OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Nature du vivant

| Chap. 1 : | La composition chimique du vivant (11) |
| Chap. 2 : | La composition moléculaire du vivant (11) |
| Exercice : | La composition chimique des êtres vivants (11) |

## Présentation [Modifier]

Les problématiques à répondre :
* Comment la matière organique est-elle définie à l'échelle atomique ?
* Comment créer de la complexité avec uniquement atomes de base ?

## Objectifs

Les objectifs de cette leçon n'ont pas encore été fixés. Pour le faire, cliquez ici.

## Niveau et prérequis conseillés

Leçon de niveau 11. Les prérequis pour cette leçon n'ont pas encore été précisés. Pour le faire, cliquez ici.

## Référents [Modifier]

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
* Aumars (discuter)
# Nationalismes et indépendances/Objectifs

Être capable de suivre la leçon : Autoritarismes et démocratisations.
# Diagramme de Bode/Gain et phase
## Gain
### Gain « absolu »

Le module $H(\omega )$ de la fonction de transfert ${\underline {H}}(j\omega )$ s’appelle le gain du système.

### Gain en dB

Le gain en puissance G, exprimé en Bels (B) est défini par $G=\log \left({\frac {{\mathcal {P}}_{2}}{{\mathcal {P}}_{1}}}\right)$, où
* ${\mathcal {P}}_{1}$ est la puissance d'entrée du quadripôle
* ${\mathcal {P}}_{2}$ est la puissance de sortie du quadripôle
On utilise plus couramment le décibel (dB) pour exprimer le gain en puissance G$_{dB}$: $G_{\mathrm {dB} }=10\log \left({\frac {{\mathcal {P}}_{2}}{{\mathcal {P}}_{1}}}\right)$
On peut exprimer le gain en termes de tension : $G_{\mathrm {dB} }=10\log \left({\frac {u_{2,\mathrm {max} }^{2}}{u_{1,\mathrm {max} }^{2}}}\right)=20\log \left({\frac {u_{2,\mathrm {max} }}{u_{1,\mathrm {max} }}}\right)$
$G_{\mathrm {dB} }=20~\log(H)$
* La fonction de transfert de ce filtre est ${\underline {H}}(x)={\frac {1}{1+jx}}$.
* Le gain vaut $H(x)=|{\underline {H}}(x)|={\frac {1}{|1+jx|}}$, d'où $H(x)={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$.
* Le gain en décibels vaut alors $G_{\mathrm {dB} }=20\log \left({\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)=-10\log(1+x^{2})$

### Représentation graphique

En raison de l’expression logarithmique du gain en dB, on utilise pour représenter l'évolution du gain une échelle logarithmique en abscisse et linéaire en ordonnée.
On trace alors en réalité G$_{dB}$ en fonction de log(x).
Il existe du papier adapté au tracé de ces graphes : il s'agit du papier semi-logarithmique.

### Bande passante

On appelle :
* fréquence de coupure une fréquence pour laquelle G$_{dB}$=−3 dB
* bande passante est alors l'ensemble des fréquences pour lesquelles G$_{dB}$≥−3 dB.
* Un filtre passe-bas est un circuit admettant seulement une fréquence de coupure haute. Il atténue les signaux de haute fréquence.
* Un filtre passe-haut est un circuit admettant seulement une fréquence de coupure basse. Il atténue les signaux de basse fréquence.
* Un filtre passe-bande est un circuit admettant une bande passante. Il atténue les signaux de haute et basse fréquence.
* Le gain en décibels vaut $G_{\mathrm {dB} }=-10\log(1+x^{2})$
* La fréquence de coupure est atteinte en x=1, car -10 log(2) = -3 : elle vaut donc $f_{c}={\frac {1}{2\pi RC}}$
* Si f > f$_c$, x > 1 donc G$_{dB}$ < −3 dB. Ce filtre atténue donc les hautes fréquences. C’est donc bien un filtre passe-bas.

