# Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Fonctions trigonométriques inverses
## Rappel et additif sur les fonctions trigonométriques directes

$\;\sin$
$\;\cos$
$\;\tan\;$
$\;\cot\;$
le domaine de définition est «$\;\mathbb {R} \;$ pour les deux 1$^{ères}$ », «$\;\mathbb {R} -\left\lbrace {\dfrac {\pi }{2}}+n\,\pi ,\;n\in \mathbb {Z} \right\rbrace \;$ pour tangente » et «$\;\mathbb {R} -\left\lbrace n\,\pi ,\;n\in \mathbb {Z} \right\rbrace \;$ pour cotangente » ;  « les deux 1$^{ères}$ sont $\;2\,\pi$-périodiques » et « les deux suivantes $\;\pi$-périodiques » ;  elles sont « continues et dérivables sur leur domaine de définition », leurs dérivées étant respectivement :
elles sont « continues et dérivables sur leur domaine de définition », $\bullet \;$«$\;{\dfrac {d\left[\sin(x)\right]}{dx}}=\cos(x)=\sin \!\left(x+{\dfrac {\pi }{2}}\right)\;$»,
elles sont « continues et dérivables sur leur domaine de définition », $\bullet \;$«$\;{\dfrac {d\left[\cos(x)\right]}{dx}}=-\sin(x)=\cos \!\left(x+{\dfrac {\pi }{2}}\right)\;$»,
elles sont « continues et dérivables sur leur domaine de définition », $\bullet \;$«$\;{\dfrac {d\left[\tan(x)\right]}{dx}}={\dfrac {1}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x)\;$» et
elles sont « continues et dérivables sur leur domaine de définition », $\bullet \;$«$\;{\dfrac {d\left[\cot(x)\right]}{dx}}=-{\dfrac {1}{\sin ^{2}(x)}}=-\left[1+\cot ^{2}(x)\right]\;$» ;  les tracés sont rappelés ci-dessous.
* Tracé du graphe de $\;\sin(x)\;$ et choix de son domaine d'inversabilité
* Tracé du graphe de $\;\cos(x)\;$ et choix de son domaine d'inversabilité
* Tracé du graphe de $\;\tan(x)\;$ et choix de son domaine d'inversabilité
* Tracé du graphe de $\;\cot(x)\;$ et choix de son domaine d'inversabilité

## Condition pour qu'une fonction soit inversible, notion de fonction bijective
### Définition de fonction bijective

Une fonction est « bijective » si et seulement si « tout élément du domaine des valeurs a un et un seul antécédent du domaine de définition » c.-à-d. encore « si tout élément du domaine des valeurs est image d'exactement un élément du domaine de définition » ; une fonction bijective est à la fois « injective » et « surjective ».

### Condition pour qu'une fonction soit inversible

Pour qu'une fonction soit inversible elle doit être bijective :
* si l'ensemble de départ est son domaine de définition et l'ensemble d'arrivée son domaine de valeurs, elle est nécessairement surjective car tout élément du domaine de valeurs a au moins un antécédent dans le domaine de définition mais elle peut ne pas être injective car des éléments du domaine des valeurs peuvent avoir plusieurs antécédents dans le domaine de définition $\;{\big$c'est le cas de la fonction « sinus » appliquant $\;\mathbb {R} \;$ dans $\;\left[-1\,{\text{,}}\,+1\right]{\big )}\;$ $\ldots$
* si la fonction n'est pas injective quand on considère son domaine de définition complet $\;{\big$cas de la fonction « sinus »${\big )}$, on peut restreindre le domaine de définition en maintenant le domaine des valeurs pour que la « fonction restreinte » devienne injective$^,$, tout en restant surjective$^,$.

