# Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Loi de la quantité de mouvement : Mouvement dans le champ de pesanteur uniforme
## Chute libre, portée, surface de sûreté

Un objet matériel supposé ponctuel $\;M\;$ de masse $\;m\;$ est lancé à partir d'une position $\;M_{0}\;$ choisie comme origine des repérages cartésiens, avec un vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}\;$ incliné vers le haut d'un angle $\;\alpha _{0}\;$ relativement à l'horizontale ; il se déplace dans le champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}\;$ supposé uniforme.

### Étude de la chute libre du point
#### Schéma de situation

Faire un schéma de situation, en choisissant un axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ vertical ascendant orienté par $\;{\vec {u}}_{z}$, Faire un schéma de situation, en choisissant un axe $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ horizontal orienté par $\;{\vec {u}}_{x}\;$ tel que $\;{\vec {V}}_{0}\;$ soit dans le plan $\;xOz\;$ avec une composante positive sur $\;{\vec {u}}_{x}$, Faire un schéma de situation, en choisissant le 3ème axe $\;{\overrightarrow {Oy}}\;$ également horizontal orienté par $\;{\vec {u}}_{y}\;$ lequel est tel que la base cartésienne $\;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)\;$ soit directe.
Voir schéma de situation ci-contre sur lequel figure aussi
* en rouge le vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}=V_{0}\left[\cos(\alpha _{0})\;{\vec {u}}_{x}+\sin(\alpha _{0})\;{\vec {u}}_{z}\right]\;$$^,$ du point $\;M\;$ et
* en bleu la seule force s'exerçant sur le point $\;M\;$ en chute libre à savoir son poids $\;m\;{\vec {g}}=-m\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$ dans lequel $\;g=\Vert {\vec {g}}\Vert \;$ est appelé intensité de la pesanteur terrestre.

#### Détermination des trois lois horaires scalaires cartésiennes du mouvement de chute libre de M

Supposant que l'objet n'est soumis qu'à son poids, déterminer :
* par application de la r.f.d.n., le vecteur accélération de l'objet,
* par intégrations successives, la loi horaire vectorielle du mouvement de $\;M\;$ puis,
* par projection sur les trois axes, les trois lois horaires scalaires cartésiennes de son mouvement.
Détermination, par application de la r.f.d.n., du vecteur accélération de l'objet : appliquant la r.f.d.n. à $\;M\;$ dans le référentiel terrestre supposé galiléen, on trouve, après simplification par $\;m\;$, $\;{\vec {a}}_{M}(t)={\vec {g}}$.
Détermination, par intégrations successives, de la loi horaire vectorielle du mouvement de l'objet : Sachant que $\;{\vec {a}}_{M}(t)={\dfrac {d{\vec {V}}_{M}}{dt}}(t)\;$ d'une part et $\;{\vec {a}}_{M}(t)={\vec {g}}\;$ d'autre part, on tire, par intégration de $\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{M}}{dt}}(t)$ $={\vec {g}}\;$ par rapport au temps $\;t$, la loi horaire de vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)={\vec {g}}\,t+{\vec {V}}_{0}\;$ puis
Détermination, par intégrations successives, de la loi horaire vectorielle du mouvement de l'objet : sachant que $\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}(t)\;$ d'une part et $\;{\vec {V}}_{M}(t)={\vec {g}}\,t+{\vec {V}}_{0}\;$ d'autre part, on tire, par intégration de $\;{\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}(t)={\vec {g}}\,t+{\vec {V}}_{0}\;$ par rapport au temps $\;t$, la loi horaire de position $\;{\overrightarrow {OM}}(t)={\dfrac {1}{2}}\,{\vec {g}}\,t^{2}+{\vec {V}}_{0}\,t\;$.
Détermination, par projection sur les trois axes, des trois lois horaires scalaires cartésiennes du mouvement de l'objet : Détermination, par projection sur les trois axes, les lois horaires scalaires cartésiennes de vitesse sont «$\;{\vec {V}}_{M}(t)\;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{x,\,M}(t)=V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\\V_{y,\,M}(t)=0\\V_{z,\,M}(t)=-g\;t+V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\end{array}}\right\rbrace \;$» ;  Détermination, par projection sur les trois axes, les lois horaires scalaires cartésiennes de position sont «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{M}(t)=V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\;t\\y_{M}(t)=0\\z_{M}(t)=-{\dfrac {1}{2}}\;g\;t^{2}+V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;t\end{array}}\right\rbrace \;$».

