OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Transformée de Laplace en physique

| Chap. 1 : | Introduction (15) |
| Chap. 2 : | Qu'appelle-t-on transformée de Laplace ? (15) |
| Fiche : | Table des transformées de Laplace |
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## Présentation [Modifier]

La transformée de Laplace, du nom de son inventeur, est d'une précieuse aide technique à la résolution exacte des équations différentielles linéaires non homogènes qui résultent de la modélisation des systèmes physiques impliquant des fonctions périodiques non continues.
C'est principalement dans cette perspective que ce cours s'oriente :
La technique générale de résolution d'une équation différentielle à l'aide de la transformée de Laplace s'effectue en calculant la transformée de chacun des membres de l'équation, puis la résolution de l'équation algébrique résultante, et enfin en résolvant le problème inverse.
Ce cours se veut intuitif. Il n’est pas aussi rigoureux qu'un cours théorique de mathématique sur le même sujet et l'accent sera mis sur le calcul pratique et l’application à la résolution de problèmes concrets.
Il est parsemé de questions et exercices afin d'engager et de stimuler le lecteur attentif. Enfin, une série de TD complète chaque chapitre du cours pour approfondir et assimiler les concepts présentés.
Notez que nous envisageons dans ce cours la transformée de Laplace au sens des fonctions. Nous ne développons pas la transformée de Laplace au sens des distributions qui requiert la théorie dite des distributions.

## Objectifs [Modifier]

* définir la transformée de Laplace,
* établir ses relations avec les dérivées et les intégrales,
* étudier le cas des fonctions périodiques,
* résoudre le problème de la transformée de Laplace inverse,
* étudier un théorème de convolution,
* appliquer la transformée de Laplace à la résolution d'équations différentielles.

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 15.
* le calcul algébrique, notamment les fractions rationnelles.
* le calcul différentiel et intégral d'une fonction de la variable réelle, notamment la notion de convergence.
* les équations différentielles ordinaires.

## Voir aussi :

* Transformée de Laplace dans de département mathématiques
* Transformée de Laplace dans wikipédia

## Référents

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    Personne ne s'est déclaré prêt à aider pour cette leçon. Pour vous ajouter, cliquez ici.
# Organisation de calculs/Exercices/Calculs avec parenthèses

| Calculs sans parenthèses | Sommaire |
# Organisation de calculs

| Chap. 1 : | Rappels (8) |
| Chap. 2 : | Priorités des calculs (8) |
| Chap. 3 : | Identifier des expressions (8) |
| Chap. 4 : | Distributivité de la multiplication sur l'addition et la soustraction (8) |
| Quiz : | Identifier des expressions (8) |
| Exos. 1 : | Calcul mental (8) |
| Exos. 2 : | Calculs sans parenthèses (8) |
| Exos. 3 : | Calculs avec parenthèses (8) |
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## Présentation [Modifier]

Cette leçon concerne des rappels de niveau 6, les priorités des calculs, l'identification des expressions et la distributivité de la multiplication sur l'addition et la soustraction (à venir).

## Objectifs [Modifier]

Savoir calculer des expressions mathématiques

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 8.
Pas de prérequis particuliers

## Pour aller plus loin [Modifier]

* Calcul littéral

## Référents [Modifier]

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
* Hérisson grognon (discuter)
* Loïc Fabiou (discuter)
# Organisation de calculs/Identifier des expressions

$s=7+6\times 8=7+48=55$
s est la somme de 7 et du produit de 6 et de 8.
$d=712-26\times 11=712-286=426$
d est la différence de 712 et du produit de 26 par 11.
$p=0,25\times (15-9)=0,25\times 6=1,5$
p est le produit de 0,25 par la différence de 15 et de 9.
$~q=31\div (7,2+2,8)=31\div 10=3,1$
q est le quotient de 31 par la somme de 7,2 et de 2,8.
Dans une série d'opérations :
* si l'opération finale est une addition, alors on a une somme;
* si l'opération finale est une soustraction, alors on a une différence;
* si l'opération finale est une multiplication, alors on a un produit;
* si l'opération finale est une division, alors on a un quotient.
L'opération finale détermine donc le type d'opération.
| Priorités des calculs | Distributivité de la multiplication sur l'addition et la soustraction |
# Oral et écrit/Référents

