# Mécanique 2 (PCSI)/Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Énergie mécanique du point matériel soumis à une force newtonienne
## Rappel : conservation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force newtonien, conséquences

Le champ de force newtonien «$\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$» $\;{\Bigg$dans lequel $\;r=OM\;$ est la coordonnée radiale du repérage sphérique de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ du point matériel $\;M\;$ et $\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ le vecteur unitaire radial de la base sphérique de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ liée à $\;M\;$ avec $\;k\in \mathbb {R} ^{*}\left\lbrace {\begin{array}{c}>0\;{\text{pour une force répulsive}}\\<0\;{\text{pour une force attractive}}\end{array}}\right\rbrace {\Bigg ]}\;$ étant conservatif et « dérivant » du champ d’énergie potentielle $\;{\big$newtonien${\big )}\;$ «$\;U(r)={\dfrac {k}{r}}\;$ avec choix de sa référence à l'infini », on peut écrire « la conservation de l’énergie mécanique $\;E_{m}(t)\;$ du point matériel $\;M\left(m\right)\;$ uniquement soumis à ce champ de force newtonien » $\;{\bigE_{m,\,0}\;$ étant l'énergie mécanique initiale${\big ]}\;$
$\;E_{m}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{M}^{\,2}(t)+{\dfrac {k}{r(t)}}=E_{m,\,0}\;$
$\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$
$\;M\;$
$\;t\;$
En tenant compte de l'« applicabilité de la loi des aires au mouvement du point matériel $\;M\left(m\right)\;$ uniquement soumis à un champ de force newtonien » à savoir «$\;r^{2}\!(t)\;{\dot {\theta }}(t)=C\;$» dans laquelle «$\;C=$ ${\dfrac {{\vec {\sigma }}_{O}(0)\cdot {\vec {u}}_{z}}{m}}\;$ est la constante des aires » $\;{\bigg$la « loi des aires » n'étant rien d'autre que la projection de la « conservation du moment cinétique vectoriel du point divisé par sa masse » sur $\;{\vec {u}}_{z}\;$ exprimée en polaire soit «$\;{\dfrac {{\vec {\sigma }}_{O}(t)}{m}}\cdot {\vec {u}}_{z}={\dfrac {{\vec {\sigma }}_{O}(0)}{m}}\cdot {\vec {u}}_{z}\;$»${\bigg ]}$ et $\;\theta (t)\;$ l'abscisse angulaire du point $\;M\;$ dans son repérage polaire de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ du plan du mouvement de $\;M\;$, En tenant compte de l'« applicabilité de la loi des aires au mouvement du point matériel M ( m ) uniquement soumis à un champ de force newtonien » la constante des aires dépendant des C.I. pouvant être évaluée, après avoir choisi comme « axe polaire $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ le support de $\;{\overrightarrow {OM_{0}}}\;$ dirigé de $\;O\;$ vers $\;M_{0}\;$» avec «$\;\alpha _{0}={\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)}}\;$ et $\;V_{0}=\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert \;$», selon «$\;C=r_{0}\;V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;$», En tenant compte de l'« applicabilité de la loi des aires au mouvement du point matériel M ( m ) uniquement soumis à un champ de force newtonien » on peut :
* utiliser les $\;2\;$ 1$^{ères}$ variables de Binet «$\;u={\dfrac {1}{r}}(\theta )\;$ et $\;u'={\dfrac {du}{d\theta }}(\theta )\;$» définissant respectivement la 1re et 2ème variables de Binet $\;{\big$la définition de la 2ème variable de Binet nécessitant $\;C\neq 0{\big )}$ $\;{\big$introduites au paragraphe « définition des variables de Binet » du chap.$12$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »${\big ]}\;$ ainsi que la formule de Binet relative au carré de la vitesse, ce qui permet de réécrire la conservation de l'énergie mécanique selon «$\;E_{m}(t)={\dfrac {m\;C^{2}}{2}}\left\lbrace {u'}^{2}\!\left[\theta (t)\right]+u^{2}\!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace +k\;u\!\!\left[\theta (t)\right]=E_{m,\,0}\;$» ou
* utiliser la notion d’énergie potentielle effective «$\;U_{\text{eff}}(r)={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{\theta }^{2}+U(r)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dfrac {C^{2}}{r^{2}}}+{\dfrac {k}{r}}\;$» $\Rightarrow$ la réécriture de la conservation de l’énergie mécanique selon «$\;E_{m}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{r}^{2}(t)+U_{\text{eff}}\!\left[r(t)\right]$ $=E_{m,\,0}\;$» ou encore selon «$\;E_{m}(r)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {r}}^{2}+U_{\text{eff}}(r)=E_{m,\,0}\;$».

## Expression de l’énergie mécanique d’un point matériel en mouvement circulaire dans un champ de force newtonien attractif, application au champ de gravitation solaire ou terrestre
### Rappel de l’expression de la vitesse linéaire d’un point matériel en mouvement circulaire dans un champ de force newtonien attractif en fonction du rayon de la trajectoire

La « vitesse linéaire » d'un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ en mouvement circulaire de rayon $\;r_{0}\;$ dans un champ de force newtonien attractif «$\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;k<0\;$» $\;{\big$le mouvement circulaire du point $\;M\;$ étant de centre $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$${\big ]}\;$ a une expression établie au paragraphe « application au cas d'une force newtonienne attractive » du chap.$15$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », expression dépendant du rayon $\;r_{0}\;$ du cercle $\;{\big$donc de valeur constante${\big )}\;$ égale à «$\;v(r_{0})={\sqrt {\dfrac {-k}{m\;r_{0}}}}\;$» ;
* dans le cas d'un champ de force gravitationnel la constante «$\;k\;$ est égale à $\;-{\mathcal {G}}\;m_{O}\;m\;$» dans laquelle «$\;{\mathcal {G}}\simeq 6,67\;10^{-11}\;U.S.I.\;$ est la constante de gravitation universelle, $\;m_{O}\;$ étant la masse de la source de centre $\;O\;$» et
* dans le cas d’un champ de force coulombien attractif «$\;k={\dfrac {q_{O}\;q}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}<0\;$» dans laquelle «$\;{\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\simeq 9\;10^{9}\;U.S.I.\;$ avec $\;\varepsilon _{0}\;$ la permittivité diélectrique du vide, $\;q_{O}\;$ est la charge de l’objet à symétrie sphérique de charge de centre $\;O\;$ et $\;q\;$ la charge de $\;M$ $\;{\bigq\;$ étant de signe contraire à $\;q_{O}{\big )}\;$».

### Expression de l’énergie cinétique d’un point matériel en mouvement circulaire dans un champ de force newtonien attractif en fonction du rayon de la trajectoire

L’énergie cinétique d’un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ s’écrivant «$\;K_{M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;v^{2}(t)\;$», on obtient l’énergie cinétique d’un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ en mouvement circulaire dans un champ de force newtonien attractif «$\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;k<0\;$» en y reportant l’expression de la vitesse du point rappelée au paragraphe « rappel de l'expression de la vitesse linéaire d'un point matériel en mouvement circulaire dans un champ de force newtonien attractif en fonction du rayon de la trajectoire » plus haut dans ce chapitre «$\;v(r_{0})={\sqrt {\dfrac {-k}{m\;r_{0}}}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;K_{M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dfrac {-k}{m\;r_{0}}}\;$» soit finalement «$\;K_{M}(t)={\dfrac {-k}{2\;r_{0}}}\;$» ;
* dans le cas d'un champ de force gravitationnel «$\;k=-{\mathcal {G}}\;m_{O}\;m\;$» dans laquelle «$\;{\mathcal {G}}\simeq 6,67\;10^{-11}\;U.S.I.\;$ est la constante de gravitation universelle, $\;m_{O}\;$ étant la masse de la source de centre $\;O\;$» d'où «$\;K_{M}(t)={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{O}\;m}{2\;r_{0}}}\;$» et
* dans le cas d’un champ de force coulombien attractif «$\;k={\dfrac {q_{O}\;q}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}<0\;$» dans laquelle «$\;{\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\simeq 9\;10^{9}\;U.S.I.\;$ avec $\;\varepsilon _{0}\;$ la permittivité diélectrique du vide, $\;q_{O}\;$ étant la charge de l’objet à symétrie sphérique de charge de centre $\;O\;$ et $\;q\;$ la charge de $\;M$ $\;{\bigq\;$ étant de signe contraire à $\;q_{O}{\big )}\;$» d'où «$\;K_{M}(t)={\dfrac {-q_{O}\;q}{8\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r_{0}}}\;$».

### Rappel de l’expression de l’énergie potentielle newtonienne d’un point matériel et expression de l’énergie mécanique d’un point matériel en mouvement circulaire dans un champ de force newtonien attractif en fonction du rayon de la trajectoire

L'énergie potentielle d'un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ dans un champ de force newtonien «$\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$» ayant été mentionnée au paragraphe « rappel : conservation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force newtonien, conséquences » plus haut dans ce chapitre sous la forme «$\;U(r)={\dfrac {k}{r}}\;$ avec choix de sa référence à l'infini », on en déduit que
* l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force newtonien attractif $\;{\bigk<0{\big )}\;$ est «$\;U(r)={\dfrac {k}{r}}<0,\;\;\forall \;r\neq \infty \;$ et
* cellel'énergie potentd'un point matériel dans un champ de force newtonien répulsif $\;{\bigk>0{\big )}\;$ est «$\;U(r)={\dfrac {k}{r}}>0,\;\;\forall \;r\neq \infty$.
De l'expression de l’énergie cinétique d’un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ en mouvement circulaire dans un champ de force newtonien attractif «$\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;k<0\;$» établie dans le paragraphe « expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en mouvement circulaire dans un champ de force newtonien attractif en fonction du rayon de la trajectoire » plus haut dans ce chapitre «$\;K_{M}(t)={\dfrac {-k}{2\;r_{0}}}\;$» et de la définition de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force newtonien «$\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$» soit «$\;E_{m}(t)=K_{M}(t)+{\dfrac {k}{r(t)}}\;$» on en déduit
l'expression de l'énergie mécanique d'un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ en mouvement circulaire de rayon $\;r_{0}\;$ dans un champ de force newtonien attractif «$\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;k<0\;$» selon «$\;E_{m}(t)=$ ${\dfrac {-k}{2\;r_{0}}}+{\dfrac {k}{r_{0}}}\;$» soit finalement «$\;E_{m}(r_{0})={\dfrac {k}{2\;r_{0}}}<0\;$».
Remarques : On constate que «$\;E_{m}(r_{0})={\dfrac {k}{2\;r_{0}}}<0\;$» c'est-à-dire l'énergie mécanique de $\;M\;$ en mouvement circulaire de rayon $\;r_{0}\;$ dans un champ de force newtonien attractif «$\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;k<0\;$» est liée aux énergies cinétique «$\;K_{M}(r_{0})={\dfrac {-k}{2\;r_{0}}}>0\;$» et potentielle «$\;U(r_{0})={\dfrac {k}{r_{0}}}>0\;$» du point selon
$\;E_{m}(r_{0})={\dfrac {U(r_{0})}{2}}<0\;$
$\;E_{m}(r_{0})=-K_{M}(r_{0})<0\;$
Remarques : La propriété de l'énergie mécanique d'un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ dans un champ de force newtonien attractif «$\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;k<0\;$» à savoir «$\;E_{m}(t)={\dfrac {U\!\left[r(t)\right]}{2}}<0\;$» est caractéristique de la nature circulaire du mouvement de $\;M\;$ dans ce champ de force newtonien attractif $\;{\big$caractérisation admise${\big )}\;$.

### En complément, cas d’un champ de force coulombien attractif

Dans le cas où le point matériel $\;M\left(m\right)$, de charge $\;q$, soumis à un champ de force coulombien attractif où «$\;k={\dfrac {q_{O}\;q}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}<0\;$» dans laquelle «$\;{\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\simeq 9\;10^{9}\;U.S.I.\;$ avec $\;\varepsilon _{0}\;$ la permittivité diélectrique du vide, $\;q_{O}\;$ étant la charge de l’objet à symétrie sphérique de charge de centre $\;O$ $\;{\bigq_{O}\;$ étant de signe contraire à $\;q{\big )}\;$», décrit un mouvement circulaire de rayon $\;r_{0}$, l'expression de son énergie mécanique «$\;E_{m}(r_{0})$ $={\dfrac {k}{2\;r_{0}}}<0\;$» $\;{\big$voir le paragraphe « rappel de l'expression de l'énergie potentielle newtonienne d'un point matériel et expression de l'énergie mécanique d'un point matériel en mouvement circulaire dans un champ de force newtonien attractif en fonction du rayon de la trajectoire » plus haut dans ce chapitre${\big )}\;$ se réécrit selon «$\;E_{m}(r_{0})={\dfrac {q_{O}\;q}{8\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r_{0}}}<0\;$» $\;{\bigg$l’énergie potentielle étant «$\;U(r_{0})$ $={\dfrac {q_{O}\;q}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r_{0}}}<0\;$» et l’énergie cinétique «$\;K(r_{0})=-{\dfrac {q_{O}\;q}{8\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r_{0}}}>0\;$»$^,$, nous vérifions que la propriété «$\;E_{m}(r_{0})={\dfrac {U(r_{0})}{2}}\;$ ou $\;E_{m}(r_{0})=-K_{M}(r_{0})\;$» caractérise encore la nature circulaire du mouvement de $\;M\;$ dans le cas d'un champ de force coulombien attractif${\bigg ]}$.
Exemple : Atome d'hydrogène dans son état fondamental traité dans le cadre de la mécanique classique en considérant que l'électron gravite autour du noyau d'hydrogène en décrivant une trajectoire circulaire de rayon égal au rayon de l'atome d'hydrogène dans son état fondamental à savoir «$\;r_{0}\simeq 0,53\;{\text{Å}}\;$» ; Exemple : l'énergie mécanique de l'état fondamental de l'électron en mouvement circulaire dans le champ de force coulombien attractif créé par le noyau d'hydrogène $\;{\big$ou encore l'énergie mécanique de l'atome d'hydrogène dans son état fondamental${\big )}\;$ s'écrit «$\;E_{m,\,0}=-{\dfrac {e^{2}}{8\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r_{0}}}<0\;$» avec $\;e\simeq 1,602\;10^{-19}\;C\;$ la charge élémentaire $\;{\big$le noyau d'hydrogène et l'électron étant respectivement de charge $\;+e\;$ et $\;-e{\big )}$, la référence de l'énergie potentielle de l'électron dans le champ de force coulombien attractif créé par le noyau d'hydrogène étant à l'infini, soit «$\;E_{m,\,0}=-{\dfrac {\left(1,602\;10^{-19}\right)^{2}\times 9\;10^{9}}{2\times 0,53\;10^{-10}}}\;J\;$» ou encore, en utilisant une unité d'énergie adaptée à la physique atomique à savoir l'« électronvolt $\;{\big$de symbole $\;eV{\big )}\;$», «$\;E_{m,\,0}=-{\dfrac {1,602\;10^{-19}\times 9\;10^{9}}{2\times 0,53\;10^{-10}}}\;eV\;$» soit «$\;E_{m,\,0}\simeq -13,59\;eV\;$» correspondant effectivement à l’énergie de l’atome d’hydrogène dans son état fondamental.

### Cas d’un champ de force newtonien gravitationnel

Dans le cas où le point matériel $\;M\left(m\right)\;$ soumis à un champ de force newtonien gravitationnel où «$\;k=-{\mathcal {G}}\;m_{O}\;m\;$», «$\;{\mathcal {G}}\simeq 6,67\;10^{-11}\;U.S.I.\;$ étant la constante de gravitation universelle, $\;m_{O}\;$ la masse de la source de centre $\;O\;$», a un mouvement circulaire de rayon $\;r_{0}$, l'expression de son énergie mécanique «$\;E_{m}(r_{0})$ $={\dfrac {k}{2\;r_{0}}}<0\;$» $\;{\big$voir le paragraphe « rappel de l'expression de l'énergie potentielle newtonienne d'un point matériel et expression de l'énergie mécanique d'un point matériel en mouvement circulaire dans un champ de force newtonien attractif en fonction du rayon de la trajectoire » plus haut dans ce chapitre${\big )}\;$ se réécrit «$\;E_{m}(r_{0})=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{O}\;m}{2\;r_{0}}}<0\;$» $\;{\bigg$l’énergie potentielle étant «$\;U(r_{0})$ $=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{O}\;m}{r_{0}}}<0\;$» et l’énergie cinétique «$\;K(r_{0})={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{O}\;m}{2\;r_{0}}}>0\;$»$^,$, nous vérifions que la propriété «$\;E_{m}(r_{0})={\dfrac {U(r_{0})}{2}}\;$ ou $\;E_{m}(r_{0})=-K_{M}(r_{0})\;$» caractérise encore la nature circulaire du mouvement de $\;M\;$ dans le cas d'un champ de force newtonien gravitationnel${\bigg ]}$.
Exemples :$\;\succ \;$Dans le champ de force gravitationnel solaire, «$\;k=-{\mathcal {G}}\;m_{\text{(☉)}}\;m\;$» où «$\;m_{\text{(☉)}}\;$» est la masse du Soleil (☉) de centre $\;O$, nous en déduisons l’expression de l’énergie mécanique du point matériel $\;M\left(m\right)\;$ en mouvement circulaire de rayon «$\;r_{0}\;$» dans le champ de force gravitationnel solaire «$\;E_{m}(r_{0})=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{(☉)}}\;m}{2\;r_{0}}}<0\;$», l’énergie potentielle étant «$\;U(r_{0})=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{(☉)}}\;m}{r_{0}}}<0\;$» et l’énergie cinétique pour un mouvement circulaire de rayon $\;r_{0}\;$ «$\;K_{M}(r_{0})={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{(☉)}}\;m}{2\;r_{0}}}>0\;$».
Exemples :$\;\succ \;$Dans le champ de force gravitationnel terrestre, «$\;k=-{\mathcal {G}}\;m_{\text{(♁)}}\;m\;$» où «$\;m_{\text{(♁)}}\;$» est la masse de la Terre (♁) de centre $\;O$, nous en déduisons l’expression de l’énergie mécanique du point matériel $\;M\left(m\right)\;$ en mouvement circulaire de rayon «$\;r_{0}\;$» dans le champ de force gravitationnel terrestre «$\;E_{m}(r_{0})=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{(♁)}}\;m}{2\;r_{0}}}<0\;$», l’énergie potentielle étant «$\;U(r_{0})=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{(♁)}}\;m}{r_{0}}}<0\;$» et l’énergie cinétique pour un mouvement circulaire de rayon $\;r_{0}\;$ «$\;K_{M}(r_{0})={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{(♁)}}\;m}{2\;r_{0}}}>0\;$».

## En complément, détermination de l’expression de l’énergie mécanique d’un point dans un champ de force newtonien attractif ou répulsif en fonction de l’excentricité

La détermination de l’expression de l’énergie mécanique d’un point matériel dans un champ de force newtonien attractif ou répulsif en fonction de l’excentricité de la conique suivi par le point n'est pas explicitement au programme de physique de P.C.S.I. mais elle permet d’aborder la discussion de la nature de la conique des paragraphes « en complément, vérification de la nature de la conique décrite par le point dans un champ de force newtonien répulsif compte-tenu du signe de l'énergie mécanique » et « en complément, nature de la conique décrite par le point dans un champ de force newtonien attractif suivant le signe de l'énergie mécanique » plus bas dans ce chapitre $\;{\big$discussion qui n’est pas explicitement au programme de physique de P.C.S.I. sous cette forme mais qui ne présente, a priori, aucune difficulté apparente${\big )}$.

### Méthode adoptée : utiliser l’expression de l’énergie mécanique du point M dans un champ de force newtonien en variables de Binet simultanément à l’équation polaire de la trajectoire de M en fonction du paramètre « p » et de l’excentricité « e » de cette dernière

On rappelle la nature plane $\;{\big$ou rectiligne${\big )}\;$ du mouvement d'un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ dans un champ de force newtonien «$\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$» $\;{\Bigg$dans lequel $\;r=OM\;$ est la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ du point matériel $\;M\;$ du plan $\;\left(xOy\right)\;$ contenant son mouvement et $\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ liée à $\;M\;$ dans $\;\left(xOy\right)\;$ avec $\;k\in \mathbb {R} ^{*}\left\lbrace {\begin{array}{c}>0\;{\text{pour une force répulsive}}\\<0\;{\text{pour une force attractive}}\end{array}}\right\rbrace {\Bigg ]}$, On rappelle que l'énergie mécanique du point matériel $\;M\;$ dans un champ de force newtonien «$\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$» s’écrit, en variables de Binet dans le cas où la constante des aires du mouvement $\;C\;$ est $\;\neq 0$, selon l'expression fournie au paragraphe « rappel : conservation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force newtonien, conséquences (utiliser les deux 1$^{ères}$ variables de Binet) » plus haut dans ce chapitre «$\;E_{m}(t)={\dfrac {m\;C^{2}}{2}}\left\lbrace {u'}^{2}\!\left[\theta (t)\right]+u^{2}\!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace +k\;u\!\!\left[\theta (t)\right]\;$» $\;{\big \\theta \;$ étant l'abscisse angulaire de $\;M\;$ dans $\;\left(xOy\right){\big \}$ et On rappelle que l’équation polaire de la conique décrite par le point matériel $\;M\;$ dans un champ de force newtonien «$\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$» est :
* dans le cas d’un champ de force newtonien attractif c'est-à-dire si «$\;k\;$ est $\;<0\;$» «$\;r={\dfrac {p}{1+e\;\cos(\theta -\varphi )}}\;$» avec $\;p={\dfrac {m\;C^{2}}{-k}}\;$ le paramètre de la conique, $\;e\;$ l'excentricité de cette dernière et $\;\varphi \;$ l'angle que fait l'axe focal avec l'axe polaire $\;{\overrightarrow {Ox}}$ $\;{\big$ces deux dernières constantes restant à déterminer par C.I.${\big )}\;$ $\Rightarrow$ «$\;u(\theta )={\dfrac {1}{r(\theta )}}={\dfrac {1+e\;\cos(\theta -\varphi )}{p}}\;$» et «$\;{u'}(\theta )={\dfrac {-e\;\sin(\theta -\varphi )}{p}}\;$» ou
* dans le cas d’un champ de force newtonien répulsif c'est-à-dire si «$\;k\;$ est $\;>0\;$» «$\;r={\dfrac {-p}{1-e\;\cos(\theta -\varphi )}}\;$» avec $\;p={\dfrac {m\;C^{2}}{k}}\;$ le paramètre de la conique, $\;e\;$ l'excentricité de cette dernière et $\;\varphi \;$ l'angle que fait l'axe focal avec l'axe polaire $\;{\overrightarrow {Ox}}$ $\;{\big$ces deux dernières constantes restant à déterminer par C.I.${\big )}\;$ $\Rightarrow$ «$\;u(\theta )={\dfrac {1}{r(\theta )}}={\dfrac {-1+e\;\cos(\theta -\varphi )}{p}}\;$» et «$\;{u'}(\theta )={\dfrac {-e\;\sin(\theta -\varphi )}{p}}\;$».

