# Mécanique 1 (PCSI)/Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple
## Pendule pesant, description et cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement
### Définitions du pendule pesant (P.P.) et de son cas limite « le pendule pesant simple (P.P.S.) »

Un pendule pesant $\;{\big$P.P.${\big )}\;$ est un solide $\;({\mathcal {S}})\;$ placé dans un champ de pesanteur $\;{\vec {g}}\;$ uniforme dont un point $\;O\;$ autre que son centre d'inertie $\;G\;$ est fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ lié à la source du champ de pesanteur ;
le P.P. est caractérisé par la masse $\;m\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ et le P.P. est caractérisé par la distance $\;a\;$ entre le C.D.I. $\;G\;$ de $\;({\mathcal {S}})\;$ et son point fixe $\;O\;$ c.-à-d. $\;a=OG$.
Un P.P. est qualifié de « simple » si son solide $\;({\mathcal {S}})\;$ se réduit à l'« association d'une tige inextensible sans masse et d'un point matériel $\;M\;$»$^,$ ;
le P.P.S. est caractérisé par sa masse $\;m\;$ ${\big$c.-à-d. la masse de son point matériel $\;M\;$${\big )}\;$ et sa longueur $\;l\;$ ${\big$c.-à-d. la longueur de la tige sans masse${\big )}\;$ à savoir $\;l=OM\;$.

### Conditions initiales (C.I.) de lancement « 1a » ou « 1b » induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté

Les C.I. de lancement du P.P.S. notées «$\;1a\;$» sont les suivantes :
* on écarte le P.P.S. de $\;\theta _{0}\;$ de sa position d'« équilibre stable » et
* on le lâche sans « vitesse initiale » dans le référentiel d'étude.
On pourra aussi utiliser les C.I. de lancement du P.P.S. notées «$\;1b\;$» suivantes :
* on écarte le P.P.S. de $\;\theta _{0}\;$ de sa position d'« équilibre stable » et
* on lui communique une « vitesse initiale » de vecteur situé dans le plan vertical de lancement du référentiel d'étude.

### Établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S. lancé dans les C.I. « 1a » ou « 1b »

Nous considérons dans un 1er temps les C.I. de lancement «$\;1a\;$» $\;{\big$les conditions les plus usuelles${\big )}\;$ et nous étudions son mouvement ultérieur dans le référentiel terrestre supposé galiléen, puis
nous préciserons les modifications de l'étude dans les C.I. de lancement «$\;1b\;$».

#### Bilan des forces agissant sur le P.P.S.

Le point $\;M$, repéré par ses coordonnées sphériques de pôle $\;O\;$ et d'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ vertical descendant, à savoir $\;\left(r=l\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)\;$ de base sphérique associée $\;\left({\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{\varphi }\right)$, est soumis à deux forces $\;{\big$voir schéma ci-contre${\big )}$ :
* une force à distance, le poids de $\;M$, $\;m\;{\vec {g}}\;$ et
* une force de contact, le vecteur tension de la tige $\;{\vec {T}}(t)\;$ « central » dans la mesure où la tige est sans masse.

#### Démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement « 1a » (ou « 1b »)

Préliminaire : La courbe décrite par $\;M\;$ s'inscrivant sur la sphère de centre $\;O\;$ et de rayon $\;l$, le meilleur système de coordonnées est effectivement le système sphérique de pôle $\;O\;$ et d'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ mais $\;\ldots$
Préliminaire : l'utilisation de la r.f.d.n. appliquée à $\;M\;$ dans le référentiel terrestre galiléen nécessitant de connaître les composantes sphériques de $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ et celles-ci étant beaucoup trop complexes $\;{\big$de plus hors programme de physique de P.C.S.I.${\big )}$, on va se rabattre sur le système de coordonnées cylindro-polaires le plus proche du système sphérique à savoir le système de coordonnées cylindro-polaires d'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ ;
Préliminaire : avec le système de coordonnées cylindro-polaires d'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ le point $\;M\;$ a pour coordonnées cylindro-polaires $\;\left\lbrace \rho =l\;\sin(\theta ),\,\varphi \,,\,z=l\;\cos(\theta )\right\rbrace \;$ de base cylindro-polaire associée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho }=\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{r}+\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{\varphi }\,,\,{\vec {u}}_{z}=\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{r}-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\right\rbrace \;$,
Préliminaire : voir schéma refait en perspective ci-contre à gauche.
La r.f.d.n. appliquée à $\;M\;$ dans le référentiel terrestre galiléen «$\;m\;{\vec {g}}+{\vec {T}}(t)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$» projetée sur $\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ nous conduit à «$\;m\;g_{\varphi }+T_{\varphi }(t)=m\;a_{\varphi ,\,M}(t)\;$» ou, La r.f.d.n. appliquée à $\;\color {transparent}{M}\;$ dans le référentiel terrestre galiléen «$\;\color {transparent}{m\;{\vec {g}}+{\vec {T}}(t)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)}\;$» projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ les composantes de $\;{\vec {g}}\;$ et de $\;{\vec {T}}(t)\;$ sur $\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ étant nulles on obtient, La r.f.d.n. appliquée à $\;\color {transparent}{M}\;$ dans le référentiel terrestre galiléen «$\;\color {transparent}{m\;{\vec {g}}+{\vec {T}}(t)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)}\;$» projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ après simplification par $\;m$, «$\;a_{\varphi ,\,M}(t)=0\;\;\forall \;t\in \mathbb {R} ^{+}\;$» ou encore,
La r.f.d.n. appliquée à $\;\color {transparent}{M}\;$ dans le référentiel terrestre galiléen «$\;\color {transparent}{m\;{\vec {g}}+{\vec {T}}(t)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)}\;$» projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ pour les valeurs de $\;t\;$ telles que $\;\rho (t)\neq 0\;$ et avec utilisation de la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale «$\;a_{\varphi ,\,M}(t)={\dfrac {1}{\rho (t)}}\;{\dfrac {d\!\left[\rho ^{2}\,{\dot {\varphi }}\right]}{dt}}(t)\;$» et après simplification par $\;{\dfrac {1}{\rho (t)}}\neq 0\;\;\forall \;t$, l'équation différentielle suivante La r.f.d.n. appliquée à $\;\color {transparent}{M}\;$ dans le référentiel terrestre galiléen «$\;\color {transparent}{m\;{\vec {g}}+{\vec {T}}(t)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)}\;$» projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ «$\;{\dfrac {d\!\left[\rho ^{2}\,{\dot {\varphi }}\right]}{dt}}(t)=0\;$» pour $\;t\in \mathbb {R} ^{+}\setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}}\right\rbrace \;$ La r.f.d.n. appliquée à $\;\color {transparent}{M}\;$ dans le référentiel terrestre galiléen «$\;\color {transparent}{m\;{\vec {g}}+{\vec {T}}(t)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)}\;$» projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps $\;\not \ni \;$ une des valeurs $\;t_{\text{éq stable}}$, La r.f.d.n. appliquée à $\;\color {transparent}{M}\;$ dans le référentiel terrestre galiléen «$\;\color {transparent}{m\;{\vec {g}}+{\vec {T}}(t)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)}\;$» projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ qui s'intègre, en «$\;\rho ^{2}(t)\,{\dot {\varphi }}(t)=cste\;$» et dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes $\;t_{\text{éq stable}}$ compte-tenu de la continuité des grandeurs $\;\rho (t)\;$ et $\;{\dot {\varphi }}(t)\;$ pour tout $\;t\in \mathbb {R}$, ce qui entraîne la continuité de $\;\rho ^{2}(t)\,{\dot {\varphi }}(t)\;$ soit finalement La r.f.d.n. appliquée à $\;\color {transparent}{M}\;$ dans le référentiel terrestre galiléen «$\;\color {transparent}{m\;{\vec {g}}+{\vec {T}}(t)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)}\;$» projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ qui s'intègre, en «$\;\rho ^{2}(t)\,{\dot {\varphi }}(t)=cste\;\;\forall \;t\in \mathbb {R} ^{+}\;$» ;
La r.f.d.n. appliquée à $\;\color {transparent}{M}\;$ dans le référentiel terrestre galiléen «$\;\color {transparent}{m\;{\vec {g}}+{\vec {T}}(t)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)}\;$» projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ on détermine la constante d'intégration par utilisation partielle des C.I. à savoir $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c r}\theta (0)=\theta _{0}\!\!&{\text{et }}&\!\!\varphi (0)=0\\{\dot {\theta }}(0)=0\!\!&{\text{et }}&\!\!{\dot {\varphi }}(0)=0\end{array}}\right\rbrace \;$$^,$ soit, avec «$\;\rho (t)=l\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;$», la réécriture de la C.I. selon «$\;l^{2}\;\sin ^{2}(\theta _{0})\;{\dot {\varphi }}(0)=cste\;$» ou «$\;0=cste\;$» et par suite La r.f.d.n. appliquée à $\;\color {transparent}{M}\;$ dans le référentiel terrestre galiléen «$\;\color {transparent}{m\;{\vec {g}}+{\vec {T}}(t)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)}\;$» projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ qui s'intègre, en «$\;\rho ^{2}(t)\,{\dot {\varphi }}(t)=0\;\;\forall \;t\in \mathbb {R} ^{+}\;$» ou,
La r.f.d.n. appliquée à $\;\color {transparent}{M}\;$ dans le référentiel terrestre galiléen «$\;\color {transparent}{m\;{\vec {g}}+{\vec {T}}(t)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)}\;$» projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ en simplifiant par $\;\rho ^{2}(t)\;$ non identiquement nul, La r.f.d.n. appliquée à $\;\color {transparent}{M}\;$ dans le référentiel terrestre galiléen «$\;\color {transparent}{m\;{\vec {g}}+{\vec {T}}(t)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)}\;$» projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ qui s'intègre, en «$\;{\dot {\varphi }}(t)=0\;\;\forall \;t\in \mathbb {R} ^{+}\;$» ou enfin,
La r.f.d.n. appliquée à $\;\color {transparent}{M}\;$ dans le référentiel terrestre galiléen «$\;\color {transparent}{m\;{\vec {g}}+{\vec {T}}(t)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)}\;$» projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ après intégration «$\;\varphi (t)=cste'\;\;\forall \;t\in \mathbb {R} ^{+}\;$», La r.f.d.n. appliquée à $\;\color {transparent}{M}\;$ dans le référentiel terrestre galiléen «$\;\color {transparent}{m\;{\vec {g}}+{\vec {T}}(t)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)}\;$» projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ valeur de $\;cste'\;$ déterminée par C.I. $\;\varphi (0)=0\;$ $\Rightarrow$ $\;cste'=0$, soit finalement La r.f.d.n. appliquée à $\;\color {transparent}{M}\;$ dans le référentiel terrestre galiléen «$\;\color {transparent}{m\;{\vec {g}}+{\vec {T}}(t)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)}\;$» projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ qui s'intègre, en «$\;\varphi (t)=0\;\;\forall \;t\in \mathbb {R} ^{+}\;$», c.-à-d. La r.f.d.n. appliquée à $\;\color {transparent}{M}\;$ dans le référentiel terrestre galiléen «$\;\color {transparent}{m\;{\vec {g}}+{\vec {T}}(t)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)}\;$» projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ la nature plane du mouvement de $\;M\;$ dans le plan de lancement.
Modifications avec les C.I. de lancement$\;(1b)$ : aucune modification avant l'intervention des C.I. c.-à-d. qu'on établit «$\;\rho ^{2}(t)\,{\dot {\varphi }}(t)=cste\;\;\forall \;t\in \mathbb {R} ^{+}\;$» par une 1ère intégration par rapport au temps de la projection de la r.f.d.n. sur $\;{\vec {u}}_{\varphi }$, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\theta (0)=\theta _{0}\;&{\text{et }}&\varphi (0)=0\\{\dot {\theta }}(0)={\dfrac {V_{0}}{l}}\;&{\text{et }}&{\dot {\varphi }}(0)=0\end{array}}\right\rbrace \;$$^,$ soit, avec «$\;\rho (t)=l\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;$», la réécriture de la C.I. selon «$\;l^{2}\;\sin ^{2}(\theta _{0})\;{\dot {\varphi }}(0)=cste\;$» ou «$\;0=cste\;$» et par suite «$\;\rho ^{2}(t)\,{\dot {\varphi }}(t)=0\;\;\forall \;t\in \mathbb {R} ^{+}\;$» ou, en simplifiant par $\;\rho ^{2}(t)\;$ non identiquement nul, Modifications avec les C.I. de lancement$\;\color {transparent}{(1b)}$ : aucune modification avant l'intervention des C.I. c.-à-d. qu'on établit «$\;{\dot {\varphi }}(t)=0\;\;\forall \;t\in \mathbb {R} ^{+}\;$» ou enfin,
Modifications avec les C.I. de lancement$\;\color {transparent}{(1b)}$ : aucune modification avant l'intervention des C.I. c.-à-d. après intégration «$\;\varphi (t)=cste'\;\;\forall \;t\in \mathbb {R} ^{+}\;$», Modifications avec les C.I. de lancement$\;\color {transparent}{(1b)}$ : aucune modification avant l'intervention des C.I. c.-à-d. valeur de $\;cste'\;$ déterminée par C.I. $\;\varphi (0)=0\;$ $\Rightarrow$ $\;cste'=0$, soit finalement Modifications avec les C.I. de lancement$\;\color {transparent}{(1b)}$ : aucune modification avant l'intervention des C.I. c.-à-d. qu'on établit «$\;\varphi (t)=0\;\;\forall \;t\in \mathbb {R} ^{+}\;$», Modifications avec les C.I. de lancement$\;\color {transparent}{(1b)}$ : aucune modification avant l'intervention des C.I. c.-à-d. la nature plane du mouvement de $\;M\;$ dans le plan de lancement.

