# Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Tenseur d'inertie d'un solide
## Introduction au « tenseur d'inertie » en mécanique du solide

Le « tenseur d'inertie » d'un solide précise le positionnement des points matériels dans le référentiel spatial lié au solide dans le but d'étudier dynamiquement un mouvement rotatoire du solide autour d'une position fixe dans le référentiel de ce dernier ;
pour cela on introduit d'abord la notion de « tenseur d'inertie » d'un point matériel dépendant de la masse et de la position de ce dernier dans le référentiel d'étude afin d'étudier dynamiquement son mouvement autour d'une position fixe dans le référentiel choisi,
le « tenseur d'inertie » d'un solide dans le référentiel spatial lié au solide étant alors la somme des « tenseurs d'inertie » de tous les points matériels du solide.

## Tenseur d'inertie d'un point matériel
### Définition du tenseur d'inertie d'un point matériel

Soit un point matériel $\;M\;$ de masse inerte $\;m\;$ que l'on repère relativement à un point $\;O\;$ fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ par son vecteur position $\;{\overrightarrow {OM}}={\vec {r}}$, on appelle « tenseur d'inertie du point matériel $\;M\;(m)\;$» dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ dont $\;O\;$ est un point fixe « le tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant $\;{\mathcal {I}}\;$ défini par $\;{\mathcal {I}}=\left(m\;{\vec {r}}^{2}\right)\delta -m\;{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}\;$» dans laquelle
* $\;{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}={\vec {r}}\otimes {\vec {r}}\;$ c'est-à-dire le carré tensoriel du tenseur d'ordre $\;1\;$ contravariant $\;{\vec {r}}$ $\;{\big{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}\;$ est donc bien un tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant «$\;\in \;W^{\,\otimes \,2}\;$» $\;{\big\mathbb {R}$-espace vectoriel nonadimensionnel des tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants${\big )}{\big ]}$,
* $\;{\vec {r}}^{2}={\vec {r}}\cdot {\vec {r}}\;$ c'est-à-dire le carré scalaire du vecteur $\;{\vec {r}}\;$ et
* $\;\delta \;$ est le tenseur contravariant de Kronecker$^,$.
Remarque : Le « tenseur d'inertie $\;{\mathcal {I}}\;$ du point matériel $\;M\;(m)\;$» dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ dont $\;O\;$ est un point fixe est donc la somme de $\;2\;$ tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants, Remarque : le 1er «$\;\left(m\;{\vec {r}}^{2}\right)\delta \;$» étant le produit d'un scalaire positif et du tenseur contravariant de Kronecker, Remarque : le 2nd «$\;-m\;{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}\;$» étant le produit d'un scalaire négatif et du carré tensoriel du vecteur position.

### Détermination des composantes du tenseur d'inertie d'un point matériel sur la base orthonormée de l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre deux contravariants défini sur le corps des réels

Avec $\;W\;$ la direction de l'espace affine tridimensionnel euclidien représentant l'espace physique et $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ sa base orthonormée, le $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ des tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants a pour base orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{j}\right\rbrace _{\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace ^{2}}\;$ et les composantes des deux tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants intervenant dans le tenseur d'inertie du point matériel $\;M\;$ sont :
* pour le 1er «$\;{\mathcal {I}}_{1}=\left(m\;{\vec {r}}^{2}\right)\delta \;$», la composante sur $\;{\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{j}\;$ est $\;{\mathcal {I}}_{1,\,i,\,j}=m\,\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\,\delta _{i,\,j},\;\;\forall \;\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace ^{2}$ $\;{\bigg\delta _{i,\,j}=$ $\left\lbrace {\begin{array}{l}0\;{\text{si }}\;i\neq j\\1\;{\text{si }}\;i=j\end{array}}\right\rbrace \;$ étant le symbole de Kronecker${\bigg )}\;$ et
* pour le 2nd «$\;{\mathcal {I}}_{2}=-m\;{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}\;$», la composante sur $\;{\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{j}\;$ est $\;{\mathcal {I}}_{2,\,i,\,j}=-m\,r_{i}\;r_{j},\;\;\forall \;\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace ^{2}\;$ avec $\;\left[{\begin{array}{c}r_{x}=x\\r_{y}=y\\r_{z}=z\end{array}}\right]\;$ d'où
en en faisant la somme on obtient $\;{\mathcal {I}}_{i,\,j}=m\left[\left(\sum \limits _{l\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace }r_{l}^{2}\right)\delta _{i,\,j}-r_{i}\;r_{j}\right],\;\;\forall \;\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace ^{2}\;$ avec $\;\left[{\begin{array}{c}r_{x}=x\\r_{y}=y\\r_{z}=z\end{array}}\right]\;$ soit, en explicitant chaque composante :
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{x,\,x}=m\left[\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\delta _{x,\,x}-x^{2}\right]=m\left(y^{2}+z^{2}\right)$
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{x,\,y}=m\left[\;{\cancel {\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\delta _{x,\,y}}}\;-x\;y\right]=-m\;x\;y$
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{x,\,z}=m\left[\;{\cancel {\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\delta _{x,\,z}}}\;-x\;z\right]=-m\;x\;z$
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{y,\,x}=m\left[\;{\cancel {\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\delta _{y,\,x}}}\;-y\;x\right]=-m\;x\;y$
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{y,\,y}=m\left[\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\delta _{y,\,y}-y^{2}\right]=m\left(x^{2}+z^{2}\right)$
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{y,\,z}=m\left[\;{\cancel {\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\delta _{y,\,z}}}\;-y\;z\right]=-m\;y\;z$
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{z,\,x}=m\left[\;{\cancel {\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\delta _{z,\,x}}}\;-z\;x\right]=-m\;x\;z$
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{z,\,y}=m\left[\;{\cancel {\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\delta _{z,\,y}}}\;-z\;y\right]=-m\;y\;z$
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{z,\,z}=m\left[\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\delta _{z,\,z}-z^{2}\right]=m\left(x^{2}+y^{2}\right)$

### Matrice d'inertie d'un point matériel ainsi que les moments et produits d'inertie du point

Tout tenseur d'ordre $\;2\;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ nonadimensionnel peut être représenté, avec choix d'une base orthonormée de $\;W^{\,\otimes \,2}$, par une matrice carrée $\;3\,{\text{x}}\,3$, Tout tenseur d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ la représentation par matrice $\;{\big$en supposant que le numéro de ligne corresponde à la place du 1er indice dans son ensemble ordonné de valeurs $\;\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace \!{\big )}\;$ est sans ambiguïté $\;{\big$en effet les composantes du tenseur d'inertie du point matériel $\;M\;$ étant invariantes par permutation des indices, nous obtenons une matrice symétrique et aurions eu la même matrice en ayant supposé que le numéro de ligne correspondît à la place du 2ème indice dans son ensemble ordonné de valeurs $\;\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace \!{\big )}$ ;
Tout tenseur d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ la matrice carrée $\;3\,{\text{x}}\,3\;$ représentant le tenseur d'inertie $\;{\mathcal {I}}\;$ du point matériel $\;M\;$ dans la base orthonormée de $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ est appelée matrice d'inertie du point matériel ${\underline {M}}\;$ et notée $\;\left[J(M)\right]$ $\;{\big$ou simplement $\;\left[J\right]\;$ en absence d'ambiguïté${\big )}$, elle s'écrit
$\;\left[J\right]=\left[{\begin{array}{c c c}m\left(y^{2}+z^{2}\right)&-m\;x\;y&-m\;x\;z\\-m\;x\;y&m\left(x^{2}+z^{2}\right)&-m\;y\;z\\-m\;x\;z&-m\;y\;z&m\left(x^{2}+y^{2}\right)\end{array}}\right]$
parmi les cœfficients de la matrice d'inertie du point matériel $\;M\;$ on distingue :
* les éléments diagonaux définissant les moments d'inertie du point par rapport à un axe privilégié plus précisément $\;\succ \;J_{Ox}=m\left(y^{2}+z^{2}\right)\;$ « moment d'inertie de $\;M\;$ par rapport à l'axe $\;Ox\;$», $\;\succ \;J_{Oy}=m\left(x^{2}+z^{2}\right)\;$ « moment d'inertie de $\;M\;$ par rapport à l'axe $\;Oy\;$» et $\;\succ \;J_{Oz}=m\left(x^{2}+y^{2}\right)\;$ « moment d'inertie de $\;M\;$ par rapport à l'axe $\;Oz\;$»,
* l'opposé des éléments non diagonaux définissant les produits d'inertie du point dans un plan privilégié plus précisément $\;\succ \;I_{xy}=m\;x\;y\;$ « produit d'inertie de $\;M\;$ dans le plan $\;xOy\;$», $\;\succ \;I_{xz}=m\;x\;z\;$ « produit d'inertie de $\;M\;$ dans le plan $\;xOz\;$» et $\;\succ \;I_{yz}=m\;y\;z\;$ « produit d'inertie de $\;M\;$ dans le plan $\;yOz$»,
soit, avec l'introduction de ces nouvelles grandeurs, la réécriture de la matrice d'inertie du point $\;M\;$ selon
$\;\left[J\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{Ox}&-I_{xy}&-I_{xz}\\-I_{xy}&J_{Oy}&-I_{yz}\\-I_{xz}&-I_{yz}&J_{Oz}\end{array}}\right]$

