# Statique/Principe fondamental de la statique
## Introduction

La statique peut être résumée à un unique principe physique, appelé principe fondamental de la statique :
Un système est à l'équilibre si et seulement si l'effet de toutes les forces qui s'exercent sur lui est nul.
Nous allons préciser cet énoncé, en incluant notamment les forces sous forme de vecteurs. Ce principe est tellement général, qu’il s'étend sur plusieurs domaines : la mécanique du point, la mécanique du solide et la mécanique des fluides. Nous donnons dans ce chapitre la formulation adaptée à la mécanique du point, plus simple. Un chapitre dédié précisera les énoncés plus spécifiques.

## Formulation vectorielle

Les forces qui s'exercent sur un point matériel peuvent être représentées par des vecteurs. En plus des propriétés des vecteurs (direction, sens et longueur), la physique attribue aux forces un point d'application. Pour un point, le point d'application des forces qui s'exercent sur lui, c’est lui-même. Les forces se cumulent : elles s'additionnent.
Lorsqu’il n'y a pas de force, il est équivalent de dire qu’il s'exerce une force nulle : ${\overrightarrow {F}}={\overrightarrow {0}}$
Si le système vérifie le principe fondamental de la statique, l'effet combiné de toutes les forces est le même que l'effet d'aucune force. Par conséquent, l’ensemble des forces s'exerçant est équivalent à la force nulle :
${\overrightarrow {F}}_{1}+{\overrightarrow {F}}_{2}+{\overrightarrow {F}}_{3}+\ldots ={\overrightarrow {0}}$
On utilise la notation mathématique « somme » pour donner une formule plus élégante. Cette notation est inspirée des mathématiques. Voici ce que donne cette notation pour un exemple : $\sum _{i=1}^{4}i^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}=1+4+9+16=30$ (cela se lit « somme pour i de 1 à 4 des i au carré) En physique, puisqu'on ne sait pas jusqu'à combien de forces peuvent s'appliquer, on ne place pas de limite au dessus du symbole « somme » : $\sum _{i}{\overrightarrow {F}}_{i}={\overrightarrow {F}}_{1}+{\overrightarrow {F}}_{2}+{\overrightarrow {F}}_{3}+\ldots$
En conclusion, le principe fondamental de la statique s'écrit, en mécanique du point :
Un système physique soumis à des forces est en équilibre statique si et seulement si l’ensemble des forces vérifie : $\sum _{i}{\overrightarrow {F}}_{i}={\overrightarrow {0}}$

## Quelques forces simples
### Forces usuelles

Nous présentons quelques exemples classiques de forces simples, d’usage courant. On se place dans le cas usuel d'un mouvement selon une seule dimension, x. Le vecteur unitaire ${\overrightarrow {e}}_{x}$ pointe vers les x croissants. Le point matériel étudié est situé en x et de masse m.
* Ressort : ${\overrightarrow {F}}=-k(x-x_{0}){\overrightarrow {e}}_{x}$ (loi de Hooke) avec k une constante appelée constante de raideur et x₀ la longueur à vide du ressort, c'est-à-dire la longueur qu’il a au repos.
* Gravité :
** Dans le champ terrestre : ${\overrightarrow {F}}=-mg{\overrightarrow {e}}_{x}$ (la terre étant dans la direction des x négatifs), g étant l'intensité du champ de pesanteur (g = 9,81 m.s⁻²) ;
** Cas général : ${\overrightarrow {F}}=-G{\frac {Mm}{x^{2}}}{\overrightarrow {e}}_{x}$ (la Terre étant située en x = 0), G étant la constante de gravitation, M la masse du corps créant la force de gravité.

### Forces de réaction

Toutes les forces ne se ramènent pas à l'un des cas précédent. Nous montrons ici qu’il existe des forces indépendantes de leur cause et origine, appelées forces de réaction.
La première étape est de se poser la question suivante : peut-il exister un équilibre avec une seule force ? D'après le principe fondamental de la statique :
$\sum _{i}{\overrightarrow {F}}_{i}={\overrightarrow {F}}={\overrightarrow {0}}$
Une seule force peut mener à un équilibre si et seulement si... elle n'a aucun effet. Conclusion première : pour avoir un équilibre, il faut qu’il existe au moins deux forces.
Étudions maintenant le cas d'une boîte de crayons posée sur une table. Elle ne bouge pas : elle est en équilibre. Donc, d’après ce qui précède, deux forces au moins s'exercent sur la boîte. Une force évidente est la gravité, que l’on note F... mais quelles seraient les autres ? Puisque les forces s'additionnent, on peut tout à fait dire qu'une seule autre force s'applique, appelons-la R. D'après le principe fondamental :
$\sum _{i}{\overrightarrow {F}}_{i}={\overrightarrow {F}}+{\overrightarrow {R}}={\overrightarrow {0}}$
Donc :
${\overrightarrow {R}}=-{\overrightarrow {F}}$
Il s'exerce sur la boîte une force exactement inverse à celle de la gravité, qui l'empêche de passer à travers la table : c’est une « force de réaction ».

