# Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Optique géométrique : réflexion, réfraction, lois de Descartes
## Éclairage d'un bassin

Un bassin de profondeur «$\;h=1,00\,m\;$» est totalement rempli d'eau, d'indice «$\;n\simeq {\dfrac {4}{3}}\;$», l'indice de l'air étant «$\;n_{\text{air}}\simeq 1,00\;$».
Au fond du bassin est placée une source ponctuelle émettant de la lumière dans toutes les directions.
Quel est le rayon du disque lumineux qui se forme à la surface de l'eau ?
Les rayons issus de la source ponctuelle $\;S\;$ placée au fond du bassin sortiront de ce dernier si l'angle d'incidence «$\;i\;$» sur la surface libre de l'eau est inférieur à «$\;l=\arcsin \!\left({\dfrac {n_{\text{air}}}{n}}\right)$ $\;{\big$angle limite${\big )}\;$»$^,$ ;
cela nous donne donc le rayon du disque lumineux cherché «$\;R=HA=SA\,\sin(l)\simeq {\dfrac {SA}{n}}\;$» avec «$\;SA={\sqrt {R^{2}+h^{2}}}\;$» d'où cela nous donne donc «$\;n\,R\simeq {\sqrt {R^{2}+h^{2}}}\;$» $\Rightarrow$ $\;n^{2}\,R^{2}\simeq R^{2}+h^{2}$ $\Rightarrow$ $\;R^{2}\,(n^{2}-1)\simeq h^{2}\;$ et par suite cela nous donne donc «$\;R\simeq {\dfrac {h}{\sqrt {n^{2}-1}}}\;$».
A.N. : $\;R\simeq {\dfrac {1,00}{\sqrt {{\dfrac {16}{9}}-1,00}}}\;m\simeq {\dfrac {3}{\sqrt {7}}}\;m\;$ soit «$\;R\simeq 1,14\,m\;$».

## Déplacement latéral d'un rayon à la traversée d'une lame à faces parallèles ; stigmatisme approché de la lame et distance séparant le point image du point objet associé
### Déplacement latéral d'un rayon à la traversée d'une lame à faces parallèles

On considère une lame à faces $\;\parallel \;$ d'épaisseur $\;e\;$ et d'indice $\;n\;$ plongée dans l'air $\;{\big$d'indice $\;\simeq 1{\big )}\;$ et un rayon incident d'angle d'incidence $\;i\;$ ${\big$voir schéma ci-contre${\big )}$ ;
montrer que le rayon émerge parallèlement au rayon incident et
déterminer son déplacement latéral $\;\delta \;$ en fonction des données.
A.N. : Calculer numériquement $\;\delta \;$ pour $\;e=2\,mm$, $\;n=1,50\;$ et $\;i=30\,{\text{°}}$.
On considère une lame à faces $\;\parallel \;$ d'épaisseur $\;e\;$ et d'indice $\;n\;$ plongée dans l'air et un rayon incident d'angle d'incidence $\;i\;$ ${\big$voir schéma ci-contre${\big )}$ ; le rayon traverse la face d'entrée et en sort, dans le plan d'incidence, avec un angle de réfraction $\;r\;$ tel que $\;\sin(i)=n\,\sin(r)\;$, puis rencontre la face de sortie sous un angle d'incidence égal à $\;r'=r\;$ et en sort sous l'angle de réfraction égal à $\;i'=i\;$, d'où le rayon émerge, de la lame à faces$\;\parallel$, parallèlement au rayon incident.
Remarque : On pouvait aussi démontrer $\;i'=i\;$ par retour inverse de la lumière car $\;r'=r\;$ $\Rightarrow$ “ on a le même angle pour le rayon réfracté $\;IM\;$ entrant dans le milieu d'indice $\;n\;$ par la face d'entrée et le rayon incident $\;MJ\;$ sortant du milieu d'indice $\;n\;$ par la face de sortie ”, le retour inverse de la lumière nous permet d'affirmer “ on a le même angle pour le rayon incident $\;AI\;$ arrivant de l'air vers le milieu d'indice $\;n\;$ par la face d'entrée et le rayon réfracté $\;JT\;$ entrant dans l'air en provenance du milieu d'indice $\;n\;$ par la face de sortie ” ; le rayon émerge donc de la lame à faces $\;\parallel$, parallèlement au rayon incident.
Le déplacement latéral $\;\delta \;$ est défini sur la figure ci-contre et se détermine en travaillant dans le triangle rectangle $\;IJH\;$ selon : $\;\sin(\alpha )={\dfrac {IH}{IJ}}\;$ avec $\;\alpha ={\widehat {IJH}}=i-r\;$ d'où $\;IH=IJ\,\sin(\alpha )\;$ ou, avec $\;IH=\delta$, $\;\delta =$ $IJ\,\sin(i-r)$ ;
on explicite $\;IJ\;$ en travaillant dans le triangle rectangle $\;IJK\;$ soit : $\;\cos(r)={\dfrac {IK}{IJ}}\;$ ou, avec $\;IK=e$, $\;IJ={\dfrac {e}{\cos(r)}}$ ;
on en déduit $\;\delta =e\,{\dfrac {\sin(i-r)}{\cos(r)}}\;$ ou, en développant $\;\sin(i-r)$, $\;\delta =e\,{\dfrac {\sin(i)\cos(r)-\sin(r)\cos(i)}{\cos(r)}}$ ;
$\;r\;$
$\;\sin(r)={\dfrac {\sin(i)}{n}}\;$
$\;\cos(r)={\sqrt {1-\sin ^{2}(r)}}\;$
$\;\delta \;$
$\;\delta =e\,{\dfrac {\sin(i){\dfrac {\sqrt {n^{2}-\sin ^{2}(i)}}{n}}-{\dfrac {\sin(i)}{n}}\cos(i)}{\dfrac {\sqrt {n^{2}-\sin ^{2}(i)}}{n}}}\;$
$\;\delta =e\,\sin(i)\!\left[1-{\dfrac {\cos(i)}{\sqrt {n^{2}-\sin ^{2}(i)}}}\right]$
A.N. : $\;\delta =2\,\sin(30\,{\text{°}})\!\left[1-{\dfrac {\cos(30\,{\text{°}})}{\sqrt {(1,50)^{2}-\sin ^{2}(30\,{\text{°}})}}}\right]\;$ exprimé en $\;mm\;$ soit finalement $\;\delta \simeq 0,39\,mm$.

### Absence de stigmatisme rigoureux de la lame

Un système est « stigmatique » pour un point objet $\;A_{o}\;$ s'il fournit, de ce dernier, une image ponctuelle $\;A_{i}$ ; Un système est « stigmatique » pour un point objet $\;\color {transparent}{A_{o}}\;$ si ceci est vrai quelle que soit l'ouverture du faisceau issu du point objet $\;A_{o}$, le stigmatisme est dit « rigoureux », Un système est « stigmatique » pour un point objet $\;\color {transparent}{A_{o}}\;$ si ce n'est vrai que pour un pinceau de faible ouverture ${\big$usuellement les conditions dites de Gauss$^,$${\big )}$, le stigmatisme est dit « approché ».
On considère un point objet $\;A_{o}\;$ ${\big$que l'on pourra supposer réel c'est-à-dire situé dans l'espace d'entrée $\;{\mathcal {E}}_{e}\;$ voir schéma ci-contre${\big )}\;$ à partir duquel diverge un faisceau incident de révolution autour de l'axe optique principal $\;\Delta \;$ et d'ouverture quelconque ; le problème étant symétrique de révolution autour de $\;\Delta$, si la lame est stigmatique rigoureusement pour $\;A_{o}\;$, son point image $\;A_{i}\;$ doit être sur l'axe $\;\Delta$ ;
montrer qu'il n'y a pas stigmatisme rigoureux en déterminant la distance $\;{\overline {A_{o}A_{i}(i)}}\;$ séparant $\;A_{o}\;$ de l'intersection $\;A_{i}(i)\;$ de l'axe $\;\Delta \;$ et du rayon émergent correspondant au rayon incident issu de $\;A_{o}\;$ et d'angle d'incidence $\;i$.
On considère un point objet $\;A_{o}\;$ ${\big$supposé réel c'est-à-dire situé dans l'espace d'entrée $\;{\mathcal {E}}_{e}{\big )}\;$ à partir duquel diverge un faisceau incident de révolution autour de l'axe optique principal $\;(\Delta )\;$ et d'ouverture quelconque $\;{\big$voir schéma ci-dessus${\big )}$ ; le problème étant symétrique de révolution autour de $\;(\Delta )$, si la lame est stigmatique rigoureusement pour $\;A_{o}\;$, son point image $\;A_{i}\;$ doit être sur l'axe $\;(\Delta )$ ;
on se propose de déterminer la distance $\;{\overline {A_{o}A_{i}(i)}}\;$ séparant $\;A_{o}\;$ de l'intersection $\;A_{i}(i)\;$ de l'axe $\;(\Delta )\;$ et du rayon émergent correspondant au rayon incident issu de $\;A_{o}\;$ et d'angle d'incidence $\;i$ ; s'il y a stigmatisme rigoureux de la lame à faces $\;\parallel \;$ pour $\;A_{o}\;$, cette distance $\;{\overline {A_{o}A_{i}(i)}}\;$ doit être indépendante de $\;i$ ;
$\;A_{o}A_{i}(i)L\;$
$\;\sin(i)={\dfrac {\delta }{\overline {A_{o}A_{i}(i)}}}\;$
$\Rightarrow$
$\;{\overline {A_{o}A_{i}(i)}}={\dfrac {\delta }{\sin(i)}}\;$
$\;\delta \;$
$\;{\overline {A_{o}A_{i}(i)}}=e\!\left[1-{\dfrac {\cos(i)}{\sqrt {n^{2}-\sin ^{2}(i)}}}\right]\;$
$\Rightarrow$
$\;A_{i}(i)\;$
$\;i\;$
$\Rightarrow$
par exemple : on trouve $\;{\overline {A_{o}A_{i}(5\,{\text{°}})}}=2\!\left[1-{\dfrac {\cos(5\,{\text{°}})}{\sqrt {(1,50)^{2}-\sin ^{2}(5\,{\text{°}})}}}\right]\simeq 0,67\,mm$, $\;{\overline {A_{o}A_{i}(30\,{\text{°}})}}\simeq 0,78\,mm$, $\;{\overline {A_{o}A_{i}(60\,{\text{°}})}}\simeq 1,18\,mm$, $\;{\overline {A_{o}A_{i}(75\,{\text{°}})}}\simeq 1,51\,mm\;$ et par suite, un faisceau divergent à partir de $\;A_{o}$, de rayon angulaire d'ouverture $\;75\,{\text{°}}$, donnera une image dont l'étalement sur $\;(\Delta )\;$ est approximativement de $\;1\,mm\;$.

