# Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Les matrices, généralités
## Introduction des « matrices » en mathématiques

En mathématiques, les « matrices » sont des tableaux rectangulaires de nombres pour interpréter, en termes calculatoires, En mathématiques, les « matrices » sont des tableaux rectangulaires de nombres pour interpréter, les résultats théoriques de l'algèbre linéaire et En mathématiques, les « matrices » sont des tableaux rectangulaires de nombres pour interpréter, les résultats théoriques des applications linéaires.
Une matrice $\;m\times n\;$ ${\big \$avec $\;\left(m\,,\,n\right)\in \left[\mathbb {N} ^{*}\right]^{2}\;$$^,$ tels qu'au moins un des nombres est $\;\neq \;$ de $\;1\;$${\big \}$ Une matrice $\;\color {transparent}{m\times n}\;$ est un tableau rectangulaire $\;\left[A\right]\;$ de $\;m\;$ lignes et $\;n\;$ colonnes, Une matrice $\;\color {transparent}{m\times n}\;$ le terme générique de la matrice $\;\left[A\right]\;$ définie sur $\;\mathbb {R} \;$, noté $\;a_{i,\,j}\;$ Une matrice $\;\color {transparent}{m\times n}\;$ le terme générique occupant la case de la ième ligne et la jème colonne, Une matrice $\;\color {transparent}{m\times n}\;$ la matrice étant encore notée $\;\left(a_{i,\,j}\right)_{1\leqslant i\leqslant m\,,\,1\leqslant j\leqslant n}\;$ $\;{\big$voir ci-contre${\big )}$ ; les appellations suivantes sont utilisées pour les cas particuliers de matrices : les appellations suivantes $\bullet \;$« matrice nulle si $\;a_{i,\,j}=0\;\;\forall \;\left(i\,,\,j\right)\;$», les appellations suivantes $\bullet \;$« matrice colonne si $\;n=1$», les appellations suivantes $\bullet \;$« matrice ligne si $\;m=1\;$», les appellations suivantes $\bullet \;$« matrice carrée si $\;m=n\neq 1\;$», les appellations suivantes $\bullet \;$« matrice triangulaire supérieure pour une matrice carrée telle que $\;a_{i,\,j}=0\;\;\forall \;j>i\;$ et $\;\exists \;\left(i,\,j\leqslant i\right)\;:\;a_{i,\,j}\neq 0\;$», les appellations suivantes $\bullet \;$« matrice triangulaire inférieure pour une matrice carrée telle que $\;a_{i,\,j}=0\;\;\forall \;j<i\;$ et $\;\exists \;\left(i,\,j\geqslant i\right)\;:\;a_{i,\,j}\neq 0\;$», les appellations suivantes $\bullet \;$« matrice diagonale pour une matrice carrée telle que $\;a_{i,\,j}=0\;\;\forall \;j\neq i\;$ et $\;\exists \;j\;:\;a_{j,\,j}\neq 0\;$ » et les appellations suivantes $\bullet \;$« matrice identité notée $\;\left[I\right]\;$ pour une matrice diagonale telle que $\;\forall \;j\;:\;i_{j,\,j}=1\;$».  Dans toute la suite du chapitre, nous nous intéressons $\;{\big$sauf avis contraire${\big )}\;$ à des matrices définies sur $\;\mathbb {R}$.

## Opérations sur les matrices
### Transposition de matrices

Soit une matrice «$\;\left[A\right]=\left(a_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m\;,\;1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\;$ de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;\left(m\,,\,n\right)\;$», on appelle Soit « matrice transposée de$\;\left[A\right]\;$» « la matrice notée $\;^{t\!}\left[A\right]\;$ de dimension$\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;\left(n\,,\,m\right)\;$» telle que Soit « matrice transposée de$\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$» « la matrice notée «$\;^{t\!}\left[A\right]=\left(a_{j,\,i}\right)_{1\leqslant j\leqslant n\,,\,1\leqslant i\leqslant m}\;$».
Exemple : soit la matrice $\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}1&2\\3&4\\5&6\end{array}}\right]\;$ de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;\left(3\,,\,2\right)$, Exemple : soit la matrice transposée de $\;\left[A\right]\;$ est la matrice de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;\left(2\,,\,3\right)\;$ s'écrivant $\;^{t\!}\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}1&3&5\\2&4&6\end{array}}\right]$, Exemple : soit la matrice transposée elle s'obtient pratiquement par symétrie axiale par rapport à la diagonale principale de la matrice $\;\left[A\right]$ Exemple : soit la matrice transposée elle s'obtient pratiquement ${\big$ou en permutant lignes et colonnes de la matrice de départ${\big )}$, Exemple : soit la matrice transposée de $\;^{t\!}\left[A\right]\;$ redonnant la matrice $\;\left[A\right]\;$ soit $\;^{t\!}\left\lbrace ^{t\!}\left[A\right]\right\rbrace =\;\left[A\right]$ ; Exemple : ci-contre une animation permettant de visualiser la formation de la matrice transposée $\;^{t\!}\left[A\right]\;$ de la matrice $\;\left[A\right]\;$ et Exemple : ci-contre une animation permettant de visualiser son itération $\;{\Big$c.-à-d. la formation de la matrice transposée $\;^{t\!}\left\lbrace ^{t\!}\left[A\right]\right\rbrace \;$ de la transposée $\;^{t\!}\left[A\right]\;$${\Big )}\;\ldots$

### Addition de matrices et multiplication par un scalaire

Ces opérations sont définies sur l'« ensemble des matrices de dimension $\;{\big$ou de taille${\big )}$ $\;\left(m\,,\,n\right)\;$ définies sur $\;\mathbb {R} \;$» et noté «$\;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$».

#### Addition de matrices de même dimension (ou taille)

Sur «$\;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» on définit la loi de composition interne « addition de matrices » notée «$\;+\;$» $\;\left\lbrace M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\right\rbrace ^{2}\;{\overset {+}{\rightarrow }}\;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ définie selon Sur «$\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» on définit la loi de composition interne «$\;\forall \;\left\lbrace \left(a_{i,\,j}\right)\,,\,\left(b_{i,\,j}\right)\right\rbrace \;\in \;\left\lbrace M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\right\rbrace ^{2}\;$», «$\;\left\lbrace \left(a_{i,\,j}\right)\,,\,\left(b_{i,\,j}\right)\right\rbrace \;{\overset {+}{\rightarrow }}\;\left(a_{i,\,j}\right)+\left(b_{i,\,j}\right)=\left(a_{i,\,j}+b_{i,\,j}\right)\;\in \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» ; Sur «$\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» l'ensemble «$\;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» muni de l'addition «$\;+\;$» est un groupe abélien (ou commutatif), en effet Sur «$\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» la loi de composition interne possède les propriétés : $\bullet \;$associativité «$\;\left(a_{i,\,j}\right)+\left\lbrace \left(b_{i,\,j}\right)+\left(c_{i,\,j}\right)\right\rbrace =\left(a_{i,\,j}\right)+\left(b_{i,\,j}+c_{i,\,j}\right)=\left(a_{i,\,j}+b_{i,\,j}+c_{i,\,j}\right)=\left\lbrace \left(a_{i,\,j}\right)+\left(b_{i,\,j}\right)\right\rbrace +\left(c_{i,\,j}\right)\;$», Sur «$\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» la loi de composition interne possède les propriétés : $\bullet \;$commutativité «$\;\left(a_{i,\,j}\right)+\left(b_{i,\,j}\right)=\left(a_{i,\,j}+b_{i,\,j}\right)=\left(b_{i,\,j}+a_{i,\,j}\right)=\left(b_{i,\,j}\right)+\left(a_{i,\,j}\right)\;$», Sur «$\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» la loi de composition interne possède les propriétés : $\bullet \;$existence d'un élément neutre « la matrice nulle » qui vérifie «$\;\left(a_{i,\,j}\right)+\left(0_{i,\,j}\right)=\left(a_{i,\,j}+0_{i,\,j}\right)=\left(a_{i,\,j}\right)\;$» et Sur «$\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» la loi de composition interne possède les propriétés : $\bullet \;$telle que toute matrice admet un opposé unique «$\;\forall \;\left(a_{i,\,j}\right)\;$ $\;\exists \,!\;$ un opposé $\;\left({a'}_{i,\,j}\right)\;$ vérifiant $\;{a'}_{i,\,j}=-a_{i,\,j}\;$» car Sur «$\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» la loi de composition interne possède les propriétés : $\color {transparent}{\bullet }\;$telle que toute matrice admet un opposé unique «$\;\left(a_{i,\,j}\right)+\left({a'}_{i,\,j}\right)=\left(a_{i,\,j}+{a'}_{i,\,j}\right)=\left(a_{i,\,j}-a_{i,\,j}\right)=\left(0_{i,\,j}\right)\;$».

#### Multiplication par un scalaire

Sur «$\;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» on définit la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de $\;\mathbb {R} \;$» notée «$\;\cdot \;$» $\;\mathbb {R} \times M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;{\overset {\cdot }{\rightarrow }}\;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ définie selon Sur «$\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» on définit la loi de composition externe «$\;\forall \;\lambda \;\in \;\mathbb {R} ,\;\;\forall \;\left(a_{i,\,j}\right)\;\in \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$», «$\;\left\lbrace \lambda \,,\,\left(a_{i,\,j}\right)\right\rbrace \;{\overset {\cdot }{\rightarrow }}\;\lambda \cdot \left(a_{i,\,j}\right)=\left(\lambda \;a_{i,\,j}\right)\;\in \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» ou Sur «$\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» on définit la loi de composition externe «$\;\forall \;\lambda \;\in \;\mathbb {R} ,\;\;\forall \;\left(a_{i,\,j}\right)\;\in \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$», «$\;\left\lbrace \left(a_{i,\,j}\right)\,,\,\lambda \right\rbrace \;{\overset {\cdot }{\rightarrow }}\;\left(a_{i,\,j}\right)\cdot \lambda =\left(a_{i,\,j}\;\lambda \right)=\left(\lambda \;a_{i,\,j}\right)\;\in \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» ; Sur «$\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» cette loi de composition externe « multiplication par un scalaire de $\;\mathbb {R} \;$» définie sur le groupe abélien (ou commutatif) «$\;\left\lbrace M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\,,\,+\right\rbrace \;$» et notée «$\;\cdot \;$» Sur «$\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» cette loi de composition externe possède les propriétés : $\bullet \;$« distributivité par rapport à l'addition de $\;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» Sur «$\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» cette loi de composition externe possède les propriétés : $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\lambda \cdot \left\lbrace \left(a_{i,\,j}\right)+\left(b_{i,\,j}\right)\right\rbrace =\lambda \cdot \left(a_{i,\,j}\right)+\lambda \cdot \left(b_{i,\,j}\right)=\left(\lambda \;a_{i,\,j}\right)+\left(\lambda \;b_{i,\,j}\right)=\left(\lambda \;a_{i,\,j}+\lambda \;b_{i,\,j}\right)=\left(\lambda \left\lbrace a_{i,\,j}+b_{i,\,j}\right\rbrace \right)\;$», Sur «$\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» cette loi de composition externe possède les propriétés : $\bullet \;$« distributivité par rapport à l'addition de $\;\mathbb {R} \;$» Sur «$\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» cette loi de composition externe possède les propriétés : $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\left\lbrace \lambda +\mu \right\rbrace \cdot \left(a_{i,\,j}\right)=\lambda \cdot \left(a_{i,\,j}\right)+\mu \cdot \left(b_{i,\,j}\right)=\left(\lambda \;a_{i,\,j}\right)+\left(\mu \;a_{i,\,j}\right)=\left(\lambda \;a_{i,\,j}+\mu \;a_{i,\,j}\right)=\left(\left\lbrace \lambda +\mu \right\rbrace \;a_{i,\,j}\right)\;$», Sur «$\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» cette loi de composition externe possède les propriétés : $\bullet \;$« associativité mixte par rapport à la multiplication dans $\;\mathbb {R} \;$» Sur «$\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» cette loi de composition externe possède les propriétés : $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\left\lbrace \lambda \;\mu \right\rbrace \cdot \left(a_{i,\,j}\right)=\lambda \cdot \left\lbrace \mu \cdot \left(a_{i,\,j}\right)\right\rbrace =\lambda \cdot \left(\mu \;a_{i,\,j}\right)=\left(\lambda \;\mu \;a_{i,\,j}\right)=\left(\left\lbrace \lambda \;\mu \right\rbrace \;a_{i,\,j}\right)\;$» et Sur «$\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» cette loi de composition externe possède les propriétés : $\bullet \;$telle que « l'élément neutre de la multiplication dans $\;\mathbb {R} \;$ noté $\;1_{\mathbb {R} }\;$ est neutre pour “$\;\cdot \;$” » «$\;1_{\mathbb {R} }\cdot \left(a_{i,\,j}\right)=\left(1_{\mathbb {R} }\;a_{i,\,j}\right)=\left(a_{i,\,j}\right)\;$».

