# Topologie générale/Connexité

La connexité formalise la notion intuitive d'espace en un seul morceau. Un intervalle compact de $\mathbb {R}$ est connexe, mais la réunion de deux segments disjoints ne l'est pas.

## Espaces et ensembles connexes

Un espace topologique $E$ est connexe si les seules parties de $E$ à la fois ouvertes et fermées sont $E$ et $\varnothing$.
Une autre condition équivalente est : $E$ est connexe si pour toute décomposition $E=U\cup V$, où $U,V\subset E$ sont des ouverts disjoints, on a : $U$ ou $V$ est vide.
La droite numérique est connexe, alors que la droite rationnelle ne l'est pas.
Une partie $A$ d’un espace topologique $E$ est dite connexe si le sous-espace $A$ de $E$ est connexe.
Dans un espace topologique quelconque, l’ensemble vide et les singletons sont connexes.
Les parties connexes de $\mathbb {R}$ sont les intervalles.
* Si A est une partie connexe de ℝ alors A est un intervalle, puisque tout réel a strictement compris entre deux éléments de A appartient lui aussi à A : sinon, ]–∞, a[∩A et ]a, +∞[∩A formeraient une partition de A en deux ouverts de A (pour la topologie induite) non vides et disjoints.
* Si A est un intervalle de ℝ alors A est connexe, puisque toute application continue de A dans ℝ qui ne prend que les valeurs 0 et 1 est constante, d'après le théorème des valeurs intermédiaires. Cependant, lorsqu'on démontre ainsi la connexité des intervalles, il faut montrer ce dernier théorème par dichotomie ou par la propriété de la borne supérieure. Une autre option est de raisonner directement, par une dichotomie plus simple : supposons que l'intervalle A ne soit pas connexe. Il serait alors partitionné en deux fermés non vides F et G de A. Supposons par exemple f$_0$ < g$_0$ avec f$_0$ ∈ F et g$_0$ ∈ G. En regardant à chaque étape si le milieu appartient à F ou à G, on construirait facilement deux suites adjacentes, (f$_n$) dans F et (g$_n$) dans G. La limite commune serait alors dans F∩G, ce qui est absurde. Donc l'intervalle A est connexe.
Si $A$ est un ensemble connexe, alors tout ensemble $B$ tel que $A\subset B\subset {\overline {A}}$ est connexe. (Voir la définition d'adhérence.)
La réunion d’une famille d'espaces connexes d'intersection non vide est connexe.
La réunion d'espace connexes n’est pas généralement connexe : les intervalles $[0,1]$ et $[2,3]$ le sont mais leur réunion ne l'est pas.
* Dans un espace topologique connexe, la frontière de toute partie propre est non vide.
* Dans un espace topologique quelconque, si une partie connexe C rencontre une partie A et son complémentaire, alors C rencontre la frontière de A.
* Soit $X$ une partie d'un espace $C$. Supposons que la frontière de $X$ est vide, c'est-à-dire que $X$ est à la fois ouvert et fermé. Alors, si $C$ est connexe, $X$ est égal à $C$ ou $\varnothing$.
* $\operatorname {Fr} (A)\cap C$ contient la frontière dans $C$ de $C\cap A$ donc est non vide, d'après le point 1.
Dans un espace topologique connexe $E$, tout ensemble non vide et distinct de $E$ admet au moins un point frontière.

## Application définie sur un connexe

Un espace topologique $E$ est connexe si et seulement si toute application continue de $E$ dans l'espace discret $\{0,1\}$ est constante.
Soient $E$ connexe et $f:E\to \{0,1\}$ continue. Alors, $f^{-1}(\{0\})$ et $f^{-1}(\{1\})$ sont des ouverts de $E$ disjoints et de réunion égale à $E$, donc l'un des deux est vide, c'est-à-dire que $f$ est constante.
Réciproquement, soit $E$ non connexe. Alors, il existe un ouvert-fermé de $E$, différent de $\varnothing$ et de $E$. Sa fonction indicatrice est continue de $E$ dans $\{0,1\}$ et non constante.
Toute image continue d'un connexe est connexe.
Soient $E$ connexe et $f:E\to F$ continue. Pour toute application continue $g:f(E)\to \{0,1\}$, l'application $g\circ f:E\to \{0,1\}$ est continue donc (d'après le « seulement si » de la proposition) constante, si bien que $g$ est constante. Par conséquent (d'après le « si » de la proposition) $f(E)$ est connexe.
Soit $f:E\to X$, où $E$ est un espace topologique et $X$ est un ensemble. Si $f$ est localement constante — c'est-à-dire si tout point de $E$ possède un voisinage sur lequel $f$ est constante — et si $E$ est connexe, alors $f$ est constante.

