# Mécanique 2 (PCSI)/Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Vitesses cosmiques
## Ordre de grandeur de la « vitesse circulaire d'un satellite terrestre en orbite basse » dans le référentiel géocentrique, 1ère vitesse cosmique d'une sonde terrestre

Nous avons établi dans le paragraphe « mouvement circulaire d'un satellite de la Terre » du chap.$15$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » l’expression de la vitesse circulaire d’un satellite terrestre en fonction du rayon «$\;r_{{\text{orbite}},\,{\text{Satellite}}}\;$» de son orbite dans le référentiel géocentrique selon «$\;v_{{\text{orb. circul.}},\,{\text{Satellite}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}={\sqrt {\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{(♁)}}}{r_{{\text{orbite}},\,{\text{Satellite}}}}}}\;$» dans laquelle «$\;{\mathcal {G}}\simeq 6,67\;10^{-11}\;U.S.I.\;$ est la constante de gravitation universelle » et «$\;m_{\text{(♁)}}\simeq 6,0\;10^{24}\;kg\;$ la masse de la Terre (♁) » ;
un satellite terrestre en mouvement circulaire est dit « en orbite basse » si le rayon de sa trajectoire est tel que «$\;r_{{\text{orbite}},\,{\text{Satellite}}}\simeq R_{\text{(♁)}}\;$» $\;{\big$avec $\;R_{\text{(♁)}}\simeq 6380\;km\;$ le rayon de la Terre (♁) assimilée à une boule${\big ]}\;$ d'où la réécriture de la vitesse circulaire d'un satellite terrestre en orbite basse dans le référentiel géocentrique selon «$\;v_{{\text{orb. circul. basse}},\,{\text{Satellite}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}\simeq {\sqrt {\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{(♁)}}}{R_{\text{(♁)}}}}}\;$» ou,
sachant que l’intensité du champ de gravitation terrestre s'y exprime selon «$\;G_{{\text{(♁)}},\,0}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{(♁)}}}{R_{\text{(♁)}}^{\,2}}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{(♁)}}}{R_{\text{(♁)}}}}=G_{{\text{(♁)}},\,0}\;R_{\text{(♁)}}\;$», la réécriture de la vitesse circulaire d'un satellite terrestre en orbite basse dans le référentiel géocentrique en fonction du rayon de la Terre et de l'intensité du champ de gravitation terrestre au niveau du sol selon
$\;v_{{\text{orb. circul. basse}},\,{\text{Satellite}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}\simeq {\sqrt {G_{{\text{(♁)}},\,0}\;R_{\text{(♁)}}}}\;$
$\;{\big$
${\big )}$
$\;{\big$
${\big )}$
Numériquement «$\;G_{{\text{(♁)}},\,0}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{(♁)}}}{R_{\text{(♁)}}^{\,2}}}\simeq {\dfrac {6,67\;10^{-11}\times \;6,0\;10^{24}}{\left(6,38\;10^{6}\right)^{2}}}\simeq 9,83\;m\cdot s^{-2}\;$» d'où «$\;v_{{\text{orb. circul. basse}},\,{\text{Satellite}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}\simeq {\sqrt {9,83\times 6,38\;10^{6}}}\simeq 7900\;m\cdot s^{-1}\;$» soit
$\;v_{{\text{orb. circul. basse}},\,{\text{Satellite}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}\simeq 7,9\;km\cdot s^{-1}\simeq 8\;km\cdot s^{-1}\;$
$\;{\big$
${\big )}$
$\;{\big$
${\big )}$

## Définition de la « vitesse de libération d'une sonde terrestre » dans le référentiel géocentrique

Remarque : pour être plus précis au lieu de « vitesse de libération d'une sonde terrestre » on devrait dire « vitesse de libération de l'attraction de la Terre (♁) d'une sonde terrestre ».

### États lié ou de diffusion d’une sonde terrestre suivant sa vitesse au point de lancement distant de « r$_0$ » du centre de la Terre dans le référentiel géocentrique

Ayant établi dans le paragraphe « tracé du diagramme d'énergies potentielle effective et mécanique d'un point dans un champ de force newtonien attractif » du chap.$17$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » qu’« un état lié d’un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ dans un champ de force newtonien attractif » «$\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$» $\;{\Bigg$dans lequel $\;r=OM\;$ est la coordonnée radiale du repérage sphérique de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ du point matériel $\;M\;$ et $\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ le vecteur unitaire radial de la base sphérique de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ liée à $\;M\;$ avec $\;k\in \mathbb {R} ^{-,\,*}{\Bigg ]}\;$ correspond à une énergie mécanique de celui-ci dans le champ de force newtonien «$\;E_{m,\,M}={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{M}^{\,2}+{\dfrac {k}{r}}<0\;$» $\;{\big$la référence de l’énergie potentielle étant à l’infini${\big )}\;$ et qu’« un état de diffusion du même point matériel $\;M\left(m\right)\;$ dans le même champ de force newtonien attractif » nécessite une énergie mécanique du point dans le champ de force newtonien «$\;E_{m,\,M}={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{M}^{\,2}+{\dfrac {k}{r}}\geqslant 0\;$» $\;{\big$avec référence de l’énergie potentielle à l'infini${\big )}$,
nous pouvons appliquer ces résultats au cas d'une sonde terrestre dans le champ de force newtonien gravitationnel de la Terre (♁) où «$\;k=-{\mathcal {G}}\;m_{\text{(♁)}}\;m\;$» dans laquelle «$\;{\mathcal {G}}\simeq 6,67\;10^{-11}\;U.S.I.\;$ est la constante de gravitation universelle, $\;m_{\text{(♁)}}\simeq 6,0\;10^{24}\;kg\;$ la masse de la Terre (♁) et $\;m\;$ la masse de la sonde terrestre », ce qui donne
* un état lié pour la sonde terrestre si son énergie mécanique, dans le référentiel géocentrique, «$\;E_{m,\,{\text{sonde}}}={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{\text{sonde}}^{\,2}-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{(♁)}}\;m}{r}}\;$ est $\;<0\;$» $\;{\big$avec référence de l’énergie potentielle à l'infini${\big )}$,
* un état de diffusion pour la sonde terrestre si son énergie mécanique, dans le référentiel géocentrique, «$\;E_{m,\,{\text{sonde}}}={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{\text{sonde}}^{\,2}-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{(♁)}}\;m}{r}}\;$ est $\;\geqslant 0\;$» $\;{\big$avec référence de l’énergie potentielle à l'infini${\big )}$.
Considérant la sonde terrestre en une position initiale située à la distance $\;r_{0}\;$ du centre $\;O\;$ de la Terre (♁) avec un vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}\;$ dans le référentiel géocentrique, nous pouvons réécrire la condition pour que la sonde soit dans un état lié ou de diffusion en termes de vitesse initiale, la sonde étant
* dans un état lié si «$\;E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{0}^{\,2}-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{(♁)}}\;m}{r_{0}}}\;$ est $\;<0\;$» c'est-à-dire si « la norme du vecteur vitesse initiale $\;v(r_{0})\;$ est $\;<\;$ à $\;{\sqrt {\dfrac {2\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{(♁)}}}{r_{0}}}}\;$» et
* dans un état de diffusion si «$\;E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{0}^{\,2}-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{(♁)}}\;m}{r_{0}}}\;$ est $\;\geqslant 0\;$» c'est-à-dire si « la norme du vecteur vitesse initiale $\;v(r_{0})\;$ est $\;\geqslant \;$ à $\;{\sqrt {\dfrac {2\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{(♁)}}}{r_{0}}}}\;$».
en conclusion, pour être arrachée à l’attraction terrestre, la sonde doit avoir, en son point de lancement distant de «$\;r_{0}\;$» du centre $\;O\;$ de la Terre (♁), « une vitesse $\;v(r_{0})\geqslant {\sqrt {\dfrac {2\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{(♁)}}}{r_{0}}}}\;$», cette limite inférieure correspondant à une trajectoire parabolique.

### Définition de la « vitesse de libération, dans le référentiel géocentrique, d’une sonde terrestre » en un point de lancement distant de « r$_0$ » du centre de la Terre

La vitesse de libération d’une sonde terrestre dans le référentiel géocentrique en un point de lancement distant de «$\;r_{0}\;$» du centre $\;O\;$ de la Terre (♁) est la vitesse minimale à lui communiquer au point de lancement dans le référentiel d'étude
* pour qu’elle puisse s’arracher de l’attraction terrestre ou
* pour qu'elle soit dans un état de diffusion ou encore
* pour que sa trajectoire soit parabolique $\;{\big$raison pour laquelle la vitesse de libération est encore appelée « vitesse parabolique »${\big )}$.
Conséquence : D'après le paragraphe précédent « états lié ou de diffusion d'une sonde terrestre suivant sa vitesse au point de lancement distant de r$_0$ du centre de la Terre dans le référentiel géocentrique » on en déduit que « la vitesse de libération d'une sonde terrestre dans le référentiel géocentrique en un point de lancement distant de $\;r_{0}\;$ du centre $\;O\;$ de la Terre (♁), $\;v_{{\text{lib.}},\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}\;$» s'écrit selon
$\;v_{{\text{lib.}},\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}={\sqrt {\dfrac {2\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{(♁)}}}{r_{0}}}}\;$
$\;{\big\searrow \;$
$\;r_{0}\nearrow {\big )}\;$
$\;{\mathcal {G}}\simeq 6,67\;10^{-11}\;U.S.I.\;$
$\;m_{\text{(♁)}}\simeq 6,0\;10^{24}\;kg\;$

### Généralisation : vitesse de libération d’une sonde d’une planète (ou d’un satellite naturel) en un point de lancement distant de « r$_0$ » du centre de la planète (ou du centre du satellite naturel) dans le référentiel « planétocentrique » (ou « satellocentrique »)

La vitesse de libération d’une sonde planétaire dans le référentiel « planétocentrique » en un point de lancement distant de «$\;r_{0}\;$» du centre $\;O\;$ de la planète est la vitesse minimale à lui communiquer au point de lancement dans le référentiel d'étude
* pour qu’elle puisse s’arracher de l’attraction planétaire ou
* pour qu'elle soit dans un état de diffusion ou encore
* pour que sa trajectoire soit parabolique $\;{\big$raison pour laquelle la vitesse de libération est encore appelée « vitesse parabolique »${\big )}$.
Conséquence : Par analogie avec le paragraphe précédent « définition de la vitesse de libération, dans le référentiel géocentrique, d'une sonde terrestre en un point de lancement distant de r$_0$ du centre de la Terre » on en déduit que « la vitesse de libération d'une sonde planétaire dans le référentiel « planétocentrique » en un point de lancement distant de $\;r_{0}\;$ du centre de la planète, $\;v_{{\text{lib.}},\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{planétoc}}}\;$» s'écrit selon
$\;v_{{\text{lib.}},\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{planétoc}}}={\sqrt {\dfrac {2\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{Planète}}}{r_{0}}}}\;$
$\;{\big\searrow \;$
$\;r_{0}\nearrow {\big )}\;$
$\;{\mathcal {G}}\simeq 6,67\;10^{-11}\;U.S.I.\;$
$\;m_{\text{Planète}}$
La vitesse de libération d’une sonde satellitaire dans le référentiel « satellocentrique » en un point de lancement distant de «$\;r_{0}\;$» du centre du satellite naturel d'une planète est la vitesse minimale à lui communiquer au point de lancement dans le référentiel d'étude
* pour qu’elle puisse s’arracher de l’attraction satellitaire ou
* pour qu'elle soit dans un état de diffusion ou encore
* pour que sa trajectoire soit parabolique $\;{\big$raison pour laquelle la vitesse de libération est encore appelée « vitesse parabolique »${\big )}$.
Conséquence : Par analogie avec le paragraphe précédent « définition de la vitesse de libération, dans le référentiel géocentrique, d'une sonde terrestre en un point de lancement distant de r$_0$ du centre de la Terre » on en déduit que « la vitesse de libération d'une sonde satellitaire dans le référentiel « satellocentrique » en un point de lancement distant de $\;r_{0}\;$ du centre du satellite naturel de la planète considérée, $\;v_{{\text{lib.}},\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{satellooc}}}\;$» s'écrit selon
$\;v_{{\text{lib.}},\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{satelloc}}}={\sqrt {\dfrac {2\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{Satellite nat.}}}{r_{0}}}}\;$
$\;{\big\searrow \;$
$\;r_{0}\nearrow {\big )}\;$
$\;{\mathcal {G}}\simeq 6,67\;10^{-11}\;U.S.I.\;$
$\;m_{\text{Satellite nat.}}$

## Ordre de grandeur de la « vitesse de libération d'une sonde terrestre en orbite basse » dans le référentiel géocentrique, 2ème vitesse cosmique d'une sonde terrestre et lien avec sa 1ère vitesse cosmique
### Ordre de grandeur de la « vitesse de libération d'une sonde terrestre en orbite basse » dans le référentiel géocentrique, 2ème vitesse cosmique d'une sonde terrestre

