# Ondes électromagnétiques/Exercices/Propagation dans un métal réel

On considère l'espace muni d'une base orthonormée directe $({\vec {u}}_{x},{\vec {u}}_{y},{\vec {u}}_{z})$.
Un métal homogène non magnétique de conductivité $\gamma =6\cdot 10^{7}\,{\rm {S.m}}^{-1}$ occupe le demi-espace $z\geq 0$.
Une onde plane monochromatique de fréquence $\nu ={\frac {\omega }{2\pi }}$, polarisée rectilignement suivant ${\vec {u}}_{x}$ se propage dans le vide vers les z croissants. Son champ électrique vaut ${\vec {E}}_{i}=E_{0i}e^{j(\omega t-kz)}{\vec {u}}_{x}$. Lorsque cette onde arrive sur le métal :
* une partie est transmise ; la forme de l'onde transmise dans le métal est ${\vec {E}}_{t}=E_{0t}e^{j(\omega t-k'z)}{\vec {u}}_{x}$
* une partie est réfléchie ; la forme de l'onde réfléchie est ${\vec {E}}_{r}={\vec {E}}_{0r}e^{j(\omega t+kz)}e^{j\varphi _{r}}={\underline {\vec {E}}}_{0r}e^{j(\omega t+kz)}$ avec ${\underline {\vec {E}}}_{0r}={\vec {E}}_{0r}e^{j\varphi _{r}}$
* Établir la relation de dispersion dans le métal.
* Montrer que pour le domaine de fréquence $\nu <10^{16}{\rm {Hz}}$, on a ${\frac {\gamma }{\epsilon _{0}\omega }}\gg 1$.
* En déduire que la relation de dispersion se réduit à $k'={\frac {1-j}{\delta }}$. Exprimer δ en fonction de ω, ε₀, c et γ.
* Quelle est la signification physique de δ ?
* Les conditions ci-desus étant supposées remplies, calculer le rapport $\alpha ={\frac {v_{\varphi }}{v_{\varphi ,0}}}$ des vitesses de phase de l'onde dans le métal et dans le vide en fonction de ω, ε₀ et γ.
* Exprimer le champ magnétique ${\vec {B}}_{t}$ de l'onde transmise. Déterminer en tout point de cote z du métal :
** le déphasage entre les champs ${\vec {E}}_{t}$ et ${\vec {B}}_{t}$
** le rapport des amplitudes des champs ${\vec {E}}_{t}$ et ${\vec {B}}_{t}$ en fonction de α et c.
* Déterminer en fonction de α les coefficients complexes de transmission ${\underline {\tau }}={\frac {{\underline {E}}_{0t}}{{\underline {E}}_{0i}}}$ et de réflexion ${\underline {\rho }}={\frac {{\underline {E}}_{0r}}{{\underline {E}}_{0i}}}$ en amplitude. On pourra supposer que, γ étant fini, on aura ${\vec {j}}_{S}\approx 0$.
* Exprimer en fonction de α les facteurs de réflexion R et de transmission T, définis respectivement comme les fractions de puissance réfléchie et transmise moyenne.
** Examiner le cas $\alpha \ll 1$
** Calculer les valeurs numériques de λ, δ, α et T pour $\nu _{1}=100~{\rm {Hz}}$ et $\nu _{2}=10~{\rm {GHz}}$
* Calculer la puissance dissipée par effet Joule dans une portion de métal de section unité en fonction de ω, γ, c, E$_{0i}$ et ε₀.