### Détermination de l’énergie mécanique d’un point dans un champ de force newtonien attractif en fonction de l’excentricité de la conique décrite par le point

Reportant les expressions des 1re et 2ème variables de Binet en fonction de l'abscisse angulaire $\;\theta \;$ du point $\;M\;$ dans le champ de force newtonien attractif «$\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;k<0\;$» $\;{\Big$dans lequel $\;\left(r=OM\,,\,\theta \right)\;$ sont les coordonnées polaires du repérage de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ du point matériel $\;M\;$ du plan $\;\left(xOy\right)\;$ contenant son mouvement et $\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ liée à $\;M\;$ dans $\;\left(xOy\right){\Big ]}\;$ c'est-à-dire «$\;u(\theta )={\dfrac {1+e\;\cos(\theta -\varphi )}{p}}\;$ et $\;{u'}(\theta )={\dfrac {-e\;\sin(\theta -\varphi )}{p}}\;$» dans l'expression de l'« énergie mécanique du point matériel $\;M\;$ dans un champ de force newtonien en variables de Binet » «$\;E_{m}(\theta )={\dfrac {m\;C^{2}}{2}}\left[{u'}^{2}\!\left(\theta \right)+u^{2}\!\left(\theta \right)\right]+k\;u\!\!\left(\theta \right)\;$» on obtient :
«$\;E_{m}(\theta )={\dfrac {m\;C^{2}}{2}}\left\lbrace {\dfrac {(-e)^{2}\;\sin ^{2}(\theta -\varphi )}{p^{2}}}+{\dfrac {\left[1+e\;\cos(\theta -\varphi )\right]^{2}}{p^{2}}}\right\rbrace +k\;{\dfrac {1+e\;\cos(\theta -\varphi )}{p}}\;$» dans laquelle on utilise «$\;p={\dfrac {m\;C^{2}}{-k}}$ $\Leftrightarrow$ $m\;C^{2}=-k\;p\;$» ce qui permet de mettre «$\;{\dfrac {k}{2\;p}}\;$» en facteur dans l'ensemble des termes soit «$\;E_{m}(\theta )={\dfrac {k}{2\;p}}\left\lbrace -e^{2}\;\sin ^{2}(\theta -\varphi )-\left[1+e\;\cos(\theta -\varphi )\right]^{2}+2\;\left[1+e\;\cos(\theta -\varphi )\right]\right\rbrace \;$» ou, en développant la somme élevée au carré dans le facteur entre accolades «$\;E_{m}(\theta )={\dfrac {k}{2\;p}}\left[-e^{2}\;\sin ^{2}(\theta -\varphi )-1-e^{2}\;\cos ^{2}(\theta -\varphi )-2\;e\;\cos(\theta -\varphi )+2+2\;e\;\cos(\theta -\varphi )\right]\;$» et en faisant les simplifications évidentes,
$\;E_{m}(\theta )={\dfrac {k}{2\;p}}\left[1-e^{2}\right]={\dfrac {-k}{2\;p}}\left[e^{2}-1\right]\;$
Remarques : L’énergie mécanique du point matériel $\;M\;$ dans un champ de force newtonien attractif étant conservée doit impérativement être « indépendante de $\;\theta \;$», si nous ne trouvions pas ce résultat nous pourrions affirmer la présence d’une erreur ;
Remarques : «$\;k\;$ étant $\;<0\;$» $\Rightarrow$ «$\;-k=\vert k\vert \;$», nous pouvons réécrire l'énergie mécanique selon «$\;E_{m}(\theta )={\dfrac {\vert k\vert }{2\;p}}\left[e^{2}-1\right]\;$».

### Détermination de l’énergie mécanique d’un point dans un champ de force newtonien répulsif en fonction de l’excentricité de la conique décrite par le point

Reportant les expressions des 1re et 2ème variables de Binet en fonction de l'abscisse angulaire $\;\theta \;$ du point $\;M\;$ dans le champ de force newtonien répulsif «$\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;k>0\;$» $\;{\Big$dans lequel $\;\left(r=OM\,,\,\theta \right)\;$ sont les coordonnées polaires du repérage de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ du point matériel $\;M\;$ du plan $\;\left(xOy\right)\;$ contenant son mouvement et $\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ liée à $\;M\;$ dans $\;\left(xOy\right){\Big ]}\;$ c'est-à-dire «$\;u(\theta )={\dfrac {e\;\cos(\theta -\varphi )-1}{p}}\;$ et $\;{u'}(\theta )={\dfrac {-e\;\sin(\theta -\varphi )}{p}}\;$» dans l'expression de l'« énergie mécanique du point matériel $\;M\;$ dans un champ de force newtonien en variables de Binet » «$\;E_{m}(\theta )={\dfrac {m\;C^{2}}{2}}\left[{u'}^{2}\!\left(\theta \right)+u^{2}\!\left(\theta \right)\right]+k\;u\!\!\left(\theta \right)\;$» on obtient :
«$\;E_{m}(\theta )={\dfrac {m\;C^{2}}{2}}\left\lbrace {\dfrac {(-e)^{2}\;\sin ^{2}(\theta -\varphi )}{p^{2}}}+{\dfrac {\left[e\;\cos(\theta -\varphi )-1\right]^{2}}{p^{2}}}\right\rbrace +k\;{\dfrac {e\;\cos(\theta -\varphi )-1}{p}}\;$» dans laquelle on utilise «$\;p={\dfrac {m\;C^{2}}{k}}$ $\Leftrightarrow$ $m\;C^{2}=k\;p\;$» ce qui permet de mettre «$\;{\dfrac {k}{2\;p}}\;$» en facteur dans l'ensemble des termes soit «$\;E_{m}(\theta )={\dfrac {k}{2\;p}}\left\lbrace e^{2}\;\sin ^{2}(\theta -\varphi )+\left[e\;\cos(\theta -\varphi )-1\right]^{2}+2\;\left[e\;\cos(\theta -\varphi )-1\right]\right\rbrace \;$» ou, en développant la somme élevée au carré dans le facteur entre accolades «$\;E_{m}(\theta )=$ ${\dfrac {k}{2\;p}}\left[e^{2}\;\sin ^{2}(\theta -\varphi )+e^{2}\;\cos ^{2}(\theta -\varphi )+1-2\;e\;\cos(\theta -\varphi )+2\;e\;\cos(\theta -\varphi )-2\right]\;$» et en faisant les simplifications évidentes,
$\;E_{m}(\theta )={\dfrac {k}{2\;p}}\left[e^{2}-1\right]\;$
Remarques : L’énergie mécanique du point matériel $\;M\;$ dans un champ de force newtonien répulsif étant conservée doit impérativement être « indépendante de $\;\theta \;$», si nous ne trouvions pas ce résultat nous pourrions affirmer la présence d’une erreur ;
Remarques : «$\;k\;$ étant $\;>0\;$» $\Rightarrow$ «$\;k=\vert k\vert \;$», nous pouvons réécrire l'énergie mécanique selon «$\;E_{m}(\theta )={\dfrac {\vert k\vert }{2\;p}}\left[e^{2}-1\right]\;$», c'est-à-dire la même expression que dans le cas d'un champ newtonien attractif.

## En complément, vérification de la nature de la conique décrite par le point dans un champ de force newtonien répulsif compte-tenu du signe de l’énergie mécanique

Préambule : « La détermination de l’énergie mécanique d’un point matériel dans un champ de force newtonien répulsif en fonction de l’excentricité de la conique décrite par le point » traitée dans un paragraphe plus haut dans ce chapitre n'est pas explicitement au programme de physique de P.C.S.I. mais elle permet d’aborder ci-dessous la vérification de la nature de la conique $\;{\big$discussion qui n’est pas explicitement au programme de physique de P.C.S.I. sous cette forme mais qui ne présente, a priori, aucune difficulté apparente${\big )}$.
Vérification de la nature de la conique décrite par un point dans un champ de force newtonien répulsif : Nous avons établi au paragraphe « nature de la trajectoire dans le cas d'une force newtonienne répulsive (k > 0) » du chap.$14$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la trajectoire du point matériel $\;M\left(m\right)\;$ dans un champ de force newtonien répulsif «$\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;k>0\;$» $\;{\Big$dans lequel $\;r=OM\;$ est la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ du point matériel $\;M\;$ dans le plan $\;\left(xOy\right)\;$ de son mouvement et $\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ liée à $\;M\;$ dans $\;\left(xOy\right){\Big ]}\;$ est une branche d’hyperbole dont $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ est un des foyers, le foyer non contourné par la branche en question, nous devons donc vérifier, dans ce cas, que l’excentricité de la conique est effectivement $\;>\;$ à $\;1\;$ quelles que soient les C.I. ;
Vérification de la nature de la conique décrite par un point dans un champ de force newtonien répulsif : or l’énergie mécanique du point $\;M\;$ dans un champ de force newtonien s'écrivant selon «$\;E_{m}(t)=$ ${\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{M}^{\,2}(t)+{\dfrac {k}{r(t)}}\;$» étant, dans le cas d'un champ de force newtonien répulsif $\;{\big$correspondant à $\;k>0{\big )}$, la somme de deux termes «$\;>0\;$» vérifie «$\;E_{m}(t)>0,\;\;\forall \;t\;$» et par suite,
Vérification de la nature de la conique décrite par un point dans un champ de force newtonien répulsif : de l'expression de son énergie mécanique en fonction de l'excentricité de la conique que le point décrit «$\;E_{m}(\theta )={\dfrac {k}{2\;p}}\left[e^{2}-1\right]\;$» laquelle est nécessairement «$\;>0\;$», nous en déduisons $\;e^{2}>1\;$ et, comme $\;e$, par définition, est $\;\geqslant 0$, «$\;e>1\;$» C.Q.F.D. d'où
$\;O$
$\;{\big$
${\big )}\;$

## En complément, nature de la conique décrite par le point dans un champ de force newtonien attractif suivant le signe de l’énergie mécanique

Préambule : « La détermination de l’énergie mécanique d’un point matériel dans un champ de force newtonien attractif en fonction de l’excentricité de la conique décrite par le point » traitée dans un paragraphe plus haut dans ce chapitre n'est pas explicitement au programme de physique de P.C.S.I. mais elle permet d’aborder ci-dessous l'identification de la nature de la conique suivant le signe de l'énergie mécanique du point dans un champ de force newtonien attractif $\;{\big$discussion qui n’est pas explicitement au programme de physique de P.C.S.I. sous cette forme mais qui ne présente, a priori, aucune difficulté apparente${\big )}$.
Identification de la nature de la conique décrite par un point dans un champ de force newtonien attractif : Nous avons établi au paragraphe « nature de la trajectoire dans le cas d'une force newtonienne attractive (k < 0) » du chap.$14$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la trajectoire du point matériel $\;M\left(m\right)\;$ dans un champ de force newtonien attractif «$\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;k<0\;$» $\;{\Big$dans lequel $\;r=OM\;$ est la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ du point matériel $\;M\;$ dans le plan $\;\left(xOy\right)\;$ de son mouvement et $\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ liée à $\;M\;$ dans $\;\left(xOy\right){\Big ]}\;$ est une conique $\;{\big$ou branche de conique en ce qui concerne l’hyperbole${\big )}\;$ dont $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ est le $\;{\big$ou l'un des${\big )}\;$ foyer(s) $\;{\big$le foyer en ce qui concerne la parabole, l'un des foyers en ce qui concerne l'ellipse et l'hyperbole, celui intervenant dans ce dernier cas étant le foyer contourné par la branche d'hyperbole en question${\big )}$, Identification de la nature de la conique décrite par un point dans un champ de force newtonien attractif : la nature de la conique dépendant du positionnement de l'excentricité «$\;e\;$» de cette dernière relativement à «$\;1\;$» : une ellipse si $\;e\;$ est $\;<\;$ à $\;1$, une parabole si $\;e\;$ est $\;=\;$ à $\;1\;$ et une branche d'hyperbole si $\;e\;$ est $\;>\;$ à $\;1$, la valeur de $\;e\;$ dépendant des C.I. ;
Identification de la nature de la conique décrite par un point dans un champ de force newtonien attractif : or l’énergie mécanique du point $\;M\;$ dans un champ de force newtonien s'écrivant selon «$\;E_{m}(t)=$ ${\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{M}^{\,2}(t)+{\dfrac {k}{r(t)}}\;$» étant, dans le cas d'un champ de force newtonien attractif $\;{\big$correspondant à $\;k<0{\big )}$, la somme d'un 1er terme «$\;>0\;$» et d'un 2nd «$\;<0\;$» correspond à «$\;E_{m}(t)\left\lbrace {\begin{array}{c}<\\=\\>\end{array}}\right\rbrace 0\;$» suivant la comparaison des valeurs absolues des deux termes et par suite,
Identification de la nature de la conique décrite par un point dans un champ de force newtonien attractif : de l'expression de son énergie mécanique en fonction de l'excentricité de la conique décrite par le point «$\;E_{m}(\theta )={\dfrac {-k}{2\;p}}\left[e^{2}-1\right]\;$» dans laquelle le 1er facteur étant «$\;>0\;$», nous en déduisons que
$\;e^{2}-1\;$
$\;E_{m}(\theta )\;$
Identification de la nature de la conique décrite par un point dans un champ de force newtonien attractif : comme l'énergie mécanique de $\;M\;$ dans un champ de force newtonien est conservée,
$\;e^{2}-1\;$
$\;E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{0}^{\,2}+{\dfrac {k}{r_{0}}}\;$
Identification de la nature de la conique décrite par un point dans un champ de force newtonien attractif : $\;\succ \;$si «$\;E_{m,\,0}\;$ est $\;<0\;$», $\;e^{2}\;$ est $\;<\;$ à $\;1\;$ et comme $\;e$, par définition, est $\;\geqslant 0$, nous en déduisons «$\;e<1\;$» c'est-à-dire que « la conique décrite par $\;M\;$ dans un champ de force newtonien attractif avec une énergie mécanique initiale négative est une ellipse »,
Identification de la nature de la conique décrite par un point dans un champ de force newtonien attractif : $\;\succ \;$si «$\;E_{m,\,0}\;$ est $\;=\;$ à $\;0\;$», $\;e^{2}\;$ est $\;=\;$ à $\;1\;$ et comme $\;e$, par définition, est $\;\geqslant 0$, nous en déduisons «$\;e=1\;$» c'est-à-dire que « la conique décrite par $\;M\;$ dans un champ de force newtonien attractif avec une énergie mécanique initiale nulle est une parabole »,
Identification de la nature de la conique décrite par un point dans un champ de force newtonien attractif : $\;\succ \;$si «$\;E_{m,\,0}\;$ est $\;>0\;$», $\;e^{2}\;$ est $\;>\;$ à $\;1\;$ et comme $\;e$, par définition, est $\;\geqslant 0$, nous en déduisons «$\;e>1\;$» c'est-à-dire que « la branche de conique décrite par $\;M\;$ dans un champ de force newtonien attractif avec une énergie mécanique initiale positive est une branche d'hyperbole, celle contournant le centre de force $\;O\;$».
Remarques : Les conditions sur l'énergie mécanique initiale du point matériel $\;M\;$ dans un champ de force newtonien attractif pour déterminer la nature de la conique suivie par $\;M\;$ peuvent se réécrire en conditions sur la norme du vecteur vitesse initiale de $\;M\;$ en fonction de la coordonnée radiale initiale de ce dernier selon : Remarques : $\;\succ \;$pour «$\;E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{0}^{2}+{\dfrac {k}{r_{0}}}<0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert <{\sqrt {\dfrac {-2\;k}{m\;r_{0}}}}\;$», la trajectoire est une ellipse dont $\;O\;$ est un des foyers, Remarques : $\;\succ \;$pour «$\;E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{0}^{2}+{\dfrac {k}{r_{0}}}=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert ={\sqrt {\dfrac {-2\;k}{m\;r_{0}}}}\;$», la trajectoire est une parabole dont $\;O\;$ est le foyer et Remarques : $\;\succ \;$pour «$\;E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{0}^{2}+{\dfrac {k}{r_{0}}}>0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert >{\sqrt {\dfrac {-2\;k}{m\;r_{0}}}}\;$», la trajectoire est une branche d'hyperbole dont $\;O\;$ est l'un des deux foyers, celui contourné par la branche en question.
Remarques : «$\;{\sqrt {\dfrac {-2\;k}{m\;r_{0}}}}\;$» est la vitesse minimale de lancement que doit avoir le point matériel $\;M\;$ en sa position de lancement distante de $\;r_{0}\;$ du centre de force $\;O\;$ pour que le point $\;M\;$ puisse s'arracher à l'attraction de centre $\;O$ $\;{\big$car seules une parabole et une branche d'hyperbole ont une distance maximale d'éloignement infinie${\big )}$.

## Expression de l’énergie mécanique d'un point en mouvement elliptique dans un champ de force newtonien attractif en fonction du demi grand axe de sa trajectoire

La seule exigence du programme de physique de P.C.S.I. est de généraliser l'expression de l'« énergie mécanique d'un point $\;M\;$ en mouvement circulaire dans un champ de force newtonien attractif «$\;{\vec {F}}(M)$ $={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;k<0\;$» $\;{\Big$dans lequel $\;r=OM\;$ est la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ du point matériel $\;M\;$ dans le plan $\;\left(xOy\right)\;$ de son mouvement et $\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ liée à $\;M\;$ dans $\;\left(xOy\right){\Big ]}\;$ en fonction du rayon $\;r_{0}\;$ du cercle décrit par $\;M\;$» «$\;E_{m}(r_{0})={\dfrac {k}{2\;r_{0}}}<0\;$» au cas d’un mouvement elliptique de demi-grand axe $\;a\;$ sans exiger une démonstration, mais
néanmoins la démonstration ne présentant aucune difficulté à partir de l’expression de l’énergie mécanique en fonction de l’excentricité sera exposée au paragraphe « établissement de l'énergie mécanique du point en mouvement elliptique dans un champ newtonien attractif en fonction du demi-grand axe de sa trajectoire » plus bas dans ce chapitre.

### Établissement de l’énergie mécanique du point en mouvement elliptique dans un champ de force newtonien attractif en fonction du demi grand axe de sa trajectoire

L'expression de l'énergie mécanique d'un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ dans un champ de force newtonien attractif «$\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;k<0\;$» $\;{\Big$dans lequel $\;r=OM\;$ est la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ du point matériel $\;M\;$ dans le plan $\;\left(xOy\right)\;$ de son mouvement et $\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ liée à $\;M\;$ dans $\;\left(xOy\right){\Big ]}\;$ en fonction de l'excentricité $\;e\;$ de la conique décrite par le point $\;M\;$ étant «$\;E_{m}={\dfrac {k}{2\;p}}\left[1-e^{2}\right]\;$» et
le demi-grand axe «$\;a\;$» d'une ellipse étant lié au paramètre «$\;p\;$» et à l'excentricité «$\;e\;$» de cette dernière selon «$\;p=a\left(1-e^{2}\right)\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {p}{1-e^{2}}}=a\;$»,
on en déduit aisément l'expression de l'énergie mécanique d'un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ en mouvement elliptique dans un champ de force newtonien attractif en fonction du demi-grand axe «$\;a\;$» selon
$\;E_{m}={\dfrac {k}{2\;a}}<0\;$

### Généralisation au cas d’un mouvement elliptique de l’expression de l’énergie mécanique d’un point M en mouvement circulaire dans un champ de force newtonien attractif

Nous reprenons la généralisation exposée aux paragraphes « généralisation de la 3ème loi de Kepler au cas d'un mouvement elliptique d'une planète » et « généralisation de la 3ème loi de Kepler au cas d'un mouvement elliptique d'un satellite autour de la Terre » du chap.$15$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » à partir de l'établissement de la 3ème loi de Kepler dans le cas d'un mouvement circulaire $\;{\big$généralisation dont on admet la validité pour tout mouvement de point matériel dans un champ de force newtonien attractif${\big )}\;$ consistant à remplacer le rayon $\;r_{0}\;$ de l'orbite supposée circulaire du point par le demi-grand axe $\;a\;$ de la trajectoire elliptique réellement suivie par le point
en admettant son applicabilité à l'énergie mécanique d'un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ dans un champ de force newtonien attractif «$\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;k<0\;$» $\;{\Big$dans lequel $\;r=OM\;$ est la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ du point matériel $\;M\;$ dans le plan $\;\left(xOy\right)\;$ de son mouvement et $\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ liée à $\;M\;$ dans $\;\left(xOy\right){\Big ]}\;$ pour passer d'un mouvement circulaire de rayon $\;r_{0}\;$ à un mouvement elliptique de demi-grand axe $\;a\;$ d'où
de l'expression d'énergie mécanique de $\;M\;$ en mouvement circulaire de rayon $\;r_{0}\;$ dans un champ de force newtonien attractif «$\;E_{m,\,{\text{circul}}}(r_{0})={\dfrac {k}{2\;r_{0}}}<0\;$» on déduit
celle d'énergie mécanique de $\;M\;$ en mouvement elliptique de demi-grand axe $\;a\;$ dans un champ de force newtonien attractif «$\;E_{m,\,{\text{ellipt}}}={\dfrac {k}{2\;a}}<0\;$» à retenir.

