# Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Fonctions hyperboliques directes et inverses

Les fonctions hyperboliques ont été inventées par Vincenzo Riccati vers $\;1760\;$ en cherchant à calculer l'« aire sous l'hyperbole d'équation $\;x^{2}-y^{2}=1\;$», la méthode géométrique qu'il employa était semblable à celle qu'il utilisait pour calculer l'« aire sous le cercle d'équation $\;x^{2}+y^{2}=1\;$» méthode où il introduisait les fonctions trigonométriques qu'il appela « circulaires » ; par analogie il nomma les nouvelles fonctions créées « hyperboliques ».

## Fonctions hyperboliques directes

Il y a un lien de construction à partir de la fonction exponentielle entre les fonctions « trigonométriques » directes et « hyperboliques » directes, par exemple : Il y a un lien de construction à partir de la fonction exponentielle « le cosinus $\;{\big$trigonométrique${\big )}\;$ est construit à partir de la fonction exponentielle définie sur $\;i\mathbb {R} \;$ et Il y a un lien de construction à partir de la fonction exponentielle « le cosinus hyperbolique est construit à partir de la fonction exponentielle définie sur $\;\mathbb {R} \;$».

### Cosinus hyperbolique

Le cosinus hyperbolique, noté $\;\cosh\;$, est « défini sur $\;\mathbb {R} \;$» selon «$\;\cosh(x)={\dfrac {\exp(x)+\exp(-x)}{2}}\;$»,
Le cosinus hyperbolique, noté $\;\color {transparent}{\cosh}\;$, « son domaine de valeurs est $\;\left[1\,,\,+\infty \right[\;$»,
Le cosinus hyperbolique, noté $\;\color {transparent}{\cosh}\;$, c'est une fonction « paire » c.-à-d. «$\;\cosh(-x)=\cosh(x)\;$» et
Le cosinus hyperbolique, noté $\;\color {transparent}{\cosh}\;$, c'est une fonction « dérivable sur $\;\mathbb {R} \;$» avec «$\;{\dfrac {d\left[\cosh(x)\right]}{dx}}=\sinh(x)\;$» car Le cosinus hyperbolique, noté $\;\color {transparent}{\cosh}\;$, c'est une fonction « dérivable sur $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;$» $\;{\dfrac {d\left[\cosh(x)\right]}{dx}}={\dfrac {\exp(x)-\exp(-x)}{2}}=\sinh(x)\;$ ;
Le cosinus hyperbolique, noté $\;\color {transparent}{\cosh}\;$, variation de$\;\cosh$ : «$\;\searrow \;$ de $\;+\infty \;$ à $\;1\;$ sur $\;\left]-\infty \,,\,0\right]\;$» puis Le cosinus hyperbolique, noté $\;\color {transparent}{\cosh}\;$, variation de$\;\color {transparent}{\cosh}$ : «$\;\nearrow \;$ de $\;1\;$ à $\;+\infty \;$ sur $\;\left[0\,,+\infty \right[\;$», Le cosinus hyperbolique, noté $\;\color {transparent}{\cosh}\;$, variation de$\;\color {transparent}{\cosh}$ : voir graphe ci-contre sur l'intervalle de définition restreint à $\;\left[-4\,,\,+4\right]$ ;
Le cosinus hyperbolique, noté $\;\color {transparent}{\cosh}\;$, variation de$\;\color {transparent}{\cosh}$ : ce graphe est appelé « chaînette », Le cosinus hyperbolique, noté $\;\color {transparent}{\cosh}\;$, variation de$\;\color {transparent}{\cosh}$ : ce graphe il est symétrique relativement à l'axe des ordonnées $\;y'y$.

### Sinus hyperbolique

Le sinus hyperbolique, noté $\;\sinh\;$, est « défini sur $\;\mathbb {R} \;$» selon «$\;\sinh(x)={\dfrac {\exp(x)-\exp(-x)}{2}}\;$»,
Le sinus hyperbolique, noté $\;\color {transparent}{\sinh}\;$, « son domaine de valeurs est $\;\left]-\infty \,,\,+\infty \right[\;$»,
Le sinus hyperbolique, noté $\;\color {transparent}{\sinh}\;$, c'est une fonction « impaire » c.-à-d. «$\;\sinh(-x)=-\sinh(x)\;$» et
Le sinus hyperbolique, noté $\;\color {transparent}{\sinh}\;$, c'est une fonction « dérivable sur $\;\mathbb {R} \;$» avec «$\;{\dfrac {d\left[\sinh(x)\right]}{dx}}=\cosh(x)\;$» car Le sinus hyperbolique, noté $\;\color {transparent}{\sinh}\;$, c'est une fonction « dérivable sur $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;$» $\;{\dfrac {d\left[\sinh(x)\right]}{dx}}={\dfrac {\exp(x)+\exp(-x)}{2}}=\cosh(x)\;$ ;
Le sinus hyperbolique, noté $\;\color {transparent}{\sinh}\;$, variation de$\;\sinh$ : «$\;\nearrow \;$ de $\;-\infty \;$ à $\;+\infty \;$ sur $\;\left]-\infty \,,\,+\infty \right[\;$» Le sinus hyperbolique, noté $\;\color {transparent}{\sinh}\;$, variation de$\;\color {transparent}{\sinh}$ : voir graphe ci-contre sur l'intervalle de définition restreint à $\;\left[-4\,,\,+4\right]$, Le sinus hyperbolique, noté $\;\color {transparent}{\sinh}\;$, variation de$\;\color {transparent}{\sinh}$ : voir graphe ci-contre l'intervalle de valeurs étant $\;\left[\simeq -27,3\,;\,\simeq +27,3\right]$ ;
Le sinus hyperbolique, noté $\;\color {transparent}{\sinh}\;$, variation de$\;\color {transparent}{\sinh}$ : ce graphe est symétrique relativement à l'origine du repérage $\;O$.

