# Mécanique 1 (PCSI)/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Puissance et travail d'une force
## Définition de la puissance d’une force, dépendance du référentiel d’étude, caractère moteur ou résistif de cette dernière

Notion entrevue dans le paragraphe « définition de la puissance instantanée électrique reçue par une portion de circuit » du chap.$21$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » dans le cadre d'une force électrique.

### Puissance d'une force

$\;{\vec {F}}(M,\,t)\;$
$\;M\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]={\vec {F}}(M,\,t)\cdot {\vec {V}}_{M}(t)\;$
dans laquelle $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ est le vecteur vitesse du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$ ;
$\;{\big$
$\;W{\big )}$
$\;1\;W=1\;N\times 1\;m\cdot s^{-1}$

### Propriété de la puissance d'une force

La puissance développée par la force $\;{\vec {F}}(M,\,t)\;$ faisant intervenir le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ du point matériel $\;M\;$ sur laquelle elle s’applique et ce dernier dépendant du référentiel d’étude $\;{\mathcal {R}}$, on en déduit que « la puissance développée par cette force dépend aussi du référentiel$\;{\mathcal {R}}\;$dans lequel on la calcule ».

### Caractère moteur ou résistif d'une force

Une force $\;{\vec {F}}(M,\,t)\;$ dont le point d’application $\;M\;$ se déplace perpendiculairement à la direction du support de la force ne développe aucune puissance c.-à-d.
$\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$
$\;\perp \;$
$\;{\vec {F}}(M,\,t)\;$
$\Rightarrow$
$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]=0\;$
dans le cas contraire, l'angle non orienté $\;\alpha (t)\;$ entre la direction du support de la force $\;{\vec {F}}(M,\,t)\;$ et celle de déplacement de son point d'application $\;M\;$ n'est pas droit ${\bigg$l'angle non orienté $\;\alpha (t)=$ ${\bigg \vert }{\widehat {\left\lbrace {\vec {F}}(M,\,t)\,;\,{\vec {V}}_{M}(t)\right\rbrace }}{\bigg \vert }\neq {\dfrac {\pi }{2}}{\bigg ]}\;$ et la puissance développée par la force $\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]\;$ est $\;\neq 0$, celle-ci s'écrivant en fonction de $\;\alpha (t)\;$ entre autres selon
$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]=\Vert {\vec {F}}(M,\,t)\Vert \;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert \;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\;$
* « si $\;\alpha (t)\;$ est aigu » c.-à-d. si $\;\alpha (t)\;$ est $\;<\;$ à $\;{\dfrac {\pi }{2}}$, « la puissance développée par $\;{\vec {F}}(M,\,t)\;$ à l'instant $\;t\;$est positive » «$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]>0\;$» et la force $\;{\vec {F}}(M,\,t)\;$ est dite « motrice » ;
* « si $\;\alpha (t)\;$ est obtus » c.-à-d. si $\;\alpha (t)\;$ est $\;>\;$ à $\;{\dfrac {\pi }{2}}$, « la puissance développée par $\;{\vec {F}}(M,\,t)\;$ à l'instant $\;t\;$est négative » «$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]<0\;$» et la force $\;{\vec {F}}(M,\,t)\;$ est dite « résistive ».

## Définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière, expression du travail élémentaire de la force en fonction de celle-ci et du vecteur déplacement élémentaire correspondant
### Définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière

Le travail élémentaire de la force $\;{\vec {F}}(M,\,t)\;$ sur la durée élémentaire $\;dt\;$ à partir de l'instant $\;t\;$ où cette force développe la puissance $\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]\;$ est noté usuellement $\;\delta W\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]\;$ et est défini selon
$\;\delta W\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]={\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]\;dt\;$
$\;{\big$
$\;J{\big )}$
$\;1\;J=1\;W\times 1\;s$

### Expression du travail élémentaire de la force dont le point d’application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance

Reportant la définition de la puissance développée par la force $\;{\vec {F}}(M,\,t)\;$ à l'instant $\;t\;$ à savoir $\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]={\vec {F}}(M,\,t)\cdot {\vec {V}}_{M}(t)\;$ où $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ est le vecteur vitesse dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ de $\;M$, point d'application de la force, dans la définition du travail élémentaire de cette dernière précédemment introduite «$\;\delta W\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]=$ ${\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]\;dt\;$», on obtient «$\;\delta W\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]=$ $\left[{\vec {F}}(M,\,t)\cdot {\vec {V}}_{M}(t)\right]\,dt={\vec {F}}(M,\,t)\cdot \left[{\vec {V}}_{M}(t)\;dt\right]\;$» soit encore, avec $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;dt={\overrightarrow {dM}}\;$, l'expression du travail élémentaire de la force$\;{\vec {F}}(M,\,t)\;$ dont le point d’application $\;M\;$ subit le vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ correspondant à la durée élémentaire $\;dt\;$ de développement de sa puissance ${\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]\;$ à partir de l'instant $\;t$,
$\;\delta W\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]={\vec {F}}(M,\,t)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$
$\;{\big$
$\;J{\big )}$
$\;1\;J=1\;N\times 1\;m$
Remarque : Ayant introduit la notion de « circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace le long d'une courbe continue » dans le chap.$15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », nous reconnaissons dans le travail élémentaire de la force $\;{\vec {F}}(M,\,t)\;$ dont le point d’application $\;M\;$ subit le vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ la circulation élémentaire de la force$\;{\vec {F}}(M,\,t)\;$.

## Définition du travail d'une force sur la portion de trajectoire définie entre deux positions extrêmes

Ayant défini le travail élémentaire «$\;\delta W\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]={\vec {F}}(M,\,t)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$» développé par la force $\;{\vec {F}}(M,\,t)\;$ à l'instant $\;t\;$ appliquée à $\;M\;$ quand ce dernier se déplace de façon élémentaire le long d'une courbe $\;(\Gamma )$, il suffit, pour définir « le travail développé par la force$\;{\vec {F}}(M,\,t)\;$ quand$\;M\;$se déplace le long de la courbe$\;(\Gamma )\;$ de $\;M_{1}\;$ à $\;M_{2}\;$», d'« ajouter les contributions élémentaires en suivant la courbe$\;(\Gamma )\;$ de $\;M_{1}\;$ à $\;M_{2}\;$» soit
$\;W_{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]=\displaystyle \int _{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}{\vec {F}}(M,\,t)\!\cdot \!{\overrightarrow {dM}}\;$
sauf cas particuliers, le travail développé par une force$\;{\vec {F}}(M,\,t)\;$ quand $\;M\;$ se déplace le long d'une courbe $\;(\Gamma )\;$ de $\;M_{1}\;$ à $\;M_{2}$, dépend de la courbe$\;(\Gamma )\;$ à $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$fixés.