# Topologie générale/Exercices/Topologie de R ou C
## Exercice 1

1.— Soit $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ une suite réelle bornée telle que $u_{n+1}-u_{n}\rightarrow 0$. Montrer que l’ensemble des valeurs d'adhérence de la suite est un segment non vide de $\mathbb {R}$.
* L'existence d'au moins une valeur d'adhérence est garantie par le fait que la suite est bornée dans $\mathbb {R}$ localement compact.
* Supposons que a et b soient valeurs d'adhérence de la suite (avec par exemple $a<b$)
Soit $c\in ]a,b[$. Montrons que c est aussi valeur d'adhérence de la suite :
Soit $n_{0}\in \mathbb {N}$ et $\varepsilon >0$
    $\exists N_{0}\in \mathbb {N} ,\forall n\in \mathbb {N} ,n\geq N_{0}\Rightarrow |u_{n+1}-u_{n}|<\varepsilon$
Quitte à le remplacer par $max(N_{0},n_{0})$ on peut considérer $N_{0}\geq n_{0}$.
Comme a et b valeurs d'adhérence de la suite, alors
    $\exists n_{1}\geq N_{0},|u_{n_{1}}-a|<{\frac {c-a}{2}}\;$$\;$ $\;\;(1)\;$
et
    $\exists n_{2}\geq N_{0},|u_{n_{2}}-b|<{\frac {b-c}{2}}\;$$\;$ $\;\;(2)\;$
Supposons par exemple $n_{1}\leq n_{2}$ :
Considérons $E=$ { $n\in [|n_{1};n_{2}|]\ /\;u_{n}<c$ }
On a : $n_{1}\in E\ \;\;$ (par (1))
et $\;n_{2}\notin E\;\;$ (par (2))
E est non vide et inclus dans $[|n_{1};n_{2}-1|]$ majoré, donc il admet un maximum N qui vérifie :
    $u_{N}<c\leq u_{N+1}\;et\;|u_{N+1}-u_{N}|<\varepsilon \;$ $\;(carN\geq N_{0})$
D'où $|c-u_{N}|=c-u_{N}<\varepsilon$
Conclusion : on a bien montré que $\forall n_{0}\in \mathbb {N} ,\;\forall \varepsilon >0,\;\exists N\in \mathbb {N} ,\;N>n_{0}\;\;et\;|u_{N}-c|<\varepsilon$
c'est-à-dire que $c$ est valeur d'adhérence de la suite.
Ainsi, l’ensemble des valeurs d'adhérence de la suite est un intervalle I non vide, borné de $\mathbb {R}$
Enfin, I est fermé, comme tout ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite. Donc I est un segment.
2.— Soit $f:[0,1]\rightarrow [0,1]$ une fonction continue et $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ définie par $u_{0}\in [0,1]$ et la relation $\forall n\in \mathbb {N} ,u_{n+1}=f(u_{n})$. Montrer que la suite converge si (et bien sûr seulement si) $u_{n+1}-u_{n}\rightarrow 0$.
Supposons que $u_{n+1}-u_{n}\to 0$. Remarquons d'abord que toute valeur d'adhérence de la suite est un point fixe de la fonction. En effet, si $u_{\varphi (n)}\to \ell$ alors, par continuité de $f$ en $\ell$, $u_{\varphi (n)+1}=f\left(u_{\varphi (n)}\right)\to f(\ell )$, or $u_{\varphi (n)+1}-u_{\varphi (n)}\to 0$, donc $f(\ell )=\ell$.
D'après la question 1, l'ensemble des valeurs d'adhérence est un segment $\left[a,b\right]\subset \left[0,1\right]$ et d'après la remarque, ce segment est constitué de points fixes. Montrons par l'absurde que $a=b$ : si $a<b$ alors la suite prend au moins une fois ses valeurs dans $\left]a,b\right[$ ; elle est alors stationnaire, ce qui contredit l'hypothèse $a<b$. Par conséquent, la suite (bornée) n'a qu'une valeur d'adhérence, donc converge vers cette valeur.

