# La prédiction dynamique

La prédiction dynamique est une méthode de prédiction inventée par Newton et Leibniz. Newton l’a appliquée avec succès au mouvement des planètes et de leurs satellites. Depuis elle est devenue la grande méthode de prédiction des mathématiques appliquées. Sa portée est universelle. Tout ce qui est matériel, tout ce qui est en mouvement, peut être étudié avec les outils de la théorie des systèmes dynamiques (mouvements). Mais il ne faut pas en conclure que pour connaître un système il est nécessaire de connaître sa dynamique.
Le principe fondamental de toute prédiction est le déterminisme, c'est-à-dire que l’avenir est déterminé par le passé. Si on veut prédire l’avenir, il faut observer le présent et connaître des lois qui déterminent l’avenir en fonction de son passé. La théorie des systèmes dynamiques introduit des hypothèses supplémentaires :
* le déterminisme est complet, l’avenir est écrit d’avance, il est complètement déterminé par son passé ;
* l’état présent du système détermine à la fois ses états futurs et ses états passés.
La première hypothèse semble très audacieuse car elle repose sur les idées suivantes:
* la totalité des interactions de cet univers, chacune de nos actions serait chérissables et obéiraient à une certaine logique de fonctionnement quantifiable, démontrable
* le calcul de la position dans l'univers de chaque particule à un moment donné, détermine son état prochain par la projection future de ses interactions avec son environnement.
Cela soulève des questions car nous sommes actuellement incapables de définir la nature de l'univers et celle du temps si l’on prend l’idée d'un univers logique constitué de lois théoriques quantifiables. De plus, qu'en est-il des idées, théories et expériences de pensées défiant la logique et alimentant les idées suivantes: réalité indéfinissable , dualité quantique , décohérence ? Tout ceci est bien sûr subjectif et propre à notre esprit, mais si nous parvenons à élaborer des idées absurdes ou impossibles, celles-ci ont-elles une existence physique démontrable? En effet, elles sont conçues, imaginées par un système physique, en l’occurrence nous-mêmes. Il s’agit donc aussi de comprendre la nature même de la conscience.
La seconde hypothèse permet à la théorie des systèmes dynamiques de s'appliquer à la fois à la prédiction et à la connaissance du passé. On parle de rétrodiction.
Pour appliquer la prédiction dynamique , il faut connaître avec précision à la fois l’état présent du système et sa loi du mouvement , ainsi :
* l’état du système est déterminé par un certain nombre de variables d’état, ou variables dynamiques , qui sont en général modélisés par des nombres réels ;
* la loi du mouvement est en général modélisée par une équation différentielle ordinaire ou une équation aux dérivées partielles qui permet de calculer les états ultérieurs du système à partir de son état présent.

## Obstacles à la prédiction dynamique

* Avant l’existence des ordinateurs, l’application de la prédiction dynamique était limitée à des systèmes relativement simples, parce que les calculs étaient trop compliqués. Grâce aux ordinateurs, la prédiction dynamique a pu être appliquée aux systèmes complexes. Dans quelques cas, la météorologie notamment, les succès sont remarquables. Mais il faut remarquer que pour obtenir un tel succès, les moyens mis en jeu sont considérables: des stations d’observation réparties sur toute la planète, des ballons-sondes, des satellites et des ordinateurs parmi les plus puissants du monde. L’amélioration et l’automatisation des techniques d’observation laissent espérer que les applications potentielles de la prédiction dynamique aux systèmes complexes sont immenses. Mais elles engageront d’assez gros moyens, d’autant plus gros que les systèmes sont plus complexes et qu'on veut des prédictions plus précises.
On a cru pendant longtemps que la complexité était la principale cause de l’imprédictibilité du monde. Pour montrer la puissance de la théorie newtonienne, Pierre-Simon de Laplace donnait l’argument suivant : si un être formidablement intelligent pouvait connaître précisément l’état dynamique instantané de l’univers, c’est-à-dire les positions et les vitesses de tous les corps, s’il connaissait en plus les lois exactes du mouvement, c’est-à-dire les lois de l’interaction entre les corps, alors il pourrait connaître par le calcul tout l’avenir et tout le passé de l’Univers . Le problème de la prédiction serait ainsi définitivement résolu.
Comme l’univers est très complexe, nous ne pouvons pas mesurer précisément son état instantané, et nous ne pouvons donc pas appliquer cette méthode.
Cependant, en réalité ce n’est pas la seule variable (variable de complexité) nécessaire afin de délier la connaissance de l'inconnu. L'exemple météorologique est parlant, malgré la technologie de pointe mis en place quant à son déterminisme. On observe souvent un écart significatif entre le prévu et le réel. D'autres variables qui ne sont pas accessibles à la capacité humaine entre en compte ce qui rend impossible l'accès a une prévision humaine pur et parfaite.
La gestion prévisionnelle détient elle aussi plusieurs outils d'aide à la décision prévisionnelle. L'élaboration des budgets en est un. Cet outil représente un point essentiel dans la décision stratégique d'une entreprise cependant le montant budgété est à 99% différent du réel. L'étude des écarts permet de comprendre cette différence et d'optimiser sa gestion prévisionnelle bien qu’un écart nul reste non envisageable.
Cette vision est confirmée par la notion de *La sensibilité aux conditions initiales qui montre que même si nous pouvions mesurer précisément l’état de l’univers, nous ne pourrions pas appliquer la prédiction dynamique au long terme car une très petite différence initiale peut avoir de grandes conséquences . La théorie des systèmes dynamiques est parfois appelée théorie du chaos, parce que de nombreux systèmes sont sensibles aux conditions initiales et que leur dynamique est donc fondamentalement imprédictible.

