# Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Les matrices carrées, leur réduction, généralités
## Définition de la réduction d'une matrice carrée

Préliminaire : Une « matrice carrée $\;\left[A\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;n\;$» étant, quelle que soit la matrice $\;\left[A\right]$, Préliminaire : la « matrice d'un endomorphisme $\;\varphi \;$ d'un $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ de dimension $\;n\;$ dans une base particulière $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ de $\;E\;$» c.-à-d. telle que Préliminaire : la «$\;\left[A\right]=\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;$», Préliminaire : on peut « envisager une nouvelle base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ de $\;E\;$ de matrice de passage $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ de la base initiale $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ à cette nouvelle base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$» Préliminaire : on peut « envisager pour que « la matrice de l'endomorphisme $\;\varphi \;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ dans cette nouvelle base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ Préliminaire : on peut « envisager pour que «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;$ soit la plus simple possible » c.-à-d. Préliminaire : on peut « trouver la matrice $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ telle que «$\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }=$ Préliminaire : on peut « trouver la matrice $\;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ telle que «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;$ soit la plus simple possible » ; Préliminaire : sachant que « la matrice de l'endomorphisme $\;\varphi \;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ dans cette nouvelle base $\;\left\lbrace C\right\rbrace$, $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;$» Préliminaire : sachant que « la matrice de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ est « une matrice carrée particulière $\;\left[B\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;n\;$ identique à $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;$» et Préliminaire : sachant que « la matrice de l'endomorphisme $\;\varphi \;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ dans la base initiale $\;\left\lbrace B\right\rbrace$, $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;$» Préliminaire : sachant que « la matrice de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ est « la matrice carrée d'origine $\;\left[A\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;n\;$ identique à $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;$», Préliminaire : le fait que «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[B\right]\;$ soit plus simple que $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[A\right]\;$» a pour conséquence que Préliminaire : le fait que « la matrice carrée particulière $\;\left[B\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;n\;$ est plus simple que la matrice carrée d'origine $\;\left[A\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;n\;$», Préliminaire : cette simplification $\;{\big$lorsqu'elle est poussée à son maximum possible${\big )}\;$ correspond à la « réduction de la matrice $\;\left[A\right]\;$».
$\;\left[A\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$
$\;{\big$
${\big )}$
$\;n\;$
$\;\varphi \;$
$\;\mathbb {R}$
$\;E\;$
$\;n\;$
$\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$
$\;\color {transparent}{\varphi }\;$
$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[A\right]\;$
$\;E\;$
$\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\;$
$\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$
$\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$
$\;\color {transparent}{E}\;$
$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[B\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$
$\;\varphi \;$
$\;E\;$
$\;\color {transparent}{E}\;$
$\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$
$\;\color {transparent}{E}\;$
$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[A\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$
$\;\varphi$
$\;E\;$
$\;\color {transparent}{E}\;$
$\;\color {transparent}{\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[A\right]}$
$\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$
$\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\;$
$\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$
$\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$
$\;E\;$
$\;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }}\;$
$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\;$
$\;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }}\;$
$\;\color {transparent}{\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)}$
$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;$
$\;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }}\;$
$\;\left[B\right]=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[A\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\;$
$\;\left[A\right]\;$
$\;\left[A\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$
$\;{\big$
${\big )}$
$\;n\;$
$\;\color {transparent}{\left[A\right]\;}$
$\;\left[B\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$
$\;\left[A\right]\;$
$\;\color {transparent}{\left[A\right]\;}$
$\;\color {transparent}{\left[B\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$
$\;\left[A\right]\;$

## Notion de déterminant d'une matrice carrée

« Une matrice carrée $\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\end{array}}\right]\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;n\;$» étant « la juxtaposition des matrices coordonnées $\;\left[{\begin{array}{c}a_{1,\,j}\\\vdots \\a_{i,\,j}\\\vdots \\a_{n,\,j}\end{array}}\right]_{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\!\!\!\!\in \;M_{n,\,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ de la famille de $\;n$ « Une matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\end{array}}\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ de dimension $\;\color {transparent}{\big$ou taille$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{n}\;$» étant « “$\;n$-uplets ” $\;\left(a_{1,\,j},\,\cdots \,a_{i,\,j},\,\cdots \,a_{n,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;\mathbb {R} ^{n}\;$ « Une matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\end{array}}\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ de dimension $\;\color {transparent}{\big$ou taille$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{n}\;$» étant « dans la base canonique $\;\left\lbrace E\right\rbrace =\left\lbrace e_{1},\cdots e_{i},\cdots e_{n}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,n}\;$ de ce dernier » avec « Une matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\end{array}}\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ de dimension $\;\color {transparent}{\big$ou taille$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{n}\;$» étant «$\;e_{i}=\left(\delta _{1,\,i},\cdots \delta _{k,\,i},\cdots \delta _{m,\,i}\right)_{1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,m}\;$ où $\;\delta _{k,\,i}=\left\lbrace {\begin{array}{c}0\;\;{\text{si }}k\neq i\\1\;\;{\text{si }}k=i\end{array}}\right\rbrace \;$ « Une matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\end{array}}\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ de dimension $\;\color {transparent}{\big$ou taille$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{n}\;$» étant «$\;\color {transparent}{e_{i}=\left(\delta _{1,\,i},\cdots \delta _{k,\,i},\cdots \delta _{m,\,i}\right)_{1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,m}}\;$ où $\;\color {transparent}{\delta _{k,\,i}};$ est le symbole de Kronecker », « le déterminant de la matrice carrée $\;\left[A\right]\;$» est défini comme « le déterminant de la famille de ses$\;n\;$“$n$-uplets ”$\;x_{j\,\in \,\left[\left[1\,,\,n\right]\right]}=\left(a_{1,\,j},\,\cdots \,a_{i,\,j},\,\cdots \,a_{n,\,j}\right)\;$dans la base canonique de $\;\mathbb {R} ^{n}\;$», « le déterminant de la matrice carrée$\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$» il se calcule selon la « formule de Leibniz » «$\;\mathrm {det} \!\left(A\right)=\mathrm {det} _{\left\lbrace E\right\rbrace }\!\left(x_{1},\,\cdots \,x_{j},\,\cdots \,x_{n}\right)=\sum \limits _{\sigma \,\in \,S_{n}}\left[\varepsilon (\sigma )\;\prod \limits _{j=1}^{n}a_{\sigma (j),\,j}\right]\;$» avec « le déterminant de la matrice carrée$\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$» il se calcule selon la « formule de Leibniz » «$\;\sigma \;$ une permutation de $\;S_{n}\;$» $\;{\Big$ensemble des permutations des éléments de $\;\left[\left[1\,,\,n\right]\right]{\Big )}$, « le déterminant de la matrice carrée$\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$» il se calcule selon la « formule de Leibniz » «$\;\sigma (j)\;$ étant le jème élément de la permutation $\;\sigma \;$» soit «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left[\left[1\,,\,n\right]\right]\!\!&{\text{:}}\!\!&1\!\!&\cdots \!\!&j\!\!&\cdots \!\!&n\\\sigma \!\!&{\text{:}}\!\!&\sigma (1)\!\!&\cdots \!\!&\sigma (j)\!\!&\cdots \!\!&\sigma (n)\end{array}}\right\rbrace \;$» et « le déterminant de la matrice carrée$\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$» il se calcule selon la « formule de Leibniz » «$\;\varepsilon (\sigma )\;$ la signature de la permutation $\;\sigma \;$» soit «$\;\varepsilon (\sigma )=\left\lbrace {\begin{array}{l}+1\;\;{\text{si }}\;\sigma \;{\text{est paire}}\\-1\;\;{\text{si }}\;\sigma \;{\text{est impaire}}\end{array}}\right\rbrace \;$», « le déterminant de la matrice carrée$\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$» il se calcule selon la « formule de Leibniz » « une permutation $\;\sigma \;$ étant $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\text{paire}}\\{\text{impaire}}\end{array}}\right\rbrace \;$ si le nombre d'inversions est $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\text{pair}}\\{\text{impair}}\end{array}}\right\rbrace \;$».
Remarque : la « formule de Leibniz » permet de définir le déterminant d'une matrice carrée mais Remarque : la « formule de Leibniz » n'est pas la façon la plus efficace pour le calculer, Remarque : nous allons néanmoins l'utiliser sur deux exemples de matrice carrée de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;\left(3\,,\,3\right)\;$ pour préciser cette méthode : Remarque : $\succ \;$1er exemple : $\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&3&6\\1&4&7\\2&5&8\end{array}}\right)=\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&3&6\;\\\;1&4&7\;\\\;2&5&8\;\end{array}}\;\;$ ; $\bullet \;$lister tout d'abord les six $\;{\big3\,!{\big )}\;$ permutations de colonnes numérotées de $\;1\;$ à $\;3\;$ en déterminant la signature de chacune Remarque : $\;\color {transparent}{\succ }\;$1er exemple : $\color {transparent}{\bullet }\;$$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\sigma _{1}{\text{ :}}\!\!&1&2&3&{\text{:}}\!\!&+1\\\sigma _{2}{\text{ :}}\!\!&1&3&2&{\text{:}}\!\!&-1\\\sigma _{3}{\text{ :}}\!\!&2&1&3&{\text{:}}\!\!&-1\\\sigma _{4}{\text{ :}}\!\!&2&3&1&{\text{:}}\!\!&+1\\\sigma _{5}{\text{ :}}\!\!&3&1&2&{\text{:}}\!\!&+1\\\sigma _{6}{\text{ :}}\!\!&3&2&1&{\text{:}}\!\!&-1\end{array}}\right\rbrace \;$ puis Remarque : $\;\color {transparent}{\succ }\;$1er exemple : $\bullet \;$évaluer chaque produit associé à une permutation $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\sigma _{1}{\text{ :}}\!\!&+0\times 4\times 8&=+0\\\sigma _{2}{\text{ :}}\!\!&-0\times 5\times 7&=-0\\\sigma _{3}{\text{ :}}\!\!&-1\times 3\times 8&=-24\\\sigma _{4}{\text{ :}}\!\!&+1\times 5\times 6&=+30\\\sigma _{5}{\text{ :}}\!\!&+2\times 3\times 7&=+42\\\sigma _{6}{\text{ :}}\!\!&-2\times 4\times 6&=-48\end{array}}\right\rbrace \;$ soit au final Remarque : $\;\color {transparent}{\succ }\;$1er exemple : $\bullet \;$«$\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&3&6\\1&4&7\\2&5&8\end{array}}\right)=\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&3&6\;\\\;1&4&7\;\\\;2&5&8\;\end{array}}\;=+0-0-24+30+42-48=0\;$» ; Remarque : $\succ \;$2ème exemple : $\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&4&6\\1&5&7\\2&3&8\end{array}}\right)=\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&4&6\;\\\;1&5&7\;\\\;2&3&8\;\end{array}}\;\;$ ; $\bullet \;$lister tout d'abord les six $\;{\big3\,!{\big )}\;$ permutations de colonnes numérotées de $\;1\;$ à $\;3\;$ en déterminant la signature de chacune Remarque : $\;\color {transparent}{\succ }\;$2ème exemple : $\color {transparent}{\bullet }\;$$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\sigma _{1}{\text{ :}}\!\!&1&2&3&{\text{:}}\!\!&+1\\\sigma _{2}{\text{ :}}\!\!&1&3&2&{\text{:}}\!\!&-1\\\sigma _{3}{\text{ :}}\!\!&2&1&3&{\text{:}}\!\!&-1\\\sigma _{4}{\text{ :}}\!\!&2&3&1&{\text{:}}\!\!&+1\\\sigma _{5}{\text{ :}}\!\!&3&1&2&{\text{:}}\!\!&+1\\\sigma _{6}{\text{ :}}\!\!&3&2&1&{\text{:}}\!\!&-1\end{array}}\right\rbrace \;$ puis Remarque : $\;\color {transparent}{\succ }\;$2ème exemple : $\bullet \;$évaluer chaque produit associé à une permutation $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\sigma _{1}{\text{ :}}\!\!&+0\times 5\times 8&=+0\\\sigma _{2}{\text{ :}}\!\!&-0\times 3\times 7&=-0\\\sigma _{3}{\text{ :}}\!\!&-1\times 4\times 8&=-32\\\sigma _{4}{\text{ :}}\!\!&+1\times 3\times 6&=+18\\\sigma _{5}{\text{ :}}\!\!&+2\times 4\times 7&=+56\\\sigma _{6}{\text{ :}}\!\!&-2\times 5\times 6&=-60\end{array}}\right\rbrace \;$ soit au final Remarque : $\;\color {transparent}{\succ }\;$2ème exemple : $\bullet \;$«$\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&4&6\\1&5&7\\2&3&8\end{array}}\right)=\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&4&6\;\\\;1&5&7\;\\\;2&3&8\;\end{array}}\;=+0-0-32+18+56-60=-18\;$».