### Stigmatisme approché de la lame et distance séparant le point image du point objet associé

On considère maintenant un pinceau incident issu de $\;A_{o}\;$ ayant pour direction l'axe optique principal $\;\Delta$ ; les rayons incidents de ce pinceau étant quasi-normaux $\;{\big$c'est-à-dire que les angles d'incidence $\;i\;$ sont petits${\big )}$, montrer qu'il y a stigmatisme approché de la lame à faces $\;\parallel \;$ en réévaluant la distance $\;{\overline {A_{o}A_{i}(i)}}\;$ tenant compte de $\;\vert i\vert \ll 1\;$$^,$ et en constatant qu'elle ne dépend plus de $\;i\;$ ${\big$il existe alors un point image unique $\;A_{i}\;$ associé au point objet $\;A_{o}\;$ et la distance entre ces deux points s'écrit simplement $\;{\overline {A_{o}A_{i}}}{\big )}$.
A.N. : Calculer numériquement $\;{\overline {A_{o}A_{i}}}\;$ pour $\;e=2\,mm\;$ et $\;n=1,50$.
Nature de l'image : Vérifier que l'image d'un objet réel est alors virtuelle ;
Nature de l'image : discuter de la nature de l'image d'un objet virtuel ?
Nature de l'image : Où doit être situé l'objet virtuel pour que l'image soit réelle ?
Considérant maintenant que le faisceau incident issu de $\;A_{o}$, de direction $\;(\Delta )\;\perp \;$ à la face d'entrée, est un pinceau, c'est-à-dire que le rayon angulaire d'ouverture $\;i\;$ est maintenant $\;\ll 1$, on cherche le D.L. à l'ordre un de $\;{\overline {A_{o}A_{i}}}(i)\;$ ${\bigi\ll 1\;$ étant l'infiniment petit d'ordre un${\big )}$, et si le D.L. à l'ordre un de $\;{\overline {A_{o}A_{i}}}(i)\;$ ne dépend pas de $\;i$, cela signifiera que $\;A_{i}(i)\;$ est indépendant de $\;i\;$ dans la mesure où ce dernier est un infiniment petit d'ordre un, donc qu'il y a stigmatisme approché de la lame à faces $\;\parallel \;$ ;
«$\;i\ll 1\Rightarrow \sin(i)\simeq i{\text{ à l'ordre un en }}i\;$» $\Rightarrow$ «$\;\sin ^{2}(i)\simeq 0{\text{ à l'ordre un en }}i\;$» d'où «$\;{\sqrt {n^{2}-\sin ^{2}(i)}}\simeq {\sqrt {n^{2}-0}}=n{\text{ à l'ordre un en }}i\;$» ;
$\;i\ll 1\Rightarrow \cos(i)\simeq 1{\text{ à l'ordre un en }}i\;$
$\;{\dfrac {\cos(i)}{\sqrt {n^{2}-\sin ^{2}(i)}}}\;$
$\;{\dfrac {\cos(i)}{\sqrt {n^{2}-\sin ^{2}(i)}}}\simeq {\dfrac {1}{n}}{\text{ à l'ordre un en }}i\;$
$\;{\overline {A_{o}A_{i}(i)}}\simeq e\!\left(1-{\dfrac {1}{n}}\right){\text{ à l'ordre un en }}i\;$
d'autre part « l'image$\;A_{i}\;$se déduit de l'objet$\;A_{o}\;$par une translation indépendante de la position de l'objet$\;A_{o}\;$ selon $\;{\overline {A_{o}A_{i}}}=e\!\left(1-{\dfrac {1}{n}}\right)\;$».
A.N. : Numériquement $\;{\overline {A_{o}A_{i}}}=2\left(1-{\dfrac {1}{1,50}}\right)\;$ en $\;mm\;$ soit «$\;{\overline {A_{o}A_{i}}}\simeq 0,67\,mm\;$».
Pour vérifier que l'image d'un objet réel est virtuelle, il suffit de montrer que «$\;{\overline {S_{e}A_{o}}}<0\Rightarrow {\overline {S_{s}A_{i}}}<0\;$» avec $\;S_{e}\;$ et $\;S_{s}\;$ les intersections de l'axe optique principal respectivement avec les faces d'entrée et de sortie de la lame à faces $\;\parallel$ $\;{\big$voir figure ci-contre${\big )}$ ;
or «$\;{\overline {S_{s}A_{i}}}={\overline {S_{s}S_{e}}}+{\overline {S_{e}A_{o}}}+{\overline {A_{o}A_{i}}}=-e+{\overline {S_{e}A_{o}}}+e\!\left(1-{\dfrac {1}{n}}\right)={\overline {S_{e}A_{o}}}-{\dfrac {e}{n}}\;$», ceci nous permettant d'écrire «$\;{\overline {S_{e}A_{o}}}<0\;$ $\Rightarrow$ $\;{\overline {S_{s}A_{i}}}$ $={\overline {S_{e}A_{o}}}-{\dfrac {e}{n}}<-{\dfrac {e}{n}}<0\;$» prouvant que « l'image d'un objet réel est toujours virtuelle ».
Pour un objet virtuel, on a «$\;{\overline {S_{e}A_{o}}}>0\;$ et toujours $\;{\overline {S_{s}A_{i}}}={\overline {S_{e}A_{o}}}-{\dfrac {e}{n}}\;$» ;
Pour un objet virtuel, l'image d'un objet virtuel sera réelle si$\;{\overline {S_{s}A_{i}}}>0\;$ ce qui est équivalent à $\;{\overline {S_{e}A_{o}}}-{\dfrac {e}{n}}>0\;$ ou «$\;{\overline {S_{e}A_{o}}}>{\dfrac {e}{n}}\;$» ; numériquement on obtient «$\;{\overline {S_{e}A_{o}}}>1,33\,mm\;$» c'est-à-dire $\;A_{o}\;$ à plus de $\;1,33\,mm\;$ de la face d'entrée dans le sens incident de la lumière $\;{\bigA_{o}\;$ dans le verre à moins de $\;0,67\,mm\;$ de la face de sortie ou au-delà du verre dans l'espace de sortie${\big )}$ ;
Pour un objet virtuel, l'image d'un objet virtuel sera virtuelle si$\;{\overline {S_{s}A_{i}}}<0\;$ ce qui est équivalent à $\;{\overline {S_{e}A_{o}}}-{\dfrac {e}{n}}<0\;$ ou $\;SeAo<{\dfrac {e}{n}}\;$ ou, en tenant compte du caractère virtuel de l'objet, «$\;0<{\overline {S_{e}A_{o}}}<{\dfrac {e}{n}}\;$» ; numériquement on obtient «$\;0<{\overline {S_{e}A_{o}}}<1,33\,mm\;$» c'est-à-dire à moins de $\;1,33\,mm\;$ de la face d'entrée dans le sens incident de la lumière $\;{\bigA_{o}\;$dans le verre à plus de $\;0,67\,mm\;$ de la face de sortie${\big )}$.

## Utilisation d'une fibre optique
### Rayon de courbure minimal d'une fibre optique pour transmission d'un faisceau parallèle, normal à la face d'entrée et la recouvrant entièrement

Une fibre optique est constituée d'une âme en verre d'indice $\;n_{a}=1,66$, de diamètre $\;d=0,05\,mm\;$ Une fibre optique est entourée d'une gaine en verre d'indice $\;n_{g}=1,52$.
On courbe la fibre optique comme indiqué sur la figure ci-contre.
Déterminer littéralement, puis Déterminer numériquement, le rayon de courbure minimal $\;R_{\text{min}}\;$ Déterminer numériquement, le rayon de courbure minimal pour que le faisceau $\;\parallel$, normal à la face d'entrée de l'âme et la recouvrant entièrement, Déterminer numériquement, le rayon de courbure minimal pour que le faisceau $\;\color {transparent}{\parallel }$, soit transmis intégralement par la fibre.
Une fibre optique constituée d'une âme en verre d'indice $\;n_{a}=1,66\;$ et entourée d'une gaine en verre d'indice «$\;n_{g}<n_{a}\;$» est courbée dans le but de guider le faisceau $\;\parallel$, pénétrant normalement à la face d'entrée de l'âme et la recouvrant entièrement, vers la face de sortie et ceci sans aucune perte.
Pour que tous les rayons incidents$\;\perp \;$ à la face d'entrée de la fibre optique soient transmis intégralement par cette dernière, il suffit qu'une fois entrés sans déviation dans l'âme de la fibre, Pour que tous les rayons incidents $\;\color {transparent}{\perp }\;$ à la face d'entrée de la fibre optique soient transmis intégralement par cette dernière, il suffit qu’ils subissent une réflexion totale sur la surface interne de la gaine, ce qui a pour effet de les renvoyer dans l'âme et donc de les maintenir guidés par la fibre de façon à ce qu'ils émergent par la face de sortie de cette dernière $\;{\big$voir schéma ci-dessous${\big )}$.
* Schéma, hors échelle, du cheminement interne d'un faisceau $\;\parallel \;$ arrivant normalement à la face d'entrée d'une fibre optique courbée de rayon de courbure $\;R\;$ et émergeant par la face de sortie
$\;i\;$
$\;l\;$
$\;i>l\;$
$\;\sin(l)={\dfrac {n_{g}}{n_{a}}}\;$
$11$
$\;\sin(i)>{\dfrac {n_{g}}{n_{a}}}\;$
cette condition sera vérifiée pour tous les rayons si «$\;\min \limits _{i\,\in \,{\mathcal {D}}}\left[\sin(i)\right]>{\dfrac {n_{g}}{n_{a}}}\;$» $\;{\big{\mathcal {D}}\;$ étant le domaine de définition de $\;i\;$ dans les conditions du faisceau incident${\big )}$, cette condition sera vérifiée pour tous les rayons si le minimum correspondant au rayon incident du plan de courbure de la fibre le plus éloigné de l'axe de courbure dans le sens de cette dernière cette condition sera vérifiée pour tous les rayons si le minimum correspondant${\big$c'est-à-dire le rayon incident « inférieur » de la figure ci-dessus${\big )}$ ;
cette condition sera vérifiée pour tous les rayons si le minimum correspondantpour ce rayon $\;{\bigi\;$ est minimal et noté $\;i_{\text{min}}{\big )}\;$ on a «$\;\sin(i_{\text{min}})={\dfrac {R-{\dfrac {d}{2}}}{R+{\dfrac {d}{2}}}}={\dfrac {2\,R-d}{2\,R+d}}\;$» et
cette condition sera vérifiée pour tous les rayons si la condition de réflexion totale pour tous les rayons du faisceau incident se réécrit $\;{\dfrac {2\,R-d}{2\,R+d}}>{\dfrac {n_{g}}{n_{a}}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;2\,R\,(n_{a}-n_{g})>d\,(n_{a}+n_{g})\;$ $\Leftrightarrow$ «$\;R>{\dfrac {d}{2}}{\dfrac {n_{a}+n_{g}}{n_{a}-n_{g}}}\;$».
Nous en déduisons la valeur minimale du rayon de courbure de la fibre optique «$\;R_{\text{min}}={\dfrac {d}{2}}\;{\dfrac {n_{a}+n_{g}}{n_{a}-n_{g}}}\;$».
L'A.N. nous donne, avec $\;d=50\,10^{-6}\,m$, $\;n_{a}=1,66\;$ et $\;n_{g}=1,52$, $\;R_{\text{min}}={\dfrac {50\,10^{-6}}{2}}\,{\dfrac {1,66+1,52}{1,66-1,52}}\simeq 5,68\,10^{-4}\,m\;$ soit «$\;R_{\text{min}}\simeq 0,57\,mm\;$» $\;{\big$c'est un rayon de courbure excessivement petit $\Rightarrow$ non atteignable pratiquement et par suite la condition pour qu'un faisceau incident $\;\parallel$, normal à la face d'entrée de la fibre, soit transmis intégralement est toujours réalisée en pratique${\big )}$.