### Tangente hyperbolique

La tangente hyperbolique, notée $\;\tanh\;$, est « définie sur $\;\mathbb {R} \;$» selon «$\;\tanh(x)={\dfrac {\exp(x)-\exp(-x)}{\exp(x)+\exp(-x)}}\;$» ou encore, La tangente hyperbolique, notée $\;\color {transparent}{\tanh}\;$, est « définie sur $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;$» selon «$\;\tanh(x)={\dfrac {\sinh(x)}{\cosh(x)}}\;$»,
La tangente hyperbolique, notée $\;\color {transparent}{\tanh}\;$, « son domaine de valeurs est $\;\left]-1\,,\,+1\right[\;$»,
La tangente hyperbolique, notée $\;\color {transparent}{\tanh}\;$, c'est une fonction « impaire » c.-à-d. «$\;\tanh(-x)=-\tanh(x)\;$» et
La tangente hyperbolique, notée $\;\color {transparent}{\tanh}\;$, c'est une fonction « dérivable sur $\;\mathbb {R} \;$» avec «$\;{\dfrac {d\left[\tanh(x)\right]}{dx}}={\dfrac {1}{\cosh ^{2}(x)}}\;$» car La tangente hyperbolique, noté $\;\color {transparent}{\tanh}\;$, c'est une fonction « dérivable sur $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;$» $\;{\dfrac {d\left[\tanh(x)\right]}{dx}}={\dfrac {d\left[{\dfrac {\sinh(x)}{\cosh(x)}}\right]}{dx}}=$ La tangente hyperbolique, noté $\;\color {transparent}{\tanh}\;$, c'est une fonction « dérivable sur $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;$» $\;\color {transparent}{{\dfrac {d\left[\tanh(x)\right]}{dx}}=}$ ${\dfrac {\cosh ^{2}(x)-\sinh ^{2}(x)}{\cosh ^{2}(x)}}\;$ La tangente hyperbolique, noté $\;\color {transparent}{\tanh}\;$, c'est une fonction « dérivable sur $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;$» $\;\color {transparent}{\dfrac {d\left[\tanh(x)\right]}{dx}}$ $={\dfrac {1}{\cosh ^{2}(x)}}\;$ C.Q.F.D. ou bien
La tangente hyperbolique, notée $\;\color {transparent}{\tanh}\;$, c'est une fonction « dérivable sur $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;$» avec «$\;{\dfrac {d\left[\tanh(x)\right]}{dx}}=1-\tanh ^{2}(x)\;$» ;
La tangente hyperbolique, notée $\;\color {transparent}{\tanh}\;$, variation de$\;\tanh$ : «$\;\nearrow \;$ de $\;-1\;$ à $\;+1\;$ sur $\;\left]-\infty \,,\,+\infty \right[\;$» La tangente hyperbolique, notée $\;\color {transparent}{\tanh}\;$, variation de$\;\color {transparent}{\tanh}$ : voir graphe ci-dessus avec un intervalle de définition restreint à $\;\left[-4\,,\,+4\right]$ ;
La tangente hyperbolique, notée $\;\color {transparent}{\tanh}\;$, variation de$\;\color {transparent}{\tanh}$ : ce graphe est symétrique relativement à l'origine du repérage $\;O\;$ et La tangente hyperbolique, notée $\;\color {transparent}{\tanh}\;$, variation de$\;\color {transparent}{\tanh}$ : ce graphe admet deux asymptotes horizontales pour les ordonnées $\;\pm 1$.

### Cotangente hyperbolique

La cotangente hyperbolique, notée $\;\coth\;$, est « définie sur $\;\mathbb {R} ^{*}\;$» selon «$\;\coth(x)={\dfrac {\exp(x)+\exp(-x)}{\exp(x)-\exp(-x)}}\;$» ou encore, La cotangente hyperbolique, notée $\;\color {transparent}{\coth}\;$, est « définie sur $\;\color {transparent}{\mathbb {R} ^{*}}\;$» selon «$\;\coth(x)={\dfrac {\cosh(x)}{\sinh(x)}}\;$» ou enfin, La cotangente hyperbolique, notée $\;\color {transparent}{\coth}\;$, est « définie sur $\;\color {transparent}{\mathbb {R} ^{*}}\;$» selon «$\;\coth(x)={\dfrac {1}{\tanh(x)}}\;$»$^,$,
La cotangente hyperbolique, notée $\;\color {transparent}{\coth}\;$, « son domaine de valeurs est $\;\left]-\infty \,,\,-1\right[\cup \left]+1\,,\,+\infty \right[\;$»,
La cotangente hyperbolique, notée $\;\color {transparent}{\coth}\;$, c'est une fonction « impaire » c.-à-d. «$\;\coth(-x)=-\coth(x)\;$»,
La cotangente hyperbolique, notée $\;\color {transparent}{\coth}\;$, c'est une fonction « dérivable sur $\;\mathbb {R} ^{*}\;$», de dérivée «$\;{\dfrac {d\left[\coth(x)\right]}{dx}}={\dfrac {-1}{\sinh ^{2}(x)}}\;$» car La cotangente hyperbolique, noté $\;\color {transparent}{\coth}\;$, c'est une fonction « dérivable sur $\;\color {transparent}{\mathbb {R} ^{*}}\;$» $\;{\dfrac {d\left[\coth(x)\right]}{dx}}={\dfrac {d\left[{\dfrac {\cosh(x)}{\sinh(x)}}\right]}{dx}}=$ La cotangente hyperbolique, noté $\;\color {transparent}{\coth}\;$, c'est une fonction « dérivable sur $\;\color {transparent}{\mathbb {R} ^{*}}\;$» $\;\color {transparent}{{\dfrac {d\left[\coth(x)\right]}{dx}}=}$ ${\dfrac {\sinh ^{2}(x)-\cosh ^{2}(x)}{\sinh ^{2}(x)}}\;$ La cotangente hyperbolique, noté $\;\color {transparent}{\coth}\;$, c'est une fonction « dérivable sur $\;\color {transparent}{\mathbb {R} ^{*}}\;$» $\;\color {transparent}{\dfrac {d\left[\coth(x)\right]}{dx}}$ $={\dfrac {-1}{\sinh ^{2}(x)}}\;$ C.Q.F.D., ou encore, «$\;{\dfrac {d\left[\coth(x)\right]}{dx}}=1-\coth ^{2}(x)\;$» ;
La cotangente hyperbolique, notée $\;\color {transparent}{\coth}\;$, variation de $\;\coth$ : «$\;\searrow \;$ de $\;-1\;$ à $\;-\infty \;$ sur $\;\left]-\infty \,,\,0\right[\;$» puis La cotangente hyperbolique, notée $\;\color {transparent}{\coth}\;$, variation de $\;\color {transparent}{\coth}$ : «$\;\searrow \;$ de $\;+\infty \;$ à $\;+1\;$ sur $\;\left]0\,,+\infty \right[\;$» La cotangente hyperbolique, notée $\;\color {transparent}{\coth}\;$, variation de $\;\color {transparent}{\coth}$ : voir graphe ci-dessus avec un intervalle de définition restreint à $\;\left[-4\,,\,+4\right]\;$ et un domaine de valeurs à $\;\left[-5\,,\,-1\right[\cup \left]+1\,,\,+5\right]$ ;
La cotangente hyperbolique, notée $\;\color {transparent}{\coth}\;$, variation de $\;\color {transparent}{\coth}$ : ce graphe est symétrique relativement à l'origine du repérage $\;O\;$ et La cotangente hyperbolique, notée $\;\color {transparent}{\coth}\;$, variation de $\;\color {transparent}{\coth}$ : ce graphe admet deux asymptotes horizontales pour les ordonnées $\;\pm 1\;$ ainsi qu' La cotangente hyperbolique, notée $\;\color {transparent}{\coth}\;$, variation de $\;\color {transparent}{\coth}$ : ce graphe admet une asymptote verticale pour $\;x=0$.

