# Intégration de Riemann/Exercices/Propriétés de l'intégrale
## Exercice 4-1

Soit $f:[0,1]\to [0,1]$ continue telle que $\int _{0}^{1}f(x)\ \mathrm {d} x=\int _{0}^{1}f^{2}(x)\ \mathrm {d} x$.
Montrer que $f$ est constante et égale à 0 ou 1.
La fonction $f-f^{2}$ est continue, positive ou nulle et d'intégrale nulle. C'est donc la fonction nulle, c'est-à-dire que $f$ ne prend que les valeurs $0$ ou $1$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, elle ne prend que l'une de ces deux valeurs.
Soit $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ continue. Montrer que $\left|\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\right|=\int _{a}^{b}|f(x)|\mathrm {d} x$ si et seulement si $f$ est de signe constant.
Soient $f^{+},f^{-}\geq 0$ telles que $f=f^{+}-f^{-}$ et $|f|=f^{+}+f^{-}$ (autrement dit : $f^{\pm }=(|f|\pm f)/2$), et soient $x,y$ leurs intégrales respectives sur $[a,b]$ (donc $x,y\geq 0$).
$|x-y|=x+y\Leftrightarrow (x-y)^{2}=(x+y)^{2}\Leftrightarrow xy=0$.
Comme $f^{+}$ est continue $\geq 0$, $x=0\Leftrightarrow f^{+}=0\Leftrightarrow f\leq 0$. De même, $y=0\Leftrightarrow f\geq 0$.

## Exercice 4-2

Soit $f:[0,1]\to \mathbb {R}$ continue telle que $\int _{0}^{1}f(x)\ \mathrm {d} x={\tfrac {1}{2}}.$
Montrer qu’il existe $c\in ]0,1[$ tel que $f(c)=c.$
La fonction $x\mapsto f(x)-x$ est continue et d'intégrale nulle donc elle est soit nulle, auquel cas n'importe quel $c\in ]0,1[$ convient, soit de signe non constant, auquel cas, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, elle s'annule en au moins un point $c\in ]0,1[$.

## Exercice 4-3

Montrer que la suite définie par $u_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {n}{n^{2}+k^{2}}}$ converge et calculer sa limite.
Posons $f:x\mapsto {\frac {1}{1+x^{2}}}$.
En divisant par $n^{2}$ les numérateurs et dénominateurs de la somme, on obtient :
    $u_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\frac {1}{n}}{1+{\frac {k^{2}}{n^{2}}}}}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{1+\left({\frac {k}{n}}\right)^{2}}}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}f\left({\frac {k}{n}}\right)$.
On reconnaît une somme de Riemann de $f$ associée à la partition de $[0,1]$ en $n$ sous-segments. Or $f$ est continue et intégrable sur $[0,1]$. Sa somme de Riemann $u_{n}$ converge donc vers $\int _{0}^{1}f(x)\ \mathrm {d} x$. De plus, $f$ est une fraction rationnelle donc on en connaît une primitive : la fonction arctan.
    $\lim _{n\to +\infty }u_{n}=\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}}}\ \mathrm {d} x=\left[\arctan x\right]_{0}^{1}={\frac {\pi }{4}}$.
Calculer de même les limites de
    $x_{n}:={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\sin \theta _{k,n}\quad {\text{avec}}\quad \theta _{k,n}\in [(k-1)\pi /n,k\pi /n],\quad y_{n}:=n\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{(n+k)^{2}}},\quad z_{n}:={\frac {1}{n{\sqrt {n}}}}\sum _{k=1}^{n-1}{\sqrt {k}},\quad t_{n}:=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{n+k}},\quad s_{n}=\sum _{k=1}^{n}{1 \over {\sqrt {n^{2}+2kn}}}$.
$x_{n}\to \int _{0}^{1}\sin(\pi t)\,\mathrm {d} t={\frac {2}{\pi }}$.
$y_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{\left(1+{\frac {k}{n}}\right)^{2}}}\to \int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{(1+x)^{2}}}=\left[-{\frac {1}{1+x}}\right]_{0}^{1}={\frac {1}{2}}$.
$z_{n}\to \int _{0}^{1}{\sqrt {t}}\,\mathrm {d} t={\frac {2}{3}}\left[t^{3/2}\right]_{0}^{1}={\frac {2}{3}}$.
$t_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{1+{\frac {k}{n}}}}\to \int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{1+x}}=\left[\ln(1+x)\right]_{0}^{1}=\ln 2$ (on pouvait justifier a priori la convergence en remarquant que cette suite est croissante et majorée par 1).
$s_{n}\to \int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1+2t}}}\,\mathrm {d} t=[{\sqrt {1+2t}}]_{0}^{1}={\sqrt {3}}-1$.

