OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# La lumière/Lumière et couleur
## Introduction

Ce chapitre a pour but de définir les relations entre couleur et lumière ainsi que la perception des couleurs par l'œil humain.

## Perception des couleurs par l'œil humain

La perception des couleurs issues du spectre optique est plus aisée en vison photopique (vision de jour) qu'en vision scotopique (vision de nuit) par un être humain.
La vision est une activité cognitive du cerveau dans laquelle plusieurs aires cérébrales (zones du cerveau) collaborent. Elles comparent les sensations visuelles à un instant t à celles déjà enregistrées dans la mémoire, avec plusieurs effets en retour.
La vision des couleurs s'adapte à l'éclairement ambiant, de façon à attribuer aux objets la ou les mêmes valeurs qui les caractérisent. Ceci est valable dans le cas où il y a une variation de puissance de la lumière ambiante (le fait que la rétine de l'œil reçoive des rayonnements lumineux différents).
L'être humain est trichromate, c'est-a-dire que son œil comporte trois types de récepteurs dont la sensibilité spectrale est différente. Les différences entre leurs réponses sont à la base de la perception des couleurs.
En utilisant les trois couleurs primaires, dans la synthèse additive ou dans la synthèse soustractive, il est possible de percevoir de très nombreuses couleurs (en théorie et dans des cas extrêmes, le nombre s'élève à 8 000 000).
L'étude de la perception des couleurs selon les caractéristiques physiques du rayonnement lumineux est l'objet d'une autre activité scientifique : la colorimétrie.
Courbe de la sensibilité normalisée des photorécepteurs de la rétine humaine au spectre électromagnétique :

## Rapport entre lumière et couleurs

La projection des couleurs des objets ou éléments physiques suit des règles précises, liées à deux phénomènes : la diffusion et l'absorption de la lumière par ces objets ou éléments physiques :
* Un objet (élément physique) possédant une couleur ou un ensemble de couleurs diffuse cet ensemble et absorbe toutes les autres couleurs restant dans le spectre optique.
* Un objet blanc à 100% diffuse toutes les couleurs du spectre optique qu'il reçoit.
* Un objet noir à 100% absorbe toutes les couleurs du spectre optique qu'il reçoit (absence de lumière).
| Comportements de la lumière dans différents milieux | Synthèse de la couleur |
# Techniques de calcul mental/Addition et soustraction

Sur les autres projets Wikimedia :
L'addition est associative ( a + (b + c) = (a + b) + c ) et commutative ( a + b = b + a) : on peut donc associer et commuter les termes entre eux:
* 1 984 + 876 + 328 + 9 139 = (1000 + 900 + 80 + 4) + (700 + 100 + 70 + 6) + (300 + 20 + 8) + (9000 + 100 + 30 + 2 + 7)
* 1 984 + 876 + 328 + 9 139 = (1000 + 9000) + (900 + 100) + (700 + 300) + (80 + 20) + (70 + 30) + (4 + 6) + (2 + 8) + 100 + 7
* 1 984 + 876 + 328 + 9 139 = 10 000 + 1 000 + 1 000 + 100 + 100 + 100 + 10 + 10 + 7
* 1 984 + 876 + 328 + 9 139 = 12 327

### Remodeler les entiers pour la soustraction

On transforme progressivement les nombres pour "arrondir" le nombre à soustraire et ainsi n'avoir plus que zéro à soustraire, en profitant du fait que
    a – b = (a + c) – (b + c) = (a - d) – (b - d) .
Contrairement à l'algorithme usuel, on calcule de préférence dans l'ordre suivant : on commence le calcul par les nombres avec les valeurs (puissances) les plus élevées et on continue le calcul vers les unités (ce n’est pas obligatoire mais c’est plus commode pour la mémoire). Exemple :
    1462 - 295
Lorsque le chiffre à soustraire, au cours d'une opération, est plus petit que le chiffre par lequel on doit le soustraire, on fait la soustraction directement :
    1462 - 295 = (1462 - 200) - (295 - 200) = 1262 - 95
Lorsque le chiffre à soustraire est trop grand, on fait une addition, ce qui permet de matérialiser immédiatement la retenue sans avoir à la mémoriser en plus :
    1262 - 95 = (1262 + 10) - (95 + 10) = 1272 - 105
Mais parfois il y a encore plus simple, car le but est d'arrondir progressivement le nombre à soustraire :
    1262 - 95 = (1262 + 5) - (95 + 5) = 1267 - 100
    1267 - 100 = 1167
On peut ainsi, de manière générale, utiliser un complément à 10, 100, 1000 du soustracteur (car il est aisé de soustraire 10, 40, 100, 1000, par exemple) en ajoutant le même nombre à chacun des termes de la soustraction :
    $872-91=881-100=781$ (on ajoute ici 9 pour passer de 91 à 100).

