# Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Les matrices carrées, leur réduction, applications
## Rappel de la définition de la réduction d'une matrice carrée

1ère définition : « Réduire la matrice carrée $\;\left[A\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;n\;$» identifiable à 1ère définition : « Réduire « la matrice d'un endomorphisme $\;\varphi \;$ d'un $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ de dimension $\;n\;$ dans une base particulière $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ de $\;E\;$» c.-à-d. 1ère définition : « Réduire « la matrice d'un endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[A\right]\;$» c'est 1ère définition : « faire un changement de bases de $\;E\;$ avec une matrice de passage $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ de la base initiale $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ à la nouvelle base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$» 1ère définition : « faire un changement de bases de $\;\color {transparent}{E}\;$ tel que « la nouvelle matrice $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[B\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ de l'endomorphisme $\;\varphi \;$ de $\;E\;$ 1ère définition : « faire un changement de bases de $\;\color {transparent}{E}\;$ tel que « la nouvelle matrice dans la base particulière $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ soit simplifiée au mieux à l'instar de 1ère définition : « faire un changement de bases de $\;\color {transparent}{E}\;$ tel que « la matrice initiale $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[A\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ de l'endomorphisme $\;\varphi$ de $\;E\;$ 1ère définition : « faire un changement de bases de $\;\color {transparent}{E}\;$ tel que « la matrice initiale $\;\color {transparent}{\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[A\right]}\;$ dans la base initiale $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$», c'est donc 1ère définition : « trouver une matrice de passage $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ de la base initiale $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ à la nouvelle base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ de $\;E\;$» telle que 1ère définition : « trouver une matrice de passage $\;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }}\;$ «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ soit la plus 1ère définition : « trouver une matrice de passage $\;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }}\;$ «$\;\color {transparent}{\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)}$ simple possible par rapport à $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;$» ou, telle que 1ère définition : « trouver une matrice de passage $\;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }}\;$ «$\;\left[B\right]=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[A\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ soit simplifiée au mieux $\;/\;$ à $\;\left[A\right]\;$».
Définition équivalente : « Réduire la matrice carrée $\;\left[A\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;n\;$» Définition équivalente : « Réduire la matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ c'est donc aussi « trouver une matrice $\;\left[B\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ semblable à la matrice initiale $\;\left[A\right]\;$, Définition équivalente : « Réduire la matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ c'est donc aussi « trouver une matrice $\;\color {transparent}{\left[B\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ la plus simple possible relativement à la matrice initiale $\;\left[A\right]\;$».

## Méthodes de réduction de matrices carrées

Nous essaierons tout d'abord d'obtenir la réduction de la matrice carrée étudiée sous la forme la plus simple c.-à-d. sous forme diagonale $\;{\big$ce qui n'est possible que sous conditions${\big )}$.

## Tentative de diagonalisation d'une matrice carrée de dimension (ou taille) n

« Diagonaliser une matrice carrée $\;\left[A\right]\;$» de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;n\;$ représentant un endomorphisme $\;\varphi \;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ de dimension $\;n\;$ « Diagonaliser une matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$» c'est faire un changement de bases de $\;E\;$ caractérisé par la matrice de passage $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ de la base initiale $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ vers la nouvelle base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ « Diagonaliser une matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$» c'est faire un changement de bases de $\;\color {transparent}{E}\;$ tel que la nouvelle matrice $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;$ de l'endomorphisme $\;\varphi \;$ de $\;E\;$ dans la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ soit « diagonale » ; « Diagonaliser une matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$» c'est aussi trouver une matrice $\;\left[P\right]\;$ inversible pour que la matrice $\;\left[A\right]\;$ soit semblable à une matrice $\;\left[D\right]\;$ diagonale c.-à-d. « Diagonaliser une matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$» c'est aussi trouver $\;\left[P\right]\;$ inversible telle que $\;\left[P\right]^{-1}\times \left[A\right]\times \left[P\right]\;$ soit une matrice diagonale $\;\left[D\right]$.

### Condition pour qu'une matrice carrée de dimension (ou taille) n soit diagonalisable

$\succ \;$Supposons la « matrice $\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\end{array}}\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ diagonalisable » et $\color {transparent}{\succ }\;$introduisons son polynôme caractéristique «$\;p_{\left[A\right]}(X):=\mathrm {det} \!\left(X\,\left[I_{n}\right]-\left[A\right]\right)=X^{n}-f_{1}(\left[A\right])\;X^{n-1}+f_{2}(\left[A\right])\;X^{n-2}-\cdots +(-1)^{n}\;f_{n}(\left[A\right])\;$» avec $\color {transparent}{\succ }\;$introduisons son polynôme caractéristique «$\;f_{k}(\left[A\right])=\sum _{I\,\subset \,\left\lbrace 1,\,\dots ,\,n\right\rbrace }^{\mathrm {card} (I)=k}\mathrm {\det } \!\left(A_{I,\,I}\right)\;$» c.-à-d. la somme des mineurs principaux d'ordre $\;k\;$ de $\;\left[A\right]\;$ où $\color {transparent}{\succ }\;$introduisons son polynôme caractéristique «$\;I\;$ est une partie à $\;k\;$ éléments de l'ensemble des entiers naturels $\;\left\lbrace 1,\,\dots ,\,n\right\rbrace \;$» $\color {transparent}{\succ }\;$introduisons son polynôme caractéristique dont, plus particulièrement, $\bullet \;$«$\;f_{n}(\left[A\right])=\mathrm {det} \!\left(A\right)\;$» c.-à-d. le déterminant de la matrice $\;\left[A\right]\;$ et $\color {transparent}{\succ }\;$introduisons son polynôme caractéristique dont, plus particulièrement, $\bullet \;$«$\;f_{1}(\left[A\right])=\sum _{i\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right]}a_{i,\,i}=\mathrm {Tr} \!\left(A\right)\;$» c.-à-d. la trace de la matrice $\;\left[A\right]\;$ ; $\succ \;$considérons « l'endomorphisme $\;\varphi \;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ de dimension $\;n\;$ que la matrice $\;\left[A\right]\;$ représente dans le couple de bases $\;\left(\left\lbrace B\right\rbrace \,,\,\left\lbrace B\right\rbrace \right)\;$» $\color {transparent}{\succ }\;$considérons « l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{E}\;$ de dimension $\;\color {transparent}{n}\;$ où «$\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1},\,\ldots b_{j},\,\ldots b_{n}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\;$ est une base choisie dans $\;E\;$», $\color {transparent}{\succ }\;$considérons « l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{E}\;$ de dimension $\;\color {transparent}{n}\;$ $\varphi \;$ étant tel que «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[A\right]\;$» et $\color {transparent}{\succ }\;$considérons « son polynôme caractéristique $\;p_{\varphi }(X)\;$» défini comme celui de la matrice $\;\left[A\right]\;$ le représentant dans le couple de bases $\;\left(\left\lbrace B\right\rbrace \,,\,\left\lbrace B\right\rbrace \right)\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$considérons « son polynôme caractéristique «$\;p_{\varphi }(X)=p_{\left[A\right]}(X):=\mathrm {det} \!\left(X\,\left[I_{n}\right]-\left[A\right]\right)=X^{n}-f_{1}(\left[A\right])\;X^{n-1}+f_{2}(\left[A\right])\;X^{n-2}-\cdots +(-1)^{n}\;f_{n}(\left[A\right])\;$» ; $\succ \;$« les valeurs propres $\;\lambda \;$ de l'endomorphisme $\;\varphi \;$ étant les racines de son polynôme caractéristique » vérifient «$\;p_{\varphi }(\lambda )=\mathrm {det} \!\left(\lambda \,\left[I_{n}\right]-\left[A\right]\right)=0\;$» ou $\color {transparent}{\succ }\;$« les valeurs propres $\;\color {transparent}{\lambda }\;$ de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ étant les racines de son polynôme caractéristique » vérifient «$\;\lambda ^{n}-f_{1}(\left[A\right])\;\lambda ^{n-1}+f_{2}(\left[A\right])\;\lambda ^{n-2}-\cdots +(-1)^{n}\;f_{n}(\left[A\right])=0\;$» c.-à-d. $\color {transparent}{\succ }\;$« les valeurs propres $\;\color {transparent}{\lambda }\;$ de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ étant les racines de son polynôme caractéristique » vérifient « une équation polynomiale $\;{\big$ou algébrique${\big )}\;$ à cœfficients réels de degré $\;n\;$», $\color {transparent}{\succ }\;$« les valeurs propres $\;\color {transparent}{\lambda }\;$ de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ étant les racines de son polynôme caractéristique » vérifient « le nombre maximal de racines réelles de cette équation polynomiale étant $\;n\;$» $\Rightarrow$ $\color {transparent}{\succ }\;$« les valeurs propres $\;\color {transparent}{\lambda }\;$ de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ étant les racines de son polynôme caractéristique » vérifient « il y a au maximum $\;n\;$ valeurs propres $\;\lambda \;$ de l'endomorphisme $\;\varphi \;$», $\color {transparent}{\succ }\;$« les valeurs propres $\;\color {transparent}{\lambda }\;$ de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ étant les racines de son polynôme caractéristique » vérifient « chaque valeur propre pouvant être « simple ou algébriquement multiple ». $\succ \;$Condition$\;{\big$admise${\big )}\;$pour qu'une matrice$\;\left[A\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$soit diagonalisable : ssi la somme des multiplicités géométriques de ses valeurs propres est égale à sa dimension$\;{\big$ou taille${\big )}$$\;n$, $\Rightarrow$ $\color {transparent}{\succ }\;$Condition$\;\color {transparent}{\big$admise$\color {transparent}{\big )}\;$pour qu'une matrice$\;\color {transparent}{\left[A\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$soit diagonalisable : les racines de son polynôme caractéristique sont toutes réelles en étant simples ou $\color {transparent}{\succ }\;$Condition$\;\color {transparent}{\big$admise$\color {transparent}{\big )}\;$pour qu'une matrice$\;\color {transparent}{\left[A\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$soit diagonalisable : les racines de son polynôme caractéristique sont toutes réelles en étant à multiplicités algébrique et géométrique égales.

### Exposé de la méthode de diagonalisation sur une matrice carrée de dimension (ou taille) 2

Nous proposons trois exemples de tentative de diagonalisation de matrice carrée de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;2$, chacun des exemples soulignant un aspect particulier de la méthode à utiliser : Nous proposons trois exemples de tentative de diagonalisation $\bullet \;$1er exemple, le polynôme caractéristique a deux racines réelles distinctes $\Rightarrow$ matrice diagonalisable, Nous proposons trois exemples de tentative de diagonalisation $\bullet \;$2nd exemple, le polynôme caractéristique a une racine réelle double $\Rightarrow$ matrice non diagonalisable et Nous proposons trois exemples de tentative de diagonalisation $\bullet \;$3ème exemple, le polynôme caractéristique n'a pas de racines réelles $\Rightarrow$ matrice non diagonalisable.

#### Exemple de matrice carrée de dimension (ou taille) 2 diagonalisable, à polynôme caractéristique ayant deux racines réelles simples

Soit la matrice carrée $\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c c}3&-2\\2&-2\end{array}}\right]\;\in \;M_{2}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ que l'on se propose de diagonaliser $\;{\big$si toutefois elle l'est${\big )}$ ;
$\bullet \;$tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «$\;p_{\left[A\right]}(X)=X^{2}-f_{1}(\left[A\right])\;X+f_{2}(\left[A\right])\;$» avec $\color {transparent}{\bullet }\;$tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «$\;f_{2}(\left[A\right])=\mathrm {det} \!\left(A\right)\;$» c.-à-d. le déterminant de la matrice $\;\left[A\right]\;$ soit «$\;\mathrm {det} \!\left(A\right)=\;{\begin{array}{|c c|}\;3&-2\;\\\;2&-2\;\end{array}}\;=$ $3\times (-2)-2\times (-2)=-2\;$» et $\color {transparent}{\bullet }\;$tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «$\;f_{1}(\left[A\right])=\sum _{i\in \left[\left[1\,,\,2\right]\right]}a_{i,\,i}=\mathrm {Tr} \!\left(A\right)\;$» c.-à-d. la trace de la matrice $\;\left[A\right]\;$ soit «$\;\mathrm {Tr} \!\left(A\right)=3-2=1\;$» d'où $\color {transparent}{\bullet }\;$tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «$\;p_{\left[A\right]}(X)=X^{2}-X-2\;$» ; $\bullet \;$ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » de discriminant $\;\Delta =(-1)^{2}-4\times 1\times (-2)=9>0\;$ $\Rightarrow$ « l'existence de deux valeurs propres simples $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\lambda _{1}={\dfrac {1+{\sqrt {9}}}{2}}=2\\\lambda _{2}={\dfrac {1-{\sqrt {9}}}{2}}=-1\end{array}}\right\rbrace \;$», $\color {transparent}{\bullet }\;$ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » la multiplicité géométrique de chaque valeur propre simple étant $\;1\;$$^,$ $\Rightarrow$ condition de diagonalisation de la matrice vérifiée à savoir $\color {transparent}{\bullet }\;$ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » « la somme des multiplicités géométriques en cas de valeurs propres réelles égale à la dimension $\;{\big$ou taille${\big )}\;$ de la matrice » ; $\bullet \;$on poursuit en « déterminant le vecteur propre $\;{\big$à un facteur multiplicatif près${\big )}$ $\;x_{k}\;$ associé à chaque valeur propre $\;\lambda _{k}\;$», avec $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1}\,,\,b_{2}\right\rbrace \;$ la base où $\;\left[A\right]\;$ représente l'endomorphisme étudié, $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit $\succ \;$« pour $\;\lambda _{1}=2\;$» le vecteur propre $\;x_{1}=x_{1,\,1}\;b_{1}+x_{2,\,1}\;b_{2}\;$ de matrice coordonnée $\;\left[X_{1}\right]=\left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}\\x_{2,\,1}\end{array}}\right]\;$ dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$» doit vérifier «$\;\left[A\right]\times \left[X_{1}\right]=\lambda _{1}\left[X_{1}\right]\;$» soit $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit $\color {transparent}{\succ }\;$« pour $\;\color {transparent}{\lambda _{1}=2}\;$» $\left[{\begin{array}{c c}3&-2\\2&-2\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}\\x_{2,\,1}\end{array}}\right]=2\left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}\\x_{2,\,1}\end{array}}\right]\;$ ou $\;\left[{\begin{array}{c c}3&-2\\2&-2\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}\\x_{2,\,1}\end{array}}\right]=2\left[{\begin{array}{c c}1&0\\0&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}\\x_{2,\,1}\end{array}}\right]\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left[{\begin{array}{c c}3-2&-2\\2&-2-2\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}\\x_{2,\,1}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}0\\0\end{array}}\right]\;$ $\Leftrightarrow$ $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit $\color {transparent}{\succ }\;$« pour $\;\color {transparent}{\lambda _{1}=2}\;$» $\left\lbrace {\begin{array}{c}x_{1,\,1}-2\;x_{2,\,1}=0\\2\;x_{1,\,1}-4\;x_{2,\,1}=0\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {x_{1,\,1}}{x_{2,\,1}}}=2\;$ valeurs parmi lesquelles on choisit $\;{\big$arbitrairement${\big )}\;$ «$\;\left[X_{1}\right]=\left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}=2\\x_{2,\,1}=1\end{array}}\right]\;$» et $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit $\succ \;$« pour $\;\lambda _{2}=-1\;$» le vecteur propre $\;x_{2}=x_{1,\,2}\;b_{1}+x_{2,\,2}\;b_{2}\;$ de matrice coordonnée $\;\left[X_{2}\right]=\left[{\begin{array}{c}x_{1,\,2}\\x_{2,\,2}\end{array}}\right]\;$ dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$» doit vérifier «$\;\left[A\right]\times \left[X_{2}\right]=\lambda _{2}\left[X_{2}\right]\;$» soit $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit $\color {transparent}{\succ }\;$« pour $\;\color {transparent}{\lambda _{2}=-1}\;$» $\left[{\begin{array}{c c}3&-2\\2&-2\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,2}\\x_{2,\,2}\end{array}}\right]=-1\left[{\begin{array}{c}x_{1,\,2}\\x_{2,\,2}\end{array}}\right]\;$ ou $\;\left[{\begin{array}{c c}3&-2\\2&-2\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,2}\\x_{2,\,2}\end{array}}\right]=-1\left[{\begin{array}{c c}1&0\\0&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,2}\\x_{2,\,2}\end{array}}\right]\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left[{\begin{array}{c c}3+1&-2\\2&-2+1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,2}\\x_{2,\,2}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}0\\0\end{array}}\right]\;$ $\Leftrightarrow$ $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit $\color {transparent}{\succ }\;$« pour $\;\color {transparent}{\lambda _{2}=-1}\;$» $\left\lbrace {\begin{array}{c}4\;x_{1,\,2}-2\;x_{2,\,2}=0\\2\;x_{1,\,2}-x_{2,\,2}=0\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {x_{2,\,2}}{x_{1,\,2}}}=2\;$ valeurs parmi lesquelles on choisit $\;{\big$arbitrairement${\big )}\;$ «$\;\left[X_{2}\right]=\left[{\begin{array}{c}x_{1,\,2}=1\\x_{2,\,2}=2\end{array}}\right]\;$» ; $\bullet \;$on en déduit « la matrice de passage de la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ vers la base $\;\left\lbrace X\right\rbrace =\left\lbrace x_{1}\,,\,x_{2}\right\rbrace \;$ des vecteurs propres de l'endomorphisme » $\;{\big$la matrice le représentant y étant diagonale${\big )}\;$ soit $\color {transparent}{\bullet }\;$on en déduit «$\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }$ $=\left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}=2\!\!&x_{1,\,2}=1\\x_{2,\,1}=1\!\!&x_{2,\,2}=2\end{array}}\right]\;$» puis $\color {transparent}{\bullet }\;$on en déduit « sa matrice inverse $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }^{\,-1}\;$ définie par $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }=\left[I_{2}\right]\;$ où $\;\left[I_{2}\right]\;$ est la matrice identité de dimension $\;2$, soit, en posant $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }^{\,-1}=\left[{\begin{array}{c}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{array}}\right]\;$» telle que $\color {transparent}{\bullet }\;$on en déduit « sa matrice inverse $\;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }^{\,-1}}\;$ définie par $\left[{\begin{array}{c}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}2&1\\1&2\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}1&0\\0&1\end{array}}\right]\;$ ou, en développant le produit matriciel, le système de $\,4\,$ équations algébriques linéaires à $\,4\,$ inconnues $\color {transparent}{\bullet }\;$on en déduit « sa matrice inverse $\;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }^{\,-1}}\;$ définie par $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}2\;\alpha +\beta =1\;\;({\mathfrak {1}})\\\alpha +2\;\beta =0\;\;({\mathfrak {2}})\\2\;\gamma +\delta =0\;\;({\mathfrak {3}})\\\gamma +2\;\delta =1\;\;({\mathfrak {4}})\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}2\times ({\mathfrak {1}})-({\mathfrak {2}})\!\!&3\;\alpha =2\\({\mathfrak {1}})-2\times ({\mathfrak {2}})\!\!&-3\;\beta =1\\2\times ({\mathfrak {3}})-({\mathfrak {4}})\!\!&3\;\gamma =-1\\({\mathfrak {3}})-2\times ({\mathfrak {4}})\!\!&-3\;\delta =-2\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\alpha ={\dfrac {2}{3}}\\\beta =-{\dfrac {1}{3}}\\\gamma =-{\dfrac {1}{3}}\\\delta ={\dfrac {2}{3}}\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ «$\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }^{\,-1}=\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {2}{3}}&-{\dfrac {1}{3}}\\-{\dfrac {1}{3}}&{\dfrac {2}{3}}\end{array}}\right]\;$» ; $\bullet \;$enfin on réalise « le changement de bases de $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ vers la base $\;\left\lbrace X\right\rbrace =\left\lbrace x_{1}\,,\,x_{2}\right\rbrace \;$ des vecteurs propres de l'endomorphisme pour que la matrice de ce dernier dans la nouvelle base soit diagonale » $\color {transparent}{\bullet }\;$enfin on réalise « le changement de bases de $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;$ vers la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace X\right\rbrace =\left\lbrace x_{1}\,,\,x_{2}\right\rbrace }\;$ selon la formule «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace X\right\rbrace ,\left\lbrace X\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }^{\,-1}\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }\;$» soit, $\color {transparent}{\bullet }\;$enfin on réalise « le changement de bases de $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;$ vers la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace X\right\rbrace =\left\lbrace x_{1}\,,\,x_{2}\right\rbrace }\;$ avec «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[A\right]\;$» et «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace X\right\rbrace ,\left\lbrace X\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[D\right]\;$ la matrice diagonale cherchée », $\color {transparent}{\bullet }\;$enfin on réalise « le changement de bases de $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;$ vers la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace X\right\rbrace =\left\lbrace x_{1}\,,\,x_{2}\right\rbrace }\;$ selon la formule «$\;\left[D\right]=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[A\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }\;$» dans lequel $\color {transparent}{\bullet }\;$enfin on réalise « le changement de bases de $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;$ vers la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace X\right\rbrace =\left\lbrace x_{1}\,,\,x_{2}\right\rbrace }\;$ avec «$\;\left[A\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }=\left[{\begin{array}{c c}3&-2\\2&-2\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}2&1\\1&2\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}4&-1\\2&-2\end{array}}\right]\;$» $\Rightarrow$ $\color {transparent}{\bullet }\;$enfin on réalise « le changement de bases de $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;$ vers la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace X\right\rbrace =\left\lbrace x_{1}\,,\,x_{2}\right\rbrace }\;$ avec «$\;\left[D\right]=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[A\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }=\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {2}{3}}&-{\dfrac {1}{3}}\\-{\dfrac {1}{3}}&{\dfrac {2}{3}}\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}4&-1\\2&-2\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}2&0\\0&-1\end{array}}\right]\;$» soit $\color {transparent}{\bullet }\;$enfin on réalise « le changement de bases de $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;$ vers la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace X\right\rbrace =\left\lbrace x_{1}\,,\,x_{2}\right\rbrace }\;$ avec «$\;\left[D\right]=\left[{\begin{array}{c}\lambda _{1}&0\\0&\lambda _{2}\end{array}}\right]\;$» $\;{\big$« matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont les valeurs propres $\color {transparent}{\bullet }\;$enfin on réalise « le changement de bases de $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;$ vers la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace X\right\rbrace =\left\lbrace x_{1}\,,\,x_{2}\right\rbrace }\;$ avec «$\;\color {transparent}{\left[D\right]=\left[{\begin{array}{c}\lambda _{1}&0\end{array}}\right]}\;$» $\;\color {transparent}{\big$« de l'endomorphisme représenté par $\;\left[A\right]\;$»$^,$${\big )}$.

