# TRACTION
## Éprouvettes utilisées

Caractéristiques des éprouvettes :
* Matière : Éprouvettes en acier.
* Module de Young E = 210 GPa.
* Coefficient de poisson : υ = 0.3
| Éprouvette 1 | Éprouvette 2 |
| Longueur L = 149 mm | Longueur L = 150 mm |
| Largeur l = 36 mm | Largeur l = 34 mm |
| Épaisseur e = 5,6 mm | Épaisseur e = 5,6 mm |

## Éprouvette 1

Soit une poutre, de dimension ci-dessus, soumise à une traction sur les extrémités :
On exerce une pression de 100MPa.

### Contraintes maximales

Contraintes non nulles suivant x :
Contraintes nulles suivant y et z :
En analysant le torseur des contraintes avec ABAQUS suivant les 3 directions, on peut constater que dans la direction xx, les contraintes ne sont pas nulles, contrairement aux autres directions. Mais cela est vrai que dans la zone centrale de la pièce. On remarque aussi que dans cette zone, la répartition de contraintes est uniforme (on a la même répartition de couleurs).
Torseur des contraintes : ${\tilde {\sigma }}={\begin{pmatrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&0\\\sigma _{xy}&\sigma _{yy}&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}$ (état plan de contraintes)
* $\sigma _{xx}=378MPa$
* $\sigma _{xy}=0$
* $\sigma _{yy}=0$
Donc : ${\tilde {\sigma }}={\begin{pmatrix}\sigma _{xx}&0&0\\0&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}$ ce qui confirme bien que la poutre est sollicitée en traction.

### Von Mises

En appliquant la relation théorique du critère de Von mises : $\sigma _{eq}={\sqrt {{\frac {(\sigma _{xx}-\sigma _{yy})^{2}}{2}}+{\frac {(\sigma _{yy}-\sigma _{zz})^{2}}{2}}+{\frac {(\sigma _{xx}-\sigma _{zz})^{2}}{2}}+3(\sigma _{xy}^{2}+\sigma _{xz}^{2}+\sigma _{yz}^{2})}}$
Le calcul numérique nous donne : $\sigma _{ea}=376MPa$
AN : Théoriquement on trouve : $\sigma _{eq}={\sqrt {{\frac {(\sigma _{xx})^{2}}{2}}+{\frac {(\sigma _{xx})^{2}}{2}}}}=378MPa$
Cette légère différence se justifie par le fait que le maillage n’est peu être pas assez fin.

## Éprouvette 2

On applique de la même façon que précédemment une pression de 100MPa sur les extrémités de la poutre n$^o$ 2.

### Contraintes maximales

Suivant la direction x, on constate qu’il y a une concentration de contraintes sur la section la plus petite de la poutre. Ce phénomène de concentration de contrainte se produit au voisinage d’un accident géométrique, tel qu’un trou par exemple. Le coefficient de concentration de contraintes Kt est défini par le rapport entre la contrainte réelle et la contrainte nominale : Kt = (σ_max) / (σ_nom)
Dans notre cas nous avons : σ_max = 328 MPa et σ_nom = 108 MPa Ce qui nous donne : Kt = 3.03
Tenseur des contraintes : ${\tilde {\sigma }}={\begin{pmatrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&0\\\sigma _{xy}&\sigma _{yy}&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}$
* $\sigma _{xx}=328MPa$
* $\sigma _{xy}=97MPa$
* $\sigma _{yy}=69MPa$
La présence du trou provoque une perturbation dans la zone centrale, ce fait que les contraintes yy et xy ne sont pas nulles. On remarque que les contraintes s’annulent que dans la zone éloignée du trou.

### Cisaillement : Critère de Tresca
# FLEXION
## Flexion simple

Soit une poutre, de dimensions ci-dessous, soumise à une pression de 0,5 MPa sur sa surface du haut et encastré sur l’extrémité. Cette poutre est en flexion. Poutre en acier : E = 210GPa et υ = 0.3

### Contraintes maximales :

En analysant le tenseur des contraintes suivant les 3 directions, on peut constater que dans la direction xx et yy, les contraintes ne sont pas nulles. Et dans la direction xy, la contrainte est quasi nulle.
Tenseur des contraintes : ${\tilde {\sigma }}={\begin{pmatrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&0\\\sigma _{xy}&\sigma _{yy}&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}$
* $\sigma _{xx}=140MPa$
* $\sigma _{xy}=0MPa$
* $\sigma _{yy}=35MPa$
On remarque que dans la partie gauche de la poutre (près de l’encastrement), les lignes sont approximativement horizontales. L’éprouvette est bien soumise à la traction au dessus de sa ligne neutre, et à la compression en dessous.

### Von Mises :

Le critère de Von Mises se calcule à l’aide de la relation suivante : $\sigma _{eq}={\sqrt {{\frac {(\sigma _{xx}-\sigma _{yy})^{2}}{2}}+{\frac {(\sigma _{yy}-\sigma _{zz})^{2}}{2}}+{\frac {(\sigma _{xx}-\sigma _{zz})^{2}}{2}}+3(\sigma _{xy}^{2}+\sigma _{xz}^{2}+\sigma _{yz}^{2})}}$
Le calcul numérique nous donne : $\sigma _{eq}=140MPa$
AN : Théoriquement on trouve : $\sigma _{eq}={\sqrt {{\frac {(\sigma _{xx}-\sigma _{yy})^{2}}{2}}+{\frac {(\sigma _{yy}-\sigma _{zz})^{2}}{2}}+{\frac {(\sigma _{xx}-\sigma _{zz})^{2}}{2}}+3(\sigma _{xy}^{2}+\sigma _{xz}^{2}+\sigma _{yz}^{2})}}$
Cette petite différence vient du fait que dans la réalité, les contraintes suivant les autres directions ne sont pas tout à fait nulles, et c’est dû aussi au maillage de la pièce (plus le maillage est fin, plus on a une bonne précision).

