# Théorie des groupes/Transfert, théorème du complément normal de Burnside
## Transfert

Soient G un groupe, Q un sous-groupe de G et T une transversale gauche de Q dans G. Pour tout élément x de G, nous désignerons par repr$_T$(x) le représentant de x dans T, c'est-à-dire l'unique élément de T qui appartient à la même classe à gauche modulo Q que x. Nous désignerons par q$_T$(x) l'élément repr$_T$(x)$^{-1}$ x de Q. Donc, si x = ab avec $a\in T$ et $b\in Q$, alors a = repr$_T$(x) et b = q$_T$(x).
Notons pour la suite que si Q' désigne le groupe dérivé de Q, le groupe quotient Q/Q' est commutatif, donc on peut parler du produit d'une famille finie d'éléments de Q/Q' sans préciser l’ordre des facteurs.
Soient G un groupe, Q un sous-groupe d'indice fini de G, Q' le groupe dérivé de Q. Il existe un et un seul homomorphisme V de G dans Q/Q' tel que, pour toute transversale gauche T de Q dans G et tout élément g de G :
    $V(g)=\prod _{t\in T}\mathrm {q} _{T}(gt)Q'$.
Pour une transversale gauche T de Q dans G, posons
    $V_{T}(g)=\prod _{t\in T}\mathrm {q} _{T}(gt)Q'.$
Il s'agit de prouver que V$_T$ est un homomorphisme de groupes et ne dépend pas de T. Prouvons d’abord que V$_T$ ne dépend pas de T. Soient L et H deux transversales gauches de Q dans G. Il s'agit de prouver que
    $\ (1)V_{H}=V_{L}.$
Pour tout $l\in L,$
    $(2)\qquad gl=\mathrm {repr} _{L}(gl)\ \mathrm {q} _{L}(gl).$
Pour tout $h\in H,$
    $(3)\qquad gh=\mathrm {repr} _{H}(gh)\ \mathrm {q} _{H}(gh)$
et
    $(4)\qquad h=\mathrm {repr} _{L}(h)\ \mathrm {q} _{L}(h).$
En multiplant les deux membres de (4) par g à gauche, nous trouvons
    $(5)\qquad gh=g\ \mathrm {repr} _{L}(h)\ \mathrm {q} _{L}(h).$
D'autre part, en remplaçant $\ l$ par $\ \mathrm {repr} _{L}(h)$ dans (2), nous trouvons
    $\qquad g\ \mathrm {repr} _{L}(h)=\mathrm {repr} _{L}(g\ \mathrm {repr} _{L}(h))\ \mathrm {q} _{L}(g\ \mathrm {repr} _{L}(h)).$
En portant ceci dans (5), nous trouvons
    $(6)\qquad gh=\mathrm {repr} _{L}(g\mathrm {repr} _{L}(h))\ \mathrm {q} _{L}(g\mathrm {repr} _{L}(h))\ \mathrm {q} _{L}(h).$
Puisque deux éléments de G qui appartiennent à la même classe à gauche modulo Q ont le même représentant dans L,
    $\qquad \mathrm {repr} _{L}(g\ \mathrm {repr} _{L}(h))=\mathrm {repr} _{L}(\mathrm {repr} _{H}(g\ \mathrm {repr} _{L}(h))),$
donc (6) peut s'écrire
    $(7)\qquad gh=\mathrm {repr} _{L}(\mathrm {repr} _{H}(g\ \mathrm {repr} _{L}(h)))\ \mathrm {q} _{L}(g\ \mathrm {repr} _{L}(h))\ \mathrm {q} _{L}(h).$
D'autre part, (3) peut s'écrire
    $\qquad \mathrm {repr} _{L}(h)=h\ \mathrm {q} _{L}(h)^{-1}.$
En remplaçant dans ceci $\ h$ par $\ \mathrm {repr} _{H}(g\ \mathrm {repr} _{L}(h)),$ nous trouvons
    $\qquad \mathrm {repr} _{L}(\mathrm {repr} _{H}(g\ \mathrm {repr} _{L}(h)))=\mathrm {repr} _{H}(g\ \mathrm {repr} _{L}(h))\mathrm {q} _{L}(\mathrm {repr} _{H}(g\ \mathrm {repr} _{L}(h)))^{-1}.$
En portant ceci dans (7), nous trouvons
    $\qquad gh=\mathrm {repr} _{H}(g\ \mathrm {repr} _{L}(h))\ \mathrm {q} _{L}(\mathrm {repr} _{H}(g\ \mathrm {repr} _{L}(h)))^{-1}\ \mathrm {q} _{L}(g\ \mathrm {repr} _{L}(h))\ \mathrm {q} _{L}(h).$
La comparaison avec (3) donne (compte tenu de l'unicité de l’expression d'un élément de G comme produit d'un élément de la transversale gauche H et d'un élément de Q)
    $\qquad \mathrm {q} _{H}(gh)=\mathrm {q} _{L}(\mathrm {repr} _{H}(g\ \mathrm {repr} _{L}(h)))^{-1}\ \mathrm {q} _{L}(g\ \mathrm {repr} _{L}(h))\ \mathrm {q} _{L}(h).$
D'après la définition
    $\qquad V_{H}(g)=\prod _{h\in H}\mathrm {q} _{H}(gh)Q'$
et la commutativité de Q/Q', nous avons donc
