# Application (mathématiques)/Définitions

Dans ce chapitre, nous allons commencer par introduire la notion d'application comme une notion primitive, ensuite nous définirons une application comme une relation. Nous nous intéresserons à des types d'application, à des applications particulières et donnerons leurs propriétés.

## Applications
### Définition intuitive d’une application

* Une fonction d’un ensemble E dans un ensemble F (ou de E vers F) est une correspondance, qui à tout élément x de E associe au plus un élément y de l’ensemble F.
* Une application d’un ensemble E dans un ensemble F (ou de E vers F) est une correspondance, qui à tout élément x de E associe un élément et un seul y de l’ensemble F.
* y est appelé l'image de x par f et se note f(x). x est un antécédent de y par f.
* Si f est une application sur E, E s’appelle l'ensemble de départ ou l'ensemble de définition de f, et F l'ensemble d'arrivée.
* L'application f de E dans F se note
${\begin{matrix}f:&E&\to &F\\&x&\mapsto &f(x)\end{matrix}}$ ou $f:E\to F$ ou encore $f:x\mapsto f(x)$.
La partie $G=\{(x,y)\in E\times F\mid y=f(x)\}$ formée des couples de E × F de la forme (x, f(x)) où x parcourt l’ensemble E s’appelle le graphe de f.
Une représentation graphique de f est une représentation du graphe de f.
L'ensemble des applications de E dans F se note habituellement $F^{E}$ ou ${\mathcal {F}}(E,F)$ ; l’ensemble ${\mathcal {F}}(E,E)$ des applications de E dans E se note plus simplement ${\mathcal {F}}(E)$.
* Souvent, la notion d'application est confondue avec celle de fonction.
* L'image d’un élément x par f est aussi appelée la valeur de f en x.
* Pour tout élément x de E, f(x) est un élément de F, et ne représente pas l’application f. Il ne faut en aucun cas confondre l’application f, avec l’image par f d’un élément. Ceux qui considèrent que f(x) est une fonction de la variable x, devraient se poser la question suivante : pour f = exp, si x prend la valeur 2, f(x) est-elle toujours une fonction ?
* Si f est une application de E dans F alors $\forall x\in E\quad \exists !y\in F\quad y=f(x)$.
Deux applications $f:E\to F$ et $g:E'\to F'$ sont dites égales si les trois propriétés suivantes sont vérifiées
* E = E' (même ensemble de départ)
* F = F' (même ensemble d'arrivée)
* pour tout x, f(x) = g(x).

### Application et relation

Un graphe dans $E\times F$ est une partie $G$ de $E\times F$ telle que pour tout $x\in E$, il existe exactement un élément $y\in F$ tel que $(x,y)\in G$.
Une application, ou fonction, est un triplet $f=(E,F,G)$, où $G$ est un graphe dans $E\times F$. Si $f=(E,F,G)$ est une application, si $(x,y)\in G$, on note $f(x)$ pour $y$. On dit alors que $x$ est un antécédent de $y$ par $f$, et que $y$ est l'image de $x$ par $f$.

### Exemples d’applications

* ${\begin{matrix}\mathbb {R} &\to &\mathbb {R} \\x&\mapsto &x^{2}-x\end{matrix}}$ est une application.
* ${\begin{matrix}\mathbb {R} ^{2}&\to &\mathbb {R} \\(x,y)&\mapsto &x^{2}+xy\end{matrix}}$ est une application.
Soit E un ensemble quelconque. L'application identité de E (ou application identique de E) est l’application de E dans E, notée $\operatorname {Id} _{E}$, définie par $\forall x\in E,\operatorname {Id} _{E}(x)=x$.
Soient E et F deux ensembles quelconques. Une application f de E dans F est dite constante si tous les éléments de E ont même image par f, c'est-à-dire si $\forall x,x'\in E\quad f(x)=f(x')$.
Soit A une partie d’un ensemble quelconque E. On appelle application caractéristique de A, ou fonction indicatrice de A, l’application
    ${\begin{matrix}\chi _{A}&:&E&\to &\{0,1\}\\&&x&\mapsto &{\begin{cases}1&{\text{si }}&x\in A\\0&{\text{si }}&x\notin A.\end{cases}}\end{matrix}}$

### Prolongements et restrictions

À partir d’une application donnée, on peut créer d’autres applications en remplaçant simplement l’ensemble de départ ou d'arrivée par un sous-ensemble ou un sur-ensemble de cet ensemble.

#### Restriction d’une application

Soient E et F deux ensembles quelconques et f une application de E dans F. Soit E' une partie de E. On appelle la restriction de f à E', l’application g de E' dans F qui à tout x de E' associe f(x) c'est-à-dire telle que $\forall x\in E'\quad g(x)=f(x)$. Cette application g est habituellement notée $f_{|E'}$.
L'application $\exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ peut être restreinte à $\mathbb {R} ^{*}$ en l’application ${\begin{matrix}\mathbb {R} ^{*}&\to &\mathbb {R} \\x&\mapsto &\mathrm {e} ^{x}\end{matrix}}$.

#### Prolongements d’une application

Soient E et F deux ensembles quelconques et f une application de E dans F. Soit E' un ensemble contenant E. Nous appelons un prolongement de f à E', toute application g de E' dans F dont la restriction à E est égale à f, c'est-à-dire telle que $\forall x\in E\quad g(x)=f(x)$.

