OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Littérature de jeunesse en anglais : Frères Grimm, Le voyage du Petit Poucet/Le renard

| Chair à saucisse | Sommaire |
* La rencontre avec le renard
* Le retour.
* Le petit tailleur ne voulut pas rester plus longtemps dans cette maison où il était aussi mal traité, et reprit immédiatement son voyage.
* Mais cette liberté ne dura pas longtemps. Dans la campagne, il croisa un renard sur le chemin qui l'avala alors qu’il était perdu dans ses pensées.
* -- « Holà, Monsieur Renard » s'écria le petit tailleur, « c'est moi qui suis coincé dans votre gorge, rendez-moi ma liberté ! ».
* -- « Tu as raison », répondit le renard. « Si je te mangeais j'aurais l'impression de ne rien avoir dans l'estomac. Mais si tu me promets les poulets qui sont dans la basse-cour de ton père, je te laisserai partir ».
* -- « De tout mon cœur, » répondit le Petit Poucet, « je vous promets que vous aurez tous les poulets que vous désirez ».
* Alors le renard le laissa sortir et le porta lui-même jusqu'à la maison.
* Quand le père revit son fils, il donna ses poulets au renard de bon gré.
* -- « En compensation, je t'apporte une belle pièce » déclara le Petit Poucet qui lui remit la pièce qu’il avait gagnée au cours de ses voyages.
* -- « Mais pourquoi le renard a-t-il obtenu tous les poulets à manger ? »
* -- « Oh, tu es bête comme une oie ! ton père t'aime sûrement beaucoup plus que tous les poulets de la basse-cour ! »
| Chair à saucisse | Sommaire |
# Littérature de jeunesse en anglais : Frères Grimm, Le voyage du Petit Poucet/La bande de voleurs

| Mauvaise patronne | Salle du Trésor |
* Rencontre avec les voleurs
* Les deux gardes
* Le petit tailleur voyagea, arriva dans une grande forêt où il rencontra une bande de voleurs qui avaient l'intention de voler le trésor du roi. Quand ils virent le petit tailleur, ils pensèrent :
* -- « Un petit garçon comme ça peut se glisser dans un trou de serrure et la crocheter ».
* -- « Holà ! », s'écria l'un d'eux « toi, Goliath le géant, veux-tu entrer dans la Salle du Trésor pour nous ? Tu peux t'y faufiler et nous jeter l'argent ».
* Le Petit Poucet réfléchit un certain temps, accepta finalement, puis partit avec eux vers la Salle du Trésor. Il regarda ensuite de haut en bas pour voir s'il y avait une fissure. Il ne lui fallut pas longtemps pour en apercevoir une assez large pour le laisser passer.
* Il était sur le point d'y pénétrer quand une des deux sentinelles qui se tenaient devant la porte le remarqua et dit à l'autre :
* -- « Il y a une vilaine araignée qui rampe par ici. Je vais la tuer ».
* -- « Laisse cette pauvre bête » répondit l'autre, « elle ne t'a rien fait ».
| Mauvaise patronne | Salle du Trésor |
# Littérature de jeunesse en anglais : Frères Grimm, Le voyage du Petit Poucet/Objectifs

* Mélange styles : narration, dialogues et descriptions.
* Comique de situation
* Thème : impertinence et débrouillardise des petits face au monde des grands.
# Fondements des mathématiques/Prérequis conseillés

Il n’y a pas de prérequis précis pour aborder cette leçon. Il faut toutefois avoir une certaine maturité et avoir étudié, jusqu’au niveau 15, les diverses branches des mathématiques.
# Fondements et application du socio-cognitivisme

| Chap. 1 : | Introduction |
| Chap. 2 : | Le développement selon Vygotski |
| Chap. 3 : | La programmation d’une activité |
| Chap. 4 : | L'algorithmique |
| Chap. 5 : | Conclusion : vers une programmation systémique du développement ? |
| Annexe : | Bibliographie |
| Exercice : | Exercices (14) |

## Présentation [Modifier]

Bien reconnu par les sciences humaines francophones à partir 1996 et la célébration du centenaire commun de la naissance de Vygotski et de Piaget, le socio-cognitivisme commence à mobiliser les milieux enseignants. Le 13 octobre 2016, un colloque international placé dans le cadre de la fête de la science a réuni à Paris au Centre de Russie pour la science et la culture un panel franco-russe de chercheurs pour le 120 anniversaire du premier de ces deux auteurs qui ont marqué la psychologie génétique par leurs positions souvent divergentes. En attendant les actes à paraître, nous proposons de faire le point sur ce courant original de la recherche fondamentale en psychologie et ses possibles conséquences sur l'enseignement.

