# Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Flux d'un champ vectoriel de l'espace, notion de champ vectoriel à flux conservatif
## Flux de champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers une surface ouverte
### Définition du flux élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel

Soient un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ de l'espace tridimensionnel, Soient une courbe continue fermée $\;(\Gamma )\;$ ${\big$a priori gauche${\big )}\;$ à orientation non préférentielle et Soient une surface ouverte $\;({\mathcal {S}})\;$ dont l'orientation est en accord avec celle de la courbe fermée $\;(\Gamma )\;$ la limitant, nous nous proposons de présenter plus formellement la notion de flux du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ de l'espace tridimensionnel nous nous proposons de présenter plus formellement la notion de flux à travers la surface ouverte orientée $\;({\mathcal {S}})$, nous nous proposons de présenter plus formellement la notion qui a été introduite une 1ère fois au paragraphe nous nous proposons « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » nous nous proposons du chap.$17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et nous nous proposons de présenter plus formellement la notion dont un exemple a été fourni au paragraphe nous nous proposons de présenter plus formellement la notion dont « exemple de calcul de flux de champ vectoriel » nous nous proposons du même chap.$17$ de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ». Ci-contre schéma de définition du flux d'un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ d'un espace tridimensionnel à travers une surface ouverte $\;({\mathcal {S}})\;$ limitée par la courbe fermée $\;(\Gamma )\;$.
Soient $\;{\vec {A}}(M)\;$ un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel et Soient $\;{\overrightarrow {dS}}_{M}\;$ un vecteur surface élémentaire positionné en $\;M\;$, point de définition du champ vectoriel, on appelle « flux élémentaire du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ à travers le vecteur élément de surface $\;{\overrightarrow {dS}}_{M}$ », on appelle « la forme bilinéaire symétrique «$\;\delta \Phi \!\left[{\vec {A}}(M)\right]={\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}\;$».

### Définition du flux d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers une surface ouverte

Soient $\;{\vec {A}}(M)\;$ un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel et Soient $\;({\mathcal {S}})\;$ une surface ouverte limitée par la courbe fermée $\;(\Gamma )$, orientée de façon arbitraire, Soient $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ une surface ouverte limitée par la courbe fermée $\;\color {transparent}{(\Gamma )}$, l'orientation de $\;({\mathcal {S}})\;$ étant définie en accord avec celle de $\;(\Gamma )\;$, on appelle « flux du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ à travers la surface ouverte orientée $\;({\mathcal {S}})\;$», on appelle « l'intégrale surfacique «$\;\Phi _{({\mathcal {S}})}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]=\displaystyle \iint \limits _{({\mathcal {S}})}\delta \Phi \!\left[{\vec {A}}(M)\right]=\displaystyle \iint \limits _{({\mathcal {S}})}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}\;$». Unité de flux de champ vectoriel : $\left[A\right]\;$ étant l'unité dans laquelle les composantes et la norme du champ vectoriel $\;{\vec {A}}\;$ sont mesurées, Unité de flux de champ vectoriel : l'unité dans laquelle s'exprime le flux $\;\Phi _{({\mathcal {S}})}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]\;$ du champ vectoriel $\;{\vec {A}}\;$ à travers la surface $\;({\mathcal {S}})\;$ Unité de flux de champ vectoriel : l'unité dans laquelle s'exprime le flux $\;\color {transparent}{\Phi _{({\mathcal {S}})}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]}\;$ est $\;\left[A\right]\cdot m^{2}$.

