# Signaux physiques (PCSI)/Oscillateurs amortis : régime sinusoïdal forcé, impédance complexe
## Exemple de circuit linéaire dans lequel le G.B.F. impose une tension sinusoïdale, réponse transitoire, régime sinusoïdal forcé (r.s.f.)
### Exemple de circuit linéaire dans lequel le G.B.F. impose une tension sinusoïdale d'amplitude et de fréquence fixées

L'exemple choisi est un $\;R\,L\,C\;$ série branché, à travers un « montage suiveur », aux bornes d'un générateur de fonctions $\;{\big$voir schéma ci-contre${\big )}\;$ permettant de sélectionner la forme sinusoïdale de la f.e.m., sa fréquence ainsi que son amplitude$^,$ ou sa valeur efficace$^,$ $\;{\big$on vérifiera l'absence de composante continue${\big )}$ ;
on se propose de déterminer la réponse en $\;u_{C}(t)\;$ tension aux bornes du condensateur du $\;R\,L\,C\;$ série soumis à la tension sinusoïdale $\;u_{g}(t)\;$ de fréquence $\;f\;$ et de valeur efficace $\;U_{g}\;$ toutes deux fixées c'est-à-dire d'expression instantanée $\;u_{g}(t)=$ $U_{g}\,{\sqrt {2}}\,\cos \!\left(\omega \,t+\varphi _{g}\right)\;$ où $\;\omega \;$ est la pulsation liée à la fréquence $\;f\;$ par $\;\omega =2\,\pi \;f$ ;
on détermine l'équation différentielle en $\;u_{C}(t)\;$ tension aux bornes du condensateur du $\;R\,L\,C\;$ série soumis à la tension sinusoïdale $\;u_{g}(t)\;$ par application de la loi de maille, soit, après normalisation,
$\;{\ddot {u}}_{C}(t)+{\dfrac {R}{L}}\,{\dot {u}}_{C}(t)+{\dfrac {1}{L\,C}}\,u_{C}(t)={\dfrac {1}{L\,C}}\,u_{g}(t)\;$
$\;{\ddot {u}}_{C}(t)+{\dfrac {R}{L}}\,{\dot {u}}_{C}(t)+{\dfrac {1}{L\,C}}\,u_{C}(t)={\dfrac {1}{L\,C}}\,U_{g}\,{\sqrt {2}}\,\cos \!\left(\omega \,t+\varphi _{g}\right)\;$

### Réponse transitoire en tension aux bornes du condensateur du « R L C série » soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace et fréquence fixées

La réponse transitoire d'une équation différentielle linéaire hétérogène à excitation sinusoïdale de fréquence $\;f$ est la somme de la solution « libre » de l'équation différentielle correspondante homogène et de la solution « forcée sinusoïdale de même fréquence $\;f\;$» de l'équation différentielle hétérogène ;
faisant la réduction canonique de l'équation différentielle linéaire hétérogène en $\;u_{C}(t)\;$ tension aux bornes du condensateur d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à la tension sinusoïdale $\;u_{g}(t)=$ $U_{g}\,{\sqrt {2}}\,\cos \!\left(\omega \,t+\varphi _{g}\right)$, on obtient, avec
* la « pulsation propre $\;\omega _{0}={\dfrac {1}{\sqrt {L\;C}}}\;$» et
* le « facteur de qualité $\;Q={\dfrac {L\;\omega _{0}}{R}}={\dfrac {1}{R\;C\;\omega _{0}}}\;$»
la forme canonique suivante «$\;{\ddot {u_{C}}}(t)+{\dfrac {\omega _{0}}{Q}}\,{\dot {u_{C}}}(t)+\omega _{0}^{2}\,u_{C}(t)=\omega _{0}^{2}\,U_{g}\,{\sqrt {2}}\,\cos \!\left(\omega \,t+\varphi _{g}\right)\;$» ;
la réponse transitoire s'écrit alors «$\;u_{C}(t)=u_{C,\,l}(t)+u_{C,\,f}(t)\;$» avec « la solution libre $\;u_{C,\,l}(t)\;$ qui s'amortit en quelques $\;\tau ={\dfrac {L}{R}}={\dfrac {Q}{\omega _{0}}}\;$» et « la solution forcée sinusoïdale explicitée selon $\;u_{C,\,f}(t)=$ $U_{c}\,{\sqrt {2}}\,\cos \!\left(\omega \,t+\varphi _{c}\right)\;$» où $\;U_{c}\;$ est la grandeur efficace et $\;\varphi _{c}\;$ la phase à l'origine de la tension aux bornes du condensateur, ces deux grandeurs dépendant, a priori, de $\;R$, $\;L$, $\;C$, $\;\omega$, $\;U_{g}$, $\;\varphi _{g}$ et restant à déterminer.

### Amortissement très rapide de la solution libre, notion de régime sinusoïdal forcé (r.s.f.)

Dans l'exemple considéré ci-dessus la constante de temps $\;\tau \;$ intervenant dans la réduction canonique est « toujours petite » même si l'inductance propre utilisée est relativement grande et la résistance relativement petite, ceci a donc pour conséquence l'amortissement de la solution libre au bout d'une « durée toujours petite, quelques $\;\tau \;$» $\;{\big$au plus en pratique $\;10\,\tau \;$$^,$${\big )}\;$ et par suite, on peut estimer que la réponse transitoire se confondant très rapidement avec la réponse sinusoïdale forcée, il est légitime de ne considérer que cette dernière en négligeant la phase transitoire ;
faire ceci c'est se placer d'emblée en « régime sinusoïdal forcé » ou « r.s.f. » et c'est que nous ferons systématiquement à l'exception de cas très particuliers.

