# Initiation à l'élasticité/Élasticité linéaire
## Introduction

Le but de ce chapitre est pour une pièce sollicitée dont on connait :
* Les conditions limites,
* La géométrie,
* Le matériau.
Déterminer ${\tilde {\sigma }},{\tilde {\epsilon }},{\vec {n}}\,$ en tout point de la pièce.

## Nécessité d'une loi de comportement

les inconnues sont les suivantes :
* ${\tilde {\sigma }}_{s}ym\rightarrow 6inconnues\,$
* ${\tilde {\sigma }}_{s}ym\rightarrow 6inconnues\,$
* ${\tilde {\omega }}\rightarrow 3inconnues\,$
les équations sont les suivantes:
* ${\tilde {\epsilon }}=({1 \over 2}(grad{\vec {n}}+{grad}^{T}{\vec {n}})\rightarrow 6equations\,$
* $PFS:div({\tilde {\sigma }})=0\rightarrow 3equations\,$
Il manque 6 équations, il faudrait une relation entre ${\tilde {\sigma }}$ et ${\tilde {\epsilon }}$. Cette relation s’appelle la loi de comportement et elle est fonction du matériau.

## Modélisation de la loi de comportement

Modélisation :
* Expérimentale
* Analyse théorique

### Expérience : éprouvette en traction

On trace
${\tilde {\sigma }}={\begin{pmatrix}\sigma &0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$ ${\begin{matrix}\sigma ={F \over S}\\\epsilon ={{L-L_{0}} \over L_{0}}\end{matrix}}$ Traction seule jusqu'à rupture :
Cycle charge / décharge :
On définit plusieurs zones :
* Zone 0A : partie linéaire, zone élastique.
** le retour suit le même chemin que le chargement,
** c’est un phénomène réversible,
** pour un métal on parle d'élasticité linéaire,
** limite au point A :
*** $\sigma _{E}=$ limite élasticité
*** $\sigma _{P}=$ limite proportion
*** $\sigma _{y}=$ yield stress
Dans ce cours on suppose que le matériau est élastique linéaire si $\sigma >\sigma _{E}$ , les hypothèses ne sont plus vérifiées.
* Zone AB :
** zone plastique
** phénomène irréversible
** AB: fluage : déformation à $\sigma$ constante (liquides); on parle d'écoulement plastique.
* Zone BC: écrouissage: ${F_{M}}^{2}>\sigma _{E}$, la limite élastique a augmenté.
* Zone CD : rupture.
Les propriétés plastiques sont modélisables. On peut utiliser ces modélisations dans le domaine nucléaire et pour l'aéronautique spatiale et civile. On définit les coefficients de sécurité $\sigma <{\sigma \over k}$
* $k=1:\sigma <\sigma _{E}\,$
* $k=2:\sigma <{{\sigma _{E}} \over 2}$
* $k=0,8:$ plasticité ($\sigma <{\sigma _{E} \over 0,8}\sim \sigma >\sigma _{E}$ donc plastique)

## III. Élasticité classique

La loi de comportement évoquée ici est la plus simple et la plus utilisée.

### 1) Hypothèses

* Homogénéité : La loi de comportement est la même en tout point du volume.
* Isotrope : La loi de comportement est la même dans toutes les directions en un point donné.
* Elasticité : Un milieu est dit élastique s'il existe un état du système dit état neutre pour lequel ${\tilde {\sigma }}={\tilde {0}}\,$ en tout point et si le tenseur ${\tilde {\sigma }}$ est une fonction bijective du tenseur ${\tilde {\epsilon }}:\rightarrow bijective\,$ : si ${\tilde {\sigma }}={\vec {f}}({\tilde {\epsilon }})$ alors
État neutre: ${\tilde {\sigma }}={\tilde {0}}\forall M\in V$

