OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Théorie des langages/Définitions

Vous trouverez dans ce chapitre les notations et définitions permettant de travailler sur les langages par la suite

## Notations

* La concaténation de deux caractères a et b se note $a.b$, ou par abus de notation $ab$
* La répétition d'un caractère a, n fois se note $a^{n},n\in \mathbb {N}$
* La répétition d'un caractère un nombre quelconque de fois entre 0 et $\infty$ se note $a^{*}$
* La répétition d'un caractère un nombre quelconque de fois strictement positif se note $a^{+}$
* Le mot vide (sans aucune lettre) est noté $\epsilon$ (ou parfois aussi $\Lambda$)
* L'expression $ab^{*}a$ peut correspondre aux mots : aa, aba, abba, ...
* L'expression $aa^{*}$ est équivalente à $a^{+}$

## Définitions
### Les mots

La structure de base d'un langage est un alphabet.
Alphabet : Ensemble $\Sigma$ fini non vide dont les éléments sont appelés lettres ou caractères
La structure supérieure à l'alphabet sont les mots, définis comme suit.
L'ensemble des mots sur un alphabet $\Sigma$ est défini récursivement de la manière suivante :
* le mot vide $\epsilon$ est un mot sur $\Sigma$
* Si $a\in \Sigma$, et ω un mot sur $\Sigma$, alors $a.\omega$ est un mot sur $\Sigma$
On note $\Sigma ^{*}$ l’ensemble des mots sur $\Sigma$, et $\Sigma ^{+}$ l’ensemble des mots autres que $\epsilon$
Lorsque l’on travaille avec les mots, plusieurs choses sont à définir
La longueur d'un mot ω est notée $|\omega |$ et est définie récursivement comme suit :
* $|\epsilon |=0|$
* si $\omega =a.\omega '$ avec $a\in \Sigma ,\omega '\in \Sigma ^{*}$, alors $|\omega |=1+|\omega '|$
La concaténation des mots
On étend la concaténation de deux caractères à des mots, définie par :
* $\epsilon .\omega =\omega$
* si $\omega '=a.u$ avec $a\in \Sigma$ et u un mot sur $\Sigma$, alors $\forall \omega \in \Sigma ^{*},\omega '.\omega =(a.u).\omega =a.(u.\omega )$
Les définitions suivantes permettent de travailler sur une partie des mots
* Préfixe : $u\in \Sigma ^{*}$ est un préfixe de $v\in \Sigma ^{*}$ si $\exists w\in \Sigma ^{*},v=u.w$
* Suffixe : $u\in \Sigma ^{*}$ est un suffixe de $v\in \Sigma ^{*}$ si $\exists w\in \Sigma ^{*},v=w.u$
* Facteur : $u\in \Sigma ^{*}$ est un facteur de $v\in \Sigma ^{*}$ si $\exists w_{1},w_{2}\in \Sigma ^{*},v=w_{1}.u.w_{2}$

### Les langages

| Sommaire | Histoire et notations |
# Les mots

Dans ce chapitres nous étudierons les mots, qui sont à la base des langages qu’ils soient formels ou naturels. Nous y verront les définitions et propriétés importantes qui nous permettront de travailler par la suite