## Objectifs [Modifier]

* Brève présentation théorique des concepts fondateurs du socio-cognitivisme.
* Applications pratiques et perspectives quant au développement de l'élève.

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 16.
Résumé d'un séminaire de licence 3

## Référents

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
    Personne ne s'est déclaré prêt à aider pour cette leçon. Pour vous ajouter, cliquez ici.
# Fondements des mathématiques/Présentation de la leçon

Cette leçon expose les principes généraux des mathématiques, c’est-à-dire les principes de la logique et des théories des ensembles. Elle ne traite pas des principes particuliers aux différents domaines des mathématiques (analyse, algèbre…).
# Fondements et application du socio-cognitivisme/Annexe/Bibliographie

* BIRZEA, C. - Rendre opérationnels les objectifs pédagogiques. Paris, P.U.F., 1979.
* BRECHBUHL J., BRONCKART J.P., JOANNISSE R. - Contribution à la didactique du sport, Cahier de la section des Sciences de l'Education N°49, Genève, Université de Genève, 1988.
* BRONCKART, J.P. et SCHNEUWLY, B. - Vygotsky aujourd'hui, Paris Neuchâtel, Delachaux et Niestlé, 1985.
* BRUNER, J.S. - Savoir faire, savoir dire, Paris, P.U.F., 1983.
* BRUNER, J.S. - ...car la culture donne forme à l'esprit, Paris, Eshel, 1991.
* CLOT, Y. - Avec Vygotski, Paris, La Dispute, 1999
* DE MONTMOLLIN, M. - L’intelligence de la tâche, Berne, Peter Lang, 1984.
* FEUERSTEIN, R. - Différences de fonctionnement cognitif dans des groupes socio-ethniques différents, Paris-Sorbonne, 1970, doctorat non publié.
* GALPERINE, P. - Essai sur la formation par étapes des actions et des concepts in Recherches Psychologiques en U.R.S.S., Moscou, éditions du Progrès, 1966, pp 114-142.
* HAMELINE, D. - Impasses et perspectives de l'enseignement programmé in Humanisme et foi chrétienne, mélange scientifique pour le centenaire de l'Institut catholique de Paris, Paris, Beauchesne, 1976, pp 319-335.
* HAMELINE, D. - Les objectifs pédagogiques en formation initiale et en formation continue, Paris, Editions sociales françaises, 1979.
* HOUZIAUX, M.D. - Panorama critique des divers types d'enseignement programmé in Bulletin de psychologie, 1981-82, XXV 355, pp 493-512.
* KOZULIN, A. - Vygotsky's psychology, New-York/Londres, Harvester, Wheeatsheas, 1991.
* LE NY, J.F. - Apprentissage et activité psychologique, Paris, P.U.F., 1967.
* LEONTIEV, A.N. - Le développement du psychisme, Paris, Editions sociales, 1976.
* MAGER, R. - Comment définir les objectifs pédagogiques, Paris, Gauthier-Villard, 1972.
* MOLL, L. - Vygotsky and education : instrumental implications and applications of socio-historical psychology, Cambridge, Cambridge university press, 1990.
* RATNER, C. - Vygotsky's sociohistorical psychology and its contemporary applications, New-York, Plenum press, 1991.
* RIVIERE, A. - La psychologie de Vygotsky, Liège, Mardaga, 1990.
* SKINNER, B. - La révolution technique de l'enseignement, Paris, Dessart, 1968.
* STONES, E. - Introduction à la psychopédagogie, Paris, Editions ouvrières, 1973.
* TALYZINA, N.F. - De l'enseignement programmé à la programmation de la connaissance, Lille, Presses universitaires de Lille, 1980.
* VIGOTSKY, L.S. - Pensée et langage, trad. de F. Sève, Paris, Editions sociales, 1985.
* VIGOTSKY, L.S. - Défectologie et déficience mentale, Lausane, Delachaux et Niestlé, 1994.
* VIGOTSKY, L.S. - La signification historique de la crise en psychologie, Lausane, Delachaux et Niestlé, 1999
* WERTSCH, J. - Vygotsky and the social formation of mind, Cambridge, Harvard university press, 1985.
* WERTSCH, J. - Voices of the mind, 1991, ISBN: 0-674-94303-1.
* YVON F. et ZINCHENKO Y. - Vygotsky, une théorie du développement et de l'éducation. Moscou, M.G.U. 2012
* Sommaire
# Fondements et application du socio-cognitivisme/Exercices/Exercices

