# Signaux physiques (PCSI)/Introduction au monde quantique : interprétation probabiliste
## Fonction d'onde de matière et densité volumique de probabilité de présence
### Lien entre l'éclairement observé sur une figure d'interférence lumineuse et le débit de photons par unité de surface de cette figure, interprétations statistique et probabiliste

Lors d'une « interférence lumineuse d'un faisceau », nous observons une répartition d'éclairement sur l'écran d'observation caractérisant la figure d'interférences, Lors d'une « interférence lumineuse d'un faisceau » l'endroit où l'éclairement est nul $\;{\big$franges sombres${\big )}\;$ devant être interprété, lors d'interférences, comme un endroit où aucun photon n'aboutit et Lors d'une « interférence lumineuse d'un faisceau » celui où l'éclairement est maximal $\;{\big$franges brillantes${\big )}\;$ comme le lieu privilégié, lors d'interférences, où les photons parviennent ;
compte-tenu de la dimension de l'éclairement «$\;{\mathcal {E}}\;$ en $\;W\cdot m^{-2}\;$» et de celle du débit « moyen » de photons par unité de surface «$\;n_{\gamma ,\;S,\;{\text{moy}}}\;$ en $\;s^{-1}\cdot m^{-2}\;$» nous proposons le lien suivant
$\;{\mathcal {E}}=n_{\gamma ,\;S,\;{\text{moy}}}\times h\;\nu \;$
Interprétation statistique : les lieux d'interférences constructives sont ceux où le débit moyen de photons sur l'écran où se matérialisent les interférences est maximal et Interprétation statistique : les lieux d'interférences destructives sont ceux où le débit moyen de photons sur l'écran où se matérialisent les interférences est minimal.
Interprétation probabiliste : si le « débit de photons incidents est très grand », les lieux d'interférences constructives sont les endroits où la probabilité d'arrivée d'un photon sur l'écran est maximale et Interprétation probabiliste : si le « débit de photons incidents est très grand », les lieux d'interférences destructives sont les endroits où la probabilité d'arrivée d'un photon sur l'écran est minimale ;
Interprétation probabiliste : dans l'expérience d'interférence par photon unique, les lieux d'interférences constructives sont ceux où la probabilité d'arrivée du photon sur l'écran est maximale et Interprétation probabiliste : dans l'expérience d'interférence par photon unique, les lieux d'interférences destructives sont ceux où la probabilité d'arrivée du photon sur l'écran est minimale, Interprétation probabiliste : dans l'expérience d'interférence par photon unique, ceci ne devenant observable que si le nombre de photons uniques envoyés les uns à la suite des autres est grand.

### Interprétations statistique et probabiliste d'un phénomène d'interférences de particules

On prolonge les interprétations faites sur les interférences lumineuses dans le paragraphe « lien entre l'éclairement observé sur une figure d'interférence lumineuse et le débit de photons par unité de surface de cette figure, interprétations statistique et probabiliste » plus haut dans ce chapitre d'où :  $\succ \;$interprétation statistique : interférences d'un « faisceau de particules à grand débit », les lieux d'interférences constructives sont ceux où le débit moyen d'arrivée de particules sur l'écran est maximal, $\color {transparent}{\succ }\;$interprétation statistique : interférences d'un « faisceau de particules à grand débit », les lieux d'interférences destructives sont ceux où le débit moyen d'arrivée de particules sur l'écran est minimal ;
$\succ \;$interprétation probabiliste : interférences d'un « faisceau de particules à grand débit », les lieux d'interférences constructives sont ceux de probabilité d'arrivée des particules sur l'écran maximale, $\color {transparent}{\succ }\;$interprétation probabiliste : interférences d'un « faisceau de particules à grand débit », les lieux d'interférences destructives sont ceux de probabilité d'arrivée des particules sur l'écran minimale et
$\color {transparent}{\succ }\;$interprétation probabiliste : interférences par « particule unique », les lieux d'interférences constructives sont ceux où la probabilité d'arrivée de la particule sur l'écran est maximale, $\color {transparent}{\succ }\;$interprétation probabiliste : interférences par « particule unique », les lieux d'interférences destructives sont ceux où la probabilité d'arrivée de la particule sur l'écran est minimale, $\color {transparent}{\succ }\;$interprétation probabiliste : interférences par « particule unique », ce phénomène ne devenant observable que si le nombre de particules envoyées les unes à la suite des autres est grand.