## Exercice 2

Soit $G$ un sous-groupe additif non nul de $\mathbb {R}$. On note $G^{+}$ l'ensemble (non vide et minoré) des éléments strictement positifs de $G$ et $a$ sa borne inférieure.
* Montrer que si $a>0$ alors $G=a\mathbb {Z}$.
* Montrer que si $a=0$ alors $G$ est dense dans $\mathbb {R}$.
* Décrire les sous-groupes fermés de $\mathbb {R}$.
* Soit $\lambda \in \mathbb {R}$. Montrer que le sous-groupe $G=\mathbb {Z} +\lambda \mathbb {Z}$ est dense dans $\mathbb {R}$ si et seulement si $\lambda \notin \mathbb {Q}$.
* Si $a>0$ alors :
** $a$ appartient à $G$. En effet, sinon, il existerait dans $G$ une suite $(g_{n})$ strictement décroissante et de limite $a$, et $(g_{n}-g_{n+1})$ serait alors une suite de $G^{+}$ convergeant vers 0, ce qui contredirait $a>0$.
** $\mathbb {Z} a\subset G$ car $a$ appartient à $G$ et $G$ est stable par additions et opposés.
** $G\subset \mathbb {Z} a$ car pour tout élément $g$ de $G$, en notant $n$ la partie entière de $g/a$ on a $na\leq g<(n+1)a$, c'est-à-dire $0\leq g-na<a$. Comme par ailleurs $g-na$ appartient à $G$, on en déduit (par définition de $a$) que $g-na=0$, d'où $g=na\in \mathbb {Z} a$.
** $G=a\mathbb {Z}$ d'après les deux inclusions précédentes.
* Si $a=0$ alors pour tout $\varepsilon >0$, il existe un élément $g$ de $G$ tel que $0<g<\varepsilon$. Tout intervalle de longueur $\varepsilon$ contient alors au moins un multiple entier de $g$ et ce multiple appartient à $G$, donc $G$ est dense.
* Les sous-groupes fermés de $\mathbb {R}$ sont donc $\mathbb {R}$, $\{0\}$ et les $a\mathbb {Z}$ pour tout réel $a>0$.
* $\mathbb {Z} +\lambda \mathbb {Z}$ est non dense si et seulement s'il existe un réel $a>0$ tel que $1,\lambda \in a\mathbb {Z}$ et $a\in \mathbb {Z} +\lambda \mathbb {Z}$, c'est-à-dire s'il existe deux entiers $n>0$ et $m$ tels que $\lambda ={\frac {m}{n}}$ et ${\frac {1}{n}}\in \mathbb {Z} +{\frac {m}{n}}\mathbb {Z}$ (autrement dit, d'après le théorème de Bézout : $m$ et $n$ premiers entre eux), donc si et seulement si $\lambda \in \mathbb {Q}$.

## Exercice 3

* Quels sont les sous-groupes multiplicatifs non denses de $\mathbb {R} _{+}^{*}$ ? (Indication : regarder l'image par $\ln$ et utiliser l'exercice précédent). En déduire les sous-groupes multiplicatifs non denses de $\mathbb {R} ^{*}$.
* Montrer qu'un sous-groupe multiplicatif de $U:=\{z\in \mathbb {C} \mid |z|=1\}$ est soit cyclique d'ordre fini, soit dense dans $U$. (Indication : utiliser l'application $x\mapsto \exp(\mathrm {i} x)$.)
* Montrer que l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite $(\cos n)_{n\in \mathbb {N} }$ est $\left[-1,1\right]$.
** Soient $H$ un tel sous-groupe et $G$ son image dans $\mathbb {R}$ par l'homéomorphisme $\ln$. Alors, $G$ n'est pas dense dans $\mathbb {R}$. Il est donc de la forme $G=a\mathbb {Z}$ avec $a\in \mathbb {R} _{+}$, et $H=\exp(G)=\{b^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \}$ pour $b=\exp a\geq 1$. Réciproquement, toute partie $H\subset \mathbb {R} _{+}^{*}$ de cette forme est un sous-groupe non dense.
** Soient $K$ un sous-groupe de $\mathbb {R} ^{*}$ non inclus dans $\mathbb {R} _{+}^{*}$, puis $H=K\cap \mathbb {R} _{+}^{*}$ et $c\in K\setminus H$ (donc $K=H\cup cH$). Si $H$ est dense dans $\mathbb {R} _{+}^{*}$, $K$ est dense dans $\mathbb {R} ^{*}$. Si $H=\{1\}$, $K=\{-1,1\}$. Si $H=\{b^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \}$ avec $b>1$, comme $c^{2}\in H$, il existe $n_{0}\in \mathbb {Z}$ tel que $c=-b^{n_{0}/2}$, et en remplaçant $c$ par son produit par une puissance adéquate de $b$, on peut se ramener à $n_{0}=0$ ou $1$ (selon la parité de $n_{0}$). Si $n_{0}=0$, $K=\{\pm b^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \}$. Si $n_{0}=1$, $K=\{d^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \}$ avec $d=-{\sqrt {b}}$.
* Soient $H$ un tel sous-groupe et $G$ son image réciproque par l'application $g:\mathbb {R} \to U,x\mapsto \exp(\mathrm {i} x)$ (donc $2\pi \in G$). Si $G$ est dense dans $\mathbb {R}$, $H$ est dense dans $U$ (car $\mathbb {R} ={\overline {G}}={\overline {g^{-1}(H)}}\subset g^{-1}({\overline {H}})$ donc $U=g(\mathbb {R} )\subset {\overline {H}}$). Si $G=a\mathbb {Z}$ alors $\exists n\in \mathbb {Z} \quad a=2\pi /n$ donc $H=$ le sous-groupe des $n$ racines $n$-ièmes de l'unité.
* Soit $H=\{\exp(\mathrm {i} n)\mid n\in \mathbb {Z} \}$. D'après la question précédente, $H$ est dense dans $U$. Or l'application « partie réelle » $p:\mathbb {C} \to \mathbb {R}$ est continue, donc ${\overline {p(H)}}\supset p({\overline {H}})=p(U)=[-1,1]$. L'ensemble $\{\cos n\mid n\in \mathbb {N} \}=p(H)$ est donc dense dans $[-1,1]$. Par conséquent, tout élément de $[-1,1]$ est point d'accumulation de cet ensemble donc valeur d'adhérence de la suite.