#### Exemple de matrice carrée de dimension (ou taille) 2 non diagonalisable bien que son polynôme caractéristique ait une racine double

Soit la matrice carrée $\;\left[B\right]=\left[{\begin{array}{c c}3&-1\\1&1\end{array}}\right]\;\in \;M_{2}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ que l'on se propose de diagonaliser $\;{\big$si toutefois elle l'est${\big )}$ ;
$\bullet \;$tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «$\;p_{\left[B\right]}(X)=X^{2}-f_{1}(\left[B\right])\;X+f_{2}(\left[B\right])\;$» avec $\color {transparent}{\bullet }\;$tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «$\;f_{2}(\left[B\right])=\mathrm {det} \!\left(B\right)\;$» c.-à-d. le déterminant de la matrice $\;\left[B\right]\;$ soit «$\;\mathrm {det} \!\left(B\right)=\;{\begin{array}{|c c|}\;3&-1\;\\\;1&1\;\end{array}}\;=$ $3\times 1-1\times (-1)=4\;$» et $\color {transparent}{\bullet }\;$tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «$\;f_{1}(\left[B\right])=\sum _{i\in \left[\left[1\,,\,2\right]\right]}b_{i,\,i}=\mathrm {Tr} \!\left(B\right)\;$» c.-à-d. la trace de la matrice $\;\left[B\right]\;$ soit «$\;\mathrm {Tr} \!\left(B\right)=3+1=4\;$» d'où $\color {transparent}{\bullet }\;$tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «$\;p_{\left[B\right]}(X)=X^{2}-4\;X+4\;$» ; $\bullet \;$ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » de discriminant réduit $\;\Delta '=(-2)^{2}-1\times 4=0\;$ $\Rightarrow$ « l'existence d'une unique valeur propre double $\;\lambda _{d}=2\;$», $\color {transparent}{\bullet }\;$ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » la multiplicité géométrique de cette seule valeur propre double étant en fait $\;<\;$ à sa multiplicité algébrique est donc égale à $\;1$, $\color {transparent}{\bullet }\;$ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » $\Rightarrow$ « la somme des multiplicités géométriques en cas de valeurs propres réelles est $\;<\;$ à la dimension $\;{\big$ou taille${\big )}\;$ de la matrice » $\color {transparent}{\bullet }\;$ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » c.-à-d. la condition de diagonalisation de la matrice n'est pas vérifiée $\Rightarrow$ $\;\left[B\right]=\left[{\begin{array}{c c}3&-1\\1&1\end{array}}\right]\;\in \;M_{2}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ n'est pas diagonalisable.
$\;1\;$
$\;\ldots$
$\bullet \;$on poursuit en « déterminant le vecteur propre $\;{\big$à un facteur multiplicatif près${\big )}$ $\;x_{d}\;$ associé à la valeur propre $\;\lambda _{d}\;$», avec $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1}\,,\,b_{2}\right\rbrace \;$ la base où $\;\left[B\right]\;$ représente l'endomorphisme étudié, $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit « pour $\;\lambda _{d}=2\;$» le vecteur propre $\;x_{d}=x_{1,\,d}\;b_{1}+x_{2,\,d}\;b_{2}\;$ de matrice coordonnée $\;\left[X_{d}\right]=\left[{\begin{array}{c}x_{1,\,d}\\x_{2,\,d}\end{array}}\right]\;$ dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$» doit vérifier «$\;\left[B\right]\times \left[X_{d}\right]=\lambda _{d}\left[X_{d}\right]\;$» soit $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit « pour $\;\color {transparent}{\lambda _{d}=2}\;$» $\left[{\begin{array}{c c}3&-1\\1&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,d}\\x_{2,\,d}\end{array}}\right]=2\left[{\begin{array}{c}x_{1,\,d}\\x_{2,\,d}\end{array}}\right]\;$ ou $\;\left[{\begin{array}{c c}3&-1\\1&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,d}\\x_{2,\,d}\end{array}}\right]=2\left[{\begin{array}{c c}1&0\\0&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,d}\\x_{2,\,d}\end{array}}\right]\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left[{\begin{array}{c c}3-2&-1\\1&1-2\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,d}\\x_{2,\,d}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}0\\0\end{array}}\right]\;$ $\Leftrightarrow$ $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit « pour $\;\color {transparent}{\lambda _{d}=2}\;$» $\left\lbrace {\begin{array}{c}x_{1,\,d}-x_{2,\,d}=0\\x_{1,\,d}-x_{2,\,d}=0\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {x_{1,\,d}}{x_{2,\,d}}}=1\;$ valeurs parmi lesquelles on choisit $\;{\big$arbitrairement${\big )}$ «$\;\left[X_{d}\right]=\left[{\begin{array}{c}x_{1,\,d}=1\\x_{2,\,d}=1\end{array}}\right]\;$».

#### Exemple de matrice carrée de dimension (ou taille) 2 non diagonalisable, son polynôme caractéristique n'ayant pas de racines réelles

Soit la matrice carrée $\;\left[C\right]=\left[{\begin{array}{c c}3&1\\-3&1\end{array}}\right]\;\in \;M_{2}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ que l'on se propose de diagonaliser $\;{\big$si toutefois elle l'est${\big )}$ ;
$\bullet \;$tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «$\;p_{\left[C\right]}(X)=X^{2}-f_{1}(\left[C\right])\;X+f_{2}(\left[C\right])\;$» avec $\color {transparent}{\bullet }\;$tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «$\;f_{2}(\left[C\right])=\mathrm {det} \!\left(C\right)\;$» c.-à-d. le déterminant de la matrice $\;\left[C\right]\;$ soit «$\;\mathrm {det} \!\left(C\right)=\;{\begin{array}{|c c|}\;3&1\;\\\;-3&1\;\end{array}};=$ $3\times 1-(-3)\times 1=6\;$» et $\color {transparent}{\bullet }\;$tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «$\;f_{1}(\left[C\right])=\sum _{i\in \left[\left[1\,,\,2\right]\right]}c_{i,\,i}=\mathrm {Tr} \!\left(C\right)\;$» c.-à-d. la trace de la matrice $\;\left[C\right]\;$ soit «$\;\mathrm {Tr} \!\left(C\right)=3+1=4\;$» d'où $\color {transparent}{\bullet }\;$tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «$\;p_{\left[C\right]}(X)=X^{2}-4\;X+6\;$» ; $\bullet \;$ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » de discriminant réduit $\;\Delta '=(-2)^{2}-1\times 6=-2<0\;$ $\Rightarrow$ $\color {transparent}{\bullet }\;$ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » « l'absence de valeurs propres réelles de l'endomorphisme que la matrice $\;\left[C\right]\;$ représente dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =$ $\left\lbrace b_{1}\,,\,b_{2}\right\rbrace \;$ du $\color {transparent}{\bullet }\;$ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » « l'absence de valeurs propres réelles de l'endomorphisme que la matrice $\mathbb {R}$-espace vectoriel définition et image de l'endomorphisme », $\color {transparent}{\bullet }\;$ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » c.-à-d. la condition de diagonalisation de la matrice n'est pas vérifiée $\Rightarrow$ $\;\left[C\right]==\left[{\begin{array}{c c}3&1\\-3&1\end{array}}\right]\;\in \;M_{2}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ n'est pas diagonalisable.

### Exposé de la méthode de diagonalisation sur une matrice carrée de dimension (ou taille) 3

La méthode de diagonalisation d'une matrice carrée de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ fixée La méthode de diagonalisation étant indépendante de sa dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$, revoir les exemples de tentative de diagonalisation de matrices de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;2\;$ plus haut dans ce chapitre c.-à-d. La méthode de diagonalisation étant indépendante « exemple de matrice carrée de dimension (ou taille) 2 diagonalisable, à polynôme caractéristique ayant deux racines réelles simples », La méthode de diagonalisation étant indépendante « exemple de matrice carrée de dimension (ou taille) 2 non diagonalisable bien que son polynôme caractéristique ait une racine double » et La méthode de diagonalisation étant indépendante « exemple de matrice carrée de dimension (ou taille) 2 non diagonalisable, son polynôme caractéristique n'ayant pas de racines réelles », La méthode de diagonalisation étant indépendante de sa dimension $\;\color {transparent}{\big$ou taille$\color {transparent}{\big )}$, nous n'exposerons que deux exemples pour lesquels la dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;3\;$ apporte une nouveauté ; La méthode de diagonalisation étant indépendante de sa dimension $\;\color {transparent}{\big$ou taille$\color {transparent}{\big )}$, les matrices des deux exemples suivants ayant « même polynôme caractéristique » La méthode de diagonalisation étant indépendante de sa dimension $\;\color {transparent}{\big$ou taille$\color {transparent}{\big )}$, les matrices représentent chacune « un endomorphisme sur un même $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ dans une même base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ La méthode de diagonalisation étant indépendante de sa dimension $\;\color {transparent}{\big$ou taille$\color {transparent}{\big )}$, les matrices représentent chacune « ayant mêmes valeurs propres » mais La méthode de diagonalisation étant indépendante de sa dimension $\;\color {transparent}{\big$ou taille$\color {transparent}{\big )}$, les matrices représentent chacune « à sous-espaces vectoriels propres associés aux valeurs propres différents », La méthode de diagonalisation étant indépendante de sa dimension $\;\color {transparent}{\big$ou taille$\color {transparent}{\big )}$, le polynôme caractéristique commun des matrices des deux exemples exposés ci-après La méthode de diagonalisation étant indépendante de sa dimension $\;\color {transparent}{\big$ou taille$\color {transparent}{\big )}$, le polynôme caractéristique commun ayant deux racines réelles, une double et une simple mais La méthode de diagonalisation étant indépendante de sa dimension $\;\color {transparent}{\big$ou taille$\color {transparent}{\big )}$, le polynôme caractéristique commun la matrice du 1er exemple est non diagonalisable et La méthode de diagonalisation étant indépendante de sa dimension $\;\color {transparent}{\big$ou taille$\color {transparent}{\big )}$, le polynôme caractéristique commun celle du 2ème exemple est diagonalisable.

#### Exemple de matrice carrée de dimension (ou taille) 3 non diagonalisable bien que son polynôme caractéristique ait une racine double et une simple

