# Signaux physiques (PCSI)/Introduction au monde quantique : dualité onde-particule
## Exemples d'expérience mettant en évidence la notion de photon (ou particule de lumière) : l'effet photoélectrique et la diffusion Compton

Il s'agit des 1$^{ères}$ mises en évidence reconnues historiquement, l'électron émis étant considéré comme une particule, la lumière doit être un ensemble de particules de lumière pour interpréter l'effet photoélectrique $\;{\big$ou la diffusion Compton${\big )}$.

### Description de l'effet photoélectrique

C'est l'émission d'électrons par un métal lorsqu'il est éclairé par un rayonnement du domaine visible ou ultra-violet ;
le phénomène n'existe que si la longueur d'onde du rayonnement dans le vide $\;\lambda _{0}\;$ est $\;<\;$ à une longueur d'onde de seuil $\;\lambda _{\text{seuil}}\;$ caractéristique du métal et le phénomène n'existe si cette longueur d'onde $\;\lambda _{0}\;$ est $\;>\;$ à $\;\lambda _{\text{seuil}}\;$ il n'y a pas d'effet photoélectrique possible même si le rayonnement correspond à une « puissance très intense ».

### Interprétation de l'effet photoélectrique en considérant l'aspect corpusculaire de la lumière (Einstein 1905)

En $\;1900$, pour interpréter le spectre d'émission du rayonnement électromagnétique d'un corps chauffé $\;{\big$émission essentiellement dans l'infra-rouge${\big )}\;$, En $\;\color {transparent}{1900}$, Max Planck supposa que l'énergie s'échange entre la matière et le rayonnement par multiples d'une valeur minimale « le quantum d'énergie » dont l'expression est liée à la fréquence $\;\nu \;$ de l'onde par «$\;E_{\text{quantum}}=h\;\nu \;$» $\;{\big$relation de Planck - Einstein$^,$${\big )}\;$ où $\;h\;$ est une constante fondamentale de la physique $\;{\big$appelée à l'heure actuelle « constante de Planck » et valant «$\;h\simeq$ $6,62607015\;10^{-34}\;J\cdot s\;$»${\big )}$ ;
en $\;1905$, Albert Einstein reprit l'hypothèse de Planck en supposant que la lumière elle-même $\;{\big$et non plus les échanges entre la matière et la lumière${\big )}\;$ est un ensemble de « quanta de lumière », chaque « grain » de lumière étant d'énergie $\;h\;\nu \;$ ;
pour Einstein, l'effet photoélectrique devient l'absorption par un électron du métal d'un seul quantum de lumière et si cette énergie est suffisante, l'électron peut être arraché au métal ;
énergies potentielles de liaison dans un métal suivant que l'électron considéré est effectivement lié ou arraché au métal : énergies potentielles de liaison dans un métal un électron, lié au métal, possédant de l'énergie potentielle de liaison, énergies potentielles de liaison dans un métal un électron, n'est plus lié s'il est arraché au métal par absorption d'énergie, énergies potentielles de liaison dans un métal un électron, n'est plus lié dans cette situation il est légitime de considérer cette énergie potentielle de liaison nulle ; énergies potentielles de liaison dans un métal définissant la référence de l'énergie potentielle de liaison de l'électron dans le métal quand l'électron est arraché, énergies potentielles de liaison dans un métal définissant la référence on en déduit que, lié au métal, il possède une énergie potentielle de liaison $\;{\mathcal {E}}_{p,\,{\text{liaison}}}<0\;$ dépendant du métal ; énergies potentielles de liaison dans un métal on définit «$\;{\mathcal {E}}_{p,\,{\text{liaison}}}\;$» en introduisant « le travail d'extraction » correspondant $\;W_{\text{extraction}}>0\;$ comme l'énergie minimale à fournir pour que l'électron, pris dans son état fondamental $\;{\big$c.-à-d. non excité${\big )}$, puisse être arraché au métal c.-à-d. obéissant à la règle de conservation de l'énergie de l'électron «$\;{\mathcal {E}}_{p,\,{\text{liaison}}}+W_{\text{extraction}}=0\;$» d'où énergies potentielles de liaison dans un métal on définit «$\;{\mathcal {E}}_{p,\,{\text{liaison}}}=-W_{\text{extraction}}<0\;$» ;
énergies potentielles de liaison dans un métal quelques valeurs de travail d'extraction pour différents métaux :  énergies potentielles de liaison dans un métal quelques valeurs «$\;{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline {\text{fer}}&{\text{césium}}&{\text{potassium}}&{\text{magnésium}}&{\text{zinc}}&{\text{nickel}}\\\hline W_{Fe}=1,8\;eV&W_{Cs}=2,1\;eV&W_{K}=2,4\;eV&W_{Mg}=2,4\;eV&W_{Zn}=3,4\;eV&W_{Ni}=5,0\;eV\\\hline \end{array}}\;$» ;
l'électron lié au métal peut donc être arraché si « l'énergie du quantum de lumière qu'il absorbe est $\;>\;$ au travail d'extraction du métal » soit l'électron lié au métal peut donc être arraché si «$\;h\;\nu >W_{\text{extraction}}\;$» ou «$\;\nu >{\dfrac {W_{\text{extraction}}}{h}}=\nu _{\text{seuil}}\;$» ou encore, l'électron lié au métal peut donc être arraché si en termes de longueur d'onde dans le vide, «$\;\lambda _{0}={\dfrac {c}{\nu }}<{\dfrac {h\;c}{W_{\text{extraction}}}}=\lambda _{\text{seuil}}\;$», par exemple l'électron lié au métal peut donc être arraché si en termes de longueur d'onde dans le vide, la longueur d'onde de seuil de l'effet photoélectrique pour le fer est «$\;\lambda _{\text{seuil, Fe}}={\dfrac {h\;c}{W_{Fe}}}\;$ avec $\;W_{Fe}\;$ en $\;J\;$ soit $\;W_{Fe}\simeq 1,8\times 1,6\;10^{-19}\simeq 2,88\;10^{-19}\;J\;$» $\Rightarrow$ «$\;\lambda _{\text{seuil, Fe}}\simeq {\dfrac {6,626\;10^{-34}\times 3\;10^{8}}{2,88\;10^{-19}}}\;$ en $\;m\;$» soit «$\;\lambda _{\text{seuil, Fe}}\simeq 0,69\;\mu m\;$» justifiant l'« effet photoélectrique dans le fer pour le visible et les U.V. à l'exclusion du rouge et des I.R. en accord avec $\;\lambda _{0}<\lambda _{\text{seuil, Fe}}\simeq 0,69\;\mu m\;$» et l'électron lié au métal peut donc être arraché si en termes de longueur d'onde dans le vide, la longueur d'onde de seuil pour le nickel se calcule selon «$\;\lambda _{\text{seuil, Ni}}={\dfrac {h\;c}{W_{Ni}}}\;$ avec $\;W_{Ni}\;$ en $\;J\;$ soit $\;W_{Ni}\simeq 5,0\times 1,6\;10^{-19}\simeq 8,0\;10^{-19}\;J\;$» $\Rightarrow$ «$\;\lambda _{\text{seuil, Ni}}\simeq {\dfrac {6,626\;10^{-34}\times 3\;10^{8}}{8,0\;10^{-19}}}\;$ en $\;m\;$» soit «$\;\lambda _{\text{seuil, Ni}}\simeq 0,25\;\mu m\;$» justifiant l'« effet photoélectrique dans le nickel uniquement pour les U.V. non trop proches en accord avec $\;\lambda _{0}<\lambda _{\text{seuil, Ni}}\simeq 0,25\;\mu m\;$» $\;{\big$pas d'effet photoélectrique dans le nickel pour le visible ou l'I.R.${\big )}$ ;
cette théorie permet aussi de déterminer l'énergie cinétique d'extraction de l'électron comme étant l'excédent d'énergie par rapport au travail d'extraction soit cette théorie permet aussi de déterminer l'énergie cinétique d'extraction de l'électron «$\;K_{\text{extraction}}={\mathcal {E}}_{p,\,{\text{liaison}}}+h\;\nu =-W_{\text{extraction}}+h\;\nu \;$» » ou cette théorie permet aussi de déterminer l'énergie cinétique d'extraction de l'électron «$\;K_{\text{extraction}}=h\left(\nu -\nu _{\text{seuil}}\right)\;$» par utilisation de la fréquence de seuil $\;\nu _{\text{seuil}}={\dfrac {W_{\text{extraction}}}{h}}$ ;
des expériences menées par Robert Millikan entre $\;1905\;$ et $\;1915\;$ confirmèrent cette théorie et des expériences menées par Robert Millikan entre $\;\color {transparent}{1905}\;$ et $\;\color {transparent}{1915}\;$ confirmèrent la valeur numérique de $\;h\;$.

### Description de la diffusion Compton

La diffusion Compton fut découverte par Arthur Compton en $\;1923$, elle se définit comme le phénomène de diffusion d'un rayonnement par la matière, cette dernière renvoyant dans tout l'espace un rayonnement de même nature appelé « onde diffusée » ; La diffusion Compton « classiquement » on explique la diffusion des ondes électromagnétiques par le fait que les électrons de la matière sont mis en mouvement sous l'action du champ électromagnétique de l'onde incidente, le mouvement d'oscillation de ces derniers à la fréquence de l'onde incidente engendrant un rayonnement diffusé de même fréquence que « sa source » ; La diffusion Compton « classiquement » ainsi l'onde diffusée expliquée par la mécanique classique doit être de même fréquence que l'onde incidente ;
en envoyant des rayons X de longueur d'onde dans le vide $\;\lambda _{0}=0,71\;{\text{Å}}\;$$^,$ sur une cible de carbone, A. Compton observa un rayonnement diffusé de longueur d'onde dans le vide différente de celle du rayonnement incident, en contradiction avec la théorie classique.

