OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Fractions rationnelles/Exercices/Décomposition en éléments simples dans C
## Exercice 2-1

* Diviser $2-X+3X^{4}-X^{5}$ par $1-X+X^{3}$ suivant les puissances croissantes à l'ordre 7.
* De même, si $a\in \mathbb {R}$ est fixé, diviser $1-X\cos a$ par $1-2X\cos a+X^{2}$ à tout ordre. On pourra considérer la fraction rationnelle ${\frac {1-X\operatorname {e} ^{\mathrm {i} a}}{(1-X\operatorname {e} ^{\mathrm {i} a})(1-X\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} a})}}$.
* Effectuer à tout ordre la division de $1-abX^{2}$ par $(1-aX)(1-bX)$ suivant les puissances croissantes.
* $2-X+3X^{4}-X^{5}=(1-X+X^{3})(2+X+X^{2}-X^{3}+X^{4}-X^{5})-X^{7}+X^{8}$.
* ${\frac {1-X\operatorname {e} ^{\mathrm {i} a}}{(1-X\operatorname {e} ^{\mathrm {i} a})(1-X\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} a})}}={\frac {1}{1-X\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} a}}}=1+X\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} a}+X^{2}\operatorname {e} ^{-2\mathrm {i} a}+\dots +X^{n-1}\operatorname {e} ^{-(n-1)\mathrm {i} a}+{\frac {(X\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} a})^{n}}{1-X\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} a}}}$ donc $1-X\operatorname {e} ^{\mathrm {i} a}=\left(1+X\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} a}+X^{2}\operatorname {e} ^{-2\mathrm {i} a}+\dots +X^{n-1}\operatorname {e} ^{-(n-1)\mathrm {i} a}\right)(1-2X\cos a+X^{2})+X^{n}\operatorname {e} ^{-n\mathrm {i} a}$ donc $1-X\cos a=\left(1+X\cos a+X^{2}\cos(2a)+\dots +X^{n-1}\cos((n-1)a)\right)(1-2X\cos a+X^{2})+X^{n}\cos(na)$.
* ${\frac {1-UV}{(1-U)(1-V)}}=-1+{\frac {1}{1-U}}+{\frac {1}{1-V}}=-1+1+U+U^{2}+\dots +U^{n-1}+{\frac {U^{n}}{1-U}}+1+V+V^{2}+\dots +V^{n-1}+{\frac {V^{n}}{1-V}}$ donc (en remplaçant $U$ par $aX$ et $V$ par $bX$) $1-abX^{2}=(1-aX)(1-bX)\left(1+(a+b)X+(a^{2}+b^{2})X^{2}+\dots +(a^{n-1}+b^{n-1})X^{n-1}\right)+X^{n}\left((1-bX)a^{n}+(1-aX)b^{n}\right)$.

## Exercice 2-2

* Décomposer en éléments simples dans $\mathbb {C} (X)$ la fraction rationnelle ${\frac {1}{(X^{2}+1)(X^{3}-X)}}$.
* En déduire la décomposition dans $\mathbb {R} (X)$.
* Par imparité, ${\frac {1}{(X^{2}+1)(X^{3}-X)}}={\frac {a}{X-\mathrm {i} }}+{\frac {a}{X+\mathrm {i} }}+{\frac {b}{X}}+{\frac {c}{X-1}}+{\frac {c}{X+1}}$. La méthode du cache donne $a=c={\frac {1}{4}}$ et $b=-1$, d'où
    ${\frac {1}{(X^{2}+1)(X^{3}-X)}}={\frac {1/4}{X-\mathrm {i} }}+{\frac {1/4}{X+\mathrm {i} }}-{\frac {1}{X}}+{\frac {1/4}{X-1}}+{\frac {1/4}{X+1}}$.
* ${\frac {1}{(X^{2}+1)(X^{3}-X)}}={\frac {X/2}{X^{2}+1}}-{\frac {1}{X}}+{\frac {1/4}{X-1}}+{\frac {1/4}{X+1}}$.