### Densité volumique de probabilité de présence et fonction d'onde de matière
#### Densité volumique de probabilité de présence d'une particule massique ou non massique

On définit, à tout instant $\;t\;$ et en tout point $\;M\;$ de l'espace, une densité volumique de probabilité de présence $\;{\mathcal {P}}_{V}(M,\,t)\;$ d'une particule massique $\;{\big$ou purement énergétique${\big )}\;$ dépendant des « caractéristiques de la particule » et de l'« environnement avec lequel elle interagit » avec On définit, à tout instant $\;\color {transparent}{t}\;$ et en tout point $\;\color {transparent}{M}\;$ de l'espace, ${\mathcal {P}}_{V}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}\;$ probabilité de trouver la particule dans l'expansion tridimensionnelle de volume élémentaire $\;d{\mathcal {V}}\;$ centré en $\;M\;$ à la date $\;t$, On définit, à tout instant $\;\color {transparent}{t}\;$ et en tout point $\;\color {transparent}{M}\;$ de l'espace, la probabilité de la trouver dans une expansion tridimensionnelle $\;{\mathcal {V}}_{1}\;$ à la date $\;t\;$ étant $\;\displaystyle \iiint _{{\mathcal {V}}_{1}}{\mathcal {P}}_{V}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}\;$$^,$ ;
cette densité volumique de probabilité de présence dépend de l'« environnement avec lequel la particule interagit » : en effet une particule qui entre dans le système interférentiel des fentes d'Young possède, en « tout point de l'espace » et à « tout instant », une densité volumique de probabilité de présence différente suivant que les deux fentes sont accessibles ou qu'une seule l'est $\;{\big$la densité étant aussi différente suivant que c'est $\;F_{1}\;$ ou $\;F_{2}\;$ qui est utilisable${\big )}$, voir ci-contre pour la densité linéique de probabilité de détection de la particule lors de l'expérience d'interférence par fentes d'Young et voir ci-contre à droite pour la densité linéique de probabilité de détection de la particule quand une seule des fentes d'Young est ouverte ;
il n'y a pas additivité des densités linéiques de probabilité de présence c.-à-d. «$\;{\mathcal {P}}_{l,\;1}+{\mathcal {P}}_{l,\;2}\neq {\mathcal {P}}_{l}\;$» il n'y a pas additivité dans laquelle ${\mathcal {P}}_{l,\;1}$, $\;{\mathcal {P}}_{l,\;2}\;$ et $\;{\mathcal {P}}_{l}\;$ sont respectivement les densités linéiques de probabilité de présence de la particule en un point de l'écran d'abscisse $\;x$, quand les fentes $\;F_{1}\;$ ou $\;F_{2}\;$ sont seules ouvertes et quand les deux sont ouvertes ; ainsi « la densité linéique de probabilité de trouver la particule en un point d'abscisse $\;x\;$ lors des interférences par fentes d'Young » n'est pas la somme « des densités linéiques de probabilité de trouver la particule au point d'abscisse $\;x\;$ après être passée par $\;F_{1}\;$ ${\bigF_{2}\;$ étant fermée${\big )}\;$ ou $\;F_{2}\;$ ${\bigF_{1}\;$ étant fermée${\big )}\;$» ;
on pourrait donc dire que les interférences nécessitent que la particule passe par les deux fentes à la fois, mais ce serait inapproprié $\;{\big$une particule étant, par définition, localisée dans l'espace${\big )}$, il est préférable de dire que « l'onde associée à la particule passe par les deux fentes à la fois ».

