# Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Coniques
## Introduction

Le nom « coniques » vient du fait que ces courbes sont les intersections d'un cône de révolution avec un « plan ne passant pas par le sommet du cône » $\rightsquigarrow$ voir les trois tracés ci-dessous :
* Hyperbole comme intersection d'un cône de révolution avec un plan ne passant pas par le sommet et coupant le cône en deux parties distinctes
* Parabole comme intersection d'un cône de révolution avec un plan ne passant pas par le sommet et $\;\parallel \;$ à une génératrice du cône
* Ellipse comme intersection d'un cône de révolution avec un plan ne passant pas par le sommet et sécant avec toutes les génératrices du cône

## Définition géométrique des coniques
### Définition bifocale d'une hyperbole

On considère deux points distincts $\;F\;$ et $\;F'$ $\;{\big$définissant les deux « foyers » de l'hyperbole${\big )}\;$ séparés de la distance $\;FF'=2\,c$, le milieu $\;C\;$ du segment $\;[FF']\;$ et une longueur $\;a<c$ :
$\;F\;$
$\;F'\;$
$\;e={\dfrac {c}{a}}>1\;$
$\;M\;$
$\;\vert MF-MF'\vert =2\,a\;$

### Principales propriétés d'une hyperbole

$\;\rightsquigarrow \;$Il existe :
* deux asymptotes$\;(\delta _{1})\;$ et $\;(\delta _{2})\;$ passant par $\;C$ $\;{\big$centre de l'hyperbole${\big )}\;$ et deux branches d'hyperbole ;
* deux axes de symétrie dont l'un passant par les deux foyers $\;F\;$ et $\;F'\;$ est appelé « axe focal », deux axes de symétrie dont l'autre $\;(\Delta )\;$ lui étant $\;\perp \;$ en $\;C$ $\;{\big$centre de l'hyperbole${\big )}\;$ est appelé « axe non focal » ;
$\;\rightsquigarrow \;$nommant $\;A\;$ et $\;A'\;$ les points de l'hyperbole sur l'axe focal $\;{\bigA\;$ étant le plus proche de $\;F{\big )}$,
* la longueur «$\;CA=CA'=a\;$» est appelée « demi-axe focal »,
* on introduit le demi-axe non focal$\;b\;$ comme la longueur commune «$\;CB=CB'=b\;$» avec $\;B\;$ et $\;B'\;$ points de l'axe non focal, projetés orthogonaux des points d'intersection des $\;\perp \;$ à l'axe focal en $\;A\;$ et $\;A'\;$ avec les asymptotes ${\big$points d'intersections notés $\;K_{1}\;$ ou $\;K_{2}$, $\;K'_{1}\;$ ou $\;K'_{2}$, seul $\;K'_{2}\;$ est représenté sur le schéma ci-contre${\big )}$ ;
$\;\rightsquigarrow \;$nommant $\;H_{1}\;$ et $\;H_{2}\;$ les projetés orthogonaux de $\;F\;$ sur les asymptotes $\;{\bigH'_{1}\;$ et $\;H'_{2}\;$ ceux de $\;F'\;$ sur les asymptotes${\big )}$,
* la longueur «$\;CH_{1}=CH_{2}=CH'_{1}=CH'_{2}=a\;$» ;
* on établit que la longueur «$\;FH_{1}=FH_{2}=(F'H'_{1}=F'H'_{2})=b\;$» car, dans les triangles $\;CFH_{1}\;$ et $\;CA'K'_{2}$, $\;\tan(\alpha )=$ ${\dfrac {FH_{1}}{CH_{1}}}={\dfrac {A'K'_{2}}{A'C}}\;$ avec $\;{\dfrac {A'K'_{2}}{A'C}}={\dfrac {b}{a}}\;$ d'où $\;FH_{1}={\dfrac {b}{a}}\,CH_{1}=b\;$, $\;b\;$est donc aussi la distance orthogonale entre les foyers et les asymptotes ;
* le triangle$\;H_{1}FC\;$rectangle en$\;H_{1}\;$ a pour longueur de côtés $\;\left({\begin{array}{l}CF=c\\H_{1}F=b\\CH_{1}=a\end{array}}\right)\;$ $\Rightarrow$ «$\;c^{2}=a^{2}+b^{2}\;$» ; on peut aussi déduire de ce triangle rectangle que l'angle $\;\alpha \;$ entre les asymptotes et l'axe focal vaut «$\;\alpha =\arctan \!\left({\dfrac {b}{a}}\right)\;$»$^,$ ;
* on définit le paramètre par «$\;p={\dfrac {b^{2}}{a}}\;$» et on peut établir son lien avec $\;e\;$ et $\;a\;$ en éliminant $\;b^{2}\;$ par $\;b^{2}=c^{2}-a^{2}\;$ puis $\;c\;$ par $\;c=e\,a\;$ d'où «$\;b^{2}=a^{2}\,(e^{2}-1)\;$» et «$\;p=a\,(e^{2}-1)\;$».
* Dans le triangle$\;H_{1}FC\;$rectangle en$\;H_{1}$ $\;{\big$car $\;H_{1}\;$ est le projeté orthogonal de $\;F\;$ sur l'asymptote $\;(\delta _{1}){\big ]}$ : $\;\left({\begin{array}{l}CF=c\\H_{1}F=b\\CH_{1}=a\end{array}}\right)\;$ d'où Dans le triangle$\;\color {transparent}{H_{1}FC}\;$rectangle en$\;\color {transparent}{H_{1}}$ par théorème de Pythagore «$\;c^{2}=a^{2}+b^{2}\;$» et Dans le triangle$\;\color {transparent}{H_{1}FC}\;$rectangle en$\;\color {transparent}{H_{1}}$ par angle $\;\alpha ={\widehat {FCH_{1}}}$ $\;{\big$l'angle entre l'asymptote $\;(\delta _{1})\;$ et l'axe focal${\big ]}$, Dans le triangle$\;\color {transparent}{H_{1}FC}\;$rectangle en$\color {transparent}{H_{1}}$ par angle«$\;\alpha =\arctan \!\left({\dfrac {b}{a}}\right)\;$» ;
* l'excentricité «$\;e={\dfrac {c}{a}}>1\;$» et le paramètre «$\;p={\dfrac {b^{2}}{a}}\;$».

### Définition bifocale d'une ellipse

On considère deux points distincts $\;F\;$ et $\;F'$ $\;{\big$définissant les deux « foyers » de l'ellipse${\big )}\;$ séparés de la distance $\;FF'=2\,c$, le milieu $\;C\;$ du segment $\;[FF']\;$ et une longueur $\;a>c$ :
$\;F\;$
$\;F'\;$
$\;e={\dfrac {c}{a}}<1\;$
$\;M\;$
$\;MF+MF'=2\,a\;$

### Principales propriétés d'une ellipse

$\;\rightsquigarrow \;$Il existe :
* deux axes de symétrie dont l'un passant par les deux foyers $\;F\;$ et $\;F'\;$ est appelé « axe focal » ou « grand axe », deux axes de symétrie dont l'autre $\;(\Delta )\;$ lui étant $\;\perp \;$ en $\;C$ $\;{\big$centre de l'ellipse${\big )}\;$ est appelé « axe non focal » ou « petit axe » ;
$\;\rightsquigarrow \;$nommant $\;A\;$ et $\;A'\;$ les points de l'ellipse sur l'axe focal $\;{\bigA\;$ étant le plus proche de $\;F{\big )}$,
* la longueur «$\;CA=CA'=a\;$» est appelée « demi grand axe » ;
$\;\rightsquigarrow \;$nommant $\;B\;$ et $\;B'\;$ les points de l'ellipse sur le petit axe,
* la longueur «$\;CB=CB'=b\;$» est appelée « demi petit axe » ;
* le triangle$\;BFC\;$rectangle en$\;C\;$ a pour longueur de côtés $\;\left({\begin{array}{l}CF=c\\CB=b\\FB=a\end{array}}\right)\;$ $\Rightarrow$ «$\;a^{2}=b^{2}+c^{2}\;$» ; on peut aussi déduire de ce triangle rectangle que l'angle $\;\alpha ={\widehat {CBF}}\;$ a pour sinus «$\;\sin(\alpha )={\dfrac {c}{a}}=e\;$» ;
* on définit le paramètre par «$\;p={\dfrac {b^{2}}{a}}\;$» et on peut établir son lien avec $\;e\;$ et $\;a\;$ en éliminant $\;b^{2}\;$ par $\;b^{2}=a^{2}-c^{2}\;$ puis $\;c\;$ par $\;c=e\,a\;$ d'où «$\;b^{2}=a^{2}\,(1-e^{2})\;$» et par suite «$\;p=a\,(1-e^{2})\;$».
* Dans le triangle$\;CFB\;$rectangle en$\;C$ : $\;\left({\begin{array}{l}CF=c\\CB=b\\BF=a\end{array}}\right)\;$ d'où Dans le triangle$\;\color {transparent}{CFB}\;$rectangle en$\;\color {transparent}{C}$ par théorème de Pythagore «$\;a^{2}=b^{2}+c^{2}\;$» et Dans le triangle$\;\color {transparent}{CFB}\;$rectangle en$\;\color {transparent}{C}$ par angle $\;\alpha ={\widehat {CBF}}$ $\;{\big$l'angle sous lequel de $\;B$, un des sommets du petit axe, on voit la Dans le triangle$\;\color {transparent}{CFB}\;$rectangle en$\;\color {transparent}{C}$ par angle $\;\color {transparent}{\alpha ={\widehat {CBF}}}$ $\;\color {transparent}{\big$distance entre le centre $\;C\;$ et l'un des foyers $\;F{\big ]}$, Dans le triangle$\;\color {transparent}{CFB}\;$rectangle en$\color {transparent}{C}$ par angle«$\;\alpha =\arcsin \!\left({\dfrac {c}{a}}\right)=\arcsin(e)\;$» ;
* l'excentricité «$\;e={\dfrac {c}{a}}<1\;$» et le paramètre «$\;p={\dfrac {b^{2}}{a}}\;$».

### Définition monofocale d'une parabole

La parabole n'a pas de définition bifocale car une parabole n'a qu'un foyer ; elle n'a donc qu'une définition monofocale, nécessitant de préciser son foyer $\;F\;$ et la directrice $\;(D)\;$ associée à son foyer, droite séparée du foyer d'une distance définissant son paramètre $\;p$ :
$\;F\;$
$\;(D)\;$
$\;M\;$
$\;MF=MH\;$
$\;\color {transparent}{F}\;$
$\;\color {transparent}{(D)}\;$
$\;H\;$
$\;M\;$
$\;(D)\;$
$\;\color {transparent}{F}\;$
$\;\color {transparent}{(D)}\;$
$\;F\;$
$\;(D)\;$
$\;p\;$
$\;\color {transparent}{F}\;$
$\;\color {transparent}{(D)}\;$
$\;\color {transparent}{F}\;$
$\;\color {transparent}{(D)}\;$
$\;e=1\;$

### Principales propriétés d'une parabole

$\;\rightsquigarrow \;$Il existe :
* un axe de symétrie « la droite passant par $\;F\;$ et $\;\perp \;$ à $\;(D)\;$», cet axe est appelé « axe focal »,
$\;\rightsquigarrow \;$nommant $\;S\;$ le point de la parabole situé sur son axe focal,
* c'est « le milieu de $\;[FK]\;$» dans lequel $\;K\;$ est le projeté orthogonal du foyer $\;F\;$ sur la directrice $\;(D)\;$ $\Rightarrow$ «$\;FS={\dfrac {p}{2}}\;$», $\;S\;$ étant nommé « sommet de la parabole ».

### Définition monofocale d'une conique

C'est la seule définition commune aux trois coniques « ellipse, parabole ou hyperbole », on précise alors :
* le couple « foyer, directrice associée »,
* le « paramètre $\;p\;$»,
* l'« excentricité $\;e\;$» et
* la « distance $\;2\,c\;$ séparant le 2ème foyer $\;{\big$celui qui n'est pas utilisé${\big )}\;$ du 1er $\;{\big$celui qui est utilisé${\big )}\;$» dans le cas d'une ellipse ou d'une hyperbole correspondant à l'existence d'un deuxième couple « foyer, directrice associée ».
La conique de foyer $\;F$, de directrice associée $\;(D)\;$ et d'excentricité $\;e\geqslant 0\;$ La conique est l'ensemble des points $\;M\;$ du plan tel que «$\;MF=e\;MH\;$» dans laquelle La conique est l'ensemble des points«$\;H\;$ est le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur la directrice $\;(D)\;$», La conique est l'ensemble des points« le paramètre $\;p\;$ de la conique étant le produit “$\;e\times FK\;$” où $\;FK\;$ est la distance orthogonale La conique est l'ensemble des points« le paramètre $\;\color {transparent}{p}\;$ de la conique étant séparant le foyer $\;F\;$ de la directrice associée $\;(D)\;$» La conique est l'ensemble des points${\Big$avec $\;K\;$ projeté orthogonal de $\;F\;$ sur $\;(D)$, on en déduit «$\;FK={\dfrac {p}{e}}\;$»$^,$${\Big ]}$.
Sauf dans le cas d'une parabole, il existe un autre couple de foyer $\;F'\;$ et de directrice associée $\;(D')\;$ pour une conique de même excentricité $\;e\in \mathbb {R} ^{+}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace$, la définition de cette conique est la même en remplaçant les foyers entre eux et les directrices entre elles.
Remarque : Dans le cas d'un cercle, $\;M\;$ restant à distance finie de $\;F\;$, $\;MH\;$ est $\;\infty \;$ et comme $\;e\;$ est nulle, «$\;e\;MH\;$» constitue une forme indéterminée laquelle doit être identifiée à la distance Remarque : Dans le cas d'un cercle, $\;\color {transparent}{M}\;$ restant à distance finie de $\;\color {transparent}{F}\;$, $\;\color {transparent}{MH}\;$ est $\;\color {transparent}{\infty }\;$ et comme $\;\color {transparent}{e}\;$ est nulle, «$\;MF\;$ c.-à-d. au rayon du cercle ; Remarque : Dans le cas d'un cercle, on en déduit que la définition monofocale d'un cercle est peu exploitable ;
Remarque : dans le cas d'une parabole on retrouve bien la définition fournie précédemment dans la mesure où l'« excentricité $\;e\;$ de la parabole est égale à $\;1\;$».

#### Application à une hyperbole

Voir ci-contre le tracé de l'hyperbole de foyer $\;F$, de directrice associée $\;(D)\;$ et d'excentricité $\;e>1$, la distance séparant $\;F\;$ de $\;(D)\;$ est $\;KF={\dfrac {p}{e}}\;$ dans lequel $\;K\;$ est le projeté orthogonal de $\;F\;$ sur $\;(D)$ $\;{\Bige\;$ étant $\;>\;$ à $\;1$, on en déduit que $\;KF={\dfrac {p}{e}}<p\;$${\Big ]}$ ;
l'excentricité $\;e\;$ étant $\;>1\;$ l'hyperbole cherchée est l'« ensemble des points $\;M\;$ du plan tel que “$\;MF=e\;MH>MH\;$” dans laquelle l'excentricité $\;\color {transparent}{e}\;$ étant $\;\color {transparent}{>1}\;$ l'hyperbole cherchée est l'« ensemble des points $\;H\;$ est le projeté orthogonal de $\;F\;$ sur $\;(D)\;$» ${\big$sur le schéma ci-contre la branche correspondant à $\;M\;$ et $\;F\;$ situés d'un même côté relativement à $\;(D)\;$ est tracée et expliquée en rouge, $\color {transparent}{\big$sur le schéma l'autre branche correspondant à $\;M\;$ et $\;F\;$ situés de part et d'autre de $\;(D)\;$ tracée en bleu et expliquée en noir${\big ]}$ ;
l'excentricité e étant > 1 l'hyperbole cherchée c'est aussi l'« ensemble des points $\;M\;$ du plan tel que “$\;MF'=e\;MH'>MH'\;$” avec l'excentricité e étant > 1 l'hyperbole cherchée c'est aussi l'« ensemble des points $\;H'\;$ projeté orthogonal de l'autre foyer $\;F'\;$ sur l'excentricité e étant > 1 l'hyperbole cherchée c'est aussi l'« ensemble des points $\;\color {transparent}{H'}\;$ projeté orthogonal de la directrice associée $\;(D')\;$» ${\big$sur le schéma ci-contre la branche correspondant à $\;M\;$ et $\;F'\;$ situés d'un même côté relativement à $\;(D')\;$ tracée et expliquée en bleu, $\color {transparent}{\big$sur le schéma l'autre branche rouge n'étant pas expliquée pour éviter la surcharge${\big ]}$.

