# Signaux physiques - bis (PCSI)/Exercices/Oscillateurs amortis : circuit R L C série et oscillateur mécanique amorti par frottement visqueux
## Circuit linéaire constitué d'« un condensateur en série avec le modèle parallèle d'une bobine réelle » soumis à un échelon de tension, réponse en intensité de courant traversant le circuit

On se propose de déterminer la réponse en $\;i(t)\;$ intensité du courant traversant le circuit constitué d'un condensateur de capacité $\;C\;$ en série avec l'association d'une bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$ en parallèle sur un conducteur ohmique de résistance $\;R$, l'ensemble étant soumis à un échelon de tension $\;e(t)=E_{0}\;Y(t)\;$ établi à partir de $\;t=0\;$ et d'amplitude $\;E_{0}\;$ ${\big$voir ci-contre${\big )}$ ;
avant la fermeture de l'interrupteur $\;K\;$ réalisée à $\;t=0$, toutes les grandeurs électriques (tension et intensité) du circuit passif sont nulles.

### Établissement de l'équation différentielle en i(t), intensité du courant traversant le circuit linéaire soumis à un échelon de tension

Établir, pour tout $\;t$, l'équation différentielle en $\;i(t)$, intensité du courant de charge du condensateur, quand le circuit est soumis à l'échelon de tension $\;e(t)=E_{0}\;Y(t)\;$ d'amplitude $\;E_{0}$.
On dispose d'une loi de nœuds $\;i(t)=i_{R}(t)+i_{L}(t)\quad ({\mathfrak {n}})\;$ et
On dispose de deux lois de mailles dont
* la 1ère est $\;E_{0}\,Y(t)-u(t)-u_{C}(t)=0\quad ({\mathfrak {m}})\;$ avec $\;u_{C}(t)\;$ telle que $\;i(t)=C\,{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)\;$ et
* la 2ème $\;u(t)=L\,{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)=R\,i_{R}(t)\;$ ;
pour trouver l'équation différentielle en $\;i(t)$, il faut expliciter $\;i_{R}(t)\;$ en fonction de $\;i(t)\;$ ${\big$par exemple $\;i_{R}(t)\;$ en fonction de $\;u(t)\;$ laquelle, par loi de maille, s'exprime en fonction de $\;u_{C}(t)\;$ donc, en dérivant de $\;i(t){\big ]}\;$ et $\;i_{L}(t)\;$ en fonction de $\;i(t)\;$ ${\bigg$en fait ce n'est pas $\;i_{L}(t)\;$ que l'on peut expliciter simplement mais $\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)\;$ en fonction de $\;u(t)\;$ puis, par loi de maille, en fonction de $\;u_{C}(t)\;$ et, en dérivant, en fonction de $\;i(t){\bigg ]}\;$ soit :
$\;i_{R}(t)={\dfrac {u(t)}{R}}\;$ et par $\;({\mathfrak {m}})\;$ on trouve $\;i_{R}(t)={\dfrac {E_{0}\,Y(t)-u_{C}(t)}{R}}$ ;
$\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)={\dfrac {u(t)}{L}}\;$ et par $\;({\mathfrak {m}})\;$ on trouve $\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)={\dfrac {E_{0}\,Y(t)-u_{C}(t)}{L}}$ ;
dérivant ces deux relations on obtient $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {di_{R}}{dt}}(t)={\dfrac {E_{0}\,\delta (t)}{R}}-{\dfrac {1}{R}}\,{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)&{\text{ ou }}&{\dfrac {di_{R}}{dt}}(t)={\dfrac {E_{0}}{R}}\,\delta (t)-{\dfrac {1}{R\,C}}\,i(t)\\{\dfrac {d^{2}i_{L}}{dt^{2}}}(t)={\dfrac {E_{0}\,\delta (t)}{L}}-{\dfrac {1}{L}}\,{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)&{\text{ ou }}&{\dfrac {d^{2}i_{L}}{dt^{2}}}(t)={\dfrac {E_{0}}{L}}\,\delta (t)-{\dfrac {1}{L\,C}}\,i(t)\end{array}}\right\rbrace \;$ ;
on peut donc reporter la 1ère équation dans la loi $\;({\mathfrak {n}})\;$ après avoir dérivé cette dernière une 1ère fois soit $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)={\dfrac {di_{R}}{dt}}(t)+{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)\;$ d'où $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)={\dfrac {E_{0}}{R}}\,\delta (t)-{\dfrac {1}{R\,C}}\,i(t)+{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)\quad ({\mathfrak {n}}')\;$ par report de la 1ère équation, puis
$\;({\mathfrak {n}}')\;$
$\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)={\dfrac {E_{0}}{R}}\,{\dot {\delta }}(t)-{\dfrac {1}{R\,C}}\,{\dfrac {di}{dt}}(t)+{\dfrac {d^{2}i_{L}}{dt^{2}}}(t)\;$
$\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)=$
${\dfrac {E_{0}}{R}}\,{\dot {\delta }}(t)-{\dfrac {1}{R\,C}}\,{\dfrac {di}{dt}}(t)+{\dfrac {E_{0}}{L}}\,\delta (t)-{\dfrac {1}{L\,C}}\,i(t)\;$
$\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {1}{R\,C}}\,{\dfrac {di}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{L\,C}}\,i(t)={\dfrac {E_{0}}{R}}\,{\dot {\delta }}(t)+{\dfrac {E_{0}}{L}}\,\delta (t)\;\;\forall \,t\;$
La réduction canonique la plus utilisée nous conduit à définir
* la « pulsation propre $\;\omega _{0}={\dfrac {1}{\sqrt {L\;C}}}\;$» et
* le « cœfficient d'amortissement $\;\sigma >0\;$ tel que $\;2\,\sigma \,\omega _{0}={\dfrac {1}{R\,C}}\;$ soit $\;\sigma ={\dfrac {1}{2\,R\,C\,\omega _{0}}}={\dfrac {L\,\omega _{0}}{2\,R}}\;$» d'où,
$\;{\dfrac {E_{0}}{R}}\;$
$\;{\dfrac {R}{L}}\;$
$\;\sigma ={\dfrac {L\,\omega _{0}}{2\,R}}\;$
$\Rightarrow$
$\;{\dfrac {R}{L}}={\dfrac {\omega _{0}}{2\,\sigma }}$
$\;i(t)\;$
$\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)+2\,\sigma \,\omega _{0}\,{\dfrac {di}{dt}}(t)+\omega _{0}^{2}\,i(t)={\dfrac {E_{0}}{R}}\,\left[{\dot {\delta }}(t)+{\dfrac {\omega _{0}}{2\,\sigma }}\,\delta (t)\right]\;\;\forall \,t\;$

### À partir de la nature de la discontinuité de l'excitation, induction de celle des discontinuités (éventuelles) initiales de l'intensité i(t) et de son taux horaire de variation (di/dt)(t) puis détermination des C.I. par utilisation des propriétés de continuité des grandeurs électriques dans un circuit résistif

Induire, de la nature de la discontinuité de l'excitation en $\;t=0$, celles de $\;i(t)\;$ et de $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ puis,
déterminer les valeurs initiales $\;i(0^{+})\;$ et $\;{\dfrac {di}{dt}}(0^{+})\;$ par la méthode adaptée à la nature de la discontinuité $\;{\big$éventuelle${\big )}$.
De l'excitation $\;{\dfrac {E_{0}}{R}}\,{\dot {\delta }}(t)+{\dfrac {E_{0}}{L}}\,\delta (t)\;$ de l'équation différentielle écrite pour tout $\;t\;$ « “ discontinue de 3ème espèce en $\;t=0\;$” »$^,$ on induit, le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reportant sur la dérivée de plus haut ordre, que $\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)\;$ est « “ discontinue de 3ème espèce ” », $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ discontinue de 2ème espèce et $\;i(t)\;$ discontinue de 1ère espèce en $\;t=0\;$ ;
$\;i(0^{+})\;$
$\;0^{+}\;$
${\big$
${\big )}\;$
$\;{\big$
$\;i_{L}(t)\;$
$\;0\;$
$\;\Rightarrow i_{L}(0^{+})=$
$i_{L}(0^{-})\;$
${\big ]}\;$
$\;{\big$
$\;u_{C}(t)\;$
$\;0\;$
$\;\Rightarrow u_{C}(0^{+})$
$=u_{C}(0^{-})\;$
${\big ]}$
$\;E_{0}\;$
$\;R\;$
$\;i(0^{+})={\dfrac {E_{0}}{R}}\;$
$\;{\dfrac {di}{dt}}(0^{+})\;$
$\;({\mathfrak {n}}')\;$
$\;t=0^{+}\;$
$\;{\dfrac {di}{dt}}(t)=$
${\dfrac {E_{0}}{R}}\,\delta (t)-{\dfrac {1}{R\,C}}\,i(t)+{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)\;$
$\;u_{C}(t)\;$
$\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)={\dfrac {E_{0}\,Y(t)-u_{C}(t)}{L}}\;$
$\;{\dfrac {di}{dt}}(t)={\dfrac {E_{0}}{R}}\,\delta (t)-{\dfrac {1}{R\,C}}\,i(t)+{\dfrac {E_{0}\,Y(t)-u_{C}(t)}{L}}\;$
$\;t=0^{+}\;$
$\;{\dfrac {di}{dt}}(0^{+})=-{\dfrac {1}{R\,C}}\,i(0^{+})+{\dfrac {E_{0}}{L}}\;$
$\;i(0^{+})\;$
$\;{\dfrac {di}{dt}}(0^{+})={\dfrac {E_{0}}{R}}\left({\dfrac {R}{L}}-{\dfrac {1}{R\,C}}\right)\;$
$\;{\dfrac {1}{R\,C\,\omega _{O}}}=2\,\sigma \;$
$\Rightarrow$
$\;{\dfrac {1}{R\,C}}=2\,\sigma \,\omega _{0}\;$
$\;{\dfrac {R}{L}}={\dfrac {\omega _{0}}{2\,\sigma }}$
$\;{\dfrac {di}{dt}}(0^{+})={\dfrac {E_{0}}{R}}\left({\dfrac {\omega _{0}}{2\,\sigma }}-2\,\sigma \,\omega _{0}\right)\;$

### Détermination des réponses transitoires en intensité du courant suivant la valeur de la résistance et tracé du graphe de i(t) en fonction de t pour une résistance supérieure à la résistance critique

En déduire, pour $\;t>0$, les réponses en $\;i(t)$, intensité du courant traversant le circuit soumis l'échelon de tension d'amplitude $\;E_{0}\;$ suivant les valeurs de $\;R$, on mettra en évidence une résistance critique $\;R_{c}\;$ que l'on exprimera en fonction de $\;L\;$ et $\;C$.
Donner l'allure du graphe de $\;i(t)\;$ en fonction de $\;t\;$ dans le cas où $\;R>R_{c}$.
L'équation différentielle, une fois l'interrupteur $\;K\;$ fermé, s'écrit : «$\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)+2\,\sigma \,\omega _{0}\,{\dfrac {di}{dt}}(t)+\omega _{0}^{2}\,i(t)=0\;$ pour $\;t>0\;$» ; il n'y a donc que la solution libre qui nécessite de résoudre l'équation caractéristique classique «$\;s^{2}+2\,\sigma \,\omega _{0}\,s+\omega _{0}^{2}=0\;$» et on obtient, suivant la valeur de $\;\sigma$ :
* «$\;\sigma >1\;$» ou $\;R<{\dfrac {1}{2\,C\,\omega _{0}}}={\dfrac {1}{2}}\,{\sqrt {\dfrac {L}{C}}}\;$ ou encore «$\;R<R_{c}\;$ en définissant la résistance critique selon $\;R_{c}={\dfrac {1}{2}}\,{\sqrt {\dfrac {L}{C}}}\;$» : régime apériodique, la solution s'écrivant «$\;i(t)=$ $A\,\exp \!\left[s_{(+)}\,t\right]+B\,\exp \!\left[s_{(-)}\,t\right]\;$», avec «$\;s_{(\pm )}=-\sigma \,\omega _{0}\pm \omega _{0}{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\;$»,
* «$\;\sigma =1\;$» ou «$\;R=R_{c}\;$» : régime apériodique critique, la solution s'écrivant «$\;i(t)=(A+B\,t)\,\exp(-\omega _{0}\,t)\;$»,
* «$\;\sigma <1\;$» ou «$\;R>R_{c}\;$» : régime pseudo-périodique, la solution s'écrivant «$\;i(t)=A\,\exp(-\sigma \,\omega _{0}\,t)\,\cos(\omega \,t+\varphi )\;$» avec «$\;\omega =\omega _{0}\,{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}\;$ la pseudo-pulsation ».
Précisons l'expression de $\;i(t)$, pour $\;t>0$, dans le cas où $\;R>R_{c}\;$ c'est-à-dire le régime pseudo-périodique, on obtient alors $\;i(t)=A\,\exp(-\sigma \,\omega _{0}\,t)\,\cos(\omega \,t+\varphi )$, les constantes $\;A\;$ et $\;\varphi \;$ étant déterminées par C.I. :
* 1ère C.I. «$\;i(0^{+})={\dfrac {E_{0}}{R}}\;$» donne ici «$\;A\,\cos(\varphi )={\dfrac {E_{0}}{R}}\;\;({\mathfrak {1}})\;$»,
* 2ème C.I. «$\;{\dfrac {di}{dt}}(0^{+})={\dfrac {E_{0}}{R}}\left({\dfrac {\omega _{0}}{2\,\sigma }}-2\,\sigma \,\omega _{0}\right)\;$» soit, en évaluant $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)=-\sigma \,\omega _{0}\,A\,\exp(-\sigma \,\omega _{0}\,t)\,\cos(\omega \,t+\varphi )-A\,\omega \,\exp(-\sigma \,\omega _{0}\,t)\,\sin(\omega \,t+\varphi )$, on obtient «$\;A\,\cos(\varphi )\,\sigma \,\omega _{0}+A\,\sin(\varphi )\,\omega =$ $-{\dfrac {E_{0}}{R}}\left({\dfrac {\omega _{0}}{2\,\sigma }}-2\,\sigma \,\omega _{0}\right)\;$» ou, en y reportant $\;A\,\cos(\varphi )={\dfrac {E_{0}}{R}}\;$ de la 1ère C.I., on obtient $\;A\,\sin(\varphi )\,\omega =$ $-{\dfrac {E_{0}}{R}}\left({\dfrac {\omega _{0}}{2\,\sigma }}-2\,\sigma \,\omega _{0}\right)-{\dfrac {E_{0}}{R}}\,\sigma \,\omega _{0}=-{\dfrac {E_{0}}{R}}\left({\dfrac {\omega _{0}}{2\,\sigma }}-\sigma \,\omega _{0}\right)$, soit encore, en remplaçant $\;\omega \;$ par $\;\omega _{0}\,{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}\;$ et en simplifiant par $\;\omega _{0}$, on trouve $\;A\,\sin(\varphi )=$ $-{\dfrac {E_{0}}{R\,{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}}\left({\dfrac {1}{2\,\sigma }}-\sigma \right)\;$ ou encore «$\;A\,\sin(\varphi )=-{\dfrac {E_{0}}{R}}{\dfrac {1-2\,\sigma ^{2}}{2\,\sigma \,{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}}\;\;({\mathfrak {2}})\;$» ;
de $\;{\sqrt {({\mathfrak {1}})^{2}+({\mathfrak {2}})^{2}}}$, on déduit $\;A={\dfrac {E_{0}}{R}}\,{\sqrt {1+{\dfrac {(1-2\,\sigma ^{2})^{2}}{4\,\sigma ^{2}\,(1-\sigma ^{2})}}}}={\dfrac {E_{0}}{R}}\,{\sqrt {\dfrac {4\,\sigma ^{2}-4\,\sigma ^{4}+1-4\,\sigma ^{2}+4\,\sigma ^{4}}{4\,\sigma ^{2}\,(1-\sigma ^{2})}}}\;$ soit «$\;A=$ ${\dfrac {E_{0}}{2\,R\,\sigma \,{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}}\;$» ;
de $\;A\;\cos(\varphi )>0\;$ avec le choix de $\;A>0\;$ on déduit $\;\cos(\varphi )>0\;$ dont on tire $\;\varphi \in \left]-{\dfrac {\pi }{2}}\;{\text{ ; }}{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$ et peut se mettre sous la forme d'un $\;\arctan\;$ soit «$\;\varphi =$ $-\arctan \!\left({\dfrac {1-2\,\sigma ^{2}}{2\,\sigma \,{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}}\right)\;$» ;
$\;A\;$
$\;\varphi \;$
$\;i(t)={\dfrac {E_{0}}{2\,R\,\sigma \,{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}}\,\exp(-\sigma \,\omega _{0}\,t)\,\cos \!\left[\omega \,t-\arctan \!\left({\dfrac {1-2\,\sigma ^{2}}{2\,\sigma \,{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}}\right)\right]\;$
$\;\omega =\omega _{0}\,{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}$
L'allure de la courbe est rappelée ci-contre :