### Remodeler les entiers pour l'addition

Le principe reste le même, il s'agit d'arrondir et d'annuler progressivement la quantité à ajouter, mais cette fois il faut concevoir cela comme un déplacement de petits morceaux de la quantité à ajouter vers le nombre auquel on l'ajoute, ou parfois, pour éviter les retenues, dans l'autre sens.
    a + (b + c) = (a + c) + b
ou
    (a + c) + b = a + (b + c)
Là encore on calcule les nombres, de préférence, à partir des puissances élevées vers les unités. Exemple :
    1462 + 295 = 1462 + 200 + 95 = 1662 + 95
    1662 + 95 = 1667 + 90 = 1757
ou encore : 1662 - 5 + 100 = 1757
| Mémorisation et conséquence sur la technique | Calcul d'un produit : ab × cd (théorie) |
# Construire des communs
### Menu-Construire des communs
## Introduction

Nous proposons ci-dessous 6 chapitres qui sont aussi 6 « clés d'entrée » pour aider à construire un "commun", avec pour chaque clé un ensemble de ressources proposées.
L'enjeu est d'aider le lecteur (une personne, une communauté de contributeurs et/ou leurs éventuels partenaires publics ou privés) à réfléchir à comment cerner, stabiliser, valoriser ou mettre en œuvre un commun.
Cette formation est inspirée du wikibooks "https://fr.wikibooks.org/wiki/Construire_des_communs" que chacun est libre de compléter.

### Exercice 1

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# Méthodes d'éducation physique en Europe aux XIX° et XX° siècles/Exercices/Et un peu plus …

À celles et ceux qui préparent les concours de recrutement (CAPEPS, Agrégation) nous conseillons :

## D'établir des « fiches »

* en restructurant l’ensemble du programme en un certain nombre de concepts (gymnastique, activités physiques, éducation physique, sport... évaluation, autonomie... nationalisme, fonctionnalisme, humanisme...),
* en établissant de courts paragraphes sur chaque concept via une recherche documentaire. La navigation à travers les liens hypertextes, le recours à des éléments de la bibliographie fournie sont là des outils possibles.
* enfin en confrontant ces concepts deux à deux ou trois à trois selon le processus rédactionnel décrit précédemment.
Pénétrez-vous alors d’une exigence incontournable de toute étude historique : la maîtrise de la chronologie, trop souvent mise à mal par le mauvais usage d’une histoire globale où le temps disparaît parfois au profit de permanences et/ou de ruptures repérées au prix d’anachronismes choquants.
Avant de rapprocher deux éléments, vérifiez-en bien les dates et rappelez-vous qu’aucun fait ne peut être influencé par un discours qui lui est postérieur et vice-versa. Si vous repérez entre les deux des rapports à souligner, rédigez en éliminant toute ambiguïté chronologique. Vous éviterez peut-être dans une copie de CAPES l’évocation malheureuse d’un entretien sur le pangermanisme entre Jahn (1772-1852) et Hitler (1889-1945) ... autour d’une bière dans une brasserie de Munich !

## L’entraînement « en situation »

Quand vous vous entraînez à rédiger une copie en temps limité (i .e. dans les conditions d’examen), réfléchissez rapidement au(x) question(s) et problème(s) posés par le sujet puis :
* faites l’inventaire rapide des éléments les concernant dont vous disposez sur l’instant,
* jetez au brouillon une conclusion provisoire qui réponde à la question que vous supposez,
* articulez le plan et les transitions entre les paragraphes et les parties retenues dans l'optique de DEMONTRER celle-ci,
* rédigez en commençant par poser en introduction la problématique de votre développement sans évoquer toutes fois votre conclusion,
* continuez en suivant votre plan et en articulant bien les phrases elles-mêmes entre elles : il faut mener votre correcteur par la main à travers votre cheminement intellectuel,
* enfin relisez avant de rédiger votre conclusion et n’hésitez pas à la nuancer en fonction de ce que vous avez réellement rédigé : ne perdez pas de vue que la finalité de votre texte est d’abord de DEMONTRER celle-ci.
BONNE CHANCE … et s'il vous prend à l'occasion l'envie d'enrichir et de compléter cet article, ne vous privez surtout pas de ce plaisir.
* Mode d’emploi
# Histoire de l'enseignement en France/Exercices/Et un peu plus …

