# Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Équations différentielles
## Définition d'une équation différentielle ordinaire

On se propose de définir une équation différentielle ordinaire concernant une fonction réelle $\;f\;$ de la variable réelle $\;x$.
Une équation différentielle du 1er ou du 2ème ordre est une relation liant une fonction $\;f(x)\;$ et ses dérivées $\;f'(x)$, $\;f''(x)\;$.

## Équation différentielle non linéaire

La fonction ou ses dérivées peuvent intervenir :
* élevées à une certaine puissance c.-à-d. $\;\left[f(x)\right]^{p_{0}}$, $\;\left[f'(x)\right]^{p_{1}}$, $\;\left[f''(x)\right]^{p_{2}}\;$ avec $\;p_{0},\;p_{1},\;p_{2}\in \mathbb {Q} \;$ ou
* multipliées entre elles c.-à-d. $\;\left[f(x)\right]\left[f'(x)\right]$, $\;\left[f(x)\right]\left[f''(x)\right]$, $\;\left[f'(x)\right]\left[f''(x)\right]\;$ $\ldots$
Si tel est le cas, l'équation différentielle est dite non linéaire.

## Équation différentielle linéaire

Si la fonction et ses dérivées interviennent sans être élevées à une certaine puissance et si elles ne sont pas multipliées entre elles, l'équation différentielle est linéaire et se présente sous la forme :
$\;a_{2}(x)\,f''(x)+a_{1}(x)\,f'(x)+a_{0}(x)\,f(x)=d(x)\;$
où $\;d,\;a_{0},\;a_{1}\;{\text{et}}\;a_{2}\;$ sont des fonctions de $\;x$, l'équation différentielle étant d'ordre deux si $\;a_{2}\neq 0\;$ ${\big$dans ce cas, usuellement, on divise les deux membres de l'équation différentielle par $\;a_{2}(x)\;$ de façon à ce que le cœfficient de la dérivée seconde soit $\;1$, l'équation différentielle étant alors dite « normalisée »${\big ]}$.
$\;d(x)\;$ est l'excitation de l'équation différentielle, celle-ci est dite :
* hétérogène dans la mesure où $\;d(x)\neq 0\;$ et
* homogène si $\;d(x)=0$.
Remarques : Si $\;a_{2}=0$, le plus haut ordre n'est pas deux, mais un si $\;a_{1}\neq 0$ ;
Remarques : si $\;a_{2}\neq 0\;$ avec $\;a_{0}=0$, il s'agit d'une équation différentielle linéaire d'ordre deux en $\;f\;$ mais on peut également considérer que cette équation différentielle est d'ordre un en $\;f'\;$ dans la mesure où $\;a_{1}\neq 0\;$ puisque s'écrivant $\;a_{2}(x)\,f''(x)+a_{1}(x)\,f'(x)=d(x)\;$.

## Équation différentielle linéaire à coefficients constants

Une équation différentielle de ce type doit être linéaire et telle que les coefficients de $\;f(x),\;f'(x),\;f''(x)\;$ sont des constantes et non des fonctions de $\;x$ ; elle se présente sous la forme :
$\;a_{2}\,f''(x)+a_{1}\,f'(x)+a_{0}\,f(x)=d(x)\;$
où $\;d(x)\;$ est encore une fonction de $\;x$, $\;a_{0},\;a_{1}\;{\text{et}}\;a_{2}\;$ étant des constantes réelles, l'équation différentielle linéaire à coefficients constants étant :
* d'ordre deux en $\;f\;$ dans la mesure où $\;a_{2}\neq 0$,
* homogène si $\;d(x)=0\;$ » et
* sinon, hétérogène.
Normalisation de l'équation différentielle : La forme normalisée de l'équation différentielle du 2ème ordre en $\;f\;$ ${\big$obtenue après avoir divisé les deux membres de l'équation différentielle par $\;a_{2}\neq 0{\big ]}\;$ s'écrit :
$\;f''(x)+b\,f'(x)+c\,f(x)=e(x)\;$
$\;b={\dfrac {a_{1}}{a_{2}}}$
$\;c={\dfrac {a_{0}}{a_{2}}}\;$
$\;e(x)={\dfrac {d(x)}{a_{2}}}\;$
la forme normalisée de l'équation différentielle du 1er ordre en $\;f\;$ ${\big$obtenue en supposant $\;a_{2}=0\;$ et après avoir divisé les deux membres de l'équation différentielle par $\;a_{1}\neq 0{\big ]}$ s'écrit :
$\;f'(x)+k\,f(x)=e(x)\;$
$\;k={\dfrac {a_{0}}{a_{1}}}\;$
$\;e(x)={\dfrac {d(x)}{a_{1}}}$

## Méthode de résolution d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants homogène
### Préliminaire : notion d'espace vectoriel à une ou deux dimensions sur l'exemple des vecteurs géométriques

Tous les vecteurs d'une droite forment un espace vectoriel à une dimension c.-à-d. qu'il suffit d'un vecteur de base pour obtenir tous les vecteurs possibles de la droite comme « multiple » du vecteur de base ; quand un ensemble peut être engendré complètement de la même façon à partir d'un élément de l'ensemble, il constitue un « espace vectoriel à une dimension » et « l'élément particulier définit la base de l'ensemble » ;
tous les vecteurs d'un plan forment un espace vectoriel à deux dimensions c.-à-d. qu'il suffit de deux vecteurs de base pour obtenir tous les vecteurs possibles du plan comme C.L. des deux vecteurs de base ; quand un ensemble peut être engendré complètement de la même façon à partir de deux éléments indépendants de l'ensemble, il constitue un « espace vectoriel à deux dimensions » et « ces deux éléments indépendants particuliers définissent la base de l'ensemble ».

### Propriété (admise) de l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier ou deuxième ordre homogène

L'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier ordre homogène est un « espace vectoriel à une dimension » et celui des solutions d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du deuxième ordre homogène, un « espace vectoriel à deux dimensions » ;
il suffit donc de déterminer une base de l'ensemble cherché pour obtenir tout l'ensemble c.-à-d. de trouver :
* une solution particulière d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre homogène pour obtenir toutes les solutions possibles de l'équation $\;{\big$c.-à-d. les multiples de la solution particulière${\big ]}\;$ ou,
* deux solutions particulières indépendantes d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre homogène pour obtenir toutes les solutions possibles de l'équation $\;{\big$c.-à-d. les C.L. des deux solutions particulières indépendantes${\big ]}$.

### Méthode de recherche d'une (ou de deux indépendantes) solution(s) particulière(s) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier (ou deuxième) ordre homogène

On cherche une solution du type $\;\exp(s\,x)\;$ car ses dérivées première $\;s\,\exp(s\,x)\;$ et seconde $\;s^{2}\,\exp(s\,x)\;$ lui étant proportionnelles, l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène du 1er ou 2ème ordre en $\;f(x)\;$ se transforme en équation algébrique du 1er ou 2ème degré en $\;s\;$ après simplification par $\;\exp(s\,x)\;$ ; l'équation algébrique ainsi obtenue est appelée « équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène ».

### Résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier ordre homogène

Soit $\;f'(x)+k\,f(x)=0$, l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre homogène, l'équation caractéristique correspondante s'écrivant $\;s+k=0\;$ et Soit $\;\color {transparent}{f'(x)+k\,f(x)=0}$, l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre homogène, l'équation caractéristique correspondante se résolvant en $\;s=-k$, on en déduit
$\;{\big$
${\big )}$
$\;\exp(-k\,x)\;$
$\;f(x)=A\,\exp(-k\,x)\;$
$\;A\;$

### Résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du deuxième ordre homogène sans terme du premier ordre

Soit $\;f''(x)+c\,f(x)=0\;$ avec $\;c\in \mathbb {R}$, l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre homogène sans terme du 1er ordre ; Soit $\;\color {transparent}{f''(x)+c\,f(x)=0}\;$ avec $\;\color {transparent}{c\in \mathbb {R} }$, la recherche de deux solutions particulières indépendantes sous la forme exponentielle nécessite que de telles solutions existent et, en faisant cette hypothèse Soit $\;\color {transparent}{f''(x)+c\,f(x)=0}\;$ avec $\;\color {transparent}{c\in \mathbb {R} }$, la recherche de deux solutions particulières indépendantes sous la forme exponentielle nous obtenons l'équation caractéristique $\;s^{2}+c=0\;$ qui admet Soit $\;\color {transparent}{f''(x)+c\,f(x)=0}\;$ avec $\;\color {transparent}{c\in \mathbb {R} }$, la recherche de deux solutions particulières indépendantes sous la forme exponentielle nous obtenons deux racines réelles distincts si $\;c\;$ est $\;<0$ ; Soit $\;\color {transparent}{f''(x)+c\,f(x)=0}\;$ avec $\;\color {transparent}{c\in \mathbb {R} }$, aussi nous allons discuter de la forme des solutions particulières indépendantes de l'équation différentielle suivant le signe de $\;c$ :

#### Cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement négatif

Avec $\;c<0$, l'équation caractéristique «$\;s^{2}+c=0\;$» admettant comme racines réelles distinctes $\;s_{\pm }=\pm {\sqrt {-c}}$, on en déduit :
$\;{\big$
${\big )}$
$\;\exp(s_{\pm }\,x)=\exp \!\left(\pm {\sqrt {-c}}\,x\right)\;$
$\;f(x)=A_{+}\,\exp \!\left({\sqrt {-c}}\,x\right)+A_{-}\,\exp \!\left(-{\sqrt {-c}}\,x\right)\;$
$\;A_{+}\,{\text{et}}\,A_{-}\;$

#### Cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est nul

Avec $\;c=0$, l'équation caractéristique «$\;s^{2}=0\;$» admettant comme racine réelle double $\;s_{d}=0$, on en déduit :
$\;\exp(s_{d}\,x)=\exp \!\left(0\,x\right)=1\;$
$\;\ldots$
Avec $\;\color {transparent}{c=0}$, Dans le cas présent il y a plus simple, l'équation différentielle s'écrivant $\;f''(x)=0$, il suffit d'intégrer deux fois successivement et on obtient Avec $\;\color {transparent}{c=0}$, Dans le cas présent il y a plus simple, $\;f'(x)=A\;$ avec $\;A\;$ constante réelle arbitraire puis Avec $\;\color {transparent}{c=0}$, Dans le cas présent il y a plus simple, $\;f(x)=A\,x+B\;$ avec $\;B\;$ 2ème constante réelle arbitraire ;
Avec $\;\color {transparent}{c=0}$, la solution générale de l'équation différentielle est donc «$\;f(x)=A\,x+B\;$» avec $\;A\;{\text{et}}\;B\;$ deux constantes réelles arbitraires, montrant que cette solution est construite à partir
$\;1\;{\text{et}}\;x\;$
$\;{\big$
${\big )}$

#### Cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif

Avec $\;c>0$, l'équation caractéristique $\;s^{2}+c=0\;$ n'admettant aucune racine réelle, il n'y a pas de solutions particulières ayant une forme exponentielle de l'équation différentielle.
Avec $\;\color {transparent}{c>0}$, Toutefois si on résout l'équation différentielle sur $\;\mathbb {C} \;$ au lieu de résoudre sur $\;\mathbb {R} \;$, l'ensemble des solutions complexes formant alors un espace vectoriel de dimension deux sur $\;\mathbb {C} \;$, Avec $\;\color {transparent}{c>0}$, Toutefois si on résout l'équation différentielle sur $\;\color {transparent}{\mathbb {C} }\;$ la recherche de solutions complexes particulières indépendantes de forme exponentielle $\Rightarrow$ l'équation caractéristique $\;s^{2}+c=0\;$ Avec $\;\color {transparent}{c>0}$, Toutefois si on résout l'équation différentielle sur $\;\color {transparent}{\mathbb {C} }\;$ la recherche de solutions complexes particulières indépendantes de forme exponentielle $\color {transparent}{\Rightarrow }$ l'équation caractéristique où $\;s\in \mathbb {C} \;$ et Avec $\;\color {transparent}{c>0}$, Toutefois si on résout l'équation différentielle sur $\;\color {transparent}{\mathbb {C} }\;$ l'équation caractéristique y admettant deux racines imaginaires conjuguées $\;s_{\pm }=\pm i\,{\sqrt {c}}$, on en déduit Avec $\;\color {transparent}{c>0}$, Toutefois si on résout l'équation différentielle sur $\;\color {transparent}{\mathbb {C} }\;$ les deux solutions complexes particulières et indépendantes de l'équation différentielle «$\;\exp(s_{\pm }\,x)=\exp \!\left(\pm i\,{\sqrt {c}}\,x\right)\;$» et Avec $\;\color {transparent}{c>0}$, Toutefois si on résout l'équation différentielle sur $\;\color {transparent}{\mathbb {C} }\;$ la solution générale complexe de l'équation différentielle s'écrit selon «$\;f(x)=\lambda _{+}\,\exp \!\left(i\,{\sqrt {c}}\,x\right)+\lambda _{-}\,\exp \!\left(-i\,{\sqrt {c}}\,x\right)\;$» Avec $\;\color {transparent}{c>0}$, Toutefois si on résout l'équation différentielle sur $\;\color {transparent}{\mathbb {C} }\;$ la solution générale complexe de l'équation différentielle s'écrit avec $\;\lambda _{+}\;{\text{et}}\;\lambda _{-}\;$ deux constantes complexes arbitraires ; Avec $\;\color {transparent}{c>0}$, Toutefois si on résout l'équation différentielle sur $\;\color {transparent}{\mathbb {C} }\;$ on peut alors en déduire la solution générale réelle de l'équation différentielle en imposant des relations de liaison entre $\;\lambda _{+}\;{\text{et}}\;\lambda _{-}\;$ Avec $\;\color {transparent}{c>0}$, Toutefois si on résout l'équation différentielle sur $\;\color {transparent}{\mathbb {C} }\;$ on peut alors en déduire la solution générale réelle de façon à ce que $\;\lambda _{+}\,\exp \!\left(i\,{\sqrt {c}}\,x\right)+\lambda _{-}\,\exp \!\left(-i\,{\sqrt {c}}\,x\right)\;$ soit réelle.
Avec $\;\color {transparent}{c>0}$, Compte-tenu de ce qui précède, à partir des deux solutions particulières complexes indépendantes $\;\exp(s_{\pm }\,x)=\exp \!\left(\pm i\,{\sqrt {c}}\,x\right)\;$ de l'équation différentielle, Avec $\;\color {transparent}{c>0}$, Compte-tenu de ce qui précède, il est possible de trouver, par C.L. à cœfficients complexes, deux solutions particulières réelles indépendantes, «$\;\cos({\sqrt {c}}\,x)\;$ et $\;\sin({\sqrt {c}}\,x)\;$»$^,$ Avec $\;\color {transparent}{c>0}$, Compte-tenu de ce qui précède, il est possible de trouver, par C.L. à cœfficients complexes, deux solutions particulières réelles indépendantes, ${\big$base de l'ensemble des solutions${\big )}\;$ Avec $\;\color {transparent}{c>0}$, Compte-tenu de ce qui précède, et la solution générale $\;{\big$réelle${\big )}\;$ de l'équation différentielle s'écrit «$\;f(x)=A\,\cos \!\left({\sqrt {c}}\,x\right)+B\,\sin \!\left({\sqrt {c}}\,x\right)\;$» Avec $\;\color {transparent}{c>0}$, Compte-tenu de ce qui précède, et la solution générale $\;\color {transparent}{\big$réelle$\color {transparent}{\big )}\;$ de l'équation différentielle s'écrit avec $\;A\;{\text{et}}\;B\;$ deux constantes réelles arbitraires.
Remarques : On établit que «$\;A\,\cos \!\left({\sqrt {c}}\,x\right)+B\,\sin \!\left({\sqrt {c}}\,x\right)=C\,\cos \!\left({\sqrt {c}}\,x+\varphi \right)\;\;\forall \,x\;$» avec $\;C\;{\text{et}}\;\varphi \;$ dépendant de $\;A\;{\text{et}}\;B$ ; Remarques : en effet, posant $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A=C\,\cos(\varphi )\\B=-C\,\sin(\varphi )\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;A\,\cos \!\left({\sqrt {c}}\,x\right)+B\,\sin \!\left({\sqrt {c}}\,x\right)=C\,\cos(\varphi )\,\cos \!\left({\sqrt {c}}\,x\right)-C\,\sin(\varphi )\,\sin \!\left({\sqrt {c}}\,x\right)=C\,\cos \!\left({\sqrt {c}}\,x+\varphi \right)\;$ ; Remarques : en effet, du système d'équations $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A=C\,\cos(\varphi )\\B=-C\,\sin(\varphi )\end{array}}\right\rbrace \;$ on en déduit «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}C={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}\\\tan(\varphi )=-{\dfrac {B}{A}}\end{array}}\right\rbrace \;$» permettant de choisir la détermination de $\;\varphi \;$ suivant les signes de $\;A\;{\text{et}}\;B\;$ :
Remarques : en effet $\blacktriangleright \;$si $\;A\;{\text{et}}\;B\;$ sont tous deux $\;>0$, $\;\varphi \in \left]-{\dfrac {\pi }{2}},0\right[$, d'où «$\;\varphi =-\arctan \!\left({\dfrac {B}{A}}\right)\;$»,
Remarques : en effet $\blacktriangleright \;$si $\;A\;{\text{et}}\;B\;$ sont tous deux $\;<0$, $\;\varphi \in \left]{\dfrac {\pi }{2}},\pi \right[$, d'où «$\;\varphi =-\arctan \!\left({\dfrac {B}{A}}\right)+\pi \;$»,
Remarques : en effet $\blacktriangleright \;$si $\;A>0\;{\text{et}}\;B<0$, $\;\varphi \in \left]0,{\dfrac {\pi }{2}}\right[$, d'où «$\;\varphi =-\arctan \!\left({\dfrac {B}{A}}\right)\;$»,
Remarques : en effet $\blacktriangleright \;$si $\;A<0\;{\text{et}}\;B>0$, $\;\varphi \in \left]-\pi ,-{\dfrac {\pi }{2}}\right[$, d'où «$\;\varphi =-\arctan \!\left({\dfrac {B}{A}}\right)-\pi \;$».

## Méthode de résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène
### But recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier ou du deuxième ordre hétérogène

Trouver une solution particulière de cette équation différentielle hétérogène dans le but d'effectuer un changement de fonction permettant d'obtenir la même équation différentielle mais homogène.
Justification : soient respectivement $\;f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)\;$ et $\;f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)\;$ la solution générale et une solution particulière de l'équation hétérogène c.-à-d. Justification : $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{f''}_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)+b\,f'_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)+c\,f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=e(x)\;\;({\mathfrak {1}})\\{f''}_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)+b\,f'_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)+c\,f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)=e(x)\;\;({\mathfrak {2}})\end{array}}\right.$, nous pouvons vérifier aisément en formant la différence «$\;({\mathfrak {1}})-({\mathfrak {2}})\;$» que Justification : la fonction $\;f(x)=f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)-f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)\;$ est solution de la même équation différentielle mais homogène soit Justification : $\;({\mathfrak {1}})-({\mathfrak {2}})\;:\;f''(x)+b\,f'(x)+c\,f(x)=0\;$ ;
ainsi la solution générale de l'équation hétérogène est la somme de la solution générale de l'équation homogène et d'une solution particulière de l'équation hétérogène c.-à-d.
$\;f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=f_{\text{géné de l'équa homo}}(x)+f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)\;$
dans quasiment tous les cas on peut trouver une solution particulière de l'équation différentielle hétérogène de même forme que l'excitation et alors, on peut écrire
$\;f(x)=f_{\text{libre}}(x)+f_{\text{forcée}}(x)\;$
$\;f_{\text{libre}}(x)\;$
$\;f_{\text{forcée}}(x)\;$

### Recherche de la solution forcée (quand celle-ci existe)

La solution forcée est la solution particulière d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ou du 2ème ordre hétérogène de même forme que l'excitation ; les principaux cas se présentant sont $\blacktriangleright \;$«$\;e(x)=cste\;$», recherche sous la forme $\;f_{\text{forcée}}=\alpha \;$ où $\;\alpha \;$ est une constante réelle à déterminer ; les principaux cas se présentant sont $\blacktriangleright \;$«$\;e(x)=p\,x+m,\;\;p\;{\text{et}}\;m\in \mathbb {R} \;$», recherche sous la forme $\;f_{\text{forcée}}=\alpha \,x+\beta \;$ où $\;\alpha \;$ et $\;\beta \;$ sont des constantes réelles à déterminer ; les principaux cas se présentant sont $\blacktriangleright \;$«$\;e(x)=A\,\exp(p\,x),\;\;A\;{\text{et}}\;p\in \mathbb {R} \;$», recherche sous la forme $\;f_{\text{forcée}}=\alpha \,\exp(p\,x)\;$ où $\;\alpha \;$ est une constante réelle à déterminer ; les principaux cas se présentant sont $\blacktriangleright \;$«$\;e(x)=A\,\cos(k\,x+\varphi ),\;\;A,\;k\;{\text{et}}\;\varphi \in \mathbb {R} \;$», recherche sous la forme $\;f_{\text{forcée}}=\alpha \,\cos(k\,x+\psi )\;$ où $\;\alpha \;$ et $\;\psi \;$ sont des constantes réelles à déterminer ;
dans ce qui suit nous privilégions le cas d'une excitation constante, la démarche pour les autres formes d'excitation étant identique.

