# Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Notion d'angle solide

La notion d'angle solide permet d'introduire la mesure d'une portion d'« espace affine euclidien tridimensionnel » comme la notion d'angle autorise l'introduction de la mesure d'une portion d'« espace affine euclidien bidimensionnel » $\;{\big$bien que l'introduction de cette notion ne soit pas au programme de mathématiques de P.C.S.I., elle ne présente aucune difficulté et est très utile pour simplifier les exposés en physique${\big )}$.

## Rappel de la définition de la mesure d'un angle non orienté d'un plan (en radians « rad »)

Deux demi-droites distinctes de même origine délimitent dans le plan les contenant deux secteurs angulaires $\;{\big$ou angles${\big )}$,
* la portion d'espace plan convexe définit un « secteur angulaire saillant » $\;{\big$voir ci-contre${\big )}$,
* l'autre portion d'espace plan non convexe définit un « secteur angulaire rentrant » $\;{\big$sur le schéma ci-contre c'est la portion d'espace plan complémentaire du « secteur angulaire saillant » du plan les contenant${\big )}$ ;
dans la suite nous considérons le « secteur angulaire saillant » comme support d'explication $\;{\big$mais tout ce qui est introduit est encore applicable au « secteur angulaire rentrant » complémentaire du « secteur angulaire saillant » du plan${\big )}$ ;
pour mesurer un secteur angulaire $\;{\big$l'origine des deux demi-droites définissant le somment du secteur angulaire et les demi-droites ses côtés${\big )}$, nous traçons, dans le plan contenant le secteur angulaire, un cercle de rayon $\;R\;$ quelconque centré au sommet du secteur angulaire et nous mesurons l'« arc $\;{\overset {\frown }{s(R)}}\;$ découpé par le secteur angulaire sur le cercle », «$\;{\overset {\frown }{s(R)}}\;$ étant $\;\propto \;$ à $\;R\;$» $\Rightarrow$ le « rapport $\;{\dfrac {\overset {\frown }{s(R)}}{R}}\;$ indépendant de $\;R\;$ représente la mesure du secteur angulaire $\;{\big$en $\;rad{\big )}\;$».
La mesure $\;\alpha \;$ en $\;rad\;$ d'un secteur angulaire est «$\;\alpha ={\dfrac {\overset {\frown }{s(R)}}{R}}\;$» dans laquelle «$\;{\overset {\frown }{s(R)}}\;$ est la longueur de l'arc de cercle découpé par le secteur angulaire sur le cercle centré au sommet du secteur angulaire et de rayon $\;R\;$ arbitraire ».
Propriétés : $\;\succ \;$la mesure d'un secteur angulaire « saillant » est «$\;<\;$ à $\;\pi \;$»,
Propriétés : $\;\succ \;$la mesure d'un secteur angulaire « rentrant » est «$\;>\;$ à $\;\pi \;$ mais $\;<\;$ à $\;2\;\pi \;$»,
Propriétés : $\;\succ \;$si les côtés d'un secteur angulaire sont alignés sans être superposés, le secteur angulaire est dit « plat » et sa « mesure est $\;\pi \;$»,
Propriétés : $\;\succ \;$si les côtés d'un secteur angulaire sont superposés, le secteur angulaire est dit « nul » et sa « mesure est $\;0\;$»,
Propriétés : $\;\succ \;$le secteur angulaire complémentaire dans le plan du secteur angulaire nul est dit « plein » et sa « mesure est $\;2\;\pi \;$»,
Propriétés : $\;\succ \;$un secteur angulaire « saillant » à côtés $\;\perp \;$ est dit « droit » et sa « mesure est $\;{\dfrac {\pi }{2}}\;$»,
Propriétés : $\;\succ \;$un secteur angulaire « saillant » de « mesure $\;<\;$ à $\;{\dfrac {\pi }{2}}\;$» est dit « aigu » et
Propriétés : $\;\succ \;$un secteur angulaire « saillant » de « mesure $\;>\;$ à $\;{\dfrac {\pi }{2}}\;$» est dit « obtus ».

## Définition d'un angle solide non orienté mesurant l'intérieur d'un cône (en stéradians « sr »)
### Analogie tridimensionnelle de la notion de secteur angulaire (ou angle) d'un plan

De même qu'un plan peut être découpé en deux portions par deux demi-droites de même origine donnant la notion de secteurs angulaires $\;{\big$ou angles${\big )}\;$ « saillant $\;{\big$ou intérieur${\big )}\;$» et « rentrant $\;{\big$ou extérieur${\big )}\;$», la mesure du secteur angulaire « saillant $\;{\big$ou intérieur${\big )}\;$» étant plus petite que celle du secteur angulaire « rentrant $\;{\big$ou extérieur${\big )}\;$»,
De même qu'l'espace tridimensionnel peut être découpé en deux portions par un cône $\;{\big$c'est-à-dire un ensemble de demi-droites de même origine $\;{\big$appelé sommet du cône${\big )}\;$ s'appuyant sur une courbe fermée plane $\;\left(\Gamma \right)\;$ $\;{\big$appelée directrice du cône${\big )}\;$, les demi-droites constituant les génératrices de ce dernier${\big ]}$,
* dans le cas où la directrice $\;\left(\Gamma \right)\;$ du cône est « convexe », la portion « convexe » d'espace tridimensionnel délimité par le cône définit l'« intérieur du cône », l'autre portion « non convexe » $\;{\big$complémentaire de l'intérieur du cône dans l'espace tridimensionnel${\big )}\;$ définissant l'« extérieur du cône »,
* dans le cas où la directrice $\;\left(\Gamma \right)\;$ du cône est « non convexe », il est possible de définir une courbe fermée plane $\;\left(\Gamma _{\text{sup}}\right)\;$ « convexe » telle que tous les points de la directrice du cône $\;\left(\Gamma \right)\;$ « non convexe » soient à l'intérieur de cette courbe fermée plane $\;\left(\Gamma _{\text{sup}}\right)\;$ « convexe » et par suite de définir comme « intérieur du cône de directrice $\;\left(\Gamma \right)\;$» la portion d'espace tridimensionnel délimité par ce dernier incluse dans l'intérieur du cône de directrice $\;\left(\Gamma _{\text{sup}}\right)\;$ de même sommet que le cône de directrice $\;\left(\Gamma \right)\;$ et « extérieur du cône de directrice $\;\left(\Gamma \right)\;$» le complémentaire de l'intérieur du cône de directrice $\;\left(\Gamma \right)\;$ dans l'espace tridimensionnel.
Dans la suite nous considérons l'« intérieur du cône » comme support d'explication $\;{\big$mais tout ce qui est introduit est encore applicable à l'« extérieur du cône » complémentaire de l'« intérieur du cône » dans l'espace tridimensionnel${\big )}$.

