# Espaces de Banach/Exercices/Théorème de Banach-Steinhaus
## Exercice 5-1

On définit le produit de Cauchy $a*b$ de deux suites $a$ et $b$ de nombres complexes par : $(a*b)_{n}=\sum _{i+j=n}a_{i}b_{j}$. On sait (théorème de Mertens) que si $\sum _{n\in \mathbb {N} }|a_{n}|<\infty$ alors, pour toute série convergente $\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}$, la série $\sum _{n=0}^{\infty }(a*b)_{n}$ converge. Démontrer la réciproque.
Sur l'espace de Banach $C(\mathbb {N} \cup \{\infty \})$ des suites convergentes (fermé dans $\ell ^{\infty }$), les formes linéaires $L_{n}:B\mapsto \sum _{i+j\leq n}a_{i}(B_{j}-B_{j-1})=\sum _{i+j=n}a_{i}B_{j}$ (avec par convention $B_{-1}=0$) sont continues et $|\!|\!|L_{n}|\!|\!|=\sum _{i\leq n}|a_{i}|$ et l'ensemble des $B$ tels que $\sup _{n}|L_{n}(B)|<\infty$ est $C(\mathbb {N} \cup \{\infty \})$ tout entier, non maigre. Par conséquent (th. de Banach-Steinhaus) $\|a\|_{1}=\sup _{n}|\!|\!|L_{n}|\!|\!|<\infty$.

## Exercice 5-2

Montrer par trois contre-exemples que dans le théorème de Banach-Steinhaus, on ne peut omettre aucune des hypothèses :
* l'espace de départ est complet ;
* les applications considérées sont continues ;
* les applications considérées sont linéaires.
* Sur l'espace des suites nulles à partir d'un certain rang (dont le complété pour la norme sup est l'espace $c_{0}$ des suites de limite nulle), la suite de formes linéaires continues $L_{n}:x\mapsto \sum _{k<n}x_{k}$ converge simplement mais $|\!|\!|L_{n}|\!|\!|=n\to +\infty$. Autre exemple : on munit un e.v. de base $(e_{j})_{j\in \mathbb {N} ^{*}}$ d'une norme valant $1$ sur les $e_{j}$ et l'on pose $L_{n}(e_{j})=je_{j}$ si $j\leq n$ et $0$ sinon.
* Prendre un seul opérateur non continu.
* Il faut donner un sens à la question. On peut chercher des applications $f_{n}:E\to \mathbb {R}$ continues et bornées sur la sphère $S$ ou la boule unité $B$ d'un Banach $E$, mais telles que $f_{n}\to f$ simplement avec $f$ non continue et/ou non bornée sur $S$. Il suffit de définir les $f_{n}$ sur $S$ (on les étend facilement continûment à $E$, de façon bornée sur $B$, et même nulles au voisinage de $0$).
** Si l'on veut (sur $S$) $f$ bornée mais non continue, c'est facile (penser à $x^{n}$ sur $[0,1]$, à dupliquer en miroir de $1$ à $2$).
** Si l'on veut $f$ non continue et non bornée, il suffit de la définir sur le cercle unité de $\mathbb {R} ^{2}$ par $\forall \theta \in [0,2\pi [~f(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta })={\frac {1}{2\pi -\theta }}$ (et de prendre $f_{n}$ qui coïncide avec $f$ sur $[0,2\pi -1/n]$ puis affine jusqu'à $2\pi$).
** Si l'on veut $f$ continue mais non bornée, il faut $E$ de dimension infinie. On peut partir d'une application linéaire continue de norme $1$ non atteinte, par exemple $T:\ell ^{1}(\mathbb {N} ^{*})\to \mathbb {R} ,x\mapsto \sum (1-1/n)x_{n}$ : $|\!|\!|T|\!|\!|=1$ non atteint, car si $\|x\|_{1}=1$ et $x_{n}\neq 0$ alors $|T(x)|\leq \sum _{k\neq n}|x_{k}|+(1-1/n)|x_{n}|<1$. Puis on compose par un homéomorphisme entre $]-1,1[$ et $\mathbb {R}$, pour préserver la continuité mais obtenir une application $f$ non bornée. On l'approche facilement par des fonctions continues bornées en la composant par l'application qui remplace $x$ par $nx/|x|$ lorsque $|x|>n$.

