# Signaux physiques (PCSI)/Optique géométrique : conditions de Gauss
## Notion de stigmatisme approché d'un système optique
### Retour sur la notion d'image d'un point objet par un système optique

Un faisceau issu d'un point objet $\;A_{o}\;$ étant constitué de rayons incidents indépendants les uns des autres, la détermination du trajet des rayons intermédiaires et émergents correspondant aux rayons incidents du faisceau nous conduit à deux possibilités :
* tous les rayons émergents sont concourants, le système optique donne alors du faisceau incident issu de $\;A_{o}\;$ un faisceau convergent en un point $\;A_{i}$, $\;A_{i}\;$ définissant alors l'« image de $\;A_{o}\;$ par le système optique » appelé « point image »,
* tous les rayons émergents ne sont pas concourants mais leur ensemble possède une zone de resserrement à éclairement maximal considérée comme l'image « non ponctuelle » de $\;A_{o}\;$ par le système optique.

### Stigmatisme d'un système optique pour un point objet

Cette notion a déjà été vue dans le chap.$12$ de la leçon Signaux physiques (PCSI) » sous son aspect « stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point objet », elle est rappelée ci-après puis sera prolongée sous son aspect « stigmatisme approché » ;
* si le point objet $\;A_{o}\;$ admet un point image $\;A_{i}\;$ par le système optique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident issu de $\;A_{o}$, on dit qu'il y a « stigmatisme rigoureux du système optique pour le point objet $\;A_{o}\;$» mais,
* si le point objet $\;A_{o}\;$ admet, par le système optique, une image floue dans l'hypothèse d'une grande ouverture du faisceau incident issu du point objet $\;A_{o}$, « il n'y a pas stigmatisme rigoureux du système optique pour le point objet $\;A_{o}\;$», toutefois si le point objet $\;\color {transparent}{A_{o}}\;$ admet, par le système optique, une image floue dans l'hypothèse où l'ouverture du faisceau incident issu de $\;A_{o}\;$ est réduite dans des « conditions à préciser », les rayons émergents peuvent devenir concourants en un point $\;A_{i}\;$ qui est alors appelé « point image approchée par le système optique du point objet $\;A_{o}\;$» et on dit qu'il y a « stigmatisme approché du système optique pour le point objet $\;A_{o}\;$» $\;{\big$on dit aussi que le point objet $\;A_{o}\;$ et le point image approchée $\;A_{i}\;$ sont conjugués $\;{\big$approchés${\big )}\;$ par le système optique${\big ]}$.

## Conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique « centré »

Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855), mathématicien, astronome et physicien allemand, est considéré comme l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps, on lui doit d'importantes contributions dans les trois domaines « mathématiques, astronomie et physique » dont certaines n'ont été mises à jour qu'à titre posthume, à la fin du XIXème siècle, Gauss n'ayant publié qu'une partie de ses découvertes.

### Définition d'un système optique « centré »

Un système optique est dit « centré » si les éléments constitutifs $\;{\big$dioptres, miroirs${\big )}\;$ ont un « axe de symétrie commun » ; le système optique étant alors « unidirectionnel », on choisit toujours l'axe optique principal porté par l'axe de symétrie, les plans transverses étant encore appelés « plans de front ».

### Énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique « centré »

Dans l'hypothèse où le système optique « centré » n'est pas stigmatique rigoureux pour un point objet $\;A_{o}$, on envisage de limiter l'ouverture du faisceau incident issu de $\;A_{o}\;$ jusqu'à on envisage de limiter l'ouverture du faisceau incident l'observation d'une convergence ponctuelle des rayons émergents correspondant aux rayons incidents du faisceau et on démontre qu'il y a effectivement convergence ponctuelle des rayons émergents si
* « les rayons incidents issu de $\;A_{o}\;$ sont peu inclinés par rapport à l'axe optique principal associé à $\;A_{o}\;$ et « les rayons incidents issu de $\;\color {transparent}{A_{o}}\;$ restent proches de ce dernier » ou
* « les rayons incidents issu de $\;A_{o}\;$ sont peu inclinés par rapport à l'axe optique principal associé à $\;A_{o}\;$ et « les rayons incidents issu de $\;\color {transparent}{A_{o}}\;$ leurs points d'incidence sur la face d'entrée restent proches du point d'intersection de l'axe optique principal avec la face d'entrée »,
avec l'une ou l'autre couple de conditions, les rayons incidents sont alors qualifiés de « paraxiaux » ;
il y a alors « stigmatisme approché du système optique pour le point objet $\;A_{o}\;$» et ces conditions définissent les « conditions de Gauss du stigmatisme approché du système optique ».
Voir ci-contre sur l'exemple d'un « miroir sphérique concave ».

