# Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Intégrales généralisées (ou impropres)
## Notion d'intégrales généralisées (ou impropres) sur un intervalle
### Rappel : intégrale d'une fonction continue par morceaux sur intervalle fermé (ou “intégrale propre”)

Revoir le paragraphe « intégrale définie sur un intervalle fermé » du chap.$15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

### Intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie

Une 1ère intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux $\;f\;$ est définie sur l'intervalle ouvert $\;\left[a,\;+\infty \right[\;$ avec $\;a\in \mathbb {R}$, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de $\;\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\;$ quand $\;b\,\rightarrow \,+\infty \;$ soit Une 1ère intégrale généralisée «$\;\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)\,dx=\lim \limits _{b\,\rightarrow \,+\infty }\left[\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\right]\;$» si cette dernière existe et est finie ;
on peut définir une autre intégrale généralisée de la fonction continue par morceaux $\;f\;$ sur l'intervalle ouvert $\;\left]-\infty ,\;b\right]\;$ avec $\;b\in \mathbb {R}$, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de $\;\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\;$ quand $\;a\,\rightarrow \,-\infty \;$ soit on peut définir une autre intégrale généralisée «$\;\displaystyle \int _{-\infty }^{b}f(x)\,dx=\lim \limits _{a\,\rightarrow \,-\infty }\left[\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\right]\;$» si cette dernière existe et est finie ;
enfin on peut définir l'intégrale généralisée de la fonction continue par morceaux $\;f\;$ sur l'intervalle ouvert $\;\left]-\infty ,\;+\infty \right[$, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de $\;\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\;$ quand $\;a\,\rightarrow \,-\infty \;$ et $\;b\,\rightarrow \,+\infty \;$ soit enfin on peut définir l'intégrale généralisée «$\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx=\lim \limits _{b\,\rightarrow \,+\infty }\left\lbrace \lim \limits _{a\,\rightarrow \,-\infty }\left[\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\right]\right\rbrace \;$» si cette dernière existe et est finie.
Remarque : Il ne suffit pas que $\;f(x)\rightarrow 0\;$ quand $\;x\rightarrow -\infty \;$ ${\big$ou quand $\;x\rightarrow +\infty {\big )}\;$ pour que $\;\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)\,dx\;$ ${\bigg\!$ou pour que $\;\displaystyle \int _{-\infty }^{b}f(x)\,dx{\bigg )}\;$ converge, Remarque : voir deux exemples ci-dessous où $\;f(x)\rightarrow 0\;$ quand $\;x\rightarrow \pm \infty \;$ et où la 1ère intégrale diverge alors que la 2ème converge : Remarque : $\bullet \;$1er exemple : $\;f(x)={\dfrac {1}{x}}\;$ qui $\;\rightarrow 0\;$ quand $\;x\rightarrow \pm \infty \;$ mais pour laquelle $\;\displaystyle \int _{a}^{b}{\dfrac {dx}{x}}\;$ avec $\;(a,\,b)\in (\mathbb {R} ^{+})^{2}\;$diverge quand $\;b\rightarrow +\infty \;$ car Remarque : $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple : $\;\color {transparent}{f(x)={\dfrac {1}{x}}}\;$ $\;\displaystyle \int _{a}^{b}{\dfrac {dx}{x}}=\left[\ln |x|\right]_{a}^{b}=\ln \left({\dfrac {b}{a}}\right)\;$ et $\;\lim \limits _{b\,\rightarrow \,+\infty }\left[\ln \left({\dfrac {b}{a}}\right)\right]=+\infty$ ; Remarque : $\bullet \;$2nd exemple : $\;f(x)={\dfrac {1}{x^{2}}}\;$ qui $\;\rightarrow 0\;$ quand $\;x\rightarrow \pm \infty \;$ et pour laquelle $\;\displaystyle \int _{a}^{b}{\dfrac {dx}{x^{2}}}\;$ avec $\;(a,\,b)\in (\mathbb {R} ^{+})^{2}\;$converge quand $\;b\rightarrow +\infty \;$ car Remarque : $\color {transparent}{\bullet }\;$2nd exemple : $\;\color {transparent}{f(x)={\dfrac {1}{x^{2}}}}\;$ $\;\displaystyle \int _{a}^{b}{\dfrac {dx}{x^{2}}}=\left[-{\dfrac {1}{x}}\right]_{a}^{b}={\dfrac {1}{a}}-{\dfrac {1}{b}}\;$ et $\;\lim \limits _{b\,\rightarrow \,+\infty }\left[{\dfrac {1}{a}}-{\dfrac {1}{b}}\right]={\dfrac {1}{a}}\;$ d'où $\;\displaystyle \int _{a}^{+\infty }{\dfrac {dx}{x^{2}}}={\dfrac {1}{a}}$.

### Intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle fermé à l'exception d'au moins une des bornes pour laquelle la fonction diverge

Une 2ème intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux $\;f\;$ est définie sur l'intervalle fermé $\;\left[a,\;b\right]\;$ avec $\;(a,\,b)\in \mathbb {R} ^{2}\;$ et $\;f\;$ non définie en $\;b\;$, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale propre $\;\displaystyle \int _{a}^{\xi }f(x)\,dx\;$ définie sur l'intervalle ouvert à droite $\;\left[a,\;\xi \right[$, limite quand $\;\xi \,\rightarrow \,b\;$ soit Une 2ème intégrale généralisée «$\;\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim \limits _{\xi \,\rightarrow \,b}\left[\displaystyle \int _{a}^{\xi }f(x)\,dx\right]\;$» si cette dernière existe et est finie ;
on peut définir une autre intégrale généralisée de la fonction continue par morceaux $\;f\;$ sur l'intervalle fermé $\;\left[a,\;b\right]\;$ avec $\;(a,\,b)\in \mathbb {R} ^{2}\;$ et $\;f\;$ non définie en $\;a\;$, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale propre $\;\displaystyle \int _{\xi }^{b}f(x)\,dx\;$ définie sur l'intervalle ouvert à gauche $\;\left]\xi ,\;b\right]$, limite quand $\;\xi \,\rightarrow \,a\;$ soit on peut définir une autre intégrale généralisée «$\;\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim \limits _{\xi \,\rightarrow \,a}\left[\displaystyle \int _{\xi }^{b}f(x)\,dx\right]\;$» si cette dernière existe et est finie ;
enfin on peut définir l'intégrale généralisée de la fonction continue par morceaux $\;f\;$ sur l'intervalle fermé $\;\left[a,\;b\right]\;$ avec $\;(a,\,b)\in \mathbb {R} ^{2}\;$, $\;f\;$ non définie en $\;a\;$ et en $\;b\;$, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de $\;\displaystyle \int _{\xi }^{\zeta }f(x)\,dx\;$ quand $\;\xi \,\rightarrow \,a\;$ et $\;\zeta \,\rightarrow \,b\;$ soit enfin on peut définir l'intégrale généralisée «$\;\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim \limits _{\zeta \,\rightarrow \,b}\left\lbrace \lim \limits _{\xi \,\rightarrow \,a}\left[\displaystyle \int _{\xi }^{\zeta }f(x)\,dx\right]\right\rbrace \;$» si cette dernière existe et est finie.
Remarque : Le plus souvent $\;f(x)\rightarrow \pm \infty \;$ quand $\;x\rightarrow b\;$ ou $\;x\rightarrow a\;$ et $\;f\;$ admet une primitive $\;F$, Remarque : Le plus souvent $\;\color {transparent}{f(x)\rightarrow \pm \infty }\;$ quand $\;\color {transparent}{x\rightarrow b}\;$ ou $\;\color {transparent}{x\rightarrow a}\;$ et dans ces conditions l'intégrale convergera si $\;F\;$ admet une limite finie ; Remarque : Le plus souvent $\;\color {transparent}{f(x)\rightarrow \pm \infty }\;$ quand $\;\color {transparent}{x\rightarrow b}\;$ ou $\;\color {transparent}{x\rightarrow a}\;$ et il convient donc d'effectuer le calcul de l'intégrale « propre » pour conclure : Remarque : Le plus souvent $\;\color {transparent}{f(x)\rightarrow \pm \infty }\;$ quand $\;\color {transparent}{x\rightarrow b}\;$ ou $\;\color {transparent}{x\rightarrow a}\;$ suivent deux exemples à conclusions différentes : Remarque : Le plus souvent $\;\color {transparent}{f(x)\rightarrow \pm \infty }\;$ quand $\;\color {transparent}{x\rightarrow b}\;$ ou $\;\color {transparent}{x\rightarrow a}\;$ $\bullet \;$1er exemple : $\;f(x)={\dfrac {1}{b-x}}\;$ qui $\;\rightarrow \pm \infty \;$ quand $\;x\rightarrow b\;$ mais pour laquelle $\;\displaystyle \int _{a}^{b}{\dfrac {dx}{b-x}}\;$ avec $\;(a,\,b)\in \mathbb {R} ^{2}\;$diverge car Remarque : Le plus souvent $\;\color {transparent}{f(x)\rightarrow \pm \infty }\;$ quand $\;\color {transparent}{x\rightarrow b}\;$ ou $\;\color {transparent}{x\rightarrow a}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple : $\;\color {transparent}{f(x)={\dfrac {1}{b-x}}}\;$ l'intégrale propre sur l'intervalle ouvert $\;\left[a,\;\xi \right[\;$ avec $\;\xi <b\;$ s'évalue selon Remarque : Le plus souvent $\;\color {transparent}{f(x)\rightarrow \pm \infty }\;$ quand $\;\color {transparent}{x\rightarrow b}\;$ ou $\;\color {transparent}{x\rightarrow a}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple : $\;\color {transparent}{f(x)={\dfrac {1}{b-x}}}\;$ $\;\displaystyle \int _{a}^{\xi }{\dfrac {dx}{b-x}}=\left[-\ln |b-x|\right]_{a}^{\xi }=\ln \left({\dfrac {b-a}{b-\xi }}\right)\;$ et $\;\lim \limits _{\xi \,\rightarrow \,b}\left[\ln \left({\dfrac {b-a}{b-\xi }}\right)\right]=+\infty$ ; Remarque : Le plus souvent $\;\color {transparent}{f(x)\rightarrow \pm \infty }\;$ quand $\;\color {transparent}{x\rightarrow b}\;$ ou $\;\color {transparent}{x\rightarrow a}\;$ $\bullet \;$2nd exemple : $\;f(x)={\dfrac {1}{\sqrt {b-x}}}\;$ qui $\;\rightarrow \infty \;$ quand $\;x\rightarrow b^{-}$, pour laquelle $\;\displaystyle \int _{a}^{b}{\dfrac {dx}{\sqrt {b-x}}}\;$ avec $\;(a,\,b)\in \mathbb {R} ^{2}\;$converge car Remarque : Le plus souvent $\;\color {transparent}{f(x)\rightarrow \pm \infty }\;$ quand $\;\color {transparent}{x\rightarrow b}\;$ ou $\;\color {transparent}{x\rightarrow a}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$2nd exemple : $\;\color {transparent}{f(x)={\dfrac {1}{\sqrt {b-x}}}}\;$ l'intégrale propre sur l'intervalle ouvert $\;\left[a,\;\xi \right[\;$ avec $\;\xi <b\;$ s'évalue selon Remarque : Le plus souvent $\;\color {transparent}{f(x)\rightarrow \pm \infty }\;$ quand $\;\color {transparent}{x\rightarrow b}\;$ ou $\;\color {transparent}{x\rightarrow a}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$2nd exemple : $\;\color {transparent}{f(x)={\dfrac {1}{\sqrt {b-x}}}}\;$ $\;\displaystyle \int _{a}^{\xi }{\dfrac {dx}{\sqrt {b-x}}}=\left[-2\;{\sqrt {b-x}}\right]_{a}^{\xi }=2\left({\sqrt {b-\xi }}-{\sqrt {b-a}}\right)\;$ d'une part et Remarque : Le plus souvent $\;\color {transparent}{f(x)\rightarrow \pm \infty }\;$ quand $\;\color {transparent}{x\rightarrow b}\;$ ou $\;\color {transparent}{x\rightarrow a}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$2nd exemple : $\;\color {transparent}{f(x)={\dfrac {1}{\sqrt {b-x}}}}\;$ $\;\lim \limits _{\xi \,\rightarrow \,b}\left[2\left(-{\sqrt {b-\xi }}+{\sqrt {b-a}}\right)\right]=2\;{\sqrt {b-a}}\;$ d'autre part d'où Remarque : Le plus souvent $\;\color {transparent}{f(x)\rightarrow \pm \infty }\;$ quand $\;\color {transparent}{x\rightarrow b}\;$ ou $\;\color {transparent}{x\rightarrow a}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$2nd exemple : $\;\color {transparent}{f(x)={\dfrac {1}{\sqrt {b-x}}}}\;$ $\;\displaystyle \int _{a}^{b}{\dfrac {dx}{\sqrt {b-x}}}=2\;{\sqrt {b-a}}$.

