# Statistique inférentielle/Test d'hypothèse
## Introduction

Il s'agit, à partir de l'étude d'un ou plusieurs échantillons, de prendre des décisions concernant la population-mère.

## Test bilatéral

Dans un test bilatéral, il s'agit de tester l'égalité d'un paramètre statistique avec un nombre fixé à l'avance.

### Hypothèse d'égalité d'un paramètre statistique avec un nombre fixé

* Un paramètre $a$ d'une population est inconnu.
On désire savoir s'il est égal à un nombre $a_{0}$ annoncé à l'avance.
    On a donc l'hypothèse $H_{0}$ : "le paramètre réel $a$ est égal au paramètre annoncé $a_{0}$".
    L'hypothèse alternative $H_{1}$ : "le paramètre réel $a$ est différent du paramètre annoncé $a_{0}$".
* On prélève un échantillon de taille $n$ de paramètre $a_{n}$ :
* En utilisant des théorèmes de probabilités, on donne un intervalle d'acceptation $I_{\alpha }$ de $H_{0}$ au seuil de risque $\alpha$.
    si $a_{e}\in I_{\alpha }$ alors l'hypothèse $H_{0}$ est acceptée.
    sinon elle est refusée.

### Hypothèse d'égalité d'une moyenne avec un nombre fixé

* La moyenne $m$ d'une population est inconnue.
On désire savoir si elle est égale à un nombre $m_{0}$ annoncée à l'avance.
    On a donc l'hypothèse $H_{0}$ : "la moyenne réelle $m$ est égale à la moyenne annoncée $m_{0}$".
* On prélève un échantillon de taille $n$ de moyenne $m_{n}$ :
* D'après l'intervalle de confiance de la moyenne, et sous l'hypothèse $H_{0}$,
    la moyenne $m_{n}/,$ des échantillons de taille $n$ suit une loi normale $N(m_{0},{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}})$.
Ceci donne un intervalle d'acceptation $I_{\alpha }$ de $H_{0}$ au seuil de risque $\alpha$.
$[m_{0}-t{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}};m_{0}+t{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}]$
    où $t$ est le nombre tel que $\Pi (t)=1-{\frac {\alpha }{2}}$ et se lit dans la table de la loi normale N(0;1)
Par exemple, si $\alpha =0,1$, cela signifie que 90 % des échantillons ont une moyenne dans cette intervalle.
On en déduit la règle du test :
* si $m_{e}\in I_{\alpha }$ alors l'hypothèse $H_{0}$ est acceptée.
* sinon elle est refusée.
Ainsi, en supposant que l'on rejette $H_{0}$, cela signifie que :
* Soit on a un échantillon non représentatif (ce qui ne se produit que dans 10 % des cas).
* Soit l'hypothèse $H_{0}$ est effectivement fausse.
La probabilité de rejeter $H_{0}$ alors qu'elle est vraie est donc de 10 %.
C'est le risque de première espèce.

### Remarque

* Accepter $H_{0}$ alors qu'elle est fausse est le risque de deuxième espèce.
Il n'est pas identique au premier.
On pourrait procéder de même avec une fréquence ou tout autre paramètre statistique.

## Test unilatéral

Dans un test unilatéral, il s'agit de comparer un paramètre statistique avec un nombre fixé à l'avance.

### Comparaison d'un paramètre statistique avec un nombre fixé

* Un paramètre $a$ d'une population est inconnu.
On désire savoir s'il est égal à un nombre $a_{0}$ annoncé à l'avance.
    On a donc l'hypothèse $H_{0}$ : "le paramètre réel $a$ est égal au paramètre annoncé $a_{0}$".
    L'hypothèse alternative $H_{1}$ : "le paramètre réel a est strictement supérieur au paramètre annoncé $a_{0}$".
* On prélève un échantillon de taille $n$ de paramètre $a_{n}$ :
* En utilisant des théorèmes de probabilités, on donne un intervalle d'acceptation $I_{\alpha }$ de $H_{0}$ au seuil de risque $\alpha$.
    si $a_{e}\in I_{\alpha }$ alors l'hypothèse $H_{0}$ est acceptée.
    sinon elle est refusée.

### Comparaison d'une moyenne avec un nombre fixé

* La moyenne $m$ d'une population est inconnue.
On désire savoir si elle est supérieure à un nombre $m_{0}$ annoncé à l'avance.
    On a donc l'hypothèse $H_{0}$ : "la moyenne réelle $m$ est égale à la moyenne annoncée $m_{0}$".
    L'hypothèse alternative $H_{1}$ : "la moyenne réelle $m$ est strictement supérieure à la moyenne annoncée $m_{0}$".
* On prélève un échantillon de taille n de moyenne $m_{n}$ :
* D'après l'intervalle de confiance de la moyenne, et sous l'hypothèse $H_{0}$, la moyenne $m_{n}/,$ des échantillons de taille $n$ suit une loi normale $N(m_{0},{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}$.
Ceci donne un intervalle d'acceptation $I_{\alpha }$ de $H_{0}$ au seuil de risque $\alpha$.
$[-\infty ;m_{0}+t{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}]$
    où $t$ est le nombre tel que $\Pi (t)=1-\alpha$ et se lit dans la table de la loi normale N(0;1)
Par exemple, si $\alpha =0,1$, cela signifie que 90 % des échantillons ont une moyenne dans cette intervalle.
On en déduit la règle du test :
* si $m_{e}\in I_{\alpha }$ alors l'hypothèse $H_{0}$ est acceptée.
* sinon elle est refusée.
Ainsi, en supposant que l'on rejette $H_{0}$, cela signifie que :
* Soit on a un échantillon non représentatif (ce qui ne se produit que dans 10 % des cas).
* Soit l'hypothèse $H_{0}$ est effectivement fausse.
La probabilité de rejeter $H_{0}$ alors qu'elle est vraie est donc de 10 %.
C'est le risque de première espèce.

### Remarque

* Accepter $H_{0}$ alors qu'elle est fausse est le risque de deuxième espèce.
Il n'est pas identique au premier.
On pourrait procéder de même avec une fréquence ou tout autre paramètre statistique.
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