# Ondes électromagnétiques guidées/Guide circulaire

Dans ce chapitre, ${\mathcal {G}}$ est un guide d'ondes :
* de section droite circulaire $r=a$
* supposé illimité dans la direction ${\vec {u}}_{z}$
* parfaitement conducteur
* creux
On souhaite propager dans ce guide une onde de pulsation ω. Son vecteur d'onde dans le vide a pour norme $k_{0}={\frac {\omega }{c}}$ et sa longueur d'onde dans le vide est $\lambda _{0}={\frac {2\pi c}{\omega }}$.

## Étude des modes TE$_{0n}$

On en revient à l'étude de l'équation $\Delta B_{z}+k_{\perp }^{2}B_{z}=0$. On ne s'intéresse dans un premier temps qu'aux solutions indépendantes de θ $(B_{z}=B_{z}(r))$

### Quantification

Posons ${\begin{cases}\rho =k_{\perp }r\\\eta =\displaystyle {\frac {B_{z}(\rho )}{B_{z}(0)}}\end{cases}}$.
    ${\begin{aligned}\Delta B_{z}+k_{\perp }^{2}B_{z}=0&\Leftrightarrow {\frac {1}{r}}{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}r}}\left(r{\frac {{\rm {d}}B_{z}}{{\rm {d}}r}}\right)+k_{\perp }^{2}B_{z}=0\\&\Leftrightarrow {\frac {1}{r}}{\frac {{\rm {d}}B_{z}}{{\rm {d}}r}}+{\frac {{\rm {d}}^{2}B_{z}}{{\rm {d}}r^{2}}}+k_{\perp }^{2}B_{z}=0\\&\Leftrightarrow r^{2}{\frac {{\rm {d}}^{2}B_{z}}{{\rm {d}}r^{2}}}+r{\frac {{\rm {d}}B_{z}}{{\rm {d}}r}}+k_{\perp }^{2}r^{2}B_{z}=0\\&\Leftrightarrow k_{\perp }^{2}r^{2}{\frac {{\rm {d}}^{2}\eta }{{\rm {d}}\rho ^{2}}}+k_{\perp }r{\frac {{\rm {d}}\eta }{{\rm {d}}\rho }}+k_{\perp }^{2}r^{2}\eta =0\\&\Leftrightarrow {\frac {{\rm {d}}^{2}\eta }{{\rm {d}}\rho ^{2}}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {{\rm {d}}\eta }{{\rm {d}}\rho }}+\eta =0\\\end{aligned}}$
Cette équation différentielle a pour première condition aux limites $\eta (0)=1$.
La solution de cette équation différentielle avec cette condition en 0 est bien connue. Il s'agit de la fonction de Bessel de première espèce d'ordre 0, notée J$_0$ : $\eta (\rho )=J_{0}(\rho )$.
Premiers zéros de J'$_0$ :
| n | z'$_{0n}$ |
| 1 | 3,8317 |
| 2 | 7,0156 |
| 3 | 10,1735 |
| 4 | 13,3237 |
| 5 | 16,4706 |
L'onde propagée doit cependant satisfaire une autre condition aux limites : ${\vec {\nabla }}B_{z}\cdot {\vec {u}}_{r}=0$ en $r=a$, ce qui se ramène à $\left.{\frac {{\rm {d}}\eta }{{\rm {d}}\rho }}\right|_{\rho =k_{\perp }a}=0$, soit $J_{0}'(k_{\perp }a)=0$.
Le guide d'ondes circulaire ne peut propager que les ondes vérifiant $k_{\perp }={\frac {z'_{0n}}{a}},~n\in \mathbb {N} ^{*}$, où $z'_{0n}$ est le n-ième zéro non trivial de la dérivée de la fonction de Bessel de première espèce d'ordre 0.
Le mode TE propageant l'onde correspondant au n-ième zéro de J'$_0$ est appelé mode TE$_{0n}$.

### Dispersion et coupure

La quantification $k_{\perp }={\frac {z'_{0n}}{a}},~n\in \mathbb {N} ^{*}$ donne, pour un entier $n\in \mathbb {N} ^{*}$ donné, la relation de dispersion $k^{2}={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}-\left({\frac {z'_{0n}}{a}}\right)^{2}$
Les modes propagés ont pour pulsation $\omega _{0n}=c{\sqrt {k^{2}+\left({\frac {z'_{0n}}{a}}\right)^{2}}}$
Posons $(\omega _{0n})_{c}=c{\frac {z'_{0n}}{a}}$.
Comme pour le guide d'ondes rectangulaire :
* La relation de dispersion devient $k^{2}={\frac {\omega ^{2}-(\omega _{0n})_{c}^{2}}{c}}$.
* $(\omega _{0n})_{c}$ est la pulsation de coupure du guide d'ondes, qui se comporte comme un filtre passe-haut.
* Le guide d'ondes est dispersif.

