# Introduction à la théorie des nombres/Devoir/Équation de Pell-Fermat

On rappelle que pour $x$ algébrique de degré $\leq 2$ :
* le « conjugué » de $x$, noté $x_{c}$, est par définition l'autre racine de son polynôme minimal si $x\notin \mathbb {Q}$, et $x$ lui-même si $x\in \mathbb {Q}$ ;
* $\forall u,v\in \mathbb {Q} \quad (ux+v)_{c}=ux_{c}+v$ et si $x\neq 0$, $\left({\frac {1}{x}}\right)_{c}={\frac {1}{x_{c}}}$ (cf. exercice 2-7, question 5) ;
* la « trace » de $x$ est par définition le rationnel $\operatorname {Tr} (x):=x+x_{c}$ ;
* la « norme » de $x$ est par définition le rationnel $\operatorname {N} (x):=x\times x_{c}$.
On suppose dans ce problème que $x$ est un irrationnel quadratique et l'on note (pour tout $n\in \mathbb {N}$) $x_{n}:=[a_{n},a_{n+1},\dots ]$ le $n$-ième quotient complet de son développement en fraction continue. On rappelle qu'il existe deux suites d'entiers, $(h_{n})_{n\geq -2}$ et $(k_{n})_{n\geq -2}$ (nécessairement uniques), telles que $k_{n}\geq 0$ et
    $\forall n\in \mathbb {N} \quad x_{n}=-{\frac {xk_{n-2}-h_{n-2}}{xk_{n-1}-h_{n-1}}}\quad {\text{et}}\quad h_{n-1}k_{n-2}-k_{n-1}h_{n-2}=(-1)^{n}$.
* Soient $V_{n}$ les rationnels définis par :
       $\forall n\in \mathbb {N} \quad (-1)^{n}V_{n}:=\operatorname {N} (xk_{n-1}-h_{n-1})$.
    Développer et simplifier $(-1)^{n}V_{n}x_{n}$ de manière à l'écrire comme la somme de $(-1)^{n}x$ et d'un rationnel.
    On obtient donc : $V_{n}x_{n}-x\in \mathbb {Q}$.
* Montrer qu'il n'existe pas d'autre rationnel $V$ tel que $Vx_{n}-x\in \mathbb {Q}$.
* On suppose désormais que l'irrationnel quadratique $x$ est même un « entier quadratique » — c'est-à-dire que les rationnels $S:=\operatorname {Tr} (x)$ et $P:=\operatorname {N} (x)$ sont en fait entiers — et que $x>x_{c}$.
** Montrer que l'entier $\Delta :=S^{2}-4P$ est strictement supérieur à $4$.
** En déduire que $x-x_{c}>2$ puis, que $x_{c}-a_{0}<-1$.
** En déduire que $x_{1}$ est « réduit », c'est-à-dire $x_{1}>1$ et ${\frac {1}{(x_{1})_{c}}}<-1$.
* Par conséquent (corollaire de Galois) :
** la fraction continue de $x_{1}$ est « purement périodique », autrement dit, en notant $p$ sa période : $x=[a_{0},x_{1}]=[a_{0},{\overline {a_{1},\dots ,a_{p}}}]$ ;
** pour tout $j\geq 1$, $x_{j}$ est réduit.
    En déduire que :
** les rationnels $V_{n}$ sont positifs (indication : montrer et utiliser que $V_{n}x_{n}-x=V_{n}(x_{n})_{c}-x_{c}$) ;
** $\operatorname {N} (xk_{n-1}-h_{n-1})=\pm 1$ si et seulement si $V_{n}=1$ ;
** si $V_{n}=1$, alors $n$ est un multiple de $p$ (indication : $V_{n}x_{n}-x\in \mathbb {Z}$, d'après le calcul de la question 1 et l'hypothèse $\operatorname {Tr} (x),\operatorname {N} (x)\in \mathbb {Z}$) ;
** réciproquement, si $n$ est un multiple de $p$, alors $V_{n}=1$.
    On obtient donc : $\operatorname {N} (xk_{n-1}-h_{n-1})=\pm 1$ si et seulement si $n$ est un multiple de $p$.
* Application à $x:={\sqrt {d}}$. Pour résoudre l'équation de Pell-Fermat $h^{2}-dk^{2}=\pm 1$ où $d$ est un entier positif non carré, on développe $x:={\sqrt {d}}$ en fraction continue.