### 1ère définition d'un champ vectoriel à flux conservatif de l'espace tridimensionnel

Un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ de l'espace tridimensionnel est dit « à flux conservatif » Un champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ de l'espace tridimensionnel ssi, $\;(\Gamma )\;$ étant une courbe fermée quelconque orientée $\;{\big$de façon arbitraire${\big )}$, Un champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ de l'espace tridimensionnel ssi, le flux du champ vectoriel à travers une surface ouverte quelconque Un champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ de l'espace tridimensionnel si, le flux du champ vectoriel à travers une surface ouverte s'appuyant sur$\;(\Gamma )\;$ Un champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ de l'espace tridimensionnel ssi, le flux du champ vectoriel est indépendant de la surface ouverte choisie Un champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ de l'espace tridimensionnel ou, $\;{\mathcal {S}}_{(\Gamma )}\;$ et $\;{{\mathcal {S}}'}_{(\Gamma )}\;$ étant deux surfaces ouvertes quelconques s'appuyant Un champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ de l'espace tridimensionnel ou, $\;\color {transparent}{{\mathcal {S}}_{(\Gamma )}}\;$ et $\;\color {transparent}{{{\mathcal {S}}'}_{(\Gamma )}}\;$ étant deux surfaces ouvertes toutes deux sur $\;(\Gamma )\;$ et dont Un champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ de l'espace tridimensionnel ou, $\;\color {transparent}{{\mathcal {S}}_{(\Gamma )}}\;$ et $\;\color {transparent}{{{\mathcal {S}}'}_{(\Gamma )}}\;$ étant les orientations sont en accord avec celle de $\;(\Gamma )\;$, Un champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ de l'espace tridimensionnel ssi «$\;\Phi _{{\mathcal {S}}_{(\Gamma )}}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]=\Phi _{{{\mathcal {S}}'}_{(\Gamma )}}\!\left[{\vec {A}}(M)\right],\;\;\forall \;(\Gamma )\;$ c.-à-d. Un champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ de l'espace tridimensionnel ssi «$\;\displaystyle \iint \limits _{{\mathcal {S}}_{(\Gamma )}}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}=\displaystyle \iint \limits _{{{\mathcal {S}}'}_{(\Gamma )}}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M},\;\;\forall \;(\Gamma )\;$».

## Flux de champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers une surface fermée
### Définition du flux sortant d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers une surface fermée

Soient $\;{\vec {A}}(M)\;$ un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel et Soient $\;({\mathcal {S}})\;$ une surface fermée, orientée de l'intérieur vers l'extérieur, on appelle « flux sortant du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ à travers la surface fermée $\;({\mathcal {S}})\;$», on appelle « l'intégrale surfacique «$\;{\begin{array}{c}\qquad \\\Phi _{({\mathcal {S}})}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]=\displaystyle \oiint \limits _{({\mathcal {S}})}\delta \Phi \!\left[{\vec {A}}(M)\right]=\displaystyle \oiint \limits _{({\mathcal {S}})}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}\\\qquad \end{array}}\;$».
Remarque : Si on choisit d'orienter la surface fermée $\;({\mathcal {S}})\;$de l'extérieur vers l'intérieur, on définit le flux entrant du champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers la surface fermée $\;({\mathcal {S}})\;$ par Remarque : Si on choisit d'orienter la surface fermée $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$de l'extérieur vers l'intérieur, on définit «$\;{\begin{array}{c}\qquad \\\Phi _{{\text{entrant}},\,({\mathcal {S}})}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]=\displaystyle \oiint \limits _{({\mathcal {S}})}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}\\\qquad \end{array}}\;$», Remarque : Si on choisit d'orienter la surface fermée $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$de l'extérieur vers l'intérieur, on définit ce flux étant l'opposé du flux sortant précédemment défini.