Soit la matrice carrée $\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c c c}1&1&-1\\3&1&1\\1&1&1\end{array}}\right]\;\in \;M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ que l'on se propose de diagonaliser $\;{\big$si toutefois elle l'est${\big )}$ ;
$\bullet \;$tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «$\;p_{\left[A\right]}(X)=X^{3}-f_{1}(\left[A\right])\;X^{2}+f_{2}(\left[A\right])\;X-f_{3}(\left[A\right])\;$» avec $\color {transparent}{\bullet }\;$tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «$\;f_{3}(\left[A\right])=\mathrm {det} \!\left(A\right)\;$» c.-à-d. le déterminant de la matrice $\;\left[A\right]\;$ soit $\color {transparent}{\bullet }\;$tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «$\;\color {transparent}{f_{3}(\left[A\right])=}$ «$\;\mathrm {det} \!\left(A\right)=\;{\begin{array}{|c c c|}\;1&1&-1\;\\\;3&1&1\;\\\;1&1&1\;\end{array}}\;=1\times \;{\begin{array}{|c c|}\;1&1\;\\\;1&1\;\end{array}}\;-3\times \;{\begin{array}{|c c|}\;1&-1\;\\\;1&1\;\end{array}}\;+1\times \;{\begin{array}{|c c|}\;1&-1\;\\\;1&1\;\end{array}}\;=-4\;$», $\color {transparent}{\bullet }\;$tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «$\;f_{1}(\left[A\right])=\sum _{i\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right]}a_{i,\,i}$ $=\mathrm {Tr} \!\left(A\right)\;$» c.-à-d. la trace de la matrice $\;\left[A\right]\;$ soit «$\;\mathrm {Tr} \!\left(A\right)=1+1+1=3\;$» et $\color {transparent}{\bullet }\;$tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «$\;f_{2}(\left[A\right])=\sum _{I\,\subset \,\left\lbrace 1,\,\dots ,\,3\right\rbrace }^{\mathrm {card} (I)=2}\mathrm {\det } \!\left(A_{I,\,I}\right)=\mathrm {det} \!\left(A_{\left\lbrace 1,\,2\right\rbrace \,,\,\left\lbrace 1\,,\,2\right\rbrace }\right)+\mathrm {det} \!\left(A_{\left\lbrace 1,\,3\right\rbrace \,,\,\left\lbrace 1\,,\,3\right\rbrace }\right)+\mathrm {det} \!\left(A_{\left\lbrace 2,\,3\right\rbrace \,,\,\left\lbrace 2\,,\,3\right\rbrace }\right)\;$» c.-à-d. $\color {transparent}{\bullet }\;$tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «$\;\color {transparent}{f_{2}(\left[A\right])=}$ la somme des mineurs principaux d'ordre $\;2\;$ de $\;\left[A\right]\;$ où $\;I\;$ est une partie à $\;2\;$ éléments de l'ensemble des entiers naturels $\color {transparent}{\bullet }\;$tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «$\;\color {transparent}{f_{2}(\left[A\right])=}$ la somme des mineurs principaux d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ de $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ où $\;\color {transparent}{I}\;$ est une partie à $\;\color {transparent}{2}\;$ éléments de l'ensemble $\left\lbrace 1,\,\dots ,\,3\right\rbrace \;$ soit $\color {transparent}{\bullet }\;$tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «$\;f_{2}(\left[A\right])={\begin{array}{|c c|}\;1&1\;\\\;3&1\;\end{array}}+{\begin{array}{|c c|}\;1&-1\;\\\;1&1\;\end{array}}+{\begin{array}{|c c|}\;1&1\;\\\;1&1\;\end{array}}=(-2)+(2)+0=0\;$» d'où $\color {transparent}{\bullet }\;$tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «$\;p_{\left[A\right]}(X)=X^{3}-3\;X^{2}+4\;$» ; $\bullet \;$ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » après avoir découvert une « racine évidente $\;x_{1}=-1\;$» et $\color {transparent}{\bullet }\;$ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » après avoir « factorisé le polynôme caractéristique par $\;X+1\;$ en effectuant la division euclidienne de $\;X^{3}-3\;X^{2}+4\;$ par $\;X+1\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » après avoir « factorisé le polynôme caractéristique par $\;\color {transparent}{X+1}\;$ en effectuant la division euclidienne selon les puissances $\;\searrow \;$» :
$\left.{\begin{matrix}X^{3}\!\!&-\;3\;X^{2}\!\!&+\;0\;X\!\!&+\;4\\\hline -\;X^{3}\!\!&-\;X^{2}\!\!&\!\!&\\&-\;4\;X^{2}\!\!&+\;0\;X\!\!&+\;4\\&+\;4\;X^{2}\!\!&+\;4\;X&\\&&+\;4\;X\!\!&+\;4\\&&-\;4\;X\!\!&-\;4\\&&&0\\\end{matrix}}\right|{\begin{matrix}X\!\!&+\;1&\\\hline X^{2}\!\!&-\;4\;X\!\!&+\;4\\\\\\\\\\\\\end{matrix}}$
$\color {transparent}{\bullet }\;$ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » soit finalement la réécriture du polynôme caractéristique de la matrice $\;\left[A\right]\;$ selon «$\;p_{\left[A\right]}(X)=\left(X+1\right)\left(X^{2}-4\;X+4\right)\;$» ou, $\color {transparent}{\bullet }\;$ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » soit finalement en reconnaissant l'identité remarquable «$\;X^{2}-4\;X+4=\left(X-2\right)^{2}\;$», $\color {transparent}{\bullet }\;$ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » soit finalement la forme entièrement factorisée du polynôme caractéristique «$\;p_{\left[A\right]}(X)=\left(X+1\right)\left(X-2\right)^{2}\;$» $\Rightarrow$ $\color {transparent}{\bullet }\;$ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » « l'existence d'une valeur propre réelle simple $\;\lambda _{1}=-1\;$ et d'une valeur propre réelle double $\;\lambda _{d}=2\;$», $\color {transparent}{\bullet }\;$ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » la multiplicité géométrique de la valeur propre simple étant $\;1\;$$^,$, il ne reste qu'à déterminer celle de la valeur propre double $\color {transparent}{\bullet }\;$ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » la multiplicité géométrique de la valeur propre simple étant $\;\color {transparent}{1}\;$, pour savoir si la matrice est diagonalisable ; $\color {transparent}{\bullet }\;$ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » la multiplicité géométrique de la valeur propre double étant en fait $\;<\;$ à sa multiplicité algébrique $\color {transparent}{\bullet }\;$ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » la multiplicité géométrique de la valeur propre double ${\big$voir sous-paragraphe « détermination de vecteur(s) propre(s) » ci-après${\big )}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » la multiplicité géométrique est donc égale à $\;1\;$ d'où $\color {transparent}{\bullet }\;$ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » « la somme des multiplicités géométriques des valeurs propres toutes réelles est $\;<\;$ à la dimension $\;{\big$ou taille${\big )}\;$ de la matrice » $\color {transparent}{\bullet }\;$ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » c.-à-d. condition de diagonalisation de la matrice non vérifiée $\Rightarrow$ $\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c c c}1&1&-1\\3&1&1\\1&1&1\end{array}}\right]\;\in \;M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ n'est pas diagonalisable ;
$\;1\;$
$\;2\;$
$\;\ldots$
$\bullet \;$on poursuit en « déterminant le(s) vecteur(s) propre(s) $\;{\big$à un facteur multiplicatif près${\big )}$ $\;x_{d}\;$ associé(s) à la valeur propre double $\;\lambda _{d}=2\;$» avec $\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1}\,,\,b_{2}\,,\,b_{3}\right\rbrace \;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit en « déterminant le(s) vecteur(s) propre(s) $\;\color {transparent}{\big$à un facteur multiplicatif près$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{x_{d}}\;$ associé(s) à la valeur propre double $\;\color {transparent}{\lambda _{d}=2}\;$» avec la base où $\;\left[A\right]\;$ représente l'endomorphisme étudié, $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit « pour $\;\lambda _{d}=2\;$» tout vecteur propre $\;x_{d}=x_{1,\,d}\;b_{1}+x_{2,\,d}\;b_{2}+x_{3,\,d}\;b_{3}\;$ de matrice coordonnée $\;\left[X_{d}\right]=\left[{\begin{array}{c}x_{1,\,d}\\x_{2,\,d}\\x_{3,\,d}\end{array}}\right]\;$ dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$» doit vérifier «$\;\left[A\right]\times \left[X_{d}\right]=\lambda _{d}\left[X_{d}\right]\;$» soit $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit « pour $\;\color {transparent}{\lambda _{d}=2}\;$» $\left[{\begin{array}{c c c}1&1&-1\\3&1&1\\1&1&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,d}\\x_{2,\,d}\\x_{3,\,d}\end{array}}\right]=2\left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}\\x_{2,\,1}\\x_{3,\,d}\end{array}}\right]\;$ ou $\;\left[{\begin{array}{c c c}1&1&-1\\3&1&1\\1&1&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,d}\\x_{2,\,d}\\x_{3,\,d}\end{array}}\right]=2\left[{\begin{array}{c c c}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,d}\\x_{2,\,d}\\x_{3,\,d}\end{array}}\right]\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left[{\begin{array}{c c c}1-2&1&-1\\3&1-2&1\\1&1&1-2\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,d}\\x_{2,\,d}\\x_{3,\,d}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}}\right]\;$ $\Leftrightarrow$ $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit « pour $\;\color {transparent}{\lambda _{d}=2}\;$» $\left\lbrace {\begin{array}{r c l c l c l l}-x_{1,\,d}\!\!&+&\!\!x_{2,\,d}\!\!&-&\!\!x_{3,\,d}\!\!&=&\!\!0&({\mathfrak {1}})\\3\;x_{1,\,d}\!\!&-&\!\!x_{2,\,d}\!\!&+&\!\!x_{3,\,d}\!\!&=&\!\!0&({\mathfrak {2}})\\x_{1,\,d}\!\!&+&\!\!x_{2,\,d}\!\!&-&\!\!x_{3,\,d}\!\!&=&\!\!0&({\mathfrak {3}})\end{array}}\right\rbrace \;$ soit, en substituant $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}({\mathfrak {1}})\\({\mathfrak {3}})\end{array}}\right\rbrace \;$ par $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}({\mathfrak {3}})-({\mathfrak {1}})\\({\mathfrak {3}})+({\mathfrak {1}})\end{array}}\right\rbrace \;$, $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c r c r c l l}2\;x_{1,\,d}\!\!&\!\!\!\!&\!\!\!\!&\!\!\!\!&\!\!\!\!&=&\!\!0\!\!&({\mathfrak {3}})-({\mathfrak {1}})\\3\;x_{1,\,d}\!\!&-&\!\!x_{2,\,d}\!\!&+&\!\!x_{3,\,d}\!\!&=&\!\!0\!\!&({\mathfrak {2}})\\\!\!&\!\!\!\!&2\;x_{2,\,d}\!\!&-&\!\!2\;x_{3,\,d}\!\!&=&\!\!0\!\!&({\mathfrak {3}})+({\mathfrak {1}})\end{array}}\right\rbrace$, $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit « pour $\;\color {transparent}{\lambda _{d}=2}\;$» l'équation $\;({\mathfrak {2}})\;$ étant une C.L. de «$\;({\mathfrak {3}})-({\mathfrak {1}})\;$» et «$\;({\mathfrak {3}})+({\mathfrak {1}})\;$» selon «$\;({\mathfrak {2}})={\dfrac {3}{2}}\left[({\mathfrak {3}})-({\mathfrak {1}})\right]-{\dfrac {1}{2}}\left[({\mathfrak {3}})+({\mathfrak {1}})\right]\;$», $\Rightarrow$ $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit « pour $\;\color {transparent}{\lambda _{d}=2}\;$» le système de $\;3\;$ équations algébriques linéaires à $\;3\;$ inconnues se réduit au système de $\;2\;$ équations algébriques linéaires à $\;3\;$ inconnues suivant $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit « pour $\;\color {transparent}{\lambda _{d}=2}\;$» le système de $\;\color {transparent}{3}\;$ équations algébriques linéaires à $\;\color {transparent}{3}\;$ inconnues se réduit au système «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c r c r c l l}2\;x_{1,\,d}\!\!&\!\!\!\!&\!\!\!\!&\!\!\!\!&\!\!\!\!&=&\!\!0\!\!&({\mathfrak {3}})-({\mathfrak {1}})\\\!\!&\!\!\!\!&2\;x_{2,\,d}\!\!&-&\!\!2\;x_{3,\,d}\!\!&=&\!\!0\!\!&({\mathfrak {3}})+({\mathfrak {1}})\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit « pour $\;\color {transparent}{\lambda _{d}=2}\;$» la solution générale vérifie $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x_{1,\,d}=0\\x_{2,\,d}=x_{3,\,d}\end{array}}\right\rbrace \;$ définissant « un seul vecteur propre $\;{\big$à un facteur multiplicatif près${\big )}$ associé à la valeur propre double $\;\lambda _{d}=2$, $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit « pour $\;\color {transparent}{\lambda _{d}=2}\;$» la solution générale vérifie $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\begin{array}{c}x_{1,\,d}=0\\x_{2,\,d}=x_{3,\,d}\end{array}}\right\rbrace }\;$ définissant « un seul vecteur propre $\;x_{d}=b_{2}+b_{3}\;$ de matrice coordonnée $\;\left[X_{d}\right]=\left[{\begin{array}{c}0\\1\\1\end{array}}\right]\;$ dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$» d'où $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit « pour $\;\color {transparent}{\lambda _{d}=2}\;$» le sous-espace vectoriel propre associé à la valeur propre double $\;\lambda _{d}=2\;$ étant de dimension $\;1$, la multiplicité géométrique de cette dernière est $\;1\;$ C.Q.F.V. $\Rightarrow$ $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit « pour $\;\color {transparent}{\lambda _{d}=2}\;$» « la somme des multiplicités géométriques des valeurs propres $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\lambda _{1}=-1\\\lambda _{d}=2\end{array}}\right\rbrace \;$ étant égale à $\;1+1=2\;$ diffère de la dimension $\;{\big$ou taille${\big )}\;$ $3\;$ de la matrice » $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit « pour $\;\color {transparent}{\lambda _{d}=2}\;$» d'où le caractère « non diagonalisable » de la matrice $\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c c c}1&1&-1\\3&1&1\\1&1&1\end{array}}\right]\;\in \;M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)$.
$\;\left[A\right]\;$
$\;1\;$
$\;\lambda _{1}=-1$
$\;\ldots$
$\bullet \;$on poursuit donc en « déterminant le vecteur propre $\;x_{1}\;$ associé à la valeur propre simple $\;\lambda _{1}=-1\;$» avec $\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1}\,,\,b_{2}\,,\,b_{3}\right\rbrace \;$ la base où $\;\left[A\right]\;$ représente l'endomorphisme étudié, $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit donc « pour $\;\lambda _{1}=-1\;$» le vecteur propre $\;x_{1}=x_{1,\,1}\;b_{1}+x_{2,\,1}\;b_{2}+x_{3,\,1}\;b_{3}\;$ de matrice coordonnée $\;\left[X_{1}\right]=\left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}\\x_{2,\,1}\\x_{3,\,1}\end{array}}\right]\;$ dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$» doit vérifier «$\;\left[A\right]\times \left[X_{1}\right]=\lambda _{1}\left[X_{1}\right]\;$» soit $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit donc « pour $\;\color {transparent}{\lambda _{1}=-1}\;$» $\left[{\begin{array}{c c c}1&1&-1\\3&1&1\\1&1&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}\\x_{2,\,1}\\x_{3,\,1}\end{array}}\right]=-1\left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}\\x_{2,\,1}\\x_{3,\,1}\end{array}}\right]\;$ ou $\;\left[{\begin{array}{c c c}1&1&-1\\3&1&1\\1&1&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}\\x_{2,\,1}\\x_{3,\,1}\end{array}}\right]=-1\left[{\begin{array}{c c c}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}\\x_{2,\,1}\\x_{3,\,1}\end{array}}\right]\;$ ou, en regroupant dans le membre de gauche, $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit donc « pour $\;\color {transparent}{\lambda _{1}=-1}\;$» $\left[{\begin{array}{c c c}1-(-1)&1&-1\\3&1-(-1)&1\\1&1&1-(-1)\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}\\x_{2,\,1}\\x_{3,\,1}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}}\right]\;$ $\Leftrightarrow$ $\left\lbrace {\begin{array}{r c l c l c l l}2\;x_{1,\,1}\!\!&+&\!\!x_{2,\,1}\!\!&-&\!\!x_{3,\,1}\!\!&=&\!\!0&({\mathfrak {1}}')\\3\;x_{1,\,1}\!\!&+&\!\!2\;x_{2,\,1}\!\!&+&\!\!x_{3,\,1}\!\!&=&\!\!0&({\mathfrak {2}}')\\x_{1,\,1}\!\!&+&\!\!x_{2,\,1}\!\!&+&\!\!2\;x_{3,\,1}\!\!&=&\!\!0&({\mathfrak {3}}')\end{array}}\right\rbrace \;$ soit, $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit donc « pour $\;\color {transparent}{\lambda _{1}=-1}\;$» en substituant $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}({\mathfrak {1}}')\\({\mathfrak {2}}')\end{array}}\right\rbrace \;$ par $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}({\mathfrak {2}}')+({\mathfrak {1}}')\\({\mathfrak {2}}')-2\;({\mathfrak {1}}')\end{array}}\right\rbrace \;$, $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l c l c l l}5\;x_{1,\,1}\!\!&+&\!\!3\;x_{2,\,1}\!\!&&\!\!\!\!&=&\!\!0&({\mathfrak {2}}')+({\mathfrak {1}}')\\-\;x_{1,\,1}\!\!&&\!\!\!\!&+&\!\!3\;x_{3,\,1}\!\!&=&\!\!0&({\mathfrak {2}}')-2\;({\mathfrak {1}}')\\x_{1,\,1}\!\!&+&\!\!x_{2,\,1}\!\!&+&\!\!2\;x_{3,\,1}\!\!&=&\!\!0&({\mathfrak {3}}')\end{array}}\right\rbrace$, $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit donc « pour $\;\color {transparent}{\lambda _{1}=-1}\;$» l'équation $\;({\mathfrak {3}}')\;$ étant une C.L. de «$\;({\mathfrak {2}}')+({\mathfrak {1}}')\;$» et «$\;({\mathfrak {2}}')-2\;({\mathfrak {1}}')\;$» selon $\;({\mathfrak {3}}')={\dfrac {1}{3}}\left[({\mathfrak {2}}')+({\mathfrak {1}}')\right]+{\dfrac {2}{3}}\left[({\mathfrak {2}}')-2\;({\mathfrak {1}}')\right]\;$, $\Rightarrow$ $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit donc « pour $\;\color {transparent}{\lambda _{1}=-1}\;$» le système de $\;3\;$ équations algébriques linéaires à $\;3\;$ inconnues se réduit au système de $\;2\;$ équations algébriques linéaires à $\;3\;$ inconnues suivant $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit donc « pour $\;\color {transparent}{\lambda _{1}=-1}\;$» «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l c l c l l}5\;x_{1,\,1}\!\!&+&\!\!3\;x_{2,\,1}\!\!&&\!\!\!\!&=&\!\!0&({\mathfrak {2}}')+({\mathfrak {1}}')\\-\;x_{1,\,1}\!\!&&\!\!\!\!&+&\!\!3\;x_{3,\,1}\!\!&=&\!\!0&({\mathfrak {2}}')-2\;({\mathfrak {1}}')\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ la solution générale vérifiant $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x_{2,\,1}=-{\dfrac {5}{3}}\;x_{1,\,1}\\x_{3,\,1}={\dfrac {1}{3}}\;x_{1,\,1}\end{array}}\right\rbrace \;$ définit pour « vecteur propre $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit donc « pour $\;\color {transparent}{\lambda _{1}=-1}\;$» «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\begin{array}{r c l c l c l l}5\;x_{1,\,1}\!\!&+&\!\!3\;x_{2,\,1}\!\!&&\!\!\!\!&=&\!\!0&({\mathfrak {2}}')+({\mathfrak {1}}')\end{array}}\right\rbrace }\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $x_{1}=3\;b_{1}-5\;b_{2}+b_{3}\;$» de matrice coordonnée $\;\left[X_{1}\right]=$ $\left[{\begin{array}{c}3\\-5\\1\end{array}}\right]\;$ dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit donc « pour $\;\color {transparent}{\lambda _{1}=-1}\;$» «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\begin{array}{r c l c l c l l}5\;x_{1,\,1}\!\!&+&\!\!3\;x_{2,\,1}\!\!&&\!\!\!\!&=&\!\!0&({\mathfrak {2}}')+({\mathfrak {1}}')\end{array}}\right\rbrace }\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{x_{1}=3\;b_{1}-5\;b_{2}+b_{3}}\;$» associé à la valeur propre simple $\;\lambda _{1}=-1\;$» C.Q.F.D..

