# Théorie physique des distributions/Transformée de Fourier

L'objet de ce chapitre est de généraliser la transformée de Fourier, définie sur les fonctions, aux distributions. Tout au long de ce chapitre et pour bien fixer les idées, la variable relative à une fonction physique sera désignée par t (référence au temps). La variable relative à la transformée de Fourier sera notée x (les physiciens la notent souvent f, par référence à la fréquence, puisque la transformée de Fourier donne le spectre en exponentielle complexe d'un signal).

## Activité préliminaire

Soit f une fonction définie sur l’ensemble des nombres réels. On rappelle que la transformée de Fourier de f, que l’on notera ℱf, est définie par :
$\forall x\in \mathbb {R} \quad {\mathcal {F}}f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {e} ^{-2\mathrm {i} \pi xt}f(t)\,\mathrm {d} t$.
Comme on le voit, il s'agit d'une fonction à valeurs complexes.
La transformation de Fourier inverse, qui permet de retrouver la fonction de départ à partir de sa transformée de Fourier, est définie par :
$\forall t\in \mathbb {R} \quad {\mathcal {F}}^{-1}g(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {e} ^{2\mathrm {i} \pi tx}g(x)\,\mathrm {d} x$.
Nous souhaitons définir la transformée de Fourier d'une distribution.
Comme dans les chapitres précédent, nous commencerons par calculer la transformée de Fourier d'une distribution régulière et en cas de succès, nous essayerons de généraliser cette définition à toutes les distributions.
Nous avons, en supposant le calcul possible :
${\begin{aligned}\forall \varphi \in {\mathcal {D}}\quad <{\mathcal {F}}T_{f},\varphi >\,&=\,<T_{{\mathcal {F}}f},\varphi >\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x){\mathcal {F}}f(x)\,\mathrm {d} x\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\left(\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {e} ^{-2\mathrm {i} \pi xt}f(t)\,\mathrm {d} t\right)\,\mathrm {d} x\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\operatorname {e} ^{-2\mathrm {i} \pi xt}f(t)\,\mathrm {d} t\mathrm {d} x\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\operatorname {e} ^{-2\mathrm {i} \pi xt}\,\mathrm {d} x\right)f(t)\,\mathrm {d} t\\&=\int _{-\infty }^{\infty }{\mathcal {F}}\varphi (t)\,f(t)\,\mathrm {d} t\\&=\,<T_{f},{\mathcal {F}}\varphi >.\end{aligned}}$
Nous avons obtenu une formule qui, généralisée à toutes les distributions, donnerait :
$\forall \varphi \in {\mathcal {D}}\quad <{\mathcal {F}}T,\varphi >\,=\,<T,{\mathcal {F}}\varphi >$.
Ne crions pas trop tôt victoire car il y a un problème de taille.
Rien ne permet d'affirmer que la fonction ℱφ appartient à D{\textstyle {\mathcal {D}}} si φ appartient à D{\textstyle {\mathcal {D}}}. On montre, en fait, qu’il n'en est rien !
Ce fait nous montre qu’il n’est pas possible de définir une transformation de Fourier sur l’ensemble D$^′${\textstyle {\mathcal {D}}'}. Nous savons pourtant que la transformation de Fourier est définie sur les fonctions. La question qui se pose alors est de savoir si l’on doit se résigner à n'avoir qu'une transformation de Fourier uniquement sur des fonctions ou s'il est possible de généraliser celle-ci à un sous-espace de D$^′${\textstyle {\mathcal {D}}'}. En fait, nous voyons que le problème se ramène à trouver un espace de fonctions-test, contenant D{\textstyle {\mathcal {D}}}, stable par transformation de Fourier, tout en étant le plus petit possible pour que son dual forme un sous-espace de D$^′${\textstyle {\mathcal {D}}'} le plus grand possible.
On montre et nous admettrons que l'espace répondant à la question est l'espace de Schwartz, noté S{\textstyle {\mathcal {S}}}.
Nous avons, en effet le théorème :
Si φ ∈ S{\textstyle {\mathcal {S}}} alors ℱφ ∈ S{\textstyle {\mathcal {S}}}
On a de même :
Si φ ∈ S{\textstyle {\mathcal {S}}} alors ℱ$^{-1}$φ ∈ S{\textstyle {\mathcal {S}}}
La transformée de Fourier classique applique bijectivement S{\textstyle {\mathcal {S}}} sur lui-même.