## Exercice 2-3

Décomposer en éléments simples sur $\mathbb {R}$ puis $\mathbb {C}$ :
    ${\frac {X^{4}+2}{X(X^{2}-1)^{2}(X^{2}+1)}}$.
${\begin{aligned}{\frac {X^{4}+2}{X(X^{2}-1)^{2}(X^{2}+1)}}&={\frac {2}{X}}-{\frac {5/8}{X-1}}-{\frac {5/8}{X+1}}+{\frac {3/8}{(X-1)^{2}}}-{\frac {3/8}{(X+1)^{2}}}-{\frac {3X/4}{X^{2}+1}}\\&={\frac {2}{X}}-{\frac {5/8}{X-1}}-{\frac {5/8}{X+1}}+{\frac {3/8}{(X-1)^{2}}}-{\frac {3/8}{(X+1)^{2}}}-{\frac {3/8}{X-\mathrm {i} }}-{\frac {3/8}{X+\mathrm {i} }}\end{aligned}}$.
| Décomposition en éléments simples dans R | Sommaire |
# Fractions rationnelles/Objectifs

Étudier un ensemble particulier que l’on appelle le corps des fractions rationnelles. On étudiera en particulier les propriétés de ses éléments.
# Fractions rationnelles

| Chap. 1 : | Corps des fractions rationnelles (14) |
| Chap. 2 : | Décomposition en éléments simples dans C (14) |
| Chap. 3 : | Décomposition en éléments simples dans R (14) |
| Exos. 1 : | Décomposition en éléments simples dans R (14) |
| Exos. 2 : | Décomposition en éléments simples dans C (14) |
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## Présentation [Modifier]

Une fois définis les polynômes, on peut introduire proprement la notion de fraction rationnelle. L'ensemble des fractions rationnelles possède de nombreuses propriétés, et son étude est très utile en pratique, tant en calcul intégral que pour calculer l'inverse des transformées de Laplace.

## Objectifs [Modifier]

Étudier un ensemble particulier que l’on appelle le corps des fractions rationnelles. On étudiera en particulier les propriétés de ses éléments.

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 14.
* Polynôme

## Référents [Modifier]

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
* Loïc Fabiou (discuter)
# Produit scalaire dans le plan/Objectifs

* Définitions du produit scalaire.
* Produit scalaire et coordonnées.
* Applications classiques (théorème d'Al-Kashi et droite d'Euler)
* Des développements du type : espaces euclidiens, hermitiens, etc. sont à exclure. On leur réservera des cours spécifiques.
# Produit scalaire dans le plan/Prérequis conseillés

* Notions sur les vecteurs : vecteur.
* Notions sur les angles : trigonométrie.
# Produit vectoriel

| Chap. 1 : | Avancé |
| Chap. 2 : | Double produit vectoriel |
| Chap. 3 : | Applications géométriques |
| Exos. 1 : | Applications en physique |
| Exos. 2 : | Double produit vectoriel |
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## Présentation [Modifier]

Le produit vectoriel est un opérateur utilisable en dimension 3 (et en dimension 7 mais c’est bien plus rare). Il joue un rôle très important en physique, où il intervient dans de nombreuses définitions.

## Objectifs

Les objectifs de cette leçon n'ont pas encore été fixés. Pour le faire, cliquez ici.