#### Exemple de matrice carrée de dimension (ou taille) 3 diagonalisable à polynôme caractéristique ayant une racine double et une simple

Soit la matrice carrée $\;\left[B\right]=\left[{\begin{array}{c c c}5&3&-3\\-5&-3&5\\1&1&1\end{array}}\right]\;\in \;M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ que l'on se propose de diagonaliser $\;{\big$si toutefois elle l'est${\big )}$ ;
$\bullet \;$tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «$\;p_{\left[B\right]}(X)=X^{3}-f_{1}(\left[B\right])\;X^{2}+f_{2}(\left[B\right])\;X-f_{3}(\left[B\right])\;$» avec $\color {transparent}{\bullet }\;$tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «$\;f_{3}(\left[B\right])=\mathrm {det} \!\left(B\right)\;$» c.-à-d. le déterminant de la matrice $\;\left[B\right]\;$ soit $\color {transparent}{\bullet }\;$tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «$\;\color {transparent}{f_{3}(\left[B\right])=}$ «$\;\mathrm {det} \!\left(B\right)=\;{\begin{array}{|c c c|}\;5&3&-3\;\\\;-5&-3&5\;\\\;1&1&1\;\end{array}}=5\times \;{\begin{array}{|c c|}\;-3&5\;\\\;1&1\;\end{array}}\;-(-5)\times \;{\begin{array}{|c c|}\;3&-3\;\\\;1&1\;\end{array}}\;+1\times \;{\begin{array}{|c c|}\;3&-3\;\\\;-3&5\;\end{array}}=-4\;$», $\color {transparent}{\bullet }\;$tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «$\;f_{1}(\left[B\right])=\sum _{i\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right]}b_{i,\,i}=\mathrm {Tr} \!\left(B\right)\;$» c.-à-d. la trace de la matrice $\;\left[B\right]\;$ soit «$\;\mathrm {Tr} \!\left(B\right)=5-3+1=3\;$» et $\color {transparent}{\bullet }\;$tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «$\;f_{2}(\left[B\right])=\sum _{I\,\subset \,\left\lbrace 1,\,\dots ,\,3\right\rbrace }^{\mathrm {card} (I)=2}\mathrm {\det } \!\left(B_{I,\,I}\right)=\mathrm {det} \!\left(B_{\left\lbrace 1,\,2\right\rbrace \,,\,\left\lbrace 1\,,\,2\right\rbrace }\right)+\mathrm {det} \!\left(B_{\left\lbrace 1,\,3\right\rbrace \,,\,\left\lbrace 1\,,\,3\right\rbrace }\right)+\mathrm {det} \!\left(B_{\left\lbrace 2,\,3\right\rbrace \,,\,\left\lbrace 2\,,\,3\right\rbrace }\right)\;$» c.-à-d. $\color {transparent}{\bullet }\;$tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «$\;\color {transparent}{f_{2}(\left[B\right])=}$ la somme des mineurs principaux d'ordre $\;2\;$ de $\;\left[B\right]\;$ où $\;I\;$ est une partie à $\;2\;$ éléments de l'ensemble des entiers naturels $\color {transparent}{\bullet }\;$tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «$\;\color {transparent}{f_{2}(\left[B\right])=}$ la somme des mineurs principaux d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ de $\;\color {transparent}{\left[B\right]}\;$ où $\;\color {transparent}{I}\;$ est une partie à $\;\color {transparent}{2}\;$ éléments de l'ensemble $\left\lbrace 1,\,\dots ,\,3\right\rbrace \;$ soit $\color {transparent}{\bullet }\;$tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «$\;f_{2}(\left[B\right])={\begin{array}{|c c|}\;5&3\;\\\;-5&-3\;\end{array}}+{\begin{array}{|c c|}\;5&-3\;\\\;1&1\;\end{array}}+{\begin{array}{|c c|}\;-3&5\;\\\;1&1\;\end{array}}=0+8+(-8)=0\;$» d'où $\color {transparent}{\bullet }\;$tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «$\;p_{\left[B\right]}(X)=X^{3}-3\;X^{2}+4\;$» ; $\bullet \;$ensuite « le polynôme caractéristique de $\;\left[B\right]\;$ étant le même que celui de $\;\left[A\right]\;$ du paragraphe précédent, ses racines sont les mêmes » : « une valeur propre réelle simple $\;\lambda _{1}=-1\;$» et $\color {transparent}{\bullet }\;$ensuite « le polynôme caractéristique de $\;\color {transparent}{\left[B\right]}\;$ étant le même que celui de $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ du paragraphe précédent, ses racines sont les mêmes » : « une valeur propre réelle double $\;\lambda _{d}=2\;$», $\color {transparent}{\bullet }\;$ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » la multiplicité géométrique de la valeur propre simple étant $\;1\;$$^,$, il ne reste qu'à déterminer celle de la valeur propre double $\color {transparent}{\bullet }\;$ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » la multiplicité géométrique de la valeur propre simple étant $\;\color {transparent}{1}\;$, pour savoir si la matrice est diagonalisable ; $\color {transparent}{\bullet }\;$ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » la multiplicité géométrique de la valeur propre double étant en fait $\;=\;$ à sa multiplicité algébrique $\color {transparent}{\bullet }\;$ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » la multiplicité géométrique de la valeur propre double ${\big$voir sous-paragraphe « détermination de vecteur(s) propre(s) » ci-après${\big )}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » la multiplicité géométrique est donc égale à $\;2\;$ d'où $\color {transparent}{\bullet }\;$ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » « la somme des multiplicités géométriques des valeurs propres toutes réelles est $\;=\;$ à la dimension $\;{\big$ou taille${\big )}\;$ de la matrice » $\color {transparent}{\bullet }\;$ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » c.-à-d. la condition de diagonalisation de la matrice est vérifiée $\Rightarrow$ $\;\left[B\right]=\left[{\begin{array}{c c c}5&3&-3\\-5&-3&5\\1&1&1\end{array}}\right]\;\in \;M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ est diagonalisable ; $\bullet \;$on poursuit en « déterminant le(s) vecteur(s) propre(s) $\;x_{d}\;$ associé(s) à la valeur propre double $\;\lambda _{d}=2\;$» avec $\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1}\,,\,b_{2}\,,\,b_{3}\right\rbrace \;$ la base où $\;\left[B\right]\;$ représente l'endomorphisme étudié, $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit « pour $\;\lambda _{d}=2\;$» tout vecteur propre $\;x_{d}=x_{1,\,d}\;b_{1}+x_{2,\,d}\;b_{2}+x_{3,\,d}\;b_{3}\;$ de matrice coordonnée $\;\left[X_{d}\right]=\left[{\begin{array}{c}x_{1,\,d}\\x_{2,\,d}\\x_{3,\,d}\end{array}}\right]\;$ dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$» doit vérifier «$\;\left[B\right]\times \left[X_{d}\right]=\lambda _{d}\left[X_{d}\right]\;$» soit $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit « pour $\;\color {transparent}{\lambda _{d}=2}\;$» $\left[{\begin{array}{c c c}5&3&-3\\-5&-3&5\\1&1&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,d}\\x_{2,\,d}\\x_{3,\,d}\end{array}}\right]=2\left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}\\x_{2,\,1}\\x_{3,\,d}\end{array}}\right]\;$ ou $\;\left[{\begin{array}{c c c}5&3&-3\\-5&-3&5\\1&1&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,d}\\x_{2,\,d}\\x_{3,\,d}\end{array}}\right]=2\left[{\begin{array}{c c c}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,d}\\x_{2,\,d}\\x_{3,\,d}\end{array}}\right]\;$ ou, en regroupant dans le membre de gauche, $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit « pour $\;\color {transparent}{\lambda _{d}=2}\;$» $\left[{\begin{array}{c c c}5-2&3&-3\\-5&-3-2&5\\1&1&1-2\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,d}\\x_{2,\,d}\\x_{3,\,d}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}}\right]\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c r c r c l l}3\;x_{1,\,d}\!\!&+&\!\!3\;x_{2,\,d}\!\!&-&\!\!3\;x_{3,\,d}\!\!&=&\!\!0&({\mathfrak {1}})\\-5\;x_{1,\,d}\!\!&-&\!\!5\;x_{2,\,d}\!\!&+&\!\!5\;x_{3,\,d}\!\!&=&\!\!0&({\mathfrak {2}})\\x_{1,\,d}\!\!&+&\!\!x_{2,\,d}\!\!&-&\!\!x_{3,\,d}\!\!&=&\!\!0&({\mathfrak {3}})\end{array}}\right\rbrace \;$ soit, en remarquant que $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}({\mathfrak {1}})=3\;({\mathfrak {3}})\\({\mathfrak {2}})=-5\;({\mathfrak {3}})\end{array}}\right\rbrace$, $\Rightarrow$ $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit « pour $\;\color {transparent}{\lambda _{d}=2}\;$» les $\;3\;$ équations sont identiques, le système de $\;3\;$ équations algébriques linéaires homogène à $\;3\;$ inconnues $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit « pour $\;\color {transparent}{\lambda _{d}=2}\;$» les $\;\color {transparent}{3}\;$ équations sont identiques, le système se réduit à une équation algébrique linéaire homogène à $\;3\;$ inconnues $\;x_{1,\,d}+x_{2,\,d}-x_{3,\,d}=0$, de solution générale $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit « pour $\;\color {transparent}{\lambda _{d}=2}\;$» les $\;\color {transparent}{3}\;$ équations sont identiques, le système se réduit à une équation vérifiant $\;x_{3,\,d}=x_{1,\,d}+x_{2,\,d}\;$ définissant « deux vecteurs propres distincts $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit « pour $\;\color {transparent}{\lambda _{d}=2}\;$» les $\;\color {transparent}{3}\;$ équations sont identiques, le système se réduit à une équation vérifiant $\;\color {transparent}{x_{3,\,d}=x_{1,\,d}+x_{2,\,d}}\;$ définissant « associés à la valeur propre double $\;\lambda _{d}=2\;$», $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit « pour $\;\color {transparent}{\lambda _{d}=2}\;$» les $\;\color {transparent}{3}\;$ équations sont identiques, le système se réduit à une équation par exemple «$\;x_{d_{1}}=b_{1}+b_{3}\;$ de composantes $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x_{d_{1},\,1}=1\\x_{d_{1},\,2}=0\\x_{d_{1},\,3}=1\end{array}}\right\rbrace \;$ dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ c.-à-d. $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit « pour $\;\color {transparent}{\lambda _{d}=2}\;$» les $\;\color {transparent}{3}\;$ équations sont identiques, le système se réduit à une équation par exemple «$\;\color {transparent}{x_{d_{1}}=b_{1}+b_{3}}\;$ de matrice coordonnée $\;\left[{X}_{d_{1}}\right]=\left[{\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}}\right]\;$ et $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit « pour $\;\color {transparent}{\lambda _{d}=2}\;$» les $\;\color {transparent}{3}\;$ équations sont identiques, le système se réduit à une équation par exemple «$\;x_{d_{2}}=b_{2}+b_{3}\;$ de composantes $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x_{d_{2},\,1}=0\\x_{d_{2},\,2}=1\\x_{d_{2},\,3}=1\end{array}}\right\rbrace \;$ dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ c.-à-d. $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit « pour $\;\color {transparent}{\lambda _{d}=2}\;$» les $\;\color {transparent}{3}\;$ équations sont identiques, le système se réduit à une équation par exemple «$\;\color {transparent}{x_{d_{1}}=b_{1}+b_{3}}\;$ de matrice coordonnée $\;\left[{X}_{d_{2}}\right]=\left[{\begin{array}{c}0\\1\\1\end{array}}\right]\;$» et par suite, $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit « pour $\;\color {transparent}{\lambda _{d}=2}\;$» les $\;\color {transparent}{3}\;$ équations sont identiques, le système se réduit à une équation « la multiplicité géométrique de cette valeur propre double $\;\lambda _{d}=2\;$ est $\;2\;$» et comme $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit « pour $\;\color {transparent}{\lambda _{d}=2}\;$» les $\;\color {transparent}{3}\;$ équations sont identiques, le système se réduit à une équation « la multiplicité géométrique de la valeur propre simple $\;\lambda _{1}=-1\;$ est $\;1\;$»$^,$ $\Rightarrow$ $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit « pour $\;\color {transparent}{\lambda _{d}=2}\;$» « la somme des multiplicités géométriques des valeurs propres égale à $\;1+2=3\;$ est la dimension $\;{\big$ou taille${\big )}\;$ de la matrice égale à $\;3\;$» on en déduit $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit « pour $\;\color {transparent}{\lambda _{d}=2}\;$» le caractère « diagonalisable » de la matrice $\;\left[B\right]=\left[{\begin{array}{c c c}5&3&-3\\-5&-3&5\\1&1&1\end{array}}\right]\;\in \;M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)$ ; $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit « pour $\;\color {transparent}{\lambda _{d}=2}\;$» pour être complet il convient de former « la matrice de passage de la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ vers la base des vecteurs propres de l'endomorphisme représenté par $\;\left[B\right]\;$» et pour cela $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit « pour $\;\color {transparent}{\lambda _{d}=2}\;$» pour être complet il convient de déterminer le vecteur propre $\;x_{1}\;$ associé à la valeur propre simple $\;\lambda _{1}=-1$, $\bullet \;$on poursuit en « déterminant le vecteur propre $\;x_{1}\;$ associé à la valeur propre simple $\;\lambda _{1}=-1\;$» avec $\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1}\,,\,b_{2}\,,\,b_{3}\right\rbrace \;$ la base où $\;\left[B\right]\;$ représente l'endomorphisme étudié, $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit « pour $\;\lambda _{1}=-1\;$» le vecteur propre «$\;x_{1}=x_{1,\,1}\;b_{1}+x_{2,\,1}\;b_{2}+x_{3,\,1}\;b_{3}\;$ de matrice coordonnée, dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace$, $\;\left[X_{1}\right]=\left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}\\x_{2,\,1}\\x_{3,\,1}\end{array}}\right]\;$» doit vérifier «$\;\left[B\right]\times \left[X_{1}\right]=\lambda _{1}\left[X_{1}\right]\;$» soit $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit « pour $\;\color {transparent}{\lambda _{1}=-1}\;$» $\left[{\begin{array}{c c c}5&3&-3\\-5&-3&5\\1&1&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}\\x_{2,\,1}\\x_{3,\,1}\end{array}}\right]=-1\left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}\\x_{2,\,1}\\x_{3,\,1}\end{array}}\right]\;$ ou $\;\left[{\begin{array}{c c c}5&3&-3\\-5&-3&5\\1&1&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}\\x_{2,\,1}\\x_{3,\,1}\end{array}}\right]=-1\left[{\begin{array}{c c c}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,d}\\x_{2,\,d}\\x_{3,\,d}\end{array}}\right]\;$ ou, en regroupant dans un même membre, $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit « pour $\;\color {transparent}{\lambda _{1}=-1}\;$» $\left[{\begin{array}{c c c}5-(-1)&3&-3\\-5&-3-(-1)&5\\1&1&1-(-1)\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,d}\\x_{2,\,d}\\x_{3,\,d}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}}\right]\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c r c r c l l}6\;x_{1,\,d}\!\!&+&\!\!3\;x_{2,\,d}\!\!&-&\!\!3\;x_{3,\,d}\!\!&=&\!\!0&({\mathfrak {1}})\\-5\;x_{1,\,d}\!\!&-&\!\!2\;x_{2,\,d}\!\!&+&\!\!5\;x_{3,\,d}\!\!&=&\!\!0&({\mathfrak {2}})\\x_{1,\,d}\!\!&+&\!\!x_{2,\,d}\!\!&+&\!\!2\;x_{3,\,d}\!\!&=&\!\!0&({\mathfrak {3}})\end{array}}\right\rbrace \;$ soit, $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit « pour $\;\color {transparent}{\lambda _{1}=-1}\;$» en substituant $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}({\mathfrak {1}})\\({\mathfrak {2}})\end{array}}\right\rbrace \;$ par $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}3\;({\mathfrak {2}})+5\;({\mathfrak {1}})\\3\;({\mathfrak {2}})+2\;({\mathfrak {1}})\end{array}}\right\rbrace \;$, $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c r c r c l l}15\;x_{1,\,1}\!\!&+&\!\!9\;x_{2,\,1}\!\!&\!\!\!\!&\!\!\!\!&=&\!\!0&[3\;({\mathfrak {2}})+5\;({\mathfrak {1}})]\\-\;3\;x_{1,\,1}\!\!&&\!\!\!\!&+&\!\!9\;x_{3,\,1}\!\!&=&\!\!0&[3\;({\mathfrak {2}})+2\;({\mathfrak {1}})]\\x_{1,\,1}\!\!&+&\!\!x_{2,\,1}\!\!&+&\!\!2\;x_{3,\,1}\!\!&=&\!\!0&({\mathfrak {3}})\end{array}}\right\rbrace$, système dans lequel $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit « pour $\;\color {transparent}{\lambda _{1}=-1}\;$» l'équation $\;({\mathfrak {3}})\;$ étant une “ C.L. de $\;[3\;({\mathfrak {2}})+5\;({\mathfrak {1}})]\;$ et $\;[3\;({\mathfrak {2}})+2\;({\mathfrak {1}})]\;$” selon “$\;({\mathfrak {3}})=$ ${\dfrac {1}{9}}\left[3\;({\mathfrak {2}})+5\;({\mathfrak {1}})\right]+{\dfrac {2}{9}}\left[3\;({\mathfrak {2}})+2\;({\mathfrak {1}})\right]\;$” $\Rightarrow$ $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit « pour $\;\color {transparent}{\lambda _{1}=-1}\;$» le système de $\;3\;$ équations algébriques linéaires homogène à $\;3\;$ inconnues se réduit au système de $\;2\;$ équations algébriques linéaires homogène à $\;3\;$ inconnues $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit « pour $\;\color {transparent}{\lambda _{1}=-1}\;$» le système de $\;\color {transparent}{3}\;$ équations algébriques linéaires homogène à $\;\color {transparent}{3}\;$ inconnues se réduit $\left\lbrace {\begin{array}{r c r c r c l l}15\;x_{1,\,1}\!\!&+&\!\!9\;x_{2,\,1}\!\!&\!\!\!\!&\!\!\!\!&=&\!\!0&[3\;({\mathfrak {2}})+5\;({\mathfrak {1}})]\\-\;3\;x_{1,\,1}\!\!&&\!\!\!\!&+&\!\!9\;x_{3,\,1}\!\!&=&\!\!0&[3\;({\mathfrak {2}})+2\;({\mathfrak {1}})]\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit « pour $\;\color {transparent}{\lambda _{1}=-1}\;$» le système de $\;\color {transparent}{3}\;$ équations algébriques linéaires homogène à $\;\color {transparent}{3}\;$ inconnues se réduit de solution générale vérifiant $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x_{2,\,1}=-{\dfrac {5}{3}}\;x_{1,\,1}\\x_{3,\,1}={\dfrac {1}{3}}\;x_{1,\,1}\end{array}}\right\rbrace \;$ et définissant $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit « pour $\;\color {transparent}{\lambda _{1}=-1}\;$» le système de $\;\color {transparent}{3}\;$ équations algébriques linéaires homogène à $\;\color {transparent}{3}\;$ inconnues se réduit le « vecteur propre $\;x_{1}=3\;b_{1}-5\;b_{2}+b_{3}\;$ associé à la valeur propre simple $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit « pour $\;\color {transparent}{\lambda _{1}=-1}\;$» le système de $\;\color {transparent}{3}\;$ équations algébriques linéaires homogène à $\;\color {transparent}{3}\;$ inconnues se réduit le « vecteur propre $\;\color {transparent}{x_{1}=3\;b_{1}-5\;b_{2}+b_{3}}\;$ associé à $\lambda _{1}=-1$, $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit « pour $\;\color {transparent}{\lambda _{1}=-1}\;$» le système de $\;\color {transparent}{3}\;$ équations algébriques linéaires homogène à $\;\color {transparent}{3}\;$ inconnues se réduit le « de matrice coordonnée $\;\left[X_{1}\right]=\left[{\begin{array}{c}3\\-5\\1\end{array}}\right]\;$ dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$» ; $\bullet \;$on en déduit « la matrice de passage de la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ vers la base $\;\left\lbrace X\right\rbrace =\left\lbrace x_{1}\,,\,x_{d_{1}}\,,\,x_{d_{2}}\right\rbrace \;$ des vecteurs propres de l'endomorphisme » $\;{\big$la matrice le représentant y étant diagonale${\big )}\;$ soit $\color {transparent}{\bullet }\;$on en déduit «$\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }=\left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}=3\!\!&x_{1,\,d_{1}}=1\!\!&{x'}_{1,\,d_{2}}=0\\x_{2,\,1}=-5\!\!&x_{2,\,d_{1}}=0\!\!&x_{2,\,d_{2}}=1\\x_{3,\,1}=1\!\!&x_{3,\,d_{1}}=1\!\!&x_{3,\,d_{2}}=1\end{array}}\right]\;$» puis $\color {transparent}{\bullet }\;$on en déduit « sa matrice inverse $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }^{\,-1}\;$ définie par $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }=\left[I_{3}\right]\;$ où $\;\left[I_{3}\right]\;$ est la matrice identité de dimension $\;3$, soit, en posant $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }^{\,-1}=\left[{\begin{array}{c}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{array}}\right]\;$», $\color {transparent}{\bullet }\;$on en déduit « sa matrice inverse $\;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }^{\,-1}}\;$ définie par $\left[{\begin{array}{c}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}3&1&0\\-5&0&1\\1&1&1\end{array}}\right]=\left[I_{3}\right]=\left[{\begin{array}{c}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]\;$ ou, en développant le produit matriciel, $\Rightarrow$ $\color {transparent}{\bullet }\;$on en déduit « sa matrice inverse $\;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }^{\,-1}}\;$ définie par le « système de $\,9\,$ équations algébriques linéaires à $\,9\,$ inconnues $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}3\;a-5\;b+c=1\;\;({\mathfrak {1}})\\a+c=0\;\;({\mathfrak {2}})\\b+c=0\;\;({\mathfrak {3}})\\3\;d-5\;e+f=0\;\;({\mathfrak {4}})\\d+f=1\;\;({\mathfrak {5}})\\e+f=0\;\;({\mathfrak {6}})\\3\;g-5\;h+i=0\;\;({\mathfrak {7}})\\g+i=0\;\;({\mathfrak {8}})\\h+i=1\;\;({\mathfrak {9}})\end{array}}\right\rbrace \;$» ou, $\color {transparent}{\bullet }\;$on en déduit « sa matrice inverse $\;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }^{\,-1}}\;$ définie par en éliminant «$\;a\;$ et $\;b\;$ au profit de $\;c\;$ par $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}({\mathfrak {2}})\\({\mathfrak {3}})\end{array}}\right\rbrace$ $\Rightarrow$ $\left\lbrace {\begin{array}{c}a=-c\\b=-c\end{array}}\right\rbrace \;$», «$\;d\;$ et $\;e\;$ au profit de $\;f\;$ par $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}({\mathfrak {5}})\\({\mathfrak {6}})\end{array}}\right\rbrace$ $\Rightarrow$ $\left\lbrace {\begin{array}{c}d=1-f\\e=-f\end{array}}\right\rbrace \;$» $\color {transparent}{\bullet }\;$on en déduit « sa matrice inverse $\;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }^{\,-1}}\;$ définie par en éliminant et «$\;g\;$ et $\;h\;$ au profit de $\;i\;$ par $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}({\mathfrak {8}})\\({\mathfrak {9}})\end{array}}\right\rbrace$ $\Rightarrow$ $\left\lbrace {\begin{array}{c}g=-i\\h=1-i\end{array}}\right\rbrace \;$», on obtient, après substitution, $\color {transparent}{\bullet }\;$on en déduit « sa matrice inverse $\;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }^{\,-1}}\;$ définie par le système de $\;3\;$ équations algébriques linéaires aux $\;3\;$ inconnues $\;\left(c\,,\,f\,,\,i\right)$, $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c r c r c r l}-3\;c\!\!&+&\!\!5\;c\!\!&+&\!\!c\!\!&=&\!\!1&({\mathfrak {1}}')\\3\;(1-f)\!\!&+&\!\!5\;f\!\!&+&\!\!f\!\!&=&\!\!0&({\mathfrak {4}}')\\-3\;i\!\!&-&\!\!5\;(1-i)\!\!&+&\!\!i\!\!&=&\!\!0&({\mathfrak {7}}')\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Leftrightarrow$ $\color {transparent}{\bullet }\;$on en déduit « sa matrice inverse $\;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }^{\,-1}}\;$ définie par $\left\lbrace {\begin{array}{c}3\;c=1\;\;({\mathfrak {1}}')\\3\;f=-3\;\;({\mathfrak {4}}')\\3\;i=5\;\;({\mathfrak {7}}')\end{array}}\right\rbrace \;$ soit $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}c={\dfrac {1}{3}}\\f=-1\\i={\dfrac {5}{3}}\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}a=-{\dfrac {1}{3}}\!\!&\!\!&\!\!b=-{\dfrac {1}{3}}\\d=2\!\!&\!\!&\!\!e=1\\g=-{\dfrac {5}{3}}\!\!&\!\!&\!\!h=-{\dfrac {2}{3}}\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où l'expression de la matrice de passage inverse $\color {transparent}{\bullet }\;$on en déduit « sa matrice inverse $\;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }^{\,-1}}\;$ définie par «$\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }^{\,-1}=\left[{\begin{array}{c c c}-{\dfrac {1}{3}}&-{\dfrac {1}{3}}&{\dfrac {1}{3}}\\2&1&-1\\-{\dfrac {5}{3}}&-{\dfrac {2}{3}}&{\dfrac {5}{3}}\end{array}}\right]\;$» ; $\bullet \;$enfin on réalise « le changement de bases de $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ vers $\;\left\lbrace X\right\rbrace =\left\lbrace x_{1}\,,\,x_{d_{1}}\,,\,x_{d_{2}}\right\rbrace \;$ base des vecteurs propres de l'endomorphisme pour que la matrice de ce dernier dans $\;\left\lbrace X\right\rbrace \;$ soit diagonale » $\color {transparent}{\bullet }\;$enfin on réalise « le changement de bases de $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;$ vers $\;\color {transparent}{\left\lbrace X\right\rbrace =\left\lbrace x_{1}\,,\,x_{d_{1}}\,,\,x_{d_{2}}\right\rbrace }\;$ selon la formule «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace X\right\rbrace ,\left\lbrace X\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }^{\,-1}\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }\;$» soit, $\color {transparent}{\bullet }\;$enfin on réalise « le changement de bases de $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;$ vers $\;\color {transparent}{\left\lbrace X\right\rbrace =\left\lbrace x_{1}\,,\,x_{d_{1}}\,,\,x_{d_{2}}\right\rbrace }\;$ avec «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[B\right]\;$» et «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace X\right\rbrace ,\left\lbrace X\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[D\right]\;$ la matrice diagonale cherchée », $\color {transparent}{\bullet }\;$enfin on réalise « le changement de bases de $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;$ vers $\;\color {transparent}{\left\lbrace X\right\rbrace =\left\lbrace x_{1}\,,\,x_{d_{1}}\,,\,x_{d_{2}}\right\rbrace }\;$ selon la formule «$\;\left[D\right]=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[B\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }\;$» dans lequel $\color {transparent}{\bullet }\;$enfin on réalise « le changement de bases de $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;$ vers $\;\color {transparent}{\left\lbrace X\right\rbrace =\left\lbrace x_{1}\,,\,x_{d_{1}}\,,\,x_{d_{2}}\right\rbrace }\;$ avec «$\;\left[B\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }=\left[{\begin{array}{c c c}5&3&-3\\-5&-3&5\\1&1&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}3&1&0\\-5&0&1\\1&1&1\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}-3&2&0\\5&0&2\\-1&2&2\end{array}}\right]\;$» $\Rightarrow$ $\color {transparent}{\bullet }\;$enfin on réalise « le changement de bases de $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;$ vers $\;\color {transparent}{\left\lbrace X\right\rbrace =\left\lbrace x_{1}\,,\,x_{d_{1}}\,,\,x_{d_{2}}\right\rbrace }\;$ avec «$\;\left[D\right]=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[B\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }=\left[{\begin{array}{c}-{\dfrac {1}{3}}&-{\dfrac {1}{3}}&{\dfrac {1}{3}}\\2&1&-1\\-{\dfrac {5}{3}}&-{\dfrac {2}{3}}&{\dfrac {5}{3}}\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}-3&2&0\\5&0&2\\-1&2&2\end{array}}\right]\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$enfin on réalise « le changement de bases de $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;$ vers $\;\color {transparent}{\left\lbrace X\right\rbrace =\left\lbrace x_{1}\,,\,x_{d_{1}}\,,\,x_{d_{2}}\right\rbrace }\;$ avec «$\;\color {transparent}{\left[D\right]=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[B\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace X\right\rbrace }}$ $=\left[{\begin{array}{c}-1&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{array}}\right]\;$ $\;=\left[{\begin{array}{c}\lambda _{1}&0&0\\0&\lambda _{d}&0\\0&0&\lambda _{d}\end{array}}\right]\;$» c.-à-d. $\color {transparent}{\bullet }\;$enfin on réalise « le changement de bases de $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;$ vers $\;\color {transparent}{\left\lbrace X\right\rbrace =\left\lbrace x_{1}\,,\,x_{d_{1}}\,,\,x_{d_{2}}\right\rbrace }\;$ « la matrice diagonale à éléments diagonaux $\;=\;$ aux valeurs propres de l'endomorphisme représenté par $\;\left[B\right]\;$».