## Évaluation pratique du déterminant d'une matrice carrée par formule de Laplace
### Notion de comatrice d'une matrice carrée

Soit « la matrice carrée $\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\end{array}}\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;n\;$», on appelle Soit « la matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]}$ $\bullet \;$« cofacteur d'indice $\;_{i,\,j}\;$ de la matrice $\;\left[A\right]\;$» « le réel $\;\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}:=\mathrm {det} \!\left({A'}_{i,\,j}\right)\;$» où «$\;\left[{A'}_{i,\,j}\right]\;$ est la matrice carrée de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;n\;$ déduite de $\;\left[A\right]\;$ Soit « la matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]}$ $\color {transparent}{\bullet }\;$« cofacteur d'indice $\;\color {transparent}{_{i,\,j}}\;$ de la matrice $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$» « le réel $\;\color {transparent}{\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}:=\mathrm {det} \!\left({A'}_{i,\,j}\right)}\;$» où «$\;\color {transparent}{\left[{A'}_{i,\,j}\right]}\;$ en remplaçant la jème colonne par une colonne constituée de $\;0\;$ Soit « la matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]}$ $\color {transparent}{\bullet }\;$« cofacteur d'indice $\;\color {transparent}{_{i,\,j}}\;$ de la matrice $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$» « le réel $\;\color {transparent}{\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}:=\mathrm {det} \!\left({A'}_{i,\,j}\right)}\;$» où «$\;\color {transparent}{\left[{A'}_{i,\,j}\right]}\;$ à l'exception du cœfficient de la ième ligne remplacé par $\;1\;$» soit Soit « la matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]}$ $\color {transparent}{\bullet }\;$« cofacteur d'indice $\;\color {transparent}{_{i,\,j}}\;$ de la matrice $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$» « le réel $\;\color {transparent}{\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}:=\mathrm {det} \!\left({A'}_{i,\,j}\right)}\;$» où «$\;\left[{A'}_{i,\,j}\right]=\left[{\begin{array}{c}a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&{\cancel {a_{1,\,j}}}\rightsquigarrow 0\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\\\!\!&\!\!&{\cancel {\vdots }}\rightsquigarrow 0\!\!&\!\!&\\a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&{\cancel {a_{i,\,j}}}\rightsquigarrow 1\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\\\!\!&\!\!&{\cancel {\vdots }}\rightsquigarrow 0\!\!&\!\!&\\a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&{\cancel {a_{n,\,j}}}\rightsquigarrow 0\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\end{array}}\right]\!\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» $\Rightarrow$ Soit « la matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]}$ $\color {transparent}{\bullet }\;$« cofacteur d'indice $\;\color {transparent}{_{i,\,j}}\;$ de la matrice $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$» le réel «$\;\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}:=(-1)^{i+j}\;\mathrm {det} \!\left(A_{i,\,j}\right)\;$» où «$\;\left[A_{i,\,j}\right]\;$ la sous-matrice carrée de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;n-1\;$ Soit « la matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]}$ $\color {transparent}{\bullet }\;$« cofacteur d'indice $\;\color {transparent}{_{i,\,j}}\;$ de la matrice $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$» le réel «$\;\color {transparent}{\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}:=(-1)^{i+j}\;\mathrm {det} \!\left(A_{i,\,j}\right)}\;$» où «$\;\color {transparent}{\left[A_{i,\,j}\right]}\;$ déduite de $\;\left[A\right]\;$ en supprimant la ième ligne et Soit « la matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]}$ $\color {transparent}{\bullet }\;$« cofacteur d'indice $\;\color {transparent}{_{i,\,j}}\;$ de la matrice $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$» le réel «$\;\color {transparent}{\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}:=(-1)^{i+j}\;\mathrm {det} \!\left(A_{i,\,j}\right)}\;$» où «$\;\color {transparent}{\left[A_{i,\,j}\right]}\;$ déduite de $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ en supprimant la jème colonne » soit Soit « la matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]}$ $\color {transparent}{\bullet }\;$« cofacteur d'indice $\;\color {transparent}{_{i,\,j}}\;$ de la matrice $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$» le réel «$\;\color {transparent}{\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}:=(-1)^{i+j}\;\mathrm {det} \!\left(A_{i,\,j}\right)}\;$» où «$\;\left[A_{i,\,j}\right]\!=\!\left[\!{\begin{array}{c c c c c c}a_{1,\,1}\!\!&\!\!\cdots \!\!&\!\!a_{1,\,j-1}\!\!&\!\!a_{1,\,j+1}\!\!&\!\!\cdots \!\!&\!\!a_{1,\,n}\\\!\!&\!\!\!\!&\!\!\vdots \!\!&\!\!\vdots \!\!&\!\!\!\!&\!\!\\a_{i-1,\,1}\!\!&\!\!\cdots \!\!&\!\!a_{i-1,\,j-1}\!\!&\!\!a_{i-1,\,j+1}\!\!&\!\!\cdots \!\!&\!\!a_{i-1,\,n}\\a_{i+1,\,1}\!\!&\!\!\cdots \!\!&\!\!a_{i+1,\,j-1}\!\!&\!\!a_{i+1,\,j+1}\!\!&\!\!\cdots \!\!&\!\!a_{i+1,\,n}\\\!\!&\!\!\!\!&\!\!\vdots \!\!&\!\!\vdots \!\!&\!\!\!\!&\!\!\\a_{n,\,1}\!\!&\!\!\cdots \!\!&\!\!a_{n,\,j-1}\!\!&\!\!a_{n,\,j+1}\!\!&\!\!\cdots \!\!&\!\!a_{n,\,n}\end{array}}\!\right]$ $\in M_{n-1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$», Soit « la matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]}$ $\color {transparent}{\bullet }\;$« cofacteur d'indice $\;\color {transparent}{_{i,\,j}}\;$ de la matrice $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$» le réel «$\;\color {transparent}{\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}:=(-1)^{i+j}}$«$\;\mathrm {det} \!\left(A_{i,\,j}\right)\;$ définissant un mineur de $\;\left[A\right]\;$» puis Soit « la matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]}$ $\bullet \;$« comatrice de $\;\left[A\right]\;$ la matrice de ses cofacteurs » : «$\;\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace =\left[{\begin{array}{c}\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{1,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}\!\!&\cdots \!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{n,\,j}\!\!&\cdots \!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{n,\,n}\end{array}}\right]\!\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$».

### Formule de Laplace pour évaluer le déterminant d'une matrice carrée

On peut calculer le déterminant de la matrice $\;\left[A\right]\;\in M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ en le développant en fonction des cœfficients d'une seule colonne $\;{\big$ou d'une seule ligne${\big )}\;$ et des cofacteurs correspondants.
Cette formule est dite « formule de Laplace », elle permet de « ramener le calcul d'un déterminant d'ordre $\;n\;$ à celui de $\;n\;$ de déterminants d'ordre $\;n-1\;$».
Formules de développement du déterminant «$\;\mathrm {det} \!\left(A\right)={\begin{array}{|c c c c c|}\;a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\;\end{array}}\;$ d'ordre $\;n\;$» : $\bullet \;$par rapport à la colonne $\;j$ : «$\;\mathrm {det} \!\left(A\right)=\sum _{i=1}^{n}a_{i,\,j}\;\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}$ Formules de développement du déterminant «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}\;$ d'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$» : $\color {transparent}{\bullet }\;$par rapport à la colonne $\;\color {transparent}{j}$ : «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}$ $=\sum _{i=1}^{n}a_{i,\,j}\;(-1)^{i+j}\;\mathrm {det} \!\left(A_{i,\,j}\right)\;$» ; Formules de développement du déterminant «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}\;$ d'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$» : $\bullet \;$par rapport à la ligne $\;i$ : «$\;\mathrm {det} \!\left(A\right)=\sum _{j=1}^{n}a_{i,\,j}\;\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}$ Formules de développement du déterminant «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}\;$ d'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$» : $\color {transparent}{\bullet }\;$par rapport à la ligne $\;\color {transparent}{i}$ : «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}$ $=\sum _{j=1}^{n}a_{i,\,j}\;(-1)^{i+j}\;\mathrm {det} \!\left(A_{i,\,j}\right)\;$».

### Retour sur les deux exemples exposés précédemment

Retour sur le 1er exemple : $\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&3&6\\1&4&7\\2&5&8\end{array}}\right)=\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&3&6\;\\\;1&4&7\;\\\;2&5&8\;\end{array}}\;\;$ ; le plus simple est de développer selon la 1ère colonne ou la 1ère ligne par formule de Laplace soit Retour sur le 1er exemple : $\succ \;$selon la 1ère colonne : $\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&3&6\\1&4&7\\2&5&8\end{array}}\right)=\;{\cancel {0\;\;{\begin{array}{|c c|}\;4&7\;\\\;5&8\;\end{array}}}}\;-1\;\;{\begin{array}{|c c|}\;3&6\;\\\;5&8\;\end{array}}+2\;\;{\begin{array}{|c c|}\;3&6\;\\\;4&7\;\end{array}}\;$ dans lequel Retour sur le 1er exemple : $\color {transparent}{\succ }\;$selon la 1ère colonne : $\;{\begin{array}{|c c|}\;3&6\;\\\;5&8\;\end{array}}=3\times 8-5\times 6=-6\;$ et $\;{\begin{array}{|c c|}\;3&6\;\\\;4&7\;\end{array}}=3\times 7-4\times 6=$ $-3\;$ d'où Retour sur le 1er exemple : $\color {transparent}{\succ }\;$selon la 1ère colonne : $\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&3&6\\1&4&7\\2&5&8\end{array}}\right)=-1\times (-6)+2\times (-3)=0\;$ en accord avec le résultat trouvé précédemment ; Retour sur le 1er exemple : $\succ \;$selon la 1ère ligne : $\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&3&6\\1&4&7\\2&5&8\end{array}}\right)=\;{\cancel {0\;\;{\begin{array}{|c c|}\;4&7\;\\\;5&8\;\end{array}}}}\;-3\;\;{\begin{array}{|c c|}\;1&7\;\\\;2&8\;\end{array}}+6\;\;{\begin{array}{|c c|}\;1&4\;\\\;2&5\;\end{array}}\;$ dans lequel Retour sur le 1er exemple : $\color {transparent}{\succ }\;$selon la 1ère ligne : $\;{\begin{array}{|c c|}\;1&7\;\\\;2&8\;\end{array}}=$ $1\times 8-2\times 7=-6\;$ et $\;{\begin{array}{|c c|}\;1&4\;\\\;2&5\;\end{array}}=1\times 5-2\times 4=-3\;$ d'où Retour sur le 1er exemple : $\color {transparent}{\succ }\;$selon la 1ère ligne : $\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&3&6\\1&4&7\\2&5&8\end{array}}\right)=-3\times (-6)+6\times (-3)=0\;$ identique au résultat trouvé précédemment.
Retour sur le 2ème exemple : $\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&4&6\\1&5&7\\2&3&8\end{array}}\right)=\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&4&6\;\\\;1&5&7\;\\\;2&3&8\;\end{array}}\;\;$ ; le plus simple est de développer selon la 1ère colonne ou la 1ère ligne par formule de Laplace soit Retour sur le 2ème exemple : $\succ \;$selon la 1ère colonne : $\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&4&6\\1&5&7\\2&3&8\end{array}}\right)=\;{\cancel {0\;\;{\begin{array}{|c c|}\;5&7\;\\\;3&8\;\end{array}}}}\;-1\;\;{\begin{array}{|c c|}\;4&6\;\\\;3&8\;\end{array}}+2\;\;{\begin{array}{|c c|}\;4&6\;\\\;5&7\;\end{array}}\;$ dans lequel Retour sur le 2ème exemple : $\color {transparent}{\succ }\;$selon la 1ère colonne : $\;{\begin{array}{|c c|}\;4&6\;\\\;3&8\;\end{array}}=4\times 8-3\times 6=14\;$ et $\;{\begin{array}{|c c|}\;4&6\;\\\;5&7\;\end{array}}=4\times 7-5\times 6=-2\;$ d'où Retour sur le 2ème exemple : $\color {transparent}{\succ }\;$selon la 1ère colonne : $\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&4&6\\1&5&7\\2&3&8\end{array}}\right)=-1\times 14+2\times (-2)=-18\;$ en accord avec le résultat trouvé précédemment ; Retour sur le 2ème exemple : $\succ \;$selon la 1ère ligne : $\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&4&6\\1&5&7\\2&3&8\end{array}}\right)=\;{\cancel {0\;\;{\begin{array}{|c c|}\;5&7\;\\\;3&8\;\end{array}}}}\;-4\;\;{\begin{array}{|c c|}\;1&7\;\\\;2&8\;\end{array}}+6\;\;{\begin{array}{|c c|}\;1&5\;\\\;2&3\;\end{array}}\;$ dans lequel Retour sur le 2ème exemple : $\color {transparent}{\succ }\;$selon la 1ère ligne : $\;{\begin{array}{|c c|}\;1&7\;\\\;2&8\;\end{array}}=1\times 8-2\times 7=-6\;$ et $\;{\begin{array}{|c c|}\;1&5\;\\\;2&3\;\end{array}}=1\times 3-2\times 5=-7\;$ d'où Retour sur le 2ème exemple : $\color {transparent}{\succ }\;$selon la 1ère ligne : $\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&4&6\\1&5&7\\2&3&8\end{array}}\right)=-4\times (-6)+6\times (-7)=-18\;$ identique au résultat trouvé précédemment.
Conclusion : on constate que l'utilisation de la formule de Laplace pour évaluer le déterminant d'une matrice carrée fait intervenir un calcul toujours plus simple que la formule de définition de Leibniz et ceci même si la colonne $\;{\big$ou la ligne${\big )}\;$ selon laquelle le développement est fait ne contient pas de zéros $\;\ldots$