## Exercice 4-4

* Soient $f$ une fonction continue, $T$-périodique sur $\mathbb {R}$, et $a<b$ dans $\mathbb {R}$. Montrer que $\int _{a}^{b}f=\int _{a+T}^{b+T}f$.
Il suffit de faire un changement de variable et de poser $s=x-T$. On a alors $\int _{a+T}^{b+T}f(x)\ \mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(s+T)\ \mathrm {d} s=\int _{a}^{b}f(s)\ \mathrm {d} s$.
* Soit $f$ continue sur $\mathbb {R}$, $T$-périodique, telle que $\int _{0}^{T}f(t)\,\mathrm {d} t=0$. Montrer que $\lim _{\lambda \to \infty }\int _{a}^{b}f(\lambda x)\,\mathrm {d} x=0$.
Posons $\lambda b-\lambda a=k_{\lambda }T+c_{\lambda }$ avec $k_{\lambda }\in \mathbb {Z}$ et $0\leq c_{\lambda }<T$, et soit $M$ le max de $|f|$ sur une période (donc sur $\mathbb {R}$).
Alors, $\left|\int _{a}^{b}f(\lambda x)\,\mathrm {d} x\right|=\left|{\frac {1}{\lambda }}\int _{\lambda a}^{\lambda b}f(y)\,\mathrm {d} y\right|=\left|{\frac {1}{\lambda }}\int _{\lambda a}^{\lambda a+c_{\lambda }}f(y)\,\mathrm {d} y\right|\leq {\frac {TM}{|\lambda |}}$.
* Soient $f$ une fonction impaire sur $\mathbb {R}$, et $a\geq 0$. Que dire de $\int _{-a}^{a}f(x)\ \mathrm {d} x$ ? Quid si $f$ est paire ?
Pour $f$ impaire, on a :
${\begin{aligned}\int _{-a}^{a}f(x)\ \mathrm {d} x&=\int _{-a}^{0}f(x)\ \mathrm {d} x+\int _{0}^{a}f(x)\ \mathrm {d} x\\&=\int _{-a}^{0}-f(-x)\ \mathrm {d} x+\int _{0}^{a}f(x)\ \mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{a}-f(x)\ \mathrm {d} x+\int _{0}^{a}f(x)\ \mathrm {d} x\\&=0.\end{aligned}}$
Pour $f$ paire, on a :
${\begin{aligned}\int _{-a}^{a}f(x)\ \mathrm {d} x&=\int _{-a}^{0}f(x)\ \mathrm {d} x+\int _{0}^{a}f(x)\ \mathrm {d} x\\&=\int _{-a}^{0}f(-x)\ \mathrm {d} x+\int _{0}^{a}f(x)\ \mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{a}f(x)\ \mathrm {d} x+\int _{0}^{a}f(x)\ \mathrm {d} x\\&=2\int _{0}^{a}f(x)\ \mathrm {d} x.\end{aligned}}$

## Exercice 4-5

Soit $a>0$ et $f:[0,a]\to \mathbb {R}$ de classe $C^{1}$ telle que $f(0)=0$. Montrer que :
$\int _{0}^{a}|f(t)|^{2}\,dt\leq {\frac {a^{2}}{2}}\int _{0}^{a}|f'(t)|^{2}\ \mathrm {d} t.$
Notons $I=\int _{0}^{a}|f'(u)|^{2}\ \mathrm {d} u$.
Par l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on a :
$|f(t)|^{2}=|f(t)-f(0)|^{2}=\left|\int _{0}^{t}f'(u)\ \mathrm {d} u\right|^{2}\leq \int _{0}^{t}|f'(u)|^{2}du\,\int _{0}^{t}1^{2}\ \mathrm {d} u\leq It$.
On conclut : $\int _{0}^{a}|f(t)|^{2}\,dt\leq I\int _{0}^{a}t\,dt=I{\frac {a^{2}}{2}}$.

