# Mécanique pour l'enseignement technique industriel/Mouvements et trajectoires
## Présentation

Le but d'un mécanisme est de produire des mouvements (sinon, on ne parle pas de mécanisme mais de structure). Le but de ce chapitre est de décrire les principaux mouvements utilisés.

## Objectif

À la fin du chapitre, l'étudiant doit être capable de donner le type et la nature d'un mouvement à partir de ses caractéristiques, et vice versa. Il doit être capable de déterminer le type de mouvement d'une pièce à partir du schéma cinématique. Il doit pouvoir déterminer la trajectoire d’un point d'un solide ayant un mouvement simple.
Savoirs techniques :
| Connaissances (notions, concepts) | Niveau | Niveau | Niveau | Niveau |
| Connaissances (notions, concepts) | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Repère lié au sol, repère mobile | | | × | |
| Définition des mouvements (rotation, translation, hélicoïdal) | | | × | |
| Points coïncidents | | | × | |
| Trajectoire des points d'un solide | | | × | |

## Relativité du mouvement

Un mouvement est toujours relatif à quelque chose. Par exemple, si nous sommes assis dans un train qui roule, nous sommes immobiles par rapport à notre voisin, mais en mouvement par rapport à un observateur situé sur le quai de la gare. Et à l'inverse, hormis les cahots du train, nous avons l'impression d’être immobile et c’est le paysage qui semble se déplacer.
En génie mécanique, les pièces sont repérées par un nombre. Le mouvement d'une pièce est donc toujours donné par rapport à une autre pièce. Le mouvement de la pièce repérée 2 par rapport à la pièce repérée 1 est noté « M$^{vt}$$_{2/1}$ ». Pour se représenter le mouvement par rapport à une pièce, il suffit de s'imaginer que l’on place une caméra sur la pièce (par exemple une webcam sans fil).
Le terme « pièce » est à prendre au sens large de « sous-ensemble rigide » (SE) ; on utilise aussi parfois le terme de « solide indéformable » et de « classe d'équivalence cinématique » (CE, CEC).
un solide est dit indéformable si la distance entre deux points pris au hasard ne varie pas au cours du temps.
Cela signifie en particulier que le solide ne s'allonge pas, ne se raccourcit pas. Comme pour l'analyse des mécanismes, on exclue donc de l'étude les ressorts, les joints, les sous-ensembles constitués de pièces mobiles entres elles comme les roulements.
On s'intéresse en général au final au mouvement par rapport au bâti de la machine, qui est la plupart du temps le mouvement par rapport au sol.

### Activité 1 : prise de conscience de la notion

Regarder l'extrait du film Top Secret (J. Abrahams, D. Zucker, J. Zucker, 1984) et commenter.

### Activité 2 : représentation de la relativité

Nous reprenons l'exemple d'un exercice traité précédemment. Il s'agit d'un convoyeur à bande pouvant s'élever. La partie qui soutient la bande transporteuse et l'incline est composée : d'un cadre, d'un support, d'un vérin hydraulique double-effet et d'une pompe manuelle.
Nomenclature :
| 5 | 2 | Galet | | |
| 4 | 1 | Support | S235 | |
| 3 | 1 | Tige du vérin | | |
| 2 | 1 | Corps du vérin | | |
| 1 | 1 | Châssis | S235 | |
| Rep | Nb | Désignation | Matière | Observations |
Le schéma cinématique est le suivant.
Le dessin ci-contre représente le système en positions extrêmes, dans le référentiel de la pièce rep. 1 (la pièce rep. 1 est immobile). Préparation :
* Imprimer le dessin ci-contre, afin que l'un des dessins occupe à peu près 1/4 de page A4 (on peut imprimer le dessin en pleine page puis faire une photocopie avec un rapport de réduction de 71 %, le châssis rep. 1 fait alors environ 8 cm de long).
* Se munir d'une feuille de papier calque au format A4, que l’on sépare en 4 parties égales (10,5 cm × 14,9 cm).
* Mettre le calque en format italien (horizontal, paysage).
Puis :
* Au centre de la première case, décalquer la figure de gauche, de préférence au crayon à papier sec (de type H, 2H, …) afin d’avoir des traits fins.
* Colorier, hachurer ou surligner le contour la pièce rep. 2 (corps du vérin).
* Placer le calque afin que la pièce rep. 2 (coloriée) soit superposée au système en position finale (figure de droite).
* Décalquer la figure (schéma du haut sur la figure ci-contre).
Lorsque l’on remet la feuille droite (schéma du bas), on voit les mouvements du système lorsque l’on considère la pièce rep. 2 comme pièce de référence.
Recommencer l'activité en considérant comme immobile les pièces rep. 3 et rep. 4.

