# Cinétique et dynamique d'un système continu de matière

Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique et de la dynamique newtoniennes avec, pour système continu de matière, un système d'expansion tridimensionnelle «$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$» de masse volumique «$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$» ; de plus si le contenu du système reste inchangé $\;{\big$aucune entrée ou sortie de matière dans l'expansion${\big )}$, le système est dit « fermé » $\;{\big$sinon, il est dit « ouvert » et nécessite d'être délimité par une surface fermée fixe indéformable $\;\left(\Sigma \right)\;$ dite « de contrôle »${\big ]}$.
Les cas de systèmes continus de matière d'expansions surfacique «$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$» de masse surfacique «$\;\sigma (M)={\dfrac {dm}{dS}}(M)\;$» ou linéique «$\;\left(\Gamma \right)\;$» de masse linéique «$\;\lambda (M)$ $={\dfrac {dm}{d{\mathit {l}}}}(M)\;$» ne sont pas développés car il suffit de faire les remplacements suivants :
* « le pseudo-point $\;M\,\left[dm=\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$ de l'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ » par « le pseudo-point $\;M\,\left[dm=\sigma (M)\;dS_{M}\right]\;$ de l'expansion surfacique $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ » ou par « le pseudo-point $\;M\,\left[dm=\lambda (M)\;d{\mathit {l}}_{M}\right]\;$ de l'expansion linéique $\;\left(\Gamma \right)\;$ » puis
* « l'intégrale volumique définissant la grandeur cinétique ou dynamique $\;{\mathcal {Y}}\;$ associée à l'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ à partir de sa densité volumique $\;y(M)=$ ${\dfrac {d{\mathcal {Y}}}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$ à savoir $\;{\mathcal {Y}}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}y(M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ » par « l'intégrale surfacique définissant la grandeur cinétique ou dynamique $\;{\mathcal {Y}}\;$ associée à l'expansion surfacique $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à partir de sa densité surfacique $\;y_{s}(M)=$ ${\dfrac {d{\mathcal {Y}}}{dS}}(M)\;$ à savoir $\;{\mathcal {Y}}=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}y_{s}(M)\;dS_{M}\;$ » ou par « l'intégrale curviligne définissant la grandeur cinétique ou dynamique $\;{\mathcal {Y}}\;$ associée à l'expansion linéique $\;\left(\Gamma \right)\;$ à partir de sa densité linéique $\;y_{\mathit {l}}(M)=$ ${\dfrac {d{\mathcal {Y}}}{d{\mathit {l}}}}(M)\;$ à savoir $\;{\mathcal {Y}}=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}y_{\mathit {l}}(M)\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ ».

## Cinétique d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle

Dans le cas général le système continu de matière est déformable et
dans le cas où il est fermé et « indéformable » il définit un « solide $\;{\big$au sens de la mécanique${\big )}\;$».

### Masse du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle

La masse du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$» de masse volumique «$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$» est une grandeur scalaire $\;>0\;$ caractérisant l'inertie du système et définie selon
$\;m_{\text{syst}}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$
Remarque : Si le système est fermé, sa masse ne varie pas c'est-à-dire «$\;m_{\text{syst}}=cste\;$» $\;{\big \$mais il est possible que son volume varie par le fait que l'expansion tridimensionnelle se déforme en occupant plus ou moins d'espace, correspondant alors à une masse volumique au point générique $\;\searrow \;$ ou $\;\nearrow {\big \}$.

### Centre d'inertie (ou centre de masse) du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle

Le centre d'inertie $\;{\big$ou centre de masse${\big )}\;$ du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$» de masse volumique «$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$» est le barycentre $\;G\;$ des positions instantanées des pseudo-points $\;M\,\left[dm=\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$ de l'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ affectés de leur masse élémentaire $\;dm$, sa définition mathématique s'écrivant
$\;G\;$
$\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {GM}}\;\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}={\vec {0}}\;$
$\;{\bigG\;$
${\big )}$
Propriété : avec $\;O\;$ représentant une position quelconque, «$\;G\;$ est tel que $\;{\overrightarrow {OG}}={\dfrac {\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {OM}}\;\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}}{\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}}}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;m_{\text{syst}}\;{\overrightarrow {OG}}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {OM}}\;\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» $\;{\big$de par la définition, $\;G\;$ est indépendant de $\;O{\big )}$.
Propriété : Justification : introduisant la position $\;O\;$ dans la définition, on obtient «$\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\overrightarrow {OM}}-{\overrightarrow {OG}}\right]\,\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}={\vec {0}}\;$» ou «$\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {OM}}\;\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}=\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,{\overrightarrow {OG}}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {OM}}\;\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}$ $=m_{\text{syst}}\;{\overrightarrow {OG}}\;$» ou encore «$\;{\overrightarrow {OG}}={\dfrac {\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {OM}}\;\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}}{m_{\text{syst}}}}={\dfrac {\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {OM}}\;\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}}{\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}}}\;$».

### Résultante cinétique du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle

La résultante cinétique du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$» de masse volumique «$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$», en mouvement dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$, est notée, à l'instant $\;t$, $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)$ $\;{\big$ou, en absence d'ambiguïté, $\;{\vec {P}}(t){\big ]}\;$ et définie comme la somme continue des quantités de mouvement de chaque pseudo-point $\;M\,\left[dm=\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$ de l'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ au même instant $\;t\;$ soit, en notant $\;{\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)={\dfrac {d{\vec {p}}}{d{\mathcal {V}}}}(M,\,t)\;$ la densité volumique de résultante cinétique en $\;M\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ à cet instant $\;t$,
$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$
$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$
$\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$
$\;M\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}$
Remarque : Si le système est fermé, c'est-à-dire s'il n'y a ni entrée ni sortie de matière, l'éventuelle variation de sa résultante cinétique ne dépend que la modification du mouvement des pseudo-points le constituant ;
Remarque : si le système est ouvert, défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle fermée $\;(\Sigma )$, $\;m_{\text{syst}}\;$ pouvant varier, sa résultante cinétique peut varier :
Remarque : si le système est ouvert, $\;\succ \;$par entrée ou sortie de pseudo-points accompagnée d'une entrée ou sortie de leur quantité de mouvement et $\;{\big$ou${\big )}$
Remarque : si le système est ouvert, $\;\succ \;$par modification du mouvement des pseudo-points initialement présents.
Propriété de la résultante cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle${\underline {\;\left({\mathcal {V}}\right)}}$ : La résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$ du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$» de masse volumique «$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$», définie à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$, est liée au mouvement du C.D.I. $\;G\;$ du système au même instant $\;t\;$ dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ selon
$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$
$\;m_{\text{syst}}\;$
$\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$
$\;G\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}$
Propriété de la résultante cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle : Démonstration : Choisissant un point $\;O\;$ fixe du référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, le vecteur position du C.D.I. $\;G\;$ du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ de masse volumique $\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)$, est tel que $\;m_{\text{syst}}\;{\overrightarrow {OG}}(t)=$ $\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {OM}}(t)\;\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ ;
Propriété de la résultante cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle : Démonstration : dérivant cette relation par rapport à $\;t\;$ et compte-tenu de la linéarité de l'opération dérivation on obtient $\;m_{\text{syst}}\;{\dfrac {d{\overrightarrow {OG}}}{dt}}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left(\!{\dfrac {\partial {\overrightarrow {OM}}}{\partial t}}\!\right)_{\!\!\!M}\!(t)\;\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$$^,$ ou, en utilisant la définition des vecteurs vitesses, $\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\vec {V}}_{M}(t)\;\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$, le 2ème membre définissant la résultante cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)$, C.Q.F.D.
Propriété de la résultante cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle : La résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$ du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$» de masse volumique «$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$», définie à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$, est donc, au même instant $\;t\;$ dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}$, le vecteur quantité de mouvement du C.D.I. $\;G\;$ du système, point fictif auquel on affecte toute la masse du système.

### Moment cinétique vectoriel du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle par rapport à un point O
#### Définition du moment cinétique vectoriel du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle par rapport à un point O

Le vecteur moment cinétique du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$» de masse volumique «$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$» dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport à un point $\;O$ $\;{\big$a priori quelconque${\big )}\;$ est la somme continue des vecteurs moment cinétique de chaque pseudo-point $\;M\,\left[dm=\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$ de l'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$, définie à l'instant $\;t$, dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport à ce même point $\;O\;$ soit, en notant $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O,\,{\text{volum}}}(M,\,t)={\dfrac {d{\vec {\sigma }}_{\!O,\,{\text{syst}}}}{d{\mathcal {V}}}}(M,\,t)\;$ la densité volumique de moment cinétique vectoriel du système en $\;M\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ à cet instant $\;t$, ou encore, $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O,\,{\text{volum}}}(M,\,t)={\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\;$ dans lequel $\;{\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\;$ est la densité volumique de résultante cinétique en $\;M\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ à cet instant $\;t$,
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O,\,{\text{volum}}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$
$\;{\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\;$
$\;M\;$
$\;({\mathcal {R}})\;$
$\;t\;$
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge \mu (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$
$\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$
$\;M\;$
$\;({\mathcal {R}})\;$
$\;t\;$

#### Formule de changement d'origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle

Soit $\;\left(O\,,\,O'\right)\;$ deux points quelconques distincts, la formule de changement d'origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ suit la relation suivante
$\;{\vec {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)={\vec {\sigma }}_{\!O'}({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {OO'}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$
$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}$
Démonstration : Pour démontrer la relation ci-dessus on utilise la relation de Chasles $\;{\overrightarrow {OM_{i}}}={\overrightarrow {OO'}}+{\overrightarrow {O'M_{i}}}\;$ et la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle soit $\;{\vec {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\overrightarrow {OO'}}+{\overrightarrow {O'M}}\right]\wedge {\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {OO'}}\wedge {\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}+\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {O'M}}\wedge \wedge {\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ dans laquelle on reconnaît dans le dernier terme $\;{\vec {\sigma }}_{\!O'}({\text{syst}},\,t)\;$ et on factorise vectoriellement à gauche par $\;{\overrightarrow {OO'}}\;$ dans le 1er terme $\Rightarrow$ $\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {OO'}}\wedge {\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}={\overrightarrow {OO'}}\wedge \left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]=$ ${\overrightarrow {OO'}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$ d'où la R.Q.F.D.
Remarque : Le changement d'origine entre un point quelconque $\;O\;$ et le C.D.I. $\;G\;$ du système continu est le plus couramment utilisé à savoir «$\;{\vec {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)={\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {OG}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$» ;
Remarque : le moment cinétique vectoriel du système continu, à l'instant $\;t$, par rapport à un point $\;O\;$ quelconque dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$, «$\;{\vec {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)\;$» est donc la somme Remarque : du moment cinétique vectoriel du système, au même instant $\;t$, par rapport au C.D.I. $\;G\;$ du système dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}$, «$\;{\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst}},\,t)\;$» et Remarque : du moment cinétique vectoriel, par rapport à $\;O$, du point fictif $\;G\;$ de quantité de mouvement $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$ au même instant $\;t\;$ dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}$, «$\;{\vec {\sigma }}_{\!O}(G,\,t)={\overrightarrow {OG}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$».

#### Cas particulier d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en translation dans le référentiel d'étude

Considérant le système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$» de masse volumique «$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$» en translation de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)={\vec {V}}_{G}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ $\;{\big \$c'est-à-dire tel que $\;{\vec {V}}_{M}(t)={\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall \;M\;\in \;\left({\mathcal {V}}\right){\big \}$, le moment cinétique vectoriel du système en translation dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ vaut, à l'instant $\;t\;$ relativement à un point $\;O\;$ quelconque, «$\;{\vec {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)=$ ${\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {OG}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$» dans lequel «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\\{\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {GM}}(t)\wedge \mu (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\end{array}}\right\rbrace \;$ où, le système continu étant en translation, «$\;{\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}(t)$ $=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$» et «$\;{\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst. en transl.}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {GM}}(t)\wedge \mu (M)\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» puis, par factorisation vectorielle à droite «$\;{\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst. en transl.}},\,t)$ $=\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overrightarrow {GM}}\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\wedge {\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)={\vec {0}}\;$» par définition du C.D.I. du système continu soit
$\;{\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst. en transl.}},\,t)={\vec {0}}\;$
$\;{\vec {\sigma }}_{\!O}({\text{syst. en transl.}},\,t)={\overrightarrow {OG}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$
$\;={\overrightarrow {OG}}(t)\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$

#### Cas particulier d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude
##### Moment cinétique vectoriel d'un point matériel M en mouvement circulaire dans le référentiel d’étude par rapport à un point A de l’axe de rotation, différent du centre C du cercle

Soit $\;A\;$ un point quelconque de l'axe de rotation $\;\Delta \;$ du point matériel $\;M\;$ avec $\;A\neq C\;$ centre du cercle décrit par $\;M\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ avec le vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)$, le vecteur moment cinétique du point matériel $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport au point $\;A\neq C\;$ de son axe de rotation, noté $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M,\,t)\;$ est défini par
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M,\,t)={\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\vec {p}}_{M}(t)\;$
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M,\,t)={\overrightarrow {AM}}(t)\wedge m\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$
y injectant l'expression intrinsèque du vecteur vitesse d'un point en mouvement circulaire de centre $\;C\;$ et de vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$, à savoir $\;{\vec {V}}_{M}(t)=$ ${\overrightarrow {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {CM}}(t)\;$$^,$, on obtient $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M,\,t)=$ ${\overrightarrow {AM}}(t)\wedge m\,\left[{\overrightarrow {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {CM}}(t)\right]\;$ nécessitant d'utiliser une des deux formules du double produit vectoriel soit $\;{\dfrac {{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M,\,t)}{m}}=\left[{\overrightarrow {AM}}(t)\cdot {\overrightarrow {CM}}(t)\right]{\overrightarrow {\Omega }}(t)-\left[{\overrightarrow {AM}}(t)\cdot {\overrightarrow {\Omega }}(t)\right]{\overrightarrow {CM}}(t)\;$ avec $\;{\overrightarrow {AM}}(t)={\overrightarrow {AC}}(t)+{\overrightarrow {CM}}(t)\;$ par utilisation de la relation de Chasles ou encore, en notant $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ le vecteur unitaire de $\;\Delta$, on peut écrire $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\overrightarrow {\Omega }}(t)={\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }\quad {\text{ainsi que}}\\{\overrightarrow {AM}}(t)={\overline {AC}}\;{\vec {u}}_{\Delta }+{\overrightarrow {CM}}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\overrightarrow {AM}}(t)\cdot {\overrightarrow {\Omega }}(t)={\overline {AC}}\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\cancel {+\;{\overrightarrow {CM}}(t)\cdot {\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }}}\\{\overrightarrow {AM}}(t)\cdot {\overrightarrow {CM}}(t)=\;{\cancel {{\overline {AC}}\;{\vec {u}}_{\Delta }\cdot {\overrightarrow {CM}}(t)\;+}}\;{\overrightarrow {CM}}^{\,2}\!\!(t)\end{array}}\right\rbrace \;$ car $\;{\overrightarrow {CM}}(t)\;$ est $\;\perp \;$ à $\;{\vec {u}}_{\Delta }$, d'où $\;{\dfrac {{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M,\,t)}{m}}={\overrightarrow {CM}}^{\,2}\!\!(t)\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {AC}}\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\overrightarrow {CM}}(t)$, soit encore, en notant $\;R\;$ le rayon du cercle $\Rightarrow$ $\;{\overrightarrow {CM}}^{\,2}\!\!(t)=R^{2}\;\;\forall \;t$, l'expression finale du vecteur moment cinétique du point matériel $\;M\;$en mouvement circulaire de centre $\;C$, de rayon $\;R\;$ et de vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$ quand l'origine de calcul du moment cinétique est un point $\;A\;$ de l'axe de rotation $\;\neq \;$ du centre $\;C\;$ du cercle
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M,\,t)=m\;R^{2}\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-m\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\overline {AC}}\;{\overrightarrow {CM}}(t)\;$

##### Expression du vecteur moment cinétique d’un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d’un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ

Le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$» de masse volumique «$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$» étant en rotation autour d'un axe $\left(\Delta \right)\;$ fixe du référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ et choisissant comme point origine de calcul du vecteur moment cinétique du système un point $\;A\;$ quelconque de $\;\left(\Delta \right)$, on peut écrire, au même instant $\;t$, le vecteur moment cinétique volumique du système en $\;M\;$ de l'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport à $\;A\;$ sous la forme $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{volum}}}(M,\,t)=\mu (M)\;r^{2}\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-\mu (M)\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\overline {AH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\;$$^,$, avec $\;H\;$ centre de rotation de $\;M\;$ autour de $\;\left(\Delta \right)\;$ et $\;r\;$ le rayon du cercle décrit par $\;M$, le vecteur moment cinétique du système $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\;$ étant la somme continue des vecteurs moment cinétique de chaque pseudo-point $\;M\,\left[dm=\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$ de l'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ ; on en déduit donc $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=$ $\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{volum}}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\mu (M)\;r^{2}\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-\mu (M)\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\overline {AH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\right]\,d{\mathcal {V}}_{M}\;$ ou, après distribution de l'intégration sur chaque terme de l'expression entre crochets puis factorisation par $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$ ou $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ dans le 1er ou 2ème terme,
$\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;r^{2}\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overline {AH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]$
en notant «$\;J_{\Delta }=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}dJ_{\Delta }(M)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}dm\;r^{2}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;r^{2}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$»$^,$ exprimée en $\;kg\cdot m^{2}\;$ le moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation $\;\left(\Delta \right)$ $\;{\big$il s'agit de la 2ème grandeur d'inertie caractérisant le système, la 1re étant sa masse $\;m_{\text{syst}}{\big ]}\;$ et
repérant $\;M\;$ par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle $\;A\;$ et d'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }$ $\;{\big$de sens a priori arbitraire sur $\;\left(\Delta \right)\;$ mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci, connu, ne change pas${\big ]}\;$ «$\;\left(r,\,\theta ,\,z\right)\;$» $\;{\big$la base cylindro-polaire liée à $\;M\;$ étant notée $\;\left({\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{\Delta }\right){\big ]}\;$,
le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$» de masse volumique «$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$» en rotation autour de l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}$, de vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$, évalué au même instant $\;t\;$ par rapport à $\;A\;$ point quelconque de $\;\left(\Delta \right)$, se réécrit selon
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;z\;r\;{\vec {u}}_{r}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$

##### Simplification dans le cas où l'axe Δ de rotation du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle est « axe principal d'inertie du système »

Pour tout $\;A$, point origine de calcul de vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$» de masse volumique «$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$» en rotation autour d'un axe $\left(\Delta \right)\;$ fixe du référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ et passant par $\;A$, on admet qu'il existe au moins trois directions de l'axe de rotation $\;\left\lbrace \left(\Delta _{p,\,k}\right)\right\rbrace _{k\,=\,1\,..\,3}$, orthogonales entre elles, telles que
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A\,\in \,\left(\Delta _{p,\,k}\right)}({\text{syst}},\,t)\;$
$\;\parallel \;$
$\;\left(\Delta _{p,\,k}\right)\;$
$\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overline {AH_{k}}}\;{\overrightarrow {H_{k}M}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}={\vec {0}}\;$
$\;H_{k}\;$
$\;M\;$
$\;\left(\Delta _{p,\,k}\right)$
$\Downarrow$
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A\,\in \,\left(\Delta _{p,\,k}\right)}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta _{p,\,k}}\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$
$\;J_{\Delta _{p,\,k}}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;r_{k}^{\,2}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$
$\;r_{k}=H_{k}M$
$\;\left(\Delta _{p,\,k}\right)\;$
$\;A\;$
$\;J_{\Delta _{p,\,k}}\;$
$\;\left(\Delta _{p,\,k}\right)\;$
$\;A\;$
Remarque : Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle indéformable, on peut définir au moins trois directions, deux à deux $\;\perp$, d'axe de rotation du système telles que le vecteur moment cinétique de ce dernier évalué par rapport à un point $\;A\;$ quelconque, «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\;$», en rotation autour d'un axe issu de $\;A\;$ ayant l'une des trois directions précédentes, « soit $\;\parallel \;$ au vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$», c'est-à-dire qu'on peut toujours trouver trois axes principaux d'inertie du système issus de n'importe quel point $\;A$, ou encore on peut définir un repère principal d'inertie du système à partir de n’importe quel point origine $\;A\;$ mais $\;\ldots$
Remarque : un axe quelconque $\;\left(\Delta \right)\;$ peut n'être principal d'inertie pour aucun de ses points $\;A\;$ c'est-à-dire que le 2ème terme du vecteur moment cinétique $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A\,\in \,\left(\Delta \right)}({\text{syst}},\,t)\;$ du système en rotation autour de $\;\left(\Delta \right)$, de vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)$, à savoir «$\;-{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overline {AH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;\perp \left(\Delta \right)\;$», peut être non nul pour tous les points $\;A\in \left(\Delta \right)\;$.
Exemples d'axes principaux d'inertie et moments principaux d'inertie correspondants : Pour plus de détails voir les paragraphes « complément, notion d'axes principaux d'inertie d'un système continu de matière » et « complément, moments principaux d'inertie de quelques solides homogènes » du chap.$3$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI » ;
Exemples d'axes principaux d'inertie et moments principaux d'inertie correspondants : l'exemple le plus fréquemment rencontré est celui d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle ayant un axe de symétrie de révolution $\;\left(\Delta \right)\;$ autour duquel le système est en rotation, le moment cinétique de ce dernier étant évalué par rapport à un point $\;A\;$ quelconque de $\;\left(\Delta \right)$, on vérifie la relation «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A\,\in \,\left(\Delta \right)}({\text{syst}},\,t)$ $=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$» avec «$\;J_{\Delta }=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;r^{\,2}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» dans laquelle $\;r=HM\;$ établissant que l'axe de symétrie de révolution du système est un axe principal d'inertie de ce dernier pour tous les points de l'axe, en effet «$\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overline {AH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}={\vec {0}}\;$» car, dans le plan de section droite quelconque du système coupant l'axe en $\;H_{n}$, à la position $\;M_{n,\,\theta }\;$ correspond une position unique $\;{M'}_{n,\,\theta }\;$ symétrique de $\;M_{n,\,\theta }\;$ par rapport à $\;H_{n}\;$ c'est-à-dire tel que $\;{\overrightarrow {H_{n}{M'}_{n,\,\theta }}}(t)=-{\overrightarrow {H_{n}M_{n,\,\theta }}}(t)\;$ $\Rightarrow$ «$\;\mu (M_{n,\,\theta })\;{\overline {AH_{n}}}\left[{\overrightarrow {H_{n}M_{n,\,\theta }}}(t)+{\overrightarrow {H_{n}{M'}_{n,\,\theta }}}(t)\right]={\vec {0}},\;\;\forall \;\theta ,\;\;\forall \;n\;$» d'où la propriété énoncée en intégrant sur $\;\theta \;$ à $\;H_{n}\;$ fixé utilisant $\;{\big$une seule fois${\big )}\;$ toutes les positons du plan de section droite coupant l'axe en $\;H_{n}\;$ puis sur $\;H_{n}\;$ pour décrire toutes les sections droites.

### Moment cinétique scalaire du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle par rapport à un axe Δ

Le moment cinétique scalaire du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$» de masse volumique «$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$» par rapport à l'axe $\;\Delta$, à l'instant $\;t$, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ est définie comme la projection orthogonale sur l'axe, du vecteur moment cinétique du système, au même instant $\;t$, dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}$, par rapport à un point $\;A\;$ quelconque de l'axe soit
$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}},\;t)={\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\;t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$
$\;\forall \;A\;\in \;\Delta$
Justification de la définition : On justifie la définition du moment cinétique scalaire du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en vérifiant que le moment cinétique vectoriel du système est équiprojectif c'est-à-dire en vérifiant la propriété «$\;{\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\cdot {\overrightarrow {AA'}}={\vec {\sigma }}_{\!A'}({\text{syst}},\,t)\cdot {\overrightarrow {AA'}}\;$» ;
Justification de la définition : pour cela on utilise la formule de changement d'origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle entre $\;A\;$ et $\;A'\;$ soit «$\;{\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=$ ${\vec {\sigma }}_{\!A'}({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {AA'}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$» et on multiplie scalairement chaque membre par $\;{\overrightarrow {AA'}}\;$ en utilisant, dans le membre de droite, la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle $\Rightarrow$ «$\;{\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\cdot {\overrightarrow {AA'}}={\vec {\sigma }}_{\!A'}({\text{syst}},\,t)\cdot {\overrightarrow {AA'}}\;{\cancel {+\left[{\overrightarrow {AA'}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\right]\cdot {\overrightarrow {AA'}}}}\;$» R.Q.F.D. ;
Justification de la définition : prenant deux points distincts $\;A\;$ et $\;A'\;$ quelconques sur l'axe $\;\Delta \;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }$, nous pouvons poser $\;{\overrightarrow {AA'}}={\overline {AA'}}\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ et l'équiprojectivité du moment cinétique vectoriel du système discret de points matériels se réécrit, après simplification par $\;{\overline {AA'}}\neq 0$, «$\;{\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }={\vec {\sigma }}_{\!A'}({\text{syst}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$», la valeur commune définissant le moment cinétique scalaire du système discret de points matériels.
Cas particulier d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en translation dans le référentiel d'étude : Le moment cinétique vectoriel du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$» de masse volumique «$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$» en translation de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, s'exprimant, à l'instant $\;t\;$ relativement à un point $\;A\;$ quelconque d'un axe $\;\Delta$, «$\;{\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst. en transl.}},\,t)=\;{\cancel {{\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst. en transl.}},\,t)\;+}}\;{\overrightarrow {AG}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$» dans lequel «$\;{\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$ d'où Cas particulier d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en translation dans le référentiel d'étude : le moment cinétique scalaire du système en translation évalué par rapport à l'axe $\;\Delta \;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ «$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst. en transl.}},\,t)={\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst. en transl.}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=\left[{\overrightarrow {AG}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=m_{\text{syst}}\left[{\overrightarrow {AG}}(t)\wedge {\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$» ou, en utilisant l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire «$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst. en transl.}},\,t)=m_{\text{syst}}\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\overrightarrow {AG}}(t)\right]\cdot {\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)=m_{\text{syst}}\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\overrightarrow {H_{G}G}}(t)\right]\cdot {\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$» en notant $\;H_{G}\;$ le projeté orthogonal de $\;G\;$ sur l'axe $\;\Delta \;$ soit, en utilisant le repérage cylindro-polaire de pôle $\;A\;$ et d'axe orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ d'où les coordonnées cylindro-polaires de $\;G$ $\;\left(r_{G}\,,\,\theta _{G}\,,\,z_{G}\right)$ $\;{\big$avec pour base cylindro-polaire liée à $\;G$, $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{\Delta }\right\rbrace {\big ]}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\overrightarrow {H_{G}G}}(t)=r_{G}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\;$ et par suite «$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst. en transl.}},\,t)=m_{\text{syst}}\;r_{G}(t)\left[{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\theta }(t)\right]\;$» ou, en notant $\;V_{\theta ,\,{\text{syst. en transl.}}}(t)\;$ la composante orthoradiale du vecteur vitesse de translation du système à l'instant $\;t$,
$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst. en transl.}},\,t)=m_{\text{syst}}\;r_{G}(t)\;V_{\theta ,\,{\text{syst. en transl.}}}(t)\;$
Cas particulier d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude : Le moment cinétique vectoriel du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$» de masse volumique «$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$» en rotation autour d'un axe $\;\left(\Delta \right)$, de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, s'exprimant, à l'instant $\;t\;$ relativement à un point $\;A\;$ quelconque de $\;\left(\Delta \right)$, «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overline {AH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$»$^,$$^,$$^,$ dans lequel «$\;J_{\Delta }=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}dJ_{\Delta }(M)$ $=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;r^{2}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» est le moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation $\;\left(\Delta \right)$, $\;H\;$ le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur l'axe et $\;{\overline {\Omega }}(t)={\vec {\Omega }}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$ la vitesse angulaire de rotation du système autour de $\;\left(\Delta \right)\;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }$, d'où Cas particulier d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude : le moment cinétique scalaire du système en rotation évalué par rapport à l'axe $\;\Delta \;$ de rotation orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ «$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}},\,t)={\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=\left\lbrace J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overline {AH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\right\rbrace \cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$» ou, en utilisant la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle ainsi que $\;{\overrightarrow {HM}}(t)\perp \;$ à $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;\;\forall \;M$, «$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;{\cancel {-\;{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overline {AH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]}}\;$» et enfin l'expression finale du moment cinétique scalaire du système en rotation autour de l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ par rapport auquel le moment cinétique est évalué
$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overline {\Omega }}(t)\;$
$\;\left(\Delta \right)\;$