À celles et ceux qui préparent les concours de recrutement (CAPEPS, Agrégation) nous conseillons :

## D'établir des « fiches »

* en restructurant l’ensemble du programme en un certain nombre de concepts (gymnastique, activités physiques, éducation physique, sport... évaluation, autonomie... nationalisme, fonctionnalisme, humanisme...),
* en établissant de courts paragraphes sur chaque concept via une recherche documentaire. La navigation à travers les liens hypertextes, le recours à des éléments de la bibliographie fournie sont là des outils possibles.
* enfin en confrontant ces concepts deux à deux ou trois à trois selon le processus rédactionnel décrit précédemment.
Pénétrez-vous alors d’une exigence incontournable de toute étude historique : la maîtrise de la chronologie, trop souvent mise à mal par le mauvais usage d’une histoire globale où le temps disparaît parfois au profit de permanences et/ou de ruptures repérées au prix d’anachronismes choquants.
Avant de rapprocher deux éléments, vérifiez-en bien les dates et rappelez-vous qu’aucun fait ne peut être influencé par un discours qui lui est postérieur et vice-versa. Si vous repérez entre les deux des rapports à souligner, rédigez en éliminant toute ambiguïté chronologique. Vous éviterez peut-être dans une copie de CAPES l’évocation malheureuse d’un entretien sur le pangermanisme entre Jahn (1772-1852) et Hitler (1889-1945) ... autour d’une bière dans une brasserie de Munich !

## L’entraînement « en situation »

Quand vous vous entraînez à rédiger une copie en temps limité (i .e. dans les conditions d’examen), réfléchissez rapidement au(x) question(s) et problème(s) posés par le sujet puis :
* faites l’inventaire rapide des éléments les concernant dont vous disposez sur l’instant,
* jetez au brouillon une conclusion provisoire qui réponde à la question que vous supposez,
* articulez le plan et les transitions entre les paragraphes et les parties retenues dans l'optique de DEMONTRER celle-ci,
* rédigez en commençant par poser en introduction la problématique de votre développement sans évoquer toutes fois votre conclusion,
* continuez en suivant votre plan et en articulant bien les phrases elles-mêmes entre elles : il faut mener votre correcteur par la main à travers votre cheminement intellectuel,
* enfin relisez avant de rédiger votre conclusion et n’hésitez pas à la nuancer en fonction de ce que vous avez réellement rédigé : ne perdez pas de vue que la finalité de votre texte est d’abord de DEMONTRER celle-ci.
BONNE CHANCE … et s'il vous prend à l'occasion l'envie d'enrichir et de compléter cet article, ne vous privez surtout pas de ce plaisir.
* Mode d’emploi
# Sport scolaire en France au XX° siècle/Exercices/Et un peu plus …

À celles et ceux qui préparent les concours de recrutement (CAPEPS, Agrégation) nous conseillons :

## D'établir des « fiches »

* en restructurant l’ensemble du programme en un certain nombre de concepts (gymnastique, activités physiques, éducation physique, sport... évaluation, autonomie... nationalisme, fonctionnalisme, humanisme...),
* en établissant de courts paragraphes sur chaque concept via une recherche documentaire. La navigation à travers les liens hypertextes, le recours à des éléments de la bibliographie fournie sont là des outils possibles.
* enfin en confrontant ces concepts deux à deux ou trois à trois selon le processus rédactionnel décrit précédemment.
Pénétrez-vous alors d’une exigence incontournable de toute étude historique : la maîtrise de la chronologie, trop souvent mise à mal par le mauvais usage d’une histoire globale où le temps disparaît parfois au profit de permanences et/ou de ruptures repérées au prix d’anachronismes choquants.
Avant de rapprocher deux éléments, vérifiez-en bien les dates et rappelez-vous qu’aucun fait ne peut être influencé par un discours qui lui est postérieur et vice-versa. Si vous repérez entre les deux des rapports à souligner, rédigez en éliminant toute ambiguïté chronologique. Vous éviterez peut-être dans une copie de CAPES l’évocation malheureuse d’un entretien sur le pangermanisme entre Jahn (1772-1852) et Hitler (1889-1945) ... autour d’une bière dans une brasserie de Munich !

