# Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Circuits linéaires du premier ordre : régime libre, réponse à un échelon
## Résistance de fuite d'un condensateur

On charge un condensateur de capacité $\;C=1\,\mu F\;$ sous $\;10\,V$, puis
on branche à ses bornes un voltmètre numérique de résistance équivalente $\;R_{V}$.

### Décharge du condensateur à travers le voltmètre

Considérant le condensateur comme parfait, déterminer $\;R_{V}\;$ sachant qu'après $\;2\;$ minutes, le voltmètre indique une différence de potentiel de $\;2,3\,V$.
Si le condensateur possède une résistance de fuite $\;R_{f}$, quelle relation doit-elle vérifier pour que le condensateur puisse être considéré comme parfait dans l'expérience précédente ?
Le condensateur de capacité $\;C=1\,\mu F\;$ ayant été chargé sous $\;U=10\,V\;$ puis isolé, on branche à ses bornes un voltmètre numérique de résistance équivalente $\;R_{V}\;$ ; il s'agit donc d'un circuit $\;R_{V}\,C\;$ série court-circuité $\;{\big$c'est-à-dire sans générateur${\big )}$ avec $\;C\;$ initialement chargé ;
à $\;t=0$, le condensateur fermé sur $\;R_{V}\;$ va se décharger à travers cette dernière d'où, en notant $\;u_{C}(t)\;$ la tension aux bornes de $\;C\;$ à l'instant $\;t\;$ et à $\;\color {transparent}{t=0}$, le condensateur fermé sur $\;\color {transparent}{R_{V}}\;$ va se décharger à travers cette dernière d'où, en choisissant la « convention de décharge du condensateur » correspondant aussi à à $\;\color {transparent}{t=0}$, le condensateur fermé sur $\;\color {transparent}{R_{V}}\;$ va se décharger à travers cette dernière d'où, en choisissant la « convention générateur pour le condensateur » c'est-à-dire $\;i(t)=-{\dfrac {dq}{dt}}(t)=-C\,{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)$, à $\;\color {transparent}{t=0}$, le condensateur fermé sur $\;\color {transparent}{R_{V}}\;$ va se décharger à travers cette dernière d'où, par application de la « loi de maille orientée dans le sens de $\;u_{C}(t)\;$» $\;u_{C}(t)+R_{V}\,C\,{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)=0\;$ soit encore, à $\;\color {transparent}{t=0}$, le condensateur fermé sur $\;\color {transparent}{R_{V}}\;$ va se décharger à travers cette dernière d'où, en normalisant «$\;{\dot {u}}_{C}(t)+{\dfrac {1}{\tau }}\,u_{C}(t)=0\;$» avec «$\;\tau =R_{V}\,C\;$ constante de temps du circuit » ; on en déduit
à $\;\color {transparent}{t=0}$, le condensateur fermé sur $\;\color {transparent}{R_{V}}\;$ va se décharger à travers cette dernière d'où, la solution de l'équation différentielle «$\;u_{C}(t)=A\,\exp \left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;$», la constante d'intégration $\;A\;$ se déterminant en utilisant la continuité de $\;u_{C}(t)\;$ à l'instant $\;0\;$ «$\;u_{C}(0^{+})=u_{C}(0^{-})=U=10\,V\;$» d'où «$\;u_{C}(t)=U\,\exp \left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)=10\,\exp \left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;$ en $\;V\;$» ;
à $\;t=t_{1}=120\,s$, $\;u_{C}(t_{1})=U_{1}=2,3\,V\;$ d'où $\;{\dfrac {t_{1}}{\tau }}=\ln \left({\dfrac {U}{U_{1}}}\right)\Rightarrow \tau ={\dfrac {t_{1}}{\ln \left({\dfrac {U}{U_{1}}}\right)}}={\dfrac {120}{\ln \left({\dfrac {10}{2,3}}\right)}}\simeq 81,65\,s\;$ dont on déduit «$\;R_{V}=$ ${\dfrac {\tau }{C}}\simeq {\dfrac {81,65}{10^{-6}}}\;$ soit $\;R_{V}\simeq 82\,M\Omega \;$».
Si le condensateur n'est pas parfait, il se décharge, même s'il n'est pas relié à un voltmètre, à travers sa résistance de fuite $\;R_{f}$, Si le condensateur n'est pas parfait, on peut modéliser un condensateur non parfait par un condensateur parfait en $\;\parallel \;$ sur un conducteur ohmique de résistance $\;R_{f}$ ;
Si le condensateur n'est pas parfait, aussi, quand le condensateur non parfait est branché sur un voltmètre de résistance $\;R_{V}$, le circuit équivalent formé à partir de $\;t=0\;$ est un condensateur parfait fermé sur deux conducteurs ohmiques en $\;\parallel \;$ de résistances respectives $\;R_{V}\;$ et $\;R_{f}\;$ et le traitement précédent reste applicable à condition de « remplacer $\;R_{V}\;$ par $\;R_{\text{éq}}={\dfrac {R_{V}\,R_{f}}{R_{V}+R_{f}}}\;$» d'où «$\;R_{\text{éq}}\simeq 82\,M\Omega \;$» ;
Si le condensateur n'est pas parfait, or «$\;R_{\text{éq}}={\dfrac {R_{V}\,R_{f}}{R_{V}+R_{f}}}\simeq R_{V}\;$ si $\;R_{f}\gg R_{V}\;$» et, dans la mesure où ceci serait valable, «$\;R_{V}\simeq 82\,M\Omega \;$ nécessite $\;R_{f}\gg 82\,M\Omega \;$» soit «$\;R_{f}\gtrsim 820\,M\Omega \;$».

### Décharge du condensateur à travers sa résistance de fuite

En fait la condition précédente n'est pas vérifiée car le condensateur présente une résistance de fuite $\;R_{f}\;$ de même ordre de grandeur que $\;R_{V}$.
Pour mesurer $\;R_{f}$, nous isolons le condensateur après l'avoir rechargé sous $\;10\,V\;$ et $\;2\;$ minutes après, nous branchons le voltmètre à ses bornes pendant un court instant. Nous mesurons alors une différence de potentiel de $\;7,9\,V$.
Déterminer $\;R_{f}\;$ et $\;R_{V}$.
En fait la condition précédente $\;R_{f}\gtrsim 820\,M\Omega \;$ n'étant pas vérifiée, le condensateur reste isolé pendant $\;t_{2}=2\,min=120\,s\;$ avant d'être relié au voltmètre ;
on y fait alors la mesure instantanée $\;{\big$donc à l'instant $\;t_{2}=2\,min=120\,s\;$ mais sans que le condensateur ait le temps de se décharger dans la résistance équivalente $\;R_{\text{éq}}{\big )}\;$ et on trouve $\;u_{C}(t_{2}^{+})=7,9\,V$ ;
sur l'intervalle $\;\left]0\,{\text{ ; }}t_{2}^{-}\right[$, on retrouve le circuit de la 1ère question avec $\;R_{f}\;$ se substituant à $\;R_{V}\;$ d'où, avec «$\;\tau _{f}=R_{f}\,C\;$» et «$\;u_{C}(t_{2}^{-})=u_{C}(t_{2}^{+})=7,9\,V\;$», d'où sur l'intervalle $\;\color {transparent}{\left]0\,{\text{ ; }}t_{2}^{-}\right$, on retrouve le circuit de la 1ère question «$\;\tau _{f}={\dfrac {t_{2}}{\ln \!\!\left[{\dfrac {U}{u_{C}(t_{2}^{+})}}\right]}}={\dfrac {120}{\ln \!\left({\dfrac {10}{7,9}}\right)}}\simeq 509\,s\;$» dont on tire $\;R_{f}={\dfrac {\tau _{f}}{C}}\simeq {\dfrac {509}{10^{-6}}}\;$ soit «$\;R_{f}\simeq 510\,M\Omega \;$».
On utilise alors le résultat de la 1ère question soit «$\;R_{\text{éq}}={\dfrac {R_{V}\,R_{f}}{R_{V}+R_{f}}}\simeq 82\,M\Omega \;$» pour en déduire $\;R_{V}\;$ selon $\;R_{\text{éq}}\,(R_{V}+R_{f})=R_{V}\,R_{f}\;$ d'où On utilise alors le résultat de la 1ère question soit «$\;\color {transparent}{R_{\text{éq}}={\dfrac {R_{V}\,R_{f}}{R_{V}+R_{f}}}\simeq 82\,M\Omega }\;$» pour en déduire $\;R_{V}={\dfrac {R_{\text{éq}}\,R_{f}}{R_{f}-R_{\text{éq}}}}\simeq {\dfrac {82\times 509}{509-82}}\simeq 97,7\,M\Omega \;$ soit «$\;R_{V}\simeq 98\,M\Omega \;$».

## Condition pour que l'intensité du courant délivré par un générateur dans un circuit parallèle soit constante dès la fermeture de l'interrupteur

On relie, par l'intermédiaire d'un interrupteur $\;K$, un générateur de tension sans résistance interne et de f.e.m. $\;E\;$ à deux circuits montés en $\;\parallel$,
* l'un, composé d'un condensateur parfait de capacité $\;C\;$ et d'un conducteur ohmique de résistance $\;R_{1}\;$ et
* l'autre, d'une bobine parfaite d'auto-inductance $\;L\;$ et d'un conducteur ohmique de résistance $\;R_{2}$ ;
initialement le condensateur étant déchargé et la bobine n'étant traversée par aucun courant, on ferme l'interrupteur à $\;t=0\;$ $\;{\big$voir schéma ci-contre${\big )}$.

