# Signaux physiques (PCSI)/Optique géométrique : miroir plan
## Notion de stigmatisme rigoureux

L'introduction du stigmatisme n'ayant pas encore été introduite en cours, l'est dans ce chapitre mais, ce n'est pas une notion spécifique au miroir plan, elle concerne tous les systèmes optiques qu'ils soient composés de dioptres ou de miroirs quelle que soit leur forme.

### Notion de système optique

Un système optique est l'espace optique entre deux surfaces, il est destiné à permettre la transmission de la lumière, la surface sur laquelle arrive la lumière incidente est appelée « face d'entrée » et celle à partir de laquelle émerge la lumière « face de sortie » ;
il peut être composé d'une « succession de dioptres », dans ce cas le système est dit « dioptrique » ou il peut être composé d'une « succession de dioptres et d'un miroir », dans ce cas le système est dit « catadioptrique ».

### Notion de point objet, espaces objets, nature réelle ou virtuelle

Un objet $\;{\big$lumineux${\big )}\;$ est une « source lumineuse » ou un « objet sans émission interne de lumière mais éclairé par une source lumineuse » ; il est qualifié de ponctuel s'il est « de dimension mésoscopique », il peut être situé en-deçà de la face d'entrée du système optique étudié, il « émet » alors un faisceau « divergent » en direction de la face d'entrée et ayant une existence réelle il est qualifié d'« objet réel » ou au-delà de la face d'entrée du système optique étudié, il résulte alors de la convergence d'un faisceau lumineux en un point dont l'existence serait réelle si la face d'entrée n'était pas située en-deçà de ce point, il est alors qualifié d'« objet virtuel » ;
on définit alors deux « espaces optiques de positionnement des objets » :
* un « espace objet réel » situé en-deçà de la face d'entrée et
* un « espace objet virtuel » situé au-delà de la face d'entrée.
* Positionnement des espaces objets réel et virtuel à gauche, des espaces images réelle et virtuelle à droite

### Notion d'axe optique principal (associé à un point objet), plans transverses

On appelle « axe optique principal $\;{\big$associé à un point objet${\big )}\;$» la succession du « rayon incident passant par le point objet et normal à la face d'entrée » et des « rayons correspondants se propageant dans les espaces optiques successifs » ;
les plans ${\underline {\;\perp \;}}$à l'axe optique principal sont qualifiés de « plans transverses ».
* Exemples d'axe optique principal d'un dioptre ou d'un miroir
* Exemples d'axe optique principal d'un prisme à réflexion totale ou d'un fibre optique courbée
Remarques : La succession d'un « rayon incident passant par le point objet mais non normal à la face d'entrée » et des « rayons correspondants se propageant dans les espaces optiques successifs » définit un axe optique secondaire ; pour un point objet il n'y a qu'un axe optique principal mais une infinité d'axes optiques secondaires.
Remarques : La définition « la plus générale » d'un « axe optique » d’un système optique est la « trajectoire moyenne » des rayons lumineux d’un pinceau arrivant sur le système optique lors de la propagation de ces derniers à travers le système $\;{\big$voir la partie droite du schéma immédiatement au-dessus${\big )}$.

### Notion d'image d'un point objet par un système optique

Un faisceau issu d'un point objet $\;A_{o}\;$ étant constitué de rayons incidents indépendants les uns des autres, on détermine le trajet des rayons intermédiaires et émergents correspondant aux rayons incidents du faisceau et deux cas se présentent :
* tous les rayons émergents sont concourants, le système optique donne alors du faisceau incident issu de $\;A_{o}\;$ un faisceau convergent en un point $\;A_{i}$, $\;A_{i}\;$ définit alors l'« image de $\;A_{o}\;$ par le système optique » et cette image est « ponctuelle »,
* tous les rayons émergents ne sont pas concourants mais leur ensemble possède une zone de resserrement à éclairement maximal qui peut être considérée comme l'image « non ponctuelle » de $\;A_{o}\;$ par le système optique.

### Stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point objet

Si le point objet $\;A_{o}\;$ admet un point image $\;A_{i}\;$ par le système optique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident issu de $\;A_{o}$, on dit qu'il y a « stigmatisme rigoureux du système optique pour le point objet $\;A_{o}\;$» ;
si la propriété est vraie pour tous les points objets possibles, on dit que « le système optique est stigmatique rigoureux ».

### Conjugaison rigoureuse d'un couple de points par un système optique

S'il y a stigmatisme rigoureux d'un système optique pour le point objet $\;A_{o}$, le point image étant noté $\;A_{i}\;$, on dit encore que « le couple de points $\;\left(A_{o}\,,\,A_{i}\right)\;$ est conjugué rigoureux par le système optique ».

### Espaces images, nature réelle ou virtuelle

S'il y a stigmatisme rigoureux du système optique, tout point objet $\;A_{o}\;$ admet un point image $\;A_{i}\;$ unique par le système optique ; $\;A_{i}\;$ peut être situé
$\succ \;$au-delà de la face de sortie du système optique étudié, correspondant au point de « convergence du faisceau émergent », et ayant une existence réelle il est qualifié d'« image réelle » ou
$\succ \;$en-deçà de la face de sortie du système optique étudié, il résulte alors de la « divergence du faisceau émergent » à partir d'un point sans existence réelle, il est alors qualifié d'« image virtuelle » ;
on définit alors deux « espaces optiques de positionnement des images » :
* un « espace image réelle » situé au-delà de la face de sortie et
* un « espace image virtuelle » situé en-deçà de la face de sortie.

## Construction de l'« image » d'un objet ponctuel par un miroir plan, stigmatisme rigoureux d'un miroir plan
### Construction fondamentale d'un émergent correspondant à un incident donné

Méthode de construction du réfléchi de l'incident AI :
    $\;A\;$ étant un point quelconque de l’incident, construire $\;A'\;$ symétrique de $\;A\;$ par rapport au miroir, $\;A'I\;$ est alors le prolongement virtuel du rayon réfléchi $\;IR$.
Justification de la construction ci-contre :
    Soit le rayon incident ci-contre qui se réfléchit sur le miroir plan en $\;I\;$ ${\big$point d’incidence${\big )}$, d'angle d'incidence «$\;{\widehat {({\vec {N}}\,{\text{;}}\,{\overrightarrow {AI}})}}=i_{1}\;$» avec $\;A\;$ un point quelconque de la partie réelle du rayon incident, le plan d’incidence $\;{\big$c.-à-d. le plan contenant $\;{\vec {N}}\;$ et $\;{\overrightarrow {AI}}{\big )}\;$ étant le plan de l'écran ;
    de la 1ère loi de Snell-Descartes$^,$ de la réflexion, on déduit que le rayon réfléchi $\;IR\;$ est dans le plan de l'écran ;
    de 2ème loi de Snell-Descartes$^,$ de la réflexion, on déduit l'angle de réflexion «$\;i_{2}={\widehat {({\vec {N}}'\,{\text{;}}\,{\overrightarrow {IR}})}}=-i_{1}\;$», c.-à-d. l'opposé de l'angle d'incidence, d'où le prolongement « virtuel » du réfléchi est symétrique de l'incident par rapport au miroir ; on en déduit que $\;A'\;$ ${\big$symétrique de $\;A\;$ par rapport au miroir${\big )}\;$ appartient à ce prolongement virtuel $\;{\big$C.Q.F.D.${\big )}$.

