# Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Introduction au monde quantique : inégalités de Heisenberg
## Dimension de l'atome d'hydrogène

On considère un atome d'hydrogène « sphérique » de taille caractéristique $\;a$ ;
on admet l'approximation suivante pour l'énergie de l'électron dans l'atome «$\;E\simeq {\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m_{e}\;a^{2}}}-{\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;a}}\;$» où
on admet l'approximation suivante pour l'énergie de l'électron dans l'atome «$\;e\simeq 1,60\;10^{-19}\;C\;$ est la charge élémentaire », on admet l'approximation suivante pour l'énergie de l'électron dans l'atome «$\;m_{e}\simeq 9,11\;10^{-31}\;kg\;$ la masse d'un électron », on admet l'approximation suivante pour l'énergie de l'électron dans l'atome «$\;{\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\simeq 9,00\;10^{9}\;U.S.I.\;$ la constante universelle électrostatique dans le vide » et on admet l'approximation suivante pour l'énergie de l'électron dans l'atome «$\;\hbar \simeq 1,05\;10^{-34}\;J\cdot s\;$ la constante réduite de Planck ».

### Interprétation de chaque terme de l'expression de l'énergie de l'électron dans l'atome

Que représente le 1er terme dans l'expression de l'énergie ? Comment s'interprète-t-il ?
Que représente le 2ème terme ?
Le « 1er terme de l'énergie de l'électron dans l'atome $\;{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m_{e}\;a^{2}}}\;$» est l'énergie cinétique minimale due au confinement de l'électron dans un volume de taille caractéristique$\;a\;$ Le « 1er terme de l'énergie de l'électron dans l'atome $\;\color {transparent}{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m_{e}\;a^{2}}}\;$» est l'énergie cinétique minimale résultant de l'inégalité spatiale de Heisenberg, en effet si on admet que
Le « 1er terme de l'énergie de l'électron dans l'atome $\;\color {transparent}{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m_{e}\;a^{2}}}\;$» est l'énergie cinétique minimale résultant de l'incertitude « quantique » sur la position est «$\;\Delta x=a\;$», Le « 1er terme de l'énergie de l'électron dans l'atome $\;\color {transparent}{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m_{e}\;a^{2}}}\;$» est l'énergie cinétique minimale résultant de celle sur la quantité de mouvement le long de $\;{\vec {u}}_{x}\;$ est au minimum «$\;\Delta p_{x,\,{\text{min}}}\sim {\dfrac {\hbar }{2\;a}}\;$» ;
Le « 1er terme la définition de l'incertitude « quantique » sur $\;p_{x}\;$ étant «$\;\Delta p_{x}={\sqrt {\left\langle \left(p_{x}-{\overline {p_{x}}}\right)^{2}\right\rangle }}\;$» où «$\;{\overline {p_{x}}}\;$ est la valeur moyenne de la composante de la quantité de mouvement sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$» et supposant Le « 1er terme la définition de l'incertitude « quantique » sur $\;\color {transparent}{p_{x}}\;$ étant «$\;\color {transparent}{\Delta p_{x}={\sqrt {\left\langle \left(p_{x}-{\overline {p_{x}}}\right)^{2}\right\rangle }}}\;$» où «$\;{\overline {p_{x}}}=0\;$», on en déduit Le « 1er terme la définition de l'incertitude « quantique » sur $\;\color {transparent}{p_{x}}\;$ étant «$\;\Delta p_{x}={\sqrt {\left\langle p_{x}^{2}\right\rangle }}\;$» soit «$\;\left\langle \left(p_{x}^{2}\right)_{\text{min}}\right\rangle =\Delta p_{x,\;{\text{min}}}^{\,2}\sim {\dfrac {\hbar ^{2}}{4\,a^{2}}}\;$», de même Le « 1er terme la définition de l'incertitude « quantique » sur $\;\color {transparent}{p_{x}}\;$ étant «$\;\color {transparent}{\Delta p_{x}={\sqrt {\left\langle p_{x}^{2}\right\rangle }}}\;$» soit «$\;\left\langle \left(p_{y}^{2}\right)_{\text{min}}\right\rangle =\Delta p_{y,\;{\text{min}}}^{\,2}\sim {\dfrac {\hbar ^{2}}{4\,a^{2}}}\;$» et Le « 1er terme la définition de l'incertitude « quantique » sur $\;\color {transparent}{p_{x}}\;$ étant «$\;\color {transparent}{\Delta p_{x}={\sqrt {\left\langle p_{x}^{2}\right\rangle }}}\;$» soit «$\;\left\langle \left(p_{z}^{2}\right)_{\text{min}}\right\rangle =\Delta p_{z,\;{\text{min}}}^{\,2}\sim {\dfrac {\hbar ^{2}}{4\,a^{2}}}\;$» d'où
Le « 1er terme le minimum de la valeur moyenne de l'énergie cinétique de l'électron «$\;\left\langle K\right\rangle _{\text{min}}={\dfrac {\left\langle \left(p_{x}^{2}\right)_{\text{min}}\right\rangle }{2\;m_{e}}}+{\dfrac {\left\langle \left(p_{y}^{2}\right)_{\text{min}}\right\rangle }{2\;m_{e}}}+{\dfrac {\left\langle \left(p_{z}^{2}\right)_{\text{min}}\right\rangle }{2\;m_{e}}}=3\;{\dfrac {\left\langle \left(p_{x}^{2}\right)_{\text{min}}\right\rangle }{2\;m_{e}}}\sim {\dfrac {3\;\hbar ^{2}}{8\;m_{e}\;a^{2}}}\;$» $\;{\bigg \$effectivement de même ordre de grandeur que la valeur exacte $\;{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m_{e}\;a^{2}}}\;$ du 1er terme de l'énergie de l'électron${\bigg \}$ ;
le « 2ème terme de l'énergie de l'électron dans l'atome $\;-{\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;a}}\;$» est son énergie potentielle électrostatique dans le champ électrique attractif créé par le proton soit le « 2ème terme de l'énergie de l'électron dans l'atome $\;\color {transparent}{-{\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;a}}}\;$» est son énergie potentielle électrostatique «$\;{\mathcal {E}}_{p,\,{\text{électrost}}}=-{\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;a}}\;$», la référence de l'énergie potentielle étant à l'infini.