### Définition de l'angle solide mesurant l'intérieur d’un cône (en stéradians « sr »)

La mesure de la « portion d'espace tridimensionnel intérieur à un cône » est calquée sur celle de portion de plan correspondant à un « secteur angulaire saillant », le « cercle de rayon quelconque centré sur le sommet du secteur angulaire » étant remplacé par une « sphère de rayon quelconque centrée sur le sommet du cône ».
Pour mesurer l'« intérieur du cône $\;\left(K\right)\;$, de sommet $\;O$, de directrice $\;\left(\Gamma \right)\;$» $\;{\big$non représentée sur le schéma ci-contre dans le but de ne pas surcharger la figure${\big ]}$, nous traçons une sphère $\;\left(\Sigma \right)$, de rayon $\;R\;$ quelconque, centrée au sommet du cône et nous mesurons l'« aire $\;\Sigma (R)\;$ de la portion de sphère limitée par la courbe fermée découpée par le cône sur la sphère $\;\left(K\right)\cap \left(\Sigma \right)\;$», «$\;\Sigma (R)\;$ étant $\;\propto \;$ à $\;R^{2}\;$» $\Rightarrow$ le « rapport $\;{\dfrac {\Sigma (R)}{R^{2}}}\;$ indépendant de $\;R\;$ représente la mesure $\;\omega \;$ de l'« intérieur du cône $\;\left(K\right)\;$», mesure encore appelée, par abus, « angle solide $\;{\big$non orienté${\big )}\;$ de l'intérieur du cône $\;\left(K\right)\;$» $\;{\big$en « stéradians de symbole $\;sr\;$»${\big )}\;$» d'où
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;\left(K\right)\;$
$\;\omega ={\dfrac {\Sigma (R)}{R^{2}}}\;$
$\;\Sigma (R)\;$
$\;\left(K\right)\;$
$\;R$

## Algébrisation d'un angle solide Ω mesurant l'intérieur d'un cône par orientation de la surface sphérique limitée par l'intersection du cône et de la sphère de rayon R centrée au sommet du cône

Si la surface sphérique limitée par l'intersection du cône $\;\left(K\right)\;$ et de la sphère $\;\left(\Sigma \right)\;$ de rayon $\;R\;$ centrée au sommet $\;O\;$ du cône est orientée, en $\;M\;$ de la surface sphérique, par le 1er vecteur de la base sphérique de pôle $\;O\;$ liée à $\;M\;$ à savoir le vecteur unitaire radial «$\;{\vec {u}}_{r}={\dfrac {\overrightarrow {OM}}{R}}\;$» $\;{\big$orientation dans le sens centrifuge${\big )}$,
$\;\Omega \;$
$\;\left(K\right)\;$
$\;>0\;$
$\;\Omega =\omega ={\dfrac {\Sigma (R)}{R^{2}}}\;$
si la surface sphérique limitée par l'intersection du cône $\;\left(K\right)\;$ et de la sphère $\;\left(\Sigma \right)\;$ de rayon $\;R\;$ centrée au sommet $\;O\;$ du cône est orientée, en $\;M\;$ de la surface sphérique, par l'opposé du 1er vecteur de la base sphérique de pôle $\;O\;$ liée à $\;M\;$ à savoir l'opposé du vecteur unitaire radial «$\;-{\vec {u}}_{r}=-{\dfrac {\overrightarrow {OM}}{R}}\;$» $\;{\big$orientation dans le sens centripète${\big )}$,
$\;\Omega \;$
$\;\left(K\right)\;$
$\;<0\;$
$\;\Omega =-\omega =-{\dfrac {\Sigma (R)}{R^{2}}}\;$

## Expression en coordonnées sphériques de l'angle solide (algébrique) mesurant l'intérieur du cône élémentaire d'axe repéré en sphérique par (θ, φ) à dθ et dφ près