## L’entraînement « en situation »

Quand vous vous entraînez à rédiger une copie en temps limité (i .e. dans les conditions d’examen), réfléchissez rapidement au(x) question(s) et problème(s) posés par le sujet puis :
* faites l’inventaire rapide des éléments les concernant dont vous disposez sur l’instant,
* jetez au brouillon une conclusion provisoire qui réponde à la question que vous supposez,
* articulez le plan et les transitions entre les paragraphes et les parties retenues dans l'optique de DEMONTRER celle-ci,
* rédigez en commençant par poser en introduction la problématique de votre développement sans évoquer toutes fois votre conclusion,
* continuez en suivant votre plan et en articulant bien les phrases elles-mêmes entre elles : il faut mener votre correcteur par la main à travers votre cheminement intellectuel,
* enfin relisez avant de rédiger votre conclusion et n’hésitez pas à la nuancer en fonction de ce que vous avez réellement rédigé : ne perdez pas de vue que la finalité de votre texte est d’abord de DEMONTRER celle-ci.
BONNE CHANCE … et s'il vous prend à l'occasion l'envie d'enrichir et de compléter cet article, ne vous privez surtout pas de ce plaisir.
* Mode d’emploi
# Mouvements et forces/Exemple de force : le poids
## La masse

La masse est une quantité de matière qui s’exprime en kilogramme. La masse d’un objet du lieu où il se trouve, les balances indiquent une masse.

## L’attraction terrestre

La Terre exerce une force sur tous les objets qui ont une masse : c’est l’attraction terrestre. C’est une force à distance, c’est une action qui est répartie sur tous les atomes de l’objet, il exerce sur chaque atome qui constitue l’objet.
Tout se passe comme s'il y avait une force unique représentée par le vecteur poids.
| Le vecteur force | Le vecteur poids |
# Triangles et parallèles/Annexe/Théorèmes de Thalès (approfondissements)
## Pourquoi éviter les longueurs bleues dans le tableau de proportionnalité ?

Il y a proportionnalité dans les deux premières colonnes du tableau, mais la troisième n'est plus valable :
| Petites longueurs | AD | DB | DE |
| Grandes longueurs | AB | EC | BC |
et bien sûr cela provoque des confusions. Il vaut mieux calculer DB et EC par soustraction après avoir appliqué le théorème du cours.
* Sommaire
# Physique en première générale/Leçons
### Physique

| Couleurs et images Vision et image Couleurs des objets Lumière et objets Molécules organiques de la matière colorée Solutions colorées Avancement d'une réaction chimique Structure des molécules | Lois et modèles Interactions fondamentales Radioactivités et réactions nucléaires Cohésion des solides ioniques et moléculaires Transferts thermiques et changement d'état Dissolution et solvatation Alcanes et alcools Introduction aux champs Formes et conservation de l'énergie | Défis du XXIe siècle Les piles et les réactions d'oxydoréduction Oxydation des alcools |

### Chimie

| La mesure en chimie | La chimie créatrice | L'énergie au quotidien |
# Jeux combinatoires/Jeu des pousses

Le Jeu des pousses (en anglais: Sprouts) c'est un jeu de papier et crayon pour deux joueurs.
Au départ, on dessine n points sur la feuille de papier. Chaque joueur, à tour de rôle, relie un point à un autre point par une ligne et ajoute un nouveau point sur cette ligne. Deux contraintes doivent être respectées : les lignes peuvent être droites ou courbes, de longueur quelconque, mais en aucun cas ne peuvent se croiser, le nouveau point ne peut être à l’extrémité d’une ligne, il doit être sur la ligne et d’un point ne peuvent émerger qu’au maximum trois lignes.
Dans la version normale du jeu, le perdant est celui qui ne peut plus jouer sans enfreindre les deux contraintes. Il existe également une version misère, où celui qui ne peut plus jouer est alors le gagnant.

