# Espaces vectoriels normés/Exercices/Normes

Dans tous les exercices, K = $\mathbb {R}$ ou $\mathbb {C}$.

## Exercice 1-1 : normes sur K

Montrer que les normes sur K sont de la forme $\forall x\in K\quad \|x\|=a|x|$ où $a>0$ et $|\cdot |$ désigne la valeur absolue (K = $\mathbb {R}$) ou le module (K = $\mathbb {C}$).
Tout d'abord, il est clair que les fonctions proposées définissent bien des normes (propriétés classiques de la valeur absolue et du module).
Soit $\|\cdot \|$ une norme sur K.
Par définition, $\forall x\in K\quad \|x\|=\|x.1\|=|x|\|1\|$.
On a donc le résultat en posant $a=\|1\|>0$.

## Exercice 1-2 : normes usuelles sur K$^n$

Rappelons les normes usuelles sur K$^n$ données dans le cours en tant qu'exemple :
* pour $p\in \left[1,+\infty \right[$ : $\|(x_{1},\ldots ,x_{n})\|_{p}={\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}}}$ ;
* $\|(x_{1},\ldots ,x_{n})\|_{\infty }=\max(|x_{1}|,\ldots ,|x_{n}|)$.
* Représenter graphiquement les boules unité de $\mathbb {R} ^{2}$ muni respectivement des normes $\|\cdot \|_{1},\quad \|\cdot \|_{2}\quad {\text{et}}\quad \|\cdot \|_{\infty }$.
* Montrer que ces normes sont équivalentes, et déterminer les constantes optimales dans les inégalités.
* Montrer plus généralement que les normes $\|\cdot \|_{1},\quad \|\cdot \|_{2}\quad {\text{et}}\quad \|\cdot \|_{\infty }$ sur K$^n$ sont équivalentes, et déterminer les constantes optimales.
* Les cercles unité (en gras) associés aux trois normes.
* La figure montre que $\|(x,y)\|_{1}\geq \|(x,y)\|_{2}\geq \|(x,y)\|_{\infty }$, avec égalités si $\{|x|,|y|\}=\{0,1\}$, et que $\|(x,y)\|_{\infty }\geq {\frac {1}{2}}\|(x,y)\|_{1}$, avec égalité si $|x|=|y|=1$. Il est très facile (cf. question suivante) de redémontrer algébriquement ces trois inégalités (et les cas d'égalité). Pour la comparaison entre $\|\cdot \|_{1}$ et $\|\cdot \|_{\infty }$, on a même trouvé les constantes optimales : $\|(x,y)\|_{\infty }\leq \|(x,y)\|_{1}\leq 2\|(x,y)\|_{\infty }$. On les trouve de même pour les deux autres paires (en dilatant l'une des deux boules jusqu'à contenir l'autre) : $\|(x,y)\|_{\infty }\leq \|(x,y)\|_{2}\leq {\sqrt {2}}\|(x,y)\|_{\infty }$ et $\|(x,y)\|_{2}\leq \|(x,y)\|_{1}\leq {\sqrt {2}}\|(x,y)\|_{2}$.
* Soit $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in K^{n}$.
** Montrons tout d'abord que les normes $\|\cdot \|_{\infty }$ et $\|\cdot \|_{1}$ sont équivalentes. On a : $\|x\|_{1}=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|\leq \sum _{i=1}^{n}\|x\|_{\infty }=n\|x\|_{\infty }$ et comme il existe $i\in \{1,\ldots ,n\}$ tel que $\|x\|_{\infty }=|x_{i}|$, on a $\|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{1}$. Ces inégalités sont optimales. On le vérifie en prenant $x=(1,1,\ldots ,1)$ pour la première et $x=(1,0,\ldots ,0)$ pour la deuxième.
** Montrons maintenant que les normes $\|\cdot \|_{\infty }$ et $\|\cdot \|_{2}$ sont équivalentes. Soit $y=(x_{1}^{2},\ldots ,y_{n}^{2})$. Alors, $\|x\|_{2}^{2}=\|y\|_{1}$ et $\|x\|_{\infty }^{2}=\|y\|_{\infty }$ donc d'après ce qui précède, $\|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{2}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{\infty }$ et ces inégalités sont optimales à l'aide des mêmes exemples.
** Il en résulte que $\|\cdot \|_{1}$ et $\|\cdot \|_{2}$ sont équivalentes mais il reste à déterminer pour elles les constantes optimales. On a, par l'inégalité de Cauchy-Schwarz : $\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|\leq {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}1}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}$, soit $\|x\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{2}$. On a : $\|x\|_{2}=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|\right)^{2}=\|x\|_{1}^{2}$ donc $\|x\|_{2}\leq \|x\|_{1}$. Les mêmes exemples montrent que les inégalités sont optimales.
    Plus généralement, $1\leq r\leq p\leq \infty \Rightarrow \|\cdot \|_{p}\leq \|\cdot \|_{r}\leq n^{{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{p}}}\|\cdot \|_{p}$, la seconde inégalité se déduisant de l'inégalité de Hölder.

