# Équations et fonctions du second degré/Exercices/Étude d'un trinôme
## Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par :
    $f(x)=-x^{2}-6x+7$.

### Étude graphique

* Représenter graphiquement la fonction $f$ sur une calculatrice en utilisant la fenêtre suivante :
       $x_{min}=-10,\quad x_{max}=10,\quad y_{min}=-10,\quad y_{max}=10$.
    Donner un compte rendu de tracé.
* Conjecturer le tableau de variation de $f$ à l'aide de ce tracé.
* Conjecturer les antécédents de $0$ par $f$ à l'aide de ce tracé.
* Vérifier par le calcul ces deux conjectures.
* Graphique Google. $f(x)=16-\left(x+3\right)^{2}$ (forme canonique) vaut $-10$ pour $x=-3\pm {\sqrt {26}}\approx -8{,}1,~2{,}1$ et vaut $10$ pour $x=-3\pm {\sqrt {6}}\approx -5{,}45,~-0{,}55$. Ces quatre points sont les extrémités des deux segments de parabole visibles dans la fenêtre.
* $f$ semble croissante puis décroissante, avec un maximum au milieu de $-5{,}4$ et $-0{,}6$.
* $f$ semble s'annuler en $-7$ et $1$.
* $f(x)=16-\left(x+3\right)^{2}$ donc $f$ est croissante sur $\left]-\infty ,-3\right]$ et décroissante sur $\left[-3,+\infty \right[$, de maximum $f(-3)=16$ (et de limite $-\infty$ en $\pm \infty$), et s'annule en $-3\pm 4$, c'est-à-dire en $x=1{\text{ et }}-7$.

### Calculs

* Démontrer que : $f(x)=-(x+3)^{2}+16$. Comment s’appelle cette expression de la fonction $f$ ?
* En déduire le tableau de variation de $f$.
* Traduire ce tableau de variations par trois phrases utilisant respectivement les mots « croissante », « décroissante » et « maximum ».
* Déterminer, en résolvant une équation, les antécédents de $0$ par $f$.
Tout a déjà été dit dans la section précédente.

## Exercice 2

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par :
    $f(x)=2x^{2}+4x-16$.
* Démontrer que $f(x)=2\left(x+1\right)^{2}-18$.
* En déduire le tableau de variation de $f$ et le traduire par trois phrases.
* Déterminer, en résolvant une équation, les antécédents de $0$ par $f$.
* La vérification est immédiate en développant $2\left(x+1\right)^{2}-18$.
* $f$ est décroissante sur $\left]-\infty ,-1\right]$ et croissante sur $\left[-1,+\infty \right[$, de minimum $f(-1)=-18$ (et de limite $+\infty$ en $\pm \infty$).
* $2\left(x+1\right)^{2}-18=0\Leftrightarrow x=-1\pm 3=2{\text{ ou }}-4$.

## Exercice 3

* Étudier le sens de variation de la fonction f définie sur R par f(x) = 2x$^2$ − 5x + 1.
* Dresser un tableau de variation f sur [0, 3].
f est une fonction du second degré sous la forme ax$^2$ + bx + c avec a = 2, b = −5 et c = 1.
a > 0 donc la courbe représentative de f est une parabole de sommet S(x$_S$ ; y$_S$) « tournée vers le haut »
On a :
    $x_{S}={\frac {-b}{2a}}={\frac {-(-5)}{2\times 2}}={\frac {5}{4}}$.
Donc f est décroissante sur ]−∞,${\tfrac {5}{4}}$] et croissante sur [${\tfrac {5}{4}}$, +∞[.
On calcule donc f(0), f(3) et f(${\tfrac {5}{4}}$),
    ${\begin{aligned}f(0)&=2\times 0^{2}-5\times 0+1=1\\f(3)&=2\times 3^{2}-5\times 3+1=18-15+1=4\\f({\tfrac {5}{4}})&=2\times ({\tfrac {5}{4}})^{2}-5\times {\tfrac {5}{4}}+1={\frac {25}{8}}-{\frac {25}{4}}+1={\frac {25}{8}}-{\frac {50}{8}}+{\frac {8}{8}}={\frac {-17}{8}}.\end{aligned}}$
D'après la question précédente, on a donc :
${\begin{array}{c|ccccc|}x&0&&-{\frac {5}{4}}&&3\\&&&&&\\\hline &1&&&&4\\{\text{Variations de }}f&&\searrow &&\nearrow &\\&&&{\frac {-17}{8}}&\\\end{array}}$

## Exercice 4

Déterminer les ensembles $A=\left\{x\in \mathbb {R} ^{*}\mid x+{\frac {1}{x}}<2\right\}$ et $B=\left\{x\in \mathbb {R} ^{*}\mid x+{\frac {1}{x}}\leq 2\right\}$.
Pour tout réel $x$,
    $\left(x\neq 0\land x+{\frac {1}{x}}<2\right)\Leftrightarrow \left((x>0\land x^{2}-2x+1<0)\lor (x<0\land x^{2}-2x+1>0)\right)$
donc $A=\left]-\infty ,0\right[$.
    $\left(x\neq 0\land x+{\frac {1}{x}}=2\right)\Leftrightarrow x=1$
donc $B=A\cup \{1\}$.
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