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 14.
* Produit scalaire dans l'espace

## Référents [Modifier]

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
* Loïc Fabiou (discuter)
# Produit scalaire dans le plan/Post-notions

Produit scalaire dans l'espace
# Produit scalaire dans le plan/Présentation de la leçon

Le produit scalaire est une façon de multiplier les vecteurs de façon à rendre compte de ce qu’ils ont en commun. Pour cette raison, il est utilisé pour calculer le travail d'une force ou bien encore le flux d'un champ en physique.
# Géographie des États-Unis/Présentation de la leçon

La géographie des États-Unis est au programme de la classe de troisième des établissements scolaires en France. Selon les programmes de l'enseignement d'histoire-géographie-éducation civique, classe de troisième, BOEN hors-série du 15-10-1998 : « L'étude des puissances économiques majeures est essentiellement géographique. Elle utilise cependant les éléments historiques indispensables à la compréhension de la situation actuelle. »
# Géographie des États-Unis/Objectifs

Pour l'étude des États-Unis, il s’agit de présenter l'immensité, le poids de la population et de la métropolisation du territoire. Puis, il est question d'analyser quelques éléments qui rendent compte de la puissance mondiale américaine (ressources, technologies, poids économique, puissance militaire, rayonnement culturel). Le rôle joué par ce pays dans l'organisation du monde depuis 1945 permet d’éclairer quelques origines de sa puissance. Les élèves doivent connaître la carte de l'organisation du territoire américain.
# Géographie des États-Unis/Prérequis conseillés

Savoir situer les États-Unis sur un planisphère et une carte du continent américain.
# Géographie des États-Unis/Quiz/QCM1

Cochez la ou les bonnes réponses.
* Sommaire
# Géographie du Japon

| Chap. 1 : | Le territoire du Japon (10) |
| Chap. 2 : | Une grande puissance économique (10) |
| Chap. 3 : | Une influence culturelle en progression (10) |
| Chap. 4 : | Les limites politiques de la puissance japonaise (10) |
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## Présentation [Modifier]

Le Japon est une authentique puissance économique mais, pour comprendre le mythe japonais, il est important d'analyser les fondements de cette puissance en commençant par décrire l’industrie qui en est la base avant de rappeler que la réussite japonaise se fonde sur son agressivité commerciale et sa puissance financière.
Pour terminer nous mettrons en exergue les limites de la puissance japonaise en démontrant qu’il n'existe aucun système économique qui ne soit infaillible.
La défaite de 1945 avait fait chuter la croissance et son économie après la guerre. Mais ce pays va repartir sur de nouvelles bases en profitant de deux atouts fondamentaux.

## Objectifs

Les objectifs de cette leçon n'ont pas encore été fixés. Pour le faire, cliquez ici.

## Niveau et prérequis conseillés

Leçon de niveau 10. Les prérequis pour cette leçon n'ont pas encore été précisés. Pour le faire, cliquez ici.

## Référents

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    Personne ne s'est déclaré prêt à aider pour cette leçon. Pour vous ajouter, cliquez ici.
# Proposition subordonnée en français/Présentation de la leçon

La proposition subordonnée est un ensemble de mots groupés autour d'un verbe le plus souvent conjugué, qui commence la plupart du temps par un mot subordonnant (sauf pour les proposition subordonnées participiales et infinitives). Elle peut soit faire partie du groupe nominal (proposition subordonnée relative), soit du groupe verbal (propositions subordonnées conjonctives, participiales, ou infinitives). Son rôle est d'apporter une information, une précision sur le nom. Elle enrichit la description.
# Propositions et opération élémentaire/Négations

La négation d'une proposition $P$ est la proposition notée ${\bar {P}}$ (ou non $P$ ou $\lnot P$), qui prend les valeurs de vérité opposées à celles de la proposition initiale $P$.
La table de vérité de ${\bar {P}}$ est la suivante:
| P | non P |
| Vraie | Fausse |
| Fausse | Vraie |
Par exemple la négation de la proposition P : $x^{2}=4$ est la proposition non P : $x^{2}\neq 4$.
Ou encore la négation de la proposition Q « Tous les chevaux sont blancs » est la proposition non Q « Un cheval n’est pas blanc ».
| Tables de vérité | Conjonctions et disjonctions |
# Proposition subordonnée en français/Proposition subordonnée relative

La proposition subordonnée relative complète un nom (propre ou commun) ou un pronom (c'est un élément du groupe nominal) et comporte un verbe conjugué. Elle commence presque toujours par un pronom relatif qui reprend le nom complété, l'antécédent.
J'adore le livre [que je lis.]
« Que » est le pronom relatif, et la proposition subordonnée est « que je lis ».