## Exercice 1-3 : quelques normes sur les polynômes

* Montrer que les applications suivantes sont des normes sur l'espace $\mathbb {R} [X]$ des polynômes réels :
** $P\mapsto \|P\|_{1}=\int _{0}^{1}|P(t)|\;\mathrm {d} t$ ;
** $P\mapsto |P(0)|+\|P'\|_{1}$ ;
** $P\mapsto \|P\|_{\infty }=\sup\{|P(t)|\mid t\in [0,1]\}$.
* Soient $x_{0},\dots ,x_{n}$, $n+1$ nombres réels distincts. Montrer que pour tout $p\in \left[1,+\infty \right]$, l'application suivante est une norme sur le sous-espace $\mathbb {R} _{n}[X]$ des polynômes de degré au plus $n$ :
    $P\mapsto \|\left(P(x_{0}),\dots ,P(x_{n})\right)\|_{p}$, où $\|\cdot \|_{p}$ est la norme $\ell ^{p}$ sur $\mathbb {R} ^{n+1}$.
* Montrer que pour tout $n\in \mathbb {N}$, il existe une constante $C_{n}$ (qu'on ne demande pas d'expliciter) telle que :
    $\forall P\in \mathbb {R} _{n}[X]\quad \|P\|_{\infty }\leq C_{n}\|P\|_{1}$.
* Est-ce encore vrai sur $\mathbb {R} [X]$ ? (On pourra considérer la suite des polynômes $X^{n}$.)
** $\|\cdot \|_{1}$ est même une norme sur l'espace des fonctions intégrables de $\left[0,1\right]$ dans $\mathbb {R}$, dont $\mathbb {R} [X]$ s'identifie à un sous-espace.
** $P\mapsto |P(0)|+\|P'\|_{1}$ est une semi-norme (c'est-à-dire qu'elle est positivement homogène et sous-additive) car les deux applications dont elle est la somme sont semi-normes. En effet, plus généralement, la composée d'une semi-norme et d'une application linéaire est une semi-norme. De plus, si $|P(0)|+\|P'\|_{1}=0$ alors $P(0)=0$ et $P'=0$ donc $P=P(0)=0$.
** $\|\cdot \|_{\infty }$ est même une norme sur l'espace des fonctions bornées de $\left[0,1\right]$ dans $\mathbb {R}$. En effet, c'est une semi-norme (comme sup d'une famille d'applications qui, par le principe général énoncé au point précédent, sont des semi-normes) et elle ne s'annule qu'en 0.
* C'est une semi-norme (toujours par le même principe général) et elle ne s'annule qu'en 0, car si $P\in \mathbb {R} _{n}[X]$ a $n+1$ racines distinctes alors $P=0$.
* Sur $\mathbb {R} _{n}[X]$, toutes les normes sont équivalentes.
* Non car $\|X^{n}\|_{\infty }=1$ tandis que $\|X^{n}\|_{1}={\frac {1}{n+1}}$.

