# Théorie des groupes/Holomorphe d'un groupe
## Rappels

Rappelons quelques faits déjà exposés dans le chapitre Action de groupe.
Soit G un groupe. Nous désignerons par $S_{G}$ le groupe symétrique de l’ensemble sous-jacent à G. Rappelons que, pour un ensemble X, nous avons défini le groupe symétrique S$_X$ de X comme l’ensemble des permutations de X, muni de la loi de groupe (f, g) ↦ f ∘ g : x ↦ f(g(x)).
Pour tout élément g de G, x ↦ gx définit une permutation de G, qu'on appellera la translation gauche de G par g. Les translations gauches de G forment un sous-groupe de S$_G$, qu'on appellera le groupe des translations gauches de G. L'application de G dans le groupe des translations gauches de G qui pour tout élément g de G envoie g sur la translation gauche de G par g est un isomorphisme de G sur le groupe des translations gauches de G. Nous noterons cet isomorphisme l (de left, gauche en anglais) et l'écrirons en exposant.
De même, pour tout élément g de G, x ↦ xg définit une permutation de G, qu'on appellera la translation droite de G par g. Les translations droites de G forment un sous-groupe de S$_G$, qu'on appellera le groupe des translations droites de G. L'application de G dans le groupe des translations gauches de G qui pour tout élément g de G envoie g sur la translation droite de G par g$^{–1}$ (noter l'inversion de G) est un isomorphisme de G sur le groupe des translations droites de G. Nous noterons cet isomorphisme r (de right, droit en anglais) et l'écrirons en exposant.
Soit G un groupe.
* G$^l$ désignera le groupe des translations gauches de G et, pour tout élément g de G, g$^l$ désignera la translation gauche de G par g.
* G$^r$ désignera le groupe des translations droites de G et, pour tout élément g de G, g$^r$ désignera la translation droite de G par g$^{–1}$.
Notons que si une translation (gauche ou droite) de G a un point fixe, cette translation est la permutation identique de G. En effet, si par exemple la translation gauche g$^l$ fixe un point x, alors gx = x, donc g = 1, donc g$^l$ est la permutation identique de G.

## Définition de l'holomorphe d'un groupe

Pour un groupe G, on désignera par Aut(G), ou encore Aut G, le groupe des automorphismes de G (sous-groupe de S$_G$).
Soit G un groupe. Le sous-groupe ⟨G$^l$, Aut G⟩ de S$_G$ engendré par G$^l$ et Aut G est égal au sous-groupe ⟨G$^r$, Aut G⟩ de S$_G$ engendré par G$^r$ et Aut G.
Si c$_g$ désigne l'automorphisme intérieur x ↦ gxg$^{–1}$ de G, nous avons
    (1) c$_g$ = g$^l$ ∘ g$^r$.
D'une part, on en tire
    g$^r$ = (g$^{-l}$)$^l$ ∘ c$_g$
d'où g$^r$ ∈ ⟨G$^l$, Aut G⟩,
d'où
    (2) ⟨G$^r$, Aut G⟩ ⊆ ⟨G$^l$, Aut G⟩.
D'autre part, la relation (1) donne aussi
    g$^l$ = c$_g$ ∘ (g$^{-l}$)$^r$
d'où g$^l$ ∈ ⟨G$^r$, Aut G⟩,
d'où
    ⟨G$^l$, Aut G⟩ ⊆ ⟨G$^r$, Aut G⟩.
De ceci et de (2) résulte ⟨G$^l$, Aut G⟩ = ⟨G$^r$, Aut G⟩, ce qui démontre l'énoncé.
Soit G un groupe. Le sous-groupe ⟨G$^l$, Aut G⟩ = ⟨G$^r$, Aut G⟩ de S$_G$ est appelé l'holomorphe de G et noté Hol(G), ou encore Hol G.