## Exercice 4

Déterminer toutes les applications $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ telles que
    $\forall x,y\in \mathbb {R} \quad f\left(x+f(y)\right)=f(x+y)$
et, parmi elles :
* toutes celles qui sont continues ;
* des exemples simples de solutions non continues.
Posons $g(x)=x-f(x)$. Ainsi, l'équation fonctionnelle sur $f$ équivaut à l'équation suivante sur $g$ :
    $\forall t,y\in \mathbb {R} \quad g(t+g(y))=g(t)+g(y)\qquad (*)$,
que nous allons résoudre par analyse-synthèse (les solutions $f$ de l'équation initiale s'en déduiront en posant $f(x)=x-g(x)$).

### Analyse

    Soit $g$ une solution. L'ensemble $G=\operatorname {Im} (g)$ est alors un sous-groupe additif de $\mathbb {R}$, et
       $\forall t\in \mathbb {R} \quad \forall z\in G\quad g(t+z)=g(t)+z\qquad (**)$.
    Soit $A\subset \mathbb {R}$ un ensemble de représentants du groupe quotient $\mathbb {R} /G$ et soit $h:A\to G$ la restriction de $g$ à $A$.
    Tout réel $x$ se décompose alors de façon unique sous la forme
       $x=a+z$ avec $a\in A$ et $z\in G$,
    et son image par $g$ est donnée par :
       $g(x)=h(a)+z$.

### Synthèse

    Soient $G$ un sous-groupe de $\mathbb {R}$ et $h:A\to G$ une application arbitraire, $A\subset \mathbb {R}$ étant un ensemble quelconque de représentants de $\mathbb {R} /G$. Alors, l'application $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ définie par
       $\forall a\in A\quad \forall z\in G\quad g(a+z)=h(a)+z$
    vérifie $(**)$ et $\operatorname {Im} (g)\subset G$ (et même $\operatorname {Im} (g)=G$, mais peu importe), donc elle vérifie $(*)$. La solution $f$ correspondante est donnée par :
       $\forall a\in A\quad \forall z\in G\quad f(a+z)=a-h(a)$,
En résumé, les solutions $f$ sont, pour un sous-groupe arbitraire $G$ de $\mathbb {R}$, les fonctions $G$-périodiques congrues à l'identité modulo $G$.

### Solutions continues

    Si $f$ (donc $g$) est continue, le sous-groupe $G$ est un intervalle (d'après le théorème des valeurs intermédiaires) donc est égal à $\{0\}$ ou $\mathbb {R}$.
   * Si $\operatorname {Im} (g)=G=\{0\}$, $g$ est l'application nulle donc $f(x)=x$.
   * Si $G=\mathbb {R}$, $A$ est un singleton quelconque, par exemple $A=\{0\}$, $h(0)=C\in \mathbb {R}$, et
       $\forall z\in \mathbb {R} \quad g(z)=C+z\quad {\text{donc}}\quad f(z)=-C$.
    Les solutions continues $f$ sont donc l'identité et les fonctions constantes.