### En complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. « 1a » ou « 1b »

Si le P.P.S. se déplace dans un fluide suffisamment visqueux pour que la force de résistance à l'avancement soit linéaire, Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;{\big$P.P.S.A.${\big )}\;$ c.-à-d. qu'aux forces précédentes s'exerçant sur un P.P.S. à savoir $\;m\;{\vec {g}}\;$ le poids de $\;M\;$ et $\;{\vec {T}}(t)\;$ le vecteur tension de la tige sans masse, Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;\color {transparent}{\big$P.P.S.A.$\color {transparent}{\big )}\;$ c.-à-d. qu'aux forces précédentes s'ajoute une force de frottement fluide linéaire$\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(t)=-h\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ avec Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;\color {transparent}{\big$P.P.S.A.$\color {transparent}{\big )}\;$ c.-à-d. qu'aux forces précédentes s'ajoute une force de frottement fluide linéaire $\;h>0\;$ constante dépendant du fluide enveloppant le P.P.S.A. ;
Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;\color {transparent}{\big$P.P.S.A.$\color {transparent}{\big )}\;$ lancé dans les C.I. de lancement «$\;1a\;$» ou «$\;1b\;$», le P.P.S.A. a encore un mouvement plan dans le plan vertical de lancement, en effet :
Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;\color {transparent}{\big$P.P.S.A.$\color {transparent}{\big )}\;$ la r.f.d.n. appliquée à $\;M\;$ dans le référentiel terrestre galiléen «$\;m\;{\vec {g}}+{\vec {T}}(t)+{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(t)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$» Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;\color {transparent}{\big$P.P.S.A.$\color {transparent}{\big )}\;$ la r.f.d.n. projetée sur $\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ $\Rightarrow$ «$\;-h\;V_{\varphi ,\,M}(t)=m\;a_{\varphi ,\,M}(t)\;$»$^,$ ou, avec le repérage cylindro-polaire d'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ ainsi que Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;\color {transparent}{\big$P.P.S.A.$\color {transparent}{\big )}\;$ la r.f.d.n. projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\color {transparent}{-h\;V_{\varphi ,\,M}(t)=m\;a_{\varphi ,\,M}(t)}\;$» ou, avec l'expression de la vitesse orthoradiale $\;V_{\varphi ,\,M}(t)=\rho (t)\;{\dot {\varphi }}(t)\;$ et Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;\color {transparent}{\big$P.P.S.A.$\color {transparent}{\big )}\;$ la r.f.d.n. projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\color {transparent}{-h\;V_{\varphi ,\,M}(t)=m\;a_{\varphi ,\,M}(t)}\;$» ou, avec la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;\color {transparent}{\big$P.P.S.A.$\color {transparent}{\big )}\;$ la r.f.d.n. projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\color {transparent}{-h\;V_{\varphi ,\,M}(t)=m\;a_{\varphi ,\,M}(t)}\;$» ou, avec la forme semi intégrée $a_{\varphi ,\,M}(t)={\dfrac {1}{\rho (t)}}\,{\dfrac {d\!\left[\rho ^{2}\,{\dot {\varphi }}\right]}{dt}}(t)\;$$^,$, Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;\color {transparent}{\big$P.P.S.A.$\color {transparent}{\big )}\;$ la r.f.d.n. projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;-h\;\rho (t)\;{\dot {\varphi }}(t)=m\;{\dfrac {1}{\rho (t)}}\;{\dfrac {d\!\left[\rho ^{2}\,{\dot {\varphi }}\right]}{dt}}(t)\;$» soit, en multipliant par $\;\rho (t)\;$ et en normalisant, Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;\color {transparent}{\big$P.P.S.A.$\color {transparent}{\big )}\;$ la r.f.d.n. projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 1er ordre en $\;\left[\rho ^{2}\,{\dot {\varphi }}\right]\!(t)\;$ homogène suivante Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;\color {transparent}{\big$P.P.S.A.$\color {transparent}{\big )}\;$ la r.f.d.n. projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;{\dfrac {d\!\left[\rho ^{2}\,{\dot {\varphi }}\right]}{dt}}(t)+{\dfrac {h}{m}}\,\left[\rho ^{2}\,{\dot {\varphi }}\right]\!(t)=0,\;\;\forall \;t\in \mathbb {R} ^{+}\setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}}\right\rbrace \;$» ;
Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;\color {transparent}{\big$P.P.S.A.$\color {transparent}{\big )}\;$ la r.f.d.n. projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ on intègre cette équation différentielle sur l'intervalle de temps continu $\;\left[0\,,\,t_{{\text{éq stable}},\,1}\right[\;$ où $\;t_{{\text{éq stable}},\,1}\;$ est le 1er instant correspondant au passage du P.P.S.A. par sa position d'équilibre stable et on obtient Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;\color {transparent}{\big$P.P.S.A.$\color {transparent}{\big )}\;$ la r.f.d.n. projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\left[\rho ^{2}\,{\dot {\varphi }}\right]\!(t)=A_{1}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;$» où $\;A_{1}\;$ est une constante réelle d'intégration et Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;\color {transparent}{\big$P.P.S.A.$\color {transparent}{\big )}\;$ la r.f.d.n. projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\color {transparent}{\left[\rho ^{2}\,{\dot {\varphi }}\right]\!(t)=A_{1}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)}\;$» où $\;\tau ={\dfrac {m}{h}}\;$ la constante de temps d'amortissement de la solution, avec Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;\color {transparent}{\big$P.P.S.A.$\color {transparent}{\big )}\;$ la r.f.d.n. projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;A_{1}\;$ déterminée par utilisation partielle des C.I. $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c r}\theta (0)=\theta _{0}\!\!&\!\!{\text{et }}\!\!&\!\!\varphi (0)=0\\{\dot {\theta }}(0)=\left\lbrace {\begin{array}{c}0\;\;\;{\text{pour C.I. }}\,1a\\{\dfrac {V_{0}}{l}}\;\;{\text{pour C.I. }}\,1b\end{array}}\right\rbrace \!\!&\!\!{\text{et }}\!\!&\!\!{\dot {\varphi }}(0)=0\end{array}}\right\rbrace \;$$^,$ soit, avec «$\;\rho (t)=l\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;$», la réécriture de la C.I. selon «$\;l^{2}\;\sin ^{2}(\theta _{0})\;{\dot {\varphi }}(0)=A_{1}\;$» ou «$\;0=A_{1}\;$» et par suite «$\;\rho ^{2}(t)\,{\dot {\varphi }}(t)=0,\;\;\forall \;t\in \left[0\,,\,t_{{\text{éq stable}},\,1}\right[\;$» ;
Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;\color {transparent}{\big$P.P.S.A.$\color {transparent}{\big )}\;$ la r.f.d.n. projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ de la continuité des grandeurs $\;\rho (t)\;$ et $\;{\dot {\varphi }}(t)\;$ pour tout $\;t\in \mathbb {R}$, on en déduit celle de $\;\rho ^{2}(t)\,{\dot {\varphi }}(t)\;$ en particulier pour $\;t_{{\text{éq stable}},\,1}\;$ d'où le prolongement de la définition de $\;\rho ^{2}(t)\,{\dot {\varphi }}(t)\;$ selon «$\;\rho ^{2}(t)\,{\dot {\varphi }}(t)=0,\;\;\forall \;t\in \left[0\,,\,t_{{\text{éq stable}},\,1}\right]\;$» ;
Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;\color {transparent}{\big$P.P.S.A.$\color {transparent}{\big )}\;$ la r.f.d.n. projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ on poursuit l'intégration de l'équation différentielle sur l'intervalle de temps continu suivant $\;\left[t_{{\text{éq stable}},\,1}\,,\,t_{{\text{éq stable}},\,2}\right[\;$ où $\;t_{{\text{éq stable}},\,2}\;$ est l'instant suivant qui correspond au passage du P.P.S.A. par sa position d'équilibre stable et on obtient Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;\color {transparent}{\big$P.P.S.A.$\color {transparent}{\big )}\;$ la r.f.d.n. projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\left[\rho ^{2}\,{\dot {\varphi }}\right]\!(t)=A_{2}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;$» où $\;A_{2}\;$ est une constante réelle d'intégration et Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;\color {transparent}{\big$P.P.S.A.$\color {transparent}{\big )}\;$ la r.f.d.n. projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\color {transparent}{\left[\rho ^{2}\,{\dot {\varphi }}\right]\!(t)=A_{2}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)}\;$» où $\;\tau ={\dfrac {m}{h}}\;$ constante de temps d'amortissement de la solution, avec $\;A_{2}\;$ Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;\color {transparent}{\big$P.P.S.A.$\color {transparent}{\big )}\;$ la r.f.d.n. projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ déterminée par utilisation de la continuité de $\;\left[\rho ^{2}\,{\dot {\varphi }}\right]\!(t)\;$ à l'instant $\;t_{{\text{éq stable}},\,1}\;$ soit, avec «$\;\left[\rho ^{2}\,{\dot {\varphi }}\right]\!(t_{{\text{éq stable}},\,1}^{\,-})$ $=0\;$» et «$\;\left[\rho ^{2}\,{\dot {\varphi }}\right]\!(t_{{\text{éq stable}},\,1}^{\,+})=A_{2}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t_{{\text{éq stable}},\,1}^{\,+}}{\tau }}\right)\;$», «$\;A_{2}=0\;$» et par suite «$\;\rho ^{2}(t)\,{\dot {\varphi }}(t)=0,\;\;\forall \;t\in \left[0\,,\,t_{{\text{éq stable}},\,2}\right[\;$» puis, Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;\color {transparent}{\big$P.P.S.A.$\color {transparent}{\big )}\;$ la r.f.d.n. projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ par continuité en $\;t_{{\text{éq stable}},\,2}$, «$\;\rho ^{2}(t)\,{\dot {\varphi }}(t)=0,\;\;\forall \;t\in \left[0\,,\,t_{{\text{éq stable}},\,2}\right]\;$» ;
Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;\color {transparent}{\big$P.P.S.A.$\color {transparent}{\big )}\;$ la r.f.d.n. projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ poursuivant l'intégration sur l'intervalle de temps continu suivant $\;\left[t_{{\text{éq stable}},\,2}\,,\,t_{{\text{éq stable}},\,3}\right[\;$ et déterminant la constante d'intégration par utilisation de la continuité en $\;t_{{\text{éq stable}},\,2}$, on obtient la « nullité de $\;\rho ^{2}(t)\,{\dot {\varphi }}(t)\;$ sur $\;\left[0\,,\,t_{{\text{éq stable}},\,3}\right[\;$», « nullité que l'on prolonge sur $\;\left[0\,,\,t_{{\text{éq stable}},\,3}\right]\;$» par continuité $\;\ldots$
Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;\color {transparent}{\big$P.P.S.A.$\color {transparent}{\big )}\;$ la r.f.d.n. projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ Après un nombre suffisant d'intégrations sur les intervalles de temps continus $\;\left[t_{{\text{éq stable}},\,i}\,,\,t_{{\text{éq stable}},\,i+1}\right[\;$ et Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;\color {transparent}{\big$P.P.S.A.$\color {transparent}{\big )}\;$ la r.f.d.n. projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ Après utilisation de la continuité aux deux bornes de l'intervalle on en déduit Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;\color {transparent}{\big$P.P.S.A.$\color {transparent}{\big )}\;$ la r.f.d.n. projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\rho ^{2}(t)\,{\dot {\varphi }}(t)=0,\;\;\forall \;t\in \mathbb {R} ^{+}\;$» ou, en simplifiant par $\;\rho ^{2}(t)\;$ non identiquement nul, Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;\color {transparent}{\big$P.P.S.A.$\color {transparent}{\big )}\;$ la r.f.d.n. projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;{\dot {\varphi }}(t)=0,\;\;\forall \;t\in \mathbb {R} ^{+}\;$» ou enfin, après une dernière intégration temporelle «$\;\varphi (t)=cste',\;\;\forall \;t\in \mathbb {R} ^{+}\;$», la valeur $\;cste'\;$ étant déterminée par C.I. «$\;\varphi (0)=0\;$» $\Rightarrow$ «$\;cste'=0\;$», soit finalement Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;\color {transparent}{\big$P.P.S.A.$\color {transparent}{\big )}\;$ la r.f.d.n. projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\varphi (t)=0,\;\;\forall \;t\in \mathbb {R} ^{+}\;$», c.-à-d. la nature plane du mouvement de $\;M\;$ dans le plan de lancement.

### Conséquence de la nature plane du mouvement du P.P.S. dans les C.I. de lancement « 1a » ou « 1b »

Le mouvement du P.P.S. $\;{\big$et en complément celui du P.P.S.A.${\big ]}\;$ étant plan si ses C.I. de lancement sont «$\;1a\;$» ou «$\;1b\;$», le point $\;M\;$ associé au P.P.S. $\;{\big$ou en complément au P.P.S.A.${\big ]}\;$ décrit un mouvement circulaire de centre $\;O\;$ compte-tenu de la rigidité de la tige $\;{\big$ou du caractère inextensible du fil tendu${\big ]}$, c'est donc un mouvement à un degré de liberté.

## Choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle « le centre du mouvement circulaire du P.P.S. »

Le mouvement est plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant $\;\Delta \;$ l'axe passant par $\;O\;$ et $\;\perp \;$ au plan vertical initial, le mouvement de $\;M\;$ est circulaire d'axe $\;\Delta$ ;
il devient alors intéressant de reprendre le repérage du point $\;M\;$ par ses coordonnées sphériques $\;\left(l\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)\;$ ou, puisque $\;\varphi \;$ reste constant et que $\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ l'est aussi s'identifiant à $\;{\vec {u}}_{\Delta }$, par les deux 1$^{ères}$ coordonnées sphériques $\left(l\,,\,\theta \right)\;$ de $\;M\;$ s'identifiant alors à ses coordonnées polaires de pôle $\;O\;$ ${\big$et d'axe $\;\Delta {\big )}\;$ du plan vertical initial, la base polaire de ce plan liée au point $\;M\;$ étant $\;\left({\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\right)\,$ et l'angle polaire $\;\theta \;$ de $\;M\;$ étant orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }$, voir ci-contre.
Le mouvement du point $\;M\;$ est alors entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire $\;\theta =\theta (t)\;$ où $\;\theta \;$ l'abscisse angulaire du point $\;M\;$ est le « paramètre de position de ce dernier ».

## Mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n., équation différentielle non linéaire du 2ème ordre, absence de solution analytique (d'où nécessité de résolution numérique dans le cas général)
### Mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.

