# Théorie classique du consommateur/Le théorème de la dualité

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Nel corso di questa lezione abbiamo visto due modi diversi di impostare il problema del consumatore, ottenendo una serie di risultati (le domande marshalliane ed hicksiane, l'utilità indiretta, la funzione di spesa). À questo punto è importante capire se tra tali risultati è possibile costruire delle relazioni, in modo da poter passare da un'impostazione all'altra del problema. Prima di procedere nella presentazione dei teoremi della dualità, presentiamo alcune semplici identità che ci serviranno nel seguito:
* $e[\mathbf {p} ,v(\mathbf {p} ,y)]\equiv y$: data la massima utilità raggiungibile con certi prezzi ed un certo reddito, la spesa minima per raggiungere tale utilità è pari al reddito di partenza.
* $v[\mathbf {p} ,e(\mathbf {p} ,{\bar {u}})]\equiv {\bar {u}}$: dato il livello di spesa minima da sostenere per raggiungere una soglia di utilità (a prezzi dati), la massima utilià raggiungibile è, ovviamente, la soglia di utilità data.
* $x_{i}^{m}(\mathbf {p} ,y)\equiv x_{i}^{h}[\mathbf {p} ,v(\mathbf {p} ,y)]$: la domanda marshalliana è la domanda ottimale da fare per raggiungere la massima utilità possibile con dati prezzi e reddito.
* $x_{i}^{h}(\mathbf {p} ,{\bar {u}})\equiv x_{i}^{m}[\mathbf {p} ,e(\mathbf {p} ,{\bar {u}})]$: la domanda hicksiana è la domanda ottimale da fare per minimizzare la spesa necessaria a raggiungere un livello di utilità dato.

## Il lemma di Shephard

Nell'ambito del problema duale abbiamo detto che vale:$x_{k}^{h}(\mathbf {p} ,{\bar {u}})={\frac {\partial e(\mathbf {p} ,{\bar {u}})}{\partial p_{k}}}$. Forniamo ora la dimostrazione:
* la funzione di spesa minima è: $e(\mathbf {p} ,{\bar {u}})=\sum _{i=1}^{N}p_{i}x_{i}^{h}(\mathbf {p} ,{\bar {u}})$; derivando rispetto a $p_{k}$ si ha: ${\frac {\partial e(\mathbf {p} ,{\bar {u}})}{\partial p_{k}}}={\color {Red}\sum _{i=1}^{N}p_{i}{\frac {\partial x_{i}^{h}(\mathbf {p} ,{\bar {u}})}{\partial p_{k}}}}+x_{k}^{h}(\mathbf {p} ,{\bar {u}})$.
* la i-esima condizione del primo ordine nel problema duale è: $p_{i}=\lambda u'_{i}$, da cui $u'_{i}={\frac {p_{i}}{\lambda }}$
* il vincolo del problema duale è: $u(\mathbf {x} )={\bar {u}}$, da cui derivando rispetto a p_k, si ha $\sum _{i=1}^{N}u'_{i}{\frac {\partial x_{i}^{h}(\mathbf {p} ,{\bar {u}})}{\partial p_{k}}}=0$, dunque ${\frac {1}{\lambda }}{\color {Red}\sum _{i=1}^{N}p_{i}{\frac {\partial x_{i}^{h}(\mathbf {p} ,{\bar {u}})}{\partial p_{k}}}}=0$ e per $\lambda \neq 0$ e finito la sommatoria è nulla ed il lemma è dimostrato.
* si noti che tale dimostrazione è un'applicazione del teorema dell'inviluppo.

## L'identità di Roy

Nell'ambito del problema primale, abbiamo visto che una delle proprietà della funzione di utilità indiretta è l'identità di Roy: $x_{i}^{m}=-{\frac {\frac {\partial v(\mathbf {p} ,y)}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial v(\mathbf {p} ,y)}{\partial y}}}$. Forniamo ora la dimostrazione:
* differenziando l'identità (2), si ha ${\frac {\partial v(\mathbf {p} ,y)}{\partial p_{i}}}+{\frac {\partial v(\mathbf {p} ,y)}{\partial y}}{\color {Red}{\frac {\partial e(\mathbf {p} ,{\bar {u}})}{\partial p_{i}}}}=0$.
* la parte in rosso nell'equazione precedente è, per il lemma di Shephard, la domanda hicksiana, che è a sua volta uguale (in ottimo) alla domanda marshalliana. Esplicitando in termini di quest'ultima, si ottiene direttamente l'identità di Roy.

## L'identità di Hotelling-Wold

L'identità di Hotelling-Wold dice che prezzo normalizzato per il reddito di in un bene k è uguale al rapporto tra la sua utilità marginale e la media delle utilità marginali ponderate per le loro domande: ${\frac {\frac {\partial u(\mathbf {x} )}{\partial x_{k}}}{\sum _{i=1}^{N}x_{i}{\frac {\partial u(\mathbf {x} )}{\partial x_{i}}}}}\equiv {\frac {u'_{k}}{\sum _{i=1}^{N}x_{i}u'_{i}}}={\frac {p_{k}}{y}}$. Tale equazione può essere vista, ed è per questo utilizzata per alcune applicazioni econometriche, come un sistema di domanda marshalliana inversa, che esprime il prezzo in funzione della quantità domandata.
Tale equazione è anche esprimibile come ${\frac {u'_{k}x_{k}}{\sum _{i=1}^{N}x_{i}u'_{i}}}={\frac {p_{k}x_{k}}{y}}$, ossia la quota di reddito spesa in un bene è uguale al rapporto tra la sua utilità marginale, moltiplicata per la domanda ottimale, e la media delle utilità marginali ponderate per le loro domande. Dimostriamolo:
* la i-esima condizione del primo ordine, moltiplicata per $x_{i}$ è $u'_{k}x_{i}-\lambda p_{i}x_{i}=0$.
* sommando tutte le condizioni del primo ordine, si ottiene $\sum _{i=1}^{N}x_{i}u'_{i}-\lambda y=0$, da cui$\lambda ={\frac {\sum _{i=1}^{N}x_{i}u'_{i}}{y}}$.
* sostituendo $\lambda$ nella k-esima condizione del primo ordine, si ha $u'_{k}-{\frac {\sum _{i=1}^{N}x_{i}u'_{i}}{y}}p_{k}=0$, che esplicitata in termini di prezzo normalizzato per il reddito esprime l'equazione di Hotelling-Wold.

