# Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Divers repérages d'un point dans l'espace
## Repérage intrinsèque d'un point dans l'espace

Un corps physique fixe dans l'espace définissant un « référentiel d'espace » $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport auquel on peut positionner tout point, Un corps physique fixe dans l'espace définissant un « référentiel d'espace » $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ on y choisit « un point fixe » $\;O\;$ et Un corps physique fixe dans l'espace définissant un « référentiel d'espace » $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ on repère « un point quelconque » $\;M\;$ de l'espace Un corps physique fixe dans l'espace définissant un « référentiel d'espace » $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ on repère dans $\;{\mathcal {R}}\;$ de façon intrinsèque Un corps physique fixe dans l'espace définissant un « référentiel d'espace » $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ on repère par le vecteur $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ appelé Un corps physique fixe dans l'espace définissant un « référentiel d'espace » $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ on repère par « vecteur position du point » $\;M$.

## Repérage cartésien d'un point dans l'espace
### Choix d'un repère cartésien

Un corps physique fixe dans l'espace ayant été défini comme « référentiel d'espace » $\;{\mathcal {R}}$, on lui associe un « repère cartésien » c.-à-d. Un corps physique fixe dans l'espace ayant été défini comme « référentiel d'espace » $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}$, on lui associe une « origine » $\;O\;$fixe dans $\;{\mathcal {R}}\;$ et Un corps physique fixe dans l'espace ayant été défini comme « référentiel d'espace » $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}$, on lui associe une « base orthonormée » $\;{\big$usuellement directe${\big )}$ $\;\left({\vec {u}}_{x},\,{\vec {u}}_{y},\,{\vec {u}}_{z}\right)\;$ également fixe dans $\;{\mathcal {R}}$, Un corps physique fixe dans l'espace ayant été défini comme « référentiel d'espace » $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}$, on lui associe une « chaque vecteur de base orientant un axe passant par $\;O\;$ à savoir : Un corps physique fixe dans l'espace ayant été défini comme « référentiel d'espace » $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}$, on lui associe une « chaque vecteur de base $\bullet \;$«$\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{x}\;$» $\;{\big$axe des abscisses${\big )}$, Un corps physique fixe dans l'espace ayant été défini comme « référentiel d'espace » $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}$, on lui associe une « chaque vecteur de base $\bullet \;$«$\;{\overrightarrow {Oy}}\;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{y}\;$» $\;{\big$axe des ordonnées${\big )}\;$ et Un corps physique fixe dans l'espace ayant été défini comme « référentiel d'espace » $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}$, on lui associe une « chaque vecteur de base $\bullet \;$«$\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{z}\;$» $\;{\big$axe des cotes${\big )}$.

### Coordonnées cartésiennes d'un point

Le vecteur position de $\;M\;$ se décomposant dans la base cartésienne selon $\;{\overrightarrow {OM}}=x\;{\vec {u}}_{x}+y\;{\vec {u}}_{y}+z\;{\vec {u}}_{z}$, «$\;\left(x,\,y,\,z\right)\;$ définissent les coordonnées cartésiennes du point $\;M\;$» Le vecteur position de $\;\color {transparent}{M}\;$ se décomposant dans la base cartésienne selon $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {OM}}=x\;{\vec {u}}_{x}+y\;{\vec {u}}_{y}+z\;{\vec {u}}_{z}}$, «$\;\color {transparent}{\left(x,\,y,\,z\right)}\;$ définissent les ${\bigx\;$ abscisse, $\;y\;$ ordonnée et $\;z\;$ cote${\big )}$.
Les coordonnées cartésiennes de $\;M\;$ sont les mesures algébriques de la distance entre l'origine $\;O\;$ et Les coordonnées cartésiennes de $\;\color {transparent}{M}\;$ sont les mesures algébriques de la distance entre le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur l'axe adapté, ainsi : $\bullet \;$appelant $\;M_{x}\;$ le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur $\;{\overrightarrow {Ox}}$, l'abscisse de $\;M\;$ est égale à «$\;x={\overline {OM_{x}}}\;$», ainsi : $\bullet \;$appelant $\;M_{y}\;$ le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur $\;{\overrightarrow {Oy}}$, l'ordonnée de $\;M\;$ est égale à «$\;y={\overline {OM_{y}}}\;$» et ainsi : $\bullet \;$appelant $\;M_{z}\;$ le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur $\;{\overrightarrow {Oz}}$, la cote de $\;M\;$ est égale à «$\;z={\overline {OM_{z}}}\;$» ; de plus notant $\succ \;$«$\;M_{xy}\;$ le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur le plan $\;xOy\;$», on a «$\;{\overrightarrow {OM_{xy}}}=x\,{\vec {u}}_{x}+y\,{\vec {u}}_{y}\;$», de plus notant $\succ \;$«$\;M_{yz}\;$ le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur le plan $\;yOz\;$», on a «$\;{\overrightarrow {OM_{yz}}}=y\,{\vec {u}}_{y}+z\,{\vec {u}}_{z}\;$» et de plus notant $\succ \;$«$\;M_{zx}\;$ le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur le plan $\;zOx\;$», on a «$\;{\overrightarrow {OM_{zx}}}=x\,{\vec {u}}_{x}+z\,{\vec {u}}_{z}\;$».

## Repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace
### Principe du repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point

Appelant $\;M_{z}\;$ le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ et Appelant $\;M_{xy}\;$ celui de $\;M\;$ sur le plan $\;xOy$, on définit le repérage cylindro-polaire $\;{\big$ou cylindrique${\big )}\;$ de $\;M\;$ en conservant la localisation de $\;M_{z}\;$ par sa cote $\;z\;$ mais on définit le repérage cylindro-polaire $\;\color {transparent}{\big$ou cylindrique$\color {transparent}{\big )}\;$ de $\;\color {transparent}{M}\;$ en modifiant celle de $\;M_{xy}\;$ relativement à son repérage cartésien, on définit le repérage cylindro-polaire $\;\color {transparent}{\big$ou cylindrique$\color {transparent}{\big )}\;$ de $\;\color {transparent}{M}\;$ en modifiant $M_{xy}\;$ étant repéré par la distance $\;\rho \;$ le séparant de $\;O\;$ on définit le repérage cylindro-polaire $\;\color {transparent}{\big$ou cylindrique$\color {transparent}{\big )}\;$ de $\;\color {transparent}{M}\;$ en modifiant $\color {transparent}{M_{xy}}\;$ étant repéré et par l'angle orienté $\;\theta \;$ que fait on définit le repérage cylindro-polaire $\;\color {transparent}{\big$ou cylindrique$\color {transparent}{\big )}\;$ de $\;\color {transparent}{M}\;$ en modifiant $\color {transparent}{M_{xy}}\;$ étant repéré et par l'angle $\;{\overrightarrow {OM_{xy}}}\;$ avec $\;{\overrightarrow {Ox}}$ ; le nom complet du repérage est repérage cylindro-polaire $\;{\big$ou cylindrique${\big )}\;$ d'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}$.  Voir schéma en perspective ci-contre.

### Coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point

Les coordonnées cylindro-polaires $\;{\big$ou cylindriques${\big )}\;$ de $\;M\;$ sont $\;(\rho ,\,\theta ,\,z)\;$ avec Les coordonnées cylindro-polaires $\bullet \;$«$\;\rho =\left\Vert {\overrightarrow {OM_{xy}}}\right\Vert \geqslant 0\;$» sa « coordonnée radiale », Les coordonnées cylindro-polaires $\bullet \;$«$\;\theta ={\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {OM_{xy}}}\right)}}\in \left]-\pi \,{\text{,}}\,+\pi \right]\;$» sa « coordonnée angulaire » et Les coordonnées cylindro-polaires $\bullet \;$«$\;z={\overline {OM_{z}}}\;$» sa cote ;
il faut savoir remplacer le schéma en perspective par deux schémas de projection, l'un dans le demi-plan méridien $\;\theta =cste\;$ et il faut savoir remplacer le schéma en perspective par deux schémas de projection, l'autre en vue de dessus $\;z=0\;$ il faut savoir remplacer le schéma en perspective par deux schémas de projection, voir ci-contre.
On définit la base « cylindro-polaire » $\;{\big$ou cylindrique${\big )}\;$ liée à $\;M\;$ «$\;({\vec {u}}_{\rho },\,{\vec {u}}_{\theta },\,{\vec {u}}_{z})\;$ orthonormée directe » avec On définit la base « cylindro-polaire » $\bullet \;$le 1er vecteur de la base $\;{\vec {u}}_{\rho }={\dfrac {\overrightarrow {OM_{xy}}}{\rho }}$, On définit la base « cylindro-polaire » $\bullet \;$le 2nd vecteur de la base $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ dans le plan $\;xOy\;$ « directement $\;\perp \;$ au précédent » ${\big$on peut encore le définir par $\;{\vec {u}}_{\theta }={\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{\rho }{\big )}\;$ et On définit la base « cylindro-polaire » $\bullet \;$le 3ème vecteur de la base $\;{\vec {u}}_{z}\;$ identique au 3ème vecteur de la base cartésienne ;
cette base est liée à $\;M\;$ car les deux 1$^{ers}$ vecteurs de la base dépendent de $\;\theta$ : $\bullet \;$le 1er $\;{\vec {u}}_{\rho }={\vec {u}}_{\rho }(\theta )\;$ est appelé « vecteur radial », cette base est liée à $\;\color {transparent}{M}\;$ car les deux 1$^{ers}$ vecteurs de la base dépendent de $\;\color {transparent}{\theta }$ : $\bullet \;$le 2nd $\;{\vec {u}}_{\theta }={\vec {u}}_{\theta }(\theta )\;$ est appelé« vecteur orthoradial » et cette base est liée à $\;\color {transparent}{M}\;$ car les deux 1$^{ers}$ vecteurs de la base dépendent de $\;\color {transparent}{\theta }$ : $\bullet \;$le 3ème constant $\;{\vec {u}}_{z}\;$est appelé« vecteur axial ».

### Composantes cylindro-polaires du vecteur position d'un point

Le vecteur position du point $\;M\;$ s'écrivant dans la base cylindro-polaire liée à $\;M\;$ selon «$\;{\overrightarrow {OM}}=\rho \,{\vec {u}}_{\rho }+z\,{\vec {u}}_{z}\;$», on en déduit que les composantes radiale et axiale du vecteur position, respectivement $\;{\overline {OM_{\rho }}}=\rho \;$ et $\;{\overline {OM_{z}}}=z$, sont identiques aux coordonnées radiale et axiale du point, on en alors que la composante orthoradiale du vecteur position $\;{\overline {OM_{\theta }}}=0\;$ diffère de la coordonnée angulaire $\;\theta \;$ du point.

### Lien entre repérages cylindro-polaire et cartésien d'un point
#### Repérage cylindro-polaire en fonction du repérage cartésien

Vecteurs de base cylindro-polaire$\;{\big$ou cylindrique${\big )}\;$en fonction des vecteurs de base cartésienne : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {u}}_{\rho }=\quad \;\;\;\cos(\theta )\;\;\;{\vec {u}}_{x}+\quad \;\;\;\sin(\theta )\;\;\;{\vec {u}}_{y}\\{\vec {u}}_{\theta }=\cos \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right){\vec {u}}_{x}+\sin \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right){\vec {u}}_{y}\end{array}}\right\rbrace$, le 3ème vecteur étant le même ou encore Vecteurs de base cylindro-polaire$\;\color {transparent}{\big$ou cylindrique$\color {transparent}{\big )}\;$en fonction des vecteurs de base cartésienne : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {u}}_{\rho }=\;\;\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{x}+\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{y}\\{\vec {u}}_{\theta }=-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{x}+\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{y}\end{array}}\right\rbrace \;$.
Coordonnées cylindro-polaires$\;{\big$ou cylindriques${\big )}\;$en fonction des coordonnées cartésiennes : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\cos(\theta )={\dfrac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\\\sin(\theta )={\dfrac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\end{array}}\right\rbrace \;$, la 3ème cordonnée étant la même.

