OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Technologie en cinquième

Faculté de Sciences de l'ingénieur
La présentation de ce cours n'a pas été rédigée. Pour le faire, cliquez ici.
* L'habitat et les ouvrages de notre environnement
* La solidité des structures, L'évolution des techniques
* Pourquoi faut-il s'interroger avant de construire et d'agencer une maison ?
* L'habitat: Comment concevoir notre maison ?
Les objectifs de ce cours sont :
Compétences travaillées :
* Pratiquer des démarches scientifiques et technologiques
* Concevoir, créer, réaliser
* Pratiquer des langages
* Mobiliser des outils numériques
* Adopter un comportement éthique et responsable
* Se situer dans l'espace et dans le temps
Cours de niveau 8. Les prérequis conseillés sont :
    Les prérequis pour ce cours n'ont pas encore été précisés. Pour le faire, cliquez ici.
Référents
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# Techniques de calcul mental/Présentation de la leçon

Le calcul mental est une pratique visant à effectuer des calculs sans l'aide de support autre que son imagination. Avant d'exposer les différentes techniques de calcul mental, il est essentiel de souligner que ces techniques ne sont pas naturelles et ne transforment pas quelqu’un qui ne sait pas compter, en une calculatrice humaine, en un clin d'œil ; il faut, pour se les approprier, s'entraîner et les pratiquer régulièrement. La pratique de l'abaque, du boulier et plus précisément du boulier japonais, appelé soroban, permet d'augmenter les effets de manière spectaculaire par le biais de l'anzan.
# RMN du proton

| Chap. 1 : | Introduction (15) |
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## Présentation [Modifier]

La mécanique quantique a révélé une propriété de la matière, appelée spin, qui interagit avec les champs magnétiques. On peut, dans certaines conditions, utiliser cela pour faire en sorte que le noyau d'un atome émette une onde radio. Le noyau d'hydrogène, c'est-à-dire le proton, est souvent utilisé pour son abondance (notamment en chimie organique) et ses propriétés.
Selon l'environnement de l'atome, la fréquence de l'onde émise est changée : il est alors possible a posteriori d'obtenir des informations sur la nature du composé étudié.

## Objectifs [Modifier]

* mécanique ondulatoire des quantums
* effet Compton
* théorie d'Einstein.1912
* la mécanique de l'électron + sur l'uranium 238 ou 235 par la photogénie
* les capacités photogéniques des sels de cæsium et de potasse sur la matière radioactive déplaçant l'uranium vers la case voisine.
* les photoconducteurs:cendres et pollux en suspension dans le bain d'eau de mer.
* comment réduire la pollution radioactive par les éléments sélénium et germanium (capacités médicales de la détoxication aux métaux lourds).
* la zorgite à sélénium et le germanate à germanium
* les sels de potasse de l'eau de mer
* la photogénie naturelle dans l'eau de mer par les UV du soleil.

## Niveau et prérequis conseillés

Leçon de niveau 15. Les prérequis pour cette leçon n'ont pas encore été précisés. Pour le faire, cliquez ici.

## Référents

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# RMN du proton/Présentation de la leçon

La mécanique quantique a révélé une propriété de la matière, appelée spin, qui interagit avec les champs magnétiques. On peut, dans certaines conditions, utiliser cela pour faire en sorte que le noyau d'un atome émette une onde radio. Le noyau d'hydrogène, c'est-à-dire le proton, est souvent utilisé pour son abondance (notamment en chimie organique) et ses propriétés.
Selon l'environnement de l'atome, la fréquence de l'onde émise est changée : il est alors possible a posteriori d'obtenir des informations sur la nature du composé étudié.
# Racine carrée

| Chap. 1 : | Introduction |
| Chap. 2 : | Quantité conjuguée |
| Exos. 1 : | Calculs de base |
| Exos. 2 : | Quantité conjuguée |
| Devoir : | Nombre d'or |
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## Présentation [Modifier]

Cette leçon rassemble les connaissances sur les racines carrées abordées dans le secondaire, depuis la définition jusqu'à la notion de quantité conjuguée.

