OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Hypertext Markup Language/Introduction

Pour développer en HTML, plusieurs outils sont nécessaires :

## Éditeurs de texte

Un logiciel de saisie de texte rudimentaire tel le Bloc-notes de Windows ou TextEdit (Mac OS X) suffisent amplement pour créer un site web. Le Bloc-notes se trouve par défaut dans le menu Accessoires du menu Démarrer de Windows, TextEdit dans le dossier Applications de Mac OS X. L'utilisation de logiciels de création de sites web n’est pas conseillée car ils sont la plupart du temps optimisés pour un navigateur particulier (par exemple Microsoft FrontPage est optimisé pour Internet Explorer…) et ils créent des pages «lourdes» (en moyenne 20% plus lourdes qu'avec le Bloc-notes) et donc longues à charger par le navigateur. De plus, le jour où le besoin d'ajouter une fonction que votre logiciel ne permet pas d'ajouter se fera ressentir, il sera intéressant d’être familier avec le langage HTML pour faire les modifications nécessaires. Il faut également faire attention aux logiciels de traitement de texte « puissants » tels que Word qui utilisent des caractères non standards (comme des apostrophes inversées) qui peuvent générer des erreurs d'interprétation par les navigateurs.
Pour créer une page web, il suffit de taper le code HTML dans le Bloc-notes et d'enregistrer le tout avec l'extension .html ou .htm (attention à ne pas oublier de préciser l'extension. Par défaut le Bloc-notes et TextEdit enregistrent au format .txt). Il existe deux extensions, sans aucune différence entre les deux. Vous pouvez donc choisir entre .html ou .htm. Pour cela, cliquez sur Fichier → Enregistrer sous… puis dans le champ Nom du fichier, tapez nomfichier.html ou nomfichier.htm.

#### Éditeurs de textes pour développeurs

On peut également utiliser des logiciels un peu plus évolués et supportant la coloration syntaxique. Ils ont les mêmes atouts que le Bloc-notes et ont l'avantage supplémentaire de colorer de différentes couleurs les éléments du langage afin d’en faciliter la lecture. Ils sont fortement conseillés !
Pour Microsoft Windows, on peut conseiller :
* Notepad++ ;
* Scite.
Pour Mac OS X, on peut conseiller :
* Coda ;
* Smultron ;
* TextMate ;
* TextWrangler.
Pour les systèmes d'exploitation de type Unix (GNU/Linux, BSD, etc.), on peut conseiller :
* vi/vim ;
* GNU Emacs (également disponible pour plateforme Windows) ;
* gedit (bureau GNOME) ;
* Kate (bureau KDE);
* Geany léger avec autocomplétion (également disponible pour plateforme Mac OS X ou Windows).

### Navigateurs Web

Du plus utilisé au moins utilisé en 2017 :
* Chrome
* Safari
* Edge (+ IE)
* Firefox
* « Opera » (consulté le 17 juin 2017)
| Sommaire | Première page |
# Hypertext Markup Language/Annexe/Références
## Sources

* (en) Page du W3C sur le HTML
* Liste de toutes les balises HTML
* Correcteur de page.
Sur les autres projets Wikimedia :
* « Hypertext Markup Language » sur Wikipédia
* « Le langage HTML » sur Wikibooks
* « Aide:HTML dans le code wiki » sur Meta-Wiki
| Table de caractères | Sommaire |
# Hypertext Markup Language/Liens hypertextes
## Introduction

Les liens hypertextes sont des références « en ligne » navigables vers des ressources, en particulier d'autres documents HTML, pages Web, ou médias.
Deux balises partagent la syntaxe des liens hypertextes :
* Les liens eux-mêmes.
* Les marques.

## Syntaxe

Les liens hypertextes sont introduits par la syntaxe générale :
où
* lien est la spécification du lien.
* contenu est la portion du document qui référence la ressource.
Le « a » vient de la première lettre du mot anglais anchor (ancre).
Contrairement à la spécification, le contenu ne varie pas d’un type de lien à l'autre.