#### Repérage cartésien en fonction du repérage cylindro-polaire

Vecteurs de base cartésienne en fonction des vecteurs de base cylindro-polaire$\;{\big$ou cylindrique${\big )}$ : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {u}}_{x}=\quad \;\;\;\cos(-\theta )\;\;\;{\vec {u}}_{\rho }+\quad \;\;\;\sin(-\theta )\;\;\;{\vec {u}}_{\theta }\\{\vec {u}}_{y}=\cos \!\left(-\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right){\vec {u}}_{\rho }+\sin \!\left(-\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right){\vec {u}}_{\theta }\end{array}}\right\rbrace$, le 3ème vecteur étant le même ou encore Vecteurs de base cartésienne en fonction des vecteurs de base cylindro-polaire$\;\color {transparent}{\big$ou cylindrique$\color {transparent}{\big )}$ : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {u}}_{x}=\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\rho }-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\\{\vec {u}}_{y}=\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\rho }+\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\end{array}}\right\rbrace \;$.
Coordonnées cartésiennes en fonction des coordonnées cylindro-polaires$\;{\big$ou cylindriques${\big )}$ : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x=\rho \,\cos(\theta )\\y=\rho \,\sin(\theta )\end{array}}\right\rbrace$, la 3ème cordonnée étant la même.
Remarque : Le repérage cylindro-polaire $\;{\big$ou cylindrique${\big )}\;$ se suffit à lui-même, il ne faut jamais $-$ sauf dans de très rares cas $-$ transformer le repérage cylindro-polaire en repérage cartésien ; Remarque : si on utilise le repérage cylindro-polaire c'est que le traitement dans ce repérage est plus simple que dans le repérage cartésien, et il peut être nettement plus simple !

## Repérage sphérique d'un point dans l'espace
### Principe du repérage sphérique d'un point

Appelant $\;M_{z}\;$ le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ et Appelant $\;M_{xy}\;$ celui de $\;M\;$ sur le plan $\;xOy$, on définit le demi-plan méridien contenant $\;(Oz)\;$ et $\;M_{xy}\;$ et Appelant $\;\color {transparent}{M_{xy}}\;$ celui de $\;\color {transparent}{M}\;$ sur le plan $\;\color {transparent}{xOy}$, on repère ce demi-plan méridien par l'angle orienté $\;\varphi \;$ qu'il fait avec Appelant $\;\color {transparent}{M_{xy}}\;$ celui de $\;\color {transparent}{M}\;$ sur le plan $\;\color {transparent}{xOy}$, on repère le demi-plan méridien de référence $\;xOz$ $\;{\big$analogue géographique Appelant $\;\color {transparent}{M_{xy}}\;$ celui de $\;\color {transparent}{M}\;$ sur le plan $\;\color {transparent}{xOy}$, on repère le demi-plan méridien de référence $\;\color {transparent}{xOz}$ $\;\color {transparent}{\big$de la longitude${\big )}$, puis Appelant $\;\color {transparent}{M_{xy}}\;$ celui de $\;\color {transparent}{M}\;$ sur le plan $\;\color {transparent}{xOy}$, on repère $\;M\;$ dans ce demi-plan méridien Appelant $\;\color {transparent}{M_{xy}}\;$ celui de $\;\color {transparent}{M}\;$ sur le plan $\;\color {transparent}{xOy}$, on repère $\;\color {transparent}{M}\;$ $\bullet \;$par la distance $\;r\;$ séparant $\;M\;$ de $\;O$ $\;{\big$analogue géographique Appelant $\;\color {transparent}{M_{xy}}\;$ celui de $\;\color {transparent}{M}\;$ sur le plan $\;\color {transparent}{xOy}$, on repère $\;\color {transparent}{M}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$par la distance $\;\color {transparent}{r}\;$ de l'altitude augmentée du rayon de la Terre${\big )}\;$ et Appelant $\;\color {transparent}{M_{xy}}\;$ celui de $\;\color {transparent}{M}\;$ sur le plan $\;\color {transparent}{xOy}$, on repère $\;\color {transparent}{M}\;$ $\bullet \;$par l'angle orienté $\;\theta \;$ que fait $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ ${\big$le vecteur position de $\;M{\big )}\;$ Appelant $\;\color {transparent}{M_{xy}}\;$ celui de $\;\color {transparent}{M}\;$ sur le plan $\;\color {transparent}{xOy}$, on repère $\;\color {transparent}{M}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$par l'angle avec l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}$ $\;{\big$analogue géographique Appelant $\;\color {transparent}{M_{xy}}\;$ celui de $\;\color {transparent}{M}\;$ sur le plan $\;\color {transparent}{xOy}$, on repère $\;\color {transparent}{M}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$par l'angle avec l'axe $\;\color {transparent}{\overrightarrow {Oz}}$ $\;\color {transparent}{\big$analogue de la colatitude${\big )}$ ;
on obtient ainsi le repérage sphérique $\;{\big$de pôle $\;O\;$ et${\big )}\;$ d'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}$, on obtient ainsi ce repérage utilisant une distance non algébrisée et deux angles orientés.
Voir schéma en perspective ci-contre.

### Coordonnées sphériques et base locale associée d'un point

Les coordonnées sphériques de $\;M\;$ sont $\;(r,\,\theta ,\,\varphi )\;$ avec $\bullet \;$«$\;r=\left\Vert {\overrightarrow {OM}}\right\Vert \geqslant 0\;$» son « rayon $\;{\big$polaire${\big )}\;$», Les coordonnées sphériques de $\;\color {transparent}{M}\;$ sont $\;\color {transparent}{(r,\,\theta ,\,\varphi )}\;$ avec $\bullet \;$«$\;\theta ={\widehat {\left({\overrightarrow {Oz}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {OM}}\right)}}\in \left[0\,{\text{,}}\,+\pi \right]\;$» sa « colatitude » et Les coordonnées sphériques de $\;\color {transparent}{M}\;$ sont $\;\color {transparent}{(r,\,\theta ,\,\varphi )}\;$ avec $\bullet \;$«$\;\varphi ={\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {OM_{xy}}}\right)}}\in \left]-\pi \,{\text{,}}\,+\pi \right]\;$» sa « longitude » ;
il faut savoir remplacer le schéma en perspective par deux schémas de projection dans le demi-plan méridien $\;\varphi =cste\;$ et il faut savoir remplacer le schéma en perspective par deux schémas de projection en vue de dessus $\;z=0\;$, il faut savoir remplacer le schéma en perspective par deux schémas de projection voir ci-contre $\;{\big$la base cylindro-polaire y est il faut savoir remplacer le schéma en perspective par deux schémas de projection voir ci-contre $\;\color {transparent}{\big$la base rappelée en marron${\big )}$.
On définit la base « sphérique » liée à $\;M\;$ $\;({\vec {u}}_{r},\,{\vec {u}}_{\theta },\,{\vec {u}}_{\varphi })\;$ orthonormée directe avec On définit la base « sphérique » $\bullet \;$le 1er vecteur de la base $\;{\vec {u}}_{r}={\dfrac {\overrightarrow {OM}}{r}}$, On définit la base « sphérique » $\bullet \;$le 2nd vecteur de la base $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ dans le demi-plan méridien « directement $\;\perp \;$ au précédent » $\;{\big$on peut encore le définir par $\;{\vec {u}}_{\theta }={\vec {u}}_{\varphi }\wedge {\vec {u}}_{r}\;$ On définit la base « sphérique » $\color {transparent}{\bullet }\;$le 2nd vecteur de la base $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}\;$ dans le demi-plan méridien « directement $\;\color {transparent}{\perp }\;$ au précédent » $\;\color {transparent}{\big$on peut encore avec $\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ le 3ème vecteur de la base${\big )}\;$ et On définit la base « sphérique » $\bullet \;$le 3ème vecteur de la base $\;{\vec {u}}_{\varphi }$ $\;\perp \;$ au demi-plan méridien et orientant ce dernier soit encore $\;{\vec {u}}_{\varphi }={\vec {u}}_{r}\wedge {\vec {u}}_{\theta }\;$ ;
cette base est liée à $\;M\;$ car les deux 1$^{ers}$ vecteurs de la base dépendent de $\;\theta \;$ et $\;\varphi$, $\bullet \;$le 1er $\;{\vec {u}}_{r}={\vec {u}}_{r}(\theta ,\,\varphi )\;$ est appelé « vecteur radial », cette base est liée à $\;\color {transparent}{M}\;$ car les deux 1$^{ers}$ vecteurs de la base dépendent de $\;\color {transparent}{\theta }\;$ et $\;\color {transparent}{\varphi }$, $\bullet \;$le 2nd $\;{\vec {u}}_{\theta }={\vec {u}}_{\theta }(\theta ,\,\varphi )$ est appelé « vecteur orthoradial »$^,$ et cette base est liée à $\;\color {transparent}{M}\;$ car le 3ème vecteur de la base sphérique dépend de $\;\varphi \;$ seul, $\bullet \;$le 3ème $\;{\vec {u}}_{\varphi }={\vec {u}}_{\varphi }(\varphi )\;\,$est appelé « vecteur longitudal ».

### Composantes sphériques du vecteur position d'un point

Le vecteur position du point $\;M\;$ s'écrivant dans la base sphérique liée à $\;M\;$ selon «$\;{\overrightarrow {OM}}=r\,{\vec {u}}_{r}\;$»,
on en déduit que la composante radiale du vecteur position $\;{\overline {OM_{r}}}=r$, est identique à la coordonnée radiale du point,  on en alors que les composantes orthoradiale et longitudale du vecteur position $\;{\overline {OM_{\theta }}}=0\;$ et $\;{\overline {OM_{\varphi }}}=0\;$ diffèrent des coordonnées angulaires $\;\theta \;$ et $\;\varphi \;$ du point.

### Interprétation géographique du repérage sphérique d'un point

Pour un repérage sphérique $\;{\big$de pôle $\;O\;$ et${\big )}\;$ d'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}$, l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ est identifié à l'axe « pôle Sud - pôle Nord » de la Terre, $\bullet \;$«$\;r\;$ est l'altitude augmentée du rayon de la Terre », Pour un repérage sphérique $\;\color {transparent}{\big$de pôle $\;\color {transparent}{O}\;$ et$\color {transparent}{\big )}\;$ d'axe $\;\color {transparent}{\overrightarrow {Oz}}$, l'axe $\;\color {transparent}{\overrightarrow {Oz}}\;$ est identifié à l'axe « pôle Sud - pôle Nord » de la Terre, $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;{\vec {u}}_{r}\;$ le vecteur unitaire vertical $\;\uparrow \;$», Pour un repérage sphérique $\;\color {transparent}{\big$de pôle $\;\color {transparent}{O}\;$ et$\color {transparent}{\big )}\;$ d'axe $\;\color {transparent}{\overrightarrow {Oz}}$, l'axe $\;\color {transparent}{\overrightarrow {Oz}}\;$ est identifié à l'axe « pôle Sud - pôle Nord » de la Terre, $\bullet \;$«$\;\theta \;$ la colatitude », Pour un repérage sphérique $\;\color {transparent}{\big$de pôle $\;\color {transparent}{O}\;$ et$\color {transparent}{\big )}\;$ d'axe $\;\color {transparent}{\overrightarrow {Oz}}$, l'axe $\;\color {transparent}{\overrightarrow {Oz}}\;$ est identifié à l'axe « pôle Sud - pôle Nord » de la Terre, $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ le vecteur unitaire horizontal dirigé vers le Sud », Pour un repérage sphérique $\;\color {transparent}{\big$de pôle $\;\color {transparent}{O}\;$ et$\color {transparent}{\big )}\;$ d'axe $\;\color {transparent}{\overrightarrow {Oz}}$, l'axe $\;\color {transparent}{\overrightarrow {Oz}}\;$ est identifié à l'axe « pôle Sud - pôle Nord » de la Terre, $\bullet \;$«$\;\varphi \;$ la longitude » et Pour un repérage sphérique $\;\color {transparent}{\big$de pôle $\;\color {transparent}{O}\;$ et$\color {transparent}{\big )}\;$ d'axe $\;\color {transparent}{\overrightarrow {Oz}}$, l'axe $\;\color {transparent}{\overrightarrow {Oz}}\;$ est identifié à l'axe « pôle Sud - pôle Nord » de la Terre, $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ le vecteur unitaire horizontal dirigé vers l'Est ».

