# Géométrie affine/Espaces affines
## Introduction

Dans cette partie, $E$ est un $k$-espace vectoriel.
Un espace affine de direction $E$, et de dimension $\dim(E)$, est un ensemble non vide ${\mathcal {E}}$ muni d'une application
    ${\mathcal {E}}\times {\mathcal {E}}\to E,\;(A,B)\mapsto {\overrightarrow {AB}}$
vérifiant les deux propriétés suivantes :
* $\forall (A,B,C)\in {\mathcal {E}}^{3}\quad {\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {AC}}$ (relation de Chasles) ;
* pour tout point $A\in {\mathcal {E}}$, l'application ${\mathcal {E}}\to E,\;B\mapsto {\overrightarrow {AB}}$ est bijective.
Pour tout point $A\in {\mathcal {E}}$ et tout vecteur $v\in E$, l'unique point $B\in {\mathcal {E}}$ tel que $v={\overrightarrow {AB}}$ est appelé le translaté de $A$ par $v$ et noté $B=A+v$.
Pour tout point $A\in {\mathcal {E}}$ et tous vecteurs $u,v\in E$,
    $A+(u+v)=(A+u)+v$.
Soient $B=A+u$ et $C=B+v$. Alors $u+v={\overrightarrow {AC}}$ (d'après la relation de Chasles) donc $C=A+(u+v)$.
Pour tous points $A,B\in {\mathcal {E}}$ :
* ${\overrightarrow {AB}}={\vec {0}}\Leftrightarrow A=B$ ;
* ${\overrightarrow {BA}}=-{\overrightarrow {AB}}$.
* D'abord, $A=B\Rightarrow {\overrightarrow {AB}}={\vec {0}}$ (d'après la relation de Chasles dans le cas $A=B$). On en déduit que réciproquement, si ${\overrightarrow {AB}}={\vec {0}}$ alors $B=A+{\overrightarrow {AB}}=A+{\vec {0}}=A+{\overrightarrow {AA}}=A$.
* À nouveau d'après la relation de Chasles, ${\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BA}}={\overrightarrow {AA}}={\vec {0}}$.
* L'application ${\mathcal {E}}\times E\to {\mathcal {E}},\;(A,v)\mapsto A+v$ est une action (à droite) libre et transitive du groupe $(E,+)$ sur l'ensemble ${\mathcal {E}}$.
* Réciproquement, pour une telle action, l'application ${\mathcal {E}}\times {\mathcal {E}}\to E$ qui, à tout couple de points $(A,B)\in {\mathcal {E}}\times {\mathcal {E}}$ associe l'unique vecteur $v$ tel que $B=A+v$, vérifie les deux propriétés de la définition ci-dessus.
** D'après le premier point de la proposition 2, ${\overrightarrow {AA}}={\vec {0}}$, autrement dit $A+{\vec {0}}=A$. Joint à la proposition 1, ceci assure que l'application $(A,v)\mapsto A+v$ est bien une action.
** Elle est libre et transitive puisque pour tout $(A,B)\in {\mathcal {E}}\times {\mathcal {E}}$, il existe un unique vecteur $v\in E$ tel que $A+v=B$ (le vecteur $v={\overrightarrow {AB}}$, d'après la définition ci-dessus de $A+v$).
* Réciproquement, soit ${\mathcal {E}}\times E\to {\mathcal {E}},\;(A,v)\mapsto A+v$ une action libre et transitive, ou même seulement une application vérifiant la proposition 1 et la propriété : $\forall (A,B)\in {\mathcal {E}}\times {\mathcal {E}}\quad \exists !v\in E\quad A+v=B$ (on ne suppose donc pas que $\forall A\in {\mathcal {E}}\quad A+{\vec {0}}=A$ car cette hypothèse va s'avérer redondante).
** Pour tous points $A,B\in {\mathcal {E}}$, notons ${\overrightarrow {AB}}$ l'unique vecteur $v\in E$ tel que $A+v=B$. Alors $\forall (A,B)\in {\mathcal {E}}\times {\mathcal {E}}\quad \forall v\in E\quad {\overrightarrow {AB}}=v\Leftrightarrow B=A+v$ donc l'application ${\mathcal {E}}\to E,\;B\mapsto {\overrightarrow {AB}}$ est bien bijective (second point de la définition ci-dessus).
** Soient maintenant $A,B,C\in {\mathcal {E}}$, posons $u={\overrightarrow {AB}}$ et $v={\overrightarrow {BC}}$, alors par hypothèse, $A+(u+v)=(A+u)+v=B+v=C$ donc ${\overrightarrow {AC}}=u+v$, ce qui prouve le premier point de la définition ci-dessus.