## Quelques propriétés pratiques du déterminant d'une matrice carrée de dimension (ou taille) n
### Énoncé et démonstration de quelques propriétés pratiques du déterminant d'une matrice carrée de dimension (ou taille) n

$\succ \;1\;$
$\;(-1)^{(j-1)}$
$\succ \;2\;$Le déterminant d'une matrice carrée avec deux colonnes identiques est nul.
$\succ \;3\;$Le déterminant d'une matrice carrée est multiplié par le scalaire $\;\alpha \;$ si on multiplie une des colonnes de la matrice par le scalaire $\;\alpha$.
$\succ \;4\;$Le déterminant d'une matrice carrée est inchangé si on ajoute à une colonne une C.L. des autres.
$\succ \;5\;$Le déterminant d'une matrice carrée dont les colonnes sont liées est nul.
$\succ \;1',\;2',\;3',\;4'\;$
$\;5'\;$
Démonstrations : Soit « la matrice carrée $\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\end{array}}\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;n\;$» et « son déterminant $\;\mathrm {det} (A)=\;{\begin{array}{|c c c c c|}\;a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\;\end{array}}\;$», Démonstrations : nous nous proposons d'effectuer successivement les démonstrations des $\;5\;$ principales propriétés énoncées ci-dessus, Démonstrations : nous nous proposons d'effectuer successivement des démonstrations analogues pourraient être établies en remplaçant colonne par ligne.
Démonstrations : Propriété 1 : Supposons que l'« on déplace la colonne $\;C_{j\,\neq \,1}=\left({\begin{array}{c}a_{1,\,j}\\\vdots \\a_{i,\,j}\\\vdots \\a_{n,\,j}\end{array}}\right)\;$ devant la 1ère colonne $\;C_{1}=\left({\begin{array}{c}a_{1,\,1}\\\vdots \\a_{i,\,1}\\\vdots \\a_{n,\,1}\end{array}}\right)\;$» et Démonstrations : Propriété 1 : comparons le « nouveau déterminant $\;\mathrm {det} (A')=\;{\begin{array}{|c c c c c c|}\;a_{1,\,j}\!\!&a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j-1}\!\!&a_{1,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{i,\,j}\!\!&a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,j-1}\!\!&a_{i,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{n,\,j}\!\!&a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,j-1}\!\!&a_{n,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\;\end{array}}\;$» au « déterminant initial $\;\mathrm {det} (A)=\;{\begin{array}{|c c c c c|}\;a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\;\end{array}}\;$» Démonstrations : Propriété 1 : comparons en développant, selon la formule de Laplace, « le nouveau déterminant $\;\mathrm {det} (A')\;$ selon la nouvelle 1ère colonne $\;{C'}_{1}=\left({\begin{array}{c}a_{1,\,j}\\\vdots \\a_{i,\,j}\\\vdots \\a_{n,\,j}\end{array}}\right)\;$» soit Démonstrations : Propriété 1 : comparons en développant, selon la formule de Laplace, « le nouveau déterminant $\;\mathrm {det} (A')=\sum _{i=1}^{n}a_{i,\,j}\;\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A'\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i,\,j}\;(-1)^{i+1}\;\mathrm {det} \!\left({A'}_{i,\,j}\right)\;$ ou Démonstrations : Propriété 1 : comparons en développant, selon la formule de Laplace, « le nouveau déterminant $\;\color {transparent}{\mathrm {det} (A')=\sum _{i=1}^{n}a_{i,\,j}\;\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A'\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}}$ $=\sum _{i=1}^{n}a_{i,\,j}\;(-1)^{i+1}\;\mathrm {det} \!\left(A_{i,\,j}\right)\;$ et Démonstrations : Propriété 1 : comparons en développant, selon la formule de Laplace, « le déterminant initial $\;\mathrm {det} (A)\;$ selon la jème colonne $\;C_{j}=\left({\begin{array}{c}a_{1,\,j}\\\vdots \\a_{i,\,j}\\\vdots \\a_{n,\,j}\end{array}}\right)\;$» soit Démonstrations : Propriété 1 : comparons en développant, selon la formule de Laplace, « le déterminant initial $\;\mathrm {det} (A)=\sum _{i=1}^{n}a_{i,\,j}\;\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i,\,j}\;(-1)^{i+j}\;\mathrm {det} \!\left(A_{i,\,j}\right)\;$ d'où Démonstrations : Propriété 1 : comparons en développant, selon la formule de Laplace, «$\;\mathrm {det} (A')=(-1)^{j-1}\left\lbrace \sum _{i=1}^{n}a_{i,\,j}\;(-1)^{i-j+2}\;\mathrm {det} \!\left(A_{i,\,j}\right)\right\rbrace =(-1)^{j-1}\left\lbrace \sum _{i=1}^{n}a_{i,\,j}\;(-1)^{i+j}\;\mathrm {det} \!\left(A_{i,\,j}\right)\right\rbrace \;$ Démonstrations : Propriété 1 : comparons en développant, selon la formule de Laplace, «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} (A')}$ $=(-1)^{j-1}\;\mathrm {det} (A)\;$» C.Q.F.D..
Démonstrations : Propriété 2 : Supposons « la colonne $\;C_{j\,\neq \,1}=\left({\begin{array}{c}a_{1,\,j}\\\vdots \\a_{i,\,j}\\\vdots \\a_{n,\,j}\end{array}}\right)\;$ identique à la colonne $\;C_{1}=\left({\begin{array}{c}a_{1,\,1}\\\vdots \\a_{i,\,1}\\\vdots \\a_{n,\,1}\end{array}}\right)\;$» et Démonstrations : Propriété 2 : effectuons le développement du déterminant par utilisation de la formule de Laplace selon la 1ère ligne soit Démonstrations : Propriété 2 : effectuons le développement du déterminant «$\;\mathrm {det} \!\left(A\right)={\begin{array}{|c c c c c|}\;a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j}\rightsquigarrow a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,j}\rightsquigarrow a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,j}\rightsquigarrow a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\;\end{array}}=\sum _{k=1}^{n}a_{1,\,k}\;\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{1,\,k}=\sum _{k=1}^{n}a_{1,\,k}\;(-1)^{1+k}\;\mathrm {det} \!\left(A_{1,\,k}\right)\;$ Démonstrations : Propriété 2 : effectuons le développement du déterminant «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}$ $=a_{1,\,1}\;\mathrm {det} \!\left(A_{1,\,1}\right)+a_{1,\,j}\;(-1)^{1+j}\;\mathrm {det} \!\left(A_{1,\,j}\right)+\sum \limits _{k=2\,..\,j-1}^{k=j+1\,..\,n}a_{1,\,k}\;(-1)^{1+k}\;\mathrm {det} \!\left(A_{1,\,k\,\neq \,1\,{\text{et}}\,j}\right)\;$ Démonstrations : Propriété 2 : effectuons le développement du déterminant «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}$ $=a_{1,\,1}\;(-1)^{j-2}\;\mathrm {det} \!\left(A_{1,\,j}\right)+a_{1,\,j}\;(-1)^{1+j}\;\mathrm {det} \!\left(A_{1,\,j}\right)+\sum \limits _{k=2\,..\,j-1}^{k=j+1\,..\,n}a_{1,\,k}\;(-1)^{1+k}\;\mathrm {det} \!\left(A_{1,\,k\,\neq \,1\,{\text{et}}\,j}\right)\;$ ou Démonstrations : Propriété 2 : effectuons le développement du déterminant «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}$ $={\cancel {a_{1,\,1}\left\lbrace 1+(-1)^{3}\right\rbrace (-1)^{j-2}\;\mathrm {det} \!\left(A_{1,\,j}\right)\;}}+\sum \limits _{k=2\,..\,j-1}^{k=j+1\,..\,n}a_{1,\,k}\;(-1)^{1+k}\;\mathrm {det} \!\left(A_{1,\,k\,\neq \,1\,{\text{et}}\,j}\right)\;$» dans laquelle Démonstrations : Propriété 2 : effectuons le développement du déterminant «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}$ chaque déterminant $\;\mathrm {det} \!\left(A_{1,\,k\,\neq \,1\,{\text{et}}\,j}\right)\;$ de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;n-1\;$ ayant deux colonnes identiques conduit Démonstrations : Propriété 2 : effectuons le développement du déterminant «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}$ après $\;n-2\;$ itérations successives à un déterminant de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;2\;$ à colonnes identiques donc nul $\Rightarrow$ Démonstrations : Propriété 2 : effectuons le développement du déterminant «$\;\mathrm {det} \!\left(A\right)={\begin{array}{|c c c c c|}\;a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j}\rightsquigarrow a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,j}\rightsquigarrow a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,j}\rightsquigarrow a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\;\end{array}}=0\;$» C.Q.F.D..