## Marques

Les marques servent à introduire un point pouvant être référencé dans le document. Elles sont introduites par la syntaxe
où
* marque est le nom de la marque, par lequel on la référencera.

## Liens

Les liens servent à référencer un document ou une marque dans un document.
Ils sont introduits par la syntaxe
où
* lien est une référence non nulle vers une ressource, composée d’une URL, suivie optionnellement d’un « # » et d’un nom de marque, qui n'est pertinent que lorsque la ressource est une page HTML.
« href » signifie hypertext reference.
Dans le cas de référence vers une ressource, la syntaxe est
Dans le cas de référence vers une marque dans une ressource, la syntaxe est
Dans le cas où le lien référence une marque interne, l'URL est optionnelle. La syntaxe peut être raccourcie en
Pour ouvrir le lien dans un nouvel onglet sur clic gauche (au lieu de CTRL + clic par défaut) :

## Remarques

* Les liens hypertextes s'affichent de manière standard en bleu souligné, pour les distinguer du texte courant.
* Il est conseillé de faire des liens descriptifs, comme
et non comme
* Lorsque la ressource est un document HTML, le navigateur l'affiche. Lorsqu’il s'agit d’un média quelconque, le navigateur le télécharge.
| Mise en forme du texte | Listes |
# Hypertext Markup Language/Listes
## Introduction

Les listes peuvent être très utiles pour tout ce qui est énumération, sommaire, menu… En HTML, il existe trois types de listes :
* Les listes non ordonnées
* Les listes ordonnées
* Les listes de définitions

## Les listes non ordonnées

Les listes non ordonnées ou listes à puces sont délimitées par les balises <ul> et </ul>, (ul signifiant unordered list). Chaque élément de la liste est délimité par les balises <li> et </li> (li signifiant LIste entry).
La syntaxe est donc :
Il est à noter que la puce a la même couleur que le texte qui la suit.
Les listes non ordonnées disposent de l'attribut type qui permet de choisir la forme de la puce. Les valeurs possibles sont disc qui affiche un cercle plein comme puce, circle qui affiche un cercle vide comme puce et square qui affiche un carré.

## Les listes ordonnées

Les listes ordonnées ou listes numérotées sont délimitées par les balises <ol> et </ol> (ol signifiant ordered list). Chaque élément de la liste est délimité par les balises <li> et </li> comme pour les listes non ordonnées.
La syntaxe est donc :
Il est à noter que la puce a la même couleur que le texte qui la suit.
Les listes ordonnées disposent de l'attribut type qui permet de choisir le type de numérotation. Les valeurs possibles sont A (le système de numérotation sera les lettres majuscules), a (le système de numérotation sera les lettres minuscules), I (le système de numérotation sera les chiffres romains majuscules), i (le système de numérotation sera les chiffres romains minuscules) et 1 (le système de numérotation sera les chiffres arabes).
Elles disposent également de l'attribut start qui prend pour valeur le numéro (en chiffres arabes) à partir duquel le navigateur doit compter. Par exemple, si l’on entre <ol type="a" start="4">, la numérotation débutera à d.

## Les listes de définitions

Les listes de définitions ou listes de glossaire sont délimitées par les balises <dl> et </dl> (dl signifiant definition list). Chaque élément de la liste est délimité par les balises <dt> et </dt> (dt signifiant definition term) et sa définition est délimitée par les balises <dd> et </dd> (dd signifiant definition description). La syntaxe est donc :
| Liens hypertextes | Éléments de présentation |
# Machines thermiques/Prérequis conseillés

Il faut posséder les bases de la thermodynamique ( voir : Introduction à la thermodynamique ).
# Machines thermiques/Présentation de la leçon