### Stigmatisme rigoureux d'un miroir plan

Soit $\;A_{o}\;$ un point objet réel $\;{\big$point source d’un faisceau incident dont on a représenté deux rayons incidents sur la figure ci-contre à droite${\big )}$ ;
chaque rayon incident issu de $\;A_{o}\;$ admet un réfléchi dont le prolongement virtuel passe par le symétrique $\;A_{i}\;$ de $\;A_{o}\;$ par rapport au miroir et par suite tous les rayons réfléchis étant issus de $\;A_{i}$, appartiennent à un même faisceau de sommet $\;A_{i}$ ;
$\;A_{i}$, le symétrique de $\;A_{o}\;$ par rapport au miroir, est donc le point image conjuguée du point objet $\;A_{o}\;$ ${\big$la conjugaison entre $\;A_{o}\;$ et $\;A_{i}\;$ est rigoureuse car il n’y a aucune restriction sur le rayon incident issu de $\;A_{o}{\big )}\;$ d'où le « stigmatisme rigoureux du miroir plan pour tous les points objets réels ».
Soit $\;A_{o}\;$ un point objet virtuel $\;{\big$c.-à-d. le point de convergence d'un faisceau incident situé au-delà du miroir plan${\big )}\;$ $\;{\big$voir la figure ci-contre à gauche${\big )}$ ;
chaque rayon incident dont le prolongement aboutit à $\;A_{o}\;$ admet un réfléchi passant par le symétrique $\;A_{i}\;$ de $\;A_{o}\;$ par rapport au miroir et par suite tous les rayons réfléchis aboutissant à $\;A_{i}$, appartiennent à un même faisceau de sommet $\;A_{i}$ ;
$\;A_{i}$, le symétrique de $\;A_{o}\;$ par rapport au miroir, est donc le point image conjuguée du point objet $\;A_{o}\;$ ${\big$la conjugaison entre $\;A_{o}\;$ et $\;A_{i}\;$ est rigoureuse car il n’y a aucune restriction sur le rayon incident aboutissant à $\;A_{o}{\big )}\;$ d'où le « stigmatisme rigoureux du miroir plan pour tous les points objets virtuels ».
Finalement, ayant démontré le stigmatisme rigoureux du miroir plan pour tous les points objets réels ou virtuels, on peut affirmer

### Points doubles d'un miroir plan et la nature afocale de ce dernier

On appelle « point double » d'un système optique stigmatique rigoureux, « un point objet qui est son propre conjugué rigoureux par le système optique » ;
considérant un miroir plan et les objets ponctuels situés sur un même axe optique principal, on peut définir sur cet axe deux points doubles :
* Justification de la propriété de point double pour les points d'un miroir plan
* Justification de la propriété de point double pour les points à l'infini d'un miroir plan
* le « sommet $\;S\;$ du miroir » c.-à-d. « l'intersection du miroir et de l'axe optique principal », voir vérification sur figure ci-dessus à gauche, un faisceau convergeant en $\;S\;$ se réfléchit en faisceau divergeant à partir de $\;S\;$ d'où « le sommet $\;S\;$ du miroir plan est un point double de ce dernier pour l'axe optique principal considéré »,
* le « point à l'infini de l'axe optique principal » voir vérification sur figure ci-dessus à droite, un « faisceau $\;\parallel \;$ de direction $\;\Delta \;$ normale au miroir » se réfléchit sur lui-même d'où « le point à l'infini est un point double du miroir pour l'axe optique principal considéré » ; de cette propriété on en déduit que le miroir plan est un système « afocal » $\;{\big$voir définition ci-dessous${\big )}$.
Définition de système focal, de système afocal :
Un système optique est dit « focal » si « le point à l'infini de l'axe optique principal est le conjugué d'un point à distance finie »,
Un système optiqueil est dit « afocal » si « le point à l'infini de l'axe optique principal est un point double ».

## Notion d'aplanétisme rigoureux
### Définition d'un objet linéique transverse

Un « objet étendu » peut être considéré comme une « juxtaposition de points objets indépendants », nous ne considérerons par la suite que des « objets étendus à une dimension » ;
un objet étendu à une dimension est dit « linéique » si les points objets le constituant sont « alignés »,
un objet linéique est dit « transverse » si les points objets alignés le constituant sont « dans un même plan transverse ».

### Conséquence du caractère "stigmatisme rigoureux" d'un système optique sur un objet linéique transverse

Le système optique étant « stigmatique rigoureux », tous les points objets $\;M_{o}\;$ constituant l'objet linéique transverse «$\;A_{o}B_{o}\;$» admettent un point image unique $\;M_{i}\;$ et par suite Le système optique étant « stigmatique rigoureux », « le système optique donne de l'objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ une image unique $\;A_{i}B_{i}\;$» ; mais a priori Le système optique étant « stigmatique rigoureux », les points images composant $\;A_{i}B_{i}\;$ ne sont pas nécessairement alignés $\;{\big$l'image n'est donc pas nécessairement linéique${\big )}\;$ et s'ils le sont Le système optique étant « stigmatique rigoureux », ils ne se situent pas nécessairement dans un même plan transverse $\;{\big$si l'image est linéique, elle n'est pas nécessairement transverse${\big )}$.

### Définition de l'aplanétisme rigoureux d'un système optique stigmatique rigoureux

Un système optique stigmatique rigoureux est « aplanétique rigoureux » si « l'image d'un objet linéique transverse est elle-même linéique transverse quelles que soient la position et la dimension de l'objet » ; l'« aplanétisme rigoureux d'un système optique stigmatique rigoureux » est donc la conservation du caractère « linéique transverse » lors de la conjugaison rigoureuse du système optique quel que soit l'objet.

