# Théorie des groupes/Caractères complexes des groupes finis, 2 : théorèmes sur les degrés

Dans ce chapitre, on va démontrer trois théorèmes sur les degrés des $\mathbb {C}$-caractères irréductibles d'un groupe fini. La numérotation des énoncés fait suite à celle du chapitre précédent.
Rappelons (chapitre Représentations complexes des groupes finis, 1, Exemples de représentations) que si G est un groupe fini, la $\mathbb {C}$-représentation régulière gauche de G est la $\mathbb {C}$-représentation vectorielle L de G dans le $\mathbb {C}$- espace vectoriel $\mathbb {C} [G]$ définie de la façon suivante :
    pour tout g dans G, L(g) est l'automorphisme $x\mapsto gx$ du $\mathbb {C}$- espace vectoriel $\mathbb {C} [G].$
Le caractère de la représentation L est appelé le caractère régulier de G.
Soit G un groupe fini. Désignons par L la $\mathbb {C}$-représentation régulière gauche de G et par $\chi _{L}$ le caractère de cette représentation (caractère régulier de G). Pour tout g dans G,
    $\chi _{L}(g)=\left\lbrace {\begin{array}{l}\vert G\vert \ \mathrm {si} \ g=1,\\0\ \mathrm {sinon} .\end{array}}\right.$
Démonstration. Notons n l'ordre de G et choisissons une numérotation $g_{1},\ldots ,g_{n}$ des éléments de G. Donc $(g_{1},\ldots ,g_{n})$ est une base (numérotée) du $\mathbb {C}$-espace $\mathbb {C} [G].$ La i-ième composante d'un élément h de G dans cette base est 1 si $h=g_{i}$ et 0 sinon. Donc pour tout élément g de G et tout i dans {1, ... , n}, la i-ième composant de $(L(g))(g_{i})$, autrement dit de $gg_{i}$, dans la base $(g_{1},\ldots ,g_{n})$ est égale à 1 si g = 1 et à 0 dans le cas contraire. Donc la trace de l'endomorphisme L(g) est égale à n si g = 1 et à 0 dans le cas contraire. Puisque $\chi _{L}(g)$ est égal par définition à Tr(L(g)), l'énoncé en résulte.
Soit G un groupe fini, soient $\chi _{1},\ldots ,\chi _{k}$ ses différents $\mathbb {C}$-caractères irréductibles, soit L la $\mathbb {C}$-représentation régulière gauche de G, soit $\chi _{L}$ le caractère de cette représentation (caractère régulier de G). Alors
    $\chi _{L}=\sum _{i=1}^{k}\chi _{i}(1)\chi _{i}.$
Autrement dit, chaque $\mathbb {C}$-caractère irréductible $\chi _{i}$ de G est un constituant de $\chi _{L}$, avec pour multiplicité le degré $\chi _{i}(1)$ de $\chi _{i}$.
Démonstration. D'après le théorème 20 (chapitre Caractères complexes des groupes finis, 1 : relations d'orthogonalité),
    (1) $\qquad \chi _{L}=\sum _{i=1}^{k}(\chi _{L}\vert \chi _{i})\chi _{i}.$
D'autre part, par définition de $(\vert )$,
    (2) $\qquad (\chi _{L}\vert \chi _{i})=\vert G\vert ^{-1}\sum _{g\in G}\chi _{L}(g)\chi _{i}(g^{-1}).$
Il résulte du lemme 32 que dans la somme du second membre, tous les termes correspondant aux indices g distincts de 1 sont nuls et que le terme correspondant à l'indice g = 1 vaut $\vert G\vert \chi _{i}(1).$ Donc la relation (2) peut s'écrire
    $(\chi _{L}\vert \chi _{i})=\chi _{i}(1).$
En portant ceci dans (1), on trouve
    $\chi _{L}=\sum _{i=1}^{k}\chi _{i}(1)\chi _{i},$
ce qui prouve l'énoncé. Voici une autre démonstration. D'après la seconde relation d'orthogonalité (chapitre Caractères complexes des groupes finis, 1 : relations d'orthogonalité, théorème 31), appliquée à la classe de conjugaison d'un élément g de G et à la classe de conjugaison {1},
    $\sum _{i=1}^{k}\chi _{i}(g){\overline {\chi _{i}(1)}}=\left\lbrace {\begin{array}{l}\vert G\vert \ \mathrm {si} \ g=1,\\0\ \mathrm {sinon} .\end{array}}\right.$
Puisque le degré $\chi _{i}(1)$ de $\chi _{i}$ est un nombre réel, cela peut s'écrire
    $\sum _{i=1}^{k}\chi _{i}(g)\chi _{i}(1)=\left\lbrace {\begin{array}{l}\vert G\vert \ \mathrm {si} \ g=1,\\0\ \mathrm {sinon} .\end{array}}\right.$
D'après le lemme 32, le second membre égale $\chi _{L}(g)$, donc, pour tout g dans G,
    $\sum _{i=1}^{k}\chi _{i}(g)\chi _{i}(1)=\chi _{L}(g),$
ce qui prouve l'énoncé.
