OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Differenciation-Les groupes d entraide
## Explications

Dans un groupe d’entraide, des enfants enseignent à d’autres enfants. Dans ce cadre-là, l’hétérogénéité est évidente mais aussi variable. En effet, il est primordial que les rôles changent et que l’aidant devienne à son tour l’aidé. Dans ce fonctionnement, celui qui apprend le plus de ces échanges est celui qui aide. Effectivement, pour tenir son rôle d’enseignant, il est obligé d’accéder à des fonctions cognitives supérieures : se souvenir de ce qu’il sait, de ce qu’il a appris, comment il a appris, reformuler ses connaissances, les décomposer en unités compréhensibles, adapter son vocabulaire à son interlocuteur…Cette pratique pédagogique fait partie du fonctionnement de la classe coopérative mais peut tout à fait être intégré dans un fonctionnement 'classique' !

## Mise en place

On peut avoir un cahier ou une fiche de suivi collective pour que chacun note ce qu’il propose ou ce qu'il demande comme aide.
La réciprocité est fondamentale pour une meilleure coopération, pour une estime de soi renforcée, pour l'échange des savoirs à développer dans une classe (coopérative ou non !).
Les temps d’entraide sont des temps institutionnalisés dans l’emploi du temps (‘temps coopératif’, ‘projet’, …). On peut aussi pratiquer l’entraide quand on a un moment en fin d'activité, au moyen de la grille de suivi.

## Avantages

La pratique régulière des groupes d’entraide développe le sentiment d’appartenance au groupe et la responsabilité de chacun dans la réussite de tous. Les élèves acquièrent progressivement un réflexe citoyen.
Les activités d’entraide favorisent les activités langagières d’explicitation des connaissances

## Limites

Pour des élèves en grande difficulté, il peut être compliqué de trouver des points sur lesquels ils peuvent devenir aidant.
Cela peut donc conduire certains élèves en difficulté à s’enfermer dans une vision négative d’eux-mêmes à toujours demander de l’aide et voir qu’ils ne peuvent pas échanger. Cela peut être contourné en instaurant comme système de demander de l’aide sur un point à condition de proposer de l’aide sur autre chose.

# Mallette pédagogique Différenciation
### Menu-Mallette pédagogique Différenciation

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# Mallette pédagogique Différenciation
### Menu-Mallette pédagogique Différenciation
## Pourquoi outiller ?

L’utilisation des outils doit permettre aux élèves de construire leurs savoirs :
* mieux gérer les difficultés rencontrées,
* devenir plus autonomes dans les tâches.
Une bonne maîtrise de ces outils développe la réussite par une meilleure connaissance de soi et un meilleur contrôle de ses actions.
Ils contribuent à faire entrer l'élève dans la réussite et le plaisir d’apprendre quel que soit son profil de départ.

## Quels sont les outils ?

* Classeurs/cahier mémoire : traces écrites construites avec l’élève à portée de main dans toutes les phases de l’apprentissage, parfois même lors de l’évaluation.
* Dictionnaires, tableaux de conjugaison, calculatrices, matériel de numération … à portée de main et en accès libre dans la classe.
* Des grilles d’auto-évaluation construites par et avec les élèves : relecture en production d’écrit ou en dictée, procédures en techniques opératoires, étapes pour réaliser un problème, guidage de révisions, liste des choses à savoir pour une évaluation, tableaux de méthodologie… ces grilles pourront être différenciées et adaptées en fonction des élèves.
* Des caches pour diminuer le nombre d’informations et cibler le regard : déchiffrage en lecture, effacer un certain nombre d’informations ponctuellement (colonnes, tableaux, graphiques...). Ils permettent également d’adapter rapidement un document sur lequel on n’a pas pu intervenir auparavant (fichier, manuel, …)
* Les outils numériques permettent d’enregistrer la parole et la rendent consultable à l’envie par tous les élèves ou par un groupe désigné.
* Le traitement de texte peut être utilisé en cas de difficultés graphiques importantes ( l’utilisation de logiciel spécifique de transcription de l’oral si nécessaire)
Exemple de grille d'auto-évaluation ou d'aide à la préparation des évaluations
Questionner le monde
Je dois connaitre :
| O les principales représentations du monde O leurs avantages et leurs inconvénients | Utilise ce que nous avons écrit sur le globe et le planisphère. Doc 1 |
| Je dois savoir faire ||
| O repérer sur un planisphère les océans et les continents O replacer les noms des océans et des continents | Mémorise la carte - Doc 2 |
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# Mallette pédagogique Différenciation
### Menu-Mallette pédagogique Différenciation
## Accédez aux mallettes déjà existantes

