# Topologie générale/Exercices/Espaces métriques
## Exercice 1 : espace ultramétrique

Soit $(E,d)$ un espace ultramétrique, c'est-à-dire un espace métrique tel que
    $\forall (x,y,z)\in E^{3}\quad d(x,z)\leq \max(d(x,y),d(y,z))$.
Montrer que :
* si deux boules ouvertes (ou deux boules fermées) ont un point commun alors l'une contient l'autre ;
* tout point d'une boule en est un centre ;
* toute boule fermée est ouverte ;
* toute boule ouverte est fermée ;
* tout triangle est isocèle et sa base est au plus égale aux côtés égaux ;
* une suite $(x_{n})$ est de Cauchy si (et seulement si) $\lim _{n\to \infty }d(x_{n},x_{n+1})=0$.
* Soit $y\in {B(a,r)\cap B(a',r')}$ avec $r\leq r'$. Alors, $d(a,x)<r\Rightarrow d(x,y)\leq \max(d(x,a),d(a,y))<r\Rightarrow d(a',x)\leq \max(d(a',y),d(y,x))<r'$ donc $B(a,r)\subset B(a',r')$. La démonstration s'adapte facilement au cas de boules fermées.
* Soit $x\in B(a,r)$. D'après la question précédente, puisque $B(a,r)$ et $B(x,r)$ ont $x$ en commun, et qu'elles ont même rayon, elles sont incluses l'une dans l'autre donc égales.
* La boule fermée $B_{F}(a,r)$ est un ouvert, car si $x\in B_{F}(a,r)$ alors $B(x,r)\subset B_{F}(a,r)$, puisque $B_{F}(x,r)=B_{F}(a,r)$ d'après la question précédente.
* Soit U le complémentaire de la boule ouverte $B(a,r)$. Si $x\in U$, alors $B(x,r/2)\subset U$. En effet, sinon, $B(a,r)$ et $B(x,r/2)$ auraient un point commun, ce qui impliquerait d'après la question 2 que $B(x,r/2)\subset B(a,r)$, alors que $x$ est dans la première boule mais pas dans la seconde. Il en résulte que U est un ouvert, donc la boule ouverte $B(a,r)$ est fermée.
* Notons a, b, c les longueurs des trois côtés d'un triangle, avec par exemple a ≥ b ≥ c. Puisque de plus a ≤ max(b, c) = b, on a a = b.
* Supposons que $d(x_{n},x_{n+1})\to 0$. Pour tout $\varepsilon >0$, il existe donc $N\in \mathbb {N}$ tel que $\forall q\geq N\quad d(x_{q},x_{q+1})<\varepsilon$. Montrons par récurrence que $\forall q\geq N\quad d(x_{N},x_{q})<\varepsilon$. Cette propriété est vérifiée pour $q=N$. Si elle est vérifiée pour un certain $q\geq N$, alors elle l'est encore au rang $q+1$ car $d(x_{N},x_{q+1})\leq \max \left[d(x_{N},x_{q}),d(x_{q},x_{q+1})\right]<\varepsilon$. On a donc montré que $\forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall q\geq N\quad d(x_{N},x_{q})<\varepsilon$, ce qui prouve que $(x_{n})$ est de Cauchy.

## Exercice 2

Soient $X$ un espace topologique, $E$ un espace métrique, $\Omega$ un ouvert de $X\times E$ et $f:\Omega \to E$ une fonction continue par rapport à sa première variable et localement lipschitzienne par rapport à la seconde. Montrer que $f$ est continue.
Soient $\left(x_{0},y_{0}\right)\in \Omega$ et $\varepsilon >0$.
Il existe des réels $k,R>0$ et un voisinage $V$ de $x_{0}$ tels que :
* $V\times B\left(y_{0},R\right)\subset \Omega$ ;
* $\forall x\in V\quad d\left(f\left(x,y_{0}\right),f\left(x_{0},y_{0}\right)\right)<\varepsilon$ ;
* pour tout $x\in V$, $f\left(x,\cdot \right)$ soit $k$-lipschitzienne sur $B\left(y_{0},R\right)$ ;
* $kR\leq \varepsilon$.
Alors, pour tout $\left(x,y\right)\in V\times B\left(y_{0},R\right)$ :
$d\left(f\left(x,y\right),f\left(x_{0},y_{0}\right)\right)\leq d\left(f\left(x,y\right),f\left(x,y_{0}\right)\right)+d\left(f\left(x,y_{0}\right),f\left(x_{0},y_{0}\right)\right)<kd\left(y,y_{0}\right)+\varepsilon \leq 2\varepsilon$.

