# Signaux physiques (PCSI)/Optique géométrique : réflexion, réfraction, lois de Descartes
## Notion de miroirs et de dioptres
### Miroir

« Surface » séparant un milieu « transparent » d’un milieu « opaque » sur lequel se produit une « réflexion ».
Exemples : miroir « plan », miroir « sphérique concave », miroir « sphérique convexe », miroir « parabolique » $\;{\big$concave ou convexe${\big )}\;$ $\ldots$  Exemples : Voir schémas ci-dessous à gauche $\;{\big$à l'exception des miroirs paraboliques${\big )}$ :
* Schémas de miroirs plan et sphériques convexe et concave
* Schémas de dioptres plan et Schémas de dioptres sphériques

### Dioptre

« Surface » séparant deux milieux « transparents » d’indice « différent » sur laquelle peut se produire une « réfraction ».
Exemples : dioptre « plan », dioptre « sphérique » $\ldots$  Exemples : Voir schémas ci-dessus à droite :

## Réflexion métallique

Considérons un rayon lumineux arrivant sur une surface métallique en $\;I$, point d'incidence, et faisant un angle d'incidence non orienté $\;i\;$ avec la normale en $\;I\;$ à la surface métallique ; la puissance lumineuse transportée par ce rayon subit, en grande partie, à l'arrivée sur la surface métallique, une « réflexion » $\;{\big$c.-à-d. que la puissance lumineuse est renvoyée dans le milieu d’où elle vient${\big )}$, qualifiée de « métallique » ;
il existe néanmoins une faible partie qui se propage dans le métal en s’atténuant très fortement $-$ on dit qu’il y a « absorption » pour cette partie, ceci entraînant un léger échauffement du métal $-$ et on définit un « facteur de réflexion énergétique $\;R\;$» donnant le « pourcentage de puissance lumineuse réfléchie relativement à la puissance lumineuse reçue » :
* en incidence normale $\;{\big$angle d'incidence non algébrisé $\;i=0{\big )}$, $\;R(i=0)=93\,\%\;$ pour « l’un des meilleurs conducteurs métalliques l'$Ag\;$» ;
* le facteur de réflexion énergétique $\;R\;$ dépend de l'angle d'incidence $\;i\;$ et aussi de l'état de polarisation de la lumière $\;{\big$voir graphe ci-contre${\big )}$ ;
* le facteur de réflexion énergétique $\;R\;$ dépend aussi de la longueur d’onde dans le vide $\;\lambda _{0}$ : pour « l’un des meilleurs conducteurs métalliques l'$Ag\;$» la réflexion est « relativement sélective », seulement $\;5\,\%\;$ pour l’U.V. proche au lieu de $\;93\,\%\;$ pour le jaune du visible.
La réflexion métallique est dite « parfaite » si le facteur de réflexion énergétique $\;R=100\,\%\;$ quelle que soit la longueur d’onde dans le vide $\;\lambda _{0}\;$ et l’angle d’incidence non algébrisé $\;i$.

## Réflexion et réfraction dioptriques

Considérons toujours un rayon lumineux arrivant sur une surface dioptrique en $\;I$, point d'incidence, et faisant un angle d'incidence non orienté $\;i\;$ avec la normale en $\;I\;$ à la surface dioptrique ; la puissance lumineuse peut se propager partiellement dans le milieu situé au-delà du dioptre $-$ ceci définissant une « réfraction » $-$ en changeant de direction, le reste subissant une réflexion « partielle » et qualifiée de « dioptrique » ;
on définit également un « facteur de réflexion énergétique $\;R\;$» donnant le « pourcentage de puissance lumineuse réfléchie relativement à la puissance lumineuse reçue » :
* En incidence normale, le facteur de réflexion énergétique est « très faible » : seulement $\;4\,\%\;$ pour le « dioptre air - verre », $\;2\,\%\;$ pour le « dioptre air - eau », $\;0,4\,\%\;$ pour le « dioptre eau - verre » $\dots$
* Le facteur de réflexion énergétique $\;R\;$ varie fortement avec l’angle d’incidence non algébrisé $\;i$, atteignant $\;100\,\%\;$ en « incidence rasante » $\;{\big$c.-à-d. quand l'angle d'incidence non algébrisé $\;i\;$ tend vers $\;90\,{\text{°}}{\big )}$ : pour le « dioptre air - verre » le « facteur de réflexion énergétique moyen » vaut $\;R_{\text{moy}}(i=60\,{\text{°}})=10\,\%$, $\;R_{\text{moy}}(i=75\,{\text{°}})$ $=30\,\%$, $\;R_{\text{moy}}(i=85\,{\text{°}})$ $=70\,\%\;$ ${\big$voir « figures » ci-contre à gauche pour l'onde polarisée perpendiculairement et à droite pour l'onde polarisée parallèlement${\big )}$.