## Popriétés

Soit G un groupe. Hol G est le produit semi-direct (interne) de G$^l$ par Aut G. En particulier, Hol G = G$^l$ Aut G.
Pouvons d’abord que G$^l$ est sous-groupe normal de Hol G. Puisque G$^l$ est engendré par G$^l$ et Aut G, il suffit de prouver que Aut G normalise G$^l$. Soit φ un automorphisme de G ; il s'agit de prouver que, pour tout élément g de G,
    (thèse 1) φ g$^l$ φ$^{–1}$ ∈ G$^l$.
Or, pour tout élément x de G, φ g$^l$ φ$^{–1}$(x) = φ g$^l$(φ$^{–1}$(x) ) = φ (g$^l$(φ$^{–1}$(x) ) ) = φ (g φ$^{–1}$(x) ) = φ (g) φ (φ$^{–1}$(x) ) = φ (g) x, ce qui montre que
    (2) φ g$^l$ φ$^{–1}$ = (φ(g) )$^l$,
d'où la thèse (1). Nous avons donc prouvé que G$^l$ est sous-groupe normal de Hol G. (On peut même prouver que Hol G est le normalisateur de G$^l$ dans S$_G$. Voir les exercices.)
Puisque Hol G = <G$^l$, Aut G>, il reste, pour prouver que Hol G est produit semi-direct de G$^l$ par Aut G, à prouver que
    (thèse 3) G$^l$ ⋂ Aut G = id$_G$
(où id$_G$ désigne la permutation identique de G). Si une translation gauche de G est un automorphisme de G, elle fixe l'élément 1 de G. Or nous avons noté qu'une translation de G qui fixe un élément de G est forcément la permutation identique de G, ce qui prouve la thèse (3).
Soit n un nombre naturel. On a vu au chapitre Automorphismes d'un groupe cyclique que les automorphismes du groupe Z/nZ sont les permutations de Z/nZ de la forme x ↦ ax, où a parcourt les éléments inversibles de l'anneau Z/nZ. Donc, d’après le théorème précédent, Hol(Z/nZ) est formé par les permutations de Z/nZ de la forme x ↦ ax + b, où a parcourt les éléments inversibles de l'anneau Z/nZ et b les éléments de Z/nZ.
Soit G un groupe. Hol G est isomorphe au produit semi-direct externe de G par Aut G relatif à l'opération naturelle de Aut G sur G.
En prouvant que G$^l$ est normal dans Hol G, on a vu que pour tout élément g de G et pour tout automorphisme φ de G,
    (1) φ g$^l$ φ$^{–1}$ = (φ(g) )$^l$.
Désignons par c l'opération de Aut G sur G$^l$ par conjugaison dans Hol G et désignons par n l' opération naturelle de Aut G sur G. Tirons de (1) que c et n sont équivalentes comme opérations de groupe sur groupe par automorphismes. La relation (1) peut s'écrire
    $\varphi \cdot _{c}g^{l}=(\varphi \cdot _{n}g)^{l}$,
avec des notations évidentes. Cela montre que les opérations c et n sont équivalentes ( comme opérations de groupe sur groupe par automorphismes) via l'isomorphisme l de G sur G$^l$ et l'isomorphisme identique de Aut G sur lui-même. Donc, d’après le chapitre Produit semi-direct,
    (2) les produits semi-directs externes associés à ces deux opérations sont isomorphes.
De plus, le produit semi-direct externe associé à l'opération c de Aut G sur G$^l$ est isomorphe à Hol G. (En effet, on a vu dans le chapitre Produit semi-direct que si un groupe L est produit semi-direct interne d'un sous-groupe normal H par un sous-groupe K, le produit semi-direct externe de H par K relatif à l'opération de K sur H par conjugaison dans L est isomorphe à L.) De ceci et de (2), il résulte que Hol G est isomorphe au produit semi-direct externe de G par Aut G relatif à l'opération naturelle de Aut G sur G.