## Exercice 3

Soient $(X,d_{X})$ et $(Y,d_{Y})$ deux espaces métriques, $f$ une application de $X$ dans $Y$ et $a$ un point de $X$.
Montrer que $f$ est continue au point $a$ si et seulement s'il existe une application $\omega :\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R}$ telle que
    $d_{Y}\left(f(x),f(a)\right)\leq \omega \left(d_{X}(x,a)\right)$ (pour tout $x\in X$) et $\lim _{0}\omega =0$.
L'existence d'une telle application $\omega$ équivaut à :
    $\lim _{t\to 0}\sup _{d_{X}(x,a)\leq t}d_{Y}\left(f(x),f(a)\right)=0$,
qui exprime la continuité de $f$ en $a$.

## Exercice 4

Soient $(E,d)$ un espace métrique et $A$ une partie non vide de $E$. Pour tout $x\in E$, on pose
    $d(x,A)=\inf _{a\in A}d(x,a)$.
* Dans $\mathbb {R}$ muni de la distance usuelle, quelle est la distance de ${\sqrt {2}}$ à $\mathbb {Q}$ ?
* Dans $\mathbb {R} ^{n}$ muni d'une distance associée à une norme, montrer que pour tout $x\in \mathbb {R} ^{n}$, il existe $y\in {\overline {A}}$ tel que $d(x,A)=d(x,y)$.
* On revient à un espace métrique quelconque. Montrer qu'on a encore : $d(x,A)=0$ si et seulement si $x\in {\overline {A}}$.
* Montrer que l'application $E\to \mathbb {R} ,\;x\mapsto d(x,A)$ est $1$-lipschitzienne.
* En déduire que si $A$ est un fermé de $E$ et $B$ un compact de $E$ tels que $A$ et $B$ sont disjoints, alors il existe une constante $\delta >0$ telle que $\forall (a,b)\in A\times B\quad d(a,b)\geq \delta$.
* Montrer par un contre-exemple que le résultat est faux si l'on suppose seulement que $A$ et $B$ sont deux fermés disjoints.
* Par densité de $\mathbb {Q}$ dans $\mathbb {R}$, $d(x,\mathbb {Q} )=0$ pour tout réel $x$.
* Soient $a_{n}\in A$ tels que $d(x,a_{n})\to d(x,A)$. La suite $(a_{n})$ est alors bornée donc (théorème de Bolzano-Weierstrass) on peut en extraire une sous-suite convergente. La limite $y$ répond alors au problème.
* $d(x,A)=0\Leftrightarrow$ il existe une suite $(a_{n})$ d'éléments de $A$ telle que $d(x,a_{n})\to 0\Leftrightarrow x$ est limite d'une suite d'éléments de $A\Leftrightarrow x\in {\overline {A}}$.
* De $\forall a\in A\quad d(x,a)\leq d(x,y)+d(y,a)$ on déduit $d(x,A)\leq d(x,y)+d(y,A)$, ou encore : $d(x,A)-d(y,A)\leq d(x,y)$. De même, $d(y,A)-d(x,A)\leq d(y,x)=d(x,y)$. Finalement, $|d(x,A)-d(y,A)|\leq d(x,y)$. Remarque : en particulier, pour tout $a\in E$, l'application $E\to \mathbb {R} ,\;x\mapsto d(x,a)$ est $1$-lipschitzienne.
* L'application $x\mapsto d(x,A)$ étant continue, elle atteint son inf sur $B$, c'est-à-dire qu'il existe $b_{0}\in B$ tel que $\forall b\in B\quad d(b_{0},A)\leq d(b,A)$. Puisque $A$ est fermé et $b_{0}\notin A$, la constante $\delta :=d(b_{0},A)$ est non nulle d'après la question 3 (donc $\delta >0$). $\forall (a,b)\in A\times B\quad d(a,b)=d(b,a)\geq d(b,A)\geq \delta$.
* Dans $\mathbb {R} ^{2}$ : $A=$ une hyperbole et $B=$ l'une de ses deux asymptotes. Ou même dans $\mathbb {R}$ : $A=\mathbb {N}$ et $B=\{n+1/n\mid n\in \mathbb {N} ,\;n\geq 2\}$.

