# Trigonométrie/Exercices/Problèmes récapitulatifs
## Exercice 16-1

1° On considère un cercle ${\mathcal {C}}$ de diamètre $AB$, de centre $O$. Un point $P$ de ce cercle se projette en $M$ sur $AB$.
    Montrer que la tangente en $P$ à ${\mathcal {C}}$ est tangente aux cercles de centres $A$ et $B$ et passant par $M$.
2° Soit $Q$ le second point d'interception du cercle ${\mathcal {C}}$ avec le cercle de diamètre $PM$, $E$ le centre de celui-ci, $I$ le point d'interception des droites $AB$ et $PQ$.
    Montrer que la droite $IE$ est parallèle à la tangente en $P$ au cercle ${\mathcal {C}}$ et qu'elle est tangente aux cercles de diamètres $AM$ et $BM$ en ses points d'interception avec le cercle de diamètre $PM$.
3° Soit $x={\widehat {AOQ}}\quad y={\widehat {AOP}}$; établir les relations :
    $2\tan {\frac {x+y}{2}}=\tan y,\qquad \tan {\frac {x}{2}}=\tan ^{3}{\frac {y}{2}}$.
4° On suppose $y=3x$. Montrer que $x$ satisfait à l'équation :
    $2\cos ^{2}2x+\cos 2x-2=0$
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle.

## Exercice 16-2

1° On donne, dans un triangle $ABC$, le périmètre $2p$, le rayon $r$ du cercle inscrit, la hauteur $h$ issue du sommet $A$.
    Établir les formules permettant de calculer, en fonction des données, les trois côtés $a,\,b,\,c,$ et les trois angles $A,\,B,\,C$ du triangle.
2° Quelle relation doit-il exister entre $p,\,r$ et $h$ pour que le triangle soit rectangle en $A$ ?
3° On suppose $p=6,\,h=3$. Entre quelles limites doit varier $r$ pour que le triangle (que cette fois on suppose quelconque) puisse exister ?
4° Calculer côtés et angles lorsque $p=6,\,h=3,\,r=1$.
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle.

## Exercice 16-3

On considère les triangles $ABC$ dans lesquels la différence $B-C$ vaut un droit.
1° Établir les formules qui permettent de calculer les angles d'un tel triangle connaissant la valeur du rapport ${\frac {b+c}{a}}=m$. Cas particulier $m={\sqrt {2}}$.
2° Démontrer que la hauteur issue du sommet $A$ est tangente au cercle circonscrit du triangle.
3° Vérifier que les côtés $a,\,b,\,c$ du triangle et le rayon $R$ du cercle circonscrit sont liés par la relation $b^{2}-c^{2}=2aR$. Étudier la réciproque.
4° La base $BC$ d'un tel triangle étant fixe, trouver le lieu géométrique du sommet $A$ et le lieu du point $H$ de rencontre des hauteurs.
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle.

## Exercice 16-4

Soit un triangle $ABC$.
1° Calculer en fonction des sinus des angles du triangle les rapports $l,\,m,\,n$ de chacun des côtés $a,\,b,\,c$ à la hauteur correspondante.
2° On donne le rapport $l$ et l’angle $A$; Calculer les angles $B$ et $C$. Discussion.
    Application numérique : $A={\frac {\pi }{6}};\quad l=2$.
3° Construire géométriquement le triangle $ABC$ connaissant $a,\,l,\,A$.
4° Le triangle $ABC$ obtenu à la question précédente peut-il être isocèle ?
    Peut-il être rectangle ?
    Quelles sont les relations liant $l$ et $A$ dans chacun de ces différents cas ?
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle.