#### Détermination de la nature de la trajectoire et de quelques propriétés de celle-ci

Quelle est la nature de la trajectoire ?
La tracer et déterminer :
* les coordonnées du sommet et
* la portée c.-à-d. la distance horizontale séparant la position de lancement $\;O\;$ de la position de retombée $\;P\;$ au même niveau que la position de lancement.
Quel devrait être la valeur de $\;\alpha _{0}\;$ pour que la portée soit maximale ?
Nature de la trajectoire : La trajectoire est plane dans le plan $\;xOz\;$ d'équation scalaire cartésienne $\;y=0$ ;
$\;\alpha _{0}\neq \pm {\dfrac {\pi }{2}}$
$\;xOz\;$
$\;t\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{M}(t)=V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\;t\\z_{M}(t)=-{\dfrac {1}{2}}\;g\;t^{2}+V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;t\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}t={\dfrac {x_{M}(t)}{V_{0}\;\cos(\alpha _{0})}}\\z_{M}(t)=-{\dfrac {1}{2}}\;g\;t^{2}+V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;t\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;z_{M}=-{\dfrac {g}{2\,V_{0}^{2}\,\cos ^{2}(\alpha _{0})}}\,x_{M}^{2}+\tan(\alpha _{0})\,x_{M}\;$
$\;z=-{\dfrac {g}{2\,V_{0}^{2}\,\cos ^{2}(\alpha _{0})}}\,x^{2}+\tan(\alpha _{0})\,x\;$
$\;xOz$
$\;\parallel \;$
$\;Oz\;$
$\;z<0$
Détermination des coordonnées du sommet$\;S$ : On peut écrire que le cœfficient directeur de la tangente à la trajectoire évalué au sommet est nul soit Détermination des coordonnées du sommet$\;\color {transparent}{S}$ :$\;{\dfrac {dz}{dx}}(x_{S})=-{\dfrac {g}{V_{0}^{2}\,\cos ^{2}(\alpha _{0})}}\,x_{S}+\tan(\alpha _{0})=0\;$ d'où l’abscisse du sommet «$\;x_{S}={\dfrac {V_{0}^{2}\,\sin(\alpha _{0})\,\cos(\alpha _{0})}{g}}={\dfrac {V_{0}^{2}\,\sin(2\,\alpha _{0})}{2\,g}}\;$», Détermination des coordonnées du sommet$\;\color {transparent}{S}$ :$\;\color {transparent}{{\dfrac {dz}{dx}}(x_{S})=-{\dfrac {g}{V_{0}^{2}\,\cos ^{2}(\alpha _{0})}}\,x_{S}+\tan(\alpha _{0})=0}\;$ d'où la cote s'obtenant par l'équation cartésienne de la trajectoire soit Détermination des coordonnées du sommet$\;\color {transparent}{S}$ :$\;\color {transparent}{{\dfrac {dz}{dx}}(x_{S})=-{\dfrac {g}{V_{0}^{2}\,\cos ^{2}(\alpha _{0})}}\,x_{S}+\tan(\alpha _{0})=0}\;$ d'où la cote «$\;z_{S}=-{\dfrac {g}{2\,V_{0}^{2}\,\cos ^{2}(\alpha _{0})}}\,{\dfrac {V_{0}^{4}\,\sin ^{2}(\alpha _{0})\,\cos ^{2}(\alpha _{0})}{g^{2}}}+\tan(\alpha _{0})\,{\dfrac {V_{0}^{2}\,\sin(\alpha _{0})\,\cos(\alpha _{0})}{g}}\;$ Détermination des coordonnées du sommet$\;\color {transparent}{S}$ :$\;\color {transparent}{{\dfrac {dz}{dx}}(x_{S})=-{\dfrac {g}{V_{0}^{2}\,\cos ^{2}(\alpha _{0})}}\,x_{S}+\tan(\alpha _{0})=0}\;$ d'où la cote «$\;\color {transparent}{z_{S}}$ $={\dfrac {V_{0}^{2}\,\sin ^{2}(\alpha _{0})}{2\,g}}\;$» après simplification.
Détermination de la portée c.-à-d. la distance horizontale séparant les positions de lancement et de retombée au même niveau $\;OP$ : Le point de retombée $\;P\;$ au même niveau que le point de lancement $\;O\;$ étant le symétrique de ce dernier relativement à l'axe de symétrie de la parabole $\;{\big$axe passant par le sommet et $\;\parallel \;$ à l'axe $\;Oz{\big )}\;$ on en déduit la « portée $\;OP=2\,x_{S}={\dfrac {V_{0}^{2}\,\sin(2\,\alpha _{0})}{g}}\;$».
Valeur de l'angle d'inclinaison du vecteur vitesse initiale pour que la portée soit maximale : La portée est maximale pour $\;\sin(2\;\alpha _{0})=1\;$ ce qui donne «$\;\alpha _{0}={\dfrac {\pi }{4}}\,{\text{rad}}=45\,{\text{°}}\;$».