### Détermination de la réponse en tension aux bornes du condensateur du « R L C série » soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace et fréquence fixées en « r.s.f. »

Il faut donc déterminer la valeur efficace $\;U_{c}\;$ ainsi que la phase à l'origine $\;\varphi _{c}\;$ de la réponse $\;u_{C,\,f}(t)\;$ et pour cela on pourrait reporter $\;u_{C,\,f}(t)=$ $U_{c}\,{\sqrt {2}}\,\cos \!\left(\omega \,t+\varphi _{c}\right)\;$ dans l'équation différentielle puis faire l'identification pour tout $\;t\;\ldots \;$
ce n'est pas ce que nous ferons car ce serait trop laborieux et pour dissuader d'avoir envie de faire ce traitement, nous allons l'amorcer ci-dessous, en commençant par le calcul des dérivées temporelles de la réponse et la décomposition en composantes paire $\;\cos \!\left(\omega \,t\right)\;$ et impaire $\;\sin \!\left(\omega \,t\right)\;$ de toutes les grandeurs sinusoïdales pour identification :
* $\;u_{C,\,f}(t)=U_{c}\,{\sqrt {2}}\,\cos \!\left(\omega \,t+\varphi _{c}\right)=U_{c}\,{\sqrt {2}}\,\left[\cos \!\left(\omega \,t\right)\,\cos(\varphi _{c})-\sin \!\left(\omega \,t\right)\,\sin(\varphi _{c})\right]$,
* $\;{\dot {u}}_{C,\,f}(t)=-U_{c}\,{\sqrt {2}}\;\omega \,\sin \!\left(\omega \,t+\varphi _{c}\right)=-U_{c}\,{\sqrt {2}}\;\omega \,\left[\sin(\varphi _{c})\,\cos \!\left(\omega \,t\right)+\cos(\varphi _{c})\,\sin \!\left(\omega \,t\right)\right]$,
* $\;{\ddot {u}}_{C,\,f}(t)=-U_{c}\,{\sqrt {2}}\;\omega ^{2}\,\cos \!\left(\omega \,t+\varphi _{c}\right)=-U_{c}\,{\sqrt {2}}\;\omega ^{2}\,\left[\cos \!\left(\omega \,t\right)\,\cos(\varphi _{c})-\sin \!\left(\omega \,t\right)\,\sin(\varphi _{c})\right]\;$ et
* $\;u_{g}(t)=U_{g}\,{\sqrt {2}}\,\cos \!\left(\omega \,t+\varphi _{g}\right)=U_{g}\,{\sqrt {2}}\,\left[\cos \!\left(\omega \,t\right)\,\cos(\varphi _{g})-\sin \!\left(\omega \,t\right)\,\sin(\varphi _{g})\right]$ ;
reportant dans l'équation différentielle en séparant composantes paire et impaire, on obtient :
$\;\succ \;$pour la composante paire $\;U_{c}\left[-\omega ^{2}\,\cos(\varphi _{c})-{\dfrac {\omega _{0}}{Q}}\;\omega \,\sin(\varphi _{c})+\omega _{0}^{2}\,\cos(\varphi _{c})\right]=U_{g}\,\cos(\varphi _{g})\;$ et
$\;\succ \;$pour la composante impaire $\;U_{c}\left[\omega ^{2}\,\sin(\varphi _{c})-{\dfrac {\omega _{0}}{Q}}\;\omega \,\cos(\varphi _{c})-\omega _{0}^{2}\,\sin(\varphi _{c})\right]=-U_{g}\,\sin(\varphi _{g})\;$ ;
on résout alors ce système aux deux inconnues $\;U_{c}\;$ et $\;\varphi _{c}\;$ $\;\ldots \;$ en conservant une valeur positive pour $\;U_{c}\;$ et la détermination principale pour $\;\varphi _{c}$ $\;\ldots \;$ mais ce n'est pas la méthode à utiliser car beaucoup trop laborieux $\;\ldots$

## Notion d'électricité « complexe » associée au r.s.f., lois de Kirchhoff en complexe
### Rappel de la méthode « des complexes » de recherche de la réponse sinusoïdale forcée d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à une excitation sinusoïdale

Pour cela $\;{\big$re${\big )}$voir le paragraphe « exposé de la méthode des complexes pour trouver la solution forcée sinusoïdale (quand elle existe) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale suivant que celle-ci est sous la forme d'un cosinus ou d'un sinus » du chap.$2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

### Application de la méthode « des complexes » à la détermination de la réponse en tension aux bornes du condensateur du « R L C série » soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace et fréquence fixées en « r.s.f. »

