# Ondes électromagnétiques/Onde plane progressive monochromatique

On travaille dans un milieu LHI de perméabilité magnétique μ et de permittivité diélectrique ε sans charges ni courants.

## Cadre d'étude

Une onde est dite monochromatique lorsqu'elle n'est composée que d'une seule longueur d'onde λ (ou d'une seule fréquence). Ce terme est emprunté à l'optique du visible, mais peut s'appliquer sans remords à toutes les ondes électromagnétiques présentant cette propriété.
On s'intéresse dans ce chapitre à une onde plane progressive monochromatique (également dite sinusoïdale).
L'étude de ces ondes est fondamentale, car la transformation de Fourier assure que toute onde est la superposition d'ondes monochromatiques. On peut ainsi décrire le comportement dans un milieu de toute onde une fois connu le comportement des ondes sinusoïdales.
On travaille dans ce chapitre avec une onde plane progressive monochromatique de fréquence $\nu$ se propageant suivant les ${\vec {x}}$ croissants.

## Propriétés des champs

On part du potentiel vecteur ${\vec {A}}$
    ${\begin{cases}A_{x}=0\\\displaystyle {A_{y}=A_{0y}\cos \left[2\pi \nu \left(t-{\frac {x}{v}}\right)\right]}\\\displaystyle {A_{z}=A_{0z}\cos \left[2\pi \nu \left(t-{\frac {x}{v}}\right)+\varphi \right]}\\\end{cases}}$
On peut ainsi exprimer ${\vec {E}}$ :
    ${\begin{cases}E_{x}=0\\\displaystyle {E_{y}=2\pi \nu A_{0y}\sin \left[2\pi \nu \left(t-{\frac {x}{v}}\right)\right]}\\\displaystyle {E_{z}=2\pi \nu A_{0z}\sin \left[2\pi \nu \left(t-{\frac {x}{v}}\right)+\varphi \right]}\\\end{cases}}$
${\vec {E}}$ et ${\vec {A}}$ sont parallèles, mais en quadrature.
On peut également déterminer l’expression de ${\vec {B}}$
    ${\begin{cases}B_{x}=0\\\displaystyle {B_{y}=-{\frac {2\pi \nu A_{0z}}{v}}\sin \left[2\pi \nu \left(t-{\frac {x}{v}}\right)+\varphi \right]}\\\displaystyle {B_{z}={\frac {2\pi \nu A_{0y}}{v}}\sin \left[2\pi \nu \left(t-{\frac {x}{v}}\right)\right]}\\\end{cases}}$
${\vec {E}}$ et ${\vec {B}}$ sont en phase, mais orthogonaux.

## Polarisation
### Introduction

On rappelle les coordonnées de ${\vec {E}}$
    ${\begin{cases}\color {red}{\displaystyle {E_{y}=E_{0y}\sin \left[2\pi \nu \left(t-{\frac {x}{v}}\right)\right]}}\\\color {blue}{\displaystyle {E_{z}=E_{0z}\sin \left[2\pi \nu \left(t-{\frac {x}{v}}\right)+\varphi \right]}}\\\end{cases}}$
La représentation ci-contre dessine, à un instant t, l'amplitude du champ ${\vec {E}}$ dans les directions ${\vec {y}}$ et ${\vec {z}}$ (${\vec {x}}$ vers le haut). L'extrémité du vecteur champ électrique décrit alors une hélice, dessinée en noir sur le dessin.
Au cours du temps, lorsque l'onde se propage (suivant les ${\vec {x}}$ croissants), le motif se translate vers le haut.
On se met alors dans la peau d'un observateur situé à une abscisse x donnée, vers qui pointe le vecteur unitaire ${\vec {x}}$. Au cours du temps, l'observateur voit le champ électrique tourner. L'extrémité de ce vecteur décrit, dans le cas le plus général, une ellipse.
Sur le dessin ci-contre, un observateur situé dans le plan bleu voit l'extrémité de ${\vec {E}}$ décrire l'ellipse tracée en jaune.

### Définitions

| Si $\varphi \equiv 0[\pi ]$ polarisation rectiligne | Si $\varphi \equiv {\frac {\pi }{2}}[\pi ]$ et $A_{0y}=A_{0z}$ polarisation circulaire | Si $\varphi$ est quelconque polarisation elliptique |
* Si $0<\varphi <\pi$, l'onde est polarisée à gauche
* Si $\pi <\varphi <2\pi$, l'onde est polarisée à droite