### Interprétation de la diffusion Compton en considérant l'aspect corpusculaire des rayons X (Compton 1922)

A. Compton interpréta la diffusion de même nom comme une collision entre un électron de la matière et un « grain » de lumière $\;{\big$associé au rayonnement incident${\big )}\;$d'énergie «$\;E=h\;\nu ={\dfrac {h\;c}{\lambda _{0}}}\;$» et de quantité de mouvement «$\;{\vec {p}}=$ ${\dfrac {E}{c}}\;{\vec {u}}={\dfrac {h}{\lambda _{0}}}\;{\vec {u}}\;$», $\;{\big{\vec {u}}\;$ étant le vecteur unitaire dans la direction et le sens du mouvement du « grain » de lumière${\big )}$ ;
au cours de la collision le « grain » de lumière est absorbé puis réémis avec une énergie moindre correspondant à l'acquisition d'énergie cinétique par l'électron $\;{\big$voir les « schémas de la collision » ci-contre${\big )}$, au cours de la collision le « grain » de lumière diffusé ayant une énergie $\;E'\;$ moindre que celui de l'onde incidente $\;E\;$ c.-à-d. «$\;E_{\text{diffusion}}<E_{\text{incident}}\;$», au cours de la collision le « grain » de lumière diffusé ayant sa fréquence $\;\nu '\;$ est également plus faible que l'incidente $\;\nu \;$ c.-à-d. «$\;\nu _{\text{diffusion}}<\nu _{\text{incident}}\;$» et au cours de la collision le « grain » de lumière diffusé ayant sa longueur d'onde dans le vide $\;{\lambda _{0}}{\!'}={\dfrac {c}{\nu '}}\;$ plus grande que l'incidente $\;\lambda _{0}={\dfrac {c}{\nu }}\;$ c.-à-d. au cours de la collision le « grain » de lumière diffusé ayant sa longueur d'onde dans le vide «$\;\lambda _{0,\,{\text{diffusion}}}>\lambda _{0,\,{\text{incident}}}\;$» ;
le calcul fondé sur les lois de la mécanique relativiste $\;{\big \$utilisant la conservation de l'énergie totale et celle de la quantité de mouvement totale du système des deux particules $\;{\big$électron et « grain » de lumière$^,$${\big )}{\big \}$ donne un résultat en accord avec l'expérience, voir l'établissement du résultat en complément ci-dessous ;
Étude faite dans le référentiel du laboratoire $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen Étude dans le cadre de la dynamique relativiste : État initial : un électron libre au repos d'énergie totale égale à son énergie de masse «$\;E_{e}^{0}=m_{e}\;c^{2}\;$» et de quantité de mouvement «$\;{\vec {p}}_{i,\,e}={\vec {0}}\;$» et État initial : un « grain » de lumière$^,$ d'énergie «$\;E=h\;\nu \;$ »$^,$ et de quantité de mouvement «$\;{\vec {p}}={\dfrac {h\;\nu }{c}}\;{\vec {u}}\;$»$^,$ dans laquelle $\;{\vec {u}}\;$ est le vecteur unitaire du rayon incident dans le sens de la propagation de ce dernier, État initial : le système « électron - grain de lumière$^,$ » a donc
* une énergie totale initiale «$\;E_{i}=E_{e}^{0}+E=m_{e}\;c^{2}+h\;\nu \;$» et
* une quantité de mouvement initiale «$\;{\vec {p}}_{i}={\vec {p}}_{i,\,e}+{\vec {p}}={\dfrac {h\;\nu }{c}}\;{\vec {u}}\;$».
État final : l'électron libre en mouvement d'énergie totale «$\;E_{e}=K_{e}+E_{e}^{0}\;$ donc $\;>\;$ à $\;E_{e}^{0}\;$» et de quantité de mouvement «$\;{\vec {p}}_{e}\neq {\vec {0}}\;$» et État final : un « grain » de lumière$^,$ d'énergie «$\;E'=h\;\nu '\;$ »$^,$ et de quantité de mouvement «$\;{\vec {p}}'={\dfrac {h\;\nu '}{c}}\;{\vec {u}}'\;$»$^,$ dans laquelle $\;{\vec {u}}'\;$ est le vecteur unitaire du rayon diffusé dans le sens de la propagation de ce dernier, État final : le système « électron - grain de lumière$^,$ » a donc
* une énergie totale finale «$\;E_{f}=E_{e}+E'=K_{e}+m_{e}\;c^{2}+h\;\nu '\;$» et
* une résultante cinétique finale «$\;{\vec {p}}_{f}={\vec {p}}_{e}+{\vec {p}}'={\vec {p}}_{e}+{\dfrac {h\;\nu '}{c}}\;{\vec {u}}'\;$» ; État final : remarque : l'énergie totale $\;E_{e}\;$ et la quantité de mouvement $\;{\vec {p}}_{e}\;$ de l'électron dans l'état final sont liées, dans le cadre de la cinétique relativiste, par «$\;E_{e}=$ ${\sqrt {\left(E^{0}\right)^{2}+\left({\vec {p}}_{e}\;c\right)^{2}}}={\sqrt {m_{e}^{2}\;c^{4}+p_{e}^{2}\;c^{2}}}\;$ avec $\;p_{e}=\Vert {\vec {p}}_{e}\Vert \;$».
Mouvement de l'ensemble « électron - grain de lumière$^,$ » : supposant cet ensemble « électron - grain de lumière$^,$ » isolé et à forces intérieures d'interaction conservatives $\;{\big \$un système en l'absence de forces extérieures et intérieures non conservatives est dit « conservatif »${\big \}$, nous tirons, pour le système
* de son caractère « isolé », la « conservation de sa résultante cinétique » et
* de son caractère « conservatif », la « conservation de son énergie totale ».
Détermination du mouvement après collision : les équations de conservation des grandeurs cinétiques du système « électron - grain de lumière$^,$ » étant
* pour l'énergie totale «$\;K_{e}+m_{e}\;c^{2}+h\;\nu '=m_{e}\;c^{2}+h\;\nu \;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$» dans laquelle «$\;K_{e}+m_{e}\;c^{2}\;$ est l'énergie totale $\;E_{e}={\sqrt {m_{e}^{2}\;c^{4}+p_{e}^{2}\;c^{2}}}\;$ avec $\;p_{e}=$ $\Vert {\vec {p}}_{e}\Vert \;$» de l'électron après collision, la relation $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ se réécrivant, en fonction de $\;p_{e}\;$ selon «$\;{\sqrt {m_{e}^{2}\;c^{4}+p_{e}^{2}\;c^{2}}}+h\;\nu '=m_{e}\;c^{2}+h\;\nu \;\;\left({\mathfrak {a}}'\right)\;$»,
* pour la résultante cinétique «$\;{\vec {p}}_{e}+{\dfrac {h\;\nu '}{c}}\;{\vec {u}}'={\dfrac {h\;\nu }{c}}\;{\vec {u}}\;\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$» dans laquelle $\;{\vec {p}}_{e}\;$ est la quantité de mouvement de l'électron après collision,
Détermination il y a donc, a priori, $\;4\;$ équations scalaires $\;{\big \1\;$ pour $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ et $\;3\;$ pour $\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$${\big \}$ et $\;6\;$ inconnues scalaires $\;{\big \3\;$ pour chaque vecteur quantité de mouvement$^,$${\big \}$ Détermination mais le problème, invariant par rotation autour du rayonnement incident, est en fait plan, d'où seulement $\;4\;$ inconnues scalaires et $\;3\;$ équations scalaires $\;{\big \1\;$ pour $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ et $\;2\;$ pour $\;\left({\mathfrak {b}}\right){\big \}$ ; Détermination il y a donc nécessairement $\;1\;$ inconnue restant aléatoire et nous supposerons qu'il s'agit de l'angle algébrisé «$\;\theta ={\widehat {\left({\vec {u}}\,,\,{\vec {u}}'\right)}}\;$», les $\;3\;$ inconnues à déterminer en fonction de $\;\theta \;$ et des autres données étant «$\;p_{e}=\Vert {\vec {p}}_{e}\Vert$, $\;\varphi =$ ${\widehat {\left({\vec {u}}\,,\,{\vec {p}}_{e}\right)}}\;$ et $\;\nu '\;$».
Résolution : Choisissant l'axe $\;{\overrightarrow {x'x}}\;$ orienté par $\;{\vec {u}}\;$ et l'axe $\;{\overrightarrow {y'y}}\;$ directement $\;\perp \;$ à $\;{\overrightarrow {x'x}}\;$ dans le plan de l'expérience, la projection de $\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$ sur chaque axe donne
* sur $\;{\overrightarrow {x'x}}$, «$\;p_{e}\;\cos(\varphi )+{\dfrac {h\;\nu '}{c}}\;\cos(\theta )={\dfrac {h\;\nu }{c}}\;$» dont on déduit «$\;p_{e}\;\cos(\varphi )$ $={\dfrac {h\;\nu }{c}}-{\dfrac {h\;\nu '}{c}}\;\cos(\theta ),\;\;\left({\mathfrak {b}}_{x}\right)\;$» et
* sur $\;{\overrightarrow {y'y}}$, «$\;p_{e}\;\sin(\varphi )+{\dfrac {h\;\nu '}{c}}\;\sin(\theta )=0\;$» dont on déduit «$\;p_{e}\;\sin(\varphi )=$ $-{\dfrac {h\;\nu '}{c}}\;\sin(\theta ),\;\;\left({\mathfrak {b}}_{y}\right)\;$» ; Résolution : on élimine $\;\varphi \;$ en formant $\;\left({\mathfrak {b}}_{x}\right)^{2}+\left({\mathfrak {b}}_{y}\right)^{2}\;$ ce qui donne «$\;p_{e}^{2}=$ $\left[{\dfrac {h\;\nu }{c}}-{\dfrac {h\;\nu '}{c}}\;\cos(\theta )\right]^{2}+\left[-{\dfrac {h\;\nu '}{c}}\;\sin(\theta )\right]^{2}\;$» ou, en développant le 2ème membre, «$\;p_{e}^{2}={\dfrac {h^{2}\;\nu ^{2}}{c^{2}}}+{\dfrac {h^{2}\;{\nu '}^{2}}{c^{2}}}-2\;{\dfrac {h^{2}\;\nu \;\nu '}{c^{2}}}\;\cos(\theta ),\;\;\left({\mathfrak {b}}'\right)\;$» ; Résolution : le report de $\;\left({\mathfrak {b}}'\right)\;$ dans $\;\left({\mathfrak {a}}'\right)\;$ élimine $\;p_{e}\;$ et nous conduit à $\;{\sqrt {m_{e}^{2}\;c^{4}+\left[h^{2}\;\nu ^{2}+h^{2}\;{\nu '}^{2}-2\;h^{2}\;\nu \;\nu '\;\cos(\theta )\right]}}+h\;\nu '=m_{e}\;c^{2}+h\;\nu \;$ soit, en isolant le radical dans le membre de gauche et en élevant au carré, $\;m_{e}^{2}\;c^{4}+\left[h^{2}\;\nu ^{2}+h^{2}\;{\nu '}^{2}-2\;h^{2}\;\nu \;\nu '\;\cos(\theta )\right]=\left[m_{e}\;c^{2}+h\;\nu -h\;\nu '\right]^{2}\;$ ou «$\;-2\;h^{2}\;\nu \;\nu '\;\cos(\theta )=2\;m_{e}\;c^{2}\;h\;\nu -2\;m_{e}\;c^{2}\;h\;\nu '-2\;h^{2}\;\nu \;\nu '\;$» après développement du 2ème membre et simplification évidente, ou «$\;{\dfrac {\nu -\nu '}{\nu \;\nu '}}$ $={\dfrac {h}{m_{e}\;c^{2}}}\,\left[1-\cos(\theta )\right]\;$» ou «$\;{\dfrac {1}{\nu '}}={\dfrac {1}{\nu }}+{\dfrac {h}{m_{e}\;c^{2}}}\,\left[1-\cos(\theta )\right],\;\;\left({\mathfrak {c}}\right)\;$» soit la fréquence de l'onde diffusée égale à «$\;\nu '={\dfrac {\nu }{1+{\dfrac {h\;\nu }{m_{e}\;c^{2}}}\,\left[1-\cos(\theta )\right]}}\;$» ; Résolution : on détermine alors les deux autres inconnues :
* $\;p_{e}\;$ en reportant l'expression de $\;\nu '\;$ dans l'équation $\;\left({\mathfrak {b}}'\right)^{\frac {1}{2}}\;$ soit «$\;p_{e}=$ ${\sqrt {{\dfrac {h^{2}\;\nu ^{2}}{c^{2}}}+{\dfrac {h^{2}\;{\nu '}^{2}}{c^{2}}}-2\;{\dfrac {h^{2}\;\nu \;\nu '}{c^{2}}}\;\cos(\theta )}}\;$» et
* $\;\varphi \;$ en reportant l'expression de $\;\nu '\;$ dans l'équation $\;{\dfrac {\left({\mathfrak {b}}_{y}\right)}{\left({\mathfrak {b}}_{x}\right)}}\;$ soit «$\;\tan(\varphi )=$ $-{\dfrac {\nu '\;\sin(\theta )}{\nu -\nu '\;\cos(\theta )}}\;$» ou «$\;\varphi =-\arctan \!\left\lbrace {\dfrac {\nu '\;\sin(\theta )}{\nu -\nu '\;\cos(\theta )}}\right\rbrace \;$».
$\;\left({\mathfrak {c}}\right)\;$
$\;c\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\lambda ={\dfrac {c}{\nu }}\\\lambda '={\dfrac {c}{\nu '}}\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;\lambda '=\lambda +{\dfrac {h}{m_{e}\;c}}\,\left[1-\cos(\theta )\right]\;$