#### Établissement de la définition bifocale d'une hyperbole à partir de sa définition monofocale

Partant de la définition monofocale de l'hyperbole utilisant le couple « foyer $\;F$ - directrice $\;(D)\;$» on a «$\;MF=e\;MH\;$ avec Partant de la définition monofocale de l'hyperbole utilisant $H\;$ projeté orthogonal de $\;F\;$ sur $\;(D)\;$» et
Partant de la définition monofocale de l'hyperbole utilisant le couple « foyer $\;F'$ - directrice $\;(D')\;$» on a «$\;MF'=e\;MH'\;$ avec Partant de la définition monofocale de l'hyperbole utilisant $H'\;$ projeté orthogonal de $\;F'\;$ sur $\;(D')\;$» ;
en faisant la différence de ces deux définitions on obtient «$\;MF-MF'=e\;(MH-MH')\;$» ou, $\;M\;$ ayant été choisi sur la branche représentée en bleu, en faisant la différence de ces deux définitions on obtient «$\;MF-MF'=e\;H'H\;$» avec «$\;H'H=2\,\left(CF-KF\right)=2\,\left(c-{\dfrac {p}{e}}\right)\;$» d'où «$\;MF-MF'=2\;(e\;c-p)\;$» ;
il reste à montrer que cette constante $\;2\;(e\;c-p)\;$ est égale à l'axe focal «$\;A'A=2\;a\;$» et pour cela il faut $\;{\big$en utilisant exclusivement la définition monofocale de l'hyperbole${\big )}$, il reste à montrer que cette constante $\;\color {transparent}{2\;(e\;c-p)}\;$ est égale à l'axe focal «$\;\color {transparent}{A'A=2\;a}\;$» et pour cela il faut établir le lien de $\;A'A=2\;a\;$ avec «$\;e\;$ et $\;p\;$» d'une part ainsi que il reste à montrer que cette constante $\;\color {transparent}{2\;(e\;c-p)}\;$ est égale à l'axe focal «$\;\color {transparent}{A'A=2\;a}\;$» et pour cela il faut établir le lien de $\;\color {transparent}{A'A=2\;a}\;$ avec «$\;e\;$ et $\;c\;$» d'autre part ;
dans ce but définissons $\;A\;$ de façon monofocale utilisant le couple « foyer $\;F$ - directrice $\;(D)\;$ selon «$\;AF=e\;AK\;$ avec $\;K\;$ le pied de la directrice $\;(D)\;$ sur l'axe focal » et
dans ce but définissons $\;\color {transparent}{A}\;$ de façon monofocale utilisant le couple « foyer $\;F'$ - directrice $\;(D')\;$ selon «$\;AF'=e\;AK'\;$ avec $\;K'\;$ le pied de la directrice $\;(D')\;$ sur l'axe focal » ;
de la 1ère définition on tire $\;AF=e\;AK=e\;(FK-FA)=e\,\left({\dfrac {p}{e}}-AF\right)=p-e\;AF\;$ $\Rightarrow$ $\;AF\,(1+e)=p\;$ soit $\;AF={\dfrac {p}{1+e}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;a=CA=CF-AF=c-{\dfrac {p}{1+e}}\;$» ;
de la 2ème définition on tire $\;AF'=e\;AK'=e\;(F'A-F'K')=e\,\left(AF'-{\dfrac {p}{e}}\right)=e\;AF'-p\;$ $\Rightarrow$ $\;AF'\,(e-1)=p\;$ soit $\;AF'={\dfrac {p}{e-1}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;a=CA=F'A-F'C={\dfrac {p}{e-1}}-c\;$» ;
$\succ \;$faisant la somme des deux expressions de $\;a\;$ dans le but d'éliminer $\;c$, nous en déduisons «$\;2\;a={\dfrac {p}{e-1}}-{\dfrac {p}{1+e}}={\dfrac {2\;p}{e^{2}-1}}\;$» d'où «$\;a={\dfrac {p}{e^{2}-1}}\;$» ;
$\succ \;$faisant la différence des deux expressions de $\;a\;$ dans le but d'obtenir $\;c\;$, nous en déduisons «$\;0=2\;c-{\dfrac {p}{1+e}}-{\dfrac {p}{e-1}}=2\;c-{\dfrac {2\;p\;e}{e^{2}-1}}\;$» d'où «$\;c={\dfrac {e\;p}{e^{2}-1}}\;$» ou $\color {transparent}{\succ }\;$faisant la différence des deux expressions de $\;\color {transparent}{a}\;$ dans le but d'obtenir $\;\color {transparent}{c}\;$, nous en déduisons «$\;\color {transparent}{0=2\;c-{\dfrac {p}{1+e}}-{\dfrac {p}{e-1}}=2\;c-{\dfrac {2\;p\;e}{e^{2}-1}}}\;$» d'où «$\;c=e\;a\;$» en tenant compte de l'expression $\color {transparent}{\succ }\;$faisant la différence des deux expressions de $\;\color {transparent}{a}\;$ dans le but d'obtenir $\;\color {transparent}{c}\;$, nous en déduisons «$\;\color {transparent}{0=2\;c-{\dfrac {p}{1+e}}-{\dfrac {p}{e-1}}=2\;c-{\dfrac {2\;p\;e}{e^{2}-1}}}\;$» d'où de $\;a={\dfrac {p}{e^{2}-1}}\;$ précédemment obtenue, soit $\color {transparent}{\succ }\;$faisant la différence des deux expressions de $\;\color {transparent}{a}\;$ dans le but d'obtenir $\;\color {transparent}{c}\;$, nous en déduisons «$\;\color {transparent}{0=2\;c-{\dfrac {p}{1+e}}-{\dfrac {p}{e-1}}=2\;c-{\dfrac {2\;p\;e}{e^{2}-1}}}\;$» d'où «$\;a={\dfrac {c}{e}}\;$» $\Rightarrow$ $\;e={\dfrac {c}{a}}>1\;$ ;
reprenant «$\;MF-MF'=2\;(e\;c-p)\;$» et y reportant les expressions de $\;c\;$ et $\;p\;$ en fonction de $\;a\;$ soit $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c l c}a\!\!&=&\!\!{\dfrac {c}{e}}\!\!&\Rightarrow &\!\!c\!\!&=&\!\!e\;a\\a\!\!&=&\!\!{\dfrac {p}{e^{2}-1}}\!\!&\Rightarrow &\!\!p\!\!&=&\!\!(e^{2}-1)\;a\end{array}}\right\rbrace \;$ nous obtenons reprenant «$\;MF-MF'=2\,\left[e^{2}\;a-a\,\left(e^{2}-1\right)\right]=2\;a\;$» pour les points $\;M\;$ de la branche représentée en bleu ; nous trouverions reprenant «$\;MF'-MF=2\;a\;$» pour les points $\;M\;$ de la branche représentée en rouge ;
finalement les deux définitions monofocales de l'hyperbole $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}MF=e\;MH\;{\text{avec}}\;H\;{\text{projeté orthogonal de}}\;F\;{\text{sur}}\;(D)\\MF'=e\;MH'\;{\text{avec}}\;H'\;{\text{projeté orthogonal de}}\;F'\;{\text{sur}}\;(D')\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ la définition bifocale de celle-ci «$\;\vert MF-MF'\vert =2\;a\;$».
Il reste à montrer que «$\;a$, $\;b\;$ et $\;p\;$ définis de façon monofocale » sont effectivement reliés par «$\;p={\dfrac {b^{2}}{a}}\;$», mais ayant établi que « la définition monofocale $\Rightarrow$ la définition bifocale », nous pouvons utiliser le résultat tiré du « triangle rectangle $\;CFH_{1}\;$» c.-à-d. $\;a^{2}+b^{2}=c^{2}\;$ $\Rightarrow$ $\;b^{2}=c^{2}-a^{2}=\left(e\;a\right)^{2}-a^{2}\;$ $\Rightarrow$ $\;b^{2}=a^{2}\;(e^{2}-1)=a\,\left[a\;(e^{2}-1)\right]=a\;p\;$ soit «$\;p={\dfrac {b^{2}}{a}}\;$» C.Q.F.D..

#### Application à une ellipse

Voir ci-contre le tracé de l'ellipse de foyer $\;F$, de directrice associée $\;(D)\;$ et d'excentricité $\;e<1$, la distance séparant $\;F\;$ de $\;(D)\;$ est $\;KF={\dfrac {p}{e}}\;$ dans lequel $\;K\;$ est le projeté orthogonal de $\;F\;$ sur $\;(D)$ Voir ci-contre ${\Bige\;$ étant $\;<\;$ à $\;1$, on en déduit que $\;KF={\dfrac {p}{e}}>p\;$${\Big ]}$ ;
l'excentricité $\;e\;$ étant $\;<1\;$ l'ellipse cherchée est l'« ensemble des points $\;M\;$ du plan vérifiant la relation “$\;MF$ $=e\;MH<MH\;$” dans laquelle $\;H\;$ est le projeté orthogonal de $\;F\;$ sur $\;(D)\;$» ;
l'excentricité e étant < 1 l'ellipse cherchée c'est aussi l'« ensemble des points $\;M\;$ du plan vérifiant “$\;MF'=e\;MH'<MH'\;$”, $\;{\bigH'\;$ projeté orthogonal de l'autre foyer $\;F'\;$ sur la directrice associée $\;(D'){\big ]}\;$».

#### Établissement de la définition bifocale d'une ellipse à partir de sa définition monofocale

Partant de la définition monofocale de l'ellipse utilisant le couple « foyer $\;F$ - directrice $\;(D)\;$» on a «$\;MF=e\;MH\;$ avec $\;H\;$ projeté orthogonal de $\;F\;$ sur $\;(D)\;$» et
Partant de la définition monofocale de l'ellipse utilisant le couple « foyer $\;F'$ - directrice $\;(D')\;$» on a «$\;MF'=e\;MH'\;$ avec $\;H'\;$ projeté orthogonal de $\;F'\;$ sur $\;(D')\;$» ;
en faisant la somme de ces deux définitions on obtient «$\;MF+MF'=e\;(MH+MH')=e\;HH'\;$» avec «$\;H'H=2\,\left(CF+KF\right)=2\,\left(c+{\dfrac {p}{e}}\right)\;$» d'où «$\;MF+MF'=2\;(e\;c+p)\;$» ;
il reste à montrer que cette constante $\;2\;(e\;c+p)\;$ est égale au grand axe «$\;A'A=2\;a\;$» et pour cela il faut, ${\big$en utilisant exclusivement la définition monofocale de l'ellipse${\big )}$, il reste à montrer que cette constante $\;\color {transparent}{2\;(e\;c+p)}\;$ est égale au grand axe «$\;\color {transparent}{A'A=2\;a}\;$» et pour cela il faut établir le lien de $\;A'A=2\;a\;$ avec «$\;e\;$ et $\;p\;$» d'une part ainsi que il reste à montrer que cette constante $\;\color {transparent}{2\;(e\;c+p)}\;$ est égale au grand axe «$\;\color {transparent}{A'A=2\;a}\;$» et pour cela il faut établir le lien de $\;\color {transparent}{A'A=2\;a}\;$ avec «$\;e\;$ et $\;c\;$» d'autre part ;
dans ce but définissons $\;A\;$ de façon monofocale utilisant le couple « foyer $\;F$ - directrice $\;(D)\;$ selon «$\;AF=e\;AK\;$ avec $\;K\;$ le pied de la directrice $\;(D)\;$ sur l'axe focal » et
dans ce but définissons A de façon monofocale utilisant le couple « foyer $\;F'$ - directrice $\;(D')\;$ selon «$\;AF'=e\;AK'\;$ avec $\;K'\;$ le pied de la directrice $\;(D')\;$ sur l'axe focal » ;
la 1ère définition $\Rightarrow$ $\;AF=e\;AK=e\;(FK-FA)=e\,\left({\dfrac {p}{e}}-AF\right)=p-e\;AF\;$ $\Rightarrow$ $\;AF\,(1+e)=p\;$ soit $\;AF={\dfrac {p}{1+e}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;a=CA=CF+FA=c+{\dfrac {p}{1+e}}\;$» ;
la 2ème définition $\Rightarrow$ $\;AF'=e\;AK'=e\;(AF'+F'K')\;$ $=e\,\left(AF'+{\dfrac {p}{e}}\right)=e\;AF'+p\;$ $\Rightarrow$ $\;AF'\,(1-e)=p\;$ soit $\;AF'={\dfrac {p}{1-e}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;a=CA=F'A-F'C={\dfrac {p}{1-e}}-c\;$» ;
$\;\succ \;$faisant la somme des deux expressions de $\;a\;$ dans le but d'éliminer $\;c$, nous en déduisons «$\;2\;a={\dfrac {p}{1+e}}+{\dfrac {p}{1-e}}={\dfrac {2\;p}{1-e^{2}}}\;$» d'où «$\;a={\dfrac {p}{1-e^{2}}}\;$» ;
$\;\succ \;$faisant la différence des deux expressions de $\;a\;$ dans le but d'obtenir $\;c\;$, nous en déduisons «$\;0=2\;c+{\dfrac {p}{1+e}}-{\dfrac {p}{1-e}}=2\;c-{\dfrac {2\;p\;e}{1-e^{2}}}\;$» d'où «$\;c={\dfrac {e\;p}{1-e^{2}}}\;$» ou $\color {transparent}{\succ }\;$faisant la différence des deux expressions de $\;\color {transparent}{a}\;$ dans le but d'obtenir $\;\color {transparent}{c}\;$, nous en déduisons «$\;\color {transparent}{0=2\;c+{\dfrac {p}{1+e}}-{\dfrac {p}{1-e}}=2\;c-{\dfrac {2\;p\;e}{1-e^{2}}}}\;$» d'où «$\;c=e\;a\;$» en tenant compte de l'expression $\color {transparent}{\succ }\;$faisant la différence des deux expressions de $\;\color {transparent}{a}\;$ dans le but d'obtenir $\;\color {transparent}{c}\;$, nous en déduisons «$\;\color {transparent}{0=2\;c+{\dfrac {p}{1+e}}-{\dfrac {p}{1-e}}=2\;c-{\dfrac {2\;p\;e}{1-e^{2}}}}\;$» d'où de $\;a={\dfrac {p}{1-e^{2}}}\;$ précédemment obtenue, soit $\color {transparent}{\succ }\;$faisant la différence des deux expressions de $\;\color {transparent}{a}\;$ dans le but d'obtenir $\;\color {transparent}{c}\;$, nous en déduisons «$\;\color {transparent}{0=2\;c+{\dfrac {p}{1+e}}-{\dfrac {p}{1-e}}=2\;c-{\dfrac {2\;p\;e}{1-e^{2}}}}\;$» d'où «$\;a={\dfrac {c}{e}}\;$» $\Rightarrow$ $\;e={\dfrac {c}{a}}<1\;$ ;
reprenant «$\;MF+MF'=2\;(e\;c+p)\;$» et y reportant les expressions de $\;c\;$ et $\;p\;$ en fonction de $\;a\;$ soit $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c l c}a\!\!&=&\!\!{\dfrac {c}{e}}\!\!&\Rightarrow &\!\!c\!\!&=&\!\!e\;a\\a\!\!&=&\!\!{\dfrac {p}{1-e^{2}}}\!\!&\Rightarrow &\!\!p\!\!&=&\!\!(1-e^{2})\;a\end{array}}\right\rbrace \;$ nous obtenons reprenant «$\;MF+MF'=2\,\left[e^{2}\;a+a\,\left(1-e^{2}\right)\right]=2\;a\;$» pour tous les points $\;M\;$ de l'ellipse ;
finalement les deux définitions monofocales de l'ellipse $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}MF=e\;MH\;{\text{avec}}\;H\;{\text{projeté orthogonal de}}\;F\;{\text{sur}}\;(D)\\MF'=e\;MH'\;{\text{avec}}\;H'\;{\text{projeté orthogonal de}}\;F'\;{\text{sur}}\;(D')\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ la définition bifocale de celle-ci «$\;MF+MF'=2\;a\;$».
Il reste à montrer que «$\;a$, $\;b\;$ et $\;p\;$ définis de façon monofocale » sont effectivement reliés par «$\;p={\dfrac {b^{2}}{a}}\;$», mais ayant établi que « la définition monofocale $\Rightarrow$ la définition bifocale », nous pouvons utiliser le résultat tiré du « triangle rectangle $\;BFC\;$» c.-à-d. $\;c^{2}+b^{2}=a^{2}\;$ $\Rightarrow$ $\;b^{2}=a^{2}-c^{2}=a^{2}-\left(e\;a\right)^{2}\;$ $\Rightarrow$ $\;b^{2}=a^{2}\;(1-e^{2})=a\,\left[a\;(1-e^{2})\right]=a\;p\;$ soit «$\;p={\dfrac {b^{2}}{a}}\;$» C.Q.F.D..

#### Retour sur la parabole

Au vu de la définition monofocale d'une conique, il semble possible de supposer que « la parabole de foyer $\;F\;$ et de directrice $\;(D)$ $\;{\big$donc de paramètre $\;p\;$ fixé${\big ]}\;$» est
* « la limite d'une ellipse d'excentricité $\;e\;$ dont $\;F\;$ est un des foyers, de même paramètre $\;p\;$ et de directrice associée $\;(D_{e})\;\parallel \;$ à $\;(D)\;$ quand l'excentricité $\;e\;$ de l'ellipse tend vers $\;1^{-}\;$» ${\Big$cette induction se vérifie aisément : quand $\;e\rightarrow 1^{-}$, $\;{\dfrac {p}{e}}\rightarrow p\;$ $\Rightarrow$ $\;(D_{e})\rightarrow (D)\;$ et $\color {transparent}{\Big$cette induction se vérifie aisément : quand $\;\color {transparent}{e\rightarrow 1^{-}}$, la définition monofocale de l'ellipse « ensemble des points $\;M\;$ du plan tel que $\;MF=e\times d\!\left\lbrace M,\,(D_{e})\right\rbrace \;$» devient $\color {transparent}{\Big$cette induction se vérifie aisément : quand $\;\color {transparent}{e\rightarrow 1^{-}}$, la définition monofocale de l'ellipse « ensemble des points $\;M\;$ du plan tel que $\;MF=1\times d\!\left\lbrace M,\,(D)\right\rbrace$ $\color {transparent}{\Big$cette induction se vérifie aisément : quand $\;\color {transparent}{e\rightarrow 1^{-}}$, la définition monofocale de l'ellipse « ensemble des points $\;\color {transparent}{M}\;$ du plan tel que $\;\color {transparent}{MF}$ $=d\!\left\lbrace M,\,(D)\right\rbrace \;$» définition monofocale de la parabole${\Big ]}$ et
* « la limite d'une branche d'hyperbole d'excentricité $\;e\;$ dont $\;F\;$ est le foyer contourné, de même paramètre $\;p\;$ et de directrice associée $\;(D_{h})\;\parallel \;$ à $\;(D)\;$ quand l'excentricité $\;e\;$ de l'hyperbole $\;\rightarrow \;1^{+}\;$» ${\Big$cette induction se vérifie aisément : quand $\;e\rightarrow 1^{+}$, $\;{\dfrac {p}{e}}\rightarrow p\;$ $\Rightarrow$ $\;(D_{h})\rightarrow (D)\;$ et $\color {transparent}{\Big$cette induction se vérifie aisément : quand $\;\color {transparent}{e\rightarrow 1^{+}}$, la définition monofocale de l'hyperbole « ensemble des points $\;M\;$ du plan tel que $\;MF=e\times d\!\left\lbrace M,\,(D_{h})\right\rbrace \;$» devient $\color {transparent}{\Big$cette induction se vérifie aisément : quand $\;\color {transparent}{e\rightarrow 1^{+}}$, la définition monofocale de l'hyperbole « ensemble des points $\;M\;$ du plan tel que $\;MF=1\times d\!\left\lbrace M,\,(D)\right\rbrace$ $\color {transparent}{\Big$cette induction se vérifie aisément : quand $\;\color {transparent}{e\rightarrow 1^{+}}$, la définition monofocale de l'hyperbole « ensemble des points $\;\color {transparent}{M}\;$ du plan tel que $\;\color {transparent}{MF}$ $=d\!\left\lbrace M,\,(D)\right\rbrace \;$» définition monofocale de la parabole${\Big ]}$ ;
que deviennent le « demi-axe focal $\;a\;$», le « demi-axe non focal $\;b\;$» et la « distance $\;c\;$ séparant chaque foyer du centre de symétrie » de l'ellipse ou de l'hyperbole tendant vers la parabole,
que devient la définition bifocale de l'ellipse ou de l'hyperbole dans les mêmes conditions de limite ?

