# Tennis de table/Annexe/Modélisation du rebond sur la table
## Présentation

Cette annexe se propose d'étudier le rebond sur la table d'une balle de tennis de table du point de vue des sciences physiques.
Le phénomène de déformation de la balle, ainsi que les phénomènes liés à la présence d'air autour de la balle (notamment la compression de l'air entre la balle et la table) jouent certainement un rôle. On a cependant pris le parti de les négliger ici.
On se concentrera pour étudier le rebond sur l'aspect « mécanique du solide ».
En particulier, c’est la relation entre la vitesse de translation de la balle $v$ et sa vitesse de rotation $\omega$ qui apparait déterminante.
En se limitant à des balles sans effets latéraux, possédant simplement un effet coupé $\omega <0$ ou un effet lifté ($\omega >0)$, on peut a priori distinguer plusieurs cas :
* les balles sur-liftées pour lesquels la vitesse d'un point de la surface de la balle est supérieure à la vitesse horizontale de translation de la balle, vont accélérer au rebond.
* les balles sous-liftées pour lesquels la vitesse d'un point de la surface de la balle est inférieure à la vitesse horizontale de translation de la balle vont ralentir au rebond.
* les balles coupées vont ralentir au rebond.
Mais cette classification a priori ne tient pas compte du phénomène fondamental d'accroche. La nature physique du contact balle-table peut être :
* soit un glissement
* soit un contact sans glissement avec absorbtion instantanée de la différence de vitesse par déformation de la balle.
Le critère déterminant la nature du contact est le différentiel de vitesse entre un point de l'équateur de la balle et le centre de la balle.
* Si la balle est très liftée par rapport à sa vitesse, elle va glisser au contact. Sinon elle va accrocher.

## Les balles sur-liftées
### Le phénomène du rebond « subnormal »

Les pongistes le savent, il arrive parfois que le rebond d'un top spin soit sensiblement plus bas que prévu. Alors que le coup de l'adversaire paraissait tout à fait normal, la balle rebondit inexplicablement bas, et passe sous la raquette.
Nombreux sont ceux qui alors vérifient que la balle n’est pas cassée, ou que la table est bien lisse à cet endroit, ou encore qu'un morceau de caoutchouc de revêtement n'a pas perturbé la course de la balle.
L'étude suivante prétend démontrer qu’il est possible que ce phénomène de rebond « subnormal » ait une cause physique, et qu’il ne soit pas dû à une anomalie.

### Une vraie balle liftée

Une balle liftée ne va pas toujours accélérer quand elle touche la table. Il faut pour cela que la vitesse du point de contact soit supérieure à la vitesse du centre de gravité de la balle.
Cette condition s'écrit : $R\omega >v$.
On dira que la balle est « sur-liftée ».
Dans cette étude on considèrera une balle « sur-liftée », qui vérifie cette condition. Le cas du sous-lift n’est pas abordé.

### Glissement ou accroche

D'une manière générale, on peut affirmer que l'adhérence de la table est beaucoup moins grande que celle d'une raquette équipée d'un backside moderne (hors anti-top). Pour cette raison le contact de la balle et de la table comportera deux aspects :
* soit la balle frotte/glisse sur la table au moment du rebond.
* soit la balle ne frotte pas et accroche au moment du rebond, pour restituer son énergie de rotation après le rebond sous forme de vitesse de translation.
Bien sûr, en situation réelle, les deux aspects seront présents. Le problème est de savoir lequel prédomine.

### Modélisation du glissement
#### Notations

On notera :
* $v$ la vitesse horizontale du centre de gravité de la balle juste avant le rebond
* $v(t)$ la vitesse horizontale du centre de gravité de la balle, t secondes après l'impact.
* $v''$ la vitesse horizontale du centre de gravité de la balle à la fin du glissement.
* ω la vitesse de rotation de la balle juste avant le rebond.
* ω(t) la vitesse de rotation de la balle , t secondes après l'impact.
* $\omega ''$ la vitesse de rotation de la balle à la fin du glissement.

#### Hypothèses

Au moment du contact balle/table, on suppose que la balle tourne trop vite pour accrocher la table, ceci se traduit par la formule :
$R\omega >>v$
On considèrera que la balle arrête de glisser avant qu’il y ait égalité stricte :
$R\omega (t)=v(t)$
en effet, la balle est capable de se déformer légèrement, et donc d'accrocher même si la condition de roulement sans glissement n’est pas atteinte.
On suppose donc l’existence d'une vitesse différentielle d'accroche $v_{acc}$ et la condition d'arrêt du glissement devient :
$v_{acc}=R\omega (t)-v(t)$

#### Application des théorèmes

La réaction de la table se décompose en réaction normale N et réaction tangentielle T.
Dans le cas du glissement, on a :
${\frac {T}{N}}=f$ (coefficient de frottement cinétique)
Le théorème fondamental de la dynamique donne en projection tangentielle sur l'horizontale :
$T=m{\frac {dv}{dt}}$ où m est la masse de la balle
et en projection normale :
$N=-mg$
Le théorème du moment cinétique donne en projection sur l'axe de rotation de la balle :
* $J{\frac {dw}{dt}}=-TR$ où R est le rayon de la balle

