# Dualité/Exercices/Propriétés
## Exercice 1

Sur l'espace vectoriel E des suites réelles convergentes, soit $\left(\varphi _{i}\right)_{i\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}}$ la famille de formes linéaires définie par $\varphi _{n}(x)=x_{n}$ si $n\in \mathbb {N}$ et $\varphi _{\infty }=\lim$.
* Vérifier que cette famille est libre.
* Donner un exemple de famille $\left(\lambda _{i}\right)_{i\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}}$ de réels telle qu'il n'existe aucune suite $x\in E$ vérifiant $\forall i\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}\quad \varphi _{i}(x)=\lambda _{i}$.
* La sous-famille $\left(\varphi _{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }$ est libre d'après la remarque préliminaire de ce chapitre, puisque $\forall i,j\in \mathbb {N} \quad \varphi _{i}\left(\delta _{j,\cdot }\right)=\delta _{i,j}$. Elle n'engendre pas $\varphi _{\infty }$ car la donnée d'un nombre fini de termes d'une suite convergente ne détermine pas sa limite.
* $\lambda _{i}:=\delta _{\infty ,i}$ convient, puisque la suite réelle nulle n'a pas pour limite $1$.

## Exercice 2

* Montrer (par récurrence sur $n$) que si $\left(\varphi _{1},\dots ,\varphi _{n}\right)$ est une famille libre finie de formes (linéaires) sur un K-espace vectoriel E, il existe des vecteurs $x_{1},\dots ,x_{n}$ tels que $\forall i,j\leq n\quad \varphi _{i}\left(x_{j}\right)=\delta _{i,j}$ (autrement dit : l'application linéaire $\left(\varphi _{1},\dots ,\varphi _{n}\right):E\to K^{n}$ est surjective).
* Retrouver ainsi (cf. Application linéaire/Exercices/Rang#Exercice 3-2) qu'une forme est combinaison linéaire d'un ensemble fini de formes données si (et seulement si) son noyau contient l'intersection des leurs.
* Pour $n=0$, il n'y a rien à faire. Supposons donc, pour un certain $n>0$, $\left(x_{1},\dots ,x_{n-1}\right)$ déjà construite (et vérifiant les équations jusqu'à $n-1$) et construisons une nouvelle famille $\left(x'_{1},\dots ,x'_{n}\right)$ vérifiant les équations jusqu'à $n$. Puisque la forme $\psi :=\varphi _{n}-\sum _{i<n}\varphi _{n}\left(x_{i}\right)\varphi _{i}$ est non nulle, il existe un vecteur $y$ tel que $\psi (y)=1$. Les vecteurs $x'_{n}:=y-\sum _{i<n}\varphi _{i}\left(y\right)x_{i}$ et $\forall i<n\quad x'_{i}:=x_{i}-\varphi _{n}(x_{i})x'_{n}$ vérifient alors les équations voulues.
* Soient $\varphi _{1},\dots ,\varphi _{n}\in E^{*}$ telles que $\cap _{i<n}\ker \varphi _{i}\subset \ker \varphi _{n}$, montrons que $\varphi _{n}$ est combinaison linéaire de la famille $\left(\varphi _{1},\dots ,\varphi _{n-1}\right)$. Quitte à ôter de cette famille chaque forme qui est combinaison linéaire des précédentes (ce qui ne modifie pas l'intersection des noyaux), on peut la supposer libre. D'après la question 1, si $\varphi _{n}$ n'était pas combinaison linéaire de cette famille libre, il existerait $x\in E$ tel que $\forall i\leq n\quad \varphi _{i}\left(x\right)=\delta _{i,n}$, ce qui contredirait l'hypothèse $\cap _{i<n}\ker \varphi _{i}\subset \ker \varphi _{n}$.
Référence : Helmut H. Schaefer, Topological Vector Spaces, coll. « GTM » (n$^o$ 3), 1999, 2e éd. (1re éd. 1966) [lire en ligne], p. 124 .
Voir aussi :
* Dany-Jack Mercier, Cours de géométrie: préparation au CAPES et à l'agrégation, Publibook, 2005 [lire en ligne], p. 54 , th. 25 ;
