# Mécanique 1 (PCSI)/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Lois de la puissance et de l'énergie cinétiques
## Définition de l'énergie et de la puissance cinétiques
### Définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude

Entrevue une 1ère fois $\;{\big$uniquement dans le cadre newtonien${\big )}\;$ dans le paragraphe « Énergie cinétique, conséquence de l'existence d'un mouvement » du chap.$1$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
Il s'agit de la 2ème grandeur cinétique introduite dans la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », Il s'agit de la 1ère l'ayant été dans le chap.$7$, plus précisément dans le paragraphe « vecteur quantité de mouvement d'un point matériel, lien avec son vecteur vitesse » du chapitre précité et traduisant une « réserve de mouvement inertiel en direction, sens et intensité ».

#### Définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinématique du point

L'énergie cinétique d'un point matériel $\;M\;$ de masse $\;{\big$inerte${\big )}\;$ $\;m\;$ en mouvement dans un référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ est la grandeur scalaire notée $\;K_{M}(t)\;$ définie à partir
* de la grandeur cinématique vectorielle représentant le mouvement dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ à savoir le « vecteur vitesse du point dans ce référentiel $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$» et
* de la grandeur d'inertie scalaire à savoir la « masse $\;{\big$inerte${\big )}\;$ $\;m\;$ du point »,
la définition dans le cadre de la cinétique newtonienne étant «$\;K_{M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{\!M}^{2}(t)\;$» et
la déf celle dans le cadre de la cinétique relativiste «$\;K_{M}(t)=\left[\gamma _{M}(t)-1\right]\,m\;c^{2}\;$» dans laquelle $\;\gamma _{M}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M}^{2}(t)}{c^{2}}}}}}\;$ est le facteur de Lorentz du point $\;M\;$ dans son mouvement par rapport au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ à l'instant $\;t\;$ et $\;c\;$ la célérité de la lumière dans le vide ;
$\;{\big$
$\;J\;$
$\;1\;J=1\;kg\times \left(1\;m\cdot s^{-1}\right)^{2}{\big ]}$
Remarque : L'énergie cinétique d'un point matériel traduit une « réserve de mouvement inertiel en intensité »$^,$.
Condition de vitesse pour que l'énergie cinétique du point soit newtonienne : nous nous plaçons dans le cas où «$\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert \ll c\;$» ou, en introduisant le vecteur vitesse relative «$\;{\vec {\beta }}_{M}(t)={\dfrac {{\vec {V}}_{M}(t)}{c}}\;$» de norme notée $\;\beta _{M}(t)$, nous nous plaçons dans le cas d'une vitesse relative «$\;\beta _{M}(t)\ll 1\;$», le facteur de Lorentz $\;\gamma _{M}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-\beta _{M}^{2}(t)}}}$ $=\left[1-\beta _{M}^{2}(t)\right]^{-{\frac {1}{2}}}\;$ ayant pour D.L. à l'ordre deux en l'infiniment petit $\;\beta _{M}^{2}(t)\;$ «$\;\gamma _{M}(t)\simeq 1-{\dfrac {1}{2}}\left[-\beta _{M}^{\,2}(t)\right]+{\dfrac {3}{8}}\left[-\beta _{M}^{\,2}(t)\right]^{2}=1+{\dfrac {1}{2}}\;\beta _{M}^{\,2}(t)+{\dfrac {3}{8}}\;\beta _{M}^{\,4}(t)\;$» d'où l'énergie cinétique relativiste du point $\;M\;$ «$\;K_{M,\,{\text{relat}}}(t)=\left[\gamma _{M}(t)-1\right]\,m\;c^{2}\simeq$ $\left[{\dfrac {1}{2}}\;\beta _{M}^{\,2}(t)+{\dfrac {3}{8}}\;\beta _{M}^{\,4}(t)\right]m\;c^{2}\;$» ;
Condition de vitesse pour que l'énergie cinétique du point soit newtonienne : tout d'abord on vérifie bien, en tronquant le D.L. de $\;K_{M,\,{\text{relat}}}(t)\;$ à l'ordre un en $\;\beta _{M}^{\,2}(t)$, que l'énergie cinétique relativiste s'identifie à l'énergie cinétique newtonienne car «$\;K_{M,\,{\text{relat}}}(t)\simeq \left[{\dfrac {1}{2}}\;\beta _{M}^{\,2}(t)\right]m\;c^{2}={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{\!M}^{2}(t)=K_{M,\,{\text{newt}}}(t)\;$» ;
Condition de vitesse pour que l'énergie cinétique du point soit newtonienne : la différence entre l'énergie cinétique relativiste et celle newtonienne vaut, à l'ordre deux en $\;\beta _{M}^{\,2}(t)$, Condition de vitesse pour que l'énergie cinétique du point soit newtonienne : la différence entre l'énergie cinétique relativiste et celle newtonienne vaut $\;K_{M,\,{\text{relat}}}(t)-K_{M,\,{\text{newt}}}(t)\simeq \left[{\dfrac {3}{8}}\;\beta _{M}^{\,4}(t)\right]m\;c^{2}\;$ c.-à-d. un infiniment petit d'ordre deux en $\;\beta _{M}^{\,2}(t)\;$ soit, en rapportant cette différence à l'énergie cinétique relativiste, un écart relatif de $\;{\dfrac {K_{M,\,{\text{relat}}}(t)-K_{M,\,{\text{newt}}}(t)}{K_{M,\,{\text{relat}}}(t)}}\;$ dont on souhaite déterminer le D.L. à l'ordre un en $\;\beta _{M}^{\,2}(t)\;$ ${\big \$comme le numérateur est un infiniment petit d'ordre deux en $\;\beta _{M}^{\,2}(t)\;$ il suffit de prendre le D.L. du dénominateur à l'ordre un en $\;\beta _{M}^{\,2}(t)\;$ soit $\;K_{M,\,{\text{relat}}}(t)\simeq K_{M,\,{\text{newt}}}(t){\big \}$ d'où la réécriture de $\;{\dfrac {K_{M,\,{\text{relat}}}(t)-K_{M,\,{\text{newt}}}(t)}{K_{M,\,{\text{relat}}}(t)}}\;$ en $\;{\dfrac {K_{M,\,{\text{relat}}}(t)-K_{M,\,{\text{newt}}}(t)}{K_{M,\,{\text{newt}}}(t)}}\simeq {\dfrac {\left[{\dfrac {3}{8}}\;\beta _{M}^{\,4}(t)\right]m\;c^{2}}{\left[{\dfrac {1}{2}}\;\beta _{M}^{\,2}(t)\right]m\;c^{2}}}\;$ soit finalement «$\;{\dfrac {K_{M,\,{\text{relat}}}(t)-K_{M,\,{\text{newt}}}(t)}{K_{M,\,{\text{relat}}}(t)}}\simeq {\dfrac {3}{4}}\;\beta _{M}^{\,2}(t)\;$» ;
Condition de vitesse pour que l'énergie cinétique du point soit newtonienne : l'énergie cinétique relativiste étant égale à l'énergie cinétique newtonienne à $\;1\,\%\;$ près si ${\dfrac {K_{M,\,{\text{relat}}}(t)-K_{M,\,{\text{newt}}}(t)}{K_{M,\,{\text{relat}}}(t)}}\lesssim 10^{-2}\;$ on en déduit la condition sur la vitesse relative $\;{\dfrac {3}{4}}\;\beta _{M}^{\,2}(t)\lesssim 10^{-2}\;$ ou $\;\beta _{M}(t)\lesssim {\dfrac {2}{\sqrt {3}}}\;10^{-1}\simeq 0,115\;$ soit finalement «$\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert \lesssim {\dfrac {c}{10}}\simeq 30\,000\;km\cdot s^{-1}\;$».

#### Définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinétique précédemment introduite du point

L'énergie cinétique d'un point matériel $\;M\;$ de masse $\;{\big$inerte${\big )}\;$ $\;m\;$ en mouvement dans un référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ est la grandeur scalaire notée $\;K_{M}(t)\;$ définie à partir
* de la grandeur cinétique vectorielle représentant une « réserve de mouvement inertiel en direction, sens et intensité » dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ à savoir le « vecteur quantité de mouvement du point dans ce référentiel $\;{\vec {p}}_{M}(t)\;$» et
* de la grandeur d'inertie scalaire à savoir la « masse $\;{\big$inerte${\big )}\;$ $\;m\;$ du point »,
la définition dans le cadre de la cinétique newtonienne étant «$\;K_{M}(t)={\dfrac {{\vec {p}}_{\!M}^{2}(t)}{2\;m}}\;$» et
la déf celle dans le cadre de la cinétique relativiste «$\;K_{M}(t)={\sqrt {{\vec {p}}_{\!M}^{2}(t)\;c^{2}+m^{2}\;c^{4}}}-m\;c^{2}\;$» dans laquelle $\;c\;$ est la célérité de la lumière dans le vide ;
$\;{\big$
$\;J\;$
$\;1\;J=1\;kg\times \left(1\;m\cdot s^{-1}\right)^{2}{\big ]}$
Remarque : Bien sûr dans cette nouvelle définition l'énergie cinétique d'un point matériel traduit toujours une « réserve de mouvement inertiel en intensité »$^,$.
Équivalence des deux définitions de l'énergie cinétique newtonienne du point : nous avons vu que « l'énergie cinétique du point $\;M\;$ sous la forme newtonienne $\;K_{M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{\!M}^{2}(t)\;$ est applicable si $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert \lesssim 0,1\;c\simeq 30\,000\;km\cdot s^{-1}\;$» et que « le vecteur quantité de mouvement du même point $\;M\;$ sous la forme newtonienne $\;{\vec {p}}_{M}(t)=m\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$ l'est si $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert \lesssim 0,14\;c\simeq$ $42\,000\;km\cdot s^{-1}\;$», aussi, en nous plaçant « dans les conditions les plus restrictives d'application de ces formules à savoir $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert \lesssim 0,1\;c\simeq 30\,000\;km\cdot s^{-1}\;$» et en reportant $\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dfrac {{\vec {p}}_{M}(t)}{m}}\;$ dans $\;K_{M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{\!M}^{2}(t)\;$ nous en déduisons «$\;K_{M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\left[{\dfrac {{\vec {p}}_{M}(t)}{m}}\right]^{2}={\dfrac {{\vec {p}}_{\!M}^{2}(t)}{2\;m}}\;$» c.-à-d. la 2ème définition de l'énergie cinétique newtonienne ;
Équivalence des deux définitions de l'énergie cinétique newtonienne du point : en nous plaçant « dans les conditions où $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert \lesssim 0,1\;c\simeq 30\,000\;km\cdot s^{-1}\;$», les formules $\;{\vec {p}}_{M}(t)=m\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ et $\;K_{M}(t)={\dfrac {{\vec {p}}_{\!M}^{2}(t)}{2\;m}}\;$ étant applicables, le report de la 1ère dans la 2nde donne «$\;K_{M}(t)={\dfrac {{\vec {p}}_{\!M}^{2}(t)}{2\;m}}={\dfrac {\left[m\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]^{2}}{2\;m}}={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{\!M}^{2}(t)\;$» c.-à-d. établissant la réciproque d'où l'équivalence des deux définitions.
Équivalence des deux définitions de l'énergie cinétique relativiste du point : partant de la 1ère définition de l'énergie cinétique relativiste $\;K_{M}(t)=\left[\gamma _{M}(t)-1\right]m\;c^{2}\;$ avec $\;\gamma _{M}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M}^{2}(t)}{c^{2}}}}}}\;$ le facteur de Lorentz du point $\;M\;$ dans son mouvement par rapport au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ à l'instant $\;t\;$ et sachant que le vecteur quantité de mouvement relativiste du même point au même instant est $\;{\vec {p}}_{M}(t)=\gamma _{M}(t)\;m\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$, on en déduit la 2ème définition de l'énergie cinétique relativiste en exprimant $\;\gamma _{M}(t)\;$ en fonction de $\;\Vert {\vec {p}}_{M}(t)\Vert \;$ ${\big \$sans que n'intervienne $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert {\big \}$ et en reportant cette expression dans 1ère définition de $\;K_{M}(t)$ ;
Équivalence des deux définitions de l'énergie cinétique relativiste du point : de $\;\gamma _{M}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M}^{2}(t)}{c^{2}}}}}}\;$ on tire $\;\gamma _{\!M}^{2}(t)\left[1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M}^{2}(t)}{c^{2}}}\right]=1\;$ ou encore $\;\gamma _{\!M}^{2}(t)=$ $1+\left[{\dfrac {\gamma _{M}(t)\;{\vec {V}}_{M}(t)}{c}}\right]^{2}\;$ dans le 2ème membre duquel on remplace $\;\gamma _{M}(t)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ par $\;{\dfrac {{\vec {p}}_{M}(t)}{m}}\;$ d'où $\;\gamma _{\!M}^{2}(t)=1+\left[{\dfrac {{\vec {p}}_{M}(t)}{m\;c}}\right]^{2}\;$ et finalement l'expression du facteur de Lorentz du point en fonction du vecteur quantité de mouvement de ce dernier «$\;\gamma _{M}(t)={\dfrac {\sqrt {m^{2}\;c^{2}+{\vec {p}}_{\!M}^{2}(t)}}{m\;c}}\;$» que l'on reporte dans $\;K_{M}(t)=\left[\gamma _{M}(t)-1\right]m\;c^{2}\;$ $\Rightarrow$ «$\;K_{M}(t)=\left[{\dfrac {\sqrt {m^{2}\;c^{2}+{\vec {p}}_{\!M}^{2}(t)}}{m\;c}}-1\right]m\;c^{2}={\sqrt {m^{2}\;c^{4}+{\vec {p}}_{\!M}^{2}(t)\;c^{2}}}-m\;c^{2}\;$» c.-à-d. la 2ème définition de l'énergie cinétique relativiste ;
Équivalence des deux définitions de l'énergie cinétique relativiste du point : la réciproque s'établit sans souci majeur à partir de $\;K_{M}(t)={\sqrt {m^{2}\;c^{4}+{\vec {p}}_{\!M}^{2}(t)\;c^{2}}}-m\;c^{2}\;$ et du lien entre $\;\Vert {\vec {p}}_{M}(t)\Vert \;$ et $\;\gamma _{M}(t)\;$ obtenu précédemment à savoir $\;\gamma _{\!M}^{2}(t)=1+\left[{\dfrac {{\vec {p}}_{M}(t)}{m\;c}}\right]^{2}\;$ dont on tire $\;{\vec {p}}_{\!M}^{2}(t)\;c^{2}=m^{2}\;c^{4}\left[\gamma _{\!M}^{2}(t)-1\right]\;$ que l'on reporte dans l'expression de $\;K_{M}(t)={\sqrt {m^{2}\;c^{4}+{\vec {p}}_{\!M}^{2}(t)\;c^{2}}}-m\;c^{2}\;$ soit «$\;K_{M}(t)$ $={\sqrt {m^{2}\;c^{4}+m^{2}\;c^{4}\left[\gamma _{\!M}^{2}(t)-1\right]}}-m\;c^{2}=m\;c^{2}\;\gamma _{M}(t)-m\;c^{2}\;$» c.-à-d. la 1ère définition de l'énergie cinétique relativiste d'où l'équivalence des deux définitions.

