# Espaces de Banach/Exercices/Théorèmes de Banach-Schauder et du graphe fermé
## Exercice 6-1

Soient
* $h_{n}=\chi _{[-n,n]}$ (l'indicatrice de $[-n,n]$),
* ${\widehat {h_{n}}}(x)=\int _{\mathbb {R} }h_{n}(\xi ){\rm {e}}^{-{\rm {i}}x\xi }~{\rm {d}}\xi$ (sa transformée de Fourier) et
* $f_{n}={\widehat {h_{1}}}\times {\widehat {h_{n}}}$.
Montrer que :
* $f_{n}$ est intégrable ;
* la suite $({\widehat {f_{n}}})$ est bornée dans $C_{0}(\mathbb {R} )$ (muni de la norme sup) ;
* la suite $(f_{n})$ n'est pas bornée dans ${\rm {L}}^{1}(\mathbb {R} )$ (par changement de variable + lemme de Fatou) ;
* la transformation de Fourier, de ${\rm {L}}^{1}(\mathbb {R} )$ dans $C_{0}(\mathbb {R} )$, est injective ;
* elle n'est pas surjective ;
* de même, l'injection ${\rm {L}}^{1}(\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} )\to c_{0}(\mathbb {Z} ),f\mapsto \left({\widehat {f}}(n)\right)_{n\in \mathbb {Z} }$ n'est pas surjective.
* $h_{n}\in {\rm {L}}^{2}$ donc ${\widehat {h_{n}}}\in {\rm {L}}^{2}$ donc $f_{n}\in {\rm {L}}^{1}$.
* w:Produit de convolution#Produit de convolution et transformée de Fourier : $h_{1}\in {\rm {L}}^{1}$ et $h_{n}\in {\rm {L}}^{2}$ donc (dans ${\rm {L}}^{2}$) ${\widehat {h_{1}*h_{n}}}=f_{n}$ (paire) donc (dans ${\rm {L}}^{2}$) ${\widehat {f_{n}}}=h_{1}*h_{n}$. Ou directement (par densité de ${\rm {L}}^{1}\cap {\rm {L}}^{2}$ dans ${\rm {L}}^{2}$) : $h_{1},h_{n}\in {\rm {L}}^{2}$ donc (dans ${\rm {L}}^{\infty }$) ${\widehat {f_{n}}}(x)=h_{1}*h_{n}(-x)$ (paire). $\|{\widehat {f_{n}}}\|_{\infty }=\|h_{1}*h_{n}\|_{\infty }=2$.
* ${\widehat {h_{n}}}(x)=\int _{-n}^{n}{\rm {e}}^{-{\rm {i}}x\xi }~{\rm {d}}\xi ={\frac {{\rm {e}}^{-{\rm {i}}xn}-{\rm {e}}^{{\rm {i}}xn}}{-{\rm {i}}x}}={\frac {2\sin(xn)}{x}}$ donc $\|f_{n}\|_{1}=4\int _{\mathbb {R} }{\frac {|\sin(xn)\sin(x)|}{x^{2}}}~{\rm {d}}x=4\int _{\mathbb {R} }{\frac {|\sin(y)\sin(y/n)|}{y^{2}/n}}~{\rm {d}}y$. D'après le lemme de Fatou, $\liminf \int _{\mathbb {R} }{\frac {|\sin(y)\sin(y/n)|}{y^{2}/n}}~{\rm {d}}y\geq \int _{\mathbb {R} }\liminf {\frac {|\sin(y)\sin(y/n)|}{y^{2}/n}}~{\rm {d}}y=\int _{\mathbb {R} }{\frac {|\sin(y)|}{|y|}}~{\rm {d}}y=+\infty$.
* Pour $g\in {\rm {L}}^{1}$ telle que ${\widehat {g}}\in {\rm {L}}^{1}$, $g(-x)={\widehat {\widehat {g}}}(x)$. En particulier si ${\widehat {g}}=0$, $g=0$.
* Si Fourier était bijective, la bijection réciproque serait continue (théorème de l'isomorphisme de Banach) donc il existerait une constante $C$ telle que $\forall f\in {\rm {L}}^{1}~\|f\|_{1}\leq C\|{\widehat {f}}\|_{\infty }$, ce qui est exclu par les questions 2 et 3.
* Si tel était le cas, il existerait (d'après le théorème de l'isomorphisme de Banach) une constante $C$ telle que, pour toute fonction $f\in {\rm {L}}^{1}(\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} )$, $\Vert f\Vert _{1}\leq C\sup _{n\in \mathbb {Z} }~\vert {\widehat {f}}(n)\vert$. En appliquant une telle inégalité à la suite des noyaux de Dirichlet $D_{k}(x)=\sum _{j=-k}^{k}\mathrm {e} ^{{\rm {i}}jx}$, on arrive à une contradiction. En effet, $\|D_{k}\|_{1}\to +\infty$ (cf. ex. 5-3) alors que les $|{\widehat {D_{k}}}(n)|$ sont bornés par $1$ : ${\widehat {D_{k}}}(n)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }D_{k}(t){\rm {e}}^{-{\rm {i}}nt}\,\mathrm {d} t=1$ si $|n|\leq k$ et 0 sinon.

