# Systèmes et représentations/Fonction de transfert
## Définition

La transformée de Laplace permet de définir la fonction de transfert d'un système linéaire régi par un système d'équations différentielles à coefficients constants, ce qui est impossible avec les équations temporelles.
Soit le système suivant, avec $e(t)$ en entrée et $s(t)$ en sortie :
$a_{n}{\frac {d^{n}\,s(t)}{dt^{n}}}+\ldots +a_{1}{\frac {d\,s(t)}{dt}}+a_{0}\,s(t)=b_{m}{\frac {d^{m}e(t)}{dt^{m}}}+\ldots +b_{1}{\frac {d\,e(t)}{dt}}+b_{0}\,e(t)$
En utilisant les propriétés de la transformation de Laplace, on obtient :
* ${\mathcal {L}}\left[{\frac {d^{m}\,e(t)}{dt}}\right]=p^{m}\,E(p)-p^{m-1}\,e(0^{+})-p^{m-2}\,e^{(1)}(0^{+})-e^{(m-1)}(0^{+})$
* ${\mathcal {L}}\left[{\frac {d^{n}\,s(t)}{dt}}\right]=p^{n}\,S(p)-p^{n-1}\,s(0^{+})-p^{n-2}\,s^{(1)}(0^{+})-s^{(n-1)}(0^{+})$
Si on se place dans le cas où toutes les conditions initiales sont nulles, on a :
* ${\mathcal {L}}\left[{\frac {d^{m}\,e(t)}{dt}}\right]=p^{m}\,E(p)$
* ${\mathcal {L}}\left[{\frac {d^{n}\,s(t)}{dt}}\right]=p^{n}\,S(p)$
L'équation générale devient donc :
$S(p)\times \left[a_{n}\,p^{n}+\ldots +a_{1}\,p+a_{0}\right]=E(p)\times \left[b_{m}\,p^{m}+\ldots +b_{1}\,p+b_{0}\right]$
En posant $S(p)=H(p)\times E(p)$, il vient : $H(p)={\frac {b_{m}\,p^{m}+\ldots +b_{1}\,p+b_{0}}{a_{n}\,p^{n}+\ldots +a_{1}\,p+a_{0}}}$.
La fonction H est appelée fonction de transfert (ou transmittance) du système. Son unité physique dépend du rapport de l'unité de E et de l'unité de S.
Par exemple, pour une résistance, si S représente la tension à ses bornes et E l'intensité du courant la parcourant, alors H a pour unité des ohms ($\Omega$).

## Ordre, pôles et zéros

Le comportement dynamique d'un système est entièrement régi par les pôles et les zéros de la fonction de transfert.
On pose : $H(p)={\frac {b_{m}\,p^{m}+\ldots +b_{1}\,p+b_{0}}{a_{n}\,p^{n}+\ldots +a_{1}\,p+a_{0}}}={\frac {N(p)}{D(p)}}$
Sous cette forme, la fonction de transfert s'exprime comme une fonction rationnelle en p. On note N le numérateur et D le dénominateur.

### Ordre

L'ordre de la fonction de transfert est le degré du polynôme D. Avec les notations précédentes, la fonction de transfert étudiée est d'ordre n.

### Zéros

Les zéros de la fonction de transfert H sont les racines complexes $z_{1}$, $z_{2}$, ..., $z_{m}$ de la fonction N :
$N(p)=b_{m}\times \left(p-z_{1}\right)\left(p-z_{2}\right)\ldots \left(p-z_{m}\right)$

### Pôles

Les pôles de la fonction de transfert H sont les racines complexes $p_{1}$, $p_{2}$, ..., $p_{n}$ de la fonction D :
$D(p)=a_{n}\times \left(p-p_{1}\right)\left(p-p_{2}\right)\ldots \left(p-p_{n}\right)$

### Système intégrateur / Système dérivateur

Un système est dit dérivateur lorsqu’il possède un zéro nul. H se factorise donc par p.
Un système est dit intégrateur lorsqu’il possède un pôle nul. H se factorise donc par 1/p.

## Retour au domaine temporel

Il est difficile de revenir au domaine temporel depuis la fonction de transfert sous sa forme "brute". On la décompose donc en fonctions élémentaires :
$H(p)={\frac {N(p)}{D(p)}}=G\times {\frac {\left(p-z_{1}\right)\left(p-z_{2}\right)\ldots \left(p-z_{m}\right)}{\left(p-p_{1}\right)\left(p-p_{2}\right)\ldots \left(p-p_{n}\right)}}$
Avec G le gain statique :
$G={\frac {b_{m}}{a_{n}}}$
On obtient après calculs une expression de la forme :
$H(p)={\frac {A_{n}}{p-p_{n}}}+\ldots +{\frac {A_{i}}{p-p_{i}}}+\ldots +{\frac {A_{1}}{p-p_{1}}}$
En utilisant la table donnée ci-dessus, on retrouve l’expression temporelle :
$h(t)=A_{n}\times e^{p_{n}\times t}+\ldots +A_{i}\times e^{p_{i}\times t}+\ldots +A_{1}\times e^{p_{1}\times t}$
* Représentation des systèmes