La vitesse de libération d’une sonde terrestre dans le référentiel géocentrique en un point de lancement distant de «$\;r_{0}\;$» du centre $\;O\;$ de la Terre (♁) s'exprimant selon «$\;v_{{\text{lib.}},\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}={\sqrt {\dfrac {2\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{(♁)}}}{r_{0}}}}\;$» avec «$\;{\mathcal {G}}\simeq 6,67\;10^{-11}\;U.S.I.\;$ constante de gravitation universelle et $\;m_{\text{(♁)}}\simeq 6,0\;10^{24}\;kg\;$ masse de la Terre (♁) » et
une sonde terrestre étant dite « en orbite basse » si sa distance au centre $\;O\;$ de la Terre (♁) est telle que «$\;r_{0}\simeq R_{\text{(♁)}}\;$» $\;{\big$avec $\;R_{\text{(♁)}}\simeq 6380\;km\;$ le rayon de la Terre (♁) assimilée à une boule${\big ]}$, on en déduit la réécriture de la vitesse de libération d’une sonde terrestre en orbite basse dans le référentiel géocentrique selon «$\;v_{{\text{lib. orbite basse}},\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}\simeq {\sqrt {\dfrac {2\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{(♁)}}}{R_{\text{(♁)}}}}}\;$» ou
sachant que l’intensité du champ de gravitation terrestre s'y exprime selon «$\;G_{{\text{(♁)}},\,0}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{(♁)}}}{R_{\text{(♁)}}^{\,2}}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{(♁)}}}{R_{\text{(♁)}}}}=G_{{\text{(♁)}},\,0}\;R_{\text{(♁)}}\;$», la réécriture de la vitesse de libération d’une sonde terrestre en orbite basse dans le référentiel géocentrique en fonction du rayon de la Terre et de l'intensité du champ de gravitation terrestre au niveau du sol selon
$\;v_{{\text{lib. orbite basse}},\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}\simeq {\sqrt {2\;G_{{\text{(♁)}},\,0}\;R_{\text{(♁)}}}}\;$
$\;{\big$
${\big )}$
$\;{\big$
${\big )}$
Numériquement «$\;G_{{\text{(♁)}},\,0}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{(♁)}}}{R_{\text{(♁)}}^{\,2}}}\simeq {\dfrac {6,67\;10^{-11}\times \;6,0\;10^{24}}{\left(6,38\;10^{6}\right)^{2}}}\simeq 9,83\;m\cdot s^{-2}\;$» d'où «$\;v_{{\text{lib. orbite basse}},\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}\simeq {\sqrt {2\times 9,83\times 6,38\;10^{6}}}\simeq 11200\;m\cdot s^{-1}\;$» soit
$\;v_{{\text{lib. orbite basse}},\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}\simeq 11,2\;km\cdot s^{-1}\simeq 11\;km\cdot s^{-1}\;$
$\;{\big$
${\big )}$
$\;{\big$
${\big )}$

### Lien entre les deux 1$^{ères}$ vitesses cosmiques d'une sonde terrestre

Ayant respectivement établi dans les paragraphes « ordre de grandeur de la vitesse circulaire d'un satellite terrestre en orbite basse dans le référentiel géocentrique, 1ère vitesse cosmique d'une sonde terrestre » et « ordre de grandeur de la vitesse de libération d'une sonde terrestre en orbite basse dans le référentiel géocentrique, 2ème vitesse cosmique d'une sonde terrestre » l'expression de la 1ère et de la 2nde vitesses cosmiques d'une sonde terrestre à savoir «$\;v_{{\text{orb. circul. basse}},\,{\text{Satellite}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}\simeq {\sqrt {G_{{\text{(♁)}},\,0}\;R_{\text{(♁)}}}}\;$» et «$\;v_{{\text{lib. orbite basse}},\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}\simeq {\sqrt {2\;G_{{\text{(♁)}},\,0}\;R_{\text{(♁)}}}}\;$» on en déduit aisément
$\;v_{{\text{lib. orbite basse}},\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}=v_{{\text{orb. circul. basse}},\,{\text{Satellite}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}\;{\sqrt {2}}\;$
$\;\times \;{\sqrt {2}}\;$

### En complément, ordre de grandeur de la vitesse de libération d’une sonde planétaire en orbite basse (ou d’une sonde « satellitaire » en orbite basse) dans le référentiel « planétocentrique » (ou « satellocentrique »)
#### Ordre de grandeur de la vitesse de libération d’une sonde planétaire en orbite basse dans le référentiel « planétocentrique »