##### Passage de l'ellipse à la parabole

Partant de l'ellipse de foyer $\;F\;$ et de directrice associée $\;(D_{e})\;\parallel \;$ à $\,(D)\;$ tel que « le paramètre $\;p\;$ de l'ellipse soit le même que celui de la parabole à construire » et faisons tendre l'excentricité $\;e\;$ de l'ellipse vers $\;1^{-}$ :
montrons que « le 2ème foyer $\;F'\;$ de l'ellipse se trouve rejeté à l'infini de $\;F\;$ perpendiculairement à la direction commune de $\;(D_{e})\;$ et $\;(D)\;$», en effet, partant de l'expression «$\;FF'=2\;FC=2\;c={\dfrac {2\;e\,p}{1-e^{2}}}\;$», on établit que «$\;FF'={\dfrac {2\;e\,p}{1-e^{2}}}\rightarrow \infty \;$ quand $\;e\rightarrow 1^{-}\;$» $\;{\big$la parabole limite n'a donc pas de 2ème foyer $\;F'\;$ et la distance $\;c\;$ n'y est pas définie${\big ]}$ ;
simultanément on constate que «$\;A\rightarrow S\;$ sommet de la parabole » car, partant de l'expression «$\;FA={\dfrac {p}{1+e}}\;$», on établit que «$\;FA={\dfrac {p}{1+e}}\rightarrow {\dfrac {p}{2}}\;$ quand $\;e\rightarrow 1^{-}\;$» et
simultanément on constate que «$\;A'\;$ s'éloigne à l'infini de $\;F\;$ perpendiculairement à la direction commune de $\;(D_{e})\;$ et $\;(D)\;$» car, partant de l'expression «$\;FA'=F'A={\dfrac {p}{1-e}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;FA'={\dfrac {p}{1-e}}\rightarrow \infty \;$ quand $\;e\rightarrow 1^{-}\;$» $\;{\big$la parabole limite n'a donc qu'un point à distance finie sur l'axe focal, son sommet${\big ]}$ ;
le « demi-grand axe $\;a\;$ de l'ellipse devient infini » quand son excentricité $\;e\;$ tend vers $\;1\;$ car, partant de l'expression «$\;a=CA=CA'={\dfrac {p}{1-e^{2}}}\;$», on établit que «$\;a={\dfrac {p}{1-e^{2}}}\rightarrow \infty \;$ quand $\;e\rightarrow 1^{-}\;$» $\;{\big$la parabole limite n'a donc pas de « demi-axe focal $\;a\;$»${\big ]}$ ;
les points «$\;B\;$ et $\;B'\;$ se retrouvent rejetés à l'infini parallèlement à la direction commune de $\;(D_{e})\;$ et $\;(D)\;$» car, du lien entre les trois longueurs $\;p$, $\;a\;$ et $\;b\;$ défini pour une ellipse $\;p={\dfrac {b^{2}}{a}}\;$ on tire $\;b=$ $CB=CB'={\sqrt {p\;a}}\;$ et avec $\;a={\dfrac {p}{1-e^{2}}}\;$, on en déduit «$\;b=CB=CB'={\dfrac {p}{\sqrt {1-e^{2}}}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;b=CB=CB'={\dfrac {p}{\sqrt {1-e^{2}}}}\rightarrow \infty \;$ quand $\;e\rightarrow 1^{-}\;$» $\;{\big$la parabole limite n'a donc pas d'axe non focal $\;{\big$donc pas de points $\;B\;$ et $\;B'{\big )}\;$ ni de « demi-axe non focal $\;b\;$»${\big ]}$.

##### Passage de la branche d'hyperbole à la parabole

Partant de la branche d'hyperbole de foyer $\;F\;$ qu'elle contourne et de directrice associée $\;(D_{h})\;\parallel \;$ à $\,(D)\;$ tel que « le paramètre $\;p\;$ de l'hyperbole soit le même que celui de la parabole à construire » et faisons tendre l'excentricité $\;e\;$ de l'hyperbole vers $\;1^{+}$ :
montrons que « le 2ème foyer $\;F'\;$ de l'hyperbole se trouve rejeté à l'infini de $\;F\;$ perpendiculairement à la direction commune de $\;(D_{h})\;$ et $\;(D)\;$», en effet, partant de l'expression «$\;FF'=2\;FC=2\;c={\dfrac {2\;e\,p}{e^{2}-1}}\;$», on établit que «$\;FF'={\dfrac {2\;e\,p}{e^{2}-1}}\rightarrow \infty \;$ quand $\;e\rightarrow 1^{+}\;$» $\;{\big$la parabole limite n'a donc pas de 2ème foyer $\;F'\;$ et la distance $\;c\;$ n'y est pas définie${\big ]}$ ;
simultanément on constate que «$\;A\rightarrow S\;$ sommet de la parabole » car, partant de l'expression «$\;FA={\dfrac {p}{1+e}}\;$», on établit que «$\;FA={\dfrac {p}{1+e}}\rightarrow {\dfrac {p}{2}}\;$ quand $\;e\rightarrow 1^{-}\;$» et
simultanément on constate que «$\;A'\;$ s'éloigne à l'infini de $\;F\;$ perpendiculairement à la direction commune de $\;(D_{h})\;$ et $\;(D)\;$» car, partant de l'expression «$\;FA'=F'A={\dfrac {p}{e-1}}\;$», on établit que «$\;FA'={\dfrac {p}{e-1}}\rightarrow \infty \;$ quand $\;e\rightarrow 1^{+}\;$» $\;{\big$la parabole limite n'a donc qu'un point à distance finie sur l'axe focal, son sommet${\big ]}$ ;
le « demi-axe focal $\;a\;$ de l'hyperbole $\;\rightarrow \infty \;$» quand son excentricité $\;e\rightarrow 1\;$ car, partant de la relation «$\;a=CA=CA'={\dfrac {p}{e^{2}-1}}\;$», on établit que «$\;a={\dfrac {p}{e^{2}-1}}\rightarrow \infty \;$ quand $\;e\rightarrow 1^{+}\;$» $\;{\big$la parabole limite n'a donc pas de « demi-axe focal $\;a\;$»${\big ]}$ ;
le « demi-axe non focal $\;b\;$ de l'hyperbole devient infini » quand son excentricité $\;e\;$ tend vers $\;1\;$ car, du lien entre les trois longueurs $\;p$, $\;a\;$ et $\;b\;$ défini pour une hyperbole $\;p={\dfrac {b^{2}}{a}}\;$ on tire $\;b=$ ${\sqrt {p\;a}}\;$ et avec $\;a={\dfrac {p}{e^{2}-1}}\;$, on en déduit «$\;b={\dfrac {p}{\sqrt {e^{2}-1}}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;b{\dfrac {p}{\sqrt {e^{2}-1}}}\rightarrow \infty \;$ quand $\;e\rightarrow 1^{+}\;$» $\;{\big$la parabole limite n'a donc pas d'axe non focal ni de « demi-axe non focal $\;b\;$»${\big ]}$ ;
les « asymptotes $\;\delta _{1}\;$ et $\;\delta _{2}\;$ de l'hyperbole sont rejetées à l'infini perpendiculairement à la direction commune de $\;(D_{h})\;$ et $\;(D)\;$» $\;{\big$donc parallèlement à l'axe focal de l'hyperbole${\big )}$ quand l'excentricité $\;e\;$ de cette dernière tend vers $\;1\;$ car l'angle que fait l'une ou l'autre de ces asymptotes avec l'axe focal étant $\;\alpha =\arctan \!\left({\dfrac {b}{a}}\right)\;$$^,$ avec $\;a={\dfrac {p}{e^{2}-1}}\;$ et $\;b={\dfrac {p}{\sqrt {e^{2}-1}}}$ $\;{\big$voir sous-paragraphe précédent${\big )}$, on en déduit «$\;\alpha =\arctan \!\left({\dfrac {\dfrac {p}{\sqrt {e^{2}-1}}}{\dfrac {p}{e^{2}-1}}}\right)=\arctan \!\left({\sqrt {e^{2}-1}}\right)\;$» $\Rightarrow$ «$\;\alpha =\arctan \!\left({\sqrt {e^{2}-1}}\right)\rightarrow 0\;$ quand $\;e\rightarrow 1^{+}\;$» $\;{\big$la parabole limite n'a donc pas d'asymptotes mais simplement une direction asymptotique $\;\parallel \;$ à l'axe de la parabole${\big ]}$.

## Mise en équation des coniques
### Équations cartésiennes des coniques
#### Parabole de sommet O et d'axe Oy
##### Équation cartésienne

L'équation cartésienne d'une parabole de sommet $\;O\;$ et d'axe de symétrie $\;Oy\;$ L'équation cartésienne d'une parabole s'écrit «$\;y=a\;x^{2}\;$» avec $\bullet \;$une concavité vers les $\;y>0\;$ pour $\;a>0\;$ et L'équation cartésienne d'une parabole s'écrit «$\;\color {transparent}{y=a\;x^{2}}\;$» avec $\bullet \;$une concavité vers les $\;y<0\;$ pour $\;a<0$.
Justification : Pour $\;a>0$, la concavité étant vers les $\;y>0$, le foyer $\;F\;$ a pour coordonnées cartésiennes $\;\left(x_{F}=0\,,\,y_{F}={\dfrac {p}{2}}\right)\;$ et Justification : Pour $\;\color {transparent}{a>0}$, la concavité étant vers les $\;\color {transparent}{y>0}$, la directrice associée $\;(D)\;\parallel \;$ à l'axe $\;Ox\;$ a pour équation $\;y_{(D)}=-{\dfrac {p}{2}},\;\;\forall \;x\;\in \;\mathbb {R} \;$ ;
Justification : la définition monofocale de la parabole étant l'« ensemble des points $\;M\,\left(x_{M}\,,\,y_{M}\right)\;$ tel que $\;MF=MH\;$» avec $\;H\;$ projeté orthogonal de $\;M\;$ sur la directrice $\;(D)\;$ soit Justification : la définition monofocale de la parabole étant l'« ensemble des points $\;\color {transparent}{M\,\left(x_{M}\,,\,y_{M}\right)}\;$ tel que $\;\color {transparent}{MF=MH}\;$» avec $\;\color {transparent}{H}\;$ de coordonnées $\;\left(x_{H}=x_{M}\,,\,y_{H}=-{\dfrac {p}{2}}\right)$, nous en déduisons Justification : la définition monofocale de la parabole étant l'« ensemble des points $\;\color {transparent}{M\,\left(x_{M}\,,\,y_{M}\right)}\;$ tel que $\;MF^{2}=MH^{2}\;$ avec $\;MF^{2}=\left(x_{F}-x_{M}\right)^{2}+\left(y_{F}-y_{M}\right)^{2}=x_{M}^{2}+\left({\dfrac {p}{2}}-y_{M}\right)^{\!2}\;$ et Justification : la définition monofocale de la parabole étant l'« ensemble des points $\;\color {transparent}{M\,\left(x_{M}\,,\,y_{M}\right)}\;$ tel que $\;\color {transparent}{MF^{2}=MH^{2}}\;$ avec $\;MH^{2}=\left(x_{H}-x_{M}\right)^{2}+\left(y_{H}-y_{M}\right)^{2}=\left(-{\dfrac {p}{2}}-y_{M}\right)^{\!2}\;$ soit Justification : la définition monofocale de la parabole étant l'« ensemble des points $\;\color {transparent}{M\,\left(x_{M}\,,\,y_{M}\right)}\;$ tel que $\;x_{M}^{2}+\left({\dfrac {p}{2}}-y_{M}\right)^{\!2}=\left({\dfrac {p}{2}}+y_{M}\right)^{\!2}\;$ ou $\;x_{M}^{2}=\left({\dfrac {p}{2}}+y_{M}\right)^{\!2}-\left({\dfrac {p}{2}}-y_{M}\right)^{\!2}$ ou encore Justification : la définition monofocale de la parabole étant l'« ensemble des points $\;\color {transparent}{M\,\left(x_{M}\,,\,y_{M}\right)}\;$ tel que $\;x_{M}^{2}=\left[\left({\dfrac {p}{2}}+y_{M}\right)+\left({\dfrac {p}{2}}-y_{M}\right)\right]\,\left[\left({\dfrac {p}{2}}+y_{M}\right)-\left({\dfrac {p}{2}}-y_{M}\right)\right]=p\,\left[2\;y_{M}\right]\;$ et Justification : la définition monofocale de la parabole étant l'« ensemble des points $\;\color {transparent}{M\,\left(x_{M}\,,\,y_{M}\right)}\;$ tel que finalement «$\;y_{M}={\dfrac {1}{2\;p}}\;x_{M}^{2}\;$» s'identifiant à l'équation cartésienne «$\;y_{M}=a\;x_{M}^{2}\;$» Justification : la définition monofocale de la parabole étant l'« ensemble des points $\;\color {transparent}{M\,\left(x_{M}\,,\,y_{M}\right)}\;$ tel que finalement «$\;\color {transparent}{y_{M}={\dfrac {1}{2\;p}}\;x_{M}^{2}}\;$» s'identifiant si «$\;a={\dfrac {1}{2\;p}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;p={\dfrac {1}{2\;a}}\;$» ; Justification : la définition monofocale de la parabole étant le foyer «$\;F\;$» de la parabole d'équation cartésienne «$\;y=a\;x^{2}\;$» a pour ordonnée «$\;y_{F}={\dfrac {p}{2}}={\dfrac {1}{4\;a}}\;$» et Justification : la définition monofocale de la parabole étant sa directrice associée «$\;(D)\;$» pour équation «$\;y_{(D)}=-{\dfrac {p}{2}}=-{\dfrac {1}{4\;a}},\;\;\forall \;x\;\in \;\mathbb {R} \;$».

##### Propriété de la tangente à la parabole en un point quelconque

Énoncé : Considérant une parabole de sommet $\;S$, la tangente en un point quelconque $\;M$ $\;{\big$de projeté $\;H\;$ sur la tangente au sommet${\big )}\;$ Énoncé : Considérant une parabole de sommet $\;\color {transparent}{S}$, la tangente en un point quelconque $\;\color {transparent}{M}$ recoupe la tangente au sommet au milieu de $\;SH$.
Démonstration : Considérons la parabole d’équation cartésienne $\;y=a\;x^{2}$, de sommet $\;S\;(0,\,0)\;$ et un point quelconque $\;M\;(x,\,y=a\;x^{2})$, Démonstration : la tangente en $\;M\;$ à la parabole a pour équation $\;Y-y=$ $y'(x)\;[X-x]\;$ avec $\;y'(x)=2\;a\;x\;$ soit encore Démonstration : la tangente en $\;\color {transparent}{M}\;$ à la parabole a pour équation $\;Y-a\;x^{2}=2\;a\;x\;[X-x]\;$ ou $\;Y=2\;a\;x\;X-a\;x^{2}\;$ soit enfin Démonstration : la tangente en $\;\color {transparent}{M}\;$ à la parabole a pour équation $\;Y=2\;a\;x\left[X-{\dfrac {x}{2}}\right]\;$ d'où Démonstration : la tangente en $\;M\;$ recoupe l’axe des $\;x$ $\;{\big$c.-à-d. la tangente au sommet${\big ]}\;$ en $\;J\;$ d’abscisse $\;X_{J}={\dfrac {x}{2}}\;$ moitié de l’abscisse de $\;M\;$ ou Démonstration : la tangente en $\;\color {transparent}{M}\;$ recoupe l’axe des $\;\color {transparent}{x}$ $\;\color {transparent}{\big$c.-à-d. la tangente au sommet$\color {transparent}{\big ]}\;$ en $\;\color {transparent}{J}\;$ d’abscisse $\;\color {transparent}{X_{J}=x}\;$ moitié de l’abscisse de $\;H$ ;
Démonstration : en conclusion de $\;X_{J}={\dfrac {X_{H}}{2}}\;$ on en déduit que $\;J\;$ est le milieu du segment $\;[SH]$.

#### Ellipse de centre O, d'axes Ox et Oy

L'équation cartésienne d'une ellipse de centre $\;O$, d'axes de symétrie $\;Ox\;$ et $\;Oy\;$ s'écrit $\;{\big$sous forme implicite${\big )}\;$ selon L'équation cartésienne d'une ellipse de centre $\;\color {transparent}{O}$, d'axes de symétrie $\;\color {transparent}{Ox}\;$ et $\;\color {transparent}{Oy}\;$ s'écrit «$\;{\dfrac {x^{2}}{{a'}^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{{b'}^{2}}}=1\;$» dans laquelle L'équation cartésienne d'une ellipse de centre $\;\color {transparent}{O}$, «$\;a'\;$ et $\;b'\;$ sont respectivement le demi-grand axe $\;a\;$ et le demi-petit axe $\;b\;$» ou L'équation cartésienne d'une ellipse de centre $\;\color {transparent}{O}$, «$\;a'\;$ et $\;b'\;$ sont respectivement le demi-petit axe $\;b\;$ et le demi-grand axe $\;a\;$».
Justification avec$\;Ox\;$axe focal : Le demi-grand axe est donc $\;a=a'\;$ et le demi-petit axe $\;b=b'$, la distance séparant le centre $\;O\;$ de chacun des foyers est $\;CF=CF'=c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}\;$ ou Justification avec$\;\color {transparent}{Ox}\;$axe focal : Le demi-grand axe est donc $\;\color {transparent}{a=a'}\;$ et le demi-petit axe $\;\color {transparent}{b=b'}$, la distance séparant le centre $\;\color {transparent}{O}\;$ de chacun des foyers est $\;CF=CF'=c={\sqrt {{a'}^{2}-{b'}^{2}}}\;$ $\Rightarrow$ Justification avec$\;\color {transparent}{Ox}\;$axe focal : le foyer $\;F\;$ a pour coordonnées cartésiennes $\;\left(x_{F}={\sqrt {{a'}^{2}-{b'}^{2}}}\,,\,y_{F}=0\right)\;$ et Justification avec$\;\color {transparent}{Ox}\;$axe focal : sa directrice associée $\;(D)\;$ étant $\;\perp \;$ à l'axe focal $\;Ox\;$ est $\;\parallel \;$ à $\;Oy$, situé à la distance $\;{\dfrac {p}{e}}\;$ au-delà de $\;F\;$ avec Justification avec$\;\color {transparent}{Ox}\;$axe focal : sa directrice associée $\;\color {transparent}{(D)}\;$ étant $\;\color {transparent}{\perp }\;$ à l'axe focal $\;\color {transparent}{Ox}\;$ est $\;\color {transparent}{\parallel }\;$ à $\;\color {transparent}{Oy}$, situé à la distance $\;p={\dfrac {b^{2}}{a}}\;$ soit ici $\;p={\dfrac {{b'}^{2}}{a'}}\;$ et Justification avec$\;\color {transparent}{Ox}\;$axe focal : sa directrice associée $\;\color {transparent}{(D)}\;$ étant $\;\color {transparent}{\perp }\;$ à l'axe focal $\;\color {transparent}{Ox}\;$ est $\;\color {transparent}{\parallel }\;$ à $\;\color {transparent}{Oy}$, situé à la distance $\;e={\dfrac {c}{a}}\;$ soit ici $\;e={\dfrac {\sqrt {{a'}^{2}-{b'}^{2}}}{a'}}={\sqrt {1-{\dfrac {{b'}^{2}}{{a'}^{2}}}}}\;$ $\Rightarrow$ Justification avec$\;\color {transparent}{Ox}\;$axe focal : sa directrice associée $\;\color {transparent}{(D)}\;$ étant $\;\color {transparent}{\perp }\;$ à l'axe focal $\;\color {transparent}{Ox}\;$ est $\;\color {transparent}{\parallel }\;$ à $\;\color {transparent}{Oy}$, situé à la distance $\;{\dfrac {p}{e}}={\dfrac {\dfrac {{b'}^{2}}{a'}}{\sqrt {1-{\dfrac {{b'}^{2}}{{a'}^{2}}}}}}={\dfrac {{b'}^{2}}{\sqrt {{a'}^{2}-{b'}^{2}}}}\;$ d'où Justification avec$\;\color {transparent}{Ox}\;$axe focal : l'équation de la directrice $\;(D)\;$ $\;x_{(D)}=c+{\dfrac {p}{e}}\;$ $={\sqrt {{a'}^{2}-{b'}^{2}}}+{\dfrac {{b'}^{2}}{\sqrt {{a'}^{2}-{b'}^{2}}}}\;$ soit finalement $\;x_{(D)}={\dfrac {{a'}^{2}}{\sqrt {{a'}^{2}-{b'}^{2}}}},\;\;\forall \;y\;\in \;\mathbb {R}$ ;
Justification avec$\;\color {transparent}{Ox}\;$axe focal : la définition monofocale de l'ellipse étant l'« ensemble des points $\;M\,\left(x_{M}\,,\,y_{M}\right)\;$ tel que $\;MF=e\;MH\;$» avec $\;H\;$ projeté orthogonal de $\;M\;$ sur $\;(D)\;$ soit Justification avec$\;\color {transparent}{Ox}\;$axe focal : la définition monofocale de l'ellipse étant l'« ensemble des points $\;\color {transparent}{M\,\left(x_{M}\,,\,y_{M}\right)}\;$ tel que $\;\color {transparent}{MF=e\;MH}\;$» avec $\;H\,\left(x_{H}={\dfrac {{a'}^{2}}{\sqrt {{a'}^{2}-{b'}^{2}}}}\,,\,y_{H}=y_{M}\right)\;$ $\Rightarrow$ Justification avec$\;\color {transparent}{Ox}\;$axe focal : la définition monofocale de l'ellipse étant l'« ensemble des points $\;\color {transparent}{M\,\left(x_{M}\,,\,y_{M}\right)}\;$ tel que $\;MF^{2}=e^{2}\;MH^{2}\;$ avec Justification avec$\;\color {transparent}{Ox}\;$axe focal : la définition monofocale de l'ellipse étant l'« ensemble des points $\;\color {transparent}{M\,\left(x_{M}\,,\,y_{M}\right)}\;$ tel que $\;MF^{2}=\left(x_{F}-x_{M}\right)^{2}+\left(y_{F}-y_{M}\right)^{2}=\left({\sqrt {{a'}^{2}-{b'}^{2}}}-x_{M}\right)^{\!\!2}+y_{M}^{2}\;$ Justification avec$\;\color {transparent}{Ox}\;$axe focal : la définition monofocale de l'ellipse étant l'« ensemble des points $\;\color {transparent}{M\,\left(x_{M}\,,\,y_{M}\right)}\;$ tel et $\;MH^{2}=\left(x_{H}-x_{M}\right)^{2}+\left(y_{H}-y_{M}\right)^{2}=\left({\dfrac {{a'}^{2}}{\sqrt {{a'}^{2}-{b'}^{2}}}}-x_{M}\right)^{\!\!2}\;$ soit Justification avec$\;\color {transparent}{Ox}\;$axe focal : la définition monofocale de l'ellipse étant l'« ensemble des points $\;\color {transparent}{M\,\left(x_{M}\,,\,y_{M}\right)}\;$ tel que $\left({\sqrt {{a'}^{2}-{b'}^{2}}}-x_{M}\right)^{\!\!2}+y_{M}^{\,2}=\left(1-{\dfrac {{b'}^{2}}{{a'}^{2}}}\right)\,\left({\dfrac {{a'}^{2}}{\sqrt {{a'}^{2}-{b'}^{2}}}}-x_{M}\right)^{\!\!2}\;$ Justification avec$\;\color {transparent}{Ox}\;$axe focal : la définition monofocale de l'ellipse étant l'« ensemble des points $\;\color {transparent}{M\,\left(x_{M}\,,\,y_{M}\right)}\;$ tel ou $\;\left({\sqrt {{a'}^{2}-{b'}^{2}}}-x_{M}\right)^{\!2}+y_{M}^{\,2}=\left(a'-{\dfrac {\sqrt {{a'}^{2}-{b'}^{2}}}{a'}}\;x_{M}\right)^{\!\!2}\;$ soit Justification avec$\;\color {transparent}{Ox}\;$axe focal : la définition monofocale de l'ellipse étant $\;\left({a'}^{2}-{b'}^{2}\right)+x_{M}^{\,2}-2\;{\sqrt {{a'}^{2}-{b'}^{2}}}\;x_{M}+y_{M}^{\,2}={a'}^{2}+{\dfrac {{a'}^{2}-{b'}^{2}}{{a'}^{2}}}\;x_{M}^{\,2}-2\;{\sqrt {{a'}^{2}-{b'}^{2}}}\;x_{M}\;$ ou, après simplification, Justification avec$\;\color {transparent}{Ox}\;$axe focal : la définition monofocale de l'ellipse étant $\;{\dfrac {{b'}^{2}}{{a'}^{2}}}\;x_{M}^{\,2}+y_{M}^{\,2}={b'}^{2}\;$ et, en divisant les deux membres par $\;{b'}^{2}$, l'équation «$\;{\dfrac {x_{M}^{\,2}}{{a'}^{2}}}+{\dfrac {y_{M}^{\,2}}{{b'}^{2}}}=1\;$» C.Q.F.D..
Cas du cercle : l'excentricité d'un cercle étant $\;e=0\;$ et son expression pour une ellipse $\;e={\sqrt {1-{\dfrac {{b'}^{2}}{{a'}^{2}}}}}$, on en déduit $\;a'=b'\;$ dont la valeur commune définit le rayon $\;R\;$ d'où
L'équation cartésienne d'un cercle de centre $\;O\;$ et de rayon $\;R\;$ s'écrit $\;{\big$sous forme implicite${\big )}\;$ selon L'équation cartésienne d'un cercle de centre $\;\color {transparent}{O}\;$ et de rayon $\;\color {transparent}{R}\;$ s'écrit «$\;{\dfrac {x^{2}}{R^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{R^{2}}}=1\;$» ou «$\;x^{2}+y^{2}=R^{2}\;$».