### Énergie cinétique du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle

L'énergie cinétique, à l'instant $\;t$, du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$» de masse volumique «$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$» dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ est la somme continue des énergies cinétiques de tous les pseudo-points $\;M\,\left[dm=\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$ de l'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$, définies au même instant $\;t$, dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ soit, en notant $\;K_{\text{volum}}(M,\,t)=$ ${\dfrac {dK}{d{\mathcal {V}}}}(M,\,t)\;$ la densité volumique d'énergie cinétique en $\;M\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ à cet instant $\;t$,
$\;K({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$
$\;K_{\text{volum}}(M,\,t)={\dfrac {{\vec {P}}_{\text{volum}}^{\,2}(M,\,t)}{2\;\mu (M)}}={\dfrac {1}{2}}\;\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}^{\,2}(t)={\dfrac {1}{2}}\;{\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\cdot {\vec {V}}_{M}(t)\;$
$\;{\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\;$
$\;M\;$
$\;({\mathcal {R}})\;$
$\;t\;$
$\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$
$\;M\;$
$\;({\mathcal {R}})\;$
$\;t\;$
$\;K({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {{\vec {P}}_{\text{volum}}^{\,2}(M,\,t)}{2\;\mu (M)}}\;d{\mathcal {V}}_{M}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {1}{2}}\;\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}^{\,2}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {1}{2}}\;{\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\cdot {\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$
Cas particulier d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en translation dans le référentiel d'étude : L'énergie cinétique, à l'instant $\;t$, du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$» de masse volumique «$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$» en translation de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$ au même instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ $\;{\big \$c'est-à-dire tel que $\;{\vec {V}}_{M}(t)=$ ${\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall \;M\;\in \;\left({\mathcal {V}}\right){\big \}$, s'évaluant selon «$\;K({\text{syst. en transl.}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {1}{2}}\;\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}^{\,2}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {1}{2}}\;\mu (M)\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» soit, en factorisant par $\;{\dfrac {{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{2}}\;$ et reconnaissant $\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}=m_{\text{syst}}\;$ dans l'autre facteur
$\;K({\text{syst. en transl.}},\,t)={\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)\;$
$\;{\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$
$\;K({\text{syst. en transl.}},\,t)={\dfrac {{\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}}{2\;m_{\text{syst}}}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;{\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$
Cas particulier d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude : L'énergie cinétique du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$» de masse volumique «$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$» en rotation autour d'un axe $\;\left(\Delta \right)$, de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ $\;{\big \$c'est-à-dire tel que $\;{\vec {V}}_{M}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t),\;\forall \;M\;\in \;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ avec $\;A\;\in \;\Delta {\big \}$, s'évaluant selon «$\;K({\text{syst. en rot.}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {1}{2}}\;{\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\cdot {\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$»$^,$$^,$ ou, en injectant l'expression du vecteur vitesse de $\;M$, «$\;K({\text{syst. en rot.}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {1}{2}}\;{\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\cdot \left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\right]\,d{\mathcal {V}}_{M}\;$»$^,$ ou encore, en utilisant l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire «$\;K({\text{syst. en rot.}},\,t)=$ $\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {1}{2}}\;{\vec {\Omega }}(t)\cdot \left[{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\right]\,d{\mathcal {V}}_{M}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {1}{2}}\;{\vec {\Omega }}(t)\cdot {\vec {\sigma }}_{\!A,\,{\text{volum}}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» soit, en factorisant par $\;{\dfrac {{\vec {\Omega }}(t)}{2}}\;$ et en reconnaissant dans l'autre facteur $\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\vec {\sigma }}_{\!A,\,{\text{volum}}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}=$ ${\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst. en rot.}},\,t)\;$
$\;K({\text{syst. en rot.}},\,t)={\dfrac {1}{2}}\;{\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst. en rot.}},\,t)\cdot {\vec {\Omega }}(t)\;$
$\;K({\text{syst. en rot.}},\,t)={\dfrac {1}{2}}\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst. en rot.}},\,t)\;{\overline {\Omega }}(t)\;$
$\;{\overline {\Omega }}(t)={\vec {\Omega }}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$
$\;\left(\Delta \right)\;$
$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst. en rot.}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overline {\Omega }}(t)\;$
$\;J_{\Delta }=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;r^{2}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$
$\;\left(\Delta \right)$
$\;K({\text{syst. en rot.}},\,t)={\dfrac {\sigma _{\!\Delta }^{\,2}({\text{syst. en rot.}})}{2\;J_{\Delta }}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta }\;{\overline {\Omega }}^{2}(t)\;$

## Référentiel barycentrique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle et cinétique associée
### Notion de référentiel barycentrique (ou du centre de masse) d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle

$\;{\big$
${\big )}\;$
${\mathcal {R}}^{*}\;$
$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$
$\;G\;$
$\;{\mathcal {R}}$
Remarques : $\;G\;$ étant immobile dans $\;{\mathcal {R}}^{*}$, le vecteur vitesse de $\;G\;$ dans $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ y est nul soit «$\;{\vec {V}}_{/\,{\mathcal {R}}^{*}}(G,\,t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» noté plus succinctement «$\;{\vec {V}}^{\,*}\!(G,\,t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$».
Remarques : Bien que ce ne soit pas une obligation, on prend usuellement comme origine du repère associé à $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ le point $\;G$.
Intérêt de son introduction : on peut décrire la cinématique d'un système de points matériels dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ en la considérant comme composée de deux mouvements :
Intérêt de son introduction : $\;\succ \;$un mouvement de translation de vecteur vitesse égal, à l'instant $\;t$, à $\;{\vec {V}}_{/\,{\mathcal {R}}}\!(G,\,t)$, ce mouvement considérant le système à l'instant $\;t\;$ comme un solide $\;{\mathcal {S}}_{G}(t)\;$ et
Intérêt de son introduction : $\;\succ \;$un mouvement de rotation ou de déformation du système relativement au solide $\;{\mathcal {S}}_{G}(t)\;$ lié au C.D.I. $\;G$ ;
Intérêt de son introduction : le solide $\;{\mathcal {S}}_{G}(t)\;$ s'identifie au référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}$, ce dernier étant lié à $\;G$, en translation de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{/\,{\mathcal {R}}}\!(G,\,t)\;$ relativement au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ ;
Intérêt de son introduction : la description de la cinématique du système se réduit donc à
Intérêt de son introduction : $\;\succ \;$celle du mouvement du C.D.I. $\;G\;$ dans le référentiel d’étude $\;{\mathcal {R}}\;$ et
Intérêt de son introduction : $\;\succ \;$celle du mouvement de chaque point dans le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ c'est-à-dire à celle du mouvement barycentrique de chaque point.

### Grandeurs cinétiques barycentriques du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
#### Résultante cinétique barycentrique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle

Définition : La résultante cinétique barycentrique $\;{\vec {P}}^{\,*}\!(t)$, à l'instant $\;t$, du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$» de masse volumique «$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$» est la somme continue des vecteurs quantité de mouvement barycentrique de tous les pseudo-points du système soit
$\;{\vec {P}}^{\,*}\!(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\vec {P}}_{\text{volum}}^{\,*}\!(M\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$
$\;{\vec {P}}_{\text{volum}}^{\,*}\!(M\,t)\;$
$\;{\vec {P}}^{\,*}\!(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}^{\,*}\!(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$
Propriété : «$\;{\vec {P}}^{\,*}\!(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» car «$\;{\vec {P}}^{\,*}\!(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}^{\,*}\!(t)\;$» d'une part et «$\;{\vec {V}}_{G}^{\,*}\!(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» d'autre part ; on en déduit «$\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\vec {P}}_{\text{volum}}^{\,*}\!(M\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$»$^,$.

#### Moment cinétique barycentrique vectoriel du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle évalué en un point O quelconque

Définition : Le moment cinétique barycentrique vectoriel, à l'instant $\;t$, du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$» de masse volumique «$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$» évalué en un point $\;O\;$ quelconque «$\;{\vec {\sigma }}_{O}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)\;$» est la somme continue des vecteurs moment cinétique barycentrique de tous les pseudo-points du système par rapport au même point $\;O\;$ au même instant $\;t\;$ soit
$\;{\vec {\sigma }}_{O}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\vec {\sigma }}_{O,\,{\text{volum}}}^{\,*}\!(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$
$\;{\vec {\sigma }}_{O,\,{\text{volum}}}^{\,*}\!(M,\,t)\;$
$\;O$
$\;{\vec {\sigma }}_{O}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$
$\;=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge \mu (M)\;{\vec {V}}_{M}^{\,*}\!(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$
Propriété : «$\;{\vec {\sigma }}_{O}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)\;$» est indépendant du point origine $\;O\;$ et simplement noté «$\;{\vec {\sigma }}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)\;$» en effet, si on applique la formule de changement d'origine de calcul du moment cinétique barycentrique entre deux points $\;O\;$ et $\;O'\;$ distincts on obtient «$\;{\vec {\sigma }}_{O}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)={\vec {\sigma }}_{O'}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {OO'}}\wedge {\vec {P}}^{\,*}\!(t)\;$» avec $\;{\vec {P}}^{\,*}\!(t)={\vec {0}}\;$ d'où «$\;{\vec {\sigma }}_{O}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)={\vec {\sigma }}_{O'}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t),\;\;\forall \;t,\;\;\forall \;\left\lbrace O\,,\,O'\right\rbrace \;$».

#### Énergie cinétique barycentrique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle

Définition : L'énergie cinétique barycentrique, à l'instant $\;t$, du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$» de masse volumique «$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$» «$\;K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)\;$» est la somme continue des énergies cinétiques barycentriques de tous les pseudo-points du système au même instant $\;t\;$ soit
$\;K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}K_{\text{volum}}^{\,*}\!(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$
$\;K_{\text{volum}}^{\,*}\!(M,\,t)\;$
$\;K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {1}{2}}\;\mu (M)\,\left[{\vec {V}}_{M}^{\,*}\right]^{2}\!(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {\left[{\vec {P}}_{\text{volum}}^{\,*}\!(M,\,t)\right]^{2}}{2\;\mu (M)}}\!(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {{\vec {P}}_{\text{volum}}^{\,*}\!(M,\,t)\cdot {\vec {V}}_{M}^{\,*}\!(t)}{2}}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$

## Théorèmes de Kœnig (ou König)

Les théorèmes de Kœnig $\;{\big$ou König${\big )}\;$ permettent d'expliciter le changement de référentiel faisant passer du référentiel barycentrique d'un système fermé de matière au référentiel d'étude pour les grandeurs cinétiques « moment cinétique vectoriel » et « énergie cinétique » du système de matière ; ci-dessous on ne s'intéresse qu'aux systèmes continus fermés de matière d'expansion tridimensionnelle.

### 1er théorème de Kœnig (ou théorème de Kœnig relatif au moment cinétique)
#### Énoncé

$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;\mu (M)=$
${\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;O\;$
$\;{\vec {\sigma }}_{O}\!({\text{syst}},\,t)\;$
* du moment cinétique barycentrique vectoriel du système «$\;{\vec {\sigma }}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)\;$» évalué à l'instant $\;t\;$ et
* du moment cinétique vectoriel du C.D.I. $\;G\;$ du système évalué au même instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport au même point $\;O$ $\;{\big$en attribuant au point fictif $\;G\;$ la masse $\;m_{\text{syst}}{\big ]}\;$ «$\;{\vec {\sigma }}_{O}\!(G,\,t)={\overrightarrow {OG}}(t)\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$» soit, mathématiquement «$\;{\vec {\sigma }}_{O}\!({\text{syst}},\,t)={\vec {\sigma }}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+{\vec {\sigma }}_{O}\!(G,\,t)={\vec {\sigma }}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {OG}}(t)\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$».

#### Démonstration

Ayant établi la formule de changement d'origine du moment cinétique vectoriel d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans un référentiel d'étude et l'appliquant entre un point $\;O\;$ quelconque et le C.D.I. $\;G\;$ du système, on peut donc écrire «$\;{\vec {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)={\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {OG}}(t)\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$» dans laquelle toutes les grandeurs cinétiques ou cinématiques sont définies dans le même référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ ;
il reste, pour terminer la démonstration du 1er théorème de Kœnig, à établir que le moment cinétique vectoriel du système évalué par rapport au C.D.I. $\;G\;$ du système, à l'instant $\;t$, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, s'identifie au moment cinétique barycentrique vectoriel du système, au même instant $\;t$, c'est-à-dire au moment cinétique vectoriel du système, à l'instant $\;t$, dans le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}$, lequel moment, étant indépendant du point origine de calcul, peut être évalué au C.D.I. $\;G\;$ du système, soit encore à établir «$\;{\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst}},\,t)\;{\overset {\text{?}}{=}}\;{\vec {\sigma }}_{\!G}^{*}({\text{syst}},\,t)\;$» ;
pour cela on applique la loi de composition newtonienne des vitesses dans le cas où le référentiel d'entraînement est en translation relativement au référentiel absolu, « le référentiel absolu étant le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ et le référentiel d'entraînement le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$», le mouvement d'entraînement du centre $\;M\;$ d'un pseudo-point quelconque étant une translation de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ $\Rightarrow$ le vecteur vitesse d'entraînement de $\;M\;$ vérifie «$\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t)={\vec {V}}_{G}(t),\;\forall \;M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right),\;\forall \;t\;$» et la loi de composition newtonienne des vitesses de ce centre $\;M\;$ de pseudo-point s'écrit «$\;{\vec {V}}_{M}(t)=$ ${\vec {V}}_{M}^{\,*}(t)+{\vec {V}}_{G}(t)\;$» puis, en multipliant vectoriellement à gauche les deux membres par $\;{\overrightarrow {GM}}(t)\;\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ et en utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle dans le membre de droite «$\,{\overrightarrow {GM}}(t)\wedge \mu (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}={\overrightarrow {GM}}(t)\wedge \mu (M)\;{\vec {V}}_{M}^{\,*}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}+{\overrightarrow {GM}}(t)\wedge \mu (M)\;{\vec {V}}_{G}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\,$», enfin en faisant la somme continue sur $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ «$\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {GM}}(t)\wedge \mu (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {GM}}(t)\wedge \mu (M)\;{\vec {V}}_{M}^{\,*}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}+\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {GM}}(t)\wedge \mu (M)\;{\vec {V}}_{G}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$», « 1er membre dans lequel on reconnaît $\;{\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst}},\,t)\;$» et 2nd membre dans lequel « le 1er terme s'identifie à $\;{\vec {\sigma }}_{\!G}^{*}({\text{syst}},\,t)$», le « 2ème terme se réécrivant $\;\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overrightarrow {GM}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\wedge {\vec {V}}_{G}(t)\;$ en factorisant vectoriellement à droite par $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ soit $\;\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overrightarrow {GM}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\wedge {\vec {V}}_{G}(t)={\vec {0}}\;$» par définition du C.D.I. du système continu fermé d'expansion tridimensionnelle d'où finalement «$\;{\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst}},\,t)={\vec {\sigma }}_{\!G}^{*}({\text{syst}},\,t)\;$» R.Q.F.D.

#### Application à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle indéformable (solide au sens de la mécanique)

Le mouvement général d'un système $\;{\mathcal {S}}\;$ continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$» de masse volumique «$\;\mu (M)=$ ${\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$» indéformable $\;{\big$définissant un solide au sens de la mécanique${\big )}\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ est un mouvement composé
* d'une translation de vecteur vitesse, à l'instant $\;t$, «$\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ relativement à $\;{\mathcal {R}}\;$» dans lequel $\;G\;$ est le C.D.I. du système et
* d'une rotation autour de son C.D.I. $\;G\;$ de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}_{\,/{\mathcal {R}}^{*}}({\mathcal {S}},\,t)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ du solide ;
l'application du 1er théorème de Kœnig à $\;{\mathcal {S}}\;$ nous conduit à «$\;{\vec {\sigma }}_{O}\!({\mathcal {S}},\,t)={\vec {\sigma }}^{\,*}\!({\mathcal {S}},\,t)+{\vec {\sigma }}_{O}\!(G,\,t)={\vec {\sigma }}^{\,*}\!({\mathcal {S}},\,t)+{\overrightarrow {OG}}(t)\wedge m_{\mathcal {S}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$» dans lequel
* $\;{\vec {\sigma }}_{O}\!(G,\,t)={\overrightarrow {OG}}(t)\wedge m_{\mathcal {S}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ provient du mouvement de translation de $\;{\mathcal {S}}\;$ relativement à $\;{\mathcal {R}}$ $\;{\big \$cela pourrait être une translation circulaire autour d'un point $\;O\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}$, dans ce cas on parlerait de moment cinétique orbital${\big \}$ et
* $\;{\vec {\sigma }}^{\,*}\!({\mathcal {S}},\,t)$, dû à la rotation propre du solide $\;{\mathcal {S}}\;$ autour du C.D.I. $\;G\;$ de ce dernier, dépend du vecteur rotation instantanée propre $\;{\vec {\Omega }}_{\,/{\mathcal {R}}^{*}}({\mathcal {S}},\,t)={\overline {\Omega }}_{\,/{\mathcal {R}}^{*}}({\mathcal {S}},\,t)\;{\vec {u}}_{\Delta _{G}}(t)\;$ du solide $\;{\mathcal {S}}\;$ autour de son C.D.I. $\;G\;$ selon «$\;{\vec {\sigma }}^{\,*}\!({\mathcal {S}},\,t)=J_{\Delta _{G}(t)}({\mathcal {S}})\;{\vec {\Omega }}_{\,/{\mathcal {R}}^{*}}({\mathcal {S}},\,t)-{\overline {\Omega }}_{\,/{\mathcal {R}}^{*}}({\mathcal {S}},\,t)\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overline {GH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,$» dans lequel «$\;J_{\Delta _{G}(t)}({\mathcal {S}})=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;r^{2}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ est le moment d'inertie de $\;{\mathcal {S}}\;$ relativement à l'axe de rotation $\;\Delta _{G}(t)\;$ passant par $\;G\;$» avec $\;r=HM$, $\;H\;$ étant le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur $\;\Delta _{G}(t)$, le dernier terme de $\;{\vec {\sigma }}^{\,*}\!({\mathcal {S}},\,t)\;$ n'étant nul que si l'axe de rotation $\;\Delta _{G}(t)\;$ est axe principal d'inertie du solide, on peut alors écrire «$\;{\vec {\sigma }}^{\,*}\!({\mathcal {S}},\,t)=J_{\Delta _{G}(t)}({\mathcal {S}})\;{\vec {\Omega }}_{\,/{\mathcal {R}}^{*}}({\mathcal {S}},\,t)\;$».
Remarque : Dans le cas général où l'axe de rotation propre $\;\Delta _{G}(t)\;$ n'est pas nécessairement un axe principal d'inertie du solide, on peut appliquer la version du 1er théorème de Kœnig projetée sur $\;\Delta _{G}(t)$ $\;{\big$ou $\;\Delta _{O}(t)\;$ de même direction que $\;\Delta _{G}(t)\;$ mais passant par $\;O{\big ]}$, et on obtient «$\;\sigma _{\!\Delta _{O}}\!({\mathcal {S}},\,t)=J_{\Delta _{G}(t)}({\mathcal {S}})\;{\overline {\Omega }}_{\,/{\mathcal {R}}^{*}}({\mathcal {S}},\,t)+\left[{\overrightarrow {OG}}(t)\wedge m_{\mathcal {S}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta _{O}}(t)\;$».

### 2ème théorème de Kœnig (ou théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique)
#### Énoncé

$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;\mu (M)=$
${\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;K({\text{syst}},\,t)\;$
* de l'énergie cinétique barycentrique du système «$\;K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)\;$» évalué à l'instant $\;t\;$ et
* de l'énergie cinétique du C.D.I. $\;G\;$ du système évalué au même instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ $\;{\big$en attribuant au point fictif $\;G\;$ la masse $\;m_{\text{syst}}{\big ]}\;$ «$\;K\!(G,\,t)={\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)\;$» soit, mathématiquement «$\;K({\text{syst}},\,t)=K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+K\!(G,\,t)=K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+{\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)\;$».

#### Démonstration

L'énergie cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$» de masse volumique «$\;\mu (M)=$ ${\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$» étant définie,
* à l'instant $\;t$, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, selon «$\;K({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {1}{2}}\;\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}^{\,2}\!(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}$»$^,$ et,
* dans le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}$, au même instant $\;t$, selon «$\;K^{*}({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {1}{2}}\;\mu (M)\,\left[{\vec {V}}_{M_{i}}^{\,*}\right]^{\!2}\!(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$»$^,$,
nous déterminons le lien entre les deux en appliquant la loi de composition newtonienne des vitesses dans le cas où le référentiel d'entraînement est en translation relativement au référentiel absolu, « le référentiel absolu étant le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ et le référentiel d'entraînement le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$», le mouvement d'entraînement du centre $\;M\;$ d'un pseudo-point quelconque étant une translation de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ $\Rightarrow$ le vecteur vitesse d'entraînement de $\;M\;$ vérifie «$\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t)={\vec {V}}_{G}(t),\;\forall \;M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right),\;\forall \;t\;$» et la loi de composition newtonienne des vitesses de ce centre $\;M\;$ de pseudo-point s'écrit «$\;{\vec {V}}_{M}(t)=$ ${\vec {V}}_{M}^{\,*}(t)+{\vec {V}}_{G}(t)\;$» puis, en formant le carré scalaire $\;{\big$développé dans le membre de droite${\big )}\;$ et en multipliant par $\;{\dfrac {\mu (M)}{2}}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ «$\;{\dfrac {1}{2}}\;\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}^{\,2}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}={\dfrac {1}{2}}\;\mu (M)\left\lbrace \left[{\vec {V}}_{M}^{\,*}\right]^{2}\!(t)+{\vec {V}}_{M}^{\,*}(t)\cdot {\vec {V}}_{G}(t)+{\dfrac {1}{2}}\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)\right\rbrace \;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» ou, en développant le membre de droite, «$\;{\dfrac {1}{2}}\;\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}^{\,2}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}={\dfrac {1}{2}}\;\mu (M)\,\left[{\vec {V}}_{M}^{\,*}\right]^{2}\!(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}+\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}^{\,*}(t)\cdot {\vec {V}}_{G}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}+{\dfrac {1}{2}}\;\mu (M)\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$», enfin en faisant la somme continue sur $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ «$\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {1}{2}}\;\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}^{\,2}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {1}{2}}\;\mu (M)\,\left[{\vec {V}}_{M}^{\,*}\right]^{2}\!(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}+\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}^{\,*}(t)\cdot {\vec {V}}_{G}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}+\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {1}{2}}\;\mu (M)\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$», « 1er membre dans lequel on reconnaît $\;K({\text{syst}},\,t)\;$» et 2nd membre dans lequel « le 1er terme s'identifie à $\;K^{*}({\text{syst}},\,t)\;$», le « 2ème terme se réécrivant $\;\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}^{\,*}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\cdot {\vec {V}}_{G}(t)\;$, en factorisant scalairement par $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ soit $\;\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}^{\,*}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\cdot {\vec {V}}_{G}(t)={\vec {P}}^{\,*}(t)\cdot {\vec {V}}_{G}(t)=0\;$» par nullité de la résultante cinétique barycentrique du système continu fermé d'expansion tridimensionnelle et le « 3ème terme, en factorisant par $\;{\dfrac {{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)}{2}}$, se réécrivant $\;\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]{\dfrac {{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)}{2}}={\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)=K(G,\,t)\;$» d'où finalement «$\;K({\text{syst}},\,t)=K^{*}({\text{syst}},\,t)+\;K(G,\,t)\;$ ou $\;K({\text{syst}},\,t)=$ $K^{*}({\text{syst}},\,t)+{\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)\;$» R.Q.F.D.

#### Application à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle indéformable (solide au sens de la mécanique)

Le mouvement général d'un système $\;{\mathcal {S}}\;$ continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$» de masse volumique «$\;\mu (M)=$ ${\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$» indéformable $\;{\big$définissant un solide au sens de la mécanique${\big )}\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ est un mouvement composé
* d'une translation de vecteur vitesse, à l'instant $\;t$, «$\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ relativement à $\;{\mathcal {R}}\;$» dans lequel $\;G\;$ est le C.D.I. du système et
* d'une rotation autour de son C.D.I. $\;G\;$ de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}_{\,/{\mathcal {R}}^{*}}({\mathcal {S}},\,t)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ du solide ;
l'application du 2ème théorème de Kœnig à $\;{\mathcal {S}}\;$ nous conduit à «$\;K\!({\mathcal {S}},\,t)=K^{\,*}\!({\mathcal {S}},\,t)+K(G,\,t)=K^{\,*}\!({\mathcal {S}},\,t)+{\dfrac {1}{2}}\;m_{\mathcal {S}}\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)\;$» dans lequel
* $\;K(G,\,t)={\dfrac {1}{2}}\;m_{\mathcal {S}}\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)\;$ provient du mouvement de translation de $\;{\mathcal {S}}\;$ relativement à $\;{\mathcal {R}}$ $\;{\big \$cela pourrait être une translation circulaire autour d'un point $\;O\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}$, dans ce cas on parlerait d'énergie cinétique orbitale${\big \}$ et
* $\;K^{\,*}\!({\mathcal {S}},\,t)$, due à la rotation propre du solide $\;{\mathcal {S}}\;$ autour du C.D.I. $\;G\;$ de ce dernier, dépend du vecteur rotation instantanée propre $\;{\vec {\Omega }}_{\,/{\mathcal {R}}^{*}}({\mathcal {S}},\,t)={\overline {\Omega }}_{\,/{\mathcal {R}}^{*}}({\mathcal {S}},\,t)\;{\vec {u}}_{\Delta _{G}}(t)\;$ du solide $\;{\mathcal {S}}\;$ autour de son C.D.I. $\;G\;$ selon «$\;K^{\,*}\!({\mathcal {S}},\,t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{G}(t)}({\mathcal {S}})\;{\vec {\Omega }}_{\,/{\mathcal {R}}^{*}}^{\,2}({\mathcal {S}},\,t)\,$» dans laquelle «$\;J_{\Delta _{G}(t)}({\mathcal {S}})=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;r^{2}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ est le moment d'inertie de $\;{\mathcal {S}}\;$ relativement à l'axe de rotation $\;\Delta _{G}(t)\;$ passant par $\;G\;$» avec $\;r=HM$, $\;H\;$ étant le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur $\;\Delta _{G}(t)$.

## Notions de systèmes de forces appliqués à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle et leurs propriétés associées

Comme dans la partie « cinétique » d'un système continu de matière, ce dernier est envisagé d'expansion tridimensionnelle «$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$» de masse volumique «$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$» ; de plus si le contenu du système reste inchangé $\;{\big$aucune entrée ou sortie de matière dans l'expansion${\big )}$, le système est dit « fermé » $\;{\big$sinon, il est dit « ouvert » et nécessite d'être délimité par une surface fermée fixe indéformable $\;\left(\Sigma \right)\;$ dite « de contrôle »${\big )}$.
Les notions de systèmes de forces sont introduites dans le cadre de la dynamique newtonienne, toutefois elles restent applicables dans celui de la dynamique relativiste $\;{\big$une force devant être invariante par changement de référentiel${\big )}\;$ ainsi que toutes les autres notions associées « résultante, moments résultants vectoriel et scalaire, puissance, travaux élémentaire et fini, caractère conservatif d'une force et énergie potentielle associée ».

