# Théorie des groupes/Groupes nilpotents
## Suite centrale descendante

Soient G un groupe, H un sous-groupe de G, K un sous-groupe normal de G. Pour que l'image canonique H/K de H dans G/K soit contenue dans le centre de G/K, il faut et il suffit que [G, H] soit contenu dans K.
Démonstration. Notons $\varphi$ l'homomorphisme canonique de G sur G/K. Dire que l'image canonique de H dans G/K est contenue dans le centre de G/K revient à dire que tout élément de $\varphi (H)$ commute avec tout élément de G/K, autrement dit que $[\,\varphi (H),G/K\,]=1$. Or, comme $G/K=\varphi (G)$ et $\varphi$ est un homomorphisme de groupes de noyau K, on a les équivalences suivantes :
${\begin{aligned}[\,\varphi (H),G/K\,]=1&\iff [\,\varphi (H),\varphi (G)\,]=1\\&\iff \varphi ([\,H,G\,])=1\\&\iff [\,H,G\,]\subseteq K\\&\iff [\,G,H\,]\subseteq K\end{aligned}}$
Ceci prouve donc le résultat annoncé.
Nous allons étendre l'usage du mot « central », que nous n'avons utilisé jusqu'ici que pour parler d'un élément central ou d'un sous-groupe central d'un groupe.
Soient G un groupe, K un sous-groupe normal de G et H un sous-groupe de G contenant K. On dit que le sous-groupe H/K de G/K est central dans G s'il est contenu dans le centre de G/K, ce qui, d’après le lemme qui précède, revient à dire que [G, H] est contenu dans K.
Bien que ce ne soit pas une expression standard, on dira ici, dans ce cas, que le sous-groupe H de G est central dans G modulo K.
Soit G un groupe. La suite centrale descendante de G est par définition la suite infinie (C$^n$(G))$_{n≥1}$ de sous-groupes de G définie par récurrence par
    $C^{1}(G)=G$
    $C^{n+1}(G)=[G,C^{n}(G)]$ pour tout n ≥ 1.
Au lieu de C$^n$(G), on écrit aussi $\gamma _{n}G.$
Soient G un groupe, H et K des sous-groupes de G tels que H soit contenu dans K. Alors, pour tout n ≥ 1,
       $C^{n}(H)\subseteq C^{n}(K).$
Démonstration. Récurrence sur n, en tenant compte que si A, B, C et D sont des sous-groupes de G, si A est sous-groupe de B et C sous-groupe de D, alors [A, C] est sous-groupe de [B, D].
La suite centrale descendante d'un groupe est décroissante (pour la relation d'inclusion).
Démonstration. Il s'agit de prouver que, pour tout n ≥ 1, C$^{n+1}$(G) ⊆ C$^n$(G). C'est évident si n = 1. Supposons que ce soit vrai pour un nombre naturel n et prouvons que c’est vrai pour n + 1. Par hypothèse de récurrence, C$^{n+1}$(G) ⊆ C$^n$(G). Nous avons vu au chapitre Commutateurs, groupes dérivés que si A, B, H et K sont des sous-groupes de G tels que A ⊆ B et H ⊆ K, alors [A, H] ⊆ [B, K]. En faisant A = B = G, H = C$^{n+1}$(G) et K = C$^n$(G), nous trouvons [G, C$^{n+1}$(G)] ⊆ [G, C$^n$(G)], autrement dit C$^{n+2}$(G) ⊆ C$^{n+1}$(G), d'où la démonstration par récurrence sur n.
Soit $f:G_{1}\mapsto G_{2}$ un homomorphisme de groupes. Pour tout nombre naturel n ≥ 1,
    $f(C^{n}(G_{1}))=C^{n}(f(G_{1})).$
Il en résulte que
    $f(C^{n}(G_{1}))\subseteq C^{n}(G_{2})$
et qu'on a l'égalité si f est surjectif.
Démonstration. La première assertion est banale si n = 1. Supposons qu'elle soit vraie pour un nombre naturel n et prouvons qu'elle reste vraie si on remplace n par n + 1. Nous avons vu dans le chapitre Commutateurs, groupe dérivé que si A et B sont des sous-groupes de $G_{1}$, alors l'image de [A, B] par f est [f(A), f(B)]. En faisant $\ A=G_{1},\ B=C^{n}(G_{1})$, nous trouvons
    $\ (1)\quad f(C^{n+1}(G_{1}))=[f(G_{1}),f(C^{n}(G_{1}))].$
Par hypothèse de récurrence, nous avons $\ f(C^{n}(G_{1}))=C^{n}(f(G_{1}))$, donc (1) peut s'écrire
    $\ \quad f(C^{n+1}(G_{1}))=[f(G_{1}),C^{n}(f(G_{1}))],$
d'où, par définition de la suite centrale descendante,
    $\ \quad f(C^{n+1}(G_{1}))=C^{n+1}(f(G_{1})),$
ce qui prouve la première assertion de l'énoncé.
En appliquant la règle A ⊆ B ⇒ C$^n$(A) ⊆ C$^n$(B) aux sous-groupes A = f(G$_1$) et B = G$_2$ de G$_2$, nous trouvons
    $\ \quad C^{n}(f(G_{1}))\subseteq C^{n}(G_{2}),$
ce qui, d’après la première assertion de l'énoncé, peut s'écrire
    $\ (2)\quad f(C^{n}(G_{1}))\subseteq C^{n}(G_{2}),$
ce qui prouve la seconde assertion de l'énoncé.
Si f est surjectif, nous pouvons remplacer f(G$_1$) par G$_2$ dans la première assertion de l'énoncé, ce qui prouve que, dans ce cas, l'inclusion (2) est une égalité.
Soit G un groupe. Les groupes $C^{n}(G)$ sont des sous-groupes caractéristiques (et donc normaux) de G.
Démonstration. Dans le théorème précédent, faisons G$_1$ = G$_2$ = G. Nous trouvons que $\ C^{n}(G)$ est stable par tout endomorphisme de G, donc est caractéristique dans G.
Remarque. Du fait que $\ C^{n}(G)$ est distingué dans G, on tire facilement que [G, C$^n$(G)] est contenu dans C$^n$(G), autrement dit que C$^{n+1}$(G) est contenu dans C$^n$(G). C'est une autre façon de prouver que la suite centrale descendante est décroissante.
Soit G un groupe. Pour tout n ≥ 1, C$^n$(G)/C$^{n+1}$(G) est contenu dans le centre de G/C$^{n+1}$(G). (Dans la terminologie dont on a convenu plus haut : C$^n$(G) est central dans G modulo C$^{n+1}$(G).)
Démonstration. Dans le lemme 1, faire H = C$^n$(G) et K = C$^{n+1}$(G).
Soit G un groupe. Pour tout n ≥ 1, le groupe quotient C$^n$(G)/C$^{n+1}$(G) est commutatif.
Démonstration. Cela résulte de la proposition précédente, puisque tout sous-groupe du centre d'un groupe est commutatif.
Soient G un groupe et $\ (G_{n})_{n\geq 1}$ une suite décroissante, finie ou infinie, de sous-groupes de G possédant les propriétés suivantes : $G_{1}=G$ et, pour tout n tel que G$_n$ et G$_{n+1}$ sont définis, [G, G$_n$] ⊆ G$_{n+1}$. Alors, pour tout n, G$_n$ est distingué dans G et C$^n$(G) ⊆ G$_n$ pour tout n.