#### Conséquence sur l'ensemble des matrices de dimension (ou taille) fixée
##### Structure d'espace vectoriel de l'ensemble des matrices de dimension (ou taille) fixée

L'ensemble «$\;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» muni de l'addition «$\;+\;$» étant un groupe abélien (ou commutatif)$^,$ et L'ensemble «$\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de $\;\mathbb {R} \;$» étant $\bullet \;$« distributive par rapport à l'addition de $\;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» ainsi que L'ensemble «$\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;$» étant $\bullet \;$« distributive par rapport à l'addition de $\;\mathbb {R} \;$», L'ensemble «$\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;$» étant $\bullet \;$« associative mixte par rapport à la multiplication dans $\;\mathbb {R} \;$» et L'ensemble «$\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;$» étant $\bullet \;$« telle que l'élément neutre $\;1_{\mathbb {R} }\;$ de la multiplication dans $\;\mathbb {R} \;$ L'ensemble «$\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;$» étant $\color {transparent}{\bullet }\;$« telle que l'élément neutre $\;\color {transparent}{1_{\mathbb {R} }}\;$ est neutre pour la loi de composition externe », L'ensemble «$\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» nous en déduisons que «$\;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» est un «$\;\mathbb {R}$-espace vectoriel » et L'ensemble «$\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» nous pourrions démontrer que « la dimension de cet espace vectoriel est $\;m\times n\;$».

##### Base canonique de l'ensemble des matrices de dimension (ou taille) fixée et décomposition d'une matrice sur la base canonique

Tout élément de $\;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ est décomposable de façon unique sur sa base canonique composée des «$\;m\;n\;$ matrices $\;\left[E\right]_{p,\,q}\;$» Tout élément de $\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ est décomposable de façon unique sur sa ${\bigg \$dans $\;\left[E\right]_{p,\,q}\;$ tous les éléments sont nuls à l'exception de l'élément d'indices $_{p,\,q}\;$ qui vaut $\;1$, ou Tout élément de $\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ est décomposable de façon unique sur sa $\color {transparent}{\bigg \$en utilisant le symbole de Kronecker $\;\delta _{k,\,l}=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\;{\text{si }}\;k\neq l\\1\;{\text{si }}\;k=l\end{array}}\right\rbrace$, l'écriture suivante Tout élément de $\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ est décomposable de façon unique sur sa $\color {transparent}{\bigg \$dans $\;\left[E\right]_{p,\,q}=\left(e_{i,\,j}^{p,\,q}\right)_{p,\,q}\;$ avec $\;e_{i,\,j}^{p,\,q}=\delta _{i,\,p}\;\delta _{j,\,q}\;$ pour $\;i\in \left[\left[1\,,\,m\right]\right]\;$ et $\;j\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right]{\bigg \}$, Tout élément de $\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ la décomposition de la matrice $\;\left[A\right]=\left(a_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m\;,\;1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\;$ sur la base canonique s'écrivant Tout élément de $\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ la décomposition de la matrice «$\;\left[A\right]=\left(a_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m\;,\;1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}=\sum \limits _{\begin{array}{c}1\leqslant p\leqslant m\\1\leqslant q\leqslant n\end{array}}a_{p,\,q}\cdot \left[E\right]_{p,\,q}=\sum \limits _{\begin{array}{c}1\leqslant p\leqslant m\\1\leqslant q\leqslant n\end{array}}a_{p,\,q}\cdot \left(e_{i,\,j}^{p,\,q}\right)_{p,\,q}=\sum \limits _{\begin{array}{c}1\leqslant p\leqslant m\\1\leqslant q\leqslant n\end{array}}a_{p,\,q}\cdot \left(\delta _{i,\,p}\;\delta _{j,\,q}\right)_{p,\,q}\;$».
Exemple : $\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}1&2\\3&4\\5&6\end{array}}\right]\;$ de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;\left(3\,,\,2\right)$, Exemple : les six vecteurs de la base canonique étant $\;\left[E\right]_{1,\,1}=\left[{\begin{array}{c}1&0\\0&0\\0&0\end{array}}\right]$, $\;\left[E\right]_{1,\,2}=\left[{\begin{array}{c}0&1\\0&0\\0&0\end{array}}\right]$, $\;\left[E\right]_{2,\,1}=\left[{\begin{array}{c}0&0\\1&0\\0&0\end{array}}\right]$, $\;\left[E\right]_{2,\,2}=\left[{\begin{array}{c}0&0\\0&1\\0&0\end{array}}\right]$, $\;\left[E\right]_{3,\,1}=\left[{\begin{array}{c}0&0\\0&0\\1&0\end{array}}\right]\;$ et $\;\left[E\right]_{3,\,2}=\left[{\begin{array}{c}0&0\\0&0\\0&1\end{array}}\right]$, Exemple : la décomposition de $\;\left[A\right]\;$ sur sa base canonique s'écrit «$\;\left[A\right]=1\cdot \left[E\right]_{1,\,1}+2\cdot \left[E\right]_{1,\,2}+3\cdot \left[E\right]_{2,\,1}+4\cdot \left[E\right]_{2,\,2}+5\cdot \left[E\right]_{3,\,1}+6\cdot \left[E\right]_{3,\,2}\;$».

### Multiplication matricielle à droite (ou à gauche)
#### Définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)

La multiplication matricielle à droite d'une matrice de l'ensemble $\;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ des matrices de dimension $\;{\big$ou de taille${\big )}$ $\;\left(m\,,\,n\right)\;$ définies sur $\;\mathbb {R} \;$ La multiplication matricielle à droite est une loi de composition externe nécessitant l'intervention, à droite, d'une matrice de l'ensemble $\;M_{n,\,p}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ La multiplication matricielle à droite est une loi de composition externe nécessitant des matrices de dimension $\;{\big$ou de taille${\big )}$ $\;\left(n\,,\,p\right)\;$ définies sur $\;\mathbb {R}$, La multiplication matricielle à droite le résultat de cette multiplication matricielle à droite La multiplication matricielle à droite le résultat étant une matrice de l'ensemble $\;M_{m,\,p}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ des matrices de dimension $\;{\big$ou de taille${\big )}$ $\;\left(m\,,\,p\right)\;$ soit, La multiplication matricielle à droite en notant «$\;\times \;$» la multiplication matricielle $\;{\big$à droite${\big )}$, la définition de la loi de composition externe suivante La multiplication matricielle à droite en notant «$\;\color {transparent}{\times }\;$» la multiplication matricielle $\;\color {transparent}{\big$à droite$\color {transparent}{\big )}$, $M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\times M_{n,\,p}\!\left(\mathbb {R} \right)\;{\overset {\times }{\rightarrow }}\;M_{m,\,p}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ telle que La multiplication matricielle à droite « pour $\;\left[A\right]=\left(a_{i,\,j}\right)\in M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ et $\;\left[B\right]=\left(b_{i,\,j}\right)\in M_{n,\,p}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$», «$\;\left[A\right]\times \left[B\right]=\left[C\right]\in M_{m,\,p}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» ou La multiplication matricielle à droite «$\;\left(a_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m\;,\;1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\times \left(b_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,n\;,\;1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,p}=\left(c_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m\;,\;1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,p}\;$» où «$\;c_{i,\,j}=\sum \limits _{k=\left[\left[1,\,n\right]\right]}a_{i,\,k}\;b_{k,\,j}\;$», La multiplication matricielle à droite voir mode opératoire de la multiplication matricielle à droite ci-contre.
La multiplication matricielle à gauche d'une matrice de l'ensemble $\;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ des matrices de dimension $\;{\big$ou de taille${\big )}$ $\;\left(m\,,\,n\right)\;$ définies sur $\;\mathbb {R} \;$ La multiplication matricielle à gauche est une loi de composition externe nécessitant l'intervention, à gauche, d'une matrice de l'ensemble $\;M_{q,\,m}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ La multiplication matricielle à gauche est une loi de composition externe nécessitant des matrices de dimension $\,{\big$ou de taille${\big )}$ $\left(q\,,\,m\right)\,$ définies sur $\,\mathbb {R}$, La multiplication matricielle à gauche le résultat de cette multiplication matricielle à gauche La multiplication matricielle à gauche le résultat étant une matrice de l'ensemble $\;M_{q,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ des matrices de dimension $\,{\big$ou de taille${\big )}$ $\,\left(q\,,\,n\right)\;$ soit, La multiplication matricielle à gauche en notant «$\;\times \;$» la multiplication matricielle $\;{\big$à gauche${\big )}$, la définition de la loi de composition externe suivante La multiplication matricielle à gauche en notant «$\;\color {transparent}{\times }\;$» la multiplication matricielle $\;\color {transparent}{\big$à gauche$\color {transparent}{\big )}$, $M_{q,\,m}\!\left(\mathbb {R} \right)\times M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;{\overset {\times }{\rightarrow }}\;M_{q,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ telle que La multiplication matricielle à gauche « pour $\;\left[A\right]=\left(a_{i,\,j}\right)\in M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ et $\;\left[B\right]=\left(b_{i,\,j}\right)\in M_{q,\,m}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$», «$\;\left[B\right]\times \left[A\right]=\left[D\right]\in M_{q,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» ou La multiplication matricielle à gauche «$\;\left(b_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,q\;,\;1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,m}\times \left(a_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m\;,\;1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}=\left(d_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,q\;,\;1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\;$» avec «$\;d_{i,\,j}=\sum \limits _{l=\left[\left[1,\,m\right]\right]}b_{i,\,l}\;a_{l,\,j}\;$», La multiplication matricielle à gauche le mode opératoire de la multiplication matricielle à gauche est le même que celui décrit dans le schéma ci-dessus La multiplication matricielle à gauche le mode opératoire de la multiplication matricielle à gauche est le même à condition de permuter la position de $\;\left[A\right]\;$ avec celle de $\;\left[B\right]$.
Exemple : soit la matrice $\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}1&2\\3&4\\5&6\end{array}}\right]\in M_{3,\,2}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ à multiplier à droite par la matrice $\;\left[B\right]=\left[{\begin{array}{c}7&9&11\\8&10&12\end{array}}\right]\in M_{2,\,3}\!\left(\mathbb {R} \right)$, on obtient la matrice $\;\left[A\right]\times \left[B\right]=\left[C\right]\in M_{3,\,3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ soit $\;\left[C\right]=$ Exemple : soit la matrice $\;\color {transparent}{\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}1&2\end{array}}\right]\in M_{3,\,2}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ à multiplier à droite par la matrice $\;\color {transparent}{\left[B\right]=\left[{\begin{array}{c}7&9&11\end{array}}\right]\in M_{2,\,3}\!\left(\mathbb {R} \right)}$, on obtient $\;\left[{\begin{array}{c}1&2\\3&4\\5&6\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}7&9&11\\8&10&12\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}23&29&35\\53&67&81\\83&105&127\end{array}}\right]\;$ ;
Exemple : le choix des dimensions $\;{\big$ou tailles${\big )}\;$ des matrices ci-dessus a été fait pour que la multiplication à gauche de la matrice $\;\left[A\right]\in M_{3,\,2}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ par la matrice $\;\left[B\right]\in M_{2,\,3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ soit aussi possible, Exemple : le choix des dimensions $\;\color {transparent}{\big$ou tailles$\color {transparent}{\big )}\;$ des matrices ci-dessus a été fait pour que la multiplication à gauche de la matrice $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ on obtient alors la matrice $\;\left[B\right]\times \left[A\right]=\left[D\right]\in M_{2,\,2}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ soit Exemple : le choix des dimensions $\;\color {transparent}{\big$ou tailles$\color {transparent}{\big )}\;$ des matrices ci-dessus a été fait pour que la multiplication à gauche de la matrice $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ on obtient $\left[D\right]=\left[{\begin{array}{c}7&9&11\\8&10&12\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}1&2\\3&4\\5&6\end{array}}\right]$ $=\left[{\begin{array}{c}89&116\\98&128\end{array}}\right]\;$ ;
Exemple : on vérifie que «$\;\left[B\right]\times \left[A\right]=\left[D\right]\in M_{2,\,2}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» est $\;\neq \;$ de «$\;\left[A\right]\times \left[B\right]=\left[C\right]\in M_{3,\,3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$», les dimensions $\;{\big$ou tailles${\big )}\;$ étant $\;{\big$d'ailleurs${\big )}\;$ différentes toutefois, Exemple : on vérifie que si les matrices facteurs $\;\left[A\right]\;$ et $\;\left[B\right]\;$ sont carrées de même dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$, «$\;\left[A\right]\times \left[B\right]\;$ reste, en général, $\;\neq \;$ de $\;\left[B\right]\times \left[A\right]\;$», Exemple : on vérifie que si les matrices facteurs $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ et $\;\color {transparent}{\left[B\right]}\;$ sont carrées de même dimension $\;\color {transparent}{\big$ou taille$\color {transparent}{\big )}$, les matrices produits étant carrées de même dimension $\;{\big$ou taille${\big )}\;$ que les matrices facteurs.

