# Fonction exponentielle/Exercices/Étude de la fonction exponentielle

Un certain nombre d'études de fonctions ne peuvent se faire sans le théorème de dérivation d'une composée par une fonction affine (niveau 11).

## Exercice 1 : étude de fonction

ƒ est la fonction définie sur $[0;+\infty [$ par :
    pour tout $x\in [0;+\infty [,~f(x)=-x+{\frac {5}{2}}-e^{-x}$.
1. Étudier les variations de ƒ.
2. Étudier la limite de ƒ en $+\infty$.
3. Démontrer que la courbe représentative ${\mathcal {C}}$ de ƒ admet une asymptote oblique ${\mathcal {D}}$ dont on donnera une équation.
4. Étudier les positions relatives de ${\mathcal {C}}$ et ${\mathcal {D}}$.
5. Déterminer une équation de la tangente à ${\mathcal {C}}$ au point d'abscisse 2.
1. Étudier les variations de ƒ.
    ƒ est dérivable sur $[0;+\infty [$ et, pour tout $x\in [0;+\infty [$ :
    $f'(x)=-1-(-1)\times e^{-x}=e^{-x}-1$
Or, pour tout $x\in [0;+\infty [,~e^{-x}\leq 1$ donc $f'(x)\leq 0$
2. Étudier la limite de ƒ en $+\infty$.
* $\lim _{x\to +\infty }-x+{\frac {5}{2}}=-\infty$
* $\lim _{x\to +\infty }e^{-x}=0$
3. Démontrer que la courbe représentative ${\mathcal {C}}$ de ƒ admet une asymptote oblique ${\mathcal {D}}$
On remarque que l’expression de ƒ admet deux membres :
* une partie affine : $x\mapsto -x+{\frac {5}{2}}$
* une partie qui tend vers 0 : $x\mapsto e^{-x}$
Si on pose $g:x\mapsto -x+{\frac {5}{2}}$, définie sur $\mathbb {R}$ et de représentation graphique ${\mathcal {D}}$, on a :
    $\lim _{x\to +\infty }f(x)-g(x)=0$
4. Étudier les positions relatives de ${\mathcal {C}}$ et ${\mathcal {D}}$.
    Pour tout $x\in [0;+\infty [,f(x)-g(x)=-e^{-x}$, grandeur négative.
5. Déterminer une équation de la tangente à ${\mathcal {C}}$ au point d'abscisse 2.
    D'après le cours sur la dérivation, l'équation de la tangente à ${\mathcal {C}}$ au point d'abscisse 2 est :
    ${\begin{aligned}y&=f(2)+f'(2)\cdot (x-2)\\&=-2+{\frac {5}{2}}-e^{-2}+(-1+e^{-2})\cdot (x-2)\\&={\frac {1}{2}}-e^{-2}+(-1+e^{-2})\cdot (x-2)\\&={\frac {1}{2}}-e^{-2}-x+2+e^{-2}x-2e^{-2}\\&=(e^{-2}-1)x-3e^{-2}+{\frac {5}{2}}\\\end{aligned}}$