## La proposition subordonnée relative
### Fonctions de la subordonnée relative

La proposition subordonnée relative a presque toujours la même fonction : complément de l'antécédent (ou apposée à son antécédent quand celui-ci est séparé de la relative par une virgule).
Toutefois, la relative peut parfois ne pas avoir d'antécédent; soit on considère alors qu'elle n'a pas de fonction et qu'elle est sans antécédent, soit on lui donne sa fonction véritable.
[Qui m'aime] me suive.
N(nature)= PSR (proposition subordonnée relative)/F(fonction)= sans antécédent ou sujet du verbe "suivre".

### Cas particulier

Une relative peut fort bien ne pas commencer par un pronom relatif mais c’est rare. Ce cas se présente souvent avec la conjonction de coordination « et » : lorsque celle-ci sépare deux relatives commençant par le même pronom relatif, on sous-entend généralement le deuxième de ces relatifs pour éviter une répétition.
L'homme qui mange gras et [(qui) boit du soda] risque d’être malade.
N= PSR/F= complément de l'antécédent homme.

## Les pronoms relatifs
### Liste des pronoms relatifs

Les pronoms relatifs sont : qui, que, quoi, dont, où, lequel et ses composés (duquel, lesquelles etc.). Aucun sauf dont n'est que pronom relatif.
Le pronom relatif a deux rôles :
* il introduit une proposition subordonnées relative ;
* il représente un groupe nominal (aussi appelé antécédent).
Toutefois, les pronoms relatifs ont une fonction propre au sein de la relative.

### Fonctions des pronoms relatifs

Seul le pronom relatif qui représente un GN sujet. Le pronom relatif dont représente un groupe prépositionnel introduit par de, il peut être :
* Complément d'objet indirect du verbe : La skieuse se rapproche de la piste / La piste dont la skieuse se rapproche
* Complément du nom : J'envoie le nouveau surf de Fabien / Fabien, dont le nouveau surf est beau
* Complément de l'adjectif : Anne est contente de ses nouveaux skis / Les nouveaux skis dont Anne est contente
| Sommaire | Proposition subordonnée conjonctive |
# Propositions et opération élémentaire

| Chap. 1 : | Définition |
| Chap. 2 : | Tables de vérité |
| Chap. 3 : | Négations |
| Chap. 4 : | Conjonctions et disjonctions |

## Présentation [Modifier]

Une proposition est une phrase mathématique dont on analyse la vérité (le fait que ce qui est dit dans la phrase est vrai ou faux).

## Objectifs [Modifier]

* Apprendre le vocabulaire de base de la logique mathématique (proposition, vérité, négation, conjonction et disjonction).
* Apprendre les opérateurs de base de la logique mathématique : NON, ET, OU.

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 11.
* Savoir ce qu'est une phrase vraie ou fausse.

## Pour aller plus loin [Modifier]

    Introduction à la logique mathématique

## Référents [Modifier]

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
* Loïc Fabiou (discuter)
# Propositions et opération élémentaire/Définition