## Intégrales curvilignes généralisées

Une intégrale curviligne « propre » se ramenant, après un choix judicieux de paramétrage, à un calcul d'intégrale « propre » sur un segment, il est aisé de prolonger les définitions données dans le paragraphe « notion d'intégrales généralisées (ou impropres) sur un intervalle » plus haut dans ce chapitre.

### Intégrales curvilignes généralisées sur une courbe d'extension infinie

L'intégrale curviligne généralisée d'une fonction $\;f(M)\;$ continue par morceaux sur une courbe $\;(\Gamma )\;$ d'extension infinie $\;{\stackrel {\frown }{AB_{\infty }}}$, notée $\;\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B_{\infty }}\!\!f\!\left[M(s)\right]ds$, converge si l'intégrale curviligne « propre » sur la courbe $\;(\Gamma )\;$ dont l'extension $\;{\stackrel {\frown }{AB}}\;$ est finie, «$\;\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}f\!\left[M(s)\right]ds\;$» admet une limite finie quand $\;B\rightarrow B_{\infty }\;$ en suivant la courbe $\;(\Gamma )\;$ et cette limite définit $\;\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B_{\infty }}f\!\left[M(s)\right]ds\;$ soit L'intégrale curviligne généralisée «$\;\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B_{\infty }}f\!\left[M(s)\right]ds=\lim \limits _{B\,{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\,B_{\infty }}\left[\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}f\!\left[M(s)\right]ds\right]\;$» si cette dernière existe et est finie ;
on peut définir une autre intégrale curviligne généralisée de la fonction $\;f(M)\;$ continue par morceaux sur la courbe $\;(\Gamma )\;$ d'extension infinie $\;{\stackrel {\frown }{A_{\infty }B}}$, notée $\;\displaystyle \int _{A_{\infty }{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}f\!\left[M(s)\right]ds$, comme la limite, dans la mesure où elle existe et est finie, de «$\;\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}f\!\left[M(s)\right]ds\;$» quand $\;A\,\rightarrow \,A_{\infty }\;$ en suivant la courbe $\;(\Gamma )\;$ soit on peut définir une autre intégrale curviligne généralisée «$\;\displaystyle \int _{A_{\infty }{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}f\!\left[M(s)\right]ds=\lim \limits _{A\,{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\,A_{\infty }}\left[\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}f\!\left[M(s)\right]ds\right]\;$» si cette dernière existe et est finie ;
enfin on peut définir l'intégrale curviligne généralisée de la fonction $\;f(M)\;$ continue par morceaux sur la courbe $\;(\Gamma )\;$ d'extension infinie $\;{\stackrel {\frown }{A_{\infty }B_{\infty }}}$, notée $\;\displaystyle \int _{A_{\infty }{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B_{\infty }}f\!\left[M(s)\right]ds$, comme la limite, dans la mesure où elle existe et est finie, de «$\;\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}f\!\left[M(s)\right]ds\;$» quand $\;A\,\rightarrow \,A_{\infty }\;$ et $\;B\,\rightarrow \,B_{\infty }\;$ en suivant la courbe $\;(\Gamma )\;$ soit enfin on peut définir l'intégrale curviligne généralisée «$\;\displaystyle \int _{A_{\infty }{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B_{\infty }}f\!\left[M(s)\right]ds=\lim \limits _{B\,{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\,B_{\infty }}\left\lbrace \lim \limits _{A\,{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\,A_{\infty }}\left[\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}f\!\left[M(s)\right]ds\right]\right\rbrace \;$» si cette dernière existe et est finie.

### Intégrales curvilignes généralisées sur une courbe d'extension finie d'une fonction divergeant en une de ses extrémités

