# Étude expérimentale
## Circuit d'étude
## Observations

* Interrupteur en position 1 : charge du condensateur
* Interrupteur en position 2 : décharge
On observe des oscillations électriques amorties pseudo-périodiques. On note $T_{0}$ la pseudo-période des oscillations.

## Influence de R

Si, en partant d’un régime pseudo-périodique, on augmente progressivement R, les oscillations s'amortissent de plus en plus vite. On observe également une augmentation de la pseudo-période. Lorsque la résistance atteint une valeur critique, il n'y a plus d'oscillations. Au dela de cette valeur critique, aucun comportement oscillant n'est observé

## Influence de L et C

* Si on garde la même valeur de la capacité et qu'on augmente l'inductance de la bobine, $T_{0}$ augmente.
* Si on garde la même valeur d'inductance et qu'on augmente la capacité du condensateur, $T_{0}$ augmente également.

# Étude analytique d’un circuit oscillant

On note :
* $C$ la capacité du condensateur
* $R$ la résistance du conducteur ohmique
* $L$ l'inductance de la bobine
* $r$ sa résistance interne

## Équation différentielle

D'après la loi d'additivité des tensions, $u_{AM}+u_{MB}+u_{BA}=0$
$u_{C}+Ri+ri+L{\frac {di}{dt}}=0$
    or $i={\frac {dq}{dt}}={\frac {d(Cu_{C})}{dt}}=C{\frac {du_{C}}{dt}}$
Donc $LC{\frac {d^{2}u_{C}}{dt^{2}}}+(R+r)C{\frac {du_{C}}{dt}}+u_{c}=0$
Où ${\frac {d^{2}u_{C}}{dt^{2}}}$ est la dérivée seconde de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps. On la note aussi ${\ddot {u_{C}}}$, par extension de la notation ${\dot {u_{C}}}={\frac {du_{C}}{dt}}$. Dans la suite, on étudie un cas particulier de circuit, sans résistance. Le terme dissipatif est donc négligé afin de simplifier la résolution de cette équation différentielle.

## Cas du circuit LC

Un circuit LC est un circuit RLC sans résistance. Ce circuit est dit idéal, puisqu’il ne peut être réalisé. L'équation différentielle se réduit donc à : $LC{\frac {d^{2}u_{C}}{dt^{2}}}+u_{C}=0\Leftrightarrow {\frac {d^{2}u_{C}}{dt^{2}}}=-{\frac {1}{LC}}u_{C}$

### Solutions

La fonction mathématique dont la dérivée seconde est l'opposée d'elle-même à une constante près est la fonction cosinus. Les solutions sont donc de la forme $u_{C}=A\cos {(\omega _{0}t+\phi _{0})}$, avec :
* $A$ : amplitude (tension maximale, en Volts), notée parfois $u_{m}$
* $\omega _{0}$ : pulsation (rad.s⁻¹)
* $\phi _{0}$ : phase à l'origine
* $t$ : le temps (en secondes)
On appelle $\omega _{0}t+\phi _{0}$ la phase. On a $\omega _{0}>0$ et $A>0$.
$A$ et $\phi _{0}$ ne dépendent que des conditions initiales, $\omega _{0}$ dépend des grandeurs électriques du circuit.

### Détermination de la pulsation

On a ${\frac {d^{2}u_{C}}{dt^{2}}}=-{\frac {u_{C}}{LC}}$. Or ${\frac {du_{C}}{dt}}=-A\omega _{0}\sin {(\omega _{0}t+\phi _{0})}$ Donc ${\frac {d^{2}u_{C}}{dt^{2}}}=-\omega _{0}^{2}A\cos {(\omega _{0}t+\phi _{0})}=-\omega _{0}^{2}u_{C}$
D'où $\omega _{0}^{2}={\frac {1}{LC}}\Leftrightarrow \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}$
On a donc :

