# Théorie des groupes/Examen/Licence math algèbre Université de Provence juin 1997

Il sera tenu compte de la rigueur des raisonnements et de la présentation.
Soit G un groupe fini et p un nombre premier.
1 ) a) Soit x un élément d'ordre p dans G; combien y a-t-il d'éléments d'ordre p dans 〈x〉, le sous-groupe de G engendré par x ?
    b) Soit y un élément d'ordre p dans G aussi; montrer que l'interception 〈x〉ᑎ〈y〉des sous-groupes engendrés par x et par y est soit 〈x〉=〈y〉, soit {e}.
    c) En déduire que le nombre d'éléments d'ordre p dans G est un multiple de (p - 1).
2 ) Soit Z(G) le centre de G; on admettra que, si G/Z(G) est cyclique, alors G est abélien. Montrer alors que Card(G/Z(G)) n'est jamais un nombre premier.
3 ) On fait opérer G sur lui-même par conjugaison : G✕G → G par (g,a) ↦ gag$^{-1}$.
    Montrer que 〈a〉 est contenu dans le sous-groupe stabilisateur de a, Stab$_G$(a).
4 ) En déduire que Card({gag$^{-1}$, g ∈ G}) divise Card(G)/Card(〈a〉).
Soit G un groupe d'ordre 15. Le but est de démontrer que G est nécessairement abélien.
On suppose que G n’est pas abélien, pour obtenir une contradiction.
5 ) Montrer qu'alors le centre de G est d'ordre 1.
6 ) Montrer qu’il y a une et une seule orbite O à 5 éléments pour cette action sur G, et qu’il y a trois orbites O$_1$, O$_2$, et O$_3$ à 3 éléments.
7 ) Montrer que a ∈ O si et seulement si a est d'ordre 3 dans G. Quels sont les ordres des éléments dans O$_1$, O$_2$, et O$_3$ ?
8 ) En déduire une contradiction, permettant de conclure que tout groupe d'ordre 15 est abélien.
ℇ désigne un espace affine réel de dimension n ≥ 2, attaché à l'espace vectoriel E.
T(ℇ) désigne le groupe des translations de ℇ.
Ή$_T$(ℇ) désigne le groupe constitué des homothéties et translations de ℇ.
ℭ(ℇ) désigne l’ensemble des homothéties de ℇ de rapport -1.
Ή$^*$(E) désigne l’ensemble des homothéties vectorielles de E, Ή$^*$(E) = {kId$_E$|k ∈ ℝ - {0}}.
ℓ désigne l'homomorphisme de GA(ℇ) dans GL(E) qui à $f$ ∈ GA(ℇ) fait correspondre ℓ($f$) = ${\vec {f}}$, l’application linéaire associée à $f$.
On rappelle que s ∈ GA(ℇ) est une homothétie affine si ℓ(s) = kId$_E$ ∈ Ή$^*$(E), et k ∉ {0,1}. Le nombre réel k est le rapport de s, et l'unique point de ℇ, fixé par s, est son centre.
0 ) Montrer que ℭ(ℇ) n’est pas un sous-groupe de GA(ℇ).
1 ) Soit s ∈ ℭ(ℇ); montrer que pour tout a ∈ ℇ, le centre de s est l'isobarycentre de a et s(a). Montrer que s est d'ordre 2 dans GA(ℇ).
2 ) On pose désormais Δ = T(ℇ)ᑌℭ(ℇ).
    a) Montrer que Δ est un sous-groupe distingué de GA(ℇ).
On sait que T(ℇ) est un sous-groupe distingué de GA(ℇ), dont de Δ.
    b) Montrer que [Δ,T(ℇ)], l'indice de T(ℇ) dans Δ, est 2. (On pourra, par exemple, utiliser l'homomorphisme ℓ.)
3 ) Il est clair que A = {Id$_E$,-Id$_E$} est un sous-groupe distingué du groupe GL(E). Soit ψ l'homomorphisme canonique de GL(E) sur GL(E)/A.
    En utilisant ψ∘ℓ, montrer que GA(ℇ)/Δ est isomorphe à GL(E)/A.
4 ) On pose GL+(E) = {f ∈ GL(E)|dét f > 0}.
    a) Montrer que GL+(E) est un sous-groupe distingué de GL(E).
    b) Montrer que si n est impair, GL(E) est le produit direct interne de GL+(E) et de A.
    c) Qu'en déduit-on alors pour GA(ℇ)/Δ ?
5 ) Soit G un sous-groupe distingué de Ή$_T$(ℇ), non contenu dans T(ℇ).
    a) Soit h ∈ G - T(ℇ), h étant de rapport λ et centre c. Soit u ∈ E. Identifier t$_u$∘h∘t$_{-u}$, puis h$^{-1}$∘t$_u$∘h∘t$_{-u}$. En déduire que T(ℇ)⊂G.
    b) Montrer qu’il existe un sous-groupe Γ de Ή$^*$(E) tel que G = ℓ$^{-1}$(Γ), puis que G ⊳ GA(ℇ).
Le corrigé de cet examen n'a pas été rédigé. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle.