# Mécanique 1 (PCSI)/Loi de la quantité de mouvement : Quantité de mouvement
## Quantité de mouvement d'un point matériel, lien avec son vecteur vitesse
### 1ère grandeur d'inertie d'un point matériel, la masse du point matériel

La 1ère grandeur d'inertie d'un point matériel est « sa masse » notée $\;m$, grandeur scalaire $\;>0\;$ et exprimée en $\;kg$ ; cette grandeur dépend de la nature et de la quantité de matière de l'objet modélisé par le point.
Signification physique : Deux points distincts qui ont le même mouvement mais des masses différentes ne doivent pas être considérés comme équivalents du point de vue de la mécanique car ils n'ont pas les mêmes « réserves », il est en effet « plus difficile de dévier le point ayant la plus grande masse » ;
Signification physique : on en déduit la nécessité d'introduire, pour caractériser ces comportements différents du point, des grandeurs « cinétiques associées au point » et qui décrivent simultanément le « mouvement » et l'« inertie ».
La masse « d'inertie » caractérise le point et « garde la même valeur par changement de référentiel », on dit que « la masse inerte est invariante par changement de référentiel ».

### 1ère grandeur cinétique d'un point matériel, le (vecteur) quantité de mouvement du point matériel

Le $\;{\big$vecteur${\big )}\;$ quantité de mouvement du point matériel $\;M\,(m)\;$ est usuellement noté $\;{\vec {p}}_{M}(t)\;$ ${\big$ou $\;{\vec {p}}(M)\;$ sans rappeler l'instant de définition ou encore $\;{\vec {p}}(t)\;$ quand il n'y a pas d'ambiguïté sur le point${\big ]}$, il est défini dans le référentiel d'étude cinématique où le point possède, à l'instant $\;t$, un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)$.

#### Définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique newtonienne

En cinétique newtonienne $\;{\bigg$c.-à-d. si le point $\;M\;$ étudié est de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ de norme petite relativement à $\;c$, la vitesse de la lumière dans le vide, soit $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert \ll c\;$ ou, en pratique et approximativement, $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert \lesssim {\dfrac {c}{10}}\;$ en travaillant à $\;1\,\%\;$ près${\bigg ]}$, le $\;{\big$vecteur${\big )}\;$ quantité de mouvement du point matériel $\;M\;$ de masse $\;{\big$inerte${\big )}$ $\;m\;$ et de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude, est la grandeur vectorielle
$\;{\vec {p}}_{M}(t)=m\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$
En cinétique newtonienne on peut donc dire que cette grandeur traduit une « réserve de mouvement inertiel » dans la mesure où elle tient compte de l'inertie d'une part $\;{\big$elle est $\;\propto \;$ à la masse d'inertie du point${\big ]}\;$ et du mouvement d'autre part $\;{\big$elle est $\;\propto \;$ au vecteur vitesse du point c.-à-d. qu'elle a la même direction, le même sens $\;{\big$le cœfficient de proportionnalité étant $\;>0{\big )}\;$ et que sa norme est $\;\propto \;$ à celle du vecteur vitesse du point${\big ]}$.
Le $\;{\big$vecteur${\big )}\;$ quantité de mouvement de $\;M\;$ dépend, comme son vecteur vitesse, du référentiel d'étude ; ses composantes $\;{\big$et sa norme${\big )}\;$ s'expriment en $\;kg\cdot m\cdot s^{-1}$ ;
en cinétique newtonienne, cette grandeur cinétique vectorielle « quantité de mouvement » est liée à la grandeur cinématique vectorielle « vitesse » et à la grandeur d'inertie scalaire « masse » selon
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\text{grandeur cinétique}}\\{\text{vectorielle}}\end{array}}\right\rbrace =\left\lbrace {\begin{array}{c}{\text{grandeur d'inertie}}\\{\text{scalaire}}\end{array}}\right\rbrace \times \left\lbrace {\begin{array}{c}{\text{grandeur cinématique}}\\{\text{vectorielle}}\end{array}}\right\rbrace \;$

#### Définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique relativiste

Préliminaire : La définition dans le cadre de la cinétique relativiste n'est pas explicitement au programme de physique de PCSI, toutefois cette notion apparaissant, sous forme d'approche documentaire, dans l'étude du mouvement d'une particule chargée dans un champ électrique ou magnétique, il semble utile la connaître.
Exposé : Si la cinétique newtonienne ne s'applique pas $\;{\bigg$c.-à-d. si le point $\;M\;$ étudié est de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ de norme non petite relativement à $\;c$, la vitesse de la lumière dans le vide, soit $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert \not \ll c\;$ ou, en pratique et approximativement, $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert \not \lesssim {\dfrac {c}{10}}\;$ en travaillant à $\;1\,\%\;$ près${\bigg ]}$, on définit, dans le cadre de la cinétique relativiste, le $\;{\big$vecteur${\big )}\;$ quantité de mouvement du point matériel $\;M\;$ de masse $\;{\big$inerte${\big )}$ $\;m\;$ et de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, comme la grandeur vectorielle
$\;{\vec {p}}_{M}(t)=\gamma _{M}(t)\;m\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$
$\;\gamma _{M}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-\left({\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert }{c}}\right)^{\!\!2}}}}\;$
$\;M\;$
$\;{\mathcal {R}}$
Exposé : en cinétique relativiste, la grandeur cinétique vectorielle « quantité de mouvement » peut toujours être considérée Exposé : en cinétique relativiste, comme le produit de la grandeur cinématique vectorielle « vitesse » par une grandeur d'inertie scalaire «$\;\gamma _{M}(t)\;m\;$» nommée « masse apparente » mais Exposé : en cinétique relativiste, la « masse apparente » est non invariante par changement de référentiel en effet «$\;m_{\text{app}}(t)=\gamma _{M}(t)\;m={\dfrac {m}{\sqrt {1-\left({\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert }{c}}\right)^{\!\!2}}}}\nearrow \;$ quand $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert \nearrow \;$», Exposé : en cinétique relativiste, la masse apparente devenant $\;\infty \;$ quand $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert \rightarrow c$, vitesse de la lumière dans le vide.
Établissement de la condition de vitesse pour que la cinétique newtonienne soit applicable : si la particule est non relativiste c.-à-d. si $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert \ll c$, Établissement de la condition de vitesse on peut alors définir $\;{\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert }{c}}\ll 1\;$ comme infiniment petit d'ordre un et Établissement de la condition de vitesse on peut développer le facteur de Lorentz $\;\gamma _{M}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-\left({\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert }{c}}\right)^{\!\!2}}}}\;$ relativement à cet infiniment petit soit Établissement de la condition de vitesse on peut $\;\gamma _{M}(t)=\left[1-\left({\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert }{c}}\right)^{\!\!2}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\simeq 1-\left(-{\dfrac {1}{2}}\right)\left({\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert }{c}}\right)^{\!\!2}\;$ à l'ordre un en $\;\left({\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert }{c}}\right)^{\!\!2}\;$ ou à l'ordre deux en $\;{\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert }{c}}$ ou encore Établissement de la condition de vitesse on peut «$\;\gamma _{M}(t)\simeq 1+{\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert ^{2}}{2\;c^{2}}}\;$ à l'ordre deux en l'infiniment petit d'ordre un $\;{\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert }{c}}\;$» d'où Établissement de la condition de vitesse on peut «$\;\gamma _{M}(t)\simeq 1\;$ à $\;10^{-2}\;$ près si $\;{\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert ^{2}}{2\;c^{2}}}<10^{-2}\;$» soit finalement si «$\;{\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert }{c}}\lesssim {\sqrt {2}}\;10^{-1}\simeq 0,14\;$».
Établissement de la condition de vitesse En conclusion : $\succ \;$« si $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert \lesssim 0,14\;c\;$» ou, en introduisant la notion relativiste de vitesse relative définie selon $\;\beta _{M}(t)={\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert }{c}}\;$ Établissement de la condition de vitesse En conclusion : $\color {transparent}{\succ }\;$« si $\;\beta _{M}(t)\lesssim 0,14\;$» la cinétique newtonienne est applicable à moins de$\;1\,\%\;$près d'où «$\;{\vec {p}}_{M}(t)\simeq m\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$»,