### Déplacement :

Le déplacement suivant la direction x de la poutre est non nul, ceci confirme bien qu’il y a traction sur la face supérieure (+4,7.E-2) et compression en bas (-4,7.E-2).

## Flexion 3 points

L = 140 mm H = 20 mm
sachant que la poutre est en état plan de contraintes, j’ai réalisé la simulation en 2 dimension (x,y) pour simplifier le problème. J’ai donc créé des partitions très fines pour pouvoir appliquer les efforts sur la poutre. On applique une pression de 200MPa au milieu de la poutre, et on encastre les deux extrémités tout en laissant libre la rotation autour de l’axe Z et la translation suivant X. Poutre en acier : E = 210GPa et υ = 0.3
Simulation_flexion 3 points: ${\begin{pmatrix}{\frac {A(x)}{eh^{3}}}y&-{\frac {B(x)}{eh^{3}}}\left(y^{2}-{\frac {h^{2}}{4}}\right)\\&0\end{pmatrix}}$
Cisaillement : Critère de Tresca :
On peut voir que les sections sont droites et perpendiculaires à la ligne moyenne sur la partie centrale de la poutre (loin des appuis). Cependant, près des appuis, l’hypothèse de Bernoulli est fausse.
--> Ainsi, pour des petits déplacements et des essais menés dans les conditions des hypothèses de la résistance des matériaux, on voit que l'hypothèse de Bernoulli est assez bien vérifiée.
* NAVIER-BERNOUILLI
L’hypothèse de NAVIER-BERNOULLI est une hypothèse cinématique. Les sections planes et normales à la fibre moyenne avant la déformation restent planes et normales à la fibre moyenne après la déformation. Cette hypothèse semble évidente pour un essai de traction simple ou de torsion simple (sans gauchissement de section).
* SAINT VENANT
Les résultats ne s'appliquent valablement qu’à une distance suffisamment éloignée de la région d'application des efforts intenses (deux à trois fois la largeur de la section normale).
Contraintes maximales :
On constate que les contraintes suivant X ne sont pas nulles : σ_xx=68MPa On remarque dans la figure de gauche que la poutre est bien sollicitée en traction dans la partie inférieure. Les contraintes dans la direction Y sont quasi nulle (figure de droite) : σ_yy=0MPa
Dans la direction XY, on constate qu’il y a une contrainte faible mais non négligeable. Cette contrainte dépend du chargement. σ_xy=20MPa
* Tenseur des contraintes (par élément fini):
${\tilde {\sigma }}={\begin{pmatrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}\\\sigma _{xy}&0\\\end{pmatrix}}$
* Tenseur des contraintes (Théoriquement):
    ${\begin{pmatrix}{\frac {A(x)}{eh^{3}}}y&-{\frac {B(x)}{eh^{3}}}\left(y^{2}-{\frac {h^{2}}{4}}\right)\\&0\end{pmatrix}}$
où A(x) et B(x) sont des fonctions dépendant du chargement.

## Flexion 4 points

De la même manière que précédemment, on modélise la poutre en 2D puis on exerce deux pressions de 200MPa sur la surface supérieure de la pièce. Sur la face inférieure on encastre les deux autres appuis tout en laissant libre la rotation autour de l’axe Z et la translation suivant X.
Cisaillement : critère de Tresca
Dans la zone éloignée des appuis, l’hypothèse de Bernoulli est bien vérifiée : il n’y a pas de gauchissement de section et les lignes restent perpendiculaires à la ligne neutre. Par contre au niveau des appuis, cette hypothèse n’est pas vérifiée, cela est à cause du principe de Saint Venant.
On remarque que les contraintes suivant xx ne s’annulent pas (σ_xx=55MPa) : on a une traction sur la face inférieure et compression sur la face supérieure. Les contraintes suivant yy sont nulles partout dans la pièce sauf au niveau des appuis (car il y a concentration de contraintes) : σ_yy=0MPa
On constate ici, contrairement à la flexion 3 points, que σ_xy s’annule dans la zone éloignée des appuis. Ceci prouve que la pièce est considérée comme poutre très élancée (d >> H), ce qui corréspond à une poutre dites « mince » : le tenseur des contraintes s’écrit alors sous la forme suivante : ${\tilde {\sigma }}={\begin{pmatrix}\sigma _{xx}&0\\0&0\\\end{pmatrix}}$ avec $\sigma _{xx}$ dépend du chargement et de la géométrie de la poutre.
* Tenseur des contraintes (Théoriquement)
${\begin{pmatrix}{\frac {A(x)}{eh^{3}}}y&0\\&0\end{pmatrix}}$
avec A(x) dépond du chargement.
* On peut dire que tout calcul n’a de sens que dans son domaine de validité.
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