### Lien entre repérages sphérique et cylindro-polaire d'un point
#### Repérage sphérique en fonction du repérage cylindro-polaire

Vecteurs de base sphérique en fonction des vecteurs de base cylindro-polaire$\;{\big$ou cylindrique${\big )}$ : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c r c r l}{\vec {u}}_{r}\!\!&=&\!\!\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{z}\!\!&+&\!\!\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\rho }\\{\vec {u}}_{\theta }\!\!&=&\!\!\cos \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\;{\vec {u}}_{z}\!\!&+&\!\!\sin \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\;{\vec {u}}_{\rho }\\{\vec {u}}_{\varphi }\!\!&=&\!\!&&&{\vec {u}}_{\theta _{\text{cyl}}}\end{array}}\right\rbrace \;$ ou encore Vecteurs de base sphérique en fonction des vecteurs de base cylindro-polaire$\;\color {transparent}{\big$ou cylindrique$\color {transparent}{\big )}$ : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c r c r}{\vec {u}}_{r}\!\!&=&\!\!\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{z}\!\!&+&\!\!\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\rho }\\{\vec {u}}_{\theta }\!\!&=&\!\!-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{z}\!\!&+&\!\!\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\rho }\end{array}}\right\rbrace \;$$^,$.
Coordonnées sphériques en fonction des coordonnées cylindro-polaires$\;{\big$ou cylindriques${\big )}$ : $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l l}r\!\!&=&\!\!{\sqrt {z^{2}+\rho ^{2}}}\\\cos(\theta )\!\!&=&\!\!{\dfrac {z}{\sqrt {z^{2}+\rho ^{2}}}}\\\varphi \!\!&=&\!\!&\theta _{\text{cylind}}\end{array}}\right\rbrace \;$ ${\big \$$\theta \in \left[0\,{,}\,+\pi \right]\;$ $\Rightarrow$ $\;\cos(\theta )\;$ suffisant pour déterminer $\;\theta {\big \}$.

#### Repérage cylindro-polaire en fonction du repérage sphérique

Vecteurs de base cylindro-polaire$\;{\big$ou cylindrique${\big )}\;$en fonction des vecteurs de base sphérique : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c r c r l}{\vec {u}}_{z}\!\!&=&\!\!\cos(-\theta )\;{\vec {u}}_{r}\!\!&+&\!\!\sin(-\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\\{\vec {u}}_{\rho }\!\!&=&\!\!\cos \!\left(-\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\;{\vec {u}}_{r}\!\!&+&\!\!\sin \!\left(-\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\;{\vec {u}}_{\theta }\\{\vec {u}}_{\theta _{\text{cyl}}}\!\!&=&\!\!&&&{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right\rbrace \;$ ou encore Vecteurs de base cylindro-polaire$\;\color {transparent}{\big$ou cylindrique$\color {transparent}{\big )}\;$en fonction des vecteurs de base sphérique : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c r c r}{\vec {u}}_{z}\!\!&=&\!\!\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{r}\!\!&-&\!\!\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\\{\vec {u}}_{\rho }\!\!&=&\!\!\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{r}\!\!&+&\!\!\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\end{array}}\right\rbrace \;$$^,$.
Coordonnées cylindro-polaires$\;{\big$ou cylindriques${\big )}\;$en fonction des coordonnées sphériques : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c r r}z\!\!&=&\!\!r\,\cos(\theta )\\\rho \!\!&=&\!\!r\,\sin(\theta )\\\theta _{\text{cylind}}\!\!&=&\!\!&\varphi \end{array}}\right\rbrace \;$.
Remarque : Le repérage sphérique se suffit à lui-même, a priori il est inutile de transformer le repérage sphérique en repérage cylindro-polaire $\;{\big$ou cylindrique${\big )}\;$ ; Remarque : si on utilise le repérage sphérique c'est que le traitement dans ce repérage est plus simple que dans le repérage cylindro-polaire, Remarque : si on utilise le repérage sphérique c'est que le traitement dans ce repérage est plus simple exemple d'un déplacement sur une sphère $\Rightarrow$ seules $\;\theta \;$ et $\;\varphi \;$ varient !

### Lien entre repérages sphérique et cartésien d'un point
#### Repérage sphérique en fonction du repérage cartésien

Vecteurs de base sphérique en fonction des vecteurs de base cartésienne : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c r c r c r}{\vec {u}}_{r}\!\!&=&\!\!\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{z}\!\!&+&\!\!\sin(\theta )\,\cos(\varphi )\;{\vec {u}}_{x}\!\!&+&\!\!\sin(\theta )\,\sin(\varphi )\;{\vec {u}}_{y}\\{\vec {u}}_{\theta }\!\!&=&\!\!-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{z}\!\!&+&\!\!\cos(\theta )\,\cos(\varphi )\;{\vec {u}}_{x}\!\!&+&\!\!\cos(\theta )\,\sin(\varphi )\;{\vec {u}}_{y}\\{\vec {u}}_{\varphi }\!\!&=&\!\!&&-\sin(\varphi )\;{\vec {u}}_{x}\!\!&+&\!\!\cos(\varphi )\;{\vec {u}}_{y}\end{array}}\right\rbrace \;$.
Coordonnées sphériques en fonction des coordonnées cartésiennes : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c r c r }r\!\!&=&\!\!{\sqrt {z^{2}+\rho ^{2}}}\!\!&=&\!\!{\sqrt {z^{2}+x^{2}+y^{2}}}\\\cos(\theta )\!\!&=&\!\!{\dfrac {z}{\sqrt {z^{2}+\rho ^{2}}}}\!\!&=&\!\!{\dfrac {z}{\sqrt {z^{2}+x^{2}+y^{2}}}}\\\cos(\varphi )\!\!&=&\!\!{\dfrac {x}{\rho }}\!\!&=&\!\!{\dfrac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\\\sin(\varphi )\!\!&=&\!\!{\dfrac {y}{\rho }}\!\!&=&\!\!{\dfrac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\end{array}}\right\rbrace \;$$^,$, ${\big \$$\theta \in \left[0\,{,}\,+\pi \right]\;$ $\Rightarrow$ $\;\cos(\theta )\;$ suffisant pour déterminer $\;\theta {\big \}$.

#### Repérage cartésien en fonction du repérage sphérique

Vecteurs de base cartésienne en fonction des vecteurs de base sphérique : on décompose les vecteurs de base cartésienne dans la base cylindro-polaire $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {u}}_{z}={\vec {u}}_{z}\\{\vec {u}}_{x}=\cos(\varphi )\;{\vec {u}}_{\rho }-\sin(\varphi )\;{\vec {u}}_{\varphi }\\{\vec {u}}_{y}=\sin(\varphi )\;{\vec {u}}_{\rho }+\cos(\varphi )\;{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right\rbrace \;$ puis Vecteurs de base cartésienne en fonction des vecteurs de base sphérique : la base cylindro-polaire dans la base sphérique $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c r c r c r}{\vec {u}}_{z}\!\!&=&\!\!\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{r}\!\!&-&\!\!\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }&&\\{\vec {u}}_{x}\!\!&=&\!\!\sin(\theta )\,\cos(\varphi )\;{\vec {u}}_{r}\!\!&+&\!\!\cos(\theta )\,\cos(\varphi )\;{\vec {u}}_{\theta }\!\!&-&\!\!\sin(\varphi )\;{\vec {u}}_{\varphi }\\{\vec {u}}_{y}\!\!&=&\!\!\sin(\theta )\,\sin(\varphi )\;{\vec {u}}_{r}\!\!&+&\!\!\cos(\theta )\,\sin(\varphi )\;{\vec {u}}_{\theta }\!\!&+&\!\!\cos(\varphi )\;{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right\rbrace$.
Coordonnées cartésiennes en fonction des coordonnées sphériques : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c r c r}z\!\!&=&\!\!r\,\cos(\theta )&&\\x\!\!&=&\!\!\rho \,\cos(\varphi )\!\!&=&\!\!r\,\sin(\theta )\,\cos(\varphi )\\y\!\!&=&\!\!\rho \,\sin(\varphi )\!\!&=&\!\!r\,\sin(\theta )\,\sin(\varphi )\end{array}}\right\rbrace \;$.
Remarque : Le repérage sphérique se suffit à lui-même, il n'est jamais utile de transformer le repérage sphérique en repérage cartésien ; Remarque : si, dans certains cas, substituer le repérage cylindro-polaire au repérage sphérique s'impose, il ne sera jamais intéressant de remplacer le repérage sphérique par le repérage cartésien.

## Vecteur déplacement élémentaire d'un point
### Définition intrinsèque

La notion de vecteur déplacement d'un point à partir d'une position quelconque $\;M\;$ nécessite de préciser la position finale $\;M_{f}\;$ du déplacement, le vecteur déplacement obtenu s'écrivant$\;{\overrightarrow {MM_{f}}}$ ; si la position finale $\;M_{f}\;$ reste proche de la position initiale $\;M$, on substitue la notation $\;M''\;$ à celle de $\;M_{f}\;$ et le vecteur déplacement$\;{\overrightarrow {MM''}}\;$est qualifié de « petit » ; pour $\;M''\;$ infiniment proche de $\;M$ $\;{\big$suivant une direction d'approche fixée${\big )}$, on substitue la notation $\;M'\;$ à celle de $\;M''\;$ et le vecteur déplacement$\;{\overrightarrow {MM'}}\;$est qualifié d'élémentaire.
Le vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {MM'}}\;$ à partir d'une position quelconque $\;M\;$ en suivant une direction fixée peut être considéré aussi comme obtenu en suivant une courbe passant par $\;M\;$ ;
en conclusion la définition intrinsèque du vecteur déplacement élémentaire à partir d'une position$\;M\;$s'identifie à en conclusion la définition celle du vecteur déplacement élémentaire d'un point le long d'une courbe vue dans le chap.$15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;
en conclusion on y a défini le vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue comme la différentielle du vecteur position dont les valeurs successives décrivent la courbe soit en conclusion on y a défini le vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue comme $\;{\overrightarrow {MM'}}=d\!\left[{\overrightarrow {OM}}\right]\;$ ou simplement «$\;{\overrightarrow {MM'}}={\overrightarrow {dM}}\;$» ; en conclusion on y a défini le vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe $\;(\Gamma )\;$ est tangent à la courbe en $\;M$, dans la mesure où $\;{\overrightarrow {dM}}\neq {\vec {0}}\;$.

### Composantes cartésiennes du vecteur déplacement élémentaire d'un point
#### Expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cartésien

Pour établir l'expression du vecteur déplacement élémentaire en repérage cartésien nous différencions le vecteur position exprimé dans ce repérage, sans particulariser le déplacement suivant une courbe, soit $\;{\overrightarrow {OM}}=x\,{\vec {u}}_{x}+y\,{\vec {u}}_{y}+z\,{\vec {u}}_{z}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\overrightarrow {dM}}=dx\;{\vec {u}}_{x}+dy\;{\vec {u}}_{y}+dz\;{\vec {u}}_{z}$, les vecteurs de la base cartésienne étant constants leur différentielle est nulle.
$\rightsquigarrow$
$\;{\overrightarrow {dM}}=dx\;{\vec {u}}_{x}+dy\;{\vec {u}}_{y}+dz\;{\vec {u}}_{z}\;$

#### Détermination géométrique des composantes cartésiennes du vecteur déplacement élémentaire d'un point

Pour créer un déplacement élémentaire du point $\;M\;$ en repérage cartésien, on envisage successivement un déplacement élémentaire le long de chaque vecteur de base, le vecteur déplacement élémentaire du point $\;M\;$ étant la somme de ces trois déplacements élémentaires, ainsi :
* suivant $\;{\vec {u}}_{x}$, on se déplace selon la droite passant par $\;M\;$ et $\;\parallel$ à ${\vec {u}}_{x}\;$ ${\big$c.-à-d. d'équations $\;y=cste\;$ et $\;z=cste{\big )}\;$ du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique $\;dx\;$ d'où $\;{\overrightarrow {dM_{x}}}=dx\;{\vec {u}}_{x}$,
* suivant $\;{\vec {u}}_{y}$, on se déplace selon la droite passant par $\;M\;$ et $\;\parallel$ à ${\vec {u}}_{y}\;$ ${\big$c.-à-d. d'équations $\;x=cste\;$ et $\;z=cste{\big )}\;$ du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique $\;dy\;$ d'où $\;{\overrightarrow {dM_{y}}}=dy\;{\vec {u}}_{y}$,
* suivant $\;{\vec {u}}_{z}$, on se déplace selon la droite passant par $\;M\;$ et $\;\parallel$ à ${\vec {u}}_{z}\;$ ${\big$c.-à-d. d'équations $\;x=cste\;$ et $\;y=cste{\big )}\;$ du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique $\;dz\;$ d'où $\;{\overrightarrow {dM_{z}}}=dz\;{\vec {u}}_{z}$,
le vecteur déplacement élémentaire étant finalement $\;{\overrightarrow {dM}}={\overrightarrow {dM_{x}}}+{\overrightarrow {dM_{y}}}+{\overrightarrow {dM_{z}}}\;$ se réécrit $\;{\overrightarrow {dM}}=dx\;{\vec {u}}_{x}+dy\;{\vec {u}}_{y}+dz\;{\vec {u}}_{z}$, ses composantes cartésiennes étant donc $\;(dx,\,dy,\,dz)$.