Démonstrations : Propriété 3 : « Multipliant la colonne $\;C_{j}=\left({\begin{array}{c}a_{1,\,j}\\\vdots \\a_{i,\,j}\\\vdots \\a_{n,\,j}\end{array}}\right)\;$ par le scalaire $\;\alpha \;$» nous obtenons le « nouveau déterminant $\;\mathrm {det} (A')=\;{\begin{array}{|c c c c c|}\;a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&\alpha \;a_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&\alpha \;a_{i,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&\alpha \;a_{n,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\;\end{array}}\;$» soit, Démonstrations : Propriété 3 : en développant suivant la jème colonne par formule de Laplace «$\;\mathrm {det} (A')=\sum _{i=1}^{n}\alpha \;a_{i,\,j}\;\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A'\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}=\sum _{i=1}^{n}\alpha \;a_{i,\,j}\;(-1)^{i+j}\;\mathrm {det} \!\left({A'}_{i,\,j}\right)\;$ Démonstrations : Propriété 3 : en développant suivant la jème colonne par formule de Laplace «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} (A')}$ $=\alpha \;\left\lbrace \sum _{i=1}^{n}a_{i,\,j}\;(-1)^{i+j}\;\mathrm {det} \!\left(A_{i,\,j}\right)\right\rbrace \;$ après factorisation par $\;\alpha \;$ ou encore, Démonstrations : Propriété 3 : en développant suivant la jème colonne par formule de Laplace «$\;\mathrm {det} (A')=\alpha \;\mathrm {det} (A)\;$» C.Q.F.D...
Démonstrations : Propriété 4 : « Ajoutons à la colonne $\;C_{k}=\left({\begin{array}{c}a_{1,\,k}\\\vdots \\a_{i,\,k}\\\vdots \\a_{n,\,k}\end{array}}\right)\;$ une C.L. $\;\sum \limits _{j\,\in \,\left[[1,\,n\right]]}^{j\,\neq \,k}\alpha _{j}\;C_{j}=\left({\begin{array}{c}\sum \limits _{j\,\in \,\left[[1,\,n\right]]}^{j\,\neq \,k}\alpha _{j}\;a_{1,\,j}\\\vdots \\\sum \limits _{j\,\in \,\left[[1,\,n\right]]}^{j\,\neq \,k}\alpha _{j}\;a_{i,\,j}\\\vdots \\\sum \limits _{j\,\in \,\left[[1,\,n\right]]}^{j\,\neq \,k}\alpha _{j}\;a_{n,\,j}\end{array}}\right)\;$ des autres colonnes » et Démonstrations : Propriété 4 : évaluons le nouveau déterminant «$\;\mathrm {det} (A')=\;{\begin{array}{|c c c c c|}\;a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,k}+\sum \limits _{j\,\in \,\left[[1,\,n\right]]}^{j\,\neq \,k}\alpha _{j}\;a_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,k}+\sum \limits _{j\,\in \,\left[[1,\,n\right]]}^{j\,\neq \,k}\alpha _{j}\;a_{i,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,k}+\sum \limits _{j\,\in \,\left[[1,\,n\right]]}^{j\,\neq \,k}\alpha _{j}\;a_{n,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\;\end{array}}\;$» soit, en développant suivant la kème colonne par formule de Laplace Démonstrations : Propriété 4 : «$\;\mathrm {det} (A')=\sum _{i=1}^{n}\left[\left\lbrace a_{i,\,k}+\sum \limits _{j\,\in \,\left[[1,\,n\right]]}^{j\,\neq \,k}\alpha _{j}\;a_{i,\,j}\right\rbrace \left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A'\right]\right\rbrace \right)_{i,\,k}\right]=\sum _{i=1}^{n}\left[\left\lbrace a_{i,\,k}+\sum \limits _{j\,\in \,\left[[1,\,n\right]]}^{j\,\neq \,k}\alpha _{j}\;a_{i,\,j}\right\rbrace \;(-1)^{i+k}\;\mathrm {det} \!\left({A'}_{i,\,k}\right)\right]\;$ Démonstrations : Propriété 4 : «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} (A')}$ $=\sum _{i=1}^{n}\left[\left\lbrace a_{i,\,k}+\sum \limits _{j\,\in \,\left[[1,\,n\right]]}^{j\,\neq \,k}\alpha _{j}\;a_{i,\,j}\right\rbrace \;(-1)^{i+k}\;\mathrm {det} \!\left(A_{i,\,k}\right)\right]\;$ $=\sum _{i=1}^{n}\left[a_{i,\,k}\;(-1)^{i+k}\;\mathrm {det} \!\left(A_{i,\,k}\right)\right]+\sum _{i=1}^{n}\left[\left\lbrace \sum \limits _{j\,\in \,\left[[1,\,n\right]]}^{j\,\neq \,k}\alpha _{j}\;a_{i,\,j}\right\rbrace \;(-1)^{i+k}\;\mathrm {det} \!\left(A_{i,\,k}\right)\right]\;$ Démonstrations : Propriété 4 : «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} (A')}$ $=\mathrm {det} \!(A)+\sum \limits _{j\,\in \,\left[[1,\,n\right]]}^{j\,\neq \,k}\alpha _{j}\left\lbrace \sum _{i=1}^{n}a_{i,\,j}\;(-1)^{i+k}\;\mathrm {det} \!\left(A_{i,\,k}\right)\right\rbrace \;$ » ; or constatant que $\;\sum _{i=1}^{n}a_{i,\,j}\;(-1)^{i+k}\;\mathrm {det} \!\left(A_{i,\,k}\right)=\sum _{i=1}^{n}a_{i,\,j}\;\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,k}\;$ Démonstrations : Propriété 4 : «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} (A')}$ $\color {transparent}{=\mathrm {det} \!(A)+\sum \limits _{j\,\in \,\left[[1,\,n\right]]}^{j\,\neq \,k}\alpha _{j}\left\lbrace \sum _{i=1}^{n}a_{i,\,j}\;(-1)^{i+k}\;\mathrm {det} \!\left(A_{i,\,k}\right)\right\rbrace }\;$ » ; or constatant que est le développement suivant la kème colonne par formule de Laplace Démonstrations : Propriété 4 : «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} (A')}$ $\color {transparent}{=\mathrm {det} \!(A)+}\;$ » ; or constatant que du déterminant d'une matrice $\;\left[A\right]_{k\,\rightsquigarrow \,j\,\neq \,k}\;$ dans laquelle la kème colonne Démonstrations : Propriété 4 : «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} (A')}$ $\color {transparent}{=\mathrm {det} \!(A)+}\;$ » ; or constatant que du déterminant d'une matrice $\;\color {transparent}{\left[A\right]_{k\,\rightsquigarrow \,j\,\neq \,k}}\;$ a été substituée par la jème $\Rightarrow$ Démonstrations : Propriété 4 : «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} (A')}$ $\color {transparent}{=\mathrm {det} \!(A)+}\;$ » ; or constatant que $\;\sum _{i=1}^{n}a_{i,\,j}\;\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,k}=\mathrm {det} \!\left(A_{k\,\rightsquigarrow \,j\,\neq \,k}\right)=0\;$ et par suite Démonstrations : Propriété 4 : «$\;\mathrm {det} (A')=\mathrm {det} \!(A)+\sum \limits _{j\,\in \,\left[[1,\,n\right]]}^{j\,\neq \,k}\alpha _{j}\;\mathrm {det} \!\left(A_{k\,\rightsquigarrow \,j\,\neq \,k}\right)=\mathrm {det} \!(A)+\sum \limits _{j\,\in \,\left[[1,\,n\right]]}^{j\,\neq \,k}\alpha _{j}\;0\;$ $=\mathrm {det} \!(A)\;$» C.Q.F.D..
Démonstrations : Propriété 5 : Soit «$\;C_{1}+\sum \limits _{j\,\in \,\left[\left[2\,,\,n\right]\right]}\alpha _{j}\;C_{j}=\left({\begin{array}{c}a_{1,\,1}+\sum \limits _{j\,\in \,\left[\left[2\,,\,n\right]\right]}\alpha _{j}\;a_{1,\,j}\\\vdots \\a_{i,\,1}+\sum \limits _{j\,\in \,\left[\left[2\,,\,n\right]\right]}\alpha _{j}\;a_{i,\,j}\\\vdots \\a_{n,\,1}+\sum \limits _{j\,\in \,\left[\left[2\,,\,n\right]\right]}\alpha _{j}\;a_{n,\,j}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}0\\\vdots \\0\\\vdots \\0\end{array}}\right)\;$ la relation de liaison entre colonnes de la matrice $\;\left[A\right]\;$» dont on souhaite évaluer le déterminant, Démonstrations : Propriété 4 : ce dernier étant inchangé si on ajoute à la colonne «$\;_{1}\;$» la C.L. $\;\sum \limits _{j\,\in \,\left[\left[2\,,\,n\right]\right]}\alpha _{j}\;C_{j}\;$ des autres colonnes «$\;_{\forall \,j\,\neq \,1}\;$» on obtient alors Démonstrations : Propriété 5 : «$\;\mathrm {det} (A)=\;{\begin{array}{|c c c c c|}\;a_{1,\,1}+\sum \limits _{j\,\in \,\left[\left[2\,,\,n\right]\right]}\alpha _{j}\;a_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{i,\,1}+\sum \limits _{j\,\in \,\left[\left[2\,,\,n\right]\right]}\alpha _{j}\;a_{i,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{n,\,1}+\sum \limits _{j\,\in \,\left[\left[2\,,\,n\right]\right]}\alpha _{j}\;a_{n,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\;\end{array}}\;=\;{\begin{array}{|c c c c c c|}\;0\!\!&a_{1,\,2}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;0\!\!&a_{i,\,2}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;0\!\!&a_{n,\,2}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\;\end{array}}\;=0\;$» $\;{\big$par développement selon la 1ère colonne${\big )}$.
Démonstrations : Propriété 1', 2', 3', 4' et 5' : les démonstrations sont calquées sur celles des propriétés $\;1,\;2,\;3,\;4\;$ et $\;5\;$ en permutant colonnes et lignes.