#### Hyperbole de centre O, d'axes Ox et Oy

L'équation cartésienne d'une hyperbole de centre $\;O$, d'axes focal $\;Ox\;$ et non focal $\;Oy\;$ s'écrit $\;{\big$sous forme implicite${\big )}\;$ selon L'équation cartésienne d'une hyperbole de centre $\;\color {transparent}{O}$, d'axes focal $\;\color {transparent}{Ox}\;$ et non focal $\;\color {transparent}{Oy}\;$ s'écrit «$\;{\dfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\dfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1\;$» dans laquelle L'équation cartésienne d'une hyperbole de centre $\;\color {transparent}{O}$, «$\;a\;$ et $\;b\;$ sont respectivement le demi-axe focal et le demi-axe non focal ».
Justification : $\;Ox\;$ étant l'axe focal, le demi-axe focal est $\;a\;$ et le demi-axe non focal $\;b$, la distance séparant le centre $\;O\;$ de chacun des foyers est $\;CF=CF'=c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}\;$ $\Rightarrow$ Justification : $\;\color {transparent}{Ox}\;$ étant l'axe focal, le foyer $\;F\;$ a pour coordonnées cartésiennes $\;\left(x_{F}={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}\,,\,y_{F}=0\right)$ et Justification : $\;\color {transparent}{Ox}\;$ étant l'axe focal, sa directrice associée $\;(D)\;$ étant $\;\perp \;$ à l'axe focal $\;Ox\;$ est $\;\parallel \;$ à $\;Oy$, situé à la distance $\;{\dfrac {p}{e}}\;$ en deçà de $\;F\;$ avec Justification : $\;\color {transparent}{Ox}\;$ étant l'axe focal, sa directrice associée $\;\color {transparent}{(D)}\;$ étant $\;\color {transparent}{\perp }\;$ à l'axe focal $\;\color {transparent}{Ox}\;$ est $\;\color {transparent}{\parallel }\;$ à $\;\color {transparent}{Oy}$, situé à la distance $\;p={\dfrac {b^{2}}{a}}\;$ et Justification : $\;\color {transparent}{Ox}\;$ étant l'axe focal, sa directrice associée $\;\color {transparent}{(D)}\;$ étant $\;\color {transparent}{\perp }\;$ à l'axe focal $\;\color {transparent}{Ox}\;$ est $\;\color {transparent}{\parallel }\;$ à $\;\color {transparent}{Oy}$, situé à la distance $\;e={\dfrac {c}{a}}\;$ soit ici $\;e={\dfrac {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}{a}}={\sqrt {1+{\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}}}\;$ $\Rightarrow$ Justification : $\;\color {transparent}{Ox}\;$ étant l'axe focal, sa directrice associée $\;\color {transparent}{(D)}\;$ étant $\;\color {transparent}{\perp }\;$ à l'axe focal $\;\color {transparent}{Ox}\;$ est $\;\color {transparent}{\parallel }\;$ à $\;\color {transparent}{Oy}$, situé à la distance $\;{\dfrac {p}{e}}={\dfrac {\dfrac {b^{2}}{a}}{\sqrt {1+{\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}}}}={\dfrac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\;$ d'où Justification : $\;\color {transparent}{Ox}\;$ étant l'axe focal, l'équation de la directrice $\;(D)\;$ $\;x_{(D)}=c-{\dfrac {p}{e}}\;$ $={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-{\dfrac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\;$ soit finalement $\;x_{(D)}={\dfrac {a^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}},\;\;\forall \;y\;\in \;\mathbb {R}$ ;
Justification : $\;\color {transparent}{Ox}\;$ étant l'axe focal, la définition monofocale de l'hyperbole étant l'« ensemble des points $\;M\,\left(x_{M}\,,\,y_{M}\right)\;$ tel que $\;MF=e\;MH\;$» avec $\;H\;$ projeté orthogonal de $\;M\;$ sur $\;(D)\;$ soit Justification : $\;\color {transparent}{Ox}\;$ étant l'axe focal, la définition monofocale de l'hyperbole étant l'« ensemble des points $\;\color {transparent}{M\,\left(x_{M}\,,\,y_{M}\right)}\;$ tel que $\;\color {transparent}{MF=e\;MH}\;$» avec $\;H\,\left(x_{H}={\dfrac {a^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\,,\,y_{H}=y_{M}\right)\;$ $\Rightarrow$ Justification : $\;\color {transparent}{Ox}\;$ étant l'axe focal, la définition monofocale de l'hyperbole étant l'« ensemble des points $\;\color {transparent}{M\,\left(x_{M}\,,\,y_{M}\right)}\;$ tel que $\;MF^{2}=e^{2}\;MH^{2}\;$ avec Justification : $\;\color {transparent}{Ox}\;$ étant l'axe focal, la définition monofocale de l'hyperbole étant l'« ensemble des points $\;\color {transparent}{M\,\left(x_{M}\,,\,y_{M}\right)}\;$ tel que $\;MF^{2}=\left(x_{F}-x_{M}\right)^{2}+\left(y_{F}-y_{M}\right)^{2}$ $=\left({\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-x_{M}\right)^{\!2}+y_{M}^{2}$ Justification : $\;\color {transparent}{Ox}\;$ étant l'axe focal, la définition monofocale de l'hyperbole étant l'« ensemble des points $\;\color {transparent}{M\,\left(x_{M}\,,\,y_{M}\right)}\;$ tel et $\;MH^{2}=\left(x_{H}-x_{M}\right)^{2}+\left(y_{H}-y_{M}\right)^{2}=\left({\dfrac {a^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}-x_{M}\right)^{\!\!2}\;$ soit Justification : $\;\color {transparent}{Ox}\;$ étant l'axe focal, la définition monofocale de l'hyperbole étant l'« ensemble des points $\;\color {transparent}{M\,\left(x_{M}\,,\,y_{M}\right)}\;$ tel que $\;\left({\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-x_{M}\right)^{\!2}+y_{M}^{2}=\left(1+{\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}\right)\,\left({\dfrac {a^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}-x_{M}\right)^{\!\!2}\;$ Justification : $\;\color {transparent}{Ox}\;$ étant l'axe focal, la définition monofocale de l'hyperbole étant l'« ensemble des points $\;\color {transparent}{M\,\left(x_{M}\,,\,y_{M}\right)}\;$ tel ou $\;\left({\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-x_{M}\right)^{\!2}+y_{M}^{\,2}=\left(a-{\dfrac {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}{a}}\;x_{M}\right)^{\!\!2}\;$ soit Justification : $\;\color {transparent}{Ox}\;$ étant l'axe focal, la définition monofocale de l'hyperbole étant $\;\left(a^{2}+b^{2}\right)+x_{M}^{\,2}-2\;{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\;x_{M}+y_{M}^{\,2}=a^{2}+{\dfrac {a^{2}+b^{2}}{a^{2}}}\;x_{M}^{\,2}-2\;{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\;x_{M}\;$ ou, après simplification, Justification : $\;\color {transparent}{Ox}\;$ étant l'axe focal, la définition monofocale de l'hyperbole étant $\;{\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}\;x_{M}^{\,2}-y_{M}^{\,2}=b^{2}\;$ et, en divisant les deux membres par $\;b^{2}$, l'équation «$\;{\dfrac {x_{M}^{\,2}}{a^{2}}}-{\dfrac {y_{M}^{\,2}}{b^{2}}}=1\;$» C.Q.F.D..
Cas d'une hyperbole équilatère de centre$\;O$, d'asymptotes$\;Ox\;$et$\;Oy$ : Une hyperbole est dite « équilatère » si ses asymptotes sont $\;\perp \;$ $\Rightarrow$ « le demi-axe non focal $\;b\;$ est égal au demi-axe focal $\;a\;$» ; Cas d'une hyperbole équilatère de centre$\;\color {transparent}{O}$, d'asymptotes$\;\color {transparent}{Ox}\;$et$\;\color {transparent}{Oy}$ : notant $\;Ox'\;$ l'axe focal de cette hyperbole équilatère et $\;Oy'\;$ son axe non focal, son équation cartésienne s'écrit alors Cas d'une hyperbole équilatère de centre$\;\color {transparent}{O}$, d'asymptotes$\;\color {transparent}{Ox}\;$et$\;\color {transparent}{Oy}$ : «$\;{\dfrac {{x'}^{2}}{a^{2}}}-{\dfrac {{y'}^{2}}{a^{2}}}=1\;$» dans laquelle «$\;a\;$ est la valeur commune des demi-axes focal et non focal » ou «$\;{x'}^{2}-{y'}^{2}=a^{2}\;$» ; Cas d'une hyperbole équilatère de centre$\;\color {transparent}{O}$, d'asymptotes$\;\color {transparent}{Ox}\;$et$\;\color {transparent}{Oy}$ : effectuant un changement d'axes correspondant à une rotation de centre $\;O\;$ et d'angle $\;-{\dfrac {\pi }{4}}\;$ de façon à ce que l'axe focal $\;Ox'\;$ Cas d'une hyperbole équilatère de centre$\;\color {transparent}{O}$, d'asymptotes$\;\color {transparent}{Ox}\;$et$\;\color {transparent}{Oy}$ : soit la 1ère bissectrice du nouveau système d'axes $\;\left(Ox\,,\,Oy\right)$ $\;{\Big$c.-à-d. la bissectrice de l'angle orienté $\;{\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\right)}}{\Big ]}$, les anciennes Cas d'une hyperbole équilatère de centre$\;\color {transparent}{O}$, d'asymptotes$\;\color {transparent}{Ox}\;$et$\;\color {transparent}{Oy}$ : coordonnées $\;\left(x'\,,\,y'\right)\;$ d'un point $\;M\;$ étant liées aux nouvelles $\;\left(x\,,\,y\right)\;$ par $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x'=x\;\cos \!\left(-{\dfrac {\pi }{4}}\right)-y\;\sin \!\left(-{\dfrac {\pi }{4}}\right)\\y'=x\;\sin \!\left(-{\dfrac {\pi }{4}}\right)+y\;\cos \!\left(-{\dfrac {\pi }{4}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ ou Cas d'une hyperbole équilatère de centre$\;\color {transparent}{O}$, d'asymptotes$\;\color {transparent}{Ox}\;$et$\;\color {transparent}{Oy}$ : coordonnées $\;\color {transparent}{\left(x'\,,\,y'\right)}\;$ d'un point $\;\color {transparent}{M}\;$ étant liées aux nouvelles $\;\color {transparent}{\left(x\,,\,y\right)}\;$ par $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x'={\dfrac {x+y}{\sqrt {2}}}\\y'={\dfrac {-x+y}{\sqrt {2}}}\end{array}}\right\rbrace$, Cas d'une hyperbole équilatère de centre$\;\color {transparent}{O}$, d'asymptotes$\;\color {transparent}{Ox}\;$et$\;\color {transparent}{Oy}$ : l'équation de l'hyperbole équilatère dans l'ancien système d'axes «$\;{x'}^{2}-{y'}^{2}=a^{2}\;$» se réécrivant «$\;\left(x'-y'\right)\,\left(x'+y'\right)=a^{2}\;$» Cas d'une hyperbole équilatère de centre$\;\color {transparent}{O}$, d'asymptotes$\;\color {transparent}{Ox}\;$et$\;\color {transparent}{Oy}$ : avec «$\;x'+y'={\dfrac {2\;y}{\sqrt {2}}}=y\;{\sqrt {2}}\;$» et «$\;x'-y'={\dfrac {2\;x}{\sqrt {2}}}=x\;{\sqrt {2}}\;$» soit finalement Cas d'une hyperbole équilatère de centre$\;\color {transparent}{O}$, d'asymptotes$\;\color {transparent}{Ox}\;$et$\;\color {transparent}{Oy}$ : l'équation de l'hyperbole équilatère dans le nouveau système d'axes «$\;\left(x\;{\sqrt {2}}\right)\,\left(y\;{\sqrt {2}}\right)=a^{2}\;$» ou «$\;y={\dfrac {a^{2}}{2\;x}}\;$».
L'équation cartésienne d'une hyperbole équilatère de centre $\;O$, d'asymptotes $\;Ox\;$ et $\;Oy\;$ s'écrit $\;{\big$sous forme explicite${\big )}\;$ selon L'équation cartésienne d'une hyperbole équilatère de centre $\;\color {transparent}{O}$, d'asymptotes $\;\color {transparent}{Ox}\;$ et $\;\color {transparent}{Oy}\;$ s'écrit «$\;y={\dfrac {k}{x}}\;$» avec L'équation cartésienne d'une hyperbole équilatère de centre $\;\color {transparent}{O}$, «$\;k>0\;$ pour une hyperbole dans le 1er et 3ème quadrants » ou L'équation cartésienne d'une hyperbole équilatère de centre $\;\color {transparent}{O}$, «$\;k<0\;$ pour une hyperbole dans le 2ème et 4ème quadrants ».
Commentaires concernant l'hyperbole équilatère de centre$\;O$, d'asymptotes$\;Ox\;$et$\;Oy$ : pour «$\;k>0\;$», l'axe focal étant la 1ère bissectrice $\;{\Big$c.-à-d. la bissectrice de l'angle orienté $\;{\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\right)}}{\Big ]}$, Commentaires concernant l'hyperbole équilatère de centre$\;\color {transparent}{O}$, d'asymptotes$\;\color {transparent}{Ox}\;$et$\;\color {transparent}{Oy}$ : pour «$\;\color {transparent}{k>0}\;$», la valeur commune des demi-axes focal et non focal s'évalue par «$\;a=b={\sqrt {2\;k}}\;$», Commentaires concernant l'hyperbole équilatère de centre$\;\color {transparent}{O}$, d'asymptotes$\;\color {transparent}{Ox}\;$et$\;\color {transparent}{Oy}$ : pour «$\;\color {transparent}{k>0}\;$», l'excentricité de l'hyperbole équilatère par «$\;e={\sqrt {2}}\;$» $\;{\Big$les foyers, de part et d'autre de Commentaires concernant l'hyperbole équilatère de centre$\;\color {transparent}{O}$, d'asymptotes$\;\color {transparent}{Ox}\;$et$\;\color {transparent}{Oy}$ : pour «$\;\color {transparent}{k>0}\;$», $\;O\;$ sur la 1ère bissectrice, en étant distants de «$\;c=a\;e=2\;{\sqrt {k}}\;$»${\Big ]}\;$ alors que
Commentaires concernant l'hyperbole équilatère de centre$\;\color {transparent}{O}$, d'asymptotes$\;\color {transparent}{Ox}\;$et$\;\color {transparent}{Oy}$ : pour «$\;k<0\;$», l'axe focal étant la 2ème bissectrice $\;{\Big$c.-à-d. la bissectrice de l'angle orienté $\;{\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,-{\vec {u}}_{y}\right)}}{\Big ]}$, Commentaires concernant l'hyperbole équilatère de centre$\;\color {transparent}{O}$, d'asymptotes$\;\color {transparent}{Ox}\;$et$\;\color {transparent}{Oy}$ : pour «$\;\color {transparent}{k<0}\;$», la valeur commune des demi-axes focal et non focal s'évalue par «$\;a=b={\sqrt {-2\;k}}\;$», Commentaires concernant l'hyperbole équilatère de centre$\;\color {transparent}{O}$, d'asymptotes$\;\color {transparent}{Ox}\;$et$\;\color {transparent}{Oy}$ : pour «$\;\color {transparent}{k>0}\;$», l'excentricité de l'hyperbole équilatère par «$\;e={\sqrt {2}}\;$» $\;{\Big$les foyers, de part et d'autre de Commentaires concernant l'hyperbole équilatère de centre$\;\color {transparent}{O}$, d'asymptotes$\;\color {transparent}{Ox}\;$et$\;\color {transparent}{Oy}$ : pour «$\;\color {transparent}{k>0}\;$», $\;O\;$ sur la 2ème bissectrice, en étant distants de «$\;c=a\;e=2\;{\sqrt {-k}}\;$»${\Big ]}$.