L'intégrale curviligne généralisée d'une fonction $\;f(M)\;$ continue par morceaux sur une courbe $\;(\Gamma )\;$ d'extension finie $\;{\stackrel {\frown }{AB}}\;$ avec $\;f(M)\;$ non définie en $\;B\;$ extrémité droite de l'arc, intégrale curviligne généralisée notée $\;\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}f\!\left[M(s)\right]ds$, est définie, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale curviligne propre «$\;\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}P}f\!\left[M(s)\right]ds\;$» définie sur l'arc ouvert à droite $\;{\stackrel {\frown }{AP}}$, $\;P\;$ étant sur $\;(\Gamma )\;$ avant $\;B$, limite quand $\;P\,\rightarrow \,B\;$ en restant sur $\;(\Gamma )\;$ soit L'intégrale curviligne généralisée «$\;\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}f\!\left[M(s)\right]ds=\lim \limits _{P\,\rightarrow \,B}\left[\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}P}f\!\left[M(s)\right]ds\right]\;$» si cette dernière existe et est finie ;
on peut définir une autre intégrale curviligne généralisée de la fonction $\;f(M)\;$ continue par morceaux sur la courbe $\;(\Gamma )\;$ d'extension finie $\;{\stackrel {\frown }{AB}}\;$ avec $\;f(M)\;$ non définie en $\;A\;$ extrémité gauche de l'arc, intégrale curviligne généralisée notée $\;\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}f\!\left[M(s)\right]ds$, on peut définir une autre intégrale curviligne généralisée selon la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale curviligne propre «$\;\displaystyle \int _{P{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}f\!\left[M(s)\right]ds\;$» définie sur l'arc ouvert à gauche $\;{\stackrel {\frown }{PB}}$, $\;P\;$ étant sur $\;(\Gamma )\;$ après $\;A$, limite quand $\;P\,\rightarrow \,A\;$ en restant sur $\;(\Gamma )\;$ soit on peut définir une autre intégrale curviligne généralisée «$\;\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}f\!\left[M(s)\right]ds=\lim \limits _{P\,\rightarrow \,A}\left[\displaystyle \int _{P{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}f\!\left[M(s)\right]ds\right]\;$» si cette dernière existe et est finie ;
enfin on peut définir l'intégrale curviligne généralisée de la fonction $\;f(M)\;$ continue par morceaux sur la courbe $\;(\Gamma )\;$ d'extension finie $\;{\stackrel {\frown }{AB}}\;$ avec $\;f(M)\;$ non définie en $\;A\;$ et $\;B\;$, intégrale curviligne généralisée notée $\;\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}f\!\left[M(s)\right]ds$, enfin on peut définir l'intégrale curviligne généralisée selon la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale curviligne propre «$\;\displaystyle \int _{P{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}Q}f\!\left[M(s)\right]ds\;$» définie sur l'arc ouvert aux deux extrémités $\;{\stackrel {\frown }{PQ}}$, $\;P\;$ étant sur $\;(\Gamma )\;$ après $\;A\;$ et $\;Q\;$ sur $\;(\Gamma )\;$ avant $\;B$, limite quand $\;P\,\rightarrow \,A\;$ et $\;Q\,\rightarrow \,B\;$ en restant sur $\;(\Gamma )\;$ soit enfin on peut définir l'intégrale curviligne généralisée «$\;\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}f\!\left[M(s)\right]ds=\lim \limits _{Q\,{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\,B}\left\lbrace \lim \limits _{P\,\rightarrow \,A}\left[\displaystyle \int _{P{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}Q}f\!\left[M(s)\right]ds\right]\right\rbrace \;$» si cette dernière existe et est finie.

## Intégrales surfaciques généralisées

Une intégrale surfacique « propre » se ramenant, après un choix judicieux de paramétrage, à un calcul d'intégrales « propres » emboîtées sur des segments, il est aisé de prolonger les définitions données dans le paragraphe « notion d'intégrales généralisées (ou impropres) sur un intervalle » plus haut dans ce chapitre.

### Intégrales surfaciques généralisées sur une surface d'extension infinie

L'intégrale surfacique généralisée d'une fonction $\;f(M)\;$ continue par morceaux sur une surface $\;(\Sigma _{\infty })\;$ d'extension infinie $\;{\big$c.-à-d. telle que le contour fermé $\;(\Gamma _{\infty })\;$ limitant $\;(\Sigma _{\infty })\;$ soit de longueur infinie${\big ]}$, notée $\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma _{\infty })}f\!\left[M\right]d\Sigma \;$ ${\Bigg$ou $\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma _{\infty }){\text{ limitée par }}(\Gamma _{\infty })}f\!\left[M\right]d\Sigma {\Bigg ]}$, converge si l'intégrale surfacique « propre » sur la surface $\;(\Sigma )\;$ dont l'extension est finie $\;{\big$car le contour fermé $\;(\Gamma )\;$ limitant $\;(\Sigma )\;$ est de longueur finie${\big ]}$, «$\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma )}f\!\left[M\right]d\Sigma \;$ ${\Bigg$ou $\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma ){\text{ limitée par }}(\Gamma )}f\!\left[M\right]d\Sigma {\Bigg ]}\;$» admet une limite finie quand $\;(\Gamma )\rightarrow (\Gamma _{\infty })\;$ de façon à ce que $\;(\Sigma )\rightarrow (\Sigma _{\infty })\;$ définissant $\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma _{\infty })}f\!\left[M\right]d\Sigma \;$ ${\Bigg$ou, de façon plus précise, $\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma _{\infty }){\text{ limitée par }}(\Gamma _{\infty })}f\!\left[M\right]d\Sigma {\Bigg ]}\;$ soit L'intégrale surfacique généralisée «$\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma _{\infty })}f\!\left[M\right]d\Sigma =\lim \limits _{(\Sigma )\,\rightarrow \,(\Sigma _{\infty })}\left[\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma )}f\!\left[M\right]d\Sigma \right]\;$» si cette dernière existe et est finie s'écrivant encore L'intégrale surfacique généralisée «$\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma _{\infty }){\text{ limitée par }}(\Gamma _{\infty })}f\!\left[M\right]d\Sigma =\lim \limits _{(\Gamma )\,\rightarrow \,(\Gamma _{\infty })}\left[\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma ){\text{ limitée par }}(\Gamma )}f\!\left[M\right]d\Sigma \right]\;$».
Exemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de deux intégrales surfaciques généralisées d'une fonction à symétrie centrale sur le plan $\;xOy\;$ auquel on a retiré un petit disque de centre $\;O\;$, la 1ère étant divergente et la 2ème convergente : Exemples : $\bullet \;$1er exemple : $\;f(M)={\dfrac {1}{OM^{2}}}={\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\;$ ${\big$à symétrie centrale${\big )}\;$ avec intégration sur $\;(\Sigma _{\infty })\;$ ${\big$plan $\;xOy\;$ auquel on a retiré le disque de centre $\;O\;$ et de rayon $\;a{\big ]}$ ; Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM^{2}}}={\dfrac {1}{\rho ^{2}}}}\;$ on réalise l'intégration surfacique propre sur $\;(\Sigma )\;$ ${\big$disque de centre $\;O\;$ de rayon $\;R\;$ auquel on a retiré le disque de centre $\;O\;$ et de rayon $\;a{\big ]}$, Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM^{2}}}={\dfrac {1}{\rho ^{2}}}}\;$ on réalise l'intégration surfacique propre sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ «$\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma )}f(M)\;d\Sigma \;$» qui s'évalue selon $\;\displaystyle \int _{a}^{R}{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\;2\;\pi \;\rho \;d\rho \;$ ou Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM^{2}}}={\dfrac {1}{\rho ^{2}}}}\;$ on réalise l'intégration surfacique propre sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ «$\;\color {transparent}{\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma )}f(M)\;d\Sigma }$ $=\displaystyle \int _{a}^{R}2\;\pi \;{\dfrac {d\rho }{\rho }}=2\;\pi \;\ln \!\left[{\dfrac {R}{a}}\right]\rightarrow \infty \;$ quand $\;R\rightarrow \infty \;$ ; Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM^{2}}}={\dfrac {1}{\rho ^{2}}}}\;$ en conclusion $\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma _{\infty })}{\dfrac {1}{OM^{2}}}\;d\Sigma \;$ diverge ; Exemples : $\bullet \;$2nd exemple : $\;f(M)={\dfrac {1}{OM^{3}}}={\dfrac {1}{\rho ^{3}}}\;$ ${\big$à symétrie centrale${\big )}\;$ avec intégration sur $\;(\Sigma _{\infty })\;$ ${\big$plan $\;xOy\;$ auquel on a retiré le disque de centre $\;O\;$ et de rayon $\;a{\big ]}$ ; Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM^{3}}}={\dfrac {1}{\rho ^{3}}}}\;$ on réalise l'intégration surfacique propre sur $\;(\Sigma )\;$ ${\big$disque de centre $\;O\;$ de rayon $\;R\;$ auquel on a retiré le disque de centre $\;O\;$ et de rayon $\;a{\big ]}$, Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM^{3}}}={\dfrac {1}{\rho ^{3}}}}\;$ on réalise l'intégration surfacique propre sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ «$\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma )}f(M)\;d\Sigma \;$» qui s'évalue selon $\;\displaystyle \int _{a}^{R}{\dfrac {1}{\rho ^{3}}}\;2\;\pi \;\rho \;d\rho \;$ ou Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM^{3}}}={\dfrac {1}{\rho ^{3}}}}\;$ on réalise l'intégration surfacique propre sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ «$\;\color {transparent}{\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma )}f(M)\;d\Sigma }$ $=\displaystyle \int _{a}^{R}2\;\pi \;{\dfrac {d\rho }{\rho ^{2}}}=2\;\pi \left[-{\dfrac {1}{R}}+{\dfrac {1}{a}}\right]\rightarrow {\dfrac {2\;\pi }{a}}\;$ quand $\;R\rightarrow \infty \;$ ; Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM^{3}}}={\dfrac {1}{\rho ^{3}}}}\;$ en conclusion $\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma _{\infty })}{\dfrac {1}{OM^{3}}}\;d\Sigma \;$ converge.