## Circuit linéaire constitué d'« une bobine parfaite en série avec un conducteur ohmique de résistance R et une association parallèle d'un condensateur parfait sur un conducteur ohmique de même résistance R » soumis à un échelon de tension, réponse en intensité de courant traversant le circuit

On se propose de déterminer la réponse en $\;i(t)\;$ intensité du courant traversant le circuit constitué d'une bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$ en série avec un conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ et l'association d'un condensateur de capacité $\;C\;$ en parallèle sur un conducteur ohmique de même résistance $\;R$, l'ensemble étant soumis à un échelon de tension $\;e(t)=E\;Y(t)\;$ établi à partir de $\;t=0\;$ et d'amplitude $\;E\;$ ${\big$voir ci-contre${\big )}$ ;
avant la fermeture de l'interrupteur $\;K\;$ réalisée à $\;t=0$, toutes les grandeurs électriques (tension et intensité) du circuit passif sont nulles.

### Établissement de l'équation différentielle en i(t), intensité du courant traversant le circuit linéaire soumis à un échelon de tension

Établir, pour tout $\;t$, l'équation différentielle en $\;i(t)$, intensité du courant traversant la bobine, quand le circuit est soumis à l'échelon de tension $\;e(t)=$ $E\;Y(t)\;$ d'amplitude $\;E$.
On dispose d'une loi de nœuds $\;i(t)=i_{R}(t)+i_{C}(t)\quad ({\mathfrak {n}})$,
On dispose de deux lois de mailles dont
* la 1ère est $\;E\,Y(t)-u_{L}(t)-u_{R}(t)-u(t)=0\;$ laquelle, avec $\;u_{L}(t)=L\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ et $\;u_{R}(t)=R\;i(t)$, se réécrit en fonction de $\;i(t)\;$ et $\;u(t)\;$ selon $\;L\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+R\;i(t)+u(t)=E\;Y(t)\quad (I)\;$ et
* la 2ème $\;u(t)=R\,i_{R}(t)\;$ dans laquelle $\;u(t)\;$ est aussi la tension aux bornes du condensateur avec $\;i_{C}(t)=C\;{\dfrac {du}{dt}}(t)$, permet d'exprimer $\;i_{R}(t)\;$ et $\;i_{C}(t)\;$ uniquement en fonction de $\;u(t)\;$ selon $\;i_{R}(t)={\dfrac {u(t)}{R}}\quad (II)\;$ et $\;i_{C}(t)=C\;{\dfrac {du}{dt}}(t)\quad (II')$ ;
pour trouver l'équation différentielle en $\;i(t)$, il faut expliciter $\;i_{R}(t)\;$ en fonction de $\;i(t)\;$ ${\big$par $\;(II)\;$$\;i_{R}(t)\;$ est en fonction de $\;u(t)\;$ laquelle, par loi de maille $\;(I)$, s'exprime en fonction de $\;i(t){\big ]}\;$ et $\;i_{C}(t)\;$ en fonction de $\;i(t)\;$ ${\bigg$par $\;(II')\;$$\;i_{C}(t)\;$ est en fonction de $\;{\dfrac {du}{dt}}(t)\;$ et, par loi de maille $\;(I)$, $\;u(t)\;$ s'exprime en fonction de $\;i(t)$, il suffit de dériver cette loi de maille $\;(I){\bigg ]}\;$ soit :
$\;i_{R}(t)={\dfrac {u(t)}{R}}\;$ et par $\;(I)\;$ on trouve $\;i_{R}(t)={\dfrac {1}{R}}\,\left[E\;Y(t)-L\;{\dfrac {di}{dt}}(t)-R\;i(t)\right]$ ;
$\;i_{C}(t)=C\;{\dfrac {du}{dt}}(t)\;$ et par dérivation de $\;(I)\;$ on trouve $\;i_{C}(t)=C\,\left[E\;\delta (t)-L\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)-R\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\right]\;$ ;
$\;({\mathfrak {n}})\;$
$\;i(t)={\dfrac {E}{R}}\;Y(t)-{\dfrac {L}{R}}\;{\dfrac {di}{dt}}(t)-i(t)+C\;E\;\delta (t)-L\;C\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)-R\;C\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$
$\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)+\left({\dfrac {R}{L}}+{\dfrac {1}{R\,C}}\right){\dfrac {di}{dt}}(t)+{\dfrac {2}{L\,C}}\,i(t)={\dfrac {E}{R}}\,\left[{\dfrac {1}{L\;C}}\,Y(t)+{\dfrac {R}{L}}\,\delta (t)\right]\;\;\forall \,t\;$

### À partir de la nature de la discontinuité de l'excitation, induction de celle des discontinuités $\;{\big$éventuelles${\big )}\;$ initiales de l'intensité i(t) et de son taux horaire de variation (di/dt)(t) puis détermination des C.I. par utilisation des propriétés de continuité des grandeurs électriques dans un circuit résistif

Induire, de la nature de la discontinuité de l'excitation en $\;t=0$, celles de $\;i(t)\;$ et de $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ puis,
déterminer les valeurs initiales $\;i(0^{+})\;$ et $\;{\dfrac {di}{dt}}(0^{+})\;$ par la méthode adaptée à la nature de la discontinuité $\;{\big$éventuelle${\big )}$.
De l'excitation $\;{\dfrac {E}{R}}\,\left[{\dfrac {1}{L\;C}}\,Y(t)+{\dfrac {R}{L}}\,\delta (t)\right]\;$ de l'équation différentielle écrite pour tout $\;t\;$ discontinue de 2ème espèce en $\;t=0\;$, on induit, le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reportant sur la dérivée de plus haut ordre, que $\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)\;$ est discontinue de 2ème espèce, $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ discontinue de 1ère espèce et $\;i(t)\;$ continue en $\;t=0\;$ ;
$\;i(0^{+})\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;i(0^{+})=i(0^{-})\;$
$\;i(0^{+})=0\;$
$\;{\dfrac {di}{dt}}(0^{+})\;$
$\;0^{+}\;$
${\big$
${\big )}\;$
$\;{\big$
$\;i(0^{+})=0{\big ]}\;$
$\;{\big$
$\;u(t)\;$
$\;0\;$
$\;\Rightarrow u(0^{+})=u(0^{-})\;$
${\big ]}$
$\;E\;$
$\;L\;$
$\;u_{L}(0^{+})$
$=E\;$
$\;u_{L}(t)=L\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$
$\;{\dfrac {di}{dt}}(0^{+})={\dfrac {E}{L}}\;$

### Détermination de la réponse transitoire en intensité du courant dans le cas où les dipôles « L R série » et « R C parallèle » ont même constante de temps et tracé du graphe de i(t) en fonction de t

Supposant que l'inductance propre de la bobine et la capacité du condensateur sont telles que les dipôles «$\;L\,R\;$ série » et «$\;R\,C\;$ parallèle » ont même constante de temps notée $\;\tau$, réécrire l'équation différentielle en $\;i(t)$ pour tout $\;t\;$ sous forme canonique ;
en déduire, pour $\;t>0$, la réponse en $\;i(t)$, intensité du courant traversant le circuit soumis l'échelon de tension d'amplitude $\;E$, en fonction de $\;E$, $\;R$, $\;\tau \;$ et l'instant $\;t$.
Donner l'allure du graphe de $\;i(t)\;$ en fonction de $\;t$.
$\;L\,R\;$
$\;R\,C\;$
$\;\tau ={\dfrac {L}{R}}=R\;C\;$
$\Rightarrow$
$\;L\;C={\dfrac {L}{R}}\,\left(R\;C\right)=\tau ^{2}$
$\;i(t)\;$
$\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {2}{\tau }}\,{\dfrac {di}{dt}}(t)+{\dfrac {2}{\tau ^{2}}}\,i(t)$
$={\dfrac {E}{R\;\tau ^{2}}}\;$
$\;t>0\;$
$\;i_{f}={\dfrac {E}{2\;R}}\;$
$\;s^{2}+{\dfrac {2}{\tau }}\,s+{\dfrac {2}{\tau ^{2}}}=0\;$
$\;\Delta '=\left({\dfrac {1}{\tau }}\right)^{2}-{\dfrac {2}{\tau ^{2}}}=-{\dfrac {1}{\tau ^{2}}}<0$
$\;{\underline {s_{\pm }}}=-{\dfrac {1}{\tau }}\pm i\;{\dfrac {1}{\tau }}\;$
$\;i_{l}(t)=$
$A\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;\cos \!\left({\dfrac {t}{\tau }}+\varphi \right)\;$
$\;\omega ={\dfrac {1}{\tau }}\;$
$\;i(t)=i_{f}+i_{l}(t)={\dfrac {E}{2\;R}}+A\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;\cos \!\left({\dfrac {t}{\tau }}+\varphi \right)\;$
$\;A\;$
$\;\varphi \;$
* 1ère C.I. «$\;i(0^{+})=0\;$» donne ici $\;{\dfrac {E}{2\;R}}+A\,\cos(\varphi )=0\;$ soit «$\;A\,\cos(\varphi )=-{\dfrac {E}{2\;R}}\;\;({\mathfrak {1}})\;$»,
* 2ème C.I. «$\;{\dfrac {di}{dt}}(0^{+})={\dfrac {E}{L}}\;$» soit, avec $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)=-{\dfrac {1}{\tau }}\;A\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;\cos \!\left({\dfrac {t}{\tau }}+\varphi \right)-{\dfrac {1}{\tau }}\;A\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;\sin \!\left({\dfrac {t}{\tau }}+\varphi \right)$, on obtient $\;A\,\cos(\varphi )+A\,\sin(\varphi )=$ $-{\dfrac {E\;\tau }{L}}=-{\dfrac {E}{R}}\;$ ou, en y reportant $\;A\,\cos(\varphi )=-{\dfrac {E}{2\;R}}\;$ de la 1ère C.I., «$\;A\,\sin(\varphi )=-{\dfrac {E}{2\;R}}\;\;({\mathfrak {2}})\;$» ;
de $\;{\sqrt {({\mathfrak {1}})^{2}+({\mathfrak {2}})^{2}}}$, on déduit «$\;A={\dfrac {E}{2\;R}}\;{\sqrt {2}}={\dfrac {E}{{\sqrt {2}}\;R}}\;$» ;
de $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A\;\cos(\varphi )<0\\A\;\sin(\varphi )<0\end{array}}\right\rbrace \;$ avec le choix de $\;A>0\;$ on déduit $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\cos(\varphi )<0\\\sin(\varphi )<0\end{array}}\right\rbrace \;$ dont on tire $\;\varphi \in \left]-\pi \;{\text{ ;}}-{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$, établissant que seul $\;\varphi +\pi \;$ peut se mettre sous la forme d'un $\;\arctan\;$ soit «$\;\varphi =\arctan(1)-\pi =-{\dfrac {3\;\pi }{4}}\;$» ;
$\;A\;$
$\;\varphi \;$
$\;i(t)={\dfrac {E}{2\,R}}\,\left[1+{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;\cos \!\left({\dfrac {t}{\tau }}-{\dfrac {3\;\pi }{4}}\right)\right]={\dfrac {E}{2\,R}}\,\left[1-{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;\cos \!\left({\dfrac {t}{\tau }}+{\dfrac {\pi }{4}}\right)\right]\;$
L'allure de la courbe est rappelée ci-contre à droite en traits pleins avec précision des enveloppes en tiretés :

## Circuit de Wien court-circuité, le condensateur de l'association série étant initialement chargé et celui de l'association parallèle initialement déchargé, réponse en tension aux bornes de l'association parallèle

À l'aide des conducteurs ohmiques de résistance $\;R\;$ et $\;R'\;$ ainsi que des condensateurs parfaits de capacité $\;C\;$ et $\;C'$, on réalise le montage ci-contre appelé circuit de Wien court-circuité.
On ferme l'interrupteur $\;K\;$ à $\;t=0$, le condensateur de l'association série de capacité $\;C'\;$ étant initialement chargé et celui de l'association parallèle de capacité $\;C\;$ déchargé.
Pour faire les applications numériques nous nous placerons dans le cas où les deux résistances sont égales et les deux capacités aussi, ceci permettant de poser $\;R\,C=R'\,C'=R\,C'=R'\,C=\tau$, et on prendra $\;R=R'=10\,k\Omega \;$ et $\;C=C'=0,1\,\mu F$.
À l'instant $\;t\;$ on note $\;u(t)\;$ la tension instantanée aux bornes du condensateur initialement chargé de capacité $\;C'\;$ et $\;v(t)\;$ la tension instantanée aux bornes du condensateur initialement déchargé de capacité $\;C$, le but de cet exercice étant de déterminer l'évolution de la tension $\;v(t)\;$ en fonction du temps $\;t$.

