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# Sciences de l'ingénieur en terminale générale/Leçons

| Systèmes mécaniques Introduction à la dynamique Liaisons Réducteurs de vitesse | Systèmes électriques Energie et puissance électrique Champs magnétique et notions électromagnétiques Transformateur Machine à courant continu Machine tournante à courant alternatif | Électronique et Automatique |
# Sciences de l'ingénieur en terminale générale

Faculté de Sciences de l'ingénieur
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| Systèmes mécaniques Introduction à la dynamique Liaisons Réducteurs de vitesse | Systèmes électriques Energie et puissance électrique Champs magnétique et notions électromagnétiques Transformateur Machine à courant continu Machine tournante à courant alternatif | Électronique et Automatique |
* « Programme officiel »
* « Document d'accompagnement n$^o$ 1 »
* « Document d'accompagnement n$^o$ 2 »
Les objectifs de ce cours sont :
    Les objectifs de ce cours n'ont pas encore été fixés. Pour le faire, cliquez ici.
Cours de niveau 13. Les prérequis conseillés sont :
Référents
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# Sciences de l'ingénieur en terminale générale/Annexe

* « Programme officiel »
* « Document d'accompagnement n$^o$ 1 »
* « Document d'accompagnement n$^o$ 2 »
# Probabilités de l'ingénieur : algorithmes stochastiques et simulation/Prérequis conseillés

* Loi des grands nombres
* Théorème central limite
* Variables aléatoires discrètes
* Variables aléatoires continues
* Estimation
* Intervalle de confiance
# Probabilités et analyse combinatoire

| Chap. 1 : | Loi de Student (16) |

## Présentation [Modifier]

Les probabilités forment une branche des mathématiques afin de déterminer la fréquence d’un évènement et ses chances de se reproduire dans le temps.
Elles sont représentées fréquemment sous forme de lois de probabilités (Gauss, Student).

## Objectifs

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## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 16.
* Niveau première, Terminale.

## Référents [Modifier]

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* Loïc Fabiou (discuter)
# Probabilités sur les ensembles finis

| Chap. 1 : | Vocabulaire des événements |
| Chap. 2 : | Calcul des probabilités |
| Chap. 3 : | Probabilités conditionnelles (13) |
| Chap. 4 : | Formule des probabilités totales (13) |
| Annexe : | Simulation sous OOo |
| Exos. 1 : | Dé octaédrique |
| Exos. 2 : | Poker |
| Exos. 3 : | Contrôle de qualité |
| Exos. 4 : | Somme de deux dés |
| Exos. 5 : | Contrôle de qualité avec test (13) |
| Exos. 6 : | Utilisation de tableaux |
| Exos. 7 : | Événements contraires |
| Exos. 8 : | Probabilités conditionnelles (13) |
| Exos. 9 : | Dé truqué |
| Exos. 10 : | Coopérative scolaire |
| Exos. 11 : | Somme de deux dés truqués |
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## Présentation [Modifier]

Les probabilités ont pour but de modéliser les expériences aléatoires (où le hasard intervient). En probabilités, on utilise un vocabulaire spécifique fondé sur le concept d'évènement. Le calcul des probabilités sur des ensembles finis est facilité par la situation d'équiprobabilité.

## Objectifs [Modifier]

Acquérir les notions de base en probabilité

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 12.
* Mathématiques en seconde

## Référents [Modifier]

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* Nicostella
* Loïc Fabiou (discuter)
# Probabilités de l'ingénieur : algorithmes stochastiques et simulation/Présentation de la leçon

Le calcul numérique de certaines intégrales multi-dimensionelles par des méthodes classiques d'interpolation est souvent assez coûteux en mémoire et en temps. Ce cours va montrer comment appliquer les grands théorèmes de la théorie des probabilités au calcul numérique par des méthodes de simulation de variables aléatoires.
# Probabilités et analyse combinatoire/Présentation de la leçon

Les probabilités forment une branche des mathématiques afin de déterminer la fréquence d’un évènement et ses chances de se reproduire dans le temps.
Elles sont représentées fréquemment sous forme de lois de probabilités (Gauss, Student).
# Théorie des groupes/Exercices/Théorèmes de Schur-Zassenhaus et de Philip Hall
## Problème 1

