# Polynôme/Exercices/Polynômes à coefficients entiers
## Exercice 4-1

On note $E_{n}$ l’ensemble des polynômes unitaires de degré $n$ de $\mathbb {Z} [X]$ dont les racines ont leur module inférieur ou égal à 1.
* Montrer que $E_{n}$ est fini.
* Soit $P=\prod _{k=1}^{n}(X-z_{k})$ un élément de $E_{n}$. On note $Q$ le polynôme $\prod _{k=1}^{n}(X-z_{k}^{2})$. Montrer que $Q\in E_{n}$.
* Montrer que les racines non nulles des éléments de $E_{n}$ sont des racines de l'unité.
* D'après les relations entre coefficients et racines, les coefficients d'un tel polynôme sont bornés.
* $Q\in \mathbb {Z} [X]$ car $(-1)^{n}Q(X^{2})=P(X)P(-X)$.
* Soit $z$ une racine non nulle d'un élément de $E_{n}$. D'après la question 2, les $z^{2^{p}}$ pour $p\in \mathbb {N}$ sont aussi des racines d'éléments de $E_{n}$ et d'après la question 1, il n'y en a qu'un nombre fini. Il existe donc $p,q\in \mathbb {N}$ distincts tels que $z^{2^{p}}=z^{2^{q}}$.

## Exercice 4-2

Soient $a_{1},\dots ,a_{n}$ n entiers deux à deux distincts ($n\geq 1$) et $T=\prod _{i=1}^{n}(X-a_{i})$. Dans chacun des cas suivants, montrer que dans $\mathbb {Z} [X]$, le polynôme $P$ est irréductible, c'est-à-dire que ses seuls diviseurs sont $\pm 1,\pm P$.
* $P=T+1$ avec n impair ;
* $P=T-1$ ;
* $P=1+T^{2}$.
Soient $Q,R\in \mathbb {Z} [X]$ tels que $P=QR$ avec, sans perte de généralité, $Q,R$ unitaires et $\deg Q\leq \deg R$. Montrons que $Q=1$.
* $Q(a_{i}),R(a_{i})\in \mathbb {Z}$ et $Q(a_{i})R(a_{i})=1$ donc $Q(a_{i})=\pm 1$ et $R(a_{i})=Q(a_{i})$. Par conséquent, $R-Q=TU$ avec (pour des raisons de degrés et de coefficients dominants) $U=0$ ou $1$. Mais $U=0$ est impossible (on aurait $T+1=Q^{2}$ donc $n$ pair). Donc $U=1$ et $T+1=Q(T+Q)$, si bien que $Q=1$.
* Par le même raisonnement, $R+Q=TU$ avec $U=0$ ou $1$. Mais $U=0$ est impossible (on aurait $T-1=-Q^{2}$, non unitaire). Donc $U=1$ et $T-1=Q(T-Q)$, si bien que $Q=1$.
* Par le même raisonnement, $Q(a_{i})=\pm 1$. En fait, $Q(a_{i})=1$ car sur $\mathbb {R}$, puisque $Q$ est unitaire et ne s'annule pas (car $QR=1+T^{2}>0$), $Q>0$. Par conséquent, $Q=1+TU$ avec (puisque $Q$ est unitaire et de degré $\leq n$), $U=0$ ou $1$. Mais $U=1$ est impossible ($T^{2}+1$ n'est pas divisible par $T+1$) donc $U=0$, si bien que $Q=1$.
Références :
* Questions 1 et 2 = exercice 6 de http://michel.quercia.free.fr/polyn%C3%B4mes/irreduc.pdf ;
* Question 3 = « $[(x-a_{1})(x-a_{2})\dots (x-a_{n})]^{2}+1$ is irreducible over Q » (résolue différemment) ;
* Les trois questions ont été posées par Issai Schur en 1908 et 1909, cf. (en) K. Győry, L. Hajdu et R. Tijdeman, « Irreducibility criteria of Schur-type and Pólya-type », Monatsh. Math., vol. 163, 2011, p. 415-443 [lien DOI] : les questions 1 et 2 ont été rapidement résolues. La question 3 a été résolue et généralisée en 1926.

