# Espace vectoriel/Exercices/Espaces et sous-espaces vectoriels

* $K$ désigne $\mathbb {R}$ ou $\mathbb {C}$
* E est un $K$-espace vectoriel.

## Être ou ne pas être un espace vectoriel ?

1. Les espaces suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de $\mathbb {R} ^{2}$ ?
    a. $E_{1a}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x-y\geq m\}$ (où $m$ est un réel fixé)
    b. $E_{1b}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid xy=0\}$
    c. $E_{1c}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x=y\}$
    d. $E_{1d}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x+y=1\}$
    e. $E_{1d}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid \sin x=y\}$
2. Les espaces suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ ?
    a. E$_{2a}$ = Ensemble des suites bornées
    b. E$_{2b}$ = Ensemble des suites monotones
    c. E$_{2c}$ = Ensemble des suites convergentes
    d. E$_{2d}$ = Ensemble des suites arithmétiques
3. Les espaces suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de $\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }$ ?
    a. $E_{3a}=\{f\in \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }\mid f{\text{ monotone}}\}$
    b. $E_{3b}=\{f\in \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }\mid f{\text{ s'annule en }}0\}$
    c. $E_{3c}=\{f\in \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }\mid f{\text{ s'annule}}\}$
    d. $E_{3d}=\{f\in \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }\mid f{\text{ est impaire}}\}$
4. Les espaces suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de $\mathrm {M} _{2}(\mathbb {R} )$ ?
    a. $E_{4a}=$ le sous-ensemble des matrices $A$ vérifiant $A{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$
    b. $E_{4b}=$ le sous-ensemble des matrices $A$ vérifiant $A{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$

### Série 1

    a. Non car $v:=(|m|+1,0)\in E_{1a}$ et $-v=(-|m|-1,0)\notin E_{1a}$.
    b. Non : cf. Exercice 1-3.
    c. Oui car $E_{1c}=\operatorname {Vect} (\{(1,1)\})$.
    d. Non car $(0,0)\not \in E_{1d}$.
    e. Non car (par exemple) $(\pi /2,1)\in E_{1e}$ mais $2(\pi /2,1)\notin E_{1e}$.

### Série 2

    a. : Oui. b. : Non. c. : Oui. d. : Oui.

### Série 3

    a. : Non. b. : Oui. c. : Non. d. : Oui.

### Série 4

    a. : Oui. b. : Non.

## Exercice 1-1

Soient $F=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x+y-z=0\}$ et $G=\{(a-b,a+b,a-3b)\mid (a,b)\in \mathbb {R} ^{2}\}$.
* Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de $\mathbb {R} ^{3}$.
* Déterminer $F\cap G$.
** Soient $\lambda \in \mathbb {R} ,u_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})\in F,u_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})\in F$. Alors $\lambda u_{1}+u_{2}=(\lambda x_{1}+x_{2},\lambda y_{1}+y_{2},\lambda z_{1}+z_{2})$ et $(\lambda x_{1}+x_{2})+(\lambda y_{1}+y_{2})-(\lambda z_{1}+z_{2})=\lambda (x_{1}+y_{1}-z_{1})+(x_{2}+y_{2}-z_{2})=0$. Donc F est bien un sous-espace vectoriel de $\mathbb {R} ^{3}$.
** $G=\operatorname {Vect} \left\{(1,1,1),(-1,1,-3)\right\}$ donc G est bien un sous-espace vectoriel de $\mathbb {R} ^{3}$.
    ${\begin{aligned}u\in F\cap G&\Leftrightarrow \exists (a,b)\in \mathbb {R} ^{2}\quad {\begin{cases}u=(a-b,a+b,a-3b)\\(a-b)+(a+b)-(a-3b)=0\end{cases}}\\&\Leftrightarrow \exists (a,b)\in \mathbb {R} ^{2}\quad {\begin{cases}u=(a-b,a+b,a-3b)\\a=-3b\end{cases}}\\&\Leftrightarrow \exists b\in \mathbb {R} \quad u=(-3b-b,-3b+b,-3b-3b)\\&\Leftrightarrow \exists b\in \mathbb {R} \quad u=b(-4,-2,-6).\end{aligned}}$
    Ainsi, $F\cap G=\operatorname {Vect} \{(-4,-2,-6)\}=\operatorname {Vect} \{(2,1,3)\}$.

## Exercice 1-2

Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E. Montrer que $F\cap G=F+G\Leftrightarrow F=G$.
$F+G=F\cap G\Longleftrightarrow F+G\subset F\cap G\Longleftrightarrow F\cup G\subset F\cap G\Longleftrightarrow F=G$, où :
* la première équivalence se déduit du fait que l'inclusion $F\cap G\subset F+G$ est toujours vraie (par exemple parce que $F\cap G\subset F=F+0\subset F+G$) ;
* la deuxième, de l'égalité $F+G=\operatorname {Vect} (F\cup G)$ (et du fait que $F\cap G$ est un sous-espace vectoriel) ;
* la dernière est une propriété purement ensembliste.