Soit G un groupe simple d'ordre 60. (On a explicité la structure d'un tel groupe dans les exercices du chapitre Premiers résultats sur les groupes simples, mais cela ne nous servira pas ici.) Alors G n'est pas résoluble, donc, d'après la réciproque du théorème de Hall (réciproque mentionnée sans démonstration dans la partie théorique), il existe au moins un diviseur naturel d de 60 tel que d et 60/d soient premiers entre eux et que G n'ait pas de sous-groupe d'ordre d. Trouver un tel diviseur. (Indication : dans le chapitre Premiers résultats sur les groupes simples, on a vu qu'un groupe simple fini est isomorphe à certains sous-groupes de S$_n$ pour des valeurs intéressantes de n.)
Prouvons par exemple que G n'a pas de sous-groupe d'ordre 15. S'il en avait un, un tel sous-groupe serait d'indice 4 dans G, donc, d’après un théorème démontré dans le chapitre Premiers résultats sur les groupes simples, G serait isomorphe à un sous-groupe de S$_4$. C'est impossible, puisque l’ordre de S$_4$ est 24 et est donc strictement inférieur à l’ordre de G.
| Théorème de Gaschütz | Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives |
# Sciences de la vie et de la Terre en quatrième/Leçons

* Thème 1 : La planète Terre, l'environnement et l'action humaine
* Thème 2 : Le vivant et son évolution
* Thème 3 : Le corps humain et la santé
# Sciences de la vie et de la Terre en quatrième

Faculté de Sciences de la vie et de la Terre
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* Thème 1 : La planète Terre, l'environnement et l'action humaine
* Thème 2 : Le vivant et son évolution
* Thème 3 : Le corps humain et la santé
Les objectifs de ce cours sont :
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Cours de niveau 9. Les prérequis conseillés sont :
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# Sciences de la vie et de la Terre en seconde générale et technologique

Faculté de Sciences de la vie et de la Terre
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| La Terre, la vie et l'évolution du vivant La Terre, une planète habitée Nature du vivant Unité structurelle et fonctionnelle du vivant ADN, une molécule universelle et variable Biodiversité actuelle et biodiversité passée Diversité et parenté des vertébrés Mécanismes de l'évolution | Enjeux planétaires contemporains De la lumière à la matière organique : la photosynthèse Le soleil, source d'énergie de la biosphère Le défi énergétique : du non renouvelable au renouvelable Nourrir l'humanité : un défi pour le XXIe siècle Les sols, enveloppes vivantes et fragiles | Le corps humain et la santé : l'exercice physique Modification physiologique au cours de l'effort Pression artérielle, une grandeur régulée Le système articulo musculaire et sa fragilité Le sport : pratique à risque et pratiques responsables |
Les objectifs de ce cours sont :
Cours de niveau 11. Les prérequis conseillés sont :
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# Sciences de la vie et de la Terre en seconde générale et technologique/Leçons

| La Terre, la vie et l'évolution du vivant La Terre, une planète habitée Nature du vivant Unité structurelle et fonctionnelle du vivant ADN, une molécule universelle et variable Biodiversité actuelle et biodiversité passée Diversité et parenté des vertébrés Mécanismes de l'évolution | Enjeux planétaires contemporains De la lumière à la matière organique : la photosynthèse Le soleil, source d'énergie de la biosphère Le défi énergétique : du non renouvelable au renouvelable Nourrir l'humanité : un défi pour le XXIe siècle Les sols, enveloppes vivantes et fragiles | Le corps humain et la santé : l'exercice physique Modification physiologique au cours de l'effort Pression artérielle, une grandeur régulée Le système articulo musculaire et sa fragilité Le sport : pratique à risque et pratiques responsables |
# Sciences de la vie et de la Terre en cinquième

Faculté de Sciences de la vie et de la Terre
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* Thème 1 : La planète Terre, l'environnement et l'action humaine
* Thème 2 : Le vivant et son évolution
* Thème 3 : Le corps humain et la santé
Les objectifs de ce cours sont :
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Cours de niveau 8. Les prérequis conseillés sont :
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# Sciences de la vie et de la Terre en cinquième/Leçons