## Tenseur d'inertie d'un solide composé d'un nombre fini de points matériels
### Définition du tenseur d'inertie d'un solide (système de points matériels indéformable)

Soit un solide $\;({\mathcal {S}})\;$ composé de $\;N\;$ points matériels $\;M_{k}\;$ de masse $\;m_{k}\;$ repérés relativement à un point $\;O\;$ fixe dans le référentiel spatial $\;{\mathcal {R}}_{({\mathcal {S}})}\;$ lié au solide par leur vecteur position $\;{\overrightarrow {OM_{k}}}={\vec {r}}_{k}$, on appelle « tenseur d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$» dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{({\mathcal {S}})}\;$ dont $\;O\;$ est un point fixe « la somme des $\;N\;$ tenseurs d'inertie de chaque point matériel $\;M_{k}\,\left(m_{k}\right)\;$» soit le « tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant $\;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}{\mathcal {I}}(M_{k})\;$» dans laquelle «$\;{\mathcal {I}}(M_{k})=\left(m_{k}\;{\vec {r}}_{k}^{2}\right)\delta -m_{k}\;{\vec {r}}_{k}^{\,\otimes \,2}\;$» avec
* $\;{\vec {r}}_{k}^{\,\otimes \,2}={\vec {r}}_{k}\otimes {\vec {r}}_{k}\;$ c'est-à-dire le carré tensoriel du tenseur d'ordre $\;1\;$ contravariant $\;{\vec {r}}_{k}$ $\;{\big{\vec {r}}_{k}^{\,\otimes \,2}\;$ est donc bien un tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant «$\;\in \;W^{\,\otimes \,2}\;$» $\;{\big\mathbb {R}$-espace vectoriel nonadimensionnel des tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants${\big )}{\big ]}$,
* $\;{\vec {r}}_{k}^{2}={\vec {r}}_{k}\cdot {\vec {r}}_{k}\;$ c'est-à-dire le carré scalaire du vecteur $\;{\vec {r}}_{k}\;$ et
* $\;\delta \;$ est le tenseur contravariant de Kronecker$^,$.

### Détermination des composantes du tenseur d'inertie d'un solide sur la base orthonormée de l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre deux contravariants défini sur le corps des réels

Pour déterminer les composantes du tenseur d'inertie $\;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ dans la base orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{j}\right\rbrace _{\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace ^{2}}\;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ des tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants $\;{\bigW\;$ étant la direction de l'espace affine tridimensionnel euclidien représentant l'espace physique et $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ sa base orthonormée${\big )}$, il suffit, pour obtenir la composante du tenseur d'inertie du solide sur un vecteur de base, d'ajouter les composantes des $\;N\;$ tenseurs d'inertie de chaque point matériel $\;M_{k}\;\left(m_{k}\right)\;$ sur ce vecteur de base, ce qui donne :
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{x,\,x}({\mathcal {S}})=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)$
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{x,\,y}({\mathcal {S}})=-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;x_{k}\;y_{k}$
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{x,\,z}({\mathcal {S}})=-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;x_{k}\;z_{k}$
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{y,\,x}({\mathcal {S}})=-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;x_{k}\;y_{k}$
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{y,\,y}({\mathcal {S}})=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)$
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{y,\,z}({\mathcal {S}})=-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;y_{k}\;z_{k}$
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{z,\,x}({\mathcal {S}})=-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;x_{k}\;z_{k}$
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{z,\,y}({\mathcal {S}})=-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;y_{k}\;z_{k}$
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{z,\,z}({\mathcal {S}})=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right)$

### Matrice d'inertie d'un solide ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier

Tout tenseur d'ordre $\;2\;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ nonadimensionnel pouvant être représenté, avec choix d'une base orthonormée de $\;W^{\,\otimes \,2}$, par une matrice carrée $\;3\,{\text{x}}\,3\;$ et Tout le tenseur d'inertie d'un solide étant la somme des tenseurs d'inertie des points matériels le composant qui sont des tenseurs d'ordre $\;2\;$ étant donc lui-même un tenseur d'ordre $\;2$, Tout le tenseur d'inertie d'un solide est aussi représenté par une matrice $\;3\,{\text{x}}\,3$, laquelle est la somme des matrices représentant chacune un tenseur d'inertie d'un des points matériels du solide $\;{\big$nous y supposerons également que le numéro de ligne correspond à la place du 1er indice dans son ensemble ordonné de valeurs $\;\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace \;$${\big )}$ ;
Tout le tenseur d'inertie d'un solide la matrice carrée $\;3\,{\text{x}}\,3\;$ représentant le tenseur d'inertie $\;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ dans la base orthonormée de $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ est appelée matrice d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ et notée $\;\left[J({\mathcal {S}})\right]$ $\;{\big$ou simplement $\;\left[J\right]\;$ en absence d'ambiguïté${\big )}$, elle s'écrit
$\;\left[J\right]=\left[{\begin{array}{c c c}\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)&-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;x_{k}\;y_{k}&-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;x_{k}\;z_{k}\\-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;x_{k}\;y_{k}&\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)&-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;y_{k}\;z_{k}\\-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;x_{k}\;z_{k}&-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;y_{k}\;z_{k}&\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right)\end{array}}\right]$
parmi les cœfficients de la matrice d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ on distingue :
* les éléments diagonaux définissant les moments d'inertie du solide par rapport à un axe privilégié plus précisément $\;\succ \;J_{Ox}=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)\;$ « moment d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ par rapport à l'axe $\;Ox\;$», $\;\succ \;J_{Oy}=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)\;$ « moment d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ par rapport à l'axe $\;Oy\;$» et $\;\succ \;J_{Oz}=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right)\;$ « moment d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ par rapport à l'axe $\;Oz\;$»,
* l'opposé des éléments non diagonaux définissant les produits d'inertie du solide dans un plan privilégié plus précisément $\;\succ \;I_{xy}=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;x_{k}\;y_{k}\;$ « produit d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans le plan $\;xOy\;$», $\;\succ \;I_{xz}=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;x_{k}\;z_{k}\;$ « produit d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans le plan $\;xOz\;$» et $\;\succ \;I_{yz}=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;y_{k}\;z_{k}\;$ « produit d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans le plan $\;yOz\;$»,
soit, avec l'introduction de ces nouvelles grandeurs, la réécriture de la matrice d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ selon
$\;\left[J\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{Ox}&-I_{xy}&-I_{xz}\\-I_{xy}&J_{Oy}&-I_{yz}\\-I_{xz}&-I_{yz}&J_{Oz}\end{array}}\right]$

