $\;\ldots \;$ la fin serait alors identique à celle présentée ci-dessus.

### Condition pour utiliser le filtre comme double intégrateur ou moyenneur sur l'exemple précédent

......Le filtre se comportera comme un « double intégrateur » si les harmoniques d'un signal d'entrée à valeur moyenne nulle sont tous dans la zone double-intégrative à savoir $\;f\gtrsim 10\;f_{c}\;$ ${\big \$le choix d'une fréquence propre égale à $\;f_{0}=1,9\;kHz$, donne une zone double-intégrative $\;\left[19\;kHz\;,\;+\infty \right[\;$ mais le « signal ne sera réellement bi-intégré que s'il est d'amplitude notable »${\big \}$
* voir ci-dessous à gauche où le signal d'entrée est un créneau de $\;1\;V\;$ d'amplitude, de fréquence $\;f=19\;kHz\;$ et le signal de sortie (inobservable sans effet de loupe) est une succession de portions paraboliques de concavités inversées, correspondant aux deux intégrations successives du signal créneau,
* ci-dessous à droite la sortie seule (sans ajout des inévitables parasites) avec une augmentation de sensibilité d'un facteur $\;80$, l'amplitude du signal de sortie de $\;12\;mV\;$ est de même ordre de grandeur que celle des parasites ;
......un autre exemple d'utilisation de la double intégration avec un signal d'entrée construit en simulant la dérivation temporelle d'un créneau à savoir « deux pics de Dirac inversés séparés de $\;{\dfrac {T}{2}}$ » de fréquence $\;f=19\;kHz\;$
* ci-dessous à gauche, le signal d'entrée avec superposition du signal de sortie peu visible sans effet de loupe car d'amplitude trop faible et
* ci-dessous à droite la sortie seule (sans ajout des inévitables parasites) triangulaire correspondant effectivement à deux intégrations successives du signal d'entrée avec une augmentation de sensibilité d'un facteur $\;100$, l'amplitude du signal de sortie de $\;11\;mV\;$ est de même ordre de grandeur que celle des parasites ;
......le filtre agissant sur un signal d'entrée à valeur moyenne non nulle laissera passer sans atténuation la composante permanente de ce signal et, dans la mesure où les autres harmoniques du signal d'entrée seraient tous dans la zone double-intégrative à savoir $\;f\gtrsim 10\;f_{c}$, il devrait se comporter comme un « double-intégrateur à composante permanente » $\;\ldots \;$ à condition que « l'amplitude de harmoniques doublement intégrés soit de valeur notable » voir
* ci-dessous à gauche où le signal d'entrée créneau est d'amplitude $\;10\,V\;$ avec une composante permanente de $\;0,5\,V\;$ et le signal de sortie est une succession de portions paraboliques de concavités inversées avec une composante permanente de $\;0,5\,V\;$ et
* ci-dessous à droite le signal de sortie seul avec un effet de loupe de facteur $\;80\;$ où on observe assez nettement la succession de portions paraboliques de concavités inversées d'amplitude $\;120\,mV\;$ à laquelle s'ajoute la composante permanente de $\;500\,mV$.
......Le filtre agissant sur un signal d'entrée à valeur moyenne non nulle laissant passer sans atténuation la composante permanente de ce signal, se comportera comme « moyenneur (à composante permanente) » si les autres harmoniques du signal d'entrée sont tous dans la zone double-intégrative mais tels que « la fréquence du signal d'entrée soit suffisamment éloignée de la borne inférieure » ou que « l'amplitude de variation du signal d'entrée ne soit pas trop grande » de façon à ce que l'amplitude des formes bi-intégrées des harmoniques de rang non nul soit trop petite pour être observée voir ci-dessous à gauche l'oscillogramme avec signal d'entrée et signal de sortie alors que ci-dessous à droite le signal de sortie seul avec une sensibilité permettant d'observer la composante permanente, le calcul étant fait en ignorant l'ajout des inévitables parasites …

## Établissement du gabarit d'un 2ème ordre du type « réponse en tension aux bornes de la bobine parfaite d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante », condition pour l'utiliser en double dérivateur

......Le 2ème ordre du type « réponse en tension aux bornes de la bobine parfaite d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante » a d'abord été introduit en exercice du chapitre$31$ « réponse en tension aux bornes de la bobine (parfaite) d'un R L C série … » avant d'être prolongé dans le paragraphe « définition d'une fonction de transfert du 2ème ordre du type réponse en u$_L$ d'un R L C série … » du chapitre$33$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » mais il n'est pas explicitement inscrit dans le programme de PCSI …

### Cahier des charges d'un passe-haut du 2ème ordre (traité sur un exemple)

......On cherche à réaliser le filtrage passe-haut suivant :
* les fréquences jusqu'à $\;1,9\;kHz\;$ doivent être filtrées et atténuées d'au moins $\;20\,dB$,
* les fréquences supérieures à $\;6,2\;kHz\;$ doivent passer à travers le filtre sans être amplifiées et ne pas être atténuées de plus de $\;3\,dB$.

### Choix de l'ordre du filtre sur l'exemple précédent

......On le détermine en calculant la pente nécessaire dans la zone de transition, la valeur absolue de celle-ci donnant un minorant de la pente nécessaire dans la zone absorbante (voir exemple ci-contre) ;
......on passe de $\;f_{a}=1,9\;kHz\;$ à $\;f_{p}=6,2\;kHz\;$ soit $\;\log \!\left({\dfrac {f_{p}}{f_{a}}}\right)=\log \!\left({\dfrac {6,2}{1,9}}\right)\simeq 0,51\;{\text{décade}}\;$ associée à une croissance de $\;20-3=17\;dB\;$ dans la zone intermédiaire soit une pente dans cette zone de $\;{\dfrac {17\;dB}{0,51\;{\text{décade}}}}\simeq$ $33,3\;dB/{\text{décade}}\;$ d'où le choix d'une pente de $\;+40\;dB/{\text{décade}}\;$ dans la zone absorbante c'est-à-dire le choix d'un 2ème ordre du type réponse en tension aux bornes de la bobine (parfaite) d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante.

### Choix des caractéristiques du filtre (c'est-à-dire, dans le cas présent, de sa fréquence propre et de son facteur de qualité) pour l'exemple précédent

......Compte-tenu de la valeur de $\;f_{p}=6,2\;kHz\;$ avec $\;G_{dB,\,{\text{sup}}}=-3\,dB$, la fréquence de coupure à -3dB $\;f_{c}\;$ doit vérifier $\;f_{c}\lesssim f_{p}$ ;
......compte-tenu de la valeur de $\;f_{a}=1,9\;kHz\;$ avec $\;G_{dB,\,{\text{inf}}}=-20\,dB$, la fréquence de coupure à -3dB $\;f_{c}\;$ doit vérifier $\;f_{c}\gtrsim {\dfrac {f_{a}}{0,316}}\;$ car l'abscisse de la droite de pente $\;+40\;dB/{\text{décade}}\;$ passant par le point $\;\left(f_{a}=1,9\,kHz\;,\,G_{dB,\,{\text{inf}}}=-20\,dB\right)\;$ est séparé de $\;f_{a}=1,9\,kHz\;$ de $\;{\dfrac {-20\,dB}{+40\,dB/{\text{décade}}}}$ $\simeq -0,5\,{\text{décade}}\;$ soit un rapport entre l'abscisse cherchée et $\;f_{a}=1,9\,kHz\;$ de $\;10^{-0,5}\simeq 0,316$ ;
$\;{\dfrac {f_{a}}{0,316}}={\dfrac {1,9\;kHz}{0,316}}\simeq 6,0\;kHz\lesssim f_{c}\lesssim f_{p}=6,2\;kHz$
......pour obtenir un passe-haut il faut que le facteur de qualité $\;Q\;$ ne soit pas trop élevé et le choix de $\;Q\leqslant {\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\simeq 0,707\;$ correspondra à un passe-haut sans résonance.

