# Introduction à la théorie des nombres/Géométrie des nombres
## Théorème de Minkowski pour un convexe symétrique
### Présentation de l'énoncé

* Un réseau de l'espace euclidien $\mathbb {R} ^{n}$ est un sous-groupe (discret) $\Gamma =\oplus _{i=1}^{n}\mathbb {Z} a_{i}$ engendré par une base $B=\left(a_{1},\dots ,a_{n}\right)$ de $\mathbb {R} ^{n}$.
* Le domaine fondamental de $\Gamma$ associé à la base $B$ est le pavé $\oplus _{i=1}^{n}\left[0,1\right[a_{i}$.
* Le covolume $\operatorname {vol} \left(\mathbb {R} ^{n}/\Gamma \right)$ de $\Gamma$ est le volume du domaine fondamental associé à l'une de ses bases.
Le covolume d'un réseau est indépendant du choix de la base qui l'engendre.
Le volume du pavé $\oplus _{i=1}^{n}\left[0,1\right[a_{i}$ est la valeur absolue du déterminant de la base $B=\left(a_{1},\dots ,a_{n}\right)$ de $\mathbb {R} ^{n}$ dans une base orthonormée arbitraire $B_{0}$, c'est-à-dire du déterminant de la matrice de passage de $B_{0}$ à $B$ :
    $\operatorname {vol} \left(\mathbb {R} ^{n}/\Gamma \right)=\left|\det _{B_{0}}\left(B\right)\right|=\left|\det \left(P_{B_{0}}^{B}\right)\right|$.
Si $B'=\left(a'_{1},\dots ,a'_{n}\right)$ est une autre base de $\mathbb {R} ^{n}$ telle que $\oplus _{j=1}^{n}\mathbb {Z} a'_{j}=\oplus _{i=1}^{n}\mathbb {Z} a_{i}$ alors la matrice de passage $P_{B}^{B'}$ est à coefficients entiers (puisque $a'_{j}\in \oplus _{i=1}^{n}\mathbb {Z} a_{i}$), de même que son inverse $P_{B'}^{B}$ :
    $P_{B}^{B'}\in \operatorname {GL} _{n}\left(\mathbb {Z} \right)$ donc $\det \left(P_{B}^{B'}\right)=\pm 1$.
On conclut à l'aide de la formule de changement de base :
    $\det \left(P_{B_{0}}^{B'}\right)=\det \left(P_{B_{0}}^{B}P_{B}^{B'}\right)=\det \left(P_{B_{0}}^{B}\right)\det \left(P_{B}^{B'}\right)=\pm \det \left(P_{B_{0}}^{B}\right)$.
$\operatorname {vol} \left(\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}\right)=1$.
Soit C un convexe de $\mathbb {R} ^{n}$.
* C est Lebesgue-mesurable.
* S'il est de volume fini non nul alors il est borné (donc compact s'il est de plus fermé).
* S'il est compact, il est symétrique par rapport à l'origine $0$ et de volume non nul si et seulement si sa jauge $x\mapsto \inf {\{\lambda >0\mid x\in \lambda C\}}$ est une norme. Il est alors égal à la boule unité fermée pour cette norme. (Cette propriété ne sera pas utilisée dans ce chapitre.)
Soient, dans $\mathbb {R} ^{n}$, un réseau de covolume V et un convexe C symétrique par rapport à $0$.
* Si le volume de C est strictement supérieur à 2$^n$V, alors C contient au moins un vecteur non nul du réseau (donc deux, opposés).
* Si C est fermé et de volume égal à 2$^n$V, on a la même conclusion.
* La convexité et la symétrie de C sont indispensables (cf. exercice 6-1).
* Ce résultat concernant un réseau Λ quelconque est équivalent (par simple changement de variables) au cas particulier Λ = ℤ$^n$ : si vol(C) > 2$^n$ (ou si vol(C) = 2$^n$ et C est fermé) alors C contient au moins un vecteur non nul à coordonnées entières.
* 2$^n$ = vol–1, 1[$^n$) est la meilleure constante possible.
* Chacun des deux points du théorème se déduit facilement de l'autre (cf. exercice 6-2).

