# Mécanique 1 (PCSI)/Loi de la quantité de mouvement : Influence de la résistance de l'air
## Cas général de la résistance de l'air : notion de traînée et de portance
### Définitions de la traînée et de la portance exercées par l'air globalement immobile sur un système fermé (indéformable) de points matériels en translation

Nous nous plaçons dans le cas où le système fermé $\;{\big$indéformable${\big )}\;$ de points matériels $\;({\mathcal {S}})\;$ en translation relativement au référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ n'a pas d’axe de symétrie ou, s'il en a un, que le vecteur vitesse de translation de $\;({\mathcal {S}})\;$ relativement à $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ n'est pas porté par cet axe, le système se déplaçant dans l'air supposé globalement immobile dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}$ ;
dans ce cas général, la résistance de l'air sur $\;({\mathcal {S}})\;$ notée «$\;{\overrightarrow {\mathcal {R}}}_{\text{air}}\;$» n’étant pas colinéaire au vecteur vitesse de translation «$\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}\;$» de ce dernier, nous la décomposons en
* une « composante $\;{\vec {T}}\;\parallel \;$ à $\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}\;$» appelée « traînée » laquelle est, plus précisément, « la projection de $\;{\overrightarrow {\mathcal {R}}}_{\text{air}}\;$ sur $\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}\;$ parallèlement à la verticale » et
* une « composante verticale $\;{\vec {\pi }}\;$» appelée « portance » laquelle est, plus précisément, « la projection de $\;{\overrightarrow {\mathcal {R}}}_{\text{air}}\;$ sur la verticale parallèlement à $\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}\;$»,
ci-contre à gauche, le « cas d'une portance $\;{\vec {\pi }}\;$ ascendante » $\;{\big$correspondant à un vecteur vitesse de translation de $\;({\mathcal {S}})\;$ « traversant » la direction « bord de fuite - bord d'attaque » du système du dessus vers le dessous c.-à-d. correspondant à un angle orienté $\;\alpha >0{\big ]}\;$ et
ci-contre à droite, le « cas d'une portance $\;{\vec {\pi }}\;$ descendante » $\;{\big$correspondant à un vecteur vitesse de translation de $\;({\mathcal {S}})\;$ « traversant » la direction « bord de fuite - bord d'attaque » du système du dessous vers le dessus c.-à-d. correspondant à un angle orienté $\;\alpha <0{\big ]}$.

### But recherché dans la création d'une portance

* Dans le cas d'un avion, la résultante des portances agissant sur chaque aile d'avion doit bien sûr être ascendante de norme supérieure ou égale à celle du poids de l'avion ;
* dans le cas d'un camion $\;{\big$ou d'une voiture de course${\big )}$, la portance agissant sur l'aileron au-dessus de la cabine doit être descendante de façon à améliorer le contact des roues sur le sol.

## Cas où le système fermé (indéformable) de points matériels possède un axe de symétrie et est en translation parallèlement à cet axe : portance nulle

Voir le paragraphe « forces de frottement fluide exercées sur un système de points matériels fermé et indéformable en mouvement de translation relativement au fluide immobile, le système ayant un axe de symétrie et son vecteur vitesse étant porté par l'axe » du chap.$6$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » pour une 1ère introduction.

### Cas où le système fermé (indéformable) de points matériels possède un axe de symétrie et est en translation dans l'air globalement immobile de vecteur vitesse porté par cet axe

Dans le cas d'un système fermé $\;{\big$indéformable${\big )}\;$ de points matériels $\;({\mathcal {S}})\;$ possédant un axe de symétrie et en mouvement de translation dans l'air globalement immobile relativement à un référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terre}}\;$ avec, à l'instant $\;t$, un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}\;$ porté par cet axe,
    « la résistance de l'air $\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}\;$ s'exerçant sur $\;({\mathcal {S}})\;$ est aussi portée par cet axe, de sens opposé au vecteur vitesse »,
    ce qui implique « l'identification de la résistance de l'air avec la traînée, ainsi que la nullité de la portance » ;
    on peut écrire, à l'instant $\;t$, la résistance de l'air sous la forme «$\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}=-{\mathcal {R}}_{\text{air}}\!\!\left[V_{({\mathcal {S}})}\right]\;{\vec {\tau }}\;$» avec «$\;{\vec {\tau }}\;$ le vecteur unitaire dans la direction et le sens du mouvement de translation », «$\;V_{({\mathcal {S}})}=\Vert {\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}\Vert \;$ la norme du vecteur vitesse de translation du système à l'instant $\;t\;$» et «$\;{\mathcal {R}}_{\text{air}}\!\!\left[V_{({\mathcal {S}})}\right]=\Vert {\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}\Vert \;$ la norme de la résistance de l'air à l'instant $\;t\;$» laquelle est fonction de la norme du vecteur vitesse du système au même instant.

### Variation de la norme de la résistance de l'air avec la vitesse de translation du système fermé (indéformable) de points matériels

La façon dont la norme de la résistance de l'air $\;{\mathcal {R}}_{\text{air}}\!\!\left[V_{({\mathcal {S}})}\right]\;$ varie avec la vitesse de translation $\;V_{({\mathcal {S}})}\;$ du système fermé $\;{\big$indéformable${\big )}\;$ de points matériels $\;({\mathcal {S}})\;$ dépend de la valeur de cette dernière selon
* les « faibles vitesses » où « la résistance de l'air est linéaire » $\;{\big$revoir le paragraphe « forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses » du chap.$6$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »${\big ]}\;$ à savoir «$\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}_{({\mathcal {S}})}(t)=-h\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}(t)\;$» où «$\;h\;$ est une constante positive $\;{\big$exprimée en $\;kg\cdot s^{-1}{\big )}\;$ caractéristique de la viscosité dynamique$^,$ et de la densité de l'air » ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels » en particulier, « pour $\;({\mathcal {S}})\;$ de forme sphérique de rayon $\;R\;$», «$\;h\;$ est donné par la formule de Stokes » «$\;h_{\text{Stokes}}=6\,\pi \,\eta _{\text{air}}\,R\;$» où «$\;\eta _{\text{air}}\;$ est la viscosité dynamique de l'air » ;
* les « vitesses moyennes » où « la résistance de l'air est quadratique » $\;{\big$revoir le paragraphe « forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des vitesses moyennes » du chap.$6$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »${\big ]}\;$ à savoir «$\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}_{({\mathcal {S}})}(t)=-h'\;V_{({\mathcal {S}})}^{2}(t)\;{\vec {\tau }}_{({\mathcal {S}})}(t)\;$» où «$\;{\vec {\tau }}_{({\mathcal {S}})}(t)\;$ est un vecteur unitaire colinéaire et de même sens que $\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}(t)\;$» ${\big$avec $\;V_{({\mathcal {S}})}(t)=\Vert {\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}(t)\Vert {\big ]}\;$ et «$\;h'\;$ est une constante positive $\;{\big$exprimée en $\;kg\cdot m^{-1}{\big )}\;$ caractéristique de la viscosité dynamique et de la densité de l'air » ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels » ; la résistance de l'air s'écrit encore «$\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}_{({\mathcal {S}})}(t)=-h'\;V_{({\mathcal {S}})}(t)\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}(t)\;$» avec «$\;V_{({\mathcal {S}})}(t)=\Vert {\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}(t)\Vert \;$».
* les « vitesses élevées »$^,$ où « la résistance de l'air varie plus rapidement que quadratiquement » $\;{\big$revoir le paragraphe « forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des vitesses élevées » du chap.$6$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »${\big ]}\;$ à savoir «$\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}_{({\mathcal {S}})}(t)=-{\mathcal {R}}_{{\text{air}}_{({\mathcal {S}})}}\!\!\left[V_{({\mathcal {S}})}\right](t)\;{\vec {\tau }}_{({\mathcal {S}})}(t)\;$» où «$\;{\vec {\tau }}_{({\mathcal {S}})}(t)\;$ est un vecteur unitaire colinéaire et de même sens que $\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}(t)\;$» ${\big$avec $\;V_{({\mathcal {S}})}(t)=\Vert {\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}(t)\Vert {\big ]}\;$ et «$\;{\mathcal {R}}_{{\text{air}}_{({\mathcal {S}})}}\!\!\left[V_{({\mathcal {S}})}\right]\;$ est une fonction positive de $\;V_{({\mathcal {S}})}\;$ croissant plus rapidement que $\;V_{({\mathcal {S}})}^{2}\;$» « dépendant de la viscosité dynamique et de la densité de l'air » ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels ».

### En complément, condition de vitesses faibles, moyennes ou élevées évaluée relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable en translation dans l'air immobile

Voir le paragraphe « en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable en translation dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide » du chap.$6$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » pour une introduction étendue à tout fluide.
Pour choisir entre une forme linéaire ou quadratique voire une forme à variation encore plus rapide de frottement fluide dans l'air on évalue l'ordre de grandeur d'un « nombre sans dimension $\;{\mathfrak {R}}e\;$» appelé « nombre de Reynolds » et défini selon
$\;{\mathfrak {R}}e={\dfrac {V_{({\mathcal {S}})}\;L_{({\mathcal {S}})}}{\nu _{\text{flu}}}}\;$
$\;V_{({\mathcal {S}})}\;$
$\;L_{({\mathcal {S}})}\;$
$\;\nu _{\text{air}}\;$
$\;{\mathfrak {R}}e={\dfrac {\rho _{\text{flu}}\;V_{({\mathcal {S}})}\;L_{({\mathcal {S}})}}{\eta _{\text{air}}}}\;$
$\;\rho _{\text{air}}\;$
$\;\eta _{\text{air}}\;$
Suivant la valeur du nombre de Reynolds il est licite de considérer la forme de la résistance de l'air s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable comme
* « linéaire si $\;{\mathfrak {R}}e\lesssim 1\;$», l'écoulement de l'air autour de $\;({\mathcal {S}})\;$ étant laminaire ou
* « quadratique si $\;10^{3}\lesssim {\mathfrak {R}}e\lesssim 2\,10^{5}\;$», l'écoulement de l'air autour de $\;({\mathcal {S}})\;$ étant alors turbulent.
Remarques : « Que choisir si $\;1\lesssim {\mathfrak {R}}e\lesssim 10^{3}\;$» ? En fait on pourrait considérer $\;{\mathcal {R}}_{{\text{flu}}_{({\mathcal {S}})}}\;$ variant comme $\;V_{({\mathcal {S}})}^{n}\;$ avec $\;n\in \mathbb {Q} \;$ compris entre $\;1\;$ et $\;2$, d'autant plus proche de $\;2\;$ que le nombre de Reynolds est grand mais $\;\ldots \;$ pour éviter une trop grande complication on choisira «$\;n=1\;$ pour $\;{\mathfrak {R}}e\lesssim 30\;$» et «$\;n=2\;$ pour le restant de l'intervalle » en étant conscient de commettre une erreur.
Remarques : « Que choisir si $\;{\mathfrak {R}}e\gtrsim 2\,10^{5}\;$» ? On pourrait considérer $\;{\mathcal {R}}_{{\text{flu}}_{({\mathcal {S}})}}\;$ variant comme $\;V_{({\mathcal {S}})}^{n}\;$ avec $\;n\in \mathbb {Q} \;$ supérieur à $\;2\;$ et ceci d'autant plus que le nombre de Reynolds est grand mais $\;\ldots \;$ pour éviter une trop grande complication on choisira «$\;n=2\;$ pour $\;{\dfrac {{\mathfrak {R}}e}{2\,10^{5}}}\;$ restant de l'ordre de quelques unités » en étant conscient de commettre une erreur et si la comparaison au résultat expérimental n'était pas satisfaisante ou pourrait essayer $\;n=3\;\ldots$
Application sur l'exemple d'une boule : Nous envisageons le mouvement de translation d'une boule $\;({\mathcal {B}})\;$ de rayon $\;R\;$ en translation rectiligne uniforme de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{({\mathcal {B}})}\;$ dans l'air globalement immobile au niveau du sol dans les conditions de température $\;20\,{\text{°}}C\;$ et de pression $\;1\,bar=10^{5}\,Pa\;$ dans lesquelles « la masse volumique de l'air vaut $\;\rho _{\text{air}}\simeq 1,20\,kg\cdot m^{-3}\;$» ;
Application sur l'exemple d'une boule : nous nous proposons de chercher le domaine de valeurs de $\;R\;$ dans les conditions précédentes de température et de pression pour que la forme de la résistance de l'air soit linéaire ou quadratique $\;{\big$voire à variation plus rapide${\big )}\;$ connaissant la valeur de « la viscosité dynamique de l'air $\;\eta _{\text{air}}\simeq 1,8\,10^{-5}\;kg\cdot m^{-1}\!\cdot s^{-1}=18\;\mu Pl\;$» ou celle de «sa viscosité cinématique $\;\nu _{\text{air}}={\dfrac {\eta _{\text{air}}}{\rho _{\text{air}}}}\simeq {\dfrac {1,8\,10^{-5}}{1,20}}\simeq 1,5\,10^{-5}\,m^{2}\!\cdot s^{-1}=$ $15\;cSt\;$», « la longueur transversale caractéristique d'une boule étant son diamètre $\;2\,R\;$» ;
Application sur l'exemple d'une boule : nous évaluons alors le nombre de Reynolds de la boule $\;({\mathcal {B}})\;$ de rayon $\;R\;$ en translation rectiligne uniforme de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{({\mathcal {B}})}\;$ dans l'air globalement immobile selon «$\;{\mathfrak {R}}e={\dfrac {V_{({\mathcal {B}})}\;2\,R}{\nu _{\text{air}}}}\simeq {\dfrac {V_{({\mathcal {B}})}\;2\,R}{1,5\,10^{-5}}}\;$» où $\;R\;$ est exprimé en $\;m\;$ et $\;V_{({\mathcal {B}})}\;$ en $\;m\cdot s^{-1}$.

#### Boule de dimension millimétrique

Le nombre de Reynolds d'une boule de «rayon $\;R=0,5\,mm\;$» ${\big$correspondant à la dimension d'un grain de sable${\big )}$, se réécrivant «$\;{\mathfrak {R}}e\simeq {\dfrac {V_{({\mathcal {B}})}\;2\,R}{1,5\,10^{-5}}}=$ ${\dfrac {V_{({\mathcal {B}})}\times 10^{-3}}{1,5\,10^{-5}}}\simeq {\dfrac {V_{({\mathcal {B}})}}{1,5\,10^{-2}}}\;$» où «$\;V_{({\mathcal {B}})}\;$ est exprimée en $\;m\cdot s^{-1}\;$», nous en déduisons la condition de vitesse pour que la résistance de l'air soit linéaire ou quadratique $\;{\big$voire à variation plus rapide${\big )}$ :
* condition des « faibles vitesses » correspondant à une « résistance de l'air linéaire » si $\;{\mathfrak {R}}e\simeq {\dfrac {V_{({\mathcal {B}})}}{1,5\,10^{-2}}}\lesssim 1\;$ soit $\;V_{({\mathcal {B}})}\lesssim 1,5\,10^{-2}\;m\cdot s^{-1}\;$ ou encore «$\;V_{({\mathcal {B}})}\lesssim 1,5\;cm\cdot s^{-1}\;$» ce qui est lent mais réalisable ;
* condition des « vitesses moyennes » correspondant à une « résistance de l'air quadratique » si $\;10^{3}\lesssim {\mathfrak {R}}e\simeq {\dfrac {V_{({\mathcal {B}})}}{1,5\,10^{-2}}}\lesssim 2\,10^{5}\;$ soit $\;V_{({\mathcal {B}})}\;$ telle que $\;15\;m\cdot s^{-1}\lesssim V_{({\mathcal {B}})}\lesssim 3000\;m\cdot s^{-1}\;$ ou encore «$\;V_{({\mathcal {B}})}\;{\underset {\sim }{\in }}\;\left[15\;m\cdot s^{-1}\;;\;3\;km\cdot s^{-1}\right]\;$» ce qui est tout à fait réalisable $\;\ldots$

#### Boule de dimension métrique

Le nombre de Reynolds d'une boule de rayon «$\;R=0,5\,m\;$» ${\big$correspondant à la dimension d'un homme replié sur lui-même${\big )}$, se réécrivant «$\;{\mathfrak {R}}e\simeq$ ${\dfrac {V_{({\mathcal {B}})}\;2\,R}{1,5\,10^{-5}}}={\dfrac {V_{({\mathcal {B}})}\times 1}{1,5\,10^{-5}}}\simeq {\dfrac {V_{({\mathcal {B}})}}{1,5\,10^{-5}}}\;$» où «$\;V_{({\mathcal {B}})}\;$ est exprimée en $\;m\cdot s^{-1}\;$», nous en déduisons la condition de vitesse pour que la résistance de l'air soit linéaire ou quadratique $\;{\big$voire à variation plus rapide${\big )}$ :
* condition des « faibles vitesses » correspondant à une « résistance de l'air linéaire » si $\;{\mathfrak {R}}e\simeq {\dfrac {V_{({\mathcal {B}})}}{1,5\,10^{-5}}}\lesssim 1\;$ soit $\;V_{({\mathcal {B}})}\lesssim 1,5\,10^{-5}\;m\cdot s^{-1}\;$ ou encore «$\;V_{({\mathcal {B}})}\lesssim 15\;\mu m\cdot s^{-1}\;$» ce qui est beaucoup trop lent pour être réalisable ;
* condition des « vitesses moyennes » correspondant à une « résistance de l'air quadratique » si $\;10^{3}\lesssim {\mathfrak {R}}e\simeq {\dfrac {V_{({\mathcal {B}})}}{1,5\,10^{-5}}}\lesssim 2\,10^{5}\;$ soit $\;V_{({\mathcal {B}})}\;$ telle que $\;1,5\;10^{-2}\;m\cdot s^{-1}\lesssim V_{({\mathcal {B}})}\lesssim 3\;m\cdot s^{-1}\;$ ou encore «$\;V_{({\mathcal {B}})}\;{\underset {\sim }{\in }}\;\left[1,5\;cm\cdot s^{-1}\;;\;3\;m\cdot s^{-1}\right]\;$» ce qui est réalisable $\;\ldots$