* Thème 1 : La planète Terre, l'environnement et l'action humaine
* Thème 2 : Le vivant et son évolution
* Thème 3 : Le corps humain et la santé
# Sciences de la vie et de la Terre en seconde générale et technologique/Annexe/Pratiquer un raisonnement scientifique

Objectif de l’exercice.
Rechercher des informations utiles à la résolution d'un problème scientifique « cet exercice fait appel à la capacité du candidat à extraire dans un document des informations utiles afin de résoudre un problème scientifique, formuler une hypothèse explicative, … »
Il peut faire appel à vos connaissances de cours.

## Préparer sa réponse

* Bien lire l'énoncé.
* Repérer la problématique et la faire apparaître sur le brouillon.
* Analyser le (ou les) document(s) proposé(s) en surlignant tous les éléments en relation avec la problématique, en faisant apparaître les valeurs remarquables des graphiques ou tableaux, les unités, …
* Trouver des relations entre les données et les faire apparaître au brouillon grâce à des flèches

## Rédiger sa réponse
### Introduction

L'introduction, rapide pour ce type d'exercice, permet de nous situer dans le thème étudié et de présenter la problématique.

### Saisie d'informations et raisonnement

* Analyse du document : elle commence par une présentation du document étudié, les informations en relation avec la problématique sont saisies.
* Déduction : les conclusions sont tirées dans le but de résoudre le problème scientifique d'où la nécessité de bien le faire apparaître dans l'introduction.
Généralement, un seul document est fourni, mais il se peut que ce document soit composé de plusieurs parties (2) ou bien que l'introduction soit riche d'informations utiles. Il faut dans ce cas procéder en trois étapes :
* Analyse du document 1 (ou l'énoncé du sujet) et déduction n$^o$ 1
* Anaylse du document 2 et déduction n$^o$ 2
* Mise en relation des informations afin de tirer une conclusion plus générale et trouver la solution au problème

### Conclusion

Elle permet de répondre au problème. Un schéma explicatif peut s'avérer pertinent dans certains cas. La conclusion peut s'ouvrir sur un autre thème ou une autre problématique.
* Sommaire
# Variables aléatoires sur les ensembles finis/Indépendance de variables aléatoires
## Indépendance de deux variables aléatoires

Soient X et Y deux variables aléatoires sur $\Omega$.
On note $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ les valeurs prises par X et $y_{1},y_{2},...,y_{n}$ celles prises par Y.
X et Y sont indépendantes si :
    pour tout i et j, les évènements $(X=x_{i})$ et $(Y=y_{j})$ sont indépendants.
c'est-à-dire si :
    pour tout i et j, $p((X=x_{i})\cap (Y=y_{j}))=p(X=x_{i})\times p(Y=y_{j})$
Remarque : pour démontrer l'indépendance de deux variables aléatoires, le plus simple est souvent de présenter les résultats dans un tableau à double entrée.
| Épreuve de Bernoulli | Loi binomiale |
# Variables aléatoires sur les ensembles finis

| Chap. 1 : | Loi de probabilité d'une variable aléatoire |
| Chap. 2 : | Espérance et variance d'une variable aléatoire |
| Chap. 3 : | Propriétés de l'espérance et de la variance |
| Chap. 4 : | Épreuve de Bernoulli |
| Chap. 5 : | Indépendance de variables aléatoires |
| Chap. 6 : | Loi binomiale |
| Chap. 7 : | Loi uniforme |
| Exos. 1 : | Contrôle de qualité et loi binomiale |
| Exos. 2 : | Jeu télévisé |
| Exos. 3 : | Somme de variables aléatoires indépendantes |
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## Présentation [Modifier]

Le but de cette leçon est d'introduire les variables aléatoires dans l'optique de la fin des études secondaires. On se limitera aux VA définies sur des ensembles finis.

## Objectifs [Modifier]

Les objectifs de cette leçon sont modestes. Le but est de bien comprendre ce qu'est une variable aléatoire et de voir quelques exemples élémentaires.