### Définition de la puissance cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude

La puissance cinétique d'un point matériel $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ est, dans le cadre de la cinétique newtonienne ou relativiste, la dérivée temporelle de l'énergie cinétique du point $\;M\;$ au même instant $\;t\;$ dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ c.-à-d. $\;{\dfrac {dK_{M}}{dt}}(t)\;$ ${\big$comme il n'y a aucune notation particulière pour noter la puissance cinétique nous utiliserons la notation compacte $\;{\dot {K}}_{M}(t){\big ]}$.

#### Expressions de la puissance cinétique newtonienne d'un point matériel dans le référentiel d'étude

Ayant deux expressions équivalentes de l'énergie cinétique newtonienne du point matériel $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, expressions dont la validité présuppose que la vitesse du point soit telle que $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert \lesssim 0,1\;c\simeq 30\,000\;km\cdot s^{-1}$, nous en déduisons deux expressions équivalentes de la puissance cinétique newtonienne du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans ce référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ :
* $\;K_{M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{\!M}^{2}(t)\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {dK_{M}}{dt}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\left[2\;{\vec {V}}_{M}(t)\cdot {\dfrac {d{\vec {V}}_{M}}{dt}}(t)\right]=m\;{\vec {V}}_{M}(t)\cdot {\dfrac {d{\vec {V}}_{M}}{dt}}(t)\;$ soit encore «$\;{\dot {K}}_{M}(t)={\vec {p}}_{M}(t)\cdot {\dfrac {d{\vec {V}}_{M}}{dt}}(t)\;$»
* $\;K_{M}(t)={\dfrac {{\vec {p}}_{\!M}^{2}(t)}{2\;m}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {dK_{M}}{dt}}(t)={\dfrac {1}{2\;m}}\left[2\;{\vec {p}}_{M}(t)\cdot {\dfrac {d{\vec {p}}_{M}}{dt}}(t)\right]={\dfrac {{\vec {p}}_{M}(t)}{m}}\cdot {\dfrac {d{\vec {p}}_{M}}{dt}}(t)\;$ soit encore «$\;{\dot {K}}_{M}(t)={\vec {V}}_{M}(t)\cdot {\dfrac {d{\vec {p}}_{M}}{dt}}(t)\;$».

#### Expressions de la puissance cinétique relativiste d'un point matériel dans le référentiel d'étude

Ayant deux expressions équivalentes de l'énergie cinétique relativiste du point matériel $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, nous en déduisons deux expressions équivalentes de la puissance cinétique relativiste du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans ce référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ :
* $\;K_{M}(t)=\left[\gamma _{M}(t)-1\right]\,m\;c^{2}\;$ avec $\;\gamma _{M}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M}^{2}(t)}{c^{2}}}}}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {dK_{M}}{dt}}(t)={\dfrac {d\gamma _{M}}{dt}}(t)\;m\;c^{2}\;$ avec $\;{\dfrac {d\gamma _{M}}{dt}}(t)=-{\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {\dfrac {-2\;{\vec {V}}_{M}(t)\cdot {\dfrac {d{\vec {V}}_{M}}{dt}}(t)}{c^{2}}}{\left(1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M}^{2}(t)}{c^{2}}}\right)^{\!\!{\frac {3}{2}}}}}={\dfrac {\gamma _{M}^{3}(t)}{c^{2}}}\;{\vec {V}}_{M}(t)\cdot {\dfrac {d{\vec {V}}_{M}}{dt}}(t)\;$ soit $\;{\dfrac {dK_{M}}{dt}}(t)=$ $\gamma _{M}^{2}(t)\left[\gamma _{M}(t)\;m\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]\cdot {\dfrac {d{\vec {V}}_{M}}{dt}}(t)\;$ ou encore «$\;{\dot {K}}_{M}(t)=\gamma _{M}^{2}(t)\;{\vec {p}}_{M}(t)\cdot {\dfrac {d{\vec {V}}_{M}}{dt}}(t)={\dfrac {{\vec {p}}_{M}(t)\cdot {\dfrac {d{\vec {V}}_{M}}{dt}}(t)}{1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M}^{2}(t)}{c^{2}}}}}\;$»
* $\;K_{M}(t)={\sqrt {{\vec {p}}_{\!M}^{2}(t)\;c^{2}+m^{2}\;c^{4}}}-m\;c^{2}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {dK_{M}}{dt}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {2\;{\vec {p}}_{M}(t)\cdot {\dfrac {d{\vec {p}}_{M}}{dt}}(t)\;c^{2}}{\sqrt {{\vec {p}}_{\!M}^{2}(t)\;c^{2}+m^{2}\;c^{4}}}}=\left[{\dfrac {{\vec {p}}_{M}(t)\;c^{2}}{\sqrt {{\vec {p}}_{\!M}^{2}(t)\;c^{2}+m^{2}\;c^{4}}}}\right]\cdot {\dfrac {d{\vec {p}}_{M}}{dt}}(t)\;$ ou, en faisant intervenir la vitesse dans le 1er facteur de la multiplication scalaire, $\;{\dfrac {dK_{M}}{dt}}(t)=\left\lbrace {\dfrac {\gamma _{M}(t)\;m\;{\vec {V}}_{M}(t)\;c^{2}}{\gamma _{M}(t)\;m\;c^{2}}}\right\rbrace \cdot {\dfrac {d{\vec {p}}_{M}}{dt}}(t)\;$$^,$ soit finalement «$\;{\dot {K}}_{M}(t)={\vec {V}}_{M}(t)\cdot {\dfrac {d{\vec {p}}_{M}}{dt}}(t)\;$».

## Théorème de la puissance cinétique, énoncé, démonstration à partir de la r.f.d.
### Préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel

De façon symbolique tout théorème de la dynamique du point matériel doit s’exprimer selon l'énoncé suivant
« dans un référentiel galiléen, la dérivée temporelle d’une des grandeurs cinétiques d’un point matériel est égale à la somme des causes susceptibles de faire varier cette grandeur cinétique » ;
dans le cas de la r.f.d. la grandeur cinétique est le vecteur quantité de mouvement du point$\;M\;$ soit $\;{\vec {p}}_{M}(t)\;$ et les causes susceptibles de le faire varier sont les forces appliquées sur le point$\;M\;$ à savoir $\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}$, la r.f.d. s’énonçant alors dans un référentiel galiléen selon «$\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}={\dfrac {d{\vec {p}}_{M}}{dt}}(t)\;$».

### Expression énergétique de la r.f.d.

L’expression énergétique de la r.f.d. nécessite d’obtenir, dans le membre de droite, la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du point $\;M$, c.-à-d. encore la « puissance cinétique du point $\;M\;$» et pour cela on utilisera la relation commune aux cadres newtonien et relativiste de la puissance cinétique du point$\;M\;$ à savoir «$\;{\dot {K}}_{M}(t)={\dfrac {d{\vec {p}}_{M}}{dt}}(t)\cdot {\vec {V}}_{M}(t)\;$» ;
on observe donc qu'il suffit de multiplier scalairement les deux membres de la r.f.d. écrite sous la forme applicable en dynamique newtonienne et relativiste à savoir $\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}={\dfrac {d{\vec {p}}_{M}}{dt}}(t)\;$ par $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ pour obtenir dans celui de droite la puissance cinétique du point $\;M\;$ soit $\;\left[\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\right]\cdot {\vec {V}}_{M}(t)={\dfrac {d{\vec {p}}_{M}}{dt}}(t)\cdot {\vec {V}}_{M}(t)\;$ ou encore, en distribuant la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle dans le membre de gauche et en reconnaissant la puissance cinétique du point dans le membre de droite, $\;\sum \limits _{k}\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\cdot {\vec {V}}_{M}(t)\right]={\dot {K}}_{M}(t)$ ;
dans cette dernière expression on reconnaît dans le membre de gauche la somme des puissances développées par les forces appliquées au point $\;M\;$ et on en déduit que « les causes susceptibles de faire varier l’énergie cinétique d’un point sont les puissances développées par les forces qui lui sont appliquées $\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\right]\;$» ;
l’expression énergétique de la r.f.d. dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste s’écrit dans un référentiel galiléen selon «$\;\sum \limits _{k}{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\right]={\dot {K}}_{M}(t)\;$».