    $(8)\qquad V_{H}(g)=(\prod _{h\in H}\mathrm {q} _{L}(\mathrm {repr} _{H}(g\ \mathrm {repr} _{L}(h)))^{-1})(\prod _{h\in H}\mathrm {q} _{L}(g\ \mathrm {repr} _{L}(h)))(\prod _{h\in H}\mathrm {q} _{L}(h))Q'.$
On vérifie facilement que l’application $h\mapsto \mathrm {repr} _{H}(g\ \mathrm {repr} _{L}(h))$ est une permutation de H, donc
    $(9)\qquad \prod _{h\in H}\mathrm {q} _{L}(\mathrm {repr} _{H}(g\ \mathrm {repr} _{L}(h)))Q'=\prod _{h\in H}\mathrm {q} _{L}(h)Q'.$
De même, l’application $h\mapsto \mathrm {repr} _{L}{h}$ est une bijection de H sur L, donc
             $\qquad \prod _{h\in H}\mathrm {q} _{L}(g\ \mathrm {repr} _{L}(h))Q'=\prod _{l\in L}\mathrm {q} _{L}(gl)Q'.$
    $(10)\qquad \prod _{h\in H}\mathrm {q} _{L}(g\ \mathrm {repr} _{L}(h))Q'=V_{L}(G).$
En portant (9) et (10) dans (8), nous trouvons
    $\ V_{H}(g)=V_{L}(g),$
ce qui est notre thèse (1). Nous avons donc prouvé l’existence d'une application V de G dans Q/Q' telle que, pour toute transversale gauche T de Q dans G,
    $V(g)=\prod _{t\in T}\mathrm {q} _{T}(gt)Q'.$
Prouvons que V est un homomorphisme de groupes. Choisissons une transversale gauche H de Q dans G. Donc, pour tout élément g de G,
    $(11)\qquad V(g)=V_{H}(g)=\prod _{h\in H}\mathrm {q} _{H}(gh)Q'.$
Rappelons que, pour tout $x\in G,$
    $(12)\qquad x=\mathrm {repr} _{H}(x)\ \mathrm {q} _{H}(x)$
est l'unique écriture de x comme produit ab avec a dans H et b dans Q. Soient $\ g_{1},g_{2}$ deux éléments de G et $\ h$ un élément de H. En faisant $\ x=g_{2}h$ dans (12), nous trouvons
    $\qquad g_{2}h=\mathrm {repr} _{H}(g_{2}h)\ \mathrm {q} _{H}(g_{2}h),$
d'où, en multipliant les deux membres à gauche par $\ g_{1},$
    $(13)\qquad g_{1}g_{2}h=g_{1}\mathrm {repr} _{H}(g_{2}h)\ \mathrm {q} _{H}(g_{2}h).$
D'autre part, en faisant $\ x=g_{1}\ \mathrm {repr} _{H}(g_{2}h)$ dans (12), nous obtenons
    $\qquad g_{1}\mathrm {repr} _{H}(g_{2}h)=\mathrm {repr} _{H}(g_{1}\mathrm {repr} _{H}(g_{2}h))\ \mathrm {q} _{H}(g_{1}\mathrm {repr} _{H}(g_{2}h)).$
En portant ceci dans (13), nous trouvons
    $(14)\qquad g_{1}g_{2}h=\mathrm {repr} _{H}(g_{1}\mathrm {repr} _{H}(g_{2}h))\ \mathrm {q} _{H}(g_{1}\mathrm {repr} _{H}(g_{2}h))\ \mathrm {q} _{H}(g_{2}h).$
D'autre part, l'égalité $\ g_{2}hQ=\mathrm {repr} _{H}(g_{2}h)Q$ entraîne
    $\qquad g_{1}g_{2}hQ=g_{1}\ \mathrm {repr} _{H}(g_{2}h)Q,$
donc
    $\qquad \mathrm {repr} _{H}(g_{1}\ \mathrm {repr} _{H}(g_{2}h))=\mathrm {repr} _{H}(g_{1}g_{2}h).$
En portant ceci dans (14), nous trouvons
    $\qquad g_{1}g_{2}h=\mathrm {repr} _{H}(g_{1}g_{2}h)\ \mathrm {q} _{H}(g_{1}\mathrm {repr} _{H}(g_{2}h))\ \mathrm {q} _{H}(g_{2}h),$
d'où, par comparaison avec (12) où on fait $\ x=g_{1}g_{2}h,$
    $\qquad \mathrm {q} _{H}(g_{1}g_{2}h)=\mathrm {q} _{H}(g_{1}\mathrm {repr} _{H}(g_{2}h))\ \mathrm {q} _{H}(g_{2}h).$
En faisant $\ g=g_{1}g_{2}$ dans (11), nous trouvons donc
    $(15)\qquad V(g_{1}g_{2})=(\prod _{h\in H}\mathrm {q} _{H}(g_{1}\ \mathrm {repr} _{H}(g_{2}h))Q')\ (\prod _{h\in H}\mathrm {q} _{H}(g_{2}h)Q')$
(où les produits $\prod _{h\in H}$ sont pris dans le groupe Q/Q'). On vérifie facilement que $h\mapsto \mathrm {repr} _{H}(g_{2}h)$ est une permutation de H, donc (15) peut s'écrire
    $\qquad V(g_{1}g_{2})=(\prod _{h\in H}\mathrm {q} _{H}(g_{1}h)Q')\ (\prod _{h\in H}\mathrm {q} _{H}(g_{2}h)Q'),$ autrement dit
    $\qquad V(g_{1}g_{2})=V(g_{1})\ V(g_{2},$
donc V est un homomorphisme de G dans Q/Q', comme annoncé. Nous avons donc démontré l’existence d'un homomorphisme V tel que dans l'énoncé. L'unicité de cet homomorphisme est évidente.