### Angle d'incidence d'un rayon arrivant sur la face d'entrée d'une fibre optique non courbée pour qu'il soit transmis

Une fibre optique est constituée d'une âme en verre d'indice $\;n_{a}=1,66$, entourée d'une gaine en verre d'indice $\;n_{g}=1,52$.
Cette fibre n'est pas courbée et on considère un rayon incident d'angle d'incidence $\;i\;$ ${\big$supposé positif${\big )}\;$ comme indiqué sur la figure ci-contre $\;{\big$le rayon représenté a un point d'incidence sur l'axe de la fibre mais ce point pourrait n'importe où sur la face d'entrée de cette dernière à condition que le plan d'incidence $\;{\big$plan contenant le rayon et $\;\perp \;$ à la face d'entrée${\big )}\;$ contienne l'axe de la fibre${\big ]}$.
Déterminer littéralement, puis Déterminer numériquement, l'angle d'incidence maximal $\;i_{\text{max}}\;$ Déterminer numériquement, l'angle d'incidence maximal pour lequel le rayon émerge par la face de sortie de la fibre non courbée.
Une fibre optique constituée d'une âme en verre d'indice $\;n_{a}\;$ entourée d'une gaine en verre d'indice $\;n_{g}\;$ est maintenue rectiligne ; on souhaite déterminer l'angle d'incidence limite qu'un rayon incident doit avoir pour émerger par la face de sortie $\;{\big$cet angle limite s'appelle « angle d'acceptance »${\big )}$ ; on souhaite déterminer l'angle d'incidence limite les choix $\;(\alpha )\;$ et $\;(\beta )\;$ des sens $\;+\;$ de mesure des angles $\;{\big$voir figure ci-dessous${\big )}\;$ ont été choisis pour que tous les angles y soient a priori de même signe on souhaite déterminer l'angle d'incidence limite les choix $\;\color {transparent}{(\alpha )}\;$ et $\;\color {transparent}{(\beta )}\;$ des sens $\;\color {transparent}{+}\;$ de mesure des angles $\;\color {transparent}{\big$voir figure ci-dessous$\color {transparent}{\big )}\;$ ont été choisis pour que tous les angles y soient${\big$en l'occurrence $\;>0{\big )}$.
* Schéma du cheminement interne d'un rayon incident incliné par rapport à l'axe d'une fibre optique non courbée constituée d'une âme d'indice $\;n_{a}\;$ entourée d'une gaine d'indice $\;n_{g}$, recherche de l'inclinaison maximale pour que le rayon soit intégralement transmis
Le rayon incident arrivant sur la face d'entrée de la fibre optique y subit toujours une réfraction $\;{\big \$passage d'un milieu moins réfringent $\;{\big$air d'indice $\;n_{\text{air}}\simeq 1{\big )}\;$ à un plus réfringent $\;{\big$l'âme d'indice $\;n_{a}=1,66{\big )}{\big \}$ ; Le rayon incident il émerge en faisant un angle de réfraction «$\;r\;$» lié à l'angle d'incidence «$\;i\;$» par «$\;\sin(i)=n_{a}\sin(r)\;$»$^,$ ;
ce rayon réfracté arrive alors sur la surface interne de la gaine avec un angle d'incidence «$\;r'\;$» où il doit subir une réflexion totale de façon à revenir dans l'âme, l'angle de réflexion y valant alors «$\;r'\;$» et ce rayon réfracté arrive alors sur la surface interne de la gaine avec un angle d'incidence «$\;\color {transparent}{r'}\;$» où il doit pouvoir continuer en direction de la face de sortie de cette dernière ;
arrivé sur la face de sortie, il y aura toujours réfraction, l'angle d'incidence sur cette dernière valant «$\;r\;$» et l'angle de réfraction «$\;i\;$», justification par retour inverse relativement aux rayons de la face d'entrée.
La condition de réflexion totale sur la surface interne de la gaine étant «$\;r'>l\;$» avec $\;l$, angle limite du dioptre « âme - gaine », défini par «$\;\sin(l)={\dfrac {n_{g}}{n_{a}}}\;$», elle peut se réécrire «$\;\sin(r')>\sin(l)={\dfrac {n_{g}}{n_{a}}}\;$» ;
pour évaluer$\;r'$, on remarque que c'est le complémentaire de $\;r'\;$ $\Rightarrow$ «$\;\sin(r')=\cos(r)\;$» ;
on termine en utilisant la 2ème loi de Snell - Descartes appliquée à la réfraction sur la face d'entrée soit «$\;\sin(i)=n_{a}\,\sin(r)\;$» d'où :
$\;\sin(i)=n_{a}\,\sin(r)=n_{a}{\sqrt {1-\cos ^{2}(r)}}=n_{a}{\sqrt {1-\sin ^{2}(r')}}\;$
$\;\sin(r')>\sin(l)={\dfrac {n_{g}}{n_{a}}}\;$
$\;\sin(i)<n_{a}{\sqrt {1-{\dfrac {n_{g}^{2}}{n_{a}^{2}}}}}\;$
$\;\sin(i)<{\sqrt {n_{a}^{2}-n_{g}^{2}}}\;$
$\;i\;$
$\;>0$
$\;i<\arcsin \!\left({\sqrt {n_{a}^{2}-n_{g}^{2}}}\right)\;$
L'A.N. nous donne : $\;i<\arcsin({\sqrt {1,66^{2}-1,52^{2}}})\;$ soit «$\;i\lesssim 41,85\,{\text{°}}\;$» $\;{\big$l'angle d'acceptance de cette fibre optique est donc $\;41,85\,{\text{°}}{\big )}$.

## Réfraction dans un prisme, formules du prisme

Un prisme, d'indice $\;n\;$ et d’angle $\;{\big$non algébrisé${\big )}$ $\;A$, est plongé dans l'air ; les rayons lumineux incidents sont contenus dans le plan de section principale du prisme et leurs composantes monochromatiques sont considérées séparément.
On définit après orientation particulière de ce plan $\;{\bigi\;$ et $\;r\;$ angles « d'entrée », respectivement d'incidence et de réfraction sur la face d'entrée, algébrisés selon le sens «$\;+\;(\alpha )\;$» défini à gauche du schéma, $\;r'\;$ et $\;i'\;$ angles « de sortie », respectivement d'incidence et de réfraction sur la face de sortie, algébrisés selon le sens «$\;+\;(\beta )\;$» défini à droite du schéma${\big ]}$, la déviation $\;D\;$ comme étant l'angle orienté $\;{\big$selon le sens «$\;+\;(\beta )\;$» des angles « de sortie »${\big ]}\;$ que fait le rayon émergent avec le rayon incident ; dans ce qui suit $-$ sauf dans la question traitant de la dispersion $-$ le rayon incident étant considéré « monochromatique », l'indice est supposé constant.

### Les quatre formules du prisme

Établir les quatre formules du prisme $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\sin(i)=n\,\sin(r)&({\mathfrak {1}})\\n\,\sin(r')=\sin(i')&({\mathfrak {2}})\\A=r+r'&({\mathfrak {3}})\\D=i+i'-A&({\mathfrak {4}})\end{array}}\right\rbrace \;$ liant les cinq angles définissant les réfractions dans le prisme.
La 1ère et 2ème formules correspondent à la 2ème loi de Snell - Descartes pour la réfraction sur les faces d'entrée et de sortie ; la 3ème formule se démontre en travaillant dans le triangle $\;II'L\;$ ${\bigI\;$ point d'incidence sur la face d'entrée, $\;I'\;$ point d'incidence sur la face de sortie et $\;L\;$ point d'intersection des normales en $\;I\;$ et $\;I'{\big )}\;$, $\;r\;$ et $\;r'\;$ sont deux des angles intérieurs au triangle, $\;A\;$ étant le 3ème angle extérieur à ce triangle, on en déduit $\;r+r'=A\;$ selon la propriété $\;(\Sigma )\;$ des angles d'un triangle : " la somme de deux des angles intérieurs à un triangle est égale au 3ème angle extérieur à ce triangle "$^,$ ; la 4ème formule se démontre en travaillant dans le triangle $\;II'K\;$ ${\bigK\;$ point d'intersection entre le rayon émergent $\;I'T'\;$ et le rayon incident $\;SI{\big )}$ ; $\;D\;$ étant un angle extérieur à ce triangle, les deux autres angles intérieurs sont $\;i-r\;$ et $\;i'-r'\;$ d'où, par propriété $\;(\Sigma )\;$ des angles d'un triangle $\;(i-r)+(i'-r')=D\;$ ou $\;D=i+i'-(r+r')\;$ soit enfin, en utilisant la formule $\;({\mathfrak {3}})$, $\;D=i+i'-A$.

### Conditions pour que le rayon émergent de la face d'entrée rencontre la face de sortie

Vérifier qu'un rayon incident subit toujours une réfraction sur la face d'entrée quel que soit l'angle d'incidence et
déterminer la condition sur cet angle d'incidence pour que le rayon émergent de la face d'entrée rencontre la face de sortie $\;{\big$on notera $\;l\;$ l'angle limite${\big )}$.
Condition de réfraction sur la face d'entrée : quand $\;i\searrow \;$ de $\;{\dfrac {\pi }{2}}\;$ à $\;-{\dfrac {\pi }{2}}$, $\;r\searrow \;$ de $\;+l_{e}\;$ à $\;-l_{e}\;$ ${\bigg$où $\;l_{e}=l\;$ est l'angle limite du dioptre d'entrée tel que $\;\sin(l)={\dfrac {1}{n}}\;$ ou encore $\;l=\arcsin \!\left({\dfrac {1}{n}}\right){\bigg ]}$, la réfraction sur la face d'entrée est donc toujours possible ;
condition pour que le rayon intermédiaire rencontre la face de sortie : le rayon intermédiaire fait alors avec la face d'entrée l'angle, compté positivement selon le sens $\;(\alpha )$, $\;{\dfrac {\pi }{2}}+r\;$ et, condition pour que le rayon intermédiaire rencontre la face de sortie : le rayon intermédiaire fait alors avec la face d'entrée l'angle, dans la mesure où cet angle est $\;>\;$ à $\;A$, il rencontre la face de sortie ; condition pour que le rayon intermédiaire rencontre la face de sortie : le rayon intermédiaire fait alors avec la face d'entrée l'angle, le point $\;I'\;$ existe donc si $\;i\;$ est tel que $\;{\dfrac {\pi }{2}}+r>A\;$ $\Leftrightarrow$ $\;r>A-{\dfrac {\pi }{2}}$ ;
condition pour que le rayon intermédiaire rencontre la face de sortie : le rayon intermédiaire il existera toujours $\;\forall \;i\;$ si $\;\min \!\left({\dfrac {\pi }{2}}+r\right)\!>A\;$ soit $\;{\dfrac {\pi }{2}}-l_{e}>A\;$ ou encore «$\;{\dfrac {\pi }{2}}-l>A\;$» ; condition pour que le rayon intermédiaire rencontre la face de sortie : le rayon intermédiaire la condition d'existence de $\;I'\;\forall \;i\;$ à savoir $\;A<{\dfrac {\pi }{2}}-l\;$ est toutefois un peu trop stricte $\;{\big$par exemple, pour un prisme d'indice $\;n=1,50$, $\;l=41,8\,{\text{°}}$, la condition d'existence de $\;I'\;$ pour tout angle d'incidence s'écrit alors $\;A<48,2{\text{°}}\;$ $\Rightarrow$ condition non réalisée pour un prisme d'angle $\;A=60\,{\text{°}}\;$${\big )}$ ;
condition pour que le rayon intermédiaire rencontre la face de sortie : dans la mesure où le rayon intermédiaire rencontre la face de sortie pour au moins une valeur de $\;i$, il est nécessaire que l'angle de réfraction sur la face d'entrée suive «$\;r>A-{\dfrac {\pi }{2}}\;$» c'est-à-dire encore que l'angle d'incidence $\;i\;$ soit tel que $\;\sin(r)>\sin \!\left(A-{\dfrac {\pi }{2}}\right)=-\cos(A)\;$ ou encore «$\;\sin(i)>-n\,\cos(A)\;$» $\;{\big$par exemple pour un angle $\;A=60\,{\text{°}}\;$ et un indice $\;n=1,50$, la condition d'existence de $\;I'\;$ pour la valeur $\;i\;$ nécessite que $\;i\;$ soit tel que $\;\sin(i)>-1,50\times \cos(60\,{\text{°}})=-0,75\;$ ou «$\;i>-48,6\,{\text{°}}\;$»${\big ]}$ ;
condition pour que le rayon intermédiaire rencontre la face de sortie : nous supposerons par la suite que $\;I'\;$ existe pour la valeur de $\;i\;$ considérée c'est-à-dire que «$\;r>A-{\dfrac {\pi }{2}}\;$».

