# Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Système de deux équations algébriques linéaires à deux inconnues

On se propose de résoudre un système de deux équations algébriques linéaires à deux inconnues sans et avec second membre.

## Définition

$\;x\;$
$\;y\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\alpha \,x+\beta \,y=a\\\gamma \,x+\delta \,y=b\end{array}}\right.$
$\;\alpha ,\;\beta ,\;\gamma \;{\text{et}}\;\delta \;$
$\;a\;{\text{et}}\;b\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;a=b=0$
$\;{\big$
${\big )}$

## Résolution d'un système homogène de deux équations algébriques linéaires à deux inconnues

Soit à résoudre $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\alpha \,x+\beta \,y=0\\\gamma \,x+\delta \,y=0\end{array}}\right.\;$ où $\;\alpha ,\;\beta ,\;\gamma \;{\text{et}}\;\delta \;$ sont des constantes réelles non nulles, $\;x\;$ et $\;y\;$ étant les variables réelles à déterminer :

### Solution triviale

Nous avons une 1ère solution $\;(x=0,\;y=0)\;$ qualifiée de « triviale » ; est-elle unique ?
Nous avons une 1ère solution $\;\color {transparent}{(x=0,\;y=0)}\;$ qualifiée de « triviale » ; Si non, à quelle condition sur $\;\alpha ,\;\beta ,\;\gamma \;{\text{et}}\;\delta \;$ existe-t-il des solutions non triviales ?

### Condition d'existence de solutions non triviales

Tout d'abord si l'un des cœfficients est nul, par exemple $\;\gamma =0\;$ avec $\;\delta \neq 0$, on a nécessairement $\;y=0\;$ comme solution de la 2ème équation, et par suite : Tout d'abord si l'un des cœfficients est nul, par exemple $\;\color {transparent}{\gamma =0}\;$ avec $\;\color {transparent}{\delta \neq 0}$, $\bullet \;$si $\;\alpha \neq 0$, $\;x=0\;$ comme solution de la 1ère équation et Tout d'abord si l'un des cœfficients est nul, par exemple $\;\color {transparent}{\gamma =0}\;$ avec $\;\color {transparent}{\delta \neq 0}$, $\bullet \;$si $\;\alpha =0$, toutes valeurs de $\;x\;$ est solution de la 1ère équation ; Tout d'abord si l'un des cœfficients est nul, en 1ère conclusion, si un seul des cœfficients d'une équation est nul $\;{\big$par exemple $\;\gamma =0{\big )}\;$ Tout d'abord si l'un des cœfficients est nul, en 1ère conclusion, la condition d'existence de solutions non triviales est la nullité du cœfficient correspondant à ce cœfficient nul dans l'autre équation Tout d'abord si l'un des cœfficients est nul, en 1ère conclusion, la condition d'existence de solutions non triviales est ${\big$sur l'exemple $\;\alpha =0{\big )}$.
Tout d'abord Si les deux cœfficients d'une équation sont nuls, par exemple $\;\gamma =0\;$ avec $\;\delta =0$, cela supprime cette équation, il ne reste plus qu'une équation algébrique linéaire à deux inconnues, Tout d'abord Si les deux cœfficients d'une équation sont nuls, par exemple $\;\color {transparent}{\gamma =0}\;$ avec $\;\color {transparent}{\delta =0}$, on conclut à l'existence de solutions non triviales de cette équation.
Tout d'abord Si aucun cœfficient n'est nul, pour qu'il existe des solutions non triviales il faut que les deux équations soient « liées » c.-à-d. Tout d'abord Si aucun cœfficient n'est nul, pour qu'il existe des solutions non triviales il faut que l'une soit égale à l'autre à un facteur multiplicatif près, ce qui donne la condition $\;{\dfrac {\alpha }{\gamma }}={\dfrac {\beta }{\delta }}\;$ ou encore Tout d'abord Si aucun cœfficient n'est nul, pour qu'il existe des solutions non triviales il faut que l'une soit égale à l'autre à un facteur multiplicatif près, ce qui donne la condition $\;\alpha \;\delta =\gamma \;\beta$.
$\;x\;$
$\;y\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\alpha \,x+\beta \,y=0\\\gamma \,x+\delta \,y=0\end{array}}\right.\;$
$\;\alpha \;\delta =\gamma \;\beta \;$

### Obtention des solutions non triviales

Nous supposons donc $\;\alpha \;\delta =\gamma \;\beta$ : $\bullet \;$si $\;\gamma =0\;$ et $\;\delta =0$, il reste à résoudre $\;\alpha \,x+\beta \,y=0\;$ dans laquelle il y a au moins un cœfficient non nul d'où Nous supposons donc $\;\color {transparent}{\alpha \;\delta =\gamma \;\beta }$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$si $\;\color {transparent}{\gamma =0}\;$ et $\;\color {transparent}{\delta =0}$, il reste à résoudre $\;\color {transparent}{\alpha \,x+\beta \,y=0}\;$ si $\;\beta \neq 0\;$ les solutions non triviales sont $\;\left(x_{0},\;y_{0}=-{\dfrac {\alpha }{\beta }}\,x_{0},\;\;\forall \,x_{0}\in \mathbb {R} \right)$, Nous supposons donc $\;\color {transparent}{\alpha \;\delta =\gamma \;\beta }$ : $\bullet \;$si $\;\gamma =0\;$ et $\;\alpha =0$, il reste à résoudre $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\beta \,y=0\\\delta \,y=0\end{array}}\right.\;$ dans laquelle il y a au moins un cœfficient non nul impliquant la solution triviale $\;y=0\;$ d'où Nous supposons donc $\;\color {transparent}{\alpha \;\delta =\gamma \;\beta }$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$si $\;\color {transparent}{\gamma =0}\;$ et $\;\color {transparent}{\alpha =0}$, il reste à résoudre $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\begin{array}{c}\beta \,y=0\\\delta \,y=0\end{array}}\right.}\;$ les solutions non triviales du système $\;\left(x_{0},\;y_{0}=0,\;\;\forall \,x_{0}\in \mathbb {R} \right)$, Nous supposons donc $\;\color {transparent}{\alpha \;\delta =\gamma \;\beta }$ : $\bullet \;$si aucun des cœfficients n'est nul, les deux équations étant liées il reste à résoudre l'une d'entre elles, par exemple Nous supposons donc $\;\color {transparent}{\alpha \;\delta =\gamma \;\beta }$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$si aucun des cœfficients n'est nul, les deux équations étant liées il reste à résoudre $\alpha \,x+\beta \,y=0\;$ de solutions non triviales $\;\left(x_{0},\;y_{0}=-{\dfrac {\alpha }{\beta }}\,x_{0},\;\forall \,x_{0}\in \mathbb {R} \right)$.

## Résolution d'un système hétérogène de deux équations algébriques linéaires à deux inconnues

Soit à résoudre le système hétérogène de deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues réelles $\;x\;$ et $\;y$ : $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\alpha \,x+\beta \,y=a\\\gamma \,x+\delta \,y=b\end{array}}\right.$, $\;\alpha ,\;\beta ,\;\gamma \;{\text{et}}\;\delta \;$ étant des cœfficients réels, Soit à résoudre le système hétérogène de deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues réelles $\;\color {transparent}{x}\;$ et $\;\color {transparent}{y}$ : $\;a\;{\text{et}}\;b\;$ étant les seconds membres $\;{\big$réels${\big )}\;$ dont l'un au moins est non nul ; Soit à résoudre le système hétérogène il y a au moins trois méthodes de résolution : $\bullet \;$méthode par substitution, Soit à résoudre le système hétérogène il y a au moins trois méthodes de résolution : $\bullet \;$méthode par combinaison linéaire et Soit à résoudre le système hétérogène il y a au moins trois méthodes de résolution : $\bullet \;$méthode par comparaison $\;{\big$graphique${\big )}\;$.

### Résolution par substitution

Cette méthode consiste à isoler l'une des inconnues des deux équations $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\alpha \,x+\beta \,y=a\\\gamma \,x+\delta \,y=b\end{array}}\right\rbrace$, puis à remplacer son expression dans l'équation qui n'a pas été utilisée par exemple :
* si $\;\alpha \neq 0$, on tire de la 1ère équation «$\;x={\dfrac {a}{\alpha }}-{\dfrac {\beta }{\alpha }}\;y\;$» que l'on reporte dans la 2ème équation «$\;\gamma \left({\dfrac {a}{\alpha }}-{\dfrac {\beta }{\alpha }}\;y\right)+\delta \;y=b\;$», laquelle peut être réécrite selon «$\;\left(\delta -\gamma \;{\dfrac {\beta }{\alpha }}\right)\;y=b-\gamma \;{\dfrac {a}{\alpha }}$» ou si $\;\color {transparent}{\alpha \neq 0}$, on tire de la 1ère équation «$\;\color {transparent}{x={\dfrac {a}{\alpha }}-{\dfrac {\beta }{\alpha }}\;y}\;$» que l'on reporte dans la 2ème équation «$\;\left(\alpha \;\delta -\gamma \;\beta \right)\;y=\alpha \;b-\gamma \;a\;$» ; si $\;\color {transparent}{\alpha \neq 0}$, on tire de la 1ère équation «$\;\color {transparent}{x={\dfrac {a}{\alpha }}-{\dfrac {\beta }{\alpha }}\;y}\;$» que l'on reporte dans la 2ème équation $\succ \;$si $\;\alpha \;\delta =\gamma \;\beta \;$ et $\;\alpha \;b\neq \gamma \;a\;$, il n'y a aucune solution réelle finie ; si $\;\color {transparent}{\alpha \neq 0}$, on tire de la 1ère équation «$\;\color {transparent}{x={\dfrac {a}{\alpha }}-{\dfrac {\beta }{\alpha }}\;y}\;$» que l'on reporte dans la 2ème équation $\succ \;$si $\;\alpha \;\delta =\gamma \;\beta \;$ et $\;\alpha \;b=\gamma \;a\;$, il y a une infinité de solutions$\;\left({\dfrac {a}{\alpha }}-{\dfrac {\beta }{\alpha }}\;y_{0}\;,\;y_{0}\right)\;\;\forall \;y_{0}\in \mathbb {R}$ ; si $\;\color {transparent}{\alpha \neq 0}$, on tire de la 1ère équation «$\;\color {transparent}{x={\dfrac {a}{\alpha }}-{\dfrac {\beta }{\alpha }}\;y}\;$» que l'on reporte dans la 2ème équation $\succ \;$si $\;\alpha \;\delta \neq \gamma \;\beta$, il y a une solution unique$\;\left(x_{0}\;,\;y_{0}\right)\;$ avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}y_{0}={\dfrac {\alpha \;b-\gamma \;a}{\alpha \;\delta -\gamma \;\beta }}\\x_{0}={\dfrac {a}{\alpha }}-{\dfrac {\beta }{\alpha }}\;y_{0}\end{array}}\right\rbrace \;$ ou encore si $\;\color {transparent}{\alpha \neq 0}$, on tire de la 1ère équation «$\;\color {transparent}{x={\dfrac {a}{\alpha }}-{\dfrac {\beta }{\alpha }}\;y}\;$» que l'on reporte dans la 2ème équation $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{\alpha \;\delta \neq \gamma \;\beta }$, $\left\lbrace {\begin{array}{c}y_{0}={\dfrac {\alpha \;b-\gamma \;a}{\alpha \;\delta -\gamma \;\beta }}\\x_{0}={\dfrac {a}{\alpha }}-{\dfrac {\beta }{\alpha }}\;{\dfrac {\alpha \;b-\gamma \;a}{\alpha \;\delta -\gamma \;\beta }}\end{array}}\right\rbrace \;$ expression de $\;x_{0}\;$ que l'on peut simplifier selon si $\;\color {transparent}{\alpha \neq 0}$, on tire de la 1ère équation «$\;\color {transparent}{x={\dfrac {a}{\alpha }}-{\dfrac {\beta }{\alpha }}\;y}\;$» que l'on reporte dans la 2ème équation $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{\alpha \;\delta \neq \gamma \;\beta }$, $\;x_{0}={\dfrac {a\left(\alpha \;\delta -\gamma \;\beta \right)-\beta \left(\alpha \;b-\gamma \;a\right)}{\alpha \left(\alpha \;\delta -\gamma \;\beta \right)}}={\dfrac {\delta \;a-\beta \;b}{\alpha \;\delta -\gamma \;\beta }}\;$ soit finalement si $\;\color {transparent}{\alpha \neq 0}$, on tire de la 1ère équation «$\;\color {transparent}{x={\dfrac {a}{\alpha }}-{\dfrac {\beta }{\alpha }}\;y}\;$» que l'on reporte dans la 2ème équation $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{\alpha \;\delta \neq \gamma \;\beta }$, la solution unique «$\;\left({\dfrac {\delta \;a-\beta \;b}{\alpha \;\delta -\gamma \;\beta }}\;,\;{\dfrac {\alpha \;b-\gamma \;a}{\alpha \;\delta -\gamma \;\beta }}\right)\;$» ;
* si $\;\alpha =0$, la 1ère équation se réécrivant «$\;\beta \;y=a\;$» et la 2ème restant «$\;\gamma \,x+\delta \,y=b;$», on est conduit à la discussion suivante : si $\;\color {transparent}{\alpha =0}$, $\succ \;$si $\;\beta =0\;$ et $\;a\neq 0\;$, il n'y a aucune solution réelle finie ; si $\;\color {transparent}{\alpha =0}$, $\succ \;$si $\;\beta =0\;$ et $\;a=0\;$, il y a une infinité de solutions$\;\left({\dfrac {b}{\gamma }}-{\dfrac {\delta }{\gamma }}\;y_{0}\;,\;y_{0}\right)\;\;\forall \;y_{0}\in \mathbb {R}$ ; si $\;\color {transparent}{\alpha =0}$, $\succ \;$si $\;\beta \neq 0\;$, il y a une solution unique$\;\left(x_{0}\;,\;y_{0}\right)\;$ avec $\;y_{0}={\dfrac {a}{\beta }}\;$ et $\;x_{0}={\dfrac {b}{\gamma }}-{\dfrac {\delta }{\gamma }}\;y_{0}={\dfrac {b}{\gamma }}-{\dfrac {\delta }{\gamma }}\;{\dfrac {a}{\beta }}\;$ que l'on peut simplifier selon $\;x_{0}={\dfrac {\beta \;b-\delta \;a}{\gamma \;\beta }}\;$ soit finalement si $\;\color {transparent}{\alpha =0}$, $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{\beta \neq 0}\;$, il y a une solution unique«$\;\left(x_{0}={\dfrac {\beta \;b-\delta \;a}{\gamma \;\beta }}\;,\;y_{0}={\dfrac {a}{\beta }}\right)\;$».