### Détermination de l'intensité du courant délivré par le générateur

Déterminer les intensités $\;i_{1}(t)\;$ et $\;i_{2}(t)\;$ des courants traversant respectivement les dipôles «$\;R_{1}\;C\;$ série » et «$\;R_{2}\;L\;$ série » ;
en déduire $\;i(t)$, l'intensité du courant délivré par la source.
Sachant que le générateur est sans résistance interne, on a donc deux circuits classiques
* $\;R_{1}\,C\;$ série soumis à une tension $\;e(t)=E\;Y(t)\;$ et
* $\;R_{2}\,L\;$ série soumis à une même tension $\;e(t)=E\;Y(t)$,
Sachant que le générateur est sans résistance interne, on a donc deux circuits que l'on peut résoudre indépendamment l'un de l'autre.
Circuit$\;R_{1}\,C\;$ série soumis à échelon de tension : $\;i_{1}(t)\;$ étant la réponse en intensité de courant d'un $\;R_{1}\,C\;$ série soumis à $\;e(t)=E\;Y(t)$, Circuit $\;\color {transparent}{R_{1}\,C}\;$ série soumis à échelon de tension : l'équation différentielle en $\;i_{1}(t)\;$ s'écrit «$\;{\dfrac {di_{1}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{R_{1}\,C}}\,i_{1}(t)={\dfrac {E}{R_{1}}}\;\delta (t)\;$»$^,$ et Circuit $\;\color {transparent}{R_{1}\,C}\;$ série soumis à échelon de tension : la solution est de la forme «$\;i_{1}(t)=A\,\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{1}}}\right)\;$» avec «$\;\tau _{1}=R_{1}\,C\;$ constante de temps du circuit », $\;A\;$ se déterminant à l'aide de la C.I. $\;i_{1}(0^{+})={\dfrac {E}{R_{1}}}\;$ soit «$\;i_{1}(t)={\dfrac {E}{R_{1}}}\,\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{1}}}\right)\;$».
Circuit$\;R_{2}\,L\;$ série soumis à échelon de tension : $\;i_{2}(t)\;$ étant la réponse en intensité de courant d'un $\;R_{2}\,L\;$ série soumis à $\;e(t)=E\;Y(t)$, Circuit $\;\color {transparent}{R_{2}\,L}\;$ série soumis à échelon de tension : l'équation différentielle en $\;i_{2}(t)\;$ s'écrit «$\;{\dfrac {di_{2}}{dt}}(t)+{\dfrac {R_{2}}{L}}\,i_{2}(t)={\dfrac {E}{L}}\;Y(t)\;$»$^,$ et Circuit $\;\color {transparent}{R_{2}\,L}\;$ série soumis à échelon de tension : la solution est de la forme «$\;i_{2}(t)={\dfrac {E}{R}}+B\,\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{2}}}\right)\;$» avec «$\;\tau _{2}={\dfrac {L}{R_{2}}}\;$ constante de temps du circuit », $\;B\;$ se déterminant à l'aide de la C.I. $\;i_{2}(0^{+})$ $=0\;$ $\Rightarrow$ $\;i_{2}(0^{+})=0={\dfrac {E}{R}}+B\;$ $\Rightarrow$ $\;B=-{\dfrac {E}{R}}\;$ soit «$\;i_{2}(t)={\dfrac {E}{R_{2}}}\left[1-\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{2}}}\right)\right]\;$».
Intensité du courant délivré par la source : On écrit alors la loi des nœuds $\;i(t)=i_{1}(t)+i_{2}(t)\;$ et on en déduit «$\;i(t)=E\!\left[{\dfrac {\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{1}}}\right)}{R_{1}}}+{\dfrac {1-\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{2}}}\right)}{R_{2}}}\right]\;$».

### Détermination de la condition pour que l'intensité du courant délivré par le générateur soit constante

Quelle doit être la condition sur $\;R_{1}$, $\;R_{2}$, $\;C\;$ et $\;L\;$ pour que l'intensité $\;i(t)\;$ du courant délivré par le générateur soit constante ?
On veut que «$\;i(t)\;$ soit $\;cste\;\;\forall \;t\;$» ce qui est « réalisé si $\;{\dfrac {di}{dt}}(t)=0\;\forall \;t\;$» ;
$\;{\dfrac {di}{dt}}(t)=E\!\left[-{\dfrac {1}{R_{1}\,\tau _{1}}}\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{1}}}\right)+{\dfrac {1}{R_{2}\,\tau _{2}}}\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{2}}}\right)\right]=0\;$
$\Leftrightarrow$
$\;{\dfrac {1}{R_{1}^{2}\,C}}\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{1}}}\right)={\dfrac {1}{L}}\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{2}}}\right)\;\forall \;t\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\tau _{1}=\tau _{2}\;\;{\text{et}}\\R_{1}^{2}\,C=L\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;\color {transparent}{{\dfrac {di}{dt}}(t)=E\!\left[-{\dfrac {1}{R_{1}\,\tau _{1}}}\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{1}}}\right)+{\dfrac {1}{R_{2}\,\tau _{2}}}\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{2}}}\right)\right]=0}\;$
$\;L=R_{1}^{2}\,C\;$
$\;\tau _{1}=R_{1}\,C\;$
$\;L=R_{1}\,\tau _{1}\;$
$\;\color {transparent}{{\dfrac {di}{dt}}(t)=E\!\left[-{\dfrac {1}{R_{1}\,\tau _{1}}}\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{1}}}\right)+{\dfrac {1}{R_{2}\,\tau _{2}}}\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{2}}}\right)\right]=0}\;$
$\;\tau _{2}={\dfrac {L}{R_{2}}}\;$
$\Rightarrow$
$\;\tau _{2}={\dfrac {R_{1}\tau _{1}}{R_{2}}}\;$
$\;\tau _{1}\;$
$\;R_{2}=R_{1}\;$
$\;\color {transparent}{{\dfrac {di}{dt}}(t)=E\!\left[-{\dfrac {1}{R_{1}\,\tau _{1}}}\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{1}}}\right)+{\dfrac {1}{R_{2}\,\tau _{2}}}\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{2}}}\right)\right]=0}\;$
$\;\color {transparent}{\tau _{2}={\dfrac {L}{R_{2}}}}\;$
$\color {transparent}{\Rightarrow }$
$\;\color {transparent}{\tau _{2}={\dfrac {R_{1}\tau _{1}}{R_{2}}}}\;$
$\;\color {transparent}{\tau _{1}}\;$
$\;L=R_{1}^{2}\,C\;$
$\Rightarrow$
$\;R_{1}={\sqrt {\dfrac {L}{C}}}\;$
$\;R_{2}=R_{1}={\sqrt {\dfrac {L}{C}}}\;$
$\;0$
$\;i(t)={\dfrac {E}{R_{1}}}={\dfrac {E}{R_{2}}}=E\,{\sqrt {\dfrac {C}{L}}}=cste\;\forall \;t\;$

## Établissement d'un équilibre électrique entre un condensateur chargé et un déchargé

On charge un condensateur de capacité $\;C\;$ sous la tension $\;U$, et on relie ce condensateur ainsi chargé, puis isolé de la source de tension de charge, à un condensateur de capacité $\;C'$, initialement neutre, par l'intermédiaire d'un conducteur ohmique de résistance $\;R$.

