# Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Suites arithmétique et géométrique
## Suite (ou progression) arithmétique
### Définition d'une suite arithmétique

$\;(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;n+1\;$
$\;n\;$
$\;u_{n+1}=u_{n}+r,\;\;\forall \;n\geqslant n_{0}\;$
$\;r\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;u_{n_{0}}\;$
${\big$
$\;n_{0}{\big )}\;$

### Expression du terme général

Par application réitérée de la relation de récurrence on établit aisément l'expression du terme général :
$\;u_{n}=u_{n_{0}}+(n-n_{0})\,r\;$
Il y a deux cas particuliers dépendant du rang du 1er terme $\bullet \;$« si $\;n_{0}=0\;$» ${\big$c.-à-d. si le 1er terme est de rang $\;0{\big )}$, «$\;u_{n}=u_{0}+n\,r\;$», Il y a deux cas particuliers dépendant du rang du 1er terme $\bullet \;$« si $\;n_{0}=1\;$» ${\big$c.-à-d. si le 1er terme est de rang $\;1{\big )}$, «$\;u_{n}=u_{1}+(n-1)\,r\;$».

### Somme des premiers termes d'une suite arithmétique jusqu'au rang n

Soit la « suite arithmétique $\;(u_{n})\;$ de 1er terme $\;u_{n_{0}}\;$ et de raison arithmétique $\;r\;$», on définit la « somme des 1$^{ers}$ termes jusqu'au rang $\;n\;$» par
$\;S_{\left[n_{0}\,,\,n\right]}=\sum \limits _{p=n_{0}}^{n}u_{p}\;$
son expression se réécrit «$\;S_{\left[n_{0}\,,\,n\right]}=\sum \limits _{p=n_{0}}^{n}\left[u_{n_{0}}+(p-n_{0})\,r\right]=(n-n_{0}+1)\,u_{n_{0}}+\left[\sum \limits _{p=n_{0}}^{n}(p-n_{0})\right]r\;$» ou, son expression se réécrit avec la somme des $\;(n-n_{0})\;$ 1$^{ers}$ entiers naturels «$\;\sum \limits _{p=n_{0}}^{n}(p-n_{0})={\dfrac {(n-n_{0}+1)\,(n-n_{0})}{2}}\;$», son expression se réécrit «$\;S_{\left[n_{0}\,,\,n\right]}=(n-n_{0}+1)\,u_{n_{0}}+{\dfrac {(n-n_{0}+1)\,(n-n_{0})}{2}}\,r\;$» ou encore son expression se réécrit «$\;S_{\left[n_{0}\,,\,n\right]}=(n-n_{0}+1)\left[u_{n_{0}}+(n-n_{0})\,{\dfrac {r}{2}}\right]=(n-n_{0}+1)\left[{\dfrac {u_{n_{0}}}{2}}+{\dfrac {u_{n_{0}}+(n-n_{0})\,r}{2}}\right]\;$» soit finalement
$\;S_{\left[n_{0},n\right]}=(n-n_{0}+1)\,{\dfrac {u_{n_{0}}+u_{n}}{2}}\;$
$\;n\;$
$\;n\;$
$\;S_{\left[n_{0}\,,\,n\right]}=(n-n_{0}+1)\,{\dfrac {u_{n_{0}}+u_{n}}{2}}\;$
Les deux cas particuliers conduisent à $\bullet \;$«$\;S_{\left[0\,,\,n\right]}=(n+1)\,{\dfrac {u_{0}+u_{n}}{2}}\;$» $\;{\big$il y a $\;n+1\;$ termes de $\;u_{0}\;$ à $\;u_{n}{\big )}$, les deux cas particuliers conduisent à $\bullet \;$«$\;S_{\left[1\,,\,n\right]}=n\,{\dfrac {u_{1}+u_{n}}{2}}\;$» $\;{\big$il y a $\;n\;$ termes de $\;u_{1}\;$ à $\;u_{n}{\big )}$.