### Résolution par combinaison (linéaire)

Remarque préliminaire : Si au moins un des cœfficients $\;\alpha$, $\;\beta$, $\;\gamma \;$ ou $\;\delta \;$ est nul, il est alors préférable de faire une résolution par substitution, Remarque préliminaire : Si au moins un le cœfficient nul jouant le rôle du cœfficient $\;\alpha \;$ dans l'exposé de la méthode du paragraphe « résolution par substitution » plus haut dans ce chapitre ; Remarque préliminaire : pour la suite nous supposerons donc qu'aucun des cœfficients $\;\alpha$, $\;\beta$, $\;\gamma \;$ et $\;\delta \;$ n'est nul.
Cette méthode consiste à multiplier les deux membres d'une équation par un même nombre de façon à avoir le même coefficient devant $\;x\;$ ${\big$ou devant $\;y{\big )}\;$ dans chaque équation, Cette méthode consiste à multiplier les deux membres d'une équation par un même nombre de façon à avoir le même coefficient devant $\;\color {transparent}{x}\;$ on obtient ainsi un système $\;({\mathcal {S}})\;$ équivalent, puis Cette méthode consiste à conserver une des équations de $\;({\mathcal {S}})\;$ et Cette méthode consiste à remplacer l'autre par l'équation obtenue en soustrayant membre à membre les deux équations de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans le but d'éliminer $\;x\;$ ${\big$ou $\;y{\big )}\;$ et Cette méthode consiste à avoir, pour cette dernière équation, une équation à une inconnue $\;y$ $\;{\big$ou $\;x{\big )}$, que l'on sait résoudre ; Cette méthode consiste par report de la valeur de $\;y$ $\;{\big$ou de $\;x{\big )}\;$ dans l'équation non modifiée de $\;({\mathcal {S}})$, on trouve la valeur de l'autre inconnue $\;x$ $\;{\big$ou $\;y{\big )}$ ; Cette méthode consiste appliquée au système $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\alpha \,x+\beta \,y=a\\\gamma \,x+\delta \,y=b\end{array}}\right\rbrace \;$ on obtient :
* en conservant la 1ère équation et en remplaçant la 2ème par elle-même multipliée par $\;{\dfrac {\alpha }{\gamma }}\;$ de façon à avoir le même cœfficient de $\;x\;$ que la 1ère on obtient $\;({\mathcal {S}})\;\left\lbrace {\begin{array}{r}\alpha \;x\!\!\!&+&\!\!\!\beta \;y\!\!\!&=&\!\!\!a\\\alpha \;x\!\!\!&+&\!\!\!{\dfrac {\alpha }{\gamma }}\;\delta \;y\!\!\!&=&\!\!\!{\dfrac {\alpha }{\gamma }}\;b\end{array}}\right\rbrace \;$ ou, en conservant la 1ère équation et en remplaçant la 2ème par elle-même multipliée par $\;\color {transparent}{\alpha }\;$ de façon à avoir le même cœfficient de $\;\color {transparent}{x}\;$ que la 1ère on obtient $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ dans le but d'éliminer les fractions, en remplaçant la 1ère équation par elle-même multipliée par $\;\gamma \;$ et la 2ème par elle-même multipliée par $\;\alpha \;$ toujours de façon à avoir le même cœfficient de $\;x\;$ dans les deux équations on obtient en conservant la 1ère équation et en remplaçant la 2ème par elle-même multipliée par $\;\color {transparent}{\alpha }\;$ de façon à avoir le même cœfficient de $\;\color {transparent}{x}\;$ que la 1ère on obtient $\;({\mathcal {S}}')\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\gamma \;\alpha \,x+\gamma \;\beta \,y=\gamma \;a\\\alpha \;\gamma \,x+\alpha \;\delta \,y=\alpha \;b\end{array}}\right\rbrace$,
* puis en conservant la 1ère équation de $\;({\mathcal {S}}')\;$ ${\big$ou en la remplaçant par la 1ère équation de $\;({\mathcal {S}})\;$${\big ]}\;$ et puis en remplaçant la 2ème par la différence de ses deux équations on obtient $\;({\mathcal {S}}')\;\Leftrightarrow \;$ $\left\lbrace {\begin{array}{r}\alpha \;x\!\!\!&+&\!\!\!\beta \;y\!\!\!&=&\!\!\!a\\&&\!\!\!\left(\gamma \;\beta -\alpha \;\delta \right)\;y\!\!\!&=&\!\!\!\left(\gamma \;a-\alpha \;b\right)\end{array}}\right\rbrace$ ; puis en remplaçant la 2ème par la différence de ses deux équations on obtient $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}')}\;$ $\succ \;$si $\;\alpha \;\delta =\gamma \;\beta \;$ et $\;\alpha \;b\neq \gamma \;a\;$, il n'y a aucune solution réelle finie ; puis en remplaçant la 2ème par la différence de ses deux équations on obtient $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}')}\;$ $\succ \;$si $\;\alpha \;\delta =\gamma \;\beta \;$ et $\;\alpha \;b=\gamma \;a\;$, il y a une infinité de solutions$\;\left({\dfrac {a}{\alpha }}-{\dfrac {\beta }{\alpha }}\;y_{0}\;,\;y_{0}\right)\;\;\forall \;y_{0}\in \mathbb {R}$ ; puis en remplaçant la 2ème par la différence de ses deux équations on obtient $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}')}\;$ $\succ \;$si $\;\alpha \;\delta \neq \gamma \;\beta$, il y a une solution unique$\;\left(x_{0}\;,\;y_{0}\right)\;$ avec $\;y_{0}={\dfrac {\gamma \;a-\alpha \;b}{\gamma \;\beta -\alpha \;\delta }}\;$ et puis en remplaçant la 2ème par la différence de ses deux équations on obtient $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}')}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{\alpha \;\delta \neq \gamma \;\beta }$, il y a une solution unique$\;\color {transparent}{\left(x_{0}\;,\;y_{0}\right)}\;$ avec $\;x_{0}={\dfrac {a}{\alpha }}-{\dfrac {\beta }{\alpha }}\;y_{0}={\dfrac {a}{\alpha }}-{\dfrac {\beta }{\alpha }}\;{\dfrac {\gamma \;a-\alpha \;b}{\gamma \;\beta -\alpha \;\delta }}\;$ ou puis en remplaçant la 2ème par la différence de ses deux équations on obtient $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}')}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{\alpha \;\delta \neq \gamma \;\beta }$, il y a une solution unique$\;\color {transparent}{\left(x_{0}\;,\;y_{0}\right)}\;$ avec $\;\color {transparent}{x_{0}}\;$ $={\dfrac {a\left(\gamma \;\beta -\alpha \;\delta \right)-\beta \left(\gamma \;a-\alpha \;b\right)}{\alpha \left(\gamma \;\beta -\alpha \;\delta \right)}}$ puis en remplaçant la 2ème par la différence de ses deux équations on obtient $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}')}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{\alpha \;\delta \neq \gamma \;\beta }$, il y a une solution unique$\;\color {transparent}{\left(x_{0}\;,\;y_{0}\right)}\;$ avec $\;\color {transparent}{x_{0}}\;$ $={\dfrac {\beta \;b-\delta \;a}{\gamma \;\beta -\alpha \;\delta }}\;$ soit finalement puis en remplaçant la 2ème par la différence de ses deux équations on obtient $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}')}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{\alpha \;\delta \neq \gamma \;\beta }$, il y a une solution unique«$\;\left(x_{0}={\dfrac {\beta \;b-\delta \;a}{\gamma \;\beta -\alpha \;\delta }}\;,\;y_{0}={\dfrac {\gamma \;a-\alpha \;b}{\gamma \;\beta -\alpha \;\delta }}\right)\;$».

### Résolution par comparaison (graphique)

Cette méthode consiste à extraire la même inconnue des deux équations en fonction de l'autre inconnue par exemple Cette méthode elle se fait en exprimant «$\;y\;$ en fonction de $\;x\;$ » ou «$\;x\;$ en fonction de $\;y\;$ », puis Cette méthode elle se fait en traçant sur un même graphique les deux représentations de «$\;y\;$ en fonction de $\;x\;$» ou de «$\;x\;$ en fonction de $\;y\;$» ; Cette méthode elle se fait en traçant sur un même graphique si les deux droites sont $\bullet \;$parallèles, il n'y a aucune solution, Cette méthode elle se fait en traçant sur un même graphique si les deux droites sont $\bullet \;$confondues, il y a infinité de solutions correspondant aux coordonnées du point générique de la droite commune et Cette méthode elle se fait en traçant sur un même graphique si les deux droites sont $\bullet \;$sécantes, il y a une solution unique correspondant aux coordonnées du point d'intersection des deux droites.
Pour la suite nous supposerons $\;\beta \neq 0\;$ et $\;\delta \neq 0\;$ ce qui permettra d'extraire des deux équations «$\;y\;$ en fonction de $\;x\;$».
Pour extraire «$\;y\;$ en fonction de $\;x\;$» des deux équations on multiplie les deux membres de la 1ère équation par $\;{\dfrac {1}{\beta }}\;$ et Pour extraire «$\;\color {transparent}{y}\;$ en fonction de $\;\color {transparent}{x}\;$» des deux équations on multiplie les deux membres de la 2ème équation par $\;{\dfrac {1}{\delta }}\;$ soit «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}y={\dfrac {a}{\beta }}-{\dfrac {\alpha }{\beta }}\;x\\y={\dfrac {b}{\delta }}-{\dfrac {\gamma }{\delta }}\;x\end{array}}\right\rbrace \;$», puis Pour extraire «$\;\color {transparent}{y}\;$ en fonction de $\;\color {transparent}{x}\;$» des deux équations on trace, dans un même repère $\;xOy$, la droite $\;(\Delta _{1})\;$ d'équation $\;y={\dfrac {a}{\beta }}-{\dfrac {\alpha }{\beta }}\;x\;$ et Pour extraire «$\;\color {transparent}{y}\;$ en fonction de $\;\color {transparent}{x}\;$» des deux équations on trace, dans un même repère $\;\color {transparent}{xOy}$, la droite $\;(\Delta _{2})\;$ d'équation $\;y={\dfrac {b}{\delta }}-{\dfrac {\gamma }{\delta }}\;x$ : Pour extraire «$\;\color {transparent}{y}\;$ en fonction de $\;\color {transparent}{x}\;$» des deux équations $\bullet \;$si $\;{\dfrac {\alpha }{\beta }}={\dfrac {\gamma }{\delta }}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\alpha \;\delta =\beta \;\gamma \;$ et si $\;{\dfrac {a}{\beta }}\neq {\dfrac {b}{\delta }}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;a\;\delta \neq b\;\beta$, les deux droites sont parallèles et le système n'a aucune solution, Pour extraire «$\;\color {transparent}{y}\;$ en fonction de $\;\color {transparent}{x}\;$» des deux équations $\bullet \;$si $\;{\dfrac {\alpha }{\beta }}={\dfrac {\gamma }{\delta }}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\alpha \;\delta =\beta \;\gamma \;$ et si $\;{\dfrac {a}{\beta }}={\dfrac {b}{\delta }}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;a\;\delta =b\;\beta$, les deux droites sont confondues et le système a une infinité de solutions s'écrivant Pour extraire «$\;\color {transparent}{y}\;$ en fonction de $\;\color {transparent}{x}\;$» des deux équations $\color {transparent}{\bullet }\;$si $\;\color {transparent}{{\dfrac {\alpha }{\beta }}={\dfrac {\gamma }{\delta }}}\;$ $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ $\;\color {transparent}{\alpha \;\delta =\beta \;\gamma }\;$ et si $\;\color {transparent}{{\dfrac {a}{\beta }}={\dfrac {b}{\delta }}}\;$ $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ $\;\color {transparent}{a\;\delta =b\;\beta }$, les deux droites sont confondues et «$\;\left(x_{0}\;,\;{\dfrac {a}{\beta }}-{\dfrac {\alpha }{\beta }}\;x_{0}\right)\;\;\forall \;x_{0}\in \mathbb {R} \;$» et Pour extraire «$\;\color {transparent}{y}\;$ en fonction de $\;\color {transparent}{x}\;$» des deux équations $\bullet \;$si $\;{\dfrac {\alpha }{\beta }}\neq {\dfrac {\gamma }{\delta }}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\alpha \;\delta \neq \beta \;\gamma$, les deux droites sont sécantes, l'abscisse du point d'intersection obéissant à $\;{\dfrac {a}{\beta }}-{\dfrac {\alpha }{\beta }}\;x={\dfrac {b}{\delta }}-{\dfrac {\gamma }{\delta }}\;x\;$ soit Pour extraire «$\;\color {transparent}{y}\;$ en fonction de $\;\color {transparent}{x}\;$» des deux équations $\color {transparent}{\bullet }\;$si $\;\color {transparent}{{\dfrac {\alpha }{\beta }}\neq {\dfrac {\gamma }{\delta }}}\;$ $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ $\;\color {transparent}{\alpha \;\delta \neq \beta \;\gamma }$, les deux droites sont sécantes $\left({\dfrac {\gamma }{\delta }}-{\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)x_{0}={\dfrac {b}{\delta }}-{\dfrac {a}{\beta }}\;$ ou $\;\left(\gamma \;\beta -\alpha \;\delta \right)x_{0}=b\;\beta -a\;\delta \;$ d'où Pour extraire «$\;\color {transparent}{y}\;$ en fonction de $\;\color {transparent}{x}\;$» des deux équations $\color {transparent}{\bullet }\;$si $\;\color {transparent}{{\dfrac {\alpha }{\beta }}\neq {\dfrac {\gamma }{\delta }}}\;$ $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ $\;\color {transparent}{\alpha \;\delta \neq \beta \;\gamma }$, les deux droites sont sécantes $x_{0}={\dfrac {\beta \;b-\delta \;a}{\gamma \;\beta -\alpha \;\delta }}\;$ dont on déduit Pour extraire «$\;\color {transparent}{y}\;$ en fonction de $\;\color {transparent}{x}\;$» des deux équations $\color {transparent}{\bullet }\;$si $\;\color {transparent}{{\dfrac {\alpha }{\beta }}\neq {\dfrac {\gamma }{\delta }}}\;$ $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ $\;\color {transparent}{\alpha \;\delta \neq \beta \;\gamma }$, les deux droites sont sécantes l'ordonnée du point d'intersection $\;y_{0}={\dfrac {a}{\beta }}-{\dfrac {\alpha }{\beta }}\;x_{0}={\dfrac {a}{\beta }}-{\dfrac {\alpha }{\beta }}\;{\dfrac {b\;\beta -a\;\delta }{\gamma \;\beta -\alpha \;\delta }}$ ou Pour extraire «$\;\color {transparent}{y}\;$ en fonction de $\;\color {transparent}{x}\;$» des deux équations $\color {transparent}{\bullet }\;$si $\;\color {transparent}{{\dfrac {\alpha }{\beta }}\neq {\dfrac {\gamma }{\delta }}}\;$ $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ $\;\color {transparent}{\alpha \;\delta \neq \beta \;\gamma }$, les deux droites sont sécantes $y_{0}={\dfrac {a\left(\gamma \;\beta -\alpha \;\delta \right)-\alpha \left(b\;\beta -a\;\delta \right)}{\beta \left(\gamma \;\beta -\alpha \;\delta \right)}}={\dfrac {\gamma \;a-\alpha \;b}{\gamma \;\beta -\alpha \;\delta }}\;$ soit Pour extraire «$\;\color {transparent}{y}\;$ en fonction de $\;\color {transparent}{x}\;$» des deux équations $\color {transparent}{\bullet }\;$si $\;\color {transparent}{{\dfrac {\alpha }{\beta }}\neq {\dfrac {\gamma }{\delta }}}\;$ $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ $\;\color {transparent}{\alpha \;\delta \neq \beta \;\gamma }$, les deux droites sont sécantes la solution unique «$\;\left(x_{0}={\dfrac {\beta \;b-\delta \;a}{\gamma \;\beta -\alpha \;\delta }}\;,\;y_{0}={\dfrac {\gamma \;a-\alpha \;b}{\gamma \;\beta -\alpha \;\delta }}\right)\;$».