### Détermination des charges instantanées des condensateurs

Déterminer les charges $\;q(t)\;$ et $\;q'(t)\;$ des deux condensateurs et
en déduire l'intensité $\;i(t)\;$ du courant circulant dans le circuit.
Les deux armatures et le conducteur ohmique constituent un conducteur isolé du reste $\;{\big$partie encadrée sur le schéma ci-contre${\big )}\;$ $\Rightarrow$ conservation de la charge du conducteur isolé soit «$\;q(t)+q'(t)=cste=q(0^{+})+q'(0^{+})\;$» ou encore, les charges des condensateurs d'un circuit réel étant continues, «$\;q(t)+q'(t)=q(0^{-})+q'(0^{-})\;$» ;
notant «$\;Q=C\,U\;$ la charge initiale du condensateur de capacité $\;C\;$», c'est-à-dire la valeur de $\;q(0^{-})$, $\;{\big$celle de $\;q'(0^{-})\;$ étant nulle${\big ]}$, la conservation de la charge du conducteur isolé correspondant à la partie encadrée sur le schéma ci-contre se réécrit «$\;q(t)+q'(t)=Q\;$» $\Rightarrow$ «$\;q'(t)=Q-q(t)\;$ relation $({\mathfrak {a}})\;$».
Convention de charge pour$\;C'$ : «$\;i(t)={\dot {q'}}(t)\;$» et en dérivant la relation $({\mathfrak {a}})\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dot {q'}}(t)=-{\dot {q}}(t)\;$ soit finalement «$\;i(t)=-{\dot {q}}(t)\;$».
Loi de maille : «$\;{\dfrac {q(t)}{C}}-R\,i(t)-{\dfrac {q'(t)}{C'}}=0\;$» d'où l'équation en $\;q(t)\;$ en utilisant la relation $({\mathfrak {a}})\;$ ainsi que la définition de $\;i(t)\;$ relativement à $\;q(t)$ Loi de maille : «$\;{\dfrac {q(t)}{C}}+R\,{\dot {q}}(t)-{\dfrac {Q-q(t)}{C'}}=0\;$» soit encore l'équation différentielle en $\;q(t)\;$ normalisée «$\;{\dot {q}}(t)+{\dfrac {1}{R}}\left({\dfrac {1}{C}}+{\dfrac {1}{C'}}\right)q(t)={\dfrac {Q}{R\,C'}}\;$».
Réécriture de l'équation différentielle en$\;q(t)\;$normalisée : on simplifie l'équation en posant «$\;{\dfrac {1}{C_{\text{éq}}}}={\dfrac {1}{C}}+{\dfrac {1}{C'}}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;C_{\text{éq}}={\dfrac {C\,C'}{C+C'}}\;$», et Réécriture de l'équation différentielle en$\;\color {transparent}{q(t)}\;$normalisée : on simplifie l'équation en posant «$\;\tau _{\text{éq}}=R\,C_{\text{éq}}\;$» ainsi que «$\;\tau '=R\,C'\;$» d'où Réécriture de l'équation différentielle en$\;\color {transparent}{q(t)}\;$normalisée : la réécriture de l'équation différentielle en $\;q(t)\;$ normalisée «$\;{\dot {q}}(t)+{\dfrac {q(t)}{\tau _{\text{éq}}}}={\dfrac {Q}{\tau '}}\;$».
Résolution de l'équation différentielle en$\;q(t)\;$normalisée : la solution de l'équation différentielle est de la forme «$\;q(t)=q_{l}(t)+q_{f}\;$» avec Résolution de l'équation différentielle en$\;\color {transparent}{q(t)}\;$normalisée : $\;q_{f}\;$ solution forcée de même forme que l'excitation c'est-à-dire constante $\Rightarrow$ «$\;q_{f}={\dfrac {\tau _{\text{éq}}}{\tau '}}\,Q\;$» ou «$\;q_{f}={\dfrac {C_{\text{éq}}}{C'}}\,Q={\dfrac {C}{C+C'}}\,Q\;$» et Résolution de l'équation différentielle en$\;\color {transparent}{q(t)}\;$normalisée : $\;q_{l}(t)\;$ solution libre vérifiant $\;{\dot {q}}_{l}(t)+{\dfrac {q_{l}(t)}{\tau _{\text{éq}}}}=0\;$ d'équation caractéristique $\;s+{\dfrac {1}{\tau _{\text{éq}}}}=0\;$ soit finalement «$\;q_{l}(t)=A\,\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{\text{éq}}}}\right)\;$» d'où Résolution de l'équation différentielle en$\;\color {transparent}{q(t)}\;$normalisée : la forme de la charge instantanée du condensateur initialement chargé «$\;q(t)=A\,\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{\text{éq}}}}\right)+{\dfrac {C}{C+C'}}\,Q\quad ({\mathfrak {b}})\;$» ;
$\;q(t)\;$
$\;A\;$
$\;q(0^{+})$
$\;q(0^{+})=q(0^{-})\;$
$\;q(0^{+})=Q\;$
$\;\color {transparent}{q(t)}\;$
$({\mathfrak {b}})$
$\;Q=A\,{\cancel {\exp \!\left(-{\dfrac {0}{\tau _{\text{éq}}}}\right)}}+{\dfrac {C}{C+C'}}\,Q\;$
$\Rightarrow$
$\;A=\left(1-{\dfrac {C}{C+C'}}\right)\,Q={\dfrac {C'}{C+C'}}\,Q\;$
$\;q(t)\;$
$\;q(t)=Q\left[{\dfrac {C}{C+C'}}+{\dfrac {C'}{C+C'}}\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{\text{éq}}}}\right)\right]\;$
$\;\color {transparent}{q(t)}\;$
$\;Q\;$
$\;U\;$
$\;Q=C\,U$
$\;q(t)\;$
$\;q(t)={\dfrac {C+C'\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{\text{éq}}}}\right)}{C+C'}}\;C\,U\;$
$\;q'(t)\;$
$\;q'(t)\;$
$\;q'(t)=Q-q(t)\;$
$\;q(t)$
$\;\color {transparent}{q'(t)}\;$
$\;q'(t)=Q-Q\left[{\dfrac {C}{C+C'}}+{\dfrac {C'}{C+C'}}\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{\text{éq}}}}\right)\right]=Q{\dfrac {C'}{C+C'}}-Q{\dfrac {C'}{C+C'}}\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{\text{éq}}}}\right)\;$
$\;q'(t)\;$
$\;q'(t)=Q{\dfrac {C'}{C+C'}}\left[1-\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{\text{éq}}}}\right)\right]\;$
$\;\color {transparent}{q'(t)}\;$
$\;Q\;$
$\;U\;$
$\;Q=C\,U$
$\;q'(t)\;$
$\;q'(t)={\dfrac {C\,C'}{C+C'}}\,U\left[1-\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{\text{éq}}}}\right)\right]\;$
$\;i(t)\;$
$\;i(t)$
$\;q'(t)\;$
$\;i(t)={\dot {q'}}(t)={\dfrac {C\,C'}{C+C'}}\,U\left[-{\dfrac {-1}{\tau _{\text{éq}}}}\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{\text{éq}}}}\right)\right]=$
$C_{\text{éq}}{\dfrac {1}{\tau _{\text{éq}}}}\,U\,\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{\text{éq}}}}\right)\;$
$\;i(t)={\dfrac {U}{R}}\,\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{\text{éq}}}}\right)\;$
Remarque : On constate une discontinuité de 1ère espèce de $\;i(t)\;$ à $\;t=0\;$ car $\;i(0^{+})={\dfrac {U}{R}}\;$ alors que $\;i(0^{-})=0$.

### Détermination directe de l'intensité du courant

Reprendre l'exercice en déterminant directement l'intensité $\;i(t)\;$ du courant circulant dans le circuit.
Équation différentielle en$\;i(t)\;$ : même début, loi de maille $\;{\overset {\ldots }{\Rightarrow }}$ «$\;{\dfrac {q(t)}{C}}-R\,i(t)-{\dfrac {q'(t)}{C'}}=0\;$», que l'on dérive par rapport au temps $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {{\dot {q}}(t)}{C}}-R\,{\dfrac {di}{dt}}(t)-{\dfrac {{\dot {q'}}(t)}{C'}}=0\;$» ou encore, Équation différentielle en$\;\color {transparent}{i(t)}\;$ : avec le lien entre $\;{\dot {q}}(t),\;{\dot {q'}}(t)\;$ et $\;i(t)$, à savoir «$\;i(t)={\dot {q'}}(t)=-{\dot {q}}(t)\;$», permettant d'éliminer $\;{\dot {q}}(t)\;$ et $\;{\dot {q'}}(t)$, $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {-i(t)}{C}}-R\,{\dfrac {di}{dt}}(t)-{\dfrac {i(t)}{C'}}=0\;$» et finalement Équation différentielle en$\;\color {transparent}{i(t)}\;$ : on obtient la forme normalisée de l'équation différentielle en $\;i(t)$ «$\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{R}}\left({\dfrac {1}{C}}+{\dfrac {1}{C'}}\right)i(t)=0\;$» ou, Équation différentielle en$\;\color {transparent}{i(t)}\;$ : on obtient avec introduction de la constante de temps $\;\tau _{\text{éq}}\;$ telle que $\;{\dfrac {1}{\tau _{\text{éq}}}}={\dfrac {1}{R}}\left({\dfrac {1}{C}}+{\dfrac {1}{C'}}\right)\;$ $\Rightarrow$ «$\;\tau _{\text{éq}}=R\;{\dfrac {C\,C'}{C+C'}}\;$», «$\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{\tau _{\text{éq}}}}i(t)=0\;$».
Résolution de l'équation différentielle en$\;i(t)\;$normalisée : la solution de l'équation différentielle s'identifie à la solution libre «$\;i(t)=A'\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{\text{éq}}}}\right)\;$» ; Résolution de l'équation différentielle en$\;\color {transparent}{i(t)}\;$normalisée : il reste alors à déterminer $\;A'\;$ à l'aide de la C.I. c'est-à-dire la valeur de $\;i(0^{+})\;$ et, Résolution de l'équation différentielle en$\;\color {transparent}{i(t)}\;$normalisée : il reste alors à déterminer $\;\color {transparent}{A'}\;$ celle-ci ne résultant pas d'une continuité de grandeur dans un circuit réel, Résolution de l'équation différentielle en$\;\color {transparent}{i(t)}\;$normalisée : il reste alors à déterminer $\;\color {transparent}{A'}\;$ nous la cherchons par circuit à $\;0^{+}\;$ dans lequel nous remplaçons les deux condensateurs par leur modèle équivalent à $\;0^{+}\;$ d'où le circuit à $\;0^{+}\;$ ci-contre :
Résolution de l'équation différentielle en$\;\color {transparent}{i(t)}\;$normalisée : il reste alors à déterminer $\;\color {transparent}{A'}\;$ on retrouve $\;U\;$ aux bornes du conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ et par application de la loi d'Ohm on en déduit la valeur de l'intensité initiale $\;i(0^{+})\;$ du courant dans le circuit Résolution de l'équation différentielle en$\;\color {transparent}{i(t)}\;$normalisée : il reste alors à déterminer $\;\color {transparent}{A'}\;$ «$\;i(0^{+})={\dfrac {U}{R}}\;$» égale à $\;i(0^{+})=A'{\cancel {\exp \!\left(-{\dfrac {0}{\tau _{\text{éq}}}}\right)}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;A'={\dfrac {U}{R}}\;$» Résolution de l'équation différentielle en$\;\color {transparent}{i(t)}\;$normalisée : et finalement «$\;i(t)={\dfrac {U}{R}}\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{\text{éq}}}}\right)\;$».
Remarque : On obtient évidemment le même résultat que dans la solution de la question précédente $\;{\big$de façon plus rapide${\big )}\;$ et Remarque : on vérifie la présence d'une discontinuité de 1ère espèce de $\;i(t)\;$ à $\;t=0\;$ car $\;i(0^{+})={\dfrac {U}{R}}\;$ alors que $\;i(0^{-})=0$.