## Phase

Pour un quadripôle linéaire, ${\underline {V}}_{2}={\underline {H}}(j\omega )\cdot {\underline {V}}_{1}$. En termes d'arguments, cela donne $\varphi _{2}=\arg({\underline {H}}(j\omega ))+\varphi _{1}$.
Le déphasage entre l'entrée et la sortie est $\varphi =\arg({\underline {H}}(j\omega ))$
* La fonction de transfert de ce filtre est ${\underline {H}}(x)={\frac {1}{1+jx}}$.
* Le déphasage vaut $\varphi =\arg \left({\frac {1}{1+jx}}\right)=\arg(1)-\arg(1+jx)=-\arctan(x)$
| Fonction de transfert | Diagramme de Bode |
# Diagramme de Bode/Objectifs

Nous allons voir comment construire, lire et exploiter les diagrammes de Bode, outil très pratique et utile tant en électronique, qu'en mécanique,etc.
# Diagramme de Bode

| Chap. 1 : | Fonction de transfert (14) |
| Chap. 2 : | Gain et phase (14) |
| Chap. 3 : | Diagramme de Bode (14) |
| Exos. 1 : | Filtres d'ordre 1 (14) |
| Exos. 2 : | Filtre d'ordre 2 (14) |
Sur les autres projets Wikimedia :

## Présentation [Modifier]

Le comportement des filtres linéaires peut généralement être décrit par une fonction (complexe) de la fréquence du signal d'entrée, appelée « fonction de transfert ». La représentation logarithmique de l'amplitude d’une part et de la phase d’autre part, de cette fonction de transfert, constitue un diagramme de Bode.
L'utilisation de ces diagrammes permet de prédire l'effet du filtre a priori, sans avoir besoin de connaître ses mécanismes internes.

## Objectifs [Modifier]

Nous allons voir comment construire, lire et exploiter les diagrammes de Bode, outil très pratique et utile tant en électronique, qu'en mécanique,etc.

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 14.
les quadripoles

## Référents

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
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# Diagramme de Bode/Exercices/Filtre d'ordre 2

Pour chaque montage :
    1. Calculer le gain et la phase
    2. Tracer le diagramme de Bode
    3. Décrire le comportement : passe-haut, passe-bas...

## Montage 1

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle.

## Montage 2

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle.
| Filtres d'ordre 1 | Sommaire |
# Diagramme de Bode/Prérequis conseillés

les quadripoles
# Dialectes français d'Afrique

| Chap. 1 : | Français burkinabè (2) |
| Chap. 2 : | Français populaire ivoirien (2) |
| Chap. 3 : | Français local ivoirien (2) |
| Chap. 4 : | Français de La Réunion (2) |
| Chap. 5 : | Le Français dans l'île Maurice (2) |
| Annexe : | Écrivains mauriciens francophones (2) |
| Exercice : | Français burkinabè (2) |

## Présentation

La présentation de cette leçon n'a pas été rédigée. Pour le faire, cliquez ici.

## Objectifs

Les objectifs de cette leçon n'ont pas encore été fixés. Pour le faire, cliquez ici.

## Niveau et prérequis conseillés

Leçon de niveau 2. Les prérequis pour cette leçon n'ont pas encore été précisés. Pour le faire, cliquez ici.

## Référents

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# Diagramme de Bode/Diagramme de Bode
## Définition

Un diagramme de Bode est un diagramme présentant simultanément le gain et la phase en fonction de la pulsation.
La définition du gain indique tout particulièrement une échelle logarithmique en abscisse.

## Calcul des asymptotes

On cherche le comportement du gain et de la phase aux extrêmes de la bande fréquentielle applicable au circuit, c'est-à-dire lorsque f → 0 et f → +∞:
* On calcule un équivalent de G$_{dB}$ en 0 et en +∞
* On calcule un équivalent de φ en 0 et en +∞
* Le gain en décibels vaut $G_{\mathrm {dB} }=-10\log(1+x^{2})$
* Le déphasage vaut $\varphi =-\arctan(x)$
* ${\begin{cases}\displaystyle {\lim _{x\rightarrow 0}G_{\mathrm {dB} }=0}\\\displaystyle {\lim _{x\rightarrow 0}\varphi =0}\end{cases}}$
* ${\begin{cases}G_{\mathrm {dB} }{\underset {x\rightarrow +\infty }{\sim }}-20\log(x)\\\displaystyle {\lim _{x\rightarrow +\infty }\varphi =-{\frac {\pi }{2}}}\end{cases}}$
En fait on considère x<<1 ou x>>1

## Tracé

On trace les asymptotes du gain et de la phase sur le diagramme de Bode en indiquant les pentes ou les limites.
* Gain et phase
# Diagramme de Bode/Exercices/Filtres d'ordre 1

Pour chaque montage :
    1. Calculer le gain et la phase
    2. Tracer le diagramme de Bode
    3. Décrire le comportement : passe-haut, passe-bas...