## Exercice 4-3

Soient $P=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}$ un polynôme à coefficients entiers, et ${\frac {p}{q}}$ ($p\in \mathbb {Z}$, $q\in \mathbb {N} ^{*}$) une racine rationnelle de $P$, écrite sous forme irréductible.
* Montrer que $qX-p\mid P$.
* En déduire que $p\mid a_{0}$ et $q\mid a_{n}$.
* En déduire qu'une racine rationnelle d'un polynôme unitaire à coefficients entiers est nécessairement entière.
* Déduire du 1. que $p-q\mid P(1)$ et $p+q\mid P(-1)$.
* Déduire du 1. que s'il existe deux entiers relatifs distincts $m_{1}$ et $m_{2}$ tels que $|P(m_{1})|=|P(m_{2})|=1$ alors $|m_{1}-m_{2}|\leq 2$ et ${\frac {p}{q}}={\frac {m_{1}+m_{2}}{2}}$.
* Dans $\mathbb {Q} [X]$, $X-{\frac {p}{q}}\mid P$ donc $qX-p\mid P$. Comme $p$ et $q$ sont premiers entre eux, $P$ est donc divisible par $qX-p\mid P$ non seulement dans $\mathbb {Q} [X]$ mais même dans $\mathbb {Z} [X]$ (en effet $Q:={\frac {P(X)}{qX-p}}=\sum _{i=0}^{n-1}b_{i}X^{i}$ avec, puisque $a_{n}p^{n}+a_{n-1}p^{n-1}q+\dots +a_{1}pq^{n-1}+a_{0}q^{n}=q^{n}P(p/q)=0$ : $b_{i}={\frac {a_{i+1}q^{n-i-1}+a_{i+2}q^{n-i-2}p+\dots +a_{n-1}qp^{n-i-2}+a_{n}p^{n-i-1}}{q^{n-i}}}=-{\frac {a_{0}q^{i}+a_{1}q^{i-1}p+\dots +a_{i}p^{i}}{p^{i+1}}}\in \mathbb {Z}$ d'après le lemme de Gauss. Pour un argument plus général, voir Contenu d'un polynôme).
* Le terme constant et le coefficient dominant de $P=(qX-p)Q$ sont respectivement $a_{0}=-pb_{0}$ et $a_{n}=qb_{n-1}$.
* Si de plus $a_{n}=1$, alors $q=1$.
* $P(1)=(q-p)Q(1)$ et $P(-1)=(q+p)Q(-1)$.
* $qm_{1}-p$ et $qm_{2}-p$ sont tous deux égaux à $\pm 1$ et distincts, donc opposés. $qm_{1}-p=-qm_{2}+p\Leftrightarrow {\frac {p}{q}}={\frac {m_{1}+m_{2}}{2}}$, et $qm_{1}-p=-qm_{2}+p=\pm 1\Rightarrow |m_{1}-m_{2}|={\frac {2}{q}}\leq 2$.
Référence pour les questions 1 à 4 : exercice 12 de Emmanuel Lepage, « M1, Algèbre et théorie de Galois, TD n° 3, Solutions », sur webusers.imj-prg.fr, 2015.
* Le polynôme $P(X):=X^{3}+X+1$ est-il irréductible dans $\mathbb {C} [X]$ ? dans $\mathbb {R} [X]$ ? dans $\mathbb {Q} [X]$ ?
* Et le polynôme $Q(X):=X^{3}-X-1$ ?
* Et le polynôme $R(X):=X^{3}-X^{2}-2$ ?
* $P$ est scindé dans $\mathbb {C} [X]$. Il a au moins une racine réelle. Il est irréductible dans $\mathbb {Q} [X]$ car il est de degré 3 sans racine rationnelle car d'après le critère précédent, les seules éventuelles racines rationnelles sont $\pm 1$, or $P(1)=3$ et $P(-1)=-1$.
* Mêmes réponses que pour $P$. Les seules éventuelles racines rationnelles sont $\pm 1$, or $P(1)=P(-1)=-1$.
* Mêmes réponses que pour $P$ et $Q$. Les seules éventuelles racines rationnelles sont $\pm 1$ et $\pm 2$, et l'on vérifie que ces quatre nombres ne sont pas racines.
Décomposer en produits de facteurs irréductibles dans $\mathbb {Q} [X]$ les polynômes suivants :
    $P_{1}(X)=3X^{3}-2X^{2}-2X-5$, $P_{2}(X)=6X^{4}+19X^{3}-7X^{2}-26X+12$, $P_{3}(X)=X^{6}+2X^{4}-X^{3}+3X^{2}+1$.
On trouve facilement les racines rationnelles de ces trois polynômes grâce à la condition nécessaire ci-dessus ($p\mid a_{0}$ et $q\mid a_{n}$) : 5/3 pour $P_{1}$, 1/2 et –3 pour $P_{2}$ et aucune pour $P_{3}$.
$P_{1}(X)=(3X-5)(X^{2}+X+1)$ et $X^{2}+X+1$ est irréductible sur $\mathbb {Q}$ (et même sur $\mathbb {R}$).
$P_{2}(X)=(2X-1)(X+3)(3X^{2}+2X-4)$ et $3X^{2}+2X-4$ est irréductible sur $\mathbb {Q}$.
$P_{3}$ est irréductible sur $\mathbb {Q}$. En effet, comme il est unitaire, il serait sinon réductible sur $\mathbb {Z}$. Or une étude de variations montre rapidement que sur $\mathbb {R}$, $P_{3}$ est strictement positif (de minimum $P_{3}(0)=1$) donc produit de trois polynômes irréductibles de degré 2. Aucun d'eux n'est à coefficients entiers, sinon on aurait $P_{3}(X)=(X^{2}+aX+b)(X^{4}-aX^{3}+cX^{2}-aX+b)$ avec $a,c\in \mathbb {Z} ,b=\pm 1,b+c-a^{2}=2,a(c-b-1)=-1,b-a^{2}+bc=3$, ce qui implique $a=\pm 1$ et $3-b=c=4b-1$ donc $4=5b=\pm 5$, absurde.

