# Généralités sur les fonctions/Exercices/Ensemble de définition
## Exercice 1-1

a) Pourquoi l’expression ${\frac {1}{x-1}}$ n'est-elle pas définie pour $x=1$ ?
Pour $x=1$, l’expression $x-1$ s'annule.
Or on ne peut pas diviser par $0$.
Donc $1$ est une valeur interdite pour l’expression ${\frac {1}{x-1}}$.
b) Pourquoi l’expression ${\frac {1}{x-2}}$ n'est-elle pas définie pour $x=2$ ?
Pour $x=2$, l’expression $x-2$ s'annule.
Or on ne peut pas diviser par $0$.
Donc $2$ est une valeur interdite pour l’expression ${\frac {1}{x-2}}$.
c) Pourquoi l’expression ${\frac {1}{x+1}}$ n'est-elle pas définie pour $x=-1$ ?
Pour $x=-1$, l’expression $x+1$ s'annule.
Or on ne peut pas diviser par $0$.
Donc $-1$ est une valeur interdite pour l’expression ${\frac {1}{x+1}}$.
d) Pourquoi l’expression ${\frac {1}{x+2}}$ n'est-elle pas définie pour $x=-2$ ?
Pour $x=-2$, l’expression $x+2$ s'annule.
Or on ne peut pas diviser par $0$.
Donc $-2$ est une valeur interdite pour l’expression ${\frac {1}{x+2}}$
e) Pourquoi l’expression ${\frac {1}{x^{2}-1}}$ n'est-elle pas définie pour $x=1$ ?
Pour $x=1$, l’expression $x^{2}-1$ s'annule.
Or on ne peut pas diviser par $0$.
Donc $1$ est une valeur interdite pour l’expression ${\frac {1}{x^{2}-1}}$.
En factorisant $x^{2}-1$, trouver une autre valeur interdite.
$x^{2}-1=(x-1)(x+1)$ donc $x^{2}-1$ s'annule aussi pour $x=-1$.
Donc $-1$ est aussi une valeur interdite.
f) Pourquoi l’expression ${\frac {1}{x^{2}-4}}$ n'est-elle pas définie pour $x=2$ ?
Pour $x=2$, l’expression $x^{2}-4$ s'annule.
Or on ne peut pas diviser par $0$
donc $2$ est une valeur interdite pour l’expression ${\frac {1}{x^{2}-4}}$.
En factorisant $x^{2}-4$, trouver une autre valeur interdite.
$x^{2}-4=(x-2)(x+2)$ donc $x^{2}-4$ s'annule aussi pour $x=-2$.
Donc $-2$ est aussi une valeur interdite.

## Exercice 1-2

Pour chacune des expressions suivantes, donner les nombres réels pour lesquelles l'expression n'est pas définie.
a) ${\frac {2}{x-1}}$
Le dénominateur $x-1$ s'annule si et seulement si $x=1$ donc l’expression ${\frac {2}{x-1}}$ n’est pas définie si et seulement si $x=1$.
b) $1-{\frac {2x}{x+2}}$
Le dénominateur $x+2$ s'annule si et seulement si $x=-2$ donc l’expression $1-{\frac {2x}{x+2}}$ n’est pas définie si et seulement si $x=-2$.
c) ${\frac {1}{x-2}}+{\frac {1}{x^{2}+1}}$
$x^{2}+1$ ne s'annule jamais et $x-2$ s'annule si et seulement si $x=2$ donc l’expression ${\frac {1}{x-2}}+{\frac {1}{x^{2}+1}}$ n’est pas définie si et seulement si $x=2$.
d) ${\frac {1}{x-2}}+{\frac {1}{x^{2}-1}}$
Cette expression n'est pas définie si et seulement si $x=2$ ou $x^{2}=1$.
Or $x^{2}=1\Leftrightarrow (x+1)(x-1)=0\Leftrightarrow x=-1$ ou $x=1$.
Donc l'expression n'est pas définie si et seulement si $x$ est égal à $2$, $-1$ ou $1$.

## Exercice 1-3

Chacune des expressions ci-dessous définit une fonction $f$. Exprimer l'ensemble de définition $D_{f}$ (le plus grand possible) sous forme d'intervalle ou d'union d'intervalles.
a) $f(x)={\frac {2}{x-1}}$
$D_{f}=\mathbb {R} \setminus \{1\}=\left]-\infty ,1\right[\cup \left]1,+\infty \right[$.
b) $f(x)=1-{\frac {2x}{x+2}}$
$D_{f}=\mathbb {R} \setminus \{-2\}=\left]-\infty ,-2\right[\cup \left]-2,+\infty \right[$.
c) $f(x)={\frac {1}{x-2}}+{\frac {1}{x^{2}+1}}$
$D_{f}=\mathbb {R} \setminus \{2\}=\left]-\infty ,2\right[\cup \left]2,+\infty \right[$.
d) $f(x)={\frac {1}{x-2}}+{\frac {1}{x^{2}-1}}$
$D_{f}=\mathbb {R} \setminus \{-1,1,2\}=\left]-\infty ,-1\right[\cup \left]-1,1\right[\cup \left]2,+\infty \right[$.
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