### Intégrales surfaciques généralisées sur une surface d'extension finie d'une fonction divergeant sur le contour limitant la surface ou en un point de celle-ci

L'intégrale surfacique généralisée d'une fonction $\;f(M)\;$ continue par morceaux sur une surface $\;(\Sigma )\;$ d'extension finie avec $\;f(M)\;$ non définie en tout point du contour fermé $\;(\Gamma )\;$ limitant $\;(\Sigma )$, intégrale surfacique généralisée notée $\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma )}f\!\left[M\right]d\Sigma \;$ ${\Bigg$ou $\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma ){\text{ limitée par }}(\Gamma )}f\!\left[M\right]d\Sigma {\Bigg ]}\!$, L'intégrale surfacique généralisée est définie, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale surfacique propre «$\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma ^{*})}f\!\left[M\right]d\Sigma \;$» calculée sur la surface $\;(\Sigma ^{*})\;$ définie comme la surface $\;(\Sigma )\;$ à laquelle on a retiré un voisinage du contour fermé $\;(\Gamma )\;$, limite quand $\;(\Sigma ^{*})\,\rightarrow \,(\Sigma )\;$ ${\big$ou quand le voisinage du contour fermé $\;(\Gamma )\;$ tend vers $\;\emptyset {\big ]}\;$ soit L'intégrale surfacique généralisée «$\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma )}f\!\left[M\right]d\Sigma =\lim \limits _{(\Sigma ^{*})\,\rightarrow \,(\Sigma )}\left[\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma ^{*})}f\!\left[M\right]d\Sigma \right]\;$» si cette dernière existe et est finie.
l'intégrale surfacique généralisée Exemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de deux intégrales surfaciques généralisées d'une fonction à symétrie centrale sur l'intégrale surfacique généralisée Exemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de deux intégrales surfaciques le disque du plan $\;xOy$, de centre $\;O$, de rayon $\;R$, l'intégrale surfacique généralisée Exemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de la 1ère étant divergente et la 2ème convergente : l'intégrale surfacique généralisée Exemples : $\bullet \;$1er exemple : $\;f(M)={\dfrac {1}{M{M'}^{2}}}={\dfrac {1}{\left(R-\rho \right)^{2}}}\;$ où $\;M'\,\in \,(\Gamma )\;$ en position la plus proche de $\;M\;$ ${\big$à symétrie centrale${\big )}\;$ l'intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{M{M'}^{2}}}={\dfrac {1}{\left(R-\rho \right)^{2}}}}\;$ avec intégration sur $\;(\Sigma )\;$ ${\big$disque du plan $\;xOy$, de centre $\;O\;$ et de rayon $\;R{\big ]}$ ; l'intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{M{M'}^{2}}}={\dfrac {1}{\left(R-\rho \right)^{2}}}}\;$ on réalise l'intégration surfacique propre sur $\;(\Sigma ^{*})\;$ ${\big$disque de centre $\;O\;$ de rayon $\;R\;$ auquel a été l'intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{M{M'}^{2}}}={\dfrac {1}{\left(R-\rho \right)^{2}}}}\;$ on réalise l'intégration surfacique propre sur $\;\color {transparent}{(\Sigma ^{*})}\;$ $\color {transparent}{\big$retiré un voisinage du contour fermé $\;(\Gamma )\;$${\big ]}$, l'intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{M{M'}^{2}}}={\dfrac {1}{\left(R-\rho \right)^{2}}}}\;$ «$\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma ^{*})}f(M)\;d\Sigma \;$» qui s'évalue selon $\;\displaystyle \int _{0}^{(R-\mu )}{\dfrac {1}{\left(R-\rho \right)^{2}}}\;2\;\pi \;\rho \;d\rho \;$ ou l'intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{M{M'}^{2}}}={\dfrac {1}{\left(R-\rho \right)^{2}}}}\;$ «$\;\color {transparent}{\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma ^{*})}f(M)\;d\Sigma }\;$$=\left\lbrace \displaystyle \int _{\rho =0}^{\rho =R-\mu }\!\!\!{\dfrac {1}{\left(R-\rho \right)^{2}}}\;2\;\pi \,\left(R-\rho \right)\,d\!\left(R-\rho \right)\right\rbrace -2\;\pi \;R\displaystyle \int _{\rho =0}^{\rho =R-\mu }{\dfrac {d\!\left(R-\rho \right)}{\left(R-\rho \right)^{2}}}$ l'intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{M{M'}^{2}}}={\dfrac {1}{\left(R-\rho \right)^{2}}}}\;$ «$\;\color {transparent}{\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma ^{*})}f(M)\;d\Sigma }\;$$=2\;\pi \;\displaystyle \int _{\rho =0}^{\rho =R-\mu }{\dfrac {d\!\left(R-\rho \right)}{R-\rho }}-2\;\pi \;R\displaystyle \int _{\rho =0}^{\rho =R-\mu }{\dfrac {d\!\left(R-\rho \right)}{\left(R-\rho \right)^{2}}}\;$ l'intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{M{M'}^{2}}}={\dfrac {1}{\left(R-\rho \right)^{2}}}}\;$ «$\;\color {transparent}{\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma ^{*})}f(M)\;d\Sigma }\;$$=2\;\pi \,\left[\ln \!\left(R-\rho \right)\right]_{0}^{R-\mu }-2\;\pi \;R\,\left[-{\dfrac {1}{R-\rho }}\right]_{0}^{R-\mu }$ l'intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)=M{M'}^{2}=\left(R-\rho \right)^{2}}\;$ «$\;\color {transparent}{f(M)\;d\Sigma }\;$$=2\;\pi \left\lbrace \ln \!\left({\dfrac {\mu }{R}}\right)+R\left({\dfrac {1}{\mu }}-{\dfrac {1}{R}}\right)\right\rbrace =2\;\pi \left\lbrace \ln \!\left({\dfrac {\mu }{R}}\right)+{\dfrac {R-\mu }{\mu }}\right\rbrace \;$ forme l'intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)=M{M'}^{2}=\left(R-\rho \right)^{2}}\;$ «$\;\color {transparent}{f(M)\;d\Sigma }\;$indéterminée quand $\;\mu \rightarrow 0\;$ dont le 2ème terme entre accolades $\nearrow$ plus vite l'intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)=M{M'}^{2}=\left(R-\rho \right)^{2}}\;$ «$\;\color {transparent}{f(M)\;d\Sigma }\;$que le 1er ne $\searrow \;$ quand $\;\mu \searrow \;$ d'où $\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma ^{*})}f(M)\;d\Sigma \;\rightarrow +\infty \;$ quand $\;\mu \rightarrow 0$ ; l'intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{M{M'}^{2}}}={\dfrac {1}{\left(R-\rho \right)^{2}}}}\;$ en conclusion $\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma )}{\dfrac {1}{M{M'}^{2}}}\;d\Sigma \;$ diverge $\;{\bigM'\,\in \,(\Gamma )\;$ en position la plus proche de $\;M{\big ]}$ ; l'intégrale surfacique généralisée Exemples : $\bullet \;$2nd exemple : $\;f(M)={\dfrac {1}{\sqrt {M{M'}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {R-\rho }}}\;$ où $\;M'\,\in \,(\Gamma )\;$ en position la plus proche de $\;M\;$ ${\big$à symétrie centrale${\big )}\;$ l'intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{\sqrt {M{M'}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {R-\rho }}}}\;$ avec intégration sur $\;(\Sigma )\;$ ${\big$disque du plan $\;xOy$, de centre $\;O\;$ et de rayon $\;R{\big ]}$ ; l'intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{\sqrt {M{M'}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {R-\rho }}}}\;$ on réalise l'intégration surfacique propre sur $\;(\Sigma ^{*})\;$ ${\big$disque de centre $\;O\;$ de rayon $\;R\;$ auquel a été l'intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{\sqrt {M{M'}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {R-\rho }}}}\;$ on réalise l'intégration surfacique propre sur $\;\color {transparent}{(\Sigma ^{*})}\;$ $\color {transparent}{\big$retiré un voisinage du contour fermé $\;(\Gamma )\;$${\big ]}$, l'intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{\sqrt {M{M'}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {R-\rho }}}}\;$ «$\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma ^{*})}f(M)\;d\Sigma \;$» qui s'évalue selon $\;\displaystyle \int _{0}^{(R-\mu )}{\dfrac {1}{\sqrt {R-\rho }}}\;2\;\pi \;\rho \;d\rho \;$ ou l'intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{\sqrt {M{M'}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {R-\rho }}}}\;$ «$\;\color {transparent}{\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma ^{*})}f(M)\;d\Sigma }\;$$=\left\lbrace \displaystyle \int _{\rho =0}^{\rho =R-\mu }\!