# Série entière/Propriétés
## Propriétés usuelles des rayons de convergence

De la définition précédente, on déduit directement les propriétés suivantes.
Soient $\sum a_{n}z^{n}$ une série entière et $R$ son rayon de convergence.
* $\sum a_{n}z_{0}^{n}$ converge $\Rightarrow (a_{n}z_{0}^{n})_{n\in \mathbb {N} }$ bornée $\Rightarrow R\geq |z_{0}|$.
* $(a_{n}z_{0}^{n})_{n\in \mathbb {N} }$ non bornée $\Rightarrow \sum a_{n}z_{0}^{n}$ diverge $\Rightarrow R\leq |z_{0}|$.
* $R$ ne change pas si l'on modifie un nombre fini de coefficients $a_{n}$, ni si l'on multiplie chaque $a_{n}$ par $n^{\alpha }$, pour un réel fixé $\alpha$.
Soit $\sum a_{n}z^{n}$ et $\sum b_{n}z^{n}$ deux séries entières, de rayons de convergence respectifs $R_{a}$ et $R_{b}$.
* $a_{n}=O(b_{n})\Rightarrow R_{a}\geq R_{b}$.
* $a_{n}\sim b_{n}\Rightarrow R_{a}=R_{b}$.
Soit $\sum a_{n}z^{n}$ une série entière telle que $\forall n\in \mathbb {N} \quad a_{n}\neq 0$.
Si $\exists \lim _{n\rightarrow +\infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=\ell \in {\overline {\mathbb {R} _{+}}}$ alors $R={\frac {1}{\ell }}$.
$\sum a_{n}0^{n}$ est toujours convergente, on peut donc se limiter à l'étude du cas $z\neq 0$. Alors ${\frac {a_{n+1}z^{n+1}}{a_{n}z^{n}}}$ converge pour $n\rightarrow +\infty$ vers $\ell |z|$. Par théorème de d'Alembert, $\ell |z|<1$ implique l'absolue convergence (acv) et $\ell |z|>1$ la grossière divergence (gdv) de la série. Donc :
    $\forall z\in \mathbb {C} \quad |z|<{\frac {1}{\ell }}\Rightarrow$ acv et $|z|>{\frac {1}{\ell }}\Rightarrow$ gdv.
Par définition de $R$, $R={\frac {1}{\ell }}$.

## Nature de la convergence

Les théorèmes suivants permettent de caractériser plus précisément la nature de la convergence des séries entières dans leur disque de convergence. On considère dans cette partie une série entière $\sum a_{n}z^{n}$ de rayon de convergence $R$.
La série entière converge normalement (donc uniformément) sur tout disque fermé inclus dans le disque ouvert $\Delta _{R}=\{z\in \mathbb {C} \mid |z|<R\}$, et la somme est donc continue sur ce disque.
* Ceci n'implique pas la convergence uniforme sur $\Delta _{R}$. Un contre-exemple classique est $\sum z^{n}$, qui ne converge pas uniformément sur $\Delta _{1}$. Cependant :
Si la série numérique $\sum |a_{n}|R^{n}$ converge, alors la série entière converge normalement sur le disque fermé ${\overline {\Delta _{R}}}$, et la somme est donc définie continue sur ce disque.
C'est le cas par exemple pour la série entière $\sum _{n\geq 1}{\frac {z^{n}}{n^{2}}}$.

## Propriétés algébriques

Soit $\sum a_{n}z^{n}$ et $\sum b_{n}z^{n}$ deux séries entières de rayon de convergence respectif $R_{a}$ et $R_{b}$. La série entière $\sum (a_{n}+b_{n})z^{n}$ est de rayon de convergence $R_{0}\geq \min(R_{a},R_{b})$. De plus, si $R_{a}\neq R_{b}$ alors $R_{0}=\min(R_{a},R_{b})$. Enfin :
    $\forall z\in \mathbb {C} \quad |z|<\min(R_{a},R_{b})\Rightarrow \sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}+b_{n})z^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}+\sum _{n=0}^{+\infty }b_{n}z^{n}$.
Soit $\sum a_{n}z^{n}$ une série entière de rayon de convergence $R$ et $\lambda \in \mathbb {R} ^{*}$. La série entière $\sum (\lambda a_{n})z^{n}$ a même rayon de convergence $R$ et
    $\forall z\in \mathbb {C} \quad |z|<R\Rightarrow \sum _{n=0}^{\infty }(\lambda a_{n})z^{n}=\lambda \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$.
Soit $\sum a_{n}z^{n}$ et $\sum b_{n}z^{n}$ deux séries entières de rayon de convergence respectif $R_{a}$ et $R_{b}$. La série entière $\sum c_{n}z^{n}$ où $c_{n}=\sum _{p+q=n}a_{p}b_{q}$ est de rayon de convergence $R_{0}\geq \min(R_{a},R_{b})$ et
    $\forall z\in \mathbb {C} \quad |z|<\min(R_{a},R_{b})\Rightarrow \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}=\sum _{p=0}^{\infty }a_{p}z^{p}\;\sum _{q=0}^{\infty }b_{q}z^{q}$.
La démonstration est claire par produit de Cauchy.
* Dans le cadre $R_{a}=R_{b}$, on n'a pas d'information supplémentaire sur la convergence de la série entière.
Le rayon de convergence des deux séries entières $\sum z^{n}$ et $\sum -z^{n}$ est 1, tandis que celui de $\sum z^{n}+\sum -z^{n}=\sum 0z^{n}$ est infini.