Soient G un groupe et Q un sous-groupe d'indice fini de G. On appelle transfert de G vers Q/Q' l'homomorphisme V de G dans Q/Q' défini dans le théorème qui précède.
Remarques.
* Si Q est commutatif, alors Q' = 1 et le groupe Q/Q' est canoniquement isomorphe à Q. Dans ce cas, on considère que le transfert est un homomorphisme de G dans Q.
* Même si Q n’est pas commutatif, certains auteurs disent « transfert de G vers Q » au lieu de « transfert de G vers Q/Q' ».
* On désigne couramment le transfert par la lettre V, qui est la première lettre du nom allemand du transfert : Verlagerung.
* Le transfert qu'on peut définir à partir des transversales droites est identique à celui qu'on a défini à partir des transversales gauches. (Voir exercices.)
Soient G un groupe, Q un sous-groupe d'indice fini n de G, V le transfert de G vers Q/Q', T une transversale gauche de Q dans G. Pour tout élément g de G, il existe une partie T$_g$ de T et une famille $(n_{t}(g))_{t\in T_{g}}$ de nombres naturels tels que 1° pour tout élément t de T$_g$, $t^{-1}g^{n_{t}(g)}t\in Q$; 2° $\qquad \sum _{t\in T_{g}}n_{t}(g)=n=\vert G:Q\vert$; 3° $\qquad V(g)=\prod _{t\in T_{g}}t^{-1}g^{n_{t}(g)}tQ'.$
Comme dans ce qui précède, nous avons, pour tout élément x de G,
    $\qquad x=\mathrm {repr} _{T}(x)\mathrm {q} _{T}(x),$
où $\mathrm {repr} _{T}(x)$ est le seul élément a de T et $\mathrm {q} _{T}(x)$ le seul élément b de Q tels que x = ab. En particulier, pour tout élément g de G et tout élément t de T,
    $(1)\qquad gt=\mathrm {repr} _{T}(gt)\mathrm {q} _{T}(gt).$
Il est clair que si on pose
    $\qquad \sigma _{g,T}(t)=\mathrm {repr} _{T}(gt),$
on définit une permutation $\sigma _{g,T}$ de T. Alors (1) s'écrit
    $\qquad gt=\sigma _{g,T}(t)\mathrm {q} _{T}(gt),$
d'où
    $(2)\qquad \sigma _{g,T}(t)^{-1}gt\in Q.$
Soient $\ c_{1},\ldots ,c_{m}$ les différentes orbites du groupe $<\sigma _{g,T}>$ opérant sur T. (Il est clair que m dépend de g.) Pour tout $i(1\leq i\leq m),$ posons
    $\qquad c_{i}=\{t_{i,1},\ldots ,t_{i,r_{i}}\},$
où $t_{i,1},\ldots ,t_{i,r_{i}}$ sont énumérés de sorte que
    pour tout j tel que $1\leq j\leq r_{i}-1$ :
    $(3)\qquad \sigma _{g,T}(t_{i,j})=t_{i,j+1}$
et
    $(4)\qquad \sigma _{g,T}(t_{i,r_{i}})=t_{i,1}.$
(Autrement dit, quand i parcourt {1, ... , m}, les r$_i$- uplets $\ (t_{i,1},\ldots ,t_{i,r_{i}})$ forment la « décomposition complète » de $\sigma _{g,T}$ en produit de « cycles » à supports disjoints.) En portant chacune des relations (3) et la relation (4) dans (2), nous trouvons
    $\qquad t_{i,2}^{-1}gt_{i,1}\in Q,$
    $\qquad t_{i,3}^{-1}gt_{i,2}\in Q,$
    $\qquad \ldots$
    $\qquad t_{i,r_{i}}^{-1}gt_{i,r_{i}-1}\in Q,$
    $\qquad t_{i,1}^{-1}gt_{i,r_{i}}\in Q.$
On a donc
    $\qquad (t_{i,1}^{-1}gt_{i,r_{i}})\ (t_{i,r_{i}}^{-1}gt_{i,r_{i}-1})\ldots \ (t_{i,2}^{-1}gt_{i,1})\in Q,$
autrement dit
    $(5)\qquad t_{i,1}^{-1}g^{r_{i}}t_{i,1}\in Q.$