## Définition de la transformée de Fourier d'une distribution

L'activité préliminaire du paragraphe précédent nous montre qu'il est possible de généraliser la transformée de Fourier des fonctions au sous-espace S$^′${\textstyle {\mathcal {S}}'} des distributions en posant :
La transformation de Fourier est définie sur le sous-espace S$^′${\textstyle {\mathcal {S}}'} des distributions D$^′${\textstyle {\mathcal {D}}'} par :
$\forall \varphi \in {\mathcal {S}}\quad <{\mathcal {F}}T,\varphi >\,=\,<T,{\mathcal {F}}\varphi >$.

## Transformée de Fourier de la distribution de Dirac

Nous avons :
${\begin{aligned}\forall \varphi \in {\mathcal {S}}\quad <{\mathcal {F}}\delta ,\varphi >&=\,<\delta ,{\mathcal {F}}\varphi >\\&={\mathcal {F}}\varphi (0)\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {e} ^{-2\mathrm {i} \pi 0t}\varphi (t)\,\mathrm {d} t\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (t)\times 1\,\mathrm {d} t\\&=\,<T_{1},\varphi >.\end{aligned}}$
La transformée de Fourier de la distribution de Dirac est donc la distribution régulière associée à la fonction constante 1.
Nous retiendrons :
${\mathcal {F}}\delta (x)=1$.

## Transformée de Fourier de la dérivée de la distribution de Dirac

Nous avons :
${\begin{aligned}\forall \varphi \in {\mathcal {S}}\quad <{\mathcal {F}}(\delta '),\varphi >&=\,<\delta ',{\mathcal {F}}\varphi >\\&=-<\delta ,({\mathcal {F}}\varphi )'>\\&=-<\delta ,\left(t\mapsto \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {e} ^{-2\mathrm {i} \pi xt}\varphi (x)\,\mathrm {d} x\right)'>\\&=-<\delta ,t\mapsto \int _{-\infty }^{\infty }-2\mathrm {i} \pi x\operatorname {e} ^{-2\mathrm {i} \pi xt}\varphi (x)\,\mathrm {d} x>\\&=-\int _{-\infty }^{\infty }-2\mathrm {i} \pi x\operatorname {e} ^{-2\mathrm {i} \pi x0}\varphi (x)\,\mathrm {d} x\\&=\int _{-\infty }^{\infty }2\mathrm {i} \pi x\varphi (x)\,\mathrm {d} x\\&=<T_{2\mathrm {i} \pi x},\varphi >.\end{aligned}}$
La transformée de Fourier de la dérivée de la distribution de Dirac est donc une distribution régulière, image d'une fonction à valeurs complexes.
Nous retiendrons :
${\mathcal {F}}\delta '(x)=2\mathrm {i} \pi x$.