## Méthodes de réduction de matrices carrées, suite

Nous essaierons ensuite d'obtenir la réduction de la matrice carrée non diagonalisable étudiée sous la forme la plus simple c.-à-d. sous forme triangulaire $\;{\big$ce qui n'est possible que sous conditions${\big )}$.

## Tentative de trigonalisation d'une matrice carrée de dimension (ou taille) n

« Trigonaliser une matrice carrée $\;\left[A\right]\;$» de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;n\;$ représentant un endomorphisme $\;\varphi \;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ de dimension $\;n\;$ « Trigonaliser une matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$» c'est faire un changement de bases de $\;E\;$ caractérisé par la matrice de passage $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ de la base initiale $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ vers la nouvelle base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ « Trigonaliser une matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$» c'est faire un changement de bases de $\;\color {transparent}{E}\;$ tel que la nouvelle matrice $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;$ de l'endomorphisme $\;\varphi \;$ de $\;E\;$ dans la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ « Trigonaliser une matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$» c'est faire un changement de bases de $\;\color {transparent}{E}\;$ tel que la nouvelle matrice $\;\color {transparent}{\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)}\;$ soit « triangulaire » ; « Trigonaliser une matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$» c'est aussi trouver une matrice $\;\left[P\right]\;$ inversible pour que la matrice $\;\left[A\right]\;$ soit semblable à une matrice $\;\left[T\right]\;$ triangulaire c.-à-d. « Trigonaliser une matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$» c'est aussi trouver $\;\left[P\right]\;$ inversible telle que $\;\left[P\right]^{-1}\times \left[A\right]\times \left[P\right]\;$ soit une mattrice triangulaire $\;\left[T\right]\;$.

### Condition pour qu'une matrice carrée de dimension (ou taille) n soit trigonalisable

$\succ \;$Supposons la « matrice $\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\end{array}}\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ trigonalisable » et $\color {transparent}{\succ }\;$introduisons son polynôme caractéristique «$\;p_{\left[A\right]}(X):=\mathrm {det} \!\left(X\,\left[I_{n}\right]-\left[A\right]\right)=X^{n}-f_{1}(\left[A\right])\;X^{n-1}+f_{2}(\left[A\right])\;X^{n-2}-\cdots +(-1)^{n}\;f_{n}(\left[A\right])\;$» avec $\color {transparent}{\succ }\;$introduisons son polynôme caractéristique «$\;f_{k}(\left[A\right])=\sum _{I\,\subset \,\left\lbrace 1,\,\dots ,\,n\right\rbrace }^{\mathrm {card} (I)=k}\mathrm {\det } \!\left(A_{I,\,I}\right)\;$» c.-à-d. la somme des mineurs principaux d'ordre $\;k\;$ de $\;\left[A\right]\;$ où $\color {transparent}{\succ }\;$introduisons son polynôme caractéristique «$\;I\;$ est une partie à $\;k\;$ éléments de l'ensemble des entiers naturels $\;\left\lbrace 1,\,\dots ,\,n\right\rbrace \;$» $\color {transparent}{\succ }\;$introduisons son polynôme caractéristique dont, plus particulièrement, $\bullet \;$«$\;f_{n}(\left[A\right])=\mathrm {det} \!\left(A\right)\;$» c.-à-d. le déterminant de la matrice $\;\left[A\right]\;$ et $\color {transparent}{\succ }\;$introduisons son polynôme caractéristique dont, plus particulièrement, $\bullet \;$«$\;f_{1}(\left[A\right])=\sum _{i\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right]}a_{i,\,i}=\mathrm {Tr} \!\left(A\right)\;$» c.-à-d. la trace de la matrice $\;\left[A\right]\;$ ; $\succ \;$considérons « l'endomorphisme $\;\varphi \;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ de dimension $\;n\;$ que la matrice $\;\left[A\right]\;$ représente dans le couple de bases $\;\left(\left\lbrace B\right\rbrace \,,\,\left\lbrace B\right\rbrace \right)\;$» $\color {transparent}{\succ }\;$considérons « l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{E}\;$ de dimension $\;\color {transparent}{n}\;$ où «$\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1},\,\ldots b_{j},\,\ldots b_{n}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\;$ est une base choisie dans $\;E\;$», $\color {transparent}{\succ }\;$considérons « l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{E}\;$ de dimension $\;\color {transparent}{n}\;$ $\varphi \;$ étant tel que «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[A\right]\;$» et $\color {transparent}{\succ }\;$considérons « son polynôme caractéristique $\;p_{\varphi }(X)\;$» défini comme celui de la matrice $\;\left[A\right]\;$ le représentant dans le couple de bases $\;\left(\left\lbrace B\right\rbrace \,,\,\left\lbrace B\right\rbrace \right)\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$considérons « son polynôme caractéristique «$\;p_{\varphi }(X)=p_{\left[A\right]}(X):=\mathrm {det} \!\left(X\,\left[I_{n}\right]-\left[A\right]\right)=X^{n}-f_{1}(\left[A\right])\;X^{n-1}+f_{2}(\left[A\right])\;X^{n-2}-\cdots +(-1)^{n}\;f_{n}(\left[A\right])\;$» ; $\succ \;$« les valeurs propres $\;\lambda \;$ de l'endomorphisme $\;\varphi \;$ étant les racines de son polynôme caractéristique » vérifient «$\;p_{\varphi }(\lambda )=\mathrm {det} \!\left(\lambda \,\left[I_{n}\right]-\left[A\right]\right)=0\;$» ou $\color {transparent}{\succ }\;$« les valeurs propres $\;\color {transparent}{\lambda }\;$ de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ étant les racines de son polynôme caractéristique » vérifient «$\;\lambda ^{n}-f_{1}(\left[A\right])\;\lambda ^{n-1}+f_{2}(\left[A\right])\;\lambda ^{n-2}-\cdots +(-1)^{n}\;f_{n}(\left[A\right])=0\;$» c.-à-d. $\color {transparent}{\succ }\;$« les valeurs propres $\;\color {transparent}{\lambda }\;$ de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ étant les racines de son polynôme caractéristique » vérifient « une équation polynomiale $\;{\big$ou algébrique${\big )}\;$ à cœfficients réels de degré $\;n\;$», $\color {transparent}{\succ }\;$« les valeurs propres $\;\color {transparent}{\lambda }\;$ de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ étant les racines de son polynôme caractéristique » vérifient « le nombre maximal de racines réelles de cette équation polynomiale étant $\;n\;$» $\Rightarrow$ $\color {transparent}{\succ }\;$« les valeurs propres $\;\color {transparent}{\lambda }\;$ de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ étant les racines de son polynôme caractéristique » vérifient « il y a au maximum $\;n\;$ valeurs propres $\;\lambda \;$ de l'endomorphisme $\;\varphi \;$», $\color {transparent}{\succ }\;$« les valeurs propres $\;\color {transparent}{\lambda }\;$ de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ étant les racines de son polynôme caractéristique » vérifient « chaque valeur propre pouvant être « simple ou algébriquement multiple ». $\succ \;$Condition$\;{\big$admise${\big )}\;$pour qu'une matrice$\;\left[A\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$soit trigonalisable : ssi son polynôme caractéristique est scindé sur le corps des réels c.-à-d. $\color {transparent}{\succ }\;$Condition$\;\color {transparent}{\big$admise$\color {transparent}{\big )}\;$pour qu'une matrice$\;\color {transparent}{\left[A\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$soit trigonalisable : ssi son polynôme caractéristique est entièrement factorisable en polynômes du 1er degré définis sur $\;\mathbb {R}$.
$\succ \;$Remarques : « si les racines du polynôme caractéristique de la matrice sont toutes réelles et simples », « la matrice est diagonalisable » mais aussi $\color {transparent}{\succ }\;$Remarques : « si les racines le polynôme caractéristique de la matrice est scindé sur $\;\mathbb {R} \;$ d'où condition de trigonalisation de la matrice vérifiée ; $\color {transparent}{\succ }\;$Remarques : dans le cas d'« une matrice à polynôme caractéristique scindé sur $\;\mathbb {R} \;$ », « une C.N. pour que la matrice ne soit pas diagonalisable $\color {transparent}{\succ }\;$Remarques : dans le cas d'« une matrice à polynôme caractéristique scindé sur $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;$ », « une C.N. est l'existence d'une valeur propre non simple c.-à-d. à multiplicité algébrique $\;\geqslant \;$ à $\;2\;$», $\color {transparent}{\succ }\;$Remarques : dans le cas d'« une matrice à polynôme caractéristique scindé sur $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;$ », « la C. étant S. si la multiplicité géométrique de la valeur propre est $\;<\;$ à sa multiplicité algébrique », $\color {transparent}{\succ }\;$Remarques : dans le cas d'« une matrice à polynôme caractéristique scindé sur $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;$ », « la C. étant S. si dans ce cas « la matrice n'est que trigonalisable ».