## Interprétation matricielle

Le système hétérogène des deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues réelles $\;\left(x\,,\,y\right)$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\alpha \;x+\beta \;y=a\;\;({\mathfrak {1}})\\\gamma \;x+\delta \;y=b\;\;({\mathfrak {2}})\end{array}}\right.\;$» dans lequel $\;\left(\alpha \,,\,\beta \,,\,\gamma \,,\,\delta \,,\,a\,,\,b\right)\,\in \,\mathbb {R} ^{6}\;$ Le système hétérogène des deux équations algébriques linéaires se réécrit de façon plus compacte sous la forme matricielle «$\;\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E\right]\;$» dans laquelle Le système hétérogène des deux équations algébriques linéaires se réécrit $\bullet \;$«$\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{array}}\right]\in M_{2}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» c.-à-d. une matrice carrée de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;2\;$ appelée Le système hétérogène des deux équations algébriques linéaires se réécrit $\color {transparent}{\bullet }\;$« matrice des cœfficients du système », Le système hétérogène des deux équations algébriques linéaires se réécrit $\bullet \;$«$\;\left[X\right]=\left[{\begin{array}{c}x\\y\end{array}}\right]\in M_{2,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» c.-à-d. une matrice colonne de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;(2,\,1)\;$ appelée Le système hétérogène des deux équations algébriques linéaires se réécrit $\color {transparent}{\bullet }\;$« matrice colonne des inconnues », Le système hétérogène des deux équations algébriques linéaires se réécrit $\bullet \;$«$\;\left[E\right]=\left[{\begin{array}{c}a\\b\end{array}}\right]\in M_{2,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» c.-à-d. une matrice colonne de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;(2,\,1)\;$ appelée Le système hétérogène des deux équations algébriques linéaires se réécrit $\color {transparent}{\bullet }\;$« matrice colonne des 2$^{nds}$ membres » et enfin Le système hétérogène des deux équations algébriques linéaires se réécrit $\bullet \;$«$\;\times \;$» l'opération « multiplication matricielle » ;
la résolution de l'équation matricielle $\;\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E\right]\;$ nécessite de discuter suivant la valeur du déterminant de la « matrice des cœfficients du système » c.-à-d. la résolution de l'équation matricielle $\;\color {transparent}{\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E\right]}\;$ nécessite de discuter suivant la valeur de «$\;\mathrm {det} \!\left(A\right)={\begin{array}{|c c|}\;\alpha &\beta \;\\\;\gamma &\delta \;\end{array}}=\alpha \;\delta -\gamma \;\beta \;$»$^,$.

### Cas où le déterminant de la « matrice des cœfficients du système » est non nul

Pour «$\;\mathrm {det} \!\left(A\right)={\begin{array}{|c c|}\;\alpha &\beta \;\\\;\gamma &\delta \;\end{array}}=\alpha \;\delta -\gamma \;\beta \neq 0\;$», la « matrice des cœfficients du système » $\;\left[A\right]\;$ est inversible $\;{\big \$il existe une matrice carrée notée $\;\left[A\right]^{-1}\;$ de même dimension $\;{\big$ou taille${\big )}\;$ telle que Pour «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left(A\right)=\alpha \;\delta -\gamma \;\beta \neq 0}\;$», la « matrice des cœfficients du système » $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ est inversible $\;\color {transparent}{\big \$son produit matriciel à droite $\;{\big$ou à gauche${\big )}\;$ avec la matrice donnée $\;\left[A\right]\;$ Pour «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left(A\right)=\alpha \;\delta -\gamma \;\beta \neq 0}\;$», la « matrice des cœfficients du système » $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ est inversible $\;\color {transparent}{\big \$est la matrice identité de même dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;\left[I_{2}\right]\;$ soit Pour «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left(A\right)=\alpha \;\delta -\gamma \;\beta \neq 0}\;$», la « matrice des cœfficients du système » $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ est inversible $\;\color {transparent}{\big \$«$\;\left[A\right]^{-1}\times \left[A\right]=\left[I_{2}\right]\;$»${\big \}$.
Détermination de la matrice inverse des cœfficients du système$\;\left[A\right]^{-1}$ : soit $\;\left[A\right]^{-1}=\left[{\begin{array}{c}\alpha '&\beta '\\\gamma '&\delta '\end{array}}\right]\;$ à déterminer telle que $\;\left[{\begin{array}{c}\alpha '&\beta '\\\gamma '&\delta '\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{array}}\right]=$ $\left[{\begin{array}{c}1&0\\0&1\end{array}}\right]\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\alpha '\;\alpha +\beta '\;\gamma =1\;{\text{:}}\;({\mathfrak {1}})\\\alpha '\;\beta +\beta '\;\delta =0\;{\text{:}}\;({\mathfrak {2}})\\\gamma '\;\alpha +\delta '\;\gamma =0\;{\text{:}}\;({\mathfrak {3}})\\\gamma '\;\beta +\delta '\;\delta =1\;{\text{:}}\;({\mathfrak {4}})\end{array}}\right\rbrace \;$ Détermination de la matrice inverse des cœfficients du système$\;\color {transparent}{\left[A\right]^{-1}}$ : $\Leftrightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c c c}\left(\alpha \;\delta -\gamma \;\beta \right)\alpha '\!\!\!&=&\!\!\!\delta \!\!&{\text{:}}&\!\![\delta \;({\mathfrak {1}})-\gamma \;({\mathfrak {2}})]\\\left(\alpha \;\delta -\gamma \;\beta \right)\beta '\!\!\!&=&\!\!\!-\beta \!\!&{\text{:}}&\!\![\alpha \;({\mathfrak {2}})-\beta \;({\mathfrak {1}})]\\\left(\alpha \;\delta -\gamma \;\beta \right)\gamma '\!\!\!&=&\!\!\!-\gamma \!\!&{\text{:}}&\!\![\delta \;({\mathfrak {3}})-\gamma \;({\mathfrak {4}})]\\\left(\alpha \;\delta -\gamma \;\beta \right)\delta '\!\!\!&=&\!\!\!\alpha \!\!&{\text{:}}&\!\![\alpha \;({\mathfrak {4}})-\beta \;({\mathfrak {3}})]\end{array}}\right\rbrace \;$$^,$ d'où «$\;\left[A\right]^{-1}={\dfrac {1}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}}\;\left[{\begin{array}{c}\delta &-\beta \\-\gamma &\alpha \end{array}}\right]\;$».
Résolution de l'équation matricielle$\;\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E\right]$ : on multiplie de part et d'autre à gauche l'équation matricielle par $\;\left[A\right]^{-1}\;$ et on obtient la « solution matricielle $\;\left[X\right]=\left[A\right]^{-1}\times \left[E\right]\;$», Résolution de l'équation matricielle $\;\color {transparent}{\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E\right]}$ : en effet $\;\left[A\right]^{-1}\times \left\lbrace \left[A\right]\times \left[X\right]\right\rbrace =\left[A\right]^{-1}\times \left[E\right]\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left\lbrace \left[A\right]^{-1}\times \left[A\right]\right\rbrace \times \left[X\right]=\left[A\right]^{-1}\times \left[E\right]\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left[I_{2}\right]\times \left[X\right]=\left[A\right]^{-1}\times \left[E\right]$ soit finalement Résolution de l'équation matricielle $\;\color {transparent}{\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E\right]}$ : «$\;\left[X\right]=\left[A\right]^{-1}\times \left[E\right]\;$» compte-tenu de $\;\left[I_{2}\right]\times \left[X\right]=\left[X\right]$.
Explicitation de la solution du système des deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\alpha \;x+\beta \;y=a\;\;({\mathfrak {1}})\\\gamma \;x+\delta \;y=b\;\;({\mathfrak {2}})\end{array}}\right.$ : pour cela on développe le produit matriciel du membre de droite de la solution de l'équation matricielle associée «$\;\left[X\right]=\left[A\right]^{-1}\times \left[E\right]={\dfrac {1}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}}\;\left[{\begin{array}{c}\delta &-\beta \\-\gamma &\alpha \end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}a\\b\end{array}}\right]\;$» soit «$\;\left[{\begin{array}{c}x\\y\end{array}}\right]={\dfrac {1}{\alpha \;\delta -\beta \;\gamma }}\;\left[{\begin{array}{c}\delta \;a-\beta \;b\\\alpha \;b-\gamma \;a\end{array}}\right]\;$ $={\dfrac {1}{\begin{array}{|c c|}\;\alpha &\beta \;\\\;\gamma &\delta \;\end{array}}}\;\left[{\begin{array}{c}{\begin{array}{|c c|}\;a&\beta \;\\\;b&\delta \;\end{array}}\\{\begin{array}{|c c|}\;\alpha &a\;\\\;\gamma &b\;\end{array}}\end{array}}\right]\;$» soit finalement Explicitation de la solution du système des deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\begin{array}{c}\alpha \;x+\beta \;y=a\;\;({\mathfrak {1}})\\\gamma \;x+\delta \;y=b\;\;({\mathfrak {2}})\end{array}}\right.}$ : la solution unique «$\;x_{0}={\dfrac {\begin{array}{|c c|}\;a&\beta \;\\\;b&\delta \;\end{array}}{\begin{array}{|c c|}\;\alpha &\beta \;\\\;\gamma &\delta \;\end{array}}}={\dfrac {a\;\delta -b\;\beta }{\alpha \;\delta -\beta \;\gamma }}\;$ » et Explicitation de la solution du système des deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\begin{array}{c}\alpha \;x+\beta \;y=a\;\;({\mathfrak {1}})\\\gamma \;x+\delta \;y=b\;\;({\mathfrak {2}})\end{array}}\right.}$ : la solution unique «$\;y_{0}={\dfrac {\begin{array}{|c c|}\;\alpha &a\;\\\;\gamma &b\;\end{array}}{\begin{array}{|c c|}\;\alpha &\beta \;\\\;\gamma &\delta \;\end{array}}}={\dfrac {\alpha \;b-\gamma \;a}{\alpha \;\delta -\beta \;\gamma }}\;$ », Explicitation de la solution du système des deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\begin{array}{c}\alpha \;x+\beta \;y=a\;\;({\mathfrak {1}})\\\gamma \;x+\delta \;y=b\;\;({\mathfrak {2}})\end{array}}\right.}$ : ces résultats exprimés sous forme de quotient de déterminants définissant Explicitation de la solution du système des deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues : ces résultats la « règle de Cramer »$^,$$^,$.

### Cas où le déterminant de la « matrice des cœfficients du système » est nul

Si «$\;\mathrm {det} \!\left(A\right)={\begin{array}{|c c|}\;\alpha &\beta \;\\\;\gamma &\delta \;\end{array}}=\alpha \;\delta -\gamma \;\beta =0\;$», la « matrice des cœfficients du système » $\;\left[A\right]\;$ n'est pas inversible ${\Big \\,\not \exists \,\left[B\right]\;$ de même dimension $\;{\big$ou taille${\big )}\;$ que $\;\left[A\right]\;$ telle que $\;{\cancel {\left[B\right]\times \left[A\right]=\left[I_{2}\right]}}\;$ Si «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left(A\right)=\alpha \;\delta -\gamma \;\beta =0}\;$», la « matrice des cœfficients du système » $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ n'est pas inversible $\color {transparent}{{\Big \\,\not \exists \,\left[B\right]}\;$ de même dimension $\;\color {transparent}{\big$ou taille$\color {transparent}{\big )}\;$ que $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ telle que ou ${\cancel {\left[A\right]\times \left[B\right]=\left[I_{2}\right]}}{\Big \}$, Si «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left(A\right)=\alpha \;\delta -\gamma \;\beta =0}\;$», la « matrice des cœfficients du système » $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ n'est pas inversible ceci mettant en défaut l'unicité de la solution en cas d'existence et même Si «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left(A\right)=\alpha \;\delta -\gamma \;\beta =0}\;$», la « matrice des cœfficients du système » $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ n'est pas inversible ceci mettant en défaut l'existence de cette dernière ;
en réécrivant, en terme de déterminants, la discussion exposée dans le paragraphe « résolution par comparaison (graphique) [dans le cas α δ = γ β] » plus haut dans ce chapitre, on peut affirmer :
* si $\;{\begin{array}{|c c|}\;\alpha &\beta \;\\\;\gamma &\delta \;\end{array}}=0\;$ et si $\;{\begin{array}{|c c|}\;a&\beta \;\\\;b&\delta \;\end{array}}\neq 0\;$, il n'y a aucune solution du système des deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues $\;\left(x\,,\,y\right)\;$ et
* si $\;{\begin{array}{|c c|}\;\alpha &\beta \;\\\;\gamma &\delta \;\end{array}}=0\;$ et si $\;{\begin{array}{|c c|}\;a&\beta \;\\\;b&\delta \;\end{array}}=0\;$, il y a une infinité de solutions du système des deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues $\;\left(x\,,\,y\right)\;$ si $\;\color {transparent}{{\begin{array}{|c c|}\;\alpha &\beta \;\\\;\gamma &\delta \;\end{array}}=0}\;$ et si $\;\color {transparent}{{\begin{array}{|c c|}\;a&\beta \;\\\;b&\delta \;\end{array}}=0}\;$, il y a une infinité de solutions s'écrivant, si $\;\beta \neq 0$, selon «$\;\left(x_{0}\;,\;y_{0}={\dfrac {a}{\beta }}-{\dfrac {\alpha }{\beta }}\;x_{0}\right)\;\;\forall \;x_{0}\in \mathbb {R} \;$».

## Généralisation à un système de n équations algébriques linéaires à n inconnues (avec n entier naturel supérieur ou égal à trois)
### Définition

$\;n\;$
$\;n\;$
$\;\left(x_{i}\right)_{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,n\right]\right]}$
$\;n\;\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \;$
$\left\lbrace {\begin{matrix}a_{1,\,1}\;x_{1}+\cdots +a_{1,\,j}\;x_{j}+\cdots +a_{1,\,n}\;x_{n}=d_{1}\\\vdots \\a_{i,\,1}\;x_{1}+\cdots +a_{i,\,j}\;x_{j}+\cdots +a_{i,\,n}\;x_{n}=d_{i}\\\vdots \\a_{n,\,1}\;x_{1}+\cdots +a_{n,\,j}\;x_{j}+\cdots +a_{n,\,n}\;x_{n}=d_{n}\end{matrix}}\right.$
$\;\left\lbrace a_{i,\,j}\right\rbrace _{\begin{array}{|c}1\,\leqslant \,i\,\leqslant n\\1\,\leqslant \,j\,\leqslant n\end{array}}\;$
$\;\left\lbrace d_{i}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant n}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;d_{i}=0\;\;\forall \;i$
$\;{\big$
${\big )}$

### Généralisation des méthodes de résolution des systèmes de 2 équations algébriques linéaires à 2 inconnues aux systèmes de n équations algébriques linéaires à n inconnues avec « n > 2 »

La généralisation des méthodes de résolution « par substitution » ou « par combinaison linéaire » exposées pour un système de $\;2\;$ équations algébriques linéaires à $\;2\;$ inconnues est possible, sachant néanmoins que l'application est rendue d'autant plus difficile que $\;n\;$ est grand.

