# Ondes électromagnétiques/Exercices/Polarisation
## Exercice
### Partie 1

Décrire l'état de polarisation de chacune des 3 ondes représentées par les champs électriques suivants :
* ${\vec {E}}_{0}={\begin{array}{|l}E_{0}\cos(\alpha )\cos(\omega t-kz)\\E_{0}\sin(\alpha )\cos(\omega t-kz)\\0\end{array}}$
* ${\vec {E}}_{1}={\begin{array}{|l}E_{1}\cos \left(\omega \left(t-{\frac {z}{c}}\right)\right)\\E_{1}\sin \left(\omega \left(t-{\frac {z}{c}}\right)\right)\\0\end{array}}$
* ${\vec {E}}_{2}={\begin{array}{|l}E_{2}\cos \left(\omega \left(t-{\frac {z}{c}}\right)\right)\\-E_{2}\sin \left(\omega \left(t-{\frac {z}{c}}\right)\right)\\0\end{array}}$
* Quel est l'état de polarisation de l'onde dont le champ électrique est ${\vec {E}}={\vec {E}}_{1}+{\vec {E}}_{2}$ en supposant E$_1$=E$_2$ ?
1. Soit ${\vec {u}}_{\alpha }{\begin{array}{|l}\cos(\alpha )\\\sin(\alpha )\\0\end{array}}$.
2. $E_{1,y}=E_{1}\sin \left(\omega \left(t-{\frac {z}{c}}\right)\right)=E_{1}\cos \left(\omega \left(t-{\frac {z}{c}}\right)+{\frac {3\pi }{2}}\right)$
3. $E_{2,y}=-E_{2}\sin \left(\omega \left(t-{\frac {z}{c}}\right)\right)=E_{2}\cos \left(\omega \left(t-{\frac {z}{c}}\right)+{\frac {\pi }{2}}\right)$
4. ${\vec {E}}={\begin{array}{|l}2E_{1}\cos \left(\omega \left(t-{\frac {z}{c}}\right)\right)\\0\\0\end{array}}$

### Partie 2

On associe à tout vecteur ${\vec {V}}{\begin{array}{|l}V_{x}\\V_{y}\\V_{z}=0\end{array}}$ de l'espace la grandeur complexe ${\underline {V}}=V_{x}+jV_{y}$.
* Quelles sont les amplitudes complexes e$_1$ et e$_2$ associées aux champs électriques ${\vec {E}}_{1}$ et ${\vec {E}}_{2}$ ?
* Montrer que la quantité complexe associée au champ ${\vec {E}}_{0}$ est de la forme ${\underline {E}}_{1}={\underline {e}}_{1}\,e^{j\omega t}+{\underline {e}}_{2}\,e^{-j\omega t}$. Exprimer les amplitudes complexes e$_1$ et e$_2$. Conclure
* Exprimer l'angle entre ${\vec {E}}_{0}$ et $(O,{\vec {x}})$ en fonction de $\arg({\underline {e}}_{1}\cdot {\underline {e}}_{2})$
1. ${\underline {E}}_{1}=E_{1}\left[\cos \left(\omega \left(t-{\frac {z}{c}}\right)\right)+j\sin \left(\omega \left(t-{\frac {z}{c}}\right)\right)\right]=E_{1}e^{j\omega t}\exp \left(-j\omega {\frac {z}{c}}\right)$
    ${\underline {E}}_{2}=E_{2}\left[\cos \left(\omega \left(t-{\frac {z}{c}}\right)\right)-j\sin \left(\omega \left(t-{\frac {z}{c}}\right)\right)\right]=E_{2}e^{-j\omega t}\exp \left(j\omega {\frac {z}{c}}\right)$
2.
    ${\begin{aligned}{\underline {E}}_{0}&=E_{0}\cos(\omega t-kz)e^{j\alpha }\\&={\frac {1}{2}}E_{0}\left(e^{j(\omega t-kz)}+e^{-j(\omega t-kz)}\right)e^{j\alpha }\\&={\frac {1}{2}}E_{0}e^{j\alpha }e^{j\omega t}e^{-jkz}+{\frac {1}{2}}E_{0}e^{j\alpha }e^{-j\omega t}e^{jkz}\\\end{aligned}}$
On pose alors :
    ${\underline {e}}_{1}={\frac {1}{2}}E_{0}e^{j(\alpha -kz)}$
    ${\underline {e}}_{2}={\frac {1}{2}}E_{0}e^{j(\alpha +kz)}$
Ceci est possible car, pour toute valeur de α, on est capables de trouver E$_1$ et E$_2$ tels qu’il n'y ait pas d'incompatibilité entre ce qu'on vient de poser et les expressions obtenues question 1.
3. $\arg({\underline {e}}_{1}\cdot {\underline {e}}_{2})=\arg \left({\frac {E_{0}^{2}}{4}}e^{2i\alpha }\right)=2\alpha$
    $({\vec {u}}_{x},{\vec {E}}_{0})=\arg({\underline {E}}_{0})=\alpha$
| Onde sphérique | Propagation dans un plasma |