Considérons le cône élémentaire $\;\left(dK\right)\;$ de sommet $\;O\;$ d'axe repéré en sphérique de pôle $\;O\;$ par $\;\left(\theta \,,\,\varphi \right)\;$ à $\;d\theta \;$ et $\;d\varphi \;$ près $\;{\big$voir ci-contre${\big ]}\;$ ainsi que Considérons la sphère $\;\left(\Sigma \right)\;$ de centre $\;O\;$ et de rayon $\;R$ $\;{\big \$seul le huitième de sphère du quadrant $\;\left(x>0\,,\,y>0\,,\,z>0\right)\;$ est partiellement représenté par ses méridiens de longitude $\;\varphi \;$ et $\;\varphi +d\varphi \;$ ainsi que par les portions de parallèles localisés entre les deux méridiens précédents, parallèles de colatitude $\;\theta \;$ et $\;\theta +d\theta {\big \}$, l'intersection du cône $\;\left(dK\right)\;$ et de la sphère $\;\left(\Sigma \right)\;$ donnant une courbe fermée constituée des deux portions de parallèles de colatitude $\;\theta \;$ et $\;\theta +d\theta \;$ et des deux portions de méridiens de longitude $\;\varphi \;$ et $\;\varphi +d\varphi \;$ localisées entre les deux parallèles précédemment cités $\;{\big$en bleu sur le schéma ci-contre${\big )}\;$ délimite la « portion de sphère d'aire $\;d\Sigma (R)=R^{2}\;\sin(\theta )\;\vert d\theta \vert \;\vert d\varphi \vert \;$» d'où
l'angle solide $\;{\big$non algébrisé${\big )}\;$ «$\;d\omega \;$» mesurant l'intérieur du cône élémentaire $\;\left(dK\right)\;$ d'axe repéré par $\;\left(\theta \,,\,\varphi \right)\;$ à $\;d\theta \;$ et $\;d\varphi \;$ près
$\;d\omega ={\dfrac {d\Sigma (R)}{R^{2}}}=\sin(\theta )\;\vert d\theta \vert \;\vert d\varphi \vert \;$
Nous introduisons l'algébrisation de l'angle solide «$\;d\Omega \;$» mesurant l'intérieur du cône élémentaire $\;\left(dK\right)\;$ d'axe repéré par $\;\left(\theta \,,\,\varphi \right)\;$ à $\;d\theta \;$ et $\;d\varphi \;$ près en posant
$\;d\Omega =\sin(\theta )\;d\theta \;d\varphi \;$
en déduisons que «$\;d\Omega \;$ est $\;>0\;$ si $\;d\theta \;$ et $\;d\varphi \;$ sont de même signe » $\;{\big\theta \;$ et $\;\varphi \;$ toutes deux $\;\nearrow \;$ ou $\;\searrow {\big ]}$,
en déduisons que «$\;d\Omega \;$ est $\;<0\;$ si $\;d\theta \;$ et $\;d\varphi \;$ sont de signe contraire » $\;{\big\theta \nearrow \;$ et $\;\varphi \searrow \;$ ou $\;\theta \searrow \;$ et $\;\varphi \nearrow {\big ]}$.
Remarques : $\succ \;$La définition de l'angle solide $\;{\big$algébrique${\big )}\;$ «$\;d\Omega \;$» mesurant l'intérieur du cône élémentaire $\;\left(dK\right)\;$ d'axe repéré par $\;\left(\theta \,,\,\varphi \right)\;$ à $\;d\theta \;$ et $\;d\varphi \;$ près est en accord avec celle donnée dans le paragraphe « algébrisation d'un angle solide Ω mesurant l'intérieur d'un cône par orientation de la surface sphérique limitée par l'intersection du cône et de la sphère de rayon R centrée au sommet du cône » ci-dessus car le « vecteur surface élémentaire de la portion sphérique limitée par $\;\left(dK\right)\cap \left(\Sigma \right)\;$ étant défini selon $\;{\overrightarrow {d\Sigma (R)}}=R^{2}\;\sin(\theta )\;d\theta \;d\varphi \;{\vec {u}}_{r}\;$», nous en déduisons que
Remarques : $\;\blacktriangleright \;$si $\;d\theta \;$ et $\;d\varphi \;$ sont de même signe $\;{\big\theta \;$ et $\;\varphi \;$ toutes deux $\;\nearrow \;$ ou $\;\searrow {\big ]}$, «$\;{\overrightarrow {d\Sigma (R)}}=d\Sigma (R)\;{\vec {u}}_{r}\;$ étant orienté par $\;{\vec {u}}_{r}\;$», «$\;d\Omega \;$ est $\;>0\;$» soit
$\;d\Omega =d\omega ={\dfrac {d\Sigma (R)}{R^{2}}}=\sin(\theta )\;\vert d\theta \vert \;\vert d\varphi \vert =\sin(\theta )\;d\theta \;d\varphi \;$
Remarques : $\;\blacktriangleright \;$si $\;d\theta \;$ et $\;d\varphi \;$ sont de signe contraire $\;{\big\theta \nearrow \;$ et $\;\varphi \searrow \;$ ou $\;\theta \searrow \;$ et $\;\varphi \nearrow {\big ]}$, «$\;{\overrightarrow {d\Sigma (R)}}=-d\Sigma (R)\;{\vec {u}}_{r}\;$ étant orienté par $\;-{\vec {u}}_{r}\;$», «$\;d\Omega \;$ est $\;<0\;$» soit
$\;d\Omega =-d\omega =-{\dfrac {d\Sigma (R)}{R^{2}}}=-\sin(\theta )\;\vert d\theta \vert \;\vert d\varphi \vert =\sin(\theta )\;d\theta \;d\varphi \;$
Remarques : $\succ \;$Avec la définition de l'aire algébrique $\;{\overline {d\Sigma (R)}}\;$ de la portion de sphère délimitée par l'intersection du cône $\;\left(dK\right)\;$ et de la sphère $\;\left(\Sigma \right)\;$ selon «$\;{\overline {d\Sigma (R)}}=R^{2}\;\sin(\theta )\;d\theta \;d\varphi \;$» permettant de réécrire le « vecteur surface élémentaire de cette portion sphérique selon $\;{\overrightarrow {d\Sigma (R)}}={\overline {d\Sigma (R)}}\;{\vec {u}}_{r}\;$» $\;{\Big\!\Rightarrow {\overline {d\Sigma (R)}}={\overrightarrow {d\Sigma (R)}}\cdot {\vec {u}}_{r}{\Big ]}\;$ nous pouvons réécrire l'angle solide $\;{\big$algébrique${\big )}\;$ «$\;d\Omega \;$» mesurant l'intérieur du cône élémentaire $\;\left(dK\right)\;$ d'axe repéré par $\;\left(\theta \,,\,\varphi \right)\;$ à $\;d\theta \;$ et $\;d\varphi \;$ près selon
$\;d\Omega ={\dfrac {{\overrightarrow {d\Sigma (R)}}\cdot {\vec {u}}_{r}}{R^{2}}}={\dfrac {\overline {d\Sigma (R)}}{R^{2}}}=\sin(\theta )\;d\theta \;d\varphi \;$
Remarques : ce qui nous permet effectivement de retrouver l'accord avec l'algébrisation de la notion d'angle solide donnée dans le paragraphe « algébrisation d'un angle solide Ω mesurant l'intérieur d'un cône par orientation de la surface sphérique limitée par l'intersection du cône et de la sphère de rayon R centrée au sommet du cône » ci-dessus en effet,
Remarques : $\;\blacktriangleright \;$si $\;d\theta \;$ et $\;d\varphi \;$ sont de même signe $\;{\big\theta \;$ et $\;\varphi \;$ toutes deux $\;\nearrow \;$ ou $\;\searrow {\big ]}$, «$\;{\overline {d\Sigma (R)}}\;$ étant $\;>0$, $\;{\overrightarrow {d\Sigma (R)}}\;$ est dans le sens de $\;{\vec {u}}_{r}\;$», «$\;d\Omega \;$ est $\;>0\;$» soit
$\;d\Omega ={\dfrac {{\overrightarrow {d\Sigma (R)}}\cdot {\vec {u}}_{r}}{R^{2}}}={\dfrac {\overline {d\Sigma (R)}}{R^{2}}}=\sin(\theta )\;d\theta \;d\varphi =\sin(\theta )\;\vert d\theta \vert \;\vert d\varphi \vert =d\omega ={\dfrac {d\Sigma (R)}{R^{2}}}\;$
Remarques : $\;\blacktriangleright \;$si $\;d\theta \;$ et $\;d\varphi \;$ sont de signe contraire $\;{\big\theta \nearrow \;$ et $\;\varphi \searrow \;$ ou $\;\theta \searrow \;$ et $\;\varphi \nearrow {\big ]}$, «$\;{\overline {d\Sigma (R)}}\;$ étant $\;<0$, $\;{\overrightarrow {d\Sigma (R)}}\;$ est dans le sens de $\;-{\vec {u}}_{r}\;$», «$\;d\Omega \;$ est $\;<0\;$» soit
$\;d\Omega ={\dfrac {{\overrightarrow {d\Sigma (R)}}\cdot {\vec {u}}_{r}}{R^{2}}}={\dfrac {\overline {d\Sigma (R)}}{R^{2}}}=\sin(\theta )\;d\theta \;d\varphi =-\sin(\theta )\;\vert d\theta \vert \;\vert d\varphi \vert =-d\omega =-{\dfrac {d\Sigma (R)}{R^{2}}}\;$