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 13.
* Probabilités sur les ensembles finis

## Pour aller plus loin [Modifier]

* Variables aléatoires discrètes

## Référents [Modifier]

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* Nicostella
* Loïc Fabiou (discuter)
# Variables aléatoires sur les ensembles finis/Exercices/Jeu télévisé
## Exercice 2-1

Pour être sélectionné à un jeu télévisé, un candidat doit satisfaire à deux tests $T_{1}$ et $T_{2}$ indépendants.
La probabilité de satisfaire à $T_{1}$ est $p_{1}=0{,}1$. La probabilité de satisfaire à $T_{2}$ est $p_{2}=0{,}2$.
1. Calculer la probabilité qu'un candidat ne satisfasse ni à $T_{1}$ ni à $T_{2}$.
2. Calculer la probabilité qu'un candidat soit sélectionné.
3. Sur n candidats, calculer la probabilité $q_{n}$ qu'au moins un candidat soit sélectionné.
4. Combien de candidats faut-il prendre pour que la probabilité d’en sélectionner au moins un soit supérieure à 0,99 ?
1. Notre problème se découpe en quatre cas :
* Satisfaire $T_{1}$ et $T_{2}$.
* Satisfaire $T_{1}$ et pas $T_{2}$.
* Satisfaire pas $T_{1}$ et $T_{2}$.
* Satisfaire pas $T_{1}$ et pas $T_{2}$.
La probabilité du premier, $Q_{1}$, est $p_{1}*p_{2}$, soit $0,02$, car les évènements sont indépendants. La probabilité du deuxième, $Q_{2}$, est $p_{1}$ moins celle du premier, soit $p_{1}-Q_{1}$, soit $0,08$. De même pour le troisième, $Q_{3}$, $p_{2}-Q_{1}$, soit $0,18$. Et la probabilité du dernier est celle du tout ($1$) moins les trois probabilités précédentes, soit $1-Q_{1}-Q_{2}-Q_{3}$, soit $1-p_{1}-p_{2}+Q_{1}$, soit $1-p_{1}-p_{2}+p_{1}*p_{2}$. On a donc la probabilité cherchée, qui est $0{,}72$.
On peut aussi plus simplement faire que la probabilité d'échouer à $T_{1}$ vaut 1 - 0,1 = 0,9, et celle d'échouer à $T_{2}$ vaut 1 - 0,2 = 0,8. donc la probabilité d'échouer à $T_{1}$ et à $T_{2}$ vaut 0,8×0,9 = 0,72
2. Comme dit plus haut, c'est $p_{1}*p_{2}$, soit 0,02.
3. On cherche la probabilité de l'évènement : « au moins un candidat est sélectionné ». On peut donc calculer la probabilité que premier candidat réussisse, puis que 2 candidats réussissent, puis 3... jusqu'à la probabilité que n candidats réussissent et additionner tous ces résultats. Mais il s'agirait la d'un travail fastidieux !
Pour simplifier la procédure, on va calculer la probabilité de l'évènement « aucun de n candidats n'a été sélectionné ». Cette probabilité est la probabilité qu'un candidat ne soit pas sélectionne : 1 - 0,02 = 0,98, à la puissance n. Donc cette probabilité vaut $0{,}98^{n}$. La probabilité que l'on recherche est l'événement complémentaire, donc sa probabilité vaut $1-0{,}98^{n}$
4. On veut ici que $1-0{,}98^{n}>0{,}99$
$0{,}98^{n}<0{,}01$
$n\ln(0{,}98)<\ln(0{,}01)$ avec $0{,}98<1$ d'où $n\ln(0{,}98)<0$
$n>{\frac {\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}98)}}\approx 227{,}95$
la solution est donc n le plus petit entier au-dessus du résultat obtenu, soit 228.
| Contrôle de qualité et loi binomiale | Somme de variables aléatoires indépendantes |
# Variables aléatoires sur les ensembles finis/Loi uniforme
## Définition

Une variable aléatoire qui peut prendre n valeurs k$_1$, k$_2$, … , k$_n$ suit une loi uniforme lorsque la probabilité de chaque valeur k$_i$ est égale à 1/n. Un cas particulier important est celui où les n valeurs k$_i$ sont des entiers consécutifs.
Une variable aléatoire discrète X suit une loi uniforme ${\mathcal {U}}_{[\![a,b]\!]}$ de paramètres $a,b\in \mathbb {Z}$ si
    $\forall k\in [\![a,b]\!]\quad \mathbb {P} (X=k)={\frac {1}{n}}$, avec $n=b-a+1$.