Afin de consolider et expérimenter la pertinence des concepts développés, nous vous proposons l'exercice - ou base d'orientation - suivant :
* Choisir un champ d'activité en rapport avec un de vos intérêts et/ou vos compétences (artistique, mathématique, sportif, organisationnel, logistique, scientifique …) ;
* définir sa cohérence théorique ;
* à partir de celle-ci matérialiser ce champ en actions concrètes ;
* hiérarchiser celles-ci en système ou arborisation ;
* élaborer au moins l'algorithme de la première de celles-ci en liaison avec la cohérence retenue.
Sans perdre de vue que la mise en oeuvre pratique de ce dernier devra respecter les trois autres étapes de la formation de l'action mentale fondées sur l'analyse des niveaux de langage externe/interne :
* communication sociale avec l'expert et les pairs,
* réflexion/intériorisation via le "langage pour soi",
* évaluation sommative en principe à la demande de l'intéressé(e).
BON COURAGE … et si cela vous amène à l'envie d'en faire un article, n'hésitez surtout pas !
* Sommaire
# La Révolution française et l'Empire : nouvel ordre politique et société révolutionnée en France et en Europe/La prise de la Bastille : le 14 juillet 1789

| Le serment du jeu de Paume : le 20 juin 1789 | Abolition des privilèges et des droits féodaux : la nuit du 4 au 5 août 1789 |
# La Révolution française et l'Empire : nouvel ordre politique et société révolutionnée en France et en Europe/La Prise des Tuileries : le 10 août 1792

| La Fuite de Varennes : le 21 juin 1791 | La Mort du Roi : le 21 janvier 1793 |
# La Révolution française et l'Empire : nouvel ordre politique et société révolutionnée en France et en Europe/La Fuite de Varennes : le 21 juin 1791

| La Déclaration des Droits de l'Homme et du citoyen : le 26 août 1789 | La Prise des Tuileries : le 10 août 1792 |
# La Révolution française et l'Empire : nouvel ordre politique et société révolutionnée en France et en Europe/La Mort du Roi : le 21 janvier 1793

| La Prise des Tuileries : le 10 août 1792 | La Première République et la Terreur |
# La Révolution française et l'Empire : nouvel ordre politique et société révolutionnée en France et en Europe/La soulèvement d'un pays conquis contre la France

* Les réformes inspirées de celle de la France introduites dans les pays conquis
# La Révolution française et l'Empire : nouvel ordre politique et société révolutionnée en France et en Europe/Annexe/Les personnages secondaires de la Révolution et l'Empire
## Jean Sylvain Bailly

Jean Sylvain Bailly est né le 15 septembre 1736 à Paris, c'est celui qui lit le serment du Jeu de Paume le 20 juin 1789. Suite à la prise de la Bastille, le 14 juillet 1789, Bailly est nommé Maire de Paris le 15 juillet 1789. Il démissionne de son poste le 18 novembre 1791. Il meurt guillotiné le 12 novembre 1793 à Paris.

## Jacques Necker

Jacques Necker est né le 28 septembre 1732 à Genève (en Suisse), il fut le principal ministre de Louis XVI de août 1788 au 11 juillet 1789 et du 16 juillet 1789 au 4 septembre 1790. Le 11 juillet 1789 le roi revoit Necker mais le rappelle le 16 juillet sous la pression du peuple qui avait pris la Bastille 2 jours plus tôt. Après sa démission en 1790, il retourne dans son pays d'origine, la Suisse où il écrit plusieurs ouvrages. Il mort le 9 avril 1804 à 71 ans à Coppet (en Suisse).
# La Révolution française et l'Empire : nouvel ordre politique et société révolutionnée en France et en Europe/La Première République et la Terreur

| La Mort du Roi : le 21 janvier 1793 | Le Coup d'État de Bonaparte met fin à la Révolution : le 9 novembre 1799 |
# La Révolution française et l'Empire : nouvel ordre politique et société révolutionnée en France et en Europe/La Déclaration des Droits de l'Homme et du citoyen : le 26 août 1789

