# Théorie des groupes/Groupes caractéristiquement simples, sous-groupes normaux minimaux
## Notions essentielles

On appelle groupe caractéristiquement simple un groupe $G\not =1$ qui n'a pour sous-groupes caractéristiques que G et 1.
Remarques. 1. Les auteurs n'imposent pas tous à G d’être non réduit à l'élément neutre. 2. On montre facilement que tout groupe isomorphe à un groupe caractéristiquement simple est caractéristiquement simple. 3. On montre facilement que si V est un groupe de Klein (produit direct de deux groupes d'ordre 2), les trois sous-groupes d'ordre 2 de V sont images l'un de l'autre par des automorphismes de V et ne sont donc pas des sous-groupes caractéristiques de V. Il en résulte que V est caractéristiquement simple. Nous déterminerons plus loin la structure de tous les groupes caractéristiquement simples finis.
Tout groupe simple est caractéristiquement simple.
Soit G un groupe simple. Prouvons que G est caractéristiquement simple. Soit H un sous-groupe caractéristique de G. Il s'agit de prouver que H est égal à 1 ou à G. Puisque H est sous-groupe caractéristique de G, il est sous-groupe distingué de G. Puisque G est supposé simple, H doit donc être égal à 1 ou à G, comme annoncé.
Remarque. On a vu qu'un groupe de Klein est caractéristiquement simple. Comme un groupe de Klein n'est évidemment pas simple, ceci montre qu'un groupe caractéristiquement simple n’est pas forcément simple.
Tout groupe résoluble et caractéristiquement simple est commutatif.
Soit G un groupe résoluble et caractéristiquement simple. Qu'on admette ou non les groupes triviaux parmi les groupes caractéristiquement simples, on peut évidemment supposer G > 1. Puisque le dérivé G' de G est un sous-groupe caractéristique de G, on doit avoir G' = G ou G' = 1. Mais puisque G est résoluble et > 1, G' n’est pas égal à G, donc G' = 1, donc G est commutatif.
Remarques.
* Ce lemme nous servira dans la démonstration du théorème de Schur-Zassenhaus.
* Nous verrons plus loin une description des groupes caractéristiquement simples finis qui fournira, dans le cas fini, un résultat beaucoup plus précis que le présent lemme.
Soit G un groupe. On appelle sous-groupe normal minimal de G un sous-groupe de G minimal (pour la relation d'inclusion) parmi les sous-groupes normaux de G non réduits à l'élément neutre.
En d'autres termes, un sous-groupe normal minimal de G est un sous-groupe normal $N\not =1$ de G tel que les seuls sous-groupes normaux de G contenus dans N soient 1 et N.
Remarque. L'expression « sous-groupe normal minimal » est quelque peu abusive, puisque, en toute rigueur, le sous-groupe réduit à l'élément neutre est le seul sous-groupe normal minimal pour la relation d'inclusion. Cet abus est cependant quasi universel.
Exemple. On a vu au chapitre Groupes alternés que les sous-groupes normaux du groupe alterné A$_4$ sont 1, V et A$_4$, où V désigne le sous-groupe de Klein de A$_4$. Donc V est un sous-groupe normal minimal de A$_4$.
Soient N un sous-groupe normal minimal d'un groupe G et H un sous-groupe normal de G. Ou bien N est contenu dans H, ou bien $N\cap H=1.$
Puisque N et H sont tous deux des sous-groupes normaux de G, $N\cap H$ est un sous-groupe normal de G, évidemment contenu dans N. Puisque N est un sous-groupe normal minimal de G, $N\cap H$ est donc réduit à l'élément neutre ou égal à N. Dans le second cas, N est contenu dans H.
Soient N un sous-groupe normal minimal d'un groupe G et $\sigma$ un isomorphisme de G sur un groupe H. L'image $\sigma (N)$ est un sous-groupe normal minimal de H. En particulier, pour tout automorphisme $\sigma$ de G, $\sigma (N)$ est un sous-groupe normal minimal de G.
Démonstration facile, laissée au lecteur.
