# Mesure en géométrie/Aire
## Aire

Considérons une portion du plan délimitée par une figure fermée. L'aire est une valeur numérique habituellement notée avec la lettre $A$ (plus souvent $S$ en physique), et qui correspond à l'étendue de cette portion de plan. On parle également de surface ou de superficie.
On peut en donner une valeur approchée en découpant le plan en carrés de côté unité. Si l’on appelle n$_i$ le nombre de carrés entièrement contenus dans la figure, et n$_e$ le nombre minimum de carrés contenant entièrement la figure, alors son aire A est comprise entre n$_i$ et n$_e$ :
    n$_i$ ≤ $A$ ≤ n$_e$.
Ou encore, si l’on doit carreler la portion de plan par des carreaux unité, l'aire est le nombre de carreaux qu’il faut utiliser. On voit ici que l'aire n’est pas nécessairement un nombre entier de carreaux unité (il faut faire des découpes) ; cela peut être un nombre rationnel, voire un nombre réel irrationnel.
Intuitivement, l'aire est souvent vue comme une sorte de nappe. Elle peut aussi être exprimée par des intervalles dans un espace vectoriel de dimension 2. L'unité utilisée de façon générale est l'unité d'aire, notée $uA$, si aucune autre unité n'est explicitement précisée.

## Aire de polygones courants
### Carré d’un nombre et aire d’un carré

Si a est un nombre, le produit de a par lui-même s’appelle « carré de a » et se note :
    a$^2$ = a × a

#### Propriété

    Un carré de côté a a pour aire
       A = a$^2$.

#### Exemple

    L'aire d’un carré de côté 3 est 9 car 3$^2$ = 3 × 3 = 9.
    L'aire d’un carré de côté 8 est 64 car 8² = 8 × 8 = 64

### Aire d’un rectangle

L'aire d’un rectangle de longueur L et de largeur l vaut :
    $A=L\times l$
On notera qu'un carré est un rectangle particulier, tel que L = l = a.
    $L=l=a$
donc
    $A=L\times l$
est
    $A=a\times a$
ou
    $A=a^{2}$

### Aire d’un triangle
#### Triangle rectangle

Considérons un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit valent a et b. Alors, son aire A vaut :
    $\mathrm {A} ={\frac {a\times b}{2}}$.
En effet, c’est la moitié d’un rectangle de dimensions a et b.

#### Triangle quelconque

L'aire A d’un triangle est égale à la moitié du produit de sa hauteur h et de sa base b :
    $\mathrm {A} ={\frac {h\times b}{2}}$.
Un triangle quelconque est l'association de deux triangles rectangles dont les côtés opposés sont confondus.
La base b est la somme des côtés adjacents des deux triangles rectangles.
La hauteur h correspond aux côtés opposés confondus des deux triangles rectangles.

### Aire d’un losange

Soit un losange dont les diagonales ont pour longueur a et b. Son aire A est égale à la moitié du produit des longueurs des diagonales :
    $\mathrm {A} ={\frac {a\times b}{2}}$.
En effet, on peut découper le losange et le réarranger pour en faire un rectangle de dimensions b et a/2.

### Aire d’un trapèze

Soit un trapèze de petite base a, de grande base b et de hauteur h. Son aire A est égale au produit de la moyenne des bases et de la hauteur :
    $\mathrm {A} ={\frac {a+b}{2}}\times h$.
On peut le démontrer en découpant le trapèze en un rectangle et deux triangles rectangles.

### Aire d’un disque

Un disque de rayon r a pour aire
    $A=\pi r^{2}$.

#### Rappel

    Le nombre π (pi) est une constante valant à peu près
    π ≃ 3,141592654.
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