* Retza Yupoi (discuter)
* Fourmidable (discuter)
# Organisation de calculs/Priorités des calculs
## Calculs sans parenthèses
### a) Addition et soustraction

L'addition et la soustraction ont la même priorité.
On les effectue dans l’ordre d'écriture.
$a=49-25+12-9+8-4-2$
$=24+12-9+8-4-2$
$=36-9+8-4-2$
$=27+8-4-2$
$=35-4-2$
$=31-2$
$=29$

### b) Multiplication et division

La multiplication et la division ont la même priorité.
$b=10\times 8\div 4\div 5\times 7$
$=80\div 4\div 5\times 7$
$=20\div 5\times 7$
$=4\times 7$
$=28$

### c)

$c=3+8\times 4=3+32=35$
La multiplication et la division sont prioritaires sur l'addition et la soustraction.
On effectue d’abord " × " et "÷" dans l’ordre d'écriture puis "+" et "-".
$d=9\times 3-5$
$=27-5$
$=22$
$e=3+5\times 7-4\times 6$
$=3+35-24$
$=38-24$
$=14$
$f=61,5-3,5\times 2+8$
$=61,5-7+8$
$=54,5+8$
$=62,5$
$g=30+60\div 8\times 2$
$=30+7,5\times 2$
$=30+15$
$=45$

## Calculs avec parenthèses

Dans une suite de calculs avec des parenthèses, on effectue d'abord les calculs à l'intérieur des parenthèses en respectant les priorités opératoires, puis les calculs en dehors des parenthèses.
$W=117-11\times (8,5-(6-4,7))-(12-8\times 0,25)$
ou
$W=117-11\times [8,5-(6-4,7)]-[12-8\times 0,25]$
$=117-11\times [8,5-1,3]-[12-2]$
$=117-11\times 7,2-10$
$=117-79,2-10$
$=37,8-10$
$=27,8$
Remarque :
* Attention
Les traits de fraction peuvent sous-entendre des parenthèses (parfois).
$x={41+4 \over 5}=(41+4)\div 5=45\div 5=9$
$y={35 \over 9-2}=35\div (9-2)=35\div 7=5$
mais
$z={5 \over 8}+2=5\div 8+2=0,625+2=2,625$
| Rappels | Identifier des expressions |
# Organisation de calculs/Distributivité de la multiplication sur l'addition et la soustraction
## Sur l'addition

Considérons deux rectangles ABCF et FCDE ayant un côté FC en commun.
$AB=$$k=$$8cm$
$BC=$$a=$$4cm$
$CD=$$b=$$2cm$
$AireABDE=AB\times BD$
$=8\times (4+2)$
$=8\times 6$
$~=48(cm^{2})$
$=k*(a+b)$
$~AireABDE=AireABCF+AireFCDE$
$=8\times 4+8\times 2$
$~=32+16$
$~=48(cm^{2})$
$=k*a+k*b$
$k*(a+b)=k*a+k*b$
ou
$(a+b)*k=a*k+b*k$
On distribue la multiplication par k sur les termes de la somme.

## Sur la soustraction

$k*(a-b)=k*a-k*b$
ou
$(a-b)*k=a*k-b*k$
On distribue la multiplication par k sur les termes de la différence.
| Identifier des expressions | Sommaire |
# Organisation de calculs/Exercices/Calcul mental

| Sommaire | Calculs sans parenthèses |
# Organisation de calculs/Exercices/Calculs sans parenthèses

| Calcul mental | Calculs avec parenthèses |
# Organisation de calculs/Objectifs

Savoir calculer des expressions mathématiques
# Tablatures pour la basse

| Chap. 1 : | Cordes et Cases |
| Chap. 2 : | Mesures et Rythme |
| Chap. 3 : | Articulations, liaisons et autres |
| Quiz : | Tablatures quiz 1 |

## Présentation [Modifier]

Les tablatures permettent d’écrire la musique. C’est un système plus facile d’accès que la portée musicale. On trouve sur internet énormément de tablatures pour des morceaux de tous les styles et de toutes les époques.