Cette leçon présente l'étude des machines thermiques (ou machines thermodynamiques), c'est-à-dire de systèmes utilisant des échanges de chaleur entre une source chaude et une source froide pour fonctionner.
    On distingue 3 types de machines thermodynamiques:
       Les moteurs
       Les réfrigérateurs
       Les pompes à chaleur
# Macros-commandes VBA/Annexe/Codes connus
## Formule Excel de contrôle d'un n° de SIRET (14 chiffres) ou de SIREN (9 chiffres)

Pour cette formule le n° à contrôler est situé dans la cellule A2. Pour une liste les n° seront entrés dans la colonne A depuis la ligne 2 et la formule tirée du 1er au dernier n°.
=SI(NBCAR($A2)=14;MOD(((CNUM(STXT($A2;1;1))*2)-ENT((CNUM(STXT($A2;1;1))*2)/10)*9)+CNUM(STXT($A2;2;1))+((CNUM(STXT($A2;3;1))*2)-ENT((CNUM(STXT($A2;3;1))*2)/10)*9)+CNUM(STXT($A2;4;1))+((CNUM(STXT($A2;5;1))*2)-ENT((CNUM(STXT($A2;5;1))*2)/10)*9)+CNUM(STXT($A2;6;1))+((CNUM(STXT($A2;7;1))*2)-ENT((CNUM(STXT($A2;7;1))*2)/10)*9)+CNUM(STXT($A2;8;1))+((CNUM(STXT($A2;9;1))*2)-ENT((CNUM(STXT($A2;9;1))*2)/10)*9)+CNUM(STXT($A2;10;1))+((CNUM(STXT($A2;11;1))*2)-ENT((CNUM(STXT($A2;11;1))*2)/10)*9)+CNUM(STXT($A2;12;1))+((CNUM(STXT($A2;13;1))*2)-ENT((CNUM(STXT($A2;13;1))*2)/10)*9)+CNUM(STXT($A2;14;1));10);SI(NBCAR($A2)=9;MOD(CNUM(STXT($A2;1;1))+((CNUM(STXT($A2;2;1))*2)-ENT((CNUM(STXT($A2;2;1))*2)/10)*9)+CNUM(STXT($A2;3;1))+((CNUM(STXT($A2;4;1))*2)-ENT((CNUM(STXT($A2;4;1))*2)/10)*9)+CNUM(STXT($A2;5;1))+((CNUM(STXT($A2;6;1))*2)-ENT((CNUM(STXT($A2;6;1))*2)/10)*9)+CNUM(STXT($A2;7;1))+((CNUM(STXT($A2;8;1))*2)-ENT((CNUM(STXT($A2;8;1))*2)/10)*9)+CNUM(STXT($A2;9;1));10);-1))=0

## Fonction VBA-Excel de contrôle d'un n° de SIRET

| Mots réservés | Sommaire |
# Machines thermiques/Objectifs

Comprendre le fonctionnement des machines thermodynamiques et pouvoir faire des calculs sur les caractéristiques de ces machines.
# Machines thermiques/Référents

      * Géo Leplubo
# Modèle ISO-OSI/Couche présentation

La couche présentation a pour rôle d’établir une syntaxe pour la communication entre les applications. Elle permet une communication dans un langage commun entre différentes applications, par l'usage de données présentées de manière commune.
C'est en quelque sorte un traducteur.

### Exemples de protocoles

    Videotex • Unicode • TDI • ASN.1 • XDR • UUCP • NCP • AFP • SSP
| Couche session | Couche application |
# Modèle ISO-OSI/Couche session

La couche session permet :
* L'établissement d'une connexion
* Le maintien de cette connexion
* La libération de celle-ci
* Le contrôle des interactions avec la couche inférieure

### Exemples de protocoles

    RTSP • H.323 • SIP • AppleTalk
| Couche transport | Couche présentation |
# Modèle ISO-OSI/Objectifs

Comprendre les schémas des réseaux informatiques.
# Modèle ISO-OSI/Prérequis conseillés

Aucun.
# Modèle ISO-OSI/Couche réseaux

La couche réseaux (niveau paquet) a pour rôle de créer des paquets qui seront transportables. Les principaux problèmes auxquels elle répond sont :
* Le routage et la commutation
* Le contrôle de flux
* L'adressage
Cette couche permet l'acheminement d'un paquet vers l'utilisateur final.

