# Dynamique des fluides visqueux/Turbulence statistique

À défaut de trouver une solution instantanée non prédictible, on s'intéresse à une description statistique de la turbulence. On cherche à décrire l'évolution des champs moyen et turbulent d'une part, et d’autre part à mettre en évidence les termes de transfert entre ces deux champs.
Cette décomposition, due à Reynolds en 1883, n’est pas la seule existante.

## Moyenne et propriétés
### Définition

La moyenne statistique sur des réalisations indépendantes $f^{(i)}$ en un point fixe de l'espace et du temps s'écrit : ${\overline {f}}({\overrightarrow {r}},t)=\lim \limits _{N\longrightarrow +\infty }{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}{f^{(i)}({\overrightarrow {r}},t)}$
On peut également définir la moyenne temporelle : ${\overline {f}}({\overrightarrow {r}})=\lim \limits _{T\longrightarrow +\infty }{\frac {1}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{f^{(i)}({\overrightarrow {r}},\tau )\,d\tau }$
Si $T$ est grand par rapport aux différences échelles de la turbulence, l'intégrale précédente est glissante et ${\overline {f({\overrightarrow {r}})}}$ ne dépend pas de $t_{0}$ : la turbulence est stationnaire en moyenne.
De la même façon, on utilisera une moyenne spatiale pour une turbulence homogène : ${\overline {f}}(t)=\lim \limits _{V\longrightarrow 0}{\frac {1}{V}}\int _{V}{f^{(i)}({\overrightarrow {\rho }},t)\,d{\overrightarrow {\rho }}}$
Remarque - Il existe d'autres moyennes, en particulier celles utilisées plus ou moins implicitement dans les simulations numériques du fait du maillage. Un maillage large ne permet pas d'observer des phénomènes locaux et se comporte alors comme un filtre passe-bande.
Toute grandeur peut ainsi être écrite : $f=\underbrace {\overline {f}} _{\mathrm {moyenne} }+\underbrace {f'} _{\mathrm {fluctuations} }\qquad \left(\mathrm {avec} \;{\overline {f'}}=0\right)$.
On peut définir la moyenne d'échantillons : ${\overline {f}}={\frac {f_{1}+f_{2}+...+f_{N}}{N}}$.
On a également l'espérance mathématique : si $f$ a pour densité de probabilité $\varphi$, alors : ${\overline {f}}=\int _{-\infty }^{+\infty }x\,\varphi (x)\,dx$.

### Propriétés de l'opérateur moyenne

Commençons par deux définitions :
* Écoulement homogène : invariance des propriétés de la turbulence par translation des coordonnées ;
* Écoulement isotrope : invariance des propriétés de la turbulence par rotation des coordonnées.
${\begin{array}{rcl}{\overline {f+g}}&=&{\overline {f}}+{\overline {g}}\\{\overline {\alpha \timesf}}&=&\alpha \times {\overline {f}}\qquad \alpha \mathrm {\;constante} \\{\overline {{\overline {f}}\timesg}}&=&{\overline {f}}\times {\overline {g}}\\{\overline {f\timesg}}&\neq &{\overline {f}}\times {\overline {g}}\\{\overline {\frac {\partial f}{\partial \xi }}}&=&{\frac {\partial {\overline {f}}}{\partial \xi }}\end{array}}$

## Équation de Navier-Stokes moyennée
### Équations de la mécanique des fluides

L'équation de Navier-Stokes s'écrit : ${\frac {\partial }{\partial t}}\left(\rho \,U_{i}\right)+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left(\rho \,U_{i}\,U_{j}\right)=-{\frac {\partial p^{*}}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left(\tau _{ij}\right)$.
Cette équation est associée à l'équation de continuité : ${\frac {\partial \left(\rho \,U_{i}\right)}{\partial x_{i}}}=0$.