## Exercice 2 : étude de fonction

ƒ est la fonction définie sur $[0;+\infty [$ par :
    pour tout $x\in [0;+\infty [,~f(x)=2x-{\frac {5}{2}}+2e^{-x}$.
1. Étudier les variations de ƒ.
2. Étudier la limite de ƒ en $+\infty$.
3. Démontrer que la courbe représentative ${\mathcal {C}}$ de ƒ admet une asymptote oblique ${\mathcal {D}}$ dont on donnera une équation.
4. Étudier les positions relatives de ${\mathcal {C}}$ et ${\mathcal {D}}$.
5. Déterminer une équation de la tangente à ${\mathcal {C}}$ au point d'abscisse 2.
1. Étudier les variations de ƒ.
    ƒ est dérivable sur $[0;+\infty [$ et, pour tout $x\in [0;+\infty [$ :
    $f'(x)=2+2\times (-1)e^{-x}=2(1-e^{-x})$
Or, pour tout $x\in [0;+\infty [,~e^{-x}\leq 1$ donc $f'(x)\geq 0$
2. Étudier la limite de ƒ en $+\infty$.
* $\lim _{x\to +\infty }2x-{\frac {5}{2}}=+\infty$
* $\lim _{x\to +\infty }2e^{-x}=0$
3. Démontrer que la courbe représentative ${\mathcal {C}}$ de ƒ admet une asymptote oblique ${\mathcal {D}}$
On remarque que l’expression de ƒ admet deux membres :
* une partie affine : $x\mapsto 2x-{\frac {5}{2}}$
* une partie qui tend vers 0 : $x\mapsto 2e^{-x}$
Si on pose $g:x\mapsto 2x-{\frac {5}{2}}$, définie sur $\mathbb {R}$ et de représentation graphique ${\mathcal {D}}$, on a :
    $\lim _{x\to +\infty }f(x)-g(x)=0$
4. Étudier les positions relatives de ${\mathcal {C}}$ et ${\mathcal {D}}$.
    Pour tout $x\in [0;+\infty [,f(x)-g(x)=2e^{-x}$, grandeur positive.
5. Déterminer une équation de la tangente à ${\mathcal {C}}$ au point d'abscisse 2.
    D'après le cours sur la dérivation, l'équation de la tangente à ${\mathcal {C}}$ au point d'abscisse 2 est :
    ${\begin{aligned}y&=f(2)+f'(2)\cdot (x-2)\\&=2\times 2-{\frac {5}{2}}+2e^{-2}+2(1-e^{-2})(x-2)\\&={\frac {3}{2}}+2e^{-2}+2((1-e^{-2})x-2(1-e^{-2}))\\&=-{\frac {5}{2}}+6e^{-2}+2(1-e^{-2})x\\\end{aligned}}$

## Exercice 3 : dérivation

Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes.
1. $f_{1}:x\mapsto (3x-2)e^{x}$
2. $f_{2}:x\mapsto {\frac {x^{2}}{e^{-x}}}$
3. $f_{3}:x\mapsto 3xe^{-3x}$
4. $f_{4}:x\mapsto {\frac {7xe^{-x}}{3}}$
Ces quatre fonctions sont définies et dérivables sur $\mathbb {R}$.
1. $f_{1}:x\mapsto (3x-2)e^{x}$
* Cette fonction se dérive comme un produit.
** On pose sur $\mathbb {R}$ les fonctions $u:x\mapsto (3x-2)$ et $v:x\mapsto e^{x}$
** Leurs dérivées sont définies par $u':x\mapsto 3$ et $v':x\mapsto e^{x}$
** Finalement, pour tout $x\in \mathbb {R} ,f_{1}'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(3x+1)e^{x}$
2. $f_{2}:x\mapsto {\frac {x^{2}}{e^{-x}}}$
* Cette fonction peut se dériver comme un quotient, mais une manipulation élémentaire permet de tout ramener au numérateur et ainsi simplifier le calcul de la dérivée.
** On remarque que pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f_{2}(x)={\frac {x^{2}}{e^{-x}}}=x^{2}e^{x}$
** On pose sur $\mathbb {R}$ les fonctions $u:x\mapsto x^{2}$ et $v:x\mapsto e^{x}$
** Leurs dérivées sont définies par $u':x\mapsto 2x$ et $v':x\mapsto e^{x}$
** Finalement, pour tout $x\in \mathbb {R} ,f_{2}'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(x^{2}+2x)e^{x}=x(x+2)e^{x}$
3. $f_{3}:x\mapsto 3xe^{-3x}$
* On va utiliser ce théorème de niveau 11
** On pose sur $\mathbb {R}$ les fonctions $u:x\mapsto 3x$ et $v:x\mapsto e^{-3x}$
** Leurs dérivées sont définies par $u':x\mapsto 3$ et $v':x\mapsto -3e^{-3x}$
** Finalement, pour tout $x\in \mathbb {R} ,f_{3}'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(3+3x\times (-3))e^{-3x}=3(-3x+1)e^{-3x}$
4. $f_{4}:x\mapsto {\frac {7xe^{-x}}{3}}$
* La dérivation de cette fonction nécessite le théorème de dérivation d'une fonction composée.
** On a $f_{4}:x\mapsto {\frac {7}{3}}xe^{-x}$
** On pose sur $\mathbb {R}$ la fonction $u:x\mapsto xe^{-x}$
** On dérive $f_{4}$ selon $(ku)'=ku'$ :
*** La dérivée de $u$ est définie par $u':x\mapsto e^{-x}-xe^{-x}$
** On obtient $f_{4}'(x)={\frac {7}{3}}(e^{-x}-xe^{-x})$
** Soit, pour tout $x\in \mathbb {R} ,f_{4}'(x)={\frac {7}{3}}e^{-x}(1-x)$

