# Topologie générale/Exercices/Espaces topologiques
## Exercice 1 : Topologie définie par les voisinages

Soient un ensemble $E$ et une application
${\mathcal {V}}:E\to {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(E))$
1. — Vérifier que si $E$ est muni d'une topologie pour laquelle ${\mathcal {V}}$ est l'application qui à chaque point $a$ de $E$ associe l'ensemble des voisinages de $a$, alors ${\mathcal {V}}$ possède les cinq propriétés suivantes (pour tout $a\in E$) :
    (i) $\forall V\in {\mathcal {V}}(a)\quad \left[V\subset W\subset E~\Rightarrow ~W\in {\mathcal {V}}(a)\right]$,
    (ii) $\forall V,W\in {\mathcal {V}}(a)\quad V\cap W\in {\mathcal {V}}(a)$,
    (iii) $E\in {\mathcal {V}}(a)$,
    (iv) $\forall V\in {\mathcal {V}}(a)\quad a\in V$,
    (v) $\forall V\in {\mathcal {V}}(a)\quad \exists W\in {\mathcal {V}}(a)\quad \forall y\in W\quad V\in {\mathcal {V}}(y)$.
2. — La suite de l'exercice consiste à démontrer la réciproque. On suppose donc que ${\mathcal {V}}$ est une application vérifiant ces cinq propriétés, et l'on note ${\mathcal {T}}$ l'ensemble des parties $O$ de $E$ qui vérifient : $\forall x\in O\quad O\in {\mathcal {V}}(x)$. Montrer que :
    (a) ${\mathcal {T}}$ est une topologie sur $E$ ;
    (b) pour tout $a\in E$ et tout voisinage $V$ de $a$ pour ${\mathcal {T}}$, $V\in {\mathcal {V}}(a)$ ;
    (c) pour toute partie $V$ de $E$, l'ensemble$O:=\{x\in E\mid V\in {\mathcal {V}}(x)\}$appartient à ${\mathcal {T}}$ ;
    (d) pour tout $a\in E$ et tout $V\in {\mathcal {V}}(a)$, $V$ est un voisinage de $a$ pour ${\mathcal {T}}$.
1. — Pour toute topologie sur $E$ (et tout $a\in E$), on a bien :
    (i) tout sur-ensemble $W$ d'un voisinage $V$ de $a$ est un voisinage de $a$ (car $V$ contient un ouvert $O$ contenant $a$ donc $W$ contient ce même $O$) ;
    (ii) l'intersection de deux voisinages $V$ et $W$ de $a$ est un voisinage de $a$ (car $V$ contient un ouvert $O$ contenant $a$ et $W$ contient un ouvert $O'$ contenant $a$, donc $V\cap W$ contient $O\cap O'$, qui contient $a$ et est ouvert comme intersection de deux ouverts) ;
    (iii) $E$ est un voisinage de $a$ (car c'est un ouvert contenant $a$) ;
    (iv) tout voisinage de $a$ contient $a$ (puisqu'il contient un ouvert contenant $a$) ;
    (v) soit $V$ un voisinage de $a$ : il contient un ouvert $W$ contenant $a$. L'ouvert $W$ est un voisinage de $a$. Il est même voisinage de tous ses points donc le sur-ensemble $V$ est voisinage de ces mêmes points.
2. —
    (a)
   * $\varnothing \in {\mathcal {T}}$ car $[\forall x\in \varnothing \quad P(x)]$ est vrai pour n'importe quelle proposition $P(x)$, en particulier pour la proposition $\varnothing \in {\mathcal {V}}(x)$.
   * $E\in {\mathcal {T}}$ d'après (iii).
   * L'intersection de deux éléments de ${\mathcal {T}}$ appartient à ${\mathcal {T}}$ d'après (ii).
   * Toute réunion d'éléments de ${\mathcal {T}}$ appartient à ${\mathcal {T}}$ d'après (i).
    Donc ${\mathcal {T}}$ est une topologie sur $E$.
    (b) Soit $V$ un voisinage de $a$ pour ${\mathcal {T}}$. Il existe $O\in {\mathcal {T}}$ tel que $a\in O$ (c'est-à-dire $O\in {\mathcal {V}}(a)$, par définition de $O$) et $O\subset V$. Donc $V\in {\mathcal {V}}(a)$ d'après (i).
    (c) Par définition de ${\mathcal {T}}$ et $O$, il s'agit de vérifier que pour tout $x$ tel que $V\in {\mathcal {V}}(x)$, on a $O\in {\mathcal {V}}(x)$. Utilisons (v) : pour un tel $x$, il existe $W\in {\mathcal {V}}(x)$ tel que $W\subset O$. Par (i), on en déduit $O\in {\mathcal {V}}(x)$.
    (d) L'ouvert $O$ de la question précédente est inclus dans $V$ d'après (iv). Pour tout $a$ tel que $V\in {\mathcal {V}}(a)$, on a de plus $a\in O$, donc $V$ est un voisinage de $a$.