### 2) Loi de Hooke

Équation de l'élasticité classique/linéaire :
${\begin{matrix}{\tilde {\sigma }}={\lambda }tr({\tilde {\epsilon }}){\tilde {I}}-2G{\tilde {\epsilon }}\\{\tilde {\epsilon }}={{1+U} \over E}{\tilde {\sigma }}-{U \over E}tr({\tilde {\sigma }}){\tilde {I}}\end{matrix}}$
On veut une équation linéaire entre ${\tilde {\sigma }}$ et ${\tilde {\epsilon }}$, on écrit:
${\tilde {\sigma }}=A{\tilde {\epsilon }}+B$
On simplifie pour arriver à la loi de Hooke : si ${\tilde {\sigma }}=0,{\tilde {\epsilon }}=0\Rightarrow B=0+symetrie;isotropie\rightarrow loideHooke\,$
$\Rightarrow \lambda ,\nu ,G,E\,$ ; coefficient de Lamé (constantes du matériau)
Avec:
* $\lambda \,$ : coefficient de Lamé (Pa)
* $\nu \,$ : coefficient de Poisson
* $G\,$ : appelé aussi $\mu \,$, module de cisaillement ou de glissement (Pa)
* $E\,$ : module de Young (Pa)

## IV. Conséquences sur les hypothèses d'élasticité classique
### 1) Directions principales de ${\tilde {\sigma }}$ et de ${\tilde {\epsilon }}$

Comme le milieu (le matériau) est isotrope on peut montrer que les directions principales de ${\tilde {\sigma }}$ et de ${\tilde {\epsilon }}$ sont les mêmes en particulier pour un matériau élastique linéaire.
* ${\tilde {\sigma }}=Atr({\tilde {\epsilon }})+B{\tilde {\epsilon }}$
* ${\tilde {\epsilon }}=Ctr({\tilde {\sigma }}){\tilde {I}}+D{\tilde {\sigma }}$
si ${\tilde {\sigma }}$ est diagonal alors ${\tilde {\epsilon }}$ l'est aussi.

### 2)Principe de superposition

Quand une loi de comportement est linéaire, le principe de superposition s'applique
* Soit un volume V, sollicité par des efforts, et on a ${{\tilde {\sigma }}_{M}}^{1}$ et ${{\tilde {\epsilon }}_{M}}^{1}$ en tout M de V.
* Soit le même volume, sollicité par d'autres efforts on a ${{\tilde {\sigma }}_{M}}^{2}$ et ${{\tilde {\epsilon }}_{M}}^{2}$.
Si on applique $aS^{1}+bS^{2}\,$, où a, b sont des constantes, sur le volume V, alors la linéarité de la loi de comportement dit que:
${\begin{matrix}{\tilde {\sigma }}=a{\tilde {\sigma }}^{1}+b{\tilde {\sigma }}^{2}\\{\tilde {\epsilon }}=a{\tilde {\epsilon }}^{1}+b{\tilde {\epsilon }}^{2}\end{matrix}}\,$ Exemple : si on connait ${\tilde {\sigma }}$ et ${\tilde {\epsilon }}$ en tout point de V on a :
${\tilde {\sigma }}={\begin{pmatrix}0&0\\0&T\end{pmatrix}}\Rightarrow$ Si on multiplie la sollicitation par K (constante) on a
${\tilde {\sigma }}=K.{\begin{pmatrix}0&0\\0&T\end{pmatrix}}$
Pour les calculs en éléments finis on applique des sollicitations telles que $||{\vec {F}}||=1\,$ si possible.

## IV. Résolution d’un problème en élasticité linéaire

On connait :
* la géométrie de la pièce : $({\vec {V}},s,{\vec {n}})\ ;$
* Le matériau : LDC élasticité $\rightarrow \lambda ,G,E,U\,$
* Les conditions limites : les $\sigma \,$ appliquées par l’extérieur sur la pièce et les déplacements imposés (équation).
* La force de volume.
En théorie on peut résoudre le problème, c'est-à-dire trouver ${\tilde {\sigma }},{\tilde {\epsilon }}et{\vec {n}}\,$ en tout point M de V. En pratique il faut trouver la solution d’un équation différentielle qui a peu de solutions analytiques.
On dispose d’outils numériques pour résoudre (éléments finis). Parfois les solutions sont très longues à obtenir.
Il faut analyser le problème pour essayer de trouver une simplification.

### 1. Analyse de la géométrie
#### Choix du repère

Le choix du repère influe sur les calculs.
Il faut orienter les axes de manière à ce qu’ils soient parallèles aux faces extérieures et / ou aux sollicitations.
Il faut adapter le type de repère à la géométrie :
* géométrie cylindrique : repère cylindrique.
* géométrie sphérique : repère sphérique.