## Définition de l'angle solide (algébrique) sous lequel de O on voit une surface ouverte orientée

Considérant la surface ouverte $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ s’appuyant sur le contour fermé $\;\left(\Gamma \right)$ $\;{\big$voir ci-contre${\big ]}$, l'« angle solide $\;{\big$non algébrisé${\big )}$ $\;\omega \;$ sous lequel du point $\;O\;$ est vue la surface ouverte $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$» est l'« angle solide mesurant l'intérieur du cône $\;\left(K\right)\;$ de sommet $\;O\;$ s'appuyant sur la courbe fermée $\;\left(\Gamma \right)\;$» soit, après définition de la sphère $\;\left(\Sigma \right)\;$ centrée en $\;O\;$ de rayon $\;R\;$ quelconque et détermination de l'aire $\;\Sigma (R)\;$ de la portion de sphère limitée par $\;\left(K\right)\cap \left(\Sigma \right)$, «$\;\omega ={\dfrac {\Sigma (R)}{R^{2}}}\;$».
Pour obtenir l'algébrisation de l’angle solide, on oriente la surface ouverte $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ par « vecteur unitaire normal $\;{\vec {n}}$ $\;{\big$ou $\;{\vec {n}}'{\big )}\;$» et Pour obtenir l’algébrisation de l’angle solide, on oriente la portion de la sphère limitée par $\;\left(K\right)\cap \left(\Sigma \right)\;$ en correspondance c'est-à-dire par « vecteur unitaire radial du repérage sphérique de pôle $\;O$, $\;{\vec {u}}_{r}$ $\;{\big$ou $\;-{\vec {u}}_{r}{\big )}\;$» ;
$\;\succ \;$si $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ est orienté par $\;{\vec {n}}$ $\;{\big\!\Rightarrow$ la portion de sphère limitée par $\;\left(K\right)\cap \left(\Sigma \right)\;$ l'est par $\;{\vec {u}}_{r}{\big ]}$, l'« angle solide algébrisé $\;\Omega \;$ sous lequel la surface ouverte orientée $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ est vue de $\;O\;$ est $\;>0\;$» et
$\;\Omega =\omega ={\dfrac {\Sigma (R)}{R^{2}}}\;$
$\;\succ \;$si $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ est orienté par $\;{\vec {n}}'$ $\;{\big\!\Rightarrow$ la portion de sphère limitée par $\;\left(K\right)\cap \left(\Sigma \right)\;$ l'est par $\;-{\vec {u}}_{r}{\big ]}$, l'« angle solide algébrisé $\;\Omega \;$ sous lequel la surface ouverte orientée $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ est vue de $\;O\;$ est $\;<0\;$» et
$\;\Omega =-\omega =-{\dfrac {\Sigma (R)}{R^{2}}}\;$
Caractère additif de la notion d'angle solide : Que l'« angle solide sous lequel du point $\;O\;$ est vue la surface ouverte orientée $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$» soit algébrisé ou non, l'« angle solide étant défini, à partir de la sphère $\;\left(\Sigma \right)$, de rayon $\;R\;$ et de centre $\;O$, en introduisant l'aire $\;\Sigma (R)\;$ de la portion de sphère limitée par $\;\left(K\right)\cap \left(\Sigma \right)\;$» $\;{\big\left(K\right)\;$ étant le cône de sommet $\;O\;$ s'appuyant sur la courbe fermée $\;\left(\Gamma \right)\;$ limitant $\;\left({\mathcal {S}}\right){\big ]}$ et « l'aire d'une portion de sphère étant une grandeur additive », nous en déduisons que Caractère additif de la notion d'angle solide : l'« angle solide $\;{\big$algébrisé ou non${\big )}\;$ sous lequel du point $\;O\;$ est vue la surface ouverte orientée $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ est une grandeur additive ».

## Expression de l'angle solide élémentaire sous lequel de O on voit une surface élémentaire de vecteur surface fixé

Considérant la surface élémentaire d'aire $\;dS\;$ centrée en $\;M\;$ de coordonnées sphériques de pôle $\;O\;$ «$\;\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)\;$» $\;{\big$ci-contre la surface élémentaire est représentée en bleu, elle n'est pas nécessairement rectangulaire${\big ]}$, l'« angle solide $\;{\big$non algébrisé${\big )}$ $\;d\omega \;$ sous lequel du point $\;O\;$ est vue la surface élémentaire d'aire $\;dS\;$» est l'« angle solide mesurant l'intérieur du cône $\;\left(dK\right)\;$ de sommet $\;O\;$ s'appuyant sur la courbe fermée limitant la surface élémentaire d'aire $\;dS\;$» $\;{\big$cône élémentaire $\;\left(dK\right)\;$ en rouge sur le schéma ci-contre${\big ]}\;$ soit, après définition de la sphère $\;\left(\Sigma \right)\;$ centrée en $\;O\;$ de rayon $\;r\;$ coordonnée radiale de $\;M\;$ et détermination de l'aire $\;d\Sigma (r)\;$ de la portion de sphère limitée par $\;\left(dK\right)\cap \left(\Sigma \right)$ $\;{\big$représentée en rouge sur le schéma ci-contre${\big ]}$, «$\;d\omega ={\dfrac {d\Sigma (r)}{r^{2}}}\;$».
Pour obtenir l'algébrisation de l'angle solide élémentaire sous lequel de $\;O\;$ est vue la surface élémentaire d'aire $\;dS$, on oriente
* cette dernière par « vecteur unitaire normal $\;{\vec {n}}$ $\;{\big$ou $\;{\vec {n}}'=-{\vec {n}}{\big )}\;$» $\;{\bigg \$voir les coupes ci-dessous réalisées dans le plan méridien passant par $\;M$ $\;{\bigg$c'est-à-dire le plan $\;\left({\overrightarrow {Oz}}\,,\,M\right){\bigg ]}$, « cas où la surface élémentaire d'aire $\;dS$ est orientée par $\;{\vec {n}}\;$ à gauche » et « celui où elle est orientée par $\;{\vec {n}}'=-{\vec {n}}\;$ à droite »${\bigg \}$ et
* la portion de sphère limitée par $\;\left(dK\right)\cap \left(\Sigma \right)\;$ en correspondance par « vecteur unitaire radial du repérage sphérique de pôle $\;O$, $\;{\vec {u}}_{r}\;$» $\;{\big$ou son opposé $\;-{\vec {u}}_{r}{\big )}\;$» ;
$\succ \;$1er cas $\;{\big$voir schéma ci-contre à gauche${\big ]}\;$ la portion de sphère limitée par $\;\left(dK\right)\cap \left(\Sigma \right)\;$ étant orientée par «$\;{\vec {u}}_{r}\;$», l'« angle solide $\;{\big$algébrisé${\big )}$ $\;d\Omega \;$ sous lequel du point $\;O\;$ est vue la surface élémentaire d'aire $\;dS\;$ est $\;>0\;$» $\Rightarrow$ «$\;d\Omega =d\omega ={\dfrac {d\Sigma (r)}{r^{2}}}\;$» ; il reste à évaluer $\;d\Sigma (r)\;$ en fonction de l'orientation de la surface élémentaire et de son aire $\;dS$, soit, en notant $\;\alpha ={\widehat {\left({\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {n}}\right)}}$, «$\;d\Sigma (r)=$ $dS\;\cos(\alpha )\;$» ou encore «$\;d\Sigma (r)={\overrightarrow {dS}}\cdot {\vec {u}}_{r}\;$» ; finalement nous obtenons dans ce cas «$\;d\Omega =d\omega ={\dfrac {{\overrightarrow {dS}}\cdot {\vec {u}}_{r}}{r^{2}}}\;$».
$\succ \;$2ème cas $\;{\big$voir schéma ci-contre à droite${\big ]}\;$ la portion de sphère limitée par $\;\left(dK\right)\cap \left(\Sigma \right)\;$ étant orientée par «$\;-{\vec {u}}_{r}\;$», l'« angle solide $\;{\big$algébrisé${\big )}$ $\;d\Omega \;$ sous lequel du point $\;O\;$ est vue la surface élémentaire d'aire $\;dS\;$ est $\;<0\;$» $\Rightarrow$ «$\;d\Omega =-d\omega =-{\dfrac {d\Sigma (r)}{r^{2}}}\;$» ; il reste à évaluer $\;d\Sigma (r)\;$ en fonction de l'orientation de la surface élémentaire et de son aire $\;dS$, soit, en notant $\;\alpha '={\widehat {\left(-{\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {n}}'\right)}}$, «$\;d\Sigma (r)=$ $dS\;\cos(\alpha ')\;$» ou encore «$\;d\Sigma (r)={\overrightarrow {dS}}\cdot \left(-{\vec {u}}_{r}\right)\;$» $\Rightarrow$ «$\;d\Omega =-d\omega =-{\dfrac {{\overrightarrow {dS}}\cdot \left(-{\vec {u}}_{r}\right)}{r^{2}}}\;$» ; finalement nous obtenons dans ce cas «$\;d\Omega =-d\omega ={\dfrac {{\overrightarrow {dS}}\cdot {\vec {u}}_{r}}{r^{2}}}\;$».
Conclusion : Quelle que soit l'orientation de la surface élémentaire d'aire $\;dS\;$ centrée en $\;M$, l'« angle solide $\;{\big$algébrisé${\big )}$ $\;d\Omega \;$ sous lequel du point $\;O\;$ est vue la surface élémentaire » s'écrit
$\;d\Omega ={\dfrac {{\overrightarrow {dS}}\cdot {\vec {u}}_{r}}{r^{2}}}\;$
$\;r=OM\;$
$\;M\;$
$\;O$
$\;{\vec {u}}_{r}\;$
$\;M$
Conclusion : L'« angle solide $\;{\big$algébrisé${\big )}$ $\;d\Omega \;$ sous lequel du point $\;O\;$ est vue la surface élémentaire d'aire $\;dS\;$ centrée en $\;M\;$» s'écrivant encore «$\;d\Omega ={\dfrac {{\vec {u}}_{r}}{r^{2}}}\cdot {\overrightarrow {dS}}\;$» quelle que soit l'orientation de la surface élémentaire, nous en déduisons que c'est aussi « le flux élémentaire du champ vectoriel $\;{\dfrac {{\vec {u}}_{r}}{r^{2}}}\;$ à travers la surface élémentaire de vecteur surface $\;{\overrightarrow {dS}}\;$».

