OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Série entière/Fonction exponentielle
## Développement en série entière de la fonction exponentielle

En appliquant la méthode de recherche de solutions analytiques des équations différentielles linéaires, on peut définir la fonction exponentielle $\exp$ ou encore $z\mapsto \mathrm {e} ^{z}$ comme la somme d'une série entière. En effet, l'exponentielle est la solution de l'équation différentielle $y'=y$ avec la condition initiale $y(0)=1$.
L'unique solution analytique de $f'=f,\quad f(0)=1$ est la série entière $\exp(z):=\sum _{n=0}^{+\infty }{z^{n} \over n!}$. Son rayon de convergence est infini.
* Unicité. Soit $f$ somme d'une série entière de rayon de convergence R > 0 : $\forall z\in D(0,R)\quad f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}z^{n}$. Alors, $f(0)=a_{0}$ et la dérivée est donnée par : $f'(z)=\sum _{n=1}^{+\infty }na_{n}z^{n-1}$. Par unicité des coefficients dans le développement en série entière, $f'=f$ si et seulement si $\forall n\in \mathbb {N} \quad a_{n}=(n+1)a_{n+1}$, ce qui, par une récurrence immédiate, équivaut à $\forall n\in \mathbb {N} \quad a_{n}={\frac {a_{0}}{n!}}$. La fonction $f$ est donc solution de $f'=f,\quad f(0)=1$ si et seulement si : $\forall n\in \mathbb {N} \quad a_{n}={\frac {1}{n!}}$.
* Existence. D'après la règle de D'Alembert, le rayon de convergence de la série entière $\sum _{n=0}^{+\infty }{z^{n} \over n!}$ est infini.
| Développement en série entière | Sommaire |
# Série entière/Prérequis conseillés

* Série numérique
* Suites et séries de fonctions : notion de convergence
# Série entière/Présentation de la leçon

La théorie des séries entières exprime la majorité des fonctions usuelles comme somme de séries. Ceci permet de démontrer des propriétés de ces fonctions, de calculer des sommes compliquées et également de résoudre des équations différentielles.
À partir des séries entières, on peut définir des séries formelles pour lesquelles la variable est une indéterminée. On peut alors utiliser les outils des séries entières sans avoir à s'inquiéter de la notion de convergence.
# Théorie des groupes/Exercices/Groupe à opérateurs
## Problème 1

Soit K un corps (que nous supposerons commutatif pour simplifier les expressions) et V un espace vectoriel de dimension 1 sur K. On a noté dans la théorie que le groupe additif V, muni de la loi externe de l'espace vectoriel, est un groupe à opérateurs qui est simple comme groupe à opérateurs. En déduire un exemple de groupe à opérateurs qui est simple comme groupe à opérateurs mais n’est pas simple comme groupe.
Le groupe additif V est commutatif, donc il est simple (comme groupe) si et seulement son ordre est un nombre premier (voir le chapitre Groupes monogènes, ordre d'un élément). Puisque l'espace vectoriel V est de dimension 1, ceci a lieu si et seulement si le cardinal de K est un nombre premier. On voit donc que si, par exemple, le corps K est infini, un espace vectoriel de dimension 1 sur K est simple comme K-groupe mais n’est pas simple comme groupe.
| Théorème de Jordan-Hölder | Commutateurs, groupe dérivé |
# Mécanique 1 (PCSI)/Objectifs

* introduire le repérage du mouvement d'un point (et d'un solide).
* présenter les principes et théorèmes liés à la loi de la quantité de mouvement ainsi que l'étude de quelques exemples.
* faire une approche énergétique du mouvement d'un point, traiter le cas particulier des petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable et introduire la notion de barrière d'énergie potentielle.
* introduire la notion de force de Lorentz puis présenter les mouvements d'une particule chargée dans un champ électrostatique ou magnétostatique uniformes.
# Mécanique 1 (PCSI)/Prérequis conseillés

Être issu d'une section scientifique d'un lycée francophone.
# Mécanique 1 (PCSI)/Présentation de la leçon

La leçon porte sur les 1$^{ères}$ notions de mécanique (essentiellement du point), et plus particulièrement sur le lien entre forces appliquées à un point et son mouvement, ainsi que sur l'aspect énergétique de ce dernier.
# Mécanique 1 (PCSI)/Référents

Phl7605
Matthieu Quéval
# Permis cariste/Conduite

Un chariot de manutention est avant tout une machine, qui doit donc être conforme aux directives de sécurité au travail. Ces règles techniques en matière de sécurité et de santé applicables à la conception des machines neuves ont été transposées en droit et depuis le début de l'année 2010, il n'y a plus de normes harmonisées pour la conception de ces équipements.