### Détermination des valeurs à l'instant 0$^+$ et au bout d'un temps infini de v(t) et de sa dérivée temporelle

À partir de considérations physiques préciser les valeurs de la tension $\;v(t)\;$ et de sa dérivée temporelle $\;{\dfrac {dv}{dt}}(t)\;$ lorsque $\;t=0^{+}\;$ et quand $\;t\rightarrow \infty$.
Valeurs initiales de la tension$\;v(t)\;$et de sa dérivée temporelle :
$\;C\;$
$\;v(0^{+})=v(0^{-})\;$
$\;C\;$
$\;v(0^{+})=0\;$
$\;C\;$
$\;0^{+}$
$\;C'\;$
$\;0\;$
$\;u(0^{+})=u(0^{-})\;$
$\;U>0\;$
$\;C'\;$
$\;U$
$\;u(0^{+})=U\;$
$\;C'\;$
$\;U>0\;$
$\;0^{+}$
pour déterminer $\;{\dot {v}}(0^{+})\;$ il convient de rechercher «$\;i(0^{+})=C\,{\dfrac {dv}{dt}}(0^{+})\;$» et pour cela de tracer le circuit à $\;0^{+}\;$ en utilisant les équivalences déterminées ci-dessus ;
$\;U>0\;$
$\;C'\;$
$\;0^{+}\;$
$\;R'\;$
$\Rightarrow$
$\;i'(0^{+})={\dfrac {U}{R'}}\;$
$\;R\;$
$\;0^{+}\;$
${\bigR\;$
$\;\parallel \;$
$\;C\;$
$\;0^{+}{\big ]}$
$\;i_{R}(0^{+})=0\;$
$\;i(0^{+})+i_{R}(0^{+})=$
$i'(0^{+})\;$
$\;i(0^{+})=i'(0^{+})={\dfrac {U}{R'}}\;$
$\;i(t)=C\,{\dfrac {dv}{dt}}(t)$
$\;{\dot {v}}(0^{+})={\dfrac {i(0^{+})}{C}}={\dfrac {U}{R'\,C}}\;$
Valeurs de la tension$\;v(t)\;$et de sa dérivée temporelle au bout d'un temps infini :
$\;{\big$
${\big )}$
$\;i'(\infty )=0\;$
$\;i(\infty )=0\;$
$\;i_{R}(\infty )=0\;$
$\;v(t)=R\;i_{R}(t)$
$\;v(\infty )=0\;$
$\;C\;$
$\;i(t)=C\,{\dfrac {dv}{dt}}(t)$
$\;i(\infty )=0$
$\;{\dot {v}}(\infty )=0\;$
$\;C$
$\;u(t)=v(t)+R'\;i'(t)\;$
$\;v(\infty )=0\;$
$\;i'(\infty )=0\;$
$\;u(\infty )=0\;$
$\;C'\;$

### Établissement de l'équation différentielle en v(t), tension aux bornes du dipôle « R C parallèle »

Établir l'équation différentielle en $\;v(t)$, tension aux bornes du dipôle «$\;R\,C\;$ parallèle », pour tout instant $\;t>0$.
Sur le schéma ci-contre, nous avons introduit $\;9\;$ inconnues $\;{\big4\;$ tensions, $\;3\;$ intensités et $\;2\;$ charges${\big )}$, il nous faudra donc $\;9\;$ relations pour les éliminer progressivement en ne conservant que $\;v(t)$ ;
* loi des nœuds $\;i'(t)=i_{R}(t)+i(t)\quad ({\mathfrak {1}})$,
* lien entre tension aux bornes d'un condensateur et sa charge $\;u(t)={\dfrac {q'(t)}{C'}}\;\;({\mathfrak {a}})\;$ et $\;v(t)={\dfrac {q(t)}{C}}\;\;({\mathfrak {b}})\;$ d'où, en éliminant les charges au profit des tensions aux bornes des condensateurs, la diminution du nombre d'inconnues à $\;7\;$ et par suite la nécessité de $\;7\;$ relations $\;{\big$il en faut donc encore $\;6{\big )}$,
* loi d'Ohm appliqué au conducteur ohmique de résistance $\;R'\;$ soit $\;u_{R'}(t)=R'\,i'(t)\;\;({\mathfrak {c}})\;$ d'où, en éliminant la tension aux bornes de $\;R'\;$ au profit l'intensité la traversant, la diminution du nombre d'inconnues à $\;6\;$ c'est-à-dire les trois intensités $\;i'(t)$, $\;i_{R}(t)$, $\;i(t)\;$ et les trois tensions $\;u(t)$, $\;v(t)$, $\;u_{K}(t)\;$ et par suite la nécessité de $\;6\;$ relations $\;{\big$il en faut donc encore $\;5{\big )}$,
* définition du courant de décharge du condensateur de capacité $\;C'\;$ soit $\;i'(t)=-{\dot {q'}}(t)\;\;({\mathfrak {d}})\;$ ou, en remplaçant $\;q'(t)\;$ par $\;C'\,u(t)$, la 2ème relation utile $\;i'(t)=-C'\,{\dot {u}}(t)\quad ({\mathfrak {2}})\;$ et
* définition du courant de charge du condensateur de capacité $\;C\;$ soit $\;i(t)={\dot {q}}(t)\;\;({\mathfrak {e}})\;$ ou, en remplaçant $\;q(t)\;$ par $\;C\,v(t)$, la 3ème relation utile $\;i(t)=$ $C\,{\dot {v}}(t)\quad ({\mathfrak {3}})\;$,
* 1ère loi de maille $\;R\;$ fermé sur $\;C$ $\;{\big$maille orientée dans le sens de $\;v(t){\big ]}\;$ $\;v(t)-R\,i_{R}(t)=0\;$ ou $\;v(t)=R\,i_{R}(t)\quad ({\mathfrak {4}})$ et
* 2ème loi de maille $\;C'\,R'\;K\;$ fermé sur $\;C\;$ soit $\;v(t)+u_{K}(t)+R'\,i'(t)-u(t)=0\;$ ou $\;u(t)=R'\,i'(t)+u_{K}(t)+v(t)\quad ({\mathfrak {5}})$;
* enfin la caractérisation de l'interrupteur $\;K$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\text{pour }}t>0,&u_{K}(t)=0&&\forall \,i'(t)\\{\text{pour }}t<0,&u_{K}(t)=U&{\text{et }}&i'(t)=0\end{array}}\right\rbrace \;$ que l'on peut réécrire $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}u_{K}(t)&=&U\;Y(-t)\quad ({\mathfrak {6}})\\i'(t)&=&0\quad {\text{pour }}\,t<0\end{array}}\right\rbrace$ ;
pour déterminer l'équation différentielle en $\;v(t)\;$ cherchée, il faut éliminer entre les $\;6\;$ relations $\;i(t)$, $\;i'(t)$, $\;i_{R}(t)$, $\;u_{K}(t)\;$ et $\;u(t)\;$ au profit de $\;v(t)\;$ et de ses dérivées temporelles soit :
$\;\succ \;$ par $\;({\mathfrak {4}})$, $\;i_{R}(t)={\dfrac {v(t)}{R}}\quad ({\mathfrak {4}}')$,
$\;\succ \;$ on reporte alors $\;({\mathfrak {4}}')\;$ ainsi que $\;({\mathfrak {3}})\;$ dans $\;({\mathfrak {1}})\;$ et on obtient $\;i'(t)\;$ en fonction de $\;v(t)\;$ et $\;{\dot {v}}(t)\;$ soit $\;i'(t)={\dfrac {v(t)}{R}}+C\,{\dot {v}}(t)\quad ({\mathfrak {1}}')$ ;
$\;\succ \;$ on reporte alors $\;({\mathfrak {1}}')\;$ ainsi que $\;({\mathfrak {6}})\;$ dans $\;({\mathfrak {5}})\;$ $\Rightarrow$ $\;u(t)\;$ en fonction de $\;v(t)\;$ et $\;{\dot {v}}(t)\;$ soit $\;u(t)=R'\!\left[{\dfrac {v(t)}{R}}+C\,{\dot {v}}(t)\right]+U\;Y(-t)+v(t)\;$ ou $\;u(t)=\left(1+{\dfrac {R'}{R}}\right)v(t)+R'\,C\,{\dot {v}}(t)+U\;Y(-t)\quad ({\mathfrak {5}}')$ ;
$\;\succ \;$ il reste alors à éliminer $\;u(t)\;$ à l'aide de $\;({\mathfrak {2}})\;$ utilisée simultanément à $\;({\mathfrak {1}}')\;$ soit : $\;{\dot {u}}(t)=-{\dfrac {i'(t)}{C'}}=-{\dfrac {1}{C'}}\left[{\dfrac {v(t)}{R}}+C\,{\dot {v}}(t)\right]\;$ que l'on réécrit selon $\;{\dot {u}}(t)=$ $-{\dfrac {v(t)}{R\,C'}}-{\dfrac {C}{C'}}{\dot {v}}(t)\quad ({\mathfrak {2}}')$ ;
$\;\succ \;$
$\;({\mathfrak {5}}')\;$
$\Rightarrow$
$\;{\dot {u}}(t)=\left(1+{\dfrac {R'}{R}}\right){\dot {v}}(t)+R'\,C\,{\ddot {v}}(t)-U\;\delta (-t)\quad ({\mathfrak {5}}'')\;$
$\;({\mathfrak {2}}')\;$
$\;{\dot {u}}(t)\;$
$\;\left({\mathfrak {5}}''\right)$
$\;-{\dfrac {v(t)}{R\,C'}}-{\dfrac {C}{C'}}{\dot {v}}(t)=\left(1+{\dfrac {R'}{R}}\right){\dot {v}}(t)+R'\,C\,{\ddot {v}}(t)-U\;\delta (-t)\;$
$\Leftrightarrow$
$\;R'\,C\,{\ddot {v}}(t)+\left(1+{\dfrac {R'}{R}}+{\dfrac {C}{C'}}\right){\dot {v}}(t)+{\dfrac {v(t)}{R\,C'}}=U\;\delta (-t)\;$
$\;{\ddot {v}}(t)+\left({\dfrac {1}{R'\,C}}+{\dfrac {1}{R\,C}}+{\dfrac {1}{R'\,C'}}\right){\dot {v}}(t)+{\dfrac {v(t)}{R\,R'\,C\,C'}}={\dfrac {U}{R'\,C}}\;\delta (-t)\;$
$\;R'\,C'=R'\,C=R\,C'=R\,C=\tau$
$\;{\ddot {v}}(t)+{\dfrac {3}{\tau }}\;{\dot {v}}(t)+{\dfrac {v(t)}{\tau ^{2}}}={\dfrac {U}{\tau }}\;\delta (-t)\;$
Remarque : L'équation différentielle en $\;v(t)\;$ écrite pour tout $\;t\;$ permet de retrouver les C.I., en effet l'excitation $\;{\dfrac {U}{\tau }}\;\delta (-t)\;$ étant discontinue de 2ème espèce pour $\;t=0\;$, on peut induire $\;{\big$en utilisant la propriété « le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reporte sur la dérivée de plus haut ordre »${\big )}\;$ que $\;{\dot {v}}(t)\;$ est discontinue de 1ère espèce et $\;v(t)\;$ continue en $\;t=0\;$ ;
Remarque : la valeur de $\;{\dot {v}}(0^{+})\;$ peut être retrouvée en intégrant l'équation différentielle en $\;v(t)\;$ écrite pour tout $\;t\;$ entre $\;0^{-}\;$ et $\;0^{+}\;$ ce qui donne, compte-tenu de la nullité des valeurs de $\;v(t)\;$ et $\;{\dot {v}}(t)\;$ pour $\;0^{-}$, «$\;{\dot {v}}(0^{+}+{\dfrac {3}{\tau }}\,v(0^{+})+{\cancel {{\dfrac {1}{\tau ^{2}}}\,\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}v(t)\,dt}}={\dfrac {U}{\tau }}\;$» ;
$\;v(0^{+})\;$
$\;v(t)\;$
$\;t=0\;$
$\;v(t)\;$
$\;0^{-}$
$\;v(t)\;$
$\;0^{+}$
$\;v(0^{+})=0\;$
$\;{\dot {v}}(0^{+})+{\cancel {{\dfrac {3}{\tau }}\,v(0^{+})}}={\dfrac {U}{\tau }}\;$
$\;{\dot {v}}(0^{+})={\dfrac {U}{\tau }}\;$

### Résolution de l'équation différentielle en v(t), tension aux bornes du dipôle « R C parallèle », puis tracé de son graphe en fonction du temps t et détermination de l'instant pour lequel v(t) est maximale

