# Mécanique 1 (PCSI)/Description du mouvement d'un solide dans deux cas particuliers
## Système de points matériels déformable ou non, fermé ou ouvert, centre d'inertie d'un système fermé de points matériels, cas particulier d'un solide

Nous considérerons que tout système d'expansion tridimensionnelle finie peut être modélisé, à l'échelle non microscopique, par un système discret de points matériels dans la mesure où le nombre d'atomes le constituant est dénombrable et Nous considérerons qu'il est possible de modéliser, à l'échelle non microscopique, chaque atome par un point matériel.

### Définition d'un système (discret) de points matériels

Un système $\;{\big$discret${\big )}\;$ de points matériel est donc un ensemble discret de « points matériels », le qualificatif « discret » assurant le caractère « fini » du nombre de points matériels ;
un objet macroscopique peut être considéré comme une juxtaposition d'un grand nombre d'objets mésoscopiques, chacun d'entre eux étant modélisé par un point matériel, ce sera la modélisation utilisée par la suite $\;{\big$sauf avis contraire${\big )}$.

### Système (discret) déformable ou non de points matériels

Un système $\;{\big$discret${\big )}\;$ de points matériels est dit « déformable » si la distance entre deux points matériels quelconques peut varier et
Un système $\;\color {transparent}{\big$discret$\color {transparent}{\big )}\;$ de points matériels est dit « indéformable » si la distance $\;d_{i,\,j}=M_{i}M_{j}=cste\;\forall \left(i\,,\,j\right)\;$ avec $\;\left(i\,,\,j\neq i\right)\in \left[\vert 1\,,\,N\vert \right]^{2}$.
Remarque, modélisation en système continu de matière : comme nous l'avons vu à la note « $^7$ » plus haut dans ce chapitre, il est possible de modéliser un système de points matériels en système continu de matière, dans ce cas un système continu de matière sera dit « indéformable » si le volume de son expansion tridimensionnelle est constant d'une part et si la masse volumique du milieu au point générique $\;M\;$ ne dépend pas de l'instant où on considère le système continu de matière.

### Système (discret) fermé ou ouvert de points matériels

Préliminaire : dans ce qui suit, au lieu de considérer un système $\;{\big$discret${\big )}\;$ de points matériels à nombre fixé, nous envisageons le système $\;{\big$discret${\big )}\;$ de points matériels situé à l'intérieur d'une surface fermée $\;(\Sigma )\;$ appelée surface de contrôle, celle-ci étant usuellement considérée comme fixe dans l'espace affine euclidien d'étude.
Un système $\;{\big$discret${\big )}\;$ de points matériels limité par la surface de contrôle $\;(\Sigma )\;$ est dit « fermé » s'il reste constitué des mêmes points à tout instant d'observation du système à l'intérieur de $\;(\Sigma )\;$ ${\big$dans ce cas le nombre de points matériels du système ne varie pas${\big ]}\;$ et
Un système $\;\color {transparent}{\big$discret$\color {transparent}{\big )}\;$ de points matériels limité par la surface de contrôle $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ est dit « ouvert » si le contenu du système à l'intérieur de $\;(\Sigma )\;$ peut dépendre de l'instant d'observation du système ${\big$dans ce cas le nombre de points matériels du système ouvert limité par $\;(\Sigma )\;$ peut varier,
* il $\;\nearrow \;$ si le nombre de points matériels entrant dans $\;(\Sigma )\;$ est $\;>\;$ au nombre de points matériels en sortant,
* il $\;\searrow \;$ si au contraire le nombre de points matériels entrant dans $\;(\Sigma )\;$ est $\;<\;$ au nombre de points matériels en sortant et enfin
* il reste constant si le nombre de points matériels entrant dans $\;(\Sigma )\;$ est $\;=\;$ au nombre de points matériels en sortant, on parle alors d'« écoulement stationnaire » du système ouvert à travers $\;(\Sigma )\;$${\big ]}$.
Remarque, modélisation en système continu de matière, suite : comme vu précédemment il est possible de modéliser un système de points matériels en système continu de matière, dans ce cas un système continu de matière sera qualifié de « fermé ou ouvert » relativement à la surface fixe de contrôle $\;(\Sigma )\;$ à l'intérieur de laquelle il est limité, selon la même définition à savoir
* « fermé » si aucune quantité de matière n'est échangée avec l'extérieur ${\bigg$dans ce cas la masse du système reste constante égale à $\;m=\displaystyle \iiint _{\mathcal {V}}\mu (M)\;d{\mathcal {V}}\;$ avec $\;{\mathcal {V}}={\text{int de }}(\Sigma ){\bigg ]}\;$ et
* « ouvert » s'il y a échange de quantité de matière avec l'extérieur par l'intermédiaire d'un ou deux trous dans la surface de contrôle $\;(\Sigma )\;$ ${\bigg$dans ce cas la masse du système peut varier car la masse volumique au point générique $\;M\;$ du système ouvert dépend du temps $\;t\;$ selon $\;m(t)=\displaystyle \iiint _{\mathcal {V}}\mu (M,\,t)\;d{\mathcal {V}}\;$ avec $\;{\mathcal {V}}={\text{int de }}(\Sigma ){\bigg ]}$.

