# Équation différentielle/Équation différentielle linéaire du premier ordre
## Équations différentielles linéaires du premier ordre
### Définition générale d'une équation différentielle linéaire du premier ordre

    L'expression générale d'un équation différentielle linéaire du premier ordre est la suivante :
    $a\left(x\right)f'\left(x\right)+b\left(x\right)f\left(x\right)=c\left(x\right)$
Avec :
- $f(x)$ : fonction à déterminer
- $f'(x)$ : dérivée première de la fonction $f$
- $a(x),b(x),c(x)$ des fonctions réelles telles que $a(x)\neq 0$
* Préciser les valeurs de $a(x)$, $b(x)$ et $c(x)$ dans l'équation suivante et donner l'équation homogène associée.
    $xf'(x)-3f(x)=\sin(x)$
$a(x)=x,b(x)=-3,c(x)=\sin(x)$.
Équation homogène associée : $xf'(x)-3f(x)=0$
* Préciser les valeurs de $a(t)$, $b(t)$ et $c(t)$ dans l'équation suivante et donner l'équation homogène associée, sachant que la variable est $t$ et que la fonction inconnue est notée $y$.
    $t^{2}y'(t)-3y(t)=\sin(t)$
$a(t)=t^{2},b(t)=-3,c(t)=\sin(t)$.
Équation homogène associée : $t^{2}y'(t)-3y(t)=0$

## Espaces vectoriels

La linéarité d'une équation différentielle a des conséquences importantes facilitant la recherche de solutions.
* Les solutions d'une équation différentielle linéaire homogène forment un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des fonctions. Dans le cas d'une équation d'ordre 1, ce sous-espace est de dimension 1.
* Les solutions d'une équation différentielle linéaire forment un sous-espace affine de l'espace affine des fonctions. Sa direction est le sous-espace vectoriel des solutions de l'équation homogène associée.
Ces considérations géométriques donnent le théorème suivant, très important dans la résolution en pratique.
Les solutions d'une équation différentielle linéaire d'ordre 1 sont la somme d'une solution générale de l'équation homogène associée et d'une solution particulière de l'équation complète.

## La condition initiale

* L'ensemble des solutions d'une E.D.L. du premier ordre étant un espace vectoriel de dimension 1,
    le fait de fixer une seule valeur de la fonction-solution suffit à la définir parfaitement.
* Le sens physique de cette remarque est très intuitif :
** un système physique régi par une équation différentielle du premier ordre voit son état déterminé par un seul nombre $f(x)$ qui dépend de la variable $x$ (en général le temps) ;
** la connaissance de cet état à un instant donné détermine l'état du système à tout instant. C'est ce qu'on appelle la condition initiale.
Deux nombres $x_{0}$ et $y_{0}$ étant donnés, il existe une unique solution d'une équation différentielle linéaire d'ordre 1 vérifiant $f(x_{0})=y_{0}$

## Équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants

    L'expression générale d'un équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants est la suivante :
    $af'\left(x\right)+bf\left(x\right)=c\left(x\right)$
Avec :
- $f(x)$ : fonction à déterminer
- $f'(x)$ : dérivée première de la fonction $f$
- $a,b$ sont des nombres réels tels que $a\neq 0$ et $c$ peut être soit un nombre, soit une fonction.
Le théorème suivant est une reformulation du résultat principal du chapitre précédent.
Dans le cas particulier où le second membre $c$ est également constant, l'ensemble des solutions de l'équation complète $af'\left(x\right)+bf\left(x\right)=c$ est :
$S=\left\{Ae^{-{\frac {b}{a}}x}+{\frac {c}{b}}\mid A\in \mathbb {C} \right\}$
(C'est en particulier le cas si l'équation est homogène : $c=0$).

### Remarque

Il est intéressant de remarquer la stabilité des systèmes décrits par de telles équations. En effet, si a et b sont des réels de même signe, il existe toujours un régime de stabilité lorsque $t\to \infty$. Si a et b sont des réels de signes opposés, le système est instable et la solution tend exponentiellement vers $\pm \infty$.

## Cas général : équations linéaires à coefficients et second membre variables

On suppose que les fonctions $a,b,c$ sont continues.