## Construction de l'image d'un objet linéique transverse par un miroir plan, aplanétisme rigoureux d'un miroir plan
### Construction de l'image d'un objet linéique transverse par un miroir plan

Soit l'objet linéique transverse réel $\;A_{o}B_{o}\;$ de point objet générique $\;M_{o}\;$ ${\big$voir figure ci-contre${\big )}\;$ dont on cherche l'image $\;A_{i}B_{i}\;$ de point image générique $\;M_{i}\;$ par le miroir plan ;
chaque point objet $\;M_{o}\;$ ayant pour image $\;M_{i}$, le symétrique de $\;M_{o}\;$ par rapport au miroir plan nous en déduisons que « l'image $\;A_{i}B_{i}\;$ est symétrique de l'objet $\;A_{o}B_{o}\;$», l'image de l'objet réel étant virtuelle ;
on pourrait faire la construction à partir d'un objet linéique transverse virtuel $\;A_{o}B_{o}\;$ de point objet générique $\;M_{o}$, on trouverait que « l'image $\;A_{i}B_{i}\;$ est symétrique de l'objet $\;A_{o}B_{o}\;$», l'image de l'objet virtuel étant réelle.

### Aplanétisme rigoureux d'un miroir plan

Reprenons la figure ci-contre, $\;M_{o}\;$ restant à distance constante du miroir $\;{\big$caractère linéique transverse de l'objet${\big )}$, il en est de même de $\;M_{i}\;$ d'où le « caractère linéique transverse » de l'image $\;A_{i}B_{i}\;$ quelles que soient la position et la dimension de l'objet réel $\;{\big$ou virtuel${\big )}$ $\;A_{o}B_{o}\;$ ;
on en déduit l'« aplanétisme rigoureux du miroir plan » étant donné que la propriété est vraie pour tous les objets réels $\;{\big$ou virtuels${\big )}$.

## Natures différentes de l'objet et de son image par un miroir plan

D'après ce qui précède, « un miroir plan donne d'un objet réel une image virtuelle » et D'après ce qui précède, « un miroir plan donne« d'un objet virtuel, une image réelle » ;

## Algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel), algébrisation associée des plans transverses, orientation dissociée des plans d'incidence ou d'émergence

L'algébrisation physique de l'axe optique principal $\;{\big$associé à un objet ponctuel${\big )}\;$ n'ayant pas encore été introduite en cours, l'est dans ce chapitre mais, ce n'est pas une notion spécifique au miroir plan, elle concerne tous les systèmes optiques qu'ils soient composés de dioptres ou de miroirs quelle que soit leur forme ; il en est de même des notions qui en découlent à savoir l'algébrisation associée des plans transverses et l'orientation dissociée des plans d'incidence ou d'émergence.

### Algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel)

On oriente l'axe optique principal « dans le sens de propagation de la lumière » ce qui donne, suivant la nature du système optique, les sens suivants :
* dans un système dioptrique « unidirectionnel », l'axe optique principal est constitué de rayons incident, intermédiaires et émergent de même direction où les sens incident et émergent sont les mêmes, il n'y a donc qu'« un seul sens${\underline {\;+\;}}$» $\;{\big$voir schémas ci-contre à droite${\big )}$,
* dans un système catadioptrique « unidirectionnel », l'axe optique principal est là encore constitué de rayons incident et émergent de même direction mais où les sens incident et émergent sont contraires, il y a donc « deux sens${\underline {\;+\;}}$», $\;\succ \;$« le sens incident » et $\;\succ \;$« le sens émergent » $\;{\big$voir schémas ci-contre à gauche${\big )}$.
Pour terminer un exemple où l'axe optique principal associé à un point objet n'est pas une succession de rayons incident, intermédiaires et émergent car la partie intermédiaire n'est pas constituée de rayons $\;\ldots$
c'est l'exemple déjà cité de « fibre optique courbée » $\;{\big$voir ci-contre${\big )}$,
c'est l'exemple déjà cité de « fibre optique courbée » dans ce cas « il n'y a qu'un seul sens $\;+\;$».

### Repérage d'un point objet ou d'un point image sur l'axe optique principal

La position d’un point objet ou celle d'un point image de l'axe optique principal « d'un dioptre ou d'un miroir » est repérée par rapport à une « origine liée à la surface dioptrique ou réfléchissante » sur laquelle tous les rayons incidents issus du point objet arrivent et de laquelle tous les rayons émergents repartent en direction du point image, le point commun du rayon incident et du rayon émergent correspondant étant le point d'incidence situé sur la surface dioptrique ou réfléchissante, voir schémas ci-dessous,
* « surface dioptrique » à gauche et
* « surface réfléchissante » au centre ;
* Repérage d'un point objet ou image sur l'axe optique principal d'un dioptre, lien entre la réalité ou la virtualité du point et le signe de son abscisse
* Repérage d'un point objet ou image sur l'axe optique principal d'un miroir, lien entre la réalité ou la virtualité du point et le signe de son abscisse
* Repérage d'un point objet ou image sur l'axe optique principal d'un prisme à réflexion totale, lien entre réalité ou virtualité du point et signe de son abscisse
dans un système « dioptrique à plus d'un dioptre » ou « catadioptrique à un miroir et plusieurs dioptres » ou « catadioptrique à plus d'un miroir ou surface réfléchissante » ou encore, dans un système à axe optique principal possédant une portion courbée, que le système soit unidirectionnel ou polydirectionnel, la position d’un point objet ou d'un point image de l'axe optique principal est repérée par rapport à une « origine liée à la face d'entrée ou la face de sortie » en utilisant le « sens $\;+\;$ incident » ou le « sens $\;+\;$ émergent », voir ci-dessus à droite sur l'exemple du prisme à réflexion totale.

### Précautions à prendre lors de l'utilisation de l'algébrisation physique de l'axe optique principal d'un système pour lequel il y a plusieurs sens + définis sur l'axe optique principal

Dans le cas d'un miroir, une même position géométrique ayant une abscisse différente, suivant qu’elle est occupée par un point objet ou un point image, il faut préciser nettement s'il s’agit d'un point du rayon incident ou d'un point du rayon réfléchi et pour cela une façon consiste à rappeler « le sens d’orientation de la partie incidente ou réfléchie de l’axe optique principal » en indice de la mesure algébrique considérée.