## Exercice 2 : Mesurabilité des convexes

Soit $C\subset \mathbb {R} ^{n}$ un convexe dont l'enveloppe affine (le plus petit sous-espace affine contenant $C$) est $\mathbb {R} ^{n}$ tout entier.
* Montrer que le convexe ${\stackrel {\ \circ }{C}}$ (l'intérieur de $C$) est non vide.
* Pour simplifier les notations, on suppose désormais que $0\in {\stackrel {\ \circ }{C}}$. Montrer qu'alors, $\forall p\in {\overline {C}}\quad \left[0,p\right[\subset {\stackrel {\ \circ }{C}}$.
* En déduire que pour tout réel $k>1$, l'adhérence ${\overline {C}}$ est incluse dans l'ouvert $k\,{\stackrel {\ \circ }{C}}$.
* En déduire que si $C$ est borné alors sa frontière est Lebesgue-négligeable, puis étendre ce résultat au cas $C$ non borné. En déduire que $C$ est Lebesgue-mesurable.
* Montrer que si $C$ est de volume fini alors $C$ est borné.
* Montrer qu'il existe, dans $\mathbb {R} ^{2}$, des convexes non boréliens.
* Soient $e_{0},\dots ,e_{n}\in C$ affinement indépendants. L'ensemble $\left\{\left.\sum _{i=0}^{n}t_{i}e_{i}~\right|~t_{i}>0,\sum t_{i}=1\right\}\subset C$ est alors un ouvert non vide de $\mathbb {R} ^{n}$.
* Soient $V$ un ouvert contenant $0$ et inclus dans $C$, et $q$ un point de $\left]0,p\right[$, c'est-à-dire $q=tp$ pour un certain $t\in \left]0,1\right[$. Quand $v$ parcourt $V$, le point $p_{v}$ défini par $q=tp_{v}+\left(1-t\right)v$ parcourt un ouvert contenant $p$ (l'ouvert $p-(1-t)V/t$), qui rencontre donc $C$ en un certain point $p'$, et $q$ appartient à alors à l'ouvert $tp'+(1-t)V$, qui est inclus dans $C$.
* Soient $k>1$ et $p\in {\overline {C}}$. Alors, ${\frac {1}{k}}p\in \left[0,p\right[\subset {\stackrel {\ \circ }{C}}$ donc $p\in k\,{\stackrel {\ \circ }{C}}$.
* On en déduit que la frontière $\operatorname {Fr} \left(C\right)$ est incluse dans $A_{k}:=k{\stackrel {\ \circ }{C}}\setminus {\stackrel {\ \circ }{C}}$, donc de mesure majorée par $\lambda _{n}(k{\stackrel {\ \circ }{C}})-\lambda _{n}({\stackrel {\ \circ }{C}})=\left(k^{n}-1\right)\lambda _{n}({\stackrel {\ \circ }{C}})$. Si $C$ est borné alors $\lambda _{n}({\stackrel {\ \circ }{C}})<+\infty$ donc $\lim _{k\to 1^{+}}\left(k^{n}-1\right)\lambda _{n}({\stackrel {\ \circ }{C}})=0$, ce qui prouve que $\operatorname {Fr} \left(C\right)$ est négligeable. On en déduit que même si $C$ n'est pas borné, $\operatorname {Fr} \left(C\right)$ est encore négligeable, car inclus dans $\cup _{n\in \mathbb {N} ^{*}}\operatorname {Fr} \left(C\cap B\left(0,n\right)\right)$. Par conséquent, $C$ est toujours Lebesgue-mesurable (et même Jordan-mesurable lorsqu'il est borné), de même mesure (éventuellement infinie) que son intérieur et son adhérence.
* Si $C$ est non borné, soit $\left(x_{n}\right)$ une suite d'éléments de $C$ telle que $\|x_{n}\|\to \infty$, et (puisque par hypothèse $0\in {\stackrel {\ \circ }{C}}$) soit $B$ une boule ouverte de centre $0$ (et de rayon > 0) incluse dans $C$. L'enveloppe convexe de $B\cup \{x_{n}\}$ est alors incluse dans $C$ et sa mesure tend vers l'infini, donc $C$ est de mesure infinie.
* Soit $D$ le disque unité ouvert et $T$ une partie non borélienne du cercle unité. Alors, $D\cup T$ est convexe et non borélien.