### Choix des éléments constitutifs du filtre sur l'exemple précédent

......On choisit donc un « R L C série » avec « sortie aux bornes de L », tel que la fréquence de coupure à -3dB $\;f_{c}\;{\underset {\sim }{\in }}\;\left[6,0\;kHz\;;\;6,2\;kHz\right]\;$ et le facteur de qualité $\;Q\in \left]0\;;\;{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\simeq 0,707\right]$ ;
......si nous choisissons la plus grande valeur du facteur de qualité compatible avec l'encadrement précédent c'est-à-dire $\;Q={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\simeq 0,707$, la fréquence de coupure à -3dB se confond alors avec la fréquence propre c'est-à-dire $\;f_{c}=f_{0}={\dfrac {1}{2\,\pi \,{\sqrt {L\;C}}}}\;$ ${\Bigg \$en effet la fonction de transfert $\;{\underline {A}}(j\,f)={\dfrac {-{\dfrac {f^{2}}{f_{0}^{2}}}}{1-{\dfrac {f^{2}}{f_{0}^{2}}}+j\,{\dfrac {f}{Q\,f_{0}}}}}\;$ se réécrit $\;{\underline {A}}_{(Q\,=\,1/{\sqrt {2}})}(j\,f)={\dfrac {-{\dfrac {f^{2}}{f_{0}^{2}}}}{1-{\dfrac {f^{2}}{f_{0}^{2}}}+j\,{\sqrt {2}}\,{\dfrac {f}{f_{0}}}}}\;$ donnant un gain $\;G_{(Q\,=\,1/{\sqrt {2}})}(f)={\dfrac {\dfrac {f^{2}}{f_{0}^{2}}}{\sqrt {\left(1-{\dfrac {f^{2}}{f_{0}^{2}}}\right)^{\!\!2}+2\,{\dfrac {f^{2}}{f_{0}^{2}}}}}}={\dfrac {\dfrac {f^{2}}{f_{0}^{2}}}{\sqrt {1+{\dfrac {f^{4}}{f_{0}^{4}}}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {1+{\dfrac {f_{0}^{4}}{f^{4}}}}}}\;$ d'où, par définition de la fréquence de coupure à -3dB $\;G_{(Q\,=\,1/{\sqrt {2}})}(f_{c})={\dfrac {G_{(Q\,=\,1/{\sqrt {2}},\,{\text{max}})}}{\sqrt {2}}}$, l'équation $\;{\dfrac {1}{\sqrt {1+{\dfrac {f_{0}^{4}}{f_{c}^{4}}}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;$ de solution physique $\;f_{c}=f_{0}{\Bigg \}$ ;
......ainsi pour $\;Q={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}$, nous en déduisons un encadrement pour la fréquence propre $\;6,0\,kHz\lesssim f_{0}={\dfrac {1}{2\,\pi \,{\sqrt {L\;C}}}}\lesssim 6,2\,kHz\;$ soit, en inversant et divisant tous les membres par $\;2\,\pi \;$ et en élevant au carré après rétablissement en unités S.I., $\;{\dfrac {1}{\left(6,2\;10^{3}\times 2\,\pi \right)^{2}}}\lesssim L\;C\lesssim {\dfrac {1}{\left(6,0\;10^{3}\times 2\,\pi \right)^{2}}}\;$ ou encore $\;6,59\;10^{-10}\;s^{2}\lesssim L\;C\lesssim 7,04\;10^{-10}\;s^{2}$ ; on peut, par exemple, choisir
* $\;L=100\;mH\;$ et $\;6,6\;nF\lesssim C\lesssim 7,0\;nF\;$ ou
* $\;L=10\;mH\;$ et $\;66\;nF\lesssim C\lesssim 70\;nF\;$ ou encore …
* $\;L=1\;mH\;$ et $\;0,66\;\mu F\lesssim C\lesssim 0,70\;\mu F$,
......le facteur de qualité permet de choisir $\;R\;$ par l'intermédiaire $\;Q={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}={\dfrac {L\;\omega _{0}}{R}}={\dfrac {L\;2\,\pi \;f_{0}}{R}}\;$ soit $\;R={\dfrac {L\;2\,\pi \;f_{0}}{Q}}=L\;2\,{\sqrt {2}}\,\pi \;f_{0}\;$ donnant, avec le choix suivant
$\;L=100\,mH\;$
$\;C=7,0\;nF$
$\;R=0,1\times 2\times {\sqrt {2}}\times \pi \times 6,2\;10^{3}\simeq 5,51\,10^{3}\;\Omega \;$
$\;R\simeq 5,51\;k\Omega$
......nous vérifions alors que le gain en dB pour $\;f_{p}=f_{c}=6,2\;kHz\;$ vaut $\;G_{dB}(f_{p})=-3\,dB=G_{dB,\,{\text{max}}}\;$ ainsi que ......nous vérifions alors que le gain en dB pour $\;f_{a}=1,9\;kHz\;$ vaut $\;G_{dB}(f_{a})=-10\,\log \!\left[1+{\dfrac {f_{0}^{4}}{f_{a}^{4}}}\right]=-10\,\log \!\left[1+{\dfrac {(6,2)^{4}}{(1,9)^{4}}}\right]\simeq -20,6\,dB\;$ effectivement $\;\lesssim -20\,dB=G_{dB,\,{\text{inf}}}$.
......Remarque : un facteur de qualité strictement inférieur à $\;{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;$ pourrait être envisagé mais la condition portant sur la fréquence de coupure à -3dB, laquelle ne s'identifie plus avec la fréquence propre, la poursuite nécessiterait de déterminer l'« expression de $\;f_{c}\;$ en fonction de $\;f_{0}\;$ et $\;Q$ » pour en déduire un encadrement sur $\;f_{0}\;$ compte-tenu de la valeur de $\;Q\;$ souhaitée $\;\ldots \;$ la fin serait alors identique à celle présentée ci-dessus.

### Condition pour l'utiliser comme double dérivateur

......Le filtre se comportera comme un « double-dérivateur » si les 1$^{ers}$ harmoniques qui importent pour construire le signal doublement dérivé d'un signal d'entrée à valeur moyenne nulle sont tous dans la zone double-dérivative à savoir $\;n_{\text{min construct. dble dérivé}}\;f\lesssim {\dfrac {f_{c}}{10}}\;$ ou $\;f\lesssim {\dfrac {f_{c}}{10\;n_{\text{min construct. dble dérivé}}}}\;$ ${\big \$le choix d'une fréquence de coupure à -3dB égale à $\;f_{c}\simeq 6,2\;kHz$, donne une zone double-dérivative $\;\left[0\;,\;620\;Hz\right]\;$ mais le « signal ne sera réellement doublement dérivé que s'il est d'amplitude notable (laquelle doit être le plus souvent trop grande pour que le signal de sortie soit observable) »${\big \}$,
* ci-dessous à gauche le signal de sortie avec un signal d'entrée formé de portions paraboliques à concavités opposées séparées de $\;{\dfrac {T}{2}}\;$ de $\;10\;V\;$ d'amplitude et de fréquence $\;f=20\;Hz\;$ est inobservable car son amplitude théorique serait de l'ordre de $\;100\;\mu V\;$ largement inférieure à celle des parasites,
* ci-dessous à droite le signal de sortie calculé en absence de parasites et représenté seul avec un facteur de loupe de $\;100000$ ;
......en pratique, la condition de fréquence imposée au signal d'entrée pour réaliser une double-dérivation est beaucoup trop stricte, l'important étant que l'harmonique fondamental soit dans la zone double-dérivative, les suivants pouvant n'être que dans la zone intermédiaire et subir une double-dérivation imparfaite comme dans l'exemple ci-dessous à gauche avec un signal d'entrée biparabolique à concavités opposées séparées de $\;{\dfrac {T}{2}}\;$ de fréquence $\;f=600\,Hz\simeq {\dfrac {f_{0}}{10}}\;$ et d'amplitude $\;10\,V$, voir ci-dessous à droite le signal de sortie calculé en absence de parasites et représenté seul avec un facteur de loupe de $\;100$, l'amplitude calculée du signal étant $\;\simeq 80\,mV\;$ c'est-à-dire au moins quatre fois plus grande que celle des parasites.
......Le caractère beaucoup trop strict de la condition de fréquence imposée au signal d'entrée pour réaliser une double-dérivation est encore plus net avec un signal triangulaire même d'amplitude égale à $\;10\,V$, cette condition serait $\;f_{\text{max pour dble dériv}}={\dfrac {f_{c}}{10\;n_{\text{min construct. dble dérivé}}}}={\dfrac {6,2\,10^{3}}{10\times 300}}\simeq 2,0\,Hz\;$ alors que $\;f_{\text{max pour dble dériv prat}}\simeq 60,0\,Hz\;$ suffit, voir ci-dessous à gauche un signal d'entrée triangulaire de fréquence $\;f=60\,Hz\;$ et d'amplitude $\;10\,V$ avec un faible signal de sortie à peine observable et ci-dessous à droite le signal de sortie calculé en absence de parasites et représenté seul avec un facteur de loupe de $\;200$, l'amplitude calculée du signal étant $\;\simeq 50\,mV\;$ c'est-à-dire au moins deux fois plus grande que celle des parasites.

## En complément, établissement du gabarit d'un 2ème ordre du type « réponse en tension aux bornes de l'ensemble bobine parfaite et condensateur d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante », condition pour l'utiliser en réjecteur d'un harmonique
### Cahier des charges d'un réjecteur de fréquences (traité sur un exemple)

......On cherche à réaliser le filtrage coupe-bande suivant :
* les fréquences inférieures à $\;112\;kHz\;$ et supérieures à $\;212\;kHz\;$ doivent passer à travers le filtre et ne pas être atténuées de plus de $\;3\,dB$,
* les fréquences entre $\;161,6\;kHz\;$ et $\;162,4\;kHz\;$ doivent être filtrées et atténuées d'au moins $\;40\,dB$.

### Choix des caractéristiques du filtre (c'est-à-dire, dans le cas présent, de sa fréquence d'antirésonance et de sa bande non passante à -3dB) pour l'exemple précédent

......La fréquence centrale étant la fréquence d'antirésonance $\;f_{0}=162,0\;kHz$, les fréquences de coupure à -3dB basse et haute doivent être respectivement inférieure à $\;f_{p}^{-}=112\;kHz\;$ et supérieure à $\;f_{p}^{+}=212\;kHz$, la bande non passante à -3dB étant donc supérieure à $\;f_{p}^{+}-f_{p}^{-}=100\;kHz$, l'acuité de l'antirésonance doit être inférieure à $\;{\dfrac {f_{0}}{f_{p}^{+}-f_{p}^{-}}}$ $={\dfrac {162,0}{100}}\simeq 1,62\;$ c'est-à-dire $\;Q\lesssim 1,62$ ;
......le gain en décibels sur la plage absorbante devant être inférieur à $\;-40\,dB$, on en déduit que $\;G_{dB}(f_{0})\;$ est nécessairement inférieur à $\;-40\,dB$, on affine un peu plus ce gain en admettant une chute supplémentaire de $\;3\,dB\;$ soit $\;G_{dB}(f_{0})\lesssim -43\,dB\;$ ou $\;\log \!\left[G(f_{0})\right]\lesssim {\dfrac {-43}{20}}=-2,15\;$ soit $\;G(f_{0})\lesssim 10^{-2,15}\simeq 7,1\;10^{-3}\;$ ou encore $\;G_{0}\;\vert \alpha \vert \;Q\lesssim 7,1\;10^{-3}\;$ ;
$\;Q\lesssim 1,62\;$
$\;\alpha \;$
$\;\vert \alpha \vert \;Q\lesssim 7,1\;10^{-3}\;$
$\;G_{0}=1\;$

