# Fonction logarithme/Dérivée de ln(u)
## Exemple

On considère des fonctions de la forme : $\ln(u)$ où $u$ est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle $I$.
Par exemple, la fonction $f$ définie par : $f(x)=\ln(2x+1)\quad \forall x\in I$, est la fonction composée :
* de la fonction affine $u$ définie par : $u(x)=2x+1\quad \forall x\in I$
* de la fonction logarithme népérien.
Or, la fonction $\ln$ n'est définie que sur $\left]0,+\infty \right[$.
Pour que $f$ soit définie en $x\in \mathbb {R}$, il faut et il suffit que $u(x)>0$, c'est-à-dire $x>-{\frac {1}{2}}$.
Le domaine de définition de $f$ est alors $I=\left]-{\frac {1}{2}},+\infty \right[$.
Pour calculer $f'$, on utilise la formule : $f'(x)=a\cdot f'(ax+b)\quad \forall x\in I$
En reprenant l'exemple ci-dessus, l’expression de la dérivée de $f$ est la suivante : $f'(x)={\frac {2}{2x+1}}\quad \forall x\in I$
Ici, $u'(x)=a$. On généralise ce procédé dans le cas où $u$ n’est pas forcément une fonction affine :
Soit une fonction $f$ définie sur un domaine $I$ par l'expression : $f(x)=\ln(u(x))\quad \forall x\in I$
où $u$ est dérivable et strictement positive sur $I$. Alors $f$ est dérivable sur $I$ et sa dérivée est la dérivée logarithmique de $u$, c'est-à-dire : $f'={\frac {u'}{u}}$.
La dérivée logarithmique, bien que reliée à la fonction logarithme par ce théorème qui justifie son appellation, est définie indépendamment, et ses propriétés algébriques se déduisent directement de celles de la dérivation :
Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables et non nulles sur un intervalle $I$.
La dérivée logarithmique du produit de ces deux fonctions est égale à la somme de leurs dérivées logarithmiques respectives.
La dérivée logarithmique du quotient de ces deux fonctions est égale à la différence de leurs dérivées logarithmiques respectives.
* ${\frac {(uv)'}{uv}}={\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}$
* ${\frac {(u/v)'}{u/v}}={\frac {u'}{u}}-{\frac {v'}{v}}$.

## Exercices

Sans se préoccuper du domaine $I$, dériver les fonctions $f$ suivantes :
1. $f(x)=\ln(x^{2}+1)$
   * $u(x)=\ldots$
   * $u'(x)=\ldots$
   * $f'(x)=\ldots$
2. $f(x)=\ln(2x^{3}+1)$
3. $f(x)=\ln(x^{2}+2x+1)$
4. $f(x)=\ln \left|{\frac {x+2}{4x-2}}\right|$
5. $f(x)=-3\ln(5x^{2}+3)$
6. $f(x)=-3x\cdot \ln(5x^{2}+3)$
1. $f(x)=\ln(x^{2}+1)$
* $u(x)=x^{2}+1$
* $u'(x)=2x$
* $f'(x)={\frac {2x}{x^{2}+1}}$
2. $f(x)=\ln(2x^{3}+1)$
* $u(x)=2x^{3}+1$
* $u'(x)=6x^{2}$
* $f'(x)={\frac {6x^{2}}{2x^{3}+1}}$
3. $f(x)=\ln(x^{2}+2x+1)$
$u(x)=x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}=|v(x)|^{2}$ donc $f'=2{\frac {v'}{v}}$
* $v(x)=x+1$
* $v'(x)=1$
* $f'(x)={\frac {2}{x+1}}$
4. $\ln \left|{\frac {x+2}{4x-2}}\right|$
$u(x)={\frac {x+2}{4x-2}}={\frac {v(x)}{w(x)}}$ donc $f'={\frac {v'}{v}}-{\frac {w'}{w}}$
* $v(x)=x+2$
* $v'(x)=1$
* $w(x)=4x-2$
* $w'(x)=4$
${\begin{aligned}f'(x)&={\frac {v'(x)}{v(x)}}-{\frac {w'(x)}{w(x)}}\\&={\frac {1}{x+2}}-{\frac {4}{4x-2}}\\&={\frac {(4x-2)-4(x+2)}{(4x-2)(x+2)}}\\&={\frac {-10}{(4x-2)(x+2)}}.\end{aligned}}$
5. $f(x)=-3\ln(5x^{2}+3)$
* $u(x)=5x^{2}+3$
* $u'(x)=10x$
* $f'(x)={\frac {-30x}{5x^{2}+3}}$
6. $f(x)=-3x\cdot \ln(5x^{2}+3)=u(x)\cdot v(x)$
${\begin{aligned}f'(x)&=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\\&=-3\ln(5x^{2}+3)-{\frac {30x^{2}}{5x^{2}+3}}\end{aligned}}$
La dérivée logarithmique d'un produit est la somme des dérivées logarithmiques des facteurs, et l'on a des règles analogues pour un quotient ou une puissance.
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