#### Relation de transposition d'un produit matriciel

$\;\left[C\right]\in M_{m,\,p}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$
$\;\left[A\right]\times \left[B\right]\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left[A\right]\in M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\\\left[B\right]\in M_{n,\,p}\!\left(\mathbb {R} \right)\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;^{t\!}\left[C\right]\in M_{p,\,m}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$
$\;^{t\!}\left[C\right]=\;^{t\!}\left[B\right]\times \,^{t\!}\left[A\right]\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\,^{t\!}\left[B\right]\in M_{p,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\\\,^{t\!}\left[A\right]\in M_{n,\,m}\!\left(\mathbb {R} \right)\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;^{t\!}\left\lbrace \left[A\right]\times \left[B\right]\right\rbrace =\;^{t\!}\left[B\right]\times \,^{t\!}\left[A\right]\;$
Démonstration : soit «$\;\left[A\right]=\left(a_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m\;,\;1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\in M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ et $\;\left[B\right]=\left(b_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,n\;,\;1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,p}\in M_{n,\,p}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$», Démonstration : « le produit $\;\left[A\right]\times \left[B\right]\;$ est une matrice $\;\left[C\right]\in M_{m,\,p}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» selon «$\;\left(a_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m\;,\;1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\times \left(b_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,n\;,\;1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,p}=\left(c_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m\;,\;1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,p}\;$» où «$\;c_{i,\,j}=\sum \limits _{k=\left[\left[1,\,n\right]\right]}a_{i,\,k}\;b_{k,\,j}\;$» ; Démonstration : « la matrice transposée de $\;\left[C\right]\;$ s'écrit alors $\;^{t\!}\left[C\right]=\left({c'}_{j,\,i}\right)_{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,p\;,\;1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;$» avec «$\;{c'}_{j,\,i}=c_{i,\,j}=\sum \limits _{k=\left[\left[1,\,n\right]\right]}a_{i,\,k}\;b_{k,\,j}\;$» ; Démonstration : « la matrice transposée de $\;\left[B\right]\;$ s'écrivant $\;^{t\!}\left[B\right]=\left({b'}_{j,\,i}\right)_{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,p\;,\;1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,n}\;$» avec «$\;{b'}_{j,\,i}=b_{i,\,j}\;$» et Démonstration : « celle transposée de $\;\left[A\right]\;$ s'écrivant $\;^{t\!}\left[A\right]=\left({a'}_{j,\,i}\right)_{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n\;,\;1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;$» avec «$\;{a'}_{j,\,i}=a_{i,\,j}\;$», on en déduit Démonstration : « le produit $\;^{t\!}\left[B\right]\times \,^{t\!}\left[A\right]=\left[D\right]=\left(d_{j\,i}\right)_{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,p\;,\;1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;$» tel que «$\;d_{j,\,i}=\sum \limits _{k=\left[\left[1,\,n\right]\right]}{b'}_{j,\,k}\;{a'}_{k,\,i}=\sum \limits _{k=\left[\left[1,\,n\right]\right]}b_{k,\,j}\;a_{i,\,k}={c'}_{j,\,i}\;$» $\Rightarrow$ «$\;\left[D\right]=\;^{t\!}\left[C\right]\;$» et par suite Démonstration : « le produit $\;\color {transparent}{^{t\!}\left[B\right]\times \,^{t\!}\left[A\right]=\left[D\right]=\left(d_{j\,i}\right)_{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,p\;,\;1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}}\;$» tel que «$\;\color {transparent}{d_{j,\,i}=\sum \limits _{k=\left[\left[1,\,n\right]\right]}{b'}_{j,\,k}\;{a'}_{k,\,i}=\sum \limits _{k=\left[\left[1,\,n\right]\right]}b_{k,\,j}\;a_{i,\,k}={c'}_{j,\,i}}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;^{t\!}\left[B\right]\times \,^{t\!}\left[A\right]=\;^{t\!}\left\lbrace \left[A\right]\times \left[B\right]\right\rbrace \;$» C.Q.F.D..

### Particularité de la multiplication matricielle définie sur l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée et conséquence sur la structure de cet ensemble
#### Particularité de la multiplication matricielle définie sur l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée

Toute matrice de l'ensemble $\;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ des matrices carrées de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;n\;$ fixée pouvant être multipliée à droite $\;{\big$ou à gauche${\big )}\;$ par n'importe matrice de $\;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)$, Toute matrice de l'ensemble $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ « la multiplication matricielle à droite $\;{\big$ou à gauche${\big )}\;$ définie sur $\;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» devient alors « une loi de composition interne $\;\left\lbrace M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\right\rbrace ^{2}\;{\overset {\times }{\rightarrow }}\;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» Toute matrice de l'ensemble $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ « la multiplication matricielle possédant les propriétés : $\bullet \;$« associativité de la multiplication matricielle » c.-à-d. «$\;\left\lbrace \left[A\right]\times \left[B\right]\right\rbrace \times \left[C\right]=\left[A\right]\times \left\lbrace \left[B\right]\times \left[C\right]\right\rbrace \;$», Toute matrice de l'ensemble $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ « la multiplication matricielle possédant les propriétés : $\bullet \;$« distributivité de la multiplication matricielle à gauche relativement à l'addition matricielle » soit Toute matrice de l'ensemble $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ « la multiplication matricielle possédant les propriétés : $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\left[A\right]\times \left\lbrace \left[B\right]+\left[C\right]\right\rbrace =\left[A\right]\times \left[B\right]+\left[A\right]\times \left[C\right]\;$», Toute matrice de l'ensemble $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ « la multiplication matricielle possédant les propriétés : $\bullet \;$« distributivité de la multiplication matricielle à droite relativement à l'addition matricielle » soit Toute matrice de l'ensemble $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ « la multiplication matricielle possédant les propriétés : $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\left\lbrace \left[A\right]+\left[B\right]\right\rbrace \times \left[C\right]=\left[A\right]\times \left[C\right]+\left[B\right]\times \left[C\right]\;$» et Toute matrice de l'ensemble $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ « la multiplication matricielle possédant les propriétés : $\bullet \;$« existence d'un élément neutre de la multiplication matricielle “la matrice identité $\;\left[I\right]\;$” » c.-à-d. Toute matrice de l'ensemble $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ « la multiplication matricielle possédant les propriétés : $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\left[A\right]\times \left[I\right]=\left[A\right]\;$ et $\;\left[I\right]\times \left[A\right]=\left[A\right]\;$».
Toute matrice de l'ensemble $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ « La multiplication matricielle n'est pas commutative » c.-à-d. qu'usuellement «$\;\left[A\right]\times \left[B\right]\neq \left[B\right]\times \left[A\right]\;$» $\;{\big$voir la note « $^{30}$ » plus haut dans ce chapitre${\big )}$.

#### Structure de l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée

L'ensemble $\;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ des matrices carrées de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;n\;$ fixée étant un cas particulier de l'ensemble $\;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ des matrices de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;\left(m\,,\,n\right)\;$ fixée L'ensemble $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ des matrices carrées de dimension $\;\color {transparent}{\big$ou taille$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{n}\;$ fixée étant un cas particulier de l’lequel, muni de l'addition «$\;+\;$», est un groupe abélien (ou commutatif)$^,$ $\Rightarrow$ L'ensemble $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ des matrices carrées de dimension $\;\color {transparent}{\big$ou taille$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{n}\;$ fixée l'ensemble $\;\left\lbrace M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\,,\,+\right\rbrace \;$ des matrices carrées de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;n\;$ fixée muni de l'addition «$\;+\;$» L'ensemble $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ des matrices carrées de dimension $\;\color {transparent}{\big$ou taille$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{n}\;$ fixée l'ensemble $\;\color {transparent}{\left\lbrace M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\,,\,+\right\rbrace }\;$ est aussi un groupe abélien (ou commutatif)$^,$, de plus L'ensemble $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ des matrices carrées de dimension $\;\color {transparent}{\big$ou taille$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{n}\;$ fixée la multiplication matricielle étant une loi de composition interne de l'ensemble $\;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ ayant les propriétés L'ensemble $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ des matrices carrées de dimension $\;\color {transparent}{\big$ou taille$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{n}\;$ fixée la multiplication matricielle $\bullet \;$« associativité », L'ensemble $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ des matrices carrées de dimension $\;\color {transparent}{\big$ou taille$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{n}\;$ fixée la multiplication matricielle $\bullet \;$« distributivité à gauche et à droite relativement à l'addition matricielle », L'ensemble $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ des matrices carrées de dimension $\;\color {transparent}{\big$ou taille$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{n}\;$ fixée la multiplication matricielle $\bullet \;$« existence d'un élément neutre » et L'ensemble $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ des matrices carrées de dimension $\;\color {transparent}{\big$ou taille$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{n}\;$ fixée la multiplication matricielle $\bullet \;$« absence de commutativité » $\Rightarrow$ L'ensemble $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ des matrices carrées de dimension $\;\color {transparent}{\big$ou taille$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{n}\;$ fixée la multiplication matricielle $\bullet \;$« l'ensemble $\;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ possède une structure d’anneau unitaire non commutatif » car L'ensemble $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ des matrices carrées de dimension $\;\color {transparent}{\big$ou taille$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{n}\;$ fixée la multiplication matricielle $\color {transparent}{\bullet }\;$l'ensemble $\;\left\lbrace M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\,,\,+\right\rbrace \;$ est un groupe abélien (ou commutatif)$^,$ avec L'ensemble $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ des matrices carrées de dimension $\;\color {transparent}{\big$ou taille$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{n}\;$ fixée la multiplication matricielle $\color {transparent}{\bullet }\;$les propriétés de la 2nde loi de composition interne «$\;\times \;$» ; l'ensemble $\;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ des matrices de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;\left(m\,,\,n\right)\;$ fixée étant un $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel et l'ensemble $\;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ des matrices carrées de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;n\;$ fixée l'ensemble $\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ des matrices de dimension $\;\color {transparent}{\big$ou taille$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{\left(m\,,\,n\right)}\;$ fixée étant un $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel et l'ensemble $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ des matrices carrées en étant un cas particulier $\Rightarrow$ l'ensemble $\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ des matrices de dimension $\;\color {transparent}{\big$ou taille$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{\left(m\,,\,n\right)}\;$ fixée étant un $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel et « l'ensemble $\;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ des matrices carrées de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;n\;$ fixée l'ensemble $\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ des matrices de dimension $\;\color {transparent}{\big$ou taille$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{\left(m\,,\,n\right)}\;$ fixée étant un $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel et « l'ensemble $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ des matrices carrées est aussi un $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel » l'ensemble $\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ des matrices de dimension $\;\color {transparent}{\big$ou taille$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{\left(m\,,\,n\right)}\;$ fixée étant un $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel et « l'ensemble $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ des matrices carrées est aussi dont la dimension est $\;n^{2}\;$ ;
la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de $\;\mathbb {R} \;$» sur l'ensemble $\;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ des matrices carrées de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;n\;$ fixée $\Rightarrow$ $\;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ est un $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel de par la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;$» sur l'ensemble $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ les propriétés de cette loi rappelées au paragraphe « multiplication par un scalaire » plus haut dans ce chapitre la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;$» sur l'ensemble $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ les propriétés avec une structure de groupe abélien (ou commutatif)$^,$ de l'ensemble $\;\left\lbrace M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\,,\,+\right\rbrace$, la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;$» de plus, cette loi étant « associative mixte par rapport à la multiplication matricielle » c.-à-d. la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;$» de plus, cette loi étant «$\;\forall \;\lambda \in \mathbb {R} ,\;\;\forall \;\left\lbrace \left[A\right]\,,\,\left[B\right]\right\rbrace \in \left\lbrace M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\right\rbrace ^{2}$, $\;\lambda \;\left\lbrace \left[A\right]\times \left[B\right]\right\rbrace =\left\lbrace \lambda \;\left[A\right]\right\rbrace \times \left[B\right]=\left[A\right]\times \left\lbrace \lambda \;\left[B\right]\right\rbrace \;$» la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;$» de plus, cette loi étant propriété qui, ajoutée à la structure d'espace vectoriel et d'anneau unitaire que possède $\;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)$, la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;$» de plus, cette loi étant propriété confère à «$\;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ une structure de $\;\mathbb {R}$-algèbre associative unitaire$\;{\big$non commutative${\big )}\;$».

