# Phénomènes d'induction/Exercices/Champ électromoteur
## Roue de Barlow

On considère le montage de la roue de Barlow. Il s'agit d'un disque de métal de centre O et de rayon a pouvant pivoter autour de son axe (Oz). On connecte entre O et un point P fixe faisant contact avec la roue (historiquement la roue plongeait dans un bain de mercure pour établir le contact) un générateur de force électromotrice E, une résistance R et un interrupteur K. On suppose :
* le disque et les fils parfaitement conducteurs
* l'inductance propre du circuit négligeable
Le tout est plongé dans un champ magnétique uniforme ${\vec {B}}=B~{\vec {u}}_{z}$. On note :
* $\omega ~$ la vitesse angulaire de la roue
* i le courant électrique passant dans le circuit
* $J={\frac {1}{2}}ma^{2}$ le moment d'inertie du disque par rapport à (Oz)
Question : À l'instant t=0, on ferme K. Trouver l'évolution de $\omega ~$ en fonction de t.
Dans les exercices de ce genre, il faut procéder par ordre pour ne rien oublier et ne pas faire d'erreur.
Le courant qui arrive par O se répartit dans toute la roue avant de repartir en P. Le raisonnement est le suivant :
* On considère une ligne élémentaire de courant d'intensité $\mathrm {d} i~$ qui part de O et arrive en P
* On calcule l'action des forces de Laplace sur cette ligne de courant
* On intègre sur les lignes de courant
* Soit une ligne élémentaire de courant d'intensité $\mathrm {d} i~$, orientée de O vers P.
* Soit M un point de cette ligne de courant. On munit M d'un repère polaire $({\vec {u}}_{r},{\vec {u}}_{\theta })$.
** La portion infinitésimale $\mathrm {d} {\vec {l}}$ de la ligne de courant en M est soumise à la force de Laplace $\mathrm {d} ^{2}{\vec {F}}=\mathrm {d} i~\mathrm {d} {\vec {l}}\wedge {\vec {B}}$.
** On exprime $\mathrm {d} {\vec {l}}$ dans la base $({\vec {u}}_{r},{\vec {u}}_{\theta })$ : $\mathrm {d} {\vec {l}}=\mathrm {d} r~{\vec {u}}_{r}+r~\mathrm {d} \theta ~{\vec {u}}_{\theta }$
** La force de Laplace devient alors $\mathrm {d} ^{2}{\vec {F}}=B~\mathrm {d} i\mathrm { -\mathrm {d} r~{\vec {u}}_{\theta }+r~\mathrm {d} \theta ~{\vec {u}}_{r})$
** On s'intéresse en réalité au moment par rapport à (Oz) des forces de Laplace pour exprimer la mise en rotation de la roue. Le moment par rapport à (Oz) des forces de Laplace qui s'exercent en M vaut $\mathrm {d} ^{2}{\vec {\Gamma }}={\overrightarrow {OM}}\wedge d^{2}{\vec {F}}=-Br~\mathrm {d} i~\mathrm {d} r~{\vec {u}}_{z}$
** On intègre alors l’expression par rapport à r pour trouver le moment par rapport à (Oz) des forces de Laplace qui s'exercent sur toute la ligne de courant : $\mathrm {d} {\vec {\Gamma }}=\int _{r=0}^{r=a}-Br~\mathrm {d} i~\mathrm {d} r~{\vec {u}}_{z}=-B{\frac {a^{2}}{2}}~\mathrm {d} i~{\vec {u}}_{z}$
* Enfin, on intègre sur toutes les lignes de courant, c'est-à-dire par rapport à i :
Le disque est un conducteur en mouvement dans un champ magnétique. Tout point est alors siège d'un champ électromoteur ${\vec {E}}_{m}={\vec {v}}\wedge {\vec {B}}$. On tient alors le même raisonnement pour calculer la force électromotrice totale induite :
* On considère une ligne élémentaire de courant d'intensité $\mathrm {d} i~$ qui part de O et arrive en P
* On calcule la force électromotrice induite le long de cette ligne de courant. Comme toutes les lignes de courant sont « en parallèle », le résultat sera valable pour toutes les lignes de courant.
* Soit une ligne élémentaire de courant orientée de O vers P.
* Soit M un point de cette ligne de courant. On munit M d'un repère polaire $({\vec {u}}_{r},{\vec {u}}_{\theta })$.
** M est le siège d'un champ électromoteur ${\vec {E}}_{m}={\vec {v}}\wedge {\vec {B}}$
** On exprime $\mathrm {d} {\vec {l}}$ dans la base $({\vec {u}}_{r},{\vec {u}}_{\theta })$ : $\mathrm {d} {\vec {l}}=\mathrm {d} r~{\vec {u}}_{r}+r~\mathrm {d} \theta ~{\vec {u}}_{\theta }$
** On calcule la force électromotrice induite le long de cette ligne de courant : $e=\int _{r=0}^{r=a}{\vec {E}}_{m}.\mathrm {d} {\vec {l}}=\int _{r=0}^{r=a}rB{\dot {\theta }}~\mathrm {d} r={\frac {a^{2}}{2}}B{\dot {\theta }}$
On applique le principe fondamental de la dynamique au disque : $\sum {\vec {\Gamma }}.\mathrm {\vec {u}} _{z}=J~{\dot {\omega }}$
* On obtient ainsi l'équation $-Bi=m{\dot {\omega }}$
* D'après la loi d'Ohm : $i={\frac {e+E}{R}}$
* Après remplacement : $m{\dot {\omega }}=-{\frac {B}{R}}\left({\frac {a^{2}}{2}}B\omega +E\right)$. Donc $\omega ~$ vérifie l'équation différentielle ${\dot {\omega }}+{\frac {B^{2}a^{2}}{2mR}}\omega =-{\frac {BE}{mR}}$
* Après résolution:
| Induction mutuelle, induction propre | Phénomènes d'induction |