L'application de la méthode « des complexes » à la recherche de la solution sinusoïdale forcée $\;u_{C,\,f}(t)$, tension aux bornes du condensateur du $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension sinusoïdale $\;u_{g}(t)\;$ de fréquence $\;f\;$ ${\big$ou de pulsation $\;\omega =2\,\pi \,f{\big )}\;$ et valeur efficace $\;U_{g}\;$ ${\big$ou d'amplitude $\;U_{g,\,{\text{max}}}=U_{g}\,{\sqrt {2}}{\big )}\;$ fixées, c'est-à-dire une tension fournie par le générateur de fonctions monté aux bornes du $\;R\,L\,C\;$ série égale à $\;u_{g}(t)=U_{g}\,{\sqrt {2}}\,\cos \!\left(\omega \,t+\varphi _{g}\right)$, nous conduit à L'application de la méthode « des complexes » à déterminer la tension $\;u_{C,\,f}(t)=$ $U_{c}\,{\sqrt {2}}\,\cos \!\left(\omega \,t+\varphi _{c}\right)\;$ en introduisant les grandeurs instantanées complexes associées aux tensions sinusoïdales précédentes après avoir, auparavant, établi l'équation différentielle en $\;u_{C}(t)\;$ par application de la loi de maille ce qui donne, après normalisation, «$\;{\ddot {u}}_{C}(t)+{\dfrac {R}{L}}\,{\dot {u}}_{C}(t)+{\dfrac {1}{L\,C}}\,u_{C}(t)=$ ${\dfrac {1}{L\,C}}\,u_{g}(t)\;\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$», ou encore, après réduction canonique «$\;{\ddot {u}}_{C}(t)+{\dfrac {\omega _{0}}{Q}}\,{\dot {u}}_{C}(t)+\omega _{0}^{2}\,u_{C}(t)=\omega _{0}^{2}\,u_{g}(t)\;\;\left({\mathfrak {1}}\right)_{\text{réd. canon.}}\;$» avec la « pulsation propre du $\;R\,L\,C\;$ série $\;\omega _{0}={\dfrac {1}{\sqrt {L\;C}}}\;$» et le « facteur de qualité $\;Q={\dfrac {L\;\omega _{0}}{R}}=$ ${\dfrac {1}{R\;C\;\omega _{0}}}\;$» ;
on définit donc « la tension instantanée complexe intervenant dans l'excitation $\;{\underline {u_{g}}}(t)={\underline {U}}\,{\sqrt {2}}\,\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$» dans laquelle «$\;{\underline {U}}=U\,\exp \!\left(j\,\varphi _{g}\right)\;$ est la tension efficace complexe associée » et
on définit donc « la réponse forcée instantanée complexe $\;{\underline {u_{C,\,f}}}(t)={\underline {U_{c}}}\,{\sqrt {2}}\,\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$»$^,$ dans laquelle «$\;{\underline {U_{c}}}=U_{c}\,\exp \!\left(j\,\varphi _{c}\right)\;$ est la tension efficace complexe associée » puis
on utilise la propriété de dérivation temporelle des grandeurs instantanées complexes équivalente à celle de multiplication par $\;j\,\omega \;$ on utilise la propriété pour transformer l'« équation différentielle $\;\left({\mathfrak {1}}\right)_{\text{réd. canon.}}\;$» en «$\;{\mathcal {P}}\!\left(j\,\omega \right)\;{\underline {U_{c}}}=\omega _{0}^{2}\;{\underline {U_{g}}}\;$» où «$\;{\mathcal {P}}\!\left(j\,\omega \right)=\left(j\,\omega \right)^{2}+{\dfrac {\omega _{0}}{Q}}\,\left(j\,\omega \right)+\omega _{0}^{2}\;$ est le polynôme caractéristique de cette équation différentielle $\;\left({\mathfrak {1}}\right)_{\text{réd. canon.}}\;$», polynôme caractéristique que l'on peut réécrire sous la forme algébrique suivante «$\;{\mathcal {P}}\!\left(j\,\omega \right)=\left(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}\right)+j\,{\dfrac {\omega _{0}\,\omega }{Q}}\;$» ;
dans le cas d'un circuit oscillant amorti $\;{\big$C.O.A.${\big )}$ $\;{\big$c'est-à-dire dans lequel $\;R\neq 0{\big )}\;$ tel que la fréquence imposée soit quelconque ou dans le cas d'un circuit oscillant non amorti $\;{\big$C.O.N.A.${\big )}$ $\;{\big$c'est-à-dire dans lequel $\;R=0{\big )}\;$ tel que la fréquence imposée soit différente de la fréquence propre du C.O.N.A. $\;{\big$soit $\;\omega \neq \omega _{0}{\big )}$,
dans le cas d'un circuit oscillant le polynôme caractéristique ne s'annulant pas, on peut inverser l'équation algébrique pour en déduire la « tension efficace complexe associée à la réponse forcée complexe cherchée $\;{\underline {U_{c}}}={\dfrac {\omega _{0}^{2}}{{\mathcal {P}}\!\left(j\,\omega \right)}}\;{\underline {U_{g}}}={\dfrac {\omega _{0}^{2}}{\left(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}\right)+j\,{\dfrac {\omega _{0}\,\omega }{Q}}}}\;{\underline {U_{g}}}\;$» ;
dans le cas d'un circuit oscillant on en déduit la « réponse forcée sinusoïdale $\;u_{C,\,f}(t)=U_{c}\,{\sqrt {2}}\,\cos \!\left(\omega \,t+\varphi _{c}\right)\;$» avec
* la « tension efficace associée $\;U_{c}={\big \vert }\,{\underline {U_{c}}}\,{\big \vert }={\dfrac {\omega _{0}^{2}}{\left(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}\right)^{2}+{\dfrac {\omega _{0}^{2}\,\omega ^{2}}{Q^{2}}}}}\;U_{g}={\dfrac {Q^{2}\;\omega _{0}^{2}}{Q^{2}\left(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}\right)^{2}+\omega _{0}^{2}\,\omega ^{2}}}\;U_{g}\;$» et
* la « phase à l'origine associée $\;\varphi _{c}=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {U_{c}}}\right]=\varphi _{g}-\mathrm {arg} \!\left[\left(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}\right)+j\,{\dfrac {\omega _{0}\,\omega }{Q}}\right]=\varphi _{g}-\mathrm {arg} \!\left\lbrace j\,{\dfrac {\omega _{0}\,\omega }{Q}}\left[1-j\,Q\left({\dfrac {\omega _{0}}{\omega }}-{\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}\right)\right]\right\rbrace \;$» soit «$\;\varphi _{c}=\varphi _{g}-{\dfrac {\pi }{2}}+\arctan \!\left[Q\left({\dfrac {\omega _{0}}{\omega }}-{\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}\right)\right]\;$».