## Suite (ou progression) géométrique
### Définition d'une suite géométrique

$\;(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;n+1\;$
$\;n\;$
$\;u_{n+1}=u_{n}\times q,\;\;\forall \;n\geqslant n_{0}\;$
$\;q\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;\neq 1\;$
$\;u_{n_{0}}\;$
${\big$
$\;n_{0}{\big )}$

### Expression du terme général

Par application réitérée de la relation de récurrence on établit aisément l'expression du terme général :
$\;u_{n}=u_{n_{0}}\times q^{(n-n_{0})}\;$
Il y a deux cas particuliers dépendant du rang du 1er terme $\bullet \;$« si $\;n_{0}=0\;$» ${\big$c.-à-d. si le 1er terme est de rang $\;0{\big )}$, «$\;u_{n}=u_{0}\;q^{n}\;$», Il y a deux cas particuliers dépendant du rang du 1er terme $\bullet \;$« si $\;n_{0}=1\;$» ${\big$c.-à-d. si le 1er terme est de rang $\;1{\big )}$, «$\;u_{n}=u_{1}\;q^{(n-1)}\;$».

### Somme des premiers termes d'une suite géométrique jusqu'au rang n

Soit la « suite géométrique $\;(u_{n})\;$ de 1er terme $\;u_{n_{0}}\;$ et de raison géométrique $\;q\;$», on définit la « somme des 1$^{ers}$ termes jusqu'au rang $\;n\;$» par
$\;S_{\left[n_{0}\,,\,n\right]}=\sum \limits _{p=n_{0}}^{n}u_{p}\;$
son expression se réécrit «$\;S_{\left[n_{0}\,,\,n\right]}=\sum \limits _{p=n_{0}}^{n}\left[u_{n_{0}}\;q^{(p-n_{0})}\right]=u_{n_{0}}\left[\sum \limits _{p=n_{0}}^{n}q^{(p-n_{0})}\right]\;$» ou, son expression se réécrit avec la somme des $\;n-n_{0}\;$ 1$^{ères}$ puissances entières naturelles de $\;q$, «$\;\sum \limits _{p=n_{0}}^{n}q^{(p-n_{0})}={\dfrac {1-q^{(n-n_{0}+1)}}{1-q}}\;$», son expression se réécrit «$\;S_{\left[n_{0},n\right]}=u_{n_{0}}\,{\dfrac {1-q^{(n-n_{0}+1)}}{1-q}}\;$» ou encore «$\;S_{\left[n_{0},n\right]}={\dfrac {u_{n_{0}}-q\,u_{n}}{1-q}}\;$».
$\;n\;$
$\;u_{n_{0}}\;$
$\;{\dfrac {1-q^{(n-n_{0}+1)}}{1-q}}\;$
$\;n-n_{0}+1\;$
$\;S_{\left[n_{0}\,,n\,\right]}=u_{n_{0}}\,{\dfrac {1-q^{(n-n_{0}+1)}}{1-q}}\;$
Les deux cas particuliers conduisent à $\bullet \;$«$\;S_{\left[0\,,\,n\right]}=u_{0}\,{\dfrac {1-q^{(n+1)}}{1-q}}\;$» ${\big$il y a $\;n+1\;$ termes de $\;u_{0}\;$ à $\;u_{n}{\big )}$, Les deux cas particuliers conduisent à $\bullet \;$«$\;S_{\left[1\,,\,n\right]}=u_{1}\,{\dfrac {1-q^{n}}{1-q}}\;$» ${\big$il y a $\;n\;$ termes de $\;u_{1}\;$ à $\;u_{n}{\big )}$.