## En complément, expression de l’énergie mécanique d'un point dans un champ de force newtonien attractif en fonction du demi axe focal dans un mouvement hyperbolique

La détermination de l’expression de l’énergie mécanique d’un point matériel à mouvement hyperbolique dans un champ de force newtonien attractif en fonction du demi axe focal de la branche d'hyperbole suivie par le point n'est pas explicitement au programme de physique de P.C.S.I., elle constitue donc un complément et doit donc être retrouvée si besoin est $\;{\big$toutefois son expression est assez facile à retenir car elle a la même valeur absolue que celle obtenue pour un mouvement elliptique $\;{\big$laquelle est à retenir${\big )}\;$ en étant de signe opposé $\;\ldots {\big ]}$.
L'expression de l'énergie mécanique d'un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ dans un champ de force newtonien attractif «$\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;k<0\;$» $\;{\Big$dans lequel $\;r=OM\;$ est la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ du point matériel $\;M\;$ dans le plan $\;\left(xOy\right)\;$ de son mouvement et $\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ liée à $\;M\;$ dans $\;\left(xOy\right){\Big ]}\;$ en fonction de l'excentricité $\;e\;$ de la conique décrite par le point $\;M\;$ étant «$\;E_{m}={\dfrac {k}{2\;p}}\left[1-e^{2}\right]\;$» et
le demi axe focal «$\;a\;$» d'une hyperbole étant lié au paramètre «$\;p\;$» et à l'excentricité «$\;e\;$» de cette dernière selon «$\;p=a\left(e^{2}-1\right)\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {p}{e^{2}-1}}=a\;$»,
on en déduit aisément l'expression de l'énergie mécanique d'un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ en mouvement hyperbolique dans un champ de force newtonien attractif en fonction du demi axe focal «$\;a\;$» selon
$\;E_{m}=-{\dfrac {k}{2\;a}}={\dfrac {\vert k\vert }{2\;a}}>0\;$

## En complément, expression de l’énergie mécanique d'un point dans un champ de force newtonien répulsif en fonction du demi axe focal de la trajectoire hyperbolique

La détermination de l’expression de l’énergie mécanique d’un point matériel dans un champ de force newtonien répulsif en fonction du demi axe focal de la branche d'hyperbole nécessairement suivie par le point n'est pas explicitement au programme de physique de P.C.S.I., elle constitue donc un complément et doit donc être retrouvée si besoin est $\;{\big$toutefois son expression est assez facile à retenir car elle a la même valeur absolue que celle obtenue pour un mouvement elliptique $\;{\big$à retenir${\big )}\;$ dans un champ de force newtonien attractif $\;{\big$pour la même valeur absolue de constante $\;k{\big )}\;$ en étant de signe opposé $\;\ldots {\big ]}$.
L'expression de l'énergie mécanique d'un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ dans un champ de force newtonien répulsif «$\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;k>0\;$» $\;{\Big$dans lequel $\;r=OM\;$ est la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ du point matériel $\;M\;$ dans le plan $\;\left(xOy\right)\;$ de son mouvement et $\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ liée à $\;M\;$ dans $\;\left(xOy\right){\Big ]}\;$ en fonction de l'excentricité $\;e\;$ de la conique décrite par le point $\;M\;$ étant «$\;E_{m}={\dfrac {k}{2\;p}}\left[e^{2}-1\right]\;$» et
le demi axe focal «$\;a\;$» d'une hyperbole étant lié au paramètre «$\;p\;$» et à l'excentricité «$\;e\;$» de cette dernière selon «$\;p=a\left(e^{2}-1\right)\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {p}{e^{2}-1}}=a\;$»,
on en déduit aisément l'expression de l'énergie mécanique d'un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ dans un champ de force newtonien répulsif $\;{\bigk>0{\big )}\;$ en fonction du demi axe focal «$\;a\;$» de la branche d'hyperbole nécessairement suivie par le point selon
$\;E_{m}={\dfrac {k}{2\;a}}>0\;$

## En complément, diagramme d’énergies potentielle effective et mécanique d'un point dans un champ de force newtonien attractif, états lié ou de diffusion

Le traitement du mouvement d'un point matériel dans un champ de force newtonien attractif par diagramme d'énergies potentielle effective et mécanique n'étant pas explicite dans le programme de physique de P.C.S.I. doit donc être envisagé comme un complément de cours mais
toutes les notions introduites étant, par ailleurs, au programme, ce traitement peut être considéré comme un bon exercice sur les diagrammes d'énergies potentielle effective et mécanique $\Rightarrow$ à savoir refaire.

### Rappel de l’expression de l’énergie potentielle effective d’un point dans un champ de force newtonien attractif

Ayant rappelé l'expression de l'énergie potentielle effective d'un point matériel dans un champ de force newtonien quelconque «$\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;k\neq 0\;$» $\;{\Big$dans lequel $\;r=OM\;$ est la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ du point matériel $\;M\left(m\right)\;$ dans le plan $\;\left(xOy\right)\;$ de son mouvement et $\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ liée à $\;M\;$ dans $\;\left(xOy\right){\Big ]}\;$ dans le paragraphe « rappel : conservation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force newtonien, conséquences (utiliser la notion d'énergie potentielle effective) » plus haut dans ce chapitre «$\;U_{\text{eff}}(r)={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{\theta }^{2}+U(r)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dfrac {C^{2}}{r^{2}}}+{\dfrac {k}{r}}\;$» $\;{\big$avec $\;C\;$ la constante des aires du mouvement du point${\big )}\;$ et
sachant que le paramètre $\;p\;$ de la conique décrite par le point $\;M\;$ s'exprime, dans le cas d'un champ de force newtonien attractif $\;{\bigk<0{\big )}$, selon «$\;p={\dfrac {m\;C^{2}}{-k}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;m\;C^{2}=-k\;p\;$»,
l'expression de l'énergie potentielle effective de $\;M\;$ dans un champ de force newtonien attractif se réécrit, en fonction du paramètre $\;p\;$ de la conique suivie par $\;M$, selon «$\;U_{\text{eff}}(r)=-{\dfrac {k\;p}{2\;r^{2}}}+{\dfrac {k}{r}}\;$» ou, en mettant «$\;-{\dfrac {k\;p}{2\;r^{2}}}={\dfrac {\vert k\vert \;p}{2\;r^{2}}}\;$» $\;{\big$on rappelle que $\;k\;$ est $\;<0{\big )}\;$ en facteur
$\;U_{\text{eff}}(r)=-{\dfrac {k\;p}{2\;r^{2}}}\left(1-{\dfrac {2\;r}{p}}\right)={\dfrac {\vert k\vert \;p}{2\;r^{2}}}\left(1-{\dfrac {2\;r}{p}}\right)\;$

### Réécriture de la conservation de l’énergie mécanique d'un point dans un champ de force newtonien attractif

L'intégrale 1re énergétique d'un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ dans un champ de force newtonien quelconque «$\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;k\neq 0\;$» $\;{\Big$dans lequel $\;r=OM\;$ est la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ du point matériel $\;M\left(m\right)\;$ dans le plan $\;\left(xOy\right)\;$ de son mouvement et $\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ liée à $\;M\;$ dans $\;\left(xOy\right){\Big ]}\;$ évoquée au paragraphe « rappel : conservation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force newtonien, conséquences (utiliser la notion d'énergie potentielle effective) » plus haut dans ce chapitre, «$\;E_{m}(r)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {r}}^{2}+U_{\text{eff}}(r)=E_{m,\,0}\;$», se réécrit, dans le cas d'un champ de force newtonien attractif $\;{\bigk<0{\big )}$, selon
$\;E_{m}(r)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {r}}^{2}-{\dfrac {k\;p}{2\;r^{2}}}\left(1-{\dfrac {2\;r}{p}}\right)=E_{m,\,0}\;$
$\;-{\dfrac {k\;p}{2\;r^{2}}}\left(1-{\dfrac {2\;r}{p}}\right)={\dfrac {\vert k\vert \;p}{2\;r^{2}}}\left(1-{\dfrac {2\;r}{p}}\right)=U_{\text{eff}}(r)\;$
$\;M\;$
$\;E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {r}}_{0}^{\,2}+U_{\text{eff}}(r_{0})\;$
$\;{\bigk<0{\big )}$

### Tracé du diagramme d’énergies potentielle effective et mécanique d'un point dans un champ de force newtonien attractif

Diagramme d'énergie potentielle effective $\;{\big$voir ci-contre en noir${\big )}$ : tracé de la courbe d’énergie potentielle effective c'est-à-dire la courbe de variation de l'énergie potentielle effective $\;U_{\text{eff}}\;$ en fonction du paramètre de position $\;r$, d'équation «$\;U_{\text{eff}}(r)=-{\dfrac {k\;p}{2\;r^{2}}}\left(1-{\dfrac {2\;r}{p}}\right)=$ ${\dfrac {-k\;p}{2\;r^{2}}}+{\dfrac {k}{r}}\;$» $\;{\bigg$quand $\;r\rightarrow 0^{+}$, $\;U_{\text{eff}}(r)\sim {\dfrac {-k\;p}{2\;r^{2}}}\rightarrow +\infty$, quand $\;r\rightarrow +\infty$, $\;U_{\text{eff}}(r)\sim {\dfrac {k}{r}}\rightarrow 0^{-}$, $\;U_{\text{eff}}(r)\;$ s'annule pour $\;r={\dfrac {p}{2}}{\bigg ]}$ ; Diagramme d'énergie potentielle effective son tracé nécessite le calcul de «$\;{\dfrac {dU_{\text{eff}}}{dr}}(r)=(-2)\;{\dfrac {-k\;p}{2\;r^{3}}}-{\dfrac {k}{r^{2}}}={\dfrac {k\;p}{r^{3}}}\left(1-{\dfrac {r}{p}}\right)\;$», la recherche de son $\;{\big$ou ses${\big )}\;$ zéro(s) $\;{\big$il n'y en a qu'un seul $\;r_{1}=p{\big ]}\;$ ainsi que son signe suivant les intervalles de variation du paramètre de position $\;{\bigg \$« sur $\;\left]0\,,\,r_{1}\right[$, $\;{\dfrac {dU_{\text{eff}}}{dr}}(r)\;$ est $\;<0\;$» le 1er facteur étant $\;<0\;$ et le 2nd $\;>0\;$ alors que « sur $\;\left]r_{1}\,,\,+\infty \right[$, $\;{\dfrac {dU_{\text{eff}}}{dr}}(r)\;$ est $\;>0\;$» le 1er et le 2nd facteurs étant tous deux $\;<0{\bigg \}$ d'où «$\;U_{\text{eff}}(r)\searrow \;$ sur $\;\left]0\,,\,r_{1}\right[\;$» puis «$\;\nearrow \;$ sur $\;\left]r_{1}\,,\,+\infty \right[\;$» ; Diagramme d'énergie potentielle effective la courbe que nous appellerons par la suite $\;\left(\Gamma _{u_{\text{eff}}}\right)\;$ $\;{\big$avec pour point générique $\;P_{u_{\text{eff}}}{\big ]}\;$ admet une asymptote $\;\parallel \;$ à l'axe des énergies «$\;r_{\text{asympt}}=0\;$», coupe l'axe du paramètre de position en «$\;r={\dfrac {p}{2}}\;$», admet un minimum pour «$\;r_{1}=$ $p\;$» $\Rightarrow$ «$\;U_{\text{eff, min}}=U_{\text{eff}}(r_{1})={\dfrac {k}{2\;p}}<0\;$» et une autre asymptote $\;\parallel \;$ à l'axe du paramètre de position «$\;U_{\text{eff, asympt}}=0\;$».
Diagramme d'énergie mécanique $\;{\big$voir ci-dessus en bleu, vert ou rouge${\big )}$ : tracé de la courbe d’énergie mécanique c'est-à-dire la courbe de variation de l'énergie mécanique $\;E_{m}\;$ en fonction du paramètre de position $\;r$ ; Diagramme d'énergie mécanique il s'agit, dans chacun des trois cas considérés, d'une droite $\;\parallel \;$ à l'axe du paramètre de position, compte-tenu de la conservation de l'énergie mécanique du point matériel dans un champ de force newtonien $\;{\big$dans la suite nous appellerons $\;\left(\Gamma _{m}\right)\;$ chacune de ces trois courbes et $\;P_{m}\;$ le point générique de la courbe considérée${\big ]}$.

### Discussion suivant la valeur d’énergie mécanique initiale du point

Préliminaire : La méthode d'étude du mouvement d'un point à un paramètre de position par diagramme d’énergies potentielle et mécanique ayant été exposée en détail dans l'un des paragraphes suivants du chap.$17$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » :
Préliminaire : $\;\succ \;$« diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un point matériel en chute libre » explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. ainsi que « le cas où le point matériel est lancé vers le haut avec une vitesse initiale verticale à partir d'une position d'altitude quelconque » non explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. $\;{\big$mais sans aucune difficulté de compréhension${\big )}$,
Préliminaire : $\;\succ \;$« diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.E.H.N.A. (pendule élastique horizontal non amorti) » non explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. $\;{\big$mais particulièrement utile pour exposer la méthode${\big )}\;$ et
Préliminaire : $\;\succ \;$« diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “ 1a ” (pendule pesant simple non amorti) » ainsi que « étude d'un P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté lancé dans des C.I. “ 1b ” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique (pour déterminer à quelle condition le mouvement est oscillatoire ou révolutif) ».
Préliminaire : Ci-dessous les grandes lignes adaptées au diagramme d'énergies potentielle effective et mécanique d'un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ dans un champ de force newtonien attractif «$\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;k<0\;$» $\;{\Big$dans lequel $\;r=OM$ $\;{\big$définissant le paramètre de position de $\;M{\big )}\;$ est la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ du point matériel $\;M\left(m\right)\;$ dans le plan $\;\left(xOy\right)\;$ de son mouvement et $\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ liée à $\;M\;$ dans $\;\left(xOy\right){\Big ]}$ :
Préliminaire : Ci-dessous les grandes lignes après avoir tracé les diagrammes d'énergies potentielle effective et mécanique possibles de $\;M\;$, Préliminaire : Ci-dessous les grandes lignes on recherche les éventuels « murs d'énergie potentielle effective » correspondant aux « valeurs du paramètre de position $\;r_{\text{mur}}\;$» pour lesquelles «$\;E_{m}(r_{\text{mur}})=$ $U_{\text{eff}}(r_{\text{mur}})\;$» c'est-à-dire «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {r}}^{2}(r_{\text{mur}})=0\;$» et Préliminaire : Ci-dessous les grandes lignes on en déduit les « zones interdites » correspondant aux « domaines de paramètre de position $\;r_{\text{interdit}}\;$ répondant à $\;E_{m}(r_{\text{interdit}})<U_{\text{eff}}(x_{\text{interdit}})\;$» c'est-à-dire les zones qui nécessiteraient «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {r}}^{2}(r_{\text{interdit}})<0\;$» $\;{\bigg$dans ces zones la courbe d'énergie mécanique $\;\left(\Gamma _{m}\right)\;$ se trouve strictement au-dessous de la courbe d'énergie potentielle effective $\;\left(\Gamma _{u_{\text{eff}}}\right)$, correspondant à $\;{\overline {P_{u_{\text{eff}}}P_{m}}}\;{\widehat {=}}\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {r}}^{2}<0\;$${\bigg ]}$ $\;\ldots$
Discussion : Sur les diagrammes d'énergies potentielle effective et mécanique du point $\;M\;$ dans le champ de force newtonien attractif, on observe que l'énergie mécanique initiale de $\;M\;$ «$\;E_{m,\,0}=$ ${\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{0}^{\,2}+{\dfrac {k}{r_{0}}}\;$» $\;{\big$avec $\;{\vec {V}}_{0}\;$ vecteur vitesse initiale de $\;M\;$ et $\;r_{0}=OM_{0}$, $\;M_{0}\;$ étant la position initiale de $\;M{\big )}\;$ est nécessairement supérieure à un minimum égal à «$\;U_{\text{eff, min}}={\dfrac {k}{2\;p}}<0\;$ dans lequel $\;p={\dfrac {m\;C^{2}}{-k}}\;$ avec $\;C=V_{0}\;r_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;$» $\;{\Big\alpha _{0}\;$ étant l'angle orienté entre $\;{\overrightarrow {OM_{0}}}\;$ et $\;{\vec {V}}_{0}\;$ dans le plan $\;\left(xOy\right)\;$ du mouvement de $\;M{\Big ]}$.
Discussion : $\;\blacktriangleright \;$Si «$\;E_{m,\,0}=U_{\text{eff, min}}={\dfrac {k}{2\;p}}<0\;$» $\;{\big$courbe d'énergie mécanique en noir${\big )}$, le point matériel $\;M\;$ est dans un état lié à mouvement circulaire car «$\;r=p,\;\;\forall \;t\;$ et $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {r}}^{2}=0,\;\;\forall \;t\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dot {r}}=0,\;\;\forall \;t\;$» ; il faut, pour que ceci soit réalisé, que Discussion : $\;{\dot {r}}_{0}\;$ soit nulle c'est-à-dire que «$\;\alpha _{0}={\widehat {\left({\overrightarrow {OM_{0}}}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)}}=\pm {\dfrac {\pi }{2}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;C=\pm V_{0}\;r_{0}\;$ ainsi que $\;p={\dfrac {m\;C^{2}}{-k}}={\dfrac {m\;V_{0}^{\,2}\;r_{0}^{\,2}}{-k}}\;$» et par suite que Discussion : «$\;r_{0}=p={\dfrac {m\;V_{0}^{\,2}\;r_{0}^{\,2}}{-k}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;V_{0}={\sqrt {\dfrac {-k}{m\;r_{0}}}}\;$» correspondant effectivement à la norme du vecteur vitesse initiale nécessaire à un mouvement circulaire $\;{\big$voir le paragraphe « rappel de l'expression de la vitesse linéaire d'un point matériel en mouvement circulaire dans un champ de force newtonien attractif en fonction du rayon de la trajectoire » plus haut dans ce chapitre${\big )}$.
Discussion : $\;\blacktriangleright \;$Si «$\;E_{m,\,0}\in \left]U_{\text{eff, min}}={\dfrac {k}{2\;p}}\,,\,0\right[\;$» $\;{\big$courbe d'énergie mécanique en rouge${\big )}$, le point matériel $\;M\;$ est dans un état lié à mouvement elliptique $\;{\big$on peut affirmer que la trajectoire est une ellipse dans la mesure où il a été démontré auparavant que c'est une conique dont $\;O\;$ est le $\;{\big$un des${\big )}\;$ foyer(s)${\big ]}\;$ car on observe la présence de deux murs d’énergie potentielle effective, Discussion : celui de gauche définissant la distance minimale d’approche «$\;r_{P}\;$» et Discussion : celui de droite définissant la distance maximale d’éloignement «$\;r_{A}\;$», Discussion : celui de gauche correspondant tous deux à une fraction radiale d'énergie cinétique nulle c'est-à-dire une vitesse radiale «$\;{\dot {r}}_{P\,{\text{ou}}\,A}=0\;$» ; Discussion : les distances minimale d'approche «$\;r_{P}\;$» et maximale d'éloignement «$\;r_{A}\;$» peuvent être déterminées algébriquement comme solutions de l'équation «$\;E_{m,\,0}=U_{\text{eff}}(r)\;$ $\Leftrightarrow$ $\;E_{m,\,0}=$ ${\dfrac {-k\;p}{2\;r^{2}}}+{\dfrac {k}{r}}\;$» c'est-à-dire l'équation du 2ème degré de $\;r\;$ suivante «$\;r^{2}-{\dfrac {k}{E_{m,\,0}}}\;r+{\dfrac {k\;p}{2\;E_{m,\,0}}}=0\;$» de discriminant «$\;\Delta ={\dfrac {k^{2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}-2\;{\dfrac {k\;p}{E_{m,\,0}}}={\dfrac {k^{2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}\left(1-{\dfrac {2\;p\;E_{m,\,0}}{k}}\right)={\dfrac {k^{2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}\left(1-{\dfrac {E_{m,\,0}}{U_{\text{eff, min}}}}\right)>0\;$» $\;{\bigg$le 2ème facteur étant $\;>0\;$ car $\;U_{\text{eff, min}}<E_{m,\,0}<0\;$ $\Rightarrow$ $\;0<{\dfrac {E_{m,\,0}}{U_{\text{eff, min}}}}<1{\bigg )}\;$ d'où Discussion : l'existence de deux racines réelles distinctes toutes deux $\;>0$, le « produit des racines étant $\;{\dfrac {k\;p}{2\;E_{m,\,0}}}>0\;$» et la « somme $\;{\dfrac {k}{E_{m,\,0}}}>0\;$» ; Discussion : on en déduit «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}r_{P}={\dfrac {k}{2\;E_{m,\,0}}}-{\dfrac {1}{2}}\;{\sqrt {{\dfrac {k^{2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}\left(1-{\dfrac {E_{m,\,0}}{U_{\text{eff, min}}}}\right)}}={\dfrac {k}{2\;E_{m,\,0}}}\left[1-{\sqrt {1-{\dfrac {E_{m,\,0}}{U_{\text{eff, min}}}}}}\right]\\r_{A}={\dfrac {k}{2\;E_{m,\,0}}}+{\dfrac {1}{2}}\;{\sqrt {{\dfrac {k^{2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}\left(1-{\dfrac {E_{m,\,0}}{U_{\text{eff, min}}}}\right)}}={\dfrac {k}{2\;E_{m,\,0}}}\left[1+{\sqrt {1-{\dfrac {E_{m,\,0}}{U_{\text{eff, min}}}}}}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» ou, avec $\;U_{\text{eff, min}}={\dfrac {k}{2\;p}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {k}{2}}=p\;U_{\text{eff, min}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {k}{2\;E_{m,\,0}}}=p\;{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}$,
$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}r_{P}=p\;{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}\left[1-{\sqrt {1-{\dfrac {E_{m,\,0}}{U_{\text{eff, min}}}}}}\right]=p\left[{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}-{\sqrt {{\dfrac {U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}-{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}}}\right]<p\\r_{A}=p\;{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}\left[1+{\sqrt {1-{\dfrac {E_{m,\,0}}{U_{\text{eff, min}}}}}}\right]=p\left[{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}+{\sqrt {{\dfrac {U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}-{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}}}\right]>p\end{array}}\right\rbrace \;$
Discussion : remarques : ayant établi auparavant que la trajectoire de $\;M\;$ dans ces C.I. de lancement est une ellipse dont $\;O\;$ est un des foyers, d'équation polaire «$\;r={\dfrac {p}{1+e\;\cos(\theta -\varphi )}}\;$» $\;{\bigg$dans laquelle $\;\left(r=OM\,,\,\theta \right)\;$ sont les coordonnées polaires du repérage de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ du point matériel $\;M\;$ du plan $\;\left(xOy\right)\;$ contenant son mouvement, $\;p={\dfrac {m\;C^{2}}{-k}}\;$ le paramètre de l'ellipse, $\;e\;$ l'excentricité de cette dernière et $\;\varphi \;$ l'angle que fait l'axe focal avec l'axe polaire $\;{\overrightarrow {Ox}}$ $\;{\big$ces deux dernières constantes restant à déterminer par C.I.${\big )}{\bigg ]}\;$ nous en déduisons Discussion : remarques : $\;r_{P}={\dfrac {p}{1+e}}=p\left[{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}-{\sqrt {{\dfrac {U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}-{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}}}\right]\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {1}{1+e}}={\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}-{\sqrt {{\dfrac {U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}-{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}}}\;$» d'où «$\;e={\dfrac {1}{{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}-{\sqrt {{\dfrac {U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}-{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}}}}}-1=$ ${\dfrac {{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}+{\sqrt {{\dfrac {U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}-{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}}}}{{\dfrac {U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}-\left[{\dfrac {U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}-{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}\right]}}-1={\dfrac {E_{m,\,0}}{U_{\text{eff, min}}}}\left[{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}+{\sqrt {{\dfrac {U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}-{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}}}\right]-1\;$» ou, après simplification évidente, «$\;e={\sqrt {1-{\dfrac {E_{m,\,0}}{U_{\text{eff, min}}}}}}\;$» ainsi que Discussion : remarques : $\;r_{A}={\dfrac {p}{1-e}}=p\left[{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}+{\sqrt {{\dfrac {U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}-{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}}}\right]\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {1}{1-e}}={\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}+{\sqrt {{\dfrac {U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}-{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}}}\;$» d'où «$\;e=1-{\dfrac {1}{{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}+{\sqrt {{\dfrac {U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}-{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}}}}}=$ $1-{\dfrac {{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}-{\sqrt {{\dfrac {U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}-{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}}}}{{\dfrac {U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}-\left[{\dfrac {U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}-{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}\right]}}=1-{\dfrac {E_{m,\,0}}{U_{\text{eff, min}}}}\left[{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}-{\sqrt {{\dfrac {U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}-{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}}}\right]\;$» ou, après simplification évidente, la même expression de l'excentricité «$\;e={\sqrt {1-{\dfrac {E_{m,\,0}}{U_{\text{eff, min}}}}}}\;$» et Discussion : remarques : le demi-grand axe $\;a\;$ de l'ellipse grâce à «$\;2\;a=r_{P}+r_{A}=2\;p\;{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;a=p\;{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}\;$» ou, avec $\;U_{\text{eff, min}}={\dfrac {k}{2\;p}}\;$ $\Rightarrow$ $\;p\;U_{\text{eff, min}}={\dfrac {k}{2}}$, «$\;a={\dfrac {k}{2\;E_{m,\,0}}}\;$» en accord avec l'« établissement de l'énergie mécanique du point en mouvement elliptique dans un champ de force newtonien attractif en fonction du demi-grand axe de sa trajectoire » plus haut dans ce chapitre, à savoir, «$\;E_{m}={\dfrac {k}{2\;a}}\;$».
Discussion : $\;\blacktriangleright \;$Si «$\;E_{m,\,0}=0\;$» $\;{\big$courbe d'énergie mécanique en vert${\big )}$, le point matériel $\;M\;$ est dans un état de diffusion critique car on observe la présence d'un seul mur d'énergie potentielle effective dont l'abscisse définit la distance minimale d'approche «$\;r_{P}={\dfrac {p}{2}}\;$» ; Discussion : ayant établi auparavant que la trajectoire de $\;M\;$ dans ces C.I. de lancement est une parabole de foyer $\;O$, d'équation polaire «$\;r={\dfrac {p}{1+\cos(\theta -\varphi )}}\;$» $\;{\bigg$dans laquelle $\;\left(r=OM\,,\,\theta \right)\;$ sont les coordonnées polaires du repérage de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ du point matériel $\;M\;$ du plan $\;\left(xOy\right)\;$ contenant son mouvement, $\;p={\dfrac {m\;C^{2}}{-k}}\;$ le paramètre de la parabole et $\;\varphi \;$ l'angle que fait l'axe focal avec l'axe polaire $\;{\overrightarrow {Ox}}$ $\;{\big$cette dernière constante restant à déterminer par C.I.${\big )}{\bigg ]}\;$ nous vérifions que le sommet de la parabole décrite par $\;M\;$ a pour coordonnée radiale «$\;r(\theta =\varphi )={\dfrac {p}{2}}\;$» en accord avec la distance minimale d'approche «$\;r_{P}={\dfrac {p}{2}}\;$» précédemment trouvée par diagramme énergétique.
Discussion : $\;\blacktriangleright \;$Si «$\;E_{m,\,0}\in \left]0\,,\,+\infty \right[\;$» $\;{\big$courbe d'énergie mécanique en bleu${\big )}$, le point matériel $\;M\;$ est dans un état de diffusion à mouvement hyperbolique $\;{\big$on peut affirmer que la trajectoire est une branche d'hyperbole dans la mesure où il a été démontré auparavant que c'est une conique dont $\;O\;$ est le $\;{\big$un des${\big )}\;$ foyer(s)${\big ]}\;$ car on observe Discussion : d'une part la présence d'un seul mur d'énergie potentielle effective d'abscisse définissant la distance minimale d'approche «$\;r_{P}<{\dfrac {p}{2}}\;$» laquelle correspond à une fraction radiale d'énergie cinétique nulle c'est-à-dire une vitesse radiale «$\;{\dot {r}}_{P}=0\;$» et Discussion : d'autre part l'existence d'une « vitesse radiale résiduelle à l'infini $\;{\dot {r}}_{\infty }>0\;$ telle que $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {r}}_{\infty }^{\,2}=E_{m,\,0}\;$» ; Discussion : la distance minimale d'approche «$\;r_{P}\;$» peut être déterminée algébriquement comme solution positive de l'équation «$\;E_{m,\,0}=U_{\text{eff}}(r)\;$ $\Leftrightarrow$ $\;E_{m,\,0}=$ ${\dfrac {-k\;p}{2\;r^{2}}}+{\dfrac {k}{r}}\;$» c'est-à-dire l'équation du 2ème degré de $\;r\;$ suivante «$\;r^{2}-{\dfrac {k}{E_{m,\,0}}}\;r+{\dfrac {k\;p}{2\;E_{m,\,0}}}=0\;$» de discriminant «$\;\Delta ={\dfrac {k^{2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}-2\;{\dfrac {k\;p}{E_{m,\,0}}}={\dfrac {k^{2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}\left(1-{\dfrac {2\;p\;E_{m,\,0}}{k}}\right)={\dfrac {k^{2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}\left(1-{\dfrac {E_{m,\,0}}{U_{\text{eff, min}}}}\right)>0\;$» $\;{\bigg$le 2ème facteur étant $\;>0\;$ car $\;U_{\text{eff, min}}<0\;$ et $\;E_{m,\,0}>0\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {E_{m,\,0}}{U_{\text{eff, min}}}}<0{\bigg )}\;$ d'où Discussion : l'existence de deux racines réelles distinctes dont une seule est $\;>0$, le « produit des racines étant $\;{\dfrac {k\;p}{2\;E_{m,\,0}}}<0\;$» ; Discussion : on en déduit «$\;r_{P}={\dfrac {k}{2\;E_{m,\,0}}}+{\dfrac {1}{2}}\;{\sqrt {{\dfrac {k^{2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}\left(1-{\dfrac {E_{m,\,0}}{U_{\text{eff, min}}}}\right)}}={\dfrac {k}{2\;E_{m,\,0}}}\left[1-{\sqrt {1-{\dfrac {E_{m,\,0}}{U_{\text{eff, min}}}}}}\right]\;$» ou, avec $\;U_{\text{eff, min}}={\dfrac {k}{2\;p}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {k}{2}}=p\;U_{\text{eff, min}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {k}{2\;E_{m,\,0}}}=p\;{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}$, «$\;r_{P}$ $=p\;{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}\left[1-{\sqrt {1-{\dfrac {E_{m,\,0}}{U_{\text{eff, min}}}}}}\right]=p\left[{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}+{\sqrt {{\dfrac {U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}-{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}}}\right]=p\left[{\dfrac {-\vert U_{\text{eff, min}}\vert }{E_{m,\,0}}}+{\sqrt {{\dfrac {U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}+{\dfrac {\vert U_{\text{eff, min}}\vert }{E_{m,\,0}}}}}\right]<{\dfrac {p}{2}}\;$» ; Discussion : remarques : ayant établi auparavant que la trajectoire de $\;M\;$ dans ces C.I. de lancement est une branche d'hyperbole dont $\;O\;$ est un des foyers, celui contourné par la branche, d'équation polaire «$\;r={\dfrac {p}{1+e\;\cos(\theta -\varphi )}}\;$» $\;{\bigg$dans laquelle $\;\left(r=OM\,,\,\theta \right)\;$ sont les coordonnées polaires du repérage de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ du point matériel $\;M\;$ du plan $\;\left(xOy\right)\;$ contenant son mouvement, $\;p={\dfrac {m\;C^{2}}{-k}}\;$ le paramètre de l'hyperbole, $\;e\;$ l'excentricité de cette dernière et $\;\varphi \;$ l'angle que fait l'axe focal avec l'axe polaire $\;{\overrightarrow {Ox}}$ $\;{\big$ces deux dernières constantes restant à déterminer par C.I.${\big )}{\bigg ]}\;$ nous en déduisons Discussion : remarques : $\;r_{P}={\dfrac {p}{1+e}}=p\left[{\dfrac {-\vert U_{\text{eff, min}}\vert }{E_{m,\,0}}}+{\sqrt {{\dfrac {U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}+{\dfrac {\vert U_{\text{eff, min}}\vert }{E_{m,\,0}}}}}\right]\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {1}{1+e}}={\dfrac {-\vert U_{\text{eff, min}}\vert }{E_{m,\,0}}}+{\sqrt {{\dfrac {U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}+{\dfrac {\vert U_{\text{eff, min}}\vert }{E_{m,\,0}}}}}\;$» d'où l'expression de l'excentricité de l'hyperbole «$\;e=$ ${\dfrac {1}{{\dfrac {-\vert U_{\text{eff, min}}\vert }{E_{m,\,0}}}+{\sqrt {{\dfrac {U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}+{\dfrac {\vert U_{\text{eff, min}}\vert }{E_{m,\,0}}}}}}}-1={\dfrac {{\dfrac {\vert U_{\text{eff, min}}\vert }{E_{m,\,0}}}+{\sqrt {{\dfrac {U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}+{\dfrac {\vert U_{\text{eff, min}}\vert }{E_{m,\,0}}}}}}{-{\dfrac {\vert U_{\text{eff, min}}\vert ^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}+\left[{\dfrac {U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}+{\dfrac {\vert U_{\text{eff, min}}\vert }{E_{m,\,0}}}\right]}}-1={\dfrac {E_{m,\,0}}{\vert U_{\text{eff, min}}\vert }}\left[{\dfrac {\vert U_{\text{eff, min}}\vert }{E_{m,\,0}}}+{\sqrt {{\dfrac {U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}+{\dfrac {\vert U_{\text{eff, min}}\vert }{E_{m,\,0}}}}}\right]-1\;$» ou, après simplification évidente, «$\;e=$ ${\sqrt {1+{\dfrac {E_{m,\,0}}{\vert U_{\text{eff, min}}\vert }}}}\;$» et Discussion : remarques : le demi axe focal $\;a\;$ de l'hyperbole grâce à «$\;a={\dfrac {p}{e^{2}-1}}\;$» ou, en utilisant $\;e={\sqrt {1+{\dfrac {E_{m,\,0}}{\vert U_{\text{eff, min}}\vert }}}}$, «$\;a={\dfrac {p}{\dfrac {E_{m,\,0}}{\vert U_{\text{eff, min}}\vert }}}=p\;{\dfrac {\vert U_{\text{eff, min}}\vert }{E_{m,\,0}}}\;$» ou, avec $\;U_{\text{eff, min}}={\dfrac {k}{2\;p}}\;$ $\Rightarrow$ $\;p\;\vert U_{\text{eff, min}}\vert ={\dfrac {\vert k\vert }{2}}$, «$\;a={\dfrac {\vert k\vert }{2\;E_{m,\,0}}}={\dfrac {-k}{2\;E_{m,\,0}}}\;$» en accord avec le « complément, expression de l'énergie mécanique d'un point dans un champ de force newtonien attractif en fonction du demi axe focal dans un mouvement hyperbolique » plus haut dans ce chapitre, à savoir, «$\;E_{m}={\dfrac {-k}{2\;a}}={\dfrac {\vert k\vert }{2\;a}}\;$».