### Recherche de la surface de sûreté des cibles relativement aux projectiles lancés de O avec une même norme de vitesse

À partir de $\;O\;$ on lance des projectiles dans toutes les directions possibles avec la même norme $\;V_{0}\;$ de vecteur vitesse initiale, et À partir de $\;\color {transparent}{O}\;$ on cherche l'endroit où doivent être positionnées les cibles $\;A$, supposées ponctuelles, pour être hors de portée des projectiles ; les endroits atteignables sont séparés des endroits hors de portée par la surface de sûreté des cibles relativement aux projectiles lancés de $\;O$.

#### Plan de lancement du projectile pour pouvoir atteindre une cible de position connue

Considérant une cible $\;A\;$ de coordonnées $\;\left(X\,,\,Y\,,\,Z\right)$, comment faut-il choisir l'angle $\;\varphi ={\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\overrightarrow {V_{0,\,xy}}}\right)}}\;$$^,$ Considérant une cible $\;\color {transparent}{A}\;$ de coordonnées $\;\color {transparent}{\left(X\,,\,Y\,,\,Z\right)}$, comment faut-il choisir l'angle pour que le projectile puisse atteindre la cible $\;{\big$on donnera $\;\varphi \;$ en fonction de $\;X\;$ et $\;Y{\big )}$ ?
Soit $\;A\left(X\,,\,Y\,,\,Z\right)\;$ une cible ponctuelle, nous cherchons une trajectoire de projectile lancé de $\;O\;$ avec un vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}\;$ faisant l'angle $\;\alpha _{0}\;$ avec l'horizontale dans le plan méridien d'angle $\;\varphi \;$ relativement au plan méridien de référence $\;xOz\;$, trajectoire ayant pour propriété de passer par $\;A$,
* s'il en existe au moins une, $\;A\;$ est à l'intérieur de la surface de sûreté et
* dans le cas contraire, $\;A\;$ est à l'extérieur ;
C.N. : la trajectoire étant plane, le plan la contenant doit aussi être le plan vertical contenant le vecteur vitesse initiale, c.-à-d. que l'angle $\;\varphi \;$ repérant le plan vertical contenant le vecteur vitesse initiale relativement au plan méridien de référence $\;xOz$ est aussi l'angle repérant le plan vertical passant par $\;A\;$ relativement au même plan méridien de référence $\;xOz$, soit tel que «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\cos(\varphi )={\dfrac {X}{\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}\\\sin(\varphi )={\dfrac {Y}{\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}\end{array}}\right\rbrace \;$».

#### Changement de repère par rotation de -φ autour de Oz

On définit alors un nouveau repère $\;\left(O\,,\,{\vec {u}}_{X'}\,,\,{\vec {u}}_{Y'}\,,\,{\vec {u}}_{Z}\right)\;$ se déduisant de $\;\left(O\,,\,{\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)\;$ par rotation d'angle $\;-\varphi \;$ relativement $\;Oz\;$ et on appelle $\;\left(X'\,,\,Y'\,,\,Z\right)\;$ les nouvelles coordonnées de la cible $\;A\;$ dans le nouveau repère ; on appelle préciser les valeurs de $\;X'\;$ et $\;Y'\;$ relativement à $\;X\;$ et $\;Y$.
Nous effectuons donc une rotation d'angle $\;-\varphi \;$ autour de $\;Oz\;$ d'où les nouvelles coordonnées de $\;A\;\left\lbrace X'={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}\,,\,Y'=0\,,\,Z'=Z\right\rbrace \;$.

#### Détermination de l'équation suivie par l'angle d'inclinaison du vecteur vitesse initiale du projectile pour que ce dernier atteigne la cible

À quelle équation doit obéir l'angle $\;\alpha _{0}={\widehat {\left({\vec {u}}_{X'}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)}}\;$ pour que le projectile $\;M\;$ atteigne la cible $\;A$ ?
$\;A\;$
$\;Z'=-{\dfrac {g}{2\,V_{0}^{2}\,\cos ^{2}(\alpha _{0})}}\,X'^{2}+\tan(\alpha _{0})\,X'\;$
$\;{\dfrac {1}{\cos ^{2}(\alpha _{0})}}=1+\tan ^{2}(\alpha _{0})\;$
$\;\tan(\alpha _{0})\;$
$\;{\dfrac {g\,X'^{2}}{2\,V_{0}^{2}}}\tan ^{2}(\alpha _{0})-X'\,\tan(\alpha _{0})+Z'+{\dfrac {g\,X'^{2}}{2\,V_{0}^{2}}}=0\;$