Démonstration. Prouvons que C$^n$(G) ⊆ G$_n$. C'est banal si n = 1. Supposons que ce soit vrai pour un nombre naturel n et prouvons que cela reste vrai si on remplace n par n + 1. Par hypothèse de récurrence,
    $(1)\qquad C^{n}(G)\subseteq G_{n}$,
d'où
    $[G,C^{n}(G)]\subseteq [G,G_{n}],$
c'est-à-dire
    $(2)\qquad C^{n+1}(G)\subseteq [G,G_{n}].$
Par hypothèse de l'énoncé, [G, G$_n$] est contenu dans G$_{n+1}$. Le second membre de (2) est donc contenu dans G$_{n+1}$, d'où C$^{n+1}$(G) ⊆ G$_{n+1}$, ce qui prouve la relation C$^n$(G) ⊆ G$_n$ par récurrence sur n. Prouvons maintenant que, pour tout n, G$_n$ est distingué dans G. Puisque la suite des G$_n$ est décroissante, l'hypothèse [G, G$_n$] ⊆ G$_{n+1}$ entraîne [G, G$_n$] ⊆ G$_n$, ce qui équivaut (chapitre Commutateurs, groupe dérivé) à dire que G$_n$ est distingué dans G.

## Groupes nilpotents

Un groupe G est dit nilpotent s'il existe un nombre naturel n ≥ 0 tel que C$^{n+1}$(G) = 1. Dans ce cas, le plus petit nombre naturel n (≥ 0) tel que C$^{n+1}$(G) = 1 est appelé la classe de nilpotence de G. On dit aussi que G est nilpotent de classe n.
Soient G un groupe et G = G$_1$ ⊇ ... ⊇ G$_{n+1}$ = 1 une suite finie de sous-groupes de G. Les deux conditions suivantes sont équivalentes : 1) pour tout i ≤ n, [G, G$_i$] est contenu dans G$_{i+1}$; 2) les sous-groupes G$_i$ sont normaux dans G et pour tout i ≤ n, G$_i$/G$_{i+1}$ est contenu dans le centre de G/G$_{i+1}$.
Démonstration. C'est une conséquence immédiate de l'énoncé 1.
Il résulte de l'énoncé qui précède que dans une suite $G=G_{1}\supseteq \ldots \supseteq G_{n+1}=1$ telle que dans cet énoncé, les sous-groupes G$_i$ sont normaux dans G. A fortiori, la suite en question est une suite de composition de G (selon la terminologie de Bourbaki, qui est celle qu'on a adoptée dans ce cours).
Soit G un groupe. Nous dirons qu'une suite finie $G=G_{1}\supseteq \ldots \supseteq G_{n+1}=1$ de sous-groupes de G satisfaisant aux conditions équivalentes 1) et 2) du théorème qui précède est une suite de composition centrale de G.
Au lieu de « une suite de composition centrale de G », il nous arrivera de dire « une suite centrale de G », l'article indéfini prévenant toute confusion avec la suite centrale descendante de G.
Rappelons que pour une suite de composition $G=G_{1}\supseteq \ldots \supseteq G_{n+1}=1$ d'un groupe G, le nombre $n$ est appelé la longueur de cette suite.
a) Un groupe G est nilpotent de classe ≤ n si et seulement s'il a une suite de composition centrale de longueur ≤ n. b) Un groupe G est nilpotent si et seulement s'il a une suite de composition centrale.
Démonstration. Si G est nilpotent de classe k ≤ n, alors la suite finie
    $G=C^{1}(G)\supseteq \ldots C^{k+1}(G)$ est une suite de composition centrale de G de longueur $k\leq n.$
Réciproquement, supposons que G a une suite de composition centrale de longueur ≤ n. Il existe donc un nombre naturel $k\leq n$ et une suite G = G$_1$ ⊇ ... ⊇ G$_{k+1}$ = 1 de sous-groupes de G telle que, pour tout i ≤ k, [G, G$_i$] soit contenu dans G$_{i+1}$. D'après l'énoncé 8, C$^i$(G) ⊆ G$_i$ pour tout i. C'est vrai en particulier pour i = k + 1, donc C$^{k+1}$(G) ⊆ G$_{k+1}$ = 1, donc G est nilpotent de classe $\leq k$ et donc de classe $\leq n.$ Nous avons ainsi démontré le point a) de l'énoncé. Le point b) s'en déduit facilement.
Soit $G=G_{1}\supseteq \ldots \supseteq G_{n+1}=1$ une suite de composition centrale d'un groupe (nilpotent) G, soit $G=H_{1}\supseteq \ldots \supseteq H_{r+1}=1$ une suite décroissante de sous-groupes de G obtenue en insérant des sous-groupes dans la suite $(G_{i})_{i}.$ Alors la suite $(H_{j})_{j}$ est une suite de composition centrale de G.
Démonstration. Il suffit clairement de prouver que si $i$ est un indice tel que $i\leq i\leq n$, si $H$ est un sous-groupe de $G$ tel que $G_{i}\supseteq H\supseteq G_{i+1}$, alors la suite $G=G_{1}\supseteq G_{i}\supseteq H\supseteq \supseteq G_{i+1}\ldots \supseteq G_{n+1}=1$ est une suite de composition centrale de G. Pour cela, tout revient à prouver que
    (thèse 1) $\qquad [G,G_{i}]$ est contenu dans $H$
et que
    (thèse 2) $\qquad [G,H]$est contenu dans $G_{i+1}.$
Nous avons $[G,G_{i}]\subseteq G_{i+1}$ et le membre droit est contenu dans $H$, donc $[G,G_{i}]\subseteq H$, ce qui est notre thèse (1). D'autre part, $H$ est contenu dans $G_{i}$, donc $[G,H]\subseteq [G,G_{i}]$ et le membre droit est contenu dans $G_{i+1}$, donc $[G,H]$est contenu dans $G_{i+1}$, ce qui est notre thèse (2).
Il nous arrivera d'appliquer l'énoncé 10 en le formulant comme suit : tout raffinement d'une suite de composition centrale d'un groupe G est une suite de composition centrale de G. Il faut cependant noter qu'un raffinement, d'après la définition que nous en avons donnée dans le chapitre Théorème de Jordan-Hölder, doit être une suite de composition, alors que l'énoncé 11 nous dispense de vérifier que la suite insérée est une suite de composition (elle en sera une même si on ne le suppose pas).
Remarques.
* Si G est un groupe nilpotent de classe n, la suite finie $\ G=C^{1}(G),C^{2}(G),\ldots ,C^{n+1}(G)=1$ est évidemment strictement décroissante. (Si on avait $\ C^{i}(G)=C^{i+1}(G)$ pour un certain $i\leq n$, n - i applications successives de $\ H\mapsto \lbrack G,H\rbrack$ aux deux membres donneraient C$^n$(G) = C$^{n+1}$(G), d'où C$^n$(G) = 1, ce qui contredit la minimalité de n.)
* Il est clair que les groupes nilpotents de classe 0 sont les groupes triviaux et que les groupes nilpotents de classe 1 sont les groupes abéliens non triviaux. Donc tout groupe abélien est nilpotent.
* Tout groupe nilpotent de classe n est résoluble de classe ≤ n. En effet, on montre facilement par récurrence sur n que D$^n$(G) ⊆ C$^{n+1}$(G) pour tout n ≥ 0. (En fait, on prouvera dans les compléments du présent chapitre que tout groupe nilpotent de classe ≤ 2$^n$ - 1 est résoluble de classe ≤ n.)
* La remarque précédente montre que la classe de résolubilité d'un groupe nilpotent peut être majorée en fonction de sa classe de nilpotence. Nous verrons dans les exercices que la classe de nilpotence d'un groupe nilpotent ne peut pas être majorée en fonction de sa classe de résolubilité.
* Nous verrons plus loin qu'un groupe résoluble n’est pas forcément nilpotent (exemple de S$_3$).
* On verra dans les exercices (« Groupes de matrices unitriangulaires ») que pour tout nombre naturel n, il existe des groupes nilpotents de classe n.