La vitesse de libération d’une sonde planétaire dans le référentiel « planétocentrique » en un point de lancement distant de «$\;r_{0}\;$» du centre de la Planète du Système solaire s'exprimant selon «$\;v_{{\text{lib.}},\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{planétoc}}}$ $={\sqrt {\dfrac {2\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{Planète}}}{r_{0}}}}\;$» avec «$\;{\mathcal {G}}\simeq 6,67\;10^{-11}\;U.S.I.\;$ constante de gravitation universelle et $\;m_{\text{Planète}}\;$ masse de la Planète » et
une sonde planétaire étant dite « en orbite basse » si sa distance au centre de la Planète est telle que «$\;r_{0}\simeq R_{\text{Planète}}\;$» $\;{\big$avec $\;R_{\text{Planète}}\;$ le rayon de la Planète assimilée à une boule${\big ]}$, on en déduit la réécriture de la vitesse de libération d’une sonde planétaire en orbite basse dans le référentiel « planétocentrique » selon «$\;v_{{\text{lib. orbite basse}},\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{planétoc}}}\simeq {\sqrt {\dfrac {2\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{Planète}}}{R_{\text{Planète}}}}}\;$» ou
sachant que l’intensité du champ de gravitation de la Planète s'y exprime selon «$\;G_{{\text{Planète}},\,0}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{Planète}}}{R_{\text{Planète}}^{\,2}}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{Planète}}}{R_{\text{Planète}}}}=G_{{\text{Planète}},\,0}\;R_{\text{Planète}}\;$», la réécriture de la vitesse de libération d’une sonde planétaire en orbite basse dans le référentiel « planétocentrique » en fonction du rayon de la Planète et de l'intensité du champ de gravitation de la Planète au niveau du sol selon
$\;v_{{\text{lib. orbite basse}},\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{planétoc}}}\simeq {\sqrt {2\;G_{{\text{Planète}},\,0}\;R_{\text{Planète}}}}\;$
Numériquement pour les $\;7\;$ autres planètes du Système solaire par ordre de distance $\;\nearrow \;$ au Soleil (☉) :
* dans le cas des $\;4\;$ planètes telluriques dont la « Terre (♁) » est la 3ème en partant du « Soleil (☉) » on trouve respectivement Photo de Mercure prise par Mariner 10 $\;\blacktriangleright \;$« Mercure (☿) », le rayon de la Planète assimilée à une boule étant «$\;R_{\text{(☿)}}\simeq 2440\;km\simeq 0,383\;R_{\text{(♁)}}\;$» et sa masse «$\;m_{\text{(☿)}}\simeq 3,30\;10^{23}\;kg\simeq 0,055\;m_{\text{(♁)}}\;$», l'intensité du champ de gravitation de Mercure (☿) au niveau du sol s'estime à «$\;G_{{\text{(☿)}},\,0}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{(☿)}}}{R_{\text{(☿)}}^{\,2}}}\simeq {\dfrac {6,67\;10^{-11}\times \;3,30\;10^{23}}{\left(2,44\;10^{6}\right)^{2}}}\simeq 3,70\;m\cdot s^{-2}\simeq$ $0,376\;G_{{\text{(♁)}},\,0}\;$» d'où la vitesse de libération d'une sonde mercurienne en orbite basse dans le référentiel « mercurocentrique » «$\;v_{{\text{lib. orbite basse}},\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{mercuroc}}}$ $\simeq {\sqrt {2\times 3,70\times 2,44\;10^{6}}}\simeq 4250\;m\cdot s^{-1}\;$» soit «$\;v_{{\text{lib. orbite basse}},\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{mercuroc}}}\simeq 4,25\;km\cdot s^{-1}\;$» dans le référentiel « mercurocentrique », voir ci-contre une photo de Mercure prise par Mariner 10 entre $\;1974\;$ et $\;1975$ ; « Mercure (☿) », remarque : historiquement il y a eu peu de missions vers Mercure (☿) car cette planète est trop proche du Soleil (☉) $\;{\big$c’est la planète la moins explorée du Système solaire${\big ]}$ ; une 1ère approche de Mercure (☿) fut accomplie par la sonde américaine « Mariner 10 » entre $\;1974\;$ et $\;1975$ $\;{\big$elle a frôlé $\;3\;$ fois la planète et s’est rapprochée au mieux à $\;327\;km{\big )}$, puis la sonde américaine « Messenger » lancée en $\;2004$, a survolé $\;2\;$ fois Mercure (☿) en janvier et octobre $\;2008$ $\;{\big$1ère observation de la face cachée${\big )}\;$ et a été placée en orbite en mars $\;2011$ $\;{\big$avec un péricentre situé à $\;200\;km\;$ et un apocentre à $\;15200\;km\;$ de la surface planétaire $\Rightarrow$ $\;T_{{\text{révol. sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{mercuroc}}}\simeq 12\;h{\big )}\;$ pour réaliser, entre autres, une cartographie complète de sa surface $\;{\big$fin de mission initialement prévue en mars $\;2013\;$ retardée jusqu'en mars $\;2015\;$ sur une orbite plus rapprochée : même péricentre et nouvel apocentre à $\;10300\;km\;$ de la surface planétaire $\Rightarrow$ $\;T_{{\text{révol. sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{mercuroc}}}$ $\simeq 8\;h{\big )}$ ; « Mercure (☿) », remarque : une sonde euro-japonaise « BepiColombo » a été lancée en octobre $\;2018\;$ par Ariane 5 : après un vol de transit de $\;7\;ans\;$ et le recours à $\;9\;$ reprises de l’assistance gravitationnelle des planètes telluriques $\;{\big$une 1ère fois la Terre (♁), les deux fois suivantes Vénus (♀) et les six dernières fois Mercure (☿)${\big ]}$, les orbiteurs européen MPO et japonais MMO doivent être placés en orbite en décembre $\;2025$, orbite peu excentrée pour le 1er $\;{\big$avec un péricentre situé à $\;480\;km\;$ et un apocentre à $\;1500\;km\;$ de la surface planétaire $\Rightarrow$ $\;T_{{\text{révol. sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{mercuroc}}}\simeq 2,3\;h\;$ pour étudier l’intérieur et la surface de la planète${\big )}\;$ et plus excentrée pour le 2nd $\;{\big$avec un péricentre situé à $\;590\;km\;$ et un apocentre à $\;11640\;km\;$ de la surface planétaire $\Rightarrow$ $\;T_{{\text{révol. sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{mercuroc}}}\simeq 9,2\;h\;$ pour étudier entre autres la magnétosphère de la planète${\big )}$ ; un atterrisseur initialement prévu a vu son projet abandonné par restrictions budgétaires $\;{\big$fin de mission prévue en $\;2026\;$ ou $\;2027{\big )}$ ; pour information la température de surface varie entre $\;-183\;{\text{°C}}$ $\;{\big \$sur la face visible de Mercure (☿)${\big \}$ et $\;427\;{\text{°C}}$ $\;{\big \$sur la face cachée de Mercure (☿) $\;{\big$on a longtemps pensé que Mercure (☿) présentait toujours la même face au Soleil (☉) car sa période de rotation propre $\;58,6\;j\;$ est approximativement la moitié que sa période synodique $\;115,8\;j\;$, mais ceci n'est qu'une apparence vue de la Terre (♁) contrairement à ce qui se passe dans la situation de la Lune pour laquelle il existe réellement une face cachée de la Lune${\big ]}{\big \}$ ; Vénus en vraies couleurs vue par Mariner 10 $\;\blacktriangleright \;$« Vénus (♀) », le rayon de la Planète assimilée à une boule étant «$\;R_{\text{(♀)}}\simeq 6050\;km\simeq 0,948\;R_{\text{(♁)}}\;$» et sa masse «$\;m_{\text{(♀)}}\simeq 4,87\;10^{24}\;kg\simeq$ $0,81\;m_{\text{(♁)}}\;$», l'intensité du champ de gravitation de Vénus (♀) au niveau du sol s'estime à «$\;G_{{\text{(♀)}},\,0}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{(♀)}}}{R_{\text{(♀)}}^{\,2}}}\simeq {\dfrac {6,67\;10^{-11}\times \;4,87\;10^{24}}{\left(6,05\;10^{6}\right)^{2}}}\simeq$ $8,87\;m\cdot s^{-2}\simeq 0,902\;G_{{\text{(♁)}},\,0}\;$» d'où la vitesse de libération d'une sonde vénusienne en orbite basse dans le référentiel « vénusocentrique » «$\;v_{{\text{lib. orbite basse}},\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{vénusoc}}}\simeq$ ${\sqrt {2\times 8,87\times 6,05\;10^{6}}}\simeq 10360\;m\cdot s^{-1}\;$» soit «$\;v_{{\text{lib. orbite basse}},\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{vénusoc}}}\simeq 10,36\;km\cdot s^{-1}\simeq 10,4\;km\cdot s^{-1}\;$» dans le référentiel « vénusocentrique », voir ci-contre une photo de Vénus prise par Mariner 10 en février $\;1974$ ; « Vénus (♀) », remarque : historiquement, après quelques tentatives américaines et soviétiques infructueuses, un 1er survol de Vénus (♀) fut réussi par la sonde américaine « Mariner 2 » en août $\;1962$ $\;{\big$elle est passée à $\;34850\;km\;$ de la surface et a permis d’observer une atmosphère dense, une température élevée et une absence de champ magnétique${\big )}$, puis, après de nouveaux échecs, la sonde soviétique « Venera 4 » a pénétré l’atmosphère de Vénus en juin $\;1967\;$ avec envoi d’informations jusqu’à $\;25\;km\;$ du sol puis, après encore quelques échecs, la sonde soviétique « Venera 7 » a, en août $\;1970$, largué une sonde de pénétration de l’atmosphère avec survie en surface $\;{\big$malgré une pression $\;93\;$ fois celle de la surface terrestre${\big )}$ ; les sondes soviétiques Venera 13 et Venera 14 lancées le $\;30\;$ octobre et le $\;4\;$ novembre $\;1981\;$ à $\;5\;j\;$ d'intervalle donnèrent les 1$^{ères}$ photos couleurs de la surface planétaire en mars $\;1982\;$ puis la sonde américaine Magellan lancée en $\;1989\;$ fut mise en orbite et réalisa, entre $\;1990\;$ et $\;1994$, une cartographie complète de la surface avec une résolution horizontale inférieure à $\;100\;m$ ; la sonde européenne Vénus Express a été lancée en novembre $\;2005\;$ et placée, en avril $\;2006$, sur une orbite très allongée $\;{\big$avec un péricentre situé à $\;250\;km\;$ et un apocentre à $\;66000\;km\;$ de la surface planétaire $\Rightarrow$ $\;T_{{\text{révol. sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{vénusoc}}}\simeq 24\;h{\big )}$, ce qui a permis de collecter, jusqu'en décembre $\;2014$, des informations cruciales sur la structure, la chimie et la dynamique de l'atmosphère vénusienne ; pour information l'atmosphère est composée à $\;96,5\;\%\;$ de $\;CO_{2}\;$ et $\;3,5\;\%\;$ de $\;N_{2}\;$ avec une pression au sol de $\;93\;bar$, la température de surface de Vénus (♀) varie entre $\;446\;{\text{°C}}\;$ et $\;470\;{\text{°C}}$ ; « Vénus (♀) », remarque : actuellement il ne reste qu'une seule sonde en orbite autour de Vénus (♀), la sonde japonaise Akatsuki lancée en mai $\;2010\;$ laquelle, après avoir raté sa mise en orbite en décembre $\;2010\;$ par défaut de propulsion, poursuivit sur une trajectoire héliocentrique jusqu'en décembre $\;2015\;$ où une mise en orbite vénusienne très allongée fut enfin réussie $\;{\big$avec un péricentre situé à $\;300\;km\;$ et un apocentre à $\;80000\;km\;$ de la surface planétaire $\Rightarrow$ $\;T_{{\text{révol. sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{vénusoc}}}\simeq 30\;h{\big )}$, la mission de cette sonde étant de comprendre comment Vénus (♀) est devenue très chaude et sèche avec un fort effet de serre ; de nos jours aucun retour de sonde sur Terre n’a été effectué ni même n'est envisagé ; La planète Mars vue par la caméra OSIRIS de la sonde spatiale Rosetta lancée en mars $\;2004$ $\;\blacktriangleright \;$« Mars (♂) », le rayon de la Planète assimilée à une boule étant «$\;R_{\text{(♂)}}\simeq 3390\;km\simeq 0,531\;R_{\text{(♁)}}\;$» et sa masse «$\;m_{\text{(♂)}}\simeq 6,42\;10^{23}\;kg\simeq$ }\;kg</math>$0,107\;m_{\text{(♁)}}\;$», l'intensité du champ de gravitation de Mars (♂) au niveau du sol s'estime à «$\;G_{{\text{(♂)}},\,0}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{(♂)}}}{R_{\text{(♂)}}^{\,2}}}\simeq {\dfrac {6,67\;10^{-11}\times \;6,42\;10^{23}}{\left(3,39\;10^{6}\right)^{2}}}\simeq$ $3,73\;m\cdot s^{-2}\simeq 0,379\;G_{{\text{(♁)}},\,0}\;$» d'où la vitesse de libération d'une sonde martienne en orbite basse dans le référentiel « aréocentrique » «$\;v_{{\text{lib. orbite basse}},\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{aréoc}}}$ $\simeq {\sqrt {2\times 3,73\times 3,39\;10^{6}}}\simeq 5029\;m\cdot s^{-1}\;$» soit «$\;v_{{\text{lib. orbite basse}},\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{aréoc}}}\simeq 5,029\;km\cdot s^{-1}\simeq 5,0\;km\cdot s^{-1}\;$» dans le référentiel « aréocentrique », voir ci-contre une photo de Mars prise fin février $\;2007\;$ par la sonde européenne Rosetta ; « Mars (♂) », remarque : historiquement, un 1er survol de Mars (♂) fut accompli par la sonde américaine « Mariner 4 » en $\;1964$, mais les soviétiques furent les 1$^{ers}$ à poser une sonde sur le sol martien avec l’atterrisseur « Mars 3 » en $\;1971$ $\;{\big$toutefois la sonde ne survécut que $\;20\;s{\big )}$, ce sont néanmoins les américains qui récoltèrent le plus d’informations sur le sol martien grâce aux deux atterrisseurs du programme Viking accompagnés de leur orbiteurs $\;{\big$sondes Viking 1 et Viking 2 lancées en août et septembre $\;1975{\big )}$ $\;{\big$la sonde Viking 1 décrivit, à partir de juin $\;1976\;$ et pendant un mois, une orbite elliptique allongée $\;{\big$avec un péricentre situé à $\;1513\;km\;$ et un apocentre à $\;33000\;km\;$ de la surface planétaire $\Rightarrow$ $\;T_{{\text{révol. sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{aréoc}}}\simeq 24,7\;h{\big )}\;$ pour trouver un site d'atterrissage pour son atterrisseur lequel se posa début juillet $\;1976\;$ pour analyser le sol martien et faire des relevés météorologiques jusqu'en novembre $\;1982$, l'orbiteur poursuivant avec prises de vue systématiques de la surface martienne, la sonde Viking 2 quant à elle décrivit, à partir de août $\;1976\;$ une orbite elliptique de même caractéristique que celle de Viking 1 puis un peu plus allongée $\;{\big$avec un péricentre situé à $\;1500\;km\;$ et un apocentre à $\;35500\;km\;$ de la surface planétaire $\Rightarrow$ $\;T_{{\text{révol. sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{aréoc}}}\simeq 27,3\;h{\big )}\;$ pour valider, avec les informations fournies par Viking 1, le site d'atterrissage pour l'atterrisseur de Viking 2 lequel se posa début septembre $\;1976\;$ avec la même mission que l'atterrisseur de Viking 1 jusqu'en avril $\;1980$, l'orbiteur de Viking 2 poursuivant avec la même mission que celui de Viking 1 mais avec rapprochement progressif du péricentre de son orbite jusqu'à $\;300\;km\;$ de la surface martienne et survol du satellite naturel de Mars (♂) « Déimos » jusqu'à sa mise hors service fin juillet $\;1978{\big ]}$ ; il y eut d'autres missions américaines importantes comme Mars Global Surveyer pour étudier de $\;1997\;$ à $\;2006\;$ l'atmosphère et la surface de Mars (♂) sur une orbite héliosynchrone, Mars Pathfinder sonde lancée en décembre $\;1996$, qui s'est posée sur la surface martienne en juillet $\;1997\;$ et a permis, pour la 1ère fois, l'utilisation d'un astromobile jusqu'à fin septembre $\;1997$, Mars Explorer Rover mission double avec lancements successifs des sondes en juin et juillet $\;2003$ $\;{\big$la 1ère sonde atterrit en début janvier $\;2004\;$ avec utilisation de l'astromobile « Spirit » jusqu'à fin mars $\;2010\;$ date à laquelle il s'enlisa, la 2ème sonde atterrit en fin janvier $\;2004\;$ avec utilisation de l'astromobile « Opportunity » jusqu'à février $\;2019\;$ date à laquelle le contact fut perdu, la mission de ces deux astromobiles étant d'étudier l'aréologie de la planète et en particulier le rôle joué par l'eau dans l'histoire de cette dernière${\big ]}$, Mars Science Laboratory sonde américaine lancée fin novembre $\;2011$, s'étant posée début août $\;2012\;$ avec déploiement de l'astromobile « Curiosity » cinq fois plus lourd que ces prédécesseurs dont le but est la recherche d'un environnement favorable à l'apparition de la vie et l'analyse de la composition minéralogique, la mission s'acheva au bout $\;1\;an\;$ et $\;10\;mois\;$ comme prévu ; « Mars (♂) », remarque : il existe des missions en cours à l'heure actuelle comme Mars Express mission européenne lancée début juin $\;2003\;$ dans le but de recueillir des données sur la surface, l'atmosphère, l'ionosphère et le sous-sol de la planète à l'aide d'un orbiteur et d'un petit atterrisseur Beagle 2 $\;{\big$lequel réussit son atterrissage fin décembre $\;2003\;$ mais échoua dans son déploiement${\big )}$, cette mission ayant permis et promettant encore jusqu'en fin $\;2020\;$ d'obtenir de nombreux résultats scientifiques ; « Mars (♂) », remarque : il existe aussi des projets comme le programme Aurora européen composé d'une série de missions spatiales dont le but ultime est l'élaboration d'une mission habitée vers Mars (♂) dans les années $\;2030\;$ ou, à plus brèves échéances, Mars 2020 sonde américaine dont le lancement est prévu en juillet $\;2020\;$ avec le déploiement au sol d'un astromobile semblable à « Curiosity » et d'un mini hélicoptère « Mars Helicopter Scout » dont le principal objectif est la collecte d'échantillons dans le but de les ramener sur Terre $\;{\big$voir le projet de mission de retour d'échantillons martiens sur Terre${\big ]}$ ; « Mars (♂) », remarque : de nos jours aucun retour d’échantillons vers la Terre (♁) n’a encore été réalisé ;