## Exercice 3 : Théorème « 14 » de Kuratowski

Pour toute partie S d'un espace topologique X, notons kS l'adhérence de S et cS le complémentaire de S. On utilisera des notations allégées, sans signes ∘ ni parenthèses, pour les diverses composées de k et c, appliquées à S.
* Montrer que ckcS ⊂ S.
* En déduire que kckckck = kck.
* En déduire que parmi toutes les applications de 𝒫(X) dans 𝒫(X) obtenues à partir de 1 (l'identité) par compositions répétées par k ou c (qui pourraient a priori former un ensemble dénombrable) en fait au plus 14 (que l'on explicitera) sont distinctes.
* Pour X = ℝ muni de sa topologie usuelle, montrer que ces 14 composées sont effectivement distinctes (considérer la partie ]0, 1[ ∪ ]1, 2[ ∪ {3} ∪ (ℚ ∩ ]4, 5).
* Existe-t-il des espaces X pour lesquels seules deux de ces composées sont distinctes ?
* Existe-t-il des espaces X pour lesquels toutes ces composées sont égales ?
* cS ⊂ k(cS) et c est involutive et décroissante pour l'inclusion donc S = c(cS) ⊃ c(kcS) (ce qui n'a rien d'étonnant puisque ckcS est l'intérieur de S).
* Pour toute partie T de X, on en déduit d'une part que ckc(kckT) ⊂ kckT donc (puisque k est croissante et idempotente) k(ckckckT) ⊂ k(kckT) = kckT, et d'autre part que ckc(kT) ⊂ kT donc (par croissance de k, décroissance de c et idempotence de k) kck(ckckT) ⊃ kck(kT) = kckT. Ces deux inclusions donnent l'égalité voulue.
* Pour obtenir à partir de 1, par compositions répétées par k ou c, toutes les applications possibles, il suffit de considérer les suites finies de lettres k et c dans lesquelles il n'y a jamais deux k consécutifs ni deux c consécutifs (car k∘k se simplifie en k et c∘c se simplifie en 1). D'après la question précédente, on peut de plus exclure les suites contenant kckckck. Il reste ainsi seulement : 1, k, ck, kck, ckck, kckck, ckckck et c, kc, ckc, kckc, ckckc, kckckc, ckckckc, soit au maximum 14 composées.
* Montrons que ces 14 composées, appliquées à A = ]0, 1[ ∪ ]1, 2[ ∪ {3} ∪ (ℚ ∩ ]4, 5, donnent des résultats différents. Calculons d'abord ceux qui « ressemblent » à A c'est-à-dire où c apparaît un nombre pair de fois (y compris A = 1(A), où c apparait 0 fois). Ces 7 parties sont différentes car (en notant i = ckc) $kA=[0,2]\cup \{3\}\cup [4,5]{\text{ donc }}ckckA=ikA=]0,2[\cup ]4,5[{\text{ donc }}kckckA=[0,2]\cup [4,5]$ et $ckcA=iA=]0,1[\cup ]1,2[{\text{ donc }}kckcA=[0,2]{\text{ donc }}ckckckcA=i(kckcA)=]0,2[$. Leurs 7 compl\'ementaires (cA, ckA, kckA, ckckckA, kcA, ckckcA et kckckcA) sont donc aussi distincts entre eux, et différents des 7 précédents car non bornés. Les 14 composées sont donc distinctes.
* Pour X discret, k = 1 donc les seules composées sont 1 et c.
* Pour X = ∅, il n'y a qu'une application du singleton 𝒫(X) = {∅} dans lui-même.