## Composantes connexes et connexité locale
### Composante connexe

Nous avons vu que la réunion d'espaces connexes dont l'intersection est non vide est connexe. La réunion des parties connexes contenant un point $x$ d’un espace topologique $E$ l'est donc : c’est la plus grande partie connexe de $E$ contenant $x$.
On appelle composante connexe d’un point $x\in E$, $E$ espace topologique, la plus grande partie connexe de $E$ (au sens de l'inclusion) contenant ce point. On note $C_{x}$ cet ensemble. On appelle composantes connexes d’une partie de $E$ les composantes connexes des points de cette partie.
* $\mathbb {R} ^{*}$ a deux composantes connexes : $\mathbb {R} _{+}^{*}$ et $\mathbb {R} _{-}^{*}$.
* L'espace $\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )$ des matrices inversibles de taille $n$ admet deux composantes connexes, données par le signe du déterminant.
* Dans $\mathbb {N}$ et plus généralement dans tout espace discret, les composantes connexes sont les singletons.
On dit qu'un espace est totalement discontinu si la composante connexe de chacun de ses points est l’ensemble réduit à ce point. En particulier, un ensemble discret est totalement discontinu.
* $\mathbb {N}$ est totalement discontinu.
* L'ensemble (triadique) de Cantor est totalement discontinu.
Dans un espace topologique $E$, la composante connexe d’un point quelconque est un ensemble fermé. La relation « y appartient à $C_{x}$ » définie une relation d'équivalence ${\mathcal {R}}$ dans $E$, dont les classes d'équivalences sont les composantes connexes de $E$. De plus, l'espace quotient $E/{\mathcal {R}}$ est totalement discontinu.
Ainsi, tout espace topologique se décompose en une union disjointe de parties connexes maximales (pour l'inclusion).
Dans un espace produit $E=\prod _{i\in I}E_{i}$, la composante connexe d’un point $x$ est le produit des composantes connexes des points $x_{i}$ dans les espaces $E_{i}$.

### Connexité locale

Un espace topologique $E$ est dit localement connexe si tout point de $E$ possède un système fondamental de voisinages connexes.
* Connexe n'implique pas localement connexe, et localement connexe n'implique pas connexe : cf. exemples ci-dessous.
Soit $E$ un espace topologique. Les propositions suivantes sont équivalentes :
* $E$ est localement connexe ;
* pour tout ouvert $U$ de $E$, les composantes connexes de $U$ sont des ouverts de $E$ ;
* les ouverts connexes forment une base d'ouverts de $E$.
* $1\Rightarrow 2$ : Soient $U$ un ouvert de $E$, $C$ une composante connexe de $U$, et $x\in C$. Montrons que $C$ est un voisinage de $x$. Puisque $U$ est un voisinage de $x$, il contient, d'après l'hypothèse 1, un voisinage connexe $V$ de $x$. Puisque $V$ est un connexe rencontrant $C$ et inclus dans $U$, il est inclus dans $C$.
* $2\Rightarrow 3$ : Soit $U$ un ouvert de $E$. Pour tout $x\in U$, $U$ contient un ouvert connexe contenant $x$ : la composante connexe de $x$ dans $U$, qui est bien un ouvert d'après l'hypothèse 2.
* $3\Rightarrow 1$ : résulte de la proposition qui relie les deux notions de base d'ouverts et base de voisinages.
* $\mathbb {R}$, $\mathbb {C}$, $\mathbb {R} ^{n}$ et plus généralement, tous les $\mathbb {R}$-espaces vectoriels normés, sont des espaces connexes et localement connexes.
* $[0,1]\cup [2,3]$ est localement connexe mais non connexe.
* On considère la partie $A=(\{0\}\times \mathbb {R} )\cup (\mathbb {R} \times \mathbb {Q} )$ de $\mathbb {R} ^{2}$. Elle est connexe mais non localement connexe : tout point de $A$ admet un voisinage connexe, à savoir $A$, mais non une base de voisinages connexes.
* Le graphe de la fonction $x\mapsto \sin(1/x)$ définie sur $\mathbb {R} _{+}^{*}$ est connexe mais non localement connexe.
Soit $U$ un ensemble ouvert d’un espace localement connexe $E$ et $V$ une composante connexe de $U$. Alors la frontière de $V$ est contenue dans la frontière de $U$.
* Tout quotient d’un espace localement connexe est localement connexe.
* Tout produit d'espaces localement connexes est localement connexe.

