# Mécanique 1 (PCSI)/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable
## Définition d'un oscillateur « non linéaire » au voisinage d'un équilibre stable

La définition d'un oscillateur « non linéaire » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I. mais sa tentative de linéarisation y est clairement indiquée et il semble difficile de chercher à linéariser un oscillateur « non linéaire » sans définir ce dernier correctement ;
dans tout ce paragraphe on note $\;x\;$ le paramètre de position même si celui-ci est angulaire.

### 1ère définition d'un oscillateur « non linéaire » au voisinage d'un équilibre stable

Un point $\;M\;$ est un oscillateur « non linéaire » à une dimension au voisinage d'un équilibre stable Un point $\;\color {transparent}{M}\;$ est un oscillateur « non linéaire » si sa position, repérée par le paramètre de position $\;x$, Un point $\;\color {transparent}{M}\;$ est un oscillateur « non linéaire » si sa position, est solution d'une équation différentielle du 2ème ordre non linéaire du type Un point $\;\color {transparent}{M}\;$ est un oscillateur « non linéaire » si sa position, est solution d'une «$\;{\ddot {x}}(t)+\alpha \;{\dot {x}}(t)+f\!\left[x(t)\right]=0\;$» avec Un point $\;\color {transparent}{M}\;$ est un oscillateur « non linéaire » si sa position, est solution d'une $\blacktriangleright \;$«$\;\alpha \in \mathbb {R} ^{+}\;$» et Un point $\;\color {transparent}{M}\;$ est un oscillateur « non linéaire » si sa position, est solution d'une $\blacktriangleright \;$«$\;f(x)\;$ une fonction réelle de $\;x$, non linéaire, s'annulant pour $\;x_{\text{éq}}\;$ paramètre de position repérant l'équilibre, et de forme telle que cet équilibre soit stable » ; Un point $\;\color {transparent}{M}\;$ est un oscillateur « non linéaire » si sa position, est solution d'une si $\;\alpha =0\;$ l'oscillateur est dit « non amorti ».

### 2ème définition d'un oscillateur « non linéaire » au voisinage d'un équilibre stable

Un point $\;M\;$ est un oscillateur « non linéaire » à une dimension au voisinage d'un équilibre stable Un point $\;\color {transparent}{M}\;$ est un oscillateur « non linéaire » si son diagramme d'énergie potentielle relativement au paramètre de position $\;x\;$ Un point $\;\color {transparent}{M}\;$ est un oscillateur « non linéaire » si son diagramme d'énergie potentielle est un puits non parabolique, présentant un minimum en $\;x_{\text{éq}}\;$ paramètre de position repérant l'équilibre stable$^,$, Un point $\;\color {transparent}{M}\;$ est un oscillateur « non linéaire » $M\;$ étant éventuellement soumis à une force de frottement fluide linéaire ; Un point $\;\color {transparent}{M}\;$ est un oscillateur « non linéaire » en absence de force de frottement fluide linéaire, l'oscillateur est dit « non amorti » et Un point $\;\color {transparent}{M}\;$ est un oscillateur « non linéaire » en absence de force de frottement fluide linéaire, $M\;$ est à mouvement conservatif.

## Cas d'un équilibre stable tel que le D.L. de la force « motrice » à l'ordre le plus bas non nul soit linéaire (et de rappel), approximation harmonique de l'oscillateur non linéaire
### Point matériel à un degré de liberté soumis à une résultante de force « motrice » (hors frottement fluide) non linéaire « unidirectionnelle selon l'axe x'x » (ou « s'appliquant tangentiellement sur la trajectoire circulaire de rayon R décrite par le point subissant la force ») dont le mouvement est étudié au voisinage d'un équilibre stable, oscillateur non linéaire au voisinage de cet équilibre

Considérons un point matériel $\;M$, de masse $\;m$, soumis à une résultante de force « motrice » $\;{\big$hors frottement fluide${\big )}\;$ non linéaire telle que
* le mouvement du point $\;M\;$ soit unidirectionnel selon l'axe $\;{\overrightarrow {x'x}}\;$ correspondant à une résultante de force « motrice » $\;{\big$hors frottement fluide${\big )}$ $\;{\vec {F}}(M)=F(x)\;{\vec {u}}_{x}$ $\;{\bigF(x)\;$ étant non linéaire${\big ]}\;$ ou
* la trajectoire du point $\;M\;$ soit circulaire, de centre $\;O\;$ $\;{\big$pôle du repérage polaire${\big )}\;$ et de rayon $\;R$, correspondant à une résultante de force « motrice » $\;{\big$hors frottement fluide\;${\big )}$ tangentielle $\;{\vec {F}}(M)$ $=F(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }$ $\;{\bigF(\theta )\;$ étant non linéaire${\big ]}\;$ et
Considérons une position d'équilibre stable $\;M_{\text{éq. st.}}\;$ d'abscisse $\blacktriangleright \;$linéaire $\;x_{\text{éq. st.}}\;$ si le mouvement du point matériel $\;M\;$ est unidirectionnel selon l'axe $\;{\overrightarrow {x'x}}\;$ ou Considérons une position d'équilibre stable $\;\color {transparent}{M_{\text{éq. st.}}}\;$ d'abscisse $\blacktriangleright \;$angulaire $\;\theta _{\text{éq. st.}}\;$ si le mouvement du point matériel $\;M\;$ est circulaire de centre $\;O\;$ et de rayon $\;R$,
on se propose d'établir l'équation différentielle du 2ème ordre en $\;x(t)$ $\;{\big$ou en $\;\theta (t){\big ]}\;$ pour vérifier que le point matériel $\;M\;$ satisfait bien à la 1ère définition d'un oscillateur « non linéaire » et on se propose d'établir l'expression de $\;f\!\left[x(t)\right]$ $\;{\big \$ou en $\;f\!\left[\theta (t)\right]{\big \}$.
Pour cela on applique la r.f.d.n. au point matériel $\;M$, dont les forces suivant la direction du mouvement sont $\blacktriangleright \;$la résultante de force « motrice » $\;{\big$hors frottement fluide${\big )}$ $\;{\vec {F}}(M)\;$ et éventuellement Pour cela on applique la r.f.d.n. au point matériel $\;\color {transparent}{M}$, dont les forces suivant la direction du mouvement sont $\blacktriangleright \;$la résistance à l'avancement de $\;M\;$ dans le fluide supposée linéaire Pour cela on applique la r.f.d.n. au point matériel $\;\color {transparent}{M}$, dont les forces suivant la direction du mouvement sont $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$la résistance à l'avancement ${\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(M)=-h\;{\vec {V}}_{M}\;$ avec $\;h>0\;$ et
Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c.-à-d. $\blacktriangleright \;$sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ dans le cas où $\;M\;$ est de mouvement unidirectionnel selon l'axe $\;{\overrightarrow {x'x}}$, $\Rightarrow$ $\;F\!\left[x(t)\right]-h\;{\dot {x}}(t)=m\;{\ddot {x}}(t)\;$ ou, Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c.-à-d. $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{x}}\;$ dans le cas où $\;\color {transparent}{M}\;$ est de mouvement unidirectionnel en normalisant «$\;{\ddot {x}}(t)+{\dfrac {h}{m}}\;{\dot {x}}(t)-{\dfrac {F\!\left[x(t)\right]}{m}}=0\;$», Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c.-à-d. $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{x}}\;$ dans le cas où $\;\color {transparent}{M}\;$ est de mouvement unidirectionnel s'identifiant à «$\;{\ddot {x}}(t)+\alpha \;{\dot {x}}(t)+f\!\left[x(t)\right]=0\;$» avec Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c.-à-d. $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{x}}\;$ dans le cas où $\;\color {transparent}{M}\;$ est de mouvement unidirectionnel s'identifiant à «$\;\alpha ={\dfrac {h}{m}}\in \mathbb {R} ^{+}\;$» et Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c.-à-d. $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{x}}\;$ dans le cas où $\;\color {transparent}{M}\;$ est de mouvement unidirectionnel s'identifiant à «$\;f(x)=-{\dfrac {F(x)}{m}}\;$» fonction vérifiant bien Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c.-à-d. $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{x}}\;$ dans le cas où $\;\color {transparent}{M}\;$ est de mouvement unidirectionnel les propriétés nécessaires à un oscillateur « non linéaire » Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c.-à-d. $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{x}}\;$ dans le cas où $\;\color {transparent}{M}\;$ est de mouvement unidirectionnel les propriétés nécessaires au voisinage de $\;x_{\text{éq. st.}}\;$ en effet Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c.-à-d. $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{x}}\;$ dans le cas où $\;\color {transparent}{M}\;$ est de mouvement unidirectionnel $\succ \;$$F(x_{\text{éq. st.}})=0\;$ $\Rightarrow$ $\;f(x_{\text{éq. st.}})=-{\dfrac {F(x_{\text{éq. st.}})}{m}}=0\;$ et Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c.-à-d. $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{x}}\;$ dans le cas où $\;\color {transparent}{M}\;$ est de mouvement unidirectionnel $\succ \;$le D.L. de $\;F(x)\;$ au voisinage de $\;x_{\text{éq. st.}}\;$ est, Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c.-à-d. $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{x}}\;$ dans le cas où $\;\color {transparent}{M}\;$ est de mouvement unidirectionnel $\color {transparent}{\succ }\;$le D.L. de $\;\color {transparent}{F(x)}\;$ à l'ordre le plus bas non nul : Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c.-à-d. $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{x}}\;$ dans le cas où $\;\color {transparent}{M}\;$ est de mouvement unidirectionnel $\color {transparent}{\succ }\;$$\bullet \;$si $\;F'(x_{\text{éq. st.}})\neq 0$, l'ordre le plus bas non nul est un et Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c.-à-d. $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{x}}\;$ dans le cas où $\;\color {transparent}{M}\;$ est de mouvement unidirectionnel $\color {transparent}{\succ }\;$$\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;F(x)\simeq F'(x_{\text{éq. st.}})\,\left(x-x_{\text{éq. st.}}\right)\;$» avec Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c.-à-d. $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{x}}\;$ dans le cas où $\;\color {transparent}{M}\;$ est de mouvement unidirectionnel $\color {transparent}{\succ }\;$$\color {transparent}{\bullet }\;$la stabilité nécessitant $\;F'(x_{\text{éq. st.}})<0\;$ $\Rightarrow$ Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c.-à-d. $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{x}}\;$ dans le cas où $\;\color {transparent}{M}\;$ est de mouvement unidirectionnel $\color {transparent}{\succ }\;$$\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;f(x)=-{\dfrac {F(x)}{m}}\simeq -{\dfrac {F'(x_{\text{éq. st.}})}{m}}\,\left(x-x_{\text{éq. st.}}\right)\;$» Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c.-à-d. $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{x}}\;$ dans le cas où $\;\color {transparent}{M}\;$ est de mouvement unidirectionnel $\color {transparent}{\succ }\;$$\color {transparent}{\bullet }\;$avec «$\;f'(x_{\text{éq. st.}})=-{\dfrac {F'(x_{\text{éq. st.}})}{m}}>0\;$» ou Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c.-à-d. $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{x}}\;$ dans le cas où $\;\color {transparent}{M}\;$ est de mouvement unidirectionnel $\color {transparent}{\succ }\;$$\bullet \;$si $\;F'(x_{\text{éq. st.}})=0$, $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}F''(x_{\text{éq. st.}})=0\\F'''(x_{\text{éq. st.}})\neq 0\end{array}}\right\rbrace$, l'ordre Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c.-à-d. $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{x}}\;$ dans le cas où $\;\color {transparent}{M}\;$ est de mouvement unidirectionnel $\color {transparent}{\succ }\;$$\color {transparent}{\bullet }\;$si $\;\color {transparent}{F'(x_{\text{éq. st.}})=0}$, le plus bas non nul est trois, Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c.-à-d. $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{x}}\;$ dans le cas où $\;\color {transparent}{M}\;$ est de mouvement unidirectionnel $\color {transparent}{\succ }\;$$\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;F(x)\simeq {\dfrac {F'''(x_{\text{éq. st.}})}{6}}\,\left(x-x_{\text{éq. st.}}\right)^{\!3}\;$» avec Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c.-à-d. $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{x}}\;$ dans le cas où $\;\color {transparent}{M}\;$ est de mouvement unidirectionnel $\color {transparent}{\succ }\;$$\color {transparent}{\bullet }\;$la stabilité nécessitant $\;F'''(x_{\text{éq. st.}})<0\;$ $\Rightarrow$ Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c.-à-d. $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{x}}\;$ dans le cas où $\;\color {transparent}{M}\;$ est de mouvement unidirectionnel $\color {transparent}{\succ }\;$$\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;f(x)=-{\dfrac {F(x)}{m}}\simeq -{\dfrac {F'''(x_{\text{éq. st.}})}{6\;m}}\,\left(x-x_{\text{éq. st.}}\right)^{\!3}\;$» Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c.-à-d. $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{x}}\;$ dans le cas où $\;\color {transparent}{M}\;$ est de mouvement unidirectionnel $\color {transparent}{\succ }\;$$\color {transparent}{\bullet }\;$avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}f'(x_{\text{éq. st.}})=-{\dfrac {F'(x_{\text{éq. st.}})}{m}}=0\\f''(x_{\text{éq. st.}})=-{\dfrac {F''(x_{\text{éq. st.}})}{m}}=0\end{array}}\right\rbrace \;$ et Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c.-à-d. $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{x}}\;$ dans le cas où $\;\color {transparent}{M}\;$ est de mouvement unidirectionnel $\color {transparent}{\succ }\;$$\color {transparent}{\bullet }\;$avec «$\;f'''(x_{\text{éq. st.}})=-{\dfrac {F'''(x_{\text{éq. st.}})}{m}}>0\;$»,
Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou $\blacktriangleright \;$sur $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ dans le cas où $\;M\;$ est de mouvement circulaire de centre $\;O\;$ et de rayon $\;R$, $\Rightarrow$ $\;F\!\left[\theta (t)\right]-h\;R\;{\dot {\theta }}(t)=m\;R\;{\ddot {\theta }}(t)\;$ Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}\;$ dans le cas où $\;\color {transparent}{M}\;$ est de mouvement circulaire ou, en normalisant «$\;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {h}{m}}\;{\dot {\theta }}(t)-{\dfrac {F\!\left[\theta (t)\right]}{m\;R}}=0\;$», s'identifiant à Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}\;$ dans le cas où $\;\color {transparent}{M}\;$ est de mouvement circulaire ou, en normalisant «$\;{\ddot {\theta }}(t)+\alpha \;{\dot {\theta }}(t)+f\!\left[\theta (t)\right]=0\;$» avec Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}\;$ dans le cas où $\;\color {transparent}{M}\;$ est de mouvement circulaire ou, en normalisant «$\;\alpha ={\dfrac {h}{m}}\in \mathbb {R} ^{+}\;$» et «$\;f(\theta )=-{\dfrac {F(\theta )}{m\;R}}\;$» Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}\;$ dans le cas où $\;\color {transparent}{M}\;$ est de mouvement circulaire ou, en normalisant «$\;\color {transparent}{\alpha ={\dfrac {h}{m}}\in \mathbb {R} ^{+}}\;$» et fonction vérifiant bien Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}\;$ dans le cas où $\;\color {transparent}{M}\;$ est de mouvement circulaire les propriétés nécessaires à un oscillateur « non linéaire » Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}\;$ dans le cas où $\;\color {transparent}{M}\;$ est de mouvement circulaire les propriétés nécessaires au voisinage de $\;\theta _{\text{éq. st.}}\;$ en effet Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}\;$ dans le cas où $\;\color {transparent}{M}\;$ est de mouvement circulaire $\succ \;$$F(\theta _{\text{éq. st.}})=0\;$ $\Rightarrow$ $\;f(\theta _{\text{éq. st.}})=-{\dfrac {F(\theta _{\text{éq. st.}})}{m\;R}}=0\;$ et Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}\;$ dans le cas où $\;\color {transparent}{M}\;$ est de mouvement circulaire $\succ \;$le D.L. de $\;F(\theta )\;$ au voisinage de $\;\theta _{\text{éq. st.}}\;$ est, Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}\;$ dans le cas où $\;\color {transparent}{M}\;$ est de mouvement circulaire $\color {transparent}{\succ }\;$le D.L. de $\;\color {transparent}{F(\theta )}\;$ à l'ordre le plus bas non nul : Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}\;$ dans le cas où $\;\color {transparent}{M}\;$ est de mouvement circulaire $\color {transparent}{\succ }\;$$\bullet \;$si $\;F'(\theta _{\text{éq. st.}})\neq 0$, l'ordre le plus bas non nul est un et Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}\;$ dans le cas où $\;\color {transparent}{M}\;$ est de mouvement circulaire $\color {transparent}{\succ }\;$$\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;F(\theta )\simeq F'(\theta _{\text{éq. st.}})\,\left(\theta -\theta _{\text{éq. st.}}\right)\;$» avec Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}\;$ dans le cas où $\;\color {transparent}{M}\;$ est de mouvement circulaire $\color {transparent}{\succ }\;$$\color {transparent}{\bullet }\;$la stabilité nécessitant $\;F'(\theta _{\text{éq. st.}})<0\;$ $\Rightarrow$ Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}\;$ dans le cas où $\;\color {transparent}{M}\;$ est de mouvement circulaire $\color {transparent}{\succ }\;$$\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;f(\theta )=-{\dfrac {F(\theta )}{m\;R}}\simeq -{\dfrac {F'(\theta _{\text{éq. st.}})}{m\;R}}\,\left(\theta -\theta _{\text{éq. st.}}\right)\;$» Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}\;$ dans le cas où $\;\color {transparent}{M}\;$ est de mouvement circulaire $\color {transparent}{\succ }\;$$\color {transparent}{\bullet }\;$avec «$\;f'(\theta _{\text{éq. st.}})=-{\dfrac {F'(\theta _{\text{éq. st.}})}{m\;R}}>0\;$» ou Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}\;$ dans le cas où $\;\color {transparent}{M}\;$ est de mouvement circulaire $\color {transparent}{\succ }\;$$\bullet \;$si $\;F'(\theta _{\text{éq. st.}})=0$, $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}F''(\theta _{\text{éq. st.}})=0\\F'''(\theta _{\text{éq. st.}})\neq 0\end{array}}\right\rbrace$, l'ordre Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}\;$ dans le cas où $\;\color {transparent}{M}\;$ est de mouvement circulaire $\color {transparent}{\succ }\;$$\color {transparent}{\bullet }\;$si $\;\color {transparent}{F'(\theta _{\text{éq. st.}})=0}$, le plus bas non nul est trois, Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}\;$ dans le cas où $\;\color {transparent}{M}\;$ est de mouvement circulaire $\color {transparent}{\succ }\;$$\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;F(\theta )\simeq {\dfrac {F'''(\theta _{\text{éq. st.}})}{6}}\,\left(\theta -\theta _{\text{éq. st.}}\right)^{\!3}\;$» avec Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}\;$ dans le cas où $\;\color {transparent}{M}\;$ est de mouvement circulaire $\color {transparent}{\succ }\;$$\color {transparent}{\bullet }\;$la stabilité nécessitant $\;F'''(\theta _{\text{éq. st.}})<0\;$ $\Rightarrow$ Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}\;$ dans le cas où $\;\color {transparent}{M}\;$ est de mouvement circulaire $\color {transparent}{\succ }\;$$\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;f(\theta )=-{\dfrac {F(\theta )}{m\;R}}\simeq -{\dfrac {F'''(\theta _{\text{éq. st.}})}{6\;m\;R}}\,\left(\theta -\theta _{\text{éq. st.}}\right)^{\!3}\;$» Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou. $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}\;$ dans le cas où $\;\color {transparent}{M}\;$ est de mouvement circulaire $\color {transparent}{\succ }\;$$\color {transparent}{\bullet }\;$avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}f'(\theta _{\text{éq. st.}})=-{\dfrac {F'(\theta _{\text{éq. st.}})}{m\;R}}=0\\f''(\theta _{\text{éq. st.}})=-{\dfrac {F''(\theta _{\text{éq. st.}})}{m\;R}}=0\end{array}}\right\rbrace \;$ et Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }}\;$ dans le cas où $\;\color {transparent}{M}\;$ est de mouvement circulaire $\color {transparent}{\succ }\;$$\color {transparent}{\bullet }\;$avec «$\;f'''(\theta _{\text{éq. st.}})=-{\dfrac {F'''(\theta _{\text{éq. st.}})}{m\;R}}>0\;$».