## Oscillations de relaxation d'une lampe au néon

Notions préliminaires sur une lampe au néon :
* une ampoule au néon ne s'allume que si la tension $\;u(t)\;$ à laquelle elle est soumise est $\;>\;$ à sa tension d'allumage $\;V_{a}$, soit «$\;u(t)>V_{a}\;$», la lampe allumée étant alors équivalente à une résistance dynamique $\;\rho$ ;
* l'ampoule au néon ne s'éteint que si la tension $\;u(t)\;$ à laquelle elle est soumise devient $\;<\;$ à sa tension d'extinction $\;V_{e}$, soit «$\;u(t)<V_{e}\;$», la lampe éteinte étant équivalente à un interrupteur ouvert.
On considère le circuit ci-contre dans lequel on ferme l'interrupteur $\;K\;$ à $\;t=0\;$, le condensateur étant déchargé pour $\;t<0$.

### Étude d'une 1ère phase de fonctionnement de la lampe et condition sur E pour qu'elle s'allume

À $\;t=0\;$ la lampe étant éteinte, le condensateur se charge alors à travers le conducteur ohmique de résistance $\;R$ ; À $\;\color {transparent}{t=0}\;$ la lampe étant éteinte, déterminer la loi de variation de la tension $\;u(t)\;$ aux bornes du condensateur en fonction du temps À $\;\color {transparent}{t=0}\;$ la lampe étant éteinte, déterminer la loi de variation de la tension $\;\color {transparent}{u(t)}\;$ dans l'hypothèse où la lampe reste éteinte ;
À $\;\color {transparent}{t=0}\;$ la lampe étant éteinte, en déduire une condition sur l'amplitude $\;E\;$ de l'échelon de tension pour que la lampe s'allume à la fin de cette phase et À $\;\color {transparent}{t=0}\;$ la lampe étant éteinte, dans l'hypothèse où cette condition est réalisée, déterminer la durée $\;\Delta t_{1}\;$ de cette 1ère phase.
Il s'agit d'un simple circuit $\;R\,C\;$ série soumis à un échelon de tension $\;e(t)=E\,Y(t)\;$ dont l'équation différentielle en $\;u(t)\;$ est «$\;R\,C\,{\dot {u}}+u=E\quad {\text{pour }}t>0\;$» ;
Il s'agit d'un simple circuit $\;\color {transparent}{R\,C}\;$ série soumis à un échelon de tension $\;\color {transparent}{e(t)=E\,Y(t)}\;$ l'instant initial correspondant à la fermeture de $\;K$, cette phase perdurera tant que $\;u(t)<V_{a}\;$.
Solution de l'équation différentielle en$\;u(t)$ : «$\;u(t)=u_{f}+u_{l}(t)=E+A\,\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;$» avec «$\;\tau =R\,C\;$ constante de temps du $\;R\,C\;$ série » et $\;A\;$ constante réelle d'intégration à déterminer par C.I. ;
Solution de l'équation différentielle en$\;\color {transparent}{u(t)}$ : C.I. utilisant la continuité de la tension $\;u(t)\;$ aux bornes d'un condensateur dans un circuit résistif soit $\;u(0^{+})=u(0^{-})=0\;$ Solution de l'équation différentielle en$\;\color {transparent}{u(t)}$ : C.I. d'où $\;E+A\,{\cancel {\exp \!\left(-{\dfrac {0}{\tau }}\right)}}=0\;$ $\Rightarrow$ «$\;A=-E\;$» et par suite Solution de l'équation différentielle en$\;\color {transparent}{u(t)}$ : l'équation valable jusqu'à l'éventuel allumage de la lampe au néon s'écrit «$\;u(t)=E\left[1-\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\right]\;$».
Condition sur$\;E\;$pour que la lampe au néon s'allume : $\;u(t)\;$ étant une fonction continue $\;\nearrow \;$ de $\;0\;$ jusqu'à $\;\lim \limits _{t\rightarrow \infty }u(t)=E\;$ $\Rightarrow$ la lampe au néon s'allumera si l'amplitude de l'échelon de tension est $\;>\;$ à la tension d'allumage de la lampe c'est-à-dire si «$\;E>V_{a}\;$» $\;{\big$par utilisation du théorème des valeurs intermédiaires${\big )}$.
Durée$\;\Delta t_{1}\;$de la 1ère phase sous condition précédente : sous cette condition l'expression de la tension $\;u(t)\;$ reste valable jusqu'à l'instant $\;t_{1}\;$ tel que $\;E\left[1-\exp \!\left(-{\dfrac {t_{1}}{\tau }}\right)\right]=V_{a}\;$ $\Rightarrow$ «$\;t_{1}=\tau \,\ln \!\left({\dfrac {E}{E-V_{a}}}\right)\;$», Durée$\;\color {transparent}{\Delta t_{1}}\;$de la 1ère phase sous condition précédente : sous cette condition l'expression de la tension $\;\color {transparent}{u(t)}\;$ reste valable jusqu'à l'instant $\;\color {transparent}{t_{1}}\;$ date à partir de laquelle la lampe au néon s'allume ; Durée$\;\color {transparent}{\Delta t_{1}}\;$de la 1ère phase sous condition précédente : sous cette condition la durée de la 1ère phase est donc «$\;\Delta t_{1}=\tau \,\ln \!\left({\dfrac {E}{E-V_{a}}}\right)\;$».