## Définition (équivalente) de l'angle solide (algébrique) sous lequel de O on voit une surface ouverte orientée

Ayant établi d'une part dans le paragraphe « définition de l'angle solide (algébrique) sous lequel de O on voit une surface orientée ouverte (caractère additif de la notion d'angle solide) » plus haut dans ce chapitre que l'« angle solide $\;{\big$algébrisé ou non${\big )}\;$ sous lequel du point $\;O\;$ est vue une surface ouverte orientée $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ est une grandeur additive » et
Ayant établi d'autre part dans le paragraphe « expression de l'angle solide élémentaire sous lequel de O on voit une surface élémentaire de vecteur surface fixé (2ème conclusion) » précédent que l'« angle solide $\;{\big$algébrisé${\big )}$ $\;d\Omega \;$ sous lequel du point $\;O\;$ est vue la surface élémentaire d'aire $\;dS\;$ centrée en $\;M$ $\;{\big$de coordonnée radiale $\;r\;$ dans son repérage sphérique de pôle $\;O$, le vecteur unitaire radial de la base sphérique liée à $\;M\;$ étant $\;{\vec {u}}_{r}{\big ]}\;$ est le flux élémentaire du champ vectoriel $\;{\dfrac {{\vec {u}}_{r}}{r^{2}}}\;$ à travers la surface élémentaire de vecteur surface $\;{\overrightarrow {dS}}\;$» c'est-à-dire «$\;d\Omega ={\dfrac {{\vec {u}}_{r}}{r^{2}}}\cdot {\overrightarrow {dS}}\;$»,
nous en déduisons une définition $\;{\big$équivalente${\big )}\;$ de l'« angle solide $\;{\big$algébrique${\big )}$ $\;\Omega \;$ sous lequel du point $\;O\;$ est vue une surface ouverte orientée $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$» comme « flux du champ vectoriel $\;{\dfrac {{\vec {u}}_{r}}{r^{2}}}\;$ à travers la surface ouverte orientée $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$» :
$\;{\big$
${\big )}$
$\;\Omega \;$
$\;O\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;{\dfrac {{\vec {u}}_{r}}{r^{2}}}\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;{\bigr\;$
$\;O\;$
$\;M\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;{\vec {u}}_{r}\;$
$\;M{\big ]}\;$
$\;\Omega =\Phi _{({\mathcal {S}})}\!\left[{\dfrac {{\vec {u}}_{r}}{r^{2}}}\right]=\displaystyle \iint _{({\mathcal {S}})}{\dfrac {{\vec {u}}_{r}}{r^{2}}}\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}\;$
$\;{\overrightarrow {dS}}_{M}\;$
$\;M\;$
$\;{\mathcal {S}}$
Remarque : Ci-dessus nous avons établi que la définition de l'angle solide (algébrique) sous lequel du point $\;O\;$ est vue la surface ouverte orientée $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ du paragraphe « définition de l'angle solide (algébrique) sous lequel de O on voit une surface ouverte orientée » $\Rightarrow$ la définition de ce paragraphe, Remarque :pour affirmer l'équivalence des deux définitions il conviendrait d'établir la réciproque à savoir que Remarque :le « flux du champ vectoriel $\;{\dfrac {{\vec {u}}_{r}}{r^{2}}}\;$ à travers la surface ouverte orientée $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$» $\;{\bigr\;$ étant la coordonnée radiale du repérage sphérique de pôle $\;O\;$ du point générique $\;M\;$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ et $\;{\vec {u}}_{r}\;$ le vecteur unitaire radial de la base sphérique liée à $\;M{\big ]}\;$ mesure algébriquement l'« intérieur du cône $\;\left(K\right)\;$ de somment $\;O\;$ s'appuyant sur le contour fermé $\;\left(\Gamma \right)\;$ limitant $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$» mais Remarque :l'établissement de la réciproque ne présentant aucune difficulté est laissé au soin du lecteur $\;\ldots$

