# Introduction aux mathématiques/Rudiments de logique
## Assertions

On appelle assertion (ou proposition) toute phrase à laquelle on peut attribuer une valeur de vérité : ou bien vrai ou bien faux. Il s'agit d'une logique binaire obéissant à la règle du tiers exclu.
Exemples :
* « $i^{2}=-1$ » est une assertion vraie ;
* « $2+2=5$ » est une assertion fausse ;
* « $x\geq 1$ » n’est pas une assertion.
Le but est de montrer que certaines assertions, des plus simples aux plus ardues, sont vraies ou fausses. Pour élaborer de nouvelles assertions à partir d'un petit jeu de base, qu'on appelle axiomes, on utilise [quasiment exclusivement non ?] les connecteurs logiques et les quantificateurs.

## Connecteurs logiques

Ici $P$ et $Q$ désignent des assertions. On en construit de nouvelles grâce aux connecteurs logiques suivants. On présente le résultat de la nouvelle assertion, en fonction des valeurs de vérité de $P$ et $Q$ dans une table de vérité :

### Négation

On note non P ou ¬P, la négation de $P$ :
| P | non P (¬P) |
| Vrai | Faux |
| Faux | Vrai |

### Conjonction

L'assertion « P et Q » (aussi notée « P ∧ Q ») est vraie si et seulement si P et Q sont toutes deux vraies :
| P | Q | P ∧ Q |
| Faux | Faux | Faux |
| Faux | Vrai | Faux |
| Vrai | Faux | Faux |
| Vrai | Vrai | Vrai |
On appelle cette assertion la conjonction de P et de Q.

### Disjonction

On appelle disjonction de P et Q l'assertion « P ou Q » (aussi notée « P ∨ Q ». Elle est vraie si et seulement si au moins l'une des deux assertions P et Q est vraie. Il s'agit d'un « ou » inclusif :
| P | Q | P ∨ Q |
| Faux | Faux | Faux |
| Faux | Vrai | Vrai |
| Vrai | Faux | Vrai |
| Vrai | Vrai | Vrai |

### Implication

On appelle implication de Q par P l'assertion « $P\Rightarrow Q$ » qui n'est autre que « non P ou Q » :
| P | Q | non P | $P\Rightarrow Q$ |
| Vrai | Vrai | Faux | Vrai |
| Vrai | Faux | Faux | Faux |
| Faux | Vrai | Vrai | Vrai |
| Faux | Faux | Vrai | Vrai |
Remarques :
* Si P et « $P\Rightarrow Q$ » sont vraies, alors Q est vrai. Par contre, en écrivant que « $P\Rightarrow Q$ » est vraie, on ne se prononce pas sur la valeur de vérité de P ni de Q.
* Si « $P\Rightarrow Q$ » est vraie, on dit que P est une condition suffisante de Q et que Q est une condition nécessaire de P.

### Équivalence

On appelle équivalence de P et Q l'assertion, notée « $P\Leftrightarrow Q$ » — qui n'est autre que « ($P\Rightarrow Q)\,{\text{et}}\,(Q\Rightarrow P)$ ».
$P\Leftrightarrow Q$ est vraie si et seulement si P et Q ont même valeur de vérité. Dans ce cas on dit que P (resp : Q) est une condition nécessaire et suffisante de Q (resp : P) :
| P | Q | $P\Rightarrow Q$ | $Q\Rightarrow P$ | $P\Leftrightarrow Q$ |
| Vrai | Vrai | Vrai | Vrai | Vrai |
| Vrai | Faux | Faux | Vrai | Faux |
| Faux | Vrai | Vrai | Faux | Faux |
| Faux | Faux | Vrai | Vrai | Vrai |

### Quelques résultats usuels

Ici P, Q et R désignent des assertions quelconques. Les résultats suivants sont valables :
* ${\text{non}}(P\,{\text{et}}\,Q)\Leftrightarrow ({\text{non}}\,P\,{\text{ou non}}\,Q)$
* ${\text{non}}(P\,{\text{ou}}\,Q)\Leftrightarrow ({\text{non}}\,P\,{\text{et non}}\,Q)$
* ${\text{non}}(P\Rightarrow Q)\Leftrightarrow (P\,{\text{et non}}\,Q)$
* $(P\Rightarrow Q)\Leftrightarrow ({\text{non}}\,Q\Rightarrow {\text{non}}\,P)$ (c'est la contraposition ou modus tollens.)
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