## Repères cartésiens et affines

Soit ${\mathcal {E}}$ un espace affine de direction $E$ et de dimension finie $n$.
* Un repère cartésien de ${\mathcal {E}}$ est la donnée d'un point $O\in {\mathcal {E}}$ et d'une base $(e_{1},\dots ,e_{n})$ de $E$. Les coordonnées (cartésiennes) d'un point $M\in {\mathcal {E}}$ dans un tel repère sont les $n$ scalaires $x_{1},\dots ,x_{n}$ tels que ${\overrightarrow {OM}}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i}$.
* On dit que $k+1$ points $A_{0},\dots ,A_{k}\in {\mathcal {E}}$ sont affinement indépendants si les $k$ vecteurs ${\overrightarrow {A_{0}A_{1}}},\dots ,{\overrightarrow {A_{0}A_{k}}}$ sont linéairement indépendants.
* Un repère affine de ${\mathcal {E}}$ est la donnée de $n+1$ points affinement indépendants.
$(A_{0},\dots ,A_{n})$ est donc un repère affine si et seulement si $(A_{0},({\overrightarrow {A_{0}A_{1}}},\dots ,{\overrightarrow {A_{0}A_{n}}}))$ est un repère cartésien.
Si $A_{0},\dots ,A_{k}\in {\mathcal {E}}$ sont affinement indépendants alors $A_{\sigma (0)},\dots ,A_{\sigma (k)}$ le sont aussi, pour n'importe quelle permutation $\sigma \in S(\{0,\dots ,k\})$.
Puisque la proposition est immédiate pour les permutations qui fixent $0$, il suffit de la prouver dans le cas où, par exemple, $\sigma$ est la transposition qui échange $0$ et $k$.
Supposons que ${\overrightarrow {A_{0}A_{1}}},\dots ,{\overrightarrow {A_{0}A_{k}}}$ sont linéairement indépendants et que $\sum _{i=0}^{k-1}\lambda _{i}{\overrightarrow {A_{k}A_{i}}}={\vec {0}}$, et montrons que tous les $\lambda _{i}$ sont nuls.
Par hypothèse, ${\vec {0}}=-\left(\sum _{i=0}^{k-1}\lambda _{i}\right){\overrightarrow {A_{0}A_{k}}}+\sum _{i=1}^{k-1}\lambda _{i}{\overrightarrow {A_{0}A_{i}}}$ donc $\sum _{i=0}^{k-1}\lambda _{i}=\lambda _{1}=\dots =\lambda _{k-1}=0$, ce qui implique bien $\lambda _{0}=\lambda _{1}=\dots =\lambda _{k-1}=0$.