### Notion d'électricité « complexe » associée au r.s.f.

Bien que cette méthode « des complexes » pour la recherche de la solution sinusoïdale forcée d'une équation différentielle à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale soit relativement simple, nous allons rendre son utilisation encore plus simple en introduisant une électricité « complexe » associée au domaine du r.s.f. de l'électricité $\;\ldots$
Cette électricité « complexe » dont les parties réelle et imaginaire sont deux faces d'un même problème, avec pour seul changement l'utilisation de fonction cosinus ou sinus, est rendue possible parce que
* « la partie réelle $\;{\big$ou imaginaire${\big )}\;$ d'une somme de complexes est égale à la somme des parties réelles $\;{\big$ou imaginaires${\big )}\;$ de chaque complexe »,
* « la dérivation temporelle se réduit à une multiplication par $\;j\;\omega \;$» et
* « la prise de primitive à valeur moyenne nulle se réduit à une division par $\;j\;\omega \;$»,
ceci entraînant qu'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale se réduit à une relation de proportionnalité du type $\;{\mathcal {P}}\!\left(j\,\omega \right)\;{\underline {y}}(t)={\underline {e}}(t)\;$ où «$\;{\mathcal {P}}\!\left(j\,\omega \right)\;$ est le polynôme caractéristique de l'équation non normalisée déduite de la loi de maille » $\;\ldots$
L'électricité « complexe » transforme donc un problème d'analyse « recherche de la solution forcée sinusoïdale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale » en un problème d'algèbre élémentaire dans le domaine complexe « résolution d'une équation du type $\;a\;x=b\;$» $\;\ldots$
Dans tous les paragraphes qui suivent nous formalisons cette électricité « complexe » associée au r.s.f.

### Grandeurs instantanées et efficaces (tension, intensité, f.e.m. ou c.e.m.) en électricité « complexe » associée au r.s.f.

À toute grandeur instantanée $\;{\big$tension, intensité, f.e.m. ou c.e.m.${\big )}\;$ définie dans un dipôle «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}u(t)=U\,{\sqrt {2}}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{u})\\i(t)=I\,{\sqrt {2}}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{i})\\e(t)=E\,{\sqrt {2}}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{e})\\\eta (t)=I_{0}\,{\sqrt {2}}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{\eta })\end{array}}\right\rbrace \;$» en r.s.f., on associe la grandeur instantanée complexe dans ce dipôle «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\underline {u}}(t)={\underline {U}}\,{\sqrt {2}}\,\exp(j\,\omega \,t)\\{\underline {i}}(t)={\underline {I}}\,{\sqrt {2}}\,\exp(j\,\omega \,t))\\{\underline {e}}(t)={\underline {E}}\,{\sqrt {2}}\,\exp(j\,\omega \,t))\\{\underline {\eta }}(t)={\underline {I_{0}}}\,{\sqrt {2}}\,\exp(j\,\omega \,t))\end{array}}\right\rbrace \;$» en électricité « complexe » associée au r.s.f., ainsi que la grandeur efficace complexe correspondante «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\underline {U}}=U\,\exp(j\,\varphi _{u})\\{\underline {I}}=I\,\exp(j\,\varphi _{i})\\{\underline {E}}=E\,\exp(j\,\varphi _{e})\\{\underline {I_{0}}}=I_{0}\,\exp(j\,\varphi _{\eta })\end{array}}\right\rbrace \;$» ;
de ces dernières on en déduit les grandeurs efficaces et les phases à l'origine correspondantes du r.s.f. respectivement
* « la grandeur efficace en prenant le module, $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}U={\big \vert }\,{\underline {U}}\,{\big \vert }\\I={\big \vert }\,{\underline {I}}\,{\big \vert }\\E={\big \vert }\,{\underline {E}}\,{\big \vert }\\I_{0}={\big \vert }\,{\underline {I_{0}}}\,{\big \vert }\end{array}}\right\rbrace \;$» et
* « la phase à l'origine en prenant l'argument, $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\varphi _{u}=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {U}}\right]\\\varphi _{i}=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {I}}\right]\\\varphi _{e}=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {E}}\right]\\\varphi _{\eta }=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {I_{0}}}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$».

