# Nombre entier naturel/Addition
## Généralité

Additionner signifie ajouter en comptant, c'est-à-dire faire le total (ou somme) de plusieurs nombres.
5 pommes plus 2 pommes font 7 pommes.
Le signe de l’addition est le symbole $+$. On peut lire $3+2=5$ comme « trois plus deux font cinq » (ou égalent cinq) ou « trois et deux font cinq ».

## Ajouter deux nombres entiers à un chiffre
### Ajouter 0 à un nombre

Tout d’abord, il faut savoir que l'addition d’un nombre et de zéro donne toujours ce nombre. On dit que 0 est l'élément neutre de l'addition.
* $1+0=1$
* $6+0=6$
* $123+0=123$

### Ajouter deux nombres entiers à un chiffre

Pour ajouter des nombres à un chiffre, il suffit d’utiliser la table d'addition. Elle donne la somme de deux nombres à un chiffre.
* $5+7=12$
* $3+4=7$
* $8+9=17$
* Il faut apprendre la table d'addition par cœur ! L'objectif est de pouvoir additionner des chiffres mentalement sans utiliser la table d'addition.

## Ajouter deux nombres entiers à plusieurs chiffres
### Introduction

Pour faire l'addition de nombres à plusieurs chiffres, il faut maîtriser la notion d'unité, dizaine, centaine…

### Addition sans retenue

Étudions tout d’abord un cas simple. Un cas plus complexe sera abordé dans la section suivante.
Pour additionner deux nombres, on additionne les unités ensemble, puis les dizaines ensemble, puis les centaines, etc. Pour faciliter cette opération, on fait ce que l’on appelle « poser l'addition ». Poser l'addition revient à écrire l'opération d’une manière à faciliter le calcul : on aligne les unités ensemble, les dizaines ensemble, les centaines ensemble, etc.
Prenons un exemple : l'objectif est de calculer $56+12$. Pour cela, on pose l'addition, c'est-à-dire qu'on écrit l'opération de manière à aligner le 6 avec le 2 et le 5 avec le 1 :
Le trait horizontal sépare l'opération du résultat. Il faut ensuite effectuer l'addition. Le chiffre des unités du résultat est la somme des chiffres des unités des deux termes soit 6+2 = 8. Le chiffre des unités est donc 8. On écrit :
Ensuite, il faut calculer le chiffre des dizaines. Pour cela on additionne 5 et 1. On trouve 5+1 = 6. On écrit :
On a donc $56+12=68$.
Cette méthode est valable avec des termes de plus de deux chiffres. Elle permet par exemple de calculer $48275318+30614361$.
Ainsi, $48275318+30614361=78889679$.
Si un terme est plus court que l'autre, il suffit de rajouter suffisamment de zéros devant le terme le plus court pour qu’il ait la même taille que le plus long. Par exemple, si on veut effectuer $436+12$, on fait comme si on additionnait 436 et 012. On obtient alors, en posant l'addition, $436+12=448$.

### Addition avec retenue

La section précédente présentait des exemples assez simples. En effet, les sommes des unités, des dizaines, des centaines… étaient toutes inférieures à 10.
* Que se passe-t-il si la somme des unités est supérieure à 10 ?
* Comment additionner 35 et 48 ?
Étudions cet exemple en détail.
On remarque que la somme des unités vaut 5+8 = 13. Or 13 est supérieur à 10. La première étape consiste à poser l'addition :
Ensuite, on calcule le chiffre des unités du résultat. Pour cela, on additionne 5 avec 8. On obtient 13. 13 peut être décomposé en 3 unités et 1 dizaine. Par conséquent, le chiffre des unités du résultat sera 3 et on utilise une retenue de 1. On dit qu'« on pose 3 et on retient 1 ». Pour ne pas oublier la retenue, on la note au-dessus des chiffres des dizaines :
Pour calculer le chiffre des dizaines du résultat, on additionne les chiffres des dizaines des deux termes et la retenue. Ici, on a 3+4+1 = 7+1 = 8. Le chiffre des dizaines est 8.
On a donc $35+48=83$.
* Il est très important de calculer d’abord le chiffre des unités puis celui des dizaines. Il faut toujours effectuer le calcul de la colonne de droite vers celle de gauche.
Étudions un deuxième exemple : $635+391$.
La première étape consiste à poser l'addition :
La deuxième étape consiste à calculer le chiffre des unités du résultat : 5+1 = 6. Le chiffre des unités du résultat est 6. On note :
Ensuite, on calcule le chiffre des dizaines. On obtient : 3+9 = 12. On pose 2 et on retient 1. On écrit :
Ensuite, on calcule le chiffre des centaines : 6+3+1 = 9+1 = 10. On pose 0 et on retient 1. On écrit :
Le fait qu’il reste une retenue prouve qu’il y aura un chiffre des milliers. Pour le calculer, on ajoute un 0 devant 635 et 391. Le chiffre des milliers est alors 0+0+1 = 1. On écrit :
On a donc $635+391=1026$.

## Ajouter plusieurs nombres

Pour additionner plusieurs nombres, la technique est identique. Par exemple, calculons $123+654+75$
La première étape consiste encore à poser l'addition :
On commence ensuite par la colonne de droite. Le chiffre des unités de la somme sera 3+4+5 = 7+5 = 12. On pose 2 et on retient 1. On continue alors avec les dizaines et les centaines :
On a donc $123+654+75=852$.
Prenons un deuxième exemple : $458+38+139$. Posons l'addition :
On effectue alors l'addition comme d'habitude en ajoutant des zéros à la place des « trous ». On obtient :
Pour le chiffre des unités, on a 8+8+9 = 16+9 = 25. On pose donc 5 et on retient 2. On obtient finalement $458+38+139=635$
| Définition | Soustraction |