# Mécanique 2 (PCSI)/Exercices/Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Cas particulier du mouvement circulaire, satellites, planètes
## Objet « tombant » sur une planète

Soit un objet assimilé à un point matériel $\;P\;$ de masse $\;m$, situé à une distance initiale $\;a\;$ du centre $\;O\;$ d’une planète sphérique, homogène de masse $\;M\,\gg \,m$, l’objet étant initialement fixe par rapport au référentiel lié à la planète, référentiel supposé galiléen.
L'objet étant lâché de sa position initiale sans vitesse initiale, nous nous proposons de déterminer la durée de chute de l'objet puis de comparer cette durée à la période de révolution que l'objet aurait s'il décrivait une orbite circulaire de rayon $\;a$ $\;{\big \$la constante de gravitation universelle étant notée $\;{\mathcal {G}}{\big \}$.

### Détermination de la durée de chute de l'objet pour atteindre la surface de la planète

Combien de temps mettra l'objet pour « tomber » jusqu'à la surface de la planète sachant que le rayon de celle-ci $\;R_{\text{planète}}\;$ est $\;\ll a$, ce qui revient à confondre la surface de la planète avec son centre $\;O$ ?
Appliquant la r.f.d.n. à l'objet matériel $\;P\left(m\right)\;$ soumis à la seule force de gravitation newtonienne due à « la planète sphérique homogène $\;{\mathcal {S}}\left(M\right)\;$» de centre $\;O\;$ à savoir «$\;{\vec {F}}_{P\,\leftarrow \,{\mathcal {S}}}=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;M\;m}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$», «$\;{\mathcal {G}}\;$ étant la constante de gravitation universelle », «$\;r=OP\;$ la coordonnée radiale de $\;P\;$ et $\;{\vec {u}}_{r}\;$ le vecteur unitaire radial lié à $\;P\;$ dans le repérage sphérique de ce dernier de pôle $\;O\;$ associé au référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ lié à la planète, référentiel supposé galiléen » nous obtenons «$\;{\vec {F}}_{P\,\leftarrow \,{\mathcal {S}}}(t)=m\;{\vec {a}}_{P}(t)\;$» ;
$\;C\;$
$\;{\mathcal {S}}\;$
$\;O\;$
$\;{\big$
$\;{\mathcal {R}}\;$
${\big )}$
$\;{\vec {u}}_{x}={\dfrac {\overrightarrow {OP_{0}}}{a}}\;$
$\;a=\Vert {\overrightarrow {OP_{0}}}\Vert \;$
$\;{\vec {u}}_{x}\;$
$\;-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;M\;m}{\left[x(t)\right]^{2}}}=$
$m\;{\ddot {x}}(t)\;$
$\;x(t)={\overline {OP}}(t)\;$
$\;P\;$
$\;{\overrightarrow {Ox}}\;$
$\;x(t)\;$
$\;{\ddot {x}}(t)+{\dfrac {{\mathcal {G}}\;M}{\left[x(t)\right]^{2}}}=0\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$
$\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$
$\;{\dot {x}}(t)\;$
$\Rightarrow$
$\;{\ddot {x}}(t)\;{\dot {x}}(t)+{\dfrac {{\mathcal {G}}\;M}{\left[x(t)\right]^{2}}}\;{\dot {x}}(t)=0\;$
$\Rightarrow$
$\;{\dfrac {1}{2}}\;{\dot {x}}^{2}(t)-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;M}{x(t)}}=cste\;$
$\;\left\lbrace x(0)=a\,,\,{\dot {x}}(0)=0\right\rbrace$
$\;P\;$
$_{;}{\mathcal {S}}\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;{\dot {x}}^{2}(t)-{\dfrac {2\;{\mathcal {G}}\;M}{x(t)}}=-{\dfrac {2\;{\mathcal {G}}\;M}{a}}\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$
$\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$
$\;x(t)$
$\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$
$\;P\;$
$\;{\mathcal {S}}\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$
$\;{\dot {x}}^{2}(t)=2\;{\mathcal {G}}\;M\,\left[{\dfrac {1}{x(t)}}-{\dfrac {1}{a}}\right]\;$
$\Leftrightarrow$
$\;{\dot {x}}^{2}(t)=2\;{\mathcal {G}}\;M\;{\dfrac {a-x(t)}{a\;x(t)}}\;$
$\;{\dfrac {dx}{\sqrt {\dfrac {a-x}{a\;x}}}}=-{\sqrt {2\;{\mathcal {G}}\;M}}\;dt\;$
$\;{\big \$
$\;x\;\searrow \;$
${\big \}$
pour intégrer le membre de gauche on fait le changement de variable «$\;x=a\;\cos ^{2}(\alpha )\;$ avec $\;\alpha \,\in \,\left[0\,,\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\sqrt {\dfrac {a-x}{a\;x}}}={\sqrt {\dfrac {a-a\;\cos ^{2}(\alpha )}{a^{2}\;\cos ^{2}(\alpha )}}}={\dfrac {1}{\sqrt {a}}}\;\tan(\alpha )\;$» et «$\;dx=-2\;a\;\cos(\alpha )\;\sin(\alpha )\;d\alpha \;$» d'où «$\;{\dfrac {dx}{\sqrt {\dfrac {a-x}{a\;x}}}}={\dfrac {-2\;a\;\cos(\alpha )\;\sin(\alpha )\;d\alpha }{{\dfrac {1}{\sqrt {a}}}\;\tan(\alpha )}}=-2\;a^{\frac {3}{2}}\;\cos ^{2}(\alpha )\;d\alpha =-a^{\frac {3}{2}}\left[1+\cos(2\;\alpha )\right]d\alpha \;$» qui s'intègre en «$\;-a^{\frac {3}{2}}\left[\alpha +{\dfrac {\sin(2\;\alpha )}{2}}\right]+cste\;$»,
pour intégrer le membre de droite s'intégrant en «$\;-{\sqrt {2\;{\mathcal {G}}\;M}}\;t+cste'\;$» soit finalement,
en intégrant le membre de gauche entre $\;a\;$ et $\;x$ $\;{\big \$ou, pour la variable $\;\alpha$, entre $\;0\;$ et $\;\alpha {\big \}$ et le membre de droite entre $\;0\;$ et $\;t$, «$\;-a^{\frac {3}{2}}\left[\alpha +{\dfrac {\sin(2\;\alpha )}{2}}\right]=-{\sqrt {2\;{\mathcal {G}}\;M}}\;t\;$» ou,
$\;x\;$
$\;x=a\;\cos ^{2}(\alpha )\;$
$\;\alpha \,\in \,\left[0\,,\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$
$\Rightarrow$
$\;\alpha =\arccos \!\left[{\sqrt {\dfrac {x}{a}}}\right]\;$
$\Rightarrow$
$\;{\dfrac {\sin(2\;\alpha )}{2}}=\sin(\alpha )\;\cos(\alpha )={\sqrt {1-\cos ^{2}(\alpha )}}\;\cos(\alpha )={\sqrt {1-{\dfrac {x}{a}}}}\;{\sqrt {\dfrac {x}{a}}}={\dfrac {\sqrt {(a-x)\;x}}{a}}\;$
$\;P\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;t=t(x)\;$
$\;t={\dfrac {a^{\frac {3}{2}}}{\sqrt {2\;{\mathcal {G}}\;M}}}\left\lbrace \arccos \!\left[{\sqrt {\dfrac {x}{a}}}\right]+{\dfrac {\sqrt {(a-x)\;x}}{a}}\right\rbrace \;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {c}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\ll a\;$
$\Rightarrow$
$\;O\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)$
$\;t_{\text{sol}}\;$
$\;x_{\text{sol}}\simeq 0\;$
$\;t_{\text{sol}}\simeq t(x_{\text{sol}}\simeq 0)\;$
$\;\left({\mathfrak {c}}\right)\;$
$\;t_{\text{sol}}\simeq {\dfrac {a^{\frac {3}{2}}}{\sqrt {2\;{\mathcal {G}}\;M}}}\;{\dfrac {\pi }{2}}={\dfrac {\pi }{\sqrt {{\mathcal {G}}\;M}}}\,\left({\dfrac {a}{2}}\right)^{\!{\frac {3}{2}}}\;$
${\underline {\;P\;}}$
${\underline {\;{\mathcal {S}}\;}}$
${\underline {\;{\mathcal {R}}\;}}$
$\;P\left(m\right)\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;P\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;P\;$
$\;U_{\text{gravit}}(P_{t})=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;M\;m}{x(t)}}\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;P\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;E_{m}(t)=E_{m}(0)\;\;\forall \;t\;$
$\;E_{m}(t)=K_{P}(t)+U_{\text{gravit}}(P_{t})={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {x}}^{2}(t)-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;M\;m}{x(t)}}\;$
$\;E_{m}(0)=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;M\;m}{a}}\;$
$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {x}}^{2}(t)-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;M\;m}{x(t)}}=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;M\;m}{a}}\;$
$\;{\dfrac {2}{m}}$
$\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$