#### Conclusion

En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à $\;1\;m\;$ en translation rectiligne uniforme dans l'air, la forme de la résistance de l'air choisie ne peut pas être linéaire, elle doit être au mieux quadratique,
En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à $\;1\;mm\;$ en translation rectiligne uniforme dans l'air, la forme de la résistance de l'air choisie peut être linéaire si l'objet est très lent, sinon elle doit raisonnablement être quadratique $\;\ldots$

### Cas de la résistance de l'air de forme quadratique

Définition du maître-couple d'un objet en translation relative dans l'air : Le maître-couple d'un système fermé indéformable de points matériels $\;({\mathcal {S}})\;$ en translation dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ avec un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}\;$ dans l'air globalement immobile est le « projeté orthogonal du solide sur un plan transverse $\;{\big$c.-à-d. un plan $\;\perp \;$ à $\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}{\big ]}\;$» ;
Définition du maître-couple d'un objet en translation relative dans l'air : sur l'exemple ci-contre représentant un cylindre de révolution de rayon $\;R\;$ et de hauteur $\;H\;$ se déplaçant perpendiculairement à son axe avec un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}$, le maître-couple est un rectangle de hauteur $\;H\;$ et de largeur $\;2\;R$ ;
Définition du maître-couple d'un objet en translation relative dans l'air : notant $\;S\;$ l'aire du maître-couple, on obtient, dans l'exemple ci-contre, $\;S=$ $2\;R\;H$.
Résistance de l'air de forme quadratique détaillée : La forme quadratique de la résistance de l'air agissant sur un système fermé indéformable de points matériels $\;({\mathcal {S}})\;$ en translation dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ avec un « vecteur vitesse à l'instant $\;t\;$ dans l'air globalement immobile $\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}(t)\;$» s'écrivant, à l'aide de «$\;{\vec {\tau }}_{({\mathcal {S}})}(t)\;$ un vecteur unitaire colinéaire et de même sens que $\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}(t)\;$» et «$\;V_{({\mathcal {S}})}(t)=\Vert {\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}(t)\Vert \;$», selon «$\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}_{({\mathcal {S}})}(t)=$ $-h'\;V_{({\mathcal {S}})}^{2}(t)\;{\vec {\tau }}_{({\mathcal {S}})}(t)\;$»,
Résistance de l'air de forme quadratique détaillée : avec «$\;h'\;$ une constante positive $\;{\big$exprimée en $\;kg\cdot m^{-1}{\big )}\;$ caractéristique de la viscosité dynamique et de la densité de l'air » ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », dont l'expression est explicitée ci-dessous :
Résistance de l'air de forme quadratique détaillée : pour préciser la dépendance de $\;h'\;$ avec les quantités énoncées ci-dessus on pose
$\;h'={\dfrac {1}{2}}\;C_{x}\;S\;\rho _{\text{air}}\;$
$\;\rho _{\text{air}}\;$
$\;S\;$
$\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}(t)\;$
$\;C_{x}\;$
$\;{\big$
${\big ]}$
Quelques valeurs de cœfficient de traînée suivant la forme de l'objet $\;{\big$les commentaires entre parenthèses correspondant à un système de points matériels fermé immobile, le fluide se déplaçant en direction du système${\big )}$ :
* «$\;C_{x,\,{\text{corps profilé}}}\simeq 0,05\;$» $\;{\big$l'un des plus faibles cœfficient de traînée caractéristique d'un bon aérodynamisme${\big )}$,
* «$\;C_{x,\,{\text{boule}}}=C_{x,\,{\text{sphère}}}=C_{x,\,{\text{hémisphère avec front convexe}}}\simeq 0,5\;$»,
* «$\;C_{x,\,{\text{cylindre en translation }}\perp \;{\text{à l'axe}}}$$=C_{x,\,{\text{hémicylindre avec surface cylindrique de front}}}$$=C_{x,\,{\text{demi tuyau cylindrique avec surface cylindrique de front}}}\simeq$$1,0\;$»,
* «$\;C_{x,\,{\text{cylindre avec base de front}}}=C_{x,\,{\text{demi-boule avec plan de coupe de front}}}\simeq 1,2\;$»,
* «$\;C_{x,\,{\text{hémisphère avec front concave}}}\simeq 1,4\;$»,
* «$\;C_{x,\,{\text{hémicylindre avec plan de coupe de front}}}\simeq 2,0\;$»,
* «$\;C_{x,\,{\text{demi tuyau cylindrique avec intérieur de la surface cylindrique de front}}}\simeq 2,3\;$» et
* «$\;C_{x,\,{\text{parachute}}}\in \left[1,4\,;\,2,3\right]\;$» $\;{\big$mauvais aérodynamisme mais c'est le but recherché, la surface de front est alors concave d'où une difficulté de l'air de pouvoir « couler » à l'intérieur du parachute pour se retrouver à l'extérieur${\big )}$.

## Problème du parachutiste : observation d'une vitesse limite de chute, établissement, par approche numérique, de la nécessité de prendre en compte une forme quadratique de résistance de l'air
### Problème du parachutiste

Le parachutiste est assimilé à un système fermé $\;{\big$indéformable${\big )}\;$ de points matériels de C.D.I. $\;G\;$ de masse $\;m_{\text{para}}\;$ en « translation dans l'air globalement immobile » ;
il est largué « sans vitesse initiale » relativement au référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ supposé galiléen d'un « point $\;G_{0}\;$ situé à l'altitude $\;h\;$» ;
lors de sa chute, il est soumis à deux forces :
* « son poids $\;m_{\text{para}}\;{\vec {g}}\;$» où $\;{\vec {g}}\;$ est le champ de pesanteur terrestre supposé uniforme et
* « la résistance de l'air $\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}\;$».

### Observation d'une vitesse limite de chute

Le parachutiste tombe initialement sans résistance de l'air $\;{\big$la vitesse initiale étant nulle${\big )}\;$ avec, d'après l'application du théorème du mouvement du C.D.I., une accélération initiale égale à l'accélération de la pesanteur, dont découle une vitesse $\;\nearrow \;$ à partir de la valeur nulle et par suite une résistance de l'air $\;\nearrow \;$ également ;
une 1ère conséquence est une $\;\searrow \;$ de l'accélération par nouvelle application du théorème du mouvement du C.D.I., mais tant que celle-ci reste dirigée vers le bas, la vitesse continue de $\;\nearrow \;$ ainsi que la résistance de l'air et l'accélération de $\;\searrow \;$ $\ldots$
pratiquement on constate assez rapidement que « l'accélération atteint la valeur nulle quand la résistance de l'air compense le poids du parachutiste », la chute continuant alors de se faire à vitesse constante, appelée « vitesse limite de chute du parachutiste ».

### Approche numérique et nécessité de prendre en compte la résistance de l'air sous forme quadratique

La vitesse limite de chute d'un parachutiste « à parachute ouvert » est de $\;5\;$ à $\;8\;m\cdot s^{-1}\;$ ;
la vitesse limite de chute « libre » d'un parachutiste est de $\;50\;$ à $\;60\;m\cdot s^{-1}\;$.
En utilisant l'ordre de grandeur des valeurs de vitesses possibles pour une « forme linéaire ou quadratique de la résistance de l'air agissant sur une boule de dimension métrique » établies plus haut dans ce chapitre, à savoir :
* « si $\;V_{({\mathcal {B}})}\lesssim 15\;\mu m\cdot s^{-1}\;$» la forme de la résistance de l'air est « linéaire »,
* « si $\;V_{({\mathcal {B}})}\;{\underset {\sim }{\in }}\;\left[1,5\;cm\cdot s^{-1}\;;\;3\;m\cdot s^{-1}\right]\;$» la forme de la résistance de l'air est « quadratique » et
* sinon c.-à-d. pratiquement « si $\;V_{({\mathcal {B}})}\gtrsim 30\;m\cdot s^{-1}\;$», la forme de la résistance de l'air est telle qu'elle « varie plus rapidement que quadratiquement »,
Il semble que la vitesse de chute d'un parachutiste « à parachute ouvert » autorise une « résistance de l'air de forme quadratique » et que
Il semble que la vitesse de celle d'un parachutiste en chute « libre » autorise aussi une « résistance de l'air de forme quadratique ».

## Problème du parachutiste : détermination, par récurrence, de la nature verticale du mouvement de chute
### Préliminaire

Nous ne pouvons démontrer simplement la nature verticale du mouvement de chute en raisonnant sur la direction des forces car
seule l'une des deux forces extérieures appliquées « le poids du parachutiste » est verticale quel que soit le mouvement de chute,
seule l'autre « la résistance de l'air » étant colinéaire et de sens contraire au vecteur vitesse du parachutiste $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ n'est verticale que dans la mesure où la vitesse du parachutiste l'est et chercher à établir la verticalité du mouvement c'est ne pas être autorisé à utiliser que $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ serait vertical puisque c'est ce que nous cherchons à démontrer $\;\ldots \;$ par conséquent nous ne connaissons pas, a priori, la verticalité de « la résistance de l'air » à tout instant $\;\ldots$

### Établissement de la nature verticale du mouvement de chute

Appliquant le théorème du mouvement du C.D.I. au parachutiste on trouve, après division de part et d'autre par la masse $\;{\big$inerte ou grave${\big )}\;$ de ce dernier :
$\;{\vec {a}}_{G_{\text{para}}}(t)={\vec {g}}+{\dfrac {{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}(t)}{m_{\text{para}}}}\;$
$\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}(t)={\mathcal {R}}_{\text{air}}\!\!\left[V_{G_{\text{para}}}(t)\right]\;{\vec {\tau }}_{G_{\text{para}}}(t)\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{air}}\!\!\left[V_{G_{\text{para}}}\right]\;$
$\;\nearrow \;$
$\;V_{G_{\text{para}}}\;$

#### Initiation de la récurrence sur un 1er intervalle de temps

« Au départ de la chute, c.-à-d. à $\;t_{0}=0\;$», la vitesse initiale du parachutiste étant nulle soit $\;V_{G_{\text{para}}}(t_{0})=0$, nous en déduisons la nullité de la résistance de l'air initiale c.-à-d. «$\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}(t_{0})={\vec {0}}\;$» d'où le vecteur accélération initiale du parachutiste «$\;{\vec {a}}_{G_{\text{para}}}(t_{0})={\vec {g}}\;{\cancel {+\;{\dfrac {{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}(t_{0})}{m_{\text{para}}}}}}\;$» ou, « en choisissant pour vecteur de base cartésienne $\;{\vec {u}}_{z}\;$ le vecteur unitaire vertical descendant » $\;{\big$et, pour les deux autres vecteurs de base cartésienne, des vecteurs unitaires horizontaux orthogonaux $\;{\vec {u}}_{x}\;$ et $\;{\vec {u}}_{y}\;$ tel que la base $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ de l'espace physique orienté à droite soit directe${\big ]}$, « Au départ de la chute, c.-à-d. à $\;\color {transparent}{t_{0}=0}\;$», la vitesse initiale du parachutiste étant nulle soit $\;\color {Transparent}{V_{G_{\text{para}}}(t_{0})=0}$, nous en déduisons les relations à l'instant initial suivantes :
$\;{\vec {a}}_{G_{\text{para}}}(t_{0})={\vec {g}}\left\lbrace {\begin{array}{l}a_{x,\,G_{\text{para}}}(t_{0})=0\\a_{y,\,G_{\text{para}}}(t_{0})=0\\a_{z,\,G_{\text{para}}}(t_{0})=g\end{array}}\right\rbrace \;$
$\Leftrightarrow$
$\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{G_{\text{para}}}}{dt}}(t_{0})={\vec {g}}\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {dV_{x,\,G_{\text{para}}}}{dt}}(t_{0})=0\\{\dfrac {dV_{y,\,G_{\text{para}}}}{dt}}(t_{0})=0\\{\dfrac {dV_{z,\,G_{\text{para}}}}{dt}}(t_{0})=g\end{array}}\right\rbrace \;$
Approximation permettant de déterminer la vitesse du parachutiste à un instant légèrement postérieur à un instant où sa vitesse est connue $\;({\mathfrak {a}})$ : l'hypothèse qui permettra d'évaluer le vecteur vitesse du parachutiste à l'instant $\;t+\delta t\;$ connaissant celle à l'instant $\;t\;$ consiste à supposer que « son accélération moyenne sur l’intervalle «$\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]\;$» est son accélération à l'instant $\;t\;$» ${\big$accélération connue dans la mesure où la vitesse à cet instant l'est${\big ]}$ et à intégrer une fois par rapport au temps sur l’intervalle «$\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]\;$» pour en déduire la vitesse à l'instant $\;t+\delta t\;$ connaissant celle à l'instant $\;t$.
Application de l'approximation $\;({\mathfrak {a}})\;$ sur l'intervalle $\;\left[t_{0}=0\,,\,t_{1}=\delta t\right]$ : l'approximation $\;({\mathfrak {a}})\;$ à savoir «$\;{\vec {a}}_{G_{\text{para}},\,{\text{moy sur }}\left[0\,,\,\delta t\right]}\simeq {\vec {a}}_{G_{\text{para}}}(0)={\vec {g}}\;$» se réécrivant «$\;{\dfrac {{\vec {V}}_{G_{\text{para}}}(\delta t)\;{\cancel {-{\vec {V}}_{G_{\text{para}}}(0)}}}{\delta t}}\simeq {\vec {g}}\;$» nous en déduisons
$\;{\vec {V}}_{G_{\text{para}}}(\delta t)\simeq {\vec {g}}\;\delta t\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{x,\,G_{\text{para}}}(\delta t)=0\\V_{y,\,G_{\text{para}}}(\delta t)=0\\V_{z,\,G_{\text{para}}}(\delta t)\simeq g\;\delta t\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;t_{1}=\delta t\;$

#### Raisonnement sur l'intervalle de temps suivant

De la verticalité du vecteur vitesse du parachutiste à l'instant $\;t_{1}=\delta t\;$ on en déduit celle de la résistance de l'air au même instant soit «$\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}(t_{1}=\delta t)\;$ vertical » ou encore «$\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}(t_{1}=\delta t)=$ $-{\mathcal {R}}_{\text{air}}(t_{1}=\delta t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» ;
appliquant le théorème du mouvement du C.D.I. au parachutiste à l'instant $\;t_{1}=\delta t\;$ on trouve, après division de part et d'autre par la masse $\;{\big$inerte ou grave${\big )}\;$ de ce dernier, «$\;{\vec {a}}_{G_{\text{para}}}(t_{1})=$ ${\vec {g}}+{\dfrac {{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}(t_{1})}{m_{\text{para}}}}\;$ vertical comme somme de deux composantes verticales » c.-à-d. «$\;{\vec {a}}_{G_{\text{para}}}(t_{1})=\left[g-{\dfrac {{\mathcal {R}}_{\text{air}}(t_{1})}{m_{\text{para}}}}\right]{\vec {u}}_{z}\;$».
Application de l'approximation $\;({\mathfrak {a}})\;$ sur l'intervalle $\;\left[t_{1}=\delta t\,,\,t_{2}=2\,\delta t\right]$ : l'approximation $\;({\mathfrak {a}})\;$ à savoir «$\;{\vec {a}}_{G_{\text{para}},\,{\text{moy sur }}\left[\delta t\,,\,2\,\delta t\right]}\simeq {\vec {a}}_{G_{\text{para}}}(t_{1})\;$ vertical » se réécrivant «$\;{\dfrac {{\vec {V}}_{G_{\text{para}}}(2\,\delta t)-{\vec {V}}_{G_{\text{para}}}(\delta t)}{\delta t}}\simeq$ ${\vec {a}}_{G_{\text{para}}}(t_{1})\;$» nous en déduisons
$\;{\vec {V}}_{G_{\text{para}}}(2\,\delta t)\simeq {\vec {a}}_{G_{\text{para}}}(t_{1})\;\delta t+{\vec {V}}_{G_{\text{para}}}(\delta t)\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{x,\,G_{\text{para}}}(2\,\delta t)=0\\V_{y,\,G_{\text{para}}}(2\,\delta t)=0\\V_{z,\,G_{\text{para}}}(2\,\delta t)\simeq a_{z,\,G_{\text{para}}}(t_{1})\;\delta t+V_{z,\,G_{\text{para}}}(\delta t)\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;t_{2}=2\,\delta t\;$
$\;{\vec {V}}_{G_{\text{para}}}(t_{2}=2\,\delta t)\simeq \left\lbrace \left[g-{\dfrac {{\mathcal {R}}_{\text{air}}(t_{1})}{m_{\text{para}}}}\right]\delta t+V_{G_{\text{para}}}(t_{1})\right\rbrace {\vec {u}}_{z}\;$