### Preuve incontournable du caractère corpusculaire de la lumière

les deux expériences précédemment citées sont des preuves incontournables du caractère corpusculaire de la lumière car, dans aucune des deux, l'aspect ondulatoire ne permet d'interpréter l'expérience :
* pour l'effet photoélectrique, l'absorption d'une onde lumineuse monochromatique de haute intensité et de basse fréquence devrait entraîner l'éjection d'électrons du métal en contradiction avec l'observation expérimentale $\;\ldots$ pour l'effet photoélectrique, en effet l'intensité de l'onde lumineuse incidente étant grande, si nous supposons l'absorption uniformément répartie sur la surface du métal et de durée suffisamment grande, l'énergie moyenne absorbée pendant cette durée par n'importe quelle région microscopique entourant un électron de conduction du métal étant $\;>\;$ à son travail d'extraction, l'électron devrait être arraché du métal et un effet photoélectrique observé mais $\;\ldots \;$ pour l'effet photoélectrique, en effet si ce dernier ne l'est pas c'est parce que l'aspect ondulatoire de la lumière ne peut être appliqué ici, la grande énergie moyenne absorbée pendant la durée considérée précédemment devant être interprétée en terme corpusculaire comme un grand nombre de « grains » de lumière arrivant successivement, à un rythme élevé, dans la région microscopique entourant un électron de conduction du métal avec chaque « grain » de lumière d'énergie insuffisante pour arracher un électron de conduction du métal ; de même pour l'effet photoélectrique, l'absorption d'une onde lumineuse monochromatique de faible intensité et de haute fréquence ne devrait entraîner aucune éjection d'électrons du métal en contradiction avec l'observation expérimentale $\;\ldots$ pour l'effet photoélectrique, en effet l'intensité de l'onde lumineuse incidente étant faible, si nous supposons l'absorption uniformément répartie sur la surface du métal et de durée suffisamment petite, l'énergie moyenne absorbée pendant cette durée par n'importe quelle région microscopique entourant un électron de conduction du métal étant $\;<\;$ à son travail d'extraction, l'électron ne devrait pas être arraché et aucun effet photoélectrique observé mais $\;\ldots \;$ pour l'effet photoélectrique, en effet si ce dernier est néanmoins observé c'est parce que l'aspect ondulatoire de la lumière ne peut être appliqué ici, la faible énergie moyenne absorbée pendant la durée considérée précédemment devant être interprétée en terme corpusculaire comme un petit nombre de « grains » de lumière arrivant successivement, à un rythme très lent, dans la région microscopique entourant un électron de conduction du métal avec chaque « grain » de lumière d'énergie suffisante pour arracher un électron de conduction du métal ;
* pour la diffusion Compton, l'absorption d'une onde électromagnétique de fréquence X par une cible de carbone s'interprétant, dans l'hypothèse d'adoption de l'aspect ondulatoire de l'onde, en une mise en mouvement oscillatoire d'électrons de la cible à la même fréquence que celle de l'onde puis en l'émission d'une onde électromagnétique dans n'importe quelle direction à la même fréquence que celle des oscillations, fréquence de l'onde diffusée en contradiction avec l'observation expérimentale $\;\ldots$ pour la diffusion Compton, en effet la diffusion Compton correspond à un rayonnement X réémis de fréquence toujours plus faible que celle du rayonnement X incident $\;\ldots \;$ pour la diffusion Compton, en effet si cette fréquence est plus faible et non égale c'est parce que l'aspect ondulatoire du rayonnement X ne peut être appliqué ici, il faut envisager l'aspect corpusculaire, la diffusion Compton étant un choc entre un « grain » de lumière$^,$ de fréquence X et un électron de la cible, une partie de l'énergie du « grain » de lumière$^,$ incident étant cédée à l'électron subissant le choc.

## Expérience mettant en évidence le caractère ondulatoire de la lumière : interférences lumineuses par fentes d'Young
### Description de l'expérience d'interférences lumineuses par fentes d'Young

$8$

### Interprétation en terme ondulatoire

$5$
$5$

### Tentative d'interprétation en terme corpusculaire

Pour tenter une interprétation corpusculaire de l'expérience d'interférences lumineuses par les fentes d'Young, nous supposons que Pour tenter une interprétation corpusculaire la « source » éclairant les fentes d'Young provienne d'un faisceau de puissance si faible qu'en termes de « grains » de lumière il ne peut correspondre qu'à des « grains » de lumière envoyés un par un, Pour tenter une interprétation corpusculaire l'écran étant remplacé par un détecteur C.C.D. très sensible permettant de localiser l'impact ; en faisant varier le temps de pose on accroît le nombre de « grains » de lumière arrivant sur les fentes et on fait les observations suivantes :
* chaque « grain » de lumière donne un impact sur le C.C.D. en se comportant comme un corpuscule localisé mais en un point aléatoire $\;{\big$ne correspondant pas au trajet classique d'une particule « passant par l'une ou l'autre des fentes »${\big )}$,
* les impacts sur le C.C.D. se répartissent inégalement, dessinant, au fur et à mesure que le nombre de « grains » lumineux $\;\nearrow$, les franges d'interférences prédites par la théorie ondulatoire.
En conclusion, l'interprétation corpusculaire de la lumière dans l'expérience d'interférences lumineuses par fentes d'Young ne peut être envisagée, même si la puissance de la source est si faible qu'on peut considérer l'envoi de « grains » de lumière un par un, En conclusion, car les impacts successifs sur le détecteur sont aléatoires, ne pouvant correspondre en aucun cas au passage du « grain » de lumière provenant de la source « de photons uniques » par l'une ou l'autre des fentes ; En conclusion, si l'expérience dure suffisamment longtemps, la figure formée par l'accumulation des impacts sur le détecteur en fonction de la position sur ce dernier correspond statistiquement à la figure trouvée en utilisant l'aspect ondulatoire de la lumière $\;{\big$si on envisage une source « de photons uniques », l'interprétation ondulatoire de l'expérience d'interférences par fentes d'Young nécessite de pouvoir faire une statistique sur les impacts, c.-à-d. une durée de fonctionnement de la source « de photons uniques » suffisamment grande pour que l'envoi de « grains » de lumière soit suffisamment important${\big )}$.

### Preuve incontournable du caractère ondulatoire de la lumière

L'expérience d'interférences lumineuses par les fentes d'Young est une preuve incontournable de l'aspect ondulatoire de la lumière car, L'expérience d'interférences lumineuses même si la source utilisée est de très faible puissance comme c'est le cas d'une source « de photons uniques », L'expérience d'interférences lumineuses l'utilisation de l'aspect corpusculaire de la lumière ne permet pas d'interpréter chaque impact successif sur l'écran alors que L'expérience d'interférences lumineuses la répartition statistique de ces impacts correspond effectivement à la répartition lumineuse obtenue par interprétation ondulatoire.