\!\!{\dfrac {1}{\sqrt {R-\rho }}}\;2\;\pi \,\left(R-\rho \right)\,d\!\left(R-\rho \right)\right\rbrace -2\;\pi \;R\displaystyle \int _{\rho =0}^{\rho =R-\mu }{\dfrac {d\!\left(R-\rho \right)}{\sqrt {R-\rho }}}$ l'intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{\sqrt {M{M'}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {R-\rho }}}}\;$ «$\;\color {transparent}{\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma ^{*})}f(M)\;d\Sigma }\;$$=2\;\pi \;\displaystyle \int _{\rho =0}^{\rho =R-\mu }\left(R-\rho \right)^{\frac {1}{2}}\;d\!\left(R-\rho \right)-2\;\pi \;R\displaystyle \int _{\rho =0}^{\rho =R-\mu }\left(R-\rho \right)^{-{\frac {1}{2}}}\;d\!\left(R-\rho \right)\;$ l'intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{\sqrt {M{M'}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {R-\rho }}}}\;$ «$\;\color {transparent}{\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma ^{*})}f(M)\;d\Sigma }\;$$=2\;\pi \,\left\lbrace \left[{\dfrac {2}{3}}\,\left(R-\rho \right)^{\frac {3}{2}}\right]_{0}^{R-\mu }-R\,\left[2\,\left(R-\rho \right)^{\frac {1}{2}}\right]_{0}^{R-\mu }\right\rbrace \;$ l'intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\sqrt {M{M'}}}={\sqrt {R-\rho }}}\;$ «$\;\color {transparent}{f(M)\;d\Sigma }\;$$=2\;\pi \left\lbrace {\dfrac {2}{3}}\left(\!\mu ^{\,{\frac {3}{2}}}-R^{\,{\frac {3}{2}}}\!\right)-2\;R\left(\,{\sqrt {\mu }}-{\sqrt {R}}\,\right)\right\rbrace \rightarrow {\dfrac {8\;\pi }{3}}\;R^{\,{\frac {3}{2}}}\;$ quand $\;\mu \rightarrow 0$ ; l'intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{\sqrt {M{M'}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {R-\rho }}}}\;$ en conclusion $\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma )}{\dfrac {1}{\sqrt {M{M'}}}}\;d\Sigma ={\dfrac {8\;\pi }{3}}\;R^{\,{\frac {3}{2}}}\;$ ${\bigM'\,\in \,(\Gamma )\;$ en position la plus proche de $\;M{\big ]}$.
On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée de la fonction $\;f(M)\;$ continue par morceaux sur une surface $\;(\Sigma )\;$ d'extension finie avec $\;f(M)\;$ non définie en un point $\;B\;$, intégrale surfacique généralisée notée $\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma )}f\!\left[M\right]d\Sigma \;$ ${\Bigg$ou $\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma ){\text{ limitée par }}(\Gamma )}f\!\left[M\right]d\Sigma {\Bigg ]}\!$, On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée selon la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale surfacique propre «$\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma ^{*})}f\!\left[M\right]d\Sigma \;$» calculée sur la surface $\;(\Sigma ^{*})\;$ s'identifiant à $\;(\Sigma )\;$ à laquelle on a retiré un voisinage du point $\;B\;$, limite quand $\;(\Sigma ^{*})\,\rightarrow \,(\Sigma )\;$ ${\big$ou quand le voisinage du point $\;B\;$ tend vers $\;\emptyset {\big ]}\;$ soit On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée «$\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma )}f\!\left[M\right]d\Sigma =\lim \limits _{(\Sigma ^{*})\,\rightarrow \,(\Sigma )}\left[\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma ^{*})}f\!\left[M\right]d\Sigma \right]\;$» si cette dernière existe et est finie.
On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de deux intégrales surfaciques généralisées d'une fonction On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples : Ci-dessous à symétrie centrale sur le disque du plan $\;xOy$, de centre $\;O\;$ et de rayon $\;R$, On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples : Ci-dessous la 1ère étant divergente et la 2ème convergente : On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples : $\bullet \;$1er exemple : $\;f(M)={\dfrac {1}{OM^{2}}}={\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\;$ ${\big$à symétrie centrale${\big )}\;$ avec intégration sur $\;(\Sigma )\;$ ${\big$disque du plan $\;xOy$, On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM^{2}}}={\dfrac {1}{\rho ^{2}}}}\;$ $\color {transparent}{\big$à symétrie centrale $\color {transparent}{\big )}\;$ avec intégration sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ de centre $\;O\;$ et de rayon $\;R{\big ]}$ ; On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM^{2}}}={\dfrac {1}{\rho ^{2}}}}\;$ on réalise l'intégration surfacique propre sur $\;(\Sigma ^{*})\;$ ${\big$disque de centre $\;O\;$ de rayon $\;R\;$ On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM^{2}}}={\dfrac {1}{\rho ^{2}}}}\;$ on réalise l'intégration surfacique propre sur sans le disque de centre $\;O\;$ de rayon $\;\mu {\big ]}$, On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM^{2}}}={\dfrac {1}{\rho ^{2}}}}\;$ on réalise «$\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma ^{*})}f(M)\;d\Sigma \;$» qui s'évalue selon $\;\displaystyle \int _{\mu }^{R}{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\;2\;\pi \;\rho \;d\rho \;$ ou On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM^{2}}}={\dfrac {1}{\rho ^{2}}}}\;$ on réalise «$\;\color {transparent}{\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma ^{*})}f(M)\;d\Sigma }\;$$=\displaystyle \int _{\mu }^{R}2\;\pi \;{\dfrac {d\rho }{\rho }}=$ $2\;\pi \;\ln \!\left[{\dfrac {R}{\mu }}\right]\rightarrow \infty \;$ quand $\;\mu \rightarrow 0\;$ ; On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM^{2}}}={\dfrac {1}{\rho ^{2}}}}\;$ en conclusion $\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma )}{\dfrac {1}{OM^{2}}}\;d\Sigma \;$ diverge ; On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples : $\bullet \;$2nd exemple : $\;f(M)={\dfrac {1}{OM}}={\dfrac {1}{\rho }}\;$ ${\big$à symétrie centrale${\big )}\;$ avec intégration sur $\;(\Sigma )\;$ ${\big$disque du plan $\;xOy$, On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM}}={\dfrac {1}{\rho }}}\;$ $\color {transparent}{\big$à symétrie centrale $\color {transparent}{\big )}\;$ avec intégration sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ de centre $\;O\;$ et de rayon $\;R{\big ]}$ ; On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM}}={\dfrac {1}{\rho }}}\;$ on réalise l'intégration surfacique propre sur $\;(\Sigma ^{*})\;$ ${\big$disque de centre $\;O\;$ de rayon $\;R\;$ On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM}}={\dfrac {1}{\rho }}}\;$ on réalise l'intégration surfacique propre sur sans le disque de centre $\;O\;$ de rayon $\;\mu {\big ]}$, On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM}}={\dfrac {1}{\rho }}}\;$ on réalise «$\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma ^{*})}f(M)\;d\Sigma \;$» qui s'évalue selon $\;\displaystyle \int _{\mu }^{R}{\dfrac {1}{\rho }}\;2\;\pi \;\rho \;d\rho \;$ ou On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM}}={\dfrac {1}{\rho }}}\;$ on réalise «$\;\color {transparent}{\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma ^{*})}f(M)\;d\Sigma }\;$$=\displaystyle \int _{\mu }^{R}2\;\pi \;d\rho =2\;\pi \,\left[R-\mu \right]\rightarrow 2\;\pi \;R\;$ quand $\;\mu \rightarrow 0\;$ ; On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM}}={\dfrac {1}{\rho }}}\;$ en conclusion $\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma )}{\dfrac {1}{OM}}\;d\Sigma =2\;\pi \;R\;$ donc effectivement convergente.