## Exercice 1-4 : norme et produit scalaire

L'objectif de cet exercice est d'étudier le lien entre norme et produit scalaire. On considère donc $\left(E,\langle \cdot ,\cdot \rangle \right)$ un espace vectoriel réel muni d'un produit scalaire (on se restreint ici au cas réel pour simplifier).
* Démontrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz : $\forall x,y\in E\quad \langle x,y\rangle ^{2}\leq \langle x,x\rangle \langle y,y\rangle$ (regarder le produit scalaire $\langle x+\lambda y,x+\lambda y\rangle$ pour $\lambda \in \mathbb {R}$ et choisir une valeur de $\lambda$ particulière).
* Vérifier que l'application : $\qquad {\begin{array}{ccc}\|\cdot \|:&E\to F\\&x\mapsto {\sqrt {\langle x,x\rangle }}\end{array}}$ définit une norme sur $E$. Cet exemple constitue l'un des exemples classiques de norme à connaître.
* Montrer que cette norme vérifie l'égalité, dite du parallélogramme : $\forall x,y\in E\quad \|x-y\|^{2}+\|x+y\|^{2}=2(\|x\|^{2}+\|y\|^{2})$ et que $\forall x,y\in E\quad \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)$.
* Montrer que la norme $\|\cdot \|_{\infty }$ sur $\mathbb {R} ^{n}$ n'est pas issue d'un produit scalaire.
* Nous cherchons maintenant à caractériser les normes provenant d'un produit scalaire, et nous allons voir que ce sont exactement les normes vérifiant l'égalité du parallélogramme. On considère donc à présent un e.v.n. réel $(E,N)$ tel que $N$ vérifie $\forall x,y\in E\quad N(x-y)^{2}+N(x+y)^{2}=2\left(N(x)^{2}+N(y)^{2}\right)$. On pose $\forall x,y\in E\quad B(x,y)={\frac {1}{4}}\left(N(x+y)^{2}-N(x-y)^{2}\right)$. Clairement, $B$ est symétrique et $B(x,x)=N(x)^{2}$. Pour montrer que $B$ est un produit scalaire dont la norme associée est $N$, il reste donc à vérifier que $B$ est linéaire à gauche, ce qui impliquera la bilinéarité. Soit $x,y,z\in E$.
** Montrer que $B(x+y,z)=2B(y,z)-B(y-x,z)$.
** En déduire que $B(x+y,z)=B(x,z)+B(y,z)$.
** Montrer que $\forall r\in \mathbb {Q} \quad B(rx,y)=rB(x,y)$.
** Conclure.
Les questions 1 et 2 sont des rappels de cours sur les espaces euclidiens qu'il est important de savoir démontrer.
* Voir Espace préhilbertien réel/Formes bilinéaires symétriques.
* Voir Espace préhilbertien réel/Produit scalaire.
* Calculons simplement en utilisant les propriétés du produit scalaire. Soit $x,\ y\in E$ :
    $\|x-y\|^{2}+\|x+y\|^{2}=\langle x-y\mid x-y\rangle +\langle x+y\mid x+y\rangle =\langle x\mid x\rangle -2\langle x\mid y\rangle +\langle y\mid y\rangle +\langle x\mid x\rangle +2\langle x\mid y\rangle +\langle y|y\rangle =2(\|x\|^{2}+\|y\|^{2})$
* Considérons les vecteurs $x=(1,0,\cdots ,0)$ et $y=(0,1,0,\cdots ,0)$. On a alors :
    $\|x-y\|_{\infty }^{2}+\|x+y\|_{\infty }^{2}=2$ et $2(\|x\|_{\infty }^{2}+\|y\|_{\infty }^{2})=4$.
    La norme infinie ne peut donc provenir d'un produit scalaire.
** D'après l'identité du parallélogramme, $N(x+y+z)^{2}=2\left(N(x)^{2}+N(y+z)^{2}\right)-N(y+z-x)^{2}$. Cette égalité, jointe à son homologue lorsqu'on remplace $z$ par $-z$, donne :
    $B(x+y,z)={\frac {1}{2}}\left[N(y+z)^{2}-N(y-z)^{2}\right]-{\frac {1}{4}}\left[N(y+z-x)^{2}-N(y-z-x)^{2}\right]=2B(y,z)-B(y-x,z)$.
** On en déduit (en intervertissant $x$ et $y$) : $B(x+y,z)=2B(x,z)-B(x-y,z)=2B(x,z)+B(y-x,z)$ puis (en prenant la moyenne) : $B(x+y,z)=B(x,z)+B(y,z)$.
** Une récurrence immédiate utilisant la question précédente montre que $\forall n\in \mathbb {N} \quad B(nx,y)=nB(x,y)$, ce qui — puisque $B(-x,y)=-B(x,y)$ — permet d'affirmer que $\forall n\in \mathbb {Z} \quad B(nx,y)=nB(x,y)$. Finalement, soit $r={\frac {p}{q}}\in \mathbb {Q}$ avec $p,\ q$ deux nombres entiers. On a alors $B(rx,y)=rB(x,y)$ car
    $qB(rx,y)=B(qrx,y)=B(px,y)=pB(x,y)=qrB(x,y)$.
** L'application $t\mapsto B(tx,y)$ est continue sur $\mathbb {R}$ (par définition de $B$ et continuité de $N$) et coïncide sur $\mathbb {Q}$ avec $t\mapsto tB(x,y)$. Par densité de $\mathbb {Q}$ dans $\mathbb {R}$, ces deux applications sont donc égales, ce qui termine de montrer que $B$ est linéaire à gauche.