#### Équation homogène associée

La solution générale de l'équation homogène $a\left(x\right)f'\left(x\right)+b\left(x\right)f\left(x\right)=0$ est :
$f_{ESSM}=A\mathrm {e} ^{-\Phi \left(x\right)}$
où $\Phi$ est une primitive de la fonction ${b(x) \over a(x)}$ et $A$ une constante (réelle ou complexe).
$\Phi (x)=\int {b(x) \over a(x)}dx$

#### Solution particulière de l'équation complète

Une solution particulière de l'équation complète $a\left(x\right)f'\left(x\right)+b\left(x\right)f\left(x\right)=c\left(x\right)$ est :
$f_{p}=g(x)e^{-\Phi \left(x\right)}$
où $g(x)$ est définie par la primitive ci-dessous :
$g(x)=\int {{c(x) \over a(x)}e^{\Phi (x)}dx}$

#### Ensemble des solutions de l'équation complète

L'ensemble des solutions (solution générale + solution particulière) de l'équation différentielle d'ordre 1 est :
$S=f_{ESSM}+f_{p}=\left\{[A+g(x)]\mathrm {e} ^{-\Phi \left(x\right)}\mid A\in \mathbb {C} \right\}$
La fonction $f$ s'écrit donc de la manière suivante :
$f(x)=[A+g(x)]\mathrm {e} ^{-\Phi \left(x\right)}$

### Remarques

* On retrouve le cas des coefficients constants avec ce formalisme.
* La solution générale, très difficile à lire, se révèle parfois également difficile à utiliser. En effet, il n’est pas toujours aisé d'intégrer les rapports obtenus. En revanche une intégration numérique efficace est souvent envisageable, ce qui permet des résolutions numériques fiables.
Résoudre sur $\left]0,+\infty \right[$ les équations suivantes :
* $xy'-4y=0$
* $x^{2}y'+y=0$
* $xy'-2y=3x^{2}$
* Une primitive de $-{\frac {4}{x}}$ est $-\ln \left(x^{4}\right)$ donc la solution est $y=A\operatorname {e} ^{\ln \left(x^{4}\right)}=A\left(x^{4}\right)$ ($A\in \mathbb {R}$).
* Une primitive de ${\frac {1}{x^{2}}}$ est $-{\frac {1}{x}}$ donc la solution est $y=A\operatorname {e} ^{1/x}$ ($A\in \mathbb {R}$).
* Une primitive de $-{\frac {2}{x}}$ est $-\ln \left(x^{2}\right)$ donc la solution de l'équation homogène est $y=A\operatorname {e} ^{\ln \left(x^{2}\right)}=Ax^{2}$ ($A\in \mathbb {R}$). Pour résoudre l'équation avec second membre, on pose donc $y(x)=x^{2}A(x)$. L'équation équivaut alors à $A'={\frac {3}{x}}$, c'est-à-dire $A(x)=3\ln x+C$ donc la solution est $y(x)=3x^{2}\ln(x)+Cx^{2}$ ($C\in \mathbb {R}$).
Remarque généralisant la question 1 : Pour tout réel $\alpha$, les solutions pour $x\neq 0$ de l'équation différentielle $xy'-\alpha y=0$ sont $y=C|x|^{\alpha }$ ; plus précisément : $y=C_{+}x^{\alpha }$ si $x>0$ et $y=C_{-}(-x)^{\alpha }$ si $x<0$, où $C_{+}$ et $C_{-}$ sont deux réels arbitraires. Mis à part le cas trivial $\alpha \neq 0$, pour l'allure du graphe et de l'éventuel recollement en $x=0$, on distingue les cas :
* $\alpha >1$ : recollement dérivable en $0$, quels que soient les choix de $C_{+}$ et $C_{-}$
* $\alpha =1$ : recollement dérivable en $0$ si et seulement si $C_{-}=-C_{+}$
* $0<\alpha <1$ : recollement non dérivable en $0$
* $\alpha <0$ : pas de recollement en $0$
Considérons le cas d'un mobile de masse variable supposée connue et unité à l'origine (comme un mobile qui brûlerait du carburant et s'allégerait), soumis à une force sinusoïdale.
Le principe fondamental de la dynamique donne :
    ${\dot {p}}=F_{0}\sin(\omega _{0}t)$
Déterminer $v$ en fonction de $t$.
On a ainsi l'équation :
    $m(t)v'(t)+v(t)m'(t)=F_{0}\sin(\omega _{0}t)$
Posons le problème sous la forme canonique :
    $v'(t)+{\frac {m'(t)}{m(t)}}v(t)-{\frac {F_{0}}{m(t)}}\sin(\omega _{0}t)=0$
L'ensemble des solutions de l'équation différentielle est :
    $v(t)={A\omega _{0}-F_{0}\cos(\omega _{0}t) \over \ \omega _{0}m(t)}$
On note $v_{0}$ la vitesse à l'origine des temps. Indiquons la masse initiale du mobile $m_{0}=1$.
La solution unique au problème est :
$v(t)={\omega _{0}v_{0}+2F_{0}\sin ^{2}({\omega _{0} \over \ 2}t) \over \omega _{0}m(t)}$
| Résolution de l'équation différentielle y'=ay+b | Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants |