# Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Introduction au monde quantique : particule libre confinée 1D
## Puits quantique à une dimension
### Puits quantique à une dimension de profondeur finie

On considère une particule de masse $\;m\;$ décrite par une fonction d'onde $\;{\underline {\psi }}(x,\,t)\;$ évoluant dans un champ de force conservatif dérivant de l'énergie potentielle $\;U(x)\;$ dont le diagramme en fonction de l'abscisse $\;x\;$ de la position est représenté ci-contre.
Dans un 1er temps, on considère un puits d'énergie potentielle de profondeur finie fixée à $\;U_{0}\;$ $\;{\big$diagramme ci-contre${\big )}$.

#### Écriture de l'équation de Schrödinger suivie par la particule

Écrire l'équation de Schrödinger à une dimension suivie par la particule.
Préciser l'hamiltonien $\;{\widehat {\mathcal {H}}}\!\left[\;\right]\;$ de la particule.
$\;U(M,\,t)\;$
$\;-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;\Delta _{t}\!\left[{\underline {\psi }}(M,\,t)\right]+U(M,\,t)\;{\underline {\psi }}(M,\,t)=i\;\hbar \left({\dfrac {\partial {\underline {\psi }}}{\partial t}}\right)_{\!\!M}(M,\,t)\;$
$\;U(M,\,t)=U(x)\;\;\forall \;t\;$
$\;-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;\left[{\dfrac {\partial ^{2}{\underline {\psi }}}{\partial x^{2}}}\right]_{\!t}(x,\,t)+U(x)\;{\underline {\psi }}(x,\,t)=i\;\hbar \left({\dfrac {\partial {\underline {\psi }}}{\partial t}}\right)_{\!\!x}(x,\,t)\;$
$\;{\widehat {\mathcal {H}}}\!\left[\;\right]=\left\lbrace -{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;\left[{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right]_{\!t}+U(x)\times \right\rbrace \!\left[\;\right]\;$

#### Signification physique de l'équation de Schrödinger suivie par la particule

Expliquer physiquement la signification de l'équation de Schrödinger suivie par la particule ainsi que Expliquer physiquement la signification de la fonction d'onde $\;{\underline {\psi }}(x,\,t)\;$.
L'équation de Schrödinger est l'équation fondamentale de la mécanique quantique dans le cas non relativiste, c'est elle qui permet de décrire l'évolution à la fois temporelle et spatiale de la fonction d'onde ;
$\succ \;$en mécanique quantique la fonction d'onde $\;{\underline {\psi }}(x,\,t)\;$ est le pendant du couple « position - quantité de mouvement » $\;\left(x\,,\,p_{x}\right)\;$ de la mécanique classique, l'équation de Schrödinger remplaçant la r.f.d.n. ;
$\succ \;$en mécanique classique la connaissance des forces s'exerçant sur la particule avec celle du couple « position - quantité de mouvement » initiales $\;\left(x_{0}\,,\,p_{x,\,0}\right)\;$ permet de déterminer l'évolution temporelle du couple « position - quantité de mouvement » $\;\left(x_{t}\,,\,p_{x,\,t}\right)$,
$\color {transparent}{\succ }\;$en mécanique quantique la connaissance du champ d'énergie potentielle dans laquelle baigne la particule avec celle de la fonction d'onde initiale $\;{\underline {\psi }}(x,\,0)\;$ permet de déterminer l'évolution temporelle de la fonction d'onde $\;{\underline {\psi }}(x,\,t)\;$ à un facteur de phase près ;
$\succ \;$la fonction d'onde contient toute l'information sur la particule étudiée en particulier la façon dont l'onde de matière associée à la particule se répartit dans l'espace à un instant donné ainsi que $\color {transparent}{\succ }\;$la fonction d'onde contient toute l'information sur la particule étudiée en particulier l'évolution de cette répartition en fonction du temps, $\color {transparent}{\succ }\;$la fonction d'onde contient toute l'information sur la particule étudiée c'est-à-dire la connaissance de la « densité linéique de probabilité de présence $\;{\mathcal {P}}_{l}(x,\,t)=\vert {\underline {\psi }}(x,\,t)\vert ^{2}\;$» ;
$\color {transparent}{\succ }\;$la fonction d'onde contient toute l'information sur la particule étudiée c'est-à-dire le module carré de la fonction d'onde doit être de carré sommable, plus exactement, dans la mesure où la particule existe, $\color {transparent}{\succ }\;$la fonction d'onde contient toute l'information sur la particule étudiée c'est-à-dire sa probabilité de présence sur tout l'axe $\;x'x\;$ doit être égale à $\;1\;$ soit «$\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\vert {\underline {\psi }}(x,\,t)\vert ^{2}\;dx=1\;$» ;
$\color {transparent}{\succ }\;$la fonction d'onde contient toute l'information sur la particule étudiée c'est-à-dire la connaissance de la fonction d'onde permet de calculer toutes les valeurs moyennes utiles comme $\color {transparent}{\succ }\;$la fonction d'onde contient toute l'information sur la particule étudiée c'est-à-dire la connaissance de la fonction d'onde permet de calculer celle de la position sur l'axe $\;x'x\;$ à l'instant $\;t\;$ égale à $\color {transparent}{\succ }\;$la fonction d'onde contient toute l'information sur la particule étudiée c'est-à-dire la connaissance de la fonction d'onde permet de calculer «$\;\left\langle x\right\rangle (t)=\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }x\;\vert {\underline {\psi }}(x,\,t)\vert ^{2}\;dx\;$».

#### Conséquences de l'indépendance de l'hamiltonien de la particule relativement au temps

Sachant que l'hamiltonien $\;{\widehat {\mathcal {H}}}\!\left[\;\right]\;$ de la particule est ici indépendant du temps, quelle forme prend la fonction $\;{\underline {\psi }}(x,\,t)\;$ ?
En déduire l'expression de l'équation de Schrödinger indépendante du temps.
Dans la mesure où l'opérateur hamiltonien $\;{\widehat {\mathcal {H}}}\!\left[\;\right]=\left\lbrace -{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;\left[{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right]_{\!t}+U(x)\times \right\rbrace \!\left[\;\right]\;$ est indépendant du temps, on peut rechercher la solution de l'équation de Schrödinger «$\;{\widehat {\mathcal {H}}}\!\left[{\underline {\psi }}\right]\!(x,\,t)=$ $i\;\hbar \left({\dfrac {\partial }{\partial t}}\right)_{\!\!x}\!\left[{\underline {\psi }}\right]\!(x,\,t)\;$» sous la forme d'un produit de fonctions de variables séparées c'est-à-dire «$\;{\underline {\psi }}(x,\,t)={\underline {\Psi }}(x)\;{\underline {f}}(t)\;$» ce qui conduit à «$\;\left\lbrace {\widehat {\mathcal {H}}}\!\left[{\underline {\Psi }}\right]\!(x)\right\rbrace {\underline {f}}(t)={\underline {\Psi }}(x)\left\lbrace i\;\hbar \;{\dfrac {d}{dt}}\!\left[{\underline {f}}\right]\!(t)\right\rbrace \;$» et permet de séparer les variables en divisant les deux membres par $\;{\underline {\Psi }}(x)\;{\underline {f}}\;$ soit, après simplification évidente dans chaque membre, «$\;{\dfrac {{\widehat {\mathcal {H}}}\!\left[{\underline {\Psi }}\right]\!(x)}{{\underline {\Psi }}(x)}}={\dfrac {i\;\hbar \;{\dfrac {d}{dt}}\!\left[{\underline {f}}\right]\!(t)}{{\underline {f}}(t)}}\;$» ;
sachant que la seule fonction qui soit à la fois une fonction de $\;x\;$ seule et une fonction de $\;t\;$ seule, $\;{\bigx\;$ et $\;t\;$ étant des variables indépendantes${\big )}$, est la fonction constante et notant $\;{\underline {\alpha }}\;$ cette valeur constante a priori arbitraire, sachant l'équation de Schrödinger se sépare en deux équations $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\widehat {\mathcal {H}}}\!\left[{\underline {\Psi }}\right]\!(x)={\underline {\alpha }}\;{\underline {\Psi }}(x)\\i\;\hbar \;{\dfrac {d}{dt}}\!\left[{\underline {f}}\right]\!(t)={\underline {\alpha }}\;{\underline {f}}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$ dont la 1ère gère la partie spatiale de la fonction d'onde $\;{\underline {\Psi }}(x)\;$ avec la position $\;x\;$ et sachant l'équation de Schrödinger se sépare en deux équations $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\begin{array}{c}{\widehat {\mathcal {H}}}\!\left[{\underline {\Psi }}\right]\!(x)={\underline {\alpha }}\;{\underline {\Psi }}(x)\\i\;\hbar \;{\dfrac {d}{dt}}\!\left[{\underline {f}}\right]\!(t)={\underline {\alpha }}\;{\underline {f}}(t)\end{array}}\right\rbrace }\;$ dont la 2ème la partie temporelle de la fonction d'onde $\;{\underline {f}}(t)\;$ avec le temps $\;t$ ;
la forme normalisée de la 2ème équation $\;{\dfrac {d{\underline {f}}}{dt}}(t)+i\;{\dfrac {\underline {\alpha }}{\hbar }}\;{\underline {f}}(t)=0\;$ étant une équation linéaire à cœfficient complexe du 1er ordre en $\;{\underline {f}}\;$ homogène, admet pour « solution $\;{\underline {f}}(t)={\underline {A}}\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {\underline {\alpha }}{\hbar }}\;t\right)\;$» et la forme normalisée de la 2ème équation $\;\color {transparent}{{\dfrac {d{\underline {f}}}{dt}}(t)+i\;{\dfrac {\underline {\alpha }}{\hbar }}\;{\underline {f}}(t)=0}\;$ étant une équation linéaire à cœfficient complexe du 1er ordre en $\;\color {transparent}{\underline {f}}\;$ homogène, admet pour « celle-ci $\;{\big$compte-tenu du fait que le champ d'énergie potentielle est indépendant du temps${\big )}\;$ devant correspondre à une probabilité de présence indépendante du temps, le module de $\;{\underline {f}}(t)\;$ doit aussi en être indépendant, ce qui nécessite que $\;{\underline {\alpha }}\;$ soit réel ;  la forme normalisée de la 2ème équation $\;\color {transparent}{{\dfrac {d{\underline {f}}}{dt}}(t)+i\;{\dfrac {\underline {\alpha }}{\hbar }}\;{\underline {f}}(t)=0}\;$ étant une équation linéaire à cœfficient complexe du 1er ordre en $\;\color {transparent}{\underline {f}}\;$ homogène, admet pour « on pose donc $\;{\underline {\alpha }}=E\;\in \;\mathbb {R} \;$ ${\big$chaque valeur de $\;E\;$ définissant une énergie possible de la particule${\big )}\;$ et la partie temporelle de la fonction d'onde se réécrit «$\;{\underline {f}}(t)=\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E}{\hbar }}\;t\right)\;$» ;
en introduisant la grandeur $\;E\;$ précédemment définie comme énergie possible de la particule, la 1ère équation se réécrit «$\;{\widehat {\mathcal {H}}}\!\left[{\underline {\Psi }}\right]\!(x)=E\;{\underline {\Psi }}(x)\;$» en introduisant la grandeur $\;\color {transparent}{E}\;$ précédemment définie comme énergie possible de la particule, la 1ère équation se réécrit $\;{\big$équation aux valeurs propres de l'opérateur hamiltonien${\big )}\;$ ou encore, en introduisant la grandeur $\;\color {transparent}{E}\;$ précédemment définie comme énergie possible de la particule, la 1ère équation se réécrit en explicitant l'hamiltonien «$\;-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;{\dfrac {d^{2}{\underline {\Psi }}}{dx^{2}}}(x)+U(x)\;{\underline {\Psi }}(x)=E\;{\underline {\Psi }}(x)\;$» en introduisant la grandeur $\;\color {transparent}{E}\;$ précédemment définie comme énergie possible de la particule, la 1ère équation se réécrit en explicitant l'hamiltonien $\;{\big$équation de Schrödinger indépendante du temps${\big )}$.