## Exercice 1-5 : normes usuelles sur C([a, b], ℝ)

Dans cet exercice, on va s'intéresser aux normes usuelles sur $C([a,b],\mathbb {R} )$ pour $a<b\in \mathbb {R}$, l'espace vectoriel des fonctions continues de $[a,b]$ dans $\mathbb {R}$, et les comparer entre elles. En particulier, nous allons voir que ces normes ne sont pas équivalentes.
On considère ainsi les trois normes $\|\cdot \|_{1}$, $\|\cdot \|_{2}$ et $\|\cdot \|_{\infty }$ définies par :
    $\|f\|_{1}=\int _{a}^{b}|f(t)|\,\mathrm {d} t\quad ,\quad \|f\|_{2}={\sqrt {\int _{a}^{b}|f(t)|^{2}\,\mathrm {d} t}}\quad {\text{et}}\quad \|f\|_{\infty }=\sup _{t\in [a,b]}|f(t)|$.
* Vérifier que ces trois applications sont bien des normes.
* Soit $f\in C([a,b],\mathbb {R} )$. Montrer les deux inégalités suivantes, et montrer qu'elles sont optimales :
** $\|f\|_{1}\leq {\sqrt {b-a}}\|f\|_{2}$ ;
** $\|f\|_{2}\leq {\sqrt {b-a}}\|f\|_{\infty }$.
* Montrer que ces trois normes ne sont pas équivalentes entre elles.
* Il s'agit essentiellement de vérifications élémentaires, le seul point délicat étant l'inégalité triangulaire pour la norme 2. Nous allons donc uniquement traiter ce cas.
    Soit $f\in C([a,b],\mathbb {R} )$ et $\lambda \in \mathbb {R}$.
    Alors $\|\lambda f\|_{2}={\sqrt {\int _{a}^{b}|\lambda f(t)|^{2}\,\mathrm {d} t}}=|\lambda |{\sqrt {\int _{a}^{b}|f(t)|^{2}\,\mathrm {d} t}}=|\lambda |\|f\|_{2}$.
    On a : $\|f\|_{2}=0\Leftrightarrow \int _{a}^{b}|f(t)|^{2}\,\mathrm {d} t=0\Leftrightarrow f^{2}=0\Leftrightarrow f=0$. Ici, la continuité de $f$ est essentielle pour conclure.
    Pour l'inégalité triangulaire, la clef est dans l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les intégrales, ce qui donne :
    ${\begin{aligned}\int _{a}^{b}|f(t)+g(t)|^{2}\,\mathrm {d} t&\leq \|f\|_{2}^{2}+\|g\|_{2}^{2}+2\int _{a}^{b}|f(t)g(t)|\,\mathrm {d} t\\&\leq \|f\|_{2}^{2}+\|g\|_{2}^{2}+2\|f\|_{2}\|g\|_{2}\\&\leq \left(\|f\|_{2}+\|g\|_{2}\right)^{2},\end{aligned}}$
    ce qui prouve l'inégalité triangulaire en prenant la racine carrée.