Soit G un groupe fini, soient $\chi _{1},\ldots ,\chi _{k}$ ses différents $\mathbb {C}$-caractères irréductibles, soient $d_{1},\ldots ,d_{k}$ les degrés respectifs de $\chi _{1},\ldots ,\chi _{k}.$ Alors
    $d_{1}^{2}+\cdots d_{k}^{2}=\vert G\vert .$
Démonstration. Notons $\chi$ le caractère régulier de G. D'après le lemme 32,
    $\chi (1)=\vert G\vert .$
D'après le lemme 33, le premier membre égale
    $\sum _{i=1}^{k}\chi _{i}(1)^{2},$
donc
    $\sum _{i=1}^{k}\chi _{i}(1)^{2}=\vert G\vert .$
Comme $d_{i}=\chi _{i}(1),$ l'énoncé en résulte. On pourrait aussi appliquer la seconde relation d'orthogonalité (chapitre Caractères complexes des groupes finis, 1 : relations d'orthogonalité, théorème 31) à « deux » classes de conjugaison égales à {1}.
Soit G un groupe fini. G est abélien si et seulement si toute $\mathbb {C}$-représentation irréductible de G est de degré 1 (autrement dit si tout $\mathbb {C}$-caractère irréductible de G est de degré 1).
Démonstration. Nous savons déjà que si G est abélien, alors toute $\mathbb {C}$-représentation irréductible de G est de degré 1 (voir chapitre Représentations complexes des groupes finis, 2, théorème 3). Réciproquement, supposons que toute $\mathbb {C}$-représentation irréductible de G est de degré 1 et prouvons que G est abélien. L'hypothèserevient à dire que tout $\mathbb {C}$-caractère irréductible de G est de degré 1. D'après le théorème 34, nous avons donc
    $k=\vert G\vert$
où k désigne le nombre des $\mathbb {C}$-caractères irréductibles de G. D'après le théorème 29 (chapitre Caractères complexes des groupes finis, 1 : relations d'orthogonalité), ce nombre est égal au nombre des classes de conjugaison de G. Donc le nombre des classes de conjugaison de G est égal à l'ordre de G, ce qui n'est possible que si chaque classe de conjugaison est réduite à un élément, autrement dit si le groupe G est abélien.
Rappelons que si $\chi$ est un caractère d'un groupe fini G, si K est une classe de conjugaison d'éléments de G, on a convenu de désigner par $\chi (K)$ la valeur prise par $\chi$ en tout élément de K.
Soient G un groupe fini, $\chi$ un $\mathbb {C}$-caractère irréductible de G, de degré $d_{\chi }=\chi (1)$.
* Pour toute fonction centrale $\gamma$ sur G à valeurs entières,
    ${\frac {1}{d_{\chi }}}\sum _{g\in G}\gamma (g)\chi (g)$ est un entier algébrique.
* En particulier, pour toute classe de conjugaison K d'éléments de G,
    ${\frac {|K|\chi (K)}{d_{\chi }}}$ est un entier algébrique.
Démonstration.
Choisissons une $\mathbb {C}$-représentation vectorielle T de G admettant $\chi$ pour caractère et notons V le $\mathbb {C}$-espace vectoriel de cette représentation (donc T est irréductible et $\dim(V)=d_{\chi }\geq 1$).
Pour toute fonction $\gamma :G\to \mathbb {C}$, considérons l'endomorphisme suivant de V :
    $u_{T,\gamma }=\sum _{g\in G}\gamma (g)T(g)$
ainsi que le nombre complexe :
    $\lambda _{\chi ,\gamma }={\frac {1}{d_{\chi }}}\sum _{g\in G}\gamma (g)\chi (g)$.
D'après le chapitre précédent (lemme 27) :
    (1) si $\gamma$ est centrale alors $u_{T,\gamma }$ est l'homothétie de rapport $\lambda _{\chi ,\gamma }$
et il s'agit de prouver que si de plus $\gamma$ est à valeurs entières alors ce rapport est un entier algébrique.
Remarquons d'abord que
    (2) le $\mathbb {Z}$-module des fonctions centrales à valeurs entières est stable par la multiplication de l'anneau $\mathbb {C} [G]$.