## Définitions

La structure de base d'un langage est un alphabet.
Alphabet : Ensemble $\Sigma$ fini non vide dont les éléments sont appelés lettres ou caractères
La structure supérieure à l'alphabet sont les mots, définis comme suit.
Mot : l’ensemble des mots sur un alphabet $\Sigma$ est défini récursivement de la manière suivante :
* le mot vide $\varepsilon$ est un mot sur $\Sigma$
* Si $a\in \Sigma$, et $w$ un mot sur $\Sigma$, alors $a\cdot w$ est un mot sur $\Sigma$
Il est usuel de ne pas marquer le point $\cdot$, et donc d'écrire $aw$ au lieu de $a\cdot w$
On note $\Sigma ^{*}$ l’ensemble des mots sur $\Sigma$, et $\Sigma ^{+}$ l’ensemble des mots autres que le mot vide $\varepsilon$
Lorsque l’on travaille avec les mots, plusieurs choses sont à définir
Longueur d'un mot : la longueur d'un mot $w$ est notée $|w|$ et est définie récursivement comme suit :
* $|\varepsilon |=0$
* si $w=aw'$ avec $a\in \Sigma ,w'\in \Sigma ^{*}$, alors $|w|=1+|w'|$
La concaténation des mots
Concaténation de mots : on étend la concaténation de deux caractères à des mots, définie par :
* $\varepsilon \cdot w=w$
* si $w'=au$ avec $a\in \Sigma$ et $u$ un mot sur $\Sigma$, alors $\forall w\in \Sigma ^{*},w'w==a(uw)$
Les définitions suivantes permettent de travailler sur une partie des mots
* Préfixe : $u\in \Sigma ^{*}$ est un préfixe de $v\in \Sigma ^{*}$ s'il existe $w\in \Sigma ^{*}$ tel que $v=uw$ ;
* Suffixe : $u\in \Sigma ^{*}$ est un suffixe de $v\in \Sigma ^{*}$ s'il existe $w\in \Sigma ^{*}$ tel que $v=wu$ ;
* Facteur : $u\in \Sigma ^{*}$ est un facteur de $v\in \Sigma ^{*}$ s'il existe $w_{1},w_{2}\in \Sigma ^{*}$ tels que $v=w_{1}uw_{2}$ .

## Propriétés

| Histoire et notations | Les langages |
# Théorie du corps de classe

| Chap. 1 : | Loi de réciprocité quadratique (18) |
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## Présentation [Modifier]

La théorie du corps de classe est l'un des grands aboutissements de la théorie des nombres du XXe siècle. Son histoire commence au XIXe avec la loi de réciprocité quadratique prouvée par Gauss. Sous l'impulsion d'Artin et d'Hilbert (pour ne citer qu'eux) s'est développé un vaste programme de généralisation de la loi de réciprocité quadratique.
L'aboutissement de ce programme est la théorie du corps de classe, qui classifie toutes les extensions abéliennes de corps de nombres.
De nos jours, l'équivalent d'une théorie du corps de classe est toujours recherchée pour les corps de nombres galoisiens, c’est une des questions auxquelles est censé répondre le programme de Langlands. La situation y est beaucoup plus complexe que dans le cas abélien.

## Objectifs

Les objectifs de cette leçon n'ont pas encore été fixés. Pour le faire, cliquez ici.

## Niveau et prérequis conseillés

Leçon de niveau 18. Les prérequis pour cette leçon n'ont pas encore été précisés. Pour le faire, cliquez ici.

## Référents [Modifier]

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
* Loïc Fabiou (discuter)
# Théorie du corps de classe/Présentation de la leçon

La théorie du corps de classe est l'un des grands aboutissements de la théorie des nombres du XXe siècle. Son histoire commence au XIXe avec la loi de réciprocité quadratique prouvée par Gauss. Sous l'impulsion d'Artin et d'Hilbert (pour ne citer qu'eux) s'est développé un vaste programme de généralisation de la loi de réciprocité quadratique.
L'aboutissement de ce programme est la théorie du corps de classe, qui classifie toutes les extensions abéliennes de corps de nombres.
De nos jours, l'équivalent d'une théorie du corps de classe est toujours recherchée pour les corps de nombres galoisiens, c’est une des questions auxquelles est censé répondre le programme de Langlands. La situation y est beaucoup plus complexe que dans le cas abélien.
# Théorie des langages

| Chap. 1 : | Définitions (15) |
| Chap. 2 : | Histoire et notations (15) |
| Chap. 3 : | Les mots (15) |
| Chap. 4 : | Les langages (15) |
| Chap. 5 : | Les expressions rationnelles (15) |
| Chap. 6 : | Les automates finis (15) |
| Chap. 7 : | Les grammaires (15) |
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## Présentation [Modifier]

La théorie des langages est la base de la construction des automates, structures fondamentales en informatique théorique.