### Démonstration

D'après les remarques ci-dessus, il suffit de démontrer le premier point du théorème dans le cas particulier Λ = ℤ$^n$. La preuve repose sur le lemme de Blichfeldt, qui sera généralisé en exercice.
Pour toute partie Lebesgue-mesurable $R\subset \mathbb {R} ^{n}$ de volume $>1$, il existe deux points distincts $x,y\in R$ tels que $x-y\in \mathbb {Z} ^{n}$.
Les translatés $D+u$ du domaine fondamental $D:=\left[0,1\right[^{n}$ par les vecteurs $u\in \mathbb {Z} ^{n}$ forment une partition de $\mathbb {R} ^{n}$, donc les $R_{u}:=R\cap \left(D+u\right)$ forment une partition (dénombrable) de $R$. De plus, la mesure de Lebesgue est invariante par translation. Par conséquent,
    $\operatorname {vol} (D)=1<\operatorname {vol} (R)=\sum _{u\in \mathbb {Z} ^{n}}\operatorname {vol} (R_{u})=\sum _{u\in \mathbb {Z} ^{n}}\operatorname {vol} (R_{u}-u)$.
Or les $R_{u}-u=(R-u)\cap D$ sont tous inclus dans $D$. Donc ils ne sont pas deux à deux disjoints. Il existe $z\in (R-u)\cap (R-v)$ avec $u\neq v$. Les deux points $x:=z+u,y:=z+v\in R$ sont alors distincts, et $x-y=u-v\in \mathbb {Z} ^{n}$.
Soit $C$ un convexe symétrique par rapport à $0$ et de volume $>2^{n}$. Soit $R:={\frac {1}{2}}\,C$ (l'image de $C$ par l'homothétie vectorielle de rapport $1/2$). Son volume est $>1$ donc (d'après le lemme) $\exists x,y\in R\quad x-y\in \mathbb {Z} ^{n}\setminus \{0\}$. Alors, $2x,2y\in C$ donc (par symétrie) $2x$ et $-2y$ appartiennent à $C$, donc (par convexité) leur milieu, ${\frac {2x-2y}{2}}$, appartient aussi à $C$. Ainsi, $x-y$ est un élément non nul de $\mathbb {Z} ^{n}\cap C$.

