# Approfondissement sur les suites numériques/Définitions avancées

L'objectif de cette leçon est de présenter les suites numériques et leurs premières propriétés. En particulier, la première propriété à laquelle on va s'intéresser est la variation des suites (croissance, décroissance), intuitivement il s'agit de savoir si la suite augmente ou non.
Dans un second temps, on va poser les définitions de suite bornée, minorée et majorée, ce qui correspond à savoir si la suite va dépasser un certain seuil donné. Ces notions sont fondamentales pour poursuivre l'étude des suites numériques comme nous le verrons dans la leçon suivante sur la convergence des suites.

## Définition d’une suite numérique

Une suite numérique est une application de $\mathbb {N}$ dans $\mathbb {R}$.
On la note :
    ${\begin{matrix}u&:&\mathbb {N} &\to &\mathbb {R} &&\\&&n&\mapsto &u(n)&=&u_{n}\end{matrix}}$
ou encore $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ou simplement $(u_{n})$, et l'on dit que $(u_{n})$ est la suite numérique de terme général $u_{n}$.
Généralement, une suite $(u_{n})$ peut être définie :
* Explicitement
    Ex. : $u_{n}={\frac {3n}{n+1}}$
* Par récurrence
    Ex. : $u_{0}=1$ et $u_{n+1}={\sqrt {u_{n}}}+2$.
* Implicitement
    Ex. : $\alpha _{n}$ est l'unique solution sur $\left]0,+\infty \right[$ de $x^{n}\ln x=2$.
On peut aussi la citer extensivement sous la forme :
    $(u_{0},u_{1},u_{2},\cdots ,u_{n},\cdots )$.
Le premier exemple classique de suite est donné par les suites arithmétiques, qui sont définies explicitement par $u_{n}=u_{0}+nr$, où $u_{0}$ est le premier terme de la suite et $r$ est la raison. On les définit également par récurrence par $u_{n+1}=u_{n}+r$.
Le deuxième exemple est donné par les suites géométriques, qui sont définies explicitement par $u_{n}=q^{n}u_{0}$, où $u_{0}$ est le premier terme de la suite et $q$ est la raison. On les définit également par récurrence par $u_{n+1}=qu_{n}$.
Un dernier exemple à connaître est donné par la suite $u_{n}=n\times (n-1)\times \dots \times 2\times 1$ qui est la factorielle du nombre $n$, et que l'on note $n!$ (ce qui se lit « factorielle $n$ » ou « $n$ factorielle »).
On note ${\mathcal {F}}(\mathbb {N} ,\mathbb {R} )$, ou encore $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$, l'ensemble des suites numériques. On peut alors définir des opérations algébriques sur cet ensemble de manière naturelle, par exemple la somme de deux suites revient à additionner chaque terme de la suite.
Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites numériques et $\lambda \in \mathbb {R}$. On définit les opérations suivantes :
* $(u_{n})+(v_{n})=(u_{n}+v_{n})$ ;
* $\lambda (u_{n})=(\lambda u_{n})$ ;
* $(u_{n})(v_{n})=(u_{n}v_{n})$.

### Remarque

    Les suites forment un anneau non intègre, c'est-à-dire que l'on peut trouver deux suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ non nulles dont le produit $(u_{n}).(v_{n})$ est nul (par exemple, les suites définies par $u_{n}=(-1)^{n}-1$ et $v_{n}=(-1)^{n}+1$).

## Variations d’une suite

Dans cette partie, on donne les premières définitions permettant d'étudier les variations d'une suite, ainsi que différentes méthodes d'étude.

### Définitions

Une suite numérique est dite monotone si elle est monotone (croissante ou décroissante) en tant que fonction (de $\mathbb {N}$ dans $\mathbb {R}$). Plus précisément :
Une suite numérique $(u_{n})$ est dite
* croissante (resp. décroissante) à partir du rang $N$ si
       $\forall n\geq N\quad u_{n+1}\geq u_{n}$ (resp. $\forall n\geq N\quad u_{n+1}\leq u_{n}$)
    ou, ce qui est équivalent, si
       $\forall n>m\geq N\quad u_{n}\geq u_{m}$ (resp. $\forall n>m\geq N\quad u_{n}\leq u_{m}$) ;
* croissante (resp. décroissante) si elle l'est à partir du rang $0$ ;
* monotone si elle est croissante ou décroissante
La suite $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}$ définie par $u_{n}={\frac {(-1)^{n}}{n}}$ n'est ni croissante ni décroissante à partir d'aucun rang car $u_{2k+1}<u_{2k}$ et $u_{2k+2}>u_{2k+1}$.
Un cas particulier de variation est donné par les suites constantes :
On dit qu'une suite $(u_{n})$ est :
* constante si : $\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n}=u_{0}$ ;
* stationnaire si elle est « constante à partir d'un certain rang », c'est-à-dire si :
    $\exists N\in \mathbb {N} \quad \forall n\geq N\quad u_{n}=u_{N}$.

#### Remarque

    On peut aussi définir une suite constante comme une suite à la fois croissante et décroissante.

### Méthode

Pour savoir si une suite est monotone, il est souvent efficace d'étudier :
* le signe de $u_{n+1}-u_{n}$ ;
* si $(u_{n})$ est de signe constant, le signe de ${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}-1$
* Si $u_{n}<0$ et ${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}-1\geq 0$, on a $u_{n+1}\leq u_{n}$ et la suite est donc décroissante ;
* si la suite est de la forme $u_{n}=f(n)$, la monotonie de $f$, par exemple à partir du signe de sa dérivée.
* Toute suite $(u_{n})$ vérifiant $u_{n+1}=u_{n}-n^{3}$ est décroissante car $u_{n+1}-u_{n}=-n^{3}\leq 0$.
* La suite $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}$ définie par $u_{n}=\ln n$ est croissante car la fonction logarithme est croissante sur $\mathbb {R} _{+}^{*}$.
* La suite $(u_{n})$ définie par $u_{n}={\frac {\exp n}{n!}}$ est décroissante à partir du rang 2 car $u_{n}>0$ et ${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}={\frac {\exp 1}{n+1}}<1$ pour $n\geq 2$.

## Suite bornée

Une suite numérique est dite bornée si elle est bornée en tant que fonction (de $\mathbb {N}$ dans $\mathbb {R}$). Plus précisément :
Une suite numérique $(u_{n})$ est dite :
* majorée s'il existe au moins un réel supérieur à tous les termes de la suite, autrement dit si :
    $\exists A\in \mathbb {R} \quad \forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n}\leq A$ ;
* minorée s'il existe au moins un réel inférieur à tous les termes de la suite, autrement dit si :
    $\exists A\in \mathbb {R} \quad \forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n}\geq A$ ;
* bornée si elle est majorée et minorée, c'est-à-dire si :
    $\exists A\in \mathbb {R} \quad \forall n\in \mathbb {N} \quad \left|u_{n}\right|\leq A$.
* Toute suite croissante est minorée par son premier terme.
* La suite $(n)$ n'est pas majorée.
* La suite $\left(\cos n\right)$ est bornée (son plus petit majorant est 1 et son plus grand minorant est –1) mais n'atteint pas ses bornes.
* La suite $\left((-1)^{n}n\right)$ n'est ni majorée, ni minorée.
Toute suite majorée (resp. minorée, resp. bornée) à partir d'un certain rang est majorée (resp. minorée, resp. bornée).
En effet, si $\forall n\geq N\quad u_{n}\leq A$ alors, en posant $B=\max \left(A,u_{0},u_{1},\dots ,u_{N-1}\right)$, on a : $\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n}\leq B$.
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