#### Détermination de la solution générale de l'équation de Schrödinger dépendante du temps à partir des solutions de l'équation de Schrödinger indépendante du temps

Expliquer pourquoi résoudre l'équation de Schrödinger indépendante du temps permet de déduire la solution générale de l'équation de Schrödinger dépendante du temps.
Supposons que l'on ait résolu l'équation de Schrödinger indépendante du temps, c'est-à-dire que l'on ait obtenu toutes las valeurs propres $\;E_{n}\;$ de l'opérateur hamiltonien ainsi que Supposons que l'on ait résolu l'équation de Schrödinger indépendante du temps, c'est-à-dire que l'on ait obtenu toutes les fonctions propres $\;{\underline {\Psi }}_{n}(x)\;$ associées,
à chaque « état propre $\;\left[E_{n}\,;\,{\underline {\Psi }}_{n}(x)\right]\;$» on peut définir la « fonction d'onde associée dépendante du temps $\;{\underline {\psi }}_{n}(x,\,t)={\underline {\Psi }}_{n}(x)\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E_{n}}{\hbar }}\;t\right)\;$» $\Rightarrow$ à chaque « état propre $\;\color {transparent}{\left[E_{n}\,;\,{\underline {\Psi }}_{n}(x)\right]}\;$» on connaît un ensemble de discret générateur de n'importe quelle fonction d'onde solution de l'équation de Schrödinger dépendante du temps ;
à chaque fonction d'onde particulière dépendante du temps construite à partir d'un état propre de l'hamiltonien correspondant à une « densité linéique de probabilité de présence $\;{\mathcal {P}}_{l}(x,\,{\cancel {t}})=\vert {\underline {\psi }}_{n}(x,\,t)\vert ^{2}=$ $\vert {\underline {\Psi }}_{n}(x)\vert ^{2}\;$» indépendante du temps définit un état stationnaire de la particule ;
supposons que l'on connaisse la décomposition initiale de la fonction d'onde sur l'ensemble des états stationnaires de la particule par exemple «$\;{\underline {\psi }}(x,\,0)=$ $\sum \limits _{n}{\underline {a}}_{n}\;{\underline {\Psi }}_{n}(x)\;$ avec $\;{\underline {a}}_{n}\;\in \;\mathbb {C} \;$» supposons que l'on déduit, du caractère linéaire de l'équation de Schrödinger dépendante du temps, la fonction d'onde à un instant $\;t\;$ quelconque «$\;{\underline {\psi }}(x,\,t)=\sum \limits _{n}{\underline {a}}_{n}\;{\underline {\Psi }}_{n}(x)\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E_{n}}{\hbar }}\;t\right)\;$».

#### Forme générale de la partie spatiale de la fonction d'onde de la particule, solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps

Le potentiel $\;U(x)\;$ étant constant par morceau, quelle forme générale prend la fonction $\;{\underline {\Psi }}(x)\;$$^,$ ?
Considérant un puits quantique de profondeur $\;U_{0}\;$ et de largeur $\;{\mathfrak {a}}\;$ plus exactement «$\;U(x)=\left\lbrace {\begin{array}{l}U_{0}\;{\text{ si }}x\geqslant {\mathfrak {a}}\\\;0\;\;{\text{ si }}0<x<{\mathfrak {a}}\\U_{0}\;{\text{ si }}x\leqslant 0\end{array}}\right\rbrace \;$», c'est-à-dire constant par morceaux, Considérant un puits quantique de profondeur $\;\color {transparent}{U_{0}}\;$ et de largeur $\;\color {transparent}{\mathfrak {a}}\;$ on en déduit l'équation de Schrödinger indépendante du temps réécrite sous forme normalisée Considérant un puits quantique de profondeur $\;\color {transparent}{U_{0}}\;$ et de largeur $\;\color {transparent}{\mathfrak {a}}\;$ on en déduit «$\;{\dfrac {d^{2}{\underline {\Psi }}}{dx^{2}}}(x)-{\dfrac {2\;m}{\hbar ^{2}}}\left[U(x)-E\right]{\underline {\Psi }}(x)=0\;$» c'est-à-dire  Considérant un puits quantique de profondeur $\;\color {transparent}{U_{0}}\;$ et de largeur $\;\color {transparent}{\mathfrak {a}}\;$ on en déduit une équation différentielle linéaire à cœfficient constant par morceaux du 2ème ordre en $\;{\underline {\Psi }}(x)\;$ homogène sans 1er ordre, Considérant un puits quantique de profondeur $\;\color {transparent}{U_{0}}\;$ et de largeur $\;\color {transparent}{\mathfrak {a}}\;$ on en déduit une équation différentielle linéaire dont la résolution se discute selon la valeur de $\;E$ :
* si «$\;E\in \left]0,U_{0}\right[\;$», la solution par morceaux est de forme suivante «$\;\Psi (x)=\left\lbrace {\begin{array}{l}\gamma \,\exp(-K\,x)\qquad \qquad \;{\text{ pour }}x\in \left[{\mathfrak {a}},+\infty \right[\\\alpha \,\sin(k\,x)+\beta \,\cos(k\,x){\text{ pour }}x\in \left]0,{\mathfrak {a}}\right[\\\delta \,\exp(K\,x)\qquad \qquad \quad {\text{ pour }}x\in \left]-\infty ,0\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}K={\dfrac {\sqrt {2\;m\;(U_{0}-E)}}{\hbar }}\\k={\dfrac {\sqrt {2\;m\;E}}{\hbar }}\end{array}}\right\rbrace \;$$^,$ » ;
* si «$\;E\in \left]U_{0},+\infty \right[\;$», la solution par morceaux est de forme suivante «$\;\Psi (x)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;\,{\text{ pour }}x\in \left[{\mathfrak {a}},+\infty \right[\\\alpha \,\sin(k\,x)+\beta \,\cos(k\,x){\text{ pour }}x\in \left]0,{\mathfrak {a}}\right[\\0\qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;{\text{ pour }}x\in \left]-\infty ,0\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ avec $\;k={\dfrac {\sqrt {2\;m\;E}}{\hbar }}\;$$^,$ » ;
* si «$\;E\in \left]-\infty ,0\right[\;$», il y a absence de solution conforme au résultat de la mécanique classique.

#### Condition de quantification de l'énergie de la particule dans le cas où celle-ci est inférieure à la profondeur du puits

Il est possible de montrer que, pour satisfaire l’équation de Schrödinger indépendante du temps, la fonction d'onde $\;{\underline {\Psi }}(x)\;$ doit être continue ; de la même façon,
il est possible de montrer que, dans la mesure où la discontinuité de l'énergie potentielle est finie, la dérivée de la fonction d’onde par rapport à l'abscisse de localisation $\;{\dfrac {d{\underline {\Psi }}}{dx}}(x)\;$ est aussi continue.
On se place dans le cas où l'énergie $\;E\;$ est toujours inférieure à la profondeur du puits $\;U_{0}$. En écrivant les conditions de continuités des morceaux de fonction d'onde$^,$ aux barrières d'énergie potentielle ainsi que En écrivant les conditions de continuités des morceaux de leur dérivée spatiale 1ère, puis En écrivant la compatibilité de ces conditions, déterminer l'équation définissant la quantification de l'énergie puis En écrivant la compatibilité de ces conditions, la résoudre numériquement avec les données suivantes : $m=9,1\,10^{-31}\,kg\;$, $\;{\mathfrak {a}}=1\,nm\;{\text{ou}}\;2\,nm$, $\;U_{0}=1\,eV\;$ et on rappelle En écrivant la compatibilité de ces conditions, la résoudre numériquement avec les données suivantes : la constante réduite de Planck $\;\hbar =1,056\,10^{-34}\,J\cdot s\;$.
Nous avons vu précédemment que, pour $\;E\in \left]0,U_{0}\right[$, la solution par morceaux est de forme $\;\Psi (x)=\left\lbrace {\begin{array}{l}\gamma \,\exp(-K\,x)\qquad \qquad \;{\text{ pour }}x\in \left[{\mathfrak {a}},+\infty \right[\\\alpha \,\sin(k\,x)+\beta \,\cos(k\,x){\text{ pour }}x\in \left]0,{\mathfrak {a}}\right[\\\delta \,\exp(K\,x)\qquad \qquad \quad {\text{ pour }}x\in \left]-\infty ,0\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}K={\dfrac {\sqrt {2\,m\,(U_{0}-E)}}{\hbar }}\\k={\dfrac {\sqrt {2\,m\,E}}{\hbar }}\end{array}}\right\rbrace$ ; ces morceaux de la solution, ainsi que leur dérivée spatiale 1ère, doivent être continus et la solution globale doit vérifier la condition de normalisation, l'application de ces cinq conditions permet de déterminer les quatre constantes ainsi que les valeurs possibles de $\;E\;$ c'est-à-dire la condition de quantification de l'énergie.
Continuités en $\;x=0$ :
* $\;\Psi (0^{-})=\Psi (0^{+})\;$ s'explicite en $\;\delta =\beta \;$ et
* $\;{\dfrac {d\Psi }{dx}}(0^{-})={\dfrac {d\Psi }{dx}}(0^{+})\;$ conduit à $\;K\,\delta =k\,\alpha$,
$\;\delta =\beta =\alpha \,{\dfrac {k}{K}}=\alpha \,{\sqrt {\dfrac {E}{U_{0}-E}}}\;\;({\mathfrak {1}})\;$
Continuités en $\;x=a$ :
* $\;\Psi ({\mathfrak {a}}^{-})=\Psi ({\mathfrak {a}}^{+})\;$ s'explicite en $\;\alpha \,\sin(k\,{\mathfrak {a}})+\beta \,\cos(k\,{\mathfrak {a}})=\gamma \,\exp(-K\,{\mathfrak {a}})\;$ et
* $\;{\dfrac {d\Psi }{dx}}({\mathfrak {a}}^{-})={\dfrac {d\Psi }{dx}}({\mathfrak {a}}^{+})\;$ conduit à $\;k\,\alpha \,\cos(k\,{\mathfrak {a}})-k\,\beta \,\sin(k\,{\mathfrak {a}})=-K\,\gamma \,\exp(-K\,{\mathfrak {a}})$,
$\;\color {transparent}{x=a}\;$
$\;\gamma =\left[\alpha \,\sin(k\,{\mathfrak {a}})+\beta \,\cos(k\,{\mathfrak {a}})\right]\exp(K\,{\mathfrak {a}})\;$
$\;\gamma =\left[-\alpha \,\cos(k\,{\mathfrak {a}})+\beta \,\sin(k\,{\mathfrak {a}})\right]{\dfrac {k}{K}}\exp(K\,{\mathfrak {a}})$
$\;\gamma$
$\;\alpha \,\sin(k\,{\mathfrak {a}})+\beta \,\cos(k\,{\mathfrak {a}})=-{\dfrac {k}{K}}\,\alpha \,\cos(k\,{\mathfrak {a}})+{\dfrac {k}{K}}\,\beta \,\sin(k\,{\mathfrak {a}})\;$
$\;\alpha \left[\sin(k\,{\mathfrak {a}})+{\dfrac {k}{K}}\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})\right]=$
$\beta \left[{\dfrac {k}{K}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-\cos(k\,{\mathfrak {a}})\right]\;$
$\;\left(\delta =\right)\;\beta =\alpha \,{\dfrac {k}{K}}\,{\dfrac {{\dfrac {K}{k}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})+\cos(k\,{\mathfrak {a}})}{{\dfrac {k}{K}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}=\alpha \,{\dfrac {K\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})+k\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}{k\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-K\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}=\alpha \,{\dfrac {{\sqrt {U_{0}-E}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})+{\sqrt {E}}\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}{{\sqrt {E}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-{\sqrt {U_{0}-E}}\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}\;\;({\mathfrak {2}})\;$
$\;\color {transparent}{x=a}\;$
$\;\beta \;$
$\;\alpha \;$
$\;\gamma =\alpha \,\left[\sin(k\,{\mathfrak {a}})+{\dfrac {K\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})+k\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}{k\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-K\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})\right]\exp(K\,{\mathfrak {a}})\;$
$\;\gamma =\alpha \;{\dfrac {k}{k\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-K\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}\,\exp(K\,{\mathfrak {a}})=\alpha \;{\dfrac {\sqrt {E}}{{\sqrt {E}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-{\sqrt {U_{0}-E}}\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}\,\exp(K\,{\mathfrak {a}})\;\;({\mathfrak {3}})\;$
Condition de quantification : Les relations $\;({\mathfrak {1}})\;$ et $\;({\mathfrak {2}})\;$ écrites respectivement selon «$\;\left(\delta =\right)\;\beta =\alpha \,{\dfrac {k}{K}}\;$» et «$\;\left(\delta =\right)\;\beta =\alpha \,{\dfrac {k}{K}}\,{\dfrac {{\dfrac {K}{k}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})+\cos(k\,{\mathfrak {a}})}{{\dfrac {k}{K}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}\;$» Condition de quantification : Les relations $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}})}\;$ et $\;\color {transparent}{({\mathfrak {2}})}\;$ sont compatibles si $\;{\dfrac {{\dfrac {K}{k}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})+\cos(k\,{\mathfrak {a}})}{{\dfrac {k}{K}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}=1\;$ ou $\;{\dfrac {K}{k}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})+\cos(k\,{\mathfrak {a}})={\dfrac {k}{K}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-\cos(k\,{\mathfrak {a}})\;$ soit encore Condition de quantification : Les relations $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}})}\;$ et $\;\color {transparent}{({\mathfrak {2}})}\;$ sont compatibles si $\;2\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})=\left[{\dfrac {k}{K}}-{\dfrac {K}{k}}\right]\sin(k\,{\mathfrak {a}})\;$ et enfin $\;\tan(k\,{\mathfrak {a}})=$ ${\dfrac {2}{{\dfrac {k}{K}}-{\dfrac {K}{k}}}}={\dfrac {2\,k\,K}{k^{2}-K^{2}}}\;$ ou $\;\tan(k\,{\mathfrak {a}})={\dfrac {2\,{\sqrt {E\,(U_{0}-E)}}}{E-(U_{0}-E)}}\;$ c'est-à-dire Condition de quantification : Les relations $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}})}\;$ et $\;\color {transparent}{({\mathfrak {2}})}\;$ sont compatibles avec la relation de quantification suivante «$\;\tan \!\left({\dfrac {\sqrt {2\,m\,E}}{\hbar }}\,{\mathfrak {a}}\right)={\dfrac {2\,{\sqrt {E\,(U_{0}-E)}}}{2\,E-U_{0}}}\;$».
Condition de quantification : Remarque : On peut transformer cette condition de quantification selon «$\;\tan(k\,{\mathfrak {a}})=2\,X\;$ avec $\;X={\dfrac {k\,K}{k^{2}-K^{2}}}\;$» et Condition de quantification : Remarque : On peut transformer en utilisant $\;\tan(k\,{\mathfrak {a}})={\dfrac {2\,\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}{1-\tan ^{2}\!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}{1-\tan ^{2}\!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}=X\;$ $\Rightarrow$ «$\;X\,\tan ^{2}\!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)+\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)-X=0\;$» équation du 2ème degré en $\;\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\;$ de discriminant $\;\Delta =1+4\,X^{2}=$ $1+{\dfrac {4\,k^{2}\,K^{2}}{(k^{2}-K^{2})^{2}}}={\dfrac {(k^{2}+K^{2})^{2}}{(k^{2}-K^{2})^{2}}}\;$ et donc de solution «$\;\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)={\dfrac {-1\pm {\dfrac {k^{2}+K^{2}}{k^{2}-K^{2}}}}{2\,{\dfrac {k\,K}{k^{2}-K^{2}}}}}=\left\lbrace {\begin{array}{l}{\text{solution positive }}\;\;{\dfrac {K}{k}}\\{\text{solution négative }}-{\dfrac {k}{K}}\end{array}}\!\!\right\rbrace \;$» ;
Condition de quantification : Remarque : cette forme de relation de quantification n'est pas utilisée dans la résolution numérique qui suit.
Résolution numérique de la condition de quantification : « En posant $\;\mu ={\dfrac {{\sqrt {2\,m\,U_{0}}}\,{\mathfrak {a}}}{\hbar }}\;$», les valeurs de $\;E\;$ acceptables sont solutions de «$\;\tan \!\left(\mu \,{\sqrt {\dfrac {E}{U_{0}}}}\right)={\dfrac {2\,{\sqrt {\left(1-{\dfrac {E}{U_{0}}}\right){\dfrac {E}{U_{0}}}}}}{2\,{\dfrac {E}{U_{0}}}-1}}\;$» soit encore, Résolution numérique de la condition de quantification : « en définissant la variable $\;\xi ={\sqrt {\dfrac {E}{U_{0}}}}\;$», les valeurs de $\;E\;$ acceptables sont solutions de «$\;\tan \!\left(\mu \,\xi \right)={\dfrac {2\,\xi \,{\sqrt {1-\xi ^{2}}}}{2\,\xi ^{2}-1}}\;$» ;
Résolution numérique de la condition de quantification : on trace alors sur un même diagramme, en fonction de la variable $\;\xi ={\sqrt {\dfrac {E}{U_{0}}}}$, le graphe de $\;\tan \!\left(\mu \,\xi \right)\;$ et celui de $\;{\dfrac {2\,\xi \,{\sqrt {1-\xi ^{2}}}}{2\,\xi ^{2}-1}}$, les abscisses des points d'intersection nous donnant les valeurs de $\;\xi \;$ permises et par suite celles de $\;E\;$ autorisées ;
Résolution numérique de la condition de quantification : on trace avec $\;{\mathfrak {a}}=1\,nm\;$ on trouve $\;\mu ={\dfrac {{\sqrt {2\times 9,1\,10^{-31}\times 1,6\,10^{-19}}}\times 10^{-9}}{1,056\,10^{-34}}}\simeq 5,11\;$ ${\big$voir 1er diagramme ci-dessous à gauche${\big )}$ ; Résolution numérique de la condition de quantification : on trace avec $\;\color {transparent}{{\mathfrak {a}}=1\,nm}\;$ l'intersection nous donne deux valeurs d'énergie permises : «$\;E\simeq \left\lbrace {\begin{array}{l}U_{0}\times (0,438)^{2}\simeq 0,192\,U_{0}\\U_{0}\times (0,840)^{2}\simeq 0,705\,U_{0}\end{array}}\right\rbrace \;$».
Résolution numérique de la condition de quantification : on trace avec $\;{\mathfrak {a}}=2\,nm\;$ on trouve $\;\mu ={\dfrac {{\sqrt {2\times 9,1\,10^{-31}\times 1,6\,10^{-19}}}\times 2\,10^{-9}}{1,056\,10^{-34}}}\simeq 10,2\;$ ${\big$voir 2ème diagramme ci-dessous à droite${\big )}$ ; Résolution numérique de la condition de quantification : on trace avec $\;\color {transparent}{{\mathfrak {a}}=2\,nm}\;$ l'intersection nous donne quatre valeurs d'énergie permises : «$\;E\simeq \left\lbrace {\begin{array}{l}U_{0}\times (0,257)^{2}\simeq 0,066\,U_{0}\\U_{0}\times (0,511)^{2}\simeq 0,261\,U_{0}\\U_{0}\times (0,756)^{2}\simeq 0,572\,U_{0}\\U_{0}\times (0,971)^{2}\simeq 0,943\,U_{0}\end{array}}\right\rbrace \;$».

