# Notions de thermodynamique des processus irréversibles/Exercices/Processus purs
## Exercice 1

Sujet d'examen - Université Pierre et Marie Curie - Licence E.E.A. - Session de juin 1987 Le sujet comporte deux parties indépendantes. Documents non autorisés.
Partie I - Question de cours [ ... ]
Partie II - Problème : Étude d'un modèle de formation de la glace à la surface d'un lac (durée conseillée 1 H 30)
On considère un lac d'eau liquide dont la température est supposée constante et égale à la température de congélation T$_c$ = 273 K. On suppose que brusquement l'air au -dessus du lac est à la température T$_a$ = 263 K. À cet instant pris comme instant initial le lac est libre de glace. Puis il se couvre progressivement de glace. La température de l'air T$_a$ est supposée rester maintenant constante. Soit ℓ(t){\textstyle \ell (t)} l'épaisseur de glace à l'instant t. On ne prendra pas en considération dans le modèle étudié les variations de volume dues à la formation de la glace.
On choisit un axe x'0x perpendiculaire aux interfaces glace-air et eau liquide – glace ( voir Fig ) . L'origine 0 est à l'interface glace-air où la température de la glace à l'instant t est notée T$_o$(t). La température de la glace en un point d'abscisse x, à l'instant t, est notée T$_x$(t).
       fig.
atmosphère à la température T$_a$
x'
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 - - - - - - - - - - - - - - T$_o$(t)
.........................................T$_x$(t)
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - T$_c$ = T$_{ℓ{\textstyle\ell}}$(t)
    $\downarrow$
    x
eau liquide
On note ρ la masse volumique de la glace, C$_v$ sa capacité calorifique à volume constant, λ sa conductivité thermique et L sa chaleur latente de fusion.
On prendra pour les applications numériques :
    ρ = 9 10$^2$ Kg m$^{-3}$ ; λ = 5 10$^{-4}$ kcal m$^{-1}$ s$^{-1}$ K$^{-1}$ ; L = 80 kcal Kg$^{-1}$
1) Soit J$_Q$$^→${\textstyle {\overrightarrow {J_{Q}}}} le vecteur densité de flux thermique dans la glace à l'instant t. Rappeler l'hypothèse de Fourier. Établir l'équation de diffusion de la chaleur dans la glace.
Dans tout ce qui suit la capacité calorifique de la glace sera supposée nulle. Que devient alors dans ces conditions l'équation de diffusion dans la glace ? Quelles différences et quelles analogies faites vous avec « le problème du mur » ? Déterminer alors la distribution de température T$_x$(t) en fonction de T$_o$(t) , ℓ(t){\textstyle \ell (t)} , T$_c$ et x .
2) Calculer le flux Φ de J$_Q$$^→${\textstyle {\overrightarrow {J_{Q}}}} à travers une surface Σ de glace en fonction de Σ , λ , ℓ(t){\textstyle \ell (t)} , T$_c$ et T$_o$(t). On orientera la normale à la surface dans le sens Ox' .
3) On supposera que le flux de chaleur transmis dans l'atmosphère par la surface Σ de glace peut s'écrire :
          A Σ ( T$_o$(t) – T$_a$ ) où A = 10$^{-2}$ kcal m$^{-2}$ s$^{-1}$ K$^{-1}$
Faire le bilan des échanges de chaleur au niveau de l'interface glace-air .
Donner l'expression de T$_c$ – T$_o$(t) en fonction de T$_c$ + T$_a$ , A , λ et ℓ(t){\textstyle \ell (t)}. En déduire l'expression de Φ en fonction de T$_c$ + T$_a$ , Σ , ℓ(t){\textstyle \ell (t)} , λ et A ( équation (1) ).
4) Pendant le temps dt , l'épaisseur de glace s'accroit de d ℓ{\textstyle \ell } au niveau de l'interface eau liquide – glace.