## Axes principaux d'inertie d'un solide composé d'un nombre fini de points matériels
### Caractère « autoadjoint » de l'endomorphisme représenté par la matrice d'inertie d'un solide, matrice autoadjointe

Toute matrice carrée $\;3\;{\text{x}}\;3\;$ à cœfficients réels représentant un endomorphisme du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;W\;$ ${\big$la direction de l'espace affine tridimensionnel euclidien modélisant l'espace physique${\big )}$, il existe donc un endomorphisme $\;\varphi \;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;W\;$ représenté par la matrice d'inertie $\;\left[J\right]\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ étudié c'est-à-dire
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$
$\;W\;$
$\;\exists !\;\varphi \,\in \,L(W)\;$
$\;\left[J\right]=\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;$
le caractère « symétrique » de la matrice d'inertie $\;\left[J\right]\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ représentant l'endomorphisme $\;\varphi \;$ de $\;W\;$ dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =$ $\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ de ce dernier confère le caractère « autoadjoint » à $\;\varphi \;$ l'endomorphisme associé $\;{\big\varpi \,\in \,L(W)\;$ est un « endomorphisme autoadjoint de $\;W\;$» ssi «$\;\forall \;\left({\vec {v}}\,,\,{\vec {w}}\right)\in W^{2}$, $\;{\vec {v}}\cdot \varpi ({\vec {w}})=\varpi ({\vec {v}})\cdot {\vec {w}}\;$»${\big ]}\;$, raison pour laquelle une « matrice symétrique à cœfficients réels » est encore appelée « matrice autoadjointe ».

### Caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide

« Tout endomorphisme auto-adjoint d'un espace euclidien est diagonalisable dans une base orthonormée et « Tout endomorphisme auto-adjoint d'un espace euclidien ses valeurs propres sont toutes réelles ».
« Toute matrice symétrique réelle $\;\left[A\right]\;$ est diagonalisable $\;{\big \$il existe une matrice diagonale $\;\left[D\right]\;$ à cœfficients réels semblable à $\;\left[A\right]{\big \}$ « Toute matrice symétrique réelle $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ est diagonalisable $\;\color {transparent}{\big \$il existe une matrice diagonale $\;\Updownarrow$ « Toute matrice symétrique réelle $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ est diagonalisable $\;\color {transparent}{\big \$il existe une matrice orthogonale $\;\left[P\right]\;$ à cœfficients réels et une matrice diagonale $\;\left[D\right]\;$ également à cœfficients réels telles que $\;\left[A\right]=\left[P\right]\times \left[D\right]\times \left[P\right]^{-1}{\big \}$».
D'après le théorème spectral en dimension finie pour les matrices, on peut donc affirmer que la matrice d'inertie $\;\left[J\right]\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ est diagonalisable.

### Définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier

Comme nous l'avons vu en conclusion du paragraphe « caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide » plus haut dans ce chapitre, la nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie $\;\left[J\right]\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ relativement à un référentiel lié à ce dernier, dans la base orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel tridimensionnel euclidien $\;W$ $\;{\big$direction de l'espace affine modélisant l'espace physique${\big )}\;$ $\Rightarrow$ le caractère diagonalisable de cette matrice, il est donc possible de choisir une nouvelle base orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{X}\,,\,{\vec {u}}_{Y}\,,\,{\vec {u}}_{Z}\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ pour que la matrice d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ soit transformée en $\;\left[{\mathcal {J}}\right]\;$ diagonale ; les axes $\;\left\lbrace {\overrightarrow {OX}}\,,\,{\overrightarrow {OY}}\,,\,{\overrightarrow {OZ}}\right\rbrace \;$ passant par le point $\;O\;$ et respectivement orientés par $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{X}\,,\,{\vec {u}}_{Y}\,,\,{\vec {u}}_{Z}\right\rbrace \;$ définissent les « axes principaux d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ issus de $\;O$ $\;{\big$point fixe de ce dernier${\big )}\;$» ; les éléments diagonaux de $\;\left[{\mathcal {J}}\right]\;$ à savoir $\;J_{OX}$, $\;J_{OY}\;$ et $\;J_{OZ}\;$ sont appelés « moments principaux d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ relativement aux axes respectifs $\;\left\lbrace {\overrightarrow {OX}}\,,\,{\overrightarrow {OY}}\,,\,{\overrightarrow {OZ}}\right\rbrace \;$», leurs valeurs dépendent de la répartition des points matériels $\;M_{k}\,(m_{k})\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ autour des axes principaux d'inertie de ce dernier ;
la matrice d'inertie $\;\left[{\mathcal {J}}\right]\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}_{({\mathcal {S}})}\;$ lié à $\;({\mathcal {S}})\;$ et « relativement axes principaux d'inertie $\;\left\lbrace {\overrightarrow {OX}}\,,\,{\overrightarrow {OY}}\,,\,{\overrightarrow {OZ}}\right\rbrace \;$ de ce dernier issus du point $\;O$, point fixe de $\;{\mathcal {R}}_{({\mathcal {S}})}\;$», s'écrit, avec «$\;J_{OX}$, $\;J_{OY}\;$ et $\;J_{OZ}\;$ moments principaux d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$», selon
$\;\left[{\mathcal {J}}\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{OX}&0&0\\0&J_{OY}&0\\0&0&J_{OZ}\end{array}}\right]\;$

## Tenseur d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie
### Définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)

Soit un solide $\;({\mathcal {S}})$, modélisé par un milieu continu de matière d'expansion tridimensionnelle finie $\;\left({\mathcal {V}}\right)$, de masse volumique $\;\mu (M)\;$ où $\;M\in \left({\mathcal {V}}\right)\;$ est repéré relativement à un point $\;O\;$ fixe dans le référentiel spatial $\;{\mathcal {R}}_{({\mathcal {S}})}\;$ lié au solide par son vecteur position $\;{\overrightarrow {OM}}={\vec {r}}$, on appelle « tenseur d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$» dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{({\mathcal {S}})}\;$ dont $\;O\;$ est un point fixe « la somme continue des tenseurs d'inertie de tous les pseudo-points $\;M\,\left(dm\right)\;$, soit le tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant $\;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d{\mathcal {I}}(M)\;$» dans laquelle «$\;d{\mathcal {I}}(M)=\left(dm\;{\vec {r}}_{k}^{2}\right)\delta -dm\;{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}\;$» avec
* $\;{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}={\vec {r}}\otimes {\vec {r}}\;$ c'est-à-dire le carré tensoriel du tenseur d'ordre $\;1\;$ contravariant $\;{\vec {r}}$ $\;{\big{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}\;$ est donc bien un tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant «$\;\in \;W^{\,\otimes \,2}\;$» $\;{\big\mathbb {R}$-espace vectoriel nonadimensionnel des tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants${\big )}{\big ]}$,
* $\;{\vec {r}}^{2}={\vec {r}}\cdot {\vec {r}}\;$ c'est-à-dire le carré scalaire du vecteur $\;{\vec {r}}\;$ et
* $\;\delta \;$ est le tenseur contravariant de Kronecker$^,$.