## Exercice 4 : dérivation

Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes.
1. $f_{1}:x\mapsto (5x-2)e^{-x}$
2. $f_{2}:x\mapsto {\frac {x^{2}}{e^{x}}}$
3. $f_{3}:x\mapsto 3xe^{-4x}$
4. $f_{4}:x\mapsto e^{2x+3}$
5. $f_{5}:x\mapsto 3e^{-4x}$
6. $f_{6}:x\mapsto xe^{2x-1}$
7. $f_{7}:x\mapsto 3xe^{\frac {x}{2}}$
1. $f_{1}:x\mapsto (5x-2)e^{-x}$
* On pose sur $\mathbb {R}$ les fonctions $u:x\mapsto 5x-2$ et $v:x\mapsto e^{-x}$
* Leurs dérivées sont définies par $u':x\mapsto 5$ et $v':x\mapsto -e^{-x}$
* Finalement, pour tout $x\in \mathbb {R} ,f_{1}'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(5-(5x-2))e^{-x}=(-5x+7)e^{-x}$
2. $f_{2}:x\mapsto {\frac {x^{2}}{e^{x}}}$
* On pose sur $\mathbb {R}$ les fonctions $u:x\mapsto x^{2}$ et $v:x\mapsto e^{x}$
* Leurs dérivées sont définies par $u':x\mapsto 2x$ et $v':x\mapsto e^{x}$
* Finalement, pour tout $x\in \mathbb {R} ,f_{2}'(x)=(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/(v(x)^{2})=(x^{2}+2x)e^{-x)=x(x+2)(e^{-}x)$
3. $f_{3}:x\mapsto 3xe^{-4x}$
* On pose sur $\mathbb {R}$ les fonctions $u:x\mapsto 3x$ et $v:x\mapsto e^{-4x}$
* Leurs dérivées sont définies par $u':x\mapsto 3$ et $v':x\mapsto -4e^{-4x}$
* Finalement, pour tout $x\in \mathbb {R} ,f_{3}'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(3-4\cdot 3x)e^{-4x}=3(-4x+1)e^{-4x}$
4. $f_{4}:x\mapsto e^{2x+3}$
* On pose sur $\mathbb {R}$ la fonction $u:x\mapsto 2x+3$
* Sa dérivée est définie par $u':x\mapsto 2$
* Comme $f_{4}=e^{u}$, on a pour tout $x\in \mathbb {R} ,f_{4}'(x)=u'(x)e^{u(x)}=2e^{2x+3}$
5. $f_{5}:x\mapsto 3e^{-4x}$
* Pour tout $x\in \mathbb {R} ,f_{5}'(x)=-12e^{-4x}$
6. $f_{6}:x\mapsto xe^{2x-1}$
* On pose sur $\mathbb {R}$ les fonctions $u:x\mapsto x$ et $v:x\mapsto e^{2x-1}$
* Leurs dérivées sont définies par $u':x\mapsto 1$ et $v':x\mapsto 2e^{2x-1}$
* Finalement, pour tout $x\in \mathbb {R} ,f_{6}'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(2x+1)e^{2x-1}$
7. $f_{7}:x\mapsto 3xe^{\frac {x}{2}}$
* On pose sur $\mathbb {R}$ les fonctions $u:x\mapsto 3x$ et $v:x\mapsto e^{\frac {x}{2}}$
* Leurs dérivées sont définies par $u':x\mapsto 3$ et $v':x\mapsto {\frac {1}{2}}e^{\frac {x}{2}}$
* Finalement, pour tout $x\in \mathbb {R} ,f_{7}'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=\left({\frac {3}{2}}x+3\right)e^{\frac {x}{2}}$