### Exemples de solutions non continues

    Pour construire une solution non continue, il faut commencer par choisir dans $\mathbb {R}$ un sous-groupe $G$ non trivial. Prenons le plus simple : $G=\mathbb {Z}$. Les solutions $f$ correspondantes sont les fonctions de la forme
       $f(x)=\{x\}+k(\{x\})$
    où $\{x\}$ désigne la partie fractionnaire de $x$ et $k$ est une application quelconque de $\left[0,1\right[$ dans $\mathbb {Z}$.

## Exercice 5

Déterminer, pour tous les sous-ensembles de $\mathbb {R}$ suivants, si ce sont des ouverts, des fermés, les deux, ou ni l'un ni l'autre. Donner également leurs intérieurs, adhérences et frontières.
* $\{x\}$ où $x\in \mathbb {R}$.
* $\left]0,1\right]$.
* $\left]0,1\right]\cup \{2\}$.
* $\left]0,1\right[\cup \left]3,7\right[$.
* $\mathbb {R} ^{+*}$.
* $\mathbb {Q}$.
* $\{x\}$ est un fermé car trivialement stable par limite de suite convergente. Son adhérence est donc lui-même. Son intérieur étant vide, sa frontière est également lui-même.
* $\left]0,1\right]$ n'est pas fermé car $0$ lui est adhérent (comme limite de la suite $(1/n)$) sans lui appartenir. De même, son complémentaire $\left]-\infty ,0\right]\cup \left]1,+\infty \right[$ n'est pas fermé car $1$ lui est adhérent. Ce sous-ensemble n'est pas non plus ouvert. Son intérieur est $\left]0,1\right[$ car le seul point qui n'est pas intérieur est $1$, son adhérence est $\left[0,1\right]$, et sa frontière est donc la paire $\{0,1\}$.
* L'adhérence de $\left]0,1\right]\cup \{2\}$ est ${\overline {\left]0,1\right]}}\cup {\overline {\{2\}}}=\left[0,1\right]\cup \{2\}$ (d'après les deux points précédents) et l'intérieur est $\left]0,1\right[$. Ce sous-ensemble n'est donc ni fermé, ni ouvert, et sa frontière est $\{0,1,2\}$.
* $\left]0,1\right[\cup \left]3,7\right[$ est une union d'ouverts ; c'est donc un ouvert et son intérieur est lui-même. Son adhérence est ${\overline {\left]0,1\right}\cup {\overline {\left]3,7\right}=\left[0,1\right]\cup \left[3,7\right]$, et sa frontière est donc $\{0,1,3,7\}$.
* $\mathbb {R} ^{+*}=\left]0,+\infty \right[$ est un (intervalle) ouvert. Son intérieur est donc lui-même. Son adhérence est $\mathbb {R} ^{+}$, et sa frontière est donc $\{0\}$.
* $\mathbb {Q}$ n'est pas fermé dans $\mathbb {R}$ car son adhérence est $\mathbb {R}$ (autrement dit : $\mathbb {Q}$ est dense dans $\mathbb {R}$). De même, $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ est dense dans $\mathbb {R}$, donc $\mathbb {Q}$ n'est pas ouvert car son intérieur est vide. Donc sa frontière est $\mathbb {R}$.