### Énoncé du théorème de la puissance cinétique

$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$
$\;M\;$
$\;t\;$
$\;M\;$
$\;t\;$
$\;\sum \limits _{k}{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]={\dot {K}}_{M}(t)\;$
ce théorème est applicable en dynamique newtonienne et relativiste, la puissance cinétique du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ s'évaluant par dérivation temporelle de son énergie cinétique $\;K_{M}(t)\;$ au même instant et dans le même référentiel avec, pour expression à considérer, l'une des deux définitions équivalentes suivantes
* en dynamique newtonienne «$\;K_{M}(t)={\dfrac {{\vec {p}}_{\!M}^{2}(t)}{2\;m}}={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{\!M}^{2}(t)\;$» et
* en dynamique relativiste «$\;K_{M}(t)={\sqrt {m^{2}\;c^{4}+{\vec {p}}_{\!M}^{2}(t)\;c^{2}}}-m\;c^{2}=\left[\gamma _{M}(t)-1\right]m\;c^{2}\;$» où $\;\gamma _{M}(t)=$ ${\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M}^{2}(t)}{c^{2}}}}}}\;$ est le facteur de Lorentz de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$.

### Démonstration du théorème de la puissance cinétique à partir de la r.f.d.

Pour démontrer le théorème de la puissance cinétique il suffit de partir de la forme de la r.f.d. écrite applicable en dynamiques newtonienne et relativiste à savoir «$\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}={\dfrac {d{\vec {p}}_{M}}{dt}}(t)\;$» puis de multiplier scalairement chaque membre de la r.f.d. par $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ et enfin de reconnaître, dans chaque membre, les grandeurs adaptées $\;{\big$revoir le paragraphe « expression énergétique de la r.f.d. » plus haut dans ce chapitre${\big )}$.

## Forme locale et forme intégrale associée de la dynamique
### Différence entre « forme locale de la dynamique » et « forme intégrée associée à cette forme locale »

Une « forme locale de la dynamique » est un lien, écrit à un instant $\;t$, entre la variation temporelle d'une grandeur cinétique et la cause ayant engendré cette variation ;
on connaît pour l'instant deux « formes locales de la dynamique »
* $\;\bigcirc \!\!\!\!\!1\;\;$ la « r.f.d. » qui lie la variation temporelle du vecteur quantité de mouvement du point et les forces qui lui sont appliquées, causes de variation de son vecteur quantité de mouvement et
* $\;\bigcirc \!\!\!\!\!2\;\;$ le « théorème de la puissance cinétique » qui lie la variation temporelle de l'énergie cinétique du point et la puissance des forces qui lui sont appliquées, causes de variation de son énergie cinétique ;
leur caractère local provient du fait qu'elles sont écrites pour une date précise $\;{\big$pouvant être quelconque${\big )}$ $\;\Rightarrow \;$ leur application conduit à une équation différentielle du 2ème ordre en la position du point.
En intégrant une fois par rapport au temps entre deux instants $\;t_{1}\;$ et $\;t_{2}\;$ une forme locale de la dynamique, on aboutit à la « forme intégrée de la dynamique » associée à cette forme locale $\;{\big$écrite sur l'intervalle $\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]{\big )}$ ;
on peut donc définir pour l'instant deux « formes intégrées de la dynamique » dont la plus connue $\;{\big$et la seule inscrite dans le programme de physique de P.C.S.I.${\big )}\;$ est
* celle associée à la forme locale $\;\bigcirc \!\!\!\!\!2\;\;$ « théorème de la puissance cinétique » donnant la forme intégrée $\;\color {red}{\bigcirc \!\!\!\!\!2}\;\;$ « théorème de l'énergie cinétique » alors que
* celle associée à la forme locale $\;\bigcirc \!\!\!\!\!1\;\;$ « r.f.d. » qui donne la forme intégrée $\;\color {red}{\bigcirc \!\!\!\!\!1}\;\;$ « théorème de l'impulsion » est hors programme de physique de P.C.S.I..

### Notion d’intégrale 1ère du mouvement associée à une forme locale de la dynamique

Si on écrit la forme intégrée entre un instant initial $\;t_{0}\;$ et un instant $\;t\;$ quelconque, on obtient une équation différentielle du 1er ordre en la position du point $\;M\;$ appelée « intégrale 1ère du mouvement du point $\;M\;$» ;
ainsi l'intégrale 1ère du mouvement du point $\;M\;$ associée à la forme locale « théorème de la puissance cinétique » n'est rien d'autre que l'application du « théorème de l'énergie cinétique » entre un instant initial $\;t_{0}\;$ et un instant $\;t\;$ quelconque $\;\ldots$

## Théorème de l’énergie cinétique, énoncé, démonstration à partir du théorème de la puissance cinétique
### Recherche de la forme intégrée associée à la forme locale « théorème de la puissance cinétique »

Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué au point matériel $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans un référentiel galiléen «$\;\sum \limits _{k}{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]={\dot {K}}_{M}(t)\;$»,
* on multiplie de part et d'autre par $\;dt\;$ d’où $\;\left\lbrace \sum \limits _{k}{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]\right\rbrace dt={\dot {K}}_{M}(t)\;dt\;$ ou «$\;\sum \limits _{k}\left\lbrace {\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]dt\right\rbrace =dK_{M}\;$» qui s’écrit encore, en reconnaissant la définition du travail élémentaire de force dans chaque terme entre accolades du membre de gauche, «$\;\sum \limits _{k}\delta W\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]=dK_{M}\;$» puis
* on intègre sur $\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]\;$ d'où $\;\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left\lbrace \sum \limits _{k}\delta W\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]\right\rbrace =K_{M}(t_{2})-K_{M}(t_{1})\;$ ou encore, l’intégrale d’une somme étant égale à la somme des intégrales «$\;\sum \limits _{k}\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta W\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]=$ $K_{M}(t_{2})-K_{M}(t_{1})\;$» soit enfin, le travail d'une force sur un intervalle de temps de durée finie étant la somme des travaux élémentaires de la force développés par chaque durée élémentaire de l'intervalle de temps, «$\;\sum \limits _{k}W_{{\text{sur}}\,\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\right]=K_{M}(t_{2})-K_{M}(t_{1})\;$» ;
ainsi, sous forme intégrée, les « causes de variation de l'énergie cinétique d'un point sur l'intervalle$\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]\;$ » sont les « travaux développés par les forces appliquées à ce point sur le même intervalle », ceci étant applicable en dynamiques newtonienne et relativiste.