#### Partie spatiale de la fonction d'onde de la particule, solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps, dans le cas où l'énergie de la particule est inférieure à la profondeur du puits

Préciser les formes que prennent alors les solutions dans les 3 zones de l'espace $\;\left]-\infty \,;\,0\right]$, $\;\left[0\,;\,{\mathfrak {a}}\right]\;$ et $\;\left[{\mathfrak {a}}\,;\,+\infty \right[\;$ après les avoir normalisées globalement ?
$\;E\;$
$\;\tan \!\left({\dfrac {\sqrt {2\,m\,E}}{\hbar }}\,{\mathfrak {a}}\right)={\dfrac {2\,{\sqrt {E\,(U_{0}-E)}}}{2\,E-U_{0}}}\;$
$\;\alpha \;$
$\;\beta =\alpha \;{\dfrac {k}{K}}\;$
$\;\gamma =\alpha \;{\dfrac {{\dfrac {k}{K}}\;\exp(K\,{\mathfrak {a}})}{{\dfrac {k}{K}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}\;$
$\;\delta =\beta =\alpha \;{\dfrac {k}{K}}\;$
$\;\Psi (x)=\left\lbrace {\begin{array}{l}\alpha \,{\dfrac {{\dfrac {k}{K}}\,\exp \!\left[-K\,(x-{\mathfrak {a}})\right]}{{\dfrac {k}{K}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}\quad \;{\text{ pour }}x\in \left[{\mathfrak {a}},+\infty \right[\\\alpha \,\left[\sin(k\,x)+{\dfrac {k}{K}}\,\cos(k\,x)\right]{\text{ pour }}x\in \left]0,{\mathfrak {a}}\right[\\\alpha \,{\dfrac {k}{K}}\,\exp(K\,x)\qquad \qquad \quad \;{\text{ pour }}x\in \left]-\infty ,0\right]\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}K={\dfrac {\sqrt {2\,m\,(U_{0}-E)}}{\hbar }}\\k={\dfrac {\sqrt {2\,m\,E}}{\hbar }}\end{array}}\right\rbrace \;$
il ne reste plus qu'à écrire la condition de normalisation pour évaluer $\;\alpha$, à savoir «$\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\mathcal {P}}_{l}(x)\;dx=1\;$» avec la définition, par morceaux, de la densité linéique de probabilité de présence il ne reste plus qu'à écrire la condition de normalisation pour évaluer $\;\color {transparent}{\alpha }$, à savoir «$\;{\mathcal {P}}_{l}(x)=\left[\Psi (x)\right]^{2}=\left\lbrace {\begin{array}{l}\alpha ^{2}\,{\dfrac {{\dfrac {k^{2}}{K^{2}}}\,\exp \!\left[-2\,K\,(x-{\mathfrak {a}})\right]}{\left[{\dfrac {k}{K}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-\cos(k\,{\mathfrak {a}})\right]^{2}}}\;{\text{ pour }}x\in \left[{\mathfrak {a}},+\infty \right[\\\alpha ^{2}\,\left[\sin(k\,x)+{\dfrac {k}{K}}\,\cos(k\,x)\right]^{2}\;{\text{ pour }}x\in \left]0,{\mathfrak {a}}\right[\\\alpha ^{2}\,{\dfrac {k^{2}}{K^{2}}}\,\exp(2\,K\,x)\qquad \qquad \;\;{\text{ pour }}x\in \left]-\infty ,0\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» ;
la condition de normalisation se réécrit «$\;\displaystyle \int _{-\infty }^{0}{\dfrac {k^{2}}{K^{2}}}\,\exp(2\,K\,x)\,dx+\displaystyle \int _{0}^{\mathfrak {a}}\left[\sin(k\,x)+{\dfrac {k}{K}}\,\cos(k\,x)\right]^{2}\,dx+\displaystyle \int _{\mathfrak {a}}^{+\infty }{\dfrac {{\dfrac {k^{2}}{K^{2}}}\,\exp \!\left[-2\,K\,(x-{\mathfrak {a}})\right]}{\left[{\dfrac {k}{K}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-\cos(k\,{\mathfrak {a}})\right]^{2}}}\,dx={\dfrac {1}{\alpha ^{2}}}\;$» soit
* pour la 1ère intégrale «$\;\displaystyle \int _{-\infty }^{0}{\dfrac {k^{2}}{K^{2}}}\,\exp(2\,K\,x)\,dx={\dfrac {k^{2}}{K^{2}}}\,\left[{\dfrac {\exp(2\,K\,x)}{2\,K}}\right]_{-\infty }^{0}={\dfrac {k^{2}}{2\,K^{3}}}\;$»,
* pour la 3ème intégrale «$\;\displaystyle \int _{\mathfrak {a}}^{+\infty }{\dfrac {k^{2}}{K^{2}}}\,{\dfrac {1}{\left[{\dfrac {k}{K}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-\cos(k\,{\mathfrak {a}})\right]^{2}}}\,\exp \!\left[2\,K({\mathfrak {a}}-x)\right]dx={\dfrac {k^{2}}{K^{2}}}\,{\dfrac {1}{\left[{\dfrac {k}{K}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-\cos(k\,{\mathfrak {a}})\right]^{2}}}\,\left[{\dfrac {\exp \!\left\lbrace 2\,K({\mathfrak {a}}-x)\right\rbrace }{-2\,K}}\right]_{\mathfrak {a}}^{+\infty }={\dfrac {k^{2}}{2\,K^{3}}}\,{\dfrac {1}{\left[{\dfrac {k}{K}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-\cos(k\,{\mathfrak {a}})\right]^{2}}}=$ ${\dfrac {1}{2\,K}}\,\left[{\dfrac {k}{k\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-K\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}\right]^{2}\;$», pour la 3ème intégrale $\;\succ \;$nous allons simplifier le résultat de cette 3ème intégrale en utilisant l'« autre forme de condition de quantification de l'énergie » établie dans la remarque de la solution de la question précédente, à savoir une condition de quantification sous les deux formes complémentaires $\;\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)={\dfrac {K}{k}}\;$ pour la 1ère condition et $\;\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)=-{\dfrac {k}{K}}\;$ pour la 2ème, soit pour la 3ème intégrale $\;\color {transparent}{\succ }\;$$\;\triangleright \;$avec la 1ère condition «$\;\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)={\dfrac {K}{k}}\;$», $\;{\dfrac {1}{2\,K}}\,\left[{\dfrac {1}{\sin(k\,{\mathfrak {a}})-{\dfrac {K}{k}}\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}\right]^{2}={\dfrac {1}{2\,K}}\,\left[{\dfrac {1}{\sin(k\,{\mathfrak {a}})-\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}\right]^{2}\;$ avec $\;\sin(k\,{\mathfrak {a}})-\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})=$ ${\dfrac {\sin(k\,{\mathfrak {a}})\,\cos \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)-\sin \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}{\cos \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}={\dfrac {\sin \!\left(k\,{\mathfrak {a}}-{\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}{\cos \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}=\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)={\dfrac {K}{k}}\;$ d'où «$\;{\dfrac {1}{2\,K}}\,\left[{\dfrac {1}{\sin(k\,{\mathfrak {a}})-{\dfrac {K}{k}}\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}\right]^{2}={\dfrac {k^{2}}{2\,K^{3}}}\;$» et pour la 3ème intégrale $\;\color {transparent}{\succ }\;$$\;\triangleright \;$avec la 2ème condition «$\;\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)=-{\dfrac {k}{K}}\;$», $\;{\dfrac {1}{2\,K}}\,\left[{\dfrac {-{\dfrac {k}{K}}}{-{\dfrac {k}{K}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})+\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}\right]^{2}={\dfrac {1}{2\,K}}\,\left[{\dfrac {\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}{\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})+\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}\right]^{2}\;$ avec $\;{\dfrac {\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}{\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})+\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}=$ ${\dfrac {\sin \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}{\sin \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})+\cos \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}={\dfrac {\sin \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}{\cos \!\left(k\,{\mathfrak {a}}-{\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}=\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)=-{\dfrac {k}{K}}\;$ d'où «$\;{\dfrac {1}{2\,K}}\,\left[{\dfrac {1}{\sin(k\,{\mathfrak {a}})-{\dfrac {K}{k}}\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}\right]^{2}={\dfrac {k^{2}}{2\,K^{3}}}\;$» pour la 3ème intégrale $\;\succ \;$soit finalement la même expression de 3ème intégrale pour les deux formes de condition de quantification «$\;\displaystyle \int _{\mathfrak {a}}^{+\infty }{\dfrac {k^{2}}{K^{2}}}\,{\dfrac {1}{\left[{\dfrac {k}{K}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-\cos(k\,{\mathfrak {a}})\right]^{2}}}\,\exp \!\left[2\,K({\mathfrak {a}}-x)\right]dx={\dfrac {k^{2}}{2\,K^{3}}}\;$» et
* pour la 2ème intégrale il convient tout d'abord de linéariser l'expression à intégrer après développement du carré $\;\left[\sin(k\,x)+{\dfrac {k}{K}}\,\cos(k\,x)\right]^{\!2}=\sin ^{2}(k\,x)+{\dfrac {k^{2}}{K^{2}}}\,\cos ^{2}(k\,x)+2\,{\dfrac {k}{K}}\,\sin(k\,x)\,\cos(k\,x)=$ ${\dfrac {1-\cos(2\,k\,x)}{2}}+{\dfrac {k^{2}}{K^{2}}}\,{\dfrac {1+\cos(2\,k\,x)}{2}}+{\dfrac {k}{K}}\,\sin(2\,k\,x)\;$ soit $\;\left[\sin(k\,x)+{\dfrac {k}{K}}\,\cos(k\,x)\right]^{\!2}=$ ${\dfrac {K^{2}+k^{2}}{2\,K^{2}}}+{\dfrac {k^{2}-K^{2}}{2\,K^{2}}}\,\cos(2\,k\,x)+{\dfrac {k}{K}}\,\sin(2\,k\,x)\;$ d'où la réécriture de pour la 2ème intégrale «$\;\displaystyle \int _{0}^{\mathfrak {a}}\left[\sin(k\,x)+{\dfrac {k}{K}}\,\cos(k\,x)\right]^{2}\,dx=\displaystyle \int _{0}^{\mathfrak {a}}{\dfrac {K^{2}+k^{2}}{2\,K^{2}}}\,dx+\displaystyle \int _{0}^{\mathfrak {a}}{\dfrac {k^{2}-K^{2}}{2\,K^{2}}}\,\cos(2\,k\,x)\,dx+\displaystyle \int _{0}^{\mathfrak {a}}{\dfrac {k}{K}}\,\sin(2\,k\,x)\,dx=\left[{\dfrac {K^{2}+k^{2}}{2\,K^{2}}}\,x+{\dfrac {k^{2}-K^{2}}{2\,K^{2}}}\,{\dfrac {\sin(2\,k\,x)}{2\,k}}+{\dfrac {k}{K}}\,{\dfrac {-\cos(2\,k\,x)}{2\,k}}\right]_{0}^{\mathfrak {a}}\;$» soit finalement «$\;\displaystyle \int _{0}^{\mathfrak {a}}\left[\sin(k\,x)+{\dfrac {k}{K}}\,\cos(k\,x)\right]^{2}\,dx={\dfrac {K^{2}+k^{2}}{2\,K^{2}}}\,{\mathfrak {a}}+{\dfrac {k^{2}-K^{2}}{2\,K^{2}}}\,{\dfrac {\sin(2\,k\,{\mathfrak {a}})}{2\,k}}+{\dfrac {1-\cos(2\,k\,{\mathfrak {a}})}{2\,K}}\;$», pour la 2ème intégrale $\;\succ \;$nous allons simplifier le résultat de cette 2ème intégrale en utilisant l'« autre forme de condition de quantification de l'énergie » établie dans la remarque de la solution de la question précédente, à savoir une condition de quantification sous les deux formes complémentaires $\;\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)={\dfrac {K}{k}}\;$ pour la 1ère condition et $\;\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)=-{\dfrac {k}{K}}\;$ pour la 2ème, soit pour la 2ème intégrale $\;\color {transparent}{\succ }\;$$\;\triangleright \;$avec la 1ère condition «$\;\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)={\dfrac {K}{k}}\;$», $\;\sin(2\,k\,{\mathfrak {a}})=2\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})=2\,{\dfrac {2\,\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\left[1-\tan ^{2}\!