Exprimer $\;v(t)\;$ sachant que $\;u(0^{-})=3\,V$, puis
donner le graphe correspondant et
déterminer le temps au bout duquel $\;v(t)\;$ passe par un maximum.
Pour $\;t>0\;$ l'équation différentielle en $\;v(t)\;$ étant linéaire à cœfficients réels constants homogène du 2ème ordre «$\;{\ddot {v}}(t)+{\dfrac {3}{\tau }}\;{\dot {v}}(t)+{\dfrac {v(t)}{\tau ^{2}}}=0\;$», sa solution transitoire s'identifie à la solution libre qui se résout en cherchant les solutions de l'équation caractéristique «$\;s^{2}+{\dfrac {3}{\tau }}s+{\dfrac {1}{\tau ^{2}}}=0\;$» ; celle-ci étant de discriminant $\;\Delta ={\dfrac {9}{\tau ^{2}}}-4\,{\dfrac {1}{\tau ^{2}}}={\dfrac {5}{\tau ^{2}}}>0\;$ admet deux solutions réelles distinctes «$\;s_{\pm }=-{\dfrac {3}{2\tau }}\pm {\dfrac {\sqrt {5}}{2\tau }}\;$» et par suite la loi horaire d'évolution de $\;v(t)\;$ s'écrit «$\;v(t)=A_{(+)}\exp \!\left(-{\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\,{\dfrac {t}{\tau }}\right)+A_{(-)}\exp \!\left(-{\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\,{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;$» ;
on détermine $\;A_{(+)}\;$ et $\;A_{(-)}\;$ à l'aide des C.I. déterminées précédemment soit $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}v(0^{+})=0\\{\dot {v}}(0^{+})={\dfrac {U}{\tau }}\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où :
* 1ère C.I. «$\;A_{(+)}+A_{(-)}=0\;$» et
* 2ème C.I. nécessitant d'exprimer $\;{\dot {v}}(t)=\left(-{\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{2\;\tau }}\right)A_{(+)}\exp \!\left(-{\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\,{\dfrac {t}{\tau }}\right)+\left(-{\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2\;\tau }}\right)A_{(-)}\exp \!\left(-{\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\,{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;$ soit, en faisant $\;t=0^{+}$, $\;\left(-{\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{2\;\tau }}\right)A_{(+)}+\left(-{\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2\;\tau }}\right)A_{(-)}={\dfrac {U}{\tau }}\;$ ou «$\;\left(3-{\sqrt {5}}\right)A_{(+)}+\left(3+{\sqrt {5}}\right)A_{(-)}=-2\;U\;$»,
2ème C.I. dans laquelle on reporte $\;A_{-}=-A_{+}\;$ tiré de la 1ère C.I. soit $\;\left[\left(3-{\sqrt {5}}\right)-\left(3+{\sqrt {5}}\right)\right]A_{(+)}=-2\;U\;$ d'où «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A_{+}={\dfrac {U}{\sqrt {5}}}\\A_{-}=-{\dfrac {U}{\sqrt {5}}}\end{array}}\right\rbrace \;$» ;
$\;v(t)\;$
$\;v(t)={\dfrac {U}{\sqrt {5}}}\left[\exp \!\left(-{\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\,{\dfrac {t}{\tau }}\right)-\exp \!\left(-{\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\,{\dfrac {t}{\tau }}\right)\right]\;$
$\;U=3\;V\;$
$\;\tau =R\;C=10^{4}\times 10^{-7}=10^{-3}\;s=1\;ms\;$
$\;v_{{\text{en }}\,V}(t_{{\text{en }}\,ms})\simeq 1,34\;\left[\exp \!\left(-0,382\,t_{{\text{en }}\,ms}\right)-\exp \!\left(-2,618\,t_{{\text{en }}\,ms}\right)\right]\;$
$\;v(t)\;$
Détermination du temps au bout duquel$\;v(t)\;$passe par un maximum : graphiquement on trouve «$\;t_{m}\simeq 0,85\;ms\;$» ;
$\;\color {transparent}{v(t)}\;$
$\;t_{m}\;$
$\;{\dot {v}}(t_{m})=0\;$
$\;{\dot {v}}(t)=$
${\dfrac {U}{\sqrt {5}}}\left[\left(-{\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{2\;\tau }}\right)\,\exp \!\left(-{\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\,{\dfrac {t}{\tau }}\right)-\left(-{\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2\;\tau }}\right)\,\exp \!\left(-{\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\,{\dfrac {t}{\tau }}\right)\right]$
$\;t_{m}\;$
$\;\left(3-{\sqrt {5}}\right)\,\exp \!\left(-{\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\,{\dfrac {t_{m}}{\tau }}\right)=$
$\left(3+{\sqrt {5}}\right)\,\exp \!\left(-{\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\,{\dfrac {t_{m}}{\tau }}\right)\;$
$\;\exp \!\left({\sqrt {5}}\;{\dfrac {t_{m}}{\tau }}\right)={\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{3-{\sqrt {5}}}}\;$
$\;{\sqrt {5}}\;{\dfrac {t_{m}}{\tau }}=\ln \!\left({\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{3-{\sqrt {5}}}}\right)\;$
$\;\left(3+{\sqrt {5}}\right)\;$
$\Rightarrow$
$\;{\sqrt {5}}\;{\dfrac {t_{m}}{\tau }}=\ln \!\left[{\dfrac {\left(3+{\sqrt {5}}\right)^{2}}{4}}\right]\;$
$\;t_{m}={\dfrac {2\;\tau }{\sqrt {5}}}\;\ln \!\left({\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\right)\simeq 0,86\;\tau =0,86\;ms\;$
Commentaires : on a donc montré que Commentaires : on a donc montré que $\;\succ \;$sur l'intervalle $\;\left[0\;;\,t_{m}\simeq 0,86\;\tau \right[\;$ le condensateur de capacité $\;C\;$ se chargeait jusqu'à atteindre une charge maximale associée à une tension $\;v_{\text{max}}=v(t_{m})={\dfrac {U}{\sqrt {5}}}\left\lbrace \exp \!\left[-{\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{\sqrt {5}}}\;\ln \!\left({\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\right)\right]-\exp \!\left[-{\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{\sqrt {5}}}\;\ln \!\left({\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\right)\right]\right\rbrace \;$ soit numériquement, avec $\;U=3\;V$, «$\;v_{\text{max}}$ $={\dfrac {U}{\sqrt {5}}}\left[\left({\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{-{\frac {3-{\sqrt {5}}}{\sqrt {5}}}}-\left({\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{-{\frac {3+{\sqrt {5}}}{\sqrt {5}}}}\right]\simeq 0,275\;U=0,825\;V\;$» et Commentaires : on a donc montré que $\;\succ \;$sur l'intervalle $\;\left]t_{m}\simeq 0,86\;\tau \;;\,+\infty \right[\;$ il se déchargeait à travers le conducteur ohmique monté en parallèle sur lui jusqu'à être totalement déchargé.

## Établissement du courant dans un circuit bouchon quand ce dernier est soumis, à travers un conducteur ohmique, à un échelon de tension

On se propose de déterminer la réponse en $\;i(t)\;$ intensité du courant traversant le circuit constitué d'un conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ en série avec l'association d'un condensateur de capacité $\;C\;$ en parallèle sur une bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$ ${\big$association parallèle appelée circuit bouchon${\big )}$, l'ensemble étant soumis à un échelon de tension $\;e(t)=E\;Y(t)\;$ établi à partir de $\;t=0\;$ et d'amplitude $\;E\;$ ${\big$voir ci-contre${\big )}$ ;
on pose «$\;\omega _{0}={\dfrac {1}{\sqrt {L\;C}}}\;$» et «$\;2\;\lambda ={\dfrac {1}{R\;C}}\;$», $\;R\;$ étant suffisamment grande pour que $\;\lambda \;$ soit $\;<\;$ à $\;\omega _{0}\;$ c'est-à-dire «$\;\lambda <\omega _{0}\;$» ;
avant la fermeture de l'interrupteur $\;K\;$ réalisée à $\;t=0$, toutes les grandeurs électriques $\;{\big$tensions et intensités de courant${\big )}\;$ du circuit passif sont nulles.

### Établissement de l'équation différentielle en i(t), intensité du courant traversant le circuit linéaire soumis à un échelon de tension

Établir, pour tout $\;t$, l'équation différentielle en $\;i(t)$, intensité du courant traversant le circuit bouchon, quand le circuit complet est soumis à l'échelon de tension $\;e(t)=E\;Y(t)\;$ d'amplitude $\;E$.
On dispose d'une loi de nœuds $\;i(t)=i_{C}(t)+i_{L}(t)\quad ({\mathfrak {n}})$,
On dispose de deux lois de mailles dont
* la 1ère est $\;E\,Y(t)-R\;i(t)-{\dfrac {q_{C}(t)}{C}}=0\quad (I)\;$ dans laquelle $\;q_{C}(t)\;$ est liée à $\;i_{C}(t)\;$ par $\;i_{C}(t)={\dfrac {dq_{C}}{dt}}(t)\;$ ${\big$convention de charge du condensateur${\big )}$, ce qui permet d'éliminer $\;q_{C}(t)\;$ au profit de $\;i_{C}(t)\;$ par dérivation temporelle de cette 1ère équation de maille soit $\;{\dfrac {i_{C}(t)}{C}}+R\;{\dfrac {di}{dt}}(t)=E\;\delta (t)\;$ $\Rightarrow$ l'explicitation de $\;i_{C}(t)\;$ en fonction de $\;i(t)\;$ selon $\;i_{C}(t)=$ $C\;E\;\delta (t)-R\;C\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\quad (I')\;$ et
* la 2ème $\;{\dfrac {q_{C}(t)}{C}}-L\,{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)=0\quad (II)\;$ dans laquelle on peut éliminer $\;q_{C}(t)\;$ au profit de $\;i(t)\;$ à l'aide de la 1ère loi de maille reportée dans $\;(II)$, ceci donnant $\;E\,Y(t)-R\;i(t)=L\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)\;$ qui permet d'expliciter $\;i_{L}(t)\;$ ${\bigg$plus exactement $\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t){\bigg ]}\;$ en fonction de $\;i(t)\;$ selon $\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)={\dfrac {E}{L}}\;Y(t)-{\dfrac {R}{L}}\;i(t)\quad (II')$ ;
$\;i(t)$
$\;({\mathfrak {n}})\;$
$\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)\;$
$\;{\dfrac {di}{dt}}(t)=$
${\dfrac {di_{C}}{dt}}(t)+{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)\;$
$\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)\;$
$\;i(t)\;$
$\;(II')\;$
$\;{\dfrac {di}{dt}}(t)=$
${\dfrac {di_{C}}{dt}}(t)+{\dfrac {E}{L}}\;Y(t)-{\dfrac {R}{L}}\;i(t)\quad (II'')\;$
$\;(I')\;$
$\;{\dfrac {di_{C}}{dt}}(t)\;$
$\;i(t)\;$
$\;{\dfrac {di_{C}}{dt}}(t)=C\;E\;{\dot {\delta }}(t)-R\;C\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)\;$
$\;(II'')\;$
$\;{\dfrac {di}{dt}}(t)$
$=C\;E\;{\dot {\delta }}(t)-R\;C\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {E}{L}}\;Y(t)-{\dfrac {R}{L}}\;i(t)\;$
$\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {1}{R\;C}}\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{L\;C}}\;i(t)={\dfrac {E}{R}}\,\left[{\dot {\delta }}(t)+{\dfrac {1}{L\;C}}\;Y(t)\right]\;$

### À partir de la nature de la discontinuité de l'excitation, induction de celle des discontinuités (éventuelles) initiales de l'intensité i(t) et de son taux horaire de variation (di/dt)(t) puis détermination des C.I. par utilisation des propriétés de continuité des grandeurs électriques dans un circuit résistif

Induire, de la nature de la discontinuité de l'excitation en $\;t=0$, celles de $\;i(t)\;$ et de $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ puis,
déterminer les valeurs initiales $\;i(0^{+})\;$ et $\;{\dfrac {di}{dt}}(0^{+})\;$ par la méthode adaptée à la nature de la discontinuité $\;{\big$éventuelle${\big )}$.
De l'excitation $\;{\dfrac {E}{R}}\,\left[{\dot {\delta }}(t)+\omega _{0}^{2}\,Y(t)\right]\;$ de l'équation différentielle écrite pour tout $\;t\;$ « “ discontinue de 3ème espèce en $\;t=0\;$” »$^,$ on induit, le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reportant sur la dérivée de plus haut ordre, que $\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)\;$ est « “ discontinue de 3ème espèce ” », $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ discontinue de 2ème espèce et $\;i(t)\;$ discontinue de 1ère espèce en $\;t=0\;$ ;
$\;i(0^{+})\;$
$\;0^{+}\;$
${\big$
${\big )}\;$
$\;{\big$
$\;i_{L}(t)\;$
$\;0\;$
$\Rightarrow$
$\;i_{L}(0^{+})=$
$i_{L}(0^{-})\;$
${\big ]}\;$
$\;{\bigg$
$\;u_{C}(t)={\dfrac {q(t)}{C}}\;$
$\;0\;$
$\;\Rightarrow u_{C}(0^{+})$
$=u_{C}(0^{-})\;$
${\bigg ]}$
$\;E\;$
$\;R\;$
$\;i(0^{+})={\dfrac {E}{R}}\;$
$\;i(0^{+})={\dfrac {E}{R}}\;$
$\;0^{+}$
$\;i_{C}(0^{+})=$
${\dfrac {E}{R}}\;$
$\;(I')\;$
$\;0^{+}\;$
${\big \$
${\big \}$
$\;i_{C}(0^{+})=$
${\cancel {C\;E\;\delta (0^{+})}}-R\;C\;{\dfrac {di}{dt}}(0^{+})\quad (I')_{0^{+}}\;$
$\;{\dfrac {di}{dt}}(0^{+})=-{\dfrac {i_{C}(0^{+})}{R\;C}}\;$
$\;{\dfrac {di}{dt}}(0^{+})=-{\dfrac {E}{R^{2}\;C}}\;$

### Détermination de la réponse transitoire en intensité du courant et tracé du graphe de i(t) en fonction de t

Réécrire l'équation différentielle en $\;i(t)$ pour tout $\;t\;$ sous forme canonique ;
en déduire, pour $\;t>0$, la réponse en $\;i(t)$, intensité du courant traversant le circuit complet soumis l'échelon de tension d'amplitude $\;E$, en fonction de $\;E$, $\;R$, $\;\lambda$, $\;\omega _{0}\;$ et l'instant $\;t$.
Donner l'allure du graphe de $\;i(t)\;$ en fonction de $\;t$.
La réduction canonique imposée nous conduit à définir
* la « pulsation propre $\;\omega _{0}={\dfrac {1}{\sqrt {L\;C}}}\;$» et
* un « cœfficient d'amortissement $\;\lambda >0\;$ tel que $\;2\,\lambda ={\dfrac {1}{R\,C}}\;$» d'où,
$\;i(t)\;$
$\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)+2\,\lambda \,{\dfrac {di}{dt}}(t)+\omega _{0}^{2}\,i(t)={\dfrac {E}{R}}\,\left[{\dot {\delta }}(t)+\omega _{0}^{2}\,Y(t)\right]\;\;\forall \,t\;$
Compte-tenu de l'introduction de ces grandeurs canoniques la 2ème C.I. «$\;{\dfrac {di}{dt}}(0^{+})=-{\dfrac {E}{R^{2}\;C}}\;$» se réécrit selon «$\;{\dfrac {di}{dt}}(0^{+})=-2\;\lambda \;{\dfrac {E}{R}}\;$», la 1ère C.I. restant «$\;i(0^{+})={\dfrac {E}{R}}\;$».
L'équation différentielle en $\;i(t)\;$ ayant pour forme canonique : «$\;{\dfrac {d^{2}i}{dt^{2}}}(t)+2\,\lambda \,{\dfrac {di}{dt}}(t)+\omega _{0}^{2}\,i(t)={\dfrac {E}{R}}\;\omega _{0}^{2}\;$ pour $\;t>0\;$», la solution transitoire est la somme d'une « solution forcée $\;i_{f}={\dfrac {E}{R}}\;$» et de la solution libre, laquelle nécessite de résoudre l'équation caractéristique «$\;s^{2}+2\,\lambda \,s+\omega _{0}^{2}=0\;$», de discriminant réduit $\;\Delta '=\lambda ^{2}-\omega _{0}^{2}<0\;$ d'après l'énoncé, n'admettant que des solutions complexes conjuguées «$\;{\underline {s_{\pm }}}=$ $-\lambda \pm i\;{\sqrt {\omega _{0}^{2}-\lambda ^{2}}}\;$» d'où une solution libre pseudo-périodique «$\;i_{l}(t)=A\;\exp \!\left(-\lambda \;t\right)\;\cos \!\left(\omega \;t+\varphi \right)\;$» dans laquelle on définit la « pseudo-pulsation $\;\omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\lambda ^{2}}}\;$» soit finalement la solution transitoire de l'équation différentielle de la forme suivante :
$\;i(t)=i_{f}+i_{l}(t)={\dfrac {E}{R}}+A\;\exp \!\left(-\lambda \;t\right)\;\cos \!\left(\omega \;t+\varphi \right)\;$
$\;A\;$
$\;\varphi \;$
* 1ère C.I. «$\;i(0^{+})={\dfrac {E}{R}}\;$» donne ici $\;{\dfrac {E}{R}}+A\,\cos(\varphi )={\dfrac {E}{R}}\;$ soit «$\;A\,\cos(\varphi )=0\;\;({\mathfrak {1}})\;$»,
* 2ème C.I. «$\;{\dfrac {di}{dt}}(0^{+})=-2\,\lambda \,{\dfrac {E}{R}}\;$» soit, avec $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)=-\lambda \,A\;\exp \!\left(-\lambda \;t\right)\;\cos \!\left(\omega \;t+\varphi \right)-\omega \,A\;\exp \!\left(-\lambda \;t\right)\;\sin \!\left(\omega \;t+\varphi \right)$, on obtient $\;{\cancel {\lambda \,A\,\cos(\varphi )}}+\omega \,A\,\sin(\varphi )=$ $-2\,\lambda \,{\dfrac {E}{R}}\;$ soit «$\;A\,\sin(\varphi )=-{\dfrac {2\,\lambda }{\omega }}\,{\dfrac {E}{R}}\;\;({\mathfrak {2}})\;$» ;
de $\;{\sqrt {({\mathfrak {1}})^{2}+({\mathfrak {2}})^{2}}}$, on déduit «$\;A={\dfrac {2\,\lambda }{\omega }}\,{\dfrac {E}{R}}={\dfrac {2\,\lambda }{\sqrt {\omega _{0}^{2}-\lambda ^{2}}}}\,{\dfrac {E}{R}}\;$» ;
de $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A\;\cos(\varphi )=0\\A\;\sin(\varphi )<0\end{array}}\right\rbrace \;$ avec le choix de $\;A>0\;$ on déduit $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\cos(\varphi )=0\\\sin(\varphi )<0\end{array}}\right\rbrace \;$ dont on tire «$\;\varphi =-{\dfrac {\pi }{2}}\;$» ;
$\;A\;$
$\;\varphi \;$
$\;i(t)={\dfrac {E}{R}}\,\left[1+{\dfrac {2\,\lambda }{\omega }}\,\exp \!\left(-\lambda \;t\right)\;\cos \!\left(\omega \;t-{\dfrac {\pi }{2}}\right)\right]={\dfrac {E}{R}}\,\left[1-{\dfrac {2\,\lambda }{\omega }}\,\exp \!\left(-\lambda \;t\right)\;\sin \!\left(\omega \;t\right)\right]\;$
L'allure de la courbe est rappelée ci-contre à droite en traits pleins avec précision des enveloppes en tiretés :