## Exercice 5 : étude de fonction

Pour tout réel λ > 0, on note ƒ$_λ$ la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par :
    pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f_{\lambda }(x)={\frac {e^{\lambda x}+e^{-\lambda x}}{2\lambda }}$
1. Tracer sur calculatrice la courbe représentative de ƒ$_λ$ pour λ = 0,5 et pour λ = 3.
2. Démontrer que ƒ$_λ$ est paire, c'est-à-dire pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f_{\lambda }(-x)=f_{\lambda }(x)$.
3. Étudier les variations de ƒ$_λ$ et déterminer sa limite en $+\infty$.
1. Tracer sur calculatrice la courbe représentative de ƒ$_λ$ pour λ = 0,5 et pour λ = 3.
* $\color {red}\lambda ={\frac {1}{2}}$
* $\color {green}\lambda =3$
2. Démontrer que ƒ$_λ$ est paire, c'est-à-dire pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f_{\lambda }(-x)=f_{\lambda }(x)$.
    Soit $x\in \mathbb {R}$
    ${\begin{aligned}f_{\lambda }(-x)&={\frac {e^{\lambda (-x)}+e^{-\lambda (-x)}}{2\lambda }}\\&={\frac {e^{-\lambda x}+e^{\lambda x}}{2\lambda }}\end{aligned}}$
3. Étudier les variations de ƒ$_λ$ et déterminer sa limite en $+\infty$.
    ƒ$_λ$ est dérivable et, pour tout $x\in \mathbb {R}$ :
       ${\begin{aligned}f_{\lambda }'(x)&={\frac {\lambda e^{\lambda x}+(-\lambda )e^{-\lambda x}}{2\lambda }}\\&={\frac {e^{\lambda x}-e^{-\lambda x}}{2}}\\&={\frac {e^{\lambda x}\left(1-e^{-2\lambda x}\right)}{2}}\\\end{aligned}}$
On déduit de cette expression le tableau de signes de ƒ$_λ$', donc les variations de ƒ$_λ$.
${\begin{array}{c|ccccc|}x&-\infty &&0&&+\infty \\\hline {\textrm {Signe~de}}~e^{\lambda x}&&+&&+&\\\hline {\textrm {Signe~de}}~1-e^{-2\lambda x}&&-&0&+&\\\hline &+\infty &&&&+\infty \\{\textrm {Variations~de}}~f_{\lambda }&&\searrow &&\nearrow &\\&&&{\frac {1}{2\lambda }}&&\\\hline \end{array}}$
* Comme $\lim _{x\to +\infty }e^{-\lambda x}=0$ et $\lim _{x\to +\infty }e^{\lambda x}=+\infty$, on a $\lim _{x\to +\infty }f_{\lambda }=+\infty$
* Comme $\lim _{x\to -\infty }e^{-\lambda x}=+\infty$ et $\lim _{x\to -\infty }e^{\lambda x}=0$, on a $\lim _{x\to -\infty }f_{\lambda }=+\infty$
| Propriétés algébriques de l'exponentielle | Désintégration des corps radioactifs |