Établissement de la condition de vitesse En conclusion : $\succ \;$« si $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert \not \lesssim 0,14\;c\;$» ou, en introduisant la notion relativiste de vitesse relative définie selon $\;\beta _{M}(t)={\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert }{c}}\;$ Établissement de la condition de vitesse En conclusion : $\color {transparent}{\succ }\;$« si $\;\beta _{M}(t)\not \lesssim 0,14\;$» la cinétique relativiste doit être utilisée d'où «$\;{\vec {p}}_{M}(t)=\gamma _{M}(t)\;m\,\left[\beta _{M}(t)\;c\;{\vec {\tau }}_{M}(t)\right]\;$» avec Établissement de la condition de vitesse En conclusion : $\color {transparent}{\succ }\;$« si $\;\color {transparent}{\beta _{M}(t)\not \lesssim 0,14}\;$» la cinétique relativiste doit être utilisée «$\;{\vec {\tau }}_{M}(t)={\dfrac {{\vec {V}}_{M}(t)}{\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert }}\;$ vecteur unitaire tangentiel à la trajectoire », Établissement de la condition de vitesse En conclusion : $\color {transparent}{\succ }\;$« si $\;\color {transparent}{\beta _{M}(t)\not \lesssim 0,14}\;$» la cinétique relativiste doit être utilisée «$\;\beta _{M}(t)\;c=\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert \gtrsim 0,14\;c\;$ la norme de la vitesse » et Établissement de la condition de vitesse En conclusion : $\color {transparent}{\succ }\;$« si $\;\color {transparent}{\beta _{M}(t)\not \lesssim 0,14}\;$» la cinétique relativiste doit être utilisée «$\;\gamma _{M}(t)\;$ le facteur de Lorentz s'écrivant avec la vitesse relative $\;\beta (t)\;$ Établissement de la condition de vitesse En conclusion : $\color {transparent}{\succ }\;$« si $\;\color {transparent}{\beta _{M}(t)\not \lesssim 0,14}\;$» la cinétique relativiste doit être utilisée selon $\;\gamma _{M}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-\beta _{M}^{2}(t)}}}\;$ toujours $\;>1,01\;$ ».
Cinétique ultra relativiste c.-à-d. quand la norme du vecteur vitesse $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert \;$ est voisine de sa valeur maximale $\;c\;$ ${\big$ou quand sa vitesse relative $\;\beta _{M}(t)\;$ est voisine de $\;1{\big ]}$ : Cinétique ultra relativiste la notion de vitesse instantanée n'a plus réellement de sens car une $\;\nearrow \;$ notable de $\;\Vert {\vec {p}}_{M}(t)\Vert \;$ entraîne une $\;\nearrow \;$ infime de $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert \;$ et par suite Cinétique ultra relativiste la $\;\nearrow \;$ notable de $\;\Vert {\vec {p}}_{M}(t)\Vert =m_{\text{app}}(t)\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert \;$ ne peut se manifester que par une $\;\nearrow \;$ importante de la masse apparente $\;{\big$c.-à-d. de l'inertie${\big )}$ ;
Cinétique ultra relativiste vérifions cela quantitativement en posant «$\;\beta _{M}(t)=1-\varepsilon _{M}(t)\;$» avec «$\;\varepsilon _{M}(t)\ll 1\;$ définissant un infiniment petit d'ordre un » et Cinétique ultra relativiste exprimons le facteur de Lorentz $\;\gamma _{M}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-\beta _{M}^{2}(t)}}}\;$ en fonction de $\;\varepsilon (t)\;$ soit $\;\gamma _{M}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-\left[1-\varepsilon _{M}(t)\right]^{2}}}}\;$ ou, Cinétique ultra relativiste exprimons le facteur de Lorentz en prenant le D.L. de $\;\left[1-\varepsilon _{M}(t)\right]^{2}\;$ à l'ordre un en $\;\varepsilon (t)$, «$\;\left[1-\varepsilon _{M}(t)\right]^{2}\simeq 1-2\;\varepsilon _{M}(t)\;$» dont on déduit Cinétique ultra relativiste exprimons le facteur de Lorentz «$\;{\dfrac {1}{\gamma _{M}^{2}(t)}}=1-\left[1-\varepsilon _{M}(t)\right]^{2}\simeq 2\;\varepsilon _{M}(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;\gamma _{M}(t)\simeq {\dfrac {1}{\sqrt {2\;\varepsilon _{M}(t)}}}\;$» c._à_d. un infiniment grand et par suite Cinétique ultra relativiste exprimons le facteur de Lorentz la masse apparente définie selon «$\;m_{\text{app}}(t)=\gamma _{M}(t)\;m\;$ devient $\;\simeq {\dfrac {m}{\sqrt {2\;\varepsilon _{M}(t)}}}\;$» c._à_d. également un infiniment grand ; Cinétique ultra relativiste on en déduit «$\;\Vert {\vec {p}}_{M}(t)\Vert =m_{\text{app}}(t)\;\beta _{M}(t)\;c\simeq {\dfrac {m}{\sqrt {2\;\varepsilon (t)}}}\,\left[1-\varepsilon (t)\right]\,c\simeq {\dfrac {m\;c}{\sqrt {2\;\varepsilon (t)}}}\;{\cancel {-{\dfrac {m\;c\;{\sqrt {\varepsilon (t)}}}{\sqrt {2}}}}}\;$» soit finalement Cinétique ultra relativiste on en déduit «$\;\Vert {\vec {p}}_{M}(t)\Vert \simeq {\dfrac {m}{\sqrt {2\;\varepsilon (t)}}}\;c\rightarrow \infty \;$» avec «$\;\varepsilon (t)=1-\beta _{M}(t)\ll 1\;$» $\;{\Bigg \$«$\;{\dfrac {m}{\sqrt {2\;\varepsilon (t)}}}\rightarrow \infty \;$ étant le D.L. de $\;m_{\text{app}}={\dfrac {m}{\sqrt {1-\beta _{M}^{2}(t)}}}\rightarrow \infty \;$»${\Bigg \}$.

