# Équivalents et développements de suites/Exercices/Équivalent d'une suite définie par une intégrale
## Exercice 3-1

Trouver un équivalent de la suite d’intégrales dont le terme général est donné par :
$I_{n}=\int _{0}^{1}x^{n}{\sqrt {1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x$.
Étape 1
Nous établirons une relation de récurrence entre I$_{n+2}$ et I$_n$. Ceci s’obtient grâce à une intégration par parties.
    ${\begin{aligned}I_{n+2}&=\int _{0}^{1}x^{n+2}{\sqrt {1-x^{2}}}\\&=\int _{0}^{1}x^{n+1}x{\sqrt {1-x^{2}}}\\&=\left[x^{n+1}{\frac {-1}{3}}(1-x^{2})^{\frac {3}{2}}\right]_{0}^{1}+{\frac {n+1}{3}}\int _{0}^{1}x^{n}(1-x^{2}){\sqrt {1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x\\&={\frac {n+1}{3}}\left(\int _{0}^{1}x^{n}{\sqrt {1-x^{2}}}-\int _{0}^{1}x^{n+2}{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,\mathrm {d} x\\&={\frac {n+1}{3}}(I_{n}-I_{n+2})\,\mathrm {d} x.\end{aligned}}$
Nous avons donc :
    $\forall n\qquad I_{n+2}={\frac {n+1}{n+4}}I_{n}$.
Étape 2
Il nous faut trouver une suite constante W$_n$ s’exprimant en fonction de I$_n$, de I$_{n+1}$ et de n.
Cette suite est :
    $W_{n}=(n+1)(n+2)(n+3)I_{n}I_{n+1}$.
En effet :
    $W_{n+1}=(n+2)(n+3)(n+4)I_{n+1}I_{n+2}=(n+2)(n+3)(n+4)I_{n+1}{\frac {n+1}{n+4}}I_{n}=W_{n}$.
La valeur de la constante est bien sûr alors donnée par :
    $W_{0}=(0+1)(0+2)(0+3)I_{0}I_{0+1}=6I_{0}I_{1}$.
Un calcul élémentaire donne alors :
    $I_{0}=\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{4}}$
    $I_{1}=\int _{0}^{1}x{\sqrt {1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{3}}$.
On obtient donc :
    $W_{0}=6I_{0}.I_{1}={\frac {\pi }{2}}$.
On en déduit alors la relation :
    $\forall n\qquad (n+1)(n+2)(n+3)I_{n}I_{n+1}={\frac {\pi }{2}}$.
Étape 3
Il nous faut encadrer le rapport :
    ${\frac {I_{n+1}}{I_{n}}}$
par deux expressions en n tendant vers 1 en +∞.
On peut déjà remarquer que la suite $(I_{n})$ est positive et décroissante.
On a donc :
    $0<I_{n+2}<I_{n+1}<I_{n}$,
d'où
    ${\frac {n+1}{n+4}}={\frac {I_{n+2}}{I_{n}}}<{\frac {I_{n+1}}{I_{n}}}<1$.
Nous pouvons donc conclure :
    $I_{n+1}\sim I_{n}$.
Étape 4
Compte tenu de l’étape 2, on en déduit :
    $I_{n}^{2}\sim {\frac {\pi }{2n^{3}}}$.
On peut extraire la racine des deux membres. On peut donc conclure :

## Exercice 3-2

Déterminer $\lim _{n\to +\infty }\int _{0}^{+\infty }{\frac {n\operatorname {e} ^{-x}}{1+(nx)^{2}}}\,\mathrm {d} x$.
Par changement de variable puis convergence dominée (ou monotone),
    $\int _{0}^{+\infty }{\frac {n\operatorname {e} ^{-x}}{1+(nx)^{2}}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{+\infty }{\frac {\operatorname {e} ^{-{\frac {t}{n}}}}{1+t^{2}}}\,\mathrm {d} t\to \int _{0}^{+\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{1+t^{2}}}={\frac {\pi }{2}}$.

## Exercice 3-3

Donner un équivalent de $I_{n}=\int _{0}^{+\infty }{{\frac {\mathrm {e} ^{-nx^{2}}}{1+x^{2}}}\,\mathrm {d} x}$ quand $n\to +\infty$.
Par changement de variable puis convergence dominée (ou monotone),
    ${\sqrt {n}}\,I_{n}=\int _{0}^{+\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{-t^{2}}}{1+(t/{\sqrt {n}})^{2}}}\,\mathrm {d} t\to \int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}$ (Intégrale de Gauss) donc $I_{n}\sim {\frac {\sqrt {\pi }}{2{\sqrt {n}}}}$.
| Équivalent d'une suite définie par une somme | Équivalent d'une suite définie par récurrence |