## Exercice 6

Décrire géométriquement les 7 ensembles suivants de $\mathbb {R} ^{2}$ et dire s'il s'agit d'une partie ouverte, fermée, les deux, ou ni l'un ni l'autre. On utilisera la définition uniquement, à partir des boules ouvertes pour la distance euclidienne.
* $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid |x|\neq 1,|y|\neq 1\}$.
* $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid |x|=1,|y|\neq 1\}$.
* $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid |x|=1,|y|=1\}$.
* $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 3x+4y=2\}$.
* $U:=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}<4\}$.
* $V:=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 2x+y>0\}$.
* $U\cap V$.
* $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid |x|\neq 1,|y|\neq 1\}$ est le plan privé des deux droites verticales $x=1$, $x=-1$ et des deux droites horizontales $y=1$, $y=-1$. C'est donc un ouvert, comme intersection de quatre ouverts. En effet, le plan privé d'une droite $D$ est ouvert car si $M\notin D$ alors $r:=d(M,D)>0$ et $B(M,r)\subset \mathbb {R} ^{2}\setminus D$. Ce n'est pas un fermé, car son complémentaire (l'union E des quatre droites) n'est pas un ouvert et même, pour tout point M de E, aucun disque B(M, r) (r > 0) n'est incluse dans E.
* $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid |x|=1,|y|\neq 1\}$ est la réunion des deux droites verticales $x=1$, $x=-1$, privées chacune des deux points d'ordonnée $1$ ou $-1$. Ce n'est ni un ouvert (comme E dans la question précédente), ni un fermé car son complémentaire n'est pas voisinage des quatre points particuliers mentionnés $(\pm 1,\pm 1)$.
* $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid |x|=1,|y|=1\}$ est l'ensemble de ces mêmes quatre points. Il est donc fermé, comme union finie de fermés. En effet, le plan privé d'un point est ouvert (par le même argument que pour le plan privé d'une droite). Et il n'est pas ouvert (comme E dans la question 1).
* $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 3x+4y=2\}$ est une droite. Elle est donc fermée (cf. question 1) et non ouverte (comme E dans la question 1).
* $U$ est un disque ouvert donc un ouvert. Il n'est pas fermé car pour tout point $M$ du cercle qui le borde, tout disque ouvert de centre $M$ rencontre $U$.
* Le demi-plan $V$ est ouvert, par le même raisonnement que l'ensemble de la question 1. Il n'est pas fermé car pour tout point $M$ de la droite qui le borde, tout disque ouvert de centre $M$ rencontre $V$.
* Le demi-disque $U\cap V$ est ouvert, comme intersection d'ouverts. Il n'est pas fermé car pour tout point $M$ de sa frontière (constituée d'un segment et d'un demi-cercle) tout disque ouvert de centre $M$ rencontre $V$.
Soit $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ une fonction continue. Montrer que l'ensemble $O:=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid f(x)>0\}$ est ouvert et en déduire que l'ensemble $F:=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid f(x)=0\}$ est fermé. Retrouver ainsi que toute droite de $\mathbb {R} ^{n}$ est fermée.
Soient $x_{0}\in O$ et $\varepsilon =f(x_{0})$. Par continuité de $f$ au point $x_{0}$, il existe $\eta >0$ tel que pour tout $x\in B(x_{0},\eta )$, $|f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon$, ce qui implique $f(x)>0$. Ainsi, $B(x_{0},\eta )\subset O$, ce qui achève de prouver que $O$ est ouvert. On montre de même que l'ensemble $O':=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid f(x)<0\}$ est ouvert (ou on le déduit de ce qui précède, en remplaçant $f$ par $-f$). Ainsi, $O\cup O'$ est ouvert (comme toute union — finie ou pas — d'ouverts) donc son complémentaire $F$ est fermé. En particulier, toute droite est fermée car son équation est de la forme $f(x)=0$ avec $f$ continue.
Déterminer (en justifiant) si les sous-ensembles de $\mathbb {R} ^{2}$ ci-dessous sont ouverts, fermés, bornés, compacts :
$A=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}-y^{2}\leq 1\},\quad B=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\}$,
$C=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid \sin(x^{2}+y^{2})\geq 0\},\quad D=\{\left((1+\cos t)\cos t,(1+\cos t)\sin t\right)\mid t\in \mathbb {R} \}$.
Dans $\mathbb {R} ^{2}$, les compacts sont les fermés bornés.
Clairement, $B$ et $D$ sont bornés mais pas $A$ ni $C$.
$A$, $B$ et $C$ sont fermés, comme images réciproques de fermés de $\mathbb {R}$ (les fermés $]-\infty ,1]$, $\{1\}$ et $\mathbb {R} _{+}$) par des applications continues de $\mathbb {R} ^{2}$ dans $\mathbb {R}$.
La cardioïde $D$ est un compact, comme image directe du compact $[0,2\pi ]$ par une application continue à valeurs dans $\mathbb {R} ^{2}$. Une autre méthode est de mettre cet ensemble sous la même forme que les trois précédents : il a pour équation polaire $r=1+\cos \theta$, ou encore $r^{2}=r+r\cos \theta$, donc pour équation cartésienne $x^{2}+y^{2}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x$.
Ces quatre fermés ne sont pas ouverts, puisque $\mathbb {R} ^{2}$ est connexe.
Décrire géométriquement les 6 parties suivantes de $\mathbb {R} ^{2}$ et dire pour chacune d'elles si c'est un ouvert, un fermé, ou ni l'un ni l'autre.
* $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid xy=1\}$ ;
* $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 0<|x-1|<1\}$ ;
* $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid |x|<1,\;|y|\leq 1\}$ ;
* $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 3x+4y=2\}$ ;
* $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 0<x\leq 1\}$ ;
* $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid |x|\neq 1{\mbox{ et }}|y|\neq 1\}$.
* Cette hyperbole est un fermé, comme image réciproque du fermé $\{1\}$ de $\mathbb {R}$ par l'application continue $(x,y)\mapsto xy$.
* Cette réunion de deux bandes verticales ouvertes $0<x<1$ et $1<x<2$ est un ouvert, comme image réciproque de l'ouvert $]0,1[$ de $\mathbb {R}$ par l'application continue $(x,y)\mapsto |x-1|$.
* Ce carré avec ses deux bords horizontaux mais sans ses deux bords verticaux n'est ni ouvert (il contient des points d'ordonnée $\pm 1$, qui sont sur sa frontière), ni fermé (il ne contient pas les points d'abscisse $\pm 1$ de sa frontière).
* Cette droite est (comme toute droite) un fermé, comme image réciproque du fermé $\{2\}$ de $\mathbb {R}$ par l'application continue $(x,y)\mapsto 3x+4y$.
* Cette bande verticale avec son bord droit n'est ni ouverte (elle contient la droite $x=1$, qui est sur sa frontière), ni fermée (elle ne contient pas les points d'abscisse $-1$ de sa frontière).
* Ce plan privé de quatre droites est un ouvert, puisque ces droites sont des fermés, ou encore : c'est l'intersection de deux ouverts images réciproques de l'ouvert $\mathbb {R} \setminus \{1\}$ de $\mathbb {R}$ par deux applications continues ($(x,y)\mapsto |x|$ et $(x,y)\mapsto |y|$).

