# Cinétique et dynamique d'un système de deux points matériels/Cinétique d'un système de deux points matériels

Dans le cas général le système de deux points matériels est déformable et
s'il est « indéformable » il définit un « solide $\;{\big$au sens de la mécanique${\big )}\;$».

## Définition de la masse du système

La masse du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{1}\;\left(m_{1}\right)\,,\,M_{2}\;\left(m_{2}\right)\right\rbrace \;$» est une grandeur scalaire $\;>0\;$ caractérisant l'inertie du système et définie selon
$\;m_{\text{syst}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}=m_{1}+m_{2}\;$
Remarque : Comme la masse de chaque point est constante, la masse du système ne varie pas c'est-à-dire «$\;m_{\text{syst}}=cste\;$».

## Définition du centre d'inertie (ou centre de masse) G du système
### Définition

Le centre d'inertie $\;{\big$ou centre de masse${\big )}\;$ du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» est le barycentre $\;G\;$ des positions instantanées des points matériels affectées de leur masse comme cœfficient, sa définition mathématique s'écrivant
$\;G\;$
$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\overrightarrow {GM_{i}}}={\vec {0}}\;$
$\;m_{1}\;{\overrightarrow {GM_{1}}}+m_{2}\;{\overrightarrow {GM_{2}}}={\vec {0}}\;$
$\;{\bigG\;$
${\big )}$

### Propriété

Avec $\;O\;$ représentant une position quelconque, «$\;G\;$ est tel que $\;{\overrightarrow {OG}}={\dfrac {\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\overrightarrow {OM_{i}}}}{\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}}}={\dfrac {m_{1}\;{\overrightarrow {OM_{1}}}+m_{2}\;{\overrightarrow {OM_{2}}}}{m_{1}+m_{2}}}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;m_{\text{syst}}\;{\overrightarrow {OG}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\overrightarrow {OM_{i}}}=m_{1}\;{\overrightarrow {OM_{1}}}+m_{2}\;{\overrightarrow {OM_{2}}}\;$» $\;{\big$de par la définition $\;G\;$ est indépendant de $\;O{\big )}$.
Justification : introduisant la position $\;O\;$ dans la définition, on obtient «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\left[{\overrightarrow {OM_{i}}}-{\overrightarrow {OG}}\right]={\vec {0}}\;$» ou «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\overrightarrow {OM_{i}}}=\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\right]{\overrightarrow {OG}}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\overrightarrow {OM_{i}}}=m_{\text{syst}}\;{\overrightarrow {OG}}\;$» ou encore «$\;{\overrightarrow {OG}}$ $={\dfrac {\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\overrightarrow {OM_{i}}}}{m_{\text{syst}}}}={\dfrac {\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\overrightarrow {OM_{i}}}}{\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}}}\;$».

## Résultante cinétique du système des deux points matériels
### Définition

La résultante cinétique du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» en mouvement dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$, est notée, à l'instant $\;t$, $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)$ $\;{\big$ou, en absence d'ambiguïté, $\;{\vec {P}}(t){\big ]}\;$ et définie comme la somme des quantités de mouvement de chaque point matériel du système au même instant $\;t\;$ soit, en notant $\;{\vec {p}}_{M_{i}}(t)\;$ la quantité de mouvement du point $\;M_{i}\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ à cet instant $\;t$,
$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\vec {p}}_{M_{i}}(t)={\vec {p}}_{M_{1}}(t)+{\vec {p}}_{M_{2}}(t)\;$
$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)=m_{1}\;{\vec {V}}_{M_{1}}(t)+m_{2}\;{\vec {V}}_{M_{2}}(t)\;$
$\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;$
$\;M_{i}\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}$
Remarque : L'éventuelle variation de la résultante cinétique du système de deux points matériels ne dépend que la modification du mouvement des points le constituant.

### Propriété de liaison avec le C.D.I.

La résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$ du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$», définie à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$, est liée au mouvement du C.D.I. $\;G\;$ du système au même instant $\;t\;$ dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ selon
$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$
$\;m_{\text{syst}}\;$
$\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$
$\;G\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}$
Démonstration : Choisissant un point $\;O\;$ fixe du référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, le vecteur position du C.D.I. $\;G\;$ du système de deux points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\,(m_{i})\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,2}\;$ est tel que $\;m_{\text{syst}}\;{\overrightarrow {OG}}(t)=$ $\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\overrightarrow {OM_{i}}}(t)$ ;
Démonstration : dérivant cette relation par rapport à $\;t\;$ et compte-tenu de la linéarité de l'opération dérivation on obtient $\;m_{\text{syst}}\;{\dfrac {d{\overrightarrow {OG}}}{dt}}(t)=$ $\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\dfrac {d{\overrightarrow {OM_{i}}}}{dt}}(t)\;$ ou, en utilisant la définition des vecteurs vitesses, $\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)$, le 2ème membre définissant la résultante cinétique du système de deux points matériels, C.Q.F.D..