### Résultante des systèmes de forces appliqués à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle

Nous nous limitons aux systèmes continus fermés de matière pour garder une présentation simple, en effet
dans le cas d'un système ouvert de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ défini comme le contenu intérieur à une surface fermée fixe dite de contrôle $\;\left(S_{\text{cont}}\right)$, un pseudo-point $\;M\,\left[dm=\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$ qui est situé d'un côté de $\;\left(S_{\text{cont}}\right)$ à un instant $\;t_{1}\;$ peut être situé de l'autre côté à un instant $\;t_{2}$, ce qui fait qu'il peut être extérieur à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à un instant $\;t_{1}\;$ et $\;\in \;$ à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à un instant $\;t_{2}\;\ldots$
Remarques : Nous avons vu dans le paragraphe « exemples (de forces appliquées sur un système discret fermé de points matériels) » du chap.$6$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » qu'il existe Remarques : deux types de forces s'exerçant sur un système discret fermé de points matériels, les « forces de champ » et les « forces de contact », Remarques : deux types de forces sans différence formelle entre les deux dans le cas d'un système discret fermé de matière si ce n'est que les 1$^{ères}$ s'exercent sur tous les points alors que les 2$^{ndes}$ n'agissent que sur les points situés en périphérie du système ; Remarques : pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, les « forces de champ » s'exerçant sur tous les pseudo-points du système sont réparties en volume et, bien que Remarques : pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, les « forces de contact » s'exerçant sur les pseudo-points de la périphérie du système sont usuellement réparties en surface $\;{\big$ou encore localisée ponctuellement comme dans le cas de l'action du ressort ou d'une corde${\big )}$, nous les considérerons aussi, de façon à ne pas alourdir la présentation, comme réparties en volume $\;{\big$avec une valeur nulle pour tous les pseudo-points hors périphérie du système${\big )}\;$ simplification dont nous déduisons Remarques : pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, l'absence pratique de distinction entre « forces de champ » et « forces de contact » dans ce qui suit pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\ldots$

#### Résultante du système de forces extérieures (ou résultante dynamique) appliqué(e) à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
##### Définition d'une force extérieure appliquée à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle

Une force extérieure est une force que l'extérieur «$\;\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)\;$» du système continu fermé de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ exerce sur un pseudo-point de ce système $\;\left({\mathcal {S}}\right)$ ; le système des forces extérieures est alors défini comme l'ensemble des forces élémentaires $\;\left\lbrace d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right\rbrace _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\;$ que « chaque système $\;\left(\Sigma _{k}\right)\;$ de $\;\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)\;$ exerce sur chaque pseudo-point $\;M\,\left[\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$ du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$» $\;{\Bigg$ou encore $\;\left\lbrace d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\right\rbrace _{\begin{array}{l}M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)\\k\,\in \,\left[\left[1\,,\,p\right]\right]\end{array}}\!$${\Bigg ]}$.
La « force extérieure élémentaire $\;d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;$ que le système $\;\left(\Sigma _{k}\right)\;$ de $\;\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)\;$ exerce sur le pseudo-point $\;M\,\left[\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$» étant $\;\propto \;$ à $\;d{\mathcal {V}}_{M}$, nous remplaçons la donnée du « système des forces extérieures $\;\left\lbrace d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\right\rbrace _{\begin{array}{l}M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)\\k\,\in \,\left[\left[1\,,\,p\right]\right]\end{array}}\!$ » par celle de la « densité volumique de force extérieure $\;\left\lbrace {\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\right\rbrace _{\begin{array}{l}M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)\\k\,\in \,\left[\left[1\,,\,p\right]\right]\end{array}}\!$ » avec
$\;\left(\Sigma _{k}\right)\;$
$\;\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)\;$
$\;M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}={\dfrac {d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}}{d{\mathcal {V}}_{M}}}\;$
$\;N\cdot m^{-3}\;$

##### Définition de la résultante dynamique appliquée à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle

$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$
$\;{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}=$
${\dfrac {d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}}{d{\mathcal {V}}_{M}}}\;$
$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$
$\;{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,p}{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;$
$\;(\Sigma _{k})\;$
$\;\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)\;$
$\;M\in \left({\mathcal {V}}\right)$

#### Résultante du système de forces intérieures appliqué à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle
##### Définition d'une force intérieure appliquée à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle

Une force intérieure est une force qu'un pseudo-point du système continu fermé de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ exerce sur un autre pseudo-point de ce même système $\;\left({\mathcal {S}}\right)$ ; le système des forces intérieures est alors défini comme l'ensemble des forces élémentaires $\;\left\lbrace d^{2}\!{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right\rbrace _{\left(M,\,M'\right)\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)^{2}}\;$ que chaque pseudo-point $\;M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\;$ du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ exerce sur chaque pseudo-point $\;M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$ de ce même système $\;\left({\mathcal {S}}\right)$.
La « force intérieure élémentaire $\;d^{2}\!{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\;$ que le pseudo-point $\;M'\,\left[\mu (M')\;d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\;$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ exerce sur le pseudo-point $\;M\,\left[\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$ du même système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$» étant $\;\propto \;$ à $\;d{\mathcal {V}}_{M}\;d{\mathcal {V}}_{M'}$, nous remplaçons la donnée du « système des forces intérieures $\;\left\lbrace d^{2}\!{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right\rbrace _{\left(M,\,M'\right)\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)^{2}}\;$» par celle de la « densité bivolumique de force intérieure $\;\left\lbrace {\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}\right\rbrace _{\left(M,\,M'\right)\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)^{2}}\;$» avec
$\;M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}={\dfrac {d^{2}\!{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}}{d{\mathcal {V}}_{M}\;d{\mathcal {V}}_{M'}}}\;$
$\;N\cdot m^{-6}\;$
Remarques : Bien sûr, la distinction entre « forces extérieures » et « forces intérieures » impose de commencer par définir, sans ambiguïté, le système $\;\left({\mathcal {S}}\right)$, c'est aussi la raison pour laquelle nous nous limitons aux systèmes fermés.
Remarques : Dans le système des forces intérieures on a à envisager l’action que le pseudo-point $\;M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\;$ exerce sur le pseudo-point $\;M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$ mais aussi l’action que le pseudo-point $\;M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$ exerce sur le pseudo-point $\;M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\;$ avec $\;M'\neq M$ ; on parle alors d’interactions entre les deux pseudo-points et si l’une est appelée arbitrairement « action », l’autre est alors nommée « réaction ». Newton a énoncé un principe « traitant de l’action et de la réaction » ou des « actions réciproques », ce principe constitue la 3ème brique fondamentale de la construction de la mécanique newtonienne du point matériel au même titre que le principe d’inertie ou le p.f.d.n. et il est connu par les anglo-saxons sous le nom de 3ème loi de Newton.

##### Rappel du principe des actions réciproques (ou 3ème loi de Newton)

Le principe des actions réciproques $\;{\big$ou 3ème loi de Newton${\big )}\;$ a déjà été énoncé et commenté au paragraphe « énoncé du principe des actions réciproques et commentaires » du chap.$6$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI », il ne s'agit donc que d'un rappel.
$\;M_{1}\;$
$\;M_{2}\;$
$\;{\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}\;$
$\;M_{2}\;$
$\;M_{1}\;$
$\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}\;$
$\;M_{1}\;$
$\;M_{2}\;$
$\;M_{1}\;$
$\;M_{2}$
$\;{\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}+{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}={\vec {0}}\;$
$\;{\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}\wedge {\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}={\vec {0}}\;$
Commentaires : En « dynamique newtonienne » les forces étant invariantes par changement de référentiel et le déplacement relatif $\;{\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}\;$ en étant indépendant également, le principe est applicable dans n'importe quel référentiel ;
Commentaires : la 2ème relation $\;{\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}\wedge {\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}={\vec {0}}\;$ peut s'écrire encore, en utilisant la 1re relation, $\;{\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}\wedge {\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}={\vec {0}}$, ces deux formes équivalentes traduisent le fait que les supports de $\;{\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}\;$ et $\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}\;$ sont identiques, de support commun $\;\left(M_{1}M_{2}\right)$, la 1re relation $\;{\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}+{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}={\vec {0}}\;$ ajoutant que les forces sont de sens opposées et de même norme.
Remarque : À l'échelle mésoscopique un pseudo-point d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle se comportant, des points de vue cinétique et dynamique, comme un point matériel, le principe des actions réciproques $\;{\big$ou 3ème loi de Newton${\big )}\;$ peut s'appliquer à un couple de pseudo-points.

##### Définition de la résultante du système des forces intérieures appliqué à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle et propriété

$\;{\vec {F}}_{\text{int}}\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$
$\;{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}=$
${\dfrac {d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}}{d{\mathcal {V}}_{M}\;d{\mathcal {V}}_{M'}}}\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;{\vec {F}}_{\text{int}}=\displaystyle \iiint \!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint \limits _{\!\!\!\!\!\!\!\!\left(M,\,M'\right)\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)^{2}}d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\;$
$\;{\vec {F}}_{\text{int}}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}\;d{\mathcal {V}}_{M'}\right]d{\mathcal {V}}_{M}\;$
Propriété : Une conséquence du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne est « la nullité de la résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en dynamique newtonienne » soit
$\;{\vec {F}}_{\text{int}}=\displaystyle \iiint \!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint \limits _{\!\!\!\!\!\!\!\!\left(M,\,M'\right)\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)^{2}}d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}\;d{\mathcal {V}}_{M'}\right]d{\mathcal {V}}_{M}={\vec {0}}\;$
Propriété Démonstration : on peut coupler les forces intérieures élémentaires selon $\;d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\;$ et $\;d^{2}{\vec {F}}_{M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\,\leftarrow \,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]}$, $\;{\vec {F}}_{\text{int}}\;$ se réécrit alors $\;{\vec {F}}_{\text{int}}=$ ${\dfrac {1}{2}}\;\displaystyle \iiint \!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint \limits _{\!\!\!\!\!\!\!\!\left(M,\,M'\right)\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)^{2}}\left\lbrace d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}+d^{2}{\vec {F}}_{M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\,\leftarrow \,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]}\right\rbrace \;$$^,$ et d’après la 1re relation du principe de l'action et de la réaction en dynamique newtonienne, on a $\;d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}+d^{2}{\vec {F}}_{M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\,\leftarrow \,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]}={\vec {0}}\;$ d’où la propriété énoncée $\;{\vec {F}}_{\text{int}}={\vec {0}}$.

### Moment résultant vectoriel des systèmes de forces appliqués à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle

Comme lors de l'introduction de la notion de résultante de systèmes de forces appliqués à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle nous nous limitons aux systèmes continus fermés pour garder une présentation simple, en effet
dans le cas d'un système ouvert de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ défini comme le contenu intérieur à une surface fermée fixe dite de contrôle $\;\left(S_{\text{cont}}\right)$, un pseudo-point $\;M\,\left[dm=\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$ qui est situé d'un côté de $\;\left(S_{\text{cont}}\right)$ à un instant $\;t_{1}\;$ peut être situé de l'autre côté à un instant $\;t_{2}$, ce qui fait qu'il peut être extérieur à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à un instant $\;t_{1}\;$ et $\;\in \;$ à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à un instant $\;t_{2}\;\ldots$

#### Moment résultant vectoriel du système de forces extérieures (ou moment résultant dynamique vectoriel) appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle

$\;O\;$
$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{ext}}}\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$
$\;{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}=$
${\dfrac {d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}}{d{\mathcal {V}}_{M}}}\;$
$\;O\;$
$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{ext}}}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$
$\;{\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\;$
$\;O\;$
$\;M$

#### Définition du moment résultant vectoriel du système de forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle et propriété

$\;O\;$
$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{int}}}\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$
$\;O\;$
$\;{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}=$
${\dfrac {d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}}{d{\mathcal {V}}_{M}\;d{\mathcal {V}}_{M'}}}\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{int}}}=\displaystyle \iiint \!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint \limits _{\!\!\!\!\!\!\!\!\left(M,\,M'\right)\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)^{2}}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right]=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}\;d{\mathcal {V}}_{M'}\right]d{\mathcal {V}}_{M}\;$
$\;{\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}\right]\;$
$\;O\;$
$\;M\;$
$\;M'$
Propriété : Une conséquence du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne est « la nullité du vecteur moment résultant des forces intérieures s’exerçant sur un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en dynamique newtonienne » soit
$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{int}}}=\displaystyle \iiint \!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint \limits _{\!\!\!\!\!\!\!\!\left(M,\,M'\right)\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)^{2}}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right]=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}\right]\;d{\mathcal {V}}_{M'}\right\rbrace d{\mathcal {V}}_{M}={\vec {0}}\;$
Propriété Démonstration : on peut coupler les forces intérieures élémentaires selon $\;d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\;$ et $\;d^{2}{\vec {F}}_{M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\,\leftarrow \,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]}$, $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{int}}}\;$ se réécrit alors $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{int}}}=$ ${\dfrac {1}{2}}\;\displaystyle \iiint \!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint \limits _{\!\!\!\!\!\!\!\!\left(M,\,M'\right)\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)^{2}}\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right]+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\,\leftarrow \,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]}\right]\right\rbrace \;$$^,$ dans laquelle le 1er terme vaut $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right]=$ ${\overrightarrow {OM}}\wedge d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\;$ et le 2nd $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\,\leftarrow \,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]}\right]={\overrightarrow {OM'}}\wedge d^{2}{\vec {F}}_{M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\,\leftarrow \,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]}$ ; Propriété Démonstration : d’après la 1re relation du principe de l'action et de la réaction en dynamique newtonienne, on a $\;d^{2}{\vec {F}}_{M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\,\leftarrow \,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]}=-d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\;$ soit, en substituant $\;d^{2}{\vec {F}}_{M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\,\leftarrow \,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]}\;$ par $\;-d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\;$ et en factorisant vectoriellement à droite par $\;d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\;$ «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{int}}}=$ ${\dfrac {1}{2}}\;\displaystyle \iiint \!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint \limits _{\!\!\!\!\!\!\!\!\left(M,\,M'\right)\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)^{2}}\left[{\overrightarrow {OM}}-{\overrightarrow {OM'}}\right]\wedge d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}={\dfrac {1}{2}}\;\displaystyle \iiint \!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint \limits _{\!\!\!\!\!\!\!\!\left(M,\,M'\right)\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)^{2}}{\overrightarrow {M'M}}\wedge d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\;$», Propriété Démonstration : enfin, d’après la 2ème relation du principe de l'action et de la réaction en dynamique newtonienne, on a $\;{\overrightarrow {M'M}}\wedge d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}={\vec {0}}\;$ d'où la propriété énoncée $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{int}}}={\vec {0}}$.

### Commentaires sur le système des forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle

Le système des forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle a une résultante et un moment résultant vectoriel par rapport à n'importe quel point origine tous deux nuls $\;{\big$en effet si le moment résultant vectoriel est nul par rapport à un point origine $\;O$, il l'est par rapport à tout autre point origine $\;O'\neq O\;$ car la résultante l'est aussi${\big )}$ ;
toutefois, dans le cas général, le système des forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle n'est pas équivalent à un système de forces nul $\;{\big$en particulier nous verrons que la puissance développée par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système continu fermé de matière déformable n’est pas nul, alors que celui d'un système de forces nul l'est évidemment${\big )}$.

### Moment résultant scalaire des systèmes de forces appliqués à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle

Comme lors de l'introduction de la notion de résultante et de moment résultant vectoriel de systèmes de forces appliqués à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle nous nous limitons aux systèmes continus fermés pour garder une présentation simple, en effet
dans le cas d'un système ouvert de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ défini comme le contenu intérieur à une surface fermée fixe dite de contrôle $\;\left(S_{\text{cont}}\right)$, un pseudo-point $\;M\,\left[dm=\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$ qui est situé d'un côté de $\;\left(S_{\text{cont}}\right)$ à un instant $\;t_{1}\;$ peut être situé de l'autre côté à un instant $\;t_{2}$, ce qui fait qu'il peut être extérieur à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à un instant $\;t_{1}\;$ et $\;\in \;$ à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à un instant $\;t_{2}\;\ldots$

#### Rappel de la définition d'un moment scalaire de force à partir du moment vectoriel de celle-ci

Le moment scalaire d'une force $\;{\vec {F}}(M)\;$ par rapport à l'axe $\;\left(\Delta \right)$, noté $\;{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}(M)\right]\;$ est le projeté, sur l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }$, du moment vectoriel de cette force par rapport à un point $\;O\;$ quelconque de l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ soit
$\;{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}(M)\right]={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}(M)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=\left[{\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {F}}(M)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$
$\;\forall \;O\;\in \,\left(\Delta \right)\;$

#### Moment résultant scalaire du système de forces extérieures (ou moment résultant dynamique scalaire) appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle

$\;\Delta \;$
$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$
$\;{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}=$
${\dfrac {d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}}{d{\mathcal {V}}_{M}}}\;$
$\;\Delta \;$
$\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$
$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$
$\;\forall \;O\;\in \,\left(\Delta \right)\;$
$\;\left[{\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }={\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\;$
$\;\Delta \;$
$\;M$

#### Définition du moment résultant scalaire du système de forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle et propriété

$\;\Delta \;$
$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{int}}}\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$
$\;\Delta \;$
$\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$
$\;{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}=$
${\dfrac {d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}}{d{\mathcal {V}}_{M}\;d{\mathcal {V}}_{M'}}}\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{int}}}=\displaystyle \iiint \!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint \limits _{\!\!\!\!\!\!\!\!\left(M,\,M'\right)\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)^{2}}{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right]\;$
$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{int}}}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}\;d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right\rbrace d{\mathcal {V}}_{M}\;\;{\text{:}}\;\left(O\in \Delta \right)\;$
$\;\left[{\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }={\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}\right]\;$
$\;\Delta \;\ni O\;$
$\;M\;$
$\;M'$
Propriété : Une conséquence du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne est « la nullité du moment résultant scalaire des forces intérieures s’exerçant sur un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en dynamique newtonienne » soit
$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{int}}}=\displaystyle \iiint \!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint \limits _{\!\!\!\!\!\!\!\!\left(M,\,M'\right)\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)^{2}}{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right]=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}\right]\;d{\mathcal {V}}_{M'}\right\rbrace d{\mathcal {V}}_{M}=0\;$
Propriété Démonstration : ayant établi au paragraphe « définition du moment résultant vectoriel du système de forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle et propriété » plus haut dans ce chapitre «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{int}}}={\vec {0}}\;$» on en déduit aisément, en multipliant scalairement chaque membre par $\;{\vec {u}}_{\Delta }$, «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{int}}}\cdot {\vec {u}}_{\Delta }={\vec {0}}\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$» c'est-à-dire la propriété énoncée «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{int}}}=0\;$».

### Puissance développée par des systèmes de forces appliqués à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d'étude

Comme lors de l'introduction de la notion de résultante, de moments résultants vectoriel et scalaire de systèmes de forces appliqués à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle nous nous limitons aux systèmes continus fermés de matière pour garder une présentation simple, en effet
dans le cas d'un système ouvert de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ défini comme le contenu intérieur à une surface fermée fixe dite de contrôle $\;\left(S_{\text{cont}}\right)$, un pseudo-point $\;M\,\left[dm=\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$ qui est situé d'un côté de $\;\left(S_{\text{cont}}\right)$ à un instant $\;t_{1}\;$ peut être situé de l'autre côté à un instant $\;t_{2}$, ce qui fait qu'il peut être extérieur à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à un instant $\;t_{1}\;$ et $\;\in \;$ à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à un instant $\;t_{2}\;\ldots$

#### Puissance développée par le système de forces extérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d'étude
##### Définition

$\;{\mathcal {R}}$
$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)\;$
$\;t$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$
$\;{\mathcal {R}}$
$\;{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}=$
${\dfrac {d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}}{d{\mathcal {V}}_{M}}}\;$
$\;t$
$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {P}}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)},\,t\right]=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\vec {V}}_{M}(t)\right]\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$
$\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$
$\;M\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}$
$\;{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\vec {V}}_{M}(t)={\mathcal {P}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\;$
$\;M$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;{\mathcal {P}}_{{\text{volum}},\,{\text{ext}}}(M,\,t)\;$
$\;M$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}$

##### Cas particuliers

* 1er cas particulier, système continu fermé de matière «$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$» d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ de masse volumique $\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$ en translation de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\left({\mathcal {S}}\right)\,{\text{en transl.}}}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ par rapport au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ : «$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)={\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\left({\mathcal {S}}\right)\,{\text{en transl.}}}(t)\;$» dans laquelle «$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\;$ est la résultante dynamique appliquée à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à l'instant $\;t\;$» ; 1er cas particulier, démonstration : il suffit de factoriser scalairement par $\;{\vec {V}}_{\left({\mathcal {S}}\right)\,{\text{en transl.}}}(t)\;$ dans l'expression définissant «$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\vec {V}}_{M}(t)\right]\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$»$^,$, on obtient ainsi «$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)=$ $\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\;d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \cdot {\vec {V}}_{\left({\mathcal {S}}\right)\,{\text{en transl.}}}(t)\;$», le facteur entre accolades s'identifiant à la résultante dynamique appliquée à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à l'instant $\;t\;$ R.Q.F.D.
* 2ème cas particulier, système continu fermé de matière «$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$» $\;{\big$indéformable${\big )}\;$ d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ de masse volumique $\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$ en rotation de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ autour d'un axe $\;\left(\Delta \right)\;$ fixe du référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ : «$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)={\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;{\overline {\Omega }}(t)\;$» dans laquelle «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;$ est le moment résultant dynamique scalaire appliqué à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ par rapport à l'axe de rotation $\;\left(\Delta \right)\;$ à l'instant $\;t\;$» et «$\;{\overline {\Omega }}(t)={\vec {\Omega }}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$ la vitesse angulaire de rotation, à l'instant $\;t$, de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ autour de l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$» ; 2ème cas particulier, démonstration : on utilise l'expression du vecteur vitesse de $\;M\;$ lors d'un mouvement circulaire de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ autour de $\;\left(\Delta \right)\;$ avec $\;A\;\in \;\Delta \;$ «$\;{\vec {V}}_{M}(t)=$ ${\overrightarrow {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace {\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot \left[{\overrightarrow {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\right]\right\rbrace \,d{\mathcal {V}}_{M}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace {\overrightarrow {\Omega }}(t)\cdot \left[{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\right\rbrace \,d{\mathcal {V}}_{M}\;$» en utilisant l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire, nouvelle expression dans laquelle on reconnaît le vecteur moment de la densité volumique de force extérieure $\;{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\;$ en $\;M\;$ relativement au point $\;A\;$ dans le facteur entre accolades $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace {\overrightarrow {\Omega }}(t)\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\right\rbrace \,d{\mathcal {V}}_{M}={\overrightarrow {\Omega }}(t)\cdot \left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \;$» obtenue en factorisant scalairement par $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ soit encore «$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)={\overrightarrow {\Omega }}(t)\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)\;$» en reconnaissant dans le facteur entre accolades le moment résultant dynamique vectoriel appliqué à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à l'instant $\;t\;$ par rapport à $\;A\;$ et enfin, en explicitant $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ en fonction de la vitesse angulaire de rotation de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à l'instant $\;t\;$ autour de $\;\left(\Delta \right)\;$ «$\;{\vec {\Omega }}(t)={\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$», on obtient «$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)=\left[{\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }\right]\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)={\overline {\Omega }}(t)\left[{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right]=$ ${\overline {\Omega }}(t)\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;$» R.Q.F.D.
* 3ème cas particulier, système continu fermé indéformable de matière «$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$» d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ de masse volumique $\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$ en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ : «$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)={\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\vec {V}}_{G}(t)+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)\cdot {\vec {\Omega }}_{\,/\,\Delta _{G}(t)}(t)\;$» dans laquelle «$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\;$ est la résultante dynamique appliquée à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à l'instant $\;t\;$», «$\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ le vecteur vitesse du C.D.I. de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$», «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)\;$ le moment résultant dynamique vectoriel appliqué à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ par rapport au C.D.I. de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à l'instant $\;t\;$» et «$\;{\vec {\Omega }}_{\,/\,\Delta _{G}(t)}(t)\;$ le vecteur rotation instantanée, à l'instant $\;t$, de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ autour de l'axe $\;\Delta _{G}(t)\;$ dans le référentiel barycentrique du solide $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$» $\;{\big$ou dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, les deux étant en translation l'un par rapport à l'autre${\big )}$ ; 3ème cas particulier, démonstration : comme cela a été introduit dans le paragraphe « application à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle indéformable (solide au sens de la mécanique) » plus haut dans ce chapitre, le mouvement général d'un système continu fermé de matière «$\;{\mathcal {S}}\;$» indéformable $\;{\big$c'est-à-dire un solide au sens de la mécanique${\big )}\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ est un mouvement composé 3ème cas particulier, démonstration : $\;\succ \;$d'une translation de vecteur vitesse, à l'instant $\;t$, «$\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ relativement à $\;{\mathcal {R}}\;$» dans lequel $\;G\;$ est le C.D.I. du système et 3ème cas particulier, démonstration : $\;\succ \;$d'une rotation autour de son C.D.I. $\;G\;$ de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}_{\,/\,\Delta _{G}(t)}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ du solide d'où 3ème cas particulier, démonstration : le vecteur vitesse de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$, «$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\vec {V}}_{G}(t)+{\vec {\Omega }}_{\,/\,\Delta _{G}(t)}(t)\wedge {\overrightarrow {GM}}(t)\;$» $\Rightarrow$ l'expression de la puissance développée par la densité volumique de force extérieure en $\;M\;$ à l'instant $\;t$, «$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)},\;t\right]={\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\vec {V}}_{M}(t)={\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\vec {V}}_{G}(t)+{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot \left[{\vec {\Omega }}_{\,/\,\Delta _{G}(t)}(t)\wedge {\overrightarrow {GM}}(t)\right]\;$» et, en faisant la somme continue sur $\;\left({\mathcal {V}}\right)$, la puissance cherchée «$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\vec {V}}_{G}(t)\right]\,d{\mathcal {V}}_{M}+\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace {\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot \left[{\vec {\Omega }}_{\,/\,\Delta _{G}(t)}(t)\wedge {\overrightarrow {GM}}(t)\right]\right\rbrace \,d{\mathcal {V}}_{M}\;$» ce qui donne 3ème cas particulier, démonstration : $\;\succ \;$dans le 1er terme, après factorisation scalaire par $\;{\vec {V}}_{G}(t)$, «$\;\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\cdot {\vec {V}}_{G}(t)={\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\vec {V}}_{G}(t)\;$» et 3ème cas particulier, démonstration : $\;\succ \;$dans le 2ème terme, en utilisant l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire, «$\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace {\vec {\Omega }}_{\,/\,\Delta _{G}(t)}(t)\cdot \left[{\overrightarrow {GM}}(t)\wedge {\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\right\rbrace \,d{\mathcal {V}}_{M}\;$» puis la factorisation scalaire par $\;{\vec {\Omega }}_{\,/\,\Delta _{G}(t)}(t)$, «$\;{\vec {\Omega }}_{\,/\,\Delta _{G}(t)}(t)\cdot \left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\overrightarrow {GM}}(t)\wedge {\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace ={\vec {\Omega }}_{\,/\,\Delta _{G}(t)}(t)\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)\;$» en reconnaissant dans le facteur entre accolades le moment résultant dynamique vectoriel appliqué à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à l'instant $\;t\;$ par rapport à $\;G\;$ d'où 3ème cas particulier, démonstration : «$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)={\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\vec {V}}_{G}(t)+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)\cdot {\vec {\Omega }}_{\,/\,\Delta _{G}(t)}(t)\;$» R.Q.F.D.