## Fonction inverse de la fonction sinus : fonction arcsinus

« Pour que la fonction $\;\sin\;$ soit inversible il faut restreindre son domaine de définition » de façon à ce que sa fonction restreinte soit « bijective » et « Pour que la fonction $\;\color {transparent}{\sin}\;$ soit inversible il faut restreindre son domaine de définition » ceci est réalisé pour un « domaine de définition restreint à $\;\left[-{\dfrac {\pi }{2}}\,{\text{,}}\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right]\;$» ;
«$\;y=\arcsin(x)\;$fonction inverse de$\;x=\sin(y)\;$», pour cette dernière le « domaine de définition étant restreint à $\;\left[-{\dfrac {\pi }{2}}\,{\text{,}}\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right]\;$» et «$\;\color {transparent}{y=\arcsin(x)}\;$fonction inverse de$\;\color {transparent}{x=\sin(y)}\;$», pour cette dernière le « domaine des valeurs restant $\;\left[-1\,{\text{,}}\,+1\right]\;$» on en déduit «$\;\color {transparent}{y=\arcsin(x)}\;$fonction inverse de$\;\color {transparent}{x=\sin(y)}\;$», « le domaine de définition de la fonction $\;\arcsin\;$ $\left[-1\,{\text{,}}\,+1\right]\;$» et «$\;\color {transparent}{y=\arcsin(x)}\;$fonction inverse de$\;\color {transparent}{x=\sin(y)}\;$», « son domaine de valeurs $\;\left[-{\dfrac {\pi }{2}}\,{\text{,}}\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right]\;$» ;
tracé du graphe de la fonction $\;y=\arcsin(x)$ : voir ci-contre tracé${\big$le graphe de $\;y=\arcsin(x)\;$ est le symétrique de celui de $\;x=\sin(y)\;$ par rapport à la 1ère diagonale${\big ]}$ ;
on observe que la fonction est «$\;\nearrow \;$», on observe que la fonction est « continue sur $\;\left[-1\,{\text{,}}\,+1\right]\;$» et on observe que la fonction est « dérivable sur $\;\left]-1\,{\text{,}}\,+1\right[\;$», sa dérivée valant «$\;{\dfrac {d\left[\arcsin(x)\right]}{dx}}={\dfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\;$» ;
justification de la dérivée : on démontre ce résultat en inversant la fonction «$\;y=\arcsin(x)\;$ $\Leftrightarrow$ $\;x=\sin(y)\;$», puis justification de la dérivée : on démontre ce résultat en différenciant la fonction inversée, ce qui donne «$\;dx=\cos(y)\,dy\;$» dont on tire justification de la dérivée : on démontre ce résultat en différenciant la fonction inversée, ce qui donne «$\;dy={\dfrac {dx}{\cos(y)}}\;$ à condition que $\;\cos(y)\;$ ne soit pas nul », « réalisé si $\;y\neq \pm {\dfrac {\pi }{2}}\;$ ou $\;x\neq \pm 1\;$», justification de la dérivée : on termine en éliminant $\;y\;$ au profit de $\;x\;$ avec «$\;\cos(y)={\sqrt {1-\sin ^{2}(y)}}={\sqrt {1-x^{2}}}\;$» soit «$\;dy={\dfrac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}\;$ dont on déduit $\;{\dfrac {dy}{dx}}={\dfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\;$» ;
conséquence : on déduit de cette expression de dérivée de la fonction $\;\arcsin\;$ qu'« une primitive de $\;{\dfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\;$ est $\;\arcsin(x)+cste\;$».

