# Photométrie/Flux lumineux

Le flux lumineux est la grandeur physique qui quantifie le flux de quantité de lumière (en ne considérant que la partie visible du spectre) entre une source et un récepteur. Il est le correspondant photométrique de la puissance rayonnée (grandeur radiométrique) qui n'est autre que le flux énergétique.
Le lumen est la valeur du flux lumineux émis dans un angle solide de 1 stéradian par une source ponctuelle située au sommet de cet angle et dont l’intensité lumineuse vaut 1 candela dans toutes les directions.
De la définition, on déduit la formule donnant le flux lumineux dans un angle solide Ω émit par une source ponctuelle dont on connaît l’intensité lumineuse :
$\Phi =I\cdot \Omega .$
* $\Phi$ Flux lumineux en lumen.
* $I$ Intensité énergétique en candela.
* $\Omega$ Angle solide en stéradian.
Malheureusement, cette formule n'est valable que si l'intensité est la même dans toutes les direction, ce qui est loin d’être toujours le cas en pratique.

## Relation entre flux lumineux et flux d'énergie

Pour un faisceau lumineux monochromatique, le flux lumineux $\Phi$ est proportionnel à la puissance P rayonnante ou rayonnée en watt du faisceau et peut être exprimé :
$\Phi =683\cdot V(\lambda )\cdot P.$
$V(\lambda )$ est la fonction d'efficacité lumineuse relative spectrale dans le domaine photopique, parfois appelée sensibilité relative de l'œil.
Dans le cas d'une lumière polychromatique :
$\Phi =K_{m}\cdot \int _{380\ \mathrm {nm} }^{780\ \mathrm {nm} }V(\lambda )\cdot {F_{e}}(\lambda )\cdot \mathrm {d} \lambda .$
* $\Phi$ : flux lumineux en lumen (lm).
* $V(\lambda )$ : fonction d'efficacité lumineuse relative spectrale.
* $K_{m}=683\ \mathrm {lm.W^{-1}}$ : efficacité maximale photopique.
* $F_{e}(\lambda )$ : densité spectrale de flux énergétique en watt par mètre (W.m$^{-1}$).
Le flux énergétique $P$ ou $\Phi '$en watt pourrait se calculer en appliquant :
$\Phi '=P=\int _{0}^{+\infty }{F_{e}}(\lambda )\cdot \mathrm {d} \lambda$

## Flux lumineux élémentaire

Flux d'un faisceau d'angle solide $\mathrm {d^{2}} \Omega$ émis par un élément de surface $\mathrm {d^{2}} S'$ :
$\mathrm {d^{4}} \Phi =L\cdot {\overrightarrow {\mathrm {d^{2}} S'}}\cdot {\overrightarrow {e_{r}}}\cdot \mathrm {d^{2}} \Omega =L\cdot \mathrm {d^{2}} S'\cdot \cos \theta '\cdot \mathrm {d^{2}} \Omega =\mathrm {d^{2}} I\cdot \mathrm {d^{2}} \Omega .$
L'angle solide élémentaire intercepte un surface élémentaire $\mathrm {d^{2}} S$ du récepteur et s'exprime :
$\mathrm {d} ^{2}\Omega ={\frac {\mathrm {d} ^{2}S\cdot \cos \theta }{r^{2}}}.$
On peut alors obtenir l’expression du flux émis par une surface élémentaire $\mathrm {d^{2}} S'$ et reçu par une surface élémentaire $\mathrm {d^{2}} S$ :
$\mathrm {d^{4}} \Phi =L\cdot {\frac {\mathrm {d^{2}} S'\cdot \cos \theta '\cdot \mathrm {d} ^{2}S\cdot \cos \theta }{r^{2}}}.$
Après intégration sur $\mathrm {d^{2}} S'$ et $\mathrm {d^{2}} S$, on obtient :
$\Phi ={\frac {L\cdot \cos \theta '\cdot \cos \theta \cdot \mathrm {d} ^{2}S}{r^{2}}}.$
La cosinus de l'angle d'incidence (rappel: angle entre l'axe de la source et le rayon lumineux) est appelé facteur de cosinus $K_{C}$.
$\Phi ={\frac {L\cdot K_{C}\cdot \mathrm {d} ^{2}S}{r^{2}}}.$

## Flux lumineux du soleil

Le soleil émet un flux de $\Phi =1370\ \mathrm {W.m^{-2}}$ à la surface de la terre.
En effet, le flux énergétique du soleil est de $P=3.8\times 10^{26}\ \mathrm {W}$. On peut calculer le flux lumineux en appliquant :
$\Phi =P\cdot \int _{0}^{+\infty }V(\lambda )\cdot \mathrm {d} \lambda .$
Après intégration, on trouve :
$\Phi =P\cdot 0.68=2.6\times 10^{26}\ \mathrm {W.m^{-2}} .$
Enfin, en divisant par le nombre d’heures par jour, on trouve le flux solaire en Watt par mètre carré :
$\Phi =1370\ \mathrm {W.m^{-2}} .$
| Luminance | Émittance |