# Introduction à la théorie des nombres/Annexe/Démonstration de la transcendance de e et pi

On détaille la preuve de la transcendance des nombres e et π présentée par Alan Baker (Trancendental Number Theory, Cambridge University Press, 1990 (1re éd. 1975), p. 4-6) comme inspirée de la simplification, par Hilbert puis Hurwitz et Gordan (1893), des travaux de Hermite et Lindemann puis Weierstrass (1885).

## Trois lemmes

Pour tout polynôme $f$ à coefficients complexes, la fonction $I:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ définie par $I(t):=\sum _{j=0}^{\deg(f)}\left(\mathrm {e} ^{t}f^{(j)}(0)-f^{(j)}(t)\right)$ vérifie : $\forall t\in \mathbb {C} \quad |I(t)|\leq |t|\mathrm {e} ^{|t|}{\overline {f}}(|t|)$ où ${\overline {f}}$ est le polynôme dont les coefficients sont les modules de ceux de $f$.
Le cas d'un polynôme quelconque résulte de celui d'un monôme $f(X)=X^{n}$.
Dans ce cas, d'après le développement en série de l'exponentielle complexe,
    $I(t)=\mathrm {e} ^{t}n!-\sum _{j=0}^{n}{\frac {n!}{(n-j)!}}t^{n-j}=n!\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {t^{n+1+k}}{(n+1+k)!}}$
donc
    ${\begin{aligned}|I(t)|&\leq \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {n!}{(n+1+k)!}}|t|^{n+1+k}\\&=|t|^{n+1}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1+k}}{\frac {n!\,k!}{(n+k)!}}{\frac {|t|^{k}}{k!}}\\&\leq {\frac {|t|^{n+1}}{n+1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {|t|^{k}}{k!}}\\&={\frac {|t|^{n+1}}{n+1}}\mathrm {e} ^{|t|}\\&\leq |t|\mathrm {e} ^{|t|}{\overline {f}}(|t|).\end{aligned}}$
On peut remarquer au passage (avant-dernière ligne) qu'on a même : $|I(t)|\leq \mathrm {e} ^{|t|}\int _{0}^{|t|}{\overline {f}}(s)\,\mathrm {d} s$.
Soient $f\in \mathbb {C} [X]$, $I$ la fonction associée à $f$ comme dans le Lemme 1, $q_{0},\dots ,q_{n},\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}\in \mathbb {C}$, $\alpha _{0}=0$ et
$J:=\sum _{k=1}^{n}q_{k}I(\alpha _{k})$
${\text{Si}}\quad \sum _{k=0}^{n}q_{k}\mathrm {e} ^{\alpha _{k}}=0\quad {\text{alors}}\quad J=-\sum _{j=0}^{\deg(f)}\sum _{k=0}^{n}q_{k}f^{(j)}(\alpha _{k})$
Puisque $I(0)=0$,
    ${\begin{aligned}J&=\sum _{k=0}^{n}q_{k}I(\alpha _{k})\\&=\sum _{k=0}^{n}q_{k}\sum _{j=0}^{\deg(f)}\left(\mathrm {e} ^{\alpha _{k}}f^{(j)}(0)-f^{(j)}(\alpha _{k})\right)\\&=\sum _{j=0}^{\deg(f)}\left(f^{(j)}(0)\sum _{k=0}^{n}q_{k}\mathrm {e} ^{\alpha _{k}}-\sum _{k=0}^{n}q_{k}f^{(j)}(\alpha _{k})\right)\\&=-\sum _{j=0}^{\deg(f)}\sum _{k=0}^{n}q_{k}f^{(j)}(\alpha _{k}).\end{aligned}}$
Soit $f(X)=X^{p-1}\left(Q(X)\right)^{p}$ avec $Q(X)\in \mathbb {Z} [X]$, et soit $j\in \mathbb {N}$.
Pour toute racine entière $\alpha$ de $f$, l'entier $f^{(j)}(\alpha )$ est :
* égal à $(p-1)!Q(0)^{p}$ si $(j,\alpha )=(p-1,0)$ ;
* divisible par $p!$ sinon.
Si $l,q\in \mathbb {Z}$ et $Q(X)=R(lX)$ avec $R(Y)=\prod _{k=1}^{n}(Y-l\alpha _{k})\in \mathbb {Z} [Y]$, l'entier $qf^{(j)}(0)+\sum _{k=1}^{n}f^{(j)}(\alpha _{k})$ est :
* congru à $q(p-1)!Q(0)^{p}$ modulo $p!$ si $j=p-1$ ;
* divisible par $p!$ sinon.
D'après la règle de Leibniz,
    $f^{(j)}=\sum _{k<p}{\binom {j}{k}}{\frac {(p-1)!}{(p-1-k)!}}X^{p-1-k}(Q^{p})^{(j-k)}={j!}\sum _{k\leq j}{\binom {p-1}{k}}X^{p-1-k}{\frac {(Q^{p})^{(j-k)}}{(j-k)!}}$
donc :
* si $j\geq p$, $f^{(j)}(X)$ et $\sum _{k=1}^{n}f^{(j)}(\alpha _{k})$ sont divisibles par $p!$ (en effet, pour tous $r,\ell \in \mathbb {N}$, ${\frac {(Y^{r})^{(\ell )}}{\ell !}}={\binom {r}{\ell }}Y^{r-\ell }\in \mathbb {Z} [Y]$) ;
* si $\alpha =0$ et $j<p-1$ ou si $Q(\alpha )=0$ et $j<p$, $f^{(j)}(\alpha )=0$ ;
* $f^{(p-1)}(0)=(p-1)!Q(0)^{p}$.

