# Mécanique 2 (PCSI)/Exercices/Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un système discret de points matériels
## Moment cinétique vectoriel d'un ensemble particulier de trois tiges sans masse coplanaires et de quatre points matériels

Une tige $\;AB$, de masse négligeable, de longueur $\;4\;a$, est suspendue en son milieu $\;O\;$ fixe dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}$ ;
en $\;A\;$ et $\;B\;$ sont articulées deux tiges identiques $\;CD\;$ et $\;EF$, de masses négligeables, de longueur $\;2\;a$, $\;{\bigA\;$ milieu de $\;CD$, $\;B\;$ milieu de $\;EF{\big )}\;$ et les articulations sont telles que les trois tiges $\;AB$, $\;CD\;$ et $\;EF\;$ restent dans un même plan dans lequel sont choisis les deux 1$^{ers}$ vecteurs de la base cartésienne orthonormée directe $\;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\right)$, le 3ème vecteur de cette base $\;{\vec {u}}_{z}={\vec {u}}_{x}\wedge {\vec {u}}_{y}\;$ étant $\;\perp \;$ au plan contenant les trois tiges en pointant vers le lecteur, son sens définissant le sens $\;+\;$ des angles algébrisés de ce plan dans le sens antihoraire ;
aux extrémités $\;\left(C\,,\,D\,,\,E\,,\,F\right)\;$ sont fixés quatre points matériels identiques de masse $\;m$ ;
la position angulaire des tiges dans le plan $\;xOy\;$ est définie relativement à l'axe passant par le milieu des tiges et orienté par $\;{\vec {u}}_{x}\;$ selon :
* l'angle algébrisé $\;\varphi (t)={\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {OA}}(t)\right\rbrace }}\;$ pour repérer la tige $\;AB$,
* l'angle algébrisé $\;\alpha (t)={\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {Ax}}\,,\,{\overrightarrow {AC}}(t)\right\rbrace }}\;$ pour repérer la tige $\;CD\;$ et
* l'angle algébrisé $\;\beta (t)={\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {Bx}}\,,\,{\overrightarrow {BE}}(t)\right\rbrace }}\;$ pour repérer la tige $\;EF$.
En admettant le théorème de Kœnig relatif au moment cinétique vectoriel $\;{\big$ou 1er théorème de Kœnig${\big )}\;$ appliqué à un système de deux points matériels à savoir
En admettant le théorème de Kœnig le moment cinétique vectoriel du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» évalué à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ relativement à un point $\;O\;$ quelconque «$\;{\vec {\sigma }}_{O}\!({\text{syst}},\,t)\;$» est la somme
* du moment cinétique barycentrique vectoriel du système «$\;{\vec {\sigma }}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)\;$» évalué à l'instant $\;t\;$ et
* du moment cinétique vectoriel du C.D.I. $\;G\;$ du système évalué au même instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport au même point $\;O$ $\;{\big$en attribuant au point fictif $\;G\;$ la masse $\;m_{\text{syst}}{\big ]}\;$ «$\;{\vec {\sigma }}_{O}\!(G,\,t)$ $={\overrightarrow {OG}}(t)\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$»
En admettant le théorème de Kœnig soit, mathématiquement «$\;{\vec {\sigma }}_{O}\!({\text{syst}},\,t)={\vec {\sigma }}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+{\vec {\sigma }}_{O}\!(G,\,t)={\vec {\sigma }}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {OG}}(t)\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$»,
évaluer, dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ et à l'instant $\;t$, le moment cinétique vectoriel du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ constitué des trois tiges et des quatre points matériels relativement au point $\;O\;$ «$\;{\vec {\sigma }}_{O}\!\left({\mathcal {S}},\,t\right)\;$» en fonction des données et des dérivées temporelles $\;\left\lbrace {\dot {\varphi }}(t)\,,\,{\dot {\alpha }}(t)\,,\,{\dot {\beta }}(t)\right\rbrace$.