## Exercice 4-4

Soit $P=X^{5}+2X^{3}-24X-2$.
* Montrer que $P$ est irréductible dans $\mathbb {Z} [X]$.
* Soient $x_{1},\cdots ,x_{5}$ ses racines complexes. Calculer $p_{2}:=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}$ et en déduire que les racines de $P$ ne sont pas toutes réelles.
* Combien $P$ a-t-il de racines réelles ? (On pourra calculer $P(-1)$ et $P(0)$).
* Comme $P$ est à coefficients premiers entre eux, pour voir qu'il est irréductible dans $\mathbb {Z} [X]$ il suffit d'appliquer le critère d'Eisenstein avec $p=2$.
* Notons $\sigma _{1}=\sum x_{i}$ et $\sigma _{2}=\sum _{i<j}x_{i}x_{j}$. L'une des identités de Newton (ou un calcul direct) montre que $p_{2}=\sigma _{1}^{2}-2\sigma _{2}$. Ici $\sigma _{1}=0$ et $\sigma _{2}=2$, donc $p_{2}<0$. Les $x_{i}$ ne peuvent donc pas être tous réels.
* $P(-1)=19>0$ et $P(0)=-2<0$ donc $P$ a une racine réelle au moins entre $-\infty$ et $-1$, une entre $-1$ et $0$, et une entre $0$ et $+\infty$. Mais $P$ a au moins une racine complexe non réelle d'après la question précédente, et même deux puisque le conjugué d'une racine est aussi racine. Donc $P$ a exactement trois racines réelles.
Montrer que le polynôme $P(X)=3X^{2007}+33X^{2003}+99X^{7}+363X+165$ :
* n'est pas irréductible sur $\mathbb {Z}$ mais l'est sur $\mathbb {Q}$ ;
* a exactement une racine réelle et que celle-ci est un irrationnel négatif.
* $P=3Q$, avec $Q\in \mathbb {Z} [X]$ irréductible sur $\mathbb {Q}$ d'après le critère d'Eisenstein, donc $P$ aussi.
* Sur $\mathbb {R}$, la fonction polynomiale $P$ est de dérivée > 0 donc elle est strictement croissante et s'annule exactement une fois. Cette racine est négative car $P(0)>0$, et irrationnelle d'après la question précédente.