## Objectifs

Les objectifs de cette leçon n'ont pas encore été fixés. Pour le faire, cliquez ici.

## Niveau et prérequis conseillés

Leçon de niveau 15. Les prérequis pour cette leçon n'ont pas encore été précisés. Pour le faire, cliquez ici.

## Référents [Modifier]

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
George (absent depuis 2008)
# Historique et notations
## Histoire de la théorie des langages

En 1956, Noam Chomsky propose une classification des langages formels, connue sous le nom de Hiérarchie de Chomsky. Cette classification permet l'étude de différents types de langages que nous allons aborder dans cette leçon.

## Notations

* La concaténation de deux caractères a et b se note $a.b$, ou par abus de notation $ab$
* La répétition d'un caractère a, n fois se note $a^{n},n\in \mathbb {N}$
* La répétition d'un caractère un nombre quelconque de fois entre 0 et $\infty$ se note $a^{*}$
* La répétition d'un caractère un nombre quelconque de fois strictement positif se note $a^{+}$
* Le mot vide (sans aucune lettre) est noté $\epsilon$ (ou parfois aussi $\Lambda$)
* L'expression $ab^{*}a$ peut correspondre aux mots : aa, aba, abba, ...
* L'expression $aa^{*}$ est équivalente à $a^{+}$
| Définitions | Les mots |
# Théorie du corps de classe/Loi de réciprocité quadratique

Ce chapitre est un résumé de : Introduction à la théorie des nombres/Résidus quadratiques.
Les prémisses de la théorie du corps de classe résident dans cette question simple, posée à l'origine par Euler et Legendre. Si l’on se donne $p,q$ deux nombres premiers, le fait que $p$ soit un carré (on dit plus volontiers résidu quadratique) modulo $q$, implique-t-il que $q$ soit un carré modulo $p$ ? La réponse est évidemment négative, comme le montre l'exemple $p=3,q=7$. On a $7\equiv 1^{2}{\bmod {3}}$, mais 3 n’est pas un résidu quadratique modulo 7.
Gauss apportera finalement la réponse à la question, par la loi de réciprocité quadratique. Avant de l'énoncer, introduisons un formalisme commode.
Dans toute la suite $p,q$ désigneront des nombres premiers impairs et $\mathbb {F} _{p}$ désigne le corps à $p$ éléments.
Pour tout $a\in \mathbb {F} _{p}^{*}$ on définit le symbole de Legendre $\left({\frac {a}{p}}\right)$ par :
* $\left({\frac {a}{p}}\right)=1$ si $a$ est un résidu quadratique modulo $p$ : $\exists x,x^{2}\equiv a({\text{mod }}p)$
* $\left({\frac {a}{p}}\right)=-1$ sinon
On peut étendre la symbole de Legendre sur tout $\mathbb {F} _{p}$ en posant $\left({\frac {0}{p}}\right)=0$. On définit alors un caractère de Dirichlet sur $\mathbb {F} _{p}$. Rappelons à toutes fins utiles le résultat (crucial) suivant.
Le groupe $\left(\mathbb {F} _{p}^{*},\times \right)$ est cyclique.
On en déduit aisément le théorème suivant :
$\forall a\in \mathbb {F} _{p}\quad \left({\frac {a}{p}}\right)=a^{\frac {p-1}{2}}$.
On peut maintenant énoncer de manière simple (c'est-à-dire sans disjonction de cas) la loi de réciprocité quadratique sous la forme suivante :
$\left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{\frac {(p-1)(q-1)}{4}}$.
En utilisant le formalisme de la théorie algébrique des nombres, on peut donner une preuve très simple et très éclairante de la loi de réciprocité quadratique. C'est cette voie qu’il faut suivre pour aboutir à la théorie du corps de classe et à des lois de réciprocité généralisées.
| Sommaire | Sommaire |
# Théorie des langages/Présentation de la leçon