    Dans chacun des deux cas suivants, déterminer les ensembles
       $J_{1}:=\{j\in \mathbb {N} \mid h_{j}^{2}-dk_{j}^{2}=+1\}\quad {\text{et}}\quad J_{-1}:=\{j\in \mathbb {N} \mid h_{j}^{2}-dk_{j}^{2}=-1\}$
    et la valeur de $(h_{j},k_{j})$ pour $j:=\min(J_{1}\cup J_{-1})$ :
** cas $d=11$, sachant que ${\sqrt {11}}=[3,{\overline {3,6}}]$ ;
** cas $d=41$, sachant que ${\sqrt {41}}=[6,{\overline {2,2,12}}]$.
    ${\begin{aligned}(-1)^{n}V_{n}x_{n}&=-\operatorname {N} (xk_{n-1}-h_{n-1}){\frac {xk_{n-2}-h_{n-2}}{xk_{n-1}-h_{n-1}}}\\&=-(xk_{n-1}-h_{n-1})_{c}(xk_{n-2}-h_{n-2})\\&=-k_{n-1}k_{n-2}x_{c}x+k_{n-1}h_{n-2}x_{c}+h_{n-1}k_{n-2}x-h_{n-1}h_{n-2}\\&=-k_{n-1}k_{n-2}\operatorname {N} (x)+k_{n-1}h_{n-2}(\operatorname {Tr} (x)-x)+h_{n-1}k_{n-2}x-h_{n-1}h_{n-2}\\&=-k_{n-1}k_{n-2}\operatorname {N} (x)+k_{n-1}h_{n-2}\operatorname {Tr} (x)+(h_{n-1}k_{n-2}-k_{n-1}h_{n-2})x-h_{n-1}h_{n-2}\\&=(-1)^{n}x-k_{n-1}k_{n-2}\operatorname {N} (x)+k_{n-1}h_{n-2}\operatorname {Tr} (x)-h_{n-1}h_{n-2}.\end{aligned}}$
    Variante : soit $U_{n}:=V_{n}x_{n}-x$. Au lieu de définir $V_{n}$ comme dans l'énoncé (et ipso facto rationnel) puis vérifier que $U_{n}\in \mathbb {Q}$, on peut :
*   * poser a priori $V_{0}=1,V_{n+1}=-{\frac {V_{n}}{\operatorname {N} \left(x_{n+1}\right)}}$ puis vérifier par récurrence que les $V_{n}$ et les $U_{n}$ sont rationnels :
       ${\begin{aligned}-{\frac {V_{n}}{\operatorname {N} \left(x_{n+1}\right)}}&=-V_{n}(x_{n}-a_{n})(x_{n}-a_{n})_{c}\\&=-V_{n}x_{n}(x_{n})_{c}+V_{n}a_{n}(x_{n}+(x_{n})_{c})-V_{n}a_{n}^{2}\\&=V_{n-1}+a_{n}(x+x_{c}+2U_{n})-V_{n}a_{n}^{2}\\&=V_{n-1}+a_{n}(\operatorname {Tr} (x)+2U_{n})-V_{n}a_{n}^{2}\end{aligned}}$
       ${\begin{aligned}-{\frac {V_{n}}{\operatorname {N} \left(x_{n+1}\right)}}x_{n+1}-x&=-{\frac {V_{n}}{(x_{n+1})_{c}}}-x\\&=-V_{n}(x_{n}-a_{n})_{c}-x\\&=-U_{n}-x_{c}+V_{n}a_{n}-x\\&=-U_{n}+V_{n}a_{n}-\operatorname {Tr} (x)\end{aligned}}$
*   * retrouver ensuite pour $V_{n}$ la formule de l'énoncé, par identification des coefficients rationnels dans deux expressions de $x_{n}$ :
       ${\frac {x+U_{n}}{V_{n}}}=x_{n}=-{\frac {xk_{n-2}-h_{n-2}}{xk_{n-1}-h_{n-1}}}=-{\frac {(xk_{n-2}-h_{n-2})(xk_{n-1}-h_{n-1})_{c}}{\operatorname {N} (xk_{n-1}-h_{n-1})}}$
       et (cf. calcul ci-dessus) $-(xk_{n-2}-h_{n-2})(xk_{n-1}-h_{n-1})_{c}=(-1)^{n}x+$ un rationnel donc $V_{n}=(-1)^{n}\operatorname {N} (xk_{n-1}-h_{n-1})$.
* Plus généralement, pour tout irrationnel $y$ et tout nombre $x$, il existe au plus un rationnel $V$ tel que $Vy-x\in \mathbb {Q}$. En effet, si $V,V',Vy-x,V'y-x\in \mathbb {Q}$ alors $V-V',(V-V')y\in \mathbb {Q}$ donc (puisque $y\notin \mathbb {Q}$) $V-V'=0$.
* D'après les hypothèses, le polynôme minimal de $x$ est $X^{2}-SX+P$, l'entier $\Delta$ est positif, $x={\frac {S+{\sqrt {\Delta }}}{2}}$ et $x_{c}={\frac {S-{\sqrt {\Delta }}}{2}}$.