### Nouveau retour sur les deux exemples exposés précédemment

On se propose d'utiliser la propriété $\;4\;$ « le déterminant d'une matrice carrée est inchangé si on ajoute à une colonne une C.L. des autres $\;{\big$même propriété en remplaçant colonne par ligne${\big )}\;$» On se propose d'utiliser la propriété $\;\color {transparent}{4}\;$ de façon à introduire le plus de zéros possible dans une même colonne $\;{\big$ou une même ligne${\big )}\;$ de la matrice sans changer la valeur de son déterminant, puis On se propose d'évaluer ce dernier en le développant selon cette colonne ou cette ligne $\;{\big$ou d'utiliser au préalable une des autres propriétés${\big )}$.
Retour sur le 1er exemple : $\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&3&6\\1&4&7\\2&5&8\end{array}}\right)=\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&3&6\;\\\;1&4&7\;\\\;2&5&8\;\end{array}}\;\;$ ; $\bullet \;$modifier la colonne $\;\left(C_{3}\right)\;$ en lui ajoutant la C.L. «$\;0\;C_{1}-2\;C_{2}=-2\;C_{2}\;$» des colonnes $\;\left(C_{1}\right)\;$ et $\;\left(C_{2}\right)\;$ d'où Retour sur le 1er exemple : ; $\color {transparent}{\bullet }\;$$\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&3&6\;\\\;1&4&7\;\\\;2&5&8\;\end{array}}\;=\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&3&6-2\times 3\;\\\;1&4&7-2\times 4\;\\\;2&5&8-2\times 5\;\end{array}}\;=\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&3&0\;\\\;1&4&-1\;\\\;2&5&-2\;\end{array}}\;$ $\;=-1\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&3&0\;\\\;1&4&1\;\\\;2&5&2\;\end{array}}\;\;$ en multipliant la 3ème colonne par $\;-1\;$ et enfin, Retour sur le 1er exemple : ; $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&3&6\\1&4&7\\2&5&8\end{array}}\right)=-1\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&3&0\;\\\;1&4&1\;\\\;2&5&2\;\end{array}}\;=0\;$» mêmes 3ème et 1ère colonnes identique au résultat trouvé précédemment ; Retour sur le 1er exemple : ; $\bullet \;$modifier la ligne $\;\left(L_{3}\right)\;$ en lui ajoutant la C.L. «$\;0\;L_{1}-2\;L_{2}=-2\;L_{2}\;$» des lignes $\;\left(L_{1}\right)\;$ et $\;\left(L_{2}\right)\;$ d'où Retour sur le 1er exemple : ; $\color {transparent}{\bullet }\;$$\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&3&6\;\\\;1&4&7\;\\\;2&5&8\;\end{array}}\;=\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&3&6\;\\\;1&4&7\;\\\;2-2\times 1&5-2\times 4&8-2\times 7\;\end{array}}\;=\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&3&6\;\\\;1&4&7\;\\\;0&-3&-6\;\end{array}}\;$ ou, en multipliant la 3ème ligne par $\;-1\;$ $\Rightarrow$ Retour sur le 1er exemple : ; $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&3&6\\1&4&7\\2&5&8\end{array}}\right)=-1\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&3&6\;\\\;1&4&7\;\\\;0&3&6\;\end{array}}\;=0\;$» mêmes 3ème et 1ère lignes identique au résultat trouvé précédemment.
Retour sur le 2ème exemple : $\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&4&6\\1&5&7\\2&3&8\end{array}}\right)=\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&4&6\;\\\;1&5&7\;\\\;2&3&8\;\end{array}}\;\;$ ; $\bullet \;$modifier la colonne $\;\left(C_{3}\right)\;$ en lui ajoutant la C.L. «$\;0\;C_{1}-{\dfrac {3}{2}}\;C_{2}=-{\dfrac {3}{2}}\;C_{2}\;$» des colonnes $\;\left(C_{1}\right)\;$ et $\;\left(C_{2}\right)\;$ d'où Retour sur le 2ème exemple : ; $\color {transparent}{\bullet }\;$$\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&4&6\;\\\;1&5&7\;\\\;2&3&8\;\end{array}}\;=\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&4&6-{\dfrac {3}{2}}\times 4\;\\\;1&5&7-{\dfrac {3}{2}}\times 5\;\\\;2&3&8-{\dfrac {3}{2}}\times 3\;\end{array}}\;=$ $\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&4&0\;\\\;1&5&-{\dfrac {1}{2}}\;\\\;2&3&{\dfrac {7}{2}}\;\end{array}}\;\;$ soit, en développant par formule de Laplace suivant la 1ère ligne, Retour sur le 2ème exemple : ; $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&4&6\\1&5&7\\2&3&8\end{array}}\right)=-4\;\;{\begin{array}{|c c|}\;1&-{\dfrac {1}{2}}\;\\\;2&{\dfrac {7}{2}}\;\end{array}}\;=-4\,\left(1\times {\dfrac {7}{2}}-2\times {\dfrac {-1}{2}}\right)=-18\;$» identique au résultat trouvé précédemment ; Retour sur le 2ème exemple : ; $\bullet \;$modifier la ligne $\;\left(L_{3}\right)\;$ en lui ajoutant la C.L. «$\;0\;L_{1}-2\;L_{2}=-2\;L_{2}\;$» des lignes $\;\left(L_{1}\right)\;$ et $\;\left(L_{2}\right)\;$ d'où Retour sur le 2ème exemple : ; $\color {transparent}{\bullet }\;$$\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&4&6\;\\\;1&5&7\;\\\;2&3&8\;\end{array}}\;=\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&4&6\;\\\;1&5&7\;\\\;2-2\times 1&3-2\times 5&8-2\times 7\;\end{array}}\;=\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&4&6\;\\\;1&5&7\;\\\;0&-7&-6\;\end{array}}\;$ soit, en développant par formule de Laplace Retour sur le 2ème exemple : ; $\color {transparent}{\bullet }\;$suivant la 1ère colonne «$\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&4&6\\1&5&7\\2&3&8\end{array}}\right)=-1\;\;{\begin{array}{|c c|}\;4&6\;\\\;-7&-6\;\end{array}}\;=-\left[4\times (-6)-(-7)\times 6\right]=-18\;$» Retour sur le 2ème exemple : ; $\color {transparent}{\bullet }\;$suivant la 1ère colonne «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c c c}1&5&7\end{array}}\right)=-1\;\;{\begin{array}{|c c|}\;4&6\;\end{array}}\;=}$identique au résultat trouvé précédemment.

## Déterminant d'un endomorphisme
### Déterminant des matrices d'un endomorphisme suivant la base choisie dans l'espace vectoriel de définition

Soit «$\;E\;$ un $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel de dimension $\;n\;$ dans lequel on définit une base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1},\cdots b_{j},\cdots b_{n}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\;$» et Soit «$\;\varphi \;$ un endomorphisme de $\;E\;$», on peut associer à ce dernier « une matrice de l'endomorphisme $\;\varphi \;$ dans le couple de bases $\;\left(\left\lbrace B\right\rbrace \,,\,\left\lbrace B\right\rbrace \right)\;$ notée $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\in M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» puis Soit «$\;\color {transparent}{\varphi }\;$ un endomorphisme de $\;\color {transparent}{E}\;$», on peut définir « le déterminant de cette matrice $\;\mathrm {det} \!\left\lbrace \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\right\rbrace \;$» c.-à-d. « le déterminant de la matrice de l'endomorphisme $\;\varphi \;$ Soit «$\;\color {transparent}{\varphi }\;$ un endomorphisme de $\;\color {transparent}{E}\;$», on peut définir « le déterminant de cette matrice $\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left\lbrace \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\right\rbrace }\;$» c.-à-d. « le dans le couple de bases $\;\left(\left\lbrace B\right\rbrace \,,\,\left\lbrace B\right\rbrace \right)\;$» avec la question sous-jacente : Soit «$\;\color {transparent}{\varphi }\;$ un endomorphisme de $\;\color {transparent}{E}\;$», on peut définir « le déterminant de cette matrice $\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left\lbrace \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\right\rbrace }\;$» c.-à-d. « le déterminant dépend-il de la base choisie » ? Pour tenter d'y répondre, considérons «$\;\left\lbrace C\right\rbrace =\left\lbrace c_{1},\cdots c_{i},\cdots c_{n}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,n}\;$ une nouvelle base de $\;E\;$» et Pour tenter d'y répondre, considérons «$\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ la matrice de passage de la base initiale $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ de $\;E\;$ à la nouvelle base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ de $\;E\;$», Pour tenter d'y répondre, on définit alors « la matrice de l'endomorphisme $\;\varphi \;$ dans le nouveau couple de bases $\;\left(\left\lbrace C\right\rbrace \,,\,\left\lbrace C\right\rbrace \right)\;$» relativement à Pour tenter d'y répondre, on définit alors « celle du même endomorphisme $\;\varphi \;$ dans le couple initial de bases $\;\left(\left\lbrace B\right\rbrace \,,\,\left\lbrace B\right\rbrace \right)\;$» par Pour tenter d'y répondre, on définit alors «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\;$» $\Rightarrow$ Pour tenter d'y répondre, on définit alors « le déterminant de la matrice de l'endomorphisme $\;\varphi \;$ dans le nouveau couple de bases $\;\left(\left\lbrace C\right\rbrace \,,\,\left\lbrace C\right\rbrace \right)\;$» selon Pour tenter d'y répondre, on définit alors «$\;\mathrm {det} \!\left\lbrace \mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\right\rbrace =\mathrm {det} \!\left\lbrace \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\right\rbrace \;$».
Pour poursuivre, il est nécessaire de préciser quelques propriétés du déterminant d'un produit de matrices carrées de même dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$.

### Déterminant d'un produit de matrices de même dimension (ou taille)

Propriété : « le déterminant d'un produit de matrices carrées de même dimension $\;{\big$ou taille${\big )}\;$ est égal au produit des déterminants de chaque matrice » soit Propriété : « le déterminant d'un produit de matrices carrées «$\;\mathrm {det} \!\left\lbrace \left[A\right]\times \left[B\right]\right\rbrace =\mathrm {det} \!\left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \;\mathrm {det} \!\left\lbrace \left[B\right]\right\rbrace \;\;\forall \;\left(\left[A\right]\,,\,\left[B\right]\right)\;\in \left\lbrace M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\right\rbrace ^{2}\;$».
Conséquence : « Deux matrices inverses l'une de l'autre ont des déterminants inverses l'un de l'autre » en effet Conséquence : «$\;\left[P\right]^{-1}\in M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ étant la matrice inverse de $\;\left[P\right]\in M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$», on a «$\;\left[P\right]^{-1}\times \left[P\right]=\left[I_{n}\right]\;$» avec «$\;\mathrm {det} \!\left\lbrace \left[I_{n}\right]\right\rbrace =1\;$ $\Rightarrow$ $\;\mathrm {det} \!\left\lbrace \left[P\right]^{-1}\times \left[P\right]\right\rbrace =\mathrm {det} \!\left\lbrace \left[I_{n}\right]\right\rbrace =1\;$» d'une part et Conséquence : «$\;\color {transparent}{\left[P\right]^{-1}\in M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ étant la matrice inverse de $\;\color {transparent}{\left[P\right]\in M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$», on a «$\;\color {transparent}{\left[P\right]^{-1}\times \left[P\right]=\left[I_{n}\right]}\;$» avec «$\;\mathrm {det} \!\left\lbrace \left[P\right]^{-1}\times \left[P\right]\right\rbrace$ $=\mathrm {det} \!\left\lbrace \left[P\right]^{-1}\right\rbrace \;\mathrm {det} \!\left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace \;$» d'autre part d'où Conséquence : «$\;\mathrm {det} \!\left\lbrace \left[P\right]^{-1}\right\rbrace =\left(\mathrm {det} \!\left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace \right)^{-1}={\dfrac {1}{\mathrm {det} \!\left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace }}\;$».

### Indépendance du déterminant des matrices d'un endomorphisme par rapport à la base choisie dans l'espace vectoriel de définition, définition du déterminant d'un endomorphisme

« Les matrices de l'endomorphisme $\;\varphi \;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$» respectivement « dans le couple de bases $\;\left(\left\lbrace C\right\rbrace \,,\,\left\lbrace C\right\rbrace \right)\;$» et « dans celui $\;\left(\left\lbrace B\right\rbrace \,,\,\left\lbrace B\right\rbrace \right)\;$» « Les matrices de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{E}\;$» étant liées par «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\;$» « Les matrices de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{E}\;$» dans laquelle «$\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ est la matrice de passage de la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ à la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ de $\;E\;$», nous en déduisons, en prenant le déterminant de la matrice du membre de gauche et celui du produit matriciel du membre de droite, nous en déduisons, «$\;\mathrm {det} \!\left\lbrace \mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\right\rbrace =\mathrm {det} \!\left\lbrace \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\right\rbrace \;$» ou, nous en déduisons, en utilisant les résultats sur le déterminant du produit de matrices du membre de droite et sur le déterminant d'une matrice inverse, nous en déduisons, «$\;\mathrm {det} \!\left\lbrace \mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\right\rbrace =\mathrm {det} \!\left\lbrace \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\right\rbrace \;\mathrm {det} \!\left\lbrace \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\right\rbrace \;\mathrm {det} \!\left\lbrace \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\right\rbrace \;$» ou encore, nous en déduisons, «$\;\mathrm {det} \!\left\lbrace \mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\right\rbrace ={\dfrac {1}{\mathrm {det} \!\left\lbrace \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\right\rbrace }}\;\mathrm {det} \!\left\lbrace \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\right\rbrace \;\mathrm {det} \!\left\lbrace \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\right\rbrace \;$ $=\left\lbrace \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\right\rbrace \;$» c.-à-d. nous en déduisons, l'indépendance du déterminant des matrices de l'endomorphisme$\;\varphi \;$ de $\;E\;$par rapport à la base choisie dans ce dernier.
$\;\varphi \;$
$\;\mathbb {R}$
$\;E\;$
$\;E\;$
$\;\mathrm {det} \!\left(\varphi \right)=\mathrm {det} \!\left\lbrace \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\right\rbrace \;\;\forall \;\left\lbrace B\right\rbrace \;$
$\;E\;$
Propriété : Si on considère « une famille de $\;n\;$ vecteurs $\;\left\lbrace X\right\rbrace =\left\lbrace x_{1},\cdots x_{j},\cdots x_{n}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1},\cdots b_{j},\cdots b_{n}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\;$» de ce dernier et Propriété : Si on considère « son image par l'endomorphisme $\;\varphi \;$ de $\;E\;$ à savoir $\;\varphi \!\left(\left\lbrace X\right\rbrace \right)=\left\lbrace \varphi (x_{1}),\cdots \varphi (x_{j}),\cdots \varphi (x_{n})\right\rbrace _{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\;$ dans la même base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$» ainsi que Propriété : Si on considère « le déterminant de chaque famille dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ de $\;E\;$» c.-à-d. $\bullet \;$« le déterminant de la famille de ces $\;n\;$ vecteurs $\;x_{j\,\in \,\left[\left[1\,,\,n\right]\right]}=\left(x_{1,\,j},\,\cdots \,x_{i,\,j},\,\cdots \,x_{n,\,j}\right)\;$ Propriété : Si on considère « le déterminant de chaque famille dans la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;$ de $\;\color {transparent}{E}\;$» c.-à-d. $\color {transparent}{\bullet }\;$« le déterminant de la famille de ces dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ de $\;E\;$» noté «$\;\mathrm {det} _{\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\left\lbrace X\right\rbrace \right)\;$» et Propriété : Si on considère « le déterminant de chaque famille dans la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;$ de $\;\color {transparent}{E}\;$» c.-à-d. $\bullet \;$« le déterminant de la famille de ces $\;n\;$ vecteurs images $\;\varphi \!\left(x_{j\,\in \,\left[\left[1\,,\,n\right]\right]}\right)\;$ Propriété : Si on considère « le déterminant de chaque famille dans la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;$ de $\;\color {transparent}{E}\;$» c.-à-d. $\color {transparent}{\bullet }\;$« le déterminant de la famille de ces dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ de $\;E\;$» noté «$\;\mathrm {det} _{\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \left(\left\lbrace X\right\rbrace \right)\right)\;$», Propriété : « le déterminant de l'endomorphisme $\;\varphi \;$ de $\;E\;$» est « le scalaire $\;\mathrm {det} \!\left(\varphi \right)\;$ vérifiant $\;\mathrm {det} _{\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \left(\left\lbrace X\right\rbrace \right)\right)=\mathrm {det} \!\left(\varphi \right)\;\mathrm {det} _{\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\left\lbrace X\right\rbrace \right)\;$».
Conséquence : « Deux matrices semblables étant des matrices d'un même endomorphisme d'un $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ dans des couples de bases différents » et Conséquence : « Deux matrices semblables étant des « ces dernières ayant même déterminant » $\;{\big$définissant le déterminant de l'endomorphisme${\big )}\;$ on en déduit que Conséquence : « deux matrices semblables ont même déterminant » ; Conséquence : réciproquement « deux matrices de même dimension $\;{\big$ou taille${\big )}\;$ qui ont même déterminant pouvant être considérées comme Conséquence : réciproquement « deux matrices d'un même endomorphisme d'un $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ dans des couples de bases différents » on en déduit que Conséquence : réciproquement « deux matrices de même dimension$\;{\big$ou taille${\big )}\;$ayant même déterminant sont semblables ».

