# Distributions statistiques des particules/Statistique de Maxwell-Boltzmann

La statistique de Maxwell-Boltzmann est une loi de probabilité ou distribution utilisée en physique statistique pour déterminer la répartition de particules entre différents niveaux d'énergie. Elle est notamment à la base de la théorie cinétique des gaz. La démonstration ci-après est basée sur celle de Rocard.

## Dénombrement des états

Soit une boîte contenant une seule case. Il y a une seule possibilité pour mettre deux particules discernables, noire ou blanche,
៙ ๐
soit $W_{MBQ}=1^{2}=1$ :
Pour deux particules discernables dans deux cases de la boîte : , il y a quatre combinaisons, soit $W_{MBQ}=2^{2}=4$
Il y a 9 configurations possibles pour placer deux particules discernables dans trois cases :
       $W_{MBQ}=3^{2}=9$
Soit une boîte de g cases contenant n particules. En appliquant la formule des arrangements de n = 2 particules dans g = 3 cases (la dégénérescence ou poids statistique g est le nombre de configurations physiques ou d’états distincts de même énergie), on a
       $W_{MBQ}=\ g^{n}$
       $\log \ W_{MBQ}=n\log \ g$

## Multiplicateurs de Lagrange

À l’équilibre, la probabilité doit être extrémale, et sa variation doit donc être nulle :
$\sum _{i}\log \left({\frac {g_{i}}{n_{i}}}\right)\mathrm {d} n_{i}=0$
Le nombre total de particules est constant:
$\left.\sum _{i}\mathrm {d} n_{i}=0\right.$
L’énergie totale doit être extrémale à l’équilibre :
$\left.\sum _{i}E_{i}\mathrm {d} n_{i}=0\right.$
On peut additionner ces trois expressions nulles selon la méthode des multiplicateurs de Lagrange :
$\sum _{i}\log \left({\frac {g_{i}}{n_{i}}}\right)\mathrm {d} n_{i}+a\sum _{i}\mathrm {d} n_{i}+b\sum _{i}E_{i}\mathrm {d} n_{i}=0$
où a et b sont des constantes à déterminer. Comme cela doit être vrai quels que soient les $dn_{i}$, on doit avoir
$\log \left({\frac {g_{i}}{n_{i}}}\right)+a+bE_{i}=0$

## Distribution de Maxwell-Boltzmann quantique ou corrigée

L'équation précédente donne la fonction d’occupation de chaque état d’énergie Ei :
$f_{i}={\frac {n_{i}}{g_{i}}}={\frac {1}{\exp \left(-a-bE_{i}\right)}}$
On doit retrouver pour $f_{i}$ le facteur de Boltzmann $exp(-E_{i}/kT)$ lorsque l’exponentielle est très supérieure à un. L’identification des fonctions d’occupation de Maxwell classique et quantique, en l’absence d’effets quantiques donne :
$\exp \left(-a-bE_{i}\right)=\exp \left({\frac {E_{i}-\mu }{kT}}\right)$
en posant
$a=\mu /kT\ et\ b=-1/(kT)$
On obtient la fonction de distribution de Maxwell-Boltzmann quantique:
$f_{i}={\frac {n_{i}}{g_{i}}}=\exp -\left({\frac {E_{i}-\mu }{kT}}\right)$

## Distribution de Maxwell-Boltzmann classique

La distribution classique, continue, ignore la dégénérescence, c'est-à-dire que $g_{i}=1$. L'équation précédente donne la fonction d’occupation de chaque état d’énergie Ei :
$n_{i}={\frac {1}{\exp \left(-a-bE_{i}\right)}}$
On doit retrouver pour $f_{i}$ le facteur de Boltzmann $exp(-E_{i}/kT)$ lorsque l’exponentielle est très supérieure à un. L’identification des fonctions d’occupation de Maxwell classique et quantique, en l’absence d’effets quantiques donne :
$\exp \left(-a-bE_{i}\right)=\exp \left({\frac {E_{i}-\mu }{kT}}\right)$
en posant
$a=\mu /kT\ et\ b=-1/(kT)$
On a la fonction de distribution :
$n_{i}={\frac {1}{\exp \left({\frac {E_{i}-\mu }{kT}}\right)}}=\exp -\left({\frac {E_{i}-\mu }{kT}}\right)$
En prenant un potentiel chimique μ nul, comme énergie l'énergie cinétique des molécules d'un gaz et une distribution continue des vitesses, on obtient une distribution gaussienne des vitesses (à un coefficient près) :
$n(v)dn=a\exp -\left({\frac {mv^{2}}{2kT}}\right)dv$