#### Exposé de la récurrence

Ayant vérifié la propriété $\;{\mathcal {P}}\;$ à savoir « vecteur vitesse de chute du parachutiste vertical » pour $\;n=1\;$, nous allons montrer que $\;{\mathcal {P}}(n)\Rightarrow {\mathcal {P}}(n+1)$.
* Hypothèse de récurrence : propriété $\;{\mathcal {P}}(n)$ « le mouvement est vertical à l'instant $\;n\;\delta t$, le vecteur vitesse du parachutiste y étant vertical (descendant) c.-à-d. tel que $\;{\vec {V}}_{G_{\text{para}}}(n\,\delta t)=V_{G_{\text{para}}}(n\,\delta t)\;{\vec {u}}_{z}\;$».
* Corps de la démonstration : de la verticalité du vecteur vitesse du parachutiste à l'instant «$\;t_{n}=n\,\delta t\;$» on en déduit celle de la résistance de l'air au même instant soit «$\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}(t_{n}=n\,\delta t)\;$ vertical » ou encore «${\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}(t_{n}=n\,\delta t)=-{\mathcal {R}}_{\text{air}}(n\,\delta t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» ; Corps de la démonstration : appliquant le théorème du mouvement du C.D.I. au parachutiste à l'instant «$\;t_{n}=n\,\delta t\;$» on trouve, après division de part et d'autre par la masse $\;{\big$inerte ou grave${\big )}\;$ de ce dernier, «$\;{\vec {a}}_{G_{\text{para}}}(t_{n}=n\,\delta t)={\vec {g}}+{\dfrac {{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}(t_{n})}{m_{\text{para}}}}\;$ vertical comme somme de deux composantes verticales » c.-à-d. «$\;{\vec {a}}_{G_{\text{para}}}(t_{n})=\left[g-{\dfrac {{\mathcal {R}}_{\text{air}}(t_{n})}{m_{\text{para}}}}\right]{\vec {u}}_{z}\;$» ; Corps de la démonstration : utilisant l'approximation $\;({\mathfrak {a}})\;$ sur l'intervalle $\;\left[t_{n}=n\,\delta t\,,\,t_{n+1}=(n+1)\,\delta t\right]\;$ à savoir «$\;{\vec {a}}_{G_{\text{para}},\,{\text{moy sur }}\left[n\,\delta t\,,\,(n+1)\,\delta t\right]}\simeq$ ${\vec {a}}_{G_{\text{para}}}(t_{n})$ vertical » qui se réécrit «$\;{\dfrac {{\vec {V}}_{G_{\text{para}}}\!\left[(n+1)\,\delta t\right]-{\vec {V}}_{G_{\text{para}}}\!\left[n\,\delta t\right]}{\delta t}}$ $\simeq {\vec {a}}_{G_{\text{para}}}(t_{n})\;$», nous en déduisons «$\;{\vec {V}}_{G_{\text{para}}}\!\left[(n+1)\,\delta t\right]\simeq {\vec {a}}_{G_{\text{para}}}(t_{n})\;\delta t+{\vec {V}}_{G_{\text{para}}}\!\left[n\,\delta t\right]\;$» ou «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{x,\,G_{\text{para}}}\!\left[(n+1)\,\delta t\right]=0\\V_{y,\,G_{\text{para}}}\!\left[(n+1)\,\delta t\right]=0\\V_{z,\,G_{\text{para}}}\!\left[(n+1)\,\delta t\right]\simeq a_{z,\,G_{\text{para}}}(t_{n})\;\delta t+V_{z,\,G_{\text{para}}}\!\left[n\,\delta t\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» c.-à-d. « la verticalité du vecteur vitesse du parachutiste à l'instant $\;t_{n+1}=(n+1)\,\delta t\;$» $\;{\big$propriété $\;{\mathcal {P}}(n+1){\big ]}$, soit encore «$\;{\vec {V}}_{G_{\text{para}}}\!\left[t_{n+1}=(n+1)\,\delta t\right]\simeq \left\lbrace \left[g-{\dfrac {{\mathcal {R}}_{\text{air}}(t_{n})}{m_{\text{para}}}}\right]\delta t+V_{G_{\text{para}}}(t_{n})\right\rbrace {\vec {u}}_{z}\;$».
* Conclusion : la propriété $\;{\mathcal {P}}\;$ étant vérifiée pour $\;n=0\;$ et telle que «$\;{\mathcal {P}}(n)\Rightarrow {\mathcal {P}}(n+1)\;$ pour $\;n\;$ quelconque », est démontrée par récurrence.

#### Commentaire

La méthode exposée ci-dessus $\;{\big$pour déterminer le vecteur vitesse à l'instant $\;(n+1)\,\delta t\;$ connaissant le vecteur vitesse à l'instant $\;n\,\delta t{\big ]}\;$ est celle utilisée lors de la « résolution numérique d'une équation différentielle » ;
« on fixe un pas d'incrémentation $\;\delta t\;$» puis
« on intègre » successivement sur $\;\left[0\,,\,\delta t\right]$, $\;\left[\delta t\,,\,2\,\delta t\right]\;$ $\ldots$ $\;\left[n\,\delta t\,,\,(n+1)\,\delta t\right]\;$ « en considérant sur chaque intervalle que le vecteur accélération est constant égal à celui du début de l'intervalle » $\;{\big$et comme le vecteur accélération est supposé constant sur chaque intervalle il peut aussi être assimilé au vecteur accélération moyen sur l'intervalle considéré${\big ]}\;$
soit « pour $\;t\in \left[n\,\delta t\,,\,(n+1)\,\delta t\right]$, le vecteur accélération $\;{\vec {a}}(t)\simeq {\vec {a}}(n\,\delta t)\;$» d'une part et «$\;{\vec {a}}(t)\simeq {\dfrac {{\vec {V}}(t)-{\vec {V}}(n\,\delta t)}{t-n\,\delta t}}\;$» d'autre part permettant de déduire
$\;{\vec {V}}(t)\simeq {\vec {a}}(n\,\delta t)\,\left(t-n\,\delta t\right)+{\vec {V}}(n\,\delta t)\;$

## Problème du parachutiste : établissement d'une vitesse limite de chute
### Équation différentielle du mouvement vertical du parachutiste

« Le mouvement de chute du parachutiste étant, après démonstration du paragraphe précédent, vertical selon $\;{\vec {u}}_{z}\;$ descendant », on projette le théorème du mouvement du C.D.I. du parachutiste sur $\;{\vec {u}}_{z}\;$ et on obtient, après division de chaque membre par la masse $\;{\big$inerte ou grave${\big )}\;$ du parachutiste $\;m_{\text{par}}$,
$\;a_{z,\,G_{\text{para}}}(t)=g-{\dfrac {{\mathcal {R}}_{\text{air}}\!\left[V_{G_{\text{para}}}(t)\right]}{m_{\text{para}}}}\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{air}}\!\left[V_{G_{\text{para}}}\right]\;$
$\;\nearrow \;$
$\;V_{G_{\text{para}}}\;$
$\;V_{G_{\text{para}}}(t)=\Vert {\vec {V}}_{G_{\text{para}}}(t)\Vert =V_{z,\,G_{\text{para}}}(t)\;$
$\;{\dfrac {dV_{z,\,G_{\text{para}}}}{dt}}(t)=g-{\dfrac {{\mathcal {R}}_{\text{air}}\!\left[V_{z,\,G_{\text{para}}}(t)\right]}{m_{\text{para}}}}\;$

### Établissement de la croissance « continue » de la vitesse du parachutiste et de la décroissance « continue » de la résistance de l'air

$\;\nearrow \;$
$\;\searrow \;$
Initialement «$\;a_{z,\,G_{\text{para}}}(0)={\dfrac {dV_{z,\,G_{\text{para}}}}{dt}}(0)=g\;{\cancel {-{\dfrac {{\mathcal {R}}_{\text{air}}\!\left[V_{z,\,G_{\text{para}}}(0)\right]}{m_{\text{para}}}}}}=g>0\;$» $\Rightarrow$ «$\;V_{z,\,G_{\text{para}}}(t)\nearrow \;$ à partir de $\;0\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {R}}_{\text{air}}\!\left[V_{G_{\text{para}}}\right](t)\nearrow \;$ aussi à partir de $\;0\;$» et par suite Initialement «$\;a_{z,\,G_{\text{para}}}(t)={\dfrac {dV_{z,\,G_{\text{para}}}}{dt}}(t)=g-{\dfrac {{\mathcal {R}}_{\text{air}}\!\left[V_{z,\,G_{\text{para}}}(t)\right]}{m_{\text{para}}}}\searrow \;$ à partir de $\;g\;$ mais en restant $\;\geqslant 0\;$» ce qui assure, Initialement « pour $\;a_{z,\,G_{\text{para}}}(t)>0\;$», la poursuite de la «$\;\nearrow \;$ de la vitesse et de la résistance de l'air » suivie de celle de la «$\;\searrow \;$ de l'accélération en restant $\;\geqslant 0\;$» et $\;\ldots$

### Existence d'une vitesse limite de chute du parachutiste pratiquement accessible

Admettant qu'« il existe un instant $\;t_{1}\;$ tel que $\;a_{z,\,G_{\text{para}}}(t_{1})=0\;$» $\Rightarrow$ « la vitesse y devient stationnaire » ce qui entraîne la « stationnarité de la résistance de l'air à ce même instant » d'où « l'accélération garde alors la valeur nulle pour tout instant postérieur à $\;t_{1}\;$», ceci ayant pour conséquence que « la vitesse garde la valeur $\;V_{z,\,G_{\text{para}}}(t_{1})\;$ pour tout instant postérieur à $\;t_{1}\;$», cette valeur définissant la « vitesse limite de chute » du parachutiste notée $\;V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}$.
En fait le mouvement décrit ci-dessus est un mouvement « asymptotique » dans la mesure où on démontrera que la valeur nulle de l'accélération du parachutiste ne peut être rigoureusement atteinte qu'au bout d'une « durée infinie » mais $\;\ldots$ En fait pratiquement, le parachutiste atteignant sa vitesse limite à $\;1\,\%\;$ près à un instant $\;t_{1,\,{\text{prat}}}\;$ fini, on peut estimer qu'à partir de cet instant $\;t_{1,\,{\text{prat}}}\;$ la vitesse du parachutiste restant quasiment constante et par conséquent son accélération restant pratiquement nulle, le mouvement « asymptotique » du parachutiste est pratiquement réalisé $\;\ldots \;$ si $\;t_{1,\,{\text{prat}}}\;$ est supérieur à la durée nécessaire de chute jusqu'au sol.

### Expression de la vitesse limite de chute d'un parachutiste soumis à la résistance de l'air de forme quadratique

La vitesse limite de chute du parachutiste $\;V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}\;$ est donc définie par «$\;a_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}=g-{\dfrac {{\mathcal {R}}_{\text{air}}\!\left[V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}\right]}{m_{\text{para}}}}=0\;$» ou
$\;{\mathcal {R}}_{\text{air}}\!\left[V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}\right]=m_{\text{para}}\;g\;$
avec, comme nous l'avons suggéré précédemment, une forme quadratique de résistance de l'air
$\;{\mathcal {R}}_{\text{air}}\!\left[V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}\right]=h'\;V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}^{\;2}\;$
$\;h'={\dfrac {1}{2}}\;C_{x}\;\mu _{\text{air}}\;S\;$
où «$\;C_{x}\;$ est le cœfficient de traînée du parachutiste », «$\;\mu _{\text{air}}\;$ la masse volumique de l'air dans les conditions de température et de pression locales de la chute » et «$\;S\;$ l'aire du maître-couple » ;
 finalement « la vitesse limite $\;V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}\;$ de chute du parachutiste à résistance de l'air quadratique » se calcule par
$\;V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}={\sqrt {\dfrac {2\;m_{\text{para}}\;g}{C_{x}\;\mu _{\text{air}}\;S}}}\;$

### Vérification numérique

Parachutiste à parachute ouvert : Considérons un parachutiste de « masse $\;m_{\text{para}}=100\;kg\;$ équipements compris », dont « l'aire du maître-couple du parachute ouvert est $\;S\simeq 74\;m^{2}\;$», de « cœfficient de traînée $\;C_{x}\simeq 1,4\;$ en chute freinée » par l'atmosphère composée d'« air de masse volumique $\;\mu _{\text{air}}\simeq$ $1,2\;kg\cdot m^{-3}\;$» dans le « champ de pesanteur terrestre d’intensité $\;g\simeq$ $9,8\;m\cdot s^{-2}\;$», l'application numérique de la formule de la vitesse limite de chute du parachutiste précédemment établie nous donne
$\;V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}={\sqrt {\dfrac {2\;m_{\text{para}}\;g}{C_{x}\;\mu _{\text{air}}\;S}}}\simeq {\sqrt {\dfrac {2\times 100\times 9,8}{1,4\times 1,2\times 74}}}\simeq 4,0\;m\cdot s^{-1}\;$
$\;5\;$
$\;8\;m\cdot s^{-1}\;$
Parachutiste en chute libre : Considérons le même parachutiste de « masse $\;m_{\text{para}}=100\;kg\;$ équipements compris », dont « l'aire du maître-couple du parachutiste à parachute replié est $\;S\simeq 1\;m^{2}\;$», de « cœfficient de traînée $\;C_{x}\simeq 0,4\;$ en chute freinée » par l'atmosphère composée d'« air de masse volumique $\;\mu _{\text{air}}\simeq$ $1,2\;kg\cdot m^{-3}\;$» dans le « champ de pesanteur terrestre d'intensité $\;g\simeq 9,8\;m\cdot s^{-2}\;$», l'application numérique de la formule de la vitesse limite de chute libre du parachutiste précédemment établie nous donne
$\;V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}={\sqrt {\dfrac {2\;m_{\text{para}}\;g}{C_{x}\;\mu _{\text{air}}\;S}}}\simeq {\sqrt {\dfrac {2\times 100\times 9,8}{0,4\times 1,2\times 1}}}\simeq 64\;m\cdot s^{-1}\;$
$\;50\;$
$\;60\;m\cdot s^{-1}$

## Problème du parachutiste : mise en équation de sa chute verticale freinée par résistance de l'air quadratique : lois horaires de vitesse et de position
### Équation différentielle du mouvement vertical du parachutiste avec résistance de l'air quadratique

Ayant établi précédemment, pour un parachutiste tombant sans vitesse initiale dans l'air globalement immobile,
* la « nature rectiligne verticale de son mouvement de chute suivant $\;Oz\;$ descendant », ainsi que
* son « accélération suivant $\;Oz\;$ descendant $\;a_{z,\,G_{\text{para}}}(t)=g-{\dfrac {{\mathcal {R}}_{\text{air}}\!\left[V_{G_{\text{para}}}(t)\right]}{m_{\text{para}}}}\;$ » ou «$\;{\dfrac {dV_{z,\,G_{\text{para}}}}{dt}}(t)=g-{\dfrac {{\mathcal {R}}_{\text{air}}\!\left[V_{z,\,G_{\text{para}}}(t)\right]}{m_{\text{para}}}}\;$» dans laquelle $\;g\;$ est l'intensité du champ de pesanteur terrestre et «$\;{\mathcal {R}}_{\text{air}}\!\left[V_{z,\,G_{\text{para}}}(t)\right]\;$ la norme de la résistance de l'air s'exerçant sur le parachutiste »,
on en déduit l'équation différentielle du mouvement de chute du parachutiste en remplaçant, dans l'expression de $\;{\dfrac {dV_{z,\,G_{\text{para}}}}{dt}}(t)$, la résistance de l'air par sa forme quadratique «$\;{\mathcal {R}}_{\text{air}}\!\left[V_{z,\,G_{\text{para}}}(t)\right]=$ $h'\;V_{z,\,G_{\text{para}}}^{\,2}(t)\;$» avec «$\;h'={\dfrac {1}{2}}\;C_{x}\;\mu _{\text{air}}\;S\;$» dans laquelle «$\;C_{x}\;$ est le cœfficient de traînée du parachutiste lors de sa chute », «$\;\mu _{\text{air}}\;$ la masse volumique de l'air dans les conditions de la chute » et «$\;S\;$ l'aire du maître-couple du parachutiste », ce qui donne
$\;{\dfrac {dV_{z,\,G_{\text{para}}}}{dt}}(t)=g-{\dfrac {h'}{m_{\text{para}}}}\;V_{z,\,G_{\text{para}}}^{\,2}(t)\;$
$\;V_{z,\,G_{\text{para}}}(t)$
On peut réécrire cette équation différentielle en faisant intervenir la « vitesse limite de chute du parachutiste $\;V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}\;$» laquelle, étant obtenue pour une accélération nulle c.-à-d. $\;{\dfrac {dV_{z,\,G_{\text{para}}}}{dt}}=0$, est définie selon «$\;g={\dfrac {h'}{m_{\text{para}}}}\;V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}^{\,2}\;$» d'où, en éliminant $\;g\;$ par son expression en fonction de la vitesse limite,
$\;{\dfrac {dV_{z,\,G_{\text{para}}}}{dt}}(t)={\dfrac {h'}{m_{\text{para}}}}\left[V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}^{\,2}-V_{z,\,G_{\text{para}}}^{\,2}(t)\right]\;$