### Énoncé du « théorème de l’énergie cinétique »
#### Théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire

$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$
$\;M\;$
$\;t\;$
$\;M\;$
$\;t\;$
$\;\sum \limits _{k}\delta W\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]=dK_{M}\;$
ce théorème est applicable en dynamique newtonienne et relativiste, la variation élémentaire de l'énergie cinétique du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ s'évaluant par différenciation de son énergie cinétique $\;K_{M}(t)\;$ au même instant et dans le même référentiel avec, pour expression à considérer, l'une des deux définitions équivalentes suivantes
* en dynamique newtonienne «$\;K_{M}(t)={\dfrac {{\vec {p}}_{\!M}^{2}(t)}{2\;m}}={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{\!M}^{2}(t)\;$» et
* en dynamique relativiste «$\;K_{M}(t)={\sqrt {m^{2}\;c^{4}+{\vec {p}}_{\!M}^{2}(t)\;c^{2}}}-m\;c^{2}=\left[\gamma _{M}(t)-1\right]m\;c^{2}\;$» où $\;\gamma _{M}(t)=$ ${\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M}^{2}(t)}{c^{2}}}}}}\;$ est le facteur de Lorentz de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$.
Remarque : Le théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire est considéré comme une forme intégrée associée à la forme locale « théorème de la puissance cinétique » bien qu'il n'y ait pas de phase d'intégration car la variation élémentaire de l'énergie cinétique évaluée à partir de l'instant $\;t\;$ est sa variation sur l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$ et que le travail élémentaire d'une force appliquée est aussi son travail sur le même intervalle de temps.

#### Théorème de l'énergie cinétique sur un intervalle de durée finie

$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$
$\;M\;$
$\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]\;$
$\;M\;$
$\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]\;$
$\;\sum \limits _{k}W_{{\text{sur}}\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\right]=\Delta K_{M}\;$
$\;\Delta K_{M}=K_{M}(t_{2})-K_{M}(t_{1})\;$
ce théorème est applicable en dynamique newtonienne et relativiste, la variation de l'énergie cinétique du point $\;M\;$ sur l'intervalle $\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ s'évaluant par différence d'énergie cinétique $\;K_{M}\;$ aux instants extrêmes et dans le même référentiel avec, pour expression à considérer, l'une des deux définitions équivalentes suivantes
* en dynamique newtonienne «$\;K_{M}(t)={\dfrac {{\vec {p}}_{\!M}^{2}(t)}{2\;m}}={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{\!M}^{2}(t)\;$» et
* en dynamique relativiste «$\;K_{M}(t)={\sqrt {m^{2}\;c^{4}+{\vec {p}}_{\!M}^{2}(t)\;c^{2}}}-m\;c^{2}=\left[\gamma _{M}(t)-1\right]m\;c^{2}\;$» où $\;\gamma _{M}(t)=$ ${\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M}^{2}(t)}{c^{2}}}}}}\;$ est le facteur de Lorentz de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$.

### Démonstration du théorème de l’énergie cinétique à partir du théorème de la puissance cinétique

Pour démontrer le théorème de l'énergie cinétique il suffit de partir du théorème de la puissance cinétique $\;{\big$applicable en dynamiques newtonienne et relativiste${\big )}\;$ à savoir «$\;\sum \limits _{k}{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]=$ ${\dfrac {dK_{M}}{dt}}(t)\;$» puis de multiplier chaque membre de ce théorème par $\;dt\;$ ce qui permet d'obtenir le théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire «$\;\sum \limits _{k}\delta W\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]=dK_{M}\;$» puis
d'intégrer chaque membre sur l'intervalle $\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]\;$ pour obtenir le théorème de l'énergie cinétique sur un intervalle de durée finie «$\;\sum \limits _{k}W_{{\text{sur}}\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\right]=\Delta K_{M}\;$» $\;{\big$revoir le paragraphe « recherche de la forme intégrée associée à la forme locale “théorème de la puissance cinétique” » plus haut dans ce chapitre${\big )}$.

### Conditions d’utilisation du théorème de l’énergie cinétique

Pour appliquer le théorème de l’énergie cinétique, il faut bien sûr que le référentiel soit galiléen puis,
après avoir défini le système $\;{\big$c.-à-d. le point matériel étudié${\big )}\;$ et précisé les forces appliquées sur un schéma,
on indique nettement l’état initial ainsi que l’état final d’application du théorème de l’énergie cinétique ;
on doit penser au théorème de l’énergie cinétique quand on cherche des liens entre vitesses et positions sans référence aux dates …

## Intégrale 1ère du mouvement correspondant au théorème de l’énergie cinétique appliqué entre un instant fixé et un instant quelconque

Si le théorème de l'énergie cinétique est appliqué à un point matériel $\;M\;$ dans un référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ entre un « état initial d'instant $\;t_{0}\;$» et un « état final d'instant $\;t\;$ quelconque », on obtient une « équation différentielle du 1er ordre en $\;{\overrightarrow {OM}}(t)$ » appelée « intégrale 1ère du mouvement du point »$^,$ ;
* en dynamique newtonienne elle peut s'écrire «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{\!M}^{2}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{0}^{2}+\sum \limits _{k}W_{{\text{sur}}\;\left[t_{0}\,,\,t\right]}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\right]\;$» où $\;{\vec {V}}_{0}={\vec {V}}_{M}(t_{0})\;$ et
* en dynamique relativiste elle peut s'écrire «$\;\left[\gamma _{M}(t)-1\right]m\;c^{2}=\left[\gamma _{M,\,0}-1\right]m\;c^{2}+\sum \limits _{k}W_{{\text{sur}}\;\left[t_{0}\,,\,t\right]}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\right]\;$» où $\;\gamma _{M,\,0}={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{0}^{2}}{c^{2}}}}}}\;$ est le facteur de Lorentz de l'état initial dans lequel $\;{\vec {V}}_{0}={\vec {V}}_{M}(t_{0})\;$ et $\;\gamma _{M}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M}^{2}(t)}{c^{2}}}}}}\;$ celui de l'état quelconque, intégrale 1ère du mouvement du point qui s'écrit, après simplification «$\;\gamma _{M}(t)=\gamma _{M,\,0}+{\dfrac {\sum \limits _{k}W_{{\text{sur}}\;\left[t_{0}\,,\,t\right]}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\right]}{m\;c^{2}}}\;$».
Remarque : Dans le cadre de la dynamique relativiste on utilise le plus souvent la 2ème définition équivalente de l'énergie cinétique du point et par suite Remarque : Dans le cadre de la dynamique relativiste l'intégrale 1ère du mouvement du point s'écrit «$\;{\sqrt {m^{2}\;c^{4}+{\vec {p}}_{\!M}^{2}(t)\;c^{2}}}-m\;c^{2}={\sqrt {m^{2}\;c^{4}+{\vec {p}}_{0}^{2}\;c^{2}}}-m\;c^{2}+\sum \limits _{k}W_{{\text{sur}}\;\left[t_{0}\,,\,t\right]}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\right]\;$» avec $\;{\vec {p}}_{0}={\vec {p}}_{M}(t_{0})\;$ ou, après simplification évidente, «$\;{\sqrt {m^{2}\;c^{4}+{\vec {p}}_{\!M}^{2}(t)\;c^{2}}}={\sqrt {m^{2}\;c^{4}+{\vec {p}}_{0}^{2}\;c^{2}}}+\sum \limits _{k}W_{{\text{sur}}\;\left[t_{0}\,,\,t\right]}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\right]\;$».