* Soit f un homomorphisme d'un groupe G$_1$ dans un groupe G$_2$. Nous avons vu que pour tout n, f(C$^n$(G$_1$)) est égal à C$^n$(f(G$_1$)). Il en résulte que si f est un homomorphisme partant d’un groupe G nilpotent de classe n, alors f(G) est nilpotent de classe ≤ n. En particulier, si H est un sous-groupe distingué de G, si G est nilpotent de classe n, alors G/H est nilpotent de classe ≤ n. (Considérer l'homomorphisme canonique de G sur G/H.)
* En appliquant la remarque précédente à un isomorphisme f et à l'isomorphisme réciproque, on voit que si G est un groupe nilpotent de classe n, tout groupe isomorphe à G est nilpotent de classe n.
* Nous avons vu que si H est un sous-groupe d'un groupe G, C$^n$(H) est contenu dans C$^n$(G) pour tout n. Donc si G est un groupe nilpotent de classe n, tout sous-groupe de G est nilpotent de classe ≤ n.
* Le théorème d’après lequel, si G est un groupe et H un sous-groupe distingué de G, si H et G/H sont résolubles, alors G est résoluble, ne s'étend pas aux groupes nilpotents, en ce sens qu'un groupe G peut avoir un sous-groupe distingué H nilpotent tel que G/H soit nilpotent sans que G soit nilpotent. Par exemple, si G = S$_3$, si H = A$_3$, alors H et G/H sont respectivement d'ordre 3 et 2, donc sont commutatifs, donc sont nilpotents, mais nous verrons que G = S$_3$ n’est pas nilpotent.
* Le produit direct d'un groupe nilpotent de classe p et d'un groupe nilpotent de classe q est nilpotent de classe r, où r désigne le plus grand des deux nombres p et q. (Voir exercices.)
Soient G un groupe nilpotent de classe ≤ n et H un sous-groupe normal de G. Il existe une suite de sous-groupes
    H = H$_1$ ⊇ H$_2$ ⊇ ... ⊇ H$_{n+1}$ = 1,
telle que [G, H$_i$] ⊆ H$_{i+1}$ pour tout i (1 ≤ i ≤ n).
Démonstration. Pour tout i, posons H$_i$ = H ⋂ C$^i$(G). Puisque C$^1$(G) = G, que C$^{n+1}$(G) =1 et que la suite des C$^i$(G) est décroissante, nous avons
    H = H$_1$ ⊇ H$_2$ ⊇ ... ⊇ H$_{n+1}$ = 1.
Reste à prouver que si 1 ≤ i ≤ n, alors [G, H$_i$] ⊆ H$_{i+1}$. Puisque H est distingué dans G, [G, H] est contenu dans H. Puisque H$_i$ est contenu dans H, il en résulte que [G, H$_i$] est contenu dans H. D'autre part, puisque H$_i$ est contenu dans C$^i$(G), [G, H$_i$] est contenu dans [G, C$^i$(G)], c'est-à-dire dans C$^{i+1}$(G). Ainsi, [G, H$_i$] est contenu à la fois dans H et dans C$^{i+1}$(G), donc il est contenu dans leur intersection H$_{i+1}$, ce qui achève la démonstration.
Soient G un groupe nilpotent et H un sous-groupe normal de G non réduit à l'élément neutre. Alors H ⋂ Z(G) n’est pas réduit à l'élément neutre.
Démonstration. D'après la proposition précédente, il existe une suite de sous-groupes
    H = H$_1$ ⊇ H$_2$ ⊇ ... ⊇ H$_{n+1}$ = 1,
telle que [G, H$_i$] ⊆ H$_{i+1}$ pour tout i (1 ≤ i ≤ n). Puisque H n’est pas réduit à l'élément neutre, il y a au moins un indice i (1 ≤ i ≤ n), à savoir i = 1, tel que H$_i$ soit distinct de 1. Soit k le plus grand de ces indices. Alors k < n + 1, H$_k$ ⊋ 1 et H$_{k+1}$ = 1. Puisque [G, H$_i$] ⊆ H$_{i+1}$ pour tout i, nous avons en particulier [G, H$_k$] ⊆ H$_{k+1}$ = 1, ce qui montre que H$_k$ est contenu dans Z(G) et donc dans H ⋂ Z(G). Puisque H$_k$ ⊋ 1, H ⋂ Z(G) n'est donc pas réduit à l'élément neutre.
Remarque. Si dans le théorème qui précède, on omet l'hypothèse selon laquelle H est normal dans G, l'énoncé devient inexact. On en verra un exemple dans les exercices de la série Groupes diédraux.
Un groupe nilpotent non réduit à l'élément neutre a un centre non réduit à l'élément neutre.
Démonstration. Il suffit de faire H = G dans le théorème précédent. Toutefois, comme la démonstration se simplifie un peu si H = G, on va la refaire dans ce cas particulier. Soit G un groupe nilpotent non réduit à l'élément neutre, soit n sa classe de nilpotence. Puisque G n’est pas réduit à l'élément neutre, n > 0, donc nous pouvons parler de C$^n$(G). D'après la remarque 1), C$^n$(G) > C$^{n+1}$(G), donc C$^n$(G) n’est pas réduit à l'élément neutre. D'autre part, d’après une proposition ci-dessus, C$^n$(G)/C$^{n+1}$(G), c'est-à-dire C$^n$(G)/{1}, est contenu dans le centre de G/C$^{n+1}$(G) = G/{1}, ce qui revient à dire que C$^n$(G) est contenu dans le centre de G. Nous avons donc montré que C$^n$(G) n’est pas réduit à l'élément neutre et est contenu dans le centre de G, donc le centre de G n’est pas réduit à l'élément neutre.
Remarque. Nous avons vu que S$_3$ est résoluble, mais nous avons vu aussi que son centre est réduit à l'élément neutre, donc d’après le précédent théorème, S$_3$ n’est pas nilpotent. Cela montre qu'un groupe résoluble n’est pas forcément nilpotent.
Un groupe G est nilpotent si et seulement si G/Z(G) est nilpotent. Si G/Z(G) est nilpotent de classe n et que G n’est pas réduit à l'élément neutre (auquel cas, d’après un précédent théorème, Z(G) n’est pas réduit à l'élément neutre), G est nilpotent de classe n + 1. (Autrement dit : si G est un groupe nilpotent de classe $c\geq 1$, G/Z(G)) est nilpotent de classe $c-1.$)
Démonstration. Si G est nilpotent, G/Z(G) est nilpotent d’après une des remarques ci-dessus. Réciproquement, supposons G/Z(G) nilpotent et prouvons que G est nilpotent. Nous pouvons évidemment supposer que G n’est pas réduit à l'élément neutre. Dans ce cas, prouvons, plus précisément, que si G/Z(G) est nilpotent de classe n, G est nilpotent de classe n + 1.
Nous avons C$^{n+1}$(G/Z(G)) = 1 et C$^n$(G/Z(G)) > 1. Si nous désignons par φ l'homomorphisme canonique de G sur G/Z(G), cela s'écrit C$^{n+1}$(φ(G)) = 1 et C$^n$(φ(G)) > 1. D'après une des remarques ci-dessus, cela peut s'écrire φ(C$^{n+1}$(G)) = 1 et φ(C$^n$(G)) > 1, autrement dit C$^{n+1}$(G) ⊆ Z(G) et C$^n$(G) ⊈ Z(G). De la première de ces relations résulte [G, C$^{n+1}$(G)] = 1 et de la seconde [G, C$^n$(G)] ⊋ 1. Autrement dit, C$^{n+2}$(G) = 1 et C$^{n+1}$(G) ⊋ 1, donc G est nilpotent de classe n + 1, ce qui achève la démonstration.
Soient G un groupe et n un nombre naturel ≥ 1. Les deux conditions suivantes sont équivalentes :
a) G est nilpotent de classe ≤ n ;
b) il existe un sous-groupe H de G, contenu dans le centre de G (et donc distingué dans G), tel que G/H soit nilpotent de classe ≤ n – 1.