## Composition des mouvements

Considérons une personne rep. 2 marchant dans un train rep. 1 ; elle a un mouvement M$^{vt}$$_{2/1}$. Le train roule par rapport au sol rep. 0 ; le train a un mouvement M$^{vt}$$_{1/0}$.
Pour un observateur immobile par rapport au sol rep. 0, le mouvement de la personne est M$^{vt}$$_{2/0}$. Ce mouvement M$^{vt}$$_{2/0}$ est la composée de M$^{vt}$$_{2/1}$ et de M$^{vt}$$_{1/0}$, ce que l’on écrit :
    M$^{vt}$$_{2/0}$ = M$^{vt}$$_{2/1}$ + M$^{vt}$$_{1/0}$.
On a en quelque sorte une relation de Chasles, les indices s'enchainent :
    $2/\underbrace {1+1} /0\longrightarrow 2/0{\text{.}}$
Dans l'exemple de l'élévateur à bande, considérons le mouvement de la tige de vérin rep. 3 par rapport au châssis rep. 1. Ce mouvement est composé :
* du mouvement de la tige par rapport au corps du vérin rep. 2, M$^{vt}$$_{3/2}$ : la tige sort du vérin en ligne droite ;
* du mouvement du corps du vérin rep. 2 par rapport au châssis rep. 1, M$^{vt}$$_{2/1}$ : le vérin pivote ;
et donc M$^{vt}$$_{3/1}$ = M$^{vt}$$_{3/2}$ + M$^{vt}$$_{2/1}$.

## Caractérisation du mouvement

Un mouvement est le changement de position d'un objet par rapport à un autre au cours du temps. Il est caractérisé par son type et sa nature.

### Types de mouvement

Le type de mouvement est un nom qui décrit les positions successives qu'occupe l'objet.
Le mouvement est dit « plan » si tous les points de l’objet restent à une distance constante d'un plan donné.
Par exemple, dans le cas d'un mouvement plan dans le plan (O, x, y), la distance d'un point M de l’objet au plan (O, x, y) reste la même durant tout le mouvement, et ce quel que soit ce point.
C'est le seul cas que nous allons étudier. Par exemple, une voiture qui roule sur une plaine a un mouvement plan. Par contre, s'il y a des collines, le mouvement n'est plus plan.
Parmi les mouvements plans, nous distinguons :
* les translations : l’objet garde toujours la même orientation ; cette translation peut être
** rectiligne : l’objet bouge en ligne droite,
** curviligne, l’objet bouge selon une courbe, s'il s'agit d'un cercle, on parle de translation circulaire ;
* rotation : l’objet tourne autour d'un point ;
* mouvement plan quelconque : mouvement qui n'est ni une translation, ni une rotation.
Nous ne nous intéressons qu’à un mouvement non plan :
* mouvement hélicoïdal : l’objet tourne autour d'un axe et avance selon ce même axe ; c’est le mouvement d'une vis que l’on visse ou dévisse, c’est le mouvement d'un foret lors d'un perçage.
Un mouvement de rotation d'un objet se fait autour d'un axe, c'est-à-dire d'une droite. Dans l'animation ci-contre, l'axe est figuré en rouge. Dans le cas d'un mouvement plan, l'axe est perpendiculaire au plan d'observation, l'axe se résume donc à un point.

