# Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Introduction au monde quantique : dualité onde-particule
## Interférences d'atomes d'hélium (Carnal et Mlynek 1991)

Carnal et Mlynek ont réalisé, en $\;1991$, une expérience d'interférences par fentes d'Young avec un faisceau homocinétique d'atomes d'hélium de longueur d'onde de de Broglie $\;\lambda _{d.B.}=0,103\;nm$ ;
le faisceau entrant, limité par une fente $\;F\;$ de largeur $\;s_{0}=2\;\mu m$, rencontre, à une distance $\;L=64\;cm\;$ de $\;F$, le système des deux fentes d'Young $\;F_{1}\;$ et $\;F_{2}\;\parallel \;$ à $\;F$, les fentes d'Young étant larges de $\;s=1\;\mu m$, et séparées entre elles de $\;a=8\;\mu m$ ;
à une distance $\;L'=64\;cm\;$ se trouve le plan de détection $\;\parallel \;$ au plan des fentes d'Young, sur lequel est disposé un détecteur mobile large de $\;2\;\mu m\;$ ${\big$voir figure ci-dessus à gauche${\big )}$.
sur la figure ci-dessus à droite, est donné le diagramme du nombre d'atomes reçus par le détecteur pendant $\;10\;min\;$ en fonction de sa position, le trait en pointillés représentant le « bruit de fond » de ce dernier que l'on mesure en occultant le faisceau à l'entrée du dispositif.

### Vitesse des atomes dans l'expérience et conséquences

La masse d'un atome d'hélium étant $\;m_{He}=6,70\;10^{-27}\;kg$, déterminer la vitesse des atomes dans cette expérience ;
La masse d'un atome d'hélium étant $\;\color {transparent}{m_{He}=6,70\;10^{-27}\;kg}$, sont-ils relativistes ou non ?
Estimer la durée du trajet d'un atome pour aller de $\;F\;$ au détecteur.
$\;p={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.}}}\;$
$\;p=m_{He}\,v\;$
$\;v\;$
$\;v={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.}\,m_{He}}}\;$
$\;v\simeq {\dfrac {6,62\;10^{-34}}{0,103\;10^{-9}\times 6,70\;10^{-27}}}\;$
$\;m\cdot s^{-1}\;$
$\;v\simeq 959\;m\cdot s^{-1}\;$
on vérifie que les atomes d'hélium ne sont pas relativistes car leur « vitesse relative » est «$\;\beta ={\dfrac {v}{c}}\simeq {\dfrac {959}{3\;10^{8}}}\simeq 3\;10^{-6}\;$» nettement $\;<\;$ à $\;0,14\;$ ${\big$valeur à partir de laquelle la particule doit être considérée comme relativiste en ce qui concerne sa quantité de mouvement${\big )}\;$.
$\;F\;$
$\;L+L'\simeq 1,28\,m\;$
$\;v\simeq 959\;m\cdot s^{-1}$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;\tau _{\text{vol}}\simeq {\dfrac {L+L'}{v}}\simeq {\dfrac {1,28}{959}}\simeq 1,33\;10^{-3}\;s\;$
$\;\tau _{\text{vol}}\simeq 1,33\;ms\;$

### Diffraction de l'onde de matière par la fente F

Calculer le demi-angle d'ouverture $\;\theta \;$ de diffraction de l'onde de matière par la fente $\;F$ ;
vérifier que les fentes $\;F_{1}\;$ et $\;F_{2}\;$ reçoivent bien cette onde.
$\;\theta$
$\;s_{0}=2\;\mu m\;$
$\;\lambda _{d.B.}=0,103\;nm\;$
$\;\sin(\theta )={\dfrac {\lambda _{d.B.}}{s_{0}}}\;$
$\;\sin(\theta )={\dfrac {0,103\;10^{-9}}{2\;10^{-6}}}=5,15\;10^{-5}\ll 1\;$
$\Rightarrow$
$\;\theta \simeq 5,2\;10^{-5}\,rad\;$
$\;\theta \simeq 5,2\;10^{-5}\,rad\simeq 0,18\;{\text{'}}\simeq 11\;{\text{''}}\;$
$\;F_{1}\;$
$\;F_{2}\;$
$\;l\;$
$\;l=2\;L\;\tan(\theta )\simeq 2\;L\;\theta \;$
$\;l\simeq 2\times 0,64\times 5,2\;10^{-5}\simeq 67\;10^{-6}\,m=67\;\mu m\;$
$\;l\simeq 67\;\mu m>a+s=9\,\mu m\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$