## Dualité onde - particule de la lumière
### Aspect ondulatoire de la lumière

L'aspect ondulatoire de la lumière a été introduit succinctement dans le paragraphe « grandeurs vibrantes en électromagnétisme, célérité de la propagation » du chap.$2$, L'aspect ondulatoire de la lumière a été un peu plus détaillé dans le paragraphe « caractère vectoriel de la grandeur vibrante en optique, le champ électromagnétique » du chap.$9\;$ et L'aspect ondulatoire de la lumière a été utilisé dans les paragraphes « observation du phénomène de diffraction en optique » et L'aspect ondulatoire de la lumière a été utilisé dans les paragraphes « exemple de l'interférence lumineuse d'une onde monochromatique séparée par fentes d'Young » tous deux du chap.$8$, L'aspect ondulatoire de la lumière ces chapitres étant tous tirés de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

### Aspect corpusculaire de la lumière

La particule associé à la lumière s'appelle le « photon », il possède les propriétés suivantes :
* il est de masse nulle,
* il est de charge nulle,
* il se déplace, quel que soit le référentiel considéré, à la vitesse limite $\;c\simeq 3,00\;10^{8}\;m\cdot s^{-1}\;$ ${\big$appelée à juste titre « vitesse de la lumière dans le vide »${\big )}$,
* associé à une onde monochromatique de fréquence $\;\nu \;$ c.-à-d. de longueur d'onde dans le vide $\;\lambda _{0}={\dfrac {c}{\nu }}$, il a l'« énergie $\;E_{\gamma }=h\;\nu ={\dfrac {h\;c}{\lambda _{0}}}\;$» et associé à une onde monochromatique de fréquence $\;\color {transparent}{\nu }\;$ c.-à-d. de longueur d'onde dans le vide $\;\color {transparent}{\lambda _{0}={\dfrac {c}{\nu }}}$, il a la « quantité de mouvement $\;{\vec {p}}_{\gamma }={\dfrac {E_{\gamma }}{c}}\;{\vec {u}}={\dfrac {h}{\lambda _{0}}}\;{\vec {u}}\;$» avec associé à une onde monochromatique de fréquence $\;\color {transparent}{\nu }\;$ c.-à-d. de longueur d'onde dans le vide $\;\color {transparent}{\lambda _{0}={\dfrac {c}{\nu }}}$, il a la « quantité de mouvement $\;{\vec {u}}\;$ vecteur unitaire dirigeant et orientant son mouvement.

### Ordre de grandeur de l'énergie d'un photon

Un photon de lumière visible $\;{\big$par exemple de longueur d'onde dans le vide $\;\lambda _{0}=0,600\;\mu m\;$${\big )}\;$ a une énergie qui se calcule selon «$\;E_{\gamma }={\dfrac {h\;c}{\lambda _{0}}}\simeq$ ${\dfrac {6,626\;10^{-34}\times 3\;10^{8}}{\lambda _{0}\;({\text{en m}})}}\;$ en $\;J\;$» Un photon de lumière visible $\;{\bigg\!$sur l'exemple du jaune «$\;E_{\gamma ,\,{\text{jaune}}}\simeq {\dfrac {6,626\;10^{-34}\times 3\;10^{8}}{0,600\;10^{-6}}}\simeq 3,32\;10^{-19}\;J\;$»$^,$ soit «$\;E_{\gamma ,\,{\text{jaune}}}\simeq 2,075\;eV\;$»$^,$${\bigg )}\;$ d'où  Un photon de lumière visible l'ordre de grandeur de l'énergie d'un photon du visible « entre $\;E_{\gamma ,\,{\text{rouge}}}\simeq 1,55\;eV\;$$^,$ et $\;E_{\gamma ,\,{\text{violet}}}\simeq 3,10\;eV\;$$^,$ » ;
on peut réécrire la relation définissant l'énergie du photon en fonction de la longueur d'onde dans le vide en unités appropriées à savoir l'$eV\;$ pour l'énergie et on peut réécrire la relation définissant l'énergie du photon en fonction de la longueur d'onde dans le vide en unités appropriées à savoir le $\;\mu m\;$ pour la longueur d'onde dans le vide selon on peut réécrire la relation définissant l'énergie du photon en fonction de la longueur d'onde dans le vide en unités appropriées à savoir «$\;E_{\gamma }\;({\text{en }}\;eV)\simeq {\dfrac {1,24}{\lambda _{0}\;({\text{en }}\mu m)}}\;$»$^,$ ;
$\;{\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline {\text{rayonnement}}&\lambda _{0}\;({\text{en }}m)&\nu \;({\text{en }}Hz)&E_{\gamma }\;({\text{en }}eV)\\\hline {\text{ondes hertziennes}}&>3\;10^{4}&<10^{12}&<4\;10^{-3}\;(4\;meV)\\\hline {\text{infrarouges}}&7,5\;10^{-7}<\cdots <3\;10^{-4}&10^{12}<\cdots <4\;10^{14}&4\;10^{-3}<\cdots <1,5\\\hline {\text{visible}}&4\;10^{-7}<\cdots <7,5\;10^{-7}&4\;10^{14}<\cdots <7,5\;10^{14}&1,5<\cdots <3,1\\\hline {\text{ultra-violets}}&10^{-8}<\cdots <4\;10^{-7}&7,5\;10^{14}<\cdots <3\;10^{16}&3,1<\cdots <125\\\hline {\text{rayons X}}&2\;10^{-11}<\cdots <10^{-8}&3\;10^{16}<\cdots <1,5\;10^{19}&125<\cdots <60\;10^{3}\\\hline {\text{rayons }}\gamma &<2\;10^{-11}&>1,5\;10^{19}&125>60\;10^{3}\;(60\;keV)\\\hline \end{array}}\;$

### Débit de photons

Pour que l'aspect « granulaire » de l'onde apparaisse en optique, les faisceaux utilisés doivent être de « très faible puissance », sinon l'aspect corpusculaire est masqué par le « débit important de photons », par exemple un « laser hélium-néon » de longueur d'onde dans le vide $\;\lambda _{0}=0,633\;\mu m\;$ et de puissance $\;{\mathcal {P}}=1,0\;mW\;$ correspond à un « débit de photons $\;n_{\gamma }\;({\text{en }}s^{-1})={\dfrac {\mathcal {P}}{E_{\gamma }}}=$ ${\dfrac {{\mathcal {P}}\;\lambda _{0}}{h\;c}}\;$»$^,$ soit «$\;n_{\gamma }\;({\text{en }}s^{-1})\;$ $\;={\dfrac {{\mathcal {P}}\;\lambda _{0}}{h\;c}}\simeq {\dfrac {10^{-3}\times 0,633\;10^{-6}}{6,626\;10^{-34}\times 3,00\;10^{8}}}\simeq 3,2\;10^{15}\;s^{-1}\;$» c.-à-d. un « débit très important » à l'échelle de temps mésoscopique$^,$ ;
Pour que l'aspect « granulaire » de l'onde apparaisse en optique, avec un détecteur de résolution temporelle de $\;100\;ns=10^{-7}\;s\;$, pour espérer détecter les photons un par un, il est nécessaire que la fréquence d'émission des photons par le faisceau laser précédemment introduit soit $\;<\;$ à $\;10^{7}\;s^{-1}\;$ par exemple $\;3,2\;10^{6}\;s^{-1}\;$ correspondant à une puissance du faisceau divisée par un facteur $\;10^{9}\;$ soit égale à $\;{\mathcal {P}}=1,0\;pW\;$ mais, ce système simple ne fonctionne pas correctement à cause de l'« irrégularité d'émission des photons » ; Pour que l'aspect « granulaire » de l'onde apparaisse en optique, il existe néanmoins des systèmes beaucoup plus élaborés permettant d'envoyer des photons un par un et Pour que l'aspect « granulaire » de l'onde apparaisse en optique, il existe néanmoins des systèmes beaucoup plus élaborés définissant ce qu'on appelle des sources « de photons uniques ».

## Exemples d'expérience mettant en évidence la notion d'onde de matière : interférences d'un faisceau d'électrons homocinétiques par fentes d'Young et autres interférences
### Description de l'expérience d'interférences d'un faisceau d'électrons homocinétiques par fentes d'Young (ou dispositif analogue)

* La 1ère expérience d'interférences électroniques a été réalisée par Charles Fert et ses collaborateurs en $\;1956\;$ au laboratoire d'optique électronique de Toulouse, elle consistait à séparer un faisceau d'électrons homocinétiques à l'aide d'un « fil d'araignée métallisé chargé électriquement », les deux faisceaux obtenus interférant au-delà du fil $\;{\big$il s'agit bien d'une expérience d'interférences mais non par fentes d'Young${\big )}$ ;
* la 1ère interférence électronique par fentes d'Young a été réalisée par Claus Jönsson en $\;1961$, le faisceau d'électrons étant séparé par deux fentes fines très rapprochées entaillées sur une feuille de cuivre $\;{\big$voir schéma de principe ci-contre${\big )}$ ;
* enfin la 1ère interférence d'« électron unique » a été réalisée en $\;1989\;$ par Akira Tonomura en utilisant un dispositif de séparation analogue à celui de Fert et de ses collaborateurs $\;{\big$il ne s'agit donc pas d'interférences par fentes d'Young${\big )}$ ;
* dans les deux 1$^{ers}$ exemples cités, l'observation est identique à celle décrite lors de l'expérience d'interférences par fentes d'Young et dans le 3ème exemple elle est identique à celle des interférences « par photon unique » réalisée peu de temps avant $\;1986\;$ par Alain Aspect et Philippe Grangier.
Nous allons décrire un peu plus en détail cette dernière expérience d'interférences d'« électron unique » réalisée par Akira Tonomura$^,$ :
$\;\succ \;$Les électrons arrivant un par un sur le détecteur tombent sur un film fluorescent, leur impact provoquant l'émission d'environ $\;500\;$ photons lesquels sont collectés par un dispositif d'imagerie ;
$\;\succ \;$le caractère successif d'émission des électrons est réalisé à l'aide d'un faible flux électronique du faisceau de l'ordre de $\;10^{3}\;s^{-1}\;$ c.-à-d. que les électrons sont émis en moyenne toutes les $\;ms$ ; ces électrons ont une énergie cinétique moyenne de $\;50\;keV\;$ $\;{\big$ils sont donc relativistes${\big )}\;$ correspondant à une vitesse moyenne de $\;1,25\;10^{8}\;m\cdot s^{-1}\;$ du point $\;M\;$ dans son mouvement par rapport au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ à l'instant $\;t\;$ et $\;c\;$ la célérité de la lumière dans le vide$^,$ ;
$\;\succ \;$l'observation de l'animation ci-dessus modélisant la construction progressive d'une figure d'interférences d'électrons ainsi que $\;\color {transparent}{\succ }\;$l'observation des images successives avec un nombre $\;\nearrow \;$ d'électrons détectés dans l'expérience de Tonomura, ci-contre, $\;\color {transparent}{\succ }\;$l'observation appelle les remarques suivantes :
* on observe, au début de l'animation $\;{\big$ou dans les images (ɑ) et (b)${\big ]}$, une répartition aléatoire des points d'impact, contraire à ce que donnerait l'applicabilité de la mécanique relativiste $\Rightarrow$ la mécanique « classique » n'est donc pas applicable ici ;
* au fur et à mesure que le nombre d'électrons détectés $\;\nearrow$, on observe une modulation régulière du nombre d'impacts enregistrés identique à l'observation des franges lumineuses en optique.