## Exercice 4-6

Soit $a>0$ et $f:[-a,a]\to \mathbb {R}$ de classe $C^{2}$. Montrer que :
$\forall t\in [-a,a]\quad |f'(t)|\leq {\frac {1}{2a}}|f(a)-f(-a)|+{\frac {a^{2}+t^{2}}{2a}}\sup _{[-a,a]}|f''|$.
Notons $M=\sup _{[-a,a]}|f''|$.
$\left|2af'(t)-(f(a)-f(-a))\right|=\left|\int _{-a}^{a}(f'(t)-f'(s))\,\mathrm {d} s\right|\leq M\int _{-a}^{a}|t-s|\,\mathrm {d} s=M\left(a^{2}+t^{2}\right)$.

## Exercice 4-7

Référence : Frédéric Paulin, « Topologie, analyse et calcul différentiel », 2008, p. 260, lemme 7.23
Soient $b,k>0$, $a\in \mathbb {R}$ et $g:\left[0,b\right]\to \mathbb {R}$ une fonction continue telle que
$\forall t\in \left[0,b\right]\quad g\left(t\right)\leq at+k\int _{0}^{t}g\left(s\right)\ \mathrm {d} s$.
Démontrer que $\forall t\in \left[0,b\right]\quad g\left(t\right)\leq {\frac {a}{k}}\left(\mathrm {e} ^{kt}-1\right)$.
Posons $h\left(t\right)=\mathrm {e} ^{-kt}\int _{0}^{t}g\left(s\right)\ \mathrm {d} s$. Alors,
$h\left(t\right)=0\quad {\text{et}}\quad h'\left(t\right)=\mathrm {e} ^{-kt}\left(g\left(t\right)-k\int _{0}^{t}g\left(s\right)\ \mathrm {d} s\right)\leq \mathrm {e} ^{-kt}at$
donc $h\left(t\right)\leq a\int _{0}^{t}\mathrm {e} ^{-ks}s\ \mathrm {d} s={\frac {a}{k^{2}}}\left(1-\mathrm {e} ^{-kt}-kt\mathrm {e} ^{-kt}\right)$,
si bien que $g\left(t\right)\leq at+k\mathrm {e} ^{kt}h\left(t\right)\leq at+{\frac {a}{k}}\left(\mathrm {e} ^{kt}-1-kt\right)={\frac {a}{k}}\left(\mathrm {e} ^{kt}-1\right)$.

## Exercice 4-8

Soient $f$ et $g$ des fonctions continues sur un intervalle $[a,b]$ (avec $a<b$).
On suppose que $f$ est croissante et que $g$ prend ses valeurs dans $[0,1]$. On pose :
    $I=\int _{a}^{b}g(t)\,\mathrm {d} t$.
* Étudier les variations de la fonction $G$ définie par :
    $G(x)=\int _{a}^{x}g(t)\,\mathrm {d} t$.
    Montrer que $a+G(x)\leq x$.
* Comparer les fonctions $\varphi$ et $\psi$ définies par :
    $\varphi (x)=\int _{a}^{x}f(t)g(t)\,\mathrm {d} t$ ;
    $\psi (x)=\int _{a}^{a+G(x)}f(t)\,\mathrm {d} t$.
* Démontrer que :
    $\int _{a}^{b}f(t)g(t)\,\mathrm {d} t\geq \int _{a}^{a+I}f(t)\,\mathrm {d} t$.
    Dans quel cas a-t-on l'égalité ?
* $G'=g\geq 0$ donc $G$ est croissante, de $G(a)=0$ à $G(b)=I$.
    $(x-G)'=1-g\geq 0$ donc $x-G(x)\geq a-G(a)=a$.
* $\psi '(x)=g(x)f\left(a+G(x)\right)\leq g(x)f(x)=\varphi '(x)$ et $\psi (a)=0=\varphi (a)$ donc $\psi \leq \varphi$.
* $\varphi (b)\geq \psi (b)$, avec égalité si et seulement si $\forall x\in [a,b]\quad f\left(a+G(x)\right)=f(x)$ ou $g(x)=0$, ce qui a lieu par exemple si $f$ est constante ou si $g=1$ ou $0$.

