OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Fonction exponentielle/L'exponentielle comme solution d'une équation différentielle
## Exponentielle et équation différentielle du premier ordre

Il existe une unique fonction dérivable de $\mathbb {R}$ dans $\mathbb {R}$, appelée fonction exponentielle et notée exp qui vérifie :
* $\exp(0)=1$
* Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~\exp '(x)=\exp(x)$
Autrement dit, l'exponentielle est la seule fonction qui est égale à sa propre dérivée et qui vaut 1 en 0 (lorsque $x=0$).
L'existence de la fonction exponentielle, admise à ce niveau, peut être démontrée par de nombreuses méthodes, dont aucune n'est élémentaire. Un exercice de niveau 15 propose une démonstration à l'aide des suites.
L'unicité de cette fonction sera généralisée et démontrée plus bas. La preuve d'unicité montrera, de plus, que pour tout réel $x$, $\exp(x)\times \exp(-x)=1$. En particulier, $\exp(x)\neq 0$.
La fonction exponentielle est aussi utilisée dans la résolution d'équations différentielles de premier ordre.
En effet, une équation différentielle de premier ordre, à coefficients et second membre variables, est exprimée comme suit: $a(x).y'+b(x).y=c(x)$ (1)
* $a(x),b(x),c(x)$: Fonctions connues et dépendantes de la variable $x$.
* $y$: Fonction à déterminer et dépendante de la variable $x$.
* $y'$: Dérivée première de la fonction $y$ et dépendante de la variable $x$.
La solution complète de l'équation différentielle (1) s'écrit sous la forme générale suivante: $y=y_{H}(x)+y_{p}(x)=K.e^{-F(x)}+g(x).e^{-F(x)}$
* $y_{H}(x)=K.e^{-F(x)}$: Solution générale de l'équation différentielle (1).
** $K=e^{C}$: Constante réelle.
** $F(x)$: Primitive de la fonction $f(x)={b(x) \over a(x)}$
* $y_{p}(x)=g(x).e^{-F(x)}$ : Solution particulière de l'équation différentielle (1).
** $g(x)=\int {c(x) \over a(x)}.e^{F(x)}dx$

## Calculatrice

Pour prendre l'exponentielle d'un nombre, on utilise la touche «$e^{x}$».
On effectue souvent cette opération en utilisant le préfixe «seconde» ou «shift» suivi de la touche $\ln$.

## Cas général

* Pour tout réel $k$ $(k\in \mathbb {R} )$, la fonction $x\mapsto \exp(kx)$ est l'unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb {R}$ telle que :
* $f'=kf$
* $f'(0)=k$
* $f(0)=1$
* Cette fonction vérifie : $\forall x\in \mathbb {R} \quad f(x)\times f(-x)=1$.
* La fonction $f_{0}:x\mapsto \exp(kx)$ vérifie évidemment $f'_{0}=kf_{0}$ et $f_{0}(0)=1$.
* Réciproquement, soit $f$ une fonction telle que $f'=kf$ et $f(0)=1$.
** Posons $g(x)=f(x)f_{0}(-x)$.
** D’après les règles usuelles de dérivation : $\forall x\in \mathbb {R} \quad g'(x)=f'(x)f_{0}(-x)+f(x)f'_{0}(-x)=\left(kf(x)\right)f_{0}(-x)-f(x)\left(kf_{0}(-x)\right)=0$
** Donc $g$ est constante et égale à sa valeur pour $x=0$ c'est-à-dire à $1$. Tout ceci prouve que : $\forall x\in \mathbb {R} \quad f(x)f_{0}(-x)=1$.
** En particulier, $\forall x\in \mathbb {R} \quad f_{0}(x)f_{0}(-x)=1$.
* On déduit de ces deux points que $f=f_{0}$.
| Sommaire | L'exponentielle comme fonction réciproque du logarithme népérien |
# Fonction exponentielle/Objectifs

* Définir la fonction exponentielle
* Bien connaître ses propriétés
* Étudier sa courbe représentative
* Étudier certaines applications
# Fonction exponentielle/Fonction racine n-ième
## Racine n-ième

Soit x un réel positif et n un entier strictement positif. On définit ${\sqrt[{n}]{x}}$, également noté $x^{\frac {1}{n}}$, comme l'unique réel positif dont la puissance n-ième vaut x.