## Résultante cinétique d'un système de points matériels, définition
### Masse d'un système de points matériels (définie comme 1ère grandeur d'inertie associée au système)

La masse $\;m_{\text{syst}}\;$ d'un système de points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\,(m_{i})\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ est définie comme la somme des masses des points matériels le constituant c.-à-d. «$\;m_{\text{syst}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;$» ;
si le système est fermé, c.-à-d. si $\;N=cste$, sa masse est constante ;
si le système est ouvert, étant défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle $\;(\Sigma )$, $\;N\;$ pouvant varier, il en est de même de la masse du système :  si le système est ouvert, $\succ$$\;m_{\text{syst}}\nearrow \;$ s'il y a entrée de points matériels à l'intérieur de $\;(\Sigma )$,  si le système est ouvert, $\succ$$\;m_{\text{syst}}\searrow \;$ s'il y a sortie de points matériels à l'intérieur de $\;(\Sigma )\;$ et  si le système est ouvert, $\succ$$\;m_{\text{syst}}\;$ restant constante s'il y a écoulement stationnaire à travers $\;(\Sigma )$, la masse des points entrant étant égale à la masse des points sortant pendant la même durée.
Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $\;({\mathcal {S}})\;$ limité par la surface $\;(\Sigma )\;$, la masse d'un système fermé$\;m_{({\mathcal {S}})}\;$reste conservée mais Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ limité par la surface $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ la masse d'un système ouvert $\;m_{({\mathcal {S}})}\;$ varie comme celle d'un système discret de points matériels ouvert : Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ limité par la surface $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ la masse d'un système ouvert $\succ$$\;m_{({\mathcal {S}})}\nearrow \;$ s'il y a globalement entrée de matière à l'intérieur de $\;(\Sigma )$, Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ limité par la surface $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ la masse d'un système ouvert $\succ$$\;m_{({\mathcal {S}})}\searrow \;$ s'il y a globalement sortie de matière de l'intérieur de $\;(\Sigma )\;$ et Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ limité par la surface $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ la masse d'un système ouvert $\succ$$\;m_{({\mathcal {S}})}=cste\;$ pour des entrées de matière à l'intérieur de $\;(\Sigma )\;$ Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ limité par la surface $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ la masse d'un système ouvert $\color {transparent}{\succ }$$\;\color {transparent}{m_{({\mathcal {S}})}=cste}\;$ pour globalement compensées par Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ limité par la surface $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ la masse d'un système ouvert $\color {transparent}{\succ }$$\;\color {transparent}{m_{({\mathcal {S}})}=cste}\;$ pour des sorties de matière de l'intérieur de $\;(\Sigma )$ ;
Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ limité par la surface $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ la masse d'un système continu de matière fermé limité par la surface $\;(\Sigma )\;$ est définie par Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ limité par la surface $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ la masse d'un système continu de matière fermé «$\;m_{({\mathcal {S}})}=\displaystyle \iiint \limits _{{\text{int de }}({\mathcal {S}})_{t}}\rho (M,\,t)\;d{\mathcal {V}}\;$» avec «$\;\rho (M,\,t)\;$ Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ limité par la surface $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ la masse d'un système continu de matière fermé la masse volumique au point $\;M\;$ et à l'instant $\;t\;$» ;
Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ limité par la surface $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ un système continu de matière fermé indéformable $\;{\big$c.-à-d. un solide${\big )}$, a une masse se définissant selon Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ limité par la surface $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ un système continu de matière fermé indéformable «$\;m_{({\mathcal {S}})}=\displaystyle \iiint \limits _{{\text{int de }}({\mathcal {S}})}\rho (M)\;d{\mathcal {V}}\;$» avec «$\;\rho (M)\;$ Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ limité par la surface $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ un système continu de matière fermé indéformable la masse volumique au point $\;M\;$ ne dépendant pas de $\;t\;$ Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ limité par la surface $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ un système continu de matière fermé indéformable et la surface $\;(\Sigma )\;$ limitant le système non plus ;
Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ limité par la surface $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ la masse d'un système continu de matière ouvert de surface de contrôle $\;(\Sigma )\;$ est définie, à l'instant $\;t\;$ par Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ limité par la surface $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ la masse d'un système continu de matière ouvert «$\;m_{({\mathcal {S}})}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{{\text{int de }}({\mathcal {S}})_{t}}\rho (M,\,t)\;d{\mathcal {V}}\;$» avec «$\;\rho (M,\,t)\;$ Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ limité par la surface $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ la masse d'un système continu de matière ouvert la masse volumique au point $\;M\;$ et à l'instant $\;t\;$».
Remarque : Les systèmes continus de matière étudiés ci-dessus étaient d'expansion tridimensionnelle mais ils peuvent aussi être d'expansion bidimensionnelle $\;{\big$c.-à-d. surfacique${\big )}\;$ ou Remarque : Les systèmes continus de matière étudiés ci-dessus étaient d'expansion tridimensionnelle mais ils peuvent aussi être d'expansion unidimensionnelle $\;{\big$c.-à-d. curviligne${\big )}$ ;
Remarque : un système continu de matière d'expansion bidimensionnelle $\;({\mathcal {S}})\;$ limité par la courbe $\;({\mathcal {C}})\;$ a une masse $\;m_{({\mathcal {S}})}\;$ définie par «$\;m_{({\mathcal {S}})}=\displaystyle \iint \limits _{{\text{int de }}({\mathcal {S}})_{t}}\sigma (M,\,t)\;dS\;$» avec «$\;\sigma (M,\,t)\;$ Remarque : un système continu de matière d'expansion bidimensionnelle $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ limité par la courbe $\;\color {transparent}{({\mathcal {C}})}\;$ a une masse $\;\color {transparent}{m_{({\mathcal {S}})}}\;$ définie par la masse surfacique au point $\;M\;$ et à l'instant $\;t\;$» ;
Remarque : un système continu de matière d'expansion unidimensionnelle $\;({\mathcal {S}})\;$ limité par les points $\;(A\,,\,B)\;$ a une masse $\;m_{({\mathcal {S}})}\;$ définie par «$\;m_{({\mathcal {S}})}=\displaystyle \int \limits _{{\text{int de }}({\overset {\frown }{AB}})_{t}}\lambda (M,\,t)\;d{\mathit {l}}\;$» avec «$\;\lambda (M,\,t)\;$ Remarque : un système continu de matière d'expansion unidimensionnelle $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ limité par les points $\;\color {transparent}{(A\,,\,B)}\;$ a une masse $\;\color {transparent}{m_{({\mathcal {S}})}}\;$ définie par la masse linéique au point $\;M\;$ et à l'instant $\;t\;$».