### Équations moyennées

${\begin{cases}U_{i}={\overline {U_{i}}}+u_{i}'\\p={\overline {p}}+p'\\\tau _{ij}={\overline {\tau _{ij}}}+\tau _{ij}'\end{cases}}$
On a : ${\overline {\tau _{ij}}}=\mu \left[{\frac {\partial {\overline {Ui}}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\overline {Uj}}}{\partial x_{i}}}\right]$.
On peut alors déduire l'équation de continuité moyennée : ${\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\overline {U_{i}}}+u_{i}'\right)=0$, soit : ${\frac {\partial {\overline {U_{i}}}}{\partial x_{i}}}=0$.
On déduit également l'équation de Navier-Stokes : ${\frac {\partial }{\partial t}}\left(\rho \,{\overline {U_{i}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left(\rho \,{\overline {U_{i}}}\,{\overline {U_{j}}}\right)=-{\frac {\partial {\overline {p^{*}}}}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left(\tau _{ij}-\rho \,{\overline {u_{i}'\,u_{j}'}}\right)$.
On a donc a priori quatre équations pour neuf inconnues. Ces quatre équations moyennes sont appelées équations de Reynolds. On y adjoint le tenseur de Reynolds :
${\begin{aligned}{\underline {\underline {Re}}}&=-\rho \,{\overline {u_{i}'\,u_{j}'}}\\&=\left[{\begin{array}{ccc}-\rho \,{\overline {u_{1}'}}^{2}&-\rho \,{\overline {u_{1}'\,u_{2}'}}&-\rho \,{\overline {u_{1}'\,u_{3}'}}\\-\rho \,{\overline {u_{2}'\,u_{1}'}}&-\rho \,{\overline {u_{2}'}}^{2}&-\rho \,{\overline {u_{2}'\,u_{3}'}}\\-\rho \,{\overline {u_{3}'\,u_{1}'}}&-\rho \,{\overline {u_{3}'\,u_{2}'}}&-\rho \,{\overline {u_{3}'}}^{2}\end{array}}\right]\end{aligned}}$.
On réduit alors le nombre d'inconnues à cinq : pour résoudre, il ne manque plus qu'une équation de fermeture, qui sera introduite par le modèle de calcul.
Notons que généralement, $-\rho \,{\overline {u_{i}'\,u_{j}'}}\gg {\overline {\tau _{ij}}}$ à l'exception notable des écoulements de couche limite lorsqu'on se situe très près de la paroi (les effets visqueux deviennent prépondérants). En écrivant une équation sur le moment d'ordre $n$ (ici, $n=1$) pour le champ moyen et du fait de la non linéarité convective, on fait apparaître le moment d'ordre $n+1$ (ici, le tenseur de Reynolds).
En supposant que l’on ne connaisse que le champ moyen, on a besoin d'une relation de fermeture pour résoudre ces équations : le modèle le plus utilisé est celui de Boussinesq. Une autre méthode consiste à écrire une équation sur le moment d'ordre $n+1$, c'est-à-dire une équation de transport pour les termes du tenseur de Reynolds $-\rho \,{\overline {U_{i}'\,U_{j}'}}$.
Le problème de fermeture subsiste pour les termes d'ordre $n+2$ qui sont des corrélations triples ${\overline {u_{i}'\,u_{j}'\,u_{k}'}}$ (tout moment d'ordre $n$ induit un moment d'ordre $n+1$).

## Outil d'analyse : transformée de Fourier

Effecuer la transformée de Fourier d’un signal fluctuant permet de le caractériser sous la forme de fréquences et d'énergies. Il s'agit d’un angle d'analyse totalement différent de celui de l'espace physique. Il est souvent indispensable dans le cas des écoulements turbulents, car il permet d'extraire une cohérence dans des phénomènes physiques apparemment très cahotiques.
La transformée de Fourier ${\mathcal {F}}$ d’un signal $h$ s'écrit : $\left({\mathcal {F}}(h)\right)(k)={\tilde {h}}(k)=\int _{-\infty }^{+\infty }h(x)\,e^{-i\,k\,x}\,dx$.
En général, le signal turbulent est mesuré via un dispositif expérimental ou encore grâce à une simulation numérique. Dans les deux cas, le signal obtenu est soit discret, soit discontinu : la définition précédente de la transformée de \textsc{Fourier} ne peut être appliquée directement. La définition de la transformée de Fourier $H$ d’un signal $h$ de $N$ échantillons est donnée : $H(k)=\sum _{n=0}^{N-1}h(n)\,e^{-2\,i\,\pi \,k{\frac {n}{N}}}$.

## Modèles numériques

Initialement une curiosité mathématique, la modélisation des écoulements par des modèles numériques est devenue un outil essentiel dans pratiquement toutes les branches de la dynamique des fluides, de la propulsion aérospatiale aux prédictions météorologiques en passant par le dessin des coques de bateaux.
Il existe actuellement de nombreux modèles différents, applicables dans des domaines d’utilisation bien précis.