## En complément, « forme intégrée » associée à la forme locale « r.f.d. »
### Recherche de la forme intégrée associée à la forme locale « r.f.d. »

Partant de la r.f.d. appliquée dans un référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ au point matériel $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ sous la forme valide en dynamiques newtonienne et relativiste «$\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)=$ ${\dfrac {d{\vec {p}}_{M}}{dt}}(t)\;$»,
* on multiplie de part et d'autre par $\;dt\;$ d’où $\;\left[\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]dt={\dfrac {d{\vec {p}}_{M}}{dt}}(t)\;dt\;$ ou «$\;\sum \limits _{k}\left\lbrace \left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]dt\right\rbrace =d{\vec {p}}_{M}\;$» dans laquelle « chaque terme entre accolades du membre de gauche $\;\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]dt\;$ définit une grandeur élémentaire de force, appelée impulsion élémentaire de force et notée $\;\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {F}}\right]\;$» $\;{\big \$voir le paragraphe « impulsion élémentaire de force exercée par un système sur un point matériel » plus loin dans ce chapitre${\big \}$, soit «$\;\sum \limits _{k}\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]=d{\vec {p}}_{M}\;$» puis
* on intègre sur $\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]\;$ d'où $\;\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left\lbrace \sum \limits _{k}\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]\right\rbrace ={\vec {p}}_{M}(t_{2})-{\vec {p}}_{M}(t_{1})\;$ ou encore, l’intégrale d’une somme étant égale à la somme des intégrales «$\;\sum \limits _{k}\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]=$ ${\vec {p}}_{M}(t_{2})-{\vec {p}}_{M}(t_{1})\;$» dans laquelle « chaque terme de la somme discrète du membre de gauche $\;\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]=$ $\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]dt\;$ définit une grandeur de force sur l'intervalle de temps $\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]\;$ appelée impulsion de force sur cet intervalle de temps $\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]\;$ et notée $\;{\vec {I}}_{{\text{sur}}\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left[{\vec {F}}\right]\;$» $\;{\big \$voir le paragraphe « impulsion de force exercée par un système sur un point matériel pendant une durée finie » plus loin dans ce chapitre${\big \}$, permettant de réécrire la relation selon «$\;\sum \limits _{k}{\vec {I}}_{{\text{sur}}\,\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\right]={\vec {p}}_{M}(t_{2})-{\vec {p}}_{M}(t_{1})\;$» ;
ainsi, sous forme intégrée, les « causes de variation du vecteur quantité de mouvement d'un point sur l'intervalle $\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]\;$ » sont les « impulsions développées par les forces appliquées à ce point sur le même intervalle », ceci étant applicable en dynamiques newtonienne et relativiste.

### Notion d'impulsion de force
#### Impulsion élémentaire de force exercée par un système sur un point matériel

L'impulsion élémentaire de la force $\;{\vec {F}}_{M\leftarrow (\Sigma )}(t)\;$ que le système $\;(\Sigma )\;$ exerce sur le point $\;M\;$ pendant la durée élémentaire $\;dt\;$ à partir de l'instant $\;t\;$ L'impulsion élémentaire de la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{M\leftarrow (\Sigma )}(t)}\;$ est notée usuellement «$\;\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {F}}_{M\leftarrow (\Sigma )}(t)\right]\;$» et L'impulsion élémentaire de la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{M\leftarrow (\Sigma )}(t)}\;$ est définie selon «$\;\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {F}}_{M\leftarrow (\Sigma )}(t)\right]={\vec {F}}_{M\leftarrow (\Sigma )}(t)\;dt\;$», « l'unité d'impulsion étant le $\;N\cdot s\;$ ou encore le $\;kg\cdot m\cdot s^{-1}$».
Propriété : « Si la force $\;{\vec {F}}_{M\leftarrow (\Sigma )}(t)\;$ est de norme finie », « son impulsion élémentaire $\;\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {F}}_{M\leftarrow (\Sigma )}(t)\right]\rightarrow {\vec {0}}\;$ quand $\;dt\rightarrow 0\;$» d'où la propriété suivante
Propriété : « à l'ordre 0 en$\;dt$, les impulsions élémentaires des forces de norme finie sont nulles ».

#### Impulsion de force exercée par un système sur un point matériel pendant une durée finie

L'impulsion de la force $\;{\vec {F}}_{M\leftarrow (\Sigma )}(t)\;$ que le système $\;(\Sigma )\;$ exerce sur le point $\;M\;$ pendant la durée de l'intervalle de temps $\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]\;$ L'impulsion de la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{M\leftarrow (\Sigma )}(t)}\;$ est notée usuellement «$\;{\vec {I}}_{{\text{sur}}\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left[{\vec {F}}_{M\leftarrow (\Sigma )}(t)\right]\;$» ${\Big \$ou, avec $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ les positions de $\;M\;$ aux instants respectifs $\;t_{1}\;$ et $\;t_{2}\;$ sur sa trajectoire $\;\left(\Gamma \right)$, L'impulsion de la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{M\leftarrow (\Sigma )}(t)}\;$ est notée usuellement «$\;{\vec {I}}_{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}\!\left[{\vec {F}}_{M\leftarrow (\Sigma )}(t)\right]\;$»${\Big \}$ et L'impulsion de la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{M\leftarrow (\Sigma )}(t)}\;$ est définie selon «$\;{\vec {I}}_{{\text{sur}}\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left[{\vec {F}}_{M\leftarrow (\Sigma )}(t)\right]=\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\vec {F}}_{M\leftarrow (\Sigma )}(t)\;dt\;$» $\;{\bigg \$ou «$\;{\vec {I}}_{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}\!\left[{\vec {F}}_{M\leftarrow (\Sigma )}(t)\right]=\displaystyle \int _{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}{\vec {F}}_{M\leftarrow (\Sigma )}(t)\;dt\;$»$^,$${\bigg \}$.
Propriété : « Si la force $\;{\vec {F}}_{M\leftarrow (\Sigma )}(t)\;$ reste de norme finie sur l'intervalle $\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]\;$» ${\big$la force pouvant y être continue ou discontinue de 1ère espèce${\big ]}$, Propriété : « Si la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{M\leftarrow (\Sigma )}(t)}\;$ reste de norme finie sur l'intervalle $\;\color {transparent}{\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\;$» « son impulsion sur cet intervalle $\;{\vec {I}}_{{\text{sur}}\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left[{\vec {F}}_{M\leftarrow (\Sigma )}(t)\right]\;$ est également de norme finie ».