La r.f.d.n. appliquée à $\;M\;$ dans le référentiel terrestre galiléen s'écrivant «$\;{\vec {T}}(t)+m\;{\vec {g}}=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$», projetons la sur $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ pour éliminer $\;{\vec {T}}(t)\perp \;$ à $\;{\vec {u}}_{\theta }$ $\;{\big$voir schéma ci-contre${\big )}\;$ d'où «$\;0-m\;g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=m\;a_{\theta ,\,M}(t)\;$» avec l'accélération orthoradiale en repérage polaire «$\;a_{\theta }(t)=r(t)\;{\ddot {\theta }}(t)+2\;{\dot {r}}(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;$» ou, en utilisant $\;r=l=cste$, «$\;a_{\theta ,\,M}(t)=l\;{\ddot {\theta }}(t)\;$» soit encore «$\;m\;l\;{\ddot {\theta }}(t)+m\;g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=0\;$» ou finalement, sous forme normalisée,
$\;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {g}{l}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=0\;$
$\;\theta (t)\;$
Remarque : La projection sur $\;{\vec {u}}_{r}\;$ de la r.f.d.n. appliquée à $\;M\;$ dans le référentiel terrestre galiléen nous permettrait de déterminer la « tension » $\;T(t)\;$ de la tige Remarque : La projection sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{r}}\;$ de la r.f.d.n. selon «$\;-T(t)+m\;g\;\cos \!\left[\theta (t)\right]=m\;a_{r,\,M}(t)\;$» avec l'accélération radiale en repérage polaire «$\;a_{r}(t)={\ddot {r}}(t)-r(t)\;{\dot {\theta }}^{2}(t)\;$» ou, en utilisant $\;r=l$ $=cste$, «$\;a_{r,\,M}(t)=-l\;{\dot {\theta }}^{2}(t)\;$» soit encore «$\;-T(t)+m\;g\;\cos \!\left[\theta (t)\right]=-m\;l\;{\dot {\theta }}^{2}(t)\;$» donnant l'expression de la « tension » de la tige suivante Remarque : La projection sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{r}}\;$ de la r.f.d.n. selon «$\;T(t)=m\left\lbrace g\;\cos \!\left[\theta (t)\right]+l\;{\dot {\theta }}^{2}(t)\right\rbrace \;$» ;
Remarque : usuellement $\;T(t)\;$ étant $\;>0\;$ s'identifie à la norme $\;\Vert {\vec {T}}(t)\Vert \;$ du vecteur tension, il n'y a alors aucun changement si on remplace la tige par un fil idéal, celui-ci restant tendu, mais $\;\ldots$
Remarque : usuellement si $\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\;$ devient $\;<0\;$ correspondant à une abscisse angulaire de valeur absolue $\;>\;$ à $\;90\,{\text{°}}$, $\;T(t)\;$ correspondant pourrait peut être prendre des valeurs négatives Remarque : usuellement si $\;\color {transparent}{\cos \!\left[\theta (t)\right]}\;$ devient $\;\color {transparent}{<0}\;$ correspondant à une abscisse angulaire de valeur absolue $\;\color {transparent}{>}\;$ à $\;\color {transparent}{90\,{\text{°}}}$, ${\big$la tige empêchant alors le point $\;M\;$ de se rapprocher de l'axe${\big )}$ ; Remarque : usuellement si $\;\color {transparent}{\cos \!\left[\theta (t)\right]}\;$ devient $\;\color {transparent}{<0}\;$ si $\;T(t)\;$ peut devenir $\;<0$, la valeur de $\;\vert \theta \vert \;$ pour laquelle $\;T(t)\;$ s'annule en changeant de signe Remarque : usuellement si $\;\color {transparent}{\cos \!\left[\theta (t)\right]}\;$ devient $\;\color {transparent}{<0}\;$ si $\;\color {transparent}{T(t)}\;$ peut devenir $\;\color {transparent}{<0}$, la valeur de $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert }\;$ correspondra, dans le cas où on remplace la tige rigide sans masse par un fil idéal, Remarque : usuellement si $\;\color {transparent}{\cos \!\left[\theta (t)\right]}\;$ devient $\;\color {transparent}{<0}\;$ si $\;\color {transparent}{T(t)}\;$ peut devenir $\;\color {transparent}{<0}$, la valeur de $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert }\;$ correspondra, à une position pour laquelle le fil cessera d'être tendu, Remarque : usuellement si $\;\color {transparent}{\cos \!\left[\theta (t)\right]}\;$ devient $\;\color {transparent}{<0}\;$ si $\;\color {transparent}{T(t)}\;$ peut devenir $\;\color {transparent}{<0}$, la valeur de $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert }\;$ correspondra, à une position pour laquelle le mouvement ultérieur n'étant alors plus circulaire.

### Absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.

Cette équation différentielle du 2ème ordre en $\;\theta (t)\;$ «$\;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {g}{l}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=0\;$» n'étant pas linéaire, sa résolution est, a priori, nettement plus compliquée et est même, Cette équation différentielle du 2ème ordre en $\;\color {transparent}{\theta (t)}\;$ «$\;\color {transparent}{{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {g}{l}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=0}\;$» n'étant pas linéaire, sa résolution est, a postériori, impossible avec les fonctions usuelles connues à ce jour, en effet
l'équation différentielle non linéaire du 2ème ordre en $\;f(x)\;$ sans terme du 1er ordre, «$\;{\dfrac {d^{2}f}{dx^{2}}}(x)+k\;\sin \!\left[f(x)\right]=0\;$» n'a pas de solution analytique$^,$ d'où la nécessité d'une résolution numérique qui est alors la seule façon possible d'obtenir une solution.

### En complément, mise en équation du « P.P.S.A. »

Nous considérons maintenant un P.P.S.A. c.-à-d. qu'il se déplace dans un fluide exerçant sur lui, en plus des deux autres forces agissant sur un P.P.S.N.A., Nous considérons maintenant un P.P.S.A. c.-à-d. qu'il se déplace dans un fluide exerçant sur lui, une « force de résistance à l'avancement linéaire $\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(t)=-h\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$» avec Nous considérons maintenant un P.P.S.A. c.-à-d. qu'il se déplace dans un fluide exerçant sur lui, une «$\;h>0\;$ constante dépendant, entre autres, du fluide dans lequel se déplace le P.P.S.A. » ;
nous avons vu que le P.P.S.A. lancé dans les C.I. de lancement «$\;1a\;$» ou «$\;1b\;$» conserve un mouvement plan dans le plan vertical de lancement, ce qui permet de choisir comme système de repérage du point $\;M\;$ associé au P.P.S.A. dans ce plan, le repérage polaire de pôle $\;O\;$ lié à $\;M$, « les coordonnées polaires de ce dernier, de même que les vecteurs de base associés, étant les mêmes que celles et ceux précédemment introduit(e)s dans un P.P.S.N.A. » ;
appliquant la r.f.d.n. à $\;M\;$ dans le référentiel terrestre galiléen on obtient «$\;m\;{\vec {g}}+{\vec {T}}(t)+{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(t)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$» soit, en projetant sur $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ dans le but d'éliminer $\;{\vec {T}}(t)$, appliquant la r.f.d.n. à $\;\color {transparent}{M}\;$ dans le référentiel terrestre galiléen on obtient «$\;-m\;g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]+0-h\;V_{\theta ,\,M}(t)=m\;a_{\theta ,\,M}(t)\;$» avec la vitesse et l'accélération orthoradiales en polaire s'écrivant appliquant la r.f.d.n. à $\;\color {transparent}{M}\;$ dans le référentiel terrestre galiléen on obtient «$\;\color {transparent}{-m\;g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]+0-h\;V_{\theta ,\,M}(t)=m\;a_{\theta ,\,M}(t)}\;$» avec $\;V_{\theta }(t)=r(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;$ et $\;a_{\theta }(t)=r(t)\;{\ddot {\theta }}(t)+2\;{\dot {r}}(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;$ ou, en utilisant $\;r=l=cste$, «$\;V_{\theta }(t)=l\;{\dot {\theta }}(t)\;$» et «$\;a_{\theta ,\,M}(t)=l\;{\ddot {\theta }}(t)\;$» soit encore «$\;m\;l\;{\ddot {\theta }}(t)+h\;l\;{\dot {\theta }}(t)+m\;g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=0\;$» ou finalement, sous forme normalisée, appliquant la r.f.d.n. à $\;\color {transparent}{M}\;$ dans le référentiel terrestre galiléen on obtient «$\;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {h}{m}}\;{\dot {\theta }}(t)+{\dfrac {g}{l}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=0\;$» c.-à-d. appliquant la r.f.d.n. à $\;\color {transparent}{M}\;$ dans le référentiel terrestre galiléen on obtient une équation différentielle non linéaire du 2ème ordre en $\;\theta (t)\;$ avec terme du 1er ordre.
L'équation différentielle non linéaire du 2ème ordre en $\;\theta (t)\;$ sans terme du 1er ordre n'ayant pas de solution analytique, il en est de même de « l'équation différentielle non linéaire du 2ème ordre en $\;\theta (t)\;$ avec terme du 1er ordre $\;{\big$linéaire${\big )}\;$ » qui est donc sans solution analytique et nécessite une résolution numérique $\;\ldots$

## Approximation linéaire, dans le cadre des « petites élongations angulaires », du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des « petites élongations angulaires »
### Cadre des « petites élongations angulaires »

Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer le P.P.S. avec les C.I. «$\;1a\;$» soit sans vitesse angulaire initiale «$\;{\dot {\theta }}_{0}=0\;$» et Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer le P.P.S. avec les C.I. «$\;\color {transparent}{1a}\;$» soit l'abscisse angulaire initiale $\;\theta _{0}\;$ de valeur absolue «$\;\vert \theta _{0}\vert \ll 1\;$» ;
Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » l'absence de vitesse angulaire initiale $\Rightarrow$ « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépasse pas $\;\vert \theta _{0}\vert \;$» et Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » l'absence de vitesse angulaire initiale $\color {transparent}{\Rightarrow }$ « la valeur absolue de l'élongation angulaire reste petite $\;\vert \theta (t)\vert \ll 1,\;\;\forall \;t\;$.

### Approximation linéaire du P.P.S. dans le cadre des « petites élongations angulaires »

Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a $\;\vert \theta (t)\vert \ll 1,\;\;\forall \;t\;$ permettant d'effectuer un D.L. à l'ordre un en $\;\theta \;$ de $\;\sin(\theta )\;$ au voisinage de $\;0\;$ selon Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a $\;\color {transparent}{\vert \theta (t)\vert \ll 1,\;\;\forall \;t}\;$ permettant d'effectuer un D.L. à l'ordre un en $\;\color {transparent}{\theta }\;$ de «$\;\sin(\theta )\simeq \theta \;$ à l'ordre un en $\;\theta \;$» et par suite Dans le cadre des « petites élongations angulaires » l'équation différentielle suivie par le P.P.S. devient linéaire selon «$\;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {g}{l}}\;\theta (t)\simeq 0\;$» c.-à-d. Dans le cadre des « petites élongations angulaires » une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre en $\;\theta (t)\;$ sans terme d'amortissement et homogène.

### Approximation linéaire du P.P.S. dans le cadre des « petites élongations angulaires » et oscillateur harmonique

Le P.P.S.N.A. est donc linéarisable dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » et Le P.P.S.N.A. est donc linéarisable dans cette hypothèse il devient un « oscillateur harmonique$\;{\big$non amorti${\big )}\;$» de pulsation propre $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {g}{l}}}\;$ appelée Le P.P.S.N.A. est donc linéarisable dans cette hypothèse il devient un « oscillateur harmonique$\;\color {transparent}{\big$non amorti$\color {transparent}{\big )}\;$» de pulsation$\;{\big$propre${\big )}\;$des petites élongations angulaires.

### Période des « petites élongations angulaires » du P.P.S.

On en déduit la « période propre des petites élongations angulaires du P.P.S.N.A. à un degré de liberté $\;{\mathcal {T}}_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {l}{g}}}\;$» ;
on constate qu'en un lieu fixé, le P.P.S. « bat plus vite » pour une longueur de pendule $\;l\;$ plus courte et on constate qu'un même P.P.S. « bat plus vite » pour une intensité de pesanteur $\;g\;$ plus grande $\;{\big$ainsi le P.P.S. sur Terre « bat un peu plus rapidement » aux pôles qu'à l'équateur et on constate qu'un même P.P.S. bat plus vite » pour une intensité de pesanteur $\;\color {transparent}{g}\;$ plus grande $\;\color {transparent}{\big$ainsi le même P.P.S. « bat nettement plus vite » sur Terre (♁) que sur la Lune (☽)$^,$${\big ]}$.

### En complément, P.P.S.A. dans le cadre des « petites élongations angulaires »

Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a toujours $\;\vert \theta (t)\vert \ll 1,\;\;\forall \;t\;$$^,$ permettant d'effectuer un D.L. à l'ordre un en $\;\theta \;$ de $\;\sin(\theta )\;$ au voisinage de $\;0\;$ selon Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a toujours $\;\color {transparent}{\vert \theta (t)\vert \ll 1,\;\;\forall \;t}\;$ permettant d'effectuer un D.L. à l'ordre un en $\;\color {transparent}{\theta }\;$ de «$\;\sin(\theta )\simeq \theta \;$ à l'ordre un en $\;\theta \;$» et par suite Dans le cadre des « petites élongations angulaires » l'équation différentielle suivie par le P.P.S.A. devient linéaire selon «$\;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {h}{m}}\;{\dot {\theta }}(t)+{\dfrac {g}{l}}\;\theta (t)\simeq 0\;$» c.-à-d. Dans le cadre des « petites élongations angulaires » une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre en $\;\theta (t)\;$ avec terme d'amortissement et homogène.
Le P.P.S.A. est donc linéarisable dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » et Le P.P.S.A. est donc linéarisable dans cette hypothèse il devient un « oscillateur harmonique amorti » de pulsation propre $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {g}{l}}}\;$ appelée Le P.P.S.A. est donc linéarisable dans cette hypothèse il devient un « oscillateur harmonique amorti » de pulsation$\;{\big$propre${\big )}\;$des petites élongations angulaires et Le P.P.S.A. est donc linéarisable dans cette hypothèse il devient un « oscillateur harmonique amorti » dont le mouvement est « apériodique », « apériodique critique » ou « pseudo périodique » Le P.P.S.A. est donc linéarisable dans cette hypothèse il devient un « oscillateur harmonique amorti » dont le mouvement est suivant la valeur du cœfficient d'amortissement $\;\sigma ={\dfrac {h}{2\;m\;\omega _{0}}}\;$$^,$ ;
Le P.P.S.A. est donc linéarisable dans le cas le plus fréquent $\;\sigma <1$, le mouvement est pseudo périodique de « pseudo pulsation des petites élongations angulaires $\;\omega =\omega _{0}\;{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}<\omega _{0}\;$» Le P.P.S.A. est donc linéarisable dans le cas le plus fréquent $\;\color {transparent}{\sigma <1}$, le mouvement est pseudo périodique et de « pseudo période associée $\;{\mathcal {T}}={\dfrac {2\;\pi }{\omega }}={\dfrac {{\mathcal {T}}_{0}}{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}>{\mathcal {T}}_{0}\;$» avec Le P.P.S.A. est donc linéarisable dans le cas le plus fréquent $\;\color {transparent}{\sigma <1}$, le mouvement est pseudo périodique de «$\;{\mathcal {T}}_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {l}{g}}}\;$ la période $\;{\big$propre${\big )}\;$ des petites élongations angulaires du P.P.S.N.A. », $\;{\big$la pseudo période $\;{\mathcal {T}}\;$ des petites élongations angulaires du P.P.S.A. pour une même période propre $\;{\mathcal {T}}_{0}\;$ étant d'autant plus grande que son cœfficient d'amortissement $\;\sigma \;$ l'est${\big ]}$.