## Propriétés algébriques

Pour tous réels positifs x et y et tous entiers strictement positifs m et n :
* ${\sqrt[{n}]{x}}{\sqrt[{n}]{y}}={\sqrt[{n}]{xy}}$
* ${\frac {\sqrt[{n}]{x}}{\sqrt[{n}]{y}}}={\sqrt[{n}]{\frac {x}{y}}}$ ($\forall y\neq 0$)
* ${\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{x}}}={\sqrt[{mn}]{x}}=x^{1 \over m\times n}$
* ${\sqrt[{m}]{x}}\times {\sqrt[{n}]{x}}={\sqrt[{m\times n}]{x}}^{m+n}=x^{m+n \over m\times n}$
* ${{\sqrt[{m}]{x}} \over {\sqrt[{n}]{x}}}={\sqrt[{m\times n}]{x}}^{n-m}=x^{n-m \over m\times n}$ $(\forall x\neq 0)$
* ${1 \over {\sqrt[{n}]{x}}}={\sqrt[{-n}]{x}}=x^{-1 \over n}$ $(\forall x\neq 0)$
* $\left({\sqrt[{n}]{x}}\right)^{m}={\sqrt[{n}]{x^{m}}}=x^{m \over n}$
Cette dernière propriété se réécrit $\left(x^{1/n}\right)^{m}=(x^{m})^{1/n}$. Ce nombre se note aussi $x^{m/n}$ et son inverse (si $x\neq 0$) se note $x^{-m/n}$, ce qui ne dépend pas de la représentation fractionnaire choisie pour $r$, et étend à tous les rationnels r la notation $x^{r}$. On vérifie que cette notation est compatible avec les propriétés déjà connues sur les exposants entiers ou inverses d'entiers.
En particulier :$\forall x\in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad \forall u,v\in \mathbb {Q} \quad x^{u+v}=x^{u}\times x^{v}$.
Soient $q,q'>0$ et $p,p'$ des entiers tels que $u={\frac {p}{q}}$ et $v={\frac {p'}{q'}}$. Alors,
    $\left(x^{u+v}\right)^{qq'}=x^{pq'+p'q}=x^{pq'}x^{p'q}=\left(x^{u}\right)^{qq'}\left(x^{v}\right)^{qq'}=\left(x^{u}x^{v}\right)^{qq'}$.

## Fonction racine n-ième

* La fonction $f_{n}:[0,+\infty [\to [0,+\infty [,x\mapsto {\sqrt[{n}]{x}}$ est la réciproque de la bijection $[0,+\infty [\to [0,+\infty [,x\mapsto x^{n}.$
* Elle est continue sur $[0,+\infty [$, dérivable sur $]0,+\infty [$ et $f_{n}'(x)={\frac {1}{n({\sqrt[{n}]{x}})^{n-1}}}={\frac {1}{n}}x^{{\frac {1}{n}}-1}.$
* Elle est strictement croissante sur $[0,+\infty [$
* $\lim _{x\to +\infty }{\sqrt[{n}]{x}}=+\infty$
* ${\sqrt[{n}]{0}}=0$
| Dérivée de exp(u) | Exponentielle de base a |
# Fonction exponentielle/Post-notions

* La fonction exponentielle est la clé de voûte des équations différentielles.
* C'est aussi un prototype de série entière.
# Fonction exponentielle/Présentation de la leçon

La fonction exponentielle apparaît comme fonction réciproque de la fonction logarithme népérien, mais aussi comme solution d'équations différentielles du premier ordre.
Ses liens avec les séries entières et les fonctions trigonométriques en font l'une des fonctions les plus importantes des mathématiques.
# Logique analytique/Prérequis conseillés

De lire au préalable la leçon Analytique 2
# Logique analytique/Présentation de la leçon

Cette leçon analyse les proposition de sens, le jugement de vérité et les contraintes formelles de la fonction analytique 2
# Logique analytique/Logique
## La logique

| Incompatibilité | Contraintes |
# Logique analytique/Validité
## Validité des propositions

| Proposition de sens | Types de propositions |
# Logique analytique/Proposition de sens
## Proposition de sens

| Conséquences | Validité |
# Logique analytique/Les R
## Concernant les R

| Des possibles | Les B |
# Logique analytique/Objectifs

Une maîtrise de la fonction analytique 2 au niveau expert
# Logique analytique/Types de propositions
## Types de propositions
### Quand A est (un autre)

| Validité | Dans le monde |
# Logique analytique/Les B
## Concernant les B

| Les R | Du jugement |
# Introduction à la science des matériaux/Annexe/Équivalence des duretés