### Cas d'une force « motrice » « unidirectionnelle selon l'axe x'x » dont le D.L. à l'ordre le plus bas non nul au voisinage de l'équilibre stable est linéaire

Nous sommes dans le cas «$\;F'(x_{\text{éq. st.}})<0\;$» c.-à-d. «$\;f'(x_{\text{éq. st.}})=-{\dfrac {F'(x_{\text{éq. st.}})}{m}}>0\;$», l'ordre le plus bas non nul du D.L. de la force « motrice » au voisinage de l'équilibre stable est « un » Nous sommes dans le cas «$\;\color {transparent}{F'(x_{\text{éq. st.}})<0}\;$» c.-à-d. «$\;\color {transparent}{f'(x_{\text{éq. st.}})=-F'(x_{\text{éq. st.}})>0}\;$», soit, en notant «$\;\varepsilon (t)=x(t)-x_{\text{éq. st.}}$» $\;{\big\!\Rightarrow$ $\;{\dot {\varepsilon }}(t)={\dot {x}}(t)\;$ et $\;{\ddot {\varepsilon }}(t)={\ddot {x}}(t){\big ]}$, le D.L. de Nous sommes dans le cas «$\;\color {transparent}{F'(x_{\text{éq. st.}})<0}\;$» c.-à-d. «$\;\color {transparent}{f'(x_{\text{éq. st.}})=-F'(x_{\text{éq. st.}})>0}\;$», $\blacktriangleright \;$la force « motrice » au voisinage de l'équilibre stable «$\;F(x)\simeq {\cancel {F(x_{\text{éq. st.}})\,+}}\;F'(x_{\text{éq. st.}})\;\varepsilon \;$» Nous sommes dans le cas «$\;\color {transparent}{F'(x_{\text{éq. st.}})<0}\;$» c.-à-d. «$\;\color {transparent}{f'(x_{\text{éq. st.}})=-F'(x_{\text{éq. st.}})>0}\;$», $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$la force « motrice » avec «$\;F'(x_{\text{éq. st.}})<0\;$» assurant le caractère force « de rappel » et Nous sommes dans le cas «$\;\color {transparent}{F'(x_{\text{éq. st.}})<0}\;$» c.-à-d. «$\;\color {transparent}{f'(x_{\text{éq. st.}})=-F'(x_{\text{éq. st.}})>0}\;$», $\blacktriangleright \;$la fonction $\;f(x)\;$ caractérisant l'oscillateur « non linéaire » dans «$\;{\ddot {x}}(t)+\alpha \;{\dot {x}}(t)+f\!\left[x(t)\right]=0\;$» au Nous sommes dans le cas «$\;\color {transparent}{F'(x_{\text{éq. st.}})<0}\;$» c.-à-d. «$\;\color {transparent}{f'(x_{\text{éq. st.}})=-F'(x_{\text{éq. st.}})>0}\;$», $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$voisinage de son équilibre stable «$\;f(x)\simeq {\cancel {f(x_{\text{éq. st.}})\,+}}\;f'(x_{\text{éq. st.}})\;\varepsilon \;$» avec $\;f'(x_{\text{éq. st.}})>0\;$ Nous sommes dans le cas «$\;\color {transparent}{F'(x_{\text{éq. st.}})<0}\;$» c.-à-d. «$\;\color {transparent}{f'(x_{\text{éq. st.}})=-F'(x_{\text{éq. st.}})>0}\;$», $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ou «$\;f(x)=-{\dfrac {F(x)}{m}}\simeq {\cancel {-{\dfrac {F(x_{\text{éq. st.}})}{m}}}}-{\dfrac {F'(x_{\text{éq. st.}})}{m}}\;\varepsilon \;$» où $\;f'(x_{\text{éq. st.}})=-{\dfrac {F'(x_{\text{éq. st.}})}{m}}>0$.
L'équation différentielle en $\;x(t)\;$ au voisinage de $\;x_{\text{éq. st.}}$ $\;{\big$plus précisément en $\;\varepsilon (t)\;$ au voisinage de $\;0{\big ]}\;$ est «$\;{\ddot {\varepsilon }}(t)+{\dfrac {h}{m}}\;{\dot {\varepsilon }}(t)+\left[-{\dfrac {F'(x_{\text{éq. st.}})}{m}}\right]\,\varepsilon (t)=0\;$»$^,$ avec $\;-{\dfrac {F'(x_{\text{éq. st.}})}{m}}>0$,
L'équation différentielle en $\;\color {transparent}{x(t)}\;$ au voisinage de $\;\color {transparent}{x_{\text{éq. st.}}}$ $\;\color {transparent}{\big$plus précisément en $\;\color {transparent}{\varepsilon (t)}\;$ au voisinage de $\;\color {transparent}{0{\big ]}}\;$ est le cœfficient $\;>0\;$ de $\;\varepsilon (t)\;$ caractérise un oscillateur harmonique amorti $\;{\big$ou non${\big )}\;$, L'équation différentielle en $\;\color {transparent}{x(t)}\;$ au voisinage de $\;\color {transparent}{x_{\text{éq. st.}}}$ $\;\color {transparent}{\big$plus précisément en $\;\color {transparent}{\varepsilon (t)}\;$ au voisinage de $\;\color {transparent}{0{\big ]}}\;$ est le D.L. à l'ordre un en $\;\varepsilon (t)\;$ définissant l'« approximation harmonique L'équation différentielle en $\;\color {transparent}{x(t)}\;$ au voisinage de $\;\color {transparent}{x_{\text{éq. st.}}}$ $\;\color {transparent}{\big$plus précisément en $\;\color {transparent}{\varepsilon (t)}\;$ au voisinage de $\;\color {transparent}{0{\big ]}}\;$ est le D.L. à l'ordre un en $\;\color {transparent}{\varepsilon (t)}\;$ définissant l'« de l'oscillateur non linéaire ».
Nous en déduisons la « pulsation propre des petites élongations $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {-F'(x_{\text{éq. st.}})}{m}}}\;$» ; Nous en déduisons en absence de frottement fluide l'oscillateur non amorti oscille sinusoïdalement avec une « période propre des petites élongations $\;T_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {m}{-F'(x_{\text{éq. st.}})}}}\;$».

### Cas d'une force « motrice » « s'appliquant tangentiellement sur la trajectoire circulaire de rayon R décrite par le point subissant la force » dont le D.L. à l'ordre le plus bas non nul au voisinage de l'équilibre stable est linéaire

Nous sommes dans le cas «$\;F'(\theta _{\text{éq. st.}})<0\;$» c.-à-d. «$\;f'(\theta _{\text{éq. st.}})=-{\dfrac {F'(\theta _{\text{éq. st.}})}{m\;R}}>0\;$», l'ordre le plus bas non nul du D.L. de la force « motrice » au voisinage de l'équilibre stable est « un » Nous sommes dans le cas «$\;\color {transparent}{F'(\theta _{\text{éq. st.}})<0}\;$» c.-à-d. «$\;\color {transparent}{f'(\theta _{\text{éq. st.}})=-F'(\theta _{\text{éq. st.}})>0}\;$», soit, en notant «$\;\varepsilon (t)=\theta (t)-\theta _{\text{éq. st.}}\;$» $\;{\big\!\Rightarrow$ $\;{\dot {\varepsilon }}(t)={\dot {\theta }}(t)\;$ et $\;{\ddot {\varepsilon }}(t)={\ddot {\theta }}(t){\big ]}$, le D.L. de Nous sommes dans le cas «$\;\color {transparent}{F'(\theta _{\text{éq. st.}})<0}\;$» c.-à-d. «$\;\color {transparent}{f'(\theta _{\text{éq. st.}})=-F'(\theta _{\text{éq. st.}})>0}\;$», $\blacktriangleright \;$la force « motrice » au voisinage de l'équilibre stable «$\;F(\theta )\simeq {\cancel {F(\theta _{\text{éq. st.}})\,+}}\;F'(\theta _{\text{éq. st.}})\;\varepsilon \;$» Nous sommes dans le cas «$\;\color {transparent}{F'(\theta _{\text{éq. st.}})<0}\;$» c.-à-d. «$\;\color {transparent}{f'(\theta _{\text{éq. st.}})=-F'(\theta _{\text{éq. st.}})>0}\;$», $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$la force « motrice » avec «$\;F'(\theta _{\text{éq. st.}})<0\;$» assurant le caractère force « de rappel » et Nous sommes dans le cas «$\;\color {transparent}{F'(\theta _{\text{éq. st.}})<0}\;$» c.-à-d. «$\;\color {transparent}{f'(\theta _{\text{éq. st.}})=-F'(\theta _{\text{éq. st.}})>0}\;$», $\blacktriangleright \;$la fonction $\;f(\theta )\;$ caractérisant l'oscillateur « non linéaire » dans «$\;{\ddot {\theta }}(t)+\alpha \;{\dot {\theta }}(t)+f\!\left[\theta (t)\right]=0\;$» au Nous sommes dans le cas «$\;\color {transparent}{F'(\theta _{\text{éq. st.}})<0}\;$» c.-à-d. «$\;\color {transparent}{f'(\theta _{\text{éq. st.}})=-F'(\theta _{\text{éq. st.}})>0}\;$», $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$voisinage de son équilibre stable «$\;f(\theta )\simeq {\cancel {f(\theta _{\text{éq. st.}})\,+}}\;f'(\theta _{\text{éq. st.}})\;\varepsilon \;$» avec $\;f'(\theta _{\text{éq. st.}})>0\;$ Nous sommes dans le cas «$\;\color {transparent}{F'(\theta _{\text{éq. st.}})<0}\;$» c.-à-d. «$\;\color {transparent}{f'(\theta _{\text{éq. st.}})=-F'(\theta _{\text{éq. st.}})>0}\;$», $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ou «$\;f(\theta )=-{\dfrac {F(\theta )}{m\;R}}\simeq {\cancel {-{\dfrac {F(\theta _{\text{éq. st.}})}{m\;R}}}}-{\dfrac {F'(\theta _{\text{éq. st.}})}{m\;R}}\;\varepsilon \;$» où $\;f'(\theta _{\text{éq. st.}})=-{\dfrac {F'(\theta _{\text{éq. st.}})}{m\;R}}>0$.
L'équation différentielle en $\;\theta (t)\;$ au voisinage de $\;\theta _{\text{éq. st.}}$ $\;{\big$plus précisément en $\;\varepsilon (t)\;$ au voisinage de $\;0{\big ]}\;$ est «$\;{\ddot {\varepsilon }}(t)+{\dfrac {h}{m\;R}}\;{\dot {\varepsilon }}(t)+\left[-{\dfrac {F'(\theta _{\text{éq. st.}})}{m\;R}}\right]\,\varepsilon (t)=0\;$»$^,$ avec $\;-{\dfrac {F'(\theta _{\text{éq. st.}})}{m\;R}}>0$,
L'équation différentielle en $\;\color {transparent}{\theta (t)}\;$ au voisinage de $\;\color {transparent}{\theta _{\text{éq. st.}}}$ $\;\color {transparent}{\big$plus précisément en $\;\color {transparent}{\varepsilon (t)}\;$ au voisinage de $\;\color {transparent}{0{\big ]}}\;$ est le cœfficient $\;>0\;$ de $\;\varepsilon (t)\;$ caractérise un oscillateur harmonique amorti $\;{\big$ou non${\big )}\;$, L'équation différentielle en $\;\color {transparent}{\theta (t)}\;$ au voisinage de $\;\color {transparent}{\theta _{\text{éq. st.}}}$ $\;\color {transparent}{\big$plus précisément en $\;\color {transparent}{\varepsilon (t)}\;$ au voisinage de $\;\color {transparent}{0{\big ]}}\;$ est le D.L. à l'ordre un en $\;\varepsilon (t)\;$ définissant l'« approximation harmonique L'équation différentielle en $\;\color {transparent}{\theta (t)}\;$ au voisinage de $\;\color {transparent}{\theta _{\text{éq. st.}}}$ $\;\color {transparent}{\big$plus précisément en $\;\color {transparent}{\varepsilon (t)}\;$ au voisinage de $\;\color {transparent}{0{\big ]}}\;$ est le D.L. à l'ordre un en $\;\color {transparent}{\varepsilon (t)}\;$ définissant l'« de l'oscillateur non linéaire ».
Nous en déduisons la « pulsation propre des petites élongations $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {-F'(\theta _{\text{éq. st.}})}{m\;R}}}\;$» ; Nous en déduisons en absence de frottement fluide l'oscillateur non amorti oscille sinusoïdalement avec une « période propre des petites élongations $\;T_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {m\;R}{-F'(\theta _{\text{éq. st.}})}}}\;$».