### Étude d'une 2ème phase de fonctionnement de la lampe et choix de (E, R) pour qu'elle s'éteigne

La lampe s'allumant à la fin de la phase précédente, on étudie cette 2ème phase et pour cela on fait un changement d'origine des temps $\;t'=t-\Delta t_{1}$ ;
La lampe s'allumant à la fin de la phase précédente, faire un schéma équivalent correspondant à la lampe au néon allumée et
La lampe s'allumant à la fin de la phase précédente, déterminer la loi de variation de la tension $\;u(t')\;$ en fonction du temps dans l'hypothèse où la lampe reste allumée ;
La lampe s'allumant à la fin de la phase précédente, en déduire une condition sur le choix de $\;(E,\,R)\;$ pour que la lampe s'éteigne et La lampe s'allumant à la fin de la phase précédente, dans l'hypothèse où cette condition est réalisée, déterminer la durée $\;\Delta t'_{2}\;$ de cette 2ème phase.
L'instant initial de cette 2ème phase correspondant à l'allumage de la lampe au néon $\;{\bigg$correspondant à $\;t_{1}=\tau \,\ln \!\left({\dfrac {E}{E-V_{a}}}\right){\bigg ]}$, L'instant initial de cette 2ème phase on y repère la date à partir de ce nouvel instant initial soit «$\;t'=t-t_{1}\;$», L'instant initial de cette 2ème phase cette phase perdurera tant que $\;u(t')>V_{e}\;$ en-deçà de laquelle la lampe s'éteint.
Le circuit équivalent est représenté ci-contre $\;{\big$1er schéma${\big )}$, on met en évidence, aux bornes du condensateur, un P.D.T. en permutant $\;\rho \;$ et $\;C\;$ $\;{\big$2ème schéma au-dessous du 1er${\big )}\;$ et on en prend alors le générateur de Thévenin équivalent de f.e.m. $\;{\big$de Thévenin${\big )}$ $\;e_{\text{Th}}={\dfrac {\rho }{\rho +R}}\,E\;$ et on en prend alors le générateur de Thévenin équivalent de résistance $\;{\big$de Thévenin${\big )}$ $\;r_{\text{Th}}={\dfrac {\rho \,R}{\rho +R}}\;$ on en prend alors le générateur de Thévenin équivalent d'où le 3ème schéma équivalent ci-contre à droite du 2ème ;
on obtient alors un simple $\;R\,C\;$ série soumis à un échelon de tension $\;{\big$mais avec un condensateur initialement chargé${\big )}\;$ dont l'équation différentielle est «$\;r_{\text{Th}}\,C\,{\dot {u}}(t)+u(t)=e_{\text{Th}}\quad {\text{pour }}t'>0\;$».
Solution de l'équation différentielle en$\;u(t')$ : «$\;u(t')=u_{f}+u_{l}(t')=e_{\text{Th}}+A'\,\exp \!\left(-{\dfrac {t'}{\tau '}}\right)\;$» avec Solution de l'équation différentielle en$\;\color {transparent}{u(t')}$ : «$\;\tau '=r_{\text{Th}}\,C\;$ constante de temps du nouveau $\;R\,C\;$ série » et Solution de l'équation différentielle en$\;\color {transparent}{u(t')}$ : «$\;A'\;$ constante réelle d'intégration » à déterminer par C.I. ;
Solution de l'équation différentielle en$\;\color {transparent}{u(t')}$ : C.I. utilisant la continuité de la tension $\;u(t)\;$ aux bornes d'un condensateur dans un circuit résistif soit $\;u(t'=0^{+})=u(t'=0^{-})=V_{a}\;$ d'où $\;e_{\text{Th}}+A'\,{\cancel {\exp \!\left(-{\dfrac {0}{\tau }}\right)}}=V_{a}\;$ $\Rightarrow$ «$\;A'=V_{a}-e_{\text{Th}}\;$» et par suite Solution de l'équation différentielle en$\;\color {transparent}{u(t')}$ : l'équation valable jusqu'à l'éventuelle extinction de la lampe au néon s'écrit «$\;u(t')=e_{\text{Th}}+\left(V_{a}-e_{\text{Th}}\right)\exp \!\left(-{\dfrac {t'}{\tau '}}\right)\;$».
Condition sur$\;(E\;,\;R)\;$pour que la lampe au néon s'éteigne : une C.N. pour que la lampe s'éteigne est que $\;u(t)\;$ soit $\;\searrow \;$ et pour cela il faut que $\;e_{\text{Th}}={\dfrac {\rho }{\rho +R}}\,E\;$ soit $\;<\;$ à la tension d'allumage $\;V_{a}\;$ soit Condition sur$\;\color {transparent}{(E\;,\;R)}\;$pour que la lampe au néon s'éteigne : une C.N. pour que la lampe s'éteigne est que «$\;{\dfrac {\rho }{\rho +R}}\,E<V_{a}\;$» ; dans ce cas Condition sur$\;\color {transparent}{(E\;,\;R)}\;$pour que la lampe au néon s'éteigne : $u(t)\;$ étant une fonction continue $\;\searrow \;$ de $\;V_{a}\;$ jusqu'à $\;\lim \limits _{t'\rightarrow \infty }u(t')=e_{\text{Th}}\;$ $\Rightarrow$ la lampe au néon s'éteindra si la f.e.m. de Thévenin est $\;<\;$ à la tension d'extinction de la lampe c'est-à-dire si «$\;e_{\text{Th}}={\dfrac {\rho }{\rho +R}}\,E<V_{e}\;$» $\;{\big$par utilisation du théorème des valeurs intermédiaires${\big )}$ ; Condition sur$\;\color {transparent}{(E\;,\;R)}\;$pour que la lampe au néon s'éteigne : en conclusion la lampe au néon s'éteindra dans cette 2ème phase pour $\;E<\left(1+{\dfrac {R}{\rho }}\right)V_{e}\;$ soit encore «$\;E<V_{e}+R{\dfrac {V_{e}}{\rho }}\;$».
Remarque : pour que la lampe au néon s'allume il est nécessaire d'avoir $\;E>V_{a}\;$ et Remarque : pour qu'elle s'éteigne il est nécessaire d'avoir $\;E<V_{e}+R{\dfrac {V_{e}}{\rho }}$, Remarque : cette 2ème condition n'est compatible avec la 1ère que si on a «$\;V_{e}+R{\dfrac {V_{e}}{\rho }}>V_{a}\;$» ce qui nécessite «$\;R>\rho {\dfrac {V_{a}-V_{e}}{V_{e}}}\;$».
Durée$\;\Delta {t'}_{2}\;$de la 2ème phase sous condition précédente : avec $\;E<V_{e}+R{\dfrac {V_{e}}{\rho }}$, l'expression de la tension $\;u(t')\;$ reste valable jusqu'à l'instant $\;{t'}_{2}\;$ tel que $\;e_{\text{Th}}+\left(V_{a}-e_{\text{Th}}\right)\exp \!\left(-{\dfrac {t'_{2}}{\tau '}}\right)=V_{e}\;$ c'est-à-dire Durée$\;\color {transparent}{\Delta {t'}_{2}}\;$de la 2ème phase sous condition précédente : avec $\;\color {transparent}{E<V_{e}+R{\dfrac {V_{e}}{\rho }}}$, l'expression de la tension $\;\color {transparent}{u(t')}\;$ reste valable jusqu'à l'instant «$\;{t'}_{2}=\tau '\,\ln \!\left({\dfrac {V_{a}-e_{\text{Th}}}{V_{e}-e_{\text{Th}}}}\right)\;$», Durée$\;\color {transparent}{\Delta {t'}_{2}}\;$de la 2ème phase sous condition précédente : avec $\;\color {transparent}{E<V_{e}+R{\dfrac {V_{e}}{\rho }}}$, l'expression de la tension $\;\color {transparent}{u(t')}\;$ reste valable jusqu'à l'instant date à partir de laquelle la lampe au néon s'éteint ;
Durée$\;\color {transparent}{\Delta {t'}_{2}}\;$de la 2ème phase sous condition précédente : avec $\;\color {transparent}{E<V_{e}+R{\dfrac {V_{e}}{\rho }}}$, la durée de cette 2ème phase est donc «$\;\Delta {t'}_{2}=\tau '\,\ln \!\left({\dfrac {V_{a}-e_{\text{Th}}}{V_{e}-e_{\text{Th}}}}\right)\;$» ou, Durée$\;\color {transparent}{\Delta {t'}_{2}}\;$de la 2ème phase sous condition précédente : avec $\;\color {transparent}{E<V_{e}+R{\dfrac {V_{e}}{\rho }}}$, en reportant les expressions de $\;e_{\text{Th}}={\dfrac {\rho }{\rho +R}}\,E\;$ et $\;r_{\text{Th}}={\dfrac {\rho \,R}{\rho +R}}$, Durée$\;\color {transparent}{\Delta {t'}_{2}}\;$de la 2ème phase sous condition précédente : avec $\;\color {transparent}{E<V_{e}+R{\dfrac {V_{e}}{\rho }}}$, la durée de cette phase se réécrit «$\;\Delta t'_{2}={\dfrac {\rho \,R}{\rho +R}}\,C\,\ln \!\left({\dfrac {V_{a}-{\dfrac {\rho }{\rho +R}}\,E}{V_{e}-{\dfrac {\rho }{\rho +R}}\,E}}\right)\;$» soit finalement Durée$\;\color {transparent}{\Delta {t'}_{2}}\;$de la 2ème phase sous condition précédente : avec $\;\color {transparent}{E<V_{e}+R{\dfrac {V_{e}}{\rho }}}$, la durée de cette phase se réécrit «$\;\Delta {t'}_{2}={\dfrac {\rho \,R}{\rho +R}}\,C\,\ln \!\left[{\dfrac {(\rho +R)\,V_{a}-\rho \,E}{(\rho +R)\,V_{e}-\rho \,E}}\right]\;$».

### Étude d'une 3ème phase de fonctionnement de la lampe et durée de cette 3ème phase

La lampe s'éteignant à la fin de la phase précédente, on étudie cette 3sup>ème phase et pour cela on fait un nouveau changement d'origine des temps définissant $\;t''=t'-\Delta {t'}_{2}$ ;
La lampe s'éteignant à la fin de la phase précédente, déterminer la loi de variation de la tension $\;u(t'')\;$ en fonction du temps dans l'hypothèse où la lampe reste éteinte puis
La lampe s'éteignant à la fin de la phase précédente, déterminer la durée $\;\Delta {t''}_{3}\;$ de cette 3ème phase.
L'instant initial de cette 3ème phase correspondant à l'extinction précédente de la lampe au néon $\;{\bigg$correspondant à $\;t_{2}=t_{1}+{t'}_{2}=\tau \,\ln \!\left({\dfrac {E}{E-V_{a}}}\right)+\tau '\,\ln \!\left({\dfrac {V_{a}-e_{\text{Th}}}{V_{e}-e_{\text{Th}}}}\right){\bigg ]}$,
L'instant initial de cette 3ème phase on y repère la date à partir de ce nouvel instant initial soit «$\;t''=t'-{t'}_{2}=t-(t_{1}+{t'}_{2})\;$», L'instant initial de cette 3ème phase cette nouvelle phase perdurera tant que $\;u(t'')<V_{a}\;$ au-delà de laquelle la lampe s'allumera.
Il s'agit du même circuit que pour la 1ère phase $\;{\big$mais avec un condensateur initialement chargé${\big )}\;$ dont l'équation différentielle est «$\;R\,C\,{\dot {u}}(t'')+u(t'')=E\quad {\text{pour }}t''>0\;$».
Solution de l'équation différentielle en$\;u(t'')$ : «$\;u(t'')=u_{f}+u_{l}(t'')=E+A''\,\exp \!\left(-{\dfrac {t''}{\tau }}\right)\;$» avec «$\;\tau =R\,C\;$ constante de temps du $\;R\,C\;$ série » et $\;A''\;$ constante réelle d'intégration à obtenir par C.I. ;
Solution de l'équation différentielle en$\;\color {transparent}{u(t'')}$ : C.I. utilisant la continuité de la tension $\;u(t'')\;$ aux bornes d'un condensateur dans un circuit résistif soit $\;u(t''=0^{+})=u(t''=0^{-})=V_{e}\;$ Solution de l'équation différentielle en$\;\color {transparent}{u(t'')}$ : C.I. d'où $\;E+A''\,{\cancel {\exp \!\left(-{\dfrac {0}{\tau }}\right)}}=V_{e}\;$ $\Rightarrow$ «$\;A''=V_{e}-E\;$» et par suite Solution de l'équation différentielle en$\;\color {transparent}{u(t'')}$ : l'équation valable jusqu'au nouvel allumage de la lampe au néon s'écrit «$\;u(t'')=E-(E-V_{e})\exp \!\left(-{\dfrac {t''}{\tau }}\right)\;$» ;
Durée$\;\Delta {t''}_{3}\;$de la 3ème phase : l'expression de la tension $\;u(t'')\;$ reste valable jusqu'à l'instant $\;{t''}_{3}\;$ tel que $\;E-(E-V_{e})\exp \!\left(-{\dfrac {t''_{3}}{\tau }}\right)=V_{a}\;$ $\Rightarrow$ «$\;{t''}_{3}=\tau \,\ln \!\left({\dfrac {E-V_{e}}{E-V_{a}}}\right)\;$», Durée$\;\color {transparent}{\Delta {t''}_{3}}\;$de la 3ème phase : l'expression de la tension $\;\color {transparent}{u(t'')}\;$ reste valable jusqu'à l'instant $\;\color {transparent}{{t''}_{3}}\;$ date à partir de laquelle la lampe au néon s'allume de nouveau ; Durée$\;\color {transparent}{\Delta {t''}_{3}}\;$de la 3ème phase : la durée de cette 3ème phase est donc «$\;\Delta {t''}_{3}=\tau \,\ln \!\left({\dfrac {E-V_{e}}{E-V_{a}}}\right)\;$».