## Objectifs [Modifier]

Savoir manipuler des expressions contenant des racines carrées. Savoir les transformer et les simplifier.

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 10.
* Puissances
* Identités remarquables

## Pour aller plus loin [Modifier]

* Expressions algébriques

## Référents [Modifier]

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* Nicostella
* Loïc Fabiou (discuter)
# Racine carrée/Exercices/Quantité conjuguée
## Exercice 2-1

Simplifier les expressions suivantes :
* $\left(5+2{\sqrt {7}}\right)\left(5-2{\sqrt {7}}\right)$ ;
* ${\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}\,{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}$.
* $\left(5+2{\sqrt {7}}\right)\left(5-2{\sqrt {7}}\right)=5^{2}-\left(2{\sqrt {7}}\right)^{2}=25-4\times 7=-3$ ;
* ${\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}\,{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}={\sqrt {\left(2+{\sqrt {3}}\right)\left(2-{\sqrt {3}}\right)}}={\sqrt {2^{2}-{\sqrt {3}}^{2}}}={\sqrt {1}}=1$.

## Exercice 2-2

Rendre rationnels les dénominateurs des fractions suivantes :
* ${\frac {1}{\sqrt {8}}}$ ;
* ${\frac {1}{{\sqrt {2}}-1}}$ ;
* ${\frac {{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}}{{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}}}$ ;
* ${\frac {3+{\sqrt {5}}}{{\sqrt {5}}-1}}$.
* ${\frac {1}{\sqrt {8}}}={\frac {\sqrt {2}}{{\sqrt {2}}{\sqrt {8}}}}={\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {16}}}={\frac {\sqrt {2}}{4}}$ ;
* ${\frac {1}{{\sqrt {2}}-1}}={\frac {{\sqrt {2}}+1}{\left({\sqrt {2}}+1\right)\left({\sqrt {2}}-1\right)}}={\frac {{\sqrt {2}}+1}{{\sqrt {2}}^{2}-1^{2}}}={\sqrt {2}}+1$ ;
* ${\frac {{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}}{{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}}}={\frac {\left({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}\right)^{2}}{\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}\right)}}={\frac {{\sqrt {3}}^{2}-2{\sqrt {3}}{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}^{2}}{{\sqrt {3}}^{2}-{\sqrt {2}}^{2}}}={\frac {3-2{\sqrt {6}}+2}{3-2}}=5-2{\sqrt {6}}$ ;
* ${\frac {3+{\sqrt {5}}}{{\sqrt {5}}-1}}={\frac {\left(3+{\sqrt {5}}\right)\left({\sqrt {5}}+1\right)}{\left({\sqrt {5}}-1\right)\left({\sqrt {5}}+1\right)}}={\frac {3{\sqrt {5}}+3+{\sqrt {5}}^{2}+{\sqrt {5}}}{{\sqrt {5}}^{2}-1^{2}}}={\frac {8+4{\sqrt {5}}}{4}}=2+{\sqrt {5}}$.

## Exercice 2-3

Effectuer les sommes suivantes :
* ${\frac {{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}{{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}}}+{\frac {{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}{{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}}$ ;
* ${\frac {1}{{\sqrt {3}}+6}}+{\frac {1}{{\sqrt {3}}-6}}$.
* ${\frac {{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}{{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}}}+{\frac {{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}{{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}}={\frac {\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}\right)^{2}-\left({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}\right)^{2}}{\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}\right)}}={\frac {\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}-\left({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}\right)\right)}{{\sqrt {3}}^{2}-{\sqrt {2}}^{2}}}={\frac {2{\sqrt {3}}\;2{\sqrt {2}}}{3-2}}=4{\sqrt {6}}$ ;
* ${\frac {1}{{\sqrt {3}}+6}}+{\frac {1}{{\sqrt {3}}-6}}={\frac {{\sqrt {3}}-6+{\sqrt {3}}+6}{\left({\sqrt {3}}+6\right)\left({\sqrt {3}}-6\right)}}={\frac {2{\sqrt {3}}}{{\sqrt {3}}^{2}-6^{2}}}=-{\frac {2{\sqrt {3}}}{-33}}$.
| Calculs de base | Sommaire |
# Quête/Quête et scénario