## Cas d'un équilibre stable tel que le D.L. de l'énergie potentielle à l'ordre le plus bas non nul autre que zéro ait, pour diagramme, un « puits parabolique », approximation harmonique de l'oscillateur non linéaire
### Point matériel à un degré de liberté soumis à une résultante de force « motrice » (hors frottement fluide) conservative « dérivant » d'une énergie potentielle non parabolique « U(M) = U(x) » ou « U(M) = U(θ) » dont le mouvement est étudié au voisinage d'un équilibre stable, oscillateur non linéaire au voisinage de cet équilibre

Considérons un point matériel $\;M$, de masse $\;m$, soumis à une résultante de force « motrice » $\;{\big$hors frottement fluide${\big )}\;$ non linéaire conservative telle que
* le mouvement du point $\;M\;$ soit unidirectionnel selon l'axe $\;{\overrightarrow {x'x}}\;$ correspondant à une résultante de force « motrice » $\;{\big$hors frottement fluide${\big )}$ $\;{\vec {F}}(M)=F(x)\;{\vec {u}}_{x}\;$ dérivant de l'énergie potentielle $\;U(M)=U(x)$ $\;{\bigU(x)$, primitive de $\;-F(x)$, étant non parabolique${\big ]}\;$ ou
* la trajectoire du point $\;M\;$ soit circulaire, de centre $\;O\;$ $\;{\big$pôle du repérage polaire${\big )}\;$ et de rayon $\;R$, correspondant à une résultante de force « motrice » $\;{\big$hors frottement fluide\;${\big )}$ tangentielle $\;{\vec {F}}(M)$ $=F(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ dérivant de l'énergie potentielle $\;U(M)=U(\theta )$ $\;{\bigU(\theta )$, primitive de $\;-R\;F(\theta )$, étant non parabolique${\big ]}\;$ et
Considérons une position d'équilibre stable $\;M_{\text{éq. st.}}\;$ d'abscisse $\blacktriangleright \;$linéaire $\;x_{\text{éq. st.}}\;$ si le mouvement du point matériel $\;M\;$ est unidirectionnel selon l'axe $\;{\overrightarrow {x'x}}\;$ ou Considérons une position d'équilibre stable $\;\color {transparent}{M_{\text{éq. st.}}}\;$ d'abscisse $\blacktriangleright \;$angulaire $\;\theta _{\text{éq. st.}}\;$ si le mouvement du point matériel $\;M\;$ est circulaire de centre $\;O\;$ et de rayon $\;R$,
on se propose de vérifier que le point matériel $\;M\;$ satisfait bien à la 2ème définition d'un oscillateur « non linéaire ».
Pour cela il suffit de constater que le diagramme d'énergie potentielle du point matériel $\;M\;$ au voisinage de la position d'équilibre est un puits $\;{\big$non parabolique${\big )}$, c.-à-d. Pour cela il suffit de constater que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale $\;{\big$la nature « non parabolique » étant dans les hypothèses de mouvement du point matériel $\;M{\big ]}$, Pour cela il suffit de constater que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale la stationnarité découlant d'une définition de la position d'équilibre et Pour cela il suffit de constater que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale le caractère minimal, de la stabilité de cette dernière, plus précisément :
Pour cela il suffit de constater que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale $\blacktriangleright \;$si le mouvement de $\;M\;$ est unidirectionnel selon l'axe $\;{\overrightarrow {x'x}}$, l'abscisse linéaire $\;x_{\text{éq. st.}}\;$ de la position d'équilibre Pour cela il suffit de constater que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$étant solution de $\;F(x)=0\;$ où $\;F(x)=-{\dfrac {dU}{dx}}(x)\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {dU}{dx}}(x_{\text{éq. st.}})=0$ $\;{\bigU(x)\;$ stationnaire en $\;x_{\text{éq. st.}}{\big ]}\;$ et Pour cela il suffit de constater que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$l'équilibre étant stable $\Rightarrow$ $\;\bullet \;$«$\;F'(x_{\text{éq. st.}})<0\;$» avec $\;F(x)=-{\dfrac {dU}{dx}}(x)\;$ c.-à-d. «$\;{\dfrac {d^{2}U}{dx^{2}}}(x_{\text{éq. st.}})>0\;$» Pour cela il suffit de constater que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$l'équilibre étant stable $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;\color {transparent}{\bullet }\;$y assurant le caractère minimal de $\;U(x)\;$ ou Pour cela il suffit de constater que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$l'équilibre étant stable $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;\bullet \;$«$\;F'(x_{\text{éq. st.}})=0$, $\;F''(x_{\text{éq. st.}})=0\;$ et $\;F'''(x_{\text{éq. st.}})<0\;$» avec $\;F(x)=$ Pour cela il suffit de constater que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$l'équilibre étant stable $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;\color {transparent}{\bullet }\;$$-{\dfrac {dU}{dx}}(x)\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {d^{2}U}{dx^{2}}}(x_{\text{éq. st.}})=0$, $\;{\dfrac {d^{3}U}{dx^{3}}}(x_{\text{éq. st.}})=0\;$ et $\;{\dfrac {d^{4}U}{dx^{4}}}(x_{\text{éq. st.}})>0\;$» Pour cela il suffit de constater que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$l'équilibre étant stable $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;\color {transparent}{\bullet }\;$y assurant le caractère minimal de $\;U(x)\;$ ;
Pour cela il suffit de constater que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale $\blacktriangleright \;$si le mouvement de $\;M\;$ est circulaire de centre $\;O\;$ et de rayon $\;R$, l'abscisse angulaire $\;\theta _{\text{éq. st.}}\;$ de la position Pour cela il suffit de constater que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$d'équilibre étant solution de $\;F(\theta )=0\;$ où $\;F(\theta )=-{\dfrac {1}{R}}\;{\dfrac {dU}{d\theta }}(\theta )\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {dU}{d\theta }}(\theta _{\text{éq. st.}})=0$ Pour cela il suffit de constater que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$d'équilibre étant solution de $\;\color {transparent}{F(\theta )=0}\;$ où $\;\color {transparent}{F(\theta )=-{\dfrac {1}{R}}\;{\dfrac {dU}{d\theta }}(\theta )}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;{\bigU(\theta )\;$ stationnaire en $\;\theta _{\text{éq. st.}}{\big ]}\;$ et Pour cela il suffit de constater que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$l'équilibre étant stable $\Rightarrow$ $\;\bullet \;$«$\;F'(\theta _{\text{éq. st.}})<0\;$» avec $\;F(\theta )=-{\dfrac {1}{R}}\;{\dfrac {dU}{d\theta }}(\theta )\;$ c.-à-d. «$\;{\dfrac {d^{2}U}{d\theta ^{2}}}(\theta _{\text{éq. st.}})>0\;$» Pour cela il suffit de constater que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$l'équilibre étant stable $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;\color {transparent}{\bullet }\;$y assurant le caractère minimal de $\;U(\theta )\;$ ou Pour cela il suffit de constater que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$l'équilibre étant stable $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;\bullet \;$«$\;F'(\theta _{\text{éq. st.}})=0$, $\;F''(\theta _{\text{éq. st.}})=0\;$ et $\;F'''(\theta _{\text{éq. st.}})<0\;$» avec $\;F(\theta )=$ Pour cela il suffit de constater que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$l'équilibre étant stable $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;\color {transparent}{\bullet }\;$$-{\dfrac {1}{R}}\;{\dfrac {dU}{d\theta }}(\theta )\;$ $\Rightarrow$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\dfrac {d^{2}U}{d\theta ^{2}}}(\theta _{\text{éq. st.}})=0\\{\dfrac {d^{3}U}{d\theta ^{3}}}(\theta _{\text{éq. st.}})=0\end{array}}\right\rbrace \;$ et $\;{\dfrac {d^{4}U}{d\theta ^{4}}}(\theta _{\text{éq. st.}})>0\;$» y assurant Pour cela il suffit de constater que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$l'équilibre étant stable $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;\color {transparent}{\bullet }\;$le caractère minimal de $\;U(\theta )\;$.
En conclusion, le point matériel $\;M\;$ soumis à une résultante de force « motrice » $\;{\big$hors frottement fluide${\big )}\;$ conservative « dérivant » d'une énergie potentielle non parabolique «$\;U(M)=U(x)\;$» $\;{\big$ou «$\;U(M)=U(\theta )\;$»${\big ]}\;$ dont le mouvement est étudié au voisinage d'un équilibre stable est effectivement un oscillateur « non linéaire » au voisinage de cet équilibre $\;{\big$l'éventuelle résistance à l'avancement dans le fluide étant supposée linéaire${\big ]}$.

### Cas d'une force « motrice » « unidirectionnelle selon l'axe x'x » dérivant de l'énergie potentielle « U(M) = U(x) » dont le D.L. à l’ordre le plus bas non nul autre que zéro au voisinage de l’équilibre stable est parabolique

