# Puissances/Introduction

Les puissances sont très importantes en mathématiques, en physique-chimie (ou dans plusieurs autres matières scientifiques) puisqu'elles permettent d'énoncer des valeurs très grandes ou très petites et ainsi, d’éviter d'écrire des nombres commençant ou se terminant par une multitude de zéros...

## Puissances entières d'un nombre relatif
### Puissances d'exposant positif

Si a est un nombre relatif et n un entier supérieur ou égal à 0, on note :
${\begin{matrix}\\a^{n}=\end{matrix}}{\begin{matrix}nfois\\\overbrace {a\times \cdots \times a} \end{matrix}}$
Le nombre n est appelé exposant de a.
On pose pour tout nombre relatif a non nul : $a^{0}=1$
Le nombre « a » est élevé à la puissance « n ».
Autre formulation :
* Pout tout nombre positif non nul n et pout tout nombre relatif a :
a x a x ... x a x a = a$\exp _{n}$ (avec n facteurs égaux à a)
* a$\exp _{n}$ se lit « a puissance n » ou « a exposant n ».

#### Cas particuliers

* Si a est un nombre relatif :
$a^{4}=a\times a\times a\times a$ se lit « a exposant 4 » ou « a à la puissance 4 »
$a^{2}=a\times a$ se lit « a au carré »
$a^{3}=a\times a\times a$ se lit « a au cube »
$a^{1}=a$
* Si l'exposant $n$ est nul :
Si a est non nul et $n=0$, on passe de $a^{n}$ à $a^{0}$. On obtient alors $a^{0}=1$. Mais cela ne marche que si $a\neq 0$. En effet, si $a=0$, le résultat est indéterminé.

#### Exemples

Calculer $2^{4}\ ;\ 3^{3}\ ;\ 1^{2}\ ;\ 0^{1}\ ;\ 2^{0}$
* $2^{4}=2\times 2\times 2\times 2=16$
* $3^{3}=3\times 3\times 3=27$
* $1^{2}=1\times 1=1$
* $0^{1}=0$
* $2^{0}=1$

#### Exercices

Faites des exercices de calcul des puissances.

### Puissances d'exposant négatif

Si a est un nombre relatif non nul et n un entier supérieur ou égal à 0, on note :
L'inverse de la puissance nième de a est noté :
$a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}$
En particulier : $a^{-1}={\frac {1}{a}}$ (l'inverse du nombre a ).
Le nombre « a » est élevé à l'opposé de la puissance « n ».

#### Exemples

* ${3^{-4}}={\frac {1}{3^{4}}}={\frac {1}{3\times 3\times 3\times 3}}={\frac {1}{81}}$
* Calculer $2^{-3}\ ;\ \ 1^{-2}$
* $2^{-3}={\frac {1}{2^{3}}}={\frac {1}{8}}=0,125$
* $1^{-2}={\frac {1}{1^{2}}}=1$

#### Exercices

Faites des exercices de calcul des puissances.

## Puissances et opérations

Remarques :
* Dans toutes les formules suivantes, a et b sont des nombres réels, m et n des entiers relatifs.
* Il faut supposer a ou b non nuls si l’on les élève à un exposant négatif, ou bien si l’on divise par ces nombres.

### Puissances et multiplications
#### Règle 1

$a^{m}\times {a}^{n}=a^{m+n}$

#### Exemple

Mettre sous la forme d'une seule puissance :
* $3^{5}\times 3^{7}$
* $3^{5}\times 3^{-7}$
* $3^{5}\times 3^{7}=3^{5+7}=3^{12}$
* $3^{5}\times 3^{-7}=3^{5+(-7)}=3^{-2}$

#### Règle 2

$(a\times b)^{n}=a^{n}\times b^{n}$

#### Exemple

Mettre sous la forme d'une seule puissance : $3^{5}\times 4^{5}$
$3^{5}\times 4^{5}=(3\times 4)^{5}=12^{5}$

#### Exercices

Faites des exercices pour appliquer ces règles.

### Puissances et divisions
#### Règle 3

${\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}$

#### Exercice

Mettre sous la forme d'une seule puissance :
* ${\frac {3^{7}}{3^{5}}}$
* ${\frac {3^{5}}{3^{7}}}$
* ${\frac {3^{5}}{3^{-7}}}$
* ${\frac {3^{7}}{3^{5}}}=3^{7-5}=3^{2}$
* ${\frac {3^{5}}{3^{7}}}=3^{5-7}=3^{-2}$
* ${\frac {3^{5}}{3^{-7}}}=3^{5-(-7)}=3^{5+7}=3^{12}$

#### Règle 4

$\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}$

#### Exemple

Mettre sous la forme d'une seule puissance : ${\frac {3^{5}}{4^{5}}}$
${\frac {3^{5}}{4^{5}}}=\left({\frac {3}{4}}\right)^{5}=0,75^{5}$

#### Exercices

Faites des exercices pour appliquer ces règles.

### Puissance de puissances
#### Règle 5

$(a^{m})^{n}=a^{m\times n}$

#### Exemple

Mettre sous la forme d'une seule puissance :
* $(3^{5})^{2}$
* $3^{5^{2}}$
* $(3^{5})^{2}=3^{5\times 2}=3^{10}$
* $3^{5^{2}}=3^{25}$

#### Exercices

Faites des exercices pour appliquer cette règle.

## Lien interprojet

Si vous recherchez un exposé plus complet, voyez l’article de Wikipédia : Puissance d'un nombre.
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