En effet :
* dans cet anneau, le produit $\gamma _{1}*\gamma _{2}$ de deux fonctions $\gamma _{1},\gamma _{2}:G\to \mathbb {C}$ s'exprime par $(\gamma _{1}*\gamma _{2})(u)=\sum _{gh=u}\gamma _{1}(g)\gamma _{2}(h)$ donc si les deux fonctions sont à valeurs entières alors leur produit aussi ;
* si les deux fonctions sont centrales, c'est-à-dire appartiennent au centre de l'anneau, alors leur produit aussi.
En considérant le morphisme d'anneaux $\mathbb {C} [G]\to \operatorname {End} (V),\quad \gamma \mapsto u_{T,\gamma }$, on déduit de (2) que :
    (3) le sous-$\mathbb {Z}$-module $\{u_{T,\gamma }\mid \gamma :G\to \mathbb {Z} {\text{ centrale}}\}$ de $\operatorname {End} (V)$ est stable par composition.
En appliquant les homothéties à n'importe quel vecteur non nul de V, on déduit de (1) et (3) que
    le sous-$\mathbb {Z}$-module $\{\lambda _{\chi ,\gamma }\mid \gamma :G\to \mathbb {Z} {\text{ centrale}}\}$ de $\mathbb {C}$ est stable par produit.
C'est donc un sous-pseudo-anneau de $\mathbb {C} .$ Notons, bien que ce ne soit pas essentiel, que c'est même un sous-anneau de $\mathbb {C} .$ En effet, il comprend 1, comme rapport de l'homothétie associée à la fonction $\gamma =\mathbf {1} _{\{1\}}$ (la fonction caractéristique du singleton {1}) : $u_{T,\mathbf {1} _{\{1\}}}$ = T(1) = id$_V$. Comme ce sous-anneau est un $\mathbb {Z}$-module de type fini (engendré par les $\lambda _{\chi ,\mathbf {1} _{K}}$ où K parcourt l'ensemble des classes de conjugaison d'éléments de G), ses éléments sont des entiers algébriques (voir chapitre Caractères complexes des groupes finis, 1, rappels sur les nombres algébriques, point 5°), ce qu'il fallait démontrer.
Soit G un groupe fini. Les degrés des $\mathbb {C}$-caractères irréductibles de G divisent l'ordre de G.
Démonstration. Fixons un $\mathbb {C}$-caractère irréductible $\chi$ de G et notons d son degré.
Pour toute classe de conjugaison K d'éléments de G, posons
    $\omega _{K}={\frac {|K|\chi (K)}{d}}=\sum _{g\in K}{\frac {\chi (g)}{d}}$.
Ainsi,
    $\omega _{K}\ \chi (K^{-1})=\sum _{g\in K}{\frac {\chi (g)\chi (g^{-1})}{d}}$
donc en sommant sur les classes de conjugaison d'éléments de G,
    ${\begin{aligned}(1)\qquad \sum _{K}\omega _{K}\ \chi (K^{-1})&=\sum _{g\in G}{\frac {\chi (g)\chi (g^{-1})}{d}}\\&={\frac {|G|}{d}}(\chi \mid \chi )\\&={\frac {|G|}{d}}.\end{aligned}}$
D'après le lemme 36, les nombres $\omega _{K}$ sont des entiers algébriques et d'après le corollaire 10 (chapitre Caractères complexes des groupes finis, 1), les nombres $\chi (K^{-1})$ sont eux aussi des entiers algébriques.
Comme un produit et une somme d'entiers algébriques sont des entiers algébriques (chapitre Caractères complexes des groupes finis, 1, rappels sur les nombres algébriques, point 7°), il résulte de (1) que ${\frac {|G|}{d}}$ est un entier algébrique. Puisqu'il est rationnel, c'est donc un entier rationnel (chapitre Caractères complexes des groupes finis, 1, rappels sur les nombres algébriques, point 8°) et, bien sûr, un nombre naturel.
Dans le chapitre suivant, on va montrer comment la théorie des caractères permet de prouver le théorème p-q de Burnside (ou théorème p$^a$q$^b$ de Burnside), selon lequel tout groupe fini dont l'ordre compte au plus deux facteurs premiers distincts est résoluble. Puis, dans un chapitre indépendant du chapitre sur le théorème p-q de Burnside, on déterminera les $\mathbb {C}$-caractères irréductibles de quelques groupes finis. Le lecteur pressé de connaître « effectivement » les $\mathbb {C}$-caractères irréductibles de quelques groupes finis peut omettre le chapitre sur le théorème p-q de Burnside.
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