## Objectifs [Modifier]

Apprendre à lire et à écrire des tablatures.
♦ voir aussi : Guitare/Lecture de tablatures

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau débutant.
Il n’y a pas de prérequis.

## Référents [Modifier]

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
Marco de Freitas (discussion)
# TSI1 (France)

Classes préparatoires aux grandes écoles
La présentation de cette structure n'a pas été rédigée. Pour le faire, cliquez ici.

## Matières

| Cours de mathématiques Cours de physique Cours de chimie | Cours de français |

## Langues vivantes étrangères

Cours d'Anglais
Article wikipédia : Classes préparatoires technologie et sciences industrielles
Liens vers le programme officiel de la CPGE TSI1:
* Mathématiques
* Physique-Chimie
* Génie Électrique
* Génie Mécanique
* Informatique
* Français-Philosophie
* Langues vivantes étrangères
* EPS
# TSI1 (France)/Cours
## Matières

| Cours de mathématiques Cours de physique Cours de chimie | Cours de français |

## Langues vivantes étrangères

Cours d'Anglais
# TSI2 (France)

Classes préparatoires aux grandes écoles
La présentation de cette structure n'a pas été rédigée. Pour le faire, cliquez ici.

## Matières

| Cours de mathématiques Cours de physique Cours de chimie | Cours de français |

## Langues vivantes étrangères

Cours d'Anglais
Article wikipédia : Classes préparatoires technologie et sciences industrielles
* Liens vers le programme officiel de la CPGE TSI2:
* Mathématiques
* Physique-Chimie
* Génie Électrique
* Génie Mécanique
* Informatique
* Français-Philosophie
* Langues vivantes étrangères
* EPS
# TSI2 (France)/Annexe

Article wikipédia : Classes préparatoires technologie et sciences industrielles
* Liens vers le programme officiel de la CPGE TSI2:
* Mathématiques
* Physique-Chimie
* Génie Électrique
* Génie Mécanique
* Informatique
* Français-Philosophie
* Langues vivantes étrangères
* EPS
# TSI2 (France)/Cours
## Matières

| Cours de mathématiques Cours de physique Cours de chimie | Cours de français |

## Langues vivantes étrangères

Cours d'Anglais
# Tablatures pour la basse/Mesures et Rythme

Comme déjà dit au cours précédant, une tablature est un diagramme qui représente le manche.

### Les barres de mesures

Chaque ligne représente une corde de ta basse.
Un trait verticale coupe les lignes. Il s'agit des barres de mesures.

### Les notes

La tablature se lit de gauche à droite. On peut donc connaître avec certitude la succession dans laquelle les notes doivent être jouées.
| la la# si do | do si la# la | sol fa mi ré |

## Indication du rythme

L'absence de trait signifie que le chiffre correspond à une ronde. Un petit trait représente une blanche. Un trait qui monte jusqu'au nombre correspond à une noire. etc ...

### Difficultés inhérentes aux tablatures où le rythme n'est pas indiqué

Parfois on trouve des tablatures où la notation du rythme n'est pas indiquée.
La durée des notes est alors représentée par leur position entre les deux barres de mesures mais alors il devient vite difficile de s'y retrouver et il faut donc écouter l'original et l'imiter !
L'espace entre les numéros de cases peut servir pour donner une indication approximative du rythme.

## Partition avec tablatures

Quand une partition accompagne la tablature, le rythme est alors facile à trouver.
Voici les deux exemples précédents:
# TB2 (France)/Cours
## Langues vivantes étrangères

Cours d'Anglais
# TSI1 (France)/Annexe

Article wikipédia : Classes préparatoires technologie et sciences industrielles
Liens vers le programme officiel de la CPGE TSI1:
* Mathématiques
* Physique-Chimie
* Génie Électrique
* Génie Mécanique
* Informatique
* Français-Philosophie
* Langues vivantes étrangères
* EPS
# Équation du troisième degré/Prérequis conseillés