* Claude Chevalley, Fundamental Concepts of Algebra, Academic Press, 1957 [lire en ligne], p. 109 , th. 60.
Soient $E,F$ deux espaces vectoriels. Soit $L:E\to F$ une application linéaire. Son application linéaire transposée est notée $L^{t}$ ($L^{t}:F^{*}\to E^{*},\varphi \mapsto \varphi \circ L$). Pour tout s.e.v. $G$ de $E$ on note $G^{\bot }$ le s.e.v. de $E^{*}$ constitué des formes linéaires qui s'annulent sur $G$ (de même, pour tout s.e.v. $H$ de $F$, on note $H^{\bot }$…).
* Démontrer que $\ker(L^{t})=(\operatorname {im} L)^{\bot }$.
* En déduire que $L^{t}$ est injective si et seulement si $L$ est surjective.
* Démontrer que $\operatorname {im} (L^{t})=(\ker L)^{\bot }$.
* En déduire que $L^{t}$ est surjective si et seulement si $L$ est injective.
* On suppose désormais $F=\mathbb {R} ^{m}$, et l'on note $L_{i}$ les composantes de $L$. Déduire de 2) que $L$ est surjective si et seulement si $(L_{1},\dots ,L_{m})$ est libre. Déduire de 4) que $L$ est injective si et seulement si $(L_{1},\dots ,L_{m})$ engendre $E^{*}$.
* Soit $\varphi \in F^{*}$. On a $\varphi \in \ker(L^{t})\Leftrightarrow \varphi \circ L=0\Leftrightarrow \varphi$ s'annule sur $\operatorname {im} L\Leftrightarrow \varphi \in (\operatorname {im} L)^{\bot }$.
* D'après 1), $L^{t}$ est injective si et seulement si $(\operatorname {im} L)^{\bot }=\{0\}$, c'est-à-dire si et seulement si la seule forme linéaire sur $F$ qui s'annule sur le s.e.v. $\operatorname {im} L$ est la forme nulle, c'est-à-dire ce qui équivaut à $\operatorname {im} L=F$ (l'implication dans un sens est claire, et pour la réciproque il suffit, si $\operatorname {im} L\neq F$, de choisir un hyperplan contenant $\operatorname {im} L$ et une forme dont le noyau est cet hyperplan).
* Soit $\psi \in E^{*}$. On a $\psi \in \operatorname {im} (L^{t})$ si et seulement si $\psi$ est de la forme $\varphi \circ L$ pour un certain $\varphi \in F^{*}$. Ceci implique évidemment que $\psi$ est nulle sur $\ker L$ (autrement dit, que $\psi \in (\ker L)^{\bot }$), mais réciproquement, si $\ker L\subset \ker \psi$ alors $\psi$ est de la forme $\varphi \circ L$ pour un certain $\varphi \in F^{*}$ : pour construire un tel $\varphi$ il suffit de noter $\alpha$ la forme linéaire sur $\operatorname {im} L$ définie par $\alpha (L(x))=\psi (x)$ (cette définition est non ambigue car si $L(x)=L(y)$ alors $x-y\in \ker L\subset \ker \psi$), de choisir arbitrairement un supplémentaire $V$ de $\operatorname {im} L$ dans $F$ et une forme linéaire $\beta$ sur ce $V$ (par exemple $\beta =0$), et de poser $\varphi (u+v)=\alpha (u)+\beta (v)$ pour $u\in \operatorname {im} L$ et $v\in V$.
* D'après 3), $L^{t}$ est surjective si et seulement si $(\ker L)^{\bot }=E^{*}$, c'est-à-dire si et seulement si toute forme linéaire sur $E$ s'annule sur le s.e.v. $\ker L$, c'est-à-dire si et seulement si $\ker L=\{0\}$.
* Notons $p_{1},\dots ,p_{m}:F\to \mathbb {R}$ les $m$ projections canoniques (qui forment une base de $F^{*}$), alors $L_{i}=L^{t}(p_{i})$ donc les $L_{i}$ forment un système libre si et seulement si $L^{t}$ est injective, c'est-à-dire d'après 2) si et seulement si $L$ est surjective. De même les $L_{i}$ forment un système générateur (de $E^{*}$) si et seulement si $L^{t}$ est surjective, c'est-à-dire d'après d) si et seulement si $L$ est injective.