Le tableau ci-dessous présente les équivalences entre les trois duretés utilisées et la limite à la rupture selon l'Euronorm 8-55. La dureté Vickers est évaluée avec une charge de 294 N. Pour la dureté Brinnel, la charge vaut 30D$^2$, D étant le diamètre de la bille.
On notera que :
* HB ≃ HV ;
* HRB ≃ HV/2 ;
* HRC ≃ HV/10 ;
* R$_m$ ≃ 3 × HV.
Équivalence des duretés selon l'Euronorm 8-55 :
| Duretés | Duretés | Duretés | Duretés | Limite à la rupture R$_m$ (MPa) |
| Vickers HV | Rockwell | Rockwell | Brinnel HB | Limite à la rupture R$_m$ (MPa) |
| Vickers HV | HRB | HRC | Brinnel HB | Limite à la rupture R$_m$ (MPa) |
| 80 | 36,4 | | 80 | 270 |
| 90 | 47,4 | | 90 | 310 |
| 100 | 56,4 | | 100 | 340 |
| 110 | 63,4 | | 110 | 380 |
| 120 | 69,4 | | 120 | 410 |
| 130 | 74,4 | | 130 | 440 |
| 140 | 78,4 | | 140 | 470 |
| 150 | 82,2 | | 150 | 500 |
| 160 | 85,4 | | 160 | 540 |
| 170 | 88,2 | | 170 | 570 |
| 180 | 90,8 | | 180 | 610 |
| 190 | 93 | | 190 | 640 |
| 200 | 95 | | 200 | 670 |
| 210 | 96,6 | | 210 | 710 |
| 220 | 98,2 | | 220 | 740 |
| 230 | | 19,2 | 230 | 770 |
| 240 | | 21,2 | 240 | 800 |
| 250 | | 23 | 250 | 830 |
| 260 | | 24,6 | 260 | 870 |
| 270 | | 26,2 | 270 | 900 |
| 280 | | 27,6 | 280 | 940 |
| 290 | | 29 | 290 | 970 |
| 300 | | 30,3 | 300 | 1 010 |
| 310 | | 31,5 | 310 | 1 040 |
| 320 | | 32,7 | 320 | 1 080 |
| 330 | | 33,8 | 330 | 1 110 |
| 340 | | 34,9 | 340 | 1 150 |
| 350 | | 36 | 350 | 1 180 |
| 360 | | 37 | 359 | 1 210 |
| 370 | | 38 | 368 | 1 240 |
| 380 | | 38,9 | 376 | 1 270 |
| 390 | | 39,8 | 385 | 1 290 |
| 400 | | 40,7 | 392 | 1 320 |
| 410 | | 41,5 | 359 | 1 350 |
| 420 | | 42,4 | 368 | 1380 |
| 430 | | 43,2 | 376 | 1410 |
| 440 | | 44 | 385 | 1430 |
| 450 | | 44,8 | 392 | 1460 |
| Essai de traction normalisé | Application à la géologie |
# Multivibrateur/Présentation de la leçon

Les multivibrateurs sont des circuits permettant de générer des impulsions, uniques (monostable) ou répétées (astable), de durée déterminée.
# Mur de Planck/Objectifs

Étudier et comprendre l'avant-Bigbang
# Musique Enseignement de spécialité Bac L 2016/Annexe/Œuvres et thèmes de référence (2015-2016)

Modifier le texte ci-dessous :
Œuvres et thèmes de référence - année scolaire 2015-2016 et session 2016 du baccalauréat
Le travail sur les œuvres suivantes ne peut circonscrire celui mené au titre des quatre grandes questions au programme de la classe terminale. Le professeur en alimente l'étude « par un choix diversifié de références musicales supplémentaires et complémentaires » (extrait du programme fixé par l'arrêté du 21 juillet 2010, B.O. spécial n° 9 du 30 septembre 2010).

