# Propositions et opération élémentaire/Conjonctions et disjonctions

Soient $p$ et $q$ deux propositions.

## Conjonction
### Conjonction de deux propositions

Définition :
La conjonction des propositions p et q est la proposition notée « p et q » (ou $p\land q$), qui est vraie si et seulement si p et q sont simultanément vraies. Tous les autres résultats sont faux.
La table de vérité de la proposition $p\land q$ est la suivante :
| Valeur de vérité de la proposition $p$ | Valeur de vérité de la proposition $q$ | Valeur de vérité de la proposition $p\land q$ |
| VRAIE | VRAIE | VRAIE |
| VRAIE | FAUSSE | FAUSSE |
| FAUSSE | VRAIE | FAUSSE |
| FAUSSE | FAUSSE | FAUSSE |

## Disjonction
### Disjonction de deux propositions

Définition :
La disjonction des propositions p et q est la proposition notée « p ou q » (ou $p\lor q$), qui est vraie si et seulement si p et q sont simultanément vraies, et fausse si et seulement si p et q sont simultanément fausses. Tous les autres résultats sont vrais.
La table de vérité de la proposition $p\lor q$ est la suivante :
| Valeur de vérité de la proposition $p$ | Valeur de vérité de la proposition $q$ | Valeur de vérité de la proposition $p\lor q$ |
| VRAIE | VRAIE | VRAIE |
| VRAIE | FAUSSE | VRAIE |
| FAUSSE | VRAIE | VRAIE |
| FAUSSE | FAUSSE | FAUSSE |
L'opérateur « ou » est inclusif, c'est-à-dire : si $p\land q$ est vraie, alors $p\lor q$ est vraie.
On peut résumer tout cela dans la table de vérité suivante :
| Valeur de vérité de la proposition $p$ | Valeur de vérité de la proposition $q$ | Valeur de vérité de la proposition $p\lor q$ | Valeur de vérité de la proposition $p\land q$ |
| VRAIE | VRAIE | VRAIE | VRAIE |
| VRAIE | FAUSSE | VRAIE | FAUSSE |
| FAUSSE | VRAIE | VRAIE | FAUSSE |
| FAUSSE | FAUSSE | FAUSSE | FAUSSE |
Maintenant étudions cette table de vérité :
| Valeur de la proposition $p$ | Valeur de la proposition $q$ | Valeur de la proposition $p\land q$ | Valeur de la proposition ${\bar {p}}\lor {\bar {q}}$ |
| VRAIE | VRAIE | VRAIE | FAUSSE |
| VRAIE | FAUSSE | FAUSSE | VRAIE |
| FAUSSE | VRAIE | FAUSSE | VRAIE |
| FAUSSE | FAUSSE | FAUSSE | VRAIE |
On remarque que ${\overline {p\land q}}$ est équivalente à ${\bar {p}}\lor {\bar {q}}$. De même, on obtiendrait ${\overline {p\lor q}}$ est équivalente à ${\bar {p}}\land {\bar {q}}$.
On peut résumer ces propriétés en disant que la négation d'un « ou » est un « et » et la négation d'un « et » est un « ou ».
Dans des exemples :
| ($2>10$) ou ($x^{2}=4$ a au moins une solution.) | Vraie |
| (4 est pair) et (Les mammouths ont disparu) | Vraie |
| ($x+1=x+2-1$) et (${\frac {16}{4}}=3$) | Faux |
| $\scriptstyle {\overline {4^{2}=16}}$ | Faux |
| $\scriptstyle {\overline {(x>2)\land (x<2)}}$ | Vraie |

## Négation des conjonctions et disjonctions (règles de De Morgan)

Elles ont été formulées par le mathématicien britannique Augustus De Morgan (1806-1871).
Soient $P_{1}$ et $P_{2}$ deux propositions.
$\lnot (P_{1}\land P_{2})\leftrightarrow (\lnot P_{1})\lor (\lnot P_{2})$
La négation d'une conjonction de deux propositions est équivalente à la disjonction des négations de ces deux propositions.
$\lnot (P_{1}\lor P_{2})\leftrightarrow (\lnot P_{1})\land (\lnot P_{2})$
La négation d'une disjonction de deux propositions est équivalente à la conjonction des négations de ces deux propositions.
| Négations | Sommaire |