* dans le cas des $\;4\;$ planètes géantes toutes situées au-delà de « Mars (♂) » on trouve respectivement Jupiter vue par Voyager 2 en $\;1979$ $\;\blacktriangleright \;$« Jupiter (♃) », le rayon de la Planète assimilée à une boule étant «$\;R_{\text{(♃)}}\simeq 69910\;km\simeq 10,96\;R_{\text{(♁)}}\;$» et sa masse «$\;m_{\text{(♃)}}\simeq 1,90\;10^{27}\;kg\simeq$ $318\;m_{\text{(♁)}}\;$», l'intensité du champ de gravitation de Jupiter (♃) au niveau de la couche où la pression est la même que celle de l’atmosphère terrestre au sol de la Terre (♁) s'estime à «$\;G_{{\text{(♃)}},\,0}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{(♃)}}}{R_{\text{(♃)}}^{\,2}}}\simeq {\dfrac {6,67\;10^{-11}\times \;1,90\;10^{27}}{\left(69,91\;10^{6}\right)^{2}}}\simeq 25,93\;m\cdot s^{-2}$ $\simeq 2,64\;G_{{\text{(♁)}},\,0}\;$» d'où la vitesse de libération d'une sonde jovienne en orbite basse dans le référentiel « jovocentrique » «$\;v_{{\text{lib. orbite basse}},\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{jovoc}}}\simeq {\sqrt {2\times 25,93\times 69,91\;10^{6}}}\simeq$ $60210\;m\cdot s^{-1}\;$» soit «$\;v_{{\text{lib. orbite basse}},\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{jovoc}}}\simeq 60,2\;km\cdot s^{-1}\;$» dans le référentiel « jovocentrique », voir ci-contre une photo de Jupiter prise en juillet $\;1979\;$ par la sonde américaine Voyager 2 ; « Jupiter (♃) », remarque : historiquement, un 1er survol de Jupiter (♃) fut réussi par la sonde américaine « Pioneer 10 » en décembre $\;1973$ $\;{\big$passée à $\;130000\;km\;$ de Jupiter (♃)${\big ]}$, puis par « Pioneer 11 » en décembre $\;1974$ $\;{\big$passée à $\;34000\;km\;$ de Jupiter (♃)${\big ]}$, les deux sondes fournirent les 1$^{ères}$ images rapprochées de l’atmosphère jovienne $\;{\big$en y survivant${\big )}\;$ et de plusieurs de ses satellites ; six ans plus tard les sondes américaines « Voyager 1 » en mars $\;1979\;$ puis « Voyager 2 » en juillet $\;1979\;$ améliorèrent les connaissances des satellites, découvrirent les anneaux de Jupiter (♃), confirmèrent la nature anticyclonique de la grande tache rouge et poursuivirent en direction de Saturne (♄), Uranus (♅), Neptune (♆) et $\;48\;$ de leurs satellites ; « Jupiter (♃) », remarque : on note ensuite le lancement de la sonde américaine « Galileo » en octobre $\;1989\;$ laquelle, après un voyage de $\;6\;ans\;$ au cours duquel elle a eu recours à l’assistance gravitationnelle de la Terre (♁) à $\;2\;$ reprises puis à celle de Vénus (♀), est placée en orbite autour de Jupiter (♃) en décembre $\;1995$ $\;{\big$une 1ère révolution correspondant à un apocentre situé à $\;20\;10^{6}\;km$ $\simeq 286\;R_{\text{(♃)}}\;$ et un péricentre à $\;4\;R_{\text{(♃)}}\simeq 280000\;km\;$ de la couche de pression $\;1\;bar\;$ $\Rightarrow$ une période de révolution autour de Jupiter (♃) de $\;7\;mois\;$ suivi de révolutions de période réduite à $\;2\;mois\;$ par positionnement du péricentre à $\;11\;R_{\text{(♃)}}\simeq 770000\;km\;$ de la couche de pression $\;1\;bar\;$ dans le but d'éviter la région centrale${\big ]}$, mission qui devait s'achever en décembre $\;1997\;$ mais qui est prolongée deux fois de suite jusqu'en septembre $\;2003$, date à laquelle la sonde est précipitée vers Jupiter (♃) pour désintégration $\;{\big$dans le but d'éviter une contamination éventuelle par des bactéries terrestres du satellite Europe susceptible d’abriter la vie${\big ]}$ ; Galileo a étudié $\;4\;$ des satellites de Jupiter (♃) : « Jupiter (♃) », remarque : $\;\succ \;$Ganymède, le plus gros satellite du Système solaire de rayon «$\;R_{\text{Ganymède}}\simeq 2630\;km\;$», possédant une surface travaillée par des forces tectoniques avec une grande abondance de glace d’eau en surface et un champ magnétique $\;{\big$ce qui est l’exception pour un satellite du Système solaire${\big )}$, « Jupiter (♃) », remarque : $\;\succ \;$Callisto, le plus éloigné de Jupiter (♃), possédant un noyau de roches important entouré d’une couche de glace d’eau, fortement cratérisée, « Jupiter (♃) », remarque : $\;\succ \;$Europe susceptible d’abriter un océan sous la croûte de glace et « Jupiter (♃) », remarque : $\;\succ \;$Io, le plus proche de Jupiter (♃), possédant une activité volcanique importante avec un tore de plasma centré sur son orbite ; « Jupiter (♃) », remarque : il y a actuellement une sonde américaine Juno lancée en $\;2011\;$ et placée en orbite autour de Jupiter (♃) début juillet $\;2016\;$ dont la mission est de collecter des données sur les couches internes de Jupiter (♃), la composition de son atmosphère et les caractéristiques de sa magnétosphère $\;{\big$le péricentre de la sonde est situé à $\;4200\;km\simeq 0,06\;R_{\text{(♃)}}\;$ et l'apocentre à $\;8,1\;10^{6}\;km$ $\simeq 116\;R_{\text{(♃)}}\;$ de la couche de pression $\;1\;bar\;$ $\Rightarrow$ une période de révolution de la sonde autour de Jupiter (♃) de $\;53\;j{\big ]}$ ; « Jupiter (♃) », remarque : de nos jours aucun retour de sonde vers la Terre (♁) n’est envisagé ; Saturne vue par la sonde Cassini en $\;2008$ $\;\blacktriangleright \;$« Saturne (♄) », le rayon de la Planète assimilée à une boule étant «$\;R_{\text{(♄)}}\simeq 58230\;km\simeq 9,13\;R_{\text{(♁)}}\;$» et sa masse «$\;m_{\text{(♄)}}$ $\simeq 5,68\;10^{26}\;kg\simeq 94,7\;m_{\text{(♁)}}\;$», l'intensité du champ de gravitation de Saturne (♄) au niveau de la couche où la pression est la même que celle de l’atmosphère terrestre au sol de la Terre (♁) s'estime à «$\;G_{{\text{(♄)}},\,0}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{(♄)}}}{R_{\text{(♄)}}^{\,2}}}\simeq$ ${\dfrac {6,67\;10^{-11}\times \;5,68\;10^{26}}{\left(58,23\;10^{6}\right)^{2}}}\simeq 11,17\;m\cdot s^{-2}$ $\simeq 1,14\;G_{{\text{(♁)}},\,0}\;$» d'où la vitesse de libération d'une sonde saturnienne en orbite basse dans le référentiel « saturnocentrique » «$\;v_{{\text{lib. orbite basse}},\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{saturnoc}}}\simeq {\sqrt {2\times 11,17\times 58,23\;10^{6}}}\simeq$ $36070\;m\cdot s^{-1}\;$» soit «$\;v_{{\text{lib. orbite basse}},\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{saturnoc}}}\simeq 36,1\;km\cdot s^{-1}\;$» dans le référentiel « saturnocentrique », voir ci-dessus à droite une photo de Saturne prise en $\;2008\;$ par l'orbiteur américain Cassini ; « Saturne (♄) », remarque : historiquement, un 1er survol de Saturne (♄) fut réussi par la sonde américaine « Pioneer 11 » le 1er septembre $\;1979$ $\;{\big$passée à $\;200000\;km\;$ de Saturne (♄) après être passée à $\;34000\;km\;$ de Jupiter (♃) en décembre $\;1974\;$ elle découvre, autour de Saturne (♄), un anneau supplémentaire « l’anneau $\;F\;$»${\big ]}$ ; un à deux an(s) plus tard, après avoir contourné Jupiter (♃) en mars $\;1979$, la sonde américaine « Voyager 1 » passa à $\;124000\;km\;$ de Saturne (♄) en novembre $\;1980\;$ puis à seulement $\;\simeq 7000\;km\;$ de Titan, le plus gros satellite de Saturne (♄) et le 2ème plus gros satellite du Système solaire $\;{\big$après Ganymède satellite de Jupiter (♃)${\big ]}\;$ de rayon «$\;R_{\text{Titan}}\simeq 2575\;km\;$», survol ayant mis en évidence une forte teneur en azote de l’atmosphère de Titan $\;{\big$Titan étant le seul satellite à posséder une atmosphère significative à la pression de $\;1,5\;bar$, celle-ci contenant $\;98,4\;\%\;$ de diazote et $\;1,6\;\%\;$ de méthane${\big ]}$ puis, après avoir survolé Jupiter (♃) en juillet $\;1979$, la sonde « Voyager 2 » passa à $\;101000\;km\;$ de Saturne (♄) en août $\;1981\;$ en révélant, entre autres, la finesse des anneaux de Saturne (♄) d'épaisseur $\;\simeq 200\;m$ ; « Saturne (♄) », remarque : enfin la sonde euro-américaine « Cassini-Huygens »$^,$ lancée en octobre $\;1997\;$ fut placée en orbite de Saturne (♄) en juillet $\;2004$ : « Saturne (♄) », remarque : $\;\succ \;$l’orbiteur américain Cassini ne s'est pas contenté de se maintenir sur une orbite autour de Saturne (♄) car sa mission était de survoler la planète et son environnement immédiat en respectant des contraintes de positionnement ; elle envoya des informations sur la planète, sa magnétosphère, ses interactions avec les satellites, les anneaux et le vent solaire $\;{\big$fin de mission prolongée jusqu’en $\;2017\;$ où elle plongea dans l'atmosphère de Saturne (♄)${\big ]}$ $\;{\big \$parmi les autres découvertes de l’orbiteur américain Cassini, on note la mise en évidence en mars $\;2006\;$ des réservoirs d’eau liquide s’échappant en geyser du satellite de Saturne (♄) « Encelade », celle en juillet $\;2006$ $\;{\big$confirmée en janvier $\;2007\;$ puis en mars $\;2007{\big )}\;$ de mers d’hydrocarbure sur le satellite de Saturne (♄) « Titan » puis, en avril $\;2013\;$ l'enregistrement d'images d’un vaste ouragan frappant le pôle nord de Saturne (♄) dont l’œil de $\;2000\;km\;$ de diamètre est $\;20\;$ fois plus large que celui des ouragans terrestres avec des vents supérieurs à $\;530\;km\cdot h^{-1}$ $\;{\big$il se peut que cet ouragan soit là depuis plusieurs années${\big )}{\big \}$ ; « Saturne (♄) », remarque : $\;\succ \;$l’atterrisseur européen Huygens se posa avec succès sur Titan le $\;14\;$ janvier $\;2005$, ce qui permit de transmettre des informations en direction de l'orbiteur Cassini $\;{\big$servant de relais pour la Terre${\big )}\;$ pendant $\;1,5\;h\;$ avant que ce dernier ne passe sous l'horizon de Titan $\;{\big$de plus une moitié des $\;1215\;$ photos prises lors de la descente et au sol fut perdue par suite d'une erreur de programmation${\big )}$ ; « Saturne (♄) », remarque : de nos jours aucun retour de sonde vers la Terre (♁) n’est envisagé ; Photo d'Uranus prise par Voyager 2 en janvier $\;1986$ $\;\blacktriangleright \;$« Uranus (♅) », le rayon de la Planète assimilée à une boule étant «$\;R_{\text{(♅)}}\simeq 25360\;km\simeq 3,97\;R_{\text{(♁)}}\;$» et sa masse «$\;m_{\text{(♅)}}\simeq 8,68\;10^{25}\;kg\simeq$ $14,5\;m_{\text{(♁)}}\;$», l'intensité du champ de gravitation d'Uranus (♅) au niveau de la couche où la pression est la même que celle de l’atmosphère terrestre au sol de la Terre (♁) s'estime à «$\;G_{{\text{(♅)}},\,0}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{(♅)}}}{R_{\text{(♅)}}^{\,2}}}\simeq {\dfrac {6,67\;10^{-11}\times \;8,68\;10^{25}}{\left(25,36\;10^{6}\right)^{2}}}\simeq 9,00\;m\cdot s^{-2}$ $\simeq 0,916\;G_{{\text{(♁)}},\,0}\;$» d'où la vitesse de libération d'une sonde uranienne en orbite basse dans le référentiel « uranocentrique » «$\;v_{{\text{lib. orbite basse}},\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{uranoc}}}\simeq {\sqrt {2\times 9,00\times 25,36\;10^{6}}}\simeq$ $21365\;m\cdot s^{-1}\;$» soit «$\;v_{{\text{lib. orbite basse}},\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{uranoc}}}\simeq 21,4\;km\cdot s^{-1}\;$» dans le référentiel « uranocentrique », voir ci-contre une photo d'Uranus prise en janvier $\;1986\;$ par la sonde américaine Voyager 2 ; « Uranus (♅) », remarque : historiquement, il y a eu une seule exploration d’Uranus (♅) par la sonde américaine « Voyager 2 » en janvier $\;1986\;$ après un survol de Jupiter (♃) en juillet $\;1979\;$ et de Saturne (♄) en août $\;1981$, mais aucune autre tentative depuis : « Voyager 2 » est passée à $\;81500\;km\;$ d’Uranus (♅) $\;{\big \$la sonde a étudié l’atmosphère de la géante glacée, atmosphère unique en raison de la très forte inclinaison de l’axe de rotation de la planète sur le plan de l’orbite «$\;97,77\;{\text{°}}\;$» $\;{\big$inclinaison pouvant résulter d’une collision avec un corps de la taille d’une planète au début de la formation du Système solaire${\big )}$, elle découvre $\;10\;$ nouveaux satellites naturels sur un total, de nos jours, égal à «$\;27\;$», de nouveaux anneaux $\Rightarrow$ de nos jours un total de «$\;13\;$» $\;{\big$il semblerait que ce système d’anneaux soit relativement jeune, contrairement à ceux de Jupiter (♃) et de Saturne (♄), non formé simultanément à Uranus (♅)${\big ]}$, un champ magnétique comparable en intensité à celui de la Terre (♁) $\;\ldots {\big \}$ ; « Uranus (♅) », remarque : un projet d'exploration de la planète Uranus (♅), de son atmosphère, de ses anneaux et de ses satellites naturels est envisagé dans une mission sonde et orbiteur pour Uranus $\;{\big$l'étude actuelle de cette mission prévoyant un lancement dans les $\;10\;$ prochaines années avec l'utilisation d'une propulsion électrique, ce qui donnerait une durée de trajet pour atteindre Uranus (♅) de $\;13\;ans\;$ en utilisant une fois l'assistance gravitationnelle de la Terre (♁) mais ce n'est qu'un projet dont la priorité reste à démontrer${\big ]}$ ; Neptune vue par Voyager 2 en août $\;1989$ $\;\blacktriangleright \;$« Neptune (♆) », le rayon de la Planète assimilée à une boule étant «$\;R_{\text{(♆)}}\simeq 24620\;km\simeq 3,86\;R_{\text{(♁)}}\;$» et sa masse «$\;m_{\text{(♆)}}\simeq 10,24\;10^{25}\;kg$ $\simeq 17,1\;m_{\text{(♁)}}\;$», l'intensité du champ de gravitation de Neptune (♆) au niveau de la couche où la pression est la même que celle de l’atmosphère terrestre au sol de la Terre (♁) s'estime à «$\;G_{{\text{(♆)}},\,0}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{(♆)}}}{R_{\text{(♆)}}^{\,2}}}\simeq {\dfrac {6,67\;10^{-11}\times \;10,24\;10^{25}}{\left(24,62\;10^{6}\right)^{2}}}\simeq$ $11,27\;m\cdot s^{-2}\simeq 1,146\;G_{{\text{(♁)}},\,0}\;$» d'où la vitesse de libération d'une sonde neptunienne en orbite basse dans le référentiel « neptunocentrique » «$\;v_{{\text{lib. orbite basse}},\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{neptunoc}}}\simeq$ ${\sqrt {2\times 11,27\times 24,62\;10^{6}}}\simeq 23557\;m\cdot s^{-1}\;$» soit «$\;v_{{\text{lib. orbite basse}},\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{neptunoc}}}\simeq 23,6\;km\cdot s^{-1}\;$» dans le référentiel « neptunocentrique », voir ci-contre une photo de Neptune prise en août $\;1989\;$ par la sonde américaine Voyager 2 ; « Neptune (♆) », remarque : Neptune (♆) est la seule planète à avoir été découverte par le calcul mathématique et non par l’observation $\;{\big$l’astronome Alexis Bouvard avait noté des perturbations inexpliquées sur l’orbite d’Uranus (♅) et conjecturé au début du XIXème siècle qu’une 8ème planète plus lointaine pouvait en être la cause ; les astronomes John Couch Adams en $\;1843\;$ et Urbain Le Verrier en $\;1846\;$ calculèrent chacun de leur côté et par des méthodes différentes la position prévisible de cette hypothétique planète qui fut observée en septembre $\;1846\;$ par l’astronome Johann Gottfried Galle à $\;1\;{\text{°}}\;$ près de l’indication de Urbain Le Verrier et $\;12\;{\text{°}}\;$ près de celle d’Adams${\big ]}$ ; « Neptune (♆) », remarque : historiquement, il y a eu une seule exploration de Neptune (♆) par la sonde américaine « Voyager 2 » en août $\;1989\;$ après un survol de Jupiter (♃) en juillet $\;1979$, de Saturne (♄) en août $\;1981\;$ et d’Uranus (♅) en janvier $\;1986$, mais aucune autre tentative depuis : « Voyager 2 » est passée à $\;29240\;km\;$ de Neptune (♆), $\;{\big \$la sonde a étudié l’atmosphère de la géante glacée avec découverte de la « Grande tache sombre » manifestation d’une dynamique atmosphérique $\;{\big$manifestation anticyclonique, laquelle avait disparue $\;5\;ans\;$ plus tard lors d’une observation par le télescope « Hubble » avec néanmoins survivance des nuages qui l’accompagnaient, ces derniers pouvant être à l’origine de cyclones dans l'atmosphère de Neptune (♆)${\big ]}$, simultanément l'observation par le télescope « Hubble » a mis en évidence l'apparition d’une nouvelle « Grande tache sombre du Nord » restée visible pendant plusieurs années${\big \}$, elle découvre $\;5\;$ nouveaux satellites naturels sur un total, de nos jours, égal à au moins «$\;14\;$», de nouveaux anneaux $\Rightarrow$ de nos jours un total de «$\;5\;$» $\;{\big$tout comme les anneaux d'Uranus (♅) il semblerait que ce système d’anneaux soit relativement jeune, contrairement à ceux de Jupiter (♃) et de Saturne (♄), non formé simultanément à Neptune (♆)${\big ]}$, un champ magnétique fortement incliné par rapport à l’axe de rotation de Neptune (♆) $\;{\big$mais néanmoins un peu moins que ne l’est le champ magnétique d’Uranus (♅) relativement à son axe de rotation${\big ]}$ ; « Neptune (♆) », remarque : une proposition de projet américain de mise en œuvre d'une sonde avec orbiteur vers Neptune (♆) semblable à celle de w:Cassini-Huygens$^,$ pour Saturne (♄) est encore en débat $\;\ldots$