### 2ème définition (équivalente) d'un champ vectoriel à flux conservatif de l'espace tridimensionnel

Un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ de l'espace tridimensionnel est dit « à flux conservatif » Un champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ de l'espace tridimensionnel ssi, le flux sortant du champ vectoriel à travers une surface fermée quelconque Un champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ de l'espace tridimensionnel ssi, le flux sortant du champ vectoriel à travers une surface fermée est nul ou Un champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ de l'espace tridimensionnel ssi, $\;({\mathcal {S}})\;$ étant une surface fermée quelconque orientée Un champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ de l'espace tridimensionnel ssi, $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ étant une surface fermée quelconque de l'intérieur vers l'extérieur, Un champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ de l'espace tridimensionnel ssi, «$\;{\begin{array}{c}\qquad \\\Phi _{({\mathcal {S}})}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]=\displaystyle \oiint \limits _{({\mathcal {S}})}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}=0\end{array}}\;$».
Établissement de l'équivalence des deux définitions : $\bullet \;$la 1ère définition $\Rightarrow$ la 2ème définition, en effet le champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ étant à flux conservatif, Établissement de l'équivalence des deux définitions : $\color {transparent}{\bullet }\;$son flux à travers les deux surfaces ouvertes $\;({\mathcal {S}})\;$ et $\;({\mathcal {S}}')\;$ s'appuyant sur le même contour fermé $\;(\Gamma )\;$ et Établissement de l'équivalence des deux définitions : $\color {transparent}{\bullet }\;$son flux à travers dont les orientations sont en accord avec celle de la courbe fermée les limitant Établissement de l'équivalence des deux définitions : $\color {transparent}{\bullet }\;$est le même c.-à-d. «$\;\Phi _{({\mathcal {S}})}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]=\Phi _{({\mathcal {S}}')}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;\displaystyle \iint \limits _{({\mathcal {S}})}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}=\displaystyle \iint \limits _{({\mathcal {S}}')}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}\;$» ; Établissement de l'équivalence des deux définitions : $\color {transparent}{\bullet }\;$formant la surface fermée $\;({\mathcal {S}}\cup {\mathcal {S}}')\;$ et l'orientant de l'intérieur vers l'extérieur Établissement de l'équivalence des deux définitions : $\color {transparent}{\bullet }\;$formant la surface fermée $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}\cup {\mathcal {S}}')}\;$ et ${\big$on conserve donc l'orientation de $\;({\mathcal {S}})\;$ et on inverse celle de $\;({\mathcal {S}}'){\big ]}$, Établissement de l'équivalence des deux définitions : $\color {transparent}{\bullet }\;$on en déduit alors «$\;\displaystyle \iint \limits _{({\mathcal {S}})}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}=-\displaystyle \iint \limits _{({\mathcal {S}}')_{{\text{sens}}\,+\,{\text{inv}}}}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}\;$» c.-à-d., après transposition, Établissement de l'équivalence des deux définitions : $\color {transparent}{\bullet }\;$on en déduit alors «$\;\displaystyle \iint \limits _{({\mathcal {S}})}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}+\displaystyle \iint \limits _{({\mathcal {S}}')_{{\text{sens}}\,+\,{\text{inv}}}}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}=0\;$» soit finalement, Établissement de l'équivalence des deux définitions : $\color {transparent}{\bullet }\;$on en déduit alors «$\;{\begin{array}{c}\qquad \\\displaystyle \oiint \limits _{({\mathcal {S}}\,\cup \,{\mathcal {S}}')}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}=0\end{array}}\;$» C.Q.F.D. ; Établissement de l'équivalence des deux définitions : $\bullet \;$la 2ème définition $\Rightarrow$ la 1ère définition, en effet le champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ étant à flux conservatif, Établissement de l'équivalence des deux définitions : $\color {transparent}{\bullet }\;$son flux sortant à travers une surface fermée $\;({\mathcal {S}})\;$ quelconque est nul c.-à-d. «$\;{\begin{array}{c}\qquad \\\displaystyle \oiint \limits _{({\mathcal {S}})}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}=0\end{array}}\;$» ou, Établissement de l'équivalence des deux définitions : $\color {transparent}{\bullet }\;$traçant sur $\;({\mathcal {S}})\;$ une courbe fermée $\;(\Gamma )\;$ quelconque qui sépare $\;({\mathcal {S}})\;$ en surfaces ouvertes $\;({\mathcal {S}}_{1})\;$ et $\;({\mathcal {S}}_{2})\;$ s'appuyant toutes deux sur $\;(\Gamma )\;$ puis Établissement de l'équivalence des deux définitions : $\color {transparent}{\bullet }\;$traçant sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ orientant $\;(\Gamma )\;$ dans un sens arbitraire $\Rightarrow$ l'orientation d'une des surfaces ouvertes en accord avec celle de $\;(\Gamma )\;$ Établissement de l'équivalence des deux définitions : $\color {transparent}{\bullet }\;$traçant sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ orientant $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ dans un sens arbitraire $\color {transparent}{\Rightarrow }$ l'orientation d'une des surfaces ouvertes ${\big$par exemple $\;({\mathcal {S}}_{1}){\big ]}$, Établissement de l'équivalence des deux définitions : $\color {transparent}{\bullet }\;$traçant sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ orientant $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ dans un sens arbitraire $\color {transparent}{\Rightarrow }$ l'orientation de l'autre surface étant l'opposée de celle en accord avec le sens de $\;(\Gamma )\;$ Établissement de l'équivalence des deux définitions : $\color {transparent}{\bullet }\;$traçant sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ orientant $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ dans un sens arbitraire $\color {transparent}{\Rightarrow }$ l'orientation de l'autre surface étant l'opposée ${\big$il s'agit donc de $\;({\mathcal {S}}_{2}){\big ]}$, Établissement de l'équivalence des deux définitions : $\color {transparent}{\bullet }\;$on en déduit alors «$\;\displaystyle \iint \limits _{({\mathcal {S}}_{1})}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}+\displaystyle \iint \limits _{({\mathcal {S}}_{2})}{\vec {A}}(M)\cdot \left(-{\overrightarrow {dS}}_{M}\right)=0\;$» ou encore «$\;\displaystyle \iint \limits _{({\mathcal {S}}_{1})}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}=\displaystyle \iint \limits _{({\mathcal {S}}_{2})}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}\;$» C.Q.F.D..