### Détermination des composantes du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) sur la base orthonormée de l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre deux contravariants défini sur le corps des réels

Pour déterminer les composantes du tenseur d'inertie $\;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ dans la base orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{j}\right\rbrace _{\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace ^{2}}\;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ des tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants $\;{\bigW\;$ étant la direction de l'espace affine tridimensionnel euclidien représentant l'espace physique et $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ sa base orthonormée${\big )}$, il suffit, pour obtenir la composante du tenseur d'inertie du solide sur un vecteur de base, de faire « la somme continue » des composantes des tenseurs d'inertie de chaque « pseudo-point $\;M\;\left(dm\right)\;$»$^,$ sur ce vecteur de base $\Rightarrow$ avec $\;d{\mathcal {V}}_{M}=dx\;dy\;dz$ :
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{x,\,x}({\mathcal {S}})=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(y^{2}+z^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}\;$
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{x,\,y}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;y\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{x,\,z}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{y,\,x}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;y\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{y,\,y}({\mathcal {S}})=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(x^{2}+z^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}\;$
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{y,\,z}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;y\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{z,\,x}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{z,\,y}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;y\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{z,\,z}({\mathcal {S}})=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(x^{2}+y^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}\;$

### Matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier

Tout tenseur d'ordre $\;2\;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ nonadimensionnel pouvant être représenté, avec choix d'une base orthonormée de $\;W^{\,\otimes \,2}$, par une matrice carrée $\;3\,{\text{x}}\,3\;$ et Tout le tenseur d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ étant « la somme continue » des tenseurs d'inertie des « pseudo-points » le composant qui sont des tenseurs d'ordre $\;2\;$ étant donc lui-même un tenseur d'ordre $\;2$, Tout le tenseur d'inertie d'un solide est aussi représenté par une matrice $\;3\,{\text{x}}\,3$, laquelle est « la somme continue » des matrices représentant chacune un tenseur d'inertie d'un des « pseudo-points » du solide $\;{\big$nous y supposerons également que le numéro de ligne correspond à la place du 1er indice dans son ensemble ordonné de valeurs $\;\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace \;$${\big )}$ ;
Tout le tenseur d'inertie d'un solide la matrice carrée $\;3\,{\text{x}}\,3\;$ représentant le tenseur d'inertie $\;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ dans la base orthonormée de $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ est appelée matrice d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ et notée $\;\left[J({\mathcal {S}})\right]$ $\;{\big$ou simplement $\;\left[J\right]\;$ en absence d'ambiguïté${\big )}$, elle s'écrit
$\;\left[J\right]=\left[{\begin{array}{c c c}\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(y^{2}+z^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}&-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;y\;d{\mathcal {V}}_{M}&-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\\-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;y\;d{\mathcal {V}}_{M}&\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(x^{2}+z^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}&-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;y\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\\-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}&-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;y\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}&\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(x^{2}+y^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}\end{array}}\right]\;$
parmi les cœfficients de la matrice d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ on distingue :
* les éléments diagonaux définissant les moments d'inertie du solide par rapport à un axe privilégié plus précisément $\;\succ \;J_{Ox}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(y^{2}+z^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}\;$ « moment d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ par rapport à l'axe $\;Ox\;$», $\;\succ \;J_{Oy}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(x^{2}+z^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}\;$ « moment d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ par rapport à l'axe $\;Oy\;$» et $\;\succ \;J_{Oz}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(x^{2}+y^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}\;$ « moment d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ par rapport à l'axe $\;Oz\;$»,
* l'opposé des éléments non diagonaux définissant les produits d'inertie du solide dans un plan privilégié plus précisément $\;\succ \;I_{xy}=\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;y\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ « produit d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans le plan $\;xOy\;$», $\;\succ \;I_{xz}=\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ « produit d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans le plan $\;xOz\;$» et $\;\succ \;I_{yz}=\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;y\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ « produit d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans le plan $\;yOz\;$»,
soit, avec l'introduction de ces nouvelles grandeurs, la réécriture de la matrice d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ selon
$\;\left[J\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{Ox}&-I_{xy}&-I_{xz}\\-I_{xy}&J_{Oy}&-I_{yz}\\-I_{xz}&-I_{yz}&J_{Oz}\end{array}}\right]$

## Tenseur d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu d'expansion surfacique finie
### Définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)

Soit un solide $\;({\mathcal {S}})$, modélisé par un milieu continu de matière d'expansion surfacique finie $\;\left(S\right)$, de masse surfacique $\;\sigma (M)\;$ où $\;M\in \left(S\right)\;$ est repéré relativement à un point $\;O\;$ fixe dans le référentiel spatial $\;{\mathcal {R}}_{({\mathcal {S}})}\;$ lié au solide par son vecteur position $\;{\overrightarrow {OM}}={\vec {r}}$, on appelle « tenseur d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$» dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{({\mathcal {S}})}\;$ dont $\;O\;$ est un point fixe « la somme continue des tenseurs d'inertie de tous les pseudo-points $\;M\,\left(dm\right)\;$, soit le tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant $\;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}d{\mathcal {I}}(M)\;$» dans laquelle «$\;d{\mathcal {I}}(M)=\left(dm\;{\vec {r}}_{k}^{2}\right)\delta -dm\;{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}\;$» avec
* $\;{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}={\vec {r}}\otimes {\vec {r}}\;$ c'est-à-dire le carré tensoriel du tenseur d'ordre $\;1\;$ contravariant $\;{\vec {r}}$ $\;{\big{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}\;$ est donc bien un tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant «$\;\in \;W^{\,\otimes \,2}\;$» $\;{\big\mathbb {R}$-espace vectoriel nonadimensionnel des tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants${\big )}{\big ]}$,
* $\;{\vec {r}}^{2}={\vec {r}}\cdot {\vec {r}}\;$ c'est-à-dire le carré scalaire du vecteur $\;{\vec {r}}\;$ et
* $\;\delta \;$ est le tenseur contravariant de Kronecker$^,$.

### Détermination des composantes du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) sur la base orthonormée de l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre deux contravariants défini sur le corps des réels

Pour déterminer les composantes du tenseur d'inertie $\;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ dans la base orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{j}\right\rbrace _{\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace ^{2}}\;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ des tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants $\;{\bigW\;$ étant la direction de l'espace affine tridimensionnel euclidien représentant l'espace physique et $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ sa base orthonormée${\big )}$, il suffit, pour obtenir la composante du tenseur d'inertie du solide sur un vecteur de base, de faire « la somme continue » des composantes des tenseurs d'inertie de chaque « pseudo-point $\;M\;\left(dm\right)\;$»$^,$ sur ce vecteur de base, ce qui donne :
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{x,\,x}({\mathcal {S}})=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\left(y^{2}+z^{2}\right)dS_{M}\;$
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{x,\,y}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;x\;y\;dS_{M}\;$
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{x,\,z}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;x\;z\;dS_{M}\;$
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{y,\,x}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;x\;y\;dS_{M}\;$
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{y,\,y}({\mathcal {S}})=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\left(x^{2}+z^{2}\right)dS_{M}\;$
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{y,\,z}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;y\;z\;dS_{M}\;$
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{z,\,x}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;x\;z\;dS_{M}\;$
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{z,\,y}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;y\;z\;dS_{M}\;$
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{z,\,z}({\mathcal {S}})=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\left(x^{2}+y^{2}\right)dS_{M}\;$

### Matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier

Tout tenseur d'ordre $\;2\;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ nonadimensionnel pouvant être représenté, avec choix d'une base orthonormée de $\;W^{\,\otimes \,2}$, par une matrice carrée $\;3\,{\text{x}}\,3\;$ et Tout le tenseur d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ étant « la somme continue » des tenseurs d'inertie des « pseudo-points » le composant qui sont des tenseurs d'ordre $\;2\;$ étant donc lui-même un tenseur d'ordre $\;2$, Tout le tenseur d'inertie d'un solide est aussi représenté par une matrice $\;3\,{\text{x}}\,3$, laquelle est « la somme continue » des matrices représentant chacune un tenseur d'inertie d'un des « pseudo-points » du solide $\;{\big$nous y supposerons également que le numéro de ligne correspond à la place du 1er indice dans son ensemble ordonné de valeurs $\;\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace \;$${\big )}$ ;
Tout le tenseur d'inertie d'un solide la matrice carrée $\;3\,{\text{x}}\,3\;$ représentant le tenseur d'inertie $\;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ dans la base orthonormée de $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ est appelée matrice d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ et notée $\;\left[J({\mathcal {S}})\right]$ $\;{\big$ou simplement $\;\left[J\right]\;$ en absence d'ambiguïté${\big )}$, elle s'écrit
$\;\left[J\right]=\left[{\begin{array}{c c c}\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\left(y^{2}+z^{2}\right)dS_{M}&-\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;x\;y\;dS_{M}&-\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;x\;z\;dS_{M}\\-\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;x\;y\;dS_{M}&\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\left(x^{2}+z^{2}\right)dS_{M}&-\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;y\;z\;dS_{M}\\-\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;x\;z\;dS_{M}&-\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;y\;z\;dS_{M}&\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\left(x^{2}+y^{2}\right)dS_{M}\end{array}}\right]\;$
parmi les cœfficients de la matrice d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ on distingue :
* les éléments diagonaux définissant les moments d'inertie du solide par rapport à un axe privilégié plus précisément $\;\succ \;J_{Ox}=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\left(y^{2}+z^{2}\right)dS_{M}\;$ « moment d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ par rapport à l'axe $\;Ox\;$», $\;\succ \;J_{Oy}=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\left(x^{2}+z^{2}\right)dS_{M}\;$ « moment d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ par rapport à l'axe $\;Oy\;$» et $\;\succ \;J_{Oz}=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\left(x^{2}+y^{2}\right)dS_{M}\;$ « moment d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ par rapport à l'axe $\;Oz\;$»,
* l'opposé des éléments non diagonaux définissant les produits d'inertie du solide dans un plan privilégié plus précisément $\;\succ \;I_{xy}=\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;x\;y\;dS_{M}\;$ « produit d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans le plan $\;xOy\;$», $\;\succ \;I_{xz}=\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;x\;z\;dS_{M}\;$ « produit d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans le plan $\;xOz\;$» et $\;\succ \;I_{yz}=\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;y\;z\;dS_{M}\;$ « produit d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans le plan $\;yOz\;$»,
soit, avec l'introduction de ces nouvelles grandeurs, la réécriture de la matrice d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ selon
$\;\left[J\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{Ox}&-I_{xy}&-I_{xz}\\-I_{xy}&J_{Oy}&-I_{yz}\\-I_{xz}&-I_{yz}&J_{Oz}\end{array}}\right]$

## Tenseur d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu d'expansion linéique finie
### Définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)

Soit un solide $\;({\mathcal {S}})$, modélisé par un milieu continu de matière d'expansion linéique finie $\;\left(\Gamma \right)$, de masse linéique $\;\lambda (M)\;$ où $\;M\in \left(\Gamma \right)\;$ est repéré relativement à un point $\;O\;$ fixe dans le référentiel spatial $\;{\mathcal {R}}_{({\mathcal {S}})}\;$ lié au solide par son vecteur position $\;{\overrightarrow {OM}}={\vec {r}}$, on appelle « tenseur d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$» dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{({\mathcal {S}})}\;$ dont $\;O\;$ est un point fixe « la somme continue des tenseurs d'inertie de tous les pseudo-points $\;M\,\left(dm\right)\;$, soit le tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant $\;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}d{\mathcal {I}}(M)\;$» dans laquelle «$\;d{\mathcal {I}}(M)=\left(dm\;{\vec {r}}_{k}^{2}\right)\delta -dm\;{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}\;$» avec
* $\;{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}={\vec {r}}\otimes {\vec {r}}\;$ c'est-à-dire le carré tensoriel du tenseur d'ordre $\;1\;$ contravariant $\;{\vec {r}}$ $\;{\big{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}\;$ est donc bien un tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant «$\;\in \;W^{\,\otimes \,2}\;$» $\;{\big\mathbb {R}$-espace vectoriel nonadimensionnel des tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants${\big )}{\big ]}$,
* $\;{\vec {r}}^{2}={\vec {r}}\cdot {\vec {r}}\;$ c'est-à-dire le carré scalaire du vecteur $\;{\vec {r}}\;$ et
* $\;\delta \;$ est le tenseur contravariant de Kronecker$^,$.

### Détermination des composantes du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) sur la base orthonormée de l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre deux contravariants défini sur le corps des réels

Pour déterminer les composantes du tenseur d'inertie $\;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ dans la base orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{j}\right\rbrace _{\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace ^{2}}\;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ des tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants $\;{\bigW\;$ étant la direction de l'espace affine tridimensionnel euclidien représentant l'espace physique et $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ sa base orthonormée${\big )}$, il suffit, pour obtenir la composante du tenseur d'inertie du solide sur un vecteur de base, de faire « la somme continue » des composantes des tenseurs d'inertie de chaque « pseudo-point $\;M\;\left(dm\right)\;$»$^,$ sur ce vecteur de base, ce qui donne :
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{x,\,x}({\mathcal {S}})=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\left(y^{2}+z^{2}\right)d{\mathit {l}}_{M}\;$
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{x,\,y}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;x\;y\;d{\mathit {l}}_{M}\;$
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{x,\,z}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;x\;z\;d{\mathit {l}}_{M}\;$
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{y,\,x}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;x\;y\;d{\mathit {l}}_{M}\;$
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{y,\,y}({\mathcal {S}})=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\left(x^{2}+z^{2}\right)d{\mathit {l}}_{M}\;$
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{y,\,z}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;y\;z\;d{\mathit {l}}_{M}\;$
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{z,\,x}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;x\;z\;d{\mathit {l}}_{M}\;$
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{z,\,y}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;y\;z\;d{\mathit {l}}_{M}\;$
$\;\succ \;{\mathcal {I}}_{z,\,z}({\mathcal {S}})=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\left(x^{2}+y^{2}\right)d{\mathit {l}}_{M}\;$

### Matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier

Tout tenseur d'ordre $\;2\;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ nonadimensionnel pouvant être représenté, avec choix d'une base orthonormée de $\;W^{\,\otimes \,2}$, par une matrice carrée $\;3\,{\text{x}}\,3\;$ et Tout le tenseur d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ étant « la somme continue » des tenseurs d'inertie des « pseudo-points » le composant qui sont des tenseurs d'ordre $\;2\;$ étant donc lui-même un tenseur d'ordre $\;2$, Tout le tenseur d'inertie d'un solide est aussi représenté par une matrice $\;3\,{\text{x}}\,3$, laquelle est « la somme continue » des matrices représentant chacune un tenseur d'inertie d'un des « pseudo-points » du solide $\;{\big$nous y supposerons également que le numéro de ligne correspond à la place du 1er indice dans son ensemble ordonné de valeurs $\;\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace \;$${\big )}$ ;
Tout le tenseur d'inertie d'un solide la matrice carrée $\;3\,{\text{x}}\,3\;$ représentant le tenseur d'inertie $\;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ dans la base orthonormée de $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ est appelée matrice d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ et notée $\;\left[J({\mathcal {S}})\right]$ $\;{\big$ou simplement $\;\left[J\right]\;$ en absence d'ambiguïté${\big )}$, elle s'écrit
$\;<math>\;\left[J\right]=\left[{\begin{array}{c c c}\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\left(y^{2}+z^{2}\right)d{\mathit {l}}_{M}&-\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;x\;y\;d{\mathit {l}}_{M}&-\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;x\;z\;d{\mathit {l}}_{M}\\-\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;x\;y\;d{\mathit {l}}_{M}&\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\left(x^{2}+z^{2}\right)d{\mathit {l}}_{M}&-\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;y\;z\;d{\mathit {l}}_{M}\\-\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;x\;z\;d{\mathit {l}}_{M}&-\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;y\;z\;d{\mathit {l}}_{M}&\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\left(x^{2}+y^{2}\right)d{\mathit {l}}_{M}\end{array}}\right]\;$
parmi les cœfficients de la matrice d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ on distingue :
* les éléments diagonaux définissant les moments d'inertie du solide par rapport à un axe privilégié plus précisément $\;\succ \;J_{Ox}=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\left(y^{2}+z^{2}\right)d{\mathit {l}}_{M}\;$ « moment d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ par rapport à l'axe $\;Ox\;$», $\;\succ \;J_{Oy}=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\left(x^{2}+z^{2}\right)d{\mathit {l}}_{M}\;$ « moment d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ par rapport à l'axe $\;Oy\;$» et $\;\succ \;J_{Oz}=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\left(x^{2}+y^{2}\right)d{\mathit {l}}_{M}\;$ « moment d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ par rapport à l'axe $\;Oz\;$»,
* l'opposé des éléments non diagonaux définissant les produits d'inertie du solide dans un plan privilégié plus précisément $\;\succ \;I_{xy}=\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;x\;y\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ « produit d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans le plan $\;xOy\;$», $\;\succ \;I_{xz}=\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;x\;z\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ « produit d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans le plan $\;xOz\;$» et $\;\succ \;I_{yz}=\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;y\;z\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ « produit d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans le plan $\;yOz\;$»,
soit, avec l'introduction de ces nouvelles grandeurs, la réécriture de la matrice d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ selon
$\;\left[J\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{Ox}&-I_{xy}&-I_{xz}\\-I_{xy}&J_{Oy}&-I_{yz}\\-I_{xz}&-I_{yz}&J_{Oz}\end{array}}\right]$