#### Ordre de grandeur de la vitesse de libération d’une sonde « satellitaire » en orbite basse dans le référentiel « satellocentrique »

La vitesse de libération d’une sonde satellitaire dans le référentiel « satellocentrique » en un point de lancement distant de «$\;r_{0}\;$» du centre d'un Satellite naturel d'une Planète du Système solaire s'exprimant selon «$\;v_{{\text{lib.}},\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{satelloc}}}$ $={\sqrt {\dfrac {2\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{Satellite}}}{r_{0}}}}\;$» avec «$\;{\mathcal {G}}\simeq 6,67\;10^{-11}\;U.S.I.\;$ constante de gravitation universelle et $\;m_{\text{Satellite}}\;$ masse du Satellite naturel » et
une sonde satellitaire étant dite « en orbite basse » si sa distance au centre du Satellite naturel est telle que «$\;r_{0}\simeq R_{\text{Satellite}}\;$» $\;{\big$avec $\;R_{\text{Satellite}}\;$ le rayon du Satellite naturel assimilée à une boule${\big ]}$, on en déduit la réécriture de la vitesse de libération d’une sonde satellitaire en orbite basse dans le référentiel « satelloocentrique » selon «$\;v_{{\text{lib. orbite basse}},\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{satelloc}}}\simeq {\sqrt {\dfrac {2\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{Satellite}}}{R_{\text{Satellite}}}}}\;$» ou
sachant que l’intensité du champ de gravitation du Satellite naturel s'y exprime selon «$\;G_{{\text{Satellite}},\,0}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{Satellite}}}{R_{\text{Satellite}}^{\,2}}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{Satellite}}}{R_{\text{Satellite}}}}=G_{{\text{Satellite}},\,0}\;R_{\text{Satellite}}\;$», la réécriture de la vitesse de libération d’une sonde satellitaire en orbite basse dans le référentiel « satellocentrique » en fonction du rayon du Satellite naturel et de l'intensité du champ de gravitation du Satellite naturel au niveau du sol selon
$\;v_{{\text{lib. orbite basse}},\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{satelloc}}}\simeq {\sqrt {2\;G_{{\text{Satellite}},\,0}\;R_{\text{Satellite}}}}\;$
Nous intéressant tout d’abord au satellite naturel de la Terre (♁) c'est-à-dire la Lune (☽) nous évaluons numériquement la vitesse de libération d’une sonde lunaire en orbite basse dans le référentiel « sélénocentrique » en évaluant l'intensité du champ de gravitation de la Lune (☽) au niveau du sol «$\;G_{{\text{(☽)}},\,0}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{(☽)}}}{R_{\text{(☽)}}^{\,2}}}\;$» sachant que la masse de la Lune vaut «$\;m_{\text{(☽)}}\simeq 7,35\;10^{22}\;kg\simeq {\dfrac {m_{\text{(♁)}}}{81}}\;$» et son rayon en assimilant le satellite naturel à une boule «$\;R_{\text{(☽)}}\simeq 1740\;km\simeq 0,272\;R_{\text{(♁)}}\;$» $\;{\big$le volume de la Lune (☽) représente donc approximativement $\;2\;\%\;$ de celui de la Terre (♁)${\big ]}$, par «$\;G_{{\text{(☽)}},\,0}\simeq$ ${\dfrac {6,67\;10^{-11}\times \;7,35\;10^{22}}{\left(1,74\;10^{6}\right)^{2}}}\simeq 1,62\;m\cdot s^{-2}\simeq {\dfrac {G_{{\text{(♁)}},\,0}}{6}}\;$» d'où «$\;v_{{\text{lib. orbite basse}},\,{\text{Sonde lun.}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{sélénoc}}}\simeq {\sqrt {2\times 1,62\times 1,74\;10^{6}}}\simeq 2370\;m\cdot s^{-1}\;$» soit
$\;v_{{\text{lib. orbite basse}},\,{\text{Sonde lun.}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{sélénoc}}}\simeq 2,4\;km\cdot s^{-1}\;$
$\;\simeq 21\;\%\;$
$\;v_{{\text{lib. orbite basse}},\,{\text{Sonde terr.}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;22\;$
$\;2010\;$
$\;{\big$
${\big ]}$
$\;9,25\;''\;$
$\;{\big$
${\big )}$
$\;20\;$
${\bigg200\;ISO,\;{\dfrac {1}{640}}\;s{\bigg )}\;$
Pour les éventuels satellites naturels de dimension notable des $\;7\;$ autres planètes du Système solaire par ordre de dimension $\;\searrow$ $\;{\big$la Lune (☽), satellite naturel de la Terre (♁), étant le 5ème satellite naturel planétaire du Système solaire par ordre de dimension $\;\searrow$, les $\;4\;$ plus gros que la Lune étant $\;3\;$ satellites de Jupiter (♃) et $\;1\;$ satellite de Saturne (♄)${\big ]}$ :
* « Ganymède » satellite de Jupiter (♃), le plus gros satellite du Système solaire, de masse «$\;m_{\text{Ganymède}}\simeq 1,48\;10^{23}\;kg\simeq {\dfrac {m_{\text{(♁)}}}{40}}\simeq 7,8\;10^{-5}\;m_{\text{(♃)}}\;$», de rayon en assimilant le satellite naturel à une boule «$\;R_{\text{Ganymède}}\simeq 2630\;km\simeq 0,41\;R_{\text{(♁)}}\simeq 0,0376\;R_{\text{(♃)}}\;$» $\Rightarrow$ l'intensité du champ de gravitation de Ganymède au niveau du sol «$\;G_{{\text{Ganymède}},\,0}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{Ganymède}}}{R_{\text{Ganymède}}^{\,2}}}\simeq {\dfrac {6,67\;10^{-11}\times \;1,48\;10^{23}}{\left(2,63\;10^{6}\right)^{2}}}\simeq$ $1,43\;m\cdot s^{-2}\simeq {\dfrac {G_{{\text{(♁)}},\,0}}{7}}\;$» d'où la vitesse de libération d’une sonde de Ganymède en orbite basse dans le référentiel « ganymédocentrique » «$\;v_{{\text{lib. orbite basse}},\,{\text{Sonde de Ganymède}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{ganymédoc}}}\simeq$ ${\sqrt {2\times 1,43\times 2,63\;10^{6}}}\simeq 2740\;m\cdot s^{-1}\;$» soit «$\;v_{{\text{lib. orbite basse}},\,{\text{Sonde de Ganymède}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{ganymédoc}}}\simeq 2,75\;km\cdot s^{-1}\;$» soit $\;\simeq 25\;\%\;$ de $\;v_{{\text{lib. orbite basse}},\,{\text{Sonde terr.}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}$, voir ci-contre une photo de Ganymède prise le $\;29\;$ mars $\;1998\;$, par la sonde américaine Galileo, quand celle-ci est passée à $\;918000\;km\;$ de la surface du satellite $\;{\big$la mise en valeur révèle des calottes polaires givrées en plus des deux terrains prédominants de Ganymède $\;{\big$des terrains rayés lumineux et des zones plus anciennes et mal sillonnées${\big )}$, de nombreux cratères de diamètre allant jusqu’à plusieurs dizaines de $\;km$, les teintes violettes observées aux pôles étant vraisemblablement le résultat de petites particules de gel, le champ magnétique de Ganymède pouvant être en partie responsable de l’apparition du relief polaire $\;{\big$le Nord étant en haut de l’image${\big )}\;$${\big ]}$.
* « Titan » satellite de Saturne (♄), le 2ème plus gros satellite du Système solaire, de masse «$\;m_{\text{Titan}}\simeq 1,35\;10^{23}\;kg\simeq {\dfrac {m_{\text{(♁)}}}{45}}\simeq 2,4\;10^{-4}\;m_{\text{(♄)}}\;$», de rayon en assimilant le satellite naturel à une boule «$\;R_{\text{Titan}}$ $\simeq 2575\;km\simeq 0,40\;R_{\text{(♁)}}\simeq 0,0442\;R_{\text{(♄)}}\;$» $\Rightarrow$ l'intensité du champ de gravitation de Titan au niveau du sol «$\;G_{{\text{Titan}},\,0}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{Titan}}}{R_{\text{Titan}}^{\,2}}}\simeq {\dfrac {6,67\;10^{-11}\times \;1,35\;10^{23}}{\left(2,575\;10^{6}\right)^{2}}}\simeq 1,36\;m\cdot s^{-2}\simeq$ ${\dfrac {G_{{\text{(♁)}},\,0}}{7,25}}\;$» d'où la vitesse de libération d’une sonde de Titan en orbite basse dans le référentiel « titanocentrique » «$\;v_{{\text{lib. orbite basse}},\,{\text{Sonde de Titan}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{titanoc}}}\simeq {\sqrt {2\times 1,36\times 2,575\;10^{6}}}\simeq$ $2647\;m\cdot s^{-1}\;$» soit «$\;v_{{\text{lib. orbite basse}},\,{\text{Sonde de Titan}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{titanoc}}}\simeq 2,65\;km\cdot s^{-1}\;$» soit $\;\simeq 24\;\%\;$ de $\;v_{{\text{lib. orbite basse}},\,{\text{Sonde terr.}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}$, voir ci-contre une image de Titan prise le $\;26\;$ octobre $\;2004\;$ par la sonde euro-américaine Cassini-Huygens$^,$ à une distance du sol de Titan comprise entre $\;650000\;km\;$ et $\;300000\;km$, la sonde étant alors en orbite autour de Saturne (♄) depuis le $\;1^{\text{er}}\;$ janvier $\;2004$, $\;{\big$cette mosaïque de neuf images montre des variations d'éclat de la surface de Titan et , cette mosaïque de neuf images montre des nuages lumineux près du pôle sud en bas de la photo la surface semble jeune et il n'y a pas de cratère visible ${\big ]}$.
* « Callisto » satellite de Jupiter (♃), le 3ème plus gros satellite du Système solaire, de masse «$\;m_{\text{Callisto}}\simeq 1,08\;10^{23}\;kg\simeq {\dfrac {m_{\text{(♁)}}}{55}}\simeq 5,7\;10^{-5}\;m_{\text{(♃)}}\;$», de rayon en assimilant le satellite naturel à une boule «$\;R_{\text{Callisto}}$ $\simeq 2410\;km\simeq 0,38\;R_{\text{(♁)}}\simeq 0,0345\;R_{\text{(♃)}}\;$» $\Rightarrow$ l'intensité du champ de gravitation de Callisto au niveau du sol «$\;G_{{\text{Callisto}},\,0}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{Callisto}}}{R_{\text{Callisto}}^{\,2}}}\simeq {\dfrac {6,67\;10^{-11}\times \;1,08\;10^{23}}{\left(2,410\;10^{6}\right)^{2}}}\simeq 1,24\;m\cdot s^{-2}\simeq$ ${\dfrac {G_{{\text{(♁)}},\,0}}{7,9}}\;$» d'où la vitesse de libération d’une sonde de Callisto en orbite basse dans le référentiel « callistocentrique » «$\;v_{{\text{lib. orbite basse}},\,{\text{Sonde de Callisto}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{callistoc}}}\simeq {\sqrt {2\times 1,24\times 2,410\;10^{6}}}\simeq$ $2445\;m\cdot s^{-1}\;$» soit «$\;v_{{\text{lib. orbite basse}},\,{\text{Sonde de Callisto}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{callistoc}}}\simeq 2,45\;km\cdot s^{-1}\;$» soit $\;\simeq 22\;\%\;$ de $\;v_{{\text{lib. orbite basse}},\,{\text{Sonde terr.}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}$, voir ci-contre une photo de Callisto vue de la sonde américaine Voyager 2 prise le $\;7\;$ juillet $\;1979$, la sonde étant alors à plus de $\;2\;$ millions de $\;km\;$ de Jupiter en phase d'approche de cette dernière, $\;{\big$par la suite la sonde est passée à une distance minimale de $\;214300\;\;km\;$ de la surface de Callisto${\big ]}$, on peut voir sur cette photo des taches brillantes parsemant la surface sombre du satellite, correspondant à des cratères d’impact de météorites sur la surface $\;{\big$l'excavation de la surface sombre de Callisto dégageant un matériau situé en sous-sol plus luninescent${\big )}$.
* « Io » satellite de Jupiter (♃), le 4ème plus gros satellite du Système solaire, de masse «$\;m_{\text{Io}}\simeq 8,93\;10^{22}\;kg\simeq {\dfrac {m_{\text{(♁)}}}{67}}\simeq 4,7\;10^{-5}\;m_{\text{(♃)}}\;$», de rayon en assimilant le satellite naturel à une boule «$\;R_{\text{Io}}\simeq$ $1821,5\;km\simeq 0,285\;R_{\text{(♁)}}\simeq 0,0260\;R_{\text{(♃)}}\;$» $\Rightarrow$ l'intensité du champ de gravitation de Io au niveau du sol «$\;G_{{\text{Io}},\,0}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{Io}}}{R_{\text{Io}}^{\,2}}}\simeq {\dfrac {6,67\;10^{-11}\times \;8,93\;10^{22}}{\left(1,8215\;10^{6}\right)^{2}}}\simeq 1,79\;m\cdot s^{-2}\simeq$ ${\dfrac {G_{{\text{(♁)}},\,0}}{5,5}}\;$» d'où la vitesse de libération d’une sonde de Io en orbite basse dans le référentiel « iocentrique » «$\;v_{{\text{lib. orbite basse}},\,{\text{Sonde de Io}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{ioc}}}\simeq {\sqrt {2\times 1,79\times 1,8215\;10^{6}}}\simeq 2553\;m\cdot s^{-1}\;$» soit «$\;v_{{\text{lib. orbite basse}},\,{\text{Sonde de Io}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{ioc}}}\simeq 2,55\;km\cdot s^{-1}\;$» soit $\;\simeq 23\;\%\;$ de $\;v_{{\text{lib. orbite basse}},\,{\text{Sonde terr.}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}$, voir ci-contre une image de Io vue de la sonde américaine Galileo prise le $\;3\;$ juillet $\;1999$, pendant son passage au plus près du satellite depuis sa mise en orbite autour de Jupiter $\;{\big$datant du $\;7\;$ décembre $\;1995{\big )}$, la sonde étant alors à une distance de $\;130000\;km\;$ de la surface de Io $\;{\big$auparavant la sonde était passée à une distance de $\;898\;\;km\;$ de la surface de Io mais, à cette distance, la sonde, baignant comme Io, dans l'une des plus intenses ceintures de rayonnement de Jupiter, il aurait été difficile d'obtenir des images résistantes au rayonnement${\big ]}$, la plus grande partie de la surface de Io a des couleurs pastel, ponctuées de noir, brun, vert, orange ou rouge près des centres volcaniques actifs $\;{\big$la résolution de l'image obtenue étant de $\;1,3\;km\;$ par élément d'image${\big )}$.
* « Europe » satellite de Jupiter (♃), le 6ème plus gros satellite du Système solaire $\;{\big$la Lune (☽), satellite naturel de la Terre (♁), étant le 5ème${\big ]}$, de masse «$\;m_{\text{Europe}}\simeq$ $4,8\;10^{22}\;kg\simeq {\dfrac {m_{\text{(♁)}}}{125}}\simeq$ $2,5\;10^{-5}\;m_{\text{(♃)}}\;$», de rayon en assimilant le satellite naturel à une boule «$\;R_{\text{Europe}}\simeq 1561\;km\simeq 0,245\;R_{\text{(♁)}}$ $\simeq 0,0223\;R_{\text{(♃)}}\;$» $\Rightarrow$ l'intensité du champ de gravitation d'Europe au niveau du sol «$\;G_{{\text{Europe}},\,0}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{Europe}}}{R_{\text{Europe}}^{\,2}}}\simeq {\dfrac {6,67\;10^{-11}\times \;4,8\;10^{22}}{\left(1,561\;10^{6}\right)^{2}}}\simeq$ $1,31\;m\cdot s^{-2}\simeq {\dfrac {G_{{\text{(♁)}},\,0}}{7,5}}\;$» d'où la vitesse de libération d’une sonde d'Europe en orbite basse dans le référentiel « europocentrique » «$\;v_{{\text{lib. orbite basse}},\,{\text{Sonde d'Europe}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{ioc}}}\simeq$ ${\sqrt {2\times 1,31\times 1,561\;10^{6}}}\simeq 2022\;m\cdot s^{-1}\;$» soit «$\;v_{{\text{lib. orbite basse}},\,{\text{Sonde d'Europe}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{ioc}}}\simeq 2,02\;km\cdot s^{-1}\;$» soit $\;\simeq 18\;\%\;$ de $\;v_{{\text{lib. orbite basse}},\,{\text{Sonde terr.}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}$, voir ci-contre une image d'Europe vue de la sonde américaine Galileo prise le $\;7\;$ septembre $\;1996$, pendant la 2ème orbite de la sonde autour de Jupiter, la sonde étant alors à $\;677000\;km\;$ du satellite, cette image montre un satellite couvert de glace, en couleur naturelle approximative, avec de longues lignes sombres correspondant à des fractures dans la croûte dont certaines mesurent plus de $\;3000\;km\;$ de long, on y observe aussi, dans le tiers inférieur droit de l'image, une zone lumineuse contenant on y observe aussi, dans le tiers inférieur droit de l'image, une tache sombre centrale correspondant à un jeune cratère d’impact d’environ $\;50\;km\;$ de diamètre.
* « Triton » satellite de Neptune (♆), le 7ème plus gros satellite du Système solaire, de masse «$\;m_{\text{Triton}}\simeq 2,14\;10^{22}\;kg\simeq {\dfrac {m_{\text{(♁)}}}{280}}\simeq$ $2,09\;10^{-4}\;m_{\text{(♆)}}\;$», de rayon en assimilant le satellite naturel à une boule «$\;R_{\text{Triton}}\simeq$ $1353,5\;km\simeq 0,212\;R_{\text{(♁)}}\simeq 0,0550\;R_{\text{(♆)}}\;$» $\Rightarrow$ l'intensité du champ de gravitation de Triton au niveau du sol «$\;G_{{\text{Triton}},\,0}=$ ${\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{Triton}}}{R_{\text{Triton}}^{\,2}}}\simeq {\dfrac {6,67\;10^{-11}\times \;2,14\;10^{22}}{\left(1,3535\;10^{6}\right)^{2}}}\simeq 0,779\;m\cdot s^{-2}\simeq$ ${\dfrac {G_{{\text{(♁)}},\,0}}{12,5}}\;$» d'où la vitesse de libération d’une sonde de Triton en orbite basse dans le référentiel « tritonocentrique » «$\;v_{{\text{lib. orbite basse}},\,{\text{Sonde de Triton}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{tritonoc}}}\simeq {\sqrt {2\times 0,779\times 1,3535\;10^{6}}}\simeq$ $1452\;m\cdot s^{-1}\;$» soit «$\;v_{{\text{lib. orbite basse}},\,{\text{Sonde de Triton}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{tritonoc}}}\simeq 1,45\;km\cdot s^{-1}\;$» soit $\;\simeq 13\;\%\;$ de $\;v_{{\text{lib. orbite basse}},\,{\text{Sonde terr.}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}$, voir ci-contre une image de Triton, satellite de Neptune, vue de la sonde américaine Voyager 2 prise le $\;25\;$ août $\;1989$, pendant le survol de Neptune $\;{\big$la sonde passant à $\;4950\;km\;$ du pôle nord de la planète à partir duquel elle plonge sous l'écliptique et se rapproche de Triton à une distance de $\;39790\;km\;$ de sa surface${\big )}$, sur cette image on observe très peu de cratères, ce qui s'explique par un volcanisme notable $\;{\big$caractérisé, sur d'autres images, par des traces laissées par des geysers au pôle du satellite${\big )}$, ce volcanisme sur Triton est vraisemblablement la raison de l'existence d'une atmosphère très ténue $\;{\bigg$pression de $\;10\;$ à $\;14\;\mu bar\;$ soit $\;10^{-5}\;$ à $\;{\dfrac {1}{70000}}\;$ de celle sur Terre en considérant chacune des atmosphères à leur température propre mais la température de la surface de Triton étant $\;-235\;{\text{°C}}\;$ et estimant celle de la surface terrestre à $\;15\;{\text{°C}}\;$ en moyenne, la pression de l'atmosphère de Triton considérée à la même température que celle de la surface terrestre représente de $\;10^{-4}\;$ à $\;{\dfrac {1}{7000}}\;$ de la pression au niveau de la surface terrestre${\bigg ]}$.