### Détermination de la valeur a$_{min}$ de a minimisant l'expression de l'énergie de l'électron dans l'atome

Déterminer la valeur $\;a_{\text{min}}\;$ de $\;a\;$ qui minimise l'expression de l'énergie de l'électron dans l'atome.
Faire l'A.N. ; ce calcul donnant l'ordre de grandeur de la taille de l'atome d'hydrogène, est-il conforme à celui de vos connaissances ?
On cherche la valeur $\;a_{\text{min}}\;$ de $\;a\;$ minimisant l'énergie «$\;E(a)\simeq {\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m_{e}\;a^{2}}}-{\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;a}}\;$» dans le diagramme d'énergie mécanique soit «$\;{\dfrac {dE}{da}}(a_{\text{min}})\simeq$ $-2\;{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m_{e}\;a_{\text{min}}^{3}}}+{\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;a_{\text{min}}^{2}}}=0\;$» condition se réécrivant après factorisation «$\;{\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;a_{\text{min}}^{3}}}\left(a_{\text{min}}-{\dfrac {4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;\hbar ^{2}}{m_{e}\;e^{2}}}\right)=0\;$» d'où l'expression de la valeur minimale de $\;a\;$ minimisant l'énergie de l'électron dans l'atome «$\;a_{\text{min}}={\dfrac {4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;\hbar ^{2}}{m_{e}\;e^{2}}}\;$».
Remarque : Il est aisé de vérifier qu'il s'agit effectivement d'une valeur rendant minimale l'énergie «$\;E(a)\simeq {\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m_{e}\;a^{2}}}-{\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;a}}\;$» en effet Remarque : $\succ \;$le 1er terme étant $\;>0\;$ et $\;\searrow \;$ prédomine aux faibles valeurs de $\;a\;$ en tendant vers $\;+\infty \;$ quand $\;a\rightarrow 0$, Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$l'énergie commence donc par $\;\searrow \;$ à partir de l'infini pour $\;a\sim 0\;$ mais Remarque : $\succ \;$le 2ème terme étant $\;<0\;$ et $\;\nearrow \;$ prédomine aux grandes valeurs de $\;a\;$ en tendant vers $\;0\;$ quand $\;a\rightarrow +\infty$, Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$l'énergie finit par $\;\nearrow \;$ jusqu'à $\;0\;$ quand $\;a\;$ avoisine l'infini ; Remarque : on en déduit donc que l'énergie passe par une valeur minimale pour $\;a\in \left]0\;,\;+\infty \right[$. Remarque : On peut aussi le voir sur le diagramme d'énergie mécanique $\;{\big$en noir${\big )}\;$ tracé ci-contre, Remarque : On peut aussi le voir sur les diagrammes d'énergies potentielle $\;{\big$en gris clair${\big )}\;$ et cinétique $\;{\big$en gris foncé${\big )}\;$ y figurant également.