## Principe d'action-réaction

La Terre attire la pomme — mais pourquoi est-ce dans ce sens ? Eh bien... ça ne l'est pas. La pomme attire la Terre autant que la Terre attire la pomme, ce n’est pas une question de point de vue, c’est une question de temps : la pomme, moins massive, subit très vite cette attraction — alors que la Terre, bien plus massive, mettrait bien plus longtemps à réagir.
Les forces exercées par un système sur un autre système sont égales et opposées aux forces exercées par ce dernier sur le premier.

## Théorème du moment

Nous sommes parfois amenés à traiter des problèmes à symétrie centrale : par exemple les pivots ou les tourniquets. Dans ce cadre, l’utilisation du principe fondamental de la statique sous forme vectorielle devient difficile, à cause notamment des nombreuses projections. Il existe une formulation équivalente et adaptée, appelée théorème du moment.
Un « moment » est la capacité d'une force à faire tourner quelque chose. Par exemple, une force qui pousse une fenêtre possède un certain moment — une force qui pousse uniformément une table n'a aucun moment. Le moment d'une force F est défini par :
${\overrightarrow {\Gamma }}({\overrightarrow {F}})={\overrightarrow {OM}}\wedge {\overrightarrow {F}}$
Avec O un point fixe (le centre de symétrie, idéalement) et M le point d'application de la force. Le symbole $\wedge$ dénote le produit vectoriel. Si cette notion ne vous est pas familière, rappelons que le produit vectoriel de deux vecteurs :
${\overrightarrow {w}}={\overrightarrow {u}}\wedge {\overrightarrow {v}}$
est un vecteur, orthogonal à u et v, de norme :
$\|{\overrightarrow {w}}\|=\|{\overrightarrow {u}}\|\cdot \|{\overrightarrow {v}}\|\cdot \sin({\overrightarrow {u}};{\overrightarrow {v}})$.
Si les vecteurs impliqués sont ceux du système de coordonnées (u, v, w) , alors on peut utiliser les relations entre eux, ce qui est plus simple :
${\overrightarrow {u}}\wedge {\overrightarrow {v}}={\overrightarrow {w}}$ ${\overrightarrow {w}}\wedge {\overrightarrow {u}}={\overrightarrow {v}}$ ${\overrightarrow {v}}\wedge {\overrightarrow {w}}={\overrightarrow {u}}$
Enfin, rappelons qu'échanger l’ordre des termes dans le produit vectoriel fait apparaitre un signe « - » devant le résultat.
Le principe fondamental de la statique énonce que la somme des effets des forces sur le point matériel doit être nul, ce qui devient ici :
Un point matériel est à l'équilibre statique si et seulement si la somme des moments s'exerçant sur lui est nulle : $\sum _{i}{\overrightarrow {\Gamma }}_{i}={\overrightarrow {0}}$