Soient G un groupe fini et H un sous-groupe normal de G non réduit à l'élément neutre. Il existe au moins un sous-groupe normal minimal de G qui est contenu dans H. Tout groupe fini non réduit à l'élément neutre contient au moins un sous-groupe normal minimal.
Il existe au moins un sous-groupe normal N de G d'ordre > 1 et contenu dans H, par exemple N = H. Parmi les sous-groupes N possédant cette propriété, choisissons-en un, soit M, dont l’ordre soit le plus petit possible. Alors M est un sous-groupe normal minimal de G. En effet, si, par absurde, il existait un sous-groupe normal de G tel que 1 < L < M, on aurait $1<\vert L\vert <\vert M\vert$, ce qui contredit la minimalité de l’ordre $\vert M\vert$. La première partie de l'énoncé est donc démontrée. En faisant H = G, on obtient la seconde partie.
Tout sous-groupe normal minimal est un groupe caractéristiquement simple.
Soient G un groupe et N un sous-groupe normal minimal de G. Il s'agit de prouver que le groupe N est caractéristiquement simple, c'est-à-dire que N n’est pas réduit à l'élément neutre et que ses seuls sous-groupes caractéristiques sont 1 et N. Par définition d'un sous-groupe normal minimal, N n’est pas réduit à l'élément neutre. Soit K un sous-groupe caractéristique de N. Il rest à prouver que K est égal à 1 ou à N. Puisque K est caractéristique dans N et N normal dans G, K est normal dans G. (Voir chapitre Sous-groupes caractéristiques.) Puisque K est contenu dans N et que N est un sous-groupe normal minimal de G, K est donc égal à 1 ou à N, ce qui prouve notre thèse.
Remarques. 1° On a vu que le sous-groupe de Klein V de A$_4$ est un sous-groupe normal minimal de A$_4$. Donc le théorème qui précède fournit une nouvelle démonstration du fait qu'un groupe de Klein est caractéristiquement simple. 2° On verra dans les exercices que tout groupe caractéristiquement simple (et non réduit à l'élément neutre) peut être plongé dans un groupe dont il est sous-groupe normal minimal. C'est une réciproque du théorème qui précède.
Soient G un groupe et H un sous-groupe normal minimal de G. Si H est facteur direct de G, H est simple.
Soit K un sous-groupe normal de H. Il s'agit de prouver que K est égal à 1 ou à H. Puisque H est facteur direct de G et que K est sous-groupe normal de H, K est sous-groupe normal de G. (Voir le chapitre Produit de groupes.) Puisque H est sous-groupe normal minimal de G, K doit donc être égal à 1 ou à H, ce qui, comme nous l'avons vu, prouve que H est simple.
Soient G un groupe fini caractéristiquement simple et H un sous-groupe normal minimal de G. Le groupe H est simple et G est produit direct H$_1$ × H$_2$ × ... × H$_n$ d'une famille de sous-groupes simples tous isomorphes à H, avec n ≥ 1 et H$_1$ = H.
Considérons les sous-groupes S de G possédant la propriété suivante : il existe un nombre naturel n ≥ 1 et un n-uplet H$_1$, H$_2$, ... , H$_n$de sous-groupes de G, avec H$_1$ = H, tels que, pour chaque i, H$_i$ soit image de H par un automorphisme de G et que S soit le produit direct H$_1$ × H$_2$ × ... × H$_n$. Il existe au moins un tel sous-groupe S, à savoir H. Parmi ces sous-groupes S de N, nous pouvons donc en choisir un, soit M, dont l’ordre est maximal. (Il est clair que M est alors maximal pour la relation d'inclusion parmi les sous-groupes S en question.)
