# Rudiments sur les émissions lumineuses/Le rayonnement du corps noir, loi de Wien et loi de Boltzmann
## Corps noir

Nous savons que lorsqu’un rayonnement arrive sur une surface :
* Une partie est réfléchie ou diffusée,
* Une partie passe éventuellement à travers si le corps est transparent.
* Une partie est absorbée par le corps lui-même.
Par définition, nous appellerons corps noir, un corps qui absorbe l’intégralité du rayonnement qu’il reçoit (rien ne passe à travers, rien n’est réfléchi ou diffusé). Les corps noirs parfaits n’existent pas dans la nature. Certains corps s’en approchent plus ou moins.

## Loi de Wien

Nous avons vu précédemment que les électrons pouvaient tirer de l’énergie de la chaleur ambiante pour changer d’orbite et par conséquent de niveau d’énergie. Nous avons vu aussi qu’ils restituaient cette énergie au bout d’un certain temps sous forme de rayonnement électromagnétique. Comme il y a malgré tout un grand nombre de niveaux d’énergie dans un atome, le rayonnement électromagnétique émis est constitué de la superposition d’un grand nombre de rayonnements, chacun ayant une fréquence différente. On peut raisonnablement penser que si le milieu ambiant a une température élevée, les électrons pourront absorber une énergie plus élevée et sauteront plus facilement sur des orbites d’énergie d’autant plus élevée. En revenant alors dans leur état fondamental ils restitueront des photons d’autant plus énergétiques, ce qui se traduira par un rayonnement de fréquence d’autant plus élevée. On peut donc raisonnablement penser que plus la température d’un corps est élevée, plus les fréquences présentes dans le rayonnement émis seront élevées. C’est effectivement ce que l’on observe concrètement : Si l’on prend un morceau de fer et qu’on le chauffe, il commence par rougir. Il devient ensuite orange, puis jaune, puis de plus en plus blanc si la température est suffisamment élevée.
Ces couleurs successives obtenues lorsque la température s’élève sont dues à la présence dans le rayonnement de fréquences de plus en plus élevées. Avant même que le morceau de fer ne commence à rougir, c’est-à-dire lorsque la température n’est pas encore suffisamment élevée, on peut constater, à l’aide d’un équipement approprié, l’émission d’un rayonnement de fréquences basses correspondant à l’infrarouge que notre œil ne peut pas percevoir.
Nous sommes donc maintenant amenés à nous intéresser au spectre représentant le rayonnement émis par un corps en fonction de sa température. Il est bien évident que le spectre émis par divers corps pourrait être différent en fonction de sa couleur naturelle. Pour nous affranchir de cette difficulté, nous choisirons le spectre émis par un corps noir chauffé. Une autre raison motivant ce choix est due au fait que l’on a observé que, de tous les corps à la même température, c’est le corps noir qui a le rayonnement le plus intense.
Des mesures précises nous ont donné le diagramme suivant :
En abscisse, nous avons la longueur d’onde.
Nous remarquons que chaque courbe a un maximum qui se produit pour des longueurs d’ondes d’autant plus basses que la température est plus élevée. Ce qui confirme ce qui a été dit précédemment puisqu’à des longueurs d’onde de faible valeur correspondent des fréquences élevées. Une étude approfondie nous montre que la longueur d’onde λ$_{max}$ où se produit le maximum d’émission est inversement proportionnelle à la température θ exprimée en Kelvin.
Nous avons donc :
$\lambda _{max}={\frac {K}{\theta }}~$
Cette loi est appelée : loi du déplacement de Wien. La constante K est la constante de Wien. Dans le système international, nous avons :
K = 2,8978 × 10$^{−3}$ m.K
* Notation
* Beaucoup expriment la température par la lettre T. Nous avons préféré, dans cette leçon, exprimer la température par la lettre θ pour réserver la lettre T à la période d’une onde et éviter ainsi toute confusion dans les exercices faisant intervenir à la fois la température d’une source émettant un rayonnement et la période du rayonnement émis.
* Exemple
* Calculons la température que devrait avoir un corps noir pour que son maximum d’émission de lumière ait une longueur d’onde correspondant au maximum de sensibilité de l’œil, c’est-à-dire 555 nm.
* De la loi du déplacement de Wien, nous tirons :
* $\theta ={\frac {K}{\lambda _{max}}}={\frac {2,8978.10^{-3}}{555.10^{-9}}}\simeq 5220Kelvins~$
* Sachant que :
* Le soleil peut approximativement être assimilé à un corps noir,
* La température moyenne à la surface du soleil est d’environ 5 783 Kelvin,
* L’atmosphère terrestre absorbe d’autant plus les rayonnements en provenance du soleil qu’ils ont une fréquence élevée, ce qui nous fait apparaître le soleil approximativement comme un corps noir de température inférieure à 5 793 Kelvins (probablement de l’ordre de 5 220 Kelvins),
* nous constatons un remarquable exemple d’adaptation de l’œil humain à l’éclairage naturel qu’est le soleil.

## Loi de Boltzmann

Nous avons vu précédemment qu’un rayonnement électromagnétique transportait des photons qui possèdent chacun une énergie. Un rayonnement constitue donc une forme d’énergie. Lorsqu’une source émet un rayonnement, on peut alors s’intéresser à la puissance rayonnée par celle-ci. Nous rappelons, à tout hasard que la puissance P (en watts) s’exprime en fonction de l’énergie E (en joules) et du temps t (en secondes), par la formule :
$P={\frac {E}{t}}~$
Considérons une source, analogue aux sources envisagées précédemment, émettant un rayonnement du seul fait de sa température. Pouvons-nous établir une formule nous permettant de calculer la puissance rayonnée par cette source ?
On montre et nous admettrons que la puissance rayonnée est proportionnelle à la surface émissive S de la source et est proportionnelle à la puissance quatrième de la température θ de la source exprimée en Kelvins. Si la source n’est pas un corps noir, le rayonnement dépendra fortement de la nature de la source. Nous rajouterons donc un coefficient e, appelé émissivité, traduisant la capacité de la source à émettre.
e est un nombre sans dimension compris entre 0 et 1. e vaudra 1 dans le cas des corps noirs. Ce qui traduit bien le fait que, à température égale et à géométrie égale, ce sont les corps noirs qui rayonnent le plus.
La loi donnant la puissance rayonnée d’une source chaude s’exprime par :
$P=e.\sigma .S.\theta ^{4}~$
Cette loi est appelée : loi de Stéfan Boltzmann.
La constante σ est la constante de Stéfan. Dans le système international, nous avons :
σ = 5,67032.10$^{-8}$ W.m$^{-2}$.K$^{-4}$.
* Exemple
* Calculons la puissance rayonnée par le soleil.
* Le rayon du soleil étant de 695 990 km, la surface émissive du soleil sera :
* $S=4\pi r^{2}=4\times \pi \times 695990000^{2}=6,0872.10^{18}m^{2}~$
* Le soleil étant approximativement considéré comme un corps noir, nous aurons e = 1.
* Sa température de surface étant de 5 783 Kelvins, la puissance émissive du soleil sera :
* $P=e.\sigma .S.\Phi ^{4}=1\times 5,67032.10^{-8}\times 6,0872.10^{18}\times 5783^{4}\simeq 3,86.10^{26}watts~$
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