# Moment cinétique en mécanique quantique/Le spin ½

On étudie ici un opérateur moment cinétique vérifiant $j=1/2~$, que l’on notera plutôt $s~$. Cette étude est particulièrement intéressante car elle constitue un exemple de système à deux états, et car elle est importante dans la compréhension des propriétés de l'électron, particule fondamentale en physique et en chimie.

## Notations

$m~$ peut prendre les deux valeurs $\pm 1/2$, il s'agit donc d'une situation où l'espace des états (ici l'espace des états de spin) est de dimension 2, on parle de système à deux états.
On note $|+\rangle =|1/2,1/2\rangle$ le ket propre de $S_{z}~$ associé à la valeur propre $+\hbar /2$ et $|-\rangle =|1/2,-1/2\rangle$ le ket propre de $S_{z}~$ associé à la valeur propre $-\hbar /2$ :
$S_{z}~|+\rangle =+\hbar /2~|+\rangle$
$S_{z}~|-\rangle =-\hbar /2~|-\rangle$
On a aussi
$\mathbf {S} ^{2}~|\pm \rangle =3\hbar ^{2}/4~|\pm \rangle$
Dans un tel espace, les opérateurs peuvent être représentés sous forme de matrices 2x2, et en particulier les matrices hermitiques (qui vérifient $M=M^{\dagger }$, et qui représentent donc les opérateurs hermitiens ou observables) peuvent se décomposer selon :
$M={\begin{pmatrix}a+d&b-ic\\b+ic&a-d\\\end{pmatrix}}=aI+b\sigma _{x}+c\sigma _{y}+d\sigma _{z}$
Avec :
$\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\\end{pmatrix}}~~~~\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\\\end{pmatrix}}~~~~\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}}$
Ces matrices sont appelées matrices de Pauli.
On a alors simplement $S_{z}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{z}$

## Action des opérateurs $S_{x}~$ et $S_{y}~$, spin dans une direction quelconque

D'après le chapitre précédent, on a les relations :
$S_{+}~|-\rangle =\hbar {\sqrt {1/2(1/2+1)-(-1/2)(-1/2+1)}}~|+\rangle =\hbar ~|+\rangle$
$S_{+}~|+\rangle =0$
$S_{-}~|-\rangle =0$
$S_{-}~|+\rangle =\hbar {\sqrt {1/2(1/2+1)-1/2(1/2-1)}}~|-\rangle =\hbar ~|-\rangle$
On en déduit l'action des opérateurs $S_{x}~$ et $S_{y}~$ sur les kets $|\pm \rangle$, par exemple :
$S_{x}~|-\rangle ={\frac {1}{2}}(S_{+}+S_{-})~|-\rangle ={\frac {\hbar }{2}}~|+\rangle$
Tous calculs faits, on obtient les matrices :
$S_{x}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{x}~~~~~~S_{y}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{y}$
La diagonalisation des matrices de Pauli permet de déterminer les valeurs propres de $S_{x}~$ et de $S_{y}~$, c'est-à-dire les valeurs de la composantes du spin dans ces directions que l’on peut mesurer. Le calcul est simple, il donne :
$S_{x}~|\pm \rangle _{x}=\pm \hbar /2~|\pm \rangle _{x}$ avec $|\pm \rangle _{x}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|+\rangle \pm |-\rangle )$
$S_{y}~|\pm \rangle _{y}=\pm \hbar /2~|\pm \rangle _{y}$ avec $|\pm \rangle _{y}=\pm {\frac {1-i}{2}}|+\rangle +{\frac {1+i}{2}}|-\rangle$
Pour avoir les valeurs mesurables de la composante du spin dans une direction quelconque ${\vec {u}}$, il faut considérer l'opérateur $S_{u}=\mathbf {S} \cdot {\vec {u}}=S_{x}\cdot \sin \theta \cos \phi +S_{y}\cdot \sin \theta \sin \phi +S_{z}\cdot \cos \theta$ (en coordonnées sphériques $(r,\theta ,\phi )~$).
Sous forme matricielle (dans la base des kets $|\pm \rangle$), cet opérateur s'écrit simplement
$S_{u}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}\cos \theta &e^{-i\phi }\sin \theta \\e^{i\phi }\sin \theta &-\cos \theta \\\end{pmatrix}}$
La diagonalisation de cette matrice donne :
$S_{u}~|\pm \rangle _{u}=\pm {\frac {\hbar }{2}}~|\pm \rangle _{u}$
où $|+\rangle _{u}=e^{-i\phi /2}\cos \theta /2~|+\rangle +e^{i\phi /2}\sin \theta /2~|-\rangle$
et $|-\rangle _{u}=-e^{-i\phi /2}\sin \theta /2~|+\rangle +e^{i\phi /2}\cos \theta /2~|-\rangle$

## Applications
### Effet Zeeman

On applique un champ magnétique uniforme et constant ${\vec {B}}_{0}=B_{0}~{\vec {e}}_{z}$. Le spin correspond à un moment magnétique ${\vec {M}}=\gamma {\vec {S}}$ où $\gamma =g_{s}{\frac {q}{2m}}$ est le rapport gyromagnétique. ($g_{s}$ est le facteur de Landé, $g_{s}\approx 2$ pour l'électron)
L'électron est donc soumis à une énergie $H=-{\vec {M}}\cdot {\vec {B}}_{0}=-\gamma S_{z}\cdot B_{0}=\omega _{0}S_{z}$. Cet hamiltonnien a pour éléments propres ceux de $S_{z}~$, au facteur $\omega _{0}~$ près :
$H~|+\rangle ={\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}~|+\rangle$
$H~|-\rangle =-{\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}~|-\rangle$
Les deux niveaux d'énergie $E=\pm {\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}$ s'écartent linéairement en fonction de $B_{0}~$, c’est l'effet Zeeman.