### Choix des éléments constitutifs du filtre sur l'exemple précédent

......On choisit donc un « R L C série » avec « sortie aux bornes de r L C » où $\;r\simeq 10\;\Omega \;$ est la résistance de la bobine, tel que $\;f_{0}={\dfrac {1}{2\,\pi \,{\sqrt {L\;C}}}}=162\,kHz\;$ soit $\;L\;C={\dfrac {1}{\left(2\;\pi \times 162\,10^{3}\right)^{2}}}\simeq$ $9,65\;10^{-13}\;s^{2}$ ; on peut, par exemple, choisir
* $\;L=100\;mH\;$ et $\;C=9,7\;pF\;$ ou
* $\;L=10\;mH\;$ et $\;C=97\;pF\;$ ou encore …
* $\;L=1\;mH\;$ et $\;C=0,97\;nF$,
......le facteur de qualité permet de choisir $\;R\;$ par l'intermédiaire $\;Q={\dfrac {L\;\omega _{0}}{R}}={\dfrac {L\;2\,\pi \;f_{0}}{R}}\;$ soit $\;R={\dfrac {L\;2\,\pi \;f_{0}}{Q}}\;$ donnant, avec la condition sur l'acuité de l'antirésonance à savoir $\;Q\lesssim 1,62$, une valeur de résistance minimale $\;R\gtrsim {\dfrac {L_{{\text{en }}\,H}\times 2\,\pi \times 162\;10^{3}}{1,62}}\simeq 6,3\;10^{5}\;L_{{\text{en }}\,H}$ ;
......la fonction de transfert s'écrivant $\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {1-L\,C\,\omega ^{2}+j\,r\,C\,\omega }{1-L\,C\,\omega ^{2}+j\,R\,C\,\omega }}\;$ on en déduit le gain à la fréquence d'antirésonance $\;G(f_{0})={\dfrac {r}{R}}\;$ s'identifiant à $\;\vert \alpha \vert \;Q\;$ d'où, avec la condition sur la profondeur du puits d'absorption à savoir $\;\vert \alpha \vert \;Q\lesssim 7,1\,10^{-3}$, une nouvelle borne inférieure pour la résistance $\;R\;$ soit $\;R\gtrsim {\dfrac {r_{{\text{en }}\,\Omega }}{7,1\,10^{-3}}}\simeq 141\;r_{{\text{en }}\,\Omega }\simeq 1,41\,k\Omega$ ; cette condition sera moins stricte que celle portant sur l'acuité de l'antirésonance si $\;6,3\;10^{5}\;L_{{\text{en }}\,H}\;$ est plus grande que $\;1,41\,k\Omega \;$ soit $\;L_{{\text{en }}\,H}\gtrsim {\dfrac {1,41\;10^{3}}{6,3\;10^{5}}}\simeq 2,24\,10^{-3}\,H=2,24\,mH$ ;
......en conclusion on choisit, pour satisfaire la fréquence d'antirésonance et l'acuité de cette dernière ainsi que la profondeur du puits d'absorption, les valeurs suivantes
$\;L=100\,mH$
$\;C=9,7\;pF\;$
$\;R=R_{\text{min}}\simeq 6,3\;10^{5}\times 0,1\simeq 63\;k\Omega$
......nous vérifions que les valeurs du gain en décibels de la courbe pour les fréquences $\;f_{p}^{-}=112\;kHz\;$ et $\;f_{p}^{+}=212\;kHz\;$ satisfont effectivement le cahier des charges puisqu'elles correspondent respectivement aux fréquences de coupure à -3dB basse et haute ainsi que ......nous vérifions que les valeurs du gain en décibels de la courbe pour les fréquences $\;f_{a}^{-}=161,6\;kHz\;$ et $\;f_{a}^{+}=162,4\;kHz\;$ satisfont aussi le cahier des charges avec cette valeur de facteur de qualité et $\;G_{dB}(f)=10\,log\!\left\lbrace \left[1-\left({\dfrac {f}{f_{0}}}\right)^{\!2}\right]^{\!2}+\left({\dfrac {r}{R}}\right)^{\!2}{\dfrac {f^{2}}{Q^{2}\;f_{0}^{2}}}\right\rbrace -10\,log\!\left\lbrace \left[1-\left({\dfrac {f}{f_{0}}}\right)^{\!2}\right]^{\!2}+{\dfrac {f^{2}}{Q^{2}\;f_{0}^{2}}}\right\rbrace$,
* $\;G_{dB}(f_{a}^{-})=10\,log\!\left\lbrace \left[1-\left({\dfrac {161,6}{162}}\right)^{\!2}\right]^{\!2}+\left({\dfrac {10}{6,3\;10^{3}}}\right)^{\!2}\left({\dfrac {161,6}{1,62\times 162}}\right)^{\!2}\right\rbrace -10\,log\!\left\lbrace \left[1-\left({\dfrac {161,6}{162}}\right)^{\!2}\right]^{\!2}+\left({\dfrac {161,6}{1,62\times 162}}\right)^{\!2}\right\rbrace$ $\simeq -41,8\,dB<-40\,dB\;$ et
* $\;G_{dB}(f_{a}^{+})=10\,log\!\left\lbrace \left[1-\left({\dfrac {162,4}{162}}\right)^{\!2}\right]^{\!2}+\left({\dfrac {10}{6,3\;10^{3}}}\right)^{\!2}\left({\dfrac {162,4}{1,62\times 162}}\right)^{\!2}\right\rbrace -10\,log\!\left\lbrace \left[1-\left({\dfrac {162,4}{162}}\right)^{\!2}\right]^{\!2}+\left({\dfrac {162,4}{1,62\times 162}}\right)^{\!2}\right\rbrace$ $\simeq -41,8\,dB<-40\,dB$,
......nous vérifions que le gain en décibels à la fréquence d'antirésonance valant $\;G_{dB}(f_{0})=20\,\log \!\left({\dfrac {r}{R}}\right)\simeq 20\,\log \!\left({\dfrac {10}{6,3\;10^{3}}}\right)\simeq -56\,dB$.

### Condition pour utiliser le filtre comme réjecteur d'un harmonique sur l'exemple précédent

......Le filtre se comportera comme « réjecteur d'un harmonique » si les harmoniques du signal d'entrée sont la zone passante (à gauche et à droite) à l'exception de l'harmonique que l'on veut rejeter qui doit être dans la zone absorbante ;
* pour rejeter l'harmonique fondamental du « signal d'entrée » de fréquence $\;f\;$ il faut $\;f\in \left[161,6\,kHz\;;\;162,4\,kHz\right]\;$ et l'harmonique suivant c'est-à-dire de rang 3 dans la zone absorbante à savoir $\;3\,f\geqslant 212\,kHz\;$ réalisé ici car $\;3\;f\in \left[3\times 161,6\,kHz\simeq 484,8\,kHz\;;\;3\times 162,4\,kHz\simeq 487,2\,kHz\right]$ ;
* pour rejeter l'harmonique de rang 3 du signal d'entrée il faut $\;3\;f\in \left[161,6\,kHz\;;\;162,4\,kHz\right]\;$ nécessitant pour fréquence du signal d'entrée $\;f\in \left[{\dfrac {161,6\,kHz}{3}}\simeq 53,9\,kHz\;;\;{\dfrac {162,4\,kHz}{3}}\simeq 54,1\,kHz\right]$, l'harmonique fondamental devant être dans la zone absorbante de gauche à savoir $\;f\leqslant 112\,kHz\;$ et celui de rang 5 dans la zone absorbante de droite à savoir $\;5\,f\geqslant 212\,kHz$, les deux conditions étant réalisées ici car, pour la 2ème, $\;5\;f\in \left[{\dfrac {5}{3}}\times 161,6\,kHz\simeq 269,3\,kHz\;;\;{\dfrac {5}{3}}\times 162,4\,kHz\simeq 270,7\,kHz\right]$ ;
* pour rejeter l'harmonique de rang 5 du signal d'entrée il faut $\;5\;f\in \left[161,6\,kHz\;;\;162,4\,kHz\right]\;$ nécessitant pour fréquence du signal d'entrée $\;f\in \left[{\dfrac {161,6\,kHz}{5}}\simeq 32,3\,kHz\;;\;{\dfrac {162,4\,kHz}{5}}\simeq 32,5\,kHz\right]$, l'harmonique de rang 3 devant être dans la zone absorbante de gauche à savoir $\;3\;f\leqslant 112\,kHz\;$ et celui de rang 7 dans la zone absorbante de droite à savoir $\;7\,f\geqslant 212\,kHz$, les deux conditions étant réalisées ici car ......$\;\succ \;$ $\;3\;f\in \left[{\dfrac {3}{5}}\times 161,6\,kHz\simeq 97,0\,kHz\;;\;{\dfrac {3}{5}}\times 162,4\,kHz\simeq 97,4\,kHz\right]$ et ......$\;\succ \;$ $\;7\;f\in \left[{\dfrac {7}{5}}\times 161,6\,kHz\simeq 226,2\,kHz\;;\;{\dfrac {7}{5}}\times 162,4\,kHz\simeq 227,4\,kHz\right]$ ;
* pour rejeter l'harmonique de rang 7 du signal d'entrée il faut $\;7\;f\in \left[161,6\,kHz\;;\;162,4\,kHz\right]\;$ nécessitant pour fréquence du signal d'entrée $\;f\in \left[{\dfrac {161,6\,kHz}{7}}\simeq 23,1\,kHz\;;\;{\dfrac {162,4\,kHz}{7}}\simeq 23,2\,kHz\right]$, l'harmonique de rang 5 devant être dans la zone absorbante de gauche à savoir $\;5\;f\leqslant 112\,kHz\;$ et celui de rang 9 dans la zone absorbante de droite à savoir $\;9\,f\geqslant 212\,kHz$, aucune des conditions n'étant réalisée ici car ......$\;\succ \;$ $\;5\;f\in \left[{\dfrac {5}{7}}\times 161,6\,kHz\simeq 115,4\,kHz\;;\;{\dfrac {5}{7}}\times 162,4\,kHz\simeq 116,0\,kHz\right]$ soit $\;5\;f\not \leqslant 112\;kHz\;$ et ......$\;\succ \;$ $\;9\;f\in \left[{\dfrac {9}{7}}\times 161,6\,kHz\simeq 207,8\,kHz\;;\;{\dfrac {9}{7}}\times 162,4\,kHz\simeq 208,8\,kHz\right]\;$ soit $\;9\;f\not \geqslant 212\;kHz$ ; ......ainsi avec un signal d'entrée de fréquence $\;f\in \left[23,1\,kHz\;;\;23,2\,kHz\right]$, le signal de sortie ne contient pas l'harmonique de rang 7 d'une part et d'autre part, si les harmoniques de rangs 5 et 9 restent présents ils sont néanmoins d'amplitude diminuée ;
* il est donc possible avec ce filtre de rejeter un harmonique d'un signal créneau ou triangulaire jusqu'au rang 5 inclus, au-delà il y aura plus d'un harmonique rejeté …
......Ci-dessous le signal de sortie du filtre avec un signal d'entrée créneau dans le but de rejeter l'harmonique fondamental à gauche, l'harmonique de rang 3 au centre et l'harmonique de rang 5 à droite [le signal de sortie en magenta est à comparer au signal représenté en pointillés calculé par synthèse de Fourier sur tous les harmoniques du signal créneau à l'exception de l'harmonique rejeté] :
......ci-dessous le signal de sortie du filtre avec un signal d'entrée triangulaire dans le but de rejeter l'harmonique fondamental à gauche, l'harmonique de rang 3 à droite [le signal de sortie en magenta est à comparer au signal représenté en pointillés calculé par synthèse de Fourier sur tous les harmoniques du signal triangulaire à l'exception de l'harmonique rejeté] :
...Remarque : pour déterminer la limite théorique du réjecteur d'harmonique sans avoir à les essayer tous, nous pouvons admettre que la sélection cessera si les harmoniques de rang $\;2\,p-1\;$ et $\;2\,p+1\;$ sont séparés de moins de $\;49,6\,kHz\;$ soit $\;(2\,p+1)\;f-(2\,p-1)\;f=49,6\;kHz\;$ donnant $\;f=$ $24,8\,kHz\;$ avec $\;(2\,p+1)\,f=161,6\,kHz\;$ soit finalement $\;2\,p+1={\dfrac {161,6}{24,8}}\simeq 6,52\;$ établissant que le 1er harmonique théoriquement non rejetable seul est de rang $\;7$, le dernier rejetable seul étant de rang 5 $\ldots \;$