### Formation du conducteur

Le conducteur doit avoir reçu une formation adaptée et être titulaire d'une autorisation de conduite délivrée par le chef d'établissement du site d'utilisation du chariot élévateur. Le code du travail n'impose pas l'obligation de posséder un certificat d'aptitude à la conduite en sécurité, pour conduire un engin de chantier ou de manutention. Il impose seulement la possession de l'autorisation de conduite, qui ne doit être délivrée par l'employeur qu'après que le candidat conducteur ait suivi une formation et ait fait l’objet d'une évaluation des ses connaissances et de son savoir-faire pour la conduite en sécurité. L'autorité publique considère toutefois que cet examen constitue un bon moyen de remplir cette obligation de contrôle, sanctionnée par la délivrance du certificat à l'issue du test par un organisme testeur certifié.
L'autorisation de conduite doit être délivrée par le chef d'entreprise ou son représentant délégataire de pouvoir. Pour délivrer cette autorisation de conduite, il faut s'assurer que le salarié soit apte médicalement (à préciser au médecin du travail lors de la visite médicale) à la conduite d'engins, soit en possession d'un certificat de formation, et qu’il ait reçu une formation spécifique au poste de travail.

### Risques particuliers

En termes d'achat, de location : la phase d'acquisition (loyer financier + loyer de maintenance) du chariot élévateur doit intégrer la phase à venir d'exploitation du matériel (le facturable « hors contrat »).
En termes d'exploitation :
* Les coûts d'exploitation, et la qualité du, des prestataires chargés de ce service constituent une des clés d'équilibre de ce centre de coûts à surveiller par le contrôleur de gestion. Le taux horaire de la main d’œuvre associé à quelques exemples de forfait de temps d’intervention, le barème de déplacement kilométrique, une liste de préconisation chiffrée des pièces détachées principales.
* Le simple libellé franglais : Full service (très variable d'un prestataire à l'autre et comportant un grand nombre de limites contractuelles) ne doit pas masquer les futurs coûts à venir pour conserver une continuité de service effective des matériels, tout en limitant le temps à passer auprès d'interlocuteurs multiples. Une des pistes à surveiller pour identifier la présence d’un partenaire « iceberg », est un coût d’acquisition des matériels neufs trop bas, et les charges fixent associées à la taille du, des futur(s) partenaires.
| Principe physique | Chariot élévateur |
# Permis cariste/Généralités

La conduite d'un chariot élévateur nécessite des connaissances particulière au niveau de la sécurité et c’est donc un engin de manutention destiné au transfert de charges dans les usines ou les entrepôts de stockage. Ses domaines d'activité sont principalement la reprise des produits finis des chaînes de fabrication vers les lieux de stockage, le chargement ou déchargement des moyens de transport tel les wagons ou camions, l'aide au chargement ou déchargement dans les cales des navires, mais sa grande souplesse lui permet beaucoup d'usages.