Prouvons que M est égal à G tout entier. Puisque M contient H, il n’est pas réduit à l'élément neutre. Puisque G est caractéristiquement simple, il suffit donc, pour prouver que M = G, de prouver que M est caractéristique dans G. Soit $\sigma$ un automorphisme de G. Pour prouver que M est caractéristique dans G, il suffit de prouver que $\sigma (M)$ est contenu dans M. Par choix de M, M est produit direct H$_1$ × H$_2$ × ... × H$_n$, où H$_1$ = H et où, pour chaque i (1 ≤ i n), H$_i$ est de la forme $\varphi _{i}(H)$, où $\varphi _{i}$ est un automorphisme de G. Pour prouver que $\sigma (M)$ est contenu dans M, il suffit de prouver que, pour chaque i,
    $(1)\qquad \sigma (H_{i})\subseteq M.$
Puisque H est un sous-groupe normal de G, chaque $\varphi _{i}(H)$, autrement dit chaque $H_{i}$, est un sous-groupe normal de G. Donc M, qui est engendré par les H$_i$, est un sous-groupe normal de G. Supposons que, par absurde, il y ait un i tel que $\sigma (H_{i})$ ne soit pas contenu dans M. D'après le lemme 2, $\sigma (H_{i})$ est un sous-groupe normal minimal de G, donc, dans notre hypothèse où il n’est pas contenu dans M, il résulte du lemme 1 que $\sigma (H_{i})\cap M=1.$ Puisque M et $\sigma (H_{i})$ sont tous deux des sous-groupes normaux de G, il en résulte (voir chapitre Produit de groupes) que le sous-groupe de G qu’ils engendrent est produit direct $M\times \sigma (H_{i}).$ Ceci contredit clairement la maximalité de l’ordre de M. Cette contradiction prouve notre thèse (1). Comme nous l'avons vu, il en résulte que M est caractéristique dans G et, comme nous l'avons vu aussi, ceci entraîne que M est égal à G tout entier. Donc G est produit direct de H et d'une famille de sous-groupes de G tous isomorphes à H, ce qui démontre la seconde partie de l'énoncé.
Prouvons maintenant que le groupe H est simple. D'après ce que nous venons de démontrer, H est facteur direct de G. Puisque, par hypothèse, H est sous-groupe normal minimal de G, il résulte d'un des théorèmes ci-dessus que H est simple.
Remarques.
* Nous avons en fait démontré qu'on peut prendre les H$_i$ de l'énoncé tels que, pour chaque i, il existe un automorphisme de G qui applique H sur H$_i$. Cela peut sembler plus fort que de dire seulement, comme dans l'énoncé, que les H$_i$ sont tous isomorphes à H, mais cela ne l'est pas vraiment. Par exemple, du fait que H$_1$ est isomorphe à H$_2$ et que $G=H_{1}\times H_{2}\times H_{3}\times \ldots \times H_{n}=H_{2}\times H_{1}\times H_{3}\times \ldots \times H_{n},$ on tire, à l'aide d'un corollaire de la propriété universelle de la somme restreinte, qu’il existe un automorphisme de G qui applique H$_1$ sur H$_2$.
* Dans le précédent théorème, l'hypothèse selon laquelle G est fini peut être levée, à condition d'énoncer le théorème comme suit : « Soient G un groupe caractéristiquement simple et H un sous-groupe normal minimal de G. Le groupe H est simple et G est somme restreinte d'une famille (non forcément finie) de sous-groupes simples tous isomorphes à H, H étant égal à l'un d'eux. » (Voir W.R. Scott, Group Theory, 1964, repr. Dover, 1987, p. 73.)
Tout groupe fini caractéristiquement simple est produit direct d'une famille de sous-groupes simples tous isomorphes entre eux.
Cela résulte immédiatement du théorème qui précède, puisque nous avons vu qu'un groupe fini non réduit à l'élément neutre admet toujours au moins un sous-groupe normal minimal.
Tout sous-groupe normal minimal d'un groupe fini G est produit direct d'une famille de sous-groupes simples tous isomorphes entre eux.
C'est une conséquence immédiate du corollaire 1, puisque nous avons vu qu'un sous-groupe normal minimal est toujours caractéristiquement simple.
En fait, les groupes simples dont question dans le corollaire 2 peuvent être pris non seulement isomorphes entre eux mais conjugués dans G. Nous allons le prouver en copiant presque la démonstration du théorème précédent.