## En complément, vitesse de libération d’une sonde terrestre en orbite basse évaluée dans un référentiel terrestre

Remarque préliminaire : La notion de vitesse de libération d'une sonde terrestre en orbite basse dans un référentiel terrestre n'est pas explicite dans le programme de physique de P.C.S.I. mais elle permet de comprendre pourquoi les satellites artificiels $\;{\big$ou sondes${\big )}\;$ sont préférentiellement lancé(e)s au niveau de l’équateur et vers l’Est $\;{\big$à condition toutefois que cela soit possible${\big )}$.
Développement : Un référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ étant en mouvement de rotation autour de l'axe orienté «$\;\Delta _{{\text{pôle Sud}}\,\rightarrow \,{\text{pôle Nord}}}\;$» relativement au référentiel géocentrique $\;{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}\;$ avec une vitesse angulaire algébrique «$\;{\overline {\Omega }}_{\Delta _{{\text{pôle Sud}}\,\rightarrow \,{\text{pôle Nord}}}\,{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}\simeq {\dfrac {2\;\pi }{T_{{\text{rot. de }}{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}}}\simeq {\dfrac {2\;\pi }{86164}}\simeq 7,29\;10^{-5}\;rad\cdot s^{-1}\;$», Développement : on peut appliquer la « loi de composition newtonienne des vitesses d'un point en mouvement dans un référentiel d'entraînement en rotation autour d'un axe fixe du référentiel absolu » à un satellite artificiel $\;{\big$ou à une sonde${\big )}\;$ en mouvement relatif par rapport au référentiel terrestre soit «$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {V}}_{e,\,M}(t)\;$» dans laquelle $\;M\;$ est le satellite artificiel $\;{\big$ou à la sonde${\big )}$, le référentiel absolu est le référentiel géocentrique $\;{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}\;$ et le référentiel d'entraînement « le référentiel terrestre » considéré $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}$, le mouvement d'entraînement de $\;M\;$ étant le mouvement du « coïncident du satellite artificiel $\;{\big$ou de la sonde${\big )}$ à l'instant considéré » dans le référentiel géocentrique soit «$\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t)={\vec {\Omega }}_{\Delta _{{\text{pôle Sud}}\,\rightarrow \,{\text{pôle Nord}}}\,{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}\wedge {\overrightarrow {OM}}(t)\;$» $\;{\big$dans laquelle $\;O\;$ est un point fixe de l'axe de rotation de la Terre (♁) dans le référentiel géocentrique c'est-à-dire $\;O\;\in \;\Delta _{{\text{pôle Sud}}\,\rightarrow \,{\text{pôle Nord}}}\;$ par exemple le centre de la Terre${\big ]}\;$ d'où la réécriture de la loi selon
$\;{\vec {V}}_{M\,/{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}(t)={\vec {V}}_{M\,/{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}(t)+{\vec {\Omega }}_{\Delta _{{\text{pôle Sud}}\,\rightarrow \,{\text{pôle Nord}}}\,{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}\wedge {\overrightarrow {OM}}(t),\;\;({\mathfrak {a}})\;$
$\;M\;$
$\;{\big$
${\big )}$
$\;O\;$
Développement : considérant un satellite artificiel $\;{\big$ou une sonde${\big )}\;$ terrestre en orbite basse et utilisant son repérage cylindro-polaire de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de la Terre${\big )}\;$ et d'axe $\;\Delta _{{\text{pôle Sud}}\,\rightarrow \,{\text{pôle Nord}}}\;$ son vecteur position à l'instant $\;t\;$ s'écrivant selon «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)=R_{\text{(♁)}}\;\cos \!\left[\lambda (t)\right]\;{\vec {u}}_{r}+R_{\text{(♁)}}\;\sin \!\left[\lambda (t)\right]\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$» avec $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{\Delta }={\vec {u}}_{\Delta _{{\text{pôle Sud}}\,\rightarrow \,{\text{pôle Nord}}}}\right\rbrace \;$ la base cylindro-polaire liée à $\;M\;$ et $\;\lambda (t)\;$ la latitude de $\;M\;$ à l'instant $\;t$, on en déduit l'explicitation du vecteur vitesse d'entraînement de $\;M$ $\;{\big$le satellite artificiel $\;{\big$ou la sonde${\big )}{\big ]}\;$ au même instant $\;t\;$ dans la base cylindro-polaire liée à $\;M\;$ «$\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t)=$ ${\overline {\Omega }}_{\Delta _{{\text{pôle Sud}}\,\rightarrow \,{\text{pôle Nord}}}\,{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}\;{\vec {u}}_{\Delta }\wedge \left\lbrace R_{\text{(♁)}}\;\cos \!\left[\lambda (t)\right]\;{\vec {u}}_{r}+R_{\text{(♁)}}\;\sin \!\left[\lambda (t)\right]\;{\vec {u}}_{\Delta }\right\rbrace =R_{\text{(♁)}}\;{\overline {\Omega }}_{\Delta _{{\text{pôle Sud}}\,\rightarrow \,{\text{pôle Nord}}}\,{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}\;\cos \!\left[\lambda (t)\right]\;{\vec {u}}_{\theta }\;$» dont la direction est l'horizontale du lieu dirigée vers l'Est $\;{\big$ou encore tangente au parallèle du lieu et de sens dirigé vers l'Est${\big )}$ ;
Développement : de $\;({\mathfrak {a}})\;$ on tire «$\;{\vec {V}}_{M\,/{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}(t)={\vec {V}}_{M\,/{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}(t)-{\vec {\Omega }}_{\Delta _{{\text{pôle Sud}}\,\rightarrow \,{\text{pôle Nord}}}\,{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}\wedge {\overrightarrow {OM}}(t)={\vec {V}}_{M\,/{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}(t)-R_{\text{(♁)}}\;{\overline {\Omega }}_{\Delta _{{\text{pôle Sud}}\,\rightarrow \,{\text{pôle Nord}}}\,{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}\;\cos \!\left[\lambda (t)\right]\;{\vec {u}}_{\theta }\;$» et sachant que, Développement : d'une part $\;\Vert {\vec {V}}_{M\,/{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}(t)\Vert \;$ pour un mouvement circulaire $\;{\big$ou de libération de l'attraction terrestre${\big )}\;$ en orbite basse est de valeur fixée et que, Développement : d'autre part, on souhaite obtenir $\;\Vert {\vec {V}}_{M\,/{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}(t)\Vert \;$ pour le même mouvement circulaire $\;{\big$ou de libération de l'attraction terrestre${\big )}\;$ la plus faible possible, on en déduit Développement : la nécessité que les deux vecteurs vitesse «$\;{\vec {V}}_{M\,/{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}(t)\;$ et $\;R_{\text{(♁)}}\;{\overline {\Omega }}_{\Delta _{{\text{pôle Sud}}\,\rightarrow \,{\text{pôle Nord}}}\,{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}\;\cos \!\left[\lambda (t)\right]\;{\vec {u}}_{\theta }\;$» soient colinéaires et de même sens c'est-à-dire que «$\;{\vec {V}}_{M\,/{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}(t)\;$ ait une direction horizontale du lieu considéré dirigée vers l'Est », ce qui, Développement : compte-tenu du fait que la trajectoire suivie par la sonde $\;{\big$ou par le satellite artificiel ${\big )}\;$ dans le référentiel géocentrique est une conique dont $\;O$ $\;{\big$le centre de la Terre${\big )}\;$ est le $\;{\big$ou un des${\big )}\;$ foyer(s), implique que Développement : le mouvement géocentrique du satellite artificiel $\;{\big$ou de la sonde${\big )}\;$ doit se faire dans le plan équatorial de la Terre (♁) $\Leftrightarrow$ $\;\lambda (t)=0,\;\;\forall \;t$, en étant dirigé vers l'Est ;
Développement : finalement $\;\Vert {\vec {V}}_{M\,/{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}(t)\Vert \;$ pour un mouvement circulaire $\;{\big$ou de libération de l'attraction terrestre${\big )}\;$ en orbite basse la plus faible possible correspond à «$\;\Vert {\vec {V}}_{M\,/{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}(t)\Vert \;{\vec {u}}_{\theta ,\,M}=$ $\Vert {\vec {V}}_{M\,/{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}(t)\Vert \;{\vec {u}}_{\theta ,\,M}-R_{\text{(♁)}}\;{\overline {\Omega }}_{\Delta _{{\text{pôle Sud}}\,\rightarrow \,{\text{pôle Nord}}}\,{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}\;{\vec {u}}_{\theta ,\,M}\;$» en notant $\;{\vec {u}}_{\theta ,\,M}\;$ le vecteur unitaire horizontal dirigé vers l'Est en la position de $\;M\;$ dans le plan équatorial, soit encore
$\;\Vert {\vec {V}}_{M\,/{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}(t)\Vert =\Vert {\vec {V}}_{M\,/{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}(t)\Vert -R_{\text{(♁)}}\;{\overline {\Omega }}_{\Delta _{{\text{pôle Sud}}\,\rightarrow \,{\text{pôle Nord}}}\,{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}\;$
Développement : en conclusion, la vitesse de libération d’une sonde terrestre en orbite basse évaluée dans un référentiel terrestre «$\;v_{{\text{lib. orbite basse}},\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}\;$» s'écrit
$\;v_{{\text{lib. orbite basse}},\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}=v_{{\text{lib. orbite basse}},\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}-R_{\text{(♁)}}\;{\overline {\Omega }}_{\Delta _{{\text{pôle Sud}}\,\rightarrow \,{\text{pôle Nord}}}\,{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}\;$
$\;v_{{\text{lib. orbite basse}},\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}\simeq {\sqrt {2\;G_{{\text{(♁)}},\,0}\;R_{\text{(♁)}}}}-R_{\text{(♁)}}\;{\overline {\Omega }}_{\Delta _{{\text{pôle Sud}}\,\rightarrow \,{\text{pôle Nord}}}\,{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}\;$
Développement : soit numériquement «$\;v_{{\text{lib. orbite basse}},\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}\simeq 11,2-6380\times 7,29\;10^{-5}\;$ en $\;km\cdot s^{-1}\;$» ou «$\;v_{{\text{lib. orbite basse}},\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}\simeq 10,75\;km\cdot s^{-1}\;$» $\;{\big$à condition que le lancement se fasse dans le plan équatorial vers l'Est$\;{\big )}$.