## Montage 1

Qualitativement, un condensateur se comporte comme un circuit ouvert à basse fréquence (en courant continu par exemple). Le montage proposé ne laisse donc pas passer les basses fréquences. En revanche, à hautes fréquences, un condensateur se comportant comme un fil, le montage proposé n'atténue pas le signal. On attend donc du calcul de retrouver un montage passe-haut.
D'après la formule du pont diviseur de tension, $V_{out}=V_{in}{\frac {R}{R+{\frac {1}{jC\omega }}}}$
Donc ${\frac {V_{out}}{V_{in}}}={\frac {jRC\omega }{1+jRC\omega }}$.
On pose $x=\,RC\omega$ (x est bien sans dimension). La fonction de transfert devient finalement $H(x)={\frac {jx}{1+jx}}$
Le gain vaut $G=|H|={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$, soit, en décibels : ${\begin{aligned}G_{\mathrm {dB} }&=20\log(|H|)\\&=20\log \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)\\&=20\log(x)-20\log({\sqrt {1+x^{2}}})\\&=20\log(x)-10\log(1+x^{2})\\\end{aligned}}$
Asymptotiquement :
* $\lim _{x\rightarrow 0}G=0$
* $G_{\mathrm {dB} }{\underset {x\rightarrow 0}{\rightarrow }}-\infty$
* $\lim _{x\rightarrow +\infty }G=1$
* $G_{\mathrm {dB} }{\underset {x\rightarrow +\infty }{\sim }}{\dfrac {-10}{x^{2}}}{\underset {x\rightarrow +\infty }{\rightarrow }}0$
Le comportement général de ce filtre est bien celui d'un passe haut : les signaux à basse fréquence ne passent pas (le condensateur se comporte alors comme un circuit ouvert), tandis que les signaux à haute fréquence se propagent sans atténuation (le condensateur se comporte alors comme un fil).
À suivre...

## Montage 2

1 - Calcul de la transmittance : L'amplificateur est considéré parfait, ce qui signifie : $i^{-}=i^{+}=0$
Et aussi : $\epsilon =0$ → $V^{-}=V^{+}$ En appliquant le théorème de Millman sur le point $V^{-}$ (puisque le courant iˉ=0, on peut aussi appliquer la loi du diviseur de tension):
On pose $Y={\frac {1}{Z}}$:
$Y=({\frac {1}{R_{2}}})+jC\omega$ = ${\frac {1+jR_{2}C\omega }{R_{2}}}$
Soit :
$V^{-}={\frac {{\frac {V_{in}}{R_{1}}}+{\frac {V_{out}}{Z}}}{{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{Z}}}}$
D'autre part :
$V^{+}=0$ (puisque le point $V^{+}$ est relié à la masse).
Et puisque :
$V^{+}=V^{-},$ On trouve :
${\frac {{\frac {V_{in}}{R_{1}}}+{\frac {V_{out}}{Z}}}{{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{Z}}}}=0$
D'où :
${\frac {V_{in}}{R_{1}}}+{\frac {V_{out}}{Z}}=0$
${\frac {V_{out}}{Z}}=-{\frac {V_{in}}{R_{1}}}$
Alors:
${\frac {V_{out}}{V_{in}}}=-{\frac {Z}{R_{1}}}$
Finalement :
${\frac {V_{out}}{V_{in}}}=-{\frac {\frac {R_{2}}{1+jR_{2}C\omega }}{R_{1}}}$
La transmittance complexe T :
$T=-{\frac {R_{2}}{R_{1}}}\times {\frac {1}{1+jR_{2}C\omega }}$
À suivre...
| Sommaire | Filtre d'ordre 2 |
# Diagramme de Bode/Présentation de la leçon

Le comportement des filtres linéaires peut généralement être décrit par une fonction (complexe) de la fréquence du signal d'entrée, appelée « fonction de transfert ». La représentation logarithmique de l'amplitude d’une part et de la phase d’autre part, de cette fonction de transfert, constitue un diagramme de Bode.
L'utilisation de ces diagrammes permet de prédire l'effet du filtre a priori, sans avoir besoin de connaître ses mécanismes internes.
# Java/Quiz/Questions théoriques