## Fonction inverse de la fonction cosinus : fonction arccosinus

« Pour que la fonction $\;\cos\;$ soit inversible il faut restreindre son domaine de définition » de façon à ce que sa fonction restreinte soit « bijective » et « Pour que la fonction $\;\color {transparent}{\cos}\;$ soit inversible il faut restreindre son domaine de définition » ceci est réalisé pour un « domaine de définition restreint à $\;\left[0\,{\text{,}}\,+\pi \right]\;$» ;
«$\;y=\arccos(x)\;$fonction inverse de$\;x=\cos(y)\;$», pour cette dernière le « domaine de définition étant restreint à $\;\left[0\,{\text{,}}\,+\pi \right]\;$» et «$\;\color {transparent}{y=\arccos(x)}\;$fonction inverse de$\;\color {transparent}{x=\cos(y)}\;$», pour cette dernière le « domaine des valeurs restant $\;\left[-1\,{\text{,}}\,+1\right]\;$» on en déduit «$\;\color {transparent}{y=\arccos(x)}\;$fonction inverse de$\;\color {transparent}{x=\cos(y)}\;$», « le domaine de définition de la fonction $\;\arccos\;$ $\left[-1\,{\text{,}}\,+1\right]\;$» et «$\;\color {transparent}{y=\arccos(x)}\;$fonction inverse de$\;\color {transparent}{x=\cos(y)}\;$», « son domaine de valeurs $\;\left[0\,{\text{,}}\,+\pi \right]\;$» ;
tracé du graphe de la fonction $\;y=\arccos(x)$ : voir ci-contre tracé${\big$le graphe de $\;y=\arccos(x)\;$ est le symétrique de celui de $\;x=\cos(y)\;$ par rapport à la 1ère diagonale${\big ]}$ ;
on observe que la fonction est «$\;\searrow \;$», on observe que la fonction est « continue sur $\;\left[-1\,{\text{,}}\,+1\right]\;$» et on observe que la fonction est « dérivable sur $\;\left]-1\,{\text{,}}\,+1\right[\;$», sa dérivée valant «$\;{\dfrac {d\left[\arccos(x)\right]}{dx}}={\dfrac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\;$» ;
justification de la dérivée : on démontre ce résultat en inversant la fonction «$\;y=\arccos(x)\;$ $\Leftrightarrow$ $\;x=\cos(y)\;$», puis justification de la dérivée : on démontre ce résultat en différenciant la fonction inversée, ce qui donne «$\;dx=-\sin(y)\,dy\;$» dont on tire justification de la dérivée : on démontre ce résultat en différenciant la fonction inversée, ce qui donne «$\;dy={\dfrac {-dx}{\sin(y)}}\;$ à condition justification de la dérivée : on démontre ce résultat en différenciant la fonction inversée, ce qui donne que $\;\sin(y)\;$ ne soit pas nul », « réalisé si $\;y\neq \left\lbrace 0\;{\text{,}}\;+\pi \right\rbrace \;$ ou $\;x\neq \pm 1\;$», justification de la dérivée : on termine en éliminant $\;y\;$ au profit de $\;x\;$ avec «$\;\sin(y)={\sqrt {1-\cos ^{2}(y)}}={\sqrt {1-x^{2}}}\;$» soit «$\;dy={\dfrac {-dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}\;$ dont on déduit $\;{\dfrac {dy}{dx}}={\dfrac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\;$» ;
conséquence : on déduit de cette expression de dérivée de la fonction $\;\arccos\;$ qu'« une primitive de $\;{\dfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\;$ est aussi $\;-\arccos(x)+cste\;$».
$\;{\dfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\;$
$\;\arcsin(x)+cste'\;$
$\;-\arccos(x)+cste''\;$
$\;\arcsin\;$
$\;\arccos\;$
$\;\arcsin(x)=-\arccos(x)+cste\;$
$\;\arcsin(x)+\arccos(x)=cste\;$
la valeur de $\;cste\;$ étant déterminée en donnant à $\;x\;$ une valeur particulière par exemple $\;0\;$ et la valeur de $\;\color {transparent}{cste}\;$ étant déterminée en sachant que $\;\arcsin(0)=0\;$ et que $\;\arccos(0)=+{\dfrac {\pi }{2}}\;$ la valeur de $\;\color {transparent}{cste}\;$ étant déterminée d'où la relation : «$\;\arcsin(x)+\arccos(x)=+{\dfrac {\pi }{2}}\;$».