* Équations et fonctions du second degré (12)
* Approche géométrique des nombres complexes (12)
# Équation et inéquation

| Chap. 1 : | Définitions |
| Chap. 2 : | Résolution graphique d'une équation |
| Chap. 3 : | Équation produit et équation quotient |
| Chap. 4 : | Signe d'un binôme |
| Chap. 5 : | Résolution graphique d'une inéquation |
| Chap. 6 : | Inéquation et tableau de signe |
| Annexe : | Regula falsi (11) |
| Exos. 1 : | Résolution graphique d'équations |
| Exos. 2 : | Équations produit |
| Exos. 3 : | Résolution d'équations par factorisation |
| Exos. 4 : | Équations quotients |
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## Présentation [Modifier]

Cette leçon présente les équations et les inéquations. On aborde le premier degré, les factorisations, tableaux de signes, etc. Les approches graphiques et fonctionnelles sont bienvenues. En revanche, le cas général de l'équation du second degré est exclu.

## Objectifs [Modifier]

Le but de cette leçon n’est pas d'apprendre à résoudre une équation ou une inéquation de manière opératoire (transfert d'une terme d'un membre à un autre avec changement de signe par exemple) mais d'analyser tout ce qui tourne autour, comme les représentations graphiques ou les tableaux de signes.

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 11.
* Calcul littéral

## Pour aller plus loin [Modifier]

    « Solveur d'inéquation »

## Référents [Modifier]

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
* Loïc Fabiou (discuter)
# Équation et inéquation/Définitions
## Généralités

Soit $f$ une fonction de la variable réelle $x$ et $I$ une partie de l'ensemble des nombres réels $\mathbb {R}$.
* $x$ : Inconnue de l'équation.
* Une solution de l'équation $f(x)=0$ est un élément $x$ de $I$ pour lequel l'égalité est vraie (il vérifie l'équation).
* Résoudre l'équation $f(x)=0$, consiste à trouver toutes ses solutions.
* L'ensemble des solutions est généralement noté $S$.

## Équations du premier degré

Si $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ est une fonction affine définie par $f(x)=ax+b$, l'équation devient $ax+b=0$ ($I=\mathbb {R}$).
C'est une équation du premier degré si $a$ est non nul.
L'unique solution de l'équation du premier degré $ax+b=0$ (avec $a\neq 0$) est :
    $x=-{\frac {b}{a}}$.
On note $S=\left\{-{\frac {b}{a}}\right\}$.
Déterminer si les équations suivantes, d'inconnue $x$, sont du premier degré et si oui, donner $a$ et $b$ et la solution.
* $2x+3=0$
* $2x=3$
* $-2x=5$
* $-2x+3=5$
* $x+4=2x-6$
* $x+{\frac {1}{2}}=8$
* $\left(x-2\right)x-x^{2}=7$
* $2x+3=2x-4$
* $2x-3=2x-3$
Toutes sont du premier degré, sauf les deux dernières, pour lesquelles $a=0$.
* $a=2,b=3,x=-{\frac {3}{2}}$
* $a=2,b=-3,x={\frac {3}{2}}$
* $a=-2,b=-5,x=-{\frac {5}{2}}$
* $a=-2,b=-2,x=-1$
* $a=-1,b=10,x=10$
* $a=1,b=-{\frac {15}{2}},x={\frac {15}{2}}$
* $a=-2,b=-7,x=-{\frac {7}{2}}$
* $S=\varnothing$
* $S=\mathbb {R}$

## Équations du second degré

Une équation du second degré est une équation de la forme $ax^{2}+bx+c=0$ avec $a$ constante réelle non nulle, et $b$ et $c$, deux constantes réelles.
Si $c\neq 0$, c'est un exemple d'équation qui ne se prête pas à une résolution directe : on ne peut pas isoler $x$ directement.
Résoudre dans $\mathbb {R}$ les équations :
* $x^{2}=4$ ;
* $x^{2}-x=0$.
* $S=\left\{-2,2\right\}$.
* $S=\left\{0,1\right\}$.
| Sommaire | Résolution graphique d'une équation |
# Équation du troisième degré/Présentation de la leçon

Cette leçon étudie les fonctions et les équations du troisième degré. Les équations du troisième degré sont solubles à l'aide de méthodes générales qui nécessitent l’utilisation des nombres complexes (non réels) contrairement aux équations de degré un ou deux. Il est donc particulièrement recommandé, avant d’aborder cette leçon, d’avoir une bonne connaissance de la théorie des nombres complexes.
# Équation et inéquation/Annexe/Regula falsi

Une méthode traditionnelle pour résoudre les équations du premier degré est la méthode dite de la regula falsi : elle consiste à essayer des solutions fausses pour en déduire la bonne.

