# Équations et fonctions du second degré/Inéquations du second degré

Ce chapitre traite de l'étude des inéquations du second degré, comme $(I)~:~2x^{2}-3x+1\leq 0$ d'inconnue x.

## Signe d'un trinôme

On sait, pour une fonction trinôme donnée, déterminer :
* ses variations
* ses racines
À partir de ces renseignements, on peut établir le tableau de signes de la fonction trinôme.
Soit f le polynôme tel que f(x) = ax$^2$ + bx + c et soit Δ son discriminant.
* 1er cas : Δ > 0, on a deux racines x$_1$ et x$_2$ où x$_1$ < x$_2$. valeurs de x −∞ x$_1$ x$_2$ +∞ signe de f(x) signe de a 0 opposé du signe de a 0 signe de a
* 2e cas : Δ = 0, on a une racine double x$_0$. valeurs de x −∞ x$_0$ +∞ signe de f(x) signe de a 0 signe de a
* 3e cas : Δ < 0, on n'a aucune racine réelle. valeurs de x −∞ +∞ signe de f(x) signe de a Pour étudier le signe d'un trinôme du second degré, il suffit juste de connaitre ses racines. Il est inutile de le factoriser. Le lien entre graphique et expression algébrique : étudier le signe d'une expression f(x) revient à déterminer la position de la courbe représentative de f par rapport à l'axe des abscisses. Faites ces exercices : Situation économique conduisant à une étude de signe. Début d’un théorème Résumé La fonction trinôme est du signe de -a pour toutes les valeurs de la variable x situées entre les racines réelles éventuelles. La fonction est du signe de a pour toutes les valeurs de la variable x situées en dehors des racines réelles éventuelles. Fin du théorème Exemples Début de l'exemple Exemple détaillé Résoudre l'inéquation −3x$^2$ + 4x − 1 < 0. Solution Soit $P(x)=ax^{2}+bx+c$ avec a = −3, b = 4 et c = −1. $\Delta =4^{2}-4\times (-3)\times (-1)=16-12=4>0$ donc P a deux racines : $x_{1}={\frac {-4-{\sqrt {4}}}{2\times (-3)}}={\frac {-4-2}{-6}}={\frac {-6}{-6}}=1$ et $x_{2}={\frac {-4+{\sqrt {4}}}{2\times (-3)}}={\frac {-4+2}{-6}}={\frac {-2}{-6}}={\frac {1}{3}}$. Comme a < 0, on a le tableau de signes suivant : valeurs de x -∞ 1/3 1 +∞ signe de P(x) – 0 + 0 – Donc S = ]–∞, 1/3[ ∪ ]1, +∞[.   Fin de l'exemple Début de l'exemple Autres exemples Donner les tableaux de signes des fonctions suivantes. Vérifier la cohérence avec les courbes obtenues précédemment. Résoudre ensuite pour chaque fonction l'inéquation $f(x)\geq 0$ d'inconnue $x$. $f_{1}:x\mapsto 2x^{2}+3x+1$ ; $f_{2}:x\mapsto x^{2}-2x+2$ ; $f_{3}:x\mapsto -x^{2}+3$ ; $f_{4}:x\mapsto -3x^{2}-x$. Solution $f_{1}:x\mapsto 2x^{2}+3x+1$ Le discriminant est $\Delta =1>0$ donc $f_{1}$ admet deux racines réelles : $-1$ et $-{\frac {1}{2}}$. ${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&-1&&-{\frac {1}{2}}&&+\infty \\\hline {\textrm {Signe~de}}~f_{1}(x)&&+&0&-&0&+&\\\hline \end{array}}$ $f_{1}(x)\geq 0\Leftrightarrow x\in ]-\infty ,-1]\cup \left[-{\frac {1}{2}},+\infty \right[$ $f_{2}:x\mapsto x^{2}-2x+2$ Le discriminant est $\Delta =-4<0$ donc $f_{2}$ n'admet aucune racine réelle. ${\begin{array}{c|ccc|}x&-\infty &&+\infty \\\hline {\text{Signe de }}f_{2}(x)&&+&\\\hline \end{array}}$ Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f_{2}(x)\geq 0$. $f_{3}:x\mapsto -x^{2}+3$ Le discriminant vaut $\Delta =12>0$, donc $f_{3}$ admet deux racines réelles : $-{\sqrt {3}}$ et ${\sqrt {3}}$. ${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&-{\sqrt {3}}&&{\sqrt {3}}&&+\infty \\\hline {\text{Signe de }}f_{3}(x)&&-&0&+&0&-&\\\hline \end{array}}$ $f_{3}(x)\geq 0\Leftrightarrow x\in \left[-{\sqrt {3}},{\sqrt {3}}\right]$. $f_{4}:x\mapsto -3x^{2}-x$ Le discriminant est $\Delta =1>0$, donc $f_{4}$ admet deux racines réelles : $0$ et $-{\frac {1}{3}}$. ${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&-{\frac {1}{3}}&&0&&+\infty \\\hline {\text{Signe de }}f_{4}(x)&&-&0&+&0&-&\\\hline \end{array}}$ $f_{4}(x)\geq 0\Leftrightarrow x\in \left[-{\frac {1}{3}},0\right]$.   Fin de l'exemple Équations et fonctions du second degré Équations du second degréFactorisation d'un trinôme
** Si la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses, alors f(x) est positive.
** Si la courbe est en-dessous de l'axe des abscisses, alors f(x) est négative.