## Exercice 6-2

Existe-t-il des exemples de bijections linéaires continues $T:X\to Y$ entre deux e.v.n. avec $T^{-1}$ non continue et :
* $X$ et $Y$ non complets ?
* $X$ complet et $Y$ non complet ?
* $Y$ complet et $X$ non complet ?
Il s'agit de trouver, sur un même e.v. $E$, deux normes comparables ($N_{Y}\leq CN_{X}$) mais non équivalentes.
* Prendre $E$ de dimension dénombrable. Par exemple, pour $x$ suite indexée par $\mathbb {N} ^{*}$ et à support fini, $N_{Y}(x)=\sum |x_{n}|$ et $N_{X}(x)=\sum n|x_{n}|$ (ou les mêmes normes que dans la question suivante).
* $\|~\|_{p}$ est décroissante. Par ex. $\|~\|_{\infty }\leq \|~\|_{1}$. $E=\ell ^{1}$, $N_{X}=\|~\|_{1}$, $N_{Y}=\|~\|_{\infty }$.
* Choisir pour $Y$ un Banach de dim infinie et sur lui, une forme linéaire $f$ non continue. Prendre pour $X$ le même espace mais muni de la norme $\|x\|+|f(x)|$. Elle n'est pas équivalente, sinon $f$ serait continue.

## Exercice 6-3

Dans un espace vectoriel normé E, deux sous-espaces vectoriels supplémentaires (algébriques) M et N sont dits supplémentaires topologiques s'ils sont fermés et si l'une des deux projections (de E sur M et N) est continue (donc les deux, puisque leur somme id$_E$ l'est). Montrer que :
* dans un espace de Banach, deux supplémentaires algébriques fermés sont toujours supplémentaires topologiques ;
* dans un espace de Hilbert, tout sous-espace fermé possède un supplémentaire topologique ;
* une surjection linéaire continue $T:E\to F$ entre deux espaces de Banach possède une section linéaire continue ($S:F\to E$ telle que $T\circ S={\rm {id}}$) si et seulement si $\ker T$ possède un supplémentaire topologique ;
* dans tout e.v.n., les sous-espaces de dimension finie et les sous-espaces fermés de codimension finie possèdent des supplémentaires topologiques.
* Appliquer le théorème de l'isomorphisme de Banach à $+:M\times N\to E$. Voir aussi l'exercice 12 de Franck Boyer, « Analyse Fonctionnelle, TD 4 : Grands théorèmes de l'analyse fonctionnelle ».
* Son supplémentaire orthogonal.
* Si $\ker T$ a un supplémentaire topologique $N$, on prend pour $S$ la bijection réciproque de $T:N\to F$. Réciproquement s'il existe $S$, on prend pour $N$ le noyau du projecteur ${\rm {id}}_{E}-S\circ T$.
** Si M est de dimension finie, de base (e$_1$, … , e$_n$), soit (e$_1$*, … , e$_n$*) la base duale de M*. D'après le théorème de Hahn-Banach, il existe des formes linéaires continues sur E, f$_1$, … , f$_n$, prolongeant les e$_i$*. En posant p(x) = ∑f$_i$(x)e$_i$, on obtient un projecteur continu d'image M.
** Si M est fermé et de codimension finie, soit N un supplémentaire algébrique. Alors, l'isomorphisme naturel de E/M dans N est continu donc par composition, la projection sur N de noyau M l'est aussi.
Remarque : dans ℓ$^∞$ = (ℓ$^1$)', le sous-espace $c_{0}$ des suites de limite nulle est fermé mais n'a pas de supplémentaire topologique. Idem pour le sous-espace de $C(T)$ des fonctions prolongeables en fonctions holomorphes sur le disque ouvert.