## En complément, diagramme d’énergies potentielle effective et mécanique d'un point dans un champ de force newtonien répulsif, état de diffusion

Le traitement du mouvement d'un point matériel dans un champ de force newtonien répulsif par diagramme d'énergies potentielle effective et mécanique n'étant pas explicite dans le programme de physique de P.C.S.I. doit donc être envisagé comme un complément de cours mais
toutes les notions introduites étant, par ailleurs, au programme, ce traitement peut être considéré comme un bon exercice sur les diagrammes d'énergies potentielle effective et mécanique $\Rightarrow$ à savoir refaire.

### Rappel de l’expression de l’énergie potentielle effective d’un point dans un champ de force newtonien répulsif

Ayant rappelé l'expression de l'énergie potentielle effective d'un point matériel dans un champ de force newtonien quelconque «$\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;k\neq 0\;$» $\;{\Big$dans lequel $\;r=OM\;$ est la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ du point matériel $\;M\left(m\right)\;$ dans le plan $\;\left(xOy\right)\;$ de son mouvement et $\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ liée à $\;M\;$ dans $\;\left(xOy\right){\Big ]}\;$ dans le paragraphe « rappel : conservation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force newtonien, conséquences (utiliser la notion d'énergie potentielle effective) » plus haut dans ce chapitre «$\;U_{\text{eff}}(r)={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{\theta }^{2}+U(r)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dfrac {C^{2}}{r^{2}}}+{\dfrac {k}{r}}\;$» $\;{\big$avec $\;C\;$ la constante des aires du mouvement du point${\big )}\;$ et
sachant que le paramètre $\;p\;$ de la conique décrite par le point $\;M\;$ s'exprime, dans le cas d'un champ de force newtonien répulsif $\;{\bigk>0{\big )}$, selon «$\;p={\dfrac {m\;C^{2}}{k}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;m\;C^{2}=k\;p\;$»,
l'expression de l'énergie potentielle effective de $\;M\;$ dans un champ de force newtonien répulsif $\;{\big$k > 0\big)\;</math> se réécrit, en fonction du paramètre $\;p\;$ de la conique suivie par $\;M$, selon «$\;U_{\text{eff}}(r)=$ ${\dfrac {k\;p}{2\;r^{2}}}+{\dfrac {k}{r}}\;$» ou, en mettant «$\;{\dfrac {k\;p}{2\;r^{2}}}\;$» en facteur
$\;U_{\text{eff}}(r)={\dfrac {k\;p}{2\;r^{2}}}\left(1+{\dfrac {2\;r}{p}}\right)\;$

### Réécriture de la conservation de l’énergie mécanique d'un point dans un champ de force newtonien répulsif

L'intégrale 1re énergétique d'un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ dans un champ de force newtonien quelconque «$\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;k\neq 0\;$» $\;{\Big$dans lequel $\;r=OM\;$ est la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ du point matériel $\;M\left(m\right)\;$ dans le plan $\;\left(xOy\right)\;$ de son mouvement et $\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ liée à $\;M\;$ dans $\;\left(xOy\right){\Big ]}\;$ évoquée au paragraphe « rappel : conservation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force newtonien, conséquences (utiliser la notion d'énergie potentielle effective) » plus haut dans ce chapitre, «$\;E_{m}(r)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {r}}^{2}+U_{\text{eff}}(r)=E_{m,\,0}\;$», se réécrit, dans le cas d'un champ de force newtonien répulsif $\;{\bigk>0{\big )}$, selon
$\;E_{m}(r)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {r}}^{2}+{\dfrac {k\;p}{2\;r^{2}}}\left(1+{\dfrac {2\;r}{p}}\right)=E_{m,\,0}\;$
$\;{\dfrac {k\;p}{2\;r^{2}}}\left(1+{\dfrac {2\;r}{p}}\right)=U_{\text{eff}}(r)\;$
$\;M\;$
$\;E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {r}}_{0}^{\,2}+U_{\text{eff}}(r_{0})\;$
$\;{\bigk>0{\big )}$

### Tracé du diagramme d’énergies potentielle effective et mécanique d'un point dans un champ de force newtonien répulsif

Diagramme d'énergie potentielle effective $\;{\big$voir ci-contre en noir${\big )}$ : tracé de la courbe d’énergie potentielle effective c'est-à-dire la courbe de variation de l'énergie potentielle effective $\;U_{\text{eff}}\;$ en fonction du paramètre de position $\;r$, d'équation «$\;U_{\text{eff}}(r)={\dfrac {k\;p}{2\;r^{2}}}\left(1+{\dfrac {2\;r}{p}}\right)=$ ${\dfrac {k\;p}{2\;r^{2}}}+{\dfrac {k}{r}}\;$» $\;{\bigg$quand $\;r\rightarrow 0^{+}$, $\;U_{\text{eff}}(r)\sim {\dfrac {k\;p}{2\;r^{2}}}\rightarrow +\infty$, quand $\;r\rightarrow +\infty$, $\;U_{\text{eff}}(r)\sim {\dfrac {k}{r}}\rightarrow 0^{+}$, $\;U_{\text{eff}}(r)\;$ ne s'annule jamais${\bigg ]}$ ; Diagramme d'énergie potentielle effective son tracé nécessite le calcul de «$\;{\dfrac {dU_{\text{eff}}}{dr}}(r)=(-2)\;{\dfrac {k\;p}{2\;r^{3}}}-{\dfrac {k}{r^{2}}}=-{\dfrac {k\;p}{r^{3}}}\left(1+{\dfrac {r}{p}}\right)\;$», la recherche de son $\;{\big$ou ses${\big )}\;$ zéro(s) $\;{\big$il n'y en a aucun${\big ]}\;$ ainsi que son signe suivant les intervalles de variation du paramètre de position $\;{\bigg \$« sur $\;\left]0\,,\,+\infty \right[$, $\;{\dfrac {dU_{\text{eff}}}{dr}}(r)\;$ est $\;<0\;$»${\bigg \}$ d'où «$\;U_{\text{eff}}(r)\searrow \;$ sur $\;\left]0\,,\,+\infty \right[\;$» ; Diagramme d'énergie potentielle effective la courbe que nous appellerons par la suite $\;\left(\Gamma _{u_{\text{eff}}}\right)\;$ $\;{\big$avec pour point générique $\;P_{u_{\text{eff}}}{\big ]}\;$ admet une asymptote $\;\parallel \;$ à l'axe des énergies «$\;r_{\text{asympt}}=0\;$» et une autre asymptote $\;\parallel \;$ à l'axe du paramètre de position «$\;U_{\text{eff, asympt}}=0\;$» en restant au-dessus de cette dernière.
Diagramme d'énergie mécanique $\;{\big$voir ci-contre en rouge${\big )}$ : tracé de la courbe d’énergie mécanique c'est-à-dire la courbe de variation de l'énergie mécanique $\;E_{m}\;$ en fonction du paramètre de position $\;r$ ; Diagramme d'énergie mécanique il s'agit d'une droite $\;\parallel \;$ à l'axe du paramètre de position, compte-tenu de la conservation de l'énergie mécanique du point matériel dans un champ de force newtonien $\;{\big$dans la suite nous appellerons $\;\left(\Gamma _{m}\right)\;$ cette courbe et $\;P_{m}\;$ le point générique de cette dernière${\big ]}$.