## Suite arithmético-géométrique
### Définition d'une suite arithmético-géométrique

$\;(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;n+1\;$
$\;n\;$
$\;u_{n+1}=a\times u_{n}+b,\;\;\forall \;n\geqslant n_{0}\;$
$\;a\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;\neq 1\;$
$\;b\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;\neq 0\;$
$\;u_{n_{0}}\;$
${\big$
$\;n_{0}{\big )}$

### Expression du terme général
#### Induction du terme général par développement des premiers termes

* 1er terme ${\big$ou terme de rang $\;n_{0}{\big )}$ : «$\;u_{n_{0}}\;$»,
* 2ème terme ${\big$ou terme de rang $\;n_{0}+1{\big )}$ : «$\;u_{n_{0}+1}=a\;u_{n_{0}}+b\;$»,
* 3ème terme ${\big$ou terme de rang $\;n_{0}+2{\big )}$ : «$\;u_{n_{0}+2}=a\;u_{n_{0}+1}+b=a\left(a\;u_{n_{0}}+b\right)+b\;\;$» soit «$\;u_{n_{0}+2}=a^{2}\;u_{n_{0}}+a\;b+b\;$»,
* 4ème terme ${\big$ou terme de rang $\;n_{0}+3{\big )}$ : «$\;u_{n_{0}+3}=a\;u_{n_{0}+2}+b=a\left(a^{2}\;u_{n_{0}}+a\;b+b\right)+b=a^{3}\;u_{n_{0}}+a^{2}\;b+a\;b+b\;$» soit «$\;u_{n_{0}+3}=a^{3}\;u_{n_{0}}+b\left(a^{2}+a+1\right)\;$»,
* 5ème terme ${\big$ou terme de rang $\;n_{0}+4{\big )}$ : «$\;u_{n_{0}+4}=a\;u_{n_{0}+3}+b=a\left(a^{3}\;u_{n_{0}}+a^{2}\;b+a\;b+b\right)+b=a^{4}\;u_{n_{0}}+a^{3}\;b+a^{2}\;b+a\;b\;+b\;$» soit «$\;u_{n_{0}+4}=a^{4}\;u_{n_{0}}+b\left(a^{3}+a^{2}+a+1\right)\;$»,
* $\ldots$
* (n - n_0 + 1)ème terme ${\big$ou terme de rang $\;n{\big )}$ : dans tous les termes sauf le 1er, $\;a\;$ apparaît en facteur, il est donc apparu $\;(n-n_{0})\;$ fois dans le terme de rang $\;n\;$ d'où l'existence de «$\;a^{n-n_{0}}\;u_{n_{0}}\;$» et (n - n_0 + 1)ème terme $\color {transparent}{\big$ou terme de rang $\color {transparent}{\;n{\big )}}$ : dans tous les termes sauf le 1er, $\;b\;$ apparaît à l'état brut dans le 2nd, multiplié par $\;a\;$ dans le 3ème $\cdots$ (n - n_0 + 1)ème terme $\color {transparent}{\big$ou terme de rang $\color {transparent}{\;n{\big )}}$ : dans tous les termes sauf le 1er, $\;\color {transparent}{b}\;$ apparaît à l'état brut dans le 2nd, multiplié par $\;a^{(n-n_{0}-1)}\;$ dans le $\;(n-n_{0}+1)^{\text{ème}}$ (n - n_0 + 1)ème terme $\color {transparent}{\big$ou terme de rang $\color {transparent}{\;n{\big )}}$ : dans tous les termes sauf le 1er, $\;\color {transparent}{b}\;$ apparaît à l'état brut dans le 2nd, d'où l'existence de «$\;b\sum \limits _{k=0}^{n-n_{0}-1}a^{k}\;$» dans le terme de rang $\;n$ «$\;u_{n}=a^{n-n_{0}}\;u_{n_{0}}+b\sum \limits _{k=0}^{n-n_{0}-1}a^{k}\;$».