## Exercice 6-4

Soient $T:H\to H'$ et $S:H'\to H$ deux applications entre espaces de Hilbert, telles que
    $\forall x\in H\quad \forall y\in H'\quad \langle T(x),y\rangle =\langle x,S(y)\rangle$.
Montrer que $T$ et $S$ sont linéaires et continues.
Montrons-le par exemple pour S.
* La linéarité est une conséquence directe des propriétés de bilinéarité et de non-dégénérescence du produit scalaire. On utilise que :
       $\forall x\in H\quad \forall y_{1},y_{2}\in H'\quad \forall \lambda \in K\quad \langle x,S(y_{1}+\lambda y_{2})\rangle =\langle T(x),y_{1}+\lambda y_{2}\rangle =\langle T(x),y_{1}\rangle +{\bar {\lambda }}\langle T(x),y_{2}\rangle =\langle x,S(y_{1})\rangle +\langle x,\lambda S(y_{2})\rangle$.
    On en déduit :
       $\langle x,S(y_{1}+\lambda y_{2})-S(y_{1})-\lambda S(y_{2})\rangle =0$.
    Cette égalité est vraie pour toutes les valeurs de x, ce qui montre que le terme de droite du produit scalaire est nul. Cette nullité démontre le caractère linéaire de S.
* Pour montrer la continuité de S, il suffit, grâce au théorème du graphe fermé, de vérifier que si y$_n$ tend vers y et si S(y$_n$) tend vers z alors S(y) = z. Or ces deux hypothèses impliquent (en utilisant l'équation « d'adjonction » de l'énoncé) que pour tout x, ⟨x,S(y$_n$)⟩ tend à la fois vers ⟨x,S(y)⟩ et vers ⟨x,z⟩ , donc que S(y) – z est nul (car orthogonal à tout x).

## Exercice 6-5

Soient $X,Y,Z$ trois espaces de Banach, $F$ un ensemble d'applications linéaires continues de $X$ dans $Y$ « total » (c'est-à-dire séparant les points de $X$) et $T$ une application linéaire de $Z$ dans $X$. Montrer que si $\forall f\in F\quad f\circ T$ est continue, alors $T$ est continue.
Son graphe est fermé.

## Exercice 6-6

Soit $F$ un sous-espace vectoriel fermé de ${\rm {L}}^{2}([0,1])$, constitué de fonctions continues. Montrer que :
* $\exists A\in \mathbb {R} \quad \forall f\in F\quad \|f\|_{\infty }\leq A\|f\|_{2}$ ;
* $\forall x\in [0,1]\quad \exists !g_{x}\in F\quad \forall f\in F\quad f(x)=\langle f,g_{x}\rangle$ ;
* $\forall x\in [0,1]\quad \|g_{x}\|_{2}\leq A$ ;
* $F$ est de dimension finie, inférieure ou égale à $A^{2}$.
* D'abord, $F$ est fermé dans $C([0,1])$ car $\|~\|_{2}\leq \|~\|_{\infty }$. L'existence de $A$ résulte alors du théorème d'isomorphisme de Banach.
* $\exists !g_{x}$ par le théorème de représentation de Riesz, car $ev_{x}:f\mapsto f(x)$ est continue sur $(F,\|~\|_{2})$.
* $\|g_{x}\|_{2}^{2}=\|ev_{x}\|_{F'}^{2}\leq A^{2}$.
* Soit $f_{1},\ldots ,f_{n}\in F$ orthonormé. $\forall x\in [0,1]\quad \sum |f_{i}(x)|^{2}=\sum |\langle f_{i},g_{x}\rangle |^{2}\leq \|g_{x}\|_{2}^{2}\leq A^{2}$ donc en intégrant sur $[0,1]$, $n\leq A^{2}$.

