# Ondes sismiques et structure interne de la Terre/Ondes sismiques et paramètres élastiques
## Module de Young et coefficient de Poisson

D'un point de vue mécanique, la description complète d'un modèle sphérique élastiquement isotrope et localement homogène se fait au moyen de trois variables qui sont des fonctions de la profondeur, à savoir la densité ρ et deux paramètres élastiques distincts. Au lieu de la profondeur z, on considère souvent la distance au centre r = R – z. Au lieu de paramètres élastiques, on peut aussi utiliser les vitesses de propagation des ondes volumiques en fonction de la profondeur. Les ingénieurs et les physiciens utilisent, le plus souvent, le module d'élasticité de Young E et le coefficient de Poisson ν comme paramètres élastiques indépendants. Lorsqu'on applique à un fil cylindrique de diamètre ϕ, de section droite S = ¼ π ϕ^2 et de longueur ℓ une force F, le fil s'allongera pour atteindre une longueur ℓ′ tout en réduisant son diamètre à ϕ′. On trouve expérimentalement que lorsque la force ne dépasse pas un certain seuil, appelé la limite d'élasticité, l'allongement relatif (ℓ′ – ℓ)/ℓ est proportionnel à F et inversement proportionnel à S, la constante de proportionnalité étant 1/E. D'autre part, le coefficient de Poisson est fourni par le rapport de la variation relative du diamètre (ϕ′ – ϕ)/ϕ à l'allongement relatif (ℓ′ – ℓ)/ℓ, c'est-à-dire :
$\nu ={\frac {\ell (\varphi ^{\prime }-\varphi )}{\varphi (\ell ^{\prime }-\ell )}}$.

## Module de compression

En géophysique interne, on emploie plutôt deux autres paramètres élastiques, le coefficient d'incompressibilité κ et le coefficient de cisaillement μ.
Le coefficient d'incompressibilité, encore appelé module de compression (en anglais : bulk modulus), se définit comme suit : Considérons un volume de matière V et comprimons-le jusqu'au volume V+∆V à l'aide d'un incrément de pression ∆P. Le coefficient d'incompressibilité est alors fourni par le rapport négatif de la variation de pression à la variation relative du volume, soit :
$\kappa =-V{\frac {\Delta P}{\Delta V}}$
Il représente donc une mesure de la résistance opposée par le matériau à un changement de volume. Le signe négatif est mis conventionnellement parce que les matériaux se contractent sous l'effet d'une augmentation de pression et se dilatent sous l'effet d'une diminution de pression. La quantité κ est donc essentiellement positive. L'expérience précédente peut s'effectuer sous diverses conditions thermodynamiques, qu'il convient de spécifier. Ainsi, on peut plonger l'échantillon dans un thermostat et le comprimer de manière suffisamment lente pour que sa température ne varie pas. Il s'agit alors d'une transformation isotherme, ce qu'on indique en ajoutant un indice approprié au symbole κ. Ce dernier se notera alors κ$_T$. On peut aussi procéder à une compression suffisamment rapide pour que l'échantillon n'échange qu'une quantité négligeable de chaleur avec le milieu environnant, auquel cas il s'agit d'une expérience isentropique (adiabatique si la transformation est en plus réversible). Ce dernier cas est réalisé en bonne approximation lorsque des ondes élastiques produites lors d'un séisme compriment ou dilatent les roches sur leur passage. Le module de compression correspondant est noté κ$_S$. Remarquons que le volume initial V de l'échantillon considéré peut être le volume spécifique ρ$^{−1}$ et que pour cerner des propriétés suffisamment ponctuelles du matériau, au sens de la mécanique des milieux continus, il y a lieu de considérer des éléments différentiels suffisamment petits, de sorte que le module de compression en un point est en général défini, pour des conditions adiabatiques, par :
$\kappa _{S}=\rho \left({\frac {\partial P}{\partial \rho }}\right)_{S}$
Le module de compression, tout comme le module de Young, possède les dimensions d'une force par unité de surface et s'exprime donc en unités M L$^{−1}$ T$^{−2}$. Les valeurs pour les roches terrestres en sont de l'ordre de bokmål, ou encore bokmål.

## Module de rigidité

D'autre part, le coefficient de cisaillement, qu'on appelle aussi module de rigidité ou module de torsion (en anglais : shear modulus), se définit à partir d'expériences qui mettent en cause non pas un changement de volume, mais un changement de forme correspondant à un cisaillement, une torsion, une rotation différentielle, etc. Sur base de considérations thermodynamiques générales, on peut montrer qu'il n'y a pas lieu de distinguer entre le coefficient de cisaillement adiabatique μ$_S$ et le coefficient de cisaillement isotherme μ$_T$, autrement dit μ = μ$_S$ = μ$_T$. En outre, il est un fait d'expérience de tous les jours que les liquides et les gaz n'opposent pas de résistance appréciable lorsqu'on essaie de leur imprimer une forme quelconque, par exemple en versant de l'eau dans un vase. Nous caractériserons donc l'état fluide par le fait que μ = 0. Pour les corps simples tels que le fer, le cuivre, l'étain, le plomb, etc., il existe une loi empirique établie par Sutherland vers la fin du XIXe siècle, qui stipule que lorsqu'on approche du point de fusion d'un tel matériau, le module de rigidité tend vers zéro selon une loi quadratique, soit :
$\mu =\mu _{0}\left(1-\left({\frac {T}{T_{f}}}\right)^{2}\right)$,
où T$_f$ est la température absolue de fusion et μ$_0$ la rigidité du matériau au zéro absolu.

