# Théorie des groupes/Examen/Licence math algèbre Université de Provence juin 1990

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Si z = x + iy est élément de ℂ, alors :
$Im\,z=y={\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}$
Si Z$^j$ ∈ ℂ$^n$,
$Z^{j}=(z_{1}^{j},\cdots ,z_{n}^{j})\qquad {\text{pour}}\,j=1,2,\quad (Z^{1},Z^{2})=\sum _{k=1}^{n}z_{k}^{1}{\bar {z_{k}^{2}}}$
ɪ . On étudie sur ℂ$^n$✕ℝ, la loi suivante notée ● :
$(Z^{1},s^{1})\bullet (Z^{2},s^{2})=\left(Z^{1}+Z^{2},s^{1}+s^{2}+2Im(Z^{1},Z^{2})\right)$
1 ) Montrer que cette loi est associative. Donnez-en un élément neutre.
2 ) Montrer que cette loi n’est pas commutative.
3 ) Soit α = (Z,s) ∈ ℂ$^n$✕ℝ. On définit des applications de ℂ$^n$✕ℝ dans lui-même par V(α) = (Z,0); U(α) = (Z,-s); ℑ(α) = (-Z,-s). Calculer α●V(α); α●U(α); α●ℑ(α).
Quels sont les éléments inversibles par la loi ● ? On notera (Z,s)$^{-1}$ un tel inverse. Quelle est la structure de (ℂ$^n$✕ℝ,●) ?
4 ) question facultative : On note + la loi additive usuelle sur le produit cartésien usuel ℂ$^n$✕ℝ. Calculer :
$(Z^{1},s^{1})\bullet (Z^{2},s^{2})-\left[(Z^{1},s^{1})+(Z^{2},s^{2})\right]$
Est-ce que la loi ● est distributive par rapport à la loi + ?
ɪɪ . si A désigne un groupe abélien, on notera A(i) l’ensemble des expressions formelles du type a + bi où a, b ∈ A; on munit cet ensemble de l'addition : (a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i.
1 ) a) Montrer que (ℤ$^2$(i)✕ℤ,●) est un sous-groupe non abélien de (ℂ$^2$✕ℝ,●).
    b) Si ℤ$_a$ désigne l’ensemble des classes modulo a dans ℤ, (a ∈ ℤ), montrer que :
    $\mathbb {Z} _{a}(i)=\left[\mathbb {Z} \diagup a\mathbb {Z} \right](i)\simeq \left[\mathbb {Z} \diagup a\mathbb {Z} \right]^{2}\simeq \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \diagup a\mathbb {Z} \times a\mathbb {Z} \simeq \mathbb {Z} (i)\diagup a\mathbb {Z} (i)$
    où les isomorphismes précédents concernent des lois de groupes additifs.
2 ) Étant donnés deux entiers a, b, quelle condition doit vérifier c pour que ℤ$_a$(i) ✕ ℤ$_b$(i) ✕ ℤ$_c$ soit un quotient de (ℤ$^2$(i)✕ℤ,●) ?
3 ) On suppose dorénavant que : a = p$^2$q, b = pq$^2$, c = pq où p et q sont deux nombres premiers distincts de 2.
    a) Montrer que :
    $\mathbb {Z} \diagup p^{2}q\mathbb {Z} \simeq \mathbb {Z} p^{2}\diagup q\mathbb {Z}$
    b) Montrer que ℤ$_{p2q}$ se décompose en somme directe :
    $\mathbb {Z} _{p^{2}q}\simeq \mathbb {Z} _{p^{2}}\oplus \mathbb {Z} _{q}$
    c) Soit r un premier, déterminez tous les r-sous-groupes de Sylow de G = ℤ$_{p2q}$(i) ✕ ℤ$_{pq2}$(i) ✕ ℤ$_{pq}$ muni de ●. Donnez-en le nombre pour chaque r. Que pouvez-vous dire du sous-groupe S$_p$ = ℤ$_{p2}$(i) ✕ ℤ$_p$(i) ✕ ℤ$_p$ de (G,●) ?
4 ) On note de façon analogue : S$_q$ = ℤ$_q$(i) ✕ ℤ$_{q2}$(i) ✕ ℤ$_q$.
    a) Montrer que S$_p$ ᑎ S$_q$ est réduit à l'élément neutre de (G,●).
    b) Montrer que l’ensemble S$_p$ ● S$_q$ des composés α.β où α ∈ S$_p$, β ∈ S$_q$ coïncide avec G.
    c) Montrer que G est isomorphe au produit direct de S$_p$ par S$_q$.
5 ) Déduire de ce qui précède une décomposition primaire du groupe non abélien G. Est-elle aussi une décomposition cyclique ?
6 ) Montrer que G est résoluble.
7 ) Montrer que G est nilpotent.
8 ) Soit H un groupe fini, on suppose que pour tout r premier, tout r-sous-groupe de Sylow soit normal. Prouver que H est alors le produit direct de ces sous-groupes. En déduire que H est nilpotent. Comparer au cas de G.
Nota bene : On pourra, lors de la résolution de questions telles que, par exemple, II.3)b), nommer des isomorphismes ou, si l’on préfère, utiliser des abus de langages évidents.
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