## Directions de travail : l'interprétation et l'arrangement

    Germaine Tailleferre
Quatre opéras bouffes, petite histoire lyrique de l'art français, du style galant au style méchant, sur des livrets de Denise Centore, pour voix solistes et orchestre de chambre

## Directions de travail : le timbre et le son

    Jean-Philippe Rameau, ensemble d'œuvres
Cet ensemble de pièces de Jean-Philippe Rameau sera étudié prioritairement des différents points de vue qui président à ces directions de travail. Toutes les pièces et leurs « versions » imposées permettront d'approfondir la question de l'interprétation comme celle du timbre et du son. En outre, certaines d'entre elles permettront d'approfondir la question de l'arrangement. Si les interprétations précisées ci-dessous et aisément accessibles sur les plateformes de téléchargement légal seront les références pour l'épreuve du baccalauréat, les candidats gagneront, tout au long de leur préparation à l'épreuve, à les comparer à d'autres versions.
* Premier livre de Pièces de clavecin - Prélude
          1 - Christophe Rousset, in album Rameau, pièces de clavecin
          2 - Claudio Colombo, in album Rameau : complete piano music
* Suite en sol
** Menuet 1 et Menuet 2
** Les Sauvages
** L'Enharmonique
          1 - Alexandre Tharaud, in album Alexandre Tharaud joue Rameau
          2 - Christophe Rousset, in album Rameau, pièces de clavecin
* Suite en mi
** Le rappel des oiseaux
          1 - Robert Casadesus, in album Jean-Philippe Rameau
          2 - Christophe Rousset, in album Rameau, pièces de clavecin
* Pièces de clavecin en concerts
** Premier concert
*** La Livri
** Quatrième concert
*** L'Indiscrète
          1 - Christophe Rousset, Les Talents lyriques, in album Rameau : six concerts en sextuor
          2 - Trevor Pinnock, in album Jean-Philippe Rameau, Complete works for harpsichord

## Direction de travail : la musique, diversité et relativité des cultures

    Richard Galliano
* La valse à Margaux, dans New musette, Label bleu, 1995
* C'est peut-être, Alain Leprest, dans Voce a mano, Saravah, 1992
* Huit et demi - La Passerella d'addio, Nino Rota, dans Richard Galliano - Nino Rota, Universal, 2011
* Taraf, dans Blow up, Sony / Francis Dreyfus Music France, 1997
* Billie, dans Richard Galliano solo, Sony / Francis Dreyfus Music France, 2007
* Aria, 2007, dans Richard Galliano - Bach, Universal, 2011 (dernière plage de l'album)

## Direction de travail : la musique, le rythme et le temps

    Wolfgang Amadeus Mozart
* Sérénade « Gran Partita », Sib majeur, K361
# Multivibrateur/Quartz

* Circuits intégrés multivibrateurs
# Mur de Planck/Présentation de la leçon

Le mur de Planck est la frontière entre le monde physique et le monde mathématique pur. Cette frontière est la limite du temps entre l'avant et l'après Big Bang. Cette membrane, enfermée dans le cône d'espace-temps, contient tout l'univers et pourtant, elle a une taille encore plus petite que celle d'un atome.
Dans ce mur, les mesures n'existent plus, tout est en évolution constante. Bien entendu, cela reste une théorie car nous ne l'avons pas encore vérifiée, mais tous les scientifiques sont d'accord pour voir le monde ainsi. Ce mur est fait d'informations (monopoles et instantons) et du secret de l'univers (l'instanton gravitationnel singulier de taille 0 : le temps imaginaire), mais ceci est l'une des nombreuses théories sur Planck.
Dans cette leçon, nous allons étudier le mur lui-même mais aussi l'avant Big Bang et l'état KMS (état Kubo-Martin-Schwinger) qui est un objet mathématique pour décrire la propriété d'un système en équilibre thermique.
# Musique Enseignement de spécialité Bac L 2016

| Chap. 1 : | Introduction |
| Partie écrite 2016 ||
| Chap. 2 : | L'interprétation et l'arrangement |
| Chap. 3 : | Le timbre et le son |
| Chap. 4 : | La musique, diversité et relativité des cultures |
| Chap. 5 : | La musique, le rythme et le temps |
| Partie orale ||
| Chap. 6 : | Pratique et culture musicale |
| Annexe : | Œuvres et thèmes de référence (2015-2016) |

## Présentation [Modifier]

La musique est un enseignement obligatoire et de spécialité en série L. L'enseignement obligatoire de musique au cycle terminal de la série littéraire s'organise autour de trois champs traditionnels de compétences = percevoir, produire et penser la musique dans le monde d'aujourd'hui.
Cette leçon porte sur le baccalauréat 2016.