### Orientation des espaces objets et images

Orientant les « espaces objets » $\;{\big$réels et virtuels${\big )}\;$ « à droite » et y choisissant une « base directe » $\;{\big$c.-à-d. déterminée par la « règle de la main droite »${\big )}$, l'orientation des espaces images $\;{\big$réelles et virtuelles${\big )}\;$ dépend du système optique considéré :
* si le système optique est « dioptrique », les « espaces images » $\;{\big$réelles et virtuelles${\big )}\;$ sont « orientés à droite » avec choix d'une « base directe » $\;{\big$c.-à-d. déterminé par la « règle de la main droite »${\big )}$ $\;{\big \$image de la base directe des espaces objets $\;{\big$réels et virtuels${\big )}\;$ par le système dioptrique${\big \}$,
* si le système optique est « catadioptrique », les « espaces images » $\;{\big$réelles et virtuelles${\big )}\;$ sont « orientés à gauche » avec choix d'une « base indirecte $\;{\big$au sens de la physique${\big )}\;$» $\;{\big$c.-à-d. déterminée par la « règle de la main gauche »${\big )}$ $\;{\big \$la base indirecte $\;{\big$au sens de la physique${\big )}\;$ des espaces images $\;{\big$réelles et virtuelles${\big )}\;$ est l'image de la base directe des espaces objets $\;{\big$réels et virtuels${\big )}\;$ par le système catadioptrique${\big \}$.
Remarque : Si le système optique est catadioptrique avec plusieurs miroirs $\;{\big$ou surfaces réfléchissantes${\big )}$, l'orientation des espaces images $\;{\big$réelles et virtuelles${\big )}\;$ dépend du nombre de miroirs $\;{\big$ou de surfaces réfléchissantes${\big )}$ ;
* après un nombre pair de réflexions, les « espaces images » $\;{\big$réelles et virtuelles${\big )}\;$ sont « orientés à droite » avec choix d'une « base directe » $\;{\big$c.-à-d. déterminée par la « règle de la main droite »${\big )}$ $\;{\big \$la base directe des espaces images $\;{\big$réelles et virtuelles${\big )}\;$ est l'image de la base directe des espaces objets $\;{\big$réels et virtuels${\big )}\;$ par le système catadioptrique à nombre pair de réflexions${\big \}$,
* après un nombre impair de réflexions, les « espaces images » $\;{\big$réelles et virtuelles${\big )}\;$ sont « orientés à gauche » avec choix d'une « base indirecte $\;{\big$au sens de la physique${\big )}\;$» $\;{\big$c.-à-d. déterminée par la « règle de la main gauche »${\big )}$ $\;{\big \$la base indirecte $\;{\big$au sens de la physique${\big )}\;$ des espaces images $\;{\big$réelles et virtuelles${\big )}\;$ est l'image de la base directe des espaces objets $\;{\big$réels et virtuels${\big )}\;$ par le système catadioptrique à nombre impair de réflexions${\big \}$.

### Algébrisation associée des plans transverses

L'axe optique principal du système optique étant algébrisé physiquement, le(s) vecteur(s) unitaire(s) associé(s) à cette algébrisation défini(ssen)t le 1er vecteur de base orientant l'espace objet $\;{\big$ou image${\big )}$, les 2ème et 3ème vecteurs de base orthonormée orientant cet espace objet $\;{\big$ou image${\big )}\;$ définissant l'algébrisation des plans transverses de l'espace considéré, plus précisément :
* si le système optique est « dioptrique unidirectionnel », l'axe optique principal n'ayant qu'une seule orientation, le vecteur unitaire associé est noté $\;{\vec {u}}_{1}$, les espaces objet et image étant tous deux « orientés à droite » avec choix d'une « base orthonormée directe » $\;{\big$c.-à-d. déterminée par la « règle de la main droite »${\big )}$, nous la choisissons commune et la notons $\;({\vec {u}}_{1},\,{\vec {u}}_{2},\,{\vec {u}}_{3})$, ceci entraînant une algébrisation identique des plans transverses des espaces objet ou image par $\;({\vec {u}}_{2},\,{\vec {u}}_{3})$ ;
* si le système optique est « catadioptrique unidirectionnel », l'axe optique principal a une orientation différente suivant qu'il s'agit d'un point objet ou d'un point image, $\;\succ \;$le vecteur unitaire associé de la partie incidente de l'axe optique principal étant noté $\;{\vec {u}}_{1}$, les espaces objets $\;{\big$réel ou virtuel${\big )}\;$ sont « orientés à droite » avec choix d'une « base orthonormée directe » notée $\;({\vec {u}}_{1},\,{\vec {u}}_{2},\,{\vec {u}}_{3})$, ceci entraînant l'algébrisation des plans transverses des espaces objets $\;{\big$réel ou virtuel${\big )}\;$ par $\;({\vec {u}}_{2},\,{\vec {u}}_{3})\;$ et $\;\succ \;$le vecteur unitaire associé de la partie émergente de l'axe optique principal étant noté $\;{{\vec {u}}'}_{1}=-{\vec {u}}_{1}$, les espaces images $\;{\big$réelles ou virtuelles${\big )}\;$ sont « orientés à gauche » avec choix d'une « base orthonormée indirecte $\;{\big$au sens de la physique${\big )}\;$» $\;{\big$c.-à-d. déterminée par la « règle de la main gauche »${\big )}$, notée $\;({{\vec {u}}'}_{1},\,{\vec {u}}_{2},\,{\vec {u}}_{3})\;$, ceci entraînant la même algébrisation des plans transverses des espaces images $\;{\big$réelles ou virtuelles${\big )}\;$ par $\;({\vec {u}}_{2},\,{\vec {u}}_{3})$ que celle des plans transverses des espaces objets$\;{\big$réels ou virtuels${\big )}\;$ $\;{\big$voir schéma ci-contre dans l'exemple d'un miroir plan où $\;{\vec {u}}_{1}\;$ est noté $\;{\vec {u}}_{x}$, $\;{{\vec {u}}'}_{1}\;$ noté $\;{{\vec {u}}'}_{x}\;$ et $\;({\vec {u}}_{2},\,{\vec {u}}_{3})\;$ notés $\;({\vec {u}}_{y},\,{\vec {u}}_{z}){\big ]}$.
Remarque : On rappelle que pour un système catadioptrique avec plusieurs miroirs $\;{\big$ou surfaces réfléchissantes${\big )}$, l'orientation des espaces images $\;{\big$réelles ou virtuelles${\big )}\;$ dépend du nombre de miroirs $\;{\big$ou de surfaces réfléchissantes${\big )}$ ; Remarque : $\bullet \;$après un nombre pair de réflexions, les « espaces images » $\;{\big$réelles ou virtuelles${\big )}\;$ sont « orientés à droite » avec choix d'une « base orthonormée directe », Remarque : $\bullet \;$après un nombre impair de réflexions, les « espaces images » $\;{\big$réelles ou virtuelles${\big )}\;$ sont « orientés à gauche » avec choix d'une « base orthonormée indirecte $\;{\big$au sens de la physique${\big )}\;$» ;
Remarque : toutefois, dans les deux cas, les plans transverses des espaces objets ou images sont algébrisés selon la règle citée en introduction de ce paragraphe respectant l'orientation de l'espace auquel appartient le plan transverse considéré.