Soient G un groupe fini, N un sous-groupe normal minimal de G et H un sous-groupe normal minimal de N. Le groupe H est simple et N est produit direct H$_1$ × H$_2$ × ... × H$_n$ d'une famille de sous-groupes simples tous conjugués de H dans G, avec n ≥ 1 et H$_1$ = H.
Considérons les sous-groupes S de N possédant la propriété suivante : il existe un nombre naturel n ≥ 1 et un n-uplet H$_1$, H$_2$, ... , H$_n$de sous-groupes de N, avec H$_1$ = H, tels que, pour chaque i, H$_i$ soit conjugué de H dans G et que S soit le produit direct H$_1$ × H$_2$ × ... × H$_n$. Il existe au moins un tel sous-groupe S, à savoir H. Parmi ces sous-groupes S de G, nous pouvons donc en choisir un, soit M, dont l’ordre est maximal. (Il est clair que M est alors maximal pour la relation d'inclusion parmi les sous-groupes S en question.)
Prouvons que M est égal à N tout entier. Puisque M contient H, il n’est pas réduit à l'élément neutre. Puisque N est un sous-groupe normal minimal de G, il suffit donc, pour prouver que M = N, de prouver que M est normal dans G. Soit x un élément de G. Pour prouver que M est normal dans G, il suffit de prouver que x M x$^{-1}$ est contenu dans M. Par choix de M, M est produit direct H$_1$ × H$_2$ × ... × H$_n$, où H$_1$ = H et où, pour chaque i (1 ≤ i n), H$_i$ est un conjugué de H dans G Pour prouver que x M x$^{-1}$ est contenu dans M, il suffit de prouver que, pour chaque i,
    $(1)\qquad xH_{i}x^{-1}\subseteq M.$
Puisque H est un sous-groupe normal de N, toute image de H par un automorphisme de N est un sous-groupe normal de N. En particulier, tout conjugué de H dans G est un sous-groupe normal de N (puisque, N étant normal dans G, la conjugaison par un élément de G induit un automorphisme de N). Donc chaque $H_{i}$ est un sous-groupe normal de N, donc M, qui est engendré par les H$_i$, est un sous-groupe normal de N. Supposons que, par absurde, il y ait un i tel que x H$_i$ x$^{-1}$ ne soit pas contenu dans M. D'après le lemme 2, x H$_i$ x$^{-1}$ est un sous-groupe normal minimal de N, donc, dans notre hypothèse où il n’est pas contenu dans M, il résulte du lemme 1 que $xH_{i}x^{-1}\cap M=1.$ Puisque M et $xH_{i}x^{-1}$ sont tous deux des sous-groupes normaux de N, il en résulte (voir chapitre Produit de groupes) que le sous-groupe de N qu’ils engendrent est produit direct $M\times xH_{i}x^{-1}.$ Ceci contredit clairement la maximalité de l’ordre de M. Cette contradiction prouve notre thèse (1). Comme nous l'avons vu, il en résulte que M est normal dans G et, comme nous l'avons vu aussi, ceci entraîne que M est égal à N tout entier. Donc N est produit direct de H et d'une famille de sous-groupes de N tous conjugués à H dans G.
D'après le précédent théorème, tout sous-groupe normal minimal d'un groupe caractéristiquement simple est simple. Or N est caractéristiquement simple (car nous avons vu que tout sous-groupe normal minimal est caractéristiquement simple), donc H est simple, ce qui achève de démontrer l'énoncé.
Soit G un groupe fini. Tout sous-groupe normal minimal de G est produit direct d'une famille de sous-groupes simples tous conjugués entre eux dans G.
C'est une conséquence immédiate du théorème qui précède, puisque tout groupe fini non réduit à l'élément neutre (et en particulier tout sous-groupe normal minimal de G) admet un sous-groupe normal minimal.
Rappelons une définition qui a été donnée au chapitre Groupes commutatifs finis, 1 :
Un groupe G est dit abélien élémentaire s'il est abélien et qu'il existe un nombre premier p tel que, pour tout élément x de G, on ait (G étant noté additivement) px = 0.