Une proposition est un énoncé auquel on peut attribuer une seule valeur : VRAI ou FAUX (format texte). La valeur en question peut être notée sous format numérique : 1 ou 0.
- La valeur VRAI est équivalente à la valeur 1.
- La valeur FAUX est équivalente à la valeur 0.
Exemple:
| $1+1=2$ | Vrai |
| Isaac Newton était russe | Faux (puisqu'Isaac Newton était de nationalité anglaise) |
| $x^{2}=-1,x\in \mathbb {R}$ possède au moins une solution | Faux |
| $x^{2}=-1,x\in \mathbb {C}$ possède au moins une solution | Vraie |
Remarques :
Dans le cadre d'équations mathématiques faisant intervenir des variables, il est important de préciser l'ensemble de définition de chaque variable.
De plus, certaines propositions ne sont ni vraies ni fausses. L'exemple célèbre est la phrase « En disant ceci, je mens ». En effet, si on suppose la phrase vraie, alors la proposition ("je mens") est fausse puisqu'alors la personne énonçant cette phrase ne ment pas. De même, si on suppose que la phrase est fausse, alors la proposition ("je mens") est vraie puisque la personne énonçant cette phrase ment.
On comprend alors la nécessité d'axiomes et de preuves, c'est-à-dire qu’il faut connaître les règles avec lesquelles on peut décider de la vérité d'une proposition (si elle est vraie ou fausse) : dans l'exemple $1+1=2$, ce sont des règles arithmétiques apprises qui imposent le résultat. Il faut un raisonnement logique pour parvenir à décider si une proposition est vraie ou fausse : dans l'exemple de « Isaac Newton était russe », ce sont des faits simples — une preuve de sa naissance en Angleterre de parents anglais — qui, par un raisonnement simple mais logique, permettent de parvenir à la conclusion que la proposition est fausse.
| Sommaire | Tables de vérité |
# Propositions et opération élémentaire/Objectifs

* Apprendre le vocabulaire de base de la logique mathématique (proposition, vérité, négation, conjonction et disjonction).
* Apprendre les opérateurs de base de la logique mathématique : NON, ET, OU.
# Proposition subordonnée en français/Prérequis conseillés

* une connaissance basique de ce qu'est une proposition;
* être capable de repérer les propositions dans une phrase;
* savoir faire la distinction entre phrase simple et phrase complexe.
# Quatrième (France)

Collège en France
La quatrième est la troisième classe du collège en France.

## Matières obligatoires

| Cours de mathématiques Cours de français Cours de chimie Cours de sciences de la vie et de la Terre Cours d'espagnol ou Cours d'allemand Cours de technologie | Cours de physique Cours d'histoire-géographie Cours d'enseignement moral et civique Cours d'anglais Cours d'éducation musicale Cours d'arts plastiques |

## Options

| Cours de latin | Cours de langues et cultures européennes |
* Programmes du cycle 4 (2020) sur le site officiel du Ministère de l'Éducation nationale
* Ressources d'accompagnement pour le cycle 4 (2020) sur Éduscol
# Repérage et coordonnées/Objectifs

Étudier, de façon élémentaire, le repérage des points et des vecteurs en utilisant les coordonnées cartésiennes. Voir aussi quelques propriétés élémentaires liées à ce repérage.
# Repérage et coordonnées/Point
## Coordonnées d’un point du plan dans un repère

La position d’un point M dans le plan peut être déterminée par deux nombres x et y : ses coordonnées. On note M(x ; y) qui signifie « M le point de coordonnées x et y »
* x est l’abscisse de M
* y est l’ordonnée de M.
Un repère du plan est constitué de trois points (O, I, J) non alignés. Le point O est l'origine du repère. Les points I et J fixent les unités en abscisse et en ordonnée.
Dans le repère (O, I, J) ci-dessus, le point A a pour coordonnées (3,5 ; 2). Son abscisse est 3,5. Son ordonnée est 2.
Trouver les coordonnées de B, C et D.
B(-2 ; 1,5) C(-2,5 ; -2) D(3 ; -2,5)
* Les unités ne coïncident pas forcément avec les carreaux de la feuille ! Ici, ce sont les points I et J qui fixent les unités.