## Espérance

Si $X$ suit une loi de probabilité ${\mathcal {U}}_{[\![a,b]\!]}$, alors son espérance vaut :
$\mathbb {E} (X)={\frac {a+b}{2}}$
$n\mathbb {E} (X)=\sum _{k=0}^{n-1}\left(a+k\right)=n{\frac {a+b}{2}}$ (cf. Somme des termes d'une suite arithmétique).

## Variance

Si $X$ suit une loi de probabilité ${\mathcal {U}}_{[\![a,b]\!]}$, alors sa variance vaut :
$\mathrm {V} (X)={\frac {n^{2}-1}{12}}$
$n=b-a+1$
${\begin{aligned}n\mathrm {V} (X)&=\sum _{k=0}^{n-1}\left(a+k-{\frac {a+b}{2}}\right)^{2}\\&=\sum _{k=0}^{n-1}\left(k-{\frac {n-1}{2}}\right)^{2}\\&=\sum _{k=0}^{n-1}k^{2}-(n-1)\sum _{k=0}^{n-1}k+n{\frac {(n-1)^{2}}{4}}\\&={\frac {(n-1)n(2n-1)}{6}}-(n-1){\frac {(n-1)n}{2}}+n{\frac {(n-1)^{2}}{4}}\\&={\frac {n}{12}}\left(2(n-1)(2n-1)-3(n-1)^{2}\right)\\&=n{\frac {n^{2}-1}{12}}.\end{aligned}}$
| Loi binomiale | Sommaire |
# Variables aléatoires sur les ensembles finis/Exercices/Somme de variables aléatoires indépendantes
## Exercice 3-1

On note X la variable aléatoire qui représente le nombre de fraises produites en une semaine, au printemps, par un plant d'une variété de fraisier. On a observé les valeurs de X avec les fréquences :
| nombre de fraises | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| fréquence | 0,1 | 0,23 | 0,36 | 0,2 | 0,11 |
* Calculez la moyenne E(X) ainsi que l'écart-type σ(X) de X.
* Donnez la probabilité qu'un plant de fraisier ait une production inférieure ou égale à 5 fraises en une semaine.
* On note maintenant Y la variable aléatoire représentant le nombre de fraises produites en une semaine par 7 plants de fraisier au printemps. On suppose que les productions de deux fraisiers plantés à proximité sont indépendantes. Donnez la moyenne E(Y) ainsi que l'écart-type σ(Y) de Y.
* E(X) = 3×0,1 + 4×0,23 + 5×0,36 + 6×0,2 + 7× 0,11 ≈ 4,99 ≈ 5. On calcule d'abord E(X$^2$) = 9×0,1 + 16×0,23 + 25×0,36 + 36×0,2 + 49×0,11 ≈ 26,17, puis Var(X) = E(X$^2$) – E(X)$^2$ ≈ 26,17 – 4,99$^2$ ≈ 1,27, et enfin σ(X) ≈ ${\sqrt {1{,}27}}$ ≈ 1,127.
* p(X ≤ 5) = 0,1 + 0,23 + 0,36 = 0,69.
* On peut supposer qu'on a numéroté les fraisiers. On peut alors écrire Y = X$_1$ + X$_2$ + … + X$_7$ où X$_k$ représente le nombre de fraises sur le k-ième fraisier. Les X$_k$ suivent toutes la m^rme loi de probabilité que X. On a E(Y) = E(X$_1$) + E(X$_2$) + … + E(X$_7$) = 7E(X) ≈ 35. Comme les X$_k$ sont deux à deux indépendants, on Var(Y) = Var(X$_1$) + Var(X$_2$) + … + Var(X$_7$) = 7Var(X) doncσ(Y ) = ${\sqrt {7}}$σ(Y) ≈ 2,982.
| Jeu télévisé | Sommaire |
# Variables aléatoires sur les ensembles finis/Loi de probabilité d'une variable aléatoire
## Variables aléatoires