#### Application au vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe

Considérons la parabole d'équations cartésiennes $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}y=a\,x^{2}\\z=0\end{array}}\right\rbrace \;$ et différencions ces équations : on obtient alors $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}dy=2\,a\,x\,dx\\dz=0\end{array}}\right\rbrace \;$ et Considérons la parabole d'équations cartésiennes $\;\color {transparent}{\left\lbrace y=a\,x^{2}\right\rbrace }\;$ le vecteur déplacement élémentaire le long de la parabole s'explicite en fonction de l'élément différentiel $\;dx\;$ selon Considérons la parabole d'équations cartésiennes $\;\color {transparent}{\left\lbrace y=a\,x^{2}\right\rbrace }\;$ le vecteur déplacement élémentaire «$\;{\overrightarrow {dM}}=dx\;{\vec {u}}_{x}+dy\;{\vec {u}}_{y}\;{\cancel {+\;dz\;{\vec {u}}_{z}}}=\left[{\vec {u}}_{x}+2\,a\,x\;{\vec {u}}_{y}\right]\,dx\;$» ; Considérons la parabole d'équations cartésiennes $\;\color {transparent}{\left\lbrace y=a\,x^{2}\right\rbrace }\;$ d'une part il n'existe aucun point de la parabole où le vecteur déplacement élémentaire est nul, Considérons la parabole d'équations cartésiennes $\;\color {transparent}{\left\lbrace y=a\,x^{2}\right\rbrace }\;$ d'autre part, pour $\;dx>0$, la composante vectorielle sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ $\;{\overrightarrow {dM_{x}}}\;$ est toujours dans le sens de $\;{\vec {u}}_{x}\;$ et Considérons la parabole d'équations cartésiennes $\;\color {transparent}{\left\lbrace y=a\,x^{2}\right\rbrace }\;$ d'autre part, pour $\;\color {transparent}{dx>0}$, la composante vectorielle sur $\;{\vec {u}}_{y}\;$ $\;{\overrightarrow {dM_{y}}}\;$ est de sens contraire à $\;{\vec {u}}_{y}\;$ pour $\;x<0$, Considérons la parabole d'équations cartésiennes $\;\color {transparent}{\left\lbrace y=a\,x^{2}\right\rbrace }\;$ d'autre part, pour $\;\color {transparent}{dx>0}$, la composante vectorielle sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{y}}\;$ $\;\color {transparent}{\overrightarrow {dM_{y}}}\;$ s'annule pour $\;x=0\;$ et Considérons la parabole d'équations cartésiennes $\;\color {transparent}{\left\lbrace y=a\,x^{2}\right\rbrace }\;$ d'autre part, pour $\;\color {transparent}{dx>0}$, la composante vectorielle sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{y}}\;$ $\;\color {transparent}{\overrightarrow {dM_{y}}}\;$ est dans le sens de $\;{\vec {u}}_{y}\;$ pour $\;x>0$, Considérons la parabole d'équations cartésiennes $\;\color {transparent}{\left\lbrace y=a\,x^{2}\right\rbrace }\;$ d'autre part, pour $\;\color {transparent}{dx>0}$, la composante vectorielle sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{y}}\;$ $\;\color {transparent}{\overrightarrow {dM_{y}}}\;$ de norme d'autant plus grande que $\;\vert x\vert \;$ l'est $\ldots$

### Composantes cylindro-polaires du vecteur déplacement élémentaire d'un point
#### Calcul préliminaire

Pour établir l'expression du vecteur déplacement élémentaire en repérage cylindro-polaire $\;{\big$ou cylindrique${\big )}\;$ nous différencions le vecteur position exprimé dans ce repérage, sans particulariser le déplacement suivant une courbe, soit $\;{\overrightarrow {OM}}=\rho \,{\vec {u}}_{\rho }+z\,{\vec {u}}_{z}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\overrightarrow {dM}}=d\rho \;{\vec {u}}_{\rho }+\rho \;d\!\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]+dz\;{\vec {u}}_{z}\;$.

#### Différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire

Pour déterminer la différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire, il faut les décomposer dans la base cartésienne de façon à faire apparaître explicitement l'angle $\;\theta \;$ dont ils dépendent soit Pour déterminer la différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire, il faut les décomposer dans la base cartésienne $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c r c r l}{\vec {u}}_{\rho }\!\!&=&\!\!\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{x}\!\!&+&\!\!\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{y}\\{\vec {u}}_{\theta }\!\!&=&\!\!\cos \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{x}\!\!&+&\!\!\sin \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{y}\\{\vec {u}}_{z}\!\!&=&\!\!&&&{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right\rbrace \;$ ; on utilise $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}d\!\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]={\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]}{d\theta }}\;d\theta \\d\!\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]={\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{d\theta }}\;d\theta \\d\!\left[{\vec {u}}_{z}\right]={\vec {0}}\end{array}}\right\rbrace \;$ avec les dérivées par rapport à $\;\theta \;$ des deux 1$^{ers}$ vecteurs de base égales à $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c r c r c r}{\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]}{d\theta }}\!\!&=&\!\!\cos \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{x}\!\!&+&\!\!\sin \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{y}\!\!&=&\!\!{\vec {u}}_{\theta }\\{\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{d\theta }}\!\!&=&\!\!\cos \!\left(\theta +\pi \right)\,{\vec {u}}_{x}\!\!&+&\!\!\sin \!\left(\theta +\pi \right)\,{\vec {u}}_{y}\!\!&=&\!\!-{\vec {u}}_{\rho }\end{array}}\right\rbrace \;$$^,$ soit :
$\rightsquigarrow$
$\;{\vec {u}}_{\rho }\;$
$\;{\vec {u}}_{\theta }\;$
$\;\theta$
$\;{\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]}{d\theta }}={\vec {u}}_{\theta }\;$
$\;{\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{d\theta }}=-{\vec {u}}_{\rho }$
$\;\perp \;$
$\;{\vec {u}}_{\rho }\;$
$\;{\vec {u}}_{x}$
$\;{\vec {u}}_{\theta }\;$
$\;{\vec {u}}_{\rho }\;$
$\;+{\dfrac {\pi }{2}}$
$\;{\vec {u}}_{\theta }\;$
$\;{\vec {u}}_{y}$
$\;-{\vec {u}}_{\rho }\;$
$\;{\vec {u}}_{\theta }\;$
$\;+{\dfrac {\pi }{2}}$
$\;{\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]}{d\theta }}={\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{\rho }={\vec {u}}_{\theta }\;$
$\;{\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{d\theta }}={\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{\theta }=-{\vec {u}}_{\rho }$
Le report dans les expressions des différentielles nous conduisent à $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}d\!\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]={\vec {u}}_{\theta }\;d\theta \\d\!\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]=-{\vec {u}}_{\rho }\;d\theta \\d\!\left[{\vec {u}}_{z}\right]={\vec {0}}\end{array}}\right\rbrace$.

#### Expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire

On reporte l'expression de $\;d\!\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]\;$ dans celle de $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ obtenue en calcul préliminaire et on trouve $\;{\overrightarrow {dM}}=d\rho \;{\vec {u}}_{\rho }+\rho \;{\vec {u}}_{\theta }d\theta +dz\;{\vec {u}}_{z}$.
$\rightsquigarrow$
$\;{\overrightarrow {dM}}=d\rho \;{\vec {u}}_{\rho }+\rho \,d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+dz\;{\vec {u}}_{z}\;$

#### Détermination géométrique des composantes cylindro-polaires du vecteur déplacement élémentaire d'un point

Pour créer un déplacement élémentaire du point $\;M\;$ en repérage cynlidro-polaire, on envisage successivement un déplacement élémentaire le long de chaque vecteur de base, le vecteur déplacement élémentaire du point $\;M\;$ étant la somme de ces trois déplacements élémentaires, ainsi :
* suivant $\;{\vec {u}}_{\rho }$, on se déplace selon la demi-droite passant par $\;M\;$ et $\;\parallel$ à ${\vec {u}}_{\rho }\;$ ${\big$c.-à-d. d'équations $\;\theta =cste\;$ et $\;z=cste{\big )}\;$ du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique $\;d\rho \;$ d'où suivant $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\rho }}$, «$\;{\overrightarrow {dM_{\rho }}}=d\rho \;{\vec {u}}_{\rho }\;$»,
* suivant $\;{\vec {u}}_{\theta }$, on se déplace selon le cercle passant par $\;M\;$ et d'axe $\;Oz\;$ ${\big$c.-à-d. d'équations $\;\rho =cste\;$ et $\;z=cste{\big )}\;$ du « petit arc élémentaire » de longueur algébrique $\;\rho \;d\theta \;$ d'où suivant $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$, «$\;{\overrightarrow {dM_{\theta }}}=\rho \,d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }\;$»,
* suivant $\;{\vec {u}}_{z}$, on se déplace selon la droite passant par $\;M\;$ et $\;\parallel$ à ${\vec {u}}_{z}\;$ ${\big$c.-à-d. d'équations $\;\rho =cste\;$ et $\;\theta =cste{\big )}\;$ du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique $\;dz\;$ d'où suivant $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{z}}$, «$\;{\overrightarrow {dM_{z}}}=dz\;{\vec {u}}_{z}\;$»,
le vecteur déplacement élémentaire étant finalement $\;{\overrightarrow {dM}}={\overrightarrow {dM_{\rho }}}+{\overrightarrow {dM_{\theta }}}+{\overrightarrow {dM_{z}}}\;$ se réécrit «$\;{\overrightarrow {dM}}=d\rho \;{\vec {u}}_{\rho }+\rho \,d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+dz\;{\vec {u}}_{z}\;$», ses composantes cylindro-polaires étant donc $\;(d\rho ,\,\rho \,d\theta ,\,dz)$.

#### Application au vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe connue par ses équations cylindro-polaires

Ci-contre à gauche le tracé d'une hélice circulaire droite d'axe $\;z'z$ ;
ci-contre à droite le tracé de la surface d'équation cylindro-polaire « cote $\;\propto \;$ à l'abscisse angulaire » qui est une des deux équations cylindro-polaires définissant l'hélice circulaire droite d'axe $\;z'z$, l'autre surface étant un tuyau cylindrique de révolution d'axe $\;z'z$.
Vecteur déplacement élémentaire le long d'une hélice circulaire droite d'axe$\;z'z\;$ : Soit l'hélice circulaire d'équations cylindro-polaires «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\rho =a\\z=h\;\theta \end{array}}\right\rbrace \;$», nous cherchons à déterminer le vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ du point générique $\;M\;$ de l'hélice circulaire et pour cela nous différencions les équations de cette dernière : on obtient alors «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}d\rho =0\\dz=h\;d\theta \end{array}}\right\rbrace \;$» et le vecteur déplacement élémentaire le long de l'hélice circulaire peut s'écrire uniquement en fonction de l'élément différentiel $\;d\theta \;$ selon «$\;{\overrightarrow {dM}}=\left[a\;{\vec {u}}_{\theta }+h\;{\vec {u}}_{z}\right]d\theta \;$».
Commentaires sur le vecteur déplacement le long d'une hélice circulaire droite d'axe$\;z'z\;$ : $\bullet \;$il n'existe aucun point de l'hélice circulaire où le vecteur déplacement élémentaire est nul, Commentaires sur le vecteur déplacement le long d'une hélice circulaire droite d'axe$\;\color {transparent}{z'z}\;$ : $\bullet \;$pour $\;d\theta >0$, la composante vectorielle sur $\;{\vec {u}}_{\theta }$, $\;{\overrightarrow {dM_{\theta }}}\;$ est toujours dans le sens de $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ et Commentaires sur le vecteur déplacement le long d'une hélice circulaire droite d'axe$\;\color {transparent}{z'z}\;$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$pour $\;\color {transparent}{d\theta >0}$, la composante vect celle sur $\;{\vec {u}}_{z}$, $\;{\overrightarrow {dM_{z}}}\;$ est de sens contraire à $\;{\vec {u}}_{z}\;$ pour $\;h<0\;$, et Commentaires sur le vecteur déplacement le long d'une hélice circulaire droite d'axe$\;\color {transparent}{z'z}\;$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$pour $\;\color {transparent}{d\theta >0}$, la composante vect celle sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{z}}$, $\;\color {transparent}{\overrightarrow {dM_{z}}}\;$ est dans le sens de $\;{\vec {u}}_{z}\;$ pour $\;h>0\;$, Commentaires sur le vecteur déplacement le long d'une hélice circulaire droite d'axe$\;\color {transparent}{z'z}\;$ : $\bullet \;$la norme du vecteur déplacement élémentaire est indépendante de $\;\theta \;$ $\ldots$
Quelques commentaires sur l'hélice circulaire : une hélice circulaire est donc tracée sur un tuyau cylindrique de révolution avec $\;z\;\propto \;$ à $\;\theta$ ; Quelques commentaires sur l'hélice circulaire : si on « développe » le tuyau cylindrique de révolution de façon à ce que sa surface latérale devienne un plan, Quelques commentaires sur l'hélice circulaire : si on « développe » le tuyau cylindrique de révolution l'hélice circulaire se « développe » en une droite c.-à-d. en une courbe de « pente constante » ; Quelques commentaires sur l'hélice circulaire : elle est qualifiée de « dextre ou droite » si le cœfficient de proportionnalité entre $\;z\;$ et $\;\theta \;$ est $\;>0$, $\Rightarrow$ elle « monte » dans le sens trigonométrique Quelques commentaires sur l'hélice circulaire : elle est qualifiée de « dextre ou droite » si un observateur placé à l’extérieur la voit, lorsqu'elle est devant lui, « monter de gauche à droite » ; Quelques commentaires sur l'hélice circulaire : elle est qualifiée de « senestre ou gauche » si le cœfficient de proportionnalité entre $\;z\;$ et $\;\theta \;$ est $\;<0$, elle « monte » dans le sens anti-trigonométrique, Quelques commentaires sur l'hélice circulaire : elle est qualifiée de « senestre ou gauche » si un observateur placé à l’extérieur la voit, lorsqu'elle est devant lui, « monter de droite à gauche » ; Quelques commentaires sur l'hélice circulaire : on définit le pas de l'hélice circulaire par la variation de cote correspondant à un tour complet soit Quelques commentaires sur l'hélice circulaire : on définit un pas de $\;2\,\pi \,\vert h\vert \;$ pour une équation cylindro-polaire de rampe en colimaçon $\;z=h\;\theta$.

