# Théorie générale des nombres complexes/La forme algébrique des nombres complexes
## L'ensemble des nombres complexes

On appelle ensemble des nombres complexes, et l'on note $\mathbb {C}$, l'ensemble des expressions de la forme : $a+\mathrm {i} b$ où $a$ et $b$ sont des réels.
Pour tout nombre complexe $z=a+\mathrm {i} b$, on appelle respectivement partie réelle et partie imaginaire de $z$ les deux réels $a$ et $b$, que l'on note :
$a=\operatorname {Re} (z)\quad {\text{et}}\quad b=\operatorname {Im} (z)$

### Remarques

* Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s'ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.
* En tant qu'ensemble, $\mathbb {C}$ est donc $\mathbb {R} ^{2}$. On a simplement décidé de noter $a+\mathrm {i} b$, au lieu de $(a,b)$, le couple des deux réels $a$ et $b$. En particulier :
** le couple $(0,1)$ est noté $0+\mathrm {i} 1$, ou plus simplement $\mathrm {i}$ ;
** pour tout réel $a$, le couple $(a,0)$ est noté $a+\mathrm {i} 0$, ou plus simplement $a$.

## Addition et multiplication dans $\mathbb {C}$

On définit sur $\mathbb {C}$ deux lois internes, addition et multiplication, par :
$(a+\mathrm {i} b)+(c+\mathrm {i} d)=(a+c)+\mathrm {i} (b+d)$ ;
$(a+\mathrm {i} b)(c+\mathrm {i} d)=(ac-bd)+\mathrm {i} (ad+bc)$.

### Remarques

   * En particulier, $\mathrm {i} ^{2}=-1$. On vient donc de donner un fondement à l'usuelle pseudo-définition au niveau 13 du nombre i.
   * La notation $a+\mathrm {i} b$ est compatible avec ces définitions car le nombre complexe correspondant au couple $(a,b)\in \mathbb {R} ^{2}$ est bien la somme de celui correspondant à $(a,0)$ et du produit de ceux correspondant à $(0,1)$ et $(b,0)$. On peut également le noter $a+b\mathrm {i}$, car la multiplication dans $\mathbb {C}$ est commutative.
$(\mathbb {C} ,+,\cdot )$ est un anneau commutatif unifère .
L'addition dans $\mathbb {C}$ est la simple transcription de l'addition dans $\mathbb {R} ^{2}$, ce qui fait de $(\mathbb {C} ,+)$ un groupe abélien, d'élément neutre $0$.
On vérifie de plus que :
* $(\mathbb {C} ,\cdot )$ est un monoïde commutatif :
** commutativité de la multiplication : $\forall (z,z')\in \mathbb {C} ^{2}\quad zz'=z'z$,
** associativité de la multiplication : $\forall (z,z',z'')\in \mathbb {C} ^{3}\quad (zz')z''=z(z'z'')$,
** élément neutre : $\forall z\in \mathbb {C} \quad z1=z$ ;
* la multiplication est distributive par rapport à l'addition : $\forall (z,z',z'')\in \mathbb {C} ^{3}\quad (z+z')z''=zz''+z'z''$.

### Remarque

    De plus, $\mathbb {R}$ s'identifie à un sous-anneau de $\mathbb {C}$, ce qui fait également de $\mathbb {C}$ une $\mathbb {R}$-algèbre.

## Conjugué et module d'un nombre complexe

Pour tout $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$, le conjugué du nombre complexe $z=x+\mathrm {i} y$, noté ${\overline {z}}$, est le nombre complexe défini par :
    ${\overline {x+\mathrm {i} y}}=x-\mathrm {i} y$.
Le produit de $x+\mathrm {i} y$ par son conjugué est le réel positif $x^{2}+y^{2}$. Sa racine carrée porte un nom :
Pour tout $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$, le module du nombre complexe $z=x+\mathrm {i} y$, noté $|z|$, est le réel positif défini par :
    $|z|={\sqrt {z{\overline {z}}}}$,
ou encore :
    $|x+\mathrm {i} y|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$.

## Le corps des nombres complexes

Le module d'un nombre complexe non nul étant non nul, on en déduit :
Tout nombre complexe non nul possède un inverse dans $\mathbb {C}$.
Plus précisément : pour tout $z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$,
    ${\frac {1}{z}}={\frac {\overline {z}}{|z|^{2}}}$
ou encore : pour tout $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$,
    ${\frac {1}{x+\mathrm {i} y}}={\frac {x-\mathrm {i} y}{x^{2}+y^{2}}}$.
Nous avons montré que $(\mathbb {C} ,+,\cdot )$ est un anneau commutatif unifère et que tout élément non nul de $\mathbb {C}$ est inversible, d'où la propriété suivante :
Muni des deux opérations addition et multiplication, $\mathbb {C}$ est un corps commutatif.
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