## Vie et mort des points

Un point peut être utilisé 3 fois (i.e. il a 3 vies). Quand il a été relié 3 fois, il est mort.
| O (3 vies) | O- (2 vies) | -O- (1 vie) | -O< (mort) |
Pour une partie avec 4 points au départ, on a en tout 4 x 3 = 12 vies au départ.
Quand je relie 2 points, le nombre de vie diminue de 1 car :
       O (-1) --- X (+1) --- O (-1)
       où X est le nouveau point créé et - 1 + 1 - 1 = -1 vie.
Quel est le nombre maximum de tours dans la partie à 4 points ?
| tours | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| vies | 12 | 11 | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
Pour une partie avec n points, le nombre de vies au départ est 3n vies et le nombre maximum de tour sera : 3n tours.
# Guitare/Physique de la guitare

La guitare est un instrument à cordes pincées, frottées ou pincées avec les doigts ou avec un plectre (ou médiator). La vibration des cordes est amplifiée par la résonance du corps, la hauteur du son d'une corde est modifiée quand un doigt vient plaquer la corde sur la touche (partie du manche en contact avec les cordes).

## Vibration d'une corde et son

* note La 440 Hz :
* voir : Onde mécanique progressive/Pourquoi la guitare émet-elle un son ?

## Harmoniques

En acoustique, un partiel harmonique est une composante d’un son périodique, dont la fréquence est un multiple entier d'une fréquence fondamentale.
       Si on appelle « ƒ » la fréquence fondamentale, les partiels harmoniques ont des fréquences égales à : ƒ, 2ƒ, 3ƒ, 4ƒ, 5ƒ, etc.
Sur les instruments à cordes, on peut faire entendre un son harmonique en effleurant d’un doigt une division entière de la corde.
| modes de vibration d'une corde : fondamentale F (corde à vide) et les trois premiers harmoniques | Notation musicale pour une harmonique |

### exemple

En prenant comme note fondamentale la$_3$ du piano (440 Hz), les harmoniques ont des fréquences multiples de 440,
* l'harmonique de rang 1 est la fondamentale, à 440 Hz,
* l'harmonique de rang 2 est à 440 × 2 = 880 Hz,
* celle de rang 3 à 440 × 3 = 1 320 Hz, etc.

### description mathématique d’une corde de guitare pincée comme la somme d’une série harmonique d’ondes stationnaires.

Les forces élastiques se déplacent le long de la corde formant une série harmonique d’ondes stationnaires. Les fréquences relatives des ondes, c’est-à-dire les rapports d’une fréquence à l’autre, créent les intervalles, les mélodies et les harmonies de la musique.
# Histoire-géographie en sixième/Leçons
### Thème 1 : La longue histoire de l'humanité et des migrations

* Leçon 1 : Les débuts de l'humanité
* Leçon 2 : La « révolution » néolithique
* Leçon 3 : Premiers États, premières écritures

### Thème 2 : Récits fondateurs, croyances et citoyenneté dans la Méditerranée antique au Ier millénaire avant Jésus-Christ

* Leçon 4 : Le monde des cités grecques
* Leçon 5 : Rome, du mythe à l'histoire
* Leçon 6 : La naissance du monothéisme juif dans un monde polythéiste

### Thème 3 : L'Empire romain dans le monde antique

* Leçon 7 : Conquêtes, paix romaine et romanisation
* Leçon 8 : Des chrétiens dans l'Empire
* Leçon 9 : Les relations de l'Empire romain avec les autres mondes anciens : l'ancienne route de la soie et la Chine des Hans

### Thème 1 : Habiter une métropole

* Leçon 10 : Les métropoles et leurs habitants
* Leçon 11 : La ville de demain

### Thème 2 : Habiter un espace de faible densité

* Leçon 12 : Habiter un espace à forte(s) contrainte(s) ou/et de grande biodiversité
* Leçon 13 : Habiter un espace de faible densité à vocation agricole

### Thème 3 : Habiter les littoraux

* Leçon 14 : Littoral industrialo-portuaire, littoral touristique

### Thème 4 : Le monde habité

* Leçon 15 : La répartition de la population mondiale et ses dynamiques
* Leçon 16 : La variété des formes d'occupation spatiale dans le monde
# Transformées de Laplace usuelles