## Intégrales volumiques généralisées

Une intégrale volumique « propre » se ramenant, après un choix judicieux de paramétrage, à un calcul d'intégrales « propres » emboîtées sur des segments, il est aisé de prolonger les définitions données dans le paragraphe « notion d'intégrales généralisées (ou impropres) sur un intervalle » plus haut dans ce chapitre.

### Intégrales volumiques généralisées sur une expansion tridimensionnelle d'extension infinie

L'intégrale volumique généralisée d'une fonction $\;f(M)\;$ continue par morceaux sur une expansion tridimensionnelle $\;({\mathcal {V}}_{\infty })\;$ d'extension infinie $\;{\big$c.-à-d. telle que la surface $\;(\Sigma _{\infty })\;$ limitant $\;({\mathcal {V}}_{\infty })\;$ soit d'aire infinie${\big ]}$, notée $\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}_{\infty })}f\!\left[M\right]d{\mathcal {V}}\;$ ${\Bigg$ou encore $\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}_{\infty }){\text{ limitée par }}(\Sigma _{\infty })}f\!\left[M\right]d{\mathcal {V}}{\Bigg ]}$, converge si l'intégrale volumique « propre » sur l'expansion tridimensionnelle $\;({\mathcal {V}})\;$ dont l'extension est finie $\;{\big$car la surface $\;(\Sigma )\;$ limitant $\;({\mathcal {V}})\;$ est d'aire finie${\big ]}$, «$\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}})}f\!\left[M\right]d{\mathcal {V}}\;$ ${\Bigg$ou encore $\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}){\text{ limitée par }}(\Sigma )}f\!\left[M\right]d{\mathcal {V}}{\Bigg ]}\;$» admet une limite finie quand $\;(\Sigma )\rightarrow (\Sigma _{\infty })\;$ de façon à ce que $\;({\mathcal {V}})\rightarrow ({\mathcal {V}}_{\infty })\;$ et cette limite définit $\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}_{\infty })}f\!\left[M\right]d{\mathcal {V}}\;$ ${\Bigg$ou encore $\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}_{\infty }){\text{ limitée par }}(\Sigma _{\infty })}f\!\left[M\right]d\Sigma {\Bigg ]}\;$ soit L'intégrale volumique généralisée «$\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}_{\infty })}f\!\left[M\right]d{\mathcal {V}}=\lim \limits _{({\mathcal {V}})\,\rightarrow \,({\mathcal {V}}_{\infty })}\left[\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}})}f\!\left[M\right]d{\mathcal {V}}\right]\;$» si cette dernière existe et est finie s'écrivant encore L'intégrale volumique généralisée «$\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}_{\infty }){\text{ limitée par }}(\Sigma _{\infty })}f\!\left[M\right]d{\mathcal {V}}=\lim \limits _{(\Sigma )\,\rightarrow \,(\Sigma _{\infty })}\left[\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}){\text{ limitée par }}(\Sigma )}f\!\left[M\right]d{\mathcal {V}}\right]\;$».
Exemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de deux intégrales volumiques généralisées d'une fonction à symétrie sphérique sur l'espace entier auquel on a retiré une petite boule de centre $\;O\;$, la 1ère étant divergente et la 2ème convergente : Exemples : $\bullet \;$1er exemple : $\;f(M)={\dfrac {1}{OM^{3}}}={\dfrac {1}{r^{3}}}\;$ ${\big$à symétrie sphérique${\big )}\;$ avec intégration sur $\;({\mathcal {V}}_{\infty })\;$ ${\big$espace entier auquel on a retiré une petite boule de centre $\;O\;$ et de rayon $\;a{\big ]}$ ; Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM^{3}}}={\dfrac {1}{r^{3}}}}\;$ on réalise l'intégration volumique propre sur $\;({\mathcal {V}})\;$ ${\big$boule de centre $\;O\;$ de rayon $\;R\;$ auquel on a retiré la petite boule de centre $\;O\;$ et de rayon $\;a{\big ]}$, Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM^{3}}}={\dfrac {1}{r^{3}}}}\;$ on réalise l'intégration volumique propre sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {V}})}\;$ «$\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}})}f(M)\;d{\mathcal {V}}\;$» qui s'évalue selon $\;\displaystyle \int _{a}^{R}{\dfrac {1}{r^{3}}}\;4\;\pi \;r^{2}\;dr\;$ ou Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM^{3}}}={\dfrac {1}{r^{3}}}}\;$ on réalise l'intégration volumique propre sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {V}})}\;$ «$\;\color {transparent}{\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}})}f(M)\;d{\mathcal {V}}}$ $=\displaystyle \int _{a}^{R}4\;\pi \;{\dfrac {dr}{r}}=4\;\pi \;\ln \!\left[{\dfrac {R}{a}}\right]\rightarrow \infty \;$ quand $\;R\rightarrow \infty \;$ ; Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM^{3}}}={\dfrac {1}{r^{3}}}}\;$ en conclusion $\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}_{\infty })}{\dfrac {1}{OM^{3}}}\;d{\mathcal {V}}\;$ diverge ; Exemples : $\bullet \;$2nd exemple : $\;f(M)={\dfrac {1}{OM^{4}}}={\dfrac {1}{r^{4}}}\;$ ${\big$à symétrie sphérique${\big )}\;$ avec intégration sur $\;({\mathcal {V}}_{\infty })\;$ ${\big$espace entier auquel on a retiré une petite boule de centre $\;O\;$ et de rayon $\;a{\big ]}$ ; Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM^{4}}}={\dfrac {1}{r^{4}}}}\;$ on réalise l'intégration volumique propre sur $\;({\mathcal {V}})\;$ ${\big$boule de centre $\;O\;$ de rayon $\;R\;$ auquel on a retiré la petite boule de centre $\;O\;$ et de rayon $\;a{\big ]}$, Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM^{4}}}={\dfrac {1}{r^{4}}}}\;$ on réalise l'intégration volumique propre sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {V}})}\;$ «$\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}})}f(M)\;d{\mathcal {V}}\;$» qui s'évalue selon $\;\displaystyle \int _{a}^{R}{\dfrac {1}{r^{4}}}\;4\;\pi \;r^{2}\;dr\;$ ou Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM^{4}}}={\dfrac {1}{r^{4}}}}\;$ on réalise l'intégration volumique propre sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {V}})}\;$ «$\;\color {transparent}{\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}})}f(M)\;d{\mathcal {V}}}$ $=\displaystyle \int _{a}^{R}4\;\pi \;{\dfrac {dr}{r^{2}}}=4\;\pi \,\left[-{\dfrac {1}{R}}+{\dfrac {1}{a}}\right]\rightarrow {\dfrac {4\;\pi }{a}}\;$ quand $\;R\rightarrow \infty \;$ ; Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM^{4}}}={\dfrac {1}{r^{4}}}}\;$ en conclusion $\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}_{\infty })}{\dfrac {1}{OM^{4}}}\;d{\mathcal {V}}={\dfrac {4\;\pi }{a}}\;$ donc effectivement convergente.

### Intégrales volumiques généralisées sur une expansion tridimensionnelle d'extension finie d'une fonction divergeant sur la surface limitant l'expansion tridimensionnelle ou en un point de cette dernière