| Abolition des privilèges et des droits féodaux : la nuit du 4 au 5 août 1789 | La Fuite de Varennes : le 21 juin 1791 |
# La Révolution française et l'Empire : nouvel ordre politique et société révolutionnée en France et en Europe/Le Coup d'État de Bonaparte met fin à la Révolution : le 9 novembre 1799

| La Première République et la Terreur | Le Consulat et l'Empire |
# La Révolution française et l'Empire : nouvel ordre politique et société révolutionnée en France et en Europe/Le Consulat et l'Empire

| Le Coup d'État de Bonaparte met fin à la Révolution : le 9 novembre 1799 | Les transformations administrative, sociales et économiques de la Révolution et de l’Empire |
# Fonctions trigonométriques/Exercices/Calcul de limites
## Exercice 3-1

Calculer $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin 5x}{7x}}$ et $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin 5x}{\sin 7x}}$.
Ces deux limites valent ${\frac {5}{7}}$, puisque $\lim _{X\to 0}{\frac {\sin X}{X}}=1$.

## Exercice 3-2

Calculer $\lim _{x\to 0}{\frac {\tan 5x}{7x}}$ et $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin 5x}{\tan 7x}}$.
Ces deux limites valent ${\frac {5}{7}}$, puisque $\lim _{X\to 0}{\frac {\tan X}{X}}=\lim _{X\to 0}{\frac {\sin X}{X}}=1$.

## Exercice 3-3

Calculer :
1° $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin ^{2}x}{\tan ^{2}x}}$ ;
2° $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin ^{2}x}{1-\cos x}}$.
1° $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin ^{2}x}{\tan ^{2}x}}=1$, puisque $\lim _{X\to 0}{\frac {\tan X}{X}}=\lim _{X\to 0}{\frac {\sin X}{X}}=1$.
2° $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin ^{2}x}{1-\cos x}}=2$, puisque $\lim _{X\to 0}{\frac {\sin X}{X}}=1$ et $\lim _{X\to 0}{\frac {1-\cos X}{X^{2}}}={\frac {1}{2}}$.

## Exercice 3-4

Calculer $\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}$, puis $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x-\cos x+1}{x}}$.
$\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0$, puisque $\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}$. Par conséquent, $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x-\cos x+1}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$.

## Exercice 3-5

Calculer :
1° $\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\sin 2x}{\sqrt {1-\cos x}}}$ ;
2° $\lim _{x\to 0}{\frac {\tan x-\sin x}{x^{3}}}$.
1° $\lim _{x\to 0}{\frac {\sqrt {1-\cos x}}{|x|}}={\sqrt {\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}$ donc $\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\sin 2x}{\sqrt {1-\cos x}}}=2{\sqrt {2}}$.
2° $\lim _{x\to 0}{\frac {\tan x-\sin x}{x^{3}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\tan x}{x}}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}$.

## Exercice 3-6

Calculer :
1° $\lim _{x\to {\frac {\pi }{2}}}\left(\sin x-1\right)\tan ^{2}x$ ;
2° $\lim _{x\to \pi }\left(1+\cos x\right)\tan {\frac {x}{2}}$.
1° $\lim _{h\to 0}\left(\sin \left({\frac {\pi }{2}}+h\right)-1\right)\tan ^{2}\left({\frac {\pi }{2}}+h\right)=\lim _{h\to 0}{\frac {\cos h-1}{\tan ^{2}h}}=-{\frac {1}{2}}$.
2° $\lim _{h\to 0}\left(1+\cos \left(\pi +h\right)\right)\tan {\frac {\pi +h}{2}}=\lim _{h\to 0}{\frac {1-\cos h}{-\tan {\frac {h}{2}}}}=0$.

## Exercice 3-7

Calculer :
1° $\lim _{x\to a}{\frac {\cos x-\cos a}{\sin x-\sin a}}$ ;
2° $\lim _{x\to a}{\frac {\tan x-\tan a}{\cos x-\cos a}}$ ;
3° $\lim _{x\to {\frac {\pi }{3}}}{\frac {\sin 3x}{1-2\cos x}}$.
1° ${\frac {\cos 'a}{\sin 'a}}=-\tan a$.
2° ${\frac {\tan 'a}{\cos 'a}}=-{\frac {1}{\cos ^{2}a\sin a}}$.
3° ${\frac {3\cos 3{\frac {\pi }{3}}}{2\sin {\frac {\pi }{3}}}}={\frac {-3}{\sqrt {3}}}=-{\sqrt {3}}$.
| Calcul de dérivées | Étude de fonctions 1 |
# Fonctions trigonométriques/Exercices/Mouvement vibratoire