La théorie des langages est la base de la construction des automates, structures fondamentales en informatique théorique.
# Théorie des langages/Référents

George (absent depuis 2008)
# Mouvements/Prérequis conseillés

Aucun prérequis pour cette leçon n'est conseillé.
# Mouvements/Présentation de la leçon

Le mouvement est le déplacement d'un corps dans l'espace par rapport à un point fixe et à un moment précis.
Dans cette leçon, vous allez donc apprendre ce que signifie le mouvement dans le domaine de la mécanique classique.
# Mouvements

| Chap. 1 : | Notion de mouvement |
| Chap. 2 : | Vitesse d'un objet |
| Chap. 3 : | Étude du mouvement d'un objet |
| Exos. 1 : | Comment décrire un mouvement ? |
| Exos. 2 : | Quelle est la vitesse d'un objet ? |
| Exos. 3 : | Réalisation et utilisation d'un graphique |
| Exos. 4 : | Le mouvement d'un objet est-il le même selon l'endroit où on le regarde ? |
Sur les autres projets Wikimedia :
* « Mouvement (mécanique) » sur Wikipédia
* « mouvement » sur le Wiktionnaire

## Présentation [Modifier]

Le mouvement est le déplacement d'un corps dans l'espace par rapport à un point fixe et à un moment précis.
Dans cette leçon, vous allez donc apprendre ce que signifie le mouvement dans le domaine de la mécanique classique.

## Objectifs [Modifier]

Les objectifs de cette leçon sont les suivants :
* Connaître les différents mouvements.
* Être capable de caractériser un mouvement.
* Savoir exploiter une chronophotographie.
* Identifier les grandeurs et les unités.
* Savoir mesurer des distances et des durées.
* Connaître la formule pour calculer une vitesse.
* Être capable de calculer une vitesse.
* Savoir réaliser et exploiter un graphique.
* Savoir que selon l'observateur, le mouvement d'un objet n'est pas le même.
* Préciser le référentiel d'étude lors de la description d'un mouvement.
* Savoir qu'un objet peut être en mouvement dans un référentiel et immobile dans un centre.

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 7.
Aucun prérequis pour cette leçon n'est conseillé.

## Référents [Modifier]

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
* Jade éternelle (discuter)
# Mouvements/Objectifs

Les objectifs de cette leçon sont les suivants :
* Connaître les différents mouvements.
* Être capable de caractériser un mouvement.
* Savoir exploiter une chronophotographie.
* Identifier les grandeurs et les unités.
* Savoir mesurer des distances et des durées.
* Connaître la formule pour calculer une vitesse.
* Être capable de calculer une vitesse.
* Savoir réaliser et exploiter un graphique.
* Savoir que selon l'observateur, le mouvement d'un objet n'est pas le même.
* Préciser le référentiel d'étude lors de la description d'un mouvement.
* Savoir qu'un objet peut être en mouvement dans un référentiel et immobile dans un centre.
# Plus loin dans la Seconde Guerre mondiale/Objectifs

* disposer d'une vision simple et globale de la Seconde guerre mondiale.
* mettre l'accent sur l'année 1941, année charnière de la guerre.
# Pluriel des noms en français/noms en -eau

Les noms ou adjectif se terminant en « eau » se terminent par « eaux » au pluriel.
* Un drapeau - des drapeaux
* Un jeu nouveau - des jeux nouveaux
| noms en -eu | noms en -au |
# Plus loin dans la Seconde Guerre mondiale/Annexe/Bibliographie
## Ouvrages généraux

Deux livres indispensables
Liddle Hart (sir Basil) : Histoire de la Seconde guerre mondiale - Paris - Fayard - 1973 - L'auteur présente souvent des points de vues originaux, montrant les différents enjeux stratégiques. La préface du général Beauffre ajoute de l’intérêt à l'ouvrage.
Michel Henri : La seconde guerre mondiale - Paris - 1977 - P.U.F. collection Peuples et civilisations - 2 tomes - Présentation universitaire de la Seconde guerre mondiale avec énormément de références bibliographiques. Henri Michel a été un des Secrétaires du Comité d'histoire de la Seconde Guerre mondiale.