### Premier ordre à excitation constante

Soit «$\;f'(x)+k\,f(x)=D\;$ où $\;D\;$ est l'excitation constante » ;
dans la mesure où $\;k\neq 0\;$ il existe toujours une solution forcée c.-à-d. une solution particulière de l'équation hétérogène de même forme que l'excitation c.-à-d. de forme constante dans la mesure où $\;\color {transparent}{k\neq 0}\;$ il existe toujours une solution forcée car la dérivée étant identiquement nulle on obtient $\;k\,f_{\text{forcée}}=D\;$ soit $\;f_{\text{forcée}}={\dfrac {D}{k}}\;$ et par suite
$\;f(x)=f_{\text{libre}}(x)+f_{\text{forcée}}\;$
$\;f_{\text{libre}}(x)=A\,\exp(-k\,x)\;$
$\;A\;$
$\;f(x)=A\,\exp(-k\,x)+{\dfrac {D}{k}}\;$

### Deuxième ordre sans terme du premier ordre à excitation constante

Soit «$\;f''(x)+c\,f(x)=D\;$ où $\;D\;$ est l'excitation constante » ;
dans la mesure où $\;c\neq 0\;$ il existe toujours une solution forcée c.-à-d. une solution particulière de l'équation hétérogène de même forme que l'excitation c.-à-d. de forme constante dans la mesure où $\;\color {transparent}{c\neq 0}\;$ il existe toujours une solution forcée car la dérivée 2nde étant identiquement nulle on obtient $\;c\,f_{\text{forcée}}=D\;$ soit $\;f_{\text{forcée}}$ $={\dfrac {D}{c}}\;$ et par suite
$\;f(x)=f_{\text{libre}}(x)+f_{\text{forcée}}\;$
$\;f_{\text{libre}}(x)=\left\lbrace {\begin{array}{c}A\,\cos({\sqrt {c}}\,x)+B\,\sin({\sqrt {c}}\,x)\\{\text{ou }}\quad C\,\cos({\sqrt {c}}\,x+\varphi )\end{array}}\right.\;$
$\;A,\;B,\;C,\;\varphi \;$
$\;f(x)=\left\lbrace {\begin{array}{r c r}A\,\cos({\sqrt {c}}\,x)+B\,\sin({\sqrt {c}}\,x)\!\!&+&\!\!{\dfrac {D}{c}}\\\!\!&{\text{ou}}&\!\!\\C\,\cos({\sqrt {c}}\,x+\varphi )\!\!&+&\!\!{\dfrac {D}{c}}\end{array}}\right.\;$

## Retour sur la résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre avec terme du premier ordre
### Rappel de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre avec terme du premier ordre en f(x) sous forme normalisée

La forme normalisée d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2nd ordre avec terme du 1er ordre en $\;f(x)\;$ correspondant au cœfficient de la dérivée 2nde égal à $\;1\;$ s'écrit
$\;f''(x)+b\,f'(x)+c\,f(x)=e(x)\;$
$\;b\;$
$\;c\;$
$\;e(x)\;$
Si $\;e(x)=0\;\;\forall x\;$ l'équation est dite homogène et
si $\;\exists \;x_{0}\;$ tel que $\;e(x_{0})\neq 0\;$ l'équation est dite hétérogène.

### Rappel de la forme de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre hétérogène avec terme du premier ordre en f(x)

Nous avons établi dans le paragraphe intitulé « but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ou 2ème ordre hétérogène » plus haut dans ce chapitre que
la solution générale de l'équation hétérogène est la somme de la solution générale de l'équation homogène et d'une solution particulière de l'équation hétérogène c.-à-d.
$\;f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=f_{\text{géné de l'équa homo}}(x)+f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)\;$
dans quasiment tous les cas il existe une solution particulière de l'équation différentielle hétérogène de même forme que l'excitation et alors, la solution générale de l'équation hétérogène se réécrit
$\;f(x)=f_{\text{libre}}(x)+f_{\text{forcée}}(x)\;$
$\;f_{\text{libre}}(x)\;$
$\;f_{\text{forcée}}(x)\;$

### Recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre homogène avec terme du premier ordre en f(x)

On cherche donc à résoudre $\;f''(x)+b\,f'(x)+c\,f(x)=0\;$ avec $\;b\;$ et $\;c\;$ des constantes réelles non nulles, pour cela on applique la méthode exposée dans le paragraphe « méthode de recherche d'une (ou de deux indépendantes) solution(s) particulière(s) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er (ou 2ème) ordre homogène » plus haut dans ce chapitre à savoir
chercher des solutions du type $\;\exp(s\,x)\;$ car ses dérivées 1ère $\;s\,\exp(s\,x)\;$ et 2nde $\;s^{2}\,\exp(s\,x)\;$ lui étant $\;\propto$, l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène du 2ème ordre en $\;f(x)\;$ se transforme en équation algébrique du 2ème degré en $\;s\;$ après simplification par $\;\exp(s\,x)\;$, l'équation algébrique ainsi obtenue étant appelée « équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène ».

#### Équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre homogène avec terme du premier ordre en f(x)

Appliquant la méthode précédemment rappelée on obtient l'équation caractéristique du 2ème degré en la variable algébrique réelle $\;s\;$ suivante
$\;s^{2}+b\;s+c=0\;$

#### Résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre homogène avec terme du premier ordre en f(x) et forme de la solution libre réelle de cette équation différentielle

La résolution de l'équation caractéristique passe par l'évaluation de son « discriminant $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$» et La résolution de l'équation caractéristique passe par l'étude de son signe :

##### Cas où le discriminant Δ est positif, solution libre apériodique

« Si $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ est $\;>0\;$», l'équation caractéristique admet deux solutions réelles distinctes «$\;s_{\pm }={\dfrac {-b\pm {\sqrt {\Delta }}}{2}}\;$» et
« Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$» la solution générale libre étant générée par la base constituée des deux solutions particulières exponentielles s'écrit
$\;f_{l}(x)=A_{+}\,\exp \!\left(s_{+}\;x\right)+A_{-}\,\exp \!\left(s_{-}\;x\right)\;$
$\;A_{+}\;$
$\;A_{-}\;$

##### Cas où le discriminant Δ est nul, solution libre apériodique critique

« Si $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ est $\;=0\;$», l'équation caractéristique admet une solution réelle double «$\;s_{d}={\dfrac {-b}{2}}\;$» et « Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{=0}\;$» on en déduit une seule solution particulière de forme exponentielle $\;\exp \!\left(s_{d}\;x\right)$, il faut donc chercher une 2ème solution particulière d'une autre forme, « Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{=0}\;$» on en déduit une seule solution particulière de forme exponentielle $\;\color {transparent}{\exp \!\left(s_{d}\;x\right)}$, on vérifie ci-dessous que $\;x\;\exp \!\left(s_{d}\;x\right)\;$ convient ;
« Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{=0}\;$» vérification : si $\;f_{\text{part}}(x)=x\;\exp \!\left({\dfrac {-b}{2}}\;x\right)$, la dérivée 1ère vaut $\;{f'}_{\text{part}}(x)=\exp \!\left({\dfrac {-b}{2}}\;x\right)+x\,\left({\dfrac {-b}{2}}\right)\,\exp \!\left({\dfrac {-b}{2}}\;x\right)\;$ et « Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{=0}\;$» vérification : si $\;\color {transparent}{f_{\text{part}}(x)=x\;\exp \!\left(-b\;x\right)}$, la dérivée 2nde vaut $\;{f''}_{\text{part}}(x)=-2\,\left({\dfrac {-b}{2}}\right)\,\exp \!\left({\dfrac {-b}{2}}\;x\right)+x\,\left({\dfrac {-b}{2}}\right)^{\!2}\,\exp \!\left({\dfrac {-b}{2}}\;x\right)$, « Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{=0}\;$» vérification : formant alors la C.L. du 1er membre de l'équation différentielle, on trouve $\;0\;$ « Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{=0}\;$» vérification : ce qui prouve que $\;x\;\exp \!\left({\dfrac {-b}{2}}\;x\right)\;$ est bien solution particulière de l'équation différentielle homogène ;
la solution générale libre étant générée par la base constituée des deux solutions particulières «$\;\exp \!\left(s_{d}\;x\right)\;$ et $\;x\;\exp \!\left(s_{d}\;x\right)\;$» s'écrit
$\;f_{l}(x)=\left(A+B\;x\right)\,\exp \!\left(s_{d}\;x\right)\;$
$\;A\;$
$\;B\;$

##### Cas où le discriminant Δ est négatif, solution libre pseudo-périodique

« Si $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ est $\;<0\;$», l'équation caractéristique n'admet aucune solution réelle, il n'y a alors pas de solution libre particulière réelle de forme exponentielle à l'équation différentielle, « Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$» il faudrait donc chercher deux solutions particulières sous une autre forme mais $\;\ldots \;$ « Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$» nous allons procéder autrement de façon à utiliser l'équation caractéristique déjà écrite :
« Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$» si cette équation caractéristique n'a pas de solutions réelles, elle a néanmoins deux solutions complexes conjuguées distinctes, et par suite « Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$» il y a deux solutions libres particulières complexes de forme exponentielle à cette équation différentielle « Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$» il y a deux solutions libres particulières complexes servant de base à l'espace vectoriel de ses solutions libres complexes, « Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$» il y a deux solutions libres particulières complexes les deux cœfficients générateurs étant complexes et correspondant à quatre cœfficients générateurs réels ; « Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$» à partir de la solution générale libre complexe nous obtiendrons la solution générale libre réelle en écrivant que « Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$» à partir de la solution générale libre complexe nous obtiendrons la partie imaginaire de la solution générale libre complexe est identiquement nulle, « Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$» à partir de la solution générale libre complexe nous obtiendrons ce qui, donnant deux relations de liaison entre les quatre cœfficients générateurs réels, « Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$» à partir de la solution générale libre complexe nous obtiendrons ce qui, laissera uniquement deux cœfficients générateurs réels $\;\ldots$
Résolution de l'équation caractéristique en complexe et solution générale libre complexe de l'équation différentielle homogène : Résolution de l'équation caractéristique en complexe l'équation caractéristique ayant deux solutions complexes conjuguées distinctes «$\;{\underline {s_{\pm }}}={\dfrac {-b\pm i\;{\sqrt {\vert \Delta \vert }}}{2}}\;$», Résolution de l'équation caractéristique en complexe la solution générale libre complexe de l'équation différentielle homogène s'écrit Résolution de l'équation caractéristique en complexe «$\;{\underline {f_{l}}}(x)={\underline {A_{+}}}\;\exp \!\left({\underline {s_{+}}}\;x\right)+{\underline {A_{-}}}\;\exp \!\left({\underline {s_{-}}}\;x\right)={\underline {A_{+}}}\;\exp \!\left({\dfrac {-b+i\;{\sqrt {\vert \Delta \vert }}}{2}}\;x\right)+{\underline {A_{-}}}\;\exp \!\left({\dfrac {-b-i\;{\sqrt {\vert \Delta \vert }}}{2}}\;x\right)\;$», Résolution de l'équation caractéristique en complexe «$\;\color {transparent}{{\underline {f_{l}}}(x)=}$$\;{\underline {A_{+}}}\;$ et $\;{\underline {A_{-}}}\;$ étant deux constantes complexes arbitraires.
Détermination de la solution générale libre réelle de l'équation différentielle homogène à partir de la solution générale libre complexe : Détermination de la solution générale libre réelle il faut écrire que la partie imaginaire de $\;{\underline {f_{l}}}(x)\;$ est identiquement nulle et pour cela Détermination de la solution générale libre réelle nous définissons les cœfficients générateurs complexes sous leur forme trigonométrique $\;{\underline {A_{+}}}=A_{+}\;\exp \!\left(i\;\varphi _{+}\right)\;$ et $\;{\underline {A_{-}}}=A_{-}\;\exp \!\left(i\;\varphi _{-}\right)\;$ $\Rightarrow$ Détermination de la solution générale libre réelle réécriture de $\;{\underline {f_{l}}}(x)\;$ selon «$\;{\underline {f_{l}}}(x)=\exp \!\left(-{\dfrac {b}{2}}\;x\right)\left\lbrace A_{+}\;\exp \!\left[i\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x+\varphi _{+}\right)\right]+A_{-}\;\exp \!\left[-i\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x-\varphi _{-}\right)\right]\right\rbrace \;$» Détermination de la solution générale libre réelle de partie imaginaire $\;\Im \!\left[{\underline {f_{l}}}(x)\right]=\exp \!\left(-{\dfrac {b}{2}}\;x\right)\left[A_{+}\,\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x+\varphi _{+}\right)-A_{-}\,\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x-\varphi _{-}\right)\right]$ ; Détermination de la solution générale libre réelle la nullité du terme imaginaire est réalisé pour tout $\;x\;$ si la nullité du terme entre crochets l'est et pour cela on décompose les sinus Détermination de la solution générale libre réelle à l'aide des formules de trigonométrie $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x+\varphi _{+}\right)=\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x\right)\;\cos \!\left(\varphi _{+}\right)+\sin \!\left(\varphi _{+}\right)\;\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x\right)\\\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x-\varphi _{-}\right)=\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x\right)\;\cos \!\left(\varphi _{-}\right)-\sin \!\left(\varphi _{-}\right)\;\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où Détermination de la solution générale libre réelle la réécriture du terme entre crochets $\;\Im \!\left[{\underline {f_{l}}}(x)\right]\exp \!\left({\dfrac {b}{2}}\;x\right)=$ Détermination de la solution générale libre réelle la réécriture du terme entre crochets $\left[A_{+}\;\cos \!\left(\varphi _{+}\right)-A_{-}\;\cos \!\left(\varphi _{-}\right)\right]\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x\right)+\left[A_{+}\;\sin \!\left(\varphi _{+}\right)+A_{-}\;\sin \!\left(\varphi _{-}\right)\right]\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x\right)\;$ dont Détermination de la solution générale libre réelle la nullité $\;\forall \;x\;$ $\Rightarrow$ la nullité simultanée des cœfficients de $\;\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x\right)\;$ et de $\;\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x\right)\;$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A_{+}\;\cos \!\left(\varphi _{+}\right)=A_{-}\;\cos \!\left(\varphi _{-}\right)\\A_{+}\;\sin \!\left(\varphi _{+}\right)=-A_{-}\;\sin \!\left(\varphi _{-}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$» soit Détermination de la solution générale libre réelle $\blacktriangleright \;$en faisant la somme membre à membre des carrés $\;A_{+}^{2}=A_{-}^{2}\;$ ou, les modules étant nécessairement positifs, «$\;A_{+}=A_{-}\;$», Détermination de la solution générale libre réelle $\blacktriangleright \;$«$\;A_{+}=A_{-}\;$» $\Rightarrow$ les arguments $\;\varphi _{+}\;$ et $\;\varphi _{-}\;$ suivent $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\cos \!\left(\varphi _{+}\right)=\cos \!\left(\varphi _{-}\right)\\\sin \!\left(\varphi _{+}\right)=-\sin \!\left(\varphi _{-}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ réalisés pour «$\;\varphi _{-}=-\varphi _{+}\;$» ;
Détermination de la solution générale libre réelle la solution générale libre complexe est réelle ssi les cœfficients générateurs $\;{\underline {A_{+}}}\;$ et $\;{\underline {A_{-}}}\;$ sont conjugués l'un de l'autre «$\;{\underline {A_{-}}}=\left[{\underline {A_{+}}}\right]^{*}\;$», d'où Détermination de la solution générale libre réelle la solution générale libre réelle $\;f_{l}(x)=\;$ à la partie réelle de la solution générale libre complexe $\;\Re \!\left[{\underline {f_{l}}}(x)\right]\;$ soit Détermination de la solution générale libre réelle «$\;f_{l}(x)=\Re \!\left[{\underline {f_{l}}}(x)\right]=\exp \!\left(-{\dfrac {b}{2}}\;x\right)\left[A_{+}\,\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x+\varphi _{+}\right)+A_{-}\,\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x-\varphi _{-}\right)\right]\;$» ou encore, Détermination de la solution générale libre réelle avec $\;{\underline {A_{-}}}=\left[{\underline {A_{+}}}\right]^{*}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A_{+}=A_{-}\\\varphi _{+}=-\varphi _{-}\end{array}}\right\rbrace$, «$\;f_{l}(x)=2\;A_{+}\;\exp \!\left(-{\dfrac {b}{2}}\;x\right)\;\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x+\varphi _{+}\right)\;$».
Forme de la solution générale libre réelle de l'équation différentielle si$\;\Delta \;$est$\;<0$ : «$\;f_{l}(x)=A\;\exp \!\left(-{\dfrac {b}{2}}\;x\right)\;\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x+\varphi \right)\;$» avec «$\;A\;$ et $\;\varphi \;$ constantes réelles arbitraires ».
Autre forme$\;{\big$moins utilisée${\big )}\;$de la solution générale libre réelle de l'équation différentielle si$\;\Delta \;$est$\;<0$ : «$\;f_{l}(x)=\exp \!\left(-{\dfrac {b}{2}}\;x\right)\left[A'\;\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x\right)+B'\;\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x\right)\right]\;$» Autre forme$\;\color {transparent}{\big$moins utilisée$\color {transparent}{\big )}\;$de la solution générale libre réelle de l'équation différentielle si $\;\color {transparent}{\Delta }\;$est$\;\color {transparent}{<0}$ : «$\;\color {transparent}{f_{l}(x)=}$ avec «$\;A'\;$ et $\;B'\;$ constantes réelles arbitraires ».
Remarque : On retrouve les deux formes de « solution libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène du 2ème ordre en f(x) sans terme du 1er ordre » dans les deux formes de solution libre pseudo-périodique ci-dessus en faisant tendre le cœfficient du terme d'ordre un vers zéro c.-à-d. $\;b\rightarrow 0\;$ $\Rightarrow$ $\;\Delta \rightarrow -4\;c\;$ d'où $\;{\dfrac {\sqrt {\Delta }}{2}}\rightarrow {\sqrt {c}}$.

### Solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre hétérogène avec terme du premier ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante

Soit «$\;f''(x)+b\,f'(x)+c\,f(x)=D\;$ où $\;D\;$ est l'excitation constante » ;
dans la mesure où $\;c\neq 0\;$, il existe toujours une solution forcée c.-à-d. une solution particulière de l'équation hétérogène de même forme que l'excitation c.-à-d. de forme constante dans la mesure où $\;\color {transparent}{c\neq 0}\;$ il existe toujours une solution forcée car les dérivées 2nde et 1ère étant identiquement nulles on obtient $\;c\,f_{f}=D\;$ soit «$\;f_{f}={\dfrac {D}{c}}\;$».

### Solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre hétérogène avec terme du premier ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante

Dans la mesure où $\;c\neq 0\;$, nous avons vu au paragraphe « solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2nd ordre hétérogène avec terme du 1er ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante » plus haut dans ce chapitre, qu'il existe toujours une solution forcée égale à $\;f_{f}={\dfrac {D}{c}}\;$ et par suite Dans la mesure où $\;\color {transparent}{c\neq 0}\;$ la solution générale de l'équation différentielle hétérogène s'écrit «$\;f(x)=f_{l}(x)+f_{f}=f_{l}(x)+{\dfrac {D}{c}}\;$» dans laquelle $\;f_{l}(x)\;$ est Dans la mesure où $\;\color {transparent}{c\neq 0}\;$ la solution libre de l'équation différentielle prenant, suivant le signe du discriminant $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ de l'équation caractéristique $\;s^{2}+b\,s+c=0\;$, Dans la mesure où $\;\color {transparent}{c\neq 0}\;$ la solution libre de l'équation différentielle prenant, la forme $\blacktriangleright \;$apériodique, Dans la mesure où $\;\color {transparent}{c\neq 0}\;$ la solution libre de l'équation différentielle prenant, la forme $\blacktriangleright \;$apériodique critique ou Dans la mesure où $\;\color {transparent}{c\neq 0}\;$ la solution libre de l'équation différentielle prenant, la forme $\blacktriangleright \;$pseudo-périodique Dans la mesure où $\;\color {transparent}{c\neq 0}\;$ $\;\ldots$

## Méthode « des complexes » de détermination de la solution forcée sinusoïdale (quand elle existe) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants réels hétérogène à excitation sinusoïdale
### Exposé de la recherche de la solution forcée sinusoïdale (quand elle existe) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale

On cherche la solution forcée sinusoïdale $\;{\big$quand elle existe${\big )}\;$ de l'équation différentielle linéaire normalisée à cœfficients réels constants hétérogène du 1er ou du 2ème ordre en $\;f(x)\;$ On cherche la solution forcée sinusoïdale $\;\color {transparent}{\big$quand elle existe$\color {transparent}{\big )}\;$ de l'équation différentielle linéaire normalisée à cœfficients réels constants hétérogène d'excitation sinusoïdale c.-à-d. On cherche la solution forcée sinusoïdale $\;\color {transparent}{\big$quand elle existe$\color {transparent}{\big )}\;$ de l'équation différentielle en $\;f(x)\;$ suivante $\bullet \;$$\qquad \quad \quad \;\;f'(x)+k\,f(x)=e(x)$, $\;k\in \mathbb {R} ^{*}\;$ ou On cherche la solution forcée sinusoïdale $\;\color {transparent}{\big$quand elle existe$\color {transparent}{\big )}\;$ de l'équation différentielle en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ suivante $\bullet \;$$\;f''(x)+b\,f'(x)+c\,f(x)=e(x)$, $\;b\in \mathbb {R} \;$ et $\;c\in \mathbb {R} ^{*}\;$, On cherche la solution forcée sinusoïdale $\;\color {transparent}{\big$quand elle existe$\color {transparent}{\big )}\;$ de l'équation différentielle en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ $e(x)\;$ étant l'excitation sinusoïdale de fréquence $\;\sigma \;$ et d'amplitude $\;E_{m}$, toutes deux fixées, et On cherche la solution forcée sinusoïdale $\;\color {transparent}{\big$quand elle existe$\color {transparent}{\big )}\;$ de l'équation différentielle en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ on cherche, dans le cas où elle existe, la solution forcée sinusoïdale de même fréquence $\;\sigma$.

