# Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Description du mouvement d'un solide dans deux cas particuliers
## Quart de disque homogène de centre C limité par l'arc de cercle AB tournant autour de l'axe CA de son plan

On considère le quart de disque homogène $\;{\mathcal {D}}\;$ limité par le quart de cercle $\;{\overset {\;\frown }{\!AB}}\;$ et les deux rayons $\;CA\;$ et $\;CB\;$ respectivement $\;\perp$, avec $\;C\;$ centre du quart de cercle et $\;R\;$ le rayon de ce dernier, et appelant $\;\sigma _{0}\;$ la masse surfacique constante du quart de disque, on se propose
* de déterminer la position du C.D.I. $\;G\;$ du quart de disque $\;{\mathcal {D}}\;$ en définissant son vecteur position $\;{\overrightarrow {CG}}\;$ relativement au vecteur position $\;{\overrightarrow {CM}}\;$ du point courant $\;M\;$ du quart de disque d'une part et
* d'autre part de vérifier le résultat par utilisation du 2nd théorème de Guldin relatif à une portion de surface.

### Détermination de la position du centre d'inertie du quart de disque homogène et vérification par l'un des deux théorèmes de Guldin

Ayant choisi le centre $\;C\;$ de l'arc de cercle $\;{\overset {\;\frown }{\!AB}}\;$ limitant le quart de disque $\;{\mathcal {D}}\;$ comme origine de vecteur position, rappeler l'expression du vecteur position $\;{\overrightarrow {CG}}\;$ du C.D.I. $\;G\;$ sous la forme d'une intégrale surfacigue faisant intervenir le vecteur position $\;{\overrightarrow {CM}}\;$ du point courant $\;M\;$ du quart de disque puis
évaluer cette intégrale pour déterminer la position du C.D.I. $\;G$.
Vérifier le résultat précédent en utilisant le 2nd théorème de Guldin relatif à un portion de surface dont l'énoncé est le suivant :
$\;{\mathcal {V}}\;$
$\;{\mathcal {D}}\;$
$\;(\Delta )\;$
$\;{\mathcal {A}}_{\mathcal {D}}\;$
$\;G\;$
$\;\alpha \;d\!\left(\Delta \,,\,G\right)\;$
$\;d\!\left(\Delta \,,\,G\right)\;$
$\;(\Delta )\;$
$\;\alpha \;$
$\;rad\;$
$\;{\mathcal {V}}={\mathcal {A}}_{\mathcal {D}}\;\times \;\alpha \;d\!\left(\Delta \,,\,G\right)\;$
Le quart de disque homogène $\;{\mathcal {D}}\;$ étant symétrique par rapport à l'axe $\;Cx\;$ issu du centre $\;C\;$ du quart de cercle $\;{\overset {\;\frown }{\!AB}}\;$ et passant par le milieu de ce dernier, nous pourrions affirmer que le C.D.I. $\;G\;$ du quart de disque homogène $\;{\mathcal {D}}\;$ est sur l'axe de symétrie $\;Cx\;$ de ce dernier mais ce résultat sera démontré ci-dessous ; nous repérons le point générique $\;M\;$ par ses coordonnées polaires relativement à l'axe polaire $\;{\overrightarrow {Cx}}$, l'axe $\;{\overrightarrow {Cy}}\;$ étant choisi $\;\perp \;$ à $\;{\overrightarrow {Cx}}\;$ dans le plan du quart de disque $\;{\big$voir schéma ci-contre${\big )}$, $\;M\;$ a pour coordonnées polaires $\;\left(\rho \,,\,\theta \right)\;$ avec $\;\theta \;$ variant de $\;-{\dfrac {\pi }{4}}\;$ à $\;+{\dfrac {\pi }{4}}\;$ et $\;\rho \;$ de $\;0\;$ à $\;R$ ;
