# Théorie des groupes/Exercices/Groupes commutatifs finis, 2
## Problème 1

Soient G et H deux groupes commutatifs finis. Si, pour tout nombre naturel k non nul, G et H ont le même nombre d'éléments d'ordre k, G et H sont isomorphes.
De façon générale, si K est un groupe et k un nombre naturel non nul, le nombre des éléments x de K tels que x$^k$ = 1, autrement dit le nombre des éléments de K dont l’ordre divise k, est
    $\sum _{d\vert k}n(K,d),$
où d parcourt les diviseurs naturels de k et où n(K, d) désigne le nombre d'éléments d'ordre d de K. En faisant K = G puis K = H et en notant que n(G, d) = n(H, d) pour tout d, nous trouvons que (1) pour tout nombre naturel k, le nombre des éléments x de G tels que kx = 0 est égal au nombre des éléments y de H tels que ky = 0. (Autrement dit, le nombre des éléments dont l’ordre divise k est le même dans G et dans H.) Soient $a_{1}\vert \ldots \vert a_{r}$ les facteurs invariants de G et $b_{1}\vert \ldots \vert b_{s}$ ceux de H. Donc G est somme directe (interne)
    $G=G_{1}\oplus \ldots \oplus G_{r},$
où, pour chaque i (1 ≤ i ≤ r), G$_i$ est cyclique d'ordre a$_i$ > 1. De même, H est somme directe (interne)
    $H=H_{1}\oplus \ldots \oplus H_{s},$
où, pour chaque j (1 ≤ j ≤ s), G$_j$ est cyclique d'ordre b$_j$ > 1. Par exemple parce que
    $(x_{1},\ldots x_{r})\mapsto x_{1}+\ldots +x_{r}$
est un isomorphisme de la somme directe externe des G$_i$ sur G, un élément $x=x_{1}+\ldots +x_{r}$ de G satisfait à la condition kx = 0 si et seulement si, pour tout i, kx$_i$ = 0. Puisque G est cyclique d'ordre a$_i$, le nombre des éléments z de G$_i$ tels que kz = 0 est pgcd(k, a$_i$). (Voir un exercice de la série Groupes monogènes, ordre d'un élément.) Donc (toujours en vertu de l'isomorphisme de la somme directe externe des G$_i$ sur G), le nombre des éléments x de G tels que kx = 0 est
    $\mathrm {pgcd} (k,a_{1})\ldots \mathrm {pgcd} (k,a_{r}).$
De même, le nombre des éléments y de H tels que ky = 0 est
    $\mathrm {pgcd} (k,b_{1})\ldots \mathrm {pgcd} (k,b_{s}).$
Notre résultat (1) peut donc s'écrire
    $(2)\qquad \mathrm {pgcd} (k,a_{1})\ldots \mathrm {pgcd} (k,a_{r})=\mathrm {pgcd} (k,b_{1})\ldots \mathrm {pgcd} (k,b_{s}).$
Prouvons, de façon générale, que si a$_1$, ... , a$_r$, b$_1$, ... , b$_s$ sont des nombres naturels > 1 tels que
    $a_{1}\vert \ldots \vert a_{r}$ et
    $b_{1}\vert \ldots \vert b_{s},$
si la relation (2) est satisfaite pour tout nombre naturel k non nul, alors (3) r = s et a$_i$ = b$_i$ pour tout i (1 ≤ i ≤ r). Nous allons raisonner par récurrence sur max(r, s). Si max(r, s) = 0, alors r et s sont tous deux nuls et la thèse est vraie. Supposons maintenant que max(r, s) ≥ 1 et que la thèse (3) est vraie pour tous r', s' tels que max (r', s') < max (r, s) (hypothèse de récurrence). Si, par exemple, r est nul, alors, d’après l'hypothèse max(r, s) ≥ 1, s n’est pas nul, donc nous pouvons parler de b$_1$. En faisant k = b$_1$ dans (2), nous trouvons
    $\ 1=b_{1}\ldots b_{s}.$
Puisque les b$_j$ sont tous > 1, ceci entraîne s = 0, contradiction. Donc r et s sont tous deux ≥ 1, donc nous pouvons parler de a$_1$ et de b$_1$. Si par exemple s ≤ r, faisons k = a$_1$ dans (2). Puisque a$_1$ divise tous les a$_i$, nous trouvons
    $a_{1}^{r}=\mathrm {pgcd} (a_{1},b_{1})\ldots \mathrm {pgcd} (a_{1},b_{s}).$
Puisque, pour chaque j, pgcd(a$_1$, b$_j$) divise a$_1$ et que s ≤ r, il faut clairement que s soit égal à r et que, pour chaque j, pgcd(a$_1$, b$_j$) = a$_1$, autrement dit a$_1$ divise tous les b$_j$ et, en particulier, a$_1$ divise b$_1$. En faisant maintenant k = b$_1$ dans (2), nous trouvons de même que b$_1$ divise a$_1$, d'où finalement a$_1$ = b$_1$. (Nous avons supposé s ≤ r, mais il est clair que si r ≤ s, on obtiendra le même résultat en faisant d’abord k = b$_1$ puis k = a$_1$.) Nous pouvons donc diviser les deux membres de (2) par pgcd(k, a$_1$) = pgcd(k, b$_1$). Nous trouvons que, pour tout nombre naturel k non nul,
    $\qquad \mathrm {pgcd} (k,a_{2})\ldots \mathrm {pgcd} (k,a_{r})=\mathrm {pgcd} (k,b_{2})\ldots \mathrm {pgcd} (k,b_{s}).$
Par hypothèse de récurrence, ceci entraîne a$_i$ = b$_i$ pour tout i ≥ 2, d'où notre thèse (3). Dès lors, compte tenu de (2), G et H ont la même suite de facteurs invariants et sont donc isomorphes.
| Groupes commutatifs finis, 1 | Automorphismes d'un groupe cyclique |