Démonstration. Supposons la condition a) satisfaite et prouvons que b) l'est. C'est banal si G est réduit à l'élément neutre. Dans le cas contraire, il résulte du théorème précédent que G/Z(G) est nilpotent de classe ≤ n – 1, donc b) est vraie avec H = Z(G). (Remarque : on pourrait aussi prendre H = C$^n$(G). Voir exercices.)
Réciproquement, supposons b) et prouvons a). D'après une remarque précédente, il résulte de b) que le quotient (G/H)/(Z(G)/H) est nilpotent de classe ≤ n – 1. D'après le troisième théorème d'isomorphisme (chapitre Sous-groupe distingué et groupe quotient), (G/H)/(Z(G)/H) est isomorphe à G/Z(G), donc G/Z(G) est nilpotent de classe ≤ n – 1, donc, d’après le théorème précédent, G est nilpotent de classe ≤ n. (Autre justification : du fait que G/H est nilpotent de classe ≤ n – 1 résulte C$^n$(G/H) = 1, ou encore, si φ désigne l'homomorphisme canonique de G sur G/H, C$^n$(φ(G)) = 1, ce qui, d’après une remarque ci-dessus, peut s'écrire φ(C$^n$(G)) = 1, autrement dit C$^n$(G) ⊆ H, d'où, puisque H est contenu dans le centre de G, [G, C$^n$(G)] = 1, c'est-à-dire C$^{n+1}$(G) = 1, donc G est nilpotent de classe ≤ n.)
Soient G un groupe, K un sous-groupe normal de G, L un sous-groupe de G central dans G modulo K, H un sous-groupe de G contenant K. Alors L normalise H et LH/H est commutatif.
Démonstration. Désignons par p l'homomorphisme canonique de G sur G/K. Dire que L est central dans G modulo K signifie que p(L) est contenu dans le centre de p(G). De façon générale, si S est un groupe, si C est un sous-groupe de S contenu dans le centre de S, si T est un sous-groupe de S, alors C normalise T et CT/T est commutatif. (Ce dernier fait résulte de ce que, d’après le second théorème d'isomorphisme, CT/T est isomorphe à un quotient du groupe commutatif C.) Donc
    (1) p(L) normalise p(H)
et
    (2) p(L) p(H)/p(H) est commutatif.
D'après (1), p(H) est normal dans ⟨p(L), p(H)⟩, c'est-à-dire dans p(⟨L, H⟩). Puisque H et ⟨L, H⟩ contiennent K, il résulte du théorème de correspondance que H est normal dans ⟨L, H⟩. Donc L normalise H et LH est un sous-groupe de G. D'après (2), p(LH)/p(H) est commutatif, autrement dit (LH/K)/(H/K) est commutatif. D'après le troisième théorème d'isomorphisme, il en résulte que LH/H est commutatif.
Soient G un groupe nilpotent de classe ≤ n et H un sous-groupe de G. Il existe une suite de sous-groupes
    G = H$_1$ ⊇ H$_2$ ⊇ ... ⊇ H$_{n+1}$ = H,
telle que pour tout i (1 ≤ i ≤ n), H$_{i+1}$ soit normal dans H$_i$ et H$_i$/H$_{i+1}$ commutatif.
Démonstration. Pour tout i (1 ≤ i ≤ n+1), C$^i$(G) est un sous-groupe distingué de G, donc HC$^i$(G) est un sous-groupe de G. Posons H$_i$ = HC$^i$(G). Il est clair que la séquence des H$_i$ est décroissante. Pour i ≤ n, C$^i$(G) est central dans G modulo C$^{i+1}$(G), donc, d’après le lemme qui précède, C$^i$(G) normalise H$_{i+1}$ et C$^i$(G) H$_{i+1}$/ H$_{i+1}$ est commutatif. Comme C$^i$(G) H$_{i+1}$ égale H$_i$, l'énoncé en résulte.
Soient G un groupe nilpotent et H un sous-groupe propre de G (c'est-à-dire que H < G). Alors $H<N_{G}(H).$
Démonstration. D'après la proposition précédente, il existe une suite de sous-groupes
    G = H$_1$ ⊇ H$_2$ ⊇ ... ⊇ H$_{n+1}$ = H,
telle que pour tout i (1 ≤ i ≤ n), H$_{i+1}$ soit distingué dans H$_i$. (Nous n'avons pas besoin ici de savoir que les quotients sont commutatifs.) Il existe au moins un indice i (à savoir i = 1) tel que H$_i$ soit distinct de H. Considérons le plus grand de ces indices i. Alors H est sous-groupe distingué de H$_i$, donc N$_G$(H) contient H$_i$. Puisque H$_i$ ⊋ H, on a donc bien N$_G$(H) ⊋ H.
La proposition qui suit dit trois fois la même chose sous des formes différentes.
Soit G un groupe nilpotent.
a) Pour tout sous-groupe H de G distinct de G, il existe un sous-groupe normal N de G, distinct de G et contenant H, tel que G/N soit commutatif.
b) Pour tout sous-groupe propre H de G (rappelons qu'on signifie par là que H < G), H D(G) est un sous-groupe propre de G.
c) Si X est une partie de G telle que X ∪ D(G) engendre G, alors X engendre G.
Démonstration. Prouvons l'assertion a). D'après une proposition précédente, il existe une suite de sous-groupes
    G = H$_1$ ⊇ H$_2$ ⊇ ... ⊇ H$_{n+1}$ = H,
telle que pour tout i (1 ≤ i ≤ n), H$_{i+1}$ soit distingué dans H$_i$ et H$_i$/H$_{i+1}$ commutatif. Il existe au moins un indice i (à savoir n + 1) tel que H$_i$ soit distinct de G. Soit i le plus petit de ces indices. Alors i > 1 et H$_{i-1}$ = G, donc H$_i$ convient pour N.
Prouvons l'assertion b). Si N est comme en a), alors, puisque G/N est commutatif, N contient D(G). Puisque N contient aussi H, N contient donc H D(G). Puisque N est sous-groupe propre de G, H D(G) est donc sous-groupe propre de G.
Prouvons l'assertion c). Dire que X ∪ D(G) engendre G revient à dire que ⟨X⟩D(G) = G, donc d’après b), ⟨X⟩ n’est pas sous-groupe propre de G.
Soient G un groupe nilpotent et M un sous-groupe maximal de G, c'est-à-dire un sous-groupe de G distinct de G et tel que M et G soient les seuls sous-groupes de G contenant M. Alors M est sous-groupe normal de G et le quotient G/M est (cyclique) d'ordre premier.
Démonstration. D'après la proposition précédente, il existe un sous-groupe normal N de G, distinct de G et contenant M (et tel que G/N soit commutatif). Puisque M est maximal, N doit être égal à M, donc M est un sous-groupe normal de G et est donc évidemment un sous-groupe normal maximal de G. Il en résulte que le groupe quotient G/M est simple (voir section Sous-groupes normaux maximaux dans le chapitre Sous-groupe distingué et groupe quotient). Par exemple parce que, G étant nilpotent, G/M est lui aussi nilpotent et donc résoluble, G/M est donc un groupe simple résoluble et est donc cyclique d'ordre premier (voir le chapitre Théorie des groupes/Groupes résolubles).