#### Fonction d'onde de matière
##### Rappel sur la lumière

À une onde progressive sinusoïdale lumineuse $\;{\big$O.P.H.${\big )}\;$ de fréquence $\;\nu$, on associe une grandeur réelle vibrante $\;{\Big$un champ électromagnétique $\;\left\lbrace {\vec {E}}\,,\,{\vec {B}}\right\rbrace \;$ défini en tout point $\;M\;$ et à tout instant $\;t$, champ simplement noté $\;s\;$${\Big )}\;$ que l'on modélise en la considérant comme la partie réelle $\;{\big$ou imaginaire${\big )}\;$ d'une grandeur instantanée complexe $\;{\underline {s}}(t)={\underline {\mathcal {A}}}(M)\;\exp \!\left(i\;2\;\pi \;t\right)\;$ où «$\;{\underline {\mathcal {A}}}(M)\;$ est l'amplitude complexe de l'onde » ;
le phénomène d'interférences par les fentes d'Young s'explique alors, en tout point $\;M\;$ du champ d'interférences, par la superposition des ondes passant par $\;F_{1}\;$ et $\;F_{2}$, ceci donnant le phénomène d'interférences par les fentes d'Young s'explique alors, une onde résultante d'« amplitude complexe $\;{\underline {\mathcal {A}}}(M)={\underline {\mathcal {A}}}_{1}(M)+{\underline {\mathcal {A}}}_{2}(M)\;$» et le phénomène d'interférences par les fentes d'Young s'explique alors, un « éclairement au point $\;M\;$ du champ d'interférences $\;{\mathcal {E}}(M)\propto \vert {\underline {\mathcal {A}}}(M)\vert ^{2}\;$» ou «$\;{\mathcal {E}}(M)\propto \vert {\underline {\mathcal {A}}}_{1}(M)+{\underline {\mathcal {A}}}_{2}(M)\vert ^{2}\;$», soit le phénomène d'interférences par les fentes d'Young s'explique alors, un « éclairement au point $\;\color {transparent}{M}\;$ du champ d'interférences «$\;{\mathcal {E}}(M)={\mathcal {E}}_{1}(M)+{\mathcal {E}}_{2}(M)+2\;{\sqrt {{\mathcal {E}}_{1}(M)\;{\mathcal {E}}_{2}(M)}}\;\cos(\Delta \varphi )\;$» le phénomène d'interférences par les fentes d'Young s'explique alors, un « éclairement au point $\;\color {transparent}{M}\;$ où «$\;\Delta \varphi \;$ est le déphasage entre les ondes passées par $\;F_{1}\;$ et $\;F_{2}\;$ au point $\;M\;$ considéré », le phénomène d'interférences par les fentes d'Young s'explique alors, un « éclairement au point $\;\color {transparent}{M}\;$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\mathcal {E}}_{1}(M)\\{\text{et}}\\{\mathcal {E}}_{2}(M)\end{array}}\right\rbrace \;$ étant l'éclairement que l'on obtiendrait en $\;M\;$ en occultant la fente $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}F_{2}\\{\text{ou}}\\F_{1}\end{array}}\right\rbrace$.

##### Intervention de la notion de photon dans l'explication des interférences par fentes d'Young

L'éclairement lumineux $\;{\mathcal {E}}\;$ d'une onde monochromatique de fréquence $\;\nu$ étant lié au débit « moyen » surfacique de photons $\;n_{\gamma ,\,s}\;$ par «$\;{\mathcal {E}}=h\;\nu \times n_{\gamma ,\,s}\;$» ou, en multipliant par $\;dS$, la puissance lumineuse « moyenne » reçue par $\;dS$, notée $\;\left\langle {\mathcal {P}}_{dS}\right\rangle$, étant liée au débit « moyen » de photons atteignant $\;dS\;$ à savoir $\;n_{\gamma ,\,dS}=n_{\gamma ,\,s}\;dS$, par «$\;\left\langle {\mathcal {P}}_{dS}\right\rangle =h\;\nu \times n_{\gamma ,\,dS}\;$», nous pouvons écrire le débit « moyen » de photons atteignant $\;dS\;$ «$\;n_{\gamma ,\,dS}\;$» en fonction des débits « moyens » de photons qui atteindraient $\;dS\;$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}n_{1,\,\gamma ,\,dS}\\{\text{et}}\\n_{2,\,\gamma ,\,dS}\end{array}}\right\rbrace \;$ en occultant la fente $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}F_{2}\\{\text{ou}}\\F_{1}\end{array}}\right\rbrace \;$» selon
$\;n_{\gamma ,\,dS}=n_{1,\,\gamma ,\,dS}+n_{2,\,\gamma ,\,dS}+2\;{\sqrt {n_{1,\,\gamma ,\,dS}\!\color {transparent}{A}\color {black}\!n_{2,\,\gamma ,\,dS}}}\;\cos(\Delta \varphi )\;$
nous pouvons écrire en divisant par le débit global « moyen » de photons émis par la source et pouvant « interférer » «$\;n_{\gamma ,\,{\text{source}}}\;$», nous obtenons la relation suivante
$\;{\dfrac {n_{\gamma ,\,dS}}{n_{\gamma ,\,{\text{source}}}}}={\dfrac {n_{1,\,\gamma ,\,dS}}{n_{\gamma ,\,{\text{source}}}}}+{\dfrac {n_{2,\,\gamma ,\,dS}}{n_{\gamma ,\,{\text{source}}}}}+2\;{\sqrt {{\dfrac {n_{1,\,\gamma ,\,dS}}{n_{\gamma ,\,{\text{source}}}}}\;{\dfrac {n_{2,\,\gamma ,\,dS}}{n_{\gamma ,\,{\text{source}}}}}}}\;\cos(\Delta \varphi )\;$
$\;dS\;$
$\;dS\;$
Traduction lors d'« interférences » par photon unique : la probabilité « moyenne » $\;p_{\gamma ,\,dS}\;$ que le photon atteigne $\;dS\;$ en « interférant » s'identifiant à $\;{\dfrac {n_{\gamma ,\,dS}}{n_{\gamma ,\,{\text{source}}}}}$, celle que ce photon passe par $\;F_{1}$ $\;{\bigF_{2}\;$ étant occultée${\big )}\;$ c.-à-d. $\;p_{1,\,\gamma ,\,dS}\;$ à ${\dfrac {n_{1,\,\gamma ,\,dS}}{n_{\gamma ,\,{\text{source}}}}}\;$ et celle que ce photon passe par $\;F_{2}$ $\;{\bigF_{1}\;$ étant occultée${\big )}\;$ c.-à-d. $\;p_{2,\,\gamma ,\,dS}\;$ à ${\dfrac {n_{2,\,\gamma ,\,dS}}{n_{\gamma ,\,{\text{source}}}}}$, nous en déduisons
$\;p_{\gamma ,\,dS}=p_{1,\,\gamma ,\,dS}+p_{2,\,\gamma ,\,dS}+2\;{\sqrt {p_{1,\,\gamma ,\,dS}\!\color {transparent}{A}\color {black}\!p_{2,\,\gamma ,\,dS}}}\;\cos(\Delta \varphi )\;\;\;({\mathfrak {a}})\;$

##### Prolongement de l'interprétation précédente aux interférences par fentes d'Young d'ondes de matière associées à des particules massiques

Définissant, comme dans le paragraphe « intervention de la notion de photon dans l'explication des interférences par fentes d'Young » plus haut dans ce chapitre, Définissant, la probabilité « moyenne » $\;p_{{\text{part}},\,dS}\;$ que la particule atteigne $\;dS\;$ en « interférant » ainsi que Définissant, les probabilités « moyennes » $\;p_{1,\,{\text{part}},\,dS}\;$ et $\;p_{2,\,{\text{part}},\,dS}\;$ que la particule passe par $\;F_{1}\;$ ${\bigF_{2}\;$ étant occultée${\big )}\;$ ou par $\;F_{2}$ $\;{\bigF_{1}\;$ étant occultée${\big )}$, on doit obtenir une relation identique à $\;({\mathfrak {a}})\;$ entre les différentes probabilités à savoir «$\;p_{{\text{part}},\,dS}=p_{1,\,{\text{part}},\,dS}+p_{2,\,{\text{part}},\,dS}+2\;{\sqrt {p_{1,\,{\text{part}},\,dS}\!\color {transparent}{A}\color {black}\!p_{2,\,{\text{part}},\,dS}}}\;\cos(\Delta \varphi )\;\;\;({\mathfrak {a}}')\;$» on doit obtenir une relation identique à $\;\color {transparent}{({\mathfrak {a}})}\;$ dans laquelle doit apparaître un déphasage $\;\Delta \varphi \;$ mais auparavant on doit obtenir une relation identique à $\;\color {transparent}{({\mathfrak {a}})}\;$ il faut introduire l'analogue des grandeurs instantanées complexes des ondes passant par $\;F_{1}\;$ ou $\;F_{2}\;$ à savoir $\;{\underline {s}}_{1}(M,\,t)\;$ ou $\;{\underline {s}}_{2}(M,\,t)\;$ et encore on doit obtenir une relation identique à $\;\color {transparent}{({\mathfrak {a}})}\;$ il faut introduire l'analogue des amplitudes complexes des ondes passant par $\;F_{1}\;$ ou $\;F_{2}\;$ à savoir $\;{\underline {\mathcal {A}}}_{1}(M)\;$ ou $\;{\underline {\mathcal {A}}}_{2}(M)\;$.