#### Validation par récurrence de l'expression du terme général

Supposant que le terme de rang $\;n\;$ s'écrive «$\;u_{n}=a^{n-n_{0}}\;u_{n_{0}}+b\sum \limits _{k=0}^{n-n_{0}-1}a^{k}\;$» $\;{\big$hypothèse de récurrence${\big )}$, il nous faut montrer que le terme de rang $\;n+1\;$ s'obtient, à partir de l'expression précédente, en remplaçant $\;n\;$ par $\;n+1\;$ soit «$\;u_{n+1}=a^{n+1-n_{0}}\;u_{n_{0}}+b\sum \limits _{k=0}^{n-n_{0}}a^{k}\;$» ;
pour cela « on reporte $\;u_{n}=a^{n-n_{0}}\;u_{n_{0}}+b\sum \limits _{k=0}^{n-n_{0}-1}a^{k}\;$ dans la relation de récurrence $\;u_{n+1}=a\;u_{n}+b\;$» $\Rightarrow$ «$\;u_{n+1}=$ $a\left(a^{n-n_{0}}\;u_{n_{0}}+b\sum \limits _{k=0}^{n-n_{0}-1}a^{k}\right)+b=a^{n+1-n_{0}}\;u_{n_{0}}+a\;b\sum \limits _{k=0}^{n-n_{0}-1}a^{k}+b\;$» ou encore, le résultat attendu «$\;u_{n+1}=a^{n+1-n_{0}}\;u_{n_{0}}+b\sum \limits _{k=0}^{n-n_{0}}a^{k}\;$» d'où la démonstration de cette expression par récurrence $\;{\big$cette expression étant établie pour les $\;5\;$ 1$^{ers}$ termes${\big )}$.
$\;u_{n}=a^{n-n_{0}}\;u_{n_{0}}+b\sum \limits _{k=0}^{n-n_{0}-1}a^{k}\;$
Il y a deux cas particuliers dépendant du rang du 1er terme $\bullet \;$« si $\;n_{0}=0\;$» ${\big$c.-à-d. si le 1er terme est de rang $\;0{\big )}$, «$\;u_{n}=a^{n}\;u_{0}+b\sum \limits _{k=0}^{n-1}a^{k}\;$», Il y a deux cas particuliers dépendant du rang du 1er terme $\bullet \;$« si $\;n_{0}=1\;$» ${\big$c.-à-d. si le 1er terme est de rang $\;1{\big )}$, «$\;u_{n}=a^{n-1}\;u_{1}+b\sum \limits _{k=0}^{n-2}a^{k}\;$».

#### Simplification de l'expression du terme général

Nous pouvons simplifier l'expression du terme général de la suite arithmético-géométrique Nous pouvons simplifier en reconnaissant dans son 2ème terme «$\;b\sum \limits _{k=0}^{n-n_{0}-1}a^{k}\;$» un 2ème facteur «$\;\sum \limits _{k=0}^{n-n_{0}-1}a^{k}\;$» dont la simplification dépend de la valeur de $\;a$ : Nous pouvons simplifier en reconnaissant dans son 2ème terme «$\;\color {transparent}{b\sum \limits _{k=0}^{n-n_{0}-1}a^{k}}\;$» $\succ \;$« si $\;a\neq 1\;$», «$\;\sum \limits _{k=0}^{n-n_{0}-1}a^{k}\;$» étant la somme des $\;n-n_{0}\;$ 1$^{ers}$ termes d'une progression géométrique Nous pouvons simplifier en reconnaissant dans son 2ème terme « » $\color {transparent}{\succ }\;$« si $\;\color {transparent}{a\neq 1}\;$», « » étant la somme des $\;\color {transparent}{n-n_{0}}\;$ 1$^{ers}$ termes de 1er terme $\;1\;$ et de raison $\;a\neq 1\;$ $\Rightarrow$ Nous pouvons simplifier en reconnaissant dans son 2ème terme « » $\color {transparent}{\succ }\;$« si $\;\color {transparent}{a\neq 1}\;$», «$\;\sum \limits _{k=0}^{n-n_{0}-1}a^{k}={\dfrac {1-a^{n-n_{0}}}{1-a}}\;$», Nous pouvons simplifier en reconnaissant dans son 2ème terme «$\;\color {transparent}{b\sum \limits _{k=0}^{n-n_{0}-1}a^{k}}\;$» $\succ \;$« si $\;a=1\;$», «$\;\sum \limits _{k=0}^{n-n_{0}-1}a^{k}\;$ se réécrivant $\;\sum \limits _{k=0}^{n-n_{0}-1}1^{k}\;$ est égal à la somme de $\;1\;$ répété $\;(n-n_{0})\;$ fois », soit Nous pouvons simplifier en reconnaissant dans son 2ème terme « » $\color {transparent}{\succ }\;$« si $\;\color {transparent}{a=1}\;$», « se réécrivant «$\;\sum \limits _{k=0}^{n-n_{0}-1}1^{k}=n-n_{0}\;$»,
d'où l'expression simplifiée du terme général $\bullet \;$« pour $\;a\neq 1\;$», «$\;u_{n}=a^{n-n_{0}}\;u_{n_{0}}+b\;{\dfrac {1-a^{n-n_{0}}}{1-a}}\;$», d'où l'expression simplifiée du terme général $\bullet \;$« pour $\;a=1\;$», «$\;u_{n}=u_{n_{0}}+b\;(n-n_{0})\;$».
Le retour sur les deux cas particuliers $\;{\big$dans le cas où $\;a\neq 1{\big )}\;$ dépendant du rang du 1er terme conduit à $\bullet \;$« pour $\;n_{0}=0\;$» ${\big$c.-à-d. si le 1er terme est de rang $\;0{\big )}$, «$\;u_{n}=a^{n}\;u_{0}+b\;{\dfrac {1-a^{n}}{1-a}}\;$», Le retour sur les deux cas particuliers $\;\color {transparent}{\big$dans le cas où $\;\color {transparent}{a\neq 1{\big )}}\;$ dépendant du rang du 1er terme conduit à $\bullet \;$« pour $\;n_{0}=1\;$» ${\big$c.-à-d. si le 1er terme est de rang $\;1{\big )}$, «$\;u_{n}=a^{n-1}\;u_{1}+b\;{\dfrac {1-a^{n-1}}{1-a}}\;$».