#### Résolution par substitution

Cette méthode consiste à isoler l'une des inconnues dans l'une des $\;n\;$ équations, puis à remplacer son expression dans les $\;(n-1)\;$ équations qui n'ont pas été utilisées, on aboutit ainsi à un système de $\;(n-1)\;$ équations algébriques linéaires à $\;(n-1)\;$ inconnues puis
on itère la méthode jusqu'à obtenir un système de $\;2\;$ équations algébriques linéaires à $\;2\;$ inconnues $\;\ldots$

#### Résolution par combinaison linéaire

Cette méthode consiste à conserver une équation dans laquelle l'apparition d'une des inconnues $\;{\big$par exemple $\;x_{n}{\big )}\;$ est effective $\;{\big$cette équation conservée étant, par exemple, $({\mathfrak {n}}){\big ]}\;$ et de remplacer chaque équation $\;({\mathfrak {j}}),\;j\neq n\;$ par une combinaison linéaire de $\;({\mathfrak {j}}),\;j\neq n\;$ et $\;({\mathfrak {n}})\;$ dans laquelle $\;x_{n}\;$ est éliminée, on obtient ainsi $\;(n-1)\;$ équations dans lesquelles $\;x_{n}\;$ n'apparaît pas et une dernière équation où $\;x_{n}\;$ figure, c.-à-d., à l'exception de la dernière équation, un système de $\;(n-1)\;$ équations algébriques linéaires à $\;(n-1)\;$ équations puis
on itère la méthode jusqu'à obtenir un système de $\;2\;$ équations algébriques linéaires à $\;2\;$ inconnues $\;\ldots$

#### Commentaires

Si les méthodes « par substitution » ou « par combinaison linéaire » ne posent aucune difficulté théorique, elles peuvent être néanmoins très laborieuses dans la pratique et il convient de ne pas faire les substitutions ou combinaisons linéaires au hasard $\;\ldots$

### Interprétation matricielle

Le système des $\;n\;$ équations algébriques linéaires aux $\;n\;$ inconnues réelles $\;\left(x_{i}\right)_{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,n\right]\right]}$, «$\left\lbrace {\begin{matrix}a_{1,\,1}\;x_{1}+\cdots +a_{1,\,j}\;x_{j}+\cdots +a_{1,\,n}\;x_{n}=d_{1}\\\vdots \\a_{i,\,1}\;x_{1}+\cdots +a_{i,\,j}\;x_{j}+\cdots +a_{i,\,n}\;x_{n}=d_{i}\\\vdots \\a_{n,\,1}\;x_{1}+\cdots +a_{n,\,j}\;x_{j}+\cdots +a_{n,\,n}\;x_{n}=d_{n}\end{matrix}}\right\rbrace \;$» dans lequel $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left\lbrace a_{i,\,j}\right\rbrace _{\begin{array}{|c}1\,\leqslant \,i\,\leqslant n\\1\,\leqslant \,j\,\leqslant n\end{array}}\;\in \left(\mathbb {R} \right)^{n^{2}}\\\left\lbrace d_{i}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant n}\;\in \mathbb {R} ^{n}\end{array}}\right\rbrace \;$ Le système des $\;\color {transparent}{n}\;$ équations algébriques linéaires aux $\;\color {transparent}{n}\;$ inconnues peut être réécrit de façon plus compacte sous la forme matricielle «$\;\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E\right]\;$» dans laquelle
* $\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}a_{1,\,1}&\cdots &a_{1,\,j}&\cdots &a_{1,\,n}\\&&\vdots &&\\a_{i,\,1}&\cdots &a_{i,\,j}&\cdots &a_{i,\,n}\\&&\vdots &&\\a_{n,\,1}&\cdots &a_{n,\,j}&\cdots &a_{n,\,n}\end{array}}\right]\in M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ c.-à-d. une matrice carrée de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;n\;$ appelée « matrice des cœfficients du système »,
* $\;\left[X\right]=\left[{\begin{array}{c}x_{1}\\\vdots \\x_{i}\\\vdots \\x_{n}\end{array}}\right]\in M_{n,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ c.-à-d. une matrice colonne de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;(n,\,1)\;$ appelée « matrice colonne des inconnues »,
* $\;\left[E\right]=\left[{\begin{array}{c}d_{1}\\\vdots \\d_{i}\\\vdots \\d_{n}\end{array}}\right]\in M_{n,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ c.-à-d. une matrice colonne de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;(n,\,1)\;$ appelée « matrice colonne des 2$^{nds}$ membres » et
* $\;\times \;$ l'opération « multiplication matricielle » ;
la résolution de l'équation matricielle $\;\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E\right]\;$ nécessite de discuter suivant la valeur du déterminant de la « matrice des cœfficients du système »$^,$ la résolution de l'équation matricielle $\;\color {transparent}{\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E\right]}\;$ nécessite de discuter suivant la valeur du déterminant «$\;\mathrm {det} \!\left(A\right)={\begin{array}{|c c c c c|}\;a_{1,\,1}&\cdots &a_{1,\,j}&\cdots &a_{1,\,n}\;\\&&\vdots &&\\\;a_{i,\,1}&\cdots &a_{i,\,j}&\cdots &a_{i,\,n}\;\\&&\vdots &&\\\;a_{n,\,1}&\cdots &a_{n,\,j}&\cdots &a_{n,\,n}\;\end{array}}\;$».

#### Cas où le déterminant de la « matrice des cœfficients du système » est non nul

Si «$\;\mathrm {det} \!\left(A\right)={\begin{array}{|c c c c c|}\;a_{1,\,1}&\cdots &a_{1,\,j}&\cdots &a_{1,\,n}\;\\&&\vdots &&\\\;a_{i,\,1}&\cdots &a_{i,\,j}&\cdots &a_{i,\,n}\;\\&&\vdots &&\\\;a_{n,\,1}&\cdots &a_{n,\,j}&\cdots &a_{n,\,n}\;\end{array}}\;$ est $\;\neq 0\;$», la « matrice des cœfficients du système » $\;\left[A\right]\;$ est inversible $\;{\big \$il existe une matrice carrée notée $\;\left[A\right]^{-1}\;$ de même dimension $\;{\big$ou Si «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq 0}\;$», la « matrice des cœfficients du système » $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ est inversible $\;\color {transparent}{\big \$taille${\big )}\;$ telle que son produit matriciel à droite $\;{\big$ou à gauche${\big )}\;$ avec Si «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq 0}\;$», la « matrice des cœfficients du système » $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ est inversible $\;\color {transparent}{\big \$la matrice donnée $\;\left[A\right]\;$ est la matrice identité de même dimension Si «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq 0}\;$», la « matrice des cœfficients du système » $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ est inversible $\;\color {transparent}{\big \$${\big$ou taille${\big )}$ $\;\left[I_{n}\right]\;$ soit «$\;\left[A\right]^{-1}\times \left[A\right]=\left[I_{n}\right]\;$»${\big \}$.
Résolution de l'équation matricielle$\;\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E\right]$ : supposant la matrice inverse de la « matrice des cœfficients du système » $\;\left[A\right]\;$ déterminée c.-à-d. $\;\left[A\right]^{-1}\;$ connue, Résolution de l'équation matricielle$\;\color {transparent}{\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E\right]}$ : on multiplie de part et d'autre à gauche l'équation matricielle par $\;\left[A\right]^{-1}\;$ et on obtient la solution matricielle «$\;\left[X\right]=\left[A\right]^{-1}\times \left[E\right]\;$», Résolution de l'équation matricielle$\;\color {transparent}{\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E\right]}$ : en effet $\;\left[A\right]^{-1}\times \left\lbrace \left[A\right]\times \left[X\right]\right\rbrace =\left[A\right]^{-1}\times \left[E\right]\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left\lbrace \left[A\right]^{-1}\times \left[A\right]\right\rbrace \times \left[X\right]=\left[A\right]^{-1}\times \left[E\right]\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left[I_{n}\right]\times \left[X\right]=\left[A\right]^{-1}\times \left[E\right]$ soit finalement Résolution de l'équation matricielle $\;\color {transparent}{\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E\right]}$ : «$\;\left[X\right]=\left[A\right]^{-1}\times \left[E\right]\;$» compte-tenu de $\;\left[I_{n}\right]\times \left[X\right]=\left[X\right]$.

##### Détermination de la matrice inverse de la matrice des cœfficients du système

Préliminaire : cette méthode est exposée dans les sous-paragraphes du paragraphe « formule de Laplace de détermination de l'inverse d'une matrice carrée de dimension (ou taille) fixée » du chap.$5$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », les connaissances utiles étant rappelées ci-dessous :

###### Rappel sur la notion de comatrice d'une matrice carrée de dimension (ou taille) fixée

Soit la « matrice carrée $\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\end{array}}\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;n\;$», nous définissons Soit la « comatrice de $\;\left[A\right]$, notée $\;\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace$, comme la matrice de ses cofacteurs $\;\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace =\left[{\begin{array}{c}\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{1,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}\!\!&\cdots \!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{n,\,j}\!\!&\cdots \!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{n,\,n}\end{array}}\right]\!\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ », Soit le « cofacteur d'indice$\;_{i,\,j}\;$ de la matrice $\;\left[A\right]\;$ étant le scalaire $\;\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}:=\mathrm {det} \!\left({A'}_{i,\,j}\right)=$ $(-1)^{i+j}\;\mathrm {det} \!\left(A_{i,\,j}\right)\;$ » dans laquelle Soit le « cofacteur d'indice $\;\color {transparent}{_{i,\,j}}\;$ de la matrice $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ étant le scalaire $\;\color {transparent}{\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}}$ $\succ$ $\;\left[{A'}_{i,\,j}\right]\;$ est la matrice carrée de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;n\;$ déduite de $\;\left[A\right]\;$ en remplaçant la jème colonne Soit le « cofacteur d'indice $\;\color {transparent}{_{i,\,j}}\;$ de la matrice $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ étant le scalaire $\;\color {transparent}{\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}}$ $\color {transparent}{\succ }$ par une colonne constituée uniquement de $\;0\;$ à l'exception du cœfficient de la ième ligne remplacé par $\;1\;$ Soit le « cofacteur d'indice $\;\color {transparent}{_{i,\,j}}\;$ de la matrice $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ étant le scalaire $\;\color {transparent}{\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}}$ $\color {transparent}{\succ }$ soit $\;\left[{A'}_{i,\,j}\right]=\left[{\begin{array}{c}a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&{\cancel {a_{1,\,j}}}\rightsquigarrow 0\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\\\!\!&\!\!&{\cancel {\vdots }}\rightsquigarrow 0\!\!&\!\!&\\a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&{\cancel {a_{i,\,j}}}\rightsquigarrow 1\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\\\!\!&\!\!&{\cancel {\vdots }}\rightsquigarrow 0\!\!&\!\!&\\a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&{\cancel {a_{n,\,j}}}\rightsquigarrow 0\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\end{array}}\right]\!\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ et Soit le « cofacteur d'indice $\;\color {transparent}{_{i,\,j}}\;$ de la matrice $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ étant le scalaire $\;\color {transparent}{\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}}$ $\succ$ $\;\left[A_{i,\,j}\right]\;$ est la sous-matrice carrée de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;n-1\;$ déduite de $\;\left[A\right]\;$ en supprimant la ième ligne et Soit le « cofacteur d'indice $\;\color {transparent}{_{i,\,j}}\;$ de la matrice $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ étant le scalaire $\;\color {transparent}{\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}}$ $\color {transparent}{\succ }$ la jème colonne soit $\;\left[A_{i,\,j}\right]$ $=\left[{\begin{array}{c}a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j-1}\!\!&a_{1,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\a_{i-1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i-1,\,j-1}\!\!&a_{i-1,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i-1,\,n}\\a_{i+1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i+1,\,j-1}\!\!&a_{i+1,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i+1,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,j-1}\!\!&a_{n,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\end{array}}\right]$ $\;\in \;M_{n-1}\!\left(\mathbb {R} \right)$, Soit le « cofacteur d'indice $\;\color {transparent}{_{i,\,j}}\;$ de la matrice $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ étant le scalaire $\;\color {transparent}{\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}}$ $\succ$ $\;\mathrm {det} \!\left(A_{i,\,j}\right)\;$ étant le déterminant de la sous-matrice $\;\left[A_{i,\,j}\right]\;$ et définissant un « mineur de $\;\left[A\right]\;$».

###### Explicitation de la formule de Laplace de détermination de l'inverse d'une matrice carrée de dimension (ou taille) fixée

Appelant « matrice complémentaire de $\;\left[A\right]\;$» la matrice transposée de la comatrice c.-à-d. $\;^{t\!}\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace$, la formule de Laplace de détermination de l'inverse de la matrice carrée $\;\left[A\right]$ $\;{\big$formule admise${\big )}\;$ s'écrit selon «$\;\left[A\right]^{-1}={\dfrac {1}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}}\;^{t\!}\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \;$».

##### Explicitation de la solution du système des n équations algébriques linéaires aux n inconnues à l'aide de la règle de Cramer

Explicitation de la solution du système des n équations algébriques linéaires aux n inconnues$\;\left\lbrace {\begin{matrix}a_{1,\,1}\;x_{1}+\cdots +a_{1,\,j}\;x_{j}+\cdots +a_{1,\,n}\;x_{n}=d_{1}\\\vdots \\a_{i,\,1}\;x_{1}+\cdots +a_{i,\,j}\;x_{j}+\cdots +a_{i,\,n}\;x_{n}=d_{i}\\\vdots \\a_{n,\,1}\;x_{1}+\cdots +a_{n,\,j}\;x_{j}+\cdots +a_{n,\,n}\;x_{n}=d_{n}\end{matrix}}\right.$ : pour cela on développe explicitation de la solution du système le produit matriciel du membre de droite $\;\left[X\right]=\left[A\right]^{-1}\times \left[E\right]={\dfrac {1}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}}\;^{t\!}\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \times \left[{\begin{array}{c}d_{1}\\\vdots \\d_{i}\\\vdots \\d_{n}\end{array}}\right]\;$ soit, en explicitant la « matrice complémentaire de $\;\left[A\right]\;$», explicitation de la solution du système $\;\left[{\begin{array}{c}x_{1}\\\vdots \\x_{i}\\\vdots \\x_{n}\end{array}}\right]={\dfrac {1}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}}\;\left[{\begin{array}{c}\alpha _{1,\,1}=\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&\alpha _{1,\,j}=\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{j,\,1}\!\!&\cdots \!\!&\alpha _{1,\,n}=\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{n,\,1}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\alpha _{i,\,1}=\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{1,\,i}\!\!&\cdots \!\!&\alpha _{i,\,j}=\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{j,\,i}\!\!&\cdots \!\!&\alpha _{i,\,n}=\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{n,\,i}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\alpha _{n,\,1}=\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{1,\,n}\!\!&\cdots \!\!&\alpha _{n,\,j}=\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{j,\,n}\!\!&\cdots \!\!&\alpha _{n,\,n}=\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{n,\,n}\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}d_{1}\\\vdots \\d_{i}\\\vdots \\d_{n}\end{array}}\right]\;$ $={\dfrac {1}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}}\;\left[{\begin{array}{c}\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,n}\alpha _{1,\,j}\;d_{j}\\\vdots \\\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,n}\alpha _{i,\,j}\;d_{j}\\\vdots \\\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,n}\alpha _{n,\,j}\;d_{j}\end{array}}\right]$ explicitation de la solution du système $={\dfrac {1}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}}\;\left[{\begin{array}{c}\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,n}\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{j,\,1}\;d_{j}\\\vdots \\\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,n}\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{j,\,i}\;d_{j}\\\vdots \\\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,n}\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{j,\,n}\;d_{j}\end{array}}\right]\;$ soit explicitation de la solution du système $\;x_{i}={\dfrac {\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,n}\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{j,\,i}\;d_{j}}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}}\;$ de numérateur $\;\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,n}\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{j,\,i}\;d_{j}=\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,n}\mathrm {det} \!\left({A'}_{j,\,i}\right)\,d_{j}=\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,n}\;{\begin{array}{|c c c c c|}\;a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&{\cancel {a_{1,\,i}}}\rightsquigarrow 0\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\;\\\!\!&\!\!&{\cancel {\vdots }}\rightsquigarrow 0\!\!&\!\!&\\\;a_{j,\,1}\!\!&\cdots \!\!&{\cancel {a_{j,\,i}}}\rightsquigarrow 1\!\!&\cdots \!\!&a_{j,\,n}\;\\\!\!&\!\!&{\cancel {\vdots }}\rightsquigarrow 0\!\!&\!\!&\\\;a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&{\cancel {a_{n,\,i}}}\rightsquigarrow 0\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\;\end{array}}\;\;d_{j}$ explicitation de la solution du système $\;\color {transparent}{x_{i}={\dfrac {\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,n}\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{j,\,i}\;d_{j}}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}}}\;$ de numérateur $\;\color {transparent}{\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,n}\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{j,\,i}\;d_{j}}$ $=\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,n}\;{\begin{array}{|c c c c c|}\;a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&{\cancel {a_{1,\,i}}}\rightsquigarrow 0\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\;\\\!\!&\!\!&{\cancel {\vdots }}\rightsquigarrow 0\!\!&\!\!&\\\;a_{j,\,1}\!\!&\cdots \!\!&{\cancel {a_{j,\,i}}}\rightsquigarrow d_{j}\!\!&\cdots \!\!&a_{j,\,n}\;\\\!\!&\!\!&{\cancel {\vdots }}\rightsquigarrow 0\!\!&\!\!&\\\;a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&{\cancel {a_{n,\,i}}}\rightsquigarrow 0\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\;\end{array}}\;$ somme dont il est aisé de explicitation de la solution du système $\;\color {transparent}{x_{i}={\dfrac {\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,n}\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{j,\,i}\;d_{j}}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}}}\;$ de numérateur vérifier qu'elle peut s'écrire selon le déterminant $\;{\begin{array}{|c c c c c|}\;a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&{\cancel {a_{1,\,i}}}\rightsquigarrow d_{1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{j,\,1}\!\!&\cdots \!\!&{\cancel {a_{j,\,i}}}\rightsquigarrow d_{j}\!\!&\cdots \!\!&a_{j,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&{\cancel {a_{n,\,i}}}\rightsquigarrow d_{n}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\;\end{array}}\;$ c.-à-d. explicitation de la solution du système $\;\color {transparent}{x_{i}=\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,n}\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{j,\,i}\;d_{j}}\;$ de numérateur vérifier qu'elle peut s'écrire selon le déterminant de la matrice $\;\left[A\right]\;$ dans laquelle la ième colonne est explicitation de la solution du système $\;\color {transparent}{x_{i}=\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,n}\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{j,\,i}\;d_{j}}\;$ de numérateur vérifier qu'elle peut s'écrire selon remplacée par la colonne des 2$^{nds}$ membres, explicitation de la solution du système $\;\color {transparent}{x_{i}=\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,n}\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{j,\,i}\;d_{j}}\;$ de numérateur vérifier qu'elle peut s'écrire selon le déterminant de la matrice que nous noterons $\;\left[A_{,\,i\,\leftarrow \,d}\right]\;$ soit finalement explicitation de la solution du système la solution unique «$\;x_{i}={\dfrac {\mathrm {det} \!\left(A_{,\,i\,\leftarrow \,d}\right)}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}},\;\;\forall \;i\;\left[\left[1\,,\,n\right]\right]\;$», ce résultat suivant la « règle de Cramer »$^,$.