### Interférences d'atomes

En $\;1991\;$ Oliver Carnal et Jürgen Mlynek ont réalisé une expérience d'interférences de fentes d'Young avec des « atomes d'hélium » ; En $\;\color {transparent}{1991}\;$ Oliver Carnal et Jürgen Mlynek les atomes d'hélium étaient tout d'abord diffractés par une fente de largeur $\;s_{1}=$ $2\;\mu m\;$ en direction des fentes d'Young situées à une distance $\;L=64\;cm\;$ et larges chacune de $\;s_{2}=1\;\mu m\;$ dont les centres étaient séparés de $\;a=8\;\mu m$, puis En $\;\color {transparent}{1991}\;$ Oliver Carnal et Jürgen Mlynek les atomes d'hélium étaient détectés par un détecteur large de $\;2\;\mu m\;$ situé à une distance $\;L'=64\;cm\;$ des fentes d'Young $\;{\big$voir figure ci-contre${\big )}$ ; En $\;\color {transparent}{1991}\;$ Oliver Carnal et Jürgen Mlynek les observations sont identiques aux précédentes $\;\ldots$
Remarques $\rightsquigarrow$ avantage des interférences atomiques relativement aux interférences lumineuses :  Remarques $\color {transparent}{\rightsquigarrow }$ les atomes voyageant beaucoup plus lentement que la lumière restent plus longtemps en interaction dans l'interféromètre et sont donc nettement plus sensibles ; cette sensibilité accrue peut être mise à profit pour des mesures très précises comme celle de l'« accélération de la pesanteur » ; Remarques $\color {transparent}{\rightsquigarrow }$ un autre avantage est qu'on accède à un domaine de longueur d'onde plus étendu allant du micromètre au nanomètre alors que les interférences lumineuses autorisent un domaine autour du micromètre ;  Remarques $\color {transparent}{\rightsquigarrow }$ enfin les interférences atomiques sont exploitées pour faire de l'holographie avec des atomes $\;{\big$en effet les figures d'interférence sont des microstructures atomiques permettant de concevoir des techniques microlithographiques encore plus fines que celles existant actuellement${\big )}$ $\;\ldots$
Ci-contre la détection d'atomes en fonction de la position du détecteur, la détection ayant duré $\;10\;min$ ; Ci-contre l'interfrange peut être estimée à $\;8,4\;\mu m\pm 0,8\;\mu m\;$ et la théorie fournit une valeur de $\;i\simeq {\dfrac {\lambda }{a}}\;L'\simeq$ ${\dfrac {1,03\;10^{-3}}{8\;10^{-6}}}\times 0,64\;$ en $\;m\;$ soit $\;i\simeq 8,2\;\mu m\;$ en bon accord avec l'expérience.

### Interférences de molécules

À une température donnée « plus la masse de la molécule est grande », plus « sa vitesse $\;{\big$quadratique moyenne${\big )}\;$ est faible » mais À une température donnée « plus sa quantité de mouvement est grande », et par suite « plus sa longueur d'onde est faible » ;
en $\;1999$, Markus Arndt et ses collègues de l'Université de Vienne ont réalisé des interférences à l'aide d'un « réseau ultrafin » en $\;\color {transparent}{1999}$, Markus Arndt et ses collègues de l'Université de Vienne ont réalisé des interférences avec une molécule de très grande taille le « fullerène $\;C_{60}\;$» en $\;\color {transparent}{1999}$, Markus Arndt et ses collègues de l'Université de Vienne ont réalisé des interférences avec une molécule de masse molaire moléculaire $\;720\;g\cdot mol^{-1}\;$ et plus récemment en $\;\color {transparent}{1999}$, Markus Arndt et ses collègues de l'Université de Vienne ont réalisé des interférences avec des « molécules deux fois plus grosses » dérivées du tétraphénylporphyrine en $\;\color {transparent}{1999}$, Markus Arndt et ses collègues de l'Université de Vienne ont réalisé des interférences avec des « molécules de masse molaire moléculaire $\;5000\;g\cdot mol^{-1}\;$.
Commentaires : les observations sont identiques à celles obtenues lors des interférences d'atomes, en effet Commentaires : la longueur d'onde associée aux molécules interférant étant plus faible que celle des atomes utilisés dans les interférences d'atomes $\;{\big$voir l'introduction de ce paragraphe${\big )}\;$ mais Commentaires : la distance entre fentes créant les interférences l'étant aussi $\;{\big$utilisation d'un « réseau ultrafin » dans les interférences de molécules${\big )}$, Commentaires : les observations sont identiques à celles obtenues lors des interférences d'atomes, l'interfrange est d'un même ordre de grandeur.

## Expérience mettant en évidence le caractère particulaire de la matière : déviation électronique dans un tube cathodique
### Présentation du tube cathodique

Le tube cathodique est la succession sous vide
* d'un « canon à électrons » servant à produire des électrons et à les accélérer,
* d'un interface dans lequel les électrons vont être déviés transversalement sous l'action d'une tension électrique et
* d'un écran sur lequel la déviation est observable.

### Canon à électrons

Dans un canon à électrons, des électrons sont émis par « effet thermoélectronique » provenant d'une électrode $\;(K)\;$ dans le voisinage d'un filament métallique chauffé, l'énergie cinétique d'éjection des électrons de $\;(K)\;$ restant très faible, ils ne quittent pas spontanément son voisinage et forme autour d'elle une charge d'espace négative qui s'oppose à la poursuite de l'effet thermoélectronique ;
Dans un canon à électrons, le but poursuivi étant de créer un faisceau d'électrons, on accélère les électrons arrachés en imposant une d.d.p. $\;U_{\text{accél}}\;$ entre cette électrode $\;(K)\;$ et l'électrode de sortie $\;(A)\;$ du canon à électrons avec $\;U_{\text{accél}}>0$, $\;(K)\;$ étant appelée « cathode » et $\;(A)\;$ « anode » ;
Dans un canon à électrons, on observe effectivement un faisceau d'électrons quasi homocinétiques à la sortie du canon en accord avec le caractère particulaire des électrons $\;{\bigg$dans l'interface l'électron n'étant soumis qu'à la force électrique $\;{\vec {F}}=-e\;{\vec {E}}\;$ laquelle dérive de l'énergie potentielle électrique $\;{\mathcal {E}}_{p}=-e\;V\;$, on peut écrire la conservation de l'énergie mécanique de l'électron entre $\;(K)\;$ et $\;(A)\;$ soit, dans la mesure où son énergie cinétique lors de l'extraction de $\;(K)\;$ est considérée comme négligeable, «$\;{\mathcal {E}}_{m}(K)$ $\simeq 0-e\;V_{K}\;$» et «$\;{\mathcal {E}}_{m}(A)\simeq {\dfrac {1}{2}}\,m_{e}\,v_{0}^{2}-e\;V_{A}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {1}{2}}\,m_{e}\,v_{0}^{2}\simeq e\left(V_{A}-V_{K}\right)=e\;U_{\text{accél}}\;$»${\bigg ]}$.

