# Phénomènes d'induction/Exercices/Induction mutuelle, induction propre
## {Solénoïde, Spire}

Soit un solénoïde infiniment long, de rayon R, d'axe (Oz) comportant n spires par unité de longueur, chacune étant parcourue par un courant d'intensité I orientée en concordance avec ${\vec {z}}$.
Soit une spire carrée de côté a>2R, d'axe (Oz), parcourue par une intensité i orientée en accord avec $-{\vec {z}}$.
* Calculer le coefficient d'induction propre d'une longueur λ de solénoïde.
* Calculer le coefficient d'induction mutuelle du système {solénoïde, spire}.
* Calculer le coefficient d'induction propre d'une longueur λ de solénoïde.
** Dans le solénoïde, il règne un champ ${\vec {B}}=\mu _{0}In{\vec {u}}_{z}$
** Le flux de ${\vec {B}}$ à travers une spire Σ orientée en concordance avec ${\vec {u}}_{z}$ vaut $\Phi _{\Sigma }=\pi R^{2}\mu _{0}In$
** Par définition, le flux Φ à travers une longueur λ de solénoïde vaut Φ = I L. Or, Φ = λ n Φ$_Σ$
* Calculer le coefficient d'induction mutuelle du système {solénoïde, spire}.
* On note Σ la surface de la spire carrée, orientée en concordance avec i
** $\Phi _{2\rightarrow 1}=\int _{\Sigma }{\vec {B}}.{\overrightarrow {{\rm {d}}S}}=-\pi R^{2}\mu _{0}nI$
** Par définition, $\Phi _{2\rightarrow 1}=MI$

## {Fil,Tore}

Soit un fil rectiligne infiniment long, concordant avec (Oz), parcouru par une intensité I.
Soit le tore de centre O engendré par la rotation autour du fil d'un carré de côtés parallèles ou orthogonaux à l'axe, de longueur a, le côté le plus proche étant situé à la distance a de l'axe. Sur le tore sont bobinées N spires parcourues par une intensité i orientée en concordance avec le vecteur ${\vec {u}}_{\theta }$ de la base cylindrique.
* Calculer le champ magnétique créé par le fil en tout point de l'espace.
* Calculer le coefficient d'induction propre du tore.
* Calculer le coefficient d'induction mutuelle du système {fil, tore}.
1. Calculer le champ magnétique créé par le fil en tout point de l'espace.
Voir le cours de magnétostatique pour avoir le détail du calcul.
2. Calculer le coefficient d'induction propre du tore.
La résolution de cette question se fait en plusieurs étapes :
* Calcul du champ ${\vec {B}}_{t}$ engendré par le tore en tout point intérieur au tore
* Calcul du flux de ${\vec {B}}_{t}$ à travers le tore
* Écriture de la définition de L pour trouver son expression littérale
* Calcul du champ ${\vec {B}}_{t}$ engendré par le tore en tout point intérieur au tore
On se place en coordonnées cylindriques.
* Le plan (MOz) est plan de symétrie du système donc ${\vec {B}}_{t}(M)=B_{t}(r,\theta ,z){\vec {u}}_{\theta }$
* À l'intérieur du tore, le champ ne dépend pas de z donc ${\vec {B}}_{t}(M)=B_{t}(r,\theta ){\vec {u}}_{\theta }$
* Le système est de révolution autour de (Oz), donc les lignes du champ magnétique sont des cercles : ${\vec {B}}_{t}(M)=B_{t}(r){\vec {u}}_{\theta }$
On utilise alors le théorème d'Ampère pour trouver l’expression de ${\vec {B}}_{t}$ :
* On choisit pour contour d'Ampère un cercle Γ centré sur (Oz), orienté en concordance avec ${\vec {u}}_{z}$, de rayon $r\in ]a,2a[$
* On applique le théorème d'Ampère :
${\begin{aligned}\mu _{0}Ni&=\oint _{\Gamma }{\vec {B}}_{t}(M).\mathrm {d} {\vec {l}}\\&=B_{t}(r)\oint _{\Gamma }\mathrm {d} l\end{aligned}}$
* Calcul du flux de ${\vec {B}}_{t}$ à travers le tore :
On note $\Sigma$ la surface d'une spire du tore, orientée en concordance avec i. Le flux de ${\vec {B}}_{t}$ à travers Σ vaut :
${\begin{aligned}\Phi _{\Sigma }&=\iint _{\Sigma }{\vec {B}}_{t}(M).{\overrightarrow {{\rm {d}}^{2}S}}\\&=\int _{r=a}^{r=2a}\int _{z=-{\frac {a}{2}}}^{z={\frac {a}{2}}}{\frac {\mu _{0}Ni}{2\pi r}}\mathrm {d} z\mathrm {d} r\\&={\frac {\mu _{0}Nia}{2\pi }}\left[\ln(r)\right]_{r=a}^{r=2a}\\&={\frac {\mu _{0}Nia\ln(2)}{2\pi }}\end{aligned}}$
Le tore est en réalité composé de N spires.
* Expression de L :
Par définition de L : Φ=iL.
* 3. Calculer le coefficient d'induction mutuelle du système {fil, tore}.
Par définition, le coefficient d'induction mutuelle est tel que $\Phi _{{\textrm {fil}}\rightarrow {\textrm {tore}}}=MI$. Il suffit de calculer $\Phi _{{\textrm {fil}}\rightarrow {\textrm {tore}}}$.
On note $\Sigma$ la surface d'une spire du tore, orientée en concordance avec i. Le flux de ${\vec {B}}_{f}$ à travers Σ vaut :
${\begin{aligned}\Phi _{{\textrm {fil}}\rightarrow \Sigma }&=\iint _{\Sigma }{\vec {B}}_{f}(M).{\overrightarrow {\mathrm {d} ^{2}S}}\\&=\int _{r=a}^{r=2a}\int _{z=-{\frac {a}{2}}}^{z={\frac {a}{2}}}{\frac {\mu _{0}I}{2\pi r}}\mathrm {d} z\mathrm {d} r\\&={\frac {\mu _{0}Ia\ln(2)}{2\pi }}\end{aligned}}$
Le tore est en réalité composé de N spires : $\Phi _{{\textrm {fil}}\rightarrow {\textrm {tore}}}={\frac {\mu _{0}NIa\ln(2)}{2\pi }}$
Les deux inductances diffèrent d'un facteur N.
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