Tout d’abord, choisissez une période de l'histoire où se déroulera votre jeu de rôle. Je vais prendre par exemple le début du XXe siècle.
Ensuite, choisissez un lieu où elle se déroulera et reproduisez le au mieux ou créez en un nouveau. Moi je vais prendre un vieil immeuble dans un quartier désaffecté de Londres.
Après, décidez du type de quête que vous allez créer. Moi je vais prendre par exemple le thème policier.
Puis, choisissez les personnages qui vont participer à votre quête et une raison logique expliquant la raison pour laquelle ils se trouvent à cet endroit. Moi je vais intégrer Sherlock Holmes, Miria Emio, Jacqui Durboll, Pierre Milès, Richar Dugrin et un cuisinier Victor Baxter à mon histoire et ils se trouvent tous ici car Sherlock Holmes a donné un banquet avec ses derniers clients.
Et choisissez ce qui va se passer (prenez quelque chose d'intéressant incluant une énigme à résoudre). Moi je vais prendre un meurtre qui s'est passé juste avant que le dessert ne soit servi, alors que tout le monde est parti dans son coin. Sherlock pour vérifier que tout était en ordre, Miria Emio s'est mise à part pour discuter tranquillement avec Pierre Milès, Jacqui Durboll est sorti prendre l'air, Richard Dugrin était occupé sur le balcon au premier et le cuisinier vaquait à ses occupations habituelles. La personne assassinée est Jacqui Durboll. Une des personnes présentes au banquet est responsable. Sherlock décide de mener l'enquête et oublie le dessert.
Après cela, il faut que vous choisissiez les indices qui mèneront à l'assassin et l'endroit où vous allez les cacher. Ah oui ! N'oubliez pas de savoir de quelles manières les indices vont être découverts. Mon premier indice est l'arme du crime qui se trouve dans un arbre au dehors. Sherlock le découvrira lorsqu’il examinera le corps et lèvera la tête en l'air pour réfléchir. Cette arme est la lampe de la chambre à coucher qui permet l'accès au balcon, donc si ce n’est pas Richard Dugrin alors lui devrait savoir qui c'est. Sherlock réunit toute la maisonnée et leur fait part de ses découvertes et oblige Richard à se lever. Tout le monde peut alors apercevoir une tache de sang sur le bas de son chemisier. Elle est arrivée là car il a surement essuyé involontairement sa main ici. L'enquête est résolue, mais cela n'est qu'un exemple simplifié.
Il vous faudra maintenant inventer une fin magique, romantique, triste, heureuse, enfin c’est à vous de voir selon le jeu de rôle que vous avez pondu.
| Sommaire | La quête principale |
# RMN du proton/Introduction
## Qu'est-ce que la RMN du proton ?

Il s'agit d'une méthode d'analyse basée sur la réponse des atomes d'hydrogène à la stimulation d'un champ magnétique.
Les atomes d'hydrogène entament alors un mouvement de précession.
Nous pouvons alors calculer la fréquence de ce mouvement. Une telle fréquence est appelée fréquence de Larmour.

## Un peu de théorie

Calcul de la fréquence de Lamor :
∨ = Bo/2*∏
Nous calculons cette fréquence de précession du noyau . Il est à noter que ce mouvement n'est valable que pour les noyaux possédant un spin demi-entier .
Nous pouvons donc utiliser des éléments telle que 1H et du 13C

## Application : Résolution de spectre

Vous trouverez ici quelques détails vous permettant d'interpréter les spectres RMN
* Sommaire
# Racine carrée/Devoir/Nombre d'or

On appelle nombre d'or le nombre réel noté : $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$.

