# Algèbre linéaire/Devoir/Décomposition polaire d'une matrice réelle

Soit $M\in \operatorname {M} _{n}(\mathbb {R} )$. L'objet de ce devoir est de décomposer $M$ en produit d'une matrice orthogonale (unique si $M$ est inversible) et d'une matrice (symétrique) positive (toujours unique, et inversible si $M$ l'est).
* Montrer que $^{t}\!MM$ est symétrique et positive.
    Elle admet donc une unique racine carrée symétrique positive, que l'on notera $S$.
* Montrer que si $M=QT$ avec $Q$ orthogonale et $T$ symétrique positive, alors $T=S$.
* Si $M$ (donc aussi $S$) est inversible, montrer que la matrice $Q:=MS^{-1}$ est orthogonale (ce qui conclut dans ce cas).
* En déduire (par densité) la conclusion voulue sans supposer $M$ inversible.
* Retrouver ce cas général en construisant directement (sans passer par le cas particulier inversible) une matrice orthogonale $Q$ telle que $M=QS$.
* $^{t}\!MM$ est clairement symétrique, et pour toute matrice colonne $X\in \mathbb {R} ^{n}$, $^{t}\!X(^{t}\!MM)X=^{t}\!(MX)MX=\|MX\|^{2}\geq 0$.
* Si $M=QT$ avec $Q$ orthogonale et $T$ symétrique, alors $^{t}\!MM=^{t}\!(QT)QT=^{t}\!T^{t}\!QQT=T\mathrm {I} _{n}T=T^{2}$, donc si de plus $T$ est positive alors (par unicité de la racine carrée symétrique positive) $T=S$.
* $^{t}\!QQ=^{t}\!(MS^{-1})MS^{-1}=^{t}\!(S^{-1})^{t}\!MMS^{-1}=(^{t}\!S)^{-1}S^{2}S^{-1}=S^{-1}S^{2}S^{-1}=\mathrm {I} _{n}$.
* Soit $(M_{n})$ une suite de matrices inversibles convergeant vers $M$, et $M_{n}=Q_{n}S_{n}$ leurs décompositions polaires. Par le théorème de Bolzano-Weierstrass, on peut supposer (quitte à extraire une sous-suite) que $(Q_{n})$ converge. La limite $Q$ est alors orthogonale (par continuité de l'application $A\mapsto^{t}\!AA$), et la limite $Q^{-1}M$ des $Q_{n}^{-1}M_{n}=S_{n}$ est symétrique positive (par continuité des applications $A\mapsto^{t}\!A$ et, pour toute matrice colonne $X\in \mathbb {R} ^{n}$, $A\mapsto^{t}\!XAX$).
* (On identifie ici tout endomorphisme de ${\mathbb {R} ^{n}}$ avec sa matrice dans la base canonique.) $^{t}\!SS=S^{2}=^{t}\!MM$ donc pour tout vecteur $X\in \mathbb {R} ^{n}$, ${\|S(X)\|=\|M(X)\|}$ (en particulier $S$ et $M$ ont même noyau). Par conséquent, il existe un isomorphisme isométrique ${Q_{1}:\mathrm {Im} (S)\to \mathrm {Im} (M)}$ tel que pour tout $X$, $M(X)=Q_{1}(S(X))$. Par somme directe avec un isomorphisme isométrique arbitraire entre les orthogonaux de $\mathrm {Im} (S)$ et $\mathrm {Im} (M)$, on obtient la matrice $Q$ voulue.
Autre point de vue et quelques compléments
Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$. Soient $h,p,w$ des endomorphismes de $E$ dont les matrices respectives, dans une certaine base orthonormée, sont les matrices $M,S,Q$ ci-dessus.
* Vérifier que $\forall x,y\in E\quad \langle p(x),p(y)\rangle =\langle h(x),h(y)\rangle$ et $\|p(x)\|=\|h(x)\|$. En déduire que $\ker p=\ker h$.
* En déduire qu'il existe une base orthonormée $(e_{1},\dots ,e_{n})$ de $E$ telle que $p(e_{i})=\|h(e_{i})\|e_{i}$.
* On suppose dans cette question que $h$ est bijectif (donc $p$ aussi d'après 1).
** Déduire de l'exercice 1-3 de la leçon « Réduction des endomorphismes » que $w,p$ commutent si et seulement si $h,h^{*}$ commutent.
** Déduire de la question 2 une expression de $w(e_{i})$ en fonction de $h(e_{i})$.
** Application : soit $M={\begin{pmatrix}2&-1&4&-2\\2&1&4&2\\-4&2&2&-1\\-4&-2&2&1\end{pmatrix}}$. Calculer les deux matrices $S$ et $Q$.
* On ne suppose plus que $h$ est bijectif, et l'on ordonne la base $(e_{1},\dots ,e_{n})$ de la question 2 de telle sorte que $h(e_{1}),\dots ,h(e_{p})$ soient non nuls et $h(e_{p+1}),\dots ,h(e_{n})$ soient nuls.