### Déviation électronique dans l'interface entre les plaques longitudinales de déviation

Le faisceau d'électrons homocinétiques pénètrent dans l'interface entre les deux plaques longitudinales de déviation aux bornes de laquelle on impose une d.d.p. $\;U\;$ permanente et on observe une dérive transversale de la trajectoire du faisceau dans le sens des potentiels croissants, dérive « visualisée sur l'écran » situé à la sortie de l'interface par phénomène de fluorescence de ce dernier $\;{\big$voir schéma explicatif ci-contre${\big )}$ ; cette observation est là encore en accord avec le caractère particulaire des électrons.
L'électron dans l'interface n'est soumis qu'à la force électrique $\;{\vec {F}}=-e\;{\vec {E}}\;$$^,$ et l'application de la r.f.d.n. à l'électron dans le référentiel lié aux plaques $\;{\big$supposé galiléen${\big )}\;$ conduit à un « vecteur-accélération constant $\;{\vec {a}}=-{\dfrac {e}{m_{e}}}\;{\vec {E}}\;$» ;
en projetant sur les trois axes, on en déduit $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}a_{x}=0\\a_{y}=-{\dfrac {e}{m_{e}}}\;E_{y}\\a_{z}=0\end{array}}\right\rbrace \;$ soit, en intégrant une 1ère fois, les lois horaires de vitesse en projetant sur les trois axes, on en déduit $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}v_{x}=v_{0}\\v_{y}=-{\dfrac {e}{m_{e}}}\;E_{y}\;t\\v_{z}=0\end{array}}\right\rbrace \;$ avec les C.I. de vitesse $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}v_{x}(0)=v_{0}\\v_{y}(0)=0\\v_{z}(0)=0\end{array}}\right\rbrace \;$ puis en intégrant une 2ème fois, une 1ère forme des lois horaires de position en projetant sur les trois axes, on en déduit $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x=v_{0}\;t\\y=-{\dfrac {e}{2\;m_{e}}}\;E_{y}\;t^{2}\\z=0\end{array}}\right\rbrace \;$ avec les C.I. de position $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x(0)=0\\y(0)=0\\z(0)=0\end{array}}\right\rbrace$, soit enfin, en éliminant $\;E_{y}\;$ au profit de $\;U\;$ et $\;d\;$ par «$\;E_{y}=-{\dfrac {U}{d}}\;$» en projetant sur les trois axes, on en déduit une 2ème forme des lois horaires de position du mouvement de l'électron dans l'interface entre les plaques longitudinales de déviation
$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x=v_{0}\;t\\y={\dfrac {e\;U}{2\;m_{e}\;d}}\;t^{2}\\z=0\end{array}}\right\rbrace \;$
* le mouvement est donc plan, dans le plan $\;z=0$,
* le projeté de l'électron sur $\;Ox$, noté $\;M_{x}$, a un mouvement uniforme de vitesse $\;v_{0}\;$ et
* le projeté de celui sur $\;Oy$, noté $\;M_{y}$, a un mouvement uniformément varié d'accélération $\;a_{y}={\dfrac {e\;U}{m_{e}\;d}}$ ;
ces lois horaires étant également les équations paramétriques de la trajectoire, on détermine les équations cartésiennes de cette dernière en éliminant le temps par $\;t={\dfrac {x}{v_{0}}}\;$ soit
$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}y={\dfrac {e\;U}{2\;m_{e}\;d\;v_{0}^{2}}}\;x^{2}\\z=0\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;{\big$
${\big )}$
À la sortie de l'espace champ, l'électron n'est plus soumis à « aucune force » et par suite À la sortie de l'espace champ, l'électron a un mouvement rectiligne uniforme de direction tangente à la parabole et de vitesse égale à celle en $\;S\;$ ${\big$point de sortie de l’espace${\big )}$ ; À la sortie de l'espace champ, l'électron il a alors un impact $\;I\;$ ${\big$d'ordonnée $\;Y{\big )}\;$ sur un écran situé à $\;D\;$ du centre $\;J\;$ de l'espace champ.
La trajectoire de l'électron dans l'interface entre les plaques longitudinales de déviation étant une parabole et La trajectoire de l'électr celle à la sortie de l'espace champ étant la tangente à cette parabole au point de sortie, nous en déduisons que la trajectoire à la sortie de l'espace champ passe par le centre $\;J\;$ de l'espace champ d'où «$\;\tan(\alpha )={\dfrac {Y}{D}}\;$» dont on tire «$\;Y=D\;\tan(\alpha )\;$».
La détermination de $\;\tan(\alpha )\;$ peut se faire de la même façon en utilisant «$\;y_{S}={\dfrac {e\;U}{2\;m_{e}\;v_{0}^{2}\;d}}\;l^{2}\;$» d'où «$\;\tan(\alpha )={\dfrac {y_{S}}{\dfrac {l}{2}}}={\dfrac {e\;l}{m_{e}\;v_{0}^{2}\;d}}\;U\;$» que l'on reporte dans «$\;Y=D\;\tan(\alpha )\;$» $\Rightarrow$
$\;Y={\dfrac {e}{m_{e}\;v_{0}^{2}}}\;{\dfrac {l\;D}{d}}\;U\;$
$\;\propto \;$
$\;{\big$
${\big )}$
Remarque : L'expression de la déflexion électrique reste valable en régime dépendant du temps, si $\;{\vec {E}}(t)\;$ peut être considéré comme permanent durant le « temps de vol de l'électron », Remarque : L'expression de la déflexion électrique reste valable en régime dépendant du temps, si $\;\color {transparent}{{\vec {E}}(t)}\;$ peut être considéré comme permanent c'est le cas dans le cadre de l'A.R.Q.S. ; Remarque : on écrira, dans le cas d’une tension $\;u(t)\;$ alternative de période $\;T$, que «$\;T\gg \tau \;$» soit pratiquement «$\;T>10\;\tau \;$» $\;{\big$avec $\;\tau \;$ « temps de vol de l'électron »${\big )}$, Remarque : on écrira, dans le cas d’une tension $\;\color {transparent}{u(t)}\;$ alternative de période $\;\color {transparent}{T}$, que «$\;\color {transparent}{T\gg \tau }\;$» soit pratiquement «$\;\color {transparent}{T>10\;\tau }\;$» le « temps de vol » se calculant par $\;x(t)=v_{0}\;t\;$ soit «$\;\tau ={\dfrac {l}{v_{0}}}\;$» ; Remarque : on écrira A.N. : avec $\;v_{0}\simeq 13300\;km\cdot s^{-1}\;$ et $\;l=5\;cm\;$ on trouve «$\;\tau \simeq {\dfrac {5\;10^{-2}}{1,33\;10^{7}}}\simeq 3,77\;10^{-9}\;s=3,77\;ns\;$» et Remarque : on écrira A.N. : la déflexion électrique pourra être utilisée pour des tensions alternatives de période $\;T\gtrsim 37,7\;ns\;$ ou des fréquences «$\;f\lesssim 26,5\;MHz\;$». Remarque : Avec cette limite en fréquence $\;{\bigf\lesssim 26,5\;MHz{\big )}$, on peut affirmer que ce sera toujours applicable au laboratoire à condition de rester dans le cadre de l'A.R.Q.S..

## Dualité onde - particule de la matière
### L'onde de matière de de Broglie

D'après ce qui précède, la lumière $\;{\big$et plus généralement tout rayon électromagnétique${\big )}\;$ possède le double aspect « onde-particule », D'après ce qui précède, la lumière $\;\color {transparent}{\big$et plus généralement tout rayon électromagnétique$\color {transparent}{\big )}\;$ possède le double l'aspect présenté par la lumière dépendant de l'« expérience réalisée » ;
compte-tenu de cela, Louis de Broglie émit l'hypothèse en $\;1923\;$ que la « matière » laquelle, par définition, a un aspect corpusculaire, devrait aussi présenter un aspect ondulatoire, compte-tenu de cela, Louis de Broglie il postula donc l'existence, pour toute particule massique, d'une onde de matière qui lui est associée et compte-tenu de cela, Louis de Broglie il établit, sur des arguments théoriques, une expression pour la longueur d'onde $\;{\big$appelée « longueur d'onde de de Broglie de la particule »${\big )}$.

### La longueur d'onde de de Broglie

L'expression de la longueur d'onde de l'onde de matière associée à la particule, «$\;\lambda _{d.B.}\;$» postulée par Louis de Broglie en $\;1923\;$ est L'expression de la longueur d'onde de l'onde de matière associée à la particule, «$\;\lambda _{d.B.}={\dfrac {h}{p}}\;$», $\;h\simeq 6,626\;10^{-34}\;J\cdot s\;$ étant la constante de Planck et L'expression de la longueur d'onde de l'onde de matière associée à la particule, «$\;\color {transparent}{\lambda _{d.B.}={\dfrac {h}{p}}}\;$», $\;p\;$ la « norme du vecteur-quantité de mouvement » de la particule dans son aspect corpusculaire.
Remarque : C'est la même relation que celle permettant de définir la quantité de mouvement d'un photon $\;\gamma \;$ associé à une onde électromagnétique monochromatique de longueur d'onde dans le vide $\;\lambda _{0}$, Remarque : C'est la même relation que celle permettant de définir la quantité de mouvement d'un photon $\;\color {transparent}{\gamma }\;$ en effet celle-ci s'écrit «$\;p_{\gamma }={\dfrac {h}{\lambda _{0}}}\;$$^,$ $\Leftrightarrow$ $\;\lambda _{0}={\dfrac {h}{p_{\gamma }}}$».

### Expression de la longueur d'onde de de Broglie de la particule en fonction, entre autres, de sa vitesse dans son aspect corpusculaire
#### Cas d'une particule newtonienne

Une particule newtonienne est une particule dont le vecteur vitesse $\;{\vec {v}}\;$ dans le référentiel d'étude est de norme $\;\ll \;$ devant la vitesse de la lumière dans le vide $\;c\simeq 3\;10^{5}\;km\cdot s^{-1}\;$ soit Une particule newtonienne est une particule dont le vecteur vitesse $\;\color {transparent}{\vec {v}}\;$ dans le référentiel d'étude est «$\;v=\Vert {\vec {v}}\Vert \ll c\;$».
Le vecteur-quantité de mouvement $\;{\vec {p}}\;$ d'une particule newtonienne est liée à son vecteur vitesse $\;{\vec {v}}\;$ dans le référentiel d'étude et à sa masse $\;m\;$ par «$\;{\vec {p}}=m\;{\vec {v}}\;$» et par suite la longueur d'onde de l'onde de matière associée à la particule newtonienne se réécrit, dans le référentiel d'étude, «$\;\lambda _{d.B.}={\dfrac {h}{p}}\;$ $={\dfrac {h}{m\;v}}\;$».

#### Cas d'une particule relativiste

Une particule est relativiste dans un référentiel d'étude si elle n'est pas newtonienne dans ce référentiel ; ainsi elle sera relativiste Une particule est relativiste dans un référentiel d'étude si son vecteur vitesse $\;{\vec {v}}\;$ dans le référentiel d'étude est de norme $\;{\cancel {\ll }}\;$ devant la vitesse de la lumière dans le vide $\;c\simeq 3\;10^{5}\;km\cdot s^{-1}\;$ soit Une particule est relativiste dans un référentiel d'étude si son vecteur vitesse $\;\color {transparent}{\vec {v}}\;$ dans le référentiel d'étude est «$\;v=\Vert {\vec {v}}\Vert \;{\cancel {\ll }}\;c\;$».
Le vecteur-quantité de mouvement $\;{\vec {p}}\;$ d'une particule relativiste est liée à son vecteur vitesse $\;{\vec {v}}\;$ dans le référentiel d'étude et à sa masse $\;m\;$ par «$\;{\vec {p}}=\gamma \;m\;{\vec {v}}\;$» Le vecteur-quantité de mouvement $\;\color {transparent}{\vec {p}}\;$ d'une particule relativiste est liée avec «$\;\gamma ={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\;$» le « facteur de Lorentz » de la particule de vecteur vitesse $\;{\vec {v}}\;$ et par suite la longueur d'onde de l'onde de matière associée à la particule relativiste se réécrit, dans le référentiel d'étude, «$\;\lambda _{d.B.}={\dfrac {h}{p}}\;$ $={\dfrac {h}{\gamma \;m\;v}}={\dfrac {h\;{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{\;m\;v}}={\dfrac {h}{m}}\;{\sqrt {{\dfrac {1}{v^{2}}}-{\dfrac {1}{c^{2}}}}}\;$»$^,$.