Faire le bilan des échanges de chaleur au niveau de cet interface. En déduire l'expression de Φ en fonction de L , ρ , d ℓ{\textstyle \ell }/dt et Σ . ( équation (2) )
5) À l'aide des équations (1) et (2), déterminer l'équation différentielle vérifiée par ℓ(t){\textstyle \ell (t)}.
Montrer que $\ell (t)=\ell _{o}\left({\sqrt {1+{\frac {t}{\tau }}}}-1\right)$ ( équation (3) )
avec $\ell _{o}={\frac {\lambda }{A}}\qquad {\text{et}}\qquad \tau ={\frac {\lambda ~\rho ~L}{2~A^{2}~(T_{c}-T_{a})}}$
Vérifier l'homogénéité de (3). Calculer numériquement ℓ$_o${\textstyle \ell _{o}} et τ{\textstyle \tau } . Tracer la courbe ℓ(t){\textstyle \ell (t)} en prenant des unités appropriées. Déterminer l'accroissement de l'épaisseur par unité de temps d ℓ{\textstyle \ell }/dt en fonction de ℓ$_o${\textstyle \ell _{o}} , τ{\textstyle \tau } et t et le calculer à l'instant initial.
6) Déterminer T$_o$(t) en fonction de T$_a$ , T$_c$ , τ{\textstyle \tau } et t.
Montrer que l'équilibre thermique ne peut être atteint qu'au bout d'un temps infini. Que valent alors ℓ{\textstyle \ell } et d ℓ{\textstyle \ell }/dt ?
1-a) Rappeler l'hypothèse de Fourier. Établir l'équation de diffusion de la chaleur dans la glace.
${\overrightarrow {J_{q}}}=-\lambda \cdot \,{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}(T)\qquad \qquad \mathrm {c'est~la~{\color {OliveGreen}\ll loi\ de\ Fourier\gg }}$
Dans le cas général, l’équation locale s'écrit :
          ${\frac {\partial x}{\partial t}}=\sigma _{x}-div({\overrightarrow {j_{x}}})$
ici on considère l'énergie, le terme source est donc σ$_u$=0{\textstyle \sigma _{u}=0} et on a donc ∂u/∂t=−div(J$_Q$$^→$){\textstyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=-div({\overrightarrow {J_{Q}}})} (équation de conservation)
soit
             ${\frac {\partial u}{\partial t}}=-div(-\lambda \cdot \,{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}(T))=\lambda \cdot \,\Delta T\qquad \qquad {\text{ où Δ est le Laplacien}}\qquad \Sigma ~({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}})$
Dans ce problème sur la glace, on étudie le flux suivant 0x (i.e. en 1D), et on aura : ∂u/∂t=λ(∂$^2$T/∂x$^2$){\textstyle :\qquad \qquad {\frac {\partial u}{\partial t}}=\lambda \, ({\frac {\partial ^{2}T}{\partial x^{2}}})}
on a $U/V=u\qquad \mathrm {et} \qquad du=c_{v}~dT\qquad \mathrm {avec} \qquad c_{v}\qquad \mathrm {en\qquad J.K^{-1}.m^{-3}}$
on obtient alors l' « équation de diffusion » de la chaleur dans la glace
ce qui peut aussi s'écrire:
          ${\frac {\partial T}{\partial t}}={\frac {\lambda }{c_{v}}}~\Delta T=D_{th}~\Delta T\qquad \qquad \mathrm {avec} \qquad \lambda ~\mathrm {en~~J.K^{-1}.m^{-1}.s^{-1}}$
1-b) On fait l'approximation c$_v$ = 0
On a alors   $({\frac {\partial ^{2}T}{\partial x^{2}}})=0$
1-c) Analogies et différences avec le problème du mur
Dans le problème du mur, on étudie le transfert de chaleur à travers un mur qui a une largeur fixe ( ℓ=cte{\textstyle \ell =\mathrm {cte} } ). Pour la glace, c'est donc le même problème mais avec ℓ=ℓ(t){\textstyle \ell =\ell (t)}.
1-d) Déterminer alors la distribution de température T$_x$(t)
Comme   $({\frac {\partial ^{2}T}{\partial x^{2}}})=0$   alors T$_x$ est de la forme     T$_x$ = a x + b
Pour x = 0 , on a b = T$_o$ et pour x = ℓ{\textstyle \ell } , on a   T$_ℓ$=T$_c$=aℓ + T$_o${\textstyle T_{\ell }=T_{c}=a\ell ~+~T_{o}}
donc