### Commentaires : explication du nom donné aux nouvelles fonctions créées par Vincenzo Riccati

« Une demi-droite passant par l'origine coupe l’hyperbole d'équation $\;x^{2}-y^{2}=1\;$ en un point dont les coordonnées paramétrées par Vincenzo Riccati en fonction d'une grandeur $\;{\mathfrak {a}}\;$» lui permirent de créer de nouvelles fonctions baptisées « cosinus hyperbolique » pour l'abscisse et « sinus hyperbolique » pour l'ordonnée, plus précisément «$\;\left\lbrace x=\cosh({\mathfrak {a}})\,;\,y=\sinh({\mathfrak {a}})\right\rbrace \;$», « le paramètre $\;{\mathfrak {a}}\;$ s'avérant être le double de l'aire algébrique de la surface délimitée par la demi-droite, l'hyperbole et l'axe des abscisses » $\;{\big$en rouge sur le schéma ci-contre${\big )}$.
Identification des fonctions hyperboliques créées par Vincenzo Ricati avec celles définies par exponentielles : on établit
* d'abord que « le point $\;M\;$ d'abscisse $\;x=\cosh({\mathfrak {a}})\;$ et d'ordonnée $\;y=\sinh({\mathfrak {a}})\;$ vérifie l'équation de l'hyperbole $\;x^{2}-y^{2}=1\;$» par utilisation de la relation fondamentale liant $\;\cosh(x)\;$ et $\;\sinh(x)\;$ soit «$\;\cosh ^{2}({\mathfrak {a}})-\sinh ^{2}({\mathfrak {a}})=1\,$»,
* ensuite, du fait que le vecteur position de $\;M\;$ s'écrivant «$\;{\overrightarrow {OM}}=\cosh({\mathfrak {a}})\;{\vec {u}}_{x}+\sinh({\mathfrak {a}})\;{\vec {u}}_{y}\;$» on peut en déduire ensuite $\succ \;$l'expression du « vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}=\sinh({\mathfrak {a}})\;d{\mathfrak {a}}\;{\vec {u}}_{x}+\cosh({\mathfrak {a}})\;d{\mathfrak {a}}\;{\vec {u}}_{y}\;$» puis ensuite $\succ \;$ celle du « vecteur surface élémentaire $\;{\overrightarrow {dS}}\;$ balayée par $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ quand $\;M\;$ se déplace de $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ sur l'hyperbole » ensuite $\color {transparent}{\succ }\;$à l'aide de sa définition «$\;{\overrightarrow {dS}}={\dfrac {{\overrightarrow {OM}}\wedge {\overrightarrow {dM}}}{2}}\;$», ce qui permet de déterminer, dans le cas présent, l'expression ensuite $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;{\overrightarrow {dS}}={\dfrac {\left[\cosh({\mathfrak {a}})\;{\vec {u}}_{x}+\sinh({\mathfrak {a}})\;{\vec {u}}_{y}\right]\wedge \left[\sinh({\mathfrak {a}})\;d{\mathfrak {a}}\;{\vec {u}}_{x}+\cosh({\mathfrak {a}})\;d{\mathfrak {a}}\;{\vec {u}}_{y}\right]}{2}}={\dfrac {\left[\cosh ^{2}({\mathfrak {a}})-\sinh ^{2}({\mathfrak {a}})\right]d{\mathfrak {a}}}{2}}\;{\vec {u}}_{z}\;$» et, ensuite $\color {transparent}{\succ }\;$en utilisant la relation fondamentale liant $\;\cosh(x)\;$ et $\;\sinh(x)\;$ c.-à-d. «$\;\cosh ^{2}({\mathfrak {a}})-\sinh ^{2}({\mathfrak {a}})=1\;$», l'expression finale ensuite $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;{\overrightarrow {dS}}={\dfrac {d{\mathfrak {a}}}{2}}\;{\vec {u}}_{z}\;$» d'où
* « l'aire de la surface balayée par le rayon vecteur $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ quand le point $\;M\;$ se déplace de $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ sur l'hyperbole », valant «$\;{\dfrac {d{\mathfrak {a}}}{2}}\;$» $\Rightarrow$ « l'aire balayée par le rayon vecteur $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ quand le point $\;M\;$ se déplace sur l'hyperbole du point de l'axe des abscisses jusqu'au point repéré par le paramètre $\;{\mathfrak {a}}\;$» est «$\;{\dfrac {\mathfrak {a}}{2}}\;$» C.Q.F.V..
Remarque : Il y a également un lien entre « l'angle $\;\theta ={\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {OM}}\right)}}\;$» et Remarque : Il y a également un lien entre « l'aire $\;{\mathfrak {a}}\;$ de la surface balayée par $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ quand $\;M\;$ se déplace sur l'hyperbole du point de l'axe des abscisses jusqu'au point repéré par $\;\theta \;$» mais Remarque : Il y a également un lien contrairement au cas du cercle, «$\;{\mathfrak {a}}\neq {\dfrac {\theta }{2}}\;$» en effet : Remarque : Il y a également un lien « dans le cas de la branche d'hyperbole, les coordonnées polaires de $\;M\;\left\lbrace \rho \,,\,\theta \right\rbrace \;$ sont telles que $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x=\rho \;\cos(\theta )\\y=\rho \;\sin(\theta )\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ $\;\rho ^{2}\;\cos ^{2}(\theta )-\rho ^{2}\;\sin ^{2}(\theta )=1\;$ ou Remarque : Il y a également un lien « dans le cas de la branche d'hyperbole, «$\;\rho ^{2}={\dfrac {1}{\cos ^{2}(\theta )-\sin ^{2}(\theta )}}={\dfrac {1}{\cos(2\;\theta )}}\;$ équation polaire de la branche d'hyperbole » Remarque : Il y a également un lien « dans le cas de la branche d'hyperbole, ${\bigg$on trouve ainsi les deux asymptotes de l'hyperbole correspondant à $\;\rho \rightarrow +\infty \;$ soit $\;\theta \rightarrow \pm {\dfrac {\pi }{4}}{\bigg ]}\;$ dont on peut déduire Remarque : Il y a également un lien « dans le cas de la branche d'hyperbole, « le vecteur surface élémentaire balayée par $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ quand $\;M\;$ se déplace de $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ sur la branche d'hyperbole » Remarque : Il y a également un lien « dans le cas de la branche d'hyperbole, «$\;{\overrightarrow {dS}}={\dfrac {{\overrightarrow {OM}}\wedge {\overrightarrow {dM}}}{2}}\;$ se réécrivant en polaire $\;{\overrightarrow {dS}}={\dfrac {\rho \;{\vec {u}}_{\rho }\wedge \left(d\rho \;{\vec {u}}_{\rho }+\rho \;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }\right)}{2}}={\dfrac {\rho ^{2}\;d\theta }{2}}\;{\vec {u}}_{z}\;$» dont on tire Remarque : Il y a également un lien « dans le cas de la branche d'hyperbole, « l'aire de la surface élémentaire balayée par le rayon vecteur $\;d{\mathfrak {a}}={\dfrac {\rho ^{2}\;d\theta }{2}}={\dfrac {d\theta }{2\;\cos(2\;\theta )}}\;$ effectivement $\;\neq {\dfrac {d\theta }{2}}\;$» ; Remarque : Il y a également un lien « dans le cas de la branche d'hyperbole, on obtient alors «$\;{\mathfrak {a}}\;$ en intégrant la relation précédente entre $\;0\;$ et $\;\theta \;$ soit $\;{\mathfrak {a}}=\displaystyle \int _{0}^{\theta }{\dfrac {d\theta '}{2\;\cos(2\;\theta ')}}\;$» qui s'intègre Remarque : Il y a également un lien « dans le cas de la branche d'hyperbole, on obtient en posant «$\;t'=\tan \!\left(\theta '\right)\;$ $\Rightarrow$ $\;dt'=\left[1+\tan ^{2}\!\left(\theta '\right)\right]d\theta '\;$ soit $\;d\theta '={\dfrac {dt'}{1+{t'}^{2}}}\;$» et Remarque : Il y a également un lien « dans le cas de la branche d'hyperbole, on obtient en posant «$\;\color {transparent}{t'=\tan \!\left(\theta '\right)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;\cos(2\;\theta ')=\cos ^{2}(\theta ')-\sin ^{2}(\theta ')=\cos ^{2}(\theta ')\left[1-\tan ^{2}(\theta ')\right]={\dfrac {1-\tan ^{2}(\theta ')}{1+\tan ^{2}(\theta ')}}\;$ Remarque : Il y a également un lien « dans le cas de la branche d'hyperbole, on obtient en posant «$\;\color {transparent}{t'=\tan \!\left(\theta '\right)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;\color {transparent}{\cos(2\;\theta ')}$ $={\dfrac {1-{t'}^{2}}{1+{t'}^{2}}}\;$ soit «$\;{\dfrac {1}{\cos(2\;\theta ')}}={\dfrac {1+{t'}^{2}}{1-{t'}^{2}}}\;$» d'où Remarque : Il y a également un lien « dans le cas de la branche d'hyperbole, on obtient alors «$\;{\mathfrak {a}}=\displaystyle \int _{0}^{\theta }{\dfrac {d\theta '}{2\;\cos(2\;\theta ')}}={\dfrac {1}{2}}\;\displaystyle \int _{0}^{t}{\dfrac {dt'}{1-{t'}^{2}}}\;$» ou, avec «$\;{\dfrac {1}{1-{t'}^{2}}}={\dfrac {\dfrac {1}{2}}{1-t'}}+{\dfrac {\dfrac {1}{2}}{1+t'}}\;$» donnant Remarque : Il y a également un lien « dans le cas de la branche d'hyperbole, on obtient alors «$\;{\mathfrak {a}}={\dfrac {1}{4}}\left[\displaystyle \int _{0}^{t}{\dfrac {dt'}{1-t'}}+\displaystyle \int _{0}^{t}{\dfrac {dt'}{1+t'}}\right]={\dfrac {1}{4}}\left[\displaystyle \int _{t'\,=\,0}^{t'\,=\,t}{\dfrac {d(1+t')}{1+t'}}-\displaystyle \int _{t'\,=\,0}^{t'\,=\,t}{\dfrac {d(1-t')}{1-t'}}\right]$ Remarque : Il y a également un lien « dans le cas de la branche d'hyperbole, on obtient alors «$\;\color {transparent}{\mathfrak {a}}$ $={\dfrac {1}{4}}\left[\ln \!\left({\dfrac {1+t'}{1-t'}}\right)\right]_{0}^{t}={\dfrac {1}{4}}\,\ln \!\left({\dfrac {1+t}{1-t}}\right)\;$» soit finalement «$\;{\mathfrak {a}}={\dfrac {1}{4}}\,\ln \!\left[{\dfrac {1+\tan(\theta )}{1-\tan(\theta )}}\right]\;$».