## Les deux lois de Snell-Descartes de la réflexion

Les lois de Snell - Descartes de la réflexion sont des postulats de l'optique géométrique, elles sont validées par vérification expérimentale.

### Quelques définitions relatives à la réflexion métallique ou dioptrique

On donnera ces définitions relativement à un miroir $\;{\big$sur lequel il y a réflexion métallique${\big )}$, mais elles restent valables pour la réflexion sur un dioptre.
Soit un rayon incident quelconque $\;{\overrightarrow {SI}}\;$ avec $\;I\;$ appelé « point d'incidence », on lui associe $\;(\Delta )\;$ la normale au miroir en $\;I\;$ orientée dans le sens incident par $\;{\vec {N}}\;$ et dans le sens réfléchi par $\;{\vec {N}}'=-{\vec {N}}\;$ ; soit $\;{\vec {u}}_{1}\;$ le vecteur unitaire orientant le rayon incident, on définit $-$ dans le cas où le rayon incident n'est pas normal $\;{\big$c.-à-d. $\;\perp \;$ au miroir en $\;I{\big )}\;-$ le plan $\;\left(I,\;{\vec {N}},\;{\vec {u}}_{1}\right)\;$ comme « plan d'incidence associé au rayon incident », le plan d'incidence étant orienté de façon arbitraire ; l'angle orienté $\;{\widehat {\left({\vec {N}}\;,\;{\vec {u}}_{1}\right)}}=i_{1}\;$ est appelé « angle d'incidence associé au rayon incident », il peut prendre toute valeur de $\;\left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,{\text{;}}\,{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$ en $\;rad\;$ $\;{\bigg \$les bornes de cet intervalle ne sont pas des valeurs permettant une réflexion mais, un angle d'incidence tendant vers la borne inférieure par valeur supérieure $\;{\biggi_{1}\rightarrow \left[-{\dfrac {\pi }{2}}\right]^{+}{\bigg )}\;$ ou vers la borne supérieure par valeur inférieure $\;{\biggi_{1}\rightarrow \left[{\dfrac {\pi }{2}}\right]^{-}{\bigg )}\;$ conduit à une réflexion, le rayon incident étant dit « rasant »${\bigg \}$.
Soit $\;{\overrightarrow {IR}}\;$ le rayon « réfléchi » correspondant au rayon incident précédemment défini, on l’oriente par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{2}\;$ ${\big$dans le sens de propagation du rayon réfléchi${\big )}$, et on définit $-$ dans le cas où le rayon réfléchi n'est pas normal $\;{\big$c.-à-d. $\;\perp \;$ au miroir en $\;I{\big )}\;-$ le plan $\;\left(I,\;{\vec {N}}',\;{\vec {u}}_{2}\right)\;$ comme « plan de réflexion associé au rayon réfléchi », le plan de réflexion étant « orienté en liaison avec celle du plan d’incidence » ; l'angle orienté $\;{\widehat {\left({\vec {N}}'\;,\;{\vec {u}}_{2}\right)}}=i_{2}\;$ est appelé « angle de réflexion associé au rayon réféchi », il peut prendre toute valeur de $\;\left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,{\text{;}}\,{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$ en $\;rad\;$ $\;{\bigg \$là encore les bornes de cet intervalle ne sont pas des valeurs correspondant à une réflexion mais, un angle de réflexion tendant vers la borne inférieure par valeur supérieure $\;{\biggi_{2}\rightarrow \left[-{\dfrac {\pi }{2}}\right]^{+}{\bigg )}\;$ ou vers la borne supérieure par valeur inférieure $\;{\biggi_{2}\rightarrow \left[{\dfrac {\pi }{2}}\right]^{-}{\bigg )}\;$ correspond à une réflexion effective, le rayon réfléchi étant dit « rasant »${\bigg \}$.

### Deuxième loi de Snell-Descartes de la réflexion

$\;i_{2}=-i_{1}\;$

## Les deux lois de Snell-Descartes de la réfraction

La « réfraction dioptrique » est la poursuite de la propagation au-delà du dioptre avec un éventuel changement de direction.
Les lois de Snell - Descartes de la réfraction sont également des postulats de l'optique géométrique, elles sont validées par vérification expérimentale.