### Exposé de la méthode de trigonalisation sur une matrice carrée de dimension (ou taille) 2

Sur les trois exemples de tentative de diagonalisation de matrice carrée de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;2$, Sur les trois exemples un seul $\;{\big$le 1er exemple${\big )}\;$ correspond à une matrice diagonalisable, nous reprenons donc les deux autres : Sur les trois exemples dans le 2ème exemple, la matrice n'est pas diagonalisable, son polynôme caractéristique ayant une racine réelle double dont la multiplicité géométrique n'est que de $\;1\;$, Sur les trois exemples dans le 2ème exemple, elle est toutefois trigonalisable car son polynôme caractéristique est scindé sur $\;\mathbb {R} \;$$^,$ de même Sur les trois exemples dans le 3ème exemple, la matrice n'est pas diagonalisable, son polynôme caractéristique n'ayant pas de racines réelles, Sur les trois exemples dans le 3ème exemple, elle n'est pas non plus trigonalisable car son polynôme caractéristique n'est pas scindé sur $\;\mathbb {R} \;$$^,$.

#### Exemple de matrice carrée de dimension (ou taille) 2 non diagonalisable mais trigonalisable à polynôme caractéristique ayant une racine double

Soit la matrice carrée $\;\left[B\right]=\left[{\begin{array}{c c}3&-1\\1&1\end{array}}\right]\;\in \;M_{2}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ à polynôme caractéristique «$\;p_{\left[B\right]}(X)=X^{2}-4\;X+4\;$» admettant une racine double $\;\lambda _{d}=2\;$ de multiplicité géométrique $\;1\;$ donc Soit la matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[B\right]=\left[{\begin{array}{c c}1&1\end{array}}\right]\;\in \;M_{2}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ matrice non diagonalisable mais, Soit la matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[B\right]=\left[{\begin{array}{c c}1&1\end{array}}\right]\;\in \;M_{2}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ son polynôme caractéristique «$\;p_{\left[B\right]}(X)=X^{2}-4\;X+4\;$» étant scindé sur $\;\mathbb {R} \;$, la matrice $\;\left[B\right]=\left[{\begin{array}{c c}3&-1\\1&1\end{array}}\right]\;$ est trigonalisable ; Soit « l'endomorphisme $\;\varphi \;$ que la matrice $\;\left[B\right]\;$ représente dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1}\,,\,b_{2}\right\rbrace \;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ possède une valeur propre double $\;\lambda _{d}=2\;$ à laquelle s'associe Soit « l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ que la matrice $\;\color {transparent}{\left[B\right]}\;$ représente dans la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1}\,,\,b_{2}\right\rbrace }\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{E}\;$ possède un sous-espace vectoriel propre de dimension $\;1\;$$^,$ dont Soit « l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ que la matrice $\;\color {transparent}{\left[B\right]}\;$ représente dans la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1}\,,\,b_{2}\right\rbrace }\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{E}\;$ possède le vecteur propre générateur est $\;x_{d}=b_{1}+b_{2}\;$ Soit « l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ que la matrice $\;\color {transparent}{\left[B\right]}\;$ représente dans la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1}\,,\,b_{2}\right\rbrace }\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{E}\;$ possède de matrice coordonnée $\;\left[X_{d}\right]=\left[{\begin{array}{c}1\\1\end{array}}\right]\;$ dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$» ;
$\bullet \;$pour trigonaliser $\;\left[B\right]$, il faut « compléter la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace =\left\lbrace x_{d}\,,\,{x'}_{2}\right\rbrace \;$» permettant d'obtenir « la matrice de passage de la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ vers la nouvelle base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$» «$\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\;$» et par suite $\color {transparent}{\bullet }\;$pour trigonaliser $\;\color {transparent}{\left[B\right]}$, il faut « compléter la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace =\left\lbrace x_{d}\,,\,{x'}_{2}\right\rbrace }\;$» permettant d'obtenir « la matrice triangulaire $\;\left[T\right]\;$ représentant l'endomorphisme $\;\varphi \;$ dans cette nouvelle base » ; $\color {transparent}{\bullet }\;$pour trigonaliser $\;\color {transparent}{\left[B\right]}$, il faut « compléter la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace =\left\lbrace x_{d}\,,\,{x'}_{2}\right\rbrace }\;$» le choix du 2ème vecteur de base $\;{x'}_{2}\;$ est arbitraire avec évidemment pour condition de ne pas être colinéaire à $\;x_{d}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$pour trigonaliser $\;\color {transparent}{\left[B\right]}$, il faut « compléter la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace =\left\lbrace x_{d}\,,\,{x'}_{2}\right\rbrace }\;$» « on choisit par exemple $\;{x'}_{2}=b_{1}\;$ de matrice coordonnée $\;\left[{X'}_{2}\right]=\left[{\begin{array}{c}1\\0\end{array}}\right]\;$ dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$» d'où $\color {transparent}{\bullet }\;$pour trigonaliser $\;\color {transparent}{\left[B\right]}$, il faut « compléter la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace =\left\lbrace x_{d}\,,\,{x'}_{2}\right\rbrace }\;$» l'expression de la « matrice de passage $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }=\left[{\begin{array}{c}1&1\\1&0\end{array}}\right]\;$» ;
$\bullet \;$de la matrice de passage $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }=\left[{\begin{array}{c}1&1\\1&0\end{array}}\right]\;$ on déduit « la matrice de passage inverse $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}=\left[{\begin{array}{c}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{array}}\right]\;$» en formant $\;\left[{\begin{array}{c}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}1&1\\1&0\end{array}}\right]=\left[I_{2}\right]=\left[{\begin{array}{c}1&0\\0&1\end{array}}\right]\;$ soit, $\color {transparent}{\bullet }\;$de la matrice de passage $\;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }=\left[{\begin{array}{c}1&1\end{array}}\right]}\;$ en développant le produit matriciel, le système de $\,4\,$ équations algébriques linéaires à $\,4\,$ inconnues $\left\lbrace {\begin{array}{c}\alpha +\beta =1\;\;({\mathfrak {1}})\\\alpha =0\;\;({\mathfrak {2}})\\\gamma +\delta =0\;\;({\mathfrak {3}})\\\gamma =1\;\;({\mathfrak {4}})\end{array}}\right\rbrace$ $\Leftrightarrow$ $\left\lbrace {\begin{array}{c}\alpha =0\\\beta =1\\\gamma =1\\\delta =-1\end{array}}\right\rbrace$ d'où $\color {transparent}{\bullet }\;$de la matrice de passage $\;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }=\left[{\begin{array}{c}1&1\end{array}}\right]}\;$ on déduit « l'expression de la matrice de passage inverse «$\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}=\left[{\begin{array}{c}0&1\\1&-1\end{array}}\right]\;$» ;
$\bullet \;$on en déduit la matrice triangulaire $\;\left[T\right]\;$ en formant «$\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[B\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }=\left[{\begin{array}{c}0&1\\1&-1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c c}3&-1\\1&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}1&1\\1&0\end{array}}\right]\;$» soit, en développant le produit des deux dernières matrices, $\color {transparent}{\bullet }\;$on en déduit la matrice triangulaire $\;\color {transparent}{\left[T\right]}\;$ en formant «$\;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[B\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }}$ $=\left[{\begin{array}{c}0&1\\1&-1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c c}2&3\\2&1\end{array}}\right]\;$ puis, en réitérant le développement du produit de ces deux matrices, $\color {transparent}{\bullet }\;$on en déduit la matrice triangulaire en formant «$\;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[B\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }}$ «$\;\left[T\right]=\left[{\begin{array}{c c}2&1\\0&2\end{array}}\right]\;$».
Remarques : l'élément non diagonal de la matrice triangulaire dépend du choix du 2ème vecteur de la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ en effet Remarques : l'élément non diagonal « choisissant $\;{x'}_{2}=b_{2}\;$ de matrice coordonnée $\;\left[{X'}_{2}\right]=\left[{\begin{array}{c}0\\1\end{array}}\right]\;$ dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$», Remarques : l'élément non diagonal « choisissant $\;\color {transparent}{{x'}_{2}=b_{2}}\;$ « la matrice de passage de la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ vers la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$» s'écrit «$\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }=\left[{\begin{array}{c}1&0\\1&1\end{array}}\right]\;$» d'où Remarques : l'élément non diagonal « choisissant $\;\color {transparent}{{x'}_{2}=b_{2}}\;$ « la matrice inverse $\;{\big$pour passer de la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ vers la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace {\big )}$ $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}=\left[{\begin{array}{c}1&0\\-1&1\end{array}}\right]\;$» et Remarques : l'élément non diagonal « choisissant $\;\color {transparent}{{x'}_{2}=b_{2}}\;$ «$\;\left[T\right]=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[B\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }=\left[{\begin{array}{c}1&0\\-1&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c c}3&-1\\1&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}1&0\\1&1\end{array}}\right]\;$» soit, Remarques : l'élément non diagonal « choisissant $\;\color {transparent}{{x'}_{2}=b_{2}}\;$ en développant le produit des deux dernières matrices $\;\left[T\right]=\left[{\begin{array}{c}1&0\\-1&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c c}2&-1\\2&1\end{array}}\right]\;$ puis, Remarques : l'élément non diagonal « choisissant $\;\color {transparent}{{x'}_{2}=b_{2}}\;$ en réitérant le développement du produit de ces deux matrices, «$\;\left[T\right]=\left[{\begin{array}{c c}2&-1\\0&2\end{array}}\right]\;$» C.Q.F.V. ; Remarques : mettre le vecteur propre comme 1er vecteur de la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ une matrice triangulaire supérieure avec les deux éléments diagonaux égaux à la valeur propre double, Remarques : mettre le vecteur propre comme 1er vecteur de la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ si on inverse l'ordre des deux vecteurs de $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ on obtient une matrice triangulaire inférieure en effet Remarques : mettre le vecteur propre comme 1er vecteur de la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ si on inverse l'ordre des deux vecteurs de $\;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ « si $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }=$ $\left[{\begin{array}{c}1&1\\0&1\end{array}}\right]\;$» $\Rightarrow$ «$\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}=\left[{\begin{array}{c}1&-1\\0&1\end{array}}\right]\;$» et Remarques : mettre le vecteur propre comme 1er vecteur de la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ si on inverse l'ordre des deux vecteurs de $\;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ «$\;\left[T\right]=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[B\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }$ Remarques : mettre le vecteur propre comme 1er vecteur de la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ si on inverse l'ordre des deux vecteurs de $\;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ «$\;\color {transparent}{\left[T\right]}$ $=\left[{\begin{array}{c}1&-1\\0&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c c}3&-1\\1&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}1&1\\0&1\end{array}}\right]\;$» soit, Remarques : mettre le vecteur propre comme 1er vecteur de la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ si on inverse l'ordre des deux vecteurs de $\;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ en développant le produit des deux dernières matrices Remarques : mettre le vecteur propre comme 1er vecteur de la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ si on inverse l'ordre des deux vecteurs de $\;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ «$\;\left[T\right]=\left[{\begin{array}{c}1&-1\\0&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c c}3&2\\1&2\end{array}}\right]\;$» puis, Remarques : mettre le vecteur propre comme 1er vecteur de la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ si on inverse l'ordre des deux vecteurs de $\;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ en réitérant le développement du produit de ces deux matrices, Remarques : mettre le vecteur propre comme 1er vecteur de la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ si on inverse l'ordre des deux vecteurs de $\;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ «$\;\left[T\right]=\left[{\begin{array}{c c}2&0\\1&2\end{array}}\right]\;$» C.Q.F.V..
Remarques : En conclusion, s'il n'existe qu'« une et une seule matrice diagonale semblable à une matrice diagonalisable », Remarques : En conclusion, il existe « autant de matrices triangulaires$\;{\big$supérieures ou inférieures${\big ]}\;$semblables à une matrice trigonalisable$\;\left[B\right]\;$ Remarques : En conclusion, il existe « autant qu'il y a de façon de choisir les vecteurs de la base$\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$autres que le(s) vecteur(s) propre(s) associé(s) à la ${\big$ou au(x)${\big ]}$ valeur(s) propre(s) de la matrice $\;\left[B\right]\;$».

#### Exemple de matrice carrée de dimension (ou taille) 2 non trigonalisable, son polynôme caractéristique n'ayant pas de racines réelles

Soit la matrice carrée $\;\left[C\right]=\left[{\begin{array}{c c}3&1\\-3&1\end{array}}\right]\;\in \;M_{2}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ à polynôme caractéristique «$\;p_{\left[C\right]}(X)=X^{2}-4\;X+6\;$» de discriminant réduit $\;\Delta '=(-2)^{2}-1\times 6=-2<0\;$ Soit la matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[C\right]=\left[{\begin{array}{c c}3&1\end{array}}\right]\;\in \;M_{2}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ à polynôme caractéristique n'admettant donc aucune racine réelle $\Rightarrow$ la matrice $\;\left[C\right]=\left[{\begin{array}{c c}3&1\\-3&1\end{array}}\right]\;$ est non diagonalisable de plus, Soit la matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[C\right]=\left[{\begin{array}{c c}1&1\end{array}}\right]\;\in \;M_{2}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ son polynôme caractéristique «$\;p_{\left[C\right]}(X)=X^{2}-4\;X+6\;$» n'étant pas scindé sur $\;\mathbb {R} \;$, la matrice $\;\left[C\right]=\left[{\begin{array}{c c}3&1\\-3&1\end{array}}\right]\;$ est non trigonalisable.

### Exposé de la méthode de trigonalisation sur une matrice carrée de dimension (ou taille) 3

Sur les deux exemples de tentative de diagonalisation de matrice carrée de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;3$, Sur les deux exemples un seul $\;{\big$le 2ème exemple${\big )}\;$ correspond à une matrice diagonalisable, nous reprenons donc l'autre : Sur les deux exemples dans le 1er exemple, la matrice est non diagonalisable à polynôme caractéristique ayant une racine réelle simple et une double dont la multiplicité géométrique n'est que de $\;1\;$, Sur les deux exemples dans le 1er exemple, elle est toutefois trigonalisable car son polynôme caractéristique est scindé sur $\;\mathbb {R} \;$$^,$ ; pour être complet nous ajouterons un 3ème exemple de matrice carrée de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;3\;$ non diagonalisable à polynôme caractéristique n'ayant qu'une racine réelle simple, pour être complet nous ajouterons un 3ème exemple de matrice carrée de dimension $\;\color {transparent}{\big$ou taille$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{3}\;$ non diagonalisable ce polynôme caractéristique n'est donc pas scindé sur $\;\mathbb {R} \;$ $\Rightarrow$ pour être complet nous ajouterons un 3ème exemple de matrice carrée de dimension $\;\color {transparent}{\big$ou taille$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{3}\;$ non diagonalisable la matrice n'est pas trigonalisable.

