# Signaux physiques (PCSI)/Propagation d'un signal : Polarisation rectiligne de la lumière, loi de Malus
## Caractère vectoriel de la grandeur vibrante en optique, le champ électromagnétique

Cette notion a déjà été introduite dans le paragraphe intitulé « Grandeurs vibrantes en électromagnétisme, célérité de la propagation » du chap.$2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ; les grandes lignes sont rappelées ci-dessous :
La grandeur vibrante associée à une onde optique $\;{\big$cas particulier d'une onde électromagnétique${\big )}\;$ est un champ électromagnétique $\;\left\lbrace {\vec {E}}\,{\text{;}}\,{\vec {B}}\right\rbrace$ ;
une onde électromagnétique $\;{\big$donc aussi une onde optique${\big )}\;$ n'a pas besoin de milieu matériel pour se propager, elle traverse, par exemple, l'espace vide entre une galaxie lointaine et la Terre ;
dans le vide l'onde électromagnétique $\;{\big$et donc aussi l'onde optique${\big )}\;$ est nécessairement transversale $\;{\big{\vec {E}}\;$ et $\;{\vec {B}}\;$ sont $\;\perp \;$ au vecteur d'onde ${\vec {k}}{\big )}\;$ mais dans la matière il peut « s'y ajouter » une composante longitudinale ;
la célérité de propagation d'une onde électromagnétique $\;{\big$et donc aussi optique${\big )}\;$ dans le vide est notée «$\;c\;$» laquelle vaut $\;300\,000\;km\!\cdot \!s^{-1}$, dans un milieu matériel « transparent » elle est notée «$\;v\;$» et elle est strictement inférieure à $\;300\,000\;km\!\cdot \!s^{-1}$.

## Récepteurs lumineux, notion d'éclairement, sources lumineuses
### Notion de récepteurs lumineux

Ces récepteurs sont sensibles à la puissance lumineuse « moyenne » reçue ; ainsi, lorsqu'il reçoit l'onde lumineuse notée «$\;s(x_{\text{récepteur}},\,t)\;$» $\;{\big$on suppose une propagation unidirectionnelle${\big )}\;$ la puissance lumineuse instantanée reçue est «$\;\propto \;$ à $\;\left[s(x_{\text{récepteur}},\,t)\right]^{2}\;$» mais le récepteur lumineux répond à la puissance lumineuse moyenne reçue «$\;\propto \;$ à $\;\left\langle \left[s(x_{\text{récepteur}},\,t)\right]^{2}\right\rangle \;$» ;
si l'onde lumineuse est harmonique de fréquence $\;f\;$ c.-à-d. si «$\;s(x_{\text{récepteur}},\,t)=A(x_{\text{récepteur}})\,\cos \!\left[2\,\pi \,f\,t+\varphi (x_{\text{récepteur}})\right]\;$» on établit que «$\;\left\langle \left[s(x_{\text{récepteur}},\,t)\right]^{2}\right\rangle ={\dfrac {\left[A(x_{\text{récepteur}})\right]^{2}}{2}}\;$» ;
la réponse du récepteur $\;{\big$indépendante du temps${\big )}\;$ est «$\;K\,{\dfrac {\left[A(x_{\text{récepteur}})\right]^{2}}{2}}\;$» où $\;K\;$ est une constante de proportionnalité.
Conséquence de la propagation tridimensionnelle de la lumière : une onde lumineuse ayant une propagation tridimensionnelle, son amplitude en un point $\;M\;$ varie de façon inversement $\;\propto \;$ à la distance $\;d\;$ séparant $\;M\;$ de la source et par suite Conséquence de la propagation tridimensionnelle de la lumière : la réponse d'un récepteur lumineux est inversement $\;\propto \;$ au carré de la distance $\;d\;$ le séparant de la source ou, plus précisément, Conséquence de la propagation tridimensionnelle de la lumière : en appelant «$\;A_{0}\;$ l'amplitude de l'onde à la source », la réponse du récepteur s'écrit «$\;K{\dfrac {A_{0}^{2}}{2\,d^{2}}}\;$» où $\;K\;$ est la même constante de proportionnalité que celle définie dans la propagation unidimensionnelle ci-dessus.