Nous sommes dans le cas «$\;U''(x_{\text{éq. st.}})>0\;$» $\;{\big\!\Rightarrow$ la nature parabolique du profil énergétique autour de l'équilibre stable repéré par son abscisse $\;x_{\text{éq. st.}}{\big ]}$, avec $\;U'(x_{\text{éq. st.}})=0\;$ Nous sommes dans le cas «$\;\color {transparent}{U''(x_{\text{éq. st.}})>0}\;$» $\;\color {transparent}{{\big\!\Rightarrow }$ la nature parabolique du profil énergétique autour de l'équilibre stable repéré par son abscisse $\;\color {transparent}{x_{\text{éq. st.}}{\big ]}}$, mais $\;U(x_{\text{éq. st.}})\;$ a priori $\;\neq 0\;$,
Nous sommes dans le cas «$\;\color {transparent}{U''(x_{\text{éq. st.}})>0}\;$» l'ordre le plus bas non nul du D.L. de l'énergie potentielle dont dérive la force « motrice » $\;{\big$hors frottement fluide${\big )}\;$ au voisinage de $\;x_{\text{éq. st.}}\;$ Nous sommes dans le cas «$\;\color {transparent}{U''(x_{\text{éq. st.}})>0}\;$» l'ordre le plus bas non nul du D.L. de l'énergie potentielle est « deux » Nous sommes dans le cas «$\;\color {transparent}{U''(x_{\text{éq. st.}})>0}\;$» soit, en notant «$\;\varepsilon (t)=x(t)-x_{\text{éq. st.}}$», le D.L. de $\;U(x)\;$ au voisinage de $\;x_{\text{éq. st.}}\;$ ${\big$ou D.L. de $\;U(x)\;$ en fonction de $\;\varepsilon \;$ au voisinage de $\;0{\big ]}\;$ Nous sommes dans le cas «$\;\color {transparent}{U''(x_{\text{éq. st.}})>0}\;$» soit, en notant «$\;\color {transparent}{\varepsilon (t)=x(t)-x_{\text{éq. st.}}}$», le D.L. de $\;\color {transparent}{U(x)}\;$ est «$\;U(x)\simeq U(x_{\text{éq. st.}})\;{\cancel {+\;U'(x_{\text{éq. st.}})\;\varepsilon }}\;+{\dfrac {U''(x_{\text{éq. st.}})}{2}}\;\varepsilon ^{2}\;$» avec Nous sommes dans le cas «$\;\color {transparent}{U''(x_{\text{éq. st.}})>0}\;$» soit, en notant «$\;\color {transparent}{\varepsilon (t)=x(t)-x_{\text{éq. st.}}}$», le D.L. de $\;\color {transparent}{U(x)}\;$ est «$\;U''(x_{\text{éq. st.}})>0\;$» $\Rightarrow$ $\;U(x)\;$ « minimale » en la position d'équilibre étudiée.
L'équation différentielle en $\;x(t)\;$ au voisinage de $\;x_{\text{éq. st.}}$ $\;{\big$plus précisément en $\;\varepsilon (t)\;$ au voisinage de $\;0{\big ]}\;$ est «$\;{\ddot {\varepsilon }}(t)+{\dfrac {h}{m}}\;{\dot {\varepsilon }}(t)+\left[-{\dfrac {F'(x_{\text{éq. st.}})}{m}}\right]\,\varepsilon (t)=0\;$»$^,$ avec $\;-{\dfrac {F'(x_{\text{éq. st.}})}{m}}>0$,
L'équation différentielle en $\;\color {transparent}{x(t)}\;$ au voisinage de $\;\color {transparent}{x_{\text{éq. st.}}}$ $\;\color {transparent}{\big$plus précisément en $\;\color {transparent}{\varepsilon (t)}\;$ au voisinage de $\;\color {transparent}{0{\big ]}}\;$ est le cœfficient $\;>0\;$ de $\;\varepsilon (t)\;$ caractérise un oscillateur harmonique amorti $\;{\big$ou non${\big )}\;$, L'équation différentielle en $\;\color {transparent}{x(t)}\;$ au voisinage de $\;\color {transparent}{x_{\text{éq. st.}}}$ $\;\color {transparent}{\big$plus précisément en $\;\color {transparent}{\varepsilon (t)}\;$ au voisinage de $\;\color {transparent}{0{\big ]}}\;$ est le D.L. à l'ordre un en $\;\varepsilon (t)\;$ définissant l'« approximation harmonique L'équation différentielle en $\;\color {transparent}{x(t)}\;$ au voisinage de $\;\color {transparent}{x_{\text{éq. st.}}}$ $\;\color {transparent}{\big$plus précisément en $\;\color {transparent}{\varepsilon (t)}\;$ au voisinage de $\;\color {transparent}{0{\big ]}}\;$ est le D.L. à l'ordre un en $\;\color {transparent}{\varepsilon (t)}\;$ définissant l'« de l'oscillateur non linéaire ».
Nous en déduisons la « pulsation propre des petites élongations $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {-F'(x_{\text{éq. st.}})}{m}}}\;$» ; Nous en déduisons en absence de frottement fluide l'oscillateur non amorti oscille sinusoïdalement avec une « période propre des petites élongations $\;T_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {m}{-F'(x_{\text{éq. st.}})}}}\;$».
L'énergie cinétique du point matériel $\;M\;$ de masse $\;m\;$ s'écrivant, à l'instant $\;t$, selon $\;K_{M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {x}}^{2}\!(t)\;$ ou encore, avec $\;\varepsilon (t)=x(t)-x_{\text{éq. st.}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dot {\varepsilon }}(t)={\dot {x}}(t)$, selon $\;K_{M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(t)$, nous en déduisons l'expression approchée de l'énergie mécanique $\;E_{m,\,M}(t)\;$ du point matériel $\;M\;$ au voisinage de l'équilibre stable d'abscisse $\;x_{\text{éq. st.}}\;$
$\;E_{m,\,M}(t)\simeq {\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(t)+U(x_{\text{éq. st.}})+{\dfrac {U''(x_{\text{éq. st.}})}{2}}\;\varepsilon ^{2}\!(t)\;$
$\;\varepsilon (t)$
on peut alors définir la « pulsation propre des petites élongations $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {U''(x_{\text{éq. st.}})}{m}}}\;$» ce qui permet de réécrire l'expression approchée de l'énergie mécanique du point matériel $\;M\;$ selon $\;E_{m,\,M}(t)\simeq {\dfrac {1}{2}}\;m\left[{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(t)+\omega _{0}^{2}\;\varepsilon ^{2}\!(t)\right]+U(x_{\text{éq. st.}})\;$ à l'ordre deux en $\;\varepsilon (t)$ d'où :
* en absence de frottement fluide, il existe une intégrale 1ère énergétique suivie par l'oscillateur non amorti correspondant à la conservation de l'énergie mécanique $\;E_{m,\,M}(t)=E_{m,\,M}(0^{+})\;$ soit le D.L. à l'ordre deux en $\;\varepsilon (t)\;$ suivant $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\left[{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(t)+\omega _{0}^{2}\;\varepsilon ^{2}\!(t)\right]+U(x_{\text{éq. st.}})\simeq E_{m,\,M}(0^{+})\;$ avec $\;E_{m,\,M}(0^{+})\simeq$ ${\dfrac {1}{2}}\;m\left[{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+\omega _{0}^{2}\;\varepsilon ^{2}\!(0^{+})\right]+U(x_{\text{éq. st.}})\;$, D.L. définissant l'« approximation harmonique de l'oscillateur non linéaire (et non amorti) » sous sa forme énergétique $\;{\Bigg \$oscillations sinusoïdales avec une « période propre des petites élongations $\;T_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {m}{U''(x_{\text{éq. st.}})}}}\;$», son amplitude $\;X_{m}\;$ d'oscillations se déterminant à l'aide de son énergie mécanique initiale par $\;{\dfrac {U''(x_{\text{éq. st.}})}{2}}\;X_{m}^{2}+U(x_{\text{éq. st.}})=E_{m,\,M}(0^{+})\;$ $\Rightarrow$ $\;X_{m}={\sqrt {\dfrac {2\left[E_{m,\,M}(0^{+})-U(x_{\text{éq. st.}})\right]}{U''(x_{\text{éq. st.}})}}}{\Bigg \}$ ;
* en présence de frottement fluide linéaire, l'intégrale 1ère énergétique doit être remplacée par le résultat de l'application à l'oscillateur amorti du théorème de la puissance mécanique à savoir $\;{\dfrac {dE_{m,\,M}}{dt}}(t)={\mathcal {P}}\!\left[{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}\right]\!(t)\;$ avec $\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}\!(t)=-h\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ $\Rightarrow$ $\;{\mathcal {P}}\!\left[{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}\right]\!(t)=-h\;{\dot {x}}^{2}\!(t)=-h\;{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(t)\;$ d'où, avec $\;E_{m,\,M}(t)\simeq$ ${\dfrac {1}{2}}\;m\left[{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(t)+\omega _{0}^{2}\;\varepsilon ^{2}\!(t)\right]+U(x_{\text{éq. st.}})\;$ à l'ordre deux en $\;\varepsilon (t)\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {dE_{m,\,M}}{dt}}(t)\simeq m\left[{\dot {\varepsilon }}(t)\;{\ddot {\varepsilon }}(t)+\omega _{0}^{2}\;\varepsilon (t)\;{\dot {\varepsilon }}(t)\right]$, l'équation différentielle approchée du 2ème ordre en $\;\varepsilon (t)\;$ de l'oscillateur amorti $\;m\left[{\ddot {\varepsilon }}(t)+\omega _{0}^{2}\;\varepsilon (t)\right]=-h\;{\dot {\varepsilon }}(t)\;$ après simplification par $\;{\dot {\varepsilon }}(t)\;$ non identiquement nulle, soit encore, après normalisation, $\;{\ddot {\varepsilon }}(t)+{\dfrac {h}{m}}\;{\dot {\varepsilon }}(t)+\omega _{0}^{2}\;\varepsilon (t)=0\;$, D.L. à l'ordre un en $\;\varepsilon (t)\;$ définissant l'« approximation harmonique de l'oscillateur non linéaire (et amorti) » après application du théorème énergétique.

### Cas d'une force « motrice » « s'appliquant tangentiellement sur la trajectoire circulaire de rayon R décrite par le point subissant la force » dérivant de l'énergie potentielle « U(M) = U(θ) » dont le D.L. à l'ordre le plus bas non nul autre que zéro au voisinage de l'équilibre stable est parabolique

Nous sommes donc dans le cas $\;U''(\theta _{\text{éq. st.}})>0$ $\;{\big$caractérisant la nature parabolique autour d'un équilibre stable${\big ]}\;$ avec $\;U'(\theta _{\text{éq. st.}})=0$ $\;{\big\theta _{\text{éq. st.}}\;$ étant l'abscisse angulaire de la position d'équilibre étudiée${\big ]}$ mais $\;U(\theta _{\text{éq. st.}})\;$ a priori $\;\neq 0$ $\;{\big$sauf si sa référence est choisie en cette position d'équilibre${\big ]}$, l'ordre le plus bas non nul autre que zéro du D.L. de l'énergie potentielle dont dérive la force « motrice » (hors frottement fluide) au voisinage de l'équilibre stable est donc « deux » soit, en notant $\;\varepsilon (t)=$ $\theta (t)-\theta _{\text{éq. st.}}$, le D.L. de $\;U(\theta )\;$ au voisinage de l'équilibre stable d'abscisse angulaire $\;\theta _{\text{éq. st.}}\;$ s'écrit selon
$\;U(\theta )\simeq U(\theta _{\text{éq. st.}})\;{\cancel {+\;U'(\theta _{\text{éq. st.}})\;\varepsilon }}\;+{\dfrac {U''(\theta _{\text{éq. st.}})}{2}}\;\varepsilon ^{2}\;$
$\;U''(\theta _{\text{éq. st.}})>0\;$
L'énergie cinétique du point matériel $\;M\;$ de masse $\;m\;$ s'écrivant, à l'instant $\;t$, selon $\;K_{M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;$ ou, avec $\;\varepsilon (t)=\theta (t)-\theta _{\text{éq. st.}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dot {\varepsilon }}(t)={\dot {\theta }}(t)$, selon $\;K_{M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\;{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(t)$, nous en déduisons l'expression approchée de l'énergie mécanique $\;E_{m,\,M}(t)\;$ du point matériel $\;M\;$ au voisinage de l'équilibre stable d'abscisse angulaire $\;\theta _{\text{éq. st.}}\;$
$\;E_{m,\,M}(t)\simeq {\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\;{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(t)+U(\theta _{\text{éq. st.}})+{\dfrac {U''(\theta _{\text{éq. st.}})}{2}}\;\varepsilon ^{2}\!(t)\;$
$\;\varepsilon (t)$
on peut alors définir la « pulsation propre des petites élongations $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {U''(\theta _{\text{éq. st.}})}{m\;R^{2}}}}\;$» ce qui permet de réécrire l'expression approchée de l'énergie mécanique du point matériel $\;M\;$ selon $\;E_{m,\,M}(t)\simeq {\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\left[{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(t)+\omega _{0}^{2}\;\varepsilon ^{2}\!(t)\right]+U(\theta _{\text{éq. st.}})\;$ à l'ordre deux en $\;\varepsilon (t)$ d'où :
* en absence de frottement fluide, il existe une intégrale 1ère énergétique suivie par l'oscillateur non amorti correspondant à la conservation de l'énergie mécanique $\;E_{m,\,M}(t)=E_{m,\,M}(0^{+})\;$ soit le D.L. à l'ordre deux en $\;\varepsilon (t)\;$ suivant $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\left[{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(t)+\omega _{0}^{2}\;\varepsilon ^{2}\!(t)\right]+U(\theta _{\text{éq. st.}})\simeq E_{m,\,M}(0^{+})\;$ avec $\;E_{m,\,M}(0^{+})\simeq$ ${\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\left[{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+\omega _{0}^{2}\;\varepsilon ^{2}\!(0^{+})\right]+U(\theta _{\text{éq. st.}})\;$, D.L. définissant l'« approximation harmonique de l'oscillateur non linéaire (et non amorti) » sous forme énergétique $\;{\Bigg \$oscillations sinusoïdales avec une « période propre des petites élongations $\;T_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {m\;R^{2}}{U''(\theta _{\text{éq. st.}})}}}\;$», son amplitude $\;\theta _{m}\;$ d'oscillations se déterminant à l'aide de son énergie mécanique initiale par $\;{\dfrac {U''(\theta _{\text{éq. st.}})}{2}}\;\theta _{m}^{2}+U(\theta _{\text{éq. st.}})=E_{m,\,M}(0^{+})\;$ $\Rightarrow$ $\;\theta _{m}={\sqrt {\dfrac {2\left[E_{m,\,M}(0^{+})-U(\theta _{\text{éq. st.}})\right]}{U''(\theta _{\text{éq. st.}})}}}{\Bigg \}$ ;
* en présence de frottement fluide linéaire, l'intégrale 1ère énergétique doit être remplacée par le résultat de l'application à l'oscillateur amorti du théorème de la puissance mécanique à savoir $\;{\dfrac {dE_{m,\,M}}{dt}}(t)={\mathcal {P}}\!\left[{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}\right]\!(t)\;$ avec $\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}\!(t)=-h\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ $\Rightarrow$ $\;{\mathcal {P}}\!\left[{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}\right]\!(t)=-h\;R^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)=-h\;R^{2}\;{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(t)\;$ d'où, avec $\;E_{m,\,M}(t)\simeq$ ${\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\left[{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(t)+\omega _{0}^{2}\;\varepsilon ^{2}\!(t)\right]+U(\theta _{\text{éq. st.}})\;$ à l'ordre deux en $\;\varepsilon (t)\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {dE_{m,\,M}}{dt}}(t)\simeq m\;R^{2}\left[{\dot {\varepsilon }}(t)\;{\ddot {\varepsilon }}(t)+\omega _{0}^{2}\;\varepsilon (t)\;{\dot {\varepsilon }}(t)\right]$, l'équation différentielle approchée du 2ème ordre en $\;\varepsilon (t)\;$ de l'oscillateur amorti $\;m\;R^{2}\left[{\ddot {\varepsilon }}(t)+\omega _{0}^{2}\;\varepsilon (t)\right]=-h\;R^{2}\;{\dot {\varepsilon }}(t)\;$ après simplification par $\;{\dot {\varepsilon }}(t)\;$ non identiquement nulle, soit encore, après normalisation, $\;{\ddot {\varepsilon }}(t)+{\dfrac {h}{m}}\;{\dot {\varepsilon }}(t)+\omega _{0}^{2}\;\varepsilon (t)=0\;$, D.L. à l'ordre un en $\;\varepsilon (t)\;$ définissant l'« approximation harmonique de l'oscillateur non linéaire (et amorti) » après application du théorème énergétique.