### Équations paramétriques d'une ellipse de centre O, d'axes Ox et Oy
#### Équations paramétriques d'un cercle de centre O

Le cercle de centre $\;O$, de rayon $\;R$, a pour équations paramétriques «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}X=R\;\cos(\theta )\\Y=R\;\sin(\theta )\end{array}}\right\rbrace \;$», le paramètre «$\;\theta ={\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {OM_{c}}}\right)}}\;$» étant l'abscisse angulaire Le cercle de centre $\;\color {transparent}{O}$, de rayon $\;\color {transparent}{R}$, a pour équations paramétriques «$\;\color {transparent}{\left\lbrace X=R\;\cos(\theta )\right\rbrace }\;$», du point générique $\;M_{c}\;\left(X\,,\,Y\right)\;$ du cercle ;
ce cercle est décrit une seule fois si le domaine de variation de $\;\theta \;$ est large de $\;2\,\pi \;$ par exemple «$\;\theta \;\in \;\left]-\pi \,;\,\pi \right]\;$» ;
ces équations paramétriques sont bien celles du cercle d'équation cartésienne «$\;{\dfrac {X^{2}}{R^{2}}}+{\dfrac {Y^{2}}{R^{2}}}=1\;$», l'élimination du paramètre $\Leftarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\cos(\theta )={\dfrac {X}{R}}\\\sin(\theta )={\dfrac {Y}{R}}\end{array}}\right\rbrace \;$ et ces équations paramétriques sont bien celles du cercle d'équation cartésienne «$\;\color {transparent}{X^{2}+Y^{2}=1}\;$», l'élimination du paramètre $\color {transparent}{\leftarrow }$ $\;\cos ^{2}(\theta )+\sin ^{2}(\theta )=1$.

#### Affinité d'axe x'x, de direction y'y et de rapport k

Pour tout point $\;M\;$ du plan, «$\;M'\;$ est son image par l'affinité d'axe $\;Ox$, de direction $\;Oy\;$ et de rapport $\;k\;$» si, Pour tout point $\;\color {transparent}{M}\;$ du plan, «$\;H\;$ étant le projeté de $\;M\;$ sur $\;Ox\;$ parallèlement à $\;Oy\;$», «$\;M'\;$ a même projeté que $\;M\;$ sur $\;Ox\;$ parallèlement à $\;Oy\;$» tel que Pour tout point $\;\color {transparent}{M}\;$ du plan, «$\;\color {transparent}{H}\;$ étant le projeté de $\;\color {transparent}{M}\;$ sur $\;\color {transparent}{Ox}\;$ parallèlement à $\;\color {transparent}{Oy}\;$», «$\;{\overline {HM'}}=k\;{\overline {HM}}\;$» Pour tout point $\;\color {transparent}{M}\;$ du plan, ${\bigg$«$\;M\;{\overset {{\mathcal {A}}_{\,{\text{axe}}\,Ox}^{\,{\text{dir.}}\,Oy}(k)}{\quad \;\longmapsto \quad \;}}\!M'\;$» si $\;MM'\;$ est $\;\parallel \;$ à $\;Oy$, le projeté commun $\;H\;$ de $\;M\;$ et $\;M'\;$ sur $\;Ox\;$ parallèlement à $\;Oy\;$ étant tel que «$\;{\overline {HM'}}=k\;{\overline {HM}}\;$»${\bigg ]}$ ;
Pour tout point $\;\color {transparent}{M}\;$ du plan, si les « coordonnées cartésiennes de $\;M\;$ sont $\;\left\lbrace x\,,\,y\right\rbrace \;$», « celles de $\;M'\;$ sont $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x'=x\\y'=k\;y\end{array}}\right\rbrace \;$».

#### Conséquence : équations paramétriques d'une ellipse de centre O, d'axes Ox et Oy

Les équations paramétriques d'une ellipse de centre $\;O$, d'axes de symétrie $\;Ox\;$ et $\;Oy\;$ s'écrivent «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x=a'\;\cos(\theta )\\y=b'\;\sin(\theta )\end{array}}\right\rbrace \;$»$^,$ où Les équations paramétriques d'une ellipse de centre $\;\color {transparent}{O}$, «$\;a'\;$ et $\;b'\;$ sont respectivement le demi-grand axe $\;a\;$ et le demi-petit axe $\;b\;$» Les équations paramétriques d'une ellipse de centre $\;\color {transparent}{O}$, ou «$\;\color {transparent}{a'}\;$ et $\;\color {transparent}{b'}\;$ sont respectivement le demi-petit axe $\;b\;$ et le demi-grand axe $\;a\;$».
Justification$\;Ox\;$étant axe focal : L'ellipse de centre $\;O$, d'axe focal $\;x'x\;$ et non focal $\;y'y$, donc de demi-grand axe $\;a=a'\;$ et de demi-petit axe $\;b=b'$, Justification$\;\color {transparent}{Ox}\;$étant axe focal : L'ellipse de centre $\;\color {transparent}{O}$, est l'image du cercle de même centre $\;O\;$ et de rayon $\;a=a'\;$ Justification$\;\color {transparent}{Ox}\;$étant axe focal : L'ellipse de centre $\;\color {transparent}{O}$, est l'image par l'affinité d'axe $\;Ox$, de direction $\;Oy\;$ et de rapport $\;k={\dfrac {b}{a}}={\dfrac {b'}{a'}}$ Justification$\;\color {transparent}{Ox}\;$étant axe focal : L'ellipse de centre $\;\color {transparent}{O}$, est l'image par l'affinité d'axe $\;\color {transparent}{Ox}$, de direction $\;\color {transparent}{Oy}\;$ et de rapport $\;\color {transparent}{k=b}$ $\;{\big$voir figure ci-contre${\big )}\;$ car Justification$\;\color {transparent}{Ox}\;$étant axe focal : l'affinité d'axe $\;Ox$, de direction $\;Oy\;$ et de rapport $\;k={\dfrac {b}{a}}={\dfrac {b'}{a'}}\;$ associe le point courant $\;M_{c}\,(X\,,\,Y)\;$ du cercle au Justification$\;\color {transparent}{Ox}\;$étant axe focal : l'affinité d'axe $\;\color {transparent}{Ox}$, de direction $\;\color {transparent}{Oy}\;$ et de rapport $\;\color {transparent}{k=b=b'}\;$ associe le point courant $\;M\left(x=X\;,\,y={\dfrac {b'}{a'}}\;Y\right)\;$ Justification$\;\color {transparent}{Ox}\;$étant axe focal : l'affinité d'axe $\;\color {transparent}{Ox}$, de direction $\;\color {transparent}{Oy}\;$ et de rapport $\;\color {transparent}{k=b=b'}\;$ associe le point courant de l'ellipse ;
Justification$\;\color {transparent}{Ox}\;$étant axe focal : on peut déduire des équations paramétriques du cercle de centre $\;O\;$ et de rayon $\;a=a'\;$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}X=a'\,\cos(\theta )\\Y=a'\sin(\theta )\end{array}}\right\rbrace \;$», Justification$\;\color {transparent}{Ox}\;$étant axe focal : on peut déduire des équations paramétriques celles de l'ellipse de même centre $\;O$, d'axe focal $\;x'x\;$ et non focal $\;y'y$, donc Justification$\;\color {transparent}{Ox}\;$étant axe focal : on peut déduire des équations paramétriques celles de l'ellipse de demi-grand axe $\;a=a'\;$ et de demi-petit axe $\;b=b'$, Justification$\;\color {transparent}{Ox}\;$étant axe focal : on peut déduire en utilisant l'affinité précédemment définie «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x=X\\y={\dfrac {b'}{a'}}\,Y\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x=a'\,\cos(\theta )\\y=b'\,\sin(\theta )\end{array}}\right\rbrace \;$».
Remarque : Les équations paramétriques de l'ellipse d'équation cartésienne $\;{\dfrac {x^{2}}{{a'}^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{{b'}^{2}}}=1\;$ restent les mêmes pour une ellipse de centre $\;O$, d'axe focal $\;y'y\;$ et non focal $\;x'x$, donc Remarque : Les équations paramétriques de l'ellipse d'équation cartésienne $\;\color {transparent}{x^{2}+y^{2}=1}\;$ restent les mêmes pour une ellipse de centre $\;\color {transparent}{O}$, de demi-grand axe $\;a=b'\;$ et de demi-petit axe $\;b=a'$, Remarque : Les équations paramétriques de l'ellipse «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x=a'\,\cos(\theta )\\y=b'\,\sin(\theta )\end{array}}\right\rbrace \;$», l'affinité à considérer étant indépendante de la nature des axes pour l'ellipse.

#### Courbe de Lissajous correspondant à la visualisation à l'oscilloscope en fonctionnement (x, y) d'une tension sinusoïdale en fonction d'une autre tension sinusoïdale de même fréquence

Si on impose les tensions «$\;u_{1}(t)=U_{m,\,1}\;\cos(\omega \;t+\varphi _{1})\;$» sur la voie $\;CH1\;$ et «$\;u_{2}(t)=U_{m,\,2}\;\cos(\omega \;t+\varphi _{2})\;$» sur la voie $\;CH2$, toutes deux étant de même fréquence «$\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$» et si on choisit le « fonctionnement $\;(x\,,\,y)\;$ de l'oscilloscope », on visualise une « courbe de Lissajous »$^,$ fermée$\;{\big$« les deux tensions ayant une période commune »${\big ]}\;$ et si on choisit le « fonctionnement $\;\color {transparent}{(x\,,\,y)}\;$ de l'oscilloscope », on visualise une cette courbe de Lissajous$^,$ est une « ellipse de centre$\;O\;$» $\;{\big$même plus petite période des deux tensions${\big ]}\;$ si on choisit le « fonctionnement $\;\color {transparent}{(x\,,\,y)}\;$ de l'oscilloscope », on visualise une cette courbe de Lissajous déterminée par ses équations paramétriques «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x=U_{m,\,1}\;\cos(\omega \;t+\varphi _{1})\\y=U_{m,\,2}\;\cos(\omega \;t+\varphi _{2})\end{array}}\right\rbrace \;$» ; si on choisit le « fonctionnement $\;\color {transparent}{(x\,,\,y)}\;$ de l'oscilloscope », on visualise une cette $\bullet \;$si «$\;\varphi _{2}=\varphi _{1}\;$» $\;{\big$les tensions étant en phase${\big )}$, l'ellipse est dégénérée en segment de droite de pente positive, si on choisit le « fonctionnement $\;\color {transparent}{(x\,,\,y)}\;$ de l'oscilloscope », on visualise une cette $\bullet \;$si «$\;\varphi _{2}=\varphi _{1}\pm \pi \;$» $\;{\big$les tensions étant en opposition de phase${\big )}$, l'ellipse est dégénérée en segment de droite si on choisit le « fonctionnement $\;\color {transparent}{(x\,,\,y)}\;$ de l'oscilloscope », on visualise une cette $\color {transparent}{\bullet }\;$si «$\;\color {transparent}{\varphi _{2}=\varphi _{1}\pm \pi }\;$» $\;\color {transparent}{\big$les tensions étant en opposition de phase$\color {transparent}{\big )}$, l'ellipse est dégénérée de pente négative, si on choisit le « fonctionnement $\;\color {transparent}{(x\,,\,y)}\;$ de l'oscilloscope », on visualise une cette $\bullet \;$si «$\;\varphi _{2}=\varphi _{1}\pm {\dfrac {\pi }{2}}\;$» $\;{\big$les tensions étant en quadrature de phase${\big )}$, « l'ellipse admet $\;x'x\;$ et $\;y'y\;$ comme si on choisit le « fonctionnement $\;\color {transparent}{(x\,,\,y)}\;$ de l'oscilloscope », on visualise une cette $\color {transparent}{\bullet }\;$si «$\;\color {transparent}{\varphi _{2}=\varphi _{1}\pm \pi }\;$» $\;\color {transparent}{\big$les tensions étant en quadrature de phase$\color {transparent}{\big )}$, « l'ellipse admet axes de symétrie » et si on choisit le « fonctionnement $\;\color {transparent}{(x\,,\,y)}\;$ de l'oscilloscope », on visualise une cette $\color {transparent}{\bullet }\;$par choix des sensibilités des deux voies, la courbe de Lissajous$^,$ peut devenir un cercle ; si on choisit le « fonctionnement $\;\color {transparent}{(x\,,\,y)}\;$ de l'oscilloscope », on visualise une cette $\bullet \;$dans tous les autres cas on admet que la courbe de Lissajous$^,$ est une ellipse de centre $\;O\;$ si on choisit le « fonctionnement $\;\color {transparent}{(x\,,\,y)}\;$ de l'oscilloscope », on visualise une cette $\color {transparent}{\bullet }\;$dans tous les autres cas on admet que inscrite dans un « rectangle à côtés $\;\parallel \;$ aux axes $\;x'x\;$ et $\;y'y\;$» si on choisit le « fonctionnement $\;\color {transparent}{(x\,,\,y)}\;$ de l'oscilloscope », on visualise une cette $\color {transparent}{\bullet }\;$dans tous les autres cas on admet qu'inscrite dans de longueurs respectives «$\;2\;U_{m,\,1}\;$ le long de $\;x'x\;$» et si on choisit le « fonctionnement $\;\color {transparent}{(x\,,\,y)}\;$ de l'oscilloscope », on visualise une cette $\color {transparent}{\bullet }\;$dans tous les autres cas on admet qu'inscrite dans de longueurs respectives «$\;2\;U_{m,\,2}\;$ le long de $\;y'y\;$».

#### Mouvement circulaire uniforme d'un point et mouvement rectiligne sinusoïdal de son projeté sur un diamètre

Le mouvement uniforme de $\;M\;$ sur le cercle de centre $\;O$, de rayon $\;R$, est décrit par l'équation horaire de son abscisse angulaire en fonction du temps selon Le mouvement uniforme de $\;\color {transparent}{M}\;$ sur le cercle de centre $\;\color {transparent}{O}$, de rayon $\;\color {transparent}{R}$, est décrit par l'équation horaire «$\;\theta =\omega \;t+\theta _{0}\;$» ;
on en déduit ses équations horaires cartésiennes «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x=R\;\cos(\omega \;t+\theta _{0})\\y=R\;\sin(\omega \;t+\theta _{0})\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ les mouvements des projetés de $\;M\;$ sur les axes $\;x'x\;$ et $\;y'y$, c.-à-d. on en déduit ses équations horaires cartésiennes «$\;\color {transparent}{\left\lbrace x=R\;\cos(\omega \;t+\theta _{0})\right\rbrace }\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ les mouvements de $\;M_{x}\;$ et $\;M_{y}$, sont $\;{\big$rectilignes${\big )}\;$ sinusoïdaux on en déduit ses équations horaires cartésiennes «$\;\color {transparent}{\left\lbrace x=R\;\cos(\omega \;t+\theta _{0})\right\rbrace }\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ de pulsation égale à la « valeur absolue de la vitesse angulaire de $\;M\;$» :
* si la vitesse angulaire «$\;\omega \;$ est $\;>0\;$», «$\;y=R\;\sin(\omega \;t+\theta _{0})=R\;\cos \left(\omega \;t+\theta _{0}-{\dfrac {\pi }{2}}\right)\;$» $\Rightarrow$ «$\;M_{y}\;$ est en quadrature retard sur $\;M_{x}\;$» alors que
* si la vitesse angulaire «$\;\omega \;$ est $\;<0\;$», elle s'écrit encore «$\;\omega =-\vert \omega \vert \;$», on en déduit «$\,x=R\;\cos(\omega \;t+\theta _{0})=R\;\cos(-\vert \omega \vert \;t+\theta _{0})=R\;\cos(\vert \omega \vert \;t-\theta _{0})\,$» et «$\,y=R\;\sin(\omega \;t+\theta _{0})=R\;\sin(-\vert \omega \vert \;t+\theta _{0})=-R\;\sin(\vert \omega \vert \;t-\theta _{0})=R\;\cos \left(\vert \omega \vert \;t-\theta _{0}+{\dfrac {\pi }{2}}\right)\,$» $\Rightarrow$ «$\;M_{y}\;$ est en quadrature avance sur $\;M_{x}\;$».
On peut aussi affirmer que la composition de deux mouvements rectilignes sinusoïdaux de même pulsation, de « même amplitude et en quadrature de phase » suivant deux directions orthogonales, est un mouvement circulaire uniforme.