Un mouvement rectiligne sera dit vibratoire simple si sa loi horaire est de la forme :
$x(t)=a\cos(\omega t+\varphi )+x_{0}$

## Exercice 10-1

Déterminer la loi horaire d'un mouvement rectiligne vibratoire simple sachant que l'origine des abscisses est centre du mouvement, que la période est 4 et que pour $t=2$, on a $x=-1$ et $v={\frac {\pi }{2}}$.
Construire les diagrammes du mouvement.
$x_{0}=0$, $\omega ={\frac {\pi }{2}}$ et $\cos \varphi =\sin \varphi ={\frac {1}{a}}$, c'est-à-dire $a={\sqrt {2}}$ et $\varphi \equiv {\frac {\pi }{4}}{\bmod {2\pi }}$ ou (ce qui donne la même fonction $x$) $a=-{\sqrt {2}}$ et $\varphi \equiv -{\frac {3\pi 4}{\bmod {2\pi }}}$
$x(t)={\sqrt {2}}\cos \left({\frac {\pi }{2}}t+{\frac {\pi }{4}}\right)$, $x'(t)=-{\frac {\pi }{\sqrt {2}}}\sin \left({\frac {\pi }{2}}t+{\frac {\pi }{4}}\right)$
Graphes de $x$ et $x'$

## Exercice 10-2

Un mouvement rectiligne est défini par la loi horaire : $x(t)=\cos ^{2}t$.
* Montrer qu'il s'agit d'un mouvement vibratoire simple.
* Trouver le centre et la période du mouvement.
* Construire les diagrammes des espaces et des vitesses.
* $x(t)={\frac {1+\cos 2t}{2}}$.
* $x_{0}={\frac {1}{2}}$, $T=\pi$.
* $x'(t)=-\sin 2t=\pm {\sqrt {1-(2x-1)^{2}}}=\pm 2{\sqrt {x-x^{2}}}$. Diagramme des vitesses, diagramme des espaces.

## Exercice 10-3

Un mouvement rectiligne est défini par la loi horaire : $x(t)={\sqrt {3}}\cos \pi t+\sin \pi t-1$.
* Montrer qu'il s'agit d'un mouvement vibratoire simple.
* Trouver le centre, la période et l'amplitude du mouvement.
* Quelle est la position du mobile à l'instant $t=0$ ?
* Construire les diagrammes des espaces et des vitesses.
* $x(t)=2\cos \left(\pi t-{\frac {\pi }{6}}\right)-1$.
* $x_{0}=-1$, $T=2$ et $a=2$.
* $x(0)={\sqrt {3}}-1$.
* $x'(t)=-2\pi \sin \left(\pi t-{\frac {\pi }{6}}\right)=\pm 2\pi {\sqrt {1-{\frac {(1+x(t))^{2}}{4}}}}$. Diagramme des vitesses, diagramme des espaces.
| Résolution de systèmes | Problèmes divers |
# Fonctions trigonométriques/Exercices/Résolution d'équations
## Exercice 8-1

Résoudre l'équation :
    $\sin x=\sin \left(\pi -3x\right)$.
$x\equiv \pi -3x{\text{ ou }}3x\mod 2\pi \Leftrightarrow x\equiv {\frac {\pi }{4}}\mod {\frac {\pi }{2}}{\text{ ou }}0\mod \pi$.

## Exercice 8-2

Résoudre l'équation :
    $\tan x=2\sin x$.
$\sin x=0{\text{ ou }}\cos x={\frac {1}{2}}\Leftrightarrow x\equiv 0\mod \pi {\text{ ou }}\pm {\frac {\pi }{3}}\mod 2\pi$.

## Exercice 8-3

Résoudre et discuter, selon la valeur de $m$, l'équation :
    $m\cos x+\sin x+3m-1=0$.
Voir Trigonométrie/Équations et inéquations trigonométriques#Cas général : cette équation a des solutions si et seulement si $\left(3m-1\right)^{2}\leq m^{2}+1$, c'est-à-dire $0\leq m\leq {\frac {3}{4}}$ et dans ce cas, les solutions sont $\arccos {\frac {m}{\sqrt {m^{2}+1}}}\pm \arccos {\frac {1-3m}{\sqrt {m^{2}+1}}}\mod 2\pi$.