## Détermination expérimentale du cœfficient de viscosité d'un fluide à partir de la période propre et de la pseudo-période d'un P.E.V.A. (pendule élastique vertical amorti) dont le solide se déplace dans le fluide précité

Une sphère de rayon $\;r\;$ et de masse $\;m\;$ est suspendue à un ressort de raideur $\;k\;$ et de longueur à vide $\;l_{0}$.
Déplacée dans un liquide de cœfficient de viscosité dynamique $\;\eta \;$, la sphère est soumise, à l'instant $\;t$, à une force de frottement fluide linéaire donnée par la « formule de Stokes $\;{\vec {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}(t)=$ $-6\,\pi \,\eta \,r\,{\vec {V}}(t)\;$» où $\;{\vec {V}}(t)\;$ est la vitesse de la sphère au même instant $\;t$.

### Détermination de l'équation différentielle du mouvement de la sphère et expression de la pseudo-période

Écrire l'équation différentielle du mouvement de la sphère plongée dans le liquide et
en déduire, dans l'hypothèse d'un régime pseudo-périodique, l'expression de la pseudo période $\;{\mathcal {T}}$.
Trois schémas côtes à côtes avec forces exercées sont bien sûr indispensables $\;{\big$ressort suspendu à vide fixant la longueur à vide, pendule élastique vertical à l'équilibre fixant l'allongement à l'équilibre $\;\Delta l_{\text{éq}}\;$ et pendule élastique vertical à l'instant $\;t\;$ fixant l'allongement supplémentaire par rapport à l'équilibre $\;x(t)\;$${\big ]}$, le référentiel d'étude étant supposé galiléen.
Ayant choisi un axe $\;x'x\;$ vertical descendant et de repérer $\;M\;$ relativement à sa position d'équilibre, la r.f.d.n. appliquée à $\;M\;$ s'écrit «$\;{\vec {T}}(t)+m\,{\vec {g}}+{\vec {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}(t)=$ $m\,{\vec {a}}(t)\;$» et projetée sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ nous conduit à «$\;-k\,\left[\Delta l_{\text{éq}}+x(t)\right]+m\,g-h\,{\dot {x}}(t)$ $=m\,{\ddot {x}}(t)\;$» avec $\;h=6\,\pi \,\eta \,r\;$ d'où l'équation différentielle du 2ème ordre en $\;x(t)\;$ cherchée «$\;m\,{\ddot {x}}(t)+6\,\pi \,\eta \,r\,{\dot {x}}(t)+k\,x(t)=m\,g-k\,\Delta l_{\text{éq}}\;$» ;
$\;M\;$
$\;{\vec {T}}_{\text{éq}}+m\,{\vec {g}}={\vec {0}}\;$
$\;{\vec {u}}_{x}$
$\;-k(\Delta l_{\text{éq}})+m\,g=0\;$
$\;x(t)\;$
$\;{\ddot {x}}(t)+{\dfrac {6\,\pi \,\eta \,r}{m}}\,{\dot {x}}(t)+{\dfrac {k}{m}}\,x(t)=0\;$
la réduction canonique s'obtient en définissant
* la « pulsation propre $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k}{m}}}\;$» et
* le « cœfficient d'amortissement $\;\sigma \;$ par $\;2\,\sigma \,\omega _{0}={\dfrac {6\,\pi \,\eta \,r}{m}}\;$» ou $\;\sigma ={\dfrac {3\,\pi \,\eta \,r}{m\,\omega _{0}}}\;$ qui s'écrit encore, en reportant l'expression de $\;\omega _{0}$, selon «$\;\sigma ={\dfrac {3\,\pi \,\eta \,r}{\sqrt {k\,m}}}\;$» ;
$\;\sigma <1$
$\;\omega =\omega _{0}\,{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}\;$
$\;{\mathcal {T}}={\dfrac {{\mathcal {T}}_{0}}{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\;$
$\;{\mathcal {T}}_{0}={\dfrac {2\,\pi }{\omega _{0}}}\;$
$\;\sigma$
$\;{\mathcal {T}}={\dfrac {{\mathcal {T}}_{0}}{\sqrt {1-{\dfrac {9\,\pi ^{2}\,\eta ^{2}\,r^{2}}{k\,m}}}}}\;$

### Détermination du cœfficient de viscosité dynamique à partir de l'expression, entre autres, de la pseudo-période

En supposant les frottements fluides linéaires négligeables dans l'air, la période des oscillations y est mesurée égale à $\;{\mathcal {T}}_{0}$ ;
déduire, de la pseudo-période et de la période dans l'air, le cœfficient de viscosité dynamique $\;\eta \;$ du liquide en fonction de $\;m$, $\;r$, $\;{\mathcal {T}}\;$ et $\;{\mathcal {T}}_{0}$.
De l'expression de $\;{\mathcal {T}}\;$ précédemment établie «$\;{\mathcal {T}}={\dfrac {{\mathcal {T}}_{0}}{\sqrt {1-{\dfrac {9\,\pi ^{2}\,\eta ^{2}\,r^{2}}{k\,m}}}}}\;$», on tire $\;{\mathcal {T}}^{2}={\dfrac {{\mathcal {T}}_{0}^{2}}{1-{\dfrac {9\,\pi ^{2}\,\eta ^{2}\,r^{2}}{k\,m}}}}\;$ soit en inversant $\;1-{\dfrac {9\,\pi ^{2}\,\eta ^{2}\,r^{2}}{k\,m}}={\dfrac {{\mathcal {T}}_{0}^{2}}{{\mathcal {T}}^{2}}}\;$ ou $\;{\dfrac {9\,\pi ^{2}\,\eta ^{2}\,r^{2}}{k\,m}}=1-{\dfrac {{\mathcal {T}}_{0}^{2}}{{\mathcal {T}}^{2}}}\;$ d'où le cœfficient de viscosité dynamique $\;\eta ={\sqrt {{\dfrac {k\,m}{9\,\pi ^{2}\,r^{2}}}\left(1-{\dfrac {{\mathcal {T}}_{0}^{2}}{{\mathcal {T}}^{2}}}\right)}}\;$ soit encore «$\;\eta ={\dfrac {\sqrt {k\,m}}{3\,\pi \,r}}{\sqrt {1-{\dfrac {{\mathcal {T}}_{0}^{2}}{{\mathcal {T}}^{2}}}}}\;$» ;
$\;k\;$
$\;{\mathcal {T}}_{0}=2\,\pi \,{\sqrt {\dfrac {m}{k}}}\;$
$\Rightarrow$
$\;k={\dfrac {4\,\pi ^{2}\,m}{{\mathcal {T}}_{0}^{2}}}\;$
$\Rightarrow$
$\;{\sqrt {k\;m}}={\dfrac {2\,\pi \,m}{{\mathcal {T}}_{0}}}\;$
$\;\eta \;$
$\;\eta ={\dfrac {2\,\pi \,m}{3\,\pi \,r\,{\mathcal {T}}_{0}}}{\sqrt {1-{\dfrac {{\mathcal {T}}_{0}^{2}}{{\mathcal {T}}^{2}}}}}\;$
$\;\eta ={\dfrac {2\,m}{3\,r}}{\sqrt {{\dfrac {1}{{\mathcal {T}}_{0}^{2}}}-{\dfrac {1}{{\mathcal {T}}^{2}}}}}\;$

## Décrément logarithmique d'un P.E.V.A. (pendule élastique vertical amorti) et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le premier se déplace

Un solide de masse $\;m\;$ est attaché à un ressort d'axe vertical, de raideur $\;k=10\,N\cdot m^{-1}\;$ et de longueur à vide $\;l_{0}=$ $10\,cm\;$ fixé au point fixe $\;O\;$ ${\big$voir figure ci-contre${\big )}$.
En plus de son poids et de la force élastique du ressort, le solide est soumis à une force de frottement fluide $\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(t)=$ $-h\,{\vec {V}}(t)$, où $\;{\vec {V}}(t)\;$ est le vecteur vitesse instantané du solide à l'instant $\;t\;$ et $\;h\;$ une constante dite de « frottement fluide linéaire » dans les conditions de l'expérience.
Un capteur fournit l'évolution, au cours du temps, de la cote $\;z'(t)\;$ du solide par rapport à sa position d'équilibre.

### Établissement de l'équation différentielle en z(t) cote du solide relativement à O, détermination de la cote à l'équilibre et de la loi de variation de z'(t) cote du solide relativement à sa position d'équilibre

Établir l'équation différentielle en $\;z(t)\;$ cote du solide relativement à l'extrémité supérieure $\;O\;$ du ressort ;
en déduire la position d'équilibre du solide c'est-à-dire sa cote $\;z_{\text{éq}}\;$ à l'équilibre puis
en déduire l'équation différentielle en $\;z'(t)=z(t)-z_{\text{éq}}\;$ cote du solide relativement à sa position d'équilibre $\;{\big \$la variation de $\;z'\;$ en fonction du temps $\;t\;$ étant représentée ci-contre${\big \}$.
On applique la r.f.d.n. à $\;M\;$ dans le référentiel d'étude supposé galiléen, $\;M\;$ étant soumis aux trois forces représentées ci-contre :
* son poids $\;m\,{\vec {g}}=m\,g\;{\vec {u}}_{z}$,
* la tension du ressort $\;{\vec {T}}(t)=-k\,\Delta l(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$ avec $\;\Delta l(t)=z(t)-l_{0}\;$ allongement du ressort relativement à sa position à vide et
* la force de frottement fluide linéaire $\;{\overrightarrow {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}(t)=-h\,{\vec {V}}(t)\;$ où $\;{\vec {V}}(t)={\dot {z}}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$ est le vecteur vitesse instantané de $\;M$ ;
$\;m\,{\vec {g}}+{\vec {T}}(t)+{\overrightarrow {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}(t)=m\,{\vec {a}}(t)$
$\;{\vec {u}}_{z}\;$
$\;m\,g-k\,\left[z(t)-l_{0}\right]-h\,{\dot {z}}(t)=$
$m\,{\ddot {z}}(t)\;$
$\;m\,{\ddot {z}}(t)+h\,{\dot {z}}(t)+k\,z(t)=k\,l_{0}+m\,g\;$
$\;k\,z_{\text{éq}}=k\,l_{0}+m\,g\;$
$\;z_{\text{éq}}=l_{0}+{\dfrac {m\,g}{k}}\;$
$\;k\,l_{0}+m\,g\;$
$\;k\,z_{\text{éq}}\;$
$\;z(t)\;$
$\;m\,{\ddot {z}}(t)+h\,{\dot {z}}(t)+k\,z(t)=k\,z_{\text{éq}}\;$
$\;z'(t)=z(t)-z_{\text{éq}}\;$
$\Rightarrow$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dot {z'}}(t)={\dot {z}}(t)\\{\ddot {z'}}(t)={\ddot {z}}(t)\end{array}}\right\rbrace$
$\;m\,{\ddot {z'}}(t)+h\,{\dot {z'}}(t)+k\,z'(t)=0\;$

### Définition de la pulsation propre et du facteur de qualité du P.E.V.A.

Dans le but de faire une réduction canonique, définir, en fonction des données
* la pulsation propre $\;\omega _{0}\;$ du P.E.V.A. ainsi que
* son facteur de qualité $\;Q\;$ puis
réécrire l'équation différentielle en $\;z'(t)\;$ sous sa forme canonique.
La réduction canonique proposée nous impose de définir
* la « pulsation propre $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k}{m}}}\;$» dont le carré est le cœfficient de $\;z'(t)\;$ dans l'équation différentielle normalisée et
* le « facteur de qualité $\;Q>0\;$ tel que $\;{\dfrac {\omega _{0}}{Q}}={\dfrac {h}{m}}\;$» cœfficient de $\;{\dot {z'}}(t)\;$ dans l'équation différentielle normalisée soit encore «$\;Q={\dfrac {m\;\omega _{0}}{h}}={\dfrac {k}{h\;\omega _{0}}}\;$» ou, en éliminant $\;\omega _{0}$, l'expression $\;{\big$moins utilisée${\big )}\;$ «$\;Q={\dfrac {\sqrt {m\;k}}{h}}\;$» ;
$\;z'(t)\;$
$\;{\ddot {z'}}(t)+{\dfrac {\omega _{0}}{Q}}\,{\dot {z'}}(t)+\omega _{0}^{2}\,z'(t)=0\;$