## Quelques calculs avec le nombre $\varphi$

1° Donner avec la calculatrice une valeur approchée de $\varphi$ à $10^{-3}$ près.
2° Donner avec la calculatrice une valeur approchée de $\varphi ^{2}$ à $10^{-3}$ près.
    Conjecturer une relation entre $\varphi$ et son carré.
3° Démontrer la relation : $\varphi ^{2}-\varphi =1$.
4° a) En utilisant la relation du 3°, démontrer que $\varphi ^{3}=1+2\varphi$.
    b) En déduire que $\varphi ^{4}=2+3\varphi$.
    c) En déduire de même une relation entre $\varphi ^{5}$ et $\varphi$.
1° $\varphi \approx 1{,}618$.
2° $\varphi ^{2}\approx 2{,}618\approx 1+\varphi$.
3° $\varphi ^{2}-\varphi ={\frac {1+2{\sqrt {5}}+5}{4}}-{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}={\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}-{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}={\frac {3-1}{2}}=1$.
4° a) En remplaçant deux fois $\varphi ^{2}$ par $1+\varphi$, on obtient bien $\varphi ^{3}=\varphi \left(1+\varphi \right)=\varphi +\left(1+\varphi \right)=1+2\varphi$.
    b) De même, $\varphi ^{4}=\varphi \left(1+2\varphi \right)=\varphi +2\left(1+\varphi \right)=2+3\varphi$.
    c) De même, $\varphi ^{5}=\varphi \left(2+3\varphi \right)=2\varphi +3\left(1+\varphi \right)=3+5\varphi$.
Remarque : de même, si $\varphi ^{n}=a+b\varphi$ alors $\varphi ^{n+1}=b+(a+b)\varphi$. On en déduit que $\varphi ^{n}=F_{n-1}+F_{n}\varphi$, où $\left(F_{n}\right)$ est la suite de Fibonacci.

## Rectangles d'or

On appelle rectangle d'or un rectangle dont le quotient de la longueur par la largeur vaut $\varphi$.
Soit un rectangle d'or ABCD de largeur $AB=l$.
1° Exprimer AD en fonction de $l$ et $\varphi$.
2° On enlève à l'intérieur du rectangle ABCD le carré ABEF.
    a) Démontrer que ${\frac {EF}{FD}}={\frac {1}{\varphi -1}}$.
    b) En utilisant la relation établie dans la première partie, démontrer que $\varphi \left(\varphi -1\right)=1$.
    c) Que peut-on en déduire pour le rectangle ECDF ?
1° $AD=l\varphi$.
2° a) ${\frac {EF}{FD}}={\frac {l}{AD-l}}={\frac {l}{l\varphi -l}}={\frac {1}{\varphi -1}}$.
    b) $\varphi \left(\varphi -1\right)=\varphi ^{2}-\varphi =1$.
    c) ${\frac {EF}{CD}}=\varphi$ donc le rectangle ECDF est d'or.

## Construction d'un rectangle d'or

Cette construction serait due à Euclide (environ 300 av. J.-C.).
Soient un carré ABCD et I le milieu de [AB]. Le cercle de centre I passant par C coupe la demi-droite [AB) en P.
Démontrer que APQD et BPQC sont des rectangles d'or.
Soit $c$ la longueur d'un côté du carré. D'après le théorème de Pythagore, $IP=IC={\sqrt {c^{2}+{\frac {c^{2}}{4}}}}=c{\frac {\sqrt {5}}{2}}$ donc $AP={\frac {c}{2}}+c{\frac {\sqrt {5}}{2}}=c\varphi$, ce qui prouve que le rectangle APQD est d'or. D'après la partie Ⅱ, BPQC est donc aussi un rectangle d'or.
* Sommaire
# RMN du proton/Objectifs