#### Puissance développée par le système de forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d'étude
##### Définition et autres expressions

$\;t$
$\;{\mathcal {R}}$
$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$
$\;{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}=$
${\dfrac {d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}}{d{\mathcal {V}}_{M}\;d{\mathcal {V}}_{M'}}}\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;t$
$\;{\mathcal {R}}$
$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)=\displaystyle \iiint \!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint \limits _{\!\!\!\!\!\!\!\!\left(M,\,M'\right)\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)^{2}}{\mathcal {P}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]},\,t\right]=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}\cdot {\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M'}\right]d{\mathcal {V}}_{M}\;$
$\;{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}\cdot {\vec {V}}_{M}(t)={\mathcal {P}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'},\,t\right]\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;M\;$
$\;M'$
${\big \$
$\;{\mathcal {P}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{int}}}(M\,\leftarrow \,M',\,t)\;$
$\;M\;$
$\;M'{\big \}$
$\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$
$\;M\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}$
Autres expressions : $\;\succ \;$«$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)={\dfrac {1}{2}}\left(\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {P}}_{\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]},\,t\right]\right\rbrace \right)\;$» dans laquelle «$\;{\mathcal {P}}_{\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]},\,t\right]\;$» est la puissance développée, à l'instant $\;t$, par la force que le pseudo-point $\;M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\;$ exerce sur le pseudo-point $\;M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{M'}\;$ lié à $\;M'\;$ en translation par rapport au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ soit «$\;{\mathcal {P}}_{\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]},\,t\right]=d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\cdot {\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}(t)\;$» ;
Autres expressions : démonstration : découle du regroupement par couple $\;\left(M\,,\,M'\right)\;$ des termes de la double somme continue avec utilisation de «$\;d^{2}{\vec {F}}_{M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\,\leftarrow \,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]}=$ $-d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\;$» et de $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\mathcal {P}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]},\,t\right]=d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\cdot {\vec {V}}_{M}(t)\\{\mathcal {P}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\,\leftarrow \,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]},\,t\right]=d^{2}{\vec {F}}_{M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\,\leftarrow \,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]}\cdot {\vec {V}}_{M'}(t)=-d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\cdot {\vec {V}}_{M'}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;{\mathcal {P}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]},\,t\right]+{\mathcal {P}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\,\leftarrow \,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]},\,t\right]=d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\cdot \left[{\vec {V}}_{M}(t)-{\vec {V}}_{M'}(t)\right]\;$ en factorisant scalairement par le facteur commun Autres expressions : démonstration : ou, en évaluant dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ la grandeur vectorielle «$\;{\vec {V}}_{M}(t)-{\vec {V}}_{M'}(t)\;$» soit «$\;{\vec {V}}_{M}(t)-{\vec {V}}_{M'}(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}\right]_{/\,{\mathcal {R}}}\!(t)-\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {OM'}}}{dt}}\right]_{/\,{\mathcal {R}}}\!(t)=$ $\left[{\dfrac {d\,[{\overrightarrow {OM}}-{\overrightarrow {OM'}}]}{dt}}\right]_{/\,{\mathcal {R}}}\!(t)=\left[{\dfrac {d\,{\overrightarrow {M'M}}}{dt}}\right]_{/\,{\mathcal {R}}}\!(t)\;$» $\;{\big$cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles${\big )}$, c'est-à-dire la dérivée temporelle, dans $\;{\mathcal {R}}$, du « vecteur position relative $\;{\overrightarrow {M'M}}(t)\;$ de $\;M\;$ relativement à $\;M'\;$ à l'instant $\;t\;$» ou, « vecteur position de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{M'}\;$ lié à $\;M'\;$ en translation par rapport à $\;{\mathcal {R}}\;$», ou encore, avec $\;{\mathcal {R}}_{M'}\;$ en translation par rapport à $\;{\mathcal {R}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;\left[{\dfrac {d\,{\overrightarrow {M'M}}}{dt}}\right]_{/\,{\mathcal {R}}}\!(t)=\left[{\dfrac {d\,{\overrightarrow {M'M}}}{dt}}\right]_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!(t)\;$» cette dernière expression définissant le « vecteur vitesse relative à l'instant $\;t\;$ de $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{M'}\;$ noté $\;{\vec {V}}_{\!M\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}(t)\;$» soit finalement «$\;{\vec {V}}_{M}(t)-{\vec {V}}_{M'}(t)\;$ $={\vec {V}}_{\!M\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}(t)\;$» nous obtenons «$\;{\mathcal {P}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]},\,t\right]+{\mathcal {P}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\,\leftarrow \,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]},\,t\right]=d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\cdot {\vec {V}}_{\!M\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}(t)=$ ${\mathcal {P}}_{\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]},\,t\right]\;$» ; Autres expressions : démonstration : la double intégration volumique de la grandeur précédente «$\;{\mathcal {P}}_{\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]},\,t\right]\;$» sur $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ conduisant à compter deux fois chaque couple, il est nécessaire de compenser ceci par le « facteur $\;{\dfrac {1}{2}}\;$» R.Q.F.D.
Autres expressions : $\;\succ \;$«$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)={\dfrac {1}{2}}\left(\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {P}}_{\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{bivolum}}\,M\,\leftarrow \,M'},\,t\right]\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right\rbrace d{\mathcal {V}}_{M}\right)\;$» dans laquelle «$\;{\mathcal {P}}_{\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{bivolum}}\,M\,\leftarrow \,M'},\,t\right]\;$» est la puissance développée, à l'instant $\;t$, par la densité bivolumique en $\;M\;$ de forces intérieures en interaction avec $\;M'\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{M'}\;$ lié à $\;M'\;$ en translation par rapport au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ $\;{\Big$encore appelée puissance bivolumique de forces intérieures en $\;M\;$ en interaction avec $\;M'\;$ définie dans $\;{\mathcal {R}}_{M'}\;$ lié à $\;M'\;$ en translation par rapport à $\;{\mathcal {R}}$, notée «$\;{\mathcal {P}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{int}}\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}(M\,\leftarrow \,M',\,t)\;$»${\Big ]}\;$ soit «$\;{\mathcal {P}}_{\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{bivolum}}\,M\,\leftarrow \,M'},\,t\right]=$ ${\vec {f}}_{{\text{bivolum}}\,M\,\leftarrow \,M'}\cdot {\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}(t)={\mathcal {P}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{int}}\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}(M\,\leftarrow \,M',\,t)\;$» R.Q.F.V.

##### Conséquences

* 1re conséquence : «$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)={\dfrac {1}{2}}\left(\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\vec {f}}_{{\text{bivolum}}\,M\,\leftarrow \,M'}\cdot {\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}(t)\right]d{\mathcal {V}}_{M'}\right\rbrace d{\mathcal {V}}_{M}\right)\;$» ne dépendant que des directions communes des axes des repères associés aux référentiels $\;{\mathcal {R}}_{M'}\;$ et non de leur origine $\;M'$, a même valeur dans tout référentiel en translation par rapport aux $\;{\mathcal {R}}_{M'}$, en particulier dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ et le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)$.
* 2ème conséquence : Dans le cas général «$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)={\dfrac {1}{2}}\left(\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\vec {f}}_{{\text{bivolum}}\,M\,\leftarrow \,M'}\cdot {\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}(t)\right]d{\mathcal {V}}_{M'}\right\rbrace d{\mathcal {V}}_{M}\right)\;$» est «$\;\neq 0\;$» car dépendant des vitesses relatives des pseudo-points les uns par rapport aux autres $\;{\big$et celles-ci sont non nulles si le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ est déformable${\big ]}$.
* 3ème conséquence : Si le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ est indéformable $\;{\big$c'est-à-dire si c'est un solide au sens de la mécanique${\big )}$, la puissance développée par les forces intérieures à l'instant $\;t\;$ «$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)={\dfrac {1}{2}}\left(\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\vec {f}}_{{\text{bivolum}}\,M\,\leftarrow \,M'}\cdot {\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}(t)\right]d{\mathcal {V}}_{M'}\right\rbrace d{\mathcal {V}}_{M}\right)=0\;$» car «$\;{\vec {f}}_{{\text{bivolum}}\,M\,\leftarrow \,M'}={\overline {f}}_{{\text{bivolum}}\,M\,\leftarrow \,M'}\;{\vec {u}}_{M'\,\rightarrow \,M}\;$» par 2ème relation du principe des actions réciproques et la composante sur $\;{\vec {u}}_{M'\,\rightarrow \,M}\;$ de $\;{\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}(t)\;$ étant $\;{\dot {r}}_{M'\,,\,M}(t)\;$ avec $\;r_{M'\,,\,M}=M'M=cste\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dot {r}}_{M'\,,\,M}(t)=0\;$ d'où «$\;{\vec {f}}_{{\text{bivolum}}\,M\,\leftarrow \,M'}\cdot {\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}(t)\;$» se réécrivant «$\;{\overline {f}}_{{\text{bivolum}}\,M\,\leftarrow \,M'}\;\;{\dot {r}}_{M'\,,\,M}(t)$ $=0\;\;\forall \left(M\,,\,M'\neq M\right)\;$» et finalement «$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)=0\;$ pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle indéformable ».

### Travail développé par des systèmes de forces appliqués à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d'étude

Comme lors de l'introduction de la notion de puissance développée par les systèmes de forces appliqués à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle nous nous limitons aux systèmes continus fermés de matière pour garder une présentation simple, en effet
dans le cas d'un système ouvert de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ défini comme le contenu intérieur à une surface fermée fixe dite de contrôle $\;\left(S_{\text{cont}}\right)$, un pseudo-point $\;M\,\left[dm=\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$ qui est situé d'un côté de $\;\left(S_{\text{cont}}\right)$ à un instant $\;t_{1}\;$ peut être situé de l'autre côté à un instant $\;t_{2}$, ce qui fait qu'il peut être extérieur à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à un instant $\;t_{1}\;$ et $\;\in \;$ à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à un instant $\;t_{2}\;\ldots$
Dans ce qui suit notre point de départ pour définir le travail élémentaire $\;\delta W\;$ d'un système de forces correspondant à une durée élémentaire $\;dt\;$ d'action du système de forces développant une puissance instantanée $\;{\mathcal {P}}(t)\;$ sera «$\;\delta W={\mathcal {P}}(t)\times dt\;$» et Dans ce qui suit notre point de départ pour définir le travail $\;W_{{\text{sur }}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}\;$ d'un système de forces correspondant à un intervalle de temps $\;\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]\;$ d'action du système de forces développant une puissance instantanée $\;{\mathcal {P}}(t)\;$ sera «$\;W_{{\text{sur }}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\delta W=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}{\mathcal {P}}(t)\times dt\;$».

#### Travail développé par le système de forces extérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d'étude
##### Définition du travail élémentaire développé par le système de forces extérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d'étude

$\;{\mathcal {R}}$
$\;\delta W_{\text{ext}}(t)\;$
$\;\left[t\,,\,t+dt\right]$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;\mu (M)=$
${\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$
$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}$
$\;dt$
$\;\delta W_{\text{ext}}(t)={\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)\;dt=\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {P}}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)},\,t\right]\right\rbrace dt\;$
$\;{\mathcal {P}}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)},\,t\right]={\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\vec {V}}_{M}(t)\;$
$\;{\mathcal {P}}_{{\text{volum}},\,{\text{ext}}}(M,\,t)\;$
$\;M$
$\;t$
$\;{\mathcal {R}}$
$\;{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}={\dfrac {d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}}{d{\mathcal {V}}_{M}}}\;$
$\;M\;$
$\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$
$\;M\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}$
Remarque : «$\;\delta W_{\text{ext}}(t)=\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {P}}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)},\,t\right]\right\rbrace dt=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\vec {V}}_{M}(t)\right]\,dt\right\rbrace =\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace {\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot \left[{\vec {V}}_{M}(t)\;dt\right]\right\rbrace d{\mathcal {V}}_{M}\;$» soit «$\;\delta W_{\text{ext}}(t)$ $=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace {\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM}}\right\rbrace d{\mathcal {V}}_{M}\;$» dans laquelle $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ est le vecteur déplacement élémentaire de $\;M\;$ sur l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$ ; Remarque : «$\;{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$» étant aussi le travail élémentaire développé par la densité volumique de force extérieure $\;{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\;$ appliqué en $\;M\;$ sur l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ $\;{\big$ou travail élémentaire volumique des forces extérieures en $\;M{\big )}$, nous en déduisons la définition équivalente ci-dessous.
$\;{\mathcal {R}}$
$\;\delta W_{\text{ext}}(t)\;$
$\;\left[t\,,\,t+dt\right]$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;\mu (M)=$
${\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$
$\;{\mathcal {R}}$
$\;{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}={\dfrac {d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}}{d{\mathcal {V}}_{M}}}\;$
$\;\left[t\,,\,t+dt\right]$
$\;M\,\left[dm=\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$
$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;\delta W_{\text{ext}}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\delta W\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)},\,t\right]=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace {\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM}}\right\rbrace d{\mathcal {V}}_{M}\;$
$\;{\overrightarrow {dM}}\;$
$\;M\;$
$\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$
$\;{\mathcal {R}}$

##### Cas particuliers

* 1er cas particulier, système continu fermé de matière «$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$» d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ de masse volumique $\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$ en translation d'un vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {d{\mathit {l}}}}_{\left({\mathcal {S}}\right)\,{\text{en transl.}}}\;$ sur l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,,t+dt\right]\;$ par rapport au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ : «$\;\delta W_{\text{ext}}(t)={\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\overrightarrow {d{\mathit {l}}}}_{\left({\mathcal {S}}\right)\,{\text{en transl.}}}\;$» dans laquelle «$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\;$ est la résultante dynamique appliquée à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à l'instant $\;t\;$» ; 1er cas particulier, démonstration : il suffit d'utiliser $\;\delta W_{\text{ext}}(t)={\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)\;dt\;$ avec «$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)={\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\left({\mathcal {S}}\right)\,{\text{en transl.}}}(t)\;$», on obtient ainsi «$\;\delta W_{\text{ext}}(t)=\left[{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\left({\mathcal {S}}\right)\,{\text{en transl.}}}(t)\right]dt\;$» ou encore, «$\;\delta W_{\text{ext}}(t)$ $={\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot \left[{\vec {V}}_{\left({\mathcal {S}}\right)\,{\text{en transl.}}}(t)\;dt\right]={\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\overrightarrow {d{\mathit {l}}}}_{\left({\mathcal {S}}\right)\,{\text{en transl.}}}\;$» par définition du vecteur déplacement élémentaire du système en translation, « R.Q.F.D. ».
* 2ème cas particulier, système continu fermé de matière «$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$» $\;{\big$indéformable${\big )}\;$ d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ de masse volumique $\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$ en rotation d'un angle élémentaire $\;d\theta \;$ sur l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,,t+dt\right]\;$ autour d'un axe $\;\left(\Delta \right)\;$ fixe du référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ : «$\;\delta W_{\text{ext}}(t)={\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;d\theta \;$» dans laquelle «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;$ est le moment résultant dynamique scalaire appliqué à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ par rapport à l'axe de rotation $\;\left(\Delta \right)\;$ à l'instant $\;t\;$» ; 2ème cas particulier, démonstration : il suffit d'utiliser $\;\delta W_{\text{ext}}(t)={\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)\;dt\;$ avec «$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)={\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;{\overline {\Omega }}(t)\;$» dans laquelle «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;$ est le moment résultant dynamique scalaire appliqué à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ par rapport à l'axe de rotation $\;\left(\Delta \right)\;$ à l'instant $\;t\;$» et «$\;{\overline {\Omega }}(t)={\vec {\Omega }}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$ la vitesse angulaire de rotation, à l'instant $\;t$, de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ autour de l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$», on obtient ainsi «$\;\delta W_{\text{ext}}(t)=$ $\left[{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;{\overline {\Omega }}(t)\right]dt\;$» ou encore, «$\;\delta W_{\text{ext}}(t)={\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\,\left[{\overline {\Omega }}(t)\;dt\right]={\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;d\theta \;$» par définition de l'angle élémentaire de rotation du système, « R.Q.F.D. ».

#### Travail développé par le système de forces extérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle sur une durée finie dans le référentiel d'étude
##### Définition du travail développé par le système de forces extérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle sur une durée finie dans le référentiel d'étude

$\;{\mathcal {R}}$
$\;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}\;$
$\;\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;\mu (M)=$
${\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$
$\;\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\delta W_{\text{ext}}(t')=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t')\;dt'=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {P}}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)},\;t'\right]\right\rbrace dt'\;$
$\;{\dfrac {{\mathcal {P}}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)},\;t\right]}{d{\mathcal {V}}_{M}}}={\mathcal {P}}_{{\text{volum}},\,{\text{ext}}}(M,\,t)={\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\vec {V}}_{M}(t)\;$
$\;M$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}$
$\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$
$\;M\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}$
Remarque : Ayant établi dans la remarque du paragraphe « définition du travail élémentaire développé par le système de forces extérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre «$\;\delta W_{\text{ext}}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace {\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}(t)\cdot {\overrightarrow {dM}}\right\rbrace d{\mathcal {V}}_{M}\;$» avec $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ le vecteur déplacement élémentaire de $\;M\;$ sur l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}(t')\cdot {\overrightarrow {dM}}(t')\right]d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \;$» dans laquelle le pseudo-point $\;M\,\left[dm=\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$ de centre décrivant une trajectoire spécifique $\;\left(\Gamma _{M}\right)\;$ a une position paramétrée par $\;t\;$ avec une position initiale notée $\;M_{0}\;$ et une finale notée $\;M_{f}\;$ d'où Remarque : en permutant les intégrations volumique et temporelle, conséquence de la linéarité de ces opérations «$\;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\left[{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}(t')\cdot {\overrightarrow {dM}}(t')\right]\right\rbrace d{\mathcal {V}}_{M}\;$» et Remarque : en reconnaissant dans le terme entre accolades la paramétrisation d'une intégrale curviligne «$\;\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}(t')\cdot {\overrightarrow {dM}}(t')=\displaystyle \int \limits _{M_{0}{\overset {(\Gamma _{M})}{\rightarrow }}M_{f}}{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}(t')\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$», Remarque : nous en déduisons alors la définition équivalente ci-dessous.
$\;{\mathcal {R}}$
$\;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}\;$
$\;\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;\mu (M)=$
${\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$
$\;{\mathcal {R}}$
$\;\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]$
$\;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}W_{{\text{sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\;$
$\;W_{{\text{sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]=\displaystyle \int \limits _{M_{0}{\overset {(\Gamma _{M})}{\rightarrow }}M_{f}}d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$
$\;d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}={\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$
$\;M\;$
$\;\left(\Gamma _{M}\right)\;$
$\;M_{0}\;$
$\;M_{f}\;$
$\;{\mathcal {R}}$

##### Cas particuliers

* 1er cas particulier, système continu fermé de matière «$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$» d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ de masse volumique $\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$ en translation telle qu'un point quelconque $\;A$, lié à $\;\left({\mathcal {S}}\right)$, suit la trajectoire $\;\left(\Gamma _{A}\right)\;$ de $\;A_{0}\;$ à $\;A_{f}\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ sur l'intervalle de temps $\;\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]\;$ : «$\;W_{{\text{sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int \limits _{A_{0}{\overset {(\Gamma _{A})}{\rightarrow }}A_{f}}{\vec {F}}_{\text{ext}}(A)\cdot {\overrightarrow {dA}}\;$» dans laquelle «$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(A)\;$ est la résultante dynamique appliquée en $\;A\;\in \left({\mathcal {S}}\right)\;$ en une position générique de $\;\left(\Gamma _{A}\right)\;$» et «$\;{\overrightarrow {dA}}\;$ le vecteur déplacement élémentaire du point $\;A\;\in \left({\mathcal {S}}\right)\;$ sur $\;\left(\Gamma _{A}\right)\;$» ; 1er cas particulier, démonstration : il suffit d'utiliser «$\;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}W_{{\text{sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \int \limits _{M_{0}{\overset {(\Gamma _{M})}{\rightarrow }}M_{f}}d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM}}\right]\;$»$^,$$^,$ dans laquelle «$\;{\overrightarrow {dM}}\;\;\forall \;M\;$ est égal à $\;{\overrightarrow {dA}}\;$ au point d'application près », «$\;M\;$ suivant $\;\left(\Gamma _{M}\right)\;$ déduite de $\;\left(\Gamma _{A}\right)\;$ par translation de vecteur $\;{\overrightarrow {AM}}={\overrightarrow {A_{0}M_{0}}}={\overrightarrow {A_{f}M_{f}}}\;$» d'où, en permutant les intégrations volumique et curviligne, conséquence de la linéarité de ces opérations, et en y substituant «$\;\left\lbrace {\overrightarrow {dM}}\,\,\left(\Gamma _{M}\right)\right\rbrace \;$ par $\;\left\lbrace {\overrightarrow {dA}}\,\,\left(\Gamma _{A}\right)\right\rbrace \;$» «$\;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int \limits _{A_{0}{\overset {(\Gamma _{A})}{\rightarrow }}A_{f}}\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\overrightarrow {dA}}\right]\;$»$^,$ ou encore, après factorisation scalaire par $\;{\overrightarrow {dA}}\;$ dans la fonction à intégrer «$\;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int \limits _{A_{0}{\overset {(\Gamma _{A})}{\rightarrow }}A_{f}}\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\cdot {\overrightarrow {dA}}=\displaystyle \int \limits _{A_{0}{\overset {(\Gamma _{A})}{\rightarrow }}A_{f}}{\vec {F}}_{\text{ext}}(A)\cdot {\overrightarrow {dA}}\;$» par définition de la résultante dynamique du système en translation, « R.Q.F.D. ».
* 2ème cas particulier, système continu fermé de matière «$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$» $\;{\big$indéformable${\big )}\;$ d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ de masse volumique $\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$ en rotation autour d'un axe $\;\left(\Delta \right)\;$ fixe du référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ telle qu'un point quelconque $\;A$, lié à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ mais $\;\notin \left(\Delta \right)$, tourne de $\;A_{0}\;$ à $\;A_{f}\;$ autour du $\;H_{A}$, le projeté orthogonal de $\;A\;$ sur $\;\left(\Delta \right)$, l'abscisse angulaire de $\;A\;$ dans le plan de sa trajectoire $\;\theta _{A}={\widehat {\left({\overrightarrow {H_{A}A_{\text{réf}}}}\,,\,{\overrightarrow {H_{A}A}}\right)}}\;$ variant de $\;\theta _{A,\,0}\;$ à $\;\theta _{A,\,f}\;$ sur l'intervalle de temps $\;\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]\;$ : «$\;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int _{\theta _{A,\,0}}^{\theta _{A,\,f}}{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(\theta _{A})\,d\theta _{A}\;$» dans laquelle «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(\theta _{A})\;$ est le moment résultant dynamique scalaire appliquée en $\;A\;\in \left({\mathcal {S}}\right)\;$ en une position générique du cercle décrit » et «$\;d\theta _{A}\;$ la variation élémentaire de l'abscisse angulaire du point générique $\;A\;\in \left({\mathcal {S}}\right)\;$» ; 2ème cas particulier, démonstration : il suffit d'utiliser «$\;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}W_{{\text{sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \int \limits _{M_{0}{\overset {({\mathcal {C}}_{M})}{\rightarrow }}M_{f}}d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM}}\right]\;$»$^,$$^,$ dans laquelle $\;\left({\mathcal {C}}_{M}\right)\;$ est le cercle suivi par $\;M\;$ avec $\;{\overrightarrow {dM}}$, son vecteur déplacement élémentaire le long de $\;\left({\mathcal {C}}_{M}\right)\;$ ou, $\;M\;$ se déplaçant sur un cercle $\Rightarrow$ «$\,\displaystyle \int \limits _{M_{0}{\overset {({\mathcal {C}}_{M})}{\rightarrow }}M_{f}}d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM}}=$ $\displaystyle \int _{\theta _{M,\,0}}^{\theta _{M,\,f}}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\;d\theta _{M}\;$», d'où «$\;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \int _{\theta _{M,\,0}}^{\theta _{M,\,f}}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\;d\theta _{M}\right]\;$» dans laquelle «$\;d\theta _{M}\;\;\forall \;M\;$ est égal à $\;d\theta _{A}\;$ au point d'application près », «$\;M\;$ suivant $\;\left({\mathcal {C}}_{M}\right)\;$ déduite de $\;\left({\mathcal {C}}_{A}\right)\;$ par composition d'une homothétie de centre $\;H_{A}$, le projeté orthogonal de $\;A\;$ sur l'axe $\;\left(\Delta \right)$, d'une translation de vecteur $\;{\overrightarrow {H_{A}H_{M}}}$, $\;H_{M}\;$ étant le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ et d'une rotation autour de $\;\left(\Delta \right)\;$ d'un angle $\;{\widehat {\left({\overrightarrow {H_{A}A_{0}}}\,,\,{\overrightarrow {H_{M}M_{0}}}\right)}}\;$» d'où, en permutant les intégrations volumique et angulaire, conséquence de la linéarité de ces opérations, et en y substituant $\;\left\lbrace d\theta _{M}\,,\,\theta _{M}\in \left[\theta _{M,\,0}\,,\,\theta _{M,\,f}\right]\right\rbrace \;$ par $\;\left\lbrace d\theta _{A}\,,\,\theta _{A}\in \left[\theta _{A,\,0}\,,\,\theta _{A,\,f}\right]\right\rbrace \;$ «$\;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int _{\theta _{A,\,0}}^{\theta _{A,\,f}}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]d\theta _{A}\right\rbrace \;$» ou, $\;d\theta _{A}\;$ pouvant être sorti de l'intégrale volumique, «$\;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int _{\theta _{A,\,0}}^{\theta _{A,\,f}}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\right\rbrace d\theta _{A}\;$», soit finalement «$\;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int _{\theta _{A,\,0}}^{\theta _{A,\,f}}{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(\theta _{A})\,d\theta _{A}\;$» par définition du moment résultant dynamique scalaire du système en rotation, « R.Q.F.D. ».

#### Travail développé par le système de forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d'étude
##### Diverses expressions du travail élémentaire développé par le système de forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d'étude

$\;{\mathcal {R}}$
$\;\delta W_{\text{int}}(t)\;$
$\;\left[t\,,\,t+dt\right]$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;\mu (M)=$
${\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$
$\;{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}=$
${\dfrac {d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}}{d{\mathcal {V}}_{M}\;d{\mathcal {V}}_{M'}}}$
$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}$
$\;dt$
$\;\delta W_{\text{int}}(t)={\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)\;dt=\left\lbrace \;\;\;\displaystyle \iiint \!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint \limits _{\!\!\!\!\!\!\!\!\left(M,\,M'\right)\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)^{2}}{\mathcal {P}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]},\,t\right]\right\rbrace dt\;$
$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad =\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}\cdot {\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M'}\right]d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace dt\;$
$\;{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}\cdot {\vec {V}}_{M}(t)={\mathcal {P}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'},\,t\right]\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}\;$
$\;M\;$
$\;M'$
${\big \$
$\;{\mathcal {P}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{int}}}(M\,\leftarrow \,M',\,t)\;$
$\;M\;$
$\;M'{\big \}$
$\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$
$\;M\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}$
Autres expressions : $\;\succ \;$à partir de «$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)={\dfrac {1}{2}}\left(\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {P}}_{\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]},\,t\right]\right\rbrace \right)\;$» dans laquelle $\;{\mathcal {R}}_{M'}\;$ est le référentiel lié à $\;M'\;$ en translation par rapport au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ avec «$\;{\mathcal {P}}_{\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]},\,t\right]=d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\cdot {\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}(t)\;$ la puissance développée, à l'instant $\;t$, par la force que le pseudo-point $\;M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\;$ exerce sur le pseudo-point $\;M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{M'}\;$» nous en déduisons, en multipliant les expressions précédentes par la durée élémentaire $\;dt$, le travail élémentaire développé par les forces intérieures sous la forme
$\;\delta W_{\text{int}}(t)={\dfrac {1}{2}}\left(\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\delta W_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]},\,t\right]\right\rbrace \right)\;$
$\;\delta W_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]},\,t\right]=d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\cdot {\overrightarrow {dM}}_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}(t)\;$
$\;t$
$\;{\mathcal {R}}_{M'}$
$\;M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\;$
$\;M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$
$\;{\Big{\overrightarrow {dM}}_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}(t)\;$
$\;M\;$
$\;{\mathcal {R}}_{M'}{\Big )}$
Autres expressions : $\;\succ \;$en utilisant «$\;d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}={\vec {f}}_{{\text{bivolum}}\,M\,\leftarrow \,M'}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;d{\mathcal {V}}_{M'}\;$» dans laquelle $\;{\vec {f}}_{{\text{bivolum}}\,M\,\leftarrow \,M'}\;$ est la densité bivolumique de forces intérieures en $\;M\;$ en interaction avec $\;M'$, le travail élémentaire développé par les forces intérieures se réécrit sous la forme
$\;\delta W_{\text{int}}(t)={\dfrac {1}{2}}\left(\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\delta W_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{bivolum}}\,M\,\leftarrow \,M'},\,t\right]d{\mathcal {V}}_{M'}\right\rbrace d{\mathcal {V}}_{M}\right)\;$
$\;\delta W_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{bivolum}}\,M\,\leftarrow \,M'},\,t\right]={\vec {f}}_{{\text{bivolum}}\,M\,\leftarrow \,M'}\cdot {\overrightarrow {dM}}_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}(t)\;$
$\;t$
$\;M\;$
$\;M'$
$\;{\mathcal {R}}_{M'}$
$\;{\Big{\overrightarrow {dM}}_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}(t)\;$
$\;M\;$
$\;{\mathcal {R}}_{M'}{\Big )}$
Avec un repérage sphérique de $\;M\;$ dans le repère associé au référentiel $\;{\mathcal {R}}_{M'}$ : les coordonnées sphériques de $\;M\;$ dans le repère associé au référentiel $\;{\mathcal {R}}_{M'}\;$ étant «$\;\left(r_{M',\,M}\,,\,\theta _{M',\,M}\,,\,\varphi _{M',\,M}\right)\;$» et la base locale sphérique associée «$\;\left({\vec {u}}_{r_{M',\,M}}={\vec {u}}_{M'\,\rightarrow \,M}={\vec {u}}_{M',\,M}\,,\,{\vec {u}}_{\theta _{M',\,M}}\,,\,{\vec {u}}_{\varphi _{M',\,M}}\right)\;$», on en déduit l'explicitation de «$\;{\vec {f}}_{{\text{bivolum}}\,M\,\leftarrow \,M'}={\overline {f}}_{{\text{bivolum}}\,M\,\leftarrow \,M'}\;{\vec {u}}_{M',\,M}\;$» par 2ème relation du principe des actions réciproques et celle de «$\;{\overrightarrow {dM}}_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}=$ $d{\overrightarrow {M'M}}=dr_{M',\,M}\;{\vec {u}}_{M',\,M}+r_{M',\,M}\;d\theta _{M',\,M}\;{\vec {u}}_{\theta _{M',\,M}}+r_{M',\,M}\;\sin(\theta _{M',\,M})\;d\varphi _{M',\,M}\;{\vec {u}}_{\varphi _{M',\,M}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;\delta W_{\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{bivolum}}\,M\,\leftarrow \,M'},\,t\right]=$ ${\vec {f}}_{{\text{bivolum}}\,M\,\leftarrow \,M'}\cdot {\overrightarrow {dM}}_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}(t)={\overline {f}}_{{\text{bivolum}}\,M\,\leftarrow \,M'}\;dr_{M',\,M}(t)\;$» et par suite la réécriture du travail élémentaire développé par les forces intérieures sous la forme
$\;\delta W_{\text{int}}={\dfrac {1}{2}}\left(\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overline {f}}_{{\text{bivolum}}\,M\,\leftarrow \,M'}\;dr_{M',\,M}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M'}\right\rbrace d{\mathcal {V}}_{M}\right)\;$
Avec un repérage sphérique du point M dans le repère associé au référentiel RM' : Remarques : $\;\blacktriangleright \;$Si la force d'interaction entre $\;M'\;$ et $\;M\;$ est « attractive », «$\;{\overline {f}}_{{\text{bivolum}}\,M\,\leftarrow \,M'}\;$ est $\;<0\;$» et Avec un repérage sphérique du point M dans le repère associé au référentiel RM' : Remarques : si la force d'interaction entre M et M' elle est « répulsive », «$\;{\overline {f}}_{{\text{bivolum}}\,M\,\leftarrow \,M'}\;$ est $\;>0\;$». Avec un repérage sphérique du point M dans le repère associé au référentiel RM' : Remarques : $\;\blacktriangleright \;$De l'explicitation du travail élémentaire $\;\delta W_{\text{int}}(t)\;$ du système des forces intérieures appliqué au système continu fermé de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ précédemment présenté et de son lien avec la puissance développée par ces forces intérieures $\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)={\dfrac {\delta W_{\text{int}}(t)}{dt}}\;$ on en déduit l'explicitation de la puissance développée par le système des forces intérieures appliqué à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ utilisant le repérage sphérique du point $\;M\;$ dans le repère associé au référentiel $\;{\mathcal {R}}_{M'}\;$ soit
$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)={\dfrac {1}{2}}\left(\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overline {f}}_{{\text{bivolum}}\,M\,\leftarrow \,M'}\;{\dot {r}}_{M',\,M}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M'}\right\rbrace d{\mathcal {V}}_{M}\right)\;$
Avec un repérage sphérique du point M dans le repère associé au référentiel RM' : Remarques : $\;\blacktriangleright \;$De ces expressions appliquées à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ indéformable on vérifie que «$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)=0,\;\;\forall \;t\;$» et Avec un repérage sphérique du point M dans le repère associé au référentiel RM' : Remarques : De ces expressions appliquées à (S) indéformable on vérifie que «$\;\delta W_{\text{int}}(t)=0,\;\;\forall \;t\;$».