## Notation complexe et vecteur d'onde
### Notation complexe

On connaît l’expression du potentiel vecteur :
    ${\vec {A}}=A_{0y}\cos \left[2\pi \nu \left(t-{\frac {x}{v}}\right)\right]{\vec {u}}_{y}+A_{0z}\cos \left[2\pi \nu \left(t-{\frac {x}{v}}\right)+\varphi \right]{\vec {u}}_{z}$
Posons ${\vec {k}}={\frac {2\pi \nu }{v}}{\vec {x}}={\frac {\omega }{v}}{\vec {x}}={\frac {2\pi }{\lambda }}{\vec {x}}$
Avec cette définition, le potentiel vecteur devient :
    ${\vec {A}}=A_{0y}\cos \left(\omega t-{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}\right){\vec {u}}_{y}+A_{0z}\cos \left(\omega t-{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}+\varphi \right){\vec {u}}_{z}$
On peut alors introduire un potentiel vecteur complexe tel que le potentiel vecteur est la partie réelle du potentiel vecteur complexe :
    ${\begin{aligned}{\underline {\vec {A}}}&=\left(A_{0y}{\vec {u_{y}}}+A_{0z}.\mathrm {e} ^{j\varphi }{\vec {u_{z}}}\right).\mathrm {e} ^{j(\omega t-{\vec {k}}\cdot {\vec {x}})}\\&={\underline {\vec {A_{0}}}}.\mathrm {e} ^{j(\omega t-{\vec {k}}\cdot {\vec {x}})}\end{aligned}}$

### Vecteur d'onde

Soit une onde plane monochromatique se propageant dans la direction et le sens d'un vecteur unitaire ${\vec {u}}$.
On appelle vecteur d'onde et on note ${\vec {k}}$ le vecteur ${\vec {k}}={\frac {2\pi \nu }{v}}{\vec {u}}={\frac {\omega }{v}}{\vec {u}}={\frac {2\pi }{\lambda }}{\vec {u}}$
De la même manière que dans le paragraphe précédent, on montre qu'en un point M de l'espace $\left({\overrightarrow {OM}}={\vec {r}}\right)$ :
* le potentiel vecteur complexe s'écrit ${\underline {\vec {A}}}={\underline {{\vec {A}}_{0}}}.\mathrm {e} ^{j(\omega t-{\vec {k}}\cdot {\vec {r}})}$
* le champ électrique complexe s'écrit ${\underline {\vec {E}}}={\underline {{\vec {E}}_{0}}}.\mathrm {e} ^{j(\omega t-{\vec {k}}\cdot {\vec {r}})}$ avec ${\underline {{\vec {E}}_{0}}}=-j\omega {\underline {{\vec {A}}_{0}}}$
* le champ magnétique complexe s'écrit ${\underline {\vec {B}}}={\underline {{\vec {B}}_{0}}}.\mathrm {e} ^{j(\omega t-{\vec {k}}\cdot {\vec {r}})}$ avec ${\underline {{\vec {B}}_{0}}}=-j{\vec {k}}\wedge {\underline {{\vec {A}}_{0}}}={\frac {\vec {k}}{\omega }}\wedge {\underline {{\vec {E}}_{0}}}$ (relation de structure)

### Traduction complexe des opérateurs vectoriels

On s'aperçoit que, pour la manipulation des ondes planes monochromatiques dont les champs sont de la forme ${\underline {\vec {s}}}={\underline {{\vec {s}}_{0}}}.\mathrm {e} ^{j(\omega t-{\vec {k}}\cdot {\vec {r}})}$, les opérateurs s'expriment simplement :
${\begin{array}{ccc}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}&~&j\omega ~\times \\{\rm {div}}&~&-j{\vec {k}}~\cdot \\{\overrightarrow {\rm {rot}}}&~&-j{\vec {k}}~\wedge \\\end{array}}$
Ce formalisme complexe permet de retrouver très simplement les propriétés des ondes planes qui ont été démontrées au chapitre précédent. Il est conseillé de vous entraîner en faisant effectivement ces calculs pour vous familiariser avec la manipulation de ce nouvel outil.

### Relation de dispersion

On appelle relation de dispersion la relation qui lie la norme du vecteur d'onde $||{\vec {k}}||$ à la pulsation ω de l'onde propagée dans le milieu matériel étudié.
Comme nous le verrons en exercice et dans la suite de ce cours, la relation de dispersion joue un rôle très important pour déterminer la propension d'un milieu à propager des ondes électromagnétiques.
Il est très important de savoir effectuer la manipulation d'analyse vectorielle qui permet de retrouver dans tous les cas la relation de dispersion d'un milieu.
Cette manipulation a déjà été faite dans les chapitres précédents : il suffit d'exprimer ${\overrightarrow {\rm {rot}}}({\overrightarrow {\rm {rot}}}({\vec {E}}))$
* d'un côté en remplaçant ${\vec {E}}$ par son expression ou ses relations avec d'autres champs
* de l'autre côté en utilisant la relation ${\overrightarrow {\rm {rot}}}({\overrightarrow {\rm {rot}}}({\vec {E}}))={\vec {\nabla }}({\rm {div}}({\vec {E}}))-{\vec {\Delta }}{\vec {E}}$ et à égaler les deux résultats obtenus.
| Onde plane | Énergie |