### Quelques définitions relatives à la réfraction dioptrique

Soit un rayon incident quelconque $\;{\overrightarrow {SI}}\;$ avec $\;I\;$ appelé « point d'incidence », on lui associe $\;(\Delta )\;$ la normale au dioptre en $\;I\;$ orientée le vecteur unitaire $\;{\vec {N}}\;$ ; soit $\;{\vec {u}}_{1}\;$ le vecteur unitaire orientant le rayon incident, on définit $-$ dans le cas où le rayon incident n'est pas normal $\;{\big$c.-à-d. $\;\perp \;$ au miroir en $\;I{\big )}\;-$ le plan $\;\left(I,\;{\vec {N}},\;{\vec {u}}_{1}\right)\;$ comme « plan d'incidence associé au rayon incident », le plan d'incidence étant orienté de façon arbitraire ; l'angle orienté $\;{\widehat {\left({\vec {N}}\;,\;{\vec {u}}_{1}\right)}}=i_{1}\;$ est appelé « angle d'incidence associé au rayon incident », il peut prendre toute valeur de $\;\left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,{\text{;}}\,{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$ en $\;rad\;$ $\;{\bigg \$les bornes de cet intervalle ne sont pas des valeurs permettant une réfraction mais, un angle d'incidence tendant vers la borne inférieure par valeur supérieure $\;{\biggi_{1}\rightarrow \left[-{\dfrac {\pi }{2}}\right]^{+}{\bigg )}\;$ ou vers la borne supérieure par valeur inférieure $\;{\biggi_{1}\rightarrow \left[{\dfrac {\pi }{2}}\right]^{-}{\bigg )}\;$ peut conduire à une réfraction, le rayon incident étant dit « rasant »${\bigg \}$.
Soit $\;{\overrightarrow {IT}}\;$ le rayon « réfracté » correspondant au rayon incident précédemment défini, on l’oriente par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{2}\;$ ${\big$dans le sens de propagation du rayon réfracté${\big )}$, et on définit $-$ dans le cas où le rayon réfracté n'est pas normal $\;{\big$c.-à-d. $\;\perp \;$ au dioptre en $\;I{\big )}\;-$ le plan $\;\left(I,\;{\vec {N}},\;{\vec {u}}_{2}\right)\;$ comme « plan de réfraction associé au rayon réfracté », le plan de réfraction étant « orienté en liaison avec l'orientation du plan d’incidence » ; l'angle orienté $\;{\widehat {\left({\vec {N}}\;,\;{\vec {u}}_{2}\right)}}=i_{2}\;$ est appelé « angle de réfraction associé au rayon réfracté », il peut prendre une valeur de $\;\left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,{\text{;}}\,{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$ en $\;rad\;$ $\;{\bigg \$les bornes de cet intervalle ne sont pas des valeurs correspondant à une réfraction mais, un angle de réfraction tendant vers la borne inférieure par valeur supérieure $\;{\biggi_{2}\rightarrow \left[-{\dfrac {\pi }{2}}\right]^{+}{\bigg )}\;$ ou vers la borne supérieure par valeur inférieure $\;{\biggi_{2}\rightarrow \left[{\dfrac {\pi }{2}}\right]^{-}{\bigg )}\;$ peut $-$ sous réserve de positionnement de l'indice du milieu émergent $\;n_{2}\;$ relativement à celui du milieu incident $\;n_{1}\;$ $-$ correspondre à une réfraction effective, le rayon réfracté étant dit « rasant »${\bigg \}$.

### Deuxième loi de Snell-Descartes de la réfraction

$\;n_{1}\;\sin(i_{1})=n_{2}\;\sin(i_{2})\;$
Commentaires : $\;\sin(i_{2})={\dfrac {n_{1}}{n_{2}}}\,\sin(i_{1})\;$ permet de comparer $\;i_{1}\;$ à $\;i_{2}\;$ suivant le rapport $\;{\dfrac {n_{1}}{n_{2}}}$ :
* tout d'abord $\;i_{1}=0\;$ $\Rightarrow$ $\;i_{2}=0\;$ montrant qu'« un rayon incident normal traverse le dioptre sans déviation »,
* ensuite, $\;i_{2}\;$ et $\;i_{1}\;$ sont de même signe, montrant qu'« un incident et son réfracté au point d'incidence $\;I\;$ sont toujours situés de part et d'autre de la normale en $\;I\;$ à la surface dioptrique »,
* enfin, « si $\;n_{1}<n_{2}\;$ ${\big$exemple dioptre air - verre${\big )}\;$» $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {n_{1}}{n_{2}}}<1$, nous en déduisons «$\;{\dfrac {n_{1}}{n_{2}}}\,\vert \sin(i_{1})\,\vert <\vert \sin(i_{1})\,\vert \;$» soit, sachant que $\;\sin(i_{2})=$ ${\dfrac {n_{1}}{n_{2}}}\,\sin(i_{1})$, «$\;\vert \sin(i_{2})\,\vert <\vert \sin(i_{1})\,\vert \;$» $\Rightarrow$ «$\;\vert i_{2}\vert <\vert i_{1}\vert \;$» c.-à-d. « un rayon passant d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent se réfracte en se rapprochant de la normale » $\;{\big$voir ci-dessous à gauche${\big )}$,
* Disposition du rayon réfracté relativement au rayon incident dans une réfraction air - verre
* Disposition du rayon réfracté relativement au rayon incident dans une réfraction verre - air
* alors que « si $\;n_{1}>n_{2}\;$ ${\big$exemple dioptre verre - air${\big )}\;$» $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {n_{1}}{n_{2}}}>1$, nous en déduisons «$\;{\dfrac {n_{1}}{n_{2}}}\,\vert \sin(i_{1})\,\vert >\vert \sin(i_{1})\,\vert \;$» soit, dans la mesure où il y a réfraction et sachant que $\;\sin(i_{2})=$ ${\dfrac {n_{1}}{n_{2}}}\,\sin(i_{1})$, «$\;\vert \sin(i_{2})\,\vert >\vert \sin(i_{1})\,\vert \;$» $\Rightarrow$ $\;\vert i_{2}\vert >\vert i_{1}\vert \;$ c.-à-d. « un rayon passant d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent se réfracte en s'éloignant de la normale » $\;{\big$voir ci-dessus à droite${\big )}$.