### Liens entre cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique

Relation fondamentale : Si on calcule $\;\cosh ^{2}(x)=\left[{\dfrac {\exp(x)+\exp(-x)}{2}}\right]^{2}={\dfrac {\exp ^{2\,x)+\exp(-2\,x)+2}{4}}\;$ et Relation fondamentale : Si on calcule $\;\sinh ^{2}(x)=\left[{\dfrac {\exp(x)-\exp(-x)}{2}}\right]^{2}={\dfrac {\exp ^{2\,x)+\exp(-2\,x)-2}{4}}$, Relation fondamentale : Si on vérifie aisément, en ajoutant les deux relations ci-dessus et après simplification évidente, la relation fondamentale «$\;\cosh ^{2}(x)-\sinh ^{2}(x)=1\;$».
Autres relations : Il existe deux autres liens entre cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique faisant intervenir l'une ou l'autre exponentielle de la variable ou de son opposée et Autres relations : Il existe deux autres liens entre cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique se démontrant par simple utilisation de la définition des fonctions hyperboliques, ce sont  Autres relations : Il existe deux autres liens entre cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\cosh(x)+\sinh(x)=\exp(x)\\\cosh(x)-\sinh(x)=\exp(-x)\end{array}}\right\rbrace \;$».

### Relations d'addition et de duplication

Relations d'addition : celles-ci se vérifient sans difficulté en utilisant la définition de la fonction hyperbolique utilisée, Relations d'addition : celles-ci se vérifient sans difficulté en utilisant les propriétés des exponentielles et Relations d'addition : celles-ci se vérifient sans difficulté en faisant réapparaître les fonctions hyperboliques souhaitées : $\succ \;$«$\;\cosh(a+b)=\cosh(a)\;\cosh(b)+\sinh(a)\;\sinh(b)\;$» et Relations d'addition : celles-ci se vérifient sans difficulté en faisant réapparaître les fonctions hyperboliques souhaitées : $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\cosh(a-b)=\cosh(a)\;\cosh(b)-\sinh(a)\;\sinh(b)\;$»,
Relations d'addition : celles-ci se vérifient sans difficulté en faisant réapparaître les fonctions hyperboliques souhaitées : $\succ \;$«$\;\sinh(a+b)=\sinh(a)\;\cosh(b)+\sinh(b)\;\cosh(a)\;$» et Relations d'addition : celles-ci se vérifient sans difficulté en faisant réapparaître les fonctions hyperboliques souhaitées : $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\sinh(a-b)=\sinh(a)\;\cosh(b)-\sinh(b)\;\cosh(a)\;$».
Relations de duplication : celles-ci se vérifient à partir des relations d'addition précédentes et éventuelle utilisation de la relation fondamentale liant le cosinus hyperbolique et le sinus hyperbolique :
Relations de duplication : $\succ \;$«$\;\cosh(2\,a)=\cosh ^{2}(a)+\sinh ^{2}(a)=2\,\cosh ^{2}(a)-1=1+2\,\sinh ^{2}(a)\;$» Relations de duplication : $\color {transparent}{\succ }\;$${\Bigg$on en déduit les relations de linéarisation suivantes «$\;\cosh ^{2}(a)={\dfrac {1+\cosh(2\,a)}{2}}\;$» et «$\;\sinh ^{2}(a)={\dfrac {\cosh(2\,a)-1}{2}}\;$»${\Bigg ]}$,
Relations de duplication : $\succ \;$«$\;\sinh(2\,a)=2\;\sinh(a)\;\cosh(a)\;$».

## Fonctions hyperboliques inverses

$\;\ldots$

### Fonction argument sinus hyperbolique

« La fonction $\;\sinh\;$ est inversable sur son domaine de définition $\;\mathbb {R} \;$» car elle y est « bijective » ; « son inverse notée $\;\mathrm {argsinh}\;$» définit la fonction « argument sinus hyperbolique » ;
« La fonction $\;y=\mathrm {argsinh} (x)\;$ est la fonction inverse de$\;x=\sinh(y)\;$», « pour $\;x=\sinh(y)\;$ le domaine de définition étant $\;\mathbb {R} \;$ et le domaine des valeurs $\;\mathbb {R} \;$», $\Rightarrow$ pour $\;\color {transparent}{x=\sinh(y)}\;$ « le domaine de définition de la fonction $\;\mathrm {argsinh}\;$ est $\mathbb {R} \;$» et « son domaine de valeurs $\;\mathbb {R} \;$» ;
tracé du graphe de la fonction$\;y=\mathrm {argsinh} (x)$ : ${\big$le graphe de $\;y=\mathrm {argsinh} (x)\;$ est le symétrique par rapport à la 1ère diagonale tracé du graphe de la fonction$\;\color {transparent}{y=\mathrm {argsinh} (x)}$ : $\color {transparent}{\big$de celui de $\;x=\sinh(y){\big ]}\;$ voir ci-contre ;
tracé du graphe de la fonction$\;\color {transparent}{y=\mathrm {argsinh} (x)}$ : on observe que la fonction est «$\;\nearrow \;$», tracé du graphe de la fonction$\;\color {transparent}{y=\mathrm {argsinh} (x)}$ : on observe que la fonction est « impaire » $\;{\big\mathrm {argsinh} (-x)=-\mathrm {argsinh} (x){\big ]}$, tracé du graphe de la fonction$\;\color {transparent}{y=\mathrm {argsinh} (x)}$ : on observe que la fonction est « continue et dérivable sur $\;\mathrm {R} \;$», sa dérivée valant tracé du graphe de la fonction$\;\color {transparent}{y=\mathrm {argsinh} (x)}$ : on observe que la fonction est « continue et «$\;{\dfrac {d\left[\mathrm {argsinh} (x)\right]}{dx}}={\dfrac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}\;$» ; tracé du graphe de la fonction$\;\color {transparent}{y=\mathrm {argsinh} (x)}$ : on déduit de cette expression de dérivée de la fonction $\;\mathrm {argsinh}\;$ la propriété : tracé du graphe de la fonction$\;\color {transparent}{y=\mathrm {argsinh} (x)}$ : on déduit « une primitive de $\;{\dfrac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}\;$ est $\;\mathrm {argsinh} (x)+cste\;$».
Justification de l'expression de la dérivée de$\;y=\mathrm {argsinh} (x)$ : on inverse la fonction $\;y=\mathrm {argsinh} (x)\;$ selon $\;x=\sinh(y)$, puis Justification de l'expression de la dérivée de$\;\color {transparent}{y=\mathrm {argsinh} (x)}$ : on différencie la fonction inversée $\Rightarrow$ $\;dx=\cosh(y)\,dy\;$ dont on tire Justification de l'expression de la dérivée de$\;\color {transparent}{y=\mathrm {argsinh} (x)}$ : on différencie la fonction inversée $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;dy={\dfrac {dx}{\cosh(y)}}\;$ sans restriction Justification de l'expression de la dérivée de$\;\color {transparent}{y=\mathrm {argsinh} (x)}$ : on différencie la fonction inversée $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;\color {transparent}{dy=\cosh(y)}\;$ car $\;\cosh(y)\neq 0\;\;\forall \;y\;$, Justification de l'expression de la dérivée de$\;\color {transparent}{y=\mathrm {argsinh} (x)}$ : on termine en éliminant $\;y\;$ au profit de $\;x\;$ avec $\;\cosh(y)={\sqrt {1+\sinh ^{2}(y)}}\;$ $={\sqrt {1+x^{2}}}\;$ soit Justification de l'expression de la dérivée de$\;\color {transparent}{y=\mathrm {argsinh} (x)}$ : on différencie la fonction inversée $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;dy={\dfrac {dx}{\sqrt {1+x^{2}}}}\;$ dont on déduit $\;{\dfrac {dy}{dx}}(x)={\dfrac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$.
Forme logarithmique de la fonction argument sinus hyperbolique : «$\;\mathrm {argsinh} (x)=\ln \!\left[x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right]\;\;\forall \;x\;$» ; Forme logarithmique de la fonction argument sinus hyperbolique : en effet «$\;y=\mathrm {argsinh} (x)\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;x=\sinh(y)={\dfrac {\exp(y)-\exp(-y)}{2}}\;$» c.-à-d. Forme logarithmique de la fonction argument sinus hyperbolique : en effet «$\;y\;$ est la solution de même signe que $\;x\;$ de l'équation $\;\exp(y)-\exp(-y)=2\;x\;$» ou, Forme logarithmique de la fonction argument sinus hyperbolique : en multipliant les deux membres par $\;\exp(y)\;$ et en ordonnant en puissance $\;\searrow \;$ de $\;\exp(y)$, Forme logarithmique de la fonction argument sinus hyperbolique : en effet «$\;\exp(y)\;$ est solution de l'équation $\;\exp(2\,y)-2\;x\;\exp(y)-1=0\;$», Forme logarithmique de la fonction argument sinus hyperbolique : en effet «$\;\color {transparent}{\exp(y)}\;$ est solution de l’équation du 2nd degré en $\;\exp(y)\;$ de discriminant réduit $\;\Delta '=x^{2}+1>0\;$ d'où Forme logarithmique de la fonction argument sinus hyperbolique : en effet «$\;\exp(y)=x+{\sqrt {x^{2}+1}}\;$» soit finalement, en inversant, «$\;y=\ln \!\left[x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right]\;$».

