# Changement de variable en calcul intégral/Fiche/Formulaire

Cette fiche est un résumé de la leçon.
Rappelons tout d’abord la formule du changement de variable en calcul intégral :
$\int _{\alpha }^{\beta }f\left[\phi (t)\right]\,\phi '(t)\,\mathrm {d} t=\int _{\phi (\alpha )}^{\phi (\beta )}f(x)\,\mathrm {d} x$.

## Si l'intégrale contient des fonctions trigonométriques
#### Règles de Bioche

Considérons l’intégrale :
$\int _{\alpha }^{\beta }f(x)\,\mathrm {d} x$.
1er cas : Si l’expression f(x)dx reste invariante lorsqu’on remplace x par –x, on pose :
$u=\cos x$.
2$^{eme}$ cas : Si l’expression f(x)dx reste invariante lorsqu’on remplace x par π – x, on pose :
$u=\sin x$.
3$^{eme}$ cas : Si l’expression f(x)dx reste invariante lorsqu’on remplace x par x + π, on pose :
$u=\tan x$.

#### Cas général

Si les règles de Bioche ne s'appliquent pas, on pose :
$u=\tan {\frac {x}{2}}$.
On a alors :
$\cos x={\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\qquad \qquad \sin x={\frac {2u}{1+u^{2}}}\qquad \qquad \tan x={\frac {2u}{1-u^{2}}}\qquad \qquad \mathrm {d} x={\frac {2\,\mathrm {d} u}{1+u^{2}}}$.

## Si l'intégrale contient deux racines de polynômes du premier degré
#### Premier type

Intégrales de fonctions de la forme :
$\int _{\alpha }^{\beta }f\left(x,\,{\sqrt {x+a}},\,{\sqrt {b-x}}\right)\,\mathrm {d} x\qquad a+b>0$.
On pose :
$x={\frac {b-a}{2}}-{\frac {b+a}{2}}\cos(2\theta )$.
On a alors :
$x+a=(a+b)\sin ^{2}\theta \qquad b-x=(a+b)\cos ^{2}\theta$.

#### Deuxième type

Intégrales de fonctions de la forme :
$\int _{\alpha }^{\beta }f\left(x,\,{\sqrt {x+a}},\,{\sqrt {x+b}}\right)\,\mathrm {d} x\qquad a>b$.
On pose :
$x={\frac {a-b}{2}}\cosh(2\theta )-{\frac {a+b}{2}}$.
On a alors :
$x+a=(a-b)\cosh ^{2}\theta \qquad x+b=(a-b)\sinh ^{2}\theta$.

#### Troisième type

Intégrales de fonctions de la forme :
$\int _{\alpha }^{\beta }f\left(x,\,{\sqrt {a-x}},\,{\sqrt {b-x}}\right)dx\qquad a>b$.
On pose :
$x={\frac {b-a}{2}}\cosh(2\theta )+{\frac {b-a}{2}}$.
On a alors :
$a-x=(a-b)\cosh ^{2}\theta \qquad b-x=(a-b)\sinh ^{2}\theta$.

## Intégrale contenant une racine n-ième d’une fonction homographique

Ces intégrales sont de la forme :
$\int _{\alpha }^{\beta }f\left(x,\,{\sqrt[{n}]{\frac {ax+b}{cx+d}}}\right)\,\mathrm {d} x$
On pose :
$u={\sqrt[{n}]{\frac {ax+b}{cx+d}}}\Leftrightarrow x={\frac {b-du^{n}}{cu^{n}-a}}\qquad \mathrm {d} x={\frac {c(b-d)u^{2n-1}+(ad-bc)u^{n-1}}{\left(cu^{n}-a\right)^{2}}}\,\mathrm {d} u$.
En particulier :

### Si l'intégrale contient une racine carrée d'un polynôme du premier degré

Ces intégrales sont de la forme :
$\int _{\alpha }^{\beta }f\left(x,\,{\sqrt {ax+b}}\right)\,\mathrm {d} x$.
On pose :
$u={\sqrt {ax+b}}\Leftrightarrow x={\frac {u^{2}-b}{a}}\qquad \mathrm {d} x={\frac {2u}{a}}\,\mathrm {d} u$

## Intégrale contenant une racine carrée d'un polynôme du second degré
#### Premier cas

L'intégrale est de la forme :
    $\int _{\alpha }^{\beta }f\left(x,\,{\sqrt {1+x^{2}}}\right)\,\mathrm {d} x$.
On pose alors :
    $x=\tan u\qquad \mathrm {d} x={\frac {\mathrm {d} u}{\cos ^{2}u}}$.
Autre choix possible :
    $x=\sinh u\qquad \mathrm {d} x=\cosh u\,\mathrm {d} u$.

#### Deuxième cas

L'intégrale est de la forme :
    $\int _{\alpha }^{\beta }f\left(x,\,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,\mathrm {d} x$.
On pose alors :
    $x=\sin u\qquad \mathrm {d} x=\cos u\,\mathrm {d} u$.
Autre choix possible :
    $x=\tanh u\qquad \mathrm {d} x={\frac {\mathrm {d} u}{\cosh ^{2}u}}$.

#### Troisième cas

L'intégrale est de la forme :
    $\int _{\alpha }^{\beta }f\left(x,\,{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\,\mathrm {d} x$.
On pose alors :
    $x={\frac {1}{\cos u}}\qquad \mathrm {d} x={\frac {\sin u\,\mathrm {d} u}{\cos ^{2}u}}$.
Autre choix possible :
    $x=\cosh u\qquad \mathrm {d} x=\sinh u\,\mathrm {d} u$.