### Remarque

La résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$ du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$», définie à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$, est aussi, au même instant $\;t\;$ dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}$, le vecteur quantité de mouvement du C.D.I. $\;G\;$ du système, point fictif auquel on affecte toute la masse du système.

## Moment cinétique vectoriel en O du système des deux points matériels
### Définition

Le vecteur moment cinétique du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,2}\;$» dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport à un point $\;O$ $\;{\big$a priori quelconque${\big )}\;$ est la somme des vecteurs moment cinétique de chaque point matériel, définie à l'instant $\;t$, dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport à ce même point $\;O\;$ soit encore
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O}(M_{i},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\overrightarrow {OM_{i}}}(t)\wedge {\vec {p}}_{M_{i}}(t)={\overrightarrow {OM_{1}}}(t)\wedge {\vec {p}}_{M_{1}}(t)+{\overrightarrow {OM_{2}}}(t)\wedge {\vec {p}}_{M_{2}}(t)\;$
$\;{\vec {p}}_{M_{i}}(t)\;$
$\;M_{i}\;$
$\;({\mathcal {R}})\;$
$\;t\;$
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\overrightarrow {OM_{i}}}(t)\wedge m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)={\overrightarrow {OM_{1}}}(t)\wedge m_{1}\;{\vec {V}}_{M_{1}}(t)+{\overrightarrow {OM_{2}}}(t)\wedge m_{2}\;{\vec {V}}_{M_{2}}(t)\;$
$\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;$
$\;M_{i}\;$
$\;({\mathcal {R}})\;$
$\;t\;$

### Formule de changement d'origine

Soit $\;\left(O\,,\,O'\right)\;$ deux points quelconques distincts, la formule de changement d'origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système de deux points matériels à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ suit la relation suivante
$\;{\vec {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)={\vec {\sigma }}_{\!O'}({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {OO'}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$
$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}$
Démonstration : Pour démontrer la relation ci-dessus on utilise la relation de Chasles $\;{\overrightarrow {OM_{i}}}={\overrightarrow {OO'}}+{\overrightarrow {O'M_{i}}}\;$ et la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle soit $\;{\vec {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\overrightarrow {OM_{i}}}\wedge {\vec {p}}_{M_{i}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}\left[{\overrightarrow {OO'}}+{\overrightarrow {O'M_{i}}}\right]\wedge {\vec {p}}_{M_{i}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\overrightarrow {OO'}}\wedge {\vec {p}}_{M_{i}}(t)+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\overrightarrow {O'M_{i}}}\wedge {\vec {p}}_{M_{i}}(t)\;$ dans laquelle on reconnaît dans le dernier terme $\;{\vec {\sigma }}_{\!O'}({\text{syst}},\,t)\;$ et on factorise vectoriellement à gauche par $\;{\overrightarrow {OO'}}\;$ dans le 1er terme $\Rightarrow$ $\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\overrightarrow {OO'}}\wedge {\vec {p}}_{M_{i}}(t)={\overrightarrow {OO'}}\wedge \left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\vec {p}}_{M_{i}}(t)\right]={\overrightarrow {OO'}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$ d'où la R.Q.F.D..
Remarque : Le changement d'origine entre un point quelconque $\;O\;$ et le C.D.I. $\;G\;$ du système est le plus couramment utilisé soit «$\;{\vec {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)={\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {OG}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$» ;
Remarque : le moment cinétique vectoriel du système de deux points matériels, à l'instant $\;t$, par rapport à un point $\;O\;$ quelconque dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$, «$\;{\vec {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)\;$» est donc la somme Remarque : du moment cinétique vectoriel du système, au même instant $\;t$, par rapport au C.D.I. $\;G\;$ du système dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}$, «$\;{\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst}},\,t)\;$» et Remarque : du moment cinétique vectoriel, par rapport à $\;O$, du point fictif $\;G\;$ de quantité de mouvement $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$ au même instant $\;t\;$ dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}$, «$\;{\vec {\sigma }}_{\!O}(G,\,t)={\overrightarrow {OG}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$».

### Cas d'un système de deux points matériels en translation

Considérant le système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,2}\;$» en translation de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)={\vec {V}}_{G}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ $\;{\big \$c'est-à-dire tel que $\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)=$ ${\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall \;i\;\in \;\left[\left[1\,,\,2\right]\right]{\big \}$, le moment cinétique vectoriel du système en translation dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ vaut, à l'instant $\;t\;$ relativement à un point $\;O\;$ quelconque, «$\;{\vec {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)=$ ${\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {OG}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$» dans lequel «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\\{\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\overrightarrow {GM_{i}}}\wedge m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$ ou, d'une part «$\;{\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$» et d'autre part «$\;{\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst. en transl.}},\,t)=$ $\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\overrightarrow {GM_{i}}}\wedge m_{i}\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)={\overrightarrow {GM_{1}}}\wedge m_{1}\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)+{\overrightarrow {GM_{2}}}\wedge m_{2}\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$» puis, en factorisant vectoriellement à droite par $\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$ «$\;{\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst. en transl.}},\,t)=$ $\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\overrightarrow {GM_{i}}}\right]\wedge {\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)={\vec {0}}\;$» par définition du C.D.I. du système soit
$\;{\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst. en transl.}},\,t)={\vec {0}}\;$
$\;{\vec {\sigma }}_{\!O}({\text{syst. en transl.}},\,t)={\overrightarrow {OG}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$
$\;={\overrightarrow {OG}}(t)\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$