### En complément, équations paramétriques d'une hyperbole de centre O, d'axes Ox et Oy
#### Équations paramétriques d'une hyperbole équilatère de centre O, d'axes Ox et Oy

Rappel : Une hyperbole équilatère de centre $\;O$, d'axes focal $\;Ox\;$ et non focal $\;Oy$, de demi-axes focal et non focal $\;a\;$ ayant pour Rappel : équation cartésienne $\;{\big$sous forme implicite${\big )}\;$ «$\;x^{2}-y^{2}=a^{2}\;$», nous en déduisons l'équation cartésienne $\;{\big$sous forme implicite${\big )}\;$ de Rappel : l'hyperbole équilatère de centre $\;O$, d'axes focal $\;Ox\;$ et non focal $\;Oy$, de demi-axes focal et non focal unité, «$\;x^{2}-y^{2}=1\;$».
Une demi-droite, passant par l'origine $\;O$, coupe l'hyperbole équilatère de centre $\;O$, d'axes focal $\;Ox\;$ et non focal $\;Oy$, Une demi-droite, passant par l'origine $\;\color {transparent}{O}$, coupe l'hyperbole équilatère de centre $\;\color {transparent}{O}$, de demi-axes focal et non focal unité, Une demi-droite, passant par l'origine $\;\color {transparent}{O}$, coupe en un point dont les coordonnées ont été paramétrées en fonction d'une grandeur $\;{\mathfrak {a}}\;$ Une demi-droite, passant par l'origine $\;\color {transparent}{O}$, coupe en un point dont les coordonnées ont été paramétrées par Vincenzo Riccati, Une demi-droite, passant par l'origine $\;\color {transparent}{O}$, coupe en un point dont les coordonnées paramétrage qui lui permit de créer de nouvelles fonctions baptisées Une demi-droite, passant par l'origine $\;\color {transparent}{O}$, coupe en un point dont « cosinus hyperbolique » pour l'abscisse et « sinus hyperbolique » pour l'ordonnée, Une demi-droite, passant par l'origine $\;\color {transparent}{O}$, coupe en un point dont plus précisément $\;\left\lbrace x=\cosh({\mathfrak {a}})\,;\,y=\sinh({\mathfrak {a}})\right\rbrace$, le paramètre $\;{\mathfrak {a}}\;$ s'avérant être Une demi-droite, passant par l'origine $\;\color {transparent}{O}$, coupe en un point dont « le double de l'aire algébrique de la surface délimitée par la demi-droite, Une demi-droite, passant par l'origine $\;\color {transparent}{O}$, coupe en un point dont « l'hyperbole équilatère de demi-axes unité et l'axe des abscisses » Une demi-droite, passant par l'origine $\;\color {transparent}{O}$, coupe en un point dont ${\big$en rouge sur le schéma ci-contre${\big )}$.
Justification : on vérifie que les coordonnées du point $\;M\;$ d'abscisse $\;x=\cosh({\mathfrak {a}})\;$ et d'ordonnée $\;y=\sinh({\mathfrak {a}})\;$ Justification : on vérifie que les coordonnées du point $\;\color {transparent}{M}\;$ suivent effectivement l'équation de l'hyperbole équilatère de demi-axes unité Justification : on vérifie que les coordonnées du point $\;\color {transparent}{M}\;$ «$\;x^{2}-y^{2}=1\;$» en utilisant la relation fondamentale liant $\;\cosh(x)\;$ et $\;\sinh(x)\;$ soit «$\;\cosh ^{2}({\mathfrak {a}})-\sinh ^{2}({\mathfrak {a}})=1\;$» ;
Justification : ensuite le vecteur position de $\;M\;$ s'écrivant $\;{\overrightarrow {OM}}=\cosh({\mathfrak {a}})\;{\vec {u}}_{x}+\sinh({\mathfrak {a}})\;{\vec {u}}_{y}\;$ on en déduit Justification : $\succ \;$le vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}=\sinh({\mathfrak {a}})\;d{\mathfrak {a}}\;{\vec {u}}_{x}+\cosh({\mathfrak {a}})\;d{\mathfrak {a}}\;{\vec {u}}_{y}\;$ puis Justification : $\succ \;$le vecteur surface élémentaire $\;{\overrightarrow {dS}}\;$ balayée par le rayon vecteur $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ quand le point $\;M\;$ se déplace de $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ sur l'hyperbole équilatère de demi-axes unité Justification : $\color {transparent}{\succ }\;$à l'aide de sa définition $\;{\overrightarrow {dS}}={\dfrac {{\overrightarrow {OM}}\wedge {\overrightarrow {dM}}}{2}}\;$, soit $\;{\overrightarrow {dS}}={\dfrac {\left[\cosh({\mathfrak {a}})\;{\vec {u}}_{x}+\sinh({\mathfrak {a}})\;{\vec {u}}_{y}\right]\wedge \left[\sinh({\mathfrak {a}})\;d{\mathfrak {a}}\;{\vec {u}}_{x}+\cosh({\mathfrak {a}})\;d{\mathfrak {a}}\;{\vec {u}}_{y}\right]}{2}}$ $={\dfrac {\left[\cosh ^{2}({\mathfrak {a}})-\sinh ^{2}({\mathfrak {a}})\right]d{\mathfrak {a}}}{2}}\;{\vec {u}}_{z}\;$ et, Justification : $\color {transparent}{\succ }\;$en utilisant la relation fondamentale liant $\;\cosh(x)\;$ et $\;\sinh(x)\;$ c.-à-d. «$\;\cosh ^{2}({\mathfrak {a}})-\sinh ^{2}({\mathfrak {a}})=1\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\overrightarrow {dS}}={\dfrac {d{\mathfrak {a}}}{2}}\;{\vec {u}}_{z}\;$» d'où Justification : $\succ \;$l'expression de l'aire de la surface balayée par le rayon vecteur $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ quand le point $\;M\;$ se déplace de $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ sur l'hyperbole équilatère de demi-axes unité, «$\;{\dfrac {d{\mathfrak {a}}}{2}}\;$» soit enfin Justification : $\succ \;$l'expression de l'aire balayée par le rayon vecteur $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ quand le point $\;M\;$ se déplace sur l'hyperbole équilatère de demi-axes unité Justification : $\color {transparent}{\succ }\;$l'expression de l'aire balayée par le rayon vecteur $\;\color {transparent}{\overrightarrow {OM}}\;$ quand le point $\;\color {transparent}{M}\;$ se déplace du point de l'axe des abscisses jusqu'au point repéré par le paramètre $\;{\mathfrak {a}}\;$ Justification : $\color {transparent}{\succ }\;$l'expression de l'aire balayée par le rayon vecteur $\;\color {transparent}{\overrightarrow {OM}}\;$ «$\;{\dfrac {\mathfrak {a}}{2}}\;$» (C.Q.F.V.) ; Justification : le paramètre$\;{\mathfrak {a}}\;$ de l'hyperbole équilatère de centre $\;O$, de demi-axes unité, représente le double de l'aire balayée par le rayon vecteur$\;{\overrightarrow {OM}}\;$quand le point$\;M\;$se déplace Justification : le paramètre$\;\color {transparent}{\mathfrak {a}}\;$ de l'hyperbole équilatère de centre $\;\color {transparent}{O}$, de demi-axes unité, représente sur cette hyperbole du point de l'axe des abscisses jusqu'au point repéré par ce paramètre.
Remarque : Il y a un lien entre l'angle $\;\theta ={\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {OM}}\right)}}\;$ et l'aire $\;{\mathfrak {a}}\;$ de la surface balayée par le rayon vecteur quand $\;M\;$ se déplace sur l'hyperbole équilatère de demi-axes unité Remarque : Il y a un lien entre l'angle $\;\color {transparent}{\theta =\left(Ox\,,\,OM\right)}\;$ et l'aire $\;\color {transparent}{\mathfrak {a}}\;$ de la surface balayée par le rayon vecteur quand $\;\color {transparent}{M}\;$ se déplace du point de l'axe des abscisses jusqu'au point repéré par $\;\theta \;$ mais, Remarque : Il y a un lien entre l'angle $\;\color {transparent}{\theta =\left(Ox\,,\,OM\right)}\;$ et l'aire $\;\color {transparent}{\mathfrak {a}}\;$ de la surface balayée par le rayon vecteur quand $\;\color {transparent}{M}\;$ se déplace contrairement au cas du cercle, $\;{\mathfrak {a}}\neq {\dfrac {\theta }{2}}$ ; Remarque : en effet, dans le cas de la branche d'hyperbole équilatère de demi-axes unité, les coordonnées polaires du point $\;M\;\left\lbrace \rho \,,\,\theta \right\rbrace \;$ sont telles que $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x=\rho \;\cos(\theta )\\y=\rho \;\sin(\theta )\end{array}}\right\rbrace$, ce qui donne, Remarque : en effet, par report dans l'équation cartésienne «$\;x^{2}-y^{2}=1\;$» de cette branche, $\;\rho ^{2}\;\cos ^{2}(\theta )-\rho ^{2}\;\sin ^{2}(\theta )=1\;$ ou $\;\rho ^{2}={\dfrac {1}{\cos ^{2}(\theta )-\sin ^{2}(\theta )}}\;$ c.-à-d. Remarque : en effet, l'équation polaire de la branche «$\;\rho ^{2}={\dfrac {1}{\cos(2\;\theta )}}\;$» ${\bigg$on trouve ainsi les deux asymptotes de l'hyperbole correspondant à $\;\rho \rightarrow +\infty \;$ soit $\;\theta \rightarrow \pm {\dfrac {\pi }{4}}{\bigg ]}$ ; Remarque : en effet, le vecteur surface élémentaire balayée par le rayon vecteur quand $\;M\;$ se déplace de $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ sur la branche d'hyperbole équilatère de demi-axes unité Remarque : en effet, le vecteur surface élémentaire étant $\;{\overrightarrow {dS}}={\dfrac {{\overrightarrow {OM}}\wedge {\overrightarrow {dM}}}{2}}$, se réécrit en polaire $\;{\overrightarrow {dS}}={\dfrac {\rho \;{\vec {u}}_{\rho }\wedge \left(d\rho \;{\vec {u}}_{\rho }+\rho \;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }\right)}{2}}={\dfrac {\rho ^{2}\;d\theta }{2}}\;{\vec {u}}_{z}\;$ dont on tire Remarque : en effet, l'aire de la surface élémentaire balayée par le rayon vecteur «$\;d{\mathfrak {a}}={\dfrac {\rho ^{2}\;d\theta }{2}}={\dfrac {d\theta }{2\;\cos(2\;\theta )}}\;$ effectivement $\;\neq {\dfrac {d\theta }{2}}\;$» ; Remarque : en effet, on obtient alors $\;{\mathfrak {a}}\;$ en intégrant la relation précédente entre $\;0\;$ et $\;\theta \;$ soit «$\;{\mathfrak {a}}=\displaystyle \int _{0}^{\theta }{\dfrac {d\theta '}{2\;\cos(2\;\theta ')}}\;$» qui s'intègre Remarque : en effet, on obtient alors $\;\color {transparent}{\mathfrak {a}}\;$ en posant $\;t'=\tan \!\left(\theta '\right)\;$ $\Rightarrow$ $\;dt'=\left[1+\tan ^{2}\!\left(\theta '\right)\right]d\theta '\;$ $\Rightarrow$ «$\;d\theta '={\dfrac {dt'}{1+{t'}^{2}}}\;$» et Remarque : en effet, on obtient alors $\;\color {transparent}{\mathfrak {a}}\;$ en posant $\;\color {transparent}{t'=\tan \!\left(\theta '\right)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;\cos(2\;\theta ')=\cos ^{2}(\theta ')-\sin ^{2}(\theta ')=\cos ^{2}(\theta ')\left[1-\tan ^{2}(\theta ')\right]={\dfrac {1-\tan ^{2}(\theta ')}{1+\tan ^{2}(\theta ')}}={\dfrac {1-{t'}^{2}}{1+{t'}^{2}}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {1}{\cos(2\;\theta ')}}={\dfrac {1+{t'}^{2}}{1-{t'}^{2}}}\;$» d'où Remarque : en effet, on obtient alors «$\;{\mathfrak {a}}={\dfrac {1}{2}}\;\displaystyle \int _{0}^{t}{\dfrac {dt'}{1-{t'}^{2}}}\;$» dans laquelle on décompose «$\;{\dfrac {1}{1-{t'}^{2}}}\;$» en éléments irréductibles simples selon «$\;{\dfrac {1}{1-{t'}^{2}}}={\dfrac {\dfrac {1}{2}}{1-t'}}+{\dfrac {\dfrac {1}{2}}{1+t'}}\;$», ce qui conduit à Remarque : en effet, on obtient alors «$\;{\mathfrak {a}}={\dfrac {1}{4}}\left[\displaystyle \int _{0}^{t}{\dfrac {dt'}{1-t'}}+\displaystyle \int _{0}^{t}{\dfrac {dt'}{1+t'}}\right]={\dfrac {1}{4}}\left[\displaystyle \int _{t'\,=\,0}^{t'\,=\,t}{\dfrac {d(1+t')}{1+t'}}-\displaystyle \int _{t'\,=\,0}^{t'\,=\,t}{\dfrac {d(1-t')}{1-t'}}\right]={\dfrac {1}{4}}\left[\ln \!\left({\dfrac {1+t'}{1-t'}}\right)\right]_{0}^{t}$ $={\dfrac {1}{4}}\,\ln \!\left({\dfrac {1+t}{1-t}}\right)\;$» soit finalement Remarque : en effet, on obtient alors «$\;{\mathfrak {a}}={\dfrac {1}{4}}\,\ln \!\left[{\dfrac {1+\tan(\theta )}{1-\tan(\theta )}}\right]\;$»$^,$.

#### Affinité d'axe x'x, de direction y'y d'une hyperbole équilatère de centre O, d'axes Ox et Oy

On peut transformer l'« hyperbole équilatère de centre $\;O$, d'axes focal $\;Ox\;$ et non focal $\;Oy$, de demi-axes communs $\;a\;$» par affinité d'axe $\;x'x$, de direction $\;y'y\;$ et de rapport $\;k\;$ en On peut transformer l'« hyperbole de centre $\;O$, d'axes focal $\;Ox\;$ et non focal $\;Oy$, de demi-axes focal $\;a\;$ et non focal $\;b\;$» en fixant le rapport «$\;k={\dfrac {b}{a}}\;$» en effet,
On peut transformer les équations paramétriques de l'hyperbole équilatère de centre $\;O$, d'axes focal $\;Ox\;$ et non focal $\;Oy$, de demi-axes communs $\;a\;$ étant «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}X=a\;\cosh \left(\xi \right)\\Y=a\;\sinh \left(\xi \right)\end{array}}\right\rbrace \;$» avec On peut transformer pour paramètre $\;\xi \;$ « le double de l'aire algébrique de la surface délimitée par la demi-droite $\;OM$, l'hyperbole équilatère de demi-axes communs $\;a\;$ et l'axe des abscisses, On peut transformer pour paramètre $\;\color {transparent}{\xi }\;$ « le double de l'aire exprimée en unité $\;a^{2}\;$ »,
On peut transformer son image par l'affinité d'axe $\;x'x$, de direction $\;y'y\;$ et de rapport $\;k={\dfrac {b}{a}}\;$ c.-à-d. l'« hyperbole de centre $\;O$, d'axes focal $\;Ox\;$ et non focal $\;Oy$, On peut transformer son image par l'affinité d'axe $\;\color {transparent}{x'x}$, de direction $\;\color {transparent}{y'y}\;$ et de rapport $\;\color {transparent}{k=b}\;$ c.-à-d. l'« hyperbole de centre $\;\color {transparent}{O}$, de demi-axes focal $\;a\;$ et non focal $\;b\;$» On peut transformer son image par l'affinité d'axe $\;\color {transparent}{x'x}$, de direction $\;\color {transparent}{y'y}\;$ et de rapport $\;\color {transparent}{k=b}\;$ c.-à-d. l'« hyperbole a pour équations paramétriques «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l c l}x\!\!\!&=&\!\!\!X\!\!\!&=&\!\!\!a\;\cosh \left(\xi \right)\\y\!\!\!&=&\!\!\!{\dfrac {b}{a}}\;Y\!\!\!&=&\!\!\!b\;\sinh \left(\xi \right)\end{array}}\right\rbrace \;$» avec, On peut transformer pour paramètre $\;\xi \;$ « le double de l'aire algébrique de la surface délimitée par la demi-droite $\;OM$, l'hyperbole équilatère de centre $\;O$, de demi-axes communs $\;a\;$ et l'axe des $\;x$, On peut transformer pour paramètre $\;\color {transparent}{\xi }\;$ « le double de l'aire exprimée en unité $\;a^{2}\;$ »$^,$.
Justification : les équations paramétriques «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x=a\;\cosh(\xi )\\y=b\;\sinh(\xi )\end{array}}\right\rbrace \;$» sont bien celles de l'« hyperbole de centre $\;O$, d'axes focal $\;Ox\;$ et non focal $\;Oy$, de demi-axes focal $\;a\;$ et non focal $\;b\;$» car, Justification : en éliminant le paramètre $\;\xi \;$ entre les deux équations paramétriques $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\cosh(\xi )={\dfrac {x}{a}}\\\sinh(\xi )={\dfrac {y}{a}}\end{array}}\right\rbrace \;$ et utilisant la relation fondamentale liant $\;\cosh(\,)\;$ et $\;\sinh(\,)\;$ $\;\cosh ^{2}(\xi )-\sinh ^{2}(\xi )=1$, Justification : on retrouve bien son équation cartésienne $\;{\big$sous forme implicite${\big )}\;$ «$\;{\dfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\dfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1\;$».

#### Conséquence : équations paramétriques d'une hyperbole de centre O, d'axes Ox et Oy

Les équations paramétriques d'une hyperbole de centre $\;O$, d'axes focal $\;Ox\;$ et non focal $\;Oy$, de demi-axes focal $\;a\;$ et non focal $\;b\;$ Les équations paramétriques d'une hyperbole de centre $\;\color {transparent}{O}$, s'écrivent selon «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x=a\;\cosh(\xi )\\y=b\;\sinh(\xi )\end{array}}\right\rbrace \;$» dans lesquelles Les équations paramétriques « le paramètre $\;\xi \;$ de l'hyperbole est le double de l'aire balayée par le rayon vecteur $\;{\overrightarrow {OM}}_{\text{équilat}}\;$ quand Les équations paramétriques « $\;M_{\text{équilat}}\;$ se déplace sur l'hyperbole équilatère de centre $\;O$, d'axes focal $\;Ox\;$ et non focal $\;Oy$, Les équations paramétriques « $\;\color {transparent}{M_{\text{équilat}}}\;$ se déplace sur l'hyperbole équilatère de centre $\;\color {transparent}{O}$, de demi-axes communs $\;a$, Les équations paramétriques « $\;\color {transparent}{M_{\text{équilat}}}\;$ se déplace du point commun $\;A\;$ de l'hyperbole et de l'hyperbole équilatère situé sur $\;Ox$ Les équations paramétriques « $\;\color {transparent}{M_{\text{équilat}}}\;$ se déplace jusqu'au point $\;M_{\text{équilat}}\;$ repéré par ce paramètre sur l'hyperbole équilatère ».

### Équations polaires des coniques
#### Généralités sur le repérage polaire d'un point d'un plan fixe

Rappelons tout d'abord que le repérage cartésien d'un point $\;M\;$ du plan fixe nécessite le choix $\;{\big$dans ce plan${\big )}\;$ d'une origine «$\;O\;$» et d'une base orthonormée liée au plan «$\;({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y})\;$» ; Rappelons tout d'abord que le repérage cartésien d'un point $\;\color {transparent}{M}\;$ du plan fixe une fois ce choix fait, $\;M\;$ est repéré par ses coordonnées cartésiennes «$\;(x\,,\,y)\;$» ;
Rappelons tout d'abord que le repérage cartésien d'un point $\;\color {transparent}{M}\;$ du plan fixe on peut repérer autrement le point $\;M\;$ relativement au repère cartésien «$\;\left\lbrace O\,,\,{\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\right\rbrace \;$» Rappelons tout d'abord que le repérage cartésien d'un point $\;\color {transparent}{M}\;$ du plan fixe on peut repérer autrement en précisant ses coordonnées polaires c.-à-d. «$\;(r\,,\,\theta )\;$» où Rappelons tout d'abord que le repérage cartésien d'un point $\;\color {transparent}{M}\;$ du plan fixe on peut repérer autrement en précisant «$\;r=OM\geqslant 0\;$» est « la 1ère coordonnée polaire exprimée en $\;m\;$» Rappelons tout d'abord que le repérage cartésien d'un point $\;\color {transparent}{M}\;$ du plan fixe on peut repérer autrement en précisant «$\;\color {transparent}{r=OM\geqslant 0}\;$» est « appelée « coordonnée radiale », Rappelons tout d'abord que le repérage cartésien d'un point $\;\color {transparent}{M}\;$ du plan fixe on peut repérer autrement en précisant «$\;\theta ={\widehat {\left({\overrightarrow {u_{x}}}\,;\,{\overrightarrow {OM}}\right)}}\;$» étant « la 2ème coordonnée polaire exprimée en $\;rad\;$» Rappelons tout d'abord que le repérage cartésien d'un point $\;\color {transparent}{M}\;$ du plan fixe on peut repérer autrement en précisant «$\;\color {transparent}{\theta =\left(u_{x}\,;\,OM\right)}\;$» est « appelée « coordonnée $\;{\big$ou abscisse${\big )}\;$ angulaire » Rappelons tout d'abord que le repérage cartésien d'un point $\;\color {transparent}{M}\;$ du plan fixe on peut repérer autrement en précisant ${\big$l'axe $\;Ox\;$ étant appelé « axe polaire »${\big ]}\;$ ;
Rappelons tout d'abord que le repérage cartésien d'un point $\;\color {transparent}{M}\;$ du plan fixe on peut repérer autrement quand un point $\;M\;$ décrit une courbe, celle-ci peut être caractérisée par son « équation polaire » Rappelons tout d'abord que le repérage cartésien d'un point $\;\color {transparent}{M}\;$ du plan fixe on peut repérer autrement c.-à-d. la fonction explicitant la coordonnée radiale de $\;M\;$ «$\;r\;$» en fonction de Rappelons tout d'abord que le repérage cartésien d'un point $\;\color {transparent}{M}\;$ du plan fixe on peut repérer autrement c.-à-d. la fonction explicitant son abscisse angulaire «$\;\theta \;$» soit «$\;r=r(\theta )\;$».