##### Notion de fonction d'onde de matière

On associe, à une particule « quantique », une fonction dépendant du point $\;M\;$ et de la date $\;t$, à valeurs complexes, caractérisant l'état de la particule dans son environnement d'interaction, appelée « fonction d'onde » de la particule « quantique » et notée $\;{\underline {\psi }}(M,\,t)\;$ ;
si l'onde de matière est associée à une particule d'énergie $\;E\;$ en « état stationnaire », on peut définir la « fréquence de de Broglie de l'onde par $\;E=h\;\nu _{d.B.}\;$» $\Rightarrow$ si l'onde de matière est associée à une particule d'énergie $\;\color {transparent}{E}\;$ en « état stationnaire », la composante temporelle de la fonction d'onde varie en «$\;\exp \!\left(-i\;2\;\pi \;\nu _{d.B.}\;t\right)=\exp \!\left(-i\;2\;\pi \;{\dfrac {E}{h}}\;t\right)\;$», si l'onde de matière est associée à une particule d'énergie $\;\color {transparent}{E}\;$ en « état stationnaire », la composante spatiale de la fonction d'onde «$\;{\underline {\psi }}(M,\,t)\;$» étant notée «$\;{\underline {\Psi }}(M)\;$» $\Rightarrow$ si l'onde de matière est associée à une particule d'énergie $\;\color {transparent}{E}\;$ en « état stationnaire », la fonction d'onde de la particule « quantique » d'énergie $\;E\;$ s'écrit «$\;{\underline {\psi }}(M,\,t)={\underline {\Psi }}(M)\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E}{\hbar }}\;t\right)\;$» si l'onde de matière est associée à une particule d'énergie $\;\color {transparent}{E}\;$ en « état stationnaire », la fonction d'onde de la particule « quantique » d'énergie $\;\color {transparent}{E}\;$ où $\;\hbar ={\dfrac {h}{2\;\pi }}\simeq 1,05457182\;10^{-34}\;J\cdot s\;$ si l'onde de matière est associée à une particule d'énergie $\;\color {transparent}{E}\;$ en « état stationnaire », la fonction d'onde de la particule « quantique » d'énergie $\;\color {transparent}{E}\;$ où est la « constante réduite de Planck ».
Le lien entre « fonction d'onde » en un point $\;M\;$ et à la date $\;t\;$ «$\;{\underline {\psi }}(M,\,t)\;$» et « densité volumique de probabilité de présence » associée «$\;{\mathcal {P}}_{V}(M,\,t)\;$» est analogue à celui existant Le lien entre « grandeur instantanée complexe » au point $\;M\;$ et à l'instant $\;t\;$ «$\;{\underline {s}}(M,\,t)\;$» et « puissance lumineuse instantanée reçue par unité de surface » associée «$\;{\dfrac {{\mathcal {P}}_{S_{M}}(t)}{S_{M}}}\;$», à savoir
$\;{\dfrac {{\mathcal {P}}_{S_{M}}(t)}{S_{M}}}\;$
$\;{\big$
$\;M\;$
$\;t{\big )}$
$\;\propto \;$
$\;\left[s(M,\,t)\right]^{2}\;$
$\;s(M,\,t)=\left\lbrace {\begin{array}{c}\Re \left[{\underline {s}}(M,\,t)\right]\\{\text{ou}}\\\Im \left[{\underline {s}}(M,\,t)\right]\end{array}}\right.\;$
$\;{\mathcal {P}}_{V}(M,\,t)\;$
$\;{\big$
$\;M\;$
$\;t{\big )}$
$\;\propto \;$
$\;\vert \,{\underline {\psi }}(M,\,t)\,\vert ^{2}\;$
$\;{\underline {\psi }}(M,\,t)\;$
on choisit alors le facteur de proportionnalité entre « la densité volumique de probabilité de présence $\;{\mathcal {P}}_{V}(M,\,t)\;$» $\;{\big$définie en $\;M\;$ et à l'instant $\;t{\big )}\;$ et on choisit alors le facteur de proportionnalité entre « le carré du module de la fonction d'onde $\;\vert \,{\underline {\psi }}(M,\,t)\,\vert ^{2}\;$» $\;{\big$définie au même point $\;M\;$ et au même instant $\;t{\big )}\;$ on choisit alors le facteur de proportionnalité égal à $\;1\;$ c.-à-d. qu'on choisit, pour définir la fonction d'onde $\;{\underline {\psi }}(M,\,t)\;$ à un facteur de phase près, le lien suivant
$\;{\mathcal {P}}_{V}(M,\,t)=\vert \,{\underline {\psi }}(M,\,t)\,\vert ^{2}=\left[{\underline {\psi }}(M,\,t)\right]\;\left[{\underline {\psi }}(M,\,t)\right]^{*}\;$
Remarque : Dans le cas d'une particule en état stationnaire d'énergie $\;E\;$ fixée, la dépendance de la fonction d'onde en temps se faisant selon «$\;{\underline {\psi }}(M,\,t)={\underline {\Psi }}(M)\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E}{\hbar }}\;t\right)\;$», Remarque : Dans le cas d'une particule en état stationnaire d'énergie $\;\color {transparent}{E}\;$ fixée, la densité volumique de probabilité de présence se réécrit «$\;{\mathcal {P}}_{V}(M,\,t)=\vert \,{\underline {\psi }}(M,\,t)\,\vert ^{2}=\vert \,{\underline {\Psi }}(M)\,\vert ^{2}\;$» d'où celle-ci Remarque : Dans le cas d'une particule en état stationnaire d'énergie $\;\color {transparent}{E}\;$ fixée, la densité volumique de probabilité de présence est indépendante du temps ;
Remarque : attention, dans le cas général d'une particule qui n'est pas dans un état stationnaire d'énergie fixée, la fonction d'onde n'a pas la forme précédemment introduite et en particulier la dépendance en temps ne se fait pas sous forme d'un facteur exponentiel imaginaire pur, ce qui a pour conséquence que la densité volumique de probabilité de présence dépend du temps.

