# Équation de bilan de la quantité de mouvement/Forme globale

La forme globale de l'équation de bilan de la quantité de mouvement est un équation équivalente à la forme générale du principe fondamental de la dynamique. Pour un volume $V$ donné, on peut écrire que la dérivée totale de la quantité de mouvement est égale à la somme des forces qui s'exercent sur le fluide contenu dans le volume $V$.
Il existe deux familles de forces :
* les forces de contact, surfaciques (pression, viscosité),
* les forces volumiques, à distance (poids, force électromagnétique).
L'équation peut se décomposer ainsi :
    ${\frac {\mathrm {d} {\overrightarrow {p}}}{\mathrm {d} t}}={\overrightarrow {F_{S}}}+{\overrightarrow {F_{V}}}$.
Nous allons établir plusieurs expressions de la forme intégrale, ou forme globale, de l'équation de bilan de la quantité de mouvement.

## Dérivée particulaire

La dérivée particulaire de la quantité de mouvement
    ${\frac {\mathrm {d} {\overrightarrow {p}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\rho {\overrightarrow {v}}\,\mathrm {d} V$
peut s'exprimer de plusieurs façons :
    ${\frac {\mathrm {d} {\overrightarrow {p}}}{\mathrm {d} t}}=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\left({\frac {\partial (\rho {{\overrightarrow {v}})}}{\partial t}}+{\overrightarrow {\mathrm {div} }}\left(\rho {\overrightarrow {v}}\otimes {\overrightarrow {v}}\right)\right)\mathrm {d} V=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\left({\frac {\mathrm {d} (\rho {\overrightarrow {v}})}{\mathrm {d} t}}+\rho \,{\overrightarrow {v}}\,{\hbox{div}}\ {\overrightarrow {v}}\right)\mathrm {d} V=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\rho {\frac {\mathrm {d} {\overrightarrow {v}}}{\mathrm {d} t}}\mathrm {d} V$.
Ici la deuxième expression peut se simplifier : en partant de la dérivée particulaire de la densité volumique de quantité de mouvement
    ${\frac {\mathrm {d} (\rho {\overrightarrow {v}})}{\mathrm {d} t}}=\rho {\frac {\mathrm {d} {\overrightarrow {v}}}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}{\overrightarrow {v}}$,
puis en ajoutant de part et d'autre le terme $\rho \,{\overrightarrow {v}}\,{\hbox{div}}\ {\overrightarrow {v}}$, il vient :
    ${\frac {\mathrm {d} (\rho {\overrightarrow {v}})}{\mathrm {d} t}}+\rho \,{\overrightarrow {v}}\,{\hbox{div}}\ {\overrightarrow {v}}=\rho {\frac {\mathrm {d} {\overrightarrow {v}}}{\mathrm {d} t}}+\underbrace {\left({\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}+\rho \ {\hbox{div}}\,{\overrightarrow {v}}\right)} _{=0}{\overrightarrow {v}}$,
où l'on reconnaît, au dessus de l'accolade, la forme non-conservative de l'équation de continuité.
La dérivée particulaire de la quantité de mouvement prend alors un expression très simple :
    ${\frac {\mathrm {d} {\overrightarrow {p}}}{\mathrm {d} t}}=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\rho {\frac {\mathrm {d} {\overrightarrow {v}}}{\mathrm {d} t}}\mathrm {d} V$.

## Forces volumiques

Les forces de volume peuvent s'exprimer simplement :
    ${\overrightarrow {F_{V}}}=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}{\overrightarrow {f_{V}}}\,\mathrm {d} V$.
Dans la grande majorité des cas en mécanique des fluides, la seule force à distance que subit le fluide est son poids. Dans ce cas :
    ${\overrightarrow {F_{V}}}=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\mathrm {d} m\,{\overrightarrow {g}}=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\rho \,{\overrightarrow {g}}\,\mathrm {d} V$.
Cette force est elle-même souvent négligée dans le cas des gaz.

## Forces surfaciques

Les forces de surface qui s'appliquent sur la surface $S$ fermée, frontière du volume $V$ sont un peu plus subtiles à détailler.
On peut noter :
    ${\overrightarrow {F_{S}}}=\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}{\overrightarrow {\mathrm {d} F_{S}}}$
Elles sont modélisées par une matrice nommée tenseur des contraintes.
    ${\overline {\overline {\mathrm {\tau } }}}={\begin{pmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{yy}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{pmatrix}}$.
de sorte que
    ${\overrightarrow {\mathrm {d} F_{S}}}={\overline {\overline {\tau }}}\times {\overrightarrow {\mathrm {d} S}}={\begin{pmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{yy}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}\mathrm {d} S_{x}\\\mathrm {d} S_{y}\\\mathrm {d} S_{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sigma _{xx}\,\mathrm {d} S_{x}+\tau _{xy}\,\mathrm {d} S_{y}+\tau _{xz}\,\mathrm {d} S_{z}\\\tau _{yx}\,\mathrm {d} S_{x}+\sigma _{yy}\,\mathrm {d} S_{y}+\tau _{yz}\,\mathrm {d} S_{z}\\\tau _{zx}\,\mathrm {d} S_{x}+\tau _{zy}\,\mathrm {d} S_{y}+\sigma _{zz}\,\mathrm {d} S_{z}\\\end{pmatrix}}$.
On peut exprimer les forces de surface :
    ${\overrightarrow {F_{S}}}=\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}{\overline {\overline {\tau }}}\times {\overrightarrow {\mathrm {d} S}}=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}{\overrightarrow {\hbox{div}}}\ {\overline {\overline {\mathrm {\tau } }}}{\mathrm {d} V}$,
où ${\overrightarrow {\hbox{div}}}\ {\overline {\overline {\mathrm {\tau } }}}$ est la divergence de la matrice ${\overline {\overline {\mathrm {\tau } }}}$ qui est définie de la façon suivante :
    ${\overrightarrow {\hbox{div}}}\ {\overline {\overline {\mathrm {\tau } }}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial z}}\\{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{yy}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{yz}}{\partial z}}\\{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{zy}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{zz}}{\partial z}}\\\end{pmatrix}}$.

## Équation bilan

Le bilan de la quantité de mouvement peut donc s'écrire :
ou encore plus simplement