## Mise en cascade de filtres et intérêt de réaliser des filtres à faible impédance de sortie et forte impédance d'entrée

......L'avantage de monter des filtres en cascade c'est de permettre de cumuler les propriétés de chaque filtre mais il faut être prudent dans leur montage et respecter les règles suivantes (règles exposées dans le cas où les fonctions de transfert sont les amplifications complexes en tension) :
* l'impédance de sortie du dernier étage doit être très faible de façon à ce que la charge sur laquelle il est branché ne modifie quasiment pas la tension de sortie (impédance de sortie faible $\Rightarrow$ tension de sortie $\;\simeq \;$ tension de sortie à vide par chute ohmique aux bornes de l'impédance de sortie quasi nulle) et par suite la fonction de transfert de ce dernier étage est pratiquement celle en sortie ouverte ;
* l'impédance d'entrée du dernier étage doit être très grande de façon à ce que l'avant dernier étage étant fermé sur une charge d'impédance quasi infinie, la fonction de transfert de cet avant dernier étage soit quasi fixée égale à sa fonction de transfert à vide ;
* l'impédance d'entrée de tous les étages (à l'exception du 1er pour lequel la condition n'est pas nécessaire) doit être grande pour la même raison que précédemment et ainsi la fonction de transfert de « tous les étages » est quasi fixée égale à sa fonction de transfert à vide ;
* dans ces conditions la fonction de transfert globale est le produit des fonctions de transfert individuelles.
......Remarque : on rappelle que dans le cas où les étages sont identiques et que la chaîne d'étages successifs est fermée sur l'« impédance itérative » de chaque étage, la fonction de transfert globale est aussi le produit des fonctions de transfert individuelles.

## Étude du filtrage linéaire d'un signal non sinusoïdal à partir de son spectre

......Rappel du principe d'étude lors du filtrage d'un signal périodique non sinusoïdal :
* faire l'analyse de Fourier du signal d'entrée c'est-à-dire déterminer sa représentation fréquentielle $\;\left\lbrace C_{0,\,E}\;;\;{\underline {C_{p,\,e}}},\;p\in \mathbb {N} ^{*}\right\rbrace \;$ en utilisant les « connaissances » ou un logiciel de calcul,
* déterminer la réponse fréquentielle du filtre linéaire au signal d'entrée $\;\left\lbrace C_{0,\,S}\;;\;{\underline {C_{p,\,s}}},\;p\in \mathbb {N} ^{*}\right\rbrace \;$ à l'aide de la représentation fréquentielle du signal d'entrée et de la fonction de transfert du filtre selon $\;C_{0,\,S}=H_{0}\;C_{0,\,E}\;$ et $\;{\underline {C_{p,\,s}}}={\underline {H}}(j\,2\,\pi \,p\,f_{e})\;{\underline {C_{p,\,e}}}\;$ pour $\;p\in \mathbb {N} ^{*}$ ;
* faire la synthèse de Fourier du signal de sortie c'est-à-dire utiliser un logiciel de calcul pour ajouter tous les harmoniques permettant d'obtenir la réponse temporelle du filtre à partir de sa réponse fréquentielle.
......Prolongement du principe d'étude lors du filtrage d'un signal non périodique (traité en complément) :
* la décomposition en série de Fourier est alors remplacée par la décomposition en « intégrale de Fourier », la représentation fréquentielle du signal d'entrée étant $\;\left\lbrace C_{0,\,E}\;;\;{\underline {\widehat {e}}}(\omega ),\;\forall \;\omega \,\in \,\mathbb {R} ^{*}\right\rbrace \;$,
* la détermination de la réponse fréquentielle du filtre à partir de la fonction de transfert et de la représentation fréquentielle du signal d'entrée se fait exactement de la même façon, on obtient évidemment une réponse fréquentielle définie pour toute valeur de pulsation,
* enfin connaissant la réponse fréquentielle du filtre on utilise la transformation de Fourier inverse pour en déduire la réponse temporelle du filtre au signal d'entrée …

## Retour sur la réponse d'un système linéaire à un échelon, notion de réponse indicielle
### Rappel : détermination de l'équation différentielle du système linéaire à partir de la fonction de transfert harmonique de ce dernier

......Revoir le chap.$33$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » respectivement pour un « système fondamental du 1er ordre » ou un « système non fondamental du 1er ordre à transfert statique nul » ou encore un « système du 2ème ordre du type réponse en intensité d'un R L C série … » mais le principe de la détermination est le même quel que soit l'ordre et quel que soit son « type », la méthode étant rappelée ci-dessous :
* imposer une entrée $\;x_{e}(t)\;$ sinusoïdale de pulsation $\;\omega \;$ et chercher la réponse sinusoïdale forcée $\;y_{s}(t)\;$ en se plaçant en électricité « complexe » associée au r.s.f. pour en déduire la fonction de transfert harmonique correspondante $\;{\underline {H}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {y_{s}}}(t)}{{\underline {x_{e}}}(t)}}={\dfrac {{\underline {N}}(j\,\omega )}{{\underline {D}}(j\,\omega )}}\;$ mise sous forme de quotient irréductible de polynômes en $\;j\,\omega$, le polynôme du dénominateur $\;{\underline {D}}(j\,\omega )\;$ étant normalisé,
* en déduire l'égalité du produit des extrêmes et des moyens $\;{\underline {D}}(j\,\omega )\left\lbrace {\underline {y_{s}}}(t)\right\rbrace ={\underline {N}}(j\,\omega )\left\lbrace {\underline {x_{e}}}(t)\right\rbrace \;$ et remplacer la « multiplication par $\;\left(j\,\omega \right)^{n}$ » par la « dérivation temporelle d'ordre n », on obtient alors l'« équation différentielle » en $\;{\underline {y_{s}}}(t)\;$ en régime complexe associé au r.s.f. mais …
* l'équation différentielle étant indépendante de la forme de l'excitation, c'est encore l'équation différentielle en $\;y_{S}(t)\;$ avec une entrée $\;x_{E}(t)=E\;Y(t)\;$ ou $\;x_{E}(t)=I_{0}\;Y(t)\;$ suivant que l'échelon d'entrée est une tension ou une intensité : dans le 2nd membre $\;{\underline {x_{e}}}(t)\;$ est remplacé par $\;E\;Y(t)\;$, $\;{\dot {\underline {x_{e}}}}(t)\;$ par $\;E\;\delta (t)\;$, $\;{\ddot {\underline {x_{e}}}}(t)\;$ par $\;E\;{\dot {\delta }}(t)\;$.