## Exercice 8-4

Résoudre l'équation :
    ${\sqrt {1+{\frac {\sin x}{2}}}}=\cos x$.
$\cos x\geq 0{\text{ et }}\sin x=2\left(\cos ^{2}x-1\right)\Leftrightarrow \cos x\geq 0{\text{ et }}\sin x=0{\text{ ou }}-{\frac {1}{2}}\Leftrightarrow x\equiv 0{\text{ ou }}-{\frac {\pi }{6}}\mod 2\pi$.

## Exercice 8-5

Résoudre l'équation :
    $\tan x\tan 5x=1$.
$5x\equiv {\frac {\pi }{2}}-x\mod \pi \Leftrightarrow x\equiv {\frac {\pi }{12}}\mod {\frac {\pi }{6}}$.

## Exercice 8-6

Résoudre l'équation suivante :
    $3\tan x\tan 3x+1=0$
$y=\cos 2x$
$\tan x\tan 3x=\tan ^{2}x\,{\frac {\cos 2x+2\cos ^{2}x}{\cos 2x-2\sin ^{2}x}}={\frac {1-y}{1+y}}\,{\frac {2y+1}{2y-1}}$ pour $y=\cos 2x$.
${\frac {1-y}{1+y}}\,{\frac {2y+1}{2y-1}}=-{\frac {1}{3}}\Leftrightarrow y={\frac {1\pm {\sqrt {3}}}{2}}$.
Les solutions sont donc $x=\pm {\frac {1}{2}}\arccos {\frac {1-{\sqrt {3}}}{2}}\mod \pi$.

## Exercice 8-7

Résoudre l'équation :
    $\tan {\frac {x}{2}}={\frac {\tan x-1}{\tan x+1}}$.
$t={\frac {{\frac {2t}{1-t^{2}}}-1}{{\frac {2t}{1-t^{2}}}+1}}\Leftrightarrow t=1$ donc il n'y a pas de solution, car si ${\frac {x}{2}}\equiv {\frac {\pi }{4}}\mod \pi$ alors $\tan x$ n'est pas défini.

## Exercice 8-8

Résoudre l'équation :
    $\sin ^{4}x+\cos ^{4}x=2\sin x\cos x$.
Soit $S=2\sin x\cos x=\sin 2x$. Alors,
    $\sin ^{4}x+\cos ^{4}x=\left(\sin ^{2}x+\cos ^{2}x\right)^{2}-2\sin ^{2}x\cos ^{2}x=1-{\frac {S^{2}}{2}}$
donc
    $\sin ^{4}x+\cos ^{4}x=2\sin x\cos x\Leftrightarrow S^{2}+2S-2=0\Leftrightarrow S=-1+{\sqrt {3}}$
et les solutions sont
    $x\equiv {\frac {\alpha }{2}}{\text{ ou }}{\frac {\pi -\alpha }{2}}\mod \pi$, avec $\alpha =\arcsin \left(-1+{\sqrt {3}}\right)$.
* Les personnes désirant résoudre plus d'équations trigonométriques peuvent consulter les pages :
* Trigonométrie/Exercices/Résolution d'équations 1
* Trigonométrie/Exercices/Résolution d'équations 2
* Trigonométrie/Exercices/Résolution d'équations 3
| Étude de fonctions 4 | Résolution de systèmes |
# Fonctions trigonométriques/Exercices/Échauffement
## Exercice 1-1

Démontrer géométriquement la continuité des fonctions cosinus, sinus et tangente.
Notons $M(x)$ le point du cercle trigonométrique tel que ${\overset {\frown }{AM}}=x$. Quand $x$ tend vers $x_{0}$, ce point tend vers $M(x_{0})$ donc ses coordonnées, $(\cos x,\sin x)$, tendent vers $(\cos x_{0},\sin x_{0})$, et la pente $\tan x$ de $(OM)$ tend vers $\tan x_{0}$.

## Exercice 1-2

Démontrer les relations :
* $\forall \alpha \in \mathbb {R} ^{*}\quad 1-\cos \alpha <{\frac {\alpha ^{2}}{2}}$ ;
* $\tan \alpha >0\Rightarrow \tan \alpha -\sin \alpha <{\frac {\alpha ^{2}}{2}}\tan \alpha$.
** $1-\cos \alpha =2\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}<2\left({\frac {\alpha }{2}}\right)^{2}$ si $0<|\alpha |<\pi$ (d'après le cours).
** Si $|\alpha |\geq \pi$ alors ${\frac {\alpha ^{2}}{2}}\geq {\frac {\pi ^{2}}{2}}>2>1-\cos \alpha$.
* La seconde assertion est une conséquence immédiate de la première.