### Cas d'un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe de vecteur rotation instantanée fixé

Le système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,2}\;$» étant en rotation autour d'un axe $\left(\Delta \right)\;$ fixe du référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ et choisissant comme point origine de calcul du vecteur moment cinétique du système un point $\;A\;$ quelconque de $\;\left(\Delta \right)$, on peut écrire, au même instant $\;t$, le vecteur moment cinétique du point $\;M_{i},\;\;\forall \;i\in \left[\left[1\,,\,2\right]\right]\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport à $\;A\;$ sous la forme $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M_{i},\,t)=$ $m_{i}\;r_{i}^{2}\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-m_{i}\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\overline {AH_{i}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\;$$^,$, avec $\;H_{i}\;$ centre de rotation de $\;M_{i}\;$ autour de $\;\left(\Delta \right)\;$ et $\;r_{i}\;$ le rayon du cercle décrit par $\;M_{i}$, le vecteur moment cinétique du système $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\;$ s'obtenant en faisant la somme des vecteurs moment cinétique de chaque point $\;M_{i}$ ; on en déduit donc $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M_{i},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}\left[m_{i}\;r_{i}^{2}\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-m_{i}\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\overline {AH_{i}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\right]\;$ ou, après distribution de la somme sur chaque terme de l'expression entre crochets puis factorisation par $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$ ou $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ dans le 1er ou 2ème terme,
$\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;r_{i}^{2}\right]{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\overline {AH_{i}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\right]$
en notant «$\;J_{\Delta }=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}J_{\Delta }(M_{i})=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;r_{i}^{2}=m_{1}\;r_{1}^{2}+m_{2}\;r_{2}^{2}\;$» exprimée en $\;kg\cdot m^{2}\;$ le moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation $\;\left(\Delta \right)$ $\;{\big$il s'agit de la 2ème grandeur d'inertie caractérisant le système, la 1re étant sa masse $\;m_{\text{syst}}{\big ]}\;$ et
repérant le point $\;M_{i}\;$ par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle $\;A\;$ et d'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }$ $\;{\big$de sens a priori arbitraire sur $\;\left(\Delta \right)\;$ mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci, connu, ne change pas${\big ]}\;$ «$\;\left(r_{i},\,\theta _{i},\,z_{i}\right)\;$» $\;{\big$la base cylindro-polaire liée à $\;M_{i}\;$ étant notée $\;\left({\vec {u}}_{r_{i}}\,,\,{\vec {u}}_{\theta _{i}}\,,\,{\vec {u}}_{\Delta }\right){\big ]}\;$,
le vecteur moment cinétique du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,2}\;$» en rotation autour de l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}$, de vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$, évalué au même instant $\;t\;$ par rapport à $\;A\;$ point quelconque de $\;\left(\Delta \right)$, se réécrit selon
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;z_{i}\;r_{i}\;{\vec {u}}_{r_{i}}(t)\right]\;$
$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[m_{1}\;z_{1}\;r_{1}\;{\vec {u}}_{r_{1}}(t)+m_{2}\;z_{2}\;r_{2}\;{\vec {u}}_{r_{2}}(t)\right]\;$
Remarques : Pour un système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,2}\;$» en rotation autour d'un axe $\left(\Delta \right)\;$ fixe du référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, il existe un point origine $\;A\;\in \left(\Delta \right)\;$ d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système pour lequel $\;\left(\Delta \right)\;$ est un « axe principal d'inertie » c'est-à-dire tel que
$\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$
$\;{\vec {\Omega }}(t)\;$
$\;\left(\Delta \right)\;$
$\;J_{\Delta }=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;r_{i}^{2}\;$
$\;\left(\Delta \right)\;$
Remarques : ce qui nécessite «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\overline {AH_{i}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» ou, en repérant le point $\;M_{i}\;$ par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle $\;A\;$ et d'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }$, c'est-à-dire «$\;\left(r_{i},\,\theta _{i},\,z_{i}\right)\;$» $\;{\big$la base cylindro-polaire liée à $\;M_{i}\;$ étant notée $\;\left({\vec {u}}_{r_{i}}\,,\,{\vec {u}}_{\theta _{i}}\,,\,{\vec {u}}_{\Delta }\right){\big ]}\;$ la condition pour que l'axe soit « principal d'inertie relativement au point $\;A\;$» se réécrit «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;z_{i}\;r_{i}\;{\vec {u}}_{r_{i}}(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$».
Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point $\;A$ : $\;\succ \;$1er cas $\;{\big$voir ci-contre${\big )}$, $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ tournent autour de l'axe de rotation $\;\Delta \;$ en restant, de part et d'autre de $\;\Delta$, dans un même plan le contenant, Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : on peut aisément vérifier qu'« il existe un point $\;A\;\in \left(\Delta \right)\;$ ${\big$que l'on notera $\;A_{p}\;$ par la suite${\big ]}\;$ tel que $\;m_{1}\;r_{1}\;z_{1}=m_{2}\;r_{2}\;z_{2}$, les cotes des points $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ étant repérées par rapport au point origine $\;A\;$» dont on déduit «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;z_{i}\;r_{i}\;{\vec {u}}_{r_{i}}(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» ou encore «$\;m_{1}\;z_{1}\;r_{1}\;{\vec {u}}_{r_{1}}(t)+m_{2}\;z_{2}\;r_{2}\;{\vec {u}}_{r_{2}}(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» $\;{\big{\vec {u}}_{r_{2}}(t)\;$ étant égal à $\;-{\vec {u}}_{r_{1}}(t){\big ]}$, c'est-à-dire que « l'axe de rotation $\;\left(\Delta \right)\;$ est axe principal d'inertie du système à la condition de choisir le point $\;A_{p}\;$ comme origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système » $\;{\big \A_{p}\;$ est alors hors du segment $\;\left[H_{1}H_{2}\right]$, $\;H_{1}\;$ et $\;H_{2}\;$ étant respectivement les projetés orthogonaux sur $\;\left(\Delta \right)\;$ de $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ c'est-à-dire les centres respectifs des cercles décrits par $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ dans leur rotation autour de $\;\left(\Delta \right){\big \}$ $\Rightarrow$