### Cône limite de réfraction dans le cas du passage d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent

$\;n_{1}\;$
$\;n_{2}>n_{1}$
Le rayon réfracté étant plus proche de la normale que le rayon incident, la variation de $\;i_{1}\;$ de $-90\,{\text{°}}\;$ à $\;+90\,{\text{°}}\;$ entraîne une « variation moindre de $\;i_{2}\;$ de $\;-{\mathit {l}}\;$ à $\;{\mathit {l}}\;$» où «$\;{\mathit {l}}\;$ est l’angle limite de réfraction » défini par
$\;\sin({\mathit {l}})={\dfrac {n_{1}}{n_{2}}}\quad$
$\quad {\mathit {l}}=\arcsin \!\left({\dfrac {n_{1}}{n_{2}}}\right)\;$
à un rayon incident quelconque arrivant en un point d’incidence $\;I\;$ fixé, correspondra un rayon réfracté issu de $\;I\;$ et se trouvant à l’intérieur d’un cône de révolution, de sommet $\;I$, d’axe $\;(\Delta )\;$ normal au dioptre en $\;I\;$ et de demi-angle au sommet $\;{\mathit {l}}$ ; ce cône est appelé « cône limite de réfraction en$\;I\;$», voir figure ci-contre $\;{\big$plaçant un diaphragme sur le dioptre, ne permettant de faire passer la lumière qu’à travers $\;I$, et supposant que la seule source de lumière se trouve du côté de l’air, seul le cône de réfraction en $\;I\;$ sera éclairé, le reste étant dans l’obscurité et par suite, un poisson situé hors de ce cône ne pourra pas être vu par le pêcheur situé dans le milieu « air » car aucun rayon incident arrivant en $\;I\;$ ne pourra atteindre le poisson${\big )}$.
Passage air - eau : «$\;{\mathit {l}}=\arcsin \!\left({\dfrac {1}{1,33}}\right)\simeq 48,8\,{\text{°}}\;$»,
passage air - verre : «$\;{\mathit {l}}=\arcsin \!\left({\dfrac {1}{1,50}}\right)\simeq 41,8\,{\text{°}}\;$» et
passage eau - verre : «$\;{\mathit {l}}=\arcsin \!\left({\dfrac {1,33}{1,50}}\right)\simeq 62,5\,{\text{°}}\;$».

### Cône limite d'incidence pour qu'il y ait réfraction dans le cas d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent

$\;n_{1}\;$
$\;n_{2}<n_{1}$
Le rayon réfracté étant plus éloigné de la normale que le rayon incident, la variation de $\;i_{2}\;$ de $-90\,{\text{°}}\;$ à $\;+90\,{\text{°}}\;$ correspond à une « variation moindre de $\;i_{1}\;$ de $\;-i_{\text{max}}\;$ à $\;i_{\text{max}}\;$» où «$\;i_{\text{max}}\;$ est l’angle limite d'incidence pour qu'il y ait réfraction » défini par
$\;\sin(i_{\text{max}})={\dfrac {n_{2}}{n_{1}}}\,\sin(90\,{\text{°}})={\dfrac {n_{2}}{n_{1}}}\quad$
$\quad i_{\text{max}}=\arcsin \!\left({\dfrac {n_{2}}{n_{1}}}\right)\;$
à un rayon réfracté quelconque issu d'un point d’incidence $\;I$, correspond un rayon incident passant par $\;I\;$ et se trouvant à l’intérieur d’un cône de révolution, de sommet $\;I$, d’axe $\;(\Delta )\;$ normal au dioptre en $\;I\;$ et de demi-angle au sommet $\;i_{\text{max}}$ ; ce cône est appelé « cône limite d'incidence pour qu'il y ait réfraction en$\;I\;$», voir figure ci-contre à gauche $\;{\big$plaçant un diaphragme sur le dioptre, ne permettant de faire passer la lumière qu’à travers $\;I$, et supposant que la seule source de lumière se trouve du côté du verre, on peut restreindre le cône incident de lumière en $\;I\;$ à son cône limite d'incidence pour qu'il y ait réfraction sans qu'il y ait une quelconque modification sur la puissance lumineuse reçue du côté de l'air${\big )}$ ;
sur la figure ci-contre à droite, représentation d'un rayon incident situé hors du cône limite d'incidence pour qu'il y ait réfraction en $\;I$, ce rayon subissant une réflexion totale $\;{\big$il ne faut pas perdre de vue que « la réfraction n'est toujours que partielle, le reste subissant une réflexion » par conséquent, si la réfraction n'est pas possible, « la réflexion devient totale »${\big )}$ ; « si $\;\vert i_{1}\vert >i_{\text{max}}\;$» $\;{\big$ou, si un rayon incident passant par $\;I\;$ est situé « hors du cône limite d'incidence pour qu'il y ait réfraction en $\;I\;$»${\big )}$, il y a « réflexion totale » $\;{\big$voir figure ci-dessus à droite${\big )}$.
Remarque : L'angle limite de réfraction $\;{\mathit {l}}\;$ pour le dioptre « air - eau » étant défini par $\;{\mathit {l}}=\arcsin \!\left({\dfrac {n_{\text{air}}}{n_{\text{eau}}}}\right)\simeq \arcsin \!\left({\dfrac {1}{1,33}}\right)\simeq 48,8\,{\text{°}}\;$ et l'angle limite d'incidence $\;i_{\text{max}}\;$ pour qu'il y ait réfraction sur le dioptre « eau - air » par $\;i_{\text{max}}=\arcsin \!\left({\dfrac {n_{\text{air}}}{n_{\text{eau}}}}\right)\simeq \arcsin \!\left({\dfrac {1}{1,33}}\right)\simeq 48,8\,{\text{°}}$, nous constatons qu'il s'agit de la même relation de définition d'où «$\;i_{\text{max}}={\mathit {l}}\;$» $\;{\big$valable quel que soit le dioptre${\big )}$.

### Angle limite d'un dioptre

Pour tout dioptre séparant deux milieux d'indices différents, l'un des deux est nécessairement le plus petit, nous définissons alors
$\;{\mathit {l}}=\arcsin \!\left({\dfrac {n_{\text{min}}}{n_{\text{max}}}}\right)\quad$
$\quad \sin({\mathit {l}})={\dfrac {n_{\text{min}}}{n_{\text{max}}}}\;$
* l'angle limite de réfraction si la lumière passe du milieu le moins réfringent au milieu le plus réfringent,
* l'angle limite d'incidence pour qu'il y ait réfraction si la lumière passe du milieu le plus réfringent au milieu le moins réfringent.