## Fonction inverse de la fonction tangente : fonction arctangente

« Pour que la fonction $\;\tan\;$ soit inversible il faut restreindre son domaine de définition » de façon à ce que sa fonction restreinte soit « bijective » et « Pour que la fonction $\;\color {transparent}{\sin}\;$ soit inversible il faut restreindre son domaine de définition » ceci est réalisé pour un « domaine de définition restreint à $\;\left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,{\text{,}}\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$» ;
«$\;y=\arctan(x)\;$fonction inverse de$\;x=\tan(y)\;$», pour cette dernière le « domaine de définition étant restreint à $\;\left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,{\text{,}}\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$» et «$\;\color {transparent}{y=\arctan(x)}\;$fonction inverse de$\;\color {transparent}{x=\tan(y)}\;$», pour cette dernière le « domaine des valeurs restant $\;\mathbb {R} \;$» on en déduit «$\;\color {transparent}{y=\arctan(x)}\;$fonction inverse de$\;\color {transparent}{x=\tan(y)}\;$», « le domaine de définition de la fonction $\;\arctan\;$ $\mathbb {R} \;$» et «$\;\color {transparent}{y=\arctan(x)}\;$fonction inverse de$\;\color {transparent}{x=\tan(y)}\;$», « son domaine de valeurs $\;\left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,{\text{,}}\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$» ;
tracé du graphe de la fonction $\;y=\arctan(x)$ : voir ci-contre tracé${\big$le graphe de $\;y=\arctan(x)\;$ est le symétrique de celui de $\;x=\tan(y)\;$ par rapport à la 1ère diagonale${\big ]}$ ;
on observe que la fonction est «$\;\nearrow \;$», on observe que la fonction est « continue sur $\;\mathbb {R} \;$» et on observe que la fonction est « dérivable sur $\;\mathbb {R} \;$», sa dérivée valant «$\;{\dfrac {d\left[\arctan(x)\right]}{dx}}={\dfrac {1}{1+x^{2}}}\;$» ;
justification de la dérivée : on démontre ce résultat en inversant la fonction «$\;y=\arctan(x)\;$ $\Leftrightarrow$ $\;x=\tan(y)\;$», puis justification de la dérivée : on démontre ce résultat en différenciant la fonction inversée, ce qui donne «$\;dx=\left[1+\tan ^{2}(y)\right]dy\;$» $\Rightarrow$ justification de la dérivée : on démontre ce résultat en différenciant la fonction inversée, ce qui donne «$\;dy={\dfrac {dx}{1+\tan ^{2}(y)}}\;$», justification de la dérivée : on termine en éliminant $\;y\;$ au profit de $\;x\;$ avec «$\;\tan(y)=x\;$» soit «$\;dy={\dfrac {dx}{1+x^{2}}}\;$ dont on déduit $\;{\dfrac {dy}{dx}}={\dfrac {1}{1+x^{2}}}\;$» ;
conséquence : on déduit de cette expression de dérivée de la fonction $\;\arctan\;$ qu'« une primitive de $\;{\dfrac {1}{1+x^{2}}}\;$ est $\;\arctan(x)+cste\;$».