Remarques. 1° Un groupe fini non réduit à l'élément neutre admet toujours au moins un sous-groupe maximal (considérer un sous-groupe propre du plus grand ordre possible), mais ce n’est pas forcément le cas pour un groupe infini. Par exemple, il résulte du théorème précédent que si G est un groupe commutatif (et donc nilpotent) qui n'a pas d’autre sous-groupe d'indice fini que lui-même, alors G n'a pas de sous-groupe maximal. Or il existe de tels groupes G, par exemple le groupe additif Q des nombres rationnels. (Si H est un sous-groupe d'indice n de ce groupe, nx appartient à H pour tout nombre rationnel x. Comme tout nombre rationnel y est de la forme nx pour un nombre rationnel x, H est égal à Q tout entier.) 2° Soit G un groupe résoluble et M un sous-groupe normal maximal de G. Le groupe quotient G/M est simple (voir section Sous-groupes normaux maximaux dans le chapitre Sous-groupe distingué et groupe quotient). Puisque G est résoluble, G/M l'est aussi et est donc un groupe simple résoluble et est donc d'ordre premier (voir le chapitre Théorie des groupes/Groupes résolubles). Donc M est un sous-groupe maximal (et, par hypothèse, normal) de G. Cela montre que dans un groupe résoluble, les sous-groupes normaux maximaux sont exactement les sous-groupes maximaux normaux. Joint à l'énoncé 21, cela montre que dans un groupe nilpotent, les sous-groupes maximaux sont exactement les sous-groupes normaux maximaux.

## Groupes nilpotents finis

Rappelons (chapitre Théorèmes de Sylow) que, p étant un nombre premier, un p-groupe fini peut se définir comme un groupe fini dont l’ordre est une puissance de p.
Soient p un nombre premier et G un p-groupe fini opérant sur un ensemble fini X. Le nombre des points fixes de cette opération (c'est-à-dire le nombre des éléments x de X tels que gx = x pour tout élément g de G) est congru modulo p au nombre d'éléments de X.
Démonstration. On sait que le nombre d'éléments d'une orbite divise toujours l’ordre de G. Puisque G est un p-groupe, il en résulte que le cardinal d'une orbite non ponctuelle est de la forme p$^n$ avec n > 0, donc les cardinaux des orbites non ponctuelles sont divisibles par p. Comme X est la réunion des orbites et que les orbites sont deux à deux disjointes, la réunion des orbites non ponctuelles a donc un cardinal congru modulo p au cardinal de X. Comme la réunion des orbites ponctuelles est l’ensemble des points fixes, l'énoncé en résulte.
Soit G un groupe fini dont l’ordre est une puissance de nombre premier. Si G n’est pas réduit à l'élément neutre, son centre ne l'est pas non plus.
Démonstration. Faisons opérer G sur son ensemble sous-jacent par conjugaison. D'après le lemme précédent, le nombre des points fixes pour cette opération est congru modulo p à l’ordre de G. D'après les hypothèses, il existe un nombre premier tel que l’ordre de G soit de la forme p$^n$, avec n ≥ 1, donc l’ordre de G est divisible par p. Ainsi, le nombre des points fixes pour l'opération considérée est divisible par p. Ces points fixes sont les éléments du centre de G, donc l’ordre du centre de G est divisible par p et, en particulier, n’est pas égal à 1. Le centre de G n'est donc pas réduit à l'élément neutre.
Tout groupe fini dont l’ordre est une puissance de nombre premier est nilpotent.
Démonstration. Soit p un nombre premier. Il s'agit de prouver que pour tout nombre naturel n, tout groupe fini d'ordre p$^n$ est nilpotent. Supposons que ce soit vrai pour tout nombre naturel < n et prouvons que c’est vrai pour n. C'est banalement vrai si n = 0, donc nous pouvons supposer n ≥ 1. Soit G un groupe d'ordre p$^n$. D'après le lemme qui précède, le centre Z(G) n’est pas réduit à l'élément neutre, donc l’ordre de G/Z(G) est de la forme p$^i$ avec i < n. Par hypothèse de récurrence, G/Z(G) est nilpotent. D'après un précédent théorème, il en résulte que G est nilpotent.
Remarque. On trouvera un énoncé un peu plus précis en exercice.
Rappelons que, G étant un groupe fini et p un nombre premier, on dit que G est p-clos s'il n'a qu'un p-sous-groupe de Sylow, ce qui revient à dire que G a un p-sous-groupe de Sylow normal.
Soit G un groupe fini. Les conditions suivantes sont équivalentes :
    (i) G est nilpotent;
    (ii) pour chaque facteur premier $p$ de G, G est $p$-clos;
    (iii) G est produit direct (interne) de ses sous-groupes de Sylow;
    (iv) G est produit direct (interne ou externe) de groupes dont les ordres sont des puissances de nombres premiers.
Démonstration. Prouvons que (i) entraîne (ii). Soit P un sous-groupe de Sylow de G. Il s'agit de prouver que P est normal dans G. Désignons par N le normalisateur N$_G$(P). Il s'agit de prouver que N est G tout entier. D'après un théorème vu au chapitre Théorèmes de Sylow, N est son propre normalisateur dans G. Or nous avons vu dans le présent chapitre que, dans un groupe nilpotent, un sous-groupe propre n’est pas son propre normalisateur. Donc N n’est pas sous-groupe propre de G, autrement dit N est G tout entier, Comme nous l'avons vu, cela prouve que (i) entraîne (ii). Prouvons maintenant que (ii) entraîne (iii). Soient p$_1$, ... p$_n$ les facteurs premiers de l’ordre de G. Si la condition (ii) est satisfaite, alors, pour chaque i (1 ≤ i ≤ n), G admet un seul p$_i$-sous-groupe de Sylow, soit P$_i$, et ce sous-groupe est normal dans G. Les ordres des P$_i$ sont premiers entre eux deux à deux et le produit de ces ordres est égal à l’ordre de G. D'après un énoncé démontré au chapitre Produit direct et somme restreinte, G est donc produit direct des P$_i$, c'est-à-dire de ses sous-groupes de Sylow. Cela prouve que (ii) entraîne (iii). Puisque les sous-groupes de Sylow de G ont pour ordre des puissances de nombres premiers, il est banal que (iii) entraîne (iv).
Prouvons que (iv) entraîne (i). Si (iv) est satisfaite, G est produit direct de groupes H$_i$ dont les ordres sont des puissances de nombres premiers. D'après un des énoncés qui précèdent, chaque H$_i$ est nilpotent, donc G est un produit direct de groupes nilpotents. Or, comme démontré dans un des exercices de ce chapitre, le produit direct d'une famille finie de groupes nilpotents est nilpotent, donc G est nilpotent. Cela prouve que (iv) entraîne (i).

## Compléments

La présente section peut être omise en première lecture.

### Groupes nilpotents de classe ≤ 2

Un groupe G est nilpotent de classe ≤ 2 si et seulement si le dérivé de G est contenu dans le centre de G, ce qui revient à dire que pour tous éléments x, y de G, le commutateur [x, y] = x$^{-1}$y$^{-1}$xy appartient au centre de G. Avec la notation a$^z$ = z$^{-1}$az pour a et z dans G, G est nilpotent de classe ≤ 2 si et seulement si [x, y]$^z$ = [x, y] pour tous éléments x, y, z de G. Soit G un groupe nilpotent de classe ≤ 2. Les identités
    $\qquad [xy,z]=[x,z]^{y}[y,z]$
et
    $\qquad [z,xy]=[z,y][z,x]^{y},$
vraies dans tout groupe, deviennent dans G
    $\qquad [xy,z]=[x,z][y,z]$
et
    $\qquad [z,xy]=[z,y][z,x]=[z,x][z,y].$
Donc si a est un élément de G, l'application f$_a$ : x ↦ [a, x] et l'application g$_a$ : x ↦ [x, a] sont des endomorphismes de G. On a donc
    $\qquad [x^{r},y]=[x,y]^{r}$
et
    $\qquad [x,y^{r}]=[x,y]^{r}$
pour tous éléments x, y de G et tout entier rationnel r.
