OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Monoïde/Objectifs

Étudier une structure simple et préparer l'étude des groupes.
# Mondialisation : processus, acteurs et territoires/Quiz/QCM

La seconde partie de l'épreuve orale du bac en France consiste en une succession de questions de l'examinateur, auxquelles le candidat doit répondre. Ce quiz est donc un exercice d'entraînement.
Aide:Quiz
* Sommaire
# Mondialisation : processus, acteurs et territoires/Référents

* Lvcvlvs
# Mondialisation : processus, acteurs et territoires/Présentation de la leçon

Le thème « mondialisation : processus, acteurs et territoires » permet une première approche générale du phénomène géographique de mondialisation, vu comme une évolution de l'organisation de l'espace mondial. Seront abordés les champs économique, politique, technique et socio-culturel.
La seconde approche de la mondialisation se fait par l'étude d'un produit dans la mondialisation.
# Monoïde

| Chap. 1 : | Définition d’un monoïde |
| Chap. 2 : | Composé d'une séquence |
| Exercice : | Lois de composition internes, monoïdes |
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## Présentation [Modifier]

Les monoïdes sont des structures algébriques très simples. Ils peuvent être utiles à l’informatique théorique pour formaliser la théorie des langages.

## Objectifs [Modifier]

Étudier une structure simple et préparer l'étude des groupes.

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 14.
* Loi (mathématiques)

## Référents [Modifier]

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
* Loïc Fabiou (discuter)
# Monoïde/Définition d’un monoïde
## Définition

Un monoïde est un magma associatif unifère $(E,\ast ,e)$, c'est-à-dire un ensemble $E$ muni d’une loi de composition interne associative $\ast$ admettant un élément neutre $e$.
Tout groupe est un monoïde.
Un sous-monoïde de $(E,\ast ,e)$ est une partie $S$ de $E$ telle que :
* $e\in S$ ;
* $\forall x,y\in S\quad x\ast y\in S$.
La loi de composition de E induit alors sur S une loi de composition qui fait de S un monoïde.

## Partie génératrice, base
### Partie génératrice

L'intersection d'une famille non vide de sous-monoïdes est un sous-monoïde.
C'est une conséquence immédiate de la propriété correspondante pour les magmas.
Soit P une partie de E. Le sous-monoïde engendré par P est l'intersection de tous les sous-monoïdes de E contenant P.
C'est ainsi le plus petit (au sens de l'inclusion) sous-monoïde de E contenant P. Il est noté $P^{*}$.
On dit que P est génératrice de E lorsque $P^{*}=E$.
Le sous-monoïde engendré par P est $P^{*}=\{x\in E\mid \exists n\in \mathbb {N} \quad \exists (a_{1},\cdots ,a_{n})\in P^{n}\quad x=a_{1}*\cdots *a_{n}\}$.

### Base

Soit B une partie génératrice de E.
E est libre de base B lorsque tout élément de E peut s'écrire de manière unique comme composé d'éléments de B.

## Morphisme de monoïdes

Soient $(E,\ast ,e)$ et $(F,\cdot ,f)$ deux monoïdes.
Une application $\varphi :E\to F$ est un morphisme de monoïdes si c'est un morphisme de magmas unifères, c'est-à-dire si :
    ${\begin{cases}\varphi (e)=f\\\forall (x,y)\in E^{2}\quad \varphi (x\ast y)=\varphi (x)\cdot \varphi (y).\end{cases}}$
Soient $f:E\to F$ et $g:F\to G$ deux morphismes de monoïdes.
Le morphisme de magmas composé $g\circ f:E\to G$ est un morphisme de monoïdes.
Soit $f:E\to F$ un morphisme de monoïdes.
* L'image directe par $f$ de tout sous-monoïde de $E$ est un sous-monoïde de $F$.
* L'image réciproque par $f$ de tout sous-monoïde de $F$ est un sous-monoïde de $E$.
Conséquence immédiate de la propriété correspondante pour les morphismes de magmas.
| Sommaire | Composé d'une séquence |
# Participer à Wikipédia/Contribuer en participant à la communauté