## Exercice 6-7

Soit $\mu$ une mesure positive (sur un espace mesurable) et $1\leq p,q\leq \infty$ tels que ${\rm {L}}^{q}(\mu )\subset {\rm {L}}^{p}(\mu )$.
* Montrer que cette inclusion est continue (rappel : toute suite qui converge dans ${\rm {L}}^{p}(\mu )$ possède une sous-suite qui converge $\mu$-p.p.).
* Si $q<p$, en déduire l'existence d'un $\varepsilon >0$ tel que pour toute partie mesurable $Y$ de mesure non nulle, $\mu (Y)\geq \varepsilon$.
* Si au contraire $p<q$ et si $\mu$ est σ-finie, en déduire que $\mu$ est finie.
* Si $f_{n}\to f$ dans $\mathrm {L} ^{q}(\mu )$ et $f_{n}\to g$ dans $\mathrm {L} ^{p}(\mu )$ alors, en appliquant deux fois le rappel, il existe une sous-suite de $(f_{n})$ qui tend $\mu$-p.p. à la fois vers $f$ et vers $g$, donc $f=g$ ($\mu$-p.p.). D'après le théorème du graphe fermé, ceci prouve la continuité de l'inclusion.
* Il existe donc une constante $C$ telle que $\forall f\in \mathrm {L} ^{q}(\mu )\quad \|f\|_{p}\leq C\|f\|_{q}$. En particulier, pour toute partie mesurable $Y$ de mesure (finie et) non nulle, $\mu (Y)^{1/p}\leq C\mu (Y)^{1/q}$, autrement dit (si $q<p$) : $\mu (Y)\geq {\frac {1}{C}}^{\frac {1}{{\frac {1}{q}}-{\frac {1}{p}}}}$.
* Si $p<q$ et $\mu$ σ-finie (exemple : $X=[0,1]$ muni des tribu et mesure de Lebesgue), $X$ est une union croissante de $X_{n}$ avec, par un calcul analogue : $\mu (X_{n})\leq C^{\frac {1}{{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{q}}}}$, donc $\mu (X)\leq C^{\frac {1}{{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{q}}}}<\infty$.

## Exercice 6-8

Soit $T$ un endomorphisme de $E=\mathrm {L} ^{2}([0,1])$. On suppose que $T$ est continu de $(E,\|\cdot \|_{2})$ dans $(E,\|\cdot \|_{1})$. Montrer que $T$ est continu de $(E,\|\cdot \|_{2})$ dans $(E,\|\cdot \|_{2})$.
Puisque $(E,\|\cdot \|_{2})$ est de Banach, il suffit de montrer que le graphe de $T$ est fermé dans son carré. On suppose donc que $\|f_{n}-f\|_{2}\to 0$ et $\|Tf_{n}-g\|_{2}\to 0$, et il s'agit de prouver que $g=Tf$.
Puisque $\|Tf_{n}-g\|_{2}\to 0$, il existe une sous-suite $(f_{n_{k}})_{k}$ telle que $Tf_{n_{k}}\to g$ presque partout (cf. Théorème de Riesz-Fischer).
De même, puisque $\|Tf_{n_{k}}-Tf\|_{1}\to 0$, il existe une sous-sous-suite $(f_{n_{k_{i}}})_{i}$ telle que $Tf_{n_{k_{i}}}\to Tf$ presque partout.
Par unicité de la limite, on a donc bien $g=Tf$ (presque partout).
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