### Lois de Kirchhoff en électricité « complexe » associée au r.s.f.

On définit la loi de maille en électricité « complexe » associée au r.s.f. $\;{\big$après avoir défini un sens $\;+\;$ de tension « physique » sur la maille${\big )}\;$  On définit la loi de maille en électricité « complexe » associée au r.s.f. $\succ \;$« en tensions instantanées complexes $\;\sum \limits _{k}{\underline {u_{k}}}(t)=0\;$» ou, On définit la loi de maille en électricité « complexe » associée au r.s.f. $\color {transparent}{\succ }\;$en divisant les deux membres par $\;{\sqrt {2}}\,\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)$,  On définit la loi de maille en électricité « complexe » associée au r.s.f. $\succ \;$« en tensions efficaces complexes $\;\sum \limits _{k}{\underline {U_{k}}}=0\;$» ;  On définit la loi de maille en électricité « complexe » associée au r.s.f. la loi de maille en tensions instantanées complexes se justifie par le fait que sa partie réelle $\;{\big$ou imaginaire${\big )}\;$ donne la loi de maille « physique » «$\;\sum \limits _{k}u_{k}(t)=0\;$».
On définit la loi de nœud en électricité « complexe » associée au r.s.f. $\;{\big$après avoir défini les sens $\;+\;$ d'intensité de courant « physique » sur les fils arrivant au nœud ou en partant${\big )}\;$  On définit la loi de nœud en électricité « complexe » associée au r.s.f. $\succ \;$« en intensités instantanées complexes des courants $\;\sum \limits _{k\,{\text{arrivant}}}^{\text{au nœud}}{\underline {i_{k}}}(t)=\sum \limits _{l\,{\text{partant}}}^{\text{du nœud}}{\underline {i_{l}}}(t)\;$» ou,  On définit la loi de nœud en électricité « complexe » associée au r.s.f. $\color {transparent}{\succ }\;$en divisant les deux membres par $\;{\sqrt {2}}\,\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)$,  On définit la loi de nœud en électricité « complexe » associée au r.s.f. $\succ \;$« en intensités efficaces complexes des courants $\;\sum \limits _{k\,{\text{arrivant}}}^{\text{au nœud}}{\underline {I_{k}}}=\sum \limits _{l\,{\text{partant}}}^{\text{du nœud}}{\underline {I_{l}}}\;$» ;  On définit la loi de maille en électricité « complexe » associée au r.s.f. la loi de nœud en intensités instantanées complexes des courants se justifie par le fait que sa partie réelle $\;{\big$ou imaginaire${\big )}\;$ donne la loi de nœud « physique » «$\;\sum \limits _{k\,{\text{arrivant}}}^{\text{au nœud}}i_{k}(t)=\sum \limits _{l\,{\text{partant}}}^{\text{du nœud}}i_{l}(t)\;$».

## Lois d'Ohm de l'électricité « complexe » applicables aux D.P.L. au sens de l'A.R.Q.S. étudiés en r.s.f., notion d'impédances complexes et d'admittances complexes, cas d'un conducteur ohmique, d'un condensateur (parfait) et d'une bobine (parfaite)
### Introduction : transformation du “ lien d'équation différentielle à cœfficients réels constants entre tension aux bornes d'un D.P.L. et intensité de courant le traversant du r.s.f. ” en “ loi d'Ohm de l'électricité « complexe » associée au r.s.f. ”, notion d'« impédance complexe du D.P.L. utilisé en r.s.f. »

Considérons un D.P.L. fonctionnant en r.s.f. avec le choix de convention récepteur on a, par exemple,
* une relation du type $\;u(t)=a\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+b\;i(t)\;$ ou
* une relation du type $\;i(t)=\alpha \;{\dfrac {du}{dt}}(t)+\beta \;u(t)\;$ ou
* une association plus complexe $\;\Gamma \;{\dfrac {du}{dt}}(t)+\Theta \;u(t)=\mathrm {A} \;{\dfrac {di}{dt}}(t)+\mathrm {B} \;i(t)\;$ ;
quand on passe en électricité « complexe », on obtient sur chacun des exemples précédents
* une relation du type $\;{\underline {u}}(t)=a\;{\dfrac {d{\underline {i}}}{dt}}(t)+b\;{\underline {i}}(t)\;$ soit, après explicitation des dérivées, «$\;{\underline {u}}(t)=\left(j\,\omega \,a+b\right){\underline {i}}(t)\;$» ou
* une relation du type $\;{\underline {i}}(t)=\alpha \;{\dfrac {d{\underline {u}}}{dt}}(t)+\beta \;{\underline {u}}(t)\;$ soit, après explicitation des dérivées, «$\;{\underline {i}}(t)=\left(j\,\omega \,\alpha +\beta \right){\underline {u}}(t)\;$» ou
* une association plus complexe $\;\Gamma \;{\dfrac {d{\underline {u}}}{dt}}(t)+\Theta \;{\underline {u}}(t)=\mathrm {A} \;{\dfrac {d{\underline {i}}}{dt}}(t)+\mathrm {B} \;{\underline {i}}(t)\;$ soit, après explicitation des dérivées, «$\;\left(j\,\omega \,\Gamma +\Theta \right){\underline {i}}(t)=$ $\left(j\,\omega \,\mathrm {A} +\mathrm {B} \right){\underline {u}}(t)\;$» ;
quand on passe en électricité « complexe », soit, dans tous les cas, une relation de proportionnalité entre tension instantanée complexe et intensité instantanée complexe c'est-à-dire quand on passe en électricité « complexe », soit, dans tous les cas, une loi d'Ohm de l'électricité « complexe » associée au r.s.f., le cœfficient multipliant l'intensité instantanée complexe pour donner la tension instantanée complexe définissant l'impédance complexe du D.P.L. étudié en électricité complexe associée au r.s.f. selon
$\;{\underline {Z}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {u}}(t)}{{\underline {i}}(t)}}={\dfrac {\underline {U}}{\underline {I}}}\;$
* $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )=b+j\,a\,\omega \;$ pour le 1er exemple,
* $\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{\beta +j\,\alpha \,\omega }}\;$ pour le 2ème et
* $\;{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )={\dfrac {\mathrm {B} +j\,\mathrm {A} \,\omega }{\Theta +j\,\Gamma \,\omega }}\;$ pour le 3ème $\;\ldots$
L'une des principales taches de l'électricité « complexe » associée au r.s.f. sera donc de déterminer l'impédance complexe du D.P.L. équivalent intervenant dans le problème et L'une des principales taches de l'électricité « complexe » associée au r.s.f. sera une fois évaluée «$\;{\underline {Z}}(j\,\omega )\;$», d'en tirer les informations de sa 2ème définition «$\;{\underline {Z}}(j\,\omega )={\dfrac {\underline {U}}{\underline {I}}}={\dfrac {U}{I}}\,\exp \!\left[j\left(\varphi _{u}-\varphi _{i}\right)\right]\;$» ou, L'une des principales taches de l'électricité « complexe » associée au r.s.f. sera une fois évaluée «$\;\color {transparent}{{\underline {Z}}(j\,\omega )}\;$», en définissant l'impédance du D.P.L. en r.s.f. par $\;Z(\omega )={\dfrac {U}{I}}\;$ exprimée en $\;\Omega$, L'une des principales taches de l'électricité « complexe » associée au r.s.f. sera une fois évaluée «$\;\color {transparent}{{\underline {Z}}(j\,\omega )}\;$», d'en tirer les informations de sa 3ème définition «$\;{\underline {Z}}(j\,\omega )=Z(\omega )\;\exp \!\left[j\left(\varphi _{u}-\varphi _{i}\right)\right]\;$» :  L'une des principales taches de l'électricité « complexe » associée au r.s.f. sera une fois évaluée «$\;\color {transparent}{{\underline {Z}}(j\,\omega )}\;$», $\succ \;$en prenant le module de $\;{\underline {Z}}(j\,\omega )\;$ $\Rightarrow$ «$\;Z(\omega )=\vert {\underline {Z}}(j\,\omega )\vert \;$ c'est-à-dire l'impédance du D.P.L. en r.s.f. » ou « le rapport de la tension efficace aux bornes du D.P.L. sur l'intensité efficace du courant le traversant » et  L'une des principales taches de l'électricité « complexe » associée au r.s.f. sera une fois évaluée «$\;\color {transparent}{{\underline {Z}}(j\,\omega )}\;$», $\succ \;$en prenant l'argument de $\;{\underline {Z}}(j\,\omega )\;$ $\Rightarrow$ «$\;\varphi _{u}-\varphi _{i}=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {Z}}(j\,\omega )\right]\;$ c'est-à-dire l'avance de phase de la tension aux bornes du D.P.L. sur l'intensité du courant le traversant ».