## Interprétations linéaires de matrices
### 1ère interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) fixée définie sur le corps des réels
#### Interprétation linéaire d'une matrice colonne de dimension (ou taille) m, matrice coordonnée d'un « m-uplet » dans une base de R$^m$

Considérant l'ensemble $\;\mathbb {R} ^{m}\;$ avec $\;m\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \;$ en tant que $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel de dimension $\;m\;$ ainsi que « la base canonique $\;\left\lbrace e_{1},\cdots e_{i},\cdots e_{m}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;$ de cet espace avec Considérant l'ensemble $\;\color {transparent}{\mathbb {R} ^{m}}\;$ avec $\;\color {transparent}{m\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace }\;$ en tant que $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel de dimension $\;\color {transparent}{m}\;$ ainsi que «$\;e_{i}=\left(\delta _{1,\,i},\cdots \delta _{k,\,i},\cdots \delta _{m,\,i}\right)_{1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,m}\;$» où «$\;\delta _{k,\,i}=\left\lbrace {\begin{array}{c}0\;\;{\text{si }}k\neq i\\1\;\;{\text{si }}k=i\end{array}}\right\rbrace \;$ est Considérant l'ensemble $\;\color {transparent}{\mathbb {R} ^{m}}\;$ avec $\;\color {transparent}{m\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace }\;$ en tant que $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel de dimension $\;\color {transparent}{m}\;$ ainsi que «$\;\color {transparent}{e_{i}=\left(\delta _{1,\,i},\cdots \delta _{k,\,i},\cdots \delta _{m,\,i}\right)_{1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,m}}\;$» où « le symbole de Kronecker » $\Rightarrow$
nous pouvons définir $\bullet \;$une « correspondance bijective entre chaque élément $\;e_{i}=\left(\delta _{1,\,i},\cdots \delta _{k,\,i},\cdots \delta _{m,\,i}\right)_{1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,m}\;$ de la base canonique de $\;\mathbb {R} ^{m}\;$ et nous pouvons définir $\color {transparent}{\bullet }\;$une « correspondance bijective entre chaque matrice colonne $\;\left[{\begin{array}{c}\delta _{1,\,i}\\\cdots \\\delta _{k,\,i}\\\cdots \\\delta _{m,\,i}\end{array}}\right]_{1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,m}$ de l'ensemble des matrices colonnes $\;M_{m,\,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» et par suite, nous pouvons définir $\bullet \;$une « correspondance bijective entre le $\;m$-uplet $\;\left(a_{1},\,\cdots a_{i},\cdots a_{m}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;$ de $\;\mathbb {R} ^{m}\;$ et nous pouvons définir $\color {transparent}{\bullet }\;$une « correspondance bijective entre la matrice colonne $\;\left[{\begin{array}{c}a_{1}\\\cdots \\a_{i}\\\cdots \\a_{m}\end{array}}\right]_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}$ de l'ensemble des matrices colonnes $\;M_{m,\,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» d'où la définition suivante nous pouvons définir $\bullet \;$« la matrice colonne $\;\left[{\begin{array}{c}a_{1}\\\cdots \\a_{i}\\\cdots \\a_{m}\end{array}}\right]_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}$ est la matrice coordonnée canonique du $\;m$-uplet $\;\left(a_{1},\,\cdots a_{i},\cdots a_{m}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;$ de $\;\mathbb {R} ^{m}\;$».
Considérant l'ensemble $\;\mathbb {R} ^{m}\;$ avec $\;m\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \;$ en tant que $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel de dimension $\;m\;$ ainsi que « une autre base $\;{\big$non canonique${\big )}$ $\;\left\lbrace b_{1},\cdots b_{i},\cdots b_{m}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;$ de $\;\mathbb {R} ^{m}\;$» nous pouvons établir $\bullet \;$une « correspondance bijective entre chaque élément $\;b_{i}=\sum \limits _{1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,m}b_{k,\,i}\;e_{k}\;$ » de la base $\;{\big$non canonique${\big )}\;$ de $\;\mathbb {R} ^{m}\;$ et nous pouvons établir $\color {transparent}{\bullet }\;$une « correspondance bijective entre chaque matrice colonne $\;\left[{\begin{array}{c}b_{1,\,i}\\\cdots \\b_{k,\,i}\\\cdots \\b_{m,\,i}\end{array}}\right]_{1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,m}$ de l'ensemble $\;M_{m,\,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» et nous pouvons établir $\bullet \;$une « correspondance bijective entre le $\;m$-uplet de $\;\mathbb {R} ^{m}\;$ de décomposition $\;\left(\alpha _{1},\cdots \alpha _{i},\cdots \alpha _{m}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;$ dans la base non canonique $\;\left\lbrace b_{1},\cdots b_{i},\cdots b_{m}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;$ et nous pouvons établir $\color {transparent}{\bullet }\;$une « correspondance bijective entre la matrice colonne $\;\left[{\begin{array}{c}\alpha _{1}\\\cdots \\\alpha _{i}\\\cdots \\\alpha _{m}\end{array}}\right]_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}$ de l'ensemble des matrices colonnes $\;M_{m,\,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» d'où la définition suivante nous pouvons établir $\bullet \;$« la matrice colonne $\;\left[{\begin{array}{c}\alpha _{1}\\\cdots \\\alpha _{i}\\\cdots \\\alpha _{m}\end{array}}\right]_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;$ est la matrice coordonnée du $\;m$-uplet de $\;\mathbb {R} ^{m}\;$ de décomposition $\;\left(\alpha _{1},\cdots \alpha _{i},\cdots \alpha _{m}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;$ nous pouvons établir $\color {transparent}{\bullet }\;$« la matrice colonne $\;\color {transparent}{\left[{\begin{array}{c}\alpha _{1}\end{array}}\right]_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}}\;$ est la matrice coordonnée du $\;\color {transparent}{m}$-uplet de $\;\color {transparent}{\mathbb {R} ^{m}}\;$ de dans la base non canonique $\;\left\lbrace b_{1},\cdots b_{i},\cdots b_{m}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;$ ».

#### 1ère interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) (m , n), matrice coordonnée d'une famille de n « m-uplets » dans une base de R$^m$