### Détermination de la loi horaire de vitesse du parachutiste

L'équation différentielle du 1er ordre en $\;V_{z,\,G_{\text{para}}}(t)\;$ étant non linéaire s'intègre en « séparant les variables » selon
$\;{\dfrac {dV_{z,\,G_{\text{para}}}}{V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}^{\,2}-V_{z,\,G_{\text{para}}}^{\,2}}}={\dfrac {h'}{m_{\text{para}}}}\;dt\;$
le 1er membre nécessitant de décomposer la fonction rationnelle «$\;{\dfrac {1}{V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}^{\,2}-V_{z,\,G_{\text{para}}}^{\,2}}}={\dfrac {1}{\left(V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}-V_{z,\,G_{\text{para}}}\right)\left(V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}+V_{z,\,G_{\text{para}}}\right)}}\;$» en éléments simples, «$\;{\dfrac {1}{V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}^{\,2}-V_{z,\,G_{\text{para}}}^{\,2}}}$ $={\dfrac {\alpha }{V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}-V_{z,\,G_{\text{para}}}}}+{\dfrac {\beta }{V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}+V_{z,\,G_{\text{para}}}}}\;$», les constantes $\;\alpha \;$ et $\;\beta \;$ se déterminant
* « en multipliant chaque membre par $\;V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}-V_{z,\,G_{\text{para}}}\;$ puis en y faisant $\;V_{z,\,G_{\text{para}}}=V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}\;$» d'où «$\;{\dfrac {1}{2\;V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}}}=\alpha \;$» et
* « en multipliant chaque membre par $\;V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}+V_{z,\,G_{\text{para}}}\;$ puis en y faisant $\;V_{z,\,G_{\text{para}}}=-V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}\;$» d'où «$\;{\dfrac {1}{2\;V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}}}=\beta \;$» ;
l'équation différentielle du 1er ordre en $\;V_{z,\,G_{\text{para}}}(t)\;$ se réécrit donc «$\;{\dfrac {1}{2\;V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}}}\left[{\dfrac {dV_{z,\,G_{\text{para}}}}{V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}-V_{z,\,G_{\text{para}}}}}+{\dfrac {dV_{z,\,G_{\text{para}}}}{V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}+V_{z,\,G_{\text{para}}}}}\right]={\dfrac {h'}{m_{\text{para}}}}\;dt\;$» ou
$\;{\dfrac {d\varpi }{V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}-\varpi }}+{\dfrac {d\varpi }{V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}+\varpi }}={\dfrac {2\;h'\;V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}}{m_{\text{para}}}}\;dt'\;$
$\;\varpi =V_{z,\,G_{\text{para}}}\;$
elle s'intègre en «$\;\left[-\ln \!\vert V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}-\varpi \vert +\ln \!\vert V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}+\varpi \vert \right]_{0}^{V_{z,\,G_{\text{para}}}}=\left[{\dfrac {2\;h'\;V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}}{m_{\text{para}}}}\;t'\right]_{0}^{t}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;\left[\ln \!{\Bigg \vert }{\dfrac {V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}+\varpi }{V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}-\varpi }}{\Bigg \vert }\right]_{0}^{V_{z,\,G_{\text{para}}}}=$ $\left[{\dfrac {2\;h'\;V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}}{m_{\text{para}}}}\;t'\right]_{0}^{t}\;$» ou «$\;\ln \!\left({\dfrac {V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}+V_{z,\,G_{\text{para}}}}{V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}-V_{z,\,G_{\text{para}}}}}\right)$ $={\dfrac {2\;h'\;V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}}{m_{\text{para}}}}\;t\;$» et finalement on obtient $\;\succ \;$une 1ère forme de loi horaire de vitesse «$\;t=$ ${\dfrac {m_{\text{para}}}{2\;h'\;V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}}}\;\ln \!\left({\dfrac {V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}+V_{z,\,G_{\text{para}}}}{V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}-V_{z,\,G_{\text{para}}}}}\right)\;$» que l'on peut réécrire selon
$\;t=\tau \;\ln \!\left({\dfrac {V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}+V_{z,\,G_{\text{para}}}}{V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}-V_{z,\,G_{\text{para}}}}}\right)\;$
$\;\tau ={\dfrac {m_{\text{para}}}{2\;h'\;V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}}}={\dfrac {V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}}{2\;g}}\;$
$\;\succ \;$une 2ème forme de cette loi de vitesse s'obtient en l'inversant pour expliciter $\;V_{z,\,G_{\text{para}}}\;$ en fonction de $\;t\;$ soit «$\;{\dfrac {V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}+V_{z,\,G_{\text{para}}}}{V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}-V_{z,\,G_{\text{para}}}}}=\exp \!\left({\dfrac {t}{\tau }}\right)\;$» ou encore «$\;V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}+V_{z,\,G_{\text{para}}}=$ $V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}\;\exp \!\left({\dfrac {t}{\tau }}\right)-V_{z,\,G_{\text{para}}}\;\exp \!\left({\dfrac {t}{\tau }}\right)\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;V_{z,\,G_{\text{para}}}=V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}\;{\dfrac {\exp \!\left({\dfrac {t}{\tau }}\right)-1}{\exp \!\left({\dfrac {t}{\tau }}\right)+1}}\;$» soit enfin, en mettant haut et bas $\;\exp \!\left({\dfrac {t}{2\;\tau }}\right)\;$ en facteur ce qui permet une simplification d'une part et de faire apparaître la fonction tangente hyperbolique d'autre part
$\;V_{z,\,G_{\text{para}}}=V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}\;{\dfrac {\exp \!\left({\dfrac {t}{2\;\tau }}\right)-\exp \!\left(-{\dfrac {t}{2\;\tau }}\right)}{\exp \!\left({\dfrac {t}{2\;\tau }}\right)+\exp \!\left(-{\dfrac {t}{2\;\tau }}\right)}}=V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}\;\tanh \!\left({\dfrac {t}{2\;\tau }}\right)\;$
$\;\tau ={\dfrac {V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}}{2\;g}}\;$

### Tracé du diagramme horaire de vitesse du parachutiste et commentaires

Voir ci-contre le graphe de la loi horaire de vitesse de chute du parachutiste «$\;V_{z,\,G_{\text{para}}}=V_{z,\,G_{\text{para}}}(t)\;$» :
« la constante de temps $\;\tau ={\dfrac {V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}}{2\;g}}\;$» caractérise la durée de l’établissement de la vitesse limite $\;V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}\;$» ${\big$plus exactement « il faut approximativement $\;5\,\tau \;$ pour atteindre la vitesse limite à $\;1\,\%$ près »${\big )}$.
Numériquement le parachutiste précédemment introduit atteindra sa vitesse limite de chute verticale
* à parachute déployé «$\;V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}\simeq 4,0\;m\cdot s^{-1}\;$» à l'instant $\;t_{\text{lim}}\simeq 5\;\tau =5\;{\dfrac {V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}}{2\;g}}\simeq 5\times {\dfrac {4,0}{2\times 9,8}}\;$ en $\;s\;$ soit « après une durée de chute $\;t_{\text{lim}}-t_{0}\simeq 1,02\;s\;$» c.-à-d. « quasi-instantanément », ou
* en chute libre «$\;V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}\simeq 64\;m\cdot s^{-1}\;$» à l'instant $\;t_{\text{lim}}\simeq 5\;\tau =5\;{\dfrac {V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}}{2\;g}}\simeq 5\times {\dfrac {64}{2\times 9,8}}\;$ en $\;s\;$ soit « après une durée de chute $\;t_{\text{lim}}-t_{0}\simeq 16,33\;s\simeq 16,3\;s\;$» c.-à-d. plus longue qu'à parachute déployé d'un facteur égal au rapport de vitesse limite en chute libre sur la vitesse limite à parachute déployé.

### Détermination de la loi horaire de position du parachutiste

Pour obtenir la loi horaire de position du parachutiste on intègre $\;{\dot {z}}_{G_{\text{para}}}(t)=V_{z,\,G_{\text{para}}}(t)=V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}\;\tanh \!\left({\dfrac {t}{2\;\tau }}\right)\;$ par rapport $\;t\;$ soit «$\;{\dfrac {dz_{G_{\text{para}}}}{dt}}(t)=$ $V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}\;{\dfrac {\sinh \!\left({\dfrac {t}{2\;\tau }}\right)}{\cosh \!\left({\dfrac {t}{2\;\tau }}\right)}}\;$» ou «$\;dz_{G_{\text{para}}}=V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}\;{\dfrac {\sinh \!\left({\dfrac {t}{2\;\tau }}\right)dt}{\cosh \!\left({\dfrac {t}{2\;\tau }}\right)}}=$ $V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}\;2\;\tau \;{\dfrac {d\!\left[\cosh \!\left({\dfrac {t}{2\;\tau }}\right)\right]}{\cosh \!\left({\dfrac {t}{2\;\tau }}\right)}}\;$» d'où, en reconnaissant dans la fraction $\;{\dfrac {d\!\left[\cosh \!\left({\dfrac {t}{2\;\tau }}\right)\right]}{\cosh \!\left({\dfrac {t}{2\;\tau }}\right)}}\;$ la différentielle de $\;\ln \!\left[\cosh \!\left({\dfrac {t}{2\;\tau }}\right)\right]\;$ et en prenant pour origine des $\;z\;$ la position initiale du parachutiste,
$\;z_{G_{\text{para}}}=2\;V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}\;\tau \;\ln \!\left[\cosh \!\left({\dfrac {t}{2\;\tau }}\right)\right]\;$
$\;\tau ={\dfrac {V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}}{2\;g}}\;$

### Tracé du diagramme horaire de position du parachutiste et commentaires

Voir ci-contre le graphe de la loi horaire de position de chute du parachutiste «$\;z_{G_{\text{para}}}=z_{G_{\text{para}}}(t)\;$» :
compte-tenu du fait que la vitesse de chute du parachutiste tend vers une vitesse limite, on doit « vérifier que le graphe $\;z_{G_{\text{para}}}=z_{G_{\text{para}}}(t)\;$ admet une asymptote quand $\;t\rightarrow \infty \;$» ${\big$c.-à-d. en pratique quand $\;t\gtrsim 5\;\tau {\big )}$, asymptote d'équation $\;z_{{\text{asymp}},\,G_{\text{para}}}=V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}\;t+cste$ ;
on retrouve ce résultat mathématiquement en utilisant «$\;\xi \rightarrow +\infty \Rightarrow \cosh(\xi )\sim {\dfrac {\exp(\xi )}{2}}\;$» ce qui donne ici, « quand $\;t\rightarrow +\infty$, $\;\cosh \!\left({\dfrac {t}{2\;\tau }}\right)\sim {\dfrac {\exp \!\left({\dfrac {t}{2\;\tau }}\right)}{2}}\;$» soit «$\;\ln \!\left[\cosh \!\left({\dfrac {t}{2\;\tau }}\right)\right]\;{\stackrel {t\,\rightarrow \,\infty }{\simeq }}\;{\dfrac {t}{2\;\tau }}-\ln(2)\;$» d'où «$\;z_{G_{\text{para}}}(t)\;{\stackrel {t\,\rightarrow \,\infty }{\simeq }}\;$ $2\;V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}\;\tau \,\left[{\dfrac {t}{2\;\tau }}-\ln(2)\right]\;$» soit finalement
$\;z_{{\text{asymp}},\,G_{\text{para}}}=V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}\,\left[t-2\,\ln(2)\,\tau \right]\simeq V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}\,\left[t-1,4\,\tau \right]\;$
Commentaires : Si le sol se trouve à la distance verticale $\;h\;$ de la position initiale du parachutiste lorsqu'il ouvre son parachute en absence de vitesse initiale, « l'instant où le parachutiste atteint le sol est $\;t_{\text{sol}}\;$ défini par $\;h=$ $2\;V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}\;\tau \;\ln \!\left[\cosh \!\left({\dfrac {t_{\text{sol}}}{2\;\tau }}\right)\right]\;$» $\Leftrightarrow$ $\;\cosh \!\left({\dfrac {t_{\text{sol}}}{2\;\tau }}\right)=\exp \!\left({\dfrac {h}{2\;V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}\;\tau }}\right)$, soit encore, en inversant la fonction cosinus hyperbolique, «$\;t_{\text{sol}}=2\;\tau \;\mathrm {argcosh} \!\left[\exp \!\left({\dfrac {h}{2\;V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}\;\tau }}\right)\right]\;$» ou, en adoptant la forme logarithmique de la fonction argument cosinus hyperbolique, «$\;t_{\text{sol}}=2\;\tau \;\ln \!\left[\exp \!\left({\dfrac {h}{2\;V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}\;\tau }}\right)+{\sqrt {\exp \!\left({\dfrac {h}{V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}\;\tau }}\right)-1}}\right]\;$» et enfin, en éliminant $\;\tau \;$ au profit de $\;V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}\;$ par $\;\tau ={\dfrac {V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}}{2\;g}}\;$ dans les exponentielles, l'expression de l'instant de contact avec le sol
$\;t_{\text{sol}}=2\;\tau \;\ln \!\left[\exp \!\left({\dfrac {g\;h}{V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}^{\,2}}}\right)+{\sqrt {\exp \!\left({\dfrac {2\;g\;h}{V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}^{\,2}}}\right)-1}}\right]\;$
Commentaires : « dans l'hypothèse où $\;t_{\text{sol}}\;$ est $\;\gtrsim 5\;\tau \;$», il est alors possible de remplacer la loi horaire de position du parachutiste par l'équation de son asymptote $\Rightarrow$ «$\;t_{\text{sol}}\simeq 1,4\;\tau +{\dfrac {h}{V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}}}\;$» ; Commentaires : « dans l'hypothèse où $\;\color {transparent}{t_{\text{sol}}}\;$ est $\;\color {transparent}{\gtrsim 5\;\tau }\;$», toutefois ce résultat nécessite de « valider l'hypothèse $\;t_{\text{sol}}\gtrsim 5\;\tau \;$», correspondant à $\;{\dfrac {h}{V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}}}\gtrsim 3,6\;\tau \;$ ou encore $\;h\gtrsim 3,6\;V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}\;\tau \;$ soit, compte-tenu de $\;\tau ={\dfrac {V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}}{2\;g}}$, la condition «$\;h\gtrsim 1,8\;{\dfrac {V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}^{\,2}}{g}}\;$».
Commentaires : Numériquement, en supposant que le parachutiste précédemment introduit ait ouvert son parachute en absence de vitesse initiale à une altitude «$\;h=1000\,m\;$», sa vitesse limite étant «$\;V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}$ $\simeq 4,0\;m\cdot s^{-1}\;$» et la constante de temps «$\;\tau ={\dfrac {V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}}{2\;g}}\simeq {\dfrac {4,0}{2\times 9,8}}\simeq 0,2\;s\;$», «son instant de contact avec le sol $\;t_{\text{sol}}\;$ peut être déterminé en utilisant la loi horaire de position asymptotique du parachutiste si $\;t_{\text{sol}}\;$ est $\;\gtrsim 5\;\tau \simeq 1,0\;s\;$»$^,$, on obtient alors «$\;t_{\text{sol}}\simeq 1,4\;\tau +{\dfrac {h}{V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}}}\simeq 1,4\times 0,2+{\dfrac {1000}{4,0}}\simeq 250,3\;s\;$» $\;{\big1\;s\;$ pour atteindre la vitesse limite et $\;249,3\;s\;$ de chute à vitesse constante${\big ]}$ ;
Commentaires : Numériquement, supposant le parachutiste précédemment introduit en chute libre sans vitesse initiale à partir d'une altitude «$\;h_{i}=3000\,m\;$» avec fin de la chute libre par ouverture du parachute à l'altitude «$\;h_{f}=1000\;m\;$», la vitesse limite du parachutiste en chute libre ayant été déterminée à «$\;V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}\simeq 64,0\;m\cdot s^{-1}\;$» et la constante de temps à «$\;\tau ={\dfrac {V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}}{2\;g}}\simeq {\dfrac {64,0}{2\times 9,8}}\simeq$ $3,27\;s\simeq 3,3\;s\;$», « l'instant d'ouverture du parachute $\;t_{\text{ouv para}}\;$ peut être déterminé en utilisant la loi horaire de position asymptotique du parachutiste si $\;t_{\text{ouv para}}\;$ est $\;\gtrsim 5\;\tau \simeq 16,3\;s\;$», on obtient alors «$\;t_{\text{ouv para}}\simeq$ $2\,\ln(2)\;\tau +{\dfrac {h_{i}-h_{f}}{V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}}}\simeq 1,39\times 3,27+{\dfrac {2000}{64,0}}\simeq 35,80\;s\simeq 35,8\;s\;$» $\;{\big16,3\;s\;$ pour atteindre la vitesse limite puis $\;19,5\;s\;$ à vitesse constante${\big ]}$.