$\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A_{p}}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$
Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : existe-t-il d'autres points $\;A\;\in \left(\Delta \right)\;$ pour lequel cet axe serait « principal d'inertie du système » ? Pour répondre à cette question utilisons la formule de changement d'origine du moment cinétique vectoriel du système «$\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)={\overrightarrow {\sigma }}_{\!A_{p}}({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {AA_{p}}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)={\overrightarrow {\sigma }}_{\!A_{p}}({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {AA_{p}}}\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$» avec $\;m_{\text{syst}}\;$ la masse du système et $\;G\;$ le C.D.I. de ce dernier, nous en déduisons que «$\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\;$ sera égal à $\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A_{p}}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$» si «$\;{\overrightarrow {AA_{p}}}\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» ou, sachant que Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : $\;G\;$ est, comme le système, en rotation autour de $\;\left(\Delta \right)\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\vec {V}}_{G}(t)={\vec {0}}\;$ ou $\;\neq {\vec {0}}\;$ mais orthoradial », avec cette dernière possibilité à rejeter car impliquant «$\;{\overrightarrow {AA_{p}}}\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ radial et $\;\neq {\vec {0}}\;$», nous en déduisons «$\;{\overrightarrow {AA_{p}}}\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)=$ ${\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$ si $\;G\;\in \left(\Delta \right)\;$» ; Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : or «$\;G\;$ C.D.I. de $\;\left\lbrace M_{1}\,,\,M_{2}\right\rbrace \;$» $\Leftrightarrow$ «$\;m_{\text{syst}}\;{\overrightarrow {A_{p}G}}=m_{1}\;{\overrightarrow {A_{p}M_{1}}}+m_{2}\;{\overrightarrow {A_{p}M_{2}}}\;$» soit, en projetant sur $\;{\vec {u}}_{r_{1}}$, $\;0=m_{1}\;r_{1}-m_{2}\;r_{2}\;$ $\Leftrightarrow$ «$\;m_{1}\;r_{1}=m_{2}\;r_{2}\;$» cette condition étant à réaliser simultanément avec celle pour que $\;\left(\Delta \right)\;$ soit « axe principal d'inertie du système pour $\;A_{p}\;$» à savoir «$\;m_{1}\;r_{1}\;z_{1}$ $=m_{2}\;r_{2}\;z_{2}\;$» nous en déduisons «$\;z_{1}=z_{2}\;$» c'est-à-dire la confusion de $\;H_{1}\;$ et $\;H_{2}$, projetés orthogonaux sur $\;\left(\Delta \right)\;$ de $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ ou encore centres respectifs des cercles décrits par $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ dans leur rotation autour de $\;\left(\Delta \right)$ ; Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : en conclusion $\;\left(\Delta \right)\;$ est « axe principal d'inertie du système pour tout point $\;A\;\in \left(\Delta \right)\;$» si, en plus de la configuration étudiée dans ce cas particulier, $\;H_{1}\;$ et $\;H_{2}\;$ les centres des cercles respectivement décrits par $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}$, sont confondus $\;{\big$leur position commune s'identifie avec celle du C.D.I. $\;G\;$ du système des deux points matériels${\big )}$ ; Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : en conclusion dans ce cas $\;\left(\Delta \right)\;$ est « axe de symétrie $\;{\big$matérielle${\big )}\;$ de révolution du système des deux points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,2}\;$» c'est-à-dire que $\;\left(\Delta \right)\;$ est tel que «$\;m_{1}\;r_{1}\;{\vec {u}}_{r_{1}}(t)+m_{2}\;r_{2}\;{\vec {u}}_{r_{2}}(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$».
Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : $\;\succ \;$2ème cas $\;{\big$voir ci-contre${\big )}$, $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ tournent autour de l'axe de rotation $\;\Delta \;$ en restant, d'un même côté de $\;\Delta$, dans un même plan le contenant, Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : on peut aisément vérifier qu'« il existe un point $\;A\;\in \left(\Delta \right)\;$ ${\big$que l'on notera $\;A_{p}\;$ par la suite${\big ]}\;$ tel que $\;m_{2}\;r_{2}\;z_{2}=-m_{1}\;r_{1}\;z_{1}$, les cotes des points $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ étant repérées par rapport au point origine $\;A\;$» dont on déduit «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;z_{i}\;r_{i}\;{\vec {u}}_{r_{i}}(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» ou encore «$\;m_{1}\;z_{1}\;r_{1}\;{\vec {u}}_{r_{1}}(t)+m_{2}\;z_{2}\;r_{2}\;{\vec {u}}_{r_{2}}(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» $\;{\big{\vec {u}}_{r_{2}}(t)\;$ étant égal à $\;{\vec {u}}_{r_{1}}(t){\big ]}$, c'est-à-dire que « l'axe de rotation $\;\left(\Delta \right)\;$ est axe principal d'inertie du système à la condition de choisir le point $\;A_{p}\;$ comme origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système » $\;{\big \A_{p}\;$ est alors sur le segment $\;\left[H_{1}H_{2}\right]$, $\;H_{1}\;$ et $\;H_{2}\;$ étant respectivement les projetés orthogonaux sur $\;\left(\Delta \right)\;$ de $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ c'est-à-dire les centres respectifs des cercles décrits par $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ dans leur rotation autour de $\;\left(\Delta \right){\big \}$ $\Rightarrow$
$\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A_{p}}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$
Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : existe-t-il d'autres points $\;A\;\in \left(\Delta \right)\;$ pour lequel cet axe serait « principal d'inertie du système » ? Pour répondre à cette question utilisons la formule de changement d'origine du moment cinétique vectoriel du système «$\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)={\overrightarrow {\sigma }}_{\!A_{p}}({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {AA_{p}}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)={\overrightarrow {\sigma }}_{\!A_{p}}({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {AA_{p}}}\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$» avec $\;m_{\text{syst}}\;$ la masse du système et $\;G\;$ le C.D.I. de ce dernier, nous en déduisons que «$\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\;$ sera égal à $\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A_{p}}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$» si «$\;{\overrightarrow {AA_{p}}}\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)$ $={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» ou, sachant que Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : $\;G\;$ est, comme le système, en rotation autour de $\;\left(\Delta \right)\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\vec {V}}_{G}(t)={\vec {0}}\;$ ou $\;\neq {\vec {0}}\;$ mais orthoradial », avec cette dernière possibilité à rejeter car impliquant «$\;{\overrightarrow {AA_{p}}}\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ radial et $\;\neq {\vec {0}}\;$», nous en déduisons «$\;{\overrightarrow {AA_{p}}}\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)=$ ${\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$ si $\;G\;\in \left(\Delta \right)\;$» ; Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : or «$\;G\;$ C.D.I. de $\;\left\lbrace M_{1}\,,\,M_{2}\right\rbrace \;$» $\Leftrightarrow$ «$\;m_{\text{syst}}\;{\overrightarrow {A_{p}G}}=m_{1}\;{\overrightarrow {A_{p}M_{1}}}+m_{2}\;{\overrightarrow {A_{p}M_{2}}}\;$» soit, en projetant sur $\;{\vec {u}}_{r_{1}}$, «$\;0=m_{1}\;r_{1}+m_{2}\;r_{2}\;$» cette condition étant à rejeter dans la mesure où $\;r_{1}\;$ et $\;r_{2}\;$ sont tous deux nécessairement $\;>0$ ; Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : en conclusion, il n'existe pas d'autre point $\;A\;\in \left(\Delta \right)\;$ que $\;A_{p}\;$ pour lequel $\;\left(\Delta \right)\;$ est « axe principal d'inertie du système » dans ce cas particulier de configuration étudiée.
Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : $\;\succ \;$3ème cas $\;{\big$voir ci-contre${\big )}$, $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ tournent autour de l'axe de rotation $\;\Delta \;$ en restant, dans un même plan $\;\perp \;$ à $\;\Delta$, les projetés orthogonaux sur $\;\left(\Delta \right)\;$ de $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ étant confondus en $\;H$ $\;{\big$noté $\;A\;$ sur le schéma ci-contre${\big )}$, $\;H\;$ étant aussi le centre commun de rotation des deux points autour de $\;\left(\Delta \right)$, Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : on peut aisément vérifier que l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ est « principal d'inertie du système pour le point $\;H\;$» ${\big$que l'on notera $\;A_{p}\;$ par la suite${\big ]}\;$ car «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;z_{i}\;r_{i}\;{\vec {u}}_{r_{i}}(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» $\;{\big\left\lbrace z_{i}=0\right\rbrace _{i\,\in \left[\left[1\,,\,2\right]\right]},\;\;\forall \;t{\big ]}$ $\;{\big\left\lbrace {\vec {u}}_{r_{i}}(t)\right\rbrace _{i\,\in \left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$ pouvant être positionnés de façon quelconque${\big ]}$ ou encore «$\;m_{1}\;z_{1}\;r_{1}\;{\vec {u}}_{r_{1}}(t)+m_{2}\;z_{2}\;r_{2}\;{\vec {u}}_{r_{2}}(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» $\;{\bigz_{1}=z_{2}=0,\;\;\forall \;t{\big ]}$ $\;{\big{\vec {u}}_{r_{2}}(t)\;$ et $\;{\vec {u}}_{r_{1}}(t)\;$ pouvant être positionnés de façon quelconque${\big ]}\;$ $\Rightarrow$
$\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A_{p}}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$
Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : existe-t-il d'autres points $\;A\;\in \left(\Delta \right)\;$ pour lequel cet axe serait « principal d'inertie du système » ? Pour répondre à cette question utilisons la formule de changement d'origine du moment cinétique vectoriel du système «$\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)={\overrightarrow {\sigma }}_{\!A_{p}}({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {AA_{p}}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)={\overrightarrow {\sigma }}_{\!A_{p}}({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {AA_{p}}}\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$» avec $\;m_{\text{syst}}\;$ la masse du système et $\;G\;$ le C.D.I. de ce dernier, nous en déduisons que «$\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\;$ sera égal à $\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A_{p}}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$» si «$\;{\overrightarrow {AA_{p}}}\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)$ $={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» ou, sachant que Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : $\;G\;$ est, comme le système, en rotation autour de $\;\left(\Delta \right)\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\vec {V}}_{G}(t)={\vec {0}}\;$ ou $\;\neq {\vec {0}}\;$ mais orthoradial », avec cette dernière possibilité à rejeter car impliquant «$\;{\overrightarrow {AA_{p}}}\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ radial et $\;\neq {\vec {0}}\;$», nous en déduisons «$\;{\overrightarrow {AA_{p}}}\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)=$ ${\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$ si $\;G\;\in \left(\Delta \right)\;$» soit encore Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : le C.D.I. $\;G\;$ du système $\;\left\lbrace M_{1}\,,\,M_{2}\right\rbrace \;$» confondu avec $\;A_{p}$ $\;{\big$noté $\;A\;$ sur le schéma ci-dessus${\big )}$ ; Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : en conclusion, il n'existe pas d'autre point $\;A\;\in \left(\Delta \right)\;$ que $\;A_{p}\;$ pour lequel $\;\left(\Delta \right)\;$ est « axe principal d'inertie du système » dans ce cas particulier de configuration étudiée $\;{\big$ce point $\;A_{p}\;$ centre commun de rotation des deux points matériels est aussi celui de rotation du C.D.I. $\;G\;$ du système des deux points matériels $\;\left\lbrace M_{1}\,,\,M_{2}\right\rbrace {\big )}$.