## Axes principaux d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu d'expansion spatiale finie

Voir le paragraphe « axes principaux d'inertie d'un solide composé d'un nombre fini de points matériels » plus haut dans le chapitre $\;{\big$l'exposé de ce dernier se faisant sur les matrices et non sur la façon dont celles-ci ont été obtenues peut être reproduit sans aucune modification pour un solide modélisé par un milieu continu d'expansion spatiale finie${\big )}\;\ldots$

### Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie

$\;\mu _{0}\;$
* « Boule $\;\left({\mathcal {B}}\right)$, homogène, de rayon $\;R$, de centre $\;G\;$ et de masse $\;m={\dfrac {4}{3}}\;\pi \;\mu _{0}\;R^{3}\;$», « tout axe $\;\Delta _{G}\;$ passant par son centre $\;G\;$ est axe principal d'inertie » « le moment principal d'inertie correspondant étant $\;J_{\Delta _{G}}\!\left({\mathcal {B}}\right)={\dfrac {2}{5}}\;m\;R^{2}\;$».
* « Cylindre de révolution $\;\left({\mathcal {C}}\right)$, homogène, de rayon $\;R$, de longueur $\;H$, de centre $\;G\;$ et de masse $\;m=\pi \;\mu _{0}\;R^{2}\;H\;$», Cylindre de révolution $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {C}}\right)}$, $\;\succ \;$« l'axe $\;\Delta _{Gz}\;$ passant par son centre $\;G\;$ et confondu avec l'axe de révolution est axe principal d'inertie », « le moment principal d'inertie correspondant étant $\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)={\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\;$» et Cylindre de révolution $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {C}}\right)}$, $\;\succ \;$« tout axe $\;\Delta _{G,\,\perp \,Gz}\;$ passant par son centre $\;G\;$ et $\;\perp \;$ à l'axe de révolution est aussi axe principal d'inertie », « le moment principal d'inertie correspondant étant $\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)={\dfrac {1}{4}}\;m\;R^{2}+{\dfrac {1}{12}}\;m\;H^{2}\;$».

### Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion surfacique finie

$\;\sigma _{0}\;$
* « Sphère $\;\left(S\right)$, homogène, de rayon $\;R$, de centre $\;G\;$ et de masse $\;m=4\;\pi \;\sigma _{0}\;R^{2}\;$», « tout axe $\;\Delta _{G}\;$ passant par son centre $\;G\;$ est axe principal d'inertie », « le moment principal d'inertie correspondant étant $\;J_{\Delta _{G}}\!\left(S\right)={\dfrac {2}{3}}\;m\;R^{2}\;$».
* « Tuyau cylindrique de révolution $\;\left({\mathcal {T}}\right)$, homogène, de rayon $\;R$, de longueur $\;H$, de centre $\;G$, ouvert aux deux extrémités et de masse $\;m=$ $2\;\pi \;\sigma _{0}\;R\;H\;$», Tuyau cylindrique de révolution $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {T}}\right)}$, $\;\succ \;$« l'axe $\;\Delta _{Gz}\;$ passant par son centre $\;G\;$ et confondu avec l'axe de révolution est axe principal d'inertie », « le moment principal d'inertie correspondant étant $\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)=m\;R^{2}\;$» et Tuyau cylindrique de révolution $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {T}}\right)}$, $\;\succ \;$« tout axe $\;\Delta _{G,\,\perp \,Gz}\;$ passant par son centre $\;G\;$ et $\;\perp \;$ à l'axe de révolution est aussi axe principal d'inertie », « le moment principal d'inertie correspondant étant $\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)={\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}+{\dfrac {1}{12}}\;m\;H^{2}\;$».
* « Disque $\;\left({\mathcal {D}}\right)$, homogène, de rayon $\;R$, de centre $\;G\;$ et de masse $\;m=\pi \;\sigma _{0}\;R^{2}\;$», Disque $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {D}}\right)}$, $\;\succ \;$« l'axe $\;\Delta _{Gz}\;$ passant par son centre $\;G\;$ et confondu avec l'axe du disque est axe principal d'inertie », « le moment principal d'inertie correspondant étant $\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)=$ ${\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\;$» et Disque $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {D}}\right)}$, $\;\succ \;$« tout axe $\;\Delta _{G,\,\perp \,Gz}\;$ passant par son centre $\;G\;$ et $\;\perp \;$ à l'axe du disque $\;{\big$c'est-à-dire tout support de diamètre${\big )}\;$ est aussi axe principal d'inertie », « le moment principal d'inertie correspondant étant $\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)={\dfrac {1}{4}}\;m\;R^{2}\;$».

### Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie

$\;\lambda _{0}\;$
* « Cercle $\;\left({\mathcal {C}}\right)$, homogène, de rayon $\;R$, de centre $\;G\;$ et de masse $\;m=2\;\pi \;\lambda _{0}\;R\;$», Cercle $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {C}}\right)}$, $\;\succ \;$« l'axe $\;\Delta _{Gz}\;$ passant par son centre $\;G\;$ et confondu avec l'axe du cercle est axe principal d'inertie », « le moment principal d'inertie correspondant étant $\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)=m\;R^{2}\;$» et Cercle $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {C}}\right)}$, $\;\succ \;$« tout axe $\;\Delta _{G,\,\perp \,Gz}\;$ passant par son centre $\;G\;$ et $\;\perp \;$ à l'axe du cercle $\;{\big$c'est-à-dire tout support de diamètre${\big )}\;$ est aussi axe principal d'inertie », « le moment principal d'inertie correspondant étant $\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)={\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\;$».
* Tige rectiligne $\;\left({\mathcal {T}}\right)$, homogène, de longueur $\;{\mathit {l}}$, de centre d'inertie $\;G\;$ et de masse $\;m=\lambda _{0}\;{\mathit {l}}$, Tige rectiligne$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {T}}\right)}$,$\;\succ \;$« l'axe $\;\Delta _{Gz}\;$ passant par son centre d'inertie $\;G\;$ et confondu avec l'axe de la tige pourrait être considéré comme axe principal d'inertie », mais « le moment principal d'inertie correspondant étant nul $\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)=0\;$» $\;{\big$cette valeur nulle de $\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)\;$ fait qu'en pratique l'axe $\;\Delta _{Gz}\;$ n'est pas comptabilisé dans les axes principaux d'inertie de $\;{\mathcal {T}}{\big ]}\;$ et Tige rectiligne$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {T}}\right)}$,$\;\succ \;$« tout axe $\;\Delta _{G,\,\perp \,Gz}\;$ passant par son centre $\;G\;$ et $\;\perp \;$ à l'axe de la tige $\;{\big$c'est-à-dire tout support de médiatrice${\big )}\;$ est axe principal d'inertie », « le moment principal d'inertie correspondant étant $\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)={\dfrac {1}{12}}\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}\;$».