On a vu au même chapitre Groupes commutatifs finis, 1 qu'un p-groupe abélien élémentaire (fini ou infini) est le groupe additif d'un espace vectoriel sur le corps à p éléments et est donc la somme directe d'une famille de groupes d'ordre p.
Soit G un groupe fini résoluble. Tout sous-groupe normal minimal de G est abélien élémentaire.
Soit N un sous-groupe normal minimal de G. D'après le corollaire précédent, N est produit direct de groupes simples tous isomorphes entre eux. Puisque G est résoluble, ces groupes simples sont résolubles. On sait que les seuls groupes simples résolubles sont les groupes d'ordre premier, d'où l'énoncé.

## Compléments

On a prouvé dans la première partie du chapitre que tout groupe fini caractéristiquement simple est produit direct de groupes simples isomorphes entre eux. On va maintenant prouver une réciproque forte de ce théorème, à savoir que tout groupe qui est somme restreinte d'une famille (finie ou infinie) de groupes simples tous isomorphes entre eux est caractéristiquement simple. Cette réciproque est moins importante que le théorème direct, donc la présente section peut être omise en première lecture.
On désignera la somme restreinte de deux sous-groupes par le symbole $\times$ et la somme restreinte d'une famille de sous-groupes par le symbole $\sum$.
Soit G un groupe, somme restreinte interne $G=\sum _{i\in I}G_{i}$ d'une famille (finie ou infinie) $(G_{i})_{i\in I}$ de sous-groupes tous simples et tous non abéliens. Si N est un sous-groupe normal de G, il existe une partie J de I telle que $N=\sum _{i\in J}G_{i}$.
Désignons par J l'ensemble des élément i de I tels que G$_i$ soit contenu dans N et désignons par K l'ensemble des élément i de I tels que G$_i$ ne soit pas contenu dans N. Alors $G=(\sum _{j\in J}G_{j})\times \sum _{k\in K}G_{k}.$ Puisque N contient $\sum _{j\in J}G_{j}$, on en tire facilement $N=(\sum _{j\in J}G_{j})\times (N\cap \sum _{k\in K}G_{k}).$ Pour prouver l'énoncé, il suffit donc de prouver que
    (thèse 1) $\qquad N\cap \sum _{k\in K}G_{k}=1.$
Soit k' un élément de K. Par définition de K, le sous-groupe simple G$_{k'}$ de G n'est pas contenu dans le sous-groupe normal N de G, donc G$_{k'}$ ⋂ N = 1. (En effet, de façon générale, si N est un sous-groupe normal d'un groupe G, si S est un sous-groupe simple de G, alors N ⋂ S est un sous-groupe normal du groupe simple S et est donc égal à 1 ou à S, le second cas ne se produisant que si S est contenu dans N.) Puisque G$_{k'}$ et N sont tous deux normaux dans G, notre résultat G$_{k'}$ ⋂ N = 1 entraîne que N centralise G$_{k'}$. (En effet, de façon générale, si deux sous-groupes normaux d'un même groupe ont une intersection réduite à l'élément neutre, ces deux sous-groupes se centralisent l'un l'autre; voir un problème de la série Sous-groupe distingué, groupe quotient.) A fortiori,
    (2) pour tout élément k' de K, $N\cap \sum _{k\in K}G_{k}$ centralise G$_{k'}$.
D'autre part, $N\cap \sum _{k\in K}G_{k}$ est contenu dans $\sum _{k\in K}G_{k}$ et, puisque G est par hypothèse somme restreinte $G=\sum _{i\in I}G_{i},$ $\sum _{k\in K}G_{k}$ centralise G$_j$ pour tout élément j de J. Donc
    (3) pour tout élément j de J, $N\cap \sum _{k\in K}G_{k}$ centralise G$_j$
De (2) et (3), il résulte que $N\cap \sum _{k\in K}G_{k}$ centralise G tout entier, c'est-à-dire que
    (4) $N\cap \sum _{k\in K}G_{k}$ est contenu dans le centre de G.