### Orientation des plans d'incidence et d'émergence
#### Rappel de l'orientation des angles d'un plan d'un espace à trois dimensions

L'espace étant « orienté à droite » avec choix d'une base orthonormée « directe » $\;{\big$c.-à-d. déterminée par la « règle de la main droite »${\big )}\;$ ou
L'espace étant « orienté à gauche » avec choix d'une base orthonormée « indirecte $\;{\big$au sens de la physique${\big )}\;$» $\;{\big$c.-à-d. déterminée par la « règle de la main gauche »${\big )}\;$,
les angles d'un plan quelconque de cet espace sont orientés par un vecteur unitaire normal $\;{\vec {n}}\;$ et
$\;{\vec {e}}_{1}\;$ et $\;{\vec {e}}_{2}\;$ étant deux vecteurs non colinéaires quelconques du plan dont les angles sont orientés par $\;{\vec {n}}$, le signe de l'angle algébrisé $\;{\widehat {({\vec {e}}_{1}\,,\,{\vec {e}}_{2})}}\;$ se détermine par la règle suivante :
* si « le trièdre $\;({\vec {n}},\,{\vec {e}}_{1},\,{\vec {e}}_{2})\;$ est direct » $\;{\big$c.-à-d. suivant la « règle de la main droite »${\big )}\;$ dans un espace « orienté à droite » $\Rightarrow$ $\;{\widehat {({\vec {e}}_{1}\,,\,{\vec {e}}_{2})}}>0$, si « le trièdre $\;({\vec {n}},\,{\vec {e}}_{1},\,{\vec {e}}_{2})\;$ est indirect » $\;{\big$c.-à-d. suivant la « règle de la main gauche »${\big )}\;$ dans un espace « orienté à droite » $\Rightarrow$ $\;{\widehat {({\vec {e}}_{1}\,,\,{\vec {e}}_{2})}}<0$,
* si « le trièdre $\;({\vec {n}},\,{\vec {e}}_{1},\,{\vec {e}}_{2})\;$ est indirect $\;{\big$au sens de la physique${\big )}\;$» $\;{\big$c.-à-d. suivant la « règle de la main gauche »${\big )}\;$ dans un espace « orienté à gauche » $\Rightarrow$ $\;{\widehat {({\vec {e}}_{1}\,,\,{\vec {e}}_{2})}}>0$, si « le trièdre $\;({\vec {n}},\,{\vec {e}}_{1},\,{\vec {e}}_{2})\;$ est direct $\;{\big$au sens de la physique${\big )}\;$» $\;{\big$c.-à-d. suivant la « règle de la main droite »${\big )}\;$ dans un espace « orienté à gauche » $\Rightarrow$ $\;{\widehat {({\vec {e}}_{1}\,,\,{\vec {e}}_{2})}}<0$.

#### Orientation des plans d'incidence et d'émergence

Si le système optique est « unidirectionnel », les plans d'incidence et d'émergence sont confondus et il est souhaitable $-$ comme cela a été fait pour la réfraction et la réflexion $-$ de définir un « même sens $\;+\;$ d'orientation des angles » ;
* si le système est « dioptrique unidirectionnel », l'axe optique principal n'a qu'« une seule orientation de vecteur unitaire noté $\;{\vec {u}}_{1}\;$», les espaces objet et image sont tous deux « orientés à droite » avec choix d'une base « directe commune » $\;{\big$c.-à-d. déterminée par la « règle de la main droite »${\big )}\;$ «$\;({\vec {u}}_{1},\,{\vec {u}}_{2},\,{\vec {u}}_{3})\;$» et si le système est « dioptrique unidirectionnel », si le plan d'incidence est le plan $\;({\vec {u}}_{1},\,{\vec {u}}_{2})$, le plan d'émergence est aussi $\;({\vec {u}}_{1},\,{\vec {u}}_{2})$, tous les deux étant $\;\perp \;$ à $\;{\vec {u}}_{3}$, le choix d'orienter les angles de ce plan par $\;{\vec {u}}_{3}\;$ $\Rightarrow$ « le sens $\;+\;$ des angles de ce plan est de $\;{\vec {u}}_{1}\;$ vers $\;{\vec {u}}_{2}\;$» car «$\;({\vec {u}}_{3},\,{\vec {u}}_{1},\,{\vec {u}}_{2})\;$ est direct » ;
* si le système est « catadioptrique unidirectionnel », la partie incidente de l'axe optique principal est orientée par le vecteur de base $\;{\vec {u}}_{1}\;$ 1er vecteur de la base des espaces objets « orientés à droite », base choisie « directe $\;({\vec {u}}_{1},\,{\vec {u}}_{2},\,{\vec {u}}_{3})\;$» $\;{\big$c.-à-d. déterminée par la « règle de la main droite »${\big )}\;$ alors que si le système est « catadioptrique unidirectionnel », sa partie émergente par le vecteur de base $\;{{\vec {u}}'}_{1}=-{\vec {u}}_{1}\;$ 1er vecteur de la base des espaces images « orientés à gauche », base choisie « indirecte $\;{\big$au sens de la physique${\big )}$ $\;({{\vec {u}}'}_{1},\,{\vec {u}}_{2},\,{\vec {u}}_{3})\;$» $\;{\big$c.-à-d. déterminée par la « règle de la main gauche »${\big )}\;$ et si le système est « catadioptrique unidirectionnel », si le plan d'incidence est le plan $\;({\vec {u}}_{1},\,{\vec {u}}_{2})$, le plan d'émergence est le plan $\;({{\vec {u}}'}_{1},\,{\vec {u}}_{2})$, tous deux étant $\;\perp \;$ à $\;{\vec {u}}_{3}$, le choix d'orienter les angles de ce plan commun par $\;{\vec {u}}_{3}\;$ aurait pour conséquences : si le système est « catadioptrique unidirectionnel », « le sens $\;+\;$ des angles du plan d'incidence est de $\;{\vec {u}}_{1}\;$ vers $\;{\vec {u}}_{2}\;$» car «$\;({\vec {u}}_{3},\,{\vec {u}}_{1},\,{\vec {u}}_{2})\;$ est direct » $\;{\big$suivant la « règle de la main droite »${\big )}\;$ dans un espace « orienté à droite » mais si le système est « catadioptrique unidirectionnel », « le sens $\;+\;$ des angles du plan d'émergence étant, avec le choix d'orientation par $\;{\vec {u}}_{3}$, de $\;{{\vec {u}}'}_{\!1}\;$ vers $\;{\vec {u}}_{2}\;$» car «$\;({\vec {u}}_{3},\,{{\vec {u}}'}_{\!1},\,{\vec {u}}_{2})\;$ est indirect $\;{\big$au sens de la physique${\big )}\;$» $\;{\big$suivant la « règle de la main gauche »${\big )}\;$ dans un espace « orienté à gauche », ce sens $\;+\;$ des angles du plan d'émergence serait le sens $\;-\;$ des angles du plan d'incidence, ce qui n'est pas ce que nous souhaitions, aussi si le système est « catadioptrique unidirectionnel », « les angles du plan d'incidence étant orientés par $\;{\vec {u}}_{3}\;$» c.-à-d. « de $\;{\vec {u}}_{1}\;$ vers $\;{\vec {u}}_{2}\;$», si le système est « catadioptrique unidirectionnel », « les angles du plan d'émergence doivent être orientés par $\;-{\vec {u}}_{3}\;$» c.-à-d. « de $\;{\vec {u}}_{2}\;$ vers $\;{{\vec {u}}'}_{\!1}\;$» $\;{\big$même orientation que « de $\;{\vec {u}}_{1}\;$ vers $\;{\vec {u}}_{2}\;$»${\big )}\;$ ceci étant en accord avec «$\;(-{\vec {u}}_{3},\,{\vec {u}}_{2},\,{{\vec {u}}'}_{\!1})\;$ indirect $\;{\big$au sens de la physique${\big )}\;$» $\;{\big$suivant la « règle de la main gauche »${\big )}\;$ dans un espace « orienté à gauche ».