* mécanique ondulatoire des quantums
* effet Compton
* théorie d'Einstein.1912
* la mécanique de l'électron + sur l'uranium 238 ou 235 par la photogénie
* les capacités photogéniques des sels de cæsium et de potasse sur la matière radioactive déplaçant l'uranium vers la case voisine.
* les photoconducteurs:cendres et pollux en suspension dans le bain d'eau de mer.
* comment réduire la pollution radioactive par les éléments sélénium et germanium (capacités médicales de la détoxication aux métaux lourds).
* la zorgite à sélénium et le germanate à germanium
* les sels de potasse de l'eau de mer
* la photogénie naturelle dans l'eau de mer par les UV du soleil.
# Thermodynamique des surfaces/Introduction

La thermodynamique des surfaces étudie les phénomènes physiques et chimiques qui se produisent à l'interface entre deux phases. Les principaux points de cette thermodynamique sont:
* l'adsorption
* les isothermes d'adsorption ( Langmuir , BET , ... )
* les courbes de perçage des colonnes
* la catalyse
* les couches minces
* les changements physiques aux interfaces comme les plasmons et phonons de surfaces
| Sommaire | Grandeurs caractéristiques |
# Thermodynamique des surfaces/Objectifs

La thermodynamique des surfaces est une branche qui étudie les phénomènes de changement d'énergie et de chaleur au sein de la surface d'un objet et son milieu extérieur..
# Thermodynamique statistique

| Chap. 1 : | Introduction générale (15) |
| Chap. 2 : | Ensembles canoniques et entropie (15) |
| Chap. 3 : | Grandeurs thermodynamiques (15) |
| Chap. 4 : | Ensemble grand-canonique (15) |
| Chap. 5 : | Ensemble isotherme-isobare (15) |
| Chap. 6 : | Extension à la mécanique quantique (15) |
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## Présentation [Modifier]

La thermodynamique s'est construite à partir de considérations macroscopiques et d'expériences de mesure, où des quantités telles que la pression ou la température sont reliées à des énergies ou des volumes au travers d'équations d'état.
En considérant l'atome (ou la molécule), en prenant comme point de départ son comportement — et en particulier ses propriétés statistiques — la thermodynamique statistique redonne toutes les grandeurs thermodynamiques et les relations les liant. Elle se base sur le fait qu'un grand nombre de particules indiscernables possède un comportement avant tout dicté par leur répartition.
Ce cours présente la thermodynamique statistique, ses hypothèses et résultats, dans le cadre classique. Le dernier chapitre ouvre sur la thermodynamique quantique.

## Objectifs [Modifier]

* Aborder et définir la thermodynamique statistique (chapitre 1)
* Définir la notion d'ensemble statistique (chapitres 1 et 2)
* Définir dans ce cadre la notion d'entropie (chapitre 2)
* Indiquer comment découlent les relations thermodynamiques (chapitre 3)
* Présenter les différents ensembles usuels (chapitres 2, 4 et 5)
* Ouvrir vers quelques indications sur la thermodynamique statistique quantique (chapitre 6)

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 15.
* des notions de thermodynamique classique ;
* des notions de théorie des probabilités ;
* des notions de mécanique analytique.

## Référents

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# Thermodynamique statistique/Ensemble isotherme-isobare
## Introduction

Un pas de moins vers l'abstraction, il est possible d'imposer certaines restrictions sur les grandeurs thermodynamiques, dans l'objectif de se rapprocher des cas concrets. L'ensemble isotherme-isobare est né des ces considérations.
En effet, la plupart des réactions chimiques se produisent à température et pression constantes. On peut étendre cet ensemble aux cas où le nombre de particules est constant (ensemble « iso-NpT »), qui est plus simple à traiter. On confondra les deux dans ce chapitre.
L'ensemble isotherme-isobare regroupe les systèmes à l'équilibre qui sont, à tout instant, à pression et température constante, n'échangeant avec l'extérieur que de l'énergie.