## Exercice 4

Soient $E$ un espace métrique, $O\in E$ et pour tout $\rho \in \left[0,+\infty \right]$, $B_{\rho }=\{M\in E\mid OM<\rho \}$. On considère ${\mathcal {T}}=\{B_{\rho }\mid \rho \in \left[0,+\infty \right]\}$.
* Montrer que ${\mathcal {T}}$ est une topologie sur $E$.
* Cette topologie est-elle séparée ?
* Vérifier que toute partie $\Delta \subset E$ contenant $O$ est dense dans $E$.
* On a bien $\varnothing =B_{0}\in {\mathcal {T}}$, $B_{\rho _{1}}\cap B_{\rho _{2}}=B_{\min(\rho _{1},\rho _{2})}\in {\mathcal {T}}$ et $\cup _{\rho \in A}B_{\rho }=B_{\sup A}\in {\mathcal {T}}$.
* Non car deux ouverts non vides ne sont jamais disjoints, d'après le calcul précédent (l'un des deux est inclus dans l'autre).
* $\Delta$ rencontre tout ouvert non vide.

## Exercice 5

Soient $f:X\to Y$ continue et $\Gamma (f):=\{(x,f(x))\mid x\in X\}\subset X\times Y$ son graphe ($X\times Y$ est muni de la topologie produit).
Montrer que $\Gamma (f)$ (muni de la topologie induite) est homéomorphe à $X$.
La bijection $X\to \Gamma (f),\;x\mapsto (x,f(x))$ est continue, comme corestriction de l'application $X\to X\times Y,x\mapsto (x,f(x))$ qui est continue car ses deux composantes $\mathrm {id} _{X}$ et $f$ le sont.
La bijection réciproque $\Gamma (f)\to X,\;(x,y)\mapsto x$ est continue, comme restriction de la projection (continue) de $X\times Y$ sur $X$.

## Exercice 6

Soient $(X_{i},{\mathcal {T}}_{i})_{i\in I}$ une famille d'espaces topologiques et $(X,{\mathcal {T}})$ l'espace produit associé.
* Soit $J\subset I$. Montrer que l'application $p:X\to \prod _{i\in J}X_{i},\;(x_{i})_{i\in I}\mapsto (x_{i})_{i\in J}$ est continue.
* Supposons que chaque $X_{i}$ est séparé. Montrer que $X$ l'est également.
* Supposons que $I=\mathbb {N}$ et que chaque $X_{i}$ est séparable. Montrer que $X$ l'est également.
* L'application $p$ est continue car chacune de ses composantes, $p_{j}:X\to X_{j},(x_{i})_{i\in I}\mapsto x_{j}$ (pour tout $j\in J$) l'est. En effet, pour tout ouvert $U_{j}$ de $X_{j}$, l'image réciproque $p_{j}^{-1}(U_{j})$ appartient à ${\mathcal {T}}$ (c'est le produit de $U_{j}$ par les $U_{i}:=X_{i}$ pour $i\neq j$).
* Soient $x=(x_{i})_{i\in I},y=(y_{i})_{i\in I}\in X$, distincts. Alors $x_{j}\neq y_{j}$ pour au moins un indice $j$. Comme $X_{j}$ est séparé, il possède deux ouverts disjoints $U_{j},V_{j}$ tels que $x_{j}\in U_{j}$ et $y_{j}\in V_{j}$. En posant $U=\prod _{i\in I}U_{i}$ avec $U_{i}=X_{i}$ pour tout $i\neq j$, et en définissant $V$ de même à partir de $V_{j}$, on sépare $x$ et $y$ par deux ouverts de $X$ disjoints.
* Si l'un des $X_{i}$ est vide alors $X$ aussi donc $X$ est séparable. Supposons désormais que chaque $X_{i}$ est non vide. Comme il est supposé séparable, il contient alors une partie dense au plus dénombrable et non vide, donc de la forme $A_{i}:=\{a_{i,n}\mid n\in \mathbb {N} \}$. Notons $e_{i}$ l'un de ses éléments, par exemple $e_{i}:=a_{i,0}$, et $A$ le sous-ensemble de $\prod _{i\in \mathbb {N} }A_{i}$ constitué des $x=(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ (avec $x_{i}\in A_{i}$) pour lesquels $x_{i}=e_{i}$ sauf pour un ensemble fini d'indices $i$.
** $A$ est au plus dénombrable car l'ensemble $S=\cup _{r\in \mathbb {N} }\mathbb {N} ^{r}$ des suites finies d'entiers naturels est dénombrable et l'on peut définir une surjection $S\to A$, en associant à tout $(n_{0},\ldots ,n_{r-1})\in S$ l'élément $x$ défini par $x_{i}=a_{i,n_{i}}$ si $i<r$ et $x_{i}=e_{i}$ si $i\geq r$.
** $A$ est dense dans $X$ car il rencontre tout ouvert non vide, puisqu'il rencontre les ouverts élémentaires. En effet, pour un tel ouvert $U=\prod _{i\in \mathbb {N} }U_{i}$, il existe $r\in \mathbb {N}$ tel que $\forall i\geq r~U_{i}=X_{i}$ et $\forall i<r~U_{i}$ est un ouvert non vide de $X_{i}$ donc contient un $x_{i}\in A_{i}$, et l'élément de $X$ constitué de ces $x_{i}$ pour $i<r$ et des $e_{i}$ pour $i\geq r$ appartient alors à $U\cap A$.
    Donc $X$ est séparable.