Wikipédia n’est pas une somme de contributions individuelles, il est aussi un espace de discussion et de régulation. Plus une Wikipédia est ancienne et développée, plus le nombre de ces pages est important et plus la qualité des articles est appréciée.
La page de discussion d'un article est, par sa nature même, le premier endroit de coordination, il est habituel d'y proposer une modification/restructuration importante avant de la conduire, ou d'y laisser une remarque sur ce qu’il serait nécessaire de faire.
Les espaces de discussion
* le bistro
* L'oracle
Les espaces de régulation
* l'appel à commentaire
* le comité d'arbitrage
Les espaces de coordination
* les portails
* les projets
Les espaces de gouvernance
* prises de décision
* les sondages
# Participer à Wikipédia

| Chap. 1 : | Notions de base |
| Chap. 2 : | Vers les premiers pas |
| Chap. 3 : | Notions avancées |
| Chap. 4 : | Édition avancée |
| Chap. 5 : | Faire l'état des lieux d'un article, un thème |
| Chap. 6 : | Contribuer en participant à la communauté |
| Chap. 7 : | Témoignage |
| Fiche : | Guide rapide |
| Annexe : | Références |
| Quiz : | Quiz |
| Exercice : | Premiers pas |
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* « Wikipédia » sur Wikiquote
* « Catégorie:Wikipédia » sur Wikinews

## Présentation [Modifier]

Wikipédia est aujourd'hui la plus grande encyclopédie multilingue, généraliste et universelle. C'est un projet passionnant, fondé sur une collaboration ouverte à tou.te.s. Mais un néophyte peut facilement se perdre dans les pages d'aide. Le but de cette leçon est de faire un tour rapide des bases nécessaires pour bien contribuer sur Wikipédia ; les détails seront à explorer grâce aux liens vers l'aide très complète de Wikipédia.
Un MOOC est en activité pour faciliter la contribution citoyenne : « WikiMOOC : apprenez à contribuer sur Wikipédia ! »

## Objectifs [Modifier]

Contribuer à l'un des principaux projets à but non lucratif du monde.

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 6.
Aucun, mais une bonne connaissance du wikicode et de Hypertext Markup Language serait un plus.

## Pour aller plus loin [Modifier]

* Recherche:Culture fr.wikipedia
* Recherche:Wikipédia, une démocratie à deux vitesses ?

## Référents [Modifier]

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
* JackPotte (discuter)
* Lionel Scheepmans (discuter)
* Fourmidable (discuter)
# Participer à Wikipédia/Faire l'état des lieux d'un article, un thème

Avant de participer en éditant un article il est possible (mais non obligatoire, voir Wikipédia:N'hésitez pas !) de bien comprendre celui-ci et comment il est arrivé à son état actuel.

### Check-list de questions sur un article

Approche synchronique : analyse de l'état actuel de l’article et de son environnement
* Comment est-il structuré ?
* Quelles catégories ? L'article est-il rattaché à un portail ou un projet ?
* Quel réseau lien avec combien d'articles, lesquels ? (utiliser wikimindmap)
** Comparaison de ces éléments avec l'interwiki {{en}}
Approche diachronique : évolution de l’article dans le temps
* Les versions : première, dernière
* Régulation du contenu
** Retours en arrière = reverts, pour quel motif ?
* Page de discussion et différents/dialogues autour de l’article ?
Les auteurs
* Qui sont les auteurs ?
** sur quels autres articles/espaces de nommage interviennent-ils
* Que sait-on sur eux et leur motivation ?
Impact
* Combien de fois cet article est-il consulté ?
* Combien d'autres articles pointent vers celui-ci (on pourra faire une évaluation de leur propre impact)
Apport/amendements
* Que pouvez-vous apporter à l’article ?
** Amélioration de sa structure interne
** Amélioration de son réseau : les articles auxquels il est lié (éventuellement clarifier ces articles), des catégories auxquelles il appartient
# Participer à Wikipédia/Exercices/Premiers pas