### Différents types de récepteurs lumineux (encore appelés photorécepteurs)

* Photographie de photodiodes avec l'ordre de grandeur de leurs dimensions
* Photographie d'une photorésistance
* Photographie d'une thermopile avec son « écorché »
* Photographie d'un capteur CCD

#### Photodiode

Diode à « jonction PN » $\;{\big$schéma ci-contre à droite avec caractéristiques courant - tension${\big )}$, en absence de polarisation elle crée une tension $\;{\big$mode photovoltaïque${\big )}\;$ et en polarisation inverse c.-à-d. $\;U=V_{P}-V_{N}<0\;$ ${\big$mode photoampérique${\big )}\;$ elle crée un courant de $\;N\;$ vers $\;P\;$ correspondant à $\;I<0\;$ sur la figure ci-contre, dans les deux cas « la réponse est $\;\propto \;$ à la puissance lumineuse moyenne reçue » ;  dans le mode photoampérique, le courant provient essentiellement du fait qu'un photon reçu par la zone $\;P\;$ ${\big$ou la zone $\;N{\big )}\;$ est absorbé par un porteur $\;p\;$ ${\big$ou un porteur $\;n{\big )}\;$ s'y trouvant en lui donnant l'énergie suffisante pour franchir la barrière de potentiel extérieur d'où un courant de $\;N\;$ vers $\;P\;$ d'intensité $\;{\big<0{\big )}\;$ $\;\propto \;$ au nombre de photons « efficaces » reçus par seconde ;  dans le mode photovoltaïque, on branche un conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ aux bornes de la photodiode et dans la mesure où $\;R\;$ n'est pas trop grande, on mesure la tension entre les bornes communes, laquelle étant $\;\propto \;$ à l'intensité du courant circulant dans le conducteur ohmique est par conséquent aussi $\;\propto \;$ au nombre de photons « efficaces » reçus par seconde par la photodiode $\;\ldots$
Le temps de réponse d'une photodiode est assez court $\;\tau =1\,\mu s\;$ et sa sensibilité, en mode photoampérique, est de l'ordre de $\;\sigma =100\;mA\!\cdot \!W^{-1}$.

#### Photorésistance

Couche mince de semi-conducteur constitué généralement de sulfure de cadmium $\;{\bigCd\,S{\big )}$ $\;{\big$symbole ci-contre à gauche${\big )}$ ; en l'éclairant, le nombre de porteurs et donc la conductivité augmentent, on mesure alors la résistance à l'ohmmètre et la variation de celle-ci est de la forme «$\;R\propto {\dfrac {1}{\left[{\mathcal {P}}_{\text{lum, moy}}\right]^{n}}}\;$ dans laquelle $\;n\;$ est une constante comprise entre $\;0,5\;$ et $\;1\;$ dépendant du semi-conducteur utilisé » ; on peut aussi imposer une tension et mesurer l'intensité traversant la photorésistance, plus la puissance lumineuse moyenne reçue est grande, plus la résistance est faible et plus grande est l'« intensité qui varie alors selon $\;\propto \left[{\mathcal {P}}_{\text{lum, moy}}\right]^{n}\;$» ; lors de cette utilisation l'ordre de grandeur de la sensibilité de la photorésistance peut atteindre $\;\sigma =100\;A\!\cdot \!W^{-1}\;$ c.-à-d. beaucoup plus sensible qu'une photodiode avec néanmoins un temps de réponse nettement plus grand d'ordre de grandeur $\;\tau =10\;ms$ ;  une photorésistance sert essentiellement pour des détections en tout ou rien de lumière $\;{\big$commande automatique${\big )}$.

#### Thermopile

Dispositif électronique convertissant l'« énergie thermique » en énergie électrique $\;{\big$voir ci-contre à droite${\big )}$ ; une thermopile est composée de « thermocouples » connectés en « parallèle », chacun ayant une électrode soumise à la puissance lumineuse moyenne $\;{\big$soudure chaude${\big )}$, l'autre étant à une température imposée dite de référence $\;{\big$soudure froide${\big )}$, ceci générant une tension $\;\propto \;$ à la différence de température entre les électrodes des thermocouples et celles de référence $\;{\big$voir schéma de montage ci-contre à droite${\big )}$ ;  l'ordre de grandeur de la sensibilité d'une thermopile est $\;\sigma =1\;V\!\cdot \!W^{-1}$ et celui de son temps de réponse $\;\tau =1\;s\;$ c.-à-d. « relativement grand ».