## Exercice 1-3

* Transformer $\sin(x+h)-\sin x$ en un produit.
* Montrer que le signe du rapport ${\frac {\sin(x+h)-\sin x}{h}}$ dépend de $x$ et $h$.
* Que peut-on dire si $x$ et $x+h$ sont compris entre ${\frac {\pi }{2}}$ et $\pi$ ?
* $\sin(x+h)-\sin x=2\sin h\cos \left(x+{\frac {h}{2}}\right)$.
* Immédiat d'après la question précédente.
* $\sin(x+h)-\sin x$ est alors du signe de $h$, par décroissance de $\sin$ sur cet intervalle.
| Sommaire | Calcul de dérivées |
# Fonctions trigonométriques/Exercices/Étude de fonctions 1
## Exercice 4-1

Étudier et tracer la fonction $f$ définie par : $f(x)=\cos x+\sin x$
Les variations et la courbe de $f(x)={\sqrt {2}}\sin(x+\pi /4)$ se déduisent immédiatement de celle de $\sin$.

## Exercice 4-2

Étudier et tracer la fonction $f$ définie par : $f(x)=\sin ^{2}x+\sin 2x$.
Les variations et la courbe de $f(x)=\sin 2x+{\frac {1-\cos 2x}{2}}={\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {5}}{2}}\left(\sin 2x{\frac {2}{\sqrt {5}}}-\cos 2x{\frac {1}{\sqrt {5}}}\right)={\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {5}}{2}}\sin(2x-\theta )$, où $\theta =\arccos {\frac {2}{\sqrt {5}}}$, se déduisent immédiatement de celle de $\sin$.

## Exercice 4-3

Étudier et tracer la fonction $f$ définie par : $f(x)={\frac {\tan 3x}{\tan ^{3}x}}={\frac {3-\tan ^{2}x}{(1-3\tan ^{2}x)\tan ^{2}x}}$.
$f$ est $\pi$-périodique et paire donc il suffit de l'étudier sur $\left]0,{\frac {\pi }{2}}\right[\setminus \left\{{\frac {\pi }{6}}\right\}$.
$f(x)=g(\tan ^{2}x)$ avec $g(y):={\frac {y-3}{3y^{2}-y}}$, $(3y^{2}-y)^{2}g'(y)=3y^{2}-y-(y-3)(6y-1)=-3(y^{2}-6y+1)$ s'annule pour $y_{\pm }:=3\pm {\sqrt {8}}$ donc $f$ a un extremum local en $x_{\pm }:=\arctan {\sqrt {y_{\pm }}}$.
${\begin{array}{c|ccccccccccc|}x&0&&&x_{-}&&&{\frac {\pi }{6}}&&&x_{+}&&&{\frac {\pi }{2}}\\\hline &\|&+\infty &&&&+\infty &\|&&&&&&\|\\&\|&&\searrow &&\nearrow &&\|&&&&&&\|\\&\|&&&g(y_{-})&&&\|&&&&&&\|\\f(x)&\|&&&&&&\|&&&g(y_{+})&&&\|\\&\|&&&&&&\|&&&&\searrow &&\|\\&\|&&&&&&\|&&\nearrow &&&0^{+}&\|\\&\|&&&&&&\|&-\infty &&&&&\|\\\hline \end{array}}$
Tracé sur Google

## Exercice 4-4

Étudier et tracer la fonction $f$ définie par : $f(x)={\frac {1}{\sin x}}+{\frac {1}{\cos x}}$.
$f(x+\pi )=-f(x)$ et $f(\pi /2-x)=f(x)$ donc il suffit d'étudier $f$ sur $[-\pi /4,\pi /4]\setminus \{0\}$.
Sur ce domaine, $f'={\frac {\sin ^{3}-\cos ^{3}}{\sin ^{2}\cos ^{2}}}<0$.
$f(-\pi /4)=0,\quad \lim _{0^{\pm }}f=\pm \infty ,\quad f(\pi /4)=2{\sqrt {2}}$.
Tracé sur Google
| Calcul de limites | Étude de fonctions 2 |