# Introduction à la cinématique/Exercices/Mouvement de rotation uniforme
## Aiguilles d'une montre

Déterminer la vitesse angulaire des aiguilles d'une montre.
* Cas de l'aiguille des secondes.
* Cas de l'aiguille des heures.
* Cas de l'aiguille des minutes.
* L'aiguille se déplace de 2π chaque minute ou 60 secondes. La fréquence de rotation ω est donc:
    ${\begin{aligned}\omega &={\frac {2\pi }{60}}\\\omega &={\frac {\pi }{30}}\approx 0{,}105\ {\text{rad}}\cdot {\text{s}}^{-1}\end{aligned}}$
* L'aiguille se déplace de 2π chaque 12 heures:
    ${\begin{aligned}\omega &={\frac {2\pi }{12\times 60\times 60}}\\\omega &={\frac {\pi }{21\ 600}}\approx 1{,}454\times 10^{-4}\ {\text{rad}}\cdot {\text{s}}^{-1}\end{aligned}}$
* L'aiguille se déplace de 2π chaque heure:
    ${\begin{aligned}\omega &={\frac {2\pi }{60\times 60}}\\\omega &={\frac {\pi }{1\ 800}}\approx 1{,}745\times 10^{-3}\ {\text{rad}}\cdot {\text{s}}^{-1}\end{aligned}}$

## Vitesse de rotation de la Terre

* Déterminer la vitesse angulaire de la rotation de la Terre autour de son axe en admettant que la Terre effectue un tour en 24 heures.
* En déduire la vitesse d'un point situé sur l’équateur si la circonférence de la Terre mesure 40 000 km.
* Déterminer dans ce même cas l’accélération de ce point.
* Même question pour un point situé à 45 ° de latitude nord.
* La Terre fait une rotation complète à une fréquence de rotation ω$_{Terre}$:
    ${\begin{aligned}\omega _{\text{Terre}}&={\frac {2\pi }{24\times 60\times 60}}\\\omega _{\text{Terre}}&={\frac {\pi }{43\ 200}}\approx 7{,}272\times 10^{-5}\ {\text{rad}}\cdot {s}^{-1}\end{aligned}}$
* On détermine la vitesse d'un point à l'équateur V où le rayon de la Terre est R$_{Terre}$ = 400 000 km. On applique la formule : Soit numériquement:
    $V=\omega _{\text{Terre}}\times R_{\text{Terre}}$
    ${\begin{aligned}V&={\frac {\pi }{43\ 200}}\times 4\times 10^{7}\\V&={\frac {25\ 000\pi }{27}}\approx 2{,}909\times 10^{3}\ {\text{m}}\cdot {s}^{-1}\end{aligned}}$
* On détermine l'accélération normale γ$_N$ de ce point en utilisant la formule suivante: On applique l'équation numériquement.
    $\gamma _{N}={\omega _{Terre}}^{2}\times R_{\text{Terre}}$
    ${\begin{aligned}\gamma _{N}&=({\frac {\pi }{43\ 200}})^{2}\times 4\times 10^{7}\\\gamma _{N}&={\frac {125\pi ^{2}}{5\ 832}}\approx 0{,}212\ {\text{m}}\cdot {s}^{-2}\end{aligned}}$
* À un point situé à 45 ° de latitude nord, on calcule sa vitesse V$_{45°}$ en utilisant la formule suivante: Soit numériquement:
    ${\begin{aligned}V_{\deg {45}}&=\omega _{Terre}\times R_{\deg {45}}\\V_{\deg {45}}&=\omega _{Terre}\times sin(\deg {45})\times R_{\text{Terre}}\end{aligned}}$
    ${\begin{aligned}V_{\deg {45}}&={\frac {\pi }{43\ 200}}\times sin(\deg {45})\times 4\times 10^{7}\\V_{\deg {45}}&={\frac {sin(\deg {45})\times 25\ 000\pi }{27}}\approx 2{,}057\ {\text{m}}\cdot {s}^{-1}\end{aligned}}$

## Tour de production

Sur un tour de production, on usine une pièce de 100 mm de diamètre. La pièce tourne à la vitesse de 300 tr/min.
* Quelle est la vitesse de coupe utilisée en m/min ?
* Même question pour une pièce de 300 mm de diamètre et une fréquence de rotation de 150 tr/min.
* Le mouvement de la pièce est une rotation uniforme. Pour la pièce qui a un diamètre d = 100 mm et une fréquence de rotation de ω = 300 tr/min, on a: Pour calculer V, on applique la formule suivante: Soit numériquement:
    $\omega =300\times 2\pi =600\pi \ {\text{rad}}\cdot {\text{min}}^{-1}$
    $V=\omega \times d$
    ${\begin{aligned}V&=600\pi \times 0{,}1\\V&=60\pi \approx 188{,}50\ {\text{m}}\cdot {\text{min}}^{-1}\end{aligned}}$
* Pour d = 300 mm et ω = 150 tr/min, on a :
    ${\begin{aligned}V&=150\times 2\pi \times 0{,}3\\V&=90\pi \approx 282{,}74\ {\text{m}}\cdot {\text{min}}^{-1}\end{aligned}}$