### Centre d'inertie d'un système (discret) fermé de points matériels

On appelle « centre d'inertie $\;{\big$C.D.I.${\big )}\;$» d'un système $\;{\big$discret${\big )}\;$ fermé de $\;N\;$ points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i=1\,\ldots \,N}\;$, le barycentre $\;G\;$ de ce système de points pondérés par leur masse soit
$\;\exists !\;G\;\;{\text{tel que}}\;\;\sum \limits _{i=1}^{N}m_{i}\;{\overrightarrow {GM_{i}}}={\vec {0}}\;$
Propriété : choisissant un point $\;A\;$ de l'espace affine euclidien tridimensionnel dans lequel baigne le système $\;{\big$discret${\big )}\;$ fermé $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i=1\,\ldots \,N}\;$ comme origine $\;{\big$non nécessairement fixe${\big )}\;$ pour repérer les points, on peut écrire la relation «$\;{\overrightarrow {AG}}={\dfrac {\sum \limits _{i=1}^{N}m_{i}\;{\overrightarrow {AM_{i}}}}{\sum \limits _{i=1}^{N}m_{i}}}\;$» ou «$\;{\overrightarrow {AG}}={\dfrac {\sum \limits _{i=1}^{N}m_{i}\;{\overrightarrow {AM_{i}}}}{m}}\;$» avec «$\;m=\sum \limits _{i=1}^{N}m_{i}\;$ la masse du système de points ».
Remarque, modélisation en système continu de matière, fin : comme vu précédemment il est possible de modéliser un système « fermé » de points matériels en système continu « fermé » de matière, le système étant défini relativement à la surface $\;(\Sigma )\;$ à l'intérieur de laquelle il est limité, et Remarque, modélisation en système continu de matière, fin : son centre d'inertie $\;{\big$C.D.I.${\big )}$ $\;G\;$ défini selon «$\;\exists !\;G\;\;{\text{tel que}}\;\;\displaystyle \iiint _{\mathcal {V}}\mu (M)\;{\overrightarrow {GM}}\;d{\mathcal {V}}={\vec {0}}\;$»$^,$ avec $\;{\mathcal {V}}={\text{int de }}(\Sigma )$,
Remarque, modélisation en système continu de matière, fin : son centre d'inertie $\;\color {transparent}{\big$C.D.I.$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{G}\;$ est repérable par rapport à un point $\;A\;{\big$non nécessairement fixe${\big )}\;$ de l'espace affine euclidien Remarque, modélisation en système continu de matière, fin : son centre d'inertie $\;\color {transparent}{\big$C.D.I.$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{G}\;$ à trois dimensions dans lequel baigne le système continu fermé, selon la relation Remarque, modélisation en système continu de matière, fin : son centre d'inertie $\;\color {transparent}{\big$C.D.I.$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{G}\;$ «$\;{\overrightarrow {AG}}={\dfrac {\displaystyle \iiint _{\mathcal {V}}\mu (M)\;{\overrightarrow {AM}}\;d{\mathcal {V}}}{\displaystyle \iiint _{\mathcal {V}}\mu (M)\;d{\mathcal {V}}}}\;$»$^,$ ou «$\;{\overrightarrow {AG}}={\dfrac {\displaystyle \iiint _{\mathcal {V}}\mu (M)\;{\overrightarrow {AM}}\;d{\mathcal {V}}}{m}}\;$» avec «$\;m=$ Remarque, modélisation en système continu de matière, fin : son centre d'inertie $\;\color {transparent}{\big$C.D.I.$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{G}\;$ $\displaystyle \iiint _{\mathcal {V}}\mu (M)\;d{\mathcal {V}}\;$ la masse du système ».