Numériquement on trouve $\;a_{\text{min}}={\dfrac {\left(1,05\;10^{-34}\right)^{2}}{9,00\;10^{9}\times 9,11\;10^{-31}\times \left(1,60\;10^{-19}\right)^{2}}}\simeq 5,25\;10^{-11}\;m\;$ soit «$\;a_{\text{min}}\simeq 0,53\;{\text{Å}}\;$» Numériquement on trouve $\;\color {transparent}{a_{\text{min}}={\dfrac {\left(1,05\;10^{-34}\right)^{2}}{9,00\;10^{9}\times 9,11\;10^{-31}\times \left(1,60\;10^{-19}\right)^{2}}}\simeq 5,25\;10^{-11}\;m}\;$ soit correspondant effectivement au rayon de l'atome d'hydrogène dans son état fondamental.

### Détermination de la valeur minimale de l'expression de l'énergie de l'électron dans l'atome

Déterminer la valeur minimale $\;E_{\text{min}}\;$ de l'expression approchée de $\;E$.
Faire l'A.N. ; ce calcul donnant l'ordre de grandeur de l'énergie de l'atome d'hydrogène dans l'état fondamental, est-il conforme à celui de vos connaissances ?
L'énergie mécanique minimale vaut «$\;E_{\text{min}}\simeq {\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m_{e}\;a_{\text{min}}^{2}}}-{\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;a_{\text{min}}}}={\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m_{e}\left({\dfrac {4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;\hbar ^{2}}{m_{e}\;e^{2}}}\right)^{\!\!2}}}-{\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;{\dfrac {4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;\hbar ^{2}}{m_{e}\;e^{2}}}}}={\dfrac {m_{e}\;e^{4}}{32\;\pi ^{2}\;\varepsilon _{0}^{2}\;\hbar ^{2}}}-{\dfrac {m_{e}\;e^{4}}{16\;\pi ^{2}\;\varepsilon _{0}^{2}\;\hbar ^{2}}}=-{\dfrac {m_{e}\;e^{4}}{32\;\pi ^{2}\;\varepsilon _{0}^{2}\;\hbar ^{2}}}\;$» ;
numériquement «$\;E_{\text{min}}\simeq -{\dfrac {9,11\;10^{-31}\times \left(1,60\;10^{-19}\right)^{4}\times \left(9,00\;10^{9}\right)^{2}}{2\times \left(1,05\;10^{-34}\right)^{2}}}\simeq -2,19\;10^{-18}\;J\;$» ou, en $\;eV\;$ «$\;E_{\text{min}}\simeq {\dfrac {-2,19\;10^{-18}}{1,60\;10^{-19}}}\simeq -13,70\;eV\;$» numériquement «$\;\color {transparent}{E_{\text{min}}\simeq -9,11\;10^{-31}\times \left(1,60\;10^{-19}\right)^{4}\times \left(9,00\;10^{9}\right)^{2}\simeq -2,19\;10^{-18}\;J}\;$» ou, en $\;\color {transparent}{eV}\;$ de même ordre de grandeur que $\;-13,5\;eV\;$ valeur de numériquement «$\;\color {transparent}{E_{\text{min}}\simeq -9,11\;10^{-31}\times \left(1,60\;10^{-19}\right)^{4}\times \left(9,00\;10^{9}\right)^{2}\simeq -2,19\;10^{-18}\;J}\;$» ou, en $\;\color {transparent}{eV}\;$ de même ordre de grandeur que l'énergie de l'atome d'hydrogène dans son état fondamental.