## Fonction de partition

La fonction de partition isotherme-isobare est une moyenne pondérée des fonctions de partitions canoniques : $\Delta \left(N,P,T\right)=C\int Z\left(N,V,T\right)e^{-\beta PV}\,\mathrm {d} V$ Le facteur C sert simplement à restaurer l'adimensionalité de la fonction de partition. Quel que soit le choix de C, dans la limite thermodynamique, on obtient les mêmes résultats.

## Fonction d'état caractéristique

On peut déduire des résultats sur l’ensemble canonique que : $\ln \Delta =-{\frac {1}{k_{B}T}}G$ donc que l'enthalpie libre est la fonction d'état caractéristique de l’ensemble isotherme-isobare :
$\Delta =e^{-\beta G}$
| Ensemble grand-canonique | Extension à la mécanique quantique |
# Thermodynamique des surfaces/Mouillage

Le mouillage d'un liquide sur un solide désigne la forme que prend le liquide sur la surface du solide (on parle de mouillage statique).
       remarque = on étudie souvent le mouillage solide-liquide mais le concept est plus large et on a aussi le mouillage liquide-liquide. On devrait donc plutôt dire mouillage substrat-liquide. On peut par exemple étudier le mouillage des alcanes sur l'eau.
             Voir par exemple = Emanuel Bertrand, Transitions de mouillage: rôle des interactions entre interfaces, page 75
On peut aussi étudier la façon dont se comporte le liquide lorsqu'on essaie de le faire couler sur une surface inclinée (hystérèse, ancrage) (ici on parle de mouillage dynamique). Ce mouillage dynamique est étudié pour des applications comme par exemple les pare-brises de voitures.

## Étalement

Quand on dépose un liquide sur un solide, il peut former une goutte ( mouillage partiel ) ou bien il peut s'étaler totalement ( mouillage total ). Le mouillage du liquide est caractérisé par le degré d'étalement.

## Modèle de la surface solide idéale

Une surface solide idéale sera une surface plate, rigide, parfaitement douce et sans impuretés. Il n'y aura pas de phénomène d'hystérésis sur l'angle de contact.

## Coefficient d'étalement

Soit une goutte sur une surface, on a 3 interfaces à considérer:
      * interface solide-air (solide sec) (noté sg)
      * interface solide-liquide (noté sl)
      * l'interface liquide-air (noté lg)
On a alors trois tensions superficielles et on exprime le coefficient d'étalement S$_{étal}$ par :
          $S_{etal}=\gamma _{sg}-(\gamma _{sl}+\gamma _{lg})$
Le coefficient d'étalement S$_{étal}$ s'exprime, comme la tension superficielle γ en J/m$^2$ ou en N/m.
       Si S$_{étal}$ > 0 alors le liquide s'étale sur la surface ( mouillage total ).
       Si S$_{étal}$ < 0 alors le liquide forme une goutte ( mouillage partiel ).
L'équation de Young–Dupré :
          $S_{etal}\ =\gamma _{lg}.(\cos \theta -1)$ pour S$_{étal}$ < 0

## Les surfaces solides rugueuses (i.e. non-ideales)

Les surfaces réelles sont rugueuses, pas totalement rigides et avec des impuretés à la surface. On a donc dans ce cas un phénomène d’hystérésis de l'angle de contact avec un angle θ$_a$ quand on fait grossir la goutte et un angle θ$_r$ quand on fait diminuer la goutte.
Si on compare l'angle θ de la surface idéale et l'angle θ* de la surface rugueuse, on a la relation :
          $\cos \,{\theta ^{*}}=r\cos \,{\theta }$
                                        (relation de Wenzel)
où r est le taux de rugosité.
| Exemple d'adsorbant «La faujasite» | Couche limite liquide |
# Thermodynamique des surfaces/Présentation de la leçon