## Expression de l'angle solide mesurant l'intérieur d'un cône de révolution de demi-angle au sommet α à partir du sommet du cône

Considérons un cône de révolution $\;\left(K\right)$, de sommet $\;O$, d'axe $\;Oz\;$ et de demi-angle au sommet $\;\alpha$ $\;{\big$les génératrices du cône $\;\left(K\right)\;$ étant des demi-droites ne sont pas limitées du côté opposé au sommet, contrairement à la représentation qui en est faite ci-contre${\big ]}$, chaque direction intérieure au cône $\;\left(K\right)\;$ étant repérée par sa « colatitude $\;\theta \in \left[0\,,\,\alpha \right[\;$» et sa « longitude $\;\varphi \in \left[0\,,\,2\;\pi \right[\;$»,
nous nous proposons d'évaluer l'« angle solide $\;{\big$non algébrisé${\big )}$ $\;\omega \;$ mesurant l'intérieur de ce cône de révolution $\;\left(K\right)\;$» à l'aide du résultat obtenu au paragraphe « expression en coordonnées sphériques de l'angle solide (algébrique) mesurant l'intérieur du cône élémentaire d'axe repéré en sphérique par (θ,_φ) à dθ et dφ près (avant algébrisation) » plus haut dans ce chapitre à savoir «$\;d\omega =\sin(\theta )\;\vert d\theta \vert \;\vert d\varphi \vert \;$».
Ayant justifié dans le paragraphe « définition de l'angle solide (algébrique) sous lequel de O on voit une surface ouverte orientée (caractère additif de la notion d'angle solide) » plus haut dans ce chapitre qu'« un angle solide $\;{\big$algébrisé ou non${\big )}\;$ est une grandeur additive » nous en déduisons l'expression de l'« angle solide $\;{\big$non algébrisé${\big )}$ $\;\omega \;$ mesurant l'intérieur de ce cône de révolution $\;\left(K\right)\;$» sous forme de l'intégrale surfacique sur la portion de sphère $\;\left(\Sigma \right)\;$ de centre $\;O$, de rayon $\;R\;$ quelconque, limitée par le contour fermé $\;\left(K\right)\cap \left(\Sigma \right)$, portion de sphère notée $\;\left(\Delta \Sigma \right)$,
$\;\omega =\displaystyle \iint \limits _{\left(\Delta \Sigma \right)}d\omega (\theta ,\,\varphi )=\displaystyle \iint \limits _{\left(\Delta \Sigma \right)}\sin(\theta )\;\vert d\theta \vert \;\vert d\varphi \vert \;$
$\;\omega =\displaystyle \int _{\varphi \,=\,0}^{\varphi \,=\,2\;\pi }\left[\displaystyle \int _{\theta \,=\,0}^{\theta \,=\,\alpha }\sin(\theta )\;d\theta \right]d\varphi \;$ $\;=\displaystyle \int _{\varphi \,=\,0}^{\varphi \,=\,2\;\pi }d\varphi \times \displaystyle \int _{\theta \,=\,0}^{\theta \,=\,\alpha }\sin(\theta )\;d\theta \;$ $\;=2\;\pi \times \left[-\cos(\theta )\right]_{0}^{\alpha }\;$ soit finalement
$\;{\big$
${\big )}$
$\;\omega \;$
$\;O\;$
$\;\alpha \;$
$\;\omega =2\;\pi \,\left[1-\cos(\alpha )\right]\;$
$\;{\big$
${\big )}$
Applications : $\succ \;$L'« angle solide $\;{\big$non algébrisé${\big )}\;$ mesurant l'espace tridimensionnel entier à partir d'un point $\;O\;$ quelconque » est aussi l'« angle solide $\;{\big$non algébrisé${\big )}\;$ mesurant l'intérieur du cône de révolution de sommet $\;O\;$ et de demi-angle au sommet $\;\pi \;$» d'où $\;\omega _{\text{espace entier}}=2\;\pi \,\left[1-\cos(\pi )\right]\;$ soit
$\;\omega _{\text{espace entier}}=4\;\pi \;sr\;$
$\;{\big$
${\big )}$
Applications : $\succ \;$L'« angle solide $\;{\big$non algébrisé${\big )}\;$ mesurant l'espace tridimensionnel situé d'un même côté de plan à partir d'un point $\;O\;$ situé de l'autre côté du plan $\;{\big$c'est-à-dire un demi-espace${\big )}\;$» est aussi l'« angle solide $\;{\big$non algébrisé${\big )}\;$ mesurant l'intérieur du cône de révolution de sommet $\;O\;$ et de demi-angle au sommet $\;{\dfrac {\pi }{2}}\;$» d'où $\;\omega _{\text{demi-espace}}=2\;\pi \,\left[1-\cos \!\left({\dfrac {\pi }{2}}\right)\right]\;$ soit
$\;\omega _{\text{demi-espace}}=2\;\pi \;sr\;$
$\;{\big$
${\big )}$
Applications : $\succ \;$L'« angle solide $\;{\big$non algébrisé${\big )}\;$ sous lequel d'un point $\;O\;$ est vu un disque $\;\left({\mathcal {D}}\right)$, de centre $\;C$, de rayon $\;R$, d'axe $\;\Delta \;$ passant par $\;O\;$ tel que $\;OC=h\;$» est aussi l'« angle solide $\;{\big$non algébrisé${\big )}\;$ mesurant l'intérieur du cône de révolution de sommet $\;O\;$ et de demi-angle au sommet $\;\alpha =\arctan \!\left({\dfrac {R}{h}}\right)\;$» d'où $\;\omega _{\,\left({\mathcal {D}}\right)\;{\text{vu de }}O}=2\;\pi \,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\arctan \!\left({\dfrac {R}{h}}\right)\right]\right\rbrace \;$ soit
$\;\omega _{\,\left({\mathcal {D}}\right)\;{\text{vu de }}O}=2\;\pi \,\left(1-{\dfrac {h}{\sqrt {R^{2}+h^{2}}}}\right)\;sr\;$