## Histoire

Les premières versions ont été des chariots à fourches fabriqués en 1917 par l’industriel anglais installé aux États-Unis, Eugene Clark, et Fenwick qui fut le premier à construire de telles machines en France. La rationalisation du métier et les enjeux économiques associés qui impliquent aujourd’hui l’utilisation de noms descriptifs précis correspondant à chaque application de la grande famille des chariots élévateurs. Même si Clark a été l'un des premiers à fabriquer des chariots élévateurs, Yale et Ransones ont aussi fabriqué dès 1917 et 1920 des matériels. Il existe au Royaume-Uni un musée du chariot élévateur où des passionnés reconstruisent des machines anciennes.
Le chariot élévateur est conçu essentiellement pour le déplacement de palette de manutention. Il existe toute une variété de modèles pouvant transporter des charges légères (cartons, bacs, bobines) en préparation de commandes avec des roll containers mais aussi de 700 kg à 1,6 tonne (palettes) à plus de 40 tonnes (conteneurs), et pouvant gerber sur des hauteurs considérables (plus de 11 mètres). Il est équipé en majorité de deux bras de fourches, mais il peut être aussi doté d'un équipement, parmi une variété adaptée à la charge à manutentionner : pinces hydrauliques pour la prise de bobines ou de rouleaux de papier, palonniers à conteneurs, pieux horizontaux (éperon) pour les pièces cylindriques à axe évidé, pinces pour appareils électroménagers, à chaque charge son système de préhension.
Ces matériels fonctionnent généralement avec des moteurs thermiques alimentés au gaz ou au gasoil. Les contraintes d'environnement entraînent l'usage de matériel à moteurs électriques avec une alimentation par batterie d'accumulateurs permettant en particulier un usage dans le secteur agroalimentaire ou la pharmacie), ou bien encore de technologies hybrides comme le RX70 de STILL premier chariot au monde couplant en série un moteur thermique et une génératrice qui conduit le courant à deux moteurs électriques permettant une consommation de moins de 2 Litres par heure.
| Sommaire/ | Principe physique |
# Permis automobile/Présentation de la leçon

Une automobile est un véhicule terrestre à quatre roues, propulsé par un moteur placé dans le véhicule. Ce type de véhicule est conçu pour le transport sur route de personnes, mais sa définition peut s'étendre jusqu'au transport de marchandises et jusqu'à des véhicules pouvant fonctionner sur tous les types de terrains. Il est un moyen de transport personnel parmi les plus répandus actuellement sur la planète. Sa capacité habituelle de transport est généralement de cinq personnes, mais peut varier de une à huit places, et englobe les véhicules utilitaires légers à usage personnel.
# Permis automobile/Quiz/Examen théorique

Cet exercice vous permet de pratiquer pour obtenir un permis d'apprenti de conduire et chacune des questions comporte une seule bonne réponse.
Le taux de réussite est de 38 points.
* Sommaire
# Permis automobile/Post-notions

* Systèmes mécaniques
* Sports mécaniques
# Permis cariste

| Chap. 1 : | Généralités |
| Chap. 2 : | Principe physique |
| Chap. 3 : | Conduite |
| Chap. 4 : | Chariot élévateur |
| Chap. 5 : | Les fiches |
| Chap. 6 : | Alimentation |
| Chap. 7 : | Inspection |
| Exercice : | Examen théorique |
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## Présentation [Modifier]

Un cariste est une personne conduisant un charriot élévateur servant au déplacement de marchandises au sein d'une exploitation. Il y a divers tâches que l'opérateur doit accomplir durant son travail ; acheminement, entreposage, vider et remplir les camions de livraison. Dans certains cas, le travail du cariste peut s'accompagner d'un travail de constitution de Palette de manutention, il gère aussi la mise à disposition des marchandises et évite ainsi les ruptures dans les préparations sur les chaines de productions.

## Objectifs

Les objectifs de cette leçon n'ont pas encore été fixés. Pour le faire, cliquez ici.

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau avancé.
    a) Un examen d'aptitude à la conduite réalisé par le médecin du travail ;
    b) Un contrôle des connaissances et du savoir-faire de l'opérateur pour la conduite en sécurité de l'équipement de travail ;
    c) Un contrôle des connaissances des lieux et des instructions à respecter sur le ou les sites d'utilisation ;
    d) Avoir l'âge légal pour travailler au sein de l'entreprise.

## Pour aller plus loin [Modifier]

* Permis engins de chantiers
* véhicules lourds

## Référents

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
    Personne ne s'est déclaré prêt à aider pour cette leçon. Pour vous ajouter, cliquez ici.
# Permis cariste/Inspection

Un chariot de manutention est avant tout une machine, qui doit donc être conforme aux directives de sécurité au travail. Ces règles techniques en matière de sécurité et de santé applicables à la conception des machines neuves ont été transposées en droit et depuis le début de l'année 2010, il n'y a plus de normes harmonisées pour la conception de ces équipements.