## Exercice 7 : séparabilité et cardinaux

* Soient $X$ un espace séparé et à bases dénombrables de voisinages et $D$ une partie dense dans $X$.
** Montrer (en signalant où chaque hypothèse est utilisée) que le cardinal de $X$ est inférieur ou égal au cardinal de l'ensemble des suites à valeurs dans $D$.
** En déduire que si $X$ est de plus séparable, son cardinal est inférieur ou égal au cardinal de $\mathbb {R}$.
* Pour tout $n\in \mathbb {N}$, notons $[0..n]$ l'ensemble des entiers de $0$ à $n$, ${\mathcal {P}}([0..n])$ l'ensemble de ses parties et $F_{n}$ l'ensemble des applications de ${\mathcal {P}}([0..n])$ dans $\mathbb {N}$. Montrer que l'ensemble $F:=\cup _{n\in \mathbb {N} }F_{n}$ est dénombrable.
* Soit $(X_{A})_{A\in {\bf {R}}}$ une famille d'espaces séparables non vides indexée par ${\bf {R}}:={\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$, et $X=\prod _{A\in {\bf {R}}}X_{A}$ muni de la topologie produit. On va montrer que $X$ est séparable. On fixe dans chaque $X_{A}$ une partie dense $D_{A}=\{d_{A,k}\mid k\in \mathbb {N} \}$. On considère l'ensemble dénombrable $F$ de la question 2. À chaque application $f\in F$, définie sur ${\mathcal {P}}([0..n])$ pour un certain $n$, on associe le point $y_{f}:=(d_{A,f(A\cap [0..n])})_{A\in {\bf {R}}}$ de $X$. On note $D$ l'ensemble de tous ces $y_{f}$.
** Montrer que tout ouvert élémentaire non vide $\prod _{A\in {\bf {R}}}U_{A}$ rencontre $D$. (Indication : en notant $A_{1},\ldots ,A_{r}$ les $A\in {\bf {R}}$ pour lesquels l'ouvert $U_{A}$ n'est pas $X_{A}$ tout entier, montrer qu'il existe $k_{1},\ldots ,k_{r}\in \mathbb {N}$ tels que $d_{A_{i},k_{i}}\in U_{A_{i}}$, puis fixer un entier $n$ suffisamment grand pour que les $r$ parties finies $A_{i}\cap [0..n]$ soient distinctes et choisir un $f\in F_{n}$ convenable.)
** En déduire que $X$ est séparable.
* En utilisant les questions 1 et 3, construire au moins un espace séparé, séparable et non métrisable (c'est-à-dire dont la topologie ne peut pas être définie à partir d'une distance).
** Soit $S$ le sous-ensemble de $D^{\mathbb {N} }$ constitué des suites qui convergent dans $X$. Comme $X$ est séparé, chacune de ces suites n'a qu'une limite. L'application $L:S\to X,(x_{n})_{n}\mapsto \lim _{n\to \infty }x_{n}$ est donc bien définie. Comme $X$ est à bases dénombrables de voisinages, l'image de l'application $L$ est ${\overline {D}}$ tout entier. Comme $D$ est dense, ${\overline {D}}=X$. Donc $L$ est surjective. Ainsi, ${\rm {card}}(X)\leq {\rm {card}}(S)\leq {\rm {card}}(D^{\mathbb {N} })$.