Après avoir défini une correspondance bijective entre « le $\;m$-uplet $\;\left(a_{1},\,\cdots a_{i},\cdots a_{m}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;$ de $\;\mathbb {R} ^{m}\;$» et Après avoir défini une correspondance bijective entre « sa matrice coordonnée canonique $\;\left[{\begin{array}{c}a_{1}\\\cdots \\a_{i}\\\cdots \\a_{m}\end{array}}\right]_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\!\in \;M_{m,\,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» ou Après avoir défini une correspondance bijective entre « le $\;m$-uplet $\;\left(a_{1},\,\cdots a_{i},\cdots a_{m}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;$ tel que $\;\sum \limits _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\alpha _{i}\;b_{i}\;$ dans la base $\;{\big$non canonique${\big )}$ $\;\left\lbrace b_{1},\cdots b_{i},\cdots b_{m}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;$ de $\;\mathbb {R} ^{m}\;$ et Après avoir défini une correspondance bijective entre « sa matrice coordonnée $\;\left[{\begin{array}{c}\alpha _{1}\\\cdots \\\alpha _{i}\\\cdots \\\alpha _{m}\end{array}}\right]_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\!\in \;M_{m,\,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ dans la base $\;{\big$non canonique${\big )}$ $\;\left\lbrace b_{1},\cdots b_{i},\cdots b_{m}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;$ de $\;\mathbb {R} ^{m}\;$»,
on prolonge cette correspondance bijective entre « les familles de $\;n$ $\;m$-uplets de $\;\left[\mathbb {R} ^{m}\right]^{n}\;$ et on prolonge cette correspondance bijective entre « l'ensemble $\;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ des matrices de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;\left(m\,,\,n\right)\;$» c.-à-d., en utilisant la base canonique de $\;\mathbb {R} ^{m}$, on prolonge cette correspondance bijective entre « l'élément $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left(a_{1,\,1}\,\cdots a_{i,\,1}\cdots a_{m,\,1}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\\\vdots \\\left(a_{1,\,j}\,\cdots a_{i,\,j}\cdots a_{m,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\\\vdots \\\left(a_{1,\,n}\,\cdots a_{i,\,n}\cdots a_{m,\,n}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\end{array}}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\;$ de la famille de $\;n\;$ “$\;m$-uplets ” de $\;\left[\mathbb {R} ^{m}\right]^{n}\;$» et on prolonge cette correspondance bijective entre « la matrice de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;\left(m\,,\,n\right)$ $\;\left[{\begin{array}{c}a_{1,\,1}&\cdots &a_{1,\,j}&\cdots &a_{1,\,n}\\&&\vdots &&\\a_{i,\,1}&\cdots &a_{i,\,j}&\cdots &a_{i,\,n}\\&&\vdots &&\\a_{m,\,1}&\cdots &a_{m,\,j}&\cdots &a_{m,\,n}\end{array}}\right]_{\begin{array}{c}1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m\\1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n\end{array}}\!\in \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» on prolonge cette correspondance bijective entre « la matrice ${\big$résultant de la juxtaposition des $\;n\;$ matrices coordonnées canoniques des “$\;m$-uplets ”${\big ]}\;$ on prolonge cette correspondance bijective entre « la matrice appelée matrice coordonnée canonique de la famille des $\;n\;$ “$\;m$-uplets ” ou, on prolonge cette correspondance bijective entre « l'ensemble $\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ des matrices de dimension $\;\color {transparent}{\big$ou taille$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{\left(m\,,\,n\right)}\;$» c.-à-d., avec une base non canonique $\;\left\lbrace b_{1},\cdots b_{i},\cdots b_{m}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}$ de $\;\mathbb {R} ^{m}$, on prolonge cette correspondance bijective entre « l'élément $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left(a_{1,\,1}\,\cdots a_{i,\,1}\cdots a_{m,\,1}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\\\vdots \\\left(a_{1,\,j}\,\cdots a_{i,\,j}\cdots a_{m,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\\\vdots \\\left(a_{1,\,n}\,\cdots a_{i,\,n}\cdots a_{m,\,n}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\end{array}}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}$ de la famille de $\;n\;$ “$\;m$-uplets ” de $\;\left[\mathbb {R} ^{m}\right]^{n}\;$ ${\bigm$-uplet exprimé en base canonique de $\;\mathbb {R} ^{m}{\big )}$, on prolonge cette correspondance bijective entre « l'élément $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\begin{array}{c}\left(a_{1,\,1}\,\cdots a_{i,\,1}\cdots a_{m,\,1}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\end{array}}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}}$ de la ${\Big \$le $\;m$-uplet générique de la famille $\;\left(a_{1,\,j}\,\cdots a_{i,\,j}\cdots a_{m,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;$ se décomposant en on prolonge cette correspondance bijective entre « l'élément $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\begin{array}{c}\left(a_{1,\,1}\,\cdots a_{i,\,1}\cdots a_{m,\,1}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\end{array}}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}}$ de la $\color {transparent}{\Big \$base non canonique $\;\left\lbrace b_{1},\cdots b_{i},\cdots b_{m}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}$ de $\;\mathbb {R} ^{m}\;$ selon $\;\sum \limits _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\alpha _{i,\,j}\;b_{i}{\Big \}$» et on prolonge cette correspondance bijective entre « la matrice de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;\left(m\,,\,n\right)\;$ $\;\left[{\begin{array}{c}\alpha _{1,\,1}&\cdots &\alpha _{1,\,j}&\cdots &\alpha _{1,\,n}\\&&\vdots &&\\\alpha _{i,\,1}&\cdots &\alpha _{i,\,j}&\cdots &\alpha _{i,\,n}\\&&\vdots &&\\\alpha _{m,\,1}&\cdots &\alpha _{m,\,j}&\cdots &\alpha _{m,\,n}\end{array}}\right]_{\begin{array}{c}1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m\\1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n\end{array}}\!\in \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)$ on prolonge cette correspondance bijective entre « la matrice ${\big$résultant de la juxtaposition des $\;n\;$ matrices coordonnées $\;{\big$non canoniques${\big )}\;$ des “$\;m$-uplets ”${\big ]}$, on prolonge cette correspondance bijective entre « la matrice appelée matrice coordonnée non canonique de la famille des $\;n\;$ “$\;m$-uplets ” en base non canonique $\;\left\lbrace b_{1},\cdots b_{i},\cdots b_{m}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}$ de $\;\mathbb {R} ^{m}\;$».
On appelle « rang de la matrice$\;\left[D\right]=\left[{\begin{array}{c}\alpha _{1,\,1}&\cdots &\alpha _{1,\,j}&\cdots &\alpha _{1,\,n}\\&&\vdots &&\\\alpha _{i,\,1}&\cdots &\alpha _{i,\,j}&\cdots &\alpha _{i,\,n}\\&&\vdots &&\\\alpha _{m,\,1}&\cdots &\alpha _{m,\,j}&\cdots &\alpha _{m,\,n}\end{array}}\right]_{\begin{array}{c}1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m\\1\,\leqslant ,j\,\leqslant \,n\end{array}}\!\in \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» la On appelle « dimension du sous-espace vectoriel de $\;\left[\mathbb {R} ^{m}\right]^{n}\;$ généré par les $\;n\;$ “$\;m$-uplets ” de $\;\mathbb {R} ^{m}\;$ c.-à-d. On appelle « dimension du sous-espace vectoriel de $\;\color {transparent}{\left[\mathbb {R} ^{m}\right]^{n}}\;$ généré par $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left(a_{1,\,1}\,\cdots a_{i,\,1}\cdots a_{m,\,1}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\\\vdots \\\left(a_{1,\,j}\,\cdots a_{i,\,j}\cdots a_{m,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\\\vdots \\\left(a_{1,\,n}\,\cdots a_{i,\,n}\cdots a_{m,\,n}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\end{array}}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}$, ${\Big \$avec $\;\left[D\right]\;$ On appelle « dimension du sous-espace vectoriel de $\;\color {transparent}{\left[\mathbb {R} ^{m}\right]^{n}}\;$ matrice coordonnée non canonique de la famille des $\;n\;$ “$\;m$-uplets ” On appelle « dimension du sous-espace vectoriel de $\;\color {transparent}{\left[\mathbb {R} ^{m}\right]^{n}}\;$ en base non canonique $\;\left\lbrace b_{1},\cdots b_{i},\cdots b_{m}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}$ de $\;\mathbb {R} ^{m}$, On appelle « dimension du sous-espace vectoriel de $\;\color {transparent}{\left[\mathbb {R} ^{m}\right]^{n}}\;$ le “$\;m$-uplet ” générique de la famille $\;\left(a_{1,\,j}\,\cdots a_{i,\,j}\cdots a_{m,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;$ étant On appelle « dimension du sous-espace vectoriel de $\;\color {transparent}{\left[\mathbb {R} ^{m}\right]^{n}}\;$ égal à sa décomposition en base non canonique $\;\sum \limits _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\alpha _{i,\,j}\;b_{i}{\Big \}$» ; on établit que « le rang de la matrice $\;\left[D\right]\;$ est $\;\leqslant \min \left[m,\,n\right]\;$».

#### Matrice de passage entre deux bases de R$^m$, réécriture de la matrice coordonnée d'un « m-uplet » par changement de base de R$^m$

Considérant « le “$\;m$-uplet ” $\;\left(a_{1},\,\cdots a_{i},\cdots a_{m}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;$ de $\;\mathbb {R} ^{m}\;$ décomposé dans une base non canonique $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1},\cdots b_{i},\cdots b_{m}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;$ de $\;\mathbb {R} ^{m}\;$ selon $\;\sum \limits _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\alpha _{i}\;b_{i}\;$» et Considérant « la matrice coordonnée non canonique $\;\left[X\right]=\left[{\begin{array}{c}\alpha _{1}\\\cdots \\\alpha _{i}\\\cdots \\\alpha _{m}\end{array}}\right]_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;$ du “$\;m$-uplet ” dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$» puis Considér« le même “$\;m$-uplet ” $\;\left(a_{1},\,\cdots a_{i},\cdots a_{m}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;$ de $\;\mathbb {R} ^{m}\;$ décomposé dans une autre base non canonique $\;\left\lbrace C\right\rbrace =\left\lbrace c_{1},\cdots c_{i},\cdots c_{m}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;$ de $\;\mathbb {R} ^{m}\;$ selon $\;\sum \limits _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\beta _{i}\;c_{i}\;$» et Considérant « la matrice coordonnée non canonique $\;\left[X'\right]=\left[{\begin{array}{c}\beta _{1}\\\cdots \\\beta _{i}\\\cdots \\\beta _{m}\end{array}}\right]_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;$ du “$\;m$-uplet ” dans la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$»,
nous cherchons « la relation permettant de passer de la matrice coordonnée $\;\left[X\right]\;$ du “$\;m$-uplet ” dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ à la matrice coordonnée $\;\left[X'\right]\;$ du même “$\;m$-uplet ” dans la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$» nous cherchons « la relation à partir de la connaissance de la décomposition de la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ sur la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace$, matérialisée par une matrice carrée $\;\left[P\right]\;$ de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;m\;$ appelée nous cherchons « la relation à partir de la connaissance de la décomposition de la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;$ sur la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace }$, matérialisée par « matrice de passage de la base$\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$à la base$\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$» nous cherchons « la relation à partir de la connaissance de la décomposition de la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;$ sur la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace }$, matérialisée par ${\Big \$matrice $\;\left[P\right]\;$ obtenue en juxtaposant les matrices colonnes de la nous cherchons « la relation à partir de la connaissance de la décomposition de la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;$ sur la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace }$, matérialisée par $\color {transparent}{\Big \$décomposition de chaque élément de la base non canonique $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ nous cherchons « la relation à partir de la connaissance de la décomposition de la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;$ sur la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace }$, matérialisée par $\color {transparent}{\Big \$décomposition dans la base non canonique $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$${\Big \}$ ; nous cherchons « la relation avec la matrice $\;\left[P\right]\;$ de passage de la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ à la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace$, nous établissons que nous cherchons « la relation avec la matrice $\;\color {transparent}{\left[P\right]}\;$ de passage de la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ à la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }$, « la matrice coordonnée $\;\left[X'\right]\;$ du “$\;m$-uplet ” dans la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$» se déduit de nous cherchons « la relation avec la matrice $\;\color {transparent}{\left[P\right]}\;$ de passage de la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ à la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }$, « la matrice coordonnée $\;\left[X\right]\;$ du “$\;m$-uplet ” dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$» par nous cherchons « la relation avec la matrice $\;\color {transparent}{\left[P\right]}\;$ de passage de la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ à la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }$, nous établissons que «$\;\left[X'\right]=\left[P\right]\times \left[X\right]\;$» ;
inversement « la relation permettant de passer de la matrice coordonnée $\;\left[X'\right]\;$ du “$\;m$-uplet ” dans la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ à la matrice coordonnée $\;\left[X\right]\;$ du même “$\;m$-uplet ” dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$» se détermine inversement « la relation à partir de la décomposition de la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ sur la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ matérialisée par la matrice de passage $\;\left[P\right]\;$ de la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ à la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ dont on déduit inversement « la relation à partir de la décomposition de la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ sur la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ matérialisée par la « matrice de passage$\;\left[P\right]^{-1}\;$de la base$\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$à la base$\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$», inversement « la relation à partir de la décomposition de la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ sur la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;$ matérialisée par la « matrice de passage ${\Big \$cette matrice résultant de l'inversion de la « matrice $\;\left[P\right]\;$ de passage inversement « la relation à partir de la décomposition de la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ sur la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;$ matérialisée par la « matrice de passage $\color {transparent}{\Big \$de la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ à la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$»${\Big \}$ et par suite inversement « la relation permettant de passer de la matrice coordonnée $\;\left[X'\right]\;$ du “$\;m$-uplet ” dans la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ à la matrice coordonnée $\;\left[X\right]\;$ du même “$\;m$-uplet ” dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$» s'écrit selon
$\;\left[X\right]=\left[P\right]^{-1}\times \left[X'\right]\;$