Mais puisque les G$_i$ (pour i dans I) sont simples et non abéliens, leurs centres sont réduits à l'élément neutre; comme le centre d'une somme restreinte est la somme restreinte des centres (voir un problème de la série Produit de groupes), le centre de G est réduit à l'élément neutre, donc (4) signifie que
    $N\cap \sum _{k\in K}G_{k}=1,$
ce qui est notre thèse (1). Comme nous l'avons vu, l'énoncé en résulte.
Remarque. Si on ne suppose pas que les groupes simples G$_i$ sont non abéliens, le théorème devient faux. Par exemple, soient p un nombre premier et H un groupe (cyclique) d'ordre p. Le produit direct externe $H\times H$ est abélien, donc tous ses sous-groupes sont normaux. En particulier, si nous choisissons un générateur a de H, le sous-groupe de $H\times H$ engendré par l'élément (a, a) de $H\times H$ est un sous-groupe normal de $H\times H$. Pourtant, il n'est égal ni à {1}, ni à $H\times {1}$, ni à ${1}\times H$ ni à $H\times H$.
Soit V un espace vectoriel (à gauche ou à droite). Le groupe additif V, + de V est caractéristiquement simple.
Soit H un sous-groupe de V, + tel que 0 < H < V. Pour prouver que V, + est caractéristiquement simple, nous avons à prouver que H n’est pas caractéristique dans V, +. Puisque 0 < H, nous pouvons choisir un élément non nul a dans H. Puisque H est < V, nous pouvons choisir un élément b de G hors de H. Alors b est évidemment non nul, donc, d’après la théorie des espaces vectoriels, il existe un automorphisme (permutation linéaire) f de l'espace vectoriel V qui applique a sur b. (Choisir une base A comprenant a, une base B comprenant b et une bijection de A sur B. Cette bijection se prolonge en un automorphisme d'espace vectoriel.) Alors f est un automorphisme du groupe V, + et f(H) comprend l'élément f(a) = b, qui n'appartient pas à H, donc f(H) est distinct de H, donc H n’est pas caractéristique dans G. Comme nous l'avons vu, cela prouve que G est caractéristiquement simple.
Si un groupe est somme restreinte d'une famille (finie ou infinie) de sous-groupes simples tous isomorphes entre eux, il est caractéristiquement simple.
Soit G un groupe, somme restreinte $G=\sum _{i\in I}G_{i}$, où les G$_i$ sont des sous-groupes simples isomorphes entre eux. Les G$_i$ sont ou bien tous commutatifs ou bien tous non commutatifs.
Premier cas : les G$_i$ sont tous commutatifs. Dans ce cas, nous noterons G additivement. Puisque les seuls groupes simples commutatifs sont les groupes d'ordre premier et que les G$_i$ sont supposés isomorphes entre eux, il existe un nombre premier p tel que chaque G$_i$ soit un groupe d'ordre p. Donc G est un groupe abélien tel que, pour tout élément x de G, px = 0. Comme noté dans un problème de la série Produit de groupes, G est donc le groupe additif d'un espace vectoriel sur le corps F$_p$ à p éléments. D'après le lemme qui précède, G est donc caractéristiquement simple. L'énoncé est donc démontré dans le premier cas (où les G$_i$ sont commutatifs).
Second cas : les G$_i$ sont tous non commutatifs. Soit H un sous-groupe normal de G tel que 1 < H < G. Il s'agit de prouver que H n’est pas caractéristique dans G. D'après le théorème précédent, il existe une partie J de I telle que
    $H=\sum _{i\in J}G_{i}$.
Puisque H > 1, il existe au moins un indice qui appartient à J, soit j. D'autre part, puisque H < G, il existe un élément de I, soit i, qui n'appartient pas à J et est donc distinct de j. D'après un corollaire de la propriété universelle de la somme restreinte (chapitre Produit de groupes), il existe un automorphisme f de G qui envoie G$_j$ sur G$_i$. Alors f(H) contient G$_i$, qui n’est pas contenu dans H, donc f(H) est distinct de H, donc H n’est pas caractéristique dans G, ce qui achève la démonstration.