### Composantes sphériques du vecteur déplacement élémentaire d'un point
#### Calcul préliminaire

Pour établir l'expression du vecteur déplacement élémentaire en repérage sphérique nous différencions le vecteur position exprimé dans ce repérage, sans particulariser le déplacement suivant une courbe, soit $\;{\overrightarrow {OM}}=r\;{\vec {u}}_{r}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\overrightarrow {dM}}=dr\;{\vec {u}}_{r}+r\;d\!\left[{\vec {u}}_{r}\right]\;$.

#### Détermination géométrique des composantes sphériques du vecteur déplacement élémentaire d'un point

Pour créer un déplacement élémentaire du point $\;M\;$ en repérage sphérique, on envisage successivement un déplacement élémentaire le long de chaque vecteur de base, le vecteur déplacement élémentaire du point $\;M\;$ étant la somme de ces trois déplacements élémentaires, ainsi :
* suivant $\;{\vec {u}}_{r}$, on se déplace selon la demi-droite passant par $\;M\;$ et $\;\parallel$ à ${\vec {u}}_{r}\;$ ${\big$c.-à-d. d'équations $\;\theta =cste\;$ et $\;\varphi =cste{\big )}\;$ du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique $\;dr\;$ d'où suivant $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{r}}$, «$\;{\overrightarrow {dM_{r}}}=dr\;{\vec {u}}_{r}\;$»,
* suivant $\;{\vec {u}}_{\theta }$, on se déplace selon le demi-cercle méridien passant par $\;M\;$ ${\big$c.-à-d. d'équations $\;r=cste\;$ et $\;\varphi =cste{\big )}\;$ du « petit arc élémentaire » de longueur algébrique $\;r\,d\theta \;$ d'où suivant $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}$, «$\;{\overrightarrow {dM_{\theta }}}=r\,d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }\;$»,
* suivant $\;{\vec {u}}_{\varphi }$, on se déplace selon le cercle « parallèle » passant par $\;M\;$ ${\big$c.-à-d. d'équations $\;r=cste\;$ et $\;\theta =cste{\big )}\;$ du « petit arc élémentaire » de longueur algébrique $\;\left[r\,\sin(\theta )\right]d\varphi \;$ d'où suivant $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}$, «$\;{\overrightarrow {dM_{\varphi }}}=r\,\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$»,
le vecteur déplacement élémentaire étant finalement $\;{\overrightarrow {dM}}={\overrightarrow {dM_{r}}}+{\overrightarrow {dM_{\theta }}}+{\overrightarrow {dM_{\varphi }}}\;$ se réécrit «$\;{\overrightarrow {dM}}=dr\;{\vec {u}}_{r}+r\,d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+r\,\sin(\theta )\,d\varphi \;{\vec {u}}_{\varphi }\;$», le vecteur déplacement élémentaire étant finalement $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {dM}}={\overrightarrow {dM_{r}}}+{\overrightarrow {dM_{\theta }}}+{\overrightarrow {dM_{\varphi }}}}\;$ ses composantes sphériques étant $\;\left[dr,\,r\,d\theta ,\,r\,\sin(\theta )\,d\varphi \right]$.

#### Expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique

$\rightsquigarrow$
$\;{\overrightarrow {dM}}=dr\;{\vec {u}}_{r}+r\,d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+r\,\sin(\theta )\,d\varphi \;{\vec {u}}_{\varphi }\;$

#### Complément : différentielle des vecteurs de base sphérique

Nous utilisons la définition de la différentielle d'une fonction vectorielle de l'espace utilisant la notion de dérivées partielles vue chap.$13$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » d'où Nous utilisons la définition de la différentielle d'une fonction vectorielle de l'espace «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}d\!\left[{\vec {u}}_{r}\right]=\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{r}\right)}{\partial \theta }}\right]_{\varphi }(\theta ,\,\varphi )\;d\theta +\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{r}\right)}{\partial \varphi }}\right]_{\theta }(\theta ,\,\varphi )\;d\varphi \\d\!\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]=\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{\theta }\right)}{\partial \theta }}\right]_{\varphi }(\theta ,\,\varphi )\;d\theta +\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{\theta }\right)}{\partial \varphi }}\right]_{\theta }(\theta ,\,\varphi )\;d\varphi \\d\!\left[{\vec {u}}_{\varphi }\right]={\dfrac {d\!\left({\vec {u}}_{\varphi }\right)}{d\varphi }}(\varphi )\;d\varphi \end{array}}\right\rbrace \;$».

##### Détermination des dérivées partielles du 1er vecteur de base sphérique

Pour cela on utilise la décomposition de $\;{\vec {u}}_{r}\;$ dans la base cylindro-polaire $\;({\vec {u}}_{z},\,{\vec {u}}_{\rho },\,{\vec {u}}_{\varphi })\;$ soit : «$\;{\vec {u}}_{r}=\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{z}+\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\rho }(\varphi )\;$» $\Rightarrow$ «$\;\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{r}\right)}{\partial \theta }}\right]_{\varphi }=\cos \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\;{\vec {u}}_{z}+\sin \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\;{\vec {u}}_{\rho }(\varphi )\;$» d'où finalement le vecteur unitaire du demi-plan méridien directement $\;\perp \;$ à $\;{\vec {u}}_{r}\;$ c.-à-d. $\;{\vec {u}}_{\theta }$, en conclusion on a «$\;\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{r}\right)}{\partial \theta }}\right]_{\varphi }={\vec {u}}_{\theta }\;$» ; «$\;{\vec {u}}_{r}=\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{z}+\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\rho }(\varphi )\;$» $\Rightarrow$ «$\;\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{r}\right)}{\partial \varphi }}\right]_{\theta }=\sin(\theta )\;{\dfrac {d\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]}{d\varphi }}\;$» ou, $\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ étant un vecteur unitaire du plan équatorial $\;xOy\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {d\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]}{d\varphi }}={\vec {u}}_{\varphi }\;$, en conclusion on a «$\;\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{r}\right)}{\partial \varphi }}\right]_{\theta }=\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$».

##### Détermination des dérivées partielles du 2nd vecteur de base sphérique

Pour cela on utilise la décomposition de $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ dans la base cylindro-polaire $\;({\vec {u}}_{z},\,{\vec {u}}_{\rho },\,{\vec {u}}_{\varphi })\;$ soit : «$\;{\vec {u}}_{\theta }=\cos \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{z}+\sin \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{\rho }(\varphi )\;$» $\Rightarrow$ «$\;\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{\theta }\right)}{\partial \theta }}\right]_{\varphi }=\cos \!\left(\theta +\pi \right)\;{\vec {u}}_{z}+\sin \!\left(\theta +\pi \right)\;{\vec {u}}_{\rho }(\varphi )\;$» d'où finalement le vecteur unitaire du demi-plan méridien directement $\;\perp \;$ à $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ c.-à-d. $\;-{\vec {u}}_{r}$, en conclusion on a «$\;\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{\theta }\right)}{\partial \theta }}\right]_{\varphi }=-{\vec {u}}_{r}\;$» ; «$\;{\vec {u}}_{\theta }=-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{z}+\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\rho }(\varphi )\;$» $\Rightarrow$ «$\;\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{\theta }\right)}{\partial \varphi }}\right]_{\theta }=\cos(\theta )\;{\dfrac {d\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]}{d\varphi }}\;$» ou, sachant que $\;{\dfrac {d\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]}{d\varphi }}={\vec {u}}_{\varphi }\;$, on en déduit en conclusion «$\;\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{\theta }\right)}{\partial \varphi }}\right]_{\theta }=\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$».

##### Détermination de la dérivée du 3ème vecteur de base sphérique

$\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ étant un vecteur unitaire du plan équatorial $\;xOy\;$ et dérivant par rapport à l'angle $\;\varphi \;$ qu'il fait avec la direction $\;Oy\;$ fixe de ce plan $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {d\left[{\vec {u}}_{\varphi }\right]}{d\varphi }}=-{\vec {u}}_{\rho }\;$» ; il reste alors à décomposer $\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ dans la base sphérique, ce qui donne $\;{\vec {u}}_{\rho }=\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{r}+\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ d'où «$\;{\dfrac {d\left[{\vec {u}}_{\varphi }\right]}{d\varphi }}=-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{r}-\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\;$».

##### Explicitation des différentielles des vecteurs de base sphérique

$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c r c r}d\!\left[{\vec {u}}_{r}\right]\!\!&=&\!\!{\vec {u}}_{\theta }\;d\theta \!\!&+&\!\!\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }\;d\varphi \\d\!\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]\!\!&=&\!\!-{\vec {u}}_{r}\;d\theta \!\!&+&\!\!\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }\;d\varphi \\d\!\left[{\vec {u}}_{\varphi }\right]\!\!&=&\!\!&-&\left[\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{r}+\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\right]\,d\varphi \end{array}}\right\rbrace \;$

#### Complément : détermination du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique par utilisation de la différentielle du 1er vecteur de base sphérique

Reprenant le résultat du calcul préliminaire $\;{\overrightarrow {dM}}=dr\;{\vec {u}}_{r}+r\;d\!\left[{\vec {u}}_{r}\right]\;$ et y reportant $\;d\!\left[{\vec {u}}_{r}\right]={\vec {u}}_{\theta }\;d\theta +\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }\;d\varphi \;$ nous trouvons effectivement
$\;{\overrightarrow {dM}}=dr\;{\vec {u}}_{r}+r\,d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+r\,\sin(\theta )\,d\varphi \;{\vec {u}}_{\varphi }\;$