## Étude des modes TE$_{mn}$

À présent, considérons le cas où une dépendance en θ est possible.
    ${\begin{aligned}\Delta B_{z}+k_{\perp }^{2}B_{z}=0&\Leftrightarrow {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial B_{z}}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}B_{z}}{\partial \theta ^{2}}}+k_{\perp }^{2}B_{z}=0\\&\Leftrightarrow {\frac {1}{r}}{\frac {\partial B_{z}}{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}B_{z}}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}B_{z}}{\partial \theta ^{2}}}+k_{\perp }^{2}B_{z}=0\\\end{aligned}}$
On remarque alors une équation du type équation harmonique en θ. On pense alors à la méthode de séparation des variables pour proposer une solution de la forme $B_{z}=R(r)e^{jm\theta }$
Posons ${\begin{cases}\rho =k_{\perp }r\\{\mathfrak {R}}=\displaystyle {\frac {R(\rho )}{R(0)}}\end{cases}}$.
    ${\begin{aligned}\Delta B_{z}+k_{\perp }^{2}B_{z}=0&\Leftrightarrow {\frac {1}{r}}{\frac {\partial B_{z}}{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}B_{z}}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}B_{z}}{\partial \theta ^{2}}}+k_{\perp }^{2}B_{z}=0\\&\Leftrightarrow {\frac {{\rm {d}}^{2}R}{{\rm {d}}r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {{\rm {d}}R}{{\rm {d}}r}}+\left(k_{\perp }^{2}-{\frac {m^{2}}{r^{2}}}\right)R(r)=0\\&\Leftrightarrow \rho ^{2}{\frac {{\rm {d}}^{2}{\mathfrak {R}}}{{\rm {d}}\rho ^{2}}}+\rho {\frac {{\rm {d}}{\mathfrak {R}}}{{\rm {d}}\rho }}+\left(\rho ^{2}-m^{2}\right){\mathfrak {R}}(\rho )=0\\\end{aligned}}$
Cette équation différentielle a pour première condition aux limites ${\mathfrak {R}}(0)=1$.
De plus, il faut que B$_z$ soit 2π-périodique pour que la solution soit physiquement cohérente. Cela implique :
    ${\begin{aligned}B_{z}(r,\theta +2\pi )=B_{z}(r,\theta )&\Leftrightarrow e^{jm\theta }=e^{jm(\theta +2\pi )}\\&\Leftrightarrow e^{jm\theta }=e^{jm\theta }e^{j2m\pi }\\\end{aligned}}$
Il est donc impératif que $m\in \mathbb {N}$.
La solution de cette équation différentielle avec cette condition en 0 et m entier est connue : il s'agit de la fonction de Bessel de première espèce d'ordre m, notée J$_m$ : ${\mathfrak {R}}(\rho )=J_{m}(\rho )$.
Comme tout à l’heure, il faut que ${\vec {\nabla }}B_{z}\cdot {\vec {u}}_{r}=0$ en $r=a$, ce qui se ramène à $J_{m}'(k_{\perp }a)=0$.
Le guide d'ondes circulaire ne peut propager que les ondes vérifiant $k_{\perp }={\frac {z'_{mn}}{a}},~n\in \mathbb {N} ^{*}$, où $z'_{mn}$ est le n-ième zéro non trivial de la dérivée de la fonction de Bessel de première espèce d'ordre m.
Le mode TE propageant l'onde correspondant au n-ième zéro de J'$_m$ est appelé mode TE$_{mn}$.
Premiers zéros de J'$_m$ :
| n | z'$_{0n}$ | z'$_{1n}$ | z'$_{2n}$ |
| 1 | 3,8317 | 1,8412 | 3,0542 |
| 2 | 7,0156 | 5,3314 | 6,7061 |
| 3 | 10,1735 | 8,5363 | 9,9695 |
| 4 | 13,3237 | 11,7060 | 13,1704 |
| 5 | 16,4706 | 14,8636 | 16,3475 |
La quantification $k_{\perp }={\frac {z'_{mn}}{a}},~m\in \mathbb {N} ,~n\in \mathbb {N} ^{*}$ donne, pour un couple (m, n) donné, la relation de dispersion $k^{2}={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}-\left({\frac {z'_{mn}}{a}}\right)^{2}$
Les modes propagés ont pour pulsation $\omega _{mn}=c{\sqrt {k^{2}+\left({\frac {z'_{mn}}{a}}\right)^{2}}}$
Posons $(\omega _{mn})_{c}=c{\frac {z'_{mn}}{a}}$.
Comme pour le guide d'ondes rectangulaire :
* La relation de dispersion devient $k^{2}={\frac {\omega ^{2}-(\omega _{mn})_{c}^{2}}{c}}$.
* $(\omega _{mn})_{c}$ est la pulsation de coupure du guide d'ondes, qui se comporte comme un filtre passe-haut.
* Le guide d'ondes est dispersif.
Le mode TE$_{11}$ est appelé fondamental, car c’est le mode qui a la fréquence caractéristique la plus basse.