### Résolution de l'équation différentielle en z'(t)

Déterminer, par résolution de l'équation différentielle précédente, la loi de variation de $\;z'(t)\;$ en fonction du temps $\;t$ ;
préciser la pseudo-période $\;{\mathcal {T}}\;$ en fonction de la période propre $\;{\mathcal {T}}_{0}={\dfrac {2\,\pi }{\omega _{0}}}\;$ et du facteur de qualité $\;Q$.
$\;\Delta ={\dfrac {\omega _{0}^{2}}{Q^{2}}}-4\,\omega _{0}^{2}=-4\,\omega _{0}^{2}\left(1-{\dfrac {1}{4\,Q^{2}}}\right)<0\;$
$\;Q>{\dfrac {1}{2}}\;$
$\;{\underline {s_{(\pm )}}}=-{\dfrac {\omega _{0}}{2\,Q}}\pm i\,\omega \;$
$\;\omega =\omega _{0}\,{\sqrt {1-{\dfrac {1}{4\,Q^{2}}}}}\;$
$\;z'(t)=A\,\exp \left(-{\dfrac {\omega _{0}}{2\,Q}}\,t\right)\,\cos(\omega \,t+\varphi )\;$
$\;{\mathcal {T}}={\dfrac {2\,\pi }{\omega }}\;$
$\;{\mathcal {T}}_{0}={\dfrac {2\,\pi }{\omega _{0}}}\;$
$\;{\mathcal {T}}={\dfrac {{\mathcal {T}}_{0}}{\sqrt {1-{\dfrac {1}{4\,Q^{2}}}}}}>{\mathcal {T}}_{0}\;$

### Définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité

Montrer que le décrément logarithmique $\;\delta \;$ défini par $\;\delta =\ln \!\left[{\dfrac {z'(t)}{z'(t+{\mathcal {T}})}}\right]\;$ est indépendant du temps et
l'exprimer en fonction du facteur de qualité.
$\;\delta =\ln \!\left[{\dfrac {z'(t)}{z'(t+{\mathcal {T}})}}\right]\;$
$\;z'(t)=A\,\exp \left(-{\dfrac {\omega _{0}}{2\,Q}}\,t\right)\,\cos(\omega \,t+\varphi )\;$
$\;\delta =$
$\ln \!\left\lbrace {\dfrac {A\,\exp \left(-{\dfrac {\omega _{0}}{2\,Q}}\,t\right)\,\cos(\omega \,t+\varphi )}{A\,\exp \left[-{\dfrac {\omega _{0}}{2\,Q}}\,\left(t+{\mathcal {T}}\right)\right]\,\cos \left[\omega \,\left(t+{\mathcal {T}}\right)+\varphi \right]}}\right\rbrace \;$
$\;{\mathcal {T}}\;$
$\;\cos(\omega \,t+\varphi )$
$\;\delta =\ln \!\left\lbrace {\dfrac {1}{\exp \left(-{\dfrac {\omega _{0}}{2\,Q}}\,{\mathcal {T}}\right)}}\right\rbrace \;$
$\;t\;$
$\;\delta ={\dfrac {\omega _{0}}{2\,Q}}\,{\mathcal {T}}\;$
$\;{\mathcal {T}}\;$
$\;Q\;$
$\;\delta ={\dfrac {\omega _{0}}{2\,Q}}\,{\dfrac {{\mathcal {T}}_{0}}{\sqrt {1-{\dfrac {1}{4\,Q^{2}}}}}}\;$
$\;\omega _{0}\,{\mathcal {T}}_{0}=2\,\pi$
$\;\delta ={\dfrac {2\,\pi }{\sqrt {4\,Q^{2}-1}}}\;$

### Comparaison des données expérimentales à la modélisation précédente

En utilisant les positions du solide à chaque passage au maximum, comparer les données expérimentales à la modélisation précédente ;
Commenter les résultats obtenus et estimer à l'aide des données expérimentales le décrément logarithmique ainsi que son incertitude de répétabilité $\;{\big$ou de type A${\big )}\;$.
À l'aide du diagramme horaire rappelé ci-contre nous déterminons le tableau de valeurs ci-dessous
| n° du maximum | n° $\;1\;$ | n° $\;2\;$ | n° $\;3\;$ | n° $\;4\;$ | n° $\;5\;$ | n° $\;6\;$ |
| $\;z'_{\text{max}}\;$ (en $\;cm$) | $\;2,8\;$ | $\;2,0\;$ | $\;1,45\;$ | $\;1,1\;$ | $\;0,8\;$ | $\;0,6\;$ |
| $\;\delta _{i,\,i+1}\;$ | | $\;0,336\;$ | $\;0,321\;$ | $\;0,276\;$ | $\;0,318\;$ | $\;0,288\;$ |
On vérifie que le décrément logarithmique est quasi indépendant de $t$, il reste en effet constant à $\;10\;\%\;$ près ; cela peut paraître important comme écart à la constance mais les mesures d'amplitudes sur le diagramme présenté étant faites au mieux au $\;mm\;$ près, cela entraîne une imprécision de $\;{\dfrac {1}{28}}\simeq 3,5\;\%\;$ sur l'amplitude la plus grande et de $\;{\dfrac {1}{6}}\simeq 16,5\;\%\;$ sur l'amplitude la plus petite d'où une imprécision d'autant plus grande que le décrément logarithmique est évalué entre des amplitudes successives prises à des instants éloignés de l'instant initial.
Si on admet la modélisation on peut améliorer l'évaluation du décrément logarithmique en prenant la variation entre le 1er et le 6ème maximum selon $\;\delta ={\dfrac {1}{5}}\,\ln \!\left[{\dfrac {z'(t)}{z'(t+5\,{\mathcal {T}})}}\right]$, on trouve alors en faisant cela $\;\delta _{\text{moy}}\simeq 0,308\;$ avec une précision cinq fois meilleure.
« La meilleure estimation du décrément logarithmique étant sa valeur moyenne elle vaut $\;{\overline {\delta }}\simeq 0,308\;$» ;
$\;s(\delta )={\sqrt {{\dfrac {1}{4}}\left[(0,028)^{2}+(0,023)^{2}+(-0,032)^{4}+(0,010)^{2}+(0,020)^{2}\right]}}\simeq 0,027\;$
$\;s({\overline {\delta }})={\dfrac {s(\delta )}{\sqrt {5}}}\simeq 0,012$
$\;u_{\text{rép}}(\delta )\simeq 0,012\;$
$\;\delta =0,308\pm 0,012\;$

### Par étude des données expérimentales estimation du facteur de qualité et de la pseudo-pulsation

Estimer à l'aide des données expérimentales le facteur de qualité $\;Q\;$ puis
Estimer à l'aide des données expérimentales la pseudo-pulsation $\;\omega ={\dfrac {2\;\pi }{\mathcal {T}}}\;$.
$\;\delta ={\dfrac {2\,\pi }{\sqrt {4\,Q^{2}-1}}}\;$
$\;Q={\sqrt {{\dfrac {\pi ^{2}}{\delta ^{2}}}+{\dfrac {1}{4}}}}\;$
$\;Q\;$
$\;{\overline {Q}}={\sqrt {{\dfrac {\pi ^{2}}{{\overline {\delta }}^{2}}}+{\dfrac {1}{4}}}}\simeq 10,21\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;Q\;$
$\;u_{\text{rép}}(Q)={\bigg \vert }{\dfrac {dQ}{d\delta }}({\overline {\delta }}){\bigg \vert }\;u_{\text{rép}}(\delta )={\Bigg \vert }\!\left[{\dfrac {-2\,\pi ^{2}}{{\overline {\delta }}^{3}}}\right]\left[2\,{\sqrt {{\dfrac {\pi ^{2}}{{\overline {\delta }}^{2}}}+{\dfrac {1}{4}}}}\right]^{-1}\!{\Bigg \vert }\;u_{\text{rép}}(\delta )\;$
$\;u_{\text{rép}}(Q)=$
${\dfrac {\pi ^{2}}{{\overline {\delta }}^{3}\,{\sqrt {{\dfrac {\pi ^{2}}{{\overline {\delta }}^{2}}}+{\dfrac {1}{4}}}}}}\;u_{\text{rép}}(\delta )\;$
$\;u_{\text{rép}}(Q)=$
${\dfrac {\pi ^{2}}{(0,308)^{3}\,{\sqrt {{\dfrac {\pi ^{2}}{(0,308)^{2}}}+{\dfrac {1}{4}}}}}}\times 0,01\simeq 0,33\;$
$\;Q=10,2\pm 0,3\;$
$\;0,4\,s\;$
$\;9,8\,s\;$
$\;5\;$
$\;9,4\,s\;$
$\;{\overline {\mathcal {T}}}\simeq {\dfrac {9,4}{5}}\simeq 1,880\,s\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;9,4\,s\;$
$\;0,2\,s\;$
$\;{\mathcal {T}}\;$
$\;{\dfrac {0,2}{5}}=0,04\,s\;$
$\;u_{\text{rés}}({\mathcal {T}})={\dfrac {0,04}{2\,{\sqrt {3}}}}\simeq 0,012\,s\;$
$\;{\mathcal {T}}=1,880\pm 0,012\;$
$\;s\;$
$\;\omega ={\dfrac {2\,\pi }{\mathcal {T}}}\;$
$\;{\overline {\omega }}\simeq {\dfrac {2\,\pi }{1,880}}\simeq 3,342\,rad\cdot s^{-1}\;$
$\;\omega \;$
$\;{\mathcal {T}}\;$
$\;{\dfrac {u_{\text{rés}}(\omega )}{\overline {\omega }}}={\dfrac {u_{\text{rés}}({\mathcal {T}})}{\overline {\mathcal {T}}}}\simeq {\dfrac {0,012}{1,880}}\simeq 0,0064\;$
$\;u_{\text{rés}}(\omega )\simeq {\overline {\omega }}\times 0,0064\simeq 0,0215\,rad\cdot s^{-1}\;$
$\;\omega =3,34\pm 0,02\;$
$\;rad\cdot s^{-1}\;$

### Déduction des résultats estimés précédents de la masse du solide et du cœfficient de frottement fluide linéaire entre le solide et le fluide

En déduire la valeur de la masse $\;m\;$ du solide et
En déduire la valeur du cœfficient de frottement fluide linéaire $\;h\;$ entre le solide et le fluide.
$\;\omega _{0}\simeq 3,34\pm 0,02\;$
$\;rad\cdot s^{-1}\;$
$\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k}{m}}}\;$
$\;m=$
${\dfrac {k}{\omega _{0}^{2}}}\;$
$\;k=$
$10\,N\cdot m^{-1}\;$
$\;{\overline {m}}={\dfrac {k}{{\overline {\omega _{0}}}^{2}}}\simeq {\dfrac {10}{(3,34)^{2}}}\simeq 896\,10^{-3}\,kg\;$
$\;{\overline {m}}\simeq 896\,g\;$
$\;m\;$
$\;\omega \;$
$\;{\dfrac {u(m)}{\overline {m}}}=$
$2\times {\dfrac {u(\omega )}{\overline {\omega }}}\simeq 2\times {\dfrac {0,02}{3,34}}\simeq 0,012\;$
$\;u(m)\simeq {\overline {m}}\times 0,012\simeq 10,8\,g\;$
$\;m=896\pm 11\;$
$\;g\;$
$\;h\;$
$\;h={\dfrac {m\ \omega _{0}}{Q}}={\dfrac {k}{Q\,\omega _{0}}}\;$
$\;{\overline {h}}={\dfrac {k}{{\overline {Q}}\,{\overline {\omega }}_{0}}}\simeq {\dfrac {10}{10,2\times 3,34}}\;$
$\;{\overline {h}}\simeq 0,294\,kg\cdot s^{-1}\;$
$\;h\;$
$\;Q\;$
$\;\omega \;$
$\;{\dfrac {u(h)}{\overline {h}}}={\dfrac {u(Q)}{\overline {Q}}}+{\dfrac {u(\omega )}{\overline {\omega }}}\simeq {\dfrac {0,3}{10,2}}+{\dfrac {0,02}{3,34}}\simeq 0,035\;$
$\;h\;$
$\;u(h)\simeq 0,294\times 0,035\simeq 0,010\,kg\cdot s^{-1}\;$
$\;h=0,294\pm 0,010\;$
$\;kg\cdot s^{-1}\;$

## Couplage de deux circuits « L C série » identiques par condensateur

À l'aide de deux circuits oscillants identiques «$\;L\,C\;$ série » initialement au repos on réalise un couplage entre eux par condensateur c'est-à-dire qu'on les monte parallèlement à un condensateur $\;{\big$voir schéma ci-contre${\big )}$, ce condensateur de capacité $\;\Gamma \;$ est initialement chargé, sa charge initiale étant égale à $\;Q\;$ ;
nous supposons que l'instant de réalisation du couplage est pris comme origine des temps $\;t=0$.

### Établissement du système d'équations différentielles couplées en i$_1$(t) et i$_2$(t), respectivement intensité du courant circulant dans les circuits oscillants de gauche et de droite