### Oscillations de relaxation de la lampe au néon et explicitation de leur période

La phase succédant à la 3ème phase s'identifiant à la 2ème phase et celle-ci étant suivie par la 3ème phase on observe, après une 1ère phase d'initiation, La phase succédant à la 3ème phase s'identifiant à la 2ème phase et celle-ci étant suivie par la 3ème phase on observe, une succession périodique de 2ème et 3ème phases ;
La phase succédant à la 3ème phase s'identifiant à la 2ème phase et celle-ci étant suivie par la 3ème phase déduire de ce qui précède la période $\;T\;$ des oscillations de relaxation de la lampe au néon et
La phase succédant à la 3ème phase s'identifiant à la 2ème phase et celle-ci étant suivie par la 3ème phase tracer l'allure du graphe de la tension $\;u(t)\;$ avec les valeurs numériques ci-dessous :
La phase succédant à la 3ème phase s'identifiant à la 2ème phase et celle-ci étant suivie par la 3ème phase A.N. : $\;V_{a}=100\,V$, $\;V_{e}=80\,V$, $\;\rho =100\,\Omega$, $\;E=150\,V$, $\;R=100\,\Omega \;$ et $\;C=1\,mF$.
À la date «$\;t_{1}=\tau \,\ln \!\left({\dfrac {E}{E-V_{a}}}\right)\;$» $\;{\big$avec $\;\tau =R\,C=100\times 10^{-3}=0,1\,s=100\,ms{\big )}\;$ soit À la date «$\;t_{1}=100\times \ln \!\left({\dfrac {150}{150-100}}\right)\simeq 109,9\;ms\;$», À la date «$\;\color {transparent}{t_{1}}\;$ nous obtenons une succession périodique de 2ème et 3ème phases correspondant à des oscillations de relaxation dont la période est la somme des durées de chacune des 2ème et 3ème phases $\;{\big$voir l'allure du graphe de $\;u(t)\;$ ci-contre${\big ]}$,
À la date «$\;\color {transparent}{t_{1}}\;$ la 2ème phase étant de durée «$\;\Delta {t'}_{2}=\tau '\,\ln \!\left({\dfrac {V_{a}-e_{\text{Th}}}{V_{e}-e_{\text{Th}}}}\right)\;$» $\;{\bigg\!$avec $\;\tau '=r_{\text{Th}}\,C$, À la date «$\;\color {transparent}{t_{1}}\;$ la 2ème phase étant de durée «$\;\color {transparent}{\Delta {t'}_{2}=\tau '\,\ln \!\left({\dfrac {V_{a}-e_{\text{Th}}}{V_{e}-e_{\text{Th}}}}\right)}\;$» $\;\color {transparent}{{\bigg\!}$avec $\;r_{\text{Th}}={\dfrac {\rho \,R}{\rho +R}}={\dfrac {100\times 100}{100+100}}=50\,\Omega \;$ d'où À la date «$\;\color {transparent}{t_{1}}\;$ la 2ème phase étant de durée «$\;\color {transparent}{\Delta {t'}_{2}=\tau '\,\ln \!\left({\dfrac {V_{a}-e_{\text{Th}}}{V_{e}-e_{\text{Th}}}}\right)}\;$» $\;\color {transparent}{{\bigg\!}$avec $\;\tau '=50\times 10^{-3}=0,05\,s=50\,ms\;$ et À la date «$\;\color {transparent}{t_{1}}\;$ la 2ème phase étant de durée «$\;\color {transparent}{\Delta {t'}_{2}=\tau '\,\ln \!\left({\dfrac {V_{a}-e_{\text{Th}}}{V_{e}-e_{\text{Th}}}}\right)}\;$» $\;\color {transparent}{{\bigg\!}$avec $\;e_{\text{Th}}={\dfrac {\rho }{\rho +R}}\,E={\dfrac {100}{100+100}}\times 150$ c'est-à-dire À la date «$\;\color {transparent}{t_{1}}\;$ la 2ème phase étant de durée «$\;\color {transparent}{\Delta {t'}_{2}=\tau '\,\ln \!\left({\dfrac {V_{a}-e_{\text{Th}}}{V_{e}-e_{\text{Th}}}}\right)}\;$» $\;\color {transparent}{{\bigg\!}$avec $\;e_{\text{Th}}=75\,V{\bigg )}\;$ soit À la date «$\;\color {transparent}{t_{1}}\;$ la 2ème phase étant de durée «$\;\Delta {t'}_{2}=50\times \ln \!\left({\dfrac {100-75}{80-75}}\right)\simeq 80,5\;ms\;$» et
À la date «$\;\color {transparent}{t_{1}}\;$ la 3ème phase de durée «$\;\Delta {t''}_{3}=\tau \,\ln \!\left({\dfrac {E-V_{e}}{E-V_{a}}}\right)\;$» $\;{\big$avec $\;\tau =R\,C=100\times 10^{-3}=0,1\,s=100\,ms{\big )}\;$ soit À la date «$\;\color {transparent}{t_{1}}\;$ la 3ème phase de durée «$\;\Delta {t''}_{3}=100\times \ln \!\left({\dfrac {150-80}{150-100}}\right)\simeq 33,6\;ms\;$» ;
À la date «$\;\color {transparent}{t_{1}}\;$ la 2ème phase s'étend donc entre les instants $\;t_{1}\simeq 109,9\;ms\;$ et $\;t_{2}=t_{1}+\Delta {t'}_{2}\simeq 109,9+80,5\simeq 190,4\;ms$ et
À la date «$\;\color {transparent}{t_{1}}\;$ la 3ème phase s'étend donc entre les instants $\;t_{2}\simeq 190,4\;ms\;$ et $\;t_{3}=t_{2}+\Delta {t''}_{3}\simeq 190,4+33,6\simeq 224,0\;ms$.

### Application numérique

Calculer la période $\;T\;$ avec les valeurs numériques du paragraphe précédent : $\;V_{a}=100\,V$, $\;V_{e}=80\,V$, $\;\rho =100\,\Omega$, $\;E=150\,V$, $\;R=100\,\Omega \;$ et $\;C=1\,mF$.
Calcul de la période $\;T\;$ dans le cas où $\;V_{a}=100\,V$, $\;V_{e}=80\,V$, $\;\rho =100\,\Omega$, $\;E=150\,V$, $\;R=100\,\Omega \;$ et $\;C=1\,mF$ :
Calcul de la période«$\;T=\Delta {t'}_{2}+\Delta {t''}_{3}={\dfrac {\rho \,R}{\rho +R}}\,C\,\ln \!\left[{\dfrac {(\rho +R)\,V_{a}-\rho \,E}{(\rho +R)\,V_{e}-\rho \,E}}\right]+\tau \,\ln \!\left({\dfrac {E-V_{e}}{E-V_{a}}}\right)\simeq 80,5+33,6\simeq 114,1\;ms\;$»

## Changement d'état d'un circuit avec condensateurs parfaits
### Charge et intensité du courant de charge de chaque condensateur d'une batterie « série et parallèle »