## Cas d'un équilibre stable tel que le D.L. de la force « motrice » à l'ordre le plus bas non nul soit non linéaire (et de rappel), approximation anharmonique de l'oscillateur non linéaire
### Cas d'une force « motrice » « unidirectionnelle selon l'axe x'x » dont le D.L. à l'ordre le plus bas non nul au voisinage de l'équilibre stable est non linéaire

Nous sommes donc dans le cas $\;F'(x_{\text{éq. st.}})=0$, $\;F''(x_{\text{éq. st.}})=0\;$ et $\;F'''(x_{\text{éq. st.}})<0$, c.-à-d. encore $\;f'(x_{\text{éq. st.}})=-{\dfrac {F'(x_{\text{éq. st.}})}{m}}=0$, $\;f''(x_{\text{éq. st.}})=$ $-{\dfrac {F''(x_{\text{éq. st.}})}{m}}=0\;$ et $\;f'''(x_{\text{éq. st.}})=-{\dfrac {F'''(x_{\text{éq. st.}})}{m}}>0$, l'ordre le plus bas non nul du D.L. de la force « motrice » au voisinage de l'équilibre stable est donc « trois » soit, en notant $\;\varepsilon (t)=x(t)-x_{\text{éq. st.}}$ $\;{\big\Rightarrow$ $\;{\dot {\varepsilon }}(t)={\dot {x}}(t)\;$ et $\;{\ddot {\varepsilon }}(t)={\ddot {x}}(t){\big ]}$,
* le D.L. de la force « motrice » au voisinage de l'équilibre stable s'écrit selon $\;F(x)\simeq {\cancel {F(x_{\text{éq. st.}})\,+}}\,{\cancel {F'(x_{\text{éq. st.}})\;\varepsilon +{\dfrac {F''(x_{\text{éq. st.}})}{2}}\;\varepsilon ^{2}\,+}}\,{\dfrac {F'''(x_{\text{éq. st.}})}{6}}\;\varepsilon ^{3}\;$ avec $\;F'''(x_{\text{éq. st.}})<0\;$ assurant le caractère force « de rappel » et
* celui de la fonction $\;f(x)\;$ caractérisant l'oscillateur « non linéaire » dans son équation différentielle du 2ème ordre au voisinage de son équilibre stable selon $\;f(x)\simeq$ ${\cancel {f(x_{\text{éq. st.}})\,+}}\,{\cancel {f'(x_{\text{éq. st.}})\;\varepsilon +{\dfrac {f''(x_{\text{éq. st.}})}{2}}\;\varepsilon ^{2}\,+}}\,{\dfrac {f'''(x_{\text{éq. st.}})}{6}}\;\varepsilon ^{3}\;$ avec $\;f'''(x_{\text{éq. st.}})>0\;$ ou $\;f(x)=-{\dfrac {F(x)}{m}}\simeq$ $-{\dfrac {F'''(x_{\text{éq. st.}})}{6\;m}}\;\varepsilon ^{3}\;$ avec $\;-{\dfrac {F'''(x_{\text{éq. st.}})}{6\;m}}>0$.
L'équation différentielle en $\;x(t)\;$ au voisinage de $\;x_{\text{éq. st.}}$ $\;{\big$ou plus précisément en $\;\varepsilon (t)\;$ au voisinage de $\;0{\big ]}\;$ s'écrit alors
$\;{\ddot {\varepsilon }}(t)+{\dfrac {h}{m}}\;{\dot {\varepsilon }}(t)+\left[-{\dfrac {F'''(x_{\text{éq. st.}})}{6\;m}}\right]\,\varepsilon ^{3}\!(t)=0\;$
$\;-{\dfrac {F'''(x_{\text{éq. st.}})}{6\;m}}>0$
le cœfficient $\;>0\;$ de $\;\varepsilon ^{3}\!(t)\;$ caractérise alors un oscillateur harmonique amorti $\;{\big$ou non amorti si $\;h=0{\big )}$, le D.L. à l'ordre trois en $\;\varepsilon (t)\;$ définissant dans ce cas l'« approximation anharmonique de l'oscillateur non linéaire ».
Conclusion : les petites oscillations d'un oscillateur « non linéaire » et non amorti au voisinage d'une position d'équilibre stable correspondant à une approximation anharmonique sont « périodiques » $\;{\big$sera établi au paragraphe « établissement de la nature oscillatoire puis périodique des petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable dans l'approximation anharmonique d'un oscillateur non linéaire (non amorti) et expression intégrale de la période des petites oscillations » plus bas dans ce chapitre${\big ]}\;$ mais « non sinusoïdales », la résolution de l'équation différentielle, que l'oscillateur soit amorti ou non, devant être faite numériquement $\;\ldots$

### Cas d'une force « motrice » « s'appliquant tangentiellement sur la trajectoire circulaire de rayon R décrite par le point subissant la force » dont le D.L. à l'ordre le plus bas non nul au voisinage de l'équilibre stable est non linéaire

Nous sommes donc dans le cas $\;F'(\theta _{\text{éq. st.}})=0$, $\;F''(\theta _{\text{éq. st.}})=0\;$ et $\;F'''(\theta _{\text{éq. st.}})<0$, c.-à-d. encore $\;f'(\theta _{\text{éq. st.}})=-{\dfrac {F'(\theta _{\text{éq. st.}})}{m\;R}}=0$, $\;f''(\theta _{\text{éq. st.}})=$ $-{\dfrac {F''(\theta _{\text{éq. st.}})}{m\;R}}=0\;$ et $\;f'''(\theta _{\text{éq. st.}})=-{\dfrac {F'''(\theta _{\text{éq. st.}})}{m\;R}}>0$, l'ordre le plus bas non nul du D.L. de la force « motrice » au voisinage de l'équilibre stable est donc « trois » soit, en notant $\;\varepsilon (t)=\theta (t)-\theta _{\text{éq. st.}}$ $\;{\big\Rightarrow$ $\;{\dot {\varepsilon }}(t)={\dot {\theta }}(t)\;$ et $\;{\ddot {\varepsilon }}(t)={\ddot {\theta }}(t){\big ]}$,
* le D.L. de la force « motrice » au voisinage de l'équilibre stable s'écrit selon $\;F(\theta )\simeq {\cancel {F(\theta _{\text{éq. st.}})\,+}}\,{\cancel {F'(\theta _{\text{éq. st.}})\;\varepsilon +{\dfrac {F''(\theta _{\text{éq. st.}})}{2}}\;\varepsilon ^{2}\,+}}\,{\dfrac {F'''(\theta _{\text{éq. st.}})}{6}}\;\varepsilon ^{3}\;$ avec $\;F'''(\theta _{\text{éq. st.}})<0\;$ assurant le caractère force « de rappel » et
* celui de la fonction $\;f(\theta )\;$ caractérisant l'oscillateur « non linéaire » dans son équation différentielle du 2ème ordre au voisinage de son équilibre stable selon $\;f(\theta )\simeq {\cancel {f(\theta _{\text{éq. st.}})\,+}}\,{\cancel {f'(\theta _{\text{éq. st.}})\;\varepsilon +{\dfrac {f''(\theta _{\text{éq. st.}})}{2}}\;\varepsilon ^{2}\,+}}\,{\dfrac {f'''(\theta _{\text{éq. st.}})}{6}}\;\varepsilon ^{3}\;$ avec $\;f'''(\theta _{\text{éq. st.}})>0\;$ ou $\;f(\theta )=-{\dfrac {F(\theta )}{m\;R}}\simeq$ $-{\dfrac {F'''(\theta _{\text{éq. st.}})}{6\;m\;R}}\;\varepsilon ^{3}\;$ avec $\;-{\dfrac {F'''(\theta _{\text{éq. st.}})}{6\;m\;R}}>0$.
L'équation différentielle en $\;\theta (t)\;$ au voisinage de $\;\theta _{\text{éq. st.}}$ $\;{\big$ou plus précisément en $\;\varepsilon (t)\;$ au voisinage de $\;0{\big ]}\;$ s'écrit alors
$\;{\ddot {\varepsilon }}(t)+{\dfrac {h}{m}}\;{\dot {\varepsilon }}(t)+\left[-{\dfrac {F'''(\theta _{\text{éq. st.}})}{6\;m\;R}}\right]\,\varepsilon ^{3}\!(t)=0\;$
$\;-{\dfrac {F'''(\theta _{\text{éq. st.}})}{6\;m\;R}}>0$
le cœfficient $\;>0\;$ de $\;\varepsilon ^{3}\!(t)\;$ caractérise alors un oscillateur harmonique amorti $\;{\big$ou non amorti si $\;h=0{\big )}$, le D.L. à l'ordre trois en $\;\varepsilon (t)\;$ définissant dans ce cas l'« approximation anharmonique de l'oscillateur non linéaire ».
Conclusion : les petites oscillations d'un oscillateur « non linéaire » et non amorti au voisinage d'une position d'équilibre stable correspondant à une approximation anharmonique sont « périodiques » $\;{\big$sera établi au paragraphe « établissement de la nature oscillatoire puis périodique des petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable dans l'approximation anharmonique d'un oscillateur non linéaire (non amorti) et expression intégrale de la période des petites oscillations » plus bas dans ce chapitre${\big ]}\;$ mais « non sinusoïdales », la résolution de l'équation différentielle, que l'oscillateur soit amorti ou non, devant être faite numériquement $\;\ldots$

## Cas d'un équilibre stable tel que le D.L. de l'énergie potentielle à l'ordre le plus bas non nul autre que zéro ait, pour diagramme, un « puits non parabolique », approximation anharmonique de l'oscillateur non linéaire, utilisation du diagramme d'énergies potentielle et mécanique pour déterminer la nature oscillatoire puis périodique des petits mouvements, expression intégrale de la période de ces derniers
### Cas d'une force « motrice » « unidirectionnelle selon l'axe x'x » dérivant de l'énergie potentielle « U(M) = U(x) » dont le D.L. à l’ordre le plus bas non nul autre que zéro au voisinage de l’équilibre stable est non parabolique

Nous sommes donc dans le cas $\;U''(x_{\text{éq. st.}})=0$ $\;{\bigx_{\text{éq. st.}}\;$ étant l'abscisse de la position d'équilibre stable étudiée${\big ]}$, $\;U'''(x_{\text{éq. st.}})=0\;$ ainsi que $\;U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})>0$ $\;{\big$usuellement réalisé dans le cas d'une nature non parabolique autour d'un équilibre stable${\big ]}$, mais $\;U(x_{\text{éq. st.}})\;$ a priori $\;\neq 0$ $\;{\big$sauf si sa référence est choisie en cette position d'équilibre${\big ]}$, l'ordre le plus bas non nul autre que zéro du D.L. de l'énergie potentielle dont dérive la force « motrice » (hors frottement fluide) au voisinage de l'équilibre stable est donc « quatre » soit, en notant $\;\varepsilon (t)=x(t)-x_{\text{éq. st.}}$, le D.L. de $\;U(x)\;$ au voisinage de l'équilibre stable d'abscisse $\;x_{\text{éq. st.}}\;$ s'écrit selon
$\;U(x)\simeq U(x_{\text{éq. st.}})+\,{\cancel {U'(x_{\text{éq. st.}})\;\varepsilon \,+}}\,{\cancel {{\dfrac {U''(x_{\text{éq. st.}})}{2}}\;\varepsilon ^{2}+{\dfrac {U'''(x_{\text{éq. st.}})}{6}}\;\varepsilon ^{3}\,+}}\,{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{24}}\;\varepsilon ^{4}\;$
$\;U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})>0\;$
L'énergie cinétique du point matériel $\;M\;$ de masse $\;m\;$ s'écrivant, à l'instant $\;t$, selon $\;K_{M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {x}}^{2}\!(t)\;$ ou encore, avec $\;\varepsilon (t)=x(t)-x_{\text{éq. st.}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dot {\varepsilon }}(t)={\dot {x}}(t)$, selon $\;K_{M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(t)$, nous en déduisons l'expression approchée de l'énergie mécanique $\;E_{m,\,M}(t)\;$ du point matériel $\;M\;$ au voisinage de l'équilibre stable d'abscisse $\;x_{\text{éq. st.}}\;$
$\;E_{m,\,M}(t)\simeq {\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(t)+U(x_{\text{éq. st.}})+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{24}}\;\varepsilon ^{4}\!(t)\;$
$\;\varepsilon (t)$
suivant l'absence ou la présence de frottement fluide linéaire on obtient les conséquences suivantes :
* en absence de frottement fluide, il existe une intégrale 1ère énergétique suivie par l'oscillateur non amorti correspondant à la conservation de l'énergie mécanique $\;E_{m,\,M}(t)=E_{m,\,M}(0^{+})\;$ soit le D.L. à l'ordre quatre en $\;\varepsilon (t)\;$ suivant $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\left[{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(t)+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}}\;\varepsilon ^{4}\!(t)\right]+U(x_{\text{éq. st.}})\simeq$ $E_{m,\,M}(0^{+})\;$ avec $\;E_{m,\,M}(0^{+})\simeq$ ${\dfrac {1}{2}}\;m\left[{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}}\;\varepsilon ^{4}\!(0^{+})\right]+U(x_{\text{éq. st.}})\;$, D.L. définissant l'« approximation anharmonique de l'oscillateur non linéaire (et non amorti) » sous forme énergétique $\;{\Bigg \$sa nature oscillatoire puis périodique avec sa « période des petites élongations » sous forme intégrale seront explicitées au paragraphe « établissement de la nature oscillatoire puis périodique des petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable dans l'approximation anharmonique d'un oscillateur non linéaire (non amorti) et expression intégrale de la période des petites oscillations » plus bas dans ce chapitre${\big )}$, l'amplitude $\;X_{m}\;$ des petites oscillations (non sinusoïdales) se déterminant à l'aide de son énergie mécanique initiale par $\;{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{24}}\;X_{m}^{4}+U(x_{\text{éq. st.}})=E_{m,\,M}(0^{+})\;$ $\Rightarrow$ $\;X_{m}=$ ${\sqrt[{4}]{\dfrac {24\left[E_{m,\,M}(0^{+})-U(x_{\text{éq. st.}})\right]}{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}}}{\Bigg \}$ ;
* en présence de frottement fluide linéaire, l'intégrale 1ère énergétique doit être remplacée par le résultat de l'application à l'oscillateur amorti du théorème de la puissance mécanique à savoir $\;{\dfrac {dE_{m,\,M}}{dt}}(t)={\mathcal {P}}\!\left[{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}\right]\!(t)\;$ avec $\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}\!(t)=-h\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ $\Rightarrow$ $\;{\mathcal {P}}\!\left[{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}\right]\!(t)=-h\;{\dot {x}}^{2}\!(t)=-h\;{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(t)\;$ d'où, avec $\;E_{m,\,M}(t)\simeq$ ${\dfrac {1}{2}}\;m\left[{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(t)+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}}\;\varepsilon ^{4}\!(t)\right]+U(x_{\text{éq. st.}})\;$ à l'ordre quatre en $\;\varepsilon (t)$, sa dérivation temporelle conduisant à $\;{\dfrac {dE_{m,\,M}}{dt}}(t)\simeq$ ${\dfrac {1}{2}}\;m\left[2\;{\dot {\varepsilon }}(t)\;{\ddot {\varepsilon }}(t)+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{3\;m}}\;\varepsilon ^{3}\!(t)\;{\dot {\varepsilon }}(t)\right]$, l'équation différentielle approchée du 2ème ordre en $\;\varepsilon (t)\;$ de l'oscillateur amorti s'écrit, après simplification par $\;{\dot {\varepsilon }}(t)\;$ non identiquement nulle, selon $\;m\left[{\ddot {\varepsilon }}(t)+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{6\;m}}\;\varepsilon ^{3}\!(t)\right]=-h\;{\dot {\varepsilon }}(t)\;$ soit encore, après transposition dans un même membre de gauche et normalisation, $\;{\ddot {\varepsilon }}(t)+{\dfrac {h}{m}}\;{\dot {\varepsilon }}(t)+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{6\;m}}\;\varepsilon ^{3}\!(t)=0\;$, D.L. à l'ordre trois en $\;\varepsilon (t)\;$ définissant l'« approximation anharmonique de l'oscillateur non linéaire (et amorti) » après application du théorème énergétique.