** $\Delta$ est différent de $0,1,4$ (car non carré puisque $x\notin \mathbb {Q}$) et différent de $2$ et $3$ (car congru ${\bmod {4}}$ à un carré, donc à $0$ ou $1$).
** $x-x_{c}={\sqrt {\Delta }}>{\sqrt {4}}=2$. Par conséquent, $x_{c}-a_{0}<x-2-a_{0}=x-\lfloor x\rfloor -2<1-2=-1$.
*** En tant que quotient complet d'indice $>0$ d'une fraction continue infinie, $x_{1}$ est $>1$.
*** ${\frac {1}{(x_{1})_{c}}}={\frac {1}{\left({\frac {1}{x-a_{0}}}\right)_{c}}}=(x-a_{0})_{c}=x_{c}-a_{0}$, donc ${\frac {1}{(x_{1})_{c}}}<-1$ (d'après la sous-question précédente).
** $V_{n}x_{n}-x$ est rationnel donc égal à son conjugué, $V_{n}(x_{n})_{c}-x_{c}$. Par conséquent, $V_{n}={\frac {x-x_{c}}{x_{n}-(x_{n})_{c}}}>0$, au moins pour $n\geq 1$ puisqu'on sait qu'alors, $x_{n}$ est réduit. Quant à $V_{0}$, il vaut $1$ puisque $1\times x_{0}-x=0\in \mathbb {Q}$. Remarque (inutile pour la suite) : les rationnels $V_{n}$ sont de plus entiers, car $(-1)^{n}V_{n}=k_{n-1}^{2}P-h_{n-1}k_{n-1}S+h_{n-1}^{2}$.
** Puisque $V_{n}\geq 0$ et vue la définition des $V_{n}$, $\left|\operatorname {N} (xk_{n-1}-h_{n-1})\right|=V_{n}$.
** Si $V_{n}=1$ alors $x_{n}-x\in \mathbb {Z}$ donc $x_{n}$ et $x$ ont même partie fractionnaire, c'est-à-dire ${\frac {1}{x_{n+1}}}={\frac {1}{x_{1}}}$. Dès lors, pour tout $k\geq 1$, $x_{n+k}=x_{k}$ donc la période $p$ est un diviseur de $n$.
** Réciproquement, si $p\mid n$ alors ${\frac {1}{x_{n+1}}}={\frac {1}{x_{1}}}$ donc $x_{n}-x=a_{n}-a_{0}\in \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q}$ donc (d'après la question 2) $V_{n}=1$.
* Puisque $\operatorname {N} ({\sqrt {d}}k_{j}-h_{j})=h_{j}^{2}-dk_{j}^{2}$, on a, d'après ce qui précède :
    $J_{1}\cup J_{-1}=\{ps-1\mid s\in \mathbb {N} ^{*}\}$ et $h_{ps-1}^{2}-dk_{ps-1}^{2}=(-1)^{ps}$.
** Pour $d=11$, $p=2$ donc
    $J_{1}=\{2s-1\mid s\in \mathbb {N} ^{*}\}=2\mathbb {N} +1\quad {\text{et}}\quad J_{-1}=\varnothing$.
    La réduite d'indice $1$ de ${\sqrt {11}}$ est $3+{\frac {1}{3}}={\frac {10}{3}}$ donc $(h_{1},k_{1})=(10,3)$ (et $10^{2}-11\times 3^{2}=1$).
** Pour $d=41$, $p=3$ donc
       $J_{1}=\{3s-1\mid s\in \mathbb {N} ^{*},\;s{\text{ pair}}\}=6\mathbb {N} +5\quad {\text{et}}\quad J_{-1}=\{3s-1\mid s\in \mathbb {N} ^{*},\;s{\text{ impair}}\}=6\mathbb {N} +2$.
    La réduite d'indice $2$ de ${\sqrt {41}}$ est $6+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2}}}}={\frac {32}{5}}$ donc $(h_{2},k_{2})=(32,5)$ (et $32^{2}-41\times 5^{2}=-1$).
Les solutions $(h,k)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} ^{*}$ de $h^{2}-dk^{2}=\pm 1$ (pour $d$ entier positif non carré) sont en fait :
* obtenues toutes par cette méthode (cf. exercice 2-6, question 4) ;
* « égales aux puissances » de la première d'entre elles, au sens suivant : $h_{ps-1}+k_{ps-1}{\sqrt {d}}=(h_{p-1}+k_{p-1}{\sqrt {d}})^{s}$ (cf. la section « Théorème des unités de Dirichlet » de l'article de Wikipédia sur le groupe des unités d'un anneau d'entiers quadratiques).
Les solutions $(h,k)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} ^{*}$ s'en déduisent en replaçant $h$ ou $k$ (ou les deux) par leurs opposés. Il y a en outre la solution triviale $(\pm 1,0)$.
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