### Première vérification expérimentale

En $\;1927\;$ Clinton Joseph Davisson avec l'aide de Lester Germer ont observé la diffraction d'un faisceau d'électrons par un monocristal de nickel, ceci était donc la 1ère preuve qu'un faisceau d'électrons pouvait avoir un comportement ondulatoire ;
un solide peut diffracter une onde s'il possède une structure périodique dans trois directions de l'espace $\;{\big$ce qui est le cas pour un cristal${\big )}\;$ et un solide peut diffracter une onde si la longueur d'onde de l'onde est proche de la période spatiale de la structure ; pour le monocristal de nickel la période spatiale est de l'ordre de l'$\;{\text{Ǻ}}\;$ ;
dans l'expérience de Davisson et Germer les électrons sont accélérés sous une d.d.p. de $\;54\;V\;$ $\Rightarrow$ une énergie cinétique de $\;K=54\;eV\;$ $\;{\big$ils sont donc newtoniens${\big )}\;$ ou dans l'expérience de Davisson et Germer les électrons sont accélérés sous une d.d.p. de $\;\color {transparent}{54\;V}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ une énergie cinétique de $\;K\simeq 54\times 1,6\;10^{-19}\simeq 86,4\;10^{-19}\;J\;$ d'où dans l'expérience de Davisson et Germer les électrons sont accélérés sous une d.d.p. de $\;\color {transparent}{54\;V}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ une vitesse de $\;v={\sqrt {\dfrac {2\;K}{m_{e}}}}\;$ $\simeq {\sqrt {\dfrac {2\times 86,4\;10^{-19}}{0,91\;10^{-30}}}}\simeq 4,36\;10^{6}\;m\cdot s^{-1}$ soit dans l'expérience de Davisson et Germer les électrons sont accélérés sous une d.d.p. de $\;\color {transparent}{54\;V}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ une vitesse de $\;v\simeq 4360\;km\cdot s^{-1}\;$ donnant dans l'expérience de Davisson et Germer les électrons sont accélérés sous une d.d.p. de $\;\color {transparent}{54\;V}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ une quantité de mouvement $\;p=m_{e}\;v\;$ $\simeq 0,91\;10^{-30}\times 4,36\;10^{6}\;$ soit dans l'expérience de Davisson et Germer les électrons sont accélérés sous une d.d.p. de $\;\color {transparent}{54\;V}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ une quantité de mouvement $\;p\simeq 3,97\;10^{-24}\;kg\cdot m\cdot s^{-1}\;$ et donc dans l'expérience de Davisson et Germer les électrons sont accélérés sous une d.d.p. de $\;\color {transparent}{54\;V}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ une longueur d'onde de de Broglie associée $\;\lambda _{d.B.}={\dfrac {h}{p}}\;$ $\simeq {\dfrac {6,626\;10^{-34}}{3,97\;10^{-24}}}$ dans l'expérience de Davisson et Germer les électrons sont accélérés sous une d.d.p. de $\;\color {transparent}{54\;V}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ une longueur d'onde de de Broglie associée «$\;\lambda _{d.B.}\simeq 1,67\;10^{-10}\;m=1,67\;{\text{Ǻ}}\;$», dans l'expérience de Davisson et Germer les électrons sont accélérés sous une d.d.p. de $\;\color {transparent}{54\;V}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ une longueur d'onde même ordre de grandeur que la périodicité du monocristal de nickel.

### Applications actuelles
#### Microscopie électronique

Un microscope optique ne peut révéler des « détails $\;\lessapprox \;$ à la longueur d'onde $\;\lambda _{0}\;$ utilisée » c.-à-d. de l'ordre du micromètre $\;1\;\mu m=10^{-6}\;m$, par contre un microscope électronique permet de révéler des détails de limite $\;\lessapprox \;$ à la longueur d'onde de de Broglie d'un électron, d'ordre de grandeur égale à $\;1\;{\text{Ǻ}}\;$ quand il n'est pas relativiste, un microscope électronique permet de révéler des détails de limite pouvant descendre jusqu'à $\;1\;pm=10^{-12}\;m\;$ quand il est relativiste, un microscope électronique permet de révéler des détails de limite soit une résolution $\;10^{4}\;$ à $\;10^{6}\;$ fois plus grande que celle d'un microscope optique :
un microscope électronique $\succ \;$Exemple avec électron newtonien : électron accéléré sous une d.d.p. de $\;100\;V\;$ $\Rightarrow$ une énergie cinétique de $\;K=100\;eV\;$ $\;{\big$il est donc newtonien${\big )}\;$ ou un microscope électronique $\color {transparent}{\succ }\;$Exemple avec électron newtonien : électron accéléré sous une d.d.p. de $\;\color {transparent}{100\;V}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ une énergie cinétique de $\;K\simeq 100\times 1,6\;10^{-19}\simeq 1,6\;10^{-17}\;J\;$ d'où un microscope électronique $\color {transparent}{\succ }\;$Exemple avec électron newtonien : électron accéléré sous une d.d.p. de $\;\color {transparent}{100\;V}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ une quantité de mouvement $\;p={\sqrt {2\;m_{e}\;K}}\;$ $\Leftrightarrow$ «$\;p\;c={\sqrt {2\;E_{\,e}^{\,0}\;K}}\;$» soit un microscope électronique $\color {transparent}{\succ }\;$Exemple avec électron newtonien : électron accéléré sous une d.d.p. de $\;\color {transparent}{100\;V}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ une quantité de mouvement $\;p\;c={\sqrt {2\times 511\;10^{3}\times 100}}\simeq 10,11\;10^{3}\;eV\;$ ou un microscope électronique $\color {transparent}{\succ }\;$Exemple avec électron newtonien : électron accéléré sous une d.d.p. de $\;\color {transparent}{100\;V}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ une quantité de mouvement «$\;p\simeq 10,11\;keV/c\;$»$^,$ et donc un microscope électronique $\color {transparent}{\succ }\;$Exemple avec électron newtonien : électron accéléré sous une d.d.p. de $\;\color {transparent}{100\;V}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ une longueur d'onde de de Broglie $\;\lambda _{d.B.}={\dfrac {h}{p}}\;$ $={\dfrac {h\;c}{p\;c}}\;$ un microscope électronique $\color {transparent}{\succ }\;$Exemple avec électron newtonien : électron accéléré sous une d.d.p. de $\;\color {transparent}{100\;V}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ une longueur d'onde de de Broglie $\;\lambda _{d.B.}\simeq {\dfrac {6,626\;10^{-34}\times 3\;10^{8}}{10,11\;10^{3}\times 1,6\;10^{-19}}}\;$ en $\;m\;$ ou un microscope électronique $\color {transparent}{\succ }\;$Exemple avec électron newtonien : électron accéléré sous une d.d.p. de $\;\color {transparent}{100\;V}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ une longueur d'onde de de Broglie «$\;\lambda _{d.B.}\simeq 1,24\;10^{-10}\;m=1,24\;{\text{Ǻ}}\;$».
un microscope électronique $\succ \;$Exemple avec électron relativiste : électron accéléré sous une d.d.p. de $\;100\;kV\;$ $\Rightarrow$ une énergie cinétique de $\;K=100\;keV\;$ $\;{\big$il est donc relativiste${\big )}\;$ ou encore un microscope électronique $\color {transparent}{\succ }\;$Exemple avec électron relativiste : électron accéléré sous une d.d.p. de $\;\color {transparent}{100\;kV}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ une énergie cinétique de $\;K\simeq 10^{5}\times 1,6\;10^{-19}\simeq 1,6\;10^{-14}\;J\;$ soit un microscope électronique $\color {transparent}{\succ }\;$Exemple avec électron relativiste : électron accéléré sous une d.d.p. de $\;\color {transparent}{100\;kV}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ une énergie totale $\;E=K+E_{e}^{0}=\gamma \;E_{e}^{\,0}\;$ soit un microscope électronique $\color {transparent}{\succ }\;$Exemple avec électron relativiste : électron accéléré sous une d.d.p. de $\;\color {transparent}{100\;kV}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ une énergie totale «$\;E\simeq 511+100=611\;keV\;$»$^,$ d'où un microscope électronique $\color {transparent}{\succ }\;$Exemple avec électron relativiste : électron accéléré sous une d.d.p. de $\;\color {transparent}{100\;kV}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ une quantité de mouvement $\;p={\dfrac {\sqrt {E^{2}-\left(E_{e}^{\,0}\right)^{\!2}}}{c}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;p\;c={\sqrt {E^{2}-\left(E_{e}^{\,0}\right)^{\!2}}}$, un microscope électronique $\color {transparent}{\succ }\;$Exemple avec électron relativiste : électron accéléré sous une d.d.p. de $\;\color {transparent}{100\;kV}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ une quantité de mouvement $\;p\;c={\sqrt {611^{2}-511^{2}}}\simeq 335\;keV\;$ ou un microscope électronique $\color {transparent}{\succ }\;$Exemple avec électron relativiste : électron accéléré sous une d.d.p. de $\;\color {transparent}{100\;kV}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ une quantité de mouvement «$\;p\simeq 335\;keV/c\;$»$^,$ et donc un microscope électronique $\color {transparent}{\succ }\;$Exemple avec électron relativiste : électron accéléré sous une d.d.p. de $\;\color {transparent}{100\;kV}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ une longueur d'onde de de Broglie $\;\lambda _{d.B.}={\dfrac {h}{p}}\;$ $={\dfrac {h\;c}{p\;c}}\;$ un microscope électronique $\color {transparent}{\succ }\;$Exemple avec électron relativiste : électron accéléré sous une d.d.p. de $\;\color {transparent}{100\;kV}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ une longueur d'onde de de Broglie $\;\lambda _{d.B.}\simeq {\dfrac {6,626\;10^{-34}\times 3\;10^{8}}{335\;10^{3}\times 1,6\;10^{-19}}}\;$ en $\;m\;$ ou un microscope électronique $\color {transparent}{\succ }\;$Exemple avec électron relativiste : électron accéléré sous une d.d.p. de $\;\color {transparent}{100\;kV}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ une longueur d'onde de de Broglie «$\;\lambda _{d.B.}\simeq 3,71\;10^{-12}\;m=3,71\;pm\;$».