#### Exemple de courbe définie par son équation polaire

Ci-contre l'exemple d'une courbe d'équation polaire «$\;r=a\;\cos(\theta )\;$» : cette courbe est un « cercle passant par $\;O$, de diamètre $\;a\;$ et centré au point $\;C\;\left({\dfrac {a}{2}}\,,\,0\right)\;$», Ci-contre l'exemple d'une courbe d'équation polaire «$\;\color {transparent}{r=a\;\cos(\theta )}\;$» : « le domaine de variation de $\;\theta \;$ étant $\;\left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,{\dfrac {\pi }{2}}\right]\;$» ; Ci-contre l'exemple d'une courbe d'équation polaire «$\;\color {transparent}{r=a\;\cos(\theta )}\;$» : en effet multiplions l'équation polaire «$\;r=a\;\cos(\theta )\;$» de part et d'autre par «$\;r\;$» Ci-contre l'exemple d'une courbe d'équation polaire «$\;\color {transparent}{r=a\;\cos(\theta )}\;$» : dans le but de faire apparaître «$\;r^{2}=x^{2}+y^{2}\;$» dans le membre de gauche, nous obtenons Ci-contre l'exemple d'une courbe d'équation polaire «$\;\color {transparent}{r=a\;\cos(\theta )}\;$» : «$\;r^{2}=a\;r\;\cos(\theta )\;$» et, reconnaissant dans le membre de droite «$\;r\;\cos(\theta )=x\;$», Ci-contre l'exemple d'une courbe d'équation polaire «$\;\color {transparent}{r=a\;\cos(\theta )}\;$» : nous en déduisons l'équation cartésienne suivante «$\;x^{2}+y^{2}=a\;x\;$» qui se réécrit selon Ci-contre l'exemple d'une courbe d'équation polaire «$\;\color {transparent}{r=a\;\cos(\theta )}\;$» : «$\;x^{2}-a\;x+y^{2}=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left(x-{\dfrac {a}{2}}\right)^{\!2}+y^{2}=\left({\dfrac {a}{2}}\right)^{\!2}\;$» définissant effectivement un cercle Ci-contre l'exemple d'une courbe d'équation polaire «$\;\color {transparent}{r=a\;\cos(\theta )}\;$» : « centré en $\;C\;\left({\dfrac {a}{2}}\,,\,0\right)\;$» sur l'axe polaire $\;Ox$, « de rayon $\;{\dfrac {a}{2}}\;$» et « passant par $\;O\;$».

#### Choix communs de repérage polaire des coniques dont O est le (ou un des) foyer(s)

Le pôle $\;O\;$ du repérage polaire étant le $\;{\big$ou un des${\big )}\;$ foyer(s), l'axe focal étant orienté de ce foyer vers le point le plus proche $\;{\big$c.-à-d. le « péricentre » pour une ellipse, le « sommet » pour une parabole Le pôle $\;\color {transparent}{O}\;$ du repérage polaire étant le $\;\color {transparent}{\big$ou un des$\color {transparent}{\big )}\;$ foyer(s), l'axe focal étant orienté de ce foyer vers le point le plus proche $\;\color {transparent}{\big$ou le « sommet » pour l'une ou l'autre branche d'une hyperbole${\big ]}$, Le pôle $\;\color {transparent}{O}\;$ du repérage polaire étant le $\;\color {transparent}{\big$ou un des$\color {transparent}{\big )}\;$ foyer(s), on note «$\;\varphi \;$» l'angle orienté que fait l'axe focal avec l'axe polaire c.-à-d. «$\;\varphi ={\widehat {\left({\overrightarrow {\text{axe polaire}}}\,,\,{\overrightarrow {\text{axe focal}}}\right)}}\;$».
Remarque : Dans ce qui suit, l'établissement de l'équation polaire d'une conique dont le pôle $\;O\;$ est le $\;{\big$ou un des${\big )}\;$ foyer(s) a été faite à partir de la définition monofocale de cette dernière.

#### Équation polaire d'une ellipse de foyer O, de paramètre p et d'excentricité e

Voir ci-contre la disposition de l'ellipse par rapport au repère, un des foyers de l'ellipse choisi pour pôle $\;O\;$ du repérage polaire, Voir ci-contre l'axe focal $\;{\big$orienté vers le péricentre $\;P\;$ de l'ellipse${\big )}\;$ faisant l'angle $\;\varphi \;$ avec l'axe polaire $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ Voir ci-contre l'axe focal $\;\color {transparent}{\big$orienté vers le péricentre $\;\color {transparent}{P}\;$ de l'ellipse$\color {transparent}{\big )}\;$ faisant l'angle «$\;\varphi ={\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {OP}}\right)}}\;$», Voir ci-contre le point courant $\;M\;$ de l'ellipse étant repéré par ses coordonnées polaires «$\;\left\lbrace r=OM\,,\,\theta ={\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {OM}}\right)}}\right\rbrace \;$».

##### Établissement à partir de la définition monofocale de l'ellipse

L'ellipse dont $\;O\;$ est un des foyers étant définie selon « l'ensemble des points $\;M\;$ du plan tel que $\;MO=e\;MH\;$ dans lequel L'ellipse dont $\;\color {transparent}{O}\;$ est un des foyers étant définie selon «$\;H\;$ est le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur $\;(D)\;$ directrice associée au foyer $\;O\;$ L'ellipse dont $\;\color {transparent}{O}\;$ est un des foyers étant définie selon «et $\;e\;$ l'excentricité de l'ellipse » avec L'ellipse dont $\;\color {transparent}{O}\;$ est un des foyers $\bullet \;$«$\;MO=r\;$» coordonnée radiale du point $\;M\;$ dans son repérage polaire et L'ellipse dont $\;\color {transparent}{O}\;$ est un des foyers $\bullet \;$«$\;MH=d\!\left\lbrace O\,,\,(D)\right\rbrace -OM\;\cos \!\left[{\widehat {\left({\overrightarrow {OP}}\,,\,{\overrightarrow {OM}}\right)}}\right]={\dfrac {p}{e}}-r\;\cos \!\left(\theta -\varphi \right)\;$» dans laquelle L'ellipse dont $\;\color {transparent}{O}\;$ est un des foyers $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;p\;$ et $\;e\;$» sont respectivement « le paramètre et l'excentricité » de l'ellipse, L'ellipse dont $\;\color {transparent}{O}\;$ est un des foyers $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\theta \;$ et $\;\varphi \;$» respectivement « l'abscisse angulaire du point $\;M\;$ et L'ellipse dont $\;\color {transparent}{O}\;$ est un des foyers $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{\theta }\;$ et $\;\color {transparent}{\varphi }\;$» respectivement « l'angle que fait l'axe focal $\;{\big$orienté vers le péricentre $\;P\;$ de L'ellipse dont $\;\color {transparent}{O}\;$ est un des foyers $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{\theta }\;$ et $\;\color {transparent}{\varphi }\;$» respectivement « l'angle que fait l'axe focal $\;\color {transparent}{\big$l'ellipse${\big )}\;$ avec l'axe polaire $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$» ; L'ellipse dont $\;\color {transparent}{O}\;$ est un des foyers de «$\;MO=e\;MH\;$» on déduit «$\;r=e\,\left[{\dfrac {p}{e}}-r\;\cos \!\left(\theta -\varphi \right)\right]=p-e\;r\;\cos \!\left(\theta -\varphi \right)\;$» soit «$\;r\,\left[1+e\;\cos \!\left(\theta -\varphi \right)\right]=p\;$» et finalement L'ellipse dont $\;\color {transparent}{O}\;$ est un des foyers de «$\;\color {transparent}{MO=e\;MH}\;$» on déduit «$\;r={\dfrac {p}{1+e\,\cos(\theta -\varphi )}}\;$» sachant que «$\;1+e\;\cos \!\left(\theta -\varphi \right)\;$ est $\;\neq 0,\;\;\forall \;\theta \;$».

##### Énoncé

L'équation polaire de l'ellipse dont le pôle $\;O\;$ est l'un des foyers, l'axe focal $\;{\big$orienté vers le péricentre $\;P\;$ de l'ellipse${\big )}\;$ L'équation polaire de l'ellipse dont le pôle $\;\color {transparent}{O}\;$ est l'un des foyers, l'axe focal faisant l'angle $\;\varphi \;$ avec l'axe polaire $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ L'équation polaire de l'ellipse est «$\;r={\dfrac {p}{1+e\,\cos(\theta -\varphi )}}\;$» dans laquelle L'équation polaire de l'ellipse est «$\;p\;$ et $\;e\;$» sont respectivement « le paramètre et l'excentricité » de l'ellipse.

##### Quelques grandeurs déterminées à partir de l'équation polaire

* La distance minimale d'approche $\;{\big$distance séparant le péricentre $\;P\;$ de l'ellipse de son foyer $\;O{\big )}\;$ «$\;r_{P}={\dfrac {p}{1+e}}\;$» $\;{\big$correspondant à «$\;\theta =\varphi \;$»${\big )}$,
* La distance maximale d'éloignement $\;{\big$distance séparant l'apocentre $\;A\;$ de l'ellipse de son foyer $\;O{\big )}\;$ «$\;r_{A}={\dfrac {p}{1-e}}\;$» $\;{\big$correspondant à «$\;\theta =\varphi +\pi \;$»${\big )}$,
* le demi-grand axe «$\;a\;$» par «$\;2\;a=r_{P}+r_{A}={\dfrac {p}{1+e}}+{\dfrac {p}{1-e}}={\dfrac {2\;p}{1-e^{2}}}\;$» d'où «$\;a={\dfrac {p}{1-e^{2}}}\;$» et
* le demi-petit axe «$\;b\;$» par «$\;p={\dfrac {b^{2}}{a}}\Rightarrow b={\sqrt {p\;a}}\;$» ou, en y reportant l'expression de «$\;a={\dfrac {p}{1-e^{2}}}\;$», «$\;b={\dfrac {p}{\sqrt {1-e^{2}}}}\;$».

#### Équation polaire d'une parabole de foyer O et de paramètre p

Voir ci-contre la disposition de la parabole par rapport au repère, le foyer de la parabole choisi pour pôle $\;O\;$ du repérage polaire, Voir ci-contre l'axe focal $\;{\big$orienté vers le sommet $\;P\;$ de la parabole${\big )}\;$ faisant l'angle $\;\varphi \;$ avec l'axe polaire $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ Voir ci-contre l'axe focal $\;\color {transparent}{\big$orienté vers le sommet $\;\color {transparent}{P}\;$ de la parabole$\color {transparent}{\big )}\;$ faisant l'angle «$\;\varphi ={\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {OP}}\right)}}\;$», Voir ci-contre le point courant $\;M\;$ de la parabole étant repéré par ses coordonnées polaires «$\;\left\lbrace r=OM\,,\,\theta ={\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {OM}}\right)}}\right\rbrace \;$».

##### Établissement à partir de la définition (monofocale) de la parabole

La parabole de foyer $\;O\;$ étant définie selon « l'ensemble des points $\;M\;$ du plan tel que $\;MO=MH\;$ dans lequel La parabole de foyer $\;\color {transparent}{O}\;$ étant définie selon «$\;H\;$ est le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur $\;(D)\;$ directrice associée au foyer $\;O\;$ avec La parabole de foyer $\;\color {transparent}{O}\;$ $\bullet \;$«$\;MO=r\;$» coordonnée radiale du point $\;M\;$ dans son repérage polaire et La parabole de foyer $\;\color {transparent}{O}\;$ $\bullet \;$«$\;MH=d\!\left\lbrace O\,,\,(D)\right\rbrace -OM\;\cos \!\left[{\widehat {\left({\overrightarrow {OP}}\,,\,{\overrightarrow {OM}}\right)}}\right]=p-r\;\cos \!\left(\theta -\varphi \right)\;$» dans laquelle La parabole de foyer $\;\color {transparent}{O}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;p\;$» est « le paramètre » de la parabole, La parabole de foyer $\;\color {transparent}{O}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\theta \;$ et $\;\varphi \;$» respectivement « l'abscisse angulaire du point $\;M\;$ et La parabole de foyer $\;\color {transparent}{O}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{\theta }\;$ et $\;\color {transparent}{\varphi }\;$» respectivement « l'angle que fait l'axe focal $\;{\big$orienté vers le sommet $\;P\;$ de La parabole de foyer $\;\color {transparent}{O}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{\theta }\;$ et $\;\color {transparent}{\varphi }\;$» respectivement « l'angle que fait l'axe focal $\;\color {transparent}{\big$la parabole${\big )}\;$ avec l'axe polaire $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$» ; La parabole de foyer $\;\color {transparent}{O}\;$ de «$\;MO=MH\;$» on déduit «$\;r=p-r\;\cos \!\left(\theta -\varphi \right)\;$» soit «$\;r\,\left[1+\cos \!\left(\theta -\varphi \right)\right]=p\;$» et finalement La parabole de foyer $\;\color {transparent}{O}\;$ de «$\;\color {transparent}{MO=MH}\;$» on déduit «$\;r={\dfrac {p}{1+\cos(\theta -\varphi )}}\;$» La parabole de foyer $\;\color {transparent}{O}\;$ de «$\;\color {transparent}{MO=MH}\;$» on déduit « sachant que «$\;1+\cos \!\left(\theta -\varphi \right)\;$ est $\;\neq 0,\;\;\forall \;\theta \neq \varphi +\pi \;$» La parabole de foyer $\;\color {transparent}{O}\;$ de «$\;\color {transparent}{MO=MH}\;$» on déduit « ${\big$pour «$\;\theta _{a}=\varphi +\pi \;$», $\;1+\cos \!\left(\theta _{a}-\varphi \right)=0\;$ $\Rightarrow$ $\;r(\theta _{a})\;$ doit être $\;\infty \;$ d'où la direction repérée par «$\;\theta _{a}=\varphi +\pi \;$» est La parabole de foyer $\;\color {transparent}{O}\;$ de «$\;\color {transparent}{MO=MH}\;$» on déduit « $\color {transparent}{\big$pour «$\;\color {transparent}{\theta _{a}=\varphi +\pi }\;$», $\;\color {transparent}{1+\cos \!\left(\theta _{a}-\varphi \right)=0}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;\color {transparent}{r(\theta _{a})}\;$ doit être $\;\color {transparent}{\infty }\;$ d'où la direction asymptotique de la parabole${\big ]}$.

##### Énoncé

L'équation polaire de la parabole dont le pôle $\;O\;$ est le foyer, l'axe focal $\;{\big$orienté vers le sommet $\;P\;$ de la parabole${\big )}\;$ L'équation polaire de la parabole dont le pôle $\;\color {transparent}{O}\;$ est le foyer, l'axe focal faisant l'angle $\;\varphi \;$ avec l'axe polaire $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ L'équation polaire de la parabole est «$\;r={\dfrac {p}{1+\cos(\theta -\varphi )}}\;$» dans laquelle L'équation polaire de la parabole «$\;p\;$» est « le paramètre » de la parabole.

##### Quelques grandeurs déterminées à partir de l'équation polaire

* La distance minimale d'approche $\;{\big$distance séparant le sommet $\;P\;$ de la parabole de son foyer $\;O{\big )}\;$ «$\;r_{P}={\dfrac {p}{2}}\;$» $\;{\big$correspondant à «$\;\theta =\varphi \;$»${\big )}\;$ et
* l'angle polaire de la direction asymptotique $\;{\big$correspondant à une distance minimale d'éloignement $\;\infty {\big )}\;$ «$\;\theta _{\text{asympt}}=\varphi +\pi \;$».

#### Équation polaire de la branche d'hyperbole de foyer O, de paramètre p et d'excentricité e, branche contournant O

Voir ci-contre la disposition de la branche d'hyperbole par rapport au repère, le foyer contourné par la branche choisi pour pôle $\;O\;$ du Voir ci-contre la disposition de la branche d'hyperbole par rapport au repère, le foyer contourné par la branche choisi repérage polaire, Voir ci-contre l'axe focal $\;{\big$orienté vers le sommet $\;P\;$ de la branche${\big )}\;$ faisant l'angle $\;\varphi \;$ avec l'axe polaire $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ «$\;\varphi ={\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {OP}}\right)}}\;$», Voir ci-contre le point courant $\;M\;$ de la branche étant repéré par ses coordonnées polaires «$\;\left\lbrace r=OM\,,\,\theta ={\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {OM}}\right)}}\right\rbrace \;$».