#### Capteur CCD

« C.C.D. » sigle pour « Charge-Coupled Device » que l'on traduit en français par « D.T.C. » sigle pour « Dispositif à Transfert de Charge » ;
un capteur C.C.D. est un élément sensible des appareils photographiques numériques ; il fournit pour chaque pixel de l'image les valeurs des trois puissances lumineuses moyennes pour les trois couleurs de base « rouge, vert et bleu » du système R.V.B. $\;{\big$voir matrice de Bayer ci-contre à gauche${\big )}$ ;
un capteur de $\;12\;10^{6}\;$ pixels est un tableau rectangulaire de $\;4000\times 3000\;$ cellules comportant chacune $\;4\;$ photorécepteurs $\;{\big1\;$ pour le rouge, $\;2\;$ pour le vert et $\;1\;$ pour le bleu${\big )}\;$ de taille « quelques $\;\mu m\;$» et de temps de réponse $\;<10\,ms$.
Ci-contre à droite le schéma de fonctionnement d'un C.C.D. « interligne » qui comprend deux matrices C.C.D. de même dimension,
* l'une dite « d'exposition » permettant la capture des photons car elle est exposée à la lumière,
* l'autre dite « de stockage », non exposée à la lumière, vers laquelle un transfert rapide de la matrice d'exposition est réalisée et dans laquelle une numérisation peut se faire simultanément à l'acquisition d'une nouvelle image dans la matrice d'exposition $\;\ldots$
Remarque : Le C.C.D. a été inventé par George Elwood Smith et Willard Sterling Boyle dans les Laboratoires Bell en $\;1969$, cette invention leur rapportera la moitié du Prix Nobel de physique en $\;2009\;$.

### Notion d'éclairement d'une onde lumineuse en un point

$\;{\mathcal {E}}(M)\;$
$\;M\;$
$\;\perp \;$
$\;M\;$
$\;\left\langle {\mathcal {P}}_{({\mathcal {S}}_{M})}\right\rangle \;$
$\;({\mathcal {S}}_{M})\;$
$\;S\;$
$\;M\;$
$\;{\mathcal {E}}(M)={\dfrac {\left\langle {\mathcal {P}}_{({\mathcal {S}}_{M})}\right\rangle }{S}}\;$
$\;W\cdot m^{-2}\;$
À l'inverse, connaissant l'« éclairement $\;{\mathcal {E}}(M)\;$ d'une onde lumineuse en un point $\;M\;$», on en déduit la « puissance lumineuse moyenne $\;\left\langle {\mathcal {P}}_{({\mathcal {S}}_{M})}\right\rangle \;$ reçue par une surface $\;({\mathcal {S}}_{M})\;$ d'aire $\;S\;$ placée perpendiculairement à la direction de propagation de l'onde en $\;M\;$» par «$\;\left\langle {\mathcal {P}}_{({\mathcal {S}}_{M})}\right\rangle ={\mathcal {E}}(M)\;S\;$».
$\;f\;$
$\;A(x)\;$
$\;\left\langle {\mathcal {P}}_{({\mathcal {S}}_{M})}\right\rangle \;$
$\;({\mathcal {S}}_{M})\;$
$\;M\;$
$\;\propto \;$
$\;{\dfrac {\left[A(x)\right]^{2}}{2}}\;$
$\;\left[A(x)\right]^{2}\;$
$\;{\mathcal {E}}(M)=K\;\left[A(x)\right]^{2}\;$
$\;K\;$

### Notion d'éclairement spectral

Une onde lumineuse réelle étant une « superposition d'ondes harmoniques », l'« éclairement $\;{\mathcal {E}}(M)\;$ d'une onde lumineuse réelle en un point $\;M\;$» est la « somme des éclairements de chaque harmonique au même point $\;M\;$».