### Retour sur la propagation dans un milieu inhomogène

Nous avons indiqué dans la note « $^{38}$ » du chap.$10$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » que « la propagation cesse d'être rectiligne dans un milieu inhomogène » $\;{\big \$voir le paragraphe « milieu inhomogène » du chap.$10$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »${\big \}$ en précisant la forme de la propagation dans une solution saturée saline d'une part et d'autre part celle dans l'air des régions « chaude ou froide » créant l'apparition de mirages $\;{\big$rappel ci-dessous${\big )}$ ;
* Propagation incurvée d'un faisceau cylindrique laser dans une solution saline saturée
* Mirage chaud $\;{\big$ou inférieur${\big )}\;$ dû à un gradient de température d'air vertical descendant
* Mirage froid $\;{\big$ou supérieur${\big )}\;$ dû à un gradient de température d'air vertical ascendant
nous expliquons ces phénomènes simplement en remplaçant le milieu inhomogène dans lequel l'indice varie continûment avec l'altitude par une juxtaposition verticale de couches planes de faible épaisseur de milieux homogènes d'indices différents d'une couche à l'autre ainsi :
* dans une solution saline saturée non homogénéisée $\;{\big$telle que la concentration $\;c\nearrow \;$ quand $\;z\searrow \;$ et, comme $\;n\;$ est une fonction $\;\nearrow \;$ de $\;c$, $\;n\nearrow \;$ quand $\;z\searrow {\big )}\;$ nous pouvons considérer une succession verticale de couches de faible épaisseur de concentration constante donc d'indice constant, entraînant l'existence d'une succession de dioptres plans séparant deux milieux d'indices très voisins ; le milieu supérieur étant moins réfringent que le milieu inférieur, nous observons qu'un « rayon incident du milieu supérieur se réfracte vers le milieu inférieur en se rapprochant de la normale » d'où une courbure de la direction de propagation vers le bas $\;{\big$voir figure ci-dessous à gauche${\big )}$ ;
* Explication de la propagation incurvée d'un faisceau cylindrique laser dans une solution saline saturée par réfraction à travers des couches horizontales de faible épaisseur
* Explication d'un mirage chaud $\;{\big$ou inférieur${\big )}\;$ dû à un gradient de température d'air vertical descendant par réfraction à travers des couches horizontales de faible épaisseur
* Explication d'un mirage froid $\;{\big$ou supérieur${\big )}\;$ dû à un gradient de température d'air vertical ascendant par réfraction à travers des couches horizontales de faible épaisseur
* dans une région chaude à forte variation de température par mètre d'altitude $\;{\big$telle que la température $\;T\searrow \;$ quand $\;z\nearrow \;$ et, comme $\;n\;$ est une fonction $\;\searrow \;$ de $\;T$, $\;n\nearrow \;$ quand $\;z\nearrow {\big )}\;$ nous pouvons considérer une succession verticale de couches de faible épaisseur de température constante donc d'indice constant, entraînant l'existence d'une succession de dioptres plans séparant deux milieux d'indices très voisins ; le milieu supérieur étant plus réfringent que le milieu inférieur, nous observons tout d'abord qu'un « rayon incident du milieu supérieur se réfracte vers le milieu inférieur en s'éloignant de la normale » jusqu'à ce que l'incidence devienne rasante, la composante verticale de la propagation se faisant alors dans l'autre sens et on observe qu'« un rayon incident du milieu inférieur se réfracte vers le milieu supérieur en se rapprochant de la normale » d'où une courbure de la direction de propagation vers le haut $\;{\big$voir figure ci-dessus au centre${\big )}$ ;
* dans une région froide à forte variation de température par mètre d'altitude $\;{\big$telle que la température $\;T\nearrow \;$ quand $\;z\nearrow \;$ et, comme $\;n\;$ est une fonction $\;\searrow \;$ de $\;T$, $\;n\searrow \;$ quand $\;z\nearrow {\big )}\;$ nous pouvons considérer une succession verticale de couches de faible épaisseur de température constante donc d'indice constant, entraînant l'existence d'une succession de dioptres plans séparant deux milieux d'indices très voisins ; le milieu inférieur étant plus réfringent que le milieu supérieur, nous observons tout d'abord qu'un « rayon incident du milieu inférieur se réfracte vers le milieu supérieur en s'éloignant de la normale » jusqu'à ce que l'incidence devienne rasante, la composante verticale de la propagation se faisant alors dans l'autre sens et on observe qu'« un rayon incident du milieu supérieur se réfracte vers le milieu inférieur en se rapprochant de la normale » d'où une courbure de la direction de propagation vers le bas $\;{\big$voir figure ci-dessus à droite${\big )}$.

## Interprétation des deuxièmes lois de Snell-Descartes à l'aide du modèle ondulatoire
### Introduction

Nous avons considéré les lois de « Snell - Descartes » comme postulats de l'optique géométrique mais il est possible d'avoir une autre approche en restant d'abord dans le cadre de l'optique ondulatoire pour déterminer quelques propriétés puis en se plaçant dans l'approximation de l'optique géométrique $\;{\big$ce qui revient à considérer $\;\lambda _{0}\;$ comme un infiniment petit relativement aux autres dimensions${\big )}$ ; une « O.P.H. » de longueur d'onde dans le vide $\;\lambda _{0}\;$ a une « phase instantanée égale à $\;\Phi =\omega \,t-k\,r={\dfrac {2\,\pi }{T}}\,t-{\dfrac {2\,\pi }{\lambda }}\,r\;$» soit encore «$\;\Phi =$ $2\,\pi \left({\dfrac {t}{T}}-{\dfrac {n\,r}{\lambda _{0}}}\right)\;$» en utilisant le « lien entre longueur d'onde $\;\lambda \;$ dans le milieu et celle $\;\lambda _{0}\,$ dans le vide $\;\lambda ={\dfrac {\lambda _{0}}{n}}\;$», soit enfin, une « O.P.H. » de longueur d'onde dans le vide $\;\color {transparent}{\lambda _{0}}\;$ en définissant le « chemin optique » $\;{\mathcal {L}}\;$ comme « la distance que la lumière parcourrait dans le vide pendant la même durée que celle qu'elle parcourt dans le milieu d'indice$\;n\;$» soit, pour une « distance géométrique $\;r\;$ dans un milieu d'indice $\;n\;$», un chemin optique égal à «$\;{\mathcal {L}}=n\,r\;$», la réécriture de la phase instantanée selon
$\;\Phi =2\,\pi \left({\dfrac {t}{T}}-{\dfrac {\mathcal {L}}{\lambda _{0}}}\right)\;$

