# Mouvement à force centrale et potentiel newtonien/Force centrale
## Définition

Un champ de forces ${\vec {F}}(M,t)$ est dit champ de force centrale de centre O, s'il vérifie les trois conditions suivantes :
* Il est indépendant du temps, donc ${\vec {F}}(M,t)={\vec {F}}(M)$
* Il est dirigé (centripète ou centrifuge) en direction du centre de force O, donc ${\vec {F}}(M)=F(M)\cdot {\overrightarrow {e_{r}}}$
* $F(M)=F(r,\theta ,\phi )$ dépend seulement de la distance radiale r = OM : $F(M)=F(r)$.
La force centrale s'écrit donc :

## Trajectoire plane

On applique le théorème du moment cinétique à une particule soumise à une force centrale :
${\frac {\overrightarrow {dL}}{dt}}={\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {F}}={\vec {0}}$, puisque les vecteurs ${\overrightarrow {OM}}$ et ${\overrightarrow {F}}$ sont colinéaires.
On en déduit que le moment cinétique${\overrightarrow {L}}={\overrightarrow {OM}}\wedge {\overrightarrow {P}}$ est constant au cours du temps. Ceci implique que le vecteur position ${\overrightarrow {OM}}$et le vecteur quantité de mouvement ${\overrightarrow {P}}$ sont à tout instant perpendiculaires au vecteur ${\overrightarrow {L}}$. La trajectoire est donc plane : elle est entièrement contenue dans le plan orthogonal au moment cinétique contenant le centre attracteur O.

## Loi des aires

On vient de voir que la trajectoire de la particule est contenue dans un plan fixe d'origine O . On utilise les coordonnée polaires pour exprimer le vecteur position :
${\overrightarrow {OM}}={\vec {r}}=r{\vec {e_{r}}}$
En dérivant, on trouve l’expression du vecteur vitesse :
${\vec {v}}={\frac {d{\vec {r}}}{dt}}={\dot {r}}{\vec {e_{r}}}+r{\dot {\theta }}{\vec {e_{\theta }}}$
On peut calculer le moment cinétique :
${\vec {L}}={\vec {r}}\wedge m{\vec {v}}=mr{\dot {r}}{\vec {e_{r}}}\wedge {\vec {e_{r}}}+mr^{2}{\dot {\theta }}{\vec {e_{r}}}\wedge {\vec {e_{\theta }}}=mr^{2}{\dot {\theta }}{\vec {e_{z}}}$
On note ${L}=mr^{2}{\dot {\theta }}$ la norme du moment cinétique. Au cours du mouvement, la distance au centre r et la vitesse angulaire ${\dot {\theta }}$ vont varier mais le produit $r^{2}{\dot {\theta }}$ restera constant à chague instant. On note $C=r^{2}{\dot {\theta }}$
L'aire balayée par le vecteur ${\overrightarrow {OM}}$ pendant un instant dt est approximée comme étant l'aire du demi rectangle de côtés r et rdθ :
$dA={1 \over 2}r^{2}d\theta$
Si on divise par dt, on fait apparaitre la vitesse aréolaire :
${dA \over dt}={1 \over 2}r^{2}{d\theta \over dt}={1 \over 2}r^{2}{\dot {\theta }}={L \over 2m}={C \over 2}=constante$
La vitesse aérolaire est donc constante au cours du temps. Ce résultat a été trouvé de manière empirique par Johannes Kepler. Il est important de remarquer que ce résultat n’est pas limité aux forces en $1/r^{2}$ mais est un résultat général concernant tous les mouvements dans un champ de force central.

## Formules de Binet

On pose :
    $u={1 \over r}$
Calculons la dérivée de r par rapport au temps :
    ${\dot {r}}={dr \over dt}={d \over dt}\left({1 \over u}\right)=-{1 \over u^{2}}{du \over dt}=-{1 \over u^{2}}{du \over d\theta }{d\theta \over dt}=-{1 \over u^{2}}{\dot {\theta }}\,{du \over d\theta }$
On introduit ce résultat dans l’expression de la vitesse en coordonnées polaires :
    ${\vec {v}}={\dot {r}}{\vec {e}}_{r}+r{\dot {\theta }}{\vec {e}}_{\theta }$
    ${\vec {v}}=-{1 \over u^{2}}{\dot {\theta }}{du \over d\theta }{\vec {e}}_{r}+{1 \over u}{\dot {\theta }}{\vec {e}}_{\theta }$
Pour un mouvement à force centrale, on utilise la constante des aires : $C=r^{2}{\dot {\theta }}={{\dot {\theta }} \over u^{2}}$
    ${\vec {v}}=-C{du \over d\theta }{\vec {e}}_{r}+{1 \over u}Cu^{2}{\vec {e}}_{\theta }$
La force étant centrale, l'accélération est dirigée selon ${\vec {e}}_{r}$ et donc sa composante selon ${\vec {e}}_{\theta }$ est nulle. Son expression est donc :
    ${\vec {a}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\vec {e}}_{r}$
Calculons ${\ddot {r}}$ :
    ${\ddot {r}}={d{\dot {r}} \over dt}={d \over dt}\left(-{1 \over u^{2}}{\dot {\theta }}{du \over d\theta }\right)=-C{d \over dt}\left({du \over d\theta }\right)=-C{d \over d\theta }\left({du \over d\theta }\right){d\theta \over dt}=-C{\dot {\theta }}{d^{2}u \over d\theta ^{2}}=-C^{2}u^{2}{d^{2}u \over d\theta ^{2}}$
Ainsi :
    ${\vec {a}}=\left(-C^{2}u^{2}{d^{2}u \over d\theta ^{2}}-{1 \over u}(Cu^{2})^{2}\right){\vec {e}}_{r}$
En coordonnées polaires, les expressions de la vitesse et de l'accélération d'un corps soumis à une force centrale sont données par les formules de Binet :
${\vec {v}}=-C{du \over d\theta }{\vec {e}}_{r}+Cu{\vec {e}}_{\theta }$
${\vec {a}}=-C^{2}u^{2}\left({d^{2}u \over d\theta ^{2}}+u\right){\vec {e}}_{r}$
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