# Champ électrostatique, potentiel/Champ électrostatique
## Notion de champ

Pour bien saisir l’idée de ce qu'est un champ de vecteurs, on peut faire l'analogie avec une notion bien connue : l'interaction gravitationnelle.
Soit un corps A, de masse m$_A$, immobile dans l'espace. Si l’on place en un point B un corps de masse m$_B$, A va exercer sur B une force ${\overrightarrow {F}}_{A\rightarrow B}=-G{\frac {m_{A}m_{B}}{{\rm {AB}}^{2}}}{\overrightarrow {u}}_{\rm {AB}}$.
Si on pose pour tout point M ${\vec {\mathcal {G}}}_{A}(M)=-G{\frac {m_{A}}{r^{2}}}{\vec {u}}_{r}$, $r=AM$ et ${\vec {u}}_{r}={\vec {u}}_{\rm {AM}}$, le simple fait de placer un corps de masse m$_B$ en B va soumettre ce corps à une force ${\vec {F}}=m_{B}{\vec {\mathcal {G}}}_{A}(B)$.
On dit que ${\vec {\mathcal {G}}}_{A}$ est le champ gravitationnel généré par A. Ce champ relie directement une propriété du corps B (ici sa masse) à la force à laquelle B est soumis dans un environnement donné (ici la présence de A).
De même, au niveau de la surface de la Terre, un corps de masse m est soumis à son poids ${\vec {P}}=m{\vec {g}}$ : ${\vec {g}}$ est le champ de pesanteur terrestre.
Un champ de vecteurs est ainsi une application qui associe un vecteur donné à chaque point de l'espace. Ce vecteur décrit la possibilité d'une action sur la particule.

## Champ électrostatique généré par une distribution discrète de charges fixes dans le vide
### Force de Coulomb

Soient deux particules immobiles chargées A et B, de charges respectives q$_A$ et q$_B$. La force électrostatique exercée par A sur B vaut ${\vec {F}}_{A\rightarrow B}={\frac {q_{A}q_{B}}{4\pi \varepsilon _{0}{\rm {AB}}^{2}}}{\overrightarrow {u_{\rm {AB}}}}$.
$\varepsilon _{0}=8,854\ 187\ 817\dots \times 10^{-12}{\textrm {F.m}}^{-1}$ s’appelle la permittivité du vide. C’est une constante fondamentale de la physique.
La force exercée par B sur A vaut ${\vec {F}}_{B\rightarrow A}={\frac {q_{A}q_{B}}{4\pi \varepsilon _{0}{\rm {AB}}^{2}}}{\overrightarrow {u_{\rm {BA}}}}=-{\frac {q_{A}q_{B}}{4\pi \varepsilon _{0}{\rm {AB}}^{2}}}{\overrightarrow {u_{\rm {AB}}}}$.

### Champ électrostatique généré par une particule chargée dans le vide

Soit une particule A immobile dans l'espace, de charge q$_A$. Le champ électrostatique généré par A en M, noté ${\vec {E}}_{A}(M)$, est défini par ${\vec {E}}_{A}(M)={\frac {q_{A}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}{\vec {u}}_{r}$ où r=AM.
Soit une particule B de charge q$_B$ placée dans le champ généré par A. Alors B est soumise à la force ${\vec {F}}_{A\rightarrow B}={\frac {q_{A}q_{B}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}{\vec {u}}_{r}=q_{B}{\vec {E}}_{A}(B)$ où r=AB.

### Champ électrostatique généré par deux charges dans le vide

Soient
* deux particules A et B, immobiles dans l'espace, de charges respectives q$_A$ et q$_B$ ;
* une particule M de charge q.
La force électrostatique exercée par A et B sur M est ${\vec {F}}={\frac {q_{A}q}{4\pi \varepsilon _{0}{\rm {AM}}^{2}}}{\vec {u}}_{\rm {AM}}+{\frac {q_{B}q}{4\pi \varepsilon _{0}{\rm {BM}}^{2}}}{\vec {u}}_{\rm {BM}}$.
Soient deux particules A et B, immobiles dans l'espace, de charges respectives q$_A$ et q$_B$. Le champ engendré en M par :
* A est ${\vec {E}}_{A}(M)={\frac {q_{A}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}{\vec {u}}_{r_{A}}$ où r = AM.
* B est ${\vec {E}}_{B}(M)={\frac {q_{B}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}{\vec {u}}_{r_{B}}$ où r = BM.
Le champ électrostatique en M vaut ${\vec {E}}(M)={\vec {E}}_{A}(M)+{\vec {E}}_{B}(M)$. On a alors bien une force de Coulomb s'exerçant sur une particule de charge q placée en M qui vaut ${\vec {F}}=q{\vec {E}}(M)$.