#### Intégration

On obtient :
$v(t)=v+{\frac {T}{m}}t$
et
$\omega (t)=\omega -{\frac {T\ R}{J}}t$
où $J$ est le moment d'inertie de la balle, qui vaut pour une sphère creuse $J={\frac {2}{3}}mR^{2}$.
Donc $v(t)=v+{\frac {T}{m}}t$
${\frac {T}{N}}=f$
et
$N=-mg$
donnent :
$v(t)=v+{\frac {T}{m}}t=v+fgt$
et pour la rotation :
$R\omega (t)=R\omega -{\frac {3}{2}}fgt$

#### Arrêt du glissement

En remplaçant par ces équations :
$v''=v+fgt$
$R\omega ''=R\omega -{\frac {3}{2}}fgt$
dans la condition d'arrêt du glissement :
$v''=R\omega (t)-v_{acc}$
on obtient le temps :
$t={\frac {2}{5fg}}(R\omega -v-v_{acc})$
et en remplaçant t dans v :
$v''={\frac {3}{5}}v+{\frac {2}{5}}R\omega -{\frac {2}{5}}v_{acc}=v+{\frac {2}{5}}(R\omega -v_{acc}-v)$
et dans $R\omega$ :
$R\omega ''=R\omega -{\frac {3}{5}}(R\omega -v-v_{acc}),$
Cette formule donne la vitesse horizontale de la balle après le rebond, en supposant que celui-ci ait duré suffisamment longtemps pour libérer toute l'énergie de rotation de la balle.

#### Conclusion partielle concernant le glissement

Si on considère que le temps $\tau$ de contact avec la table est une constante de notre étude, qui ne dépend que de la vitesse verticale de la balle, deux cas peuvent se produire :
* soit la balle quitte la table avant d'atteindre la condition d'arrêt du glissement, et dans ce cas sa vitesse sera :
$v'=v+fg\tau$
$R\omega '=R\omega -{\frac {3}{2}}fg\tau$
* soit la balle atteint la condition d'arrêt du glissement avant de quitter la table, et dans ce cas
elle va « accrocher ». Au moment de l'accroche, sa vitesse sera :
    $v''={\frac {3}{5}}v+{\frac {2}{5}}R\omega -{\frac {2}{5}}v_{acc}=v+{\frac {2}{5}}(R\omega -v_{acc}-v)$
    $R\omega ''=R\omega -{\frac {3}{5}}(R\omega -v-v_{acc}),$
Dans ce second cas, la balle entre dans le cas de l'étude suivante, qui concerne le phénomène d'accroche.

### Le cas où la balle accroche
#### Modélisation et hypothèses

Ici, la balle est assimilée à une sphère de centre O et de rayon R, entrant en contact avec la table au point C.
Pour le choc, on distingue la composante normale et la composante tangentielle.
Le choc normal est partiellement élastique, avec un coefficient de restitution de 0,7 approximativement.
On se place dans le référentiel de la table, avec une base orthonormée directe comme sur la figure.
La vitesse d'arrivée du point O se décompose en :
$v_{O}=v_{Ox}{\vec {i}}+v_{Oz}{\vec {k}}$
La vitesse de rotation de la balle juste avant l'accroche est :
$\omega {\vec {j}}$

#### Moment cinétique de la balle par rapport au point de contact

La balle est ici assimilée à un solide indéformable.
On calcule son moment cinétique par rapport à son centre de gravité O avec la formule :
$\sigma _{O}(B/R)=J\omega {\vec {j}}$.
En appliquant le torseur cinétique :
${\overrightarrow {\sigma _{C}(B/R)}}=J\omega {\vec {j}}+m{\overrightarrow {V(G/R)}}\wedge {\overrightarrow {OC}}$
Les vecteurs ${\overrightarrow {V(G/R)}}$ et ${\overrightarrow {OC}}$ étant tous deux dans le plan $({\vec {i}};{\vec {k}})$, on projette cette relation sur ${\vec {j}}$ :
$\sigma _{C}(B/R)=J\omega +mRV_{x}(G/R)$

#### Conservation du moment cinétique

On notera $v$ la vitesse du centre de gravité de la balle avant l'accroche, et $v'$ après l'accroche.
On adopte la même notation pour la rotation ω.
Elle s'écrit avant et après le rebond comme :
$-J\omega -Rmv=-J\omega '-Rmv'$
en multipliant par -1 :
$J\omega +Rmv=+J\omega '+Rmv'$
De plus pour une sphère creuse $J={\frac {2}{3}}mR^{2}$,
et la condition d'accroche est : $R\omega '=v'$
donc :
${\frac {2}{3}}mR^{2}{\frac {v'}{R}}+Rmv'=\omega {\frac {2}{3}}mR^{2}+mRv$
donc :
${\frac {5}{3}}v'={\frac {2}{3}}R\omega +v$
Finalement :
$v'={\frac {2}{5}}R\omega +{\frac {3}{5}}v={\frac {2}{5}}(R\omega -v)+v$

