# Schéma déductif des propriétés mathématiques au collège

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Comment démontrer les propriétés du cours de collège, dans quel ordre et à partir de quels axiomes ? Voilà les questions auxquelles nous répondons ici.

# Propriétés des symétries
## Axiomes
#### La symétrie axiale ne change pas les longueurs

Si A et B ont pour symétriques A' et B' par rapport à une droite (d), alors AB = A'B'

#### La symétrie axiale ne change pas les angles

Si A, B et C ont pour symétriques A', B' et C' par rapport à une droite (d), alors : ${\widehat {ABC}}={\widehat {A'B'C'}}$

#### Définition : La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment passant par son milieu

Elle existe et est unique d’après l'axiome : "Par un point, il passe une et une seule droite perpendiculaire à une droite donnée.

## Parallèles et sécantes
#### Deux droites ont soit un point commun (sécantes) soit aucun (strictement parallèles), soit tous (parallèles et confondues)

Si elles en avaient deux sans être confondues, cela contredirait cet axiome : "Par deux points distincts, il passe une et une seule droite".

#### Si deux droites sont parallèles, toute sécante à l'une est sécante à l'autre

Si elle ne l'était pas, elle lui serait soit :
* parallèle : dans ce cas l'autre le serait aussi.
* confondue : mais alors elle ne pourrait pas être sécante à la première.

## Autres propriétés des symétries axiales
#### Une droite perpendiculaire à l’axe d’une symétrie est invariante globalement par cette symétrie.

Évident par définition de la symétrie axiale.

#### L'image, par une symétrie axiale d’une droite parallèle à l’axe, est parallèle à la droite d'origine

Supposons qu’elles se coupent en I, son symétrique I' serait aussi sur les deux droites, donc I=I'. Or les seuls points invariants par une symétrie axiale (par définition) sont ceux de l'axe. Mais si I appartient à l'axe, cela contredit le parallélisme de la droite d'origine avec l'axe.

## Droites parallèles et perpendiculaires
#### Si deux droites distinctes sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont strictement parallèles entre elles.

(d) et (d') sont distinctes et perpendiculaires à (AB). D'après la propriété : "Une droite perpendiculaire à l’axe d’une symétrie est invariante globalement par cette symétrie", (d) et (d') sont invariantes par la symétrie d'axe (AB). Supposons-les sécantes en O. Alors O' est le symétrique de O par rapport à (AB) et appartient aussi à (d) et à (d'). Ces deux droites ont alors deux points communs, ce qui contredit l'hypothèse de départ.

#### Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre

Soit (d) et (d') les deux parallèles. La perpendiculaire en A à l'une est sécante en B à l'autre d’après :"Si deux droites sont parallèles, toute sécantes à l'une est sécante à l'autre". Soit $\delta$ la médiatrice de [AB], alors (AB) est perpendiculaire à (d) et $\delta$ qui sont donc parallèles d’après la propriété : "Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles". Mais alors l’image de (d) par rapport à $\delta$ est parallèle à (d) (d'après la propriété : "L'image par une symétrie axiale d’une droite parallèle à l’axe est parallèle à la droite d'origine"), et passe par B. De plus par l'axiome : "La symétrie axiale ne change pas les angles" et l'axiome : "Par un point, il passe une et une seule droite perpendiculaire à une droite donnée" elle est égale à (d'). Donc (d') est parallèle à (d).
Référents
Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant ce cours :
* Loïc Fabiou (discuter)
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