### Cas particulier d'un solide dans le cadre des systèmes (discrets) de points matériels

Un solide $\;{\big$au sens de la mécanique${\big )}\;$ est un système de points matériels « fermé et indéformable ».

## Solide en translation, définition, propriété du mouvement d'un point quelconque, exemples de translation rectiligne et de translation circulaire

L'exposé ci-dessous est fait dans le cadre des systèmes $\;{\big$discrets${\big )}\;$ « fermés et indéformables » de points matériels c.-à-d. dans le cadre des solides constitués d'un nombre fini de points matériels.

### Définition d'un solide en translation

Le solide $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i=1\,\ldots \,N}\;$ est « en translation » si tout bipoint non nul $\;{\overrightarrow {M_{i}M_{j}}}\;$ du solide se déplace $\;{\big$dans le référentiel d'étude${\big )}\;$ parallèlement à lui-même.

### Propriété du mouvement d'un point quelconque d'un solide en translation

Soient $\;M_{i}\;$ et $\;M_{j}\;$ deux points quelconques distincts du solide en translation, le bipoint $\;{\overrightarrow {M_{i}M_{j}}}\;$ se déplaçant parallèlement à lui-même, Soient $\;\color {transparent}{M_{i}}\;$ et $\;\color {transparent}{M_{j}}\;$ deux points quelconques distincts du solide en translation, sa dérivée temporelle dans le référentiel d'étude est identiquement nulle soit $\;{\dfrac {d{\overrightarrow {M_{i}M_{j}}}}{dt}}(t)={\vec {0}}\;$ ou, Soient $\;\color {transparent}{M_{i}}\;$ et $\;\color {transparent}{M_{j}}\;$ deux points quelconques distincts du solide en translation, avec $\;O\;$ point fixe du référentiel d'étude, en utilisant la relation de Chasles et la propriété de Soient $\;\color {transparent}{M_{i}}\;$ et $\;\color {transparent}{M_{j}}\;$ deux points quelconques distincts du solide en translation, avec $\;\color {transparent}{O}\;$ point fixe du référentiel d'étude, en utilisant la « commutation de la dérivation et de la prise de différence », Soient $\;\color {transparent}{M_{i}}\;$ et $\;\color {transparent}{M_{j}}\;$ deux points quelconques distincts du solide en translation, sa dérivée temporelle dans le référentiel d'étude est identiquement nulle soit $\;{\dfrac {d{\overrightarrow {OM_{j}}}}{dt}}(t)-{\dfrac {d{\overrightarrow {OM_{i}}}}{dt}}(t)={\vec {0}}\;$ ou, Soient $\;\color {transparent}{M_{i}}\;$ et $\;\color {transparent}{M_{j}}\;$ deux points quelconques distincts du solide en translation, avec $\;\color {transparent}{O}\;$ point fixe du référentiel d'étude, en utilisant par définition du vecteur vitesse des points $\;M_{i}\;$ et $\;M_{j}$, Soient $\;\color {transparent}{M_{i}}\;$ et $\;\color {transparent}{M_{j}}\;$ deux points quelconques distincts du solide en translation, la propriété suivante «$\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)={\vec {V}}_{M_{j}}(t)\;\;\forall \,\left(i\,,\,j\right)\,\in \left[\vert 1\,\ldots \,N\vert \right]\;$ avec $\;j\neq i\;$» Soient $\;\color {transparent}{M_{i}}\;$ et $\;\color {transparent}{M_{j}}\;$ deux points quelconques distincts du solide en translation, la propriété suivante c.-à-d. tous les points du solide en translation ont même vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i=1\,\ldots \,N}}(t)\;$ Soient $\;\color {transparent}{M_{i}}\;$ et $\;\color {transparent}{M_{j}}\;$ deux points quelconques distincts du solide en translation, la propriété suivante définissant le vecteur vitesse du solide en translation à l'instant $\;t$.