## Question 1

Dans un métal conducteur, les équations de Maxwell deviennent :
    ${\overrightarrow {\rm {rot}}}({\vec {E}}_{t})=-{\frac {\partial {\vec {B}}_{t}}{\partial t}}$
    ${\rm {div}}({\vec {E}}_{t})=0$
    ${\overrightarrow {\rm {rot}}}({\vec {B}}_{t})=\mu _{0}{\vec {i}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial {\vec {E}}_{t}}{\partial t}}$
    ${\rm {div}}({\vec {B}}_{t})=0$
On effectue la manipulation standard pour éliminer ${\vec {B}}_{t}$ des expressions :
    ${\begin{aligned}{\overrightarrow {\rm {rot}}}({\overrightarrow {\rm {rot}}}({\vec {E}}_{t}))&={\vec {\nabla }}({\rm {div}}({\vec {E}}_{t}))-{\vec {\Delta }}{\vec {E}}_{t}=-{\vec {\Delta }}{\vec {E}}_{t}\\&={\overrightarrow {\rm {rot}}}\left(-{\frac {\partial {\vec {B}}_{t}}{\partial t}}\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\overrightarrow {\rm {rot}}}({\vec {B}}_{t})\right)=-\mu _{0}{\frac {\partial {\vec {i}}}{\partial t}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}_{t}}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}$
De plus, le laplacien vaut : ${\vec {\Delta }}{\vec {E}}_{t}=\left|{\begin{array}{l}\Delta E_{xt}\\\Delta E_{yt}\\\Delta E_{zt}\end{array}}\right.={\frac {\partial ^{2}E}{\partial z^{2}}}{\vec {u}}_{x}=-k'^{2}{\vec {E}}_{t}$
Enfin, on suppose pouvoir appliquer la loi d'Ohm : ${\vec {i}}=\gamma {\vec {E}}_{t}$
Si on revient à k', on aboutit à $k'\in \mathbb {C}$ :
* La partie réelle de k' joue son rôle habituel en jouant sur la parie oscillante de l'onde
* La partie imaginaire de k', elle, quantifie l'atténuation de l'onde qui est transmise dans le métal.

## Question 2

${\frac {\gamma }{\epsilon _{0}\omega }}={\frac {\gamma }{2\pi \epsilon _{0}\nu }}$
    On calcule que $\nu <10^{16}{\rm {Hz}}\Rightarrow {\frac {\gamma }{\epsilon _{0}\omega }}>107$

## Question 3

${\begin{aligned}k'^{2}&={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}-j\omega \mu _{0}\gamma \\&={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\left(1-j{\frac {\mu _{0}\gamma c^{2}}{\omega }}\right)\\&={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\left(1-j{\frac {\gamma }{\omega \epsilon _{0}}}\right)\\&\approx {\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\times \left(-j{\frac {\gamma }{\omega \epsilon _{0}}}\right)\\&=\exp \left({\frac {3i\pi }{2}}\right)\,{\frac {\omega \gamma }{\epsilon _{0}c^{2}}}\\\end{aligned}}$
On revient à k' en prenant les racines carrées : $k'=\pm \exp \left({\frac {3i\pi }{4}}\right){\sqrt {\frac {\omega \gamma }{\epsilon _{0}c^{2}}}}=\pm (1-j){\sqrt {\frac {\omega \gamma }{2\epsilon _{0}c^{2}}}}$

## Question 4

Si on examine le champ électrique transmis, on s'aperçoit qu'on peut l'écrire sous la forme ${\begin{matrix}{\vec {E}}_{t}=E_{0t}&\displaystyle {\underbrace {\exp \left(j\left(\omega t-{\frac {z}{\delta }}\right)\right)} }&\displaystyle {\underbrace {\exp \left(-{\frac {z}{\delta }}\right)} }&{\vec {u}}_{x}\\&\scriptstyle {\rm {Propagation}}&\scriptstyle {\rm {Att{\acute {e}}nuation}}&\end{matrix}}$
Cela montre bien que le champ électrique transmis est présent essentiellement pour des faibles profondeurs par rapport à δ. On appelle cela l'effet de peau.
δ s’appelle alors l'épaisseur de peau et correspond à la cote à laquelle l'amplitude de l'onde subit un amortissement de e.

