# Approche géométrique des nombres complexes/Lois internes

Dans le chapitre précédent, nous avons posé les fondations des nombres complexes. On peut même dire qu’ils ont été définis sans que l’on ne sache, pour le moment, s'ils existent vraiment. Il nous manque, en fait, à définir une addition et une multiplication qui va répondre aux objectifs que l’on s'est fixés dans le chapitre précédent. Il faut que ces opérations prolongent l'addition et la multiplication des nombres réels. Il faut que ces opérations aient les mêmes propriétés bien sympathiques qui nous permettaient de résoudre une équation algébrique. Mais il faut, en plus, qu’elles nous permettent de résoudre des équations que l’on ne savait pas résoudre dans l’ensemble des nombres réels, comme l'équation x$^2$ = -1.

## Addition des nombres complexes

Nous commençons par le plus simple. Nous voulons additionner deux nombres complexes. Comment peut-on faire ? Les nombres complexes, situés dans le plan complexe, nous font penser aux vecteurs. Comme les vecteurs, ils sont les affixes de points qui ont une abscisse et une ordonnée, que l’on appelle respectivement partie réelle et partie imaginaire si, au lieu de considérer les points, on considère les affixes. On sait que si l’on ajoute deux vecteurs, on obtient un vecteur qui a pour abscisse la somme des abscisses et pour ordonnée la somme des ordonnées. Par conséquent la première idée qui vient à l'esprit pour additionner deux nombres complexes est de dire que la somme de deux nombres complexes est un nombre complexe qui a pour partie réelle la somme des parties réelles, et pour partie imaginaire la somme des parties imaginaires.
Nous avons beau réfléchir et aucune autre idée ne nous vient à l'esprit pour additionner deux nombres complexes. De plus, on constate aisément que si l’on ajoute deux nombres réels selon cette règle, on obtient bien le même résultat que ce que donnait l'addition classique de deux nombres réels.
Vérifions-le :
Soient deux nombres réels « a » et « b ». « a » a pour partie réelle a et pour partie imaginaire 0. « b » a pour partie réelle b et pour partie imaginaire 0. La somme du nombre complexe « a » avec le nombre complexe « b » est donc un nombre complexe qui a pour partie réelle la somme des parties réelles, c'est-à-dire a + b, et pour partie imaginaire la somme des parties imaginaires, c'est-à-dire 0 + 0 = 0. Le nombre complexe de partie réelle a + b et de partie imaginaire 0 est, de toute évidence, le nombre réel « a + b ». Par conséquent, rien n'est changé si l’on se limite aux nombres réels. Nous poserons donc :
Pour additionner deux nombres complexes, on additionne leur partie réelle et on additionne leur partie imaginaire.
Essayons d'additionner des nombres complexes qui ne sont pas des nombres réels. Par exemple, avant même de définir la multiplication entre le nombre 2 et le nombre i, si l’on veut que les propriétés opératoires classiques soient conservées, on doit avoir :
$2\times i=2i=i+i$
donc le nombre complexe 2i est un nombre complexe qui va avoir une partie réelle égale à 0 + 0 = 0 et une partie imaginaire égale à 1 + 1 = 2 ; il se trouve donc sur l'axe des ordonnées comme représenté sur le schéma ci-dessous :
De même 3i = 2i + i. Par conséquent 3i a une partie réelle égale à 0 + 0 = 0 et une partie imaginaire égale à 2 + 1 = 3. On peut ainsi connaître, de proche en proche, la position dans le plan complexe de tous les nombres de la forme n.i, n étant un entier naturel. On obtient :

## Multiplication de deux nombres complexes

Ça y est, nous sommes arrivés à la partie la plus délicate de la leçon. Comment multiplier deux nombres complexes ?