##### Remarque

    Il existe en général plusieurs prolongements d’une même application.
* Les applications
    ${\begin{matrix}\left[0,1\right]&\to &\mathbb {R} \\x&\mapsto &x\end{matrix}}$
    et
    ${\begin{matrix}\left[0,1\right]&\to &\mathbb {R} \\x&\mapsto &\left\{{\begin{matrix}x&{\rm {\,si\,}}&x\neq 0\\1&{\rm {\,si\,}}&x=0\end{matrix}}\right.\end{matrix}}$
    sont des prolongements à $\left[0,1\right]$ de l’application
    ${\begin{matrix}\left]0,1\right]&\to &\mathbb {R} \\x&\mapsto &x\end{matrix}}$.
* La fonction sinus est un prolongement à $\mathbb {R}$ de l’application ${\begin{matrix}\left[0,2\pi \right[&\to &\mathbb {R} \\x&\mapsto &\sin x\end{matrix}}$.

#### Restriction de l’ensemble d'arrivée

Soient E et F deux ensembles quelconques et f une application de E dans F. Soit F' une partie de F. Il est possible de restreindre l’ensemble d'arrivée de l’application f, pour former une application g de E dans F' qui à un élément x de E associe f(x), à condition que tout élément x de E ait une image dans F' (c'est-à-dire que l’image de f soit incluse dans F').
Dans ce cas l’application g se note $f^{|F'}$.

#### Extension de l’ensemble d'arrivée

Soient E et F deux ensembles quelconques et f une application de E dans F. Soit F' un ensemble contenant F. On peut toujours considérer l’application g de E dans F' qui à un élément x de E associe f(x).

## Image directe, image réciproque d’une partie par une application

Soient $E$ et $F$ deux ensembles et $f:E\to F$ une application.
* Soit A une partie de E, on appelle image de A (ou image directe de A) par f l’ensemble des éléments de F de la forme f(x) où x parcourt A, c'est-à-dire l’ensemble des éléments y de F tels qu’il existe un élément x de A tel que y = f(x). Cette image directe se note f(A), et l'on a $f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}=\{y\in F\mid \exists x\in A\quad y=f(x)\}$.
* Dans le cas particulier où A = E, l’ensemble f(E) est l’ensemble des images de tous les éléments de l’ensemble de définition de f, et s’appelle l’ensemble des valeurs de f, ou image de f et se note Im f ou Im(f). On a donc $\operatorname {Im} (f)=f(E)$.

### Propriétés immédiates

   * $f(\varnothing )=\varnothing$ (il n'y a pas d'image d'élément de l’ensemble vide puisque l’ensemble vide n'a pas d'élément)
   * L'image d'un singleton est un singleton : pour tout élément x de E, f({x}) = {f(x)}.
* L'image d’une partie par une application est une partie de l’ensemble d'arrivée et non un élément de cet ensemble.
* Il ne faut pas confondre l’image d’une partie (en particulier l'image d'une application) avec l’image d’un élément.
Soit B une partie de F, on appelle image réciproque (ou préimage) de B par f, l’ensemble des éléments x de E tels que f(x) appartienne à B, c'est-à-dire l’ensemble de tous les antécédents de tous les éléments de B. Cette image réciproque se note $f^{-1}(B)$. On a donc $f^{-1}(B)=\{x\in E\mid f(x)\in B\}$.
* La notation utilisée pour désigner l’image réciproque d’une partie par une application est trompeuse puisque $f^{-1}$ peut faire penser à l’application réciproque (qui n'existe que dans le cas où f est bijective). En considérant $f^{-1}(Y)$, nous devons donc examiner si Y est une partie de l’ensemble d'arrivée auquel cas il s'agit bien d’une image réciproque, ou si Y est un élément de l’ensemble d'arrivée auquel cas il s'agit de l’image par l’application réciproque $f^{-1}$ de l'élément Y de F, ce qui exige que f soit bijective.
* Si B se réduit à un seul élément b, alors l’ensemble $f^{-1}(\{b\})$ s'écrit parfois $f^{-1}(b)$, mais nous n'utiliserons jamais cet abus.

### Propriétés immédiates

   * $f^{-1}(\varnothing )=\varnothing$
   * $f^{-1}(F)=E$, car f est une application et tous les éléments de E ont une image dans F.
   * Pour tout y de F, $f^{-1}(\{y\})$ est l’ensemble de tous les antécédents de y par f. Si f est bijective, alors $f^{-1}(\{y\})=\{f^{-1}(y)\}$, puisque dans ce cas le seul antécédent de y est $f^{-1}(y)$.
Soient $g:F\to G$, $A,A'\in {\mathcal {P}}(E)$ (l'ensemble des parties de $E$), $B,B'\in {\mathcal {P}}(F)$ et $C\in {\mathcal {P}}(G)$. Alors :
* $A\subset A'\Rightarrow f(A)\subset f(A')$ (croissance de l’image directe) ;
* $f(A\cup A')=f(A)\cup f(A')$ ;
* $f(A\cap A')\subset f(A)\cap f(A')$ ;
* $B\subset B'\Rightarrow f^{-1}(B)\subset f^{-1}(B')$ (croissance de l’image réciproque) ;
* $f^{-1}(B\cup B')=f^{-1}(B)\cup f^{-1}(B')$ ;
* $f^{-1}(B\cap B')=f^{-1}(B)\cap f^{-1}(B')$ ;
* $f^{-1}\left(\complement _{F}B\right)=\complement _{E}{f^{-1}(B)}$ ;
* $A\subset f^{-1}(f(A))$ ;
* $f(f^{-1}(B))=B\cap \operatorname {Im} (f)$ ;
* $A\subset f^{-1}(B)\Leftrightarrow f(A)\subset B$ ;
* $(g\circ f)(A)=g(f(A))$ et $(g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g{-1}(C))$.
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