#### Réécriture de la matrice coordonnée d'une famille de « m-uplets » par changement de base de R$^m$

« La matrice coordonnée d'une famille de $\;n\;$ “$\;m$-uplets ” de $\;\left[\mathbb {R} ^{m}\right]^{n}\;$ dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ de $\;\mathbb {R} ^{m}\;$ notée $\;\left[A\right]\;$» s'obtenant par « juxtaposition des matrices coordonnées de chaque “$\;m$-uplet ” « La matrice coordonnée d'une famille de $\;\color {transparent}{n}\;$ “$\;\color {transparent}{m}$-uplets ” de $\;\color {transparent}{\left[\mathbb {R} ^{m}\right]^{n}}\;$ dans la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;$ de $\;\color {transparent}{\mathbb {R} ^{m}}\;$ notée $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$» s'obtenant par « juxtaposition dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ de $\;\mathbb {R} ^{m}\;$ à savoir $\;\left[X_{j}\right]_{1,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\;$» soit « La matrice coordonnée d'une famille de $\;\color {transparent}{n}\;$ “$\;\color {transparent}{m}$-uplets ” de $\;\color {transparent}{\left[\mathbb {R} ^{m}\right]^{n}}\;$ dans la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;$ de $\;\color {transparent}{\mathbb {R} ^{m}}\;$ notée «$\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}X_{1,\,1}&\cdots &X_{1,\,j}&\cdots &X_{1,\,n}\\&&\vdots &&\\X_{i,\,1}&\cdots &X_{i,\,j}&\cdots &X_{i,\,n}\\&&\vdots &&\\X_{m,\,1}&\cdots &X_{m,\,j}&\cdots &X_{m,\,n}\end{array}}\right]_{\begin{array}{c}1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m\\1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n\end{array}}\!\in \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» et
« la matrice coordonnée d'un “$\;m$-uplet ” dans la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ de $\;\mathbb {R} ^{m}$, $\;\left[{X'}_{\!j}\right]_{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\;$» s'obtenant en multipliant à gauche « la matrice coordonnée du “$\;m$-uplet ” dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ de $\;\mathbb {R} ^{m}$, $\;\left[X_{j}\right]_{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\;$» « la matrice coordonnée d'un “$\;\color {transparent}{m}$-uplet ” dans la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ de $\;\color {transparent}{\mathbb {R} ^{m}}$, $\;\color {transparent}{\left[{X'}_{\!j}\right]_{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}}\;$» s'obtenant en multipliant à gauche par « la matrice de passage $\;\left[P\right]\;$ de la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ à la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$» selon « la matrice coordonnée d'un “$\;\color {transparent}{m}$-uplet ” dans la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ de $\;\color {transparent}{\mathbb {R} ^{m}}$, «$\;\left[{X'}_{\!j}\right]_{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}=\left[P\right]\times \left[X_{j}\right]_{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\;$», on en déduit aisément que
« la matrice coordonnée de la famille des $\;n\;$ “$\;m$-uplets ” de $\;\left[\mathbb {R} ^{m}\right]^{n}\;$ dans la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ de $\;\mathbb {R} ^{m}$, $\;\left[A'\right]=\left[{\begin{array}{c}{X'}_{\!1,\,1}&\cdots &{X'}_{\!1,\,j}&\cdots &{X'}_{\!1,\,n}\\&&\vdots &&\\{X'}_{\!i,\,1}&\cdots &{X'}_{\!i,\,j}&\cdots &{X'}_{\!i,\,n}\\&&\vdots &&\\{X'}_{\!m,\,1}&\cdots &{X'}_{\!m,\,j}&\cdots &{X'}_{\!m,\,n}\end{array}}\right]_{\begin{array}{c}1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m\\1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n\end{array}}\!\in \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» s'obtient selon la relation
$\;{\begin{array}{c c c c c}\;\left[A'\right]&=&\left[P\right]&\times &\left[A\right]\;\\\;{\text{dans }}\,\left\lbrace C\right\rbrace &&{\begin{array}{c}{\text{de }}\,\left\lbrace C\right\rbrace \;\\\;{\text{à }}\,\left\lbrace B\right\rbrace \end{array}}&&{\text{dans }}\,\left\lbrace B\right\rbrace \;\end{array}}\;$
inversement « la matrice coordonnée de la famille des $\;n\;$ “$\;m$-uplets ” de $\;\left[\mathbb {R} ^{m}\right]^{n}\;$ dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ de $\;\mathbb {R} ^{m}$, $\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}X_{1,\,1}&\cdots &X_{1,\,j}&\cdots &X_{1,\,n}\\&&\vdots &&\\X_{i,\,1}&\cdots &X_{i,\,j}&\cdots &X_{i,\,n}\\&&\vdots &&\\X_{m,\,1}&\cdots &X_{m,\,j}&\cdots &X_{m,\,n}\end{array}}\right]_{\begin{array}{c}1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m\\1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n\end{array}}\!\in \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» inversement « la matrice coordonnée de la famille des $\;\color {transparent}{n}\;$ “$\;\color {transparent}{m}$-uplets ” de $\;\color {transparent}{\left[\mathbb {R} ^{m}\right]^{n}}\;$ dans la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;$ de $\;\color {transparent}{\mathbb {R} ^{m}}$, s'obtient à l'aide de « la matrice de passage $\;\left[P\right]^{-1}\;$ de la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ à la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$» selon
$\;{\begin{array}{c c c c c}\;\left[A\right]&=&\left[P\right]^{-1}&\times &\left[A'\right]\;\\\;{\text{dans }}\,\left\lbrace B\right\rbrace &&{\begin{array}{c}{\text{de }}\,\left\lbrace B\right\rbrace \;\\\;{\text{à }}\,\left\lbrace C\right\rbrace \end{array}}&&{\text{dans }}\,\left\lbrace C\right\rbrace \;\end{array}}\;$

### 2ème interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) fixée définie sur le corps des réels
#### Définition d'une application linéaire d'un espace vectoriel de dimension n dans un autre espace vectoriel de dimension m

$\;\mathbb {R}$
$\;E\;$
$\;F$
$\;E\;$
$\;F\;$
$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$
$\;\color {transparent}{E}\;$
$\;\color {transparent}{F}$
$\;\varphi$
$E\;{\overset {\varphi }{\rightarrow }}\;F\;$
$\;\forall \;\left(x\,,\,y\right)\;\in E^{2}$
$\;\varphi \!\left(x+y\right)=\varphi \!\left(x\right)+\varphi \!\left(y\right)\;$
$\;{\big$
${\big ]}\;$
$\;\forall \;\lambda \;\in \;\mathbb {R} \;$
$\;\forall \;x\;\in E$
$\;\varphi \!\left(\lambda \;x\right)=\lambda \;\varphi \!\left(x\right)\;$
$\;{\big$
${\big ]}$
Remarques : On constate qu'« une application du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ dans le $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;F\;$ est linéaire » ssi elle respecte les C.L. à savoir Remarques : On constate qu'« une application du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{E}\;$ dans le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{F}\;$ est linéaire » ssi «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\forall \;\left(\lambda _{i}\right)_{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,p\right]\right]}\;\in \mathbb {R} ^{p}\\\forall \;\left(x_{i}\right)_{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,p\right]\right]}\;\in E^{p}\end{array}}\right\rbrace$, $\;\varphi \!\left(\sum _{i}^{\left[\left[1\,,\,p\right]\right]}\lambda _{i}\;x_{i}\right)=\sum _{i}^{\left[\left[1\,,\,p\right]\right]}\lambda _{i}\;\varphi \!\left(x_{i}\right)\;$».
Remarques : L'ensemble des applications linéaires du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ dans le $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;F\;$ est noté «$\;L\!\left(E\,,\,F\right)\;$» et Remarques : L'ens. celui des applications linéaires bijectives $\;{\big$c.-à-d. des isomorphismes de $\;E\;$ dans $\;F{\big ]}\;$ est noté «$\;\mathrm {Isom} \!\left(E\,,\,F\right)\;$» ;
Remarques : l'ensemble des applications linéaires du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ dans lui-même $\;{\big$c.-à-d. des endomorphismes de $\;E{\big ]}\;$ est noté «$\;L\!\left(E\right)\;$» et Remarques : l'ens. celui des applications linéaires bijectives du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ dans $\;E$ $\;{\big$c.-à-d. des automorphismes de $\;E{\big ]}\;$ noté «$\;GL\!\left(E\right)\;$» et encore appelé « groupe linéaire de $\;E\;$» ;
Remarques : l'ensemble des applications linéaires du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ dans le corps $\;\mathbb {R}$ $\;{\big$corps de construction de l'espace vectoriel où l'application linéaire $\;{\big$alors appelée « forme linéaire »${\big )}\;$ Remarques : l'ensemble des applications linéaires du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{E}\;$ dans le corps $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$ $\;\color {transparent}{\big$corps de construction de l'espace vectoriel où l'application linéaire est définie${\big ]}\;$ Remarques : l'ensemble des applications linéaires du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{E}\;$ dans le corps $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$ est noté $\;E^{*}\;$ et définit l'« espace dual de $\;E\;$» $\;{\bigE^{*}\;$ étant donc l'ensemble des formes linéaires de $\;E\;$${\big ]}$.

#### 2ème interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) (m , n), matrice d'une application linéaire d'un espace vectoriel de dimension n de base B dans un autre espace vectoriel de dimension m de base C dans le couple de bases (B, C)