### Les deux faces identiques de la recherche de la solution forcée sinusoïdale (quand elle existe) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale suivant que celle-ci est sous la forme d'un cosinus ou d'un sinus

Supposons que l'excitation s'écrive $\;e_{1}(x)=E_{m}\,\cos \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi _{e}\right)$, nous cherchons la solution forcée sinusoïdale $\;{\big$quand elle existe${\big )}\;$ sous la forme $\;f_{f,\,1}(x)=A_{m}\,\cos \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\psi \right)\;$ Supposons que l'excitation s'écrive $\;\color {transparent}{e_{1}(x)=E_{m}\,\cos \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi _{e}\right)}$, nous cherchons dans laquelle $\;A_{m}\;$ et $\;\psi \;$ sont à déterminer en fonction des cœfficients caractérisant l'équation différentielle, Supposons que l'excitation s'écrive $\;\color {transparent}{e_{1}(x)=E_{m}\,\cos \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi _{e}\right)}$, nous cherchons de la fréquence commune $\;\sigma$, de l'amplitude $\;E_{m}\;$ et de la phase à l'origine $\;\varphi _{e}\;$ de l'excitation, Supposons que l'excitation s'écrive $\;\color {transparent}{e_{1}(x)=E_{m}\,\cos \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi _{e}\right)}$, nous cherchons ce 1er problème étant noté $\;({\mathfrak {1}})$ ;
supposons maintenant que l'excitation s'écrive $\;e_{2}(x)=E_{m}\,\sin \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi _{e}\right)\;$, nous cherchons la solution forcée sinusoïdale $\;{\big$quand elle existe${\big )}\;$ selon $\;f_{f,\,2}(x)=A_{m}\,\sin \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\psi \right)\;$ Supposons maintenant que l'excitation s'écrive $\;\color {transparent}{e_{2}(x)=E_{m}\,\sin \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi _{e}\right)}$, nous cherchons avec les mêmes valeurs $\;A_{m}\;$ et $\;\psi \;$ que dans le 1er problème précédent, Supposons maintenant que l'excitation s'écrive $\;\color {transparent}{e_{2}(x)=E_{m}\,\sin \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi _{e}\right)}$, nous cherchons ce 2ème problème étant noté $\;({\mathfrak {2}})$ ;
ainsi les deux faces de la recherche de la solution forcée sinusoïdale $\;{\big$quand elle existe${\big )}\;$ d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale ainsi les deux faces de la recherche de la solution forcée sinusoïdale suivant que celle-ci est sous la forme d'un cosinus ou d'un sinus sont : ainsi les deux faces de la recherche de la solution forcée sinusoïdale $\bullet \;$pour une équation du 1er ordre $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\dfrac {df_{f,\,1}}{dx}}(x)+k\,f_{f,\,1}(x)=e_{1}(x)=E_{m}\,\cos \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi _{e}\right)\quad \;\left({\mathfrak {1}}\right)\\{\dfrac {df_{f,\,2}}{dx}}(x)+k\,f_{f,\,2}(x)=e_{2}(x)=E_{m}\,\sin \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi _{e}\right)\quad \;\left({\mathfrak {2}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ ainsi les deux faces de la recherche de la solution forcée sinusoïdale $\color {transparent}{\bullet }\;$avec recherche de solution forcée selon $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}f_{f,\,1}(x)=A_{m}\,\cos \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\psi \right)\quad \;{\text{ sol. forcée de }}\left({\mathfrak {1}}\right)\\f_{f,\,2}(x)=A_{m}\,\sin \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\psi \right)\quad \;{\text{ sol. forcée de }}\left({\mathfrak {2}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ et ainsi les deux faces de la recherche de la solution forcée sinusoïdale $\bullet \;$pour une équation du 2ème ordre $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\dfrac {d^{2}f_{f,\,1}}{dx^{2}}}(x)+b\,{\dfrac {df_{f,\,1}}{dx}}(x)+c\,f_{f,\,1}(x)=e_{1}(x)=E_{m}\,\cos \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi _{e}\right)\quad \;\left({\mathfrak {1}}\right)\\{\dfrac {d^{2}f_{f,\,2}}{dx^{2}}}(x)+b\,{\dfrac {df_{f,\,2}}{dx}}(x)+c\,f_{f,\,2}(x)=e_{2}(x)=E_{m}\,\sin \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi _{e}\right)\quad \;\left({\mathfrak {2}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ ainsi les deux faces de la recherche de la solution forcée sinusoïdale $\color {transparent}{\bullet }\;$avec recherche de solution forcée selon $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}f_{f,\,1}(x)=A_{m}\,\cos \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\psi \right)\quad \;{\text{ sol. forcée de }}\left({\mathfrak {1}}\right)\\f_{f,\,2}(x)=A_{m}\,\sin \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\psi \right)\quad \;{\text{ sol. forcée de }}\left({\mathfrak {2}}\right)\end{array}}\right\rbrace$.

### Exposé de la méthode « des complexes » pour trouver la solution forcée sinusoïdale (quand elle existe) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale suivant que celle-ci est sous la forme d'un cosinus ou d'un sinus

Formant l'« équation différentielle $\;\left({\mathfrak {1}}'\right)=\left({\mathfrak {1}}\right)+i\,\left({\mathfrak {2}}\right)\;$» et introduisant l'« excitation instantanée complexe par même C.L. $\;{\underline {e}}(x)=e_{1}(x)+i\;e_{2}(x)=E_{m}\;\exp \!\left[i\,\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi _{e}\right)\right]\;$» ainsi que Formant l'« équation différentielle $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}'\right)=\left({\mathfrak {1}}\right)+i\,\left({\mathfrak {2}}\right)}\;$» et introduisant la « réponse forcée instantanée complexe selon même C.L. $\;{\underline {f_{f}}}(x)=f_{f,\,1}(x)+i\;f_{f,\,2}(x)=A_{m}\;\exp \!\left[i\,\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\psi \right)\right]\;$», Formant l'« équation différentielle $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}'\right)=\left({\mathfrak {1}}\right)+i\,\left({\mathfrak {2}}\right)}\;$» nous obtenons une équation différentielle $\;\left({\mathfrak {1}}'\right)\;$ linéaire à cœfficients réels constants hétérogène en fonction complexe $\;{\underline {f}}(x)\;$ et Formant l'« équation différentielle $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}'\right)=\left({\mathfrak {1}}\right)+i\,\left({\mathfrak {2}}\right)}\;$» nous obtenons une équation différentielle $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}'\right)}\;$ linéaire à cœfficients réels constants hétérogène d'excitation complexe $\;{\underline {e}}(x)\;$ Formant l'« équation différentielle $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}'\right)=\left({\mathfrak {1}}\right)+i\,\left({\mathfrak {2}}\right)}\;$» nous obtenons une équation différentielle $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}'\right)}\;$ s'avérant nettement plus simple pour déterminer la solution forcée $\;{\underline {f_{f}}}(x)\;$ et dont Formant l'« équation différentielle $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}'\right)=\left({\mathfrak {1}}\right)+i\,\left({\mathfrak {2}}\right)}\;$» nous obtenons une équation différentielle $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}'\right)}\;$ $\bullet \;$la partie réelle est l'équation différentielle $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ d'excitation $\;e_{1}(x)=\Re \!\left[{\underline {e}}(x)\right]$, Formant l'« équation différentielle $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}'\right)=\left({\mathfrak {1}}\right)+i\,\left({\mathfrak {2}}\right)}\;$» nous obtenons une équation différentielle $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}'\right)}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$de solution forcée sinusoïdale $\;{\big$dans la mesure où elle existe${\big )}$ $\;f_{f,\,1}(x)=\Re \!\left[{\underline {f_{f}}}(x)\right]\;$ et Formant l'« équation différentielle $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}'\right)=\left({\mathfrak {1}}\right)+i\,\left({\mathfrak {2}}\right)}\;$» nous obtenons une équation différentielle $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}'\right)}\;$ $\bullet \;$la partie imaginaire est l'équation différentielle $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ d'excitation $\;e_{2}(x)=\Im \!\left[{\underline {e}}(x)\right]$, Formant l'« équation différentielle $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}'\right)=\left({\mathfrak {1}}\right)+i\,\left({\mathfrak {2}}\right)}\;$» nous obtenons une équation différentielle $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}'\right)}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$de solution forcée sinusoïdale $\;{\big$dans la mesure où elle existe${\big )}$ $\;f_{f,\,2}(x)=\Im \!\left[{\underline {f_{f}}}(x)\right]$.
Remarque : une fois obtenue la solution forcée complexe $\;{\underline {f_{f}}}(x)\;$ ${\big$quand celle-ci existe${\big )}\;$ à partir de l'équation différentielle $\;\left({\mathfrak {1}}'\right)$, nous pourrions en déduire la solution sinusoïdale forcée à l'un ou l'autre des problèmes envisagés en en prenant la partie réelle pour le problème $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ et la partie imaginaire pour le problème $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ $\ldots \;$ mais nous n'utiliserons pas cette méthode, en préférant une encore plus simple ne nécessitant pas la prise de partie réelle ou imaginaire.

#### Grandeurs instantanées complexes et amplitudes complexes associées

La « grandeur instantanée complexe » $\;{\underline {s}}(x)\;$ associée à la fonction $\;s(x)=\left\lbrace {\begin{array}{c}A\,\cos \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi \right)\\{\text{ou}}\\A\,\sin \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi \right)\end{array}}\right\rbrace \;$ est la fonction à valeurs complexes de la variable $\;x\;$ dont La « grandeur instantanée complexe » $\;\color {transparent}{{\underline {s}}(x)}\;$ associée à la fonction «$\;s(x)=A\,\cos \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi \right)\;$ est la partie réelle $\;s(x)=\Re \!\left[{\underline {s}}(x)\right]\;$» ou La « grandeur instantanée complexe » $\;\color {transparent}{{\underline {s}}(x)}\;$ associée à la fonction «$\;s(x)=A\,\sin \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi \right)\;$ est la partie imaginaire $\;s(x)=\Im \!\left[{\underline {s}}(x)\right]\;$» ; ainsi La « grandeur instantanée complexe » «$\;{\underline {s}}(x)=A\,\exp \!\left[i\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi \right)\right]\;$ est telle que $\;s(x)=\left\lbrace {\begin{array}{c}A\,\cos \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi \right)=\Re \!\left[{\underline {s}}(x)\right]\\{\text{ou}}\\A\,\sin \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi \right)=\Im \!\left[{\underline {s}}(x)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$».
On définit l'« amplitude complexe » comme la grandeur $\;{\underline {A}}\;$ telle que la grandeur instantanée complexe associée s'écrive $\;{\underline {s}}(x)={\underline {A}}\,\exp \!\left[i\left(2\,\pi \,\sigma \,x\right)\right]$ ; On définit l'« amplitude complexe » est donc égale à «$\;{\underline {A}}=A\,\exp \!\left(i\,\varphi \right)\;$», On définit son module étant égal à l'amplitude de la fonction sinusoïdale c.-à-d. «$\;\vert {\underline {A}}\vert =A\;$» et On définit son argument étant égal à la phase à l'origine de la fonction sinusoïdale c.-à-d. «$\;\mathrm {arg} \!\left({\underline {A}}\right)=\varphi \;$» ;
conséquence : la connaissance de l'amplitude complexe est donc équivalente à celle de la grandeur instantanée complexe et par suite conséquence : la connaissance de l'amplitude complexe est donc équivalente à celle de la fonction sinusoïdale de la variable $\;x\;$ à condition de connaître la forme de cette dernière « cosinusoïdale » ou conséquence : la connaissance de l'amplitude complexe est donc équivalente à celle de la fonction sinusoïdale de la variable $\;\color {transparent}{x}\;$ à condition de connaître la forme de cette dernière « sinusoïdale ».

#### Dérivation première ou seconde des grandeurs instantanées complexes par rapport à la variable x

La simplification de la recherche de solution sinusoïdale forcée d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale par la méthode des complexes La simplification provient du fait que $\bullet \;$la dérivation 1ère par rapport à $\;x\;$ de $\;{\underline {f_{f}}}(x)={\underline {A_{m}}}\,\exp \!\left[i\left(2\,\pi \,\sigma \,x\right)\right]\;$ est équivalente à une « multiplication de $\;{\underline {f_{f}}}(x)\;$ par $\;i\left(2\,\pi \,\sigma \right)\;$» et La simplification provient du fait que $\bullet \;$la dérivation 2ème par rapport à $\;x\;$ de $\;{\underline {f_{f}}}(x)={\underline {A_{m}}}\,\exp \!\left[i\left(2\,\pi \,\sigma \,x\right)\right]\;$ est équivalente à une « multiplication de $\;{\underline {f_{f}}}(x)\;$ par $\;\left[i\left(2\,\pi \,\sigma \right)\right]^{2}=-\left(2\,\pi \,\sigma \right)^{2}\;$» $\;\ldots$

#### Recherche de la solution forcée complexe de l'équation différentielle (1')
##### Solution forcée complexe de l'équation différentielle (1') du 1er ordre

L'équation différentielle $\;({\mathfrak {1}}')\;$ s'écrivant «$\;{\dfrac {d{\underline {f}}}{dx}}(x)+k\,{\underline {f}}(x)={\underline {e}}(x)\;$» avec «$\;{\underline {e}}(x)={\underline {E_{m}}}\,\exp \!\left[i\left(2\,\pi \,\sigma \,x\right)\right]\;$» ou, L'équation différentielle $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{d{\underline {f}}(x)+k\,{\underline {f}}(x)={\underline {e}}(x)}\;$» avec «$\;{\underline {e}}(x)={\underline {E_{m}}}\,\exp \!\left(i\,k_{\text{puls}}\,x\right)\;$» en introduisant la pulsation $\;{\big$spatiale${\big )}$ $\;k_{\text{puls}}=2\,\pi \,\sigma \;$ de l'excitation, L'équation différentielle $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{d{\underline {f}}(x)+k\,{\underline {f}}(x)={\underline {e}}(x)}\;$» avec la solution forcée complexe étant cherchée sous la forme $\;{\underline {f_{f}}}(x)={\underline {A_{m}}}\,\exp \!\left(i\,k_{\text{puls}}\,x\right)$, L'équation l'équation $\;({\mathfrak {1}}')\;$ de recherche de cette solution se réécrit «$\;i\,k_{\text{puls}}\,{\underline {f_{f}}}(x)+k\,{\underline {f_{f}}}(x)={\underline {e}}(x)\;$» ou, en explicitant $\;{\underline {f_{f}}}(x)$, L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution se réécrit «$\;\left[i\,k_{\text{puls}}+k\right]\,{\underline {A_{m}}}\,\exp \!\left(i\,k_{\text{puls}}\,x\right)={\underline {E_{m}}}\,\exp \!\left(i\,k_{\text{puls}}\,x\right)\;$» soit, en simplifiant par $\;\exp \!\left(i\,k_{\text{puls}}\,x\right)$, L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution se réécrit «$\;\left[i\,k_{\text{puls}}+k\right]{\underline {A_{m}}}={\underline {E}}\;$» $\;{\big$indépendante de la variable $\;x{\big )}\;$ établissant l'existence de la solution forcée complexe L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution se réécrit «$\;\color {transparent}{\left[i\,k_{\text{puls}}+k\right]{\underline {A_{m}}}={\underline {E}}}\;$» $\color {transparent}{\big$indépendante de la variable $\;\color {transparent}{x{\big )}}\;$ établissant dans la mesure où $\;i\,k_{\text{puls}}+k\;$ ne peut pas s'annuler L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution correspondant à une amplitude complexe «$\;{\underline {A_{m}}}={\dfrac {\underline {E_{m}}}{k+i\,k_{\text{puls}}}}={\dfrac {\underline {E_{m}}}{k+i\,2\,\pi \,\sigma }}\;$» et L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution correspondant à la solution forcée complexe «$\;{\underline {f_{f}}}(x)={\dfrac {\underline {E}}{k+i\,k_{\text{puls}}}}\,\exp \!\left(i\,k_{\text{puls}}\,x\right)={\dfrac {\underline {E_{m}}}{k+i\,2\,\pi \,\sigma }}\,\exp \!\left[i\left(2\,\pi \,\sigma \,x\right)\right]\;$».

##### Solution forcée complexe de l'équation différentielle (1') du 2ème ordre

L'équation différentielle $\;({\mathfrak {1}}')\;$ s'écrivant «$\;{\dfrac {d^{2}{\underline {f}}}{dx^{2}}}(x)+b\,{\dfrac {d{\underline {f}}}{dx}}(x)+c\,{\underline {f}}(x)={\underline {e}}(x)\;$» avec «$\;{\underline {e}}(x)={\underline {E_{m}}}\,\exp \!\left[i\left(2\,\pi \,\sigma \,x\right)\right]\;$» ou, L'équation différentielle $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{d^{2}{\underline {f}}(x)+b\,d{\underline {f}}(x)+c\,{\underline {f}}(x)={\underline {e}}(x)}\;$» avec «$\;{\underline {e}}(x)={\underline {E_{m}}}\,\exp \!\left(i\,k\,x\right)\;$» en introduisant la pulsation $\;{\big$spatiale${\big )}$ $\;k=2\,\pi \,\sigma \;$ de l'excitation, L'équation différentielle $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{d^{2}{\underline {f}}(x)+b\,d{\underline {f}}(x)+c\,{\underline {f}}(x)={\underline {e}}(x)}\;$» avec la solution forcée complexe étant cherchée sous la forme $\;{\underline {f_{f}}}(x)={\underline {A_{m}}}\,\exp \!\left(i\,k\,x\right)$, $\Rightarrow$ L'équation l'équation $\;({\mathfrak {1}}')\;$ de recherche de cette solution «$\;-\,k^{2}\,{\underline {f_{f}}}(x)+b\,i\,k\,{\underline {f_{f}}}(x)+c\,{\underline {f_{f}}}(x)={\underline {e}}(x)\;$» ou, en explicitant $\;{\underline {f_{f}}}(x)$, L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution «$\;\left[-k^{2}+i\,b\,k+c\right]\,{\underline {A_{m}}}\,\exp \!\left(i\,k\,x\right)={\underline {E_{m}}}\,\exp \!\left(i\,k\,x\right)\;$» soit, en simplifiant par $\;\exp \!\left(i\,k\,x\right)$, L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution «$\;\left[-k^{2}+i\,b\,k+c\right]{\underline {A_{m}}}={\underline {E_{m}}}\;$» $\;{\big$indépendante de la variable $\;x{\big )}\;$ établissant l'inexistence de solution forcée complexe L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution «$\;\color {transparent}{\left[-k^{2}+i\,b\,k+c\right]{\underline {A_{m}}}={\underline {E_{m}}}}\;$» $\color {transparent}{\big$indépendante de la variable $\;\color {transparent}{x{\big )}}\;$ établissant l'inexistence « si $\;b=0\;$ et $\;c>0\;$» pour L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution «$\;\color {transparent}{\left[-k^{2}+i\,b\,k+c\right]{\underline {A_{m}}}={\underline {E_{m}}}}\;$» $\color {transparent}{\big$indépendante de la variable $\;\color {transparent}{x{\big )}}\;$ établissant l'inexistence une pulsation $\;{\big$spatiale${\big )}$ $\;k={\sqrt {c}}\;$ L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution «$\;\color {transparent}{\left[-k^{2}+i\,b\,k+c\right]{\underline {A_{m}}}={\underline {E_{m}}}}\;$» $\color {transparent}{\big$indépendante de la variable $\;\color {transparent}{x{\big )}}\;$ établissant l'inexistence ${\big{\underline {A_{m}}}\;$ y serait de module $\;\infty {\big ]}\;$ mais L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution «$\;\color {transparent}{\left[-k^{2}+i\,b\,k+c\right]{\underline {A_{m}}}={\underline {E_{m}}}}\;$» $\color {transparent}{\big$indépendante de la variable $\;\color {transparent}{x{\big )}}\;$ établissant l'existence de la solution forcée complexe L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution «$\;\color {transparent}{\left[-k^{2}+i\,b\,k+c\right]{\underline {A_{m}}}={\underline {E_{m}}}}\;$» $\color {transparent}{\big$indépendante de la variable $\;\color {transparent}{x{\big )}}\;$ établissant l'existence $\bullet \;$« si $\;b\neq 0\;$» ou L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution «$\;\color {transparent}{\left[-k^{2}+i\,b\,k+c\right]{\underline {A_{m}}}={\underline {E_{m}}}}\;$» $\color {transparent}{\big$indépendante de la variable $\;\color {transparent}{x{\big )}}\;$ établissant l'existence $\bullet \;$« si $\;b=0\;$ et $\;c<0\;$» ou encore L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution «$\;\color {transparent}{\left[-k^{2}+i\,b\,k+c\right]{\underline {A_{m}}}={\underline {E_{m}}}}\;$» $\color {transparent}{\big$indépendante de la variable $\;\color {transparent}{x{\big )}}\;$ établissant l'existence $\bullet \;$« si $\;b=0\;$ et $\;c>0\;$» pour une L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution «$\;\color {transparent}{\left[-k^{2}+i\,b\,k+c\right]{\underline {A_{m}}}={\underline {E_{m}}}}\;$» $\color {transparent}{\big$indépendante de la variable $\;\color {transparent}{x{\big )}}\;$ établissant l'existence $\color {transparent}{\bullet }\;$pulsation $\;{\big$spatiale${\big )}$ $\;k\neq {\sqrt {c}}\;$, L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution correspondant à une amplitude complexe «$\;{\underline {A_{m}}}={\dfrac {\underline {E_{m}}}{(c-k^{2})+i\,b\,k}}={\dfrac {\underline {E_{m}}}{\left[c-\left(2\,\pi \,\sigma \right)^{2}\right]+i\,b\,2\,\pi \,\sigma }}\;$» et L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution correspondant à la solution forcée complexe «$\;{\underline {f_{f}}}(x)={\dfrac {\underline {E_{m}}}{(c-k^{2})+i\,b\,k}}\,\exp \!\left(i\,k\,x\right)={\dfrac {\underline {E_{m}}}{\left[c-\left(2\,\pi \,\sigma \right)^{2}\right]+i\,b\,2\,\pi \,\sigma }}\,\exp \!\left[i\left(2\,\pi \,\sigma \,x\right)\right]\;$».