| Fonction | Transformée de Laplace de la fonction |
| $\delta (t)$ | $1$ |
| $1$ | ${\frac {1}{p}}$ |
| $t$ | ${\frac {1}{p^{2}}}$ |
| $t^{n}\qquad \forall n\geq 0$ | ${\frac {n!}{p^{n+1}}}$ |
| ${\sqrt {t}}\qquad \forall t\in R_{+}$ | ${\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{p^{3}}}}$ |
| ${\frac {1}{\sqrt {t}}}\qquad \forall t\in R_{+}^{*}$ | ${\sqrt {\frac {\pi }{p}}}$ |
| $e^{-ct}$ avec ($c\geq 0$) | ${\frac {1}{p+c}}$ |
| $te^{-ct}$ | ${\frac {1}{(p+c)^{2}}}$ |
| $t^{2}e^{-ct}$ | ${\frac {2}{(p+c)^{3}}}$ |
| $t^{n}e^{-ct}\qquad \forall n\geq 0$ | ${\frac {n!}{(p+c)^{n+1}}}$ |
| $a^{t}\qquad \forall a>0$ | ${\frac {1}{p-\ln(a)}}$ |
| $\sin(at)$ | ${\frac {a}{p^{2}+a^{2}}}$ |
| $t\sin(at)$ | ${\frac {2ap}{(p^{2}+a^{2})^{2}}}$ |
| $t^{2}\sin(at)$ | ${\frac {2a(3p^{2}-a^{2})}{(p^{2}+a^{2})^{3}}}$ |
| $\cos(at)$ | ${\frac {p}{p^{2}+a^{2}}}$ |
| $t\cos(at)$ | ${\frac {p^{2}-a^{2}}{(p^{2}+a^{2})^{2}}}$ |
| $t^{2}\cos(at)$ | ${\frac {2p(p^{2}-3a^{2})}{(p^{2}+a^{2})^{3}}}$ |
| $\sin(at+b)$ | ${\frac {a\cos(b)+p\sin(b)}{p^{2}+a^{2}}}$ |
| $\cos(at+b)$ | ${\frac {p\cos(b)-a\sin(b)}{p^{2}+a^{2}}}$ |
| $\sinh(at)$ | ${\frac {a}{p^{2}-a^{2}}}$ |
| $t\sinh(at)$ | ${\frac {2ap}{(p^{2}-a^{2})^{2}}}$ |
| $\cosh(at)$ | ${\frac {p}{p^{2}-a^{2}}}$ |
| $t\cosh(at)$ | ${\frac {p^{2}+a^{2}}{(p^{2}-a^{2})^{2}}}$ |
| $\sin(at)e^{-ct}$ | ${\frac {a}{(p+c)^{2}+a^{2}}}$ |
| $\cos(at)e^{-ct}$ | ${\frac {p+c}{(p+c)^{2}+a^{2}}}$ |
| $\sin(at+b)e^{-ct}$ | ${\frac {a\cos(b)+(p+c)\sin(b)}{(p+c)^{2}+a^{2}}}$ |
| $\cos(at+b)e^{-ct}$ | ${\frac {(p+c)\cos(b)-a\sin(b)}{(p+c)^{2}+a^{2}}}$ |
| $\sinh(at)e^{-ct}$ | ${\frac {a}{(p+c)^{2}-a^{2}}}$ |
| $\cosh(at)e^{-ct}$ | ${\frac {p+c}{(p+c)^{2}-a^{2}}}$ |
| $\sin ^{2}(at)$ | ${\frac {2a^{2}}{p(p^{2}+4a^{2})}}$ |
| $\sin ^{3}(at)$ | ${\frac {6a^{3}}{(p^{2}+a^{2})(p^{2}+9a^{2})}}$ |
| $\cos ^{2}(at)$ | ${\frac {p^{2}+2a^{2}}{p(p^{2}+4a^{2})}}$ |
| $\cos ^{3}(at)$ | ${\frac {p(p^{2}+7a^{2})}{(p^{2}+a^{2})(p^{2}+9a^{2})}}$ |
| $\sinh ^{2}(t)$ | ${\frac {2}{p(p^{2}-4)}}\qquad \forall p\neq 2$ |
| $\cosh ^{2}(t)$ | ${\frac {p^{2}-2}{p(p^{2}-4)}}\qquad \forall p\neq 2$ |
| $\sin(at)\sin(bt)$ | ${\frac {2abp}{\left[(p^{2}+(a-b)^{2}\right]\left[(p^{2}+(a+b)^{2}\right]}}$ |
| $\cos(at)\cos(bt)$ | ${\frac {p(p^{2}+a^{2}+b^{2})}{\left[(p^{2}+(a-b)^{2}\right]\left[(p^{2}+(a+b)^{2}\right]}}$ |
| $\sin(at)\cos(bt)$ | ${\frac {a(p^{2}+a^{2}-b^{2})}{\left[(p^{2}+(a-b)^{2}\right]\left[(p^{2}+(a+b)^{2}\right]}}$ |