##### Exemple d'un système hétérogène de 3 équations algébriques linéaires aux 3 inconnues (x, y, z) dont le déterminant de la matrice des cœfficients du système est non nul (système dit de Cramer)

Soit à résoudre le système des $\;3\;$ équations algébriques linéaires aux $\;3\;$ inconnues réelles «$\;\left(x\,,\,y\,,\,z\right)$, $\;\left\lbrace {\begin{matrix}3\;x\!\!&+\;y\!\!&\!\!&=\;2\\-5\;x\!\!&\!\!&+\;z\!\!&=\;4\\\;\;x\!\!&+\;y\!\!&+\;z\!\!&=\;6\end{matrix}}\right\rbrace \;$», Soit à résoudre ce système s'écrivant sous forme matricielle «$\;\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E\right]\;$» dans laquelle $\bullet \;$«$\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}3&1&0\\-5&0&1\\1&1&1\end{array}}\right]\in M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» est la « matrice des cœfficients du système », Soit à résoudre ce système s'écrivant sous forme matricielle «$\;\color {transparent}{\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E\right]}\;$» dans laquelle $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{\left[A\right]=\in M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» est la « matrice carrée de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;3$, Soit à résoudre ce système s'écrivant sous forme matricielle «$\;\color {transparent}{\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E\right]}\;$» dans laquelle $\bullet \;$«$\;\left[X\right]=\left[{\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}}\right]\in M_{3,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» la « matrice colonne des inconnues », Soit à résoudre ce système s'écrivant sous forme matricielle «$\;\color {transparent}{\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E\right]}\;$» dans laquelle $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{\left[X\right]\in M_{3,1}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» la « matrice de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;(3,\,1)$, Soit à résoudre ce système s'écrivant sous forme matricielle «$\;\color {transparent}{\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E\right]}\;$» dans laquelle $\bullet \;$«$\;\left[E\right]=\left[{\begin{array}{c}2\\4\\6\end{array}}\right]\in M_{3,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» la « matrice colonne des 2$^{nds}$ membres », Soit à résoudre ce système s'écrivant sous forme matricielle «$\;\color {transparent}{\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E\right]}\;$» dans laquelle $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{\left[E\right]\in M_{3,1}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» la « matrice de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;(3,\,1)\;$ et Soit à résoudre ce système s'écrivant sous forme matricielle «$\;\color {transparent}{\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E\right]}\;$» dans laquelle $\bullet \;$«$\;\times \;$» l'opération « multiplication matricielle » ;
on vérifie tout d'abord qu'il s'agit bien d'un système de Cramer c.-à-d. tel que $\;\mathrm {det} \!\left(A\right)\;$ est $\;\neq 0$, en effet le calcul de $\;\mathrm {det} \!\left(A\right)={\begin{array}{|c c c|}\;3\!\!&1\!\!&0\;\\\;-5\!\!&0\!\!&1\;\\\;1\!\!&1\!\!&1\;\end{array}}\;$ donne on vérifie tout d'abord qu'il s'agit bien d'un système de Cramer c.-à-d. tel que $\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq 0}$, en effet le calcul de $\;\mathrm {det} \!\left(A\right)=3\times (-1)-(-5)\times 1+1\times 1=3\neq 0\;$$^,$ ;
on vérifie tout d'abord qu'il s'agit bien d'un système de Cramer la matrice $\;\left[A\right]\;$ étant donc inversible, la solution de l'équation matricielle est unique et peut s'obtenir par «$\;\left[X\right]=\left[A\right]^{-1}\times \left[E\right]\;$» où on vérifie tout d'abord qu'il s'agit bien d'un système de Cramer $\;\left[A\right]^{-1}\;$ est la matrice inverse de la « matrice des cœfficients du système » $\;\left[A\right]\;$ $\Rightarrow$ par utilisation de la formule de Laplace, on vérifie tout d'abord qu'il s'agit bien d'un système de Cramer «$\;\left[A\right]^{-1}={\dfrac {1}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}}\;^{t\!}\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace ={\dfrac {1}{3}}\;\left[{\begin{array}{c}-1\!\!&-1\!\!&+1\\+6\!\!&+3\!\!&-3\\-5\!\!&-2\!\!&+5\end{array}}\right]\;$» ou encore «$\;\left[A\right]^{-1}=\left[{\begin{array}{c}-{\dfrac {1}{3}}\!\!&-{\dfrac {1}{3}}\!\!&+{\dfrac {1}{3}}\\+2\!\!&+1\!\!&-1\\-{\dfrac {5}{3}}\!\!&-{\dfrac {2}{3}}\!\!&+{\dfrac {5}{3}}\end{array}}\right]\;$» d'où on vérifie tout d'abord qu'il s'agit bien d'un système de Cramer la solution $\;\left[{\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}}\right]\;$ en développant le produit matriciel $\;\left[{\begin{array}{c}-{\dfrac {1}{3}}\!\!&-{\dfrac {1}{3}}\!\!&+{\dfrac {1}{3}}\\+2\!\!&+1\!\!&-1\\-{\dfrac {5}{3}}\!\!&-{\dfrac {2}{3}}\!\!&+{\dfrac {5}{3}}\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}2\\4\\6\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c c r}-{\dfrac {2}{3}}-{\dfrac {4}{3}}+{\dfrac {6}{3}}\!\!&=&\!\!0\\4+4-6\!\!&=&\!\!2\\-{\dfrac {10}{3}}-{\dfrac {8}{3}}+{\dfrac {30}{3}}\!\!&=&\!\!4\end{array}}\right]\;$ mais on vérifie tout d'abord qu'il s'agit bien d'un système de Cramer cette méthode restant un peu laborieuse à cause du calcul de la matrice inverse $\;\left[A\right]^{-1}\;$ on vérifie tout d'abord qu'il s'agit bien d'un système de Cramer cette méthode restant un peu laborieuse il semble préférable d'utiliser la règle de Cramer$\;\ldots$
on vérifie tout d'abord qu'il s'agit bien le système étant de Cramer, la solution de l'équation matricielle est unique et peut être obtenue par règle de Cramer$^,$ soit on vérifie tout d'abord qu'il s'agit bien le système étant de Cramer, la solution $\bullet \;$«$\;x={\dfrac {\mathrm {det} \!\left(A_{,\,1\,\leftarrow \,d}\right)}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}}={\dfrac {1}{3}}\;{\begin{array}{|c c c|}\;2\!\!&1\!\!&0\;\\\;4\!\!&0\!\!&1\;\\\;6\!\!&1\!\!&1\;\end{array}}={\dfrac {2\times (-1)-4\times 1+6\times 1}{3}}\;$$^,$ $=0\;$», on vérifie tout d'abord qu'il s'agit bien le système étant de Cramer, la solution $\bullet \;$«$\;y={\dfrac {\mathrm {det} \!\left(A_{,\,2\,\leftarrow \,d}\right)}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}}={\dfrac {1}{3}}\;{\begin{array}{|c c c|}\;3\!\!&2\!\!&0\;\\\;-5\!\!&4\!\!&1\;\\\;1\!\!&6\!\!&1\;\end{array}}={\dfrac {3\times (4-6)-(-5)\times 2+1\times 2}{3}}\;$$^,$ $=2\;$» et on vérifie tout d'abord qu'il s'agit bien le système étant de Cramer, la solution $\bullet \;$«$\;z={\dfrac {\mathrm {det} \!\left(A_{,\,3\,\leftarrow \,d}\right)}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}}={\dfrac {1}{3}}\;{\begin{array}{|c c c|}\;3\!\!&1\!\!&2\;\\\;-5\!\!&0\!\!&4\;\\\;1\!\!&1\!\!&6\;\end{array}}={\dfrac {3\times (-4)-(-5)\times (6-2)+1\times 4}{3}}\;$$^,$ $=4\;$».

#### Cas où le déterminant de la « matrice des cœfficients du système » est nul

Si «$\;\mathrm {det} \!\left(A\right)={\begin{array}{|c c c c c|}\;a_{1,\,1}&\cdots &a_{1,\,j}&\cdots &a_{1,\,n}\;\\&&\vdots &&\\\;a_{i,\,1}&\cdots &a_{i,\,j}&\cdots &a_{i,\,n}\;\\&&\vdots &&\\\;a_{n,\,1}&\cdots &a_{n,\,j}&\cdots &a_{n,\,n}\;\end{array}}\;$ est $\;=0\;$», la « matrice des cœfficients du système » $\;\left[A\right]\;$ n'est pas inversible $\;{\big \\,\not \exists \,\left[B\right]\;$ matrice carrée de même dimension $\;{\big$ou taille${\big )}\;$ que Si «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq 0}\;$», la « matrice des cœfficients du système » $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ n'est pas inversible $\;\color {transparent}{\big \$$\;\left[A\right]\;$ telle que son produit matriciel à droite $\;{\big$ou à gauche${\big )}\;$ avec Si «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq 0}\;$», la « matrice des cœfficients du système » $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ n'est pas inversible $\;\color {transparent}{\big \$la matrice $\;\left[A\right]\;$ est la matrice identité de même dimension Si «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq 0}\;$», la « matrice des cœfficients du système » $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ n'est pas inversible $\;\color {transparent}{\big \$${\big$ou taille${\big )}$ $\;\left[I_{n}\right]\;$ c.-à-d. «$\;{\cancel {\left[A\right]\times \left[B\right]=\left[I_{n}\right]}}\;$» ou Si «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq 0}\;$», la « matrice des cœfficients du système » $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ n'est pas inversible $\;\color {transparent}{\big \$$\color {transparent}{\big$ou taille$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{\left[I_{n}\right]}\;$ c.-à-d. «$\;{\cancel {\left[B\right]\times \left[A\right]=\left[I_{n}\right]}}\;$»${\big \}$, ceci mettant Si «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq 0}\;$», la « matrice des cœfficients du système » $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ n'est pas inversible $\;\color {transparent}{\big \$en défaut l'unicité de la solution en cas d'existence et même Si «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq 0}\;$», la « matrice des cœfficients du système » $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ n'est pas inversible $\;\color {transparent}{\big \$en défaut l'existence de cette dernière.

##### Généralités (admises) sur l'existence de solutions dans le cas où le déterminant de la « matrice des cœfficients du système » est nul

* Si « le déterminant d'une des matrices$\;\left[A_{,\,j\,\leftarrow \,d}\right]\;$est non nul » $\;{\Big \\left[A_{,\,j\,\leftarrow \,d}\right]\;$ matrice $\;\left[A\right]\;$ dans laquelle la jème colonne est remplacée par celle des 2$^{nds}$ membres${\Big \}$, Si « le déterminant d'une des matrices$\;\color {transparent}{\left[A_{,\,j\,\leftarrow \,d}\right]}\;$est non nul » il n'y a pas de solution au système des $\;n\;$ équations algébriques linéaires aux $\;n\;$ inconnues ;
* si « les déterminants de toutes les matrices$\;\left[A_{,\,j\,\leftarrow \,d}\right]\;\;\forall \;j\,\in \,\left[\left[1\,,\,n\right]\right]\;$sont nuls » $\;{\Big \\left[A_{,\,j\,\leftarrow \,d}\right]\;$ matrice $\;\left[A\right]\;$ dans laquelle la jème colonne est remplacée par celle des 2$^{nds}$ membres${\Big \}$, si « les déterminants de toutes les matrices$\;\color {transparent}{\left[A_{,\,j\,\leftarrow \,d}\right]\;\;\forall \;j\,\in \,\left[\left[1\,,\,n\right]\right]}\;$sont nuls » il existe le plus souvent une infinité de solutions mais si « les déterminants de toutes les matrices$\;\color {transparent}{\left[A_{,\,j\,\leftarrow \,d}\right]\;\;\forall \;j\,\in \,\left[\left[1\,,\,n\right]\right]}\;$sont nuls » dans certains cas il n'en existe aucune suivant le théorème de Rouché-Fontené$^,$ : si « les déterminants de toutes les matrices$\;\color {transparent}{\left[A_{,\,j\,\leftarrow \,d}\right]\;\;\forall \;j\,\in \,\left[\left[1\,,\,n\right]\right]}\;$sont nuls » $\succ \;$la « matrice des cœfficients du système » $\;\left[A\right]\;$ étant de rang $\;r\;$$^,$, si « les déterminants de toutes les matrices$\;\color {transparent}{\left[A_{,\,j\,\leftarrow \,d}\right]\;\;\forall \;j\,\in \,\left[\left[1\,,\,n\right]\right]}\;$sont nuls » $\color {transparent}{\succ }\;$si la matrice augmentée $\;\left[A|E\right]\;$ est de rang égal à celui de la matrice $\;\left[A\right]\;$, si « les déterminants de toutes les matrices$\;\color {transparent}{\left[A_{,\,j\,\leftarrow \,d}\right]\;\;\forall \;j\,\in \,\left[\left[1\,,\,n\right]\right]}\;$sont nuls » $\color {transparent}{\succ }\;$il y a une infinité de solutions formant un sous-espace affine de $\;\mathbb {R} ^{n}\;$ de dimension $\;n-r\;$ et si « les déterminants de toutes les matrices$\;\color {transparent}{\left[A_{,\,j\,\leftarrow \,d}\right]\;\;\forall \;j\,\in \,\left[\left[1\,,\,n\right]\right]}\;$sont nuls » $\succ \;$la « matrice des cœfficients du système » $\;\left[A\right]\;$ étant de rang $\;r\;$$^,$, si « les déterminants de toutes les matrices$\;\color {transparent}{\left[A_{,\,j\,\leftarrow \,d}\right]\;\;\forall \;j\,\in \,\left[\left[1\,,\,n\right]\right]}\;$sont nuls » $\color {transparent}{\succ }\;$si la matrice augmentée $\;\left[A|E\right]\;$ est de rang supérieur à celui de la matrice $\;\left[A\right]\;$, si « les déterminants de toutes les matrices$\;\color {transparent}{\left[A_{,\,j\,\leftarrow \,d}\right]\;\;\forall \;j\,\in \,\left[\left[1\,,\,n\right]\right]}\;$sont nuls » $\color {transparent}{\succ }\;$il n'y a aucune solution.