** Si $X$ est de plus séparable, en appliquant ce qui précède à un $D$ au plus dénombrable, on trouve ${\rm {card}}(X)\leq {\rm {card}}(\mathbb {N} ^{\mathbb {N} })$. Par ailleurs, puisque ${\rm {card}}(\mathbb {N} )\leq {\rm {card}}(\mathbb {R} )={\rm {card}}(\{0,1\}^{\mathbb {N} })$ et que ${\rm {card}}(\mathbb {N} \times \mathbb {N} )={\rm {card}}(\mathbb {N} )$, ${\rm {card}}(\mathbb {N} ^{\mathbb {N} })\leq {\rm {card}}((\{0,1\}^{\mathbb {N} })^{\mathbb {N} })={\rm {card}}(\{0,1\}^{\mathbb {N} \times \mathbb {N} })={\rm {card}}(\mathbb {R} )$.
* Pour tout $n\in \mathbb {N}$, $F_{n}=\mathbb {N} ^{{\mathcal {P}}([0..n]}$ est dénombrable (comme produit fini non vide d'ensembles dénombrables) donc $F$ est dénombrable (comme union dénombrable d'ensembles dénombrables).
** Avec les notations de l'énoncé, l'existence de $k_{1},\ldots ,k_{r}$ vient du fait que chaque $U_{A}$ est un ouvert non vide du $X_{A}$ correspondant, donc rencontre la partie dense $D_{A}$. Une fois $n$ fixé comme indiqué, il existe au moins une application $f\in F_{n}$ telle que pour chaque $i$ de $1$ à $r$, $f(A_{i}\cap [0..n])=k_{i}$. Le $y:=y_{f}\in D$ associé à un tel $f$ vérifie : pour $i$ de $1$ à $r$, $y_{A_{i}}=d_{A_{i},k_{i}}\in U_{A_{i}}$ et pour tout $A\in \mathbb {R}$ différent de $A_{1},\ldots ,A_{r}$, $y_{A}\in X_{A}=U_{A}$, donc $y\in U$.
** La partie $D=\{y_{f}\mid f\in F\}$ est au plus dénombrable d'après la question 2, et est dense dans $X$ d'après la question 3.1, donc $1$ est séparable.
* Prenons tous les $X_{A}$ égaux à un même espace $Y$ séparé, séparable et contenant au moins deux points (par exemple l'espace discret $\{0,1\}$, ou encore l'espace $\mathbb {R}$ ou le segment réel $[0,1]$, munis de leur topologie usuelle), et $X=\prod _{A\in {\bf {R}}}X_{A}=Y^{\bf {R}}$. D'après la question 3.2, $X$ est séparable. $X$ est de plus séparé car si $x$ et $y$ sont deux points distincts de ce produit, ils diffèrent sur au moins une composante, $x_{A_{0}}\neq y_{A_{0}}$, et comme $Y$ est séparé, il contient deux ouverts disjoints $U_{A_{0}},V_{A_{0}}$ contenant respectivement $x_{A_{0}}$ et $y_{A_{0}}$. En posant, pour tous les autres $A\in {\bf {R}}$, $U_{A}=V_{A}=Y$, on obtient deux ouverts disjoints $\prod _{A\in {\bf {R}}}U_{A}$ et $\prod _{A\in {\bf {R}}}V_{A}$ de $X$, contenant respectivement $x$ et $y$. Enfin, comme $Y$ a au moins deux points, ${\rm {card}}(X)\geq {\rm {card}}\left(\{0,1\}^{\bf {R}}\right)={\rm {card}}\left({\mathcal {P}}({\bf {R}})\right)>{\rm {card}}({\bf {R}})={\rm {card}}(\mathbb {R} )$ donc d'après la question 1.2, $X$ n'est pas à bases dénombrables de voisinages. Par conséquent, il n'est pas métrisable.