$\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$
$\;t$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;O\;$
$\;{\vec {\sigma }}_{O}\!\left({\mathcal {S}},\,t\right)\;$
$\;t\;$
$\;O\;$
$\;{\vec {\sigma }}_{O}\!\left(AB,\,t\right)$
$\;{\vec {\sigma }}_{O}\!\left(CD_{\text{alourdie}},\,t\right)\;$
$\;{\vec {\sigma }}_{O}\!\left(EF_{\text{alourdie}},\,t\right)\;$
$\;{\vec {\sigma }}_{O}\!\left({\mathcal {S}},\,t\right)={\vec {\sigma }}_{O}\!\left(AB,\,t\right)+{\vec {\sigma }}_{O}\!\left(CD_{\text{alourdie}},\,t\right)+{\vec {\sigma }}_{O}\!\left(EF_{\text{alourdie}},\,t\right)\;$
* «$\;{\vec {\sigma }}_{O}\!\left(AB,\,t\right)=J_{Oz}(AB)\;{\vec {\Omega }}_{AB}(t)\;$» avec «$\;{\vec {\Omega }}_{AB}(t)={\dot {\varphi }}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$ le vecteur rotation instantanée de la tige $\;AB\;$» et «$\;J_{Oz}(AB)\;$ son moment d'inertie relativement à la médiatrice $\;Oz\;$ lequel est nul pour une tige sans masse » d'où «$\;{\vec {\sigma }}_{O}\!\left(AB,\,t\right)={\vec {0}}\;\;\forall \;t\;$»,
* «$\;{\vec {\sigma }}_{O}\!\left(CD_{\text{alourdie}},\,t\right)={\vec {\sigma }}^{\,*}\!\left(CD_{\text{alourdie}},\,t\right)+{\overrightarrow {OA}}(t)\wedge 2\;m\;{\vec {V}}_{A}(t)\;$» par application du 1er théorème de Kœnig à l'ensemble de la tige $\;CD\;$ alourdie à ses extrémités par les points matériels de masse $\;m$, «$\;{\vec {\sigma }}^{\,*}\!\left(CD_{\text{alourdie}},\,t\right)\;$ étant le moment cinétique barycentrique vectoriel de la tige $\;CD\;$ alourdie » et «$\;A\;$ le C.D.I. de cette tige alourdie de masse $\;2\;m\;$» $\;{\big$la tige étant sans masse${\big )}\;$ avec «$\;{\vec {\sigma }}^{\,*}\!\left(CD_{\text{alourdie}},\,t\right)=J_{Az}(CD_{\text{alourdie}})\;{\vec {\Omega }}_{{\text{tige }}CD}(t)\;$» dans lequel «$\;{\vec {\Omega }}_{{\text{tige }}CD}(t)={\dot {\alpha }}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$ est le vecteur rotation instantanée de la tige $\;CD\;$» et «$\;J_{Az}(CD_{\text{alourdie}})\;$ le moment d'inertie de la tige $\;CD\;$ alourdie à ses extrémités relativement à la médiatrice $\;Az\;$ encore égal à $\;J_{Az}(CD_{\text{alourdie}})=2\;m\;a^{2}$ $\;{\big$la tige $\;CD\;$ étant sans masse, il ne reste que le moment d'inertie de chaque point matériel${\big )}\;$» d'où «$\;{\vec {\sigma }}^{\,*}\!\left(CD_{\text{alourdie}},\,t\right)=2\;m\;a^{2}\;{\dot {\alpha }}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» et «$\;{\overrightarrow {OA}}(t)\wedge 2\;m\;{\vec {V}}_{A}(t)=2\;a\;{\vec {u}}_{r}(A,\,t)\wedge 2\;m\,\left[{\vec {\Omega }}_{AB}(t)\wedge 2\;a\;{\vec {u}}_{r}(A,\,t)\right]=8\;m\;a^{2}\;{\dot {\varphi }}(t)\,\left\lbrace {\vec {u}}_{r}(A,\,t)\wedge \left[{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{r}(A,\,t)\right]\right\rbrace =8\;m\;a^{2}\;{\dot {\varphi }}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$ » d'où «$\;{\vec {\sigma }}_{O}\!\left(CD_{\text{alourdie}},\,t\right)=2\;m\;a^{2}\;{\dot {\alpha }}(t)\;{\vec {u}}_{z}+8\;m\;a^{2}\;{\dot {\varphi }}(t)\;{\vec {u}}_{z}=2\;m\;a^{2}\,\left[4\;{\dot {\varphi }}(t)+{\dot {\alpha }}(t)\right]\,{\vec {u}}_{z}\;$»,