#### Condition liant les coordonnées de la cible pour que le projectile M l'atteigne

En déduire la condition que $\;X'\;$ et $\;Z\;$ doivent suivre pour que le projectile $\;M\;$ atteigne la cible $\;A\;$, puis
réécrire cette condition en fonction de $\;X$, $\;Y\;$ et $\;Z\;$ ${\big$condition notée $\;({\mathfrak {a}}){\big ]}$.
L'équation du 2ème degré en $\;\tan(\alpha _{0})\;$ à savoir «$\;{\dfrac {g\,X'^{2}}{2\,V_{0}^{2}}}\tan ^{2}(\alpha _{0})-X'\,\tan(\alpha _{0})+Z'+{\dfrac {g\,X'^{2}}{2\,V_{0}^{2}}}=0\;$» L'équation du 2ème degré en $\;\color {transparent}{\tan(\alpha _{0})}\;$ a au moins une solution « si son discriminant $\;\Delta \;$ est $\;\geqslant 0\;$», c.-à-d. « si $\;\Delta =X'^{2}-{\dfrac {2\,g\,X'^{2}}{V_{0}^{2}}}\left[Z'+{\dfrac {g\,X'^{2}}{2\,V_{0}^{2}}}\right]\geqslant 0\;$» ou encore « si $\;Z'\leqslant {\dfrac {V_{0}^{2}}{2\,g}}-{\dfrac {g}{2\,V_{0}^{2}}}X'^{2}\;$» ;
la condition ci-dessus se réécrit, en revenant au système initial de coordonnées, «$\;Z\leqslant {\dfrac {V_{0}^{2}}{2\,g}}-{\dfrac {g}{2\,V_{0}^{2}}}(X^{2}+Y^{2})\;$ ${\big$condition $\;\left({\mathfrak {a}}\right){\big ]}\;$».

#### Détermination de l'équation cylindro-polaire de la surface de sûreté des cibles relativement aux projectiles lancés de O avec une même norme de vitesse

On introduit alors les coordonnées cylindro-polaires d'axe $\;Oz\;$ de la cible $\;A\,(\rho \,,\,\theta \,,\,Z)$ ; rappelez les expressions de $\;\rho \;$ et $\;\theta \;$ en fonction de $\;X\;$ et $\;Y\;$ puis
réécrire la condition $\;({\mathfrak {a}})\;$ en fonction de $\;\rho \;$ et $\;\theta$ ;
en déduire l'équation cylindro-polaire d'axe $\;Oz\;$ de la surface de sûreté cherchée puis
vérifier que cette surface est de révolution d'axe $\;Oz\;$ et tracer la demi-méridienne qui l'engendre.
Le lien entre coordonnées cylindro-polaires d'axe $\;Oz\;$ et coordonnées cartésiennes sont $\;\rho ={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}\;$ d'une part et $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\cos(\theta )={\dfrac {X}{\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}\\\sin(\theta )={\dfrac {Y}{\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}\end{array}}\right\rbrace$, $\;Z\;$ étant la même 3ème coordonnée dans les deux systèmes de repérages.
La condition $\;({\mathfrak {a}})\;$ se réécrit donc «$\;Z\leqslant {\dfrac {V_{0}^{2}}{2\,g}}-{\dfrac {g}{2\,V_{0}^{2}}}\,\rho ^{2}\;\;\forall \;\theta \;$» et
nous en déduisons l'équation cylindro-polaire de la surface de sûreté «$\;Z={\dfrac {V_{0}^{2}}{2\,g}}-{\dfrac {g}{2\,V_{0}^{2}}}\,\rho ^{2}\;\;\forall \;\theta \;$», l'indépendance de cette équation relativement à $\;\theta \;$ établissant qu'il s'agit effectivement d'une surface de révolution d'axe $\;Oz$, plus exactement d'un paraboloïde de révolution car de demi-méridienne parabolique $\;{\bigg\!$voir ci-contre le diagramme représentant le paraboloïde de révolution, obtenu avec lancement de projectiles à partir de $\;O\;$ à la vitesse $\;V_{0}=100\,m\!\cdot s^{-1}$, l'altitude maximale que l'on peut atteindre s'obtenant en tir vertical ascendant et valant $\;Z_{\text{max}}={\dfrac {V_{0}^{2}}{2\,g}}={\dfrac {100^{2}}{2\times 9,81}}\simeq 510\,m\!{\bigg )}$.
Ci-contre la demi-méridienne de la surface de sûreté, demi-méridienne d'équation $\;Z={\dfrac {V_{0}^{2}}{2\,g}}-{\dfrac {g}{2\,V_{0}^{2}}}\,\rho ^{2}\;$ dans le demi-plan $\;\rho Oz\;$ c.-à-d. l'équation d'une demi-parabole d'axe $\;Oz\;$ et de concavité vers les $\;Z<0\;$ dont la rotation autour de $\;Oz\;$ engendre la surface de sûreté plus exactement le paraboloïde de révolution d'axe $\;Oz$ ; on y trouve
* le point d'altitude maximale sur l'axe $\;Oz\;$ de cote $\;Z_{\text{max}}={\dfrac {V_{0}^{2}}{2\,g}}={\dfrac {100^{2}}{2\times 9,81}}\simeq 510\,m\;$ et
* le point de portée maximale sur l'axe $\;O\rho \;$ de rayon polaire $\;\rho _{\text{max}}={\dfrac {V_{0}^{2}}{g}}={\dfrac {100^{2}}{9,81}}\simeq 1020\,m$ ;
sur le diagramme ci-contre figurent aussi les deux tirs possibles pour une cible située à l'intérieur de la surface de sûreté $\;\ldots$