## Exercice 4-9

Soient $\alpha$ un nombre complexe de partie réelle strictement positive et $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ une application de classe C$^1$ telle que $\lim _{+\infty }\left(f'+\alpha f\right)=\ell \in \mathbb {C}$. Montrer que $\lim _{+\infty }f={\frac {\ell }{\alpha }}$.
Jean-Louis Rouget, « Equations différentielles linéaires », sur exo7, exercice 2.

## Exercice 4-10

Soient $f:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R}$ une application continue et $F:\mathbb {R} _{+}^{*}\to \mathbb {R} ,\;x\mapsto {\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\;\mathrm {d} t$.
* Montrer que si $f$ admet en $+\infty$ une limite $\ell$ (finie ou infinie) alors $\lim _{+\infty }F=\ell$.
* Donner un exemple où $f$ n'a pas de limite en $+\infty$ mais $\lim _{+\infty }F=0$.
* C'est un cas particulier de la seconde règle de l'Hôpital, compte tenu du théorème fondamental de l'analyse.
* $f=\sin$ convient ($\left|\int _{0}^{x}\sin t\;\mathrm {d} t\right|\leq 2$).

## Exercice 4-11

Soient $f,g:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R}$ continues, strictement positives, et équivalentes en $+\infty$. Montrer que :
* si $\int _{0}^{+\infty }f(t)\;\mathrm {d} t$ converge alors $\int _{x}^{+\infty }f(t)\;\mathrm {d} t{\underset {x\to +\infty }{\sim }}\int _{x}^{+\infty }g(t)\;\mathrm {d} t$.
* si $\int _{0}^{+\infty }f(t)\;\mathrm {d} t$ diverge alors $\int _{0}^{x}f(t)\;\mathrm {d} t{\underset {x\to +\infty }{\sim }}\int _{0}^{x}g(t)\;\mathrm {d} t$.
Ce sont deux cas particulier respectivement des deux règles de l'Hôpital, compte tenu du théorème fondamental de l'analyse.

## Exercice 4-12

Soient $a,b\in \mathbb {R}$ tels que $a<b$ et $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ une fonction intégrable. Pour $x\in [a,b]$, on pose : $F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\;\mathrm {d} t$.
* Soit $M$ un majorant de $|f|$ sur $[a,b]$ (pourquoi un tel $M$ existe-t-il ?). Montrer que pour tous $x,y\in [a,b]$ on a : $|F(y)-F(x)|\leq M|y-x|$.
* En déduire que la fonction $F$ est continue sur $[a,b]$.
* Par définition, il existe des fonctions étagées $u$ et $v$ sur $[a,b]$ telles que $u\leq f\leq v$ sur $[a,b]$. Or une fonction étagée sur un segment ne prend qu'un nombre fini de valeurs, et est donc bornée. Il existe donc un réel $M$ tel que $|u|\leq M$ et $|v|\leq M$ sur $[a,b]$. On a alors $|f|\leq M$ sur $[a,b]$. Soient alors $x,y\in [a,b]$. Par symétrie de l'inégalité attendue, on peut supposer par exemple que $x\leq y$. Par la relation de Chasles, l'inégalité triangulaire puis la compatibilité de la relation d'ordre avec l'intégrale on a alors $|F(y)-F(x)|=\left|\int _{x}^{y}f(t))\;\mathrm {d} t\right|\leq \int _{x}^{y}|f(t)|\;\mathrm {d} t\leq \int _{x}^{y}M\;\mathrm {d} t=(y-x)M=M|y-x|$.
* La fonction $F$ est $M$-lipschitzienne sur $[a,b]$ et donc en particulier continue.
Soient $a,b\in \mathbb {R}$ tels que $a<b$ et $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ une fonction bornée, localement intégrable sur $\left]a,b\right[$. Montrer que $f$ est intégrable sur $[a,b]$.
Soit $M$ un majorant de $|f|$ sur $[a,b]$. Soit $\varepsilon >0$. Posons $\eta ={\frac {\varepsilon }{4M}}$. Sur $[a+\eta ,b-\eta ]$, $f$ est intégrable donc il existe des fonctions en escalier $\varphi ,\psi :[a+\eta ,b-\eta ]\to \mathbb {R}$ telles que $\varphi \leq f\leq \psi$ et $\int _{a+\eta }^{b-\eta }(\psi -\varphi )\leq {\frac {\varepsilon }{2}}$. Quitte à les prolonger en prenant, sur $[a,a+\eta ]$ et $[b-\eta ,b]$, $\varphi =-M$ et $\psi =M$, on a $\varphi \leq f\leq \psi$ sur $[a,b]$ tout entier, et $\int _{a}^{b}(\psi -\varphi )\leq {\frac {\varepsilon }{2}}+2\eta M=\varepsilon$.