En explicitant les automorphismes dont nous avons utilisé l'existence, on voit que (g, φ) ↦ g$^l$ ∘ φ définit un isomorphisme de G ⋊ Aut G (produit semi-direct relatif à l'opération naturelle de Aut G sur G) sur Hol G.
Soit G un groupe. Le centralisateur de G$^l$, aussi bien dans S$_G$ que dans Hol G, est G$^r$.
Soient a, b des éléments de G. Pour tout élément x de G, nous avons
    a$^l$ ∘ b$^r$ (x) = a(xb$^{–1}$) = axb$^{–1}$
et
    b$^r$ ∘ a$^l$ (x) = ax b$^{–1}$ = axb$^{–1}$,
donc a$^l$ ∘ b$^r$ = b$^r$ ∘ a$^l$. Cela montre que G$^l$ et G$^r$ se centralisent mutuellement, ce qui revient à dire que G$^r$ est contenu dans le centralisateur de G$^l$ dans S$_G$.
Prouvons l'inclusion réciproque. Soit σ une permutation de G qui commute avec tout élément de G$^l$ ; il s'agit de prouver que σ appartient à G$^r$. Dire que σ commute avec tout élément de G$^l$ signifie que pour tout élément a de G, σ commute avec a$^l$. Cela revient à dire que, pour tous éléments a, x de G, σ(ax) = a σ(x). En faisant x = 1, on trouve que, pour tout élément a de G, σ(a) = a σ(1), donc σ est la translation droite x ↦ x σ(1) de G, donc σ appartient à G$^r$, comme annoncé.
Nous avons donc prouvé que G$^r$ est le centralisateur de G$^l$ dans S$_G$. Puisque G$^l$ et G$^r$ sont contenus dans Hol G, G$^r$ est aussi le centralisateur de G$^l$ dans Hol G.
Tout automorphisme du groupe G$^l$ est la birestriction à G$^l$ d'un automorphisme intérieur de Hol G.
Puisque l : g ↦ g $^l$ est un isomophisme de G sur G$^l$, tout automorphisme de G$^l$ est de la forme l ∘ φ ∘ l$^{–1}$ pour un certain automorphisme φ de G. Autrement dit :
    (1) tout automorphisme de G$^l$ est de la forme g$^l$ ↦(φ(g))$^l$ pour un certain automorphisme φ de G.
Or nous avons noté dans la démonstration d'un précédent théorème que pour tout élément g de G et tout automorphisme φ de G,
    φ ∘ g$^l$ ∘ φ$^{–1}$ = (φ(g))$^l$.
Notre résultat (1) signifie donc que tout automorphisme de G$^l$ est de la forme g$^l$ ↦ φ ∘ g$^l$ ∘ φ$^{–1}$ pour un certain automorphisme φ de G. L'énoncé en résulte.
Remarque. Puisque G$^l$ est isomorphe à G, le théorème qui précède montre que tout groupe G peut être plongé dans un groupe H tel que tout automorphisme de G soit la birestriction à G d'un automorphisme intérieur de H.
Soit G un groupe. Un sous-groupe de G$^l$ est caractéristique dans G$^l$ si et seulement s'il est normal dans Hol G.
Soit H un sous-groupe de G$^l$. Si H est caractéristique dans G$^l$, il est normal dans Hol G. En effet, nous avons vu dans le présent chapitre que G$^l$ est normal dans Hol G et dans le chapitre Sous-groupes caractéristiques que, de façon générale, si N est un sous-groupe normal d'un groupe L, si K est un sous-groupe caractéristique de N, alors K est un sous-groupe nomal de L.
Récipoquement, supposons H normal dans Hol G et prouvons qu’il est caractéristique dans G$^l$. Soit σ un automorphisme de G$^l$ ; il s'agit de prouver que
    (thèse 1) σ(H) = H.
D'après le théorème précédent, il existe un automorphisme intérieur J de Hol G dont la birestriction à G$^l$ est égale à σ, d'où
    (2) σ(H) = J(H).
Puisque J est un automorphisme intérieur de Hol G et que H est supposé normal dans Hol G, nous avons J(H) = H, donc (2) donne σ(H) = H, ce qui est la thèse (1) et achève la démonstration.
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