### Méthode d'évaluation de moments principaux d'inertie d'un solide (système continu indéformable d'expansion spatiale finie) utilisant les éléments de symétrie de la répartition massique de ce dernier

Si un solide $\;{\big$système continu indéformable d'expansion volumique, surfacique ou linéique finie${\big )}\;$ est de répartition massique identique par symétrie relativement à deux axes principaux d'inertie distincts, les moments principaux d'inertie du solide relativement à ces deux axes sont égaux ;
pour utiliser cette propriété l'idéal est de trouver une identité de répartition de masse par symétrie relativement à
* trois axes principaux d'inertie respectivement perpendiculaires et issus d'un même point $\;{\big$c'est-à-dire de trouver un repère principal d'inertie ayant le point pour origine${\big )}\;$ ou, à défaut,
* deux axes principaux d'inertie perpendiculaires, issus d'un même point, le moment principal d'inertie relativement au 3ème axe du repère principal d'inertie étant connu $\;\ldots$
Exemples (liste non exhaustive) :
* Boule $\;\left({\mathcal {B}}\right)$, homogène, de rayon $\;R$, de centre $\;G\;$ et de masse $\;m={\dfrac {4}{3}}\;\pi \;\mu _{0}\;R^{3}\;$, les axes $\;\left(\Delta _{Gx}\,,\,\Delta _{Gy}\,,\,\Delta _{Gz}\right)\;$ issus de son centre $\;G\;$ formant un repère principal d'inertie et la répartition de masse de $\;\left({\mathcal {B}}\right)\;$ étant identique par symétrie relativement à chacun de ces axes, on en déduit l'égalité des moments principaux d'inertie correspondants soit $\;J_{\Delta _{Gx}}\!\left({\mathcal {B}}\right)=J_{\Delta _{Gy}}\!\left({\mathcal {B}}\right)=J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {B}}\right)\;$ de valeur commune $\;J_{\Delta _{G}}\!\left({\mathcal {B}}\right)\;$ ou, en les ajoutant, «$\;3\;J_{\Delta _{G}}\!\left({\mathcal {B}}\right)=J_{\Delta _{Gx}}\!\left({\mathcal {B}}\right)+J_{\Delta _{Gy}}\!\left({\mathcal {B}}\right)+J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {B}}\right)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {B}}\right)}\mu _{0}\left(y^{2}+z^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}+\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {B}}\right)}\mu _{0}\left(x^{2}+z^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}+\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {B}}\right)}\mu _{0}\left(x^{2}+y^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}\;$» ou «$\;3\;J_{\Delta _{G}}\!\left({\mathcal {B}}\right)$ $=2\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {B}}\right)}\mu _{0}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}=2\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {B}}\right)}\mu _{0}\;r^{2}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» avec $\;r$, rayon polaire de $\;M$ $\;{\big$repérage sphérique de pôle $\;G{\big )}\;$ ou, adoptant la forme semi-intégrée de l'élément de volumique $\;d{\mathcal {V}}_{M}=$ $4\;\pi \;r^{2}\;dr\;$ tenant compte du fait que la fonction à intégrer ne dépend par de $\;\left(\theta \,,\,\varphi \right)\;$ «$\;3\;J_{\Delta _{G}}\!\left({\mathcal {B}}\right)=2\displaystyle \int _{0}^{R}\mu _{0}\;4\;\pi \;r^{4}\;dr=8\;\pi \;\mu _{0}\;{\dfrac {R^{5}}{5}}\;$ d'où $\;J_{\Delta _{G}}\!\left({\mathcal {B}}\right)={\dfrac {8\;\pi \;\mu _{0}}{15}}\;R^{5}\;$» et, en fonction de $\;m=$ ${\dfrac {4}{3}}\;\pi \;\mu _{0}\;R^{3}\;$, «$\;J_{\Delta _{G}}\!\left({\mathcal {B}}\right)={\dfrac {2}{5}}\;m\;R^{2}\;$».
* Sphère $\;\left(S\right)$, homogène, de rayon $\;R$, de centre $\;G\;$ et de masse $\;m=4\;\pi \;\sigma _{0}\;R^{2}\;$, les axes $\;\left(\Delta _{Gx}\,,\,\Delta _{Gy}\,,\,\Delta _{Gz}\right)\;$ issus de son centre $\;G\;$ formant un repère principal d'inertie et la répartition de masse de $\;\left(S\right)\;$ étant identique par symétrie relativement à chacun de ces axes, on en déduit l'égalité des moments principaux d'inertie correspondants soit $\;J_{\Delta _{Gx}}\!\left(S\right)=J_{\Delta _{Gy}}\!\left(S\right)=J_{\Delta _{Gz}}\!\left(S\right)\;$ de valeur commune $\;J_{\Delta _{G}}\!\left(S\right)\;$ ou, en les ajoutant, «$\;{\begin{array}{c}\\3\;J_{\Delta _{G}}\!\left(S\right)=J_{\Delta _{Gx}}\!\left(S\right)+J_{\Delta _{Gy}}\!\left(S\right)+J_{\Delta _{Gz}}\!\left(S\right)=\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma _{0}\left(y^{2}+z^{2}\right)dS_{M}+\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma _{0}\left(x^{2}+z^{2}\right)dS_{M}+\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma _{0}\left(x^{2}+y^{2}\right)dS_{M}\\\end{array}}\;$» ou «$\;{\begin{array}{c}\\3\;J_{\Delta _{G}}\!\left(S\right)=2\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma _{0}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)dS_{M}=2\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma _{0}\;R^{2}\;dS_{M}\\\end{array}}\;$» $\;{\bigR$, rayon polaire de $\;M$ $\;{\big$repérage sphérique de pôle $\;G{\big )}{\big ]}\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\begin{array}{c}\\3\;J_{\Delta _{G}}\!\left(S\right)=2\;R^{2}\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma _{0}\;dS_{M}=2\;R^{2}\;m\\\end{array}}\;$» d'où «$\;J_{\Delta _{G}}\!\left(S\right)={\dfrac {2}{3}}\;m\;R^{2}\;$».
* Tuyau cylindrique de révolution $\;\left({\mathcal {T}}\right)$, homogène, de rayon $\;R$, de longueur $\;H$, de centre $\;G$, ouvert aux deux extrémités et de masse $\;m=$ $2\;\pi \;\sigma _{0}\;R\;H\;$, les axes $\;\left(\Delta _{Gx}\,,\,\Delta _{Gy}\,,\,\Delta _{Gz}\right)\;$ issus de son centre $\;G\;$ formant un repère principal d'inertie et la répartition de masse de $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ étant identique par symétrie relativement aux axes $\;\left(\Delta _{Gx}\,,\,\Delta _{Gy}\right)$, on en déduit l'égalité des moments principaux d'inertie correspondants soit $\;J_{\Delta _{Gx}}\!\left({\mathcal {T}}\right)=$ $J_{\Delta _{Gy}}\!\left({\mathcal {T}}\right)\;$ de valeur commune $\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)\;$ ou, en les ajoutant au 3ème moment d'inertie relativement à $\;\Delta _{Gz}$, «$\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)+2\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)=$ $J_{\Delta _{Gx}}\!\left({\mathcal {T}}\right)+J_{\Delta _{Gy}}\!