## Propriétés topologiques

Si une série entière $\sum a_{n}z^{n}$ converge en un point $z_{0}$, alors la convergence est uniforme sur $[0,z_{0}]$ (donc la restriction à ce segment de la fonction somme de la série est continue).
Par changement de variable, on se ramène facilement (juste pour alléger les notations) au cas $z_{0}=1$.
Par hypothèse, $\sum a_{n}x^{n}$ converge simplement sur $\left[0,1\right]$, et l'on veut montrer que cette convergence est uniforme, c'est-à-dire que la convergence vers $0$ du reste $R_{n}(x):=\sum _{k=n}^{\infty }a_{k}x^{k}$ est uniforme par rapport à $x\in \left[0,1\right]$.
Soit $\varepsilon >0$. Puisque $R_{n}:=R_{n}(1)\to 0$, il existe un entier $N_{\varepsilon }$ tel que
    $\forall j>p\geq N_{\varepsilon }\quad \left|R_{p}-R_{j}\right|<\varepsilon$.
Pour tout $x\in \left[0,1\right]$, la transformation d'Abel donne alors : $\forall n\geq p\geq N_{\varepsilon }$
    ${\begin{aligned}\left|\sum _{p\leq k\leq n}x^{k}a_{k}\right|&=\left|x^{n}(R_{p}-R_{n+1})+\sum _{p\leq k<n}(x^{k+1}-x^{k})(R_{k+1}-R_{p})\right|\\&\leq x^{n}\varepsilon +\sum _{p\leq k<n}(x^{k}-x^{k+1})\varepsilon \\&=\varepsilon x^{p}\leq \varepsilon .\end{aligned}}$
Par passage à la limite quand $n\to +\infty$, on en déduit :
    $\forall p\geq N_{\varepsilon }\quad \forall x\in \left[0,1\right]\quad \left|R_{p}(x)\right|\leq \varepsilon$,
ce qui est la convergence uniforme annoncée.

## Dérivation, intégration

Soit $\sum a_{n}z^{n}$ une série entière.
* On appelle série entière dérivée la série entière $\sum _{n\geq 1}na_{n}z^{n-1}$ identifiée à $\sum (n+1)a_{n+1}z^{n}$. On note D l'opérateur qui à une série entière associe sa série dérivée.
* On appelle série entière primitive la série entière $\sum {\frac {a_{n}}{n+1}}z^{n+1}$ identifiée à $\sum _{n\geq 1}{\frac {a_{n-1}}{n}}z^{n}$. On note P l'opérateur qui à une série entière associe sa série primitive.
Ainsi, les opérateurs P et D vérifient : $D\circ P=Id_{\mathbb {K} [[X]]}$.
Soit $\sum a_{n}z^{n}$ une série entière de rayon de convergence $R$. Alors ses séries dérivée et primitive ont même rayon de convergence $R$.
Soit $\sum a_{n}z^{n}$ une série entière, de rayon de convergence $R$ strictement positif, de somme S. Alors S est de classe ${\mathcal {C}}^{1}$ sur $]-R,R[$ et :
    $\forall x\in ]-R,R[,S'(x)=D(S)(x)$
Soit $\sum a_{n}z^{n}$ une série entière, de rayon de convergence $R$ strictement positif, de somme S. Alors S est de classe ${\mathcal {C}}^{\infty }$ sur $]-R,R[$ et :
    $\forall p\in \mathbb {N} ,\forall x\in ]-R,R[,S^{(p)}(x)=\sum _{n=p}^{+\infty }{\frac {n!}{(n-p)!}}a_{n}x^{n-p}=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(n+p)!}{n!}}a_{n+p}x^{n}$.
Soit $\sum a_{n}z^{n}$ une série entière, de rayon de convergence $R$ strictement positif, de somme S. Alors :
    $\forall (a,b)\in ]-R,R[^{2},\int _{a}^{b}S(t)dt=\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}{\frac {a^{n+1}-b^{n+1}}{n+1}}$.
La série entière $\sum _{n\geq 0}(-1)^{n}z^{n}={\frac {1}{1+z}}$, de rayon de convergence 1, a pour primitive $\ln(1+z):=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}z^{n+1}}{n+1}}=-\sum _{k\geq 1}{\frac {(-z)^{k}}{k}}$, de même rayon et nulle en 0. (Si $z\in \left]-1,1\right[$, cette définition coïncide donc avec le logarithme usuel.)
| Définition formelle - rayon de convergence | Développement en série entière |