# Trigonométrie/Exercices/Relations élémentaires
## Exercice 2-1

On définit deux réels $a$ et $b$ par :
    $\tan a={\frac {1}{5}},\qquad a\in \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$ ;
    $\tan b={\frac {1}{239}},\qquad b\in \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$.
Calculer le réel $c=4a-b$.
De la relation trigonométrique
    $\tan(x+y)={\frac {\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}}$,
on déduit successivement :
    $\tan(2a)={\frac {\frac {2}{5}}{1-{\frac {1}{25}}}}={\frac {5}{12}}$ ;
    $\tan(4a)={\frac {\frac {5}{6}}{1-{25 \over 144}}}={\frac {120}{119}}$ ;
    $\tan(4a-b)={\frac {{\frac {120}{119}}-{\frac {1}{239}}}{1+{\frac {120}{119}}{\frac {1}{239}}}}={\frac {120\times 239-119}{119\times 239+120}}=1=\tan {\frac {\pi }{4}}$.
Pour affirmer que $4a-b={\frac {\pi }{4}}$, il reste à vérifier que
    ${\frac {\pi }{4}}-\pi <4a-b<{\frac {\pi }{4}}+\pi$,
c'est-à-dire à prouver que
    $-{\frac {3\pi }{4}}<4a-b<{\frac {5\pi }{4}}$.
Cet encadrement se démontre en affinant ceux de $a$ et $b$, au vu de leurs tangentes :
    $0<a<{\frac {\pi }{6}}$ (car $\tan {\frac {\pi }{6}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}>{\frac {1}{5}}$) et $0<b<{\frac {\pi }{2}}$
donc
    $-{\frac {3\pi }{4}}<-{\frac {\pi }{2}}=4\times 0-{\frac {\pi }{2}}<4a-b<4\times {\frac {\pi }{6}}-0={\frac {2\pi }{3}}<{\frac {5\pi }{4}}$.

## Exercice 2-2

Dans les formules exprimant $\cos(a+b)$ et $\sin(a+b)$, faire successivement $b=-a$, $b={\frac {\pi }{2}}-a$ et $b=\pi -a$, et exprimer les résultats obtenus.
    ${\begin{aligned}\cos(a+b)&=\cos a\cos b-\sin a\sin b\\\sin(a+b)&=\sin a\cos b+\cos a\sin b\\1&=\cos ^{2}a+\sin ^{2}a\end{aligned}}$
donne :
* pour $b=-a$ :
    ${\begin{aligned}1&=\cos a\cos(-a)-\sin a\sin(-a)\\0&=\sin a\cos(-a)+\cos a\sin(-a)\end{aligned}}$
    c'est-à-dire $\cos(-a)=\cos a$ et $\sin(-a)=-\sin a$ ;
* pour $b={\frac {\pi }{2}}-a$ :
    ${\begin{aligned}0&=\cos a\cos \left({\frac {\pi }{2}}-a\right)-\sin a\sin \left({\frac {\pi }{2}}-a\right)\\1&=\sin a\cos \left({\frac {\pi }{2}}-a\right)+\cos a\sin \left({\frac {\pi }{2}}-a\right)\end{aligned}}$
    c'est-à-dire $\cos \left({\frac {\pi }{2}}-a\right)=\sin a$ et $\sin \left({\frac {\pi }{2}}-a\right)=\cos a$ ;
* pour $b=\pi -a$ :
    ${\begin{aligned}-1&=\cos a\cos(\pi -a)-\sin a\sin(\pi -a)\\0&=\sin a\cos(\pi -a)+\cos a\sin(\pi -a)\end{aligned}}$
    c'est-à-dire $\cos(\pi -a)=-\cos a$ et $\sin(\pi -a)=\sin a$.

## Exercice 2-3

Les relations suivantes sont-elles correctes ?
1° $(\cos a+\cos b)(\cos a-\cos b)=\cos(a+b)\cos(a-b)$.
2° $(\sin a+\sin b)(\sin a-\sin b)=\sin(a+b)\sin(a-b)$.
1° Non. Par exemple pour $a=b=0$ : $0\neq 1$.
2° Oui. $\sin(a+b)\sin(a-b)={\frac {\cos 2b-\cos 2a}{2}}=\sin ^{2}a-\sin ^{2}b=(\sin a+\sin b)(\sin a-\sin b)$.

## Exercice 2-4

On donne $\tan a=3$.
Calculer :
1° $\cos 3a$
2° $\sin 3a$
3° $\cos 4a$
4° $\sin 4a$
Remarquons d'abord que :
* $\cos ^{2}a={\frac {1}{1+3^{2}}}={\frac {1}{10}}$ donc $\cos a={\frac {\varepsilon }{\sqrt {10}}}$ avec $\varepsilon =\pm 1$, et $\sin a=3\cos a$ ;
* $\cos 2a={\frac {1-3^{2}}{1+3^{2}}}=-{\frac {4}{5}}$ et $\sin 2a={\frac {2\times 3}{1+3^{2}}}={\frac {3}{5}}$.
1° $\cos 3a=\cos 2a\cos a-\sin 2a\sin a=-{\frac {4}{5}}{\frac {\varepsilon }{\sqrt {10}}}-{\frac {3}{5}}{\frac {3\varepsilon }{\sqrt {10}}}=-{\frac {13\varepsilon }{5{\sqrt {10}}}}$.
2° $\sin 3a=\cos 2a\sin a+\sin 2a\cos a=-{\frac {4}{5}}{\frac {3\varepsilon }{\sqrt {10}}}+{\frac {3}{5}}{\frac {\varepsilon }{\sqrt {10}}}=-{\frac {9\varepsilon }{5{\sqrt {10}}}}$
3° $\cos 4a=\cos ^{2}2a-\sin ^{2}2a={\frac {7}{25}}$.
4° $\sin 4a=2\cos 2a\sin 2a=-{\frac {24}{25}}$.