### Cas d'une force « motrice » « s'appliquant tangentiellement sur la trajectoire circulaire de rayon R décrite par le point subissant la force » dérivant de l'énergie potentielle « U(M) = U(θ) » dont le D.L. à l'ordre le plus bas non nul autre que zéro au voisinage de l'équilibre stable est non parabolique

Nous sommes donc dans le cas $\;U''(\theta _{\text{éq. st.}})=0$ $\;{\big\theta _{\text{éq. st.}}\;$ étant l'abscisse angulaire de la position d'équilibre stable étudiée${\big ]}$, $\;U'''(\theta _{\text{éq. st.}})=0\;$ ainsi que $\;U^{(IV)}(\theta _{\text{éq. st.}})>0$ $\;{\big$usuellement réalisé dans le cas d'une nature non parabolique autour d'un équilibre stable${\big ]}$, mais $\;U(\theta _{\text{éq. st.}})\;$ a priori $\;\neq 0$ $\;{\big$sauf si sa référence est choisie en cette position d'équilibre${\big ]}$, l'ordre le plus bas non nul autre que zéro du D.L. de l'énergie potentielle dont dérive la force « motrice » (hors frottement fluide) au voisinage de l'équilibre stable est donc « quatre » soit, en notant $\;\varepsilon (t)=\theta (t)-\theta _{\text{éq. st.}}$, le D.L. de $\;U(\theta )\;$ au voisinage de l'équilibre stable d'abscisse angulaire $\;\theta _{\text{éq. st.}}\;$ s'écrit selon
$\;U(\theta )\simeq U(\theta _{\text{éq. st.}})+\,{\cancel {U'(\theta _{\text{éq. st.}})\;\varepsilon \,+}}\,{\cancel {{\dfrac {U''(\theta _{\text{éq. st.}})}{2}}\;\varepsilon ^{2}+{\dfrac {U'''(\theta _{\text{éq. st.}})}{6}}\;\varepsilon ^{3}\,+}}\,{\dfrac {U^{(IV)}(\theta _{\text{éq. st.}})}{24}}\;\varepsilon ^{4}\;$
$\;U^{(IV)}(\theta _{\text{éq. st.}})>0\;$
L'énergie cinétique du point matériel $\;M\;$ de masse $\;m\;$ s'écrivant, à l'instant $\;t$, selon $\;K_{M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;$ ou, avec $\;\varepsilon (t)=\theta (t)-\theta _{\text{éq. st.}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dot {\varepsilon }}(t)={\dot {\theta }}(t)$, selon $\;K_{M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\;{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(t)$, nous en déduisons l'expression approchée de l'énergie mécanique $\;E_{m,\,M}(t)\;$ du point matériel $\;M\;$ au voisinage de l'équilibre stable d'abscisse angulaire $\;\theta _{\text{éq. st.}}\;$
$\;E_{m,\,M}(t)\simeq {\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\;{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(t)+U(\theta _{\text{éq. st.}})+{\dfrac {U^{(IV)}(\theta _{\text{éq. st.}})}{24}}\;\varepsilon ^{4}\!(t)\;$
$\;\varepsilon (t)$
suivant l'absence ou la présence de frottement fluide linéaire on obtient les conséquences suivantes :
* en absence de frottement fluide, il existe une intégrale 1ère énergétique suivie par l'oscillateur non amorti correspondant à la conservation de l'énergie mécanique $\;E_{m,\,M}(t)=E_{m,\,M}(0^{+})\;$ soit le D.L. à l'ordre quatre en $\;\varepsilon (t)\;$ suivant $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\left[{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(t)+{\dfrac {U^{(IV)}(\theta _{\text{éq. st.}})}{12\;m\;R^{2}}}\;\varepsilon ^{4}\!(t)\right]+U(\theta _{\text{éq. st.}})\simeq$ $E_{m,\,M}(0^{+})\;$ avec $\;E_{m,\,M}(0^{+})$ $\simeq {\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\left[{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+{\dfrac {U^{(IV)}(\theta _{\text{éq. st.}})}{12\;m\;R^{2}}}\;\varepsilon ^{4}\!(0^{+})\right]+U(\theta _{\text{éq. st.}})\;$, D.L. définissant l'« approximation anharmonique de l'oscillateur non linéaire (et non amorti) » sous forme énergétique $\;{\Bigg \$sa nature oscillatoire puis périodique ainsi que sa « période des petites élongations » sous forme intégrale seront explicitées au paragraphe « établissement de la nature oscillatoire puis périodique des petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable dans l'approximation anharmonique d'un oscillateur non linéaire (non amorti) et expression intégrale de la période des petites oscillations » plus bas dans ce chapitre${\big )}$, l'amplitude $\;\theta _{m}\;$ des petites oscillations (non sinusoïdales) se déterminant à l'aide de son énergie mécanique initiale par $\;{\dfrac {U^{(IV)}(\theta _{\text{éq. st.}})}{24}}\;\theta _{m}^{4}+U(\theta _{\text{éq. st.}})=E_{m,\,M}(0^{+})\;$ $\Rightarrow$ $\;\theta _{m}=$ ${\sqrt[{4}]{\dfrac {24\left[E_{m,\,M}(0^{+})-U(\theta _{\text{éq. st.}})\right]}{U^{(IV)}(\theta _{\text{éq. st.}})}}}{\Bigg \}$ ;
* en présence de frottement fluide linéaire, l'intégrale 1ère énergétique doit être remplacée par le résultat de l'application à l'oscillateur amorti du théorème de la puissance mécanique à savoir $\;{\dfrac {dE_{m,\,M}}{dt}}(t)={\mathcal {P}}\!\left[{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}\right]\!(t)\;$ avec $\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}\!(t)=-h\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ $\Rightarrow$ $\;{\mathcal {P}}\!\left[{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}\right]\!(t)=-h\;R^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)=-h\;R^{2}\;{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(t)\;$ d'où, avec $\;E_{m,\,M}(t)\simeq$ ${\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\left[{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(t)+{\dfrac {U^{(IV)}(\theta _{\text{éq. st.}})}{12\;m\;R^{2}}}\;\varepsilon ^{4}\!(t)\right]+U(\theta _{\text{éq. st.}})\;$ à l'ordre quatre en $\;\varepsilon (t)$, sa dérivation temporelle conduisant à $\;{\dfrac {dE_{m,\,M}}{dt}}(t)\simeq$ ${\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\left[2\;{\dot {\varepsilon }}(t)\;{\ddot {\varepsilon }}(t)+{\dfrac {U^{(IV)}(\theta _{\text{éq. st.}})}{3\;m\;R^{2}}}\;\varepsilon ^{3}\!(t)\;{\dot {\varepsilon }}(t)\right]$, l'équation différentielle approchée du 2ème ordre en $\;\varepsilon (t)\;$ de l'oscillateur amorti s'écrit, après simplification par $\;{\dot {\varepsilon }}(t)\;$ non identiquement nulle, selon $\;m\;R^{2}\left[{\ddot {\varepsilon }}(t)+{\dfrac {U^{(IV)}(\theta _{\text{éq. st.}})}{6\;m\;R^{2}}}\;\varepsilon ^{3}\!(t)\right]=-h\;R^{2}\;{\dot {\varepsilon }}(t)\;$ soit encore, après transposition dans un même membre de gauche et normalisation, $\;{\ddot {\varepsilon }}(t)+{\dfrac {h}{m}}\;{\dot {\varepsilon }}(t)+{\dfrac {U^{(IV)}(\theta _{\text{éq. st.}})}{6\;m\;R^{2}}}\;\varepsilon ^{3}\!(t)=0\;$, D.L. à l'ordre trois en $\;\varepsilon (t)\;$ définissant l'« approximation anharmonique de l'oscillateur non linéaire (et amorti) » après application du théorème énergétique.

### Établissement de la nature oscillatoire puis périodique des petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable dans l'approximation anharmonique d'un oscillateur non linéaire (non amorti) et expression intégrale de la période des petites oscillations

Même démarche que celle exposée dans les paragraphes « déterminations de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique » et « de sa nature périodique avec expression de sa période sous forme intégrale » du chap.$17$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » pour l'étude du P.P.S.N.A. à un degré de liberté dans le cadre des mouvements non nécessairement petits.

#### Établissement de la nature oscillatoire des petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable dans l'approximation anharmonique d'un oscillateur non linéaire (non amorti)

En absence de frottement fluide, il existe une intégrale 1ère énergétique suivie par l'oscillateur non linéaire et non amorti dans son approximation anharmonique des petits mouvements autour de la position d'équilibre stable d'abscisse $\;x_{\text{éq. st.}}$ $\;{\big \$ou d'abscisse angulaire $\;\theta _{\text{éq. st.}}{\big \}$ correspondant à la conservation de l'énergie mécanique $\;E_{m,\,M}(t)=E_{m,\,M}(0^{+})\;$ soit le D.L. à l'ordre quatre en $\;\varepsilon (t)\;$ suivant $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\left[{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(t)+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}}\;\varepsilon ^{4}\!(t)\right]+U(x_{\text{éq. st.}})$ $\simeq E_{m,\,M}(0^{+})\;$ avec $\;E_{m,\,M}(0^{+})\simeq$ ${\dfrac {1}{2}}\;m\left[{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}}\;\varepsilon ^{4}\!(0^{+})\right]+U(x_{\text{éq. st.}})\;$ $\;{\Bigg \$ou, si la trajectoire de $\;M\;$ est circulaire de rayon $\;R\;$ avec $\;\theta \;$ comme paramètre de position, $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\left[{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(t)+{\dfrac {U^{(IV)}(\theta _{\text{éq. st.}})}{12\;m\;R^{2}}}\;\varepsilon ^{4}\!(t)\right]+U(\theta _{\text{éq. st.}})\simeq E_{m,\,M}(0^{+})\;$ avec l'énergie mécanique initiale $\;E_{m,\,M}(0^{+})\simeq$ ${\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\left[{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+{\dfrac {U^{(IV)}(\theta _{\text{éq. st.}})}{12\;m\;R^{2}}}\;\varepsilon ^{4}\!(0^{+})\right]+U(\theta _{\text{éq. st.}})\;$${\Bigg \}$ ;
En absence de frottement fluide, pour établir la nature oscillatoire des petits mouvements de l'oscillateur non linéaire et non amorti dans son approximation anharmonique autour de la position d'équilibre stable étudiée on trace le diagramme d'énergies potentielle et mécanique correspondant $\;{\big$voir ci-dessous${\big )}\;$ à savoir, sur un même repère d'abscisses $\;x$ $\;{\big \$ou d'abscisses angulaires $\;\theta {\big \}$ et d'ordonnées l'énergie potentielle $\;U(M)\;$ ou l'énergie mécanique $\;E_{m,\,M}$,
* la courbe d'énergie potentielle $\;(\Gamma _{u})$, ensemble des points $\;P_{u}\;$ d'abscisse $\;x\;$ et d'ordonnée $\;U(x)\simeq U(x_{\text{éq. st.}})+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{24}}\;\varepsilon ^{4}\!(t)\;$ avec $\;\varepsilon (t)=$ $x(t)-x_{\text{éq. st.}}$ $\;{\Bigg \$ou ensemble des points $\;P_{u}\;$ d'abscisse angulaire $\;\theta \;$ et d'ordonnée $\;U(\theta )\simeq U(\theta _{\text{éq. st.}})+{\dfrac {U^{(IV)}(\theta _{\text{éq. st.}})}{24}}\;\varepsilon ^{4}\!(t)\;$ avec $\;\varepsilon (t)=\theta (t)-\theta _{\text{éq. st.}}{\Bigg \}$ et
* la courbe d'énergie mécanique $\;(\Gamma _{m})$, ensemble des points $\;P_{m}\;$ d'abscisse $\;x\;$ et d'ordonnée $\;E_{m,\,M}=$ $E_{m,\,M}(0^{+})\;$ avec $\;E_{m,\,M}(0^{+})\simeq {\dfrac {1}{2}}\;m\left[{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}}\;\varepsilon ^{4}\!(0^{+})\right]+U(x_{\text{éq. st.}})\;$ $\;{\Bigg \$ou ensemble des points $\;P_{m}\;$ d'abscisse angulaire $\;\theta \;$ et d'ordonnée $\;E_{m,\,M}=E_{m,\,M}(0^{+})\;$ avec $\;E_{m,\,M}(0^{+})\simeq$ ${\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\left[{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+{\dfrac {U^{(IV)}(\theta _{\text{éq. st.}})}{12\;m\;R^{2}}}\;\varepsilon ^{4}\!(0^{+})\right]+U(x_{\text{éq. st.}})\;$${\Bigg \}$ ;
En absence de frottement fluide, constatant l'existence de deux murs d'énergie potentielle situés symétriquement l'un de l'autre relativement à l'abscisse d'équilibre $\;x_{\text{éq. st.}}$ $\;{\big \$ou à l'abscisse angulaire d'équilibre $\;\theta _{\text{éq. st.}}{\big \}$ nous en déduisons que la trajectoire de $\;M\;$ est « cinétiquement bornée » correspondant à un « état lié » et assurant un mouvement « oscillatoire » sur l'intervalle $\;\left[x_{\text{éq. st.}}-X_{m}\,,\,x_{\text{éq. st.}}+X_{m}\right]$ $\;{\Big \$ou un mouvement « oscillatoire » sur l'intervalle $\;\left[\theta _{\text{éq. st.}}-\theta _{m}\,,\,\theta _{\text{éq. st.}}+\theta _{m}\right]{\Big \}$.