### Interprétation de la deuxième loi de Snell-Descartes de la réfraction par utilisation du modèle ondulatoire

Un « pinceau parallèle monochromatique » arrivant sur le dioptre avec un angle d'incidence $\;i_{1}\;$ est associé, dans le modèle ondulatoire, à une « O.P.H. » se propageant dans la direction faisant, avec la normale au dioptre, l'angle $\;i_{1}\;$ et cette « O.P.H. » émerge de la surface dioptrique en « O.P.H. » se propageant dans une direction faisant, avec la normale au dioptre, un angle $\;i_{2}$, cette « O.P.H. réfractée » étant associée à un « pinceau parallèle monochromatique » d'angle de réfraction $\;i_{2}$ ;
admettant la 1ère loi de Snell - Descartes de la réfraction, les directions des pinceaux incident et réfracté sont considérées dans un même plan normal passant par $\;I\;$ « le plan d'incidence » $\;{\big$voir figure ci-contre${\big )}$, admettant la 1ère loi de Snell - Descartes de la réfraction, nous nous proposons de démontrer la 2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction à savoir «$\;n_{1}\,\sin(i_{1})=$ $n_{2}\,\sin(i_{2})\;$» ;
les plans d'onde dont les traces sur le plan d'incidence sont respectivement $\;AA'\;$ et $\;BB'$, étant des surfaces équiphases, nous en déduisons que le « chemin optique entre $\;A\;$ et $\;B\;$» est le même que « celui entre $\;A'\;$ et $\;B'\;$» soit «$\;{\mathcal {L}}_{AB}={\mathcal {L}}_{A'B'}\;$» ou «$\;n_{2}\,AB=n_{1}\,A'B'\;\;({\mathfrak {1}})\;$» ; deux angles à côtés respectivement $\;\perp \;$ étant égaux nous en déduisons «$\;{\widehat {({\overrightarrow {AB'}}\,{\text{;}}\,{\overrightarrow {AA'}})}}=i_{1}\;$» et «$\;{\widehat {({\overrightarrow {B'A}}\,{\text{;}}\,{\overrightarrow {B'B}})}}=$ $i_{2}\;$» d'où «$\;AB=$ $AB'\,\sin(i_{2})\;$» et «$\;A'B'=AB'\,\sin(i_{1})\;$» soit, par report dans $\;({\mathfrak {1}})$, «$\;n_{2}\,AB'\,\sin(i_{2})=n_{1}\,AB'\,\sin(i_{1})\;$» ou, par simplification par $\;AB'$,
$\;n_{2}\,\sin(i_{2})=n_{1}\,\sin(i_{1})\;$

### Interprétation de la deuxième loi de Snell-Descartes de la réflexion par utilisation du modèle ondulatoire

Dans le cadre de l'optique ondulatoire et en admettant la 1ère loi de Snell - Descartes de la réflexion nous pouvons procéder de même pour démontrer la 2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion ; pour cela nous considérons un « pinceau parallèle monochromatique » arrivant sur la surface réfléchissante avec un angle d'incidence $\;i_{1}\;$ et nous lui associons une « O.P.H. » se propageant dans la direction faisant, avec le vecteur unitaire $\;{\vec {N}}\;$ normal à la surface réfléchissante orienté dans le sens incident, l'angle $\;i_{1}$ ;
cette « O.P.H. » se réfléchit alors en « O.P.H. » se propageant dans une direction faisant, avec le vecteur unitaire normale $\;{\vec {N}}'\;$ à la surface réfléchissante orienté dans le sens réfléchi, un angle $\;i_{2}$, et à cette « onde plane réfléchie » on associe un « pinceau parallèle monochromatique » d'angle de réflexion $\;i_{2}$ ;
admettant la 1ère loi de Snell - Descartes de la réflexion, les directions des pinceaux incident et réfléchi sont considérées dans un même plan normal passant par $\;I\;$ « le plan d'incidence » $\;{\big$voir figure ci-contre${\big )}\;$ et nous nous proposons de démontrer la 2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion à savoir «$\;i_{2}=-i_{1}\;$» ;
les plans d'onde dont les traces sur le plan d'incidence sont respectivement $\;AA'\;$ et $\;BB'$, étant des surfaces équiphases, nous en déduisons que le « chemin optique entre $\;A\;$ et $\;B\;$» est le même que « celui entre $\;A'\;$ et $\;B'\;$» soit «$\;{\mathcal {L}}_{AB}$ $={\mathcal {L}}_{A'B'}\;$» ou «$\;n\,AB=n\,A'B'\;\;({\mathfrak {2}})\;$» ; deux angles à côtés respectivement $\;\perp \;$ étant égaux nous en déduisons «$\;{\widehat {({\overrightarrow {B'B}}\,{\text{;}}\,{\overrightarrow {B'A}})}}=i_{1}>0\;$» et «$\;{\widehat {({\overrightarrow {AA'}}\,{\text{;}}\,{\overrightarrow {AB'}})}}$ $=i_{2}<0\;$» d'où «$\;AB=AB'\,\vert \sin(i_{1})\,\vert \;$» et «$\;A'B'=AB'\,\vert \sin(i_{2})\,\vert \;$» soit, par report dans $\;({\mathfrak {2}})$, «$\;n\,AB'\,\vert \sin(i_{1})\,\vert =$ $n\,AB'\,\vert \sin(i_{2})\,\vert \;$» dont on déduit «$\;\vert i_{2}\vert =\vert i_{1}\vert \;$» et, compte-tenu du signe des angles visualisés sur la figure
$\;i_{2}=-i_{1}\;$

