# Dérivation/Fonction dérivée

Dans ce chapitre nous définirons la dérivée d'une fonction à étudier qui jouera un rôle important dans l'étude du sens de variation de la fonction concernée. Nous établirons ensuite les dérivées des fonctions de référence.

## Définition de la fonction dérivée

Nous poserons simplement la définition suivante :
Soit $f$ une fonction. On appelle dérivée de $f$, que l'on notera $f'$, la fonction qui à tout réel $x$ du domaine de définition de $f$ associe le nombre dérivée en $x$. Autrement dit :
$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$
Le nombre dérivée n'étant pas nécessairement défini pour tout point, nous voyons que le domaine de définition de la fonction dérivée $f'$ n'est pas forcément égal au domaine de définition de $f$.
Nous désignerons le domaine de définition de $f'$ par l'expression domaine de dérivabilité.

## Dérivées des fonctions de référence
#### Fonction constante

Soit $f$ une fonction définie par :
$f(x)=k$
$k$ étant un réel donné.
Nous avons alors :
$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {k-k}{h}}=0$

#### Fonction identité

Soit $f$ une fonction définie par :
$f(x)=x$
Nous avons alors :
$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {x+h-x}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {h}{h}}=\lim _{h\to 0}1=1$

#### Fonction carré

Soit $f$ une fonction définie par :
$f(x)=x^{2}$
Nous avons alors :
$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)^{2}-x^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {x^{2}+2xh+h^{2}-x^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {2xh+h^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {h(2x+h)}{h}}=\lim _{h\to 0}(2x+h)=2x$

#### Fonction cube

Soit $f$ une fonction définie par :
$f(x)=x^{3}$
Nous avons alors :
$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)^{3}-x^{3}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}-x^{3}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {h(3x^{2}+3xh+h^{2})}{h}}=\lim _{h\to 0}(3x^{2}+3xh+h^{2})=3x^{2}$

#### Fonction inverse

Soit $f$ une fonction définie par :
$f(x)={\frac {1}{x}}$
Nous avons alors :
$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {{\frac {1}{x+h}}-{\frac {1}{x}}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\frac {x-x-h}{x(x+h)}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {-h}{hx(x+h)}}=\lim _{h\to 0}{\frac {-1}{x(x+h)}}=-{\frac {1}{x^{2}}}$

#### Fonction racine carré

Soit $f$ une fonction définie par :
$f(x)={\sqrt {x}}$
Nous avons alors :
$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {{\sqrt {x+h}}-{\sqrt {x}}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {({\sqrt {x+h}}-{\sqrt {x}})({\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}})}{h({\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}})}}=\lim _{h\to 0}{\frac {x+h-x}{h({\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}})}}=\lim _{h\to 0}{\frac {h}{h({\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}})}}=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{({\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}})}}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$

#### Fonction puissance

Soit $f$ une fonction définie par :
$f(x)=x^{n}$
Pour calculer la dérivée de cette fonction, nous aurons besoin de l'identité remarquable :
$a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+a^{n-4}b^{3}+\cdots +ab^{n-2}+b^{n-1})$
Pour établir cette identité, il nous suffit de développer le second membre :
${\begin{aligned}(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+a^{n-4}b^{3}+\cdots +ab^{n-2}+b^{n-1})&=a(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+a^{n-4}b^{3}+\cdots +ab^{n-2}+b^{n-1})\\&\qquad \qquad -b(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+a^{n-4}b^{3}+\cdots +ab^{n-2}+b^{n-1})\\&=(a^{n}+a^{n-1}b+a^{n-2}b^{2}+a^{n-3}b^{3}+\cdots +a^{2}b^{n-2}+ab^{n-1})\\&\qquad \qquad -(a^{n-1}b+a^{n-2}b^{2}+a^{n-3}b^{3}+a^{n-4}b^{4}+\cdots +ab^{n-1}+b^{n})\\&=a^{n}+a^{n-1}b+a^{n-2}b^{2}+a^{n-3}b^{3}+\cdots +a^{2}b^{n-2}+ab^{n-1}\\&\qquad \ \,-a^{n-1}b-a^{n-2}b^{2}-a^{n-3}b^{3}-\cdots -a^{2}b^{n-2}-ab^{n-1}-b^{n}\\&=a^{n}-b^{n}\end{aligned}}$
Si $a$ est différent de $b$, on peut alors écrire :
${\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}=a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+a^{n-4}b^{3}+\cdots +ab^{n-2}+b^{n-1}$
En se basant sur les puissances, nous voyons qu'il y a $n$ termes dans le second membre.
En posant $a=x+h$ et $b=x$, nous obtenons :
${\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}=(x+h)^{n-1}+(x+h)^{n-2}x+(x+h)^{n-3}x^{2}+(x+h)^{n-4}b^{3}+\cdots +(x+h)x^{n-2}+x^{n-1}$
Nous avons alors :
${\begin{aligned}f'(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}\left[(x+h)^{n-1}+(x+h)^{n-2}x+(x+h)^{n-3}x^{2}+(x+h)^{n-4}b^{3}+\cdots +(x+h)x^{n-2}+x^{n-1}\right]\\&=x^{n-1}+x^{n-2}x+x^{n-3}x^{2}+x^{n-4}x^{3}+\cdots +x.x^{n-2}+x^{n-1}\\&=\underbrace {x^{n-1}+x^{n-1}+x^{n-1}+x^{n-1}+\cdots +x^{n-1}+x^{n-1}} _{\textrm {ntermes}}\\&=nx^{n-1}\end{aligned}}$

## Dérivée successives

Comme nous le verrons plus loin, la fonction dérivée $f'$ nous facilite l'étude de la fonction $f$. Mais nous pouvons aussi être amenés à étudier la fonction dérivée elle-même. Et pour facilité cette étude, nous utiliserons la dérivée de la fonction dérivée. Nous donnerons donc la définition suivante :
Soit $f$ une fonction et soit $f'$ sa fonction dérivée. On appelle dérivée seconde la fonction noté $f''$ et définie par :
$f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-f'(x)}{h}}$
Autrement dit, la fonction dérivée seconde de la fonction $f$ est la dérivée de la dérivée de $f$.
Nous pouvons ainsi dériver successivement et autant de fois que nécessaire les dérivées successives d'une fonction :
$f'''$ est la dérivée de $f''$
$f^{(4)}$ est la dérivée de $f'''$
$f^{(5)}$ est la dérivée de $f^{(4)}$
$\qquad \qquad \vdots$
$f^{(n)}$ est la dérivée de $f^{(n-1)}$

## Dérivée et continuité

Nous avons le théorème suivant :
Soit $f$ une fonction dont le domaine de dérivabilité est ${\mathcal {D}}$.
Alors $f$ est continue sur ${\mathcal {D}}$
Supposons $f$ dérivable en un point $x_{0}$.
Cela implique que :
$\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$
existe et est finie.
Mais comme le dénominateur tend vers $0$. On a donc aussi :
$\lim _{h\to 0}f(x_{0}+h)-f(x_{0})=0$
Qui peut s'écrire :
$\lim _{h\to 0}f(x_{0}+h)=f(x_{0})$
Ce qui montre que $f$ est continue en $x_{0}$.
| Nombre dérivé | Opérations entre fonctions |