## Exercices interactifs

* Pour s'exercer aux coordonnées dans un repère sur Maths en poche

## Coordonnées du milieu d’un segment

Soient deux points $A(x_{A};y_{A})$ et $B(x_{B};y_{B})$, alors les coordonnées du milieu M du segment [AB] sont données par les formules :
$x_{M}={\frac {x_{A}+x_{B}}{2}}\ ,\ y_{M}={\frac {y_{A}+y_{B}}{2}}$
Exemple : Dans le repère ci-dessous, calculons les coordonnées du milieu M de [AB].
$x_{M}={\frac {3,5+(-2)}{2}}={\frac {1,5}{2}}=0,75$
$y_{M}={\frac {2+1,5}{2}}={\frac {3,5}{2}}=1,75$
Exercice : Calculer les coordonnées des milieux N de [BD] et P de [AO].
$x_{N}={\frac {(-2)+3}{2}}={\frac {1}{2}}=0,5$
$y_{N}={\frac {1,5+(-2,5)}{2}}={\frac {-1}{2}}=-0,5$
$x_{P}={\frac {3,5+(0)}{2}}={\frac {3,5}{2}}=1,75$
$y_{P}={\frac {2+0}{2}}={\frac {2}{2}}=1$

### Exercices interactifs

* Exercices de Maths en poche sur les coordonnées du milieu
| Sommaire | Distance |
# Repère euclidien non orthonormé/Produit scalaire

Dans ce chapitre, nous allons calculer le produit scalaire de deux vecteurs u et v en fonction de leurs coordonnées covariantes et contravariantes. Nous verrons comment l’expression bien connue du produit scalaire dans un repère orthonormé se généralise dans un repère non orthonormé.
Soit $n\in \mathbb {N}$.
Soit $u$ un vecteur de coordonnées covariantes (x$_1$, x$_2$, ... , x$_n$) et de coordonnées contravariantes $^t$(x$^1$, x$^2$, ... , x$^n$).
Soit $v$ un vecteur de coordonnées covariantes (y$_1$, y$_2$, ... , y$_n$) et de coordonnées contravariantes $^t$(y$^1$, y$^2$, ... , y$^n$).
Nous rappelons les formules suivantes :
Calculons alors le produit scalaire de $u$ par $v$.
Premier calcul
${\begin{aligned}u.v&=\left(\sum _{k=1}^{n}x^{k}e_{k}\right)\cdot v\\&=\sum _{k=1}^{n}x^{k}(e_{k}\cdot v)\\&=\sum _{k=1}^{n}x^{k}y_{k}\end{aligned}}$
Deuxième calcul
${\begin{aligned}u\cdot v&=u\cdot \left(\sum _{k=1}^{n}y^{k}e_{k}\right)\\&=\sum _{k=1}^{n}(e_{k}\cdot u)y^{k}\\&=\sum _{k=1}^{n}x_{k}y^{k}\end{aligned}}$
Nous avons obtenu le théorème suivant :
Soit $u$ un vecteur de coordonnées covariantes (x$_1$, x$_2$, ... , x$_n$) et de coordonnées contravariantes $^t$(x$^1$, x$^2$, ... , x$^n$).
Soit $v$ un vecteur de coordonnées covariantes (y$_1$, y$_2$, ... , y$_n$) et de coordonnées contravariantes $^t$(y$^1$, y$^2$, ... , y$^n$).
Le produit scalaire de $u$ par $v$ est donné par :
$u\cdot v=\sum _{k=1}^{n}x^{k}y_{k}=\sum _{k=1}^{n}x_{k}y^{k}$.
Nous voyons que cela se ramène à faire le produit matriciel de
(x$_1$, x$_2$, ... , x$_n$)
par
$^t$(y$^1$, y$^2$, ... , y$^n$)
Les formules :
$u\cdot v=\sum _{k=1}^{n}x_{k}y_{k}=\sum _{k=1}^{n}x^{k}y^{k}$
qui nous sont familières ne sont, en fait, vraies que dans les repères orthonormés parce que dans un tel repère, les coordonnées contravariantes sont égales aux coordonnées covariantes.
| Formules de changement de bases | Applications linéaires |
# Repère euclidien non orthonormé/Prérequis conseillés