Considérant deux $\;\mathbb {R}$-espaces vectoriels avec définition d'une base dans chacun d'eux $\bullet \;$un « 1er$\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ de dimension $\;n\;$ avec choix d'une base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1},\cdots b_{j},\cdots b_{n}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,j\,\leqslant n}\;$», Considérant deux $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espaces vectoriels avec définition d'une base dans chacun d'eux $\bullet \;$un « 2nd$\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;F\;$ de dimension $\;m\;$ avec choix d'une base $\;\left\lbrace C\right\rbrace =\left\lbrace c_{1},\cdots c_{i},\cdots c_{m}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant m}\;$» et Considérant une « application linéaire $\;\varphi \;$ de $\;E\;$ dans $\;F\;$» :
$\;\mathbb {R}$
$\;\mathbb {R}$
On appelle « matrice de l'application linéaire $\;\varphi \;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ de dimension $\;n\;$ de base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ On appelle « matrice de l'application linéaire $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ dans le $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;F\;$ de dimension $\;m\;$ de base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$», On appelle la « matrice de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;\left(m\,,\,n\right)\;$ notée $\;\left[A\right]\in M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» telle que On appelle la «$\;\forall \;x\in E\;$ de matrice coordonnée $\;\left[X\right]\in M_{n,\,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ de $\;E\;$», on associe On appelle la «$\;\varphi (x)\in F\;$ de matrice coordonnée $\;\left[X'\right]\in M_{m,\,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ dans la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ de $\;F\;$» telle que «$\;\left[X'\right]=\left[A\right]\times \left[X\right]\;$».
Propriétés : « à toute application linéaire $\;\varphi \;$ d'un $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ de dimension $\;n\;$ de base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1},\cdots b_{j},\cdots b_{n}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\;$ Propriétés : « à toute application linéaire $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ dans un $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;F\;$ de dimension $\;m\;$ de base $\;\left\lbrace C\right\rbrace =\left\lbrace c_{1},\cdots c_{i},\cdots c_{m}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;$» Propriétés : « à toute application linéaire $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ on peut associer « une et une seule matrice d'application linéaire $\;\left[A\right]\;$ de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;\left(m\,,\,n\right)\;$» dans laquelle Propriétés : « à toute application linéaire $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ « la jème colonne de $\;\left[A\right]\;$ est la matrice coordonnée de $\;\varphi (b_{j})\;$ dans la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace =\left\lbrace c_{1},\cdots c_{i},\cdots c_{m}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;$ de $\;F\;$ c.-à-d. $\;\left[{\begin{array}{c}\varphi (b_{j})_{1}\\\cdots \\\varphi (b_{j})_{i}\\\cdots \\\varphi (b_{j})_{m}\end{array}}\right]_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;$» Propriétés : « à toute application linéaire $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ $\;{\bigg \$la décomposition de $\;\varphi (b_{j})\;$ dans la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace =\left\lbrace c_{1},\cdots c_{i},\cdots c_{m}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;$ étant «$\;\varphi (b_{j})=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,m}\varphi (b_{j})_{i}\;c_{i}\;$»${\bigg \}$ ;
Propriétés : « à toute application linéaire $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ la matrice $\;\left[A\right]\;$ appelée « matrice de l'application linéaire$\;\varphi \;$dans le couple de bases$\;\left(\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace \right)\;$» et notée «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;$» Propriétés : « à toute application linéaire $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ la matrice $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ vérifie «$\;\forall \;x\in E\;$» et «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace }(x)\;$ sa matrice coordonnée dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ de $\;E\;$», Propriétés : « à toute application linéaire $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ la matrice $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ vérifie « la matrice coordonnée de $\;\varphi (x)\;$ dans la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ de $\;F$, notée $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]\;$» s'évalue par Propriétés : « à toute application linéaire $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ la matrice $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ vérifie « la matrice coordonnée de $\;\color {transparent}{\varphi (x)}\;$ dans la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ de $\;\color {transparent}{F}$, «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]&=&\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)&\times &\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace }(x)\\\in M_{m\,1}\!\left(\mathbb {R} \right)&&\in M_{m\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)&&\in M_{n\,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\end{array}}\right\rbrace \;$».
Propriétés : On déduit que « l'application de l'ensemble$\;L\!\left(E\,,\,F\right)\;$ des applications linéaires du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ de dimension $\;n\;$ dans le $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;F\;$ de dimension $\;m\;$ Propriétés : On déduit que « l'application dans l'ensemble$\;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ des matrices de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;\left(m\,,\,n\right)\;$» Propriétés : On déduit que $\;{\Big \$application qui, à « chaque application linéaire $\;\varphi \;\in L\!\left(E\,,\,F\right)\;$» fait correspondre « la matrice de l'application linéaire $\;\varphi \;$ dans le couple de bases $\;\left(\left\lbrace B\right\rbrace \,,\,\left\lbrace C\right\rbrace \right)\;$ c.-à-d. Propriétés : On déduit que $\;\color {transparent}{\Big \$application qui, à « chaque application linéaire $\;\color {transparent}{\varphi \;\in L\!\left(E\,,\,F\right)}\;$» fait correspondre « $\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;\in M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$»${\Big \}$ Propriétés : On déduit que « l'application est un isomorphisme d'espaces vectoriels.
Exemple : La similitude directe $\;{\mathcal {S}}\;$ de rapport $\;{\sqrt {2}}\;$ et d'angle $\;45\;{\text{°}}\;$ Exemple : La similitude directe $\;\color {transparent}{\mathcal {S}}\;$ est un automorphisme du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel euclidien $\;E\;$ de dimension $\;2$ ; Exemple : avec le choix de la base canonique $\left\lbrace B_{\text{can}}\right\rbrace =\left(e_{1}\,,\,e_{2}\right)\;$ pour décrire les vecteurs de $\;E\;$ Exemple : avec le choix de la base canonique du domaine de définition de l'automorphisme $\;{\mathcal {S}}\;$ et Exemple : avec le choix de la même base canonique $\;\left(e_{1}\,,\,e_{2}\right)\;$ pour les images par automorphisme $\;{\mathcal {S}}\;$ Exemple : avec le choix de la même base canonique $\;\color {transparent}{\left(e_{1}\,,\,e_{2}\right)}\;$ pour les images des vecteurs de $\;E\;$ $\Rightarrow$ Exemple : avec le choix $\left\lbrace {\begin{array}{l}{\mathcal {S}}(e_{1})\!\!\!&={\sqrt {2}}\,\left[\cos(45\,{\text{°}})\;e_{1}+\sin(45\,{\text{°}})\;e_{2}\right]\!\!\!&=\;\;e_{1}+e_{2}\\{\mathcal {S}}(e_{2})\!\!\!&={\sqrt {2}}\,\left[\cos(135\,{\text{°}})\;e_{1}+\sin(135\,{\text{°}})\;e_{2}\right]\!\!\!&=-e_{1}+e_{2}\end{array}}\right\rbrace$, Exemple : la matrice de l'automorphisme $\;{\mathcal {S}}\;$ de $\;E\;$ dans le couple de bases $\;\left(\left\lbrace B_{\text{can}}\right\rbrace ,\,\left\lbrace B_{\text{can}}\right\rbrace \right)\;$ s'écrit alors Exemple : la matrice de l'automorphisme $\;\color {transparent}{\mathcal {S}}\;$ de $\;\color {transparent}{E}\;$ «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B_{\text{can}}\right\rbrace ,\,\left\lbrace B_{\text{can}}\right\rbrace }\!\left({\mathcal {S}}\right)=\left[{\begin{array}{c}1&-1\\1&1\end{array}}\right]\;$», d'où : Exemple : un vecteur $\;x\;\in E\;$ de composantes $\;\left(a\,,\,b\right)\;$ dans la base canonique $\;\left\lbrace B_{\text{can}}\right\rbrace \;$ et Exemple : un vecteur $\;\color {transparent}{x\;\in E}\;$ de matrice coordonnée $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B_{\text{can}}\right\rbrace }\!\left(x\right)=\left[{\begin{array}{c}a\\b\end{array}}\right]\;$ Exemple : un vecteur $\;\color {transparent}{x\;\in E}\;$ a pour image, par similitude directe $\;{\mathcal {S}}$, Exemple : un vecteur $\;\color {transparent}{x\;\in E}\;$ a pour image, le vecteur $\;{\mathcal {S}}(x)\;\in E\;$ de composantes $\;\left(a'\,,\,b'\right)\;$ Exemple : un vecteur $\;\color {transparent}{x\;\in E}\;$ a pour image, le vecteur $\;\color {transparent}{{\mathcal {S}}(x)\;\in E}\;$ de dans la base canonique $\;\left\lbrace B_{\text{can}}\right\rbrace \;$ et Exemple : un vecteur $\;\color {transparent}{x\;\in E}\;$ a pour image, le vecteur $\;\color {transparent}{{\mathcal {S}}(x)\;\in E}\;$ de matrice coordonnée $\mathrm {mat} _{\left\lbrace B_{\text{can}}\right\rbrace }\!\left[{\mathcal {S}}(x)\right]$ Exemple : un vecteur $\;\color {transparent}{x\;\in E}\;$ a pour image, le vecteur $\;\color {transparent}{{\mathcal {S}}(x)\;\in E}\;$ de matrice coordonnée s'obtenant selon Exemple : un vecteur $\;\color {transparent}{x\;\in E}\;$ a pour image, le vecteur $\;\color {transparent}{{\mathcal {S}}(x)\;\in E}\;$ de matrice coordonnée $\mathrm {mat} _{\left\lbrace B_{\text{can}}\right\rbrace }\!\left[{\mathcal {S}}(x)\right]=\left[{\begin{array}{c}1&-1\\1&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}a\\b\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}a-b\\a+b\end{array}}\right]\;$ soit $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}a'=a-b\\b'=a+b\end{array}}\right\rbrace \;$.

#### Matrice de la composée de deux applications linéaires, la 1ère d'un espace vectoriel E de dimension n de base B dans un autre espace vectoriel F de dimension m de base C et la 2ème de l'espace vectoriel F de dimension m de base C dans un espace vectoriel G de dimension p de base D

Considérant trois $\;\mathbb {R}$-espaces vectoriels avec définition d'une base dans chacun d'eux $\bullet \;$un « 1er $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ de dimension $\;n\;$ avec choix d'une base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1},\cdots b_{j},\cdots b_{n}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\;$», Considérant trois $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espaces vectoriels avec définition d'une base dans chacun d'eux $\bullet \;$un « 2nd $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;F\;$ de dimension $\;m\;$ avec choix d'une base $\;\left\lbrace C\right\rbrace =\left\lbrace c_{1},\cdots c_{i},\cdots c_{m}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;$» et Considérant trois $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espaces vectoriels avec définition d'une base dans chacun d'eux $\bullet \;$un « 3ème $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;G\;$ de dimension $\;p\;$ avec choix d'une base $\;\left\lbrace D\right\rbrace =\left\lbrace d_{1},\cdots c_{k},\cdots d_{p}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,p}\;$» ainsi que deux « applications linéaires $\;\blacktriangleright \;$$\;\varphi \;$ de $\;E\;$ dans $\;F\;$ et ainsi que deux « applications linéaires $\;\blacktriangleright \;$$\;\psi \;$ de $\;F\;$ dans $\;G\;$».
On appelle « matrice composée de l'application linéaire$\;\psi \circ \varphi \;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ de dimension $\;n\;$ de base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ On appelle « matrice composée de l'application linéaire$\;\color {transparent}{\psi \circ \varphi }\;$ dans le $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;G\;$ de dimension $\;p\;$ de base $\;\left\lbrace D\right\rbrace \;$ avec, On appelle « matrice composée de l'application linéaire$\;\color {transparent}{\psi \circ \varphi }\;$ pour $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel intermédiaire $\;F\;$ de dimension $\;m\;$ de base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$», On appelle la « matrice de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;\left(p\,,\,n\right)\;$ notée $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace D\right\rbrace }\!\left(\psi \circ \varphi \right)\in M_{p,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» On appelle la « matrice de dimension $\;\color {transparent}{\big$ou taille$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{\left(p\,,\,n\right)}\;$ telle que «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\in M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ étant la matrice de l'application linéaire $\;\varphi \;$ dans le couple de bases $\;\left(\left\lbrace B\right\rbrace \,,\,\left\lbrace C\right\rbrace \right)\;$» et On appelle la « matrice de dimension $\;\color {transparent}{\big$ou taille$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{\left(p\,,\,n\right)}\;$ telle que «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\left\lbrace D\right\rbrace }\!\left(\psi \right)\in M_{p,\,m}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ étant la matrice de l'application linéaire $\;\psi \;$ dans le couple de bases $\;\left(\left\lbrace C\right\rbrace \,,\,\left\lbrace D\right\rbrace \right)\;$», On appelle la « matrice de dimension $\;\color {transparent}{\big$ou taille$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{\left(p\,,\,n\right)}\;$ telle que la « matrice composée de l'application linéaire $\;\psi \circ \varphi \;$ dans le couple de bases $\;\left(\left\lbrace B\right\rbrace \,,\,\left\lbrace D\right\rbrace \right)\;$» se détermine par On appelle la « matrice de dimension $\;\color {transparent}{\big$ou taille$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{\left(p\,,\,n\right)}\;$ telle que la « matrice composée de l'application linéaire $\;\color {transparent}{\psi \circ \varphi }\;$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace D\right\rbrace }\!\left(\psi \circ \varphi \right)&=&\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\left\lbrace D\right\rbrace }\!\left(\psi \right)&\times &\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\\\in \;M_{p,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)&&\in \;M_{p,\,m}\!\left(\mathbb {R} \right)&&\in \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\end{array}}\right\rbrace \;$».

#### Changement de bases des espaces vectoriels définition et image d'une application linéaire et conséquence sur la matrice de l'application linéaire dans le couple de bases des espaces vectoriels définition et image