De ces relations et du fait que les commutateurs d'éléments de G appartiennent au centre de G, on déduit la relation
    (1)$\qquad (xy)^{n}=x^{n}y{^{n}}[y,x]^{n(n-1)/2}$
pour tous éléments x, y de G et tout entier naturel n. Cette formule peut être démontrée directement par récurrence sur n, ou encore déduite de l'identité suivante, vraie dans tout groupe :
    $\qquad (xy)^{n}=x^{n}\ y\ [y,x^{n-1}]\ y\ [y,x^{n-2}]...[y,x^{2}]\ y\ [y,x]\ y.$
La formule (1) sert par exemple dans la détermination de la structure des groupes hamiltoniens.

### Classe de résolubilité et classe de nilpotence

Nous avons vu plus haut que la classe de résolubilité d'un groupe nilpotent est inférieure ou égale à sa classe de nilpotence. L'objet de la présente section est de donner une majoration plus forte de la classe de résolubilté d'un groupe nilpotent en fonction de sa classe de nilpotence.
Soit G un groupe. Pour tous nombres naturels i, j non nuls,
    [C$^i$(G), C$^j$(G)] ≤ C$^{i+j}$(G).
Démonstration. On raisonne par récurrence sur j. Pour j = 1, la thèse résulte immédiatement de la définition de la suite centrale descendante. Supposons (hypothèse de récurrence) que, pour un certain j ≥ 1, on ait
    [C$^i$(G), C$^j$(G)] ≤ C$^{i+j}$(G) pour tout i ≥ 1.
D'après le corollaire du théorème des trois sous-groupes,
    [ [C$^j$(G), G], C$^i$(G)] ≤ [ [G, C$^i$(G)], C$^j$(G)] [ [C$^i$(G), C$^j$(G)], G],
c'est-à-dire
    [C$^{j+1}$(G), C$^i$(G)] ≤ [C$^{i+1}$(G), C$^j$(G)] [ [C$^i$(G), C$^j$(G)], G].
D'après l'hypothèse de récurrence, chacun des deux facteurs du second membre est contenu dans le groupe C$^{i+j+1}$(G), donc
    [C$^i$(G), C$^{j+1}$(G)] ≤ C$^{i+j+1}$(G),
ce qui démontre la thèse par récurrence sur j.
Remarque. Dans l'énoncé, l'inégalité (inclusion) ne peut pas être remplacée par l'égalité. On en verra un exemple dans les exercices sur les groupes diédraux.
Soit G un groupe. Pour tous nombres naturels i, j non nuls,
    C$^i$(C$^j$(G)) ≤ C$^{ij}$(G).
Démonstration. On raisonne par récurrence sur i. Pour i = 1, la thèse signifie C$^j$(G) ≤ C$^j$(G), ce qui est banalement vrai. Supposons (hypothèse de récurrence) que, pour un certain i ≥ 1, on ait
    C$^i$(C$^j$(G)) ≤ C$^{ij}$(G) pour tout j ≥ 1.
Nous avons
    C$^{i+1}$(C$^j$(G)) = [C$^i$(C$^j$(G)), C$^j$(G)],
d'où, d’après l'hypothèse de récurrence,
    (1) C$^{i+1}$(C$^j$(G)) ≤ [C$^{ij}$(G), C$^j$(G)].
D'après le lemme précédent, le second membre est contenu dans C$^{ij+j}$(G), autrement dit dans C$^{(i+1)j}$(G). On en déduit
    C$^{i+1}$(C$^j$(G)) ≤ C$^{(i+1)j}$(G),
ce qui démontre la thèse par récurrence sur i.
Soit G un groupe. Pour tout nombre naturel i ≥ 0,
    $D^{i}(G)\leq C^{2^{i}}(G).$
Démonstration. Pour i = 0, les deux membres de la thèse sont égaux à G, donc la thèse est banalement vraie dans ce cas. Supposons (hypothèse de récurrence) que, pour un certain nombre naturel i, on ait
    $D^{i}(G)\leq C^{2^{i}}(G).$.
Alors
    $[D^{i}(G),D^{i}(G)]\leq [C^{2^{i}}(G),C^{2^{i}}(G)].$
Par définition de la suite dérivée, le premier membre est égal à $D^{i+1}(G)$ et, d’après le premier des deux lemmes qui précèdent, le second membre est contenu dans $\ C^{2^{i+1}}(G).$ Donc
    $\ D^{i+1}(G)\leq C^{2^{i+1}}(G),$
ce qui démontre la thèse par récurrence sur i.
Tout groupe nilpotent de classe ≤ 2$^n$ - 1 est résoluble de classe ≤ n.
Démonstration. Si G est un groupe nilpotent de classe ≤ 2$^n$ - 1, alors $\ C^{2^{n}}(G)=1$, donc, d’après le lemme qui précède, D$^n$(G) = 1, donc G est résoluble de classe ≤ n.

### Suite centrale descendante et produit tensoriel

Dans cette section, on suppose que le lecteur possède les notions classiques sur le produit tensoriel d'une famille de A-modules, A étant un anneau commutatif.
G étant un groupe et n un entier naturel ≥ 1, désignons par F$_n$(G) le groupe quotient C$^n$(G)/C$^{n+1}$(G). En particulier, F$_1$(G) est égal à G/D(G), autrement dit à l'abélianisé de G. On va montrer que la connaissance du groupe F$_1$(G) fournit à elle seule des renseignements sur les autres groupes F$_n$(G).
On a vu que les quotients F$_n$(G) sont des groupes abéliens. Ils peuvent donc être considérés comme des ℤ-modules. On va s'intéresser aux produits tensoriels de ces modules. Quand, dans ce chapitre, on parlera du produit tensoriel d'une famille finie de groupes abéliens, il s'agira de leur produit tensoriel comme ℤ-modules. Les lois de groupe des modules considérés sont induites par la loi de groupe de G; c’est pourquoi, bien que la loi de groupe d'un module soit en général notée additivement, nous garderons ici la notion multiplicative.
Soient G un groupe, n un nombre naturel ≥ 1, x, y des éléments de C$^n$(G), z un élément de G, a un élément de C$^n$(G) et b, c des éléments de G. Alors $\lbrack xy,z\rbrack \equiv \lbrack x,z\rbrack \lbrack y,z\rbrack {\pmod {C\ ^{n+2}(G)}}$ et $\lbrack a,bc\rbrack \equiv \lbrack a,b\rbrack \lbrack a,c\rbrack {\pmod {C\ ^{n+2}(G)}}$
Démonstration. D'après la huitième des identités démontrées dans la section Compléments du chapitre Commutateurs, groupe dérivé, nous avons $\ \lbrack xy,z\rbrack =\lbrack x,z\rbrack \cdot \lbrack \ \lbrack x,z\rbrack ,y\rbrack \cdot \lbrack y,z\rbrack .$ Puisque [x, z] appartient à C$^{n+1}$(G), [ [x, z], y] appartient à C$^{n+2}$(G), d'où la première assertion de l'énoncé. D'après la sixième des identités démontrées dans la section Compléments du chapitre Commutateurs, groupe dérivé, nous avons $\ \lbrack a,bc\rbrack =\lbrack a,c\rbrack \cdot \lbrack c,\lbrack b,a\rbrack \ \rbrack \cdot \lbrack a,b\rbrack .$ ​ Puisque [b, a] appartient à C$^{n+1}$(G), [c, [b, a] ] appartient à C$^{n+2}$(G), donc $\lbrack a,bc\rbrack \equiv \lbrack a,c\rbrack \lbrack a,b\rbrack {\pmod {C\ ^{n+2}(G)}}.$ La seconde assertion de l'énoncé en résulte, puisque [a, b] et [a, c] appartiennent à C$^{n+1}$(G) et que le groupe quotient C$^{n+1}$(G)/C$^{n+2}$(G) est commutatif.