## Théorème de Green - Ostrogradsky (ou théorème de flux - divergence)

Le théorème de Green - Ostrogradsky$^,$ $\;{\big$admis${\big )}\;$ transforme le flux sortant d'un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ de l'espace tridimensionnel à travers une surface fermée quelconque $\;({\mathcal {S}})\;$ Le théorème de Green - Ostrogradsky $\;\color {transparent}{\big$admis$\color {transparent}{\big )}\;$ transforme en intégrale volumique de la divergence du champ vectoriel $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(P)\;$ sur $\;{\mathcal {V}}_{{\text{int. à }}({\mathcal {S}})}\;$ l'expansion tridimensionnelle Le théorème de Green - Ostrogradsky $\;\color {transparent}{\big$admis$\color {transparent}{\big )}\;$ transforme en intégrale volumique de la divergence du champ vectoriel $\;\color {transparent}{\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(P)}\;$ sur $\;\color {transparent}{{\mathcal {V}}_{{\text{int. à }}({\mathcal {S}})}}\;$ intérieure à la surface fermée $\;({\mathcal {S}})\;$ d'où :
$\;{\vec {A}}(M)\;$
$\;({\mathcal {S}})\;$
$\;{\mathcal {V}}_{{\text{int. à }}({\mathcal {S}})}\;$
$\;({\mathcal {S}})$
$\;{\vec {A}}(M)\;$
$\;({\mathcal {S}})\;$
$\;{\begin{array}{c}\qquad \\\Phi _{{\text{sortant}},\,({\mathcal {S}})}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]=\displaystyle \oiint \limits _{({\mathcal {S}})}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}\end{array}}\;$
$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(P)\;$
$\;{\mathcal {V}}_{{\text{int. à }}({\mathcal {S}})}\;$
$\;\Phi _{{\text{sortant}},\,({\mathcal {S}})}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]={\begin{array}{c}\qquad \\\displaystyle \iiint \limits _{{\mathcal {V}}_{{\text{int. à }}({\mathcal {S}})}}\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(P)\;d\tau _{P}\end{array}}\;$
$\;{\begin{array}{c}\qquad \\\displaystyle \oiint \limits _{({\mathcal {S}})}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}\end{array}}\;$
${\begin{array}{c}\qquad \\=\displaystyle \iiint \limits _{{\mathcal {V}}_{{\text{int. à }}({\mathcal {S}})}}\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(P)\;d\tau _{P}\end{array}}\;$
Remarque : ce théorème ne s'applique qu'à la condition que la divergence du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(P)\;$ c.-à-d. $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(P)\;$ soit définie en tout point de $\;{\mathcal {V}}_{{\text{int. à }}({\mathcal {S}})}$ et pour cela Remarque : ce théorème ne s'applique qu'à la condition que le champ vectoriel $\;{\vec {A}}(P)\;$ doit être continûment dérivable en tout point de $\;{\mathcal {V}}_{{\text{int. à }}({\mathcal {S}})}$.