## Fonction inverse de la fonction cotangente : fonction arccotangente

Remarque préliminaire : La fonction $\;\cot\;$ étant très peu utilisée par rapport à la fonction $\;\tan$, il en est de même de leur fonction inverse, $\;\operatorname {arccot}\;$ quasiment jamais utilisée par rapport à $\;\arctan$, Remarque préliminaire : La fonction $\;\color {transparent}{\cot}\;$ étant très peu utilisée par rapport à la fonction $\;\color {transparent}{\tan}$, il en est de même de leur fonction inverse, la fonction $\;\arctan\;$ suffisant amplement.
« Pour que la fonction $\;\cot\;$ soit inversible il faut restreindre son domaine de définition » de façon à ce que sa fonction restreinte soit « bijective » et « Pour que la fonction $\;\color {transparent}{\cot}\;$ soit inversible il faut restreindre son domaine de définition » ceci est réalisé pour un « domaine de définition restreint à $\;\left]0\,{\text{,}}\,+\pi \right[\;$» ;
«$\;y=\operatorname {arccot}(x)\;$fonction inverse de$\;x=\cot(y)\;$», pour cette dernière le « domaine de définition étant restreint à $\;\left]0\,{\text{,}}\,+\pi \right[\;$» et «$\;\color {transparent}{y=\operatorname {arccot}(x)}\;$fonction inverse de$\;\color {transparent}{x=\cot(y)}\;$», pour cette dernière le « domaine des valeurs restant $\;\mathbb {R} \;$» on en déduit «$\;\color {transparent}{y=\operatorname {arccot}(x)}\;$fonction inverse de$\;\color {transparent}{x=\cot(y)}\;$», « le domaine de définition de la fonction $\;\operatorname {arccot}\;$ $\;\mathbb {R} \;$» et «$\;\color {transparent}{y=\operatorname {arccot}(x)}\;$fonction inverse de$\;\color {transparent}{x=\cot(y)}\;$», « son domaine de valeurs $\;\left]0\,{\text{,}}\,+\pi \right[\;$» ;
tracé du graphe de la fonction $\;y=\operatorname {arccot}(x)$ : voir ci-contre tracé${\big$le graphe de $\;y=\operatorname {arccot}(x)\;$ est le symétrique de celui de $\;x=\cot(y)\;$ par rapport à la 1ère diagonale${\big ]}$ ;
on observe que la fonction est «$\;\searrow \;$», on observe que la fonction est « continue sur $\;\mathbb {R} \;$» et on observe que la fonction est « dérivable sur $\;\mathbb {R} \;$», sa dérivée valant «$\;{\dfrac {d\left[\operatorname {arccot}(x)\right]}{dx}}={\dfrac {-1}{1+x^{2}}}\;$» ;
justification de la dérivée : on démontre ce résultat en inversant la fonction «$\;y=\operatorname {arccot}(x)\;$ $\Leftrightarrow$ $\;x=\cot(y)\;$», puis justification de la dérivée : on démontre ce résultat en différenciant la fonction inversée, ce qui donne «$\;dx=-\left[1+\cot ^{2}(y)\right]dy\;$» $\Rightarrow$ justification de la dérivée : on démontre ce résultat en différenciant la fonction inversée, ce qui donne «$\;dy={\dfrac {-dx}{1+\cot ^{2}(y)}}\;$», justification de la dérivée : on termine en éliminant $\;y\;$ au profit de $\;x\;$ avec «$\;\cot(y)=x\;$» soit «$\;dy={\dfrac {-dx}{1+x^{2}}}\;$ dont on déduit $\;{\dfrac {dy}{dx}}={\dfrac {-1}{1+x^{2}}}\;$» ;
conséquence : on déduit de cette expression de dérivée de la fonction $\;\operatorname {arccot}\;$ qu'« une primitive de $\;{\dfrac {1}{1+x^{2}}}\;$ est aussi $\;-\operatorname {arccot}(x)+cste\;$».
$\;{\dfrac {1}{1+x^{2}}}\;$
$\;\arctan(x)+cste'\;$
$\;-\operatorname {arccot}(x)+cste''\;$
$\;\arctan\;$
$\;\operatorname {arccot}\;$
$\;\arctan(x)=-\operatorname {arccot}(x)+cste\;$
$\;\arctan(x)+\operatorname {arccot}(x)=cste\;$
la valeur de $\;cste\;$ étant déterminée en donnant à $\;x\;$ une valeur particulière par exemple $\;1\;$ et la valeur de $\;\color {transparent}{cste}\;$ étant déterminée en sachant que $\;\arctan(1)=+{\dfrac {\pi }{4}}\;$ et que $\;\operatorname {arccot}(1)=+{\dfrac {\pi }{4}}\;$ la valeur de $\;\color {transparent}{cste}\;$ étant déterminée d'où la relation : «$\;\arctan(x)+\operatorname {arccot}(x)=+{\dfrac {\pi }{2}}\;$».