##### Solution forcée complexe de l'équation différentielle (1') du nème ordre avec n entier naturel non nul

L'équation différentielle $\;({\mathfrak {1}}')\;$ s'écrivant «$\;{\dfrac {d^{n}{\underline {f}}}{dx^{n}}}(x)+{a'}_{n-1}\,{\dfrac {d^{n-1}{\underline {f}}}{dx^{n-1}}}(x)+\cdots +{a'}_{i}\,{\dfrac {d^{i}{\underline {f}}}{dx^{i}}}(x)+\cdots +{a'}_{0}\,{\underline {f}}(x)={\underline {e}}(x)\;$» avec «$\;{\underline {e}}(x)={\underline {E_{m}}}\,\exp \!\left[i\left(2\,\pi \,\sigma \,x\right)\right]\;$» ou, L'équation différentielle $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{d^{n}{\underline {f}}(x)+{a'}_{n-1}\,d^{n-1}{\underline {f}}(x)+\cdots +{a'}_{i}\,d^{i}{\underline {f}}(x)+\cdots +{a'}_{0}\,{\underline {f}}(x)={\underline {e}}(x)}\;$» avec «$\;{\underline {e}}(x)={\underline {E_{m}}}\,\exp \!\left(i\,k\,x\right)\;$» en introduisant la pulsation $\;{\big$spatiale${\big )}$ L'équation différentielle $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{d^{n}{\underline {f}}(x)+{a'}_{n-1}\,d^{n-1}{\underline {f}}(x)+\cdots +{a'}_{i}\,d^{i}{\underline {f}}(x)+\cdots +{a'}_{0}\,{\underline {f}}(x)={\underline {e}}(x)}\;$» avec «$\;\color {transparent}{{\underline {e}}(x)={\underline {E_{m}}}\,\exp \!\left(i\,k\,x\right)}\;$» $\;k=2\,\pi \,\sigma \;$ de l'excitation, L'équation différentielle $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{d^{n}{\underline {f}}(x)+{a'}_{n-1}\,d^{n-1}{\underline {f}}(x)+\cdots +{a'}_{i}\,d^{i}{\underline {f}}(x)+\cdots +{a'}_{0}\,{\underline {f}}(x)={\underline {e}}(x)}\;$» avec la solution forcée complexe étant cherchée sous la forme L'équation différentielle $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{d^{n}{\underline {f}}(x)+{a'}_{n-1}\,d^{n-1}{\underline {f}}(x)+\cdots +{a'}_{i}\,d^{i}{\underline {f}}(x)+\cdots +{a'}_{0}\,{\underline {f}}(x)={\underline {e}}(x)}\;$» avec la solution forcée complexe étant cherchée $\;{\underline {f_{f}}}(x)={\underline {A_{m}}}\,\exp \!\left(i\,k\,x\right)$, L'équation l'équation $\;({\mathfrak {1}}')\;$ de recherche de cette solution se réécrit, en « remplaçant $\;{\dfrac {d^{i}{\underline {f}}}{dx^{i}}}(x)\;$ par $\;\left(i\,k\right)^{i}\;{\underline {f_{f}}}(x)\;$» et en factorisant le 1er membre par $\;{\underline {f_{f}}}(x)$, L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution se réécrit, «$\;\left[\left(i\,k\right)^{n}+{a'}_{n-1}\,\left(i\,k\right)^{n-1}+\cdots +{a'}_{i}\,\left(i\,k\right)^{i}+\cdots +{a'}_{0}\right]{\underline {f_{f}}}(x)={\underline {e}}(x)\;$» ou, en explicitant $\;{\underline {f_{f}}}(x)$, L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution se réécrit, «$\;\left[\left(i\,k\right)^{n}+{a'}_{n-1}\,\left(i\,k\right)^{n-1}+\cdots +{a'}_{i}\,\left(i\,k\right)^{i}+\cdots +{a'}_{0}\right]\,{\underline {A_{m}}}\,\exp \!\left(i\,k\,x\right)={\underline {E_{m}}}\,\exp \!\left(i\,k\,x\right)\;$» soit, L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution se réécrit en simplifiant par $\;\exp \!\left(i\,k\,x\right)$, «$\;\left[\left(i\,k\right)^{n}+{a'}_{n-1}\,\left(i\,k\right)^{n-1}+\cdots +{a'}_{i}\,\left(i\,k\right)^{i}+\cdots +{a'}_{0}\right]\,{\underline {A_{m}}}={\underline {E_{m}}}\;$» L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution se réécrit en simplifiant par $\;\color {transparent}{\exp \!\left(i\,k\,x\right)}$, ${\big$indépendante de la variable $\;x{\big )}\;$ ou encore, L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution définissant le « polynôme caractéristique de cette équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants d'ordre $\;n\;$» selon L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution définissant le «$\;{\mathcal {P}}_{n}\!\left(i\,k\right)=\left(i\,k\right)^{n}+{a'}_{n-1}\,\left(i\,k\right)^{n-1}+\cdots +{a'}_{i}\,\left(i\,k\right)^{i}+\cdots +{a'}_{0}\;$», l'équation $\;({\mathfrak {1}}')\;$ de recherche de $\;{\underline {A_{m}}}\;$ se réécrit, L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution se réécrit, «$\;{\mathcal {P}}_{n}\!\left(i\,k\right)\,{\underline {A_{m}}}={\underline {E_{m}}}\;$» $\;{\big$indépendante de la variable $\;x{\big )}\;$ établissant l'inexistence de solution forcée complexe pour L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution se réécrit «$\;\color {transparent}{{\mathcal {P}}_{n}\!\left(i\,k\right)\,{\underline {A_{m}}}={\underline {E_{m}}}}\;$» $\;\color {transparent}{\big$indépendante de la variable $\;\color {transparent}{x{\big )}}\;$ établissant l'inexistence les valeurs de pulsation $\;{\big$spatiale${\big )}$ $\;k\;$ L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution se réécrit «$\;\color {transparent}{{\mathcal {P}}_{n}\!\left(i\,k\right)\,{\underline {A_{m}}}={\underline {E_{m}}}}\;$» $\;\color {transparent}{\big$indépendante de la variable $\;\color {transparent}{x{\big )}}\;$ établissant l'inexistence telles que $\;{\mathcal {P}}_{n}\!\left(i\,k\right)=0\;$ ${\big{\underline {A_{m}}}\;$ y serait de L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution se réécrit «$\;\color {transparent}{\left[-k^{2}+i\,b\,k+c\right]{\underline {A_{m}}}={\underline {E_{m}}}}\;$» $\color {transparent}{\big$indépendante de la variable $\;\color {transparent}{x{\big )}}\;$ établissant l'inexistence module $\;\infty {\big ]}\;$ mais L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution se réécrit «$\;\color {transparent}{{\mathcal {P}}_{n}\!\left(i\,k\right)\,{\underline {A_{m}}}={\underline {E_{m}}}}\;$» $\;\color {transparent}{\big$indépendante de la variable $\;\color {transparent}{x{\big )}}\;$ établissant l'existence de la solution forcée complexe pour L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution se réécrit «$\;\color {transparent}{{\mathcal {P}}_{n}\!\left(i\,k\right)\,{\underline {A_{m}}}={\underline {E_{m}}}}\;$» $\;\color {transparent}{\big$indépendante de la variable $\;\color {transparent}{x{\big )}}\;$ établissant l'existence les valeurs de pulsation $\;{\big$spatiale${\big )}$ $\;k\;$ L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution se réécrit «$\;\color {transparent}{{\mathcal {P}}_{n}\!\left(i\,k\right)\,{\underline {A_{m}}}={\underline {E_{m}}}}\;$» $\;\color {transparent}{\big$indépendante de la variable $\;\color {transparent}{x{\big )}}\;$ établissant l'existence telles que $\;{\mathcal {P}}_{n}\!\left(i\,k\right)\neq 0\;$ L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution correspondant à une amplitude complexe «$\;{\underline {A_{m}}}={\dfrac {\underline {E_{m}}}{{\mathcal {P}}_{n}\!\left(i\,k\right)}}={\dfrac {\underline {E_{m}}}{{\mathcal {P}}_{n}\!\left(i\,2\,\pi \,\sigma \right)}}\;$» et L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution correspondant à la solution forcée complexe «$\;{\underline {f_{f}}}(x)={\dfrac {\underline {E_{m}}}{{\mathcal {P}}_{n}\!\left(i\,k\right)}}\,\exp \!\left(i\,k\,x\right)={\dfrac {\underline {E_{m}}}{{\mathcal {P}}_{n}\!\left(i\,2\,\pi \,\sigma \right)}}\,\exp \!\left[i\left(2\,\pi \,\sigma \,x\right)\right]\;$».

#### Détermination de l'amplitude et de la phase à l'origine de la réponse forcée sinusoïdale (quand celle-ci existe) à partir de l'amplitude complexe de la réponse forcée complexe

Compte-tenu de la définition de l'amplitude complexe $\;{\underline {A_{m}}}=A_{m}\;\exp \!\left(i\,\psi \right)\;$ on en déduit «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A_{m}=\vert {\underline {A_{m}}}\vert \\\psi =\mathrm {arg} \!\left[{\underline {A_{m}}}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$».

##### Amplitude et phase à l'origine de la solution sinusoïdale forcée de l'équation différentielle (1) ou (2) du 1er ordre

Ayant introduit la pulsation $\;{\big$spatiale${\big )}$ $\;k_{\text{puls}}=2\,\pi \,\sigma \;$ et Ayant trouvé, pour toutes valeurs de celle-ci, une valeur d'amplitude complexe «$\;{\underline {A_{m}}}={\dfrac {\underline {E_{m}}}{k+i\,k_{\text{puls}}}}={\dfrac {\underline {E_{m}}}{k+i\,2\,\pi \,\sigma }}\;$» on en déduit, pour la réponse forcée sinusoïdale, $\blacktriangleright \;$son amplitude «$\;A_{m}=\vert {\underline {A_{m}}}\vert ={\dfrac {E_{m}}{\sqrt {k^{2}+k_{\text{puls}}^{2}}}}={\dfrac {E_{m}}{\sqrt {k^{2}+4\,\pi ^{2}\,\sigma ^{2}}}}\;$» et on en déduit, pour la réponse forcée sinusoïdale, $\blacktriangleright \;$sa phase à l'origine «$\;\psi =\mathrm {arg} \!\left[{\underline {A_{m}}}\right]=\varphi _{e}-\arctan \!\left[{\dfrac {k_{\text{puls}}}{k}}\right]=\varphi _{e}-\arctan \!\left[{\dfrac {2\,\pi \,\sigma }{k}}\right]\;$».

##### Amplitude et phase à l'origine de la solution sinusoïdale forcée de l'équation différentielle (1) ou (2) du 2ème ordre

Ayant introduit la pulsation $\;{\big$spatiale${\big )}$ $\;k=2\,\pi \,\sigma \;$ et Ayant trouvé, pour toutes valeurs de celle-ci quand $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l c l}b\neq 0\\b=0\!\!&{\text{avec}}&\!\!c<0\\b=0\!\!&{\text{avec}}&\!\!c>0\!\!&{\text{et}}&\!\!k\neq {\sqrt {c}}\end{array}}\right\rbrace$, une valeur d'amplitude complexe «$\;{\underline {A_{m}}}={\dfrac {\underline {E_{m}}}{(c-k^{2})+i\,b\,k}}={\dfrac {\underline {E_{m}}}{\left[c-\left(2\,\pi \,\sigma \right)^{2}\right]+i\,b\,2\,\pi \,\sigma }}\;$» on en déduit, pour la réponse forcée sinusoïdale, $\blacktriangleright \;$son amplitude «$\;A_{m}=\vert {\underline {A_{m}}}\vert ={\dfrac {E_{m}}{\sqrt {\left(c-k^{2}\right)^{2}+b^{2}\,k^{2}}}}={\dfrac {E_{m}}{\sqrt {\left(c-4\,\pi ^{2}\,\sigma ^{2}\right)^{2}+b^{2}\,4\,\pi ^{2}\,\sigma ^{2}}}}\;$» et on en déduit, pour la réponse forcée sinusoïdale, $\blacktriangleright \;$sa phase à l'origine «$\;\psi =\mathrm {arg} \!\left[{\underline {A_{m}}}\right]=\varphi _{e}-\mathrm {arg} \!\left[(c-k^{2})+i\,b\,k\right]=\varphi _{e}-\mathrm {arg} \!\left\lbrace i\,b\,k\left[1-i\,{\dfrac {c-k^{2}}{b\,k}}\right]\right\rbrace \;$$^,$ soit encore on en déduit, pour la réponse forcée sinusoïdale, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sa phase à l'origine «$\;\psi =\varphi _{e}-\mathrm {sgn} (b)\,{\dfrac {\pi }{2}}+\arctan \!\left[{\dfrac {c-k^{2}}{b\,k}}\right]=\varphi _{e}-\mathrm {sgn} (b)\,{\dfrac {\pi }{2}}+\arctan \!\left[{\dfrac {c-4\,\pi ^{2}\,\sigma ^{2}}{b\,2\,\pi \,\sigma }}\right]\;$».

#### Expression de la réponse forcée sinusoïdale (quand celle-ci existe) de l'équation différentielle (1) ou (2) à l'excitation sinusoïdale

Dans l'équation différentielle $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ l'excitation ayant la forme $\;e(x)=E_{m}\,\cos \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi _{e}\right)$, la réponse forcée sinusoïdale de $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ à l'excitation s'écrit $\;f_{f}(x)=A_{m}\,\cos \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\psi \right)\;$ et
dans l'équation différentielle $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ l'excitation ayant la forme $\;e(x)=E_{m}\,\sin \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi _{e}\right)$, la réponse forcée sinusoïdale de $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ à l'excitation s'écrit $\;f_{f}(x)=A_{m}\,\sin \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\psi \right)$.

### Cas de l'échec de la méthode de recherche de la solution forcée sinusoïdale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale, le polynôme caractéristique s'annulant pour la pulsation (spatiale) envisagée

Nous avons vu qu'il n'y avait jamais échec dans le cas d'une équation différentielle du 1er ordre ni Nous avons vu qu'il n'y avait jamais échec dans le cas d'une équation différentielle du 2ème ordre si $\;b\neq 0\;$ ;
Nous avons vu qu'il n'y a pas échec dans le cas d'une équation différentielle du 2ème ordre où $\;b=0\;$ et $\;c<0\;$ ainsi que Nous avons vu qu'il n'y a pas échec dans le cas d'une équation différentielle du 2ème ordre où $\;b=0\;$ et $\;c>0\;$ pour les pulsations $\;{\big$spatiales${\big )}$ de l'excitation $\;k\neq {\sqrt {c}}\;$ mais Nous avons vu qu'il y a échec dans le cas d'une équation différentielle du 2ème ordre où $\;b=0\;$ et $\;c>0\;$ pour la pulsation $\;{\big$spatiale${\big )}$ de l'excitation valant $\;k_{0}={\sqrt {c}}\;$ Nous avons vu qu'il y a échec dans le cas d'une équation différentielle du 2ème ordre où $\;\color {transparent}{b=0}\;$ et $\;\color {transparent}{c>0}\;$ à laquelle correspond le polynôme caractéristique de l'équation différentielle s'annulant ;
nous nous plaçons donc dans le cas d'une équation différentielle du 2ème ordre où $\;b=0\;$ et $\;c>0$, la pulsation $\;{\big$spatiale${\big )}$ de l'excitation valant $\;k_{0}={\sqrt {c}}\;$ ;
nous nous plaçons donc dans le cas soit l'équation différentielle «$\;{\dfrac {d^{2}f}{dx^{2}}}(x)+c\;f(x)=e(x)\;$ avec $\;c>0\;$ et $\;e(x)=E_{m}\,\cos \!\left({\sqrt {c}}\;x+\varphi _{e}\right)\;$» ou encore nous nous plaçons donc dans le cas soit l'équation différentielle «$\;{\dfrac {d^{2}f}{dx^{2}}}(x)+k_{0}^{2}\;f(x)=e(x)\;$ avec $\;e(x)=E_{m}\,\cos \!\left(k_{0}\;x+\varphi _{e}\right)\;$» $\;{\big$en éliminant $\;c>0\;$ au profit de $\;k_{0}={\sqrt {c}}{\big )}$ ; nous nous plaçons donc dans le cas comme il n'existe pas de solution particulière de l'équation différentielle linéaire hétérogène de même forme que l'excitation, nous nous plaçons donc dans le cas comme il n'existe pas il convient donc d'en chercher une sous une autre forme et nous le ferons nous nous plaçons donc dans le cas comme il n'existe pas il convient donc d'en chercher une sous la forme «$\;f_{\text{part. d'équa hétéro}}(x)=\alpha \;x\;\cos \!\left(k_{0}\;x+\psi \right)\;$».

#### Détermination directe de α et ψ

Nous cherchons une solution particulière de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2ème ordre «$\;{\dfrac {d^{2}f}{dx^{2}}}(x)+k_{0}^{2}\;f(x)=E_{m}\,\cos \!\left(k_{0}\;x+\varphi _{e}\right)\;$» Nous cherchons une solution particulière sous la forme «$\;f_{\text{part. d'équa hétéro}}(x)=\alpha \;x\;\cos \!\left(k_{0}\;x+\psi \right)\;$» et Nous cherchons une solution particulière pour cela nous évaluons $\blacktriangleright \;$«$\;{\dfrac {df_{\text{part. d'équa hétéro}}}{dx}}(x)=\alpha \;\cos \!\left(k_{0}\;x+\psi \right)-\alpha \;x\;k_{0}\;\sin \!\left(k_{0}\;x+\psi \right)\;$» et Nous cherchons une solution particulière pour cela nous évaluons $\blacktriangleright \;$«$\;{\dfrac {d^{2}f_{\text{part. d'équa hétéro}}}{dx^{2}}}(x)=-2\,\alpha \;k_{0}\;\sin \!\left(k_{0}\;x+\psi \right)-\alpha \;x\;k_{0}^{2}\;\cos \!\left(k_{0}\;x+\psi \right)\;$» d'où, par report dans le 1er membre de Nous cherchons une solution particulière «$\;\color {transparent}{d^{2}f_{\text{part. d'équa hétéro}}(x)+k_{0}^{2}\;f_{\text{part. d'équa hétéro}}(x)=-2\,\alpha \;k_{0}\;\sin \!\left(k_{0}\;x+\psi \right)-\alpha \;x\;k_{0}^{2}\;\cos \!\left(k_{0}\;x+\psi \right)}\;$ d'où, par report l'équation différentielle, Nous cherchons une solution particulière «$\;{\dfrac {d^{2}f_{\text{part. d'équa hétéro}}}{dx^{2}}}(x)+k_{0}^{2}\;f_{\text{part. d'équa hétéro}}(x)=\left[-2\,\alpha \;k_{0}\;\sin \!\left(k_{0}\;x+\psi \right)-{\cancel {\alpha \;x\;k_{0}^{2}\;\cos \!\left(k_{0}\;x+\psi \right)}}\right]+{\cancel {k_{0}^{2}\;\alpha \;x\;\cos \!\left(k_{0}\;x+\psi \right)}}$ Nous cherchons une solution particulière «$\;\color {transparent}{d^{2}f_{\text{part. d'équa hétéro}}(x)+k_{0}^{2}\;f_{\text{part. d'équa hétéro}}(x)}$ $=-2\,\alpha \;k_{0}\;\sin \!\left(k_{0}\;x+\psi \right)\;$» à identifier à «$\;E_{m}\,\cos \!\left(k_{0}\;x+\varphi _{e}\right)\;$» ou, l'identification suivante Nous cherchons une solution particulière «$\;\color {transparent}{d^{2}f_{\text{part. d'équa hétéro}}(x)+k_{0}^{2}\;f_{\text{part. d'équa hétéro}}(x)}$ «$\;2\,\alpha \;k_{0}\;\cos \!\left(k_{0}\;x+\psi +{\dfrac {\pi }{2}}\right)=E_{m}\,\cos \!\left(k_{0}\;x+\varphi _{e}\right)\;\;\forall \;x\;$» $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\alpha ={\dfrac {E_{m}}{2\;k_{0}}}\\\psi =\varphi _{e}-{\dfrac {\pi }{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où Nous cherchons la solution particulière de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2ème ordre «$\;{\dfrac {d^{2}f}{dx^{2}}}(x)+k_{0}^{2}\;f(x)=E_{m}\,\cos \!\left(k_{0}\;x+\varphi _{e}\right)\;$» Nous cherchons la solution particulière «$\;f_{\text{part. d'équa hétéro}}(x)={\dfrac {E_{m}}{2\;k_{0}}}\;x\;\cos \!\left(k_{0}\;x+\varphi _{e}-{\dfrac {\pi }{2}}\right)={\dfrac {E_{m}}{2\;k_{0}}}\;x\;\sin \!\left(k_{0}\;x+\varphi _{e}\right)\;$».