** La première des inégalités se déduit de l'inégalité de Cauchy-Schwarz :
    $\int _{a}^{b}|f(t)|\,\mathrm {d} t=\int _{a}^{b}|f(t)\times 1|\,\mathrm {d} t\leq {\sqrt {\int _{a}^{b}1\,\mathrm {d} t}}\|f\|_{2}={\sqrt {b-a}}\|f\|_{2}$
** La seconde se montre en constatant que $\forall t\in [a,b]\quad |f(t)|\leq \|f\|_{\infty }$ par définition de la borne supérieure. On a alors :
    ${\sqrt {\int _{a}^{b}|f(t)|^{2}\,\mathrm {d} t}}\leq \|f\|_{\infty }{\sqrt {\int _{a}^{b}\,\mathrm {d} t}}={\sqrt {b-a}}\|f\|_{\infty }$
    On montre qu'elles sont optimales en prenant la fonction constante égale à 1 sur $[a,b]$.
* Comme mentionné dans le cours, pour montrer que les normes ne sont pas deux à deux équivalentes, on va construire une suite de fonctions $(f_{n})$ tels que ${\frac {\|f_{n}\|_{\infty }}{\|f_{n}\|_{1}}}\to +\infty$ pour commencer.
    On pose, pour tout $n\in \mathbb {N}$ : $f_{n}:t\mapsto \left({\frac {t-a}{b-a}}\right)^{n}$.
    On trouve alors : $\|f_{n}\|_{\infty }=1,\ \|f_{n}\|_{1}={\frac {b-a}{n+1}},\ {\text{et}}\ \|f_{n}\|_{2}={\sqrt {\frac {b-a}{2n+1}}}$.
    Ceci montre bien que les trois rapports : ${\frac {\|f_{n}\|_{\infty }}{\|f_{n}\|_{1}}},\ {\frac {\|f_{n}\|_{\infty }}{\|f_{n}\|_{2}}},\ {\frac {\|f_{n}\|_{2}}{\|f_{n}\|_{1}}}$ tendent vers $+\infty$, et donc que les trois normes ne sont pas équivalentes.
    Alternativement, on peut utiliser la suite de fonctions $(g_{n})$ définie par :
    $g_{n}(x)={\begin{cases}(b-a)-n(x-a)&{\text{si }}x\in \left[a,a+{\frac {b-a}{n}}\right]\\0&{\text{si }}x\in \left[a+{\frac {b-a}{n}},b\right]\end{cases}}$
    En effet, on trouve alors : $\|g_{n}\|_{\infty }=b-a\ {\text{et}}\ \|g_{n}\|_{p}={\sqrt[{p}]{\frac {(b-a)^{p+1}}{n(p+1)}}}\,(\forall p\in \left[1,+\infty \right$ et l'on conclut de même.
Remarque : l'espace $C([a,b],\mathbb {R} )$ est complet pour la norme $\|~\|_{\infty }$. Son complété pour la norme $\|~\|_{p}\,(\forall p\geq 1)$ est l'espace de Lebesgue $\mathrm {L} ^{p}([a,b])$ et l'on a les inclusions canoniques
    $p<q\leq +\infty \Rightarrow \mathrm {L} ^{q}([a,b])\subsetneq \mathrm {L} ^{p}([a,b])$.