## Exercice 5-3

Soit $C(\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} )$ l'espace des applications continues $2\pi$-périodiques de $\mathbb {R}$ dans $\mathbb {R}$, muni de la norme sup. On rappelle que pour toute fonction $f\in {\rm {L}}^{1}(\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} )$, la $n$-ième somme partielle $S_{n}(f)$ de la série de Fourier est la convolée par le noyau de Dirichlet :
    $S_{n}(f)(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)D_{n}(x-t)~{\rm {d}}t\quad {\rm {avec}}\quad D_{n}(t)={\frac {\sin \left((2n+1){\frac {t}{2}}\right)}{\sin {\frac {t}{2}}}}$.
Pour $x$ fixé, on note $L_{n}$ la norme de la forme linéaire $C(\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} )\to \mathbb {R} ,f\mapsto S_{n}(f)(x)$. Montrer que :
* $L_{n}=\|D_{n}\|_{1}$ ;
* $L_{n}\to +\infty$ ;
* il existe dans $C(\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} )$ une fonction dont la série de Fourier au point $x$ diverge ;
* Dans $C(\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} )$, l'ensemble des fonctions dont la série de Fourier en $x$ diverge est même dense.
* $L_{n}\leq \|D_{n}\|_{1}$ car $|S_{n}(f)(x)|\leq \|f\|_{\infty }\|D_{n}\|_{1}$. Pour avoir $\|f\|_{\infty }=1$ et $S_{n}(f)(x)=\|D_{n}\|_{1}$, il faudrait que $f(t)=\pm 1$ avec même signe que $D_{n}(x-t)$. Cela n'est pas possible avec $f$ continue, mais on peut faire en sorte que ce le soit en dehors d'intervalles suffisamment petits autour des $n$ points $t$ où $D_{n}(x-t)$ change de signe (et interpoler affinement sur ces intervalles), pour rendre $S_{n}(f)(x)$ aussi proche qu'on veut de $\|D_{n}\|_{1}$.
* $L_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {|\sin((2n+1)t/2)|}{\sin(t/2)}}~{\rm {d}}t>{\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }|\sin((2n+1)t/2)|{\frac {{\rm {d}}t}{t}}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{(2n+1)\pi /2}|\sin s|{\frac {{\rm {d}}s}{s}}\to \infty$ (voir par exemple Série numérique/Exercices/Comparaison série-intégrale#Exercice 1).
* D'après le principe de la borne uniforme, si la suite $S_{n}$ (de formes linéaires continues sur un Banach) convergeait simplement, on aurait $\sup _{n}L_{n}<\infty$. Ce n'est pas le cas, donc il existe un $f$ pour lequel la série de Fourier en $x$ diverge.
* Le théorème de Banach-Steinhaus dit plus précisément que, puisque $\sup _{n}L_{n}=\infty$, il existe un ensemble comaigre (ou « résiduel » : c’est-à-dire contenant une intersection dénombrable d'ouverts denses ; une telle partie est dense d'après le théorème de Baire) de fonctions $f$ telles que $\sup _{n}|S_{n}(f)(x)|=+\infty$. Pour ces fonctions, la série de Fourier en $x$ diverge.