## Valeurs propres, vecteurs propres et espaces propres d'un endomorphisme

Soit l'« endomorphisme $\;\varphi \;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ de dimension $\;n\;$», on appelle $\bullet \;$« valeur propre de l'endomorphisme$\;\varphi \;$» un « scalaire $\;\lambda \;\in \mathbb {R} \;$» tel que «$\;\exists \;x\;\in \left\lbrace E\;\backslash \;0_{E}\right\rbrace \;$ vérifiant Soit l'« endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{E}\;$ de dimension $\;\color {transparent}{n}\;$», on appelle $\color {transparent}{\bullet }\;$« valeur propre de l'endomorphisme$\;\color {transparent}{\varphi }\;$» un « scalaire $\;\color {transparent}{\lambda \;\in \mathbb {R} }\;$» tel que «$\;\varphi (x)=\lambda \;x\;$» ; Soit l'« endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{E}\;$ de dimension $\;\color {transparent}{n}\;$», on appelle $\bullet \;$« vecteur propre de l'endomorphisme$\;\varphi \;$» un « vecteur $\;x\;\in \left\lbrace E\;\backslash \;0_{E}\right\rbrace \;$» tel que «$\;\exists \;\lambda \;\in \mathbb {R} \;$ vérifiant Soit l'« endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{E}\;$ de dimension $\;\color {transparent}{n}\;$», on appelle $\color {transparent}{\bullet }\;$« vecteur propre de l'endomorphisme$\;\color {transparent}{\varphi }\;$» un « vecteur $\;\color {transparent}{x\;\in \left\lbrace E\;\backslash \;0_{E}\right\rbrace }\;$» tel que «$\;\varphi (x)=\lambda \;x\;$», Soit l'« endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{E}\;$ de dimension $\;\color {transparent}{n}\;$», on appelle $\color {transparent}{\bullet }\;$« on dit alors que «$\;x\;$ est un vecteur propre associé à la valeur propre $\;\lambda \;$» ; Soit l'« endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{E}\;$ de dimension $\;\color {transparent}{n}\;$», on appelle $\bullet \;$« sous-espace propre de l'endomorphisme$\;\varphi \;$» un « sous-espace vectoriel $\;{\mathcal {S}}_{E}\subseteq E\;$ constitué de l'ensemble des Soit l'« endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{E}\;$ de dimension $\;\color {transparent}{n}\;$», on appelle $\color {transparent}{\bullet }\;$« sous-espace propre de l'endomorphisme$\;\color {transparent}{\varphi }\;$» un « vecteurs propres associés à une valeur propre $\;\lambda \;$ auquel on a Soit l'« endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{E}\;$ de dimension $\;\color {transparent}{n}\;$», on appelle $\color {transparent}{\bullet }\;$« sous-espace propre de l'endomorphisme$\;\color {transparent}{\varphi }\;$» un « adjoint le vecteur nul $\;0_{E}\;$», Soit l'« endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{E}\;$ de dimension $\;\color {transparent}{n}\;$», on appelle $\color {transparent}{\bullet }\;$« on dit alors que «$\;{\mathcal {S}}_{E}\;$ est le sous-espace propre associé à la valeur propre $\;\lambda \;$».

### Polynôme caractéristique d'une matrice carrée de dimension (ou taille) n

On appelle « polynôme caractéristique de la matrice carrée $\;\left[A\right]\;$ de $\;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$», le « polynôme d'indéterminée $\;X\;$» défini par On appelle « polynôme caractéristique de la matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ de $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$», le «$\;p_{\left[A\right]}(X):=\mathrm {det} \!\left(X\,\left[I_{n}\right]-\left[A\right]\right)=\sum \limits _{\sigma \,\in \,S_{n}}\left[\varepsilon (\sigma )\;\prod \limits _{j=1}^{n}\alpha _{\sigma (j),\,j}(X)\right]\;$»$^,$, On appelle « polynôme caractéristique de la matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ de $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$», le «$\;\alpha _{i,\,j}(X)\;$ étant le polynôme $\;\delta _{i,\,j}\;X-a_{i,\,j}\;$ », cœfficient d'indice $\;_{i,\,j}\;$ de la matrice «$\;X\,\left[I_{n}\right]-\left[A\right]\;$» $\Rightarrow$ le « développement du polynôme caractéristique de la matrice carrée $\;\left[A\right]\;$ de $\;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ selon les puissances $\;\searrow \;$» : «$\;p_{\left[A\right]}(X):=\mathrm {det} \!\left(X\,\left[I_{n}\right]-\left[A\right]\right)$ le « développement du polynôme caractéristique de la matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ de $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ selon les puissances $\;\color {transparent}{\searrow }\;$» : «$\;\color {transparent}{p_{\left[A\right]}(X):}$$=X^{n}-f_{1}(\left[A\right])\;X^{n-1}+f_{2}(\left[A\right])\;X^{n-2}-\cdots +(-1)^{n}\;f_{n}(\left[A\right])\;$», le « développement du polynôme caractéristique de la matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ de $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ selon les puissances $\;\color {transparent}{\searrow }\;$» : «$\;\color {transparent}{p_{\left[A\right]}(X):}$avec «$\;f_{k}(\left[A\right])=\sum _{I\,\subset \,\left\lbrace 1,\,\dots ,\,n\right\rbrace }^{\mathrm {card} (I)=k}\mathrm {\det } \!\left(A_{I,\,I}\right)\;$» c.-à-d. le « développement du polynôme caractéristique de la matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ de $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ selon les puissances $\;\color {transparent}{\searrow }\;$» : «$\;\color {transparent}{p_{\left[A\right]}(X):}$avec « la somme des mineurs principaux d'ordre $\;k\;$ de $\;\left[A\right]\;$» le « développement du polynôme caractéristique de la matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ de $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ selon les puissances $\;\color {transparent}{\searrow }\;$» : «$\;\color {transparent}{p_{\left[A\right]}(X):}$ où «$\;I\;$ est une partie à $\;k\;$ éléments de l'ensemble des entiers naturels le « développement du polynôme caractéristique de la matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ de $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ selon les puissances $\;\color {transparent}{\searrow }\;$» : «$\;\color {transparent}{p_{\left[A\right]}(X):}$où «$\;\color {transparent}{I}\;$ est une partie à $\;\color {transparent}{k}\;$ éléments de l'ensemble $\;\left\lbrace 1,\,\dots ,\,n\right\rbrace \;$».
Remarques : « le cœfficient constant $\;p_{\left[A\right]}(0)\;$» vaut «$\;(-1)^{n}\;f_{n}(\left[A\right])\;$ avec $\;f_{n}(\left[A\right])=\mathrm {det} \!\left(A\right)\;$ c.-à-d. le déterminant de la matrice $\;\left[A\right]\;$» ; Remarques : « le cœfficient de $\;X^{n-1}\;$» est égal à «$\;-f_{1}(\left[A\right])\;$ dans laquelle $\;f_{1}(\left[A\right])=\sum _{i\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right]}a_{i,\,i}=\mathrm {Tr} \!\left(A\right)\;$ c.-à-d. la trace de la matrice $\;\left[A\right]\;$».
Exemples : $\bullet \;$1er exemple, déterminer le « polynôme caractéristique de la matrice carrée $\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}0&3&6\\1&4&7\\2&5&8\end{array}}\right]\in \;M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» c.-à-d. Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple, déterminer «$\;p_{\left[A\right]}(X):=\mathrm {det} \!\left(X\,\left[I_{3}\right]-\left[A\right]\right)={\begin{array}{|c c c|}\;X&-3&-6\;\\\;-1&X-4&-7\;\\\;-2&-5&X-8\;\end{array}}\;=X^{3}-f_{1}(\left[A\right])\;X^{2}+f_{2}(\left[A\right])\;X-f_{3}(\left[A\right])\;$» avec Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple, déterminer «$\;\color {transparent}{p_{\left[A\right]}(X):=\mathrm {det} \!\left(X\,\left[I_{3}\right]-\left[A\right]\right)=\;=}$ $\succ \;$«$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}f_{1}(\left[A\right])\!\!&=\mathrm {Tr} \!\left(A\right)\!\!&=0+4+8\!\!&=12\\f_{3}(\left[A\right])\!\!&=\mathrm {det} \!\left(A\right)\!\!&\!\!&=0\end{array}}\right\rbrace \;$»$^,$ et Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple, déterminer «$\;\color {transparent}{p_{\left[A\right]}(X):=\mathrm {det} \!\left(X\,\left[I_{3}\right]-\left[A\right]\right)=\;=}$ $\succ \;$«$\;f_{2}(\left[A\right])=\mathrm {det} \!\left(A_{\left\lbrace 1,\,2\right\rbrace \,,\,\left\lbrace 1\,,\,2\right\rbrace }\right)+\mathrm {det} \!\left(A_{\left\lbrace 1,\,3\right\rbrace \,,\,\left\lbrace 1\,,\,3\right\rbrace }\right)+\mathrm {det} \!\left(A_{\left\lbrace 2,\,3\right\rbrace \,,\,\left\lbrace 2\,,\,3\right\rbrace }\right)\;$ Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple, déterminer «$\;\color {transparent}{p_{\left[A\right]}(X):=\mathrm {det} \!\left(X\,\left[I_{3}\right]-\left[A\right]\right)=\;=}$ $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{f_{2}(\left[A\right])}$ $={\begin{array}{|c c|}\;0&3\;\\\;1&4\;\end{array}}+{\begin{array}{|c c|}\;0&6\;\\\;2&8\;\end{array}}+{\begin{array}{|c c|}\;4&7\;\\\;5&8\;\end{array}}=(-3)+(-12)+(4\times 8-5\times 7)$ Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple, déterminer «$\;\color {transparent}{p_{\left[A\right]}(X):=\mathrm {det} \!\left(X\,\left[I_{3}\right]-\left[A\right]\right)=\;=}$ $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{f_{2}(\left[A\right])}$ $=-18\;$» d'où Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1er exemple, déterminer le « polynôme caractéristique de la matrice carrée $\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}0&3&6\\1&4&7\\2&5&8\end{array}}\right]\;$ est $\;p_{\left[A\right]}(X)=X^{3}-12\;X^{2}-18\;X\;$» ; Exemples : $\bullet \;$2nd exemple, déterminer le « polynôme caractéristique de la matrice carrée $\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}0&4&6\\1&5&7\\2&3&8\end{array}}\right]\in \;M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» c.-à-d. Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2nd exemple, déterminer «$\;p_{\left[A\right]}(X):=\mathrm {det} \!\left(X\,\left[I_{3}\right]-\left[A\right]\right)={\begin{array}{|c c c|}\;X&-4&-6\;\\\;-1&X-5&-7\;\\\;-2&-3&X-8\;\end{array}}\;=X^{3}-f_{1}(\left[A\right])\;X^{2}+f_{2}(\left[A\right])\;X-f_{3}(\left[A\right])\;$» avec Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2nd exemple, déterminer «$\;\color {transparent}{p_{\left[A\right]}(X):=\mathrm {det} \!\left(X\,\left[I_{3}\right]-\left[A\right]\right)=\;=}$ $\succ \;$«$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}f_{1}(\left[A\right])\!\!&=\mathrm {Tr} \!\left(A\right)\!\!&=0+5+8\!\!&=13\\f_{3}(\left[A\right])\!\!&=\mathrm {det} \!\left(A\right)\!\!&\!\!&=-18\end{array}}\right\rbrace \;$»$^,$ et Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2nd exemple, déterminer «$\;\color {transparent}{p_{\left[A\right]}(X):=\mathrm {det} \!\left(X\,\left[I_{3}\right]-\left[A\right]\right)=\;=}$ $\succ \;$«$\;f_{2}(\left[A\right])=\mathrm {det} \!\left(A_{\left\lbrace 1,\,2\right\rbrace \,,\,\left\lbrace 1\,,\,2\right\rbrace }\right)+\mathrm {det} \!\left(A_{\left\lbrace 1,\,3\right\rbrace \,,\,\left\lbrace 1\,,\,3\right\rbrace }\right)+\mathrm {det} \!\left(A_{\left\lbrace 2,\,3\right\rbrace \,,\,\left\lbrace 2\,,\,3\right\rbrace }\right)\;$ Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2nd exemple, déterminer «$\;\color {transparent}{p_{\left[A\right]}(X):=\mathrm {det} \!\left(X\,\left[I_{3}\right]-\left[A\right]\right)=\;=}$ $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{f_{2}(\left[A\right])}$ $={\begin{array}{|c c|}\;0&4\;\\\;1&5\;\end{array}}+{\begin{array}{|c c|}\;0&6\;\\\;2&8\;\end{array}}+{\begin{array}{|c c|}\;5&7\;\\\;3&8\;\end{array}}=(-4)+(-12)+(5\times 8-3\times 7)$ Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2nd exemple, déterminer «$\;\color {transparent}{p_{\left[A\right]}(X):=\mathrm {det} \!\left(X\,\left[I_{3}\right]-\left[A\right]\right)=\;=}$ $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{f_{2}(\left[A\right])}$ $=3\;$» d'où Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2nd exemple, déterminer le « polynôme caractéristique de la matrice carrée $\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}0&4&6\\1&5&7\\2&3&8\end{array}}\right]\;$ est $\;p_{\left[A\right]}(X)=X^{3}-13\;X^{2}+3\;X-18\;$».