### Entretien périodique

Les chariots élévateurs doivent être équipés d'une plaque de charge ou plaque de capacité, visible du poste de conduite, qui indique un certain nombre de renseignements : - carte d'identité du chariot, - courbes de charge, - plaque de tare.
La carte d'identité du chariot permet de connaitre la capacité nominale, la hauteur de levée ainsi que l’énergie (électrique ou thermique) utilisée. les courbes de charge permettent de connaitre, en fonction du poids de la charge et de l'inclinaison ou pas du mât, la hauteur de levée maximale. la plaque de tare renseigne sur la masse totale a vide du chariot et éventuellement sur le masse de la batterie( qui fait partie de contrepoids, pour éviter le porte-à-faux).

### Contrôle technique ou Vérification

Les matériels de manutention doivent être contrôlés suivant les dispositions de sécurité. En règle générale, les matériels de levage doivent être contrôlés tous les 12 mois, mais de nombreux équipements (appareils mobiles, équipements de levage de personnes...) nécessitent une vérification semestrielle. C'est le cas pour tous les chariots de manutention, qu’ils soient à conducteur porté ou accompagnant, dès lors qu’ils permettent d'élever la charge d'une hauteur significative. Cette vérification générale périodique doit être effectuée par un organisme agréé ou un personnel ayant reçu la formation adéquate. Tous les matériels de manutention doivent en outre passer un examen d'adéquation qui consiste à vérifier que le matériel est adéquat pour l’utilisation prévue.
| Alimentation | Sommaire |
# Probabilités sur les ensembles finis/Annexe/Simulation sous OOo

On va réaliser une simulation permettant de comparer les fréquences et les probabilités d'un lancer de dé à 6 faces, avec le logiciel gratuit OpenOffice.org.
On simulera 600 lancers de dé en remplissant les colonnes de la manière suivante :
* Colonne A
    Numéroter de 1 à 600.
* Colonne B
    =ENT ( 6 * ALEA ) +1 : nombre aléatoire entier compris entre 1 et 6.
    Tirer jusqu'en B600.
    Effectuer les calculs avec F9.
* Colonne D
    Numéroter de 1 à 6.
* Colonne E
    =NB.SI ( $B$1 : $B$600 ; D1 ) : indique le nombre de 1 dans la plage $B$1 : $B$600.
    Tirer jusqu'en E6.
    Mettre la somme en E7. On doit trouver 600.
* Colonne F
    Mettre en F1 la fréquence d'apparition de 1, en F2 celle de 2, etc.
    Calculer la somme des fréquences en F7.
* Colonne G
    Mettre en G1 la valeur de la probabilités d'obtenir 1, en G2 celle de 2, etc.
    Calculer en G7 la somme des probabilités.
* Graphique
    Sélectionner les plages F1:G6.
    Tracer l'araignée.
    Comparer alors les fréquences et les probabilités.
* Sommaire
# Probabilités sur les ensembles finis/Exercices/Dé truqué

On utilise un dé truqué avec les probabilités suivantes :
| Numéro | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Probabilité | ${\frac {1}{6}}$ | ${\frac {1}{3}}$ | ${\frac {1}{6}}$ | ${\frac {1}{12}}$ | ${\frac {1}{6}}$ | ${\frac {1}{12}}$ |
1. Probabilités de quelques événements :
    a) On note $A_{k}$ l’événement « obtenir k ». Calculer la probabilité de ${\overline {A_{4}}}$ et interpréter ce résultat.
    b) On note $B$ l'événement : « obtenir un numéro pair ». Calculer la probabilité de $B$.
    c) On note $C$ l'événement : « obtenir un multiple de 3 ». Calculer la probabilité de $C$.
    d) Interpréter l'événement $B\cap C$ et donner sa probabilité.
    e) Calculer la probabilité de $B\cup C$ grâce à une formule et interpréter cet événement.
2. Chnu lance ce dé. Il parie qu’il va obtenir un numéro pair, alors que Chno parie que non.
    Lequel a le plus de chances de gagner ? Expliquer en utilisant le langage des événements et des probabilités.
1. Probabilités de quelques événements :
    a) $P({\overline {A_{4}}})=1-{\frac {1}{12}}={\frac {11}{12}}$ est la probabilité d'obtenir un autre numéro que 4.
    b) $P(B)={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{12}}={\frac {1}{2}}$.
    c) $P(C)={\frac {1}{6}}+{\frac {1}{12}}={\frac {1}{4}}$.
    d) $P(B\cap C)=P(\{6\})={\frac {1}{12}}$.
    e) $P(B\cup C)=P(B)+P(C)-P(B\cap C)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{12}}={\frac {2}{3}}$ est la probabilité d'obtenir un numéro pair ou multiple de 3, c'est-à-dire 2, 4, 6 ou 3.
2. Ils ont la même chance car $P(B)=P({\overline {B}})={\frac {1}{2}}$.
| Probabilités conditionnelles | Coopérative scolaire |
# Probabilités sur les ensembles finis/Exercices/Contrôle de qualité