## Exercice 1-6 : Structure sur l'ensemble des normes

Soit $N_{1},N_{2}$ deux normes sur un $\mathbb {K}$-espace vectoriel $E$ et $\lambda \in \mathbb {R} _{+}^{*}$.
Montrer que $\lambda N_{1}$ et $N_{1}+N_{2}$ sont des normes sur $E$.
Cet exercice prouve que l'ensemble des normes sur un espace vectoriel donné est un cône convexe.
C'est immédiat pour $\lambda N_{1}$. Montrons-le pour $N_{1}+N_{2}$.
Nous avons déjà remarqué (Exercice 1-3) que la somme de deux semi-normes est une semi-norme.
Enfin, si $(N_{1}+N_{2})(x)=0$ alors $N_{1}(x)=0$ (par exemple) donc $x=0$.

## Exercice 1-7

Pour $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$, on définit $N(x,y)={\underset {t\in \mathbb {R} }{\sup }}{\frac {|x+ty|}{1+t^{2}}}$.
* Montrer que $N$ est une norme sur $\mathbb {R} ^{2}$.
* En utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, montrer que pour tout $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$, $N(x,y)\leq \|(x,y)\|_{2}$.
* Dessiner la boule unité pour la norme $N$.
* Les applications $N_{t}:(x,y)\mapsto {\frac {|x+ty|}{1+t^{2}}}$ (pour $t\in \mathbb {R}$) sont clairement des semi-normes et leur sup $N$ est fini (cf. question suivante), donc $N$ est une semi-norme. C'est une norme car de plus, si $N(x,y)=0$ alors $\forall t\in \mathbb {R} \quad N_{t}(x,y)=0$, en particulier $N_{0}(x,y)=0$ et $N_{1}(x,y)=0$, donc $|x|=0$ et $|x+y|=0$, donc $(x,y)=(0,0)$.
* D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans $\mathbb {R} ^{2}$ muni de son produit scalaire canonique, $|x+ty|\leq \|(x,y)\|_{2}\|(1,t)\|_{2}$ donc $N(x,y)\leq {\underset {t\in \mathbb {R} }{\sup }}{\frac {\|(x,y)\|_{2}\|(1,t)\|_{2}}{1+t^{2}}}={\underset {t\in \mathbb {R} }{\sup }}{\frac {\|(x,y)\|_{2}}{\sqrt {1+t^{2}}}}=\|(x,y)\|_{2}$.
* $N(x,y)\leq 1\Leftrightarrow \forall t\in \mathbb {R} \quad |x+ty|\leq 1+t^{2}\Leftrightarrow \forall t\in \mathbb {R} \quad x+ty\leq 1+t^{2}{\text{ et }}-x-ty\leq 1+t^{2}$$\Leftrightarrow \forall t\in \mathbb {R} _{+}\quad |x|\leq 1+t^{2}-t|y|\Leftrightarrow |x|\leq 1+(|y|/2)^{2}-(|y|/2)|y|\Leftrightarrow |x|\leq 1-y^{2}/4$ donc la boule unité pour la norme $N$ est la partie bornée délimitée par les deux arcs de parabole $x=\pm (1-y^{2}/4),\;y\in [-2,2]$. Graphique Google.