### Détermination des autres constantes (A et phi)

* $A$ va dépendre de la façon dont on a chargé le condensateur
* $\phi _{0}$ va dépendre du choix de l'instant initial
On prend comme instant initial l'instant $t=0$ où $u_{C}=E$ et $i=0$.
Donc $u_{C}=E=A\cos {\phi _{0}}$, or $i={\frac {dq}{dt}}=C{\frac {du_{C}}{dt}}$ D'où $i=-CA\omega _{0}\sin {(\omega _{0}t+\phi _{0})}$ $i(0)=-CA\omega _{0}\sin {\phi _{0}}=0\Rightarrow \sin {\phi _{0}}=0\Rightarrow \phi _{0}=0{\mbox{ ou }}\pi$. Or comme $A>0$, d’après $E=A\cos {\phi _{0}}$, $\phi _{0}=0$ et $A=E$.
En prenant ces conditions initiales, l’expression de la tension aux bornes du condensateur est donc :

### Relation entre la pulsation et la pseudo période

On utilise $u_{C}=A\cos {(\omega _{0}t+\phi _{0})}$. On sait qu'une fonction cosinus reprend la même valeur quand l'angle a augmenté de $2\pi$ et aussi au bout d’une période. Donc $u_{C}=A\cos {(\omega _{0}(t+T_{0})+\phi _{0})}=A\cos {(\omega _{0}t+\phi _{0}+2\pi )}$ $\Leftrightarrow A\cos {(\omega _{0}t+\omega _{0}T_{0}+\phi _{0})}=A\cos {(\omega _{0}t+2\pi +\phi _{0})}$ $\Rightarrow \omega _{0}T_{0}=2\pi$ d'où $T_{0}={\frac {2\pi }{\omega _{0}}}=2\pi {\sqrt {LC}}$. $T_{0}$ : période propre des oscillations libres d’un circuit LC

## Influence de la résistance du circuit

* Si $R=0$, le régime est périodique de période $T_{0}$
* Si la résistance est faible, le régime est pseudo périodique de période $T\simeq T_{0}$
* Si la résistance est importante, le régime est dit apériodique

## Interprétation énergétique
### Régime périodique (LC)

$W_{circuit}=W_{B}+W_{C}={\frac {1}{2}}Li^{2}+{\frac {1}{2}}Cu_{C}^{2}=cste$ L'énergie passe sans perte du condensateur vers la bobine. Exemples :
* $t=0,u_{C}=U_{max},i=0\,\Rightarrow W_{circuit}={\frac {1}{2}}CU_{max}^{2}$
* $t={\frac {T}{4}},u_{C}=0,i=-I_{max}\Rightarrow W_{circuit}={\frac {1}{2}}LI_{max}^{2}$

### Régime pseudo-périodique

$W_{circuit}={\frac {1}{2}}Li^{2}+{\frac {1}{2}}Cu_{C}^{2}\neq cste$ et $W_{circuit}$ décroît. L'énergie est perdue par effet Joule dans les résistances (conducteur ohmique et résistance interne de la bobine).

### Entretien des oscillations

Un moyen pour entretenir les oscillations est de compenser la perte d'énergie par un apport extérieur (bien ajusté : au même rythme que les oscillations). Il existe un circuit, appelé Amplificateur opérationnel (ou ampli-op, AO…) qui est capable de donner de l'énergie à un circuit RLC. Monté convenablement, il peut se comporter comme une résistance négative.
* Montage à AOP
* Circuit équivalent
* AOP en boîtier DIP8
* Différents AOP
La partie encadrée en rouge du premier circuit permet de simuler une résistance négative. La tension aux bornes de ce système est alors $u_{D}=R_{D}i=-R_{4}i$. L'équation différentielle du circuit est donc $u_{C}+(R+r+R_{D})i+L{\frac {di}{dt}}=0$
Si on ne veut pas d'amortissement des oscillations, on doit avoir $0=R+r+R_{D}=R+r-R_{4}$, ce qui revient à $R_{4}=R+r$, c'est-à-dire régler $R_{4}$ à la même valeur que la somme des résistances présentes dans le circuit.
Si on règle différemment $R_{4}$ on peut avoir :
* des oscillations toujours amorties si $R_{D}$ n’est pas assez grande (en valeur absolue), c'est-à-dire si $R_{4}$ est trop petite
* des oscillations non sinusoïdales si $R_{D}$ est trop importante (en valeur absolue), c'est-à-dire si $R_{4}$ est trop grande
En pratique, $R_{4}$ doit être légèrement supérieure à la somme des résistances du circuit à cause de la résistance des fils conducteurs.
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