## Détermination de l'équation du portrait de phase (« intégrale 1ère du mouvement ») dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté

Compte-tenu de la « définition du portrait de phase d'un système dynamique à un degré de liberté » du chap.$22$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », on peut obtenir Compte-tenu de la « l'équation du portrait de phase, dans le cas présent, en cherchant un lien entre $\;{\dot {\theta }}\;$ et $\;\theta \;$ au même instant $\;t\;$ sans que ce dernier n'intervienne c.-à-d. Compte-tenu de la « l'équation du portrait de phase, dans le cas présent, en intégrant une 1ère fois l'équation différentielle du 2ème ordre en $\;\theta (t)\;$ sans terme du 1er ordre, l'intégration une 1ère fois Compte-tenu de la « l'équation du portrait de phase, par rapport à $\;t\;$ $\blacktriangleright \;$de $\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;$ nécessitant de multiplier les deux membres de l'équation différentielle du 2ème ordre en $\;\theta (t)\;$ par $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ et Compte-tenu de la « l'équation du portrait de phase, par rapport à $\;\color {transparent}{t}\;$ $\blacktriangleright \;$de $\;{\ddot {\theta }}(t)\;$ devenu $\;{\ddot {\theta }}(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;$ après avoir multiplié les deux membres de l'équation différentielle du 2ème ordre en $\;\theta (t)\;$ par $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ Compte-tenu de la « l'équation du portrait de phase, par rapport à $\;\color {transparent}{t}\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$de $\;\color {transparent}{{\ddot {\theta }}(t)}\;$ devenu $\;\color {transparent}{{\ddot {\theta }}(t)\;{\dot {\theta }}(t)}\;$ n'introduisant aucune difficulté.
Compte-tenu de la « l'équation du portrait de phase, Remarque : par contre s'il y avait un terme du 1er ordre dans l'équation différentielle du 2ème ordre en $\;\theta (t)\;$ comme c'est le cas pour un P.P.S.A., Compte-tenu de la « l'équation du portrait de phase, Remarque : par contre multiplier les deux membres de l'équation différentielle du 2ème ordre en $\;\theta (t)\;$ par $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ Compte-tenu de la « l'équation du portrait de phase, Remarque : par contre multiplier les deux membres conduirait à une impossibilité d'intégrer une 1ère fois par rapport à $\;t\;$ car Compte-tenu de la « l'équation du portrait de phase, Remarque : par contre multiplier les deux membres$\;{\dot {\theta }}(t)\;$ devenu $\;\left[{\dot {\theta }}(t)\right]^{2}\;$ après avoir multiplié les deux membres de l'équation différentielle par $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ Compte-tenu de la « l'équation du portrait de phase, Remarque : par contre multiplier les deux membres$\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}(t)}\;$ devenu $\;\color {transparent}{\left[{\dot {\theta }}(t)\right]^{2}}\;$ n'admet pas de primitive relativement à $\;t\;$ pour $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ a priori inconnue.
En conclusion on obtient l'équation du portrait de phase d'un P.P.S.N.A. en intégrant une fois par rapport à $_{;}t\;$ son équation différentielle non linéaire du 2ème ordre en $\;\theta (t)\;$ sans terme du 1er ordre, En conclusion on obtient le résultat étant alors une équation différentielle du 1er ordre en $\;\theta (t)\;$ dépendant des C.I. de lancement, En conclusion on obtient le résultat étant alors une équation que l'on appelle « intégrale 1ère du mouvement » du P.P.S.N.A. mais
conclusion on n'obtient pas d'équation du portrait de phase d'un P.P.S.A. en intégrant une fois par rapport à $\;t\;$ son équation différentielle non linéaire du 2ème ordre en $\;\theta (t)\;$ avec terme du 1er ordre conclusion on n'obtient pas d'équation du portrait de phase d'un P.P.S.A. la détermination de l'équation du portrait de phase suivant C.I. de lancement ne pouvant se faire que numériquement $\;\ldots$

### C.I. de lancement pour un P.P.S. à un degré de liberté

Le plus simple pour être dans le cas général d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté Le plus simple est de lancer le P.P.S.N.A. avec les C.I. «$\;1b\cup 1a\;$» c.-à-d. $\blacktriangleright \;$« on écarte le P.P.S. de $\;\theta _{0}\;\neq 0\;$ de sa position d'équilibre stable » et Le plus simple est de lancer le P.P.S.N.A. avec les C.I. «$\;\color {transparent}{1b\cup 1a}\;$» c.-à-d. $\blacktriangleright \;$on le lâche avec un « vecteur vitesse initial dans le plan de lancement » correspondant à Le plus simple est de lancer le P.P.S.N.A. avec les C.I. «$\;\color {transparent}{1b\cup 1a}\;$» c.-à-d. $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$on le lâche avec une vitesse angulaire initiale $\;{\dot {\theta }}(0)={\dot {\theta }}_{0}\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\neq 0\;\;{\text{si C.I. }}\;1b\\=0\;\;{\text{si C.I. }}\;1a\end{array}}\right\rbrace \;$».

### Intégrale 1ère du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté

Partant de l'équation différentielle non linéaire du 2ème ordre en $\;\theta (t)\;$ sans terme du 1er ordre du mouvement du P.P.S.N.A. «$\;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {g}{l}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=0\;$», Partant de l'équation différentielle non linéaire on multiplie de part et d'autre par $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ pour intégrer une fois par rapport à $\;t\;$ soit «$\;{\ddot {\theta }}(t)\;{\dot {\theta }}(t)+{\dfrac {g}{l}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\,{\dot {\theta }}(t)=0\;$», Partant de l'équation différentielle non linéaire on multiplie de part et d'autre par $\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}(t)}\;$ le membre de gauche étant « la dérivée temporelle de $\;{\dfrac {{\dot {\theta }}^{2}\!(t)}{2}}-{\dfrac {g}{l}}\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\;$», d'où Partant de l'équation différentielle non linéaire on multiplie de part et d'autre par $\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}(t)}\;$ l'intégrale 1ère du mouvement cherchée «$\;{\dfrac {{\dot {\theta }}^{2}\!(t)}{2}}-{\dfrac {g}{l}}\;\cos \!\left[\theta (t)\right]=cste\;$», Partant de l'équation différentielle non linéaire on multiplie de part et d'autre par $\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}(t)}\;$ la constante d'intégration se déterminant par C.I. soit «$\;cste={\dfrac {{\dot {\theta }}_{0}^{2}}{2}}-{\dfrac {g}{l}}\;\cos \!\left[\theta _{0}\right]\;$» et par suite Partant de l'équation différentielle non linéaire on multiplie de part et d'autre par $\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}(t)}\;$ la réécriture de l'intégrale 1ère du mouvement du P.P.S.N.A. «$\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)={\dot {\theta }}_{0}^{2}+2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left\lbrace \cos \!\left[\theta (t)\right]-\cos \!\left[\theta _{0}\right]\right\rbrace \;$».

### Équation du portrait de phase d'un P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté lancé dans les C.I. « 1b U 1a »

L'équation, sous forme implicite, du portrait de phase du P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. «$\;1b\cup 1a\;$» correspondant à l'intégrale 1ère du mouvement de ce dernier, L'équation, sous forme implicite, du portrait de phase du P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. «$\;\color {transparent}{1b\cup 1a}\;$» s'écrit donc «$\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)={\dot {\theta }}_{0}^{2}+2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left\lbrace \cos \!\left[\theta (t)\right]-\cos \!\left[\theta _{0}\right]\right\rbrace \;$».

### Cas particulier des « petites élongations angulaires » du P.P.S.(N.A.) dans les C.I. de lancement « 1a »

Les « petites élongations angulaires » du P.P.S.N.A. sont assurées dans les C.I. de lancement «$\;1a\;$» d'où l'intégrale 1ère de son mouvement selon «$\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)=2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left\lbrace \cos \!\left[\theta (t)\right]-\cos \!\left[\theta _{0}\right]\right\rbrace \;$» Les « petites élongations angulaires » du P.P.S.N.A. sont assurées dans les C.I. de lancement «$\;\color {transparent}{1a}\;$» d'où avec $\;\vert \theta _{0}\vert \ll 1\;$ et $\;\vert \theta (t)\vert \ll 1\;$ conséquence de $\;\vert \theta (t)\vert \leqslant \vert \theta _{0}\vert \;$ ;
Les « petites élongations angulaires » nous pouvons alors faire un D.L. de $\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\;$ et $\;\cos \!\left[\theta _{0}\right]\;$ à l'ordre deux respectivement en $\;\theta (t)\;$ et $\;\theta _{0}\;$ au voisinage de $\;0\;$ soit Les « petites élongations angulaires » nous pouvons alors faire un D.L. de «$\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\simeq 1-{\dfrac {\theta ^{2}\!(t)}{2}}\;$ à l'ordre deux en $\;\theta (t)\;$» et «$\;\cos(\theta _{0})\simeq 1-{\dfrac {\theta _{0}^{2}}{2}}\;$ à l'ordre deux en $\;\theta _{0}\;$»,
Les « petites élongations angulaires » nous pouvons alors faire un D.L. de dont on tire, par report dans l'intégrale 1ère du mouvement du P.P.S.N.A. étudié, Les « petites élongations angulaires » nous pouvons alors faire un D.L. de «$\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\simeq 2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left\lbrace \left[1-{\dfrac {\theta ^{2}\!(t)}{2}}\right]-\left[1-{\dfrac {\theta _{0}^{2}}{2}}\right]\right\rbrace ={\dfrac {g}{l}}\,\left[\theta _{0}^{2}-\theta ^{2}\!(t)\right]\;$» que l'on peut réécrire selon Les « petites élongations angulaires » nous pouvons alors faire un D.L. de «$\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+{\dfrac {g}{l}}\;\theta ^{2}\!(t)\simeq {\dfrac {g}{l}}\;\theta _{0}^{2}\;$» ou encore «$\;{\dfrac {{\dot {\theta }}^{2}\!(t)}{{\dfrac {g}{l}}\;\theta _{0}^{2}}}+{\dfrac {\theta ^{2}\!(t)}{\theta _{0}^{2}}}\simeq 1\;$» et au final, Les « petites élongations angulaires » nous pouvons alors faire un D.L. de en introduisant la pulsation des « petites élongations angulaires $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {g}{l}}}\;$», «$\;{\dfrac {{\dot {\theta }}^{2}\!(t)}{\omega _{0}^{2}\;\theta _{0}^{2}}}+{\dfrac {\theta ^{2}\!(t)}{\theta _{0}^{2}}}=1\;$».

## Portraits de phase dans le cas général « d'oscillations ou de mouvement révolutif » d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particulier des petites élongations angulaires
### Propriétés des portraits de phase dans le cas général « d'oscillations ou de mouvement révolutif » d'un P.P.S. lancé dans les C.I. « 1b U 1a »

Rappelant l'équation, sous forme implicite, du portrait de phase d'un P.P.S.N.A. lancé dans les C.I. $\;1b\cup 1a\;$ «$\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)={\dot {\theta }}_{0}^{2}+2\;{\dfrac {g}{l}}\left\lbrace \cos \!\left[\theta (t)\right]-\cos(\theta _{0})\right\rbrace \;$» et
constatant que «$\;{\dot {\theta }}^{2}\;$ est une fonction $\;\searrow \;$ de $\;\vert \theta \vert \;$ sur $\;\left[0\,,\,\pi \right]\;$», on en déduit deux tracés possibles suivant que cette fonction peut ou non s'annuler, plus précisément :
* « si le 2nd membre est $\;>0,\;\;\forall \;\vert \theta \vert \in \left[0\,,\,\pi \right]\;$», «$\;{\dot {\theta }}^{2}(t)\;$ ne s'annule jamais » et « comme $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ est une fonction continue, elle gardera le signe de $\;{\dot {\theta }}_{0}\;$» c.-à-d. que « si le 2nd membre est $\;\color {transparent}{>0,\;\;\forall \;\vert \theta \vert \in \left[0\,,\,\pi \right]}\;$», « nous aurons un mouvement continu dans un même sens, celui du lancement » ;
* « si le 2nd membre s'annule pour une valeur $\;\theta _{m}\;$ de $\;\vert \theta \vert \in \left[0\,,\,\pi \right]\;$», «$\;{\dot {\theta }}^{2}(t)\;$ s'annulant pour cette valeur, il en est de même de $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ ce qui correspond à un extremum de $\;\theta (t)\;$ ou « si le 2nd membre s'annule pour une valeur $\;\color {transparent}{\theta _{m}}\;$ de $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert \in \left[0\,,\,\pi \right]}\;$», «$\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}^{2}(t)}\;$ s'annulant pour cette valeur, il en est de même de $\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}(t)}\;$ ce qui correspond à une valeur de stationnarité », « si le 2nd membre s'annule pour une valeur $\;\color {transparent}{\theta _{m}}\;$ de $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert \in \left[0\,,\,\pi \right]}\;$», mais, comme il est impossible que $\;\vert \theta (t)\vert \;$ continue de $\;\nearrow \;$ au-delà de $\;\theta _{m}\;$, on en déduit que « si le 2nd membre s'annule pour une valeur $\;\color {transparent}{\theta _{m}}\;$ de $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert \in \left[0\,,\,\pi \right]}\;$», mais, «$\;\theta _{m}\;$ est un extremum de $\;\theta (t)\;$» $\;{\big$et non une valeur de stationnarité${\big ]}$, c.-à-d. qu'arrivé en $\;\theta =\theta _{m}\;$ où la vitesse angulaire est nulle, le seul mouvement possible est la $\;\searrow \;$ de $\;\theta (t)\;$ dans le sens négatif jusqu'à $\;\theta =-\theta _{m}\;$ où la vitesse angulaire est de nouveau nulle, le seul mouvement possible étant alors la $\;\nearrow \;$ de $\;\theta (t)\;$ dans le sens positif $\;\ldots$

#### 2ème C.I. de lancement pour que le P.P.S. ait un mouvement révolutif et propriétés du portrait de phase correspondant

Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase d'un P.P.S.N.A. lancé dans les C.I. $\;1b\;$, soit strictement positif $\;\forall \;\vert \theta (t)\vert \in \left[0\,,\,\pi \right]\;$» c.-à-d. pour avoir Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase «$\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}+2\;{\dfrac {g}{l}}\left\lbrace \cos \!\left[\theta (t)\right]-\cos(\theta _{0})\right\rbrace >0,\;\;\forall \;\vert \theta (t)\vert \in \left[0\,,\,\pi \right]\;$» laquelle est une fonction $\;\searrow \;$ de $\;\vert \theta (t)\vert \;$ sur $\;\left[0\,,\,\pi \right]$, il suffit que Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase le minimum de cette fonction de variable $\;\vert \theta (t)\vert \;$ sur $\;\left[0\,,\,\pi \right]\;$soit strictement positif c.-à-d. $\;\min \limits _{\vert \theta \vert \,\in \,\left[0\,,\,\pi \right]}\left\lbrace {\dot {\theta }}_{0}^{2}+2\;{\dfrac {g}{l}}\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]\right\rbrace >0\;$ Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase ou, comme le minimum est atteint pour $\;\vert \theta \vert =\pi$, il suffit que la condition$\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}-2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left[1+\cos(\theta _{0})\right]>0\;$soit réalisée c.-à-d. Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase ou, comme le minimum est atteint pour $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert =\pi }$, il suffit d'avoir pour 2ème C.I. de lancement «$\;\vert {\dot {\theta }}_{0}\vert >{\sqrt {2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left[1+\cos(\theta _{0})\right]}}\;$» ;
Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase ou, comme le minimum est atteint pour $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert =\pi }$, «$\;{\dot {\theta }}^{2}(t)\;$ ne s'annulant jamais $\Rightarrow$ $\;{\dot {\theta }}(t)\neq 0\;\;\forall \;t\;$ laquelle, étant une fonction continue de $\;t$, Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase ou, comme le minimum est atteint pour $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert =\pi }$, «$\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}^{2}(t)}\;$ ne s'annulant jamais $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}(t)}$ gardera le signe de $\;{\dot {\theta }}_{0}\;$» c.-à-d. que Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase ou, comme le minimum est atteint pour $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert =\pi }$, nous aurons un « mouvement révolutif dans le sens du lancement » : Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase ou, comme le minimum est atteint pour $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert =\pi }$, $\blacktriangleright \;$« si $\;{\dot {\theta }}_{0}\;$ est $\;>0\;$ avec $\;{\dot {\theta }}_{0}>{\sqrt {2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left[1+\cos(\theta _{0})\right]}}\;$», la forme explicite de l'équation du portrait de phase du P.P.S.N.A. en « mouvement révolutif dans le sens positif » est «$\;{\dot {\theta }}={\sqrt {{\dot {\theta }}_{0}^{2}+2\;{\dfrac {g}{l}}\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}\;$», avec les propriétés suivantes : Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase ou, comme le minimum est atteint pour $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert =\pi }$, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« si $\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}_{0}}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$ $\;\succ \;$«$\;\theta \nearrow \;$ à partir de $\;\theta _{0}\;$ jusqu'à $\;\infty \;$», Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase ou, comme le minimum est atteint pour $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert =\pi }$, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« si $\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}_{0}}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$ $\;\succ \;$« le portrait de phase est ouvert », Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase ou, comme le minimum est atteint pour $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert =\pi }$, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« si $\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}_{0}}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$ $\;\succ \;$« le portrait de phase est constitué du motif de l'intervalle $\;\left[\theta _{0}\,,\,\pi \right]\;$ et de la répétition infinie dans le sens des $\;\theta \nearrow \;$ du motif de l'intervalle $\;\left]+\pi \,,\,3\;\pi \right]\;$» $\;{\Bigg$minimum de $\;{\dot {\theta }}\;$ obtenu pour $\;\theta _{n,\,{\text{min}}}=(2\;n+1)\;\pi ,\;\;n\in \mathbb {N} \;$ et valant $\;{\dot {\theta }}_{\text{min}}={\sqrt {{\dot {\theta }}_{0}^{2}-2\;{\dfrac {g}{l}}\left[1+\cos(\theta _{0})\right]}}\;$ et maximum de $\;{\dot {\theta }}\;$ obtenu pour $\;\theta _{n,\,{\text{max}}}=2\;n\;\pi ,\;\;n\in \left\lbrace {\begin{array}{l}\mathbb {N} \;\;{\text{pour }}\;\theta _{0}<0\\\mathbb {N} ^{*}\,{\text{pour }}\;\theta _{0}>0\end{array}}\right.\;$ et valant $\;{\dot {\theta }}_{\text{max}}={\sqrt {{\dot {\theta }}_{0}^{2}+2\;{\dfrac {g}{l}}\left[1-\cos(\theta _{0})\right]}}{\Bigg ]}$ ;
Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase ou, comme le minimum est atteint pour $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert =\pi }$, $\blacktriangleright \;$« si $\;{\dot {\theta }}_{0}\;$ est $\;<0\;$ avec $\;{\dot {\theta }}_{0}<-{\sqrt {2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left[1+\cos(\theta _{0})\right]}}\;$», la forme explicite de l'équation du portrait de phase du P.P.S.N.A. en « mouvement révolutif dans le sens négatif » est «$\;{\dot {\theta }}=-{\sqrt {{\dot {\theta }}_{0}^{2}+2\;{\dfrac {g}{l}}\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}\;$», avec les propriétés suivantes : Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase ou, comme le minimum est atteint pour $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert =\pi }$, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« si $\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}_{0}}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$ $\;\succ \;$«$\;\theta \searrow \;$ à partir de $\;\theta _{0}\;$ jusqu'à $\;-\infty \;$», Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase ou, comme le minimum est atteint pour $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert =\pi }$, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« si $\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}_{0}}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$ $\;\succ \;$« le portrait de phase est ouvert », Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase ou, comme le minimum est atteint pour $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert =\pi }$, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« si $\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}_{0}}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$ $\;\succ \;$« le portrait de phase est constitué du motif de l'intervalle $\;\left[-\pi \,,\,\theta _{0}\right]\;$ et de la répétition infinie dans le sens des $\;\theta \searrow \;$ du motif de l'intervalle $\;\left]-3\;\pi \,,\,\pi \right]\;$» $\;{\Bigg$minimum de $\;\vert {\dot {\theta }}\vert \;$ obtenu pour $\;\theta _{n,\,{\text{min}}}=-(2\;n+1)\;\pi ,\;\;n\in \mathbb {N} \;$ et valant $\;\vert {\dot {\theta }}\vert _{\text{min}}=$ ${\sqrt {{\dot {\theta }}_{0}^{2}-2\;{\dfrac {g}{l}}\left[1+\cos(\theta _{0})\right]}}\;$ et maximum de $\;\vert {\dot {\theta }}\vert \;$ obtenu pour $\;\theta _{n,\,{\text{max}}}=-2\;n\;\pi ,\;\;n\in \left\lbrace {\begin{array}{l}\mathbb {N} ^{*}\,{\text{pour }}\;\theta _{0}<0\\\mathbb {N} \;\;{\text{pour }}\;\theta _{0}>0\end{array}}\right.\;$ et valant $\;\vert {\dot {\theta }}\vert _{\text{max}}={\sqrt {{\dot {\theta }}_{0}^{2}+2\;{\dfrac {g}{l}}\left[1-\cos(\theta _{0})\right]}}\;$${\Bigg ]}$.
Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase ou, comme le minimum est atteint pour $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert =\pi }$, $\blacktriangleright \;$Remarque : portraits de phase associés à $\;\left(\theta _{0}\,,\,{\dot {\theta }}_{0}<0\right)\;$ et $\;\left(-\theta _{0}\,,\,-{\dot {\theta }}_{0}>0\right)$ Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase ou, comme le minimum est atteint pour $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert =\pi }$, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Remarque : portraits de phase symétriques l'un de l'autre relativement à$\;\left(0\,,\,0\right)\;$$^,$.

#### 2ème C.I. de lancement pour que le P.P.S. ait un mouvement oscillatoire et propriétés du portrait de phase correspondant

Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase d'un P.P.S.N.A. lancé dans les C.I. $\;1b\cup 1a\;$ soit $\;<0$ $\;\forall \;\vert \theta (t)\vert \in \left[\theta _{m}\,,\,\pi \right]\;$», Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase d'un P.P.S.N.A. lancé dans les C.I. $\;\color {transparent}{1b\cup 1a}\;$ soit $\;\color {transparent}{<0}$ avec $\;\theta _{m}\;$ valeur de $\;\vert \theta \vert \;$ annulant ce 2nd membre c.-à-d. pour avoir Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase «$\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}+2\;{\dfrac {g}{l}}\left\lbrace \cos \!\left[\theta (t)\right]-\cos(\theta _{0})\right\rbrace <0,\;\;\forall \;\vert \theta (t)\vert \in \left[\theta _{m}\,,\,\pi \right]\;$» laquelle est une fonction $\;\searrow \;$ de $\;\vert \theta (t)\vert \;$ sur $\;\left[0\,,\,\pi \right]$, il suffit que Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase le minimum de cette fonction de variable $\;\vert \theta (t)\vert \;$ sur $\;\left[0\,,\,\pi \right]\;$soit$\;<0\;$ c.-à-d. $\;\min \limits _{\vert \theta \vert \,\in \,\left[0\,,\,\pi \right]}\left\lbrace {\dot {\theta }}_{0}^{2}+2\;{\dfrac {g}{l}}\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]\right\rbrace <0\;$ et Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase le maximum de cette fonction de variable $\;\vert \theta (t)\vert \;$ sur $\;\left[0\,,\,\pi \right]\;$soit$\;>0\;$ c.-à-d. $\;\max \limits _{\vert \theta \vert \,\in \,\left[0\,,\,\pi \right]}\left\lbrace {\dot {\theta }}_{0}^{2}+2\;{\dfrac {g}{l}}\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]\right\rbrace >0\;$ ou Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour $\;\vert \theta \vert =\pi \;$ et le maximum pour $\;\theta =0$, il suffit que les conditions$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dot {\theta }}_{0}^{2}-2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left[1+\cos(\theta _{0})\right]<0\\{\dot {\theta }}_{0}^{2}+2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left[1-\cos(\theta _{0})\right]>0\end{array}}\right\rbrace \;$ Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert =\pi }\;$ et le maximum pour $\;\color {transparent}{\theta =0}$, il suffit que les conditions soient simultanément réalisées c.-à-d. Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert =\pi }\;$ et le maximum pour $\;\color {transparent}{\theta =0}$, il suffit d'avoir pour 2ème C.I. de lancement Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert =\pi }\;$ et le maximum pour $\;\color {transparent}{\theta =0}$, il suffit d'avoir «$\;\vert {\dot {\theta }}_{0}\vert <{\sqrt {2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left[1+\cos(\theta _{0})\right]}}\;$» ;
Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert =\pi }$, $\;{\dot {\theta }}^{2}(t)\;$ s'annulant pour une valeur particulière $\;\theta _{m}\;$ de $\;\vert \theta \vert \in \left[0\,,\,\pi \right]$, il en est de même pour Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert =\pi }$, $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ ce qui correspond à un extremum de $\;\theta (t)\;$ ou à une valeur de stationnarité Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert =\pi }$, mais, comme il est impossible que $\;\vert \theta (t)\vert \;$ continue de $\;\nearrow \;$ au-delà de $\;\theta _{m}\;$, on en déduit que Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert =\pi }$, mais, «$\;\theta _{m}\;$ est un extremum de $\;\theta (t)\;$» $\;{\big$et non une valeur de stationnarité${\big ]}$, c.-à-d. que Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert =\pi }$, nous aurons un « mouvement oscillatoire$\;{\big$non amorti${\big )}\;$du P.P.S.N.A. d'amplitude$\;\theta _{m}\;$ » :
Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert =\pi }$, $\blacktriangleright \;$« si $\;{\dot {\theta }}_{0}\;$ est $\;>0\;$ avec $\;{\dot {\theta }}_{0}<{\sqrt {2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left[1+\cos(\theta _{0})\right]}}\;$», la forme explicite de l'équation du portrait de phase du P.P.S.N.A. en « mouvement oscillatoire » est «$\;{\dot {\theta }}=\pm {\sqrt {{\dot {\theta }}_{0}^{2}+2\;{\dfrac {g}{l}}\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}\;$», avec les propriétés suivantes : Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert =\pi }$, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« si $\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}_{0}}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$ $\;\succ \;$«$\;\theta \nearrow \;$ à partir de $\;\theta _{0}\;$ jusqu'à $\;\theta _{m}\;$ où $\;{\dot {\theta }}\;$ s'annule » puis Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert =\pi }$, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« si $\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}_{0}}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$ $\;\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{\theta }$ $\searrow \;$ jusqu'à $\;-\theta _{m}\;$ où $\;{\dot {\theta }}\;$ s'annule de nouveau » ensuite Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert =\pi }$, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« si $\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}_{0}}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$ $\;\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{\theta }$ $\nearrow \;$ jusqu'à $\;\theta _{m}\;$ où $\;{\dot {\theta }}\;$ s'annule encore » et ainsi de suite $\;\ldots$
Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert =\pi }$, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« si $\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}_{0}}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$ $\;\succ \;$« portrait de phase fermé », Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert =\pi }$, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« si $\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}_{0}}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$ $\;\color {transparent}{\succ }\;$« décrit par son point générique $\;\left(\theta \,,\,{\dot {\theta }}\right)\;$ dans le sens horaire, Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert =\pi }$, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« si $\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}_{0}}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$ $\;\succ \;$« portrait de phase symétrique par rapport à$\;\left(0\,,\,0\right)\;$»$^,$$^,$ ;
Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert =\pi }$, $\blacktriangleright \;$« si $\;{\dot {\theta }}_{0}\;$ est $\;<0\;$ avec $\;{\dot {\theta }}_{0}>-{\sqrt {2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left[1+\cos(\theta _{0})\right]}}\;$», la forme explicite de l'équation du portrait de phase du P.P.S.N.A. en « mouvement oscillatoire » est «$\;{\dot {\theta }}=\pm {\sqrt {{\dot {\theta }}_{0}^{2}+2\;{\dfrac {g}{l}}\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}\;$», avec les propriétés suivantes : Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert =\pi }$, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« si $\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}_{0}}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$ $\;\succ \;$«$\;\theta \searrow \;$ à partir de $\;\theta _{0}\;$ jusqu'à $\;-\theta _{m}\;$ où $\;{\dot {\theta }}\;$ s'annule » puis Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert =\pi }$, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« si $\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}_{0}}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$ $\;\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{\theta }$ $\nearrow \;$ jusqu'à $\;\theta _{m}\;$ où $\;{\dot {\theta }}\;$ s'annule de nouveau » ensuite Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert =\pi }$, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« si $\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}_{0}}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$ $\;\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{\theta }$ $\searrow \;$ jusqu'à $\;-\theta _{m}\;$ où $\;{\dot {\theta }}\;$ s'annule encore » et ainsi de suite $\;\ldots$ Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert =\pi }$, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« si $\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}_{0}}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$ $\;\succ \;$« portrait de phase fermé », Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert =\pi }$, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« si $\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}_{0}}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$ $\;\color {transparent}{\succ }\;$« décrit par son point générique $\;\left(\theta \,,\,{\dot {\theta }}\right)\;$ dans le sens horaire, Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert =\pi }$, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« si $\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}_{0}}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$ $\;\succ \;$« portrait de phase symétrique par rapport à$\;\left(0\,,\,0\right)\;$»$^,$$^,$ ;
Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert =\pi }$, $\blacktriangleright \;$« si $\;{\dot {\theta }}_{0}\;$ est $\;=0\;$$^,$ », la forme explicite de l'équation du portrait de phase du P.P.S.N.A. en « mouvement oscillatoire » est «$\;{\dot {\theta }}=\pm {\sqrt {2\;{\dfrac {g}{l}}\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}\;$», avec les propriétés suivantes, dans la mesure où $\;\theta _{0}\;$ est $\;>0\;$ : Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert =\pi }$, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« si $\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}_{0}}\;$ est $\;\color {transparent}{=0}\;$ $\;\succ \;$«$\;\theta \searrow \;$ à partir de $\;0\;$ jusqu'à $\;-\theta _{m}=-\theta _{0}\;$ où $\;{\dot {\theta }}\;$ s'annule » puis Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert =\pi }$, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« si $\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}_{0}}\;$ est $\;\color {transparent}{=0}\;$ $\;\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{\theta }$ $\nearrow \;$ jusqu'à $\;\theta _{m}=\theta _{0}\;$ où $\;{\dot {\theta }}\;$ s'annule de nouveau » ensuite Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert =\pi }$, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« si $\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}_{0}}\;$ est $\;\color {transparent}{=0}\;$ $\;\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{\theta }$ $\searrow \;$ jusqu'à $\;-\theta _{m}=-\theta _{0}\;$ où $\;{\dot {\theta }}\;$ s'annule encore » etc$\ldots$ Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert =\pi }$, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« si $\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}_{0}}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$ $\;\succ \;$« portrait de phase fermé », Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert =\pi }$, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« si $\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}_{0}}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$ $\;\color {transparent}{\succ }\;$« décrit par son point générique $\;\left(\theta \,,\,{\dot {\theta }}\right)\;$ dans le sens horaire, Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert =\pi }$, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« si $\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}_{0}}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$ $\;\succ \;$« portrait de phase symétrique par rapport à$\;\left(0\,,\,0\right)\;$»$^,$$^,$.