la définition du vecteur position $\;{\overrightarrow {CG}}\;$ du C.D.I. $\;G\;$ du quart de disque homogène étant «$\;{\overrightarrow {CG}}={\dfrac {\displaystyle \iint _{\mathcal {D}}{\overrightarrow {CM}}\;\sigma _{0}\;dS_{M}}{\displaystyle \iint _{\mathcal {D}}\sigma _{0}\;dS_{M}}}\;$»$^,$$^,$ $\;{\big$avec $\;\sigma _{0}\;$ la masse surfacique du quart de disque${\big )}\;$ dans laquelle «$\;\displaystyle \iint _{\mathcal {D}}dS_{M}\;$$^,$, étant l'aire du quart de disque, vaut $\;\displaystyle \iint _{\mathcal {D}}dS_{M}={\dfrac {\pi \;R^{2}}{4}}\;$» et par suite la définition le vecteur position du C.D.I. du quart de disque se réécrit selon «$\;{\overrightarrow {CG}}={\dfrac {4}{\pi \;R^{2}}}\;\displaystyle \iint _{\mathcal {D}}{\overrightarrow {CM}}\;dS_{M}\;$»$^,$ ;
le calcul de l'intégrale surfacique ci-dessus se fait par décomposition en deux intégrales emboîtées, chacune sur un intervalle, le calcul de l'intégrale surfacique $\succ \;$la 1ère réalisant une intégration sur un des deux paramètres, le 2ème restant figé, et le calcul de l'intégrale surfacique $\succ \;$la 2ème intégrale se faisant sur le 2ème paramètre après l'avoir libéré$^,$, le calcul de l'intégrale surfacique l'ordre d'intégration étant en fait usuellement indifférent comme le précise le théorème de Fubini ;
l'explicitation de l'intégrale surfacique ci-dessus donne $\;{\overrightarrow {\mathcal {I}}}=\displaystyle \iint _{\mathcal {D}}{\overrightarrow {CM}}\;dS_{M}=\displaystyle \iint _{\mathcal {D}}\rho \;{\vec {u}}_{\rho }\;\rho \,d\rho \,d\theta \;$$^,$ dans laquelle les deux paramètres étant $\;\left(\rho \;,\;\theta \right)\;$ avec les bornes d'intégration sur un des paramètres indépendante de l'autre paramètre, l'intégrale surfacique ci-dessus se réécrit en produit de deux intégrales sur un segment selon «$\;{\overrightarrow {\mathcal {I}}}=\displaystyle \int _{0}^{R}\rho ^{2}\;d\rho \times \displaystyle \int _{-{\frac {\pi }{4}}}^{+{\frac {\pi }{4}}}{\vec {u}}_{\rho }\!\left(\theta \right)\,d\theta \;$», l'explicitation de l'intégrale surfacique ci-dessus la 1ère intégrale ne présentant aucune difficulté et la 2nde se simplifiant en décomposant $\;{\vec {u}}_{\rho }(\theta )\;$ dans la base cartésienne soit l'explicitation de l'intégrale surfacique ci-dessus $\;{\overrightarrow {\mathcal {I}}}={\dfrac {R^{3}}{3}}\;\displaystyle \int _{-{\frac {\pi }{4}}}^{+{\frac {\pi }{4}}}\left[\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{x}+\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{y}\right]\,d\theta ={\dfrac {R^{3}}{3}}\,\left[\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{x}-\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{y}\right]_{-{\frac {\pi }{4}}}^{+{\frac {\pi }{4}}}={\dfrac {R^{3}}{3}}\,\left[2\,\sin \!\left({\dfrac {\pi }{4}}\right)\,{\vec {u}}_{x}\right]\;$ et finalement «$\;{\overrightarrow {\mathcal {I}}}={\dfrac {R^{3}}{3}}\,{\sqrt {2}}\;{\vec {u}}_{x}\;$»$^,$ d'où
$\;{\overrightarrow {CG}}={\dfrac {4}{\pi \;R^{2}}}\;\displaystyle \iint _{\mathcal {D}}{\overrightarrow {CM}}\;dS_{M}={\dfrac {4}{\pi \;R^{2}}}\;{\dfrac {R^{3}}{3}}\,{\sqrt {2}}\;{\vec {u}}_{x}={\dfrac {4\;R\;{\sqrt {2}}}{3\;\pi }}\;{\vec {u}}_{x}\;$
$\;G\;$
$\;{\mathcal {D}}\;$
$\;Cx\;$
$\;C\;$
$\;{\overset {\;\frown }{\!AB}}\;$
$\;{\dfrac {4\;{\sqrt {2}}}{3\;\pi }}\;R\simeq 0,6002\;R$