### Première tentative

Nous prévenons d'ores et déjà le lecteur que cette première tentative va échouer. Il n'est donc pas nécessaire de faire un effort de mémoire pour retenir les relations que nous allons écrire dans ce paragraphe. Elles sont fausses ! Notre démarche, en présentant cette tentative, est purement pédagogique et n'a pour but que de vous présenter ce qui se passe dans la tête d'un mathématicien avant de réussir à faire les choses correctement.
La première idée qui vient à l'esprit pour multiplier deux nombres complexes est de suivre l'exemple de l'addition des nombres complexes, et de se dire bêtement : « c'est tout simple, on va multiplier les parties réelles entre elles et on va multiplier les parties imaginaires entre elles ».
Essayons de partir sur cette hypothèse pour voir si l’on obtient quelque chose de convenable.
Cette hypothèse est alléchante car, comme pour l'addition des nombres complexes, on voit aisément que si l’on se limite à l’ensemble des nombres réels, il n'y a rien de changé. Cela fonctionne à merveille !
Toutefois, en utilisant le peu de nombres non-réels dont on dispose, à savoir i, 2i, 3i … on va rapidement constater que cela ne tourne pas rond !
Commençons par multiplier i par 1.
« i » a pour partie réelle 0 et « 1 » a pour partie réelle 1. Le produit de i par 1 aurait donc pour partie réelle 0 ✕ 1 = 0.
« i » a pour partie imaginaire 1 et « 1 » a pour partie imaginaire 0. Le produit de i par 1 aurait donc pour partie imaginaire 1 ✕ 0 = 0.
Comme le nombre complexe qui a pour partie réelle 0 et pour partie imaginaire 0 est le nombre « 0 », on obtiendrait :
$i\times 1=0$
et là, on commence à se sentir mal. Dans l’ensemble des nombres complexes, 1 ne serait plus l'élément neutre de la multiplication. On ne pourrait plus écrire que « Pour tout nombre complexe m, on a : m ✕ 1 = m », puisque cette relation ne marche pas pour m = i.
Bien sûr, un mathématicien ne se décourage pas pour si peu et continue son analyse.
On voulait résoudre l'équation x$^2$ = -1. Voyons si on peut malgré tout résoudre cette équation pour nous consoler.
Si l’on note x = (a, b) un nombre complexe qui serait la solution de cette équation, « a » étant la partie réelle de x et « b » la partie imaginaire de x. Comme -1 a pour partie réelle « -1 », on devrait avoir, en remarquant que a$^2$ est la partie réelle de x$^2$ selon notre hypothèse :
$a^{2}=-1$
Et nous voyons que nous ne sommes pas plus avancés car il n'existe pas de nombre a réel vérifiant cette relation.
Là, c'en est trop ! Même les mathématiciens les plus entêtés laisseraient tomber !
Oubliez donc cette tentative, on va essayer autre chose !

### Deuxième tentative

Essayez de trouver une autre idée avant de lire ce qui suit !
Vous n'avez toujours pas trouvé ? Essayons donc de réfléchir ensemble. Pour définir l'addition, nous avons considéré les coordonnées cartésiennes d'un point (partie réelle et partie imaginaire si l’on considère les affixes). Réfléchissons un peu ! Croyez-vous que l’on se serait embêté, dans le chapitre précédent, à vous présenter une autre façon de repérer un point dans le plan si cela ne devait servir à rien ? Nous savons, après avoir étudié le premier chapitre, qu'un nombre complexe ne se caractérise pas seulement par sa partie réelle et sa partie imaginaire, mais aussi par son module et son argument. Nous allons donc jeter un coup d’œil sur ce qui se passe lorsque l’on multiplie deux nombres réels en considérant leurs modules et leurs arguments.
Étudions la multiplication des nombres réels 2 et -2 de toutes les façons possibles par les nombres 3 et -3, en repérant chaque fois les modules et les arguments que nous exprimerons exceptionnellement en degré pour ceux qui n'ont pas l'habitude des radians. En présentant cela dans un tableau, nous obtenons :
| a | b | a✕b | |a| | |b| | |a✕b| | Arg(a) | Arg(b) | Arg(a✕b) |
| 2 | 3 | 6 | 2 | 3 | 6 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | -3 | -6 | 2 | 3 | 6 | 0 | 180 | 180 |
| -2 | 3 | -6 | 2 | 3 | 6 | 180 | 0 | 180 |
| -2 | -3 | 6 | 2 | 3 | 6 | 180 | 180 | 0 |
Et là, vous ne voyez toujours rien ? Réfléchissons encore ! Quelle est la valeur d'un angle de 360 degrés ? 360 degrés représente un tour complet. Donc, on peut considérer qu'un angle de 360 degrés est équivalent à un angle de 0 degrés. Donc, si dans le tableau ci-dessus, on remplace le dernier 0 en bas à droite par 360 degrés, on n'aura en fait rien changé. On obtient :
| a | b | a✕b | |a| | |b| | |a✕b| | Arg(a) | Arg(b) | Arg(a✕b) |
| 2 | 3 | 6 | 2 | 3 | 6 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | -3 | -6 | 2 | 3 | 6 | 0 | 180 | 180 |
| -2 | 3 | -6 | 2 | 3 | 6 | 180 | 0 | 180 |
| -2 | -3 | 6 | 2 | 3 | 6 | 180 | 180 | 360 |
Et là, on peut constater que lorsque l’on fait le produit de deux nombres réels, les modules se multiplient et les arguments s'ajoutent. Et donc, on peut tenter de généraliser cette idée à l’ensemble des nombres complexes :
Pour multiplier deux nombres complexes, il faut multiplier les modules et ajouter les arguments
Si nous avons encadré cette façon de procéder, c’est parce que nous savons que c’est la bonne ! Mais le travail du mathématicien ne s’arrête pas là. Il faut en fait vérifier que cette façon de procéder est vraiment la bonne en regardant si tout ce que nous souhaitions voir se réaliser s’est bien réalisé.