## Simplification de fonction composée de grandeurs trigonométriques directe et inverse

Nous nous proposons de simplifier des expressions du genre «$\;\cos \!\left[\arcsin(x)\right]\;$» ou «$\;\sin \!\left[\arctan(x)\right]\;$»

### Présentation de la méthode de simplification sur le premier exemple

Soit à simplifier «$\;\cos \!\left[\arcsin(x)\right]\;$» :
Posant «$\;\alpha =\arcsin(x)\;$», on cherche donc à « évaluer $\;\cos(\alpha )\;$ en fonction de $\;x\;$» ;
« l'inversion de $\;\alpha =\arcsin(x)\;$ conduit à $\;x=\sin(\alpha )\;$», avec «$\;\alpha \in \left[-{\dfrac {\pi }{2}}{\text{ ; }}{\dfrac {\pi }{2}}\right]\;$ dont on déduit $\;\cos(\alpha )\geqslant 0\;$» ;
il reste alors à utiliser le lien entre « ce qu'on cherche à évaluer $\;\cos(\alpha )\;$» et « ce qu'on connaît $\;\sin(\alpha )=x\;$» par il reste alors à utiliser le lien «$\;\cos ^{2}(\alpha )+\sin ^{2}(\alpha )=1\;$» dont on tire «$\;\vert \cos(\alpha )\vert ={\sqrt {1-\sin ^{2}(\alpha )}}\;$» et comme $\;\cos(\alpha )\;$ est $\;\geqslant 0$, il reste alors à utiliser le lien «$\;\cos(\alpha )={\sqrt {1-\sin ^{2}(\alpha )}}\;$» soit, avec $\;\sin(\alpha )=x$, «$\;\cos(\alpha )={\sqrt {1-x^{2}}}\;$» ou finalement
$\;\cos \!\left[\arcsin(x)\right]={\sqrt {1-x^{2}}}\;$

### Développement de la méthode de simplification sur le deuxième exemple

Soit à simplifier «$\;\sin \!\left[\arctan(x)\right]\;$» :
Posant «$\;\alpha =\arctan(x)\;$», on cherche donc à « évaluer $\;\sin(\alpha )\;$ en fonction de $\;x\;$» ;
« l'inversion de $\;\alpha =\arctan(x)\;$ conduit à $\;x=\tan(\alpha )\;$», avec «$\;\alpha \in \left]-{\dfrac {\pi }{2}}{\text{ ; }}{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$», «$\;\sin(\alpha )\;$ étant de signe quelconque » mais «$\;\cos(\alpha )\;$ étant quant à elle $\;>0\;$» ;
il reste alors à utiliser le lien entre « ce qu'on cherche à évaluer $\;\sin(\alpha )\;$» et « ce qu'on connaît $\;\tan(\alpha )=x\;$» soit il reste alors à utiliser le lien «$\;\sin(\alpha )=\tan(\alpha )\times \cos(\alpha )\;$», il reste alors à utiliser le lien «$\;\color {transparent}{\sin(\alpha )=\tan(\alpha )\times }$ $\;\cos(\alpha )\;$ s'exprimant en fonction de $\;\tan(\alpha )\;$ par $\;{\dfrac {1}{\cos ^{2}(\alpha )}}=1+\tan ^{2}(\alpha )\;$ $\Rightarrow$ «$\;\vert \cos(\alpha )\vert ={\dfrac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}(\alpha )}}}\;$» ou, avec $\;\cos(\alpha )>0$,
il reste alors à utiliser le lien «$\;\color {transparent}{\sin(\alpha )=\tan(\alpha )\times }$«$\;\cos(\alpha )={\dfrac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}(\alpha )}}}\;$» d'où
il reste alors à utiliser le lien «$\;\sin(\alpha )={\dfrac {\tan(\alpha )}{\sqrt {1+\tan ^{2}(\alpha )}}}\;$» soit, avec $\;\tan(\alpha )=x$, «$\;\sin(\alpha )=$ ${\dfrac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\;$» ou finalement
$\;\sin \!\left[\arctan(x)\right]={\dfrac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\;$