## Définition du moment cinétique scalaire du système des deux points matériels relativement à Δ
### Définition

Le moment cinétique scalaire du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,2}\;$» par rapport à un axe $\;\Delta$, à l'instant $\;t$, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ est définie comme la projection orthogonale sur l'axe, du vecteur moment cinétique du système, au même instant $\;t$, dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}$, par rapport à un point $\;A\;$ quelconque de l'axe soit
$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}},\;t)={\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\;t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$
$\;\forall \;A\;\in \;\Delta$
Justification de la définition : On justifie la définition du moment cinétique scalaire du système de deux points matériels en vérifiant que le moment cinétique vectoriel du système est équiprojectif c'est-à-dire en vérifiant la propriété «$\;{\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\cdot {\overrightarrow {AA'}}={\vec {\sigma }}_{\!A'}({\text{syst}},\,t)\cdot {\overrightarrow {AA'}}\;$» ;
Justification de la définition : pour cela on utilise la formule de changement d'origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système de deux points matériels entre $\;A\;$ et $\;A'\;$ soit «$\;{\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=$ ${\vec {\sigma }}_{\!A'}({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {AA'}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$» et on multiplie scalairement chaque membre par $\;{\overrightarrow {AA'}}\;$ en utilisant, dans le membre de droite, la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle $\Rightarrow$ «$\;{\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\cdot {\overrightarrow {AA'}}={\vec {\sigma }}_{\!A'}({\text{syst}},\,t)\cdot {\overrightarrow {AA'}}\;{\cancel {+\left[{\overrightarrow {AA'}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\right]\cdot {\overrightarrow {AA'}}}}\;$» R.Q.F.D. ;
Justification de la définition : prenant deux points distincts $\;A\;$ et $\;A'\;$ quelconques sur l'axe $\;\Delta \;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }$, nous pouvons poser $\;{\overrightarrow {AA'}}={\overline {AA'}}\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ et l'équiprojectivité du moment cinétique vectoriel du système de deux points matériels se réécrit, après simplification par $\;{\overline {AA'}}\neq 0$, «$\;{\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }={\vec {\sigma }}_{\!A'}({\text{syst}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$», la valeur commune définissant le moment cinétique scalaire du système de deux points matériels.