### Expression de la durée de chute de l'objet pour atteindre la surface de la planète en fonction de la période de révolution qu'aurait cet objet s'il décrivait une orbite circulaire autour de la planète pour une même position initiale

Exprimer cette durée de chute de l'objet pour atteindre la surface de la planète en fonction de la période de révolution d'un satellite en orbite circulaire autour de la planète, le rayon de l'orbite étant égal à la distance initiale $\;a\;$ séparant l'objet du centre $\;O\;$ de la planète.
Si, dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen lié à la planète sphérique homogène $\;\left({\mathcal {S}}\right)$, l'objet matériel $\;P\left(m\right)\;$ décrivait une orbite circulaire de rayon $\;a\;$ autour de cette planète $\;\left({\mathcal {S}}\right)$, la révolution de $\;P\;$ autour de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ se ferait avec une période égale à «$\;T={\sqrt {\dfrac {4\;\pi ^{2}\;a^{3}}{{\mathcal {G}}\;M}}}\;$» s'écrivant encore «$\;T={\dfrac {2\;\pi }{\sqrt {{\mathcal {G}}\;M}}}\;a^{\frac {3}{2}}\;$» ; nous en déduisons «$\;{\dfrac {t_{\text{sol}}}{T}}={\dfrac {{\dfrac {\pi }{\sqrt {{\mathcal {G}}\;M}}}\,\left({\dfrac {a}{2}}\right)^{\!{\frac {3}{2}}}}{{\dfrac {2\;\pi }{\sqrt {{\mathcal {G}}\;M}}}\;a^{\frac {3}{2}}}}=2^{-{\frac {5}{2}}}\;$» c'est-à-dire que la durée de chute de l'objet matériel $\;P\;$ pour atteindre la surface de la planète $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ sans vitesse initiale à partir d'une distance $\;a\;$ du centre de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ est «$\;2^{\frac {5}{2}}\simeq 5,66\;$ fois plus petite » que la période qu'aurait cet objet décrivant une orbite circulaire de rayon $\;a\;$ autour de $\;\left({\mathcal {S}}\right)$.