##### Diverses expressions du travail développé par le système de forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle sur une durée finie dans le référentiel d'étude

$\;{\mathcal {R}}$
$\;W_{{\text{int. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}\;$
$\;\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;\mu (M)=$
${\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$
$\;\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;W_{{\text{int. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\delta W_{\text{int}}(t')=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\left\lbrace \;\;\;\displaystyle \iiint \!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint \limits _{\!\!\!\!\!\!\!\!\left(M,\,M'\right)\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)^{2}}{\mathcal {P}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]},\,t'\right]\right\rbrace dt'\;$
$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}\cdot {\vec {V}}_{M}(t')\;d{\mathcal {V}}_{M'}\right]d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace dt'\;$
$\;{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}\cdot {\vec {V}}_{M}(t)={\mathcal {P}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'},\,t\right]\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}\;$
$\;M\;$
$\;M'$
${\big \$
$\;{\mathcal {P}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{int}}}(M\,\leftarrow \,M',\,t)\;$
$\;M\;$
$\;M'{\big \}$
$\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$
$\;M\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}$
Autres expressions : ces expressions résultent de l'addition continue des « diverses expressions du travail élémentaire développé par le système de forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d'étude (sous-paragraphe “ autres expressions ”) » établies plus haut dans ce chapitre d'où
Autres expressions : $\;\succ \;$«$\;W_{{\text{int. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\delta W_{\text{int}}(t')=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}{\dfrac {1}{2}}\left(\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\delta W_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]},\,t\right]\right\rbrace \right)\;$» avec la grandeur à intégrer doublement volumiquement «$\;\delta W_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]},\,t\right]\;$ égale à $\;d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\cdot {\overrightarrow {dM}}_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}(t)\;$ définissant le travail élémentaire développé, à l'instant $\;t$, dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{M'}$ $\;{\big$référentiel lié à $\;M'\;$ en translation relativement au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}{\big ]}$, par la force que le pseudo-point $\;M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\;$ exerce sur le pseudo-point $\;M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$ $\;{\Big{\overrightarrow {dM}}_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}(t)\;$ étant le vecteur déplacement élémentaire de $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{M'}{\Big )}\;$», ce travail élémentaire s'écrivant encore «$\;\delta W_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]},\,t\right]={\overline {d^{2}\,F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\;dr_{M',\,M}(t)\;$» en utilisant le repérage sphérique de $\;M\;$ dans le repère associé au référentiel $\;{\mathcal {R}}_{M'}$, cette dernière expression du travail élémentaire conduisant à écrire le travail sur une durée finie, après permutation de la double intégration volumique et de l'intégration sur un intervalle, à l'aide d'une intégrale curviligne selon
$\;W_{{\text{int. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}={\dfrac {1}{2}}\left(\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \int \limits _{M_{0}\,{\overset {\left(\Gamma _{M,\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\right)}{\longrightarrow }}\,M_{f}}{\overline {d^{2}\,F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\;dr_{M',\,M}\right]\right\rbrace \right)\;$
$\;\left(\Gamma _{M,\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\right)\;$
$\;M\;$
$\;{\mathcal {R}}_{M'}\;$
$\;M'\;$
$\;{\mathcal {R}}$
Autres expressions : $\;\succ \;$en utilisant «$\;d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}={\vec {f}}_{{\text{bivolum}}\,M\,\leftarrow \,M'}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;d{\mathcal {V}}_{M'}\;$» dans laquelle $\;{\vec {f}}_{{\text{bivolum}}\,M\,\leftarrow \,M'}\;$ est la densité bivolumique de forces intérieures en $\;M\;$ en interaction avec $\;M'$, le travail développé par les forces intérieures sur une durée finie se réécrit, en utilisant le repérage sphérique de $\;M\;$ dans le repère associé au référentiel $\;{\mathcal {R}}_{M'}$ $\;{\Big$avec «$\;r_{M',\,M}=$ $M'M\;$» et «$\;{\vec {f}}_{{\text{bivolum}}\,M\,\leftarrow \,M'}={\overline {f}}_{{\text{bivolum}}\,M\,\leftarrow \,M'}\;{\vec {u}}_{M',\,M}\;$» par 2ème relation du principe des actions réciproques, «$\;{\vec {u}}_{M',\,M}\;$ étant le vecteur unitaire radial du repérage sphérique lié à $\;M\;$ de pôle $\;M'\;$»${\Big ]}$
$\;W_{{\text{int. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}={\dfrac {1}{2}}\left(\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \int \limits _{M_{0}\,{\overset {\left(\Gamma _{M,\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\right)}{\longrightarrow }}\,M_{f}}{\overline {f}}_{{\text{bivolum}}\,M\,\leftarrow \,M'}\;dr_{M',\,M}\right]d{\mathcal {V}}_{M'}\right\rbrace d{\mathcal {V}}_{M}\right)\;$

### Systèmes de forces conservatifs appliqués à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle et énergies potentielles associées du système continu de matière

Préliminaires : Le caractère conservatif d'un système de forces n'est introduit que pour un système de forces ne dépendant pas explicitement du temps $\;{\big$il est néanmoins possible de définir le caractère conservatif d'un système de forces dépendant explicitement du temps si ce système de forces est conservatif à dépendance du temps figée mais l'intérêt de faire cela, du point de vue énergétique, étant quasi-nul, nous nous abstenons${\big ]}$.
Préliminaires : Comme lors de l'introduction de la notion de travail élémentaire développée par les systèmes de forces appliqués à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle nous nous limitons aux systèmes continus fermés pour garder une présentation simple, en effet
Préliminaires : dans le cas d'un système ouvert de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ défini comme le contenu intérieur à une surface fermée fixe dite de contrôle $\;\left(S_{\text{cont}}\right)$, un pseudo-point $\;M\,\left[dm=\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$ qui est situé d'un côté de $\;\left(S_{\text{cont}}\right)$ à un instant $\;t_{1}\;$ peut être situé de l'autre côté à un instant $\;t_{2}$, ce qui fait qu'il peut être extérieur à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à un instant $\;t_{1}\;$ et $\;\in \;$ à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à un instant $\;t_{2}\;\ldots$

#### Système de forces extérieures conservatif appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle et énergie potentielle du système continu de matière dans ce champ de forces extérieures conservatif
##### Définitions

$\;\left({\mathcal {F}}_{k}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)$
$\;\left(\Sigma _{k}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)$
$\;{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}=$
${\dfrac {d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}}{d{\mathcal {V}}_{M}}}\;$
$\;\delta W\!\left({\mathcal {F}}_{k}\right)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$
$\Leftrightarrow$
$\;\delta W\!\left({\mathcal {F}}_{k}\right)$
$=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM}}\right]d{\mathcal {V}}_{M}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;$
$\;M'\neq M\;$
$\Rightarrow$
$\;{\dfrac {\left[{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\cdot {\overrightarrow {dM}}}{d{\mathcal {V}}_{M}}}=$
${\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$
$\;{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$
$\;3\;$
$\;M\;$
Remarque : Les C.N. pour que la forme différentielle volumique «$\;{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$» soit une différentielle de fonction scalaire peuvent être étudiées dans le paragraphe « recherche de conditions nécessaires pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire » du chap.$28$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI », le caractère suffisant de ces C.N. étant usuellement vérifié pour les fonctions vectorielles $\;{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}(M)\;$ utilisées $\;{\big$mais néanmoins, il faut savoir que les C.N. ne sont pas systématiquement suffisantes, voir le paragraphe « conditions suffisantes pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction » du chap.$28$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI »${\big ]}$.
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;\mu (M)=$
${\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)$
$\;\left({\mathcal {F}}_{k}\right)\;$
$\;{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}=$
${\dfrac {d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}}{d{\mathcal {V}}_{M}}}\;$
$\;\left(\Sigma _{k}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)$
$\;u_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;$
$\;\delta W\!\left[{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\right]={\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM}}=-du_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;$
$\;u_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;M\;$
$\;\left({\mathcal {F}}_{k}\right)\;$
$\;{\big$
${\big )}$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;\mu (M)=$
${\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)$
$\;\left({\mathcal {F}}_{k}\right)\;$
$\;{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;$
$\;\left(\Sigma _{k}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;u_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;$
$\;{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;$
$\;U_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {F}}_{k}\right)}\!\left[\left({\mathcal {S}}\right)\right]=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}u_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$
$\;{\Big$
$\;u_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}{\Big ]}$
$\Rightarrow$
$\;\delta W\!\left({\mathcal {F}}_{k}\right)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM}}\right]d{\mathcal {V}}_{M}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[-du_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\right]d{\mathcal {V}}_{M}$
$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;=-d\left[\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}u_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$
$\;\delta W\!\left({\mathcal {F}}_{k}\right)=-dU_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {F}}_{k}\right)}\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;\mu (M)=$
${\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)$
$\;\left({\mathcal {F}}_{k}\right)\;$
$\;{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}=$
${\dfrac {d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}}{d{\mathcal {V}}_{M}}}\;$
$\;\left(\Sigma _{k}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)$
$\;u_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;$
$\;{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}=-{\overrightarrow {\text{grad}}}\!\left[u_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\right]\;\;\forall \;M\;\in \;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;\mu (M)=$
${\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)$
$\;\left({\mathcal {F}}_{k}\right)\;$
$\;{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;$
$\;\left(\Sigma _{k}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;u_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;$
$\;{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;$
$\;U_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {F}}_{k}\right)}\!\left[\left({\mathcal {S}}\right)\right]=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}u_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$
$\;{\Big$
$\;u_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}{\Big ]}$
$\Rightarrow$
$\;d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}={\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;d{\mathcal {V}}_{M}=-{\overrightarrow {\text{grad}}}\!\left[u_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\right]d{\mathcal {V}}_{M}\;$
$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad =-{\overrightarrow {\text{grad}}}_{\,\forall \,M'\,\neq \,M}\!\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}u_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$
$\;d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}=-{\overrightarrow {\text{grad}}}_{\,\forall \,M'\,\neq \,M}\!\left[U_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {F}}_{k}\right)}\right]\;$

##### Cas particuliers

1er cas particulier, système continu fermé de matière «$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$» d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ de masse volumique $\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$ en translation d'un vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {d{\mathit {l}}}}_{\left({\mathcal {S}}\right)\,{\text{en transl.}}}\;$ sur l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,,t+dt\right]\;$ par rapport au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ pour lequel le système de forces extérieures «$\;\left({\mathcal {F}}_{k}\right)\;$» appliqué à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ résultant de l'action du système $\;\left(\Sigma _{k}\right)\;$ extérieur à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ est conservatif c'est-à-dire tel que «$\;\delta W\!\left({\mathcal {F}}_{k}\right)={\vec {F}}_{{\text{ext}},\,{\mathcal {F}}_{k}}(t)\cdot {\overrightarrow {d{\mathit {l}}}}_{\left({\mathcal {S}}\right)\,{\text{en transl.}}}\;$» est une différentielle de fonction scalaire avec «$\;{\vec {F}}_{{\text{ext}},\,{\mathcal {F}}_{k}}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}(t)\;$ la résultante du système des forces extérieures $\;\left({\mathcal {F}}_{k}\right)\;$», ce travail élémentaire s'écrivant encore «$\;\delta W\!\left({\mathcal {F}}_{k}\right)={\vec {F}}_{{\text{ext}},\,{\mathcal {F}}_{k}}(t)\cdot {\overrightarrow {dA}}\;$ avec $\;A\;$ un point quelconque lié à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$» s'identifie à l'opposé de la différentielle de l'énergie potentielle de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ dans le champ du système des forces extérieures $\;\left({\mathcal {F}}_{k}\right)\;$ notée $\;U_{{\text{ext}},\,{\mathcal {F}}_{k}}(A)\;$ fonction des $\;3\;$ coordonnées du point $\;A\;$ selon
$\;\delta W\!\left({\mathcal {F}}_{k}\right)={\vec {F}}_{{\text{ext}},\,{\mathcal {F}}_{k}}\cdot {\overrightarrow {dA}}=-dU_{{\text{ext}},\,{\mathcal {F}}_{k}}(A)\;$
$\Updownarrow$
$\;{\vec {F}}_{{\text{ext}},\,{\mathcal {F}}_{k}}=-{\overrightarrow {\text{grad}}}\!\left[U_{{\text{ext}},\,{\mathcal {F}}_{k}}\right](A)\;$
$\;{\vec {F}}_{{\text{ext}},\,{\mathcal {F}}_{k}}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;$
$\;\left({\mathcal {F}}_{k}\right)\;$
1er cas particulier, l'expression de l'énergie potentielle du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en translation dans le champ du système des forces extérieures $\;\left({\mathcal {F}}_{k}\right)$ $\;{\big$au choix de la référence près${\big )}\;$ ne dépend pas du choix du point $\;A\;$ lié au système $\;\left({\mathcal {S}}\right)$ $\;{\big$usuellement on choisit pour $\;A\;$ le C.D.I. $\;G\;$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right){\big ]}\;\ldots$
2ème cas particulier, système continu fermé de matière «$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$» $\;{\big$indéformable${\big )}\;$ d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ de masse volumique $\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$ en rotation d'un angle élémentaire $\;d\theta \;$ sur l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,,t+dt\right]\;$ autour d'un axe $\;\left(\Delta \right)\;$ fixe du référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ pour lequel le système de forces extérieures «$\;\left({\mathcal {F}}_{k}\right)\;$» appliqué à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ résultant de l'action du système $\;\left(\Sigma _{k}\right)\;$ extérieur à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ est conservatif c'est-à-dire tel que «$\;\delta W\!\left({\mathcal {F}}_{k}\right)={\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}},\,{\mathcal {F}}_{k}}(t)\;d\theta \;$» est une différentielle de fonction scalaire avec «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}},\,{\mathcal {F}}_{k}}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\right](t)\;$ le moment résultant scalaire du système des forces extérieures $\;\left({\mathcal {F}}_{k}\right)\;$ par rapport à l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$», ce travail élémentaire s'identifie à l'opposé de la différentielle de l'énergie potentielle de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ dans le champ du système des forces extérieures $\;\left({\mathcal {F}}_{k}\right)\;$ notée $\;U_{{\text{ext}},\,{\mathcal {F}}_{k}}(\theta )\;$ fonction de l'abscisse angulaire de rotation $\;\theta \;$ selon
$\;\delta W\!\left({\mathcal {F}}_{k}\right)={\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}},\,{\mathcal {F}}_{k}}(\theta )\;d\theta =-dU_{{\text{ext}},\,{\mathcal {F}}_{k}}(\theta )\;$
$\Updownarrow$
$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}},\,{\mathcal {F}}_{k}}(\theta )=-{\dfrac {dU_{{\text{ext}},\,{\mathcal {F}}_{k}}}{d\theta }}(\theta )\;$
$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}},\,{\mathcal {F}}_{k}}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\right]\;$
$\;\left({\mathcal {F}}_{k}\right)\;$
2ème cas particulier, l'expression de l'énergie potentielle du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en rotation dans le champ du système des forces extérieures $\;\left({\mathcal {F}}_{k}\right)$ $\;{\big$au choix de la référence près${\big )}\;$ ne dépend pas du choix de la direction, liée au système $\;\left({\mathcal {S}}\right)$, par rapport à laquelle est définie l'abscisse angulaire de rotation $\;\theta \;\ldots$

#### Système de forces intérieures conservatif appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle et énergie potentielle du système continu fermé de matière dans ce champ de forces intérieures conservatif (ou énergie potentielle d'interaction du système de matière)
##### Définition d'un système de forces intérieures conservatif appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle

$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;\mu (M)=$
${\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)$
$\;_{q}\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)=$
$\left\lbrace d^{2}{\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right\rbrace _{\left(M,\,M'\,\neq \,M\right)\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)^{2}}\;$
$\;\delta W\!\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)=$
${\dfrac {1}{2}}\left(\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\delta W_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]},\,t\right]\right\rbrace \right)\;$
$\;{\big$
$\;{\mathcal {R}}_{M'}\;$
$\;M'\;$
$\;{\mathcal {R}}{\big )}\;$
$={\dfrac {1}{2}}\left(\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d^{2}{\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\cdot {\overrightarrow {dM}}_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}(t)\right\rbrace \right)\;$
$\;{\Bigg \$
$\;{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}={\dfrac {d^{2}\!{\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}}{d{\mathcal {V}}_{M}\;d{\mathcal {V}}_{M'}}}\;$
$\;M\;$
$\;_{q}\;$
$\;M'$
$\;\delta W\!\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)={\dfrac {1}{2}}\left(\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\cdot {\overrightarrow {dM}}_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}(t)\right]d{\mathcal {V}}_{M'}\right\rbrace d{\mathcal {V}}_{M}\right)\;$
${\Bigg \}$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;{\mathcal {R}}_{M'}\;(M'\,\neq \,M)\;$
$\;{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\;$
$\;M\;$
$\;M'\;$
$\;M\;$
$\;{\mathcal {R}}_{M'}\;$
$\Rightarrow$
$\;{\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {\left[{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\cdot {\overrightarrow {dM}}_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\right]d{\mathcal {V}}_{M'}\;d{\mathcal {V}}_{M}}{d{\mathcal {V}}_{M}\;d{\mathcal {V}}_{M'}}}=$
${\dfrac {1}{2}}\;{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\cdot {\overrightarrow {dM}}_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\;$
$\;_{q}\;$
$\;{\dfrac {1}{2}}\;{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\cdot {\overrightarrow {dM}}_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\;$
$\;3\;$
$\;M\;$
$\;{\mathcal {R}}_{M'}\;$
Remarque : Avec un repérage sphérique de $\;M\;$ dans le repère associé au référentiel $\;{\mathcal {R}}_{M'}\;$, nous avons établi dans le paragraphe « diverses expressions du travail élémentaire développé par le système de forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d'étude (avec un repérage sphérique …) » plus haut dans ce chapitre une expression du travail élémentaire de la force intérieure que $\;M'\;$ exerce sur $\;M\;$ adaptable, dans le cas présent, selon «$\;\delta W_{{\text{bivolum}}\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'},\,t\right]={\dfrac {1}{2}}\;{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\cdot {\overrightarrow {dM}}_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}=$ ${\dfrac {1}{2}}\;{\overline {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\;dr_{M',\,M}\;$» avec «$\;r_{M',\,M}=M'M\;$ la coordonnée radiale de $\;M\;$ dans le repère associé à $\;{\mathcal {R}}_{M'}\;$» et «$\;{\overline {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\;$ la seule composante radiale de $\;{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\;$ appliquée à $\;M\;$ dans le repère associé à $\;{\mathcal {R}}_{M'}\;$», d'où
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;\mu (M)=$
${\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)$
$\;_{q}\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)\;$
$\;{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}={\dfrac {d^{2}{\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}}{d{\mathcal {V}}_{M}\;d{\mathcal {V}}_{M'}}}\;$
$\;M\;$
$\;_{q}\;$
$\;M'\;$
$\;\delta W\!\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)={\dfrac {1}{2}}\left(\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\overline {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\;dr_{M',\,M}\right]d{\mathcal {V}}_{M'}\right\rbrace d{\mathcal {V}}_{M}\right)\;$
$\;{\big$
$\;r_{M',\,M}=M'M\;$
$\;M\;$
$\;{\mathcal {R}}_{M'}$
$\;M'\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;{\overline {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\;$
$\;{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\;$
$\;M\;$
$\;{\mathcal {R}}_{M'}{\big )}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;{\mathcal {R}}_{M'}\;$
$\;M'\,\neq \,M\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\;$
$\;M\;$
$\;M'\;$
$\;M\;$
$\;{\mathcal {R}}_{M'}\;$
$\Rightarrow$
$\;{\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {\left[{\overline {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\;dr_{M',\,M}\right]d{\mathcal {V}}_{M'}\;d{\mathcal {V}}_{M}}{d{\mathcal {V}}_{M}\;d{\mathcal {V}}_{M'}}}=$
${\dfrac {1}{2}}\;{\overline {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\;dr_{M',\,M}\;$
$\;_{q}\;$
$\;{\dfrac {1}{2}}\;{\overline {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\;dr_{M',\,M}\;$
$\;M\;$
$\;{\mathcal {R}}_{M'}\;$
Remarque : Les C.N. pour que la forme différentielle «$\;{\dfrac {1}{2}}\;{\overline {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\;dr_{M',\,M}\;$» soit une différentielle de fonction scalaire $\;{\big$voir le paragraphe « recherche de conditions nécessaires pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire » du chap.$28$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI »${\big ]}\;$ donnent, dans le cas présent, que «$\;{\overline {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}$, la seule composante radiale de $\;{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\;$ appliquée à $\;M\;$ dans le repère associé à $\;{\mathcal {R}}_{M'}$, doit être indépendante des coordonnées angulaires $\;\left(\theta _{M',\,M}\,,\,\varphi _{M',\,M}\right)\;$ de $\;M\;\;$ dans le repérage sphérique lié à $\;M\;$ associé au référentiel $\;{\mathcal {R}}_{M'}\;$», le caractère suffisant de ces C.N. étant usuellement vérifié pour les fonctions scalaires $\;{\overline {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}(r_{M',\,M})\;$ utilisées $\;{\big$mais néanmoins, il faut savoir que les C.N. ne sont pas systématiquement suffisantes, voir le paragraphe « conditions suffisantes pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction » du chap.$28$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI »${\big ]}$.

##### Définition de l'énergie potentielle d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans un champ de forces intérieures conservatif

$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;\mu (M)=$
${\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)$
$\;\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)\;$
$\;{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}=$
${\dfrac {d^{2}{\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}}{d{\mathcal {V}}_{M}\;d{\mathcal {V}}_{M'}}}\;$
$\;M\;$
$\;_{q}\;$
$\;M'\;$
$\;{\big$
$\;\left({\mathcal {S}}\right){\big ]}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;{\mathcal {R}}_{M'}$
$\;{\big \$
$\;M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;{\mathcal {R}}{\big \}$
$\;u_{{\text{bivolum}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right),\,M\,\leftarrow \,M'}\!\left(r_{M',\,M}\right)\;$
$\;M\;$
$\;_{q}\;$
$\;M'\;$
$\;{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\;$
$\;\delta W\!\left[{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\right]={\overline {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\;dr_{M',\,M}=-du_{{\text{bivolum}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right),\,M\,\leftarrow \,M'}\;$
$\;{\big$
$\;r_{M',\,M}=M'M\;$
$\;M\;$
$\;{\mathcal {R}}_{M'}$
$\;{\overline {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\;$
$\;{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\;$
$\;{\mathcal {R}}_{M'}$
$\;{\mathcal {R}}_{M'}\;$
$\;M'\;$
$\;{\mathcal {R}}{\big )}$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;\mu (M)=$
${\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)$
$\;\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)\;$
$\;{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\;$
$\;M\;$
$\;_{q}\;$
$\;M'\;$
$\;u_{{\text{bivolum}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right),\,M\,\leftarrow \,M'}\;$
$\;{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\;$
$\;{\dfrac {1}{2}}\;$
$\;U_{{\text{int}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)}\!\left[\left({\mathcal {S}}\right)\right]={\dfrac {1}{2}}\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}u_{{\text{bivolum}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right),\,M\,\leftarrow \,M'}(r_{M',\,M})\;d{\mathcal {V}}_{M'}\right]d{\mathcal {V}}_{M}\;$
$\;{\Big$
$\;u_{{\text{bivolum}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right),\,M\,\leftarrow \,M'}(r_{M',\,M}){\Big ]}$
$\Rightarrow$
$\;\delta W\!\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)={\dfrac {1}{2}}\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\overline {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\;dr_{M',\,M}\right]d{\mathcal {V}}_{M'}\right\rbrace d{\mathcal {V}}_{M}\;$
$\qquad \qquad \qquad \;\;={\dfrac {1}{2}}\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[-du_{{\text{bivolum}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right),\,M\,\leftarrow \,M'}\right]d{\mathcal {V}}_{M'}\right\rbrace d{\mathcal {V}}_{M}$
$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad =-d\left\lbrace {\dfrac {1}{2}}\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}u_{{\text{bivolum}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right),\,M\,\leftarrow \,M'}(r_{M',\,M})\;d{\mathcal {V}}_{M'}\right]d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \;$
$\;\delta W\!\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)=-dU_{{\text{int}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)}\;$
Remarques : L'énergie potentielle du système continu fermé de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ de masse volumique $\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)$, dans le champ du système de forces intérieures conservatif $\;\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)\;$ étant définie à une constante additive près, il faut « préciser la référence de cette énergie potentielle » : usuellement « la référence de $\;U_{{\text{int}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)}\;$» est choisie pour les centres des pseudo-points du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ éloignés à l'infini les uns des autres c'est-à-dire « pour $\;r_{M',\,M}=\infty \;\;\forall \;\left(M,\,M'\neq M\right)\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)^{2}\;$».
Remarques : L'énergie potentielle du système continu fermé de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ de masse volumique $\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)$, dans le champ du système de forces intérieures conservatif $\;\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)\;$ ne dépendant que des distances mutuelles séparant les différents centres des pseudo-points du système entre eux et celles-ci étant indépendantes du référentiel dans lesquelles elles sont définies, on en déduit que «$\;U_{{\text{int}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)}\;$ est invariante par changement de référentiel ».
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;\mu (M)=$
${\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)$
$\;\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)\;$
$\;{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}=$
${\dfrac {d^{2}{\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}}{d{\mathcal {V}}_{M}\;d{\mathcal {V}}_{M'}}}\;$
$\;M\;$
$\;_{q}\;$
$\;M'\;$
$\;{\big$
$\;\left({\mathcal {S}}\right){\big ]}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;{\mathcal {R}}_{M'}$
$\;{\big \$
$\;M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;{\mathcal {R}}{\big \}$
$\;u_{{\text{bivolum}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right),\,M\,\leftarrow \,M'}\!\left(r_{M',\,M}\right)\;$
$\;{\big \$
$\;M\;$
$\;M'\;$
$\;{\mathcal {R}}_{M'}{\big \}$
$\;{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\!\left(r_{M',\,M}\right)=-{\overrightarrow {\text{grad}}}\!\left[u_{{\text{bivolum}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right),\,M\,\leftarrow \,M'}\right]\!\left(r_{M',\,M}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;\mu (M)=$
${\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)$
$\;\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)\;$
$\;{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\;$
$\;M\;$
$\;_{q}\;$
$\;M'\;$
$\;u_{{\text{bivolum}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right),\,M\,\leftarrow \,M'}\!\left(r_{M',\,M}\right)\;$
$\;{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\!\left(r_{M',\,M}\right)\;$
$\;{\dfrac {1}{2}}\;$
$\;U_{{\text{int}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)}\!\left[\left({\mathcal {S}}\right)\right]={\dfrac {1}{2}}\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}u_{{\text{bivolum}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right),\,M\,\leftarrow \,M'}(r_{M',\,M})\;d{\mathcal {V}}_{M'}\right]d{\mathcal {V}}_{M}\;$
$\;{\Big$
$\;u_{{\text{bivolum}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right),\,M\,\leftarrow \,M'}(r_{M',\,M}){\Big ]}$
$\Rightarrow$
$\;d^{2}{\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}={\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\;d{\mathcal {V}}_{M'}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$
$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad =-{\overrightarrow {\text{grad}}}\!\left[u_{{\text{bivolum}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right),\,M\,\leftarrow \,M'}\right]\;d{\mathcal {V}}_{M'}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$
$\qquad \quad \;\;={\dfrac {1}{2}}\left[-{\overrightarrow {\text{grad}}}_{\,\forall \,\left(N',\,N\right)\,\neq \,\left(M',\,M\right)}\!\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{N\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \iiint \limits _{N'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}u_{{\text{bivolum}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right),\,N\,\leftarrow \,N'}(r_{N',\,N})\;d{\mathcal {V}}_{N'}\right]d{\mathcal {V}}_{N}\right\rbrace \right]\;$
$\quad =-{\overrightarrow {\text{grad}}}_{\,\forall \,\left(N',\,N\right)\,\neq \,\left(M',\,M\right)}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{2}}\displaystyle \iiint \limits _{N\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \iiint \limits _{N'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}u_{{\text{bivolum}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right),\,N\,\leftarrow \,N'}(r_{N',\,N})\;d{\mathcal {V}}_{N'}\right]d{\mathcal {V}}_{N}\right\rbrace \;$
$\;d^{2}{\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}=-{\overrightarrow {\text{grad}}}_{\,\forall \,\left(N',\,N\right)\,\neq \,\left(M',\,M\right)}\!\left[U_{{\text{int}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)}\right]\;$
Remarque : avec le choix de « référence pour $\;u_{{\text{bivolum}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right),\,M\,\leftarrow \,M'}(r_{M',\,M})\;$» «$\;r_{M',\,M}=\infty \;$», nous en déduisons le signe de l'énergie potentielle du système continu fermé de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ dans le champ du système de forces intérieures conservatif $\;\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)\;$ si chaque composante radiale de densité bivolumique de force $\;{\overline {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}(r_{M',\,M})\;$ est de $\;{\big$même${\big )}\;$ variation monotone à savoir Remarque : $\;\succ \;$si les forces d'interaction de type $\;_{q}\;$ sont « purement attractives » «$\;{\overline {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}(r_{M',\,M})\;$ est $\;<0,\;\;\forall \;r_{M',\,M}\;$» $\Rightarrow$ $\;u_{{\text{bivolum}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right),\,M\,\leftarrow \,M'}(r_{M',\,M})\;$ étant $\;\nearrow \;$ quand $\;r_{M',\,M}\nearrow \;$ jusqu'à sa valeur de référence nulle d'où «$\;u_{{\text{bivolum}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right),\,M\,\leftarrow \,M'}(r_{M',\,M})\;$ est $\;<0,\;\;\forall \;r_{M',\,M}\;$» $\Rightarrow$ «$\;U_{{\text{int}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)}<0\;$» et Remarque : $\;\succ \;$si les forces d'interaction de type $\;_{q}\;$ sont « purement répulsives » «$\;{\overline {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}(r_{M',\,M})\;$ est $\;>0,\;\;\forall \;r_{M',\,M}\;$» $\Rightarrow$ $\;u_{{\text{bivolum}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right),\,M\,\leftarrow \,M'}(r_{M',\,M})\;$ étant $\;\searrow \;$ quand $\;r_{M',\,M}\nearrow \;$ jusqu'à sa valeur de référence nulle d'où «$\;u_{{\text{bivolum}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right),\,M\,\leftarrow \,M'}(r_{M',\,M})\;$ est $\;>0,\;\;\forall \;r_{M',\,M}\;$» $\Rightarrow$ «$\;U_{{\text{int}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)}>0\;$».

