# Conceptualisation par des expériences simples/Statique des fluides
## Hypothèses de base

Nous assumerons tout au long de ce chapitre que les fluides étudiés sont homogènes et isotropes.

## Équations fondamentales de l'hydrostatique
### Expérience n°1
#### Mise en contexte

Le baromètre à mercure fut inventé par Torricelli; il permet de mesurer la pression atmosphérique, c'est-à-dire la pression de l'air ambiant. D'un point de vue météorologique, cette pression de l'air permet de prévoir le temps qu’il fera.
Le principe de fonctionnement du Baromètre de Torricelli est simple et peut être reproduit à la maison. Malheureusement, le mercure étant un liquide 'toxique' et coûteux, son utilisation n’est pas conseillée. Nous avons donc remplacé le mercure par de l'eau pour expliquer le phénomène.

#### Expérience

Alors comment ça marche ?
Il faut d'un côté une bassine remplie d'eau, et de l'autre une bouteille partiellement remplie d'eau. Le principe est de renverser la bouteille d'eau dans la bassine de telle façon qu’il n'y ait pas trop d'eau qui s’échappe de la bouteille lors de la manipulation (On conseille de remplir la bouteille, de la boucher, puis de ne la déboucher que lorsque le goulot est immergé dans l'eau de la bassine). Ces manipulations sont visibles dans le film ci-dessus.
Intuitivement on aurait pu penser que la bouteille allait se vider mais on observe que l'eau ne s'écoule pas de la bouteille.
Pourquoi ?
L'air de la pièce est à la pression atmosphérique. Quelle est la pression, dans l'air qui se trouve dans en haut de la bouteille ?
Le fait que le niveau d'eau soit plus élevé dans la bouteille que dans la bassine, tient au fait que la pression est plus faible dans l'air en haut de la bouteille que dans l'air de la pièce. On a donc modifié la pression de l'air dans la bouteille en l’emprisonnant entre l'eau et la bouteille.
Un baromètre de Torricelli est représenté ci-contre. La bouteille est devenue un tube en verre fermé en haut et ouvert en bas mais retourné dans un bol qui contient aussi du mercure. Là où l’idée de Torricelli est astucieuse, c’est qu'avec un liquide très dense comme le mercure (densité 13 fois plus importante que l'eau), il est possible d'obtenir une pression presque nulle entre le contenant et le mercure (entre A et C), pour une hauteur raisonnable d'environ 76 cm (entre C et B). On entend par raisonnable, le fait que l’on peut ainsi construire un baromètre qui tient dans une pièce et qui peut être facilement déplacé. Si on voulait construire ce baromètre en utilisant de l'eau, il faudrait un tube haut d'environ 10 m…
Une fois le baromètre construit, les variations de la pression atmosphérique font varier la hauteur de mercure dans le tube. Il suffit alors de graduer ce tube pour pouvoir obtenir une valeur de cette pression.

#### Lois physiques

Voyons les lois qui se cachent derrière ce phénomène:
Le schéma ci-contre représente le baromètre. Le liquide dans le tube est en équilibre.
La loi fondamentale de l'hydrostatique valable en tout point m du fluide nous donne dans ce cas:
ce qui implique:
Il nous reste donc deux inconnues, $P_{B}$ et $z_{B}$, il nous suffit d’en avoir une pour avoir l'autre.
ATTENTION ici nous raisonnons avec les grandeurs scalaires, il n'en reste pas moins qu'une analyse vectorielle est préférable pour être sûr de ne pas intervertir le sens d'application des forces de pression.
Pour le plaisir on peut déterminer les hauteurs d'eau et de mercure qu’il faudrait pour avoir une pression nul, et donc faire le vide d'air dans la bouteille.
avec:

### Expérience n°2
#### Mise en contexte

L'expérience qui suit permet, après l'expérience n°1, de mettre en évidence l'importance du sens d'application de la force de pesanteur, et donc de traiter ce genre de problème avec des grandeurs vectorielles.