## remarque

On a   T$_{air}$ = T$_a$ = cte   mais on a   T$_{eau}$ = T$_c$ = T$_ℓ$(t){\textstyle T_{\ell }(t)}   et   T$_o$(t).
2) Calculer le flux Φ de J$_Q$$^→${\textstyle {\overrightarrow {J_{Q}}}} à travers une surface Σ de glace
On oriente la normale à la surface dans le sens 0x'.
En notant Σ' l'interface eau-glace et Σ l'interface glace-air, on aura avec le «système du banquier» pour le signe des échanges =
$\Phi _{\Sigma '}~>~0\qquad \mathrm {et} \qquad \Phi _{\Sigma }~<~0$
On écrit alors:
                   $\Phi =\int {\overrightarrow {J_{Q}}}\cdot {\overrightarrow {n}}\cdot d\Sigma$
                   $\Phi =\int \left(-\lambda {\frac {\partial T}{\partial x}}\right)\cdot d\Sigma ~=~+\lambda ~{\frac {(T_{c}-T_{o})}{\ell }}\cdot \Sigma$
                   $\left|\Phi _{\Sigma }\right|~=~{\frac {\lambda \Sigma }{\ell }}\cdot (T_{c}-T_{o})\qquad \mathrm {et~en~appliquant~les~conventions~de~signe:} \qquad$
3-a) On suppose que le flux transmis dans l'air est A.Σ.( T$_o$ - T$_a$ ).   Faire le bilan des échanges au niveau glace-air
                   $\left|flux~\Phi ~(sortant~de~la~glace)\right|~=~\left|flux~\Phi ~(entrant~dans~l'air)\right|$
                                  $\Phi _{\Sigma }\quad =\quad -~\Phi _{entrant~air}$
                                  ${\frac {\lambda \Sigma }{\ell }}\cdot (T_{c}-T_{o})\quad =\quad A\Sigma \left(T_{o}-T_{a}\right)$
Le bilan est donc:
3-b) Calculer (T$_c$−T$_o$){\textstyle (T_{c}-T_{o})} et en déduire Φ
                                  $\lambda T_{c}-\lambda T_{o}=A\ell T_{o}-A\ell T_{a}$
astuce, on ajoute (AℓT$_c$−AℓT$_c$)=0{\textstyle (A\ell T_{c}-A\ell T_{c})=0}, soit:
                                  $(A\ell T_{c}-A\ell T_{c})+\lambda T_{c}-\lambda T_{o}-A\ell T_{o}=-A\ell T_{a}$
                                  $(A\ell +\lambda )\cdot T_{c}-(A\ell +\lambda )\cdot T_{o}=A\ell T_{c}-A\ell T_{a}$
d'où le flux Φ au niveau glace-air:
4) Faire le bilan à l'interface solide-liquide
Quand il se forme de la glace, on a un dégagement de chaleur đQ tel que:
                                  đ$Q=-L~dm=-L~\rho \Sigma ~d\ell \quad <~0$
Cette chaleur sort de l'interface pour aller dans la glace et être transférée vers l'air:
                                  $\Phi$$_{(sortantdel'interface)}$ = $\Phi _{\cap }\ <~0$
                                  $\Phi$$_{(entrantdanslaglace)}$ = $-~\Phi _{\cap }\ >~0$
On a donc:
                                  đ$Q=\Phi _{\cap }~dt\qquad \mathrm {et}$
5-a) En utilisant éq 1 et éq 2 , calculer ( dℓ / dt ){\textstyle (~d\ell ~/~dt~)}
On a:
                                  $\left|~\Phi _{\cap }~\right|~=~\left|~\Phi _{\Sigma }~\right|\qquad \qquad {\text{soit}}\qquad \qquad +L~\rho \Sigma ~{\frac {d\ell }{dt}}\ =\ {\frac {A\lambda \Sigma \left(T_{c}-T_{a}\right)}{A.\ell +\lambda }}$
donc:
5-b) Montrer que $\ell (t)=\ell _{o}\left({\sqrt {1+{\frac {t}{\tau }}}}-1\right)$ ( équation (3) )
                               $(A.\ell +\lambda )~{d\ell }~=\quad {\frac {A\lambda }{L\rho }}\left(T_{c}-T_{a}\right)~{dt}$
on intègre:
                               $\lambda ~\ell +{\frac {1}{2}}A\ell ^{2}~=\quad {\frac {A\lambda }{L\rho }}\left(T_{c}-T_{a}\right)~t$
c'est une équation du second degré avec
                               $\Delta =b^{2}-4ac=\lambda ^{2}-4(A/2)\left(-~{\frac {A\lambda }{L\rho }}\left(T_{c}-T_{a}\right)~t\right)$
les racines sont
                               $\ell ',\ell ''={\frac {-\lambda \pm {\sqrt {\Delta }}}{A}}$
comme il faut avoir ℓ > 0{\textstyle \ell ~>~0}, alors on garde la racine:
                               $\ell ~=-{\frac {\lambda }{A}}+{\frac {1}{A}}~{\sqrt {\lambda ^{2}+2A\left({\frac {A\lambda }{L\rho }}\right)~\left(T_{c}-T_{a}\right)~t}}$
                               $\ell ~=~{\frac {\lambda }{A}}\left[~-~1+{\sqrt {1+\left({\frac {2A^{2}}{L\rho \lambda }}\right)~\left(T_{c}-T_{a}\right)~t}}\quad \right]$
on a bien:
                               $\ell (t)=\ell _{o}\left[{\sqrt {1+{\frac {t}{\tau }}}}-1\right]$ ( équation (3) ) avec $\ell _{o}={\frac {\lambda }{A}}\quad \mathrm {et} \quad \tau ={\frac {L\rho \lambda }{2A^{2}~\left(T_{c}-T_{a}\right)}}$
on a: $\ell _{o}=\mathrm {{\frac {J.K^{-1}.m^{-1}.s^{-1}}{J.m^{-2}.s^{-1}.K^{-1}}}\quad en~~m\qquad et}$ $\qquad \tau =\mathrm {{\frac {(J.Kg^{-1}).(Kg.m^{-3}).(J.K^{-1}.m^{-1}.s^{-1})}{J^{2}.m^{-4}.s^{-2}.K^{-2}}}\qquad en\quad s}$

