# Initiation au calcul intégral/Intégrale d’une fonction sur un intervalle
## Définition de l'intégrale

La « définition » ci-dessous, bien que prescrite par les programmes, n'est qu'« intuitive » car basée sur la notion d'aire, dont la définition mathématique dépasse largement le niveau de ce cours. Il faut donc se contenter de l'intuition de cette notion, issue de la « connaissance » de l'aire des figures planes usuelles.
Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a,b]$ ($a\leq b$) et soit ${\mathcal {C}}$ la courbe représentative de $f$ sur $[a,b]$.
On considère la portion du plan délimitée par :
$\left\{{\begin{array}{l}x=a{\text{ : droite verticale}}\\x=b{\text{ : droite verticale}}\\y=0{\text{ : axe des abscisses}}\\C:y=f(x){\text{ : courbe de }}f\\\end{array}}\right.$
alors l'aire de cette figure est appelée l'intégrale de $f$ de $a$ à $b$ et notée :
$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$
ou plus simplement :
$\int _{a}^{b}f$
On étend ensuite cette définition :
* à une fonction $f$ continue mais non nécessairement positive, en exprimant $f$ comme différence de deux fonctions continues positives, $f=f_{+}-f_{-}$, et en définissant l'intégrale de $f$ comme la différence des intégrales de ces deux fonctions ;
* à l'intégrale de $b$ à $a$ (avec encore $b\geq a$), définie comme l'opposée de l'intégrale de $a$ à $b$.

### Remarques

   * $\int _{a}^{a}f=0$.
   * Dans l'écriture traditionnelle, $x$ est une variable « muette », c'est-à-dire que la lettre choisie est arbitraire, mais ne doit surtout pas être une lettre déjà utilisée par ailleurs (comme ici $a$ ou $b$) : $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(q)\,\mathrm {d} q$.
   * De même que dans l'expression d'une limite, il n'est pas vraiment indispensable de l’écrire, si on l'omet également dans l'expression de la fonction à intégrer : $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f$. Mais cette écriture simplifiée n'est possible que si la fonction à intégrer est désignée par une lettre (ici $f$) et non par une formule.

## Lien entre intégrale et primitive

Soient $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $a$ un élément de $I$.
$x\mapsto \int _{a}^{x}f$
$f$
$I$
À notre niveau, ce théorème ne peut pas être démontré et n'a même pas de signification précise, puisqu'en définitive, l'intégrale n'a pas été définie mathématiquement. On pourrait, à rebours, le prendre comme une définition de l'intégrale d'une fonction continue, en admettant qu'une telle fonction a des primitives.
Soit $F$ une fonction.
On note $[F(x)]_{x=a}^{x=b}$, ou plus simplement $[F]_{a}^{b}$ le réel $F(b)-F(a)$.
Toute fonction $f$ continue sur un intervalle admet des primitives, et si $F$ est l'une d'elles, on a (pour tous $a$ et $b$ dans cet intervalle) :
$\int _{a}^{b}f=[F]_{a}^{b}$

### Remarque

    L'intégrale ne dépend pas de la primitive choisie. En effet, si $G=F+k$ est une autre primitive de $f$ :
    $[G]_{a}^{b}=[F+k]_{a}^{b}=[F]_{a}^{b}+[k]_{a}^{b}=[F]_{a}^{b}$.

## Exemple

Calculer le réel $I:=\int _{0}^{1}{(x-x^{2}+1)}~\mathrm {d} x$ qui, par définition, représente l'aire ci-dessous :
On note : $f:x\mapsto \cdots$.
Donc une primitive de $f$ est : $F:x\mapsto \cdots$.
Et $I=\int _{0}^{1}{(x-x^{2}+1)}~\mathrm {d} x=\cdots$.
* On pose $f:x\mapsto x-x^{2}+1$.
* Une primitive de $f$ est $F:x\mapsto {\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}+x$.
* $F(0)=0$ et $F(1)={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}+1={\frac {7}{6}}$.
* Donc $I=\int _{0}^{1}f(x)~\mathrm {d} x=F(1)-F(0)={\frac {7}{6}}$.
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