## Utilisation des symétries de l'espace pour évaluer des angles solides

Préliminaire : Il faut entendre ici par « symétrie » de l'espace, le fait qu'à partir d'un même point $\;O\;$ l'espace entier $\;{\big$ou une partie de ce dernier${\big )}\;$ peut être décomposé en $\;n\;$ parties disjointes $\;{\mathcal {P}}_{k}\;$ semblables avec $\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;\backslash \,\left\lbrace 1\right\rbrace$, la symétrie étant alors dite d'ordre $\;n$ ; Préliminaire : la similitude de chaque partie $\;{\mathcal {P}}_{k}\;$ vue du point $\;O\;$ $\Rightarrow$ l'identité des angles solides $\;{\big$non algébrisés${\big )}$ $\;\omega _{k}\;$ sous lequel de $\;O\;$ est vue chaque partie $\;{\mathcal {P}}_{k}\;$ soit «$\;\omega _{k}=cste\;\;\forall \;k\;\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right]\;$» ; Préliminaire : connaissant l'angle solide sous lequel du point $\;O\;$ est vu l'espace entier $\;{\big$ou une partie de ce dernier${\big )}\;$ et utilisant le caractère additif de la notion d'angle solide, nous en déduisons que l'« angle solide $\;{\big$non algébrisé${\big )}$ $\;\omega _{k}\;$ sous lequel de $\;O\;$ est vue chaque partie $\;{\mathcal {P}}_{k}\;$ vaut $\;{\dfrac {1}{n}}\;$ de l'angle solide sous lequel de $\;O\;$ est vu l'espace entier » $\;{\big$ou une partie de ce dernier${\big )}$.
Exemples : $\succ \;$Utilisation d'une symétrie d'ordre deux $\;{\big$ou symétrie orthogonale par rapport à un plan${\big )}$, Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre deux l'espace tridimensionnel situé de part et d'autre d'un plan $\;\left(\Pi \right)\;$ passant par $\;O\;$ peut être décomposé en $\;2\;$ parties disjointes $\;{\big$à l'exception du plan $\;\left(\Pi \right){\big ]}\;$, celles situées d'un côté ou de l'autre de $\;\left(\Pi \right)$, ces deux parties étant symétriques l'une de l'autre par rapport à $\;\left(\Pi \right)\;$ sont semblables et sont mesurées par le « même angle solide $\;{\big$non algébrisé${\big )}\;$ sous lequel de $\;O\;$ elles sont vues $\;\omega _{\,{\text{demi-espace}}}\;$» ; nous en déduisons que l'« angle solide $\;{\big$non algébrisé${\big )}$ $\;\omega _{\,{\text{demi-espace}}}\;$ sous lequel de $\;O\;$ est vue la partie d'espace située d'un même côté du plan $\;\left(\Pi \right)\;$ passant par $\;O\;$ vaut $\;{\dfrac {1}{2}}\;$ de l'angle solide sous lequel de $\;O\;$ est vu l'espace entier » d'où
$\;\omega _{\,{\text{demi-espace}}}={\dfrac {1}{2}}\;\omega _{\,{\text{espace entier}}}=2\;\pi \;sr\;$
Exemples : $\succ \;$Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre $\;{\bigg$ou invariance par rotation d'angle $\;{\dfrac {\pi }{2}}\;$ autour d'un même axe${\bigg )}$, Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre le demi-espace tridimensionnel situé d'un même côté d'un plan $\;\left(\Pi \right)\;$ passant par $\;O\;$ peut être décomposé en un ensemble ordonné de $\;4\;$ parties $\;{\bigg \$se déduisant respectivement par rotation autour d'un axe $\;\left(\Delta \right)\perp \;$ à $\;\left(\Pi \right)\;$ en $\;O\;$ d'angle $\;{\dfrac {\pi }{2}}{\bigg \}$ disjointes $\;{\big$à l'exception du plan $\;\left(\Pi \right)\;$ et de l'axe $\;\left(\Delta \right){\big ]}\;$, ces quatre parties se déduisant les unes des autres par rotation autour de $\;\left(\Delta \right)\;$ d'angle $\;{\dfrac {\pi }{2}}\;$ sont semblables et sont mesurées par le « même angle solide $\;{\big$non algébrisé${\big )}\;$ sous lequel de $\;O\;$ elles sont vues $\;\omega _{\,{\text{int. trièdre rect.}}}\;$» ; nous en déduisons que l'« angle solide $\;{\big$non algébrisé${\big )}$ $\;\omega _{\,{\text{int. trièdre rect.}}}\;$ sous lequel de $\;O\;$ est vue la partie d'espace située à l'intérieur d'un trièdre rectangle d'origine $\;O\;$ vaut $\;{\dfrac {1}{4}}\;$ de l'angle solide sous lequel de $\;O\;$ est vu le demi-espace » d'où
$\;\omega _{\,{\text{int. trièdre rect.}}}={\dfrac {1}{4}}\;\omega _{\,{\text{demi-espace}}}={\dfrac {1}{4}}\,\left(2\;\pi \right)={\dfrac {\pi }{2}}\;sr\;$
$\;{\bigg \$
$\;{\dfrac {1}{8}}\;$
$\;O\;$
${\bigg \}$
Exemples : $\succ \;$Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre $\;{\bigg$ou invariance par rotations d'angle $\;{\dfrac {2\;\pi }{3}}\;$ autour d'au moins deux axes${\bigg )}$, Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre l'espace tridimensionnel vu à partir du centre $\;O\;$ d'un tétraèdre régulier peut être décomposé en $\;4\;$ parties $\;{\bigg \$trois d'entre elles se déduisant respectivement par rotation d'angle $\;{\dfrac {2\;\pi }{3}}\;$ autour d'un axe issu de $\;O\;$ passant par un sommet du tétraèdre et la 4ème se déduisant de n'importe laquelle des précédentes par rotation d'angle $\;{\dfrac {2\;\pi }{3}}\;$ autour d'un autre axe issu de $\;O\;$ passant le sommet adéquat${\bigg \}$ disjointes $\;{\big$à l'exception des quatre demi-droites issues de $\;O\;$ passant par l'un des sommets du tétraèdre${\big ]}\;$, ces quatre parties se déduisant les unes des autres par rotation d'angle $\;{\dfrac {2\;\pi }{3}}\;$ sont semblables et sont mesurées par le « même angle solide $\;{\big$non algébrisé${\big )}\;$ sous lequel de $\;O\;$ elles sont vues $\;\omega _{\,{\text{int. face tétraèdre}}}\;$» ; nous en déduisons que l'« angle solide $\;{\big$non algébrisé${\big )}$ $\;\omega _{\,{\text{int. face tétraèdre}}}\;$ sous lequel de $\;O\;$ est vue une face quelconque du tétraèdre régulier de centre $\;O\;$ vaut $\;{\dfrac {1}{4}}\;$ de l'angle solide sous lequel de $\;O\;$ est vu l'espace entier » d'où
$\;\omega _{\,{\text{int. face tétraèdre}}}={\dfrac {1}{4}}\;\omega _{\,{\text{espace entier}}}=\pi \;sr\;$
Exemples : $\succ \;$Utilisation d'une symétrie d'ordre six $\;{\bigg$ou invariance par rotations d'angle $\;{\dfrac {\pi }{2}}\;$ autour d'au moins deux axes${\bigg )}$, Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre six l'espace tridimensionnel vu à partir du centre $\;O\;$ d'un cube peut être décomposé en $\;6\;$ parties $\;{\bigg \$quatre d'entre elles $\;\left(_{1}\,,\,_{2}\,,\,_{3}\,,\,_{4}\right)\;$ se déduisant respectivement par rotation d'angle $\;{\dfrac {\pi }{2}}\;$ autour d'un axe issu de $\;O\;$ passant par le centre d'une des faces du cube et les deux autres s'obtenant à partir de deux des précédentes n'ayant que $\;O\;$ comme point commun $\;{\big$par exemple $\;\left(_{1}\,,\,_{3}\right){\big ]}\;$ par rotation d'angle $\;{\dfrac {\pi }{2}}\;$ autour d'un axe issu de $\;O\;$ passant par le centre d'une des deux faces incluses dans l'une des deux parties $\;\left(_{2}\,,\,_{4}\right){\bigg \}$ disjointes $\;{\big$à l'exception des huit demi-droites issues de $\;O\;$ passant par l'un des sommets du cube${\big ]}\;$, ces six parties se déduisant les unes des autres par rotation d'angle $\;{\dfrac {\pi }{2}}\;$ sont semblables et sont mesurées par le « même angle solide $\;{\big$non algébrisé${\big )}\;$ sous lequel de $\;O\;$ elles sont vues $\;\omega _{\,{\text{int. face cube}}}\;$» ; nous en déduisons que l'« angle solide $\;{\big$non algébrisé${\big )}$ $\;\omega _{\,{\text{int. face cube}}}\;$ sous lequel de $\;O\;$ est vue une face quelconque du cube de centre $\;O\;$ vaut $\;{\dfrac {1}{6}}\;$ de l'angle solide sous lequel de $\;O\;$ est vu l'espace entier » d'où
$\;\omega _{\,{\text{int. face cube}}}={\dfrac {1}{6}}\;\omega _{\,{\text{espace entier}}}={\dfrac {2\;\pi }{3}}\;sr\;$