* Sommaire
# JavaScript

| Chap. 1 : | Premiers pas (16) |
| Chap. 2 : | Syntaxe du langage (16) |
| Chap. 3 : | Structures de contrôle (16) |
| Chap. 4 : | Les tableaux (16) |
| Chap. 5 : | Boîtes de dialogues (16) |
| Chap. 6 : | Les fonctions (16) |
| Chap. 7 : | Introduction au DHTML (16) |
| Chap. 8 : | Introduction à Prototype (16) |
| Chap. 9 : | jQuery (16) |
Sur les autres projets Wikimedia :
* « JavaScript » sur Wikipédia
* « Programmation JavaScript » sur Wikibooks

## Présentation [Modifier]

Le JavaScript est un langage de programmation créé par Brendan Eich, orienté vers les objets-prototypes. Il est traditionnellement interprété par un navigateur Web au sein d'une page web et permet, entre autres choses, de modifier l'organisation de la page en changeant le DOM.

## Objectifs [Modifier]

* Connaitre la syntaxe du langage javaScript
* Ajouter des scripts côté client aux pages web
* Définir des fonctions JavaScript

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 16.
* Notions de HTML, XHTML CSS, voire DOM.
* Programmation C conseillée mais pas indispensable.
* Programmation évènementielle et notion d'objet.

## Référents [Modifier]

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
* JackPotte
# JavaScript/Boîtes de dialogues
## JavaScript et les "Dialog Box"
### Introduction

Comme beaucoup le savent déjà ou l’on déjà remarqué; JavaScript met a disposition de ses utilisateurs un moyen d'échanger des informations entre l'interface et l'internaute que sont les boîtes de dialogues. Il en existe en tout trois différentes. Nous allons les étudier une par une et voir comment elles fonctionnent. Nous verrons aussi qu’il ne faut surtout pas en mettre trop au risque de lasser les visiteurs.

### Définition

Une boîte de dialogue est une petite fenêtre rectangulaire qu'est capable d'afficher n’importe quel navigateur pourvu de JavaScript. Cette boîte permet soit de demander une confirmation au visiteur (confirm), soit de prévenir le visiteur (alert) ou soit de demander quelque chose au visiteur (prompt). Une telle boîte n'est nullement compliquée à mettre en place. Chacune de ces boîtes s'ouvre en faisant appel à des fonctions de JavaScript.
Notez aussi que chacune des boîtes de dialogue de JavaScript a le focus bloqué par le navigateur. C'est-à-dire qu’il faudra cliquer sur un des boutons pour pouvoir continuer.

## Boîte d'alerte

Il existe une boîte de dialogue qui a pour principal objectif d'alerter le visiteur de quelque chose. Il s'agit de la boîte d'alerte.
Caractéristiques:
* Nom : alert
* Boutons : "OK" (et la croix de fermeture)
* Code :
Le window devant la fonction alert est facultatif. Exemple :
Notez l'emploi du caractère spécial \n pour sauter une ligne dans une alerte JavaScript.

## Boîte confirmation

JavaScript met aussi a disposition des codeurs une fonction nommée confirm qui permet d'afficher une boîte de dialogue demandant une confirmation au visiteur. Par exemple : Voulez-vous supprimer tous les messages ?.
Caractéristiques:
* Nom: confirm
* Boutons : "OK", "ANNULER" (et la croix de fermeture)
* Code :
Exemple :
On comprend donc sur cet exemple que confirm peut renvoyer deux valeurs :
* TRUE si le visiteur a cliqué sur OK.
* FALSE si le visiteur a cliqué sur ANNULER ou a cliqué sur la croix rouge de fermeture.