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\right]}{\left[1+\tan ^{2}\!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\right]^{2}}}=4\,{\dfrac {{\dfrac {K}{k}}\,\left[1-{\dfrac {K^{2}}{k^{2}}}\right]}{\left[1+{\dfrac {K^{2}}{k^{2}}}\right]^{2}}}=4\,k\,K\,{\dfrac {k^{2}-K^{2}}{\left(k^{2}+K^{2}\right)^{2}}}\;$ ainsi que pour la 2ème intégrale $\;\color {transparent}{\succ }\;$$\;\color {transparent}{\triangleright }\;$avec la 1ère condition «$\;\color {transparent}{\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)={\dfrac {K}{k}}}\;$», $\;1-\cos(2\,k\,{\mathfrak {a}})=2\,\sin ^{2}(k\,{\mathfrak {a}})=2\,{\dfrac {\left[2\,\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\right]^{2}}{\left[1+\tan ^{2}\!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\right]^{2}}}=8\,{\dfrac {\dfrac {K^{2}}{k^{2}}}{\left[1+{\dfrac {K^{2}}{k^{2}}}\right]^{2}}}={\dfrac {8\,k^{2}\,K^{2}}{\left(k^{2}+K^{2}\right)^{2}}}\;$ d'où pour la 2ème intégrale $\;\color {transparent}{\succ }\;$$\;\color {transparent}{\triangleright }\;$avec la 1ère condition «$\;\color {transparent}{\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)={\dfrac {K}{k}}}\;$», «$\;{\dfrac {K^{2}+k^{2}}{2\,K^{2}}}\,{\mathfrak {a}}+{\dfrac {k^{2}-K^{2}}{2\,K^{2}}}\,{\dfrac {\sin(2\,k\,{\mathfrak {a}})}{2\,k}}+{\dfrac {1-\cos(2\,k\,{\mathfrak {a}})}{2\,K}}={\dfrac {K^{2}+k^{2}}{2\,K^{2}}}\,{\mathfrak {a}}+{\dfrac {k^{2}-K^{2}}{2\,K^{2}}}\,2\,K\,{\dfrac {k^{2}-K^{2}}{\left(k^{2}+K^{2}\right)^{2}}}+{\dfrac {4\,k^{2}\,K}{\left(k^{2}+K^{2}\right)^{2}}}=$ ${\dfrac {K^{2}+k^{2}}{2\,K^{2}}}\,{\mathfrak {a}}+{\dfrac {\left(k^{2}-K^{2}\right)^{2}+4\,k^{2}\,K^{2}}{K\,\left(k^{2}+K^{2}\right)^{2}}}={\dfrac {K^{2}+k^{2}}{2\,K^{2}}}\,{\mathfrak {a}}+{\dfrac {\left(k^{2}+K^{2}\right)^{2}}{K\,\left(k^{2}+K^{2}\right)^{2}}}={\dfrac {K^{2}+k^{2}}{2\,K^{2}}}\,{\mathfrak {a}}+{\dfrac {1}{K}}\;$» et pour la 2ème intégrale $\;\color {transparent}{\succ }\;$$\;\triangleright \;$avec la 2ème condition «$\;\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)=-{\dfrac {k}{K}}\;$», $\;\sin(2\,k\,{\mathfrak {a}})=2\,{\dfrac {2\,\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\left[1-\tan ^{2}\!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\right]}{\left[1+\tan ^{2}\!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\right]^{2}}}=4\,{\dfrac {-{\dfrac {k}{K}}\,\left[1-{\dfrac {k^{2}}{K^{2}}}\right]}{\left[1+{\dfrac {k^{2}}{K^{2}}}\right]^{2}}}=4\,k\,K\,{\dfrac {k^{2}-K^{2}}{\left(k^{2}+K^{2}\right)^{2}}}\;$ ainsi que pour la 2ème intégrale $\;\color {transparent}{\succ }\;$$\;\color {transparent}{\triangleright }\;$avec la 2ème condition «$\;\color {transparent}{\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)=-{\dfrac {k}{K}}}\;$», $\;1-\cos(2\,k\,{\mathfrak {a}})=$ $2\,{\dfrac {\left[2\,\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\right]^{2}}{\left[1+\tan ^{2}\!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\right]^{2}}}=8\,{\dfrac {\dfrac {k^{2}}{K^{2}}}{\left[1+{\dfrac {k^{2}}{K^{2}}}\right]^{2}}}={\dfrac {8\,k^{2}\,K^{2}}{\left(k^{2}+K^{2}\right)^{2}}}\;$ d'où pour la 2ème intégrale $\;\color {transparent}{\succ }\;$$\;\color {transparent}{\triangleright }\;$avec la 2ème condition «$\;\color {transparent}{\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)=-{\dfrac {k}{K}}}\;$», «$\;{\dfrac {K^{2}+k^{2}}{2\,K^{2}}}\,{\mathfrak {a}}+{\dfrac {k^{2}-K^{2}}{2\,K^{2}}}\,{\dfrac {\sin(2\,k\,{\mathfrak {a}})}{2\,k}}+{\dfrac {1-\cos(2\,k\,{\mathfrak {a}})}{2\,K}}\,{\overset {\cdots }{=}}\,{\dfrac {K^{2}+k^{2}}{2\,K^{2}}}\,{\mathfrak {a}}+{\dfrac {1}{K}}\;$» pour la 2ème intégrale $\;\succ \;$soit finalement la même expression de 2ème intégrale pour les deux formes de condition de quantification «$\;\displaystyle \int _{0}^{\mathfrak {a}}\left[\sin(k\,x)+{\dfrac {k}{K}}\,\cos(k\,x)\right]^{2}\,dx={\dfrac {K^{2}+k^{2}}{2\,K^{2}}}\,{\mathfrak {a}}+{\dfrac {1}{K}}\;$» ;
$\;{\dfrac {1}{\alpha ^{2}}}=2\;{\dfrac {k^{2}}{2\,K^{3}}}+{\dfrac {K^{2}+k^{2}}{2\,K^{2}}}\,{\mathfrak {a}}+{\dfrac {1}{K}}={\dfrac {k^{2}+K^{2}}{K^{3}}}\,\left(1+{\dfrac {K\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\;$
$\;\alpha \;$
$\;\alpha ={\sqrt {\dfrac {K^{3}}{\left(k^{2}+K^{2}\right)\,\left(1+{\dfrac {K\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}}={\sqrt {K\,{\dfrac {U_{0}-E}{U_{0}\,\left(1+{\dfrac {K\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}}}\;$
$\;\color {transparent}{{\dfrac {1}{\alpha ^{2}}}=2\;{\dfrac {k^{2}}{2\,K^{3}}}+{\dfrac {K^{2}+k^{2}}{2\,K^{2}}}\,{\mathfrak {a}}+{\dfrac {1}{K}}={\dfrac {k^{2}+K^{2}}{K^{3}}}\,\left(1+{\dfrac {K\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}\;$
$\;\beta =\delta \;$
$\;\delta =\beta =\alpha \,{\dfrac {k}{K}}={\sqrt {\dfrac {k^{2}\,K}{\left(k^{2}+K^{2}\right)\,\left(1+{\dfrac {K\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}}={\sqrt {K\,{\dfrac {E}{U_{0}\,\left(1+{\dfrac {K\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}}}\;$
$\;\color {transparent}{{\dfrac {1}{\alpha ^{2}}}=2\;{\dfrac {k^{2}}{2\,K^{3}}}+{\dfrac {K^{2}+k^{2}}{2\,K^{2}}}\,{\mathfrak {a}}+{\dfrac {1}{K}}={\dfrac {k^{2}+K^{2}}{K^{3}}}\,\left(1+{\dfrac {K\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}\;$
$\;\gamma \;$
$\;\gamma =\alpha \;{\dfrac {\exp(K\,{\mathfrak {a}})}{\sin(k\,{\mathfrak {a}})-{\dfrac {K}{k}}\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}\;$
$\;\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)={\dfrac {K}{k}}\;$
$\;\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)=-{\dfrac {k}{K}}\;$
$\;\triangleright \;$
$\;\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)={\dfrac {K}{k}}\;$
$\;\sin(k\,{\mathfrak {a}})-{\dfrac {K}{k}}\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})=\sin(k\,{\mathfrak {a}})-\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})={\dfrac {\sin(k\,{\mathfrak {a}})\,\cos \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)-\sin \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}{\cos \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}\;$
$\;\sin(a)\;\cos(b)-\sin(b)\;\cos(a)=\sin(a-b)\;$
$\;\sin(k\,{\mathfrak {a}})-{\dfrac {K}{k}}\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})={\dfrac {\sin \!\left(k\,{\mathfrak {a}}-{\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}{\cos \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}=\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)={\dfrac {K}{k}}\;$
$\;\triangleright \;$
$\;\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)=-{\dfrac {k}{K}}\;$
$\;-{\dfrac {K}{k}}\;$
$\;\sin(k\,{\mathfrak {a}})-{\dfrac {K}{k}}\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})\;$
$-{\dfrac {K}{k}}\,\left[-{\dfrac {k}{K}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})+\cos(k\,{\mathfrak {a}})\right]=$
$-{\dfrac {K}{k}}\,\left[\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})+\cos(k\,{\mathfrak {a}})\right]=-{\dfrac {K}{k}}\,{\dfrac {\sin \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})+\cos \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}{\cos \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}\;$
$\;\cos(a)\;\cos(b)+\sin(a)\;\sin(b)$
$=\cos(a-b)\;$
$\;\sin(k\,{\mathfrak {a}})-{\dfrac {K}{k}}\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})=-{\dfrac {K}{k}}\,{\dfrac {\cos \!\left(k\,{\mathfrak {a}}-{\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}{\cos \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}=-{\dfrac {K}{k}}\;$
$\;\color {transparent}{{\dfrac {1}{\alpha ^{2}}}=2\;{\dfrac {k^{2}}{2\,K^{3}}}+{\dfrac {K^{2}+k^{2}}{2\,K^{2}}}\,{\mathfrak {a}}+{\dfrac {1}{K}}={\dfrac {k^{2}+K^{2}}{K^{3}}}\,\left(1+{\dfrac {K\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}\;$
$\;\gamma \;$
$\;\gamma =\alpha \;{\dfrac {\exp(K\,{\mathfrak {a}})}{\pm {\dfrac {K}{k}}}}=\pm \beta \;\exp(K\,{\mathfrak {a}})=\pm {\sqrt {K\,{\dfrac {E}{U_{0}\,\left(1+{\dfrac {K\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}}}\,\exp(K\,{\mathfrak {a}})\;$
$\;\Psi (x)=\left\lbrace {\begin{array}{l}\pm {\sqrt {K\,{\dfrac {E}{U_{0}\,\left(1+{\dfrac {K\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}}}\,\exp \!\left[-K\,(x-{\mathfrak {a}})\right]\qquad \qquad \quad {\text{ pour }}x\in \left[{\mathfrak {a}},+\infty \right[\\{\sqrt {K\,{\dfrac {U_{0}-E}{U_{0}\,\left(1+{\dfrac {K\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}}}\,\left[\sin(k\,x)+{\dfrac {E}{U_{0}-E}}\,\cos(k\,x)\right]{\text{ pour }}x\in \left]0,{\mathfrak {a}}\right[\\{\sqrt {K\,{\dfrac {E}{U_{0}\,\left(1+{\dfrac {K\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}}}\,\exp(K\,x)\qquad \qquad \qquad \qquad \quad {\text{ pour }}x\in \left]-\infty ,0\right]\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;\Psi (x)={\sqrt {K\,{\dfrac {E}{U_{0}\,\left(1+{\dfrac {K\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}}}\,\left\lbrace {\begin{array}{l}\pm \exp \!\left[-K\,(x-{\mathfrak {a}})\right]\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad {\text{ pour }}x\in \left[{\mathfrak {a}},+\infty \right[\\\left[{\sqrt {\dfrac {U_{0}-E}{E}}}\,\sin(k\,x)+{\sqrt {\dfrac {E}{U_{0}-E}}}\,\cos(k\,x)\right]{\text{ pour }}x\in \left]0,{\mathfrak {a}}\right[\\\exp(K\,x)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad {\text{ pour }}x\in \left]-\infty ,0\right]\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}K={\dfrac {\sqrt {2\,m\,(U_{0}-E)}}{\hbar }}\\k={\dfrac {\sqrt {2\,m\,E}}{\hbar }}\end{array}}\right\rbrace \;$

