# Distributions statistiques des particules/Statistique de Bose-Einstein

Planck a fait appel à une fonction empirique remplaçant le facteur de Boltzmann. Elle se démontre à l’aide de la statistique quantique de Bose-Einstein. Elle s’applique aux bosons et, en particulier, aux photons du rayonnement thermique, identiques, indiscernables et de spin entier. L’indiscernabilité apparaît lorsque la distance entre les particules matérielles est inférieure à leur longueur d’onde de de Broglie. Les bosons (particules de spin entier) ont tendance à s’agglutiner car un état quantique peut accueillir un nombre illimité de bosons alors que les fermions (dont les électrons) se repoussent et ne peuvent accueillir que deux particules par état quantique. La démonstration ci-après est basée sur celle de Rocard

## Dénombrement des états

Soit une boîte contenant une seule case. Il n’y a qu’une possibilité. Avec deux cases discernables et une particule, il y a deux possibilités :
Pour deux particules indiscernables dans deux cases de la boîte il y a trois combinaisons :
Il y a 6 configurations possibles pour placer deux particules indiscernables dans trois cases :
Le nombre de combinaisons de deux particules dans trois cases est de six combinaisons distinctes :
$W_{BE}={\frac {(2+3-1)!}{2!(3-1)!}}={\frac {4!}{2!2!}}={\frac {4\times 3\times 2}{2\times 2}}=6$
Si les cases aussi étaient indiscernables, il n’y aurait qu'une possibilité pour une particule dans deux cases et deux possibilités pour deux particules à répartir dans deux ou dans trois cases. Soit une boîte de g cases contenant n particules. En appliquant la formule des arrangements de n = 2 particules dans g = 3 cases (la dégénérescence ou poids statistique g est le nombre de configurations physiques ou d’états distincts de même énergie), on a
$W_{BE}={\frac {(n+g-1)!}{n!(g-1)!}}={\frac {4!}{2!2!}}=6$

## Approximation de Stirling

Lorsque le nombre de particules et de cases est important, on peut utiliser la formule de Stirling d’approximation des grandes factorielles :
$\ln \ n!\approx n\left(\ln \ n-1\right)$
qui « devient par dérivation »
$\mathrm {d} (\ln \ n!)\approx \mathrm {d} \left[\ln \ n-1+n\left({\frac {1}{n}}\right)\right]=\ln \ n\ \mathrm {d} n$
En tenant compte de ce que le nombre g de boîtes est constant, on a :
$\mathrm {d} \ln \ W_{BE}=\mathrm {d} \ln \left[{\frac {n+g-1)!}{n!(g-1)!}}\right]\approx \ln \left(1+{\frac {g}{n}}\right)\mathrm {d} n$
où $W_{BE}$ est la probabilité de distribution de Bose-Einstein. Les particules ayant une vitesse ou une énergie comprise entre E et E + dE sont au nombre de dn. Lorsque les niveaux sont discrets, on a généralement g niveaux de même énergie E. Ces niveaux dégénérés, observables en spectroscopie, peuvent être séparés en brisant la symétrie, par exemple à l’aide d’un champ électrique. Les niveaux d’énergie étant discrets en mécanique quantique, on les numérote avec un indice i. La variation du nombre de combinaisons est donnée par :
$\mathrm {d} \ln \ W_{BE}\approx \ln \left(1+{\frac {g_{i}}{n_{i}}}\right)\mathrm {d} n_{i}$

## Multiplicateurs de Lagrange

À l’équilibre, la probabilité doit être extrémale, et sa variation doit donc être nulle :
$\sum _{i}\ln \left(1+{\frac {g_{i}}{n_{i}}}\right)\mathrm {d} n_{i}=0$
Le corps noir étant un gaz de photons, le nombre total de photons est variable, mais, en général, il est constant:
$\left.\sum _{i}\mathrm {d} n_{i}=0\right.$
peut varier mais l’énergie totale doit être extrémale à l’équilibre :
$\left.\sum _{i}E_{i}\mathrm {d} n_{i}=0\right.$
On peut additionner ces trois expressions nulles selon la méthode des multiplicateurs de Lagrange :
$\sum _{i}\ln \left(1+{\frac {g_{i}}{n_{i}}}\right)\mathrm {d} n_{i}+a\sum _{i}\mathrm {d} n_{i}+b\sum _{i}E_{i}\mathrm {d} n_{i}=0$
où a et b sont des constantes à déterminer. Comme cela doit être vrai quels que soient les $dn_{i}$, on doit avoir
$\ln \left(1+{\frac {g_{i}}{n_{i}}}\right)+a+bE_{i}=0$

## Distribution de Bose-Einstein

L'équation précédente donne la fonction d’occupation de chaque état d’énergie Ei :
$f_{i}={\frac {n_{i}}{g_{i}}}={\frac {1}{\exp \left(-a-bE_{i}\right)-1}}$
On doit retrouver pour $f_{i}$ le facteur de Boltzmann $exp(-E_{i}/kT)$ lorsque l’exponentielle est très supérieure à un. L’identification des fonctions d’occupation de Bose-Einstein et de Maxwell, en l’absence d’effets quantiques donne :
$\exp \left(-a-bE_{i}\right)=\exp \left({\frac {E_{i}-\mu }{kT}}\right)$
en posant $a=\mu /kT\ et\ b=-1/(kT)$. Le nombre de photons pouvant varier, on doit avoir a = 0. On a aussi E = hν, ce qui donne la fonction de distribution de Planck :
$f_{i}={\frac {1}{\exp \left({\frac {h\nu _{i}}{kT}}\right)-1}}$
On rencontre fréquemment des gaz de bosons (vibrations d'un réseau cristallin représenté par un gaz de phonons qui conduit à la théorie de Debye de la chaleur spécifique. À basse température, certains atomes se comportent comme des bosons. Les quanta de lumière, les photons, sont eux aussi des bosons.
À l'équilibre thermodynamique, le nombre n$_i$ de particules dans l'état d'énergie E$_i$ est $n_{i}={\frac {g_{i}}{\exp \left({\frac {E_{i}-\mu }{kT}}\right)-1}}$ où :
* g$_i$ est le nombre d'états possédant cette énergie
* μ est le potentiel chimique
* k est la constante de Boltzmann
* T est la température absolue