# Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Complexes, formes algébrique et trigonométrique
## Rappel, forme algébrique et forme trigonométrique d'un complexe

L'ensemble des nombres complexes, noté $\;\mathbb {C}$, peut être considéré comme une extension de l'ensemble des nombres réels $\;\mathbb {R}$, auquel L'ensemble des nombres complexes, noté $\;\color {transparent}{\mathbb {C} }$, « on a ajouté un élément $\;i$, appelé unité imaginaire, dont le carré est $\;i^{2}=-1\;$» et L'ensemble des nombres complexes, noté $\;\color {transparent}{\mathbb {C} }$, « en prolongeant les lois d'addition et de multiplication définies sur l'ensemble des réels » ;
toutefois l'ensemble des complexes $\;\mathbb {C} \;$ ne conserve pas toutes les propriétés de l'ensemble des réels $\;\mathbb {R}$, toutefois l'ensemble des complexes $\;\color {transparent}{\mathbb {C} }\;$ ne conserve pas toutes les propriétés en particulier $\;\mathbb {R} \;$ est ordonné alors que $\;\mathbb {C} \;$ ne l'est pas ;
on peut distinguer deux sous-ensembles particuliers de l'ensemble des complexes $\;\mathbb {C}$ : $\bullet \;$« l'ensemble des réels $\;\mathbb {R} \;$» et on peut distinguer deux sous-ensembles particuliers de l'ensemble des complexes $\;\color {transparent}{\mathbb {C} }$ : $\bullet \;$« l'ensemble des imaginaires purs $\;i\,\mathbb {R} \;$» on peut distinguer deux sous-ensembles particuliers de l'ensemble des complexes $\;\color {transparent}{\mathbb {C} }$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$« obtenu par multiplication de tout réel par l'unité imaginaire $\;i$.

### Forme algébrique d'un complexe, partie réelle et partie imaginaire

Tout complexe $\;{\underline {z}}\;$ peut être écrit comme la somme d'un réel $\;a\;$ et d'un imaginaire pur $\;i\,b$, la forme obtenue «$\;{\underline {z}}=a+i\,b\;$» étant la forme algébrique du complexe $\;{\underline {z}}\;$ dans laquelle Tout complexe $\;\color {transparent}{\underline {z}}\;$ peut être écrit comme la somme d'un réel $\;\color {transparent}{a}\;$ et d'un imaginaire pur $\;\color {transparent}{i\,b}$, la forme obtenue «$\;\color {transparent}{{\underline {z}}=a+i\,b}\;$» $\bullet$$\;a=\Re ({\underline {z}})\;$ est appelé « partie réelle du complexe » et Tout complexe $\;\color {transparent}{\underline {z}}\;$ peut être écrit comme la somme d'un réel $\;\color {transparent}{a}\;$ et d'un imaginaire pur $\;\color {transparent}{i\,b}$, la forme obtenue «$\;\color {transparent}{{\underline {z}}=a+i\,b}\;$» $\bullet$$\;b=\Im ({\underline {z}})\;$ est appelé « partie imaginaire du complexe ».
On peut représenter le complexe $\;{\underline {z}}=a+i\,b\;$ dans un plan dit « complexe » c'est-à-dire, un plan contenant deux axes se coupant en un point $\;O\;$, On peut représenter le complexe $\;\color {transparent}{{\underline {z}}=a+i\,b}\;$ dans un plan dit « complexe » c.-à-d. un plan contenant $\bullet \;$l'un des axes servant à repérer la partie réelle du complexe $\;a=\Re ({\underline {z}})\;$ et On peut représenter le complexe $\;\color {transparent}{{\underline {z}}=a+i\,b}\;$ dans un plan dit « complexe » c.-à-d. un plan contenant $\bullet \;$l'autre sa partie imaginaire $\;b=\Im ({\underline {z}})\;$ ;
« le point $\;M\;$ ayant pour coordonnées les parties réelle et imaginaire est appelé image du complexe$\;{\underline {z}}=a+i\,b\;$» ${\big$« le complexe $\;{\underline {z}}=a+i\,b\;$ quant à lui définissant l’affixe du point$\;M\;$»${\big )}$.