### Conditions d'émergence d'un rayon incident

Étudier les conditions d’émergence du rayon incident, en particulier on montrera que :
* si «$\;A>2\,{\mathit {l}}\;$», il n'y a jamais émergence,
* si «$\;{\mathit {l}}<A<2\,{\mathit {l}}\,$», il y a émergence pour $\;i\;$ compris entre une valeur $\;i_{0}>0\;$ et $\;{\mathit {l}}$,
* si «$\;A<{\mathit {l}}\;$», il y a émergence pour $\;i\;$ compris entre une valeur $\;i_{0}<0\;$ et $\;{\mathit {l}}$.
Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, c'est-à-dire qu'il y ait émergence : de «$\;i\searrow \;$ de $\;{\dfrac {\pi }{2}}\;$ à $\;-{\dfrac {\pi }{2}}\;$» on déduit «$\;r\searrow \;$ de $\;l_{e}\;$ à $\;-l_{e}\;$» et, dans le cas où le rayon intermédiaire rencontre la face de sortie, que «$\;r'=A-r\nearrow \;$ de $\;A-l_{e}\;$ à $\;A+l_{e}\;$» par utilisation de la formule $\;({\mathfrak {3}})$, que l'on peut réécrire «$\;r'=A-r\nearrow \;$ de $\;A-l\;$ à $\;A+l\;$» ;
Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, il faut que $\;r'\;$ soit compris entre $\;-l_{s}\;$ et $\;+l_{s}\;$ ${\big$où $\;l_{s}\;$ est l'angle limite du dioptre de sortie, c'est-à-dire également ici celui d'entrée d'où $\;l_{s}=l\;$${\big ]}\;$ soit encore «$\;r'\;$ compris entre $\;-l\;$ et $\;+l\;$» ;
Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, si $\;A-l>l\;$ $\Leftrightarrow$ «$\;A>2\,l\;$», l'intervalle de variations de $\;r'\;$ résultant de celles de $\;i\;$ et Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, si $\;\color {transparent}{A-l>l}\;$ $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ «$\;\color {transparent}{A>2\,l}\;$», l'intervalle d'appartenance de $\;r'\;$ pour qu'il y ait réfraction par la face de sortie Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, si $\;\color {transparent}{A-l>l}\;$ $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ «$\;\color {transparent}{A>2\,l}\;$», n'ont aucune intersection $\Rightarrow$ il n'y a jamais émergence par la face de sortie, Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, si $\;\color {transparent}{A-l>l}\;$ $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ «$\;\color {transparent}{A>2\,l}\;$», le rayon intermédiaire étant réfléchi sur la face de sortie $\;{\bigr'>A-l>l{\big ]}$ ;
Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, si $\;A-l<l\;$ $\Leftrightarrow$ «$\;A<2\,l\;$», l'intervalle de variations de $\;r'\;$ résultant de celles de $\;i\;$ et Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, si $\;\color {transparent}{A-l<l}\;$ $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ «$\;\color {transparent}{A<2\,l}\;$», l'intervalle d'appartenance de $\;r'\;$ pour qu'il y ait réfraction par la face de sortie Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, si $\;\color {transparent}{A-l<l}\;$ $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ «$\;\color {transparent}{A<2\,l}\;$», ont pour intersection l'intervalle $\;\left[A-l\;{\text{ ; }}l\right]\;$ correspondant à Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, si $\;\color {transparent}{A-l<l}\;$ $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ «$\;\color {transparent}{A<2\,l}\;$», l'intervalle de variation de $\;r=A-r'\;$ à savoir $\;\left[A-l\;{\text{ ; }}l\right]\;$ et à Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, si $\;\color {transparent}{A-l<l}\;$ $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ «$\;\color {transparent}{A<2\,l}\;$», celui de $\;i\;$ à savoir «$\;\left[i_{0}\;{\text{ ; }}{\dfrac {\pi }{2}}\right]\;$» Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, si $\;\color {transparent}{A-l<l}\;$ $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ «$\;\color {transparent}{A<2\,l}\;$», où $\;i_{0}\;$ est défini par «$\;\sin(i_{0})=n\,\sin(A-l)\;$» ; Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, si $\;\color {transparent}{A-l<l}\;$ $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ «$\;\color {transparent}{A<2\,l}\;$», il y a émergence par la face de sortie si «$\;i>i_{0}\;$» ; Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, si $\;\color {transparent}{A-l<l}\;$ $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ «$\;\color {transparent}{A<2\,l}\;$», si «$\;i<i_{0}\;$», $\;r<A-l\;$ et $\;r'>l\;$ $\Rightarrow$ Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, si $\;\color {transparent}{A-l<l}\;$ $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ «$\;\color {transparent}{A<2\,l}\;$», si «$\;\color {transparent}{i<i_{0}}\;$», le rayon intermédiaire est alors réfléchi sur la face de sortie, Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, si $\;\color {transparent}{A-l<l}\;$ $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ «$\;\color {transparent}{A<2\,l}\;$», si «$\;\color {transparent}{i<i_{0}}\;$», il n'y a donc pas émergence du prisme par la face de sortie.
$\;{\begin{array}{|c|c c c|}\hline i&i_{0}&\nearrow &{\dfrac {\pi }{2}}\\\hline r&A-l&\nearrow &l\\\hline r'&l&\searrow &A-l\\\hline i'&{\dfrac {\pi }{2}}&\searrow &i_{0}\\\hline \end{array}}\;$

### Variation de la déviation en fonction de l'angle d'incidence sur la face d'entrée pour un prisme dans lequel le rayon incident monochromatique conduit à une émergence par la face de sortie

On suppose $\;A\;$ quelconque mais dans les conditions où il y a émergence et on fait varier $\;i$.
Montrer que la déviation $\;D\;$ passe par un minimum noté $\;D_{m}\;$ quand $\;r=r'\;$ ou $\;i=i'\;{\big$valeur commune notée $\;i_{m}{\big )}$.
Montrer que $\;\sin(i_{m})=n\,\sin \!\left({\dfrac {A}{2}}\right)\;$ et que $\;D_{m}=2\,i_{m}-A$.
En déduire que la mesure de $\;A\;$ et de $\;D_{m}\;$ pour une couleur déterminée permet de connaître l’indice $\;n\;$ pour cette couleur ; on montrera que $\;n={\dfrac {\sin \!\left({\dfrac {A+D_{m}}{2}}\right)}{\sin \!\left({\dfrac {A}{2}}\right)}}$.
Tableau de variation de$\;D\;$relativement à$\;i$ : Le rayon étant monochromatique, $\;n\;$ est constant ;
Tableau de variation de$\;\color {transparent}{D}\;$relativement à$\;\color {transparent}{i}$ : quand l'angle d'incidence varie de $\;i\;$ à $\;i+di$, on cherche à évaluer la variation $\;dD\;$ de la déviation en fonction, entre autres, de $\;di\;$ de façon à en déduire $\;{\dfrac {dD}{di}}$ ; Tableau de variation de$\;\color {transparent}{D}\;$relativement à$\;\color {transparent}{i}$ : pour cela on différencie les quatre formules du prisme selon $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\cos(i)\,di&=&n\,\cos(r)\,dr&({\mathfrak {1}}')\\n\,\cos(r')\,dr'&=&\cos(i')\,di'&({\mathfrak {2}}')\\0&=&dr+dr'&({\mathfrak {3}}')\\dD&=&di+di'&({\mathfrak {4}}')\end{array}}\right\rbrace \;$ et Tableau de variation de$\;\color {transparent}{D}\;$relativement à$\;\color {transparent}{i}$ : pour cela on exprime $\;di'\;$ en fonction de $\;dr'\;$ par $\;({\mathfrak {2}}')$, puis Tableau de variation de$\;\color {transparent}{D}\;$relativement à$\;\color {transparent}{i}$ : pour cela on exprime $\;\color {transparent}{di'}\;$ en fonction de $\;dr\;$ par $\;({\mathfrak {3}}')\;$ et enfin Tableau de variation de$\;\color {transparent}{D}\;$relativement à$\;\color {transparent}{i}$ : pour cela on exprime $\;\color {transparent}{di'}\;$ en fonction de $\;di\;$ par $\;({\mathfrak {1}}')$, expression que l'on reporte dans $\;({\mathfrak {4}}')\;$ soit :
$\;\color {transparent}{D}\;$
$\;\color {transparent}{i}$
$\;dD=di+{\dfrac {n\,\cos(r')}{\cos(i')}}\,dr'\;$
$\;dD=di-{\dfrac {n\,\cos(r')}{\cos(i')}}\,dr=di-{\dfrac {n\,\cos(r')}{\cos(i')}}\,{\dfrac {\cos(i)}{n\,\cos(r)}}\,di\;$
$\;dD=\left[1-{\dfrac {\cos(r')\,\cos(i)}{\cos(r)\,\cos(i')}}\right]di\;$
$\Rightarrow$
$\;{\dfrac {dD}{di}}=1-{\dfrac {\cos(r')\,\cos(i)}{\cos(r)\,\cos(i')}}\;$
Condition d'annulation de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence : Une solution évidente est «$\;r=r'\;$ $\Leftrightarrow$ $\;i=i'\;$», Condition d'annulation de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence : la formule $\;({\mathfrak {3}})\;$ du prisme donne alors, pour valeur commune de $\;r=r'\;$ «$\;{\dfrac {A}{2}}\;$» et Condition d'annulation de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence : la valeur commune de $\;i=i'\;$ notée $\;i_{m}\;$ est fournie par la formule $\;({\mathfrak {1}})\;$ du prisme c'est-à-dire «$\;\sin(i_{m})=n\,\sin \!\left({\dfrac {A}{2}}\right)\;$» ; ainsi Condition d'annulation de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence : on peut affirmer que la déviation $\;D\;$ passe par un extremum pour $\;r=r'={\dfrac {A}{2}}\;$ correspondant à $\;i=i'=i_{m}\;$ ;
Condition d'annulation est-ce le seul zéro de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence ? La réponse est affirmative et elle se justifie en cherchant d'autres zéros éventuels : Condition d'annulation est-ce le seul zéro de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence ? les zéros devant être solutions de $\;{\dfrac {\cos(i)}{\cos(r)}}={\dfrac {\cos(i')}{\cos(r')}}\;$, Condition d'annulation est-ce le seul zéro de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence ? on élimine $\;i\;$ au profit de $\;r\;$ par la formule $\;({\mathfrak {1}})\;$ et Condition d'annulation est-ce le seul zéro de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence ? on élimine $\;i'\;$ au profit de $\;r'\;$ par la formule $\;({\mathfrak {2}})$, ce qui donne l'équation suivante Condition d'annulation est-ce le seul zéro de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence ? $\;{\dfrac {\sqrt {1-n^{2}\,\sin ^{2}(r)}}{\cos(r)}}={\dfrac {\sqrt {1-n^{2}\,\sin ^{2}(r')}}{\cos(r')}}\;$ $\Leftrightarrow$ Condition d'annulation est-ce le seul zéro de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence ? $\;{\sqrt {{\dfrac {1}{\cos ^{2}(r)}}-n^{2}\,\tan ^{2}(r)}}=$ ${\sqrt {{\dfrac {1}{\cos ^{2}(r')}}-n^{2}\,\tan ^{2}(r')}}\;$ ou, à l'aide de $\;{\dfrac {1}{\cos ^{2}(r)}}=1+\tan ^{2}(r)\;$, Condition d'annulation est-ce le seul zéro de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence ? $\;{\sqrt {1+(1-n^{2})\,\tan ^{2}(r)}}={\sqrt {1+(1-n^{2})\,\tan ^{2}(r')}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\tan ^{2}(r)=\tan ^{2}(r')\;$ soit finalement Condition d'annulation est-ce le seul zéro de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence ? «$\;r'=\pm r\;$» ; Condition d'annulation est-ce le seul zéro de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence ? la solution $\;r'=-r\;$ étant exclue car $\;r'+r=A\neq 0$, Condition d'annulation est-ce le seul zéro de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence ? la seule solution est donc bien la solution évidente trouvée précédemment soit Condition d'annulation est-ce le seul zéro de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence ? «$\;r'=r=r_{m}\;$ avec $\;r_{m}={\dfrac {A}{2}}\;$».
Le tableau de variation de $\;D\;$ en fonction de $\;i\;$ est alors le suivant, montrant effectivement que la déviation est « minimale » pour $\;i=i_{m}\;$ :
$\;{\begin{array}{|c|l c c c r|}\hline &&&&&\\\qquad i\qquad &\;\,i_{0}&&i_{m}&&+{\dfrac {\pi }{2}}\\&&&&&\\\hline &\ \ \|&&|&&|\ \ \\\qquad {\dfrac {\mathrm {d} D}{\mathrm {d} i}}\qquad &-\infty &<0&0&>0&+1\\&\ \ \|&&|&&|\ \ \\\hline &D_{M}&&&&D_{M}\\D&&\searrow &&\nearrow &\\&&&D_{m}&&\\\hline \end{array}}\;$
la valeur de la « déviation minimale est alors $\;D_{m}=2\,i_{m}-A\;$» alors que
celle de la « déviation maximale $\;D_{M}\;$ est obtenue pour une émergence rasante $\;{\big$correspondant à une incidence d'angle $\;i_{0}{\big )}\;$ ou une incidence rasante $\;{\big$correspondant à une émergence d'angle $\;i_{0}{\big )}\;$ soit $\;D_{M}=i_{0}+{\dfrac {\pi }{2}}-A\;$».
Tracé du graphe de la déviation en fonction de l'angle d'incidence : voir ci-contre.
Expression de l'indice du prisme en fonction de son angle et du minimum de déviation : de $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\sin(i_{m})=n\,\sin \!\left({\dfrac {A}{2}}\right)\\{\text{et }}\;D_{m}=2\,i_{m}-A\end{array}}\right\rbrace \;$ on tire Expression de l'indice du prisme en fonction de son angle et du minimum de déviation : «$\;i_{m}={\dfrac {A+D_{m}}{2}}\;$» de la 2ème relation et Expression de l'indice du prisme en fonction de son angle et du minimum de déviation : le report dans la 1ère réécrite $\;n={\dfrac {\sin(i_{m})}{\sin \!\left({\dfrac {A}{2}}\right)}}\;$ conduit à Expression de l'indice du prisme en fonction de son angle et du minimum de déviation : «$\;n={\dfrac {\sin \!\left({\dfrac {A+D_{m}}{2}}\right)}{\sin \!\left({\dfrac {A}{2}}\right)}}\;$».