Montrons maintenant que le vecteur vitesse du solide en translation est aussi le vecteur vitesse du C.D.I.$^,$ de ce dernier et Montrons maintenant pour cela considérons $\;M_{i}\;$ un point quelconque du solide en translation et $\;G\;$ son C.D.I. ; Montrons maintenant pour cela le bipoint $\;{\overrightarrow {GM_{i}}}\;$ se déplaçant parallèlement à lui-même, sa dérivée temporelle dans le référentiel d'étude est identiquement nulle soit $\;{\dfrac {d{\overrightarrow {GM_{i}}}}{dt}}(t)={\vec {0}}\;$ ou, Montrons maintenant pour cela avec $\;O\;$ point fixe du référentiel d’étude, en utilisant la relation de Chasles et la propriété de Montrons maintenant pour cela avec $\;\color {transparent}{O}\;$ point fixe du référentiel d’étude, en utilisant la « commutation de la dérivation et de la prise de différence », $\;{\dfrac {d{\overrightarrow {OM_{i}}}}{dt}}(t)-{\dfrac {d{\overrightarrow {OG}}}{dt}}(t)={\vec {0}}\;$ soit, Montrons maintenant pour cela avec $\;\color {transparent}{O}\;$ point fixe du référentiel d’étude, en utilisant par définition des vecteurs vitesse du point $\;M_{i}\;$ et du C.D.I. $\;G\;$ du solide, Montrons maintenant la propriété suivante «$\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)={\vec {V}}_{G}(t)\;\;\forall \,i\,\in \left[\vert 1\,,\,N\vert \right]\;$» établissant que Montrons maintenant la propriété suivante « le vecteur vitesse du solide en translation$\;{\vec {V}}_{\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i=1\,\ldots \,N}}(t)\;$est aussi celui de son C.D.I. $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$».

### Exemples de translation
#### Translation rectiligne

La trajectoire d'un point quelconque du solide en translation rectiligne est une droite, les trajectoires des différents points étant confondues ou parallèles, on définit le plus souvent le mouvement de translation rectiligne du solide par le mouvement de son C.D.I. $\;G$ ;
un cas particulier est une translation rectiligne uniforme si le vecteur vitesse du solide en translation reste constant $\;\ldots$

#### Translation circulaire

La trajectoire d'un point quelconque du solide en translation circulaire est un cercle, les trajectoires des différents points étant de « même rayon » mais de « centre différent », le mouvement des différents points sur leur trajectoire respective est de « même vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$» $\;{\big$donc de « même vitesse angulaire $\;\omega (t)\;$»${\big ]}$, on définit le plus souvent le mouvement de translation circulaire du solide par le mouvement de son C.D.I. $\;G\;$ de « vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$» sur sa trajectoire c.-à-d. le cercle de centre $\;C\;$ et de rayon $\;R=CG$, d'où
$\;{\vec {V}}_{G}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {CG}}(t)\;$
$\;{\vec {a}}_{G}(t)={\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {CG}}(t)-\omega ^{2}(t)\;{\overrightarrow {CG}}(t)\;$
Cas particulier : translation circulaire uniforme si le vecteur rotation instantanée du C.D.I. du solide en translation circulaire est constant $\;\ldots$