#### Expression du taux de transmission à l'extérieur du puits à une distance a de chacune de ses frontières dans le cas où l'énergie de la particule est inférieure à la profondeur du puits

Dans le cas où l'énergie $\;E\;$ de la particule est $\;<\;$ à la profondeur $\;U_{0}\;$ du puits d'énergie potentielle large de $\;{\mathfrak {a}}$, on définit le taux de transmission à l'extérieur du puits à une distance$\;{\mathfrak {a}}\;$de chacune de ses frontières par «$\;T_{-{\mathfrak {a}}\,\leftarrow \,0}={\dfrac {\vert \Psi (-{\mathfrak {a}})\vert ^{2}}{\vert \Psi (0)\vert ^{2}}}\;$ pour la transmission à gauche » et «$\;T_{{\mathfrak {a}}\,\rightarrow \,2\,{\mathfrak {a}}}={\dfrac {\vert \Psi (2\,{\mathfrak {a}})\vert ^{2}}{\vert \Psi ({\mathfrak {a}})\vert ^{2}}}\;$ pour la transmission à droite », $\;\Psi (x)\;$ étant la fonction d'onde de la particule au point d'abscisse $\;x$ ;
explicitez, en fonction des données du problème, chacun des taux de transmission à l'extérieur du puits à une distance $\;{\mathfrak {a}}\;$ de chacune de ses frontières et vérifiez qu'ils sont égaux ; commentez.
Faire l'application numérique pour les deux largeurs de puits d'énergie potentielle précédemment introduites $\;{\mathfrak {a}}=1\,nm\;$ et $\;{\mathfrak {a}}=2\,nm$ $\;{\big$on rappelle les autres valeurs numériques $\;m=9,1\,10^{-31}\,kg\;$, $\;U_{0}=1\,eV\;$ et $\;\hbar =1,056\,10^{-34}\,J\cdot s\;$${\big )}$ ; commentez.
D'après la solution de la question précédente «$\;\Psi (x)={\sqrt {K\,{\dfrac {E}{U_{0}\,\left(1+{\dfrac {K\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}}}\,\exp(K\,x)\;$ sur l'intervalle $\;\left]-\infty ,0\right]\;$» permet d'en déduire «$\;T_{-{\mathfrak {a}}\,\leftarrow \,0}={\dfrac {\vert \Psi (-{\mathfrak {a}})\vert ^{2}}{\vert \Psi (0)\vert ^{2}}}=\exp(-2\,K\,{\mathfrak {a}})\;$» ; de même
D'après la solution de la question précédente «$\;\Psi (x)=\pm {\sqrt {K\,{\dfrac {E}{U_{0}\,\left(1+{\dfrac {K\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}}}\,\exp \!\left[-K\,(x-{\mathfrak {a}})\right]\;$ sur l'intervalle $\;\left[{\mathfrak {a}},+\infty \right[\;$» permet d'en déduire «$\;T_{{\mathfrak {a}}\,\rightarrow \,2\,{\mathfrak {a}}}={\dfrac {\vert \Psi (2\,{\mathfrak {a}})\vert ^{2}}{\vert \Psi ({\mathfrak {a}})\vert ^{2}}}=\exp(-2\,K\,{\mathfrak {a}})\;$» ; ainsi
$\;{\mathfrak {a}}\;$
$\;{\dfrac {\mathfrak {a}}{2}}$
A.N. : Avec la largeur $\;{\mathfrak {a}}=1\,nm$, nous avions trouvé deux valeurs d'énergie pour la particule «$\;E_{1}\simeq 0,192\;U_{0}\simeq 0,192\;eV\;$» et «$\;E_{2}\simeq 0,705\;U_{0}\simeq 0,705\;eV\;$», nous en déduisons le taux de transmission commun à l'extérieur du puits à la distance $\;{\mathfrak {a}}\;$ de chacune de ses frontières après avoir calculé $\;K={\dfrac {\sqrt {2\,m\,(U_{0}-E)}}{\hbar }}\;$ pour chaque niveau d'énergie,
A.N. : Avec la largeur $\;\color {transparent}{{\mathfrak {a}}=1\,nm}$, $\;\triangleright$ avec le niveau d'énergie fondamental «$\;E_{1}\simeq 0,192\;U_{0}\simeq 0,192\;eV\;$», nous obtenons $\;K={\dfrac {\sqrt {2\times 9,1\,10^{-31}\times (1-0,192)\times 1,6\,10^{-19}}}{1,056\,10^{-34}}}\simeq 4,59\,10^{9}\,m^{-1}\;$ soit «$\;K\simeq 4,59\,nm^{-1}\;$» d'où «$\;T_{-{\mathfrak {a}}\,\leftarrow \,0}=T_{{\mathfrak {a}}\,\rightarrow \,2\,{\mathfrak {a}}}=\exp(-2\times 4,59\times 1)\simeq 1,03\,10^{-4}\;$» c'est-à-dire une transmission faible mais observable alors qu'elle est interdite en mécanique classique ;
A.N. : Avec la largeur $\;\color {transparent}{{\mathfrak {a}}=1\,nm}$, $\;\triangleright$ avec le niveau d'énergie excité «$\;E_{2}\simeq 0,705\;U_{0}\simeq 0,705\;eV\;$», nous obtenons $\;K={\dfrac {\sqrt {2\times 9,1\,10^{-31}\times (1-0,705)\times 1,6\,10^{-19}}}{1,056\,10^{-34}}}$ $\simeq 2,76\,10^{9}\,m^{-1}\;$ soit «$\;K\simeq 2,76\,nm^{-1}\;$» d'où «$\;T_{-{\mathfrak {a}}\,\leftarrow \,0}=T_{{\mathfrak {a}}\,\rightarrow \,2\,{\mathfrak {a}}}=\exp(-2\times 2,76\times 1)\simeq 4,01\,10^{-3}\;$» c'est-à-dire une transmission encore petite mais nettement plus observable alors qu'elle est interdite en mécanique classique.
A.N. : Avec la largeur $\;{\mathfrak {a}}=2\,nm$, nous avions trouvé quatre valeurs d'énergie pour la particule «$\;E_{1}\simeq 0,066\;U_{0}\simeq 0,066\;eV\;$», «$\;E_{2}\simeq 0,261\;U_{0}\simeq 0,261\;eV\;$», «$\;E_{3}\simeq 0,572\;U_{0}\simeq 0,572\;eV\;$» et «$\;E_{4}\simeq 0,943\;U_{0}\simeq 0,943\;eV\;$», nous en déduisons le taux de transmission commun à l'extérieur du puits à la distance $\;{\mathfrak {a}}\;$ de chacune de ses frontières après avoir calculé $\;K={\dfrac {\sqrt {2\,m\,(U_{0}-E)}}{\hbar }}\;$ pour chacun des niveaux d'énergie,
A.N. : Avec la largeur $\;\color {transparent}{{\mathfrak {a}}=2\,nm}$, $\;\triangleright$ avec le niveau d'énergie fondamental «$\;E_{1}\simeq 0,066\;U_{0}\simeq 0,066\;eV\;$», nous obtenons $\;K={\dfrac {\sqrt {2\times 9,1\,10^{-31}\times (1-0,066)\times 1,6\,10^{-19}}}{1,05\,10^{-34}}}\simeq 4,94\,10^{9}\,m^{-1}\;$ soit «$\;K\simeq 4,94\,nm^{-1}\;$» d'où «$\;T_{-{\mathfrak {a}}\,\leftarrow \,0}=T_{{\mathfrak {a}}\,\rightarrow \,2\,{\mathfrak {a}}}=\exp(-2\times 4,94\times 2)\simeq 2,62\,10^{-9}\;$» c'est-à-dire une transmission excessivement faible quasi-observable ;
A.N. : Avec la largeur $\;\color {transparent}{{\mathfrak {a}}=2\,nm}$, $\;\triangleright$ avec le 1er niveau d'énergie excité «$\;E_{2}\simeq 0,705\;U_{0}\simeq 0,705\;eV\;$», nous obtenons $\;K={\dfrac {\sqrt {2\times 9,1\,10^{-31}\times (1-0,261)\times 1,6\,10^{-19}}}{1,056\,10^{-34}}}\simeq 4,39\,10^{9}\,m^{-1}\;$ soit «$\;K\simeq 4,39\,nm^{-1}\;$» d'où «$\;T_{-{\mathfrak {a}}\,\leftarrow \,0}=T_{{\mathfrak {a}}\,\rightarrow \,2\,{\mathfrak {a}}}=\exp(-2\times 4,39\times 2)\simeq 2,36\,10^{-8}\;$» c'est-à-dire une transmission encore excessivement petite et qui n'est guère plus observable ;
A.N. : Avec la largeur $\;\color {transparent}{{\mathfrak {a}}=2\,nm}$, $\;\triangleright$ avec le 2ème niveau d'énergie excité «$\;E_{3}\simeq 0,572\;U_{0}\simeq 0,572\;eV\;$», nous obtenons $\;K={\dfrac {\sqrt {2\times 9,1\,10^{-31}\times (1-0,572)\times 1,6\,10^{-19}}}{1,056\,10^{-34}}}\simeq 3,34\,10^{9}\,m^{-1}\;$ soit «$\;K\simeq 3,34\,nm^{-1}\;$» d'où «$\;T_{-{\mathfrak {a}}\,\leftarrow \,0}=T_{{\mathfrak {a}}\,\rightarrow \,2\,{\mathfrak {a}}}=\exp(-2\times 3,34\times 2)\simeq 1,58\,10^{-6}\;$» c'est-à-dire une transmission faible restant difficilement observable mais observable néanmoins alors qu'elle est interdite en mécanique classique ;
A.N. : Avec la largeur $\;\color {transparent}{{\mathfrak {a}}=2\,nm}$, $\;\triangleright$ avec le 3ème niveau d'énergie excité «$\;E_{4}\simeq 0,943\;U_{0}\simeq 0,943\;eV\;$», nous obtenons $\;K={\dfrac {\sqrt {2\times 9,1\,10^{-31}\times (1-0,943)\times 1,6\,10^{-19}}}{1,056\,10^{-34}}}\simeq 1,22\,10^{9}\,m^{-1}\;$ soit «$\;K\simeq 1,22\,nm^{-1}\;$» d'où «$\;T_{-{\mathfrak {a}}\,\leftarrow \,0}=T_{{\mathfrak {a}}\,\rightarrow \,2\,{\mathfrak {a}}}=\exp(-2\times 1,22\times 2)\simeq 7,60\,10^{-3}\;$» c'est-à-dire une transmission encore petite mais nettement plus observable alors qu'elle est interdite en mécanique classique.