### Système de deux points matériels en translation dans le référentiel d'étude

Le moment cinétique vectoriel du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,2}\;$» en translation de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, s'exprimant, à l'instant $\;t\;$ relativement à un point $\;A\;$ quelconque d'un axe $\;\Delta$, «$\;{\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst. en transl.}},\,t)=\;{\cancel {{\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst. en transl.}},\,t)\;+}}\;{\overrightarrow {AG}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$» dans lequel «$\;{\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}(t)=$ $m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$ d'où le moment cinétique scalaire du système en translation évalué par rapport à l'axe $\;\Delta \;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ «$\sigma _{\!\Delta }({\text{syst. en transl.}},\,t)={\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst. en transl.}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=\left[{\overrightarrow {AG}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=$ $m_{\text{syst}}\left[{\overrightarrow {AG}}(t)\wedge {\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=m_{\text{syst}}\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\overrightarrow {AG}}(t)\right]\cdot {\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$» en utilisant l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire ou, en notant $\;H_{G}\;$ le projeté orthogonal de $\;G\;$ sur l'axe $\;\Delta \;$ «$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst. en transl.}},\,t)=m_{\text{syst}}\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\overrightarrow {H_{G}G}}(t)\right]\cdot {\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$» soit enfin, en utilisant le repérage cylindro-polaire de pôle $\;A\;$ et d'axe orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ $\Rightarrow$ les coordonnées cylindro-polaires de $\;G\;$ sont $\;\left(r_{G}\,,\,\theta _{G}\,,\,z_{G}\right)$ $\;{\big$avec pour base cylindro-polaire liée à $\;G$, $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{\Delta }\right\rbrace {\big ]}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\overrightarrow {H_{G}G}}(t)=r_{G}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\;$ ce qui permet de réécrire «$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst. en transl.}},\,t)\;$» selon «$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst. en transl.}},\,t)$ $=m_{\text{syst}}\;r_{G}(t)\left[{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\theta }(t)\right]\;$» ou, en notant $\;V_{\theta ,\,{\text{syst. en transl.}}}(t)\;$ la composante orthoradiale du vecteur vitesse de translation du système à l'instant $\;t$,
$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst. en transl.}},\,t)=m_{\text{syst}}\;r_{G}(t)\;V_{\theta ,\,{\text{syst. en transl.}}}(t)\;$

### Système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe Δ de vecteur rotation instantanée fixé

Le moment cinétique vectoriel du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,2}\;$» en rotation autour d'un axe $\;\left(\Delta \right)$, de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, s'exprimant, à l'instant $\;t\;$ relativement à un point $\;A\;$ quelconque de $\;\left(\Delta \right)$, «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\overline {AH_{i}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\right]\;$»$^,$ dans lequel «$\;J_{\Delta }=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}J_{\Delta }(M_{i})=$ $\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;r_{i}^{2}=m_{1}\;r_{1}^{2}+m_{2}\;r_{2}^{2}\;$» est le moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation $\;\left(\Delta \right)$, $\;H_{i}\;$ le projeté orthogonal de $\;M_{i}\;$ sur l'axe et $\;{\overline {\Omega }}(t)={\vec {\Omega }}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$ la vitesse angulaire de rotation du système autour de $\;\left(\Delta \right)\;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }$, d'où le moment cinétique scalaire du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,2}\;$» en rotation autour de l'axe $\;\Delta \;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$, le moment scalaire étant évalué par rapport à $\;\left(\Delta \right)$, «$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}},\,t)=$ ${\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=\left\lbrace J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\overline {AH_{i}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\right]\right\rbrace \cdot {\vec {u}}_{\Delta }=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;{\cancel {-\;{\overline {\Omega }}(t)\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\overline {AH_{i}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right]}}\;$» en utilisant la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle ainsi que $\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\perp \;$ à $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;\;\forall \;M_{i}$, soit l'expression finale du moment cinétique scalaire du système en rotation autour de l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ par rapport auquel le moment cinétique est évalué
$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overline {\Omega }}(t)\;$
$\;\left(\Delta \right)\;$