## Vitesses des ondes de volume

En réalité, les valeurs numériques des coefficients élastiques à l'intérieur de la Terre, de même d'ailleurs que celles de la densité, ne sont connues que par des considérations indirectes. Par contre, il est possible de déterminer par des méthodes relativement simples les vitesses de propagation des ondes élastiques émises aux foyers des tremblements de terre et se transmettant de proche en proche à travers l'intérieur de la Terre. En acceptant la validité des hypothèses simplificatrices énoncées plus haut, il est possible de montrer qu'il existe deux types d'ondes de volume : des ondes longitudinales, pour lesquelles les particules matérielles mises en mouvement par ces ondes vibrent autour de leur position d'équilibre dans la direction de propagation de l'onde elle-même, et des ondes transversales, pour lesquelles le mouvement des particules matérielles s'effectue perpendiculairement à la direction de propagation.
Les ondes longitudinales sont caractérisées par une vitesse de phase : $\alpha =\left({\frac {\kappa +{\frac {4\mu }{3}}}{\rho }}\right)^{\frac {1}{2}}$,
où il est sous-entendu que κ désigne le module de compression adiabatique noté κ$_S$ plus haut. D'autre part, la vitesse de phase des ondes transversales est donnée par :
$\beta =\left({\frac {\mu }{\rho }}\right)^{\frac {1}{2}}$.
Or, il est un fait d'expérience que la plupart des corps diminuent de volume lorsqu'on les soumet à des forces compressives, de sorte que κ > 0. De même, nous constatons qu'en général μ ≥ 0. Dès lors, on a α > β. Il s'ensuit que les ondes longitudinales se transmettent plus vite à travers la Terre que les ondes transversales. Les deux sortes d'ondes sont émises en même temps au foyer, mais les ondes longitudinales prennent de plus en plus d'avance sur les ondes transversales au fur et à mesure que la distance au foyer augmente. Après un tremblement de terre, les ondes longitudinales sont donc les premières à être enregistrées, et c'est pourquoi les sismologues les appellent ondes P, abréviation de Primae undae (Premières ondes). Les ondes transversales sont enregistrées en second lieu et sont désignées pour cette raison par ondes S, abréviation de Secundae undae (Secondes ondes). Dans un matériau gazeux ou liquide qui n'oppose aucune résistance à des forces de cisaillement, il n'existe pas d'ondes S (puisque le coefficient de rigidité y est nul), et les ondes P correspondent à des ondes sonores liées à des variations de pression dont la vitesse de propagation est :
$\alpha =\left({\frac {\kappa }{\rho }}\right)^{\frac {1}{2}}$
Le travail essentiel de la sismologie classique consistait, jusque vers le milieu des années 1960, à déterminer avec le plus de détails possibles les distributions de α et β en fonction de la profondeur, à partir de vitesses apparentes de propagation en surface. La solution classique était celle obtenue par Harold Jeffreys et Keith Bullen, datant pour l'essentiel des années 1930. Une solution plus récente est celle retenue par Adam Dziewonski et Don Anderson pour le modèle terrestre PREM (Preliminary Reference Earth Model), qui date de 1981.

## Paramètres sismologiques et modèles

À partir des courbes de vitesses des ondes P et S on obtient le paramètre sismologique Φ, rapport du module de compression à la densité, c'est-à-dire : $\Phi ={\frac {\kappa }{\rho }}$
Ce dernier joue un rôle essentiel dans la détermination de la distribution de la densité à l'intérieur de la Terre. En fait, dans la plus grande partie de la Terre, les valeurs récentes de Φ ne sont pas considérablement changées par rapport aux valeurs anciennes utilisées par Jeffreys et Bullen même si dans le détail, il y a eu des progrès significatifs.
Un autre paramètre couramment utilisé par les géophysiciens et le rapport de vitesse Vp/Vs, dont les variations indiquent la quantité de contenu fluide, par exemple gaz ou eau dans la porosité de la roche, ou de roche plus ductile, c'est-à-dire proche du point de fusion.
Aujourd'hui les géophysiciens utilisent principalement 2 modèles sismiques de la Terre: PREM et IASP91.
Brève caractérisation de PREM :
| Région | Sous-région | Épaisseur (km) | Caractérisation |
| Océan mondial | | 3,0 | 1 couche liquide |
| Croûte | | 21,4 | 2 couches solides |
| | croûte supérieure | 12,0 | type granitique |
| | croûte inférieure | 9,4 | type basaltique |
| Manteau | | 2 866,6 | 8 couches solides |
| | LID | 55,6 | solide aléotrope |
| | LVZ | 140,0 | solide anisotrope |
| | zone de transition | 450,0 | 3 couches isotropes |
| | manteau inférieur | 2 221,0 | 3 couches isotropes |
| Noyau | | 3 480,0 | 2 couches |
| | noyau externe | 2 258,5 | liquide |
| | graine | 1 221,5 | solide |
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