## Exercice 4-13

Soient $a,b\in \mathbb {R}$ tels que $a<b$ et $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ une fonction de classe C$^1$. Montrer que :
    $\int _{a}^{b}f(t)\cos(nt)\;\mathrm {d} t\;{\xrightarrow[{n\to +\infty }]}\;0$.
Pour $n\in \mathbb {N} ^{*}$ on a par intégration par parties
    $\int _{a}^{b}f(t)\cos(nt)\;\mathrm {d} t=\left[f(t){\frac {\sin(nt)}{n}}\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(t){\frac {\sin(nt}{n}}\;\mathrm {d} t$.
Comme $f$ est de classe C$^1$ sur le segment $[a,b]$, il existe un réel $M$ qui majore à la fois $|f|$ et $|f'|$ sur $[a,b]$. On a alors
    ${\begin{aligned}\left|\int _{a}^{b}f(t)\cos(nt)\;\mathrm {d} t\right|&\leq {\frac {1}{n}}\left(|f(b)\sin(nb)|+|f(a)\sin(na)|+\int _{a}^{b}|f'(t)\sin(nt)|\;\mathrm {d} t\right)\\&\leq {\frac {1}{n}}\left(2M+M(b-a)\right)\\&{\xrightarrow[{n\to +\infty }]}0,\end{aligned}}$
d'où le résultat.
Démontrer la même convergence vers 0 pour une fonction $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ en escalier.
Quitte à fractionner l'intervalle $[a,b]$, on peut supposer $f$ constante, ou même (à un facteur près) égale à 1. Or $\left|\int _{a}^{b}\cos(nt)\;\mathrm {d} t\right|=\left|\left[{\frac {\sin(nt)}{n}}\right]_{a}^{b}\right|\leq {\frac {2}{n}}\to 0$.
Soit $f:[0,1]\to \mathbb {R}$ une fonction continue. Montrer que
    $\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{1}nt^{n}f(t^{n})\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{1}f(t)\,\mathrm {d} t$.
(On pourra faire le changement de variable $u=t^{n}$.)
$\int _{0}^{1}nt^{n}f(t^{n})\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{1}u^{1/n}f(u)\,\mathrm {d} u$, et en notant $M$ le maximum de $|f|$, on a
$\left|\int _{0}^{1}\left(1-u^{1/n}\right)f(u)\,\mathrm {d} u\right|\leq M\int _{0}^{1}\left(1-u^{1/n}\right)\,\mathrm {d} u={\frac {M}{n+1}}$.

