# Droites et plans de l'espace/Exercices/Exercices guidés

Soit une pyramide à base carrée SABCD (voir figure ci-dessus).
Cette pyramide est régulière : les 4 faces latérales sont des triangles isocèles et le sommet est à « l’aplomb » du centre O de la base.
Nous étudierons les effets d'un « troncage » parallèle à la base, qui présente une section IJKL de centre O'.

## Intersections de droites et plans dans l'espace

* Les droites (AD) et (BC) sont-elles sécantes ?
* Les droites (AD) et (BC) sont-elles coplanaires ?
* Les droites (AI) et (BJ) sont-elles sécantes ?
* Définir par un minimum de points le plan de la face contenant les 5 points A, B, S, I et J.
* Démontrer que K appartient au plan (ADJ).
* Soit M le milieu de [BC]. Démontrer que (SM) et (AD) sont orthogonales.
* Démontrer que SIJKL est une pyramide régulière de hauteur [SO'].
* Construire géométriquement le point L à partir des seuls points S, A, B, C et I.
* Non car (ABCD) est un carré donc un parallélogramme.
* Bien sûr, puisqu'elles sont parallèles.
* I est un point de (AS) et J un point de (BS) donc (AI) et (BJ) sont égales à (AS) et (BS), sécantes en S.
* Il suffit d'en choisir 3 non alignés : (ABS) = (ABI) = (ABJ) = (IJS) =…
* Par hypothèse, (JK) est parallèle à (BC) donc à (AD). Par conséquent, elle est incluse dans le plan (ADJ).
* Par hypothèse, (SM) est la médiatrice de [BC]. Par conséquent, elle est orthogonale à (BC) donc à (AD).
* D'après les hypothèses, il existe une homothétie de centre S qui transforme le carré ABCD en un carré IJKL, donc qui envoie les 4 faces latérales isocèles de SABCD sur des triangles isocèles et le carré ABCD sur un carré, donc le centre O du premier sur le centre O' du second. De plus, la droite (SO') = (SO) est perpendiculaire au plan (ABCD) donc au plan (IJKL).
* On construit le symétrique D de B par rapport au milieu de [AC]. L est alors à l'intersection de (SD) avec la parallèle à (AD) issue de I.