#### Modélisation d’une force de collision et conséquence sur son impulsion élémentaire

Lorsqu'un point $\;M\;$ subit une collision à un instant $\;t_{0}\;$ avec un support solide $\;(\Sigma )$, on dit que $\;(\Sigma )\;$ exerce sur $\;M\;$ une force « de collision » $\;{\vec {F}}_{{\text{choc réel}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\;$ s'identifiant à Lorsqu'un point $\;\color {transparent}{M}\;$ subit une collision à un instant $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$ $\succ \;$une force « nulle hors durée $\;\delta t\;$ de la collision » $\;{\big$durée toujours très courte${\big )}\;$ et Lorsqu'un point $\;\color {transparent}{M}\;$ subit une collision à un instant $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$ $\succ \;$une force « de direction fixée et de norme très grande pendant la très courte durée $\;\delta t\;$ de la collision » ;
Lorsqu'un point $\;\color {transparent}{M}\;$ subit une collision à un instant $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$ la grandeur utile ici étant « l'impulsion de la force de collision$\;{\vec {F}}_{{\text{choc réel}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)=F_{{\text{choc réel}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\;{\vec {u}}\;$ Lorsqu'un point $\;\color {transparent}{M}\;$ subit une collision à un instant $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$ la grandeur utile ici étant « l'impulsion de la force de collision que $\;(\Sigma )\;$ exerce sur $\;M\;$ pendant la durée de la collision » définie selon Lorsqu'un point $\;\color {transparent}{M}\;$ subit une collision à un instant $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$ la grandeur utile ici étant «$\;{\vec {I}}_{{\text{sur}}\;\left[t_{0}\,,\,t_{0}+\delta t\right]}\!\left[{\vec {F}}_{{\text{choc réel}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\right]=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{0}+\delta t}{\vec {F}}_{{\text{choc réel}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\;dt$ Lorsqu'un point $\;\color {transparent}{M}\;$ subit une collision à un instant $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$ la grandeur utile ici étant «$\;\color {transparent}{{\vec {I}}_{{\text{sur}}\;\left[t_{0}\,,\,t_{0}+\delta t\right]}\!\left[{\vec {F}}_{{\text{choc réel}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\right]}$ $=\left[\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{0}+\delta t}F_{{\text{choc réel}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\;dt\right]{\vec {u}}\;$» et notée plus simplement Lorsqu'un point $\;\color {transparent}{M}\;$ subit une collision à un instant $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$ la grandeur utile ici étant «$\;{\vec {I}}_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t_{0})\;$» $\;=I_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t_{0})\;{\vec {u}}\;$ avec Lorsqu'un point $\;\color {transparent}{M}\;$ subit une collision à un instant $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$ la grandeur utile ici étant «$\;\color {transparent}{{\vec {I}}_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t_{0})}\;$» $\;\color {transparent}{=}$ $\;I_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t_{0})=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{0}+\delta t}F_{{\text{choc réel}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\;dt\;$ c.-à-d. égale à Lorsqu'un point $\;\color {transparent}{M}\;$ subit une collision à un instant $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$ la grandeur utile ici étant «$\;\color {transparent}{{\vec {I}}_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t_{0})}\;$» $\;\color {transparent}{=}$ l'aire de la surface sous le pic du graphe de$\;F_{{\text{choc réel}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\;$ en fonction de $\;t$ ;
Lorsqu'un point $\;\color {transparent}{M}\;$ subit une collision à un instant $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$ la durée $\;\delta t\;$ étant très petite simultanément à la norme de $\;F_{{\text{choc réel}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\;$ très grande pendant la collision et Lorsqu'un point $\;\color {transparent}{M}\;$ subit une collision à un instant $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$ compte-tenu de la signification géométrique de $\;I_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t_{0})\;$, Lorsqu'un point $\;\color {transparent}{M}\;$ subit une collision à un instant $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$ on peut modéliser la force réelle de collision «$\;{\vec {F}}_{{\text{choc réel}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)=F_{{\text{choc réel}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\;{\vec {u}}\;$» Lorsqu'un point $\;\color {transparent}{M}\;$ subit une collision à un instant $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$ on peut modéliser en utilisant le « pic de Dirac d'impulsion unité centré à l'instant $\;t_{0}\;$ à savoir $\;\delta (t-t_{0})\;$» conduisant à la Lorsqu'un point $\;\color {transparent}{M}\;$ subit une collision à un instant $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$ on peut modélisation de la force de collision en «$\;{\vec {F}}_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)=F_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\;{\vec {u}}\;$» avec Lorsqu'un point $\;\color {transparent}{M}\;$ subit une collision à un instant $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$ on peut modélisation de la force de collision en «$\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)}$ «$\;F_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)=I_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t_{0})\;\delta (t-t_{0})\;$» $\Rightarrow$ Lorsqu'un point $\;\color {transparent}{M}\;$ subit une collision à un instant $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$ on peut modélisation en utilisant la propriété du pic de Dirac d'impulsion unité «$\;\displaystyle \int _{t_{0}^{-}}^{t_{0}^{+}}\delta (t-t_{0})\;dt=1\;$»$^,$ on vérifie aisément Lorsqu'un point $\;\color {transparent}{M}\;$ subit une collision à un instant $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$ on peut modélisation «$\;\displaystyle \int _{t_{0}^{-}}^{t_{0}^{+}}F_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\;dt=\displaystyle \int _{t_{0}^{-}}^{t_{0}^{+}}I_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t_{0})\;\delta (t-t_{0})\;dt\;$ Lorsqu'un point $\;\color {transparent}{M}\;$ subit une collision à un instant $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$ on peut modélisation «$\;\color {transparent}{\displaystyle \int _{t_{0}^{-}}^{t_{0}^{+}}F_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\;dt}\;$ $=I_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t_{0})\left[\displaystyle \int _{t_{0}^{-}}^{t_{0}^{+}}\delta (t-t_{0})\;dt\right]\;$ Lorsqu'un point $\;\color {transparent}{M}\;$ subit une collision à un instant $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$ on peut modélisation «$\;\color {transparent}{\displaystyle \int _{t_{0}^{-}}^{t_{0}^{+}}F_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\;dt}\;$ $=I_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t_{0})\;$» ce qui est en accord avec la signification de $\;I_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t_{0})$.
Conclusion : « une force de collision étant modélisée en utilisant un pic de Dirac d'impulsion unité, est discontinue de 2ème espèce$^,$ »,
Conclusion : « son impulsion sur n'importe quel intervalle de temps englobant l'instant de collision est une constante $\;I_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t_{0})\neq 0\;$», Conclusion : son impulsion sur n'importe quel intervalle de temps englobant l'instant de collision c'est aussi son impulsion sur la durée élémentaire$\;\delta t\;$de collision, Conclusion : son impulsion sur n'importe quel intervalle de temps englobant l'instant de collision c'est aussi valeur non nulle à l'ordre zéro en l'infiniment petit $\;\delta t$ ;
Conclusion : contrairement aux forces hors collision $\;{\big$continues ou discontinues de 1ère espèce${\big )}\;$ dont les impulsions élémentaires sont nulles à l'ordre zéro en l'infiniment petit de durée élémentaire, Conclusion : contrairement les forces de collisions $\;{\big$discontinues de 2ème espèce$^,$ en l'instant de collision${\big )}\;$ sont telles que leur impulsion sur la durée élémentaire$\;{\big$de collision${\big )}\;$ est non nulle à l'ordre zéro en cette durée élémentaire et ce sont les seules.

### Énoncé des théorèmes de l'impulsion (ou r.f.d. sous forme intégrée)
#### Théorème de l'impulsion sous forme élémentaire

Dans un référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$, la variation élémentaire de quantité de mouvement d’un point matériel $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ est égale à la somme des impulsions élémentaires des forces appliquées au point $\;M\;$ au même instant $\;t\;$ et pendant la même durée élémentaire $\;\delta t\;$ soit «$\;\sum \limits _{k}\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]=d{\vec {p}}_{M}\;$» ;
ce théorème est applicable en dynamique newtonienne et relativiste, la variation élémentaire de la quantité de mouvement du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ s'évaluant par différenciation de sa quantité de mouvement $\;{\vec {p}}_{M}(t)\;$ au même instant et dans le même référentiel avec, pour expression à considérer, la définition suivante dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$
* en dynamique newtonienne «$\;{\vec {p}}_{M}(t)=m\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$» et
* en dynamique relativiste «$\;{\vec {p}}_{M}(t)=\gamma _{M}(t)\;m\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$» avec $\;\gamma _{M}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M}^{2}(t)}{c^{2}}}}}}\;$ le facteur de Lorentz de $\;M\;$ à l'instant $\;t$.
Remarque : Le théorème de l'impulsion sous forme élémentaire est considéré comme une forme intégrée associée à la forme locale « r.f.d. » bien qu'il n'y ait pas de phase d'intégration car Remarque : Le théorème de l'impulsion sous forme élémentaire la variation élémentaire de la quantité de mouvement évaluée à partir de l'instant $\;t\;$ est sa variation sur l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$ et Remarque : Le théorème de l'impulsion sous forme élémentaire l'impulsion élémentaire d'une force appliquée est aussi son impulsion sur le même intervalle de temps.