#### 2ème C.I. de lancement pour que le P.P.S. s'arrête en sa position d'équilibre instable et propriétés du portrait de phase correspondant

La 2ème C.I. de lancement d'un P.P.S.N.A. lancé dans les C.I. $\;1b\cup 1a\;$ pour que le P.P.S. s'arrête en sa position d'équilibre instable est «$\;\vert {\dot {\theta }}_{0}\vert ={\sqrt {2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left[1+\cos(\theta _{0})\right]}}\;$»$^,$, La 2ème C.I. de lancement cette condition assurant que « le 2ème membre de l'équation du portrait de phase du P.P.S.N.A. $\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)={\dot {\theta }}_{0}^{2}+2\;{\dfrac {g}{l}}\left\lbrace \cos \!\left[\theta (t)\right]-\cos(\theta _{0})\right\rbrace \;$ La 2ème C.I. de lancement cette condition assurant que « le 2ème membre de l'équation du portrait de phase du P.P.S.N.A. s'annule pour $\;\vert \theta \vert =\pi \;$» c.-à-d. La 2ème C.I. de lancement cette condition assurant que « le 2ème membre de l'équation du portrait de phase du P.P.S.N.A. s'annule à la position d'équilibre instable du P.P.S.N.A.$^,$ et, La 2ème C.I. de lancement cette condition assurant que « le 2ème membre de l'équation du portrait de phase du P.P.S.N.A. par suite de la nullité de la vitesse angulaire en cette position, La 2ème C.I. de lancement cette condition assurant une position d'arrêt en la position d'équilibre instable ;
La 2ème C.I. de lancement cette condition $\;\blacktriangleright \;$« si $\;{\dot {\theta }}_{0}\;$ est $\;>0\;$», plus exactement « si $\;{\dot {\theta }}_{0}={\sqrt {2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left[1+\cos(\theta _{0})\right]}}\;$», l'équation, sous forme explicite, du portrait de phase du P.P.S.N.A. lancé dans les C.I. précitées s'écrit selon «$\;{\dot {\theta }}={\sqrt {{\dot {\theta }}_{0}^{2}+2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}\;$», l'élongation angulaire $\;\theta \nearrow \;$ de $\;\theta _{0}\;$ jusqu'à $\;\pi \;$ correspondant à la position d'équilibre instable du P.P.S.N.A. où il s'arrête, y ayant une vitesse angulaire nulle ;
La 2ème C.I. de lancement cette condition $\;\blacktriangleright \;$« si $\;{\dot {\theta }}_{0}\;$ est $\;<0\;$», plus exactement « si $\;{\dot {\theta }}_{0}=-{\sqrt {2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left[1+\cos(\theta _{0})\right]}}\;$», l'équation, sous forme explicite, du portrait de phase du P.P.S.N.A. lancé dans les C.I. précitées s'écrit selon «$\;{\dot {\theta }}=-{\sqrt {{\dot {\theta }}_{0}^{2}+2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}\;$», l'élongation angulaire $\;\theta \searrow \;$ de $\;\theta _{0}\;$ jusqu'à $\;-\pi \;$ correspondant à la position d'équilibre instable du P.P.S.N.A. où il s'arrête, y ayant une vitesse angulaire nulle.

### Tracé des portraits de phase dans le cas général « d'oscillations ou de mouvement révolutif » d'un P.P.S. lancé dans les C.I. « 1b U 1a »

* Tracé superposé de deux portraits de phase d'un P.P.S.N.A. dans le cas de mouvements oscillatoires avec les C.I. suivantes : absence de vitesse angulaire initiale pour les deux, écart initial de $\,60\,{\text{°}}\,$ pour l'un et de $\,120\,{\text{°}}\,$ pour l'autre
* Tracé superposé de deux portraits de phase d'un P.P.S.N.A. dans le cas de mouvements révolutifs avec les C.I. suivantes : écart initial de $\,-120\,{\text{°}}\,$ pour les deux, vitesse angulaire initiale de $\,3,2\;rad\cdot s^{-1}\,$ pour l'un et de $\,4,2\;rad\cdot s^{-1}\,$ pour l'autre, comparaison avec un portrait de phase dans le cas d'un mouvement oscillatoire avec le même écart initial et absence de vitesse angulaire initiale
* Tracé superposé de portraits de phase d'un P.P.S.N.A. dans le cas d'un mouvement oscillatoire, de mouvements avec arrêt en position d'équilibre instable et d'un mouvement révolutif, les C.I. étant diverses
* Ci-dessus à gauche deux portraits de phase d'un P.P.S.N.A. lancé dans les C.I. $\;1a\;$ ${\big$correspondant donc à un mouvement oscillatoire${\big )}\;$ d'élongation angulaire initiale respective $\;{\dfrac {\pi }{3}}\;rad=60\,{\text{°}}\;$ pour l'un et $\;{\dfrac {2\;\pi }{3}}\;rad=120\,{\text{°}}\;$ pour l'autre ;
* ci-dessus au centre deux portraits de phase d'un P.P.S.N.A. lancé dans les C.I. $\;1b\;$ ${\big$telles que le mouvement obtenu soit révolutif${\big )}\;$ à savoir une même élongation angulaire initiale de $\;-{\dfrac {2\;\pi }{3}}\;rad$ $=-120\,{\text{°}}\;$ et une vitesse angulaire initiale positive de $\;3,2\;rad\cdot s^{-1}\simeq 183\,{\text{°}}\!\cdot s^{-1}\;$ pour l'un et $\;4,2\;rad\cdot s^{-1}\simeq 241\,{\text{°}}\!\cdot s^{-1}\;$ pour l'autre ; figure aussi, pour comparaison, le portrait de phase du même P.P.S.N.A. lancé dans les C.I. $\;1a\;$ ${\big$correspondant donc à un mouvement oscillatoire${\big )}\;$ et de même élongation angulaire initiale que les deux autres ;
* ci-dessus à droite le portrait de phase d'un P.P.S.N.A. lancé dans les C.I. $\;1b\;$ telles que son mouvement s'arrête en sa position d'équilibre instable à savoir une vitesse angulaire initiale estimée à $\;3,13\;rad\cdot s^{-1}\simeq 179,5\,{\text{°}}\!\cdot s^{-1}\;$ pour une élongation angulaire initiale de $\;-{\dfrac {2\;\pi }{3}}\;rad=-120\,{\text{°}}\;$ ${\big$il s'agit du tracé correspondant à $\;{\dot {\theta }}>0\;$ pour une variation de $\;\theta \;$ partant de $\;-{\dfrac {2\;\pi }{3}}\;rad=$ $-120\,{\text{°}}\;$ et s'arrêtant à $\;\pi \;rad=180\,{\text{°}}$, mais on a aussi représenté, en traits pleins, l'amorce de la suite de ce portrait de phase si une perturbation extérieure faisait sortir le P.P.S.N.A. de cette position d'équilibre instable avec une vitesse angulaire négative $\;{\big\theta \searrow \;$ à partir de $\;\pi \;rad=180\,{\text{°}}\;$ en s'arrêtant à $\;-\pi \;rad=-180\,{\text{°}}\;$ nouvelle position d'équilibre instable${\big )}\;$ ou positive $\;{\big\theta \nearrow \;$ à partir de $\;\pi \;rad=180\,{\text{°}}\;$ en passant par la position d'équilibre stable $\;2\;\pi \;rad=360\,{\text{°}}\;$ et en s'arrêtant à $\;3\;\pi \;rad$ $=540\,{\text{°}}\;$ nouvelle position d'équilibre instable${\big )}{\big ]}$ ; figure aussi, pour comparaison, le portrait de phase du même P.P.S.N.A. lancé dans les C.I. $\;1a\;$ ${\big$correspondant donc à un mouvement oscillatoire${\big )}\;$ et de même élongation angulaire initiale que le précédent ainsi que celui du même P.P.S.N.A. lancé dans les C.I. $\;1b\;$ ${\big$telles que son mouvement soit révolutif${\big )}\;$ à savoir une élongation angulaire initiale de $\;{\dfrac {4\;\pi }{3}}\;rad=240\,{\text{°}}\;$ et une vitesse angulaire initiale de $\;-4,2\;rad\cdot s^{-1}\simeq -241\,{\text{°}}\!\cdot s^{-1}$.
Description du mouvement d'un P.P.S.N.A. à partir de son portrait de phase : exemple du portrait de phase du P.P.S.N.A. lancé sous C.I. $\;1a\;$ avec «$\;\theta _{0}=-{\dfrac {2\;\pi }{3}}\;rad\simeq -2,09\;rad$ Description du mouvement d'un P.P.S.N.A. à partir de son portrait de phase : exemple du portrait de phase du P.P.S.N.A. lancé sous C.I. $\;\color {transparent}{1a}\;$ avec «$\;\color {transparent}{\theta _{0}}$ $=-120\,{\text{°}}\;$» ${\big$ci-dessus à droite${\big )}$ :  Description du mouvement d'un P.P.S.N.A. $\succ \;$partant de $\;\theta _{0}=-{\dfrac {2\;\pi }{3}}\;rad\simeq -2,09\;rad=-120\,{\text{°}}\;$ et $\;{\dot {\theta }}_{0}=0$, point de l'axe des élongations angulaires le plus à gauche du portrait de phase, correspondant à la position du P.P.S. la plus déviée dans le sens négatif, le point du portrait de phase remonte vers $\;\theta =0\;$ et $\;{\dot {\theta }}\simeq 5,4\;rad\cdot s^{-1}$, point de l'axe des vitesses angulaires le plus haut du portrait de phase, correspondant au passage par la position d'équilibre stable avec une vitesse angulaire positive,  Description du mouvement d'un P.P.S.N.A. $\succ \;$puis le point du portrait de phase redescend vers $\;\theta \simeq 2,09\;rad\;$ et $\;{\dot {\theta }}=0$, point de l'axe des élongations angulaires le plus à droite du portrait de phase, correspondant à la position du P.P.S. la plus déviée dans le sens positif,  Description du mouvement d'un P.P.S.N.A. $\succ \;$ensuite le point du portrait de phase redescend vers $\;\theta =0\;$ et $\;{\dot {\theta }}\simeq -5,4\;rad\cdot s^{-1}$, point de l'axe des vitesses angulaires le plus bas du portrait de phase, correspondant au passage par la position d'équilibre stable avec une vitesse angulaire négative,  Description du mouvement d'un P.P.S.N.A. $\succ \;$enfin le point du portrait de phase remonte vers $\;\theta _{0}=-{\dfrac {2\;\pi }{3}}\;rad\simeq -2,09\;rad=-120\,{\text{°}}\;$ et $\;{\dot {\theta }}_{0}=0$, point de l'axe des élongations angulaires le plus à gauche du portrait de phase, correspondant à la position du P.P.S. la plus déviée dans le sens négatif  Description du mouvement d'un P.P.S.N.A. $\succ \;$et ainsi de suite $\;\ldots$

### Nature des portraits de phase dans le cas particulier des « petites élongations angulaires » d’un P.P.S. lancé dans les C.I. « 1a »

L'équation, sous forme implicite, d'un portrait de phase d'un P.P.S.N.A. lancé dans les C.I. $\;1a\;$ pour être sous « petites élongations angulaires » étant «$\;{\dfrac {{\dot {\theta }}^{2}\!(t)}{\omega _{0}^{2}\;\theta _{0}^{2}}}+{\dfrac {\theta ^{2}\!(t)}{\theta _{0}^{2}}}=1\;$» avec L'équation, sous forme implicite, d'un portrait de phase d'un P.P.S.N.A. lancé dans les C.I. $\;\color {transparent}{1a}\;$ pour être sous «$\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {g}{l}}}\;$ la pulsation des petites élongations angulaires », on en déduit
la nature de ce portrait de phase : $\succ \;$une ellipse centrée au point origine$\;\left(0\,\,0\right)\;$ et d'axes confondus avec l'axe des élongations angulaires et celui des vitesses angulaires, la nature de ce portrait de phase : $\succ \;$le demi axe sur le 1er étant de valeur $\;\vert \theta _{0}\vert \;$ et sur le 2nd de valeur $\;\omega _{0}\;\vert \theta _{0}\vert$, la nature de ce portrait de phase : $\succ \;$l'ellipse étant décrite dans le sens horaire.