##### Exemples d'un système hétérogène de 3 équations algébriques linéaires aux 3 inconnues (x, y, z) dont le déterminant de la matrice des cœfficients du système est nul
###### 1er exemple

$\;3\;$
$\;3\;$
$\;E\;$
$\;\mathbb {R} ^{3}$
Soit le système des $\;3\;$ équations algébriques linéaires aux $\;3\;$ inconnues réelles «$\;\left(x\,,\,y\,,\,z\right)$, $\;\left\lbrace {\begin{matrix}\;\;3\;x\!\!&+\;y\!\!&\!\!&=\;2\\-5\;x\!\!&\!\!&+\;z\!\!&=\;4\\\;-2\;x\!\!&+\;y\!\!&+\;z\!\!&=\;6\end{matrix}}\right\rbrace \;$», Soit ce système s'écrit sous forme matricielle «$\;\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E\right]\;$» dans laquelle $\bullet \;$«$\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}3&1&0\\-5&0&1\\-2&1&1\end{array}}\right]\in M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» est la « matrice des cœfficients du système », Soit ce système s'écrit sous forme matricielle «$\;\color {transparent}{\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E\right]}\;$» dans laquelle $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{\left[A\right]\in M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» est la « matrice carrée de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;3$, Soit ce système s'écrit sous forme matricielle «$\;\color {transparent}{\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E\right]}\;$» dans laquelle $\bullet \;$«$\;\left[X\right]=\left[{\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}}\right]\in M_{3,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» la « matrice colonne des inconnues », Soit ce système s'écrit sous forme matricielle «$\;\color {transparent}{\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E\right]}\;$» dans laquelle $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{\left[X\right]\in M_{3,1}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» la « matrice de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;(3,\,1)$, Soit ce système s'écrit sous forme matricielle «$\;\color {transparent}{\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E\right]}\;$» dans laquelle $\bullet \;$«$\;\left[E\right]=\left[{\begin{array}{c}2\\4\\6\end{array}}\right]\in M_{3,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» la « matrice colonne des 2$^{nds}$ membres », Soit ce système s'écrit sous forme matricielle «$\;\color {transparent}{\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E\right]}\;$» dans laquelle $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{\left[E\right]\in M_{3,1}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» la « matrice de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;(3,\,1)\;$ et Soit ce système s'écrit sous forme matricielle «$\;\color {transparent}{\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E\right]}\;$» dans laquelle $\bullet \;$«$\;\times \;$» l'opération « multiplication matricielle » ;
on vérifie en 1er que le déterminant de la « matrice des cœfficients du système » $\;\mathrm {det} \!\left(A\right)=0$, en effet le calcul de $\;\mathrm {det} \!\left(A\right)={\begin{array}{|c c c|}\;3\!\!&1\!\!&0\;\\\;-5\!\!&0\!\!&1\;\\\;-2\!\!&1\!\!&1\;\end{array}}\;$ donne on vérifie en 1er que le déterminant de la « matrice des cœfficients du système » $\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left(A\right)=0}$, en effet le calcul de $\;\mathrm {det} \!\left(A\right)=3\times (-1)-(-5)\times 1+(-2)\times 1=0\;$$^,$$^,$ ;
on vérifie aussi que le déterminant de chaque matrice $\;\left[A_{,\,j\,\leftarrow \,d}\right]\;\;\forall \;j\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right]\;$ est nul $\;{\Big \\!\left[A_{,\,j\,\leftarrow \,d}\right]\;$ matrice $\;\left[A\right]\;$ où la jème colonne est remplacée par celle des 2$^{nds}$ membres${\Big \}$, on vérifie aussi que le déterminant de chaque matrice $\;\color {transparent}{\left[A_{,\,j\,\leftarrow \,d}\right]\;\;\forall \;j\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right]}\;$ est nul en effet $\;\mathrm {det} \!\left(A_{,\,1\,\leftarrow \,d}\right)={\begin{array}{|c c c|}\;2\!\!&1\!\!&0\;\\\;4\!\!&0\!\!&1\;\\\;6\!\!&1\!\!&1\;\end{array}}=2\times (-1)-4\times 1+6\times 1=0\;$$^,$$^,$, on vérifie aussi que le déterminant de chaque matrice $\;\color {transparent}{\left[A_{,\,j\,\leftarrow \,d}\right]\;\;\forall \;j\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right]}\;$ est nul en effet $\;\mathrm {det} \!\left(A_{,\,2\,\leftarrow \,d}\right)={\begin{array}{|c c c|}\;3\!\!&2\!\!&0\;\\\;-5\!\!&4\!\!&1\;\\\;-2\!\!&6\!\!&1\;\end{array}}=3\times (-2)-(-5)\times 2+(-2)\times 2=0\;$$^,$$^,$ et on vérifie aussi que le déterminant de chaque matrice $\;\color {transparent}{\left[A_{,\,j\,\leftarrow \,d}\right]\;\;\forall \;j\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right]}\;$ est nul en effet $\;\mathrm {det} \!\left(A_{,\,3\,\leftarrow \,d}\right)={\begin{array}{|c c c|}\;3\!\!&1\!\!&2\;\\\;-5\!\!&0\!\!&4\;\\\;-2\!\!&1\!\!&6\;\end{array}}=3\times (-4)-(-5)\times 4+(-2)\times 4=0\;$$^,$$^,$ ;
la matrice $\;\left[A\right]\;$ n'étant pas inversible, on détermine son rang $\;r\;$ soit $\;r=2\;$ ${\big \$les colonnes $\;_{2}\;$ et $\;_{3}\;$ étant indépendantes l'une de l'autre de façon évidente et la matrice $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ n'étant pas inversible, on détermine son rang $\;\color {transparent}{r}\;$ soit $\;\color {transparent}{r=2}\;$ $\color {transparent}{\big \$ la colonne $\;_{1}\;$ étant une C.L. des colonnes $\;_{2}\;$ et $\;_{3}\;$ selon $\;_{1}=3\times (_{2})-5\times (_{3}){\big \}$ ;
la matrice augmentée $\;\left[A|E\right]\;$ s'écrivant $\;\left[{\begin{array}{c}3&1&0&2\\-5&0&1&4\\-2&1&1&6\end{array}}\right]\in M_{3,\,4}\!\left(\mathbb {R} \right)$, on détermine son rang en recherchant si la colonne $\;_{4}\;$ est une C.L. ou non des colonnes $\;_{2}\;$ et $\;_{3}\;$, la matrice augmentée $\;\color {transparent}{\left[A|E\right]}\;$ s'écrivant $\;\color {transparent}{\in M_{3,\,4}\!\left(\mathbb {R} \right)}$, on détermine son rang or la colonne $\;_{4}=2\times (_{2})+4\times (_{3})\;$ est donc C.L. des colonnes $\;_{2}\;$ et $\;_{3}\;$ la matrice augmentée $\;\color {transparent}{\left[A|E\right]}\;$ s'écrivant $\;\color {transparent}{\in M_{3,\,4}\!\left(\mathbb {R} \right)}$, on détermine son rang $\Rightarrow$ le rang de la matrice augmentée $\;\left[A|E\right]\;$ vaut $\;2\;$ la matrice augmentée $\;\color {transparent}{\left[A|E\right]}\;$ s'écrivant $\;\color {transparent}{\in M_{3,\,4}\!\left(\mathbb {R} \right)}$, on détermine son rang $\color {transparent}{\Rightarrow }$ le rang de la matrice augmentée $=\;$ au rang $\;r\;$ de la matrice $\;\left[A\right]\;$ d'où
d'après le théorème de Rouché-Fontené$^,$, il existe une infinité de solutions formant un sous-espace affine de l'espace affine $\;E\;$ de $\;\mathbb {R} ^{3}\;$ de dimension $\;3-2=1$ d'après le théorème de Rouché-Fontené, il existe une infinité de solutions formant ${\bigg$le sous-espace affine $\;F\;$ contient le point $\;A\;\left(x_{A}=0\,,\,y_{A}=2\,,\,z_{A}=4\right)\;$ et a pour d'après le théorème de Rouché-Fontené, il existe une infinité de solutions formant $\color {transparent}{\bigg$direction le sous-espace vectoriel $\;W\;$ engendré par le vecteur de matrice coordonnée d'après le théorème de Rouché-Fontené, il existe une infinité de solutions formant $\color {transparent}{\bigg$$\;\left[{\begin{array}{c}\;3\\-5\\\;2\end{array}}\right]\;$ correspondant à la colonne $\;_{1}\;$ de la matrice $\;\left[A\right]$, soit d'après le théorème de Rouché-Fontené, il existe une infinité de solutions formant $\color {transparent}{\bigg$$\;W=\left\lbrace {\overrightarrow {AM}}\;{\bigg \vert }\;M\in F\right\rbrace$ et $\;F=\left\lbrace M\in E\;{\bigg \vert }\;{\overrightarrow {AM}}\in W\right\rbrace {\bigg ]}$.

###### 2nd exemple

$\;3\;$
$\;3\;$
$\;{\big$
$\;\neq {\big )}\;$
Soit le système des $\;3\;$ équations algébriques linéaires aux $\;3\;$ inconnues réelles «$\;\left(x\,,\,y\,,\,z\right)$, $\;\left\lbrace {\begin{matrix}\;\;3\;x\!\!&+\;y\!\!&\!\!&=\;2\\-5\;x\!\!&\!\!&+\;z\!\!&=\;4\\\;-2\;x\!\!&+\;y\!\!&+\;z\!\!&=\;5\end{matrix}}\right\rbrace \;$», Soit ce système s'écrit sous forme matricielle «$\;\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E'\right]\;$» dans laquelle $\bullet \;$«$\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}3&1&0\\-5&0&1\\-2&1&1\end{array}}\right]\in M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$»$^,$ est la « matrice des cœfficients du système », Soit ce système s'écrit sous forme matricielle «$\;\color {transparent}{\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E'\right]}\;$» dans laquelle $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{\left[A\right]\in M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» est la « matrice carrée de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;3$, Soit ce système s'écrit sous forme matricielle «$\;\color {transparent}{\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E'\right]}\;$» dans laquelle $\bullet \;$«$\;\left[X\right]=\left[{\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}}\right]\in M_{3,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» la « matrice colonne des inconnues », Soit ce système s'écrit sous forme matricielle «$\;\color {transparent}{\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E'\right]}\;$» dans laquelle $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{\left[X\right]\in M_{3,1}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» la « matrice de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;(3,\,1)$, Soit ce système s'écrit sous forme matricielle «$\;\color {transparent}{\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E'\right]}\;$» dans laquelle $\bullet \;$«$\;\left[E'\right]=\left[{\begin{array}{c}2\\4\\5\end{array}}\right]\in M_{3,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$»$^,$ la « matrice colonne des 2$^{nds}$ membres », Soit ce système s'écrit sous forme matricielle «$\;\color {transparent}{\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E'\right]}\;$» dans laquelle $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{\left[E'\right]\in M_{3,1}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» la « matrice de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;(3,\,1)\;$ et soit ce système s'écrit sous forme matricielle «$\;\color {transparent}{\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E'\right]}\;$» dans laquelle $\bullet \;$«$\;\times \;$» l'opération « multiplication matricielle » ;
le déterminant de la « matrice des cœfficients du système » $\;\mathrm {det} \!\left(A\right)\;$ est donc $\;=0\;$ ;
on vérifie qu'il y a au moins un déterminant des matrices $\;\left[A_{,\,j\,\leftarrow \,d}\right]\;\;\forall \;j\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right]\;$ $\neq 0$ $\;{\Big \\!\left[A_{,\,j\,\leftarrow \,d}\right]\;$ matrice $\;\left[A\right]\;$ où la jème colonne est remplacée par celle des 2$^{nds}$ membres${\Big \}$, on vérifie qu'il y a au moins un déterminant des matrices $\;\color {transparent}{\left[A_{,\,j\,\leftarrow \,d}\right]\;\;\forall \;j\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right]}\;$ $\color {transparent}{\neq 0}$ car $\;\mathrm {det} \!\left(A_{,\,1\,\leftarrow \,d}\right)={\begin{array}{|c c c|}\;2\!\!&1\!\!&0\;\\\;4\!\!&0\!\!&1\;\\\;5\!\!&1\!\!&1\;\end{array}}=2\times (-1)-4\times 1+5\times 1=-1\;$$^,$$^,$, on vérifie qu'il y a au moins un déterminant des matrices $\;\color {transparent}{\left[A_{,\,j\,\leftarrow \,d}\right]\;\;\forall \;j\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right]}\;$ $\color {transparent}{\neq 0}$ car $\;\mathrm {det} \!\left(A_{,\,2\,\leftarrow \,d}\right)={\begin{array}{|c c c|}\;3\!\!&2\!\!&0\;\\\;-5\!\!&4\!\!&1\;\\\;-2\!\!&5\!\!&1\;\end{array}}=3\times (-1)-(-5)\times 2+(-2)\times 2=3\;$$^,$$^,$ et on vérifie qu'il y a au moins un déterminant des matrices $\;\color {transparent}{\left[A_{,\,j\,\leftarrow \,d}\right]\;\;\forall \;j\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right]}\;$ $\color {transparent}{\neq 0}$ car $\;\mathrm {det} \!\left(A_{,\,3\,\leftarrow \,d}\right)={\begin{array}{|c c c|}\;3\!\!&1\!\!&2\;\\\;-5\!\!&0\!\!&4\;\\\;-2\!\!&1\!\!&5\;\end{array}}=3\times (-4)-(-5)\times 3+(-2)\times 4=-5\;$$^,$$^,$ ;
il n'y a donc pas de solution du système $\;\left\lbrace {\begin{matrix}\;\;3\;x\!\!&+\;y\!\!&\!\!&=\;2\\-5\;x\!\!&\!\!&+\;z\!\!&=\;4\\\;-2\;x\!\!&+\;y\!\!&+\;z\!\!&=\;5\end{matrix}}\right\rbrace$ ;
remarque : le rang $\;r\;$ de la matrice $\;\left[A\right]\;$ étant $\;r=2\;$, on vérifie que celui de la matrice augmentée $\;\left[A|E\right]\;$ $\;=\left[{\begin{array}{c}3&1&0&2\\-5&0&1&4\\-2&1&1&5\end{array}}\right]\;$ vaut $\;3>2\;$, remarque : le rang $\;\color {transparent}{r}\;$ de la matrice $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ étant $\;\color {transparent}{r=2}\;$, en effet la colonne $\;_{4}\;$ n'est pas une C.L. des colonnes $\;_{2}\;$ et $\;_{3}\;$, $\;{\big$pour le vérifier on impose une relation de liaison remarque : le rang $\;\color {transparent}{r}\;$ de la matrice $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ étant $\;\color {transparent}{r=2}\;$, en effet entre les trois colonnes $\;\alpha \times (_{4})+\beta \times (_{2})+\gamma \times (_{3})=0\;$ $\Rightarrow$ $\;\left(\alpha =0\,,\,\beta =0\,,\,\gamma =0\right)\;$$^,$${\big ]}$.