### Rappel sur la résolution de l'équation différentielle en la réponse du système linéaire soumis à un échelon d'excitation, introduction de la réponse indicielle d'un filtre

......Revoir le chap.$26$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » respectivement pour un système fondamental du 1er ordre sur l'exemple de la « réponse en tension aux bornes du condensateur d'un R C série soumis à un échelon de tension » ou pour un système non fondamental du 1er ordre à transfert statique nul sur l'exemple de la « réponse en intensité de courant traversant le condensateur d'un R C série soumis à un échelon de tension » ou encore
......revoir le chap.$28$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » respectivement pour un système du 2ème ordre du type réponse en charge d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante sur l'exemple de la « réponse en tension u$_C$(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série soumis à un échelon tension … » ou pour un système du 2ème ordre du type réponse en intensité de courant traversant un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante sur l'exemple de la « réponse en intensité i(t) de courant traversant un R L C série soumis à un échelon tension … » ou encore pour un système du 2ème ordre du type réponse en tension aux bornes de la bobine (parfaite) d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante sur l'exemple de la « réponse en tension u$_L$(t) aux bornes de la bobine (parfaite) d'un R L C série soumis à un échelon de tension … » mais
......le principe de la résolution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène (ou homogène), l'excitation résultant de l'imposition d'un échelon de tension (ou de courant) au circuit, est le même quel que soit l'ordre et quel que soit son « type », la méthode étant rappelée ci-dessous :
* déterminer la solution libre par résolution de l'équation caractéristique,
* écrire l'équation différentielle pour $\;t>0\;$ et, dans le cas où le 2nd membre ne serait pas nul, déterminer la réponse forcée (c'est-à-dire sous forme d'une constante car de même forme que l'excitation),
* déterminer la (ou les C.I.) suivant l'« ordre » de l'équation différentielle linéaire et le numéro d'espèce de la discontinuité de l'excitation sachant que ce dernier se reporte sur la plus « haute » dérivée temporelle de la réponse et qu'il diminue de une unité à chaque intégration avec effet de stagnation au numéro « zéro » $\;\ldots \;$ En conséquence, pour une équation différentielle du 2ème ordre, ......$\;\succ \;$ si $\;y_{S}(t)\;$ et $\;{\dot {y_{S}}}(t)\;$ sont continues en $\;t=0$, utiliser les connaissances de continuité de tension aux bornes d'un condensateur et d'intensité de courant traversant une bobine dans un circuit « réel » pour le justifier, ......$\;\succ \;$ si $\;y_{S}(t)\;$ est continue et $\;{\dot {y_{S}}}(t)\;$ discontinue de 1re espèce en $\;t=0$, utiliser les connaissances de continuité de tension aux bornes d'un condensateur ou d'intensité de courant traversant une bobine dans un circuit « réel » pour $\;y_{S}(t)\;$ et utiliser les deux continuités évoquées précédemment pour construire le circuit à $\;0^{+}\;$ permettant de déterminer $\;{\dot {y_{S}}}(0^{+})$, ......$\;\succ \;$ si $\;y_{S}(t)\;$ est discontinue de 1re espèce et $\;{\dot {y_{S}}}(t)\;$ discontinue de 2ème espèce en $\;t=0$, utiliser les connaissances de continuité de tension aux bornes d'un condensateur et d'intensité de courant traversant une bobine dans un circuit « réel » pour construire le circuit à $\;0^{+}\;$ permettant de déterminer $\;y_{S}(0^{+})$ et « intégrer l'équation différentielle écrite pour tout $\;t\;$ entre $\;0^{-}\;$ et $\;0^{+}\;$ pour déterminer $\;{\dot {y_{S}}}(0^{+})$ »,
* la réponse « transitoire » étant la somme de la réponse libre et de l'éventuelle réponse forcée, utiliser la (ou les C.I.) pour déterminer la (ou les) constante(s) d'intégration, et par suite obtenir la « réponse temporelle du filtre à l'échelon d'excitation ».
$\;y_{\text{indicielle}}(t)\;$
$\;E\;$
$\;y_{S}(t)=E\;y_{\text{indicielle}}(t)$

### Lien entre la fonction de transfert harmonique du filtre et les propriétés de sa réponse indicielle

* l'existence d'un transfert statique $\;H_{0}\neq 0\;$ [c'est-à-dire un filtre de type « passe-bas »] correspond à la présence d'une composante permanente dans la réponse indicielle, cette composante étant la réponse forcée $\;H_{0}\;1\;$ ou encore $\;y_{{\text{indicielle}},\,f}=H_{0}\;1=\lim \limits _{\omega \,\rightarrow \,0}\!\left\lbrace {\underline {H}}(j\,\omega )\;1\right\rbrace \;$ ;
* l'absence d'un transfert H.F. $\;\lim \limits _{\omega \,\rightarrow \,\infty }\!\left\lbrace {\underline {H}}(j\,\omega )\right\rbrace =0\;$ [c'est-à-dire un filtre de type « passe-bas » du 1er ordre (uniquement le « fondamental ») ou de type « passe-bas ou passe-bande » du 2ème ordre] correspond à la continuité de la réponse indicielle en $\;t=0\;$ [en effet l'absence de transfert H.F. nécessitant que le degré de $\;{\underline {N}}(j\,\omega )\;$ soit inférieur d'au moins une unité au degré de $\;{\underline {D}}(j\,\omega )$, il s'en suit que le « numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation au plus égal à l'ordre de l'équation différentielle » se reporte sur la dérivée temporelle la plus « haute » de la réponse avec diminution d'une unité à chaque intégration, et par suite que le numéro « zéro » d'espèce de discontinuité est atteint pour la réponse (dans le cas où le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation au plus égal à l'ordre de l'équation différentielle) ou pour sa dérivée temporelle (dans le cas où le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation au plus inférieur de une unité à l'ordre de l'équation différentielle) ce qui entraîne nécessairement que la réponse est elle-même discontinue de « 0ème espèce » c'est-à-dire continue] et ceci se traduit mathématiquement sous la forme $\;y_{\text{indicielle}}(0^{+})=\lim \limits _{\omega \,\rightarrow \,\infty }\!\left\lbrace {\underline {H}}(j\,\omega )\;1\right\rbrace =0\;$, le système étant initialement au repos ;
* l'existence d'un transfert H.F. $\;\lim \limits _{\omega \,\rightarrow \,\infty }\!\left\lbrace {\underline {H}}(j\,\omega )\right\rbrace \neq 0\;$ [c'est-à-dire un filtre de type « passe-haut » du 1er ordre (sans ou avec transfert statique) ou de type « passe-haut ou coupe-bande » du 2ème ordre] correspond à la discontinuité de 1re espèce de la réponse indicielle en $\;t=0\;$ [en effet la présence de transfert H.F. nécessitant que le degré de $\;{\underline {N}}(j\,\omega )\;$ soit égal au degré de $\;{\underline {D}}(j\,\omega )$, il s'en suit que le « numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation plus grand d'une unité que l'ordre de l'équation différentielle » se reporte sur la dérivée temporelle la plus « haute » de la réponse avec diminution d'une unité à chaque intégration, et par suite que le numéro « un » d'espèce de discontinuité est atteint pour la réponse et ceci se traduit mathématiquement sous la forme $\;y_{\text{indicielle}}(0^{+})=\lim \limits _{\omega \,\rightarrow \,\infty }\!\left\lbrace {\underline {H}}(j\,\omega )\;1\right\rbrace \neq 0\;$, le système étant initialement au repos ;
* l'absence d'un transfert H.F. pour la fonction de transfert “ dérivée ” $\;\lim \limits _{\omega \,\rightarrow \,\infty }\!\left\lbrace j\,\omega \;{\underline {H}}(j\,\omega )\right\rbrace =0\;$ [c'est-à-dire un filtre de type « passe-bas » du 2ème ordre] correspond à la continuité de la dérivée temporelle de la réponse indicielle en $\;t=0\;$ [en effet l'absence de transfert H.F. pour la fonction de transfert “ dérivée ” nécessitant que le degré de $\;{\underline {N}}(j\,\omega )\;$ soit égal au degré de $\;{\underline {D}}(j\,\omega )\;$ diminué de deux unités, il s'en suit que le « numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation égal à l'ordre de l'équation différentielle diminué d'une unité » se reporte sur la dérivée temporelle la plus « haute » de la réponse avec diminution d'une unité à chaque intégration, et par suite que le numéro « zéro » d'espèce de discontinuité est atteint pour la dérivée temporelle de la réponse et ceci se traduit mathématiquement sous la forme $\;{\dfrac {dy_{\text{indicielle}}}{dt}}(0^{+})=\lim \limits _{\omega \,\rightarrow \,\infty }\!\left\lbrace j\,\omega \;{\underline {H}}(j\,\omega )\;1\right\rbrace =0\;$, le système étant initialement au repos ;
* l'existence d'un transfert H.F. pour la fonction de transfert “ dérivée ” $\;\lim \limits _{\omega \,\rightarrow \,\infty }\!\left\lbrace j\,\omega \;{\underline {H}}(j\,\omega )\right\rbrace \neq 0\;$ [c'est-à-dire par exemple un filtre de type « passe-bande » du 2ème ordre] correspond à la discontinuité de 1re espèce de la dérivée temporelle de la réponse indicielle en $\;t=0\;$ [en effet la présence de transfert H.F. pour la fonction de transfert “ dérivée ” nécessitant que le degré de $\;{\underline {N}}(j\,\omega )\;$ soit égal au degré de $\;{\underline {D}}(j\,\omega )\;$ diminué d'une unité, il s'en suit que le « numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation égal à l'ordre de l'équation différentielle » se reporte sur la dérivée temporelle la plus « haute » de la réponse avec diminution d'une unité à chaque intégration, et par suite que le numéro « un » d'espèce de discontinuité est atteint pour la dérivée temporelle de la réponse et ceci se traduit mathématiquement sous la forme $\;{\dfrac {dy_{\text{indicielle}}}{dt}}(0^{+})=\lim \limits _{\omega \,\rightarrow \,\infty }\!\left\lbrace j\,\omega \;{\underline {H}}(j\,\omega )\;1\right\rbrace \neq 0\;$, le système étant initialement au repos.
......Avantage de ces propriétés : rapidité d'obtention de la réponse indicielle uniquement à partir de la fonction de transfert « sans qu'il soit utile d'écrire l'équation différentielle ni de la résoudre » …

## Exemple de filtrage non linéaire : redressement simple ou double alternance et propriétés d'un filtre non linéaire « enrichissement du spectre »
### Redresseur simple alternance
#### Définition d'un redresseur simple alternance

......Un redresseur simple alternance positif est un quadripôle pour lequel $\;u_{S}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}u_{E}(t)\;\;{\text{si }}\;u_{E}(t)>0\\0\qquad \;\,{\text{si }}\;u_{E}(t)<0\end{array}}\right\rbrace \;$ et ......Un redresseur simple alternance négatifest un quadripôlepour lequel $\;u_{S}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\qquad \;\,{\text{si }}\;u_{E}(t)>0\\u_{E}(t)\;\;{\text{si }}\;u_{E}(t)<0\end{array}}\right\rbrace$.