* Repérage et coordonnées
* Droites et plans de l'espace/Droites et plans de l'espace euclidien
# Repère euclidien non orthonormé/Présentation de la leçon

Nous avons trop l'habitude d’utiliser des repères orthonormés au point de ne plus trop savoir ce qui va rester vrai si nous nous retrouvons, un jour, obligés d’utiliser un repère non orthonormé.
Cette leçon étudie le repérage dans un repère non orthonormé. Nous introduisons les notions de coordonnées covariantes et contravariantes que nous retrouverons dans des leçons plus élaborées sur les tenseurs.
Nous verrons ce que devient, en fonction des coordonnées, l’expression du produit scalaire dans un repère non orthonormé.
Nous mettrons en évidence certaines notions qui disparaissent dans les repères orthonormés.
# Repérage et coordonnées/Distance
## Repère orthogonal — Repère orthonormé

Exemple : Le graphique suivant montre un repère (O, I, J)
Un repère n'a pas forcément des axes perpendiculaires, mais quand ses axes sont perpendiculaires, on lui donne un nom particulier :
* Quand les axes (OI) et (OJ) sont perpendiculaires, le repère est dit orthogonal.
* Quand les axes sont perpendiculaires et qu'en plus les unités sont les mêmes, OI = OJ = 1, le repère est dit orthonormé
Exemple : Les axes sont perpendiculaires, les unités sont les mêmes en abscisses et en ordonnées. Les points I et J ne sont pas nommés, ils correspondent à la valeur 1.

### Exercices interactifs

* Pour s'exercer aux coordonnées dans un repère sur Maths en poche

## Distance dans un repère orthonormé

Soient dans un repère orthonormé deux points $A(x_{A};y_{A})$ et $B(x_{B};y_{B})$,
alors la distance entre A et B est donnée par la formule suivante :
$AB={\sqrt {(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}}$
Exemple : Dans le repère orthonormé ci-dessous, calculons la distance AB :
$AB={\sqrt {(-2-3,5)^{2}+(1,5-2)^{2}}}={\sqrt {(-5,5)^{2}+(-0,5)^{2}}}={\sqrt {30,25+0,25}}={\sqrt {30,5}}\approx 5,52\ unit{\acute {e}}s$ Attention : Ce résultat est en unités, et chaque unité vaut deux carreaux, donc si on veut AB en carreaux, il faut multiplier ce résultat par 2. Mais quand on demande la distance AB et que l’on ne précise pas, il faut la donner en unités, et non en carreaux ou en cm.
Exercice : Calculer (en unités) les distances AC, BC, AO.

### Exercices interactifs

* Exercices de Maths en poche sur le calcul de distance avec les coordonnées
| Point | Vecteur |
# Repère euclidien non orthonormé/Objectifs

* Approfondir la notion de repère dans un sens plus général
* Préparer aux leçons sur les tenseurs.
# Repérage et coordonnées

| Chap. 1 : | Point |
| Chap. 2 : | Distance |
| Chap. 3 : | Vecteur |
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## Présentation [Modifier]

Le repérage est le fait de représenter la position d’un point par une série de nombres. Il fait ainsi le lien entre le calcul et la géométrie.

## Objectifs [Modifier]

Étudier, de façon élémentaire, le repérage des points et des vecteurs en utilisant les coordonnées cartésiennes. Voir aussi quelques propriétés élémentaires liées à ce repérage.

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 11.
* Introduction aux mathématiques élémentaires

## Pour aller plus loin [Modifier]

* Représentation d'un point dans l'espace

## Référents [Modifier]

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
* Nicostella (Prof de maths et développeur de ce cours)
* Loïc Fabiou (discuter)
# Repère euclidien non orthonormé/Référents

* Lydie Noria
* Supreme assis
# Présentation générale des systèmes d'exploitation/Prérequis conseillés

Culture générale en informatique.