## Exercice 5

Un espace métrique est dit polonais s'il est complet et séparable.
* Soient $(X_{1},d_{1})$ et $(X_{2},d_{2})$ deux espaces polonais. Montrer que l'espace produit $X_{1}\times X_{2}$, muni de la distance $d={\sqrt {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}}}$, est polonais.
* Montrer que tout fermé $F$ d'un espace polonais $(X,d)$ est polonais.
* On rappelle (cf. cet exercice) que le graphe d'une application continue est homéomorphe à l'espace de départ. En utilisant la fonction $f:\mathbb {R} ^{*}\to \mathbb {R} ^{+},\;x\mapsto {\frac {1}{|x|}}$, déduire des questions précédentes qu'il existe sur $\mathbb {R} ^{*}$ une distance $\delta$ induisant la topologie usuelle, mais telle que $(\mathbb {R} ^{*},\delta )$ soit polonais.
* $(X_{1}\times X_{2},d)$ est un espace métrique complet, comme produit de deux espaces métriques complets. Par ailleurs, sa topologie est séparable, comme produit de deux topologies séparables.
* $F$ est fermé dans $X$ donc $(F,d)$ est complet. La séparabilité n'est pas héréditaire (c'est-à-dire : un sous-espace d'un séparable n'est pas toujours séparable) mais la propriété (plus forte) d'être à base dénombrable d'ouverts l'est, or pour un espace métrisable, les deux sont équivalentes. Donc $F$ est séparable.
* Soit $F:x\mapsto (x,1/|x|)$ l'homéomorphisme canonique entre $\mathbb {R} ^{*}$ et le graphe de $f$ : $F(\mathbb {R} ^{*})=\{(x,1/|x|)\mid x\in \mathbb {R} ^{*}\}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid |x|y=1\}$. Pour la distance euclidienne $d$, $\mathbb {R} ^{2}$ est polonais (cf. question 1) et $F(\mathbb {R} ^{*})$ est fermé (d'après sa seconde expression ci-dessus) donc polonais aussi (cf. question 2). Par conséquent, $\mathbb {R} ^{*}$ est polonais pour la distance $\delta$ transportée sur $\mathbb {R} ^{*}$ (par la bijection $F$) de la distance $d$ sur $F(\mathbb {R} ^{*})$ (et la topologie induite par $\delta$ sur $\mathbb {R} ^{*}$ est la même que l'usuelle, puisque $F$ est un homéomorphisme). $\delta (u,v)=d(F(u),F(v))={\sqrt {(u-v)^{2}+(1/|u|-1/|v|)^{2}}}$.

## Exercice 6

Soient $(E,d)$ un espace métrique, $F\subset E$ un sous-ensemble et $f:F\to \mathbb {R}$ une application $k$-lipschitzienne.
Montrer que $f$ s'étend en une application $k$-lipschitzienne $h:E\to \mathbb {R}$.
Indication : on pourra considérer la quantité $\inf _{y\in F}\left(f(y)+L\,d(x,y)\right)$ pour un $L$ convenable.
Si $F=\varnothing$, on peut par exemple choisir $h$ constante. Supposons désormais $F\neq \varnothing$.
Pour tout $x\in E$, l'ensemble $\{f(y)+kd(x,y)\mid y\in F\}$ est alors non vide et minoré par $f(z)-kd(x,z)$ pour n'importe quel $z\in F$. Notons $h(x)$ sa borne inférieure.
Si $x\in F$ alors $h(x)\leq f(x)+kd(x,x)$ et (d'après la minoration ci-dessus, en choisissant $z=x$) $h(x)\geq f(x)-kd(x,x)$, donc $h(x)=f(x)$.
Pour tous $x,x'\in E$ et tout $y\in F$, $f(y)+kd(x,y)\leq f(y)+kd(x',y)+kd(x,x')$ donc $h(x)\leq h(x')+kd(x,x')$ et de même en intervertissant $x$ et $x'$, donc $h$ est $k$-lipschitzienne.
| Espaces topologiques | Espaces complets |