### Notion de complexe conjugué

Le complexe conjugué du complexe $\;{\underline {z}}\;$ de forme algébrique «$\;{\underline {z}}=a+i\,b\;$» dans laquelle $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}a=\Re ({\underline {z}})\\b=\Im ({\underline {z}})\end{array}}\right\rbrace \;$ est le complexe, noté en physique $\;{\underline {z}}^{*}$, ayant même partie réelle que $\;{\underline {z}}\;$ mais une partie imaginaire opposée à celle de $\;{\underline {z}}\;$ soit le complexe $\;{\underline {z}}^{*}\;$ de forme algébrique «$\;{\underline {z}}^{*}=a-i\,b\;$».
Remarque : «$\;{\underline {z}}^{*}={\underline {z}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\underline {z}}\,\in \,\mathbb {R} \;$».

### Forme trigonométrique d'un complexe, module et argument

Reprenant la représentation du complexe $\;{\underline {z}}=a+i\,b\;$ dans le plan « complexe » par son image $\;M$, Reprenant la représentation du complexe $\;\color {transparent}{{\underline {z}}=a+i\,b}\;$ on peut repérer $\;M\;$ par $\bullet \;$la distance le séparant de l'origine $\;\rho =OM\;$ définissant le « module du complexe noté $\;\vert {\underline {z}}\vert =\rho \;$» et Reprenant la représentation du complexe $\;\color {transparent}{{\underline {z}}=a+i\,b}\;$ on peut repérer $\;\color {transparent}{M}\;$ par $\bullet \;$l'angle que fait la direction $\;(OM)\;$ avec l'axe des réels $\;\theta ={\widehat {({\overrightarrow {x'x}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {OM}})}}\;$ Reprenant la représentation du complexe $\;\color {transparent}{{\underline {z}}=a+i\,b}\;$ on peut repérer $\;\color {transparent}{M}\;$ par $\color {transparent}{\bullet }\;$l'angle que fait la direction $\;\color {transparent}{(OM)}\;$ avec l'axe des réels définissant l'« argument du complexe noté $\;\mathrm {arg} ({\underline {z}})=\theta \;$» ;
Reprenant la représentation du complexe $\;\color {transparent}{{\underline {z}}=a+i\,b}\;$ le complexe $\;{\underline {z}}\;$ se réécrit alors sous sa « forme trigonométrique $\;{\underline {z}}=\vert {\underline {z}}\vert \,\exp \left[i\,\mathrm {arg} ({\underline {z}})\right]=\rho \,\exp(i\,\theta )\;$».
Retour sur la notion de complexe conjugué : le complexe conjugué du complexe $\;{\underline {z}}\;$ de forme trigonométrique «$\;{\underline {z}}=\vert {\underline {z}}\vert \,\exp \left[i\,\mathrm {arg} ({\underline {z}})\right]\;$» où $\;\vert {\underline {z}}\vert \;$ et $\;\mathrm {arg} ({\underline {z}})\;$ sont le module et l'argument de $\;{\underline {z}}$, Retour sur la notion de complexe conjugué : le complexe conjugué du complexe $\;\color {transparent}{\underline {z}}\;$ est le complexe, noté en physique $\;{\underline {z}}^{*}$, ayant même module que $\;{\underline {z}}\;$ mais un argument opposé à celui de $\;{\underline {z}}\;$ soit Retour sur la notion de complexe conjugué : le complexe conjugué du complexe $\;\color {transparent}{\underline {z}}\;$ est le complexe $\;{\underline {z}}^{*}\;$ de forme trigonométrique «$\;{\underline {z}}^{*}=\vert {\underline {z}}\vert \,\exp \left[-i\,\mathrm {arg} ({\underline {z}})\right]\;$».
Retour sur la notion de complexe conjugué : Remarque : Les deux définitions à partir des formes algébrique ou trigonométrique sont évidemment équivalentes, voir les paragraphes « détermination de la forme algébrique d'un complexe connaissant sa forme trigonométrique » et « détermination de la forme trigonométrique d'un complexe connaissant sa forme algébrique » plus loin dans ce chapitre.

