# Droites et plans de l'espace/Équation d'un plan de l'espace

De même que, dans le plan muni d'un repère $(O;{\vec {i}},{\vec {j}})$, une équation de la forme $ax+by+c=0$, avec $a$ et $b$ non tous deux nuls, définissait un sous-espace de codimension $1$ du plan c'est-à-dire une droite, on démontre que dans l'espace de dimension 3 muni d'un repère $(O;{\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}})$, une équation de la forme $ax+by+cz+d=0$, avec $a,b,c$ non tous trois nuls, définit un sous-espace affine de codimension $1$ donc de dimension $3-1=2$ :

## Plan défini par une équation

Pour tout triplet $(a,b,c)\neq (0,0,0)$ de $\mathbb {R} ^{3}$ et tout réel $d$,
    $ax+by+cz+d=0$
est l'équation (dans un repère fixé $(O;{\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}})$) d'un plan de l'espace.
Supposons par exemple $a\neq 0$. Alors,
    $ax+by+cz+d=0\Leftrightarrow x=-{\frac {by+cz+d}{a}}\Leftrightarrow \exists (s,t)\in \mathbb {R} ^{2}\ {\begin{cases}x={\frac {-d}{a}}+s{\frac {-b}{a}}+t{\frac {-c}{a}}\\y=s\\z=t\end{cases}}$
et les deux vecteurs ${\vec {j}}-{\frac {-b}{a}}{\vec {i}},{\vec {k}}-{\frac {-c}{a}}{\vec {i}}$ sont non colinéaires.
* Contrairement à nos « habitudes planaires », une seule équation ne définit donc plus, dans l'espace, une droite, mais un plan.
* Nous verrons au chapitre suivant que pour définir une droite, il faut deux équations (moyen mnémotechnique : une droite est l'intersection de deux plans).

## Équation d'un plan

Tout plan $A+\mathbb {R} {\vec {u}}+\mathbb {R} {\vec {v}}$ (où $A$ est un point et ${\vec {u}}=\alpha {\vec {i}}+\beta {\vec {j}}+\gamma {\vec {k}},{\vec {v}}=\alpha '{\vec {i}}+\beta '{\vec {j}}+\gamma '{\vec {k}}$ deux vecteurs non colinéaires) a une équation de la forme $ax+by+cz+d=0$, avec $(a,b,c)\neq (0,0,0)$.
Posons
    $a:={\begin{vmatrix}\beta &\beta '\\\gamma &\gamma '\end{vmatrix}},\quad b:=-{\begin{vmatrix}\alpha &\alpha '\\\gamma &\gamma '\end{vmatrix}},\quad c:={\begin{vmatrix}\alpha &\alpha '\\\beta &\beta '\end{vmatrix}}\quad {\text{et}}\quad d:=-ax_{A}-bx_{B}-cx_{C}$
et remarquons d'abord que $(a,b,c)\neq (0,0,0)$. En effet, ${\vec {u}}\neq {\vec {0}}$ donc par exemple $\alpha \neq 0$ (le raisonnement serait le même dans les autres cas) et alors, $(b,c)\neq (0,0)$ car ${\vec {v}}\neq {\frac {\alpha '}{\alpha }}{\vec {u}}$.
On vérifie facilement (faites le calcul) que ${\vec {u}},{\vec {v}}$ appartiennent au plan vectoriel d'équation $ax+by+cz=0$ donc l'engendrent (puisqu'ils ne sont pas colinéaires). Ceci permet de transformer la représentation paramétrique de $A+\mathbb {R} {\vec {u}}+\mathbb {R} {\vec {v}}$ :
    $\exists s,t\in \mathbb {R} \ {\begin{pmatrix}x-x_{A}\\y-y_{A}\\z-z_{A}\end{pmatrix}}=s{\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \\\gamma \end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}\alpha '\\\beta '\\\gamma '\end{pmatrix}}\Leftrightarrow a\left(x-x_{A}\right)+b\left(y-y_{A}\right)+c\left(z-z_{A}\right)=0\Leftrightarrow ax+by+cz+d=0$.
Un plan d'équation $ax+by+cz+d=0$ et un plan d'équation $a'x+b'y+c'z+d'=0$ sont :
* égaux si et seulement si les deux quadruplets $(a,b,c,d)$ et $(a',b',c',d')$ sont proportionnels ;
* parallèles si et seulement si les deux triplets $(a,b,c)$ et $(a',b',c')$ sont proportionnels.
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