### Tracé des portraits de phase dans le cas particulier des « petites élongations angulaires » d’un P.P.S. lancé dans les C.I. « 1a »

Chaque portrait de phase d'un P.P.S.N.A. lancé dans les C.I. $\;1a\;$ telles que ce dernier oscille dans le cadre des petites élongations angulaires est une ellipse centrée au point origine$\;(0\,,\,0)$, dont les axes de symétrie sont les axes du repère dans lequel il est tracé, de demi axes $\;\vert \theta _{0}\vert \;$ sur l'axe des élongations angulaires $\;{\big\theta _{0}\;$ étant l'élongation angulaire initiale${\big ]}\;$ et $\;\omega _{0}\;\vert \theta _{0}\vert \;$ sur l'axe des vitesses angulaires $\;{\bigg\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {g}{l}}}\;$ étant la pulsation $\;{\big$propre${\big )}\;$ des petites élongations angulaires${\bigg ]}\;$, l'ellipse étant décrite dans le sens horaire $\;{\big$voir ci-contre, $\;\theta _{0}\;$ y étant positive${\big )}$ ;
nous allons, une nouvelle fois, faire le lien entre le portrait de phase et le mouvement de l'oscillateur sur l'exemple du P.P.S.N.A. dont le portrait de phase est représenté ci-contre :
* $\;{\dot {\theta }}=\omega _{0}\;\theta _{0}>0\;$ et $\;\theta =0\;$ correspond au passage du P.P.S.N.A. par sa position d'équilibre $\;{\big$stable${\big )}\;$ dans le sens positif, puis
* $\;{\dot {\theta }}=0\;$ et $\;\theta =\theta _{0}>0\;$ correspond à la position extrême du P.P.S.N.A. dans le sens positif $\;{\big\theta _{0}\;$ est donc l'amplitude d'oscillations du P.P.S.N.A.${\big ]}$, ensuite
* $\;{\dot {\theta }}=-\omega _{0}\;\theta _{0}<0\;$ et $\;\theta =0\,$ correspond au retour du P.P.S.N.A. par sa position d'équilibre $\;{\big$stable${\big )}\;$ dans le sens négatif, enfin
* $\;{\dot {\theta }}=0\;$ et $\;\theta =-\theta _{0}<0\;$ correspond à la position extrême du P.P.S.N.A. dans le sens négatif $\;{\big$on retrouve ainsi que $\;\theta _{0}\;$ est bien l'amplitude d'oscillations du P.P.S.N.A.${\big ]}$ etc$\ldots$

### En complément, allure des portraits de phase d'un P.P.S.A. lancé dans les C.I. « 1b U 1a »

Les équations des portraits de phase d'un P.P.S.A. ne pouvant pas être déterminées analytiquement l'ont été numériquement à l'aide d'un logiciel de calcul ;
la résistance à l'avancement exercée par le fluide dans lequel peut se déplacer le P.P.S. est linéaire et suffisamment modérée pour observer
* des pseudo oscillations du P.P.S.A. lancé dans les C.I. $\;1a\;$ autour de la position d'équilibre stable de ce dernier d'élongation angulaire $\;\theta =0\;$ ou,
* un mouvement révolutif amorti sur un ou plusieurs tours dans le sens positif ou négatif d'un P.P.S.A. lancé dans les C.I. $\;1b$, un mouvement révolutif amorti suivi de pseudo oscillations autour de la position d'équilibre stable d'élongation angulaire $\;\theta =2\;k\;\pi ,\;\;k\in \mathbb {Z} ^{*}\;$ avec $\;\vert k\vert \;$ nombre de tours du mouvement révolutif amorti précédant les pseudo oscillations.
* Tracé d'un portrait de phase d'un P.P.S.A. lâché sans vitesse angulaire initiale avec un écart angulaire initiale $\;\theta _{0}\;$ relativement à sa position d'équilibre stable
* Tracé de deux portraits de phase d'un P.P.S.A. lancé d'une même position initiale mais avec une vitesse angulaire différente telle que l'un ait un mouvement oscillatoire amorti et l'autre un mouvement révolutif amorti avant d'être oscillatoire amorti
* Ci-dessus à gauche le portrait de phase d'un P.P.S.A. lancé dans les C.I. $\;1a\;$ avec une élongation angulaire initiale $\;\theta _{0}=-{\dfrac {2\;\pi }{3}}\;rad=-120\,{\text{°}}$, la longueur du P.P.S.A. $\;l=1\;m\;$ $\Rightarrow$ $\;{\sqrt {\dfrac {g}{l}}}\simeq$ $3,13\;s^{-1}\;$ et le cœfficient de frottement fluide ainsi que la masse du P.P.S. tels que $\;{\dfrac {h}{m}}=0,1\;s^{-1}\;$ ${\bigg$pour rappel l'équation différentielle non linéaire du 2ème ordre en $\;\theta (t)\;$ du P.P.S.A. étant «$\;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {h}{m}}\;{\dot {\theta }}(t)+{\dfrac {g}{l}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]$ $=0\;$»${\bigg ]}$ ; on y observe des « pseudo-oscillations autour de la position d'équilibre stable » d'élongation angulaire $\;\theta =0\;$ c.-à-d. un portrait de phase « ouvert », « spiralant autour du point origine$\;\left(0\,,\,0\right)\;$», point asymptotique du portrait de phase représentant la position d'arrêt du mouvement à l'équilibre stable, le portrait de phase étant décrit dans le sens horaire ;
* Ci-dessus à droite deux portraits de phase du même P.P.S.A. lancé dans les C.I. $\;1b\;$ avec une élongation angulaire initiale $\;\theta _{0}=-{\dfrac {2\;\pi }{3}}\;rad=-120\,{\text{°}}$, $\;\succ \;$la vitesse angulaire initiale du 1er étant $\;{\dot {\theta }}_{0}=3,8\;rad\cdot s^{-1}\;$ ne conduisant qu'à des pseudo oscillations du P.P.S.A. autour de sa position d'équilibre stable $\;\theta =0\;$ avec les élongations angulaires extrêmes de la 1ère pseudo oscillation $\;-{\dfrac {2\;\pi }{3}}\;rad\simeq 2,09\;rad\curvearrowright 1,89\;rad\curvearrowright -1,79\;rad\;$ ou en degrés $\;-120\,{\text{°}}\curvearrowright 108\,{\text{°}}\curvearrowright -102,5\,{\text{°}}$, portrait de phase « ouvert », « spiralant autour du point origine$\;\left(0\,,\,0\right)\;$», point asymptotique du portrait de phase représentant la position d'arrêt du mouvement à l'équilibre stable, le portrait de phase étant décrit dans le sens horaire et $\;\succ \;$la vitesse angulaire initiale du 2nd étant $\;{\dot {\theta }}_{0}=4,0\;rad\cdot s^{-1}\;$ conduisant à un mouvement révolutif amorti du P.P.S.A. sur un seul tour $\;{\big$au passage à la position d'équilibre instable le P.P.S.A. a encore une vitesse angulaire $\;{\dot {\theta }}\simeq 1,0\;rad\cdot s^{-1}{\big ]}\;$ suivi de pseudo oscillations autour de la position d'équilibre stable repérée par $\;\theta =2\;\pi$, le portrait de phase étant « ouvert », tout d'abord « décrit d'un même côté de l'axe des élongations angulaires » puis « spiralant autour du point$\;\left(2\;\pi \,,\,0\right)\;$ », point asymptotique du portrait de phase représentant la position d'arrêt du mouvement à l'équilibre stable, le portrait de phase étant décrit dans le sens horaire.

## En complément, absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté, expression empirique de « de Borda » de la période dans le cas général d’oscillations
### Définition d'« isochronisme » d'un oscillateur

Si « la période d'un oscillateur est indépendante de l'amplitude des oscillations de ce dernier », on dit qu'il possède la propriété d'« isochronisme » ;
c’est le cas d'un oscillateur harmonique de pulsation propre $\;\omega _{0}$, la période de ce dernier étant $\;{\mathcal {T}}_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}\;$ quelle que soit son amplitude d'oscillations.

### Absence d'« isochronisme » d'un P.P.S.(N.A.)

Expérimentalement on observe que la période d'oscillations $\;{\mathcal {T}}\;$ d'un P.P.S.N.A. lancé sous C.I. $\;1a\;$ «$\;\nearrow \;$ avec l'amplitude de ses oscillations »$^,$, cette $\;\nearrow \;$ étant mesurable, par exemple,
on trouve que la période pour une amplitude de $\;60\,{\text{°}}\;$ est de $\;6\,\%\;$ plus grande que celle pour une amplitude de $\;15\,{\text{°}}\;$ soit «$\;{\mathcal {T}}(\theta _{0}=60\,{\text{°}})=1,06\times {\mathcal {T}}(\theta _{0}=15\,{\text{°}})\;$», on trouve que la période pour une amplitude de $\;\color {transparent}{60\,{\text{°}}}\;$ est de $\;\color {transparent}{6\,\%}\;$ plus grande que celle pour une amplitude de $\;\color {transparent}{15\,{\text{°}}}\;$ ce qui met bien en évidence l'absence d'isochronisme d'un P.P.S.N.A..

### Expression empirique dite de « de Borda » de la période d'oscillations d’un P.P.S. à un degré de liberté

On dispose d'une expression approchée de la période d'oscillations d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté, trouvée empiriquement et On dispose d'une expression approchée de la période d'oscillations d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté, connue à l'heure actuelle sous le nom de « formule de de Borda »$^,$ On dispose d'une expression approchée de la période d'oscillations d'un P.P.S.N.A. «$\;{\mathcal {T}}={\mathcal {T}}_{0}\left(1+{\dfrac {\theta _{m}^{2}}{16}}\right)\;$» avec $\;{\mathcal {T}}_{0}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {l}{g}}}\;$ période $\;{\big$propre${\big )}\;$ des petites élongations angulaires et On dispose d'une expression approchée de la période d'oscillations d'un P.P.S.N.A. «$\;\color {transparent}{{\mathcal {T}}={\mathcal {T}}_{0}\left(1+{\dfrac {\theta _{m}^{2}}{16}}\right)}\;$» avec $\;\theta _{m}\;$ l'amplitude des oscillations $\;{\big$a priori non petite${\big )}\;$ exprimée en $\;rad$ ;
cette formule donne un résultat en accord avec le « calcul $\;{\big$numérique${\big )}\;$ par intégrale » qui sera établi dans le paragraphe « détermination de la nature périodique du mouvement d'un P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et expression de sa période sous forme intégrale » du chap.$17$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » pour des valeurs de $\;\theta _{m}\;$ non petites : plus précisément cette formule donne un résultat en accord avec le « calcul $\;\color {transparent}{\big$numérique$\color {transparent}{\big )}\;$ par intégrale » si $\;\theta _{m}\leqslant {\dfrac {5\;\pi }{12}}\;rad=75\,{\text{°}}$, l'écart entre le résultat exact donné par le calcul d’intégrale et cette formule donne un résultat en accord avec le « calcul $\;\color {transparent}{\big$numérique$\color {transparent}{\big )}\;$ par intégrale » si $\;\color {transparent}{\theta _{m}\leqslant {\dfrac {5\;\pi }{12}}\;rad=75\,{\text{°}}}$, l'écart entre celui approché donné par la formule de de Borda$^,$ cette formule donne un résultat en accord avec le « calcul $\;\color {transparent}{\big$numérique$\color {transparent}{\big )}\;$ par intégrale » si $\;\color {transparent}{\theta _{m}\leqslant {\dfrac {5\;\pi }{12}}\;rad=75\,{\text{°}}}$, l'écart est $\;<1\,\%$, $\;{\big$résultat approché par formule de de Borda$^,$ par défaut${\big )}$ ;
$\;\theta _{m}\leqslant {\dfrac {5\;\pi }{12}}\;rad=75\,{\text{°}}$

## En complément, « résolution numérique » de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. « 1a » puis « 1b », tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant

Le logiciel de calcul numérique utilisé pour résoudre l'équation différentielle non linéaire du 2ème ordre en $\;\theta (t)\;$ est l'un de ceux proposés par le programme à savoir « Scilab », le programme utilisé est donné dans les paragraphes ci-dessous, les graphes tracés dans chacun d'eux résultant de l'utilisation de ce programme $\;\ldots$

### Résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. « 1a » avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant

Remarque préliminaire : le principe de résolution d'une équation différentielle d'ordre deux utilisé par « Scilab » consiste à se ramener à un système d'équations différentielles d'ordre un, Remarque préliminaire : ainsi pour «$\;{\dfrac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}(t)=-{\dfrac {g}{l}}\,\sin \!\left[\theta (t)\right]\;$» cela donne «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {d\theta }{dt}}(t)=\varpi (t)\\{\dfrac {d\varpi }{dt}}(t)=-{\dfrac {g}{l}}\,\sin \!\left[\theta (t)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$», système d'équations différentielles du 1er ordre en les fonctions $\;\varpi (t)\;$ et $\;\theta (t)\;$ Remarque préliminaire : ainsi pour «$\;\color {transparent}{{\dfrac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}(t)=-{\dfrac {g}{l}}\,\sin \!\left[\theta (t)\right]}\;$» cela donne «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\dfrac {d\varpi }{dt}}(t)=-{\dfrac {g}{l}}\,\sin \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace }\;$», système d'équations différentielles que l'on doit résoudre simultanément $\;\ldots$
Les C.I. de lancement $\;1a\;$ du P.P.S.(N.A.) choisies sont $\;\theta _{0}=-{\dfrac {2\;\pi }{3}}\;rad=-120\,{\text{°}}\;$ ${\big$et $\;{\dot {\theta }}_{0}$ $=0{\big )}$, l'intensité de la pesanteur valant $\;g=9,81\;m\cdot s^{-2}\;$ et la longueur du pendule $\;l=1,000\;m$ ;
ci-dessous les lignes de programme de « Scilab » permettant la résolution et ci-contre le tracé du diagramme horaire de position puis ci-contre le tracé du diagramme horaire de vitesse suivi ci-contre le tracé du portrait de phase :
g = 9.81 ;
L = 1.0 ;
%theta0 = -2*%pi/3 ;
%varpi0 = 0 ;
clf
deff('vdot = fct(t,v)' , 'vdot(1) = v(2) ; vdot(2) = -g/L*sin(v(1))') t0 = 0 ; v0 = [%theta0 ; %varpi0] ; t = 0 :0.1 :3 ;
u = ode(v0 , t0 , t , fct) ;
%theta1 = u(1, :) ;
%varpi1 = u(2, :) ;
plot(t , %theta1) ;
drawlater
clf
plot(t , %varpi1) ;
drawnow
drawlater
clf
plot(%theta1 , %varpi1) ;
drawnow
Commentaires du programme : $\;\mathrm {vdot} \;$ est le vecteur colonne dérivé $\;{\big$temporel${\big )}\;$ du vecteur colonne $\;{\text{v}}=\left({\begin{array}{l}\theta \\\varpi \end{array}}\right)\;$ ce qui donne $\;\mathrm {vdot} =\left({\begin{array}{l}{\dfrac {d\theta }{dt}}\\{\dfrac {d\varpi }{dt}}\end{array}}\right)$ ;
Commentaires du programme : $\;{\text{v}}(i)\;$ et $\;\mathrm {vdot} (i)\;$ sont respectivement le ième élément des vecteurs colonnes $\;{\text{v}}\;$ et $\;\mathrm {vdot} \;$ ainsi $\;{\text{v}}(1)=\theta \;$ et $\;{\text{v}}(2)=\varpi \;$ alors que $\;\mathrm {vdot} (1)={\dfrac {d\theta }{dt}}\;$ et $\;\mathrm {vdot} (2)={\dfrac {d\varpi }{dt}}$ ;
Commentaires du programme : $\;\mathrm {deff}\;$ permet de définir le système des deux équations différentielles du 1er ordre en les éléments du vecteur colonne $\;{\text{v}}$, le 1er argument rappelant que la dérivation de $\;{\text{v}}\;$ pour obtenir $\;\mathrm {vdot} \;$ se fait par rapport à $\;t$ ;
Commentaires du programme : $\;{\text{v0}}\;$ stocke les C.I., la 1ère concernant le 1er élément du vecteur colonne $\;{\text{v}}\;$ à savoir $\;\theta \;$ et la 2ème le 2ème élément du vecteur colonne $\;{\text{v}}\;$ à savoir $\;\varpi$ ;
Commentaires du programme : $\;{\text{t = 0 :0.1 :3}}\;$ donnant respectivement l'instant initial, le pas et l'instant final ;
Commentaires du programme : $\;\mathrm {ode}\;$ résolvant le système en donnant $\;31\;$ vecteurs colonnes $\;{\text{v}}_{k}=\left({\begin{array}{l}\theta _{k}\\\varpi _{k}\end{array}}\right)\;$ stockées dans la variable $\;{\text{u}}$, les arguments de la fonction $\;\mathrm {ode}\;$ étant les C.I., l'instant initial, la suite des valeurs d'itération et bien sûr l'équation différentielle liant les vecteurs colonnes ;
Commentaires du programme : tous les 1$^{ers}$ éléments des $\;31\;$ vecteurs colonnes $\;{\text{v}}_{k}\;$ stockés dans la variable $\;{\text{u}}$ sont réunis dans la variable $\;\%{\text{theta1}}\;$ et tous les 2$^{nds}$ éléments de ces $\;31\;$ vecteurs colonnes $\;{\text{v}}_{k}\;$ stockés dans la variable $\;{\text{u}}$ sont réunis dans la variable $\;\%{\text{varpi1}}$ ;
Commentaires du programme : $\;\mathrm {plot} ({\text{t}},\%{\text{theta1}})\;$ trace le diagramme horaire de position $\;\theta =\theta (t)\;$ du P.P.S.N.A., $\;\mathrm {plot} ({\text{t}},\%{\text{varpi1}})\;$ trace son diagramme horaire de vitesse $\;{\dot {\theta }}={\dot {\theta }}(t)\;$ et $\;\mathrm {plot} (\%{\text{theta1}},\%{\text{varpi1}})\;$ trace son portrait de phase $\;f(\theta \,,\,{\dot {\theta }})=0$ ;
Commentaires du programme : $\;\mathrm {clf}\;$ permet d'effacer le tracé et $\;\mathrm {drawlater} \;$ de le suspendre jusqu'à ce qu'apparaisse $\;\mathrm {drawnow}$ $\;\ldots$
Conséquences : Il est très difficile sur le diagramme horaire de position d'observer que la fonction « élongation angulaire » n'est pas sinusoïdale et pourtant elle ne l'est pas $\;\ldots$
Conséquences : Par contre sur le diagramme horaire de vitesse on observe nettement que la fonction « vitesse angulaire » n’est pas sinusoïdale $\;{\big$elle est plus proche d'une fonction triangulaire${\big )}\;$ et cela implique que la fonction primitive « élongation angulaire » n'est pas non plus sinusoïdale ;
Conséquences : sur les diagrammes horaires de position et de vitesse on observe une période de $\;{\mathcal {T}}\simeq 2,75\,s$, l'application $\;{\big$non appropriée${\big )}\;$ de la formule de de Borda$^,$ donnant $\;{\mathcal {T}}_{\text{Borda}}\simeq$ ${\mathcal {T}}_{0}\left(1+{\dfrac {\theta _{m}^{2}}{16}}\right)\;$ avec $\;{\mathcal {T}}_{0}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {l}{g}}}\simeq 2\times \pi \times {\sqrt {\dfrac {1,000}{9,81}}}\simeq 2,00\,s\;$ soit $\;{\mathcal {T}}_{\text{Borda}}\simeq$ $2,00\times \left[1+{\dfrac {(2,09)^{2}}{16}}\right]$ $\simeq 2,55\,s\;$ au lieu de $\;2,75\,s$, « l'application de la formule de de Borda$^,$ pour une amplitude de $\;120\,{\text{°}}\;$» entraînant une erreur de $\;7\,\%\;$ est donc effectivement indue.
Conséquences : On observe aussi une légère déformation du portrait de phase relativement à celui des « petites élongations angulaires » $\;{\big$lequel, rappelons-le, est une ellipse centrée au point origine $\;\left(0\,,\,0\right)\;$ et ayant pour axes les axes du repère${\big ]}$, la courbe gardant les propriétés de fermeture, de symétrie centrale relativement au point origine $\;\left(0\,,\,0\right)\;$ et d'antisymétries axiales relativement aux axes du repère.

### Résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. « 1b » telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant

Les C.I. de lancement $\;1b\;$ du même P.P.S.N.A. sont telles que, pour une même élongation angulaire initiale $\;\theta _{0}=$ $-{\dfrac {2\;\pi }{3}}\;rad=-120\,{\text{°}}$, on choisit une vitesse angulaire initiale de valeur absolue imposant l'arrêt de ce P.P.S.N.A. en sa position d'équilibre instable soit $\;\vert {\dot {\theta }}_{0}\vert =$ ${\sqrt {2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left[1+\cos(\theta _{0})\right]}}\;$ ou, plus exactement, pour que le mouvement se fasse dans le sens positif et que la position d'arrêt soit d'élongation angulaire $\;\theta =\pi$, on choisit une vitesse angulaire initiale $\;{\dot {\theta }}_{0}=$ ${\sqrt {2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left[1+\cos(\theta _{0})\right]}}={\sqrt {2\;{\dfrac {9,81}{1,000}}\,\left[1+{\dfrac {-1}{2}}\right]}}\simeq 3,13\,rad\cdot s^{-1}$ ;
ci-dessous les lignes de programme de « Scilab » permettant la résolution et ci-contre le tracé du diagramme horaire de position puis ci-contre le tracé du diagramme horaire de vitesse suivi ci-contre le tracé du portrait de phase :
g = 9.81 ;
L = 1.0 ;
%theta0 = -2*%pi/3 ;
%varpi0 = 3.132092 ;
clf
deff('vdot = fct(t,v)' , 'vdot(1) = v(2) ; vdot(2) = -g/L*sin(v(1))') t0 = 0 ; v0 = [%theta0 ; %varpi0] ; t = 0 :0.1 :3 ;
w = ode(v0 , t0 , t , fct) ;
%theta2 = w(1, :) ;
%varpi2 = w(2, :) ;
plot(t , %theta2) ;
drawlater
clf
plot(t , %varpi2) ;
drawnow
drawlater
clf
plot(%theta2 , %varpi2) ;
drawnow
Commentaires du programme : revoir le paragraphe précédent « résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S.(N.A.) dans les C.I. 1a avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant (commentaires du programme) », les lignes de programme étant identiques à l'exception de
* la valeur de la vitesse angulaire initiale stockée dans la variable $\;\%{\text{varpi}}0$,
* le nom de la variable $\;{\text{w}}\;$ stockant les $\;31\;$ vecteurs colonnes $\;{\text{v}}_{k}=\left({\begin{array}{l}\theta _{k}\\\varpi _{k}\end{array}}\right)\;$ solutions du système d'équations différentielles à résoudre,
* le nom de la variable $\;\%{\text{theta2}}\;$ stockant tous les 1$^{ers}$ éléments des $\;31\;$ vecteurs colonnes $\;{\text{v}}_{k}\;$ stockés dans la variable $\;{\text{w}}$ ainsi que
* le nom de la variable $\;\%{\text{varpi2}}\;$ stockant tous les 2$^{nds}$ éléments des $\;31\;$ vecteurs colonnes $\;{\text{v}}_{k}\;$ stockés dans la variable $\;{\text{w}}$ $\;\ldots$
Conséquences : On observe sur le diagramme horaire de position la stagnation de la fonction « élongation angulaire » à la valeur $\;\pi \;rad\;$ correspondant à une asymptote parallèle à l'axe des élongations angulaires et repérant la position d'équilibre instable ainsi que
Conséquences : On observe sur le diagramme horaire de vitesse une limite nulle de la fonction « vitesse angulaire » correspondant à une asymptote confondue avec l'axe des élongations angulaires et repérant une position d'arrêt du P.P.S.N.A. ;
Conséquences : on observe aussi sur le portrait de phase du P.P.S.N.A. un arrêt du point générique de ce dernier pour l'élongation angulaire correspondant à la position d'équilibre instable, la courbe étant donc de longueur finie située d'un même côté de l'axe des élongations angulaires.

### Résolution numérique de l’équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. « 1b » telles que le pendule acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant

Les C.I. de lancement $\;1b\;$ du même P.P.S.N.A. sont telles que, pour une même élongation angulaire initiale $\;\theta _{0}=$ $-{\dfrac {2\;\pi }{3}}\;rad=-120\,{\text{°}}$, on puisse observer un mouvement révolutif du P.P.S.N.A. et pour cela il est nécessaire de choisir une vitesse angulaire initiale de valeur absolue $\;\vert {\dot {\theta }}_{0}\vert >{\sqrt {2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left[1+\cos(\theta _{0})\right]}}\;$ ou, pour que le mouvement révolutif se fasse dans le sens positif, on choisit une vitesse angulaire initiale $\;{\dot {\theta }}_{0}=3,5\,rad\cdot s^{-1}>3,13\,rad\cdot s^{-1}$ ;
ci-dessous les lignes de programme de « Scilab » permettant la résolution et ci-contre le tracé du diagramme horaire de position puis ci-contre le tracé du diagramme horaire de vitesse suivi ci-contre le tracé du portrait de phase :
g = 9.81 ;
L = 1.0 ;
%theta0 = -2*%pi/3 ;
%varpi0 = 3.5 ;
clf
deff('vdot = fct(t,v)' , 'vdot(1) = v(2) ; vdot(2) = -g/L*sin(v(1))') t0 = 0 ; v0 = [%theta0 ; %varpi0] ; t = 0 :0.1 :3 ;
x = ode(v0 , t0 , t , fct) ;
%theta3 = x(1, :) ;
%varpi3 = x(2, :) ;
plot(t , %theta3) ;
drawlater
clf
plot(t , %varpi3) ;
drawnow
drawlater
clf
plot(%theta3 , %varpi3) ;
drawnow
Commentaires du programme : revoir le paragraphe précédent « résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S.(N.A.) dans les C.I. 1a avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant (commentaires du programme) », les lignes de programme étant identiques à l'exception de
* la valeur de la vitesse angulaire initiale stockée dans la variable $\;\%{\text{varpi}}0$,
* le nom de la variable $\;{\text{x}}\;$ stockant les $\;31\;$ vecteurs colonnes $\;{\text{v}}_{k}=\left({\begin{array}{l}\theta _{k}\\\varpi _{k}\end{array}}\right)\;$ solutions du système d'équations différentielles à résoudre,
* le nom de la variable $\;\%{\text{theta3}}\;$ stockant tous les 1$^{ers}$ éléments des $\;31\;$ vecteurs colonnes $\;{\text{v}}_{k}\;$ stockés dans la variable $\;{\text{x}}$ ainsi que
* le nom de la variable $\;\%{\text{varpi3}}\;$ stockant tous les 2$^{nds}$ éléments des $\;31\;$ vecteurs colonnes $\;{\text{v}}_{k}\;$ stockés dans la variable $\;{\text{x}}$ $\;\ldots$
Conséquences : On observe sur le diagramme horaire de position une $\;\nearrow \;$ de la fonction « élongation angulaire » avec un rythme de $\;\nearrow \;$ minimal au voisinage de $\;\theta \equiv \pi \!\!{\pmod {2\;\pi }}\;$ correspondant au passage par la position d'équilibre instable et maximal au voisinage de $\;\theta \equiv 0\!\!{\pmod {2\;\pi }}\;$ correspondant au passage par la position d'équilibre stable effectivement en accord avec un mouvement révolutif du P.P.S.N.A. dans le sens positif ainsi que
Conséquences : On observe sur le diagramme horaire de vitesse une périodicité de la fonction « vitesse angulaire » avec une valeur minimale positive de $\;1,6\,rad\cdot s^{-1}\;$ correspondant au passage par la position d'équilibre instable et maximale positive de $\;6,3\,rad\cdot s^{-1}\;$ correspondant au passage par la position d'équilibre stable ; on mesure sur ce diagramme une période de révolution du P.P.S.N.A. de $\;{\mathcal {T}}=$ $1,75\,s\;$ ;
Conséquences : on observe aussi sur le portrait de phase du P.P.S.N.A. une périodicité angulaire de ce dernier $\;{\big$de période $\;2\;\pi {\big )}$, le minimum positif de la vitesse angulaire correspondant au passage par la position d'équilibre instable et le maximum positif au passage par la position d'équilibre stable, la courbe étant « ouverte » située d'un même côté de l'axe des élongations angulaires.

### Superposition des trois portraits de phase précédemment tracés

Il s'agit ici de regrouper sur un même diagramme $\;{\big$et avec des couleurs différentes${\big )}\;$ les trois portraits de phase du P.P.S.N.A. précédent lâché à partir d'une élongation angulaire initiale $\;\theta _{0}=-120\,{\text{°}}\;$
* sans vitesse angulaire initiale $\;{\big$en rouge${\big ]}$,
* avec une vitesse angulaire initiale positive $\;{\dot {\theta }}_{0}=3,13\,rad\cdot s^{-1}\;$ permettant l'arrêt en la position d'équilibre instable $\;{\big$en vert${\big ]}\;$ et enfin
* avec une vitesse angulaire initiale plus grande $\;{\dot {\theta }}_{0}=3,5\,rad\cdot s^{-1}\;$ créant un mouvement révolutif du P.P.S.N.A. $\;{\big$en bleu${\big ]}\;$
en ajoutant les quelques lignes de programme à celles déjà exposées dans les trois paragraphes précédents.
Lignes de programme s'ajoutant aux lignes précédentes pour la superposition des trois portraits de phase :
clf
plot(%theta1 , %varpi1 , "r" , %theta2 , %varpi2 , "g" , %theta3 , %varpi3 , "b") ;
Commentaires du programme : On trace plusieurs courbes sur un même diagramme en mettant ces courbes comme argument d'une même fonction $\;\mathrm {plot}$, la couleur de tracé de chaque courbe étant mise en 3ème argument après l'abscisse et l'ordonnée, selon
* “r” pour rouge,
* “g” pour vert et
* “b” pour bleu.