## Problème du parachutiste : exploitation du portrait de phase de sa chute verticale freinée par résistance de l'air quadratique
### Établissement de l'équation du portrait de phase du parachutiste lâché sans vitesse initiale dans un référentiel terrestre et freiné par résistance de l'air quadratique

L'équation différentielle du mouvement de chute verticale du parachutiste freiné par traînée quadratique étant «$\;{\dfrac {dV_{z,\,G_{\text{para}}}}{dt}}=g-{\dfrac {h'}{m_{\text{para}}}}\;V_{z,\,G_{\text{para}}}^{\,2}\;$», on multiplie de part et d'autre par $\;{\dfrac {dt}{dz_{G_{\text{para}}}}}=$ ${\dfrac {1}{V_{z,\,G_{\text{para}}}}}\;$ dans le but de remplacer la variable $\;t\;$ par la variable $\;z_{G_{\text{para}}}\;$ ce qui donne, après simplification évidente, «$\;{\dfrac {dV_{z,\,G_{\text{para}}}}{dz_{G_{\text{para}}}}}={\dfrac {g}{V_{z,\,G_{\text{para}}}}}-{\dfrac {h'}{m_{\text{para}}}}\;V_{z,\,G_{\text{para}}}\;$» ou, en introduisant la vitesse limite $\;V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}\;$ telle que $\;g={\dfrac {h'}{m_{\text{para}}}}\;V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}^{\,2}$, l'équation se réécrit selon «$\;{\dfrac {dV_{z,\,G_{\text{para}}}}{dz_{G_{\text{para}}}}}={\dfrac {h'}{m_{\text{para}}}}\left[{\dfrac {V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}^{\,2}}{V_{z,\,G_{\text{para}}}}}-V_{z,\,G_{\text{para}}}\right]\;$» puis, en multipliant de part et d'autre par $\;V_{z,\,G_{\text{para}}}$, on obtient, avec $\;V_{z,\,G_{\text{para}}}\;{\dfrac {dV_{z,\,G_{\text{para}}}}{dz_{G_{\text{para}}}}}=$ ${\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {dV_{z,\,G_{\text{para}}}^{\,2}}{dz_{G_{\text{para}}}}}\;$ l'équation suivante «$\;{\dfrac {dV_{z,\,G_{\text{para}}}^{\,2}}{dz_{G_{\text{para}}}}}={\dfrac {2\;h'}{m_{\text{para}}}}\left[V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}^{\,2}-V_{z,\,G_{\text{para}}}^{\,2}\right]\;$» c.-à-d.
$\;V_{z,\,G_{\text{para}}}^{\,2}\!\!\left(z_{G_{\text{para}}}\right)\;$
$\;{\dfrac {dV_{z,\,G_{\text{para}}}^{\,2}}{dz_{G_{\text{para}}}}}\!\!\left(z_{G_{\text{para}}}\right)+{\dfrac {2\;h'}{m_{\text{para}}}}\;V_{z,\,G_{\text{para}}}^{\,2}\!\!\left(z_{G_{\text{para}}}\right)={\dfrac {2\;h'}{m_{\text{para}}}}\;V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}^{\,2}\;$
la résolution nous conduit à «$\;V_{z,\,G_{\text{para}}}^{\,2}\!\!\left(z_{G_{\text{para}}}\right)=V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}^{\,2}+A\;\exp \!\left(-{\dfrac {z_{G_{\text{para}}}}{\lambda }}\right)\;$» avec «$\;\lambda ={\dfrac {m_{\text{para}}}{2\;h'}}\;$ constante de longueur », le 1er terme étant la solution forcée et le 2nd la solution libre, la constante d'intégration $\;A\;$ se déterminant à l'aide de la C.A.L. «$\;V_{z,\,G_{\text{para}}}\!\!\left(z_{G_{\text{para}}}=0\right)=0\;$» soit $\;0=V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}^{\,2}+A\;$ d'où $\;A=-V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}^{\,2}\;$ et finalement
$\;V_{z,\,G_{\text{para}}}^{\,2}\!\!\left(z_{G_{\text{para}}}\right)=V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}^{\,2}\left[1-\exp \!\left(-{\dfrac {z_{G_{\text{para}}}}{\lambda }}\right)\right]\;$
$\;V_{z,\,G_{\text{para}}}\!\!\left(z_{G_{\text{para}}}\right)=V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}\;{\sqrt {1-\exp \!\left(-{\dfrac {z_{G_{\text{para}}}}{\lambda }}\right)}}\;$
$\;\lambda ={\dfrac {m_{\text{para}}}{2\;h'}}={\dfrac {V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}^{\,2}}{2\;g}}\;$

### Tracé du portrait de phase du parachutiste en début de chute puis sur la chute complète et commentaires

Ci-contre le portrait de phase du parachutiste précédemment introduit lâché sans vitesse initiale d'une altitude de $\;1000\;m\;$ à partir de laquelle il ouvre son parachute, la résistance de l'air s'exerçant sur lui étant quadratique $\;{\Bigg$sa vitesse limite étant «$\;V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}\simeq$ $4,0\;m\cdot s^{-1}\;$», « la constante de longueur caractéristique de la chute du parachutiste, parachute déployé, vaut $\;\lambda ={\dfrac {V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}^{\,2}}{2\;g}}\simeq$ ${\dfrac {\left(4,0\right)^{2}}{2\times 9,8}}\simeq 0,8\;m\;$» et on peut estimer que « la vitesse limite du parachutiste est atteinte à $\;1\,\%\;$ près si $\;z_{G_{\text{para}}}\;$ est $\;\gtrsim \;$ à $\;3,9\;\lambda \simeq$ $4\;\lambda \;$» c.-à-d. dès que la hauteur de chute dépasse $\;4\times 0,8\;m\simeq$ $3,2\;m\;$ arrondis à $4\;m\;{\Bigg ]}$, à gauche pour les cinq premiers mètres de chute et à droite pour la chute complète jusqu'au sol.
Ci-contre à droite le portrait de phase du parachutiste précédemment introduit lâché sans vitesse initiale d'une altitude de $\;3000\;m\;$ à partir de laquelle commence sa chute libre, la résistance de l'air s'exerçant sur lui étant quadratique $\;{\Bigg$sa vitesse limite en chute libre étant «$\;V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}$ $\simeq 64,0\;m\cdot s^{-1}\;$», « la constante de longueur caractéristique de la chute libre du parachutiste vaut $\;\lambda ={\dfrac {V_{G_{\text{para}},\,{\text{lim}}}^{\,2}}{2\;g}}$ $\simeq {\dfrac {\left(64,0\right)^{2}}{2\times 9,8}}\simeq 210\;m\;$» et on peut estimer que « la vitesse limite du parachutiste en chute libre est atteinte à $\;1\,\%\;$ près si $\;z_{G_{\text{para}}}\;$ est $\;\gtrsim \;$ à $\;3,9\;\lambda \simeq 4\;\lambda \;$» c.-à-d. dès que la hauteur de chute dépasse $\;4\times 210\;m$ $\simeq 820\;m\;$ arrondis à $800\;m\;{\Bigg ]}$, la chute libre étant arrêtée par ouverture d'un parachute à l'altitude de $\;1000\;m\;$, la chute suivant l'ouverture du parachute n'étant pas étudiée $\;\ldots$

## Problème du parachutiste, approche numérique : utilisation des résultats fournis par « logiciel d'intégration numérique » quand le parachutiste subit une résistance de l'air quadratique

Préliminaire : A priori ce paragraphe n'a pas de raison d'être car il est possible d'intégrer, sans difficultés apparentes, l'équation différentielle du mouvement du parachutiste en absence de vitesse initiale dans l'air globalement immobile, la résistance de l'air agissant sur le parachutiste étant de forme quadratique mais c'est une exigence du programme de physique de PCSI $\;\ldots$
Pour répondre à cette demande on résout l'équation différentielle non linéaire du 2ème ordre en $\;z_{G_{\text{para}}}(t)\;$ en utilisant n'importe quel logiciel de résolution numérique $\;{\big$celui utilisé ici est un de ceux proposés par le programme de physique à savoir « Scilab »${\big ]}$, le programme utilisé est donné ci-dessous après avoir rappelé, en remarque, le principe de résolution d'une équation différentielle du 2ème ordre utilisé par « Scilab », les graphes tracés ci-après résultant de l'utilisation de ce programme ;
remarque : le principe de résolution d'une équation différentielle d'ordre deux utilisé par « Scilab » consiste à se ramener à un système d'équations différentielles d'ordre un et remarque : pour «$\;{\dfrac {d^{2}z_{G_{\text{para}}}}{dt^{2}}}(t)=g-{\dfrac {h'}{m_{\text{para}}}}\left[{\dfrac {dz_{G_{\text{para}}}}{dt}}(t)\right]^{2}\;$» cela donne «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {dz_{G_{\text{para}}}}{dt}}(t)=V_{G_{\text{para}}}(t)\\{\dfrac {dV_{G_{\text{para}}}}{dt}}(t)=g-{\dfrac {h'}{m_{\text{para}}}}\left[V_{G_{\text{para}}}(t)\right]^{2}\end{array}}\right\rbrace \;$», système d'équations différentielles du 1er ordre en les fonctions $\;V_{G_{\text{para}}}(t)\;$ et $\;z_{G_{\text{para}}}(t)\;$ que l'on cherche à résoudre simultanément $\;\ldots$
Programme :
g = 9.8 ;
C = 1.4 ;
S = 74 ;
%mu = 1.2 ;
m = 100 ;
h = C*%mu*S/2 ;
deff('vdot = fct(t, v)' , 'vdot(1) = v(2) ; vdot(2) = g - h/m*v(2)^2')
t0 = 0 ; v0 = [0 ; 0] ; t = 0 :0.1 :2.5 ;
u = ode(v0 , t0 , t , fct) ;
plot(t, u) ;
Commentaires du programme : le cœfficient de proportionnalité du carré de la vitesse dans la résistance de l'air $\;h'\;$ est noté $\;h\;$ pour des raisons de syntaxe ;
Commentaires du programme : $\;\mathrm {vdot} \;$ est le vecteur colonne dérivé (temporel) du vecteur colonne $\;{\text{v}}=\left({\begin{array}{l}z_{G_{\text{para}}}\\V_{G_{\text{para}}}\end{array}}\right)\;$ c.-à-d. $\;\mathrm {vdot} =\left({\begin{array}{l}{\dfrac {dz_{G_{\text{para}}}}{dt}}\\{\dfrac {dV_{G_{\text{para}}}}{dt}}\end{array}}\right)$ ;
Commentaires du programme : $\;{\text{v}}(i)\;$ et $\;\mathrm {vdot} (i)\;$ sont respectivement le ième élément des vecteurs colonnes $\;{\text{v}}\;$ et $\;\mathrm {vdot} \;$ ainsi $\;{\text{v}}(1)=z_{G_{\text{para}}}\;$ et $\;{\text{v}}(2)=V_{G_{\text{para}}}\;$ alors que $\;\mathrm {vdot} (1)={\dfrac {dz_{G_{\text{para}}}}{dt}}\;$ et $\;\mathrm {vdot} (2)={\dfrac {dV_{G_{\text{para}}}}{dt}}$ ;
Commentaires du programme : $\;\mathrm {deff}\;$ permet de définir le système des deux équations différentielles du 1er ordre en les éléments du vecteur colonne $\;{\text{v}}$, le 1er argument rappelant que la dérivation de $\;{\text{v}}\;$ pour obtenir $\;\mathrm {vdot} \;$ se fait par rapport à $\;t$ ;
Commentaires du programme : $\;{\text{v0}}\;$ stocke les C.I., la 1ère concernant le 1er élément du vecteur colonne $\;{\text{v}}\;$ à savoir $\;z_{G_{\text{para}}}\;$ et la 2ème le 2ème élément du vecteur colonne $\;{\text{v}}\;$ à savoir $\;V_{G_{\text{para}}}$ ;
Commentaires du programme : $\;{\text{t = 0 :0.1 :2.5}}\;$ donnant respectivement l'instant initial, le pas et l'instant final ;
Commentaires du programme : $\;\mathrm {ode}\;$ résolvant le système en donnant $\;26\;$ vecteurs colonnes $\;{\text{v}}_{k}=\left({\begin{array}{l}z_{G_{\text{para}},\,k}\\V_{G_{\text{para}},\,k}\end{array}}\right)\;$ stockées dans la variable $\;{\text{u}}$, les arguments de la fonction $\;\mathrm {ode}\;$ étant les C.I., l'instant initial, la suite des valeurs d'itération et bien sûr l'équation différentielle liant les vecteurs colonnes ;
Commentaires du programme : $\;\mathrm {plot} ({\text{t, u}})\;$ traçant simultanément $\;z_{G_{\text{para}}}=z_{G_{\text{para}}}(t)\;$ et $\;V_{G_{\text{para}}}=V_{G_{\text{para}}}(t)\;$ $\ldots$

## Mise en équations de la chute freinée par résistance de l'air quadratique d'un objet lancé avec une vitesse initiale, système d'équations différentielles « couplées » et établissement de la nature plane du mouvement dans le cas où la vitesse initiale n'est pas verticale

Si la vitesse initiale de l'objet lancé dans le champ de pesanteur terrestre uniforme et freiné par résistance de l'air est verticale, le problème est identique à celui du parachutiste à la valeur de la vitesse initiale près, en particulier
* la nature rectiligne du mouvement s'établit par récurrence,
* il existe une vitesse limite de chute de l'objet correspondant à un mouvement uniforme descendant et obéissant à l'égalité entre résistance de l'air pour cette vitesse limite et poids de l'objet,
* l'équation différentielle en $\;V_{z}\;$ ne dépendant pas des C.I. est la même que celle du parachutiste et par suite la loi horaire de vitesse est de même forme mais avec une constante d'intégration différente car elle dépend de la vitesse initiale, la loi horaire de position s'obtient par intégration de celle de vitesse $\;\ldots \;$
À savoir adapter.

### Mise en équations, dans un référentiel terrestre, de la chute freinée par résistance de l'air quadratique d'un objet lancé avec une vitesse initiale

L'objet de C.D.I. $\;G\;$ est lancé avec un vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}\;$ « non vertical » d'une position choisie comme origine des espaces $\;O$, l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ est choisi vertical ascendant et le plan $\;xOz\;$ tel que $\;{\vec {V}}_{0}\;$ soit dans ce plan avec le sens de l'axe $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ tel que la composante $\;V_{0,\,x}\;$ soit positive, l'angle d'inclinaison initiale du vecteur vitesse étant «$\;\alpha _{0}={\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)}}\;$» orienté dans le sens trigonométrique direct du plan $\;xOz\;$ ${\big$c.-à-d. orienté par le sens du vecteur $\;-{\vec {u}}_{y}\perp \;$ au plan $\;xOz\;$ tel que $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ soit direct dans l'espace physique orienté à droite$^,$${\big ]}$.
Appliquant le théorème du mouvement du C.D.I. à l'objet on trouve donc «$\;{\vec {a}}_{G}={\vec {g}}+{\dfrac {\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}{m}}\;$» avec «$\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}=-{\mathcal {R}}_{\text{air}}\!\left(V_{G}\right)\;{\vec {\tau }}\;$» dans lequel «$\;V_{G}=\Vert {\vec {V}}_{G}\Vert \;$» et «$\;{\vec {\tau }}={\dfrac {{\vec {V}}_{G}}{V_{G}}}\;$ est le vecteur unitaire tangentiel de Frenet », «$\;{\mathcal {R}}_{\text{air}}\!\left(V_{G}\right)\;$ étant une fonction $\;\nearrow \;$ de $\;V_{G}\;$» ;
nous adoptons, pour les mêmes raisons que celles exposées dans le mouvement de chute du parachutiste, une résistance de l'air de forme quadratique soit «$\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}=-h'\;V_{G}^{2}\;{\vec {\tau }}=-h'\;V_{G}\;{\vec {V}}_{G}\;$» avec «$\;h'$ $={\dfrac {1}{2}}\;C_{\tau }\;\mu _{\text{air}}\;S\;$» et la projection de l'équation différentielle vectorielle «$\;{\vec {a}}_{G}={\vec {g}}+{\dfrac {\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}{m}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{G}}{dt}}(t)={\vec {g}}-{\dfrac {h'\;V_{G}(t)\;{\vec {V}}_{G}(t)}{m}}\;$» nous conduit au système d'équations différentielles scalaires
$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c r c}{\dfrac {dV_{G,\,x}}{dt}}(t)\!\!&=&\!\!-{\dfrac {h'}{m}}\;{\sqrt {V_{G,\,x}^{\,2}(t)+V_{G,\,y}^{\,2}(t)+V_{G,\,z}^{\,2}(t)}}\;V_{G,\,x}(t)&({\mathfrak {1}})\\{\dfrac {dV_{G,\,y}}{dt}}(t)\!\!&=&\!\!-{\dfrac {h'}{m}}\;{\sqrt {V_{G,\,x}^{\,2}(t)+V_{G,\,y}^{\,2}(t)+V_{G,\,z}^{\,2}(t)}}\;V_{G,\,y}(t)&({\mathfrak {2}})\\{\dfrac {dV_{G,\,z}}{dt}}(t)\!\!&=&\!\!-g-{\dfrac {h'}{m}}\;{\sqrt {V_{G,\,x}^{\,2}(t)+V_{G,\,y}^{\,2}(t)+V_{G,\,z}^{\,2}(t)}}\;V_{G,\,z}(t)&({\mathfrak {3}})\end{array}}\right\rbrace \;$

### Établissement de la nature plane de la trajectoire du centre d'inertie de l'objet en chute freinée par résistance de l'air quadratique quand ce dernier est lancé avec un vecteur vitesse non vertical