### Recherche des angles d'inclinaison possibles (relativement à l'horizontale) du vecteur vitesse initiale d'un projectile pour que ce dernier atteigne une cible située à l'intérieur de (ou sur) la surface de sûreté de ces dernières relativement aux projectiles lancés de O avec une même norme de vitesse
#### Détermination des deux valeurs d'angles d'inclinaison (relativement à l'horizontale) du vecteur vitesse initiale d'un projectile pour que ce dernier atteigne une cible située à l'intérieur de la surface de sûreté de ces dernières relativement aux projectiles lancés de O avec une même norme de vitesse

On considère une cible ponctuelle $\;A\,\left(\rho =175\,m\,;\,Z=250\,m\right)\;$ que l'on cherche à atteindre à l'aide d'un projectile tiré de $\;O\;$ avec un vecteur vitesse initiale de norme égale à $\;V_{0}=100\,m\cdot s^{-1}$ ;
vérifier que cette cible est effectivement à l'intérieur de la surface de sûreté des cibles relativement aux projectiles lancés de $\;O\;$ avec une même norme de vitesse $\;V_{0}=100\,m\cdot s^{-1}$,
en déduire qu'il y a alors deux tirs possibles pour atteindre cette cible et déterminer les valeurs de $\;\alpha _{0}\;$ nécessaires pour que l'objectif soit réalisé ;
en déduire qu'il y a alors deux tirs possibles pour atteindre cette cible et pour quelle valeur de $\;\alpha _{0}\;$ le tir dure-t-il le moins longtemps ?
Préciser la disposition de chaque trajectoire du projectile Préciser la disposition relativement à la demi-méridienne de la surface de sûreté des cibles par rapport aux projectiles lancés de $\;O\;$ avec une même norme de vitesse $\;V_{0}=100\,m\cdot s^{-1}$.
L'équation de demi-méridienne de la surface de sûreté des cibles par rapport aux projectiles lancés de $\;O\;$ avec une même norme de vitesse $\;V_{0}=100\,m\cdot s^{-1}\;$ L'équation de demi-méridienne de la surface de sûreté des cibles par rapport aux projectiles étant «$\;Z={\dfrac {V_{0}^{2}}{2\,g}}-{\dfrac {g}{2\,V_{0}^{2}}}\,\rho ^{2}={\dfrac {V_{0}^{2}}{2\,g}}\left[1-{\dfrac {g^{2}}{V_{0}^{4}}}\,\rho ^{2}\right]={\dfrac {V_{0}^{2}}{2\,g}}\left[1-\left({\dfrac {\rho }{\dfrac {V_{0}^{2}}{g}}}\right)^{\!\!2}\right]\;$» soit numériquement L'équation de demi-méridienne de la surface de sûreté des cibles par rapport aux projectiles étant «$\;Z=510\times \left[1-\left({\dfrac {\rho }{1020}}\right)^{\!2}\right]\;$» toutes les longueurs étant exprimées en $\;m$, on vérifie que «$\;Z=250<510\times \left[1-\left({\dfrac {175}{1020}}\right)^{\!2}\right]\simeq 495\;$» établissant que on vérifie que « la cible est effectivement à l'intérieur de la surface de sûreté des cibles par rapport aux projectiles lancés de $\;O\;$ avec une même norme de vitesse $\;V_{0}=100\,m\cdot s^{-1\;}$» ;
il y a donc deux tirs possibles du projectile pour atteindre la cible, la « pente $\;\tan(\alpha _{0})\;$ du vecteur vitesse initiale » étant solution de l'équation algébrique du 2ème degré en la grandeur cherchée il y a donc deux tirs possibles du projectile pour atteindre la cible, la « pente $\;\color {transparent}{\tan(\alpha _{0})}\;$ du vecteur vitesse initiale » étant solution de «$\;{\dfrac {g\,\rho ^{2}}{2\,V_{0}^{2}}}\tan ^{2}(\alpha _{0})-\rho \,\tan(\alpha _{0})+Z+{\dfrac {g\,\rho ^{2}}{2\,V_{0}^{2}}}=0\;$» dont le discriminant $\;\Delta =\rho ^{2}-{\dfrac {2\,g\,\rho ^{2}}{V_{0}^{2}}}\left[Z+{\dfrac {g\,\rho ^{2}}{2\,V_{0}^{2}}}\right]={\dfrac {2\,g\,\rho ^{2}}{V_{0}^{2}}}\left[\left({\dfrac {V_{0}^{2}}{2\;g}}-{\dfrac {g\,\rho ^{2}}{2\,V_{0}^{2}}}\right)-Z\right]\;$ est $\;>0\;$ compte-tenu de la définition de l'intérieur de la surface de sûreté $\;Z<{\dfrac {V_{0}^{2}}{2\;g}}-{\dfrac {g\,\rho ^{2}}{2\,V_{0}^{2}}}$ ;