## En complément, vitesse de libération de l’attraction du Soleil d’une sonde terrestre en orbite basse dans le référentiel de Copernic

Remarques préliminaires : La notion de vitesse de libération de l’attraction du Soleil d’une sonde terrestre en orbite basse $\;{\big$c'est-à-dire telle que sa distance au centre du Soleil (☉) $\;r_{0}\;$ est approximativement égale au rayon de l'orbite de la Terre (♁) $\;r_{{\text{orbite}},\,{\text{(♁)}}}{\big ]}\;$ dans le référentiel de Copernic n'est pas explicite dans le programme de physique de P.C.S.I. car très peu utilisée $\;{\big$en effet les sondes spatiales font en général le tour des planètes géantes du Système solaire avant de quitter ce dernier et ce n’est qu’à l'endroit associé à ce moment qu’il est intéressant de définir la vitesse de libération de l’attraction du Soleil dans le référentiel de Copernic et non à partir de l'orbite terrestre${\big ]}$ ; Remarques préliminaires : toutefois, dans le futur lointain $\;{\big$quand nos connaissances sur les planètes géantes seront jugées suffisantes${\big )}$, rien n'empêchera d'envisager le lancement d'une sonde terrestre vers l'extérieur du Système solaire à partir de l'orbite terrestre d'où l'exposé de cette notion.
Remarques préliminaires : Nous admettrons que le lien entre la vitesse circulaire d'un satellite terrestre en orbite basse autour de la Terre (♁) et la vitesse de libération d'une sonde terrestre en orbite basse de l'attraction de la Terre (♁), toutes deux définies dans le référentiel géocentrique, est encore applicable si nous remplaçons la source attractive « Terre (♁) » par le « Soleil (☉) » ainsi que le référentiel d'étude « référentiel géocentrique » par le « référentiel de Copernic », la sonde restant terrestre.
Développement : Nous pouvons donc écrire, dans le référentiel de Copernic, «$\;v_{{\text{lib. orbite basse de l'attract. du (☉)}},\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{Cop}}}=v_{{\text{orb. circul. basse autour du (☉)}},\,{\text{Satellite}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{Cop}}}\;{\sqrt {2}}\;$» ou, Développement : avec «$\;v_{{\text{orb. circul. basse autour du (☉)}},\,{\text{Satellite}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{Cop}}}\;$» la vitesse d'un corps spatial en mouvement circulaire autour du Soleil (☉) de rayon égal à celui de l'orbite terrestre dans le référentiel de Copernic soit encore, le mouvement de la Terre (♁) dans ce dernier étant quasiment circulaire, la vitesse de révolution de la Terre (♁) autour du Soleil (☉) dans le référentiel de Copernic d'où
$\;v_{{\text{orb. circul. basse autour du (☉)}},\,{\text{Satellite}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{Cop}}}=v_{{\text{orbite}},\,{\text{(♁)}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{Cop}}}={\sqrt {\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}}{r_{{\text{orbite}},\,{\text{(♁)}}}}}}\;$
Développement : soit numériquement, avec «$\;{\mathcal {G}}\simeq 6,67\;10^{-11}\;U.S.I.\;$ la constante de gravitation universelle », «$\;m_{\text{☉}}\simeq 2,0\;10^{30}\;kg\;$ la masse du Soleil (☉) » et «$\;r_{{\text{orbite}},\,{\text{(♁)}}}=1\;ua\;$ le rayon de l'orbite terrestre c'est-à-dire $\;r_{{\text{orbite}},\,{\text{(♁)}}}\simeq 149,6\;10^{9}\;m\;$», «$\;v_{{\text{orb. circul. basse autour du (☉)}},\,{\text{Satellite}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{Cop}}}\simeq {\sqrt {\dfrac {6,67\;10^{-11}\times 2,0\;10^{30}}{149,6\;10^{9}}}}\simeq 29,86\;10^{3}\;m\cdot s^{-1}\;$» ou
$\;v_{{\text{orb. circul. basse autour du (☉)}},\,{\text{Satellite}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{Cop}}}\simeq 30\;km\cdot s^{-1}\;$
Développement : nous en déduisons la vitesse de libération de l’attraction du Soleil d’une sonde terrestre en orbite basse dans le référentiel de Copernic «$\;v_{{\text{lib. orbite basse de l'attract. du (☉)}},\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{Cop}}}=$ $v_{{\text{orb. circul. basse autour du (☉)}},\,{\text{Satellite}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{Cop}}}\;{\sqrt {2}}\;$» ce qui donne
$\;v_{{\text{lib. orbite basse de l'attract. du (☉)}},\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{Cop}}}={\sqrt {\dfrac {2\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}}{r_{{\text{orbite}},\,{\text{(♁)}}}}}}\;$
Développement : soit numériquement «$\;v_{{\text{lib. orbite basse de l'attract. du (☉)}},\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{Cop}}}\simeq 29,86\;km\cdot s^{-1}\times {\sqrt {2}}\simeq 42,23\;km\cdot s^{-1}\;$» ou
$\;v_{{\text{lib. orbite basse de l'attract. du (☉)}},\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{Cop}}}\simeq 42,2\;km\cdot s^{-1}\;$

## En complément, vitesse de libération de l’attraction du Soleil d’une sonde terrestre en orbite basse dans le référentiel géocentrique, 3ème vitesse cosmique d'une sonde terrestre

Remarque préliminaire : La notion de vitesse de libération de l’attraction du Soleil d’une sonde terrestre en orbite basse $\;{\big$c'est-à-dire telle que sa distance au centre du Soleil (☉) $\;r_{0}\;$ est approximativement égale au rayon de l'orbite de la Terre (♁) $\;r_{{\text{orbite}},\,{\text{(♁)}}}{\big ]}\;$ dans le référentiel de Copernic n'étant pas explicite dans le programme de physique de P.C.S.I. car très peu utilisée, celle définie dans le référentiel géocentrique ne l'est évidemment pas plus, cette dernière s'obtenant simplement par changement de référentiel ; Remarque préliminaire : toutefois, son introduction et évaluation dans le référentiel géocentrique permet de comprendre pourquoi, dans le futur lointain $\;{\big$quand nos connaissances sur les planètes géantes seront jugées suffisantes pour envisager de quitter l'attraction solaire à partir de la Terre (♁)${\big ]}$, les sondes devront préférentiellement être lancées dans le plan de la trajectoire copernicienne de la Terre et dans le sens du mouvement de cette dernière $\;{\big$à condition toutefois que cela soit possible${\big )}$.
Développement : Le référentiel géocentrique $\;{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}\;$ étant en mouvement de translation relativement au référentiel de Copernic $\;{\mathcal {R}}_{\text{Cop}}\;$ de vecteur vitesse de translation à l'instant $\;t\;$ «$\;{\vec {V}}_{{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{Cop}}}(t)=$ ${\vec {V}}_{{\text{orbite}},\,{\text{(♁)}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{Cop}}}(t)\;$ de norme $\;v_{{\text{orbite}},\,{\text{(♁)}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{Cop}}}={\sqrt {\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}}{r_{{\text{orbite}},\,{\text{(♁)}}}}}}\;$», Développement : on peut appliquer la « loi de composition newtonienne des vitesses d'un point en mouvement dans un référentiel d'entraînement en translation par rapport au référentiel absolu » à une sonde en mouvement relatif par rapport au référentiel géocentrique soit «$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {V}}_{e,\,M}(t)\;$» dans laquelle $\;M\;$ est la sonde terrestre, le référentiel absolu est le référentiel de Copernic $\;{\mathcal {R}}_{\text{Cop}}\;$ et le référentiel d'entraînement « le référentiel géocentrique » $\;{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}$, le mouvement d'entraînement de $\;M\;$ étant le mouvement du « coïncident de la sonde à l'instant considéré » dans le référentiel de Copernic soit «$\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t)={\vec {V}}_{{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{Cop}}}(t)={\vec {V}}_{{\text{orbite}},\,{\text{(♁)}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{Cop}}}(t)\;$» d'où la réécriture de la loi selon
$\;{\vec {V}}_{M\,/{\mathcal {R}}_{\text{Cop}}}(t)={\vec {V}}_{M\,/{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}(t)+{\vec {V}}_{{\text{orbite}},\,{\text{(♁)}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{Cop}}}(t),\;\;({\mathfrak {b}})\;$
$\;M\;$
Développement : considérant une sonde terrestre en orbite basse et utilisant son repérage cylindro-polaire de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de la Terre${\big )}\;$ et d'axe $\;\perp \;$ au plan de l'orbite copernicienne de la Terre (♁), on en déduit l'explicitation du vecteur vitesse d'entraînement de $\;M$ $\;{\big$la sonde terrestre${\big ]}\;$ à l'instant $\;t\;$ dans la base cylindro-polaire liée à $\;M\;$ «$\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t)=v_{{\text{orbite}},\,{\text{(♁)}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{Cop}}}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }\;$» dont la direction est tangente à l'orbite de la Terre au lieu considéré, dirigée vers l'Est ;
Développement : de $\;({\mathfrak {b}})\;$ on tire «$\;{\vec {V}}_{M\,/{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}(t)={\vec {V}}_{M\,/{\mathcal {R}}_{\text{Cop}}}(t)-v_{{\text{orbite}},\,{\text{(♁)}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{Cop}}}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }={\vec {V}}_{M\,/{\mathcal {R}}_{\text{Cop}}}(t)-{\sqrt {\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}}{r_{{\text{orbite}},\,{\text{(♁)}}}}}}\;{\vec {u}}_{\theta }\;$» et sachant que, Développement : d'une part $\;\Vert {\vec {V}}_{M\,/{\mathcal {R}}_{\text{Cop}}}(t)\Vert \;$ pour un mouvement de libération de l'attraction solaire en orbite basse est de valeur fixée et que, Développement : d'autre part, on souhaite obtenir $\;\Vert {\vec {V}}_{M\,/{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}(t)\Vert \;$ pour le même mouvement de libération de l'attraction solaire la plus faible possible, on en déduit Développement : la nécessité que les deux vecteurs vitesse «$\;{\vec {V}}_{M\,/{\mathcal {R}}_{\text{Cop}}}(t)\;$ et $\;v_{{\text{orbite}},\,{\text{(♁)}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{Cop}}}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }\;$» soient colinéaires et de même sens c'est-à-dire que «$\;{\vec {V}}_{M\,/{\mathcal {R}}_{\text{Cop}}}(t)\;$ ait une direction tangente à l'orbite de la Terre au lieu considéré dirigée vers l'Est », ce qui implique que Développement : le mouvement copernicien de la sonde terrestre doit démarrer tangentiellement au mouvement copernicien de la Terre (♁) sur son orbite dans le même sens ;
Développement : finalement $\;\Vert {\vec {V}}_{{\text{lib. orbite basse de l'attract. du (☉)}},\,\,M\,/{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}(t)\Vert \;$ pour un mouvement de libération de l'attraction solaire en orbite basse la plus faible possible correspond à «$\;\Vert {\vec {V}}_{{\text{lib. orbite basse de l'attract. du (☉)}},\,\,M\,/{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}(t)\Vert \;{\vec {u}}_{\theta ,\,M}$ $=\Vert {\vec {V}}_{{\text{lib. orbite basse de l'attract. du (☉)}},\,\,M\,/{\mathcal {R}}_{\text{Cop}}}(t)\Vert \;{\vec {u}}_{\theta ,\,M}-v_{{\text{orbite}},\,{\text{(♁)}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{Cop}}}(t)\;{\vec {u}}_{\theta ,\,M}\;$» en notant $\;{\vec {u}}_{\theta ,\,M}\;$ le vecteur unitaire tangent à l'orbite de la Terre (♁) dirigé vers l'Est en la position de $\;M$, soit encore
$\;\Vert {\vec {V}}_{{\text{lib. orbite basse de l'attract. du (☉)}},\,\,M\,/{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}(t)\Vert =\Vert {\vec {V}}_{{\text{lib. orbite basse de l'attract. du (☉)}},\,\,M\,/{\mathcal {R}}_{\text{Cop}}}(t)\Vert -v_{{\text{orbite}},\,{\text{(♁)}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{Cop}}}(t)\;$
Développement : en conclusion, la vitesse de libération de l'attraction solaire d’une sonde terrestre en orbite basse évaluée dans le référentiel géocentrique «$\;v_{{\text{lib. orbite basse de l'attract. du (☉)}},\,\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}\;$» s'écrit
$\,v_{{\text{lib. orbite basse de l'attract. du (☉)}},\,\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}=v_{{\text{lib. orbite basse de l'attract. du (☉)}},\,\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{Cop}}}-v_{{\text{orbite}},\,{\text{(♁)}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{Cop}}}\,$
$\;v_{{\text{lib. orbite basse de l'attract. du (☉)}},\,\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}\simeq {\sqrt {\dfrac {2\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}}{r_{{\text{orbite}},\,{\text{(♁)}}}}}}-{\sqrt {\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}}{r_{{\text{orbite}},\,{\text{(♁)}}}}}}\;$
$\;v_{{\text{lib. orbite basse de l'attract. du (☉)}},\,\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}\simeq {\sqrt {\dfrac {\left({\sqrt {2}}-1\right){\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}}{r_{{\text{orbite}},\,{\text{(♁)}}}}}}\;$
Développement : soit numériquement, sachant que la vitesse de la Terre (♁) dans le référentiel de Copernic «$\;v_{{\text{orbite}},\,{\text{(♁)}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{Cop}}}={\sqrt {\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}}{r_{{\text{orbite}},\,{\text{(♁)}}}}}}\;$» a été évaluée à «$\;v_{{\text{orbite}},\,{\text{(♁)}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{Cop}}}\simeq 29,86\;km\cdot s^{-1}\;$», «$\;v_{{\text{lib. orbite basse de l'attract. du (☉)}},\,\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}\simeq 29,86\times \left({\sqrt {2}}-1\right)\;$ en $\;km\cdot s^{-1}\;$» ou
$\;{\big$
$\;{\big )}$
$\;v_{{\text{lib. orbite basse de l'attract. du (☉)}},\,\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}\simeq 12,37\;km\cdot s^{-1}\simeq 12,4\;km\cdot s^{-1}\;$
$\;{\big$
${\big )}$