Cet exercice permet de se familiariser avec les bases syntaxiques de Wikipédia vues dans la leçon 2 : Vers les premiers pas. Il existe une page spéciale sur Wikipédia pour s'entraîner : si vous avez un compte Wikipedia, vous pouvez utiliser votre page brouillon ou sinon le Wikipédia:Bac à sable(Allez là-bas pour vous entraîner, ne vous inquiétez pas, la page est nettoyée automatiquement à intervalles réguliers). Si vous êtes en classe et que vous êtes nombreux à faire en même temps cet exercice, il faudra passer par votre page brouillon pour éviter les problèmes d'éditions (on nomme « conflit de versions » ou « conflit d'édition » ce qui survient quand deux contributeurs modifient une même page en même temps).

## Début

Voici un texte brut, mal formaté.

## But

Le but de l'exercice est de faire ressembler le texte ci-dessus à ceci :

## Animal

Un animal est un être vivant sensible capable de mouvement et de perception. Ceci n'est cependant pas suffisant, car cette définition inclurait certaines espèces monocellulaires comme les protozoaires qui leur sont très différentes pour diverses raisons.
Les animaux sont des espèces pluricellulaires. On utilise parfois ce terme pour opposer les animaux aux humains ou aux plantes.

### Biodiversité du monde animal

On estime à le nombre d'espèces vivantes actuellement décrites par les scientifiques. Il est possible qu’il en existe de 2 à 40 fois plus non-décrites vivant actuellement. Le nombre d'espèces disparues est bien entendu encore plus grand. Il existe des grandes caractéristiques générales qui permettent de classer les espèces vivantes en embranchements.
| Nom | Nombre d'espèces connues | Exemples |
| Arthropoda | 1200000 | insectes |
| Chordata | 47200 | mammifères poissons |

## Lien externe

* Cours sur Les Plans d'Organisation du Règne Animal

## Solution

* Sommaire
# Vecteurs et repérage/Condition de colinéarité
## Colinéarité et coordonnées dans le plan

Deux vecteurs ${\overrightarrow {u}}$ et ${\overrightarrow {v}}\neq {\vec {0}}$ sont colinéaires lorsqu’il existe un réel $k$ tel que ${\overrightarrow {u}}=k{\overrightarrow {v}}$.
Écrivons cela en termes de coordonnées :
* ${\overrightarrow {u}}(x,y)$ ;
* ${\overrightarrow {v}}(x',y')$.
On a alors $x=kx'$ et $y=ky'$.
C'est-à-dire que les coordonnées des vecteurs ${\overrightarrow {u}}$ et ${\overrightarrow {v}}$ sont proportionnelles.
Autrement dit, le tableau ${\begin{array}{|c|c|}\hline x&y\\\hline x'&y'\\\hline \end{array}}$ est un tableau de proportionalité.
On a alors par produit en croix $x\times y'=x'\times y$, d'où la propriété :
Dans le plan muni d'une base, deux vecteurs ${\vec {u}}(x,y)$ et ${\vec {v}}(x',y')$ sont colinéaires
si et seulement si :
$x\times y'-x'\times y=0$
| Base et repère du plan | Sommaire |
# Vecteurs et droites du plan/Rappels
## Propriété : Relation de Chasles

Soient A, B et C trois points du plan.
    ${\vec {AC}}={\vec {AB}}+{\vec {BC}}$

## Propriété : Parallélogramme

Soient A, B, C et D quatre points du plan.
Si ABCD est un parallélogramme, alors ${\vec {AB}}={\vec {DC}}$ et ${\vec {AD}}={\vec {BC}}$ et vice versa.
| Sommaire | Colinéarité |
# Vecteurs et repérage

| Chap. 1 : | Base et repère du plan |
| Chap. 2 : | Condition de colinéarité |
| Exos. 1 : | Points cocycliques |
| Exos. 2 : | Parallélogramme |
| Exos. 3 : | Point défini par une relation vectorielle |
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## Présentation [Modifier]

Cette leçon introduit progressivement toutes les notions utiles à la compréhension des repères. Les élèves sachant jouer à la bataille navale auront déjà un premier aperçu sur la façon de repérer un objet dans un plan en 2 dimensions et devraient, par conséquent, mieux appréhender le contenu de cette leçon.