### Polynôme caractéristique d'un endomorphisme

Soit «$\;E\;$ un $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel de dimension $\;n\;$ dans lequel on définit une base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1},\cdots b_{j},\cdots b_{n}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\;$» et Soit «$\;\varphi \;$ un endomorphisme de $\;E\;$», on peut associer à ce dernier « une matrice de l'endomorphisme $\;\varphi \;$ dans le couple de bases $\;\left(\left\lbrace B\right\rbrace \,,\,\left\lbrace B\right\rbrace \right)\;$ notée $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\in M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» puis Soit «$\;\color {transparent}{\varphi }\;$ un endomorphisme de $\;\color {transparent}{E}\;$», on peut définir « le polynôme caractéristique de cette matrice $\;p_{\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)}(X):=\mathrm {det} \!\left(X\,\left[I_{n}\right]-\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left\lbrace \varphi \right\rbrace \right)\;$ $=\sum \limits _{\sigma \,\in \,S_{n}}\left[\varepsilon (\sigma )\;\prod \limits _{j=1}^{n}\alpha _{\sigma (j),\,j}(X)\right]\;$»$^,$, Soit «$\;\color {transparent}{\varphi }\;$ un endomorphisme de $\;\color {transparent}{E}\;$», on peut définir «$\;\alpha _{i,\,j}(X)\;$ étant le polynôme $\;\delta _{i,\,j}\;X-\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)_{i,\,j}\;$ », cœfficient d'indice $\;_{i,\,j}\;$ de la matrice «$\;X\,\left[I_{n}\right]-\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;$» ; Soit «$\;\color {transparent}{\varphi }\;$ un endomorphisme de $\;\color {transparent}{E}\;$», on peut définir question sous-jacente : « le polynôme caractéristique obtenu dépend-il de la base choisie » ?
Propriété : « le polynôme caractéristique de la matrice représentant l'endomorphisme $\;\varphi \;$ dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ de $\;E\;$» c.-à-d. «$\;p_{\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)}(X):=\mathrm {det} \!\left(X\,\left[I_{n}\right]-\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left\lbrace \varphi \right\rbrace \right)\;$» Propriété : « le polynôme caractéristique de la matrice représentant l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ dans la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;$ de $\;\color {transparent}{E}\;$» est « indépendant du choix de la base » en effet, Propriété : soit $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ une autre base de $\;E\;$ on définit «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\in M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ la matrice de l'endomorphisme $\;\varphi \;$ dans le couple de bases $\;\left(\left\lbrace C\right\rbrace \,,\,\left\lbrace C\right\rbrace \right)\;$» et Propriété : soit $\;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ une autre base de $\;\color {transparent}{E}\;$ on définit « le polynôme caractéristique de cette matrice $\;p_{\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)}(X)=\mathrm {det} \!\left(X\,\left[I_{n}\right]-\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left\lbrace \varphi \right\rbrace \right)\;$», Propriété : le lien entre les deux matrices étant «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\;$» avec «$\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\;$» la matrice de passage de la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ à la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$, Propriété : on en déduit, par report dans «$\;p_{\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)}(X)=\mathrm {det} \!\left(X\,\left[I_{n}\right]-\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left\lbrace \varphi \right\rbrace \right)\;$» et Propriété : on en déduit, par l'utilisation de «$\;\left[I_{n}\right]=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\;$» $\Rightarrow$ «$\;\left[I_{n}\right]=\left[I_{n}\right]^{2}=\left[I_{n}\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }=$ $\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[I_{n}\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\;$», Propriété : on en déduit, «$\;p_{\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)}(X)=\mathrm {det} \!\left(X\,\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[I_{n}\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }-\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\right)\;$ ou, par factorisation matricielle à gauche et à droite Propriété : on en déduit, «$\;\color {transparent}{p_{\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)}(X)}$ $=\mathrm {det} \!\left(\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \left\lbrace X\,\left[I_{n}\right]-\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\right\rbrace \times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\right)\;$ soit finalement, Propriété : on en déduit, «$\;\color {transparent}{p_{\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)}(X)}$ $=\mathrm {det} \!\left(\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\right)\;\mathrm {det} \!\left(X\,\left[I_{n}\right]-\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left\lbrace \varphi \right\rbrace \right)\;\mathrm {det} \!\left(\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\right)\;$», ou encore, avec «$\;\mathrm {det} \!\left(\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\right)={\dfrac {1}{\mathrm {det} \!\left(\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\right)}}\;$», Propriété : on en déduit, «$\;p_{\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)}(X)=\mathrm {det} \!\left(X\,\left[I_{n}\right]-\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left\lbrace \varphi \right\rbrace \right)=p_{\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)}(X)\;$» C.Q.F.D..
$\;\varphi \;$
$\;\mathbb {R}$
$\;E\;$
$\;n$
$\;\left[A\right]\;$
$\;\varphi \;$
$\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$
$\;E\;$
$\;p_{\varphi }(X):=\mathrm {det} \!\left(X\,\left[I_{n}\right]-\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left\lbrace \varphi \right\rbrace \right)=\sum \limits _{\sigma \,\in \,S_{n}}\left[\varepsilon (\sigma )\;\prod \limits _{j=1}^{n}\alpha _{\sigma (j),\,j}(X)\right]\;$
$\;\alpha _{i,\,j}(X)\;$
$\;\delta _{i,\,j}\;X-\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)_{i,\,j}\;$
$\;\color {transparent}{\alpha _{i,\,j}(X)}\;$
$\;_{i,\,j}\;$
$\;X\,\left[I_{n}\right]-\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;$
Conséquence : Deux matrices semblables pouvant être considérées comme représentant le même endomorphisme $\;{\Big$car elles sont liées par la relation $\;\exists \,\left[P\right]\;\in M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ et inversible telle que Conséquence : Deux matrices semblables pouvant être considérées comme représentant le même endomorphisme $\;\color {transparent}{\Big$car elles sont liées par la relation $\;\left[B\right]=\left[P\right]^{-1}\times \left[A\right]\times \left[P\right]{\Big )}\;$ Conséquence : Deux matrices semblables ont même polynôme caractéristique.