## Exercice 7

Soit $(x_{m})$ constituée en intercalant de façon arbitraire toutes les valeurs de deux suites réelles $(a_{r})$, $(b_{s})$ (par exemple : $x_{2n}=a_{n},x_{2n+1}=b_{n}$). Démontrer que
    $\liminf(x_{m})=\min(\liminf(a_{r}),\liminf(b_{s}))$ et $\limsup(x_{m})=\max(\limsup(a_{r}),\limsup(b_{s}))$.
Prouvons la première égalité (la seconde se démontre de même, ou s'en déduit par passage aux opposés).
Soient $y,a,b$ les $\liminf$ respectives de ces trois suites, et $c=\min(a,b)$. Il s'agit de montrer que $y=c$.
D'abord, $y\leq c$ car $y\leq a$ et $y\leq b$. En effet, $a$ et $b$ sont limites de sous-suites de $(a_{r})$ et de $(b_{s})$ respectivement, or ce sont des sous-suites de $(x_{m})$, donc $a$ et $b$ sont des valeurs d'adhérence de $(x_{m})$, or $y$ est la plus petite.
Réciproquement, $c\leq y$ car $y$ est limite d'une sous-suite de $(x_{m})$, qui contient au moins une infinité de termes de la suite $(a_{r})$ ou une infinité de termes de la suite $(b_{s})$ (ou les deux). De cette sous-suite de $(x_{m})$ on peut alors extraire une sous-suite de $(a_{r})$ ou une sous-suite de $(b_{s})$. La limite de cette sous-sous-suite sera $\geq a$ dans le premier cas et $\geq b$ dans le second, donc $\geq c$ dans les deux cas. Or cette limite de la sous-sous-suite est celle de la sous-suite, c'est-à-dire $y$.

## Exercice 8

Soient $a_{n}\in \mathbb {R} ^{+}$, montrer que $\limsup _{n\to \infty }a_{n}=0\Rightarrow \lim _{n\to \infty }a_{n}=0$.
Puisque $a_{n}\geq 0$, on a $0\leq \liminf a_{n}\leq \limsup a_{n}$, donc $\limsup a_{n}=0\Leftrightarrow \liminf a_{n}=\limsup a_{n}=0\Leftrightarrow \lim a_{n}=0$.
(Moins savamment : soit $b_{n}=\sup _{k\geq n}a_{k}$, alors $\limsup a_{n}=\lim b_{n}$ et $0\leq a_{n}\leq b_{n}$, donc si $\limsup _{n\to \infty }a_{n}=0$ alors (lemme des gendarmes) $a_{n}\to 0$.)
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