#### Autres translations

Il y a autant de translations possibles qu'il y a de courbes planes ou gauches, par exemple un ballon ne tournant pas sur lui-même et qui subit une chute libre avec vitesse initiale est en translation parabolique $\;\ldots$

## Solide en rotation autour d'un axe fixe, définition, propriété de la vitesse angulaire d'un point quelconque, expression de la vitesse instantanée en fonction de la vitesse angulaire et de la distance à l'axe

L'exposé ci-dessous est fait dans le cadre des systèmes $\;{\big$discrets${\big )}\;$ « fermés et indéformables » de points matériels c.-à-d. dans le cadre des solides constitués d'un nombre fini de points matériels.

### Définition d'un solide en rotation autour d'un axe fixe

Le solide $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i=1\,\ldots \,N}\;$ est « en rotation autour d'un axe fixe$\;\left(\Delta \right)\;$» si tout point $\;M_{i}\;$ se déplace $\;{\big$dans le référentiel d'étude${\big )}\;$ sur un cercle d'axe fixe$\;\left(\Delta \right)$.

### Propriété de la vitesse angulaire d'un point quelconque d'un solide en rotation autour d'un axe fixe

Deux points quelconques d'un même plan$\;\perp \;$à l'axe$\;(\Delta )$, $\;M_{i}\;$ et $\;M_{j}\;$ avec $\;j\neq i$, doivent nécessairement avoir « même centre$\;H\;$de rotation » de plus, Deux points quelconques d'un même plan$\;\color {transparent}{\perp }\;$à l'axe$\;\color {transparent}{(\Delta )}$, le solide ne se déformant pas, l'angle $\;{\widehat {\left({\overrightarrow {HM_{i}}}\,,\,{\overrightarrow {HM_{j}}}\right)}}\;$ doit rester constant $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {d{\widehat {\left({\overrightarrow {HM_{i}}}\,,\,{\overrightarrow {HM_{j}}}\right)}}}{dt}}(t)=0\;$ ou, Deux points quelconques d'un même plan$\;\color {transparent}{\perp }\;$à l'axe$\;\color {transparent}{(\Delta )}$, en notant $\;M_{\text{réf}}\;$ un point fixe du référentiel dans le plan des deux trajectoires circulaires et Deux points quelconques d'un même plan$\;\color {transparent}{\perp }\;$à l'axe$\;\color {transparent}{(\Delta )}$, en définissant les abscisses angulaires de $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}M_{i}\\M_{j}\end{array}}\right\rbrace \;$ par $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\alpha _{i}(t)={\widehat {\left({\overrightarrow {HM_{\text{réf}}}}\,,\,{\overrightarrow {HM_{i}}}\right)}}(t)\\\alpha _{j}(t)={\widehat {\left({\overrightarrow {HM_{\text{réf}}}}\,,\,{\overrightarrow {HM_{j}}}\right)}}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;{\widehat {\left({\overrightarrow {HM_{i}}}\,,\,{\overrightarrow {HM_{j}}}\right)}}=\alpha _{j}-\alpha _{i}\;$, Deux points quelconques d'un même plan$\;\color {transparent}{\perp }\;$à l'axe$\;\color {transparent}{(\Delta )}$, la réécriture de la nullité de la dérivée temporelle de l'angle $\;{\widehat {\left({\overrightarrow {HM_{i}}}\,,\,{\overrightarrow {HM_{j}}}\right)}}\;$ selon $\;{\dfrac {d\alpha _{j}}{dt}}(t)-{\dfrac {d\alpha _{i}}{dt}}(t)=0\;$ ou $\;{\dfrac {d\alpha _{j}}{dt}}(t)={\dfrac {d\alpha _{i}}{dt}}(t)\;$ soit, Deux points quelconques d'un même plan$\;\color {transparent}{\perp }\;$à l'axe$\;\color {transparent}{(\Delta )}$, par définition de la vitesse angulaire des points $\;M_{i}\;$ et $\;M_{j}$, la propriété suivante Deux points quelconques d'un même plan$\;\color {transparent}{\perp }\;$à l'axe$\;\color {transparent}{(\Delta )}$, «$\;\omega _{M_{i}}(t)=\omega _{M_{j}}(t)\;$» avec $\;M_{j}\;$ et $\;M_{i}\;$ quelconques de même projeté orthogonal sur l'axe $\;(\Delta )\;$ c.