## Étude des modes TM$_{mn}$

L'étude des modes TM dans le guide circulaire se fait de manière tout à fait analogue, comme nous allons le voir. On en revient à l'étude de l'équation $\Delta E_{z}+k_{\perp }^{2}E_{z}=0$.
    $\Delta E_{z}+k_{\perp }^{2}E_{z}=0\Leftrightarrow {\frac {1}{r}}{\frac {\partial E_{z}}{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}E_{z}}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}E_{z}}{\partial \theta ^{2}}}+k_{\perp }^{2}E_{z}=0$
De la même manière, on pense à la méthode de séparation des variables pour proposer une solution de la forme $E_{z}=R(r)e^{jm\theta }$
Posons ${\begin{cases}\rho =k_{\perp }r\\{\mathfrak {R}}=\displaystyle {\frac {R(\rho )}{R(0)}}\end{cases}}$.
    $\Delta E_{z}+k_{\perp }^{2}E_{z}=0\Leftrightarrow \rho ^{2}{\frac {{\rm {d}}^{2}{\mathfrak {R}}}{{\rm {d}}\rho ^{2}}}+\rho {\frac {{\rm {d}}{\mathfrak {R}}}{{\rm {d}}\rho }}+\left(\rho ^{2}-m^{2}\right){\mathfrak {R}}(\rho )=0$
Cette équation différentielle a pour première condition aux limites ${\mathfrak {R}}(0)=1$.
De plus, il faut que ε soit 2π-périodique pour que la solution soit physiquement cohérente. Cela implique :
    $E_{z}(r,\theta +2\pi )=E_{z}(r,\theta )\Leftrightarrow m\in \mathbb {N}$.
La solution de cette équation différentielle avec cette condition en 0 et m entier est la fonction de Bessel de première espèce d'ordre m, notée J$_m$ :
Toutefois, la condition aux limites en $r=a$ est différente des modes TE puisque la condition porte sur E$_z$ et non sur B$_z$. Il faut que $E_{z}=0$ en $r=a$, ce qui se ramène à $J_{m}(k_{\perp }a)=0$.
Le guide d'ondes circulaire ne peut propager que les ondes vérifiant $k_{\perp }={\frac {z_{mn}}{a}},~n\in \mathbb {N} ^{*}$, où $z_{mn}$ est le n-ième zéro non trivial de la fonction de Bessel de première espèce d'ordre m.
Le mode TM propageant l'onde correspondant au n-ième zéro de J$_m$ est appelé mode TM$_{mn}$.
Premiers zéros de J$_m$ :
| n | z$_{0n}$ | z$_{1n}$ | z$_{2n}$ |
| 1 | 2,4048 | 3,8317 | 5,1356 |
| 2 | 5,5201 | 7,0156 | 8,4172 |
| 3 | 8,6537 | 10,1735 | 11,6198 |
| 4 | 11,7915 | 13,3237 | 14,7960 |
| 5 | 14,9309 | 16,4706 | 17,9598 |
La quantification $k_{\perp }={\frac {z_{mn}}{a}},~m\in \mathbb {N} ,~n\in \mathbb {N} ^{*}$ donne, pour un couple (m, n) donné, la relation de dispersion $k^{2}={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}-\left({\frac {z_{mn}}{a}}\right)^{2}$
Les modes propagés ont pour pulsation $\omega _{mn}=c{\sqrt {k^{2}+\left({\frac {z_{mn}}{a}}\right)^{2}}}$
Posons $(\omega _{mn})_{c}=c{\frac {z_{mn}}{a}}$.
* La relation de dispersion devient $k^{2}={\frac {\omega ^{2}-(\omega _{mn})_{c}^{2}}{c}}$.
* $(\omega _{mn})_{c}$ est la pulsation de coupure du guide d'ondes, qui se comporte comme un filtre passe-haut.
* Le guide d'ondes est dispersif.
| Guide rectangulaire | Câble coaxial |