## Objectifs [Modifier]

* Approfondir les notions vectorielles permettant de comprendre ce qu'est un repère

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 11.
* Introduction à la notion de vecteur

## Référents [Modifier]

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
* Loïc Fabiou (discuter)
# Vecteurs et repérage/Exercices/Parallélogramme
## Exercice 1

Soient, dans le plan, un parallélogramme ABCD et un point P.
La parallèle à (AB) menée par P coupe (AD) en E et (BC) en F ; la parallèle à (AD) menée par P coupe (AB) en G et (CD) en H.
Démontrer que les droites (EH), (FG) et (AC) sont concourantes ou parallèles.
Soient (a, b) les coordonnées de P dans le repère $\left(A,{\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {AD}}\right)$. Alors (faire une figure), celles de A, C, E, F, G et H sont respectivement :
    A(0, 0), C(1, 1), E(0, b), F(1, b), G(a, 0) et H(a, 1)
donc les équations des trois droites sont :
* $(EH):(b-1)x+ay-ab=0$ ;
* $(FG):bx+(a-1)y-ab=0$ ;
* $(AC):x-y=0$.
Par conséquent :
* si $a+b=1$, les trois droites sont parallèles ;
* si $a+b\neq 1$, elles sont concourantes au point de coordonnées $x=y={\frac {ab}{a+b-1}}$.
| Points cocycliques | Point défini par une relation vectorielle |
# Variables aléatoires continues/Loi de Cauchy
## Présentation

La loi de Cauchy, ou loi de Lorentz, est un exemple simple de loi n'admettant pas d'espérance, ni de moment d'ordre supérieur.

## Définition

La loi de Cauchy est une loi de probabilité pour les variables aléatoires continues.
On la définit au moyen d'une densité de probabilité (voir le chapitre 1).
La densité de probabilité d'une variable aléatoire continue suivant une loi de Cauchy est :
    $f(x)={\frac {1}{\pi }}{\frac {a}{a^{2}+(x-x_{0})^{2}}}$.
La courbe est symétrique par rapport à la droite $(x=x_{0})$ (paramètre de location) et $a>0$ représente l'étalement de la courbe (paramètre d'échelle).

### Fonctions de densité

La fonction de densité d'une loi de Cauchy rappelle celle d'une loi normale, à savoir une forme de cloche, mais avec un étalement plus large.

## Moments et médiane
### Moments

Une loi de Cauchy n'admet aucun moment.
    $\left|{\frac {x}{a^{2}+(x-x_{0})^{2}}}\right|\sim _{x\to \infty }\left|{\frac {1}{x}}\right|$
donc, par le critère de Riemann, $\mathbb {E} (|X|)=+\infty$.
De même, une simple étude à l'infini montre que toute intégrale du genre diverge, toujours par le critère de Riemann :
$\forall k\in \mathbb {N} ^{*}\quad \int _{-\infty }^{+\infty }\left|{\frac {x^{k}}{a^{2}+(x-x_{0})^{2}}}\right|\,\mathrm {d} x=+\infty$.
En particulier, une loi de Cauchy n'admet aucune espérance formellement. Toutefois :
    $\int _{-X}^{+X}{\frac {a}{\pi }}{\frac {x}{a^{2}+(x-x_{0})^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{a\pi }}\int _{\frac {-X-x_{0}}{a}}^{\frac {X-x_{0}}{a}}{\frac {at+x_{0}}{1+t^{2}}}a\,\mathrm {d} t={\frac {1}{\pi }}\int _{\frac {-X-x_{0}}{a}}^{\frac {X-x_{0}}{a}}{\frac {t}{1+t^{2}}}\,\mathrm {d} t+{\frac {1}{\pi }}\int _{\frac {-X-x_{0}}{a}}^{\frac {X-x_{0}}{a}}{\frac {x_{0}}{1+t^{2}}}\,\mathrm {d} t$
donc
    $\lim _{X\to +\infty }\int _{-X}^{+X}{\frac {a}{\pi }}{\frac {x}{a^{2}+(x-x_{0})^{2}}}\,\mathrm {d} x=x_{0}$, ce qui laisse penser à une espérance, et le paramètre $x_{0}$ est souvent considéré comme tel.