les solutions sont «$\;\tan(\alpha _{0,\,\pm })={\dfrac {\rho \pm {\sqrt {\Delta }}}{2\;{\dfrac {g\,\rho ^{2}}{2\;V_{0}^{2}}}}}={\dfrac {\rho \pm {\sqrt {{\dfrac {2\,g\,\rho ^{2}}{V_{0}^{2}}}\left[\left({\dfrac {V_{0}^{2}}{2\;g}}-{\dfrac {g\,\rho ^{2}}{2\,V_{0}^{2}}}\right)-Z\right]}}}{\dfrac {g\,\rho ^{2}}{V_{0}^{2}}}}={\dfrac {V_{0}^{2}}{g\,\rho }}\pm {\sqrt {{\dfrac {V_{0}^{2}}{g\,\rho ^{2}}}\left[\left({\dfrac {V_{0}^{2}}{g}}-{\dfrac {g\,\rho ^{2}}{V_{0}^{2}}}\right)-2\;Z\right]}}\;$» ou encore les solutions dont «$\;\tan(\alpha _{0,\,\pm })={\dfrac {V_{0}^{2}}{g\,\rho }}\left[1\pm {\sqrt {1-{\dfrac {g^{2}\;\rho ^{2}}{V_{0}^{4}}}-{\dfrac {2\;g}{V_{0}^{2}}}\;Z}}\right]\;$» soit finalement «$\;\tan(\alpha _{0,\,\pm })={\dfrac {V_{0}^{2}}{g\,\rho }}\left[1\pm {\sqrt {1-{\dfrac {2\;g}{V_{0}^{2}}}\left(Z+{\dfrac {g}{2\;V_{0}^{2}}}\;\rho ^{2}\right)}}\right]\;$» ; numériquement on obtient :
les solutions dont $\;\tan(\alpha _{0,\,\pm })={\dfrac {1020}{175}}\left\lbrace 1\pm {\sqrt {1-{\dfrac {1}{510}}\left[250+{\dfrac {(175)^{2}}{2\times 1020}}\right]}}\right\rbrace \;$ soit $\succ \;$«$\;\tan(\alpha _{0,\,+})={\dfrac {1020}{175}}\left\lbrace 1+{\sqrt {1-{\dfrac {1}{510}}\left[250+{\dfrac {(175)^{2}}{2\times 1020}}\right]}}\right\rbrace \simeq 9,87\;$» $\Rightarrow$ «$\;\alpha _{0,\,+}\simeq 84,2\,{\text{°}}\;$» $\;{\big$tir en cloche${\big )}\;$ et les solutions dont $\;\color {transparent}{\tan(\alpha _{0,\,\pm })={\dfrac {1020}{175}}\left\lbrace 1\pm {\sqrt {1-{\dfrac {1}{510}}\left[250+{\dfrac {(175)^{2}}{2\times 1020}}\right]}}\right\rbrace }\;$ soit $\succ \;$«$\;\tan(\alpha _{0,\,-})={\dfrac {1020}{175}}\left\lbrace 1-{\sqrt {1-{\dfrac {1}{510}}\left[250+{\dfrac {(175)^{2}}{2\times 1020}}\right]}}\right\rbrace \simeq 1,79\;$» $\Rightarrow$ «$\;\alpha _{0,\,-}\simeq 60,8\,{\text{°}}\;$» $\;{\big$tir direct${\big )}$ ;
le temps nécessaire $\;t_{A,\,\pm }-t_{O}=t_{A,\,\pm }\;$ pour que le projectile atteigne la cible $\;A\,\left(\rho \,,\,Z\right)\;$ pouvant être déterminé par l'équation $\;\rho =V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\;t$, on en tire «$\;t_{A,\,\pm }={\dfrac {\rho }{V_{0}\;\cos(\alpha _{0,\,\pm })}}\;$» et par suite, le tir durant le moins longtemps est celui correspondant à la plus petite valeur de $\;\cos(\alpha _{0,\,\pm })\;$ à savoir $\;\alpha _{0,\,-}\simeq 60,8\,{\text{°}}\;$ correspondant au « tir direct ».