#### Exemple de matrice carrée de dimension (ou taille) 3 non diagonalisable mais trigonalisable à polynôme caractéristique ayant une racine double et une simple

Soit la matrice carrée $\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c c c}1&1&-1\\3&1&1\\1&1&1\end{array}}\right]\;\in \;M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ à polynôme caractéristique «$\;p_{\left[A\right]}(X)=X^{3}-3\;X^{2}+4\;$» se réécrivant «$\;p_{\left[A\right]}(X)=\left(X+1\right)\left(X-2\right)^{2}\;$» et Soit la matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c c c}1&1&-1\end{array}}\right]\;\in \;M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ à polynôme caractéristique admettant une racine double $\;\lambda _{d}=2\;$ de multiplicité géométrique $\;1\;$ et une simple $\;\lambda _{1}=-1\;$ donc Soit la matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c c c}1&1&-1\end{array}}\right]\;\in \;M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ matrice non diagonalisable mais, Soit la matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c c c}1&1&-1\end{array}}\right]\;\in \;M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ son polynôme caractéristique $\;p_{\left[A\right]}(X)=\left(X+1\right)\left(X-2\right)^{2}\;$ étant scindé sur $\;\mathbb {R} \;$, la matrice $\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c c c}1&1&-1\\3&1&1\\1&1&1\end{array}}\right]\;$ est trigonalisable ; Soit « l'endomorphisme $\;\varphi \;$ que la matrice $\;\left[A\right]\;$ représente dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1}\,,\,b_{2}\,,\,b_{3}\right\rbrace \;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ possède une valeur propre double $\;\lambda _{d}=2\;$ à laquelle s'associe Soit « l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ que la matrice $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ représente dans la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1}\,,\,b_{2}\,,\,b_{3}\right\rbrace }\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{E}\;$ possède un sous-espace vectoriel propre de dimension $\;1\;$$^,$ dont Soit « l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ que la matrice $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ représente dans la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1}\,,\,b_{2}\,,\,b_{3}\right\rbrace }\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{E}\;$ possède le vecteur propre générateur est $\;x_{d}=b_{2}+b_{3}\;$ Soit « l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ que la matrice $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ représente dans la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1}\,,\,b_{2}\,,\,b_{3}\right\rbrace }\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{E}\;$ possède de matrice coordonnée $\;\left[X_{d}\right]=\left[{\begin{array}{c}0\\1\\1\end{array}}\right]\;$ dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ et Soit « l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ que la matrice $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ représente dans la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1}\,,\,b_{2}\,,\,b_{3}\right\rbrace }\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{E}\;$ possède une valeur propre simple $\;\lambda _{1}=-1\;$ à laquelle s'associe Soit « l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ que la matrice $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ représente dans la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1}\,,\,b_{2}\,,\,b_{3}\right\rbrace }\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{E}\;$ possède un vecteur propre $\;x_{1}=3\;b_{1}-5\;b_{2}+b_{3}\;$ Soit « l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ que la matrice $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ représente dans la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1}\,,\,b_{2}\,,\,b_{3}\right\rbrace }\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{E}\;$ possède de matrice coordonnée $\;\left[X_{1}\right]=\left[{\begin{array}{c}3\\-5\\1\end{array}}\right]\;$ dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$» ;
$\bullet \;$pour trigonaliser $\;\left[A\right]$, il faut « compléter la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace =\left\lbrace x_{1}\,,\,x_{d}\,,\,{x'}_{3}\right\rbrace \;$» permettant d'obtenir « la matrice de passage de la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ vers la nouvelle base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$» «$\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\;$» et par suite $\color {transparent}{\bullet }\;$pour trigonaliser $\;\color {transparent}{\left[A\right]}$, il faut « compléter la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace =\left\lbrace x_{1}\,,\,x_{d}\,,\,{x'}_{3}\right\rbrace }\;$» permettant d'obtenir « la matrice triangulaire $\;\left[T\right]\;$ représentant l'endomorphisme $\;\varphi \;$ dans cette nouvelle base » ; $\color {transparent}{\bullet }\;$pour trigonaliser $\;\color {transparent}{\left[A\right]}$, il faut « compléter la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace =\left\lbrace x_{1}\,,\,x_{d}\,,\,{x'}_{3}\right\rbrace }\;$» le choix du 3ème vecteur de base $\;{x'}_{3}\;$ est arbitraire avec évidemment pour condition de ne pas être une C.L. de $\;x_{d}\;$ et $\;x_{1}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$pour trigonaliser $\;\color {transparent}{\left[A\right]}$, il faut « compléter la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace =\left\lbrace x_{1}\,,\,x_{d}\,,\,{x'}_{3}\right\rbrace }\;$» « on choisit par exemple $\;{x'}_{3}=b_{1}\;$ de matrice coordonnée $\;\left[{X'}_{3}\right]=\left[{\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}}\right]\;$ dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$» d'où $\color {transparent}{\bullet }\;$pour trigonaliser $\;\color {transparent}{\left[A\right]}$, il faut « compléter la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace =\left\lbrace x_{1}\,,\,x_{d}\,,\,{x'}_{3}\right\rbrace }\;$» l'expression de la « matrice de passage $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }=\left[{\begin{array}{c}3&0&1\\-5&1&0\\1&1&0\end{array}}\right]\;$» ;
$\bullet \;$de la matrice de passage $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }=\left[{\begin{array}{c}3&0&1\\-5&1&0\\1&1&0\end{array}}\right]\;$ on déduit « la matrice de passage inverse $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}=\left[{\begin{array}{c}a&d&g\\b&e&h\\c&f&i\end{array}}\right]\;$» par $\;\left[{\begin{array}{c}a&d&g\\b&e&h\\c&f&i\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}3&0&1\\-5&1&0\\1&1&0\end{array}}\right]=\left[I_{3}\right]$ $\color {transparent}{\bullet }\;$de la matrice de passage $\;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }=\left[{\begin{array}{c}3&0&1\\-5&1&0\\1&1&0\end{array}}\right]}\;$ on déduit « la matrice de passage inverse $\;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}=\left[{\begin{array}{c}a&d&g\\b&e&h\\c&f&i\end{array}}\right]}\;$» par $\;\color {transparent}{\left[{\begin{array}{c}a&d&g\\b&e&h\\c&f&i\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}3&0&1\\-5&1&0\\1&1&0\end{array}}\right]}$ $=\left[{\begin{array}{c}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]\;$ soit, $\color {transparent}{\bullet }\;$de la matrice de passage $\;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }=\left[{\begin{array}{c}3&0&1\end{array}}\right]}\;$ en développant le produit matriciel, le système de $\,9\,$ équations algébriques linéaires à $\,9\,$ inconnues $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}3\;a-5\;d+g=1\;\;({\mathfrak {1}})\\d+g=0\;\;({\mathfrak {2}})\\a=0\;\;({\mathfrak {3}})\\3\;b-5\;e+h=0\;\;({\mathfrak {4}})\\e+h=1\;\;({\mathfrak {5}})\\b=0\;\;({\mathfrak {6}})\\3\;c-5\;f+i=0\;\;({\mathfrak {7}})\\f+i=0\;\;({\mathfrak {8}})\\c=1\;\;({\mathfrak {9}})\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Leftrightarrow$ $\color {transparent}{\bullet }\;$de la matrice de passage $\;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }=\left[{\begin{array}{c}3&0&1\end{array}}\right]}\;$ en développant le produit matriciel, $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c r c}a\!\!&=&\!\!0\!\!&\\b\!\!&=&\!\!0\\c\!\!&=&\!\!1\!\!&\\-5\;d+g\!\!&=&\!\!1\!\!&({\mathfrak {1}})\\d+g\!\!&=&\!\!0\!\!&({\mathfrak {2}})\\-5\;e+h\!\!&=&\!\!0\!\!&({\mathfrak {4}})\\e+h\!\!&=&\!\!1\!\!&({\mathfrak {5}})\\-5\;f+i\!\!&=&\!\!-3\!\!&({\mathfrak {7}})\\f+i\!\!&=&\!\!0\!\!&({\mathfrak {8}})\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c r c}a\!\!&=&\!\!0\!\!&\\b\!\!&=&\!\!0\!\!&\\c\!\!&=&\!\!1\!\!&\\-6\;d\!\!&=&\!\!1\!\!&[({\mathfrak {1}})-({\mathfrak {2}})]\\6\;g\!\!&=&\!\!1\!\!&[({\mathfrak {1}})+5\;({\mathfrak {2}})]\\6\;e\!\!&=&\!\!1\!\!&[({\mathfrak {5}})-({\mathfrak {4}})]\\6\;h\!\!&=&\!\!5\!\!&[5\;({\mathfrak {5}})+({\mathfrak {4}})]\\6\;f\!\!&=&\!\!3\!\!&[({\mathfrak {8}})-({\mathfrak {7}})]\\6\;i\!\!&=&\!\!-3\!\!&[5\;({\mathfrak {8}})+({\mathfrak {7}})]\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où $\color {transparent}{\bullet }\;$de la matrice de passage $\;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }=\left[{\begin{array}{c}3&0&1\end{array}}\right]}\;$ on déduit « l'expression de la matrice de passage inverse «$\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}=\left[{\begin{array}{c}0&-{\dfrac {1}{6}}&{\dfrac {1}{6}}\\0&{\dfrac {1}{6}}&{\dfrac {5}{6}}\\1&{\dfrac {1}{2}}&-{\dfrac {1}{2}}\end{array}}\right]\;$» ;
$\bullet \;$on en déduit la matrice triangulaire $\;\left[T\right]\;$ en formant «$\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[A\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }=\left[{\begin{array}{c}0&-{\dfrac {1}{6}}&{\dfrac {1}{6}}\\0&{\dfrac {1}{6}}&{\dfrac {5}{6}}\\1&{\dfrac {1}{2}}&-{\dfrac {1}{2}}\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c c c}1&1&-1\\3&1&1\\1&1&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}3&0&1\\-5&1&0\\1&1&0\end{array}}\right]\;$» soit, $\color {transparent}{\bullet }\;$on en déduit la matrice triangulaire $\;\color {transparent}{\left[T\right]}\;$ en formant «$\;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[B\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }}$ en développant le produit des deux dernières matrices, $\color {transparent}{\bullet }\;$on en déduit la matrice triangulaire $\;\color {transparent}{\left[T\right]}\;$ en formant «$\;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[B\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }}$ $=\left[{\begin{array}{c}0&-{\dfrac {1}{6}}&{\dfrac {1}{6}}\\0&{\dfrac {1}{6}}&{\dfrac {5}{6}}\\1&{\dfrac {1}{2}}&-{\dfrac {1}{2}}\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c c c}-3&0&1\\5&2&3\\-1&2&1\end{array}}\right]\;$ puis, en réitérant le développement du produit de ces deux matrices, $\color {transparent}{\bullet }\;$on en déduit la matrice triangulaire en formant «$\;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[B\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }}$ «$\;\left[T\right]=\left[{\begin{array}{c c c}-1&0&-{\dfrac {1}{3}}\\0&2&{\dfrac {4}{3}}\\0&0&2\end{array}}\right]\;$».
Remarques : voir le paragraphe « exemple de matrice carrée de dimension (ou taille) 2 non diagonalisable mais trigonalisable à polynôme caractéristique ayant une racine double (remarques) » Remarques : voir le paragraphe plus haut dans le chapitre, toutes les observations faites dans le sous paragraphe « remarques » du paragraphe ci-dessus pouvant être réitérées ici : Remarques : $\succ \;$les éléments non diagonaux de la matrice triangulaire dépendent du choix du 3ème vecteur de la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ ; Remarques : $\succ \;$mettre le 3ème vecteur non propre comme 3ème vecteur de la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ une matrice triangulaire supérieure avec les trois éléments diagonaux égaux aux valeurs propres, Remarques : $\color {transparent}{\succ }\;$mettre le 3ème vecteur non propre comme 3ème vecteur de la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ une matrice triangulaire supérieure avec le 1er élément diagonal étant égal à la valeur propre simple car Remarques : $\color {transparent}{\succ }\;$mettre le 3ème vecteur non propre comme 3ème vecteur de la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ une matrice triangulaire supérieure avec le 1er le vecteur propre associé est mis en 1er vecteur de $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ et Remarques : $\color {transparent}{\succ }\;$mettre le 3ème vecteur non propre comme 3ème vecteur de la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ une matrice triangulaire supérieure avec les 2nd et 3ème éléments diagonaux étant les mêmes Remarques : $\color {transparent}{\succ }\;$mettre le 3ème vecteur non propre comme 3ème vecteur de la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ une matrice triangulaire supérieure avec les 2nd et 3ème éléments diagonaux égaux à la valeur propre double car Remarques : $\color {transparent}{\succ }\;$mettre le 3ème vecteur non propre comme 3ème vecteur de la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ une matrice triangulaire supérieure avec les 2nd et 3ème l'unique vecteur propre associé est mis Remarques : $\color {transparent}{\succ }\;$mettre le 3ème vecteur non propre comme 3ème vecteur de la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ une matrice triangulaire supérieure avec les 2nd et 3ème l'unique vecteur propre en 2nd vecteur de $\;\left\lbrace C\right\rbrace$ ; Remarques : $\succ \;$mettre le 3ème vecteur non propre comme 1er vecteur de la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ une matrice triangulaire inférieure avec les trois éléments diagonaux égaux aux valeurs propres, Remarques : $\color {transparent}{\succ }\;$mettre le 3ème vecteur non propre comme 1er vecteur de la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ une matrice triangulaire inférieure avec le 1er élément diagonal étant égal à la valeur propre simple si Remarques : $\color {transparent}{\succ }\;$mettre le 3ème vecteur non propre comme 1er vecteur de la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ une matrice triangulaire inférieure avec le 1er le vecteur propre associé est mis en 2nd vecteur de $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ et Remarques : $\color {transparent}{\succ }\;$mettre le 3ème vecteur non propre comme 1er vecteur de la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ une matrice triangulaire inférieure avec les 2nd et 3ème éléments diagonaux étant les mêmes Remarques : $\color {transparent}{\succ }\;$mettre le 3ème vecteur non propre comme 1er vecteur de la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ une matrice triangulaire inférieure avec les 2nd et 3ème éléments diagonaux égaux à la valeur propre double si Remarques : $\color {transparent}{\succ }\;$mettre le 3ème vecteur non propre comme 1er vecteur de la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ une matrice triangulaire inférieure avec les 2nd et 3ème l'unique vecteur propre associé est mis Remarques : $\color {transparent}{\succ }\;$mettre le 3ème vecteur non propre comme 1er vecteur de la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ une matrice triangulaire inférieure avec les 2nd et 3ème l'unique vecteur propre en 3ère vecteur de $\;\left\lbrace C\right\rbrace$.
Remarques : En conclusion, s'il n'existe qu'« une et une seule matrice diagonale semblable à une matrice diagonalisable », Remarques : En conclusion, il existe « autant de matrices triangulaires$\;{\big$supérieures ou inférieures${\big ]}\;$semblables à une matrice trigonalisable$\;\left[A\right]\;$ Remarques : En conclusion, il existe « autant qu'il y a de façon de choisir les vecteurs de la base$\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$autres que le(s) vecteur(s) propre(s) associé(s) à la ${\big$ou au(x)${\big ]}$ valeur(s) propre(s) de la matrice $\;\left[A\right]\;$».

#### Exemple de matrice carrée de dimension (ou taille) 3 non trigonalisable, son polynôme caractéristique n'ayant qu'une racine simple réelle