## Vérification de la pertinence des définitions des lois internes

Dans ce paragraphe, nous allons essayer de vérifier que l’ensemble des nombres complexes muni des deux lois addition et multiplication que nous avons établies précédemment vérifie bien les propriétés suivantes :
* Lorsque l’on se limite à l’ensemble des nombres réels, il n'y a rien de changé.
* Sur l’ensemble des nombres complexes, toutes les propriétés classiques qui nous permettaient de résoudre une équation algébrique sont toujours valables.
* Les équations du type x$^2$ = b avec b négatif ont au moins une racine dans l’ensemble des nombres complexes.
Là, si l’on veut faire les choses soigneusement, il y a vraiment du boulot !
Ne nous démoralisons pas et allons-y doucement.
Posons donc déjà clairement les lois qui résultent de la définition de la multiplication de deux nombres complexes.
Soient a et b deux nombres complexes, nous avons alors :
$|a\times b|=|a|\times |b|$
$\arg(a\times b)=\arg(a)+\arg(b)$
On en déduit de façon quasiment immédiate la propriété suivante :
Soit a un nombre complexe, nous avons alors :
$\left|{\frac {1}{a}}\right|={\frac {1}{|a|}}$
$\arg \left({\frac {1}{a}}\right)=-\arg(a)$
D'après la propriété fondamentale, on obtient en posant b = 1/a
$\left|a\times {\frac {1}{a}}\right|=|a|\times \left|{\frac {1}{a}}\right|\Leftrightarrow 1=|a|\times \left|{\frac {1}{a}}\right|\Leftrightarrow \left|{\frac {1}{a}}\right|={\frac {1}{|a|}}$
$\arg \left(a\times {\frac {1}{a}}\right)=\arg(a)+\arg \left({\frac {1}{a}}\right)\Leftrightarrow \arg(1)=\arg(a)+\arg \left({\frac {1}{a}}\right)\Leftrightarrow 0=\arg(a)+\arg \left({\frac {1}{a}}\right)\Leftrightarrow \arg \left({\frac {1}{a}}\right)=-\arg(a)$
Et ensuite :
Soient a et b deux nombres complexes, nous avons alors :
$\left|{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|a|}{|b|}}$
$\arg \left({\frac {a}{b}}\right)=\arg(a)-\arg(b)$
$\left|{\frac {a}{b}}\right|=\left|a\times {\frac {1}{b}}\right|=|a|\times \left|{\frac {1}{b}}\right|=|a|\times {\frac {1}{|b|}}={\frac {|a|}{|b|}}$
$\arg \left({\frac {a}{b}}\right)=\arg \left(a\times {\frac {1}{b}}\right)=\arg(a)+\arg \left({\frac {1}{b}}\right)=\arg(a)-\arg(b)$

### Relation fondamentale concernant le nombre complexe i

Tout d’abord, il est peut-être intéressant de calculer les produits faisant intervenir des nombres non-réels. Commençons par le produit du nombre i par lui-même, c'est-à-dire par le calcul de i$^2$.
Nous voyons que, en considérant sa position dans le plan complexe, pour le nombre i on a :
* $|i|=1$
* $\arg(i)={\frac {\pi }{2}}$
Pour le module, on a donc :
$|i^{2}|=|i\times i|=|i|\times |i|=1\times 1=1$
Pour l'argument, on a :
$\arg(i^{2})=\arg(i\times i)=\arg(i)+\arg(i)={\frac {\pi }{2}}+{\frac {\pi }{2}}=\pi$
i$^2$ est donc un nombre complexe qui a pour module 1 et pour argument π. Un rapide coup d’œil sur le plan complexe nous montre qu’il s'agit du nombre -1. Et là, heureusement que lorsque l’on consulte un ordinateur, on est bien assis, car il y a de quoi tomber à la renverse ! Sans le faire exprès, nous venons de trouver une solution de l'équation x$^2$ = -1 que l’on cherchait à résoudre, c’est le nombre i. Nous retiendrons :
Le nombre complexe i vérifie la relation :
$i^{2}=-1$