## Définition de l'angle solide (algébrique) sous lequel de O on voit une courbe fermée orientée

Rappel des orientations couplées entre contour fermé et surface ouverte s’appuyant sur le contour : Supposant que l'espace tridimensionnel est orienté à droite avec choix d'une base orthonormée directe, nous appliquons la règle du tire-bouchon de Maxwell pour déterminer l'orientation de la surface ouverte $\;({\mathcal {S}})\;$ à partir de celle de la courbe fermée $\;(\Gamma )\;$ la limitant $\;{\big$voir schémas ci-contre${\big )}$ :
       « plaçant le tire-bouchon de Maxwell en un point $\;P_{\Gamma }\;$ de $\;({\mathcal {S}})\;$ limitrophe de $\;(\Gamma )\;$ et le tournant dans le sens choisi sur $\;(\Gamma )$, le sens défini sur $\;({\mathcal {S}})\;$ en $\;P_{\Gamma }\;$ correspond au sens de déplacement du tire-bouchon, le sens défini sur $\;({\mathcal {S}})\;$ en tout autre point $\;M\;$ étant obtenu par continuité »
Rappel des orientations couplées entre contour fermé et surface ouverte s’appuyant sur le contour : $\;{\big$nous pouvons aussi appliquer la règle de trois doigts de la main droite de l'apprenti cow-boy droitier, le pouce pointant le sens choisi sur $\;(\Gamma )$ en un point $\;P\;$ de cette dernière, l'index pointant un point $\;M\;$ de $\;({\mathcal {S}})\;$ à partir de $\;P\;$ et le majeur pointant le sens défini sur $\;({\mathcal {S}})\;$ en $\;M{\big ]}$.
Rappel des orientations couplées entre contour fermé et surface ouverte s’appuyant sur le contour : Remarque : dans l'hypothèse $\;{\big$très peu fréquente${\big )}\;$ où l'espace tridimensionnel est orienté à gauche avec choix d'une base orthonormée indirecte $\;{\big$au sens de la physique${\big )}\;$, nous utilisons la règle de trois doigts de la main gauche de l'apprenti cow-boy gaucher, le pouce pointant le sens choisi sur $\;(\Gamma )$ en un point $\;P\;$ de cette dernière, l'index pointant un point $\;M\;$ de $\;({\mathcal {S}})\;$ à partir de $\;P\;$ et le majeur pointant le sens défini sur $\;({\mathcal {S}})\;$ en $\;M$, ce qui donne un sens opposé à celui obtenu dans un espace tridimensionnel orienté à droite avec choix d'une base orthonormée directe.
L'« angle solide $\;{\big$algébrique${\big )}$ $\;\Omega \;$ sous lequel du point $\;O\;$ est vue une courbe fermée orientée $\;\left(\Gamma \right)\;$» est l'« angle solide (algébrique) sous lequel de $\;O\;$ est vue une surface ouverte $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ quelconque s'appuyant $\;\left(\Gamma \right)$, l'orientation de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ étant couplée à celle de $\;\left(\Gamma \right)\;$» ;
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;\left(K\right)\;$
$\;O\;$
$\;\left(\Gamma \right)\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left(\Gamma \right)\;$

## Propriétés

« Les angles solides $\;{\big$algébriques${\big )}\;$ sous lequel d'un même point $\;O\;$ sont vues deux surfaces ouvertes orientées distinctes $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ et $\;\left({\mathcal {S}}'\right)\;$ s'appuyant sur un même contour fermé orienté $\;\left(\Gamma \right)$, les orientations de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ et $\;\left({\mathcal {S}}'\right)\;$ étant couplées à celle de $\;\left(\Gamma \right)\;$, sont égaux ».
Justification : En effet si nous modifions la surface ouverte en gardant le même contour, le cône s'appuyant sur le contour reste le même et par suite l'ange solide $\;{\big$non algébrisé${\big )}\;$ reste inchangé ; si les orientations des surfaces ouvertes s'appuyant sur le contour restent couplées à celle du contour, l'algébrisation de l'angle solide n'est pas modifiée.
« Les angles solides $\;{\big$algébriques${\big )}\;$ sous lequel d'un même point $\;O\;$ sont vues deux courbes fermées distinctes orientées dans le même sens $\;\left(\Gamma \right)\;$ et $\;\left(\Gamma '\right)\;$ tracées sur un même cône $\;\left(K\right)\;$ de sommet $\;O$ $\;{\big$les orientations de $\;\left(\Gamma \right)\;$ et $\;\left(\Gamma '\right)\;$ étant dans le même sens si les orientations des surfaces ouvertes $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ et $\;\left({\mathcal {S}}'\right)\;$ s'appuyant sur $\;\left(\Gamma \right)\;$ et $\;\left(\Gamma '\right)\;$ en leur étant respectivement couplées sont les mêmes par rapport $\;O$ $\;{\big$c'est-à-dire s'en éloignent ou s'en rapprochent simultanément${\big )}{\big ]}$, sont égaux ».
Justification : En effet si nous modifions la courbe fermée en gardant le même cône, l'ange solide $\;{\big$non algébrisé${\big )}\;$ reste inchangé ; si les orientations des courbes fermées sont dans le même sens, l'algébrisation de l'angle solide n'est pas modifiée.