### Lien entre valeurs propres d'un endomorphisme et son polynôme caractéristique

Préliminaire : Un endomorphisme est de « déterminant nul » ss'il est « non injectif » en effet considérant «$\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1},\,\ldots b_{j},\,\ldots b_{n}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\;$ une base de $\;E\;$» et Préliminaire : Un endomorphisme est de « déterminant nul » ss'il est « non injectif » en effet considérant «$\;\varphi (\left\lbrace B\right\rbrace )=\left\lbrace \varphi (b_{1}),\,\ldots \varphi (b_{j}),\,\ldots \varphi (b_{n})\right\rbrace _{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\;$ son image dans $\;E\;$ par $\;\varphi \;$», Préliminaire : Un endomorphisme est de « déterminant nul » ss'il est « non injectif » en effet $\bullet \;$« si $\;\varphi \;$ est non injectif », «$\;\exists \;\xi \,\in \,E\;$ tel que $\;\varphi (\xi )=0_{E}\Rightarrow \xi \neq 0_{E}\;$» ou, en explicitant $\;\xi$, Préliminaire : Un endomorphisme est de « déterminant nul » ss'il est « non injectif » en effet $\color {transparent}{\bullet }\;$« si $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ est non injectif », «$\;\exists \!\!\sum \limits _{j\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right]}\!\!\!\alpha _{j}\;b_{j}\,\in E\;$ tel que $\;\varphi \,{\bigg\!\sum \limits _{j\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right]}\!\!\!\alpha _{j}\;b_{j}\!{\bigg )}=0_{E}\;$ $\Rightarrow$ $\sum \limits _{j\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right]}\!\!\!\alpha _{j}\;b_{j}\neq 0_{E}\;$» Préliminaire : Un endomorphisme est de « déterminant nul » ss'il est « non injectif » en effet $\color {transparent}{\bullet }\;$« si $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ est non injectif », «$\;\color {transparent}{\exists \!\!\sum \limits _{j\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right]}\!\!\!\alpha _{j}\;b_{j}\,\in E}\;$ ou «$\;\sum \limits _{j\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right]}\alpha _{j}\;\varphi (b_{j})=0_{E}\;$ $\Rightarrow$ $\;\sum \limits _{j\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right]}\alpha _{j}\;b_{j}\neq 0_{E}\;$» Préliminaire : Un endomorphisme est de « déterminant nul » ss'il est « non injectif » en effet $\color {transparent}{\bullet }\;$« si $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ est non injectif », c.-à-d. « l'existence d'une relation de liaison entre les images de la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ Préliminaire : Un endomorphisme est de « déterminant nul » ss'il est « non injectif » en effet $\color {transparent}{\bullet }\;$« si $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ est non injectif », c.-à-d. « $\sum \limits _{j\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right]}\alpha _{j}\;\varphi (b_{j})=0_{E}\;$ avec $\;\alpha _{j}\;$ non tous nuls » $\Rightarrow$ Préliminaire : Un endomorphisme est de « déterminant nul » ss'il est « non injectif » en effet $\color {transparent}{\bullet }\;$« si $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ est non injectif », $\;{\begin{array}{|c c c c c|}\;\varphi (b_{1})_{1}\!\!&\cdots \!\!&\varphi (b_{j})_{1}\!\!&\cdots \!\!&\varphi (b_{n})_{1}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;\varphi (b_{1})_{i}\!\!&\cdots \!\!&\varphi (b_{j})_{i}\!\!&\cdots \!\!&\varphi (b_{n})_{i}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;\varphi (b_{1})_{n}\!\!&\cdots \!\!&\varphi (b_{j})_{n}\!\!&\cdots \!\!&\varphi (b_{n})_{n}\;\end{array}}\;=0\;$ ou $\;\mathrm {det} \!\left\lbrace \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\right\rbrace =0$, Préliminaire : Un endomorphisme est de « déterminant nul » ss'il est « non injectif » en effet $\color {transparent}{\bullet }\;$« si $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ est non injectif », c.-à-d. la « nullité du déterminant de l'endomorphisme $\;\varphi$, $\;\mathrm {det} (\varphi )=0\;$», Préliminaire : Un endomorphisme est de « déterminant nul » ss'il est « non injectif » en effet $\bullet \;$« si $\;\mathrm {det} (\varphi )=\mathrm {det} \!\left\lbrace \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\right\rbrace =0\;$» $\;\forall \;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1},\,\ldots b_{j},\,\ldots b_{n}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\;$ de $\;E$, c.-à-d. Préliminaire : Un endomorphisme est de « déterminant nul » ss'il est « non injectif » en effet $\color {transparent}{\bullet }\;$« si $\;{\begin{array}{|c c c c c|}\;\varphi (b_{1})_{1}\!\!&\cdots \!\!&\varphi (b_{j})_{1}\!\!&\cdots \!\!&\varphi (b_{n})_{1}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;\varphi (b_{1})_{i}\!\!&\cdots \!\!&\varphi (b_{j})_{i}\!\!&\cdots \!\!&\varphi (b_{n})_{i}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;\varphi (b_{1})_{n}\!\!&\cdots \!\!&\varphi (b_{j})_{n}\!\!&\cdots \!\!&\varphi (b_{n})_{n}\;\end{array}}=0\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\begin{array}{|c}\;{\text{existence d'une relation de liaison}}\\\;{\text{entre les images de la base}}\;\left\lbrace B\right\rbrace \\{\text{c.-à-d.}}\;\sum \limits _{j\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right]}\alpha _{j}\;\varphi (b_{j})=0_{E}\\{\text{avec}}\;\alpha _{j}\;{\text{non tous nuls}}\end{array}}\;$» Préliminaire : Un endomorphisme est de « déterminant nul » ss'il est « non injectif » en effet $\color {transparent}{\bullet }\;$« $\Leftrightarrow$ «$\;\varphi \,{\bigg\!\sum \limits _{j\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right]}\!\!\!\alpha _{j}\;b_{j}\!{\bigg )}=0_{E}\;$ avec $\;\alpha _{j}\;$ non tous nuls » dont on déduit Préliminaire : Un endomorphisme est de « déterminant nul » ss'il est « non injectif » en effet $\color {transparent}{\bullet }\;$« $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ «$\;\exists \;\xi =\sum \limits _{j\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right]}\alpha _{j}\;b_{j}\,\in E\;$ et $\;\neq 0_{E}\;$ tel que $\;\varphi (\xi )=0_{E}\;$» c.-à-d. Préliminaire : Un endomorphisme est de « déterminant nul » ss'il est « non injectif » en effet $\color {transparent}{\bullet }\;$« $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ « le caractère « non injectif » de l'endomorphisme $\;\varphi \;$.
$\;\varphi \;$
Justification : Par définition « les valeurs propres de l'endomorphisme $\;\varphi \;$ sont les scalaires $\;\lambda \;\in \mathbb {R} \;$» tels que «$\;\exists \;x\;\in \left\lbrace E\;\backslash \;0_{E}\right\rbrace \;$ vérifiant $\;\varphi (x)=\lambda \;x\;$» ou Justification : Par définition « les valeurs propres de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ sont les scalaires $\;\color {transparent}{\lambda \;\in \mathbb {R} }\;$» tels que «$\;\exists \;x\;\in \left\lbrace E\;\backslash \;0_{E}\right\rbrace \;$ vérifiant $\;\left\lbrace \lambda \;Id-\varphi \right\rbrace \!(x)=0_{E}\;$» ou encore, Justification : Par définition « les valeurs propres de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ sont les scalaires $\;\color {transparent}{\lambda \;\in \mathbb {R} }\;$» tels que «$\;\exists \;x\;\in \left\lbrace E\;\backslash \;0_{E}\right\rbrace \;$ vérifiant $\;\psi _{\lambda }(x)=0_{E}\;$» avec «$\;\psi _{\lambda }:=\lambda \;Id-\varphi \;$ Justification : Par définition « les valeurs propres de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ sont les scalaires $\;\color {transparent}{\lambda \;\in \mathbb {R} }\;$» tels que «$\;\color {transparent}{\exists \;x\;\in \left\lbrace E\;\backslash \;0_{E}\right\rbrace }\;$ vérifiant $\;\color {transparent}{\psi _{\lambda }(x)=0_{E}}\;$» avec « endomorphisme de $\;E\;$» soit, en Justification : Par définition « les valeurs propres de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ sont les scalaires $\;\color {transparent}{\lambda \;\in \mathbb {R} }\;$» tels que « décomposant $\;x\;$ sur la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1},\,\ldots b_{j},\,\ldots b_{n}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\;$ de $\;E\;$ selon Justification : Par définition « les valeurs propres de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ sont les scalaires $\;\color {transparent}{\lambda \;\in \mathbb {R} }\;$» tels que « décomposant $\;\color {transparent}{x}\;$ sur la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1},\,\ldots b_{j},\,\ldots b_{n}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}}\;$ $x=\sum \limits _{j\,\in \,\left[\left[1,\,n\right]\right]}x_{j}\;b_{j}\;$», Justification : Par définition « les valeurs propres de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ sont les scalaires $\;\color {transparent}{\lambda \;\in \mathbb {R} }\;$» tels que «$\;\exists \;\sum \limits _{j\,\in \,\left[\left[1,\,n\right]\right]}x_{j}\;b_{j}\;\in \left\lbrace E\;\backslash \;0_{E}\right\rbrace \;$ vérifiant $\;\psi _{\lambda }\!{\bigg\!\sum \limits _{j\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right]}\!\!\!x_{j}\;b_{j}\!{\bigg )}=0_{E}\;$ c.-à-d. Justification : Par définition « les valeurs propres de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ sont les scalaires $\;\color {transparent}{\lambda \;\in \mathbb {R} }\;$» tels que «$\;\color {transparent}{\exists \;\sum \limits _{j\,\in \,\left[\left[1,\,n\right]\right]}x_{j}\;b_{j}\;\in \left\lbrace E\;\backslash \;0_{E}\right\rbrace }\;$ vérifiant $\;\sum \limits _{j\,\in \,\left[\left[1,\,n\right]\right]}x_{j}\;\psi _{\lambda }(b_{j})=0_{E}\;$», relation de liaison Justification : Par définition « les valeurs propres de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ sont les scalaires $\;\color {transparent}{\lambda \;\in \mathbb {R} }\;$» tels que entre les vecteurs de la famille $\;\left\lbrace \psi _{\lambda }(B)\right\rbrace =\left\lbrace \psi _{\lambda }(b_{1}),\ldots \psi _{\lambda }(b_{j}),\ldots \psi _{\lambda }(b_{n})\right\rbrace _{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}$ $\Rightarrow$ Justification : Par définition « les valeurs propres de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ sont les scalaires $\;\color {transparent}{\lambda \;\in \mathbb {R} }\;$» tels que « la nullité du déterminant de la matrice de l'endomorphisme $\;\psi _{\lambda }\;$ dans le couple de bases Justification : Par définition « les valeurs propres de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ sont les scalaires $\;\color {transparent}{\lambda \;\in \mathbb {R} }\;$» tels que « la nullité du déterminant de la matrice de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\psi _{\lambda }}\;$ $\;\left(\left\lbrace B\right\rbrace \,,\,\left\lbrace B\right\rbrace \right)\;$» c.-à-d. Justification : Par définition « les valeurs propres de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ sont les scalaires $\;\color {transparent}{\lambda \;\in \mathbb {R} }\;$» tels que «$\;\mathrm {det} \!\left\lbrace \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\psi _{\lambda }\right)\right\rbrace =0\;$» $\Rightarrow$ « la nullité du déterminant de l'endomorphisme $\;\psi _{\lambda }\;$» Justification : Par définition « les valeurs propres de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ sont les scalaires $\;\color {transparent}{\lambda \;\in \mathbb {R} }\;$» tels que «$\;\mathrm {det} \!\left(\psi _{\lambda }\right)=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\mathrm {det} \!\left(\lambda \;Id-\varphi \right)=0\;$» assurant que Justification : Par définition « les valeurs propres de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ sont les scalaires $\;\color {transparent}{\lambda \;\in \mathbb {R} }\;$» tels que « la valeur propre $\;\lambda \;$ de l'endomorphisme $\;\varphi \;$ est une racine de son polynôme caractéristique Justification : Par définition « les valeurs propres de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ sont les scalaires $\;\color {transparent}{\lambda \;\in \mathbb {R} }\;$» tels que « la valeur propre $\;\color {transparent}{\lambda }\;$ de l'endomorphisme $p_{\varphi }(X):=\mathrm {det} \!\left(X\left[I_{n}\right]-\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left\lbrace \varphi \right\rbrace \right)\;$» ; Justification : réciproquement, « les racines $\;\lambda \;$ du polynôme caractéristique de l'endomorphisme $\;\varphi \;$ “$\;p_{\varphi }(X)=\mathrm {det} \!\left(X\,\left[I_{n}\right]-\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left\lbrace \varphi \right\rbrace \right)\;$” » Justification : réciproquement, « les racines $\;\color {transparent}{\lambda }\;$ du polynôme caractéristique de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ vérifiant «$\;p_{\varphi }(\lambda )=\mathrm {det} \!\left(\lambda \,\left[I_{n}\right]-\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left\lbrace \varphi \right\rbrace \right)=0\;$» c.-à-d. Justification : réciproquement, « les racines $\;\color {transparent}{\lambda }\;$ du polynôme caractéristique de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ vérifiant « la nullité du déterminant de l'endomorphisme $\;\psi _{\lambda }=\lambda \;Id-\varphi \;$ de $\;E\;$»$^,$, assurant Justification : réciproquement, « les racines $\;\color {transparent}{\lambda }\;$ du polynôme caractéristique de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ « le caractère non injectif de l'endomorphisme $\;\psi _{\lambda }=\lambda \;Id-\varphi \;$ de $\;E\;$» ce qui se traduit par Justification : réciproquement, « les racines $\;\color {transparent}{\lambda }\;$ du polynôme caractéristique de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ «$\;\exists \;x\;\in \left\lbrace E\;\backslash \;0_{E}\right\rbrace \;$ vérifiant $\;\psi _{\lambda }(x)=0_{E}\;$ ou encore $\;\varphi (x)=\lambda \;x\;$» assurant que Justification : réciproquement, « les racines $\;\color {transparent}{\lambda }\;$ du polynôme caractéristique de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ «$\;\lambda \;$ est une valeur propre de l'endomorphisme $\;\varphi \;$ de vecteur propre associé $\;x\;$».