Dans le but d'appliquer le théorème de Guldin relatif à une portion de surface, en l'occurrence le quart de disque $\;{\mathcal {D}}$, on effectue une révolution complète de ce dernier autour de l'axe $\;(\Delta )=CA\;$ dans le but de déterminer la distance orthogonale $\;d\!\left(\Delta \,,\,G\right)=C_{G}G\;$ séparant le C.D.I. $\;G\;$ du quart de disque à l'axe $\;(\Delta )\;$ de révolution, $\;C_{G}\;$ étant ainsi le projeté orthogonal de $\;G\;$ sur $\;CA\;$ mais aussi le centre du cercle décrit par $\;G\;$ pendant la révolution complète $\;{\big$voir schéma ci-contre${\big )}$ ;
lors de la révolution complète de $\;{\mathcal {D}}\;$ autour de $\;(\Delta )=CA\;$ l'expansion tridimensionnelle obtenue est la demi-boule supérieure de centre $\;C\;$ et de rayon $\;R$, lors de la révolution complète de $\;\color {transparent}{\mathcal {D}}\;$ autour de $\;\color {transparent}{(\Delta )=CA}\;$ l'expansion tridimensionnelle obtenue est de volume $\;{\mathcal {V}}={\dfrac {2\;\pi }{3}}\;R^{3}\;$ et lors de la révolution complète de $\;\color {transparent}{\mathcal {D}}\;$ autour de $\;\color {transparent}{(\Delta )=CA}\;$ la surface du quart de disque étant d'aire $\;{\mathcal {A}}_{\mathcal {D}}={\dfrac {\pi \;R^{2}}{4}}$,
lors de la révolution complète de $\;\color {transparent}{\mathcal {D}}\;$ autour de $\;\color {transparent}{(\Delta )=CA}\;$ l'application du théorème de Guldin à la portion de surface $\;{\mathcal {D}}\;$ lors de cette révolution complète autour de $\;(\Delta )=CA\;$ ${\big$correspondant à un angle de révolution en $\;rad\;$ égal à $\;\alpha =2\;\pi {\big )}\;$ nous conduit à «$\;{\mathcal {V}}={\mathcal {A}}_{\mathcal {D}}\;\times \;2\,\pi \;C_{G}G\;$» se réécrivant «$\;{\dfrac {2\;\pi }{3}}\;R^{3}$ $={\dfrac {\pi \;R^{2}}{4}}\times 2\,\pi \;C_{G}G\;$» dont on déduit l'expression de «$\;C_{G}G={\dfrac {1}{2\,\pi }}\;{\dfrac {2\;\pi }{3}}\;R^{3}\;{\dfrac {4}{\pi \;R^{2}}}={\dfrac {4}{3\;\pi }}\;R\simeq 0,4244\;R\;$» ;
$\;G\;$
$\;{\mathcal {D}}\;$
$\;G\;$
$\;Cx\;$
$\Rightarrow$
$\;CG\;$
$\;CA\;$
$\;{\dfrac {\pi }{4}}\;$
$\;{\dfrac {C_{G}G}{CG}}=\sin \!\left({\dfrac {\pi }{4}}\right)={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;$
$\Rightarrow$
$\;CG=C_{G}G\;{\sqrt {2}}\;$
$\;CG={\dfrac {4\;{\sqrt {2}}}{3\;\pi }}\;R\simeq 0,6002\;R\;$

### Détermination de la vitesse instantanée du C.D.I. G du quart de disque homogène limité par le quart de cercle AB de centre C et les deux rayons CA et CB respectivement perpendiculaires quand le quart de disque tourne autour de l'axe CA avec une vitesse angulaire fixée

Considérant la rotation du quart de disque $\;{\big$limité par le quart de cercle $\;{\overset {\;\frown }{\!AB}}\;$ et les deux rayons respectivement $\;\perp \;$ $CA\;$ et $\;CB{\big )}$, Considérant la rotation du quart de disque autour de l'axe $\;(CA)\;$ avec $\;C\;$ centre de l'arc de cercle, à la vitesse angulaire constante $\;\omega _{0}$,
* exprimer le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ du C.D.I. $\;G\;$ du quart de disque $\;{\mathcal {D}}\;$ en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}=\omega _{0}\;{\vec {u}}_{(CA)}\;$ où $\;{\vec {u}}_{(CA)}\;$ est le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation puis
* en déduire la vitesse instantanée $\;v_{G}(t)\;$ du C.D.I. $\;G\;$ sur sa trajectoire en fonction, entre autres, de la vitesse angulaire $\;\omega _{0}$.