## Exemples

Prenons l'exemple d'un portail coulissant en porte-à-faux.
Considérons que le portail fait une longueur "L" et son poids, centré sur sa longueur est "P". Le portail repose sur 2 jeux de roulettes piégées dans un rail solidaire du portail. Ces jeux de roulettes sont espacés d'une distance "a" et considérés aux points "a1" et "a2", les efforts sur chaque jeux de roulettes seront nommés respectivement ${\overrightarrow {f1}}$ et ${\overrightarrow {f2}}$. On fixe l'origine en "a1" et la position du portail est définie par la côte " l " entre le montant gauche du portail et l'origine. Le dessin ci-dessous reprend toutes ces informations.
Le principe fondamental de la statique nous dit que la somme des forces appliquées sur le portail est nul, donc :
${\vec {P}}+{\vec {f1}}+{\vec {f2}}={\vec {0}}$
d'autre part la somme des couples est également nul (tant qu'ils sont tous considérés aux même points. On choisira dans cet exemple le point a1.
On à donc :
- le couple généré par le poids du portail au point "a1" : ${\vec {C_{P_{a1}}}}={\vec {OG}}\wedge {\vec {P}}=-(l-{L \over 2}).{\vec {x}}\wedge -P.{\vec {y}}=P.(l-{L \over 2}).{\vec {z}}$
- le couple généré par la force "f1" au point "a1" : ${\vec {C_{f1_{a1}}}}={\vec {Oa1}}\wedge {\vec {f1}}=0.{\vec {x}}\wedge f1.{\vec {y}}=0.{\vec {z}}={\vec {0}}$
- le couple généré par la force "f2" au point "a1" : ${\vec {C_{f2_{a1}}}}={\vec {Oa2}}\wedge {\vec {f2}}=a.{\vec {x}}\wedge f2.{\vec {y}}=a.f2.{\vec {z}}$
En appliquant le Principe Fondamental de la Statique appliqué au couples, on a :
${\vec {C_{P_{a1}}}}+{\vec {C_{f1_{a1}}}}+{\vec {C_{f2_{a1}}}}={\vec {0}}$
$P.(l-{L \over 2}).{\vec {z}}+{\vec {0}}+a.f2.{\vec {z}}={\vec {0}}$
ceci nous permet de trouver la relation entre "f2" et la position du portail ainsi que de P et de l'entre axes a :
$P.(l-{L \over 2})+a.f2=0$
$f2=-{P \over a}.(l-{L \over 2})$
En reprenant la première relation en déduira f1 :
$-P.{\vec {y}}+f1.{\vec {y}}+f2.{\vec {y}}={\vec {0}}$
$-P+f1+f2=0$
$f1=P-f2$
$f1=P+{P \over a}.(l-{L \over 2})={P \over a}.(l+a-{L \over 2})$
On parle ici de statique. cela signifie que les forces calculées ne sont valables que si le portail est parfaitement à l'arrêt. néanmoins les calculs précédents permettent de connaître les efforts sur les fondations du portail lorsqu'il est immobile quelle que soit sa position.
On a donc ainsi 2 relations linéaires (y = a x + b) fonction de la position du portail :
$f1={P \over a}.l+{P \over a}.(a-{L \over 2})$
$f2=-{P \over a}.l+{P \over a}{L \over 2}$
Le portail peut fonctionner sur la plage $l\in [0;L-a]$(le signe - a déjà été pris en compte dans les calculs).
Voyons voir ce que donne les forces aux positions extrêmes :
Premier cas : portail Fermé : $l=L-a$
$f1={P \over a}.(L-a)+{P \over a}.(a-{L \over 2})={P \over a}.(a-{L \over 2}+L-a)=P.{1 \over 2}.{L \over a}$
$f2=-{P \over a}.(L-a)+{P \over a}.{L \over 2}=-{P \over a}.((L-a)-{L \over 2})=-{P \over a}.({L \over 2}-a)=-P.({1 \over 2}.{L \over a}-1)$
On constate que le ratio ${L \over a}$est caractéristique de l'importance de la charge sur les points de supportage. d'autre part, si ${L \over a}>2$ (longueur du portail supérieure au double de l'espace entre les points de portage) alors la charge en "a2" devient de la négative, la force est donc dirigée vers le bas et le point "a2" empêche le portail de basculer à la manière d'un contre poids. On remarque alors que la charge en "a1" est supérieur à celle du portail lui-même !
Second cas : portail Ouvert : $l=0$
$f1={P \over a}.0+{P \over a}.(a-{L \over 2})={P \over a}.(a-{L \over 2})=P.(1-{1 \over 2}.{L \over a})=-P.({1 \over 2}.{L \over a}-1)$
$f2=-{P \over a}.0+{P \over a}{L \over 2}=P.{1 \over 2}.{L \over a}$
On constate que la situation est parfaitement symétrique à la précédente, les efforts entre "a1" et "a2 " sont échangés; ce qui est logique compte tenu de la symétrie de la position du portail.
Troisième cas : Portail en position centrée : $l={{L-a} \over 2}$
$f1={P \over a}.{L-a \over 2}+{P \over a}.(a-{L \over 2})={P \over a}.(a-{L \over 2}+{L-a \over 2})={P \over 2}$
$f2=-{P \over a}.{L-a \over 2}+{P \over a}.{L \over 2}=-{P \over a}.({L-a \over 2}-{L \over 2})={P \over 2}$
Comme on s'y attend, le poids du portail est parfaitement réparti entre "a1" et "a2".
Quatrième cas : Portail centré sur "a1" : $l={L \over 2}$
$f1={P \over a}.{L \over 2}+{P \over a}.(a-{L \over 2})={P \over a}.(a-{L \over 2}+{L \over 2})=P$
$f2=-{P \over a}.{L \over 2}+{P \over a}.{L \over 2}=0$
Comme on s'y attend, le poids du portail étant centré au dessus de a1, a1 supporte donc tout le poids du portail. Il ne reste donc rien à équilibrer pour "a2".
Cinquième cas : Portail centré sur "a2" : $l={L \over 2}-a$
à vous de jouer !
On peut également tracer les graphiques de ces courbes : dans ce cas P=1, L=12, a=2
Remarque : cet exemple néglige les composantes sur x des forces f1 et f2. La statique impose qu'elles soient égales et opposées, mais leur amplitude est indéterminée, mais logiquement faible, sinon, elle tendrait à déformer les fixations ! La composante sur y du vecteur OG, n'est pas utile car elle n'intervient que dans le produit vectoriel de P avec OG or P étant verticale, le produit vectoriel de 2 vecteurs parallèles étant nul elle n'a pas de.
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