### Cas où d'un prisme de petit angle sous incidence quasi-normale

Donner une expression simplifiée de $\;D\;$ en fonction de $\;n\;$ et $\;A\;$ lorsque l'angle du prisme ainsi que l'angle d'incidence sur la face d'entrée sont petits.
Commenter quant à la variation de $\;D\;$ en fonction de la couleur incidente.
Nous supposons $\;A\ll 1\;$ et $\;\vert i\vert \ll 1$ ; de la formule $\;({\mathfrak {1}})\;$ on en déduit $\;\vert r\vert \ll 1$, Nous supposons $\;\color {transparent}{A\ll 1}\;$ et $\;\color {transparent}{\vert i\vert \ll 1}$ ; la formule de $\;({\mathfrak {3}})\;$ on en déduit $\;\vert r'\vert \ll 1$, Nous supposons $\;\color {transparent}{A\ll 1}\;$ et $\;\color {transparent}{\vert i\vert \ll 1}$ ; la formule de $\;({\mathfrak {2}})\;$ on en déduit $\;\vert i'\vert \ll 1\;$ et Nous supposons $\;\color {transparent}{A\ll 1}\;$ et $\;\color {transparent}{\vert i\vert \ll 1}$ ; la formule de $\;({\mathfrak {4}})\;$ on en déduit $\;D\ll 1\;$ d'où :
$\;i\simeq n\,r\;$
$\;n\,r'\simeq i'\;$
$\;D=i+i'-A\simeq n\,r+n\,r'-A=n\,(r+r')-A\;$
$\;({\mathfrak {3}})\;$
$\;D\simeq (n-1)\,A\;$
Remarque : Si $\;\lambda _{0}\;$ varie, $\;n\;$ varie $\;{\big$le milieu constituant le prisme est toujours considéré comme dispersif${\big )}$, on constate alors que la déviation $\;D\;$ a la même variation que $\;n\;$ pour un prisme de petit angle sous incidence quasi normale.

### Étude de la dispersion dans le prisme

Le rayon incident étant maintenant considéré dans son ensemble c'est-à-dire constitué de toutes ses composantes monochromatiques et « l'angle d'incidence sur la face d'entrée du prisme $\;i\;$ restant maintenant constant », on envisage d'étudier la variation de la déviation $\;D\;$ en fonction de la longueur d'onde dans le vide $\;\lambda _{0}\;$ c'est-à-dire de la couleur de la composante monochromatique sachant que on envisage d'étudier la variation de la déviation $\;\color {transparent}{D}\;$ en fonction de la longueur d'onde dans le vide $\;\color {transparent}{\lambda _{0}}\;$ l'indice $\;n\;$ du prisme est une fonction $\;\searrow \;$ de la longueur d'onde dans le vide $\;\lambda _{0}\;$ selon la formule de Cauchy «$\;n=A+{\dfrac {B}{\lambda _{0}^{2}}}\;$» où $\;A\;$ et $\;B\;$ sont des constantes dépendant du milieu considéré, la 1ère sans dimension et la 2nde ayant la dimension du carré d'une longueur ;
établir la relation $\;\left({\dfrac {\partial D}{\partial \lambda _{0}}}\right)_{\!i}={\dfrac {\sin(A)}{\cos(r)\,\cos(i')}}\,{\dfrac {dn}{d{\lambda _{0}}}}\;$ et
en déduire le sens de variation de $\;D\;$ avec la longueur d'onde dans le vide $\;\lambda _{0}$, en particulier on comparera la déviation de la composante violette $\;D_{\text{violet}}(i)\;$ à celle de la composante rouge $\;D_{\text{rouge}}(i)$.
Le prisme est un milieu dispersif car $\;n\;$ dépend de $\;\lambda _{0}$, plus exactement $\;n\;$ est une fonction $\;\searrow \;$ de $\;\lambda _{0}$ ;
contrairement à certains systèmes optiques pour lesquels la dispersion est un handicap $\;{\big$comme les verres de lunette ou les pare-brise de voiture$\;{\big )}$, le prisme est d'autant meilleur que le milieu est dispersif.
$\;{\dfrac {dD}{d\lambda _{0}}}={\dfrac {dD}{dn}}\;{\dfrac {dn}{d\lambda _{0}}}\;$
$\;{\dfrac {dn}{d\lambda _{0}}}<0\;$
$\Rightarrow$
$\;{\dfrac {dD}{d\lambda _{0}}}\;$
$\;{\dfrac {dD}{dn}}\;$
Calcul de la dérivée de la déviation d'un rayon polychromatique d'angle d'incidence fixé relativement à l'indice du prime : on différencie les quatre formules du prisme à $\;i\;$ fixé mais $\;n\;$ variable $\Rightarrow$ Calcul de la dérivée de la déviation d'un rayon polychromatique d'angle d'incidence fixé relativement à l'indice du prime : $\;r$, $\;r'$, $\;i'\;$ et $\;D\;$ varient d'où Calcul de la dérivée de la déviation d'un rayon polychromatique d'angle d'incidence fixé relativement à l'indice du prime : $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}0&=&n\,\cos(r)\,dr+\sin(r)\,dn&({\mathfrak {1}}'')\\n\,\cos(r')\,dr'+\sin(r')\,dn&=&\cos(i')\,di'&({\mathfrak {2}}'')\\dr+dr'&=&0&({\mathfrak {3}}'')\\dD&=&di'&({\mathfrak {4}}'')\end{array}}\!\!\right\rbrace$, Calcul de la dérivée de la déviation d'un rayon polychromatique d'angle d'incidence fixé relativement à l'indice du prime : on exprime alors $\;dD\;$ qui est égale à $\;di'\;$ en fonction de $\;dr'\;$ et $\;dn\;$ par $\;({\mathfrak {2}}'')$, puis Calcul de la dérivée de la déviation d'un rayon polychromatique d'angle d'incidence fixé relativement à l'indice du prime : on exprime alors $\;dr'\;$ en fonction de $\;dr\;$ par $\;({\mathfrak {3}}'')$ ${\big$reporté dans $\;({\mathfrak {2}}''){\big ]}\;$ et enfin Calcul de la dérivée de la déviation d'un rayon polychromatique d'angle d'incidence fixé relativement à l'indice du prime : on exprime alors $\;dr\;$ en fonction de $\;dn\;$ par $\;({\mathfrak {1}}'')$ ${\big$reporté dans $\;({\mathfrak {2}}''){\big ]}\;$ soit :
Calcul de la dérivée de la déviation d'un rayon polychromatique d'angle d'incidence fixé relativement à l'indice du prime : $\;dD={\dfrac {n\,\cos(r')}{\cos(i')}}\,dr'+{\dfrac {\sin(r')}{\cos(i')}}\,dn=-{\dfrac {n\,\cos(r')}{\cos(i')}}\,dr+{\dfrac {\sin(r')}{\cos(i')}}\,dn\;$ avec Calcul de la dérivée de la déviation d'un rayon polychromatique d'angle d'incidence fixé relativement à l'indice du prime : $\;dr=-{\dfrac {\sin(r)}{n\,\cos(r)}}\,dn\;$ $\Rightarrow$ $\;dD=$ $\left[-{\dfrac {n\,\cos(r')}{\cos(i')}}\right]\left[-{\dfrac {\sin(r)}{n\,\cos(r)}}\,dn\right]+{\dfrac {\sin(r')}{\cos(i')}}\,dn\;$ d'où Calcul de la dérivée de la déviation d'un rayon polychromatique d'angle d'incidence fixé relativement à l'indice du prime : $\;dD={\dfrac {\sin(r)\,\cos(r')+\sin(r')\,\cos(r)}{\cos(i')\,\cos(r)}}\,dn={\dfrac {\sin(r+r')}{\cos(i')\,\cos(r)}}\,dn\;$ et finalement, Calcul de la dérivée de la déviation d'un rayon polychromatique d'angle d'incidence fixé relativement à l'indice du prime : avec la formule $\;({\mathfrak {3}})\;$ du prisme «$\;{\dfrac {dD}{dn}}={\dfrac {\sin(A)}{\cos(i')\,\cos(r)}}\;$».
$\;{\dfrac {dD}{dn}}\;$
$\;>0\;$
$\Rightarrow$
$\;{\dfrac {dD}{d\lambda _{0}}}<0\;$
$\;{\bigg$
$\;{\dfrac {dn}{d\lambda _{0}}}{\bigg )}$
${\bigD\;$
$\;\searrow \;$
$\;\lambda _{0}{\big )}\;$
$\;D_{\text{rouge}}(i)<D_{\text{violet}}(i)\;$

## Arcs-en-ciel

Un pinceau de rayons $\;\parallel \;$ dans l’air éclaire une sphère d’eau d’indice $\;n(\lambda _{0})$ ; les rayons pénètrent dans la sphère sous l'incidence $\;i\;$ et en ressortent après avoir subi $\;p\;$ réflexions intérieures ; l'angle algébrisé que fait un rayon émergent de la sphère par rapport au rayon incident correspondant est appelé déviation et est noté $\;D$.

### Étude de la variation de la déviation d'une composante monochromatique du rayon incident après p réflexions internes dans une goutte d'eau en fonction de son angle d'incidence

On considère une composante monochromatique de longueur d'onde dans le vide $\;\lambda _{0}\;$ du pinceau lumineux pour laquelle l'indice de l'eau est notée $\;n(\lambda _{0})=n_{0}$.

#### Expression de la déviation de la composante monochromatique des rayons lumineux après p réflexions internes dans une goutte d'eau

Montrer que la déviation $\;D\;$ de la composante monochromatique des rayons lumineux peut s’exprimer en fonction de $\;p$, $\;i\;$ et $\;r\;$ ${\big$angle de réfraction correspondant à l’angle d’incidence $\;i{\big )}\;$ selon
$\;D=p\,\pi +2\,(p+1)\,r-2\,i\;$
Voir schéma ci-contre avec une réflexion :
* 1ère réfraction « on passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent », le rayon réfracté est plus proche de la normale que le rayon incident $\;r<i\;$ $\;{\big$tous deux $\;>0{\big )}$, « le rayon tourne de $\;D_{1}<0\;$ avec $\;D_{1}=r-i\;$» ;
* 1ère réflexion : le triangle $\;OAB\;$ est isocèle $\Rightarrow$ $\;{\widehat {OAB}}={\widehat {ABO}}\;$, l'angle d'incidence $\;{\widehat {({\overrightarrow {OB}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {AB}})}}\;$ étant $\;<0\;$ on en tire $\;{\widehat {({\overrightarrow {OB}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {AB}})}}=-r\;$ et l'angle de réflexion $\;{\widehat {({\overrightarrow {BO}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {BC}})}}\;$ lui étant opposé, on en déduit $\;{\widehat {({\overrightarrow {BO}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {BC}})}}=r$, « l'angle dont tourne le rayon lors de la réflexion est alors $\;D_{2}={\widehat {({\overrightarrow {AB}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {BC}})}}\;$ soit $\;D_{2}=2\,r-\pi \;$» ;
* chaque réflexion interne entraînant la même déviation $\;D_{2}\;$ du rayon réfléchi par rapport au rayon incident de la réflexion interne, il faudra « compter, dans la déviation totale $\;D$, autant de fois $\;D_{2}\;$ qu'il y a de réflexions internes » ;
* 2ème réfraction « on passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent », le rayon réfracté est plus éloigné de la normale que le rayon incident Voir le paragraphe « 2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction (n$_1$ > n$_2$ exemple dioptre verre - air) » du chap.$11$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref>, l'angle d'incidence $\;{\widehat {({\overrightarrow {OC}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {BC}})}}\;$ étant $\;<0\;$ et le triangle $\;OCB\;$ isocèle, on en tire $\;{\widehat {({\overrightarrow {OC}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {BC}})}}=-r$, l'angle de réfraction est alors $\;<0\;$ et vaut $\;{\big$par retour inverse de la lumière relativement à la 1ère réfraction${\big )}$ $\;-i\;$ et par suite « le rayon tourne de $\;D_{3}<0\;$ avec $\;D_{3}=r-i\;$».
$\;p\;$
$\;D=D_{1}+D_{3}+p\,D_{2}\;$
$\;D=2\,(r-i)+p\,(2\,r-\pi )\;$
$\;D=2\,(p+1)\,r-2\,i-p\,\pi \;$
$\;2\,p\,\pi \;$
${\bigD\;$
$\;2\,\pi$
${\big )}$
$\;D=2\,(p+1)\,r-2\,i+p\,\pi \;\;({\mathfrak {1}})\;$

