# Théorie physique des distributions/Équations de convolution

Nous avons vu que l'espace des distributions est muni des lois internes d'addition et de produit de convolution. Nous sommes donc naturellement amené, dans ce chapitre, à nous proposer de résoudre des équations utilisant ces lois internes et notamment le produit de convolution. Nous étudierons en particulier l'équation simple A⋆X = Y d'inconnue X connue sous le nom d'équation de convolution. La résolution de cette équation intervient dans de nombreux problèmes de physique dont nous donnerons quelques exemples.

## Algèbre de convolution

Nous avons dit dans un chapitre précédent que le produit de convolution n'était pas associatif dans D$^′${\textstyle {\mathcal {D}}'}. Nous pouvons toutefois, dans ce chapitre, rassurer le lecteur en lui apprenant que si les distributions se trouvent dans certains sous-espaces de D$^′${\textstyle {\mathcal {D}}'}, alors le produit de convolution devient associatif.
On considère généralement trois cas de figure qui sont les suivants :
* Toutes les distributions, sauf une au plus, sont dans E$^′${\textstyle {\mathcal {E}}'}
* Toutes les distributions sont dans D$_−$$^′${\textstyle {\mathcal {D}}_{-}'}
* Toutes les distributions sont dans D+$^′${\textstyle {\mathcal {D}}_{+}'}
Compte-tenu du fait que nous visons les applications physiques et que, par conséquent, nous pouvons considérer qu'un phénomène physique commence à un instant donné que l’on peut considérer comme étant l'origine des temps, on peut considérer que la plupart des distributions qui nous intéresseront serons dans D+$^′${\textstyle {\mathcal {D}}_{+}'}. L'espace D+$^′${\textstyle {\mathcal {D}}_{+}'} s’appelle « Espace des distributions causales ».
Nous pouvons alors vérifiée que D+$^′${\textstyle {\mathcal {D}}_{+}'} est une algèbre. Comme l'opération multiplicative est le produit de convolution, nous dirons que D+$^′${\textstyle {\mathcal {D}}_{+}'} est une algèbre de convolution.
Nous considérerons, dans la suite de ce chapitre, que toutes les distributions envisagées sont dans D+$^′${\textstyle {\mathcal {D}}_{+}'} ( ou dans S+$^′${\textstyle {\mathcal {S}}_{+}'} qui est l'un de ses sous-espaces).

## Définition de l'équation de convolution

Nous commencerons par donner la définition suivante :
On appelle équation de convolution l'équation :
$A\star X=Y$
* A est la distribution caractéristique du système physique.
* Y est généralement la distribution représentant la sollicitation du système physique.
* X est la distribution représentant le réponse du système physique.
Résoudre cette équation revient à déterminer la distribution X connaissant A et Y
Pour clarifier le problème, donnons un exemple simple.
Soit le circuit :
À l'instant t = 0, on ferme l'interrupteur et l’on souhaite connaître l'évolution du courant I dans le circuit.
Si l’on considère l'équation :
$A\star X=Y$
compte tenu de la définition, nous pouvons déjà dire que Y sera la distribution f.H(x) et X sera une distribution régulière représentant l'évolution du courant I dans le circuit. Il nous reste à déterminer la distribution A.
Pour cela, nous allons établir l'équation différentielle caractéristique du circuit.
La tension u au borne de la bobine est :
$u=L{\frac {dI}{dt}}$
Nous avons donc :
$f.H(t)=RI+L{\frac {dI}{dt}}$
Qui est l'équation différentielle régissant le circuit.
Traduisons cette équation sous forme de distribution. En tenant compte qu'une dérivée d'une distribution se traduit par la multiplication par δ', on obtient :
$f.H=R\delta \star I+L\delta '\star I$
qui se factorise ainsi :
$(R\star \delta +L\delta ')\star I=f.H$
En identifiant avec l'équation :
$A\star X=Y$
On a bien, comme supposé :
$Y=f.H$
$X=I$
Mais on a obtenu en plus :
$A=R\star \delta +L\delta '$
A étant la distribution caractéristique du circuit.