##### Application en absence de forces de collision et conséquence

En absence de forces de collision, toutes les forces appliquées à l'instant $\;t\;$ au point $\;M\;$ sont continues ou discontinues de 1ère espèce et En absence de forces de collision, leurs impulsions élémentaires sont toutes nulles à l'ordre zéro en la durée élémentaire $\;\delta t\;$ considérée à partir de l'instant $\;t\;$ d'où En absence de forces de collision, «$\;\sum \limits _{k}\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]\simeq 0\;$ à l'ordre zéro en $\;\delta t\;$» $\;{\big$valable de dynamique newtonienne ou relativiste${\big )}\;$ et En absence de forces de collision, par application du théorème de l'impulsion sous forme élémentaire $\Rightarrow$ «$\;d{\vec {p}}_{M}\simeq 0\;$ à l'ordre zéro en $\;\delta t\;$» $\;{\big$en dynamique newtonienne ou relativiste${\big )}\;$ soit En absence de forces de collision, par application du théorème de l'impulsion sous forme élémentaire $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;{\vec {p}}_{M}(t+\delta t)\simeq {\vec {p}}_{M}(t)\;$ à l'ordre zéro en $\;\delta t\;$» c.-à-d. finalement En absence de forces de collision, par application du théorème de l'impulsion sous forme élémentaire $\color {transparent}{\Rightarrow }$ la continuité de la quantité de mouvement$\;{\vec {p}}_{M}(t)\;$pour tout$\;t\;$hors collision$^,$, En absence de forces de collision, par application du théorème de l'impulsion sous forme élémentaire $\color {transparent}{\Rightarrow }$ la continuité de la vitesse$\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$en tout instant hors collision$^,$ et par suite En absence de forces de collision, par application du théorème de l'impulsion sous forme élémentaire $\color {transparent}{\Rightarrow }$ la continuité de la position$\;M\;$pour tout$\;t\;$hors collision.

##### Application en présence d'une force de collision et conséquence

En présence d'une force de collision $\;{\vec {F}}_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\;$ discontinue de 2ème espèce à l'instant $\;t_{0}\;$$^,$ En présence d'une force de collision $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)}\;$ dont l'impulsion sur la durée élémentaire $\;\delta t\;$ de collision est «$\;{\vec {I}}_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t_{0})\;$ non nulle à l'ordre zéro en la durée élémentaire $\;\delta t\;$» En présence d'une force de collision $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)}\;$ et, sachant que les autres forces appliquées à l'instant $\;t_{0}\;$ au point $\;M\;$ étant continues ou discontinues de 1ère espèce en cet instant, En présence d'une force de collision $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)}\;$ et, sachant que leurs impulsions élémentaires sont toutes nulles à l'ordre zéro en la durée élémentaire $\;\delta t\;$ à partir de l'instant $\;t_{0}$, En présence d'une force de collision $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)}\;$ on en déduit que la somme des impulsions élémentaires de toutes les forces appliquées y compris la force de collision est égale à En présence d'une force de collision $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)}\;$ on en déduit que «$\;{\vec {I}}_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t_{0})\;$ non nulle à l'ordre zéro en $\;\delta t\;$» $\;{\big$valable de dynamique newtonienne ou relativiste${\big )}$, soit En présence d'une force de collision $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)}\;$ on en déduit que «$\;\sum \limits _{k}\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]\simeq {\vec {I}}_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t_{0})\;$ à l'ordre zéro en $\;\delta t\;$» et par application du En présence d'une force de collision $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)}\;$ théorème de l'impulsion sous forme élémentaire $\Rightarrow$ «$\;d{\vec {p}}_{M}\simeq {\vec {I}}_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t_{0})\;$ à l'ordre zéro en $\;\delta t\;$» soit encore En présence d'une force de collision $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)}\;$ théorème de l'impulsion sous forme élémentaire $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;{\vec {p}}_{M}(t+\delta t)-{\vec {p}}_{M}(t)\simeq {\vec {I}}_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t_{0})\;$ à l'ordre zéro en $\;\delta t\;$» c.-à-d. En présence d'une force de collision $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)}\;$ théorème de l'impulsion sous forme élémentaire $\color {transparent}{\Rightarrow }$ une discontinuité de la quantité de mouvement$\;{\vec {p}}_{M}(t)\;$à l'instant de collision$^,$ En présence d'une force de collision $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)}\;$ théorème de l'impulsion sous forme élémentaire $\color {transparent}{\Rightarrow }$ plus précisément «$\;{\vec {p}}_{M}(t_{0}^{+})-{\vec {p}}_{M}(t_{0}^{-})={\vec {I}}_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t_{0})\;$» ainsi que En présence d'une force de collision $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)}\;$ théorème de l'impulsion sous forme élémentaire $\color {transparent}{\Rightarrow }$ la discontinuité de 1ère espèce de la vitesse$\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$à l'instant de collision$^,$ et En présence d'une force de collision $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)}\;$ théorème de l'impulsion sous forme élémentaire $\color {transparent}{\Rightarrow }$ la continuité de la position$\;M\;$à l'instant de collision.

#### Théorème de l'impulsion sur une durée finie

$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$
$\;M\;$
$\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]\;$
$\;M\;$
$\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]\;$
$\;\sum \limits _{k}{\vec {I}}_{{\text{sur}}\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]=\Delta {\vec {p}}_{M}\;$
$\;\Delta {\vec {p}}_{M}={\vec {p}}_{M}(t_{2})-{\vec {p}}_{M}(t_{1})\;$
ce théorème est applicable en dynamique newtonienne et relativiste, la variation de la quantité de mouvement du point $\;M\;$ sur l'intervalle $\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ s'évaluant par différence de sa quantité de mouvement $\;{\vec {p}}_{M}(t)\;$ aux instants extrêmes et dans le même référentiel avec, pour expression à considérer, la définition suivante
* en dynamique newtonienne «$\;{\vec {p}}_{M}(t)=m\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$» et
* en dynamique relativiste «$\;{\vec {p}}_{M}(t)=\gamma _{M}(t)\;m\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$» avec $\;\gamma _{M}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M}^{2}(t)}{c^{2}}}}}}\;$ le facteur de Lorentz de $\;M\;$ à l'instant $\;t$.

### Discontinuité de la puissance d'une force de collision

Ayant modélisé la force de collision que $\;(\Sigma )\;$ exerce sur $\;M\;$ à l'instant $\;t_{0}\;$ de collision selon $\;{\vec {F}}_{{\text{collision}}\;M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)={\vec {I}}_{{\text{collision}}\;M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t_{0})\;\delta (t-t_{0})\;$ c.-à-d. Ayant modélisé la force de collision que $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ exerce sur $\;\color {transparent}{M}\;$ à l'instant $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$ de collision selon une force discontinue de 2ème espèce à l'instant $\;t_{0}\;$ et
Ayant établi, par application du théorème de l'impulsion sous forme élémentaire au point $\;M\;$, la discontinuité de 1ère espèce de la quantité de mouvement de $\;M\;$ à l'instant $\;t_{0}\;$ et par suite Ayant établi, par application du théorème de l'impulsion sous forme élémentaire au point $\;\color {transparent}{M}\;$, la discontinuité de 1ère celle de la vitesse de $\;M\;$ au même instant $\;t_{0}\;$,
on observe, à partir de la définition de la puissance de la force de collision «$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{{\text{collision}}\;M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\right]={\vec {F}}_{{\text{collision}}\;M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\cdot {\vec {V}}_{M}(t)\;$» ou encore, en supposant que la direction et le sens de la force de collision est identique à la direction et le sens du mouvement du point, «$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{{\text{collision}}\;M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\right]=I_{{\text{collision}}\;M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t_{0})\;\delta (t-t_{0})\;V_{M}(t)\;$», la propriété suivante
on observe la puissance de la force de collision est discontinue de 2ème espèce car elle est le produit d'un facteur discontinu de 2ème espèce et d'un facteur discontinu de 1ère espèce.