Posons $T_{g}=\{t_{1,1},\ldots ,t_{m,1}\}$ et, pour $t=t_{i,1}\in T_{g},$ posons $\ n_{t}(g)=r_{i}.$ Alors (5) prouve la partie (1) de l'énoncé. Puisque les orbites du groupe $<\sigma >$ opérant sur T forment une partition de T, nous avons $\ r_{1}+\ldots +r_{m}=n,$ ce qui prouve la partie 2° de l'énoncé. Enfin,
    $\qquad V(g)=\prod _{t\in T}\mathrm {q} _{T}(gt)Q'$
    $\qquad V(g)=\prod _{t\in T}\sigma _{g,T}(t)^{-1}gtQ'.$
Puisque les orbites du groupe $<\sigma >$ opérant sur T forment une partition de T, ceci peut s'écrire
    $\qquad V(g)=\prod _{i=1}^{m}\prod _{j=1}^{r_{i}}\sigma _{g,T}(t_{i,j})^{-1}gt_{ij}Q'$
    $(6)\qquad V(g)=\prod _{i=1}^{m}\prod _{j=1}^{r_{i}}t_{i,j+1}^{-1}gt_{i,j}Q'$
(où on convient que $\ t_{i,1+r_{i}}=t_{i,1}$). Le produit partiel
    $\qquad \prod _{j=1}^{r_{i}}t_{i,j+1}^{-1}gt_{i,j}Q'$
peut s'écrire
    $\qquad (t_{i,1}^{-1}gt_{i,r_{i}})\ (t_{i,r_{i}}^{-1}gt_{i,r_{i}-1})\ldots \ (t_{i,2}^{-1}gt_{i,1})Q'=t_{i,1}^{-1}g^{r_{i}}t_{i,1}Q',$
donc (6) peut s'écrire
    $\qquad V(g)=\prod _{i=1}^{m}t_{i,1}^{-1}g^{r_{i}}t_{i,1}Q',$
ce qui prouve la partie 3° de l'énoncé, qui est donc entièrement démontré.

## Groupes p-nilpotents

Rappelons la définition d'un complément, qui a été donnée au chapitre Produit semi-direct :
Soient H et K des sous-groupes d'un groupe G. On dit que K est un complément de H (dans G) si $\ G=HK$ et $H\cap K=1$.
Si G = HK, on a aussi G = KH (passer aux inverses, ou encore utiliser le fait, démontré dans la série Groupes, premières notions, que si H et K sont deux sous-groupes d'un groupe G, alors HK = KH si et seulement si HK est un sous-groupe de G). Donc si K est un complément de H, H est un complément de K.
On vérifie facilement que K est un complément de H dans G si et seulement si K est une transversale droite (resp. gauche) de H dans G.
Soit $G$ un groupe fini. Un sous-groupe de $G$ est appelé un sous-groupe de Hall de $G$ si $\vert H\vert$ est premier avec $\vert G\vert /\vert H\vert .$ Cela revient à dire que chaque facteur premier de $\vert H\vert$ figure dans $\vert H\vert$ à la même puissance que dans $\vert G\vert .$
Soient G un groupe fini et H un sous-groupe de Hall normal de G. Alors H est seul de son ordre parmi les sous-groupes de G (et est donc caractéristique dans G). Plus précisément, H est l'ensemble des éléments de G dont l'ordre divise $\vert H\vert .$
Démonstration. Voir les exercices.
Soit $p$ un nombre premier,soit G un groupe fini, soit $p^{n}$ la plus grande puissance de $p$ divisant $\vert G\vert$, soit H un sous-groupe de G. Les conditions suivantes sont équivalentes :
    a) H est un complément normal dans G de tout p-sous-groupe de Sylow de G;
    b) il existe un p-sous-groupe de Sylow de G dont H est un complément normal dans G;
    c) H est un sous-groupe normal de G d'ordre $\vert G\vert /p^{n}$;
    d) H est formé par les éléments de G dont l'ordre n'est pas divisible par $p$;
    e) H est l'unique sous-groupe d'ordre $\vert G\vert /p^{n}$ de G.