Soit la matrice carrée $\;\left[C\right]=\left[{\begin{array}{c c c}1&-1&-4\\1&2&5\\1&1&0\end{array}}\right]\;\in \;M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ que l'on se propose de réduire sur $\;\mathbb {R} \;$ par diagonalisation ou trigonalisation $\;{\big$si toutefois l'une ou l'autre des méthodes est applicable${\big )}$ ;
$\bullet \;$tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «$\;p_{\left[C\right]}(X)=X^{3}-f_{1}(\left[C\right])\;X^{2}+f_{2}(\left[C\right])\;X-f_{3}(\left[C\right])\;$» avec $\color {transparent}{\bullet }\;$tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «$\;f_{3}(\left[C\right])=\mathrm {det} \!\left(C\right)\;$» c.-à-d. le déterminant de la matrice $\;\left[C\right]\;$ soit $\color {transparent}{\bullet }\;$tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «$\;\color {transparent}{f_{3}(\left[A\right])=}$ «$\;\mathrm {det} \!\left(C\right)=\;{\begin{array}{|c c c|}\;1&-1&-4\;\\\;1&2&5\;\\\;1&1&0\;\end{array}}\;=1\times \;{\begin{array}{|c c|}\;2&5\;\\\;1&0\;\end{array}}\;-1\times \;{\begin{array}{|c c|}\;-1&-4\;\\\;1&0\;\end{array}}\;+1\times \;{\begin{array}{|c c|}\;-1&-4\;\\\;2&5\;\end{array}}\;=-6\;$», $\color {transparent}{\bullet }\;$tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «$\;f_{1}(\left[C\right])=\sum _{i\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right]}c_{i,\,i}=\mathrm {Tr} \!\left(C\right)\;$» c.-à-d. la trace de la matrice $\;\left[C\right]\;$ soit «$\;\mathrm {Tr} \!\left(C\right)=1+2+0=3\;$» et $\color {transparent}{\bullet }\;$tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «$\;f_{2}(\left[C\right])=\sum _{I\,\subset \,\left\lbrace 1,\,\dots ,\,3\right\rbrace }^{\mathrm {card} (I)=2}\mathrm {\det } \!\left(C_{I,\,I}\right)=\mathrm {det} \!\left(C_{\left\lbrace 1,\,2\right\rbrace \,,\,\left\lbrace 1\,,\,2\right\rbrace }\right)+\mathrm {det} \!\left(C_{\left\lbrace 1,\,3\right\rbrace \,,\,\left\lbrace 1\,,\,3\right\rbrace }\right)+\mathrm {det} \!\left(C_{\left\lbrace 2,\,3\right\rbrace \,,\,\left\lbrace 2\,,\,3\right\rbrace }\right)\;$» c.-à-d. $\color {transparent}{\bullet }\;$tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «$\;\color {transparent}{f_{2}(\left[A\right])=}$ la somme des mineurs principaux d'ordre $\;2\;$ de $\;\left[C\right]\;$ où $\;I\;$ est une partie à $\;2\;$ éléments de l'ensemble des entiers naturels $\color {transparent}{\bullet }\;$tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «$\;\color {transparent}{f_{2}(\left[A\right])=}$ la somme des mineurs principaux d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ de $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ où $\;\color {transparent}{I}\;$ est une partie à $\;\color {transparent}{2}\;$ éléments de l'ensemble $\left\lbrace 1,\,\dots ,\,3\right\rbrace \;$ soit $\color {transparent}{\bullet }\;$tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «$\;f_{2}(\left[C\right])={\begin{array}{|c c|}\;1&-1\;\\\;1&2\;\end{array}}+{\begin{array}{|c c|}\;1&-4\;\\\;1&0\;\end{array}}+{\begin{array}{|c c|}\;2&5\;\\\;1&0\;\end{array}}=3+4+(-5)=2\;$» d'où $\color {transparent}{\bullet }\;$tout d'abord on détermine son polynôme caractéristique «$\;p_{\left[C\right]}(X)=X^{3}-3\;X^{2}+2\;X+6\;$» ;
$\bullet \;$ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » après avoir découvert une « racine évidente $\;x_{1}=-1\;$» et $\color {transparent}{\bullet }\;$ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » après avoir « factorisé le polynôme caractéristique par $\;X+1\;$ d'après la division euclidienne de $\;X^{3}-3\;X^{2}+2\;X+6\;$ par $\;X+1\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » après avoir « factorisé le polynôme caractéristique par $\;\color {transparent}{X+1}\;$ en effectuant la division euclidienne selon les puissances $\;\searrow \;$» ;
$\left.{\begin{matrix}X^{3}\!\!&-\;3\;X^{2}\!\!&+\;2\;X\!\!&+\;6\\\hline -\;X^{3}\!\!&-\;X^{2}\!\!&\!\!&\\&-\;4\;X^{2}\!\!&+\;2\;X\!\!&+\;6\\&+\;4\;X^{2}\!\!&+\;4\;X&\\&&+\;6\;X\!\!&+\;6\\&&-\;6\;X\!\!&-\;6\\&&&0\\\end{matrix}}\right|{\begin{matrix}X\!\!&+\;1&\\\hline X^{2}\!\!&-\;4\;X\!\!&+\;6\\\\\\\\\\\\\end{matrix}}$
$\color {transparent}{\bullet }\;$ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » soit finalement la réécriture du polynôme caractéristique de la matrice $\;\left[C\right]\;$ selon «$\;p_{\left[C\right]}(X)=\left(X+1\right)\left(X^{2}-4\;X+6\right)\;$» ; $\color {transparent}{\bullet }\;$ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » soit finalement le polynôme du 2ème degré $\;X^{2}-4\;X+6\;$ de discriminant réduit $\;\Delta '=(-2)^{2}-6=-2<0\;$ sans racines réelles d'où $\color {transparent}{\bullet }\;$ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » soit finalement la forme factorisée du polynôme caractéristique restant «$\;p_{\left[C\right]}(X)=\left(X+1\right)\left(X^{2}-4\;X+6\right)\;$» $\Rightarrow$ $\color {transparent}{\bullet }\;$ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » soit finalement « l'existence d'une seule valeur propre réelle simple $\;\lambda _{1}=-1\;$ de multiplicité géométrique $\;1\;$$^,$ » d'où $\color {transparent}{\bullet }\;$ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » « la multiplicité géométrique de l'unique valeur propre réelle simple étant $\;<\;$ à la dimension $\;{\big$ou taille${\big )}\;$ de la matrice » c.-à-d. $\color {transparent}{\bullet }\;$ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » la condition de diagonalisation de la matrice non vérifiée $\Rightarrow$ $\;\left[C\right]=\left[{\begin{array}{c c c}1&-1&-4\\1&2&5\\1&1&0\end{array}}\right]\;\in \;M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ n'est pas diagonalisable ; $\color {transparent}{\bullet }\;$ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » de plus « le polynôme caractéristique de la matrice $\;\left[C\right]$, $\;p_{\left[C\right]}(X)=\left(X+1\right)\left(X^{2}-4\;X+6\right)$, n'étant pas scindé sur $\;\mathbb {R} \;$ » c.-à-d. $\color {transparent}{\bullet }\;$ensuite on cherche « les racines du polynôme caractéristique » de plus la condition de trigonalisation de la matrice non vérifiée $\Rightarrow$ $\;\left[C\right]=\left[{\begin{array}{c c c}1&-1&-4\\1&2&5\\1&1&0\end{array}}\right]\;\in \;M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ n'est pas trigonalisable.
$\;\left[C\right]\;$
$\;1\;$
$\;\lambda _{1}=-1\;$
$\;\left[C\right]\;$
$\;\mathbb {R} \;$
$\bullet \;$on poursuit en « déterminant le vecteur propre $\;{\big$à un facteur multiplicatif près${\big )}$ $\;x_{1}\;$ associé à la valeur propre simple $\;\lambda _{1}=-1\;$» avec $\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1}\,,\,b_{2}\,,\,b_{3}\right\rbrace \;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit en « déterminant le vecteur propre $\;\color {transparent}{\big$à un facteur multiplicatif près$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{x_{1}}\;$ associé à la valeur propre simple $\;\color {transparent}{\lambda _{1}=-1}\;$» avec la base où $\;\left[C\right]\;$ représente l'endomorphisme étudié, $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit en « pour $\;\lambda _{1}=-1\;$» le vecteur propre $\;x_{1}=x_{1,\,1}\;b_{1}+x_{2,\,1}\;b_{2}+x_{3,\,1}\;b_{3}\;$ de matrice coordonnée $\;\left[X_{1}\right]=\left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}\\x_{2,\,1}\\x_{3,\,1}\end{array}}\right]\;$ dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$» doit vérifier «$\;\left[C\right]\times \left[X_{1}\right]=\lambda _{1}\left[X_{1}\right]\;$» soit $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit en « pour $\;\color {transparent}{\lambda _{1}=-1}\;$» $\left[{\begin{array}{c c c}1&-1&-4\\1&2&5\\1&1&0\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}\\x_{2,\,1}\\x_{3,\,1}\end{array}}\right]=-1\left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}\\x_{2,\,1}\\x_{3,\,1}\end{array}}\right]\;$ ou $\;\left[{\begin{array}{c c c}1&-1&-4\\1&2&5\\1&1&0\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}\\x_{2,\,1}\\x_{3,\,1}\end{array}}\right]=-1\left[{\begin{array}{c c c}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}\\x_{2,\,1}\\x_{3,\,1}\end{array}}\right]\;$ ou, en regroupant dans le membre de gauche, $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit en « pour $\;\color {transparent}{\lambda _{1}=-1}\;$» $\left[{\begin{array}{c c c}1-(-1)&-1&-4\\1&2-(-1)&5\\1&1&0-(-1)\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}\\x_{2,\,1}\\x_{3,\,1}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}}\right]\;$ soit, en développant le produit matriciel $\left\lbrace {\begin{array}{r c r c r c l l}2\;x_{1,\,1}\!\!&-&\!\!x_{2,\,1}\!\!&-&\!\!4\;x_{3,\,1}\!\!&=&\!\!0&({\mathfrak {1}})\\x_{1,\,1}\!\!&+&\!\!3\;x_{2,\,1}\!\!&+&\!\!5\;x_{3,\,1}\!\!&=&\!\!0&({\mathfrak {2}})\\x_{1,\,1}\!\!&+&\!\!x_{2,\,1}\!\!&+&\!\!x_{3,\,1}\!\!&=&\!\!0&({\mathfrak {3}})\end{array}}\right\rbrace \;$ et $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit en « pour $\;\color {transparent}{\lambda _{1}=-1}\;$» en substituant $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}({\mathfrak {1}})\\({\mathfrak {2}})\end{array}}\right\rbrace \;$ par $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}5\;({\mathfrak {1}})+4\;({\mathfrak {2}})\\3\;({\mathfrak {1}})+({\mathfrak {2}})\end{array}}\right\rbrace \;$, $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c r c r c l l}14\;x_{1,\,1}\!\!&+&\!\!7\;x_{2,\,1}\!\!&&\!\!\!\!&=&\!\!0&5\;({\mathfrak {1}})+4\;({\mathfrak {2}})\\7\;x_{1,\,1}\!\!&&\!\!\!\!&-&\!\!7\;x_{3,\,1}\!\!&=&\!\!0&3\;({\mathfrak {1}})+({\mathfrak {2}})\\x_{1,\,1}\!\!&+&\!\!x_{2,\,1}\!\!&+&\!\!x_{3,\,1}\!\!&=&\!\!0&({\mathfrak {3}})\end{array}}\right\rbrace$, $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit en « pour $\;\color {transparent}{\lambda _{1}=-1}\;$» l'équation $\;({\mathfrak {3}})\;$ étant une C.L. de «$\;5\;({\mathfrak {1}})+4\;({\mathfrak {2}})\;$» et «$\;3\;({\mathfrak {1}})+({\mathfrak {2}})\;$» selon $\;({\mathfrak {3}})={\dfrac {1}{7}}\left[5\;({\mathfrak {1}})+4\;({\mathfrak {2}})\right]-{\dfrac {1}{7}}\left[3\;({\mathfrak {1}})+({\mathfrak {2}})\right]\;$, $\Rightarrow$ $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit en « pour $\;\color {transparent}{\lambda _{1}=-1}\;$» le système de $\;3\;$ équations algébriques linéaires à $\;3\;$ inconnues se réduit au système de $\;2\;$ équations algébriques linéaires à $\;3\;$ inconnues suivant $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit en « pour $\;\color {transparent}{\lambda _{1}=-1}\;$» «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c r c l r l l}14\;x_{1,\,1}\!\!&+&\!\!7\;x_{2,\,1}\!\!&&\!\!\!\!&=&\!\!0&5\;({\mathfrak {1}})+4\;({\mathfrak {2}})\\7\;x_{1,\,1}\!\!&&\!\!\!\!&-&\!\!7\;x_{3,\,1}\!\!&=&\!\!0&3\;({\mathfrak {1}})+({\mathfrak {2}})\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ la solution générale vérifiant $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x_{2,\,1}=-2\;x_{1,\,1}\\x_{3,\,1}=x_{1,\,1}\end{array}}\right\rbrace \;$ définit pour « vecteur propre $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit en « pour $\;\color {transparent}{\lambda _{1}=-1}\;$» «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\begin{array}{r c l c l c l l}14\;x_{1,\,1}\!\!&+&\!\!7\;x_{2,\,1}\!\!&&\!\!\!\!&=&\!\!0&5\;({\mathfrak {1}})+4\;({\mathfrak {2}})\end{array}}\right\rbrace }\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $x_{1}=b_{1}-2\;b_{2}+b_{3}\;$ de matrice coordonnée $\;\left[X_{1}\right]=\left[{\begin{array}{c}1\\-2\\1\end{array}}\right]\;$ dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$on poursuit en « pour $\;\color {transparent}{\lambda _{1}=-1}\;$» «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\begin{array}{r c l c l c l l}14\;x_{1,\,1}\!\!&+&\!\!7\;x_{2,\,1}\!\!&&\!\!\!\!&=&\!\!0&5\;({\mathfrak {1}})+4\;({\mathfrak {2}})\end{array}}\right\rbrace }\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{x_{1}=b_{1}-2\;b_{2}+b_{3}}\;$» associé à la valeur propre simple $\;\lambda _{1}=-1\;$».
$\bullet \;$pour réduire $\;\left[C\right]$, il faut « compléter la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace =\left\lbrace x_{1}\,,\,{x'}_{2}\,,\,{x'}_{3}\right\rbrace \;$» permettant d'obtenir « la matrice de passage de la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ vers la nouvelle base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$» «$\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\;$» et par suite $\color {transparent}{\bullet }\;$pour réduire $\;\color {transparent}{\left[C\right]}$, il faut « compléter la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace =\left\lbrace x_{1}\,,\,{x'}_{2}\,,\,{x'}_{3}\right\rbrace }\;$» permettant d'obtenir « la matrice réduite $\;\left[R\right]\;$ représentant l'endomorphisme $\;\varphi \;$ dans cette nouvelle base » ; $\color {transparent}{\bullet }\;$pour réduire $\;\color {transparent}{\left[C\right]}$, il faut « compléter la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace =\left\lbrace x_{1}\,,\,{x'}_{2}\,,\,{x'}_{3}\right\rbrace }\;$» le choix des 2nd et 3ème vecteurs de base $\;{x'}_{2}\;$ et $\;{x'}_{3}\;$ est arbitraire avec évidemment pour condition de ne pas colinéaire à $\;x_{1}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$pour réduire $\;\color {transparent}{\left[C\right]}$, il faut « compléter la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace =\left\lbrace x_{1}\,,\,{x'}_{2}\,,\,{x'}_{3}\right\rbrace }\;$» « on choisit par exemple $\;{x'}_{2}=b_{2}\;$ de matrice coordonnée $\;\left[{X'}_{2}\right]=\left[{\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}}\right]\;$ et $\color {transparent}{\bullet }\;$pour réduire $\;\color {transparent}{\left[C\right]}$, il faut « compléter la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace =\left\lbrace x_{1}\,,\,{x'}_{2}\,,\,{x'}_{3}\right\rbrace }\;$» « on choisit par exemple $\;{x'}_{3}=b_{3}\;$ de matrice coordonnée $\;\left[{X'}_{3}\right]=\left[{\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}}\right]\;$ dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$» d'où $\color {transparent}{\bullet }\;$pour réduire $\;\color {transparent}{\left[C\right]}$, il faut « compléter la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace =\left\lbrace x_{1}\,,\,x_{d}\,,\,{x'}_{3}\right\rbrace }\;$» l'expression de la « matrice de passage $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }=\left[{\begin{array}{c}1&0&0\\-2&1&0\\1&0&1\end{array}}\right]\;$» ;
$\bullet \;$de la matrice de passage $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }=\left[{\begin{array}{c}1&0&0\\-2&1&0\\1&0&1\end{array}}\right]\;$ on déduit « la matrice de passage inverse $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}=\left[{\begin{array}{c}a&d&g\\b&e&h\\c&f&i\end{array}}\right]\;$» par $\;\left[{\begin{array}{c}a&d&g\\b&e&h\\c&f&i\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}1&0&0\\-2&1&0\\1&0&1\end{array}}\right]=\left[I_{3}\right]$ $\color {transparent}{\bullet }\;$de la matrice de passage $\;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }=\left[{\begin{array}{c}1&0&0\\-2&1&0\\1&0&1\end{array}}\right]}\;$ on déduit « la matrice de passage inverse $\;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}=\left[{\begin{array}{c}a&d&g\\b&e&h\\c&f&i\end{array}}\right]}\;$» par $\;\color {transparent}{\left[{\begin{array}{c}a&d&g\\b&e&h\\c&f&i\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}1&0&0\\-2&1&0\\1&0&1\end{array}}\right]}$ $=\left[{\begin{array}{c}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]\;$ soit, $\color {transparent}{\bullet }\;$de la matrice de passage $\;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }=\left[{\begin{array}{c}1&0&0\end{array}}\right]}\;$ en développant le produit matriciel, le système de $\,9\,$ équations algébriques linéaires à $\,9\,$ inconnues $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}a-2\;d+g=1\;\;({\mathfrak {1}})\\d=0\;\;({\mathfrak {2}})\\g=0\;\;({\mathfrak {3}})\\b-2\;e+h=0\;\;({\mathfrak {4}})\\e=1\;\;({\mathfrak {5}})\\h=0\;\;({\mathfrak {6}})\\c-2\;f+i=0\;\;({\mathfrak {7}})\\f=0\;\;({\mathfrak {8}})\\i=1\;\;({\mathfrak {9}})\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Leftrightarrow$ $\color {transparent}{\bullet }\;$de la matrice de passage $\;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }=\left[{\begin{array}{c}1&0&0\end{array}}\right]}\;$ en développant le produit matriciel, $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c r c}d\!\!&=&\!\!0\!\!&\\e\!\!&=&\!\!1\\f\!\!&=&\!\!0\!\!&\\g\!\!&=&\!\!0\!\!&\\h\!\!&=&\!\!0\!\!\\i\!\!&=&\!\!1\!\!&\\a\!\!&=&\!\!1\!\!&({\mathfrak {1}})\\b\!\!&=&\!\!2\!\!&({\mathfrak {4}})\\c\!\!&=&\!\!-1\!\!&({\mathfrak {7}})\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où l'expression de la matrice de passage inverse $\color {transparent}{\bullet }\;$de la matrice de passage $\;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }=\left[{\begin{array}{c}1&0&0\end{array}}\right]}\;$ on déduit « la matrice de passage inverse «$\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}=\left[{\begin{array}{c}1&0&0\\2&1&0\\-1&0&1\end{array}}\right]\;$» ;
$\bullet \;$on en déduit la matrice réduite $\;\left[R\right]\;$ en formant «$\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[C\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }=\left[{\begin{array}{c}1&0&0\\2&1&0\\-1&0&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c c c}1&-1&-4\\1&2&5\\1&1&0\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}1&0&0\\-2&1&0\\1&0&1\end{array}}\right]\;$» soit, $\color {transparent}{\bullet }\;$on en déduit la matrice réduite $\;\color {transparent}{\left[R\right]}\;$ en formant «$\;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[C\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }}$ en développant le produit des deux dernières matrices, $\color {transparent}{\bullet }\;$on en déduit la matrice réduite $\;\color {transparent}{\left[R\right]}\;$ en formant «$\;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[C\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }}$ $=\left[{\begin{array}{c}1&0&0\\2&1&0\\-1&0&1\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c c c}-1&-1&-4\\2&2&5\\-1&1&0\end{array}}\right]\;$ puis, en réitérant le développement du produit de ces deux matrices, $\color {transparent}{\bullet }\;$on en déduit la matrice réduite en formant «$\;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[C\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }}$ «$\;\left[R\right]=\left[{\begin{array}{c c c}-1&-1&-4\\0&0&-3\\0&2&4\end{array}}\right]\;$».
Remarque : le 1er élément diagonal de la matrice réduite $\;\left[R\right]\;$ est égal à la valeur propre simple de l'endomorphisme représenté par la matrice $\;\left[C\right]\;$ dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E$, Remarque : les deux autres éléments de la 1ère colonne de la matrice réduite $\;\left[R\right]\;$ étant nuls, Remarque : les deux autres éléments diagonaux de la matrice réduite $\;\left[R\right]\;$ dépendent uniquement du choix des deux autres vecteurs non propres de la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace$.