#### Cas d'une onde lumineuse à spectre d'amplitude discret

Le « spectre d'amplitude étant un spectre de raies » $\;{\big$exemple : lumière d'émission d'une lampe à vapeur métallique${\big )}$, l'onde lumineuse peut s'écrire «$\;s(x,\,t)=$ $\sum \limits _{m=1}^{m_{\text{max}}}A_{m}(x)\,\cos \!\left[2\,\pi \,f_{m}\,t+\varphi _{m}(x)\right]\;$» et l'éclairement en $\;M(x)\;$ s'obtient par «$\;{\mathcal {E}}(x)=\sum \limits _{m=1}^{m_{\text{max}}}{\mathcal {E}}_{m}(x)=$ $K\,\left\lbrace \sum \limits _{m=1}^{m_{\text{max}}}\left[A_{m}(x)\right]^{2}\right\rbrace \;$» ; la répartition des éclairements de chaque harmonique suivant leur fréquence «$\;{\mathcal {E}}_{m}(x)=K\,\left[A_{m}(x)\right]^{2}\;$» définit l'« éclairement spectral ».

#### Cas d'une onde lumineuse à spectre d'amplitude continu

De nombreux cas de lumières correspondent à une superposition d'ondes harmoniques dont la fréquence prend une valeur quelconque d'un intervalle continu, la somme discrète définissant toute superposition étant alors remplacée par une intégrale sur les « valeurs de fréquences de l'intervalle continu » selon «$\;s(x,\,t)=\displaystyle \int _{f_{1}}^{f_{2}}A(f,\,x)\,\cos \!\left[2\,\pi \,f\,t+\varphi (f,\,x)\right]\;df\;$», les bornes d'intégration pouvant prendre $-$ suivant le type de lumière $-$ toute valeur comprise entre $\;0\;$ et $\;\infty \;$ ; dans ces conditions l'« éclairement au point $\;M(x)\;$ s'écrit $\;{\mathcal {E}}(x)=\displaystyle \int _{f_{1}}^{f_{2}}{\mathcal {E}}(f,\,x)\,df\;$» dans laquelle la fonction «$\;{\mathcal {E}}(f,\,x)=$ $K\,\left[A(f,\,x)\right]^{2}\;$» définit l'« éclairement spectral au point $\;M(x)\;$», l'« éclairement spectral $\;{\mathcal {E}}(f,\,x)\;$ s'exprimant en $\;W\cdot m^{-2}\cdot s\;$ ou $\;J\cdot m^{-2}\;$», son graphe en fonction de la fréquence définissant le « spectre d'éclairement » ;
il n'est pas rare que l'« on remplace la fréquence $\;f\;$ par la longueur d'onde dans le vide $\;\lambda _{0}\;$» en utilisant «$\;\lambda _{0}={\dfrac {c}{f}}\;$ ou $\;f={\dfrac {c}{\lambda _{0}}}\;$» ce qui donne par différenciation «$\;df=-{\dfrac {c}{\lambda _{0}^{2}}}\,d\lambda _{0}\;$» soit «$\;{\mathcal {E}}(x)=$ $\displaystyle \int _{f_{1}}^{f_{2}}{\mathcal {E}}(f,\,x)\,df=-\displaystyle \int _{\lambda _{0,\,1}}^{\lambda _{0,\,2}}{\mathcal {E}}\!\left({\dfrac {c}{\lambda _{0}}},\,x\right){\dfrac {c}{\lambda _{0}^{2}}}\,d\lambda _{0}=\displaystyle \int _{\lambda _{0,\,2}}^{\lambda _{0,\,1}}{\mathcal {E}}\!\left({\dfrac {c}{\lambda _{0}}},\,x\right){\dfrac {c}{\lambda _{0}^{2}}}\,d\lambda _{0}\;$» ou, il n'est pas rare en définissant l'« éclairement spectral relativement à la longueur d'onde dans le vide $\;\lambda _{0}\;$ selon $\;{\mathcal {E}}(\lambda _{0},\,x)={\mathcal {E}}\!\left({\dfrac {c}{\lambda _{0}}},\,x\right){\dfrac {c}{\lambda _{0}^{2}}}\;$» donnant finalement le « lien entre les éclairements spectraux relativement à la longueur d'onde dans le vide et relativement à la fréquence » «$\;{\mathcal {E}}(\lambda _{0},\,x)$ $={\mathcal {E}}(f,\,x)\,{\dfrac {f}{\lambda _{0}}}\;$», il n'est pas rare l'éclairement spectral relativement à la longueur d'onde dans le vide s'exprimant en «$\;W\cdot m^{-3}\;$» et il n'est pas rare l'« éclairement au point $\;M\;$ s'écrivant encore $\;{\mathcal {E}}(x)=\displaystyle \int _{\lambda _{0,\,2}}^{\lambda _{0,\,1}}{\mathcal {E}}(\lambda _{0},\,x)\,d\lambda _{0}\;$».