#### Tentative de réalisation pratique d'un redresseur simple alternance

......À l'aide d'une diode à jonction (voir schéma ci-contre pour obtenir un redressement simple alternance « positif »), la tension de seuil de la diode étant $\;U_{\text{seuil}}\simeq 0,6\,V\;$ et la résistance dynamique dans le sens passant $\;r_{d}\simeq 1\,\Omega$, la résistance de la charge $\;R_{u}\;$ étant choisie de façon à être grande devant $\;r_{d}\;$ et telle que l'intensité du courant traversant la diode soit inférieure à son maximum toléré $\;I_{{\text{max}},\,d}\simeq 150\,mA\;$ ;
......l'amplitude du signal d'entrée pouvant atteindre $\;10\,V$, nous calculons la valeur minimale de la résistance d'utilisation pour que l'amplitude de l'intensité du courant dans le circuit ne dépasse pas $\;150\,mA\;$ soit $\;I_{E,\,m}=I_{S,\,m}={\dfrac {U_{S,\,m}}{R_{u}}}$ laquelle doit être $\;<\;$ à $\;I_{{\text{max}},\,d}\;$ ce qui nécessite $\;R_{u}>{\dfrac {U_{S,\,m}}{I_{{\text{max}},\,d}}}\;$ inégalité réalisée dans la mesure où $\;R_{u}>{\dfrac {U_{E,\,m}}{I_{{\text{max}},\,d}}}$ $={\dfrac {10}{0,15}}\simeq 67\;\Omega \;$ ;
......nous choisissons $\;R_{u}=100\,\Omega \;$ dont une conséquence est que $\;r_{d}\ll R_{u}\;$ et une autre est que nous pouvons adopter le « modèle idéal avec seuil » pour la diode à jonction.
......Justification (ou non) du fonctionnement redresseur simple alternance positif :
* si $\;u_{E}(t)>0$, la diode est « polarisée en direct » et ......$\;\succ \;$si $\;u_{E}(t)>U_{\text{seuil}}\;$ elle est « vraisemblablement passante », la tension $\;u_{S}(t)=u_{E}(t)-U_{\text{seuil}}\;$ par loi de maille est effectivement positive par hypothèse $\;u_{E}(t)>U_{\text{seuil}}\;$ et l'intensité $\;i_{S}(t)={\dfrac {u_{S}(t)}{R_{u}}}\;$ étant aussi $\;>0\;$ valide le caractère « passant » de la diode (et aussi le caractère « polarisée en direct ») d'où $\;u_{E}(t)>U_{\text{seuil}}\;\Rightarrow \;u_{S}(t)=u_{E}(t)-U_{\text{seuil}}$, alors que ......$\;\succ \;$si $\;0<u_{E}(t)<U_{\text{seuil}}\;$ elle est « vraisemblablement bloquante », l'intensité $\;i_{S}(t)=0\;$ par même intensité dans des éléments en série et la tension $\;u_{S}(t)=R_{u}\;i_{S}(t)=0\;$ par loi d'Ohm, la tension aux bornes de la diode se déterminant par loi de maille selon $\;u_{D}=u_{E}(t)-u_{S}(t)\;$ et s'écrivant encore $\;u_{D}=u_{E}(t)\;$ laquelle étant $\;<\;$ à $\;U_{\text{seuil}}\;$ valide le caractère « bloquant » de la diode (et aussi le caractère « polarisée en direct » par $\;u_{D}>0{\big )}\;$ d'où $\;0<u_{E}(t)<U_{\text{seuil}}\;\Rightarrow \;u_{S}(t)=0$ ;
* si $\;u_{E}(t)<0$, la diode est « polarisée en inverse » et par suite est « bloquante », l'intensité $\;i_{S}(t)=0\;$ par même intensité dans des éléments en série et la tension $\;u_{S}(t)=R_{u}\;i_{S}(t)=0\;$ par loi d'Ohm, la tension aux bornes de la diode se déterminant par loi de maille selon $\;u_{D}=u_{E}(t)-u_{S}(t)\;$ et s'écrivant encore $\;u_{D}=u_{E}(t)\;$ laquelle étant $\;<0\;$ valide le caractère « polarisé en inverse » de la diode d'où $\;u_{E}(t)<0\;\Rightarrow \;u_{S}(t)=0$.
......En conclusion la tension de sortie est telle que $\;u_{S}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}u_{E}(t)-U_{\text{seuil}}\;\;\,{\text{si }}\;u_{E}(t)>U_{\text{seuil}}\\0\qquad \qquad \qquad {\text{si }}\;u_{E}(t)<U_{\text{seuil}}\end{array}}\right\rbrace$, c'est-à-dire un redresseur simple alternance positif avec défaut de seuil ; ce défaut est minimisé si la valeur de crête positive de la tension d'entrée est grande devant la tension de seuil c'est-à-dire $\;u_{E,\,{\text{max}}}\gg U_{\text{seuil}}\;$.
......Ci-dessous, avec une tension d'entrée sinusoïdale $\;u_{E}(t)=U_{e,\,{\text{max}}}\;\sin(2\,\pi \,f\,t)\;$ avec $\;f=100\,Hz\;$ et $\;U_{e,\,{\text{max}}}=6\,V$,
* à gauche l'oscillogramme en bicourbe $\;u_{E}(t)\;$ en noir et $\;u_{S}(t)\;$ en rouge,
* à droite l'oscillogramme en courbe de Lissajous $\;u_{E}(t)\;$ en abscisse et $\;u_{S}(t)\;$ en ordonnée.

#### Caractère non linéaire du filtre « redresseur simple alternance »

......Le filtre serait linéaire en A.R.Q.S. s'il y avait un lien d'équation différentielle linéaire à cœfficients constants entre la tension de sortie et la tension d'entrée, ce qui nécessiterait un lien de proportionnalité en régime permanent, comme cette dernière condition n'est pas vérifiée, le filtre n'est pas linéaire.

#### Spectre d'un signal redressé simple alternance positif à tension d'entrée sinusoïdale

......Nous supposons le redressement « sans défaut de seuil », la décomposition en série de Fourier$^,$ est alors assujettie à sa représentation fréquentielle $\;\left\lbrace C_{S,\,0}\;;\;{\underline {C_{s,\,p}}},\;p\in \mathbb {N} ^{*}\right\rbrace \;$ dont le spectre est représenté en rouge ci-contre en superposition du spectre du signal d'entrée en noir, la représentation fréquentielle du signal de sortie étant :
* $\;C_{S,\,0}={\dfrac {U_{e,\,{\text{max}}}}{\pi }}\;$ composante permanente représentant la valeur moyenne du signal redressé simple alternance positif,
* $\;{\underline {C_{s,\,1}}}=-j\,{\dfrac {U_{e,\,{\text{max}}}}{2}}\;$ $\Rightarrow$ l'harmonique fondamental $\;{\dfrac {U_{e,\,{\text{max}}}}{2}}\;\cos \!\left(2\,\pi \,f\,t-{\dfrac {\pi }{2}}\right)={\dfrac {U_{e,\,{\text{max}}}}{2}}\;\sin \!\left(2\,\pi \,f\,t\right)\;$ lequel est le seul harmonique de rang impair non nul car $\;{\underline {C_{s,\,2\,k+1}}}=0,\;k\in \mathbb {N} ^{*}$,
* $\;{\underline {C_{s,\,2\,k}}}=-{\dfrac {2\;U_{e,\,{\text{max}}}}{\pi \left(4\,k^{2}-1\right)}},\;k\in \mathbb {N} ^{*}\;$ $\Rightarrow$ l'harmonique de rang pair $\;2\;k,\;k\in \mathbb {N} ^{*}\;$ s'écrivant selon $\;-{\dfrac {2\;U_{e,\,{\text{max}}}}{\pi \left(4\,k^{2}-1\right)}}\;\cos \!\left(4\,k\,\pi \,f\,t\right),\;k\in \mathbb {N} ^{*}$.

#### Caractéristique spectrale d'un filtrage non linéaire

......Un filtrage non linéaire réalise « un enrichissement du spectre du signal de sortie » relativement à celui du signal d'entrée c'est-à-dire que l'on trouve dans le signal de sortie des fréquences qui n'existaient pas dans le signal d'entrée ; sur l'exemple ci-dessus le spectre du signal d'entrée est composé d'une raie, alors qu'il y a un nombre discret de raies dans le signal de sortie.

### Redresseur double alternance
#### Définition d'un redresseur double alternance

......Un redresseur double alternance est un quadripôle pour lequel $\;u_{S}(t)=\vert u_{E}(t)\vert =\left\lbrace {\begin{array}{l}u_{E}(t)\quad \;{\text{si }}\;u_{E}(t)>0\\-u_{E}(t)\;\,{\text{si }}\;u_{E}(t)<0\end{array}}\right\rbrace$.