#### Détermination de α et ψ par prolongement de la méthode « des complexes »

Nous cherchons une solution particulière de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2ème ordre «$\;{\dfrac {d^{2}f}{dx^{2}}}(x)+k_{0}^{2}\;f(x)=e(x)=E_{m}\,\cos \!\left(k_{0}\;x+\varphi _{e}\right)\;\;({\mathfrak {1}})\;$» Nous cherchons une solution particulière sous la forme «$\;f_{\text{part. d'équa hétéro}}(x)=\alpha \;x\;\cos \!\left(k_{0}\;x+\psi \right)\;$» par prolongement de la méthode « des complexes » c.-à-d. Nous cherchons une solution particulière en introduisant l'excitation complexe $\;{\underline {e}}(x)={\underline {E_{m}}}\,\exp \!\left(i\,k_{0}\;x\right)\;$ associée à l'excitation sinusoïdale $\;e(x)=E_{m}\,\cos \!\left(k_{0}\;x+\varphi _{e}\right)$, Nous cherchons une solution particulière en introduisant l'amplitude complexe étant $\;{\underline {E_{m}}}=E_{m}\,\exp \!\left(i\,\varphi _{e}\right)\;$ et en cherchant la solution particulière complexe de l'équation différentielle «$\;({\mathfrak {1}}')\;\;{\dfrac {d^{2}{\underline {f}}}{dx^{2}}}(x)+k_{0}^{2}\;{\underline {f}}(x)={\underline {e}}(x)\;$» sous la forme «$\;{\underline {f_{\text{part. équa hétéro}}}}(x)={\underline {\alpha }}\,x\,\exp \!\left(i\,k_{0}\;x\right)\;$», avec en cherchant la solution particulière complexe de l'équation différentielle «$\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')\;\;d^{2}{\underline {f}}(x)+k_{0}^{2}\;{\underline {f}}(x)={\underline {e}}(x)}\;$» «$\;{\underline {\alpha }}=\alpha \,\exp \!\left(i\,\psi \right)\;$ cœfficient multiplicateur de $\;x\;$ dans la pseudo-amplitude en cherchant la solution particulière complexe de l'équation différentielle «$\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')\;\;d^{2}{\underline {f}}(x)+k_{0}^{2}\;{\underline {f}}(x)={\underline {e}}(x)}\;$» «$\;\color {transparent}{{\underline {\alpha }}=\alpha \,\exp \!\left(i\,\psi \right)}\;$ est le cœfficient complexe de $\;{\underline {f_{\text{part. équa hétéro}}}}(x)\;$», en cherchant la solution particulière de l'équation différentielle $\;({\mathfrak {1}})\;$ étant «$\;f_{\text{part. équa hétéro}}(x)=\alpha \,x\,\cos \!\left(k_{0}\;x+\psi \right)\;$ partie réelle de $\;{\underline {f_{\text{part. équa hétéro}}}}(x)={\underline {\alpha }}\,x\,\exp \!\left(i\,k_{0}\;x\right)\;$» ;
en cherchant la solution particulière pour cela nous évaluons $\blacktriangleright \;$«$\;{\dfrac {d{\underline {f_{\text{part. d'équa hétéro}}}}}{dx}}(x)={\underline {\alpha }}\;\exp \!\left(i\,k_{0}\;x\right)+i\,k_{0}\,{\underline {\alpha }}\;x\;\exp \!\left(i\,k_{0}\;x\right)\;$» et en cherchant la solution particulière pour cela nous évaluons $\blacktriangleright \;$«$\;{\dfrac {d^{2}{\underline {f_{\text{part. d'équa hétéro}}}}}{dx^{2}}}(x)=2\,i\,k_{0}\;{\underline {\alpha }}\;\exp \!\left(i\,k_{0}\;x\right)+\left(i\,k_{0}\right)^{2}\,{\underline {\alpha }}\;x\;\exp \!\left(i\,k_{0}\;x\right)\;$» d'où, par report dans le 1er membre de en cherchant la solution particulière pour cela nous évaluons $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$«$\;\color {transparent}{d^{2}f_{\text{part. d'équa hétéro}}(x)=2\,i\,k_{0}\;{\underline {\alpha }}\;\exp \!\left(i\,k_{0}\;x\right)+\left(i\,k_{0}\right)^{2}\,{\underline {\alpha }}\;x\;\exp \!\left(i\,k_{0}\;x\right)}\;$ d'où, par report l'équation différentielle $\;({\mathfrak {1}}')$, en cherchant la solution particulière «$\;{\dfrac {d^{2}{\underline {f_{\text{part. d'équa hétéro}}}}}{dx^{2}}}(x)+k_{0}^{2}\;{\underline {f_{\text{part. d'équa hétéro}}}}(x)=\left[2\,i\,k_{0}\;{\underline {\alpha }}\;\exp \!\left(i\,k_{0}\;x\right)+{\cancel {\left(i\,k_{0}\right)^{2}\,{\underline {\alpha }}\;x\;\exp \!\left(i\,k_{0}\;x\right)}}\right]+{\cancel {k_{0}^{2}\;{\underline {\alpha }}\;x\;\exp \!\left(i\,k_{0}\;x\right)}}$ en cherchant la solution particulière «$\;\color {transparent}{d^{2}f_{\text{part. d'équa hétéro}}(x)+k_{0}^{2}\;f_{\text{part. d'équa hétéro}}(x)}$ $=2\,i\,k_{0}\;{\underline {\alpha }}\;\exp \!\left(i\,k_{0}\;x\right)\;$» à identifier à «$\;{\underline {E_{m}}}\,\exp \!\left(i\,k_{0}\;x\right)\;$» $\Rightarrow$ «$\;2\,i\,k_{0}\;{\underline {\alpha }}={\underline {E_{m}}}\;$» d'où en cherchant la solution particulière le cœfficient multiplicateur de $\;x\;$ dans la pseudo-amplitude complexe de $\;{\underline {f_{\text{part. équa hétéro}}}}(x)$, «$\;{\underline {\alpha }}=-i\;{\dfrac {\underline {E_{m}}}{2\;k_{0}}}\;$» dont on tire en cherchant la solution particulière le cœfficient multiplicateur de $\;\color {transparent}{x}\;$ dans la pseudo-amplitude complexe de $\;\color {transparent}{{\underline {f_{\text{part. équa hétéro}}}}(x)}$, «$\;\alpha =\vert {\underline {\alpha }}\vert ={\dfrac {E_{m}}{2\;k_{0}}}\;$» ainsi que en cherchant la solution particulière le cœfficient multiplicateur de $\;\color {transparent}{x}\;$ dans la pseudo-amplitude complexe de $\;\color {transparent}{{\underline {f_{\text{part. équa hétéro}}}}(x)}$, «$\;\psi =\mathrm {arg} \!\left[{\underline {\alpha }}\right]=\varphi _{e}-{\dfrac {\pi }{2}}\;$» et par suite
en cherchant la solution particulière de l'équation différentielle $\;({\mathfrak {1}})\;$ «$\;{\dfrac {d^{2}f}{dx^{2}}}(x)+k_{0}^{2}\;f(x)=E_{m}\,\cos \!\left(k_{0}\;x+\varphi _{e}\right)\;$» s'écrit selon en cherchant la solution particulière «$\;f_{\text{part. d'équa hétéro}}(x)={\dfrac {E_{m}}{2\;k_{0}}}\;x\;\cos \!\left(k_{0}\;x+\varphi _{e}-{\dfrac {\pi }{2}}\right)={\dfrac {E_{m}}{2\;k_{0}}}\;x\;\sin \!\left(k_{0}\;x+\varphi _{e}\right)\;$».
Remarque : La méthode directe de détermination de la solution particulière de l'équation différentielle $\;{\dfrac {d^{2}f}{dx^{2}}}(x)+k_{0}^{2}\;f(x)=E_{m}\,\cos \!\left(k_{0}\;x+\varphi _{e}\right)\;$ étant relativement simple, Remarque : l'utilisation de la généralisation de la méthode « des complexes » ne se justifie absolument pas $\;\ldots$

## Résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 1er ordre
### Cas d'une équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 1er ordre homogène

Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en $\;f(x)\;$ homogène «$\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=0\;$» avec «$\;a_{0}(x)\;$ fonction réelle connue de la variable réelle $\;x\;$» ; ci-après nous indiquons deux méthodes pour résoudre cette équation différentielle :
* une 1ère n'utilisant pas le caractère « linéaire » de l'équation différentielle, « méthode de séparation des variables » : l'équation différentielle se réécrivant, après « adoption de la notation différentielle de la dérivée $\;f'(x)={\dfrac {df}{dx}}(x)\;$ », selon «$\;{\dfrac {df}{dx}}+a_{0}(x)\;f(x)=0\;$» dont nous déduisons, par séparation des variables, «$\;{\dfrac {df}{f}}=-a_{0}(x)\;dx\;$» dans la mesure où $\;f(x)\;$ n'est pas la fonction nulle $\;{\big \f(x)=0\;\;\forall \;x\;$ étant une solution triviale de l'équation différentielle, la supprimer pour poursuivre la résolution ne restreindra pas l'ensemble des solutions${\big \}$ ; une 1ère n'utilisant pas le caractère « linéaire » notant $\;A_{0}(x)\;$ une primitive de la fonction $\;a_{0}(x)$, une 1ère n'utilisant pas le caractère « linéaire » «$\;{\dfrac {df}{f}}=-a_{0}(x)\;dx\;$ s'intègre en $\;\ln \!\left(\vert f\vert \right)=-A_{0}(x)+A\;$ avec $\;A\;\in \;\mathbb {R} \;$ constante d'intégration » ou une 1ère n'utilisant pas le caractère « linéaire » «$\;\color {transparent}{df=-a_{0}(x)\;dx}\;$ s'intègre en «$\;\ln \!\left(\vert f\vert \right)=-A_{0}(x)+\ln \!\left(\vert \lambda \vert \right)\;$ avec $\;\lambda \;\in \;\mathbb {R} ^{*}\;$ telle que $\;\vert \lambda \vert =\exp(A)\;$» une 1ère n'utilisant pas le caractère « linéaire » «$\;\color {transparent}{df=-a_{0}(x)\;dx}\;$ s'intègre en «$\;\color {transparent}{\ln \!\left(\vert f\vert \right)=-A_{0}(x)+\ln \!\left(\vert \lambda \vert \right)}\;$ qui s'inverse en «$\;f(x)=\lambda \;\exp \!\left[-A_{0}(x)\right]\;$ avec $\;\lambda \in \mathbb {R} ^{*}\;$ constante d'intégration » ; une 1ère n'utilisant pas le caractère « linéaire » finalement en ajoutant la solution triviale $\;f(x)=0\;\;\forall \;x\;$ à la solution précédente, nous en déduisons que une 1ère n'utilisant pas le caractère « linéaire » finalement la solution générale de l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en $\;f(x)\;$ homogène «$\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=0\;$» avec $\;a_{0}(x)\;$ fonction réelle connue de la variable réelle $\;x\;$ s'écrit «$\;f(x)=\lambda \;\exp \!\left[-A_{0}(x)\right]\;$ avec $\;\lambda \in \mathbb {R} \;$ constante d'intégration », «$\;A_{0}(x)\;$ étant une primitive de $\;a_{0}(x)\;$» ;
* une 2ème utilisant le caractère « linéaire » de l'équation différentielle et le qualificatif « homogène » de celle-ci, ce qui permet d'utiliser la « propriété (admise) de l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ou 2ème ordre homogène » énoncée plus haut dans ce chapitre ; une 2ème utilisant le caractère « linéaire » l'ensemble des solutions de l'équation différentielle linéaire du 1er ordre en $\;f(x)\;$ homogène «$\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=0\;$» une 2ème utilisant le caractère « linéaire » l'ensemble des solutions de l'équation différentielle linéaire du 1er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ homogène étant un espace vectoriel à une dimension, il suffit de une 2ème utilisant le caractère « linéaire » déterminer une base de l'ensemble cherché pour obtenir tout l'ensemble c.-à-d. de une 2ème utilisant le caractère « linéaire » trouver une solution particulière de cette équation différentielle linéaire du 1er ordre homogène pour obtenir toutes les solutions possibles de cette équation une 2ème utilisant le caractère « linéaire » trouver une solution particulière de cette équation différentielle linéaire du 1er ordre homogène pour obtenir ${\big$c.-à-d. les multiples de la solution particulière${\big ]}\;$ d'où une 2ème utilisant le caractère « linéaire » la recherche d'une « solution particulière $\;f_{\text{part}}(x)\;$ de forme exponentielle $\;\exp \left[s(x)\right]\;$» car sa « dérivée 1ère $\;s'(x)\;\exp \left[s(x)\right]\;$ étant $\;\propto \;$ à $\;f_{\text{part}}(x)\;$» et une 2ème utilisant le caractère « linéaire » la recherche d'une « solution particulière $\;\color {transparent}{f_{\text{part}}(x)}\;$ de forme exponentielle $\;\color {transparent}{\exp \left[s(x)\right]}\;$» car l'« équation différentielle étant homogène », une 2ème utilisant le caractère « linéaire » la recherche d'une « solution particulière $\;\color {transparent}{f_{\text{part}}(x)}\;$ de forme exponentielle $\;\color {transparent}{\exp \left[s(x)\right]}\;$» nous pouvons « simplifier par $\;\exp \left[s(x)\right]\;$» d'où une 2ème utilisant le caractère « linéaire » la réécriture de l'équation différentielle après simplification «$\;s'(x)+a_{0}(x)=0\;$» qui s'intègre en «$\;s(x)=-\displaystyle \int ^{x}a_{0}(x')\;dx'\;$» et par suite une 2ème utilisant le caractère « linéaire » la solution particulière $\;f_{\text{part}}(x)\;$ de l'équation différentielle linéaire du 1er ordre en $\;f(x)\;$ homogène «$\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=0\;$», s'écrit une 2ème utilisant le caractère « linéaire » la solution particulière$\;f_{\text{part}}(x)=\exp \left[-A_{0}(x)\right]\;$ avec $\;A_{0}(x)\;$ primitive de $\;a_{0}(x)$ ; une 2ème utilisant le caractère « linéaire » finalement la solution générale de l'équation différentielle linéaire du 1er ordre en $\;f(x)\;$ homogène «$\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=0\;$» avec $\;a_{0}(x)\;$ fonction réelle connue de la variable réelle $\;x\;$ s'écrit «$\;f(x)=\lambda \;f_{\text{part}}(x)=\lambda \;\exp \!\left[-A_{0}(x)\right]\;$ avec $\;\lambda \in \mathbb {R} \;$ constante d'intégration », «$\;A_{0}(x)\;$ étant une primitive de $\;a_{0}(x)\;$».
Remarque : Bien que la 2ème méthode soit la plus directe $\;{\big$donc la plus rapide${\big )}$, ce n'est celle qui est utilisée préférentiellement par les physiciens.

### Cas d'une équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 1er ordre hétérogène

Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en $\;f(x)\;$ hétérogène «$\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=e(x)\;$» avec «$\;a_{0}(x)\;$ et $\;e(x)\;$ fonctions réelles connues de la variable réelle $\;x\;$», Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène «$\;\color {transparent}{f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=e(x)}\;$» avec «$\;e(x)\;$ étant l'excitation de l'équation différentielle », Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène nous utiliserons la méthode de résolution d'une équation différentielle linéaire du 1er ou 2ème ordre hétérogène Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène nous utiliserons la méthode exposée dans le cas de cœfficients constants plus haut dans ce chapitre mais Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène nous utiliserons la méthode restant applicable dans le cas de cœfficients non constants, Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène nous utiliserons la méthode fondée sur la propriété suivante Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène « la solution générale d'une équation différentielle linéaire hétérogène est Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène « la somme de la solution générale de l'équation homogène correspondante et Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène « la somme d'une solution particulière de l'équation hétérogène » c.-à-d. Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène «$\;f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=f_{\text{géné de l'équa homo}}(x)+f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)\;$» ;
Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène or la solution générale de l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en $\;f(x)\;$ homogène Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène or la solution générale de «$\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=0\;$» étant «$\;f_{\text{géné de l'équa homo}}(x)=\lambda \;\exp \!\left[-A_{0}(x)\right]\;$ Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène or la solution générale de «$\;\color {transparent}{f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=0}\;$» étant « avec $\;\lambda \in \mathbb {R} \;$ constante d'intégration et Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène or la solution générale de «$\;\color {transparent}{f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=0}\;$» étant « avec $\;A_{0}(x)\;$ une primitive de $\;a_{0}(x)\;$»,
Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène pour fixer la solution générale de l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en $\;f(x)\;$ hétérogène Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène pour fixer la solution générale de «$\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=e(x)\;$» il reste à en déterminer une solution particulière et, Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène pour cela, nous appliquons la « méthode de variation des constantes » $\;{\big \$inventée par Pierre-Simon Laplace Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène pour cela, nous appliquons la « applicable à des équations différentielles linéaires hétérogènes d'ordre quelconque${\big \}$ Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène pour d'où, recherche d'une solution particulière sous la forme «$\;f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)=g(x)\;\exp \!\left[-A_{0}(x)\right]\;$ Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène pour d'où, recherche d'une solution particulière sous la forme « avec $\;g(x)\;$ fonction à déterminer et Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène pour d'où, recherche d'une solution particulière sous la forme avec « $\;A_{0}(x)\;$ une primitive de $\;a_{0}(x)\;$», $\Rightarrow$ Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène pour cela, «$\;{f'}_{\!{\text{part de l'équa hétéro}}}(x)=g'(x)\;\exp \!\left[-A_{0}(x)\right]+g(x)\;\exp \!\left[-A_{0}(x)\right]\,\left[-{A'}_{\!0}(x)\right]$ Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène pour cela, «$\;\color {transparent}{{f'}_{\!{\text{part de l'équa hétéro}}}(x)}$ $=g'(x)\;\exp \!\left[-A_{0}(x)\right]-g(x)\;a_{0}(x)\;\exp \!\left[-A_{0}(x)\right]\;$», le report des Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène pour cela, expressions de la fonction et de sa dérivée dans l'équation différentielle linéaire hétérogène donnant Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène pour cela, «$\;\left\lbrace g'(x)\;\exp \!\left[-A_{0}(x)\right]-g(x)\;a_{0}(x)\;\exp \!\left[-A_{0}(x)\right]\right\rbrace +a_{0}(x)\,\left\lbrace g(x)\;\exp \!\left[-A_{0}(x)\right]\right\rbrace =e(x)\;$» soit, Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène pour cela, après simplification, «$\;g'(x)\;\exp \!\left[-A_{0}(x)\right]=e(x)\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;g'(x)=e(x)\;\exp \!\left[A_{0}(x)\right]\;$» $\Rightarrow$ Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène pour cela, «$\;g(x)\;$ est une primitive de $\;e(x)\;\exp \!\left[A_{0}(x)\right]\;$» c.-à-d. «$\;g(x)=\displaystyle \int ^{x}e(x')\;\exp \!\left[A_{0}(x')\right]dx'\;$»,
Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène pour d'où «$\;f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)=\left\lbrace \displaystyle \int ^{x}e(x')\;\exp \!\left[A_{0}(x')\right]dx'\right\rbrace \,\exp \!\left[-A_{0}(x)\right]\;$» $\Rightarrow$ Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène «$\;f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=\left\lbrace \displaystyle \int ^{x}e(x')\;\exp \!\left[A_{0}(x')\right]dx'\right\rbrace \,\exp \!\left[-A_{0}(x)\right]+\lambda \;\exp \!\left[-A_{0}(x)\right]\;$» Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène «$\;\color {transparent}{f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=}$ $\;{\big$avec $\;\lambda \in \mathbb {R} \;$ constante d'intégration${\big )}\;$ soit, «$\;\displaystyle \int ^{x}e(x')\;\exp \!\left[A_{0}(x')\right]dx'\;$ étant Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène «$\;\color {transparent}{f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=}$ $\;\color {transparent}{\big$avec $\;\color {transparent}{\lambda \in \mathbb {R} }\;$ constante d'intégration$\color {transparent}{\big )}\;$ soit, « définie à une constante additive près », Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène «$\;f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=\Lambda (x)\;\exp \!\left[-A_{0}(x)\right]\;$» avec «$\;\Lambda (x)\;$ primitive quelconque de $\;e(x)\;\exp \!\left[A_{0}(x)\right]\;$», Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène «$\;\color {transparent}{f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=\Lambda (x)\;\exp \!\left[-A_{0}(x)\right]}\;$» avec «$\;A_{0}(x)\;$ étant une primitive quelconque de $\;a_{0}(x)\;$».
Exemple : soit à résoudre «$\;f'(x)-2\;x\;f(x)=x^{2}\;$» dans laquelle «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}a_{0}(x)\!\!&=&\!\!-2\;x\\e(x)\!\!&=&\!\!x^{2}\end{array}}\right\rbrace \;$»,
Exemple : la solution générale de l'équation différentielle linéaire du 1er ordre homogène «$\;f'(x)-2\;x\;f(x)=0\;$» étant «$\;f_{\text{géné de l'équa homo}}(x)=\lambda \;\exp \!\left[-\left(-x^{2}\right)\right]=\lambda \;\exp \!\left(x^{2}\right)\;$$^,$ Exemple : la solution générale de l'équation différentielle linéaire du 1er ordre homogène «$\;\color {transparent}{f'(x)-2\;x\;f(x)=0}\;$» étant «$\;\color {transparent}{f_{\text{géné de l'équa homo}}(x)=}$ avec $\;\lambda \in \mathbb {R} \;$ constante d'intégration » $\Rightarrow$
Exemple : la solution générale de l'équation différentielle linéaire du 1er ordre hétérogène «$\;f'(x)-2\;x\;f(x)=x^{2}\;$» selon «$\;f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=\Lambda (x)\;\exp \!\left(x^{2}\right)\;$ Exemple : la solution générale de l'équation différentielle linéaire du 1er ordre hétérogène «$\;\color {transparent}{f'(x)-2\;x\;f(x)=x^{2}}\;$» selon «$\;\color {transparent}{f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=}$ avec $\;\Lambda (x)\;$ une primitive de $\;x^{2}\,\exp \!\left(-x^{2}\right)\;$» Exemple : la solution générale de l'équation différentielle linéaire du 1er ordre hétérogène «$\;\color {transparent}{f'(x)-2\;x\;f(x)=x^{2}}\;$» selon «$\;\color {transparent}{f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=}$ c.-à-d. «$\;\Lambda (x)=\displaystyle \int ^{x}{x'}^{2}\,\exp \!\left(-{x'}^{2}\right)\,dx'\;$» Exemple : la solution générale de l'équation différentielle linéaire du 1er ordre hétérogène «$\;\color {transparent}{f'(x)-2\;x\;f(x)=x^{2}}\;$» selon «$\;\color {transparent}{f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=}$ ou, après une intégration par parties $\;{\big$voir Exemple : la solution générale de l'équation différentielle linéaire du 1er ordre hétérogène «$\;\color {transparent}{f'(x)-2\;x\;f(x)=x^{2}}\;$» selon «$\;\color {transparent}{f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=}$ ou, la note « $^{85}$ » plus bas dans ce chapitre${\big ]}$, Exemple : la solution générale de l'équation différentielle linéaire du 1er ordre hétérogène «$\;\color {transparent}{f'(x)-2\;x\;f(x)=x^{2}}\;$» selon «$\;f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)={\dfrac {\sqrt {\pi }}{4}}\;\mathrm {erf} (x)\;\exp \!\left(x^{2}\right)-{\dfrac {x}{2}}+\lambda \;\exp \!\left(x^{2}\right)\;$» Exemple : la solution générale de l'équation différentielle linéaire du 1er ordre hétérogène «$\;\color {transparent}{f'(x)-2\;x\;f(x)=x^{2}}\;$» selon « avec «$\;\mathrm {erf} (x)={\dfrac {2}{\sqrt {\pi }}}\,\displaystyle \int _{0}^{x}\exp \!\left(-{x'}^{2}\right)\,dx'\;$ la fonction d'erreur » et Exemple : la solution générale de l'équation différentielle linéaire du 1er ordre hétérogène «$\;\color {transparent}{f'(x)-2\;x\;f(x)=x^{2}}\;$» selon « avec «$\;\lambda \in \mathbb {R} \;$ une constante d'intégration ».

## Résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 2ème ordre
### Cas d'une équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 2ème ordre homogène

Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en $\;f(x)\;$ homogène «$\;f''(x)+a_{1}(x)\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=0\;$» avec «$\;a_{1}(x)\;$ et $\;a_{0}(x)\;$ fonctions réelles connues Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ homogène «$\;\color {transparent}{f''(x)+a_{1}(x)\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=0}\;$» avec «$\;\color {transparent}{a_{1}(x)}\;$ et $\;\color {transparent}{a_{0}(x)}\;$ de la variable réelle $\;x\;$» ; ci-après une méthode de résolution de cette équation différentielle utilisant le caractère « linéaire » de cette dernière et ci-après une méthode de résolution de cette équation différentielle utilisant le qualificatif « homogène » de celle-ci, ci-après une méthode de résolution de cette équation différentielle utilisant le qualificatif « homogène » ce qui permet d'utiliser la « propriété (admise) de l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ou 2ème ordre homogène » énoncée plus haut dans ce chapitre ;
ci-après une méthode de résolution l'ensemble des solutions de l'équation différentielle linéaire du 2ème ordre en $\;f(x)\;$ homogène «$\;f''(x)+a_{1}(x)\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=0\;$» ci-après une méthode de résolution l'ensemble des solutions de l'équation différentielle linéaire du 2ème ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ homogène étant un espace vectoriel à deux dimensions, il suffit de ci-après une méthode de résolution déterminer une base de l'ensemble cherché pour obtenir tout l'ensemble c.-à-d. de ci-après une méthode de résolution trouver deux solutions particulières de cette équation différentielle linéaire du 2ème ordre homogène pour obtenir toutes les solutions possibles de cette équation ci-après une méthode de résolution trouver deux solutions particulières de cette équation différentielle linéaire du 2ème ordre homogène pour obtenir ${\big$c.-à-d. les C.L. des deux solutions particulières${\big ]}\;$ ci-après une méthode de résolution mais il n'existe pas de méthode pour déterminer ces solutions particulières dans le cas général ci-après une méthode de résolution par contre dès lors qu'une solution particulière $\,{\big$non nulle${\big )}\,$ «$\;f_{1}(x)\;$» de l'équation différentielle linéaire du 2ème ordre homogène est connue, il existe une ci-après une méthode de résolution par contre méthode pour déterminer une 2ème solution particulière indépendante «$\;f_{2}(x)\;$» faisant intervenir le wronskien de ces deux solutions particulières ci-après une méthode de résolution par contre défini selon «$\;W(x)={\Bigg \vert }{\begin{array}{c c}f_{1}(x)\!&\!f_{2}(x)\\{f'}_{\!1}(x)\!&\!{f'}_{\!2}(x)\end{array}}{\Bigg \vert }\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;W(x)=f_{1}(x)\;{f'}_{\!2}(x)-f_{2}(x)\;{f'}_{\!1}(x)\;$», la dérivée de ce dernier par rapport à la variable $\;x\;$ étant ci-après une méthode de résolution par contre défini selon «$\;\color {transparent}{W(x)={\Bigg \vert }{\begin{array}{c c}f_{1}(x)\!&\!f_{2}(x)\\{f'}_{\!1}(x)\!&\!{f'}_{\!2}(x)\end{array}}{\Bigg \vert }}\;$» $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ «$\;W'(x)={f'}_{\!1}(x)\;{f'}_{\!2}(x)+f_{1}(x)\;{f''}_{\!\!2}(x)-{f'}_{\!2}(x)\;{f'}_{\!1}(x)-f_{2}(x)\;{f''}_{\!\!1}(x)\;$» ou, après simplification, ci-après une méthode de résolution par contre défini selon «$\;\color {transparent}{W(x)={\Bigg \vert }{\begin{array}{c c}f_{1}(x)\!&\!f_{2}(x)\\{f'}_{\!1}(x)\!&\!{f'}_{\!2}(x)\end{array}}{\Bigg \vert }}\;$» $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ «$\;W'(x)=f_{1}(x)\;{f''}_{\!\!2}(x)-f_{2}(x)\;{f''}_{\!\!1}(x)\;$» et, avec «$\;f_{1}(x)\;$ et $\;f_{2}(x)\;$ solutions particulières de ci-après une méthode de résolution par contre défini selon «$\;\color {transparent}{W(x)={\Bigg \vert }{\begin{array}{c c}f_{1}(x)\!&\!f_{2}(x)\\{f'}_{\!1}(x)\!&\!{f'}_{\!2}(x)\end{array}}{\Bigg \vert }}\;$» $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ l'équation différentielle linéaire du 2ème ordre homogène $\;f''(x)+a_{1}(x)\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=0\;$ $\Rightarrow$ ci-après une méthode de résolution par contre défini selon «$\;\color {transparent}{W(x)={\Bigg \vert }{\begin{array}{c c}f_{1}(x)\!&\!f_{2}(x)\\{f'}_{\!1}(x)\!&\!{f'}_{\!2}(x)\end{array}}{\Bigg \vert }}\;$» $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ $\left\lbrace {\begin{array}{l}{f''}_{\!\!1}(x)=-a_{1}(x){f'}_{\!1}(x)-a_{0}(x)\;f_{1}(x)\\{f''}_{\!\!2}(x)=-a_{1}(x){f'}_{\!2}(x)-a_{0}(x)\;f_{2}(x)\end{array}}\right\rbrace \;$», la réécriture de $\;W'(x)\;$ selon ci-après une méthode de résolution par contre défini selon «$\;\color {transparent}{W(x)={\Bigg \vert }{\begin{array}{c c}f_{1}(x)\!&\!f_{2}(x)\\{f'}_{\!1}(x)\!&\!{f'}_{\!2}(x)\end{array}}{\Bigg \vert }}\;$» $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ «$\;W'(x)=f_{1}(x)\,\left[-a_{1}(x){f'}_{\!2}(x)-a_{0}(x)\;f_{2}(x)\right]-f_{2}(x)\,\left[-a_{1}(x){f'}_{\!1}(x)-a_{0}(x)\;f_{1}(x)\right]\;$» ou ci-après une méthode de résolution par contre défini selon «$\;\color {transparent}{W(x)={\Bigg \vert }{\begin{array}{c c}f_{1}(x)\!&\!f_{2}(x)\\{f'}_{\!1}(x)\!&\!{f'}_{\!2}(x)\end{array}}{\Bigg \vert }}\;$» $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ après simplification, «$\;W'(x)=-a_{1}(x)\;f_{1}(x)\;{f'}_{\!2}(x)+a_{1}(x)\;f_{2}(x)\;{f'}_{\!1}(x)=-a_{1}(x)\;W(x)\;$» ci-après une méthode de résolution par contre $\Rightarrow$ le wronskien de ces deux solutions particulières «$\;W(x)={\Bigg \vert }{\begin{array}{c c}f_{1}(x)\!&\!f_{2}(x)\\{f'}_{\!1}(x)\!&\!{f'}_{\!2}(x)\end{array}}{\Bigg \vert }\;$» de l'équation différentielle linéaire du 2ème ordre en $\;f(x)\;$ ci-après une méthode de résolution par contre $\color {transparent}{\Rightarrow }$ le wronskien de ces deux solutions particulières homogène «$\;f''(x)+a_{1}(x)\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=0\;$» ci-après une méthode de résolution par contre $\color {transparent}{\Rightarrow }$ le wronskien est solution de l'équation différentielle linéaire du 1er ordre en $\;W(x)\;$ homogène «$\;W'(x)+a_{1}(x)\;W(x)=0\;$» avec ci-après une méthode de résolution par contre $\color {transparent}{\Rightarrow }$ le wronskien de ces deux solutions particulières «$\;W(x)\;$ non nul car les deux solutions particulières $\;f_{1}(x)\;$ et $\;f_{2}(x)\;$ sont indépendantes » ; ci-après une méthode de résolution par contre résolvant «$\;W'(x)+a_{1}(x)\;W(x)=0\;$» nous en déduisons «$\;W(x)=\lambda \;\exp \!\left[-A_{1}(x)\right]\;$ avec $\;\lambda \in \mathbb {R} ^{*}\;$ constante d'intégration et ci-après une méthode de résolution par contre résolvant «$\;\color {transparent}{W'(x)+a_{1}(x)\;W(x)=0}\;$» nous en déduisons «$\;\color {transparent}{W(x)=\lambda \;\exp \!\left[-A_{1}(x)\right]}\;$ avec $\;A_{1}(x)\;$ une primitive de $\;a_{1}(x)\;$» soit encore, ci-après une méthode de résolution par contre résolvant «$\;\color {transparent}{W'(x)+a_{1}(x)\;W(x)=0}\;$» nous en déduisons «$\;{\Bigg \vert }{\begin{array}{c c}f_{1}(x)\!&\!f_{2}(x)\\{f'}_{\!1}(x)\!&\!{f'}_{\!2}(x)\end{array}}{\Bigg \vert }=\lambda \;\exp \!\left[-A_{1}(x)\right]\;$ avec mêmes $\;\lambda \;$ et $\;A_{1}(x)\;$» ; ci-après une méthode de résolution «$\;f_{1}(x)\;$ connue », il reste à résoudre l'équation différentielle linéaire du 1er ordre en $\;f_{2}(x)\;$ hétérogène «$\;f_{1}(x)\;{f'}_{\!2}(x)-{f'}_{\!1}(x)\;f_{2}(x)=\lambda \;\exp \!\left[-A_{1}(x)\right]\;$» ci-après une méthode de résolution «$\;\color {transparent}{f_{1}(x)}\;$ connue », il reste à résoudre ou, sous forme normalisée, «$\;{f'}_{\!2}(x)-{\dfrac {{f'}_{\!1}(x)}{f_{1}(x)}}\;f_{2}(x)={\dfrac {\lambda }{f_{1}(x)}}\;\exp \!\left[-A_{1}(x)\right]\;$» avec «$\;\lambda \in \mathbb {R} ^{*}\;$ constante d'intégration et ci-après une méthode de résolution «$\;\color {transparent}{f_{1}(x)}\;$ connue », il reste à résoudre sous forme normalisée, «$\;\color {transparent}{{f'}_{\!2}(x)-{f'}_{\!1}(x)\;f_{2}(x)=f_{1}(x)\;\exp \!\left[-A_{1}(x)\right]}\;$» avec $\;A_{1}(x)\;$ une primitive de $\;a_{1}(x)\;$» ; ci-après une méthode de résolution une base de l'ensemble des solutions de l'équation différentielle linéaire du 2ème ordre en $\;f(x)\;$ homogène «$\;f''(x)+a_{1}(x)\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=0\;$» ci-après une méthode de résolution une base étant $\;\left\lbrace f_{1}(x)\,,\,f_{2}(x)\right\rbrace$, nous en déduisons la solution générale de cette équation différentielle selon «$\;f(x)=\alpha _{1}\;f_{1}(x)+\alpha _{2}\;f_{2}(x)\;$» avec ci-après une méthode de résolution une base étant $\;\color {transparent}{\left\lbrace f_{1}(x)\,,\,f_{2}(x)\right\rbrace }$, nous en déduisons la solution générale de cette équation différentielle selon «$\;\left(\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right)\,\in \,\mathbb {R} ^{2}\;$ couple de constantes arbitraires ».
Exemple : Soit à résoudre «$\;f''(x)-{\dfrac {1}{x}}\;f'(x)+{\dfrac {1}{x^{2}}}\;f(x)=0\;$ sur $\;\left]0\,,\,+\infty \right[\;$» dans laquelle «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}a_{1}(x)=-{\dfrac {1}{x}}\\a_{0}(x)={\dfrac {1}{x^{2}}}\end{array}}\right\rbrace \;$», Exemple : remarquant que «$\;f_{1}(x)=x\;$ est une solution particulière » évidente car «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{f'}_{\!1}(x)=1\\{f''}_{\!\!1}(x)=0\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;{f''}_{\!\!1}(x)-{\dfrac {1}{x}}\;{f'}_{\!1}(x)+{\dfrac {1}{x^{2}}}\;f_{1}(x)=0-{\dfrac {1}{x}}\;1+{\dfrac {1}{x^{2}}}\;x\;$ c.-à-d. $\;0\;$», Exemple : remarquant que «$\;\color {transparent}{f_{1}(x)=x}\;$ est une solution particulière » nous formons son wronskien avec une autre solution particulière $\;f_{2}(x)\;$ à déterminer soit «$\;W(x)={\Bigg \vert }{\begin{array}{c c}x\!&\!f_{2}(x)\\1\!&\!{f'}_{\!2}(x)\end{array}}{\Bigg \vert }\;$» $\Leftrightarrow$ Exemple : remarquant que «$\;\color {transparent}{f_{1}(x)=x}\;$ est une solution particulière » nous formons son wronskien avec une autre solution particulière $\;\color {transparent}{f_{2}(x)}\;$ à déterminer soit «$\;W(x)=x\;{f'}_{\!2}(x)-f_{2}(x)\;$», Exemple : remarquant que «$\;\color {transparent}{f_{1}(x)=x}\;$ est une solution particulière » nous formons ce dernier étant solution $\;{\big$non nulle pour que $\;f_{2}(x)\;$ soit indépendante de $\;f_{1}(x)=x\;$${\big ]}\;$ Exemple : remarquant que «$\;\color {transparent}{f_{1}(x)=x}\;$ est une solution particulière » nous formons ce dernier étant solution de l'équation différentielle linéaire du 1er ordre homogène «$\;W'(x)-{\dfrac {1}{x}}\;W(x)=0\;$» Exemple : remarquant que «$\;\color {transparent}{f_{1}(x)=x}\;$ est une solution particulière » nous formons ce dernier étant solution soit «$\;W(x)=\lambda \;\exp \left\lbrace -\left[-\ln(x)\right]\right\rbrace \;$ avec $\;\lambda \in \mathbb {R} ^{*}\;$»$^,$ ou, après simplification, Exemple : remarquant que «$\;\color {transparent}{f_{1}(x)=x}\;$ est une solution particulière » nous formons ce dernier étant solution soit «$\;\color {transparent}{W(x)}$ $=\lambda \;x\;$ avec $\;\lambda \in \mathbb {R} ^{*}\;$» ; Exemple : remarquant que «$\;\color {transparent}{f_{1}(x)=x}\;$ est une solution particulière » «$\;W(x)=x\;{f'}_{\!2}(x)-f_{2}(x)=\lambda \;x\;$» étant une équation différentielle linéaire du 1er ordre en $\;f_{2}(x)\;$ hétérogène, se réécrivant, Exemple : remarquant que «$\;\color {transparent}{f_{1}(x)=x}\;$ est une solution particulière » «$\;\color {transparent}{W(x)=x\;{f'}_{\!2}(x)-f_{2}(x)=\lambda \;x}\;$» étant sous forme normalisée, selon «$\;{f'}_{\!2}(x)-{\dfrac {1}{x}}\;f_{2}(x)=\lambda \;$» ;
Exemple : remarquant que «$\;\color {transparent}{f_{1}(x)=x}\;$ est une solution particulière » cette équation différentielle linéaire à coefficients non constants du 1er ordre en $\;f_{2}(x)\;$ hétérogène «$\;{f'}_{\!2}(x)-{\dfrac {1}{x}}\;f_{2}(x)=\lambda \;$» Exemple : remarquant que «$\;\color {transparent}{f_{1}(x)=x}\;$ est une solution particulière » cette équation différentielle se résout en cherchant d'abord la solution générale de «$\;{f'}_{\!2}(x)-{\dfrac {1}{x}}\;f_{2}(x)=0\;$» c.-à-d. Exemple : remarquant que «$\;\color {transparent}{f_{1}(x)=x}\;$ est une solution particulière » cette équation différentielle se résout en cherchant d'abord la solution générale de l'équation différentielle homogène associée Exemple : remarquant que «$\;\color {transparent}{f_{1}(x)=x}\;$ est une solution particulière » cette équation différentielle se résout en cherchant d'abord la solution générale soit «$\;f_{2,\,{\text{géné de l'équa homo}}}(x)=\mu \;x\;$» avec Exemple : remarquant que «$\;\color {transparent}{f_{1}(x)=x}\;$ est une solution particulière » cette équation différentielle se résout en cherchant d'abord la solution générale soit «$\;\color {transparent}{f_{2,\,{\text{géné de l'équa homo}}}(x)=}$ $\mu \in \mathbb {R} ^{*}\;$» Exemple : remarquant que «$\;\color {transparent}{f_{1}(x)=x}\;$ est une solution particulière » cette équation différentielle se résout en cherchant puis par utilisation de la « méthode de variation des constantes » c.-à-d. Exemple : remarquant que «$\;\color {transparent}{f_{1}(x)=x}\;$ est une solution particulière » cette équation différentielle se résout en cherchant la solution générale de «$\;{f'}_{\!2}(x)-{\dfrac {1}{x}}\;f_{2}(x)=\lambda \;$» Exemple : remarquant que «$\;\color {transparent}{f_{1}(x)=x}\;$ est une solution particulière » cette équation différentielle se résout en cherchant la solution générale sous la forme «$\;f_{2}(x)=\Lambda (x)\;x\;$ dans laquelle Exemple : remarquant que «$\;\color {transparent}{f_{1}(x)=x}\;$ est une solution particulière » cette équation différentielle se résout en cherchant la solution générale sous $\;\Lambda (x)\;$ est une primitive quelconque de $\;{\dfrac {\lambda }{x}}\;$» d'où Exemple : remarquant que «$\;\color {transparent}{f_{1}(x)=x}\;$ est une solution particulière » cette équation différentielle se résout en cherchant la solution générale sous «$\;\Lambda (x)=\lambda \;\ln(x)+cste\;$» avec $\;cste\;\in \;\mathbb {R} \;$ d'où Exemple : remarquant que «$\;\color {transparent}{f_{1}(x)=x}\;$ est une solution particulière » cette équation différentielle se résout en cherchant la solution générale sous la forme «$\;f_{2}(x)=\lambda \;x\;\ln(x)+cste\;x\;$» avec Exemple : remarquant que «$\;\color {transparent}{f_{1}(x)=x}\;$ est une solution particulière » cette équation différentielle se résout en cherchant la solution générale sous la forme «$\;\lambda \;\in \;\mathbb {R} ^{*}\;$ et $\;cste\;\in \;\mathbb {R} \;$» ;
Exemple : remarquant que «$\;\color {transparent}{f_{1}(x)=x}\;$ est une solution particulière » la 2ème solution particulière de «$\;f''(x)-{\dfrac {1}{x}}\;f'(x)+{\dfrac {1}{x^{2}}}\;f(x)=0\;$» étant choisie selon «$\;f_{2}(x)=x\;\ln(x)\;$» Exemple : remarquant que «$\;\color {transparent}{f_{1}(x)=x}\;$ est une solution particulière » la 2ème solution particulière ${\Big$c.-à-d. $\;cste\;$ choisie nulle et $\;\lambda \;$ constante d'intégration de $\;W'(x)-{\dfrac {1}{x}}\;W(x)=0\;$ égale à $\;1{\Big ]}$, Exemple : nous en déduisons la solution générale de l'équation différentielle linéaire du 2ème ordre en $\;f(x)\;$ homogène «$\;f''(x)-{\dfrac {1}{x}}\;f'(x)+{\dfrac {1}{x^{2}}}\;f(x)=0\;$ sur $\;\left]0\,,\,+\infty \right[\;$» Exemple : nous en déduisons la solution générale égale à une C.L. des deux solutions particulières indépendantes $\;\left\lbrace x\;,\;x\;\ln(x)\right\rbrace \;$ selon «$\;f(x)=\alpha _{1}\;x+\alpha _{2}\;x\;\ln(x)\;$» avec Exemple : nous en déduisons la solution générale égale à une C.L. des deux solutions particulières indépendantes $\;\color {transparent}{\left\lbrace x\;,\;x\;\ln(x)\right\rbrace }\;$ selon «$\;\alpha _{1}\;$ et $\;\alpha _{2}\;$ deux constantes réelles d'intégration ».