Il existe une (et une seule) application de F$_n$(G) × F$_1$(G) dans F$_{n+1}$(G) qui, pour tout élément a de C$^n$(G) et tout élément b de G, envoie le couple (aC$^{n+1}$(G), b C$^2$(G) ) sur [a, b] C$^{n+2}$(G). Cette application est ℤ-bilinéaire.
Démonstration. Commençons par prouver l'existence. Soient a et a' deux éléments de C$^n$(G) congrus entre eux modulo C$^{n+1}$(G), soit b un élément de G; prouvons que $\lbrack a',b\rbrack \equiv \lbrack a,b\rbrack {\pmod {C\ ^{n+2}(G)}}.$. Nous avons a' = ax avec x dans C$^{n+1}$(G), d'où [a', b] = [ax, b]. Puisque a et x appartiennent tous deux à C$^n$(G), ceci entraîne, en vertu du lemme qui précède, $\lbrack a',b\rbrack \equiv \lbrack a,b\rbrack \lbrack x,b\rbrack {\pmod {C\ ^{n+2}(G)}}.$ Puisque x appartient à C$^{n+1}$(G), [x, b] appartient à C$^{n+2}$(G), donc $\lbrack a',b\rbrack \equiv \lbrack a,b\rbrack {\pmod {C\ ^{n+2}(G)}},$. comme annoncé. Soient maintenant a un élément de C$^n$(G) et b, b' deux éléments de G congrus ente eux modulo C$^2$(G); prouvons que $\lbrack a,b'\rbrack \equiv \lbrack a,b\rbrack {\pmod {C\ ^{n+2}(G)}}.$. Nous avons b' = by avec y dans C$^2$(G), d'où [a, b'] = [a, by]. Puisque a appartient à C$^n$(G), ceci entraîne, en vertu du lemme qui précède, $\lbrack a,b'\rbrack \equiv \lbrack a,b\rbrack \lbrack a,y\rbrack {\pmod {C\ ^{n+2}(G)}}.$ Puisque a appartient à C$^n$(G) et y à C$^2$(G), [a, y] appartient à C$^{n+2}$(G) d’après un lemme démontré dans la section Classe de résolubilité et classe de nilpotence. Donc $\lbrack a,b'\rbrack \equiv \lbrack a,b\rbrack {\pmod {C\ ^{n+2}(G)}}.$. On tire facilement des deux résultats obtenus qu’il existe une application telle que dans l'énoncé. Cette application est clairement unique. Le fait qu'elle soit ℤ-bilinéaire se déduit immédiatement du lemme qui précède.
Soient G un groupe et n un nombre naturel ≥ 1. Le groupe F$_{n+1}$(G) est image homomorphe du produit tensoriel $F_{n}(G)\otimes F_{1}(G)$. Le groupe F$_n$(G) est image homomorphe de $\bigotimes _{i=1}^{n}F_{1}(G)$ (produit tensoriel de n groupes abéliens égaux à l'abélianisé de G).
Démonstration. D'après le lemme qui précède, il existe une (et une seule) application bilinéaire de F$_n$(G) × F$_1$(G) dans F$_{n+1}$(G) qui, pour tout élément a de C$^n$(G) et tout élément b de G, envoie le couple (aC$^{n+1}$(G), b C$^2$(G) ) sur [a, b] C$^{n+2}$(G). En vertu de la propriété universelle du produit tensoriel, il existe donc une et une seule application linéaire du produit tensoriel $F_{n}(G)\otimes F_{1}(G)$ dans F$_{n+1}$(G) qui, pour tout élément a de C$^n$(G) et tout élément b de G, envoie $\ aC^{n+1}(G)\otimes bC^{2}(G)$ sur [a, b]C$^{n+2}$(G). Puisque les éléments de la forme [a, b] C$^{n+2}$(G) engendrent F$_{n+1}$(G), cette application linéaire est un homomorphisme surjectif. Ceci prouve la première assertion de l'énoncé. Tirons-en la seconde assertion de l'énoncé par récurrence sur n. Elle est banalement vraie pour n = 1. Supposons qu'elle soit vraie pour un certain n. Il existe donc un homomorphisme surjectif g$_n$ de $\bigotimes _{i=1}^{n}F_{1}(G)$ sur F$_n$. On sait que si M$_1$, N$_1$, M$_2$ et N$_2$ sont des modules sur un même annean commuatif, si f$_1$ est un homomorphisme de M$_1$ dans N$_1$ et f$_2$ est un homomorphisme de M$_2$ dans N$_2$, il existe un (et un seul) homomorphisme : $f:M_{1}\otimes M_{2}\rightarrow N_{1}\otimes N_{2}$ qui, pour tout élément a de M$_1$ et tout élément b de M$_1$, envoie $a\otimes b$ sur $f_{1}(a)\otimes f_{2}(b)$. Si f$_1$ et f$_2$ sont surjectifs, alors, puisque les éléments de la forme $x\otimes y$ engendrent $N_{1}\otimes N_{2}$, l'homomorphisme f est surjectif. En appliquant ceci au cas où $M_{1}=\bigotimes _{i=1}^{n}F_{1}(G)$, $\ N_{1}=F_{n}(G)$, $\ M_{2}=N_{2}=F_{1}(G)$, f$_1$ = g$_n$ et où f$_2$ est l'automorphisme identité de F$_1$(G), nous trouvons que $F_{n}(G)\otimes F_{1}(G)$ est image homomorphe de $\bigotimes _{i=1}^{n}F_{1}(G)\otimes F_{1}(G)$ : $\bigotimes _{i=1}^{n}F_{1}(G)\otimes F_{1}(G)\rightarrow F_{n}(G)\otimes F_{1}(G).$ D'après la première assertion de l'énoncé, il en résulte que $F_{n+1}(G)$ est image homomorphe de $\bigotimes _{i=1}^{n}F_{1}(G)\otimes F_{1}(G)$, lequel, comme on sait, est isomorphe à $\bigotimes _{i=1}^{n+1}F_{1}(G)$. Donc $F_{n+1}(G)$ est image homomorphe de $\bigotimes _{i=1}^{n+1}F_{1}(G)$, ce qui prouve la seconde assertion de l'énoncé par récurrence sur n.
Il résulte du théorème de Robinson que la structure du premier des quotients de la suite centrale descendante de G, c'est-à-dire la structure de l'abélianisé de G, fournit des renseignements sur la structure des autres quotients. C'est intéressant en particulier si G est nilpotent, comme le montre le critère suivant, qui se déduit immédiatement du théorème de Robinson :
Soit P une propriété de groupe telle que les deux conditions suivantes soient satisfaites : 1° si $\ (G_{i})_{i\in I}$ est une famille finie de groupes abéliens possédant la propriété P, toute image homomorphe du produit tensoriel de cette famille possède la propriété P; 2° si G est un groupe et H un sous-groupe normal de G, si H et G/H possèdent la propriété P, alors G possède la propriété P. Alors tout groupe nilpotent dont l'abélianisé possède la propriété P possède lui-même la propriété P.
Avant d'appliquer ceci à la propriété « est un groupe fini », démontrons un lemme sur les produits tensoriels.
Soit A un anneau commutatif. Le produit tensoriel d'une famille finie de A-modules finis est fini.
Démonstration. On peut se limite à deux modules M et N, l' « associativité » du produit tensoriel permettant de passer au cas général. Soient donc M et N deux A-modules finis. Le produit tensoriel $M\otimes N$ est engendré comme groupe par les éléments $a\otimes b$, avec a dans M et b dans N. Ces éléments sont en nombre fini. Ils sont de plus d'ordres finis, par exemple parce que chaque élément de M est d'ordre fini. Ainsi, le groupe $M\otimes N$ est engendré par un nombre fini d'éléments d'ordre fini. Puisque ce groupe est commutatif, il est donc fini. (Voir un problème de la série Groupes résolubles.)