## Explication de la figure d'interférences par fentes d'Young d'un électron en terme probabiliste

Soit «$\;{\underline {\psi }}_{1}(M,\,t)\;$ la fonction d'onde de l'électron au point $\;M\;$ du champ d'interférences et à l'instant $\;t\;$ quand la fente $\;F_{2}\;$ est occultée » et Soit «$\;{\underline {\psi }}_{2}(M,\,t)\;$ celle de l'électron au même point $\;M\;$ du champ d'interférences et au même instant $\;t\;$ quand la fente $\;F_{1}\;$ est obturée » ; lors du phénomène d'« interférence » de l'électron par fentes d'Young, la « fonction d'onde de ce dernier au même point $\;M\;$ du champ d'interférences et au même instant $\;t$ notée $\;{\underline {\psi }}(M,\,t)\;$ lors du phénomène d'« interférence » de l'électron par fentes d'Young, la « fonction d'onde de ce dernier est la superposition des deux fonctions d'onde $\;{\underline {\psi }}_{1}(M,\,t)\;$ et $\;{\underline {\psi }}_{2}(M,\,t)\;$» soit lors du phénomène d'« interférence » de l'électron par fentes d'Young, la « fonction d'onde de ce dernier est «$\;{\underline {\psi }}(M,\,t)={\underline {\psi }}_{1}(M,\,t)+{\underline {\psi }}_{2}(M,\,t)\;$» ;
on en déduit la « densité volumique de probabilité de présence au même point $\;M\;$ du champ d'interférences et au même instant $\;t\;$ notée $\;{\mathcal {P}}_{V}(M,\,t)\;$» par «$\;{\mathcal {P}}_{V}(M,\,t)=\vert \,{\underline {\psi }}(M,\,t)\,\vert ^{2}\;$» soit on en déduit la « densité volumique de probabilité de présence «$\;{\mathcal {P}}_{V}(M,\,t)=\vert \,{\underline {\psi }}_{1}(M,\,t)+{\underline {\psi }}_{2}(M,\,t)\,\vert ^{2}=\left[{\underline {\psi }}_{1}(M,\,t)+{\underline {\psi }}_{2}(M,\,t)\right]\,\left[{\underline {\psi }}_{1}(M,\,t)+{\underline {\psi }}_{2}(M,\,t)\right]^{*}\;$» ou,
on en déduit la « densité volumique de probabilité de présence avec les densités volumiques de probabilité de présence au même point $\;M\;$ du champ d'interférences et au même instant $\;t\;$ quand les fentes $\;F_{2}\;$ ou $\;F_{1}\;$ sont occultées c.-à-d. respectivement $\;{\mathcal {P}}_{1,\,V}(M,\,t)=\vert \,{\underline {\psi }}_{1}(M,\,t)\,\vert ^{2}\;$ ou $\;{\mathcal {P}}_{2,\,V}(M,\,t)=\vert \,{\underline {\psi }}_{2}(M,\,t)\,\vert ^{2}$, on en déduit la « densité volumique de probabilité de présence «$\;{\mathcal {P}}_{V}(M,\,t)={\mathcal {P}}_{1,\,V}(M,\,t)+{\mathcal {P}}_{2,\,V}(M,\,t)+\left\lbrace \left[{\underline {\psi }}_{1}(M,\,t)\right]\left[{\underline {\psi }}_{2}(M,\,t)\right]^{*}+\left[{\underline {\psi }}_{1}(M,\,t)\right]^{*}\left[{\underline {\psi }}_{2}(M,\,t)\right]\right\rbrace \;$»$^,$ on en déduit la « densité volumique de probabilité de présence «$\;\color {transparent}{{\mathcal {P}}_{V}(M,\,t)=}$ prouvant que la densité de probabilité de présence n'est pas une grandeur additive.
L'onde associée à un électron d'énergie $\;E\;$ et de norme de quantité de mouvement $\;p\;$ fixées quand la fente $\;F_{2}\;$ est occultée, peut être considérée dans un « état stationnaire avec une densité volumique de probabilité de présence uniforme », sa fonction d'onde $\;{\underline {\psi }}_{1}(M,\,t)$ $\;{\big \$analogue à une O.P.P.H.${\big \}$ peut alors s'écrire «$\;{\underline {\psi }}_{1}(M,\,t)={\underline {A}}_{1}\;\exp \!\left(\!i\;{\dfrac {2\;\pi }{\lambda _{d.B.}}}\;r_{1}\!\right)\exp \!\left(-i\;2\;\pi \;\nu _{d.B.}\;t\right)\;$» ou encore «$\;{\underline {\psi }}_{1}(M,\,t)$ $={\underline {A}}_{1}\;\exp \!\left(i\;{\dfrac {p}{\hbar }}\;r_{1}\right)\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E}{\hbar }}\;t\right)\;$»$^,$ et simultanément l'onde associée à cet électron d'énergie $\;E\;$ et de norme de quantité de mouvement $\;p\;$ fixées quand la fente $\;F_{1}\;$ est occultée $\;{\big$pouvant elle aussi être considérée dans un « état stationnaire avec une densité volumique de probabilité de présence uniforme »${\big )}$, sa fonction d'onde $\;{\underline {\psi }}_{2}(M,\,t)$ $\;{\big \$analogue à une O.P.P.H.${\big \}$ peut s'écrire «$\;{\underline {\psi }}_{2}(M,\,t)={\underline {A}}_{2}\;\exp \!\left(\!i\;{\dfrac {2\;\pi }{\lambda _{d.B.}}}\;r_{2}\!\right)\exp \!\left(-i\;2\;\pi \;\nu _{d.B.}\;t\right)\;$» ou encore «$\;{\underline {\psi }}_{2}(M,\,t)$ $={\underline {A}}_{2}\;\exp \!\left(i\;{\dfrac {p}{\hbar }}\;r_{2}\right)\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E}{\hbar }}\;t\right)\;$»$^,$ ;