À la date $\;t=0$, on établit la tension $\;U_{0}\;$ dans le circuit ci-contre, les condensateurs étant initialement déchargés ;
exprimer les charges instantanées des divers condensateurs en fonction du temps. puis
en déduire, également en fonction du temps, les intensités instantanées de chaque courant de charge de ces condensateurs.
Propriété préliminaire pour simplifier la résolution : $\succ \;$association $\;\parallel \;$ de deux condensateurs parfaits de capacité $\;C_{1}\;$ et $\;C_{2}\;$ Propriété préliminaire pour simplifier la résolution : $\color {transparent}{\succ }\;$équivalente à un condensateur parfait de capacité équivalente $\;C_{\text{éq}}=C_{1}+C_{2}\;$ ; Propriété préliminaire pour simplifier la résolution : $\succ \;$association série de deux condensateurs parfaits de capacité $\;C_{1}\;$ et $\;C_{2}\;$ Propriété préliminaire pour simplifier la résolution : $\color {transparent}{\succ }\;$équivalente à un condensateur parfait de capacité équivalente $\;C_{\text{éq}}={\dfrac {C_{1}\;C_{2}}{C_{1}+C_{2}}}\;$
Les condensateurs étant initialement déchargés, on peut leur appliquer les lois d'association rappelées dans le texte de la question :
* les deux condensateurs parfaits $\;({\mathfrak {1}})\;$ et $\;({\mathfrak {2}})\;$ étant montés en $\;\parallel$, leur association est équivalente à un condensateur parfait unique de capacité équivalente «$\;C_{1,\,2}$ $=C_{1}+C_{2}=2\,C\;$» ;
* ce dernier étant monté en série avec le 3ème, leur association série est équivalente à un condensateur parfait unique de capacité équivalente «$\;C_{\text{éq}}=$ ${\dfrac {C_{1,\,2}\,C_{3}}{C_{1,\,2}+C_{3}}}={\dfrac {2\,C^{2}}{2\,C+C}}={\dfrac {2\,C}{3}}\;$» ;
la charge instantanée du 3ème condensateur étant notée $\;q(t)$, charge instantanéecelle de l'association $\;\parallel \;$ des deux 1$^{ers}$ de capacité équivalente $\;C_{1,\,2}\;$ est également $\;q(t)\;$, avec $\;q(t)=q_{1}(t)+q_{2}(t)$, et charge instantanée celle de l'association $\;\color {transparent}{\parallel }\;$ des deux 1$^{ers}$comme il y a symétrie entre $\;({\mathfrak {1}})\;$ et $\;({\mathfrak {2}})\;$ $\Rightarrow$ $\;q_{1}(t)=q_{2}(t)\;$ de valeur commune $\;{\dfrac {q(t)}{2}}$ ; enfin
le 3ème condensateur et l'association $\;\parallel \;$ des deux 1$^{ers}$ étant en série et de charge individuelle $\;q(t)$, celle du condensateur équivalent de capacité équivalente $\;C_{\text{éq}}\;$ est aussi $\;q(t)\;$.
Nous obtenons alors un circuit $\;R\,C_{\text{éq}}\;$ série soumis à un échelon de tension d'amplitude $\;U_{0}$, l'instant $\;t=0\;$ étant celui de fermeture du circuit avec le condensateur de capacité $\;C_{\text{éq}}\;$ initialement déchargé, d'où Nous obtenons l'équation différentielle en $\;q(t)\;$ $\;R\,{\dot {q}}(t)+{\dfrac {1}{C_{\text{éq}}}}\,q(t)=U_{0}\;Y(t)\;$ ou, sous forme normalisée, «$\;{\dot {q}}(t)+{\dfrac {1}{R\,C_{\text{éq}}}}\,q(t)={\dfrac {U_{0}}{R}}\;Y(t)\;$» ; Nous obtenons la solution de l'équation différentielle du circuit équivalent est de la forme «$\;q(t)=C_{\text{éq}}\;U_{0}+A\,\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau _{\text{éq}}}}\right)\;$» avec $\;\tau _{\text{éq}}=R\,C_{\text{éq}}\;$ et $\;A\;$ constante réelle d'intégration se déterminant par utilisation de la C.I. à savoir $\;q(0^{+})=0\;$ ${\big$continuité de la charge d'un condensateur dans un circuit « réel » $\;q(0^{+})=q(0^{-})\;$ et caractère déchargé du condensateur dans son état initial $\;q(0^{-})=0{\big ]}\;$ d'où $\;C_{\text{éq}}\;U_{0}+A=0\;$ $\Rightarrow$ $\;A=-C_{\text{éq}}\;U_{0}\;$ et par suite Nous obtenons la solution de l'équation différentielle du circuit équivalent se réécrit «$\;q(t)=C_{\text{éq}}\,U_{0}\,\left[1-\exp \left(-{\dfrac {t}{\tau _{\text{éq}}}}\right)\right]\;$» ou «$\;q(t)={\dfrac {2\,C\,U_{0}}{3}}\left[1-\exp \left(-{\dfrac {t}{\tau _{\text{éq}}}}\right)\right]\;$» avec «$\;\tau _{\text{éq}}={\dfrac {2\,R\,C}{3}}\;$» ;
les condensateurs $\;({\mathfrak {1}})\;$ et $\;({\mathfrak {2}})\;$ ayant même charge instantanée $\;q_{1}(t)=q_{2}(t)={\dfrac {q(t)}{2}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;q_{1}(t)=q_{2}(t)={\dfrac {C\,U_{0}}{3}}\left[1-\exp \left(-{\dfrac {t}{\tau _{\text{éq}}}}\right)\right]\;$» avec même constante de temps «$\;\tau _{\text{éq}}={\dfrac {2\,R\,C}{3}}\;$».
Nous déterminons l'intensité du courant circulant dans le circuit équivalent par $\;i(t)={\dot {q}}(t)\;$ soit «$\;i(t)={\dfrac {U_{0}}{R}}\,\exp \left(-{\dfrac {t}{\tau _{\text{éq}}}}\right)\;$» avec même constante de temps «$\;\tau _{\text{éq}}={\dfrac {2\,R\,C}{3}}\;$» et
Nous déterminons l'intensité du courant ayant traversé chaque branche $\;({\mathfrak {1}})\;$ et $\;({\mathfrak {2}})\;$ par $\;i_{1}(t)=i_{2}(t)={\dfrac {i(t)}{2}}\;$ «$\;i_{1}(t)=i_{2}(t)={\dfrac {U_{0}}{2\,R}}\,\exp \left(-{\dfrac {t}{\tau _{\text{éq}}}}\right)$» avec même constante de temps «$\;\tau _{\text{éq}}={\dfrac {2\,R\,C}{3}}\;$».

### Ajout d'un condensateur initialement chargé

Une fois l'équilibre atteint, on branche entre $\;A\;$ et $\;B$, par l'intermédiaire d'un interrupteur $\;K\;$ initialement ouvert $\;{\big$voir schéma ci-contre${\big )}\;$ un condensateur de capacité $\;C$, préalablement chargé sous la tension $\;U_{0}\;$ et on ferme l'interrupteur.

#### Établissement d'un équilibre quasi-instantané

Montrer qu'immédiatement après fermeture de l'interrupteur $\;K$, il s'établit un 1er équilibre quasi-instantané entre les quatre condensateurs, équilibre que l'on qualifiera de local dans la mesure où il se réalise sans circulation de courant dans la résistance $\;R\;$ et
déterminer les valeurs des charges des divers condensateurs après l'établissement de cet équilibre local quasi-instantané $\;{\big$l'instant de fin d'établissement de cet équilibre local sera noté $\;0^{+}{\big )}$ ;
quel risque encourent les fils de connexion ?
Une fois l'équilibre de la batterie des trois condensateurs précédente atteint, les tensions aux bornes des différents condensateurs « entre $\;A'\;$ et $\;D'\;$», « entre $\;A\;$ et $\;D\;$», « entre $\;B'\;$ et $\;A'\;$» sont celles indiquées sur le schéma ci-contre ;
Une fois l'équilibre de la batterie des trois condensateurs précédente atteint, on branche alors « entre $\;A\;$ et $\;B\;$», par l'intermédiaire d'un interrupteur $\;K\;$ initialement ouvert, un condensateur de capacité $\;C$, préalablement chargé sous la tension $\;U_{0}\;$ et Une fois l'équilibre de la batterie des trois condensateurs précédente atteint, on ferme l'interrupteur.
On constate alors que $\;U_{A'B'}\neq U_{AB}$, alors que $\;U_{D'A'}=U_{DA}$, ce fait va se manifester par une décharge partielle du condensateur $\;AB\;$ dans le condensateur $\;A'B'\;$ à travers les fils de connexion $\;AA'\;$ et $\;BB'$, par contre rien ne se produira a priori entre les condensateurs $\;D'A'\;$ et $\;DA$ ;
or $\;AA'\;$ et $\;BB'\;$ étant des fils de connexion de résistance supposée nulle, cette décharge se fait en une durée nulle c'est-à-dire qu'elle est « instantanée » jusqu'à l'égalité des tensions $\;U_{A'B'}\;$ et $\;U_{AB}\;$ de valeur commune $\;U_{AB,\,{\text{équil}}}$ ;
cette tension commune «$\;U_{AB,\,{\text{équil}}}\;$» se détermine en écrivant que l'ensemble des armatures $\;A\;$ et $\;A'\;$ reliées par le fil de connexion $\;AA'\;$ est isolé $\;{\big$le caractère isolé dure le temps de cette mise à équilibre c'est-à-dire qu'il est de durée quasi nulle${\big )}\;$ soit $\;C\,{\dfrac {2\,U_{0}}{3}}+C\,U_{0}=$ $C\,U_{AB,\,{\text{équil}}}+C\,U_{AB,\,{\text{équil}}}\;$ d'où cette tension commune «$\;U_{AB,\,{\text{équil}}}={\dfrac {5\,U_{0}}{6}}\;$» ;
à l'instant $\;0^{+}\;$ les valeurs de charge des condensateurs $\;DA'\;$ et $\;DA\;$ sont $\;{\dfrac {C\,U_{0}}{3}}\;$ chacune, correspondant à une tension commune $\;{\dfrac {U_{0}}{3}}\;$ et à l'instant $\;\color {transparent}{0^{+}}\;$ les valeurs de celles des condensateurs $\;A'B'\;$ et $\;AB\;$ sont $\;{\dfrac {5\,C\,U_{0}}{6}}\;$ chacune, correspondant à une tension commune $\;{\dfrac {5\,U_{0}}{6}}\;$ à l'instant $\;\color {transparent}{0^{+}}\;$${\big$voir schéma ci-contre${\big )}$ ; à l'instant $\;\color {transparent}{0^{+}}\;$on constate alors l'absence d'équilibre global, la tension initiale aux bornes du conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ étant non nulle, orientée de droite à gauche elle vaut «$\;U_{R,\;\leftarrow }(0^{+})=\left({\dfrac {U_{0}}{3}}+{\dfrac {5\,U_{0}}{6}}\right)-U_{0}={\dfrac {U_{0}}{6}}\;$».
Remarque : Comme nous l'avons déjà signalé dans la note « $^{68}$ » plus haut dans cet exercice, les fils de connexion $\;AA'\;$ et $\;BB'$, traversés par un courant d'intensité théoriquement infinie pendant la décharge partielle du condensateur $\;AB\;$ dans le condensateur $\;A'B'$, dans la pratique, fondraient, par contre, Remarque : les autres fils de connexion, resteraient intacts pendant l'établissement de cet équilibre quasi-instantané car traversés par aucun courant.

