# Trigonométrie/Exercices/Triangle quelconque

Dans cette page, si rien n'est précisé, on considère un triangle $ABC$ et on pose :
$a=BC\qquad b=AC\qquad c=AB$
Les mesures des angles du triangle seront notées $A,\,B,\,C$

## Exercice 13-1

Montrez que, dans un triangle, on a :
$a=b\cos C+c\cos B$
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle.

## Exercice 13-2

Soit un triangle dont la mesure des angles est respectivement A, B, C.
Démontrer que l'on a alors les relations suivantes :
1° $\sin A+\sin B+\sin C=4\cos {\frac {A}{2}}\cos {\frac {B}{2}}\cos {\frac {C}{2}}$
2° $\cos A+\cos B+\cos C=1+4\sin {\frac {A}{2}}\sin {\frac {B}{2}}\sin {\frac {C}{2}}$
3° $\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C$
4° $\sin A-\sin B+\sin C=4\sin {\frac {A}{2}}\cos {\frac {B}{2}}\sin {\frac {C}{2}}$
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle.

## Exercice 13-3

Soit un triangle dont la mesure des angles est respectivement A, B, C.
Démontrer que l'on a alors les relations suivantes :
1° $\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C=4\sin A\sin B\sin C$
2° $\cos 2A+\cos 2B+\cos 2C+4\cos A\cos B\cos C+1=0$
3° $\cos ^{2}A+\cos ^{2}B+\cos ^{2}C=1-2\cos A\cos B\cos C$
4° $\sin ^{2}A+\sin ^{2}B+\sin ^{2}C=2+2\cos A\cos B\cos C$
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle.

## Exercice 13-4

Soit un triangle dont la mesure des angles est respectivement A, B, C.
Démontrer que l'on a alors les relations suivantes :
1° ${\frac {1}{\tan A\tan B}}+{\frac {1}{\tan B\tan C}}+{\frac {1}{\tan C\tan A}}=1$
2° ${\frac {\cos A}{\sin B\sin C}}+{\frac {\cos B}{\sin C\sin A}}+{\frac {\cos C}{\sin A\sin B}}=2$
3° $\sin 4A+\sin 4B+\sin 4C=-4\sin 2A\sin 2B\sin 2C$
4° $\tan {\frac {A}{2}}\tan {\frac {B}{2}}+\tan {\frac {B}{2}}\tan {\frac {C}{2}}+\tan {\frac {C}{2}}\tan {\frac {A}{2}}=1$
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle.

## Exercice 13-5

Soit un triangle dont la mesure des angles est respectivement A, B, C.
Démontrer que l'on a alors les relations suivantes :
1° $\sin ^{3}A\sin(B-C)+\sin ^{3}B\sin(C-A)+\sin ^{3}C\sin(A-B)=0$
2° $2\cos A\cos B\cos C={\frac {\sin 2A}{\tan B+\tan C}}={\frac {\sin 2B}{\tan C+\tan A}}={\frac {\sin 2C}{\tan A+\tan B}}$
4° ${\frac {\sin A}{\sin B\sin C}}=\cot B+\cot C$
5° $\sin C={\frac {\sin ^{2}A-\sin ^{2}B}{\sin(A-B)}}$
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle.

## Exercice 13-6

Transformer en produit les expressions suivantes :
1° $1+\cos A+\cos B+\cos C$
2° $\sin ^{2}A+\sin ^{2}B-\sin ^{2}C$
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle.

## Exercice 13-7

Dans un triangle, simplifier les expressions :
1° $1+\cos A+\cos B-\cos C$
2° ${\frac {\sin A+\sin B-\sin C}{\sin A+\sin B+\sin C}}$
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle.

## Exercice 13-8

Démontrer que, dans un triangle quelconque, on a :
$a\sin(B-C)+b\sin(C-A)+c\sin(A-B)=0$
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle.

## Exercice 13-9

En appelant $S$ l'aire du triangle $ABC$ et $R$ le rayon du cercle circonscrit, démontrer que l’on a :
$a\cos A+b\cos B+c\cos C={\frac {2S}{R}}$
$a\sin A+b\sin B+c\sin C={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2R}}$
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle.

## Exercice 13-9

Les relations :
${\begin{cases}a=b\cos C+c\cos B\\b=a\cos C+c\cos A\\{\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}\end{cases}}$
sont-elles distinctes ?
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle.

## Exercice 13-10

On considère le système de trois relations suivant :
${\begin{cases}a=b\cos C+c\cos B\\b=a\cos C+c\cos A\\c=a\cos B+b\cos A\end{cases}}$
1° Montrer que les trois relations sont distinctes.
2° En supposant $a,\,b,\,c$ positif, et $A,\,B,\,C$ compris entre 0 et $\pi$, montrer que si ces six nombres vérifient le système, ils sont les éléments d'un triangle.
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle.
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