-à-d. Deux points quelconques d'un même plan$\;\color {transparent}{\perp }\;$à l'axe$\;\color {transparent}{(\Delta )}$, tous les points du solide d'un même plan$\;\perp \;$à l'axe fixe$\;(\Delta )\;$en rotation autour de ce dernier ont même vitesse angulaire ;
deux points quelconques d'un même plan$\;(\Pi )\;$contenant l'axe$\;(\Delta )$, $\;M_{i}\;$ et $\;M_{k}\;$ avec $\;k\neq i$, doivent nécessairement, par absence de déformation lors de la rotation autour de l'axe $\;(\Delta )$, deux points quelconques d'un même plan$\;\color {transparent}{(\Pi )}\;$contenant l'axe$\;\color {transparent}{(\Delta )}$, $\;\color {transparent}{M_{i}}\;$ et $\;\color {transparent}{M_{k}}\;$ avec $\;\color {transparent}{k\neq i}$, doivent nécessairement, rester dans le même plan $\;(\Pi )\;$ contenant $\;(\Delta )\;$ et par suite deux points quelconques d'un même plan$\;\color {transparent}{(\Pi )}\;$contenant l'axe$\;\color {transparent}{(\Delta )}$, $\;\color {transparent}{M_{i}}\;$ et $\;\color {transparent}{M_{k}}\;$ avec $\;\color {transparent}{k\neq i}$, doivent nécessairement, avoir la même vitesse angulaire de rotation autour de $\;(\Delta )$ $\;\omega _{M_{i}}(t)=\omega _{M_{k}}(t)$, deux points quelconques d'un même plan$\;\color {transparent}{(\Pi )}\;$contenant l'axe$\;\color {transparent}{(\Delta )}$, d'où, en appelant $\;\omega _{(\Pi )}(t)\;$ la vitesse angulaire de rotation de ce plan $\;(\Pi )$, la propriété suivante deux points quelconques d'un même plan$\;\color {transparent}{(\Pi )}\;$contenant l'axe$\;\color {transparent}{(\Delta )}$, «$\;\omega _{M_{i}}(t)=\omega _{M_{k}}(t)=\omega _{(\Pi )}(t)\;$» avec $\;M_{k}\;$ et $\;M_{i}\;$ quelconques d'un même plan $\;(\Pi )\;$ contenant l'axe fixe $\;(\Delta )\;$ c.-à-d. deux points quelconques d'un même plan$\;\color {transparent}{(\Pi )}\;$contenant l'axe$\;\color {transparent}{(\Delta )}$, tous les points du solide d'un même plan$\;(\Pi )\;$contenant l'axe fixe$\;(\Delta )\;$en rotation autour de ce dernier ont même vitesse angulaire ;
nous en déduisons, par transitivité de la propriété « même vitesse angulaire », l'énoncé suivant
$\;(\Delta )\;$
$\;\omega _{\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i=1\,\ldots \,N}}(t)\;$
$\;t\;$
En conclusion, le mouvement de rotation du solide autour de l'axe fixe $\;(\Delta )\;$ est caractérisé par le vecteur rotation instantanée du solide à l'instant $\;t$, En conclusion, le mouvement de rotation du solide autour de l'axe fixe $\;\color {transparent}{(\Delta )}\;$ est caractérisé par «$\;{\vec {\Omega }}_{\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i=1\,\ldots \,N}}(t)=\omega _{\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i=1\,\ldots \,N}}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$» ou plus simplement En conclusion, le mouvement de rotation du solide autour de l'axe fixe $\;\color {transparent}{(\Delta )}\;$ est caractérisé par «$\;{\vec {\Omega }}(t)=\omega (t)\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$» en absence d'ambiguïté possible.