###### 3ème exemple

$\;3\;$
$\;3\;$
$\;E\;$
$\;\mathbb {R} ^{3}$
Soit le système des $\;3\;$ équations algébriques linéaires aux $\;3\;$ inconnues réelles «$\;\left(x\,,\,y\,,\,z\right)$, $\;\left\lbrace {\begin{matrix}\;\;3\;x\!\!&-\;2\;y\!\!&+\;z\!\!&=\;1\\\;\;6\;x\!\!&-\;4\;y\!\!&+\;2\;z\!\!&=\;2\\\;-9\;x\!\!&+\;6\;y\!\!&-\;3\;z\!\!&=\;-3\end{matrix}}\right\rbrace \;$», Soit ce système s'écrit sous forme matricielle «$\;\left[B\right]\times \left[X\right]=\left[F\right]\;$» dans laquelle $\bullet \;$«$\;\left[B\right]=\left[{\begin{array}{c}3&-2&1\\6&-4&2\\-9&6&-3\end{array}}\right]\in M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» est la « matrice des cœfficients du système », Soit ce système s'écrit sous forme matricielle «$\;\color {transparent}{\left[B\right]\times \left[X\right]=\left[F\right]}\;$» dans laquelle $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{\left[B\right]\in M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» est la « matrice carrée de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;3$, Soit ce système s'écrit sous forme matricielle «$\;\color {transparent}{\left[B\right]\times \left[X\right]=\left[F\right]}\;$» dans laquelle $\bullet \;$«$\;\left[X\right]=\left[{\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}}\right]\in M_{3,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» la « matrice colonne des inconnues », Soit ce système s'écrit sous forme matricielle «$\;\color {transparent}{\left[B\right]\times \left[X\right]=\left[F\right]}\;$» dans laquelle $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{\left[X\right]\in M_{3,1}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» la « matrice de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;(3,\,1)$, Soit ce système s'écrit sous forme matricielle «$\;\color {transparent}{\left[B\right]\times \left[X\right]=\left[F\right]}\;$» dans laquelle $\bullet \;$«$\;\left[F\right]=\left[{\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}}\right]\in M_{3,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» la « matrice colonne des 2$^{nds}$ membres », Soit ce système s'écrit sous forme matricielle «$\;\color {transparent}{\left[B\right]\times \left[X\right]=\left[F\right]}\;$» dans laquelle $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{\left[F\right]\in M_{3,1}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» la « matrice de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;(3,\,1)\;$ et Soit ce système s'écrit sous forme matricielle «$\;\color {transparent}{\left[B\right]\times \left[X\right]=\left[F\right]}\;$» dans laquelle $\bullet \;$«$\;\times \;$» l'opération « multiplication matricielle » ;
on vérifie en 1er que le déterminant de la « matrice des cœfficients du système » $\;\mathrm {det} \!\left(B\right)=0$, en effet le calcul de $\;\mathrm {det} \!\left(B\right)={\begin{array}{|c c c|}\;3\!\!&-2\!\!&1\;\\\;6\!\!&-4\!\!&2\;\\\;-9\!\!&6\!\!&-3\;\end{array}}\;$ donne on vérifie en 1er que le déterminant de la « matrice des cœfficients du système » $\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left(B\right)=0}$, en effet le calcul de $\;\mathrm {det} \!\left(B\right)=3\times 0-6\times 0+(-9)\times 0=0\;$$^,$ ;
on vérifie aussi que le déterminant de chaque matrice $\;\left[B_{,\,j\,\leftarrow \,d}\right]\;\;\forall \;j\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right]\;$ est nul $\;{\Big \\!\left[B_{,\,j\,\leftarrow \,d}\right]\;$ matrice $\;\left[B\right]\;$ où la jème colonne est remplacée par celle des 2$^{nds}$ membres${\Big \}$, on vérifie aussi que le déterminant de chaque matrice $\;\color {transparent}{\left[B_{,\,j\,\leftarrow \,d}\right]\;\;\forall \;j\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right]}\;$ est nul en effet $\;\mathrm {det} \!\left(B_{,\,1\,\leftarrow \,d}\right)={\begin{array}{|c c c|}\;1\!\!&-2\!\!&1\;\\\;2\!\!&-4\!\!&2\;\\\;-3\!\!&6\!\!&-3\;\end{array}}=1\times 0-2\times 0+(-3)\times 0=0\;$$^,$, on vérifie aussi que le déterminant de chaque matrice $\;\color {transparent}{\left[B_{,\,j\,\leftarrow \,d}\right]\;\;\forall \;j\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right]}\;$ est nul en effet $\;\mathrm {det} \!\left(B_{,\,2\,\leftarrow \,d}\right)={\begin{array}{|c c c|}\;3\!\!&1\!\!&1\;\\\;6\!\!&2\!\!&2\;\\\;-9\!\!&-3\!\!&-3\;\end{array}}=3\times 0-6\times 0+(-9)\times 0=0\;$$^,$ et on vérifie aussi que le déterminant de chaque matrice $\;\color {transparent}{\left[B_{,\,j\,\leftarrow \,d}\right]\;\;\forall \;j\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right]}\;$ est nul en effet $\;\mathrm {det} \!\left(B_{,\,3\,\leftarrow \,d}\right)={\begin{array}{|c c c|}\;3\!\!&-2\!\!&1\;\\\;6\!\!&-4\!\!&2\;\\\;-9\!\!&6\!\!&-3\;\end{array}}=$ $3\times 0-6\times 0+(-9)\times 0=0\;$$^,$ ;
la matrice $\;\left[B\right]\;$ n'étant pas inversible, on détermine son rang $\;r\;$ soit $\;r=1\;$ de façon évidente ${\big \$les colonnes $\;_{1}\;$ et $\;_{2}\;$ étant des multiples de la colonne $\;_{3}\;$ selon la matrice $\;\color {transparent}{\left[B\right]}\;$ n'étant pas inversible, on détermine son rang $\;\color {transparent}{r}\;$ soit $\;\color {transparent}{r=1}\;$ de façon évidente $\color {transparent}{\big \$ «$\;_{1}=3\times (_{3})\;$» et «$\;_{2}=-2\times (_{3})\;$»${\big \}$ ;
la matrice augmentée $\;\left[B|F\right]\;$ s'écrivant $\;\left[{\begin{array}{c}3&-2&1&1\\6&-4&2&2\\-9&6&-3&-3\end{array}}\right]\in M_{3,\,4}\!\left(\mathbb {R} \right)$, on détermine son rang en recherchant si la colonne $\;_{4}\;$ est multiple ou non de la colonne $\;_{3}\;$, la matrice augmentée $\;\color {transparent}{\left[B|F\right]}\;$ s'écrivant $\;\color {transparent}{\in M_{3,\,4}\!\left(\mathbb {R} \right)}$, on détermine son rang or la colonne $\;_{4}\;$ étant $\;=\;$ à la colonne $\;_{3}$ $\Rightarrow$ la matrice augmentée $\;\color {transparent}{\left[B|F\right]}\;$ s'écrivant $\;\color {transparent}{\in M_{3,\,4}\!\left(\mathbb {R} \right)}$, on détermine son rang le rang de la matrice augmentée $\;\left[B|F\right]\;$ vaut $\;1\;$ la matrice augmentée $\;\color {transparent}{\left[B|F\right]}\;$ s'écrivant $\;\color {transparent}{\in M_{3,\,4}\!\left(\mathbb {R} \right)}$, on détermine son rang le rang de la matrice augmentée $=\;$ au rang $\;r\;$ de la matrice $\;\left[B\right]\;$ d'où
d'après le théorème de Rouché-Fontené$^,$, il existe une infinité de solutions formant un sous-espace affine de l'espace affine $\;E\;$ de $\;\mathbb {R} ^{3}\;$ de dimension $\;3-1=2$ d'après le théorème de Rouché-Fontené, il existe une infinité de solutions formant ${\bigg$le sous-espace affine $\;F\;$ contient le point $\;A\;\left(x_{A}=0\,,\,y_{A}=0\,,\,z_{A}=1\right)\;$ et a pour d'après le théorème de Rouché-Fontené, il existe une infinité de solutions formant $\color {transparent}{\bigg$direction le sous-espace vectoriel $\;W\;$ d'« équation $\;3\;X-2\;Y+Z=0\;$» $\Rightarrow$ d'après le théorème de Rouché-Fontené, il existe une infinité de solutions formant $\color {transparent}{\bigg$$\;W=\left\lbrace {\vec {u}}\;{\Big \vert }\;\perp \;{\vec {n}}\;\left(n_{X}=3\,,\,n_{Y}=-2\,,\,n_{Z}=1\right)\right\rbrace \;$$^,$, soit d'après le théorème de Rouché-Fontené, il existe une infinité de solutions formant $\color {transparent}{\bigg$$\;W=\left\lbrace {\overrightarrow {AM}}\;{\bigg \vert }\;M\in F\right\rbrace$ et $\;F=\left\lbrace M\in E\;{\bigg \vert }\;{\overrightarrow {AM}}\in W\right\rbrace {\bigg ]}$.

###### 4ème exemple

$\;3\;$
$\;3\;$
$\;{\big$
$\;\neq {\big )}\;$
Soit le système des $\;3\;$ équations algébriques linéaires aux $\;3\;$ inconnues réelles «$\;\left(x\,,\,y\,,\,z\right)$, $\;\left\lbrace {\begin{matrix}\;3\;x\!\!&-\;2\;y\!\!&+\;z\!\!&=\;1\\\;6\;x\!\!&-\;4\;y\!\!&+\;2\;z\!\!&=\;4\\-9\;x\!\!&+\;6\;y\!\!&-\;3\;z\!\!&=\;7\end{matrix}}\right\rbrace \;$», Soit ce système s'écrit sous forme matricielle «$\;\left[B\right]\times \left[X\right]=\left[F'\right]\;$» dans laquelle $\bullet \;$«$\;\left[B\right]=\left[{\begin{array}{c}3&-2&1\\6&-4&2\\-9&6&-3\end{array}}\right]\in M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$»$^,$ est la « matrice des cœfficients du système », Soit ce système s'écrit sous forme matricielle «$\;\color {transparent}{\left[B\right]\times \left[X\right]=\left[F'\right]}\;$» dans laquelle $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{\left[B\right]\in M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» est la « matrice carrée de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;3$, Soit ce système s'écrit sous forme matricielle «$\;\color {transparent}{\left[B\right]\times \left[X\right]=\left[F'\right]}\;$» dans laquelle $\bullet \;$«$\;\left[X\right]=\left[{\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}}\right]\in M_{3,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» la « matrice colonne des inconnues », Soit ce système s'écrit sous forme matricielle «$\;\color {transparent}{\left[B\right]\times \left[X\right]=\left[F'\right]}\;$» dans laquelle $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{\left[X\right]\in M_{3,1}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» la « matrice de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;(3,\,1)$, Soit ce système s'écrit sous forme matricielle «$\;\color {transparent}{\left[B\right]\times \left[X\right]=\left[F'\right]}\;$» dans laquelle $\bullet \;$«$\;\left[F'\right]=\left[{\begin{array}{c}1\\4\\7\end{array}}\right]\in M_{3,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$»$^,$ la « matrice colonne des 2$^{nds}$ membres », Soit ce système s'écrit sous forme matricielle «$\;\color {transparent}{\left[B\right]\times \left[X\right]=\left[F'\right]}\;$» dans laquelle $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{\left[F'\right]\in M_{3,1}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» la « matrice de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;(3,\,1)\;$ et Soit ce système s'écrit sous forme matricielle «$\;\color {transparent}{\left[B\right]\times \left[X\right]=\left[F'\right]}\;$» dans laquelle $\bullet \;$«$\;\times \;$» l'opération « multiplication matricielle » ;
le déterminant de la « matrice des cœfficients du système » $\;\mathrm {det} \!\left(B\right)\;$ est donc $\;=0\;$ ;
on vérifie aussi que le déterminant de chaque matrice $\;\left[B_{,\,j\,\leftarrow \,d}\right]\;\;\forall \;j\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right]=0$ $\;{\Big \\!\left[B_{,\,j\,\leftarrow \,d}\right]\;$ matrice $\;\left[B\right]\;$ où la jème colonne est remplacée par celle des 2$^{nds}$ membres${\Big \}$, on vérifie aussi que le déterminant de chaque matrice $\;\color {transparent}{\left[B_{,\,j\,\leftarrow \,d}\right]\;\;\forall \;j\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right]=0}\;$ car $\;\mathrm {det} \!\left(B_{,\,1\,\leftarrow \,d}\right)={\begin{array}{|c c c|}\;1\!\!&-2\!\!&1\;\\\;4\!\!&-4\!\!&2\;\\\;7\!\!&6\!\!&-3\;\end{array}}=1\times 0-4\times 0+7\times 0=0\;$$^,$, on vérifie aussi que le déterminant de chaque matrice $\;\color {transparent}{\left[B_{,\,j\,\leftarrow \,d}\right]\;\;\forall \;j\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right]=0}\;$ car $\;\mathrm {det} \!\left(B_{,\,2\,\leftarrow \,d}\right)={\begin{array}{|c c c|}\;3\!\!&1\!\!&1\;\\\;6\!\!&4\!\!&2\;\\\;-9\!\!&7\!\!&-3\;\end{array}}=3\times (-26)-(6)\times (-10)+(-9)\times (-2)=0\;$$^,$ on vérifie aussi que le déterminant de chaque matrice $\;\color {transparent}{\left[B_{,\,j\,\leftarrow \,d}\right]\;\;\forall \;j\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right]=0}\;$ et $\;\mathrm {det} \!\left(B_{,\,3\,\leftarrow \,d}\right)={\begin{array}{|c c c|}\;3\!\!&-2\!\!&1\;\\\;6\!\!&-4\!\!&4\;\\\;-9\!\!&6\!\!&7\;\end{array}}=3\times (-52)-6\times (-20)+(-9)\times (-4)=0\;$$^,$ ;
le rang $\;r\;$ de la matrice $\;\left[B\right]\;$ étant $\;r=1\;$, on vérifie que celui de la matrice augmentée $\;\left[B|F'\right]\;$ $\;=\left[{\begin{array}{c}3&-2&1&1\\6&-4&2&4\\-9&6&-3&7\end{array}}\right]\;\in \,M_{3,\,4}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ vaut $\;2>1$, le rang $\;\color {transparent}{r}\;$ de la matrice $\;\color {transparent}{\left[B\right]}\;$ étant $\;\color {transparent}{r=1}\;$, en effet la colonne $\;_{4}\;$ n'est pas $\;\propto \;$ à la colonne $\;_{3}\;$, $\;{\big$pour le vérifier on impose une relation de liaison le rang $\;\color {transparent}{r}\;$ de la matrice $\;\color {transparent}{\left[B\right]}\;$ étant $\;\color {transparent}{r=1}\;$, en effet entre les deux colonnes $\;\alpha \times (_{4})+\beta \times (_{3})=0\;$ $\Rightarrow$ $\;\left(\alpha =0\,,\,\beta =0\right)\;$$^,$${\big ]}$ ;
il n'y a donc pas de solution du système $\;\left\lbrace {\begin{matrix}\;3\;x\!\!&-\;2\;y\!\!&+\;z\!\!&=\;1\\\;6\;x\!\!&-\;4\;y\!\!&+\;2\;z\!\!&=\;4\\-9\;x\!\!&+\;6\;y\!\!&-\;3\;z\!\!&=\;7\end{matrix}}\right\rbrace$.