#### Établissement de la nature périodique des petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable dans l'approximation anharmonique d'un oscillateur non linéaire (non amorti) et expression intégrale de la période des petites oscillations

Pour déterminer la nature périodique des petits mouvements de l'oscillateur « non linéaire » et non amorti dans son approximation anharmonique autour de la position d'équilibre stable étudiée, on utilise simultanément son intégrale 1ère énergétique et son diagramme d'énergies potentielle et mécanique, de façon à montrer que la durée correspondant au nème aller-retour des points $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ sur $\;(\Gamma _{u})\;$ et $\;(\Gamma _{m})\;$ de $\;P_{1}\rightarrow {P'}_{1}\rightarrow P_{1}\;$ est indépendant du numéro $\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$ de l'aller-retour :
* par intégrale 1ère énergétique $\;E_{m,\,M}(t)=E_{m,\,0}\;$ avec $\;E_{m,\,0}\simeq {\dfrac {1}{2}}\;m\left[{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}}\;\varepsilon ^{4}\!(0^{+})\right]+U(x_{\text{éq. st.}})\;$ et $\;E_{m,\,M}(t)\simeq$ ${\dfrac {1}{2}}\;m\left[{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(t)+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}}\;\varepsilon ^{4}\!(t)\right]+U(x_{\text{éq. st.}})\;$ dans laquelle $\;\varepsilon (t)=x(t)-x_{\text{éq. st.}}\;$ et $\;{\dot {\varepsilon }}(t)={\dot {x}}(t)$ $\;{\Bigg \$ou, si la trajectoire de $\;M\;$ est circulaire de rayon $\;R\;$ avec $\;\theta \;$ comme paramètre de position, $\;E_{m,\,0}\simeq {\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\left[{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+{\dfrac {U^{(IV)}(\theta _{\text{éq. st.}})}{12\;m\;R^{2}}}\;\varepsilon ^{4}\!(0^{+})\right]+U(\theta _{\text{éq. st.}})\;$ et $\;E_{m,\,M}(t)\simeq$ ${\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\left[{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(t)+{\dfrac {U^{(IV)}(\theta _{\text{éq. st.}})}{12\;m\;R^{2}}}\;\varepsilon ^{4}\!(t)\right]+U(\theta _{\text{éq. st.}})\;$ avec $\;\varepsilon (t)=\theta (t)-\theta _{\text{éq. st.}}\;$ et $\;{\dot {\varepsilon }}(t)={\dot {\theta }}(t){\Bigg \}$, on tire $\;{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(t)\simeq$ ${\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}}\left[\varepsilon ^{4}\!(0^{+})-\varepsilon ^{4}\!(t)\right]\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dot {\varepsilon }}(t)={\dfrac {d\varepsilon }{dt}}(t)\simeq \pm {\sqrt {{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}}\left[\varepsilon ^{4}\!(0^{+})-\varepsilon ^{4}\!(t)\right]}}\;$ soit finalement l'expression de la durée élémentaire $\;dt\;$ correspondant à une variation élémentaire $\;d\varepsilon \;$ de l'écart d'abscisse relativement à $\;x_{\text{éq. st.}}\;$ du point $\;M\;$ selon $\;dt\simeq$ $\pm {\dfrac {d\varepsilon }{\sqrt {{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}}\left[\varepsilon ^{4}\!(0^{+})-\varepsilon ^{4}\!(t)\right]}}}\;$$^,$ $\;{\Bigg \$ou $\;dt\simeq \pm {\dfrac {d\varepsilon }{\sqrt {{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+{\dfrac {U^{(IV)}(\theta _{\text{éq. st.}})}{12\;m\;R^{2}}}\left[\varepsilon ^{4}\!(0^{+})-\varepsilon ^{4}\!(t)\right]}}}\;$$^,$${\Bigg \}$, puis
* par diagramme d'énergies potentielle et mécanique on fait le choix entre $\;+\;$ et $\;-\;$ suivant le sens de déplacement des points $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ dans la cuvette (ou puits) d'énergie potentielle soit math>\;\succ\;</math>pour le nème aller des points $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ de $\;P_{1}\;$ à $\;{P'}_{1}$, $\;\varepsilon \searrow \;$ d'où $\;d\varepsilon \;$ correspondant à $\;dt>0\;$ est $\;<0$, ce qui permet de déduire $\;dt\simeq$ $-{\dfrac {d\varepsilon }{\sqrt {{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}}\left[\varepsilon ^{4}\!(0^{+})-\varepsilon ^{4}\!(t)\right]}}}\;$, la durée totale du nème aller s'obtenant par intégration de $\;X_{m}\;$ à $\;-X_{m}\;$ soit $\;\Delta t_{P_{1}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,{P'}_{1}}\simeq$ $\displaystyle \int _{X_{m}}^{-X_{m}}-{\dfrac {d\varepsilon }{\sqrt {{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}}\left[\varepsilon ^{4}\!(0^{+})-\varepsilon ^{4}\right]}}}$ $=\displaystyle \int _{-X_{m}}^{X_{m}}{\dfrac {d\varepsilon }{\sqrt {{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}}\left[\varepsilon ^{4}\!(0^{+})-\varepsilon ^{4}\right]}}}\;$ $\;{\Bigg \$ou, par intégration de $\;\theta _{m}\;$ à $\;-\theta _{m}\;$ soit $\;\Delta t_{P_{1}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,{P'}_{1}}\;{\overset {\ldots }{\simeq }}\;\displaystyle \int _{-\theta _{m}}^{\theta _{m}}{\dfrac {d\varepsilon }{\sqrt {{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+{\dfrac {U^{(IV)}(\theta _{\text{éq. st.}})}{12\;m\;R^{2}}}\left[\varepsilon ^{4}\!(0^{+})-\varepsilon ^{4}\right]}}}\;$${\Bigg \}$ ainsi que $\;\succ \;$pour le nème retour des points $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ de $\;{P'}_{1}\;$ à $\;P_{1}$, $\;\varepsilon \nearrow \;$ d'où $\;d\varepsilon \;$ correspondant à $\;dt>0\;$ est $\;>0$, ce qui permet de déduire $\;dt\simeq$ ${\dfrac {d\varepsilon }{\sqrt {{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}}\left[\varepsilon ^{4}\!(0^{+})-\varepsilon ^{4}\!(t)\right]}}}\;$, la durée totale du nème retour s'obtenant par intégration de $\;-X_{m}\;$ à $\;X_{m}\;$ soit $\;\Delta t_{{P'}_{1}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,P_{1}}\simeq$ $\displaystyle \int _{-X_{m}}^{X_{m}}{\dfrac {d\varepsilon }{\sqrt {{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}}\left[\varepsilon ^{4}\!(0^{+})-\varepsilon ^{4}\right]}}}=\Delta t_{P_{1}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,{P'}_{1}}\;$ $\;{\Bigg \$ou, par intégration de $\;-\theta _{m}\;$ à $\;\theta _{m}\;$ soit $\;\Delta t_{{P'}_{1}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,P_{1}}\;{\overset {\ldots }{\simeq }}\;$ $\displaystyle \int _{-\theta _{m}}^{\theta _{m}}{\dfrac {d\varepsilon }{\sqrt {{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+{\dfrac {U^{(IV)}(\theta _{\text{éq. st.}})}{12\;m\;R^{2}}}\left[\varepsilon ^{4}\!(0^{+})-\varepsilon ^{4}\right]}}}=\Delta t_{P_{1}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,{P'}_{1}}\;$${\Bigg \}$ d'où $\;\succ \;$la durée de la nème oscillation du point $\;M$, $\;\Delta t_{P_{1}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,{P'}_{1}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,P_{1}}=\Delta t_{P_{1}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,{P'}_{1}}+\Delta t_{{P'}_{1}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,P_{1}}=2\;\Delta t_{P_{1}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,{P'}_{1}}\;$ soit finalement $\;\Delta t_{P_{1}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,{P'}_{1}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,P_{1}}\simeq$ $2\;\displaystyle \int _{-X_{m}}^{X_{m}}{\dfrac {d\varepsilon }{\sqrt {{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}}\left[\varepsilon ^{4}\!(0^{+})-\varepsilon ^{4}\right]}}}\;$ $\;{\Bigg \$ou, si la trajectoire de $\;M\;$ est circulaire de rayon $\;R\;$ avec $\;\theta \;$ comme paramètre de position, $\;\Delta t_{P_{1}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,{P'}_{1}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,P_{1}}\simeq 2\;\displaystyle \int _{-\theta _{m}}^{\theta _{m}}{\dfrac {d\varepsilon }{\sqrt {{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+{\dfrac {U^{(IV)}(\theta _{\text{éq. st.}})}{12\;m\;R^{2}}}\left[\varepsilon ^{4}\!(0^{+})-\varepsilon ^{4}\right]}}}\;$${\Bigg \}$ indépendante de $\;n$ $\;{\big$la fonction à intégrer et les bornes d'intégration en étant indépendantes${\big )}$, ce qui établit la nature périodique des petits mouvements de l'oscillateur « non linéaire » et non amorti dans son approximation anharmonique autour de la position d'équilibre stable étudiée.
La période $\;{\mathcal {T}}\;$ des petits mouvements de l'oscillateur « non linéaire » et non amorti dans son approximation anharmonique autour de la position d'équilibre stable étudiée étant la durée d'un aller-retour quelconque des points $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ de $\;P_{1}\;$ à $\;P_{1}\;$ en passant par $\;{P'}_{1}\;$ s'écrit, sous forme intégrale, selon $\;{\mathcal {T}}=$ $\Delta t_{P_{1}\,\rightarrow \,{P'}_{1}\,\rightarrow \,P_{1}}$ $\simeq 2\;\displaystyle \int _{-X_{m}}^{X_{m}}{\dfrac {d\varepsilon }{\sqrt {{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}}\left[\varepsilon ^{4}\!(0^{+})-\varepsilon ^{4}\right]}}}=4\;\displaystyle \int _{0}^{X_{m}}{\dfrac {d\varepsilon }{\sqrt {{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}}\left[\varepsilon ^{4}\!(0^{+})-\varepsilon ^{4}\right]}}}\;$$^,$ ou, avec $\;E_{m,\,0}\simeq$ ${\dfrac {1}{2}}\;m\left[{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}}\;\varepsilon ^{4}\!(0^{+})\right]+U(x_{\text{éq. st.}})=E_{m,\,M}(t_{P_{1}})\simeq {\dfrac {1}{2}}\;m\left[{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}}\;X_{m}^{\,4}\right]+U(x_{\text{éq. st.}})\;$ dont on tire $\;{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}}\;\varepsilon ^{4}\!(0^{+})\simeq {\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}}\;X_{m}^{\,4}$, la réécriture de la période des petits mouvements de l'oscillateur « non linéaire » et non amorti dans son approximation anharmonique autour de la position d'équilibre stable étudiée selon
$\;{\mathcal {T}}\simeq 4\;\displaystyle \int _{0}^{X_{m}}{\dfrac {d\varepsilon }{\sqrt {{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}}\left[X_{m}^{\,4}-\varepsilon ^{4}\right]}}}=8\;{\sqrt {\dfrac {3\;m}{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}}}\;\displaystyle \int _{0}^{X_{m}}{\dfrac {d\varepsilon }{\sqrt {X_{m}^{\,4}-\varepsilon ^{4}}}}\;$
$\;{\Bigg \$
$\;M\;$
$\;R\;$
$\;\theta \;$
$\;{\mathcal {T}}\;{\overset {\ldots }{\simeq }}\;8\;{\sqrt {\dfrac {3\;m\;R^{2}}{U^{(IV)}(\theta _{\text{éq. st.}})}}}\;\displaystyle \int _{0}^{\theta _{m}}{\dfrac {d\varepsilon }{\sqrt {\theta _{m}^{\,4}-\varepsilon ^{4}}}}\;$
${\Bigg \}$
Remarque : Il y a « absence d'isochronisme » des petits mouvements de l'oscillateur « non linéaire » et non amorti dans son approximation anharmonique autour de la position d'équilibre stable étudiée car sa période $\;{\mathcal {T}}\;$ dépend effectivement de l'amplitude $\;X_{m}$ $\;{\big \$ou $\;\theta _{m}{\big \}$, en effet, si on effectue le changement de variable $\;u={\dfrac {\varepsilon }{X_{m}}}\;$ $\Rightarrow$ $\;d\varepsilon =X_{m}\;du$ $\;{\bigg \$ou $\;u={\dfrac {\varepsilon }{\theta _{m}}}\;$ $\Rightarrow$ $\;d\varepsilon =\theta _{m}\;du{\bigg \}$, on obtient $\;{\mathcal {T}}\simeq 8\;{\sqrt {\dfrac {3\;m}{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}}}\;\displaystyle \int _{0}^{1}{\dfrac {X_{m}\;du}{X_{m}^{\,2}\;{\sqrt {1-u^{4}}}}}\;$ soit encore $\;{\mathcal {T}}\simeq$ ${\dfrac {8}{X_{m}}}\;{\sqrt {\dfrac {3\;m}{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}}}\;\displaystyle \int _{0}^{1}{\dfrac {du}{\sqrt {1-u^{4}}}}$ $\;{\Bigg \$ou $\;{\mathcal {T}}\;{\overset {\ldots }{\simeq }}\;{\dfrac {8}{\theta _{m}}}\;{\sqrt {\dfrac {3\;m\;R^{2}}{U^{(IV)}(\theta _{\text{éq. st.}})}}}\;\displaystyle \int _{0}^{1}{\dfrac {du}{\sqrt {1-u^{4}}}}{\Bigg \}$ établissant que la période est plus précisément inversement proportionnelle à l'amplitude d'oscillations.
Remarque : L'intégrale généralisée $\;\displaystyle \int _{0}^{1}{\dfrac {du}{\sqrt {1-u^{4}}}}\;$ n'est pas algébriquement calculable avec les fonctions usuelles, on utilise un logiciel de calcul $\;{\big$comme Scilab${\big )}\;$ pour l'évaluer numériquement et on trouve $\;\displaystyle \int _{0}^{1}{\dfrac {du}{\sqrt {1-u^{4}}}}\simeq 1,311\;$ d'où $\;{\mathcal {T}}\simeq {\dfrac {18,17}{X_{m}}}\;{\sqrt {\dfrac {m}{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}}}$ $\;{\Bigg \$ou, si la trajectoire de $\;M\;$ est circulaire de rayon $\;R\;$ avec $\;\theta \;$ comme paramètre de position, $\;{\mathcal {T}}\simeq {\dfrac {18,17}{\theta _{m}}}\;{\sqrt {\dfrac {m\;R^{2}}{U^{(IV)}(\theta _{\text{éq. st.}})}}}{\Bigg \}$.

### Établissement de la nature pseudo-oscillatoire des petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable dans l'approximation anharmonique d'un oscillateur non linéaire faiblement amorti