### Expression intrinsèque du vecteur vitesse et du vecteur accélération d'un point quelconque d'un solide en rotation autour d'un axe fixe

Avec $\;A\;$ un point fixe de l'axe de rotation $\;(\Delta )\;$ et $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ le vecteur rotation instantanée du solide $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i=1\,\ldots \,N}\;$ autour de l'axe fixe $\;(\Delta )$, les expressions intrinsèques du vecteur vitesse et du vecteur accélération de $\;M_{i}$, point quelconque du solide $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i=1\,\ldots \,N}\;$ s'écrivent respectivement
* pour le vecteur vitesse de $\;M_{i}\;$ selon «$\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM_{i}}}(t)\;$» et
* pour le vecteur accélération de $\;M_{i}\;$ selon «$\;{\vec {a}}_{M_{i}}(t)={\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {AM_{i}}}(t)-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\overrightarrow {C_{M_{i}}M_{i}}}(t)\;$» où $\;C_{M_{i}}\;$ est le projeté orthogonal de $\;M_{i}\;$ sur l'axe de rotation $\;(\Delta )\;$$^,$.

### Expression de la vitesse instantanée d'un point quelconque d'un solide en rotation autour d'un axe fixe en fonction de la vitesse angulaire du solide et de la distance orthogonale du point à l'axe

Soit $\;r_{i}\;$ la distance orthogonale du point $\;M_{i}\;$ à l'axe $\;(\Delta )$, axe fixe autour duquel le solide $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i=1\,\ldots \,N}\;$ tourne $\;{\bigr_{i}\;$ est aussi le rayon du cercle décrit par $\;M_{i}{\big ]}\;$ et Soit $\;\omega (t)\;$ la vitesse angulaire de rotation du solide $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i=1\,\ldots \,N}\;$ autour de $\;(\Delta )$, l'expression intrinsèque du vecteur vitesse de $\;M_{i}\;$ s'écrivant $\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {C_{M_{i}}M_{i}}}(t)\;$ avec $\;C_{M_{i}}\;$ le projeté orthogonal de $\;M_{i}\;$ sur l'axe $\;(\Delta )\;$, l'expression intrinsèque du vecteur vitesse de $\;\color {transparent}{M_{i}}\;$ se réécrit, en choisissant de repérer le point $\;M_{i}\;$ par un système de coordonnées cylindro-polaires d'axe $\;(\Delta )\;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$, l'expression intrinsèque du vecteur vitesse de $\;\color {transparent}{M_{i}}\;$ se réécrit, en définissant les coordonnées du point $\;M_{i}\;$ suivant $\;M_{i}\,\left(r_{i}\,,\,\theta _{i}\,,\,z_{i}\right)$, l'expression intrinsèque du vecteur vitesse de $\;\color {transparent}{M_{i}}\;$ se réécrit, selon $\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)=\omega (t)\,{\vec {u}}_{\Delta }\wedge r_{i}\,{\vec {u}}_{r}(M_{i})\;$ soit «$\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)=r_{i}\,\omega (t)\;{\vec {u}}_{\theta }(M_{i})\;$» ;
orientant la trajectoire de $\;M_{i}\;$ dans le sens de $\;{\vec {u}}_{\theta }(M_{i})\;$ c.-à-d. choisissant le vecteur unitaire tangentiel de Frenet $\;{\vec {\tau }}(M_{i})\;$ lié au point $\;M_{i}\;$ tel que $\;{\vec {\tau }}(M_{i})={\vec {u}}_{\theta }(M_{i})\;$, nous en déduisons
$\;M_{i}\;$
$\;v_{M_{i}}(t)=r_{i}\,\omega (t)\;$
remarque : en particulier la vitesse instantanée de tout point de l'axe est nulle, l'axe étant fixe et remarque : en particulier la vitesse instantanée d'un point hors de l'axe est d'autant plus grande que le point est éloigné de l'axe.