### Résolution par élimination de Gauss-Jordan (ou par méthode du « pivot de Gauss »)

L'élimination de Gauss-Jordan$^,$ peut être utilisée pour résoudre un système de $\;m\;$ équations algébriques linéaires à $\;n\;$ inconnues mais ne sera présentée que dans le cas où $\;m=n$, L'élimination de Gauss-Jordan peut être utilisée plus exactement et pour être plus concret, dans le cas $\;m=n=3\;$ en choisissant le système suivant «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}4\;x\!\!&+\;3\;y\!\!&-\;3\;z\!\!&=\;1\\-5\;x\!\!&-\;3\;y\!\!&+\;5\;z\!\!&=\;2\\\;\;x\!\!&+\;\;y\!\!&+\;\;z\!\!&=\;3\end{array}}\right\rbrace \;$».
Préliminaire : l'exposé se faisant à l'aide de l'interprétation matricielle nécessite d'introduire, avant de commencer, la notion de Préliminaire : « matrice échelonnée (en lignes) » c.-à-d. toute matrice « dans laquelle le nombre de zéros précédant la 1ère valeur $\;\neq 0\;$ d'une ligne $\;\nearrow \;$ avec son indice Préliminaire : « matrice échelonnée (en lignes) » c.-à-d. toute matrice « dans laquelle le nombre de zéros précédant la 1ère valeur $\;\color {transparent}{\neq 0}\;$ jusqu'à ce qu'il ne reste éventuellement plus que des zéros » ; Préliminaire : exemple de matrice échelonnée (en lignes) : matrice triangulaire supérieure mais toutes les matrices échelonnées (en lignes) ne sont pas triangulaires supérieures.
Exposé de la méthode d'élimination de Gauss-Jordan$^,$$\;{\big$ou méthode du pivot de Gauss${\big )}\;$sur l'exemple de résolution du système$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}4\;x\!\!&+\;3\;y\!\!&-\;3\;z\!\!&=\;1\\-5\;x\!\!&-\;3\;y\!\!&+\;5\;z\!\!&=\;2\\\;\;x\!\!&+\;\;y\!\!&+\;\;z\!\!&=\;3\end{array}}\right\rbrace$ : Exposé de la méthode $\bullet \;$écrire l'équation matricielle associée au système d'équations algébriques linéaires «$\;\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E\right]\;$ avec $\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}4&3&-3\\-5&-3&5\\1&1&1\end{array}}\right]$, $\;\left[X\right]=\left[{\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}}\right]\;$ et $\;\left[E\right]=\left[{\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}}\right]\;$», Exposé de la méthode $\bullet \;$former la matrice augmentée $\;\left[A|E\right]\;$ $\;=\left[{\begin{array}{c}4&3&-3&1\\-5&-3&5&2\\1&1&1&3\end{array}}\right]\;$ dans le but de la réduire sous forme échelonnée (en lignes), Exposé de la méthode $\bullet \;$chercher dans la 1ère colonne de la matrice augmentée$^,$ la valeur maximale des valeurs absolues des cœfficients : elle vaut $\;5\;$ et se trouve dans la 2ème ligne $\Rightarrow$ Exposé de la méthode $\color {transparent}{\bullet }\;$l'indice de ligne où se trouve la valeur absolue maximale étant $\;k=2$, la valeur du cœfficient dont la valeur absolue est maximale est $\;a_{2,\,1}=-5$, Exposé de la méthode $\color {transparent}{\bullet }\;$le cœfficient en position $\;_{k=2,\,1}\;$ définit le « pivot », Exposé de la méthode $\bullet \;$si le pivot est $\;\neq 0\;$ ${\big$ce qui est le cas${\big )}\;$ on divise la ligne où il se trouve $\;{\big$c.-à-d. la 2ème ligne${\big )}\;$ par sa valeur $\;{\big$c.-à-d. $\;a_{2,\,1}=-5{\big )}\;$ d'où une 1ère forme réduite $\;\left[A|E\right]_{r_{1}}=\;$ Exposé de la méthode $\color {transparent}{\bullet }\;$à $\;\left[{\begin{array}{c}4&3&-3&1\\(1)&{\dfrac {-3}{-5}}&{\dfrac {5}{-5}}&{\dfrac {2}{-5}}\\1&1&1&3\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}4&3&-3&1\\(1)&{\dfrac {3}{5}}&-1&-{\dfrac {2}{5}}\\1&1&1&3\end{array}}\right]$, Exposé de la méthode $\bullet \;$placer cette 2ème ligne modifiée en 1ère ligne soit $\;\left[A|E\right]_{r_{2}}=\left[{\begin{array}{c}(1)&{\dfrac {3}{5}}&-1&-{\dfrac {2}{5}}\\4&3&-3&1\\1&1&1&3\end{array}}\right]$, Exposé de la méthode $\bullet \;$remplacer la 2ème ligne de $\;\left[A|E\right]_{r_{2}}\;$ par une C.L. de cette ligne et de 1ère ligne de $\;\left[A|E\right]_{r_{2}}\;$ de façon à ce que le nouveau cœfficient en position $\;\left(_{2,\,1}\right)\;$ soit nul, c.-à-d. Exposé de la méthode $\color {transparent}{\bullet }\;$remplacer la 2ème ligne de $\;\left[A|E\right]_{r_{2}}\;$ par «$\;\left(_{2,\,j}\right)-4\times \left(_{1,\,j}\right)\;\;\forall \;j\in \left[\left[1\,,\,4\right]\right]\;$» $\Rightarrow$ $\;\left[A|E\right]_{r_{3}}=\left[{\begin{array}{c}(1)&{\dfrac {3}{5}}&-1&-{\dfrac {2}{5}}\\0&3-4\;{\dfrac {3}{5}}&-3-4\;(-1)&1-4\;{\dfrac {-2}{5}}\\1&1&1&3\end{array}}\right]$ $=\left[{\begin{array}{c}(1)&{\dfrac {3}{5}}&-1&-{\dfrac {2}{5}}\\0&{\dfrac {3}{5}}&1&{\dfrac {13}{5}}\\1&1&1&3\end{array}}\right]$, Exposé de la méthode $\bullet \;$remplacer la 3ème ligne de $\;\left[A|E\right]_{r_{3}}\;$ par une C.L. de cette ligne et de 1ère ligne de $\;\left[A|E\right]_{r_{3}}\;$ de façon à ce que le nouveau cœfficient en position $\;\left(_{3,\,1}\right)\;$ soit nul, c.-à-d. Exposé de la méthode $\color {transparent}{\bullet }\;$remplacer la 3ème ligne de $\;\left[A|E\right]_{r_{3}}\;$ par «$\;\left(_{3,\,j}\right)-\left(_{1,\,j}\right)\;\;\forall \;j\in \left[\left[1\,,\,4\right]\right]\;$» $\Rightarrow$ $\;\left[A|E\right]_{r_{4}}=\left[{\begin{array}{c}(1)&{\dfrac {3}{5}}&-1&-{\dfrac {2}{5}}\\0&3-4\;{\dfrac {3}{5}}&-3-4\;(-1)&1-4\;{\dfrac {-2}{5}}\\0&1-{\dfrac {3}{5}}&1-(-1)&3-\left(-{\dfrac {2}{5}}\right)\end{array}}\right]$ $=\left[{\begin{array}{c}(1)&{\dfrac {3}{5}}&-1&-{\dfrac {2}{5}}\\0&{\dfrac {3}{5}}&1&{\dfrac {13}{5}}\\0&{\dfrac {2}{5}}&2&{\dfrac {17}{5}}\end{array}}\right]$, Exposé de la méthode $\bullet \;$réitérer l'algorithme sur $\;\left[A|E\right]_{r_{4}}=\left[{\begin{array}{c}(1)&{\dfrac {3}{5}}&-1&-{\dfrac {2}{5}}\\0&{\dfrac {3}{5}}&1&{\dfrac {13}{5}}\\0&{\dfrac {2}{5}}&2&{\dfrac {17}{5}}\end{array}}\right]$ : Exposé de la méthode $\color {transparent}{\bullet }\;$chercher dans la 2ème colonne de $\;\left[A|E\right]_{r_{4}}\;$ la valeur maximale des valeurs absolues des cœfficients des lignes $\;2\;$ et $\;3$, elle vaut $\;{\dfrac {3}{5}}\;$ et se trouve dans la 2ème ligne, Exposé de la méthode $\color {transparent}{\bullet }\;$l'indice de ligne où se trouve la valeur absolue maximale est $\;k=2\;$, la valeur du cœfficient dont la valeur absolue est maximale est $\;{a'}_{2,\,2}={\dfrac {3}{5}}$, Exposé de la méthode $\color {transparent}{\bullet }\;$le cœfficient en position $\;_{k=2,\,2}\;$ définissant le nouveau « pivot », Exposé de la méthode $\bullet \;$si le nouveau pivot est $\;\neq 0\;$ ${\big$ce qui est le cas${\big )}\;$ on divise la ligne où il se trouve $\;{\big$c.-à-d. la 2ème ligne${\big )}\;$ par sa valeur $\;{\bigg$c.-à-d. $\;{a'}_{2,\,2}={\dfrac {3}{5}}{\bigg )}\;$ d'où une 5ème forme réduite Exposé de la méthode $\color {transparent}{\bullet }\;$$\;\left[A|E\right]_{r_{5}}=\left[{\begin{array}{c}1&{\dfrac {3}{5}}&-1&-{\dfrac {2}{5}}\\0&(1)&1*{\dfrac {5}{3}}&{\dfrac {13}{5}}*{\dfrac {5}{3}}\\0&{\dfrac {2}{5}}&2&{\dfrac {17}{5}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}1&{\dfrac {3}{5}}&-1&-{\dfrac {2}{5}}\\0&(1)&{\dfrac {5}{3}}&{\dfrac {13}{3}}\\0&{\dfrac {2}{5}}&2&{\dfrac {17}{5}}\end{array}}\right]$, Exposé de la méthode $\bullet \;$si cette ligne modifiée de $\;\left[A|E\right]_{r_{5}}\;$ n'est pas la 2ème ${\big$ce qui n'est pas le cas${\big )}\;$ la mettre en 2ème ligne, Exposé de la méthode $\bullet \;$remplacer la 3ème ligne de $\;\left[A|E\right]_{r_{5}}\;$ par une C.L. de cette ligne et de 2ème ligne de $\;\left[A|E\right]_{r_{5}}\;$ de façon à ce que le nouveau cœfficient en position $\;\left(_{3,\,2}\right)\;$ soit nul, c.-à-d. Exposé de la méthode $\color {transparent}{\bullet }\;$remplacer la 3ème ligne de $\;\left[A|E\right]_{r_{5}}\;$ par «$\;\left(_{3,\,j}\right)-{\dfrac {2}{5}}\times \left(_{2,\,j}\right)\;\;\forall \;j\in \left[\left[1\,,\,4\right]\right]\;$» $\Rightarrow$ $\;\left[A|E\right]_{r_{6}}=\left[{\begin{array}{c}1&{\dfrac {3}{5}}&-1&-{\dfrac {2}{5}}\\0&(1)&{\dfrac {5}{3}}&{\dfrac {13}{3}}\\0&0&2-{\dfrac {2}{5}}\;{\dfrac {5}{3}}&{\dfrac {17}{5}}-{\dfrac {2}{5}}\;{\dfrac {13}{3}}\end{array}}\right]$ $=\left[{\begin{array}{c}1&{\dfrac {3}{5}}&-1&-{\dfrac {2}{5}}\\0&(1)&{\dfrac {5}{3}}&{\dfrac {13}{3}}\\0&0&{\dfrac {4}{3}}&{\dfrac {5}{3}}\end{array}}\right]$, Exposé de la méthode $\bullet \;$remplacer la 1ère ligne de $\;\left[A|E\right]_{r_{6}}\;$ par une C.L. de cette ligne et de 2ème ligne de $\;\left[A|E\right]_{r_{6}}\;$ de façon à ce que le nouveau cœfficient en position $\;\left(_{1,\,2}\right)\;$ soit nul, c.-à-d. Exposé de la méthode $\color {transparent}{\bullet }\;$remplacer la 1ère ligne de $\;\left[A|E\right]_{r_{6}}\;$ par «$\;\left(_{1,\,j}\right)-{\dfrac {3}{5}}\times \left(_{2,\,j}\right)\;\;\forall \;j\in \left[\left[1\,,\,4\right]\right]\;$» $\Rightarrow$ $\;\left[A|E\right]_{r_{7}}=\left[{\begin{array}{c}1&0&-1-{\dfrac {3}{5}}\;{\dfrac {5}{3}}&-{\dfrac {2}{5}}-{\dfrac {3}{5}}\;{\dfrac {13}{3}}\\0&(1)&{\dfrac {5}{3}}&{\dfrac {13}{3}}\\0&0&{\dfrac {4}{3}}&{\dfrac {5}{3}}\end{array}}\right]$ $=\left[{\begin{array}{c}1&0&-2&-3\\0&(1)&{\dfrac {5}{3}}&{\dfrac {13}{3}}\\0&0&{\dfrac {4}{3}}&{\dfrac {5}{3}}\end{array}}\right]$, Exposé de la méthode $\bullet \;$réitérer l'algorithme sur $\;\left[A|E\right]_{r_{7}}=\left[{\begin{array}{c}1&0&-2&-3\\0&(1)&{\dfrac {5}{3}}&{\dfrac {13}{3}}\\0&0&{\dfrac {4}{3}}&{\dfrac {5}{3}}\end{array}}\right]$ : Exposé de la méthode $\color {transparent}{\bullet }\;$dans la 3ème colonne de $\;\left[A|E\right]_{r_{7}}\;$ la valeur absolue du cœfficient de la ligne $\;3\;$ vaut $\;{\dfrac {4}{3}}$ $\;{\big$valeur évidemment maximale${\big )}$, Exposé de la méthode $\color {transparent}{\bullet }\;$l'indice de ligne $\;{\big$où se trouve la valeur absolue maximale${\big )}\;$ est $\;k=3\;$, la valeur du cœfficient $\;{\big$dont la valeur absolue est maximale${\big )}\;$ est $\;{a''}_{3,\,3}={\dfrac {4}{3}}$, Exposé de la méthode $\color {transparent}{\bullet }\;$le cœfficient en position $\;_{k=3,\,3}\;$ définissant le nouveau « pivot », Exposé de la méthode $\bullet \;$si le nouveau pivot est $\;\neq 0\;$ ${\big$ce qui est le cas${\big )}\;$ on divise la ligne où il se trouve $\;{\big$c.-à-d. la 3ème ligne${\big )}\;$ par sa valeur $\;{\bigg$c.-à-d. $\;{a''}_{3,\,3}={\dfrac {4}{3}}{\bigg )}\;$ d'où une 8ème forme réduite Exposé de la méthode $\color {transparent}{\bullet }\;$$\;\left[A|E\right]_{r_{8}}=\left[{\begin{array}{c}1&0&-2&-3\\0&(1)&{\dfrac {5}{3}}&{\dfrac {13}{3}}\\0&0&(1)&{\dfrac {5}{3}}*{\dfrac {3}{4}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}1&0&-2&-3\\0&1&{\dfrac {5}{3}}&{\dfrac {13}{3}}\\0&0&(1)&{\dfrac {5}{4}}\end{array}}\right]$, Exposé de la méthode $\bullet \;$remplacer la 1ère ligne de $\;\left[A|E\right]_{r_{8}}\;$ par une C.L. de cette ligne et de 3ème ligne de $\;\left[A|E\right]_{r_{8}}\;$ de façon à ce que le nouveau cœfficient en position $\;\left(_{1,\,3}\right)\;$ soit nul, c.-à-d. Exposé de la méthode $\color {transparent}{\bullet }\;$remplacer la 1ère ligne de $\;\left[A|E\right]_{r_{8}}\;$ par «$\;\left(_{1,\,j}\right)+2\times \left(_{3,\,j}\right)\;\;\forall \;j\in \left[\left[1\,,\,4\right]\right]\;$» $\Rightarrow$ $\;\left[A|E\right]_{r_{9}}=\left[{\begin{array}{c}1&0&0&-3+2\;{\dfrac {5}{4}}\\0&1&{\dfrac {5}{3}}&{\dfrac {13}{3}}\\0&0&(1)&{\dfrac {5}{4}}\end{array}}\right]$ $=\left[{\begin{array}{c}1&0&0&-{\dfrac {1}{2}}\\0&1&{\dfrac {5}{3}}&{\dfrac {13}{3}}\\0&0&(1)&{\dfrac {5}{4}}\end{array}}\right]$, Exposé de la méthode $\bullet \;$remplacer la 2ème ligne de $\;\left[A|E\right]_{r_{9}}\;$ par une C.L. de cette ligne et de 3ème ligne de $\;\left[A|E\right]_{r_{9}}\;$ de façon à ce que le nouveau cœfficient en position $\;\left(_{2,\,3}\right)\;$ soit nul, c.-à-d. Exposé de la méthode $\color {transparent}{\bullet }\;$remplacer la 2ème ligne de $\;\left[A|E\right]_{r_{9}}\;$ par «$\;\left(_{2,\,j}\right)-{\dfrac {5}{3}}\;\times \left(_{3,\,j}\right)\;\;\forall \;j\in \left[\left[1\,,\,4\right]\right]\;$» $\Rightarrow$ $\;\left[A|E\right]_{r_{10}}=\left[{\begin{array}{c}1&0&0&-{\dfrac {1}{2}}\\0&1&0&{\dfrac {13}{3}}-{\dfrac {5}{3}}\;{\dfrac {5}{4}}\\0&0&(1)&{\dfrac {5}{4}}\end{array}}\right]$ $=\left[{\begin{array}{c}1&0&0&-{\dfrac {1}{2}}\\0&1&0&{\dfrac {9}{4}}\\0&0&(1)&{\dfrac {5}{4}}\end{array}}\right]$, Exposé de la méthode $\bullet \;$le retour au système d'équations algébriques linéaires nous donne la solution unique «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x\!\!&\!\!&\!\!&=\;-{\dfrac {1}{2}}\\\!\!&y\!\!&\!\!&=\;{\dfrac {9}{4}}\\\!\!&\!\!&z\!\!&=\;{\dfrac {5}{4}}\end{array}}\right\rbrace \;$».