## Notion d'aplanétisme approché d'un système optique

Cette notion a déjà été vue dans le chap.$12$ de la leçon Signaux physiques (PCSI) » sous son aspect « rigoureux » dans le paragraphe « définition de l'aplanétisme rigoureux d'un système optique stigmatique rigoureux », elle est rappelée ci-après puis sera prolongée sous son aspect « approché ».
Dans l'hypothèse où il y a « stigmatisme rigoureux ou approché d'un système optique », un « objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$» admet une « image nette $\;A_{i}B_{i}\;$» mais Dans l'hypothèse où il y a « stigmatisme rigoureux ou approché d'un système optique », un « objet linéique transverse $\;\color {transparent}{A_{o}B_{o}}\;$» admet une « image nette » non nécessairement « linéique » et si elle l'est, Dans l'hypothèse où il y a « stigmatisme rigoureux ou approché d'un système optique », un « objet linéique transverse $\;\color {transparent}{A_{o}B_{o}}\;$» admet une « image nette » non nécessairement « transverse » ; Dans l'hypothèse où il y a « stigmatisme rigoureux ou approché d'un système optique », on distingue deux possibilités théoriques :
* l'image $-$ que le stigmatisme soit rigoureux $\;{\big$ou approché${\big )}\;$ $-$ est linéique transverse quelle que soit la dimension de l'objet $\;A_{o}B_{o}$, on dira alors qu'il y a « aplanétisme rigoureux du système optique stigmatique rigoureux $\;{\big$ou approché${\big )}\;$ pour l'objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$» ou,
* l'image est linéique transverse uniquement si l'angle sous lequel l'objet$\;A_{o}B_{o}\;$est vu de la face d'entrée est réduit dans « des conditions restant à préciser », on dit alors qu'il y a « aplanétisme approché du système optique pour l'objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$».

## Conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché d'un système optique « centré »

Dans l'hypothèse où le système optique « centré » n'est pas aplanétique rigoureux pour des objets linéiques transverses de pied $\;A_{o}$, on envisage, pour obtenir un aplanétisme approché :
* en $\;A_{o}\;$ fixé, de choisir des objets de dimensions réduites ou,
* pour un objet linéique transverse de dimension fixée, d'éloigner $\;A_{o}\;$ de la face d'entrée,
on envisage de façon à ce que « l'angle$\;\beta \;$sous lequel l'objet est vu du sommet$\;S_{e}\;$de la face d'entrée du système optique soit petit » dans l'hypothèse où l'objet n'est pas proche de la face d'entrée et
on envisage de façon à ce que« l'angle$\;\alpha \;$sous lequel l'objet est vu du centre de courbure$\;C_{e}\;$de la face d'entrée du système optique soit petit » si l'objet est proche de la face d'entrée ;
avec l'une ou l'autre des conditions ci-dessus on démontre alors que l'image est effectivement linéique transverse ;
il y a donc « aplanétisme approché du système optique pour ces objets linéiques transverses » et ces conditions définissent les « conditions supplémentaires de Gauss de l'aplanétisme approché du système optique », voir ci-contre sur l'exemple d'un « miroir sphérique convexe » :
on y remarque les quatre situations suivantes
* un objet pour lequel il y a aplanétisme approché du miroir car il en est à une distance « modérée » $\;{\big$objet « droit » le plus à gauche${\big )}$,
* un objet pour lequel il n'y a pas aplanétisme approché du miroir bien qu'en étant à une distance « modérée » car l'objet est de taille trop grande $\;{\big$objet « inversé » le plus à gauche${\big )}$,
* un objet de taille identique au 1er cité pour lequel il n'y a plus aplanétisme approché car cet objet a été trop rapproché du miroir $\;{\big$objet « inversé » le plus à droite${\big )}\;$ et
* un objet situé au même endroit que le précédent mais pour lequel l'aplanétisme approché réapparaît bien que restant très proche du miroir car la taille de l'objet a été réduite $\;{\big$objet « droit » le plus à droite de même pied que le 2ème objet${\big )}$ $\;\ldots$