### Cas d'une équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 2ème ordre hétérogène

Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en $\;f(x)\;$ hétérogène «$\;f''(x)+a_{1}(x)\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=e(x)\;$» avec «$\;a_{1}(x)$, $\;a_{0}(x)\;$ et $\;e(x)\;$ fonctions réelles connues Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène «$\;\color {transparent}{f''(x)+a_{1}(x)\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=e(x)}\;$» avec «$\;\color {transparent}{a_{1}(x)}$, $\;\color {transparent}{a_{0}(x)}\;$ et $\;\color {transparent}{e(x)}\;$ de la variable réelle $\;x\;$», Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène «$\;\color {transparent}{f''(x)+a_{1}(x)\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=}$«$\;e(x)\;$ étant l'excitation de l'équation différentielle », Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène nous utiliserons la méthode de résolution d'une équation différentielle linéaire du 1er ou 2ème ordre hétérogène Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène nous utiliserons la méthode exposée dans le cas de cœfficients constants plus haut dans ce chapitre mais Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène nous utiliserons la méthode restant applicable dans le cas de cœfficients non constants, Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène nous utiliserons la méthode fondée sur la propriété suivante Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène « la solution générale d'une équation différentielle linéaire hétérogène est Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène « la somme de la solution générale de l'équation homogène correspondante et Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène « la somme d'une solution particulière de l'équation hétérogène » c.-à-d. Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène «$\;f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=f_{\text{géné de l'équa homo}}(x)+f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)\;$» ;
Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène la solution générale de l'équation différentielle homogène associée «$\;f''(x)+a_{1}(x)\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=0\;$» Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène la solution générale étant supposée connue égale à «$\;f_{\text{géné de l'équa homo}}(x)=\alpha _{1}\;f_{1}(x)+\alpha _{2}\;f_{2}(x)\;$ avec Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène la solution générale étant supposée connue égale à $\;\left(\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right)\in \mathbb {R} ^{2}\;$ constantes d'intégration et Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène la solution générale étant supposée connue égale à $\;\left\lbrace f_{1}(x)\,,\,f_{2}(x)\right\rbrace \;$ solutions particulières indépendantes de Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène la solution générale étant supposée connue égale à $\;\color {transparent}{\left\lbrace f_{1}(x)\,,\,f_{2}(x)\right\rbrace }\;$ l'équation différentielle homogène » ;
Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène pour fixer la solution générale de l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en $\;f(x)\;$ hétérogène Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène pour fixer la solution générale de «$\;f''(x)+a_{1}(x)\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=e(x)\;$» il reste à en déterminer Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène pour fixer la solution générale de «$\;\color {transparent}{f''(x)+a_{1}(x)\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=e(x)}\;$» une solution particulière et, Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène pour cela, appliquons la « méthode de variation des constantes » $\;{\big \$inventée par Pierre-Simon Laplace Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène pour cela, appliquons la « applicable à des équations différentielles linéaires hétérogènes d'ordre quelconque${\big \}$ Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène pour d'où, recherche d'une solution particulière selon «$\;f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)=\mu _{1}(x)\;f_{1}(x)+\mu _{2}(x)\;f_{2}(x)\;$ Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène pour d'où, recherche d'une solution particulière selon « avec $\;\left\lbrace \mu _{1}(x)\,,\,\mu _{2}(x)\right\rbrace \;$ couple de fonctions à déterminer et Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène pour d'où, recherche d'une solution particulière selon « avec $\;\left\lbrace f_{1}(x)\,,\,f_{2}(x)\right\rbrace \;$ solutions particulières non liées de Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène pour d'où, recherche d'une solution particulière selon « avec $\;\color {transparent}{\left\lbrace f_{1}(x)\,,\,f_{2}(x)\right\rbrace }\;$ l'équation différentielle homogène ».
Préalable à la recherche d'une solution particulière de l'équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 2ème ordre en$\;f(x)\;$hétérogène : Préalable transformer l'équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 2ème ordre en $\;f(x)\;$ hétérogène «$\;f''(x)+a_{1}(x)\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=e(x)\;$» Préalable transformer en un système de deux équations différentielles linéaires à cœfficients non constants du 1er ordre en $\;\left\lbrace f(x)\,,\,g(x)=f'(x)\right\rbrace \;$ hétérogène Préalable transformer l'équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 2ème ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c c l}f'(x)\!\!\!&=&\!\!\!\qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;g(x)\\g'(x)\!\!\!&=&\!\!\!-a_{0}(x)\;f(x)-a_{1}(x)\;g(x)+e(x)\end{array}}\right\rbrace \;$», Préalable transformer en un système qui peut se réécrire sous forme matricielle selon «$\;\left[X\right]'=\left[A\right]\times \left[X\right]+\left[E\right]\;$» dans laquelle Préalable transformer en un système qui peut se réécrire sous forme matricielle selon «$\;\left[X\right]=\left[{\begin{array}{c}f(x)\\g(x)\end{array}}\right]\in M_{2,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» c.-à-d. une matrice colonne de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;(2,\,1)\;$ Préalable transformer en un système qui peut se réécrire sous forme matricielle selon appelée « matrice colonne des inconnues », Préalable transformer en un système qui peut se réécrire sous forme matricielle selon «$\;\left[X\right]'=\left[{\begin{array}{c}f'(x)\\g'(x)\end{array}}\right]\in M_{2,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» c.-à-d. une matrice colonne de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;(2,\,1)\;$ Préalable transformer en un système qui peut se réécrire sous forme matricielle selon appelée « matrice colonne de la dérivée des inconnues », Préalable transformer en un système qui peut se réécrire sous forme matricielle selon «$\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}0&1\\-a_{0}(x)&-a_{1}(x)\end{array}}\right]\in M_{2}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» c.-à-d. une matrice carrée de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;2\;$ Préalable transformer en un système qui peut se réécrire sous forme matricielle selon appelée « matrice des cœfficients du système », Préalable transformer en un système qui peut se réécrire sous forme matricielle selon «$\;\left[E\right]=\left[{\begin{array}{c}0\\e(x)\end{array}}\right]\in M_{2,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» c.-à-d. une matrice colonne de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;(2,\,1)\;$ Préalable transformer en un système qui peut se réécrire sous forme matricielle selon appelée « matrice colonne des excitations » et enfin Préalable transformer en un système qui peut se réécrire sous forme matricielle selon «$\;\times \;$» l'opération « multiplication matricielle » ;
traduction matricielle de$\;f_{1}(x)\;$ou$\;f_{2}(x)\;$solutions particulières de l'équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 2ème ordre en$\;f(x)\;$homogène : traduction matricielle l'équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 2ème ordre en $\;f(x)\;$ homogène «$\;f''(x)+a_{1}(x)\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=0\;$» étant transformée traduction matricielle l'équation différentielle en le système de deux équations différentielles linéaires à cœfficients non constants du 1er ordre en $\;\left\lbrace f(x)\,,\,g(x)=f'(x)\right\rbrace \;$ homogène traduction matricielle l'équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 2ème ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ homogène «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c c l}f'(x)\!\!\!&=&\!\!\!\qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;g(x)\\g'(x)\!\!\!&=&\!\!\!-a_{0}(x)\;f(x)-a_{1}(x)\;g(x)\end{array}}\right\rbrace \;$», traduction matricielle l'équation différentielle en le système qui peut se réécrire sous forme matricielle selon «$\;\left[X\right]'=\left[A\right]\times \left[X\right]\;$», les matrices étant celles définies précédemment ;
traduction matricielle à la solution particulière $\;f_{1}(x)\;$ de l'équation différentielle «$\;f''(x)+a_{1}(x)\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=0\;$» on associe «$\;\left[X_{1}\right]=\left[{\begin{array}{c}f_{1}(x)\\g_{1}(x)\end{array}}\right]\in M_{2,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$», traduction matricielle à la solution particulière $\;\color {transparent}{f_{1}(x)}\;$ de l'équation différentielle «$\;\color {transparent}{f''(x)+a_{1}(x)\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=0}\;$» on associe « matrice colonne des inconnues », traduction matricielle à la solution particulière «$\;\left[X_{1}\right]\;$ étant liée $\;\left[X_{1}\right]'=\left[{\begin{array}{c}{f'}_{\!1}(x)\\{g'}_{\!1}(x)\end{array}}\right]\in M_{2,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» par «$\;\left[X_{1}\right]'=\left[A\right]\times \left[X_{1}\right]\;$» avec «$\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c c }0\!\!&\!\!1\\-a_{0}(x)\!\!&\!\!-a_{1}(x)\end{array}}\right]\in M_{2}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$», traduction matricielle à la solution particulière «$\;\color {transparent}{\left[X_{1}\right]}\;$ étant liée « matrice colonne dérivée » « matrice des cœfficients du système »,
traduction matricielle à la solution particulière $\;f_{2}(x)\;$ de l'équation différentielle «$\;f''(x)+a_{1}(x)\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=0\;$» on associe «$\;\left[X_{2}\right]=\left[{\begin{array}{c}f_{2}(x)\\g_{2}(x)\end{array}}\right]\in M_{2,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$», traduction matricielle à la solution particulière $\;\color {transparent}{f_{2}(x)}\;$ de l'équation différentielle «$\;\color {transparent}{f''(x)+a_{1}(x)\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=0}\;$» on associe « matrice colonne des inconnues », traduction matricielle à la solution particulière «$\;\left[X_{2}\right]\;$ étant liée $\;\left[X_{2}\right]'=\left[{\begin{array}{c}{f'}_{\!2}(x)\\{g'}_{\!2}(x)\end{array}}\right]\in M_{2,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» par «$\;\left[X_{2}\right]'=\left[A\right]\times \left[X_{2}\right]\;$» avec «$\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c c }0\!\!&\!\!1\\-a_{0}(x)\!\!&\!\!-a_{1}(x)\end{array}}\right]\in M_{2}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$», traduction matricielle à la solution particulière «$\;\color {transparent}{\left[X_{2}\right]}\;$ étant liée « matrice colonne dérivée » « matrice des cœfficients du système »,
traduction matricielle de la recherche d'une solution particulière$\;\mu _{1}(x)\;f_{1}(x)+\mu _{2}(x)\;f_{2}(x)\;$de l'équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 2ème ordre en$\;f(x)\;$hétérogène : traduction matricielle à la solution particulière de l'équation différentielle «$\;f''(x)+a_{1}(x)\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=e(x)\;$» recherchée sous la forme traduction matricielle à la solution particulière $\;\mu _{1}(x)\;f_{1}(x)+\mu _{2}(x)\;f_{2}(x)\;$ avec $\;\left\lbrace \mu _{1}(x)\,,\,\mu _{2}(x)\right\rbrace \;$ à déterminer, on associe «$\;\left[X\right]=\left[{\begin{array}{c}\mu _{1}(x)\;f_{1}(x)+\mu _{2}(x)\;f_{2}(x)\\\mu _{1}(x)\;g_{1}(x)+\mu _{2}(x)\;g_{2}(x)\end{array}}\right]\in M_{2,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» ou encore traduction matricielle à la solution particulière $\;\color {transparent}{\mu _{1}(x)\;f_{1}(x)+\mu _{2}(x)\;f_{2}(x)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\left\lbrace \mu _{1}(x)\,,\,\mu _{2}(x)\right\rbrace }\;$ à déterminer, on associe «$\;\left[X\right]=\mu _{1}(x)\;\left[X_{1}\right]+\mu _{2}(x)\;\left[X_{2}\right]\;$», traduction matricielle à la solution particulière «$\;\left[X\right]\;$ devant être liée à $\;\left[X\right]'=\left[{\begin{array}{c}\left\lbrace \mu _{1}(x)\;f_{1}(x)+\mu _{2}(x)\;f_{2}(x)\right\rbrace '\\\left\lbrace \mu _{1}(x)\;g_{1}(x)+\mu _{2}(x)\;g_{2}(x)\right\rbrace '\end{array}}\right]\in M_{2,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» par «$\;\left[X\right]'=\left[A\right]\times \left[X\right]+\left[E\right]\;$» avec traduction matricielle à la solution particulière «$\;\color {transparent}{\left[X\right]}\;$ devant être liée à $\;\color {transparent}{\left[X\right]'\in M_{2,1}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» par «$\;\color {transparent}{\left[X\right]'=}$«$\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}0&1\\-a_{0}(x)&-a_{1}(x)\end{array}}\right]\in M_{2}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» et traduction matricielle à la solution particulière «$\;\color {transparent}{\left[X\right]}\;$ devant être liée à $\;\color {transparent}{\left[X\right]'\in M_{2,1}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» par «$\;\color {transparent}{\left[X\right]'=}$«$\;\left[E\right]=\left[{\begin{array}{c}0\\e(x)\end{array}}\right]\in M_{2,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$»,
traduction matricielle à la solution particulière explicitons «$\;\left[X\right]'=\left[{\begin{array}{c}\left\lbrace \mu _{1}(x)\;f_{1}(x)+\mu _{2}(x)\;f_{2}(x)\right\rbrace '\\\left\lbrace \mu _{1}(x)\;g_{1}(x)+\mu _{2}(x)\;g_{2}(x)\right\rbrace '\end{array}}\right]\in M_{2,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» à l'aide de traduction matricielle à la solution particulière explicitons «$\;\color {transparent}{\left[X\right]'=}$«$\;\left[\mu _{1}(x)\;f_{1}(x)+\mu _{2}(x)\;f_{2}(x)\right]'={\mu _{1}}'(x)\;f_{1}(x)+\mu _{1}(x)\;{f'}_{\!1}(x)+{\mu _{2}}'(x)\;f_{2}(x)+\mu _{2}(x)\;{f'}_{\!2}(x)\;$» d'une part et traduction matricielle à la solution particulière explicitons «$\;\color {transparent}{\left[X\right]'=}$«$\;\left[\mu _{1}(x)\;g_{1}(x)+\mu _{2}(x)\;g_{2}(x)\right]'={\mu _{1}}'(x)\;g_{1}(x)+\mu _{1}(x)\;{g'}_{\!1}(x)+{\mu _{2}}'(x)\;g_{2}(x)+\mu _{2}(x)\;{g'}_{\!2}(x)\;$» d'autre part d'où traduction matricielle à la solution particulière explicitons «$\;\left[X\right]=\mu _{1}(x)\;\left[X_{1}\right]+\mu _{2}(x)\;\left[X_{2}\right]\;$» $\Rightarrow$ «$\;\left[X\right]'={\mu _{1}}'(x)\;\left[X_{1}\right]+\mu _{1}(x)\;\left[X_{1}\right]'+{\mu _{2}}'(x)\;\left[X_{2}\right]+\mu _{2}(x)\;\left[X_{2}\right]'\;$» ;
traduction matricielle à la solution particulière de $\;\left[X\right]'=\left[A\right]\times \left[X\right]+\left[E\right]\;$ on déduit l'équation matricielle suivante traduction matricielle à la solution particulière de $\;\color {transparent}{\left[X\right]'=\left[A\right]\times \left[X\right]+\left[E\right]}\;$ on déduit «$\;{\mu _{1}}'(x)\;\left[X_{1}\right]+\mu _{1}(x)\;\left[X_{1}\right]'+{\mu _{2}}'(x)\;\left[X_{2}\right]+\mu _{2}(x)\;\left[X_{2}\right]'=\left[A\right]\times \left\lbrace \mu _{1}(x)\;\left[X_{1}\right]+\mu _{2}(x)\;\left[X_{2}\right]\right\rbrace +\left[E\right]\;$» traduction matricielle à la solution particulière soit, en utilisant la distributivité de la multiplication matricielle à gauche relativement à l'addition matricielle, traduction matricielle à la solution particulière soit, «$\;{\mu _{1}}'(x)\;\left[X_{1}\right]+\mu _{1}(x)\;\left[X_{1}\right]'+{\mu _{2}}'(x)\;\left[X_{2}\right]+\mu _{2}(x)\;\left[X_{2}\right]'=\mu _{1}(x)\;\left[A\right]\times \left[X_{1}\right]+\mu _{2}(x)\;\left[A\right]\times \left[X_{2}\right]+\left[E\right]\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$» ou,
traduction matricielle à la solution particulière sachant que «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left[X_{1}\right]'=\left[A\right]\times \left[X_{1}\right]\\\left[X_{2}\right]'=\left[A\right]\times \left[X_{2}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$», leur report dans l'équation matricielle $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\mu _{1}}'(x)\;\left[X_{1}\right]+{\mu _{2}}'(x)\;\left[X_{2}\right]=\left[E\right]\;\;\left({\mathfrak {a}}'\right)\;$» traduction matricielle à la solution particulière si on revient au système d'équations traduisant l'équation matricielle on obtient «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c}{\mu _{1}}'(x)\;f_{1}(x)+{\mu _{2}}'(x)\;f_{2}(x)\!\!&=&\!\!0\\{\mu _{1}}'(x)\;g_{1}(x)+{\mu _{2}}'(x)\;g_{2}(x)\!\!&=&\!\!e(x)\end{array}}\right\rbrace \;$» ou traduction matricielle à la solution particulière si on revient au système d'équations traduisant l'équation matricielle on obtient «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c}{\mu _{1}}'(x)\;f_{1}(x)+{\mu _{2}}'(x)\;f_{2}(x)\!\!&=&\!\!0\\{\mu _{1}}'(x)\;{f'}_{\!1}(x)+{\mu _{2}}'(x)\;{f'}_{\!2}(x)\!\!&=&\!\!e(x)\end{array}}\right\rbrace \;\left({\mathfrak {a}}''\right)\;$» ;
traduction matricielle à la solution particulière ainsi « les deux inconnues $\;{\mu _{1}}'(x)\;$ et $\;{\mu _{2}}'(x)\;$ doivent être solutions du système hétérogène des deux équations algébriques linéaires traduction matricielle à la solution particulière ainsi « les deux inconnues $\;\color {transparent}{{\mu _{1}}'(x)}\;$ et $\;\color {transparent}{{\mu _{2}}'(x)}\;$ doivent être solutions du système $\left\lbrace {\begin{array}{c c c}f_{1}(x)\;{\mu _{1}}'(x)+f_{2}(x)\;{\mu _{2}}'(x)\!\!&=&\!\!0\\{f'}_{\!1}(x)\;{\mu _{1}}'(x)+{f'}_{\!2}(x)\;{\mu _{2}}'(x)\!\!&=&\!\!e(x)\end{array}}\right\rbrace \;\left({\mathfrak {a}}''\right)\;$», traduction matricielle à la solution particulière ainsi « les deux inconnues $\;\color {transparent}{{\mu _{1}}'(x)}\;$ et $\;\color {transparent}{{\mu _{2}}'(x)}\;$ doivent être solutions du système qui se réécrit sous forme matricielle «$\;\left[{\mathcal {W}}\right]\times \left[Y\right]=\left[E\right]\;\;\left({\mathfrak {a}}'''\right)\;$» avec traduction matricielle à la solution particulière ainsi « les deux inconnues $\;\color {transparent}{{\mu _{1}}'(x)}\;$ et $\;\color {transparent}{{\mu _{2}}'(x)}\;$ doivent être solutions du «$\;\left[{\mathcal {W}}\right]=\left[{\begin{array}{c}f_{1}(x)&f_{2}(x)\\{f'}_{\!1}(x)&{f'}_{\!2}(x)\end{array}}\right]\in M_{2}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» de déterminant $\;\mathrm {det} \!\left({\mathcal {W}}\right)\;$ égal traduction matricielle à la solution particulière ainsi « les deux inconnues $\;\color {transparent}{{\mu _{1}}'(x)}\;$ et $\;\color {transparent}{{\mu _{2}}'(x)}\;$ doivent être solutions du «$\;\color {transparent}{\left[{\mathcal {W}}\right]=}$ au wronskien $\;W(x)\;$ de $\;\left\lbrace f_{1}(x)\,,\,f_{2}(x)\right\rbrace \;$, traduction matricielle à la solution particulière ainsi « les deux inconnues $\;\color {transparent}{{\mu _{1}}'(x)}\;$ et $\;\color {transparent}{{\mu _{2}}'(x)}\;$ doivent être solutions du «$\;\left[Y\right]=\left[{\begin{array}{c}{\mu _{1}}'(x)\\{\mu _{2}}'(x)\end{array}}\right]\in M_{2,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» la matrice colonne des inconnues et traduction matricielle à la solution particulière ainsi « les deux inconnues $\;\color {transparent}{{\mu _{1}}'(x)}\;$ et $\;\color {transparent}{{\mu _{2}}'(x)}\;$ doivent être solutions du «$\;\left[E\right]=\left[{\begin{array}{c}0\\e(x)\end{array}}\right]\in M_{2,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» la matrice colonne des excitations ;
résolution du système des deux équations algébriques linéaires en$\;\left\lbrace {\mu _{1}}'(x)\,,\,{\mu _{2}}'(x)\right\rbrace \;$hétérogène$\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c}{\mu _{1}}'(x)\;f_{1}(x)+{\mu _{2}}'(x)\;f_{2}(x)\!\!&=&\!\!0\\{\mu _{1}}'(x)\;{f'}_{\!1}(x)+{\mu _{2}}'(x)\;{f'}_{\!2}(x)\!\!&=&\!\!e(x)\end{array}}\right\rbrace \;\left({\mathfrak {a}}''\right)$ : résolution du système le wronskien de $\;\left\lbrace f_{1}(x)\,,\,f_{2}(x)\right\rbrace \;$ «$\;W(x)=\mathrm {det} \!\left({\mathcal {W}}\right)\;$» étant non nul $\;{\big \f_{1}(x)\;$ et $\;f_{2}(x)\;$ étant indépendantes${\big \}$, la résolution de ce système résolution du système peut être faite en utilisant la « règle de Cramer »$^,$$^,$ ce qui donne «$\;{\mu _{1}}'(x)={\dfrac {\begin{array}{|c c|}\;0&f_{2}(x)\;\\\;e(x)&{f'}_{\!2}(x)\;\end{array}}{\begin{array}{|c c|}\;f_{1}(x)&f_{2}(x)\;\\\;{f'}_{\!1}(x)&{f'}_{\!2}(x)\;\end{array}}}={\dfrac {-e(x)\;f_{2}(x)}{W(x)}}={\dfrac {-e(x)\;f_{2}(x)}{f_{1}(x)\;{f'}_{\!2}(x)-f_{2}(x)\;{f'}_{\!1}(x)}}\;$ » et résolution du système peut être faite en utilisant la « règle de Cramer » ce qui donne «$\;{\mu _{2}}'(x)={\dfrac {\begin{array}{|c c|}\;f_{1}(x)&0\;\\\;{f'}_{\!1}(x)&e(x)\;\end{array}}{\begin{array}{|c c|}\;f_{1}(x)&f_{2}(x)\;\\\;{f'}_{\!1}(x)&{f'}_{\!2}(x)\;\end{array}}}={\dfrac {e(x)\;f_{1}(x)}{W(x)}}={\dfrac {e(x)\;f_{1}(x)}{f_{1}(x)\;{f'}_{\!2}(x)-f_{2}(x)\;{f'}_{\!1}(x)}}\;$ » ;
détermination de la solution particulière cherchée sous la forme$\;\mu _{1}(x)\;f_{1}(x)+\mu _{2}(x)\;f_{2}(x)\;$de l'équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 2ème ordre en$\;f(x)\;$ hétérogène : détermination de la solution particulière de «$\;{\mu _{1}}'(x)={\dfrac {-e(x)\;f_{2}(x)}{f_{1}(x)\;{f'}_{\!2}(x)-f_{2}(x)\;{f'}_{\!1}(x)}}\;$» on déduit, par intégration, «$\;\mu _{1}(x)=\displaystyle \int ^{x}{\dfrac {-e(x')\;f_{2}(x')}{f_{1}(x')\;{f'}_{\!2}(x')-f_{2}(x')\;{f'}_{\!1}(x')}}\;dx'\;$» détermination de la solution particulière de «$\;\color {transparent}{{\mu _{1}}'(x)=f_{1}(x)\;{f'}_{\!2}(x)-f_{2}(x)\;{f'}_{\!1}(x)}\;$» on déduit, par intégration, «$\;\color {transparent}{\mu _{1}(x)=}$ $\;{\big \$primitive quelconque de $\;{\mu _{1}}'(x)\;$ restant à choisir${\big \}$ et détermination de la solution particulière de «$\;{\mu _{2}}'(x)={\dfrac {e(x)\;f_{1}(x)}{f_{1}(x)\;{f'}_{\!2}(x)-f_{2}(x)\;{f'}_{\!1}(x)}}\;$» on déduit, par intégration, «$\;\mu _{2}(x)=\displaystyle \int ^{x}{\dfrac {e(x')\;f_{1}(x')}{f_{1}(x')\;{f'}_{\!2}(x')-f_{2}(x')\;{f'}_{\!1}(x')}}\;dx'\;$» détermination de la solution particulière de «$\;\color {transparent}{{\mu _{2}}'(x)=f_{1}(x)\;{f'}_{\!2}(x)-f_{2}(x)\;{f'}_{\!1}(x)}\;$» on déduit, par intégration, «$\;\color {transparent}{\mu _{2}(x)=}$ $\;{\big \$primitive quelconque de $\;{\mu _{2}}'(x)\;$ restant à choisir${\big \}$ d'où détermination de la solution particulière «$\;f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)=f_{1}(x)\,\displaystyle \int ^{x}{\dfrac {-e(x')\;f_{2}(x')}{f_{1}(x')\;{f'}_{\!2}(x')-f_{2}(x')\;{f'}_{\!1}(x')}}\;dx'+f_{2}(x)\,\displaystyle \int ^{x}{\dfrac {e(x')\;f_{1}(x')}{f_{1}(x')\;{f'}_{\!2}(x')-f_{2}(x')\;{f'}_{\!1}(x')}}\;dx'\;$» avec détermination de la solution particulière «$\;\color {transparent}{f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)=}$ «$\;\left\lbrace f_{1}(x)\,,\,f_{2}(x)\right\rbrace \;$ un couple de solutions particulières indépendantes de l'équation différentielle linéaire homogène associée » ;
détermination de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 2ème ordre en$\;f(x)\;$ hétérogène$\;f''(x)+a_{1}(x)\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=e(x)$ : détermination de la solution générale « la solution générale d'une équation différentielle linéaire hétérogène est la somme de la solution générale de l'équation homogène correspondante et détermination de la solution générale « la solution générale d'une équation différentielle linéaire hétérogène est la somme d'une solution particulière de l'équation hétérogène » c.-à-d. détermination de la solution générale «$\;f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=f_{\text{géné de l'équa homo}}(x)+f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)\;$» avec détermination de la solution générale «$\;\color {transparent}{f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)}$ «$\;f_{\text{géné de l'équa homo}}(x)=\alpha _{1}\;f_{1}(x)+\alpha _{2}\;f_{2}(x)\;$» dans laquelle $\;\left(\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right)\in \mathbb {R} ^{2}\;$ quelconque et détermination de la solution générale «$\;\color {transparent}{f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)}$ «$\;f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)=\mu _{1}(x)\;f_{1}(x)+\mu _{2}(x)\;f_{2}(x)\;$» dans laquelle $\;\mu _{1}(x)=\displaystyle \int ^{x}{\dfrac {-e(x')\;f_{2}(x')}{f_{1}(x')\;{f'}_{\!2}(x')-f_{2}(x')\;{f'}_{\!1}(x')}}\;dx'\;$ détermination de la solution générale «$\;\color {transparent}{f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)}$ «$\;\color {transparent}{f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)=\mu _{1}(x)\;f_{1}(x)+\mu _{2}(x)\;f_{2}(x)}\;$» dans laquelle $\;\color {transparent}{\mu _{1}(x)=}$ est une primitive à choisir et détermination de la solution générale «$\;\color {transparent}{f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)}$ «$\;\color {transparent}{f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)=\mu _{1}(x)\;f_{1}(x)+\mu _{2}(x)\;f_{2}(x)}\;$» dans laquelle $\;\mu _{2}(x)=\displaystyle \int ^{x}{\dfrac {e(x')\;f_{1}(x')}{f_{1}(x')\;{f'}_{\!2}(x')-f_{2}(x')\;{f'}_{\!1}(x')}}\;dx'\;$ détermination de la solution générale «$\;\color {transparent}{f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)}$ «$\;\color {transparent}{f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)=\mu _{1}(x)\;f_{1}(x)+\mu _{2}(x)\;f_{2}(x)}\;$» dans laquelle $\;\color {transparent}{\mu _{2}(x)=}$ est une primitive à choisir ; finalement détermination de la solution générale «$\;f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=\left[\alpha _{1}+\mu _{1}(x)\right]\,f_{1}(x)+\left[\alpha _{2}+\mu _{2}(x)\right]\,f_{2}(x)\;$» dans laquelle $\;\alpha _{1}+\mu _{1}(x)=\alpha _{1}+\displaystyle \int ^{x}{\dfrac {-e(x')\;f_{2}(x')}{f_{1}(x')\;{f'}_{\!2}(x')-f_{2}(x')\;{f'}_{\!1}(x')}}\;dx'\;$ détermination de la solution générale «$\;\color {transparent}{f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=\left[\alpha _{1}+\mu _{1}(x)\right]\,f_{1}(x)+\left[\alpha _{2}+\mu _{2}(x)\right]\,f_{2}(x)}\;$» dans laquelle $\;\color {transparent}{\alpha _{1}+\mu _{1}(x)=}$ est une primitive quelconque et détermination de la solution générale «$\;\color {transparent}{f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=\left[\alpha _{1}+\mu _{1}(x)\right]\,f_{1}(x)+\left[\alpha _{2}+\mu _{2}(x)\right]\,f_{2}(x)}\;$» dans laquelle $\;\alpha _{2}+\mu _{2}(x)=\alpha _{2}+\displaystyle \int ^{x}{\dfrac {e(x')\;f_{1}(x')}{f_{1}(x')\;{f'}_{\!2}(x')-f_{2}(x')\;{f'}_{\!1}(x')}}\;dx'\;$ détermination de la solution générale «$\;\color {transparent}{f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=\left[\alpha _{1}+\mu _{1}(x)\right]\,f_{1}(x)+\left[\alpha _{2}+\mu _{2}(x)\right]\,f_{2}(x)}\;$» dans laquelle $\;\color {transparent}{\alpha _{2}+\mu _{2}(x)=}$ est une primitive quelconque, avec détermination de la solution générale «$\;\color {transparent}{f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=}$ «$\;\left\lbrace f_{1}(x)\,,\,f_{2}(x)\right\rbrace \;$ couple de solutions particulières indépendantes de l'équation différentielle linéaire homogène associée ».
Exemple : Soit à résoudre l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en $\;f(x)\;$ hétérogène «$\;f''(x)-{\dfrac {1}{x}}\;f'(x)+{\dfrac {1}{x^{2}}}\;f(x)=e(x)\;$ sur $\;\left]0\,,\,+\infty \right[\;$» où «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}a_{1}(x)=-{\dfrac {1}{x}}\\a_{0}(x)={\dfrac {1}{x^{2}}}\end{array}}\right\rbrace \;$», Exemple : le couple de solutions particulières indépendantes de l'équation différentielle linéaire homogène associée «$\;f''(x)-{\dfrac {1}{x}}\;f'(x)+{\dfrac {1}{x^{2}}}\;f(x)=0\;$ sur $\;\left]0\,,\,+\infty \right[\;$» Exemple : le couple de solutions particulières indépendantes étant «$\;\left\lbrace f_{1}(x)=x\,,\,f_{2}(x)=x\;\ln(x)\right\rbrace \;$» $\;{\big$«$\;f_{1}(x)=x\;$ étant une solution particulière évidente et Exemple : le couple de solutions particulières indépendantes étant «$\;\color {transparent}{\left\lbrace f_{1}(x)=x\,,\,f_{2}(x)=x\;\ln(x)\right\rbrace }\;$» $\;\color {transparent}{\big$«$\;f_{2}(x)=x\;\ln(x)\;$» une autre solution particulière indépendante déterminée par Exemple : le couple de solutions particulières indépendantes étant «$\;\color {transparent}{\left\lbrace f_{1}(x)=x\,,\,f_{2}(x)=x\;\ln(x)\right\rbrace }\;$» $\;\color {transparent}{\big$résolution de l'équation différentielle linéaire homogène du 1er ordre Exemple : le couple de solutions particulières indépendantes étant «$\;\color {transparent}{\left\lbrace f_{1}(x)=x\,,\,f_{2}(x)=x\;\ln(x)\right\rbrace }\;$» $\;\color {transparent}{\big$en le « wronskien $\;W(x)\;$ de $\;\left\lbrace f_{1}(x)\,,\,f_{2}(x)\right\rbrace \;$»$^,$${\big ]}$, nous cherchons,
Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière de l'équation différentielle linéaire hétérogène «$\;f''(x)-{\dfrac {1}{x}}\;f'(x)+{\dfrac {1}{x^{2}}}\;f(x)=e(x)\;$» Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière sous la forme «$\;f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)=\mu _{1}(x)\;x+\mu _{2}(x)\;x\;\ln(x)\;$» avec Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière sous la forme «$\;\color {transparent}{f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)}$ $\;\left\lbrace \mu _{1}(x)\,,\,\mu _{2}(x)\right\rbrace \;$ un couple de fonctions à déterminer, Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière sous la forme «$\;\color {transparent}{f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)}$ les dérivées 1$^{ères}$ par rapport à la variable $\;x\;$ de ces dernières étant Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière sous la forme «$\;\color {transparent}{f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)}$ solutions du système hétérogène des deux équations algébriques linéaires Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière sous la forme «$\;\color {transparent}{f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)}$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c r c l}x\;{\mu _{1}}'(x)\!\!&+&\!\!x\;\ln(x)\;{\mu _{2}}'(x)\!\!&=&\!\!0\\1\;{\mu _{1}}'(x)\!\!&+&\!\!\left[\ln(x)+1\right]\;{\mu _{2}}'(x)\!\!&=&\!\!e(x)\end{array}}\right\rbrace \;\left({\mathfrak {a}}''\right)\;$ » $\Rightarrow$ Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière par la règle de Cramer «$\;{\mu _{1}}'(x)={\dfrac {\begin{array}{|c c|}\;0&x\;\ln(x)\;\\\;e(x)&\ln(x)+1\;\end{array}}{\begin{array}{|c c|}\;x&x\;\ln(x)\;\\\;1&\ln(x)+1\;\end{array}}}={\dfrac {-e(x)\;x\;\ln(x)}{x\,\left[\ln(x)+1\right]-x\;\ln(x)}}=-e(x)\;\ln(x)\;$» et Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière par la règle de Cramer «$\;{\mu _{2}}'(x)={\dfrac {\begin{array}{|c c|}\;x&0\;\\\;1&e(x)\;\end{array}}{\begin{array}{|c c|}\;x&x\;\ln(x)\;\\\;1&\ln(x)+1\;\end{array}}}={\dfrac {e(x)\;x}{x\,\left[\ln(x)+1\right]-x\;\ln(x)}}=e(x)\;$» ;
Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière une primitive de «$\;{\mu _{1}}'(x)=-e(x)\;\ln(x)\;$ s'écrit $\;\mu _{1}(x)=\displaystyle \int _{0^{+}}^{x}-e(x')\;\ln(x')\;dx'\;$ » et Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière une primitive de «$\;{\mu _{2}}'(x)=e(x)\;$ s'écrit $\;\mu _{2}(x)=\displaystyle \int _{0^{+}}^{x}e(x')\;dx'\;$ » ;
Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière si «$\;e(x)=x\;$», la primitive de «$\;{\mu _{1}}'(x)=-e(x)\;\ln(x)\;$ s'écrivant $\;\mu _{1}(x)=\displaystyle \int _{0^{+}}^{x}-x'\;\ln(x')\;dx'\;$ Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière si «$\;\color {transparent}{e(x)=x}\;$», est convergente et s'évalue par intégration par parties $\;{\big$i.p.p.${\big )}\;$ selon Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière si «$\;\color {transparent}{e(x)=x}\;$», est convergente et s'évalue $\;\mu _{1}(x)=\left[{\dfrac {-{x'}^{2}\;\ln(x')}{2}}\right]_{0^{+}}^{x}-\displaystyle \int _{0^{+}}^{x}{\dfrac {-{x'}^{2}}{2}}\;{\dfrac {1}{x'}}\;dx'\;$ Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière si «$\;\color {transparent}{e(x)=x}\;$», est convergente et s'évalue $\;\color {transparent}{\mu _{1}(x)}$ $={\dfrac {-x^{2}\;\ln(x)}{2}}+{\dfrac {x^{2}}{4}}={\dfrac {x^{2}}{4}}\,\left[1-\ln(x^{2})\right]\;$ » et Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière si «$\;\color {transparent}{e(x)=x}\;$», la primitive de «$\;{\mu _{2}}'(x)=e(x)\;$ s'écrivant $\;\mu _{2}(x)=\displaystyle \int _{0^{+}}^{x}x'\;dx'=\left[{\dfrac {{x'}^{2}}{2}}\right]_{0^{+}}^{x}={\dfrac {x^{2}}{2}}\;$», d'où Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière si «$\;\color {transparent}{e(x)=x}\;$», la solution générale de «$\;f''(x)-{\dfrac {1}{x}}\;f'(x)+{\dfrac {1}{x^{2}}}\;f(x)=x\;$ sur $\;\left]0\,,\,+\infty \right[\;$» s'écrit Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière si «$\;\color {transparent}{e(x)=x}\;$», «$\;f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=\left\lbrace \alpha _{1}+{\dfrac {x^{2}}{4}}\,\left[1-\ln(x^{2})\right]\right\rbrace \;x+\left\lbrace \alpha _{2}+{\dfrac {x^{2}}{2}}\right\rbrace \;x\;\ln(x)\;$ Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière si «$\;\color {transparent}{e(x)=x}\;$», «$\;\color {transparent}{f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)}$ $=\alpha _{1}\;x+\alpha _{2}\;x\;\ln(x)+{\dfrac {x^{3}}{4}}\;$ » avec Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière si «$\;\color {transparent}{e(x)=x}\;$», «$\;\color {transparent}{f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)}$ $\;\left(\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right)\in \mathbb {R} ^{2}\;$ constantes d'intégration quelconque.

