# Intégrale double/Intégration sur un pavé compact
## Définitions

On appelle pavé de $\mathbb {R} ^{n}$ tout sous-ensemble $P$ de $\mathbb {R} ^{n}$ de la forme :
    $P=\left[a_{1},b_{1}\right]\times \dots \times \left[a_{n},b_{n}\right]$
où $\forall i\in \{1,\dots ,n\}\quad a_{i}<b_{i}$.
Dans la suite de cette leçon, on se restreindra au cas des intégrales doubles, donc des pavés d'intégration de $\mathbb {R} ^{2}$.
Soit $f:\left[a,b\right]\times \left[c,d\right]\to \mathbb {R}$ continue. Alors $x\mapsto \int _{c}^{d}f(x,\cdot )$ et $y\mapsto \int _{a}^{b}f(\cdot ,y)$ sont intégrables et :
    $\int _{a}^{b}\left(\int _{c}^{d}f(x,\cdot )\right)\,\mathrm {d} x=\int _{c}^{d}\left(\int _{a}^{b}f(\cdot ,y)\right)\,\mathrm {d} y$.
La méthode est de remplacer la borne fixe $b$ par une variable $X$ et de montrer que les deux fonctions de $X$ obtenues coïncident sur tout l'intervalle $\left[a,b\right]$ (en particulier en $b$) parce qu'elles coïncident en $a$ et ont même dérivée.
Considérons donc ces deux fonctions (évidemment nulles en $a$) :
* $F:\left[a,b\right]\to \mathbb {R} ,\;X\mapsto \int _{a}^{X}\left(\int _{c}^{d}f(x,\cdot )\right)\,\mathrm {d} x$ ;
* $G:\left[a,b\right]\to \mathbb {R} ,\;X\mapsto \int _{c}^{d}\left(\int _{a}^{X}f(\cdot ,y)\right)\,\mathrm {d} y$.
$F$ est bien définie car la fonction $x\mapsto \int _{c}^{d}f(x,\cdot )$ est intégrable même continue sur $\left[a,b\right]$, d'après le théorème de continuité d'une intégrale dépendant d'un paramètre ($f$ est continue sur un pavé compact, donc on peut majorer $\left|f\right|$ par une constante, qui est intégrable sur $\left[c,d\right]$). De plus, d'après le théorème fondamental de l'analyse, $F$ est dérivable et sa dérivée est cette fonction continue :
    $\forall X\in \left[a,b\right]\quad F'(X)=\int _{c}^{d}f(X,\cdot )$.
$G$ est bien définie car — à nouveau d'après le théorème de continuité d'une intégrale dépendant d'un paramètre — pour $X$ fixé, $y\mapsto \int _{a}^{X}f(\cdot ,y)$ est continue sur $\left[c,d\right]$ (donc intégrable). De plus — à nouveau d'après le théorème fondamental de l'analyse — ${\frac {\partial }{\partial X}}\int _{a}^{X}f(\cdot ,y)=f(X,y)$ donc — d'après le théorème de dérivabilité d'une intégrale dépendant d'un paramètre — $G$ est dérivable et
    $\forall X\in \left[a,b\right]\quad G'(X)=\int _{c}^{d}f(X,y)\,\mathrm {d} y$,
ce qui achève la preuve.
Sous les mêmes hypothèses qu'au théorème précédent, on appelle intégrale double de $f$ sur le pavé $P=\left[a,b\right]\times \left[c,d\right]$, et l'on note $\iint _{P}f$, la quantité commune :
    $\int _{a}^{b}\left(\int _{c}^{d}f(x,\cdot )\right)\,\mathrm {d} x=\int _{c}^{d}\left(\int _{a}^{b}f(\cdot ,y)\right)\,\mathrm {d} y$.
Dans le cadre numérique, l'intégrale double peut se voir comme le volume délimité par le pavé et la nappe des valeurs de la fonction sur ce pavé.
Sur $P=[a,b]\times [c,d]$ on a :
    $\iint _{P}1=(b-a)(c-d)$.

## Propriétés

L'intégrale double vérifie, comme l'intégrale simple, plusieurs propriétés élémentaires comme :
* la linéarité : $\iint _{P}(\lambda f+\mu g)=\lambda \iint _{P}f+\mu \iint _{P}g$ ;
* l'inégalité triangulaire : $\left|\iint _{P}f\right|\leq \iint _{P}|f|$.
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