## Exercice 3

1. Montrer que les trois vecteurs $e_{1}=(1,2,4)$, $e_{2}=(0,1,1)$ et $e_{3}=(1,1,1)$ forment une base de $\mathbb {R} ^{3}$ et trouver la base duale.
Il suffit de trouver trois formes linéaires $\varphi _{1}$, $\varphi _{2}$ et $\varphi _{3}$ telles que $\varphi _{i}(e_{j})=\delta _{i,j}$ : cela prouvera que les trois vecteurs sont linéairement indépendants donc forment une base de $\mathbb {R} ^{3}$, et cela fournira en même temps la base duale.
[$\varphi _{1}(x,y,z)=ax+by+cz$ avec $a,b,c$ tels que $a+2b+4c=1$, $b+c=0$ et $a+b+c=0$] équivaut à : [$a=0$, $b=-{\frac {1}{2}}$ et $c={\frac {1}{2}}$], soit $\varphi _{1}(x,y,z)={\frac {z-y}{2}}$.
Par la même méthode, on trouve $\varphi _{2}(x,y,z)=-{\frac {-2x+3y-z}{2}}$ et $\varphi _{3}(x,y,z)={\frac {2x+y-z}{2}}$.
2. Soient $E$ un $\mathbb {R}$-espace vectoriel de dimension 3 et $(e_{1},e_{2},e_{3})$ une base de $E$ et $(e_{1}^{\ast },e_{2}^{\ast },e_{3}^{\ast })$ la base duale de $E^{*}$. Soient
    $\varphi _{1}=2e_{1}^{*}+e_{2}^{*}+e_{3}^{*},\quad \varphi _{2}=-e_{1}^{*}+2e_{3}^{*},\quad \varphi _{3}=e_{1}^{*}+3e_{2}^{*}$.
Montrer que $\left(\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3}\right)$ est une base de $E^{*}$ et déterminer sa base préduale, c'est-à-dire la base $\left(f_{1},f_{2},f_{3}\right)$ de $E$ dont elle est la base duale.
Par le même raisonnement que dans la première partie de l'exercice, il suffit — puisque $\dim(E^{*})=3$ — de construire trois vecteurs $f_{1},f_{2},f_{3}\in E$ tels que $\varphi _{i}(f_{j})=\delta _{i,j}$.
[$f_{1}=ae_{1}+be_{2}+ce_{3}$ avec $a,b,c$ tels que $2a+b+c=1$, $-a+2c=0$ et $a+3b=0$] équivaut à : [$a={\frac {6}{13}}$, $b=-{\frac {2}{13}}$ et $c={\frac {3}{13}}$], soit $f_{1}={\frac {6e_{1}-2e_{2}+3e_{3}}{13}}$.
Par la même méthode, on trouve $f_{2}={\frac {-3e_{1}+e_{2}+5e_{3}}{13}}$ et $f_{3}={\frac {-2e_{1}+5e_{2}-e_{3}}{13}}$.
3. Sur $E=\mathbb {R} _{3}[X]$, on considère les cinq formes linéaires $\varphi _{1}$, $\varphi _{2}$, $\varphi _{3}$, $\varphi _{4}$ et $\psi$ définies par :
    $\varphi _{1}(P)=P(0),\quad \varphi _{2}(P)=P'(0),\quad \varphi _{3}(P)=P(1),\quad \varphi _{4}(P)=P'(1),\quad \psi (P)=\int _{0}^{1}P$ (pour tout $P\in E$).
* Montrer que $\left(\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3},\varphi _{4}\right)$ est une base de $E^{*}$ et déterminer sa base préduale $\left(H_{1},H_{2},H_{3},H_{4}\right)$.
* Déterminer les coordonnées de $\psi$ dans la base $\left(\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3},\varphi _{4}\right)$.
* Même raisonnement que ci-dessus. [$H_{1}=aX^{3}+bX^{2}+cX+d$ avec $a,b,c,d$ tels que $d=1$, $c=0$, $a+b+c+d=0$ et $3a+2b+c=0$] équivaut à : [$a=2$, $b=-3$, $c=0$ et $d=1$], soit $H_{1}=2X^{3}-3X^{2}+1$. Par la même méthode, on trouve $H_{2}=X^{3}-2X^{2}+X$, $H_{3}=-2X^{3}+3X^{2}$ et $H_{4}=X^{3}-X^{2}$.
* Soit $\left(x,y,z,t\right)\in \mathbb {R} ^{4}$ tel que $\psi =x\varphi _{1}+y\varphi _{2}+z\varphi _{3}+t\varphi _{4}$ Alors, $x=\psi (H_{1})={\frac {1}{2}},\quad y=\psi (H_{2})={\frac {1}{12}},\quad z=\psi (H_{3})={\frac {1}{2}},\quad t=\psi (H_{4})=-{\frac {1}{12}}$.

## Exercice 4

Soient $E=\mathbb {R} _{n}[X]$ et pour tout $k\in \{0,\dots ,n\}$ et $P\in E$, $T_{k}(P)={\frac {P^{(k)}(0)}{k!}}$.
* Justifier que pour tout $k\in \{0,\dots ,n\}$, $T_{k}$ est une forme linéaire sur $E$.
* Montrer que la famille $(T_{0},\dots ,T_{n})$ est la base duale de la base canonique de $E$.
* L'application $P\mapsto P'$ est linéaire donc par composition, $P\mapsto P^{(k)}$ aussi. De plus, l'évaluation en $0$ et la division par une constante ($k!$) sont linéaires donc (à nouveau par composition) $T_{k}$ est linéaire. Puisqu'elle va de $E$ dans $\mathbb {R}$, c'est donc une forme linéaire sur $E$.
* Si $k<i$, $(X^{i})^{(k)}={\frac {i!}{(i-k)!}}X^{i-k}$ s'annule en $0$. Si $k>i$, $(X^{i})^{(k)}$ est le polynôme nul. Donc si $k\neq i$, $T_{k}(X^{i})=0$. Quant à $T_{i}(X^{i})$, il vaut bien $1$ car $(X^{i})^{(i)}$ est le polynôme constant $i!$.
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