### Étude du nombre complexe -i

Si les opérations sur les nombres complexes prolongent bien celles de l’ensemble des réels, nous devrions avoir :
$-i=-1\times i$
Nous en déduisons le module et l'argument de -i :
$|-i|=|-1\times i|=|-1|\times |i|=1\times 1=1$
$\arg(-i)=\arg(-1\times i)=\arg(-1)+\arg(i)=-\pi +{\frac {\pi }{2}}=-{\frac {\pi }{2}}$
(nous avons pris -π comme argument de -1 au lieu de prendre π, ce qui revient au même et donne un résultat plus simple)
Ce qui précède nous permet de placer le nombre -i dans le plan complexe. Nous obtenons :
Comme pour le nombre i, nous pouvons essayer d'élever le nombre -i au carré :
Nous pouvons le faire de deux façons :
En considérant les modules et les arguments, nous avons :
$|(-i)^{2}|=|-i\times -i|=|-i|\times |-i|=1\times 1=1$
$\arg((-i)^{2})=\arg(-i\times -i)=\arg(-i)+\arg(-i)=-{\frac {\pi }{2}}+-{\frac {\pi }{2}}=-\pi$
et nous voyons que :
$(-i)^{2}=-1$
En utilisant l'hypothèse selon laquelle les opérations sur les nombres complexes prolongent celles des nombres réels :
$(-i)^{2}=(-1\times i)^{2}=(-1)^{2}\times i^{2}=1\times (-1)=-1$
Nous obtenons bien le même résultat et nous voyons que -i est une autre solution de l'équation x$^2$ = -1

### Multiplication par un nombre réel positif

Soit m un nombre complexe quelconque, affixe d'un point M dans le plan complexe. Soit r un nombre réel positif.
Nous avons :
$|r|=r$
$\arg(r)=0$
Déduisons en le module et l'argument du produit de m par r :
$|m\times r|=|m|\times |r|=|m|\times r=r|m|$
$\arg(m\times r)=\arg(m)+\arg(r)=\arg(m)+0=\arg(m)$
Nous voyons que le produit de m par r est l'affixe d'un point Z appartenant à la demi-droite [OM) vérifiant en distance OZ = r.OM.
Par conséquent, l'abscisse de Z sera l'abscisse de M multipliée par r et l'ordonnée de Z sera l'ordonnée de M multipliée par r.
Nous en déduisons immédiatement que la partie réelle de m.r est la partie réelle de m multipliée par r, et la partie imaginaire de m.r est la partie imaginaire de m multipliée par r.
Un des intérêts de ce que l’on vient de dire est de terminer la détermination de toutes les affixes de l'axe des ordonnées dans le plan complexe.
i étant l'affixe de l'unité de l'axe des ordonnées, le nombre r.i sera l'affixe d'un point d'ordonnée r sur l'axe des ordonnées.
En remarquant que -r.i s'écrit r ✕ (-i) et connaissant la position de -i vue dans le paragraphe précédent, nous en déduisons aussi que -r.i est l'affixe d'un point de coordonnée -r sur l'axe des ordonnées.

### Notation algébrique d'un nombre complexe

Considérons le nombre complexe m de partie réelle a et de partie imaginaire b. Dans le plan complexe, m est alors l'affixe d'un point M d'abscisse a et d'ordonnée b. Soient maintenant les deux nombres suivants :
* d'une par le nombre réel a, affixe d'un point de l'axe des abscisses.
* d’autre part le nombre b.i, affixe d'un point de l'axe des ordonnées comme nous l'avons vu dans le paragraphe précédent.
Calculons maintenant la somme des nombres a et b.i. Nous savons que pour faire cette opération, nous devons ajouter les parties réelles et les parties imaginaires.
* La partie réelle de a est a, la partie réelle de b.i est 0. Par conséquent, la partie réelle de a + b.i est a + 0 = a.
* La partie imaginaire de a est 0, la partie imaginaire de b.i est b. Par conséquent, la partie imaginaire de a + b.i est 0 + b = b.
Et là, nous constatons, avec émerveillement, que les nombres m et a + b.i ont même partie réelle et même partie imaginaire. Ils sont donc égaux.
Nous avons donc :
Soit m un nombre complexe de partie réelle a et de partie imaginaire b. Nous avons alors la relation :
$m=a+b.i$
Cette façon d'écrire un nombre complexe est appelée « notation algébrique d'un nombre complexe »