Déterminer le système d'équations différentielles couplées en $\;i_{1}(t)\;$ et $\;i_{2}(t)\;$, respectivement intensité du courant circulant dans les circuits oscillants de gauche et de droite.
On dispose d'une loi de nœuds $\;i(t)=i_{1}(t)+i_{2}(t)\quad ({\mathfrak {n}})$,
On dispose de deux lois de mailles dont
* la 1ère est $\;u_{K}(t)+{\dfrac {q(t)}{\Gamma }}-L\;{\dfrac {di_{1}}{dt}}(t)-{\dfrac {q_{1}(t)}{C}}=0\;$ dans laquelle $\;u_{K}(t)\;$ étant la tension aux bornes de l'interrupteur est égale à $\;u_{K}(t)=-{\dfrac {Q}{\Gamma }}\;Y(-t)\;$, avec $\;i_{1}(t)={\dfrac {dq_{1}}{dt}}(t)\;$ ${\big$convention de charge du condensateur${\big )}$, cette 1ère loi de maille se réécrivant selon $\;{\dfrac {q(t)}{\Gamma }}-L\;{\dfrac {di_{1}}{dt}}(t)-{\dfrac {q_{1}(t)}{C}}={\dfrac {Q}{\Gamma }}\;Y(-t)\quad (I)\;$ et
* la 2ème $\;u_{K}(t)+{\dfrac {q(t)}{\Gamma }}-L\;{\dfrac {di_{2}}{dt}}(t)-{\dfrac {q_{2}(t)}{C}}=0\;$ dans laquelle $\;u_{K}(t)=-{\dfrac {Q}{\Gamma }}\;Y(-t)\;$ avec $\;i_{2}(t)={\dfrac {dq_{2}}{dt}}(t)\;$ ${\big$selon la convention de charge du condensateur${\big )}$, cette 2ème loi de maille se réécrivant selon $\;{\dfrac {q(t)}{\Gamma }}-L\;{\dfrac {di_{2}}{dt}}(t)-{\dfrac {q_{2}(t)}{C}}={\dfrac {Q}{\Gamma }}\;Y(-t)\quad (II)\;$ ;
pour trouver les équations différentielles en $\;i_{1}(t)\;$ et en $\;i_{2}(t)$, il faut éliminer les charges dans les relations $\;(I)\;$ et $\;(II)\;$ en utilisant $\;i(t)=-{\dfrac {dq}{dt}}(t)\;$ ${\big$convention de décharge du condensateur${\big ]}\;$ ainsi que les deux relations déjà présentées liant $\;i_{1}t)\;$ et $\;q_{1}(t)\;$ ainsi que $\;i_{2}t)\;$ et $\;q_{2}(t)\;$ donc en dérivant par rapport au temps les relations $\;(I)\;$ et $\;(II)\;$ soit :
* $\;-{\dfrac {i(t)}{\Gamma }}-L\;{\dfrac {d^{2}i_{1}}{dt^{2}}}(t)-{\dfrac {i_{1}(t)}{C}}=-{\dfrac {Q}{\Gamma }}\;\delta (-t)\quad (I')\;$ et
* $\;-{\dfrac {i(t)}{\Gamma }}-L\;{\dfrac {d^{2}i_{2}}{dt^{2}}}(t)-{\dfrac {i_{2}(t)}{C}}=-{\dfrac {Q}{\Gamma }}\;\delta (-t)\quad (II')\;$ ;
il suffit alors d'éliminer $\;i(t)\;$ au profit de $\;i_{1}(t)\;$ et $\;i_{2}(t)\;$ par loi des nœuds $\;i(t)=i_{1}(t)+i_{2}(t)\quad ({\mathfrak {n}})$, ce qui donne :
* $\;-{\dfrac {i_{1}(t)+i_{2}(t)}{\Gamma }}-L\;{\dfrac {d^{2}i_{1}}{dt^{2}}}(t)-{\dfrac {i_{1}(t)}{C}}=-{\dfrac {Q}{\Gamma }}\;\delta (-t)\;$ ou, en ordonnant $\;L\;{\dfrac {d^{2}i_{1}}{dt^{2}}}(t)+\left({\dfrac {1}{\Gamma }}+{\dfrac {1}{C}}\right)\,i_{1}(t)={\dfrac {Q}{\Gamma }}\;\delta (-t)-{\dfrac {i_{2}(t)}{\Gamma }}\quad (I'')\;$ et
* $\;-{\dfrac {i_{1}(t)+i_{2}(t)}{\Gamma }}-L\;{\dfrac {d^{2}i_{2}}{dt^{2}}}(t)-{\dfrac {i_{2}(t)}{C}}=-{\dfrac {Q}{\Gamma }}\;\delta (-t)\;$ ou, en ordonnant $\;L\;{\dfrac {d^{2}i_{2}}{dt^{2}}}(t)+\left({\dfrac {1}{\Gamma }}+{\dfrac {1}{C}}\right)\,i_{2}(t)={\dfrac {Q}{\Gamma }}\;\delta (-t)-{\dfrac {i_{1}(t)}{\Gamma }}\quad (II'')$ ;
$\;i_{1}(t)\;$
$\;i_{2}(t)\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\dfrac {d^{2}i_{1}}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {1}{L}}\,\left({\dfrac {1}{\Gamma }}+{\dfrac {1}{C}}\right)\,i_{1}(t)={\dfrac {Q}{L\;\Gamma }}\;\delta (-t)-{\dfrac {i_{2}(t)}{L\;\Gamma }}\quad ({\mathfrak {1}})\;\;\forall \,t\\{\dfrac {d^{2}i_{2}}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {1}{L}}\,\left({\dfrac {1}{\Gamma }}+{\dfrac {1}{C}}\right)\,i_{2}(t)={\dfrac {Q}{L\;\Gamma }}\;\delta (-t)-{\dfrac {i_{1}(t)}{L\;\Gamma }}\quad ({\mathfrak {2}})\;\;\forall \,t\end{array}}\right\rbrace \;$

### Découplage du système d'équations différentielles couplées en i$_1$(t) et i$_2$(t)

Montrer que l'on découple le système en formant $\;\left({\mathfrak {1}}\right)+\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ et $\;\left({\mathfrak {1}}\right)-\left({\mathfrak {2}}\right)$, obtenant ainsi deux équations différentielles découplées
* $\;\left({\mathfrak {a}}\right)=\left({\mathfrak {1}}\right)+\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ en $\;s(t)=i_{1}(t)+i_{2}(t)\;$ et
* $\;\left({\mathfrak {b}}\right)=\left({\mathfrak {1}}\right)-\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ en $\;d(t)=i_{1}(t)-i_{2}(t)$.
$\;\left({\mathfrak {1}}\right)+\left({\mathfrak {2}}\right)\;$
$\;\left[{\dfrac {d^{2}i_{1}}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {1}{L}}\left({\dfrac {1}{\Gamma }}+{\dfrac {1}{C}}\right)\,i_{1}(t)\right]+\left[{\dfrac {d^{2}i_{2}}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {1}{L}}\left({\dfrac {1}{\Gamma }}+{\dfrac {1}{C}}\right)\,i_{2}(t)\right]=\left[{\dfrac {Q}{L\;\Gamma }}\;\delta (-t)-{\dfrac {i_{2}(t)}{L\;\Gamma }}\right]+\left[{\dfrac {Q}{L\;\Gamma }}\;\delta (-t)-{\dfrac {i_{1}(t)}{L\;\Gamma }}\right]\;$
$\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}\right)+\left({\mathfrak {2}}\right)}\;$
$\;{\dfrac {d^{2}\!\left[i_{1}+i_{2}\right]}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {1}{L}}\left({\dfrac {2}{\Gamma }}+{\dfrac {1}{C}}\right)\left[i_{1}+i_{2}\right](t)={\dfrac {2\;Q}{L\;\Gamma }}\;\delta (-t)\;$
$\;s(t)=i_{1}(t)+i_{2}(t)$
$\;s(t)\;$
$\;{\dfrac {d^{2}s}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {1}{L}}\left({\dfrac {2}{\Gamma }}+{\dfrac {1}{C}}\right)s(t)={\dfrac {2\;Q}{L\;\Gamma }}\;\delta (-t)\;\;\forall \;t\quad \;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$
$\;\left({\mathfrak {1}}\right)-\left({\mathfrak {2}}\right)\;$
$\;\left[{\dfrac {d^{2}i_{1}}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {1}{L}}\left({\dfrac {1}{\Gamma }}+{\dfrac {1}{C}}\right)\,i_{1}(t)\right]-\left[{\dfrac {d^{2}i_{2}}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {1}{L}}\left({\dfrac {1}{\Gamma }}+{\dfrac {1}{C}}\right)\,i_{2}(t)\right]=\left[{\dfrac {Q}{L\;\Gamma }}\;\delta (-t)-{\dfrac {i_{2}(t)}{L\;\Gamma }}\right]-\left[{\dfrac {Q}{L\;\Gamma }}\;\delta (-t)-{\dfrac {i_{1}(t)}{L\;\Gamma }}\right]\;$
$\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}\right)-\left({\mathfrak {2}}\right)}\;$
$\;{\dfrac {d^{2}\!\left[i_{1}-i_{2}\right]}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {1}{L}}\left({\dfrac {1}{C}}\right)\left[i_{1}-i_{2}\right](t)=0\;$
$\;d(t)=i_{1}(t)-i_{2}(t)$
$\;d(t)\;$
$\;{\dfrac {d^{2}d}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {1}{L\;C}}\,d(t)=0\;\;\forall \;t\quad \;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$

### Détermination des lois de variation de s(t) = i$_1$(t) + i$_2$(t) et de d(t) = i$_1$(t) - i$_2$(t) en fonction du temps t

Résoudre chaque équation différentielle découplée $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ et $\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$ pour en déduire les lois de variation de $\;s(t)=i_{1}(t)+i_{2}(t)\;$ et de $\;d(t)=$ $i_{1}(t)-i_{2}(t)\;$ avec le temps $\;t$.
$\;d(t)\;$
$\;\left({\mathfrak {b}}\right)$
$\;\omega _{0,\,({\mathfrak {b}})}={\dfrac {1}{\sqrt {L\;C}}}\;$
$\;\color {transparent}{d(t)}\;$
$\;{\dfrac {d^{2}d}{dt^{2}}}(t)+\omega _{0,\,({\mathfrak {b}})}^{2}\,d(t)=0\;\;\forall \;t\quad \;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$
$\;d(t)\;$
$\;t=0$
$\;{\big \$
$\;{\big$
${\big )}\;$
${\big \}$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c c c}d(0^{+})\!\!&=&\!\!d(0^{-})\!\!&=&\!\!0\\{\dot {d}}(0^{+})\!\!&=&\!\!{\dot {d}}(0^{-})\!\!&=&\!\!0\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;d(t)=d_{l}(t)=A\;\cos[\omega _{0,\,({\mathfrak {b}})}\,t]+B\;\sin[\omega _{0,\,({\mathfrak {b}})}\,t]$
$\;A\;$
$\;B\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c c c}d(0^{+})\!\!&=&\!\!A\!\!&=&\!\!0\\{\dot {d}}(0^{+})\!\!&=&\!\!B\;\omega _{0,\,({\mathfrak {b}})}\!\!&=&\!\!0\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A=0\\B=0\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;d(t)=0\quad \forall \;t\;$
$\;s(t)\;$
$\;\left({\mathfrak {a}}\right)$
$\;\omega _{0,\,({\mathfrak {a}})}={\sqrt {{\dfrac {2}{L\;\Gamma }}+{\dfrac {1}{L\;C}}}}\;$
$\;\color {transparent}{s(t)}\;$
$\;{\dfrac {d^{2}s}{dt^{2}}}(t)+\omega _{0,\,({\mathfrak {a}})}^{2}\,s(t)={\dfrac {2\;Q}{L\;\Gamma }}\;\delta (-t)\;\;\forall \;t\quad \;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$
$\;s(t)\;$
$\;t=0$
$\;{\big \$
$\;1\;$
${\big \}$
$\;s(0^{+})=$
$s(0^{-})=0\;$
$\;t\;$
$\;0^{-}\;$
$\;0^{+}\;$
$\;{\dfrac {ds}{dt}}(0^{+})+{\cancel {\omega _{0,\,({\mathfrak {a}})}^{2}\,\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}s(t)\,dt}}={\dfrac {2\;Q}{L\;\Gamma }}\;\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}\delta (-t)\,dt\;$
${\bigg$
$\;\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}s(t)\,dt=0$
$\;s(t)\;$
$\Rightarrow$
$\;s(t){\bigg ]}\;$
$\;{\dfrac {ds}{dt}}(0^{+})={\dfrac {2\;Q}{L\;\Gamma }}\,\left[-Y(-t)\right]_{0^{-}}^{0^{+}}\;$
$\;{\dfrac {ds}{dt}}(0^{+})={\dfrac {2\;Q}{L\;\Gamma }}\;$
$\;s(t)\;$
$\;t>0\;$
$\;{\dfrac {d^{2}s}{dt^{2}}}(t)+\omega _{0,\,({\mathfrak {a}})}^{2}\,s(t)=0\;$
$\;s(t)=s_{l}(t)=$
$A'\;\cos[\omega _{0,\,({\mathfrak {a}})}\,t]+B'\;\sin[\omega _{0,\,({\mathfrak {a}})}\,t]\;$
$\;A'\;$
$\;B'\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c c c}s(0^{+})\!\!&=&\!\!A'\!\!&=&\!\!0\\{\dot {s}}(0^{+})\!\!&=&\!\!B'\;\omega _{0,\,({\mathfrak {a}})}\!\!&=&\!\!{\dfrac {2\;Q}{L\;\Gamma }}\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A'=0\\B'={\dfrac {2\;Q}{L\;\Gamma \;\omega _{0,\,({\mathfrak {a}})}}}\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;s(t)={\dfrac {2\;Q}{L\;\Gamma \;\omega _{0,\,({\mathfrak {a}})}}}\;\sin[\omega _{0,\,({\mathfrak {a}})}\,t]\quad \forall \;t\;$
$\;\omega _{0,\,({\mathfrak {a}})}={\sqrt {{\dfrac {2}{L\;\Gamma }}+{\dfrac {1}{L\;C}}}}\;$
$\;s(t)={\dfrac {2\;Q}{\sqrt {L\;\Gamma \left(2+{\dfrac {\Gamma }{C}}\right)}}}\;\sin[\omega _{0,\,({\mathfrak {a}})}\,t]\quad \forall \;t\;$
$\;\omega _{0,\,({\mathfrak {a}})}={\sqrt {{\dfrac {2}{L\;\Gamma }}+{\dfrac {1}{L\;C}}}}\;$

### Déduction, de ce qui précède, des lois de variation de i$_1$(t) et de i$_2$(t)

Déduire, des expressions de $\;s(t)=i_{1}(t)+i_{2}(t)\;$ et de $\;d(t)=i_{1}(t)-i_{2}(t)$, celles de $\;i_{1}(t)\;$ et de $\;i_{2}(t)$.
De $\;d(t)=i_{1}(t)-i_{2}(t)=0\;\;\forall \;t\;$ on déduit «$\;i_{1}(t)=i_{2}(t)\;\;\forall \;t\;$» ;
$\;s(t)=i_{1}(t)+i_{2}(t)={\dfrac {2\;Q}{\sqrt {L\;\Gamma \left(2+{\dfrac {\Gamma }{C}}\right)}}}\;\sin[\omega _{0,\,({\mathfrak {a}})}\,t]\;\;\forall \;t\;$
$\;i_{1}(t)=i_{2}(t)={\dfrac {Q}{\sqrt {L\;\Gamma \left(2+{\dfrac {\Gamma }{C}}\right)}}}\;\sin[\omega _{0,\,({\mathfrak {a}})}\,t]\;\;\forall \;t\;$
$\;\omega _{0,\,({\mathfrak {a}})}={\dfrac {1}{\sqrt {L\;\Gamma }}}\;{\sqrt {2+{\dfrac {\Gamma }{C}}}}\;$

## Interprétation énergétique du facteur de qualité d'un « R L C série court-circuité », le condensateur étant initialement chargé et le conducteur ohmique étant de faible résistance

Un circuit électrique est composé d'un interrupteur $\;K$, d'un conducteur ohmique de résistance $\;R$, d'un condensateur parfait de capacité $\;C\;$ initialement chargé sous la tension $\;U_{0}\;$ et d'une bobine également parfaite d'inductance propre $\;L$, le tout monté en série $\;{\big$voir figure ci-contre${\big )}$ ;
on ferme l'interrupteur $\;K\;$ à l'instant $\;t=0$.