#### Axes de symétrie (éléments finis)

S’il existe des axes de symétrie dans la pièce on peut réduire le volume sur lequel on fait le calcul.
On réduit comme cela les temps de calcul.
Conditions limites sur les axes de symétrie :
* ${\vec {u}}={\begin{matrix}u_{x}=0\\u_{y}=?\\u_{z}=?\end{matrix}}$
* ${\vec {u}}={\begin{matrix}u_{x}=?\\u_{y}=0\\u_{z}=?\end{matrix}}$

#### Réduction de l’espace

* en 3d :
${\tilde {\sigma }}\rightarrow {\begin{pmatrix}x&x&x\\\vdots &x&x\\\cdots &\ddots &x\end{pmatrix}}$
${\tilde {\epsilon }}\rightarrow {\begin{pmatrix}x&x&x\\\vdots &x&x\\\cdots &\ddots &x\end{pmatrix}}$
${\vec {u}}\rightarrow {\begin{vmatrix}x\\x\\x\end{vmatrix}}\,$

##### Problème à 1 dimension : poutre en traction

Où ${\vec {T}}\,$ est l’effort. ${\tilde {\sigma }}={\begin{pmatrix}{T \over S}&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\rightarrow 10:\sigma ={T \over S}$ ${\tilde {\epsilon }}={\begin{pmatrix}{T \over {ES}}&0&0\\0&-{T\mu \over ES}&0\\0&0&-{T\mu \over ES}\end{pmatrix}}\rightarrow LDC:\sigma =E.\epsilon \,$
LDC: Loi de Hooke: $\sigma =E.\mathrm {E} \,$
En réalité les problèmes à une dimension n'existent pas, mais pour les poutres on ne s'occupe pas de $\mathrm {E} _{yy}\,$ et de $\mathrm {E} _{zz}\,$
L'allongement
${\partial U_{x} \over \partial x}={T \over ES};U_{x}={T \over ES}.x+K$
et $K=0carU_{x}(0)=0\,$
$U_{x}(L)={T \over ES}.L,{\begin{Bmatrix}\\\epsilon ={\delta L \over L}\end{Bmatrix}}\,$

##### Problème en 2 dimensions : Cas des plaques et des coques

On est dans le cas d'un volume plan tel qu'une des dimensions est largement inférieure aux autres dimensions.
Simplifications possibles
* Les plaques ne sont pas sollicitées dans la direction des épaisseurs
${\tilde {\sigma }}={\begin{pmatrix}\alpha &\alpha &0\\\alpha &\alpha &0\\\alpha &\alpha &0\end{pmatrix}}$
$<{\tilde {\sigma }}\rightarrow plan\,$ Une plaque est un état plan de contraintes.
* Les plaques sont localement des états plans de contraintes :

#### État plan de contraintes

Un état plan de déformations est défini comme ceci : ${\tilde {\epsilon }}={\begin{pmatrix}\alpha &\alpha &0\\\alpha &\alpha &0\\0&0&0\end{pmatrix}}$ Dans ce cas là on a une déformation plane en (x, y, z) et ${\tilde {\epsilon }}$ a une valeur nulle. Il y a une partie du système qui est bloquée en déplacement dans une direction sur une section.
Exemple
Il n’y a pas de déplacement suivant ${\vec {z}}\,$ , les déplacements suivant (x, y ) sont indépendants de ${\vec {z}}\,$
On étudie le problème sur une des sections de la 3D, c’est donc une étude en 2D.