Un atelier produit un certain modèle de pièces. Chacune des pièces peut présenter un défaut d'épaisseur noté E, un défaut de longueur noté L ou les deux défauts.
* 8 % des pièces présentent le défaut E.
* 4 % des pièces présentent le défaut L.
* Parmi les pièces présentant le défaut E, 25 % ont aussi le défaut L.
On tire au hasard une pièce dans la production. Calculer la probabilité des événements suivants :
* $E_{1}$ : « la pièce choisie présente les deux défauts » ;
* $E_{2}$ : « la pièce choisie présente uniquement le défaut L » ;
* $E_{3}$ : « la pièce choisie présente uniquement le défaut E » ;
* $E_{4}$ : « la pièce choisie présente au moins un défaut » ;
* $E_{5}$ : « la pièce choisie présente un seul défaut ».
* $P(E_{1})=P(E\cap L)=P(E)P(L\mid E)=0{,}08\times 0{,}25=0{,}02$.
* $P(E_{2})=P(L)-P(E_{1})=0{,}04-0{,}02=0{,}02$.
* $P(E_{3})=P(E)-P(E_{1})=0{,}08-0{,}02=0{,}06$.
* $P(E_{4})=P(E_{1})+P(E_{2})+P(E_{3})=0{,}1$.
* $P(E_{5})=P(E_{2})+P(E_{3})=0{,}08$.
| Poker | Somme de deux dés |
# Probabilités sur les ensembles finis/Exercices/Poker

On joue au poker avec un jeu de 52 cartes sans joker.
On simplifie le jeu en distribuant 5 cartes à chaque joueur dès la première donne.
1) Univers : Combien y a-t-il de "mains" de 5 cartes possibles ?
Cela revient à choisir 5 cartes sans ordre dans un ensemble de 52.
Donc ${\binom {52}{5}}=2598960$ mains possibles !
2) Un carré : avoir exactement les quatre cartes de même valeur.
Combien y a-t-il de mains comportant un carré ?
Il y a 13 façons de choisir le carré et il reste une carte isolée à choisir parmi les 48 restantes.
$13\times 48=624$mains comprenant un carré.
3) Un brelan : avoir exactement trois cartes de même valeur.
Combien y a-t-il de mains comportant un brelan ?
Il faut choisir 3 cartes parmi 4 , il y a 13 façons de choisir le brelan. Il faut ensuite choisir 2 cartes parmi les 48 restantes.
Ensuite, il faut enlever les full
$13\times {\binom {4}{3}}\times {\binom {48}{2}}-3744=54912$ mains comprenant un brelan sans full ni carré
4) Une paire : avoir exactement deux cartes de même valeur.
Combien y a-t-il de mains comportant une paire ?
Il y a 13 façons de choisir la valeur de la paire, puis pour chaque valeur ${\binom {4}{2}}$ façons de faire.
Pour les 3 cartes restantes, il ne faut ni paire ni brelan, donc :
${\frac {12\times 4\times 11\times 4\times 10\times 4}{3!}}$
finalementdonc $13\times 6\times {\frac {12\times 4\times 11\times 4\times 10\times 4}{3!}}=1098240$mains avec une paire seulement.
5) Une double-paire : avoir deux paires qui ne forment pas un carré.
Combien y a-t-il de mains comportant une double-paire ?
${\frac {13\times {\binom {4}{2}}\times 12\times {\binom {4}{2}}\times 11\times 4}{2!}}=123552$
6) Un full : avoir un brelan et une paire dans la même main.
Combien y a-t-il de mains comportant un full ?
$13\times {\binom {4}{3}}\times 12\times {\binom {4}{2}}=3744$
7) Une quinte : avoir cinq cartes qui se suivent.
Combien y a-t-il de mains comportant une quinte ?
$10\times 4^{5}-40(Quintesflush)=10200$
8) Une couleur : avoir cinq cartes assorties (cœur, carreau, pique ou trèfle).
Combien y a-t-il de mains comportant une couleur ?
$4\times {\binom {13}{5}}-40(Quintesflush)=5108$
9) Une quinte flush : Une quinte et une couleur.
Combien y a-t-il de mains comportant une quinte flush ?
$4\times 10=40$
| Dé octaédrique | Contrôle de qualité |
# Probabilités sur les ensembles finis/Exercices/Dé octaédrique
## Exercice 1