Les équations différentielles $\;({\mathfrak {1}})\;$ et $\;({\mathfrak {2}})\;$ étant identiques, on peut utiliser ce caractère pour éliminer la variable $\;t\;$ entre elles $\Rightarrow$ une « équation différentielle du 1er ordre en $\;V_{G,\,y}\!\left(V_{G,\,x}\right)\;$» et en déduire que «$\;V_{G,\,y}=0\;\;\forall \;V_{G,\,x}\;$»$^,$ c.-à-d. établir que le mouvement se fait dans le plan de lancement de l'objet en effet :
on divise «$\;({\mathfrak {2}})\;$ par $\;({\mathfrak {1}})\;$» soit «$\;{\dfrac {dV_{G,\,y}}{dV_{G,\,x}}}={\dfrac {V_{G,\,y}}{V_{G,\,x}}}\;$» ou «$\;V_{G,\,x}\;dV_{G,\,y}-V_{G,\,y}\;dV_{G,\,x}=0\;$» et, en supposant que $\;V_{G,\,x}\;$ reste $\;\neq 0$, on peut réécrire l'équation différentielle en divisant par le carré de ce dernier selon «$\;{\dfrac {V_{G,\,x}\;dV_{G,\,y}-V_{G,\,y}\;dV_{G,\,x}}{V_{G,\,x}^{\,2}}}=0\;$» c.-à-d. «$\;d\!\left({\dfrac {V_{G,\,y}}{V_{G,\,x}}}\right)=0\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {V_{G,\,y}}{V_{G,\,x}}}=cste\;$» valeur déterminée à l'aide des « C.I. $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{G,\,y}(0)=V_{0,\,y}&=&0\\V_{G,\,x}(0)=V_{0,\,x}=V_{0}\;\cos(\alpha _{0})&\neq &0\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où $\;cste=0\;$ et par suite $\;{\dfrac {V_{G,\,y}}{V_{G,\,x}}}=0\;\;\forall \;V_{G,\,x}\neq 0\;$» soit finalement,
$\;V_{G,\,x}\;$
$\;{\big$
${\big )}$
$\;V_{G,\,y}=0\;\;\forall \;t\;$
une nouvelle intégration nous conduit à «$\;y_{G}=cste'\;$» ou, avec la dernière « C.I. $\;y_{G}(0)=0\;$», la loi horaire de position «$\;y_{G}=0\;\;\forall \;t\;$» c.-à-d.
$\;G\;$
$\;xOz$
Autre démonstration de la nature plane du mouvement du C.D.I. de l'objet : on peut établir la nature plane du mouvement du C.D.I. de l'objet en faisant un raisonnement par récurrence, comme cela a été fait pour établir la nature rectiligne du mouvement du parachutiste ;
$\;\succ \;$initiation de la récurrence sur un 1er intervalle de temps : au départ du mouvement, c.-à-d. à $\;t_{0}=0$, la vitesse initiale du C.D.I. de l'objet $\;{\vec {V}}_{0}\;$ étant dans le plan $\;xOz$, nous en déduisons que « la résistance de l'air initiale $\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}(t_{0})\;$ y est aussi » et par suite « le vecteur accélération initiale du C.D.I. de l'objet $\;{\vec {a}}_{G}(t_{0})={\vec {g}}+{\dfrac {{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}(t_{0})}{m}}\;$ est également contenu dans le plan $\;xOz\;$» ; rappel $\;({\mathfrak {a}})$ : pour évaluer le vecteur vitesse du C.D.I. de l'objet à l'instant $\;t+\delta t\;$ connaissant celle à l'instant $\;t$, on suppose que son accélération moyenne sur l'intervalle «$\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]\;$» s'identifie à son accélération à l'instant $\;t\;$ ${\big$accélération connue dans la mesure où la vitesse à cet instant l'est${\big ]}$ et on intègre une fois par rapport au temps sur l'intervalle «$\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]\;$» pour en déduire la vitesse à l'instant $\;t+\delta t\;$ connaissant celle à l'instant $\;t$ ; rappel $\;\color {Transparent}{({\mathfrak {a}})}$ : appliqué à partir de l'instant $\;t_{0}=0$, on obtient «$\;{\vec {a}}_{G,\,{\text{moy sur }}\left[0\,,\,\delta t\right]}\simeq {\vec {a}}_{G}(0)={\vec {g}}+{\dfrac {{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}(t_{0})}{m}}\;$» ou, en explicitant le vecteur accélération moyenne «$\;{\dfrac {{\vec {V}}_{G}(\delta t)-{\vec {V}}_{G}(0)}{\delta t}}\simeq$ ${\vec {g}}+{\dfrac {{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}(t_{0})}{m}}\;$» d'où «$\;{\vec {V}}_{G}(\delta t)\simeq {\vec {V}}_{G}(0)+\left[{\vec {g}}+{\dfrac {{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}(t_{0})}{m}}\right]\delta t\;$ contenu dans le plan $\;xOz\;$» dans la mesure où tous les vecteurs composants y sont ;
$\;\succ \;$raisonnement sur l'intervalle de temps suivant : le vecteur vitesse du C.D.I. de l'objet à l'instant $\;t_{1}=\delta t\;$ étant contenu dans le plan $\;xOz\;$ on en déduit que « la résistance de l'air au même instant $\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}(t_{1}=\delta t)\;$ l'est aussi » ; appliquant le théorème du mouvement du C.D.I. à l'objet à l'instant $\;t_{1}=\delta t\;$ on trouve « le vecteur accélération du C.D.I. de l'objet à cet instant, $\;{\vec {a}}_{G}(t_{1})=$ ${\vec {g}}+{\dfrac {{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}(t_{1})}{m}}\;$ contenu dans le plan $\;xOz\;$», les vecteurs composants y étant ; appliquant le rappel $\;({\mathfrak {a}})\;$ à partir de l'instant $\;t_{1}=\delta t$, on obtient «$\;{\vec {a}}_{G,\,{\text{moy sur }}\left[\delta t\,,\,2\,\delta t\right]}\simeq {\vec {a}}_{G}(t_{1})={\vec {g}}+{\dfrac {{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}(t_{1})}{m}}\;$» ou, en explicitant le vecteur accélération moyenne «$\;{\dfrac {{\vec {V}}_{G}(2\,\delta t)-{\vec {V}}_{G}(\delta t)}{\delta t}}\simeq$ ${\vec {g}}+{\dfrac {{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}(t_{1})}{m}}\;$» d'où «$\;{\vec {V}}_{G}(t_{2}=2\,\delta t)\simeq {\vec {V}}_{G}(t_{1}=\delta t)+\left[{\vec {g}}+{\dfrac {{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}(t_{1})}{m}}\right]\delta t\;$ contenu dans le plan $\;xOz\;$» dans la mesure où tous les vecteurs composants y sont ;
$\;\succ \;$exposé de la récurrence : ayant vérifié la propriété $\;{\mathcal {P}}\;$ « vecteur vitesse du C.D.I. de l'objet contenu dans le plan $\;xOz\;$» pour $\;n=1\;$, nous allons montrer que «$\;{\mathcal {P}}(n)\Rightarrow {\mathcal {P}}(n+1)\;$» ;
    $\;\bullet \;$hypothèse de récurrence : propriété $\;{\mathcal {P}}(n)$ « le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{G}(n\,\delta t)\;$ du C.D.I. de l'objet à l'instant $\;n\;\delta t\;$ est contenu dans le plan $\;xOz\;$» ;
    $\;\bullet \;$corps de la démonstration : le vecteur vitesse du C.D.I. de l'objet à l'instant $\;t_{n}=n\,\delta t\;$ étant contenu dans le plan $\;xOz\;$ on en déduit que « la résistance de l'air au même instant $\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}(t_{n}=n\,\delta t)\;$ l'est aussi » ; appliquant le théorème du mouvement du C.D.I. à l'objet à l'instant $\;t_{n}=n\,\delta t\;$ on trouve « le vecteur accélération du C.D.I. de l'objet à cet instant, $\;{\vec {a}}_{G}(t_{n})=$ ${\vec {g}}+{\dfrac {{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}(t_{n})}{m}}\;$ contenu dans le plan $\;xOz\;$», les vecteurs composants y étant ; appliquant le rappel $\;({\mathfrak {a}})\;$ à partir de l'instant $\;t_{n}=n\,\delta t$, on obtient «$\;{\vec {a}}_{G,\,{\text{moy sur }}\left[n\,\delta t\,,\,(n+1)\,\delta t\right]}\simeq {\vec {a}}_{G}(t_{n})={\vec {g}}+{\dfrac {{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}(t_{n})}{m}}\;$» ou, en explicitant le vecteur accélération moyenne «$\;{\dfrac {{\vec {V}}_{G}[(n+1)\,\delta t]-{\vec {V}}_{G}[n\,\delta t]}{\delta t}}$ $\simeq {\vec {g}}+{\dfrac {{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}(t_{n})}{m}}\;$» d'où «$\;{\vec {V}}_{G}[(n+1)\,\delta t]\simeq {\vec {V}}_{G}[n\,\delta t]+\left[{\vec {g}}+{\dfrac {{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}(t_{n})}{m}}\right]\delta t\;$ contenu dans le plan $\;xOz\;$» dans la mesure où tous les vecteurs composants y sont, ce qui valide l'hypothèse de récurrence ;
    $\;\bullet \;$conclusion de la récurrence : la propriété $\;{\mathcal {P}}\;$ étant vérifiée pour $\;n=0\;$ et telle que «$\;{\mathcal {P}}(n)\Rightarrow {\mathcal {P}}(n+1)\;$ pour $\;n\;$ quelconque », est démontrée par récurrence.
$\;\succ \;$Conclusion : ainsi le mouvement du C.D.I. de l'objet lancé dans un champ de pesanteur terrestre uniforme avec une vitesse initiale non verticale et freiné par résistance de l'air est toujours plan, le plan vertical du mouvement étant le plan vertical de lancement.

### Réécriture du système d'équations différentielles du mouvement du centre d'inertie de l'objet en chute freinée par résistance de l'air quadratique tenant compte de la nature plane de sa trajectoire quand l'objet est lancé avec un vecteur vitesse non vertical

Compte-tenu de «$\;V_{G,\,y}=0\;\;\forall \;t\;$» le système d’équations différentielles couplées se simplifie selon
$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c r c}{\dfrac {dV_{G,\,x}}{dt}}(t)\!\!&=&\!\!-{\dfrac {h'}{m}}\;{\sqrt {V_{G,\,x}^{\,2}(t)+V_{G,\,z}^{\,2}(t)}}\;V_{G,\,x}(t)&({\mathfrak {1}})\\{\dfrac {dV_{G,\,z}}{dt}}(t)\!\!&=&\!\!-g-{\dfrac {h'}{m}}\;{\sqrt {V_{G,\,x}^{\,2}(t)+V_{G,\,z}^{\,2}(t)}}\;V_{G,\,z}(t)&({\mathfrak {3}})\end{array}}\right\rbrace \;$

## Chute freinée par résistance de l'air quadratique d'un objet lancé avec une vitesse initiale, approche numérique : utilisation des résultats fournis par « logiciel d'intégration numérique »
### Exposé du problème

Soit un objet de C.D.I. $\;G$, de « masse $\;m=1\,kg\;$», « lancé obliquement quand $\;G\;$ est au point $\;O\;$» avec un vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}$, de « norme $\;V_{0}=$ $500\,m\cdot s^{-1}\;$», de direction inclinée vers le haut et « faisant un angle $\;\alpha _{0}=60\,{\text{°}}\;$ avec l'horizontale du lieu » ;
l'objet n'est soumis qu'à l’action d'un « champ de pesanteur $\;{\vec {g}}\;$ supposé uniforme $\;{\big$l'intensité de la pesanteur $\;{\big$c.-à-d. la norme du champ de pesanteur${\big )}\;$ $g\;$ est prise égale à $\;9,8\,m\cdot s^{-2}{\big ]}\;$» et à une « résistance de l'air $\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}\;$ de forme quadratique $\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}=$ $-h'\;V_{G}\;{\vec {V}}_{G}\;$» avec «$\;h'={\dfrac {1}{2}}\;C_{\tau }\;\mu _{\text{air}}\;S\;$» dans laquelle la «masse volumique de l'air $\;\mu _{\text{air}}\;$ est supposée uniforme et égale à $\;1,2\,kg\cdot m^{-3}\;$», le solide a une forme aérodynamique de « cœfficient de traînée $\;C_{\tau }=0,4\;$» et un « maître-couple d'aire $\;S=1\,dm^{2}\;$» ;
l'axe ${\overrightarrow {Oz}}\;$ est choisi vertical ascendant et l'axe ${\overrightarrow {Ox}}\;$ horizontal tel que $\;V_{0,\,x}>0\;$.

### Utilisation d'un logiciel de calcul numérique pour déterminer le mouvement de chute freinée de l'objet par résistance de l'air quadratique ainsi que la trajectoire de son centre d'inertie et l'hodographe de pôle O du mouvement de ce dernier

Le logiciel de calcul numérique utilisé pour résoudre le système d'équations différentielles couplées est l'un de ceux proposés par le programme à savoir « Scilab », le programme utilisé est donné ci-dessous, les graphes tracés ci-après résultant de l'utilisation de ce programme $\;\ldots$
Programme : le début du programme assurant la résolution numérique et le tracé de la trajectoire ;
g = 9.8 ;
C = 0.4 ;
S = 0.01 ;
%mu = 1.3 ;
m = 1 ;
h = C*%mu*S/2 ;
V0 = 500 ;
%alpha = 60*%pi/180 ;
deff('vdot = fct(t,v)' , 'vdot(1) = v(2) ; vdot(2) = -h/m*sqrt(v(2)^2 + v(4)^2)*v(2) , vdot(3) = v(4) ; vdot(4) = -g - h/m*sqrt(v(2)^2 + v(4)^2)*v(4)')
t0 = 0 ; v0 = [0 ; V0*cos(%alpha) ; 0 ; V0*sin(%alpha)] ; t = 0 : 0.1 : 30 ;
u = ode(v0 , t0 , t , fct) ;
x = u(1 , :) ; z = u(3 , :) ;
plot(x , z) ;
Suite du programme : traçant successivement l'hodographe de pôle $\;O\;$ du mouvement de $\;G\;$ ci-contre, puis la superposition des diagrammes horaires de position en abscisse et altitude ci-dessous à gauche et enfin la superposition des diagrammes horaires de vitesse suivant l'axe des abscisses et celui des altitudes ci-dessous à droite $\;\ldots$
drawlater
clf
vx = u(2 , :) ; vz = u(4 , :) ;
plot(vx , vz) ;
drawnow
drawlater
clf
plot(t , x ,"b" , t, z, "r") ;
drawnow
drawlater
clf
plot(t, vx, "b", t, vz, "r") ;
drawnow
Commentaires sur le programme : tout d'abord revoir, si besoin, est le paragraphe « problème du parachutiste, approche numérique : utilisation des résultats fournis par logiciel d'intégration numérique quand le parachutiste subit une résistance de l'air quadratique (commentaires du programme) » plus haut dans le chapitre ;
* les arguments de la fonction $\;\mathrm {deff}\;$ définissent quatre équations différentielles du 1er ordre en les quatre éléments du vecteur colonne $\;{\text{v}}\;$ avec $\succ \;$«$\;{\text{v}}(1)=x_{G}$, $\;{\text{v}}(2)=V_{x,\,G}$, $\;{\text{v}}(3)=z_{G}\;$ et $\;{\text{v}}(4)=V_{z,\,G}\;$» d'une part ainsi que $\succ \;$«$\;{\text{vdot}}(1)={\dfrac {dx_{G}}{dt}}$, $\;{\text{vdot}}(2)={\dfrac {dV_{x,\,G}}{dt}}$, $\;{\text{vdot}}(3)={\dfrac {dz_{G}}{dt}}\;$ et $\;{\text{vdot}}(4)={\dfrac {dV_{z,\,G}}{dt}}\;$» d'autre part ;
* $\;{\text{v0}}\;$ doit stocker quatre C.I., la ième concernant le ième élément du vecteur colonne $\;{\text{v}}\;$ c.-à-d. «$\;x_{G}$, $\;V_{x,\,G}$, $\;z_{G}\;$ et $\;V_{z,\,G}\;$» ;
* $\;{\text{t = 0 :0.1 :30}}\;$ donnant respectivement « l'instant initial, le pas et l'instant final », nous « obtenons la position et la vitesse pour $\;301\;$ valeurs de temps » ;
* $\;\mathrm {drawlater} \;$ permet de suspendre le tracé jusqu'à ce qu'apparaisse $\;\mathrm {drawnow}$, $\;\mathrm {clf}\;$ permettant d'effacer le tracé $\;\ldots$
Commentaires des résultats : « Le sommet $\;S\;$ de la trajectoire du C.D.I. de l'objet a pour coordonnées $\;\left(x_{S}\simeq 525\,m\;;\;z_{S}\simeq 705\,m\right)\;$», sommet « atteint à l'instant $\;t_{S}\simeq 8,3\,s\;$» correspondant à une « composante horizontale de vitesse $\;V_{x,\,S}\simeq 29\,m\cdot s^{-1}\;$» $\;{\big$initialement la composante horizontale de vitesse était $\;V_{0}\;\cos(\alpha _{0})=500\times \cos(60\,{\text{°}})=250\,m\cdot s^{-1}\;$ soit « une $\;\searrow \;$ d'un facteur $\;8,5\;$ obtenue au sommet »${\big ]}$ ;
Commentaires des résultats : « la portée $\;{\big$c.-à-d. la distance horizontale séparant la position de lancement de celle de retombée à la même altitude${\big )}\;$ vaut $\;x_{P}\simeq$ $760\,m\;$» et est « obtenue après une durée de parcours $\;t_{P}-t_{0}=t_{P}\simeq 24,1\,s\;$», les « composantes horizontale et verticale de la vitesse en $\;P\;$ valant $\;V_{x,\,P}\simeq$ $4,5\,m\cdot s^{-1}\;$ et $\;V_{z,\,P}\simeq -62,5\,m\cdot s^{-1}\;$» y donnent un « vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{P}\;$ incliné vers le bas sur l'horizontale d'un angle $\;\alpha _{P}=\arctan \!\left({\dfrac {V_{z,\,P}}{V_{x,\,P}}}\right)\simeq$ $\arctan \!\left({\dfrac {-62,5}{4,5}}\right)\simeq -86\,{\text{°}}\;$» c.-à-d. quasi vertical $\;{\big$on remarque sur le diagramme horaire de vitesse $\;V_{z}(t)\;$ que « la vitesse limite verticale est pratiquement atteinte à l'instant $\;t_{P}\simeq 24\,s\;$»${\big ]}$.
Remarque : Il est aisé de comparer les portées avec et « sans résistance de l'air quadratique » et « on observe, en absence de résistance de l'air quadratique, une portée de $\;\simeq 22100\,m\;$ soit $\;\simeq 30\;$ fois plus grande » ;
Remarque : on peut également comparer l'altitude maximale atteinte et « on trouve, en absence de résistance de l’air quadratique, une altitude maximale de $\;\simeq 9550\,m\;$ soit $\;\simeq 14\;$ fois plus élevée » ;
Remarque : la conclusion est donc qu'ignorer la résistance de l'air pour étudier un lancement d'objet dans un champ de pesanteur uniforme dès lors que la vitesse initiale est non petite est totalement irréaliste.