## Transcendance de e

Raisonnons par l'absurde en supposant que $\mathrm {e}$ est au contraire algébrique, c'est-à-dire qu'il existe des entiers $q_{0}>0,q_{1},\dots ,q_{n}$ tels que $\sum _{k=0}^{n}q_{k}\mathrm {e} ^{k}=0$. Posons $Q(X):=\prod _{k=1}^{n}(X-k)$.
Pour un nombre premier $p$ arbitraire, considérons $f,I,J$ associés à $Q$ et aux $q_{k}$ comme dans les trois lemmes.
* D'après les Lemmes 2 et 3, si $p>\max(q_{0},n)$ alors $J$ est divisible par $(p-1)!$ mais pas par $p!$, donc il est non nul et$|J|\geq (p-1)!$.
* D'après le Lemme 1, en notant $M:=\sum _{k=0}^{n}|q_{k}|\mathrm {e} ^{k}$, on a $|J|\leq Mn{\overline {f}}(n)$, donc$|J|\leq Mc^{p}$,avec $c:=n{\overline {Q}}(n)$.
* La suite positive $(x_{i})_{i\in \mathbb {N} ^{*}}$ définie par $x_{i}={\frac {Mc^{i}}{(i-1)!}}$ tend vers $0$, puisque pour $i\geq i_{0}:=c/2$, ${\frac {x_{i+1}}{x_{i}}}={\frac {c}{i}}\leq {\frac {1}{2}}$ donc (par récurrence) $x_{i}\leq {\frac {x_{i_{0}}}{2^{i-i_{0}}}}$.
Ces trois points sont bien contradictoires.

## Transcendance de π

Supposons que $\pi$ est au contraire algébrique. Alors, $\theta _{1}:=\mathrm {i} \pi$ l'est aussi donc il existe $l>0$ tel que $l\theta _{1}$ soit un entier algébrique, c'est-à-dire racine d'un polynôme unitaire $P$ à coefficients entiers. Soient $l\theta _{2},\dots ,l\theta _{d}$ les autres racines.
Puisque $\mathrm {e} ^{\theta _{1}}+1$ est nul (identité d'Euler), son multiple $\prod _{i=1}^{d}(\mathrm {e} ^{\theta _{i}}+1)$ l'est aussi. En développant ce produit, on obtient une somme de $2^{d}$ termes de la forme $\mathrm {e} ^{\alpha }$, où chaque exposant $\alpha$ est la somme de certains $\theta _{i}$. En regroupant les termes dans lesquels cet exposant est nul, on obtient :
$q+\sum _{k=1}^{n}\mathrm {e} ^{\alpha _{k}}=0$
avec $0<q=2^{d}-n$ et $\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}\neq 0$.
On est donc dans la même situation qu'au § précédent, avec $(q_{0},q_{1},\dots ,q_{n})=(q,1,\dots ,1)$ et $1,\dots ,n$ remplacés par $\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}$. Ces $n$ nombres ne sont plus entiers, mais les coefficients du polynôme $R(Y):=\prod _{k=1}^{n}(Y-l\alpha _{k})$ sont entiers. En effet, tout polynôme symétrique à coefficients entiers en les $l\alpha _{k}$ donc en les $l\theta _{i}$ est — d'après le théorème fondamental des fonctions symétriques — un polynôme à coefficients entiers en les coefficients de $P$.
Pour un nombre premier $p$ arbitraire, considérons donc $Q,f,I,J$ associés à $R$ et aux $q_{k}$ comme dans les trois lemmes. La fin de la preuve est analogue à celle du § précédent :
* d'après les Lemmes 2 et 3, $J$ est un entier divisible par $(p-1)!$ mais pas par $p!$ si $p>\max(q,|Q(0)|)$, et alors :$|J|\geq (p-1)!$ ;
* d'après le Lemme 1, en posant $a=\max _{1\leq k\leq n}|\alpha _{k}|$, on a $|J|\leq na\mathrm {e} ^{a}{\overline {f}}(a)=n\mathrm {e} ^{a}\left(a{\overline {Q}}(a)\right)^{p}$ donc$|J|\leq Mc^{p}$,avec $M:=n\mathrm {e} ^{a}$ et $c:=a{\overline {Q}}(a)$ ;
* ces deux points sont incompatibles.
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