## Choix d'un détecteur pour satisfaire les conditions de Gauss pour un système optique « centré »
### Système optique « centré » diaphragmé, taille du diaphragme pour satisfaire les conditions de Gauss du stigmatisme approché

Un système optique « centré » non stigmatique rigoureux ne peut devenir « stigmatique approché pour les points objets de l'axe optique principal » que si on impose aux rayons issus des points objets d'être paraxiaux et pour cela il convient que le système optique soit « diaphragmé », c.-à-d. qu'il faut ajouter un diaphragme centré sur l'axe optique principal du système, diaphragme qui peut être positionné avant la face d'entrée, après la face de sortie ou entre les deux ;
$\succ \;$supposant que le diaphragme est accolé à la face d'entrée, ce dernier joue le rôle de « pupille d'entrée » et,
$\color {transparent}{\succ }\;$dans l'hypothèse où les conditions d'aplanétisme approché sont réalisées pour le diaphragme, l'image de la pupille d'entrée par le système optique joue le rôle de « pupille de sortie » ;
$\succ \;$tous les rayons issus du point objet et traversant le diaphragme devant être paraxiaux pour que le système optique soit stigmatique approché, il faut que
* « l'angle sous lequel le diaphragme est vu du point objet soit petit » mais il faut aussi
* « la dimension du diaphragme petite » pour que les points d'incidence restent proches du sommet de la face d'entrée ;
$\succ \;$« plus l'objet est proche de la face d'entrée », « plus le diaphragme doit être fermé » pour que le stigmatisme approché soit maintenu, voir ci-contre dans le cas d'un miroir concave.

### Caractéristiques d'un détecteur pour satisfaire les conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique « centré »

La plupart des systèmes optiques « centrés » ne sont pas « stigmatiques rigoureux » sauf pour un ou deux points particuliers mais ils sont « stigmatiques approchés » dès lors qu'ils sont utilisés dans les conditions de Gauss ;
$\succ \;$considérant des angles d'inclinaison des rayons incidents petits et faisant des D.L. à l'ordre un en ces angles, $\color {transparent}{\succ }\;$la conséquence est que le système optique « centré » donne du point objet $\;A_{o}\;$ de l'axe optique principal, une image ponctuelle $\;A_{i}\;$ à l'ordre un en ces angles mais $\;\ldots \;$
$\color {transparent}{\succ }\;$la conséquence est que en réalité les rayons émergents correspondant aux rayons incidents issus de $\;A_{o}\;$ ne sont pas parfaitement concourants, l'endroit considéré comme « le point image $\;A_{i}\;$ étant en fait le centre d'une tâche d'éclairement maximal, de diamètre $\;a\;$» au moins d'ordre deux en les angles d'inclinaison des rayons incidents ;
$\succ \;$si on positionne un détecteur centré sur $\;A_{i}\;$ à quelle condition l'image apparaîtra-t-elle réellement ponctuelle ?
$\color {transparent}{\succ }\;$Il faut savoir que tout détecteur est composé d'une mosaïque de cellules élémentaires correspondant chacune à un pixel $\;{\big$c.-à-d. un point de l'image finale${\big )}\;$ dont la taille est fixée ; notons «$\;g\;$ le diamètre d'un pixel », l'image de $\;A_{o}\;$ apparaîtra ponctuelle si le diamètre de la tache d'éclairement maximal centrée en $\;A_{i}\;$ est inférieur au diamètre du pixel centré au même point c.-à-d. si «$\;a<g\;$» ;
$\color {transparent}{\succ }\;$si ceci est réalisé on peut affirmer que les conditions de Gauss de stigmatisme approché du système optique « centré » sont suffisantes pour le détecteur utilisé ;
$\color {transparent}{\succ }\;$le diamètre «$\;g\;$ des pixels du détecteur » étant imposé, pour améliorer des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique « centré » qui seraient insuffisantes, il convient de « diminuer le diamètre $\;a\;$ de la tache d'éclairement maximal centrée en $\;A_{i}\;$» et pour cela de « diminuer l'inclinaison maximale des rayons incidents relativement à l'axe optique principal », ceci étant obtenu en « diminuant le diamètre du diaphragme » $\;\ldots$