Troubles du comportement
Élèves Autistes
Enfants intellectuellement Précoces
Motivation et Estime de Soi
Troubles Dys
AccessiDys : application pour adapter les textes des élèves dyslexiques
AccessiScol : site permettant de connaître toutes les démarches pour réaliser un PPS et un PAP, faire la différence entre PPRE, PAP, PPS, PAI

## Les prochaines mallettes

Vous souhaitez en créer d'autres ? C'est possible !
Contactez la communauté et lancez votre idée en vous inscrivant à la liste de discussion de la communauté : http://liste.initiative.place/cgi-bin/mailman/listinfo/accessiprof, puis écrivez à l'adresse suivante : (c'est toute la communauté qui recevra votre mail !)

## Pourquoi ces mallettes ?

N’ayant pas de formations spécialisantes, de nombreux enseignants de classe ordinaire se retrouvent démunis face à des élèves présentant des troubles, qu’ils soient cognitifs, comportementaux ou autre. Ces mallettes ont pour but d’aider les enseignants de classe ordinaire à travailler avec des élèves ayant des troubles cognitifs, des troubles dys, des troubles du comportement, des enfants précoces, des élèves en grandes difficultés, etc. Ces mallettes numériques pourront aussi aider les enseignants travaillant dans le milieu spécialisé ayant besoin d’inclure leurs élèves en classe ordinaire ou n’ayant pas encore eu de formations spécialisantes. Elles permettront aussi d’aider au mieux les élèves en grandes difficultés et de permettre aux autres élèves de progresser à leur rythme.
Chaque mallette aura un thème différent mais s’organisera dans une continuité et dans un but commun : aider les enseignants à instaurer une culture inclusive permettant aux élèves et aux enseignants de « bien vivre l’école » en faisant progresser TOUS les élèves tant sur le travail scolaire que sur le plan comportemental, la confiance en soi, etc.

## Comment faire ces mallettes ?

Ce projet de pédagogie inclusive est en pleine construction. Dans un premier temps, il débutera grâce à des enseignants contributeurs, aidés par le CNED. Puis, il continuera d’avancer grâce à la communauté de contributeurs ainsi créée. Le CNED offre aux enseignants la possibilité de se réunir sur un site collaboratif, de se connaître et de s’apporter les outils pour réaliser ces mallettes. La mission du CNED est de créer toutes les conditions favorables à l’élaboration des mallettes : organisation, plateforme… afin d’offrir un espace où chacun est autonome pour enrichir et faire vivre les mallettes pédagogiques. La participation pionnière des enseignants contributeurs dans ce projet pourra susciter d’autres contributions en servant d’exemple. Ainsi, d’autres enseignants pourront également partager leurs pratiques et améliorer le dispositif.
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# Differenciation-Mathematiques-variables
## Rappel

En mathématiques comme dans les autres domaines, la différenciation peut porter sur les variables répertoriées dans la mallette, rubriques « que différencier » : l’organisation temporelle, spatiale, humaine, les ressources et les outils.

## Plus spécifiquement

La différenciation sur les exercices en mathématiques peut jouer sur ces variables :

### En numération

sur la taille des nombres, le nombre de nombres à ranger, trier, classer, à recomposer, décomposer…

### En calcul

la possibilité ou non de choix de la procédure ou technique opératoire, de la calculatrice

### En mesure

sur le nombre d’unités à comparer, convertir ou traiter

### En géométrie

la complexité de la figure à décrire ou à construire, le nombre de propriétés en jeu, l’emploi de couleurs pour distinguer les figures, une feuille à carreau, ou pointée ou blanche

### En problèmes sur la complexité des situations proposées

* du plus proche de la vie de l’élève au plus éloigné (références au monde adulte plutôt qu’enfantin)
* la taille du texte expliquant la situation, sa complexité vis-à-vis des compétences de lecteur de l’élève,
* le nombre de données utiles et inutiles à traiter,
* le nombre de questions posées et la façon dont elles sont données (clairement identifiées avec un point d’interrogation ou impératives),
* incluant ou non des schémas explicatifs,
* proposant ou non une démarche, c’est-à-dire plus ou moins inductifs,
* de recherche ouverte (terme exact ?).
* sur la possibilité ou non de manipuler du matériel.