### Expression de l'énergie mécanique de l'électron considéré comme particule en mouvement circulaire dans l'atome

En considérant l'aspect corpusculaire des électrons, déterminer, dans le cadre de la mécanique classique newtonienne, l'expression de l'énergie mécanique $\;E_{m}\;$ de l'électron en orbite circulaire de rayon $\;a\;$ autour du noyau en fonction, entre autres, de $\;a$ $\;{\big$on prenadra la référence de l'énergie potentielle électrostatique à l'infini${\big )}$.
Nous plaçant dans le cadre de la mécanique classique newtonienne et dans le référentiel protocentrique supposé galiléen, l'électron $\;M\;$ décrit un mouvement circulaire de rayon $\;r\;$ autour du proton $\;O\;$ en étant soumis à la seule force électrostatique attractive que le proton exerce sur lui à savoir «$\;{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,O}=-{\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$» dans laquelle $\;{\vec {u}}_{r}={\dfrac {\overrightarrow {OM}}{OM}}\;$ est le 1er vecteur de base polaire lié à $\;M\;$ de pôle $\;O\;$ du plan de la trajectoire, $\;r=OM\;$ étant sa coordonnée radiale ;
d'une part appliquant à l'électron la r.f.d.n. nous obtenons «$\;{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,O}=m_{e}\;{\vec {a}}(M)\;$» et d'une part projetant sur les deux vecteurs de base polaire on obtient $\;\succ \;$ sur $\;{\vec {u}}_{\theta }$ : «$\;0=m_{e}\;a_{\theta }\;$» soit «$\;a_{\theta }=0\;$» $\;{\big \$pas d'accélération orthoradiale${\big \}$ ou, en utilisant l'expression de l'accélération orthoradiale d'un mouvement circulaire de centre $\;O\;$ et de rayon $\;r(t)=r=cste\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dot {r}}(t)=0\;$ et $\;{\ddot {r}}(t)=0$, d'où la réécriture de l'accélération orthoradiale $\;a_{\theta }=r\;{\ddot {\theta }}+{\cancel {2\;{\dot {r}}\;{\dot {\theta }}}}=r\;{\ddot {\theta }}\;$ et par suite d'une part projetant sur les deux vecteurs de base polaire on obtient $\;\color {transparent}{\succ }\;$ sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$ : «$\;\color {transparent}{0=m_{e}\;a_{\theta }}\;$» soit «$\;a_{\theta }=0\;$» se réécrit $\;{\ddot {\theta }}=0\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dot {\theta }}=cste\;$ ou «$\;\omega =cste\;$» c'est-à-dire un mouvement uniforme,
d'une part projetant sur les deux vecteurs de base polaire on obtient $\;\succ \;$ sur $\;{\vec {u}}_{r}$ : «$\;-{\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r^{2}}}=m_{e}\;a_{r}\;$» soit «$\;a_{r}=-{\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;m_{e}\;r^{2}}}\;$» $\;{\big \$accélération radiale centripète${\big \}$ ou, en utilisant l'expression de l'accélération radiale d'un mouvement circulaire de centre $\;O\;$ et de rayon $\;r(t)=r=cste\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dot {r}}(t)=0\;$ et $\;{\ddot {r}}(t)=0$, d'où la réécriture de l'accélération radiale $\;a_{r}={\cancel {\ddot {r}}}-r\;{\dot {\theta }}^{2}=-r\;{\dot {\theta }}^{2}\;$ et par suite d'une part projetant sur les deux vecteurs de base polaire on obtient $\;\color {transparent}{\succ }\;$ sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{r}}$ : «$\;\color {transparent}{-{\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r^{2}}}=m_{e}\;a_{r}}\;$» soit «$\;a_{r}=-{\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;m_{e}\;r^{2}}}\;$» se réécrit $\;{\dot {\theta }}^{2}={\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;m_{e}\;r^{3}}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\dot {\theta }}=\omega ={\sqrt {\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;m_{e}\;r^{3}}}}\;$» ou d'une part projetant sur les deux vecteurs de base polaire on obtient $\;\color {transparent}{\succ }\;$ sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{r}}$ : «$\;\color {transparent}{-{\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r^{2}}}=m_{e}\;a_{r}}\;$» soit «$\;\color {transparent}{a_{r}=-{\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;m_{e}\;r^{2}}}}\;$» se réécrit $\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}^{2}={\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;m_{e}\;r^{3}}}}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;v=r\;\omega ={\sqrt {\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;m_{e}\;r}}}\;$» ;
d'une part nous en déduisons l'énergie cinétique de l'électron dans le référentiel protocentrique «$\;K={\dfrac {1}{2}}\;m_{e}\;v^{2}={\dfrac {e^{2}}{8\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r}}\;$» ;
d'autre part l'énergie potentielle électrostatique de l'électron dans le champ électrique du proton avec choix de référence à l'infini s'explicite selon «$\;{\mathcal {E}}_{p,\,{\text{électrost}}}(M)=-{\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r}}\;$» ; nous en déduisons l'énergie mécanique classique de l'électron en mouvement circulaire de rayon $\;r=a\;$ autour du proton «$\;E_{m}(M)=K(M)+{\mathcal {E}}_{p,\,{\text{électrost}}}(M)=-{\dfrac {e^{2}}{8\;\pi \;\varepsilon _{0}\;a}}\;$».