## Transformée de Fourier d'un produit de convolution

On rappelle que :
Sur l’ensemble des fonctions, la transformée de Fourier d'un produit de convolution de deux fonctions est égale au produit des transformées de Fourier de chaque fonction.
${\mathcal {F}}(f\star g)={\mathcal {F}}f\times {\mathcal {F}}g$.
Soit f et g, deux fonctions. Calculons la transformée de Fourier du produit de convolution de ces deux fonctions.
${\begin{aligned}{\mathcal {F}}[(f\star g)(t)](x)&=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {e} ^{-2\mathrm {i} \pi xt}(f\star g)(t)\,\mathrm {d} t\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {e} ^{-2\mathrm {i} \pi xt}\left(\int _{-\infty }^{\infty }f(t-y)g(y)\,\mathrm {d} y\right)\,\mathrm {d} t\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {e} ^{-2\mathrm {i} \pi xt}f(t-y)\,\mathrm {d} t\right)g(y)\,\mathrm {d} y\end{aligned}}$
Faisons le changement de variable u = t - y.
${\begin{aligned}{\mathcal {F}}[(f\star g)(t)](x)&=\int _{-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {e} ^{-2\mathrm {i} \pi x(y+u)}f(u)\,\mathrm {d} u\right)g(y)\,\mathrm {d} y\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {e} ^{-2\mathrm {i} \pi xu}f(u)\,\mathrm {d} u\right)\operatorname {e} ^{-2\mathrm {i} \pi xy}g(y)\,\mathrm {d} y\\&=\left(\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {e} ^{-2\mathrm {i} \pi xu}f(u)\,\mathrm {d} u\right)\left(\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {e} ^{-2\mathrm {i} \pi xy}g(y)\,\mathrm {d} y\right)\\&={\mathcal {F}}f(x)\times {\mathcal {F}}g(x)\end{aligned}}$
On démontre — et nous admettrons — que ce résultat peut se généraliser au produit de convolution de deux distributions S et T, à condition que S soit une distribution à support compact et que T soit une distribution tempérée.
Sur l’ensemble des distributions, la transformée de Fourier d'un produit de convolution de deux distributions S et T est égal au produit des transformées de Fourier de chaque distribution si S est une distribution à support compact et si T est une distribution tempérée.
$\forall S\in {\mathcal {E}}'\quad \forall T\in {\mathcal {S}}'\quad {\mathcal {F}}(S\star T)={\mathcal {F}}S\times {\mathcal {F}}T$.

## Transformée de Fourier de la dérivée d'une distribution

C'est une application immédiate des deux paragraphes précédents. On a :
${\begin{aligned}\forall \varphi \in {\mathcal {S}}\quad <{\mathcal {F}}(T'),\varphi >&=\,<{\mathcal {F}}(\delta '\star T),\varphi >\\&=<{\mathcal {F}}(\delta ')\times {\mathcal {F}}T,\varphi >\\&=<2\mathrm {i} \pi x{\mathcal {F}}T,\varphi >.\end{aligned}}$
Nous retiendrons :
$\forall T\in {\mathcal {S}}'\quad {\mathcal {F}}(T')=2\mathrm {i} \pi x{\mathcal {F}}T$.

## Transformée de Fourier de la distribution de Dirac en a

Nous avons vu, plus haut, la transformée de Fourier de la distribution de Dirac en 0. Nous allons généraliser dans ce paragraphe en calculant la transformée de Fourier de la distribution de Dirac en a, réel quelconque.
${\begin{aligned}\forall \varphi \in {\mathcal {S}}\quad <{\mathcal {F}}\delta _{a},\varphi >&=\,<\delta _{a},{\mathcal {F}}\varphi >\\&={\mathcal {F}}\varphi (a)\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {e} ^{-2\mathrm {i} \pi ax}\varphi (x)\,\mathrm {d} x\\&=\,<T_{\operatorname {e} ^{-2\mathrm {i} \pi ax}},\varphi >.\end{aligned}}$
Nous retiendrons :
${\mathcal {F}}\delta _{a}(x)=\operatorname {e} ^{-2\mathrm {i} \pi ax}$.

## Transformée de Fourier de la translatée d'une distribution

Nous avons simplement :
${\begin{aligned}\forall \varphi \in {\mathcal {S}}\quad <{\mathcal {F}}\tau _{a}T,\varphi >&=\,<{\mathcal {F}}(\delta _{a}\star T),\varphi >\\&=<{\mathcal {F}}\delta _{a}\times {\mathcal {F}}T,\varphi >\\&=<\operatorname {e} ^{-2\mathrm {i} \pi ax}{\mathcal {F}}T,\varphi >.\end{aligned}}$
Nous retiendrons :
$\forall T\in {\mathcal {S}}'\quad {\mathcal {F}}(\tau _{a}T)=\operatorname {e} ^{-2\mathrm {i} \pi ax}{\mathcal {F}}T$.
| Produit de convolution | Transformée de Laplace |