### Largeur de la zone d'interférences dans le plan de détection

Calculer le demi-angle d'ouverture $\;\theta '\;$ de diffraction de l'onde de matière par la fente $\;F_{1}\;$ ou $\;F_{2}$ ;
en déduire la largeur de la zone de recouvrement des deux ondes diffractées dans le plan de détection.
$\;s=1\;\mu m$
$\;\theta '\;$
$\;\sin(\theta ')={\dfrac {\lambda _{d.B.}}{s}}\;$
$\;\sin(\theta ')={\dfrac {0,103\;10^{-9}}{1\;10^{-6}}}=10,3\;10^{-5}\ll 1\;$
$\Rightarrow$
$\;\theta '\simeq 10,3\;10^{-5}\,rad\;$
$\;\theta '\simeq 10,3\;10^{-5}\;rad\simeq 0,36\;{\text{'}}\simeq 22\;{\text{''}}\;$
$\;l'\;$
$\;l'=2\;L'\;\tan(\theta ')\simeq 2\;L'\;\theta '\;$
$\;l'\simeq 2\times 0,64\times 10,3\;10^{-5}\simeq 134\;10^{-6}\;m=134\;\mu m\;$
d'après le schéma ci-contre, un faisceau se déduisant de l'autre par translation de la distance $\;a=8\;\mu m\;$ perpendiculairement aux fentes, d'après le schéma ci-contre la largeur de la zone de recouvrement est $\;{\mathcal {L}}_{\text{recouvrement}}=l'-a\;$ soit numériquement d'après le schéma ci-contre la largeur de la zone de recouvrement est «$\;{\mathcal {L}}_{\text{recouvrement}}=126\;\mu m\;$».

### Nombre moyen d'atomes détectés pendant la durée de fonctionnement de l'expérience

Combien d'atomes détecte-t-on en moyenne pendant $\;10\;$ minutes ?
Trouver l'ordre de grandeur du nombre d'atomes traversant l'appareil pendant $\;10\;$ minutes compte-tenu de la dimension du détecteur ;
en déduire la durée moyenne entre deux envois successifs d'atomes et conclure en comparant au résultat de la 1ère question.
Sur la figure de droite de début de texte rappelée ci-contre, est donné le diagramme du nombre d'atomes reçus par le détecteur pendant $\;10\;min\;$ en fonction de sa position, le trait en pointillés représentant le « bruit de fond » de ce dernier que l'on mesure en occultant le faisceau à l'entrée du dispositif ;
$\;10\;min\;$
$\;65\;$
$\;20\;$
$\;65-20=45\;$
$\;2\;\mu m$
$\;{\mathcal {L}}_{\text{recouvrement}}=126\;\mu m\;$
$\;45\times {\dfrac {126}{2}}\simeq 2835\;$
$\;2800\;$
$\;10\;min$
$\;{\dfrac {10\times 60}{2800}}\;$
$\;s\;$
$\;\tau _{\text{envois successifs}}\simeq 0,214\;s\;$
le temps de vol d'un atome étant $\;\tau _{\text{vol}}\simeq 1,33\;ms\;$ très petit relativement $\;\tau _{\text{envois successifs}}\simeq 214\,ms$, nous pouvons en déduire : le temps de vol d'un atome il n'y a qu'un seul atome à la fois dans le dispositif expérimental et par suite le temps de vol d'un atome l'onde de matière associée à l'atome interfère avec elle-même et le temps de vol d'un atome l'onde de matière associée à l'atome interfère non avec une autre onde de matière associée à un autre atome.

### Raison de l'absence de l'observation pratique d'interférences destructives

Il y a des points du plan de détection où la probabilité de détection s'annule par interférences destructives ;
comment se fait-il que sur la figure de début d'exercice à droite le nombre d'atomes détectés ne soit jamais nul ?
Ceci est dû à la largeur du détecteur $\;2\;\mu m\;$ alors que l'interfrange peut être estimée à $\;8\,\mu m\;$, la 1ère n'étant pas très petite par rapport à la 2ème ; le détecteur centré sur une frange « sombre » percevra donc les atomes au voisinage de cette frange sombre, ce qui correspondra à un nombre d'atomes perçus par le détecteur minimal mais non nul.