## Conditions de réflexion totale dioptrique
### Généralités

Nous avons vu, d'une part, qu'il y avait toujours réfraction quel que soit l'angle d'incidence si la lumière passait d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent car le rayon réfracté est plus proche de la normale que le rayon incident d'où une 1ère C.N. pour qu'il n'y ait pas réfraction :  $\;\succ \;$la lumière doit passer d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent $\;n_{1}>n_{2}$, exemple : dioptre « verre - air » ou « eau - air » ;
nous avons vu, d'autre part, que dans ce cas, la condition de réfraction est que l'angle d'incidence soit strictement inférieur à l'angle limite du dioptre d'où une 2ème C.N. pour qu'il y ait réflexion totale $\;{\big$associée à la 1ère C.N., ces conditions s'avèrent suffisantes${\big )}$ :  $\;\succ \;$l'angle d'incidence doit être supérieur$\;{\big$au sens large${\big )}\;$à l'angle limite du dioptre ou «$\;i_{1}\geqslant \arcsin \!\left({\dfrac {n_{2}}{n_{1}}}\right)\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;\sin(i_{1})\geqslant {\dfrac {n_{2}}{n_{1}}}\;$».

### Applications

Les applications de la réflexion totale sont nombreuses, citons en deux exemples :

#### Prisme à réflexion totale

L'angle limite pour un dioptre « verre - air » avec un verre d'indice $\;n_{1}=1,53\;$ et l'air d'indice $\;n_{2}=1,00\;$ étant «$\;{\mathit {l}}=\arcsin \!\left({\dfrac {1,00}{1,53}}\right)$ $\simeq 40,8\,{\text{°}}\;$», si un rayon se propageant dans le verre arrive sur une des surfaces dioptriques « verre - air » avec un angle d'incidence supérieur à $\;40,8\,{\text{°}}$, il sera totalement réfléchi comme sur les schémas ci-contre à gauche ou à droite :
$\;\succ \;$« équerre optique » sur le schéma de gauche $\;{\big$un rayon incident normal entre par la face d'entrée $\;AC\;$ sans être dévié, il rencontre le dioptre « verre - air » $\;AB\;$ sous l'angle d'incidence $\;45\,{\text{°}}\;$ supérieur à l'angle limite $\;{\mathit {l}}=40,8\,{\text{°}}\;$ d'où réflexion totale sur la face $\;AB\;$ renvoyant le rayon perpendiculairement au rayon incident et enfin le rayon réfléchi arrivant normalement à la face de sortie $\;BC\;$ n'est pas dévié${\big ]}$,
$\;\succ \;$réalisation d'une « translation verticale » à l'aide de « deux équerres optiques » comme cela est nécessaire dans un périscope ou un appareil photographique « réflex » sur le schéma de droite.

#### Fibre optique guide de lumière

Une fibre optique est constituée d'une âme cylindrique d'indice $\;n_{a}\;$ ${\big$exemple $\;n_{a}=1,66{\big )}\;$ entourée d'une gaine, enveloppe cylindrique, d'indice $\;n_{g}<n_{a}\;$ ${\big$pour le même exemple $\;n_{g}=1,52{\big )}$ ;
une fibre est utilisée pour guider la lumière incidente pénétrant dans son âme par une extrémité et devant ressortir par l'autre extrémité sans avoir subi de réfraction sur la surface dioptrique « âme - gaine », il faut donc qu'un rayon qui atteindrait cette surface y arrive sous un angle d'incidence de valeur absolue supérieure à l'angle limite de ce dioptre «$\;{\mathit {l}}=\arcsin \!\left({\dfrac {1,52}{1,66}}\right)\simeq 66,3\,{\text{°}}\;$» $\;{\big$voir figure ci-contre où la fibre est courbée${\big )}\;$.