# Application (mathématiques)/Famille

Étant donné un ensemble E quelconque, nous voulons indicer certains éléments de E, pas forcément avec des entiers naturels comme avec les suites, mais avec les éléments d’un ensemble I. Nous allons donc définir une famille d'éléments de E comme une application de I dans E, ce qui va autoriser, comme pour les suites, à attribuer plusieurs indices à un même élément de E.

## Définition et exemples

Soient E et I deux ensembles. On appelle famille d'éléments de E indexée par I, toute application de I dans E. L'ensemble I s’appelle ensemble des indices. Si $x:i\mapsto x(i)$ est une famille, on note x$_i$ l'image de i par x et $(x_{i})_{i\in I}$ cette famille.
* Une famille n’est pas nécessairement injective, et donc deux indices différents peuvent être attribués à un même élément de E.
* Si I est une partie de $\mathbb {N}$, alors la famille est une suite.
* Si l'ensemble I est fini, alors la famille est dite finie.
* Si $E={\mathcal {P}}(X)$ pour un certain ensemble X, alors la famille est une famille de parties de X.
* Soient E un ensemble et A une partie de E. L'injection ${\begin{matrix}\iota :&A&\rightarrow &E\\&x&\mapsto &x\end{matrix}}$ est une famille indexée par A et se note généralement $(x)_{x\in A}$. Elle est appelée « famille canoniquement associée à la partie A ».

## Opérations sur les familles

Soit $(A_{i})_{i\in I}$ une famille de parties d'un ensemble E. On appelle :
* réunion de la famille $(A_{i})_{i\in I}$ l'ensemble $\left\{x\in E\mid \exists i\in I\quad x\in A_{i}\right\}$, noté $\bigcup _{i\in I}A_{i}$.
* intersection de la famille $(A_{i})_{i\in I}$ l'ensemble $\left\{x\in E\mid \forall i\in I\quad x\in A_{i}\right\}$, noté $\bigcap _{i\in I}A_{i}$.
* Si $I=\varnothing$ alors l'ensemble $\bigcap _{i\in I}A_{i}$ n'est pas défini en général (tandis que $\bigcup _{i\in I}A_{i}=\varnothing$). Mais dans ce contexte (intersection d'une famille de parties d'un ensemble E fixé), on a convenu, par la définition ci-dessus, que l'intersection d'une famille vide de parties de E est égale à E.

## Changement d'indice

Soient $(A_{i})_{i\in I}$ une famille de parties d'un ensemble E, et $s:J\to I$ une surjection. Alors :
* $\bigcup _{j\in J}A_{s(j)}=\bigcup _{i\in I}A_{i}$ ;
* $\bigcap _{j\in J}A_{s(j)}=\bigcap _{i\in I}A_{i}$.

## Associativité

Soient $(A_{i})_{i\in I}$ une famille de parties d'un ensemble E et $(J_{k})_{k\in K}$ un recouvrement de I. Alors :
* $\bigcup _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{k\in K}\bigcup _{i\in J_{k}}A_{i}$ ;
* $\bigcap _{i\in I}A_{i}=\bigcap _{k\in K}\bigcap _{i\in J_{k}}A_{i}$.

## Distributivité

Soient $(B_{i})_{i\in I}$ une famille de parties d'un ensemble E et $A$ une partie de E. Alors :
* $A\cap \bigcup _{i\in I}B_{i}=\bigcup _{i\in I}(A\cap B_{i})$ ;
* $A\cup \bigcap _{i\in I}B_{i}=\bigcap _{i\in I}(A\cup B_{i})$.
Plus généralement, on a l'égalité $\bigcap _{i\in I}{\bigcup _{j\in J_{i}}{A_{i,j}}}=\bigcup _{f\in \left(\prod _{i\in I}{J_{i}}\right)}{\bigcap _{i\in I}{A_{i,f(i)}}}$ (dans laquelle l'inclusion $\supset$ est immédiate mais l'inclusion $\subset$ utilise l'axiome du choix si $I$ est infini), ainsi que l'égalité duale.

## Passage au complémentaire

Soit $(A_{i})_{i\in I}$ une famille de parties d'un ensemble E. Alors :
* $\complement _{E}\left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)=\bigcap _{i\in I}\complement _{E}A_{i}$ ;
* $\complement _{E}\left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)=\bigcup _{i\in I}\complement _{E}A_{i}$.

## Recouvrement, partition

Soit $(A_{i})_{i\in I}$ une famille de parties d'un ensemble E. On dit que cette famille forme un recouvrement de E si la réunion des parties de la famille est égale à E, c'est-à-dire si $\bigcup _{i\in I}A_{i}=E$.
Soit $(A_{i})_{i\in I}$ un recouvrement d'un ensemble E. On dit que cette famille constitue une partition de E si de plus :
* aucune des parties $A_{i}$ n'est vide ;
* les parties $A_{i}$ sont deux à deux disjointes, c'est-à-dire $\forall (i,j)\in I^{2}\quad \left(i\neq j\Rightarrow A_{i}\cap A_{j}=\varnothing \right)$.

## Image directe et image réciproque

Soient E et F deux ensembles, f une application de E dans F, $(A_{i})_{i\in I}$ une famille de parties de E et $(B_{j})_{j\in J}$ une famille de parties de F. Alors :
* $f\left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)=\bigcup _{i\in I}f(A_{i})$ ;
* $f\left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)\subset \bigcap _{i\in I}f(A_{i})$ ;
* $f^{-1}\left(\bigcup _{j\in J}B_{j}\right)=\bigcup _{j\in J}f^{-1}(B_{j})$ ;
* $f^{-1}\left(\bigcap _{j\in J}B_{j}\right)=\bigcap _{j\in J}f^{-1}(B_{j})$.