## Exercice 8

Dans cet exercice, ${\bar {B}}(0,R)$ désigne la boule fermée de rayon $R$ de $\mathbb {R} ^{2}$, centrée à l'origine. On considère l'espace produit
    $X=\prod _{N=1}^{+\infty }{\bar {B}}(0,N)$.
* Soient $1\leq N\leq N'$ deux entiers. On note $p_{N}:\mathbb {R} ^{2}\to {\bar {B}}(0,N)$ la projection sur ${\bar {B}}(0,N)$ définie par $p_{N}(x)={\begin{cases}x&{\text{si }}x\in {\bar {B}}(0,N)\\Nx/\|x\|&{\text{sinon.}}\end{cases}}$ Vérifier que $p_{N}$ est continue.
* On considère le sous-ensemble de $X$ : $Y=\left\{(y_{N})_{N\in \mathbb {N} ^{*}}\in X\mid \forall N,N'\in \mathbb {N} ^{*}\quad N\leq N'\Rightarrow p_{N}(y_{N'})=y_{N}\right\}$. Montrer que c'est une partie fermée de $X$ (on pourra écrire $Y$ comme une intersection de fermés).
* Soit $x\in \mathbb {R} ^{2}$. Déterminer la suite $(p_{N}(x))_{N\in \mathbb {N} ^{*}}$.
* En déduire qu'il existe une injection continue $\phi :\mathbb {R} ^{2}\hookrightarrow Y$.
* À quoi est homéomorphe le complémentaire $Y\setminus \phi (\mathbb {R} ^{2})$ ?
* $p_{N}(x)=f(\|x\|)x$ où $f:\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R}$ est l'application qui envoie $t$ sur $1$ si $t\leq N$ et sur $N/t$ si $t\geq N$. Pour $t=N$, les deux définitions sont compatibles, donc $f$ est continue donc $p_{N}$ aussi.
* Pour tous entiers $N'\geq N\geq 1$, les deux applications de $X$ dans ${\bar {B}}(0,N)$ (séparé), $y\mapsto y_{N}$ et $y\mapsto p_{N}(y_{N'})$, sont continues donc l'ensemble $Y_{N,N'}$ des points où elles coïncident est un fermé de $X$. Donc $Y=\bigcap _{1\leq N\leq N'}Y_{N,N'}$ est fermé.
* Soit $u=x/\|x\|$. Tant que $N\leq \|x\|$, $p_{N}(x)=Nu$ puis, pour tout $N\geq \|x\|$, $p_{N}(x)=x$.
* L'application $\phi :\mathbb {R} ^{2}\to X,x\mapsto (p_{N}(x))_{N\in \mathbb {N} }$ est continue car ses composantes $p_{N}$ le sont (ou plus en détail : pour tout ouvert élémentaire $U=\prod _{N<r}U_{n}\times \prod _{N\geq r}{\bar {B}}(0,N)$ de $X$, $\phi ^{-1}(U)=\bigcap _{N<r}p_{N}^{-1}(U_{N})$ est un ouvert de $\mathbb {R} ^{2}$, comme intersection finie d'ouverts ; donc par réunion, l'image réciproque d'un ouvert quelconque de $X$ est encore un ouvert de $\mathbb {R} ^{2}$). Elle est à valeurs dans $Y$ d'après la question 3 et sa corestriction, de $\mathbb {R} ^{2}$ dans $Y$, encore notée $\phi$, est donc continue. Elle est injective car si $\phi (x)=\phi (y)$ alors, pour un entier $N$ assez grand (supérieur à $\|x\|$ et à $\|y\|$), $x=p_{N}(x)=p_{N}(y)=y$.
* L'injection, du cercle unité $S^{1}$ (compact) dans $X$ (séparé), qui à $u$ associe $(Nu)_{N\in \mathbb {N} }$, est continue car ses composantes le sont. C'est donc un homéomorphisme de $S^{1}$ sur son image $Y\setminus \phi (\mathbb {R} ^{2})$.
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