## Exercice 4-5

* Le polynôme $P=11X^{12}+26X^{6}+65X^{4}-169X-5200$ est-il irréductible sur $\mathbb {Q}$ ? sur $\mathbb {Z}$ ? sur $\mathbb {R}$ ?
* Montrer que $P$ a exactement deux racines réelles non rationnelles.
* Le polynôme $Q=2X^{17}-3X^{7}+9X^{4}-6X+93$ est-il irréductible sur $\mathbb {Z}$ ? sur $\mathbb {R}$ ?
* Le polynôme $R=2X^{4}+6X^{3}+18X+48$ est-il irréductible sur $\mathbb {Z}$ ? sur $\mathbb {Q}$ ? sur $\mathbb {R}$ ?
* Montrer que le polynôme $S=2X^{3}Y^{2}+3X^{2}Y^{3}+X^{4}+8XY+6Y^{2}+Y$ est irréductible dans $\mathbb {Z} [X,Y]$.
* Montrer que le polynôme $T=X^{4}+2X^{3}Y^{2}+3X^{2}Y^{3}+8XY+Y+6Y^{2}$ est irréductible dans $\mathbb {Z} [X,Y]$.
Aucun de ces polynômes n'est irréductible sur $\mathbb {R}$ puisqu'ils sont de degré $>2$.
* D'après le critère d'Eisenstein avec $p=13$, $P$ est irréductible sur $\mathbb {Q}$. Comme de plus ses coefficients sont premiers entre eux, il est donc aussi irréductible sur $\mathbb {Z}$.
* $P'=132X^{11}+156X^{5}+260X^{3}-169$ donc $P''=1452X^{10}+780X^{4}+780X^{2}$, or $P(0)<0$. Par convexité, $P$ a donc exactement deux racines réelles. Puisqu'il est irréductible sur $\mathbb {Q}$, ces racines sont irrationnelles.
* D'après le critère d'Eisenstein avec $p=3$, $Q$ est irréductible sur $\mathbb {Q}$. Comme de plus ses coefficients sont premiers entre eux, il est donc aussi irréductible sur $\mathbb {Z}$.
* $R=2(X^{4}+3X^{3}+9X+24)$ n'est pas irréductible sur $\mathbb {Z}$. D'après le critère d'Eisenstein avec $p=3$, il est irréductible sur $\mathbb {Q}$.
* Regardons S comme un polynôme en $X$ à coefficient dans l'anneau factoriel $\mathbb {Z} [Y]$. D'après le critère d'Eisenstein généralisé avec $p=Y$, S est irréductible sur $\mathbb {Q} (Y)$, donc sur $\mathbb {Z} [Y]$ puisqu'il est unitaire donc primitif.
* Idem avec $p=Y$.

## Exercice 4-6

Soient $a\in \mathbb {N} ^{*}$ et (pour $d\in \mathbb {N}$), $d$ entiers relatifs distincts $b_{1},\dots ,b_{d}$. On pose
    $P=(X^{2}+a)\prod _{k=1}^{d}(X-b_{k})$
puis, pour tout $n\in \mathbb {N} ^{*}$ :
    $Q_{n}=P+{\frac {p}{p^{n(d+2)}}}$
où $p$ est un nombre premier fixé.
* Montrer que pour $n$ assez grand, $Q_{n}$ a exactement $d$ racines réelles.
* Montrer que $Q_{n}$ est irréductible dans $\mathbb {Q} [X]$.
* En $c_{0}:=-\infty$, $c_{k}:={\frac {b_{k}+b_{k+1}}{2}}$ (pour $1\leq k<d$) et $c_{d}:=+\infty$, $P$ est alternativement strictement positif et strictement négatif. Posons $\varepsilon :=\min _{1\leq k<d}|P(c_{k})|$. Si ${\frac {p}{p^{n(d+2)}}}<\varepsilon$ — c'est-à-dire si $n$ est assez grand — chaque $Q_{n}(c_{k})$ (pour $0\leq k\leq d$) est strictement de même signe que $P(c_{k})$. Alors, $Q_{n}$ a au moins $d$ racines réelles $d_{k}\in \left]c_{k},c_{k+1}\right[$ (pour $0\leq k<d$). D'autre part, d'après le théorème des fonctions implicites, pour $n$ assez grand, les $d+2$ racines complexes de $Q_{n}$ sont à distance $<{\sqrt {a}}$ de celles de $P$. En particulier, $Q_{n}$ a alors au plus $d$ racines réelles car au moins deux racines non réelles (à distance $<{\sqrt {a}}$ de $\pm \mathrm {i} {\sqrt {a}}$).
* D'après le critère d'Eisenstein, le polynôme unitaire $p^{n(d+2)}Q_{n}(X/p^{n})\in \mathbb {Z} [X]$ est irréductible sur $\mathbb {Q}$ donc $Q_{n}$ aussi.
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