### Médiane

Toutefois, ce paramètre a une autre propriété qui doit être retenue :
La médiane d'une loi de Cauchy de paramètres $(a,x_{0})$ est $x_{0}$.
    $\int _{-\infty }^{x_{0}}{\frac {a}{\pi }}{\frac {1}{a^{2}+(x-x_{0})^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{a\pi }}\int _{-\infty }^{0}{\frac {1}{1+t^{2}}}a\,\mathrm {d} t={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{0}{\frac {1}{1+t^{2}}}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2}}$.
| Loi exponentielle | Sommaire |
# Variables aléatoires continues

| Chap. 1 : | Définitions |
| Chap. 2 : | Loi uniforme |
| Chap. 3 : | Loi normale |
| Chap. 4 : | Loi exponentielle |
| Chap. 5 : | Loi de Cauchy |
| Exos. 1 : | Situation faisant intervenir une loi normale |
| Exos. 2 : | Loi gamma |
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## Présentation [Modifier]

On introduit dans cette leçon les variables aléatoires continues dans l'optique du début d'études supérieures non scientifiques, tournées vers les applications techniques des probabilités (aussi bien au niveau commercial que technologique). Le cadre naturel de la théorie des probabilités (l'intégrale de Lebesgue) n'est donc pas supposé connu et la rigueur de l'exposé en souffrira. L'objectif est simplement de définir les notions essentielles utiles pour les applications usuelles des probabilités, en particulier l’utilisation de la loi normale.

## Objectifs [Modifier]

Acquérir de bonnes bases sur les variables aléatoires continues de façon à aborder des leçons sur les statistiques et en particulier les tests d'hypothèse.

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 14.
* Variables aléatoires discrètes
* Lois de probabilité continues
* Intégration de Riemann

## Pour aller plus loin [Modifier]

* Statistique inférentielle

## Référents [Modifier]

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
* Nicostella
* Loïc Fabiou (discuter)
# Variable aléatoire discrète/Répétition d'expériences
## Définition

On dit que deux expériences aléatoires sont indépendantes lorsque les résultats de l’une n'indifférent pas les probabilités des résultats de l'autre.
On dit que deux expériences aléatoires sont identiques lorsqu'elles ont les mêmes issues.
Par exemple, les lancers successifs d'une pièce de monnaie.

## Arbre pondéré

Dans une urne contenant trois boules blanches et une boule rouge, indiscernables au toucher, on tire une 1e boule, puis, après avoir remis la 1e boule, on tire une 2e boule. Quelle est la probabilité de l'événement A : « obtenir deux boules blanches » ?
On représente souvent une succession d'expériences par un arbre pondéré, c'est-à-dire un arbre sur lequel on indique sur les branches les probabilités de chaque événement.
Sur un arbre pondéré, la probabilité :
* d'une liste de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat.
* d'un événement est la somme des probabilités de chemins qui conduisent à cet événement.
| Espérance, variance et écart-type | Sommaire |
# Variables aléatoires continues/Exercices/Loi gamma