## Théorème de Minkowski pour des formes linéaires

Soient $A=(a_{i,j})\in M_{n}(\mathbb {R} )$ et $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}>0$. On définit les formes linéaires $L_{1},\dots ,L_{n}$ sur $\mathbb {R} ^{n}$ par
    $\forall i=1,\dots ,n\quad L_{i}(x)=\sum _{j}a_{i,j}x_{j}$.
* Si $\left|\det A\right|<\prod \lambda _{i}$, il existe $x\in \mathbb {Z} ^{n}\setminus \{0\}$ tel que $\forall i=1,\dots ,n\quad |L_{i}(x)|<\lambda _{i}$.
* Si $\left|\det A\right|=\prod \lambda _{i}$, il existe $x\in \mathbb {Z} ^{n}\setminus \{0\}$ tel que $|L_{1}(x)|\leq \lambda _{1}$ et $\forall i=2,\dots ,n\quad |L_{i}(x)|<\lambda _{i}$.
* Si $\left|\det A\right|<\prod \lambda _{i}$, appliquons le théorème de Minkowski précédent au convexe $C:=\prod \left]-\lambda _{i},\lambda _{i}\right[$ ($0$-symétrique) et au réseau $\Gamma :=A\left(\mathbb {Z} ^{n}\right)$, de covolume $\left|\det A\right|$. On a bien $\operatorname {vol} (C)=2^{n}\prod \lambda _{i}>2^{n}\left|\det A\right|=2^{n}\operatorname {vol} (\mathbb {R} ^{n}/\Gamma )$ donc il existe un point du réseau, $y=Ax$ avec $x\in \mathbb {Z} ^{n}$, tel que $y\neq 0$ (donc $x\neq 0$), et $y\in C$, c'est-à-dire $\forall i=1,\dots ,n\quad \left|y_{i}\right|<\lambda _{i}$. C'est le résultat annoncé car (par définition) $y_{i}=L_{i}(x)$.
* Si $\left|\det A\right|=\prod \lambda _{i}$, pour tout $k\in \mathbb {N} ^{*}$, il existe, d'après le point précédent, un vecteur non nul $x_{k}\in \mathbb {Z} ^{n}$ tel que $|L_{1}(x_{k})|<\lambda _{1}\left(1+{\frac {1}{k}}\right)$ et $\forall i=2,\dots ,n\quad |L_{i}(x_{k})|<\lambda _{i}$. La suite $\left(x_{k}\right)$, discrète et bornée, prend une infinité de fois la même valeur $x$, qui vérifie donc les inégalités annoncées.
Soient $m,d\in \mathbb {N} ^{*}$. Pour toute matrice $B=(b_{i,j})\in M_{m,d}(\mathbb {R} )$ et tout réel $Q\geq 1$, il existe un vecteur non nul $q\in \mathbb {Z} ^{d}$ tel que
    $\left|q_{1}\right|\leq Q,\quad \left|q_{2}\right|,\dots ,\left|q_{d}\right|<Q\quad {\text{et}}\quad \forall i=1,\dots ,m\quad d\left(\sum _{j}b_{i,j}q_{j},\,\mathbb {Z} \right)<Q^{-d/m}$.
On applique le second point du théorème à
    $n=d+m$, $A={\begin{pmatrix}I_{d}&0\\B&I_{m}\end{pmatrix}}$ (triangulaire, de déterminant $1$), $\lambda _{1}=\dots =\lambda _{d}=Q$ et $\lambda _{d+1}=\dots =\lambda _{n}=Q^{-d/m}$.
En notant $x=(q,r)\in \mathbb {Z} ^{d+m}$, les formes $L_{i}$ sont $x\mapsto q_{j}$ ($1\leq j\leq d$) et $x\mapsto \sum _{j=1}^{d}b_{i,j}q_{j}+r_{i}$ ($1\leq i\leq m$).
On trouve donc un vecteur non nul $x=(q,r)\in \mathbb {Z} ^{d+m}$ tel que $|q_{1}|\leq Q$, $\left|q_{2}\right|,\dots ,\left|q_{d}\right|<Q$ et (pour $1\leq i\leq m$) $\left|\sum _{j=1}^{d}b_{i,j}q_{j}+r_{i}\right|<Q^{-d/m}$.
Comme $x\neq 0$, les $q_{j}$ ne sont pas tous nuls, sinon les entiers $r_{i}$ le seraient aussi car on aurait $\left|r_{i}\right|<Q^{-d/m}\leq 1$.
* De même, pour tout réel $Q>1$, il existe un vecteur non nul $q\in \mathbb {Z} ^{d}$ tel que
    $\left|q_{1}\right|,\dots ,\left|q_{d}\right|<Q,\quad d\left(\sum _{j}b_{1,j}q_{j},\,\mathbb {Z} \right)\leq Q^{-d/m}\quad {\text{et}}\quad \forall i=2,\dots ,m\quad d\left(\sum _{j}b_{i,j}q_{j},\,\mathbb {Z} \right)<Q^{-d/m}$.
* Remarquons les deux cas particuliers :
** $m=1$ : $\forall b_{1},\dots ,b_{d}\in \mathbb {R} \quad \forall Q\geq 1\quad \exists q\in \mathbb {Z} ^{d}\setminus \{0\}\quad \left|q_{1}\right|\leq Q,\quad \left|q_{2}\right|,\dots ,\left|q_{d}\right|<Q\quad {\text{et}}\quad d\left(\sum b_{j}q_{j},\,\mathbb {Z} \right)<Q^{-d}$ ;
** $d=1$ : $\forall b_{1},\dots ,b_{m}\in \mathbb {R} \quad \forall Q\geq 1\quad \exists q\in \mathbb {N} ^{*}\quad q\leq Q\quad {\text{et}}\quad \forall i=1,\dots ,m\quad d\left(b_{i}q,\,\mathbb {Z} \right)<Q^{-1/m}$.
    Le cas $d=1$ est le théorème de Dirichlet sur l'approximation diophantienne simultanée de $m$ réels $b_{1},\dots ,b_{m}$. Comme dans le cas particulier d'un seul réel vu au chapitre 2, on en déduit que si au moins l'un des $b_{i}$ est irrationnel, il existe même une infinité d'entiers $q>0$ tels que $\forall i=1,\dots ,m\quad d\left(b_{i}q,\,\mathbb {Z} \right)<q^{-1/m}$.
* L'exposant $-d/m$ est le meilleur possible. Pour $d=1$, cela se déduit, grâce au point précédent et au principe de transfert de Khintchine$^,$, de la propriété suivante : pour tout nombre $\theta$ algébrique de degré $m+1$, il existe une constante $A>0$ telle que pour tout $m$-uplet non nul d'entiers $\left(q_{1},\dots ,q_{m}\right)$, $d\left(\sum _{i=1}^{m}b_{i}\theta ^{i},\,\mathbb {Z} \right)>{\frac {A}{\max _{i}\left|q_{i}\right|^{m}}}$. (Pour $m=1$, on reconnaît un résultat vu au chapitre 2 : la mesure d'irrationalité d'un irrationnel est supérieure ou égale à 2.)

## Deuxième théorème de Minkowski pour un convexe symétrique

Signalons seulement ce renforcement du premier théorème. Il concerne les minima successifs du réseau Γ par rapport au convexe symétrique C.
Soit C un convexe de $\mathbb {R} ^{n}$, symétrique par rapport à $0$, compact et de volume non nul.
Les n minima successifs λ$_1$ ≤ λ$_2$ ≤ … ≤ λ$_n$ relativement à C d'un réseau Γ sont définis par :
λ$_j$ est le plus petit réel λ pour lequel λC contient j vecteurs de Γ linéairement indépendants.
Avec cette définition, le premier théorème de Minkowski pour un convexe C compact (et symétrique) se reformule en :
Pour tout réseau de covolume V, le premier minimum relativement à C vérifie : $\lambda _{1}^{n}\operatorname {vol} (C)\leq 2^{n}V$.
Soient, dans $\mathbb {R} ^{n}$, un réseau Γ de covolume V et un convexe C symétrique par rapport à $0$, compact et de volume non nul.
Les minima successifs de Γ relativement à C vérifient :
    ${\frac {2^{n}V}{n!}}\leq \lambda _{1}\lambda _{2}\dots \lambda _{n}\operatorname {vol} (C)\leq 2^{n}V$.