## Objectifs [Modifier]

se préparer à l'épreuve du bac L en étudiant les œuvres au programme du bac 2016.

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 13.
avoir une formation musicale et artistique des classes précédentes ( collège, seconde et première ).

## Référents [Modifier]

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
* Hérisson grognon (discuter)
# Mur de Planck

| Chap. 1 : | Introduction (13) |
| Chap. 2 : | Big Bang (13) |
| Chap. 3 : | Univers parallèles (Multivers) (13) |
| Chap. 4 : | Inflation cosmique (13) |
Sur les autres projets Wikimedia :

## Présentation [Modifier]

Le mur de Planck est la frontière entre le monde physique et le monde mathématique pur. Cette frontière est la limite du temps entre l'avant et l'après Big Bang. Cette membrane, enfermée dans le cône d'espace-temps, contient tout l'univers et pourtant, elle a une taille encore plus petite que celle d'un atome.
Dans ce mur, les mesures n'existent plus, tout est en évolution constante. Bien entendu, cela reste une théorie car nous ne l'avons pas encore vérifiée, mais tous les scientifiques sont d'accord pour voir le monde ainsi. Ce mur est fait d'informations (monopoles et instantons) et du secret de l'univers (l'instanton gravitationnel singulier de taille 0 : le temps imaginaire), mais ceci est l'une des nombreuses théories sur Planck.
Dans cette leçon, nous allons étudier le mur lui-même mais aussi l'avant Big Bang et l'état KMS (état Kubo-Martin-Schwinger) qui est un objet mathématique pour décrire la propriété d'un système en équilibre thermique.

## Objectifs [Modifier]

Étudier et comprendre l'avant-Bigbang

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 13.
* Avoir les notions de base de l'astronomie..

## Référents

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
    Personne ne s'est déclaré prêt à aider pour cette leçon. Pour vous ajouter, cliquez ici.
# Java/Prérequis conseillés

* Introduction générale à la programmation
* Concept de la programmation orientée objet
# Java/Exercices/Utiliser des tableaux

Dans cette partie nous allons voir comment créer un tableau vide, le remplir avec les données de l’utilisateur et ensuite afficher son contenu.
Tout d’abord, Nous avons besoin d’un objet de type Scanner qui nous permettra de recueillir les données entrantes ensuite un tableau qui stockera tous les éléments entrés par l’utilisateur, nous considérons que ces éléments sont des suites de chaîne de caractères, par conséquent le tableau sera de type String. Pour connaître la longueur du tableau il nous faut une variable qui stockera le nombre d’éléments contenus dans le tableau, pour remplir le tableau nous utiliserons une boucle For et une variable de type String pour stocker à chaque fois les nouveaux éléments entrés par l’utilisateur et les stocker ensuite dans le tableau à partir de leurs indices, à rappeler le premier élément du tableau a pour indice 0 le deuxième 1 ensuite le troisième 2 le quatrième 3 et ainsi de suite.
Pour parcourir le tableau, nous allons créer notre propre méthode, cette méthode ne prendra comme argument qu’un tableau qu’elle pourra, avec une boucle for spéciale, afficher son contenu l’un après l’autre. Pour obtenir le résultat il faut juste appeler cette méthode après toutes les manipulations faites pour remplir le tableau.
À noter Les variables et les méthodes sont toutes déclarées static, l’exécution du programme se fait en mode console, la méthode parcourirTableau est déclarée juste après l’accolade fermant la méthode main. Nous ne tenons pas compte des exceptions qui pourraient être levées, par exemple pour le nombre d’ éléments au lieu d’entrer un nombre l’utilisateur entre une lettre ou une chaîne de caractères.
Code source
# Java/Interfaces graphiques
## Interfaces

Différents packages peuvent assurer l'interface graphique :
* AWT.
* SWT.
* Swing, voir aussi le wikilivre sur Swing.
* JavaFX remplaçant Swing dans les versions récentes de Java.

## Locode

Ceci est un petit programme qui télécharge la liste des codes de localisation de la Commission économique des Nations Unies pour l'Europe (UNECE) et affiche la table des codes de localisation avec une classe Tablesorter spécial publié par Oracle. La trieuse de table peut trier par plusieurs lignes (maintenez la touche CTRL et sélectionner une autre ligne en cliquant sur l'en-tête pour trier par un deuxième ou troisième rangée).