### Définition de la résultante cinétique d'un système de points matériels, 1ère grandeur cinétique associée au système

La résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$ d'un système de points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\,(m_{i})\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ en mouvement dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$, chaque point $\;M_{i}\;$ étant de quantité de mouvement $\;{\vec {p}}_{M_{i}}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ La résultante cinétique $\;\color {transparent}{{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)}\;$ est définie, à cet instant $\;t$, par la somme des quantités de mouvement au même instant $\;t\;$ des points matériels le constituant c.-à-d. La résultante cinétique $\;\color {transparent}{{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)}\;$ est définie, à cet instant $\;\color {transparent}{t}$, par «$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\vec {p}}_{M_{i}}(t)\;$» applicable en cinétiques newtonienne ou relativiste ; La résultante cinétique $\;\color {transparent}{{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)}\;$ en cinétique newtonienne la résultante cinétique se réécrit «$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;$» avec La résultante cinétique $\;\color {transparent}{{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)}\;$ en cinétique newtonienne la résultante cinétique se réécrit «$\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;$ le vecteur vitesse du point $\;M_{i}\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$» ; La résultante cinétique $\;\color {transparent}{{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)}\;$ en cinétique relativiste la résultante cinétique se réécrit «$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\gamma _{M_{i}}(t)\;m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;$» avec La résultante cinétique $\;\color {transparent}{{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)}\;$ en cinétique relativiste la résultante cinétique se réécrit «$\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;$ le vecteur vitesse du point $\;M_{i}\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$» et La résultante cinétique $\;\color {transparent}{{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)}\;$ en cinétique relativiste la résultante cinétique se réécrit «$\;\gamma _{M_{i}}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-\left({\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{M_{i}}(t)\Vert }{c}}\right)^{\!\!2}}}}\;$ le facteur de Lorentz du point $\;M_{i}\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$» ;
La résultante cinétique $\;\color {transparent}{{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)}\;$ si le système est fermé, c.-à-d. si $\;N=cste$, sa résultante cinétique ne dépend que la modification du mouvement des points le constituant ;
La résultante cinétique $\;\color {transparent}{{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)}\;$ si le système est ouvert, défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle $\;(\Sigma )$, $\;N\;$ pouvant varier, La résultante cinétique $\;\color {transparent}{{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)}\;$ si le système est ouvert, sa résultante cinétique peut varier : $\succ \;$par entrée ou sortie de la quantité de mouvement des points matériels entrant ou sortant et $\;{\big$ou${\big )}\;$ La résultante cinétique $\;\color {transparent}{{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)}\;$ si le système est ouvert, sa résultante cinétique peut varier : $\succ \;$par modification de la quantité de mouvement des points initialement présents.
Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $\;({\mathcal {S}})\;$ limité par la surface $\;(\Sigma )\;$, la résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}(t)\;$ peut varier comme celle d'un système discret de points matériels :
Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ la résultante cinétique d'un système fermé limité par la surface $\;(\Sigma )\;$ est définie par «$\;{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{{\text{int de }}({\mathcal {S}})_{t}}{\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}\;$» avec Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ la résultante cinétique d'un système «$\;{\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)={\dfrac {d{\vec {p}}}{d{\mathcal {V}}}}(M,\,t)\;$ la quantité de mouvement volumique en $\;M$, à l'instant $\;t\;$»$^,$ ; Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ un système continu de matière fermé indéformable $\;{\big$c.-à-d. un solide${\big )}$, a une résultante cinétique se définissant selon Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ un système continu de matière fermé indéformable «$\;{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{{\text{int de }}({\mathcal {S}})}{\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}\;$» avec «$\;{\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)={\dfrac {d{\vec {p}}}{d{\mathcal {V}}}}(M,\,t)\;$ Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ un système continu de matière fermé indéformable la quantité de mouvement volumique en $\;M$, à l'instant $\;t\;$», Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ un système continu de matière fermé indéformable la surface $\;(\Sigma )\;$ limitant $\;({\mathcal {S}})\;$ ne dépendant pas de $\;t\;$ ainsi que Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ un système continu de matière fermé indéformable la masse volumique au point $\;M\;$ notée $\;\rho (M)\;$ ;
Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ la résultante cinétique d'un système ouvert de surface de contrôle $\;(\Sigma )\;$ est définie, à l'instant $\;t\;$ par Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ la résultante cinétique d'un système ouvert «$\;{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{{\text{int de }}({\mathcal {S}})_{t}}{\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}\;$» avec «$\;{\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)={\dfrac {d{\vec {p}}}{d{\mathcal {V}}}}(M,\,t)\;$ Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ la résultante cinétique d'un système ouvert la quantité de mouvement volumique au point $\;M\;$ et à l'instant $\;t\;$»$^,$.
Remarque : Les systèmes continus de matière étudiés ci-dessus étaient d'expansion tridimensionnelle mais ils peuvent aussi être d'expansion bidimensionnelle $\;{\big$c.-à-d. surfacique${\big )}\;$ ou Remarque : Les systèmes continus de matière étudiés ci-dessus étaient d'expansion tridimensionnelle mais ils peuvent aussi être d'expansion unidimensionnelle $\;{\big$c.-à-d. curviligne${\big )}$ ;
Remarque : un système continu de matière d'expansion bidimensionnelle $\;({\mathcal {S}})\;$ limité par la courbe $\;({\mathcal {C}})\;$ est de résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}(t)\;$ telle que «$\;{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}(t)=\displaystyle \iint \limits _{{\text{int de }}({\mathcal {S}})_{t}}\!\!\!{\vec {P}}_{\text{surf}}(M,\,t)\;dS\;$»$^,$ Remarque : un système continu de matière d'expansion bidimensionnelle $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ limité par la courbe $\;\color {transparent}{({\mathcal {C}})}\;$ avec «$\;{\vec {P}}_{\text{surf}}(M,\,t)={\dfrac {d{\vec {p}}}{dS}}(M,\,t)\;$ la quantité de mouvement surfacique en $\;M$, à $\;t\;$» ;
Remarque : un système continu de matière d'expansion unidimensionnelle $\;({\mathcal {S}})\;$ limité par $\;(A\,,\,B)\;$ est de résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}(t)\;$ telle que «$\;{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}(t)=\!\!\!\displaystyle \int \limits _{{\text{int de }}({\overset {\frown }{AB}})_{t}}\!\!\!{\vec {P}}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d{\mathit {l}}\;$»$^,$ Remarque : un système continu de matière d'expansion unidimensionnelle $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ limité par $\;\color {transparent}{(A\,,\,B)}\;$ avec «$\;{\vec {P}}_{\text{lin}}(M,\,t)={\dfrac {d{\vec {p}}}{d{\mathit {l}}}}(M,\,t)\;$ la quantité de mouvement linéique en $\;M$, à $\;t\;$».