### Exemples de protocoles

    NetBEUI • ARP • IPv4 • IPv6 • IPX • ICMP • BGP • OSPF • RIP • IGMP • IS-IS • CLNP • WDS • ATM
| Couche liaison de données | Couche transport |
# Modèle ISO-OSI/Exercices/Analyse de paquets

Le logiciel Wireshark permet d'afficher les paquets échangés, et ainsi de retrouver les en-têtes des datagrammes.
Le menu Capture déclenche ou arrête l'enregistrement du trafic d'une carte réseau donnée.
* Sommaire
# Modèle ISO-OSI/Couche physique

La couche physique est la couche qui s'occupe de transmettre les informations brutes sur un média et de décoder les informations brutes qu'elle reçoit sous forme brute (impulsions électriques, fréquence radio, impulsion lumineuse...), c'est-à-dire qu'elle transmet des bits sous diverses formes physiques.
Elle garantit la transmission des données et est liée à des normes permettant une communication entre les équipements physiques.

### Exemples de protocoles

    CSMA/CD • CSMA/CA • Codage NRZ • Codage Manchester • Codage Miller • RS-232 • RS-449 • V.21-V.23 • V.42-V.90 • Câble coaxial • 10Base2 • 10BASE5 • Paire torsadée • 10BASE-T • 100BASE-TX • 1000BASE-TX • RNIS • PDH • SDH • T-carrier • EIA-422 • EIA-485 • SONET • ADSL • SDSL • VDSL • DSSS • FHSS • HomeRF • IrDA • U.S.B. • IEEE 1394(FireWire) • Wireless U.S.B., Bluetooth
| Sommaire | Couche liaison de données |
# Modèle ISO-OSI/Couche transport

La couche transport prend en charge le transport du message de l'utilisateur d'une extrémité à une autre du réseau, sous forme de fragment.
Elle permet :
* Le contrôle de flux
* La qualité de service
* L'acheminement des informations

### Exemples de protocoles

    T.C.P. • UDP • SCTP • RTP • SPX • TCAP • DCCP
| Couche réseaux | Couche session |
# Modèle ISO-OSI/Présentation de la leçon

Le modèle OSI (Open Systems Interconnection) est un modèle de référence en ce qui concerne les réseaux, il est proposé par l'ISO (International Standards Organisation), il décrit les concepts et les démarches à suivre pour interconnecter des systèmes, il est composé de 7 couches :
* Physique
* Liaison
* Réseau
* Transport
* Session
* Présentation
* Application
# Mathématiques en terminale générale/Devoir/Intégrales et bijections