## Géométrie vectorielle

Nous utilisons la figure ci-contre dans le cas particulier où I', J', K' et L' sont les milieux respectifs des arêtes [SA], [SB], [SC] et [SD].
On note M, N, P et Q les milieux respectifs de [BC], [CD], [AD] et [AB] et ${\vec {u}}$ le vecteur ${\vec {AP}}$.
* Indiquer le représentant de ce vecteur d'origine I'.
* Indiquer tous les représentants visibles sur la figure.
* Démontrer que ${\overrightarrow {BC}}$ et ${\vec {u}}$ sont colinéaires
* En déduire que ${\overrightarrow {AC}}$ et ${\vec {u}}$ ne sont pas colinéaires.
* Quelles sont les coordonnées du point N dans le repère $(A;{\overrightarrow {AD}},{\overrightarrow {AC}})$ du plan (ACD) ?
* Soit ${\vec {v}}={\overrightarrow {AC}}$. Donner un troisième vecteur ${\vec {w}}$ tel que $(A;{\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}})$ soit un repère de l'espace.
* Même question mais avec la contrainte supplémentaire : $(A;{\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}})$ repère orthogonal.
* Dans le plan vectoriel $\mathbb {R} {\vec {u}}+\mathbb {R} {\vec {v}}$, on considère les deux bases $({\overrightarrow {AP}},{\overrightarrow {AQ}})$ et $({\overrightarrow {OC}},{\overrightarrow {OD}})$. Soit ${\vec {p}}$ un vecteur de coordonnées $(x,y)$ dans la première base et $(x',y')$ dans la seconde. Exprimer $(x',y')$ en fonction de $(x,y)$.
* ${\vec {u}}={\overrightarrow {I'L'}}$.
* ${\vec {u}}={\overrightarrow {I'L'}}={\overrightarrow {AP}}={\overrightarrow {PD}}={\overrightarrow {QO}}={\overrightarrow {ON}}={\overrightarrow {J'K'}}={\overrightarrow {BM}}={\overrightarrow {MC}}$.
* ${\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {AD}}=2{\vec {u}}$.
* (AC) n'est pas parallèle à (BC) donc n'est pas dirigée par ${\overrightarrow {BC}}$, ni, par conséquent, par ${\vec {u}}={\frac {1}{2}}{\overrightarrow {BC}}$.
* Les coordonnées de D et C sont respectivement (1, 0) et (0, 1) donc celles de leur milieu N sont $\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)$.
* Puisque $(A;{\vec {u}},{\vec {v}})$ est un repère du plan (ACD), on peut choisir par exemple ${\vec {w}}={\overrightarrow {AH}}$ où H est un point n'appartenant pas à ce plan, comme H = S.
* Remarquons d'abord que ${\vec {u}}\perp {\vec {v}}$ (car $(AD)\perp (AC)$). Le vecteur ${\vec {w}}:={\overrightarrow {OS}}$ est orthogonal à ${\vec {u}}$ et ${\vec {v}}$ (car $(OS)\perp (ACD)$). Un point et trois vecteurs non nuls orthogonaux deux à deux forment un repère orthogonal de l'espace.
** ${\vec {p}}=x{\overrightarrow {AP}}+y{\overrightarrow {AQ}}=x'{\overrightarrow {OC}}+y'{\overrightarrow {OD}}$ ;
** ${\overrightarrow {AP}}={\overrightarrow {ON}}={\frac {{\overrightarrow {OC}}+{\overrightarrow {OD}}}{2}}$ ;
** ${\overrightarrow {AQ}}={\overrightarrow {OM}}={\frac {{\overrightarrow {OC}}+{\overrightarrow {OB}}}{2}}={\frac {{\overrightarrow {OC}}-{\overrightarrow {OD}}}{2}}$.
    Par conséquent,
       $x'{\overrightarrow {OC}}+y'{\overrightarrow {OD}}=x{\frac {{\overrightarrow {OC}}+{\overrightarrow {OD}}}{2}}+y{\frac {{\overrightarrow {OC}}-{\overrightarrow {OD}}}{2}}={\frac {x+y}{2}}{\overrightarrow {OC}}+{\frac {x-y}{2}}{\overrightarrow {OD}}$
    donc
       $x'={\frac {x+y}{2}}$ et $y'={\frac {x-y}{2}}$
    ou encore, sous forme matricielle :
       ${\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$.

### Remarque

    Le principe du changement de base sera approfondi au niveau 14.

## Projeté orthogonal sur un plan

Pour la suite de l'exercice, on suppose que OB = 1. On donnera les résultats en fonction du paramètre h = OS > 0 (hauteur de la pyramide).
On se place dans le repère orthonormé $(O;{\overrightarrow {OB}},{\overrightarrow {OC}},{\overrightarrow {OS}}/h)$ et l'on s'intéresse au plan SBC, et au projeté orthogonal H de O sur ce plan.
* Donner une équation cartésienne du plan (SBC).
* En déduire les coordonnées de H.
* En déduire le rayon OH de la demi-sphère de centre O inscrite dans la pyramide.
* Quelle courbe décrit H ?
* L'écriture cartésienne générale d'un plan est $ax+by+cz+d=0$ avec $(a,b,c)\neq (0,0,0)$.
    Les points S, B, C vérifient cette équation si et seulement si :
       ${\begin{cases}ch+d&=0\\a+d&=0\\b+d&=0\end{cases}}$
    c'est-à-dire :
       $a=b=-d=ch$.
    Le plan (SBC) a donc pour équation :
       $x+y+{\frac {z}{h}}-1=0$.
* Ces coordonnées $(\alpha ,\beta ,\gamma )$ vérifient :
** $\alpha +\beta +{\frac {\gamma }{h}}-1=0$ (car H appartient au plan) ;
** $\alpha =\beta =\gamma h$ (car ${\overrightarrow {OH}}$ est normal au plan).
    Par conséquent, $(\alpha ,\beta ,\gamma )=\left({\frac {h^{2}}{2h^{2}+1}},{\frac {h^{2}}{2h^{2}+1}},{\frac {h}{2h^{2}+1}}\right)$.
* $OH={\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}}}={\frac {h}{\sqrt {2h^{2}+1}}}$.
* H décrit la demi-ellipse d'équations $\beta =\alpha ,\ \gamma ^{2}+2\alpha ^{2}-\alpha =0,\ \gamma >0$.
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