### Notation trigonométrique d'un nombre complexe

Considérons le nombre complexe m de partie réelle a et de partie imaginaire b. Soit α l'argument de m. Nous avons vu, dans le chapitre précédent, que nous avons les relations :
$a=|m|.\cos(\alpha )$
$b=|m|.\sin(\alpha )$
Si l’on poursuit les calculs commencés dans le paragraphe précédent, on obtient :
$m=a+b.i=|m|.\cos(\alpha )+|m|.i\sin(\alpha )=|m|\left(\cos(\alpha )+i\sin(\alpha )\right)$
Nous avons alors :
Soit m un nombre complexe d'argument α. Nous avons alors la relation :
$m=|m|\left(\cos(\alpha )+i\sin(\alpha )\right)$
Cette façon d'écrire un nombre complexe est appelée « notation trigonométrique d'un nombre complexe »

### Distributivité de la multiplication par rapport à l'addition

Nous abordons là le point essentiel qui va nous permettre de finir de valider l'addition et la multiplication des nombres complexes. Nous savons que pour l’ensemble des nombres réels, la multiplication est distributive par rapport à l'addition. C'est-à-dire que l’on peut écrire :
$x(y+z)=x.y+x.z$
Mais en est-il de même des nombres complexes ? De la façon dont nous avons défini la somme et le produit de deux nombres complexe, rien ne le laisse supposer. Si les autres propriétés sont assez faciles à vérifier, la distributivité n'a rien d'évident a priori. Si nous réussissons cette vérification, ce sera l’occasion de déboucher le champagne !
Soient donc deux nombres complexes m et p dont les notations algébriques sont :
$m=a+b.i$
$p=c+d.i$
et dont les notations trigonométriques sont :
$m=|m|\left(\cos(\theta )+i\sin(\theta )\right)$
$p=|p|\left(\cos(\phi )+i\sin(\phi )\right)$
Si la distributivité est valide, alors nous pouvons faire le produit de m par p ainsi :
$m.p=(a+b.i)(c+d.i)=a.c+a.d.i+b.i.c+b.i.d.i=a.c+i.a.d+i.b.c+i^{2}.b.d=a.c+i.a.d+i.b.c-b.d=a.c-b.d+i(a.d+b.c)$
Et là, il n’est pas évident de voir que le résultat a un module égal au produit des modules de m et p. Il n'est aussi pas évident de voir que le résultat a un argument qui est la somme des arguments de m et p.
Essayons alors de faire le produit de m et p sans utiliser la distributivité, pour voir s'il est possible d'arriver au même résultat :
« m » a pour argument θ et « p » a pour argument Φ. Le produit de m par p devrait alors avoir pour argument θ + Φ et pour module |m|.|p|
Sa notation trigonométrique devrait être alors :
$m.p=|m|.|p|\left(\cos(\theta +\phi )+i\sin(\theta +\phi )\right)$
Nous avons affaire au produit d'un réel positif par un nombre complexe. Compte tenu du paragraphe concernant la multiplication d'un complexe par un réel positif, nous pouvons écrire :
$m.p=\left(|m|.|p|\cos(\theta +\phi )+i|m|.|p|\sin(\theta +\phi )\right)$
(nous précisons bien que, pour obtenir le résultat précédent, nous n'avons pas utilisé la distributivité, mais les propriétés relatives à la multiplication d'un complexe par un réel)
Nous devons nous rappeler notre cours de trigonométrie (voir Trigonométrie), nous avons les formules :
$\cos(\theta +\phi )=\cos(\theta ).\cos(\phi )-\sin(\theta ).\sin(\phi )$
$\sin(\theta +\phi )=\sin(\theta ).\cos(\phi )+\cos(\theta ).\sin(\phi )$
La partie réelle de m.p s'écrit alors :
${\begin{aligned}|m|.|p|\cos(\theta +\phi )&=|m|.|p|\left(\cos(\theta ).\cos(\phi )-\sin(\theta ).\sin(\phi )\right)\\&=|m|\cos(\theta ).|p|\cos(\phi )-|m|\sin(\theta ).|p|\sin(\phi )\\&=a.c-b.d\end{aligned}}$
La partie imaginaire de m.p s'écrit alors :
${\begin{aligned}|m|.|p|\sin(\theta +\phi )&=|m|.|p|\left(\sin(\theta ).\cos(\phi )+\cos(\theta ).\sin(\phi )\right)\\&=|m|\sin(\theta ).|p|\cos(\phi )+|m|\cos(\theta ).|p|\sin(\phi )\\&=b.c+a.d\end{aligned}}$
Nous obtenons donc :
$m.p=a.c-b.d+i(a.d+b.c)$
qui est bien le même résultat que nous avions obtenu en utilisant la distributivité.
C'est bon, vous pouvez aller chercher le champagne !
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