# Théorie des groupes/Exercices/Caractères complexes des groupes finis, 1 : relations d'orthogonalité
## Problème 1

Soit G un groupe fini, soit g un élément de G tel que $g^{2}=1,$ soit $\chi$ un $\mathbb {C}$-caractère de G. Prouver que $\chi (g)$ est un entier rationnel et que
    $\chi (g)\equiv \chi (1){\pmod {2}}.$
Notons d le degré $\chi (1)$ de $\chi .$ L'ordre de g est égal à 2 ou à 1, donc d'après le théorème 9 du chapitre théorique (forme précise), $\chi (g)$ est la somme d'une famille de d racines carrées de l'unité. Soit donc
    (1) $\qquad \chi (g)=\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{d},$
où chaque $\lambda _{i}$ appartient à la paire {1, -1}. Pour chaque i,
    $\lambda _{i}\in \mathbb {Z}$ et $\lambda _{i}\equiv 1{\pmod {2}},$
donc (1) entraîne
    $\chi (g)\in \mathbb {Z}$ et $\chi (g)\equiv d{\pmod {2}}.$
Puisque d désigne $\chi (1)$, l'énoncé en résulte.

## Problème 2

Soit G un groupe fini, soient $T_{1}:G\rightarrow \mathrm {GL} (V_{1})$ et $T_{2}:G\rightarrow \mathrm {GL} (V_{2})$ deux $\mathbb {C}$-représentations vectorielles irréductibles non équivalentes de G. Désignons par T la représentation $T_{1}\oplus T_{2}$ de G. Prouver qu'il existe une fonction centrale $\gamma :G\rightarrow \mathbb {C}$ telle que l'endomorphisme $\sum _{g\in G}\gamma (g)T(g)$ de $V_{1}\oplus V_{2}$ ne soit pas une homothétie. (Cela montre que dans le lemme 27 du chapitre théorique, l'hypothèse d'irréductibilité ne peut pas être levée.) Indication : appliquer le lemme 27 du chapitre théorique aux représentations $T_{1}$ et $T_{2}$.
Puisque $T_{1}$ et $T_{2}$ sont irréductibles, les espaces $V_{1}$ et $V_{2}$ sont non nuls, donc nous pouvons choisir $v_{1}$ non nul dans $V_{1}$ et $v_{2}$ non nul dans $V_{2}$. Soit $\gamma :G\rightarrow \mathbb {C}$ une fonction centrale. D'après la définition de T,
    $(\sum _{g\in G}\gamma (g)T(g))(v_{1},v_{2})=(\sum _{g\in G}\gamma (g)T_{1}(g)(v_{1}),\sum _{g\in G}\gamma (g)T_{2}(g)(v_{2})).$
D'après le lemme 27 du chapitre théorique, cela peut s'écrire
    $(\sum _{g\in G}\gamma (g)T(g))(v_{1},v_{2})=({\frac {\vert G\vert }{d_{1}}}(\gamma \vert {\overline {\chi _{1}}})v_{1},{\frac {\vert G\vert }{d_{2}}}(\gamma \vert {\overline {\chi _{2}}})v_{2}),$
où $\chi _{1}$ désigne le caractère de $T_{1}$ et $\chi _{2}$ le caractère de $T_{2}$. Puisque $v_{1}$ et $v_{2}$ sont non nuls, il en résulte que si la fonction centrale $\gamma$ est telle que ${\frac {\vert G\vert }{d_{1}}}(\gamma \vert {\overline {\chi _{1}}})\neq {\frac {\vert G\vert }{d_{2}}}(\gamma \vert {\overline {\chi _{2}}})$, alors $\sum _{g\in G}\gamma (g)T(g)$ n'est pas une homothétie. Donc pour prouver l'énoncé, il suffit de trouver une fonction centrale $\gamma$ telle que
    (thèse 1) $\qquad {\frac {\vert G\vert }{d_{1}}}(\gamma \vert {\overline {\chi _{1}}})\neq {\frac {\vert G\vert }{d_{2}}}(\gamma \vert {\overline {\chi _{2}}}).$
Puisque $T_{1}$ et $T_{2}$ ne sont pas équivalentes, nous avons
    $\chi _{1}\neq \chi _{2},$ d'où ${\overline {\chi _{1}}}\neq {\overline {\chi _{2}}}.$
Prenons pour $\gamma$ la fonction (centrale) ${\overline {\chi _{1}}}.$ Alors, d'après les théorèmes 17 et 25 du chapitre théorique,
    ${\frac {\vert G\vert }{d_{1}}}(\gamma \vert {\overline {\chi _{1}}})={\frac {\vert G\vert }{d_{1}}}({\overline {\chi _{1}}}\vert {\overline {\chi _{1}}})={\frac {\vert G\vert }{d_{1}}}\neq 0$
et
    ${\frac {\vert G\vert }{d_{2}}}(\gamma \vert {\overline {\chi _{2}}})={\frac {\vert G\vert }{d_{2}}}({\overline {\chi _{1}}}\vert {\overline {\chi _{2}}})=0.$
Nous avons donc prouvé que la fonction centrale $\gamma ={\overline {\chi _{1}}}$ satisfait à la thèse (1), d'où l'énoncé.
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