### Puits quantique à une dimension de profondeur infinie

Dans un 2ème temps, on considère un puits d'énergie potentielle $\;U(x)\;$ de profondeur infinie dont le diagramme en fonction de l'abscisse $\;x\;$ de la position est représenté ci-contre.

#### Partie spatiale de la fonction d'onde de la particule, solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps, en-deçà et au-delà des barrières

Que devient alors la fonction d’onde $\;{\underline {\Psi }}(x)\;$ en-deçà et au-delà des barrières ?
L'équation de Schrödinger indépendante du temps s'écrivant toujours «$\;-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;{\dfrac {d^{2}\Psi }{dx^{2}}}(x)+U(x)\;\Psi (x)=E\;\Psi (x)\;$» dans laquelle « l'énergie potentielle $\;U(x)=\left\lbrace {\begin{array}{l}U_{0}\rightarrow \;+\infty {\text{ pour }}x\in \left[{\mathfrak {a}}\,,\,+\infty \right[\\0\qquad \qquad \;{\text{ pour }}x\in \left[0\,,\,{\mathfrak {a}}\right]\\U_{0}\rightarrow \;+\infty {\text{ pour }}x\in \left]-\infty \,,\,0\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» et « l'énergie $\;E\;$ de la particule prend des valeurs positives donc comprises entre $\;0\;$ et $\;U_{0}\rightarrow +\infty \;$», L'équation de Schrödinger indépendante du temps s'écrivant toujours la solution en deçà et au-delà des barrières nécessite d'y évaluer la constante caractéristique $\;K={\dfrac {\sqrt {2\,m\,(U_{0}-E)}}{\hbar }}$, celle-ci $\;\rightarrow +\infty \;$ quand $\;U_{0}\rightarrow +\infty \;$ ${\big$caractérisant les deux zones hors puits${\big )}$, ce qui conduit aux solutions «$\;\Psi (x)=\left\lbrace {\begin{array}{l}\gamma \;\exp \!\left(-K\;x\right){\text{ pour }}x\in \left[{\mathfrak {a}}\,,\,+\infty \right[\\\delta \;\exp \!\left(K\;x\right)\;\;\,{\text{ pour }}x\in \left]-\infty \,,\,0\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ $\rightarrow 0\;$ quand $\;K\rightarrow +\infty \;$» ;
en conclusion la solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps en deçà et au-delà des barrières est «$\;\Psi (x)=0\;$» correspondant à des zones d'occupation interdites pour la particule.

#### Conditions aux limites que doit satisfaire la partie spatiale de la fonction d'onde de la particule, solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps à l'intérieur du puits

En utilisant le fait que la fonction d'onde $\;{\underline {\Psi }}(x)\;$ doit être continue aux interfaces, c'est-à-dire en $\;x=0\;$ et $\;x={\mathfrak {a}}$, écrire les conditions aux limites que doit satisfaire $\;{\underline {\Psi }}(x)$, solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps à l'intérieur du puits.
La continuité de $\;\Psi (x)\;$ sur la frontière de gauche c'est-à-dire en $\;x=0\;$ conduit à «$\;\Psi (0^{-})=\Psi (0^{+})\;$» soit, avec «$\;\Psi (x)=0\;\;{\text{ pour }}x\in \left]-\infty \,,\,0\right[\;$» $\Rightarrow$ «$\;\Psi (0^{+})=0\;$» ;
la continuité de $\;\Psi (x)\;$ sur la frontière de droite c'est-à-dire en $\;x={\mathfrak {a}}\;$ conduit à «$\;\Psi ({\mathfrak {a}}^{-})=\Psi ({\mathfrak {a}}^{+})\;$» soit, avec «$\;\Psi (x)=0\;\;{\text{ pour }}x\in \left]{\mathfrak {a}}\,,\,+\infty \right[\;$» $\Rightarrow$ «$\;\Psi ({\mathfrak {a}}^{-})=0\;$».

#### Condition de quantification de l'énergie de la particule à l'intérieur du puits d'énergie potentielle et expression de la partie spatiale de sa fonction d'onde, solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps

En imposant les conditions aux limites à la fonction d'onde $\;{\underline {\Psi }}(x)\;$ solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps à l'intérieur du puits d'énergie potentielle, En imposant les conditions aux limites à la fonction d'onde $\;\color {transparent}{{\underline {\Psi }}(x)}\;$ déterminer la condition de quantification de l'énergie de la particule ;
en utilisant la condition de normalisation de la fonction d'onde $\;{\underline {\Psi }}(x)\;$, déterminer l'expression de $\;{\underline {\Psi }}(x)\;$ à l'intérieur du puits d'énergie potentielle et
En imposant les conditions aux limites à la fonction d'onde $\;\color {transparent}{{\underline {\Psi }}(x)}\;$ commenter les résultats.
A.N. : on propose deux applications numériques pour lesquelles on rappelle la valeur de la constante de Planck $\;h=6,626\,10^{-34}\,J\cdot s$ :
* un électron $\;m=9,1\,10^{-31}\,kg\;$ dans un puits d'énergie potentielle de profondeur infinie et de largeur $\;{\mathfrak {a}}=1\,{\text{Å}}\;$,
* un proton $\;m=1,67\,10^{-27}\,kg\;$ dans un puits d'énergie potentielle de profondeur infinie et de largeur $\;{\mathfrak {a}}=1\,fm\;$,
A.N. : déterminer, dans chaque exemple, l'écart entre les énergies du niveau fondamental et le 1er niveau excité puis
A.N. : comparer à l'ordre de grandeur de l'écart de ces énergies dans un atome et dans un noyau.
Pour $\;E\in \left]0,U_{0}\right[$, la fonction d'onde à l'intérieur du puits d'énergie potentielle s'écrit «$\;\Psi (x)=\alpha \,\sin(k\,x)+\beta \,\cos(k\,x){\text{ pour }}x\in \left]0,{\mathfrak {a}}\right[\;$» avec «$\;k={\dfrac {\sqrt {2\,m\,E}}{\hbar }}\;$» ;
Pour $\;\color {transparent}{E\in \left]0,U_{0}\right$, en appliquant $\;\Psi (0^{+})=0\;$ on en déduit $\;\beta =0\;$ d'où $\;\Psi (x)\;$ se réécrit «$\;\Psi (x)=\alpha \,\sin(k\,x){\text{ pour }}x\in \left]0,{\mathfrak {a}}\right[\;$» ;
Pour $\;\color {transparent}{E\in \left]0,U_{0}\right$, en appliquant $\;\Psi ({\mathfrak {a}}^{-})=0\;$ on en déduit $\;\alpha \,\sin(k\,{\mathfrak {a}})=0\;$ d'où la « condition de quantification de $\;k\;$ grandeur caractéristique de la particule à l'intérieur du puits $\;\sin(k\,{\mathfrak {a}})=0\;$» Pour $\;\color {transparent}{E\in \left]0,U_{0}\right$, en appliquant $\;\color {transparent}{\Psi ({\mathfrak {a}}^{-})=0}\;$ on en déduit $\;\color {transparent}{\alpha \,\sin(k\,{\mathfrak {a}})=0}\;$ d'où la « condition de quantification de $\;\color {transparent}{k}\;$ donnant les grandeurs quantifiées «$\;k_{n}=n\;{\dfrac {\pi }{\mathfrak {a}}}\;\;{\text{ avec }}n\in \mathbb {N} ^{*}\;$» ;
$\;\color {transparent}{E\in \left]0,U_{0}\right$
$\;k\;$
$\;E\;$
$\;k_{n}\;$
$\;E_{n}\;$
$\;{\dfrac {\sqrt {2\,m\,E_{n}}}{\hbar }}=n\;{\dfrac {\pi }{\mathfrak {a}}}\;\;{\text{ avec }}n\in \mathbb {N} ^{*}\;$
$\Leftrightarrow$
$\;2\,m\,E_{n}=n^{2}\;{\dfrac {\pi ^{2}\;\hbar ^{2}}{{\mathfrak {a}}^{2}}}\;\;{\text{ avec }}n\in \mathbb {N} ^{*}\;$
$\;2\,m\,E_{n}=n^{2}\;{\dfrac {h^{2}}{4\;{\mathfrak {a}}^{2}}}\;\;{\text{ avec }}n\in \mathbb {N} ^{*}\;$
$\;E_{n}=n^{2}\;{\dfrac {\pi ^{2}\;\hbar ^{2}}{2\;m\;{\mathfrak {a}}^{2}}}=n^{2}\;{\dfrac {h^{2}}{8\;m\;{\mathfrak {a}}^{2}}}\;\;{\text{ avec }}n\in \mathbb {N} ^{*}\;$
Pour chaque valeur $\;E_{n}$, valeur propre de l'hamiltonien $\;{\widehat {\mathcal {H}}}\!\left[\;\right]\;$ de la particule à l'intérieur du puits d'énergie potentielle, on associe une fonction propre $\;\Psi _{n}(x)=\alpha _{n}\;\sin(k_{n}\;x)\;$ ; Pour chaque valeur $\;\color {transparent}{E_{n}}$, il ne reste plus qu'à écrire la condition de normalisation pour évaluer $\;\alpha _{n}$, à savoir «$\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\mathcal {P}}_{l,\,n}(x)\;dx=1\;$», intégrale se réduisant à «$\;\displaystyle \int _{0}^{\mathfrak {a}}{\mathcal {P}}_{l,\,n}(x)\;dx=1\;$» dans laquelle «$\;{\mathcal {P}}_{l,\,n}(x)$ $=\left[\Psi _{n}(x)\right]^{2}=\alpha _{n}^{2}\;\sin ^{2}(k_{n}\,x)\;{\text{ pour }}x\in \left[0,{\mathfrak {a}}\right]$ est la densité linéique de probabilité de présence de la particule à l'intérieur du puits d'énergie potentielle » ;
$\;\color {transparent}{E_{n}}$
$\;\displaystyle \int _{0}^{\mathfrak {a}}\alpha _{n}^{2}\;\sin ^{2}(k_{n}\,x)\;dx=1\;$
$\;\sin ^{2}(k_{n}\,x)\;$
$\;\sin ^{2}(k_{n}\,x)={\dfrac {1-\cos(2\,k_{n}\,x)}{2}}\;$
$\Rightarrow$
$\;\displaystyle \int _{0}^{\mathfrak {a}}\left[1-\cos(2\,k_{n}\,x)\right]\,dx={\dfrac {2}{\alpha _{n}^{2}}}\;$
$\;\left[x-{\dfrac {\sin(2\,k_{n}\,x)}{2\,k_{n}}}\right]_{0}^{\mathfrak {a}}={\dfrac {2}{\alpha _{n}^{2}}}\;$
$\;\left[{\mathfrak {a}}-{\cancel {\dfrac {\sin(2\,k_{n}\,{\mathfrak {a}})}{2\,k_{n}}}}\right]={\dfrac {2}{\alpha _{n}^{2}}}\;$
$\;{\dfrac {2}{\alpha _{n}^{2}}}={\mathfrak {a}}\;$
$\;\alpha _{n}>0\;$
$\;\alpha _{\cancel {n}}={\sqrt {\dfrac {2}{\mathfrak {a}}}}\;$
$\;\color {transparent}{E_{n}}$
$\;{\widehat {\mathcal {H}}}\!\left[\;\right]\;$
$\;E_{n}=n^{2}\;{\dfrac {h^{2}}{8\;m\;{\mathfrak {a}}^{2}}}\;\;{\text{ avec }}n\in \mathbb {N} ^{*}$
$\;\Psi _{n}(x)={\sqrt {\dfrac {2}{\mathfrak {a}}}}\;\sin(k_{n}\,x)\;$
$\;k_{n}=n\;{\dfrac {\pi }{\mathfrak {a}}}\;\;{\text{ avec }}n\in \mathbb {N} ^{*}\;$
$\;\Psi _{n}(x)={\sqrt {\dfrac {2}{\mathfrak {a}}}}\;\sin \!\left(\pi \,n\,{\dfrac {x}{\mathfrak {a}}}\right)\;$
$\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$
Commentaires : On retrouve le résultat fondamental de la quantification de l'énergie d'une particule quand cette dernière est confinée ;
Commentaires : les valeurs propres d'énergie étant d'expression quadratique relativement au niveau $\;n\;$ d'énergie, ces valeurs sont d'autant plus écartés que le niveau est élevé et
Commentaires : les valeurs propres d'énergie étant inversement proportionnelles au carré de la largeur du puits d'énergie potentielle, ces valeurs sont d'autant plus resserrées que la largeur est grande ainsi que
Commentaires : les valeurs propres d'énergie étant inversement proportionnelles à la masse de la particule, ces valeurs sont d'autant plus resserrées que la masse est grande.
A.N. : on propose deux applications numériques pour lesquelles on rappelle la valeur de la constante de Planck $\;h=6,626\,10^{-34}\,J\cdot s$ ; A.N. : l'écart entre les énergies du niveau $\;n\;$ et $\;n+1\;$ valant «$\;\Delta E_{n\,\leftrightarrow \,n+1}=\left[(n+1)^{2}-n^{2}\right]\,{\dfrac {h^{2}}{8\;m\;{\mathfrak {a}}^{2}}}=(2\,n+1)\,{\dfrac {h^{2}}{8\;m\;{\mathfrak {a}}^{2}}}\;$» $\Rightarrow$ A.N. : un écart entre l'énergie du 1er état excité et celle de l'état fondamental «$\;\Delta E_{1\,\leftrightarrow \,2}=3\,{\dfrac {h^{2}}{8\;m\;{\mathfrak {a}}^{2}}}\;$» : A.N. : $\;\succ \;$1er exemple un électron $\;m=9,1\,10^{-31}\,kg\;$ dans un puits d'énergie potentielle de profondeur infinie et de largeur $\;{\mathfrak {a}}=1\,{\text{Å}}\;$ donne un écart d'énergies entre le niveau fondamental et celui du 1er état excité $\;\Delta E_{1\,\leftrightarrow \,2}=3\times {\dfrac {\left(6,626\,10^{-34}\right)^{2}}{8\times 9,1\,10^{-31}\times \left(10^{-10}\right)^{2}}}\simeq 1,81\,10^{-17}\;J\;$ soit finalement «$\;\Delta E_{1\,\leftrightarrow \,2}\simeq 113\;eV\;$», A.N. : $\;\succ \;$2ème exemple un proton $\;m=1,67\,10^{-27}\,kg\;$ dans un puits d'énergie potentielle de profondeur infinie et de largeur $\;{\mathfrak {a}}=1\,fm\;$, donne un écart d'énergies entre le niveau fondamental et celui du 1er état excité $\;\Delta E_{1\,\leftrightarrow \,2}=3\times {\dfrac {\left(6,626\,10^{-34}\right)^{2}}{8\times 1,67\,10^{-27}\times \left(10^{-15}\right)^{2}}}\simeq 9,86\,10^{-11}\;J\;$ soit finalement «$\;\Delta E_{1\,\leftrightarrow \,2}\simeq 616\;MeV\;$» ;
A.N. : on vérifie, dans le 1er exemple, l'ordre de grandeur des écarts séparant les niveaux d'énergie d'un électron dans un atome à savoir de quelques $\;eV\;$ à quelques $\;keV$, un atome étant de rayon de l'ordre de $\;0,53\;{\text{Å}}\;$ pour l'atome d'hydrogène à quelques $\;{\text{Å}}\;$ pour les plus complexes ;
A.N. : on vérifie, dans le 2ème exemple, l'ordre de grandeur des écarts séparant les niveaux d'énergie des nucléons dans un noyau à savoir de quelques $\;MeV\;$ à quelques $\;10^{2}\;MeV$, un noyau étant de rayon de l'ordre de $\;1,3\;fm\;$ pour le noyau d'hydrogène à quelques $\;fm\;$ pour les plus complexes.

#### Représentation graphique des trois premières fonctions d'onde et du carré de leurs modules

Donner la représentation graphique des trois 1$^{ères}$ fonctions d’onde et de leurs modules carrés $\;{\big$c'est-à-dire à leurs densités linéiques de probabilité de présence associées${\big )}$.
Ci-dessous à gauche la représentation graphique des trois 1$^{ères}$ fonctions d'onde d'une particule dans un puits d'énergie potentielle de profondeur infinie et de largeur $\;{\mathfrak {a}}$ : Ci-dessous à gauche $\;\succ \;$dans l'état fondamental d'énergie «$\;E_{1}={\dfrac {h^{2}}{8\,m\,{\mathfrak {a}}^{2}}}\;$», de fonction propre associée «$\;\Psi _{1}(x)={\sqrt {\dfrac {2}{\mathfrak {a}}}}\,\sin \!\left(\pi \,{\dfrac {x}{\mathfrak {a}}}\right)\;$», représentation en rouge, ainsi que Ci-dessous à gauche $\;\succ \;$dans les deux 1$^{ers}$ états excités d'énergie «$\;E_{2}=4\;{\dfrac {h^{2}}{8\,m\,{\mathfrak {a}}^{2}}}\;$», de fonction propre associée «$\;\Psi _{2}(x)={\sqrt {\dfrac {2}{\mathfrak {a}}}}\,\sin \!\left(2\,\pi \,{\dfrac {x}{\mathfrak {a}}}\right)\;$», représentation en bleu et Ci-dessous à gauche $\;\color {transparent}{\succ }\;$dans les deux 1$^{ers}$ états excités d'énergie «$\;E_{3}=9\;{\dfrac {h^{2}}{8\,m\,{\mathfrak {a}}^{2}}}\;$», de fonction propre associée «$\;\Psi _{3}(x)={\sqrt {\dfrac {2}{\mathfrak {a}}}}\,\sin \!\left(3\,\pi \,{\dfrac {x}{\mathfrak {a}}}\right)\;$», représentation en vert ;
Ci-dessous à droite la représentation graphique des trois 1$^{ères}$ densités linéiques de probabilité de présence d'une particule dans un puits d'énergie potentielle de profondeur infinie et de largeur $\;{\mathfrak {a}}$ : Ci-dessous à droite $\;\succ \;$dans l'état fondamental d'énergie «$\;E_{1}={\dfrac {h^{2}}{8\,m\,{\mathfrak {a}}^{2}}}\;$», de densité linéique de probabilité de présence «$\;{\mathcal {P}}_{l,\,1}(x)=\Psi _{1}^{2}(x)={\dfrac {2}{\mathfrak {a}}}\,\sin ^{2}\!\left(\pi \,{\dfrac {x}{\mathfrak {a}}}\right)\;$», représentation en rouge $\;{\big$on remarque que celle-ci est maximale au centre de puits d'énergie potentielle${\big )}\;$ ainsi que Ci-dessous à droite $\;\succ \;$dans les deux 1$^{ers}$ états excités d'énergie «$\;E_{2}=4\;{\dfrac {h^{2}}{8\,m\,{\mathfrak {a}}^{2}}}\;$», de densité linéique de probabilité de présence «$\;{\mathcal {P}}_{l,\,2}(x)=\Psi _{2}^{2}(x)=$ ${\dfrac {2}{\mathfrak {a}}}\,\sin ^{2}\!\left(2\,\pi \,{\dfrac {x}{\mathfrak {a}}}\right)\;$», représentation en bleu $\;{\big$on remarque que celle-ci est maximale en $\;x=0,25\,{\mathfrak {a}}\;$ et $\;x=0,75\,{\mathfrak {a}}\;$ alors qu'elle est nulle au centre du puits d'énergie potentielle${\big )}\;$ et Ci-dessous à droite $\;\color {transparent}{\succ }\;$dans les deux 1$^{ers}$ états excités d'énergie «$\;E_{3}=9\;{\dfrac {h^{2}}{8\,m\,{\mathfrak {a}}^{2}}}\;$», de densité linéique de probabilité de présence «$\;{\mathcal {P}}_{l,\,3}(x)=\Psi _{3}^{2}(x)=$ ${\dfrac {2}{\mathfrak {a}}}\,\sin ^{2}\!\left(3\,\pi \,{\dfrac {x}{\mathfrak {a}}}\right)\;$», représentation en vert $\;{\bigg\!$on remarque que celle-ci est maximale en $\;x={\dfrac {\mathfrak {a}}{6}}$, au centre du puits d'énergie potentielle et en $\;x={\dfrac {5\,{\mathfrak {a}}}{6}}$ alors qu'elle est nulle en $\;x={\dfrac {\mathfrak {a}}{3}}\;$ et $\;x={\dfrac {2\,{\mathfrak {a}}}{3}}\!{\bigg )}$.

### Interprétation physique des résultats précédents
#### Énergie fondamentale de la particule confinée dans ce puits et différence avec le résultat de mécanique classique

Quelle est la plus basse énergie que puisse atteindre une particule confinée dans le puits ?
En quoi cette énergie est-elle différente de celle que l’on trouverait en mécanique classique ?
L'énergie fondamentale de la particule confinée dans un puits d'énergie potentielle de profondeur infinie est »$\;E_{1}={\dfrac {h^{2}}{8\,m\,{\mathfrak {a}}^{2}}}={\dfrac {\pi ^{2}\,\hbar ^{2}}{2\,m\,{\mathfrak {a}}^{2}}}\;$« ;
elle a comme particularité d'être « non nulle » $\;{\big$plus précisément strictement positive${\big )}\;$ contrairement à ce qu'on trouve en mécanique classique où « l'énergie fondamentale classique est nulle », correspondant à l'immobilité de la particule.