Disposition de chaque trajectoire du projectile relativement à la demi-méridienne de la surface de sûreté des cibles : Disposition de chaque trajectoire du projectile la trajectoire associée à l'une ou l'autre des valeurs $\;\alpha _{0,\,\pm }\;$ d'équation «$\;z=-{\dfrac {g}{2\;V_{0}^{2}\;\cos ^{2}(\alpha _{0,\,\pm })}}\;\rho ^{2}+\tan(\alpha _{0,\,\pm })\;\rho \;$» Disposition de chaque trajectoire du projectile la trajectoire est entièrement à l'intérieur de la demi-méridienne de la surface de sûreté des cibles par rapport aux projectiles lancés de $\;O\;$ à $\;V_{0}=100\,m\cdot s^{-1}\;$ Disposition de chaque trajectoire du projectile la trajectoire est entièrement à l'intérieur de la demi-méridienne d'équation «$\;z={\dfrac {V_{0}^{2}}{2\;g}}-{\dfrac {g}{2\;V_{0}^{2}}}\;\rho ^{2}\;$» Disposition de chaque trajectoire du projectile la trajectoire est entièrement à l'intérieur de la demi-méridienne à l'exception du point de contact de chaque trajectoire avec la demi-méridienne, dont le rayon polaire vérifie $\;\left[{\dfrac {V_{0}^{2}}{2\;g}}-{\dfrac {g}{2\;V_{0}^{2}}}\;\rho _{\text{cont}}^{2}\right]-\left[-{\dfrac {g}{2\;V_{0}^{2}\;\cos ^{2}(\alpha _{0,\,\pm })}}\;\rho _{\text{cont}}^{2}+\tan(\alpha _{0,\,\pm })\;\rho _{\text{cont}}\right]=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {g}{2\;V_{0}^{2}}}\left[-1+{\dfrac {1}{\cos ^{2}(\alpha _{0,\,\pm })}}\right]\rho _{\text{cont}}^{2}-\tan(\alpha _{0,\,\pm })\;\rho _{\text{cont}}+{\dfrac {V_{0}^{2}}{2\;g}}=0$, équation algébrique du 2ème ordre en $\;\rho _{\text{cont}}\;$ se réécrivant $\;{\dfrac {g}{2\;V_{0}^{2}}}\;\tan ^{2}(\alpha _{0,\,\pm })\;\rho _{\text{cont}}^{2}-\tan(\alpha _{0,\,\pm })\;\rho _{\text{cont}}+{\dfrac {V_{0}^{2}}{2\;g}}=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {g}{2\;V_{0}^{2}}}\left[\tan(\alpha _{0,\,\pm })\;\rho _{\text{cont}}-{\dfrac {V_{0}^{2}}{g}}\right]^{2}=0\;$ d'où « le rayon polaire du point de contact $\;\rho _{\text{cont}}={\dfrac {V_{0}^{2}}{g\;\tan(\alpha _{0,\,\pm })}}\;$» soit
Disposition de chaque trajectoire du projectile la trajectoire est entièrement à l'intérieur de la demi-méridienne $\succ \;$pour le « tir en cloche » où $\;\alpha _{0,\,+}\simeq 84,2\,{\text{°}}\;$ et $\;\tan(\alpha _{0,\,+})\simeq 9,87$, $\;\rho _{{\text{cont}}\,+}\simeq {\dfrac {1020}{9,87}}\;$ en $\;m\;$ soit Disposition de chaque trajectoire du projectile la trajectoire est entièrement à l'intérieur de la demi-méridienne $\color {transparent}{\succ }\;$pour le « tir en cloche » où «$\;\rho _{{\text{cont}}\,+}\simeq 103\,m\;$», Disposition de chaque trajectoire du projectile la trajectoire est entièrement à l'intérieur de la demi-méridienne $\color {transparent}{\succ }\;$pour le « tir en cloche » où «$\;z_{{\text{cont}}\,+}\simeq {\dfrac {(100)^{2}}{2\times 9,81}}-{\dfrac {9,81}{2\times (100)^{2}}}\times (103)^{2}\simeq 504\;m\;$» et
Disposition de chaque trajectoire du projectile la trajectoire est entièrement à l'intérieur de la demi-méridienne $\succ \;$pour le « tir direct » où $\;\alpha _{0,\,-}\simeq 60,8\,{\text{°}}\;$ et $\;\tan(\alpha _{0,\,-})\simeq 1,79$, $\;\rho _{{\text{cont}}\,-}\simeq {\dfrac {1020}{1,79}}\;$ en $\;m\;$ soit Disposition de chaque trajectoire du projectile la trajectoire est entièrement à l'intérieur de la demi-méridienne $\color {transparent}{\succ }\;$pour le « tir direct » où «$\;\rho _{{\text{cont}}\,-}\simeq 570\,m\;$», soit Disposition de chaque trajectoire du projectile la trajectoire est entièrement à l'intérieur de la demi-méridienne $\color {transparent}{\succ }\;$pour le « tir direct » où «$\;z_{{\text{cont}}\,-}\simeq {\dfrac {(100)^{2}}{2\times 9,81}}-{\dfrac {9,81}{2\times (100)^{2}}}\times (570)^{2}\simeq 350\;m\;$».