#### Application au vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe connue par ses équations sphériques

Considérons la loxodromie de sphère de pente $\;{\dfrac {\pi }{6}}\;$ par rapport aux parallèles $\;{\big$tracée en rouge sur le schéma ci-contre${\big )}\;$ d'équations sphériques $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}r=a\\\varphi =-\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,\ln \!\left[\tan \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$, pour établir l'expression du vecteur déplacement élémentaire le long de la loxodromie de sphère au point $\;M$, nous différencions ses équations et obtenons alors «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}dr=0\\d\varphi =-\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,{\dfrac {d\theta }{2\,\cos ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\,\tan \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}\end{array}}\right\rbrace \;$»$^,$ ou $\;d\varphi =-{\dfrac {\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,d\theta }{2\,\cos \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\,\sin \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}\;$ ou encore $\;d\varphi =-{\dfrac {\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,d\theta }{\sin(\theta )}}\;$ soit finalement «$\;\varphi ={\dfrac {-\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}{\sin(\theta )}}\;d\theta \;$», d'où le vecteur déplacement élémentaire le long de la loxodromie de sphère en fonction de l'élément différentiel $\;d\theta \;$ «$\;{\overrightarrow {dM}}=\left[a\;{\vec {u}}_{\theta }-a\;\sin(\theta )\;{\dfrac {\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}{\sin(\theta )}}\;{\vec {u}}_{\varphi }\right]d\theta \;$» $\;{\big$ne pas oublier $\;{\overrightarrow {dM_{\theta }}}=a\;{\vec {u}}_{\theta }\;d\theta {\big ]}\;$ soit finalement, après une transformation élémentaire, «$\;{\overrightarrow {dM}}=\left[{\vec {u}}_{\theta }-\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right){\vec {u}}_{\varphi }\right]a\;d\theta \;$» ;
Commentaires sur le vecteur déplacement élémentaire le long de la loxodromie de sphère de pente$\;30\;{\text{°}}\;$par rapport aux parallèles : Commentaires sur le vecteur déplacement élémentaire $\bullet \;$il n'existe aucun point de la loxodromie sphérique Commentaires sur le vecteur déplacement élémentaire $\color {transparent}{\bullet }\;$il n'existe aucun point de vecteur déplacement élémentaire nul, Commentaires sur le vecteur déplacement élémentaire $\bullet \;$pour $\;d\theta <0$, la composante vectorielle sur $\;{\vec {u}}_{\theta }$, $\;{\overrightarrow {dM_{\theta }}}$, est toujours dans le sens contraire de $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ c.-à-d. vers le Nord et Commentaires sur le vecteur déplacement élémentaire $\color {transparent}{\bullet }\;$pour $\;\color {transparent}{d\theta <0}$, la composante celle sur $\;{\vec {u}}_{\varphi }$, $\;{\overrightarrow {dM_{\varphi }}}$, est dans le sens de $\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ c.-à-d. vers l'Est, Commentaires sur le vecteur déplacement élémentaire $\bullet \;$pour $\;d\theta >0$, la composante vectorielle sur $\;{\vec {u}}_{\theta }$, $\;{\overrightarrow {dM_{\theta }}}$, est toujours dans le sens de $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ c.-à-d. vers le Sud et Commentaires sur le vecteur déplacement élémentaire $\color {transparent}{\bullet }\;$pour $\;\color {transparent}{d\theta >0}$, la composante celle sur $\;{\vec {u}}_{\varphi }$, $\;{\overrightarrow {dM_{\varphi }}}$, est en sens contraire de $\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ c.-à-d. vers l'Ouest ; Commentaires sur le vecteur déplacement élémentaire $\bullet \;$la norme ainsi que la pente dans le plan tangent à la sphère du vecteur déplacement élémentaire sont indépendantes de $\;\theta \;$ $\ldots$
Remarque : Pour mieux faire apparaître la loxodromie de sphère, sa projetée sur le plan équatorial de la sphère a été tracée en vert, elle porte le nom de « spirale de Poinsot bornée ».

## Repérages d'une courbe dans l'espace
### Repérages cartésien, cylindro-polaire ou sphérique d'une courbe

Dans un repérage cartésien, cylindro-polaire ou sphérique, il faut deux équations pour caractériser une courbe, pour mémoire revoir les trois exemples précédemment exposés :
* la parabole d'équations «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}y=a\,x^{2}\\z=0\end{array}}\right\rbrace \;$» repérée en cartésien $\;{\big$ci-contre à gauche${\big )}$, la parabole la 1ère équation «$\;y=a\,x^{2}\;$» caractérisant un cylindre parabolique de génératrices $\;\parallel \;$ à $\;z'z\;$ et la parabole la 2nde «$\;z=0\;$» le plan $\;xOy$ ;
* l'hélice circulaire d'équations «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\rho =a\\z=h\;\theta \end{array}}\right\rbrace \;$» repérée en cylindro-polaire $\;{\big$ci-contre à droite${\big )}$, l'hélice circulaire la 1ère équation «$\;\rho =a\;$» caractérisant un tuyau cylindrique de révolution d'axe $\;z'z\;$ et de rayon $\;a$, l'hélice circulaire la 2nde «$\;z=h\;\theta \;$» une surface sans nom mathématique mais que l'on pourrait appeler « rampe en colimaçon » constituée de demi-droites $\;\parallel \;$ au plan $\;xOy\;$ issues d'un point de l'axe $\;z'z\;$ de cote plus ou moins élevée suivant la valeur de l'abscisse angulaire $\;{\bigz\;$fonction de $\;\theta {\big )}$ ;
* la loxodromie sphérique de pente $\;{\dfrac {\pi }{6}}\;$ par rapport aux parallèles, d'équations «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}r=a\\\varphi =-\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,\ln \!\left[\tan \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» repérée en sphérique $\;{\big$ci-contre à droite${\big )}$, la loxodromie la 1ère équation «$\;r=a\;$» caractérisant une sphère de centre $\;O\;$ dont le rayon est $\;a\;$ et la loxodromie la 2nde «$\;\varphi =-\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,\ln \!\left[\tan \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\right]\;$» une surface sans nom mathématique constituée de demi-droites issues de $\;O\;$ plus ou moins inclinées suivant la valeur de la colatitude $\;\theta$ ${\big$la longitude $\;\varphi \;$ étant fonction de la colatitude $\;\theta {\big )}$.

### Repérage paramétrique d'une courbe

En repérage paramétrique, qu'il soit cartésien, cylindro-polaire ou sphérique, il faut trois équations paramétriques pour caractériser une courbe ; En repérage paramétrique, ci-dessous un exemple de courbe en repérage paramétrique cartésien :
Soient les trois équations paramétriques cartésiennes de la courbe $\;({\mathcal {T}})\;$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x={\dfrac {t}{2}}\\y=t^{2}-1\\z=2\,t+1\end{array}}\right\rbrace \;$», nous nous proposons d'établir Soient les trois équations paramétriques cartésiennes de la courbe $\;\color {transparent}{({\mathcal {T}})}\;$ $\succ \;$le caractère plan de la courbe et Soient les trois équations paramétriques cartésiennes de la courbe $\;\color {transparent}{({\mathcal {T}})}\;$ $\succ \;$la nature de cette dernière ;
* pour démontrer la nature plane de la courbe il faut trouver une relation affine entre $\;x$, $\;y\;$ et $\;z\;$ en éliminant le paramètre $\;t\;$ pour démontrer la nature plane de la courbe entre les équations paramétriques affines $\;(1)\;$ et $\;(3)\;$ soit «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}t=2\,x,\,\,(1')\\z=2\;t+1\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ en pour démontrer la nature plane de la courbe reportant $\;(1')\;$ dans $\;(3)$, $\;z=2\;(2\,x)+1\;$ ou «$\;z=4\;x+1\;$» équation cartésienne pour démontrer la nature plane de la courbe reportant $\;\color {transparent}{(1')}\;$ dans $\;\color {transparent}{(3)}$, $\;\color {transparent}{z=2\;(2\,x)+1}\;$ ou «$\;\color {transparent}{z=4\;x+1}\;$» équation d'un plan, pour démontrer la nature plane de la courbe « plan $\;\parallel \;$ à $\;y'y\;$ de trace dans le plan $\;zOx$, la droite d'équation $\;z=4\;x+1\;$ pour démontrer la nature plane de la courbe « plan $\;\color {transparent}{\parallel }\;$ à $\;\color {transparent}{y'y}\;$ passant par le point $\;(2,\;0,\;9)\;$» d'où la nature plane de $\;({\mathcal {T}})$ ;
* pour déterminer la nature de la courbe il faut établir une 2ème équation cartésienne de $\;({\mathcal {T}})$, la 1ère étant celle du plan précédent, pour déterminer la nature de la courbe pour cela, éliminer le paramètre $\;t\;$ entre les équations paramétriques $\;(1)\;$ et $\;(2)\;$ soit pour déterminer la nature de la courbe «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}t=2\,x,\,\,(1')\\y=t^{2}-1\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ en reportant $\;(1')\;$ dans $\;(2)$, $\;y=(2\,x)^{2}-1\;$ ou pour déterminer la nature de la courbe «$\;\color {transparent}{\left\lbrace t=2\,x,\,\,(1')\right\rbrace }\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ en reportant $\;\color {transparent}{(1')}\;$ dans $\;\color {transparent}{(2)}$, «$\;y=4\;x^{2}-1\;$» équation cartésienne d'un cylindre parabolique de génératrices $\;\parallel \;$ à $\;z'z$ ; pour déterminer la nature de la courbe les deux équations cartésiennes de la courbe $\;({\mathcal {T}})\;$ sont «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}z=4\,x+1\\y=4\,x^{2}-1\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ $\;({\mathcal {T}})\;$ est l'intersection du cylindre parabolique de génératrices $\;\parallel \;$ à $\;z'z\;$ et pour déterminer la nature de la courbe les deux équations cartésiennes de la courbe $\;\color {transparent}{({\mathcal {T}})}\;$ sont «$\;\color {transparent}{\left\lbrace y=4\,x^{2}-1\right\rbrace }\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;\color {transparent}{({\mathcal {T}})}\;$ est l'intersection du plan $\;\parallel \;$ à $\;y'y\;$ passant par le point $\;(2,\;0,\;9)$, pour déterminer la nature de la courbe en conclusion $\;({\mathcal {T}})\;$ étant l'intersection d'un cylindre parabolique de génératrices $\;\parallel \;$ à $\;z'z\;$ et d'un plan $\;\nparallel \;$ à $\;z'z\;$ est une parabole.
Remarque : utiliser la 2ème équation paramétrique pour éliminer le paramètre était possible mais aurait été particulièrement maladroit en effet cela aurait conduit à «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}t=\pm {\sqrt {y+1}}\\x={\dfrac {t}{2}}\\z=2\,t+1\end{array}}\right\rbrace \;$» soient, Remarque : par report, les deux équations cartésiennes «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x=\pm {\dfrac {\sqrt {y+1}}{2}}\\z=\pm 2\,{\sqrt {y+1}}+1\end{array}}\right\rbrace \;$» dont aucune n'est une relation affine $\;{\big$bien que la courbe soit plane, elle est déterminée ici $-$ à l'aide de cette Remarque : par report, les deux équations cartésiennes «$\;\color {transparent}{\left\lbrace z=\pm 2\,{\sqrt {y+1}}+1\right\rbrace }\;$» dont aucune n'est une relation affine élimination maladroite $-$ par l'intersection de deux surfaces non planes${\big )}$ ; Remarque : les deux équations cartésiennes obtenues en éliminant le paramètre $\;t\;$ à l'aide de la 2ème équation paramétrique se réécrivant «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x^{2}={\dfrac {y+1}{4}}\\z^{2}=4\,(y+1)+1\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Leftrightarrow$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x^{2}={\dfrac {y+1}{4}}\\z^{2}=4\,y+5\end{array}}\right\rbrace \;$» Remarque : les deux équations cartésiennes ne permettent pas de déterminer le caractère plan de la courbe ainsi que Remarque : les deux équations cartésiennes ne permettent pas de déterminer la nature de cette dernière Remarque : les deux équations cartésiennes ne permettent pas de déterminer car elle est l'intersection de deux cylindres paraboliques de génératrices $\;\parallel \;$ respectivement à $\;z'z\;$ et à $\;x'x\;$ Remarque : les deux équations cartésiennes ne permettent pas de déterminer car elle est l'intersection de deux cylindres paraboliques dont l'intersection nécessiterait une étude plus poussée.

## Choix du système de coordonnées adapté au problème

Le plus souvent le système de coordonnées est imposé par le texte de l'exercice $\;{\big$et a priori vous ne devez en aucun cas en changer${\big )}$, Le plus souvent le système de coordonnées est imposé par le texte de l'exercice mais si l'initiative du choix vous est laissée, vous adoptez le système adapté au problème à savoir :
* le système de coordonnées cylindro-polaires$\;{\big$ou cylindriques${\big )}\;$ d'axe $\;Oz\;$ pour un problème ayant l'« invariance par symétrie de révolution d'axe$\;Oz\;$» ${\big$c.-à-d. un problème invariant par rotation autour de l'axe $\;Oz$, ne dépendant donc pas de l'abscisse angulaire $\;\theta$, par exemple l'écoulement de l'eau à l'intérieur d'un tuyau cylindrique de révolution d'axe $\;Oz\;$ ou la marche d'une fourmi sur la surface latérale extérieure de ce tuyau cylindrique de révolution${\big )}\;$ ou pour un problème ne possédant pas cette invariance mais pour lequel le rayon polaire$\;\rho \;$ ne varie pas ${\big$par exemple la montée d'une fourmi sur une hélice circulaire, courbe tracée sur un tuyau cylindrique de révolution${\big )}$,
* le système de coordonnées sphériques de pôle $\;O\;$ pour un problème possédant l'« invariance par symétrie sphérique de centre$\;O\;$» ${\big$c.-à-d. un problème invariant par rotation autour de n'importe quel axe passant par $\;O$, ne dépendant donc pas de la colatitude $\;\theta \;$ et de la longitude $\;\varphi \;$ relativement à un axe quelconque choisi comme axe $\;Oz$, par exemple $-$ en restant dans le cadre de la « mécanique classique » $-$ le « mouvement de l'électron dans un atome d'hydrogène autour de son noyau » ou le « mouvement d'un satellite autour de la Terre » ou la marche d'une fourmi sur un ballon de handball${\big )}\;$ ou pour un problème ne possédant pas cette invariance mais pour lequel le rayon$\;{\big$polaire${\big )}$$\;r\;$ne varie pas ${\big$par exemple la marche d'une fourmi sur un ballon de handball en rotation autour d'un axe vertical, la rotation rendant la marche moins assurée au niveau équatorial du ballon que près d'un pôle c.-à-d. que les conditions de maintien sur le ballon dépendent de la colatitude de la fourmi sur le ballon, maintien plus difficile au niveau équatorial qu'à un des pôles${\big )}$,
* le système de coordonnées cartésiennes pour un problème ne possédant aucune des invariances précédentes et pour lequel on cherche la description du mouvement d'un objet relativement à des plans fixes ${\big$par exemple le drop d'un ballon de rugby pour savoir si ce mouvement va passer au-dessus de la barre transversale${\big )}$.