### Établissement de l'équation différentielle en charge q(t) du condensateur et de sa réduction canonique

Établir l'équation différentielle satisfaite par la charge $\;q(t)\;$ du condensateur quand l'interrupteur est fermé ;
définir, en fonction de $\;R$, $\;L\;$ et $\;C$,
* la pulsation propre $\;\omega _{0}\;$ et
* le facteur de qualité $\;Q\;$ du $\;R,\,L,\,C\;$ série, puis
réécrire l'équation différentielle sous forme canonique.
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\dfrac {q(t)}{C}}-R\,i(t)-L\,{\dfrac {di}{dt}}(t)-u_{K}(t)=0\;$
$\;i(t)=-{\dfrac {dq}{dt}}(t)\;$
${\big$
${\big )}\;$
$\;u_{K}(t)=$
$-U_{0}\;Y(-t)\;$
$\;L\,{\ddot {q}}(t)+R\,{\dot {q}}(t)+{\dfrac {1}{C}}\,q(t)=-U_{0}\;Y(-t)\quad \forall \;t\;$
On normalise l'équation différentielle «$\;{\ddot {q}}(t)+{\dfrac {R}{L}}\,{\dot {q}}(t)+{\dfrac {1}{L\,C}}\,q(t)=-{\dfrac {U_{0}}{L}}\;Y(-t)\quad \forall \;t\;$» puis on pratique la réduction canonique en définissant
* la « pulsation propre $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {1}{L\,C}}}\;$» et
* le « facteur de qualité $\;Q>0\;$ tel que $\;{\dfrac {R}{L}}={\dfrac {\omega _{0}}{Q}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;Q={\dfrac {L\,\omega _{0}}{R}}={\dfrac {1}{R\;C\;\omega _{0}}}\;$», ce dernier que l'on peut réécrire en éliminant $\;\omega _{0}\;$ selon $\;Q={\dfrac {L}{R\,{\sqrt {L\,C}}}}\;$ soit, après simplification «$\;Q={\dfrac {1}{R}}\,{\sqrt {\dfrac {L}{C}}}\;$» ;
$\;q(t)\;$
$\;{\ddot {q}}(t)+{\dfrac {\omega _{0}}{Q}}\,{\dot {q}}(t)+\omega _{0}^{2}\,q(t)=-\omega _{0}^{2}\;C\;U_{0}\;Y(-t)\quad \forall \;t\;$
$\;{\ddot {q}}(t)+{\dfrac {\omega _{0}}{Q}}\,{\dot {q}}(t)+\omega _{0}^{2}\,q(t)=0\quad {\text{pour }}t>0\;$
On se place pour la suite dans le cas d'un amortissement très faible correspondant à «$\;Q\gg 1\;$».

### Détermination de la variation de la charge du condensateur en fonction du temps

Exprimer la variation de la charge $\;q(t)\;$ du condensateur en fonction des données $\;{\big$on posera $\;q_{0}=C\;U_{0}{\big )}$, des grandeurs canoniques et du temps.
En absence d'excitation dans l'équation différentielle pour $\;t>0$, la réponse transitoire se limite à la réponse libre et pour obtenir cette dernière il suffit de résoudre l'équation caractéristique «$\;s^{2}+{\dfrac {\omega _{0}}{Q}}\,s+\omega _{0}^{2}=0\;$» de discriminant $\;\Delta ={\dfrac {\omega _{0}^{2}}{Q^{2}}}-4\,\omega _{0}^{2}<0\;$, d'où les zéros de l'équation caractéristique s'écrivant dans $\;\mathbb {C} \;$ selon «$\;{\underline {s_{\pm }}}=-{\dfrac {\omega _{0}}{2\,Q}}\pm j\,\omega \;$» avec la « pseudo-pulsation $\;\omega =\omega _{0}\,{\sqrt {1-{\dfrac {1}{4\,Q^{2}}}}}\simeq \omega _{0}\;$» $\;{\big$compte-tenu de $\;Q\gg 1{\big )}\;$ $\Rightarrow$ la forme de la solution libre $\;q_{l}(t)=A\,\exp \left(-{\dfrac {\omega _{0}}{2\,Q}}\,t\right)\,\cos(\omega \,t+\varphi )\;$ et donc celle de la solution transitoire «$\;q(t)=A\,\exp \left(-{\dfrac {\omega _{0}}{2\,Q}}\,t\right)\,\cos(\omega \,t+\varphi )\simeq A\,\exp \left(-{\dfrac {\omega _{0}}{2\,Q}}\,t\right)\,\cos(\omega _{0}\,t+\varphi )\;$» ;
il reste à déterminer $\;A\;$ et $\;\varphi \;$ à l'aide des C.I. sachant qu'il y a continuité de la charge $\;q(t)\;$ d'un condensateur ainsi que de l'intensité $\;i(t)=-{\dfrac {dq}{dt}}(t)\;$ du courant traversant une bobine $\;{\big$parfaite${\big )}\;$ dans un circuit résistif$^,$ d'où
* «$\;q(0^{+})=q(0^{-})=q_{0}\;$» donnant la 1ère C.I. «$\;A\ \cos(\varphi )=q_{0}\;$» et
* «$\;i(0^{+})=i(0^{-})=0\;$» avec $\;i(t)=-{\dot {q}}(t)={\dfrac {\omega _{0}}{2\,Q}}\,A\,\exp \left(-{\dfrac {\omega _{0}}{2\,Q}}\,t\right)\,\cos(\omega \,t+\varphi )+\omega \,A\,\exp \left(-{\dfrac {\omega _{0}}{2\,Q}}\,t\right)\,\sin(\omega \,t+\varphi )\;$ soit, en y faisant $\;t=0^{+}\;$ la 2ème C.I. $\;{\dfrac {\omega _{0}}{2\,Q}}\,A\,\cos(\varphi )+\omega \,A\,\sin(\varphi )=0\;$ ou, en y reportant l'expression de $\;A\,\cos(\varphi )=q_{0}$, la réécriture de la 2ème C.I. selon «$\;\omega \,A\,\sin(\varphi )=-{\dfrac {\omega _{0}}{2\,Q}}\,q_{0}\;$» soit, avec $\;\omega \simeq \omega _{0}$, l'expression approchée de «$\;A\,\sin(\varphi )\simeq -{\dfrac {q_{0}}{2\,Q}}\;$» dont la valeur étant très petite en valeur absolue car $\;Q\gg 1\Rightarrow {\dfrac {1}{Q}}\ll 1\;$ peut être assimilée à $\;0\;$ soit «$\;\sin(\varphi )\simeq 0\;$» ;
de ces deux C.I. on tire donc «$\;\varphi \simeq 0\;$» et «$\;A={\dfrac {q_{0}}{\cos(\varphi )}}\simeq q_{0}\;$» et finalement
$\;q(t)\simeq q_{0}\,\exp \left(-{\dfrac {\omega _{0}}{2\,Q}}\,t\right)\,\cos(\omega _{0}\,t)\;$

### Évaluation de la pseudo-période et de la durée du régime transitoire

Évaluer la pseudo-période $\;T$, ainsi que l'ordre de grandeur de la durée $\;\Delta t_{\text{transit}}\;$ du régime transitoire.
$\;T\simeq T_{0}={\dfrac {2\,\pi }{\omega _{0}}}\;$
$\;\tau ={\dfrac {Q}{\omega _{0}}}\;$
$\;\exp \left(-{\dfrac {\omega _{0}}{2\,Q}}\,t\right)=\exp \left(-{\dfrac {t}{2\,\tau }}\right)\;$
$\;5\times 2\,\tau =10\,\tau \;$
$\;\Delta t_{\text{transit}}=10\,\tau ={\dfrac {10\,Q}{\omega _{0}}}\;$
$\;\Delta t_{\text{transit}}={\dfrac {5\,Q}{\pi }}\,T_{0}\gg T_{0}\;$

### Tracé du diagramme horaire et du portrait de phase de la charge du condensateur

Représenter le diagramme horaire de la charge du condensateur ainsi que
Représenter son portrait de phase.
$\;Q=50\;$
$\;\omega \simeq \omega _{0}\;$
$\;0,005\;\%\;$
$\;{\bigg \$
$\;{\dfrac {1}{4\,Q^{2}}}=10^{-4}\ll 1\;$
$\Rightarrow$
$\;\omega =\omega _{0}\,{\sqrt {1-{\dfrac {1}{4\,Q^{2}}}}}\simeq$
$\omega _{0}\,\left(1-{\dfrac {1}{2}}\,{\dfrac {1}{4\,Q^{2}}}\right)\;$
$\;{\dfrac {1}{4\,Q^{2}}}\;$
$\;\left(1+\varepsilon \right)^{n}\simeq 1+n\;\varepsilon \;$
$\;n={\dfrac {1}{2}}\;$
$\;\omega \simeq \omega _{0}\,\left(1-5\,10^{-5}\right)\simeq$
$\omega _{0}\;$
$\;0,005\;\%\;$
${\bigg \}$
$\;T\simeq T_{0}\;$
$\;0,005\;\%\;$
$\;\tau ={\dfrac {Q}{2\,\pi }}\,T_{0}\simeq 8\,T_{0}\;$
$\;\Delta t_{\text{transit}}=10\,\tau \simeq 80\,T_{0}\;$
ci-contre à droite, le portrait de phase construit avec le même facteur de qualité $\;Q=50\;$, on rappelle que «$\;i(t)=-{\dot {q}}(t)\;$».

### Détermination de l'énergie stockée dans le L C série à l'instant t ainsi que le signe de son taux horaire de variation

Évaluer l'énergie $\;{\mathcal {E}}(t)\;$ contenue dans le circuit à l'instant $\;t$.
Que dire du signe de $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}}{dt}}(t)$ ?
$\;t\;$
$\;{\mathcal {E}}(t)={\dfrac {\left[q(t)\right]^{2}}{2\,C}}+{\dfrac {1}{2}}\,L\,\left[i(t)\right]^{2}\;$
$\;q(t)\simeq q_{0}\,\exp \left(-{\dfrac {\omega _{0}}{2\,Q}}\,t\right)\,\cos(\omega _{0}\,t)\;$
$\;i(t)=-{\dot {q}}(t)\simeq$
${\dfrac {\omega _{0}}{2\,Q}}\,q_{0}\,\exp \left(-{\dfrac {\omega _{0}}{2\,Q}}\,t\right)\,\cos(\omega _{0}\,t)+\omega _{0}\,q_{0}\,\exp \left(-{\dfrac {\omega _{0}}{2\,Q}}\,t\right)\,\sin(\omega _{0}\,t)\;$
$\;Q\gg 1\;$
$\;i(t)\simeq \omega _{0}\,q_{0}\,\exp \left(-{\dfrac {\omega _{0}}{2\,Q}}\,t\right)\,\sin(\omega _{0}\,t)\;$
$\;q(t)\;$
$\;i(t)\;$
$\;{\mathcal {E}}(t)\simeq {\dfrac {q_{0}^{2}\,\exp \left(-{\dfrac {\omega _{0}}{Q}}\,t\right)\,\cos ^{2}(\omega _{0}\,t)}{2\,C}}+{\dfrac {1}{2}}\,L\,\omega _{0}^{2}\,q_{0}^{2}\,\exp \left(-{\dfrac {\omega _{0}}{Q}}\,t\right)\,\sin ^{2}(\omega _{0}\,t)\;$
$\;{\dfrac {q_{0}^{2}\,\exp \left(-{\dfrac {\omega _{0}}{Q}}\,t\right)}{2}}\;$
$\;L\,\omega _{0}^{2}={\dfrac {1}{C}}$
$\;{\mathcal {E}}(t)\simeq {\dfrac {q_{0}^{2}\,\exp \left(-{\dfrac {\omega _{0}}{Q}}\,t\right)}{2\,C}}\,\left[\cos ^{2}(\omega _{0}\,t)+\sin ^{2}(\omega _{0}\,t)\right]\;$
$\;{\mathcal {E}}(t)\simeq {\dfrac {q_{0}^{2}\,\exp \left(-{\dfrac {\omega _{0}}{Q}}\,t\right)}{2\,C}}={\mathcal {E}}_{0}\,\exp \left(-{\dfrac {\omega _{0}}{Q}}\,t\right)\;$
$\;{\mathcal {E}}_{0}={\dfrac {q_{0}^{2}}{2\,C}}\;$
$\;\searrow \;$
$\;{\dfrac {Q}{\omega _{0}}}=\tau \;$
$\;{\mathcal {E}}(t)\simeq {\mathcal {E}}_{0}\,\exp \left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;$
$\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}}{dt}}(t)<0\;$
$\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}}{dt}}(t)=-{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)=-R\,\left[i(t)\right]^{2}<0\;$

### Détermination de la variation relative d'énergie perdue dans le L C série pendant une pseudo-période

Évaluer la variation relative $\;\alpha \;$ d'énergie perdue dans le circuit pendant une pseudo-période soit $\;\alpha ={\dfrac {{\mathcal {E}}(t)-{\mathcal {E}}(t+T)}{{\mathcal {E}}(t)}}$.
$\;\alpha ={\dfrac {{\mathcal {E}}(t)-{\mathcal {E}}(t+T)}{{\mathcal {E}}(t)}}\simeq 1-{\dfrac {{\mathcal {E}}(t+T_{0})}{{\mathcal {E}}(t)}}=1-{\dfrac {{\mathcal {E}}_{0}\,\exp \left(-{\dfrac {t+T_{0}}{\tau }}\right)}{{\mathcal {E}}_{0}\,\exp \left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)}}=$
$1-\exp \left(-{\dfrac {T_{0}}{\tau }}\right)$
$\;\tau ={\dfrac {Q}{\omega _{0}}}=$
${\dfrac {Q}{2\,\pi }}\,T_{0}\gg T_{0}$
$\;{\dfrac {T_{0}}{\tau }}={\dfrac {2\,\pi }{Q}}\ll 1\;$
$\;{\dfrac {T_{0}}{\tau }}\;$
$\;\exp \left(-{\dfrac {T_{0}}{\tau }}\right)\simeq 1-{\dfrac {T_{0}}{\tau }}\;$
$\;\alpha \simeq {\dfrac {T_{0}}{\tau }}={\dfrac {2\,\pi }{Q}}\;$

### Caractérisation énergétique du facteur de qualité

Déduire de ce qui précède une caractérisation énergétique du facteur de qualité $\;Q\;$ dans le cas d'un régime pseudo-périodique très faiblement amorti.
De l'expression précédente «$\;\alpha \simeq {\dfrac {T_{0}}{\tau }}={\dfrac {2\,\pi }{Q}}\;$» nous déduisons «$\;{\dfrac {Q}{2\,\pi }}={\dfrac {1}{\alpha }}\;$» soit, en reportant la définition de $\;\alpha$, la relation suivante «$\;Q=2\,\pi \,{\dfrac {{\mathcal {E}}(t)}{{\mathcal {E}}(t)-{\mathcal {E}}(t+T)}}\;$» ;
$\;{\mathcal {E}}(t+T)-{\mathcal {E}}(t)=-W_{{\text{cal}},\,R,\,{\text{sur}}\,T}\;$
$\;Q=2\,\pi \,{\dfrac {{\mathcal {E}}(t)}{W_{{\text{cal}},\,R,\,{\text{sur}}\,T}}}\;$
$\;{\dfrac {W_{{\text{cal}},\,R,\,{\text{sur}}\,T}}{{\mathcal {E}}(t)}}=\alpha \;$
Remarque : cette interprétation énergétique du facteur de qualité n'est valable qu'à grand facteur de qualité, quand ce dernier est plus faible nous n'avons d'ailleurs plus une décroissance simplement exponentielle de l'énergie stockée, la variation étant plus compliquée $\;\ldots$