#### Justification de la différence précédente par inégalité spatiale de Heisenberg

Montrer que la différence précédente est une conséquence directe de l'inégalité spatiale de Heisenberg$^,$.
La particule étant confinée sur l'intervalle $\;\left[0\,,\,{\mathfrak {a}}\,\right]$, l'incertitude quantique sur sa position $\;\Delta x\;$ est majorée selon «$\;\Delta x\leqslant {\dfrac {\mathfrak {a}}{2}}\;$» et
La particule étant confinée sur l'intervalle $\;\color {transparent}{\left[0\,,\,{\mathfrak {a}}\,\right]}$, l'incertitude quantique sur sa quantité de mouvement $\;\Delta p_{x}\;$ se déduisant de l'inégalité spatiale de Heisenberg $\;\Delta p_{x}\;\Delta x\gtrsim {\dfrac {\hbar }{2}}\;$ selon $\;\Delta p_{x}\gtrsim {\dfrac {\hbar }{2\;\Delta x}}\;$ on obtient, en utilisant le majorant précédemment déterminé de l'incertitude quantique sur la position, que l'incertitude quantique sur la quantité de mouvement est minorée selon «$\;\Delta p_{x}\gtrsim {\dfrac {\hbar }{\mathfrak {a}}}\;$» ;
$\;\color {transparent}{\left[0\,,\,{\mathfrak {a}}\,\right]}$
$\;\Delta p_{x}={\sqrt {\left\langle (p_{x}-{\overline {p_{x}}})^{2}\right\rangle }}={\sqrt {\left\langle p_{x}^{2}\right\rangle }}$
$\;{\overline {p_{x}}}=0\;$
$\;\left\langle p_{x}^{2}\right\rangle =(\Delta p_{x})^{2}\;$
$\;\color {transparent}{\left[0\,,\,{\mathfrak {a}}\,\right]}$
$\;E$
$\;E=\left\langle E\right\rangle =\left\langle K\right\rangle ={\dfrac {\left\langle p_{x}^{2}\right\rangle }{2\;m}}={\dfrac {(\Delta p_{x})^{2}}{2\;m}}\;$
${\big$
$\;\left\langle p_{x}^{2}\right\rangle =(\Delta p_{x})^{2}{\big ]}\;$
$\;\Delta p_{x}$
$\;E\gtrsim {\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m\;{\mathfrak {a}}^{\,2}}}={\dfrac {h^{2}}{8\;\pi ^{2}\;m\;{\mathfrak {a}}^{\,2}}}\;$
$\;E\gtrsim {\dfrac {h^{2}}{8\;\pi ^{2}\;m\;{\mathfrak {a}}^{\,2}}}\;$
$\;E_{1}={\dfrac {h^{2}}{8\;m\;{\mathfrak {a}}^{\,2}}}$
$\;E_{1}={\dfrac {h^{2}}{8\;m\;{\mathfrak {a}}^{\,2}}}>{\dfrac {h^{2}}{8\;\pi ^{2}\;m\;{\mathfrak {a}}^{\,2}}}$

#### Signification physique de la partie spatiale de la fonction d'onde

Discuter la signification physique de la fonction d’onde $\;{\underline {\Psi }}_{n}(x)\;$$^,$ associée à l'énergie $\;E_{n}\;$ de la particule dans l'état de niveau $\;n\in \mathbb {N} ^{*}$.
La fonction d’onde $\;\Psi _{n}(x)\;$$^,$, solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps $\;{\big$ou fonction propre de l'hamiltonien $\;{\widehat {\mathcal {H}}}\!\left[\,\right]\;$ de la particule associée à la valeur propre $\;E_{n}\;$ de l'énergie de cette dernière${\big )}$, n'a pas de signification physique propre ;
La fonction d’onde $\;\color {transparent}{\Psi _{n}(x)}\;$ seul le carré de son module $\;\vert \Psi _{n}(x)\vert ^{2}\;$ en a une, il définit la densité linéique de probabilité de présence $\;{\mathcal {P}}_{l,\,n}(x)=\Psi _{n}^{2}(x)\;$, La fonction d’onde $\;\color {transparent}{\Psi _{n}(x)}\;$ seul le carré de son module $\;\color {transparent}{\vert \Psi _{n}(x)\vert ^{2}}\;$ en a une, ses zéros donnant les abscisses où la particule est interdite pour cette énergie et La fonction d’onde $\;\color {transparent}{\Psi _{n}(x)}\;$ seul le carré de son module $\;\color {transparent}{\vert \Psi _{n}(x)\vert ^{2}}\;$ en a une, ses maxima, les abscisses où on a le plus de chance de trouver la particule pour cette même énergie.

#### Évolution temporelle d'un état stationnaire

Expliquer comment va évoluer temporellement un état stationnaire et en quoi cela justifie cette appellation.
Supposons que la particule possède, à l'instant initial, l'énergie $\;E_{n}$, une des valeurs propres de l'hamiltonien de la particule, la fonction d'onde de cette dernière à l'instant initial $\;{\underline {\psi }}_{n}(x,\,0)\;$ est alors la fonction propre $\;\Psi _{n}(x)\;$$^,$ de son hamiltonien associée à l'énergie propre $\;E_{n}\;$ soit «$\;{\underline {\psi }}_{n}(x,\,0)=\Psi _{n}(x)\;$» ;
$\;t\;$
$\;{\underline {\psi }}_{n}(x,\,t)$
$\;E_{n}\;$
$\;{\underline {\psi }}_{n}(x,\,t)=\Psi _{n}(x)\;\exp \!\left(-i\,{\dfrac {E_{n}}{\hbar }}\,t\right)\;$
Supposons que la particule possède, à un instant $\;\color {transparent}{t}\;$ quelconque, la densité linéique de probabilité de présence de la particule à cet instant $\;t\;$ «$\;{\mathcal {P}}_{l,\,n}(x,\,t)=\vert {\underline {\psi }}_{n}(x,\,t)\vert ^{2}\;$» est encore égale à «$\;{\mathcal {P}}_{l,\,n}(x,\,t)=$ ${\bigg \vert }\Psi _{n}(x)\;\exp \!\left(-i\,{\dfrac {E_{n}}{\hbar }}\,t\right){\bigg \vert }^{2}=\Psi _{n}^{2}(x)\;$» soit finalement «$\;{\mathcal {P}}_{l,\,n}(x,\,t)={\mathcal {P}}_{l,\,n}(x,\,0)\;$», établissant son indépendance relativement au temps $\;t\;$ d'où l'appellation d'état stationnaire.
Remarque : La particule possédant une énergie $\;E_{n}\;$ parfaitement définie, l'incertitude quantique sur son énergie est nulle soit $\;\Delta E_{n}=0$ ;
Remarque : selon l'inégalité temporelle de Heisenberg $\;\Delta E\;\Delta t\gtrsim {\dfrac {\hbar }{2}}\;$ et tenant compte de la nullité de l'incertitude quantique sur l'énergie, on en déduit que l'incertitude quantique sur l'instant $\;t\;$ d'observation de la particule $\;\Delta t_{n}\;$ doit être $\;\infty$, ce qui correspond effectivement à un état où l'instant $\;t_{n}\;$ d'observation de la particule ne peut être déterminé comme il ne peut l'être dans un état stationnaire.

#### Évolution temporelle d'un état correspondant à la superposition initiale de deux états stationnaires

Soit $\;{\underline {\psi }}(x,\,0)={\underline {\alpha }}\;{\underline {\Psi }}_{n_{1}}(x)+{\underline {\beta }}\;{\underline {\Psi }}_{n_{2}}(x)\;$ la fonction d'onde initiale associée à un état résultant d’une superposition quelconque de deux états stationnaires à l'instant initial $\;t=0$. Soit $\;\color {transparent}{{\underline {\psi }}(x,\,0)={\underline {\alpha }}\;{\underline {\Psi }}_{n_{1}}(x)+{\underline {\beta }}\;{\underline {\Psi }}_{n_{2}}(x)}\;$ Comment va évoluer temporellement un tel état ?
Connaissant la fonction d'onde initiale associée à un état de la particule résultant de la superposition des deux états stationnaires d'énergie respective $\;E_{n_{1}}\;$ et $\;E_{n_{2}}\;$ soit «$\;{\underline {\psi }}(x,\,0)={\underline {\alpha }}\;\Psi _{n_{1}}(x)+{\underline {\beta }}\;\Psi _{n_{2}}(x)\;$», on en déduit la fonction d'onde à l'instant $\;t\;$ quelconque «$\;{\underline {\psi }}(x,\,t)={\underline {\alpha }}\;\Psi _{n_{1}}(x)\;\exp \!\left(-i\,{\dfrac {E_{n_{1}}}{\hbar }}\,t\right)+{\underline {\beta }}\;\Psi _{n_{2}}(x)\;\exp \!\left(-i\,{\dfrac {E_{n_{2}}}{\hbar }}\,t\right)\;$».
La densité linéique initiale de probabilité de présence de la particule «$\;{\mathcal {P}}_{l}(x,\,0)=\vert {\underline {\psi }}(x,\,0)\vert ^{2}=\left[{\underline {\psi }}(x,\,0)\right]\left[{\underline {\psi }}(x,\,0)\right]^{*}\;$» s'évalue selon «$\;{\mathcal {P}}_{l}(x,\,0)=\left[{\underline {\alpha }}\;\Psi _{n_{1}}(x)+{\underline {\beta }}\;\Psi _{n_{2}}(x)\right]\left[{\underline {\alpha }}^{*}\;\Psi _{n_{1}}(x)+{\underline {\beta }}^{*}\;\Psi _{n_{2}}(x)\right]=$ $\vert {\underline {\alpha }}\vert ^{2}\;\Psi _{n_{1}}^{2}(x)+\vert {\underline {\beta }}\vert ^{2}\;\Psi _{n_{2}}^{2}(x)+2\,\vert {\underline {\alpha }}\vert \,\vert {\underline {\beta }}\vert \,\cos(\varphi _{\alpha }-\varphi _{\beta })\,\Psi _{n_{1}}(x)\,\Psi _{n_{2}}(x)\;$»$^,$ ;
$\;t\;$
$\;{\mathcal {P}}_{l}(x,\,t)=\vert {\underline {\psi }}(x,\,t)\vert ^{2}=\left[{\underline {\psi }}(x,\,t)\right]\left[{\underline {\psi }}(x,\,t)\right]^{*}\;$
$\;{\mathcal {P}}_{l}(x,\,t)=$
$\left[{\underline {\alpha }}\;\Psi _{n_{1}}(x)\;\exp \!\left(-i\,{\dfrac {E_{n_{1}}}{\hbar }}\,t\right)+{\underline {\beta }}\;\Psi _{n_{2}}(x)\;\exp \!\left(-i\,{\dfrac {E_{n_{2}}}{\hbar }}\,t\right)\right]\left[{\underline {\alpha }}^{*}\;\Psi _{n_{1}}(x)\;\exp \!\left(i\,{\dfrac {E_{n_{1}}}{\hbar }}\,t\right)+{\underline {\beta }}^{*}\;\Psi _{n_{2}}(x)\;\exp \!\left(i\,{\dfrac {E_{n_{2}}}{\hbar }}\,t\right)\right]\;$
$\;{\mathcal {P}}_{l}(x,\,t)=\vert {\underline {\alpha }}\vert ^{2}\;\Psi _{n_{1}}^{2}(x)+\vert {\underline {\beta }}\vert ^{2}\;\Psi _{n_{2}}^{2}(x)+2\,\vert {\underline {\alpha }}\vert \,\vert {\underline {\beta }}\vert \,\cos \!\left({\dfrac {E_{n_{2}}-E_{n_{1}}}{\hbar }}\,t+\varphi _{\alpha }-\varphi _{\beta }\right)\,\Psi _{n_{1}}(x)\,\Psi _{n_{2}}(x)\;$
Constatant que la densité linéique de probabilité de présence de la particule à l'instant $\;t\;$ est une fonction sinusoïdale du temps de pulsation $\;\omega _{n_{1},\,n_{2}}=$ ${\dfrac {\vert E_{n_{2}}-E_{n_{1}}\vert }{\hbar }}\;$ donc de période $\;T_{n_{1},\,n_{2}}={\dfrac {2\,\pi }{\omega _{n_{1},\,n_{2}}}}=$ ${\dfrac {2\,\pi \,\hbar }{\vert E_{n_{2}}-E_{n_{1}}\vert }}={\dfrac {h}{\vert E_{n_{2}}-E_{n_{1}}\vert }}$, on en déduit que l'état « superposition initiale de deux états stationnaires » n'est pas un état stationnaire.
Remarque : Compte-tenu du fait que l'état « superposition initiale de deux états stationnaires d'énergie respective $\;E_{n_{1}}\;$ et $\;E_{n_{2}}\;$» n'est pas stationnaire, la mesure de l'énergie associée à l'état n'est déterminable qu'avec une incertitude quantique «$\;\Delta E\leqslant \vert E_{n_{2}}-E_{n_{1}}\vert \;$» ;
$\;\Delta E\;\Delta t\gtrsim {\dfrac {\hbar }{2}}\;$
$\;\Delta t\;$
$\;\Delta t\gtrsim {\dfrac {\hbar }{2\;\Delta E}}\;$
$\;\Delta t\gtrsim {\dfrac {\hbar }{2\;\vert E_{n_{2}}-E_{n_{1}}\vert }}={\dfrac {h}{4\;\pi \;\vert E_{n_{2}}-E_{n_{1}}\vert }}\;$
$\;T_{n_{1},\,n_{2}}={\dfrac {h}{\vert E_{n_{2}}-E_{n_{1}}\vert }}$
$\;\Delta t\gtrsim {\dfrac {T_{n_{1},\,n_{2}}}{4\;\pi }}\;$