## Boîte de saisie

C'est la dernière boîte de dialogue que nous allons voir. Celle-ci permet de demander une saisie au visiteur. Elle contient donc un champs de texte.
Caractéristiques:
* Nom: prompt
* Boutons : "OK", "ANNULER" (et la croix de fermeture)
* Code :
Exemple :
Le code est certes plus compliqué que précédemment mais il est tout à fait compréhensible. Explication :
* En premier lieu, on utilise la boucle do-while car nous voulons être sûr que celle-ci sera parcourue au moins une fois (on aurait aussi pu initialiser choix à null avant une boucle while simple).
* Dans la boucle, on demande d'entrer un nombre positif via le prompt.
* Ensuite, il y a le while et sa condition : les || veulent dire OU. isNaN (is Not a Number) permet de vérifier si la saisie est bien un nombre. Puis on vérifie que le visiteur n'a pas cliqué sur ANNULER (!choix ou choix == false) et enfin, on vérifie que le nombre est supérieur à 0 (avec Number(choix) > 0).
| Les tableaux | Les fonctions |
# Java/Réflexion

La réflexion en Java permet de passer outre certaines sécurités du langage, mais également de faire de la programmation dynamique sur les classes. Elle est particulièrement utilisée dans les systèmes d'extension (plugins) pour charger une classe ou accéder à un membre de la classe de manière dynamique.
| Interfaces graphiques | Sommaire |
# Java/Référents

* constantin
* nicobiz
* Suzy
* Lanube
* JackPotte
* DavidL
# Java/Présentation de la leçon

Java est un langage de programmation à usage général, évolué et orienté objet dont la syntaxe est proche du C. Il existe deux types de programmation en Java : les applets et les applications. Une application autonome (stand alone application) est une application qui s'exécute sous le contrôle direct du système d'exploitation (dans un cadre de type frame). Une applet est une application qui est chargée par un navigateur et qui est exécutée sous le contrôle d’un ou plusieurs modules complémentaires (appelée par un .html ou .jsp).
# La fin de l'histoire ?/Objectifs

Faire le point sur les apports relatifs au management des opérations et permettre d'envisager le futur...
# La fin de l'histoire ?/Prérequis conseillés

* Avoir assimilé les connaissances de base du management des opérations (Séquences 1 à 3).
* Avoir compris la structure de la réflexion sur la base de l'exemple de la séquence 4 : l'optimisation des stocks.
* Avoir compris les enjeux de l'informatisation de la production (séquence 5), du bureau d'études (séquence 6), des données client (séquence 7), de la gestion intégrée de l'entreprise (séquence 8) et du management du système d'information de l'entreprise (séquence 9).
* Avoir évalué les conséquences sur le reste de l'écosystème de l'entreprise.
# La fin de l'histoire ?/Présentation de la leçon

Dans le cadre du tronc commun de la 4ème année du master « management des organisations », le futur manager doit s’approprier et maîtriser plusieurs compétences :
* Connaître et présenter,
* Analyser, évaluer et comprendre,
* Anticiper et agir,
* Adapter et accompagner.
Cette série de conférences s’inscrit dans le thème « operations management » de UE 1 « Management transversal ».
Rappel du référentiel de la plaquette internationale de présentation :
This course provides an introduction to the concepts, selected methods and tools useful in understanding the management of a corporation’s operations. This will help students develop an understanding of the strategic role of operations and Information Technology as well as an appreciation for operations activities and how to improve them. In addition, it will help students to develop their knowledge about the extent to which operations & Technology management help firms while looking for a competitive advantage. The lecture provides a survey of different issues related to operation management such as :
* Forecasting, inventory management
* Material Requirements Planning, capacity planning and scheduling
* Just-In-Time, and process and product design
* IT Management such as Managing IT Infrastructures, Managing Information Resources, IT/IS Control and Security, ERP systems
Les connaissances de base : Introduction au Management des opérations
* Séquence 1 : Les opérations ? qu'est ce ? Tentative de définition
* Séquence 2 : Des opérations ? où et comment ? La systémique
* Séquence 3 : Comment formaliser des opérations ? L'audit. Comment optimiser les processus ? La réingénierie.
Les 6 thèmes :
* Prédiction et Gestion des stocks / Forecasting, inventory management.
* la planification des besoins en composants (MRP), la gestion de production assistée par ordinateur (GPAO) / Material Requirements Planning, capacity planning and scheduling & Just-In-Time, and process and product design.
* La conception assistée par ordinateur (CAO/ DAO) / Computer-aided design (CAD).
* Manager les données client (CRM).
* La Gestion intégrée de l'entreprise (ERP) / ERP systems.
* Le Système d'information global de l'entreprise (IT/IS) / IT Management such as Managing IT Infrastructures, Managing Information Resources, IT/IS Control and Security.
Bien qu'utilisant pas mal des concepts présentés ici, le management par les processus et la gestion des ressources humaines ne sont pas analysés ici. Le management de la transition (ou management transitionnel) n'est pas inclus dans cette formation, car il est vraiment typique.
De plus, des ouvertures sur des disciplines et des problématiques contemporaines sont proposées pour aiguiser la curiosité et le questionnement de l'étudiant et faciliter ainsi les épreuves de "culture générale"…
Séquence 10 : La fin de l'histoire ?
Le conférencier est là pour vous aider dans vos acquisitions.
# La fin de l'histoire ?/Référents