$f$ est la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par :
$f(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$
Le but du problème est l'étude de la primitive de $f$ sur $\mathbb {R}$ qui s'annule en zéro.
On notera $F$ cette primitive.
1° Étudier la fonction $f$ et représentez-la graphiquement dans un repère orthonormal $(O;\,{\vec {i}},\,{\vec {j}})$.
2° Écrivez $F(x)$ sous forme d'une intégrale.
    Quel est le sens de variation de $F$ ? $F$ est-elle paire ? impaire ?
    Justifier vos réponses.
3° a) Vérifier que pour tout réel $t$ de l'intervalle $[1;\,+\infty [$,
       ${\frac {1}{1+t^{2}}}\leqslant {\frac {1}{t^{2}}}$,
       et déduisez-en que pour tout réel $x\geqslant 1$,
       $\int _{1}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t\leqslant 1-{\frac {1}{x}}$
    b) Montrez que :
       $\int _{0}^{1}f(t)\,\mathrm {d} t\leqslant 1$ et que $F(x)\leqslant x$ pour tout réel $x\geqslant 0$.
    c) Montrer que pour tout réel $x\geqslant 0,\,F(x)\leqslant 2$.
    d) On admet le théorème suivant : toute fonction croissante et majorée sur un intervalle I, a une limite finie ou infinie aux extrémité de I.
       En utilisant ce théorème, vérifiez que $F$ a une limite en $+\infty$.
       Que pouvez-vous dire de cette limite ?
1° a) Montrez que la fonction tangente restreinte à $\left[0;\,{\frac {\pi }{2}}\right[$ est une bijection de $\left[0;\,{\frac {\pi }{2}}\right[$ sur $[0;\,+\infty [$. On note $v$ cette restriction et $v^{-1}$ la bijection réciproque.
    b) On pose $w=F\circ v$.
       Prouvez que $w$ est dérivable sur $\left[0;\,{\frac {\pi }{2}}\right[$ et calculez $w'(x)$.
       Déduisez-en qu'il existe un nombre $k$ tel que :
       Pour tout $x$ de $\left[0;\,{\frac {\pi }{2}}\right[,\,w(x)=x+k$.
    c) Calculez $w(0)$ et déduisez-en la valeur de $k$.
    d) Déduisez de cette étude que pour tout $x$ de $\left[0;\,{\frac {\pi }{2}}\right[,\,F\left(v(x)\right)=x$,
       puis que pour tout $x$ de $[0;\,+\infty [,\,v^{-1}(x)=F(x)$.
       Précisez alors la limite de $F$ en $+\infty$.
2° Tracez la représentation graphique de $F$ et celle de $v$ dans le même repère orthonormal.
Le corrigé de ce devoir n'a pas été rédigé. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle.
| Logarithmes, exponentielles, suites et intégrales | Logarithmes, suites et intégrales |
# Mathématiques en terminale générale/Devoir/Logarithme, fonctions puissances, suites et intégrales

1° Justifiez le résultat suivant :
    $\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1$.
2°
    a) Déduisez-en que:
       $\lim _{x\to +\infty }\left[x\ln \left(1+{\frac {1}{x}}\right)\right]=1$.
    b) Étudiez la limite en $+\infty$ de la fonction $x\mapsto \left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}$.
Pour tout naturel $n$, on note $f_{n}$ la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par $f_{n}(x)=x^{n}(1-x)$.
1° a) Étudiez le sens de variation de $f_{n}$.
    b) Prouvez que selon la parité de $n$, l'équation $f_{n}(x)=1$, ou bien a une solution et une seule dans $\mathbb {R}$, ou bien n'a pas de solution.
2° Montrez que, sauf pour certaines valeurs particulières de $n$, les courbes représentatives des fonctions $f_{n}$ ont deux points communs et ont même tangente en chacun de ces points.
On note $g_{n}$ la restriction de $f_{n}$ à l'intervalle $[0;\,1]$.
Ainsi, pour tout $x$ de $[0;\,1],\,g_{n}(x)=x^{n}(1-x)$
On note ${\mathcal {C}}_{n}$ la courbe représentative de $g_{n}$ relativement à un repère orthonormal $(O;\,{\vec {i}},\,{\vec {j}})$.
1° Montrez que, sauf pour une valeur de $n,\,g_{n}$ possède un maximum $M_{n}=\left({\frac {1}{n+1}}\right){\frac {1}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}}$
2° Tracez ${\mathcal {C}}_{0},\,{\mathcal {C}}_{1},\,{\mathcal {C}}_{2},$ dans le repère $(O;\,{\vec {i}},\,{\vec {j}})$. Donnez l'allure de ${\mathcal {C}}_{n}$ pour $n>2$.
    Placez ${\mathcal {C}}_{n+1}$ par rapport à ${\mathcal {C}}_{n}$ (position relative des points de même abscisse et des deux points représentatifs du maximum).
3° Calculez successivement :
    a) $\lim _{n\to +\infty }M_{n}$.
    b) $I_{n}=\int _{0}^{1}g_{n}(x)$.
    c) $\lim _{n\to +\infty }I_{n}$.
    Pouvait-on prévoir ce dernier résultat à partit d'un encadrement de $g_{n}$ ?
4° Pour tout $x$ de $[0;\,1]$ et pour tout naturel $n$, on pose :
    $S_{n}(x)=g_{0}(x)+g_{1}(x)+\cdots +g_{n}(x)=\sum _{i=0}^{n}g_{i}(x)$
    et $J_{n}=\int _{0}^{1}S_{n}(x)$.
    a) Calculez $S_{n}(x)$, puis :
      * $\lim _{n\to +\infty }S_{n}(x)$
      * $J_{n}$
      * $\lim _{n\to +\infty }J_{n}$
    b) Exprimer $J_{n}$ en fonction de $I_{0},\,I_{1},\cdots ,\,I_{n}$.
       Déduisez-en la valeur de la somme :
       $s_{n}={\frac {1}{1\times 2}}+{\frac {1}{2\times 3}}+\cdots +{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}$.
       Calculez $\lim _{n\to +\infty }s_{n}$.
    c) Comparez $\lim _{n\to +\infty }\int _{0}^{1}S_{n}(x)\,\mathrm {d} x$ et $\int _{0}^{1}\left(\lim _{n\to +\infty }S_{n}(x)\right)\,\mathrm {d} x$.
Le corrigé de ce devoir n'a pas été rédigé. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle.
| Logarithmes, calcul d'aire et complexes | Fonctions irrationnelles, formule du binôme et complexes |
# Mathématiques en terminale générale/Devoir/Logarithmes, calcul d'aire et complexes