Puisque G a au moins un p-sous-groupe de Sylow, l'implication a) $\Rightarrow$ b) est évidente. Supposons b) et prouvons c). Par hypothèse, il existe un p-sous-groupe de Sylow P de G dont H est complément normal. Alors $H\cap P=1$ et $HP=G$, donc, d'après la formule du produit,
    $\vert H\vert \cdot \vert P\vert =\vert G\vert$,
    $\vert H\vert =\vert G\vert /p^{n}$,
ce qui prouve que b) entraîne c). Supposons maintenant c) et prouvons d). D'après l'hypothèse c), H est un sous-groupe de Hall normal de G, donc, d'après un théorème ci-dessus, H est formé par les éléments de G dont l'ordre divise $\vert H\vert =\vert G\vert /p^{n}.$ Il est clair que les éléments de G dont l'ordre divise $\vert G\vert /p^{n}$ sont les éléments de G dont l'ordre n'est pas divisible par $p$, donc H est formé par les éléments de G dont l'ordre n'est pas divisible par $p$, ce qui prouve que c) entraîne d). Supposons maintenant d) et prouvons e). Pour tout facteur premier $q$ de $\vert G\vert$ autre que $p$, choisissons un q-sous-groupe de Sylow Q de G. Alors Q est formé d'éléments dont l'ordre n'est pas divisible par $p$, donc d'après l'hypothèse d), Q est contenu dans H, donc $\vert H\vert$ est divisible par $\vert Q\vert$. Autrement dit, $\vert H\vert$ est divisible par la plus granse puissance de $q$ qui divise $\vert G\vert .$ Ceci étant vrai pour tout facteur premier $q$ de $\vert G\vert$ autre que $p$,
    (1)$\qquad \vert H\vert$ est divisible par $\vert G\vert /p^{n}.$
D'autre part, puisque tout élément de H est d'ordre non divisible par $p$, il résulte du théorème de Cauchy que
    (2)$\qquad \vert H\vert$ n'est pas divisible par $p.$
De (1), de (2) et du fait que $\vert H\vert$ divise $\vert G\vert$, il résulte que
    (3)$\qquad \vert H\vert =\vert G\vert /p^{n}.$
D'autre part, puisque, d'après l'hypothèse d), H est l'ensemble des éléments de G dont l'ordre n'est pas divisible par $p$, il est clair que H est caractéristique et donc normal dans G, donc d'après (3), H est un sous-groupe de Hall normal de G, donc, d'après un théorème ci-dessus, H est seul de son ordre parmi les sous-groupes de G. D'après (3), cela signifie que H est le seul sous-groupe d'ordre $\vert G\vert /p^{n}$ de G, ce qui prouve que d) entraîne e). Supposons maintenant e) et prouvons a). Soit P un p-sous-groupe de Sylow de G. Puisque, d'après l'hypothèse e), H est d'ordre $\vert G\vert /p^{n}$, $\vert H\vert$ est premier avec $\vert P\vert$, donc
    (4)$\qquad P\cap H=1.$
Donc, d'après la formule du produit,
    $\qquad \vert PH\vert =\vert P\vert \cdot \vert H\vert$,
    $\qquad \vert PH\vert =p^{n}(\vert G\vert /p^{n})$,
    $\qquad \vert PH\vert =\vert G\vert$,
    (5)$\qquad PH=G$.
De (4) et (5), il résulte que
    (6)$\qquad$H est un complément de P dans G.
De plus, d'après l'hypothèse e), H est seul de son ordre parmi les sous-groupes de G, donc H est caractéristique et donc normal dans G, donc, d'après (6), H est un complément normal de P dans G, ce qui prouve que e) entraîne a).
Soit $p$ un nombre premier,soit G un groupe fini, soit $p^{n}$ la plus grande puissance de $p$ divisant $\vert G\vert$. Nous définirons un p-complément de G comme un sous-groupe d'ordre $\vert G\vert /p^{n}$ de G (s'il y en a).
Les conditions a) à e) de l'énoncé qui précède sont donc des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un sous-groupe H de G soit un p-complément normal de G.
Soit $p$ un nombre premier, soit G un groupe fini. On dit que G est p-nilpotent s'il admet un p-complément normal. D'après l'énoncé qui précède, ce p-complément normal est alors unique, puisqu'il est l'ensemble des éléments de G dont l'ordre n'est pas divisible par $p$.
Pour la même raison, le p-complément normal de G, quand il existe, est un sous-groupe caractéristique de G.
On verra dans les exercices qu'un groupe fini G est nilpotent si et seulement s'il est p-nilpotent pour tout facteur premier $p$ de $\vert G\vert$.

## Théorème du complément normal de Burnside

Soient G un groupe fini et P un sous-groupe de Sylow de G. Si deux éléments de C$_G$(P) sont conjugués dans G, ils sont conjugués dans N$_G$(P).