## Exercice 1-3

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. Montrer que $F\cup G$ est un sous-espace vectoriel de $E$ (si et) seulement si $F\subset G$ ou $G\subset F$.
$\Leftarrow$ est immédiat. Pour prouver $\Rightarrow$, démontrons la contraposée, c'est-à-dire : supposons que $F\not \subset G$ et $G\not \subset F$ et montrons qu'alors, $F\cup G$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $E$.
Par hypothèse, il existe un vecteur $x\in F\setminus G$ et un vecteur $y\in G\setminus F$.
Ces deux vecteurs appartiennent à $F\cup G$ mais leur somme $z$ n'appartient ni à $F$ (sinon, puisque $x\in F$ et que $F$ est stable par différences, on aurait $y=z-x\in F$, ce qui est contraire au choix de $y$), ni à $G$ (de même en intervertissant les couples $(x,F)$ et $(y,G)$). Donc $F\cup G$ n'est pas stable par $+$.

## Exercice 1-4

Soient $F=\left\{f\in {\mathcal {C}}([-1,1],\mathbb {C} )~\left|~\int _{-1}^{1}f=0\right.\right\}$ et $G=\left\{f\in {\mathcal {C}}([-1,1],\mathbb {C} )\mid f{\text{ constante}}\right\}$.
Montrer que ces deux sous-espaces de ${\mathcal {C}}([-1,1],\mathbb {C} )$ sont supplémentaires.
Il s'agit de montrer que toute fonction $f\in {\mathcal {C}}([-1,1],\mathbb {C} )$ s’écrit de façon unique $f=\alpha +\beta$ avec $\alpha \in F$ et $\beta \in G$.
* Analyse : Si $f=\alpha +\beta$ avec $\alpha \in F$ et $\beta \in G$ alors $\int _{-1}^{1}f=\int _{-1}^{1}\beta =2\beta$ donc $\beta ={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}f$ et $\alpha =f-\beta$.
* Synthèse : Soient $\beta ={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}f$ et $\alpha =f-\beta$. Alors, $f=\alpha +\beta$, $\beta \in G$, et $\int _{-1}^{1}\alpha =\int _{-1}^{1}f-\int _{-1}^{1}\beta =2\beta -2\beta =0$ donc $\alpha \in F$.

## Exercice 1-5

Soit $Q\in \mathbb {R} [X]$, $Q\neq 0$. Montrer que les sous-espaces $A:=\{P\in \mathbb {R} [X];Q\mid P\}$ et $B:=\{P\in \mathbb {R} [X];\deg(P)<\deg(Q)\}$ sont supplémentaires dans $\mathbb {R} [X]$.
Par division euclidienne, tout polynôme est, de façon unique, somme d'un élément de $A$ et d'un élément de $B$.

## Exercice 1-6

Soit $\mathbb {R} _{+}^{*}$ muni de la loi interne $\oplus$ définie par $a\oplus b=ab\;(\forall a,b\in \mathbb {R} _{+}^{*})$ et de la loi externe $\otimes$ définie par $\lambda \otimes a=a^{\lambda }\;(\forall a\in \mathbb {R} _{+}^{*},\forall \lambda \in \mathbb {R} )$.
Montrer que $E:=(\mathbb {R} _{+}^{*},\oplus ,\otimes )$ est un $\mathbb {R}$-espace vectoriel.
Simple transport de structure de la structure canonique de $\mathbb {R}$-espace vectoriel de $\mathbb {R}$, par la bijection $\exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}^{*}$.

## Exercice 1-7

Soient $n\in \mathbb {N} ^{*}$ et $E=\mathbb {R} _{n}[X]$ l'espace vectoriel des polynômes de degré $\leq n$. On définit (pour tout réel $a$)
    $E_{a}=\left\{P\in E,\;(X-a)\mid P\right\}$.
Montrer que si $a\neq b$ alors $E=E_{a}+E_{b}$. La somme est-elle directe ?
Pour tout $P\in E$, $P=(X-a)c+R$ avec $c\in \mathbb {R}$ et $R=P-(X-a)c$. On a $(X-a)c\in E_{a}$, et $R\in E_{b}\Leftrightarrow 0=R(b)=P(b)-(b-a)c\Leftrightarrow c={\frac {P(b)}{b-a}}$.
La somme n'est directe que si $n=1$.

## Exercice 1-8

Soient $D,D'$ deux droites d'un même espace vectoriel. Montrer que si un vecteur non nul appartient à $D\cap D'$, alors $D=D'$.
Si un vecteur non nul $u$ appartient à $D$, alors $D=\operatorname {Vect} (u)$. Idem pour $D'$.