### Différentes sources lumineuses et leur éclairement spectral

On peut distinguer trois types de sources, les « sources de lumière blanche », les « lampes spectrales » et les « lasers ».

#### Sources de lumière blanche

Sources fournissant un spectre continu contenant toutes les longueurs d'onde dans le vide du domaine du visible, exemples : lumière solaire, lumière émise par les « lampes à filament », lumière émise par les lampes « à économie d'énergie » $\;{\big$voir ci-dessous${\big )}$.
* Spectre d'éclairement de la lumière solaire et d'une lampe à filament
* Spectre d'éclairement de la lumière émise par une lampe à économie d'énergie

#### Lampes spectrales

Ampoules contenant une vapeur dans laquelle on provoque une décharge électrique entre deux électrodes,
elles fournissent un spectre $\;{\big$discret${\big )}\;$ de raies fines caractéristiques de l'élément constituant la vapeur, exemples :
* lampe à vapeur de mercure fournissant une lumière d'aspect violet, contenant les longueurs d'onde dans le vide $\;404,7\;nm\;$ « violet », $\;435,8\;nm\;$ « indigo », $\;546,1\;nm\;$ « vert », $\;577,1\;nm\;{\text{et}}\;579,1\;nm\;$ « doublet jaune-orangé », $\;\ldots$, enfin une raie ultra-violette assez importante $\;{\big$voir le spectre d'éclairement ci-contre${\big )}$ ;
* lampe à vapeur de sodium fournissant une lumière d'aspect « jaune-orangé », contenant essentiellement les longueurs d'onde dans le vide $\;589,0\;nm\;$ et $\;589,6\;nm\;$ « doublet jaune » utilisée pour l'éclairage urbain entre autres.

#### Faisceaux lasers

LASER : $\;big($acronyme de l'anglais « Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation » signifiant « amplification de la lumière par émission stimulée de rayonnement »${\big )}\;$ on observe une émission stimulée provenant d'atomes excités quand on envoie une onde de fréquence très voisine de celle de leur désexcitation, celle-ci ne peut être absorbée si les atomes sont excités mais elle stimule leur désexcitation, l'énergie lumineuse émise venant s'ajouter à celle de l'onde envoyée $\;{\big$voir figure ci-dessous à gauche${\big )}$ ;  pour que le fonctionnement soit continu il faut que les atomes soient en majorité dans leur état excité, or ils se désexcitent de façon stimulée, d'où la nécessité de fournir constamment un apport d'énergie aux atomes pour les renvoyer dans leur état excité $\;{\big$par « pompage optique » $-$ voir figure ci-dessous à droite${\big )}$ ;
* Description du phénomène d'émission stimulée
* pompage optique dans le laser He - Ne et les trois émissions stimulées possibles
d'autre part le laser est un amplificateur de lumière, on obtient cet effet en réinjectant la sortie de l'amplificateur à son entrée, la « distance séparant la sortie de l'entrée étant un multiple de $\;{\dfrac {\lambda _{0}}{2}}\;$», on obtient cet effet permettant le « phénomène de résonance des ondes stationnaires » ainsi obtenues et par suite l'amplification ;  le laser émet une onde monochromatique $\;{\big$donc une seule raie spectrale très fine${\big )}\;$ le laser émet une onde avec une divergence de faisceau très réduite $\;{\big$faisceau quasi « parallèle »${\big )}$.