## Exercice 4-14

Pour $x\in \mathbb {R}$ on pose
    $f(x)=\int _{x}^{2x}\mathrm {e} ^{-t^{2}}\;\mathrm {d} t$.
* Montrer que $f$ est de classe C$^1$.
* Montrer que $f$ est impaire.
* Étudier les variations de $f$ sur $\mathbb {R} _{+}$.
* Soit $x>0$.
** Montrer que pour tout $t\geq x$ on a : $\mathrm {e} ^{-t^{2}}\leq \mathrm {e} ^{-x^{2}}$.
** En déduire que $f(x)\leq x\mathrm {e} ^{-x^{2}}$.
** Étudier la limite de $f$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
Soit $F(x)=\int _{0}^{x}\mathrm {e} ^{-t^{2}}\;\mathrm {d} t$
* $F$ est C$^1$ et $f(x)=F(2x)-F(x)$.
* $F$ est impaire (donc $f$ aussi) car $t\mapsto \mathrm {e} ^{-t^{2}}$ est paire.
* $f'(x)=2F'(2x)-F'(x)=2\mathrm {e} ^{-4x^{2}}-\mathrm {e} ^{-x^{2}}=\mathrm {e} ^{-x^{2}}(2\mathrm {e} ^{-3x^{2}}-1)>0\Leftrightarrow \mathrm {e} ^{3x^{2}}<2\Leftrightarrow |x|<{\sqrt {\frac {\ln 2}{3}}}$. $f$ est donc croissante sur $\left[0,{\sqrt {\frac {\ln 2}{3}}}\right]$ et décroissante sur $\left[{\sqrt {\frac {\ln 2}{3}}},+\infty \right[$.
** La fonction $t\mapsto \mathrm {e} ^{-t^{2}}$ est décroissante sur $\mathbb {R} _{+}$ (par composition).
** D'après la majoration précédente, $f(x)\leq \int _{x}^{2x}\mathrm {e} ^{-x^{2}}\;\mathrm {d} t=\mathrm {e} ^{-x^{2}}\int _{x}^{2x}\mathrm {d} t=x\mathrm {e} ^{-x^{2}}$.
** Pour tout $x\geq 0$, $0\leq f(x)\leq x\mathrm {e} ^{-x^{2}}$ donc par croissance comparée et théorème des gendarmes, $\lim _{+\infty }f=0$. Ou plus simplement et sans utiliser ce qui précède : $\ell :=\lim _{+\infty }F\in \mathbb {R}$ donc $\lim _{x\to +\infty }f(x)=\ell -\ell =0$.
Pour $x\in \mathbb {R} ^{*}$ on pose
    $f(x)=\int _{x}^{3x}{\frac {\mathrm {e} ^{t}}{t}}\,\mathrm {d} t$.
* Montrer que $f$ est bien définie et C$^1$ et $f'>0$.
* Montrer qu'elle admet en 0 une limite, que l'on notera $f(0)$.
* Montrer qu'en 0, $f$ (ainsi prolongée) est dérivable.
* Calculer ses limites en $+\infty$ et $-\infty$.
* Pour tout $x\in \mathbb {R} ^{*}$, $f(x)$ bien définie, comme intégrale d'une fonction continue sur un segment, et $f'(x)=3{\frac {\mathrm {e} ^{3x}}{3x}}-{\frac {\mathrm {e} ^{x}}{x}}={\frac {\mathrm {e} ^{3x}-\mathrm {e} ^{x}}{x}}$ donc $f$ est C$^1$ et $f'>0$.
* $\mathrm {e} ^{-3|x|}\int _{x}^{3x}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}\leq f(x)\leq \mathrm {e} ^{3|x|}\int _{x}^{3x}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}$ donc $\lim _{0}f=\int _{x}^{3x}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}=\ln 3$.
* $\lim _{0}f'=2$ donc d'après le théorème « limite de la dérivée », $f'(0)=2$.
** $\lim _{+\infty }f'=+\infty$ donc $\lim _{+\infty }f=+\infty$.
** $\forall x<0\quad 0<f(x)\leq \mathrm {e} ^{x}\ln 3$ donc $\lim _{-\infty }f=0$.

## Lien externe

« Exercices corrigés sur les sommes de Riemann »
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