# Introduction aux suites numériques/Suites arithmétiques
## Définition par récurrence

Une suite est arithmétique quand on ajoute toujours le même nombre pour passer d'un terme au suivant.
Une suite arithmétique est donc définie par :
* la valeur de son premier terme $u_{0}$
* une relation de récurrence de la forme : $u_{n+1}=u_{n}+r$
Le nombre $r$ qui permet de passer d'un terme au suivant s’appelle la raison de la suite $(u_{n})$.

### Exercices d'application

Parmi les suites ci-dessous, lesquelles sont arithmétiques ? Quelles sont alors leurs raisons respectives ?
* $u_{0}=1,~u_{1}=3,~u_{2}=5,~u_{3}=7,~u_{4}=9,~u_{5}=11,~u_{6}=13,\ldots$
* $u_{0}=2,~u_{1}=5,~u_{2}=7,~u_{3}=12,~u_{4}=19,~u_{5}=31,~u_{6}=50,~u_{7}=81\ldots$
* $u_{0}=0,~u_{1}=5,~u_{2}=10,~u_{3}=15,~u_{4}=20,~u_{5}=25,~u_{6}=30,~u_{7}=35\ldots$
* $u_{0}=7,~u_{1}=14,~u_{2}=28,~u_{3}=56,~u_{4}=112,~u_{5}=224,~u_{6}=448\ldots$
* $u_{0}=5~u_{1}=3,~u_{2}=1,~u_{3}=-1,~u_{4}=-3,~u_{5}=-5,~u_{6}=-7\ldots$
* La première suite est arithmétique de raison 2.
* La seconde suite n’est pas arithmétique.
* La troisième suite est arithmétique de raison 5.
* La quatrième suite n’est pas arithmétique car chaque terme est égal au double du terme qui le précède (on dit alors qu'elle est géométrique de raison 2).
* Enfin la dernière suite est arithmétique de raison -2 (en effet la raison peut être un nombre quelconque dans $\mathbb {R}$).

## Terme général d'une suite arithmétique

Pour arriver à $u_{n}$, il faut ajouter $n$ fois la raison $r$ au premier terme $u_{0}$
Le terme général d'une suite arithmétique $u_{n}$ est donné par la formule :
$u_{n}=u_{0}+n\times r$

### Utilisation du terme général

* Soit $(u_{n})$ une suite arithmétique telle que $u_{0}=-3$ et $r=3,5$. Calculer $u_{11}$.
* Soit $(v_{n})$ une suite arithmétique telle que $v_{0}=24$ et $r=-6$. Calculer $v_{25}$.
* Soit $(w_{n})$ une suite arithmétique telle que $w_{1}=2$ et $r=6,25$. Calculer $w_{10}$.
* Soit $(s_{n})$ une suite arithmétique telle que $s_{15}=2$ et $r=6$. Calculer $s_{0}$.
* Soit $(t_{n})$ une suite arithmétique telle que $t_{11}=25$ et $t_{4}=6$. Calculer $t_{0}$ et $r$.
* $u_{11}=-3+11\times 3,5=35,5$
* $v_{25}=24+-6\times 25=-126$
* $w_{10}=2-6,25+6,25\times 10=58,25$
* $s_{0}=2-15\times 6=-88$
* $t_{11}=t_{4}+7r$ donc $r={\frac {t_{11}-t_{4}}{7}}={\frac {19}{7}}$. De plus, $t_{0}=t_{4}-4r=6-4{\frac {19}{7}}=-{\frac {34}{7}}$.

## Somme des termes d'une suite arithmétique
### Somme des entiers consécutifs

Comment calculer simplement ? $S=0+1+2+3+\ldots +98+99+100$
Il suffit d’utiliser la formule : $S=0+1+2+3+\ldots +n={\frac {n\times (n+1)}{2}}$
On trouve donc : $S=0+1+2+3+\ldots +98+99+100=5050$

### Généralisation

La somme des (n+1) termes consécutifs d'une suite arithmétique est donnée par la formule suivante : $u_{0}+u_{1}+\cdots +u_{n}={(n+1).(u_{n}+u_{0}) \over 2}$
La somme des termes consécutifs d'une progression arithmétique est égale à la demi-somme des termes extrêmes multipliée par le nombre de termes de la suite.

### Calculs de sommes

En utilisant la formule, calculer :
* $S=1+3+5+7+9+\ldots +131=\ldots$
* $S=7+9+11+13+\ldots +99=\ldots$
* On remarque que (1,3,5...) est une suite arithmétique de raison $r=2$ et de premier terme $u_{0}=1$
** $131=u_{65}$
** L'application de la formule donne alors : $S=1+3+5+7+9+\ldots +131={\frac {65+1}{2}}(1+131)=4356$
* On remarque que (7,9,11...) est une suite arithmétique de raison $r=2$ et de premier terme $u_{0}=7$
** $99=u_{46}$
** L'application de la formule donne alors : $S=7+9+\ldots +99={\frac {46+1}{2}}(7+99)=2491$

## Sens de variation d'une suite arithmétique

Une suite arithmétique de raison r est :
* croissante si $r>0$
* décroissante si $r<0$
* constante si $r=0$

## Représentation graphique d'une suite arithmétique et lien avec les fonctions affines

Pour une suite arithmétique de premier terme $u_{0}$ et de raison $r$, l’expression du terme général montre que :
si on définit la fonction affine $f(x)=r\times x+u_{0}$, alors $u_{n}=f(n)$.
Pour une suite arithmétique de premier terme $u_{0}$ et de raison $r$ : si on place $n$ en abscisse et $u_{n}$ en ordonnée, les points correspondants sont alignés sur la droite représentative de la fonction affine :
Si $u_{n}=a+bn$ , alors $(u_{n})$ est une suite arithmétique de raison b et de premier terme a.
En faisant l'analogie avec les fonctions affines, on peut dire que :
* $a$ : Ordonnée à l'origine
* $b$ : Coefficient directeur

### Graphiques

* Placer, dans un repère orthogonal, les 10 premiers termes de la suite arithmétique de premier terme $u_{0}=-3$ et de raison $r=3,5$. Quelle est l'équation de la droite sur laquelle les points correspondant aux termes sont alignés ?
* L'expression algébrique des termes de cette suite est pour tout $n\in \mathbb {N} ,~u_{n}=-3+3.5n$
* Les points sont alors positionnés sur la droite d'équation $y=3.5x-3$
Le graphique représentant les points de la droite d'équation $y=3.5x-3$ est le suivant :
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