## Relation de conjugaison de position de Descartes d'un miroir plan
### Repérage « physique » de Descartes

On choisit comme « origine des parties incidente et réfléchie de l'axe optique principal » « le sommet $\;S\;$ du miroir plan $\;{\big$associé à cet axe optique principal${\big )}\;$» et, pour rappeler que les sens $\;+\;$ des parties incidente et réfléchie de l'axe optique principal sont différents dans l'algébrisation de l'axe optique principal, on notera l'abscisse « physique » de Descartes du point objet $\;A_{o}\;$ par «$\;p_{o}={\overline {SA_{o}}}_{\rightarrow }\;$» ainsi que on notera l'abscisse « physique » de Descartes du point image $\;A_{i}\;$ par «$\;p_{i}={\overline {SA_{i}}}_{\leftarrow }\;$».

### Relation de conjugaison de position (ou 1ère relation de conjugaison) de Descartes d'un miroir plan

On utilise le fait que « les points conjugués par un miroir plan sont symétriques par rapport à ce dernier » ce qui entraîne qu'ils ont des abscisses « physiques » de Descartes de même valeur absolue c.-à-d. «$\;\vert p_{i}\vert =\vert p_{o}\vert \;$» ;
* si « le point objet $\;A_{o}\;$ est réel », $\;A_{o}\;$ est situé avant le sommet $\;S\;$ $\Rightarrow$ «$\;p_{0}<0\;$» et « le point image $\;A_{i}$, symétrique de $\;A_{o}\;$ par rapport au miroir plan, est virtuel », $\;A_{i}\;$ étant alors situé avant le sommet $\;S\;$ sur le rayon réfléchi $\Rightarrow$ «$\;p_{i}<0\;$» d'où l'égalité des abscisses « physiques » de Descartes,
* si « le point objet $\;A_{o}\;$ est virtuel », $\;A_{o}\;$ est situé après le sommet $\;S\;$ $\Rightarrow$ «$\;p_{0}>0\;$» et « le point image $\;A_{i}$, symétrique de $\;A_{o}\;$ par rapport au miroir plan, est réel », $\;A_{i}\;$ étant alors situé après le sommet $\;S\;$ sur le rayon réfléchi $\Rightarrow$ «$\;p_{i}>0\;$» d'où l'égalité des abscisses « physiques » de Descartes ;
finalement la relation de conjugaison de position $\;{\big$ou 1ère relation de conjugaison${\big )}\;$ de Descartes d'un miroir plan est
$\;p_{i}=p_{o}\;$
$\;{\overline {SA_{i}}}_{\leftarrow }={\overline {SA_{o}}}_{\rightarrow }\;$

## Grandissement transverse d'un objet linéique transverse, relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes d'un miroir plan
### Définition du grandissement transverse d'un objet linéique transverse dans le cas d'un système optique « unidirectionnel » aplanétique

Pour un système optique « unidirectionnel », les plans transverses de l'espace image sont $\;\parallel \;$ à ceux de l'espace objet et, dans le cas d'aplanétisme $\;{\big$rigoureux${\big )}\;$ « l'image $\;A_{i}B_{i}\;$ d'un objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ étant $\;\parallel \;$ à ce dernier » on définit le grandissement transverse de cet objet linéique transverse par
$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{\overline {A_{o}B_{o}}}}\;$
$\;{\big$
${\big )}$
$\;{\overline {A_{o}B_{o}}}\;$
$\;{\overline {A_{i}B_{i}}}\;$
$\;{\vec {u}}_{2}\;$
$\;{\vec {u}}_{3}\;$
suivant le signe du grandissement transverse, on déduit le sens de l'image relativement à l'objet :
* «si $\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{\overline {A_{o}B_{o}}}}\;$ est $\;>0\;$», « l'image est dans le même sens que l'objet », on parle alors d'image « droite »,
* «si $\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{\overline {A_{o}B_{o}}}}\;$ est $\;<0\;$», « l'image est dans le sens contraire de l'objet », on parle alors d'image « inverse ».

### Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2ème relation de conjugaison) de Descartes d'un miroir plan

« L'image étant symétrique de l'objet par rapport au miroir plan » avec « objet et image » tous deux $\;\parallel \;$ au miroir, « l'image est dans le même sens que l'objet et de même dimension » ;
de cette dernière affirmation « l'image de même dimension que l'objet » on tire que « le grandissement transverse est de valeur absolue égale à $\;1\;$» et
de la première affirmation « l'image de même sens que l'objet » on tire que « le grandissement transverse est positif » $\;{\big$les plans transverses objets et images étant orientés par les mêmes vecteurs de base${\big )}\;$ d'où :
l'expression de la relation de conjugaison de grandissement transverse $\;{\big$ou 2ème relation de conjugaison${\big )}\;$ de Descartes d'un miroir plan
$\;G_{t}(A_{o})=+1\;$
$\;{\overline {A_{i}B_{i}}}={\overline {A_{o}B_{o}}}\;$

## Grandissement angulaire d'un pinceau lumineux, relation de Lagrange-Helmholtz
### Repérage d'un pinceau incident ou émergent

Un pinceau étant la matérialisation pratique d'un rayon, on le repère par l'angle orienté que fait sa direction de propagation avec celle de même nature sur l'axe optique principal, ainsi :
* dans un système dioptrique « unidirectionnel », un pinceau incident de direction de propagation $\;{\vec {e}}_{o}\;$ est repéré par l'angle «$\;\theta _{o}={\widehat {({\vec {u}}_{1}\,{\text{;}}\,{\vec {e}}_{o})}}\;$» du plan d'incidence « orienté de $\;{\vec {u}}_{1}\;$ vers $\;{\vec {u}}_{2}\;$», «$\;{\vec {u}}_{1}\;$ étant le vecteur unitaire orientant l'axe optique principal », «$\;{\vec {u}}_{2}\;$ et $\;{\vec {u}}_{3}\;$ algébrisant les plans transverses » et «$\;({\vec {u}}_{1},\,{\vec {u}}_{2},\,{\vec {u}}_{3})\;$ la base directe » commune choisie dans les espaces objets et images tous deux « orientés à droite »$^,$ $\;{\big$la base étant déterminée par la « règle de la main droite »${\big )}$ ; dans un système dioptrique « unidirectionnel » un pinceau émergent de direction de propagation $\;{\vec {e}}_{i}\;$ est repéré par l'angle «$\;\theta _{i}={\widehat {({\vec {u}}_{1}\,{\text{;}}\,{\vec {e}}_{i})}}\;$» du plan d'émergence « orienté de $\;{\vec {u}}_{1}\;$ vers $\;{\vec {u}}_{2}\;$» ;
* dans un système catadioptrique « unidirectionnel » $\;{\big$voir un exemple ci-dessous à droite, le miroir plan ; repérage d'un pinceau incident et du pinceau émergent correspondant${\big )}$, dans un système catadioptrique « unidirectionnel » un pinceau incident de direction de propagation $\;{\vec {e}}_{o}\;$ est repéré par l'angle «$\;\theta _{o}=$ ${\widehat {({\vec {u}}_{1}\,{\text{;}}\,{\vec {e}}_{o})}}\;$» du plan d'incidence orienté de «$\;{\vec {u}}_{1}\;$ vers $\;{\vec {u}}_{2}\;$», «$\;{\vec {u}}_{1}\;$ étant le vecteur unitaire orientant la partie incidente de l'axe optique principal », «$\;{\vec {u}}_{2}\;$ et $\;{\vec {u}}_{3}\;$ algébrisant les plans transverses » et «$\;({\vec {u}}_{1},\,{\vec {u}}_{2},\,{\vec {u}}_{3})\;$ la base directe » choisie dans les espaces objets « orientés à droite »$^,$ $\;{\big$la base étant déterminée par la « règle de la main droite »${\big )}$ ; dans un système catadioptrique « unidirectionnel » un pinceau émergent de direction de propagation $\;{\vec {e}}_{i}\;$ est repéré par l'angle «$\;\theta _{i}={\widehat {({{\vec {u}}'}_{1}\,{\text{;}}\,{\vec {e}}_{i})}}\;$» du plan d'émergence orienté de «$\;{\vec {u}}_{2}\;$ vers $\;{{\vec {u}}'}_{1}\;$», «$\;{{\vec {u}}'}_{1}\;$ étant le vecteur unitaire orientant la partie émergente de l'axe optique principal », «$\;{\vec {u}}_{2}\;$ et $\;{\vec {u}}_{3}\;$ algébrisant les plans transverses » et «$\;({{\vec {u}}'}_{1},\,{\vec {u}}_{2},\,{\vec {u}}_{3})\;$ la base indirecte $\;{\big$au sens de la physique${\big )}\;$ choisie dans les espaces images orientés à gauche »$^,$ $\;{\big$la base étant déterminée par la « règle de la main gauche »${\big )}$.

### Définition du grandissement angulaire d'un pinceau lumineux issu d'un point objet

Ayant défini, dans un « système dioptrique ou catadioptrique unidirectionnel » $\;{\big$voir le schéma ci-contre pour un système catadioptrique unidirectionnel${\big )}$,
* l'angle $\;\theta _{o}\;$ d'inclinaison de la direction du pinceau incident issu du point objet $\;A_{o}\;$ ainsi que
* l'angle $\;\theta _{i}\;$ d'inclinaison de la direction du pinceau émergent du point image $\;A_{i}$,
tous deux comptés positivement selon le « même sens $\;+\;$», on appelle
$\;A_{o}\;$
$\;G_{a}(A_{0})\;$
$\;G_{a}(A_{o})={\dfrac {\theta _{i}}{\theta _{o}}}\;$
$\;{\big$
${\big )}$

### Valeur du grandissement angulaire d'un pinceau lumineux issu d'un point objet par un miroir plan

« Le point image $\;A_{i}\;$ du point objet $\;A_{o}\;$ par un miroir plan étant le symétrique de $\;A_{o}\;$ par rapport au miroir plan », on vérifie aisément que les « angles $\;\theta _{i}\;$ et $\;\theta _{o}\;$ ont même valeur absolue » $\;{\big$en effet les triangles $\;A_{o}SI\;$ et $\;A_{i}SI$, $\;I\;$ étant le point d'incidence du pinceau incident et réfléchi sur le miroir, sont égaux${\big )}\;$ et qu'ils sont de signe contraire $\;{\big$en effet $\;\theta _{i}\;$ étant égal à l'angle de réflexion du rayon médian du pinceau émergent et $\;\theta _{o}\;$ à l'angle d'incidence du rayon médian du pinceau incident, ces deux angles obéissant à la 2ème loi de Snell-Descartes$^,$ de la réflexion${\big )}$, on en déduit le grandissement angulaire cherché soit
$\;G_{a}(A_{o})=-1\;$