### Commentaire du diagramme

Préliminaire : La méthode d'étude du mouvement d'un point à un paramètre de position par diagramme d’énergies potentielle et mécanique ayant été exposée en détail dans l'un des paragraphes du chap.$17$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » rappelés plus haut dans ce chapitre au paragraphe « diagramme d’énergies potentielle effective et mécanique d'un point dans un champ de force newtonien attractif, états lié ou de diffusion, discussion suivant la valeur d'énergie mécanique initiale du point (préliminaire) », nous précisons ci-dessous Préliminaire : les grandes lignes adaptées au diagramme d'énergies potentielle effective et mécanique d'un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ dans un champ de force newtonien répulsif «$\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;k>0\;$» $\;{\Big$dans lequel $\;r=OM$ $\;{\big$définissant le paramètre de position de $\;M{\big )}\;$ est la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ du point matériel $\;M\left(m\right)\;$ dans le plan $\;\left(xOy\right)\;$ de son mouvement et $\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ liée à $\;M\;$ dans $\;\left(xOy\right){\Big ]}$ :
Préliminaire : les grandes lignes après avoir tracé les diagrammes d'énergies potentielle effective et mécanique possibles de $\;M\;$, Préliminaire : les grandes lignes on recherche les éventuels « murs d'énergie potentielle effective » correspondant aux « valeurs du paramètre de position $\;r_{\text{mur}}\;$» telles que «$\;E_{m}(r_{\text{mur}})=U_{\text{eff}}(r_{\text{mur}})\;$» c'est-à-dire «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {r}}^{2}(r_{\text{mur}})=0\;$» et Préliminaire : les grandes lignes on en déduit les « zones interdites » correspondant aux « domaines de paramètre de position $\;r_{\text{interdit}}\;$ répondant à $\;E_{m}(r_{\text{interdit}})<U_{\text{eff}}(x_{\text{interdit}})\;$» c'est-à-dire les zones qui nécessiteraient «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {r}}^{2}(r_{\text{interdit}})<0\;$» $\;{\bigg$dans ces zones la courbe d'énergie mécanique $\;\left(\Gamma _{m}\right)\;$ se trouve strictement au-dessous de la courbe d'énergie potentielle effective $\;\left(\Gamma _{u_{\text{eff}}}\right)$, correspondant à $\;{\overline {P_{u_{\text{eff}}}P_{m}}}\;{\widehat {=}}\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {r}}^{2}<0\;$${\bigg ]}$ $\;\ldots$
Commentaire du diagramme : L'énergie mécanique initiale du point $\;M\;$ dans le champ de force newtonien répulsif $\;{\bigk>0{\big )}\;$ «$\;E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{0}^{\,2}+{\dfrac {k}{r_{0}}}\;$» $\;{\big$avec $\;{\vec {V}}_{0}\;$ vecteur vitesse initiale de $\;M\;$ et $\;r_{0}=OM_{0}$, $\;M_{0}\;$ étant la position initiale de $\;M{\big )}\;$ étant la somme de deux termes $\;>0\;$ « est nécessairement $\;>0\;$» $\;{\big$ce qu'on vérifie effectivement sur le diagramme d'énergies potentielle effective et mécanique du point $\;M\;$ dans le champ de force newtonien répulsif${\big )}$ ;
Commentaire du diagramme : sur ce diagramme on constate que le point matériel $\;M\;$ est dans un état de diffusion à mouvement hyperbolique $\;{\big$on peut affirmer que la trajectoire est une branche d'hyperbole dans la mesure où il a été démontré auparavant que c'est une conique dont $\;O\;$ est le $\;{\big$un des${\big )}\;$ foyer(s)${\big ]}\;$ car on observe Commentaire du diagramme : d'une part la présence d'un seul mur d'énergie potentielle effective d'abscisse définissant la distance minimale d'approche «$\;r_{P}\;$» laquelle correspond à une fraction radiale d'énergie cinétique nulle c'est-à-dire une vitesse radiale «$\;{\dot {r}}_{P}=0\;$» et Commentaire du diagramme : d'autre part l'existence d'une « vitesse radiale résiduelle à l'infini $\;{\dot {r}}_{\infty }>0\;$ telle que $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {r}}_{\infty }^{\,2}=E_{m,\,0}\;$» ; Commentaire du diagramme : la distance minimale d'approche «$\;r_{P}\;$» peut être déterminée algébriquement comme solution positive de l'équation «$\;E_{m,\,0}=U_{\text{eff}}(r)\;$ $\Leftrightarrow$ $\;E_{m,\,0}=$ ${\dfrac {k\;p}{2\;r^{2}}}+{\dfrac {k}{r}}\;$» c'est-à-dire l'équation du 2ème degré de $\;r\;$ suivante «$\;r^{2}-{\dfrac {k}{E_{m,\,0}}}\;r-{\dfrac {k\;p}{2\;E_{m,\,0}}}=0\;$» de discriminant «$\;\Delta ={\dfrac {k^{2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}+2\;{\dfrac {k\;p}{E_{m,\,0}}}={\dfrac {k^{2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}\left(1+{\dfrac {2\;p\;E_{m,\,0}}{k}}\right)>0\;$» $\;{\big$le 2ème facteur étant $\;>0\;$ car $\;k>0\;$ et $\;E_{m,\,0}>0{\big )}\;$ d'où l'existence de deux racines réelles distinctes dont une seule est $\;>0$, le « produit des racines étant $\;-{\dfrac {k\;p}{2\;E_{m,\,0}}}<0\;$» ; Commentaire du diagramme : on en déduit «$\;r_{P}={\dfrac {k}{2\;E_{m,\,0}}}+{\dfrac {1}{2}}\;{\sqrt {{\dfrac {k^{2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}\left(1+{\dfrac {2\;p\;E_{m,\,0}}{k}}\right)}}={\dfrac {k}{2\;E_{m,\,0}}}\left[1+{\sqrt {1+{\dfrac {2\;p\;E_{m,\,0}}{k}}}}\right]\;$» ou, en introduisant l'« énergie potentielle effective pour la valeur de paramètre de position particulière $\;p\;$ égale à $\;U_{\text{eff}}(p)={\dfrac {3\;k}{2\;p}}\;$» $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {k}{2}}=p\;{\dfrac {U_{\text{eff}}(p)}{3}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {k}{2\;E_{m,\,0}}}=p\;{\dfrac {U_{\text{eff}}(p)}{3\;E_{m,\,0}}}$, «$\;r_{P}=p\;{\dfrac {U_{\text{eff}}(p)}{3\;E_{m,\,0}}}\left[1+{\sqrt {1+{\dfrac {p}{\dfrac {k}{2\;E_{m,\,0}}}}}}\right]=p\;{\dfrac {U_{\text{eff}}(p)}{3\;E_{m,\,0}}}\left[1+{\sqrt {1+{\dfrac {3\;E_{m,\,0}}{U_{\text{eff}}(p)}}}}\right]\;$» soit
$\;r_{P}=p\left[{\dfrac {U_{\text{eff}}(p)}{3\;E_{m,\,0}}}+{\sqrt {{\dfrac {U_{\text{eff}}^{\,2}(p)}{9\;E_{m,\,0}^{\,2}}}+{\dfrac {U_{\text{eff}}(p)}{3\;E_{m,\,0}}}}}\right]\;$
Commentaire du diagramme : graphiquement, sur le « diagramme d'énergies potentielle effective et mécanique du point M dans le champ de force newtonien répulsif » représenté plus haut dans ce chapitre avec $\;E_{m,\,0}=3\;U_{\text{eff}}(p)\;$ on trouve graphiquement «$\;r_{P}\simeq 0,5\;p\;$» et algébriquement «$\;r_{P}=p\times \left[{\dfrac {1}{9}}+{\sqrt {{\dfrac {1}{81}}+{\dfrac {1}{9}}}}\right]\simeq 0,4625\;p\;$» ; Commentaire du diagramme : remarques : ayant établi auparavant que la trajectoire de $\;M\;$ dans un champ de force newtonien répulsif est une branche d'hyperbole dont $\;O\;$ est un des foyers, celui non contourné par la branche, d'équation polaire «$\;r={\dfrac {-p}{1-e\;\cos(\theta -\varphi )}}={\dfrac {p}{e\;\cos(\theta -\varphi )-1}}\;$» $\;{\bigg$dans laquelle $\;\left(r=OM\,,\,\theta \right)\;$ sont les coordonnées polaires du repérage de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ du point matériel $\;M\;$ du plan $\;\left(xOy\right)\;$ contenant son mouvement, $\;p={\dfrac {m\;C^{2}}{k}}\;$ le paramètre de l'hyperbole, $\;e\;$ l'excentricité de cette dernière et $\;\varphi \;$ l'angle que fait l'axe focal avec l'axe polaire $\;{\overrightarrow {Ox}}$ $\;{\big$ces deux dernières constantes restant à déterminer par C.I.${\big )}{\bigg ]}\;$ nous en déduisons Commentaire du diagramme : remarques : $\;r_{P}={\dfrac {p}{e-1}}=p\left[{\dfrac {U_{\text{eff}}(p)}{3\;E_{m,\,0}}}+{\sqrt {{\dfrac {U_{\text{eff}}^{\,2}(p)}{9\;E_{m,\,0}^{\,2}}}+{\dfrac {U_{\text{eff}}(p)}{3\;E_{m,\,0}}}}}\right]\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {1}{e-1}}={\dfrac {U_{\text{eff}}(p)}{3\;E_{m,\,0}}}+{\sqrt {{\dfrac {U_{\text{eff}}^{\,2}(p)}{9\;E_{m,\,0}^{\,2}}}+{\dfrac {U_{\text{eff}}(p)}{3\;E_{m,\,0}}}}}\;$» d'où l'expression de l'excentricité de l'hyperbole «$\;e=$ ${\dfrac {1}{{\dfrac {U_{\text{eff}}(p)}{3\;E_{m,\,0}}}+{\sqrt {{\dfrac {U_{\text{eff}}^{\,2}(p)}{9\;E_{m,\,0}^{\,2}}}+{\dfrac {U_{\text{eff}}(p)}{3\;E_{m,\,0}}}}}}}+1={\dfrac {-{\dfrac {U_{\text{eff}}(p)}{3\;E_{m,\,0}}}+{\sqrt {{\dfrac {U_{\text{eff}}^{\,2}(p)}{9\;E_{m,\,0}^{\,2}}}+{\dfrac {U_{\text{eff}}(p)}{3\;E_{m,\,0}}}}}}{-{\dfrac {U_{\text{eff}}^{\,2}(p)}{9\;E_{m,\,0}^{\,2}}}+\left[{\dfrac {U_{\text{eff}}^{\,2}(p)}{9\;E_{m,\,0}^{\,2}}}+{\dfrac {U_{\text{eff}}(p)}{3\;E_{m,\,0}}}\right]}}+1={\dfrac {3\;E_{m,\,0}}{U_{\text{eff}}(p)}}\left[-{\dfrac {U_{\text{eff}}(p)}{3\;E_{m,\,0}}}+{\sqrt {{\dfrac {U_{\text{eff}}^{\,2}(p)}{9\;E_{m,\,0}^{\,2}}}+{\dfrac {U_{\text{eff}}(p)}{3\;E_{m,\,0}}}}}\right]+1\;$» ou, après simplification évidente, «$\;e=$ ${\sqrt {1+{\dfrac {3\;E_{m,\,0}}{U_{\text{eff}}(p)}}}}\;$» $\;{\bigg$sur le « diagramme d'énergies potentielle effective et mécanique du point M dans le champ de force newtonien répulsif » représenté plus haut dans ce chapitre avec $\;E_{m,\,0}=3\;U_{\text{eff}}(p)\;$ on trouve une excentricité d'hyperbole «$\;e={\sqrt {1+9}}={\sqrt {10}}\simeq 3,16\;$»${\bigg ]}\;$ et Commentaire du diagramme : remarques : le demi axe focal $\;a\;$ de l'hyperbole grâce à «$\;a={\dfrac {p}{e^{2}-1}}\;$» ou, en utilisant $\;e={\sqrt {1+{\dfrac {3\;E_{m,\,0}}{U_{\text{eff}}(p)}}}}$, «$\;a={\dfrac {p}{\dfrac {3\;E_{m,\,0}}{U_{\text{eff}}(p)}}}=p\;{\dfrac {U_{\text{eff}}(p)}{3\;E_{m,\,0}}}\;$» ou, avec $\;U_{\text{eff}}(p)=$ ${\dfrac {3\;k}{2\;p}}\;$ $\Rightarrow$ $\;p\;U_{\text{eff}}(p)={\dfrac {3\;k}{2}}$, «$\;a={\dfrac {k}{2\;E_{m,\,0}}}\;$» en accord avec le « complément, expression de l'énergie mécanique d'un point dans un champ de force newtonien répulsif en fonction du demi axe focal dans la trajectoire hyperbolique » plus haut dans ce chapitre, à savoir, «$\;E_{m}={\dfrac {k}{2\;a}}\;$».

## En exercice, détermination de la loi horaire donnant l’abscisse angulaire « θ » d'un point M lors de la diffusion critique de ce dernier dans un champ de force newtonien attractif

La détermination de la loi horaire donnant l’abscisse angulaire «$\;\theta \;$» d'un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ lors de la diffusion critique de ce dernier dans un champ de force newtonien attractif «$\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;k<0\;$» en fonction du temps $\;t$ $\;{\Bigr=OM\;$ étant la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ du point $\;M\;$ dans le plan $\;\left(xOy\right)\;$ de son mouvement et $\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ liée à $\;M\;$ dans $\;\left(xOy\right){\Big ]}\;$ est un exercice très classique à savoir traité, la diffusion critique correspondant à une trajectoire parabolique de $\;M\;$ dans le plan de son mouvement, d'équation polaire «$\;r={\dfrac {p}{1+\cos(\theta -\varphi )}}\;$» $\;{\bigg$dans laquelle $\;p={\dfrac {m\;C^{2}}{-k}}\;$ est le paramètre de la parabole et $\;\varphi \;$ l'angle que fait l'axe focal avec l'axe polaire $\;{\overrightarrow {Ox}}$ $\;{\big$cette dernière constante restant à déterminer par C.I.${\big )}{\bigg ]}\;$ ;
on exprime « la vitesse angulaire $\;{\dot {\theta }}\;$ de $\;M\;$» en fonction de «$\;r$, la distance le séparant du foyer $\;O\;$» par utilisation de la loi des aires «$\;r^{2}\;{\dot {\theta }}=C\;$» soit «$\;{\dot {\theta }}={\dfrac {C}{r^{2}}}\;$» et,
en utilisant l’équation polaire de la trajectoire de $\;M\;$ rappelée ci-dessus «$\;r={\dfrac {p}{1+\cos(\theta -\varphi )}}\;$», on en déduit « la vitesse angulaire $\;{\dot {\theta }}\;$ de $\;M\;$» en fonction de «$\;\theta \;$ l'abscisse angulaire du point » soit «$\;{\dot {\theta }}=$ ${\dfrac {C}{p^{2}}}\;\left[1+\cos(\theta -\varphi )\right]^{2}\;$» ou encore, en passant en angle moitié, «$\;{\dot {\theta }}={\dfrac {4\;C}{p^{2}}}\;\cos ^{4}\!\left({\dfrac {\theta -\varphi }{2}}\right)\;$» c'est-à-dire une équation différentielle non linéaire du 1er ordre en $\;\theta (t)\;$ dont la méthode d'intégration consiste à séparer les variables ;
on intègre donc «$\;{\dfrac {d\theta }{dt}}={\dfrac {4\;C}{p^{2}}}\;\cos ^{4}\!\left({\dfrac {\theta -\varphi }{2}}\right)\;$» en séparant les variables selon «$\;{\dfrac {d\theta }{\cos ^{4}\!\left({\dfrac {\theta -\varphi }{2}}\right)}}={\dfrac {4\;C}{p^{2}}}\;dt\;$» et, on intègre donc en remarquant que «$\;{\dfrac {d\beta }{\cos ^{4}(\beta )}}={\dfrac {1}{\cos ^{2}(\beta )}}\;{\dfrac {d\beta }{\cos ^{2}(\beta )}}=\left[1+\tan ^{2}(\beta )\right]\;d\left[\tan(\beta )\right]\;$», on peut réécrire l’équation à intégrer selon
$\;\left[1+\tan ^{2}\!\left({\dfrac {\theta -\varphi }{2}}\right)\right]\;2\;d\left[\tan \!\left({\dfrac {\theta -\varphi }{2}}\right)\right]={\dfrac {4\;C}{p^{2}}}\;dt\;$
$\;\left[1+\tan ^{2}\!\left({\dfrac {\theta -\varphi }{2}}\right)\right]\;d\left[\tan \!\left({\dfrac {\theta -\varphi }{2}}\right)\right]={\dfrac {2\;C}{p^{2}}}\;dt\;$
en intégrant entre «$\;\theta =0\;$ et $\;\theta \;$» dans le membre de gauche et entre «$\;t=0\;$ et $\;t\;$» dans celui de droite, «$\;\left[\tan \!\left({\dfrac {\theta -\varphi }{2}}\right)+{\dfrac {1}{3}}\;\tan ^{3}\!\left({\dfrac {\theta -\varphi }{2}}\right)\right]-\left[\tan \!\left({\dfrac {-\varphi }{2}}\right)+{\dfrac {1}{3}}\;\tan ^{3}\!\left({\dfrac {-\varphi }{2}}\right)\right]={\dfrac {2\;C}{p^{2}}}\;t\;$» ou
$\;t={\dfrac {p^{2}}{2\;C}}\left\lbrace \left[\tan \!\left({\dfrac {\theta -\varphi }{2}}\right)+{\dfrac {1}{3}}\;\tan ^{3}\!\left({\dfrac {\theta -\varphi }{2}}\right)\right]+\left[\tan \!\left({\dfrac {\varphi }{2}}\right)+{\dfrac {1}{3}}\;\tan ^{3}\!\left({\dfrac {\varphi }{2}}\right)\right]\right\rbrace \;$
définissant la loi horaire de l'abscisse angulaire du point $\;M\;$ en mouvement parabolique dans un champ de force newtonien attractif sous la forme «$\;t=t(\theta )\;$».
 Remarque : On peut transformer le facteur «$\;{\dfrac {p^{2}}{2\;C}}\;$» $\;{\big$homogène à un temps${\big )}\;$ du 2ème membre de la « loi horaire de l'abscisse angulaire du point $\;M\;$ en mouvement parabolique dans un champ de force newtonien attractif écrite sous la forme $\;t=t(\theta )\;$» en utilisant la coordonnée polaire du sommet $\;r_{P}={\dfrac {p}{2}}\;$ et la vitesse instantanée algébrisée correspondante «$\;v_{P}=V_{\theta ,\,P}\;$» déterminée par «$\;r_{P}\;V_{\theta ,\,P}=$ $C\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {p}{2}}\;v_{P}=C\;$» d'où «$\;{\dfrac {p}{2\;C}}=$ ${\dfrac {1}{v_{P}}}\;$ et $\;{\dfrac {p^{2}}{2\;C}}={\dfrac {p}{v_{P}}}={\dfrac {2\;r_{p}}{v_{P}}}\;$» ce qui permet de réécrire la « loi horaire de l'abscisse angulaire du point $\;M\;$ en mouvement parabolique dans un champ de force newtonien attractif » selon
$\;t={\dfrac {2\;r_{p}}{v_{P}}}\left\lbrace \left[\tan \!\left({\dfrac {\theta -\varphi }{2}}\right)+{\dfrac {1}{3}}\;\tan ^{3}\!\left({\dfrac {\theta -\varphi }{2}}\right)\right]+\left[\tan \!\left({\dfrac {\varphi }{2}}\right)+{\dfrac {1}{3}}\;\tan ^{3}\!\left({\dfrac {\varphi }{2}}\right)\right]\right\rbrace \;$

## En exercice, étude de la diffusion d’un point M lancé de l’infini dans un champ de force newtonien attractif, exemple de diffusion d’une sonde solaire par le champ de gravitation d’une planète

Il s'agit ici de présenter l'étude de la diffusion non critique d’un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ quand ce dernier est lancé de l'infini avec un vecteur vitesse initiale non nul $\;{\Big$C.I. particulières $\;{\Big \r(0):\infty \,,$ ${\vec {V}}_{M}(0)={\vec {V}}_{0}\neq {\vec {0}}{\Big \}$ mais les plus usuelles lors d'une diffusion non critique${\Big ]}\;$ dans un champ de force newtonien attractif «$\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ dans lequel $\;k\;$ est $\;<0\;$» $\;{\Bigr=OM\;$ étant la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ du point $\;M\;$ dans le plan $\;\left(xOy\right)\;$ de son mouvement et $\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ liée à $\;M\;$ dans $\;\left(xOy\right){\Big ]}$ ;
cette étude n'étant pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme « diffusion non critique d'un point matériel dans un champ de force newtonien attractif quelconque » $\;{\big$même si son cas particulier « diffusion d’une sonde solaire par le champ de gravitation d’une planète » doit être considéré comme une information indispensable à connaître pour comprendre comment les humains peuvent explorer le Système solaire à moindre coût${\big ]}\;$ est très classique, elle est donc traitée en exercice $\;{\big$à savoir refaire${\big )}$.

### Conditions initiales de lancement

Le point matériel $\;M\left(m\right)\;$ est lancé dans un champ de force newtonien attractif «$\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ dans lequel $\;k\;$ est $\;<0\;$», de centre de force $\;O$, avec
* une « distance initiale $\;r_{0}$, entre $\;M_{0}\;$ et le centre attractif $\;O$, $\;\infty \;$» et
* un « vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}\;$ connu par sa norme $\;\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert =v_{0}\;$ ainsi que sa direction repérée par son paramètre d’impact $\;h\;$ c'est-à-dire la distance orthogonale entre son support et le centre attractif $\;O\;$» $\;{\big$voir le schéma ci-contre${\big )}$.
Remarque : On vérifie qu'il s'agit d'une diffusion non critique car l'« énergie mécanique initiale $\;E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{0}^{\,2}{\cancel {+\;{\dfrac {k}{r_{0}}}}}\;$ est $\;>0\;$».
Choix de l'axe polaire : L’axe polaire «$\;{\overrightarrow {Ox}}\;$» est choisi de même direction et de même sens que «$\;{\vec {V}}_{0}\;$» $\;{\big$compte-tenu de la nature de la trajectoire suivie par le point $\;M\;$ lors de sa diffusion non critique c'est-à-dire une branche hyperbolique dont $\;O\;$ est un des foyers, celui contourné par la branche, « le support de $\;{\vec {V}}_{0}\;$ est une des asymptotes de la branche hyperbolique »${\big ]}$, ceci correspond alors à «$\;\theta =+\pi \;$ pour $\;t=0\;$» ;
Choix de l'axe polaire : conséquence : la base polaire en la position initiale $\;M_{0}\;$ étant «$\;\left\lbrace {\vec {u}}_{r}(M_{0})=-{\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }(M_{0})=-{\vec {u}}_{y}\right\rbrace \;$», la « vitesse orthoradiale initiale est $\;V_{\theta ,\,0}=0\;$» et comme la « coordonnée radiale de $\;M_{0}\;$ est $\;r_{0}:+\infty \;$», la détermination de la constante des aires $\;C\;$ par «$\;r_{0}\;V_{\theta ,\,0}\;$» correspond à une forme indéterminée «$\;\infty \times 0\;$» $\Rightarrow$ il est donc nécessaire de procéder autrement pour l’évaluer.

### Évaluation de la constante des aires

On rappelle la « définition de la constante des aires $\;C={\dfrac {{\vec {\sigma }}_{O}(0)}{m}}\cdot {\vec {u}}_{z}\;$» dans laquelle «$\;{\vec {\sigma }}_{O}(0)={\overrightarrow {OM_{0}}}\wedge m\;{\vec {V}}_{0}\;$ est le vecteur moment cinétique initial du point matériel $\;M\left(m\right)\;$ par rapport à $\;O\;$» et «$\;{\vec {u}}_{z}\;$ le vecteur unitaire $\;\perp \;$ au plan du mouvement de $\;M\;$ orientant les angles de ce dernier » $\Rightarrow$ «$\;C=\left[{\overrightarrow {OM_{0}}}\wedge {\vec {V}}_{0}\right]\cdot {\vec {u}}_{z}\;$» ou encore
en levant l'indétermination due à $\;\Vert {\overrightarrow {OM_{0}}}\Vert :\infty \;$ selon «$\;C=\left\lbrace \left[{\overrightarrow {OH}}+{\overrightarrow {HM_{0}}}\right]\wedge {\vec {V}}_{0}\right\rbrace \cdot {\vec {u}}_{z}=\left[{\overrightarrow {OH}}\wedge {\vec {V}}_{0}\right]\cdot {\vec {u}}_{z}+\left[{\overrightarrow {HM_{0}}}\wedge {\vec {V}}_{0}\right]\cdot {\vec {u}}_{z}\;$» soit, compte-tenu de la nullité du 2ème terme «$\;{\overrightarrow {HM_{0}}}\wedge {\vec {V}}_{0}$ $={\vec {0}}\;$ $\;{\big$les deux vecteurs étant colinéaires${\big )}\;$ $\Rightarrow$ $\;\left[{\overrightarrow {HM_{0}}}\wedge {\vec {V}}_{0}\right]\cdot {\vec {u}}_{z}=0\;$», «$\;C=\left[{\overrightarrow {OH}}\wedge {\vec {V}}_{0}\right]\cdot {\vec {u}}_{z}\;$» et
en explicitant les vecteurs du produit vectoriel par leurs composantes cartésiennes «$\;C=\left[h\;{\vec {u}}_{y}\wedge v_{0}\;{\vec {u}}_{x}\right]\cdot {\vec {u}}_{z}\;$» soit finalement la valeur de la constante des aires dans ces C.I. de lancement :
$\;C=-v_{0}\;h\;$

### Détermination des grandeurs caractéristiques de la trajectoire

On rappelle que la trajectoire d'un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ dans un champ de force newtonien attractif «$\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;k<0\;$», lancé avec des C.I. de diffusion non critique, est une branche d'hyperbole dont $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ est un des foyers, celui contourné par la branche en question ; ci-dessous on précise quelques grandeurs caractéristiques de cette trajectoire.