### Notion d'« admittance complexe d'un D.P.L. utilisé en r.s.f. »

De même qu'en régime permanent après avoir défini la résistance d'un récepteur obéissant à la loi d'Ohm, on a introduit son inverse la conductance ainsi que la loi d'Ohm correspondante, De même qu'en régime sinusoïdal forcé $\;{\big$r.s.f.${\big )}$, on introduit l'« admittance complexe du D.P.L. étudié en électricité complexe associée au r.s.f. noté $\;{\underline {Y}}(j\,\omega )\;$» comme l'inverse de l'impédance complexe $\;{\underline {Z}}(j\,\omega )\;$ du D.P.L. soit
$\;{\underline {Y}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{{\underline {Z}}(j\,\omega )}}\;$
$\;{\underline {Y}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {i}}(t)}{{\underline {u}}(t)}}={\dfrac {\underline {I}}{\underline {U}}}\;$
$\;Y(\omega )={\dfrac {1}{Z(\omega )}}={\dfrac {I}{U}}\;$
$\;S\;$
$\;{\underline {Y}}(j\,\omega )=Y(\omega )\,\exp \!\left[-j\left(\varphi _{u}-\varphi _{i}\right)\right]\;$
* « le module de l'admittance complexe donnant l'admittance du dipôle » soit «$\;{\big \vert }\,{\underline {Y}}(j\,\omega )\,{\big \vert }=Y(\omega )={\dfrac {I}{U}}\;$» et
* « son argument donnant l'opposé de l'avance de phase de la tension sur l'intensité » soit «$\;\mathrm {arg} \!\left[{\underline {Y}}(j\,\omega )\right]=-\left(\varphi _{u}-\varphi _{i}\right)\;$».

### Représentation des D.P.L. en électricité « complexe » associée au r.s.f.

Comme ces derniers suivent, en électricité « complexe » associée au r.s.f., la loi d'Ohm, on les représente par un rectangle en indiquant leur impédance complexe à côté du rectangle $\;{\big$ne pas oublier de représenter les flèches tension et courant pour préciser la convention choisie $\;{\big$jusqu'ici c'est la convention récepteur qui a été choisie${\big )}{\big ]}$.