Guy6631
# Arithmétique/Exercices/Nombres premiers
## Exercice 10-1

Soit p un nombre premier impair. Trouvez les entiers naturels $x$ et $y$ tels que :
    $x^{2}-y^{2}=p$.
Si $p=(x-y)(x+y)$ alors le plus petit des deux facteurs est égal à $1$ et l'autre à $p$, autrement dit : $x=y+1$ et $p=2y+1$, ou encore : $y={\frac {p-1}{2}}$ et $x={\frac {p+1}{2}}$.
L'unique solution est donc : $(x,y)=\left({\frac {p+1}{2}},{\frac {p-1}{2}}\right)$.

## Exercice 10-2

Le nombre 401 est-il premier ? Trouvez les entiers naturels $x$ et $y$ tels que :
    $x^{2}-y^{2}=401$.
401 est bien premier, puisqu'il n'est divisible par aucun des nombres premiers inférieurs à sa racine carrée.
D'après l'exercice précédent, l'unique solution est donc : $(x,y)=\left({\frac {401+1}{2}},{\frac {401-1}{2}}\right)=(201,200)$.

## Exercice 10-3

Soit p un nombre premier supérieur à 4.
Démontrer que p – 1 ou p – 5 est divisible par 6.
p est congru à 1 mod 2 et à ±1 mod 3, donc à 1 ou 5 mod 6.

## Exercice 10-4

* Quels sont les restes possibles de la division par 4 d'un nombre premier ? Même question dans la division par 6.
* Déduisez-en que pour tout nombre premier p > 4, p$^2$ – 1 est divisible par 24.
** Tout nombre premier > 2 est impair donc congru modulo 4 à 1 ou 3 (le nombre premier 2 est congru à lui-même).
** L'exercice 10-3 permet d'affirmer que modulo 6, tout nombre premier > 3 est congru à 1 ou 5 (les nombres premiers 2 et 3 sont congrus à eux-mêmes).
* Il s'agit de montrer que p$^2$ – 1 est divisible par 3 et par 8. D'après la question précédente :
** p ≡ ±1 mod 3 donc p$^2$ ≡ 1 mod 3.
** p = 4k ± 1 donc p$^2$ = 16k$^2$ ± 8k + 1 ≡ 1 mod 8.

## Exercice 10-5

Trouvez tous les entiers relatifs $x$ et $y$ tels que :
    $x^{2}+57=y^{2}$.
Supposons d'abord $x$ et $y$ positifs. Alors, $3\times 19=(y-x)(y+x)\Leftrightarrow$ ($y-x=3$ et $y+x=19$) ou ($y-x=1$ et $y+x=57$), c'est-à-dire $(x,y)=(8,11)$ ou $(28,29)$.
Il y a donc 8 solutions $(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}$ : ±(8, ±11) et ±(28, ±29).

## Exercice 10-6

Trouvez tous les entiers relatifs $x$ et $y$ tels que :
    $x^{2}+6x=y^{2}+47$.
$x^{2}+6x=y^{2}+47\Leftrightarrow (x+3)^{2}=y^{2}+56$ donc cherchons d'abord les couples d'entiers positifs $z$ et $y$ tels que $z^{2}=y^{2}+56$. Nécessairement, $z$ et $y$ sont de même parité donc $(z-y,z+y)=(2,28)$ ou $(4,14)$, c'est-à-dire $(z,y)=(15,13)$ ou $(9,5)$.
Il y a donc 8 solutions $(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}$ : ±(15, ±13) – (3, 0) et ±(9, ±5) – (3, 0), c'est-à-dire : (12, ±13), (–18, ±13), (6, ±5) et (–12, ±5).
| Congruences | Divers |