## En complément, vitesse de libération de l’attraction du Soleil d’une sonde terrestre en orbite basse dans le référentiel terrestre

Remarque préliminaire : La notion de vitesse de libération de l’attraction du Soleil d’une sonde terrestre en orbite basse $\;{\big$c'est-à-dire telle que sa distance au centre du Soleil (☉) $\;r_{0}\;$ est approximativement égale au rayon de l'orbite de la Terre (♁) $\;r_{{\text{orbite}},\,{\text{(♁)}}}{\big ]}\;$ dans le référentiel géocentrique n'étant pas explicite dans le programme de physique de P.C.S.I. car très peu utilisée, celle définie dans un référentiel terrestre ne l'est évidemment pas plus, cette dernière s'obtenant simplement par changement de référentiel ; Remarque préliminaire : toutefois, son introduction et évaluation dans un référentiel terrestre permet de comprendre comment, dans le futur lointain $\;{\big$quand nos connaissances sur les planètes géantes seront jugées suffisantes pour envisager de quitter l'attraction solaire à partir de la Terre (♁)${\big ]}$, les sondes devront préférentiellement être lancées $\;{\big$à condition toutefois que cela soit possible${\big )}$.
Développement : Un référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ étant en mouvement de rotation autour de l'axe orienté «$\;\Delta _{{\text{pôle Sud}}\,\rightarrow \,{\text{pôle Nord}}}\;$» relativement au référentiel géocentrique $\;{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}\;$ avec une vitesse angulaire algébrique «$\;{\overline {\Omega }}_{\Delta _{{\text{pôle Sud}}\,\rightarrow \,{\text{pôle Nord}}}\,{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}\simeq {\dfrac {2\;\pi }{T_{{\text{rot. de }}{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}}}\simeq {\dfrac {2\;\pi }{86164}}\simeq 7,29\;10^{-5}\;rad\cdot s^{-1}\;$», Développement : on peut appliquer la « loi de composition newtonienne des vitesses d'un point en mouvement dans un référentiel d'entraînement en rotation autour d'un axe fixe du référentiel absolu » à une sonde en mouvement relatif par rapport au référentiel terrestre soit «$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {V}}_{e,\,M}(t)\;$» dans laquelle $\;M\;$ est la sonde, le référentiel absolu est le référentiel géocentrique $\;{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}\;$ et le référentiel d'entraînement « le référentiel terrestre » considéré $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}$, le mouvement d'entraînement de $\;M\;$ étant le mouvement du « coïncident de la sonde à l'instant considéré » dans le référentiel géocentrique soit «$\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t)={\vec {\Omega }}_{\Delta _{{\text{pôle Sud}}\,\rightarrow \,{\text{pôle Nord}}}\,{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}\wedge {\overrightarrow {OM}}(t)\;$» $\;{\big$dans laquelle $\;O\;$ est un point fixe de $\;\Delta _{{\text{pôle Sud}}\,\rightarrow \,{\text{pôle Nord}}}\;$ dans le référentiel géocentrique par exemple le centre de la Terre${\big ]}\;$ d'où la réécriture de la loi selon
$\;{\vec {V}}_{M\,/{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}(t)={\vec {V}}_{M\,/{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}(t)+{\vec {\Omega }}_{\Delta _{{\text{pôle Sud}}\,\rightarrow \,{\text{pôle Nord}}}\,{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}\wedge {\overrightarrow {OM}}(t),\;\;({\mathfrak {c}})\;$
$\;M\;$
$\;O\;$
Développement : considérant une sonde terrestre en orbite basse et utilisant son repérage cylindro-polaire de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de la Terre${\big )}\;$ et d'axe $\;\Delta _{{\text{pôle Sud}}\,\rightarrow \,{\text{pôle Nord}}}\;$ son vecteur position à l'instant $\;t\;$ s'écrivant selon «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)=R_{\text{(♁)}}\;\cos \!\left[\lambda (t)\right]\;{\vec {u}}_{r}+R_{\text{(♁)}}\;\sin \!\left[\lambda (t)\right]\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$» avec $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{\Delta }={\vec {u}}_{\Delta _{{\text{pôle Sud}}\,\rightarrow \,{\text{pôle Nord}}}}\right\rbrace \;$ la base cylindro-polaire liée à $\;M\;$ et $\;\lambda (t)\;$ la latitude de $\;M\;$ à l'instant $\;t$, on retrouve l'explicitation du vecteur vitesse d'entraînement de $\;M$ $\;{\big$la sonde étudiée${\big )}\;$ au même instant $\;t\;$ dans la base cylindro-polaire liée à $\;M\;$ $\;{\big$voir le paragraphe « en complément, vitesse de libération (de l'attraction terrestre) d'une sonde terrestre en orbite basse évaluée dans un référentiel terrestre » plus haut dans ce chapitre${\big ]}\;$ «$\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t)\;{\overset {\cdots }{\;=\;}}\;R_{\text{(♁)}}\;{\overline {\Omega }}_{\Delta _{{\text{pôle Sud}}\,\rightarrow \,{\text{pôle Nord}}}\,{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}\;\cos \!\left[\lambda (t)\right]\;{\vec {u}}_{\theta }\;$» dont la direction est l'horizontale du lieu dirigée vers l'Est $\;{\big$ou encore tangente au parallèle du lieu et de sens dirigé vers l'Est${\big )}$ ;
Développement : de $\;({\mathfrak {c}})\;$ on tire «$\;{\vec {V}}_{M\,/{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}(t)={\vec {V}}_{M\,/{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}(t)-{\vec {\Omega }}_{\Delta _{{\text{pôle Sud}}\,\rightarrow \,{\text{pôle Nord}}}\,{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}\wedge {\overrightarrow {OM}}(t)={\vec {V}}_{M\,/{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}(t)-R_{\text{(♁)}}\;{\overline {\Omega }}_{\Delta _{{\text{pôle Sud}}\,\rightarrow \,{\text{pôle Nord}}}\,{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}\;\cos \!\left[\lambda (t)\right]\;{\vec {u}}_{\theta }\;$» et sachant que, Développement : d'une part $\;\Vert {\vec {V}}_{M\,/{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}(t)\Vert \;$ pour un mouvement de libération de l'attraction solaire en orbite basse est de valeur fixée à condition que le lancement se fasse tangentiellement à l'orbite copernicienne de la Terre dans le sens du mouvement de celle-ci sur son orbite et que, Développement : d'autre part, on souhaite obtenir $\;\Vert {\vec {V}}_{M\,/{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}(t)\Vert \;$ pour le même mouvement de libération de l'attraction solaire la plus faible possible, on en déduit
Développement : la nécessité que les deux vecteurs vitesse «$\;{\vec {V}}_{M\,/{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}(t)$ $\;{\big\perp \;$ au plan de la figure ci-contre et s'y enfonçant${\big ]}\;$ et $\;R_{\text{(♁)}}\;{\overline {\Omega }}_{\Delta _{{\text{pôle Sud}}\,\rightarrow \,{\text{pôle Nord}}}\,{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}\;\cos \!\left[\lambda (t)\right]\;{\vec {u}}_{\theta }$ $\;{\big\perp \;$ à l'axe $\;\Delta _{{\text{pôle Sud}}\,\rightarrow \,{\text{pôle Nord}}}\;$ en un point du parallèle de latitude $\;\lambda {\big ]}\;$» soient colinéaires et de même sens c'est-à-dire que « le point de lancement de la sonde de latitude $\;\lambda \;$ doit être à l'opposé du Soleil » ; Développement : le lancement de la sonde devant se faire horizontalement vers l'Est en une position opposée au Soleil du parallèle de latitude $\;\lambda \;$ de la Terre $\Rightarrow$ «$\;\Vert {\vec {V}}_{M\,/{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}(t)\Vert =\Vert {\vec {V}}_{M\,/{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}(t)\Vert -R_{\text{(♁)}}\;{\overline {\Omega }}_{\Delta _{{\text{pôle Sud}}\,\rightarrow \,{\text{pôle Nord}}}\,{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}\;\cos(\lambda )\;$» ou,
Développement : dans le but de minimaliser «$\;\Vert {\vec {V}}_{M\,/{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}(t)\Vert \;$» l'obligation de choisir $\;\lambda =0\;$ de façon à maximaliser le terme à retrancher de «$\;\Vert {\vec {V}}_{M\,/{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}(t)\Vert \;$» à savoir «$\;R_{\text{(♁)}}\;{\overline {\Omega }}_{\Delta _{{\text{pôle Sud}}\,\rightarrow \,{\text{pôle Nord}}}\,{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}\;\cos(\lambda )\;$» c'est-à-dire de prévoir un lancement en une position opposée au Soleil de l'équateur terrestre $\Rightarrow$ «$\;\Vert {\vec {V}}_{M\,/{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}(t)\Vert =\Vert {\vec {V}}_{M\,/{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}(t)\Vert -R_{\text{(♁)}}\;{\overline {\Omega }}_{\Delta _{{\text{pôle Sud}}\,\rightarrow \,{\text{pôle Nord}}}\,{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}\;$» ;
Développement : en conclusion, la vitesse de libération de l'attraction solaire d’une sonde terrestre en orbite basse évaluée dans un référentiel terrestre «$\;v_{{\text{lib. orbite basse de l'attract. du (☉)}},\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}\;$» s'écrit
$\;v_{{\text{lib. orbite basse de l'attract. du (☉)}},\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}=v_{{\text{lib. orbite basse de l'attract. du (☉)}},\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}-R_{\text{(♁)}}\;{\overline {\Omega }}_{\Delta _{{\text{pôle Sud}}\,\rightarrow \,{\text{pôle Nord}}}\,{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}\;$
$\;v_{{\text{lib. orbite basse de l'attract. du (☉)}},\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}\simeq {\sqrt {\dfrac {\left({\sqrt {2}}-1\right){\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}}{r_{{\text{orbite}},\,{\text{(♁)}}}}}}-R_{\text{(♁)}}\;{\overline {\Omega }}_{\Delta _{{\text{pôle Sud}}\,\rightarrow \,{\text{pôle Nord}}}\,{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}\;$
Développement : soit numériquement «$\;v_{{\text{lib. orbite basse de l'attract. du (☉)}},\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}\simeq \left(12,37-6380\times 7,29\;10^{-5}\right)\;km\cdot s^{-1}\;$» ou «$\;v_{{\text{lib. orbite basse de l'attract. du (☉)}},\,{\text{Sonde}}\,/{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}\simeq 11,90\;km\cdot s^{-1}\;$» $\;{\big$à condition que le lancement se fasse dans le plan équatorial vers l'Est en une position opposée au Soleil$\;{\big )}$.