1. Soient $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}$, n variables aléatoires indépendantes suivant toutes une même loi exponentielle ${\mathcal {E}}(\lambda )$. Montrez que la fonction de densité de la variable $S_{n}=X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}$ est $f_{S_{n}}(t)={\frac {\lambda ^{n}}{(n-1)!}}t^{n-1}\mathrm {e} ^{-\lambda t}1_{\mathbb {R} _{+}}(t)$.
    Rappel : Si X admet comme fonction de densité $f_{X}$ et Y admet comme fonction de densité $f_{Y}$, avec X et Y indépendantes, la fonction de densité de X+Y est le produit de convolution
    $\{f_{X}\star f_{Y}\}(t)=\int _{-\infty }^{+\infty }f_{X}(u)f_{Y}(t-u)\,\mathrm {d} u$.
2. Plus généralement, on pose pour $a>0$, $\Gamma (a)=\int _{0}^{+\infty }x^{a-1}\mathrm {e} ^{-x}\,\mathrm {d} x$, la fonction Gamma d'Euler. On note alors $f_{a}(t)={\frac {\lambda ^{a}}{\Gamma (a)}}t^{a-1}\mathrm {e} ^{-\lambda t}\mathbf {1} _{\mathbb {R} _{+}}(t)$. Vérifiez qu'elle a les propriétés d'une fonction de densité. On appelle la loi associée, la loi Gamma de paramètres $a$ et $\lambda$.
1. Simple récurrence, en utilisant le rappel : la fonction de densité de $S_{1}=X_{1}$ est bien $f_{S_{1}}(t)={\frac {\lambda ^{1}}{0!}}t^{0}\mathrm {e} ^{-\lambda t}\mathbf {1} _{\mathbb {R} _{+}}(t)$, et
    $\forall t>0\quad \{f_{S_{n}}\star f_{X_{n+1}}\}(t)=\int _{0}^{t}{\frac {\lambda ^{n}}{(n-1)!}}u^{n-1}\mathrm {e} ^{-\lambda u}\times \lambda \mathrm {e} ^{-\lambda (t-u)}\,\mathrm {d} u={\frac {\lambda ^{n+1}\mathrm {e} ^{-\lambda t}}{(n-1)!}}\int _{0}^{t}u^{n-1}\,\mathrm {d} u={\frac {\lambda ^{n+1}\mathrm {e} ^{-\lambda t}t^{n}}{n!}}$.
2. $f_{a}$ est continue positive et d'intégrale égale à 1 (par changement de variable $x=\lambda t$).
| Situation faisant intervenir une loi normale | Sommaire |
# Probabilités sur les ensembles finis/Exercices/Somme de deux dés truqués
## Exercice 1

On utilise un dé truqué avec les probabilités suivantes :
| Numéro | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Probabilité | ${\frac {1}{6}}$ | ${\frac {1}{3}}$ | ${\frac {1}{6}}$ | ${\frac {1}{12}}$ | ${\frac {1}{6}}$ | ${\frac {1}{12}}$ |
On lance le dé deux fois successivement et l'on s'intéresse à la somme des deux numéros obtenus.
* On représente les résultats par des couples (a, b) où a est le résultat du premier lancer et b celui du second.
    Quel est l'univers ? Combien y a-t-il de résultats possibles ?
* Sur quelle somme doit-on parier pour avoir le plus de chances de gagner ?
* Quelle est la probabilité de l'événement « obtenir une somme paire » ?
* L'univers est $\{1,2,\dots ,6\}\times \{1,2,\dots ,6\}$ ; son cardinal est 36.
* Les résultats des deux lancers sont indépendants donc leur somme $S$ suit la loi de probabilité $P(S=n)=\sum _{a+b=n}p_{a}\times p_{b}$, ce qui donne :
    ${\begin{array}{c|ccccccccccc|}n&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\\hline P(S=n)&1/36&1/9&1/6&5/36&5/36&1/6&17/144&1/18&1/24&1/36&1/144\\\hline \end{array}}$
    Les deux sommes les plus probables sont 4 et 7.
* $P(S\in \{2,4,6,8,10\})=1/36+1/6+5/36+17/144+1/24+1/144=1/2$, ce qui était prévisible car la parité d'un lancer est équiprobable.
| Coopérative scolaire | Sommaire |
# Probabilités sur les ensembles finis/Formule des probabilités totales
## Partition

