# Application multilinéaire/Définitions

Dans ce cours, $E$ et $F$ sont des $K$-espaces vectoriels et $n$ est un entier strictement positif.

## Définition

Une application $f$, à valeurs dans $F$, est dite $n$-linéaire sur $E$ lorsque :
* $f$ est fonction de $n$ vecteurs de $E$, c'est-à-dire $f:E^{n}\to F$
* $f$ est linéaire par rapport à chacune de ses variables, c'est-à-dire : $\forall i\in \{1,\dots ,n\}\quad \forall x\in E^{n}\quad \forall y_{i}\in E\quad \forall \lambda \in K$$f(x_{1},\dots ,x_{i-1},\lambda x_{i}+y_{i},x_{i+1},\dots ,x_{n})=\lambda f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})+f(x_{1},\dots ,y_{i},\dots ,x_{n})$.
Une application $f:E^{2}\to F$ est bilinéaire si : $\forall \lambda \in K\quad \forall (x,y,z)\in E^{3}$
* $f(\lambda x+y,z)=\lambda f(x,z)+f(y,z)$ ;
* $f(x,\lambda y+z)=f(x,z)+\lambda f(x,y)$.
* On définit de même, plus généralement, la notion d'application n-linéaire sur un produit de n espaces vectoriels non nécessairement égaux à un même espace E.
* L'espace vectoriel $\mathrm {L} (E_{1},\dots ,E_{n};F)$ des applications n-linéaires de $E_{1}\times \dots \times E_{n}$ dans F est canoniquement isomorphe à $\mathrm {L} (E_{1};\mathrm {L} (E_{2};\dots ;\mathrm {L} (E_{n};F)))$.

## Application symétrique

Une application multilinéaire $f$ est dite symétrique si, lorsqu'on échange deux vecteurs en paramètre de $f$, le résultat est inchangé, c'est-à-dire si
$\forall i<j\quad f(x_{1},\dots ,x_{i-1},x_{j},x_{i+1},\dots ,x_{j-1},x_{i},x_{j+1},\dots ,x_{n})=f(x_{1},\dots ,x_{n})$
Une application multilinéaire symétrique $f$ vérifie :
$\forall \sigma \in \mathrm {S} _{n}\quad f(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)})=f(x_{1},\dots ,x_{n})$
où $\mathrm {S} _{n}$ désigne le groupe symétrique d'indice $n$.
Toute permutation $\sigma$ est une composée de transpositions.

## Application antisymétrique

Une application multilinéaire $f$ est dite antisymétrique si, lorsqu'on échange deux vecteurs en paramètre de $f$, le résultat est transformé en son opposé, c'est-à-dire si
$\forall i<j\quad f(x_{1},\dots ,x_{i-1},x_{j},x_{i+1},\dots ,x_{j-1},x_{i},x_{j+1},\dots ,x_{n})=-f(x_{1},\dots ,x_{n})$
Une application multilinéaire antisymétrique $f$ vérifie :
$\forall \sigma \in \mathrm {S} _{n}\quad f(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)})=\epsilon (\sigma )f(x_{1},\dots ,x_{n})$
où $\epsilon (\sigma )$ désigne la signature de la permutation $\sigma$.
Si $\sigma$ est une composée de $k$ de transpositions, $\epsilon (\sigma )=(-1)^{k}$.

## Application alternée

Une application multilinéaire $f$ est dite alternée si, appliquée à un $n$-uplet où deux vecteurs sont égaux, elle s'annule, c'est-à-dire si
$\forall i<j\quad f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j-1},x_{i},x_{j+1},\dots ,x_{n})=0$
Une application multilinéaire alternée est antisymétrique. Une application multilinéaire antisymétrique est alternée si la caractéristique du corps de base $K$ est différente de $2$.
On peut se contenter de travailler avec deux variables, en fixant toutes les autres. On fait donc la preuve dans le cas d'une application bilinéaire $f:E\times E\to F$.
* Si $f$ est alternée alors
    $\forall x,y\in E\quad 0=f(x+y,x+y)=f(x,x)+f(x,y)+f(y,x)+f(y,y)=f(x,y)+f(y,x)$,
    donc $f$ est antisymétrique.
* Si $f$ est antisymétrique alors
    $\forall x\in E\quad f(x,x)=-f(x,x)$ donc $2f(x,x)=0$.
    Si la caractéristique de $K$ est différente de $2$ (ce qui est le cas pour les corps classiques $\mathbb {R}$ et $\mathbb {C}$, de caractéristique nulle), on en déduit que $f(x,x)=0$, donc $f$ est alternée.
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