# Théorie des groupes/Exercices/Produit en couronne
## Problème 1 (facile)

Soient X et Y des ensembles. Pour tout élément $\eta$ de S$_X$ et tout élément y de Y, on définit $\eta _{Y,y}$ comme dans le chapitre théorique. Prouver que, pour tout élément y de Y, $\eta \mapsto \eta _{Y,y}$ définit un homomorphisme injectif du groupe S$_X$ dans le groupe S$_{X×Y}$. (C'est le lemme 1 du chapitre théorique.)
Soient $\gamma ,\delta$ des éléments de S$_X$, soient $y,y'$ deux différents éléments de Y. Nous avons d'une part
    $(\gamma \delta )_{Y,y}(x,y)=((\gamma \delta )(x),y)$
    $(\gamma \delta )_{Y,y}(x,y)=(\gamma (\delta x),y)$
    $(\gamma \delta )_{Y,y}(x,y)=\gamma _{Y,y}(\delta x,y)$
    (1) $(\gamma \delta )_{Y,y}(x,y)=\gamma _{Y,y}(\delta _{Y,y}(x,y))$
et d'autre part
    $(\gamma \delta )_{Y,y}(x,y')=(x,y')$
    $(\gamma \delta )_{Y,y}(x,y')=\gamma _{Y,y}(x,y')$
    (2) $(\gamma \delta )_{Y,y}(x,y')=\gamma _{Y,y}(\delta _{Y,y}(x,y'))$
Les résultats (1) et (2) montrent que
    $(\gamma \delta )_{Y,y}=\gamma _{Y,y}\circ \delta _{Y,y},$
donc $\eta \mapsto \eta _{Y,y}$ définit un homomorphisme du groupe S$_X$ dans le groupe S$_{X×Y}$.
Prouvons que cet homomorphisme est injectif. Si $\eta$ appartient au noyau de cet homomorphisme, alors
    $\eta _{Y,y}(x,y)=(x,y)$ pour tout x dans X.
Par définition de $\eta _{Y,y},$ le premier membre égale $(\eta x,y).$ Nous avons donc $\eta x=x$ pour tout x dans X, autrement dit $\eta =\mathrm {id} _{X}$, ce qui prouve que, comme annoncé, l'homomorphisme $\eta \mapsto \eta _{Y,y}$ du groupe S$_X$ dans le groupe S$_{X×Y}$ est injectif.

## Problème 2 (facile)

Soient X et Y des ensembles, X étant non vide. Pour tout élément $\kappa$ de S$_Y$, on définit $\kappa _{X}^{*}$ comme dans le chapitre théorique. Prouver que $\kappa \mapsto \kappa _{X}^{*}$ définit un homomorphisme injectif du groupe S$_Y$ dans le groupe S$_{X×Y}$. (C'est le lemme 2 du chapitre théorique.)
Soient $\kappa$ et $\lambda$ des éléments de S$_Y$, soit $(x,y)\in X\times Y.$ Alors
    $(\kappa \lambda )_{X}^{*}(x,y)=(x,(\kappa \lambda )y)$
    $(\kappa \lambda )_{X}^{*}(x,y)=(x,\kappa (\lambda y))$
    $(\kappa \lambda )_{X}^{*}(x,y)=\kappa _{X}^{*}(x,\lambda y)$
    $(\kappa \lambda )_{X}^{*}(x,y)=\kappa _{X}^{*}(\lambda _{X}^{*}(x,y)),$
donc
    $(\kappa \lambda )_{X}^{*}=\kappa _{X}^{*}\circ \lambda _{X}^{*},$
ce qui montre que $\kappa \mapsto \kappa _{X}^{*}$ définit un homomorphisme du groupe S$_Y$ dans le groupe S$_{X×Y}$.
Prouvons que cet homomorphisme est injectif. Si $\kappa$ appartient au noyau de cet homomorphisme, alors
    $\kappa _{X}^{*}(x,y)=(x,y)$ pour tout $(x,y)\in X\times Y.$
Par définition de $\kappa _{X}^{*}$, cela signifie que
    $(x,\kappa y)=(x,y)$ pour tout x dans X et tout ydans Y.
Puisque X est supposé non vide, cela entraîne $\kappa y=y$ pour tout y dans Y, autrement dit $\kappa =\mathrm {id} _{Y},$ ce qui prouve que, comme annoncé, l'homomorphisme $\kappa \mapsto \kappa _{X}^{*}$ du groupe S$_Y$ dans le groupe S$_{X×Y}$ est injectif.

## Problème 3

On a prouvé dans le chapitre théorique que pour tout nombre naturel n et tout nombre premier p,
    $v_{p}(n!)=[n/p]+[n/p^{2}]+[n/p^{3}]+\cdots$
où $v_{p}(r)$ désigne l'exposant de p dans la décomposition du nombre naturel non nul r et où la somme du second membre s'arrête dès qu'un terme est nul. Donner une autre démonstration, en raisonnant par récurrence sur n.
L'assertion étant banale pour n = 0, on peut supposer n > 0. Par définition de $v_{p}$, $v_{p}(n!)$ est l'exposant de p dans le produit $1\cdot 2\cdots (n-1)\cdot n.$ On peut faire abstraction des facteurs non divisibles par p, donc $v_{p}(n!)$ est l'exposant de p dans $(1p)(2p)\ldots ([{\frac {n}{p}}]p),$ c'est-à-dire dans
    $p^{[n/p]}(1\cdot 2\cdots [{\frac {n}{p}}])=p^{[n/p]}[{\frac {n}{p}}]!$
Donc
    (1) $v_{p}(n!)=[{\frac {n}{p}}]+v_{p}([{\frac {n}{p}}]!).$
Puisque n est supposé non nul, nous avons $[{\frac {n}{p}}]<n$, donc, par hypothèse de récurrence,
    $v_{p}([{\frac {n}{p}}]!)=[{\frac {[{\frac {n}{p}}]}{p}}]+[{\frac {[{\frac {n}{p}}]}{p^{2}}}]+\cdots$
donc (1) peut s'écrire
    (2) $v_{p}(n!)=[{\frac {n}{p}}]+[{\frac {[{\frac {n}{p}}]}{p}}]+[{\frac {[{\frac {n}{p}}]}{p^{2}}}]+\cdots$
Prouvons que, pour tout nombre naturel s,
    (thèse 3) $[{\frac {[{\frac {n}{p}}]}{p^{s}}}]=[{\frac {n}{p^{s+1}}}].$
Plus généralement, prouvons que si n est un nombre naturel et a, b des nombres naturels non nuls, alors
    (thèse 4) $[{\frac {[{\frac {n}{a}}]}{b}}]=[{\frac {n}{ab}}].$
Le premier membre est le plus grand nombre naturel t tel que $bt\leq [{\frac {n}{a}}],$ c'est-à-dire le plus grand nombre naturel ttel que $bt\leq n/a,$ autrement dit tel que $t\leq n/ab$, d'où la thèse (4) et en particulier la thèse (3). En portant (3) dans (2), nous obtenons l'énoncé.
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