## Résolution de l'équation de convolution

Si nous nous référons à nos connaissance antérieure, nous savons qu'une équation du premier degré :
$ax=b$
a pour solution :
$x={\frac {b}{a}}=b.a^{-1}$
avec :
$a^{-1}\times a=1$
Par analogie, on peut alors s'attendre à ce que la solution de l'équation :
$A\star X=Y$
soit :
$X=Y\star A^{-1}$
avec :
$A^{-1}\star A=\delta$
(car, de même que 1 est l'élément neutre de la multiplication des réel, δ est l'élément neutre de la convolution des distributions)
En fait, il semblerait que la première chose à faire soit de déterminer la distribution A$^{-1}$ vérifiant :
$A^{-1}\star A=\delta$
A$^{-1}$ est appelé « inverse de convolution », mais on la qualifie aussi de « solution élémentaire » ou, dans le cadre des circuits électriques de « réponse impulsionnelle ».
Nous savons que nous avons déclenché le chronomètre au moment où l’on a fermé interrupteur. Par conséquent le bon sens nous invite à penser qu'avant l'instant t = 0, la fonction représentant l'intensité dans le circuit était nulle et, par conséquent, la distribution inconnue X appartient à S+$^′${\textstyle {\mathcal {S}}_{+}'}. Nous voyons aussi que Y et A sont des distributions de S+$^′${\textstyle {\mathcal {S}}_{+}'} puisque leur support est inclu dans [0;+∞[
Ces remarques nous autorisent à utiliser la transformée de Laplace des distributions X,A,Y. Par conséquent, en prenant la transformée de Laplace des deux membres de l'équation :
$A^{-1}\star A=\delta$
nous obtenons :
${\mathcal {L}}.(A^{-1}\star A)={\mathcal {L}}.\delta$
Qui s'écrit :
${\mathcal {L}}.A^{-1}\times {\mathcal {L}}.A=1$
Et là, on peut écrire :
${\mathcal {L}}.A^{-1}={\frac {1}{{\mathcal {L}}.A}}$
Nous pouvons donc déterminer A$^{-1}$ en utilisant une table des transformées de Laplace suffisamment complète.
Une fois que A$^{-1}$ est déterminée, nous pouvons facilement résoudre l'équation :
$A\star X=Y$
en convolant les deux membres par A$^{-1}$, on obtient :
$A^{-1}\star A\star X=Y\star A^{-1}$
L'associativité du produit de convolution dans D+$^′${\textstyle {\mathcal {D}}_{+}'} nous donne finalement :
$X=Y\star A^{-1}$
À titre d'exemple, nous allons finir de résoudre notre problème du paragraphe précédant :
Nous étions arrivée à une équation de convolution :
$A\star X=Y$
Avec :
$Y=f.H$
$X=I$
$A=R\star \delta +L\delta '$
Déterminons A$^{-1}$, on a :
${\mathcal {L}}.A^{-1}={\frac {1}{{\mathcal {L}}.A}}={\frac {1}{{\mathcal {L}}.(R\star \delta +L\delta ')}}={\frac {1}{R+L.p}}$
Nous pouvons ici déterminer A$^{-1}$ à l'aide d'une table, mais ce n’est pas nécessaire car c’est X que nous voulons et comme X vérifie :
$X=Y\star A^{-1}$
On en déduit :
${\mathcal {L}}.X={\mathcal {L}}.Y\times {\mathcal {L}}.A^{-1}={\frac {f}{p}}\times {\frac {1}{R+L.p}}={\frac {f}{p(R+L.p)}}={\frac {f}{Rp}}-{\frac {f.L}{R(R+Lp)}}={\frac {f}{R}}\left({\frac {1}{p}}-{\frac {1}{p+{\frac {R}{L}}}}\right)$
À l'aide d'une table des transformées de Laplace usuelles, nous voyons que l’on a :
$X={\frac {f}{R}}\left(H-H.e^{-{\frac {R}{L}}t}\right)$
Soit, en revenant aux fonctions :
$I(t)=H(t){\frac {f}{R}}\left(1-e^{-{\frac {R.t}{L}}}\right)$
* La méthode que l’on vient d’utiliser pour résoudre une équation de convolution s’appelle « méthode de Green ». Son inconvénient principal est qu'elle ne permet pas d'obtenir toutes les solutions de l'équation de convolution, mais seulement celles qui appartiennent à D+$^′${\textstyle {\mathcal {D}}_{+}'}.
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