## Question 5

* Dans le vide, la vitesse de phase vaut $v_{\varphi }=c$
* Pour trouver la vitesse de phase dans le métal, il faut faire le même petit raisonnement que pour montrer que, dans le cas de l'onde plane progressive monochromatique dans le vide, les plans équiphase donc orthogonaux au vecteur d'onde.
À l'instant t et à la cote z, on a la phase φ. On cherche le couple $(t+{\rm {d}}t,z+{\rm {d}}z)$ tel que φ reste constante. $\varphi =\omega t-{\frac {z}{\delta }}\Rightarrow {\rm {d}}\varphi =\omega \,{\rm {d}}t-{\frac {1}{\delta }}\,{\rm {d}}z$
La vitesse de phase est ${\frac {{\rm {d}}z}{{\rm {d}}t}}$ lorsque ${\rm {d}}\varphi =0$, c'est-à-dire $v_{\varphi }=\omega \delta$

## Question 6

${\vec {E}}_{t}$ est donné sous la forme d'une onde plane. On peut donc prendre la liberté d'exprimer le champ magnétique en utilisant la formule :
${\begin{aligned}{\vec {B}}_{t}&={\frac {{\vec {k'}}\wedge {\vec {E}}_{t}}{\omega }}\\&={\frac {k'}{\omega }}E_{0t}e^{j(\omega t-k'z)}{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{x}\\&=\exp \left(j\left(\omega t-{\frac {z}{\delta }}\right)\right)\exp \left(-{\frac {z}{\delta }}\right){\frac {E_{0t}}{\omega }}{\sqrt {2}}\exp \left(-j{\frac {\pi }{4}}\right){\frac {1}{\delta }}{\vec {u}}_{y}\\\end{aligned}}$
    Question 6.1
${\vec {B}}_{t}$ est en retard de phase sur ${\vec {E}}_{t}$ de ${\frac {\pi }{4}}$
    Question 6.2
${\frac {||{\vec {B}}_{t}||}{||{\vec {E}}_{t}||}}={\frac {\sqrt {2}}{\alpha c}}$

## Question 7

À la cote $z=0$, on a la relation ${\vec {E}}_{i}+{\vec {E}}_{r}={\vec {E}}_{t}$. On obtient ainsi les deux résultats suivants :
* $1+{\underline {\rho }}={\underline {\tau }}$
* ${\underline {\vec {E}}}_{r}={\underline {\vec {E}}}_{r}{\vec {u}}_{x}$
De plus, l'hypothèse ${\vec {j}}_{S}\approx 0$ implique la continuité des composantes tangentielles du champ magnétique. On peut ainsi écrire
${\begin{aligned}{\vec {k}}\wedge ({\vec {E}}_{i}-{\vec {E}}_{r})={\vec {k}}'\wedge {\vec {E}}_{t}&\Leftrightarrow k(E_{i}-{\underline {E}}_{r}){\vec {u}}_{y}=k'E_{t}{\vec {u}}_{y}\\&\Leftrightarrow {\frac {\omega }{c}}(1-{\underline {\rho }})={\underline {\tau }}{\frac {1-j}{\delta }}\\&\Leftrightarrow \alpha (1-{\underline {\rho }})=(1+{\underline {\rho }})(1-j)\\&\Leftrightarrow (\alpha -1+j)=(\alpha +1-j){\underline {\rho }}\\\end{aligned}}$
${\begin{aligned}{\underline {\tau }}&=1+{\underline {\rho }}\\&=1+{\frac {\alpha -1+j}{\alpha +1-j}}\end{aligned}}$