On dit que des événements $B_{1},B_{2},...,B_{n}$ forment une partition de $\Omega$ si :
* ils sont non vides ;
* ils sont deux à deux incompatibles ;
* leur réunion est $\Omega$.

## Formule des probabilités totales

Soient n événements $B_{1},B_{2},...,B_{n}$, de probabilités non nulles, réalisant une partition de l'univers $\Omega$. Pour tout événement $A$, on a :
    ${\begin{aligned}p(A)&=p(A\cap B_{1})+p(A\cap B_{2})+...+p(A\cap B_{n})\\&=p_{B_{1}}(A)\times p(B_{1})+p_{B_{2}}(A)\times p(B_{2})+...+p_{B_{n}}(A)\times p(B_{n}).\end{aligned}}$
En particulier, $p(A)=p(A\cap B)+p(A\cap {\overline {B}})$.
| Probabilités conditionnelles | Sommaire |
# Probabilités sur les ensembles finis/Présentation de la leçon

Les probabilités ont pour but de modéliser les expériences aléatoires (où le hasard intervient). En probabilités, on utilise un vocabulaire spécifique fondé sur le concept d'évènement. Le calcul des probabilités sur des ensembles finis est facilité par la situation d'équiprobabilité.
# Probabilités sur les ensembles finis/Objectifs

Acquérir les notions de base en probabilité
# Probabilités sur les ensembles finis/Exercices/Événements contraires
## Sac

Un sac contient 3 jetons verts, deux jetons jaunes et un jeton rouge.
* Un jeton vert, un jeton jaune et le jeton rouge portent le numéro 1.
* Un jeton vert et un jeton jaune portent le numéro 2.
* Un jeton vert porte le numéro 3.
On tire simultanément (de manière équiprobable) deux jetons du sac.
Déterminer, sous forme de fraction irréductible, la probabilité de chacun des événements suivants :
* A : Les deux jetons tirés sont de couleurs différentes.
* B : Les deux jetons tirés ont des numéros différents.
* C : Les deux jetons diffèrent à la fois par la couleur et par le numéro.
Les tirages possibles sont les ${\binom {6}{2}}=15$ paires de jetons.
* Il n'y a que 4 paires monochromes (une jaune et trois vertes) donc $P(A)=1-{\frac {4}{15}}={\frac {11}{15}}$.
* De même, il n'y a que 4 paires « mononumérotées » (une paire de 2 et trois paires de 1) donc $P(B)={\frac {11}{15}}$.
* Les deux jetons d'une paire diffèrent toujours au moins par la couleur ou par le numéro donc ${\overline {C}}$ est l'union disjointe de ${\overline {A}}$ et ${\overline {B}}$, donc $P(C)=1-{\frac {4}{15}}-{\frac {4}{15}}={\frac {7}{15}}$.

## Dé truqué

Un dé est truqué de façon que la probabilité d'apparition d'un numéro pair soit le double de celle d'un numéro impair. Donner ces deux probabilités.
Puisque les deux événements sont contraires, on trouve immédiatement : $P(\mathrm {impair} )={\frac {1}{3}}$ et $P(\mathrm {pair} )={\frac {2}{3}}$.
| Utilisation de tableaux | Probabilités conditionnelles |
# Mise en œuvre de l’accessibilité numérique
### Menu
## Rendre les images accessibles
### Mise en situation

Voici un portrait de Beethoven, un grand musicien du XVIIIe siècle, tel qu’il est affiché dans une page web. Observez bien l'image puis répondez au quiz suivant :

### Questions

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