#### Tentative de réalisation pratique d'un redresseur double alternance

......À l'aide d'un pont de quatre diodes à jonction dit « pont de Graetz » (voir schéma ci-contre pour obtenir un redressement double alternance), la tension de seuil des diodes supposées identiques étant $\;U_{\text{seuil}}\simeq 0,6\,V\;$ et la résistance dynamique dans le sens passant $\;r_{d}\simeq 1\,\Omega$, la résistance de la charge $\;R_{u}\;$ étant choisie de façon à être grande devant $\;r_{d}\;$ et telle que l'intensité du courant traversant chaque diode soit inférieure à son maximum toléré $\;I_{{\text{max}},\,d}$ $\simeq 150\,mA\;$ ;
......les diodes à jonction sont montées de telle sorte que, suivant la polarisation de la tension d'entrée, le courant éventuel traverse la charge toujours dans le même sens, en effet il traverse
* soit une diode $\;D_{1}$, la charge et une diode $\;D_{2}$,
* soit une diode $\;D_{3}$, la charge dans le même sens et une diode $\;D_{4}$ ;
......l'amplitude du signal d'entrée pouvant atteindre $\;10\,V$, le calcul de la valeur minimale de la résistance d'utilisation pour que l'amplitude de l'intensité du courant dans le circuit ne dépasse pas $\;150\,mA\;$ se fait de la même façon que lors de la « tentative de réalisation pratique d'un redresseur simple alternance », impliquant $\;R_{u}>{\dfrac {U_{S,\,m}}{I_{{\text{max}},\,d}}}\;$ et dont l'inégalité est réalisée si $\;R_{u}>{\dfrac {U_{E,\,m}}{I_{{\text{max}},\,d}}}={\dfrac {10}{0,15}}\simeq 67\;\Omega \;$ ;
......nous choisissons $\;R_{u}=100\,\Omega \;$ dont une conséquence est que $\;r_{d}\ll R_{u}\;$ et une autre est que nous pouvons adopter le « modèle idéal avec seuil » pour les diodes à jonction.
......Justification (ou non) du fonctionnement redresseur double alternance :
* si $\;u_{E}(t)>0$, $\;u(t)\;$ l'est aussi, ......si le pont de diodes conduit, $\;i(t)\;$ est $\;>0\;$ $\Rightarrow$ ......$\;\succ \;$ la diode $\;D_{4}\;$ est bloquante et la diode $\;D_{1}\;$ passante si la tension $\;u_{d,\,1}(t)\;$ est suffisante ; ......$\;\succ \;$ à la sortie de la diode $\;D_{1}$, la diode $\;D_{3}\;$ étant bloquante, le courant (en rouge sur le schéma) traverse le conducteur ohmique de résistance $\;R_{u}\;$ dans le sens $\;+\;$ de $\;i_{S}\;$ d'où $\;i_{S}(t)=i(t)\;$ puis traverse la diode $\;D_{2}\;$ qui est passante si la tension $\;u_{d,\,2}(t)\;$ est, là encore, suffisante ; ......dans ce cas on a : $\;u(t)=u_{d,\,1}(t)+u_{S}(t)+u_{d,\,2}(t)=2\;U_{\text{seuil}}+u_{S}(t)\;$ soit finalement $\;u_{S}(t)=u_{E}(t)-2\;U_{\text{seuil}}\;$ ; ......il faut valider que le pont de diodes conduit par $\;i(t)>0$, or $\;u(t)=2\;U_{\text{seuil}}+u_{S}(t)=2\;U_{\text{seuil}}+R_{u}\;i_{S}(t)\;$ $\Rightarrow$ $\;i_{S}(t)={\dfrac {u(t)-2\;U_{\text{seuil}}}{R_{u}}}=$ $i(t)>0\;$ dans la mesure où $\;u(t)=u_{E}(t)>2\;U_{\text{seuil}}$ ; ......dans le cas où $\;0<u_{E}(t)<2\;U_{\text{seuil}}$, la seule possibilité est $\;i(t)=0\;$ (toutes les diodes sont bloquantes), aucun courant ne traverse le conducteur ohmique de résistance $\;R_{u}\;$ d'où $\;i_{S}(t)=0\;$ et par suite $\;u_{S}(t)=0\;$ aussi ; ......en résumé $\;u_{S}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}u_{E}(t)-2\;U_{\text{seuil}}\;\;{\text{si }}\;u_{E}(t)>2\;U_{\text{seuil}}\\0\qquad \qquad \qquad \;\;{\text{si }}\;0<u_{E}(t)<2\;U_{\text{seuil}}\end{array}}\right\rbrace$ ;
* si $\;u_{E}(t)<0$, $\;u(t)\;$ l'est aussi et $\;-u(t)\;$ est $\;>0$, ......si le pont de diodes conduit, $\;i'(t)=-i(t)\;$ est $\;>0\;$ $\Rightarrow$ ......$\;\succ \;$ la diode $\;D_{2}\;$ est bloquante et la diode $\;D_{3}\;$ passante si la tension $\;u_{d,\,3}(t)\;$ est suffisante ; ......$\;\succ \;$ à la sortie de la diode $\;D_{3}$, la diode $\;D_{2}\;$ étant bloquante, le courant (en bleu sur le schéma) traverse le conducteur ohmique de résistance $\;R_{u}\;$ dans le sens $\;+\;$ de $\;i_{S}\;$ d'où $\;i_{S}(t)=i'(t)=-i(t)>0\;$ puis traverse la diode $\;D_{4}\;$ qui est passante si la tension $\;u_{d,\,4}(t)\;$ est, là encore, suffisante ; ......dans ce cas on a : $\;-u(t)=u_{d,\,3}(t)+u_{S}(t)+u_{d,\,4}(t)=2\;U_{\text{seuil}}+u_{S}(t)\;$ soit finalement $\;u_{S}(t)=-u_{E}(t)-2\;U_{\text{seuil}}\;$ ; ......il faut valider que le pont de diodes conduit par $\;i'(t)>0\;$ [ou $\;i(t)=-i'(t)<0{\big ]}$, or $\;-u(t)=2\;U_{\text{seuil}}+u_{S}(t)=2\;U_{\text{seuil}}+R_{u}\;i_{S}(t)\;$ $\Rightarrow$ $\;i_{S}(t)={\dfrac {-u(t)-2\;U_{\text{seuil}}}{R_{u}}}=$ $i'(t)>0\;$ dans la mesure où $\;-u(t)=-u_{E}(t)>2\;U_{\text{seuil}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;u_{E}(t)<-2\;U_{\text{seuil}}$ ; ......dans le cas où $\;-2\;U_{\text{seuil}}<u_{E}(t)<0$, la seule possibilité est $\;i'(t)=0\;$ (toutes les diodes sont bloquantes), aucun courant ne traverse le conducteur ohmique de résistance $\;R_{u}\;$ d'où $\;i_{S}(t)=0\;$ et par suite $\;u_{S}(t)=0\;$ aussi ; ......en résumé $\;u_{S}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}-u_{E}(t)-2\;U_{\text{seuil}}\;\;{\text{si }}\;u_{E}(t)<-2\;U_{\text{seuil}}\\0\qquad \qquad \qquad \quad \;{\text{si }}\;-2\;U_{\text{seuil}}<u_{E}(t)<0\end{array}}\right\rbrace$.
......En conclusion $\;u_{S}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}u_{E}(t)-2\;U_{\text{seuil}}\quad \;{\text{si }}\;u_{E}(t)>2\;U_{\text{seuil}}\\0\qquad \qquad \qquad \quad \;{\text{si }}\;-2\;U_{\text{seuil}}<u_{E}(t)<2\;U_{\text{seuil}}\\-u_{E}(t)-2\;U_{\text{seuil}}\;\;{\text{si }}\;u_{E}(t)<-2\;U_{\text{seuil}}\end{array}}\right\rbrace \;$ ou, sachant que $\;\vert u_{E}(t)\vert =\left\lbrace {\begin{array}{l}u_{E}(t)\quad \,\,{\text{si }}\;u_{E}(t)>0\\-u_{E}(t)\;\;{\text{si }}\;u_{E}(t)<0\end{array}}\right\rbrace$, $\;u_{S}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}\vert u_{E}(t)\vert -2\;U_{\text{seuil}}\;\;\,{\text{si }}\;\vert u_{E}(t)\vert >2\;U_{\text{seuil}}\\0\qquad \qquad \qquad \quad \;{\text{si }}\;\vert u_{E}(t)\vert <2\;U_{\text{seuil}}\end{array}}\right\rbrace \;$ c'est-à-dire que c'est la tension de sortie d'un redresseur double alternance avec défaut de seuil ; ce défaut est minimisé si la valeur de crête positive de la tension d'entrée ainsi que la valeur absolue de la valeur de crête négative de la tension d'entrée sont grandes devant deux fois la tension de seuil c'est-à-dire $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}u_{E,\,{\text{max}}}\\{\text{et}}\\\vert u_{E,\,{\text{min}}}\vert \end{array}}\right\rbrace \gg 2\;U_{\text{seuil}}\;$.
......Ci-dessous, avec une tension d'entrée sinusoïdale $\;u_{E}(t)=U_{e,\,{\text{max}}}\;\sin(2\,\pi \,f\,t)\;$ avec $\;f=100\,Hz\;$ et $\;U_{e,\,{\text{max}}}=6\,V\;$,
* à gauche l'oscillogramme en bicourbe $\;u_{E}(t)\;$ en noir et $\;u_{S}(t)\;$ en rouge,
* à droite l'oscillogramme en courbe de Lissajous $\;u_{E}(t)\;$ en abscisse et $\;u_{S}(t)\;$ en ordonnée.

#### Caractère non linéaire du filtre « redresseur double alternance »

......Là encore le filtre serait linéaire en A.R.Q.S. s'il y avait un lien d'équation différentielle linéaire à cœfficients constants entre la tension de sortie et la tension d'entrée, ce qui nécessiterait un lien de proportionnalité en régime permanent, comme cette dernière condition n'est pas vérifiée, le filtre n'est pas linéaire.