## La seconde guerre mondiale jusqu'en juin 1945

Michel Henri : La drôle de guerre... de guerre lasse - Paris - 1971 - Hachette - Excellent livre qui fait la synthèse des forces en présence, de la campagne de Pologne et de l'imbrication, du point de vue français, des opérations militaires sur la politique intérieure. C'est le meilleur livre sur la drôle de guerre
Amouroux Henri : Histoire des Français sous l'occupation ; le peuple du désastre. - Paris - Robert Laffont - A ne pas oublier. Vif, alerte, fait le point sur certains problèmes en sortant des sentiers conventionnels
Cochet François : Les soldats de la drôle de guerre - Paris - 2004 - Hachette de la série la vie quotidienne. Excellent livre, très intéressant et d'une lecture facile.
Conte Arthur : La drôle de guerre - Paris - 1999 - Plon - une présentation assez journalistique de cette période avec une série de flash. Dans la même veine :
Conte Arthur : Le premier janvier 1940 - Paris - 1977 - Plon
Cremieux-Brilhac Jean-louis : Les Français de l'an 40 - Paris - Gallimard - 1990 deux tomes ou plutôt deux sommes. Livre très intéressant, très bien documenté qui donne une bonne approche de l'ambiance de la période. Certains chapitres doivent néanmoins être lus avec esprit critique
Fonvieille-Alquier François : Les Français dans la drôle de guerre - Paris - 1971 - Robert Laffont est assez semblable aux livres d'Arthur Conte, mais avec une sensibilité plus à gauche.
Kimche Jon : La bataille escamotées - Paris - 1970 - Fayard - Livre à déconseiller, assez touffu, s’apparente parfois à de l'histoire fiction, bien que l’on y glane quelques informations intéressantes.

## Souvenirs ou mémoires

Shirer William L. : Journal de Berlin (1934-1941) ; chronique d'un correspondant - Laval (Quebec) - 2009 - Presses de l'Université de Laval (Québec) .
| Filmographie | Liens |
# Plus loin dans la Seconde Guerre mondiale

| Chap. 1 : | La seconde guerre mondiale jusqu'en juin 1940 |
| Chap. 2 : | La guerre de l'armistice de juin 40 à la rupture germano-russe |
| Chap. 3 : | De l'attaque de l'U.R.S.S. au débarquement |
| Chap. 4 : | La défaite de l'Axe |
| Chap. 5 : | La guerre navale |
| Chap. 6 : | Les Résistances |
| Chap. 7 : | Les premières conséquences de la guerre |
| Fiche 1 : | Les grandes dates |
| Fiche 2 : | Frise chronologique |
| Annexe 1 : | Filmographie |
| Annexe 2 : | Bibliographie |
| Annexe 3 : | Liens |
| Quiz : | QCM |
| Exercice : | Commentaires de documents |
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## Présentation [Modifier]

D'un conflit germano-polonais, la seconde guerre mondiale a progressivement embrasé la quasi totalité des pays et des continents. Elle s'est traduite par la défaite des dictatures et la victoire des démocraties, l'Union soviétique faisant exception.
Cette leçon se trouve au niveau 15 et ne doit pas être confondu avec la leçon : Seconde Guerre mondiale qui se trouve au niveau 12 et qui est, par conséquent, d'un niveau plus élémentaire.

## Objectifs [Modifier]

* disposer d'une vision simple et globale de la Seconde guerre mondiale.
* mettre l'accent sur l'année 1941, année charnière de la guerre.