## Protocole expérimental de mesure des frottements « fluides »

Au lieu de déplacer un objet $\;({\mathcal {S}})\;$ dans l'air globalement immobile, on crée un courant d’air généré dans une « soufflerie » autour de l'objet $\;({\mathcal {S}})\;$ restant immobile ; « si le courant est de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\text{air}}\;$ horizontal à une distance éloignée de l'objet $\;({\mathcal {S}})\;$ immobile », « les frottements de l'air seront équivalents à ceux obtenus pour l'objet $\;({\mathcal {S}})\;$ en translation horizontale de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})}=-{\vec {V}}_{\text{air}}\;$ dans l'air globalement immobile » ;
pour mesurer la force de poussée horizontale de l'air sur l'objet $\;({\mathcal {S}})\;$ immobile, on peut utiliser un « dynamomètre à ressort » $\;{\big$voir ci-contre${\big )}\;$ à axe horizontal dont une extrémité est fixe du côté de la soufflerie et l'autre reliée à l'objet ; pour mesurer la force de poussée horizontale de l'air sur l'objet $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ immobile, choisissant un axe $\;{\overrightarrow {x'x}}\;$ horizontal dans le sens de $\;{\vec {V}}_{\text{air}}$, l'objet étant en équilibre, « la force de poussée de l'air $\;{\vec {F}}_{\text{air}}\;$ dans le sens de $\;{\vec {u}}_{x}\;$» est compensée par « la tension du ressort du dynamomètre $\;{\vec {T}}_{({\mathcal {S}})\,\leftarrow \,{\text{dynamomètre}}}\;$ dans le sens de $\;-{\vec {u}}_{x}\;$» laquelle est, par principe des actions réciproques, l'opposée de la force que l'objet exerce sur le dynamomètre d'où «$\;{\vec {T}}_{({\mathcal {S}})\,\rightarrow \,{\text{dynamomètre}}}=$ ${\vec {F}}_{\text{air}}\;$», ce qui permet de lire directement pour mesurer la force de poussée horizontale de l'air sur l'objet $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ immobile, « la force de poussée de l'air sur le dynamomètre » et pour mesurer la force de poussée horizontale de l'air sur l'objet $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ immobile, « la résistance de l'air qui serait exercée sur l'objet en translation dans l'air globalement immobile » ;
si la force de poussée de l'air est de norme trop grande pour être mesurée par le dynamomètre, on peut remplacer le plan horizontal par un plan incliné sur lequel réaliser l'expérience $\;{\big$voir ci-contre à gauche${\big )}$ ;
le courant généré par la soufflerie étant incliné vers le haut d'un angle $\;\alpha \;$ par rapport à l'horizontal de façon à être $\;\parallel \;$ à la ligne de plus grande pente du plan incliné, ligne orientée par le choix d'un axe $\;{\overrightarrow {x'x}}\;$ remontant le plan incliné $\Rightarrow$ « le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\text{air}}$, à une distance éloignée de l'objet $\;({\mathcal {S}})\;$ immobile$^,$, est dans le sens de $\;{\vec {u}}_{x}\;$», le « dynamomètre à ressort » est positionné de façon à ce que son axe soit $\;\parallel \;$ à la ligne de plus grande pente du plan incliné, une extrémité reliée à l'objet du côté opposé à la soufflerie, l'autre extrémité étant fixée en un point plus en amont ; l'objet étant en équilibre, « la force de poussée de l'air $\;{\vec {F}}_{\text{air}}\;$ dans le sens de $\;{\vec {u}}_{x}\;$» est compensée par « la composante du poids de l'objet le long du plan incliné dans le sens ascendant $\;-m_{({\mathcal {S}})}\;g\;\sin(\alpha )\;{\vec {u}}_{x}\;$» et « la tension du ressort du dynamomètre $\;{\vec {T}}_{({\mathcal {S}})\,\leftarrow \,{\text{dynamomètre}}}\;$ dans le sens de $\;-{\vec {u}}_{x}\;$» ${\big$cette dernière étant, par principe des actions réciproques, l'opposée de la force que l'objet exerce sur le dynamomètre «$\;{\vec {T}}_{({\mathcal {S}})\,\leftarrow \,{\text{dynamomètre}}}=-{\vec {T}}_{({\mathcal {S}})\,\rightarrow \,{\text{dynamomètre}}}\;$»${\big ]}\;$ d'où
«$\;{\vec {F}}_{\text{air}}=m_{({\mathcal {S}})}\;g\;\sin(\alpha )\;{\vec {u}}_{x}-{\vec {T}}_{({\mathcal {S}})\,\leftarrow \,{\text{dynamomètre}}}=$ $m_{({\mathcal {S}})}\;g\;\sin(\alpha )\;{\vec {u}}_{x}+{\vec {T}}_{({\mathcal {S}})\,\rightarrow \,{\text{dynamomètre}}}\;$» dont on tire «$\;{\vec {T}}_{({\mathcal {S}})\,\rightarrow \,{\text{dynamomètre}}}=\left[\Vert {\vec {F}}_{\text{air}}\Vert -m_{({\mathcal {S}})}\;g\;\sin(\alpha )\right]\,{\vec {u}}_{x}\;$ lequel doit être dans le sens de $\;-{\vec {u}}_{x}\;$ pour que le dynamomètre fournisse une indication égale à $\;\Vert {\vec {T}}_{({\mathcal {S}})\,\rightarrow \,{\text{dynamomètre}}}\Vert =m_{({\mathcal {S}})}\;g\;\sin(\alpha )-\Vert {\vec {F}}_{\text{air}}\Vert \;$» ce qui donne finalement « la norme de la force de poussée de l'air $\;\Vert {\vec {F}}_{\text{air}}\Vert =$ $m_{({\mathcal {S}})}\;g\;\sin(\alpha )-\Vert {\vec {T}}_{({\mathcal {S}})\,\rightarrow \,{\text{dynamomètre}}}\Vert \;$» ou encore « celle de la résistance de l'air qui serait exercée sur l'objet en translation dans l'air globalement immobile ».
La vitesse du courant créé par la soufflerie à l'endroit de l'équilibre peut être mesurée par un « anémomètre » comme « l'anémomètre à tube », on peut alors « étudier le lien entre force de poussée de l'air et vitesse du courant engendrant cette poussée » et « vérifier le caractère quadratique de ce lien pour les vitesses de courant mesurées » ;
on peut aussi modifier « l'aire du maître-couple » $\;{\big$facilement mesurable${\big )}\;$ ainsi que « le cœfficient de traînée » pour « étudier l'influence de ces différents paramètres » $\;\ldots$

## Mise en équations de la chute freinée par résistance de fluide linéaire d'un objet lancé avec une vitesse initiale, système d'équations différentielles « découplées » du mouvement de son centre d'inertie, lois horaires de vitesse et de position
### Exposé du problème

Comme le déplacement d'un objet macroscopique dans l'air subit une résistance de l'air « au minimum » quadratique, pour étudier l'influence d'une résistance linéaire de fluide, il convient de remplacer l'air par un fluide nettement plus visqueux comme la glycérine $\;\ldots$
C'est donc la seule modification que nous ferons dans les hypothèses d'expérience par rapport à celles exposées dans le paragraphe « mise en équations de la chute freinée par résistance de l'air quadratique d'un objet lancé avec une vitesse initiale, système d'équations différentielles couplées et établissement de la nature plane du mouvement dans le cas où la vitesse initiale n'est pas verticale » plus haut dans ce chapitre, « la résistance du fluide de forme linéaire étant alors $\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(t)=-h\;{\vec {V}}_{G_{({\mathcal {S}})}}(t)\;$» où «$\;{\vec {V}}_{G_{({\mathcal {S}})}}(t)\;$ est le vecteur vitesse du C.D.I. $\;G\;$ de l'objet $\;({\mathcal {S}})\;$ en translation dans la glycérine globalement immobile », «$\;h\;$ étant une constante $\;>0\;$ caractéristique de la forme et de la dimension de l'objet ainsi que du fluide dans lequel il se déplace » ;
les C.I. sont identiques à celles du « paragraphe précité » $\;{\big$à $\;t=0$, « le C.D.I. $\;G\;$ est en $\;O\;$» et « son vecteur vitesse vaut $\;{\vec {V}}_{0}\;$»${\big ]}$, le repère cartésien étant également le même $\;{\big$« origine du repère $\;O\;$», « axe vertical $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ ascendant », « l'axe horizontal $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ tel que $\;{\vec {V}}_{0}\;$ soit dans le plan $\;xOz\;$», « l'axe horizontal $\;{\overrightarrow {Oy}}\;\perp \;$ au plan $\;xOz\;$ tel que le trièdre $\;\left\lbrace {\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {Oy}}\,,\,{\overrightarrow {Oz}}\right\rbrace \;$ soit direct dans l'espace physique orienté à droite » $\;{\big$voir le paragraphe « base directe d'un espace orienté à droite » ainsi que l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.$7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »${\big ]}$, « l'angle $\;\alpha _{0}={\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)}}\;$ étant orienté dans le sens trigonométrique direct » correspondant au « choix de sens $\;+\;$ de mesure des angles du plan $\;xOz\;$ défini par le vecteur $\;-{\vec {u}}_{y}\;$»${\big ]}\;$.

### Mise en équations de la chute freinée par résistance de fluide linéaire d'un objet lancé avec une vitesse initiale

Le théorème du mouvement du C.D.I. appliqué à l'objet $\;({\mathcal {S}})\;$ conduit à «$\;{\vec {a}}_{G_{({\mathcal {S}})}}(t)={\vec {g}}+{\dfrac {{\overrightarrow {\mathcal {R_{\text{flu}}}}}(t)}{m_{({\mathcal {S}})}}}\;$» ou «$\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{G_{({\mathcal {S}})}}}{dt}}(t)={\vec {g}}-{\dfrac {h}{m_{({\mathcal {S}})}}}\;{\vec {V}}_{G_{({\mathcal {S}})}}(t)\;$» soit
$\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{G_{({\mathcal {S}})}}}{dt}}(t)+{\dfrac {h}{m_{({\mathcal {S}})}}}\;{\vec {V}}_{G_{({\mathcal {S}})}}(t)={\vec {g}}\;$
$\;{\vec {V}}_{G_{({\mathcal {S}})}}\;$

### Résolution de l'équation différentielle vectorielle du mouvement du centre d'inertie de l'objet

L'équation différentielle vectorielle du mouvement du C.D.I. $\;G_{({\mathcal {S}})}\;$ de l'objet $\;({\mathcal {S}})\;$ étant linéaire à cœfficients constants du 1er ordre en $\;{\vec {V}}_{G_{({\mathcal {S}})}}\;$ hétérogène, « la solution $\;{\vec {V}}_{G_{({\mathcal {S}})}}(t)\;$ est la superposition d'un régime libre $\;{\vec {V}}_{G_{({\mathcal {S}})},\,l}(t)\;$ ${\big$solution générale de l'équation homogène${\big )}\;$ et d'un régime forcé $\;{\vec {V}}_{G_{({\mathcal {S}})},\,f}\;$ ${\big$solution particulière de l'équation hétérogène, de même forme que l'excitation c.-à-d. $\;{\overrightarrow {\text{cste}}}{\big )}\;$ » soit
$\;{\vec {V}}_{G_{({\mathcal {S}})}}(t)={\vec {V}}_{G_{({\mathcal {S}})},\,l}(t)+{\vec {V}}_{G_{({\mathcal {S}})},\,f}\;$
pour le régime forcé, «$\;{\vec {V}}_{G_{({\mathcal {S}})},\,f}={\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}\;{\vec {g}}}{h}}\;$» et, pour le régime libre, «$\;{\vec {V}}_{G_{({\mathcal {S}})},\,l}(t)={\vec {A}}\,\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;$» où «$\;\tau ={\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}}{h}}\;$ est la constante de temps d'amortissement du régime libre », d'où «$\;{\vec {V}}_{G_{({\mathcal {S}})}}(t)={\vec {A}}\,\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)+{\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}\,{\vec {g}}}{h}}\;$», le vecteur constant $\;{\vec {A}}\;$ se déterminant à l'aide de la C.I. «$\;{\vec {V}}_{G_{({\mathcal {S}})}}(0)={\vec {V}}_{0}\;$» soit «$\;{\vec {V}}_{0}={\vec {A}}+{\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}\;{\vec {g}}}{h}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\vec {A}}={\vec {V}}_{0}-{\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}\;{\vec {g}}}{h}}\;$» et par suite la loi horaire vectorielle de vitesse du C.D.I. $\;G_{({\mathcal {S}})}\;$ de l'objet $\;({\mathcal {S}})\;$ s'écrit
$\;{\vec {V}}_{G_{({\mathcal {S}})}}(t)={\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}\;{\vec {g}}}{h}}+\left[{\vec {V}}_{0}-{\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}\;{\vec {g}}}{h}}\right]\,\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;$
Sachant que «$\;{\vec {V}}_{G_{({\mathcal {S}})}}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {OG_{({\mathcal {S}})}}}}{dt}}(t)\;$», on intègre une nouvelle fois pour obtenir la loi horaire vectorielle de position du C.D.I. $\;G_{({\mathcal {S}})}\;$ de l'objet $\;({\mathcal {S}})\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\overrightarrow {OG_{({\mathcal {S}})}}}(t)=$ ${\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}\;{\vec {g}}}{h}}\;t-\tau \left[{\vec {V}}_{0}-{\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}\;{\vec {g}}}{h}}\right]\,\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)+{\overrightarrow {\text{cste}}}\;$» et on détermine le vecteur constant d'intégration à l'aide de la C.I. «$\;{\overrightarrow {OG_{({\mathcal {S}})}}}(0)={\vec {0}}\;$» soit «$\;{\vec {0}}=-\tau \left[{\vec {V}}_{0}-{\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}\;{\vec {g}}}{h}}\right]+{\overrightarrow {\text{cste}}}\;$» d'où «$\;{\overrightarrow {\text{cste}}}=$ $\tau \left[{\vec {V}}_{0}-{\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}\;{\vec {g}}}{h}}\right]=\left[{\vec {V}}_{0}-{\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}\;{\vec {g}}}{h}}\right]{\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}}{h}}\;$» soit finalement la loi horaire vectorielle de position du C.D.I. $\;G_{({\mathcal {S}})}\;$ de l'objet $\;({\mathcal {S}})\;$ s'écrit
$\;{\overrightarrow {OG_{({\mathcal {S}})}}}(t)={\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}\;{\vec {g}}}{h}}\;t+\left[{\vec {V}}_{0}-{\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}\;{\vec {g}}}{h}}\right]{\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}}{h}}\left[1-\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\right]\;$

### Lois horaires scalaires de vitesse et de position du mouvement du centre d'inertie de l'objet

Il suffit de projeter chaque loi horaire vectorielle du C.D.I. $\;G_{({\mathcal {S}})}\;$ de l'objet $\;({\mathcal {S}})\;$ précédemment déterminée sur chacun des trois axes du repère cartésien et on obtient l'ensemble des trois lois horaires scalaires cartésiennes de vitesse et de position du C.D.I. $\;G_{({\mathcal {S}})}\;$ de l'objet $\;({\mathcal {S}})$.

#### Lois horaires scalaires de vitesse du mouvement du centre d'inertie de l'objet

En projetant sur les trois axes cartésiens la loi horaire vectorielle «$\;{\vec {V}}_{G_{({\mathcal {S}})}}(t)={\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}\;{\vec {g}}}{h}}+\left[{\vec {V}}_{0}-{\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}\;{\vec {g}}}{h}}\right]\,\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;$» on obtient donc
$\;{\vec {V}}_{G_{({\mathcal {S}})}}(t)\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c}V_{G_{({\mathcal {S}})},\,x}(t)\!\!&=&\!\!V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\\V_{G_{({\mathcal {S}})},\,y}(t)\!\!&=&\!\!0\\V_{G_{({\mathcal {S}})},\,z}(t)\!\!&=&\!\!-{\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}\;g}{h}}+\left[V_{0}\;\sin(\alpha _{0})+{\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}\;g}{h}}\right]\,\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$
Commentaires : Si $\;\alpha _{0}\neq \pm {\dfrac {\pi }{2}}$, le mouvement de $\;G_{({\mathcal {S}})}\;$ est plan dans le plan de lancement $\;xOz$, Commentaires : Si $\;\color {transparent}{\alpha _{0}\neq \pm {\dfrac {\pi }{2}}}$, la composante de la vitesse de $\;G_{({\mathcal {S}})}\;$ sur $\;Ox$ $\;\searrow \;$ jusqu'à devenir nulle à l'infini alors que Commentaires : Si $\;\color {transparent}{\alpha _{0}\neq \pm {\dfrac {\pi }{2}}}$, la composante sur $\;Oz$, également $\;\searrow$, est d'abord positive si $\;\alpha _{0}\;$ est $\;>0\;$ puis négative $\;\searrow \;$ jusqu'à une valeur limite correspondant au poids compensé par la résistance du fluide ;
Commentaires : si $\;\alpha _{0}=\pm {\dfrac {\pi }{2}}$, le mouvement de $\;G_{({\mathcal {S}})}\;$ est rectiligne vertical, Commentaires : si $\;\color {transparent}{\alpha _{0}=\pm {\dfrac {\pi }{2}}}$, la composante sur $\;Oz$, $\;\searrow$, en étant d'abord positive si $\;\alpha _{0}=+{\dfrac {\pi }{2}}\;$ puis négative $\;\searrow \;$ jusqu'à une valeur limite correspondant au poids compensé par la résistance du fluide.

