# Approfondissement sur les suites numériques/Suites arithmético-géométriques
## Définition

On appelle suite arithmético-géométrique toute suite $(u_{n})$ vérifiant une relation de la forme :
    $\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n+1}=au_{n}+b$,
où $a$ et $b$ sont deux nombres fixés.
De telles suites peuvent être entièrement « résolues », c'est-à-dire que l'on sait exprimer « simplement » $u_{n}$ en fonction de $n$ (et bien sûr, de $a$, $b$ et $u_{0}$).
C'est l’objet de ce chapitre.

## Étude de cas particuliers

Avant de nous lancer dans la « résolution » générale, regardons quelques cas particuliers :
* si $a=0$, il s'agit d'une suite constante à partir de l'indice 1 : $u_{n}=b$ ;
* si $a=1$, il s'agit simplement d'une suite arithmétique de raison $b$, donc $u_{n}=u_{0}+nb$ ;
* si $b=0$, on a une suite géométrique, donc $u_{n}=u_{0}a^{n}$.
L'idée, dans un premier temps, va être d'observer ce qui se passe pour les premiers termes de la suite.

## Les premiers termes de la suite

    ${\begin{aligned}u_{1}&=au_{0}+b\\u_{2}&=au_{1}+b\\\ &=a\left(au_{0}+b\right)+b\\\ &=a^{2}u_{0}+ab+b\\u_{3}&=au_{2}+b\\\ &=a\left(a^{2}u_{0}+ab+b\right)+b\\\ &=a^{3}u_{0}+a^{2}b+ab+b\\u_{4}&=au_{3}+b\\\ &=a\left(a^{3}u_{0}+a^{2}b+ab+b\right)+b\\\ &=a^{4}u_{0}+a^{3}b+a^{2}b+ab+b\\\dots \end{aligned}}$
Il semblerait bien que
    $u_{n}=a^{n}u_{0}+a^{n-1}b+\ldots +ab+b$.
Vérifions cette conjecture dans les cas particuliers :
* si $n=0$, notre formule devient $u_{0}=a^{n}u_{0}+0$ (une somme vide étant nulle par définition) donc elle est toujours vérifiée (y compris si $a=0$, avec la convention usuelle 0$^0$ = 1) ;
* si $a=0$, elle équivaut, pour tout $n>0$, à : $u_{n}=b$ ;
* si $a=1$, elle donne :
    $u_{n}=1^{n}u_{0}+1^{n-1}b+\ldots +1b+b=u_{0}+b+\ldots +b=u_{0}+nb$ ;
* si $b=0$, elle donne bien $u_{n}=a^{n}u_{0}$.
Est-ce bon dans le cas général ?

## Le cas général

Réécrivons la formule précédente sous une forme plus compacte :
    $u_{n}=a^{n}u_{0}+a^{n-1}b+\dots +ab+b=a^{n}u_{0}+b\sum _{i=0}^{n-1}a^{i}$
et démontrons qu'elle caractérise bien les suites arithmético-géométriques de paramètres $a$ et $b$.
Soient $a$ et $b$ deux nombres fixés. Une suite $(u_{n})$ vérifie
    $\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n+1}=au_{n}+b$
si et seulement si
    $\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n}=a^{n}u_{0}+b\sum _{i=0}^{n-1}a^{i}$.
Posons $v_{n}=u_{n+1}-u_{n}$ (donc $u_{n}=u_{0}+\sum _{i=0}^{n-1}v_{i}$).
La suite $(u_{n})$ vérifie
    $\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n+1}=au_{n}+b$
si et seulement si
    $u_{1}=au_{0}+b$ et $\forall n\in \mathbb {N} \quad \left(u_{n+1}=au_{n}+b\Rightarrow u_{n+2}=au_{n+1}+b\right)$,
c'est-à-dire si
    $v_{0}=(a-1)u_{0}+b$ et $\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n+2}-au_{n+1}=u_{n+1}-au_{n}$,
ce qui se réécrit :
    $v_{0}=(a-1)u_{0}+b$ et $\forall n\in \mathbb {N} \quad v_{n+1}=av_{n}$,
ou encore (cf. Suites géométriques) :
    $\forall n\in \mathbb {N} \quad v_{n}=a^{n}\left[(a-1)u_{0}+b\right]$.
D'après les équations qui relient $(u_{n})$ et $(v_{n})$, cette propriété équivaut à
    $\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n}=u_{0}+\sum _{i=0}^{n-1}a^{i}\left[(a-1)u_{0}+b\right]$,
c'est-à-dire, en remarquant que $(a-1)\sum _{i=0}^{n-1}a^{i}=a^{n}-1$, à
    $\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n}=a^{n}u_{0}+b\sum _{i=0}^{n-1}a^{i}$.
Si $a\neq 1$, la somme de droite du théorème est une somme géométrique, que l’on sait donc calculer :
    $\sum _{i=0}^{n-1}a^{i}={\frac {1-a^{n}}{1-a}}$.
Par conséquent :
Soient $a$ et $b$ deux nombres fixés, avec $a\neq 1$. Les suites $(u_{n})$ vérifiant
    $\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n+1}=au_{n}+b$
sont les suites de la forme :
    $u_{n}=a^{n}u_{0}+b\,{\frac {1-a^{n}}{1-a}}=a^{n}(u_{0}-r)+r$, avec $r={\frac {b}{1-a}}$.
L'étude du comportement de ces suites est relativement facile à partir de cette expression.
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