## Propriété locale d'un champ vectoriel à flux conservatif de l'espace tridimensionnel

Propriété directe : Soit un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ de l'espace tridimensionnel « à flux conservatif » et une surface fermée $\;({\mathcal {S}})\;$ quelconque orientée de l'intérieur vers l'extérieur,
* la 2ème définition d'un champ vectoriel à flux conservatif de l'espace tridimensionnel $\Rightarrow$ «$\;{\begin{array}{c}\qquad \\\Phi _{{\text{sortant}},\,({\mathcal {S}})}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]=\displaystyle \oiint \limits _{({\mathcal {S}})}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}=0\;\;\forall \;({\mathcal {S}})\end{array}}\;$»$^,$,
* l'application du théorème de Green - Ostrogradsky$^,$ $\Rightarrow$ «$\;{\begin{array}{c}\qquad \\\displaystyle \oiint \limits _{({\mathcal {S}})}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}=\displaystyle \iiint \limits _{{\mathcal {V}}_{{\text{int. à }}({\mathcal {S}})}}\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(P)\;d\tau _{P}\end{array}}\;$»$^,$$^,$,
* l'utilisation des deux résultats ci-dessus $\Rightarrow$ «$\;\displaystyle \iiint \limits _{{\mathcal {V}}_{{\text{int. à }}({\mathcal {S}})}}\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(P)\;d\tau _{P}=0\;\;\forall \;({\mathcal {V}}_{{\text{int. à }}({\mathcal {S}})})\;$» et, comme l'expansion tridimensionnelle $\;({\mathcal {V}}_{{\text{int. à }}({\mathcal {S}})})\;$ sur laquelle l'intégration est faite est quelconque, l'utilisation des deux résultats ci-dessus $\color {transparent}{\Rightarrow }$ la fonction scalaire de l'espace tridimensionnel à intégrer est nulle en tout point de l'espace soit «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(P)=0\;\;\forall \;P\;$» ;
Propriété directe : un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ de l'espace tridimensionnel « à flux conservatif » est tel que sa divergence $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ est nulle en tout point $\;M\;$ de son domaine de définition.
Propriété réciproque : soit un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ de l'espace tridimensionnel vérifiant $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=0\;\;\forall \;M\;$$^,$ et une expansion tridimensionnelle quelconque limitée par $\;({\mathcal {S}})$, $\;{\mathcal {V}}_{{\text{lim. par }}({\mathcal {S}})}$, Propriété réciproque : soit un champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ de l'espace tridimensionnel vérifiant $\;\color {transparent}{\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=0\;\;\forall \;M}\;$ et $({\mathcal {S}})\;$ étant une surface fermée orientée de l'intérieur vers l'extérieur,
* l'utilisation du théorème de Green - Ostrogradsky$^,$ $\Rightarrow$ «$\;{\begin{array}{c}\qquad \\\displaystyle \iiint \limits _{{\mathcal {V}}_{{\text{lim. par }}({\mathcal {S}})}}\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(P)\;d\tau _{P}=\displaystyle \oiint \limits _{({\mathcal {S}})}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}\end{array}}\;$»$^,$$^,$,
* la nullité de la divergence $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ $\Rightarrow$ «$\;\displaystyle \iiint \limits _{{\mathcal {V}}_{{\text{lim. par }}({\mathcal {S}})}}\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(P)\;d\tau _{P}=\displaystyle \iiint \limits _{{\mathcal {V}}_{{\text{lim. par }}({\mathcal {S}})}}0\;d\tau _{P}=0\;$»,
* l'utilisation des deux résultats ci-dessus $\Rightarrow$ «$\;{\begin{array}{c}\qquad \\\displaystyle \oiint \limits _{({\mathcal {S}})}{\vec {A}}(M)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}=0\end{array}}\;$» ce qui assure que le champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ est « à flux conservatif » ;
Propriété réciproque : un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ de l'espace tridimensionnel vérifiant $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=0\;\;\forall \;M\;$$^,$ est « à flux conservatif ».
Un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ de l'espace tridimensionnel est « à flux conservatif » ssi «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=0\;\;\forall \;M\;$»$^,$.
Remarque : la condition pour que la propriété réciproque soit applicable est qu'il n'existe aucun point de $\;{\mathcal {V}}_{{\text{lim. par }}({\mathcal {S}})}\;$ pour lequel la divergence du champ vectoriel $\;{\vec {A}}\;$ n'est pas défini.