L'intégrale volumique généralisée d'une fonction $\;f(M)\;$ continue par morceaux sur une expansion tridimensionnelle $\;({\mathcal {V}})\;$ dont l'extension est finie avec $\;f(M)\;$ non définie en tout point de la surface fermée $\;(\Sigma )\;$ limitant $\;({\mathcal {V}})$, intégrale volumique généralisée notée $\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}})}f\!\left[M\right]d{\mathcal {V}}\;$ ${\Bigg$ou $\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}){\text{ limitée par }}(\Sigma )}f\!\left[M\right]d{\mathcal {V}}{\Bigg ]}\!$, L'intégrale volumique généralisée est définie, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale volumique propre «$\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}^{*})}f\!\left[M\right]d{\mathcal {V}}\;$» calculée sur l'expansion tridimensionnelle $\;({\mathcal {V}}^{*})\;$ définie comme l'expansion tridimensionnelle $\;({\mathcal {V}})\;$ à laquelle on a retiré un voisinage de la surface fermée $\;(\Sigma )\;$, limite quand $\;({\mathcal {V}}^{*})\,\rightarrow \,({\mathcal {V}})\;$ ${\big$ou quand le voisinage de la surface fermée $\;(\Sigma )\;$ limitant $\;{\mathcal {V}}\;$ tend vers $\;\emptyset {\big ]}\;$ soit L'intégrale volumique généralisée «$\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}})}f\!\left[M\right]d{\mathcal {V}}=\lim \limits _{({\mathcal {V}}^{*})\,\rightarrow \,({\mathcal {V}})}\left[\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}^{*})}f\!\left[M\right]d{\mathcal {V}}\right]\;$» si cette dernière existe et est finie.
l'intégrale volumique généralisée Exemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de deux intégrales volumiques généralisées d'une fonction à symétrie sphérique sur l'intégrale volumique généralisée Exemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de deux intégrales volumiques généralisées la sphère de centre $\;O$, de rayon $\;R$, l'intégrale volumique généralisée Exemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de la 1ère étant divergente et la 2ème convergente : l'intégrale volumique généralisée Exemples : $\bullet \;$1er exemple : $\;f(M)={\dfrac {1}{M{M'}^{3}}}={\dfrac {1}{\left(R-r\right)^{3}}}\;$ où $\;M'\,\in \,(\Sigma )\;$ en position la plus proche de $\;M\;$ ${\big$à symétrie sphérique${\big )}\;$ l'intégrale volumique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{M{M'}^{3}}}={\dfrac {1}{\left(R-r\right)^{3}}}}\;$ avec intégration sur $\;({\mathcal {V}})\;$ ${\big$boule, de centre $\;O\;$ et de rayon $\;R{\big ]}$ ; l'intégrale volumique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{M{M'}^{3}}}={\dfrac {1}{\left(R-r\right)^{3}}}}\;$ on réalise l'intégration volumique propre sur $\;({\mathcal {V}}^{*})\;$ ${\big$boule de centre $\;O\;$ de rayon $\;R\;$ auquel a été l'intégrale volumique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{M{M'}^{3}}}={\dfrac {1}{\left(R-r\right)^{3}}}}\;$ on réalise l'intégration volumique propre sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {V}}^{*})}\;$ $\color {transparent}{\big$retiré un voisinage de la surface fermée $\;(\Sigma )\;$${\big ]}$, l'intégrale volumique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{M{M'}^{3}}}={\dfrac {1}{\left(R-r\right)^{3}}}}\;$ «$\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}^{*})}f(M)\;d{\mathcal {V}}\;$» qui s'évalue selon $\;\displaystyle \int _{0}^{(R-\mu )}{\dfrac {1}{\left(R-r\right)^{3}}}\;4\;\pi \;r^{2}\;dr\;$ ou l'intégrale volumique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{M{M'}^{3}}}={\dfrac {1}{\left(R-r\right)^{3}}}}\;$ «$\;\color {transparent}{\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}^{*})}f(M)\;d{\mathcal {V}}}\;$$=4\;\pi \left\lbrace -\displaystyle \int _{r=0}^{r=R-\mu }\!\!\!{\dfrac {1}{\left(R-r\right)^{3}}}\,\left(R-r\right)^{2}\,d\!\left(R-r\right)\cdots \right.$ l'intégrale volumique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{M{M'}^{3}}}={\dfrac {1}{\left(R-r\right)^{3}}}}\;$ «$\;\color {transparent}{\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}^{*})}f(M)\;d{\mathcal {V}}}\;$$\color {transparent}{=4\;\pi }$ $+\;2\;R\displaystyle \int _{r=0}^{r=R-\mu }\!\!\!{\dfrac {1}{\left(R-r\right)^{3}}}\,\left(R-r\right)\,d\!\left(R-r\right)\cdots$ l'intégrale volumique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{M{M'}^{3}}}={\dfrac {1}{\left(R-r\right)^{3}}}}\;$ «$\;\color {transparent}{\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}^{*})}f(M)\;d{\mathcal {V}}}\;$$\color {transparent}{=4\;\pi }$ $\left.-\;R^{2}\displaystyle \int _{r=0}^{r=R-\mu }\!\!\!{\dfrac {1}{\left(R-r\right)^{3}}}\,d\!\left(R-r\right)\right\rbrace \;$ l'intégrale volumique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{M{M'}^{3}}}={\dfrac {1}{\left(R-r\right)^{3}}}}\;$ «$\;\color {transparent}{\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}^{*})}f(M)\;d{\mathcal {V}}}\;$$=4\;\pi \left\lbrace -\displaystyle \int _{r=0}^{r=R-\mu }{\dfrac {d\!\left(R-r\right)}{\left(R-r\right)}}+2\;R\displaystyle \int _{r=0}^{r=R-\mu }{\dfrac {d\!\left(R-r\right)}{\left(R-r\right)^{2}}}\right.$ l'intégrale volumique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{M{M'}^{3}}}={\dfrac {1}{\left(R-r\right)^{3}}}}\;$ «$\;\color {transparent}{\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}^{*})}f(M)\;d{\mathcal {V}}}\;$$\color {transparent}{=4\;\pi \left\lbrace -\displaystyle \int _{r=0}^{r=R-\mu }{\dfrac {d\!\left(R-r\right)}{\left(R-r\right)}}\right.}$ $\left.-\;R^{2}\displaystyle \int _{r=0}^{r=R-\mu }{\dfrac {d\!\left(R-r\right)}{\left(R-r\right)^{3}}}\right\rbrace$ l'intégrale volumique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{M{M'}^{3}}}={\dfrac {1}{\left(R-r\right)^{3}}}}\;$ «$\;\color {transparent}{\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}^{*})}f(M)\;d{\mathcal {V}}}\;$$=4\;\pi \left\lbrace -\left[\ln \!\left(R-r\right)\right]_{0}^{R-\mu }+2\;R\left[{\dfrac {-1}{R-r}}\right]_{0}^{R-\mu }-R^{2}\left[{\dfrac {-1}{2\;(R-r)^{2}}}\right]_{0}^{R-\mu }\right\rbrace \;$ l'intégrale volumique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{M{M'}^{3}}}={\dfrac {1}{\left(R-r\right)^{3}}}}\;$ «$\;\color {transparent}{\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}^{*})}f(M)\;d{\mathcal {V}}}\;$$=4\;\pi \left\lbrace \ln \!\left({\dfrac {R}{\mu }}\right)+2\;R\left({\dfrac {1}{R}}-{\dfrac {1}{\mu }}\right)-{\dfrac {R^{2}}{2}}\left({\dfrac {1}{R^{2}}}-{\dfrac {1}{\mu ^{2}}}\right)\right\rbrace$ forme indéterminée l'intégrale volumique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)=M{M'}^{3}=\left(R-r\right)^{3}}\;$ «$\;\color {transparent}{f(M)\;d\Sigma }\;$quand $\;\mu \rightarrow 0\;$ dont le 3ème terme entre accolades $\nearrow$ plus vite que le 2ème ne $\searrow$ l'intégrale volumique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)=M{M'}^{3}=\left(R-r\right)^{3}}\;$ «$\;\color {transparent}{f(M)\;d\Sigma }\;$quand $\;\color {transparent}{\mu \rightarrow 0}\;$ dont le 3ème terme entre accolades $\color {transparent}{\nearrow }$ plus vite et que le 1er ne $\nearrow \;$ l'intégrale volumique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)=M{M'}^{3}=\left(R-r\right)^{3}}\;$ «$\;\color {transparent}{f(M)\;d\Sigma }\;$quand $\;\color {transparent}{\mu \rightarrow 0}\;$ dont le 3ème terme entre accolades $\color {transparent}{\nearrow }$ quand $\;\mu \searrow \;$ vers $\;0\;$ d'où l'intégrale volumique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{M{M'}^{3}}}={\dfrac {1}{\left(R-r\right)^{3}}}}\;$ «$\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}^{*})}f(M)\;d{\mathcal {V}}\;\rightarrow +\infty \;$ quand $\;\mu \rightarrow 0$ ; l'intégrale volumique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{M{M'}^{3}}}={\dfrac {1}{\left(R-r\right)^{3}}}}\;$ en conclusion $\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}})}{\dfrac {1}{M{M'}^{3}}}\;d{\mathcal {V}}\;$ diverge $\;{\bigM'\,\in \,(\Sigma )\;$ en position la plus proche de $\;M{\big ]}$ ; l'intégrale volumique généralisée Exemples : $\bullet \;$2nd exemple : $\;f(M)={\dfrac {1}{\sqrt {M{M'}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {R-r}}}\;$ où $\;M'\,\in \,(\Sigma )\;$ en position la plus proche de $\;M\;$ ${\big$à symétrie sphérique${\big )}\;$ l'intégrale volumique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{\sqrt {M{M'}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {R-r}}}}\;$ avec intégration sur $\;({\mathcal {V}})\;$ ${\big$boule, de centre $\;O\;$ et de rayon $\;R{\big ]}$ ; l'intégrale volumique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{\sqrt {M{M'}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {R-r}}}}\;$ on réalise l'intégration volumique propre sur $\;({\mathcal {V}}^{*})\;$ ${\big$boule de centre $\;O\;$ de rayon $\;R\;$ auquel a été l'intégrale volumique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{\sqrt {M{M'}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {R-r}}}}\;$ on réalise l'intégration volumique propre sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {V}}^{*})}\;$ $\color {transparent}{\big$retiré un voisinage de la surface fermée $\;(\Sigma )\;$${\big ]}$, l'intégrale volumique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{\sqrt {M{M'}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {R-r}}}}\;$ «$\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}^{*})}f(M)\;d{\mathcal {V}}\;$» qui s'évalue selon $\;\displaystyle \int _{0}^{(R-\mu )}{\dfrac {1}{\sqrt {R-r}}}\;4\;\pi \;r^{2}\;dr\;$ ou l'intégrale volumique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{\sqrt {M{M'}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {R-r}}}}\;$ «$\;\color {transparent}{\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}^{*})}f(M)\;d{\mathcal {V}}}\;$$=4\;\pi \left\lbrace -\displaystyle \int _{r=0}^{r=R-\mu }\!\!\!{\dfrac {1}{\sqrt {R-r}}}\,\left(R-r\right)^{2}\,d\!\left(R-r\right)\cdots \right.