## Sous-espaces affines

Soit ${\mathcal {E}}$ un espace affine de direction $E$.
Un sous-espace affine de ${\mathcal {E}}$ est une partie de ${\mathcal {E}}$ de la forme
    ${\mathcal {E}}'=A+E':=\{A+v\mid v\in E'\}$,
où $A$ est un point de ${\mathcal {E}}$ et $E'$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
${\mathcal {E}}'$ constitue alors, par restriction, un espace affine de direction $E'$.
Soient ${\mathcal {F}}$ et ${\mathcal {G}}$ deux sous-espaces affines de ${\mathcal {E}}$, de directions respectives $F$ et $G$. On dit que :
* ${\mathcal {F}}$ et ${\mathcal {G}}$ sont parallèles si $F=G$ ;
* ${\mathcal {F}}$ est faiblement parallèle à ${\mathcal {G}}$ si $F\subset G$.
Soit $({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}$ une famille de sous-espaces affines de ${\mathcal {E}}$. Leur intersection est soit vide, soit un sous-espace affine de direction $\cap _{i\in I}F_{i}$, où les $F_{i}$ sont les directions des ${\mathcal {F}}_{i}$.
Si cette intersection ${\mathcal {F}}$ est non vide, soit $A\in {\mathcal {F}}$. Alors, ${\mathcal {F}}=\cap _{i\in I}{\mathcal {F}}_{i}=\cap _{i\in I}(A+F_{i})=A+\cap _{i\in I}F_{i}$, et $\cap _{i\in I}F_{i}$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
Soit $X$ une partie non vide de ${\mathcal {E}}$. Le sous-espace affine engendré par $X$ est l'intersection des sous-espaces affines de ${\mathcal {E}}$ contenant $X$. On le note $\operatorname {Aff} (X)$.
D'après la proposition précédente, on a donc :
Soit $X$ une partie non vide de ${\mathcal {E}}$. $\operatorname {Aff} (X)$ est le plus petit sous-espace affine de ${\mathcal {E}}$ contenant $X$.
Soient $A_{0}\in X\subset {\mathcal {E}}$ et $H=\operatorname {Vect} (\{{\overrightarrow {A_{0}B}}\mid B\in X\})=\operatorname {Vect} (\{{\overrightarrow {AB}}\mid A,B\in X\})$.
Alors, $\operatorname {Aff} (X)=A_{0}+H$.
$\operatorname {Aff} (X)\supset A_{0}+H$ car la direction de $\operatorname {Aff} (X)$ contient nécessairement tous les vecteurs ${\overrightarrow {A_{0}B}}$ tels que $B\in X$, donc contient le sous-espace vectoriel $H$ qu'ils engendrent.
$\operatorname {Aff} (X)\subset A_{0}+H$ car pour tout $B\in X$, $B=A_{0}+{\overrightarrow {A_{0}B}}\in A_{0}+H$.
Soient ${\mathcal {F}}=A+F$ et ${\mathcal {G}}=B+G$ deux sous-espaces affines de ${\mathcal {E}}$. La direction du sous-espace affine $\operatorname {Aff} ({\mathcal {F}}\cup {\mathcal {G}})$ est égale à :
    $F+G+\operatorname {Vect} ({\overrightarrow {AB}})={\begin{cases}F+G&{\text{si }}{\mathcal {F}}\cap {\mathcal {G}}\neq \varnothing ~;\\(F+G)\oplus \operatorname {Vect} ({\overrightarrow {AB}})&{\text{si }}{\mathcal {F}}\cap {\mathcal {G}}=\varnothing .\end{cases}}$
D'après la proposition précédente, cette direction est égale à
    $H:=\operatorname {Vect} (\{{\overrightarrow {AM}}\mid M\in {\mathcal {F}}\cup {\mathcal {G}}\})=\operatorname {Vect} (F\cup (\{{\overrightarrow {AB}}\}+G))=F+G+\operatorname {Vect} ({\overrightarrow {AB}})$.
De plus, ${\overrightarrow {AB}}\in F+G$ si et seulement s'il existe un point $C$ tel que ${\overrightarrow {AC}}\in F$ et ${\overrightarrow {CB}}\in G$, c'est-à-dire $C\in {\mathcal {F}}\cap {\mathcal {G}}$, donc
    $H={\begin{cases}F+G&{\text{si }}{\mathcal {F}}\cap {\mathcal {G}}\neq \varnothing ~;\\(F+G)\oplus \operatorname {Vect} ({\overrightarrow {AB}})&{\text{si }}{\mathcal {F}}\cap {\mathcal {G}}=\varnothing .\end{cases}}$
Soient ${\mathcal {F}}$ et ${\mathcal {G}}$ deux sous-espaces affines de ${\mathcal {E}}$, de directions respectives $F$ et $G$. On dit que ${\mathcal {F}}$ et ${\mathcal {G}}$ sont supplémentaires dans ${\mathcal {E}}$ si $E=F\oplus G$.
${\mathcal {F}}$ et ${\mathcal {G}}$ sont supplémentaires dans ${\mathcal {E}}$ si et seulement si $\operatorname {Aff} ({\mathcal {F}}\cup {\mathcal {G}})={\mathcal {E}}$ et ${\mathcal {F}}\cap {\mathcal {G}}$ contient un unique point.
Si ${\mathcal {F}}\cap {\mathcal {G}}=\{C\}$ et $\operatorname {Aff} ({\mathcal {F}}\cup {\mathcal {G}})={\mathcal {E}}$ alors $E=F+G$ (d'après la proposition précédente) et $F\cap G=\{0\}$ (car $\forall u\in F\cap G\quad C+u\in {\mathcal {F}}\cap {\mathcal {G}}=\{C\}$ donc $u={\overrightarrow {CC}}={\vec {0}}$).
Réciproquement, si $E=F\oplus G$ alors ${\mathcal {F}}\cap {\mathcal {G}}\neq \varnothing$ et $\operatorname {Aff} ({\mathcal {F}}\cup {\mathcal {G}})={\mathcal {E}}$ (d'après la proposition précédente) et ${\mathcal {F}}\cap {\mathcal {G}}$ contient un unique point (car $\forall C,D\in {\mathcal {F}}\cap {\mathcal {G}}\quad {\overrightarrow {CD}}\in F\cap G=\{{\vec {0}}\}$).
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