## Énergie cinétique d'un système de deux points matériels
### Définition

L'énergie cinétique, à l'instant $\;t$, du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,2}\;$» dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ est la somme des énergies cinétiques des deux points matériels, définies au même instant $\;t$, dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ soit encore
$\;K({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}K_{M_{i}}(t)=K_{M_{1}}(t)+K_{M_{2}}(t)\;$
$\;K({\text{syst}},\,t)=\left\lbrace {\begin{array}{c c c c c}\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\dfrac {{\vec {p}}_{M_{i}}^{\,2}}{2\;m_{i}}}(t)\!\!&=&\!\!\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\dfrac {1}{2}}\;m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}^{\,2}(t)\!\!&=&\!\!\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\dfrac {1}{2}}\;{\vec {p}}_{M_{i}}(t)\cdot {\vec {V}}_{M_{i}}(t)\\&&{\text{ou}}&&\\{\dfrac {{\vec {p}}_{M_{1}}^{\,2}}{2\;m_{1}}}(t)+{\dfrac {{\vec {p}}_{M_{2}}^{\,2}}{2\;m_{2}}}(t)\!\!&=&\!\!{\dfrac {1}{2}}\;m_{1}\;{\vec {V}}_{M_{1}}^{\,2}(t)+{\dfrac {1}{2}}\;m_{2}\;{\vec {V}}_{M_{2}}^{\,2}(t)\!\!&=&\!\!{\dfrac {1}{2}}\;{\vec {p}}_{M_{1}}(t)\cdot {\vec {V}}_{M_{1}}(t)+{\dfrac {1}{2}}\;{\vec {p}}_{M_{2}}(t)\cdot {\vec {V}}_{M_{2}}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;{\vec {p}}_{M_{i}}(t)\;$
$\;M_{i}\;$
$\;({\mathcal {R}})\;$
$\;t\;$
$\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;$
$\;M_{i}\;$
$\;({\mathcal {R}})\;$
$\;t\;$

### Cas d'un système de deux points matériels en translation de vecteur vitesse fixé

L'énergie cinétique, à l'instant $\;t$, du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,2}\;$» en translation de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$ au même instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ $\;{\big \$c'est-à-dire tel que $\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)={\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall \;i\;\in \;\left[\left[1\,,\,2\right]\right]{\big \}$, s'évaluant selon «$\;K({\text{syst. en transl.}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\dfrac {1}{2}}\;m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}^{\,2}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\dfrac {1}{2}}\;m_{i}\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)\;$» soit, en factorisant par $\;{\dfrac {{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{2}}\;$ et reconnaissant $\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}=m_{\text{syst}}\;$ dans l'autre facteur
$\;K({\text{syst. en transl.}},\,t)={\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)\;$
$\;{\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$
$\;K({\text{syst. en transl.}},\,t)={\dfrac {{\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}}{2\;m_{\text{syst}}}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;{\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$

### Cas d'un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe Δ de vecteur rotation instantanée fixé

L'énergie cinétique du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,2}\;$» en rotation autour d'un axe $\;\left(\Delta \right)$, de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ $\;{\big \$c'est-à-dire tel que $\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM_{i}}}(t),\;\forall \;i\;\in \;\left[\left[1\,,\,2\right]\right]\;$ avec $\;A\;\in \;\Delta {\big \}$, s'évaluant selon «$\;K({\text{syst. en rot.}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\dfrac {1}{2}}\;{\vec {p}}_{M_{i}}(t)\cdot {\vec {V}}_{M_{i}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\dfrac {1}{2}}\;{\vec {p}}_{M_{i}}(t)\cdot \left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM_{i}}}(t)\right]\;$» ou, en utilisant l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire «$\;K({\text{syst. en rot.}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\dfrac {1}{2}}\;{\vec {\Omega }}(t)\cdot \left[{\overrightarrow {AM_{i}}}(t)\wedge {\vec {p}}_{M_{i}}(t)\right]=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\dfrac {1}{2}}\;{\vec {\Omega }}(t)\cdot {\vec {\sigma }}_{\!A}(M_{i},\,t)\;$» soit, en factorisant par $\;{\dfrac {{\vec {\Omega }}(t)}{2}}\;$ et en reconnaissant dans l'autre facteur $\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\vec {\sigma }}_{\!A}(M_{i},\,t)=$ ${\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst. en rot.}},\,t)\;$
$\;K({\text{syst. en rot.}},\,t)={\dfrac {1}{2}}\;{\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst. en rot.}},\,t)\cdot {\vec {\Omega }}(t)\;$
$\;K({\text{syst. en rot.}},\,t)={\dfrac {1}{2}}\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst. en rot.}},\,t)\;{\overline {\Omega }}(t)\;$
$\;{\overline {\Omega }}(t)={\vec {\Omega }}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$
$\;\left(\Delta \right)\;$
$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst. en rot.}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overline {\Omega }}(t)\;$
$\;J_{\Delta }=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;r_{i}^{2}=m_{1}\;r_{1}^{2}+m_{2}\;r_{2}^{2}\;$
$\;\left(\Delta \right)$
$\;K({\text{syst. en rot.}},\,t)={\dfrac {\sigma _{\!\Delta }^{\,2}({\text{syst. en rot.}})}{2\;J_{\Delta }}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta }\;{\overline {\Omega }}^{2}(t)\;$