Le C.D.I. $\;G\;$ du quart de disque homogène $\;{\mathcal {D}}\;$ ${\big$limité par le quart de cercle $\;{\overset {\;\frown }{\!AB}}\;$ et les deux rayons respectivement $\;\perp \;$ $CA\;$ et $\;CB{\big )}$, avec $\;C\;$ centre du quart de cercle et $\;R\;$ le rayon de ce dernier, Le C.D.I. $\;\color {transparent}{G}\;$ restant à distance constante $\;\rho _{G}={\dfrac {4}{3\;\pi }}\;R\;$ de l'axe de rotation $\;CA\;$ Le C.D.I. $\;\color {transparent}{G}\;$ décrit le cercle d'axe $\;{\overrightarrow {Cz}}\;$ et de rayon $\;\rho _{G}={\dfrac {4}{3\;\pi }}\;R\;$ avec un vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}=\omega _{0}\;{\vec {u}}_{(CA)}=\omega _{0}\;{\vec {u}}_{z}\;$ ${\Big$choisissant de repérer le point $\;G\;$ par le système de coordonnées cylindro-polaires d'axe $\;CA\;$ appelé $\;{\overrightarrow {Cz}}$, la base cylindro-polaire liée à $\;G\;$ étant notée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho }(G)\,,\,{\vec {u}}_{\theta }(G)\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace$, les coordonnées cylindro-polaires de $\;G\;$ valent respectivement $\;\rho _{G}={\dfrac {4}{3\;\pi }}\;R$, $\;\theta _{G}=\omega _{0}\;t+\theta _{G,\,0}\;$ et $\;z_{G}=\rho _{G}={\dfrac {4}{3\;\pi }}\;R{\Big ]}$ ;
on en déduit l'expression intrinsèque du vecteur vitesse de $\;G\;$ en rotation autour de $\;CA\;$ sous la forme on en déduit l'expression intrinsèque du vecteur vitesse de $\;\color {transparent}{G}\;$ «$\;{\vec {V}}_{G}(t)={\vec {\Omega }}\wedge {\overrightarrow {CG}}(t)=\omega _{0}\;{\vec {u}}_{z}\wedge {\overrightarrow {CG}}(t)\;$» ou on en déduit l'expression intrinsèque du vecteur vitesse de $\;\color {transparent}{G}\;$ «$\;{\vec {V}}_{G}(t)=\omega _{0}\;{\vec {u}}_{z}\wedge \left[\rho _{G}\;{\vec {u}}_{\rho }(G)+z_{G}\;{\vec {u}}_{z}\right]=\rho _{G}\;\omega _{0}\;{\vec {u}}_{\theta }(G)={\dfrac {4}{3\;\pi }}\;R\;\omega _{0}\;{\vec {u}}_{\theta }(G)\;$».
Passant en repérage de Frenet de $\;G\;$ sur sa trajectoire circulaire, avec les deux 1$^{ers}$ vecteurs de base de Frenet$^,$ liés à $\;G\;$ respectivement Passant en repérage de Frenet de $\;\color {transparent}{G}\;$ sur sa trajectoire circulaire, avec le vecteur unitaire tangentiel $\;{\vec {\tau }}(G)={\vec {u}}_{\theta }(G)\;$ et Passant en repérage de Frenet de $\;\color {transparent}{G}\;$ sur sa trajectoire circulaire, avec le vecteur unitaire normal principal $\;{\vec {n}}(G)=-{\vec {u}}_{\rho }(G)\;$, Passant en repérage de Frenet de $\;\color {transparent}{G}\;$ sur sa trajectoire circulaire, on en déduit l'expression de Frenet du vecteur vitesse de $\;G\;$ soit «$\;{\vec {V}}_{G}(t)=\rho _{G}\;\omega _{0}\;{\vec {\tau }}(G)\;$» Passant en repérage de Frenet de $\;\color {transparent}{G}\;$ sur sa trajectoire circulaire, on en déduit et, par suite, la vitesse instantanée du point $\;G\;$ «$\;v_{G}(t)=\rho _{G}\;\omega _{0}={\dfrac {4}{3\;\pi }}\;R\;\omega _{0}\;$».

## Centre d'inertie d'un quart de cercle homogène A$_ρ$B$_ρ$ de centre C et de rayon ρ puis, par utilisation de la notion de barycentre partiel, centre d'inertie d'un quart de disque homogène limité par le quart de cercle AB de centre C et de rayon R

On considère le quart de cercle $\;{\overset {\;\frown }{A_{\rho }B_{\rho }}}$, de centre $\;C$, de rayon $\;\rho$, homogène, de masse linéique constante $\;\lambda _{0}\;$ dont on se propose
* de déterminer la position de son C.D.I. $\;G_{\rho }\;$ en définissant son vecteur position $\;{\overrightarrow {CG_{\rho }}}\;$ relativement au vecteur position $\;{\overrightarrow {CM_{\rho }}}\;$ du point courant $\;M_{\rho }\;$ du quart de cercle d'une part et
* d'autre part de vérifier le résultat par utilisation du 1er théorème de Guldin relatif à un arc de courbe.

### Détermination de la position du centre d'inertie du quart de cercle et vérification par l'un des deux théorèmes de Guldin

Ayant choisi le centre $\;C\;$ de l'arc de cercle $\;{\overset {\;\frown }{A_{\rho }B_{\rho }}}\;$ comme origine de vecteur position, rappeler l'expression du vecteur position $\;{\overrightarrow {CG_{\rho }}}\;$ du C.D.I. $\;G_{\rho }\;$ sous la forme d'une intégrale curviligne faisant intervenir le vecteur position $\;{\overrightarrow {CM_{\rho }}}\;$ du point courant $\;M_{\rho }\;$ du quart de cercle puis
évaluer cette intégrale pour déterminer la position du C.D.I. $\;G_{\rho }$.