## Théorèmes de la dynamique newtonienne des systèmes continus fermés de matière d'expansion tridimensionnelle applicables en référentiel galiléen

Comme dans la partie « cinétique » d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, ce dernier est envisagé sous la forme d'un système continu de matière «$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$» d'expansion tridimensionnelle «$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$» de masse volumique «$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$» ;
de plus, pour que les théorèmes de la dynamique newtonienne soient applicables au système sous les formes énoncées, le contenu de ce dernier doit rester inchangé $\;{\big$aucune entrée ou sortie de pseudo-points dans le système${\big )}$, le système doit donc être « fermé ».
Dans ce paragraphe, le référentiel d'étude de la dynamique newtonienne du système est exclusivement « galiléen ».

### Théorème de la résultante cinétique et celui du mouvement du centre d'inertie (ou simplement du centre d'inertie)
#### Théorème de la résultante cinétique

Voir aussi le paragraphe « théorème de la résultante cinétique d'un système fermé de points matériels » du chap.$9$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI » s'adaptant sans difficulté apparente aux systèmes continus fermés de matière d'expansion tridimensionnelle.
$\;{\mathcal {R}}$
$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\;$
$\;t$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;\mu (M)=$
${\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)$
$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$
$\;t$
$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)={\dfrac {d{\vec {P}}_{\text{syst}}}{dt}}(t)$
Commentaires : ce théorème peut s'appliquer sous cette forme, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système continu fermé $\;{\big$déformable ou non${\big )}\;$ de matière d'expansion tridimensionnelle mais $\;\ldots$ Commentaires : il n'est pas applicable, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système continu ouvert de matière défini à l'instant $\;t\;$ comme le contenu intérieur à la surface de contrôle $\;(\Sigma )\;$$^,$.
Démonstration : Le référentiel d'étude étant galiléen, on peut appliquer, à chaque pseudo-point $\;M\,\left[dm=\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$ du système continu fermé de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)$, la r.f.d. soit «$\;d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}+\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}={\dfrac {d\left(d{\vec {p}}_{M}\right)}{dt}}(t)\;$»$^,$ puis
Démonstration : Le référentiel d'étude étant galiléen, on peut en faire la somme continue sur $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ $\Rightarrow$ $\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}+\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right]=$ $\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {d\left(d{\vec {p}}_{M}\right)}{dt}}(t)\;$ ou «$\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}+\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right]={\dfrac {d\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d{\vec {p}}_{M}\right]}{dt}}(t)\;$» la réécriture du 2ème membre résultant de la permutation de l'intégration volumique et de la dérivation temporelle,
* le 1er terme du 1er membre étant la résultante dynamique $\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\;$ s'exerçant sur le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)$,
* le 2ème terme du 1er membre, la résultante des forces intérieures $\;{\vec {F}}_{\text{int}}\;$ exercées sur tout le système, résultante nulle en toute circonstance soit $\;{\vec {F}}_{\text{int}}={\vec {0}}\;$ et
* le 2nd membre, la dérivée temporelle de la résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$ du système continu fermé de matière soit $\;{\dfrac {d{\vec {P}}_{\text{syst}}}{dt}}(t)\;$ d'où
$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)+{\vec {0}}={\dfrac {d{\vec {P}}_{\text{syst}}}{dt}}(t)\;$
$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)={\dfrac {d{\vec {P}}_{\text{syst}}}{dt}}(t)\;$
Remarque : On peut vérifier l'inapplicabilité de ce théorème à un système continu « ouvert » de matière dans le paragraphe « en complément, inapplicabilité du théorème de la résultante cinétique à un système ouvert de points matériels » du chap.$9$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI » s'adaptant sans difficulté apparente aux systèmes continus ouverts de matière et Remarque : On peut avoir un aperçu des « modifications » à lui apporter pour le rendre applicable.

#### Théorème du mouvement du centre d'inertie (ou simplement du centre d'inertie)

Voir aussi le paragraphe « théorème du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels » du chap.$9$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI » s'adaptant sans difficulté apparente aux systèmes continus fermés de matière d'expansion tridimensionnelle.
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\;$
$\;t$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;\mu (M)=$
${\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)$
$\;{\big$
${\big )}$
$\;m_{\text{syst}}\;$
$\;G_{\text{syst}}\;$
$\;t$
$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {a}}_{G_{\text{syst}}}(t)$
Commentaires : ce théorème s'applique exclusivement, en dynamique newtonienne, à un système fermé $\;{\big$déformable ou non${\big )}\;$ de matière $\;\ldots$ Commentaires : il n'est pas applicable, en dynamique newtonienne, à un système ouvert de matière défini à l'instant $\;t\;$ comme le contenu intérieur à la surface de contrôle $\;(\Sigma )\;$ car, le théorème de la résultante cinétique dont il découle $\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)={\dfrac {d{\vec {P}}_{\text{syst}}}{dt}}(t)\;$ ne s'applique pas à un système ouvert $\;\ldots$
Démonstration : Cela découle de l'application, dans le référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}$, du théorème de la résultante cinétique au système continu fermé de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ soumis, à l'instant $\;t$, à la résultante dynamique $\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\;$ soit $\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)={\dfrac {d{\vec {P}}_{\text{syst}}}{dt}}(t)\;$ dans laquelle $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$ est la résultante cinétique du système au même instant $\;t\;$ et, Démonstration : Cela découle de la propriété liant, dans le cadre de la cinétique newtonienne, la résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)$, la masse $\;{\big$inerte${\big )}$ $\;m_{\text{syst}}\;$ et le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{G_{\text{syst}}}(t)\;$ du C.D.I. du système à savoir $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G_{\text{syst}}}(t)\;$ dont on déduit, Démonstration : $\;{\dfrac {d{\vec {P}}_{\text{syst}}}{dt}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {a}}_{G_{\text{syst}}}(t)$, la masse de tout système fermé étant constante, soit, Démonstration : par report dans l'expression du théorème de la résultante cinétique, $\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {a}}_{G_{\text{syst}}}(t)\;$ (C.Q.F.D.).

#### Théorèmes de l'inertie

Préliminaire : Les théorèmes de l'inertie appliqués à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle sont des cas particuliers des deux théorèmes précédents, il ne serait donc pas nécessaire de les faire apparaître dans l'exposé si ce n'est pour satisfaire une présentation historique $\;\ldots$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;\mu (M)=$
${\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)$
$\;{\mathcal {R}}$
$\;{\big$
${\big )}\;$
Démonstration : Le principe fondamental de la dynamique appliqué à un pseudo-point $\;M\,\left[dm=\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$ quelconque de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ postule l'existence d'au moins un référentiel dans lequel, par absence de forces extérieures appliquées à $\;\left({\mathcal {S}}\right)$ $\;{\big$le système étant isolé${\big ]}\;$ «$\;\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}={\dfrac {d\left(d{\vec {p}}_{M}\right)}{dt}}(t)\;$» d'où, en faisant la somme continue sur $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ et en utilisant la conséquence du principe des actions réciproques que l'on suppose applicable dans le référentiel considéré à savoir $\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right]={\vec {F}}_{\text{int}}={\vec {0}}\;$ ainsi que la définition de la résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d{\vec {p}}_{M}\;$ après avoir permuté intégration volumique et dérivation temporelle selon $\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {d\left(d{\vec {p}}_{M}\right)}{dt}}(t)={\dfrac {d\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d{\vec {p}}_{M}\right]}{dt}}(t)\;$, on établit $\;{\vec {0}}={\dfrac {d{\vec {P}}_{\text{syst}}}{dt}}(t)\;$ soit, après intégration relativement au temps, le théorème énoncé.
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;\mu (M)=$
${\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)$
$\;{\big$
${\big )}\;$
Démonstration : Appliquant le théorème de l'inertie au système continu fermé isolé $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ on en déduit l'existence d'un référentiel d'espace-temps $\;{\mathcal {R}}\;$ dans lequel la résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}\;$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ est conservée au cours du temps puis, comme $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ avec $\;m_{\text{syst}}=cste\;$ pour un système fermé, on en déduit la conservation du vecteur vitesse du C.D.I. $\;G\;$ du système et par suite un mouvement rectiligne uniforme de $\;G$.

#### Conséquences

Conséquence du théorème de la résultante cinétique : Si le système continu fermé de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ est « pseudo isolé » c'est-à-dire si la résultante dynamique appliquée au système est telle que $\;{\vec {F}}_{\text{ext}}={\vec {0}}$, l'application du théorème de la résultante cinétique au système fermé dans un référentiel galiléen implique, après intégration par rapport au temps $\;t$,
$\;{\vec {P}}_{\text{syst fermé}}(t)={\overrightarrow {\text{cste}}}\;\;\forall \;t$
Conséquence du théorème du mouvement du centre d'inertie : Si le système continu fermé de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ est « pseudo isolé » c'est-à-dire si la résultante dynamique appliquée au système est telle que $\;{\vec {F}}_{\text{ext}}={\vec {0}}$, l'application du théorème du mouvement du C.D.I. au système fermé dans un référentiel galiléen implique, après intégration par rapport au temps $\;t$,
$\;{\vec {V}}_{G_{\text{syst}}}(t)={\overrightarrow {\text{cste}}}\;\;\forall \;t$

### Théorème du moment cinétique vectoriel

Voir aussi le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret de points matériels » du chap.$5$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI » s'adaptant sans difficulté apparente aux systèmes continus fermés de matière d'expansion tridimensionnelle.

#### Énoncé

$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;O\;$
$\;{\mathcal {R}}$
$\;O\;$
$\;t$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;\mu (M)=$
${\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)$
$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{ext}}}(t)\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;O$
$\;t$
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{O}({\text{syst}},\,t)\;$
$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}({\text{syst}})}{dt}}(t)\;$
Démonstration : Considérant le système continu fermé de matière «$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$» étudié dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen et un point $\;O\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport auquel on détermine les moments vectoriels,
Démonstration : le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à chaque pseudo-point $\;M\,\left[dm=\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$ du système continu fermé de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, moments évalués relativement au point $\;O\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}\;$, s'écrivant «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right](t)+\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right](t)=$ ${\dfrac {d\left[d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M)\right]}{dt}}(t)\;$»,
Démonstration : on en fait la somme continue sur $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ $\Rightarrow$ «$\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right](t)+\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right](t)\right\rbrace =\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {d\left[d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M)\right]}{dt}}(t)\;$» ou «$\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right](t)+\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \;\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right](t)\right\rbrace ={\dfrac {d\left[\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M)\right]}{dt}}(t)\;$», la réécriture du 2ème membre résultant de la permutation de l'intégration volumique et de la dérivation temporelle, on y reconnaît dans
* « le 1er terme du 1er membre » le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ évalué en $\;O\;$ à l'instant $\;t\;$ «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{ext}}}(t)\;$»,
* « le 2ème terme du 1er membre » le vecteur moment résultant des forces intérieures appliquées au système continu fermé de matière évalué au même point $\;O\;$ à l'instant $\;t\;$ «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{int}}}(t)={\vec {0}}\;$» et
* « le 2ème membre » la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière évalué au même point $\;O\;$ au même instant $\;t\;$ à savoir «$\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}({\text{syst}})}{dt}}(t)\;$».
Commentaires : ce théorème peut s'appliquer sous cette forme, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système continu fermé $\;{\big$déformable ou non${\big )}\;$ de matière d'expansion tridimensionnelle mais $\;\ldots$ Commentaires : il n'est pas applicable, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système continu ouvert de matière défini à l'instant $\;t\;$ comme le contenu intérieur à la surface de contrôle $\;(\Sigma )\;$$^,$.

#### Conséquence

Voir aussi le paragraphe « condition de conservation du moment cinétique vectoriel d'un système fermé de matière par rapport à un point O fixe dans le référentiel d'étude galiléen » du chap.$5$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI » s'adaptant sans difficulté apparente aux systèmes continus fermés de matière d'expansion tridimensionnelle.
Il y a conservation du moment cinétique vectoriel d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle évalué par rapport à un point $\;O\;$ fixe du référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen à savoir «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{O}\!\left({\text{syst}},\,t\right)$ $={\overrightarrow {\text{cste}}},\;\;\forall \;t\;$» si le vecteur moment résultant dynamique en $\;O\;$ appliqué au système est nul à tout instant $\;t\;$ c'est-à-dire si «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\text{ext}}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$», cette propriété résultant de l'application du théorème du moment cinétique vectoriel au système continu fermé de matière en un point $\;O\;$ fixe dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen soit «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\text{ext}}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)={\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)\;$» dans lequel la nullité du 1er membre conduit à celle du 2ème membre c'est-à-dire à «$\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» d'où, après intégration par rapport au temps, «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{O}\!\left({\text{syst}},\,t\right)={\overrightarrow {\text{cste}}},\;\;\forall \;t$» ;
le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système continu fermé de matière par rapport au point $\;O\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen peut être nul par
$\;O\;$
$\;O\;$

#### Prolongement du théorème du moment cinétique vectoriel en un point A mobile dans le référentiel d'étude

Le prolongement du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en un point origine $\;A\;$ mobile dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen n'est pas à mémoriser quand le point origine $\;A\;$ a un mouvement quelconque relativement au système dans $\;{\mathcal {R}}\;$ car d'utilisation trop restreinte mais il faut savoir le retrouver si besoin est ;
toutefois son cas particulier où le point origine d'évaluation des moments vectoriels est le C.D.I. $\;G\;$ du système est utilisé plus fréquemment et par suite est à retenir.

##### Théorème

$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;A\;$
$\;{\mathcal {R}}$
$\;A\;$
$\;t$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;\mu (M)=$
${\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)$
$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)\;$
$\;A\;$
$\;t$
$\;{\overrightarrow {\sigma _{\!A}}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$
$\;{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$
$\;{\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;t\;$
$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\,{\overrightarrow {\sigma _{\!A}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)+{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$
Commentaires : ce prolongement de théorème peut s'appliquer sous cette forme, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système continu fermé $\;{\big$déformable ou non${\big )}\;$ de matière.
Commentaires : En cinétique newtonienne la résultante cinétique d'un système continu fermé de matière $\;{\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$ est lié à la vitesse du C.D.I. $\;G\;$ du système $\;{\vec {V}}_{\!G}(t)\;$ et à la masse de ce dernier $\;m_{\text{syst}}\;$ par $\;{\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\!G}(t)$ $\;{\big$voir le paragraphe « résultante cinétique du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle (propriété de la résultante cinétique d'un système continu fermé de matière) » plus haut dans ce chapitre${\big ]}$, l'expression mathématique du prolongement du théorème se réécrivant selon «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\,{\overrightarrow {\sigma _{\!A}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)+m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {V}}_{\!G}(t)\;$» ; Commentaires : par contre, en cinétique relativiste, il n'y a pas de lien simple entre la résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{\text{relativ}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$ d'un système continu fermé de matière et le mouvement du C.D.I. $\;G\;$ du système d'où aucune autre réécriture du prolongement de ce théorème en dynamique relativiste.

##### Démonstration

Voir aussi le paragraphe « adaptation du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point mobile A quelconque dans le référentiel d'étude galiléen » du chap.$5$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI » à adapter aux systèmes continus fermés de matière d'expansion tridimensionnelle..
Considérant le système continu fermé de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ de masse volumique $\;\mu (M)=$ ${\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$ étudié dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen et un point $\;A\;$ mobile dans $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport auquel on détermine les moments vectoriels ;
exprimons d'abord la forme du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un pseudo-point $\;M\,\left[dm=\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, moments évalués relativement au point $\;A\;$ mobile dans $\;{\mathcal {R}}\;$, en écrivant ce théorème relativement à un point origine $\;O\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}\;$ soit «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right](t)+\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right](t)=$ ${\dfrac {d\left[d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M)\right]}{dt}}(t)\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$»$^,$ puis on effectue le changement d'origine sur les deux moments vectoriels de forces et sur le moment cinétique vectoriel de façon à faire apparaître la nouvelle origine $\;A\;$ mobile dans $\;{\mathcal {R}}\;$ selon «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l l l}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\!\!&=&\!\!{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\!\!&+&\!\!{\overrightarrow {OA}}(t)\wedge d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right]\!\!&=&\!\!{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right]\!\!&+&\!\!{\overrightarrow {OA}}(t)\wedge d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\\d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M)\!\!&=&\!\!d{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M)\!\!&+&\!\!{\overrightarrow {OA}}(t)\wedge d{\vec {p}}_{M}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$» que l'on reporte dans la relation $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ après dérivation de la dernière expression selon «$\;{\dfrac {d\left[d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O}(M)\right]}{dt}}(t)=$ ${\dfrac {d\left[d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M)\right]}{dt}}(t)+{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge d{\vec {p}}_{\!M}(t)+{\overrightarrow {OA}}(t)\wedge {\dfrac {d\left[d{\vec {p}}_{M}\right]}{dt}}(t)\;$», ce qui donne, après factorisation vectorielle partielle à gauche par $\;{\overrightarrow {OA}}(t)\;$ dans le 2ème terme
$\;\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]+{\overrightarrow {OA}}(t)\wedge d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right\rbrace +\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right]+{\overrightarrow {OA}}(t)\wedge \left[\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right]\right\rbrace$
$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad ={\dfrac {d\left[d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M)\right]}{dt}}(t)+{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge d{\vec {p}}_{\!M}(t)+{\overrightarrow {OA}}(t)\wedge {\dfrac {d\left[d{\vec {p}}_{M}\right]}{dt}}(t),\;\;\left({\mathfrak {a}}'\right)\;$
ou encore, en appliquant la r.f.d.n. au pseudo-point $\;M\,\left[dm=\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$ $\Rightarrow$ $\;d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}+\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}={\dfrac {d\left[d{\vec {p}}_{M}\right]}{dt}}(t)\;$ soit, en multipliant vectoriellement à gauche par $\;{\overrightarrow {OA}}(t)$, «$\;{\overrightarrow {OA}}(t)\wedge d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}+{\overrightarrow {OA}}(t)\wedge \left[\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right]={\overrightarrow {OA}}(t)\wedge {\dfrac {d\left[d{\vec {p}}_{M}\right]}{dt}}(t)\;$» d'où la réécriture de la relation $\;\left({\mathfrak {a}}'\right)\;$ «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]+\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right]$ $={\dfrac {d\left[d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M)\right]}{dt}}(t)+{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge d{\vec {p}}_{\!M}(t)\;$»
soit, en faisant la somme continue sur $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ des relations $\;\left({\mathfrak {a}}'\right)\;$ définies en chaque $\;M$, «$\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right](t)+\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right]\right\rbrace$ $=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {d\left[d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M)\right]}{dt}}(t)+\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge d{\vec {p}}_{\!M}(t)\right]\;$», on reconnaît dans
* « le 1er terme du 1er membre » le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ évalué au point origine $\;A$ $\;{\big$mobile dans $\;{\mathcal {R}}{\big )}\;$ à l'instant $\;t\;$ «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)\;$»,
* « le 2ème terme du 1er membre » le vecteur moment résultant des forces intérieures appliquées au système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ évalué au même point $\;A$ $\;{\big$mobile dans $\;{\mathcal {R}}{\big )}\;$ à l'instant $\;t\;$ «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{int}}}(t)={\vec {0}}\;$»,
* « le 1er terme du 2ème membre » égal, après « permutation de l'intégration volumique et de la dérivation temporelle, à «$\;{\dfrac {d\!\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M)\right]}{dt}}(t)\;$» c'est-à-dire à la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière par rapport au même point $\;A$ $\;{\big$mobile dans $\;{\mathcal {R}}{\big )}\;$ au même instant $\;t\;$ et enfin
* « le 2ème terme du 2ème membre » dans lequel on effectue une factorisation vectorielle à gauche par $\;{\vec {V}}_{\!A}(t)\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge \left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d{\vec {p}}_{\!M}(t)\right]\;$» reconnaissant dans le 2ème facteur du produit vectoriel le vecteur résultante cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ «$\;{\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$» d'où la réécriture de ce terme selon «$\;{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$» ;
finalement le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, moments évalués relativement à un point $\;A\;$ mobile dans $\;{\mathcal {R}}$, prend la forme «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\,{\overrightarrow {\sigma _{\!A}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)+{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$» d'où l'énoncé $\;{\big$qui n'est pas à retenir mais à retrouver si besoin est${\big )}$.

##### Théorème du moment cinétique vectoriel en G (centre d'inertie du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle) dans le référentiel d'étude

C'est un cas particulier du prolongement du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système continu fermé de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ de masse volumique $\;\mu (M)=$ ${\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)$ dans le cas où le point origine d'évaluation des moments vectoriels est mobile dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen car le C.D.I. $\;G\;$ du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ est mobile $\;{\mathcal {R}}$ $\;{\big$le seul cas où $\;G\;$ y serait fixe est «$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ isolé ou pseudo-isolé sans vitesse initiale »${\big ]}$ :
le prolongement du théorème dans lequel on utilise «$\;{\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\!G}(t)\;$» $\;{\big$voir le paragraphe « résultante cinétique du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle (propriété de la résultante cinétique d'un système continu fermé de matière) » plus haut dans ce chapitre${\big ]}$, conduit donc à «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\,{\overrightarrow {\sigma _{\!G}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)\;{\cancel {+\;{\vec {V}}_{\!G}(t)\wedge \left[m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\!G}(t)\right]}}\;$» d'où l'énoncé :
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;G\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$
$\;{\mathcal {R}}$
$\;G\;$
$\;t$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)\;$
$\;G\;$
$\;t$
$\;{\overrightarrow {\sigma _{\!G}}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$
$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\,{\overrightarrow {\sigma _{\!G}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)\;$
Remarque : Même si le point origine d'évaluation des moments vectoriels est le C.D.I. $\;G\;$ du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)$, le théorème est appliqué dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen $\;{\big$et non dans le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}$, lequel est en général non galiléen${\big ]}$.

### Théorème du moment cinétique scalaire

Voir aussi le paragraphe « théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret de points matériels » du chap.$5$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI » s'adaptant sans difficulté apparente aux systèmes continus fermés de matière d'expansion tridimensionnelle.

#### Énoncé

$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;\Delta \;$
$\;{\mathcal {R}}$
$\;\Delta \;$
$\;t$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;\mu (M)=$
${\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)$
$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;\Delta$
$\;t$
$\;\sigma _{\Delta }({\text{syst}},\,t)\;$
$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\sigma _{\Delta }({\text{syst}})}{dt}}(t)\;$
Démonstration : Considérant le système continu fermé de matière «$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$» étudié dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen et un axe $\;\Delta \;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport auquel on détermine les moments scalaires, l'axe $\;\Delta \;$ étant orienté par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{\Delta }$,
Démonstration : le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, moments évalués relativement à un point $\;O\;$ quelconque, fixe sur $\;\Delta \;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$, s'écrivant «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}({\text{syst}})}{dt}}(t)\;$»,
Démonstration : on multiplie scalairement chaque membre par $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{ext}}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }={\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}({\text{syst}})}{dt}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$» et on reconnaît
* dans « le 1er membre » le moment résultant dynamique scalaire appliqué au système continu fermé de matière évalué par rapport à l'axe $\;\Delta \;$ à l'instant $\;t\;$ «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;$» et
* dans « le 2ème membre » se transformant en «$\;{\dfrac {d\left[{\overrightarrow {\sigma }}_{O}({\text{syst}})\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right]}{dt}}(t)\;$» compte-tenu de la constance de $\;{\vec {u}}_{\Delta }$, la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système continu fermé de matière par rapport au même axe $\;\Delta \;$ au même instant $\;t$, «$\;{\dfrac {d\sigma _{\Delta }({\text{syst}})}{dt}}(t)\;$».
Commentaires : ce théorème peut s'appliquer sous cette forme, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système continu fermé $\;{\big$déformable ou non${\big )}\;$ de matière d'expansion tridimensionnelle mais $\;\ldots$ Commentaires : il n'est pas applicable, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système continu ouvert de matière défini à l'instant $\;t\;$ comme le contenu intérieur à la surface de contrôle $\;(\Sigma )\;$$^,$.

#### Cas d'un solide en rotation autour d'un axe (Δ) fixe dans le référentiel d'étude

Voir aussi le paragraphe « application du théorème du moment cinétique scalaire au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen » du chap.$6$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».