## Exercice 5-4

Soient $E$ l'espace de Banach des fonctions continues sur $[-\pi ,\pi ]$ muni de la norme uniforme $\|\cdot \|_{\infty }$, et $\ell ^{1}(\mathbb {Z} )$ l'espace de Banach des suites (indexées par $\mathbb {Z}$) absolument sommables muni de la norme $\|\cdot \|_{1}$ définie par $\|a\|_{1}=\sum _{k\in \mathbb {Z} }|a_{k}|$. Pour tout $f\in E$, on note $c(f)=(c_{k}(f))_{k\in \mathbb {Z} }$ la suite des coefficients de Fourier de $f$, définis par $c_{k}(f)=\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} kx}\;\mathrm {i} dx$.
Pour tout $N\subset \mathbb {Z}$, on note $E_{N}:=\{f\in E\mid \forall k\not \in N\quad c_{k}(f)=0\}$.
* Montrer que $E_{N}$ muni de la norme $\|\cdot \|_{\infty }$ est un espace de Banach.
* On dit que $N$ est un ensemble de Sidon si $c(E_{N})\subset \ell ^{1}(\mathbb {Z} )$. Montrer qu'alors, il existe une constante $M$ telle que pour tout $f\in E_{N}$, $\|c(f)\|_{1}\leq M\|f\|_{\infty }$. Indication : on pourra introduire la suite d'applications $L^{(n)}:E_{N}\to \ell ^{1}(\mathbb {Z} )$ définies par $L^{(n)}(f)_{k}=c_{k}(f)$ si $|k|\leq n$ et 0 sinon, et appliquer Banach-Steinhaus.
* Dans le Banach $E$, la partie $E_{N}=\cap _{k\in \mathbb {Z} \setminus N}\ker(c_{k})$ est fermée car les formes linéaires $c_{k}$ sont continues (de norme $\leq 2\pi$).
* Supposons que $N$ est de Sidon et montrons qu'alors, $c$ est continue de $(E_{N},\|~\|_{\infty })$ dans $(\ell ^{1}(\mathbb {Z} ),\|~\|_{1})$. Pour tout $n\in \mathbb {N}$, l'application linéaire $L^{(n)}:=c\times \chi _{[-n,n]}:E_{N}\to \ell ^{1}(\mathbb {Z} )$ est continue (de norme $\leq (2n+1)2\pi$) et $\forall f\in E_{n}\quad L^{(n)}(f)\to c(f)$ (car dans $\ell ^{1}(\mathbb {Z} )$, tout élément $x$ est limite de $x\times \chi _{[-n,n]}$ puisque $\sum _{|k|>n}|x_{k}|\to 0$) donc la suite $(L^{(n)}(f))_{n}$ est bornée. D'après le théorème de Banach-Steinhaus, $\|c\|=\sup _{n\in N}\|L^{(n)}\|$ est donc fini.

## Exercice 5-5

Soit $f\in \mathrm {L} ^{2}([0,1],\mathrm {d} x)$ une fonction satisfaisant la propriété (P) suivante :
    (P) $\forall g\in \mathrm {L} ^{2}([0,1],\mathrm {d} x)\quad fg\in \mathrm {L} ^{2}([0,1],\mathrm {d} x)$.
On pose $T_{f}(g)=fg$. Ainsi, $T_{f}$ est une application linéaire de $\mathrm {L} ^{2}([0,1],\mathrm {d} x)$ dans lui-même.
* Donner un exemple de fonction $f$ qui ne vérifie pas (P).
* Montrer que si $f$ vérifie (P) alors $T_{f}$ est continue. (On pourra introduire les fonctions bornées $f_{n}:={\frac {f}{|f|}}\min(|f|,n)$ et les opérateurs $T_{f_{n}}$).
* $f(x)=x^{-1/4}$ : $f^{2}$ est intégrable en 0 mais pas $f^{4}$.
* Les $f_{n}$ vérifient évidemment (P) et les endomorphismes $T_{f_{n}}$ sont continus (de norme $\leq n$). Ils convergent simplement vers $T_{f}$ car pour tout $g\in \mathrm {L} ^{2}([0,1],\mathrm {d} x)$, $\|(T_{f}-T_{f_{n}})(g)\|_{2}^{2}=\int _{|f|>n}|fg|^{2}\to 0$ (par convergence dominée). D'après le théorème de Banach-Steinhaus, la limite $T_{f}$ est donc continue.
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