## Exercice 1-8

* Soit $E$ un espace préhilbertien (réel ou complexe). Montrer l'identité du parallélogramme généralisée :
    $\forall x_{1},\ldots ,x_{n}\in E\quad \|x_{1}\|^{2}+\cdots +\|x_{n}\|^{2}={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{(\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{n})\in \{-1,1\}^{n}}\|\varepsilon _{1}x_{1}+\cdots +\varepsilon _{n}x_{n}\|^{2}$.
* En déduire que pour $p\neq 2$, ℓ$^p$ et ℓ$^2$ ne sont pas isomorphes.
* Pour tout $n\geq 2$,
       ${\begin{aligned}\sum _{(\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{n})\in \{-1,1\}^{n}}\left\|\sum _{i=1}^{n}\varepsilon _{i}x_{i}\right\|^{2}&=2^{n}\sum _{i=1}^{n}\|x_{i}\|^{2}+2\sum _{1\leq i<j\leq n}2^{n-2}\sum _{\varepsilon _{i}=\pm 1}\varepsilon _{i}\underbrace {\sum _{\varepsilon _{j}=\pm 1}\varepsilon _{j}{\rm {Re}}(\langle x_{i},x_{j}\rangle )} _{=0}\\&=2^{n}\sum _{i=1}^{n}\|x_{i}\|^{2}\end{aligned}}$
    (ou par récurrence grâce à l'identité du parallélogramme, qui est le cas $n=2$). Pour $n=1$ ou $0$, la formule est tautologique.
* On sait déjà que tous les espaces $\ell ^{p}$ (pour $1\leq p\leq \infty$) sont
** isomorphes en tant qu'e.v. car ${\rm {dim}}(\ell ^{p})={\rm {card}}(\ell ^{p})={\rm {card}}(\mathbb {R} )$ (cf. Introduction aux mathématiques/Exercices/Ensembles infinis#Exercice 1-1 ) et
** si $p\neq 2$, non (isométriquement) isomorphes à $\ell ^{2}$ en tant qu'e.v.n. (car ne vérifient pas l'identité du parallélogramme : par exemple pour $x=\delta _{0}:=(1,0,0,\ldots )$ et $y=\delta _{1}:=(0,1,0,0,\ldots )$, $\|x+y\|_{p}^{2}+\|x-y\|_{p}^{2}=2^{1+{\frac {2}{p}}}\neq 2^{1+1}=2(\|x\|_{p}^{2}+\|y\|_{p}^{2})$).
    La question est donc de montrer que pour $p\neq 2$, $\ell ^{p}$ n'est même pas isomorphe à $\ell ^{2}$ par une bijection linéaire $T:\ell ^{p}\to \ell ^{2}$ telle que $T$ et $T^{-1}$ soient continues.
    Supposons le contraire, et appliquons aux $x_{i}:=T(\delta _{i})$ l'identité du parallélogramme généralisée.
    Pour chacun des vecteurs $x=T(\delta )$ dont la norme intervient (avec $\delta =\delta _{i}$ donc $\|\delta \|_{p}=1$, ou $\delta =\sum _{i=1}^{n}\varepsilon _{i}\delta _{i}$ donc $\|\delta \|_{p}=n^{1/p}$), on a :
       $\|x\|_{2}\leq \|T\|\|\delta \|_{p}$ et $\|\delta \|_{p}\leq \|T^{-1}\|\|x\|_{2}$.
    On en déduit :
       $2^{n}\|T^{-1}\|^{-2}n^{2/p}\leq \sum _{(\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{n})\in \{-1,1\}^{n}}\left\|\sum _{i=1}^{n}\varepsilon _{i}x_{i}\right\|_{2}^{2}=2^{n}\sum _{i=1}^{n}\|x_{i}\|_{2}^{2}\leq 2^{n}n\|T\|^{2}$
       $2^{n}\|T\|^{2}n^{2/p}\geq \sum _{(\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{n})\in \{-1,1\}^{n}}\left\|\sum _{i=1}^{n}\varepsilon _{i}x_{i}\right\|_{2}^{2}=2^{n}\sum _{i=1}^{n}\|x_{i}\|_{2}^{2}\geq 2^{n}n\|T^{-1}\|^{-2}$
    donc, en posant $C=\|T\|\|T^{-1}\|$ :
       $\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad {\frac {1}{C}}\leq n^{{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{2}}}\leq C$,
    ce qui (en faisant $n\to \infty$) prouve que ${\frac {1}{p}}-{\frac {1}{2}}$ n'est ni $<0$, ni $>0$, donc que $p=2$.
    Pour approfondir, voir Compact de Banach-Mazur.
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