## Question 8

On va calculer les moyennes temporelles des vecteurs de Poynting des ondes incidente et transmise au niveau de la surface :
${\begin{aligned}{\vec {E}}_{i}\wedge {\vec {B}}_{i}^{*}&={\frac {1}{\omega }}({\vec {E}}_{i}\wedge ({\vec {k}}\wedge {\vec {E}}_{i}^{*}))\\&={\frac {|E_{0i}|^{2}}{\omega }}{\vec {k}}\\\end{aligned}}$
${\begin{aligned}{\vec {E}}_{t}\wedge {\vec {B}}_{t}^{*}&=E_{0t}e^{j\omega t}{\vec {u}}_{x}\wedge E_{0t}^{*}{\sqrt {\frac {\gamma }{\epsilon _{0}c^{2}\omega }}}\exp \left(-j\left(\omega t-{\frac {\pi }{4}}\right)\right){\vec {u}}_{y}\\&=|E_{0t}|^{2}{\sqrt {\frac {\gamma }{\epsilon _{0}c^{2}\omega }}}\exp \left(j{\frac {\pi }{4}}\right){\vec {u}}_{z}\\\end{aligned}}$
D'où :
${\begin{aligned}\langle {\vec {\Pi }}_{i}\rangle &={\frac {\Re ({\vec {E}}_{i}\wedge {\vec {B}}_{i}^{*})}{2\mu _{0}}}\\&={\frac {|E_{0i}^{2}|}{2\omega \mu _{0}}}{\vec {k}}\\\end{aligned}}$
${\begin{aligned}\langle {\vec {\Pi }}_{t}\rangle &={\frac {\Re ({\vec {E}}_{t}\wedge {\vec {B}}_{t}^{*})}{2\mu _{0}}}\\&={\frac {|E_{0t}|^{2}}{2\mu _{0}}}{\sqrt {\frac {\gamma }{2\epsilon _{0}c^{2}\omega }}}{\vec {u}}_{z}\\\end{aligned}}$
${\begin{aligned}T&={\frac {||\langle {\vec {\Pi }}_{t}\rangle ||}{||\langle {\vec {\Pi }}_{i}\rangle ||}}\\&={\frac {\omega |E_{0t}|^{2}}{k|E_{0i}|^{2}}}{\sqrt {\frac {\gamma }{2\epsilon _{0}c^{2}\omega }}}\\&=|{\underline {\tau }}|^{2}{\sqrt {\frac {\gamma }{2\epsilon _{0}\omega }}}\\&={\frac {4\alpha ^{2}}{(\alpha +1)^{2}+1}}\cdot {\frac {1}{\alpha }}\\\end{aligned}}$
De plus, supposer ${\vec {j}}_{S}\approx 0$ revient à supposer qu’il n'y a pas de pertes joule à l'interface entre les deux milieux. On a donc la relation $R+T=1$
    Question 8.1
$\alpha \ll 1\Rightarrow {\begin{cases}T\approx 2\alpha \\R\approx \displaystyle {\frac {1-\alpha }{1+\alpha }}\approx 1-2\alpha \\\end{cases}}$
    Question 8.2
${\begin{array}{c|c|c|c|c|}&\lambda &\delta &\alpha &T\\\hline \nu _{1}=100~{\rm {Hz}}&300~{\rm {km}}&6,5~{\rm {mm}}&1,36\cdot 10^{-8}&2,7\cdot 10^{-8}\\\hline \nu _{2}=10~{\rm {GHz}}&3~{\rm {cm}}&65~{\rm {nm}}&1,36\cdot 10^{-4}&2,7\cdot 10^{-4}\\\hline \end{array}}$

## Question 9

La puissance surfacique moyenne perdue par effet joule est la puissance transmise dans le métal :
${\begin{aligned}\langle {\mathcal {P}}_{S}\rangle &=T\,||\langle {\vec {\Pi }}_{i}\rangle ||\\&={\frac {|E_{0i}|^{2}}{2\omega \mu _{0}}}||{\vec {k}}_{i}||\cdot 2\alpha \\&={\frac {\alpha }{\mu _{0}c}}E_{0i}^{2}\\&={\frac {\epsilon _{0}c}{\epsilon _{0}\mu _{0}c^{2}}}{\sqrt {\frac {2\epsilon _{0}\omega }{\gamma }}}E_{0i}^{2}\end{aligned}}$
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