# Distributions statistiques des particules/Statistique de Fermi-Dirac

La statistique de Fermi-Dirac décrit le comportement de ce qu'on appelle les fermions. les fermions sont des particules de spin demi-entier tel que les électrons. Ces particules possèdent des caractéristiques particulières.
Ils ne peuvent pas occuper le même espace quantique. Chaque espace quantique possède une valeur d'énergie qui lui est propre (système non-dégénéré), les fermions se repartirons deux par deux a chaque niveau d'énergie, alors qu’il serait plus « logique » que toutes ces particules coupent le niveau énergétique le plus bas.
En effet, selon les lois thermodynamiques tout système tend à obtenir le niveau d'énergie le plus bas possible (par exemple : un objet tombe jusqu'à arriver le plus bas qu’il puisse). Donc la répartition de ces particules se fait de façon très particulière, si on se trouve a une température de 0 Kelvin, toutes les énergies qui sont en dessous d'une valeur critique, appelée « énergie de Fermi », sont occupées avec une probabilité de 1 et les niveaux au dessus avec une probabilité de 0. On peut vérifier ce phénomène, en introduisant la valeur 0 pour la température dans la formule de la statistique. En effet, si T = 0, l'exponentielle tend vers l'infini, dans le cas où l’on se trouve au delà de l'énergie de Fermi et de ce fait le résultat de la formule sera 0, et il tendra vers moins l'infini si l’on se trouve en dessous de l'énergie de Fermi, et la formule égale 1.
Dès que le système possède une température au dessus du zéro absolu, les électrons reçoivent un surplus d'énergie et donc se retrouvent propulsés dans un niveau d'énergie supérieure, la statistique de Fermi-Dirac permet alors de suivre le système en fonction de sa température, et de savoir combien d'électrons possèdent une énergie supérieure à telle énergie etc.
La démonstration ci-après est basée sur celle de Rocard

## Dénombrement des états

Soit une boîte contenant une seule case. Il n’y a qu’une possibilité. Avec deux cases discernables et une particule, il y a deux possibilités :
Pour deux particules indiscernables dans deux cases de la boîte il n'y a qu'une seule combinaison :
Il y a 3 configurations possibles pour placer deux particules indiscernables dans trois cases :
Le nombre de combinaisons de deux particules dans trois cases est de trois combinaisons distinctes :
$W_{FD}={\frac {3!}{2!(3-2)!}}={\frac {3!}{2!1!}}={\frac {3\times 2\times 1}{2\times 1\times 1}}=3$
En effet, la première particule peut être placée de trois façons différentes. Ensuite, la seconde ne peut se placer que dans les cases inoccupées. Il y a donc 3!=6 combinaisons. Mais, comme les particules sont indiscernables, il y en a trois en double: il ne reste donc plus que trois possibilités; il faut donc diviser par 2!. Soit une boîte de g cases contenant n particules. En appliquant la formule des arrangements de n = 2 particules dans g = 3 cases (la dégénérescence ou poids statistique g est le nombre de configurations physiques ou d’états distincts de même énergie), on a
$W_{FD}={\frac {g!}{n!(g-n)!}}={\frac {3!}{2!(3-2)!}}=3$
Vérifions la formule pour les deux particules dans deux cases:
$W_{FD}={\frac {2!}{2!(2-2)!}}={\frac {2!}{2!0!}}={\frac {2\times 1\times 1}{2\times 1\times 1}}=1$
Il n'y a bien qu'une seule possibilité.

## Approximation de Stirling

Lorsque le nombre de particules et de cases est important, on peut utiliser la formule de Stirling d’approximation des grandes factorielles :
$\log \ n!=n\left(\log \ n-1\right)$
qui devient par dérivation
$\mathrm {d} (\log \ n!)={\frac {\mathrm {d} (\log \ n!)}{\mathrm {d} n}}\mathrm {d} n={\frac {\mathrm {d} [n(\log \ n-1)]}{\mathrm {d} n}}\mathrm {d} n=\left[\log \ n-1+n\left({\frac {1}{n}}\right)\right]\mathrm {d} n=\log \ n\ \mathrm {d} n$
En tenant compte de ce que le nombre g de boîtes est constant, on a :
$\mathrm {d} \log \ W_{FD}=\mathrm {d} log\left[{\frac {g!}{n!(g-n)!}}\right]\approx \log \left({\frac {g}{n}}-1\right)\mathrm {d} n$
où $W_{FD}$ est la probabilité de distribution de Fermi-Dirac. Les particules ayant une vitesse ou une énergie comprise entre E et E + dE sont au nombre de dn. Lorsque les niveaux sont discrets, on a généralement g niveaux de même énergie E. Ces niveaux dégénérés, observables en spectroscopie, peuvent être séparés en brisant la symétrie, par exemple à l’aide d’un champ électrique. Les niveaux d’énergie étant discrets en mécanique quantique, on les numérote avec un indice i. La variation du nombre de combinaisons est donnée par :
$\mathrm {d} \log \ W_{FD}\approx \log \left({\frac {g_{i}}{n_{i}}}-1\right)\mathrm {d} n_{i}$

## Multiplicateurs de Lagrange

À l’équilibre, la probabilité doit être extrémale, et sa variation doit donc être nulle :
$\sum _{i}\log \left({\frac {g_{i}}{n_{i}}}-1\right)\mathrm {d} n_{i}=0$
Le nombre total de particules est en général constant:
$\left.\sum _{i}\mathrm {d} n_{i}=0\right.$
L’énergie totale doit être extrémale à l’équilibre :
$\left.\sum _{i}E_{i}\mathrm {d} n_{i}=0\right.$
On peut additionner ces trois expressions nulles selon la méthode des multiplicateurs de Lagrange :
$\sum _{i}\log \left({\frac {g_{i}}{n_{i}}}-1\right)\mathrm {d} n_{i}+a\sum _{i}\mathrm {d} n_{i}+b\sum _{i}E_{i}\mathrm {d} n_{i}=0$
où a et b sont des constantes à déterminer. Comme cela doit être vrai quels que soient les $dn_{i}$, on doit avoir
$\log \left({\frac {g_{i}}{n_{i}}}-1\right)+a+bE_{i}=0$

## Distribution de Fermi-Dirac

L'équation précédente donne la fonction d’occupation de chaque état d’énergie Ei :
$f_{i}={\frac {n_{i}}{g_{i}}}={\frac {1}{\exp \left(-a-bE_{i}\right)+1}}$
On doit retrouver pour $f_{i}$ le facteur de Boltzmann $exp(-E_{i}/kT)$ lorsque l’exponentielle est très supérieure à un. L’identification des fonctions d’occupation de Bose-Einstein et de Maxwell, en l’absence d’effets quantiques donne :
$\exp \left(-a-bE_{i}\right)=\exp \left({\frac {E_{i}-\mu }{kT}}\right)$
en posant $a=\mu /kT\ et\ b=-1/(kT)$.
Le nombre n$_i$ de fermions dans l'état d'énergie E$_i$ est, à l'état d'équilibre thermodynamique, donné par : $n_{i}={\frac {g_{i}}{\exp \left({\frac {E_{i}-\mu }{kT}}\right)+1}}$ où :
* g$_i$ est le nombre d'états possédant cette énergie ;
* μ est le potentiel chimique
* k est la constante de Boltzmann
* T est la température absolue