## Lien entre la résultante cinétique et le vecteur vitesse du centre d'inertie d'un système de points matériels fermé

$\;N\;$
$\;N>2$

### Énoncé du lien entre résultante cinétique et vecteur vitesse du centre d'inertie d'un système de points matériels fermé

Dans le cadre de la cinétique newtonienne, la résultante cinétique$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$d'un système de points matériels fermé définie à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ Dans le cadre de la cinétique newtonienne, la résultante cinétique$\;\color {transparent}{{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)}\;$est liée au vecteur vitesse du C.D.I.$\;G\;$du système au même instant $\;t\;$ dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ Dans le cadre de la cinétique newtonienne, la résultante cinétique$\;\color {transparent}{{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)}\;$par «$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$»$^,$.

### Démonstration

$\;O\;$ étant un point fixe du référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, le vecteur position du C.D.I. $\;G\;$ du système de points matériels fermé $\;\left\lbrace M_{i}\,(m_{i})\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ $\;\color {transparent}{O}\;$ étant un point fixe du référentiel d'étude $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}$, le vecteur position du C.D.I. $\;\color {transparent}{G}\;$ est tel que «$\;m_{\text{syst}}\;{\overrightarrow {OG}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\overrightarrow {OM_{i}}}(t)\;$» ;
$\;\color {transparent}{O}\;$ étant un point fixe du référentiel d'étude $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}$, dérivant cette relation par rapport à $\;t\;$ et compte-tenu de la linéarité de l'opération dérivation $\;\color {transparent}{O}\;$ étant un point fixe du référentiel d'étude $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}$, dérivant cette relation par rapport à $\;\color {transparent}{t}\;$ on obtient «$\;m_{\text{syst}}\;{\dfrac {d{\overrightarrow {OG}}}{dt}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\dfrac {d{\overrightarrow {OM_{i}}}}{dt}}(t)\;$» ou, en utilisant la définition des vecteurs vitesse, $\;\color {transparent}{O}\;$ étant un point fixe du référentiel d'étude $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}$, dérivant cette relation par rapport à $\;\color {transparent}{t}\;$ on obtient «$\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;$», $\;\color {transparent}{O}\;$ étant un point fixe du référentiel d'étude $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}$, dérivant cette relation par rapport à $\;\color {transparent}{t}\;$ on obtient le 2ème membre définissant la résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$ du système de points matériels fermé $\;\color {transparent}{O}\;$ étant un point fixe du référentiel d'étude $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}$, dérivant cette relation par rapport à $\;\color {transparent}{t}\;$ on obtient le 2ème membre définissant en cinétique newtonienne, la propriété énoncée est donc démontrée.
Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable $\;{\big$c.-à-d. un solide${\big )}$, le vecteur position du C.D.I. $\;G\;$ du système $\;({\mathcal {S}})\;$ d'expansion tridimensionnelle $\;({\mathcal {V}})\;$ Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable $\;\color {transparent}{\big$c.-à-d. un solide$\color {transparent}{\big )}$, le vecteur position du C.D.I. est tel que «$\;m_{({\mathcal {S}})}\;{\overrightarrow {OG}}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}})}\rho (M)\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;d{\mathcal {V}}\;$»$^,$$^,$ ;
Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à $\;t\;$ et compte-tenu de la linéarité de l'opération dérivation Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à $\;\color {transparent}{t}\;$ on obtient «$\;m_{({\mathcal {S}})}\;{\dfrac {d{\overrightarrow {OG}}}{dt}}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}})}\rho (M)\;{\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}(t)\;d{\mathcal {V}}\;$»$^,$ ou, Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à $\;\color {transparent}{t}\;$ en utilisant la définition des vecteurs vitesse, Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à $\;\color {transparent}{t}\;$ on obtient «$\;m_{({\mathcal {S}})}\;{\vec {V}}_{G}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}})}\rho (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathcal {V}}\;$», le 2ème membre étant Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à $\;\color {transparent}{t}\;$ on obtient la résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}(t)\;$ du système continu de matière fermé et Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à $\;\color {transparent}{t}\;$ on obtient la résultante cinétique $\;\color {transparent}{{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}(t)}\;$ indéformable en cinétique newtonienne ;
Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable $\;{\big$c.-à-d. un solide${\big )}$, le vecteur position du C.D.I. $\;G\;$ du système bidimensionnel $\;({\mathcal {S}})\;$ de surface $\;(S)\;$ Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable $\;\color {transparent}{\big$c.-à-d. un solide$\color {transparent}{\big )}$, le vecteur position du C.D.I. est tel que «$\;m_{({\mathcal {S}})}\;{\overrightarrow {OG}}(t)=\displaystyle \iint \limits _{(S)}\sigma (M)\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;dS\;$»$^,$$^,$ ;
Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à $\;t\;$ et compte-tenu de la linéarité de l'opération dérivation Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à $\;\color {transparent}{t}\;$ on obtient «$\;m_{({\mathcal {S}})}\;{\dfrac {d{\overrightarrow {OG}}}{dt}}(t)=\displaystyle \iint \limits _{(S)}\sigma (M)\;{\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}(t)\;dS\;$»$^,$ ou, Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à $\;\color {transparent}{t}\;$ en utilisant la définition des vecteurs vitesse, Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à $\;\color {transparent}{t}\;$ on obtient «$\;m_{({\mathcal {S}})}\;{\vec {V}}_{G}(t)=\displaystyle \iint \limits _{(S)}\sigma (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;dS\;$», le 2ème membre étant Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à $\;\color {transparent}{t}\;$ on obtient la résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}(t)\;$ du système continu de matière fermé et Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à $\;\color {transparent}{t}\;$ on obtient la résultante cinétique $\;\color {transparent}{{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}(t)}\;$ indéformable en cinétique newtonienne ;
Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable $\;{\big$c.-à-d. un solide${\big )}$, le vecteur position du C.D.I. $\;G\;$ du système unidimensionnel $\;({\mathcal {S}})\;$ de courbe $\;(\Gamma )\;$ Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable $\;\color {transparent}{\big$c.-à-d. un solide$\color {transparent}{\big )}$, le vecteur position du C.D.I. est tel que «$\;m_{({\mathcal {S}})}\;{\overrightarrow {OG}}(t)=\displaystyle \int \limits _{(\Gamma )}\lambda (M)\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;d{\mathit {l}}\;$»$^,$$^,$ ;
Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à $\;t\;$ et compte-tenu de la linéarité de l'opération dérivation Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à $\;\color {transparent}{t}\;$ on obtient «$\;m_{({\mathcal {S}})}\;{\dfrac {d{\overrightarrow {OG}}}{dt}}(t)=\displaystyle \int \limits _{(\Gamma )}\lambda (M)\;{\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}(t)\;d{\mathit {l}}\;$»$^,$ ou, Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à $\;\color {transparent}{t}\;$ en utilisant la définition des vecteurs vitesse, Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à $\;\color {transparent}{t}\;$ on obtient «$\;m_{({\mathcal {S}})}\;{\vec {V}}_{G}(t)=\displaystyle \int \limits _{(\Gamma )}\lambda (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathit {l}}\;$», le 2ème membre étant Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à $\;\color {transparent}{t}\;$ on obtient la résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}(t)\;$ du système continu de matière fermé et Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à $\;\color {transparent}{t}\;$ on obtient la résultante cinétique $\;\color {transparent}{{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}(t)}\;$ indéformable en cinétique newtonienne ;
Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable conclusion : la résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}(t)\;$ du système continu de matière $\;({\mathcal {S}})\;$ fermé et indéformable s'écrit, Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable conclusion : à l'instant $\;t\;$ et dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$, selon «$\;{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}(t)=m_{({\mathcal {S}})}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$» en cinétique newtonienne.