### Activité 3 : caractériser les mouvements

Dans l'exemple de l'élévateur à bande, à partir des résultats de l'activité 2, caractériser les mouvements des différentes pièces par rapport aux pièces rep. 1, rep. 2, rep. 3 et rep. 4.
Pour les mouvements par rapport à la pièce rep. 1 (bâti), on utilise le dessin initial. On a :
* M$^{vt}$$_{2/1}$ : rotation de centre A ;
* M$^{vt}$$_{4/1}$ : rotation de centre C ;
* M$^{vt}$$_{3/1}$ : mouvement plan quelconque.
Puis, on utilise les dessins obtenus sur le calque : par rapport au corps du vérin
* M$^{vt}$$_{1/2}$ : rotation de centre A ;
* M$^{vt}$$_{3/2}$ : translation de direction (AB) ;
* M$^{vt}$$_{4/2}$ : mouvement plan quelconque.
Par rapport à la tige de vérin :
* M$^{vt}$$_{1/3}$ : mouvement plan quelconque ;
* M$^{vt}$$_{2/3}$ : translation de direction (AB) ;
* M$^{vt}$$_{4/3}$ : rotation de centre D.
Par rapport au support :
* M$^{vt}$$_{1/4}$ : rotation de centre C ;
* M$^{vt}$$_{2/4}$ : mouvement plan quelconque ;
* M$^{vt}$$_{3/4}$ : rotation de centre D.
On remarque que si l’on inverse les indices, on retrouve le même type de mouvement (M$^{vt}$$_{2/1}$ et M$^{vt}$$_{1/2}$ sont de même type), le mouvement se faisant dans le sens contraire.

### Natures de mouvement

La nature du mouvement est un adjectif qui décrit la vitesse à laquelle la position change. Le mouvement peut être :
* uniforme : la vitesse ne varie pas ;
* varié : la vitesse évolue ; un mouvement varié peut être
** accéléré : la vitesse augmente,
** décéléré : la vitesse diminue.

## Trajectoire

Attachons un feutre à une pièce et regardons la trace qu’il laisse au cours du mouvement de la pièce. Cette trace est la trajectoire du point de la pièce correspondant au feutre. La trajectoire est une courbe, au sens mathématique.
    Le mouvement décrit les positions successives de la pièce ; la trajectoire décrit les positions successives d'un point de la pièce.
La trajectoire est décrite par le nom de la courbe mathématique :
* translation rectiligne : les trajectoires de tous les points de la pièce sont des segments de droite parallèles entre eux ;
* translation circulaire : les trajectoires de tous les points de la pièce sont des arcs de cercles identiques (même rayon, même angle), mais de centres différents ;
* rotation : les trajectoires de tous les points de la pièce sont des arcs de cercle concentriques de même angle ; le centre commun est le centre de rotation de la pièce.
Dans le dessin ci-dessus, les trajectoires sont les courbes bleues terminées par des flèches.
Comme pour le mouvement, la trajectoire dépend de l’objet de référence. Si l’on considère un point A appartenant au solide rep. 1, alors sa trajectoire par rapport au solide rep. 2 est notée T$_{A∈1/2}$.

### Activité 4 : tracé des trajectoires

Pour les mouvements de rotation et de translation rectiligne identifiés dans l'activité 3 : tracer les trajectoires des points A, B, C et D. Ce tracé se fera sur les calques.
Les trajectoires demandées sont en bleu. Les trajectoires en magenta correspondent à des courbes complexes, et sont donnée à titre indicatif. La pièce de référence est indiquée par une webcam.
Habituellement, le tracé de trajectoire se fait sur une épure, c'est-à-dire un dessin sur lequel on ne représente que les points intéressants (points dont on trace les trajectoires et centres de rotation). La forme extérieure des pièces ne change pas la trajectoire, on ne représente donc pas le contour des pièces.

## Enregistrement

Plutôt que de regarder la trace continue d'un feutre, on peut utiliser un feutre que s'abaisse à intervalles réguliers. On a ainsi une courbe en pointillés. On peut aussi obtenir cette courbe en filmant le mouvement et en plaçant une croix à l'endroit du point considéré sur chaque image.
Si l’on relie les points, on obtient la trajectoire.
Si les points sont espacés régulièrement, le mouvement est uniforme. Si l'écart entre les points varie, le mouvement est varié : s'ils s'écartent, le mouvement est accéléré, s'ils se rapprochent, le mouvement est décéléré.