Considérant deux $\;\mathbb {R}$-espaces vectoriels avec définition de deux bases distinctes dans chacun d'eux $\bullet \;$un « 1er $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ de dimension $\;n\;$ avec deux bases distinctes Considérant deux $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espaces vectoriels avec définition de deux bases distinctes dans chacun d'eux $\color {transparent}{\bullet }\;$un « 1er $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{E}\;$ de dimension $\;\color {transparent}{n}\;$ avec $\left[\!{\begin{array}{c}\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1},\cdots b_{j},\cdots b_{n}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\\\left\lbrace B'\right\rbrace =\left\lbrace {b'}_{1},\cdots {b'}_{j},\cdots {b'}_{n}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\end{array}}\!\right]\;$», Considérant deux $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espaces vectoriels avec définition de deux bases distinctes dans chacun d'eux $\bullet \;$un « 2nd $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;F\;$ de dimension $\;m\;$ avec deux bases distinctes Considérant deux $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espaces vectoriels avec définition de deux bases distinctes dans chacun d'eux $\color {transparent}{\bullet }\;$un « 2nd $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{F}\;$ de dimension $\;\color {transparent}{m}\;$ avec $\left[\!{\begin{array}{c}\left\lbrace C\right\rbrace =\left\lbrace c_{1},\cdots c_{i},\cdots c_{m}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\\\left\lbrace C'\right\rbrace =\left\lbrace {c'}_{1},\cdots {c'}_{i},\cdots {c'}_{m}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\end{array}}\!\right]\;$» Considérant et une « application linéaire $\;\varphi \;$ de $\;E\;$ dans $\;F\;$» ainsi que les matrices de l'application linéaire $\;\varphi \;$ dans différents couples de bases : Considérant et une « application linéaire $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ de $\;\color {transparent}{E}\;$ dans $\;\color {transparent}{F}\;$» ainsi que $\bullet \;$« la matrice $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;\in M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ de l'application linéaire $\;\varphi \;$ dans le couple de bases $\;\left(\left\lbrace B\right\rbrace \,,\,\left\lbrace C\right\rbrace \right)\;$» et Considérant et une « application linéaire $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ de $\;\color {transparent}{E}\;$ dans $\;\color {transparent}{F}\;$» ainsi que $\bullet \;$« la matrice $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace ,\left\lbrace C'\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;\in M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ de l'application linéaire $\;\varphi \;$ dans le couple de bases $\;\left(\left\lbrace B'\right\rbrace \,,\,\left\lbrace C'\right\rbrace \right)\;$» ;
on se propose de « déterminer la matrice $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace ,\left\lbrace C'\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;\in M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» connaissant «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;\in M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» et on se propose de « déterminer la matrice $\;\color {transparent}{\mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace ,\left\lbrace C'\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;\in M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» connaissant « les matrices de passage $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\in M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ de la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ à la base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ ainsi que on se propose de « déterminer la matrice $\;\color {transparent}{\mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace ,\left\lbrace C'\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;\in M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» connaissant « les matrices de passage $\;\left[Q\right]_{\left\lbrace C\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C'\right\rbrace }\in M_{m}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ de la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ à la base $\;\left\lbrace C'\right\rbrace \;$», c.-à-d. de on se propose de « déterminer les conséquences sur la matrice de l'application linéaire $\;\varphi \;$ du changement simultané de la base dans laquelle les vecteurs de $\;E\;$ sont repérés et on se propose de « déterminer les conséquences sur la matrice de l'application linéaire $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ du changement simultané de celle dans laquelle ceux de $\;F\;$ le sont » ; on établit : on se propose de «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace ,\left\lbrace C'\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[Q\right]_{\left\lbrace C\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C'\right\rbrace }^{\,-1}\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\;$» dans laquelle «$\;\left[Q\right]_{\left\lbrace C\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C'\right\rbrace }^{\,-1}\;$ est la matrice inverse de $\;\left[Q\right]_{\left\lbrace C\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C'\right\rbrace }\;$».
on se propose de Justification : Appliquant $\;\varphi \;$ à tout «$\;x\;\in \;E\;$ repéré dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1},\cdots b_{j},\cdots b_{n}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\;$ par la matrice coordonnée $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace }(x)\;$» on se propose de Justification : Appliquant $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ à tout «$\;\color {transparent}{x\;\in \;E}\;$ on obtient «$\;\varphi (x)\;\in \;F\;$ repéré dans la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace =\left\lbrace c_{1},\cdots c_{i},\cdots c_{m}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;$ par la matrice coordonnée $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]\;$» et on se propose de Justification : notant «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;\in M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ la matrice de l'application linéaire $\;\varphi \;$ dans le couple de bases $\;\left(\left\lbrace B\right\rbrace \,,\,\left\lbrace C\right\rbrace \right)\;$», on en déduit on se propose de Justification : notant «$\;\color {transparent}{\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;\in M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ la matrice coordonnée $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]\;$ de celle $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace }(x)\;$ par on se propose de Justification : notant «$\;\color {transparent}{\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;\in M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ la matrice coordonnée «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]=\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace }(x)\;$» ; on se propose de Justification : notant «$\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\in M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ la matrice de passage de la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ à la base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$», on se propose de Justification : notant «$\;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\in M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ la matrice coordonnée $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace }(x)\;$ de $\;x\;\in \;E\;$ dans $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ est liée à on se propose de Justification : notant «$\;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\in M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ la matrice coord celle $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace }(x)\;$ de $\;x\;\in \;E\;$ dans $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ selon on se propose de Justification : notant «$\;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\in M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ la matrice coordonnée «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace }(x)=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace }(x)\;$» $\Rightarrow$ on se propose de Justification : notant «$\;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\in M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ la matrice coordonnée $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]\;$ de $\;\varphi (x)\;\in \;F\;$ dans $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ se réécrit en fonction de on se propose de Justification : notant «$\;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\in M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ la matrice coord celle $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace }(x)\;$ de $\;x\;\in \;E\;$ dans $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ selon on se propose de Justification : notant «$\;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\in M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ la matrice coordonnée «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]=\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left\lbrace \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace }(x)\right\rbrace$ on se propose de Justification : notant «$\;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\in M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ la matrice coordonnée «$\;\color {transparent}{\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]}$ $=\left\lbrace \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\right\rbrace \times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace }(x)\;$» on se propose de Justification : notant «$\;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\in M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ la matrice coordonnée «$\;\color {transparent}{\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]}$ par utilisation de l'associativité de la multiplication matricielle ; on se propose de Justification : notant «$\;\left[Q\right]_{\left\lbrace C\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C'\right\rbrace }\in M_{m}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ la matrice de passage de la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ à la base $\;\left\lbrace C'\right\rbrace \;$» dont on déduit en inversant on se propose de Justification : notant «$\;\left[Q\right]_{\left\lbrace C\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C'\right\rbrace }^{\,-1}\in M_{m}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ la matrice de passage de la base $\;\left\lbrace C'\right\rbrace \;$ à la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$» et par suite on se propose de Justification : notant «$\;\color {transparent}{\left[Q\right]_{\left\lbrace C\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C'\right\rbrace }^{\,-1}\in M_{m}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ la matrice coordonnée $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C'\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]\;$ de $\;\varphi (x)\;\in \;F\;$ dans $\;\left\lbrace C'\right\rbrace \;$ se réécrit en fonction de on se propose de Justification : notant «$\;\color {transparent}{\left[Q\right]_{\left\lbrace C\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C'\right\rbrace }^{\,-1}\in M_{m}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ la matrice coord celle $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]\;$ de $\;\varphi (x)\;\in \;F\;$ dans $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ selon on se propose de Justification : notant «$\;\color {transparent}{\left[Q\right]_{\left\lbrace C\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C'\right\rbrace }^{\,-1}\in M_{m}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ la matrice coordonnée «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C'\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]=\left[Q\right]_{\left\lbrace C\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C'\right\rbrace }^{\,-1}\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]\;$» et finalement on se propose de Justification : notant «$\;\color {transparent}{\left[Q\right]_{\left\lbrace C\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C'\right\rbrace }^{\,-1}\in M_{m}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ la matrice coordonnée $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C'\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]\;$ de $\;\varphi (x)\;\in \;F\;$ dans $\;\left\lbrace C'\right\rbrace \;$ se réécrit en fonction de on se propose de Justification : notant «$\;\color {transparent}{\left[Q\right]_{\left\lbrace C\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C'\right\rbrace }^{\,-1}\in M_{m}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ la matrice coord celle $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace }(x)\;$ de $\;x\;\in \;E\;$ dans $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ selon on se propose de Justification : notant «$\;\color {transparent}{\left[Q\right]_{\left\lbrace C\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C'\right\rbrace }^{\,-1}\in M_{m}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ la matrice coordonnée «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C'\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]=\left[Q\right]_{\left\lbrace C\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C'\right\rbrace }^{\,-1}\times {\bigg \langle }\left\lbrace \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\right\rbrace \times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace }(x){\bigg \rangle }$ on se propose de Justification : notant «$\;\color {transparent}{\left[Q\right]_{\left\lbrace C\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C'\right\rbrace }^{\,-1}\in M_{m}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ la matrice coordonnée «$\;\color {transparent}{\mathrm {mat} _{\left\lbrace C'\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]}$ $=\left\lbrace \left[Q\right]_{\left\lbrace C\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C'\right\rbrace }^{\,-1}\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\right\rbrace \times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace }(x)\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)$» on se propose de Justification : notant «$\;\color {transparent}{\left[Q\right]_{\left\lbrace C\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C'\right\rbrace }^{\,-1}\in M_{m}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ la matrice coordonnée «$\;\color {transparent}{\mathrm {mat} _{\left\lbrace C'\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]}$ par utilisation de l'associativité de la multiplication matricielle ; on se propose de Justification : pour terminer, notant «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace ,\left\lbrace C'\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;\in M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ la matrice de l'application linéaire $\;\varphi \;$ dans le couple de bases $\;\left(\left\lbrace B'\right\rbrace \,,\,\left\lbrace C'\right\rbrace \right)\;$», on se propose de Justification : pour terminer, notant «$\;\color {transparent}{\mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace ,\left\lbrace C'\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;\in M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ la matrice coordonnée $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C'\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]\;$ de $\;\varphi (x)\;\in \;F\;$ dans $\;\left\lbrace C'\right\rbrace \;$ se déduit de on se propose de Justification : pour terminer, notant «$\;\color {transparent}{\mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace ,\left\lbrace C'\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;\in M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ la matrice coord celle $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace }(x)\;$ de $\;x\;\in \;E\;$ dans $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ par on se propose de Justification : pour terminer, notant «$\;\color {transparent}{\mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace ,\left\lbrace C'\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;\in M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ la matrice coordonnée «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C'\right\rbrace }\!\left[\varphi (x)\right]=\mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace ,\,\left\lbrace C'\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace }(x)\;$» soit on se propose de Justification : pour terminer, par identification avec la relation $\;\left({\mathfrak {a}}\right)$, valable $\;\forall \;x\;\in \;E$, «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace ,\,\left\lbrace C'\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[Q\right]_{\left\lbrace C\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C'\right\rbrace }^{\,-1}\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\;$» C.Q.F.D..
Cas particulier : Soit «$\;\varphi \;\in L(E)\;$ un endomorphisme du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ de dimension $\;n\;$ dans lequel on choisit deux bases distinctes $\;\left({\begin{array}{c}\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1},\cdots b_{j},\cdots b_{n}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\\\left\lbrace B'\right\rbrace =\left\lbrace {b'}_{1},\cdots {b'}_{j},\cdots {b'}_{n}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\end{array}}\right)\;$» et Cas particulier : Soit «$\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\in M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ la matrice de passage de la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ à la base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$», Cas particulier : « les matrices de l'endomorphisme $\;\varphi \;$ de $\;E\;$ dans chaque couple de bases $\;\left(\left\lbrace B\right\rbrace \,,\,\left\lbrace B\right\rbrace \right)\;$ et $\;\left(\left\lbrace B'\right\rbrace \,,\,\left\lbrace B'\right\rbrace \right)\;$» étant liées par Cas particulier : « les matrices de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ de $\;\color {transparent}{E}\;$ «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace ,\left\lbrace B'\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }^{\,-1}\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\;$» Cas particulier : « les matrices de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ de $\;\color {transparent}{E}\;$ « sont qualifiées de « matrices semblables », Cas particulier : « les matrices de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ de $\;\color {transparent}{E}\;$ « ${\Big \$« deux matrices $\;\left(\left[A\right]\,,\,\left[B\right]\right)\in \left\lbrace M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\right\rbrace ^{2}\;$ sont semblables » ssi «$\;\exists \;\left[P\right]\in M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ inversible » telle que Cas particulier : « les matrices de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ de $\;\color {transparent}{E}\;$ « $\color {transparent}{\Big \$« deux matrices $\;\color {transparent}{\left(\left[A\right]\,,\,\left[B\right]\right)\in \left\lbrace M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\right\rbrace ^{2}}\;$ sont semblables » ssi «$\;\left[A\right]\times \left[P\right]=\left[P\right]\times \left[B\right]\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left[A\right]=\left[P\right]\times \left[B\right]\times \left[P\right]^{-1}\;$ Cas particulier : « les matrices de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ de $\;\color {transparent}{E}\;$ « $\color {transparent}{\Big \$« deux matrices $\;\color {transparent}{\left(\left[A\right]\,,\,\left[B\right]\right)\in \left\lbrace M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\right\rbrace ^{2}}\;$ sont semblables » ssi «$\;\color {transparent}{\left[A\right]\times \left[P\right]=\left[P\right]\times \left[B\right]}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left[B\right]=\left[P\right]^{-1}\times \left[A\right]\times \left[P\right]\;$»${\Big \}$.