## Condition nécessaire (mais non suffisante) pour qu'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit à flux conservatif

D'après le paragraphe « propriété locale d'un champ vectoriel à flux conservatif de l'espace tridimensionnel » plus haut dans ce chapitre, D'après le paragraphe la C.N. $\;{\big$mais a priori non suffisante${\big )}\;$ pour qu'un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ de l'espace tridimensionnel soit « à flux conservatif » D'après le paragraphe la C.N. $\;\color {transparent}{\big$mais a priori non suffisante$\color {transparent}{\big )}\;$ s'identifie à la propriété locale d'un tel champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ « à flux conservatif » à savoir «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=0\;\;\forall \;M\;$»$^,$. Ci-après nous allons réécrire la condition dans les trois principaux types de repérage du point de l'espace :

### Traduction de la condition nécessaire (mais non suffisante) pour qu'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit à flux conservatif dans le repérage cartésien

En repérage cartésien le champ vectoriel se décomposant en «$\;{\vec {A}}(M)=A_{x}(M)\;{\vec {u}}_{x}+A_{y}(M)\;{\vec {u}}_{y}+A_{z}(M)\;{\vec {u}}_{z}\;$» et En repérage cartésien la C.N. $\;{\big$mais a priori non suffisante${\big )}\;$ pour que $\;{\vec {A}}(M)\;$ soit « à flux conservatif » s'écrivant «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=0\;\;\forall \;M\;$»$^,$, En repérage cartésien nous explicitons cette dernière selon «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)=\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)=0\;$»$^,$.

### Traduction de la condition nécessaire (mais non suffisante) pour qu'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit à flux conservatif dans le repérage cylindro-polaire