## Méthode pratique de résolution d'une équation différentielle non linéaire
### Exemple d'une équation différentielle non linéaire du 1er ordre

Soit à résoudre l'équation différentielle non linéaire du 1er ordre en $\;f(x)\;$ «$\;x\;f'(x)+\left[f(x)\right]^{2}=A\;$ avec $\;A\in \mathbb {R} ^{+\,*}\;$» :
une méthode pratique de résolution consiste à « séparer les variables » après adoption de la notation différentielle de la dérivée $\;f'(x)={\dfrac {df}{dx}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;x\;{\dfrac {df}{dx}}+\left[f(x)\right]^{2}=A\;$ avec $\;A\in \mathbb {R} ^{+\,*}\;$», une méthode pratique de résolution consistela « séparation des variables » $\Rightarrow$ $\bullet \;$regrouper les termes définis directement à partir de la variable $\;f\;$ dans le même membre que sa différentielle $\;df\;$ et une méthode pratique de résolution consiste la « séparation des variables » $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\bullet \;$regrouper les termes définis directement à partir de la variable $\;x\;$ dans l'autre membre avec sa différentielle $\;dx\;$ soit une méthode pratique de résolution consiste«$\;x\;{\dfrac {df}{dx}}+\left[f(x)\right]^{2}=A\;$ $\Leftrightarrow$ $\;x\;{\dfrac {df}{dx}}=A-\left[f(x)\right]^{2}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {df}{A-f^{2}}}={\dfrac {dx}{x}}\;$» ;
une méthode pratique de résolution consisteon termine en intégrant membre à membre, le 1er membre relativement à la variable $\;f\;$ et une méthode pratique de résolution consiste on termine en intégrant membre à membre, le 2nd membre par rapport à la variable $\;x$ :
intégration du 1er membre$\;\displaystyle \int ^{f}{\dfrac {dg}{A-g^{2}}}\;$ : la fonction rationnelle $\;{\dfrac {-1}{g^{2}-A}}\;$ de pôles connus $\;\left\lbrace -{\sqrt {A}},\,+{\sqrt {A}}\right\rbrace \;$ se décompose en éléments simples $\;{\dfrac {\alpha }{g-{\sqrt {A}}}}\;$ et $\;{\dfrac {\beta }{g+{\sqrt {A}}}}\;$ c.-à-d. intégration du 1er membre$\;\color {transparent}{\displaystyle \int ^{f}A-g^{2}}\;$ : la fonction rationnelle $\;{\dfrac {-1}{g^{2}-A}}={\dfrac {\alpha }{g-{\sqrt {A}}}}+{\dfrac {\beta }{g+{\sqrt {A}}}}\;$ avec $\;\alpha \;$ et $\;\beta \;$ constantes réelles à déterminer $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace \alpha ={\dfrac {-1}{2\,{\sqrt {A}}}}\;,\;\beta ={\dfrac {1}{2\,{\sqrt {A}}}}\right\rbrace \;$ d'où intégration du 1er membre$\;\color {transparent}{\displaystyle \int ^{f}A-g^{2}}\;$ : la réécriture de l'intégrale «$\;\displaystyle \int ^{f}{\dfrac {dg}{A-g^{2}}}={\dfrac {1}{2\,{\sqrt {A}}}}\left[\displaystyle \int ^{f}-{\dfrac {dg}{g-{\sqrt {A}}}}+\displaystyle \int ^{f}{\dfrac {dg}{g+{\sqrt {A}}}}\right]={\dfrac {1}{2\,{\sqrt {A}}}}\left\lbrace \left[-\ln \!\vert g-{\sqrt {A}}\vert +\ln \!\vert g+{\sqrt {A}}\vert \right]^{f}\right\rbrace$ intégration du 1er membre$\;\color {transparent}{\displaystyle \int ^{f}A-g^{2}}\;$ : la réécriture de l'intégrale «$\;\color {transparent}{\displaystyle \int ^{f}A-g^{2}}$ $={\dfrac {1}{2\,{\sqrt {A}}}}\ln \!{\Bigg \vert }{\dfrac {f+{\sqrt {A}}}{f-{\sqrt {A}}}}{\Bigg \vert }+cste_{1}\;$» et
intégration du 2nd membre$\;\displaystyle \int ^{x}{\dfrac {d\xi }{\xi }}$ : ne pose aucune difficulté $\Rightarrow$ «$\;\displaystyle \int ^{x}{\dfrac {d\xi }{\xi }}=\ln \vert x\vert +cste_{2}\;$» d'où
une méthode pratique de résolution consiste l'expression implicite de la solution générale «$\;{\dfrac {1}{2\,{\sqrt {A}}}}\ln \!{\Bigg \vert }{\dfrac {f(x)+{\sqrt {A}}}{f(x)-{\sqrt {A}}}}{\Bigg \vert }-\ln \vert x\vert =cste\;$» à laquelle il faut ajouter une méthode pratique de résolution consiste l'expression implicite de les deux solutions particulières «$\;f_{{\text{part,}}\,\pm }(x)=\pm {\sqrt {A}}\;$».

### Exemple d'une équation différentielle non linéaire du 2ème ordre sans terme du 1er ordre

Soit à résoudre l'équation différentielle non linéaire du 2ème ordre en $\;f(x)\;$ sans terme du 1er ordre «$\;f''(x)+A\;\sin \!\left[f(x)\right]=0\;$ avec $\;A\in \mathbb {R} ^{+\,*}\;$» :
une méthode pratique de résolution consiste à « intégrer une 1ère fois » de façon à obtenir une équation différentielle du 1er ordre en $\;f(x)\;$ et pour cela, une méthode pratique de résolution consiste à $\bullet \;$multiplier les deux membres par $\;f'(x)\;$ $\Rightarrow$ «$\;f''(x)\;f'(x)+A\;\sin \!\left[f(x)\right]\;f'(x)=0\;$» une méthode pratique de résolution consiste à $\color {transparent}{\bullet }\;$multiplier les deux membres par $\;\color {transparent}{f'(x)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ dans laquelle on reconnaît $\succ \;$dans $\;f''(x)\;f'(x)\;$ la dérivée de $\;{\dfrac {\left[f'(x)\right]^{2}}{2}}\;$ et une méthode pratique de résolution consiste à $\color {transparent}{\bullet }\;$multiplier les deux membres par $\;\color {transparent}{f'(x)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ dans laquelle on reconnaît $\succ \;$dans $\;A\;\sin \!\left[f(x)\right]\;f'(x)\;$ la dérivée de $\;-A\;\cos \!\left[f(x)\right]$, une méthode pratique de résolution consiste à $\bullet \;$intégrer une fois par rapport à $\;x\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {\left[f'(x)\right]^{2}}{2}}-A\;\cos \!\left[f(x)\right]=cste\;$» c.-à-d. une équation différentielle non linéaire du 1er ordre en $\;f(x)$ : une méthode pratique de résolution consiste à $\color {transparent}{\bullet }\;$intégrer une fois par rapport à $\;\color {transparent}{x}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\color {transparent}{\left[f'(x)\right]^{2}-A\;\cos \!\left[f(x)\right]=cste}\;$» c.-à-d. «$\;f'(x)=\pm {\sqrt {2\left\lbrace cste+A\;\cos \!\left[f(x)\right]\right\rbrace }}\;$» ;
une méthode pratique de résolution puis à « intégrer une 2ème fois, quand cela est possible », par utilisation de la méthode pratique de « séparation des variables » une méthode pratique de résolution puis à « intégrer une 2ème fois, quand cela est possible », après adoption de la notation différentielle de la dérivée $\;f'(x)={\dfrac {df}{dx}}\;$ ce qui conduit à une méthode pratique de résolution puis à « intégrer une 2ème fois, quand cela est possible », chercher la solution de $\;{\dfrac {df}{\sqrt {cste+A\;\cos(f)}}}=\pm {\sqrt {2}}\;dx\;$ mais $\;\ldots \;$ dans le cas présent, une méthode pratique de résolution puis à « intégrer une 2ème fois, quand cela est possible », la solution n'étant pas exprimable à l'aide des fonctions usuelles nous n'irons pas plus loin $\;\ldots \;$