## Exemple

Par exemple, soit à résoudre $3x+4=17$
1° Quel nombre A trouve-t-on avec $x=4$ ?
En prenant $x=4$, on trouve $A=3x+4=3\times 4+4=16$.
2° Quel nombre B trouve-t-on avec $x=5$ ?
En prenant $x=5$, on trouve $B=3x+4=3\times 5+4=19$.
3° Compléter le tableau suivant :
| A = | - - - - - | B - 17= |
| - - - - - | 17 | - - - - - |
| B = | - - - - - | 17 - A = |
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle.
4° Trouvez la solution en calculant une moyenne de 4 et 5 avec les coefficients trouvés en 3°.
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle.
* Sommaire
# Équation du troisième degré

| Chap. 1 : | Présentation et historique (12) |
| Chap. 2 : | Généralités sur les équations du troisième degré (14) |
| Chap. 3 : | Fonctions polynômes du troisième degré (12) |
| Chap. 4 : | Méthode de Cardan (14) |
| Chap. 5 : | Simplification des racines (14) |
| Chap. 6 : | Résolutions trigonométriques (14) |
| Chap. 7 : | Récapitulatif méthodes (14) |
| Chap. 8 : | Nombres algébriques de degré 3 (14) |
| Annexe 1 : | Liens externes (14) |
| Annexe 2 : | Généralités sur les équations polynomiales (13) |
| Exos. 1 : | Exercices sur l'équation du troisième degré (14) |
| Exos. 2 : | Sur la somme et le produit des racines (14) |
| Exos. 3 : | Sur les tracés de courbes (14) |
| Exos. 4 : | Résolution par la méthode de Cardan (14) |
| Exos. 5 : | Simplification des racines (14) |
| Exos. 6 : | Sur la résolution trigonométrique (14) |
| Exos. 7 : | Résolution de problèmes du troisième degré (14) |
| Exos. 8 : | Nombres algébriques de degré 3 (14) |
| Devoir : | Méthode de Tschirnhaus (14) |
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## Présentation [Modifier]

Cette leçon étudie les fonctions et les équations du troisième degré. Les équations du troisième degré sont solubles à l'aide de méthodes générales qui nécessitent l’utilisation des nombres complexes (non réels) contrairement aux équations de degré un ou deux. Il est donc particulièrement recommandé, avant d’aborder cette leçon, d’avoir une bonne connaissance de la théorie des nombres complexes.

## Objectifs [Modifier]

* Savoir déterminer la forme d'une courbe du troisième degré à partir du discriminant et de la dérivée.
* Comprendre la problématique des équations du troisième degré.
* Savoir résoudre les équations du troisième degré par diverses méthodes.
* Bien comprendre les avantages et inconvénients des différentes méthodes

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 14.
* Équations et fonctions du second degré (12)
* Approche géométrique des nombres complexes (12)

## Pour aller plus loin [Modifier]

* Équation du quatrième degré
* Recherche:Méthode de Sotta

## Référents [Modifier]

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
* Lydie Noria (discuter)
* Loïc Fabiou (discuter)
# Équation du troisième degré/Annexe/Généralités sur les équations polynomiales