## En complément, repérage de Frenet d'un point sur une courbe

L'introduction du repérage de Frenet est présentée « en complément », toutefois il est difficile de s'en passer car c'est le seul repérage introduisant les notions utilisées dans la vie quotidienne comme la « longueur parcourue sur une courbe » ou la « vitesse lue sur un tachymètre » ou l'« accélération $\;{\big$tangentielle${\big )}\;$ le long d'une courbe ».

### Rappel, notion d'abscisse curviligne d'un point et de vecteur unitaire tangentiel, 1er vecteur de la base locale de Frenet associée

Ces notions ayant déjà été introduites dans les paragraphes « abscisse curviligne d'un point sur une courbe continue » et Ces notions ayant déjà été introduites dans les paragraphes « définition du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue à l'aide de la base locale deFrenet » Ces notions ayant déjà été introduites dans les paragraphes du chap.$15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », Ces notions ayant déjà été introduites seules les grandes lignes sont rappelées ci-dessous :
Sur une courbe continue $\;(\Gamma )\;$ plane ou gauche, on choisit arbitrairement un sens «$\;+\;$» et Sur une courbe continue $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ plane ou gauche, on choisit arbitrairement une « origine $\;A\;$» de mesure des abscisses curvilignes ; Sur une courbe continue le « point générique $\;M\;$» de $\;(\Gamma )\;$ est repéré par son « abscisse curviligne $\;s={\overset {\curvearrowright }{AM}}\;$» ${\big$longueur Sur une courbe continue le « point générique $\;\color {transparent}{M}\;$» de $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ algébrique parcourue dans le sens «$\;+\;$» sur $\;(\Gamma )\;$ à partir de $\;A{\big ]}\;$ ; Sur une courbe continue on définit, en tout point $\;M\;$ non anguleux de $\;(\Gamma )$, un vecteur unitaire $\;{\vec {\tau }}\;$ tangent à $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ Sur une courbe continue on définit, en tout point $\;\color {transparent}{M}\;$ non anguleux de $\;\color {transparent}{(\Gamma )}$, un vecteur unitaire $\;\color {transparent}{\vec {\tau }}\;$ orienté dans le sens «$\;+\;$» Sur une courbe continue on définit, en tout point $\;\color {transparent}{M}\;$ non anguleux de $\;\color {transparent}{(\Gamma )}$, appelé « vecteur unitaire tangentiel » et constituant Sur une courbe continue on définit, en tout point $\;\color {transparent}{M}\;$ non anguleux de $\;\color {transparent}{(\Gamma )}$, le « 1er vecteur de la base locale de Frenet » ; Sur une courbe continue mathématiquement la relation $\;{\overrightarrow {OM}}={\vec {r}}(s)\;$ caractérise la courbe $\;(\Gamma )\;$ et Sur une courbe continue mathématiquement la relation $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {OM}}={\vec {r}}(s)}\;$ représente son « équation vectorielle paramétrique » ; Sur une courbe continue la définition mathématique du 1er vecteur de base de Frenet $\;{\big$équivalente à la définition précédente${\big )}\;$ Sur une courbe continue la définition mathématique du 1er vecteur de base de Frenet est «$\;{\vec {\tau }}={\dfrac {d{\vec {r}}}{ds}}(s)\;$» c.-à-d. que Sur une courbe continue le vecteur unitaire tangentiel $\;{\vec {\tau }}(s)\;$ peut être obtenu en dérivant par rapport $\;s\;$ l'équation vectorielle paramétrique de la courbe $\;{\overrightarrow {OM}}={\vec {r}}(s)$.

### Notion de cercle osculateur en un point d'une courbe plane, centre et rayon de courbure en ce point

Parmi tous les cercles du plan de la courbe $\;(\Gamma )\;$ lui étant tangents en $\;M$, le cercle osculateur à la courbe $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ est celui qui est « localement le plus proche de la courbe »$^,$.
Cas particuliers : $\bullet \;$si le point $\;M\;$ est un point d'inflexion de la courbe, le cercle osculateur est la tangente elle-même c.-à-d. un cercle de rayon infini, Cas particuliers : $\bullet \;$si la courbe est un cercle, le cercle osculateur en chacun de ses points est le cercle lui-même et Cas particuliers : $\bullet \;$si la courbe est une droite, le cercle osculateur en chacun de ses points est la droite elle-même c.-à-d. un cercle de rayon infini.
Autres définitions : $\bullet \;$le centre $\;C\;$ du cercle osculateur à la courbe $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ définit le centre de courbure de $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ et Autres définitions : $\bullet \;$son rayon $\;{\big$c.-à-d. $CM{\big )}$, définit le rayon de courbure$\;{\mathcal {R}}_{M}\;$ de $\;(\Gamma )\;$ en $\;M$.
Propriété : Il existe une seule courbe plane à rayon de courbure constant c'est le cercle.
Exemple : La comparaison des rayons de courbure d'une courbe plane en ses différents points se fait visuellement de façon relativement aisée, par exemple, Exemple : si on considère la parabole d'équation cartésienne dans le plan $\;xOy$, $\;y=a\,x^{2}$, de sommet $\;S\,(0,\,0)\;$ et de direction asymptotique $\;y'y$, la concavité étant tournée vers les $\;y>0$, Exemple : si on considère la parabole d'équation cartésienne dans le plan $\;\color {transparent}{xOy}$, $\;\color {transparent}{y=a\,x^{2}}$, on remarque aisément que le rayon de courbure est minimale au sommet $\;S\;$ et Exemple : si on considère la parabole d'équation cartésienne dans le plan $\;\color {transparent}{xOy}$, $\;\color {transparent}{y=a\,x^{2}}$, on remarque aisément qu'il est d'autant plus grand que le point $\;M\;$ s'éloigne du sommet Exemple : si on considère la parabole d'équation cartésienne dans le plan $\;\color {transparent}{xOy}$, $\;\color {transparent}{y=a\,x^{2}}$, on remarque aisément ${\big$le rayon de courbure tendant vers l'infini pour $\;M\;$ s'éloignant à l'infini du sommet${\big )}$.

### Notion de plan et de cercle osculateurs en un point d'une courbe gauche, centre et rayon de courbure en ce point

Parmi tous les plans tangents en $\;M\;$ à une courbe gauche $\;(\Gamma )$, le plan osculateur de $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ est celui qui est « localement le plus proche de la courbe »$^,$ ; cette détermination est encore applicable à une courbe plane mais elle est d'un intérêt limité car le plan osculateur d'une courbe plane en chacun de ses points est le plan de la courbe.
Parmi tous les cercles tangents à la courbe gauche $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ dans le plan osculateur de celle-ci en $\;M$, le cercle osculateur est celui qui est « localement le plus proche de la courbe » ; on définit alors $\;{\big$de même que pour une courbe plane${\big )}$ : $\bullet \;$le centre de courbure de $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ comme le centre $\;C\;$ du cercle osculateur à $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ et on définit alors $\;\color {transparent}{\big$de même que pour une courbe plane$\color {transparent}{\big )}$ : $\bullet \;$le rayon de courbure $\;{\mathcal {R}}_{M}\;$ de $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ comme le rayon du cercle osculateur c.-à-d. $\;{\mathcal {R}}_{M}=CM\geqslant 0$.
Propriété : Il existe une seule courbe gauche à rayon de courbure constant c'est l'hélice circulaire.

### 2ème et 3ème vecteurs de la base locale de Frenet associée à un point de la courbe étudiée
#### 2ème vecteur de la base de Frenet associée à un point de la courbe : vecteur unitaire normal principal

Le 2ème vecteur de base locale de Frenet en un point $\;M\;$ de la courbe $\;(\Gamma )$, noté $\;{\vec {n}}\;$ et appelé « vecteur$\;{\big$unitaire${\big )}\;$normal principal » $\;{\big$ou simplement « vecteur normal » pour une courbe plane${\big )}\;$ Le 2ème vecteur de base locale de Frenet en un point $\;\color {transparent}{M}\;$ de la courbe $\;\color {transparent}{(\Gamma )}$, est le « vecteur unitaire porté par la normale principale » à $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ ${\big$c.-à-d. la direction $\;(MC)\;$ où $\;C\;$ est Le 2ème vecteur de base locale de Frenet en un point $\;\color {transparent}{M}\;$ de la courbe $\;\color {transparent}{(\Gamma )}$, est le « vecteur unitaire porté par la normale principale » à $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ en $\;\color {transparent}{M}\;$ $\color {transparent}{\big$c.-à-d. la direction le centre de courbure${\big ]}$ et Le 2ème vecteur de base locale de Frenet en un point $\;\color {transparent}{M}\;$ de la courbe $\;\color {transparent}{(\Gamma )}$, est le « vecteur unitaire porté par la normale principale » de sens dirigé vers le centre de courbure $\;C$.

#### 3ème vecteur de la base de Frenet associée à un point de la courbe : vecteur unitaire normal secondaire

Le 3ème vecteur de base locale de Frenet en un point $\;M\;$ de la courbe $\;(\Gamma )$, noté $\;{\vec {b}}\;$ et appelé « vecteur$\;{\big$unitaire${\big )}\;$normal secondaire » Le 3ème vecteur de base locale de Frenet en un point $\;\color {transparent}{M}\;$ de la courbe $\;\color {transparent}{(\Gamma )}$, est le « vecteur unitaire porté par la normale secondaire » à $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ ${\big$c.-à-d. la direction $\;\perp \;$ au plan osculateur Le 3ème vecteur de base locale de Frenet en un point $\;\color {transparent}{M}\;$ de la courbe $\;\color {transparent}{(\Gamma )}$, est le « vecteur unitaire porté par la normale secondaire » à $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ en $\;\color {transparent}{M}\;$ $\color {transparent}{\big$c.-à-d. la direction $\;\color {transparent}{\perp }\;$ à $\;(\Gamma )\;$ en $\;M{\big ]}\;$ et Le 3ème vecteur de base locale de Frenet en un point $\;\color {transparent}{M}\;$ de la courbe $\;\color {transparent}{(\Gamma )}$, est le « vecteur unitaire porté par la normale secondaire » de sens tel que la base$\;\left({\vec {\tau }},\;{\vec {n}},\;{\vec {b}}\right)\;$est directe ; Le 3ème vecteur de base locale de Frenet en un point $\;\color {transparent}{M}\;$ de la courbe $\;\color {transparent}{(\Gamma )}$, les angles du plan osculateur à $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ sont orientés par le vecteur normal secondaire ; Le 3ème vecteur de base locale de Frenet en un point $\;\color {transparent}{M}\;$ de la courbe $\;\color {transparent}{(\Gamma )}$, une définition équivalente du vecteur normal secondaire est «$\;{\vec {b}}={\vec {\tau }}\wedge {\vec {n}}\;$».