## Déterminer le mouvement

Si une pièce 1 et une pièce 2 sont en liaison pivot de centre A, alors : M$^{vt}$$_{1/2}$ est une rotation de centre A, M$^{vt}$$_{2/1}$ est également une rotation ce centre A. Les trajectoires de tous les points sont des cercles ou arcs de cercle de centre A.
Si une pièce 1 et une pièce 2 sont en liaison glissière de centre A et d'axe x, alors : M$^{vt}$$_{1/2}$ est une translation rectiligne d'axe ${\vec {x}}$, M$^{vt}$$_{2/1}$ est également une translation rectiligne d'axe ${\vec {x}}$. Les trajectoires de tous les points sont des segments de droite d'axe ${\vec {x}}$.
En génie mécanique, le mouvement relatif entre deux pièces est en général une rotation ou une translation rectiligne — la plupart du temps une rotation. La combinaison de ces mouvements élémentaires permet de créer des mouvements très complexes.
Les différentes liaisons cinématiques ont en général pour but d'assurer une translation rectiligne ou une rotation, mais en laissant des degrés de liberté permettant de s'adapter aux défauts de fabrication et aux variations de longueurs (par exemple à cause de la variation de température).

### Exemple de l'élévateur à bandes

Nous reprenons ici les résultats des activités 2 à 4, et nous les remettons en forme de manière plus rigoureuse.

#### Pièces en liaison avec le châssis

Les pièces 2 (corps du vérin) et 4 (support) sont en liaison pivot avec le châssis. On en déduit donc les mouvements et trajectoires suivants :
Mouvements et trajectoires :
| Mouvement | Type | Trajectoire | Élément géométrique associé à la trajectoire |
| M$^{vt}$$_{2/1}$ | rotation de centre A | T$_{B∈2/1}$ | arc de cercle de centre A et de rayon AB |
| M$^{vt}$$_{4/1}$ | rotation de centre C | T$_{D∈4/1}$ | arc de cercle de centre C et de rayon CD |
| M$^{vt}$$_{4/1}$ | rotation de centre C | T$_{E∈4/1}$ | arc de cercle de centre C et de rayon CE |
On peut ainsi tracer les trajectoires des points.

#### Tige de vérin

La tige de vérin 3 est en liaison pivot glissant avec le corps de vérin 2. Elle peut donc coulisser et tourner autour de son axe. Cependant, la rotation est bloquée par la liaison pivot à l'autre extrémité (liaison avec le support 4). On en déduit donc les mouvements suivants :
Mouvements et trajectoires :
| Mouvement | Type |
| M$^{vt}$$_{3/2}$ | translation rectiligne de direction (AB) |
| M$^{vt}$$_{3/1}$ | mouvement plan quelconque |

## Point coïncident

Lorsque deux solides 0 et 1 sont en contact en un point A, ce point est appelé point coïncident. Par la suite, les solides ayant un mouvement relatif, ces points se séparent. On distingue donc le point A appartenant à la pièce 0, noté A∈0, et le point A appartenant à la pièce 1, noté A∈1.
Prenons l'exemple d'une roue 1 roulant sur le sol 0 sans glissement. On appelle A le point de contact sol/roue ; c’est le point coïncident. Lorsque la roue se met en mouvement, A∈0 reste immobile par rapport au sol (T$_{A∈0/0}$ est un point fixe) tandis qu'A∈1 se déplace par rapport au sol (T$_{A∈1/0}$ est une courbe appelée « cycloïde »).
Revenons sur l'exemple de l'élévateur à bande, et en particulier sur la liaison en D entre la tige de vérin rep. 3 et le support rep. 4. À l'endroit du point D, centre de la liaison, les pièces rep. 3 et rep. 4 sont creuses ; d'un point de vue matière, le point D n'appartient ni à la pièce rep. 3, ni à la pièce rep. 4, il appartient à l'axe rep. 6. On définit pourtant par extension le point coïncident D, et donc les deux points D∈3 et D∈4.
Dans le cas d'un mouvement plan, on peut imaginer que chaque pièce est dessinée sur un calque parallèle au plan (x, y ), et que les calques sont empilés. Un point coïncident à un instant donné est un point de cordonnées (x, y ) à cet instant, sur tous les calques ; D∈3 et D∈4 ont les mêmes coordonnées x et y, mais l'un fait partie du calque 3 et l'autre du calque 4. On peut de même définir un point D∈2.
De la même manière, le centre de liaison B entre le corps et la tige du vérin est un point coïncident, et l’on peut définir les points B∈2 et B∈3.
* Corps et piston sur deux calques différents
* Position finale : les deux points B sont distants
Les liaisons pivots n'ont aucun degré de liberté en translation. On en déduit que les points D∈3 et D∈4 ont la même trajectoire. De manière générale :
Si un point A est le centre d'une liaison pivot entre les pièces 1 et 2, alors T$_{A∈1}$ = T$_{A∈2}$.
C'est également vrai si la liaison est une liaison rotule ou rotule à doigt.
Dans l'exemple de l'élévateur à bande :
* A est le centre du pivot entre les pièces rep. 1 et rep. 2, donc T$_{A∈1/i}$ = T$_{A∈2/i}$ ;
* C est le centre du pivot entre les pièces rep. 1 et rep. 4, donc T$_{C∈1/i}$ = T$_{C∈4/i}$ ;
* D est le centre du pivot entre les pièces rep. 3 et rep. 4, donc T$_{D∈3/i}$ = T$_{D∈4/i}$ ;
la pièce i pouvant être n’importe quelle pièce. Ceci se voit bien dans l’activité 4.