#### Paramètre de la branche d’hyperbole

Le paramètre $\;p\;$ de la branche d’hyperbole suivie par $\;M\;$ lors de sa diffusion non critique dans un champ de force newtonien attractif $\;k<0\;$ étant égal à «$\;p={\dfrac {m\;C^{2}}{-k}}>0\;$» se réécrit, en utilisant l'évaluation de la constante des aires à savoir «$\;C=-v_{0}\;h\;$», sous la forme
$\;p={\dfrac {m\;v_{0}^{\,2}\;h^{2}}{-k}}>0\;$

#### Demi axe focal de la branche d’hyperbole

Le demi axe focal $\;a\;$ de la branche d’hyperbole suivie par $\;M\;$ lors de sa diffusion non critique dans un champ de force newtonien attractif $\;k<0\;$ peut se déterminer à l'aide de l'expression de l'énergie mécanique initiale «$\;E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{0}^{\,2}{\cancel {+\;{\dfrac {k}{r_{0}}}}}={\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{0}^{\,2}\;$ en fonction du demi axe focal $\;a\;$» à savoir «$\;E_{m,\,0}={\dfrac {-k}{2\;a}}\;$» $\;{\big$voir le paragraphe « en complément, expression de l'énergie mécanique d'un point dans un champ de force newtonien attractif en fonction du demi axe focal dans un mouvement hyperbolique » plus haut dans ce chapitre${\big ]}\;$ d'où «$\;a={\dfrac {-k}{2\;E_{m,\,0}}}>0\;$» ou, avec «$\;E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{0}^{\,2}\;$»,
$\;a={\dfrac {-k}{m\;v_{0}^{\,2}}}>0\;$

#### Demi axe non focal de la branche d'hyperbole

Sachant que le « support du vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}\;$ en la position initiale $\;M_{0}\;$ située à l'infini du centre de force $\;O\;$ est une asymptote de la branche d'hyperbole suivie par $\;M\;$ lors de sa diffusion non critique dans un champ de force newtonien attractif $\;k<0\;$», «$\;O\;$ étant un des foyers de l'hyperbole en question »,
Sachant que le demi axe non focal $\;b\;$ d'une hyperbole est égal à la distance orthogonale séparant les foyers des asymptotes et
Sachant que le « paramètre d'impact $\;h\;$ de la diffusion non critique de $\;M\;$ dans un champ de force newtonien attractif » est la « distance orthogonale entre le support de $\;{\vec {V}}_{0}\;$ et le centre attractif $\;O\;$»,
nous en déduisons la valeur du demi axe non focal de la branche d'hyperbole suivie par $\;M\;$ lors de sa diffusion non critique dans un champ de force newtonien attractif,
$\;b=h\;$

#### Excentricité de la branche d’hyperbole

L'« excentricité d'une hyperbole étant définie par $\;e={\dfrac {c}{a}}\;$» avec «$\;c\;$ la distance séparant le centre $\;C\;$ de l'hyperbole $\;{\big$ou point d'intersection des asymptotes${\big )}\;$ à l'un ou l'autre de ses deux foyers » et
la « distance $\;c\;$ séparant le centre $\;C\;$ de l'hyperbole à l'un quelconque de ses deux foyers » étant liée aux « demi axes focal $\;a\;$ et non focal $\;b\;$» par «$\;c^{2}=a^{2}+b^{2}\;$» $\Rightarrow$ «$\;c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\;$» d'où
par définition de l'excentricité d'une hyperbole «$\;e={\dfrac {c}{a}}={\dfrac {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}{a}}={\sqrt {1+\left({\dfrac {b}{a}}\right)^{\!\!2}}}\;$» ;
de la détermination du demi axe focal «$\;a={\dfrac {-k}{m\;v_{0}^{\,2}}}>0\;$» et non focal «$\;b=h\;$» on en déduit l'expression cherchée de l'excentricité de la branche d'hyperbole «$\;e={\sqrt {1+\left({\dfrac {h}{\dfrac {-k}{m\;v_{0}^{\,2}}}}\right)^{\!\!2}}}\;$» soit
$\;e={\sqrt {1+{\dfrac {m^{2}\;v_{0}^{\,4}\;h^{2}}{k^{2}}}}}>1\;$
Remarques : On peut aussi utiliser le « lien existant entre le paramètre $\;p\;$ d'une hyperbole, son demi axe focal $\;a\;$ et son excentricité $\;e\;$» à savoir «$\;p=a\left(e^{2}-1\right)\;$» $\Rightarrow$ l'« excentricité $\;e\;$ en fonction du paramètre $\;p\;$ et du demi axe focal $\;a\;$» c'est-à-dire «$\;e={\sqrt {1+{\dfrac {p}{a}}}}\;$» puis
Remarques : On peut aussi utiliser les évaluations de «$\;p={\dfrac {m\;v_{0}^{\,2}\;h^{2}}{-k}}>0\;$» et de «$\;a={\dfrac {-k}{m\;v_{0}^{\,2}}}>0\;$» que l'on injecte dans «$\;e={\sqrt {1+{\dfrac {p}{a}}}}\;$», ce qui donne «$\;e={\sqrt {1+{\dfrac {\dfrac {m\;v_{0}^{\,2}\;h^{2}}{-k}}{\dfrac {-k}{m\;v_{0}^{\,2}}}}}}\;$» soit,
Remarques : après simplification évidente, «$\;e={\sqrt {1+{\dfrac {m^{2}\;v_{0}^{\,4}\;h^{2}}{k^{2}}}}}>1\;$» ;
Remarques : on peut utiliser la définition du paramètre d'une hyperbole «$\;p={\dfrac {b^{2}}{a}}\;$» pour en déduire le demi axe non focal $\;b\;$ en fonction du demi axe focal $\;a\;$ et du paramètre $\;p\;$ soit «$\;b={\sqrt {a\;p}}\;$» puis
Remarques : on peut utiliser la connaissance de «$\;p={\dfrac {m\;v_{0}^{\,2}\;h^{2}}{-k}}>0\;$» et de «$\;a={\dfrac {-k}{m\;v_{0}^{\,2}}}>0\;$» pour vérifier l'expression de «$\;b\;$» par réinjection dans «$\;b={\sqrt {a\;p}}={\sqrt {{\dfrac {-k}{m\;v_{0}^{\,2}}}\;{\dfrac {m\;v_{0}^{\,2}\;h^{2}}{-k}}}}\;$» soit,
Remarques : après simplification évidente, «$\;b=h\;$».

#### Angle d’inclinaison « β » des asymptotes avec l’axe focal

De la détermination du demi axe non focal «$\;b=h\;$» et du demi axe focal «$\;a={\dfrac {-k}{m\;v_{0}^{\,2}}}>0\;$» de la branche d'hyperbole suivie par le point matériel $\;M\left(m\right)\;$ lors de sa diffusion non critique dans un champ de force newtonien attractif $\;{\bigk<0{\big )}$, on peut en déduire l’« angle d’inclinaison $\;{\big$non algébrisé${\big )}$ $\;\beta \;$ des asymptotes sur l’axe focal » $\;{\big$dont le positionnement reste à expliciter${\big )}\;$ par «$\;\beta =\arctan \!\left({\dfrac {b}{a}}\right)\;$ » soit «$\;\beta =\arctan \!\left({\dfrac {h}{\dfrac {-k}{m\;v_{0}^{\,2}}}}\right)>0\;$ » et finalement
$\;\beta =\arctan \!\left({\dfrac {m\;v_{0}^{\,2}\;h}{-k}}\right)=\arctan \!\left({\dfrac {m\;v_{0}^{\,2}\;h}{\vert k\vert }}\right)\;$
$\;{\bigk\;$
$\;<0{\big )}$

#### Angle polaire « φ » de l’axe focal

On constate sur le schéma du paragraphe « angle d'inclinaison “ β ” des asymptotes avec l'axe focal » ci-dessus que l'« angle polaire $\;{\big$algébrisé${\big )}$ $\;\varphi \;$ de l'axe focal de la branche d'hyperbole suivie par le point matériel $\;M\left(m\right)\;$ lors de sa diffusion non critique dans un champ de force newtonien attractif $\;{\bigk<0{\big )}\;$» est égal à l'« angle d’inclinaison $\;{\big$non algébrisé${\big )}$ $\;\beta \;$ de la 1re asymptote $\;{\big$le support de $\;{\vec {V}}_{0}{\big )}\;$ sur l’axe focal » soit
$\;\varphi =\beta =\arctan \!\left({\dfrac {m\;v_{0}^{\,2}\;h}{-k}}\right)>0\;$
$\;{\bigk\;$
$\;<0{\big )}$
Remarque : On peut aussi pour déterminer l'« angle polaire $\;{\big$algébrisé${\big )}$ $\;\varphi \;$ de l'axe focal de la branche d'hyperbole suivie par le point matériel $\;M\left(m\right)\;$ lors de sa diffusion non critique dans un champ de force newtonien attractif $\;{\bigk<0{\big )}\;$» utiliser les C.I. $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\theta (t=0)=\pi \\r(t=0):\infty \\{\vec {V}}(t=0)={\vec {V}}_{0}\end{array}}\right\rbrace \;$ en variables de Binet à l'aide de l'équation polaire de la trajectoire de $\;M\;$ «$\;r(\theta )={\dfrac {p}{1+e\;\cos(\theta -\varphi )}}\;$» dont on déduit les deux 1$^{ères}$ variables de Binet «$\;u(\theta )={\dfrac {1}{r(\theta )}}={\dfrac {1+e\;\cos(\theta -\varphi )}{p}}={\dfrac {1}{p}}+{\dfrac {e}{p}}\;\cos(\theta -\varphi )\;$ et $\;u'(\theta )={\dfrac {du}{d\theta }}(\theta )=-{\dfrac {e}{p}}\;\sin(\theta -\varphi )\;$», les C.I. se réécrivant en variables de Binet et en utilisant l'expression de Binet de la composante radiale du vecteur vitesse de $\;M\;$ «$\;V_{r}(t)={\dot {r}}(t)=-C\;u'(\theta )\;$» selon $\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c}u(\theta =\pi )\!\!&=&\!\!{\dfrac {1}{r(t=0)}}\!\!&=&\!\!0\\u'(\theta =\pi )\!\!&=&\!\!{\dfrac {V_{r}(t=0)}{-C}}\!\!&=&\!\!{\dfrac {v_{0}}{C}}\end{array}}\right\rbrace$ $\;{\Big$en effet $\;V_{r}(t=0)=-\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert =$ $-v_{0}\;$ car $\;u_{r}(\theta =\pi )=-{\vec {u}}_{x}{\Big ]}\;$ d'où
Remarque : «$\;u(\theta =\pi )=0\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {1}{p}}+{\dfrac {e}{p}}\;\cos(\pi -\varphi )=0\;$ ou $\;{\dfrac {1}{p}}-{\dfrac {e}{p}}\;\cos(\varphi )=0\;$» soit finalement «$\;\cos(\varphi )={\dfrac {1}{e}}>0\;$» $\Rightarrow$ $\;\varphi \in \left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$ ainsi que
Remarque : «$\;u'(\theta =\pi )={\dfrac {v_{0}}{C}}={\dfrac {v_{0}}{-v_{0}\;h}}\;$ ou $\;u'(\theta =\pi )=-{\dfrac {1}{h}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;-{\dfrac {e}{p}}\;\sin(\pi -\varphi )=-{\dfrac {1}{h}}\;$ ou $\;-{\dfrac {e}{p}}\;\sin(\varphi )=-{\dfrac {1}{h}}\;$» soit finalement «$\;\sin(\varphi )={\dfrac {p}{e\;h}}>0\;$» $\Rightarrow$ $\;\varphi \in \left]0\,,\,+\pi \right[\;$ et,
Remarque : en regroupant les deux conséquences des signes de $\;\cos(\varphi )\;$ et de $\;\sin(\varphi )$, on en déduit «$\;\varphi \in \left]0\,,\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$» ce qui permet d'inverser «$\;\tan(\varphi )={\dfrac {\sin(\varphi )}{\cos(\varphi )}}={\dfrac {\dfrac {p}{e\;h}}{\dfrac {1}{e}}}={\dfrac {p}{h}}={\dfrac {\dfrac {m\;v_{0}^{\,2}\;h^{2}}{-k}}{h}}\;$» ou «$\;\tan(\varphi )={\dfrac {m\;v_{0}^{\,2}\;h}{-k}}\;$» soit finalement
$\;\varphi =\arctan \!\left({\dfrac {m\;v_{0}^{\,2}\;h}{-k}}\right)>0\;$
$\;{\bigk\;$
$\;<0{\big )}$
Remarque : on notera toutefois que cette façon de déterminer $\;\varphi \;$ dans le cas de la diffusion non critique d'un point $\;M\;$ lancé de l'infini dans un champ de force newtonien attractif est à éviter car elle est nettement plus calculatoire que celle consistant à utiliser les expressions précédemment trouvées des demi axes focal et non focal $\;\ldots$

#### Distance minimale d’approche

La « distance minimale d'approche $\;r_{P}\;$ du point $\;M\;$ lancé de l'infini sur la branche d'hyperbole suivie par ce point lors de sa diffusion non critique dans un champ de force newtonien attractif » étant la « coordonnée radiale du sommet de cette branche » se détermine, à l'aide de l'équation polaire de cette dernière «$\;r(\theta )={\dfrac {p}{1+e\;\cos(\theta -\varphi )}}\;$», selon «$\;r_{P}=r(\theta =\varphi )={\dfrac {p}{1+e}}\;$» puis
l'injection, dans «$\;r_{P}={\dfrac {p}{1+e}}\;$», des expressions du « paramètre $\;p={\dfrac {m\;v_{0}^{\,2}\;h^{2}}{-k}}>0\;$» et de l'« excentricité $\;e={\sqrt {1+{\dfrac {m^{2}\;v_{0}^{\,4}\;h^{2}}{k^{2}}}}}>1\;$» de la branche d'hyperbole suivie par le point lors de sa diffusion non critique dans un champ de force newtonien attractif nous conduit à «$\;r_{P}={\dfrac {\dfrac {m\;v_{0}^{\,2}\;h^{2}}{-k}}{1+{\sqrt {1+{\dfrac {m^{2}\;v_{0}^{\,4}\;h^{2}}{k^{2}}}}}}}\;$» soit, en multipliant haut et bas par «$\;-k>0\;$»,
$\;r_{P}={\dfrac {m\;v_{0}^{\,2}\;h^{2}}{-k+{\sqrt {k^{2}+m^{2}\;v_{0}^{\,4}\;h^{2}}}}}={\dfrac {m\;v_{0}^{\,2}\;h^{2}}{\vert k\vert +{\sqrt {k^{2}+m^{2}\;v_{0}^{\,4}\;h^{2}}}}}\;$
$\;{\bigk\;$
$\;<0{\big )}$

### Angle de diffusion

$\;D\;$
$\;M\;$
$\;{\vec {V}}_{0}\;$
$\;M\;$
$\;O\;$
$\;D={\widehat {\left({\vec {V}}_{0}\,,\,{\vec {V}}_{\infty }\right)}}\;$
$\;{\vec {V}}_{\infty }\;$
$\;M\;$
Remarque : Le support de $\;{\vec {V}}_{0}\;$ passant par la position initiale $\;M_{0}\;$ située à l'infini du centre de force $\;O\;$ définissant la 1re asymptote de la branche hyperbolique suivie par $\;M\;$ et
Remarque : celui de $\;{\vec {V}}_{\infty }\;$ passant par la position finale $\;M_{\infty }\;$ également située à l'infini du centre de force $\;O$, la 2ème asymptote de la branche hyperbolique suivie par $\;M$,
Remarque : l'angle de diffusion de $\;M\;$ lancé de l'infini dans un champ de force newtonien s'écrit encore «$\;D={\widehat {\left({\vec {V}}_{1^{\text{ère}}\,{\text{asymptote}}}\,,\,{\vec {V}}_{2^{\text{ème}}\,{\text{asymptote}}}\right)}}\;$».
Évaluation : Dans le cas d'un champ de force newtonien attractif on constate, sur le schéma du paragraphe « angle d'inclinaison “ β ” des asymptotes avec l'axe focal » plus haut dans ce chapitre,
* d'une part, que l'« angle de diffusion $\;D\;$ est $\;<0\;$»,
* d'autre part, l'axe focal étant un axe d'antisymétrie de la branche d'hyperbole orientée dans le sens du mouvement de $\;M\;$ $\Rightarrow$ l'« angle d'inclinaison des asymptotes sur l'axe focal est le même quel que soit l'asymptote c'est-à-dire égal à $\;\beta \;$» d'où «$\;\vert D\vert =\pi -2\;\beta \;$» soit,
Évaluation : après regroupement des deux informations, l'expression de l'angle de diffusion selon «$\;D=2\;\beta -\pi <0\;$» ou, Évaluation : en reportant l'évaluation de «$\;\beta \;$» selon «$\;\beta =\arctan \!\left({\dfrac {m\;v_{0}^{\,2}\;h}{-k}}\right)=\arctan \!\left({\dfrac {m\;v_{0}^{\,2}\;h}{\vert k\vert }}\right)\;$ » $\;{\bigk\;$ étant $\;<0{\big )}$, la réécriture de l'angle de diffusion selon
$\;D=2\;\arctan \!\left({\dfrac {m\;v_{0}^{\,2}\;h}{-k}}\right)-\pi =2\;\arctan \!\left({\dfrac {m\;v_{0}^{\,2}\;h}{\vert k\vert }}\right)-\pi <0\;$
$\;{\bigk<0{\big )}$
Évaluation : on peut trouver une expression plus compacte de l'angle de diffusion $\;D\;$ en remarquant que «$\;D=2\;\beta -\pi \;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {D}{2}}=\beta -{\dfrac {\pi }{2}}\in \left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,0\right[\;$ » et par suite, «$\;{\dfrac {D}{2}}\;$» peut être mis sous forme d’un «$\;\arctan\;$» à partir de «$\;\tan \!\left({\dfrac {D}{2}}\right)=\tan \!\left(\beta -{\dfrac {\pi }{2}}\right)=-\tan \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\beta \right)=-\cot(\beta )=-{\dfrac {1}{\tan(\beta )}}=-{\dfrac {1}{\dfrac {m\;v_{0}^{\,2}\;h}{-k}}}=-{\dfrac {-k}{m\;v_{0}^{\,2}\;h}}=-{\dfrac {\vert k\vert }{m\;v_{0}^{\,2}\;h}}\;$» $\;{\bigk\;$ étant $\;<0{\big )}\;$ d'où, en inversant, «$\;{\dfrac {D}{2}}=$ $-\arctan \!\left({\dfrac {-k}{m\;v_{0}^{\,2}\;h}}\right)=-\arctan \!\left({\dfrac {\vert k\vert }{m\;v_{0}^{\,2}\;h}}\right)<0\;$ » $\;{\bigk\;$ étant $\;<0{\big )}\;$ soit finalement
$\;D=-2\;\arctan \!\left({\dfrac {-k}{m\;v_{0}^{\,2}\;h}}\right)=-2\;\arctan \!\left({\dfrac {\vert k\vert }{m\;v_{0}^{\,2}\;h}}\right)<0\;$
$\;{\bigk<0{\big )}$

### Exemple de la diffusion d’une sonde solaire par le champ de gravitation d’une planète

La technique de la diffusion d'une sonde solaire par le champ de gravitation d'une planète du Système solaire consistant à utiliser volontairement l’attraction d’un corps céleste $\;{\big$la planète en question${\big )}\;$ pour modifier en direction $\;{\big$et en vitesse${\big )}\;$ la trajectoire d’un engin spatial est appelée « assistance gravitationnelle (ou appui gravitationnel) », l’objectif étant d’économiser le carburant qui aurait dû être consommé par le moteur-fusée du véhicule pour obtenir le même résultat ;
toutes les sondes en direction de corps célestes éloignés de la Terre (♁) ont recours à cette méthode.
Exemple « Voyager 2 » : « Voyager 2 » a été lancée en août $1977$, elle a fait le tour des planètes géantes en restant dans le plan de l’« écliptique » et a reçu l’appui gravitationnel de « Jupiter (♃) en juillet $1979\;$», de « Saturne (♄) en août $1981\;$», d’« Uranus (♅) en janvier $1986\;$» et de « Neptune (♆) en août $1989\;$» $\;\ldots$
Exemple « Voyager 2 » : Après le survol de Neptune (♆), la sonde est sortie du plan de l’« écliptique » avec un angle de $\;-30\;{\text{°}}$, la plateforme portant une partie des instruments ayant alors été désactivée avec cependant certains instruments restés fonctionnels pour permettre de continuer de recueillir des données sur l’environnement, Exemple « Voyager 2 » : Après le survol de Neptune (♆), « Voyager 2 » a ensuite franchi les limites d’influence principale de l’« héliosphère » en « août $2007\;$ à $\;84\;ua\;$ du Soleil (☉) » et Exemple « Voyager 2 » : Après le survol de Neptune (♆), « Voyager 2 » a quitté définitivement le Système solaire magnétique limitée par l’« héliopause » en « novembre $2018\;$», en se dirigeant vers les constellations du Sagittaire et du Paon ; Exemple « Voyager 2 » : en « mai $\;2019\;$» la sonde était approximativement « à $\;116\;ua\;$ du Soleil (☉) » et dans le futur, elle devrait passer à une « distance de $\;1,7\;$ années-lumière de l’étoile Ross 248 située dans la constellation d’Andromède » dans approximativement $\;40000\;ans\;\ldots$
Exemple « Voyager 2 » : À chaque appui gravitationnel la sonde a vu sa direction changer mais aussi sa vitesse héliocentrique varier :
Exemple « Voyager 2 » : ci-contre le schéma explicatif de la diffusion de la sonde par Jupiter (♃) $\;{\big$la constante $\;k_{\text{(♃)}}\;$ intervenant dans l'expression de la force newtonienne attractive que Jupiter (♃) exerce sur la sonde étant égale à «$\;k_{\text{(♃)}}=-{\mathcal {G}}\;m_{\text{♃}}\;m\;$» dans laquelle «$\;{\mathcal {G}}\simeq$ $6,67\;10^{-11}\;U.S.I.\;$ est la constante de gravitation universelle, $\;m_{\text{♃}}\simeq 1,9\;10^{27}\;kg\;$ la masse de Jupiter (♃) et $\;m\;$ la masse de la sonde »${\big ]}$, le vecteur vitesse de celle-ci dans le référentiel « jovocentrique » restant de même norme avant ou après diffusion mais sa direction changeant $\;{\big$en marron sur le schéma${\big )}\;$ et son vecteur vitesse dans le référentiel de Copernic $\;{\big$en rouge sur le schéma${\big )}\;$ étant la somme de son vecteur vitesse dans le référentiel « jovocentrique » $\;{\big$en marron sur le schéma${\big )}\;$ et du vecteur vitesse de Jupiter (♃) dans le référentiel de Copernic $\;{\big$lequel pouvant être estimé inchangé est représenté en bleu sur le schéma${\big )}\;$ la composition vectorielle $\;{\big$en rouge sur le schéma${\big )}\;$ engendre une modification en norme ; Exemple « Voyager 2 » : ci-contre cette modification correspond à une augmentation de vitesse de la sonde dans le référentiel de Copernic car la projection du vecteur vitesse héliocentrique de Jupiter $\;{\big$en bleu sur le schéma${\big )}\;$ est de sens contraire au vecteur vitesse jovocentrique de la sonde $\;{\big$en marron sur le schéma${\big )}\;$ avant diffusion et de même sens après diffusion ; Exemple « Voyager 2 » : il serait possible d'obtenir une diminution de vitesse de la sonde dans le référentiel de Copernic à condition que la projection du vecteur vitesse héliocentrique de Jupiter soit de même sens que le vecteur vitesse jovocentrique de la sonde avant diffusion et de sens contraire après diffusion $\;\ldots$
Exemple « Voyager 2 » : Historiquement « Voyager 2 » a subi, dans le référentiel de Copernic,
* une diminution de vitesse de $\;35\;km\cdot s^{-1}\;$ à $\;28\;km\cdot s^{-1}\;$ par appui gravitationnel sur Jupiter (♃),
* une augmentation de vitesse de $\;28\;km\cdot s^{-1}\;$ à $\;34\;km\cdot s^{-1}\;$ par appui gravitationnel sur Saturne (♄),
* une diminution de vitesse de $\;34\;km\cdot s^{-1}\;$ à $\;24\;km\cdot s^{-1}\;$ par appui gravitationnel sur Uranus (♅) et
* une augmentation de vitesse de $\;24\;km\cdot s^{-1}\;$ à $\;29\;km\cdot s^{-1}\;$ par appui gravitationnel sur Neptune (♆) ;
Exemple « Voyager 2 » : à l'heure actuelle « Voyager 2 » s’éloigne à une vitesse héliocentrique d’une quinzaine de $\;km\cdot s^{-1}\;\ldots$

## En exercice, étude d’une diffusion d’un point M lancé de l’infini dans un champ de force newtonien répulsif, exemple de la diffusion de Rutherford

Il s'agit ici de présenter l'étude de la diffusion d’un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ quand ce dernier est lancé de l'infini avec un vecteur vitesse initiale non nul $\;{\Big$C.I. particulières $\;{\Big \r(0):\infty \,,$ ${\vec {V}}_{M}(0)={\vec {V}}_{0}\neq {\vec {0}}{\Big \}$ dans un champ de force newtonien répulsif «$\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ dans lequel $\;k\;$ est $\;>0\;$» $\;{\Bigr=OM\;$ étant la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ du point $\;M\;$ dans le plan $\;\left(xOy\right)\;$ de son mouvement et $\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ liée à $\;M\;$ dans $\;\left(xOy\right){\Big ]}$ ;
cette étude n'étant pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme « diffusion d'un point matériel dans un champ de force newtonien répulsif quelconque » $\;{\big$bien que son cas particulier « diffusion de Rutherford d'un hélion par le champ électrostatique d’un noyau » soit, quant à lui, précisé dans le programme comme étude documentaire${\big ]}\;$ est très classique, elle est donc traitée en exercice $\;{\big$à savoir refaire${\big )}$.