Vérifier le résultat précédent en utilisant le 1er théorème de Guldin relatif à un arc de courbe dont l'énoncé est le suivant :
$\;{\mathcal {A}}\;$
$\;{\overset {\;\frown }{\!AB}}\;$
$\;(\Delta )\;$
$\;{\mathcal {L}}_{\overset {\;\frown }{\!AB}}\;$
$\;G\;$
$\;\alpha \;d\!\left(\Delta \,,\,G\right)\;$
$\;d\!\left(\Delta \,,\,G\right)\;$
$\;(\Delta )\;$
$\;\alpha \;$
$\;rad\;$
$\;{\mathcal {A}}={\mathcal {L}}_{\overset {\;\frown }{\!AB}}\;\times \;\alpha \;d\!\left(\Delta \,,\,G\right)\;$
Le quart de cercle homogène $\;{\overset {\;\frown }{A_{\rho }B_{\rho }}}$, de centre $\;C$, de rayon $\;\rho$, étant symétrique par rapport à l'axe $\;Cx\;$ issu du centre $\;C\;$ du quart de cercle $\;{\overset {\;\frown }{A_{\rho }B_{\rho }}}\;$ et passant par le milieu de ce dernier, nous pourrions affirmer que le C.D.I. $\;G_{\rho }\;$ du quart de cercle homogène $\;{\overset {\;\frown }{A_{\rho }B_{\rho }}}\;$ est sur l'axe de symétrie $\;Cx\;$ de ce dernier mais ce résultat sera démontré ci-dessous ; nous repérons le point générique $\;M_{\rho }\;$ par ses coordonnées polaires relativement à l'axe polaire $\;{\overrightarrow {Cx}}$, l'axe $\;{\overrightarrow {Cy}}\;$ étant choisi $\;\perp \;$ à $\;{\overrightarrow {Cx}}\;$ dans le plan du quart de cercle $\;{\big$voir schéma ci-contre${\big )}$, $\;M_{\rho }\;$ a pour coordonnées polaires $\;\left(\rho \,,\,\theta \right)\;$ avec $\;\theta \;$ variant de $\;-{\dfrac {\pi }{4}}\;$ à $\;+{\dfrac {\pi }{4}}$ ;
la définition du vecteur position $\;{\overrightarrow {CG_{\rho }}}\;$ du C.D.I. $\;G_{\rho }\;$ du quart de cercle homogène étant «$\;{\overrightarrow {CG_{\rho }}}={\dfrac {\displaystyle \int _{\overset {\;\frown }{A_{\rho }B_{\rho }}}{\overrightarrow {CM_{\rho }}}\;\lambda _{0}\;ds_{M_{\rho }}}{\displaystyle \int _{\overset {\;\frown }{A_{\rho }B_{\rho }}}\lambda _{0}\;ds_{M_{\rho }}}}\;$»$^,$$^,$ $\;{\big$avec $\;\lambda _{0}\;$ la masse linéique du quart de cercle${\big )}\;$ dans laquelle «$\;\displaystyle \int _{\overset {\;\frown }{A_{\rho }B_{\rho }}}ds_{M_{\rho }}\;$$^,$, étant la longueur du quart de cercle, vaut $\;\displaystyle \int _{\overset {\;\frown }{A_{\rho }B_{\rho }}}ds_{M_{\rho }}={\dfrac {2\;\pi \;\rho }{4}}={\dfrac {\pi \;\rho }{2}}\;$» et par suite la définition le vecteur position du C.D.I. du quart de cercle se réécrit selon «$\;{\overrightarrow {CG_{\rho }}}={\dfrac {2}{\pi \;\rho }}\;\displaystyle \int _{\overset {\;\frown }{A_{\rho }B_{\rho }}}{\overrightarrow {CM_{\rho }}}\;ds_{M_{\rho }}\;$»$^,$ ;
le calcul de l'intégrale curviligne ci-dessus se ramène à celui d'une intégrale sur un intervalle, ici l'intégrale se faisant sur le paramètre $\;\theta \;$ soit «$\;{\overrightarrow {\mathcal {I}}}=\displaystyle \int _{\overset {\;\frown }{A_{\rho }B_{\rho }}}{\overrightarrow {CM_{\rho }}}\;ds_{M_{\rho }}=\displaystyle \int _{-{\frac {\pi }{4}}}^{+{\frac {\pi }{4}}}{\overrightarrow {CM_{\rho }}}(\theta )\;\rho \;d\theta \;$» ou encore $\;{\overrightarrow {\mathcal {I}}}=\displaystyle \int _{-{\frac {\pi }{4}}}^{+{\frac {\pi }{4}}}\rho \;{\vec {u}}_{\rho }(\theta )\;\rho \;d\theta =\rho ^{2}\displaystyle \int _{-{\frac {\pi }{4}}}^{+{\frac {\pi }{4}}}{\vec {u}}_{\rho }(\theta )\;d\theta =\rho ^{2}\displaystyle \int _{-{\frac {\pi }{4}}}^{+{\frac {\pi }{4}}}\left[\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{x}+\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{y}\right]\,d\theta =\rho ^{2}\;\left[\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{x}-\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{y}\right]_{-{\frac {\pi }{4}}}^{+{\frac {\pi }{4}}}=\rho ^{2}\left[2\,\sin \!\left({\dfrac {\pi }{4}}\right)\,{\vec {u}}_{x}\right]\;$ et finalement «$\;{\overrightarrow {\mathcal {I}}}=\rho ^{2}\;{\sqrt {2}}\;{\vec {u}}_{x}\;$»$^,$ d'où
$\;{\overrightarrow {CG_{\rho }}}={\dfrac {2}{\pi \;\rho }}\;\displaystyle \int _{\overset {\;\frown }{A_{\rho }B_{\rho }}}{\overrightarrow {CM_{\rho }}}\;ds_{M_{\rho }}={\dfrac {2}{\pi \;\rho }}\;\rho ^{2}\;{\sqrt {2}}\;{\vec {u}}_{x}={\dfrac {2\;\rho \;{\sqrt {2}}}{\pi }}\;{\vec {u}}_{x}\;$
$\;G_{\rho }\;$
$\;{\overset {\;\frown }{A_{\rho }B_{\rho }}}\;$
$\;Cx\;$
$\;C\;$
$\;{\overset {\;\frown }{A_{\rho }B_{\rho }}}\;$
$\;{\dfrac {2\;{\sqrt {2}}}{\pi }}\;\rho \simeq 0,9003\;\rho$
Dans le but d'appliquer le théorème de Guldin relatif à une portion de courbe, en l'occurrence le quart de cercle $\;{\overset {\;\frown }{A_{\rho }B_{\rho }}}$, on effectue une rotation complète de ce dernier autour de l'axe $\;(\Delta )=CA_{\rho }\;$ dans le but de déterminer la distance orthogonale $\;d\!\left(\Delta \,,\,G_{\rho }\right)=C_{G_{\rho }}G_{\rho }\;$ séparant le C.D.I. $\;G_{\rho }\;$ du quart de cercle à l'axe $\;(\Delta )\;$ de rotation, $\;C_{G_{\rho }}\;$ étant ainsi le projeté orthogonal de $\;G_{\rho }\;$ sur $\;CA_{\rho }\;$ mais aussi le centre du cercle décrit par $\;G_{\rho }\;$ pendant la rotation complète $\;{\big$voir schéma ci-contre${\big )}$ ;
lors de la rotation complète de $\;{\overset {\;\frown }{A_{\rho }B_{\rho }}}\;$ autour de $\;(\Delta )=CA_{\rho }\;$ la surface obtenue est la demi-sphère supérieure de centre $\;C\;$ et de rayon $\;\rho$, lors de la rotation complète de $\;\color {transparent}{\overset {\;\frown }{A_{\rho }B_{\rho }}}\;$ autour de $\;\color {transparent}{(\Delta )=CA_{\rho }}\;$ la surface obtenue est d'aire $\;{\mathcal {A}}=2\;\pi \;\rho ^{2}\;$ et
lors de la rotation complète de $\;\color {transparent}{\overset {\;\frown }{A_{\rho }B_{\rho }}}\;$ autour de $\;\color {transparent}{(\Delta )=CA_{\rho }}\;$ le quart de cercle étant de longueur $\;{\mathcal {L}}_{\overset {\;\frown }{A_{\rho }B_{\rho }}}={\dfrac {2\;\pi \;\rho }{4}}={\dfrac {\pi \;\rho }{2}}$,
lors de la rotation complète de $\;\color {transparent}{\overset {\;\frown }{A_{\rho }B_{\rho }}}\;$ autour de $\;\color {transparent}{(\Delta )=CA_{\rho }}\;$ l'application du 1er théorème de Guldin à la portion de courbe $\;{\overset {\;\frown }{A_{\rho }B_{\rho }}}\;$ lors de cette rotation complète autour de $\;(\Delta )=CA_{\rho }\;$ ${\big$correspondant à un angle de rotation en $\;rad\;$ égal à $\;\alpha =2\;\pi {\big )}\;$ nous conduit à «$\;{\mathcal {A}}={\mathcal {L}}_{\overset {\;\frown }{A_{\rho }B_{\rho }}}\;\times \;2\,\pi \;C_{G_{\rho }}G_{\rho }\;$» se réécrivant «$\;2\;\pi \;\rho ^{2}={\dfrac {\pi \;\rho }{2}}\times 2\,\pi \;C_{G_{\rho }}G_{\rho }\;$» dont on déduit l'expression de «$\;C_{G_{\rho }}G_{\rho }={\dfrac {1}{2\,\pi }}\;2\;\pi \;\rho ^{2}\;{\dfrac {2}{\pi \;\rho }}={\dfrac {2}{\pi }}\;\rho \simeq 0,6366\;\rho \;$» ;