#### Cas où il y a glissement, puis accroche

L'étude précédente vaut également si la balle, au lieu d'accrocher tout de suite, a préalablement glissé. Il suffit d’utiliser les valeurs après glissement trouvées dans l'étude du glissement.
On a alors :
$v'={\frac {2}{5}}(R\omega -v'')+v''={\frac {2}{5}}(v_{acc})+v''$
$v'={\frac {2}{5}}(v_{acc})+v+{\frac {2}{5}}(R\omega -v-v_{acc})=v+{\frac {2}{5}}(R\omega -v)$
Ceci montre que le cas glissement puis accroche revient au même gain de vitesse que l'accroche directe.

### Conclusion de l'étude concernant la vitesse après rebond

On vient de constater que les trois cas « glissement », « glissement puis accroche », et « accroche directe » ne font en fait que deux :
* soit la balle quitte la table avant d'accrocher avec la vitesse
$v'=v+fg\tau$
Dans ce cas, comme la condition d'accroche n’est pas atteinte, on a une majoration :
$v'\leq v+{\frac {2}{5}}(R\omega -v_{acc}-v)$
* soit la balle accroche, soit directement, soit après glissement, et elle quitte la table avec la vitesse :
$v'=v+{\frac {2}{5}}(R\omega -v)$
Il y a donc une discontinuité entre les deux cas, qui vaut au minimum :
${\frac {2}{5}}v_{acc}$
C'est le problème de l'influence de cette discontinuité en termes d'angle qui fera l’objet de l'étude suivante.
Est-elle responsable du phénomène de rebond « sub-normal ».

### Angle après le rebond

L'angle de la trajectoire de la balle avec la table est donnée après le rebond par :
$tan(\alpha )={\frac {V_{y}}{V_{x}}}={\frac {V_{y}}{V_{x}(0)}}\times {\frac {V_{x}(0)}{V_{x}}}$
En supposant le choc vertical de coefficient de restitution $e$, on a $V_{y}=-e\times V_{y}(0)$, donc :
$|tan(\alpha )|={\frac {-eV_{y}(0)}{V_{x}(0)}}\times {\frac {V_{x}(0)}{V_{x}}}=e|tan(\alpha _{0})|\times {\frac {V_{x}(0)}{V_{x}}}$
${\frac {|tan(\alpha )|}{|tan(\alpha _{0})|}}=e{\frac {V_{x}(0)}{V_{x}}}$
${\frac {V_{x}(0)}{V_{x}}}$ est donc la quantité à étudier, ce que nous allons faire en utilisant les relations obtenus dans les deux cas.
* Cas du top rotation :

#### ${\frac {V_{x}(0)}{V_{x}}}={\frac {1}{(1+{\frac {{\frac {R\omega _{0}}{Vx_{0}}}-1}{{\frac {mR^{2}}{J}}+1}})}}$

* Cas du top frappé :
${\frac {V_{x}(0)}{V_{x}}}={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {({\frac {Rw_{0}}{V_{x}(0)}})^{2}-1}{{\frac {mR^{2}}{J}}+1}}}}}$
Dans les deux cas, on aura les valeurs numériques suivantes :
* m = 2,7 g = 0,0027 kg
* R = 20 mm = 0,02 m
* J(sphère creuse)=${\frac {2}{3}}mR^{2}\approx 7,2.10^{-7}$
Donc avec :
    (top frappé)$1\leq x={\frac {Rw_{0}}{V_{x}(0)}}\leq \infty$(top rotation)
* Cas du top rotation :
${\frac {V_{x}(0)}{V_{x}}}={\frac {1}{(1+{\frac {x-1}{2,5}})}}$
* Cas du top frappé :
${\frac {V_{x}(0)}{V_{x}}}={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}-1}{2,5}}}}}$

## Les balles sous-liftées et les balles coupées

Paradoxalement, en ce qui concerne le rebond sur la table, le cas de la balle sous-liftée et celui de la balle coupée peuvent être traités ensemble, dans la mesure où dans les deux cas, la balle ralentit au rebond.
Là encore, le phénomène d'accroche est fondamental. On peut a priori distinguer les balles (coupées ou liftées) qui accrochent de celles qui glissent. Dans le second cas, on dira que la balle fuse.

### Le problème des balles molles

La balle coupée molle est le cauchemar du pongiste car il s'agit d'une balle coupée qui après son rebond est légèrement liftée car de l'énergie de translation a été convertie en énergie de rotation.
Le revêtement anti-top ont la capacité de produire beaucoup de balles molles car ils sont à la fois lents et lisses. Les vitesses de translations et de rotations sont donc faibles et il est difficile de savoir laquelle prédomine sur l'autre.
On tentera dans cette étude de déterminer les conditions dans lesquelles il est possible de produire une balle molle.
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