##### Établissement à partir de la définition monofocale de l'hyperbole

La branche d'hyperbole contournant le foyer $\;O\;$ étant définie selon « l'ensemble des points $\;M\;$ du demi-plan situé du côté de $\;O\;$ La branche d'hyperbole contournant le foyer $\;\color {transparent}{O}\;$ étant définie selon « l'ensemble des points $\;\color {transparent}{M}\;$ du tel que $\;MO=e\;MH\;$ dans lequel La branche d'hyperbole contournant le foyer $\;\color {transparent}{O}\;$ étant définie selon «$\;H\;$ est le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur $\;(D)\;$ directrice associée La branche d'hyperbole contournant le foyer $\;\color {transparent}{O}\;$ étant définie selon «$\;\color {transparent}{H}\;$ est le projeté orthogonal de $\;\color {transparent}{M}\;$ sur $\;\color {transparent}{(D)}\;$ au foyer $\;O\;$ et La branche d'hyperbole contournant le foyer $\;\color {transparent}{O}\;$ étant définie selon «$\;e\;$ l'excentricité de l'hyperbole » avec La branche d'hyperbole contournant le foyer $\;\color {transparent}{O}\;$ $\bullet \;$«$\;MO=r\;$» coordonnée radiale du point $\;M\;$ dans son repérage polaire et La branche d'hyperbole contournant le foyer $\;\color {transparent}{O}\;$ $\bullet \;$«$\;MH=d\!\left\lbrace O\,,\,(D)\right\rbrace -OM\;\cos \!\left[{\widehat {\left({\overrightarrow {OP}}\,,\,{\overrightarrow {OM}}\right)}}\right]={\dfrac {p}{e}}-r\,\cos \!\left(\theta -\varphi \right)\;$» La branche d'hyperbole contournant le foyer $\;\color {transparent}{O}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$dans laquelle «$\;p\;$ et $\;e\;$» sont « le paramètre et l'excentricité » de l'hyperbole, La branche d'hyperbole contournant le foyer $\;\color {transparent}{O}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$dans laquelle «$\;\theta \;$ et $\;\varphi \;$» respectivement « l'abscisse angulaire du point $\;M\;$ et l'angle que fait l'axe focal $\;{\big$orienté vers le sommet $\;P\;$ de la branche${\big )}\;$ La branche d'hyperbole contournant le foyer $\;\color {transparent}{O}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$dans laquelle «$\;\color {transparent}{\theta }\;$ et $\;\color {transparent}{\varphi }\;$» respectivement « l'abscisse angulaire du point $\;\color {transparent}{M}\;$ et l'angle que fait l'axe focal avec l'axe polaire $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$» ; La branche d'hyperbole contournant le foyer $\;\color {transparent}{O}\;$ de «$\;MO=e\;MH\;$» on déduit «$\;r=e\,\left[{\dfrac {p}{e}}-r\;\cos \!\left(\theta -\varphi \right)\right]=p-e\;r\;\cos \!\left(\theta -\varphi \right)\;$» soit «$\;r\,\left[1+e\;\cos \!\left(\theta -\varphi \right)\right]=p\;$» et finalement, La branche d'hyperbole contournant le foyer $\;\color {transparent}{O}\;$ de «$\;\color {transparent}{MO=e\;MH}\;$» on déduit «$\;r={\dfrac {p}{1+e\,\cos(\theta -\varphi )}}\;$» pour «$\;1+e\;\cos \!\left(\theta -\varphi \right)>0\;$» ; La branche d'hyperbole contournant le foyer $\;\color {transparent}{O}\;$ la condition «$\;1+e\;\cos \!\left(\theta -\varphi \right)>0\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;\cos \!\left(\theta -\varphi \right)>-{\dfrac {1}{e}}\;$» $\;{\big$valeur limite $\;\in \;\left]-1\,,\,0\right[{\big )}\;$ $\Rightarrow$ le domaine de définition de l'angle $\;\theta -\varphi$ : La branche d'hyperbole contournant le foyer $\;\color {transparent}{O}\;$ la condition «$\;\color {transparent}{1+e\;\cos \!\left(\theta -\varphi \right)>0}\;$» $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ «$\;\color {transparent}{\cos \!\left(\theta -\varphi \right)>-{\dfrac {1}{e}}}\;$» $\;\color {transparent}{\big$valeur limite $\;\color {transparent}{\in \;\left]-1\,,\,0\right[{\big )}}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\left]-\arccos \!\left(-{\dfrac {1}{e}}\right),\,\arccos \!\left(-{\dfrac {1}{e}}\right)\right[\;$» $\Rightarrow$ La branche d'hyperbole contournant le foyer $\;\color {transparent}{O}\;$ «$\;\theta \;\in \;\left]\varphi -\arccos \!\left(-{\dfrac {1}{e}}\right),\,\varphi +\arccos \!\left(-{\dfrac {1}{e}}\right)\right[\;$» $\;{\big$domaine de définition de l'abscisse angulaire du point courant de la branche d'hyperbole${\big )}$, La branche d'hyperbole contournant le foyer $\;\color {transparent}{O}\;$ les bornes du domaine de définition $\;{\bigg$à savoir $\;\theta _{a,\,-}=\varphi -\arccos \!\left(-{\dfrac {1}{e}}\right)\;$ et $\;\theta _{a,\,+}=\varphi +\arccos \!\left(-{\dfrac {1}{e}}\right)\;$${\bigg ]}\;$ La branche d'hyperbole contournant le foyer $\;\color {transparent}{O}\;$ les bornes du domaine de définition correspondant aux abscisses angulaires des directions asymptotiques de l'hyperbole La branche d'hyperbole contournant le foyer $\;\color {transparent}{O}\;$ les bornes du domaine de définition $\;{\Big$pour «$\;\theta _{a,\,\pm }\;$», $\;1+e\;\cos \!\left(\theta _{a,\,\pm }-\varphi \right)=0\;$ $\Rightarrow$ $\;r(\theta _{a,\,\pm })\;$ doit être $\;\infty \;$ »${\Big ]}$, d'où La branche d'hyperbole contournant le foyer $\;\color {transparent}{O}\;$ l'équation polaire «$\;r={\dfrac {p}{1+e\,\cos(\theta -\varphi )}}\;$» avec «$\;1+e\;\cos \!\left(\theta -\varphi \right)>0,\;\;\forall \;\theta \;\in \;\left]\varphi -\arccos \!\left(-{\dfrac {1}{e}}\right),\,\varphi +\arccos \!\left(-{\dfrac {1}{e}}\right)\right[\;$».

##### Énoncé

L'équation polaire de la branche d'hyperbole contournant un des foyers choisi comme pôle $\;O$, L'équation polaire de la branche d'hyperbole contournant un des foyers l'axe focal $\;{\big$orienté vers le sommet $\;P\;$ de la branche${\big )}\;$ L'équation polaire de la branche d'hyperbole contournant un des foyers l'axe focal faisant l'angle $\;\varphi \;$ avec l'axe polaire $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ L'équation polaire de la branche d'hyperbole est «$\;r={\dfrac {p}{1+e\,\cos(\theta -\varphi )}}\;$» dans laquelle L'équation polaire de la branche d'hyperbole est «$\;p\;$ et $\;e\;$» sont respectivement « le paramètre et l'excentricité » de l'hyperbole.

##### Quelques grandeurs déterminées à partir de l'équation polaire

* La distance minimale d'approche $\;{\big$distance séparant le sommet $\;P\;$ de la branche d'hyperbole du foyer $\;O\;$ de cette dernière${\big )}\;$ «$\;r_{P}={\dfrac {p}{1+e}}\;$» $\;{\big$correspondant à «$\;\theta =\varphi \;$»${\big )}\;$,
* l'angle polaire des directions asymptotiques $\;{\big$correspondant à une distance maximale d'éloignement $\;\infty {\big )}\;$ «$\;\theta _{{\text{asympt}},\,\pm }=\varphi \pm \arccos \!\left(-{\dfrac {1}{e}}\right)\;$» ${\big$l'angle polaire des directions asymptotiques $\;\theta _{{\text{asympt}},\,\pm }\;$ s'écrit encore «$\;\theta _{{\text{asympt}},\,\pm }=\varphi \pm \left(\pi -\alpha \right)\;$» avec «$\;\alpha \;$ l'angle aigu entre les asymptotes et l'axe focal »${\big ]}$,
* le demi-axe focal «$\;a\;$» étant la distance séparant le sommet $\;P\;$ de la branche d'hyperbole du centre de symétrie $\;C\;$ de l'hyperbole complète d'où le demi-axe focal «$\;a=PC=OC-OP\;$» avec $\;OC=c$ $\;{\big$distance entre le centre et l'un des foyers${\big )}\;$ ou, compte-tenu de la définition de l'excentricité $\;e={\dfrac {c}{a}}$, «$\;OC=c=e\;a\;$» et le demi-axe focal «$\;\color {transparent}{a=PC=OC-OP}\;$» avec $\;\color {transparent}{OC=c}$ $\;\color {transparent}{\big$distance entre le centre et l'un des foyers$\color {transparent}{\big )}\;$ ou, compte-tenu de la définition de l'excentricité $\;\color {transparent}{e=c}$, «$\;OP=r_{P}={\dfrac {p}{1+e}}\;$» d'où le demi-axe focal «$\;a=OC-OP\;$» se réécrit «$\;a=e\;a-{\dfrac {p}{1+e}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;a\,\left(e-1\right)={\dfrac {p}{1+e}}\;$» soit finalement «$\;a={\dfrac {p}{e^{2}-1}}\;$» et
* le demi-axe non focal «$\;b\;$» par «$\;p={\dfrac {b^{2}}{a}}\Rightarrow b={\sqrt {p\;a}}\;$» ou, en y reportant l'expression de «$\;a={\dfrac {p}{e^{2}-1}}\;$», «$\;b={\dfrac {p}{\sqrt {e^{2}-1}}}\;$».

#### Équation polaire de la branche d'hyperbole de foyer O, de paramètre p et d'excentricité e, branche différente de celle contournant O

Voir ci-contre la disposition de la branche d'hyperbole par rapport au repère, le foyer non contourné par la branche choisi pour pôle $\;O\;$ Voir ci-contre la disposition de la branche d'hyperbole par rapport au repère, le foyer non contourné par la branche du repérage polaire, Voir ci-contre la disposition de la branche d'hyperbole par rapport au repère, ${\big$le foyer contourné par la branche étant noté $\;O'{\big )}$, Voir ci-contre l'axe focal $\;{\big$orienté vers le sommet $\;P\;$ de la branche étudiée${\big )}\;$ faisant l'angle $\;\varphi \;$ avec l'axe polaire $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ Voir ci-contre l'axe focal $\;\color {transparent}{\big$orienté vers le sommet $\;\color {transparent}{P}\;$ de la branche étudiée$\color {transparent}{\big )}\;$ faisant l'angle «$\;\varphi ={\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {OP}}\right)}}\;$», Voir ci-contre le point courant $\;M\;$ de la branche étant repéré par ses coordonnées polaires «$\;\left\lbrace r=OM\,,\,\theta ={\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {OM}}\right)}}\right\rbrace \;$».

##### Établissement à partir de la définition monofocale de l'hyperbole

La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer $\;O\;$ étant définie selon « l'ensemble des points $\;M\;$ du demi-plan situé à l'opposé La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer $\;\color {transparent}{O}\;$ étant définie selon « de $\;O\;$ tel que $\;MO=e\;MH\;$ dans lequel La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer $\;\color {transparent}{O}\;$ étant définie selon « $\;H\;$ est le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur $\;(D)\;$ La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer $\;\color {transparent}{O}\;$ étant définie selon «$\;\color {transparent}{H}\;$ est le projeté directrice associée au foyer $\;O\;$ et La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer $\;\color {transparent}{O}\;$ étant définie selon « $\;e\;$ l'excentricité de l'hyperbole » avec La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer $\;\color {transparent}{O}\;$ $\bullet \;$«$\;MO=r\;$» coordonnée radiale du point $\;M\;$ dans son repérage polaire et La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer $\;\color {transparent}{O}\;$ $\bullet \;$«$\;MH=OM\;\cos \!\left[{\widehat {\left({\overrightarrow {OP}}\,,\,{\overrightarrow {OM}}\right)}}\right]-d\!\left\lbrace O\,,\,(D)\right\rbrace$ La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer $\;\color {transparent}{O}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{MH}$ $=r\;\cos \!\left(\theta -\varphi \right)-{\dfrac {p}{e}}\;$» dans laquelle La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer $\;\color {transparent}{O}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;p\;$ et $\;e\;$» sont respectivement « le paramètre et l'excentricité » de l'hyperbole, La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer $\;\color {transparent}{O}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\theta \;$ et $\;\varphi \;$» respectivement « l'abscisse angulaire du point $\;M\;$ et l'angle que fait l'axe focal $\;{\big$orienté vers le sommet $\;P\;$ de la branche étudiée${\big )}\;$ La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer $\;\color {transparent}{O}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{\theta }\;$ et $\;\color {transparent}{\varphi }\;$» respectivement « l'abscisse angulaire du point $\;\color {transparent}{M}\;$ et l'angle que fait l'axe focal avec l'axe polaire $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$» ; La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer $\;\color {transparent}{O}\;$ de «$\;MO=e\;MH\;$» on déduit «$\;r=e\,\left[r\;\cos \!\left(\theta -\varphi \right)-{\dfrac {p}{e}}\right]=e\;r\;\cos \!\left(\theta -\varphi \right)-p\;$» soit «$\;r\,\left[e\;\cos \!\left(\theta -\varphi \right)-1\right]=p\;$» et finalement, La branche d'hyperbole contournant le foyer $\;\color {transparent}{O}\;$ de «$\;\color {transparent}{MO=e\;MH}\;$» on déduit «$\;r={\dfrac {p}{e\,\cos(\theta -\varphi )-1}}\;$» pour «$\;e\;\cos \!\left(\theta -\varphi \right)-1>0\;$», La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer $\;\color {transparent}{O}\;$ la condition «$\;e\;\cos \!\left(\theta -\varphi \right)-1>0\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;\cos \!\left(\theta -\varphi \right)>{\dfrac {1}{e}}\;$» $\;{\big$valeur limite $\;\in \;\left]0\,,\,1\right[{\big )}\;$ $\Rightarrow$ le domaine de définition de l'angle $\;\theta -\varphi$ : La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer $\;\color {transparent}{O}\;$ la condition «$\;\color {transparent}{e\;\cos \!\left(\theta -\varphi \right)-1>0}\;$» $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ «$\;\color {transparent}{\cos \!\left(\theta -\varphi \right)>{\dfrac {1}{e}}}\;$» $\;\color {transparent}{\big$valeur limite $\;\color {transparent}{\in \;\left]0\,,\,1\right[{\big )}}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\left]-\arccos \!\left({\dfrac {1}{e}}\right),\,\arccos \!\left({\dfrac {1}{e}}\right)\right[\;$» $\Rightarrow$ La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer $\;\color {transparent}{O}\;$ «$\;\theta \;\in \;\left]\varphi -\arccos \!\left({\dfrac {1}{e}}\right),\,\varphi +\arccos \!\left({\dfrac {1}{e}}\right)\right[\;$» $\;{\big$domaine de définition de l'abscisse angulaire du point courant de la branche La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer $\;\color {transparent}{O}\;$ «$\;\color {transparent}{\theta \;\in \;\left]\varphi -\arccos \!\left(e\right),\,\varphi +\arccos \!\left(e\right)\right\;$» $\;\color {transparent}{\big$domaine de définition de l'abscisse angulaire du point courant de la d'hyperbole${\big )}$, La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer $\;\color {transparent}{O}\;$ les bornes du domaine de définition $\;{\bigg$à savoir $\;\theta _{a,\,-}=\varphi -\arccos \!\left({\dfrac {1}{e}}\right)\;$ et $\;\theta _{a,\,+}=\varphi +\arccos \!\left({\dfrac {1}{e}}\right)\;$${\bigg ]}\;$ La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer $\;\color {transparent}{O}\;$ les bornes du domaine de définition correspondant aux abscisses angulaires des directions asymptotiques de l'hyperbole La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer $\;\color {transparent}{O}\;$ les bornes du domaine de définition $\;{\Big$pour «$\;\theta _{a,\,\pm }\;$», $\;e\;\cos \!\left(\theta _{a,\,\pm }-\varphi \right)-1=0\;$ $\Rightarrow$ $\;r(\theta _{a,\,\pm })\;$ doit être $\;\infty \;$ »${\Big ]}$, d'où La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer $\;\color {transparent}{O}\;$ l'équation polaire «$\;r={\dfrac {p}{e\,\cos(\theta -\varphi )-1}}\;$» avec «$\;e\;\cos \!\left(\theta -\varphi \right)-1>0,\;\;\forall \;\theta \;\in \;\left]\varphi -\arccos \!\left({\dfrac {1}{e}}\right),\,\varphi +\arccos \!\left({\dfrac {1}{e}}\right)\right[\;$».

##### Énoncé

L'équation polaire de la branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer $\;O\;$ choisi comme pôle, L'équation polaire de la branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer l'axe focal $\;{\big$orienté vers le sommet $\;P\;$ de la branche étudiée${\big )}\;$ L'équation polaire de la branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer l'axe focal faisant l'angle $\;\varphi \;$ avec l'axe polaire $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ L'équation polaire de la branche d'hyperbole est «$\;r={\dfrac {p}{e\,\cos(\theta -\varphi )-1}}={\dfrac {-p}{1-e\,\cos(\theta -\varphi )}}\;$» dans laquelle L'équation polaire de la branche d'hyperbole est «$\;p\;$ et $\;e\;$» sont respectivement « le paramètre et l'excentricité » de l'hyperbole.

##### Quelques grandeurs déterminées à partir de l'équation polaire

* La distance minimale d'approche $\;{\big$distance séparant le sommet $\;P\;$ de la branche d'hyperbole étudiée du foyer $\;O\;$ non contourné par la branche${\big )}\;$ «$\;r_{P}={\dfrac {p}{e-1}}\;$» $\;{\big$correspondant à «$\;\theta =\varphi \;$»${\big )}\;$,
* l'angle polaire des directions asymptotiques $\;{\big$correspondant à une distance maximale d'éloignement $\;\infty {\big )}\;$ «$\;\theta _{{\text{asympt}},\,\pm }=\varphi \pm \arccos \!\left(-{\dfrac {1}{e}}\right)\;$» ${\big$l'angle polaire des directions asymptotiques $\;\theta _{{\text{asympt}},\,\pm }\;$ s'écrit encore «$\;\theta _{{\text{asympt}},\,\pm }=\varphi \pm \alpha \;$» avec «$\;\alpha \;$ l'angle aigu entre les asymptotes et l'axe focal »${\big ]}$,
* le demi-axe focal «$\;a\;$» étant la distance séparant le sommet $\;P\;$ de la branche d'hyperbole du centre de symétrie $\;C\;$ de l'hyperbole complète d'où le demi-axe focal «$\;a=CP=OP-OC\;$» avec $\;OC=c$ $\;{\big$distance entre le centre et l'un des foyers${\big )}\;$ ou, compte-tenu de la définition de l'excentricité $\;e={\dfrac {c}{a}}$, «$\;OC=c=e\;a\;$» et le demi-axe focal «$\;\color {transparent}{a=PC=OC-OP}\;$» avec $\;\color {transparent}{OC=c}$ $\;\color {transparent}{\big$distance entre le centre et l'un des foyers$\color {transparent}{\big )}\;$ ou, compte-tenu de la définition de l'excentricité $\;\color {transparent}{e=c}$, «$\;OP=r_{P}={\dfrac {p}{e-1}}\;$» d'où le demi-axe focal «$\;a=OP-OC\;$» se réécrit «$\;a={\dfrac {p}{e-1}}-e\;a\;$ $\Leftrightarrow$ $\;a\,\left(e+1\right)={\dfrac {p}{e-1}}\;$» soit finalement «$\;a={\dfrac {p}{e^{2}-1}}\;$» et
* le demi-axe non focal «$\;b\;$» par «$\;p={\dfrac {b^{2}}{a}}\Rightarrow b={\sqrt {p\;a}}\;$» ou, en y reportant l'expression de «$\;a={\dfrac {p}{e^{2}-1}}\;$», «$\;b={\dfrac {p}{\sqrt {e^{2}-1}}}\;$».

##### Remarque utilisant l'association des deux branches

Nous avons vu que la distance minimale d'approche pour la branche d'hyperbole contournant le foyer $\;O\;$ est «$\;OP'=r_{P'}={\dfrac {p}{1+e}}\;$» $\;{\big$en notant $\;P'\;$ le sommet de cette branche${\big )}\;$, et Nous venons de voir qu'elle est, pour la branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer $\;O$, «$\;OP=r_{P}={\dfrac {p}{e-1}}\;$» ;
or nous constatons que «$\;2\;a=P'P=r_{P}-r_{P'}\;$» soit encore «$\;2\;a={\dfrac {p}{e-1}}-{\dfrac {p}{1+e}}={\dfrac {2\;p}{e^{2}-1}}\;$» d'où «$\;a={\dfrac {p}{e^{2}-1}}\;$».