### Exercices

* Améliorer le modèle de table et le rendu des cellules du tableau. Que peut-il être amélioré ?
* Ajouter un filtre qui permet de filtrer la table avec des expressions rationnelles.
* Affichage des codes d'emplacement sur ​​un globe ou de permettre de sélectionner des régions sur une carte.
| Gestion de fichiers | Réflexion |
# Java/Gestion de fichiers
## Créer un fichier

* Lancer deux fois cette classe effacera le résultat de la première dans le fichier résultat. Pour l'éviter, utiliser new FileWriter("fichier1.txt", true).

## Lire

Pour lire le fichier créé ci-dessus :
# Java/Héritage et polymorphisme
## Héritage

Une classe peut utiliser l'héritage pour prendre la même forme qu'une autre classe.
Par défaut, la classe enfant utilise le constructeur par défaut du parent. Vous pouvez utiliser un autre constructeur avec le mot clé super dans la première phrase du constructeur de l'enfant.

## L'interface

Les interfaces sont une collection des méthodes abstract et constantes.
Un objet peut utiliser plusieurs interfaces.

## Polymorphisme

Le polymorphisme est le changement de l'activité d'une classe parent par les sous-classes.
Aussi, il est possible d’utiliser le polymorphisme avec les classes anonymes.
| Classes et objets | Exceptions |
# Java/Objectifs

Être en mesure de programmer des fichiers .java utilisables localement et/ou sur Internet.
# Java/Opérations

Les opérations que l’on peut effectuer sur les variables sont nombreuses. Cependant la première chose à savoir est qu’il n'est possible d'effectuer qu'une seule opération sur une variable qui n'a pas été initialisée : lui donner une valeur grâce au signe = comme dans l'exemple du dessus. Voyons maintenant une liste des opérateurs.

## Opérateurs de calcul

Les opérateurs de calcul sont :
* + Addition de deux valeurs
* - Soustraction de deux valeurs
* * Multiplication de deux valeurs
* / Division de deux valeurs
* % Applique le modulo (reste de la division euclidienne)
Remarque : Lorsque que l’on utilise des int avec l'opérateur /, on obtiendra un int et non pas un float ni un double. Le résultat est donc tronqué.

## Opérateurs logiques

Les opérateurs logiques utilisables sur des booléens sont :
* && ET logique
* || OU logique
* ! NEGATION logique

## Opérateurs binaires

Les opérateurs binaires utilisables sur des entiers (int) sont :
* & ET binaire
* | OU binaire inclusif
* ^ OU binaire exclusif
* ~ NEGATION binaire
* << décalage gauche de bits
* >> décalage droit de bits
* >>> décalage droit de bits; aucun changement du bit signe.

## Opérateurs d'assignation

Les opérateurs d'assignation permettent de simplifier les expressions en considérant la variable de gauche comme étant le premier nombre de l'opération mais aussi la variable dans laquelle il faudra mettre le résultat. Les opérateurs d'assignation sont :
* = Affecte une valeur à une variable
* += Addition
* -= Soustraction
* *= Multiplication
* /= Division
* %= Modulo
* &= ET logique et binaire
* |= OU logique et binaire
Exemple : Si l’on a x=4 et que l’on fait x+=3, alors x vaudra 7. Ceci est la même chose avec tous ces opérateurs d'assignation.

## Opérateur d'incrémentation

Les opérateurs d'incrémentation sont :
* ++ Ajoute 1 à la variable
* -- Retire 1 à la variable
Ces deux opérateurs ajoutent ou retirent 1 à la variable, et sont placés devant ou après la variable. S'il est devant, l'opérateur modifie la variable avant l’utilisation dans une expression. S'il est après, la variable est changée après son utilisation dans l'expression.
Remarque : Ces opérateurs sont en général très utilisés dans les boucles pour faire des compteurs ou plus particulièrement dans les boucles for pour faire le pas mais tout ceci sera vu dans le chapitre consacré aux différentes structures.

## Opérateurs de comparaison

Les opérateurs de comparaison sont :
* == opérateur d'égalité (égal à)
* < opérateur d'infériorité stricte (plus petit que)
* > opérateur de supériorité stricte (plus grand que)
* <= opérateur d'infériorité (plus petit qu'ou égal à)
* >= opérateur de supériorité (plus grand qu'ou égal à)
* != opérateur de différence (différent de)
Remarque : Tous ces opérateurs donnent pour résultat un booléen !
| Variables et types | Méthodes |