# Application linéaire/Définitions

Soient $E$ et $F$ deux $K$-espaces vectoriels.

## Définitions
### Application linéaire

Une application $u:E\to F$ est dite linéaire si elle vérifie (pour tous vecteurs $x$ et $y$ de $E$ et tout scalaire $\lambda$) :
$u(\lambda x)=\lambda u(x)\quad {\text{et}}\quad u(x+y)=u(x)+u(y)$
ou encore, si elle vérifie :
$u(\lambda x+y)=\lambda u(x)+u(y)$
L'ensemble des applications linéaires de E dans F (aussi appelées homomorphismes ou morphismes de E vers F) est noté $\operatorname {L} \left(E,F\right)$.
On suppose dans cet exemple que $E=F^{A}$ (l'espace vectoriel des applications d'un ensemble fixé $A$ dans $F$) et que $a\in A$.
Alors, l'application
    ${\begin{array}{ccccc}u&:&E&\rightarrow &F\\~&~&f&\mapsto &f(a)\end{array}}$
est linéaire. En effet :
    ${\begin{aligned}\forall (\lambda ,f,g)\in K\times E^{2}\quad u(\lambda f+g)&=(\lambda f+g)(a)\\&=\lambda f(a)+g(a)\\&=\lambda u(f)+u(g).\end{aligned}}$

### Applications linéaires particulières

On appelle :
* endomorphisme de E toute application linéaire de E dans E ;
* isomorphisme de E vers F toute bijection linéaire de E dans F ;
* automorphisme de E tout endomorphisme bijectif de E, ou encore, tout isomorphisme de E dans E.
* forme linéaire sur E toute application linéaire de E dans K. Wikipedia-logo-v2.svg Wikipédia possède un article à propos de « Forme linéaire ».
* L'ensemble L(E, E) des endomorphismes de E se note plus simplement L(E).
* L'ensemble des automorphismes de E s’appelle le groupe linéaire de E et se note GL(E).
* L'ensemble L(E, K) des formes linéaires sur E se note plus simplement E* et porte le nom de dual de E. ( Voir le cours sur la dualité pour une étude plus détaillée.)
Soit $k\in K$. L'application
${\begin{array}{ccccc}h&:&E&\rightarrow &E\\~&~&x&\mapsto &kx\end{array}}$
est linéaire car
${\begin{aligned}\forall (\lambda ,x,y)\in K\times E^{2},~h(\lambda x+y)&=k(\lambda x+y)=k\lambda x+ky\\&=\lambda (kx)+(ky)\\&=\lambda h(x)+h(y)\end{aligned}}$.
C'est donc un endomorphisme de E, appelé « homothétie de rapport k ». Si de plus k ≠ 0, h est un automorphisme de E.
On suppose dans cet exemple $K=\mathbb {R}$ et $E=\mathbb {R} ^{n}$, muni de son produit scalaire canonique.
Soit $e\in E$. Alors, l'application
${\begin{array}{ccccc}p&:&E&\rightarrow &\mathbb {R} \\~&~&x&\mapsto &\langle x,e\rangle \end{array}}$
est linéaire. En effet :
${\begin{aligned}\forall (\lambda ,x,y)\in \mathbb {R} \times E^{2},~p(\lambda x+y)&=\langle \lambda x+y,e\rangle \\&=\lambda \langle x,e\rangle +\langle y,e\rangle \\&=\lambda p(x)+p(y)\end{aligned}}$.
De plus, p est à valeurs dans $\mathbb {R}$. C'est donc une forme linéaire sur E.

## Image, noyau
### Définitions

Soit $u\in \operatorname {L} (E,F)$. On appelle :
* image de u l’ensemble $\{u(x)\mid x\in E\}$, noté Im(u).
* noyau de u l’ensemble $\{x\in E\mid u(x)=0\}$, noté Ker(u).
On suppose à nouveau $K=\mathbb {R}$ et $E=\mathbb {R} ^{n}$, muni d'une base orthonormée $(e_{1},\dots ,e_{n})$, et l'on considère l'application linéaire
    ${\begin{array}{ccccc}p_{1}&:&E&\rightarrow &\mathbb {R} \\~&~&x&\mapsto &\langle x,e_{1}\rangle .\end{array}}$
* Son noyau est l’hyperplan des vecteurs orthogonaux à $e_{1}$, c'est-à-dire $\operatorname {Ker} \left(p_{1}\right)=\{x\in E\mid \langle x,e_{1}\rangle =0\}=\operatorname {Vect} \left\{e_{2},\dots ,e_{n}\right\}$.
* Son image est $\mathrm {Im} \left(p_{1}\right)=\mathbb {R}$.

### Propriétés

Soit $u\in \operatorname {L} (E,F)$.
* L'image réciproque par u d'un sous-espace vectoriel de F est un sous-espace vectoriel de E ;
* L'image directe par u d'un sous-espace vectoriel de E est un sous-espace vectoriel de F.
Remarquons d'abord que $u(0_{E})=0_{F}$ (puisque $u$ est un morphisme de groupes de $(E,+)$ dans $(F,+)$, ou encore, puisque $u(0_{E})=u(0_{K}x)=0_{K}u(x)=0_{F}$, où $x\in E$ est un vecteur auxiliaire arbitraire).
* Soient $F'$ un sous-espace vectoriel de $F$ et $E'=u^{-1}(F')$.
** $u(0_{E})=0_{F}\in F'$ donc $0_{E}\in E'$.
** Soit $(\lambda ,x,y)\in K\times E'^{2}$. Alors, $u(x),u(y)\in F'$ donc $u(\lambda x+y)=\lambda u(x)+u(y)\in F'$ donc $\lambda x+y\in E'$.
* Soient $E'$ un sous-espace vectoriel de $E$ et $F'=u(E')$.
** $0_{E}\in E'$ et $u(0_{E})=0_{F}$ donc $0_{F}\in F'$.
** Soit $(\lambda ,x,y)\in K\times F'^{2}$. Il existe $a,b\in E'$ tels que $x=u(a)$ et $y=u(b)$. Alors, $\lambda a+b\in E'$ donc $\lambda x+y=u(\lambda a+b)\in F'$.
* Ker(u) est un sous-espace vectoriel de E.
* Im(u) est un sous-espace vectoriel de F.
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