De ce lemme et du critère de Robinson, on déduit le théorème qui suit :
Tout groupe nilpotent dont l'abélianisé est fini est lui-même fini.
Si G est un groupe, considérons l’ensemble des entiers rationnels n tels que pour tout élément x de G, on ait x$^n$ = 1. Cet ensemble est clairement un sous-groupe de ℤ et est donc de la forme eℤ pour un certain nombre naturel e, déterminé de façon unique. Nous appellerons e l'exposant de G. On peut le caractériser de la façon suivante :
1° si 0 est le seul entier naturel n tel que pour tout élément x de G, on ait x$^n$ = 1, alors l'exposant de G est 0 ;
2° dans le cas contraire, c'est-à-dire s'il existe au moins un entier naturel non nul n tel que pour tout élément x de G, on ait x$^n$ = 1, alors l'exposant de G est le plus petit de ces entiers naturels non nuls.
De la première définition de l'exposant de G, on déduit que pour un entier rationnel n, les deux conditions suivantes sont équivalentes :
1° pour tout élément x de G, on a x$^n$ = 1 ;
2° n est divisible par l'exposant de G.
Un groupe est appelé un groupe de torsion si chacun de ses éléments est d'ordre fini. Tout groupe d'exposant non nul est un groupe de torsion, mais un groupe de torsion n’est pas forcément un groupe d'exposant non nul (prendre la somme directe des groupes ℤ/nℤ, où n parcourt les entiers naturels non nuls).
Si un groupe H est image homomorphe d'un groupe G, l'exposant de H divise l'exposant de G. (En effet, le sous-groupe de ℤ formé par les n tels que x$^n$ = 1 pour tout élément x de G est contenu dans le sous-groupe de ℤ formé par les r tels que y$^r$ = 1 pour tout élément y de H ; donc le générateur naturel du premier de ces deux sous-groupes est multiple du générateur naturel du second.)
Si un groupe abélien est engendré par des éléments dont les ordres divisent un entier naturel d, l'exposant de ce groupe divise d.
Démonstration. Tout élément d'un tel groupe est de la forme x = x$_1$ ... x$_n$, où x$_i$$^d$ = 1. Vu la commutativité, on a alors x$^d$ = x$_1$$^d$ ... x$_n$$^d$ = 1.
Soient G$_1$, ... G$_n$ des groupes abéliens. L'exposant du produit tensoriel des G$_i$ divise l'exposant de chaque G$_i$.
Démonstration. Le produit tensoriel est engendré (comme groupe) par les éléments de la forme $a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n}$. Si, pour chaque i, e$_i$ désigne l'exposant de G$_i$, nous avons $(a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n})^{e_{i}}=a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{i}^{e_{i}}\otimes \cdots \otimes a_{n}=1,$ donc le produit tensoriel est engendré par des éléments dont les ordres divisent e$_i$. L'énoncé résulte donc du lemme qui précède.
Soit G un groupe. Pour tout nombre naturel n ≥ 1, l'exposant de C$^n$(G)/ C$^{n+1}$(G) divise l'exposant de G/D(G).
Démonstration. Désignons par e l'exposant de G/D(G). Soit n un nombre naturel ≥ 1. D'après le théorème de Robinson, C$^n$(G)/ C$^{n+1}$(G) est image homomorphe du produit tensoriel de n groupes abéliens égaux à G/D(G). D'après une remarque faite plus haut, il en résulte que l'exposant de C$^n$(G)/ C$^{n+1}$(G) divise l'exposant du produit tensoriel en question. D'après le lemme qui précède, l'exposant du produit tensoriel divise e, donc l'exposant de C$^n$(G)/ C$^{n+1}$(G) divise e.
Soit G un groupe nilpotent de classe c et e l'exposant de G/D(G). L'exposant de G divise e$^c$.
Démonstration. Il résulte du théorème précédent que pour tout nombre naturel n ≥ 1, l'exposant de C$^n$(G)/ C$^{n+1}$(G) divise e. Pour tout élément x de G, on a donc $x^{e}\in C^{2}(G)$, puis $x^{e^{2}}\in C^{3}(G)$, etc. et finalement $x^{e^{c}}\in C^{c+1}(G)$, c'est-à-dire $x^{e^{c}}=1,$ d'où l'énoncé.
Soit G un groupe nilpotent de classe c engendré par une famille finie x$_1$, ... , x$_n$ d'éléments d'ordre fini. Alors G est fini. Si e est un nombre naturel tel que x$_i$e = 1 pour chaque i (autrement dit si e est multiple de l’ordre de chaque x$_i$), alors l'exposant de G divise e$^c$.
Démonstration. Les images des x$_i$ par l’application canonique de G sur G/D(G) engendrent G/D(G), sont en nombre fini et sont d'ordres finis dans G/D(G). Or, comme on l'a rappelé dans une précédente démonstration, un groupe commutatif engendré par un nombre fini d'éléments d'ordres finis est fini. Donc G/D(G) est fini. D'après un précédent théorème, il en résulte que G est fini. De plus, les ordres des images canoniques des x$_i$ divisent tous e, donc, d’après un précédent lemme, relatif aux groupes abéliens, l'exposant de G/D(G) divise e. D'après le théorème qui précède, l'exposant de G divise donc e$^c$.
Soit G un groupe nilpotent de classe c, soient a et b deux éléments de G. Si n est un nombre naturel tel que a$^n$ = b$^n$ = 1, alors $\ (ab)^{n^{c}}=1$.
Démonstration. Appliquer le théorème précédent au groupe <a, b> (sous-groupe de G engendré par a et b), qui est nilpotent de classe ≤ c.
On a vu (exercices de la série Groupes monogènes, ordre d'un élément, problème Ordre du composé de deux éléments commutant entre eux) que les éléments d'ordre fini d'un groupe abélien G forment un sous-groupe de G. Le théorème suivant montre que cela s'étend aux groupes nilpotents.
Soit G un groupe nilpotent. Les éléments d'ordre fini de G forment un sous-groupe caractéristique T de G. Pour tout nombre premier p, les éléments de G dont les ordres sont des puissances de p forment un sous-groupe T$_p$ de T, caractéristique dans T et dans G. Le groupe T est somme restreinte des T$_p$.
Démonstration. Le fait que T et T$_p$ soient des sous-groupes de G résulte du corollaire qui précède. Il est clair que T$_p$ est contenu dans T. On sait que l’ordre de l'image homomorphe d'un élément x est un élément dont l’ordre divise celui de x, donc T est stable par tout endomorphisme de G et T$_p$ est stable par tout endomorphisme de T. En particulier, T est caractéristique dans G et T$_p$ est caractéristique dans T, d'où aussi dans G.
Prouvons que T est somme restreinte des T$_p$.
Soit H un sous-groupe de type fini de T. D'après un exercice de la série Produit de groupes, il suffit de prouver que H est somme restreinte des H ⋂ T$_p$. Puisque H est un groupe de torsion nilpotent et de type fini, il résulte d'un précédent théorème que H est fini. Soit p un nombre premier. D'après ce que nous avons vu sur les groupes nilpotents finis, H n'a qu'un p-sous-groupe de Sylow, qui est donc égal à l’ensemble des éléments de H dont les ordres sont des puissances de p. Autrement dit, l'unique p-sous-groupe de Sylow de H est H ⋂ T$_p$. Nous avons vu aussi qu'un groupe nilpotent fini est produit direct de ses sous-groupes de Sylow, donc H est somme restreinte des H ⋂ T$_p$, ce qui, comme nous l'avons vu, prouve que T est somme restreinte des T$_p$.
Si G est un groupe nilpotent, le sous-groupe de G formé par les éléments d'ordre fini est appelé le sous-groupe de torsion de G.
Dans les exercices, on démontre quelques résultats de cette sous-section en évitant d’utiliser la notion de produit tensoriel.