## Des manuels pour aider

Certains manuels proposent des parcours différenciés systématiquement, pour toutes les notions abordées : Collection LITCHI, du CP au CM2, ISTRA, Cap Maths
Au rythme des maths CM2 et Tremplin 6ème, ViaScola, Bordas… Les ouvrages Ermel proposent des séquences d’apprentissages du CP au CM2 dans lesquelles figurent de nombreuses pistes utiles pour différencier.
Collection iParcours, de la 6ème à la 3ème. Il est intéressant de proposer à l’élève de choisir le parcours sur lequel il va s’entraîner et structurer ses connaissances. Suivant la notion en jeu, il ira ainsi vers le parcours qu’il pense pouvoir mener au bout. C’est aussi un moyen pour l’enseignant de voir comment l’élève s’auto-évalue.
# Fonction inverse/Exercices/Recherche d'antécédents par la fonction inverse
## Résolution graphique

Déterminer graphiquement les antécédents des réels suivants par la fonction inverse.
a) $y=4$
b) $y=5$
c) $y=-1$
d) $y=0{,}25$
e) $y=0{,}5$
Résoudre graphiquement les équations suivantes :
f) ${\frac {1}{x}}=-2$
g) ${\frac {1}{x}}=-5$
h) ${\frac {1}{x}}=0$
i) ${\frac {1}{x}}=x+2$
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle.

## Résolution algébrique

Résoudre par le calcul les équations suivantes
(on applique la méthode de factorisation, après avoir mis au même dénominateur)
a) ${\frac {1}{x}}=-2$
b) ${\frac {1}{x}}=5$
c) ${\frac {1}{x}}=-1$
d) ${\frac {1}{x}}=0$
e) ${\frac {1}{x}}=0{,}25$
f) ${\frac {1}{x}}=2x-1$
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle.
| Sommaire | Inverse et inégalités |
# Fonction logarithme

| Chap. 1 : | Définition du logarithme néperien |
| Chap. 2 : | Propriétés algébriques du logarithme |
| Chap. 3 : | Étude de la fonction logarithme népérien |
| Chap. 4 : | Croissances comparées |
| Chap. 5 : | Dérivée de ln(u) |
| Chap. 6 : | Utilisation du logarithme pour la recherche de primitives |
| Chap. 7 : | Logarithme de base quelconque |
| Exos. 1 : | Une fonction logarithme comme solution d'une équation différentielle |
| Exos. 2 : | Utilisation des propriétés du logarithme |
| Exos. 3 : | Primitive d'une fraction rationnelle |
| Exos. 4 : | Étude d'une fonction comprenant un logarithme |
| Exos. 5 : | Équations comportant des exponentielles |
| Exos. 6 : | Résolution d'équations et d'inéquations où l'inconnue est un exposant |
| Exos. 7 : | Croissances comparées |
| TP : | Croissances comparées |
Sur les autres projets Wikimedia :
* « Category:Logarithm » sur Commons
* « Logarithme naturel » sur Wikipédia
* « logarithme » sur le Wiktionnaire

## Présentation [Modifier]

Le logarithme népérien (ou logarithme naturel) peut apparaître comme la primitive de la fonction inverse $x\mapsto {\frac {1}{x}}$ qui s'annule en 1, ou comme réciproque de la fonction exponentielle. Sa propriété principale est de transformer les produits en sommes et les quotients en différences. C’est une fonction transcendante.