Soient g, h deux éléments de $\ C_{G}(P)$ conjugués dans G. Il s'agit de prouver que g et h sont conjugués dans $\ N_{G}(P)$. Puisque g et h sont conjugués dans G, il existe un élément a de G tel que
    $(1)\qquad h=a^{-1}ga.$
Alors
    $(2)\qquad h\in a^{-1}C_{G}(P)a.$
D'après un exercice de la série Conjugaison, centralisateur, normalisateur, $\ a^{-1}C_{G}(P)a=C_{G}(a^{-1}Pa),$ donc (2) peut s'écrire
    $\qquad h\in C_{G}(a^{-1}Pa),$
ce qui équivaut à
    $(3)\qquad a^{-1}Pa\leq C_{G}(h).$
D'autre part, h est supposé appartenir à $C_{G}(P),$ ce qui revient à dire que
    $(4)\qquad P\leq C_{G}(h).$
Soit p un nombre premier tel que P soit un p-sous-groupe de Sylow de G. Il résulte clairement de (3) et (4) que P et a$^{-1}$Pa sont deux p-sous-groupes de Sylow de C$_G$(h) et sont donc conjugués dans C$_G$(h). Il existe donc un élément b de C$_G$(h) tel que
    $\qquad ba^{-1}Pab^{-1}=P,$
d'où
    $(5)\qquad ba^{-1}\in N_{G}(P).$
D'autre part, puisque $b\in C_{G}(h),$
    $\qquad b^{-1}hb=h,$
d'où
    $\qquad ab^{-1}hba^{-1}=aha^{-1},$
ce qui, d’après (1) peut s'écrire
    $\qquad ab^{-1}hba^{-1}=g.$
Joint à (5), ceci montre que g et h sont conjugués dans N$_G$(P), ce qui est notre thèse.
Remarque. On trouvera dans les exercices une forme plus générale du lemme qui précède.
Soient G un groupe fini, P un sous-groupe de Sylow de G, n l'indice de P dans G. Si P est commutatif, si V désigne le transfert de G vers P, alors, pour tout $x\in P\cap Z(N_{G}(P)),$
    $\qquad V(x)=x^{n}.$
Soit x un élément de $P\cap Z(N_{G}(P)).$ D'après le théorème d'évaluation du transfert, il existe des entiers naturels $n_{1},\ldots ,n_{r}$ et des éléments $t_{1},\ldots ,t_{r}$ de G (dépendants de x) tels que
    $(1)\qquad t_{i}x^{n_{i}}t_{i}^{-1}\in P$ pour tout $i(1\leq i\leq r)$;
    $(2)\qquad V(x)=\prod _{i=1}^{r}t_{i}x^{n_{i}}t_{i}^{-1}$;
    $(3)\qquad \sum _{i=1}^{r}n_{i}=n.$
Puisque x est supposé appartenir à P,
    $(4)\qquad x^{n_{i}}\in P.$
Puisque P est supposé commutatif, $P\leq C_{G}(P),$ donc, d’après (1) et (4), $\ x^{n_{i}}$ et $\ t_{i}x^{n_{i}}t_{i}^{-1}$ sont des éléments de $\ C_{G}(P),$ évidemment conjugués dans G. Puisque P est un sous-groupe de Sylow de G, il résulte donc du lemme précédent que
    $(5)\qquad x^{n_{i}}$ et $\ t_{i}x^{n_{i}}t_{i}^{-1}$ sont conjugués dans $\ N_{G}(P).$
Puisque x est supposé appartenir à $\ Z(N_{G}(P)),$ il en est de même de $\ x^{n_{i}},$ donc $\ x^{n_{i}}$ est son seul conjugué dans $\ N_{G}(P),$ donc, d’après (5), $\ t_{i}x^{n_{i}}t_{i}^{-1}=x^{n_{i}},$ d'où, d’après (2) et (3), $\ V(x)=x^{n},$ ce qui démontre l'énoncé.
Soient G un groupe fini et P un sous-groupe de Sylow de G. Si P est commutatif,
    $\qquad G'\cap P\cap Z(N_{G}(P))=1.$
Soit x un élément de $\qquad G'\cap P\cap Z(N_{G}(P)).$ Il s'agit de prouver que x = 1. Désignons par n l'indice de P dans G et par V le transfert de G vers P. Puisque x appartient à $P\cap Z(N_{G}(P)),$ nous avons, d’après le lemme précédent,
    $(1)\qquad V(x)=x^{n}.$
D'autre part, puisque V est un homomorphisme arrivant dans un groupe commutatif, $G'\leq Ker(V),$ donc, puisque x appartient à G',
    $\qquad V(x)=1.$
La comparaison avec (1) donne
    $(2)\qquad x^{n}=1.$
Soit p un nombre premier tel que P soit un p-sous-groupe de Sylow de G. Puisque x est supposé appartenir à P, l’ordre de x est une puissance de p. D'autre part, puisque P est un p-sous-groupe de Sylow de G, l'indice n de P dans G est premier avec p, donc n est premier avec l’ordre de x. Dès lors, (2) donne x = 1, ce qui prouve notre thèse.
Soient G un groupe simple fini d'ordre composé et P un sous-groupe de Sylow de G. Si P est commutatif,
    $\qquad P\cap Z(N_{G}(P))=1.$
Puisque G est un groupe simple fini d'ordre composé, $G'=G$, donc le lemme précédent donne
    $\qquad P\cap Z(N_{G}(P))=1.$
Soient G un groupe fini et P un sous-groupe de Sylow de G. Si $P\cap G'=1,$ alors G est p-nilpotent.