#### Expression de l'angle d'incidence pour lequel la déviation est extrémale et évaluation de celle-ci

Exprimer $\;\sin(i_{m})\;$ en fonction de $\;n_{0}\;$ et $\;p$, $\;{\bigi_{m}\;$ étant l’angle d'incidence pour lequel la déviation $\;D\;$ est extrémale, la valeur correspondante de cette dernière étant notée $\;D_{m}{\big )}$ ;
calculer numériquement $\;i_{m}\;$ et $\;D_{m}\;$ pour $\;p=1\;$ et $\;p=2$, la valeur de l'indice de l'eau pour cette longueur d'onde dans le vide étant $\;n_{0}\simeq 1,33$.
La composante du rayon incident étant supposée monochromatique, $\;n\;$ est constant ; $\;i_{m}\;$ étant l'angle d'incidence pour lequel la déviation $\;D\;$ est extrémale, sa valeur se détermine en résolvant $\;{\dfrac {dD}{di}}(i_{m})=0$ ;
$\;{\dfrac {dD}{di}}$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}D=2\,(p+1)\,r-2\,i+p\,\pi \;\;({\mathfrak {1}})\\{\text{et }}\;\;\sin(i)=n_{0}\,\sin(r)\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}dD&=&2\,(p+1)\,dr-2\,di\\\cos(i)\,di&=&n_{0}\,\cos(r)\,dr\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;\color {transparent}{\dfrac {dD}{di}}$
$\;dr\;$
$\;di\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}dD&=&2\,(p+1)\,{\dfrac {\cos(i)}{n_{0}\,\cos(r)}}\,di-2\,di\\dr&=&{\dfrac {\cos(i)}{n_{0}\,\cos(r)}}\,di\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;\color {transparent}{\dfrac {dD}{di}}$
$\;{\dfrac {dD}{di}}=2\left[(p+1)\,{\dfrac {\cos(i)}{n_{0}\,\cos(r)}}-1\right]\;$
$\;r\;$
$\;i\;$
$\;\cos(r)={\sqrt {1-\sin ^{2}(r)}}={\sqrt {1-{\dfrac {\sin ^{2}(i)}{n_{0}^{2}}}}}\;$
$\Rightarrow$
$\;n_{0}\,\cos(r)={\sqrt {n_{0}^{2}-\sin ^{2}(i)}}$
$\;{\dfrac {dD}{di}}(i)=2\left[{\dfrac {(p+1)\,\cos(i)}{\sqrt {n_{0}^{2}-\sin ^{2}(i)}}}-1\right]\;$
$\;i_{m}\;$
$\;{\dfrac {(p+1)\,\cos(i)}{\sqrt {n_{0}^{2}-\sin ^{2}(i)}}}-1=0\;$
$\;(p+1)\,\cos(i)={\sqrt {n_{0}^{2}-\sin ^{2}(i)}}\;$
$\;(p+1)^{2}\,\cos ^{2}(i)=n_{0}^{2}-\sin ^{2}(i)\;$
$\;\cos ^{2}(i)\;$
$\;1-sin^{2}(i)$
$\;\color {transparent}{i_{m}}\;$
$\;(p+1)^{2}-n_{0}^{2}=\left[(p+1)^{2}-1\right]\sin ^{2}(i)\;$
$\;(p+1)^{2}-n_{0}^{2}=\left[p^{2}+2\,p\right]\sin ^{2}(i)\;$
$\;\sin(i_{m})=\pm {\sqrt {\dfrac {(p+1)^{2}-n_{0}^{2}}{(p+1)^{2}-1}}}=\pm {\sqrt {\dfrac {(p+1)^{2}-n_{0}^{2}}{p\,(p+2)}}}\;$
$\;i_{m}$
$\;\pm \vert i_{m}\vert$
$\;({\mathfrak {1}})\;$
$\;D_{m}(\vert i_{m}\vert )=\pm 2\,(p+1)\,\vert r_{m}\vert \mp 2\,\vert i_{m}\vert +p\,\pi \;$
Cas d'une réflexion interne : pour $\;p=1$, $\;\sin(\vert i_{m}\vert )={\sqrt {\dfrac {(1+1)^{2}-(1,33)^{2}}{1\times (1+2)}}}\simeq 0,8624\;$ $\Rightarrow$ «$\;\vert i_{m}\vert \simeq 59,58\;{\text{°}}\;$» dont on déduit $\;\sin(\vert r_{m}\vert )={\dfrac {\sin(\vert i_{m}\vert )}{1,33}}\simeq 0,6484\;$ $\Rightarrow$ «$\;\vert r_{m}\vert \simeq 40,42\;{\text{°}}\;$» ;
* pour «$\;i_{m}\simeq 59,58\;{\text{°}}\;$» et $\;r_{m}\simeq 40,42\;{\text{°}}$, on trouve $\;D_{m}(\vert i_{m}\vert )\simeq 2\times (1+1)\times 40,42-2\times 59,58+180\;$ soit «$\;D_{m}(\vert i_{m}\vert )\simeq 222,52\;{\text{°}}\;$»,
* pour «$\;i_{m}\simeq -59,58\;{\text{°}}\;$» et $\;r_{m}\simeq -40,42\;{\text{°}}$, on trouve $\;D_{m}(-\vert i_{m}\vert )\simeq 2\times (1+1)\times (-40,42)-2\times (-59,58)+180\;$ soit «$\;D_{m}(-\vert i_{m}\vert )\simeq 137,48\;{\text{°}}\;$».
Cas de deux réflexions internes : pour $\;p=2$, $\;\sin(\vert i_{m}\vert )={\sqrt {\dfrac {(2+1)^{2}-(1,33)^{2}}{2\times (2+2)}}}\simeq 0,9507\;$ $\Rightarrow$ «$\;\vert i_{m}\vert \simeq 71,94\;{\text{°}}\;$» d'où $\;\sin(\vert r_{m}\vert )={\dfrac {\sin(\vert i_{m}\vert )}{1,33}}\simeq 0,7148\;$ $\Rightarrow$ «$\;\vert r_{m}\vert \simeq 45,63\;{\text{°}}\;$» ;
* pour «$\;i_{m}\simeq 71,94\;{\text{°}}\;$» et $\;r_{m}\simeq 45,63\;{\text{°}}$, on trouve $\;D_{m}(\vert i_{m}\vert )\simeq 2\times (2+1)\times 45,63-2\times 71,94+2\times 180\;$ soit $\;D_{m}(\vert i_{m}\vert )\simeq 489,90\;{\text{°}}\;$ ou, en prenant la détermination principale comprise entre $\;0\;{\text{°}}\;$ et $\;360\;{\text{°}}$, «$\;D_{m}(\vert i_{m}\vert )\simeq 129,90\;{\text{°}}\;$»,
* pour «$\;i_{m}\simeq -71,94\;{\text{°}}\;$» et $\;r_{m}\simeq -45,63\;{\text{°}}$, on trouve $\;D_{m}(-\vert i_{m}\vert )\simeq 2\times (2+1)\times (-45,63)-2\times (-71,94)+2\times 180\;$ soit «$\;D_{m}(-\vert i_{m}\vert )\simeq 230,10\;{\text{°}}\;$».
Remarque : Vérifions qu'il s'agit effectivement d'un extremum $\;{\big$minimum ou maximum${\big )}\;$ et non d'un point stationnaire $\;{\big$point d'inflexion à tangente $\;\parallel \;$ à l'axe des abscisses${\big )}$ ;
Remarque : pour cela raisonnons d'abord sur $\;\left[0\,{\text{;}}\,{\dfrac {\pi }{2}}\right[$, $\;{\dfrac {dD}{di}}\;$ s'annulant pour $\;i_{m}=\vert i_{m}\vert \;$ vaut $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\dfrac {dD}{di}}(0)=2\left({\dfrac {p+1}{n_{0}}}-1\right)>0\\{\dfrac {dD}{di}}\!\left[\left({\dfrac {\pi }{2}}\right)^{-}\right]=-2<0\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;D(i)\;$ est $\;\nearrow \;$ sur $\;\left[0\,{\text{;}}\,\vert i_{m}\vert \right[\;$ puis $\;\searrow \;$ sur $\;\left]\vert i_{m}\vert \,{\text{;}}\,{\dfrac {\pi }{2}}\right[$, ce qui correspond à un maximum donc effectivement un extremum,
Remarque : pour puis raisonnons sur $\;\left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,{\text{;}}\,0\right]$, $\;{\dfrac {dD}{di}}\;$ s'annulant pour $\;i_{m}=-\vert i_{m}\vert \;$ vaut $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\dfrac {dD}{di}}(0)=2\left({\dfrac {p+1}{n_{0}}}-1\right)>0\\{\dfrac {dD}{di}}\!\left[\left(-{\dfrac {\pi }{2}}\right)^{+}\right]=-2<0\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;D(i)\;$ est $\;\searrow \;$ sur $\;\left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,{\text{;}}\,-\vert i_{m}\vert \right[\;$ puis $\;\nearrow \;$ sur $\;\left]-\vert i_{m}\vert \,{\text{;}}\,0\right]$, ce qui correspond à un minimum c'est-à-dire encore un extremum.

#### Justification de pics de diffusion pour les pinceaux parallèles d'angle d'incidence correspondant à une déviation extrémale

Les composantes monochromatiques des rayons d'un pinceau $\;\parallel \;$ incident ont un angle d’incidence $\;i\;$ dépendant de leur point d'impact $\;A\;$ sur la sphère $\;{\bigA$ étant le point d'incidence du rayon considéré dans le pinceau${\big )}$ ; les rayons ayant un angle d’incidence de valeur $\;i\;$ restant au voisinage d’une valeur fixée $\;i_{0}\;$ sont déviés d’un angle $\;D(i)\;$ différant de $\;D(i_{0})\;$ selon
$\;D(i)\simeq D(i_{0})+\left({\dfrac {\partial D}{\partial i}}\right)_{\!\lambda _{0}}\,(i-i_{0})\;$
Justifier, à l’aide de ce qui précède, que ce sont les composantes monochromatiques des rayons ayant un angle d’incidence de valeur $\;i\;$ restant au voisinage de $\;i_{m}$, qui fourniront des rayons émergeant parallèlement entre eux ${\big$variation de $\;D\;$ nulle à l’ordre un en $\;i-i_{m}{\big )}\;$ alors que Justifier, à l’aide de ce qui précède, que ce sont les composantes monochromatiques des rayons ayant un angle d’incidence de valeur $\;i\;$ restant au voisinage de $\;i_{0}\neq i_{m}$, fourniront des rayons émergeant non parallèlement entre eux ${\big$variation de $\;D\;$ non nulle à l’ordre un en $\;i-i_{0}{\big )}\;$.
Sur le schéma ci-contre $\;{\big$réalisé avec une seule réflexion interne${\big )}$, nous constatons que la dispersion est a priori relativement grande et le faisceau $\;\parallel \;$ tombant sur la goutte est dévié suivant pratiquement toutes les directions.
Considérant les rayons ayant un angle d'incidence de valeur $\;i\;$ restant au voisinage d'une valeur fixée $\;i_{0}$, ceux-ci sont « déviés d'un angle $\;D(i)\;$ différant peu de $\;D(i_{0});$», l'écart étant égal à «$\;D(i)-D(i_{0})\simeq {\dfrac {dD}{di}}(i_{0})\,(i-i_{0})\;$ à l'ordre un en $\;(i-i_{0})\;$», la dispersion autour de $\;D(i_{0})\;$ étant « d'autant plus faible que $\;{\bigg \vert }{\dfrac {dD}{di}}(i_{0}){\bigg \vert }\;$ est petit » ;
c'est donc pour $\;i_{0}=\pm \vert i_{m}\vert \;$ que la dispersion est la plus faible puisque $\;{\dfrac {dD}{di}}(\pm \vert i_{m}\vert )=0\;$, c'est-à-dire que ce sont les rayons ayant un angle d'incidence de valeur $\;i\;$ restant au voisinage des deux valeurs $\;\pm \vert i_{m}\vert \;$ qui fourniront des rayons émergeant parallèlement entre eux en faisant un angle $\;D(\pm \vert i_{m}\vert )\;$ avec la direction incidente, alors que ce sont les rayons ayant un angle d'incidence de valeur $\;i\;$ restant au voisinage des autres valeurs $\;i_{0}\neq \pm \vert i_{m}\vert \;$ fourniront des rayons émergeant non parallèlement entre eux et ceci d'autant plus que $\;{\bigg \vert }{\dfrac {dD}{di}}(i_{0}){\bigg \vert }\;$ sera grand.