** Comment faut-il choisir $w(e_{1}),\dots ,w(e_{n})$ pour définir un endomorphisme orthogonal $w$ tel que $h=w\circ p$ ? Un tel $w$ est-il unique ?
** Application : soit $M={\begin{pmatrix}4&-2&4\\2&-1&2\\-4&2&-4\end{pmatrix}}$. Trouver deux matrices $S$ symétrique et $Q$ orthogonale telles que $M=QS$.
* $\langle p(x),p(y)\rangle =\langle x,p^{*}p(y)\rangle =\langle x,p^{2}(y)\rangle =\langle x,h^{*}h(y)\rangle =\langle h(x),h(y)\rangle$, en particulier $\|p(x)\|^{2}=\|h(x)\|^{2}$, donc $p(x)=0\Leftrightarrow h(x)=0$.
* Soit $(e_{1},\dots ,e_{n})$ une base orthonormée de $E$ propre pour $p$, $p(e_{i})=\lambda _{i}e_{i}$ avec $\|h(e_{i})\|=\|\lambda _{i}e_{i}\|=\lambda _{i}$.
** $wp=pw\Leftrightarrow h=php^{-1}\Leftrightarrow hp=ph\Leftrightarrow$ (d'après les questions 1 et 2 de l'exercice mentionné, puisque $h^{*}h=p^{2}$ et $p={\sqrt {h^{*}h}}$ sont diagonalisables et ont mêmes sous-espaces propres) $h(h^{*}h)=(h^{*}h)h\Leftrightarrow$ (en composant à droite par $h^{-1}$) $hh^{*}=h^{*}h$.
** $w(e_{i})=h(p^{-1}(e_{i}))=h(e_{i}/\|h(e_{i})\|)={h(e_{i}) \over \|h(e_{i})\|}$.
** $^{t}\!MM=10{\begin{pmatrix}4&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&4&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$ donc $S={\sqrt {10}}{\begin{pmatrix}2&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$ et $Q=MS^{-1}={\frac {1}{\sqrt {10}}}{\begin{pmatrix}2&-1&4&-2\\2&1&4&2\\-4&2&2&-1\\-4&-2&2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1/2&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1/2&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {10}}}{\begin{pmatrix}1&-1&2&-2\\1&1&2&2\\-2&2&1&-1\\-2&-2&1&1\end{pmatrix}}$.
** On veut que les $w(e_{i})$ forment une base orthonormée (pour que $w$ soit orthogonal) et vérifient $\forall i\quad h(e_{i})=w(p(e_{i}))=w(\|h(e_{i})\|e_{i})$ c'est-à-dire $\forall i\leq p\quad w(e_{i})={h(e_{i}) \over \|h(e_{i})\|}$. Il faut donc prendre $w(e_{1}),\dots ,w(e_{p})$ donnés par cette formule, et choisir $w(e_{p+1}),\dots ,w(e_{n})$ de telle sorte que $(w(e_{1}),\dots ,w(e_{n}))$ soit une base orthonormée (ceci généralise le cas $p=n$ de la question 3, mais pour $p<n$ le choix n'est évidemment pas unique).
** $^{t}\!MM=9{\begin{pmatrix}4&-2&4\\-2&1&-2\\4&-2&4\end{pmatrix}}$ a pour noyau (comme $M$) le plan d'équation $2x-y+2z=0$, c'est-à-dire le plan $u^{\perp }$ avec $u=(2,-1,2)$. Par conséquent, la droite $\mathbb {R} u$ doit être elle aussi stable par $^{t}\!MM$, c'est-à-dire $u$ doit être propre pour $^{t}\!MM$. Effectivement, le calcul donne $^{t}\!MMu=81u$. Donc $S$ est la matrice qui envoie $u^{\perp }$ sur $0$ (comme $^{t}\!MM$) et telle que $Pu=9u=^{t}\!MMu/9$, d'où $S=^{t}\!MM/9={\begin{pmatrix}4&-2&4\\-2&1&-2\\4&-2&4\end{pmatrix}}$. Pour $e_{1}=u/\|u\|=(2,-1,2)/3$ on a $Me_{1}=3(2,-1,-2)$. On cherche donc $Q$ orthogonale telle que $Qe_{1}=Me_{1}/\|Me_{1}\|=(2,-1,-2)/3=f_{1}$. La méthode générale serait de choisir une base orthonormée $(e_{2},e_{3})$ de $u^{\perp }$ puis de choisir $f_{2},f_{3}$ tels que $(f_{1},f_{2},f_{3})$ soit une base orthonormée et de déterminer $Q$ telle que $Q(e_{i})=f_{i}$. Mais en remarquant que $f_{1}$ n'est autre que le symétrique orthogonal de $e_{1}$ par rapport au plan $z=0$, on peut choisir simplement pour $Q$ cette symétrie : $Q={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}$.