#### Spectre d'un signal redressé double alternance à tension d'entrée sinusoïdale

......Nous supposons le redressement « sans défaut de seuil », la décomposition en série de Fourier$^,$ est alors assujettie à sa représentation fréquentielle $\;\left\lbrace C_{S,\,0}\;;\;{\underline {C_{s,\,p}}},\;p\in \mathbb {N} ^{*}\right\rbrace \;$ pour laquelle les harmoniques du signal redressé double alternance sont définis relativement à la fréquence du signal d'entrée et dont le spectre est représenté en rouge ......$\;\succ \;$ci-dessous à gauche en superposition du spectre du signal d'entrée en noir, ainsi que ......$\;\succ \;$ci-dessous à droite en superposition des spectres du signal d'entrée en noir et du signal de sortie d'un redresseur simple alternance positif en bleu, ......la représentation fréquentielle du signal de sortie du redresseur double alternance étant :
* $\;C_{S,\,0}={\dfrac {2\;U_{e,\,{\text{max}}}}{\pi }}\;$ composante permanente représentant la valeur moyenne du signal redressé double alternance,
* $\;{\underline {C_{s,\,1}}}=0\;$ $\Rightarrow$ il n'y a pas d'harmonique de fréquence égale à celle du signal d'entrée, la justification est que le signal redressé double alternance étant de « période $\;T_{s}={\dfrac {T}{2}}$ », sa fréquence est « $f_{s}=2\;f$ » d'où l'harmonique fondamental du redressé double alternance (défini relativement à la fréquence de ce dernier et non relativement à la fréquence du signal d'entrée) est de fréquence « $f_{s}=2\;f$ » ce qui correspond à l'harmonique de rang 2 du redressé double alternance (défini relativement à la fréquence du signal d'entrée et non relativement à la fréquence du signal de sortie étudié) …
* de façon plus générale $\;{\underline {C_{s,\,2\,k+1}}}=0,\;k\in \mathbb {N}$, il n'y a donc pas d'harmoniques de rang impair du signal redressé double alternance (définis relativement à la fréquence du signal d'entrée et non relativement à la fréquence du signal de sortie étudié), ceci résultant du fait qu'un harmonique de rang impair selon la référence précédente ne peut être un multiple de la fréquence du signal redressé double alternance car $\;{\dfrac {(2\,k+1)\;f}{f_{s}}}={\dfrac {2\,k+1}{2}}\not \in \mathbb {N} \;\ldots$
* $\;{\underline {C_{s,\,2\,k}}}=-{\dfrac {4\;U_{e,\,{\text{max}}}}{\pi \left(4\,k^{2}-1\right)}},\;k\in \mathbb {N} ^{*}\;$ $\Rightarrow$ l'harmonique de rang pair $\;2\;k,\;k\in \mathbb {N} ^{*}\;$ (défini relativement à la fréquence du signal d'entrée et non relativement à la fréquence du signal de sortie étudié) s'écrivant $\;-{\dfrac {4\;U_{e,\,{\text{max}}}}{\pi \left(4\,k^{2}-1\right)}}\;\cos \!\left(4\,k\,\pi \,f\,t\right),\;k\in \mathbb {N} ^{*}$, on en déduit l'harmonique de rang 2 (défini relativement à la fréquence du signal d'entrée et non relativement à la fréquence du signal de sortie étudié) du signal redressé double alternance, lequel est l'harmonique fondamental de ce dernier (défini relativement à sa fréquence et non à la fréquence du signal d'entrée) $-{\dfrac {4\;U_{e,\,{\text{max}}}}{3\;\pi }}\;\cos \!\left(4\,\pi \,f\,t\right)\;$.

#### Caractéristique spectrale d'un filtrage non linéaire

......Là encore on constate qu'un filtrage non linéaire réalise « un enrichissement du spectre du signal de sortie » relativement à celui du signal d'entrée c'est-à-dire que l'on trouve dans le signal de sortie des fréquences qui n'existaient pas dans le signal d'entrée ; sur l'exemple ci-dessus le spectre du signal d'entrée est composé d'une raie, alors qu'il y a un nombre discret de raies dans le signal de sortie.
......Remarque : sur ce même exemple on constate, dans le spectre du signal de sortie, la disparition de la fréquence du signal d'entrée ce qui a pour conséquence que la fréquence du signal de sortie est supérieure à celle du signal d'entrée (plus précisément, sur cet exemple, la fréquence du signal de sortie est le double de la fréquence du signal d'entrée).

## Quelques notions de filtrage en mécanique

......La notion de filtrage n'est pas spécifique aux circuits électriques, elle existe dans tous les domaines de la physique dès lors qu'apparaissent des grandeurs variant avec le temps (qu'elles soient périodiques ou non) ;
......dans le programme de P.C.S.I., on se limite à évoquer le prolongement de la notion de filtrage dans le domaine mécanique …

### Analogue mécanique d'un « passe-bas » : « sismomètre » avec réponse en élongation d'une excitation ondulatoire pour un faible facteur de qualité

......Revoir le paragraphe « analogie électromagnétique, résonance en élongation d'un oscillateur mécanique … » du chapitre$31$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », on rappelle qu'il s'agit d'un « passe-bas sans résonance » si le facteur de qualité $\;Q\lesssim {\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;\ldots$
......Voir aussi les articles de wikipédia sur les sismomètres et sur la mesure en sismologie …
Sur le site « http://lyc.lumiere.luxeuil.free.fr/lycee_lumiere/import/SitesIn/physique/sismologie/EOST/fiche3/sismo_int.htm » est développé le fonctionnement d'un sismomètre …

### Analogue mécanique d'un « passe-haut » : « accéléromètre » avec réponse en accélération d'une excitation ondulatoire pour un faible facteur de qualité

......Revoir le paragraphe « établissement du gabarit d'un 2ème ordre du type “ réponse en tension aux bornes de la bobine parfaite d'un R L C série … ” » plus haut dans ce chapitre ainsi que l'exercice « réponse en tension aux bornes de la bobine (parfaite) d'un R L C série … » de la série d'exercices du chapitre$31$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », on rappelle qu'il s'agit d'un « passe-haut sans résonance » si le facteur de qualité $\;Q\lesssim {\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;\ldots$
......Voir aussi l'article de wikipédia sur les accéléromètres et celui de wikiversity sur les capteurs d'accélération …

### Analogue mécanique d'un « coupe-bande » : « amortisseur » avec réponse complémentaire de celle en vitesse d'une excitation ondulatoire

......On se place dans le cas où on souhaite un amortissement important pour une fréquence particulièrement gênante, cette fréquence devant donc être la fréquence d'antirésonance du filtre, l'antirésonance étant réalisée quelle que soit la valeur du facteur de qualité, lequel représente l'acuité de l'antirésonance …
......Remarque : Un exemple cinématographique de passe-bande en mécanique se trouve dans le film Le Salaire de la peur réalisé en 1952 par Henri-Georges Clouzot (1907 - 1977) scénariste, dialoguiste, réalisateur et producteur de cinéma français ; on y observe le phénomène de résonance du camion relié à ses roues par suspension et excité sinusoïdalement par le passage de ses roues sur une tôle ondulée à une certaine vitesse ; pour étudier plus simplement le phénomène il est intéressant d'introduire la notion de pseudo-force d'inertie d'entraînement voir ci-dessous :
......Remarque : notion de pseudo-force d'inertie d'entraînement : le théorème de la résultante cinétique appliqué à un solide M de masse m s'écrit dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ référentiel galiléen $\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{k}(M,\,t)=m\;{\vec {a}}_{{\mathcal {R}}_{\text{gal}}}(M,\,t)$ ; ......Remarque : notion de pseudo-force d'inertie d'entraînement : dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ en translation de vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{{\mathcal {R}}_{\text{gal}}}({\mathcal {R}},\,t)\neq {\vec {0}}\;$ par rapport au référentiel galiléen pour lequel on peut appliquer la loi de composition des accélérations suivante $\;{\vec {a}}_{{\mathcal {R}}_{\text{gal}}}(M,\,t)={\vec {a}}_{{\mathcal {R}}_{\text{gal}}}({\mathcal {R}},\,t)+{\vec {a}}_{\mathcal {R}}(M,\,t)\;$ le théorème de la résultante cinétique peut être réécrit sous la forme $\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{k}(M,\,t)-m\;{\vec {a}}_{{\mathcal {R}}_{\text{gal}}}({\mathcal {R}},\,t)=m\;{\vec {a}}_{\mathcal {R}}(M,\,t)$, c'est-à-dire que le théorème de la résultante cinétique est encore applicable dans $\;{\mathcal {R}}\;$ référentiel non galiléen en translation par rapport $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ référentiel galiléen à condition d'ajouter aux forces appliquées (invariantes par changement de référentiel) une pseudo-force dite d'inertie d'entraînement $\;{\vec {f}}_{\text{inertie d'entraîn}}(M,\,t)=-m\;{\vec {a}}_{{\mathcal {R}}_{\text{gal}}}({\mathcal {R}},\,t)\;$ [cette pseudo-force ne dépendant que de la masse de M et non du mouvement du solide dans l'un ou l'autres des deux référentiels], le théorème de la résultante cinétique appliqué à M dans $\;{\mathcal {R}}\;$ s'écrivant alors $\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{k}(M,\,t)+{\vec {f}}_{\text{inertie d'entraîn}}(M,\,t)=m\;{\vec {a}}_{\mathcal {R}}(M,\,t)$ ;
......Remarque : appliqué à l'exemple du camion relié à ses roues par suspension et passant sur une tôle ondulée à une certaine vitesse, on simplifie l'étude en la menant dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ lié aux centres d'inertie des roues, référentiel non galiléen car en translation de mouvement vertical oscillant par rapport au référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ se déplaçant à vitesse constante horizontale relativement à l'hypothétique route horizontale, le châssis $\;{\mathcal {C}}\;$ du camion étant alors soumis aux composantes verticales des forces suivantes
* actions des ressorts liés aux axes des roues,
* composante verticale de la résistance à l'avancement dans l'air (nous supposons cette résistance linéaire),
......Remarque : mais le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ étant non galiléen et en translation par rapport à un galiléen il faut ajouter, pour appliquer le théorème de la résultante cinétique au châssis $\;{\mathcal {C}}\;$ du camion, une pseudo-force d'inertie d'entraînement $\;{\vec {f}}_{\text{inertie d'entraîn}}({\mathcal {C}},\,t)=$ $-m_{\mathcal {C}}\;{\vec {a}}_{{\mathcal {R}}_{\text{gal}}}({\mathcal {R}},\,t)$ laquelle joue le rôle de « force » excitatrice verticale sinusoïdale (la fréquence d'excitation étant proportionnelle à la vitesse de déplacement de $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ par rapport à la route horizontale) …