### Justification des arcs-en-ciel primaire et secondaire par dispersion de la lumière blanche émise par le Soleil à travers les gouttelettes d'eau de l'atmosphère

Le pinceau lumineux incident résulte de la lumière blanche émise par le Soleil ; comme l'eau est dispersive, son indice $\;n\;$ varie avec la longueur d’onde dans le vide $\;\lambda _{0}$, et par suite $\;i_{m}\;$ et $\;D_{m}\;$ aussi.
On admettra que $\;n\;$ varie de $\;n_{V}=1,343\;$ à $\;n_{R}=1,329\;$ entre les extrémités violette et rouge du spectre visible.

#### Variation de la déviation extrémale en fonction de la couleur

Exprimer, en fonction de $\;p\;$ et $\;n$, la dérivée $\;{\dfrac {dD_{m}}{dn}}\;$ caractérisant la variation de la déviation extrémale en fonction de la couleur.
«$\;i_{m}\;$ dépendant de $\;n\;$ a des valeurs différentes suivant la longueur d'onde $\;\lambda _{0}\;$» ; il en est « de même pour $\;D_{m}=D(i_{m})=2\,(p+1)\,r_{m}-2\,i_{m}+p\,\pi \;$» ;
différenciant cette dernière expression ainsi que celles définissant $\;i_{m}\;$ et $\;r_{m}$, à savoir $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\sin ^{2}(i_{m})={\dfrac {(p+1)^{2}-n^{2}}{p\,(p+2)}}\\n\,\sin(r_{m})=\sin(i_{m})\end{array}}\right\rbrace$, on obtient respectivement
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}dD_{m}&=&2\,(p+1)\,dr_{m}-2\,di_{m}\\2\,\sin(i_{m})\,\cos(i_{m})\,di_{m}&=&-{\dfrac {2\,n}{p\,(p+2)}}\,dn\\n\,\cos(r_{m})\,dr_{m}+\sin(r_{m})\,dn&=&\cos(i_{m})\,di_{m}\end{array}}\right\rbrace \;$
de la 2ème relation on tire $\;di_{m}\;$ en fonction de $\;dn\;$ soit «$\;di_{m}=-{\dfrac {n}{p\,(p+2)\,\sin(i_{m})\,\cos(i_{m})}}\,dn\;$» et, après son report dans la 3ème relation,
on tire de cette dernière $\;dr_{m}\;$ en fonction de $\;dn\;$ soit $\;n\,\cos(r_{m})\,dr_{m}+\sin(r_{m})\,dn=-{\dfrac {n}{p\,(p+2)\,\sin(i_{m})}}\,dn\;$ $\Rightarrow$ «$\;dr_{m}=-\left[{\dfrac {1}{p\,(p+2)\,\sin(i_{m})\,\cos(r_{m})}}+{\dfrac {\sin(r_{m})}{n\,\cos(r_{m})}}\right]dn\;$» ;
ces deux expressions reportées dans la 1ère relation donne «$\;dD_{m}=\left[-{\dfrac {2\,(p+1)}{p\,(p+2)\,\sin(i_{m})\,\cos(r_{m})}}-{\dfrac {2\,(p+1)\,\sin(r_{m})}{n\,\cos(r_{m})}}+{\dfrac {2\,n}{p\,(p+2)\,\sin(i_{m})\,\cos(i_{m})}}\right]dn\;$» soit ces deux expressions reportées dans la 1ère relation donne «$\;{\dfrac {dD_{m}}{dn}}=2\left[{\dfrac {n}{p\,(p+2)\,\sin(i_{m})\,\cos(i_{m})}}-{\dfrac {p+1}{p\,(p+2)\,\sin(i_{m})\,\cos(r_{m})}}-{\dfrac {(p+1)\,\sin(r_{m})}{n\,\cos(r_{m})}}\right]\;$» ;
on élimine alors $\;r_{m}\;$ au profit de $\;i_{m}\;$ par $\;\sin(r_{m})={\dfrac {\sin(i_{m})}{n}}\;$ $\Rightarrow$ $\;\cos(r_{m})={\sqrt {1-\sin ^{2}(r_{m})}}={\dfrac {\sqrt {n^{2}-\sin ^{2}(i_{m})}}{n}}\;$ d'où «$\;{\dfrac {1}{\cos(r_{m})}}={\dfrac {n}{\sqrt {n^{2}-\sin ^{2}(i_{m})}}}\;$» et on élimine alors $\;\color {transparent}{r_{m}}\;$ au profit de $\;\color {transparent}{i_{m}}\;$ par $\;\color {transparent}{\sin(r_{m})={\dfrac {\sin(i_{m})}{n}}}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;\color {transparent}{\cos(r_{m})={\sqrt {1-\sin ^{2}(r_{m})}}={\dfrac {\sqrt {n^{2}-\sin ^{2}(i_{m})}}{n}}}\;$ d'où «$\;{\dfrac {\sin(r_{m})}{n\,\cos(r_{m})}}={\dfrac {\sin(i_{m})}{n\,{\sqrt {n^{2}-\sin ^{2}(i_{m})}}}}\;$» conduisant à on élimine alors $\;\color {transparent}{r_{m}}\;$ au profit de $\;\color {transparent}{i_{m}}\;$ «$\;{\dfrac {dD_{m}}{dn}}=2\left[{\dfrac {n}{p\,(p+2)\,\sin(i_{m})\,\cos(i_{m})}}-{\dfrac {n\,(p+1)}{p\,(p+2)\,\sin(i_{m})\,{\sqrt {n^{2}-\sin ^{2}(i_{m})}}}}-{\dfrac {(p+1)\,\sin(i_{m})}{n\,{\sqrt {n^{2}-\sin ^{2}(i_{m})}}}}\right]\;$» ou encore, en mettant $\;\sin(i_{m})\;$ en facteur, on élimine alors $\;\color {transparent}{r_{m}}\;$ au profit de $\;\color {transparent}{i_{m}}\;$ «$\;{\dfrac {dD_{m}}{dn}}=2\,\sin(i_{m})\left[{\dfrac {n}{p\,(p+2)\,\sin ^{2}(i_{m})\,\cos(i_{m})}}-{\dfrac {n\,(p+1)}{p\,(p+2)\,\sin ^{2}(i_{m})\,{\sqrt {n^{2}-\sin ^{2}(i_{m})}}}}-{\dfrac {(p+1)}{n\,{\sqrt {n^{2}-\sin ^{2}(i_{m})}}}}\right]\;$» ;
$\;i_{m}\;$
$\;n\;$
$\;\sin(i_{m})=\pm {\sqrt {\dfrac {(p+1)^{2}-n^{2}}{p\,(p+2)}}}\;$
$\Rightarrow$
$\;\sin ^{2}(i_{m})={\dfrac {(p+1)^{2}-n^{2}}{p\,(p+2)}}\;$
$\;\sin ^{2}(i_{m})\;$
$\;{\dfrac {dD_{m}}{dn}}$
$\;\color {transparent}{i_{m}}\;$
$\;\color {transparent}{n}\;$
$\;{\dfrac {dD_{m}}{dn}}=2\,\sin(i_{m})\left\lbrace {\dfrac {n}{\left[(p+1)^{2}-n^{2}\right]\cos(i_{m})}}-{\dfrac {(p+1)}{\sqrt {n^{2}-{\dfrac {(p+1)^{2}-n^{2}}{p\,(p+2)}}}}}\left[{\dfrac {n}{(p+1)^{2}-n^{2}}}+{\dfrac {1}{n}}\right]\right\rbrace \;$
$\;\color {transparent}{i_{m}}\;$
$\;\color {transparent}{n}\;$
$\;{\dfrac {dD_{m}}{dn}}=2\,\sin(i_{m})\left\lbrace {\dfrac {n}{\left[(p+1)^{2}-n^{2}\right]\cos(i_{m})}}-{\dfrac {1}{\sqrt {\dfrac {n^{2}-1}{p\,(p+2)}}}}\left[{\dfrac {n}{(p+1)^{2}-n^{2}}}+{\dfrac {1}{n}}\right]\right\rbrace \;$
$\;{\dfrac {1}{(p+1)^{2}-n^{2}}}\;$
$\;\color {transparent}{i_{m}}\;$
$\;\color {transparent}{n}\;$
$\;{\dfrac {dD_{m}}{dn}}={\dfrac {2\,\sin(i_{m})}{(p+1)^{2}-n^{2}}}\left[{\dfrac {n}{\cos(i_{m})}}-{\sqrt {\dfrac {p\,(p+2)}{n^{2}-1}}}\;{\dfrac {(p+1)^{2}}{n}}\right]\;$
$\;\cos(i_{m})={\sqrt {1-\sin ^{2}(i_{m})}}\;$
$\;\cos(i_{m})={\sqrt {1-{\dfrac {(p+1)^{2}-n^{2}}{p\,(p+2)}}}}\;$
$\;\color {transparent}{i_{m}}\;$
$\;\color {transparent}{n}\;$
$\;\color {transparent}{{\dfrac {dD_{m}}{dn}}={\dfrac {2\,\sin(i_{m})}{(p+1)^{2}-n^{2}}}\left[{\dfrac {n}{\cos(i_{m})}}-{\sqrt {\dfrac {p\,(p+2)}{n^{2}-1}}}\;{\dfrac {(p+1)^{2}}{n}}\right]}\;$
$\;\cos(i_{m})={\sqrt {\dfrac {n^{2}-1}{p\,(p+2)}}}\;$
$\;\color {transparent}{i_{m}}\;$
$\;\color {transparent}{n}\;$
$\;\color {transparent}{{\dfrac {dD_{m}}{dn}}={\dfrac {2\,\sin(i_{m})}{(p+1)^{2}-n^{2}}}\left[{\dfrac {n}{\cos(i_{m})}}-{\sqrt {\dfrac {p\,(p+2)}{n^{2}-1}}}\;{\dfrac {(p+1)^{2}}{n}}\right]}\;$
$\;{\dfrac {1}{\cos(i_{m})}}={\sqrt {\dfrac {p\,(p+2)}{n^{2}-1}}}$
$\;\color {transparent}{i_{m}}\;$
$\;\color {transparent}{n}\;$
$\;{\dfrac {dD_{m}}{dn}}={\dfrac {2\,\sin(i_{m})}{(p+1)^{2}-n^{2}}}\,{\sqrt {\dfrac {p\,(p+2)}{n^{2}-1}}}\left[n-{\dfrac {(p+1)^{2}}{n}}\right]=-{\dfrac {2\,\sin(i_{m})}{n}}\,{\sqrt {\dfrac {p\,(p+2)}{n^{2}-1}}}\;$
$\;\color {transparent}{i_{m}}\;$
$\;\color {transparent}{n}\;$
$\;\sin(i_{m})=\pm {\sqrt {\dfrac {(p+1)^{2}-n^{2}}{p\,(p+2)}}}$
$\;{\dfrac {dD_{m}}{dn}}=\mp {\dfrac {2}{n}}\,{\sqrt {\dfrac {(p+1)^{2}-n^{2}}{n^{2}-1}}}\;$

#### Conditions d'observation d'arcs-en-ciel pour un observateur situé au sol, description des arcs-en-ciel primaire et secondaire