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 15.
* Connaissance des relations internationales de 1919 à 1939
* On pourra éventuellement réviser ses connaissances élémentaires grâce à la leçon de niveau inférieur : Seconde Guerre mondiale.

## Référents [Modifier]

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
* Hérisson grognon (discuter)
* Jade éternelle (discuter)
# Plus loin dans la Seconde Guerre mondiale/Prérequis conseillés

* Connaissance des relations internationales de 1919 à 1939
* On pourra éventuellement réviser ses connaissances élémentaires grâce à la leçon de niveau inférieur : Seconde Guerre mondiale.
# Plus loin dans la Seconde Guerre mondiale/Présentation de la leçon

D'un conflit germano-polonais, la seconde guerre mondiale a progressivement embrasé la quasi totalité des pays et des continents. Elle s'est traduite par la défaite des dictatures et la victoire des démocraties, l'Union soviétique faisant exception.
Cette leçon se trouve au niveau 15 et ne doit pas être confondu avec la leçon : Seconde Guerre mondiale qui se trouve au niveau 12 et qui est, par conséquent, d'un niveau plus élémentaire.
# Pluriel des noms en français/noms en -au

Les noms se terminant en « au » se terminent par « aux » au pluriel.
* Un noyau - des noyaux
* Un tuyau - des tuyaux
* Mais il y a des exceptions :
* Un landau donne des landaus
* Un sarrau donne des sarraus
| noms en -eau | noms en -al ou -ail |
# Pluriel des noms en français/noms en -ou

Les mots se terminant en « -ou » se terminent par « -ous » au pluriel sauf :
* chou ;
* genou ;
* caillou ;
* bijou ;
* pou ;
* hibou ;
* joujou ;
qui se terminent par « -oux » au pluriel.
* Ripoux possèdent deux pluriel ripous et ripoux, au choix
Phrase mnémotechnique pour les retenir : « Viens mon chou, mon joujou, mon bijou, sur mes genoux jeter des cailloux à ces vieux hiboux plein de poux ».

## Illustration

Les Hiboux
Ce sont les mères des hiboux Qui désiraient chercher les poux De leurs enfants, leurs petits choux, En les tenant sur les genoux.
Leurs yeux d’or valent des bijoux Leur bec est dur comme cailloux, Ils sont doux comme des joujoux, Mais aux hiboux point de genoux !
Votre histoire se passait où ? Chez les Zoulous ? Les Andalous ? Ou dans la cabane bambou ? À Moscou ? Ou à Tombouctou ?
En Anjou ou dans le Poitou ? Au Pérou ou chez les Mandchous ? Hou ! Hou ! Pas du tout, c’était chez les fous.
Robert Desnos, 30 Chantefables pour les enfants sages, Paris, Gründ, 1945
| Généralités | noms en -eu |
# Pluriel des noms en français/noms en -eu

Les noms se terminant en « eu » se terminent par « eux » au pluriel.
* Un feu - des feux
* Un jeu - des jeux
* Mais il y a des exceptions :
* Un pneu donne des pneus
* Un bleu donne des bleus
* Un émeu donne des émeus
* Un enfeu donne des enfeus
* Un lieu (poisson) donne des lieus, mais un lieu (un endroit) donne des lieux
* La feue baronne (personne décédé) donne Les feues baronnes, mais un feu (qui brûle) donne des feux.
* Un sarrau donne des sarraus
| noms en -ou | noms en -eau |
# Trace et transposée de matrice/Propriétés plus élaborées