## Objectifs [Modifier]

* Savoir définir la fonction logarithme
* Connaître les propriétés fondamentales de la fonction logarithme
* Savoir étudier des fonctions basées sur le logarithme
* Utiliser les logarithmes pour trouver des primitives

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 13.
* La maîtrise de l'analyse de niveau 12 est de rigueur, et tout particulièrement :
** Fonction dérivée
** Limites d'une fonction
* Facultatif : suivant la manière dont on souhaite introduire la fonction logarithme, on peut avoir besoin de connaître la fonction exponentielle

## Référents [Modifier]

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
* Nicostella
* Loïc Fabiou (discuter)
# Fonction logarithme/Croissances comparées
## Comparaison de ln(x) et x au voisinage de +∞

La fonction ln est strictement croissante sur $\left]0,+\infty \right[$ et tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$, mais elle croît «plus lentement » qu'une fonction linéaire.
Pour formaliser ceci, on étudie la limite $\lim _{x\to +\infty }{\frac {\ln(x)}{x}}$ qui est la forme indéterminée : ${\frac {+\infty }{+\infty }}$.
En $+\infty$, ln(x) devient négligeable devant x : $\lim _{x\to +\infty }{\frac {\ln(x)}{x}}=0$
On sait que : $\forall t>0\quad \ln(t)\leq t-1$.
On en déduit que : $\forall x>0\quad {\frac {1}{2}}\ln(x)=\ln({\sqrt {x}})\leq {\sqrt {x}}-1$.
Par conséquent : $\forall x\geq 1\quad 0\leq {\frac {\ln(x)}{x}}\leq 2{\frac {{\sqrt {x}}-1}{x}}$.
On conclut grâce au théorème des gendarmes.
Une autre méthode est d'utiliser la comparaison de e$^y$ et y quand y = ln(x) → +∞.
Plus généralement, le quotient de $\ln(x)$ par n’importe quel polynôme non constant, ou n’importe quelle puissance positive de $x$, tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$.

## Comparaison de ln(x) et x au voisinage de 0⁺

Quand $x$ tend vers $0$ par valeurs supérieures (en $0^{+}$), une autre limite $\lim _{x\to 0^{+}}x\ln(x)$ apparait et est aussi une forme indéterminée : $0\times (-\infty )$.
ln(x) tend vers $-\infty$ en $0^{+}$, mais pas très vite : $\lim _{x\to 0^{+}}x\ln(x)=0^{-}$
En effet, quand $x\to 0^{+}$, $y:={\frac {1}{x}}\to +\infty$ donc $x\ln(x)=-{\frac {\ln(y)}{y}}\to 0^{-}$.
Plus généralement (et par le même changement de variable), le produit de $\ln(x)$ par n'importe quelle puissance positive de $x$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $0$.
# Fonction inverse/Présentation de la leçon

La fonction inverse est une fonction définie sur ℝ$^*$ (R \ {0}), c'est-à-dire pour tout réel excepté 0. Elle associe à tout réel x différent de 0 son inverse, noté 1/x. C'est une cas particulier de fonction homographique, dont le graphe est une hyperbole.
# Fonction logarithme/Définition du logarithme néperien

À ce niveau, il y a deux manières d’aborder la fonction logarithme népérien. On peut la définir :
* soit à partir de la fonction inverse
* soit à partir de la fonction exponentielle
Nous allons présenter ces deux approches. Nous admettrons qu'elles sont équivalentes. La démonstration nécessite le théorème sur la dérivée d'une bijection réciproque (niveau 14).

## Logarithme népérien et fonction inverse
### Problématique

Si $n\neq 1$, une primitive de $x\mapsto x^{-n}$ est $x\mapsto {\frac {x^{-n+1}}{-n+1}}$ mais pour $n=1$, on n'a rien de tel.
On ne trouve pas de primitive de $x\mapsto {\frac {1}{x}}$ parmi les fonctions usuelles. Pourtant, cette fonction étant continue sur $\mathbb {R} _{+}^{*}$, un théorème nous assure l’existence d’une primitive.