#### Lois horaires scalaires de position du mouvement du centre d'inertie de l'objet

En projetant sur les trois axes cartésiens la loi horaire vectorielle «$\;{\overrightarrow {OG_{({\mathcal {S}})}}}(t)={\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}\;{\vec {g}}}{h}}\;t+\left[{\vec {V}}_{0}-{\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}\;{\vec {g}}}{h}}\right]{\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}}{h}}\left[1-\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\right]\;$» on obtient
$\;{\overrightarrow {OG_{({\mathcal {S}})}}}(t)\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c}x_{G_{({\mathcal {S}})}}(t)\!\!&=&\!\!{\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}}{h}}\;V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\left[1-\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\right]\\y_{G_{({\mathcal {S}})}}(t)\!\!&=&\!\!0\\z_{G_{({\mathcal {S}})}}(t)\!\!&=&\!\!-{\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}\;g}{h}}\;t+{\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}}{h}}\left[V_{0}\;\sin(\alpha _{0})+{\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}\;g}{h}}\right]\left[1-\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$
Commentaires : Si $\;\alpha _{0}\neq \pm {\dfrac {\pi }{2}}$, le mouvement de $\;G_{({\mathcal {S}})}\;$ est plan dans le plan de lancement $\;xOz$, Commentaires : Si $\;\color {transparent}{\alpha _{0}\neq \pm {\dfrac {\pi }{2}}}$, l'abscisse de $\;G_{({\mathcal {S}})}\;$ est $\;\nearrow \;$ jusqu'à devenir constante à l'infini alors que Commentaires : Si $\;\color {transparent}{\alpha _{0}\neq \pm {\dfrac {\pi }{2}}}$, sa cote est d'abord $\;\nearrow \;$ si $\;\alpha _{0}\;$ est $\;>0\;$ puis, après passage par une altitude maximale, $\;\searrow \;$ jusqu'à $\;-\infty$, d'où l'existence pour la trajectoire de $\;G_{({\mathcal {S}})}\;$ d'une « asymptote verticale d'équation $\;x_{G_{({\mathcal {S}})},\,{\text{asympt}}}=\lim \limits _{t\,\rightarrow \,+\infty }x_{G_{({\mathcal {S}})}}(t)\;$» ;
Commentaires : si $\;\alpha _{0}=\pm {\dfrac {\pi }{2}}$, le mouvement de $\;G_{({\mathcal {S}})}\;$ est rectiligne vertical, Commentaires : si $\;\color {transparent}{\alpha _{0}=\pm {\dfrac {\pi }{2}}}$, sa cote est d'abord $\;\nearrow \;$ si $\;\alpha _{0}=+{\dfrac {\pi }{2}}\;$ puis, après passage par une altitude maximale, $\;\searrow \;$ jusqu'à $\;-\infty$.

### Trajectoire du centre d'inertie de l'objet dans le cas où le lancement n'est pas vertical

Les équations paramétriques cartésiennes de la trajectoire du C.D.I. $\;G_{({\mathcal {S}})}\;$ de l'objet $\;({\mathcal {S}})\;$ s'identifiant aux lois horaires scalaires cartésiennes de position de $\;G_{({\mathcal {S}})}$, elles se réécrivent, dans le plan $\;xOz\;$ de la trajectoire
$\;G_{({\mathcal {S}})}\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l c l}x_{G_{({\mathcal {S}})}}\!\!&=&\!\!\!\!&&\!\!{\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}}{h}}\;V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\left[1-\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\right]\\z_{G_{({\mathcal {S}})}}\!\!&=&\!\!-{\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}\;g}{h}}\;t\!\!&+&\!\!{\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}}{h}}\left[V_{0}\;\sin(\alpha _{0})+{\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}\;g}{h}}\right]\left[1-\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$
Remarque : La détermination de l'équation cartésienne par élimination du paramètre pourrait être faite mais elle ne serait pas d'un grand secours car conduirait à une équation qualifiée de « transcendante ».
Voir le tracé ci-contre donnant l'allure de la trajectoire du C.D.I. $\;G_{({\mathcal {S}})}\;$ de l'objet $\;({\mathcal {S}})\;$ dans le cas $\;\alpha _{0}>0$.
Sommet de la trajectoire : le sommet $\;S\;$ est déterminé par $\;V_{z}(S)=0\;$ soit, en explicitant $\;V_{G_{({\mathcal {S}})},\,z}(t)$, l'équation transcendante suivante
$\;0=-{\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}\;g}{h}}+\left[V_{0}\;\sin(\alpha _{0})+{\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}\;g}{h}}\right]\,\exp \!\left(-{\dfrac {t_{S}}{\tau }}\right)\;$
Sommet de la trajectoire : dont on tire «$\;\exp \!\left(-{\dfrac {t_{S}}{\tau }}\right)=$ ${\dfrac {\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}\;g}{h}}{V_{0}\;\sin(\alpha _{0})+{\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}\;g}{h}}}}={\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}\;g}{h\;V_{0}\;\sin(\alpha _{0})+m_{({\mathcal {S}})}\;g}}\;$» soit finalement l'instant $\;t_{S}\;$ de passage au sommet «$\;t_{S}=$ $\tau \;\ln \!\left[{\dfrac {h\;V_{0}\;\sin(\alpha _{0})+m_{({\mathcal {S}})}\;g}{m_{({\mathcal {S}})}\;g}}\right]\;$» d’où Sommet de la trajectoire : « l'abscisse $\;x_{S}={\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}}{h}}\;V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\left[1-\exp \!\left(-{\dfrac {t_{S}}{\tau }}\right)\right]\;$» se réécrivant, par report de $\;\exp \!\left(-{\dfrac {t_{S}}{\tau }}\right)=$ ${\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}\;g}{h\;V_{0}\;\sin(\alpha _{0})+m_{({\mathcal {S}})}\;g}}$, «$\;x_{S}=$ ${\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}}{h}}\;V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\left[1-{\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}\;g}{h\;V_{0}\;\sin(\alpha _{0})+m_{({\mathcal {S}})}\;g}}\right]={\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}}{h}}\;V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\;{\dfrac {h\;V_{0}\;\sin(\alpha _{0})}{h\;V_{0}\;\sin(\alpha _{0})+m_{({\mathcal {S}})}\;g}}\;$» soit finalement
$\;x_{S}={\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}\;V_{0}^{2}\;\cos(\alpha _{0})\;\sin(\alpha _{0})}{h\;V_{0}\;\sin(\alpha _{0})+m_{({\mathcal {S}})}\;g}}\;$
Sommet de la trajectoire : « la cote $\;z_{S}\;$ du sommet de la trajectoire est alors $\;z_{S}=$ $-{\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}\;g}{h}}\;t_{S}+{\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}}{h}}\left[V_{0}\;\sin(\alpha _{0})+{\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}\;g}{h}}\right]\left[1-\exp \!\left(-{\dfrac {t_{S}}{\tau }}\right)\right]\;$» ou encore «$\;z_{S}=$ $-{\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}\;g}{h}}\;\tau \;\ln \!\left[{\dfrac {h\;V_{0}\;\sin(\alpha _{0})+m_{({\mathcal {S}})}\;g}{m_{({\mathcal {S}})}\;g}}\right]+{\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}}{h}}\left[V_{0}\;\sin(\alpha _{0})+{\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}\;g}{h}}\right]\left[1-{\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}\;g}{h\;V_{0}\;\sin(\alpha _{0})+m_{({\mathcal {S}})}\;g}}\right]\;$» soit, après simplification évidente et remplacement de $\;\tau \;$ par $\;{\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}}{h}}$,
$\;z_{S}=-{\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}^{2}\;g}{h^{2}}}\;\ln \!\left[{\dfrac {h\;V_{0}\;\sin(\alpha _{0})+m_{({\mathcal {S}})}\;g}{m_{({\mathcal {S}})}\;g}}\right]+{\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}\;V_{0}\;\sin(\alpha _{0})}{h}}\;$
Portée du lancer de l'objet : la détermination de la portée $\;{\big$c.-à-d. la distance horizontale séparant la position de lancement de celle de retombée à la même altitude${\big )}\;$ ne peut se faire de façon algébrique car «$\;P\;$ défini par $\;z_{P}=0\;$ avec $\;x_{P}\neq 0\;$ ou $\;t_{P}\neq 0\;$» correspond à l'équation « transcendante » en $\;t_{P}\;$ suivante «$\;g\;t_{P}=\left[V_{0}\;\sin(\alpha _{0})+{\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}\;g}{h}}\right]\left[1-\exp \!\left(-{\dfrac {t_{P}}{\tau }}\right)\right]\;$» pour laquelle il n'existe pas de solution algébrique ; on peut, par contre, déterminer numériquement la portée par exemple en utilisant la « méthode de dichotomie ».

### Hodographe de pôle O du mouvement du centre d'inertie de l'objet dans le cas où le lancement n'est pas vertical

L'hodographe de pôle $\;O\;$ du mouvement du C.D.I. $\;G_{({\mathcal {S}})}\;$ de $\;({\mathcal {S}})\;$ étant défini comme l'« ensemble des positions $\;Q\;$ du C.D.I. $\;G_{({\mathcal {S}})}\;$ de l'objet $\;({\mathcal {S}})\;$ tel que $\;{\overrightarrow {OQ}}(t)\;{\widehat {=}}\;$ ${\vec {V}}_{G_{({\mathcal {S}})}}(t)\;$», on en déduit les équations paramétriques de l'hodographe de pôle $\;O\;$ du mouvement de $\;G_{({\mathcal {S}})}\;$ par utilisation des lois horaires scalaires de vitesse de ce dernier soit
$\;Q\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c}X_{Q}\!\!&{\widehat {=}}&!\!V_{G_{({\mathcal {S}})},\,x}(t)\!\!&=&\!\!V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\\Y_{Q}\!\!&{\widehat {=}}&!\!V_{G_{({\mathcal {S}})},\,y}(t)\!\!&=&\!\!0\\Z_{Q}\!\!&{\widehat {=}}&!\!V_{G_{({\mathcal {S}})},\,z}(t)\!\!&=&\!\!-{\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}\;g}{h}}+\left[V_{0}\;\sin(\alpha _{0})+{\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}\;g}{h}}\right]\,\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$
de $\;Y_{Q}=0\;$ on déduit que « l'hodographe de pôle $\;O\;$ du mouvement de $\;G_{({\mathcal {S}})}\;$ est plan, plus précisément contenu dans le plan $\;X_{Q}OZ_{Q}\;$» ;
pour trouver l'équation cartésienne de l'hodographe de pôle $\;O\;$ du mouvement de $\;G_{({\mathcal {S}})}\;$ dans le plan $\;X_{Q}OZ_{Q}$, il faut éliminer le paramètre $\;t\;$ entre les deux équations paramétriques restantes selon $\;\left\lbrace {\begin{array}{c c l}\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\!\!&=&\!\!{\dfrac {X_{Q}}{V_{0}\;\cos(\alpha _{0})}}\\Z_{Q}\!\!&=&\!\!-{\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}\;g}{h}}+\left[V_{0}\;\sin(\alpha _{0})+{\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}\;g}{h}}\right]\,\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où, par report de l'expression de $\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;$ dans celle de $\;Z_{Q}$, on obtient, pour équation cartésienne de l'hodographe de pôle $\;O\;$ du mouvement de $\;G_{({\mathcal {S}})}\;$ dans le plan $\;X_{Q}OZ_{Q}$, l'équation suivante «$\;Z_{Q}=-{\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}\;g}{h}}+\left[V_{0}\;\sin(\alpha _{0})+{\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}\;g}{h}}\right]\,{\dfrac {X_{Q}}{V_{0}\;\cos(\alpha _{0})}}\;$» soit encore
$\;Z_{Q}=-{\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}\;g}{h}}+\left[\tan(\alpha _{0})+{\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}\;g}{h\;V_{0}\;\cos(\alpha _{0})}}\right]\,X_{Q}\;$
$\;\tan(\alpha _{0})+{\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}\;g}{h\;V_{0}\;\cos(\alpha _{0})}}>0\;$
$\;-{\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}\;g}{h}}<0\;$
$\;O\;$
$\;G_{({\mathcal {S}})}\;$
$\;\alpha _{0}>0$
Description de l'hodographe de pôle $\;O\;$ du mouvement de $\;G_{({\mathcal {S}})}\;$ dans le cas $\;\alpha _{0}>0$ :
* À $\;t=0$, «$\;Q\;$ est en $\;Q_{0}\;$ tel que $\;{\overrightarrow {OQ_{0}}}\;{\widehat {=}}\;{\vec {V}}_{0}\;$», « le vecteur $\;{\overrightarrow {OQ_{0}}}\;$ fait donc l'angle $\;\alpha _{0}\;$ avec $\;{\overrightarrow {OX_{Q}}}\;$», les angles du plan $\;X_{Q}OZ_{Q}\;$ étant orienté dans le sens trigonométrique direct ;
* $\;Q\;$ a une abscisse et une ordonnée qui $\;\searrow$, dans un 1er temps jusqu'en $\;Q_{S}\;$ correspondant au sommet $\;S\;$ de la trajectoire avec «$\;Z_{Q_{S}}=V_{S,\,z}=0\;$» puis,
* $\;\color {transparent}{Q}\;$ a une abscisse et une ordonnée qui $\;\color {transparent}{\searrow }$, dans un 2nd temps jusqu'en $\;Q_{\text{asympt}}\;$ correspondant à un mouvement à vitesse limite sur la trajectoire tel que «$\;Z_{Q_{\text{asympt}}}$ $=V_{G_{({\mathcal {S}})},\,{\text{lim}}}=-{\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}\;g}{h}}\;$».
Propriété étonnante de l'hodographe de pôle $\;O\;$ du mouvement de $\;G_{({\mathcal {S}})}\;$ dans le cas $\;\alpha _{0}>0$ : « La vitesse de $\;G_{({\mathcal {S}})}\;$ devient minimale lorsque $\;Q\;$ passe par $\;Q_{\text{min}}\;$ projeté orthogonal de $\;O\;$ sur l'hodographe de pôle $\;O\;$ du mouvement de $\;G_{({\mathcal {S}})}\;$», en effet «$\;\Vert {\overrightarrow {OQ}}(t)\Vert =\Vert {\vec {V}}_{G_{({\mathcal {S}})}}(t)\Vert \;$» et «$\;\Vert {\overrightarrow {OQ}}(t)\Vert \;$ est minimale en $\;Q_{\text{min}}\;$» ; Propriété étonnante de l'hodographe de pôle $\;\color {transparent}{O}\;$ du mouvement de $\;\color {transparent}{G_{({\mathcal {S}})}}\;$ dans le cas $\;\color {transparent}{\alpha _{0}>0}$ : la cote de $\;Q_{\text{min}}\;$ étant $\;<0$, la composante du vecteur vitesse de $\;G_{({\mathcal {S}})}\;$ correspondante $\;V_{G_{({\mathcal {S}})},\,z}\;$ l'est aussi et par suite que « la vitesse devient minimale dans la partie descendante de la trajectoire $\;{\big$donc après le passage par le sommet${\big )}\;$», étonnant non !
Propriété étonnante de l'hodographe de pôle $\;\color {transparent}{O}\;$ du mouvement de $\;\color {transparent}{G_{({\mathcal {S}})}}\;$ dans le cas $\;\color {transparent}{\alpha _{0}>0}$ : On peut d'ailleurs déterminer la valeur de cette vitesse minimale en cherchant la distance orthogonale de $\;O\;$ à l'hodographe de pôle $\;O\;$ du mouvement de $\;G_{({\mathcal {S}})}$, ce qui est aisé connaissant l'équation cartésienne de ce dernier ; Propriété étonnante de l'hodographe de pôle $\;\color {transparent}{O}\;$ du mouvement de $\;\color {transparent}{G_{({\mathcal {S}})}}\;$ dans le cas $\;\color {transparent}{\alpha _{0}>0}$ : on trouve pour vitesse minimale «$\;V_{\text{min}}={\dfrac {\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}\;g}{h}}{\sqrt {\left\lbrace -\left[\tan(\alpha _{0})+{\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}\;g}{h\;V_{0}\;\cos(\alpha _{0})}}\right]\right\rbrace ^{2}+1^{2}}}}\;$»
$\;V_{\text{min}}={\dfrac {\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}\;g}{h}}{\sqrt {1+\left[\tan(\alpha _{0})+{\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}\;g}{h\;V_{0}\;\cos(\alpha _{0})}}\right]^{2}}}}\;$
$\;\ldots$
Propriété étonnante de l'hodographe de pôle $\;\color {transparent}{O}\;$ du mouvement de $\;\color {transparent}{G_{({\mathcal {S}})}}\;$ dans le cas $\;\color {transparent}{\alpha _{0}>0}$ : « Le vecteur vitesse au point où la vitesse est minimale est alors incliné d'un angle algébrique $\;\beta \;$ tel que $\;\tan(\beta )\;$ est la pente de $\;{\overrightarrow {OQ_{\text{min}}}}\;$» et comme ce dernier est un vecteur normal à l'hodographe de pôle $\;O\;$ du mouvement de $\;G_{({\mathcal {S}})}\;$ $\Rightarrow$ «$\;\tan(\beta )=-{\dfrac {1}{\tan(\alpha _{0})+{\dfrac {m_{({\mathcal {S}})}\;g}{h\;V_{0}\;\cos(\alpha _{0})}}}}\;$» ou
$\;\tan(\beta )=-{\dfrac {h\;V_{0}\;\cos(\alpha _{0})}{h\;V_{0}\;\sin(\alpha _{0})+m_{({\mathcal {S}})}\;g}}\;$