## Exercice 2-5

On donne $\sin x=a$ et $\cos y=b$.
Trouver, combien a priori, il y a de valeurs pour $\sin(x+y)$.
Calculer ces valeurs.
Application : $\qquad a={\frac {1}{2}},\qquad b={\frac {1}{\sqrt {2}}}$.
$\cos x=\varepsilon {\sqrt {1-a^{2}}}$ et $\sin y=\varepsilon '{\sqrt {1-b^{2}}}$ avec $\varepsilon =\pm 1$ et $\varepsilon '=\pm 1$.
$\sin(x+y)=ab+\varepsilon \varepsilon '{\sqrt {1-a^{2}}}{\sqrt {1-b^{2}}}=ab\pm {\sqrt {1-a^{2}}}{\sqrt {1-b^{2}}}$ prend donc 2 valeurs (distinctes sauf si $a=\pm 1$ ou $b=\pm 1$).
Application : $\sin(x+y)={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\pm {\sqrt {1-{\frac {1}{4}}}}{\sqrt {1-{\frac {1}{2}}}}={\frac {1\pm {\sqrt {3}}}{2{\sqrt {2}}}}$.

## Exercice 2-6

On donne $\tan a=b$.
1° Calculer $x=\cos {\frac {a}{2}}$, $y=\sin {\frac {a}{2}}$ et $z=\tan {\frac {a}{2}}$.
    (on commencera par déterminer $z$).
2° Combien trouve-t-on de solutions ?
3° Montrer que, sur un cercle trigonométrique, les arcs ${\frac {a}{2}}$ sont les sommets d'un carré.
4° Application : Calculer $\sin {\frac {\pi }{8}}$, $\cos {\frac {\pi }{8}}$ et $\tan {\frac {\pi }{8}}$, sachant que $\tan {\frac {\pi }{4}}=1$.
1° $b={\frac {2z}{1-z^{2}}}\Rightarrow bz^{2}+2z-b=0\Rightarrow z={\frac {-1+\varepsilon {\sqrt {1+b^{2}}}}{b}}$ avec $\varepsilon =\pm 1$.
${\frac {1}{x^{2}}}=1+z^{2}=2{\frac {b-z}{b}}={\frac {2{\sqrt {1+b^{2}}}}{b^{2}}}\left({\sqrt {1+b^{2}}}-\varepsilon \right)\Rightarrow x={\frac {\pm b}{\sqrt {2{\sqrt {1+b^{2}}}\left({\sqrt {1+b^{2}}}-\varepsilon \right)}}}$, et $y=zx$.
2° Quatre en général.
3° $a$ est déterminé mod $\pi$ (par sa tangente) donc $a/2$ est déterminé mod $\pi /2$.
4° $\tan {\frac {\pi }{8}}=-1+{\sqrt {2}}$, $\cos {\frac {\pi }{8}}={\frac {1}{\sqrt {2{\sqrt {2}}\left({\sqrt {2}}-1\right)}}}={\frac {\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}{\sqrt {2{\sqrt {2}}}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}$ et $\sin {\frac {\pi }{8}}={\frac {(-1+{\sqrt {2}}){\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}{2}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}$

## Exercice 2-7

On donne : $\cos 2a={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}$.
Calculer : $\cos a$, $\sin a$ et $\tan a$.
$\cos ^{2}a={\frac {1+\cos 2a}{2}}={\frac {3+{\sqrt {5}}}{8}}\Rightarrow \cos a=\varepsilon {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}$ avec $\varepsilon =\pm 1$.
$\sin a=\varepsilon '{\sqrt {\frac {1-\cos 2a}{2}}}=\varepsilon '{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{8}}}$ avec $\varepsilon '=\pm 1$.
$\tan a=\varepsilon \varepsilon '{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{8}}}{\frac {4}{1+{\sqrt {5}}}}=\varepsilon \varepsilon '{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$.

## Exercice 2-8

Calculer $\sin 5a$ en fonction de $\sin a=x$.
Écrire $\sin 5a=0$. Interpréter les valeurs obtenues pour $x$.
Par « délinéarisation », on trouve
    $\sin 5a=x^{5}-10x^{3}\cos ^{2}a+5x\cos ^{4}a=x^{5}-10x^{3}\left(1-x^{2}\right)+5x\left(1-x^{2}\right)^{2}=16x^{5}-20x^{3}+5x$.
    $\sin 5a=0\Leftrightarrow x=0$ ou $|x|={\sqrt {\frac {5\pm {\sqrt {5}}}{8}}}$. Les 5 valeurs obtenues pour $x$ sont les sinus des 5 angles $0$, $\pm {\frac {\pi }{5}}$ et $\pm {\frac {2\pi }{5}}$.
| Fonctions cosinus et sinus | Établissement de formules 1 |