### Inégalité de Heisenberg comme base de la stabilité des atomes

Admettant qu'un électron en mouvement dans le cadre de la mécanique classique, perd de l'énergie par rayonnement électromagnétique, on en déduit que le modèle classique de l'atome ne peut être un état de stabilité ; expliquer alors la phrase suivante :
Dans le cadre de la mécanique classique, l'électron en mouvement circulaire de rayon $\;r=a\;$ autour du proton ayant une énergie mécanique «$\;E_{m}(M)=-{\dfrac {e^{2}}{8\;\pi \;\varepsilon _{0}\;a}}\;$» et perdant de l'énergie par rayonnement électromagnétique $\Rightarrow$ $\;E_{m}(M)\searrow \;$ et par suite son mouvement ne peut pas rester circulaire, il est au mieux pseudo-circulaire avec un pseudo-rayon $\;a\searrow \;$ et ceci jusqu'à $\;a\simeq 0$ ;
en conséquence, dans le cadre de la mécanique classique, les « atomes d'hydrogène » devraient avoir une durée de vie limitée, leur état final devant correspondre à l'électron effondré sur le proton.
$\;E\simeq {\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m_{e}\;a^{2}}}-{\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;a}}\;$
$\;{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m_{e}\;a^{2}}}\;$
$\;{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m_{e}\;a^{2}}}\nearrow \;$
$\;a\searrow \;$
$\;-{\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;a}}\;$
$\;-{\dfrac {e^{2}}{4\,\pi \,\varepsilon _{0}\,a}}\searrow \;$
$\;a\searrow \;$
$\;a\neq 0\;$