Une variable aléatoire est une fonction qui associe à chaque résultat d'une expérience aléatoire un nombre. On la note souvent X. Une variable aléatoire est définie sur l'univers $\Omega$. On note :
$X:\Omega \rightarrow \mathbb {R}$

### Exemple

Considérons l'expérience aléatoire consistant à lancer deux dés équilibrés.
On peut considérer l'univers $\Omega$ des couples de numéros (a,b)
où a est le résultat du premier dé et b celui du second.
Définissons sur $\Omega$ la variable aléatoire X
qui au couple (a,b) associe a+b la somme des deux numéros sortis :
$X((a,b))=a+b$
Plusieurs questions peuvent se poser à propos de X,
notamment quelle est la probabilité des différentes valeurs qu'elle peut prendre.

## Loi de probabilité d'une variable aléatoire

Si X est une variable aléatoire,
on donne la loi de probabilité de X en construisant un tableau
avec dans la première ligne les valeurs possibles pour X,
et dans la seconde ligne leur probabilité.

### Exemple

Reprenons l'exemple précédent. Les évènements élémentaires (a,b) sont équiprobables
et ils sont au nombre de 36 (6 résultats possibles pour a et 6 pour b).
On peut ensuite calculer :
$p(12)=p((6,6))={\frac {1}{36}}$
$p(6)=p((1,5))+p((2,4))+p((3,3))+p((4,2))+p(5,1)={\frac {5}{36}}$
et ainsi de suite. On obtient la loi de probabilité de X :
| $x_{i}$ | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| $p_{i}$ | 1/36 | 2/36 | 3/36 | 4/36 | 5/36 | 6/36 | 5/36 | 4/36 | 3/36 | 2/36 | 1/36 |
| Sommaire | Espérance et variance d'une variable aléatoire |
# Variables aléatoires sur les ensembles finis/Exercices/Contrôle de qualité et loi binomiale
## Exercice 1-1

Une machine fabrique des pièces pour camions. Sur un grand nombre de pièces par cette machine, la proportion de pièces de première qualité est de 90 %.
On considère un échantillon de 10 pièces, et on note X la variable aléatoire donnant le nombre de pièces de première qualité dans l'échantillon.
* Donner la loi de probabilité de X.
* Quelle est la probabilité d’avoir au moins 9 pièces de première qualité dans un échantillon de 10 pièces ?
* Quelle est la probabilité d’avoir plus de 3 pièces de qualité moindre dans l'échantillon ?
* Binomiale de paramètres 10 et 9/10.
* $a=P(X\geq 9)={\frac {{\binom {10}{9}}9^{9}+{\binom {10}{10}}9^{10}}{10^{10}}}=0{,}9^{9}\times 1{,}9\approx 0{,}736$.
* $1-P(X\geq 7)=1-a-{\frac {{\binom {10}{8}}9^{8}+{\binom {10}{7}}9^{7}}{10^{10}}}=1-0{,}9^{9}\times 1{,}9-0{,}9^{7}\times 0{,}525\approx 0{,}0128$.

## Exercice 1-2

Dans un atelier, on fabrique des pièces métalliques.
Le pourcentage de pièces défectueuses sortant de l'atelier est de 3 %.
À la sortie de l'atelier, on prélève au hasard, avec remise, 15 pièces dans la production totale. On note Y le nombre de pièces défectueuses.
* Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire Y ?
* Calculer la probabilité d’avoir au plus une pièce défectueuse.
* Binomiale de paramètres 15 et 3/100.
* $P(Y\leq 1)={\frac {{\binom {15}{0}}3^{0}\times 97^{15}+{\binom {15}{1}}3^{1}\times 97^{14}}{100^{15}}}=0{,}97^{14}\times 1{,}42\approx 0{,}927$.
| Sommaire | Jeu télévisé |
# Topographie de champ/Présentation de la leçon

La topographie de champ étudie les différentes représentations des champs scalaires ou vectoriels, question qui apparaît principalement — mais pas uniquement — en électromagnétisme.