### Résonance magnétique

On ajoute au champ uniforme et constant un champ tournant ${\vec {B}}_{1}(t)=B_{1}(\cos \omega t~{\vec {e}}_{x}+\sin \omega t~{\vec {e}}_{y})$. Le hamiltonnien du système s'écrit alors :
$H=-{\vec {M}}\cdot ({\vec {B}}_{0}+{\vec {B}}_{1})=\omega _{1}\cos \omega t~S_{x}+\omega _{1}\sin \omega t~S_{y}+\omega _{0}~S_{z}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}\omega _{0}&\omega _{1}e^{-i\omega t}\\\omega _{1}e^{i\omega t}&-\omega _{0}\\\end{pmatrix}}$
Cet hamiltonnien dépend explicitement du temps, il est donc inutile de chercher les états stationnaires sous forme de vecteurs propres de cette matrice, il faut revenir à l'équation de Schrödinger générale :
$i\hbar {\frac {d}{dt}}|\varphi (t)\rangle =H|\varphi (t)\rangle$ avec $|\varphi (t)\rangle =\varphi _{+}(t)|+\rangle +\varphi _{-}(t)|-\rangle$
On effectue le changement de variable (correspondant au passage du repère initial au repère tournant suivant ${\vec {B}}_{1}(t)$) :
$|\psi (t)\rangle =\psi _{+}(t)|+\rangle +\psi _{-}(t)|-\rangle$ avec :
$\psi _{+}=e^{i\omega t/2}~\varphi _{+}~$
$\psi _{-}=e^{-i\omega t/2}~\varphi _{-}~$
On obtient alors l'équation de Schrödinger, écrite dans le repère tournant :
$i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi (t)\rangle ={\tilde {H}}|\psi (t)\rangle$ avec ${\tilde {H}}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}\omega _{0}-\omega &\omega _{1}\\\omega _{1}&\omega -\omega _{0}\\\end{pmatrix}}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}\Delta \omega &\omega _{1}\\\omega _{1}&-\Delta \omega \\\end{pmatrix}}$
Ici ${\tilde {H}}$ ne dépend pas du temps, il suffit donc de diagonaliser cette matrice pour trouver les états propres , et ainsi résoudre cette équation différentielle.
On remarque que ${\tilde {H}}=\Omega S_{u}$ avec $\Omega ={\sqrt {\Delta \omega ^{2}+\omega _{1}^{2}}}$ et ${\vec {u}}={\vec {u}}(\theta ,\phi =0)$ tel que $\tan \theta ={\frac {\omega _{1}}{\Delta \omega }}$
On en déduit directement (avec les résultats du paragraphe précédent, et avec la méthode générale de résolution de l'équation de Schrödinger à partir des états stationnaires) :
${\begin{aligned}|\psi (t)\rangle &=e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {\hbar \Omega }{2}}t}~|+\rangle _{u}+e^{-{\frac {i}{\hbar }}(-{\frac {\hbar \Omega }{2}})t}~|-\rangle _{u}\\\ &=(\cos {\frac {\Omega t}{2}}-i\cos \theta \sin {\frac {\Omega t}{2}})~|+\rangle -i\sin \theta \sin {\frac {\Omega t}{2}}~|-\rangle \end{aligned}}$
$\Rightarrow |\varphi (t)\rangle =e^{-i\omega t/2}(\cos {\frac {\Omega t}{2}}-i\cos \theta \sin {\frac {\Omega t}{2}})~|+\rangle -ie^{i\omega t/2}\sin \theta \sin {\frac {\Omega t}{2}}~|-\rangle$
(Avec la condition initiale $|\varphi (0)\rangle =|+\rangle$ ).
La probabilité d'obtenir une transition de l'état $|+\rangle$ à l'instant initial vers l'état $|-\rangle$ à l'instant t est donc :
${\mathcal {P}}(t)=|\langle -|\varphi (t)\rangle |^{2}={\frac {\omega _{1}^{2}}{\Delta \omega ^{2}+\omega _{1}^{2}}}\sin ^{2}{\sqrt {\Delta \omega ^{2}+\omega _{1}^{2}}}~{\frac {t}{2}}$
Cette formule s’appelle la formule de Rabi, et exprime le fait que la probabilité de transition de la composante suivant 0z du spin oscille entre 0 et ${\mathcal {P}}_{max}={\frac {\omega _{1}^{2}}{\Delta \omega ^{2}+\omega _{1}^{2}}}$.
${\mathcal {P}}_{max}$ présente un pic en $\omega =\omega _{0}~$, c’est la résonance magnétique.
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