# Théorie des groupes/Exercices/Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives
## Problème 1

Soit k un nombre naturel ≥ 2, soit X un ensemble d'au moins k éléments, soit x un élément de X, soit G un groupe opérant (à gauche) sur X. Désignons par G$_x$ le stabilisateur de x dans G. Pour tout élément g de G$_x$ et tout élément y de X-{x}, gy appartient à X-{x}, de sorte que le groupe G$_x$ opère sur l’ensemble X-{x} par (g, y) ↦ gy (où gy correspond à l'action de G sur X). Prouver que les deux conditions suivantes sont équivalentes : 1° l'action de G sur X est k-transitive; 2° l'action de G sur X est transitive et l'action de G$_x$ sur X-{x} est (k-1)-transitive.
Supposons 1° et prouvons 2°. Puisque l'opération de G sur X est supposée k-transitive, elle est transitive. Pour prouver 2°, il reste à prouver que l'action de G$_x$ sur X - {x} est (k-1)-transitive. Soient a$_1$, ..., a$_{k-1}$ (resp. b$_1$, ..., b$_{k-1}$) des éléments deux à deux distincts de X - {x}; il s'agit de prouver qu’il existe un élément g de G$_x$ tel que
    ga$_1$ = b$_1$, ..., ga$_{k-1}$ = b$_{k-1}$.
Cela revient à prouver qu’il existe un élément g de G tel que
    ga$_1$ = b$_1$, ..., ga$_{k-1}$ = b$_{k-1}$ et gx = x.
Or cela est bien vrai, puisque a$_1$, ..., a$_{k-1}$, x sont k différents éléments de X, que b$_1$, ..., b$_{k-1}$, x sont eux aussi k différents éléments de X et que, d’après l'hypothèse 1°, le G-ensemble X est k-transitif. Nous avons donc prouvé que 1° entraîne 2°.
Réciproquement, supposons 2° et prouvons 1°. Soient a$_1$, ..., a$_k$ (resp. b$_1$, ..., b$_k$) des éléments deux à deux distincts de X; il s'agit de prouver qu' il existe un élément g de G tel que
    (thèse 1) ga$_1$ = b$_1$, ..., ga$_k$ = b$_k$.
D'après l'hypothèse 2°, le G-ensemble X est transitif, donc il existe un élément h de G tel que
    (2) ha$_1$ = x.
De même, il existe un élément h' de G tel que
    (3) h'b$_1$ = x.
Les k-1 éléments ha$_2$, ..., ha$_k$ de X sont distincts entre eux et distincts de ha$_1$, autrement dit de x. Donc ha$_2$, ..., ha$_k$ sont k-1 différents éléments de X - {x}. De même, h'b$_2$, ..., h'b$_k$ sont k-1 différents éléments de X - {x}. Puisque, d’après l'hypothèse 2°, l'opération de G$_x$ sur X - {x} est (k-1)-transitive, il existe donc un élément f de G$_x$ tel que
    fha$_2$ = h'b$_2$, ..., fha$_k$ = h'b$_k$,
ce qui peut s'écire
    h'$^{-1}$fha$_2$ = b$_2$, ..., h'$^{-1}$fha$_k$ = b$_k$.
Donc si nous posons g = h'$^{-1}$ f h, nous avons
    (4) g a$_2$ = b$_2$, ..., g a$_k$ = b$_k$.
De plus, g a$_1$ = h'$^{-1}$ f h a$_1$, d'où, d’après (2),
    g a$_1$ = h'$^{-1}$ f x.
Comme f appartient à G$_x$, cela revient à
    g a$_1$ = h'$^{-1}$ x,
ou encore, d’après (3), à
    ga$_1$ = b$_1$.
Joint à (4), cela prouve la thèse (1).
Remarque. L'énoncé de ce problème revient à dire que si k est un nombre naturel ≥ 2, si X est un ensemble d'au moins k éléments, si G est un groupe opérant sur X, si pour tout élément x de X, G$_x$ désigne le stabilisateur de x dans G, alors les trois conditions suivantes sont équivalentes : 1° l'action de G sur X est k-transitive; 2° l'action de G sur X est transitive et pour tout élément x de X, l'action de G$_x$ sur X - {x} est (k-1)-transitive; 3° l'action de G sur X est transitive et il existe un élément x de X tel que l'action de G$_x$ sur X - {x} soit (k-1)-transitive.
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