### Définition de la fonction logarithme népérien

On appelle fonction logarithme népérien et on note $\ln$ l’unique primitive de $x\mapsto {\frac {1}{x}}$ sur $\mathbb {R} _{+}^{*}$ qui s'annule en $x=1$. Autrement dit :
* pour tout $x\in \mathbb {R} _{+}^{*},~\ln '(x)={\frac {1}{x}}$
* $\ln(1)=0$

### Logarithme népérien d’un nombre réel strictement positif

Le logarithme népérien d’un nombre réel $x>0$ est son image par la fonction logarithme népérien définie ci-dessus. On le note donc $\ln(x)$.

## Logarithme népérien et exponentielle

Rappel : l'étude de la fonction exponentielle $\exp$ (définie par $\exp '=\exp$ et $\exp(0)=1$) montre que c'est une bijection strictement croissante de $\mathbb {R}$ dans $\left]0,+\infty \right[$. En particulier, son tableau de variations est le suivant :
${\begin{array}{c|ccc|}x&-\infty &&0&&+\infty \\\hline &&&&&+\infty \\&&&&\nearrow \\\exp(x)&&&1\\&&\nearrow \\&0\\\end{array}}$
On appelle fonction logarithme népérien, et l'on note $\ln$, la bijection réciproque, de $\left]0,+\infty \right[$ dans $\mathbb {R}$, de la fonction $\exp$.
Autrement dit :
* pour tout réel $x$ strictement positif, le nombre réel $\ln(x)$ est caractérisé par : $\exp \left(\ln(x)\right)=x$
Ou encore :
* pour tout $y\in \mathbb {R} ,~\ln(\exp(y))=y$

### Remarque

    En particulier, $\ln(1)=0$.

## Exemples

| Sommaire | Propriétés algébriques du logarithme |
# Fonction inverse/Exercices/Inverse et inégalités
## Prendre l'inverse dans une inégalité

* Rappeler le tableau de variation de la fonction « inverse ». Traduire ce tableau par cinq phrases utilisant les mots : « décroissante », « asymptote » et « valeur interdite ».
* Soit $x$ un nombre réel vérifiant $x\leq -2$.
    Peut-on alors affirmer que ${\frac {1}{x}}\geq -{\frac {1}{2}}$ ?
    Justifier par une des cinq phrases du 1° ou bien par un contre-exemple.
* Soit $x$ un nombre réel vérifiant $x\geq -2$.
    a) Peut-on alors affirmer que ${\frac {1}{x}}\leq -{\frac {1}{2}}$ ?
    Justifier par une des cinq phrases du 1° ou bien par un contre-exemple.
    b) A quel ensemble (le plus petit possible) ${\frac {1}{x}}$ appartient-il ?
* Revoir le cours.
* $x\leq -2\Rightarrow {\frac {1}{x}}\geq -{\frac {1}{2}}$ car la fonction « inverse » est décroissante sur $\left]-\infty ,0\right[$.
    a) Pour tout $x>0$ (par exemple $x=1$), on a bien $x\geq -2$ mais pas ${\frac {1}{x}}\leq -{\frac {1}{2}}$.
    b) Un réel non nul $x$ est supérieur ou égal à $-2$ si et seulement si ${\frac {1}{x}}\in \left]-\infty ,-{\frac {1}{2}}\right]\cup \left]0,+\infty \right[$.
| Recherche d'antécédents par la fonction inverse | Sommaire |
# Fonction inverse/Objectifs

* Bien comprendre une des fonctions de référence.
* Acquérir une première approche des hyperboles.
# Exploration de l'espace/Présentation de la leçon

L′exploration de l′espace, parfois appelée aussi conquête de l′espace, consiste en l'exploration physique de l'espace, c'est-à-dire de tous les objets extérieurs à la Terre. Une colonisation de l'espace pourrait apparaître comme l'aboutissement à très long terme de cette exploration.
# Expressions algébriques

| Chap. 1 : | Quelques règles |
| Chap. 2 : | Identités remarquables |
| Chap. 3 : | Compléments sur les racines |
| Annexe : | Calculatrice en ligne |
| Exos. 1 : | Échauffement |
| Exos. 2 : | Calcul de sommes |
| Exos. 3 : | autres identités |
| Exos. 4 : | Opérations sur les polynômes |
| Exos. 5 : | Factorisation de polynômes |
| Exos. 6 : | Fractions rationnelles |
| Exos. 7 : | Expressions irrationnelles |
| Exos. 8 : | Exposants rationnels |
| Exos. 9 : | Pour les cracks |
Sur les autres projets Wikimedia :