$\;G_{\rho }\;$
$\;{\overset {\;\frown }{A_{\rho }B_{\rho }}}\;$
$\;G_{\rho }\;$
$\;Cx\;$
$\Rightarrow$
$\;CG_{\rho }\;$
$\;CA_{\rho }\;$
$\;{\dfrac {\pi }{4}}\;$
$\;{\dfrac {C_{G_{\rho }}G_{\rho }}{CG_{\rho }}}=\sin \!\left({\dfrac {\pi }{4}}\right)={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;$
$\Rightarrow$
$\;CG_{\rho }=C_{G_{\rho }}G_{\rho }\;{\sqrt {2}}\;$
$\;CG_{\rho }={\dfrac {2\;{\sqrt {2}}}{\pi }}\;\rho \simeq 0,9003\;\rho \;$

### Position du centre d'inertie d'un quart de disque homogène limité par un quart de cercle AB de centre C, de rayon R et par deux rayons CA et CB respectivement perpendiculaires, en considérant le quart de disque comme association de surfaces élémentaires semi-intégrées, construites à partir d'un quart de cercle A$_ρ$B$_ρ$ de même centre C, de rayon ρ variable et d'épaisseur dρ

On se propose de retrouver le C.D.I. $\;G\;$ d'un quart de disque homogène $\;{\mathcal {D}}\;$ limité par le quart de cercle $\;{\overset {\;\frown }{\!AB}}\;$ et les deux rayons $\;CA\;$ et $\;CB\;$ respectivement $\;\perp$, avec $\;C\;$ centre du quart de cercle, $\;R\;$ le rayon de ce dernier et $\;\sigma _{0}\;$ la masse surfacique constante du quart de disque, en considérant On se propose de retrouver le C.D.I. $\;\color {transparent}{G}\;$ le quart de disque homogène $\;{\mathcal {D}}\;$ comme une association de quarts de couronnes planes de même centre $\;C$, de rayon $\;\rho \in \left[0\,,\,R\right]\;$ et de largeur $\;d\rho$, On se propose de retrouver le C.D.I. $\;\color {transparent}{G}\;$ le quart de disque homogène $\;\color {transparent}{\mathcal {D}}\;$ comme une association le « quart de couronne plane de rayon $\;\rho \;$ et de faible largeur $\;d\rho \;$» pouvant être modélisé par On se propose de retrouver le C.D.I. $\;\color {transparent}{G}\;$ le quart de disque homogène $\;\color {transparent}{\mathcal {D}}\;$ comme une association un « quart de cercle de rayon $\;\rho \;$ et de masse linéique $\;\sigma _{0}\;d\rho \;$», On se propose de retrouver le C.D.I. $\;\color {transparent}{G}\;$ le quart de disque homogène $\;\color {transparent}{\mathcal {D}}\;$ comme une association cette modélisation reposant sur la détermination de la position du C.D.I. $\;G_{\rho }\;$ du quart de cercle de rayon $\;\rho \;$ dans la résolution de la question « détermination de la position du centre d'inertie du quart de cercle et vérification par l'un des deux théorèmes de Guldin » plus haut dans cet exercice, On se propose de retrouver le C.D.I. $\;\color {transparent}{G}\;$ le quart de disque homogène $\;\color {transparent}{\mathcal {D}}\;$ comme une association cette modélisation permet de remplacer le « quart de couronne plane de rayon $\;\rho \;$ et de faible largeur $\;d\rho \;$» par son barycentre partiel $\;G_{\rho }\;$ affecté de la masse «$\;\sigma _{0}\;d\rho \;{\dfrac {\pi \;\rho }{2}}\;$».