### Conducteur ohmique de résistance R

« Loi d'ohm en r.s.f. » «$\;u_{R}(t)=R\;i_{R}(t)\;$» $\Leftarrow$ « loi d'ohm en électricité complexe associée au r.s.f. » «$\;{\underline {u_{R}}}(t)=R\;{\underline {i_{R}}}(t)\;$» ou «$\;{\underline {U_{R}}}=R\;{\underline {I_{R}}}\;$» d'où « Loi d'ohm en r.s.f. » «$\;\color {transparent}{u_{R}(t)=R\;i_{R}(t)}\;$» $\color {transparent}{\Leftarrow }$ en introduisant l'impédance complexe $\;{\underline {Z_{R}}}\;$ ou l'admittance complexe $\;{\underline {Y_{R}}}$ :
* l'« impédance complexe du conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ vaut $\;{\underline {Z_{R}}}=R\;$» dont on tire
$\;\succ \;$l'« impédance du conducteur ohmique de résistance $\;R\;$» valant «$\;Z_{R}={\big \vert }\,{\underline {Z_{R}}}\,{\big \vert }=R={\dfrac {U_{R}}{I_{R}}}\;$» et  $\;\succ \;$l'« avance de phase de $\;u_{R}(t)\;$ sur $\;i_{R}(t)\;$» valant «$\;\left(\varphi _{u_{R}}-\varphi _{i_{R}}\right)=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {Z_{R}}}\right]=0\;$», la tension aux bornes du conducteur ohmique est toujours en phase avec l'intensité du courant le traversant ;
* l'« admittance complexe du conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ vaut $\;{\underline {Y_{R}}}={\dfrac {1}{R}}=G\;$» dont on tire
$\;\succ \;$l'« admittance du conducteur ohmique de résistance $\;R\;$» valant «$\;Y_{R}={\big \vert }\,{\underline {Y_{R}}}\,{\big \vert }={\dfrac {1}{R}}={\dfrac {I_{R}}{U_{R}}}\;$» c'est-à-dire égale à sa conductance et  $\;\succ \;$l'« avance de phase de $\;u_{R}(t)\;$ sur $\;i_{R}(t)\;$» valant «$\;\left(\varphi _{u_{R}}-\varphi _{i_{R}}\right)=-\mathrm {arg} \!\left[{\underline {Y_{R}}}\right]=0\;$», la tension aux bornes du conducteur ohmique est toujours en phase avec l'intensité du courant le traversant.

### Bobine parfaite d'inductance propre L

« Loi “ physique ” en r.s.f. » «$\;u_{L}(t)=L\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)\;$» $\Leftarrow$ « loi en électricité complexe associée au r.s.f. » «$\;{\underline {u_{L}}}(t)=L\;{\dfrac {d{\underline {i_{L}}}}{dt}}(t)\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\underline {u_{L}}}(t)=L\left(j\,\omega \right){\underline {i_{L}}}(t)\;$» ou «$\;{\underline {U_{L}}}=L\left(j\,\omega \right){\underline {I_{L}}}\;$» d'où « Loi “ physique ” en r.s.f. » «$\;\color {transparent}{u_{L}(t)=L\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)}\;$» $\color {transparent}{\Leftarrow }$ en introduisant l'impédance complexe $\;{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )\;$ ou l'admittance complexe $\;{\underline {Y_{L}}}(j\,\omega )$ :
* l'« impédance complexe de la bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$» vaut «$\;{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )=j\;L\;\omega \;$» dont on tire
$\;\succ \;$l'« impédance de la bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$» valant «$\;Z_{L}(\omega )={\big \vert }\,{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )\,{\big \vert }=L\;\omega ={\dfrac {U_{L}}{I_{L}}}\;$» ${\big$exemple une bobine d'inductance propre $\;L=$ $0,1\,H\;$ fonctionnant sous une fréquence de $\;50\,Hz\;$ a une impédance $\;Z_{L}=0,1\times (2\;\pi \times 50)\simeq 31,4\;\Omega$, si l'intensité efficace du courant la traversant est de $\;100\,mA\;$ la tension efficace à ses bornes sera $\;\simeq 3,14\,V$, ces deux grandeurs étant mesurées à l'aide de multimètres en fonctionnement alternatif${\big ]}\;$ et  $\;\succ \;$l'« avance de phase de $\;u_{L}(t)\;$ sur $\;i_{L}(t)\;$» valant «$\;\left(\varphi _{u_{L}}-\varphi _{i_{L}}\right)=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )\right]={\dfrac {\pi }{2}}\;$», la tension aux bornes d'une bobine parfaite est toujours en quadrature avance sur l'intensité du courant la traversant $\;{\big$à l'oscilloscope la tension aux bornes de la bobine parfaite serait un quart de période en avance sur la tension aux bornes d'un conducteur ohmique en série permettant d'observer l'intensité du courant la traversant${\big )}$ ;
* l'« admittance complexe de la bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$» vaut «$\;{\underline {Y_{L}}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{j\,L\,\omega }}=-j\,{\dfrac {1}{L\,\omega }}\;$» dont on tire
$\;\succ \;$l'« admittance de la bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$» valant «$\;Y_{L}(\omega )={\big \vert }\,{\underline {Y_{L}}}(j\,\omega )\,{\big \vert }={\dfrac {1}{L\,\omega }}={\dfrac {I_{L}}{U_{L}}}\;$» c'est-à-dire l'inverse de l'impédance et  $\;\succ \;$l'« avance de phase de $\;u_{L}(t)\;$ sur $\;i_{L}(t)\;$» valant «$\;\left(\varphi _{u_{L}}-\varphi _{i_{L}}\right)=-\mathrm {arg} \!\left[{\underline {Y_{L}}}(j\,\omega )\right]=-\mathrm {arg} \!\left[-j\,{\dfrac {1}{L\,\omega }}\right]={\dfrac {\pi }{2}}\;$», la tension aux bornes d'une bobine parfaite est toujours en quadrature avance avec l'intensité du courant la traversant.
Représentation d'une bobine parfaite d'auto-inductance $\;L\;$ en électricité « complexe » associé au r.s.f. de fréquence $\;f\;$ ${\big$ou de pulsation $\;\omega {\big )}$ : par un rectangle en mettant à côté du rectangle $\;j\,L\,\omega$.