En pratique, on n'observe que les accumulations de lumière correspondant à $\;p=1\;$ et à $\;p=2\;$ ${\big$ces dernières étant toutefois moins visibles${\big )}\;$ ;
En pratique, un observateur au niveau du sol doit tourner le dos au Soleil pour voir un arc-en-ciel ; ce dernier sera observable du sol si les rayons émergents se dirigent vers la Terre c'est-à-dire En pratique, un observateur au niveau du sol doit tourner le dos au Soleil pour voir un arc-en-ciel ; ce dernier sera observable du sol pour un signe déterminé de $\;i_{m}$,
En pratique, on admettra que pour voir l'arc-en-ciel primaire au niveau du sol, $\;i_{m}\;$ doit être $\;>0\;$ et que En pratique, on admettra que pour voir l'arc-en-ciel secondaire, toujours au niveau du sol, $\;i_{m}\;$ doit être $\;<0\;$.
Justifier, dans les conditions expérimentales optimales, l'observation des deux arcs-en-ciel ;
décrire la disposition des couleurs qui se succèdent dans un arc-en-ciel primaire et décrire la disposition des couleurs qui se succèdent dans un arc-en-ciel secondaire.
$\;(p=1)$
$\;i_{m}\simeq 59,58\,{\text{°}}\;$
$\;D_{m}\simeq 222,52\,{\text{°}}\;$
${\big$
$\;i_{m}\simeq -59,58\,{\text{°}}\;$
$\;D_{m}\simeq 137,48\,{\text{°}}$
${\big )}$
$\;i_{m}>0$
$\;{\dfrac {dD_{m}}{dn}}=-{\dfrac {2}{n}}\,{\sqrt {\dfrac {(p+1)^{2}-n^{2}}{n^{2}-1}}}=-{\dfrac {2}{n}}\,{\sqrt {\dfrac {4-n^{2}}{n^{2}-1}}}<0\;$
$\Rightarrow$
$\;D_{m}\;$
$\;\searrow \;$
$\;n\;$
$\;D_{m,\,{\text{violet}}}<D_{m,\,{\text{rouge}}}\;$
$\;n_{\text{violet}}>n_{\text{rouge}}$
nous avons donc la disposition des composantes monochromatiques émergentes des couleurs extrêmes correspondant à un même rayon incident polychromatique représentée sur le schéma ci-dessous à droite, « le rouge étant au-dessus du violet » ;
* Disposition du Soleil relativement à l'observateur pour que ce dernier, situé au sol, voit un arc-en-ciel primaire
* Arc-en-ciel primaire vu du sol : composantes émergentes monochromatiques provenant d'un même rayon incident polychromatique
l'observateur peut voir toute composante monochromatique émergente provenant du nuage pourvu qu'elle aboutisse sur son œil et qu'elle fasse l'angle $\;D_{m}\;$ avec la direction incidente ; cela correspond à l'observateur peut voir l'ensemble des composantes émergentes de même couleur se dirigeant vers l'œil et se trouvant sur le cône de révolution caractérisé, pour cette couleur, par son sommet « l'œil », son axe « la direction incidente » et son demi angle au sommet $\;\alpha =D_{m}-180\,{\text{°}}\;$ ;
l'observateur peut voir bien sûr ces composantes émergentes de même couleur n'existent que si elles proviennent de gouttelettes c'est-à-dire que seule la partie du cône de révolution de cette couleur ayant une intersection avec le nuage fournira de telles composantes émergentes $\;{\big$voir le schéma ci-contre à droite${\big )}$.
Il existe autant de cônes supports de composantes monochromatiques émergentes qu'il y a de couleurs dans la lumière blanche du Soleil et dans l'hypothèse d’une seule réflexion $\;{\big$nécessaire pour que l'arc-en-ciel soit primaire${\big )}$, les couleurs rouge et violette sont respectivement vers l'extérieur et vers l'intérieur, voir schéma ci-contre à gauche avec un demi angle au sommet pour le rouge $\;D_{m,\,p=1,\,{\text{en °}}}(n_{R})-180\,{\text{°}}$ $=4\,r_{m}(n_{R})-2\,i_{m}\;$ avec $\;i_{m}\simeq 59,58\,{\text{°}}\;$ et $\;r_{m}(n_{R})=$ $\arcsin \!\left[{\dfrac {\sin(i_{m})}{n_{R}}}\right]\;$ $\simeq \arcsin \!\left[{\dfrac {\sin(59,58\,{\text{°}})}{1,329}}\right]\simeq 40,46\,{\text{°}}\;$ d'où $\;D_{m,\,p=1,\,{\text{en °}}}(n_{R})-180\,{\text{°}}\simeq 42,68\,{\text{°}}\;$ et un demi angle au sommet pour le violet $\;D_{m,\,p=1,\,{\text{en °}}}(n_{V})-180\,{\text{°}}=4\,r_{m}(n_{V})-2\,i_{m}\;$ avec $\;i_{m}\simeq 59,58\,{\text{°}}\;$ et $\;r_{m}(n_{V})=$ $\arcsin \!\left[{\dfrac {\sin(i_{m})}{n_{V}}}\right]\;$ $\simeq \arcsin \!\left[{\dfrac {\sin(59,58\,{\text{°}})}{1,343}}\right]\simeq 39,95\,{\text{°}}\;$ d'où $\;D_{m,\,p=1,\,{\text{en °}}}(n_{V})-180\,{\text{°}}\simeq 40,64\,{\text{°}}$.
$\;(p=2)$
$\;i_{m}\simeq -71,94\,{\text{°}}\;$
$\;D_{m}\simeq 230,10\,{\text{°}}\;$
${\big$
$\;i_{m}\simeq 71,94\,{\text{°}}\;$
$\;D_{m}\simeq 129,90\,{\text{°}}$
${\big )}$
$\;i_{m}<0$
$\;{\dfrac {dD_{m}}{dn}}={\dfrac {2}{n}}\,{\sqrt {\dfrac {(p+1)^{2}-n^{2}}{n^{2}-1}}}={\dfrac {2}{n}}\,{\sqrt {\dfrac {9-n^{2}}{n^{2}-1}}}>0\;$
$\Rightarrow$
$\;D_{m}\;$
$\;\nearrow \;$
$\;n\;$
$\;D_{m,\,{\text{violet}}}>D_{m,\,{\text{rouge}}}\;$
$\;n_{\text{violet}}>n_{\text{rouge}}$
nous avons donc la disposition des composantes monochromatiques émergentes des couleurs extrêmes correspondant à un même rayon incident polychromatique telle que « le violet est au-dessus du rouge » ;
l'observateur peut voir toute composante monochromatique émergente provenant du nuage pourvu qu'elle aboutisse sur son œil, qu'elle transporte une puissance lui permettant d'être perçue par son œil et qu'elle fasse l'angle $\;D_{m}\;$ avec la direction incidente ; cela correspond à l'observateur peut voir l'ensemble des composantes émergentes de même couleur, se dirigeant avec une puissance suffisante vers l'œil et se trouvant sur le cône de révolution dont les caractéristiques, pour cette couleur, s'obtiennent de la même façon que celles obtenues lors de l'observation d'un arc-en-ciel primaire ; l'observateur peut voir là encore ces composantes émergentes de même couleur n'existent que si elles proviennent de gouttelettes c'est-à-dire que seule la partie du cône de révolution de cette couleur ayant une intersection avec le nuage fournira de telles composantes émergentes.
Il existe autant de cônes supports de composantes monochromatiques émergentes qu'il y a de couleurs dans la lumière blanche du Soleil et dans l'hypothèse de deux réflexions internes $\;{\big$nécessaire pour que l'arc-en-ciel soit secondaire${\big )}$, les couleurs violette et rouge sont respectivement vers l'extérieur et vers l'intérieur, voir schéma ci-contre avec  un demi angle au sommet pour le rouge $\;D_{m,\,p=2,\,{\text{en °}}}(n_{R})-180\,{\text{°}}=6\,r_{m}(n_{R})-2\,i_{m}+180\,{\text{°}}\;$ avec $\;i_{m}\simeq -71,94\,{\text{°}}\;$ et $\;r_{m}(n_{R})=$ $\arcsin \!\left[{\dfrac {\sin(i_{m})}{n_{R}}}\right]\;$ $\simeq \arcsin \!\left[{\dfrac {\sin(-71,94\,{\text{°}})}{1,329}}\right]\simeq -45,67\,{\text{°}}\;$ d'où $\;D_{m,\,p=2,\,{\text{en °}}}(n_{R})-180\,{\text{°}}\simeq 49,86\,{\text{°}}\;$ et un demi angle au sommet pour le violet $\;D_{m,\,p=2,\,{\text{en °}}}(n_{V})-180\,{\text{°}}=6\,r_{m}(n_{V})-2\,i_{m}+180\,{\text{°}}\;$ avec $\;i_{m}\simeq -71,94\,{\text{°}}\;$ et $\;r_{m}(n_{V})=$ $\arcsin \!\left[{\dfrac {\sin(i_{m})}{n_{V}}}\right]\;$ $\simeq \arcsin \!\left[{\dfrac {\sin(-71,94\,{\text{°}})}{1,343}}\right]\simeq -45,07\,{\text{°}}\;$ d'où $\;D_{m,\,p=2,\,{\text{en °}}}(n_{V})-180\,{\text{°}}\simeq 53,46\,{\text{°}}$ ; dans la mesure où l'arc-en-ciel secondaire est observable, il est situé légèrement au-dessus de l'arc-en-ciel primaire, les deux étant séparés approximativement de $\;7\,{\text{°}}\;$ de hauteur angulaire.

#### Largeur angulaire du spectre de l'arc-en-ciel primaire et de celui de l'arc-en-ciel secondaire

Calculer $\;\delta \theta _{1}\;$ et $\;\delta \theta _{2}\;$ les largeurs angulaires des spectres des arcs-en-ciel respectivement primaire et secondaire définies selon
$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\delta \theta _{1}=\vert D_{m,\,p=1}(n_{R})-D_{m,\,p=1}(n_{V})\vert \simeq {\Bigg \vert }{\dfrac {dD_{m,\,p=1}}{dn}}(n_{\text{moy}})\;(n_{R}-n_{V}){\Bigg \vert }\\\delta \theta _{2}=\vert D_{m,\,p=2}(n_{R})-D_{m,\,p=2}(n_{V})\vert \simeq {\Bigg \vert }{\dfrac {dD_{m,\,p=2}}{dn}}(n_{\text{moy}})\;(n_{R}-n_{V}){\Bigg \vert }\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;\delta \theta _{1}=\vert D_{m,\,p=1}(n_{R})-D_{m,\,p=1}(n_{V})\vert \simeq {\Bigg \vert }{\dfrac {dD_{m,\,p=1}}{dn}}(n_{\text{moy}})\;(n_{R}-n_{V}){\Bigg \vert }\;$
$\;{\dfrac {dD_{m,\,p=1}}{dn}}(n)\;$
$\;\delta \theta _{1}\simeq {\Bigg \vert }-\left({\dfrac {2}{n_{\text{moy}}}}\,{\sqrt {\dfrac {(p+1)^{2}-n_{\text{moy}}^{2}}{n_{\text{moy}}^{2}-1}}}\right)_{\!\!p=1}\;(n_{R}-n_{V}){\Bigg \vert }\;$
$\;n_{R}\simeq =1,329$
$\;n_{V}\simeq =1,343\;$
$\;n_{\text{moy}}={\dfrac {n_{R}+n_{V}}{2}}\simeq {\dfrac {1,329+1,343}{2}}\simeq 1,336$
$\;\delta \theta _{1}\simeq {\dfrac {2}{1,336}}\times {\sqrt {\dfrac {4-(1,336)^{2}}{(1,336)^{2}-1}}}\times (1,343-1,329)\simeq 3,521\,10^{-2}\,rad\;$
$\;\delta \theta _{1}\simeq 2,017\,{\text{°}}\;$
$\;\delta \theta _{2}=\vert D_{m,\,p=2}(n_{R})-D_{m,\,p=2}(n_{V})\vert \simeq {\Bigg \vert }{\dfrac {dD_{m,\,p=2}}{dn}}(n_{\text{moy}})\;(n_{R}-n_{V}){\Bigg \vert }\;$
$\;{\dfrac {dD_{m,\,p=1}}{dn}}(n)\;$
$\;\delta \theta _{2}\simeq {\Bigg \vert }\left({\dfrac {2}{n_{\text{moy}}}}\,{\sqrt {\dfrac {(p+1)^{2}-n_{\text{moy}}^{2}}{n_{\text{moy}}^{2}-1}}}\right)_{p=2}\;(n_{R}-n_{V}){\Bigg \vert }\;$
$\;n_{R}$
$\;n_{V}\;$
$\;n_{\text{moy}}$
$\;\delta \theta _{2}\simeq {\dfrac {2}{1,336}}\times {\sqrt {\dfrac {9-(1,336)^{2}}{(1,336)^{2}-1}}}\times (1,343-1,329)\simeq 6,354\,10^{-2}\,rad\;$
$\;\delta \theta _{2}\simeq 3,641\,{\text{°}}\;$
Remarque : Le spectre de l'arc-en-ciel secondaire est peu visible car, d'une part, plus étendu que celui du primaire $\;{\big3,64\,{\text{°}}\;$ au lieu de $\;2,02\,{\text{°}}{\big )}\;$ et Remarque : Le spectre de l'arc-en-ciel secondaire est peu visible car, d'autre part, résultant d'une réflexion interne supplémentaire avec un facteur de réflexion énergétique $\;R<1$.