#### Diffraction de neutrons

Les neutrons « thermiques » $\;{\big$c.-à-d. des neutrons en agitation thermique à la température ordinaire $\;T\simeq 300\;K\;$${\big \}$ ayant une longueur d'onde de de Broglie de l'ordre de grandeur de la taille des atomes $^{(voirjustificationenfindeparagraphe)}$ sont utilisés comme « sonde pour explorer la matière à l'échelle atomique ».
Ordre de grandeur de la longueur d'onde de de Broglie d'un neutron « thermique » : l'énergie cinétique moyenne d'agitation d'un neutron « thermique » à la température ordinaire $\;T\simeq 300\;K\;$ étant Ordre de grandeur de la longueur d'onde de de Broglie d'un neutron « thermique » : l'énergie cinétique moyenne d'agitation d'un neutron « thermique » «$\;K^{*}\simeq 0,039\;eV\;$», nous en déduisons Ordre de grandeur de la longueur d'onde de de Broglie d'un neutron « thermique » : sa quantité de mouvement quadratique moyenne $\;p^{*}={\sqrt {2\;m_{n}\;K^{*}}}\;$$^,$ $\Rightarrow$ $\;p^{*}\;c={\sqrt {2\;E_{n}^{\,0}\;K^{*}}}\;$ soit Ordre de grandeur de la longueur d'onde de de Broglie d'un neutron « thermique » : sa quantité de mouvement quadratique moyenne $\;p^{*}\;c\simeq {\sqrt {2\times 939,6\;10^{6}\times 0,039}}\simeq 8,56\;10^{3}\;eV\;$ ou Ordre de grandeur de la longueur d'onde de de Broglie d'un neutron « thermique » : sa quantité de mouvement quadratique moyenne $\;p^{*}\;c\simeq 8,56\;keV\;$ $\Rightarrow$ «$\;p^{*}\simeq 8,56\;keV/c\;$»$^,$ d'où Ordre de grandeur de la longueur d'onde de de Broglie d'un neutron « thermique » : une longueur d'onde de de Broglie $\;\lambda _{d.B.}={\dfrac {h}{p}}\;$ $={\dfrac {h\;c}{p\;c}}\;$ Ordre de grandeur de la longueur d'onde de de Broglie d'un neutron « thermique » : une longueur d'onde de de Broglie $\;\lambda _{d.B.}\simeq {\dfrac {6,626\;10^{-34}\times 3\;10^{8}}{8,56\;10^{3}\times 1,6\;10^{-19}}}\;$ en $\;m\;$ ou Ordre de grandeur de la longueur d'onde de de Broglie d'un neutron « thermique » : une longueur d'onde de de Broglie «$\;\lambda _{d.B.}\simeq 1,45\;10^{-10}\;m=1,45\;{\text{Å}}\;$ » Ordre de grandeur de la longueur d'onde de de Broglie d'un neutron « thermique » : une longueur d'onde de de Broglie effectivement de la taille des atomes.

## Relation de Planck - Einstein et conséquences

La relation de Planck - Einstein$^,$ est la relation applicable à un photon liant son énergie $\;E_{\gamma }\;$ à la fréquence $\;\nu \;$ de l'onde associée c.-à-d. La relation de Planck - Einstein est «$\;E_{\gamma }=h\;\nu \;$» où $\;h=6,62607015\;10^{-34}\;J\cdot s\;$ est la constante de Planck ;
une conséquence du lien entre fréquence $\;\nu \;$ et longueur d'onde dans le vide $\;\lambda _{0}$, à savoir «$\;\lambda _{0}={\dfrac {c}{\nu }}\;$», est la réécriture de l'énergie du photon sous la forme «$\;E_{\gamma }={\dfrac {h\;c}{\lambda _{0}}}\;$», une conséquence dont on peut déduire la norme de la quantité de mouvement du photon $\;p_{\gamma }\;$ à l'aide de la « relation liant l'énergie masse d'une particule $\;E^{\,0}\;$ à son énergie totale $\;E\;$ et la norme de sa quantité de mouvement $\;p\;$» à savoir «$\;E={\sqrt {\left(E^{\,0}\right)^{\!2}+p^{2}\;c^{2}}}\;$» soit $\;p_{\gamma }\;c=E_{\gamma }\;$ ou $\;p_{\gamma }={\dfrac {E_{\gamma }}{c}}\;$ $\Rightarrow$ une conséquence dont on peut déduire le lien entre la norme de la quantité de mouvement du photon $\;p_{\gamma }\;$ et la longueur d'onde dans le vide $\;\lambda _{0}\;$ de l'onde associée «$\;p_{\gamma }={\dfrac {h}{\lambda _{0}}}\;$»$^,$.
Remarque : Nous avons vu que
* l'énergie d'un photon suit la relation de Planck - Einstein$^,$ «$\;E_{\gamma }=h\;\nu \;$» dans laquelle «$\;\nu \;$ est la fréquence temporelle de l'onde associée » et que
* la norme de sa quantité de mouvement suit la relation de de Broglie «$\;p_{\gamma }=h\;\sigma \;$» dans laquelle «$\;\sigma ={\dfrac {1}{\lambda _{0}}}\;$ est le nombre d'onde de l'onde associée c.-à-d. sa fréquence spatiale » ;
Remarque : nous en concluons une correspondance entre grandeurs caractérisant l'onde électromagnétique et celles caractérisant la particule associée :
| « fréquence temporelle de l'onde électromagnétique » | ${\stackrel {h\;\times }{\longrightarrow }}$ | « énergie du photon associé », |
| « fréquence spatiale de l'onde électromagnétique » | ${\stackrel {h\;\times }{\longrightarrow }}$ | « quantité de mouvement du photon associé ». |

## Relation de Louis de Broglie et conséquences

La relation de de Broglie est la relation applicable à toute particule massique liant la norme de la quantité de mouvement $\;p\;$ de la particule à La relation de de Broglie est la relation applicable à toute particule massique liant la longueur d'onde de l'« onde de matière » associée $\;\lambda _{d.B.}\;$
$\;p={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.}}}\;$
$\;h=6,62607015\;10^{-34}\;J\cdot s\;$
une conséquence du lien entre norme de quantité de mouvement $\;p$, énergies de masse $\;E^{\,0}\;$ et totale $\;E=E^{\,0}+K\;$ d'une particule, à savoir «$\;E={\sqrt {\left(E^{\,0}\right)^{\!2}+p^{2}\;c^{2}}}\;$»$^,$ une conséquence est l'expression de l'énergie totale $\;E\;$ de la particule en fonction, entre autres, de $\;\lambda _{d.B.}\;$ c.-à-d. la longueur d'onde de l'« onde de matière » associée
$\;E={\sqrt {\left(E^{\,0}\right)^{\!2}+{\dfrac {h^{2}\;c^{2}}{\lambda _{d.B.}^{2}}}}}\;$
Parallèlement à l'introduction de $\;\lambda _{d.B.}\;$ c.-à-d. la longueur d'onde de l'« onde de matière » associée à une particule, Parallèlement L. de Broglie définit, en prolongeant la relation de Planck - Einstein$^,$ applicable à un photon, Parallèlement L. de Broglie définit une « fréquence $\;{\big$temporelle${\big )}$ $\;\nu _{d.B.}\;$» pour cette « onde de matière » associée à l'énergie totale $\;E\;$ de la particule par
$\;E=h\;\nu _{d.B.}\;$
Parallèlement L. de Broglie définit la célérité de propagation de l'« onde de matière » étant alors définie par «$\;v_{\text{onde}}=\lambda _{d.B.}\;\nu _{d.B.}={\dfrac {h}{p}}\;{\dfrac {E}{h}}={\dfrac {E}{p}}=c\;{\dfrac {E}{p\;c}}\;$», Parallèlement L. de Broglie définit la célérité de propagation de l'« onde de matière » se réécrivant, en introduisant l'expression de la vitesse relative de la particule $\;\beta _{\text{part}}={\dfrac {v_{\text{part}}}{c}}\;$ Parallèlement L. de Broglie définit la célérité de propagation de l'« onde de matière » se réécrivant, en introduisant l'expression de en fonction des grandeurs cinétiques de cette dernière à savoir Parallèlement L. de Broglie définit la célérité de propagation de l'« onde de matière » se réécrivant, en introduisant l'expression de la vitesse relative de la particule $\;\beta _{\text{part}}={\dfrac {p\;c}{E}}\;$, Parallèlement L. de Broglie définit la célérité de propagation de l'« onde de matière » se réécrivant, selon «$\;v_{\text{onde}}={\dfrac {c}{\beta _{\text{part}}}}>c\;$» $\Rightarrow$ «$\;v_{\text{onde}}\;v_{\text{part}}=c^{2}\;$» ;
 Parallèlement la norme de la quantité de mouvement $\;p\;$ de la particule peut être réécrite en fonction, entre autres, de la « fréquence $\;{\big$temporelle${\big )}$ $\;\nu _{d.B.}\;$» de l'« onde de matière » associée selon
$\;p={\dfrac {\sqrt {E^{\,2}-\left(E^{\,0}\right)^{\!2}}}{c}}\;$
$={\dfrac {\sqrt {h^{2}\;\nu _{d.B.}^{2}-\left(E^{\,0}\right)^{\!2}}}{c}}\;$

## Ordres de grandeurs intervenant dans les phénomènes quantiques

Les ordres de grandeurs de la longueur d'onde de de Broglie ont déjà été partiellement calculés dans le courant de ce chapitre, ils sont rappelés ci-dessous :
* électrons « non relativistes » : $\;\lambda _{d.B.}\simeq 1\;{\text{Ǻ}}\;$$^,$,
* électrons « relativistes » : $\;\lambda _{d.B.}\simeq 1\;pm=10^{-12}\;m\;$,
* neutrons « thermiques » : $\;\lambda _{d.B.}\simeq 1\;{\text{Ǻ}}\;$$^,$,
* neutrons « rapides » : $\;\lambda _{d.B.}\simeq 1\;fm\;$ $\;{\big$correspondant aux dimensions du noyau, utilisables pour sonder les noyaux atomiques${\big )}$,
* atomes utilisés dans les interférences atomiques : $\;\lambda _{d.B.}\simeq 1\;{\text{Ǻ}}$,
* macromolécules utilisées dans les interférences moléculaires : $\;\lambda _{d.B.}\simeq 1\;pm=10^{-12}\;m\;$ $\;\ldots$