## État de polarisation des ondes lumineuses
### Lumière naturelle

La lumière naturelle $\;{\big$lumière solaire ou provenant de lampes diverses comme celles à filament${\big )}\;$ est « non polarisée » c.-à-d. que le champ électrique $\;{\vec {E}}(M,\,t)\;$ a une direction quelconque dans le plan transverse passant par $\;M$, « direction variant aléatoirement au cours du temps de façon isotrope » et que le champ magnétique $\;{\vec {B}}(M,\,t)\;$ prend aussi une direction quelconque dans le plan transverse passant par $\;M$, mais de « direction en accord avec celle de $\;{\vec {E}}(M,\,t)\;$» $\;{\Big$voir disposition de $\;{\vec {E}}(M,\,t)$, de $\;{\vec {B}}(M,\,t)\;$ et du vecteur d'onde $\;{\vec {k}}\;$ d'une composante monochromatique quelconque d'une onde plane naturelle dans le schéma représenté ci-contre${\Big ]}$ ;  la lumière naturelle a donc une « symétrie de révolution » autour de sa direction de propagation.

### Polariseur (ou polaroïd)

Un polariseur $\;{\big$ou polaroïd${\big )}\;$ est une lame qui, traversée par une lumière se propageant perpendiculairement à ses faces :
* transmet la totalité de l'énergie associée au champ électrique $\;\parallel \;$ à une direction particulière des plans transverses considérés, direction appelée « direction de transmission privilégiée » et
* absorbe la totalité de l'énergie associée au champ électrique $\;\perp \;$ à cette direction.
Notant «$\;{\vec {u}}_{P}\;$ le vecteur unitaire définissant la direction de transmission privilégiée », nous pouvons vérifier les propriétés ci-dessus avec l'une des rares sources naturellement polarisée « une diode laser » ;
    plaçant un écran perpendiculairement au faisceau émis par une diode laser à une distance approximative de $\;2\,m\;$ et interposant un polariseur monté sur un support tournant dont la position angulaire est repérée par une aiguille solidaire du support relativement à un rapporteur fixe gradué de $\;0\;{\text{à}}\;360\,{\text{°}}\;$, on observe qu'il existe
    deux positions angulaires séparées de $\;180\,{\text{°}}\;$ pour lesquelles l'onde est intégralement absorbée et
    deux autres positions angulaires décalées de $\;90\,{\text{°}}\;$ pour lesquelles la puissance lumineuse moyenne reçue par l'écran est maximale, ce qui permet de conclure au « caractère polarisé rectilignement » de l'onde émise par la diode laser ;
    soit $\;\alpha _{0}\;$ l'angle correspondant à une position de l'aiguille quand la transmission est intégrale, les positions repérées par un angle $\;\alpha \neq \alpha _{0}\;$ à $\;{\dfrac {\pi }{2}}\;$ près correspondent à une puissance lumineuse moyenne reçue partielle, le champ électrique $\;{\vec {E}}(M,\,t)\;$ se décomposant sur la direction $\;{\vec {u}}_{P}\;$ ainsi que sur sa direction $\;\perp \;$ dans le plan du polaroïd $\;{\vec {u}}_{PP}\;$ et
    seule la composante sur $\;{\vec {u}}_{P}\;$ «$\;{\vec {E}}(M,\,t)\!\cdot \!{\vec {u}}_{P}=E(M,\,t)\,\cos(\alpha _{0}-\alpha )\;$» de valeur absolue strictement inférieure à «$\;\vert E(M,\,t)\vert =$ $\left\Vert {\vec {E}}(M,\,t)\right\Vert \;$» étant intégralement transmise $\;{\big$voir figure ci-contre${\big )}$,
    l'autre «$\;{\vec {E}}(M,\,t)\!\cdot \!{\vec {u}}_{PP}=E(M,\,t)\,\sin(\alpha _{0}-\alpha )\;$» étant intégralement absorbée.