## L'equazione di Slutsky

L'equazione di Slutsky è probabilmente una delle più utilizzate nell'ambito della teoria del consumatore: essa permette di scindere l'effetto totale che una variazione di prezzo di un certo bene ha sulla domanda di un altro (o anche lo stesso) bene in due parti:
* l'effetto sostituzione, dipendente dal fatto che un bene è diventato più o meno costoso rispetto agli altri: il consumatore reagisce aggiustando la sua domanda, eventualmente sostituendo il bene con un altro.
* l'effetto reddito, dipendente dal fatto che una variazione di prezzo incide sul vincolo di bilancio, rendendolo più o meno restrittivo: il consumatore si sente, quindi, più o meno ricco ed in conseguenza di ciò sposta la sua domanda ottimale per il bene.
In termini formali l'equazione è: $\underbrace {\frac {\partial x_{k}^{m}}{\partial p_{j}}} _{Effetto\ totale}=\underbrace {\frac {\partial x_{k}^{h}}{\partial p_{j}}} _{Effetto\ sostituzione}-\underbrace {{\frac {\partial x_{k}^{m}}{\partial y}}x_{j}^{m}} _{Effetto\ reddito}$. Si fornisce la dimostrazione:
* derivando l'identità (4) espressa sopra rispetto a $p_{j}$ si ha: ${\frac {\partial x_{k}^{m}}{\partial p_{j}}}={\frac {\partial x_{k}^{h}}{\partial p_{j}}}-{\frac {\partial x_{k}^{m}}{\partial y}}{\color {Red}{\frac {\partial e}{\partial p_{j}}}}$, dove la parte in rosso, per il lemma di Shephard, è uguale alla domanda hicksiana del bene j, che è anche uguale alla domanda marshalliana dello stesso bene.
A questo punto sono utili alcune osservazioni sulle funzioni di domanda:
* la domanda hicksiana è non crescente nei prezzi, infatti si ha $x_{i}^{h}={\frac {\partial e}{\partial p_{i}}}\Rightarrow {\frac {\partial x_{i}^{h}}{\partial p_{i}}}={\frac {\partial ^{2}e}{\partial p_{i}^{2}}}\leq 0$, per il lemma di Shephard e la concavità della funzione di spesa nei prezzi. Da quest'ultima osservazione si deduce, inoltre, che la matrice dei termini di sostituzione, che contiene le derivate delle domande hicksiane rispetto ai vari prezzi, è semidefinita negativa e simmetrica, in quanto coincide con l’hessiano della funzione di spesa (che è concava).
* la domanda marshalliana, invece, può essere crescente o decrescente nei prezzi, come avevamo implicitamente affermato quando abbiamo esposto la classificazione dei beni (Giffen vs. ordinario).
Dall'equazione di Slutsky, dunque, si può facilmente dedurre che:
* un bene può essere di Giffen (effetto totale positivo) solo se l'effetto sostituzione (sempre non positivo) è più che compensato dall'effetto reddito, che deve essere negativo: quindi se un bene è di Giffen allora deve essere inferiore. Si tratta quindi di beni "poveri", che a redditi bassi vengono consumati largamente e, dunque, quando il loro prezzo aumenta fa sentire il consumatore più povero, e quindi ne domanda di più.
* viceversa, se un bene è normale (effetto reddito positivo) allora, dovendosi escludere che possa essere di Giffen, è ordinario.

## La costruzione di Antonelli

La costruzione di Antonelli svolge, nel problema duale, lo stesso ruolo che, nel problema primale, è svolto dall'identità di Hotelling-Wold. In sostanza, minimizzando la funzione di spesa rispetto ai prezzi, sotto il vincolo che la funzione di utilità indiretta raggiunga una certa soglia, $\min _{v(\mathbf {p} ,y)={\bar {u}}}\sum _{i=1}^{N}p_{i}x_{i}$ si ottengono delle equazioni che esprimono i prezzi in funzione delle quantità, del reddito e del livello di utilità: $p_{i}=f(\mathbf {x} ,y,{\bar {u}})$. Sostituendo tali funzioni nella funzione di spesa, al posto dei prezzi, si ottiene una funzione di distanza $d(\mathbf {x} ,y,{\bar {u}})$. Si dimostra che la derivata di tale funzione di distanza rispetto alla quantità domandata di bene k è uguale al prezzo del bene k, ossia ${\frac {\partial d(\mathbf {x} ,y,{\bar {u}})}{\partial x_{k}}}=p_{k}$.
Anche in questo caso, come per l'identità di Hotelling-Wold, si ottengono i prezzi in funzione delle quantità, dunque si parla di sistemi di domanda inversa.
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