#### Évolution ultérieure

Déterminer l'évolution ultérieure du système $\;{\big$intensités instantanées des courants de charge ainsi que charges instantanées des divers condensateurs en fonction du temps${\big )}\;$ et
préciser son état final $\;{\big$charge de chaque condensateur ainsi que tension à leurs bornes${\big )}$.
Les deux condensateurs supérieurs de même charge initiale $\;{\dfrac {q_{0}}{3}}\;$ et montés en $\;\parallel \;$ Les deux condensateurs supérieurs de même charge initiale $\;\color {transparent}{\dfrac {q_{0}}{3}}\;$ et montés en $\;\color {transparent}{\parallel }\;$ peuvent être remplacés par un seul condensateur de capacité $\;C_{1,\,2}=2\,C\;$ Les deux condensateurs supérieurs de même charge initiale $\;\color {transparent}{\dfrac {q_{0}}{3}}\;$ et montés en $\;\color {transparent}{\parallel }\;$ peuvent être remplacés par un seul condensateur de charge initiale $\;{\dfrac {2\,q_{0}}{3}}\;$ ;
les deux condensateurs inférieurs de même charge initiale $\;{\dfrac {5\,q_{0}}{6}}\;$ et montés en $\;\parallel \;$ Les deux condensateurs inférieurs de même charge initiale $\;\color {transparent}{\dfrac {5\,q_{0}}{6}}\;$ et montés en $\;\color {transparent}{\parallel }\;$ peuvent être remplacés par un condensateur de capacité $\;C_{3,\,4}=2\,C\;$ Les deux condensateurs inférieurs de même charge initiale $\;\color {transparent}{\dfrac {5\,q_{0}}{6}}\;$ et montés en $\;\color {transparent}{\parallel }\;$ peuvent être remplacés par un condensateur de charge initiale $\;{\dfrac {5\,q_{0}}{3}}\;$ ;
$\;t'>0^{+}\;$
Par conservation de la charge globale de l'armature inférieure du condensateur supérieur et de l'armature supérieure du condensateur inférieur du schéma équivalent ci-contre, nous déduisons «$\;-q(t')+q'(t')=-{\dfrac {2\,q_{0}}{3}}+{\dfrac {5\,q_{0}}{3}}=q_{0}\;$» $\Rightarrow$ «$\;q'(t')=q_{0}+q(t')\;$» et par suite, en ayant choisi la convention de décharge pour les deux condensateurs du schéma équivalent «$\;i(t')=-{\dot {q}}(t')=-{\dot {q'}}(t')\;$».
L'équation de maille s'écrit : «$\;U_{0}+R\,i(t')-{\dfrac {q(t')}{2\,C}}-{\dfrac {q'(t')}{2\,C}}=0\;$» ou en remplaçant $\;q'(t')\;$ par $\;q_{0}+q(t')$, et en regroupant les termes en $\;q(t)$, L'équation de maille s'écrit : «$\;-R\,i(t')+{\dfrac {q(t')}{C}}+{\dfrac {q_{0}}{2\,C}}=U_{0}\;$» soit l'équation différentielle en $\;q(t)\;$ «$\;R\,{\dot {q}}(t')+{\dfrac {1}{C}}\,q(t')=$ $U_{0}-{\dfrac {q_{0}}{2\,C}}\;$» ou, l'excitation se réécrivant $\;U_{0}-{\dfrac {q_{0}}{2\,C}}=U_{0}-{\dfrac {U_{0}}{2}}\;$ c'est-à-dire $\;{\dfrac {U_{0}}{2}}\;$ $\Rightarrow$ l'équation différentielle $\;q(t)\;$ sous forme normalisée l'équation différentielle en $\;\color {transparent}{q(t)}\;$ «$\;{\dot {q}}(t')+{\dfrac {1}{R\,C}}\,q(t')={\dfrac {U_{0}}{2\,R}}\;$» ;
la solution de l'équation différentielle est de la forme «$\;q(t')=q_{l}(t')+q_{f}\;$» avec $\;q_{f}\;$ solution forcée de même forme que l'excitation c'est-à-dire constante $\Rightarrow$ «$\;q_{f}={\dfrac {C\,U_{0}}{2}}\;$» et la solution de l'équation différentielle est de la forme «$\;\color {transparent}{q(t')=q_{l}(t')+q_{f}}\;$» avec $\;q_{l}(t')\;$ solution libre vérifiant $\;{\dot {q}}_{l}(t')+{\dfrac {1}{R\,C}}\,q_{l}(t')=0\;$ d'équation caractéristique $\;s+{\dfrac {1}{R\,C}}=0\;$ soit finalement la solution de l'équation différentielle est de la forme «$\;\color {transparent}{q(t')=q_{l}(t')+q_{f}}\;$» avec $\;q_{l}(t')=A\,\exp \!\left(-{\dfrac {t'}{R\,C}}\right)\;$ d'où la solution de l'équation différentielle est de la forme «$\;q(t')={\dfrac {C\,U_{0}}{2}}+A\,\exp \left(-{\dfrac {t'}{R\,C}}\right)\;$», $\;A\;$ étant une constante réelle d'intégration déterminée par C.I. «$\;q(0^{+})={\dfrac {2\,C\,U_{0}}{3}}={\dfrac {2\,q_{0}}{3}}\;$» d'où la solution de l'équation différentielle est de la forme «$\;\color {transparent}{q(t')={\dfrac {C\,U_{0}}{2}}+A\,\exp \left(-{\dfrac {t'}{R\,C}}\right)}\;$», l'équation algébrique $\;{\dfrac {2\,C\,U_{0}}{3}}={\dfrac {C\,U_{0}}{2}}+A\,{\cancel {\exp \left(-{\dfrac {0}{R\,C}}\right)}}\;$ $\Rightarrow$ $\;A={\dfrac {2\,C\,U_{0}}{3}}-{\dfrac {C\,U_{0}}{2}}={\dfrac {C\,U_{0}}{6}}\;$ et par suite la solution de l'équation différentielle est «$\;q(t')={\dfrac {C\,U_{0}}{2}}+{\dfrac {C\,U_{0}}{6}}\,\exp \left(-{\dfrac {t'}{R\,C}}\right)\;$» ;
par report de l'expression de $\;q(t)\;$ dans $\;q'(t')=q_{0}+q(t')=C\,U_{0}+q(t')\;$ nous obtenons, après simplification évidente, «$\;q'(t')={\dfrac {3\,C\,U_{0}}{2}}+{\dfrac {C\,U_{0}}{6}}\,\exp \left(-{\dfrac {t'}{R\,C}}\right)\;$» ;
les deux condensateurs initiaux supérieurs $\;({\mathfrak {1}})\;$ et $\;({\mathfrak {2}})\;$ ont donc une charge individuelle «$\;q_{1}(t')=q_{2}(t')={\dfrac {q(t')}{2}}={\dfrac {C\,U_{0}}{4}}+{\dfrac {C\,U_{0}}{12}}\,\exp \left(-{\dfrac {t'}{R\,C}}\right)\;$» et
les deux condensateurs initiaux inférieurs $\;({\mathfrak {3}})\;$ et $\;({\mathfrak {4}})\;$ ont donc une charge individuelle «$\;q_{3}(t')=q_{4}(t')={\dfrac {q'(t')}{2}}={\dfrac {3\,C\,U_{0}}{4}}+{\dfrac {C\,U_{0}}{12}}\,\exp \left(-{\dfrac {t'}{R\,C}}\right)\;$» ;
l'intensité du courant circulant dans le conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ s'obtient en prenant l'opposé de la dérivée temporelle de l'expression de $\;q(t')$, soit «$\;i(t')=-{\dot {q}}(t')={\dfrac {U_{0}}{6\,R}}\exp \left(-{\dfrac {t'}{R\,C}}\right)\;$».
Le nouvel état d'équilibre $\;{\big$obtenu quand $\;t\rightarrow \infty {\big )}\;$ est donc «$\;q_{1,\,\infty }=q_{2,\,\infty }={\dfrac {C\,U_{0}}{4}}\;$», correspondant à une tension commune de $\;{\dfrac {U_{0}}{4}}$, Le nouvel état d'équilibre $\;{\big \$les condensateurs $\;({\mathfrak {1}})\;$ et $\;({\mathfrak {2}})\;$ se sont déchargés par rapport à la situation existant avant l'ajout du 4ème condensateur initialement chargé sous tension $\;U_{0}\;$ dans le circuit${\big \}$ et Le nouvel état d'équilibre $\;\color {transparent}{\big$obtenu quand $\;\color {transparent}{t\rightarrow \infty {\big )}}\;$ est donc «$\;q_{3,\,\infty }=q_{4,\,\infty }={\dfrac {3\,C\,U_{0}}{4}}\;$», correspondant à une tension commune de $\;{\dfrac {3\,U_{0}}{4}}$, Le nouvel état d'équilibre $\;{\big \$le condensateur $\;({\mathfrak {3}})\;$ s'est chargé par rapport à la situation existant avant l'ajout du 4ème condensateur initialement chargé sous tension $\;U_{0}\;$ dans le circuit, Le nouvel état d'équilibre $\;\color {transparent}{\big \$alors que le condensateur $\;({\mathfrak {4}})\;$ s'est déchargé par rapport à la situation précédent son ajout dans le circuit${\big \}$.