##### Théorème

$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;\mu (M)=$
${\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$
$\;\left(\Delta \right)\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;\left(\Delta \right)\;$
$\;\left(\Delta \right)\;$
$\;t$
$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}\!\left(t\right)\;$
$\;J_{\Delta }({\text{syst}})\;$
$\;\left(\Delta \right)$
$\;{\Bigg \$
$\;J_{\Delta }({\text{syst}})=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}dJ_{\Delta }(M)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}dm\;r^{2}\;$
$\;r\;$
$\;M\;$
$\;\left(\Delta \right){\Bigg \}$
$\;{\overline {\Omega }}(t)\;$
$\;\left(\Delta \right)\;$
$\;t$
$\;{\big$
$\;{\overline {\Omega }}(t)\;$
$\;\theta (t)\;$
$\;{\mathcal {R}}{\big ]}\;$
$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}\!\left(t\right)=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\dfrac {d{\overline {\Omega }}}{dt}}(t)=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\dfrac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}(t)\;$
Commentaire : sous cette forme, ce théorème applicable en dynamique newtonienne à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe fixe, ne l'est pas en dynamique relativiste.

##### Démonstration

Ayant rappelé, dans le paragraphe « moment cinétique scalaire du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle par rapport à un axe Δ (cas particulier d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre, le lien entre le moment cinétique scalaire du système par rapport à l'axe $\;\Delta \;$ de rotation $\;\sigma _{\!\Delta }\!\left({\text{syst}},\,t\right)$, la vitesse angulaire $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ de rotation et le moment d'inertie $\;J_{\Delta }({\text{syst}})\;$ à savoir «$\;\sigma _{\!\Delta }\!\left({\text{syst}},\,t\right)=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\overline {\Omega }}(t)\;$» et appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au système sous sa forme la plus générale «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\sigma _{\Delta }({\text{syst}})}{dt}}(t)\;$», il suffit alors d'expliciter la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire dans le cas où le système est en rotation en tenant compte du fait que le moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation est une constante, soit «$\;{\dfrac {d\sigma _{\Delta }({\text{syst}})}{dt}}(t)={\dfrac {d\left[J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\overline {\Omega }}\right]}{dt}}(t)=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\dfrac {d{\overline {\Omega }}}{dt}}(t)\;$» et par suite «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\dfrac {d{\overline {\Omega }}}{dt}}(t)\;$» R.Q.F.D.

##### Remarque

Sachant $\;{\big$voir le paragraphe « expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d’un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ » plus haut dans ce chapitre${\big ]}\;$ que «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;z\;r\;{\vec {u}}_{r}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$»$^,$$^,$ dans laquelle «$\;\left(r,\,\theta ,\,z\right)\;$» sont les coordonnées cylindro-polaires de pôle $\;A\;$ et d'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }$ $\;{\big$de sens a priori arbitraire sur $\;\left(\Delta \right)\;$ mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci, connu, ne change pas${\big ]}\;$ du centre $\;M\;$ du pseudo-point générique du système $\;{\big$la base cylindro-polaire liée à $\;M\;$ étant notée $\;\left({\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{\Delta }\right){\big ]}\;$, $\;J_{\Delta }({\text{syst}})\;$ le moment d'inertie du système par rapport à l'axe de rotation $\;\left(\Delta \right)\;$, $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ le vecteur rotation instantanée du système à l'instant $\;t\;$ et $\;{\overline {\Omega }}(t)=$ ${\vec {\Omega }}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$ la vitesse angulaire de rotation du système au même instant $\;t$, nous constatons que, dans le cas général, «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\neq J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}}{dt}}({\text{syst}},\,t)\neq J_{\Delta }\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\Omega }}}{dt}}(t)\;$» d'où le théorème du moment cinétique vectoriel d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe $\;\left(\Delta \right)\;$ fixe dans le référentiel d'étude galiléen s'écrit «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)=$ ${\dfrac {d{\vec {\sigma }}_{A}({\text{syst}})}{dt}}(t)\;$» avec «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)\neq J_{\Delta }\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\Omega }}}{dt}}(t)\;$» dans le cas général où l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ n'est pas un axe principal d'inertie du système ;
par contre, dans le cas particulier où l'axe $\;\left(\Delta \right)$, fixe dans le référentiel d'étude galiléen, est un axe principal d'inertie du système continu fermé de matière autour duquel il est en rotation, le théorème du moment cinétique vectoriel du système en rotation autour de $\;\left(\Delta \right)\;$ s'écrit «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d{\vec {\sigma }}_{A}({\text{syst}})}{dt}}(t)=J_{\Delta }\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\Omega }}}{dt}}(t)=J_{\Delta }\;{\dfrac {d{\overline {\Omega }}}{dt}}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }=J_{\Delta }\;{\dfrac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$», $\;A\;$ étant un point quelconque de $\;\left(\Delta \right)$.

##### Conséquence

Si le moment résultant dynamique scalaire du système continu fermé de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en rotation autour de l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen est nul c'est-à-dire si «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)=0\;$», le système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ tourne à vitesse angulaire conservée dans le temps c'est-à-dire «$\;{\overline {\Omega }}(t)=cste,\;\;\forall \;t\;$».

#### Prolongement, solide en rotation autour d'un axe (Δ) de direction fixe dans le référentiel d'étude

Le prolongement du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en rotation autour d'un axe $\;\left(\Delta \right)\;$ de direction fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen $\;{\big$ce qui a pour conséquence que le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ orientant $\;\left(\Delta \right)\;$ est un vecteur constant dans $\;{\mathcal {R}}{\big ]}\;$ n'est pas mémoriser car d'utilisation trop restreinte mais il faut savoir le retrouver si besoin est ;
il se déduit du prolongement du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en un point origine $\;A\;$ mobile dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, $\;A\;$ étant choisi sur $\;\left(\Delta \right)\;$ de façon à ce que $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\\\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}},\,t)={\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\end{array}}\right\rbrace \;$ soit «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\,{\overrightarrow {\sigma _{\!A}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)+{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$» dans laquelle «$\;{\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$ est la résultante cinétique du système » et «$\;{\vec {V}}_{\!A}(t)\;$ le vecteur vitesse du point $\;A\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$» définis tous deux à l'instant $\;t\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }={\dfrac {d\,{\overrightarrow {\sigma _{\!A}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }+\left[{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$» dans laquelle on reconnaît
* dans le 1er membre, le moment résultant dynamique scalaire du système relativement à l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ soit «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;$»,
* dans le 1er terme du 2ème membre, la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système relativement à l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ car «$\;{\dfrac {d\,{\overrightarrow {\sigma _{\!A}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }={\dfrac {d\left[{\overrightarrow {\sigma _{\!A}}}\!\left({\text{syst}}\right)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right]}{dt}}(t)\;$» compte-tenu du fait que $\;{\vec {u}}_{\Delta }={\overrightarrow {\text{cste}}}\;$ soit «$\;{\dfrac {d\sigma _{\!\Delta }\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)\;$» et
* dans le 2ème terme du 2ème membre, un produit mixte «$\;\left[{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$ a priori $\;\neq 0\;$» ou encore, «$\;\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\!A}(t)\right]\cdot {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$ a priori $\;\neq 0\;$» en utilisant l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire,
soit finalement, sans utiliser le caractère rotatif du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)$, «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\sigma _{\!\Delta }\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)+\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\!A}(t)\right]\cdot {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$» ;
pour un système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en rotation, à l'instant $\;t$, à la vitesse angulaire $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen autour de l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ se translatant dans $\;{\mathcal {R}}$ $\;{\big$donc gardant une direction fixe${\big ]}$, le moment cinétique scalaire du système à l'instant $\;t$, dans $\;{\mathcal {R}}$, s'exprimant selon «$\;\sigma _{\!\Delta }\!\left({\text{syst}},\,t\right)=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\overline {\Omega }}(t)\;$» avec $\;J_{\Delta }({\text{syst}})\;$ le moment d'inertie du système par rapport à l'axe de rotation $\;\left(\Delta \right)\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {d\sigma _{\!\Delta }\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)=$ $J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\dfrac {d{\overline {\Omega }}}{dt}}(t)\;$» d'où l'énoncé du prolongement du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en rotation autour de $\;\left(\Delta \right)\;$ de direction fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen.
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;\mu (M)=$
${\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)$
$\;\left(\Delta \right)\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;\left(\Delta \right)\;$
$\;\left(\Delta \right)\;$
$\;t$
$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}\!\left(t\right)\;$
$\;J_{\Delta }({\text{syst}})\;$
$\;\left(\Delta \right)\;$
$\;{\overline {\Omega }}(t)\;$
$\;\left(\Delta \right)\;$
$\;t$
$\;{\big$
$\;{\overline {\Omega }}(t)\;$
$\;\theta (t)\;$
$\;{\mathcal {R}}{\big ]}\;$
$\;\left(\Delta \right)\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}\!\left(t\right)=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\dfrac {d{\overline {\Omega }}}{dt}}(t)+\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\!A}(t)\right]\cdot {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\dfrac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}(t)+\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\!A}(t)\right]\cdot {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$
$\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$
$\;\left(\Delta \right)\;$
$\;A\;$
Commentaires : sous cette forme, ce prolongement de théorème applicable en dynamique newtonienne à un système continu fermé de matière en rotation autour d'un axe de direction fixe, ne l'est pas en dynamique relativiste.
Commentaires : Le terme correctif «$\;\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\!A}(t)\right]\cdot {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$» se réécrivant, en tenant compte de «$\;{\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\!G}(t)\;$» $\;{\big$voir le paragraphe « résultante cinétique du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle (propriété de la résultante cinétique d'un système continu fermé de matière) » plus haut dans ce chapitre${\big ]}$, «$\;m_{\text{syst}}\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\!A}(t)\right]\cdot {\vec {V}}_{\!G}(t)\;$» est nul dans le cas de nullité d'un produit mixte c'est-à-dire dans le cas où
* l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ glisse sur lui-même $\Rightarrow$ $\;{\vec {V}}_{\!A}(t)\;$ du point fixe $\;A\;$ de $\;\left(\Delta \right)\;$ est colinéaire à $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ ou,
* l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ se translate parallèlement au mouvement du C.D.I. $\;G\;$ du système $\Rightarrow$ $\;{\vec {V}}_{\!A}(t)\;$ du point fixe $\;A\;$ de $\;\left(\Delta \right)\;$ est colinéaire à $\;{\vec {V}}_{\!G}(t)\;$ ou encore,
* l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ passe par le C.D.I. $\;G\;$ du système $\;{\big$ce qui est certainement le cas le plus fréquemment rencontré${\big ]}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {V}}_{\!A}(t)\;$ du point fixe $\;A\;$ de $\;\left(\Delta \right)\;$ est colinéaire à $\;{\vec {V}}_{\!G}(t)$ ;
Commentaires : en conclusion le prolongement du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière en rotation autour d'un axe de direction fixe dans le référentiel d'étude galiléen prend la forme simplifiée «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}\!\left(t\right)=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\dfrac {d{\overline {\Omega }}}{dt}}(t)=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\dfrac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}(t)\;$» dans le cas où l'axe de rotation $\;\left(\Delta \right)\;$ glisse sur lui-même ou si la translation de l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ se fait parallèlement à la trajectoire du C.D.I. $\;G\;$ du système $\;{\big$dont un cas particulier est l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ passant par $\;G\;$ c'est-à-dire «$\;\left(\Delta \right)=\left(\Delta _{G}\right)\;$»${\big ]}$.

### Théorème de la puissance cinétique

Voir aussi le paragraphe « énoncé (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen) » du chap.$10$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI » s'adaptant sans difficulté apparente aux systèmes continus fermés de matière d'expansion tridimensionnelle.

#### Énoncé

$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;\mu (M)=$
${\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)$
$\;t$
$\;{\dot {K}}_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t)\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)\;$
$\;{\dot {K}}_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t)={\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)+{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$
Commentaires : ce théorème peut s'appliquer sous cette forme, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système continu fermé $\;{\big$déformable ou non${\big )}\;$ de matière d'expansion tridimensionnelle mais $\;\ldots$ Commentaires : il n'est pas applicable, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système continu ouvert de matière défini à l'instant $\;t\;$ comme le contenu intérieur à la surface de contrôle $\;(\Sigma )\;$$^,$.
Démonstration : Dans le référentiel d'étude galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque pseudo-point $\;M\,\left[dm=\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$ du système continu fermé de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, soit
$\;{\dfrac {dK_{M}}{dt}}(t)={\mathcal {P}}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\!(t)+\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {P}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right]\!(t),\;\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$
Démonstration : Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, on fait la somme continue sur $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ des relations $\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$ définies en chaque centre $\;M\;$ des pseudo-points du système $\Rightarrow$ «$\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {dK_{M}}{dt}}(t)$ $=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace {\mathcal {P}}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right](t)+\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {P}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right](t)\right\rbrace \;$» ou, en permutant l'intégration volumique et la dérivation temporelle «$\;{\dfrac {d\left[\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}dK_{M}\right]}{dt}}(t)$ $=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {P}}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right](t)+\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \;\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {P}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right](t)\right\rbrace \;$», on y reconnaît dans
* le 1er membre la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système «$\;K_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}dK_{M}(t)\;$» à l'instant $\;t\;$ c'est-à-dire à la puissance cinétique du système «$\;{\dot {K}}_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t)\;$» au même instant $\;t$,
* le 1er terme du 2nd membre «$\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {P}}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right](t)\;$» la puissance développée, à l'instant $\;t$, par les forces extérieures appliquées au système «$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)\;$» et
* le 2ème terme du 2nd membre «$\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \;\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {P}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right](t)\right\rbrace \;$» la puissance développée, à l'instant $\;t$, par les forces intérieures appliquées au système «$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)\;$»,
Démonstration : Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle.

#### Cas particulier d'un solide

Voir aussi le paragraphe « théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans le référentiel d'étude galiléen » du chap.$10$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».
Le théorème de la puissance cinétique se simplifie dans le cas particulier d'un système continu fermé de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ de masse volumique $\;\mu (M)=$ ${\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$ indéformable c'est-à-dire d'un solide $\;{\big$au sens de la mécanique${\big )}\;$ car nous avons établi au paragraphe « 3ème conséquence (de l'évaluation de la puissance développée par les forces intérieures appliquées à un solide) » plus haut dans ce chapitre que celle-ci est nulle soit «$\;{\mathcal {P}}_{{\text{int}}\,{\text{syst. indéform.}}}(t)=0,\;\;\forall \;t\;$» d'où l'énoncé du théorème :
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;\mu (M)=$
${\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)$
$\;t$
$\;{\dot {K}}_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t)\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)\;$
$\;{\dot {K}}_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t)={\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$
Commentaire : ce théorème peut s'appliquer sous cette forme, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système continu fermé indéformable de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\ldots$
Réécriture du théorème suivant la nature du mouvement du solide $\;\succ \;$Solide en translation de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})\,{\text{en transl.}}}(t)\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ galiléen : la puissance développée par le système des forces extérieures appliqué au système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en translation s'écrivant «$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)={\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\vec {V}}_{({\mathcal {S}})\,{\text{en transl.}}}(t)\;$» avec «$\;F_{\text{ext}}(t)\;$ la résultante dynamique appliquée à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à l'instant $\;t\;$» et l'énergie cinétique du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en translation «$\;K_{({\mathcal {S}})\,{\text{en transl.}}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})\,{\text{en transl.}}}^{\,2}(t)\;$» avec «$\;m_{\text{syst}}\;$ la masse du système », le théorème de la puissance cinétique appliqué au système continu fermé de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en translation relativement au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ galiléen se réécrit «$\;{\dfrac {d\left[{\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})\,{\text{en transl.}}}^{\,2}\right]}{dt}}(t)={\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\vec {V}}_{({\mathcal {S}})\,{\text{en transl.}}}(t)\;$».
Réécriture du théorème suivant la nature du mouvement du solide $\;\succ \;$Solide en rotation de vitesse angulaire instantanée $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ autour d'un axe $\;\left(\Delta \right)\;$ fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ galiléen : la puissance développée par le système des forces extérieures appliqué au système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en rotation autour d'un axe fixe s'écrivant «$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)={\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;{\overline {\Omega }}(t)\;$» avec «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;$ le moment résultant dynamique scalaire appliquée à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à l'instant $\;t\;$ relativement à $\;\left(\Delta \right)\;$» et l'énergie cinétique du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en rotation autour d'un axe fixe «$\;K_{({\mathcal {S}})\,{\text{en rot.}}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta }({\mathcal {S}})\;{\overline {\Omega }}^{\,2}(t)\;$» avec «$\;J_{\Delta }({\mathcal {S}})\;$ le moment d'inertie du système », le théorème de la puissance cinétique appliqué au système continu fermé de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en rotation autour d'un axe fixe relativement au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ galiléen se réécrit «$\;{\dfrac {d\left[{\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta }({\mathcal {S}})\;{\overline {\Omega }}^{\,2}\right]}{dt}}(t)={\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;{\overline {\Omega }}(t)\;$».
Réécriture du théorème suivant la nature du mouvement du solide $\;\succ \;$Solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ galiléen, mouvement composé d'une translation de vecteur vitesse, à l'instant $\;t$, $\;{\vec {V}}_{G}(t)$, $\;G\;$ étant le C.D.I. du solide, et d'une rotation de vecteur rotation instantanée, au même instant $\;t$, $\;{\vec {\Omega }}_{\,/\,\Delta _{G}}(t)\;$ autour d'un axe $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ passant par $\;G$ : la puissance développée par le système des forces extérieures appliqué au système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en mouvement quelconque s'écrivant «$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)={\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\vec {V}}_{G}(t)+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)\cdot {\vec {\Omega }}_{\,/\,\Delta _{G}}(t)\;$» avec «$\;F_{\text{ext}}(t)\;$ la résultante dynamique appliquée à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à l'instant $\;t\;$» ainsi que «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)\;$ le moment résultant dynamique vectoriel appliquée à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à l'instant $\;t\;$ évalué par rapport à $\;G\;$» et l'énergie cinétique du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en mouvement quelconque s'évaluant par utilisation du 2ème théorème de Kœnig «$\;K_{({\mathcal {S}})}(t)=K_{({\mathcal {S}})}^{\,*}(t)+{\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}^{2}(t)\;$» avec «$\;m_{\text{syst}}\;$ la masse du solide », «$\;K_{({\mathcal {S}})}^{\,*}(t)\;$ l'énergie cinétique barycentrique du solide laquelle est égale à $\;K_{({\mathcal {S}})}^{\,*}(t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{G}}({\mathcal {S}})\;{\vec {\Omega }}_{\,/\,\Delta _{G}}^{\,2}(t)$, $\;J_{\Delta _{G}}({\mathcal {S}})\;$ étant le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$», le théorème de la puissance cinétique appliqué au système continu fermé indéformable de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ galiléen se réécrit
$\;{\dfrac {d\left[{\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}^{2}+{\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{G}}({\mathcal {S}})\;{\vec {\Omega }}_{\,/\,\Delta _{G}}^{\,2}\right]}{dt}}(t)={\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\vec {V}}_{G}(t)+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)\cdot {\vec {\Omega }}_{\,/\,\Delta _{G}}(t)\;$

### Théorème de l'énergie cinétique

La forme « intégrée » associée à la forme « locale » du « théorème de la puissance cinétique » est le « théorème de l'énergie cinétique » $\;{\big$voir le paragraphe « différence entre “ forme locale de la dynamique ” et “ forme intégrée associée à cette forme locale ” » du chap.$15$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI »${\big ]}$.

#### Théorème de l'énergie cinétique sur une durée élémentaire

Pour passer d'une « forme locale de la dynamique écrite à l'instant $\;t\;$» à la « forme intégrée écrite sur l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$ associée à cette forme locale », il suffit de multiplier la forme locale par $\;dt\;$ d'où l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire $\;{\big$après utilisation de $\;{\mathcal {P}}(t)\;dt=\delta W\;$ d'une part et $\;{\dot {K}}(t)\;dt=dK\;$ d'autre part${\big ]}$ :
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;\mu (M)=$
${\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)$
$\;\left[t\,,\,t+dt\right]$
$\;dK_{\left({\mathcal {S}}\right)}\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$
$\;\delta W_{\text{ext}}\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$
$\;\delta W_{\text{int}}\;$
$\;dK_{\left({\mathcal {S}}\right)}=\delta W_{\text{ext}}+\delta W_{\text{int}}\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$
Commentaires : ce théorème peut s'appliquer sous cette forme, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système continu fermé $\;{\big$déformable ou non${\big )}\;$ de matière d'expansion tridimensionnelle mais $\;\ldots$ Commentaires : il n'est pas applicable, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système continu ouvert de matière défini à l'instant $\;t\;$ comme le contenu intérieur à la surface de contrôle $\;(\Sigma )\;$$^,$.
Cas particulier d'un système continu fermé indéformable de matière $\;{\big$c'est-à-dire d'un solide au sens de la mécanique${\big )}$ : de $\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)=0,\;\;\forall \;t\;$ on déduit $\;\delta W_{\text{int}}=0\;$ d'où l'énoncé du théorème :
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;\mu (M)=$
${\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)$
$\;\left[t\,,\,t+dt\right]$
$\;dK_{\left({\mathcal {S}}\right)}\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$
$\;\delta W_{\text{ext}}\;$
$\;dK_{\left({\mathcal {S}}\right)}=\delta W_{\text{ext}}\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$
Cas particulier d'un système continu fermé indéformable de matière : $\;\succ \;$Solide en translation de vecteur déplacement élémentaire «$\;{\overrightarrow {d{\mathit {l}}}}={\vec {V}}_{({\mathcal {S}})\,{\text{en transl.}}}(t)\;dt\;$» dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ galiléen : «$\;d\left[{\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})\,{\text{en transl.}}}^{\,2}(t)\right]$ $={\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\overrightarrow {d{\mathit {l}}}}\;$» avec «$\;m_{\text{syst}}\;$ la masse du solide » et «$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\;$ la résultante dynamique appliquée au solide à l'instant $\;t\;$».
Cas particulier d'un système continu fermé indéformable de matière : $\;\succ \;$Solide en rotation de déplacement angulaire élémentaire «$\;d\theta ={\overline {\Omega }}(t)\;dt\;$» autour de l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ galiléen : «$\;d\left[{\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\overline {\Omega }}^{\,2}\!(t)\right]={\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;d\theta \;$» avec «$\;J_{\Delta }({\text{syst}})\;$ le moment d'inertie du solide par rapport à $\;\left(\Delta \right)\;$» et «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;$ le moment résultant dynamique scalaire par rapport à $\;\left(\Delta \right)\;$ appliqué au solide à l'instant $\;t\;$».
Cas particulier d'un système continu fermé indéformable de matière : $\;\succ \;$Solide en mouvement quelconque composé d'un déplacement élémentaire de son C.D.I. $\;G\;$ «$\;{\overrightarrow {dG}}={\vec {V}}_{G}(t)\;dt\;$» et d'un déplacement angulaire élémentaire «$\;d\theta _{/\,\Delta _{G}}={\overline {\Omega }}(t)\;dt\;$» autour de l'axe $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ passant par $\;G\;$ mobile dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ galiléen : «$\;d\left[{\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}^{2}(t)\right]+d\left[{\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{G}}({\text{syst}})\;{\vec {\Omega }}_{/\,\Delta _{G}}^{\,2}\!(t)\right]=$ ${\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\overrightarrow {dG}}+{\mathcal {M}}_{\!\Delta _{G},\,{\text{ext}}}(t)\;d\theta _{/\,\Delta _{G}}\;$» avec «$\;m_{\text{syst}}\;$ la masse du solide », «$\;J_{\Delta _{G}}({\text{syst}})\;$ le moment d'inertie du solide par rapport à $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$», «$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\;$ la résultante dynamique appliquée au solide à l'instant $\;t\;$» et «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta _{G},\,{\text{ext}}}(t)\;$ le moment résultant dynamique scalaire par rapport à $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ appliqué au solide au même instant $\;t\;$».

#### Théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie

Pour mémoire « le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie » s'obtient en intégrant « le théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire » sur l'intervalle de temps d'application du théorème en utilisant que le travail sur une durée finie est la somme continue de tous les travaux élémentaires c'est-à-dire «$\;W_{\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\delta W(t)\;$» d'où l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle :
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$
$\;\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;\mu (M)=$
${\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)$
$\;\Delta K_{\left({\mathcal {S}}\right)}=K_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t_{f})-K_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t_{0})\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]\;$
$\;W_{{\text{ext sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=$
$\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\delta W_{\text{ext}}(t)\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]\;$
$\;W_{{\text{int sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=$
$\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\delta W_{\text{int}}(t)\;$
$\;\Delta K_{\left({\mathcal {S}}\right)}=W_{{\text{ext sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}+W_{{\text{int sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$
Commentaires : ce théorème peut s'appliquer sous cette forme, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système continu fermé $\;{\big$déformable ou non${\big )}\;$ de matière d'expansion tridimensionnelle mais $\;\ldots$ Commentaires : il n'est pas applicable, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système continu ouvert de matière défini à l'instant $\;t\;$ comme le contenu intérieur à la surface de contrôle $\;(\Sigma )\;$$^,$.
Cas particulier d'un système continu fermé indéformable de matière $\;{\big$c'est-à-dire d'un solide au sens de la mécanique${\big )}$ : de $\;\delta W_{\text{int}}(t)=0,\;\;\forall \;t\;$ on déduit $\;W_{{\text{int sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=0\;$ d'où l'énoncé du théorème :
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$
$\;\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;\mu (M)=$
${\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)$
$\;\Delta K_{\left({\mathcal {S}}\right)}=$
$K_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t_{f})-K_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t_{0})\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]\;$
$\;W_{{\text{ext sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}$
$=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\delta W_{\text{ext}}(t)\;$
$\;\Delta K_{\left({\mathcal {S}}\right)}=W_{{\text{ext sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$
Cas particulier d'un système continu fermé indéformable de matière : $\;\succ \;$Solide en translation de vecteur déplacement élémentaire «$\;{\overrightarrow {d{\mathit {l}}}}={\vec {V}}_{({\mathcal {S}})\,{\text{en transl.}}}(t)\;dt\;$» dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ galiléen : «$\;\Delta \left[{\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})\,{\text{en transl.}}}^{\,2}(t)\right]$ $={\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})\,{\text{en transl.}}}^{\,2}(t_{f})-{\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})\,{\text{en transl.}}}^{\,2}(t_{0})=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\overrightarrow {d{\mathit {l}}}}(t)\;$» avec «$\;m_{\text{syst}}\;$ la masse du solide » et «$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\;$ la résultante dynamique appliquée au solide à l'instant $\;t\;$».
Cas particulier d'un système continu fermé indéformable de matière : $\;\succ \;$Solide en rotation de déplacement angulaire élémentaire «$\;d\theta ={\overline {\Omega }}(t)\;dt\;$» autour de l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ galiléen : «$\;\Delta \left[{\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\overline {\Omega }}^{\,2}\!(t)\right]={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\overline {\Omega }}^{\,2}\!(t_{f})-{\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\overline {\Omega }}^{\,2}\!(t_{0})=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;d\theta \;$» avec «$\;J_{\Delta }({\text{syst}})\;$ le moment d'inertie du solide par rapport à $\;\left(\Delta \right)\;$» et «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;$ le moment résultant dynamique scalaire par rapport à $\;\left(\Delta \right)\;$ appliqué au solide à l'instant $\;t\;$».
Cas particulier d'un système continu fermé indéformable de matière : $\;\succ \;$Solide en mouvement quelconque composé d'un déplacement élémentaire de son C.D.I. $\;G\;$ «$\;{\overrightarrow {dG}}={\vec {V}}_{G}(t)\;dt\;$» et d'un déplacement angulaire élémentaire «$\;d\theta _{/\,\Delta _{G}}={\overline {\Omega }}(t)\;dt\;$» autour de l'axe $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ passant par $\;G\;$ mobile dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ galiléen : «$\;\Delta \left[{\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}^{2}(t)\right]+\Delta \left[{\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{G}}({\text{syst}})\;{\vec {\Omega }}_{/\,\Delta _{G}}^{\,2}\!(t)\right]=$ $\left\lbrace {\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}^{2}(t_{f})+{\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{G}}({\text{syst}})\;{\vec {\Omega }}_{/\,\Delta _{G}}^{\,2}\!(t_{f})\right\rbrace -\left\lbrace {\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}^{2}(t_{0})+{\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{G}}({\text{syst}})\;{\vec {\Omega }}_{/\,\Delta _{G}}^{\,2}\!(t_{0})\right\rbrace =\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\overrightarrow {dG}}+\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}{\mathcal {M}}_{\!\Delta _{G},\,{\text{ext}}}(t)\;d\theta _{/\,\Delta _{G}}\;$» avec «$\;m_{\text{syst}}\;$ la masse du solide », «$\;J_{\Delta _{G}}({\text{syst}})\;$ le moment d'inertie du solide par rapport à $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$», «$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\;$ la résultante dynamique appliquée au solide à l'instant $\;t\;$» et «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta _{G},\,{\text{ext}}}(t)\;$ le moment résultant dynamique scalaire par rapport à $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ appliqué au solide au même instant $\;t\;$».