En présence de frottement fluide linéaire, l'intégrale 1ère énergétique devant être remplacée par le résultat de l'application du théorème de la puissance mécanique à l'oscillateur amorti dans l'approximation anharmonique de ses petits mouvements autour de la position d'équilibre stable étudiée, cette application conduit à l'équation différentielle non linéaire du 2ème ordre en l'écart $\;\varepsilon (t)\;$ de l'abscisse de $\;M\;$ relativement à sa position d'équilibre stable,
$\;{\ddot {\varepsilon }}(t)+{\dfrac {h}{m}}\;{\dot {\varepsilon }}(t)+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{6\;m}}\;\varepsilon ^{3}\!(t)=0\;$
$\;{\Bigg \$
$\;{\ddot {\varepsilon }}(t)+{\dfrac {h}{m}}\;{\dot {\varepsilon }}(t)+{\dfrac {U^{(IV)}(\theta _{\text{éq. st.}})}{6\;m\;R^{2}}}\;\varepsilon ^{3}\!(t)=0\;$
${\Bigg \}$
cette équation n'ayant pas de solution algébrique utilisant les fonctions usuelles sollicite une résolution numérique par utilisation d'un logiciel de calcul $\;{\big$comme Scilab${\big )}\;$, résolution faite de façon à tracer la courbe d'énergie mécanique $\;(\Gamma _{m})\;$ du diagramme d'énergies potentielle et mécanique de l'oscillateur « non linéaire » faiblement amorti, dans le cadre de l'approximation anharmonique de ses petits mouvements autour de la position d'équilibre stable étudiée dont l'expression numérique de l'équation différentielle du 2ème ordre en $\;{\dfrac {\varepsilon }{X_{m}}}(t)$ $\;{\bigg \$ou en $\;{\dfrac {\varepsilon }{\theta _{m}}}(t){\bigg \}$ est $\;{\dfrac {\ddot {\varepsilon }}{X_{m}}}(t)+0,1\;{\dfrac {\dot {\varepsilon }}{X_{m}}}(t)+4\,\left({\dfrac {\varepsilon }{X_{m}}}\right)^{\!\!3}\!(t)=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\ddot {\varepsilon }}(t)+0,1\;{\dot {\varepsilon }}(t)+{\dfrac {4}{X_{m}^{2}}}\;\varepsilon ^{3}\!(t)=0\;$ associé à $\;\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {h}{m}}\!\!&=&\!\!0,1\;s^{-1}\\{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{6\;m}}\!\!&=&\!\!{\dfrac {4}{X_{m}^{2}}}\;s^{-2}\cdot m^{-2}\end{array}}\right]\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {h}{m}}\!\!&=&\!\!0,1\;s^{-1}\\{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{m}}\!\!&=&\!\!{\dfrac {24}{X_{m}^{2}}}\;s^{-2}\cdot m^{-2}\end{array}}\right]$ $\;{\Bigg \$ou $\;{\dfrac {\ddot {\varepsilon }}{\theta _{m}}}(t)+0,1\;{\dfrac {\dot {\varepsilon }}{\theta _{m}}}(t)+4\,\left({\dfrac {\varepsilon }{\theta _{m}}}\right)^{\!\!3}\!(t)=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\ddot {\varepsilon }}(t)+0,1\;{\dot {\varepsilon }}(t)+{\dfrac {4}{\theta _{m}^{2}}}\;\varepsilon ^{3}\!(t)=0\;$ correspondant à $\;\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {h}{m}}\!\!&=&\!\!0,1\;s^{-1}\\{\dfrac {U^{(IV)}(\theta _{\text{éq. st.}})}{6\;m\;R^{2}}}\!\!&=&\!\!{\dfrac {4}{\theta _{m}^{2}}}\;s^{-2}\end{array}}\right]\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {h}{m}}\!\!&=&\!\!0,1\;s^{-1}\\{\dfrac {U^{(IV)}(\theta _{\text{éq. st.}})}{m}}\!\!&=&\!\!{\dfrac {24\;R^{2}}{\theta _{m}^{2}}}\;m^{2}\cdot s^{-2}\end{array}}\right]{\Bigg \}$ et conduisant au diagramme d'énergies potentielle et mécanique ci-dessous :
on y observe des allers-retours des points $\;P_{m}\;$ et $\;P_{u}$, respectivement sur $\;(\Gamma _{m})\;$ et $\;(\Gamma _{u})$, entre des murs d’énergie potentielle de plus en plus proches de la position d'équilibre stable caractérisant
* une trajectoire (cinétiquement) bornée de l'oscillateur « non linéaire » faiblement amorti dans l'approximation anharmonique de ses petits mouvements autour de la position d'équilibre stable ainsi que
* des pseudo-oscillations (non sinusoïdales) dont la pseudo-amplitude étant la valeur absolue de la différence entre l'abscisse du mur d'énergie potentielle considéré et celle de la position d'équilibre est effectivement une fonction $\;\searrow \;$ du temps dont la limite au bout d'une durée théoriquement infinie est nulle.
Remarque : sur le diagramme d'énergies potentielle et mécanique ci-contre, on constate que la $\;\searrow \;$ de la pseudo-amplitude est d'autant plus prononcée que l'abscisse du mur de l'énergie potentielle considéré est proche de celle de la position d'équilibre stable, ceci étant dû à la forme de la cuvette d'énergie potentielle non parabolique.

## Approche numérique : utiliser les résultats fournis par une méthode numérique pour mettre en évidence des effets non linéaires

But recherché : Il s'agit d'observer les effets non linéaires dans les petits mouvements d'un oscillateur « non linéaire » (amorti ou non) autour d'une position d'équilibre stable, l'approximation des petits mouvements dans le voisinage de cette dernière devant être anharmonique ;
But recherché : nous allons rappeler, dans le prochain paragraphe, l'observation des effets non linéaires dans les mouvements non petits d'un oscillateur « non linéaire » (non amorti) autour d'une position d'équilibre stable sur l'exemple du P.P.S.N.A. à un degré de liberté, de façon à visualiser ces effets non linéaires que nous retrouverons dans les petits mouvements d'un oscillateur « non linéaire » (non amorti) autour d'une position d'équilibre stable si l'approximation des petits mouvements dans le voisinage de cette dernière est anharmonique.

### Rappel : effets non linéaires d'un P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté écarté de sa position d'équilibre stable d'un écart non petit et lâché sans vitesse initiale

Revoir le paragraphe « résolution numérique d'un P.P.S. dans les C.I. 1a avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant » du chap.$12$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » pour les lignes de programme de Scilab, les tracés et commentaires étant rappelés ci-contre et ci-dessous :
Commentaires : Il est très difficile sur le diagramme horaire de position $\;{\big$ci-contre${\big )}\;$ d'observer que la fonction « élongation angulaire » n'est pas sinusoïdale et pourtant elle ne l'est pas $\;\ldots$
Commentaires : Par contre sur le diagramme horaire de vitesse $\;{\big$ci-dessous à gauche${\big )}\;$ on observe nettement que la fonction « vitesse angulaire » n’est pas sinusoïdale $\;{\big$elle est plus proche d'une fonction triangulaire${\big )}\;$ et cela implique que la fonction primitive « élongation angulaire » n'est pas non plus sinusoïdale.
Commentaires : On observe aussi une légère déformation du portrait de phase $\;{\big$ci-dessous à droite${\big )}\;$ relativement à celui des « petites élongations angulaires » $\;{\big$lequel, rappelons-le, est une ellipse centrée au point origine $\;\left(0\,,\,0\right)\;$ et ayant pour axes les axes du repère${\big ]}$, la courbe gardant les propriétés de fermeture, de symétrie centrale relativement au point origine $\;\left(0\,,\,0\right)\;$ et d'antisymétries axiales relativement aux axes du repère.

### Résolution numérique d'un oscillateur « non linéaire » (amorti ou non) dans le cadre de petits mouvements autour d'une position d'équilibre stable correspondant à une approximation anharmonique et observations des effets non linéaires

L'équation différentielle d'un oscillateur « non linéaire » non amorti dans l'approximation anharmonique de ses petits mouvements autour de la position d'équilibre stable étudiée, équation du 2ème ordre en l'écart $\;\varepsilon (t)\;$ de l'abscisse de $\;M\;$ relativement à sa position d'équilibre stable en considérant $\;h=0\;$ s'écrivant
$\;{\ddot {\varepsilon }}(t)+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{6\;m}}\;\varepsilon ^{3}\!(t)=0\;$
$\;{\Bigg \$
$\;{\ddot {\varepsilon }}(t)+{\dfrac {U^{(IV)}(\theta _{\text{éq. st.}})}{6\;m\;R^{2}}}\;\varepsilon ^{3}\!(t)=0\;$
${\Bigg \}$
nous nous intéressons uniquement à l'oscillateur « non linéaire » unidirectionnel selon l'axe $\;x'x\;$ d'équation différentielle $\;{\ddot {\varepsilon }}(t)+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{6\;m}}\;\varepsilon ^{3}\!(t)=0\;$ avec $\;\varepsilon (t)=x(t)-x_{\text{éq. st.}}\;$ dans laquelle $\;{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{6\;m}}={\dfrac {4}{X_{m}^{2}}}\;s^{-2}\cdot m^{-2}\;$ soit $\;{\ddot {\varepsilon }}(t)+{\dfrac {4}{X_{m}^{2}}}\;\varepsilon ^{3}\!(t)=0\;$ ou, en écrivant l'équation différentielle en $\;\varepsilon '={\dfrac {\varepsilon }{X_{m}}}$,
$\;{\ddot {\varepsilon '}}(t)+4\;{\varepsilon '}^{3}\!(t)=0$
la résolution numérique par utilisation du logiciel de calcul Scilab est présentée ci-dessous avec pour C.I. $\;\varepsilon (0)=X_{m}\;$ et $\;{\dot {\varepsilon }}(0)=0$, les lignes de programme étant
$\;\succ \;$pour tracer le diagramme de position ci-contre
coef_x_3=4;
x0=1;
der_x_0=0;
clf
deff('xdot=fct(t,x)','xdot(1)=x(2);xdot(2)=-coef_x_3*(x(1))^3')
t0=0;v0=[x0;der_x_0];t=0 :0.1 :6;
u=ode(v0,t0,t,fct);
x1=u(1,:);
v1=u(2,:);
plot(t,x1);
$\;\succ \;$pour tracer le diagramme de vitesse ci-contre
drawlater
clf
plot(t,v1);
drawnow
$\;\succ \;$pour tracer le portrait de phase ci-contre
drawlater
clf
plot(x1,v1);
drawnow
Effets non linéaires des petits mouvements de l'approximation anharmonique d'un oscillateur non linéaire non amorti (et comparaison avec les effets non linéaires d'un oscillateur non linéaire non amorti avec écart non petit relativement à sa position d'équilibre stable) : on constate
* que le diagramme de position est plus nettement triangularisé que celui avec écart non petit,
* que le diagramme de vitesse qui était assez nettement triangularisé dans le cas d'un écart non petit est ici plus proche d'un signal trapézoïdal et
* que le portrait de phase est plus nettement rectangularisé que celui avec écart non petit.
Nous reprenons l'étude avec un léger amortissement $\;{\dfrac {h}{m}}=0,1\;s^{-1}$, essentiellement dans le but d'obtenir le tracé du diagramme d'énergies potentielle et mécanique fourni au paragraphe « établissement de la nature pseudo-oscillatoire des petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable dans l'approximation anharmonique d'un oscillateur non linéaire faiblement amorti » plus haut dans ce chapitre, l'équation différentielle de cet oscillateur non linéaire amorti dans l'approximation anharmonique des petits mouvements autour de la position d'équilibre stable étudiée $\;{\ddot {\varepsilon }}(t)+{\dfrac {h}{m}}\;{\dot {\varepsilon }}(t)+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{6\;m}}\;\varepsilon ^{3}\!(t)=0\;$ soit numériquement $\;{\ddot {\varepsilon }}(t)+0,1\;{\dot {\varepsilon }}(t)+{\dfrac {4}{X_{m}^{2}}}\;\varepsilon ^{3}\!(t)$ $=0\;$ ou, avec $\;\varepsilon '={\dfrac {\varepsilon }{X_{m}}}$, s'écrivant sous forme réduite $\;{\ddot {\varepsilon '}}(t)+0,1\;{\dot {\varepsilon '}}(t)+4\;{\varepsilon '}^{3}\!(t)=0$ ;
ci-dessous les lignes de programme de Scilab pour résoudre numériquement cette équation avec les mêmes C.I. $\;\varepsilon (0)=$ $X_{m}\;$ et $\;{\dot {\varepsilon }}(0)=0$, de façon à tracer successivement les diagrammes de position, de vitesse, le portrait de phase et le diagramme d'énergies potentielle et mécanique
$\;\succ \;$pour tracer le diagramme de position ci-contre
coef_x_3=4;
H=0.1;
x0=1;
der_x_0=0;
clf
deff('xdot=fct(t,x)','xdot(1)=x(2);xdot(2)=-H*x(2)-coef_x_3*(x(1))^3')
t0=0;v0=[x0;der_x_0];t=0 :0.1 :50;
u=ode(v0,t0,t,fct);
x1=u(1,:);
v1=u(2,:);
plot(t,x1);
$\;\succ \;$pour tracer le diagramme de vitesse ci-contre
drawlater
clf
plot(t,v1);
drawnow
1$_{ères}$ observations sur les diagrammes de position et de vitesse : en plus des effets non linéaires déjà constatés sur l'approximation anharmonique des petits mouvements d'un oscillateur « non linéaire » non amorti autour de la position d'équilibre stable étudiée, on observe, pour un oscillateur « non linéaire » amorti, que le mouvement devient pseudo_oscillatoire $\;{\big$par amortissement des oscillations${\big )}\;$ mais qu'il n'est pas pseudo-périodique $\;{\big$la durée d'une pseudo-oscillation étant d'autant plus grande que la pseudo-amplitude diminue${\big )}\;\ldots$
$\;\succ \;$pour tracer le portrait de phase ci-contre
drawlater
clf
plot(x1,v1);
drawnow
1$_{ères}$ observations sur le portrait de phase : en plus des effets non linéaires déjà constatés sur l'approximation anharmonique des petits mouvements d'un oscillateur « non linéaire » non amorti autour de la position d'équilibre stable étudiée, on observe, pour un oscillateur « non linéaire » amorti, que le portrait de phase ne se ferme plus $\;{\big \$le point générique spirale dans le sens horaire avec le point $\;\left(0\,,\,0\right)\;$ comme point asymptote${\big \}$ et que la valeur absolue de la vitesse n'est plus maximale au passage par la position d'équilibre mais assez nettement avant $\;{\big \$pratiquement au milieu de l'intervalle $\;\left[0\,,\,X_{m,\,n}\right]\;$ quand $\;x\searrow \;$ et au milieu de l'intervalle $\;\left[-{X'}_{m,\,n}\,,\,0\right]\;$ quand $\;x\nearrow$, $\;X_{m,\,n}\;$ et $\;{X'}_{m,\,n}\;$ étant respectivement la pseudo-amplitude de droite et de gauche lors de la nème pseudo-oscillation${\big \}$
$\;\succ \;$pour tracer le diagramme d'énergies potentielle et mécanique ci-contre
drawlater
clf
Em=1/2*v1^2 + x1^4;
x=[-1:0.1:+1]
plot(x1, Em, "r", x, x^4, "b");
drawnow
commentaires sur les lignes de programme nécessaires au tracé du diagramme d'énergies potentielle et mécanique : l'énergie mécanique définie par $\;E_{m,\,M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(t)+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{24}}\;\varepsilon ^{4}\!(t)\;$ compte-tenu du choix de la référence de l'énergie potentielle en la position d'équilibre stable étudiée se réécrit $\;E_{m,\,M}(t)=m\left[{\dfrac {1}{2}}\;X_{m}^{2}\;{\dot {\varepsilon '}}^{2}\!(t)+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{6\;m}}\;{\dfrac {X_{m}^{4}}{4}}\;{\varepsilon '}^{4}\!(t)\right]\;$ en introduisant $\;\varepsilon '={\dfrac {\varepsilon }{X_{m}}}$, soit numériquement $\;E_{m,\,M}(t)=m\left[{\dfrac {1}{2}}\;X_{m}^{2}\;{\dot {\varepsilon '}}^{2}\!(t)+{\dfrac {4}{X_{m}^{2}}}\;{\dfrac {X_{m}^{4}}{4}}\;{\varepsilon '}^{4}\!(t)\right]=m\;X_{m}^{2}\left[{\dfrac {1}{2}}\;{\dot {\varepsilon '}}^{2}\!(t)+{\varepsilon '}^{4}\!(t)\right]\;$ ou, avec $\;E_{m,\,0}=m\;X_{m}^{2}\;$ car $\;{\dot {\varepsilon '}}(0)=0\;$ et $\;{\varepsilon '}(0)=1$, l'expression de l'énergie mécanique réduite $\;{E'}_{m,\,M}(t)={\dfrac {E_{m,_{,}M}(t)}{E_{m,_{,}0}}}={\dfrac {1}{2}}\;{\dot {\varepsilon '}}^{2}\!(t)+{\varepsilon '}^{4}\!(t)\;\ldots$