1° $f$ est la fonction définie par :
    $f(x)=\ln(\ln |x|)$
    a) Calcul $f(e^{k}),\,k$ réel arbitraire strictement positif.
    b) Étudiez la fonction $f$ (ensemble de définition, parité, sens de variation, limites aux bornes de l'ensemble de définition).
    c) Tracez la courbe ${\mathcal {C}}$ représentant $f$ dans un repère orthonormal $(O;\,{\vec {i}},\,{\vec {j}})$ dont l'unité graphique de longueur est 2 cm.
       Précisez, s'ils existent, les points d'interception de ${\mathcal {C}}$ avec les axes de coordonnées, et les tangentes à ${\mathcal {C}}$ en ces points.
2° $g$ et $h$ sont respectivement les fonctions définies par :
    ${\begin{cases}g(x)=\ln(\ln x)\\h(x)=\ln(|\ln |x||)\end{cases}}$
    Précisez leurs ensembles de définition, et tracez, sans autres calculs, leurs représentations graphiques dans $(O;\,{\vec {i}},\,{\vec {j}})$.
$\varphi$ est la fonction définie par :
$\varphi (x)={\frac {1}{x\ln |x|}}$.
1° Calculez $\varphi (e^{k}),\,k$ réel arbitraire non nul.
2° Étudiez $\varphi$ et tracez la courbe $\Gamma$ qui représente cette fonction dans $(O;\,{\vec {i}},\,{\vec {j}})$.
3° a) Calculez en cm$^2$ l'aire $A(\alpha )$ du domaine limité par $\Gamma$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=\alpha ,\,(\alpha >1),\,x=e$.
    b) Étudiez la limite de $\alpha \mapsto A(\alpha )$ en 1 et en $+\infty$.
4° a) Déterminez graphiquement l'ensemble des points d'intersection de $\Gamma$ avec la première bissectrice des axes de coordonnées (cette bissectrice est la droite d'équation $y=x$).
    b) Montrez que $\Gamma$ et la seconde bissectrice (droite d'équation $y=-x$) sont sans point commun.
On considère la fonction $t$ définie sur une partie de $\mathbb {C}$ par :
$t(z)={\frac {1}{z\ln |z|}}\qquad$ ($z\in \mathbb {C}$ et $|z|$ est le module de $z$).
1° Quel est l'ensemble de définition de $t$ ?
2° Le plan est muni d'un repère orthonormal direct $(O';\,{\vec {u}},\,{\vec {v}})$.
    Exprimez le module et un argument de $z'=t(z)$ en fonction de ceux de $z$. On notera $z=re^{i\theta },\,r>0$.
3° On associe à $t$ l'application $T$ du plan dans lui-même qui au point $M(z)$ fait correspondre le point $M'\left(t(z)\right)$.
    Déterminez les points fixes de $T$, c'est-à-dire les point $M$ tel que $T(M)=M$.
4° Déterminez les points $M$ tels que $O',\,M$ et $T(M)$ soient alignés. ($O'$ est l’origine du repère.)
5° Quel est l'image de $T$ d'un cercle de centre $O'$ et de rayon $r,\,r>0,\,r\neq 1$ ?
Le corrigé de ce devoir n'a pas été rédigé. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle.
| Exponentielles, intégrales et suites | Logarithme, fonctions puissances, suites et intégrales |
# Mathématiques en terminale générale/Devoir/Exponentielles, approximations et intégrales