## Détermination de la forme algébrique d'un complexe connaissant sa forme trigonométrique

Le complexe de « forme trigonométrique $\;{\underline {z}}=\rho \,\exp(i\,\theta )\;$» se réécrit en utilisant la « définition de l'exponentielle complexe $\;\exp(i\,\theta )=$ $\cos(\theta )+i\,\sin(\theta )\;$», selon «$\;{\underline {z}}=\rho \left[\cos(\theta )+i\,\sin(\theta )\right]=$ $\rho \,\cos(\theta )+i\,\rho \,\sin(\theta )\;$» ; la comparaison de cette dernière forme avec la forme algébrique $\;{\underline {z}}=a+i\,b\;$ nous donne, par identification des parties réelles et des parties imaginaires
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}a=\rho \,\cos(\theta )\;\;{\text{ou}}\;\;\Re ({\underline {z}})=\vert {\underline {z}}\vert \,\cos \!\left[\mathrm {arg} ({\underline {z}})\right]\\b=\rho \,\sin(\theta )\;\;\;{\text{ou}}\;\;\;\Im ({\underline {z}})=\vert {\underline {z}}\vert \,\sin \!\left[\mathrm {arg} ({\underline {z}})\right]\end{array}}\right.\;$
Remarque : À partir de la forme trigonométrique du complexe conjugué $\;{\underline {z}}^{*}=\vert {\underline {z}}\vert \,\exp \left[-i\,\mathrm {arg} ({\underline {z}})\right]\;$ relativement à celle du complexe $\;{\underline {z}}=\vert {\underline {z}}\vert \,\exp \left[i\,\mathrm {arg} ({\underline {z}})\right]$, nous vérifions que la définition du complexe conjugué à partir de la forme trigonométrique $\Rightarrow$ celle du complexe conjugué à partir de la forme algébrique car Remarque : $\succ \;$«$\;\Re ({\underline {z}}^{*})=\vert {\underline {z}}\vert \,\cos \!\left[-\mathrm {arg} ({\underline {z}})\right]=\vert {\underline {z}}\vert \,\cos \!\left[\mathrm {arg} ({\underline {z}})\right]=\Re ({\underline {z}})\;$» c.-à-d. mêmes parties réelles alors que Remarque : $\succ \;$«$\;\Im ({\underline {z}}^{*})=\vert {\underline {z}}\vert \,\sin \!\left[-\mathrm {arg} ({\underline {z}})\right]=-\vert {\underline {z}}\vert \,\sin \!\left[\mathrm {arg} ({\underline {z}})\right]=-\Im ({\underline {z}})\;$» c.-à-d. des parties imaginaires opposées.

## Détermination de la forme trigonométrique d'un complexe connaissant sa forme algébrique

Le complexe étant connu par sa « forme algébrique $\;{\underline {z}}=a+i\,b\;$», on souhaite déterminer sa « forme trigonométrique $\;{\underline {z}}=\rho \,\exp(i\,\theta )\;$» où «$\;\rho =\vert {\underline {z}}\vert \;$ est son module » et «$\;\theta =\mathrm {arg} ({\underline {z}})\;$ son argument » $\;{\big$quand celui-ci existe c.-à-d. quand $\;{\underline {z}}\neq 0{\big )}$.

### Détermination du module

En s'aidant de la représentation du complexe dans le plan complexe et en notant «$\;M\;$ l'image du complexe $\;{\underline {z}}=a+i\,b\;$» nous déterminons « la distance le séparant du point origine $\;OM={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\;$ qui doit être identifiée au module $\;\vert {\underline {z}}\vert =\rho \;$» du complexe d'où
$\;\vert {\underline {z}}\vert =\rho ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\;$