Une équation polynomiale est une équation qui peut se mettre sous la forme d'un polynôme égale zéro. Elle est donc de la forme : $\displaystyle a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n-1}x^{n-1}+a_{n}x^{n}=0$
Son degré est déterminé par le degré du polynôme, par exemple :
* 3x + 2 = 0 ----> équation polynomiale du premier degré.
* 3x$^2$ + 2x + 1 =0 ----> équation polynomiale du second degré.
* 3x$^3$ + 2x$^2$ + x + 4 = 0 ----> équation polynomiale du troisième degré.
* 3x$^4$ + 2x$^3$ + x$^2$ + 4x + 5 = 0 ----> équation polynomiale du quatrième degré.
* 3x$^5$ + 2x$^4$ + x$^3$ + 4x$^2$ + 5x + 7 = 0 ----> équation polynomiale du cinquième degré.
| Liens externes | Sommaire |
# Équation du troisième degré/Annexe/Liens externes

Cette annexe présente divers liens vers des sites internet concernant les équations du troisième degré. Ceux-ci ont été regroupés par thèmes de façon à faciliter la recherche.

## Cours sur les équations du troisième degré

* Cours sur les équations du troisième degré
* Équations du troisième degré par Zauctore
* Troisième degré selon Viète
* Troisième degré selon Cardan

## Autres méthodes de résolution

Nouvelle méthode

## Informatique

* Méthode de Sotta pour calculatrices Texas Instruments.
* - Calcul sur tableur Excel.
| Sommaire | Généralités sur les équations polynomiales |
# Application (mathématiques)/Graphe
## Graphe d'une relation

Soit $R$ une relation définie entre un ensemble $A$ et un ensemble $B$.
Le graphe de la relation $R$ est le sous-ensemble de $A\times B$ des points (x,y) tels que x est en relation avec y.
Soit la relation entre les fruits et les couleurs donnée par « y est une couleur possible de x à maturité ». Le graphe de cette relation présente chaque fruit en une ligne, et pour chacun d'eux (donc pour chaque colonne), il présente les couleurs possibles.

## Graphe d'une fonction

Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $A$ et à valeurs dans l’ensemble $B$. On peut lui associer la relation R définie par $xRy\Leftrightarrow y=f(x)$, et définir le graphe de $f$ comme étant celui de $R$.
Le graphe de la fonction $f$ est le sous-ensemble G de $A\times B$ des points $(x,y)$ tels que $y=f(x)$.
Voici la représentation graphique d'une fonction définie sur l'intervalle réel [−1, 1,5] par l’expression :
    $f(x)={\frac {(4x^{3}-6x^{2}+1){\sqrt {x+1}}}{3-x}}$.
| Injection, surjection, bijection | Famille |
# Application linéaire

| Chap. 1 : | Définitions (14) |
| Chap. 2 : | Propriétés générales (14) |
| Chap. 3 : | Projecteurs, symétries (14) |
| Chap. 4 : | Rang (14) |
| Exos. 1 : | Application directe (14) |
| Exos. 2 : | Noyau et image (14) |
| Exos. 3 : | Projecteurs, symétries (14) |
| Exos. 4 : | Rang (14) |
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## Présentation [Modifier]

Ce chapitre présente toutes les bases à savoir sur les applications linéaires entre espaces vectoriels.

## Objectifs [Modifier]

Assimiler les notions de base sur les applications linéaires :
* nature de l'application ;
* noyau, image ;
* rang et théorème du rang.

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 14.
Espace vectoriel

## Pour aller plus loin [Modifier]

* Matrice (niveau 14)
* Réduction des endomorphismes (niveau 15)
* Espaces vectoriels normés (niveau 15)

## Référents [Modifier]

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
* Loïc Fabiou (discuter)
# Application (mathématiques)/Post-notions

* Application linéaire (14)
* Fonctions de Rn dans Rp (14)
* Calcul différentiel (15)
# Application (mathématiques)/Objectifs

* comprendre la notion d'application ;
* savoir lire et utiliser les notations relatifs aux applications ;
* connaître les propriétés pouvant définir une application, et savoir les reconnaître.
# Application (mathématiques)/Prérequis conseillés

* Notions d'ensembles
* Généralités sur les fonctions
# Application (mathématiques)/Présentation de la leçon

Les applications sont une notion importante de la théorie des ensembles. Elles constituent une des grandes bases des mathématiques modernes. Les applications sont, grossièrement parlant, ce qui définit les liens entre différents ensembles…