# La prédiction rationnelle

La prédiction dynamique a une portée universelle mais elle n’est pas la seule façon de faire des prédictions. Heureusement sinon notre capacité à prédire serait très limitée. L’autre façon de prédire, c’est l’usage ordinaire de la raison, qu’on peut appeler aussi le raisonnement prédictif, la prédiction rationnelle ou l’exercice de la raison positive. Positif est ici associé à la capacité à prédire des conséquences observables . La prédiction rationnelle est la technique de prédiction la plus puissante, beaucoup plus puissante que la prédiction dynamique, pour une raison simple: la souplesse d’adaptation au problème posé.
L’une des raisons de la puissance est parfois la légèreté. Un simple raisonnement peut prouver beaucoup plus que mille heures de calculs sur le plus gros ordinateur. Pour être léger, il ne faut pas chercher à obtenir plus qu’il n'est nécessaire. De ce point de vue la prédiction dynamique est beaucoup trop lourde. En général on n’a pas besoin de prédire exactement l’état dynamique du système, on veut seulement savoir si tout va bien marcher.
De façon générale, on peut diviser l’ensemble des états futurs du système en deux parties. La première partie contient tous les états pour lesquels les fonctions requises sont satisfaites, la seconde, tous les autres. La séparation entre les deux parties est la limite entre le succès et l’échec. Pour les prédictions, les études de fiabilité par exemple, on n’a en général pas besoin de connaître exactement l’état futur du système. On veut seulement savoir qu’il sera à l’intérieur de l’ensemble des succès. On n’exige pas du système qu’il soit complètement prévisible. On veut seulement une connaissance partielle. On accepte de ne pas tout savoir avec exactitude.

## Avantages

* On peut faire des prédictions à beaucoup plus long terme;
* La sensibilité aux conditions initiales est l’un des obstacles majeurs de la prédiction dynamique, mais pour la prédiction rationnelle elle n’est pas forcément un problème;
* L’économie des fins recherchées fait de la raison prédictive un outil plus léger, plus efficace, mieux adapté aux prédictions vraiment intéressantes, que la prédiction dynamique qui est plus lourde;
* La prédiction rationnelle permet d’adapter son point de vue au problème posé car on cherche des lois prédictives en fonction de ce que l’on veut prédire, c’est la principale raison de la puissance de la raison;
* Le raisonnement est le bon outil pour prédire l’avenir des systèmes complexes parce qu’il s’adapte avec souplesse aux problèmes posés.

# Les méthodes statistiques de prévision

La statistique est l'un des principaux outils de prévision utilisée par les entreprises ou l'État (estimation de la population, sondages ...).
En statistique mathématique par exemple l'univers des cas possibles est un ensemble d’évènements futurs, possibles, mais dont la réalisation ne peut pas être prédite, associés à une action appelée épreuve. L’épreuve est aléatoire quand la vraisemblance de la réalisation de chacun des évènements futurs possibles associés peut être exprimée par un nombre appelé probabilité .
Cette épreuve doit alors nécessairement pouvoir être répétée à l’identique. Alors, quand le nombre de répétitions à l’identique tend vers l’infini, la fréquence de réalisation d’un évènement tend vers sa probabilité.

## Le modèle de régression

Ce modèle consiste à mettre en relation des variables à partir d'observations statistiques, à travers une équation pour expliquer ou prévoir des phénomènes.
Pour simplifier l'explication on peut supposer Y une variable aléatoire réelle à expliquer (variable endogène, dépendante ou réponse) et X la variable explicative ou effet ﬁxe (exogène). Le modèle revient à supposer, qu’en moyenne, E(Y ), est une fonction affine de X. L’écriture du modèle suppose implicitement une notion préalable de causalité dans le sens où Y dépend de X car le modèle n’est pas symétrique. On aura donc une équation de la forme:
E(Y)=f(X)=b+aX=Y
Donc à chaque valeur de X correspond une valeur de Y
Ce modèle peut être plus compliqué si les variables explicatives sont nombreuses: modèle de régression multiple.
Grâce à ce genre d'équation on peut par exemple faire la prévision des ventes pendant un semestre. On prend en considération les éléments suivants:
* Marché total
* Remises aux grossistes
* Prix
* Budget de Recherche
* Investissement
* Publicité
* Frais de ventes
* Total budget publicité de la branche
On peut alors estimer ces ventes sachant qu’elles dépendent de ces éléments qui représentent alors les Xi. En donnant des valeurs à ces éléments on peut représenter la progression des ventes.
* Exemple de logiciel de régression: Le DataFitting ou Régression Analysis

## Le modèle multinomial

La loi binomiale concerne le nombre de succès dans n épreuves de Bernoulli indépendantes donnant chacune un résultat binaire, comme dans le jeu de pile ou face. La loi multinomiale est une généralisation de celle-ci, applicable par exemple à n jets d'un dé à six faces. Contrairement à ces exemples simples, les différentes possibilités ne sont généralement pas équiprobables.
* Exemple: Le modèle logit multinomial consiste en une généralisation du modèle logit classique pour des variables à expliquer ayant plus de deux modalités (cette méthode peut aussi être appelée régression logistique polytomique).
Le principe de ce modèle est le suivant : on veut comprendre ou prédire l'effet d'une ou plusieurs variables sur une variable qualitative à réponses multiples. Cette variable doit être une variable catégorielle non ordonnée. L’ensemble des calculs se fait relativement à une modalité de référence que l’utilisateur devra sélectionner. On pourra ainsi comprendre l’impact du choix d’une modalité en fonction des variables explicatives relativement à une modalité fixée.
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