## Connexité par arcs
### Définitions et premières propriétés

Soit $E$ un espace topologique et $x$, $y$ deux points de $E$. On appelle chemin d'origine $x$ et d'extrémité $y$ toute application continue $\gamma :[0,1]\to E$ telle que $\gamma (0)=x$ et $\gamma (1)=y$.
On dit que $x$ et $y$ sont reliés s'il existe un chemin d'origine $x$ et d'extrémité $y$ dans $E$.
La relation « x est relié à y » est une relation d'équivalence dans $E$.
* réflexivité : pour tout $x\in E$, $x$ est relié à $x$ par le chemin constant égal à $x$ ;
* symétrie : si $x$ est relié à $y$ par un chemin $\gamma$, alors $y$ est reliée à $x$ par le chemin ${\overline {\gamma }}:t\mapsto \gamma (1-t)$ ;
* transitivité : si $x$ est relié à $y$ par $\gamma _{1}$ et $y$ est relié à $z$ par $\gamma _{2}$ alors $x$ est relié à $z$ par $\gamma :t\mapsto {\begin{cases}\gamma _{1}(2t)&t<1/2\\\gamma _{2}(2t-1)&t\geq 1/2\end{cases}}$
Un espace topologique $E$ est dit connexe par arcs si tout couple de points de $E$ est relié par un chemin dans $E$.
Une partie A de E est dite connexe par arcs si tout couple de points de A est relié par un chemin restant dans A.
Soit E un espace vectoriel topologique réel (par exemple $\mathbb {R} ^{n}$).
* Si E est de dimension supérieure ou égale à 2 alors E* est connexe par arcs : on peut joindre x, y ∈ E* par le segment [x, y] si 0 ∉ ]x, y[ ou, si 0 ∈ ]x, y[, par la réunion de deux segments [x, z] et [z, y], en choisissant z ∉ (x0y).
* Tout convexe de E — ou plus généralement : toute partie étoilée, cf. définition ci-dessous — est connexe par arcs.
On dit qu'une partie ${\mathcal {U}}$ d'un espace vectoriel réel est étoilée depuis un pôle $a\in {\mathcal {U}}$ si :
    $\forall x\in {\mathcal {U}}\quad [a,x]\subset {\mathcal {U}}$.
Contrairement à la connexité, la connexité par arcs « ne passe pas aux adhérences ». Par exemple, le graphe de la fonction $x\mapsto \sin(1/x)$ (voir supra) est connexe par arcs mais son adhérence ne l'est pas (voir infra).
Soit $X$ un espace connexe. Si tout point de $X$ a un voisinage connexe par arcs, alors $X$ est connexe par arcs.
Soient $x_{0}\in X$ et $A$ l'ensemble des points de $X$ joints à $x_{0}$ par un chemin. Tout connexe par arcs $V$ qui rencontre $A$ est inclus dans $A$ (en mettant bout à bout un chemin d'un point de $V$ à un point $x\in V\cap A$ et un chemin de $x$ à $x_{0}$). Par conséquent, l'ensemble (non vide) $A$ est à la fois :
* ouvert : si $x\in A$ et si $V$ est un voisinage connexe par arcs de $x$ alors $V\subset A$, donc $A$ est voisinage de tous ses points ;
* fermé : si $x\in {\overline {A}}$ et si $V$ est un voisinage connexe par arcs de $x$ alors $V$ rencontre $A$ donc $V\subset A$ donc $x\in A$, donc $A$ contient tous ses points adhérents
donc $A=X$.
Dans un espace localement connexe par arcs, un ouvert est connexe (si et) seulement s'il est connexe par arcs.
Tout ouvert $O$ d'un espace $X$ localement truc est encore localement truc, car pour tout $x\in O$, si ${\mathcal {F}}$ est une base de voisinages de $x$ dans $X$ alors le sous-ensemble $\{V\in {\mathcal {F}}\mid V\subset O\}$ est une base de voisinages de $x$ dans $O$. En particulier, si $O$ est un ouvert connexe d'un espace localement connexe par arcs alors $O$ est lui-même localement connexe par arcs ; donc dans $O$, tout point a une base de voisinages connexes par arcs et a fortiori, a au moins un voisinage connexe par arcs.

### Notion de composante connexe par arcs

On appelle composante connexe par arcs d'un point $x$ d'un espace topologique $E$, la classe de $x$ dans $E$ par la relation définie ci-dessus.
La classe de $x$ est alors le plus grand connexe par arcs de $E$ (au sens de l'inclusion) contenant $x$.
L'adhérence du graphe de la fonction $x\mapsto \sin(1/x)$ (voir supra), munie de la topologie induite, admet deux « composantes connexes par arcs », à savoir le graphe et le segment $\{(0,x)\mid x\in [-1,1]\}$.