##### Exemples

Cylindre plein en compression :
Caractéristiques du cylindre :
* Rayon R
* Hauteur L
* Pas de frottement entre le cylindre et les plaques
* Cylindre composé d’un matériau élastique de caractéristiques$E,V,\lambda ,etG\,$
On veut trouver ${\tilde {\sigma }},{\tilde {\epsilon }}et{\vec {u}}$ du cylindre.
* Définition de V : 3 surfaces
* Étude géométrique :
** des sollicitations : ${\vec {F}}$ dans l’axe du cylindre
** de V : cylindre.
On a donc une géométrie cylindrique avec axe de symétrie de révolution. On fait donc le choix d’un repère cylindrique.
Conditions limites :
* Face r = R.
** ${\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$
** ${\vec {C}}={\vec {0}}$
* Face y = 0 (cartésien)
** ${\vec {x}}={\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}}\,$
** ${\vec {u}}={\begin{pmatrix}u_{x}=?\\u_{0}=0\\u_{2}=0\end{pmatrix}}$
* Face ${\begin{matrix}y=L\\z=L\end{matrix}}$
** ${\vec {x}}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}$ , ${\vec {u}}={\begin{pmatrix}u_{x}\\{u_{\theta z}=0}\\u_{z}\end{pmatrix}}$ ${\vec {C}}={\begin{pmatrix}0\\0\\{-F \over S}\end{pmatrix}}$
On place les points pour définir le plan tels que
* R= 0
* ${\vec {u}}={\begin{matrix}u_{r}=0\\u_{\theta }=0\\u_{y}=1\end{matrix}}$
$u_{\theta }=0$ car il n’y a pas de variation géométrique ni de sollicitation suivant $\theta$
Le problème est indépendant suivant $\theta$ et$u_{\theta }=0$ pour tout M appartenant à V.
${\vec {u}}={\begin{matrix}u_{r}(r,y)\\0\\u_{y}(r,y)\end{matrix}}$
$u_{r}\,$ est indépendant de y et $u_{y}\,$est indépendant de r. On a donc ${\vec {u}}={\begin{matrix}u_{r}(r)\\0\\u_{y}(y)\end{matrix}}$
Que peut-on déduire pour ${\tilde {\sigma }}$ : analyse des conditions limites
* ${\vec {C}}={\vec {0}}$ sur face r=R , ${\vec {x}}={\begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}}\Rightarrow {\tilde {\sigma }}.{\vec {x}}=0$ sur cette face et
${\begin{Bmatrix}\sigma _{r}(R,y)=0\\\sigma _{x\theta }(R,y)=0\\\sigma _{xy}(R,y)=0\end{Bmatrix}}$
* Face ${\vec {x}}={\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}}$ ,${\vec {C}}={\begin{matrix}0\\0\\{-F \over S}\end{matrix}}$, $\sigma _{xy}=\sigma _{\theta y}=0$ et $\sigma _{yy}={-F \over S}$
D’après la géométrie, les sollicitations on voit que tout est indépendant de r et de y, donc ${\tilde {\sigma }}\,$ n’est pas fonction de r et de y. Donc ${\tilde {\sigma }}={\begin{pmatrix}cste&cste&cste\\cste&cste&cste\\cste&cste&cste\end{pmatrix}}$ pour tout M appartenant à V. Les conditions limites nous donnent : ${\begin{pmatrix}0&0&0\\0&cste&0\\0&0&{-F \over S}\end{pmatrix}}$ comment déduire $\sigma _{yy}\,$
* À l’équilibre on a $div({\tilde {\sigma }})={\vec {0}}(car{\vec {f}}={\vec {0}})\Rightarrow \sigma _{yy}=0\,$
On a donc ${\tilde {\sigma }}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&{-F \over S}\end{pmatrix}}$ Remarque ${\tilde {\epsilon }}\,$ est obtenu avec la loi de Hooke : ${\tilde {\epsilon }}={\begin{pmatrix}{\mu \over E}{F \over S}&0&0\\0&{\mu \over E}{F \over S}&0\\0&0&{1+\mu \over E}{-F \over S}+{\mu \over E}{F \over S}={-F \over ES}\end{pmatrix}}$
On rappelle que ${\vec {u}}={\begin{matrix}u_{r}(r)\\0\\u_{y}(y)\end{matrix}}$ On applique en cylindrique :
${\tilde {\epsilon }}={1 \over 2}(grad({\vec {u}})+{grad}^{T}({\vec {u}}))$
a/ ${\partial u_{r} \over \partial r}={\mu \over E}{F \over S}$
b/ ${u_{r} \over r}={\mu \over E}{F \over S}$
c/ ${\partial u_{y} \over \partial y}={-F \over SE}$
On a donc ${\begin{matrix}u_{r}={\mu F \over ES}r+K\\u_{\theta }=0\\u_{y}={-F \over SE}y+K\end{matrix}}$ Solution du problème
${\vec {u}}={\begin{matrix}{\mu F \over ES}r\\0\\{-F \over SE}y\end{matrix}}$
${\tilde {\sigma }}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&{-F \over S}\end{pmatrix}}$
${\tilde {\epsilon }}={\begin{pmatrix}{\mu \over E}{F \over S}&0&0\\0&{\mu \over E}{F \over S}&0\\0&0&{-F \over ES}\end{pmatrix}}$
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