Soit p un nombre premier tel que P soit un p-sous-groupe de Sylow de G. Puisque $P\cap G'=1,$ il résulte de la formule du produit que l’ordre de PG'/G' est égal à $\vert P\vert ,$ donc PG'/G' est clairement un p-sous-groupe de Sylow de G/G'. Comme le groupe G/G' est commutatif, il est produit direct de ses sous-groupes de Sylow, donc PG'/G' est facteur direct de G/G' et admet donc un complément dans G/G'. Un tel complément est de la forme H/G', où H est un sous-groupe de G contenant G' tel que
    $(1)\qquad H\cap (PG')=G'$
et
    $(2)\qquad G=PH.$
Prouvons que H est un complément de P dans G. D'après (2), il suffit de prouver que
    $(3)\qquad P\cap H=1.$
Nous avons $P\cap H\leq H\cap (PG'),$ d'où, d’après (1), $P\cap H\leq G',$ d'où $P\cap H\leq P\cap G'=1,$ ce qui prouve notre thèse (3). Nous avons donc prouvé que H est un complément de P dans G. Puisque H contient G', H est normal dans G et est donc un complément normal de P dans G. Donc G est p-nilpotent.
Soient G un groupe fini et P un sous-groupe de Sylow de G tel que $\ N_{G}(P)=C_{G}(P)$ (égalité qui revient à $P\leq Z(N_{G}(P))$). Alors G est p-nilpotent.
Puisque P est contenu dans $\ N_{G}(P),$ l'hypothèse $\ N_{G}(P)=C_{G}(P)$ entraîne que P est commutatif. Donc, d’après un lemme ci-dessus,
    $(1)\qquad G'\cap P\cap Z(N_{G}(P))=1.$
L'hypothèse $\ N_{G}(P)=C_{G}(P)$ revient à $P\leq Z(N_{G}(P))$, donc (1) peut s'écrire
    $\qquad P\cap G'=1.$
D'après un lemme ci-dessus, l'énoncé en résulte.
Soient G un groupe simple fini non abélien et p un facteur premier de l'ordre de G. Alors G n'est pas p-nilpotent.
Démonstration. Supposons que, par absurde, G soit p-nilpotent. Choisissons un p-sous-groupe de Sylow P de G. Notre hypothèse selon laquelle G est p-nilpotent revient à dire que P admet un complément normal N dans G. Puisque G est un groupe simple fini non commutatif, on sait qu’il n’est pas résoluble, donc son ordre n’est pas une puissance de nombre premier, donc 1 < P < G, donc 1 < N < G. C'est impossible, puisque N est normal dans G et que G est supposé simple.
Soient G un groupe fini non abélien, p un facteur premier de l'ordre de G et P un p-sous-groupe de Sylow de G. Si P est contenu dans $Z(N_{G}(P))$ (ce qui revient à dire que $N_{G}(P)=N_{G}(P)$), alors G n'est pas simple.
Démonstration. Cela résulte du lemme qui précède et du théorème du complément normal de Burnside.
Remarque. Le corollaire qui précède peut d'ailleurs se déduire du lemme, démontré plus haut, disant que si G est un groupe simple fini d'ordre composé et P un sous-groupe de Sylow abélien de G, alors $\qquad P\cap Z(N_{G}(P))=1.$.

## Applications du théorème du complément normal de Burnside

Soient G un groupe fini, p un nombre premier et P un p-sous-groupe de Sylow de G. On suppose que P est abélien et que les ordres de Aut(P) et de $\ N_{G}(P)$ sont premiers entre eux ou n'ont que p comme diviseur premier commun. Alors $\ N_{G}(P)=C_{G}(P)$ et G est p-nilpotent.
D'après le lemme N/C (chapitre Conjugaison, centralisateur, normalisateur), $\ N_{G}(P)/C_{G}(P)$ est isomorphe à un sous-groupe de Aut(P), donc
    $(1)\qquad \vert N_{G}(P)/C_{G}(P)\vert$ divise $\vert Aut(P)\vert$.
D'autre part,
    $(2)\qquad \vert N_{G}(P)/C_{G}(P)\vert$ divise $\ N_{G}(P)$.
Puisque, d’après les hypothèses de l'énoncé, les ordres de Aut(P) et de $\ N_{G}(P)$ sont premiers entre eux ou n'ont que p comme facteur premier commun, il résulte de (1) et de (2) que
    (3) $\qquad \vert N_{G}(P)/C_{G}(P)\vert$ est une puissance de p.
Prouvons que cette puissance de p est égale à 1. Puisque P est abélien par hypothèse de l'énoncé, il est contenu dans $\ C_{G}(P),$ donc $\vert C_{G}(P)\vert$ est multiple de $\vert P\vert$, donc $\vert N_{G}(P)/C_{G}(P)\vert$ divise $\vert N_{G}(P)\vert /\vert P\vert ,$ qui divise $\vert G\vert /\vert P\vert ,$ qui est premier avec p (puisque P est un p-sous-groupe de Sylow de G). Donc
    $(4)\qquad \vert N_{G}(P)/C_{G}(P)\vert$ est premier avec p.