### Somme des premiers termes d'une suite arithmético-géométrique jusqu'au rang n

Soit la « suite arithmético-géométrique $\;(u_{n})\;$ de 1er terme $\;u_{n_{0}}$, de constantes $\;a\neq 1\;$ et $\;b\;$ quelconque dans la relation affine de récurrence $\;u_{n+1}=a\;u_{n}+b\;$», Soit la « suite arithmético-géométrique $\;\color {transparent}{(u_{n})}\;$ de 1er terme $\;\color {transparent}{u_{n_{0}}}$, de constantes $\;\color {transparent}{a\neq 1}\;$ et $\;\color {transparent}{b}\;$ quelconque on définit la « somme des 1$^{ers}$ termes jusqu'au rang $\;n\;$» par «$\;S_{\left[n_{0}\,,\,n\right]}=\sum \limits _{p=n_{0}}^{n}u_{p}\;$» ;
son expression se réécrit «$\;S_{\left[n_{0}\,,\,n\right]}=\sum \limits _{p=n_{0}}^{n}\left[a^{p-n_{0}}\;u_{n_{0}}+b\;{\dfrac {1-a^{p-n_{0}}}{1-a}}\right]=u_{n_{0}}\left[\sum \limits _{p=n_{0}}^{n}a^{(p-n_{0})}\right]+{\dfrac {b}{1-a}}\left\lbrace \sum \limits _{p=n_{0}}^{n}\left[1-a^{(p-n_{0})}\right]\right\rbrace \;$» ou, après factorisation, son expression se réécrit «$\;S_{\left[n_{0}\,,\,n\right]}=\left[u_{n_{0}}-{\dfrac {b}{1-a}}\right]\left[\sum \limits _{p=n_{0}}^{n}a^{(p-n_{0})}\right]+{\dfrac {b}{1-a}}(n-n_{0}+1)\;$» ou, avec la somme des $\;n-n_{0}\;$ 1$^{ères}$ puissances entières naturelles de $\;a$, son expression se réécrit «$\;\sum \limits _{p=n_{0}}^{n}a^{(p-n_{0})}={\dfrac {1-a^{(n-n_{0}+1)}}{1-a}}\;$», son expression se réécrit «$\;S_{\left[n_{0}\,,\,n\right]}=\left[u_{n_{0}}-{\dfrac {b}{1-a}}\right]{\dfrac {1-a^{(n-n_{0}+1)}}{1-a}}+{\dfrac {b}{1-a}}(n-n_{0}+1)\;$» ;
le résultat précédent peut encore se réécrire en faisant apparaître les deux termes extrêmes de la somme c.-à-d. «$\;u_{n_{0}}\;$» et «$\;u_{n}=a^{n-n_{0}}\;u_{n_{0}}+b\;{\dfrac {1-a^{n-n_{0}}}{1-a}}\;$», en effet le résultat précédent peut encore se réécrire «$\;S_{\left[n_{0}\,,\,n\right]}=\left[u_{n_{0}}-{\dfrac {b}{1-a}}\right]{\dfrac {1}{1-a}}-a\left[u_{n_{0}}\;a^{(n-n_{0})}-{\dfrac {b}{1-a}}\;a^{(n-n_{0})}\right]{\dfrac {1}{1-a}}+{\dfrac {b}{1-a}}(n-n_{0}+1)\;$» ou, le résultat précédent peut encore se réécrire «$\;S_{\left[n_{0}\,,n\,\right]}=\left[u_{n_{0}}-{\dfrac {b}{1-a}}\right]{\dfrac {1}{1-a}}-a\left[u_{n}-{\dfrac {b}{1-a}}\right]{\dfrac {1}{1-a}}+{\dfrac {b}{1-a}}(n-n_{0}+1)\;$» ou, après factorisation partielle, le résultat précédent peut encore se réécrire «$\;S_{\left[n_{0}\,,\,n\right]}={\dfrac {u_{n_{0}}-a\,u_{n}}{1-a}}-{\dfrac {b}{(1-a)^{2}}}\left(1-a\right)+{\dfrac {b}{1-a}}(n-n_{0}+1)={\dfrac {u_{n_{0}}-a\,u_{n}}{1-a}}-{\dfrac {b}{1-a}}+{\dfrac {b}{1-a}}(n-n_{0}+1)\;$» soit le résultat précédent peut encore se réécrire «$\;S_{\left[n_{0}\,,\,n\right]}={\dfrac {u_{n_{0}}-a\,u_{n}}{1-a}}+{\dfrac {b}{1-a}}\;(n-n_{0})\;$».
Les deux cas particuliers dépendant du rang du 1er terme donnent $\bullet \;$« si $\;n_{0}=0\;$» ${\big$c.-à-d. si le 1er terme est de rang $\;0{\big )}$, «$\;S_{\left[0\,,\,n\right]}={\dfrac {u_{0}-a\,u_{n}}{1-a}}+{\dfrac {b}{1-a}}\;n$ Les deux cas particuliers dépendant du rang du 1er terme donnent $\color {transparent}{\bullet }\;$« si $\;\color {transparent}{n_{0}=0}\;$» $\color {transparent}{\big$c.-à-d. si le 1er terme est de rang $\;\color {transparent}{0{\big )}}$, «$\;\color {transparent}{S_{\left[0\,,\,n\right]}}$ $=\left[u_{0}-{\dfrac {b}{1-a}}\right]{\dfrac {1-a^{(n+1)}}{1-a}}+{\dfrac {b}{1-a}}\;(n+1)\;$», Les deux cas particuliers dépendant du rang du 1er terme donnent $\bullet \;$« si $\;n_{0}=1\;$» ${\big$c.-à-d. si le 1er terme est de rang $\;1{\big )}$, «$\;S_{\left[1\,,\,n\right]}={\dfrac {u_{1}-a\,u_{n}}{1-a}}+{\dfrac {b}{1-a}}\;(n-1)$ Les deux cas particuliers dépendant du rang du 1er terme donnent $\color {transparent}{\bullet }\;$« si $\;\color {transparent}{n_{0}=1}\;$» $\color {transparent}{\big$c.-à-d. si le 1er terme est de rang $\;\color {transparent}{1{\big )}}$, «$\;\color {transparent}{S_{\left[1\,,\,n\right]}}$ $=\left[u_{1}-{\dfrac {b}{1-a}}\right]{\dfrac {1-a^{n}}{1-a}}+{\dfrac {b}{1-a}}\;n\;$».