\left({\mathcal {T}}\right)+J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)}\sigma _{0}\left(y^{2}+z^{2}\right)dS_{M}+\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)}\sigma _{0}\left(x^{2}+z^{2}\right)dS_{M}+\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)}\sigma _{0}\left(x^{2}+y^{2}\right)dS_{M}\;$» soit, avec $\;M\;\left(R\,,\,\theta \,,\,z\right)$, coordonnées en repérage cylindro-polaire de pôle $\;G\;$ et d'axe $\;{\overrightarrow {Gz}}$, «$\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)+2\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)=2\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)}\sigma _{0}\left(R^{2}+z^{2}\right)dS_{M}\;$» où, la fonction à intégrer étant indépendante de $\;\theta$, on adopte la forme semi-intégrée de l'élément d'aire $\;dS_{M}=$ $2\;\pi \;R\;dz\;$ soit «$\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)+2\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)=$ $4\;\pi \;\sigma _{0}\;R\displaystyle \int _{-{\frac {H}{2}}}^{+{\frac {H}{2}}}\left(R^{2}+z^{2}\right)dz=4\;\pi \;\sigma _{0}\;R\,\left[R^{2}\;z+{\dfrac {z^{3}}{3}}\right]_{-{\frac {H}{2}}}^{+{\frac {H}{2}}}=4\;\pi \;\sigma _{0}\;R\left(R^{2}\;H+{\dfrac {H^{3}}{12}}\right)=4\;\pi \;\sigma _{0}\;R\;H\left(R^{2}+{\dfrac {H^{2}}{12}}\right)\;$» ou, en fonction de $\;m=2\;\pi \;\sigma _{0}\;R\;H\;$, «$\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)+2\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)=2\;m\left(R^{2}+{\dfrac {H^{2}}{12}}\right)\;$» ; Tuyau cylindrique de révolution $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {T}}\right)}$, il reste à évaluer directement «$\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \left({\mathcal {T}}\right)}\sigma _{0}\;R^{2}\;dS_{M}=R^{2}\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \left({\mathcal {T}}\right)}\sigma _{0}\;dS_{M}\;$» $\;{\big$revoir la note « $^{44}$ » plus haut dans ce chapitre${\big ]}\;$ $\Rightarrow$ «$\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)=$ $m\;R^{2}\;$ par définition de la masse », on en déduit «$\;m\;R^{2}+2\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)=2\;m\left(R^{2}+{\dfrac {H^{2}}{12}}\right)\;$» $\Rightarrow$ «$\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)={\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}+{\dfrac {1}{12}}\;m\;H^{2}\;$».
* Disque $\;\left({\mathcal {D}}\right)$, homogène, de rayon $\;R$, de centre $\;G\;$ et de masse $\;m=\pi \;\sigma _{0}\;R^{2}\;$, les axes $\;\left(\Delta _{Gx}\,,\,\Delta _{Gy}\,,\,\Delta _{Gz}\right)\;$ issus de son centre $\;G\;$ formant un repère principal d'inertie et la répartition de masse de $\;\left({\mathcal {D}}\right)\;$ étant identique par symétrie relativement aux axes $\;\left(\Delta _{Gx}\,,\,\Delta _{Gy}\right)$, on en déduit l'égalité des moments principaux d'inertie correspondants soit $\;J_{\Delta _{Gx}}\!\left({\mathcal {D}}\right)=J_{\Delta _{Gy}}\!\left({\mathcal {D}}\right)\;$ de valeur commune $\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)\;$ ou, en les ajoutant au 3ème moment d'inertie relativement à l'axe $\;\Delta _{Gz}\;$ du disque, «$\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)+2\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)=J_{\Delta _{Gx}}\!\left({\mathcal {D}}\right)+J_{\Delta _{Gy}}\!\left({\mathcal {D}}\right)+J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)\;$ somme s'écrivant encore $\;\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {D}}\right)}\sigma _{0}\left(y^{2}+z^{2}\right)dS_{M}+\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {D}}\right)}\sigma _{0}\left(x^{2}+z^{2}\right)dS_{M}+\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {D}}\right)}\sigma _{0}\left(x^{2}+y^{2}\right)dS_{M}\;$» soit, avec $\;M\;\left(\rho \,,\,\theta \,,\,0\right)$, coordonnées en repérage cylindro-polaire de pôle $\;G\;$ et d'axe $\;{\overrightarrow {Gz}}$, «$\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)+2\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)=$ $2\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {D}}\right)}\sigma _{0}\;\rho ^{2}\;dS_{M}\;$» où, la fonction à intégrer étant indépendante de $\;\theta$, on adopte la forme semi-intégrée de l'élément d'aire $\;dS_{M}=2\;\pi \;\rho \;d\rho \;$ soit «$\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)+2\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)=$ $4\;\pi \;\sigma _{0}\displaystyle \int _{0}^{R}\rho ^{3}\;d\rho =4\;\pi \;\sigma _{0}\,\left[{\dfrac {\rho ^{4}}{4}}\right]_{0}^{R}=\pi \;\sigma _{0}\;R^{4}\;$» ou encore, en fonction de $\;m=\pi \;\sigma _{0}\;R^{2}\;$, «$\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)+2\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)=m\;R^{2}\;$» ; Disque $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {D}}\right)}$, il reste à évaluer directement «$\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \left({\mathcal {D}}\right)}\sigma _{0}\;\rho ^{2}\;dS_{M}\;$» $\;{\big$revoir la note « $^{49}$ » plus haut dans ce chapitre${\big ]}\;$ $\Rightarrow$ «$\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)={\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\;$ par définition de la masse », on en déduit «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}+2\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)=m\;R^{2}\;$» $\Rightarrow$ «$\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)={\dfrac {1}{4}}\;m\;R^{2}\;$».
* Cercle $\;\left({\mathcal {C}}\right)$, homogène, de rayon $\;R$, de centre $\;G\;$ et de masse $\;m=2\;\pi \;\lambda _{0}\;R$, les axes $\;\left(\Delta _{Gx}\,,\,\Delta _{Gy}\,,\,\Delta _{Gz}\right)\;$ issus de son centre $\;G\;$ formant un repère principal d'inertie et la répartition de masse de $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ étant identique par symétrie relativement aux axes $\;\left(\Delta _{Gx}\,,\,\Delta _{Gy}\right)$, on en déduit l'égalité des moments principaux d'inertie correspondants soit $\;J_{\Delta _{Gx}}\!\left({\mathcal {C}}\right)=J_{\Delta _{Gy}}\!\left({\mathcal {C}}\right)\;$ de valeur commune $\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)\;$ ou, en les ajoutant au 3ème moment d'inertie relativement à l'axe $\;\Delta _{Gz}\;$ du cercle, «$\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)+2\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)=J_{\Delta _{Gx}}\!\left({\mathcal {C}}\right)+J_{\Delta _{Gy}}\!\left({\mathcal {C}}\right)+J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)\;$ somme s'écrivant encore $\;\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {C}}\right)}\lambda _{0}\left(y^{2}+z^{2}\right)d{\mathit {l}}_{M}+\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {C}}\right)}\lambda _{0}\left(x^{2}+z^{2}\right)d{\mathit {l}}_{M}+\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {C}}\right)}\lambda _{0}\left(x^{2}+y^{2}\right)d{\mathit {l}}_{M}\;$» soit, avec $\;M\;\left(R\,,\,\theta \,,\,0\right)$, coordonnées en repérage cylindro-polaire de pôle $\;G\;$ et d'axe $\;{\overrightarrow {Gz}}$, «$\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)+2\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)=$ $2\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {C}}\right)}\lambda _{0}\;R^{2}\;d{\mathit {l}}_{M}=2\;R^{2}\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {C}}\right)}\lambda _{0}\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ $\;=2\;m\;R^{2}\;$ par définition de la masse » ; Cercle $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {C}}\right)}$, il reste à évaluer directement «$\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \left({\mathcal {C}}\right)}\lambda _{0}\;R^{2}\;d{\mathit {l}}_{M}=R^{2}\;\displaystyle \int \limits _{M\,\in \left({\mathcal {C}}\right)}\lambda _{0}\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ $\;=m\;R^{2}\;$ par définition de la masse », on en déduit «$\;m\;R^{2}+2\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)=2\;m\;R^{2}\;$» $\Rightarrow$ «$\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)$ $={\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\;$».