# Fonctions convexes/Fonctions convexes dérivables

Une fonction dérivable sur un intervalle réel $I$ est convexe sur $I$ si et seulement si sa dérivée est croissante sur $I$.
Soient $a,b\in I$ tels que $a<b$.
* Supposons $f$ convexe.
    Soit $x\in \left]a,b\right[$. D’après l’inégalité des pentes (propriété 2), on a :
    ${\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}\leqslant {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\leqslant {\frac {f(b)-f(x)}{b-x}}$
    En faisant tendre $x$ vers $a$, on obtient :
    $f'(a)\leqslant {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$
    En faisant tendre $x$ vers $b$, on obtient :
    ${\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\leqslant f'(b)$
    Par transitivité de la relation d’ordre, on en déduit :
    $f'(a)\leqslant f'(b)$,
    ce qui montre que $f'$ est croissante.
* Supposons $f'$ croissante.
    Soit $c\in \left]a,b\right[$.
    D’après le théorème des accroissements finis, il existe $a'\in \left]a,c\right[$ et $b'\in \left]c,b\right[$ tels que
    ${\frac {f(c)-f(a)}{c-a}}=f'(a')$ et ${\frac {f(b)-f(c)}{b-c}}=f'(b')$.
    Or (par croissance de $f'$) $f'(a')\leqslant f'(b')$, ce qui se traduit par :
    ${\frac {f(c)-f(a)}{c-a}}\leqslant {\frac {f(b)-f(c)}{b-c}}$.
    La troisième inégalité des pentes est donc démontrée, ce qui prouve que $f$ est convexe.
D'après ce critère :
* la fonction exponentielle, $\exp$, est convexe car sa dérivée, $\exp$, est croissante ;
* la fonction logarithme, $\ln$, est concave car sa dérivée, $x\mapsto {\frac {1}{x}}$, est décroissante sur $\mathbb {R} _{+}^{*}$.
Une fonction deux fois dérivable sur un intervalle réel $I$ est convexe sur $I$ si et seulement si sa dérivée seconde est positive sur $I$.
C’est une conséquence immédiate du théorème et du fait (appliqué à $f'$) que sur un intervalle, une fonction dérivable est croissante si et seulement si sa dérivée est positive.
Pour tout réel $p\geq 1$, fonction puissance $p$-ième, $\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{p}$, est convexe.
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. Les quatre propriétés suivantes sont équivalentes :
* $f$ est convexe sur $I$ ;
* pour tous $a,b\in I$ tels que $a<b$, $f(b)\geqslant f(a)+(b-a)f'(a)$ ;
* pour tous $a,b\in I$ tels que $a>b$, $f(b)\geqslant f(a)+(b-a)f'(a)$ ;
* pour tous $a,b\in I$, $f(b)\geqslant f(a)+(b-a)f'(a)$.
Pour tout $b\in I$, l’application :
    $h_{b}:I\setminus \{b\}\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto {\frac {f(x)-f(b)}{x-b}}$
a pour dérivée
    $h'_{b}:I\setminus \{b\}\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto {\frac {(x-b)f'(x)-f(x)+f(b)}{(x-b)^{2}}}$
donc cette dérivée en un point $a\in I\setminus \{b\}$ est positive si et seulement si :
    $f(b)\geqslant f(a)+(b-a)f'(a)$.
Par conséquent, la condition 2 (resp. 3) équivaut à la croissance de $h_{b}$ sur l'intervalle $I\cap \left]-\infty ,b\right[$ (resp. $I\cap \left]b,+\infty \right[$) pour tout $b\in I$.
D'après la propriété 3, chacune de ces deux conditions équivaut à la convexité de $f$, donc la dernière aussi.
Une fonction dérivable sur un intervalle $I$ est convexe sur $I$ si et seulement si sa courbe représentative est au-dessus de toutes ses tangentes.
Soient $a,b\in I$. La tangente à la courbe au point $(a,f(a))$ a pour équation :
$y=f(a)+(x-a)f'(a)$.
Le point d'abscisse $b$ de cette tangente est donc en dessous du point de la courbe de même abscisse si et seulement si $f(a)+(b-a)f'(a)\leqslant f(b)$.
On conclut grâce à la propriété 12.
On peut démontrer directement que la courbe est :
* au-dessus de ses tangentes pour la fonction exponentielle (convexe) ;
* en dessous pour la fonction logarithme (concave).
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