### Fonction argument cosinus hyperbolique

« Pour que la fonction $\;\cosh\;$ soit inversable » il faut « restreindre son domaine de définition $\;\mathbb {R} \;$» pour qu'elle y soit « bijective », « Pour que la fonction $\;\color {transparent}{\cosh}\;$ soit inversable » on le « restreint à $\;\mathbb {R} _{+}\;$» ; « son inverse notée $\;\mathrm {argcosh}\;$» définit alors la fonction « argument cosinus hyperbolique » ;
« La fonction $\;y=\mathrm {argcosh} (x)\;$ est la fonction inverse de$\;x=\cosh(y)\;$», « pour $\;x=\cosh(y)\;$ le domaine de définition étant restreint à $\;\mathbb {R} _{+}\;$» et « le domaine des valeurs étant $\;\left[1\,,\,+\infty \right[\;$», $\Rightarrow$ pour $\;\color {transparent}{x=\cosh(y)}\;$ « le domaine de définition de la fonction $\;\mathrm {argcosh}\;$ est $\;\left[1\,,\,+\infty \right[\;$» et « son domaine de valeurs $\;\mathbb {R} _{+}\;$» ;
tracé du graphe de la fonction$\;y=\mathrm {argcosh} (x)$ : ${\big$le graphe de $\;y=\mathrm {argcosh} (x)\;$ est le symétrique par rapport à la 1ère diagonale tracé du graphe de la fonction$\;\color {transparent}{y=\mathrm {argcosh} (x)}$ : $\color {transparent}{\big$de celui de $\;x=\cosh(y)\;$ restreint à $\;\mathbb {R} _{+}\;$${\big ]}\;$ voir ci-contre ;
tracé du graphe de la fonction$\;\color {transparent}{y=\mathrm {argcosh} (x)}$ : on observe que la fonction est «$\;\nearrow \;$», tracé du graphe de la fonction$\;\color {transparent}{y=\mathrm {argcosh} (x)}$ : on observe que la fonction est « continue $\;\left[1\,,\,+\infty \right[\;$ et dérivable sur $\;\left]1\,,\,+\infty \right[\;$», tracé du graphe de la fonction$\;\color {transparent}{y=\mathrm {argcosh} (x)}$ : on observe que la fonction sa dérivée valant «$\;{\dfrac {d\left[\mathrm {argcosh} (x)\right]}{dx}}={\dfrac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}\;$» ; tracé du graphe de la fonction$\;\color {transparent}{y=\mathrm {argcosh} (x)}$ : on déduit de cette expression de dérivée de la fonction $\;\mathrm {argcosh}\;$ la propriété : tracé du graphe de la fonction$\;\color {transparent}{y=\mathrm {argcosh} (x)}$ : on déduit « une primitive de $\;{\dfrac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}\;$ est $\;\mathrm {argcosh} (x)+cste\;$».
Justification de l'expression de la dérivée de$\;y=\mathrm {argcosh} (x)$ : on inverse la fonction $\;y=\mathrm {argcosh} (x)\;$ selon $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x=\cosh(y)\\y\in \mathbb {R} _{+}\end{array}}\right\rbrace \;$ et Justification de l'expression de la dérivée de$\;\color {transparent}{y=\mathrm {argcosh} (x)}$ : on différencie la fonction inversée $\Rightarrow$ $\;dx=\sinh(y)\,dy\;$ dont on tire Justification de l'expression de la dérivée de$\;\color {transparent}{y=\mathrm {argcosh} (x)}$ : on différencie la fonction inversée $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;dy={\dfrac {dx}{\sinh(y)}}\;$ ${\big$nécessitant $\;y\neq 0\Leftrightarrow x\neq 1\;$ $\Rightarrow$ $\;y=\mathrm {argcosh} (x)\;$ non dérivable pour $\;x=1{\big ]}$, Justification de l'expression de la dérivée de$\;\color {transparent}{y=\mathrm {argcosh} (x)}$ : on termine en éliminant $\;y\;$ au profit de $\;x\;$ avec $\;\sinh(y)={\sqrt {\cosh ^{2}(y)-1}}\;$ $={\sqrt {x^{2}-1}}\;$ soit Justification de l'expression de la dérivée de$\;\color {transparent}{y=\mathrm {argcosh} (x)}$ : on différencie la fonction inversée $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;dy={\dfrac {dx}{\sqrt {x^{2}-1}}}\;$ dont on déduit $\;{\dfrac {dy}{dx}}(x)={\dfrac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$.
Forme logarithmique de la fonction argument cosinus hyperbolique : «$\;\mathrm {argcosh} (x)=\ln \!\left[x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right]\;\;\forall \;x\;$» ; Forme logarithmique de la fonction argument cosinus hyperbolique : en effet «$\;y=\mathrm {argcosh} (x)\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x=\cosh(y)={\dfrac {\exp(y)+\exp(-y)}{2}}\\y\in \mathbb {R} _{+}\end{array}}\right\rbrace \;$» c.-à-d. Forme logarithmique de la fonction argument cosinus hyperbolique : en effet «$\;y\geqslant 0\;$ est solution de l'équation $\;\exp(y)-\exp(-y)=2\;x\;$» ou, Forme logarithmique de la fonction argument cosinus hyperbolique : en multipliant les deux membres par $\;\exp(y)\;$ et en ordonnant en puissance $\;\searrow \;$ de $\;\exp(y)$, Forme logarithmique de la fonction argument cosinus hyperbolique : en effet «$\;\exp(y)\geqslant 1\;$ est solution de l'équation $\;\exp(2\,y)-2\;x\;\exp(y)-1=0\;$», Forme logarithmique de la fonction argument cosinus hyperbolique : en effet «$\;\color {transparent}{\exp(y)\geqslant 1}\;$ est solution de l’équation du 2nd degré en $\;\exp(y)\;$ de discriminant réduit $\;\Delta '=x^{2}+1>0\;$ d'où Forme logarithmique de la fonction argument cosinus hyperbolique : en effet «$\;\exp(y)=x+{\sqrt {x^{2}+1}}\;$» soit finalement, en inversant, «$\;y=\ln \!\left[x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right]\;$».