* «$\;{\vec {\sigma }}_{O}\!\left(EF_{\text{alourdie}},\,t\right)={\vec {\sigma }}^{\,*}\!\left(EF_{\text{alourdie}},\,t\right)+{\overrightarrow {OB}}(t)\wedge 2\;m\;{\vec {V}}_{B}(t)\;$» par application du 1er théorème de Kœnig à l'ensemble de la tige $\;EF\;$ alourdie à ses extrémités par les points matériels de masse $\;m$, «$\;{\vec {\sigma }}^{\,*}\!\left(EF_{\text{alourdie}},\,t\right)\;$ étant le moment cinétique barycentrique vectoriel de la tige $\;EF\;$ alourdie » et «$\;B\;$ le C.D.I. de cette tige alourdie de masse $\;2\;m\;$» $\;{\big$la tige étant sans masse${\big )}\;$ avec «$\;{\vec {\sigma }}^{\,*}\!\left(EF_{\text{alourdie}},\,t\right)=J_{Bz}(EF_{\text{alourdie}})\;{\vec {\Omega }}_{{\text{tige }}EF}(t)\;$» dans lequel «$\;{\vec {\Omega }}_{{\text{tige }}EF}(t)={\dot {\beta }}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$ est le vecteur rotation instantanée de la tige $\;EF\;$» et «$\;J_{Bz}(EF_{\text{alourdie}})\;$ le moment d'inertie de la tige $\;EF\;$ alourdie à ses extrémités relativement à la médiatrice $\;Bz\;$ encore égal à $\;J_{Bz}(EF_{\text{alourdie}})=2\;m\;a^{2}$ $\;{\big$la tige $\;EF\;$ étant sans masse, il ne reste que le moment d'inertie de chaque point matériel${\big )}\;$» d'où «$\;{\vec {\sigma }}^{\,*}\!\left(EF_{\text{alourdie}},\,t\right)=2\;m\;a^{2}\;{\dot {\beta }}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» et «$\;{\overrightarrow {OB}}(t)\wedge 2\;m\;{\vec {V}}_{B}(t)=2\;a\;{\vec {u}}_{r}(B,\,t)\wedge 2\;m\,\left[{\vec {\Omega }}_{AB}(t)\wedge 2\;a\;{\vec {u}}_{r}(B,\,t)\right]=8\;m\;a^{2}\;{\dot {\varphi }}(t)\,\left\lbrace {\vec {u}}_{r}(B,\,t)\wedge \left[{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{r}(B,\,t)\right]\right\rbrace =8\;m\;a^{2}\;{\dot {\varphi }}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$ » d'où «$\;{\vec {\sigma }}_{O}\!\left(EF_{\text{alourdie}},\,t\right)=2\;m\;a^{2}\;{\dot {\beta }}(t)\;{\vec {u}}_{z}+8\;m\;a^{2}\;{\dot {\varphi }}(t)\;{\vec {u}}_{z}=2\;m\;a^{2}\,\left[4\;{\dot {\varphi }}(t)+{\dot {\beta }}(t)\right]\,{\vec {u}}_{z}\;$» ;
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;O\;$
$\;{\vec {\sigma }}_{O}\!\left({\mathcal {S}},\,t\right)={\vec {\sigma }}_{O}\!\left(AB,\,t\right)+{\vec {\sigma }}_{O}\!\left(CD_{\text{alourdie}},\,t\right)+{\vec {\sigma }}_{O}\!\left(EF_{\text{alourdie}},\,t\right)\;$
$\;{\vec {\sigma }}_{O}\!\left({\mathcal {S}},\,t\right)=2\;m\;a^{2}\,\left[8\;{\dot {\varphi }}(t)+{\dot {\alpha }}(t)+{\dot {\beta }}(t)\right]\,{\vec {u}}_{z}\;$
Additif, démonstration du 1er théorème de Kœnig $\;{\big$non demandé${\big )}$ : voir le paragraphe « démonstration (du théorème de Kœnig relatif au moment cinétique vectoriel - ou 1er théorème de Kœnig - appliqué à un système de deux points matériels) » du chap.$1$ de la leçon « Mécanique des systèmes de points » $\;\ldots$