Nous allons établir, dans ce chapitre, quelques propriétés supplémentaires de la trace d’une matrice. Nous démontrons ces propriétés sur les matrices, mais nous devons garder présent à l’esprit que ces propriétés restent valables sur les endomorphismes en raison de l’isomorphisme existant entre l’ensemble des endomorphismes et l’ensemble des matrices.
Certaines propriétés énoncées ci-dessous ne font pas intervenir la notion de trace, mais elle servent dans la démonstration d’autres propriétés qui, elles, la font intervenir.
E$_{i,j}$ est la matrice ayant un 1 en ligne i colonne j et des 0 ailleurs.
(E$_{i,j}$)$_{i∈〚1,m〛,j∈〚1,n〛}$ constitue la base canonique de $\mathrm {M} _{m,n}(K)$. Par exemple, la matrice identité $\mathrm {I} _{n}\in \mathrm {M} _{n}(K)$ vérifie : $\mathrm {I} _{n}=\sum _{i=1}^{n}\mathrm {E} _{i,i}$.
Soit δ$_{i,j}$, le symbole de Kronecker, défini par :
    ${\begin{cases}\delta _{i,j}=1\qquad {\text{si}}\ i=j\\\delta _{i,j}=0\qquad {\text{si}}\ i\neq j\end{cases}}$.
Alors,
    $\left(\mathrm {E} _{i,i}\right)_{o,p}=\delta _{i,o}\delta _{j,p}$.
$E_{i,j}E_{k,l}=\delta _{j,k}E_{i,l}$.
    ${\begin{aligned}\forall o,p\qquad (E_{i,j}E_{k,l})_{o,p}&=\sum _{q}(E_{i,j})_{o,q}(E_{k,l})_{q,p}\\&=\sum _{q}\delta _{i,o}\delta _{j,q}\delta _{k,q}\delta _{l,p}\\&=\delta _{i,o}\delta _{k,j}\delta _{l,p}\\&=\delta _{j,k}\delta _{i,o}\delta _{l,p}\\&=\delta _{j,k}(E_{i,l})_{o,p}\\&=(\delta _{j,k}E_{i,l})_{o,p}.\end{aligned}}$
Une base de $\ker \left(\operatorname {Tr} \right)$ est la famille :
    $\{E_{i,j}\mid 1\leq i\leq n,\,1\leq j\leq n,\,i\neq j\}\cup \{E_{i,i}-E_{1,1}\mid 2\leq i\leq n\}$.
Une matrice $A=\sum _{1\leq i\leq n,\,1\leq j\leq n}a_{i,j}E_{i,j}$ appartient à ce noyau si et seulement si $a_{1,1}=-\sum _{i=2}^{n}a_{i,i}$, ce qui prouve que $\ker \left(\operatorname {Tr} \right)$ est engendré par cette famille. Comme elle est libre, c'est bien une base de $\ker \left(\operatorname {Tr} \right)$.
$\forall A\in \mathrm {M} _{m,n}(\mathbb {R} )\qquad \operatorname {Tr} (^{t}A\,A)\geq 0$.
$\forall A\in \mathrm {M} _{m,n}(\mathbb {R} )\qquad \operatorname {Tr} (^{t}A\,A)=0\Rightarrow A=0$.
$\forall A,B\in \mathrm {M} _{m,n}(K)\qquad \operatorname {Tr} (^{t}A\,B)=\operatorname {Tr} (^{t}B\,A)$.
Les propriétés 7 et 8, spécifiques à K = R, seront synthétisées et démontrées au chapitre suivant. La propriété 9, générale, est un simple corollaire de l'invariance de la trace par transposition (propriété 2) et du calcul de la transposée d'un produit.
| Définition de la trace d'un endomorphisme | Espace euclidien sur un ensemble de matrices |
# Trace et transposée de matrice/Présentation de la leçon

Cette leçon étudie plus en détail la trace et la transposée d'une matrice pour se prémunir des questions élaborées que l’on peut rencontrer dans les concours d'entrée aux grandes écoles. Nous verrons en particulier comment des notions aussi élémentaires que la trace et la transposée peuvent, dans un premier temps, nous permettre de définir une structure d'espace euclidien sur un ensemble de matrices et, dans un second temps, nous amener à élaborer une méthode de résolution approchée au mieux d'un système d'équations insoluble.