#### Détermination de la valeur d'angle d'inclinaison (relativement à l'horizontale) du vecteur vitesse initiale d'un projectile pour que ce dernier atteigne une cible située sur la surface de sûreté de ces dernières relativement aux projectiles lancés de O avec une même norme de vitesse

On considère une cible ponctuelle $\;A\,\left(\rho =400\,m\,;\,Z=432\,m\right)\;$ que l'on cherche à atteindre à l'aide d'un projectile tiré de $\;O\;$ avec un vecteur vitesse initiale de norme égale à $\;V_{0}=100\,m\cdot s^{-1}$ ;
vérifier que cette cible est effectivement sur la surface de sûreté des cibles relativement aux projectiles lancés de $\;O\;$ avec une même norme de vitesse $\;V_{0}=$ $100\,m\cdot s^{-1}$,
en déduire qu'il y a alors un seul tir possible pour atteindre cette cible et déterminer la valeur de $\;\alpha _{0}\;$ nécessaire pour que l'objectif soit réalisé.
L'équation de demi-méridienne de la surface de sûreté des cibles par rapport aux projectiles lancés de $\;O\;$ avec une même norme de vitesse $\;V_{0}=100\,m\cdot s^{-1}\;$ L'équation de demi-méridienne de la surface de sûreté des cibles par rapport aux projectiles étant «$\;Z={\dfrac {V_{0}^{2}}{2\,g}}-{\dfrac {g}{2\,V_{0}^{2}}}\,\rho ^{2}\;$» on vérifie que «$\;{\dfrac {V_{0}^{2}}{2\,g}}-{\dfrac {g\,\rho ^{2}}{2\,V_{0}^{2}}}\simeq 510-{\dfrac {(400)^{2}}{2\times 1020}}\;$ en $\;m\;$ soit $\;{\dfrac {V_{0}^{2}}{2\,g}}-{\dfrac {g\,\rho ^{2}}{2\,V_{0}^{2}}}\simeq 431,6\,m\;$ approximativement égal à $\;Z=432\,m\;$» établissant que on vérifie que « la cible peut être considérée comme appartenant à la surface de sûreté des cibles relativement aux projectiles lancés de $\;O\;$ avec une même norme de vitesse $\;V_{0}=100\,m\cdot s^{-1\;}$» ;
il y a donc un tir possible du projectile pour atteindre la cible, la « pente $\;\tan(\alpha _{0})\;$ du vecteur vitesse initiale » étant solution double de l'équation algébrique du 2ème degré en la grandeur cherchée il y a donc un tir possible du projectile pour atteindre la cible, la « pente $\;\color {transparent}{\tan(\alpha _{0})}\;$ du vecteur vitesse initiale » étant solution double de «$\;{\dfrac {g\,\rho ^{2}}{2\,V_{0}^{2}}}\tan ^{2}(\alpha _{0})-\rho \,\tan(\alpha _{0})+Z+{\dfrac {g\,\rho ^{2}}{2\,V_{0}^{2}}}=0\;$» dont le discriminant $\;\Delta =\rho ^{2}-{\dfrac {2\,g\,\rho ^{2}}{V_{0}^{2}}}\left[Z+{\dfrac {g\,\rho ^{2}}{2\,V_{0}^{2}}}\right]={\dfrac {2\,g\,\rho ^{2}}{V_{0}^{2}}}\left[\left({\dfrac {V_{0}^{2}}{2\;g}}-{\dfrac {g\,\rho ^{2}}{2\,V_{0}^{2}}}\right)-Z\right]\;$ est $\;=0\;$ compte-tenu de la définition de la surface de sûreté $\;Z={\dfrac {V_{0}^{2}}{2\;g}}-{\dfrac {g\,\rho ^{2}}{2\,V_{0}^{2}}}$ ;
la solution double est donc «$\;\tan(\alpha _{0,\,d})={\dfrac {\rho }{2\;{\dfrac {g\,\rho ^{2}}{2\;V_{0}^{2}}}}}={\dfrac {V_{0}^{2}}{g\,\rho }}\;$» soit numériquement «$\;\tan(\alpha _{0,\,d})\simeq {\dfrac {1020}{400}}\simeq 2,55\;$» correspondant à «$\;\alpha _{0,\,d}\simeq 68,6\,{\text{°}}\;$».