## Méthode générale pour le tracé de trajectoires

Pour tracer les trajectoires, ou les positions extrêmes, de différents points d'un système :
* On commence par considérer les pièces en liaisons directes avec le bâti ; on trace les trajectoires de leurs points (arcs de cercle ou lignes rectilignes).
* On place les positions extrêmes des points de l'actionneur (vérin, roue motrice), ou bien de la pièce indiquée par l'énoncé.
* Si nécessaire, on place les positions intermédiaires des points de ladite pièce ; par exemple, on divise l'arc de cercle ou le segment parcouru en n parties égales.
* On utilise le fait que les pièces intermédiaires sont rigides : les distances entre les points ne varient pas, on peut donc reporter les distances au compas.

## Autres exemples
### Élévateur de manège

Les manèges utilisent parfois des élévateurs. Un vérin met en mouvement un bras élévateur sur lequel est fixé le sujet de manège.
La figure ci-contre est une représentation simplifiée de l'élévateur : nous avons omis de représenter des éléments de renfort afin de faire ressortir les pièces utiles au mouvement.
Nomenclature :
| 5 | 2 | Bielle | S235 | Mécano-soudé |
| 4 | 1 | Axe de liaison de la tige de vérin | S355 | |
| 3 | 1 | Tige de vérin | | |
| 2 | 1 | Corps du vérin | | |
| 1 | 2 | Bras élévateur | S355 | Mécano-soudé |
| 0 | 1 | Embase élévateur | S355 | Mécano-soudé |
| Rep | Nb | Désignation | Matière | Observations |
Le sujet de manège, dans lequel est assis l'enfant, doit rester horizontal ; pour cela, il est fixé sur une plateforme reliée au manège par des bielles, qui corrigent l'orientation de la plateforme.
Vue de profil, les bras de levage et les bielles forment un parallélogramme : la longueur projetée des bras est égale à la longueur projetée des bielles, la plateforme est donc toujours parallèle au plateau du manège.
Le point B est le centre du pivot entre le bras élévateur rep. 1 et le support de sujet, on a donc T$_{B∈1/0}$ = T$_{B∈supportsujet/0}$. Le point C est le centre du pivot entre la bielle rep. 5 et le support de sujet, on a donc T$_{C∈5/0}$ = T$_{C∈supportsujet/0}$. Comme les rayons des trajectoires sont les mêmes, les arcs de cercle sont identiques. Le mouvement du sujet par rapport au plateau est donc une translation circulaire.
Ce système de parallélogramme est utilisé dans de nombreux domaines, lorsqu'une pièce doit garder la même orientation au cours du mouvement.