### Champ électrostatique généré par n charges dans le vide

Soient n particules A₁, A₂, ..., A$_n$, immobiles dans l'espace, de charges respectives q₁, q₂, ... q$_n$.
Le champ électrostatique généré par cette distribution est la somme des champs engendrés par chacune des particules : ${\vec {E}}(M)={\vec {E}}_{A_{1}}(M)+{\vec {E}}_{A_{2}}(M)+\cdots +{\vec {E}}_{A_{n}}(M)$.
Une particule de charge q placée en M est alors soumise à une force ${\vec {F}}=q{\vec {E}}(M)$.

## Champ électrostatique généré par une distribution continue de charges fixes dans le vide

Le principe de superposition applicable à $^{E→{\displaystyle{\vec{E}}}}$ permet également de calculer le champ électrostatique généré par une distribution continue.

### Distribution linéique de charges

Soit une distribution de charges réparties sur un arc $\Gamma$ telle qu'en un point courant M de $\Gamma$, la densité de charge linéique vale $\lambda (M)$. Le champ électrostatique en un point P vaut alors ${\vec {E}}(P)=\int _{\Gamma }{\frac {\lambda (M){\vec {u}}_{r}}{4\pi \varepsilon _{0}{\rm {MP}}^{2}}}\,\mathrm {d} l$ avec ${\vec {u}}_{r}$ vecteur unitaire de même sens et même direction que ${\overrightarrow {\rm {MP}}}$.

### Distribution surfacique de charges

Soit une distribution de charges réparties sur une surface $\Sigma$ telle qu'en un point courant M de $\Sigma$, la densité de charge surfacique vale $\sigma (M)$. Le champ électrostatique en un point P vaut alors ${\vec {E}}(P)=\iint _{\Sigma }{\frac {\sigma (M){\vec {u}}_{r}}{4\pi \varepsilon _{0}{\rm {MP}}^{2}}}\,\mathrm {d} ^{2}S$ avec ${\vec {u}}_{r}$ vecteur unitaire de même sens et même direction que ${\overrightarrow {\rm {MP}}}$.

### Distribution volumique de charges

Soit une distribution de charges réparties dans un volume V telle qu'en un point courant M de V, la densité de charge volumique vale $\rho (M)$. Le champ électrostatique en un point P vaut alors ${\vec {E}}(P)=\iiint _{V}{\frac {\rho (M){\vec {u}}_{r}}{4\pi \varepsilon _{0}{\rm {MP}}^{2}}}\,\mathrm {d} ^{3}\tau$ avec ${\vec {u}}_{r}$ vecteur unitaire de même sens et même direction que ${\overrightarrow {\rm {MP}}}$.

## Champ électrostatique dans un isolant autre que le vide

Tous les isolants ne réagissent pas de la même façon lorsqu’ils sont soumis à un champ électrostatique dans le sens où ils le « laissent plus ou moins passer ». En effet, un isolant est composé de molécules parfois polarisées (par exemple H₂0). Lorsqu'on soumet ces particules à un champ électrostatique, elles « utilisent le champ » pour se déformer, ce qui atténue le champ plus vite que dans le vide.
C'est ainsi qu'on définit la permittivité d'un isolant : c’est une grandeur qui caractérise cette « absorption ». Elle est notée $\varepsilon$.
On rencontre plus souvent la permittivité relative $\varepsilon _{r}$ qui est définie par $\varepsilon _{r}={\frac {\varepsilon }{\varepsilon _{0}}}$.
Toutes les équations de l'électrostatique du vide sont valables au sein d'un isolant linéaire homogène isotrope de permittivité $\varepsilon$, à condition de remplacer dans toutes les équations $\varepsilon _{0}$ par $\varepsilon$.
Dans toute la suite du cours, on ne traitera que l'électrostatique du vide.
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