## Exercice 1-9

Soient $u=(1,2,3,4)$ et $v=(1,-2,3,-4)$.
* Déterminer l'ensemble des couples $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ tels que $(x,1,y,1)\in \operatorname {Vect} (u,v)$.
* Même question pour les couples tels que $(x,1,1,y)\in \operatorname {Vect} (u,v)$.
$\operatorname {Vect} (u,v)=\operatorname {Vect} (u+v,u-v)=\operatorname {Vect} ((1,0,3,0),(0,1,0,2))=\{(a,b,3a,2b)\mid a,b\in \mathbb {R} \}=\{(a,b,c,d)\in \mathbb {R} ^{4}\mid c=3a{\text{ et }}d=2b\}$.
* $y=3x{\text{ et }}1=2$ n'a pas de solution $(x,y)$.
* $1=3x{\text{ et }}y=2$ a pour solution $(x,y)=(1/3,2)$.
Déterminer des équations cartésiennes des sous-espaces vectoriels suivants :
* $F=\operatorname {Vect} \left((1,3,-1)\right)\subset \mathbb {R} ^{3}$ ;
* $G=\operatorname {Vect} \left((1,2,3),(1,0,1)\right)\subset \mathbb {R} ^{3}$ ;
* $H=\operatorname {Vect} \left((1,0,1,0),(2,1,3,1),(1,1,2,1)\right)\subset \mathbb {R} ^{4}$ ;
* $I=\operatorname {Vect} \left((1,-2)\right)\subset \mathbb {R} ^{2}$ ;
* $J=\operatorname {Vect} \left((1,0,1),(0,2,-3)\right)\subset \mathbb {R} ^{3}$ ;
* $K=\operatorname {Vect} \left((1,1,1)\right)\subset \mathbb {R} ^{3}$ ;
* $F=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid y=3x{\text{ et }}z=-x\}$.
* $\exists (a,b)\in \mathbb {R} ^{2}\quad (x,y,z)=a(1,2,3)+b(1,0,1)\Leftrightarrow \exists (a,b)\in \mathbb {R} ^{2}\quad a=y/2,\;b=x-y/2,\;a=y/2\;z=3a+b\Leftrightarrow z=x+y$ (une autre méthode est de calculer le produit vectoriel $u\land v=n$ de ces deux vecteurs, puis d'écrire que $(x,y,z)$ appartient à $G$ si et seulement si son produit scalaire par ce vecteur $n$ est nul, ou plus directement, d'écrire que le déterminant des trois vecteurs $u$, $v$ et $(x,y,z)$ est nul).
* $(2,1,3,1)=(1,0,1,0)+(1,1,2,1)$ donc $H=\operatorname {Vect} \left((1,0,1,0),(1,1,2,1)\right)$. $\exists (a,b)\in \mathbb {R} ^{2}\quad (x,y,z,t)=a(1,0,1,0)+b(1,1,2,1)\Leftrightarrow \exists (a,b)\in \mathbb {R} ^{2}\quad a=x-y,\;b=y,\;z=x+y,\;t=y\Leftrightarrow z=x+y,\;t=y$.
* $I=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y=-2x\}$.
* $0={\begin{vmatrix}1&0&x\\0&2&y\\1&-3&z\end{vmatrix}}=-2x+3y+2z$ (analogue à $G$).
* $K=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x=y=z\}$ (analogue à $F$).

## Exercice 1-10

Soient $U,\,V,\,W$ trois s.e.v. de $E$. On va comparer trois propriétés :
* $(i):U\cap V=\{0\}=(U+V)\cap W$ ;
* $(ii):V\cap W=\{0\}=(V+W)\cap U$ ;
* $(iii):\forall x\in U+V+W\quad \exists !(u,v,w)\in U\times V\times W\quad x=u+v+w$.
a) Démontrer que $(i)$ équivaut à $(iii)$.
b) En déduire que $(i)$ équivaut à $(ii)$.
b) résultera immédiatement de a), puisque $(iii)$ est symétrique en $U,V,W$.
Supposons $(i)$ et montrons $(iii)$. Soient $u,u'\in U$, $v,v'\in V$, $w,w'\in W$ tels que $u+v+w=u'+v'+w'$. Alors $w'-w=(u-u')+(v-v')\in (U+V)\cap W$, donc $w'=w$ et $v'-v=u-u'\in U\cap V$, donc $u'=u$ et $v'=v$.
Supposons $(iii)$ et montrons $(i)$ : si $x\in U\cap V$ alors, de $x+0+0=0+x+0$ on déduit $x=0$, et si $w=u+v\in (U+V)\cap W$, de $u+v+0=0+0+w$ on déduit $w=0$.