## Présentation [Modifier]

Cette leçon est consacrée à la maîtrise des transformations d'expressions algébriques. Quand un élève a du mal à suivre certaines leçons d'algèbre, on se rend compte, bien souvent, que c'est parce qu’il a des difficultés à transformer des expressions littérales. De même qu'il est absurde de faire des études approfondies de textes littéraires si l'on ne maîtrise pas les rudiments de la langue dans laquelle ces textes sont écrits, il est aussi absurde de se lancer dans des études de théories algébriques si l'on ne maîtrise pas les transformations élémentaires des expressions algébriques. Dans cette leçon, les exercices doivent être considérés comme plus importants que les chapitres. Les chapitres, quant à eux, ne sont là que pour exposer quelques compléments sur les transformations d'expressions algébriques et le plus souvent se contenter de donner des règles de transformation, voire des conseils, astuces ou recettes pour arriver, par exemple, à factoriser ou simplifier une expression plus ou moins compliquée. On ne devra donc pas s'attendre à trouver, dans les chapitres, un modèle de rigueur mathématique.

## Objectifs [Modifier]

Maîtriser la transformation d'expressions algébriques.

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 11.
* Calcul littéral
* Identités remarquables
* Racine carrée

## Pour aller plus loin [Modifier]

* Polynôme

## Référents [Modifier]

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
* Lydie Noria
* Loïc Fabiou (discuter)
# Expressions algébriques/Annexe/Calculatrice en ligne

Ci-dessous un lien internet vers une calculatrice en ligne permettant de simplifier des expressions algébriques littérales. Les étapes du calcul sont affichées.
* Sommaire
# Formule du crible/Exercices/sur le dénombrement des dérangements
## Exercice 3-1

Une secrétaire dispose de 12 enveloppes portant chacune l’adresse d’un client différent. Elle a aussi 12 lettres différentes à envoyer à chacun des 12 clients. Ne sachant pas pour chaque client quelle lettre doit lui être destinée, elle met au hasard chacune des 12 lettres dans chacune des 12 enveloppes et les poste en priant le ciel que chaque client reçoive sa lettre.
* Quelle est la probabilité que son vœu soit exaucé ?
* Quelle est la probabilité qu’aucun des clients ne reçoivent sa lettre ?
* Quelle est la probabilité que deux clients exactement reçoivent leur lettre ?
1. Il y a une seule permutation favorable pour que tous les clients reçoivent leur lettre, et il y a 12 ! = 479001600 permutations possibles.
La probabilité que tous les clients reçoivent leurs lettres est donc :
    ${\frac {1}{479001600}}$.
2. La probabilité qu’aucun clients ne reçoivent sa lettre est :
    $\sum _{k=0}^{12}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}={\frac {16019531}{43545600}}\approx 0{,}368$.
3. La probabilité que deux clients exactement reçoivent leur lettre est la probabilité que la secrétaire n’ait pas permuté leur lettre en les mettant dans l'enveloppe. c'est-à-dire :
    ${\frac {1}{2!}}\sum _{k=0}^{12-2}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\approx {\frac {1}{\mathrm {e} \times 2!}}\approx 0{,}184$.

## Exercice 3-2

Montrer que pour $n\in \mathbb {N} ^{*}$, le nombre de dérangements d'un ensemble à n éléments est l'entier le plus proche de ${\frac {n!}{\mathrm {e} }}$.
Ce nombre de dérangements $N_{n}$ est entier et vérifie :
    ${\frac {n!}{\mathrm {e} }}-N_{n}=n!\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}$.
On voit apparaître le reste d'une série exponentielle alternée dont la valeur absolue du terme général est une suite strictement décroissante. La valeur absolue de ce reste est strictement majorée par celle de son premier terme, donc
    $\left|{\frac {n!}{\mathrm {e} }}-N_{n}\right|<{\frac {1}{n+1}}\leq {\frac {1}{2}}$.
| sur le dénombrement des surjections | sur les rencontres du second type |