La thermodynamique des surfaces étudie les phénomènes physiques et chimiques qui se produisent à l'interface entre deux phases.
# Thermodynamique des surfaces/Prérequis conseillés

Connaître et avoir compris les bases de la thermodynamique.
# Thermodynamique statistique/Ensemble grand-canonique
## Introduction

L'ensemble grand-canonique est une extension de l’ensemble canonique décrit dans un précédent chapitre.
L'ensemble grand-canonique regroupe tous les systèmes en équilibre, capables d'échanger avec l'extérieur énergie et particules.
De même que, pour l’ensemble canonique, la température régulait les échanges énergétiques, dans l’ensemble grand-canonique une nouvelle grandeur intervient pour régir l'échange de particules : le potentiel chimique, sous la forme de l'activité ou de la fugacité.
C'est un ensemble statistique très intéressant, car assez général, et utile lorsque le nombre de particules ne peut pas être précisément fixé, cas courant en mécanique quantique.
Contrairement aux ensembles précédemment introduits, nous ne démontrerons pas systématiquement les résultats pour des raisons de simplicité.

## Fonction de partition

La fonction de partition grand-canonique est :
$\Xi (V,T,\mu )=\sum _{i}\exp \left[\beta \left(\sum _{j=1}^{n}\mu _{j}N_{ij}-E_{i}\right)\right]$
Avec V le volume, T la température, μ le potentiel chimique, i un état, N$_{ij}$ le nombre de particules de la j-ième espèce dans la i-ème configuration, E$_i$ l'énergie de la i-ème configuration. On rappelle que le potentiel chimique n'est autre que l'énergie libre par particule.
Cette expression peut être donnée à partir de la fonction de partition canonique Z :
$\Xi (z,V,T)=\sum _{N=0}^{\infty }z^{N}\,Z(N,V,T)\,=\sum _{N=0}^{\infty }\sum _{i}z^{N}\,\exp(-E_{i}/k_{B}T)\,$
Le paramètre z est appelé fugacité, et lié directement au potentiel chimique : $\mu =k_{B}T\ln z$

## Grandeurs thermodynamiques

On retrouve à partir de cette fonction de partition l’expression des grandeurs thermodynamiques, que l’on pose comme définition.
* le potentiel Grand Canonique (noté par $\Psi$ ou $\Phi _{G}$) est Ψ = U - TS - μN = - PV
* potentiel Grand Canonique : $\Psi =-{\ln \Xi \over \beta }$
* Nombre de particules : $N_{i}={1 \over \beta }({\partial \ln \Xi \over \partial \mu _{i}})_{\beta ,\mu _{j}}$
* Énergie interne : $U=-({\partial \ln \Xi \over \partial \beta })_{\mu }+\sum {\mu _{i} \over \beta }({\partial \ln \Xi \over \partial \mu _{i}})_{\beta }$
* Entropie : $S=k_{B}(\ln \Xi +\beta U-\beta \sum _{i}\mu _{i}N_{i})\,$
* Énergie libre : $F=G+\sum _{i}\mu _{i}N_{i}=-{\ln \Xi \over \beta }+\sum {\mu _{i} \over \beta }({\partial \ln \Xi \over \partial \mu _{i}})_{\beta }\,$

## Fonction caractéristique

La fonction caractéristique de l’ensemble grand-canonique est une fonction Ψ telle que : $\Xi =e^{\pm \beta \Psi }$.
Pour l’ensemble micro-canonique, nous avons vu que $\Omega =e^{\beta TS}$, donc la fonction caractéristique de l’ensemble micro-canonique est TS.
Pour l’ensemble canonique, on peut vérifier que $Z=e^{-\beta F}$, donc la fonction caractéristique de l’ensemble canonique est l'énergie libre F.
Pour l’ensemble grand-canonique, on peut montrer que $\Xi =e^{\beta PV}$, donc que la fonction caractéristique de l’ensemble grand-canonique est PV.
| Grandeurs thermodynamiques | Ensemble isotherme-isobare |