# Dynamique des fluides parfaits/Exercices/Clepsydre

La clepsydre (du grec ancien κλεψύδρα) était utilisée dès le 2e siècle avant Jésus-Christ. Cet instrument comporte une cuve fixe contenant de l'eau et percée d'un petit orifice d'aire A$_0$ sur le fond avec un coefficient de débit CD. L'eau qui s'écoule par l'orifice est recueillie dans un collecteur mobile d'aire A$_1$ suspendu à deux flotteurs cylindriques plongeant dans la cuve. Le débit dans l'orifice étant faible, l'équipage mobile se déplacera lentement et on pourra négliger son inertie.
* Démontrer mathématiquement que le niveau h de l'eau dans la cuve reste constant au cours du temps tant que les flotteurs n'ont pas atteint le fond de la cuve.
* Quelle relation peut-on utiliser pour la vitesse du fluide à l'orifice A$_0$ ? En déduire que le débit par l'orifice est constant et calculer la hauteur à laquelle s'élève le niveau h$_1$ dans le collecteur en 30 minutes. À quoi pouvait servir la clepsydre ?
* Si les flotteurs sont enfoncés initialement de 2 cm dans l'eau et si leur section est A = 75 cm$^2$, pendant combien de temps le débit restera-t-il constant ? Que fera-t-il ensuite ?
       AN : h = 6 cm, C$_D$ = 0,5, A$_0$ = 0,1 mm$^2$, A$_1$ = 150 cm$^2$
1. Soit A$_f$ la surface de la cuve fixe. Le volume V$_f$ d'eau contenu dans la cuve fixe est :
    $V_{f}=A_{f}h-2Ay$
La masse du volume d'eau déplacée par les flotteurs est :
    $\rho \cdot 2Ay=M$
La poussée d'Archimède s'applique car on néglige l'inertie du système, on peut donc considérer le système en équilibre.
On a donc M = masse de l'équipage mobile.
L'équipage mobile a pour masse :
    $\rho A_{1}h_{1}+M_{f}$
En différenciant les deux équations vues ci-dessus, on obtient :
    $2\rho A\,{\rm {d}}y=\rho A_{1}\,{\rm {d}}h_{1}$ ou bien $2A\,{\rm {d}}y=A_{1}\,{\rm {d}}h_{1}$
    $A_{1}\,{\rm {d}}h_{1}={\rm {d}}V_{m}$ est aussi la variation du volume de liquide dans la cuve mobile.
On a un écoulement incompressible, on a donc conservation du débit volumique; on peut donc écrire :
    ${\rm {d}}V_{m}=-{\rm {d}}V_{f}$
    $2A\,{\rm {d}}y=2A\,{\rm {d}}y-A_{f}\,{\rm {d}}h\Rightarrow {\rm {d}}h=0$
2. La loi de Torichelli :
    $V_{0}^{2}=2gh$ , avec V$_0$ vitesse du liquide a l'orifice.
Si h est constante par rapport au temps, V$_0$ est aussi constant par rapport au temps.
On a donc :
    $Q=C_{D}A_{0}V_{0}$ aussi constant (cf. définition du coefficient de débit vu dans le cours)
    $Q=C_{D}A_{0}{\sqrt {2gh}}$
    $Q=5,886.10^{-}8\,{\rm {m^{3}.s^{-1}}}$
d'où :
    $\Delta h_{1}={Q\Delta T \over A_{1}}$
3. Le débit est constant tant que les flotteurs ne touchent pas le fond, c'est-à-dire pour :
    ${\begin{aligned}h-y>0&\Rightarrow y<h\\&\Rightarrow y(t)-y(t=0)<h-y(t=0)\end{aligned}}$
En reprenant 1., on avait :
    $V_{f}=A_{f}h-2Ay$
    ${\rm {d}}V_{f}=-2A\,{\rm {d}}y$
    ${\frac {{\rm {d}}Vf}{{\rm {d}}t}}=-2A{\frac {{\rm {d}}y}{{\rm {d}}t}}=-Q$
    ${\rm {d}}y={Q \over 2A}{\rm {d}}t$
    $\Delta y={Q \over 2A}\Delta t$
d'où :
    $\Delta t={2A\Delta y \over Q}$ pour $\Delta y=h-y(t=0)$
    $\Delta t={2A(h-y(t=0)) \over Q}$
Quand le flotteur atteint le fond, h n'est plus constant et V non plus. Avec $V_{0}^{2}=2gh$ on a :
h diminue, V diminue et Q diminue.
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