## Application numérique

                               $\ell _{o}=\mathrm {{\frac {5.10^{-4}~(kcal.m^{-1}.s^{-1}.K^{-1})}{1.10^{-2}~(kcal.m^{-2}.s^{-1}.K^{-1})}}=5.10^{-2}~m=5~cm\qquad \qquad et} \qquad \qquad$ $\tau =\mathrm {{\frac {80~(kcal.Kg^{-1})\times 5.10^{-4}~(kcal.m^{-1}.s^{-1}.K^{-1})\times 9.10^{-2}~(Kg.m^{-3})}{2\times (1.10^{-2})^{2}(kcal^{2}.m^{-4}.s^{-2}.K^{-2})\times (~273~-263~).K}}=180.10^{2}~s=300~min=5~heures}$

## tracer la courbe $\ell (t)$

on calcule quelques points
          $t=0\qquad \ell =0$
          $t=5~\mathrm {heures} \qquad \ell =5.({\sqrt {2}}-1)=2{,}071~\mathrm {cm}$
          $t=15~\mathrm {heures} \qquad \ell =5~\mathrm {cm}$

## calculer ${\frac {d\ell }{dt}}$

             $\ell (t)=\ell _{o}\left({\sqrt {1+{\frac {t}{\tau }}}}-1\right)$
             ${\frac {d\ell }{dt}}={\frac {\ell _{o}}{2}}\left({1+{\frac {t}{\tau }}}\right)^{-1/2}~\left({\frac {1}{\tau }}\right)={\frac {\ell _{o}}{2~\tau }}\times {\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {t}{\tau }}}}}$
à t = 0 , on a $:\qquad \left({\frac {d\ell }{dt}}\right)_{t=0}={\frac {\ell _{o}}{2~\tau }}=\mathrm {{\frac {5~cm}{2~\times ~5~heures}}=0{,}5~cm/heure} \quad {\text{au départ (t = 0) }}$
6-a) Déterminer T$_o$(t) en fonction de T$_a$ , T$_c$ , τ{\textstyle \tau } et t.
On a:
                   $T_{o}\quad =\quad T_{c}-{\frac {A\ell \left(T_{c}-T_{a}\right)}{A\ell +\lambda }}$
avec
                   $\ell (t)=\ell _{o}\left[{\sqrt {1+{\frac {t}{\tau }}}}-1\right]$
soit
                   $T_{o}\quad =\quad T_{c}-\left[{\sqrt {1+{\frac {t}{\tau }}}}-1\right]{\frac {\left(T_{c}-T_{a}\right)}{\sqrt {1+{\frac {t}{\tau }}}}}=T_{c}-\left[1-{\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {t}{\tau }}}}}\right]\left(T_{c}-T_{a}\right)$
6-b) Montrer que l'équilibre thermique ne peut être atteint qu'au bout d'un temps infini.
Pour avoir l'équilibre thermique, il faut avoir: T$_a$ = T$_o$
Pous cela, il faut $t\to \infty \qquad {\rm {{alors}\qquad T_{o}\to T_{a}\qquad }}$
Que valent alors ℓ{\textstyle \ell } et d ℓ{\textstyle \ell }/dt ?
On a alors: $\ell \to \infty \qquad {\rm {{et}\qquad d\ell /dt\to 0}}$
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