### Conditions initiales de lancement

Le point matériel $\;M\left(m\right)\;$ est lancé dans un champ de force newtonien répulsif «$\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ dans lequel $\;k\;$ est $\;>0\;$», de centre de force $\;O$, avec
* une « distance initiale $\;r_{0}$, entre $\;M_{0}\;$ et le centre répulsif $\;O$, $\;\infty \;$» et
* un « vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}\;$ connu par sa norme $\;\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert =v_{0}\;$ ainsi que sa direction repérée par son paramètre d’impact $\;h\;$ c'est-à-dire la distance orthogonale entre son support et le centre répulsif $\;O\;$» $\;{\big$voir le schéma ci-contre${\big )}$.
Remarque : On vérifie que l'« énergie mécanique initiale $\;E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{0}^{\,2}{\cancel {+\;{\dfrac {k}{r_{0}}}}}\;$ est $\;>0\;$».
Choix de l'axe polaire : L’axe polaire «$\;{\overrightarrow {Ox}}\;$» est choisi de même direction et de même sens que «$\;{\vec {V}}_{0}\;$» $\;{\big$compte-tenu de la nature de la trajectoire suivie par le point $\;M\;$ lors de sa diffusion c'est-à-dire une branche hyperbolique dont $\;O\;$ est un des foyers, celui non contourné par la branche, « le support de $\;{\vec {V}}_{0}\;$ est une des asymptotes de la branche hyperbolique »${\big ]}$, ceci correspond alors à «$\;\theta =+\pi \;$ pour $\;t=0\;$» ;
Choix de l'axe polaire : conséquence : la base polaire en la position initiale $\;M_{0}\;$ étant «$\;\left\lbrace {\vec {u}}_{r}(M_{0})=-{\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }(M_{0})=-{\vec {u}}_{y}\right\rbrace \;$», la « vitesse orthoradiale initiale est $\;V_{\theta ,\,0}=0\;$» et comme la « coordonnée radiale de $\;M_{0}\;$ est $\;r_{0}:+\infty \;$», la détermination de la constante des aires $\;C\;$ par «$\;r_{0}\;V_{\theta ,\,0}\;$» correspond à une forme indéterminée «$\;\infty \times 0\;$» $\Rightarrow$ il est donc nécessaire de procéder autrement pour l’évaluer.

### Évaluation de la constante des aires

Identique à celle exposée au paragraphe « évaluation de la constante des aires (dans le cas d'une diffusion non critique d'un point matériel lancé de l'infini dans un champ de force newtonien attractif) » plus haut dans ce chapitre, on rappelle le résultat
$\;C=-v_{0}\;h\;$

### Détermination des grandeurs caractéristiques de la trajectoire

On rappelle que la trajectoire d'un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ lancé de l'infini dans un champ de force newtonien répulsif «$\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;k>0\;$» est une branche d'hyperbole dont $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ est un des foyers, celui non contourné par la branche en question ; ci-dessous on précise quelques grandeurs caractéristiques de cette trajectoire.

#### Paramètre de la branche d’hyperbole

Le paramètre $\;p\;$ de la branche d’hyperbole suivie par $\;M\;$ lors de sa diffusion dans un champ de force newtonien répulsif $\;k>0\;$ étant égal à «$\;p={\dfrac {m\;C^{2}}{k}}>0\;$» se réécrit, en utilisant l'évaluation de la constante des aires à savoir «$\;C=-v_{0}\;h\;$», sous la forme
$\;p={\dfrac {m\;v_{0}^{\,2}\;h^{2}}{k}}>0\;$

#### Demi axe focal de la branche d’hyperbole

Le demi axe focal $\;a\;$ de la branche d’hyperbole suivie par $\;M\;$ lors de sa diffusion dans un champ de force newtonien répulsif $\;k>0\;$ peut se déterminer à l'aide de l'expression de l'énergie mécanique initiale «$\;E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{0}^{\,2}{\cancel {+\;{\dfrac {k}{r_{0}}}}}={\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{0}^{\,2}\;$ en fonction du demi axe focal $\;a\;$» à savoir «$\;E_{m,\,0}={\dfrac {k}{2\;a}}\;$» $\;{\big$voir le paragraphe « en complément, expression de l'énergie mécanique d'un point dans un champ de force newtonien répulsif en fonction du demi axe focal de la trajectoire hyperbolique » plus haut dans ce chapitre${\big ]}\;$ d'où «$\;a={\dfrac {k}{2\;E_{m,\,0}}}>0\;$» ou, avec «$\;E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{0}^{\,2}\;$»,
$\;a={\dfrac {k}{m\;v_{0}^{\,2}}}>0\;$

#### Demi axe non focal de la branche d'hyperbole

Sachant que le « support du vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}\;$ en la position initiale $\;M_{0}\;$ située à l'infini du centre de force $\;O\;$ est une asymptote de la branche d'hyperbole suivie par $\;M\;$ lors de sa diffusion dans un champ de force newtonien répulsif $\;k>0\;$», «$\;O\;$ étant un des foyers de l'hyperbole en question »,
Sachant que le demi axe non focal $\;b\;$ d'une hyperbole est égal à la distance orthogonale séparant les foyers des asymptotes et
Sachant que le « paramètre d'impact $\;h\;$ de la diffusion de $\;M\;$ dans un champ de force newtonien répulsif » est la « distance orthogonale entre le support de $\;{\vec {V}}_{0}\;$ et le centre répulsif $\;O\;$»,
nous en déduisons la valeur du demi axe non focal de la branche d'hyperbole suivie par $\;M\;$ lors de sa diffusion dans un champ de force newtonien répulsif,
$\;b=h\;$

#### Excentricité de la branche d’hyperbole

L'« excentricité d'une hyperbole étant définie par $\;e={\dfrac {c}{a}}\;$» avec «$\;c\;$ la distance séparant le centre $\;C\;$ de l'hyperbole $\;{\big$ou point d'intersection des asymptotes${\big )}\;$ à l'un ou l'autre de ses deux foyers » et
la « distance $\;c\;$ séparant le centre $\;C\;$ de l'hyperbole à l'un qulconque de ses deux foyers » étant liée aux « demi axes focal $\;a\;$ et non focal $\;b\;$» par «$\;c^{2}=a^{2}+b^{2}\;$» $\Rightarrow$ «$\;c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\;$» d'où
par définition de l'excentricité d'une hyperbole «$\;e={\dfrac {c}{a}}={\dfrac {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}{a}}={\sqrt {1+\left({\dfrac {b}{a}}\right)^{\!\!2}}}\;$» ;
de la détermination du demi axe focal «$\;a={\dfrac {-k}{m\;v_{0}^{\,2}}}>0\;$» et non focal «$\;b=h\;$» on en déduit l'expression cherchée de l'excentricité de la branche d'hyperbole «$\;e={\sqrt {1+\left({\dfrac {h}{\dfrac {k}{m\;v_{0}^{\,2}}}}\right)^{\!\!2}}}\;$» soit
$\;e={\sqrt {1+{\dfrac {m^{2}\;v_{0}^{\,4}\;h^{2}}{k^{2}}}}}>1\;$
Remarques : On peut aussi utiliser le « lien existant entre le paramètre $\;p\;$ d'une hyperbole, son demi axe focal $\;a\;$ et son excentricité $\;e\;$» à savoir «$\;p=a\left(e^{2}-1\right)\;$» $\Rightarrow$ l'« excentricité $\;e\;$ en fonction du paramètre $\;p\;$ et du demi axe focal $\;a\;$» c'est-à-dire «$\;e={\sqrt {1+{\dfrac {p}{a}}}}\;$» puis
Remarques : On peut aussi utiliser les évaluations de «$\;p={\dfrac {m\;v_{0}^{\,2}\;h^{2}}{k}}>0\;$» et de «$\;a={\dfrac {k}{m\;v_{0}^{\,2}}}>0\;$» que l'on injecte dans «$\;e={\sqrt {1+{\dfrac {p}{a}}}}\;$», ce qui donne «$\;e={\sqrt {1+{\dfrac {\dfrac {m\;v_{0}^{\,2}\;h^{2}}{k}}{\dfrac {k}{m\;v_{0}^{\,2}}}}}}\;$» soit,
Remarques : après simplification évidente, «$\;e={\sqrt {1+{\dfrac {m^{2}\;v_{0}^{\,4}\;h^{2}}{k^{2}}}}}>1\;$» ;
Remarques : on peut utiliser la définition du paramètre d'une hyperbole «$\;p={\dfrac {b^{2}}{a}}\;$» pour en déduire le demi axe non focal $\;b\;$ en fonction du demi axe focal $\;a\;$ et du paramètre $\;p\;$ soit «$\;b={\sqrt {a\;p}}\;$» puis
Remarques : on peut utiliser la connaissance de «$\;p={\dfrac {m\;v_{0}^{\,2}\;h^{2}}{k}}>0\;$» et de «$\;a={\dfrac {-k}{m\;v_{0}^{\,2}}}>0\;$» pour vérifier l'expression de «$\;b\;$» par réinjection dans «$\;b={\sqrt {a\;p}}={\sqrt {{\dfrac {k}{m\;v_{0}^{\,2}}}\;{\dfrac {m\;v_{0}^{\,2}\;h^{2}}{k}}}}\;$» soit,
Remarques : après simplification évidente, «$\;b=h\;$».

#### Angle d’inclinaison « β » des asymptotes avec l’axe focal

De la détermination du demi axe non focal «$\;b=h\;$» et du demi axe focal «$\;a={\dfrac {k}{m\;v_{0}^{\,2}}}>0\;$» de la branche d'hyperbole suivie par le point matériel $\;M\left(m\right)\;$ lors de sa diffusion dans un champ de force newtonien répulsif $\;{\bigk>0{\big )}$, on peut en déduire l’« angle d’inclinaison $\;{\big$non algébrisé${\big )}$ $\;\beta \;$ des asymptotes sur l’axe focal » $\;{\big$dont le positionnement reste à expliciter${\big )}\;$ par «$\;\beta =\arctan \!\left({\dfrac {b}{a}}\right)\;$ » soit «$\;\beta =\arctan \!\left({\dfrac {h}{\dfrac {k}{m\;v_{0}^{\,2}}}}\right)>0\;$ » et finalement
$\;\beta =\arctan \!\left({\dfrac {m\;v_{0}^{\,2}\;h}{k}}\right)\;$

#### Angle polaire « φ » de l’axe focal

On constate sur le schéma du paragraphe « angle d'inclinaison “ β ” des asymptotes avec l'axe focal (dans le cas d'un champ de force newtonien répulsif) » ci-dessus que l'« angle polaire $\;{\big$algébrisé${\big )}$ $\;\varphi \;$ de l'axe focal de la branche d'hyperbole suivie par le point matériel $\;M\left(m\right)\;$ lors de sa diffusion dans un champ de force newtonien répulsif $\;{\bigk>0{\big )}\;$» est positif et égal au « supplément de l’angle d’inclinaison $\;{\big$non algébrisé${\big )}$ $\;\beta \;$ de la 1re asymptote $\;{\big$le support de $\;{\vec {V}}_{0}{\big )}\;$ sur l’axe focal » soit
$\;\varphi =\pi -\beta =\pi -\arctan \!\left({\dfrac {m\;v_{0}^{\,2}\;h}{k}}\right)>0\;$
Remarque : On peut aussi pour déterminer l'« angle polaire $\;{\big$algébrisé${\big )}$ $\;\varphi \;$ de l'axe focal de la branche d'hyperbole suivie par le point matériel $\;M\left(m\right)\;$ lors de sa diffusion dans un champ de force newtonien répulsif » utiliser les C.I. $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\theta (t=0)=\pi \\r(t=0):\infty \\{\vec {V}}(t=0)={\vec {V}}_{0}\end{array}}\right\rbrace \;$ en variables de Binet à l'aide de l'équation polaire de la trajectoire de $\;M\;$ «$\;r(\theta )={\dfrac {-p}{1-e\;\cos(\theta -\varphi )}}={\dfrac {p}{e\;\cos(\theta -\varphi )-1}}\;$» dont on déduit les deux 1$^{ères}$ variables de Binet «$\;u(\theta )={\dfrac {1}{r(\theta )}}={\dfrac {e\;\cos(\theta -\varphi )-1}{p}}=-{\dfrac {1}{p}}+{\dfrac {e}{p}}\;\cos(\theta -\varphi )\;$ et $\;u'(\theta )={\dfrac {du}{d\theta }}(\theta )=-{\dfrac {e}{p}}\;\sin(\theta -\varphi )\;$», les C.I. se réécrivant en variables de Binet et en utilisant l'expression de Binet de la composante radiale du vecteur vitesse de $\;M\;$ «$\;V_{r}(t)={\dot {r}}(t)=-C\;u'(\theta )\;$» selon $\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c}u(\theta =\pi )\!\!&=&\!\!{\dfrac {1}{r(t=0)}}\!\!&=&\!\!0\\u'(\theta =\pi )\!\!&=&\!\!{\dfrac {V_{r}(t=0)}{-C}}\!\!&=&\!\!{\dfrac {v_{0}}{C}}\end{array}}\right\rbrace$ $\;{\Big$en effet $\;V_{r}(t=0)=$ $-\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert =-v_{0}\;$ car $\;u_{r}(\theta =\pi )=-{\vec {u}}_{x}{\Big ]}\;$ d'où
Remarque : «$\;u(\theta =\pi )=0\;$» $\Rightarrow$ «$\;-{\dfrac {1}{p}}+{\dfrac {e}{p}}\;\cos(\pi -\varphi )=0\;$ ou $\;-{\dfrac {1}{p}}-{\dfrac {e}{p}}\;\cos(\varphi )=0\;$» soit finalement «$\;\cos(\varphi )=-{\dfrac {1}{e}}<0\;$» $\Rightarrow$ $\;\varphi \in \left]-\pi \,,\,-{\dfrac {\pi }{2}}\right[\cup \left]+{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,+\pi \right[\;$ ainsi que
Remarque : «$\;u'(\theta =\pi )={\dfrac {v_{0}}{C}}={\dfrac {v_{0}}{-v_{0}\;h}}\;$ ou $\;u'(\theta =\pi )=-{\dfrac {1}{h}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;-{\dfrac {e}{p}}\;\sin(\pi -\varphi )=-{\dfrac {1}{h}}\;$ ou $\;-{\dfrac {e}{p}}\;\sin(\varphi )=-{\dfrac {1}{h}}\;$» soit finalement «$\;\sin(\varphi )={\dfrac {p}{e\;h}}>0\;$» $\Rightarrow$ $\;\varphi \in \left]0\,,\,+\pi \right[\;$ et,
Remarque : en regroupant les deux conséquences des signes de $\;\cos(\varphi )\;$ et de $\;\sin(\varphi )$, on en déduit «$\;\varphi \in \left]+{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,+\pi \right[\;$» ce qui n'autorise pas l'inversion de «$\;\tan(\varphi )={\dfrac {\sin(\varphi )}{\cos(\varphi )}}={\dfrac {\dfrac {p}{e\;h}}{-{\dfrac {1}{e}}}}=-{\dfrac {p}{h}}=$ $-{\dfrac {\dfrac {m\;v_{0}^{\,2}\;h^{2}}{k}}{h}}\;$» ou «$\;\tan(\varphi )=-{\dfrac {m\;v_{0}^{\,2}\;h}{k}}<0\;$» $\Rightarrow$ $\;\arctan \!\left(-{\dfrac {m\;v_{0}^{\,2}\;h}{k}}\right)\in \left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,0\right[\;$ soit finalement, $\;\varphi \;$ étant de même tangente mais $\;\in \left]+{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,+\pi \right[$,
$\;\varphi =\pi +\arctan \!\left(-{\dfrac {m\;v_{0}^{\,2}\;h}{k}}\right)=\pi -\arctan \!\left({\dfrac {m\;v_{0}^{\,2}\;h}{k}}\right)>0\;$
Remarque : on notera toutefois que cette façon de déterminer $\;\varphi \;$ dans le cas de la diffusion d'un point $\;M\;$ lancé de l'infini dans un champ de force newtonien répulsif est à éviter car elle est nettement plus calculatoire que celle consistant à utiliser les expressions précédemment trouvées des demi axes focal et non focal $\;\ldots$

#### Distance minimale d’approche

La « distance minimale d'approche $\;r_{P}\;$ du point $\;M\;$ lancé de l'infini sur la branche d'hyperbole suivie par ce point lors de sa diffusion dans un champ de force newtonien répulsif » étant la « coordonnée radiale du sommet de cette branche » se détermine, à l'aide de l'équation polaire de cette dernière «$\;r(\theta )={\dfrac {p}{e\;\cos(\theta -\varphi )-1}}\;$», selon «$\;r_{P}=r(\theta =\varphi )={\dfrac {p}{e-1}}\;$» puis
l'injection, dans «$\;r_{P}={\dfrac {p}{e-1}}\;$», des expressions du « paramètre $\;p={\dfrac {m\;v_{0}^{\,2}\;h^{2}}{k}}>0\;$» et de l'« excentricité $\;e={\sqrt {1+{\dfrac {m^{2}\;v_{0}^{\,4}\;h^{2}}{k^{2}}}}}>1\;$» de la branche d'hyperbole suivie par le point lors de sa diffusion dans un champ de force newtonien répulsif nous conduit à «$\;r_{P}={\dfrac {\dfrac {m\;v_{0}^{\,2}\;h^{2}}{k}}{{\sqrt {1+{\dfrac {m^{2}\;v_{0}^{\,4}\;h^{2}}{k^{2}}}}}-1}}\;$» soit, en multipliant haut et bas par «$\;k>0\;$»,
$\;r_{P}={\dfrac {m\;v_{0}^{\,2}\;h^{2}}{{\sqrt {k^{2}+m^{2}\;v_{0}^{\,4}\;h^{2}}}-k}}\;$

### Angle de diffusion

La définition de l'angle de diffusion d'un point matériel lancé de l'infini dans un champ de force newtonien ne dépend pas du caractère répulsif ou attractif du champ de force, elle est donc celle donnée au paragraphe « angle de diffusion (lors de la diffusion dans un champ de force newtonien attractif) » plus haut dans ce chapitre soit mathématiquement
$\;D={\widehat {\left({\vec {V}}_{0}\,,\,{\vec {V}}_{\infty }\right)}}\;$
$\;{\vec {V}}_{\infty }\;$
$\;M\;$
$\;{\vec {V}}_{0}\;$
$\;M\;$
Remarque : Le support de $\;{\vec {V}}_{0}\;$ passant par la position initiale $\;M_{0}\;$ située à l'infini du centre de force $\;O\;$ définissant la 1re asymptote de la branche hyperbolique suivie par $\;M\;$ et
Remarque : celui de $\;{\vec {V}}_{\infty }\;$ passant par la position finale $\;M_{\infty }\;$ également située à l'infini du centre de force $\;O$, la 2ème asymptote de la branche hyperbolique suivie par $\;M$,
Remarque : l'angle de diffusion de $\;M\;$ lancé de l'infini dans un champ de force newtonien répulsif s'écrit encore «$\;D={\widehat {\left({\vec {V}}_{1^{\text{ère}}\,{\text{asymptote}}}\,,\,{\vec {V}}_{2^{\text{ème}}\,{\text{asymptote}}}\right)}}\;$».
Évaluation : Dans le cas d'un champ de force newtonien répulsif on constate, sur le schéma du paragraphe « angle d'inclinaison “ β ” des asymptotes avec l'axe focal (dans le cas d'un champ de force newtonien répulsif) » plus haut dans ce chapitre,
* d'une part, que l'« angle de diffusion $\;D\;$ est $\;>0\;$»,
* d'autre part, l'axe focal étant un axe d'antisymétrie de la branche d'hyperbole orientée dans le sens du mouvement de $\;M\;$ $\Rightarrow$ l'« angle d'inclinaison des asymptotes sur l'axe focal est le même quel que soit l'asymptote c'est-à-dire égal à $\;\beta \;$» d'où «$\;\vert D\vert =\pi -2\;\beta \;$» soit,
Évaluation : après regroupement des deux informations, l'expression de l'angle de diffusion selon «$\;D=\pi -2\;\beta >0\;$» ou, Évaluation : en reportant l'évaluation de «$\;\beta \;$» selon «$\;\beta =\arctan \!\left({\dfrac {m\;v_{0}^{\,2}\;h}{k}}\right)\;$ », la réécriture de l'angle de diffusion selon
$\;D=\pi -2\;\arctan \!\left({\dfrac {m\;v_{0}^{\,2}\;h}{k}}\right)>0\;$
Évaluation : on peut trouver une expression plus compacte de l'angle de diffusion $\;D\;$ en remarquant que «$\;D=\pi -2\;\beta \;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {D}{2}}={\dfrac {\pi }{2}}-\beta \in \left]0\,,\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$ » et par suite, «$\;{\dfrac {D}{2}}\;$» peut être mis sous forme d’un «$\;\arctan\;$» à partir de «$\;\tan \!\left({\dfrac {D}{2}}\right)=\tan \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\beta \right)=\cot(\beta )={\dfrac {1}{\tan(\beta )}}={\dfrac {1}{\dfrac {m\;v_{0}^{\,2}\;h}{k}}}={\dfrac {k}{m\;v_{0}^{\,2}\;h}}\;$» d'où, en inversant, «$\;{\dfrac {D}{2}}=$ $\arctan \!\left({\dfrac {k}{m\;v_{0}^{\,2}\;h}}\right)>0\;$ » soit finalement
$\;D=2\;\arctan \!\left({\dfrac {k}{m\;v_{0}^{\,2}\;h}}\right)>0\;$
Évaluation : Remarque : Le lien entre les deux expressions de $\;D\;$ peut se déduire de la formule «$\;\pi -2\;\arctan \!\left({\dfrac {1}{x}}\right)=2\;\arctan(x),\;\;\forall \;x\;\in \mathbb {R} ^{+\,*}\;$» $\;{\big$trop marginale pour être retenue${\big ]}$ ;
Évaluation : Remarque : en effet, d'une part, les deux expressions, pour $\;x\in \mathbb {R} ^{+\,*}$, ont le même domaine de valeurs «$\;\left]0\,,\,+\pi \right[\;$» compte-tenu de «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\arctan(x)\in \left]0\,,\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\\\arctan \!\left({\dfrac {1}{x}}\right)\in \left]0\,,\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\end{array}}\right\rbrace \;$» et
Évaluation : Remarque : en effet, d'autre part, «$\;y=\pi -2\;\arctan \!\left({\dfrac {1}{x}}\right)\in \left]0\,,\,+\pi \right[\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {y}{2}}={\dfrac {\pi }{2}}-\arctan \!\left({\dfrac {1}{x}}\right)\in \left]0\,,\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$» s'inversant en «$\;\tan \!\left({\dfrac {y}{2}}\right)=\tan \!\left[{\dfrac {\pi }{2}}-\arctan \!\left({\dfrac {1}{x}}\right)\right]\in \mathbb {R} ^{+\,*}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;\tan \!\left({\dfrac {y}{2}}\right)=\cot \!\left[\arctan \!\left({\dfrac {1}{x}}\right)\right]={\dfrac {1}{\tan \!\left[\arctan \!\left({\dfrac {1}{x}}\right)\right]}}={\dfrac {1}{\dfrac {1}{x}}}=x\in \mathbb {R} ^{+\,*}\;$» $\Rightarrow$, dans la mesure où «$\;{\dfrac {y}{2}}\in \left]0\,,\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$», l'inversion de «$\;\tan \!\left({\dfrac {y}{2}}\right)=x\in \mathbb {R} ^{+\,*}\;$» en «$\;{\dfrac {y}{2}}=\arctan(x)\in \left]0\,,\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$» et par suite «$\;y=2\;\arctan(x)\in \left]0\,,\,+\pi \right[\;$» C.Q.F.D.