De (3) et (4), il résulte que $\vert N_{G}(P)/C_{G}(P)\vert =1$, d'où $\ N_{G}(P)=C_{G}(P)$. Donc, d’après le théorème du complément normal de Burnside, P admet un complément normal dans G, autrement dit G est p-nilpotent.
L'énoncé qui précède a évidemment le cas particulier suivant :
Soient G un groupe fini, p un nombre premier et P un p-sous-groupe de Sylow abélien de G. On suppose que les ordres de Aut(P) et de G sont premiers entre eux ou n'ont que p comme diviseur premier commun (ce qui revient à dire que le PGCD de $\vert Aut(P)\vert$ et de $\vert G\vert$ est une puissance de p). Alors $\ N_{G}(P)=C_{G}(P)$ et G est p-nilpotent.
Soient G un groupe fini > 1 et p le plus petit diviseur premier de l’ordre de G. Si un p-sous-groupe de Sylow P de G est cyclique, alors $\ N_{G}(P)=C_{G}(P)$ et G est p-nilpotent.
Soit P un p-sous-groupe de Sylow de G, soit $\ p^{m}$ l’ordre de P. Par hypothèse, P est cyclique, donc Aut(P) est d'ordre $\ p^{m-1}(p-1)$ (voir chapitre Automorphismes d'un groupe cyclique ). Puisque p est le plus petit facteur premier de |G|, il en résulte que |Aut(P)| et |G|sont premiers entre eux ou ont p pour seul facteur premier commun. Le « cas particulier » qui précède montre donc que $\ N_{G}(P)=C_{G}(P)$ et que G est p-nilpotent.
Soit G un groupe simple fini non abélien, notons p le plus petit facteur premier de l'ordre de G. Alors les p-sous-groupes de Sylow de G ne sont pas cycliques.
Si les p-sous-groupes de Sylow de G étaient cycliques, G serait p-nilpotent d'après le théorème qui précède. Or on a vu qu'un groupe simple non abélien n'est q-nilpotent pour aucun facteur premier q de son ordre.
Soit G un groupe fini > 1; désignons par p le plus petit facteur premier de |G|. On suppose que |G| n'est divisible ni par p$^3$ ni par 12. Alors G est p-nilpotent.
Soit P un p-sous-groupe de Sylow de G. Si P est cyclique, alors, d’après le théorème précédent, G est p-nilpotent. On peut donc supposer que P n’est pas cyclique. Puisque |G| est supposé non divisible par p$^3$, P est donc un groupe non cyclique d'ordre p$^2$ et est donc produit direct de deux sous-groupes d'ordre p (voir chapitre Théorèmes de Sylow). C'est donc un p-groupe abélien élémentaire. D'après un exercice de la série Groupes commutatifs finis, 1, nous avons donc
    $(1)\qquad \vert Aut(P)\vert =(p^{2}-1)(p^{2}-p)=p(p+1)(p-1)^{2}.$
Puisque p est le plus petit facteur premier de |G|, p-1 est premier avec |G|, donc (1) donne
    (2) PGCD(|Aut(P)|, |G|) = PGCD(p(p+1), |G|).
Supposons tout d’abord p distinct de 2. Alors la relation $p+1=2{\frac {p+1}{2}}$, avec ${\frac {p+1}{2}}$ nombre naturel < p, montre que tout facteur premier de p+1 est <p, donc, par minimalité de p, p+1 est premier avec |G|, donc (2) donne
    PGCD(|Aut(P)|, |G|) = p.
D'après le « cas particulier » du théorème du complément normal de Burnside, il en résulte que G est p-nilpotent.
Reste à examiner le cas où p = 2. Alors, d’après (1), |Aut(P)| = 6,
    (3) PGCD(|Aut(P)|, |G|) = PGCD(6, |G|).
D'après ce qui précède, |G| est divisible par 4. Puisque, par hypothèse de l'énoncé, il n’est pas divisible par 12, il n'est donc pas divisible par 3, donc, d’après (3),
    PGCD(|Aut(P)|, |G|) = 2.
D'après le « cas particulier » du théorème du complément normal de Burnside, il en résulte que G est 2-nilpotent.
Soient G un groupe simple fini non commutatif et p le plus petit facteur premier de l’ordre de G. L'ordre de G est divisible par p$^3$ ou par 12.
Supposons que, par absurde, l’ordre de G ne soit divisible ni par p$^3$ ni par 12. D'après le lemme qui précède, G est p-nilpotent. Puisque G est un groupe simple fini non commutatif, cela contredit un des lemmes qui précèdent.
Remarque. D'après un théorème de Feit et Thompson dont la démonstration excède le cadre de la présente leçon, tout groupe simple fini non commutatif est d'ordre pair. Si on admet ce théorème de Feit et Thompson, le précédent théorème peut s'énoncer comme suit : si G est un groupe simple fini non commutatif, l’ordre de G est divisible par 8 ou par 12. Sans admettre le théorème de Feit et Thompson, nous pouvons énoncer cette conséquence évidente du théorème qui précède :
Soit G un groupe simple fini non commutatif, on suppose que G est d'ordre pair. L'ordre de G est divisible par 8 ou par 12.