### Production d'une onde lumineuse polarisée rectilignement

On utilise un polaroïd qui joue son rôle premier de « polariseur » : un polaroïd $\;{\big$ou polariseur${\big )}\;$ transforme une lumière naturelle en lumière polarisée rectilignement selon sa direction de transmission privilégiée $\;{\vec {u}}_{P}\;$ ;
    le champ électrique $\;{\vec {E}}(M,\,t)\;$ d'une lumière non polarisée ayant une direction aléatoire dont seule la composante sur $\;{\vec {u}}_{P}\;$ est totalement transmise, la composante $\;\perp \;$ à $\;{\vec {u}}_{P}\;$ étant totalement absorbée, il ne reste, à la sortie du polariseur, qu'un champ électrique selon $\;{\vec {u}}_{P}$ ;
    la répartition isotrope de la direction de $\;{\vec {E}}(M,\,t)\;$ avant le polariseur fait que la puissance lumineuse moyenne de l'onde à la sortie de ce dernier représente $\;50\,\%\;$ de celle de l'onde à son entrée, $\;50\,\%\;$ ayant été absorbée.
Comme vu au paragraphe « polariseur (ou polaroïd) » plus haut dans ce chapitre, un polaroïd peut aussi transformer une lumière polarisée rectilignement en une lumière moins puissante polarisée rectilignement suivant une autre direction ; dans le cas exposé le paragraphe précité ci-dessus où « la direction liée au polaroïd fait un angle $\;\alpha _{0}-\alpha \;$ relativement à celle correspondant au maximum de transmission », dans le cas exposé le paragraphe précité ci-dessus « la direction de polarisation de $\;{\vec {E}}'(M,\,t)\;$ à la sortie du polaroïd a tourné de l'angle $\;\alpha _{0}-\alpha \;$ relativement à celle de $\;{\vec {E}}(M,\,t)\;$ à son entrée » et dans le cas exposé le paragraphe précité ci-dessus « la puissance lumineuse moyenne de l'onde de sortie est celle de l'onde d'entrée multipliée par le facteur $\;\cos ^{2}(\alpha _{0}-\alpha )\;$».

## Détection d'une onde lumineuse polarisée rectilignement

On utilise là encore un polaroïd qui joue son rôle second d'« analyseur » : « une onde lumineuse arrivant perpendiculairement sur un polaroïd $\;{\big$ou analyseur${\big )}\;$ et qui est totalement absorbée pour deux positions angulaires opposées de ce dernier est une onde polarisée rectilignement dont la direction de polarisation est $\;\perp \;$ à la direction de transmission privilégiée de l'analyseur lors de l'absorption » ; revoir l'expérience avec la diode laser $\;\ldots$

## Démarche expérimentale autour de la loi de Malus
### Énoncé de la loi de Malus

$\;\alpha \;$
$\;{\mathcal {E}}'\;$
$\;{\mathcal {E}}\;$
$\;{\mathcal {E}}'={\mathcal {E}}\;\cos ^{2}(\alpha )\;$

### Démonstration de la loi de Malus

Soit $\;{\vec {E}}(M,\,t)\;$ le champ électrique de l'onde lumineuse polarisée rectilignement et arrivant perpendiculairement sur le polaroïd en faisant l'angle $\;\alpha \;$ avec la direction de transmission privilégiée $\;{\vec {u}}_{P}$ ;
décomposant ce champ sur $\;{\vec {u}}_{P}\;$ et sur $\;{\vec {u}}_{PP}\;$ vecteur unitaire $\;\perp \;$ au précédent situé dans le plan du polaroïd, nous en déduisons l'expression du champ électrique de l'onde incidente «$\;{\vec {E}}(M,\,t)=$ $E(M,\,t)\,\cos(\alpha )\,{\vec {u}}_{P}+E(M,\,t)\,\sin(\alpha )\,{\vec {u}}_{PP}\;$» dans laquelle seule la composante sur $\;{\vec {u}}_{P}\;$ est transmise ;
à la sortie du polaroïd, le champ électrique de l'onde transmise polarisée rectilignement s'écrit alors «$\;{\vec {E}}'(M,\,t)=E(M,\,t)\,\cos(\alpha )\,{\vec {u}}_{P}\;$» et nous en déduisons que « les amplitudes des harmoniques du champ électrique transmis s'obtiennent à partir de celles des harmoniques de même fréquence du champ électrique incident en multipliant ces dernières par le facteur $\;\cos(\alpha )\;$» ;
d'après la définition de l'éclairement d'une onde en un point $\;M\;$ «$\;{\mathcal {E}}(M)=\displaystyle \int _{f_{1}}^{f_{2}}{\mathcal {E}}(f,\,M)\,df=\displaystyle \int _{f_{1}}^{f_{2}}K\,\left[A(f,\,M)\right]^{2}\,df\;$» nous en déduisons l'« éclairement de l'onde transmise en un point $\;M\;$ situé au-delà du polariseur $\;{\mathcal {E}}'(M)=\displaystyle \int _{f_{1}}^{f_{2}}K\,\left[A'(f,\,M)\right]^{2}\,df=$ $\displaystyle \int _{f_{1}}^{f_{2}}K\,\left[A(f,\,M)\,\cos(\alpha )\right]^{2}\,df\;$» et, en notant «$\;{\mathcal {E}}(M)$ $=\displaystyle \int _{f_{1}}^{f_{2}}K\,\left[A(f,\,M)\right]^{2}\,df\;$ l'éclairement de l'onde incidente en ce même point $\;M\;$ en absence de polariseur », nous obtenons effectivement la loi de Malus «$\;{\mathcal {E}}'(M)={\mathcal {E}}(M)\,cos^{2}(\alpha )\;$» après factorisation par $\;cos^{2}(\alpha )\;$ dans l'expression de $\;{\mathcal {E}}'(M)$.