### Modèle $k-\omega$

ω, appelée enstrophie, est la norme de la vorticité calculée à partir des fluctuations turbulentes. D'un point de vue physique, plusieurs définitions sont possibles. ω peut être considéré comme la dissipation par unité d'énergie cinétique turbulente, ou encore comme la fréquence caractéristique de la décroissance de la turbulence sous sa propre interaction.
L'équation de transport de ω modélisé est la suivante : ${\frac {\partial \omega }{\partial t}}+{\overline {U_{j}}}\,\omega _{j}=-\beta \,\omega ^{2}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left(\sigma \,\nu _{t}\,{\frac {\partial \omega }{\partial x_{j}}}\right)$ où $\beta$ et $\sigma$ sont deux coefficients de fermeture.

### Modèle de Boussinesq

La fermeture la plus utilisée sur le tenseur de Reynolds est basée sur la viscosité. Elle consiste à exprimer le fait que la contrainte de Reynolds se comporte comme toutes les contraintes visqueuses : $-\rho \,{\overline {u_{i}'\,u_{j}'}}=\mu _{t}\left({\frac {\partial {\overline {U_{i}}}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\overline {U_{j}}}}{\partial x_{i}}}\right)\underbrace {-{\frac {2}{3}}\rho \,{\overline {k}}\,\delta _{ij}} _{\text{isotropie}}$ où $\mu _{t}$ représente la viscosité turbulente (exprimée en $\mathrm {m} ^{2}.\mathrm {s} ^{-1}$) et ${\overline {k}}={\frac {\overline {u_{i}'\,u_{j}'}}{2}}$.
Ainsi, le terme d'isotropie s'exprime également : $\rho \,{\overline {k}}\,\delta _{ij}=\rho {\frac {{\overline {u_{1}'}}^{2}+{\overline {u_{2}'}}^{2}+{\overline {u_{3}'}}^{2}}{2}}$.
La viscosité turbulente est a priori une fonction locale de l'écoulement : $\mu _{t}=\mu _{t}\left({\overrightarrow {r}},t\right)$, contrairement à la viscosité moléculaire. Elle doit caractériser les échelles représentatrices de la turbulence considérée. Cette viscosité turbulente augmente la dissipation dans les pertes de charge : ${\frac {\partial C}{\partial t}}+U_{j}{\frac {\partial C}{\partial x_{j}}}=D_{m}{\frac {\partial ^{2}C}{{\partial x_{j}}^{2}}}$ où $D_{m}$ est le coefficient de diffusion moléculaire, exprimé en $\mathrm {m} ^{2}.\mathrm {s} ^{-1}$. On peut également écrire cette équation de manière strictement équivalente : ${\frac {\partial C}{\partial t}}+\left({\overrightarrow {U}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}\right)C=D_{m}\nabla ^{2}C$ avec :
* $C={\overline {C}}+c'$
* $U_{j}={\overline {U_{j}}}+u_{j}'$
or on a l'équation de continuité : $U_{j}{\frac {\partial C}{\partial x_{j}}}+\underbrace {C{\frac {\partial U_{j}}{\partial x_{j}}}} _{\text{divergence}}=0$
On a alors : ${\frac {\partial C}{\partial t}}+{\frac {\partial C\,U_{j}}{\partial x_{j}}}=D_{m}{\frac {\partial ^{2}C}{{\partial x_{j}}^{2}}}$ ainsi :
${\begin{array}{rcl}{\frac {\partial {\overline {C}}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\overline {C}}\,{\overline {U_{j}}}}{\partial x_{j}}}&=&D_{m}{\frac {\partial ^{2}{\overline {C}}}{{\partial x_{j}}^{2}}}-{\frac {\partial {\overline {c'\,u_{j}'}}}{\partial x_{j}}}\\&=&\left(D_{m}+D_{tm}\right){\frac {\partial {\overline {C}}}{{\partial x_{j}}^{2}}}\end{array}}$
* ↑ Pour rappel, celle-ci est habituellement notée $\mu$ et est exprimée en $\mathrm {N} .\mathrm {s} .\mathrm {m} ^{-2}$
* ↑ Ordre de grandeur : $10^{-9}\,\mathrm {m} ^{2}.\mathrm {s} ^{-1}$
* Turbulence