## Comparaison d'un mouvement de translation d'un solide et de celui de rotation autour d'un axe fixe du même solide

La comparaison ci-dessous est faite dans le cadre des systèmes $\;{\big$discrets${\big )}\;$ « fermés et indéformables » de points matériels c.-à-d. La comparaison ci-dessous est faite dans le cadre des solides constitués d'un nombre fini de points matériels.
Dans le cas du solide $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i=1\,\ldots \,N}\;$ en translation, il suffit de préciser le mouvement de son C.D.I. $\;G\;$ pour en déduire le mouvement d'un point quelconque $\;M_{i}\;$ du solide car Dans le cas du solide $\;\color {transparent}{\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i=1\,\ldots \,N}}\;$ en translation, il suffit de préciser «$\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)={\vec {V}}_{G}(t),\;\;\forall \;t\;$».
Dans le cas du solide $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i=1\,\ldots \,N}\;$ en rotation autour d'un axe fixe $\;(\Delta )$, le mouvement de son C.D.I. $\;G\;$ n'est pas utile pour déterminer le mouvement d'un point quelconque mais, Dans le cas du solide $\;\color {transparent}{\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i=1\,\ldots \,N}}\;$ en rotation autour d'un axe fixe $\;\color {transparent}{(\Delta )}$, il faut connaître le vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)=\omega (t)\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ du solide avec $\;\omega (t)\;$ sa vitesse angulaire et Dans le cas du solide $\;\color {transparent}{\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i=1\,\ldots \,N}}\;$ en rotation autour d'un axe fixe $\;\color {transparent}{(\Delta )}$, il faut connaître la distance $\;r_{i}\;$ séparant ce point quelconque de l'axe de rotation soit Dans le cas du solide $\;\color {transparent}{\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i=1\,\ldots \,N}}\;$ en rotation autour d'un axe fixe $\;\color {transparent}{(\Delta )}$, le vecteur vitesse du point quelconque $\;M_{i}\;$ du solide «$\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge r_{i}\;{\vec {u}}_{r}(M_{i})=r_{i}\,\omega (t)\;{\vec {u}}_{\theta }(M_{i})\;$» ou Dans le cas du solide $\;\color {transparent}{\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i=1\,\ldots \,N}}\;$ en rotation autour d'un axe fixe $\;\color {transparent}{(\Delta )}$, le vecteur vitesse du point quelconque $\;\color {transparent}{M_{i}}\;$ du solide «$\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[-r_{i}\;{\vec {n}}(M_{i})\right]=r_{i}\,\omega (t)\;{\vec {\tau }}(M_{i})\;$».
Remarque : il convient donc de distinguer nettement $\succ \;$un mouvement de rotation du solide autour d'un axe fixe qui est décrit par le vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ de ce dernier, le vecteur vitesse d'un point quelconque du solide dépendant de la disposition du point relativement à l'axe et Remarque : il convient donc de distinguer nettement $\succ \;$un mouvement de translation circulaire du solide qui est décrit par le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ du C.D.I. de ce dernier, le vecteur vitesse d'un point quelconque du solide étant égal au vecteur vitesse du C.D.I.$^,$.