on en déduit, par report dans «$\;{\mathcal {P}}_{V}(M,\,t)={\mathcal {P}}_{1,\,V}(M,\,t)+{\mathcal {P}}_{2,\,V}(M,\,t)+\left\lbrace \left[{\underline {\psi }}_{1}(M,\,t)\right]\left[{\underline {\psi }}_{2}(M,\,t)\right]^{*}+\left[{\underline {\psi }}_{1}(M,\,t)\right]^{*}\left[{\underline {\psi }}_{2}(M,\,t)\right]\right\rbrace \;$» avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\mathcal {P}}_{1,\,V}(M,\,t)=\vert \,{\underline {\psi }}_{1}(M,\,t)\,\vert ^{2}=\vert \,{\underline {A}}_{1}\,\vert ^{2}\\{\mathcal {P}}_{2,\,V}(M,\,t)=\vert \,{\underline {\psi }}_{2}(M,\,t)\,\vert ^{2}=\vert \,{\underline {A}}_{2}\,\vert ^{2}\end{array}}\right\rbrace$, on en déduit, «$\;{\mathcal {P}}_{V}(M,\,t)=\vert \,{\underline {A}}_{1}\,\vert ^{2}+\vert \,{\underline {A}}_{2}\,\vert ^{2}+\vert \,{\underline {A}}_{1}\,\vert \;\vert \,{\underline {A}}_{2}\,\vert \;\left\lbrace \exp \!\left[i\;{\dfrac {p}{\hbar }}\;(r_{1}-r_{2})\right]\;\exp \!\left[i\;(\varphi _{1}-\varphi _{2})\right]+\exp \!\left[i\;{\dfrac {p}{\hbar }}\;(r_{2}-r_{1})\right]\;\exp \!\left[i\;(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right]\right\rbrace \;$» dans lequel $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\varphi _{1}=\mathrm {arg} \left({\underline {A}}_{1}\right)\\\varphi _{2}=\mathrm {arg} \left({\underline {A}}_{2}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ ou on en déduit, «$\;{\mathcal {P}}_{V}(M,\,t)=\vert \,{\underline {A}}_{1}\,\vert ^{2}+\vert \,{\underline {A}}_{2}\,\vert ^{2}+2\;\vert \,{\underline {A}}_{1}\,\vert \;\vert \,{\underline {A}}_{2}\,\vert \;\cos \!\left[{\dfrac {p}{\hbar }}\;(r_{1}-r_{2})+\varphi _{1}-\varphi _{2}\right]\;$» ou encore, en notant «$\;\delta =r_{1}-r_{2}\;$ la différence de marche au point $\;M\;$»,
$\;{\mathcal {P}}_{V}(M,\,t)=\vert \,{\underline {A}}_{1}\,\vert ^{2}+\vert \,{\underline {A}}_{2}\,\vert ^{2}+2\;\vert \,{\underline {A}}_{1}\,\vert \;\vert \,{\underline {A}}_{2}\,\vert \;\cos \!\left[{\dfrac {p}{\hbar }}\;\delta +\varphi _{1}-\varphi _{2}\right]\;$
Pour la détermination des conditions d'interférences constructives et destructives, voir le paragraphe « cas où les sources synchrones et en phase émettent des signaux d'amplitudes différentes » du chap.$5$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », les principaux résultats étant rappelés ci-après :
* interférences constructives si «$\;{\dfrac {p}{\hbar }}\;\delta +\varphi _{1}-\varphi _{2}=2\;m\;\pi \;$», $\;m\in \mathbb {Z}$, soit encore «$\;\delta =r_{1}-r_{2}={\dfrac {\hbar }{p}}\left(2\;m\;\pi +\varphi _{2}-\varphi _{1}\right)\;$» ou, en introduisant $\;p={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.}}}=\hbar \;{\dfrac {2\;\pi }{\lambda _{d.B.}}}\;$$^,$, «$\;\delta =$ $\lambda _{d.B.}\left(m+{\dfrac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2\;\pi }}\right)\;$» prouvant que deux points à interférences constructives $\;M_{\text{max}}\;$ ont une différence de marche différant d'un multiple de la longueur d'onde de de Broglie de la particule, la densité volumique de probabilité de présence en ces points $\;M_{\text{max}}\;$ s'écrivant selon «$\;{\mathcal {P}}_{V}(M_{\text{max}},\,t)=\vert \,{\underline {A}}_{1}\,\vert ^{2}+\vert \,{\underline {A}}_{2}\,\vert ^{2}+2\;\vert \,{\underline {A}}_{1}\,\vert \;\vert \,{\underline {A}}_{2}\,\vert =\left(\,\vert \,{\underline {A}}_{1}\,\vert +\vert \,{\underline {A}}_{2}\,\vert \,\right)^{2}\;$»,
* interférences destructives si «$\;{\dfrac {p}{\hbar }}\;\delta +\varphi _{1}-\varphi _{2}=(2\;m+1)\;\pi \;$», $\;m\in \mathbb {Z}$, soit encore «$\;\delta =r_{1}-r_{2}={\dfrac {\hbar }{p}}\left[(2\;m+1)\;\pi +\varphi _{2}-\varphi _{1}\right)\;$» ou, en introduisant $\;p={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.}}}=\hbar \;{\dfrac {2\;\pi }{\lambda _{d.B.}}}\;$$^,$, «$\;\delta =$ $\lambda _{d.B.}\left(m+{\dfrac {1}{2}}+{\dfrac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2\;\pi }}\right)\;$» prouvant que deux points à interférences destructives $\;M_{\text{min}}\;$ ont une différence de marche différant d'un multiple de la longueur d'onde de de Broglie de la particule, la densité volumique de probabilité de présence en ces points $\;M_{\text{min}}\;$ étant «$\;{\mathcal {P}}_{V}(M_{\text{min}},\,t)=$ $\vert \,{\underline {A}}_{1}\,\vert ^{2}+\vert \,{\underline {A}}_{2}\,\vert ^{2}-2\;\vert \,{\underline {A}}_{1}\,\vert \;\vert \,{\underline {A}}_{2}\,\vert =\left(\,\vert \,{\underline {A}}_{1}\,\vert -\vert \,{\underline {A}}_{2}\,\vert \,\right)^{2}\;$» ;
* on vérifie aussi que deux points à interférences de nature différente $\;{\big$c.-à-d. constructive ou destructive${\big )}\;$ ont une différence de marche différant d'une demi-longueur d'onde de de Broglie de la particule à un multiple de la longueur d'onde près.