### Fonction argument tangente hyperbolique

« La fonction $\;\tanh\;$ est inversable sur son domaine de définition $\;\mathbb {R} \;$» car elle y est « bijective » ; « son inverse notée $\;\mathrm {argtanh}\;$» définit la fonction « argument tangente hyperbolique » ;
« La fonction $\;y=\mathrm {argranh} (x)\;$ est la fonction inverse de$\;x=\tanh(y)\;$», « pour $\;x=\tanh(y)\;$ le domaine de définition étant $\;\mathbb {R} \;$ et le domaine des valeurs $\;\left]-1\,,\,+1\right[\;$», $\Rightarrow$ pour $\;\color {transparent}{x=\tanh(y)}\;$ « le domaine de définition de la fonction $\;\mathrm {argtanh}\;$ est $\;\left]-1\,,\,+1\right[\;$» et « son domaine de valeurs $\;\mathbb {R} \;$» ;
tracé du graphe de la fonction$\;y=\mathrm {argtanh} (x)$ : ${\big$le graphe de $\;y=\mathrm {argtanh} (x)\;$ est le symétrique par rapport à la 1ère diagonale tracé du graphe de la fonction$\;\color {transparent}{y=\mathrm {argtanh} (x)}$ : $\color {transparent}{\big$de celui de $\;x=\tanh(y){\big ]}\;$ voir ci-contre ;
tracé du graphe de la fonction$\;\color {transparent}{y=\mathrm {argtanh} (x)}$ : on observe que la fonction est «$\;\nearrow \;$», tracé du graphe de la fonction$\;\color {transparent}{y=\mathrm {argtanh} (x)}$ : on observe que la fonction est « impaire » $\;{\big\mathrm {argtanh} (-x)=-\mathrm {argtanh} (x){\big ]}$, tracé du graphe de la fonction$\;\color {transparent}{y=\mathrm {argtanh} (x)}$ : on observe que la fonction est « continue et dérivable sur $\;\left]-1\,,\,+1\right[\;$», tracé du graphe de la fonction$\;\color {transparent}{y=\mathrm {argtanh} (x)}$ : on observe que la fonction sa dérivée valant «$\;{\dfrac {d\left[\mathrm {argtanh} (x)\right]}{dx}}={\dfrac {1}{1-x^{2}}}\;$» ; tracé du graphe de la fonction$\;\color {transparent}{y=\mathrm {argtanh} (x)}$ : on déduit de cette expression de dérivée de la fonction $\;\mathrm {argtannh}\;$ la propriété : tracé du graphe de la fonction$\;\color {transparent}{y=\mathrm {argtanh} (x)}$ : on déduit « une primitive de $\;{\dfrac {1}{1-x^{2}}}\;$ est $\;\mathrm {argtanh} (x)+cste\;$»$^,$.
Justification de l'expression de la dérivée de$\;y=\mathrm {argtanh} (x)$ : on inverse la fonction $\;y=\mathrm {argtanh} (x)\;$ selon $\;x=\tanh(y)$, puis Justification de l'expression de la dérivée de$\;\color {transparent}{y=\mathrm {argtanh} (x)}$ : on différencie la fonction inversée $\Rightarrow$ $\;dx=\left[1-\tanh ^{2}(y)\right]\,dy\;$ et Justification de l'expression de la dérivée de$\;\color {transparent}{y=\mathrm {argtanh} (x)}$ : on différencie la fonction inversée $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;dy={\dfrac {dx}{1-\tanh ^{2}(y)}}\;$ sans restriction car $\;\tanh(y)\neq \pm 1\;\;\forall \;y\;$, Justification de l'expression de la dérivée de$\;\color {transparent}{y=\mathrm {argtanh} (x)}$ : on termine en éliminant $\;y\;$ au profit de $\;x\;$ avec $\;\tanh(y)=x\;$ soit $\;dy={\dfrac {dx}{1-x^{2}}}\;$ dont on déduit $\;{\dfrac {dy}{dx}}(x)={\dfrac {1}{1-x^{2}}}$.
Forme logarithmique de la fonction argument tangente hyperbolique : «$\;\mathrm {argtanh} (x)={\dfrac {1}{2}}\,\ln \!\left({\dfrac {1+x}{1-x}}\right)\;\;\forall \;x\;$» ; Forme logarithmique de la fonction argument tangente hyperbolique : en effet «$\;y=\mathrm {argtanh} (x)\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;x=\tanh(y)={\dfrac {\exp(y)-\exp(-y)}{\exp(y)+\exp(-y)}}\;$» c.-à-d. Forme logarithmique de la fonction argument tangente hyperbolique : en effet «$\;y\;$ est la solution de même signe que $\;x\;$ de l'équation $\;\exp(y)-\exp(-y)=x\;\exp(y)+x\;\exp(-y)\;$» ou, Forme logarithmique de la fonction argument tangente hyperbolique : en regroupant les termes en $\;\exp(y)\;$ et en $\;\exp(-y)\;$ dans des membres distincts «$\;(1-x)\;\exp(y)=(1+x)\;\exp(-y)\;$» puis Forme logarithmique de la fonction argument tangente hyperbolique : en multipliant chaque membre par $\;\exp(y)\;$ $\Rightarrow$ «$\;(1-x)\;\exp(2\;y)=(1+x)\;$» ou, $\;x\;$ étant $\;\neq 1$, «$\;\exp(2\;y)={\dfrac {1+x}{1-x}}\;$» $\Rightarrow$ Forme logarithmique de la fonction argument tangente hyperbolique : en multipliant chaque membre par $\;\color {transparent}{\exp(y)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\color {transparent}{(1-x)\;\exp(2\;y)=(1+x)}\;$» ou, $\;\color {transparent}{x}\;$ étant $\;\color {transparent}{\neq 1}$, «$\;\exp(y)={\sqrt {\dfrac {1+x}{1-x}}}\;$» soit Forme logarithmique de la fonction argument tangente hyperbolique : en inversant cette dernière relation, «$\;y=\ln \!{\sqrt {\dfrac {1+x}{1-x}}}={\dfrac {1}{2}}\,\ln \!\left({\dfrac {1+x}{1-x}}\right)\;$».