## Exercice 16-5

Soit $ABC$ un triangle dont les angles $B$ et $C$ sont aigus, l'angle en $A$ pouvant être aigu ou obtus; on appelle ${\mathcal {C}}$ le cercle circonscrit et $R$ son rayon. On construit le triangle $A'B'C'$ tel que les côtés $B'C',\,C'A',\,A'B'$ soient tangents au cercle ${\mathcal {C}}$ respectivement en $A,\,B$ et $C$; On appelle ${\mathcal {C}}'$ le cercle circonscrit à ce triangle et $R'$ son rayon. Enfin, $a,\,b,\,c,\,A,\,B,\,C$ désignent les éléments du triangle $ABC$ et $a',\,b',\,c',\,A',\,B',\,C'$ ceux du triangle $A'B'C'$.
1° Montrer que :
    $A'=\pi -2A;\qquad B'=\pi -2B;\qquad C'=\pi -2C\quad$ si $A$ est aigu
    et :
    $A'=2A-\pi ;\qquad B'=2B;\qquad C'=2C\quad$ si $A$ est obtus.
2° Calculer en fonction de $R$ et des angles $A,\,B,\,C$ les longueurs des segments $AB',\,AC',\,BC',\,BA',\,CA',\,CB'$.
3° Établir les formules :
    $a=2a'\cos B\cos C;\qquad b=2b'|\cos C\cos A|;\qquad c=2c'|\cos A\cos B|$
    $R=4R'|\cos A\cos B\cos C|$
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle.

## Exercice 16-6

On considère un triangle $ABC$ dans lequel la hauteur issue de $A$ est double du diamètre du cercle inscrit : $h=4r$. On donne la longueur $r$ et le côté $BC=a$
1° Calculer le demi-périmètre $p$. Montrer que l’on peut calculer $\tan {\frac {A}{2}}$.
2° Achever la résolution du triangle en calculant soit $B-C$, soit ${\frac {B-C}{2}}$ par leurs cosinus, soit le produit $bc$.
    Application : $a=3r$. Calculer les trois angles.
3° On se propose de donner une construction géométrique du triangle. Placer d'abord le côté $BC=a$. Calculer $AB+AC$ et en déduire un lieu géométrique sur lequel se trouve le sommet $A$. Achever la construction et discuter. (On donnera explicitement la réalisation effective de la construction au moyen de la règle et du compas.)
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle.

## Exercice 16-7

Un triangle variable $ABC$ est inscrit dans un cercle fixe ${\mathcal {C}}$ de centre $O$ et de rayon $R$; le sommet $A$ est fixe et le côté $BC$ passe par le milieu $D$ de $OA$. On appelle $A,\,B,\,C$ les angles du triangles, $S$ l'aire du triangle et $\varphi$ l'angle ${\widehat {ADB}}$.
1° Trouver le lieu du point de rencontre des médianes du triangle $ABC$.
2° Démontrer la relation :
    $\varphi ={\frac {\pi }{2}}+C-B$
3° Établir les trois relations :
    $2\cos(B+C)=\cos(B-C);\qquad \tan B\tan C={\frac {1}{3}};\qquad S=-{\frac {R^{2}}{2}}\sin 2A$
    Réciproquement, l'une quelconque de ces trois relations est-elle suffisante pour que le côté $BC$ passe par le milieu $D$ de $OA$ ?
4° On donne l'angle $\varphi$ entre $0$ et $\pi$. Calculer $A,\,B,\,C$. Discuter géométriquement.
    Application : $\varphi ={\frac {\pi }{10}}$ (voir les Valeurs trigonométriques exactes)
5° Calculer $\tan A$ en fonction de $\tan B$.
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle.

## Exercice 16-8

On considère les triangles dont les angles $A,\,B,\,C$ satisfont à la relation :
$m\cos B\cos C=\cos A$
où $m$ est un nombre algébrique donné différent de -1.
1° Montrer que l’on a :
    $\tan B\tan C=m+1$;
    $\tan B+\tan C=m\tan A$.
    Calculer $B$ et $C$ connaissant $A$. Discuter. Étudier le cas où l'angle $A$ est droit.
2° On appelle $H$ l'orthocentre et $AA'$ la hauteur issue de $A$. Démontrer que l'on a :
    ${\frac {HA}{HA'}}=m$
    Étudier les cas particuliers :
    $m=0;\qquad m=2$.
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle.
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