$h$ est une fonction dérivable sur $I=[0;\,+\infty [$ et positive.
$H$ est la primitive de $h$ sur $I$ telle que $H(0)=0$.
1° Montrez que $H$ est positive sur $I$.
2° En utilisant plusieurs fois la question précédente, et sachant que pour tout réel $x\geqslant 0,\,e^{x}-1\geqslant 0$, montrez -que :
    pour tout réel $x\geqslant 0,\,e^{x}\geqslant {\frac {x^{4}}{24}}$
$f$ est la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par :
$f(x)=1-x^{2}e^{-x}$.
1° Étudiez la fonction $f$.
2° Déduisez de cette étude que l'équation $f(x)=0$ a une solution et une seule, noté $\alpha$. Donnez une valeur approchée de $\alpha$ à 10$^{-2}$ près.
3° L'unité de longueur choisie est 2 cm; tracez la courbe ${\mathcal {C}}$ représentative de $f$ dans un repère orthonormal.
    Précisez, s'il y a lieu, les tangentes horizontales.
4° $\lambda$ est un réel strictement positif.
    On note D le domaine limité par la droite d'équation $y=1$, la courbe ${\mathcal {C}}$, les droites d'équations $x=\lambda$, et $x=0$.
    On note $A(\lambda )$ l'aire, en cm$^2$, du domaine D.
    a) Montrez que :
       ${\frac {A(\lambda )}{4}}=\int _{0}^{\lambda }x^{2}e^{-x}\,\mathrm {d} x$.
    b) On veut savoir s'il est possible de choisir $\lambda$ de façon à obtenir $A(\lambda )=125$.
      * Sans calculer l'intégrale, montrez que :
          $\int _{0}^{\lambda }x^{2}e^{-x}\,\mathrm {d} x\leqslant 1,\qquad \qquad \qquad \quad \,$ lorsque $\lambda \leqslant 1$
          $\int _{1}^{\lambda }x^{2}e^{-x}\,\mathrm {d} x\leqslant 24\left(1-{\frac {1}{\lambda }}\right)\leqslant 24,$ lorsque $\lambda \geqslant 1$.
      * De ces inégalités, déduisez que $A(\lambda )=125$ cm$^2$ est impossible.
1° $f'$ et $f''$ désignent respectivement les dérivées première et seconde de $f$.
    Vérifiez que pour tout réel $x$ :
    $f''(x)+2f'(x)+f(x)=-2e^{-x}+1$.
2° On note $F$ la primitive sur $\mathbb {R}$ de $f$ qui s'annule pour $x=0$.
    Donnez la valeur explicite de $F(x)$ pour tout réel $x$.
3° Écrivez $F(x)$ sous forme d'intégrale.
    Retrouvez le résultat de la question précédente en calculant cette intégrale.
Le corrigé de ce devoir n'a pas été rédigé. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle.
| Intégrales, exponentielles et produit scalaire | Exponentielles, intégrales et suites |