### Théorème de la variation de l'énergie mécanique

Théorème déduit du « théorème de l'énergie cinétique » dans le cas où « le système de forces résultant de l'action du système $\;\left(\Sigma _{k}\right)\;$ extérieur au système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ étudié » ou $\;{\big$et${\big )}\;$ « celui de forces intérieures correspondant à une interaction $\;_{q}\;$ entre pseudo-points de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$» est $\;{\big$sont${\big )}\;$ conservatif(s) $\;\ldots$

#### Définition de l'énergie mécanique d'un système continu fermé de matière dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives

Dans le cas où le système de forces résultant de l'action du système $\;\left(\Sigma _{k}\right)\;$ extérieur au système continu fermé de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ de masse volumique $\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$ ainsi qu'éventuellement celui de forces intérieures correspondant à une interaction $\;_{q}\;$ entre pseudo-points de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$» sont conservatifs, on définit
* l'énergie potentielle de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ dans le champ du système de forces extérieures conservatif «$\;\left({\mathcal {F}}_{k}\right)\;$» de « densité volumique $\;{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}=$ ${\dfrac {d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}}{d{\mathcal {V}}_{M}}}\;$» résultant de l'action du système $\;\left(\Sigma _{k}\right)\;$ extérieur à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ soit «$\;U_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {F}}_{k}\right)}\!\left[\left({\mathcal {S}}\right)\right]=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}u_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$»$^,$ dans laquelle «$\;u_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;$» est la densité volumique d'énergie potentielle dans le champ du système de forces extérieures conservatif «$\;\left({\mathcal {F}}_{k}\right)\;$» définie en $\;M\;$ selon «$\;du_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}=-{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;{\overrightarrow {\text{grad}}}\!\left[u_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\right]=-{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;$» $\;{\big$en précisant la référence de l'énergie potentielle volumique${\big )}\;$ ainsi que, si nécessaire,
* l'énergie potentielle de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ dans le champ $\;{\big$éventuel${\big )}\;$ du système des forces intérieures conservatif correspondant à une interaction $\;_{q}\;$ entre pseudo-points de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ «$\;\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)\;$ de densité bivolumique $\;{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}={\dfrac {d^{2}{\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}}{d{\mathcal {V}}_{M}\;d{\mathcal {V}}_{M'}}}\;$ en $\;M\;$ en interaction $\;_{q}\;$ avec $\;M'\;$» soit, avec «$\;u_{{\text{bivolum}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right),\,M\,\leftarrow \,M'}\!\left(r_{M',\,M}\right)\;$» la densité bivolumique d'énergie potentielle dans le champ du système de forces intérieures conservatif d'interaction $\;_{q}\;$ entre pseudo-points de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ «$\;\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)\;$» définie en $\;M\;$ en interaction avec $\;M'\;$ selon «$\;du_{{\text{bivolum}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right),\,M\,\leftarrow \,M'}$ $={\overline {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\;dr_{M',\,M}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;{\overrightarrow {\text{grad}}}\!\left[u_{{\text{bivolum}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right),\,M\,\leftarrow \,M'}\right]\!\left(r_{M',\,M}\right)=-{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\!\left(r_{M',\,M}\right)\;$» $\;{\bigr_{M',\,M}=M'M\;$ étant la coordonnée radiale de $\;M\;$ dans le repère associé à $\;{\mathcal {R}}_{M'}$, $\;{\overline {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\;$ la composante radiale de $\;{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\;$ dans le même repère associé à $\;{\mathcal {R}}_{M'}$, $\;{\mathcal {R}}_{M'}\;$ étant le référentiel lié à $\;M'\;$ en translation relativement au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}{\big )}$, «$\;U_{{\text{int}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)}\!\left[\left({\mathcal {S}}\right)\right]={\dfrac {1}{2}}\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}u_{{\text{bivolum}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right),\,M\,\leftarrow \,M'}(r_{M',\,M})\;d{\mathcal {V}}_{M'}\right]d{\mathcal {V}}_{M}\;$»$^,$ $\;{\big$en précisant la référence de l'énergie potentielle bivolumique${\big )}$ puis
* dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, l'énergie mécanique de $\;\left({\mathcal {S}}\right)$, à l'instant $\;t$, «$\;E_{m,\,\left({\mathcal {S}}\right)}(t)\;$» dans les champs de forces extérieures et intérieures conservatives selon «$\;E_{m,\,\left({\mathcal {S}}\right)}(t)=K_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t)+U_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {F}}_{k}\right)}\!\left[\left({\mathcal {S}}\right),\,t\right]+U_{{\text{int}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)}\!\left[\left({\mathcal {S}}\right),\,t\right]\;$» avec «$\;K_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t)\;$» l'énergie cinétique de $\;\left({\mathcal {S}}\right)$, à l'instant $\;t$, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$.

#### Théorème de la variation de l'énergie mécanique sur une durée élémentaire

Pour établir, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous forme élémentaire appliqué, à l'instant $\;t$, à un système continu fermé de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ de masse volumique $\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)$, Pour établir, on écrit, dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$, le théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire appliqué, à l'instant $\;t$, au système $\;\left({\mathcal {S}}\right)$, en distinguant parmi les forces extérieures ainsi que celles intérieures les forces conservatives dont on veut utiliser le caractère conservatif de celles qui ne le sont pas $\;{\big$ou qui le sont mais dont on ne souhaite pas utiliser l'aspect conservatif${\big )}\;$ soit
$\;dK_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t)=\delta W_{{\text{ext}},\,{\text{forces conserv.}}}+\delta W_{{\text{ext}},\,{\text{forces non conserv.}}}+\delta W_{{\text{int}},\,{\text{forces conserv.}}}+\delta W_{{\text{int}},\,{\text{forces non conserv.}}}\;$
Pour établir, on utilise la définition de l'énergie potentielle de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ dans le champ de forces extérieures conservatif ainsi que celle dans le champ de forces intérieures conservatif soit
$\;\delta W_{{\text{ext}},\,{\text{forces conserv.}}}=-dU_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {F}}_{\text{conserv.}}\right)}\!\left[\left({\mathcal {S}}\right),\,t\right]\;$
$\;\delta W_{{\text{int}},\,{\text{forces conserv.}}}=-dU_{{\text{int}},\,\left({\mathcal {F}}_{\text{conserv.}}\right)}\!\left[\left({\mathcal {S}}\right),\,t\right]\;$
$\Downarrow$
$\;dK_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t)=-dU_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {F}}_{\text{conserv.}}\right)}\!\left[\left({\mathcal {S}}\right),\,t\right]+\delta W_{{\text{ext}},\,{\text{forces non conserv.}}}-dU_{{\text{int}},\,\left({\mathcal {F}}_{\text{conserv.}}\right)}\!\left[\left({\mathcal {S}}\right),\,t\right]+\delta W_{{\text{int}},\,{\text{forces non conserv.}}}\;$
Pour établir, en ne laissant que les travaux élémentaires des forces non conservatives dans le membre de droite et en utilisant la définition, à l'instant $\;t$, dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$, de l'énergie mécanique du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ dans les champs de forces extérieures et intérieures conservatifs «$\;E_{m,\,\left({\mathcal {S}}\right)}(t)=K_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t)+U_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {F}}_{k}\right)}\!\left[\left({\mathcal {S}}\right),\,t\right]+U_{{\text{int}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)}\!\left[\left({\mathcal {S}}\right),\,t\right]\;$» soit
$\;dE_{m,\,\left({\mathcal {S}}\right)}=\delta W_{{\text{ext}},\,{\text{forces non conserv.}}}+\delta W_{{\text{int}},\,{\text{forces non conserv.}}}\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$
$\;E_{m,\,\left({\mathcal {S}}\right)}\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$
$\;\left[t\,,\,t+dt\right]$
$\;dE_{m,\,\left({\mathcal {S}}\right)}\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$
$\;\delta W_{{\text{ext}},\,{\text{forces non conserv.}}}\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$
$\;\delta W_{{\text{int}},\,{\text{forces non conserv.}}}\;$
$\;dE_{m,\,\left({\mathcal {S}}\right)}=\delta W_{{\text{ext}},\,{\text{forces non conserv.}}}+\delta W_{{\text{int}},\,{\text{forces non conserv.}}}\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$
$\;E_{m,\,\left({\mathcal {S}}\right)}(t)=K_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t)+U_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {F}}_{k}\right)}\!\left[\left({\mathcal {S}}\right),\,t\right]+U_{{\text{int}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)}\!\left[\left({\mathcal {S}}\right),\,t\right]\;$
$\;K_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t)\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)$
$\;t$
$\;{\mathcal {R}}$
$\;U_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {F}}_{k}\right)}\!\left[\left({\mathcal {S}}\right)\right]\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)$
$\;t$
$\;\left({\mathcal {F}}_{k}\right)\;$
$\;U_{{\text{int}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)}\!\left[\left({\mathcal {S}}\right)\right]\;$
$\;t$
$\;_{q}\;$
$\;\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)\;$
Commentaires : ce théorème peut s'appliquer sous cette forme, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système continu fermé $\;{\big$déformable ou non${\big )}\;$ de matière d'expansion tridimensionnelle mais $\;\ldots$ Commentaires : il n'est pas applicable, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système continu ouvert de matière défini à l'instant $\;t\;$ comme le contenu intérieur à la surface de contrôle $\;(\Sigma )\;$$^,$.
Cas particulier d'un système continu fermé indéformable de matière d'expansion tridimensionnelle $\;{\big$c'est-à-dire d'un solide au sens de la mécanique${\big )}$ : utilisant $\;\delta W_{\text{int}}=0\;$ on en déduit l'énoncé du théorème appliqué à un système continu fermé indéformable de matière d'expansion tridimensionnelle dans le champ de forces extérieures conservatif :
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$
$\;E_{m,\,\left({\mathcal {S}}\right)}\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$
$\;\left[t\,,\,t+dt\right]$
$\;dE_{m,\,\left({\mathcal {S}}\right)}\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$
$\;\delta W_{{\text{ext}},\,{\text{forces non conserv.}}}\;$
$\;dE_{m,\,\left({\mathcal {S}}\right)}=\delta W_{{\text{ext}},\,{\text{forces non conserv.}}}\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$
$\;E_{m,\,\left({\mathcal {S}}\right)}(t)=K_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t)+U_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {F}}_{k}\right)}\!\left[\left({\mathcal {S}}\right),\,t\right]\;$
$\;K_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t)\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)$
$\;t$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;U_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {F}}_{k}\right)}\!\left[\left({\mathcal {S}}\right)\right]\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)$
$\;t$
$\;\left({\mathcal {F}}_{k}\right)\;$

#### Théorème de la puissance mécanique, forme locale associée à la forme intégrée du « théorème de la variation de l'énergie mécanique sous forme élémentaire ou sur une durée finie »

Pour passer d'une « forme intégrée de la dynamique écrite sur l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$» à la « forme locale écrite à l'instant $\;t\;$ associée à cette forme intégrée », il suffit de diviser la forme élémentaire de la forme intégrée par $\;dt\;$ d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique $\;{\bigg$après utilisation de $\;{\mathcal {P}}(t)={\dfrac {\delta W}{dt}}\;$ d'une part et $\;{\dot {E_{m}}}(t)={\dfrac {dE_{m}}{dt}}\;$ d'autre part${\bigg ]}$ :
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$
$\;{\dot {E}}_{m,\,\left({\mathcal {S}}\right)}(t)\;$
$\;t$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {P}}_{{\text{ext}},\,{\text{forces non conserv.}}}(t)\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {P}}_{{\text{int}},\,{\text{forces non conserv.}}}(t)\;$
$\;{\dot {E}}_{m,\,\left({\mathcal {S}}\right)}(t)={\mathcal {P}}_{{\text{ext}},\,{\text{forces non conserv.}}}(t)+{\mathcal {P}}_{{\text{int}},\,{\text{forces non conserv.}}}(t)\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$
$\;E_{m,\,\left({\mathcal {S}}\right)}(t)=K_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t)+U_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {F}}_{k}\right)}\!\left[\left({\mathcal {S}}\right),\,t\right]+U_{{\text{int}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)}\!\left[\left({\mathcal {S}}\right),\,t\right]\;$
$\;K_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t)\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)$
$\;t$
$\;{\mathcal {R}}$
$\;U_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {F}}_{k}\right)}\!\left[\left({\mathcal {S}}\right)\right]\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)$
$\;t$
$\;\left({\mathcal {F}}_{k}\right)\;$
$\;U_{{\text{int}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)}\!\left[\left({\mathcal {S}}\right)\right]\;$
$\;t$
$\;_{q}\;$
$\;\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)\;$
Commentaires : ce théorème peut s'appliquer sous cette forme, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système continu fermé $\;{\big$déformable ou non${\big )}\;$ de matière d'expansion tridimensionnelle mais $\;\ldots$ Commentaires : il n'est pas applicable, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système continu ouvert de matière défini à l'instant $\;t\;$ comme le contenu intérieur à la surface de contrôle $\;(\Sigma )\;$$^,$.
Cas particulier d'un système continu fermé indéformable de matière d'expansion tridimensionnelle $\;{\big$c'est-à-dire d'un solide au sens de la mécanique${\big )}$ : utilisant $\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}=0\;$ on en déduit l'énoncé du théorème appliqué à un système continu fermé indéformable de matière d'expansion tridimensionnelle dans le champ de forces extérieures conservatif :
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$
$\;t$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$
$\;{\dot {E}}_{m,\,\left({\mathcal {S}}\right)}(t)\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;{\mathcal {P}}_{{\text{ext}},\,{\text{forces non conserv.}}}(t)\;$
$\;t\;$
$\;{\dot {E}}_{m,\,\left({\mathcal {S}}\right)}(t)={\mathcal {P}}_{{\text{ext}},\,{\text{forces non conserv.}}}(t)\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$
$\;E_{m,\,\left({\mathcal {S}}\right)}(t)=K_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t)+U_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {F}}_{k}\right)}\!\left[\left({\mathcal {S}}\right),\,t\right]\;$
$\;K_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t)\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)$
$\;t$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;U_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {F}}_{k}\right)}\!\left[\left({\mathcal {S}}\right)\right]\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)$
$\;t$
$\;\left({\mathcal {F}}_{k}\right)\;$

#### Théorème de la variation de l'énergie mécanique sur une durée finie

Pour mémoire « le théorème de la variation de l'énergie mécanique sur une durée finie » s'obtient en intégrant « le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous forme élémentaire » sur l'intervalle de temps d'application du théorème en utilisant que le travail sur une durée finie est la somme continue de tous les travaux élémentaires c'est-à-dire «$\;W_{\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\delta W(t)\;$» d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique sur une durée finie appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle :
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$
$\;\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]$
$\;E_{m,\,\left({\mathcal {S}}\right)}\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$
$\;\Delta E_{m,\,\left({\mathcal {S}}\right)}=E_{m,\,\left({\mathcal {S}}\right)}(t_{f})-E_{m,\,\left({\mathcal {S}}\right)}(t_{0})\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]\;$
$\;W_{{\text{ext sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right],\,{\text{forces non conserv.}}}\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]\;$
$\;W_{{\text{int sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right],\,{\text{forces non conserv.}}}\;$
$\;\Delta E_{m,\,\left({\mathcal {S}}\right)}=W_{{\text{ext sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right],\,{\text{forces non conserv.}}}+W_{{\text{int sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right],\,{\text{forces non conserv.}}}\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$
$\;E_{m,\,\left({\mathcal {S}}\right)}(t)=K_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t)+U_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {F}}_{k}\right)}\!\left[\left({\mathcal {S}}\right),\,t\right]+U_{{\text{int}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)}\!\left[\left({\mathcal {S}}\right),\,t\right]\;$
$\;K_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t)\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)$
$\;t$
$\;{\mathcal {R}}$
$\;U_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {F}}_{k}\right)}\!\left[\left({\mathcal {S}}\right)\right]\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)$
$\;t$
$\;\left({\mathcal {F}}_{k}\right)\;$
$\;U_{{\text{int}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)}\!\left[\left({\mathcal {S}}\right)\right]\;$
$\;t$
$\;_{q}\;$
$\;\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)\;$
Commentaires : ce théorème peut s'appliquer sous cette forme, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système continu fermé $\;{\big$déformable ou non${\big )}\;$ de matière d'expansion tridimensionnelle mais $\;\ldots$ Commentaires : il n'est pas applicable, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système continu ouvert de matière défini à l'instant $\;t\;$ comme le contenu intérieur à la surface de contrôle $\;(\Sigma )\;$$^,$.
Cas particulier d'un système continu fermé indéformable de matière d'expansion tridimensionnelle : de $\;\delta W_{{\text{int}},\,{\text{forces non conserv.}}}(t)=0,\;\;\forall \;t\;$ on déduit $\;W_{{\text{int sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right],\,{\text{forces non conserv.}}}=0\;$ d'où l'énoncé du théorème :
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$
$\;\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$
$\;\Delta E_{m,\,\left({\mathcal {S}}\right)}=E_{m,\,\left({\mathcal {S}}\right)}(t_{f})-E_{m,\,\left({\mathcal {S}}\right)}(t_{0})\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]\;$
$\;W_{{\text{ext sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right],\,,\,{\text{forces non conserv.}}}$
$=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\delta W_{{\text{ext}},\,{\text{forces non conserv.}}}(t)\;$
$\;\Delta E_{m,\,\left({\mathcal {S}}\right)}=W_{{\text{ext sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right],\,,\,{\text{forces non conserv.}}}\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$
$\;E_{m,\,\left({\mathcal {S}}\right)}(t)=K_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t)+U_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {F}}_{k}\right)}\!\left[\left({\mathcal {S}}\right),\,t\right]\;$
$\;K_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t)\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)$
$\;t$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;U_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {F}}_{k}\right)}\!\left[\left({\mathcal {S}}\right)\right]\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)$
$\;t$
$\;\left({\mathcal {F}}_{k}\right)\;$
Cas particulier d'un système continu fermé (déformable ou non) de matière d'expansion tridimensionnelle conservatif : Un système continu fermé de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ de masse volumique $\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$ étant dit « conservatif » ssi « toutes les forces extérieures et intérieures sont conservatives ou, dans le cas de présence de forces extérieures et intérieures non conservatives, celles-ci ne travaillent pas » on en déduit aisément, par application du théorème de la variation de l'énergie mécanique sur une durée finie au système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ étudié, la conservation de l'énergie mécanique du système continu fermé de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ conservatif soit «$\;E_{m,\,\left({\mathcal {S}}\right)}(t)=cste,\;\;\forall \;t\;$» avec «$\;E_{m,\,\left({\mathcal {S}}\right)}(t)=K_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t)+U_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {F}}_{k}\right)}\!\left[\left({\mathcal {S}}\right),\,t\right]+U_{{\text{int}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)}\!\left[\left({\mathcal {S}}\right),\,t\right]\;$», $\;{\Big \$«$\;K_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t)\;$» étant l'énergie cinétique de $\;\left({\mathcal {S}}\right)$, à l'instant $\;t$, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, «$\;U_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {F}}_{k}\right)}\!\left[\left({\mathcal {S}}\right)\right]\;$» l'énergie potentielle de $\;\left({\mathcal {S}}\right)$, à l'instant $\;t$, associée au champ de forces extérieures $\;\left({\mathcal {F}}_{k}\right)\;$ conservatif $\;{\big$les autres forces extérieures éventuelles ne travaillant pas${\big )}\;$ et «$\;U_{{\text{int}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)}\!\left[\left({\mathcal {S}}\right)\right]\;$» celle associée, à l'instant $\;t$, au champ de forces intérieures d'interaction $\;_{q}\;$ $\;\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)\;$ conservatif $\;{\big$les autres forces intérieures éventuelles ne travaillant pas${\big )}{\Big \}$.

## Théorèmes de la dynamique newtonienne des systèmes continus de matière d'expansion tridimensionnelle applicables sans modification dans le référentiel barycentrique (a priori non galiléen) du système
### Introduction

Dans le cas général d'un système continu fermé de matière «$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$» d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)$, ce dernier n'étant ni isolé, ni pseudo-isolé, son C.D.I. $\;G\;$ n'est pas en mouvement rectiligne uniforme relativement au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen et par suite le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ du système n'est pas galiléen ;
on en déduit qu'a priori les théorèmes de la dynamique newtonienne des systèmes continus fermés de matière d'expansion tridimensionnelle ne s'appliquent pas dans le référentiel barycentrique du système,
le fait que le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ soit en translation de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ galiléen nécessite, a priori, l'ajout, aux systèmes de forces extérieures et intérieures appliqués au système, d'une pseudo-force d'inertie d'entraînement élémentaire appliquée sur chaque pseudo-point $\;M\,\left[dm=\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$ de l'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ du système «$\;d{\vec {f}}_{{\text{in. e}},\,M}(t)$ $=-\mu (M)\;{\vec {a}}_{G}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» pour pouvoir appliquer les théorèmes de la dynamique newtonienne au système dans le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ dans la mesure où ce dernier est non galiléen, toutefois $\;\ldots$
Il existe un théorème applicable sans modification dans le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ d'un système continu fermé de matière ni isolé, ni pseudo-isolé, d'expansion tridimensionnelle c'est le théorème du moment cinétique vectoriel avec, pour origine d'évaluation des moments vectoriels, le C.D.I. $\;G\;$ du système, voir ci-après.

### Théorème du moment cinétique barycentrique vectoriel
#### Énoncé et démonstration

$\;{\mathcal {R}}^{*}\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;G\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)$
$\;G\;$
$\;t$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)\;$
$\;t$
$\;{\overrightarrow {\sigma ^{*}}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$
$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\,{\overrightarrow {\sigma ^{*}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
Démonstration : Le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ étant galiléen, on peut appliquer au système continu fermé de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ de masse volumique $\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$ le prolongement du théorème du moment cinétique vectoriel avec pour point origine d'évaluation des moments vectoriels le C.D.I. $\;G\;$ du système soit
$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\,{\overrightarrow {\sigma _{\!G}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t),\;\;\left({\mathfrak {c}}\right)\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
Démonstration : «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)\;$» le vecteur moment résultant dynamique par rapport à $\;G\;$ appliqué, à l'instant $\;t$, au système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ et Démonstration : «$\;{\overrightarrow {\sigma _{\!G}}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$» le vecteur moment cinétique de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ par rapport à $\;G\;$ au même instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ puis, Démonstration : on applique le 1er théorème de Kœnig au système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ pour lier le vecteur moment cinétique barycentrique du système au vecteur moment cinétique de ce dernier dans le référentiel d'étude «$\;{\vec {\sigma }}_{O}\!({\text{syst}},\,t)={\vec {\sigma }}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {OG}}(t)\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t),\;\;\forall \;O$» soit, en prenant $\;O\;$ en $\;G$, «$\;{\vec {\sigma }}_{G}\!({\text{syst}},\,t)={\vec {\sigma }}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)\;$» dont on déduit Démonstration : «$\;\left[{\dfrac {d\,{\overrightarrow {\sigma _{\!G}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}\right]_{/\,{\mathcal {R}}}\!(t)=\left[{\dfrac {d\,{\overrightarrow {\sigma ^{*}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}\right]_{/\,{\mathcal {R}}^{*}}\!(t)\;$» $\;{\big$la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle étant indépendante du référentiel dans lequel la dérivation est faite pourvu que les deux référentiels soient en translation l'un par rapport à l'autre${\big ]}\;$ d'où, par report dans la relation $\;\left({\mathfrak {c}}\right)$, «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)=\left[{\dfrac {d\,{\overrightarrow {\sigma ^{*}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}\right]_{/\,{\mathcal {R}}^{*}}\!(t)\;$» ou simplement «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\,{\overrightarrow {\sigma ^{*}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)\;$» R.Q.F.D. dans la mesure où les seuls référentiels utilisés sont en translation l'un par rapport à l'autre.

#### Cas particuliers

$\;\succ \;$Il y a conservation du moment cinétique barycentrique vectoriel d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle à savoir «$\;{\overrightarrow {\sigma ^{*}}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)={\overrightarrow {\text{cste}}},\;\;\forall \;t\;$» si le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système par rapport à $\;G$, C.D.I. du système, est nul à tout instant $\;t\;$ c'est-à-dire si «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{G,\,{\text{ext}}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$», cette propriété résultant de l'application du théorème du moment cinétique barycentrique vectoriel au système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ a priori non galiléen, le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ étant, quant à lui, galiléen soit «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{G,\,{\text{ext}}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)={\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma ^{*}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)\;$» dans lequel la nullité du 1er membre conduit à celle du 2ème membre c'est-à-dire à «$\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma ^{*}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)$ $={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» d'où, après intégration par rapport au temps, «$\;{\overrightarrow {\sigma ^{*}}}\left({\text{syst}},\,t\right)={\overrightarrow {\text{cste}}},\;\;\forall \;t$».
$\;\succ \;$Si le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle est en rotation autour de $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ de direction fixe orientée par $\;{\vec {u}}_{\Delta _{G}}\;$ et passant par $\;G$, on peut déduire du théorème du moment cinétique barycentrique vectoriel appliqué au système étudié dans le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ a priori non galiléen, le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ étant, quant à lui, galiléen, le théorème du moment cinétique barycentrique scalaire relativement à l'axe $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ de direction fixe appliqué dans le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ a priori non galiléen, en multipliant scalairement les deux membres du théorème du moment cinétique barycentrique vectoriel par $\;{\vec {u}}_{\Delta _{G}}\;$ soit «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{G,\,{\text{ext}}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\cdot {\vec {u}}_{\Delta _{G}}={\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma ^{*}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta _{G}}={\dfrac {d\!\left[{\overrightarrow {\sigma ^{*}}}\!\left({\text{syst}}\right)\cdot {\vec {u}}_{\Delta _{G}}\right]}{dt}}(t)\;$», $\;{\vec {u}}_{\Delta _{G}}\;$ étant un vecteur constant, soit finalement, par définition du moment scalaire de forces et du moment cinétique scalaire,
$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{G},\,{\text{ext}}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)={\dfrac {d\sigma _{\Delta _{G}}^{\,*}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)\;$
$\;\left(\Delta _{G}\right)\;$
$\;{\mathcal {R}}^{*}\;$
$\;{\mathcal {R}}^{*}\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
le système étant en rotation autour de $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ de direction fixe, on peut écrire «$\;\sigma _{\Delta _{G}}^{\,*}\!\left({\text{syst}},\,t\right)=J_{\Delta _{G}}\!\left({\text{syst}}\right)\;{\overline {\Omega }}(t)\;$» avec «$\;J_{\Delta _{G}}\!\left({\text{syst}}\right)\;$ le moment d'inertie du système » et «$\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ la vitesse angulaire instantanée de ce dernier autour de l'axe $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ à l'instant $\;t\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{G},\,{\text{ext}}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)=J_{\Delta _{G}}\!\left({\text{syst}}\right)\;{\dfrac {d{\overline {\Omega }}}{dt}}(t)\;$» $\;{\bigJ_{\Delta _{G}}\!\left({\text{syst}}\right)\;$ étant une constante${\big ]}\;$ soit la réécriture du théorème du moment cinétique barycentrique scalaire pour un système continu fermé de matière en rotation autour d'un axe $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ fixe dans le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ du système,
$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{G},\,{\text{ext}}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)=J_{\Delta _{G}}\!\left({\text{syst}}\right)\;{\dfrac {d{\overline {\Omega }}}{dt}}(t)\;$
$\;\left(\Delta _{G}\right)\;$
$\;{\mathcal {R}}^{*}\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
si le vecteur moment résultant dynamique du système en rotation par rapport $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ fixe dans le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ du système, avec le C.D.I. de ce dernier comme origine d'évaluation du moment vectoriel, est nul c'est-à-dire «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{G,\,{\text{ext}}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{G},\,{\text{ext}}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)=0,\;\;\forall \;t\;$», on déduit de l'application du théorème du moment cinétique barycentrique scalaire au système en rotation autour de $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}^{*}$,
$\;{\overline {\Omega }}(t)\;$
$\;\left(\Delta _{G}\right)\;$
$\;{\mathcal {R}}^{*}\;$
$\;{\overline {\Omega }}(t)={\text{cste}},\;\;\forall \;t\;$
$\;\left(\Delta _{G}\right)\;$
$\;{\mathcal {R}}^{*}\;$