### Exemple de la diffusion de Rutherford d’une particule « α » par un noyau d'« Au »

La diffusion d'un faisceau monocinétique de particules $\;\alpha \;$ par une feuille d'$Au\;$ disposée perpendiculairement au faisceau incident de projectiles a mis en évidence l’existence d’un noyau chargé positivement de « très petite dimension » au centre d’un atome d’$Au$ ;
cette expérience $\;{\big$connue sous le nom d'« expérience de Rutherford »${\big )}\;$ a été réalisée par « Hans Geiger » et « Ernest Marsden » sous la direction de « Ernest Rutherford » en $\;1909$ ; les résultats obtenus à cette époque étaient si étonnants qu’il fallut à E.Rutherford deux années pour en comprendre les conséquences logiques et formuler une théorie satisfaisante publiée en $\;1911\;$.
Quelques grandeurs caractéristiques de la trajectoire de diffusion d'un hélion sur un noyau d'or : L'angle de diffusion de la « particule $\;\alpha \;$» par le « noyau d’$Au\;$» centré en $\;O$ $\;{\big$le centre de force newtonienne répulsive agissant sur la particule $\;\alpha {\big )}\;$ en fonction du « paramètre d’impact $\;h\;$ de la particule projectile $\;\alpha \;$ relativement à la particule cible noyau d'$Au\;$» est
$\;D=2\;\arctan \!\left({\dfrac {k}{m_{\alpha }\;v_{0}^{\,2}\;h}}\right)\;$
$\;v_{0}\;$
$\;\alpha$
$\;m_{\alpha }\simeq 4\;u\;$
Quelques grandeurs caractéristiques de la trajectoire de diffusion d'un hélion sur un noyau d'or : dans lequel «$\;k={\dfrac {Z_{Au}\;Z_{He}\;e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\;$» avec «$\;{\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\simeq 9\;10^{9}\;U.S.I.$, $\;{\big\varepsilon _{0}\;$ étant la permittivité diélectrique du vide${\big ]}$, $\;Z_{Au}=79\;$ le nombre de charges du noyau d'$Au$, $\;Z_{He}=2\;$ celui de la particule $\;\alpha \;$ et $\;e\simeq 1,6\;10^{-19}\;C\;$ la charge élémentaire » ;
Quelques grandeurs caractéristiques de la trajectoire de diffusion d'un hélion sur un noyau d'or : notant « $\;K_{\alpha ,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;m_{\alpha }\;v_{0}^{\,2}\;$ l'énergie cinétique de lancement de la particule $\;\alpha \;$ égale à l'énergie mécanique initiale $\;E_{m,\,0}\;$ de la particule projectile », l'angle de diffusion de la « particule $\;\alpha \;$» par le « noyau d’$Au\;$» peut être réécrit selon «$\;D=2\;\arctan \!\left({\dfrac {\dfrac {Z_{Au}\;Z_{He}\;e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}{2\;K_{\alpha ,\,0}\;h}}\right)\;$» soit finalement
$\;D=2\;\arctan \!\left({\dfrac {Z_{Au}\;Z_{He}\;e^{2}}{8\;\pi \;\varepsilon _{0}\;K_{\alpha ,\,0}\;h}}\right)=2\;\arctan \!\left({\dfrac {Z_{Au}\;e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;E_{m,\,0}\;h}}\right)\;$
$\;Z_{He}=2\;$
$\;K_{\alpha ,\,0}=E_{m,\,0}$
Quelques grandeurs caractéristiques de la trajectoire de diffusion d'un hélion sur un noyau d'or : historiquement l'énergie cinétique du faisceau monocinétique incident de particules $\;\alpha \;$ était «$\;K_{\alpha ,\,0}\simeq$ $8,5\;MeV\;$ » $\;{\bigg\!\Rightarrow$, dans l'hypothèse où la particule $\;\alpha \;$ a une énergie cinétique newtonienne, $\;v_{0}={\sqrt {\dfrac {2\;K_{\alpha ,\,0}}{m_{\alpha }}}}\simeq {\sqrt {\dfrac {2\times \left(8,5\times 1,6\;10^{-13}\right)}{4\times 1,66\;10^{-27}}}}\simeq 2,02\;10^{7}\;m\cdot s^{-1}\simeq 20\,000\;km\cdot s^{-1}\;$ $\;<\;$ à $\;{\dfrac {c}{10}}\simeq 30\,000\;km\cdot s^{-1}$, ce qui valide l'hypothèse d'une expression newtonienne de l'énergie cinétique de la particule $\;\alpha {\bigg ]}$, nous en déduisons l'expression numérique de l'« angle de diffusion de la particule $\;\alpha \;$ par le noyau d’$Au\;$ » en fonction du « paramètre d’impact $\;h\;$ de la particule projectile $\;\alpha \;$ relativement à la particule cible noyau d'$Au\;$» à partir de l'expression algébrique de cet angle de diffusion «$\;D=$ $2\;\arctan \!\left({\dfrac {Z_{Au}\;e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;E_{m,\,0}\;h}}\right)\;$ » ou «$\;D=2\;\arctan \!\left({\dfrac {Z_{Au}\;e}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;E_{m,\,0,\,{\text{en}}\,eV}\;h}}\right)\;$$^,$ » soit «$\;D\simeq 2\;\arctan \!\left[{\dfrac {79\times 1,6\;10^{-19}\times 9\;10^{9}}{\left(8,5\;10^{6}\right)\;h}}\right]\simeq 2\;\arctan \!\left({\dfrac {1,338\;10^{-14}}{h_{{\text{en}}\,m}}}\right)\;$ » ou encore, en exprimant $\;h\;$ en fermis «$\;D_{{\text{en}}\,rad}\simeq 2\;\arctan \!\left({\dfrac {13,38}{h_{{\text{en}}\,fm}}}\right)\;$ » ou, en exprimant l'angle de diffusion en degrés, «$\;D_{\text{en °}}\simeq {\dfrac {180}{\pi }}\times 2\;\arctan \!\left({\dfrac {13,38}{h_{{\text{en}}\,fm}}}\right)\;$ » soit
$\;D_{\text{en °}}\simeq 114,6\;\arctan \!\left({\dfrac {13,38}{h_{{\text{en}}\,fm}}}\right)\;$
Quelques grandeurs caractéristiques de la trajectoire de diffusion d'un hélion sur un noyau d'or : voir ci-contre le tracé de la courbe de diffusion coulombienne c'est-à-dire de l'angle de diffusion «$\;D_{\text{en °}}\;$» de la particule projectile «$\;\alpha \;$» sur la particule cible « noyau d'$Au\;$» en fonction du paramètre d’impact «$\;h_{{\text{en}}\,fm}\;$» de la particule projectile sur la particule cible en tenant compte exclusivement de l'interaction coulombienne entre les deux et en se plaçant dans le cadre de la cinétique newtonienne ;
Quelques grandeurs caractéristiques de la trajectoire de diffusion d'un hélion sur un noyau d'or : avec une énergie cinétique initiale modérée de la particule $\;\alpha \;$ on constate un accord entre le tracé calculé de la courbe de diffusion $\;{\big$courbe ci-contre${\big )}\;$ et celui effectué avec des résultats expérimentaux $\;{\big$non fourni${\big )}$.
Quelques grandeurs caractéristiques de la trajectoire de diffusion d'un hélion sur un noyau d'or : La distance minimale d'approche $\;r_{P}\;$ d'une particule $\;\alpha \;$ d'énergie cinétique initiale «$\;K_{\alpha ,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;m_{\alpha }\;v_{0}^{\,2}\;$» lors de sa diffusion coulombienne sur un noyau d'$Au\;$ dépend du paramètre d'impact «$\;h\;$» de la particule projectile sur la particule cible selon «$\;r_{P}={\dfrac {m_{\alpha }\;v_{0}^{\,2}\;h^{2}}{{\sqrt {k^{2}+m_{\alpha }^{\,2}\;v_{0}^{\,4}\;h^{2}}}-k}}\;$» dans laquelle «$\;k=$ ${\dfrac {Z_{Au}\;Z_{He}\;e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\;$» avec «$\;{\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\simeq 9\;10^{9}\;U.S.I.$, $\;{\big\varepsilon _{0}\;$ étant la permittivité diélectrique du vide${\big ]}$, $\;Z_{Au}=79\;$ le nombre de charges du noyau d'$Au$, $\;Z_{He}=2\;$ celui de la particule $\;\alpha \;$ et $\;e\simeq 1,6\;10^{-19}\;C\;$ la charge élémentaire » ; en remplaçant «$\;m_{\alpha }\;v_{0}^{\,2}\;$» par «$\;2\;K_{\alpha ,\,0}\;$» $\;{\big$encore égale à $\;2\;E_{m,\,0}{\big ]}\;$ la distance minimale d'approche se réécrit «$\;r_{P}={\dfrac {2\;K_{\alpha ,\,0}\;h^{2}}{{\sqrt {\left({\dfrac {Z_{Au}\;Z_{He}\;e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\right)^{\!\!2}+4\;K_{\alpha ,\,0}^{\,2}\;h^{2}}}-{\dfrac {Z_{Au}\;Z_{He}\;e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}}}\;$» ou, en simplifiant après report de $\;Z_{He}=2$,
$\;r_{P}={\dfrac {K_{\alpha ,\,0}\;h^{2}}{{\sqrt {\left({\dfrac {Z_{Au}\;e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\right)^{\!\!2}+K_{\alpha ,\,0}^{\,2}\;h^{2}}}-{\dfrac {Z_{Au}\;e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}}}\;$
$\;r_{P}={\dfrac {E_{m,\,0,\,{\text{en}}\,eV}\;h^{2}}{{\sqrt {\left({\dfrac {Z_{Au}\;e}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\right)^{\!\!2}+E_{m,\,0,\,{\text{en}}\,eV}^{\,2}\;h^{2}}}-{\dfrac {Z_{Au}\;e}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}}}\;$
Quelques grandeurs caractéristiques de la trajectoire de diffusion d'un hélion sur un noyau d'or : numériquement, avec «$\;E_{m,\,0}=K_{\alpha ,\,0}\simeq 8,5\;MeV\;$ », la distance minimale d'approche $\;r_{P}\;$ d'une particule $\;\alpha \;$ d'énergie cinétique initiale «$\;K_{\alpha ,\,0}\;$» lors de sa diffusion coulombienne sur un noyau d'$Au\;$ se calcule en fonction du paramètre d'impact «$\;h\;$» de la particule projectile sur la particule cible selon «$\;r_{P}\simeq$ ${\dfrac {8,5\;10^{6}\;h^{2}}{{\sqrt {\left(79\times 1,6\;10^{-19}\times 9\;10^{9}\right)^{2}+\left(8,5\;10^{6}\right)^{2}\;h^{2}}}-79\times 1,6\;10^{-19}\times 9\;10^{9}}}\simeq {\dfrac {8,5\;10^{6}\;h^{2}}{{\sqrt {1,2941\;10^{-14}+7,225\;10^{13}\;h^{2}}}-1,1376\;10^{-7}}}\simeq {\dfrac {h^{2}}{{\sqrt {1,7912\;10^{-28}+h^{2}}}-1,3384\;10^{-14}}}\;$» ou encore, en exprimant $\;h\;$ et $\;r_{P}\;$ en fermis,
$\;r_{P,\,{\text{en}}\,fm}\simeq {\dfrac {h_{{\text{en}}\,fm}^{\,2}}{{\sqrt {179,12+h_{{\text{en}}\,fm}^{\,2}}}-13,384}}\;$
Quelques grandeurs caractéristiques de la trajectoire de diffusion d'un hélion sur un noyau d'or : voir ci-contre le tracé de la courbe de la distance minimale d'approche «$\;r_{P,\,{\text{en}}\,fm}\;$» de la particule projectile «$\;\alpha \;$» sur la particule cible « noyau d'$Au\;$» en fonction du paramètre d’impact «$\;h_{{\text{en}}\,fm}\;$» de la particule projectile sur la particule cible en tenant compte exclusivement de l'interaction coulombienne entre les deux et en se plaçant dans le cadre de la cinétique newtonienne ; sur la courbe ci-contre on peut vérifier graphiquement que la distance minimale d’approche «$\;r_{P,\,{\text{en}}\,fm}\searrow \;$ quand $\;h_{{\text{en}}\,fm}\searrow \;$» avec « une limite finie non nulle $\;r_{P,\,{\text{min. en}}\,fm}\simeq 27\;fm\;$ quand $\;h_{{\text{en}}\,fm}\rightarrow 0\;$» ;
Quelques grandeurs caractéristiques de la trajectoire de diffusion d'un hélion sur un noyau d'or : avec une énergie cinétique initiale modérée de la particule $\;\alpha \;$ on constate un accord entre le tracé calculé de la courbe de distance minimale d'approche en fonction du paramètre d’impact $\;{\big$courbe ci-contre${\big )}\;$ et celui effectué avec des résultats expérimentaux $\;{\big$non fourni${\big )}$ $\;{\big$dans la mesure où il y a accord entre le tracé calculé de la courbe de diffusion et celui effectué avec les résultats expérimentaux concernant l'angle de diffusion, il y a automatiquement accord entre le tracé calculé de la courbe de distance minimale d'approche et celui effectué avec les résultats expérimentaux concernant la distance minimale d'approche puisque ceux-ci ont été obtenus à partir de ceux concernant l'angle de diffusion${\big ]}$,
Quelques grandeurs caractéristiques de la trajectoire de diffusion d'un hélion sur un noyau d'or : mais dès que l'énergie cinétique initiale de la particule $\;\alpha \;$ devient « grande », une différence entre le tracé calculé de la courbe de distance minimale d'approche en fonction du paramètre d’impact $\;{\big$dans le cadre d'une diffusion exclusivement coulombienne traitée en dynamique newtonienne, courbe semblable à celle affichée ci-dessus à droite${\big )}\;$ et celui effectué avec des résultats expérimentaux $\;{\big$non fourni${\big )}\;$ s'observe au voisinage du paramètre d'impact nul.
Quelques grandeurs caractéristiques de la trajectoire de diffusion d'un hélion sur un noyau d'or : Remarque : Nous n'avons tenu compte que de l’interaction coulombienne entre le noyau d'$Au\;$ et la particule $\;\alpha \;$ car l’interaction nucléaire forte ${\big$résiduelle${\big )}\;$ qui s'exerce également entre les deux étant à très courte portée n’intervient que lorsque les particules projectile et cible sont au contact, ce qui nécessite que la « distance minimale d’approche $\;r_{P}\;$ soit $\;\lesssim \;$ à $\;R_{{\text{noyau d'}}Au}+R_{{\text{noyau d'}}He}$ $\;{\bigR_{{\text{noyau d'}}Au}\simeq 8,1\;fm\;$ et $\;R_{{\text{noyau d'}}He}\simeq 1,9\;fm\;$ étant respectivement le rayon du noyau d'$Au\;$ et celui de la particule $\;\alpha \;$${\big )}\;$ soit $\;r_{P}\lesssim 10\;fm\;$» ;
Quelques grandeurs caractéristiques de la trajectoire de diffusion d'un hélion sur un noyau d'or : Remarque : l'énergie cinétique initiale maximale d'une particule $\;\alpha \;$ lors de sa diffusion sur un noyau d'$Au\;$ pour que celle-ci reste uniquement coulombienne est «$\;K_{0,\,{\text{max}}}=E_{m,\,0,\,{\text{max}}}\;$ définie par $\;r_{P,\,{\text{min}}}(K_{0,\,{\text{max}}})=r_{P,\,K_{0}}(h=0)=10\;fm\;$» avec «$\;r_{P,\,K_{0}}(h=0)={\dfrac {2\;Z_{Au}\;e}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;E_{m,\,0,\,{\text{en}}\,eV}}}\;$» dont on déduit «$\;K_{0,\,{\text{max}},\,{\text{en}}\,eV}=$ $E_{m,\,0,\,{\text{max}},\,{\text{en}}\,eV}={\dfrac {2\;Z_{Au}\;e}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r_{P,\,{\text{min}}}(K_{0,\,{\text{max}}})}}\simeq {\dfrac {2\times 79\times 1,6\;10^{-19}\times 9\;10^{9}}{\left(10\;10^{-15}\right)}}\;eV\simeq 22,75\;10^{6}\;eV\;$» soit «$\;K_{0,\,{\text{max}}}\simeq 23\;MeV\;$» $\;{\big$correspondant à une valeur d'énergie cinétique de particule $\;\alpha \;$ très légèrement relativiste${\big )}$ ;
Quelques grandeurs caractéristiques de la trajectoire de diffusion d'un hélion sur un noyau d'or : Remarque : en conclusion, « si l'énergie cinétique initiale $\;K_{0}\;$ de la particule $\;\alpha \;$ lors de sa diffusion sur un noyau d'$Au\;$ est $\;\lesssim 23\;MeV\;$», l'interaction entre les particules projectile et cible est purement coulombienne ce qui se manifeste par l'accord entre le tracé calculé de la courbe de diffusion et celui effectué avec des résultats expérimentaux d'une part et d'autre part par l'accord entre le tracé calculé de la courbe de distance minimale d'approche et celui effectué avec les résultats expérimentaux,
« si l'énergie cinétique initiale $\;K_{0}\;$ de la particule $\;\alpha \;$ lors de sa diffusion sur un noyau d'$Au\;$ est $\;\gtrsim 23\;MeV\;$» $\;{\big$par exemple $\;30\;MeV{\big )}$,
* l'interaction entre les particules projectile et cible est purement coulombienne pour un paramètre d'impact $\;h\gtrsim h_{\text{désacc}}\;$ avec $\;h_{\text{désacc}}\;$ la valeur du paramètre d'impact $\;h\;$ pour laquelle la distance minimale d'approche $\;r_{P}(h)\;$ est égale à $\;R_{{\text{noyau d'}}Au}+R_{{\text{noyau d'}}He}\;$ $\;{\bigR_{{\text{noyau d'}}Au}\;$ et $\;R_{{\text{noyau d'}}He}\;$ étant respectivement le rayon du noyau d'$Au\;$ et celui de la particule $\;\alpha \;$${\big )}\;$ ce qui se manifeste par l'accord, pour $\;h\gtrsim h_{\text{désacc}}$, entre le tracé calculé de la courbe de diffusion et celui effectué avec des résultats expérimentaux d'une part $\;{\big$voir courbe ci-contre à droite${\big )}\;$ et d'autre part par l'accord, toujours pour $\;h\gtrsim h_{\text{désacc}}$, entre le tracé calculé de la courbe de distance minimale d'approche et celui effectué avec les résultats expérimentaux $\;{\big$voir courbe ci-contre à gauche${\big )}$, mais
* l'interaction nucléaire forte ${\big$résiduelle${\big )}\;$ intervenant aussi pour un paramètre d'impact $\;h\lesssim h_{\text{désacc}}\;$ ce qui se manifeste par un désaccord, pour $\;h\lesssim h_{\text{désacc}}$, entre le tracé calculé de la courbe de diffusion $\;{\big$calcul utilisant uniquement l'interaction coulombienne${\big ]}\;$ et celui effectué avec des résultats expérimentaux $\;{\big$faisant intervenir les deux interactions coulombienne et nucléaire forte ${\big$résiduelle${\big )}{\big ]}$ $\;{\big$voir courbe ci-dessus à droite${\big )}\;$ ainsi qu'un désaccord potentiel, pour $\;h\lesssim h_{\text{désacc}}$, entre le tracé calculé de la courbe de distance minimale d'approche $\;{\big$calcul utilisant uniquement l'interaction coulombienne${\big ]}\;$ et le tracé éventuel qui serait effectué avec des résultats expérimentaux dans la mesure où ceux-ci seraient obtenus directement $\;{\big$et non obtenus par la méthode décrite en note « $^{114}$ » plus haut dans ce chapitre${\big )}$ $\;{\big$voir courbe ci-dessus à gauche${\big )}$.
Rappel de la méthode permettant d'accéder à un ordre de grandeur de la dimension du noyau cible dans une expérience de Rutherford :
* Utiliser un faisceau monocinétique de particules $\;\alpha \;$ suffisamment énergétique $\;{\big$une énergie cinétique initiale $\;K_{0}\simeq 30\;MeV\;$ suffit${\big ]}$,
* relever les valeurs d'angle de diffusion $\;D\;$ du faisceau sur un noyau d'$Au\;$ présélectionné par le détecteur pour différentes valeurs du paramètre d'impact $\;h\;$ puis tracer la courbe de diffusion expérimentale,
* superposer à cette courbe de diffusion expérimentale la courbe de diffusion théorique ne tenant compte que de la diffusion coulombienne et observer que la concordance entre les deux n'est plus réalisée pour des faibles valeurs de paramètre d'impact, plus exactement pour $\;h\lesssim h_{\text{désacc}}$ avec évaluation de $\;h_{\text{désacc}}$ $\;{\big$avec $\;K_{0}\simeq 30\;MeV$, $\;h_{\text{désacc}}\simeq 4,9\;fm{\big ]}$,
* identifier la valeur du minimum expérimental de la distance minimale d'approche $\;r_{P,\,{\text{min}},\,{\text{exp}}}\;$ à la valeur de distance minimale d'approche de diffusion coulombienne pour $\;h_{\text{désacc}}$ $\;{\big$cette valeur de paramètre d'impact correspondant à la limite d'intervention de l'interaction nucléaire forte ${\big$résiduelle${\big )}$, $\;r_{P}(h_{{\text{désacc}},\,{\text{coulomb}}})\;$ est de même valeur avec ou sans l'utilisation de cette interaction${\big ]}\;$ soit «$\;r_{P,\,{\text{min}},\,{\text{exp}}}=$ $r_{P}(h_{{\text{désacc}},\,{\text{coulomb}}})\;$» $\;{\big$avec $\;K_{0}\simeq 30\;MeV$, $\;r_{P}(h_{{\text{désacc}},\,{\text{coulomb}}})\simeq 10\;fm{\big ]}$, « la valeur de $\;r_{P,\,{\text{min}},\,{\text{exp}}}\;$ correspondant à celle de $\;R_{{\text{noyau d'}}Au}+R_{{\text{noyau d'}}He}\;$» $\;{\bigR_{{\text{noyau d'}}Au}\;$ et $\;R_{{\text{noyau d'}}He}\;$ étant respectivement le rayon du noyau d'$Au\;$ et celui de la particule $\;\alpha {\big )}\;$ dans la mesure à l'interaction nucléaire forte ${\big$résiduelle${\big )}\;$ étant à très courte portée, son intervention nécessite le contact entre les particules projectile et cible d'où l'ordre de grandeur du noyau d'$Au\;$ «$\;R_{{\text{noyau d'}}Au}\lesssim r_{P,\,{\text{min}},\,{\text{exp}}}\simeq 10\;fm\;$».