# Barycentre/Travail pratique/Barycentre de 2 points pondérés
## Activité d’introduction

Tout le monde connaît le principe du bras de levier : cela permet de déplacer une grosse pierre simplement à l'aide d'un bâton.
C'est le principe qu'on retrouve dans une balance.
Une fois n’est pas coutume, commençons par une expérience. Je sais, vous êtes devant un ordinateur, mais rassurez vous, il ne s'agit pas de prendre un tournevis pour en forcer l'ouverture en utilisant le principe du bras de levier.
Observez les différentes images ci-dessous, et indiquer à chaque fois où, selon vous et de façon instinctive, vous placeriez le point d'équilibre de la balance.
Avec les notations de la figure suivante :
On a :
| Expérience | ${\rm {GA}}$ | $m\cdot {\rm {GA}}$ | ${\rm {GB}}$ | $m'\cdot {\rm {GB}}$ |
| 1 | 2 | $1\times 2=2$ | 1 | $2\times 1=2$ |
| 2 | 2 | $3\times 2=6$ | 3 | $2\times 3=6$ |
| 3 | 4 | $1\times 4=4$ | 1 | $4\times 1=4$ |
| 4 | 2 | $4\times 2=8$ | 4 | $2\times 4=8$ |
| 5 | 2 | $5\times 2=10$ | 5 | $2\times 5=10$ |
| 6 | 5 | $3\times 5=15$ | 3 | $5\times 3=15$ |
À chaque fois, on a $m\cdot {\rm {GA}}=m'\cdot {\rm {GB}}$, et comme les vecteurs ${\overrightarrow {\rm {GA}}}$ et ${\overrightarrow {\rm {GB}}}$ sont de sens opposés, on obtient $m{\overrightarrow {\rm {GA}}}=-m'{\overrightarrow {\rm {GB}}}$.
Donc le point d'équilibre de la balance est déterminé par l'égalité vectorielle :
$m{\overrightarrow {\rm {GA}}}+m'{\overrightarrow {\rm {GB}}}={\overrightarrow {0}}$
En mathématiques, le fait d'affecter des « poids » à des points s’appelle la pondération. Lorsqu'on est en présence de plusieurs points auxquels on a affecté des poids, on dit qu'on a un système de points pondérés.
Ainsi, la situation de la figure suivante :
est représentée mathématiquement par le système de points pondérés
$\{({\rm {A}},m);({\rm {B}},m')\}$
qui signifie que le point A est affecté du poids m et que le point B est affecté du poids m'.
Le point G vérifiant l'égalité $m{\overrightarrow {\rm {GA}}}+m'{\overrightarrow {\rm {GB}}}={\overrightarrow {0}}$ sera appelé en physique le centre de gravité du système de points pondérés $\{({\rm {A}},m);({\rm {B}},m')\}$. En mathématiques, on parlera de barycentre.

## Emplacement d'un Barycentre de deux points pondérés

Propriété 1 : Le barycentre de deux points se trouve obligatoirement sur la droite passant par les deux points.
$\{({\rm {A}},m);({\rm {B}},m')\}$ ==> G appartient à (AB)
Vous pouvez d'ailleurs le constater à travers l'activité d’introduction ci-dessus. Lorsque nous aurons trois points pondérés ou plus (cf chapitre suivant), le point G sera plus difficile à placer.
Propriété 1 — 2 : Si les coefficients m et m' sont de même signe, le barycentre se trouve obligatoirement sur le segment des deux points.
$\{({\rm {A}},m);({\rm {B}},m')\}$ ==> G appartient à [AB]
Propriété 1 — 3 : Si les coefficients m et m' sont de signes opposés, le barycentre se trouve sur la droite passant par les deux points mais pas sur son segment.
$\{({\rm {A}},m);({\rm {B}},m')\}$ ==> G appartient à (AB) et G n'appartient pas à [AB]
Propriété 1 — 4 : Si les coefficients m et m' sont de signes opposés, le barycentre se trouve du côté de la droite qui a le coefficient pondéré le plus élevé numériquement.
Si |m|<|m'|, $\{({\rm {A}},m);({\rm {B}},m')\}$ ==> G appartient à [AB) et G n'appartient pas à [AB]
Si |m|>|m'|, $\{({\rm {A}},m);({\rm {B}},m')\}$ ==> G appartient à (AB] et G n'appartient pas à [AB]

## Coordonnées du barycentre

Les boîtes déroulantes intitulées « Coup de pouce » contiennent des éléments essentiels de cours ou des méthodes qui doivent être absolument maîtrisées. Si vous ne savez pas comment vous y prendre et que vous avez besoin d'y jeter un œil, relisez le cours après avoir fait l'exercice.
On suppose travailler dans le plan muni d'un repère ${\mathcal {R}}=(O,{\vec {i}},{\vec {j}})$ dans lequel on a deux points ${\rm {A}}(x_{A},y_{A})$ et ${\rm {B}}(x_{B},y_{B})$.
On considère alors le système de points pondérés $\{({\rm {A}},\alpha );({\rm {B}},\beta )\}$ tel que $\alpha +\beta \neq 0$. Le barycentre G de ce système de points existe.

### Calculer les coordonnées de G dans le repère ${\mathcal {R}}$.

La manière la plus simple consiste à utiliser la propriété de réduction:
    Si G est le barycentre du système de points pondérés $\left\{({\rm {A}},\alpha );({\rm {B}},\beta )\right\}$, alors pour tout point M du plan :
$\alpha {\overrightarrow {\rm {MA}}}+\beta {\overrightarrow {\rm {MB}}}=(\alpha +\beta ){\overrightarrow {\rm {MG}}}$
Pour trouver les coordonnées de G, écrivez la propriété de réduction en ${\rm {M=O}}$.
D'après la propriété de réduction, on sait que pour tout point M de l'espace
    $\alpha {\overrightarrow {\rm {MA}}}+\beta {\overrightarrow {\rm {MB}}}=(\alpha +\beta ){\overrightarrow {\rm {MG}}}$
On applique cette formule en O :
    $\alpha {\overrightarrow {\rm {OA}}}+\beta {\overrightarrow {\rm {OB}}}=(\alpha +\beta ){\overrightarrow {\rm {OG}}}$
Donc
    ${\overrightarrow {\rm {OG}}}={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}{\overrightarrow {\rm {OA}}}+{\frac {\beta }{\alpha +\beta }}{\overrightarrow {\rm {OB}}}$
Comme O est l'origine du repère ${\mathcal {R}}$, on obtient le résultat :
    ${\begin{cases}x_{G}=\displaystyle {{\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}x_{A}+{\frac {\beta }{\alpha +\beta }}x_{B}}\\y_{G}=\displaystyle {{\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}y_{A}+{\frac {\beta }{\alpha +\beta }}y_{B}}\\\end{cases}}$
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