### Vérification expérimentale de la loi de Malus

On peut utiliser un photorécepteur pour mesurer l'éclairement « relatif » $-$ par exemple une photodiode en mode photovoltaïque aux bornes de laquelle on mesure la tension à l'aide d'un multimètre numérique $-$ la variation de la direction de polarisation étant réalisée grâce à un analyseur, l'onde polarisée l'étant naturellement ou obtenue par l'action d'un polariseur sur une onde non polarisée $\;{\big$voir schéma ci-contre${\big )}$ :
On repère d'abord une position angulaire $\;\theta _{0}\;$ de l'analyseur correspondant au maximum de puissance lumineuse moyenne transmise en notant la valeur de la tension $\;U_{0}\;$ mesurée par le multimètre branché sur la photodiode puis
on fait tourner progressivement $-$ dans le sens croissant $-$ l'analyseur en notant simultanément sa position angulaire $\;\theta \;$ ${\big$l'angle de rotation par rapport à la position correspondant au maximum de puissance lumineuse moyenne étant $\;\alpha =$ $\theta -\theta _{0}{\big )}\;$ et la valeur de la tension $\;U\;$ mesurée par le multimètre ;
pour vérifier la loi de Malus il reste à « tracer $\;{\dfrac {U}{U_{0}}}\;$ en fonction de $\;\cos ^{2}(\alpha )\;$» et
pour vérifier la loi de Malus il reste à « vérifier que c'est une droite croissante de pente $\;1\;$».

### Retour sur la transmission d'une lumière naturelle par un polariseur idéal

Nous avons affirmé que $\;50\,\%\;$ de l'éclairement d'une lumière naturelle $\;{\big$donc non polarisée${\big )}\;$ était transmis à la sortie d'un polariseur idéal en effet :
    toutes les directions de polarisation du champ électrique de l'onde se réalisant pratiquement de façon aléatoire avant la traversée du polariseur, quand la direction de $\;{\vec {E}}\;$ fait l'angle $\;\theta \;$ avec la direction $\;{\vec {u}}_{P}\;$ de transmission privilégiée, l'« éclairement transmis correspondant vaut $\;{\mathcal {E}}_{0}\,\cos ^{2}(\theta )\;$» ;
    il convient alors de faire la moyenne sur toutes les valeurs de $\;\theta \;$ « également probables » en utilisant «$\;\left\langle \cos ^{2}(\theta )\right\rangle =$ ${\dfrac {1}{2\,\pi }}\,\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }\cos ^{2}(\theta )\,d\theta \;$» soit «$\;\left\langle \cos ^{2}(\theta )\right\rangle ={\dfrac {1}{2}}\;$» d'où l'« éclairement de l'onde transmise représentant $\;50\,\%\;$ de l'éclairement de l'onde incidente ».
Remarque : En fait le cœfficient de transmission par un polariseur réel est plus faible à cause des pertes par réflexion entre autres.