#### Expérience

Avec le même montage que celui utilisé dans l'expérience n°1, on plonge totalement la bouteille dans la bassine, de sorte que le niveau d'eau dans la bouteille soit au-dessous du niveau d'eau dans la bassine.
Si on lâche alors la bouteille, elle remonte jusqu'à la surface. ( il est préférable de prendre une bouteille en plastique pour minimiser le poids de cette dernière. Ici nous ne le prenons pas en compte.)
Cela est dû, qu’à l'inverse de l'expérience n°1, la hauteur d'eau à l'intérieur de la bouteille est plus faible que la hauteur d'eau à l'extérieur. Cela implique donc, que là où précédemment, la pression à l'intérieur de la bouteille était plus faible que la pression à l'extérieur, on se retrouve avec le phénomène inverse. la pression interne est maintenant plus élevée.

#### Lois physiques

Comme précédemment dans l'expérience n°1, nous ne prendrons pas en compte le poids de la bouteille et le fait qu'on la tienne. On considérera que le système est en équilibre comme le montre le schéma ci-contre. Nous avons donc:
Avec $P_{A}=P_{atm}$ ; $z_{A}=0$
mais ici $z_{B}\geq 0$
ce qui donne:

### Expérience n°3
#### Mise en contexte

Le cric hydraulique est un outil que l’on retrouve chez tous les mécaniciens et chez de nombreux particuliers. Très pratique pour lever des objets lourds comme les voitures, il est de nos jours couramment utilisé. Le principe qui se cache derrière cette merveille de la technologie, qui par ailleurs est très simple, se retrouve également dans les vérins hydrauliques présent sur de nombreuses machines. Ce principe met en avant un des liens fondamentaux entre la pression et la force.

#### Expérience

L'expérience ici est très simple. Prenons pour bien comprendre une voiture et un homme. Admettons que la voiture ait une masse d'une tonne. Il est évident que l'homme ne peut pas à lui seul soulever la voiture. Néanmoins avec le cric il y arrive aisément. Alors que se cache-t-il derrière cela ?
Pour bien voir le phénomène prenons deux seringues de diamètres différents; ces deux seringues sont reliées par un tuyau. Le tout est rempli avec de l'eau, de telle sorte que la plus grosse des seringues soit pleine d'eau et que l'autre soit vide ou quasiment vide (le tuyau lui, doit être plein).
Lorsque deux personnes engagent un duel pour savoir lequel sera le plus fort, on remarque que quelle que soit la taille, les muscles, l' âge, etc. C'est toujours la personne qui à la plus petite seringue qui gagne. Naturellement, cette expérience est à réaliser dans les limites du raisonnable. Si l’on confronte un bodybuildeur à une enfant, il se peut que la différence entre la force de l'un et la force de l'autre soit trop grande pour être contrebalancée par la différence de diamètre des seringues.
Expliquons:
Une des définitions la plus usuelle pour une pression est de la considérer comme une force que l’on applique sur une surface. Cela se traduit mathématiquement par une force divisée par une surface. Donc plus la force appliquée sur la seringue est grande plus la pression sera grande. À l'inverse, plus la surface (ou encore le diamètre dans notre cas) de la seringue est importante, plus la pression sera faible.
Dans notre système reliant les deux seringues, comme le diamètre de l'une est plus petit que le diamètre de l'autre, la surface sur laquelle on pousse (ou plus exactement la surface d'application de la force) est plus faible pour la première que pour la deuxième. Cela implique qu’il faut moins de force pour pousser sur la petite seringue que sur la grosse.

#### Lois physiques

Toujours d’après l'équation fondamentale de l'hydrostatique, nous pouvons écrire à l'équilibre de notre système que les pressions $P_{A}$ et $P_{B}$ dans les cylindres A et B sont égales :
or ces pressions peuvent être définies comme suit:
avec :
ce qui nous donne au final :
ou encore :
On peut faire un petit calcul pour bien se rendre compte du potentiel de cette propriété des fluides.
Prenons un homme de 80 kg assit sur un support qui appuie sur un piston d'1 cm de diamètre. Ce piston est relié à un piston 1 m de diamètre par un tuyau. Sur ce deuxième piston on place aussi un support.
Ici négligeons toutes autres forces que le poids de l'homme et le poids du chargement présent sur l'autre partie du système. Soit:
Cela nous donne :