$ l'intégrale volumique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{\sqrt {M{M'}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {R-r}}}}\;$ «$\;\color {transparent}{\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}^{*})}f(M)\;d{\mathcal {V}}}\;$$\color {transparent}{=4\;\pi }$ $+\;2\;R\displaystyle \int _{r=0}^{r=R-\mu }\!\!\!{\dfrac {1}{\sqrt {R-r}}}\,\left(R-r\right)\,d\!\left(R-r\right)\cdots$ l'intégrale volumique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{\sqrt {M{M'}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {R-r}}}}\;$ «$\;\color {transparent}{\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}^{*})}f(M)\;d{\mathcal {V}}}\;$$\color {transparent}{=4\;\pi }$ $\left.-\;R^{2}\displaystyle \int _{r=0}^{r=R-\mu }\!\!\!{\dfrac {1}{\sqrt {R-r}}}\,d\!\left(R-r\right)\right\rbrace \;$ l'intégrale volumique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{\sqrt {M{M'}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {R-r}}}}\;$ «$\;\color {transparent}{\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}^{*})}f(M)\;d{\mathcal {V}}}\;$$=4\;\pi \left\lbrace -\displaystyle \int _{r=0}^{r=R-\mu }\left(R-r\right)^{\frac {3}{2}}\;d\!\left(R-r\right)+2\;R\displaystyle \int _{r=0}^{r=R-\mu }\left(R-r\right)^{\frac {1}{2}}\;d\!\left(R-r\right)\right.$ l'intégrale volumique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{\sqrt {M{M'}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {R-r}}}}\;$ «$\;\color {transparent}{\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}^{*})}f(M)\;d{\mathcal {V}}}\;$$\color {transparent}{=4\;\pi \left\lbrace -\displaystyle \int _{r=0}^{r=R-\mu }\left(R-r\right)^{\frac {3}{2}}\;d\!\left(R-r\right)\right.}$ $\left.-\;R^{2}\displaystyle \int _{r=0}^{r=R-\mu }{\dfrac {d\!\left(R-r\right)}{\sqrt {R-r}}}\right\rbrace$ l'intégrale volumique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{\sqrt {M{M'}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {R-r}}}}\;$ «$\;\color {transparent}{\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}^{*})}f(M)\;d{\mathcal {V}}}\;$$=4\;\pi \left\lbrace -\left[{\dfrac {2}{5}}\,\left(R-r\right)^{\frac {5}{2}}\right]_{0}^{R-\mu }+2\;R\left[{\dfrac {2}{3}}\,\left(R-r\right)^{\frac {3}{2}}\right]_{0}^{R-\mu }\right.$ l'intégrale volumique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{\sqrt {M{M'}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {R-r}}}}\;$ «$\;\color {transparent}{\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}^{*})}f(M)\;d{\mathcal {V}}}\;$$\color {transparent}{=4\;\pi \left\lbrace -\left[{\dfrac {2}{5}}\,\left(R-r\right)^{\frac {5}{2}}\right]_{0}^{R-\mu }\right.}$ $\left.-R^{2}\left[2\,\left(R-r\right)^{\frac {1}{2}}\right]_{0}^{R-\mu }\right\rbrace \;$ l'intégrale volumique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{\sqrt {M{M'}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {R-r}}}}\;$ «$\;\color {transparent}{\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}^{*})}f(M)\;d{\mathcal {V}}}\;$$=4\;\pi \left\lbrace {\dfrac {2}{5}}\left(R^{\frac {5}{2}}-\mu ^{\frac {5}{2}}\right)-{\dfrac {4}{3}}\;R\left(R^{\frac {3}{2}}-\mu ^{\frac {3}{2}}\right)+2\;R^{2}\left(R^{\frac {1}{2}}-\mu ^{\frac {1}{2}}\right)\right\rbrace \;$ de limite l'intégrale volumique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\sqrt {M{M'}}}={\sqrt {R-r}}}\;$ «$\;\color {transparent}{f(M)\;d{\mathcal {V}}}\;$finie quand $\;\mu \rightarrow 0\;$ égale à «$\;\left({\dfrac {8\;\pi }{5}}-{\dfrac {16\;\pi }{3}}+8\;\pi \right)R^{\frac {5}{2}}={\dfrac {64}{15}}\;R^{\frac {5}{2}}\;$» d'où l'intégrale volumique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{\sqrt {M{M'}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {R-r}}}}\;$ «$\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}^{*})}f(M)\;d{\mathcal {V}}\;\rightarrow {\dfrac {64}{15}}\;R^{\frac {5}{2}}\;$ quand $\;\mu \rightarrow 0$ $\Rightarrow$ $\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}})}{\dfrac {1}{\sqrt {M{M'}}}}\;d{\mathcal {V}}\;$ effectivement convergente ; l'intégrale volumique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{\sqrt {M{M'}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {R-r}}}}\;$ en conclusion $\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}})}{\dfrac {1}{\sqrt {M{M'}}}}\;d{\mathcal {V}}={\dfrac {64}{15}}\;R^{\frac {5}{2}}$ $\;{\bigM'\,\in \,(\Sigma )\;$ en position la plus proche de $\;M{\big ]}$.
On peut définir une autre intégrale volumique généralisée de la fonction $\;f(M)\;$ continue par morceaux sur une expansion tridimensionnelle $\;({\mathcal {V}})\;$ d'extension finie avec $\;f(M)\;$ non définie en un point $\;B\;$, intégrale volumique généralisée notée $\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}})}f\!\left[M\right]d{\mathcal {V}}\;$ ${\Bigg$ou $\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}){\text{ limitée par }}(\Sigma )}f\!\left[M\right]d{\mathcal {V}}{\Bigg ]}\;$ On peut définir une autre intégrale volumique généralisée selon la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale volumique propre «$\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}^{*})}f\!\left[M\right]d{\mathcal {V}}\;$» calculée sur l'expansion tridimensionnelle $\;({\mathcal {V}}^{*})\;$ s'identifiant à $\;({\mathcal {V}})\;$ à laquelle a été retiré un voisinage du point $\;B\;$, limite quand $\;({\mathcal {V}}^{*})\,\rightarrow \,({\mathcal {V}})\;$ ${\big$ou quand le voisinage du point $\;B\;$ tend vers $\;\emptyset {\big ]}\;$ soit On peut définir une autre intégrale volumique généralisée «$\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}})}f\!\left[M\right]d{\mathcal {V}}=\lim \limits _{({\mathcal {V}}^{*})\,\rightarrow \,({\mathcal {V}})}\left[\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}^{*})}f\!\left[M\right]d{\mathcal {V}}\right]\;$» si cette dernière existe et est finie.
On peut définir une autre intégrale volumique généralisée Exemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de deux intégrales volumiques généralisées d'une fonction On peut définir une autre intégrale volumique généralisée Exemples : Ci-dessous à symétrie sphérique sur la boule de centre $\;O\;$ et de rayon $\;R$, On peut définir une autre intégrale volumique généralisée Exemples : Ci-dessous la 1ère étant divergente et la 2ème convergente : On peut définir une autre intégrale volumique généralisée Exemples : $\bullet \;$1er exemple : $\;f(M)={\dfrac {1}{OM^{3}}}={\dfrac {1}{r^{3}}}\;$ ${\big$à symétrie sphérique${\big )}\;$ avec intégration sur $\;({\mathcal {V}})\;$ ${\big$boule de centre $\;O$, de rayon $\;R{\big ]}$, On peut définir une autre intégrale volumique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM^{3}}}={\dfrac {1}{r^{3}}}}\;$ on réalise l'intégration volumique propre sur $\;({\mathcal {V}}^{*})\;$ ${\big$boule de centre $\;O$, de rayon $\;R\;$ sans On peut définir une autre intégrale volumique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)=OM^{3}=r^{3}}\;$ on réalise l'intégration volumique propre sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {V}}^{*})}\;$ $\color {transparent}{\big$la boule de centre $\;O$, de rayon $\;\mu {\big ]}$, On peut définir une autre intégrale volumique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)=OM^{3}=r^{3}}\;$ on réalise «$\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}^{*})}f(M)\;d{\mathcal {V}}\;$» qui s'évalue selon $\;\displaystyle \int _{\mu }^{R}{\dfrac {1}{r^{3}}}\;4\;\pi \;r^{2}\;dr\;$ ou On peut définir une autre intégrale volumique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)=OM^{3}=r^{3}}\;$ on réalise «$\;\color {transparent}{\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}^{*})}f(M)\;d{\mathcal {V}}}\;$$=\displaystyle \int _{\mu }^{R}4\;\pi \;{\dfrac {dr}{r}}=4\;\pi \;\ln \!\left[{\dfrac {R}{\mu }}\right]\rightarrow \infty \;$ quand $\;\mu \rightarrow 0\;$ ; On peut définir une autre intégrale volumique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)=OM^{3}=r^{3}}\;$ en conclusion $\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}})}{\dfrac {1}{OM^{3}}}\;d{\mathcal {V}}\;$ diverge ; On peut définir une autre intégrale volumique généralisée Exemples : $\bullet \;$2nd exemple : $\;f(M)={\dfrac {1}{OM^{2}}}={\dfrac {1}{r^{2}}}\;$ ${\big$à symétrie sphérique${\big )}\;$ avec intégration sur $\;({\mathcal {V}})\;$ ${\big$boule de centre $\;O$, de rayon $\;R{\big ]}$, On peut définir une autre intégrale volumique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM^{2}}}={\dfrac {1}{r^{2}}}}\;$ on réalise l'intégration volumique propre sur $\;({\mathcal {V}}^{*})\;$ ${\big$boule de centre $\;O$, de rayon $\;R\;$ sans On peut définir une autre intégrale volumique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)=OM^{2}=r^{2}}\;$ on réalise l'intégration volumique propre sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {V}}^{*})}\;$ $\color {transparent}{\big$la boule de centre $\;O$, de rayon $\;\mu {\big ]}$, On peut définir une autre intégrale volumique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)=OM^{2}=r^{2}}\;$ on réalise «$\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}^{*})}f(M)\;d{\mathcal {V}}\;$» qui s'évalue selon $\;\displaystyle \int _{\mu }^{R}{\dfrac {1}{r^{2}}}\;4\;\pi \;r^{2}\;dr\;$ ou On peut définir une autre intégrale volumique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)=OM^{2}=r^{2}}\;$ on réalise «$\;\color {transparent}{\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}^{*})}f(M)\;d{\mathcal {V}}}\;$$=\displaystyle \int _{\mu }^{R}4\;\pi \;dr=4\;\pi \,\left[R-\mu \right]\rightarrow 4\;\pi \;R\;$ quand $\;\mu \rightarrow 0\;$ ; On peut définir une autre intégrale volumique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)=OM^{2}=r^{2}}\;$ en conclusion $\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}})}{\dfrac {1}{OM^{2}}}\;d{\mathcal {V}}=4\;\pi \;R\;$ donc effectivement convergente.