En repérage cylindro-polaire, le champ vectoriel se décomposant en «$\;{\vec {A}}(M)=A_{\rho }(M)\;{\vec {u}}_{\rho }+A_{\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }+A_{z}(M)\;{\vec {u}}_{z}\;$» et En repérage cylindro-polaire la C.N. $\;{\big$mais a priori non suffisante${\big )}\;$ pour que $\;{\vec {A}}(M)\;$ soit « à flux conservatif » s'écrivant «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=0\;\;\forall \;M\;$»$^,$, En repérage cylindro-polaire nous explicitons cette dernière selon «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)={\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial \left[\rho \,A_{\rho }\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)=0\;$»$^,$.
Cas particulier fréquent : champ vectoriel à symétrie de révolution : la C.N. $\;{\big$mais a priori non suffisante${\big )}\;$ pour que «$\;{\vec {A}}(M)=A_{\rho }(\rho )\;{\vec {u}}_{\rho }(\theta )\;$» soit « à flux conservatif » Cas particulier fréquent : champ vectoriel à symétrie de révolution : la C.N. $\;\color {transparent}{\big$mais a priori non suffisante$\color {transparent}{\big )}\;$ se simplifie en «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=$ ${\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)={\dfrac {1}{\rho }}\;{\dfrac {d\left[\rho \,A_{\rho }\right]}{d\rho }}(M)=0\;$».

### Traduction de la condition nécessaire (mais non suffisante) pour qu'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit à flux conservatif dans le repérage sphérique

En repérage sphérique, le champ vectoriel se décomposant en «$\;{\vec {A}}(M)=A_{r}(M)\;{\vec {u}}_{r}+A_{\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }+A_{\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$» et En repérage sphérique la C.N. $\;{\big$mais a priori non suffisante${\big )}\;$ pour que $\;{\vec {A}}(M)\;$ soit « à flux conservatif » s'écrivant «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=0\;\;\forall \;M\;$»$^,$, En repérage sphérique cette dernière se réécrit selon «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)={\dfrac {1}{r^{2}}}\left({\dfrac {\partial \left[r^{2}\,A_{r}\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!\!(M)+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right\rbrace _{\!r,\,\varphi }\!\!(M)+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!\!(M)=0\;$»$^,$.
Cas particulier fréquent : champ vectoriel à symétrie sphérique : la C.N. $\;{\big$mais a priori non suffisante${\big )}\;$ pour que «$\;{\vec {A}}(M)=A_{r}(r)\;{\vec {u}}_{r}(\theta \,,\,\varphi )\;$» soit « à flux conservatif » Cas particulier fréquent : champ vectoriel à symétrie sphérique : la C.N. $\;\color {transparent}{\big$mais a priori non suffisante$\color {transparent}{\big )}\;$ se simplifie en «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)={\dfrac {1}{r^{2}}}\;{\dfrac {d\left[r^{2}\,A_{r}\right]}{dr}}(M)=0\;$».

## Condition suffisante pour qu'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit à flux conservatif

Pour que le champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ de l'espace tridimensionnel soit « à flux conservatif » il suffit que «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=0\;\;\forall \;M\;$»$^,$ Pour que le champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ de l'espace tridimensionnel soit « à flux conservatif » avec l'exigence qu'il n'y ait aucun point de l'espace de définition de $\;{\vec {A}}$ $\;{\big\mathbb {R} ^{3}\;$ en absence de restriction${\big )}\;$ Pour que le champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ de l'espace tridimensionnel soit « à flux conservatif » avec l'exigence qu'il n'y ait aucun point en lequel $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ soit non défini ou $\;\neq 0\;$ c.-à-d. Pour que le champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ de l'espace tridimensionnel soit « à flux conservatif » avec l'exigence qu'il n'existe aucun point $\;P\;$ d'un ouvert quelconque $\;U\;$ de l'espace de définition de $\;{\vec {A}}\;$ Pour que le champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ de l'espace tridimensionnel soit « à flux conservatif » avec l'exigence qu'il n'existe aucun point $\;\color {transparent}{P}\;$ tel que, pour tout point $\;Q\in U$, le segment $\;\left[PQ\right]\not \subset U\;$ c.-à-d. que Pour que le champ vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ de l'espace tridimensionnel soit « à flux conservatif » avec l'exigence qu' tout ouvert $\;U\;$ de l'espace de définition de $\;{\vec {A}}\;$ est étoilé d'où la proposition suivante :
$\;{\vec {A}}(M)\;$
$\;\mathbb {R} ^{3}\;$
$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=0\;$