### Lien entre le grandissement transverse d'un objet linéique transverse et le grandissement angulaire d'un pinceau lumineux issu du point objet pied de l'objet linéique transverse par un miroir plan, relation de Lagrange-Helmholtz

Ayant établi que le grandissement transverse par un miroir plan d'un objet linéique transverse de pied $\;A_{o}\;$ est «$\;G_{t}(A_{o})=+1\;$» et Ayant établi que le grandissement angulaire par le même miroir plan d'un pinceau lumineux issu de $\;A_{o}\;$ est «$\;G_{a}(A_{o})=-1\;$», on en déduit une « relation liant les grandissements transverse et angulaire relatifs à un même point objet $\;A_{o}\;$» ne dépendant pas de ce dernier, on en déduit une « relation appelée « relation de Lagrange – Helmholtz »$^,$, cette relation s'écrivant pour un miroir plan $\;{\big$et pour tout système catadioptrique unidirectionnel${\big )}\;$
$\;G_{t}(A_{o})\;G_{a}(A_{o})=-1\;$

### Sensibilisation de l'utilisation de la relation de Lagrange-Helmholtz à un système catadioptrique, exemple d'un miroir sphérique concave

$\;{\big$
${\big )}\;$
Comme nous l'avons évoqué en note « $^{77}$ » plus haut dans ce chapitre, la « relation de Lagrange-Helmholtz »$^,$ n'a aucun intérêt pour un miroir plan, par contre Comme nous l'avons évoqué en note « 77 » plus haut dans ce chapitre, la « relation de Lagrange-Helmholtz » elle en acquiert un pour un « miroir sphérique ».
Quelques données relatives au miroir sphérique : $\succ \;$le centre de courbure $\;C\;$ est sa propre image par le miroir sphérique quelle que soit l'ouverture du faisceau issu de $\;C$, il y a donc Quelques données relatives au miroir sphérique : d'une part « stigmatisme rigoureux du miroir sphérique pour son centre de courbure${\underline {\;C\;}}$» et Quelques données relatives au miroir sphérique : d'autre part « le centre de courbure${\underline {\;C\;}}$du miroir sphérique est un point double » ; Quelques données relatives au miroir sphérique : $\succ \;$pour tous les autres point objets $\;{\big$à l'exception du sommet $\;S{\big )}$, il n'y a pas stigmatisme rigoureux du miroir sphérique mais, Quelques données relatives au miroir sphérique : si on limite les angles intervenant dans la réflexion $-$ c.-à-d. si on se place dans les « conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré » du chap.$13$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » $-$ il y a stigmatisme approché du miroir sphérique ; Quelques données relatives au miroir sphérique : $\succ \;$pour tous les objets linéiques transverses $\;{\big$de pied autre que $\;C\;$ ou $\;S{\big )}\;$ vu du miroir sous un angle non petit, il n'y a pas aplanétisme rigoureux du miroir sphérique, mais Quelques données relatives au miroir sphérique : si l'objet linéique transverse est « vu du miroir » sous un petit angle $-$ c.-à-d. si on se place dans les « conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché d'un système optique centré » du chap.$13$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » $-$ il y a aplanétisme approché du miroir sphérique ; Quelques données relatives au miroir sphérique : $\succ \;$on peut donc, dans les « conditions de Gauss » du chap.$13$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », évaluer les grandissements Quelques données relatives au miroir sphérique : angulaire d'un pinceau passant par le point objet $\;A_{o}\;$ et Quelques données relatives au miroir sphérique : transverse d'un objet linéique transverse de pied $\;A_{o}$, Quelques données relatives au miroir sphérique : ce qui permet de vérifier la « relation de Lagrange-Helmholtz »$^,$ par construction effectuée sur un schéma :
Construction utilisant un miroir sphérique concave : voir schéma d'analyse ci-contre $\;{\big$les angles représentés sont supposés petits de façon à ce que les « conditions de Gauss de stigmatisme approché et celles supplémentaires d'aplanétisme approché » introduites au chap.$13$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » soient réalisées${\big )}$ ;
On construit le rayon réfléchi sur le miroir sphérique du rayon incident issu du point objet réel $\;A_{o}\;$ de l'axe optique principal, rayon incident incliné de $\;\theta _{o}>0\;$ relativement à la partie incidente de l'axe optique principal On construit par utilisation de la 1ère et 2ème loi de Snell–Descartes$^,$ de la réflexion$^,$, On construit l'intersection de l'axe optique principal et du rayon réfléchi incliné de $\;\theta _{i}>0\;$ relativement à la partie réfléchie de l'axe optique principal définit le point image $\;A_{i}\;$ réel ;
on construit le point image $\;B_{i}\;$ du point objet réel $\;B_{o}$, extrémité située hors axe optique principal de l'objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}$, on construit en utilisant le rayon incident issu de $\;B_{o}\;$ et passant par le centre de courbure $\;C$, rayon qui se réfléchit sur lui-même, et, on construit compte-tenu de l'aplanétisme approché, le point image $\;B_{i}\;$ ayant pour pied sur l'axe optique principal le point image $\;A_{i}\;$ est le point réel du rayon réfléchi se projetant orthogonalement sur l'axe optique principal en $\;A_{i}$ ;
on observe que l'image $\;A_{i}B_{i}\;$ est inversée par rapport à l'objet $\;A_{o}B_{o}\;$ et que la taille de la 1ère est inférieure à celle du 2ème d'où on observe que « le grandissement transverse $\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{\overline {A_{o}B_{o}}}}\;\in \,\left]-1\,,\,0\right[\;$» d'une part on observe que les angles $\;\theta _{i}\;$ et $\;\theta _{o}\;$ de même signe sont tels $\;\theta _{i}\;$ est supérieur à $\;\theta _{o}\;$ d'où on observe que « le grandissement angulaire $\;G_{a}(A_{o})={\dfrac {\theta _{i}}{\theta _{o}}}\;\in \,\left]+1\,,\,+\infty \right[\;$» d'autre part, l'observation graphique de ces résultats est donc conforme à la « relation de Lagrange-Helmholtz »$^,$ laquelle, bien sûr, nécessiterait d'être démontrée $\;\ldots$