### Fonction argument cotangente hyperbolique

« La fonction $\;\coth\;$ est inversable sur son domaine de définition $\;\mathbb {R} ^{*}\;$» car elle y est « bijective » ; « son inverse notée $\;\mathrm {argcoth}\;$» définit la fonction « argument cotangente hyperbolique » ;
« La fonction $\;y=\mathrm {argcoth} (x)\;$ est la fonction inverse de$\;x=\coth(y)\;$», « pour $\;x=\coth(y)\;$ le domaine de définition étant $\;\mathbb {R} ^{*}\;$ et le domaine des valeurs $\;\left]-\infty \,,\,-1\right[\cup \left]+1\,,\,+\infty \right[\;$», $\Rightarrow$ pour $\;\color {transparent}{x=\coth(y)}\;$ « le domaine de définition de la fonction $\;\mathrm {argcoth}\;$ est $\;\left]-\infty \,,\,-1\right[\cup \left]+1\,,\,+\infty \right[\;$» et pour $\;\color {transparent}{x=\coth(y)}\;$ « son domaine de valeurs $\;\mathbb {R} ^{*}\;$» ;
tracé du graphe de la fonction$\;y=\mathrm {argcoth} (x)$ : ${\big$le graphe de $\;y=\mathrm {argcoth} (x)\;$ est le symétrique par rapport à la 1ère diagonale tracé du graphe de la fonction$\;\color {transparent}{y=\mathrm {argcoth} (x)}$ : $\color {transparent}{\big$de celui de $\;x=\coth(y){\big ]}\;$ voir ci-contre ;
tracé du graphe de la fonction$\;\color {transparent}{y=\mathrm {argcoth} (x)}$ : on observe que la fonction est «$\;\searrow \;$ sur $\;\left]-\infty \,,\,-1\right[\;$ ainsi que sur $\;\left]+1\,,\,+\infty \right[\;$», tracé du graphe de la fonction$\;\color {transparent}{y=\mathrm {argcoth} (x)}$ : on observe que la fonction est « impaire » $\;{\big\mathrm {argcoth} (-x)=-\mathrm {argcoth} (x){\big ]}$, tracé du graphe de la fonction$\;\color {transparent}{y=\mathrm {argcoth} (x)}$ : on observe que la fonction est « continue et dérivable sur $\;\left]-\infty \,,\,-1\right[\;$ ainsi que tracé du graphe de la fonction$\;\color {transparent}{y=\mathrm {argcoth} (x)}$ : on observe que la fonction est « continue et dérivable sur $\;\left]+1\,,\,+\infty \right[\;$», tracé du graphe de la fonction$\;\color {transparent}{y=\mathrm {argcoth} (x)}$ : on observe que la fonction sa dérivée valant «$\;{\dfrac {d\left[\mathrm {argtanh} (x)\right]}{dx}}={\dfrac {-1}{x^{2}-1}}\;$» ; tracé du graphe de la fonction $\;\color {transparent}{y=\mathrm {argtanh} (x)}$ : on déduit de cette expression de dérivée de la fonction $\;\mathrm {argcoth}\;$ la propriété : tracé du graphe de la fonction$\;\color {transparent}{y=\mathrm {argcoth} (x)}$ : on déduit « une primitive de $\;{\dfrac {-1}{x^{2}-1}}={\dfrac {1}{1-x^{2}}}\;$ est $\;\mathrm {argcoth} (x)+cste\;$»$^,$.
Justification de l'expression de la dérivée de$\;y=\mathrm {argcoth} (x)$ : on inverse la fonction $\;y=\mathrm {argcoth} (x)\;$ selon $\;x=\coth(y)$, puis Justification de l'expression de la dérivée de$\;\color {transparent}{y=\mathrm {argcoth} (x)}$ : on différencie la fonction inversée $\Rightarrow$ $\;dx=\left[1-\coth ^{2}(y)\right]\,dy\;$ et Justification de l'expression de la dérivée de$\;\color {transparent}{y=\mathrm {argcoth} (x)}$ : on différencie la fonction inversée $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;dy={\dfrac {dx}{1-\coth ^{2}(y)}}\;$ sans restriction car $\;\coth(y)\neq \pm 1\;\;\forall \;y\;$, Justification de l'expression de la dérivée de$\;\color {transparent}{y=\mathrm {argcoth} (x)}$ : on termine en éliminant $\;y\;$ au profit de $\;x\;$ avec $\;\coth(y)=x\;$ soit $\;dy={\dfrac {dx}{1-x^{2}}}={\dfrac {-dx}{x^{2}-1}}\;$ dont on déduit $\;{\dfrac {dy}{dx}}(x)={\dfrac {-1}{x^{2}-1}}$.
Forme logarithmique de la fonction argument cotangente hyperbolique : «$\;\mathrm {argcoth} (x)={\dfrac {1}{2}}\,\ln \!\left({\dfrac {x+1}{x-1}}\right)\;\;\forall \;x\;$» ; Forme logarithmique de la fonction argument cotangente hyperbolique : en effet «$\;y=\mathrm {argcoth} (x)\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;x=\coth(y)={\dfrac {\exp(y)+\exp(-y)}{\exp(y)-\exp(-y)}}\;$» c.-à-d. Forme logarithmique de la fonction argument cotangente hyperbolique : en effet «$\;y\;$ est la solution de même signe que $\;x\;$ de l'équation $\;\exp(y)+\exp(-y)=x\;\exp(y)-x\;\exp(-y)\;$» ou, Forme logarithmique de la fonction argument cotangente hyperbolique : en regroupant les termes en $\;\exp(y)\;$ et en $\;\exp(-y)\;$ dans des membres distincts «$\;(1+x)\;\exp(-y)=(x-1)\;\exp(y)\;$» puis Forme logarithmique de la fonction argument cotangente hyperbolique : en multipliant chaque membre par $\;\exp(y)\;$ $\Rightarrow$ «$\;(x-1)\;\exp(2\;y)=(1+x)\;$» ou, $\;x\;$ étant $\;\neq 1$, «$\;\exp(2\;y)={\dfrac {1+x}{x-1}}\;$» $\Rightarrow$ Forme logarithmique de la fonction argument cotangente hyperbolique : en multipliant chaque membre par $\;\color {transparent}{\exp(y)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\color {transparent}{(x-1)\;\exp(2\;y)=(1+x)}\;$» ou, $\;\color {transparent}{x}\;$ étant $\;\color {transparent}{\neq 1}$, «$\;\exp(y)={\sqrt {\dfrac {1+x}{x-1}}}\;$» soit Forme logarithmique de la fonction argument cotangente hyperbolique : en inversant cette dernière relation, «$\;y=\ln \!{\sqrt {\dfrac {x+1}{x-1}}}={\dfrac {1}{2}}\,\ln \!\left({\dfrac {x+1}{x-1}}\right)\;$».