### Cinématique de la fraiseuse

Une fraiseuse conventionnelle permet deux mouvements par rapport au bâti :
* l'outil (la fraise) est en rotation par rapport au bâti, ce mouvement est appelé C ;
* la pièce a un mouvement dans l'espace par rapport au bâti, et donc par rapport à l'outil ; l'axe de la broche est l'axe z.
Le mouvement de la pièce est lui-même réalisé par trois translations :
* la console (charriot vertical CV) a un mouvement de translation rectiligne d'axe z (vertical) par rapport au bâti ;
* le charriot transversal (CT) a un mouvement de translation rectiligne d'axe y (horizontal) par rapport à la console ;
* la table (charriot longitudinal CL) a un mouvement de translation rectiligne d'axe x (horizontal) par rapport au charriot transversal.
Notons que l'outil est monté sur une tête orientable, qui permet de faire varier l'angle de coupe ; on a donc un autre mouvement de rotation possible.
Sur certaines fraiseuse, c’est l'outil qui se translate selon un axe y : la tête porte-outil est montée sur un « bélier » en liaison glissière par rapport au bâti.
Considérons un surfaçage (fraisage en bout). Durant l'opération, la fraise est animée d'un mouvement de rotation par rapport au bâti (broche), et la pièce à usiner est animée d'une translation d'axe x par rapport au bâti (charriot longitudinal).
Si l’on se place maintenant dans le référentiel lié à la pièce, la fraise a un mouvement plan quelconque par rapport à la pièce. La trajectoire d'une dent de la fraise décrit une trochoïde. Cela explique la forme des rayures laissées par l'opération.
Considérons maintenant un fraisage en roulant. De la même manière, dans le référentiel lié à la pièce, la dent a une trajectoire trochoïdale, mais cette fois-ci cela crée des « vagues » sur la surface. Cela explique que la qualité d'usinage est moins bonne.

### Cinématique du tour

Un tour conventionnel permet deux mouvements par rapport au bâti :
* la pièce est en rotation par rapport au bâti ; l'axe de la broche est l'axe z, le mouvement est appelé C ;
* l'outil dans l'espace par rapport au bâti, et donc par rapport à la pièce.
Le mouvement de l'outil est lui-même réalisé par deux translations :
* une translation axiale, c'est-à-dire d'axe z, l'outil se « promène le long de la pièce » ;
* une translation radiale, selon l'axe x, l'outil « rentre dans la pièce ».
Considérons un charriotage : la pièce à usiner est animée d'un mouvement de rotation d'axe z par rapport au bâti, et l'outil d'un mouvement de translation rectiligne d'axe z. Dans le référentiel de la pièce, l'outil a un mouvement hélicoïdal, la trajectoire de la pointe décrit une hélice.
Cela explique les traces laissées à l'usinage. Cela explique aussi que l’on puisse réaliser un filetage ou un taraudage au tour.
Considérons maintenant un dressage : la pièce à usiner est animée d'un mouvement de rotation d'axe z par rapport au bâti, et l'outil d'un mouvement de translation rectiligne d'axe x. Dans le référentiel de la pièce, l'outil a un mouvement plan quelconque, la trajectoire de la pointe décrit une spirale. Cela explique les traces laissées à l'usinage.

## Note pour les enseignants
### Diplômes français

Unités des diplômes français concernées par ce chapitre :
* Sciences physiques et chimiques, seconde de détermination professionnelle : T1 : Comment peut-on décrire le mouvement d'un véhicule ?
* bac pro EDPI : S4.2.1 : Mouvement relatif de deux solides en liaison glissière ou pivot — Généralités ;
* bac pro TU : S1.4.1 : Mouvement relatif de deux solides en liaison glissière ou pivot ou hélicoïdale ;
** repère fixe, repère mobile,
** Définition des mouvements (rotation, translation, hélicoïdal),
** Trajectoire des points d'un solide ;
* bac pro ROC-SM : S2.1.2 : Cinématique — Solide en mouvement de translation rectiligne — Solide en mouvement de rotation autour d'un axe fixe
* bac pro TCI : S1.4.3 Cinématique — Généralités.
Pour les baccalauréats non-professionnels :
* bac scientifique, option science de l'ingénieur : Cinématique.

#### Note

Le programme est plus restreint pour le bac pro ROC-SM. Le niveau exigé est plus bas pour le bac pro TCI (niveau 2 au lieu de 3).