Ayant choisi le centre $\;C\;$ de l'arc de cercle $\;{\overset {\;\frown }{\!AB}}\;$ limitant le quart de disque $\;{\mathcal {D}}\;$ comme origine de vecteur position, exprimer le vecteur position $\;{\overrightarrow {CG}}\;$ du C.D.I. $\;G\;$ du quart de disque $\;{\mathcal {D}}\;$ sous la forme d'une intégrale sur un intervalle faisant intervenir le vecteur position $\;{\overrightarrow {CG_{\rho }}}\;$ du barycentre partiel $\;G_{\rho }\;$ du quart de couronne plane de rayon $\;\rho \;$ et de faible largeur $\;d\rho \;$ puis
Ayant choisi le centre $\;\color {transparent}{C}\;$ de l'arc de cercle $\;\color {transparent}{\overset {\;\frown }{\!AB}}\;$ limitant le quart de disque $\;\color {transparent}{\mathcal {D}}\;$ comme origine de vecteur position, évaluer cette intégrale pour retrouver la position du C.D.I. $\;G\;$ du quart de disque.
Le vecteur position $\;{\overrightarrow {CG}}\;$ du C.D.I. $\;G\;$ du quart de disque $\;{\mathcal {D}}\;$ considéré comme une association de surfaces élémentaires semi-intégrées, modélisées par Le vecteur position $\;\color {transparent}{\overrightarrow {CG}}\;$ du C.D.I. $\;\color {transparent}{G}\;$ du quart de disque $\;\color {transparent}{\mathcal {D}}\;$ considéré comme une association des quarts de cercle de rayon $\;\rho \;$ variable et de masse linéique $\;\sigma _{0}\;d\rho \;$, Le vecteur position $\;\color {transparent}{\overrightarrow {CG}}\;$ du C.D.I. $\;\color {transparent}{G}\;$ du quart de disque $\;\color {transparent}{\mathcal {D}}\;$ peut s'obtenir en remplaçant le quart de cercle générique de rayon $\;\rho \;$ par son barycentre partiel $\;G_{\rho }\;$ affecté de sa masse «$\;\sigma _{0}\;d\rho \;{\dfrac {\pi \;\rho }{2}}\;$», Le vecteur position $\;\color {transparent}{\overrightarrow {CG}}\;$ du C.D.I. $\;\color {transparent}{G}\;$ du quart de disque $\;\color {transparent}{\mathcal {D}}\;$ peut s'obtenir en remplaçant le quart de cercle générique de rayon $\;\color {transparent}{\rho }\;$ le vecteur position de $\;G_{\rho }\;$ étant égal à «$\;{\overrightarrow {CG_{\rho }}}={\dfrac {2\;\rho \;{\sqrt {2}}}{\pi }}\;{\vec {u}}_{x}\;$», le vecteur position $\;{\overrightarrow {CG}}\;$ du C.D.I. $\;G\;$ du quart de disque $\;{\mathcal {D}}\;$ peut s'obtenir par «$\;{\overrightarrow {CG}}={\dfrac {\displaystyle \int _{0}^{R}{\overrightarrow {CG_{\rho }}}(\rho )\;\sigma _{0}\;d\rho \;{\dfrac {\pi \;\rho }{2}}}{\displaystyle \int _{0}^{R}\sigma _{0}\;d\rho \;{\dfrac {\pi \;\rho }{2}}}}={\dfrac {\displaystyle \int _{0}^{R}{\dfrac {2\;\rho \;{\sqrt {2}}}{\pi }}\;d\rho \;{\dfrac {\pi \;\rho }{2}}}{\displaystyle \int _{0}^{R}d\rho \;{\dfrac {\pi \;\rho }{2}}}}\;{\vec {u}}_{x}={\dfrac {\displaystyle \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,{\sqrt {2}}\;d\rho }{\displaystyle \int _{0}^{R}{\dfrac {\pi \;\rho }{2}}\;d\rho }}\;{\vec {u}}_{x}\;$» ;
le calcul de l'intégrale nous conduit à «$\;{\overrightarrow {CG}}={\dfrac {\left[{\dfrac {\rho ^{3}}{3}}\,{\sqrt {2}}\right]_{0}^{R}}{\left[{\dfrac {\pi \;\rho ^{2}}{4}}\right]_{0}^{R}}}\;{\vec {u}}_{x}={\dfrac {R^{3}}{3}}\,{\sqrt {2}}\;{\dfrac {4}{\pi \;R^{2}}}\;{\vec {u}}_{x}={\dfrac {4\;R\;{\sqrt {2}}}{3\;\pi }}\;{\vec {u}}_{x}\;$», identique au résultat précédemment trouvé.