### Rappel, composante de Frenet du vecteur déplacement élémentaire d'un point de la courbe étudiée

Établissement par interprétation géométrique du vecteur déplacement élémentaire d'un point le long d'une courbe continue : Établissement par interprétation géométrique $M\;$ étant repéré sur la courbe $\;(\Gamma )\;$ par son abscisse curviligne $\;s$, Établissement par interprétation géométrique nous envisageons un déplacement élémentaire le long du vecteur unitaire tangentiel de la base locale de Frenet $\;{\vec {\tau }}$, Établissement par interprétation géométrique nous envisageons un déplacement élémentaire correspondant à un « arc de courbe » de longueur algébrique $\;ds\;$ soit finalement Établissement par interprétation géométrique nous envisageons un déplacement élémentaire «$\;{\overrightarrow {dM}}=ds\;{\vec {\tau }}\;$».
Justification de la définition mathématique du vecteur unitaire tangentiel : $O\;$ étant le point origine de la définition intrinsèque du vecteur position de $\;M\;$ et Justification de la définition mathématique du vecteur unitaire tangentiel : $M\;$ étant repéré sur la courbe $\;(\Gamma )\;$ par son abscisse curviligne $\;s$, Justification de la définition mathématique du vecteur unitaire tangentiel : nous pouvons, a priori, connaître l'équation paramétrique vectorielle de $\;(\Gamma )$, «$\;{\overrightarrow {OM}}={\vec {r}}(s)\;$» ; Justification de la définition mathématique du vecteur unitaire tangentiel : or la différentielle de $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ est le vecteur déplacement élémentaire du point $\;M\;$ d'où, Justification de la définition mathématique du vecteur unitaire tangentiel : par définition de la différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable $\Rightarrow$ $\;{\overrightarrow {dM}}={\dfrac {d\!\left({\vec {r}}\right)}{ds}}(s)\;ds$, identifiable à $\;{\overrightarrow {dM}}=ds\;{\vec {\tau }}$, Justification de la définition mathématique du vecteur unitaire tangentiel : ce qui justifie, a posteriori, la définition mathématique du vecteur unitaire tangentiel de la base de Frenet «$\;{\vec {\tau }}(s)={\dfrac {d\!\left({\vec {r}}\right)}{ds}}(s)\;$».

### Définition du rayon de courbure en un point non anguleux d'une courbe plane

Le vecteur unitaire tangentiel $\;{\vec {\tau }}\;$ de la base locale de Frenet$^,$ en $\;M$, point non anguleux, étant de direction repérée par Le vecteur unitaire tangentiel $\;\color {transparent}{\vec {\tau }}\;$ l'angle $\;\alpha \;$ qu'elle fait avec la direction fixe $\;{\vec {u}}_{x}\;$ du plan de la courbe c.-à-d. «$\;\alpha ={\widehat {({\vec {u}}_{x}\,{,}\,{\vec {\tau }})}}\;$», on en déduit Le vecteur unitaire tangentiel $\;\color {transparent}{\vec {\tau }}\;$ l'angle algébrisé formé entre les vecteurs unitaires tangentiels en $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ deux points voisins de la courbe Le vecteur unitaire tangentiel $\;\color {transparent}{\vec {\tau }}\;$ l'angle algébrisé formé entre les vecteurs unitaires tangentiels en $\;\color {transparent}{M_{1}}\;$ et $\;\color {transparent}{M_{2}}\;$ «$\;\delta \alpha =\alpha _{2}-\alpha _{1}\;$» et les vecteurs unitaires normaux $\;{\big$principaux${\big )}\;$ de Frenet$^,$ en ces deux points formant le même angle algébrisé $\;\delta \alpha \;$, on définit le rayon de courbure moyen sur l'arc de courbe $\;{\overset {\frown }{M_{1}M_{2}}}\;$ par «$\;{\mathcal {R}}_{{\text{moy sur }}{\overset {\frown }{M_{1}M_{2}}}}={\dfrac {\delta s}{\delta \alpha }}\;$» ;
on en déduit la définition du rayon de courbure de $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ comme la limite du rayon de courbure moyen on en déduit la définition du rayon de courbure de $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ en $\;\color {transparent}{M}\;$ comme la limite quand on fait tendre l'écart angulaire vers zéro soit on en déduit la définition du rayon de courbure de $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ en $\;\color {transparent}{M}\;$ «$\;{\mathcal {R}}_{M_{1}}=\lim \limits _{M_{2}\rightarrow M_{1}}\left[{\mathcal {R}}_{{\text{moy sur }}{\overset {\frown }{M_{1}M_{2}}}}\right]=\lim \limits _{\delta \alpha \rightarrow 0}\left[{\dfrac {\delta s}{\delta \alpha }}\right]\;$» soit finalement la définition du rayon de courbure de $\;(\Gamma )\;$ ${\big \$courbe plane${\big \}$ en un point $\;M\;$ non anguleux «$\;{\mathcal {R}}_{M}={\dfrac {ds}{d\alpha }}(\alpha )\;$» où $\;\alpha ={\widehat {({\vec {u}}_{x}\,{,}\,{\vec {\tau }})}}\;$.
Propriété : $\alpha \;$ étant l'angle que fait le vecteur unitaire tangentiel $\;{\vec {\tau }}\;$ de la base de Frenet$^,$ avec $\;{\vec {u}}_{x}\;$ de direction fixe dans le plan de la courbe, Propriété : quand on dérive $\;{\vec {\tau }}\;$ par rapport à $\;\alpha$, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur unitaire initial c.-à-d. Propriété : quand on dérive $\;\color {transparent}{\vec {\tau }}\;$ par rapport à $\;\color {transparent}{\alpha }$, on obtient le vecteur unitaire normal $\;{\big$principal${\big )}\;$ $\;{\vec {n}}\;$ de la base locale de Frenet$^,$ soit encore «$\;{\dfrac {d\!\left({\vec {\tau }}\right)}{d\alpha }}(\alpha )={\vec {n}}\;$».

### Définition simultanée du 2ème vecteur de la base locale de Frenet et du rayon de courbure en un point non anguleux d'une courbe quelconque (gauche ou plane)
#### Établissement de la définition simultanée du 2ème vecteur de la base locale de Frenet et du rayon de courbure en un point non anguleux d'une courbe plane

Ayant établi l'expression du vecteur unitaire tangentiel à la courbe plane $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ non anguleux en fonction de l'abscisse curviligne $\;s\;$ de ce dernier Ayant établi l'expression du vecteur unitaire tangentiel à la courbe plane $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ «$\;{\vec {\tau }}={\dfrac {d\!\left({\vec {r}}\right)}{ds}}(s)\;$» où $\;{\overrightarrow {OM}}={\vec {r}}(s)\;$ est l'équation paramétrique vectorielle de $\;(\Gamma )$, Ayant établi l'expression du vecteur unitaire tangentiel à la courbe plane $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ on dérive $\;{\vec {\tau }}={\vec {\tau }}(s)\;$ par rapport à $\;s\;$ en remarquant qu'à toute valeur de $\;s\;$ on peut associer un point $\;M\;$ unique Ayant établi l'expression du vecteur unitaire tangentiel à la courbe plane $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ on dérive $\;\color {transparent}{{\vec {\tau }}={\vec {\tau }}(s)}\;$ par rapport à $\;\color {transparent}{s}\;$ en remarquant qu'à toute valeur$\;{\big$que la courbe plane soit ouverte ou fermée${\big )}\;$ et Ayant établi l'expression du vecteur unitaire tangentiel à la courbe plane $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ on dérive $\;\color {transparent}{{\vec {\tau }}={\vec {\tau }}(s)}\;$ par rapport à $\;\color {transparent}{s}\;$ en remarquant qu'à tout $\;M\;$ non anguleux correspond une valeur $\;\alpha \;$ unique Ayant établi l'expression du vecteur unitaire tangentiel à la courbe plane $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ on dérive $\;\color {transparent}{{\vec {\tau }}={\vec {\tau }}(s)}\;$ par rapport à $\;\color {transparent}{s}\;$ en remarquant qu'à toute valeur de $\;\color {transparent}{s}\;$ permettant de déduire, par transitivité, Ayant établi l'expression du vecteur unitaire tangentiel à la courbe plane $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ on dérive $\;\color {transparent}{{\vec {\tau }}={\vec {\tau }}(s)}\;$ par rapport à $\;\color {transparent}{s}\;$ en remarquant qu'à toute valeur de $\;s\;$ on peut associer une valeur $\;\alpha \;$ unique Ayant établi l'expression du vecteur unitaire tangentiel à la courbe plane $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ on dérive $\;\color {transparent}{{\vec {\tau }}={\vec {\tau }}(s)}\;$ par rapport à $\;\color {transparent}{s}\;$ en remarquant ce qui définit la fonction $\;\alpha =\alpha (s)\;$ sans avoir besoin de Ayant établi l'expression du vecteur unitaire tangentiel à la courbe plane $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ on dérive $\;\color {transparent}{{\vec {\tau }}={\vec {\tau }}(s)}\;$ par rapport à $\;\color {transparent}{s}\;$ en remarquant ce qui définit la fonction restreindre le domaine de définition de $\;s$ ;
Ayant établi l'expression du vecteur unitaire tangentiel à la courbe plane $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ on en déduit, par dérivée de fonction composée, «$\;{\dfrac {d\!\left({\vec {\tau }}\right)}{ds}}={\dfrac {d\!\left({\vec {\tau }}\right)}{d\alpha }}\;{\dfrac {d\alpha }{ds}}\;$» avec «$\;{\dfrac {d\!\left({\vec {\tau }}\right)}{d\alpha }}={\vec {n}}\;$» et Ayant établi l'expression du vecteur unitaire tangentiel à la courbe plane $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ on en déduit, par dérivée de fonction composée, «$\;\color {transparent}{{\dfrac {d\!\left({\vec {\tau }}\right)}{ds}}={\dfrac {d\!\left({\vec {\tau }}\right)}{d\alpha }}\;{\dfrac {d\alpha }{ds}}}\;$» avec «$\;{\dfrac {d\alpha }{ds}}={\dfrac {1}{{\mathcal {R}}_{M}}}\;$» c.-à-d. « courbure Ayant établi l'expression du vecteur unitaire tangentiel à la courbe plane $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ on en déduit, par dérivée de fonction composée, «$\;\color {transparent}{{\dfrac {d\!\left({\vec {\tau }}\right)}{ds}}={\dfrac {d\!\left({\vec {\tau }}\right)}{d\alpha }}\;{\dfrac {d\alpha }{ds}}}\;$» avec de $\;{\big\Gamma {\big )}\;$ en $\;M\;$» Ayant établi l'expression du vecteur unitaire tangentiel à la courbe plane $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ on en déduit, par dérivée de fonction composée, ${\big$ces deux relations n'étant définies que pour une courbe plane${\big )}\;$ Ayant établi l'expression du vecteur unitaire tangentiel à la courbe plane $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ on en déduit, soit finalement «$\;{\dfrac {d\!\left({\vec {\tau }}\right)}{ds}}={\dfrac {\vec {n}}{{\mathcal {R}}_{M}}}\;$».

#### Énoncé de la définition simultanée du 2ème vecteur de la base locale de Frenet et du rayon de courbure en un point non anguleux d'une courbe gauche

L'expression donnant la dérivée du vecteur unitaire tangentiel en fonction de l'abscisse curviligne établie pour une courbe plane $\;{\dfrac {d\!\left({\vec {\tau }}\right)}{ds}}={\dfrac {\vec {n}}{{\mathcal {R}}_{M}}}\;$ est admise pour une courbe gauche et L'expression sert de définition simultanée du vecteur unitaire normal principal et du rayon de courbure à la courbe gauche $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ non anguleux soit
$\;{\dfrac {d\!\left({\vec {\tau }}\right)}{ds}}={\dfrac {\vec {n}}{{\mathcal {R}}_{M}}}\;$
$\;{\mathcal {R}}_{M}\geqslant 0\;$
Mode opératoire pour déterminer le rayon de courbure et le vecteur unitaire normal principal en un point non anguleux d'une courbe gauche : Mode opératoire $\bullet \;$« Connaissant l'expression de $\;{\vec {\tau }}\;$ relativement à $\;s\;$, on dérive cette expression et on obtient $\;{\dfrac {\vec {n}}{{\mathcal {R}}_{M}}}\;$», Mode opératoire $\bullet \;$« on en prend la norme et on obtient la courbure de la courbe en $\;M$, $\;{\dfrac {1}{{\mathcal {R}}_{M}}}\;$ ou, en inversant, le rayon de courbure de la courbe en $\;M$, $\;{\mathcal {R}}_{M}\;$», Mode opératoire $\bullet \;$« on en déduit alors le vecteur unitaire normal principal par $\;{\dfrac {\vec {n}}{{\mathcal {R}}_{M}}}\times {\mathcal {R}}_{M}={\vec {n}}\;$» ; Mode opératoire enfin « on peut terminer avec la détermination du vecteur unitaire normal secondaire $\;{\vec {b}}\;$ par $\;{\vec {\tau }}\wedge {\vec {n}}={\vec {b}}\;$».