On lance une fois un dé octaédrique (c'est-à-dire à 8 faces, numérotées de 1 à 8).
* Pour chacun des événements suivants, écrire entre accolades tous ses éléments et donner sa probabilité (en supposant que le dé est équilibré) :
** Ω : l'univers de tous les résultats (ou événements élémentaires ou éventualités) possibles (combien y en a-t-il ?) ;
** A : « obtenir un numéro pair » ;
** B : « obtenir un numéro strictement inférieur à 4 » ;
** C : « obtenir un numéro divisible par 3 » ;
** D : « obtenir un numéro impair et supérieur ou égal à 2 » ;
* Pour chacun des événements suivants, écrire entre accolades tous ses éléments :
** $A\cap D$ ;
** $A\cup D$ ;
** $A\cap C$ ;
** $A\cup C$ ;
** $B\cup D$ ;
** ${\overline {A}}$ ;
** ${\overline {A}}\cup A$ ;
** ${\overline {D}}$.
* Décrire chaque événement de la question 2 par une phrase simple.
** Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. $P(\Omega )=1$. Il y a huit résultats possibles.
** A = {2, 4, 6, 8} donc $P(A)={\frac {1}{2}}$.
** B = {1, 2, 3} donc $P(B)={\frac {3}{8}}$.
** C = {3, 6} donc $P(C)={\frac {1}{4}}$.
** D = {3, 5, 7} donc $P(D)={\frac {3}{8}}$
** $A\cap D=\varnothing$.
** $A\cup D$ = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
** $A\cap C$ = {6}.
** $A\cup C$ = {2, 3, 4, 6, 8}.
** $B\cup D$ = {1, 2, 3, 5, 7}.
** ${\overline {A}}$ = {1, 3, 5, 7}.
** ${\overline {A}}\cup A$ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} = Ω.
** ${\overline {D}}$ = {1, 2, 4, 6, 8}.
** $A\cap D$ : « obtenir un numéro à la fois pair, impair et supérieur ou égal à 2 » (impossible) ;
** $A\cup D$ : « obtenir un numéro pair ou supérieur ou égal à 2 » (c'est-à-dire un numéro différent de 1) ;
** $A\cap C$ : « obtenir un numéro pair et divisible par 3 » (c'est-à-dire le numéro 6) ;
** $A\cup C$ : « obtenir un numéro pair ou divisible par 3 » (c'est-à-dire 3 ou un numéro pair) ;
** $B\cup D$ : « obtenir un numéro strictement inférieur à 4, ou impair et supérieur ou égal à 2 » (c'est-à-dire 2 ou un numéro impair) ;
** ${\overline {A}}$ : « obtenir un numéro impair » ;
** ${\overline {A}}\cup A$ : vrai (« obtenir un numéro », impair ou pair) ;
** ${\overline {D}}$ : « obtenir un numéro pair ou strictement inférieur à 2 » (c'est-à-dire 1 ou un numéro pair).
| Sommaire | Poker |