## Explication de la figure d'interférences par fentes d'Young d'un photon en terme probabiliste

On peut entièrement réitérer le paragraphe « explication de la figure d'interférences par fentes d'Young d'un électron en terme probabiliste » plus haut dans ce chapitre en remplaçant le terme « électron » par celui de « photon » $\;{\big$la longueur d'onde de de Broglie de l'électron étant remplacée par la longueur d'onde dans le vide du photon${\big )}$.

## Principe de complémentarité

$\;1927$
Énoncé : Une particule « quantique » ne peut se comporter en même temps comme une onde et comme un corpuscule, les aspects corpusculaire et ondulatoire de la particule « quantique » sont les représentations complémentaires d'une même réalité $\;{\big$par exemple si la particule « quantique » est en présence de diaphragme et si sa longueur d'onde de de Broglie $\;\lambda _{d.B.}\;$ est $\;\ll a\;$ ${\big$dimension du diaphragme${\big )}$, la particule se comportera comme un corpuscule, sinon elle se comporte comme une onde${\big ]}$ ;
Énoncé : dans l'expérience d'interférence par fentes d'Young, la particule se comporte comme une onde et ne peut, dans le courant de cette expérience, se comporter comme un corpuscule, il est donc impossible de savoir par quelle fente la particule serait passée car le savoir rendant certain le trajet de la particule celle-ci aurait un comportement de corpuscule $\;{\big$si on met un détecteur sur une des fentes on peut alors savoir par quelle fente la particule est passée, la particule a alors un comportement de corpuscule et ne peut plus avoir un comportement d'onde dans le courant de l'expérience, effectivement on n'observe plus de figures d'interférences${\big ]}$.