### Détermination de l'argument

Souhaitant déterminer l'argument «$\;\mathrm {arg} ({\underline {z}})=\theta \;$ du complexe $\;{\underline {z}}=a+i\,b\neq 0\;$» « nous discuterons relativement à la valeur de sa partie réelle $\;\Re ({\underline {z}})=a\;$» :
* « pour $\;\Re ({\underline {z}})=a=0\;$», le complexe est imaginaire pur et «$\;\mathrm {arg} ({\underline {z}})=\theta =\left\lbrace {\begin{array}{c}+{\dfrac {\pi }{2}}\;\;{\text{si}}\;\Im ({\underline {z}})=b>0\\-{\dfrac {\pi }{2}}\;\;{\text{si}}\;\Im ({\underline {z}})=b<0\end{array}}\right.\;$»,
* « pour $\;\Re ({\underline {z}})=a>0\;$», l'argument du complexe «$\;\mathrm {arg} ({\underline {z}})=\theta \in \left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,{\text{,}}\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$» peut être mis sous la forme d'un $\;\arctan\;$ et on en déduit « pour $\;\color {transparent}{\Re ({\underline {z}})=a>0}\;$», l'argument du complexe «$\;\mathrm {arg} ({\underline {z}})=\theta =\arctan \!\left[{\dfrac {\Im ({\underline {z}})}{\Re ({\underline {z}})}}\right]=\arctan \!\left({\dfrac {b}{a}}\right)\;$»,
* « pour $\;\Re ({\underline {z}})=a<0\;$», l'argument du complexe «$\;\mathrm {arg} ({\underline {z}})=\theta {\cancel {\in }}\;\left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,{\text{,}}\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$» ne peut pas être mis sous la forme d'un $\;\arctan$ ; « pour $\;\color {transparent}{\Re ({\underline {z}})=a<0}\;$», « son expression dépend alors de la valeur de la partie imaginaire $\;\Im ({\underline {z}})=b\;$» : « pour $\;\color {transparent}{\Re ({\underline {z}})=a<0}\;$», $\succ$ « pour $\;\Im ({\underline {z}})=b=0\;$» le complexe est réel négatif et son argument vaut «$\;\mathrm {arg} ({\underline {z}})=\pi \;$», « pour $\;\color {transparent}{\Re ({\underline {z}})=a<0}\;$», $\succ$ « pour $\;\Im ({\underline {z}})=b>0\;$» l'argument du complexe «$\;\mathrm {arg} ({\underline {z}})=\theta \in \left]{\dfrac {\pi }{2}}\,{\text{,}}\,\pi \right[\;$» alors que «$\;\arctan \!\left[{\dfrac {\Im ({\underline {z}})}{\Re ({\underline {z}})}}\right]=\arctan \!\left({\dfrac {b}{a}}\right)\in \left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,{\text{,}}\,0\right[\;$» d'où « pour $\;\color {transparent}{\Re ({\underline {z}})=a<0}\;$», $\color {transparent}{\succ }$ « pour $\;\color {transparent}{\Im ({\underline {z}})=b>0}\;$» l'argument du complexe «$\;\mathrm {arg} ({\underline {z}})=\theta =\arctan \!\left[{\dfrac {\Im ({\underline {z}})}{\Re ({\underline {z}})}}\right]+\pi =\arctan \!\left({\dfrac {b}{a}}\right)+\pi \;$», « pour $\;\color {transparent}{\Re ({\underline {z}})=a<0}\;$», $\succ$ « pour $\;\Im ({\underline {z}})=b<0\;$» l'argument du complexe «$\;\mathrm {arg} ({\underline {z}})=\theta \in \left]-\pi \,{\text{,}}\,-{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$» alors que «$\;\arctan \!\left[{\dfrac {\Im ({\underline {z}})}{\Re ({\underline {z}})}}\right]=\arctan \!\left({\dfrac {b}{a}}\right)\in \left]0\,{\text{,}}\,{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$» d'où « pour $\;\color {transparent}{\Re ({\underline {z}})=a<0}\;$», $\color {transparent}{\succ }$ « pour $\;\color {transparent}{\Im ({\underline {z}})=b<0}\;$» l'argument du complexe «$\;\mathrm {arg} ({\underline {z}})=\theta =\arctan \!\left[{\dfrac {\Im ({\underline {z}})}{\Re ({\underline {z}})}}\right]-\pi =\arctan \!\left({\dfrac {b}{a}}\right)-\pi \;$».
$\;\Re ({\underline {z}})=a<0\;$
$\;a=-\vert a\vert \;$
$\;{\underline {z}}=-\vert a\vert +i\,b=-\left[\vert a\vert -i\,b\right]\;$
$\;\color {transparent}{\Re ({\underline {z}})=a<0}\;$
$\;\color {transparent}{\Re ({\underline {z}})=a<0}\;$
$\;\mathrm {arg} ({\underline {z}})=\theta =\pm \pi +\mathrm {arg} (\vert a\vert -i\,b)\;$
$\;\color {transparent}{\Re ({\underline {z}})=a<0}\;$
$\;\vert a\vert -i\,b\;$
$\;\mathrm {arg} ({\underline {z}})=\theta =\pm \pi +\arctan \!\left({\dfrac {-b}{|a|}}\right)\;$
$\;\color {transparent}{\Re ({\underline {z}})=a<0}\;$
$\;\arctan\;$
$\;\mathrm {arg} ({\underline {z}})=\theta =\pm \pi -\arctan \!\left({\dfrac {b}{|a|}}\right)\;$
$\;\in \left]-\pi \,{\text{,}}\,+\pi \right]\;$
$\;\Im ({\underline {z}})=b>0\;$
$\;i$
$\;{\underline {z}}=a+i\,b=i\left[b-i\,a\right]\;$
$\;\color {transparent}{\Im ({\underline {z}})=b>0}\;$
$\;\color {transparent}{\Im ({\underline {z}})=b>0}\;$
$\;\mathrm {arg} ({\underline {z}})=\theta ={\dfrac {\pi }{2}}+\mathrm {arg} (b-i\,a)\;$
$\;\color {transparent}{\Re ({\underline {z}})=a<0}\;$
$\;b-i\,a\;$
$\;\mathrm {arg} ({\underline {z}})=\theta ={\dfrac {\pi }{2}}+\arctan \!\left({\dfrac {-a}{b}}\right)\;$
$\;\color {transparent}{\Re ({\underline {z}})=a<0}\;$
$\;\arctan\;$
$\;\mathrm {arg} ({\underline {z}})=\theta ={\dfrac {\pi }{2}}-\arctan \!\left({\dfrac {a}{b}}\right)\;$