### Condensateur parfait de capacité C

« Loi “ physique ” en r.s.f. » «$\;i_{C}(t)=C\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)\;$» $\Leftarrow$ « loi en électricité complexe associée au r.s.f. » «$\;{\underline {i_{C}}}(t)=C\;{\dfrac {d{\underline {u_{C}}}}{dt}}(t)\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\underline {i_{C}}}(t)=C\left(j\,\omega \right){\underline {u_{C}}}(t)\;$» ou «$\;{\underline {I_{C}}}=C\left(j\,\omega \right){\underline {U_{C}}}\;$» d'où « Loi “ physique ” en r.s.f. » «$\;\color {transparent}{i_{C}(t)=C\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)}\;$» $\color {transparent}{\Leftarrow }$ en introduisant l'impédance complexe $\;{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )\;$ ou l'admittance complexe $\;{\underline {Y_{C}}}(j\,\omega )$ :
* l'« impédance complexe du condensateur parfait de capacité $\;C\;$» vaut «$\;{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{j\;C\;\omega }}=-j\,{\dfrac {1}{C\,\omega }}\;$» dont on tire
$\;\succ \;$l'« impédance du condensateur parfait de capacité $\;C\;$» valant «$\;Z_{C}(\omega )={\big \vert }\,{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )\,{\big \vert }={\dfrac {1}{C\;\omega }}={\dfrac {U_{C}}{I_{C}}}\;$» ${\bigg$exemple un condensateur de capacité $\;C=$ $10\,\mu F\;$ fonctionnant sous une fréquence de $\;50\,Hz\;$ a une impédance $\;Z_{C}={\dfrac {1}{10\,10^{-6}\times (2\;\pi \times 50)}}\simeq 318\;\Omega$, si l'intensité efficace du courant la traversant est de $\;100\,mA\;$ la tension efficace à ses bornes sera $\;\simeq 31,8\,V$, ces deux grandeurs étant mesurées à l'aide de multimètres en fonctionnement alternatif${\bigg ]}\;$ et  $\;\succ \;$l'« avance de phase de $\;u_{C}(t)\;$ sur $\;i_{C}(t)\;$» valant «$\;\left(\varphi _{u_{C}}-\varphi _{i_{C}}\right)=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )\right]=-{\dfrac {\pi }{2}}\;$», la tension aux bornes d'un condensateur parfait est toujours en quadrature retard avec l'intensité du courant la traversant $\;{\big$à l'oscilloscope la tension aux bornes du condensateur parfait serait un quart de période en retard sur la tension aux bornes d'un conducteur ohmique en série permettant d'observer l'intensité du courant la traversant${\big )}$ ;
* l'« admittance complexe du condensateur parfait de capacité $\;C\;$» vaut «$\;{\underline {Y_{C}}}(j\,\omega )=j\,C\,\omega \;$» dont on tire
$\;\succ \;$l'« admittance du condensateur parfait de capacité $\;C\;$» valant «$\;Y_{C}(\omega )={\big \vert }\,{\underline {Y_{C}}}(j\,\omega )\,{\big \vert }=C\,\omega ={\dfrac {I_{C}}{U_{C}}}\;$» c'est-à-dire l'inverse de l'impédance et  $\;\succ \;$l'« avance de phase de $\;u_{C}(t)\;$ sur $\;i_{C}(t)\;$» valant «$\;\left(\varphi _{u_{C}}-\varphi _{i_{C}}\right)=-\mathrm {arg} \!\left[{\underline {Y_{C}}}(j\,\omega )\right]=-\mathrm {arg} \!\left[j\,C\,\omega \right]=-{\dfrac {\pi }{2}}\;$», la tension aux bornes d'un condensateur parfait est toujours en quadrature retard avec l'intensité du courant la traversant.
Représentation d'un condensateur parfait de capacité $\;C\;$ en électricité « complexe » associé au r.s.f. de fréquence $\;f\;$ ${\big$ou de pulsation $\;\omega {\big )}$ : par un rectangle en mettant à côté du rectangle $\;{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}$.

## Comportement équivalent à B.F. et à H.F. d'un condensateur (parfait) et d'une bobine (parfaite)
### Comportement équivalent à B.F.

Quand «$\;f\rightarrow 0\;$» $\;{\big\omega =2\;\pi \;f\rightarrow 0{\big )}$, l'impédance complexe d'un condensateur parfait «$\;{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}\rightarrow \infty \;$» et Quand «$\;\color {transparent}{f\rightarrow 0}\;$» $\;\color {transparent}{{\big\omega =2\;\pi \;f\rightarrow 0{\big )}}$, l'impédance compl celle d'une bobine parfaite «$\;{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )=j\,L\,\omega \rightarrow 0\;$» d'où :
* à B.F. un condensateur parfait est équivalent à un interrupteur ouvert $\;{\big$en accord avec le fait que la limite du r.s.f. à B.F. est le régime forcé permanent d'où aucun courant ne traversant l'isolant du condensateur${\big )}\;$ et
* à B.F. une bobine parfaite est équivalente à un court-circuit $\;{\bigg$en accord avec le fait que la limite du r.s.f. à B.F. est le régime forcé permanent d'où aucune tension aux bornes de la bobine car $\;{\dfrac {dI}{dt}}=0{\bigg )}$.

### Comportement équivalent à H.F.

Quand «$\;f\rightarrow \infty \;$», $\;{\big\omega =2\;\pi \;f\rightarrow \infty {\big )}$, l'impédance complexe d'un condensateur parfait «$\;{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}\rightarrow 0\;$» et Quand «$\;\color {transparent}{f\rightarrow \infty }\;$» $\;\color {transparent}{{\big\omega =2\;\pi \;f\rightarrow \infty {\big )}}$, l'impédance compl celle d'une bobine parfaite «$\;{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )=j\,L\,\omega \rightarrow \infty \;$» d'où :
* à H.F. un condensateur parfait est équivalent à un court-circuit et
* à H.F. une bobine parfaite est équivalente à un interrupteur ouvert.