### Remarque concernant la notion de complexe conjugué

À partir de la forme algébrique du complexe conjugué $\;{\underline {z}}^{*}=a-i\,b\;$ relativement à celle du complexe $\;{\underline {z}}=a+i\,b$, nous vérifions que la définition du complexe conjugué à partir de la forme algébrique $\Rightarrow$ celle du complexe conjugué à partir de la forme trigonométrique car
$\succ \;$«$\;\vert {\underline {z}}^{*})\vert ={\sqrt {a^{2}+(-b)^{2}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}=\vert {\underline {z}}\vert \;$» c.-à-d. mêmes modules alors que $\succ \;$«$\;\mathrm {arg} ({\underline {z}}^{*})=\left\lbrace {\begin{array}{l l}\arctan \!\left({\dfrac {-b}{a}}\right)\!\!&{\text{pour }}a>0\\-{\dfrac {\pi }{2}}\!\!&{\text{pour }}a=0\;{\text{et }}b>0\\+{\dfrac {\pi }{2}}\!\!&{\text{pour }}a=0\;{\text{et }}b<0\\\arctan \!\left({\dfrac {-b}{a}}\right)-\pi \!\!&{\text{pour }}a<0\;{\text{et }}b>0\\\arctan \!\left({\dfrac {-b}{a}}\right)+\pi \!\!&{\text{pour }}a<0\;{\text{et }}b<0\end{array}}\right\rbrace =-\left\lbrace {\begin{array}{l l}\arctan \!\left({\dfrac {b}{a}}\right)\!\!&{\text{pour }}a>0\\+{\dfrac {\pi }{2}}\!\!&{\text{pour }}a=0\;{\text{et }}b>0\\-{\dfrac {\pi }{2}}\!\!&{\text{pour }}a=0\;{\text{et }}b<0\\\arctan \!\left({\dfrac {b}{a}}\right)+\pi \!\!&{\text{pour }}a<0\;{\text{et }}b>0\\\arctan \!\left({\dfrac {b}{a}}\right)-\pi \!\!&{\text{pour }}a<0\;{\text{et }}b<0\end{array}}\right\rbrace =-\mathrm {arg} ({\underline {z}})\;$» c.-à-d. des arguments opposés.