# Introduction à la mécanique quantique/L'atome de Bohr
## À la recherche de l'atome

Avec les découvertes successives de l'électron, particule chargée négativement, et du proton, particule du noyau chargée positivement, il devint apparent que l'atome n'était pas la plus petite unité constitutive de la matière. Un gros problème se présentait pourtant : en mécanique classique, le « plus » attire le « moins » jusqu'à ce qu’ils entrent en collision et se neutralisent. Or la matière est stable...
Rutherford, à qui l’on doit la découverte du noyau atomique, proposa l'analogie suivante : pour la gravitation, il en est de même. Les corps s'attirent, jusqu'à entrer en collision — pourtant, les orbites des planètes sont « stables »... C’est la naissance du modèle « planétaire » de l'atome. Il propose en effet que les électrons gravitent autour du noyau.
Seulement, on savait qu'un corps chargé et accéléré rayonne : il émet une radiation électromagnétique qui transporte une partie de son énergie. Ainsi, les électrons devraient rayonner et le rayon de leur orbite diminuer pour finalement... s'écraser quand même sur le noyau... en moins d'une nanoseconde !

## L'atome de Bohr

Pour que la matière soit stable, il faut que ce rayonnement ne se fasse pas. Le physicien Niels Bohr ajoute deux hypothèses :
* Il existe des orbites stables sur lesquelles l'électron ne rayonne pas ;
* L'électron ne rayonne ou n'absorbe d'énergie qu'en transitant d'une orbite à l'autre.
Pour le reste, il s'agit d'une étude classique, que nous allons mener dans ce chapitre pour l'atome d'hydrogène.

### Énergie mécanique

Nous allons dans cette section établir l’expression de l'énergie mécanique de l'électron. On rappelle que, dans le modèle de Bohr, les électrons décrivent des orbites circulaires, et que les mouvements du proton sont négligés, celui-ci étant plus de 1000 fois plus massif que l'électron.
L'électron est soumis au champ électrique du proton. Ainsi, d’après le principe fondamental de la dynamique :
    $m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}\mathbf {e} _{r}=-{\frac {e^{*2}}{r^{2}}}\mathbf {e} _{r}$
Le mouvement étant circulaire, l'accélération est simple :
    ${\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}=-{\frac {v^{2}}{r}}\mathbf {e} _{r}$
On a ainsi, d’après les deux équations précédentes :
    $m{\frac {v^{2}}{r}}={\frac {e^{*2}}{r^{2}}}$
D'où on tire facilement l’expression de l'énergie cinétique de l'électron :
    ${\mathcal {E}}_{c}={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {e^{*2}}{2r}}$
D'autre part, dans le potentiel électrique du proton, l'électron a une énergie potentielle, que l’on sait facilement exprimer :
    ${\mathcal {E}}_{p}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}=-{\frac {e^{*2}}{r}}$
Finalement, l'énergie mécanique du système, supposée conservée, s'écrit :
    ${\mathcal {E}}={\mathcal {E}}_{c}+{\mathcal {E}}_{p}=-{\frac {1}{2}}{\frac {e^{*2}}{r}}$
Remarque. ce résultat aurait pu être obtenu plus rapidement par l’utilisation du théorème du Viriel pour la force électrostatique, mais nous avons décidé de nous en passer dans cette leçon pour privilégier des outils simples.

### Quantification

Dans le modèle de Bohr, une orbite est stable lorsque le moment angulaire de l'électron (constant, puisque l'énergie se conserve) est un multiple de $\hbar$, c'est-à-dire :
    $L=m_{e}rv=n\hbar \qquad n\in \mathbb {N} ^{*}$
Cette opération, appelée quantification du moment angulaire, impose comme nous allons le voir que les rayons stables, donc des énergies que peut prendre l'atome, sont des quantités discrètes : tous les rayons, toutes les énergies ne sont pas permises. Le nombre entier n est appelé « nombre quantique principal », et suffit dans le modèle de Bohr à caractériser toute orbite (rayon, énergie, moment...).

### Résultats

Dans la suite, pour simplifier les notations, nous noterons $e$ ce que nous notions $e^{*}$ jusqu'ici. Il convient de garder à l'esprit que cette quantité n'est alors plus mesurée dans le système international d'unités.
On a, d’après le résultat sur l'énergie :
    ${\frac {m_{e}v^{2}}{r}}={\frac {e^{2}}{r^{2}}}$
et, d'après, l'hypothèse de quantification :
    $m_{e}rv=n\hbar$
Nous allons en déduire les rayons et énergies associées.

#### Rayons des orbites

Remarquons le cas intéressant n = 1, qui peut être facilement résolu :
    $m_{e}r_{1}v_{1}=\hbar$
Élevée au carré, cette relation, donne :
    $m_{e}^{2}r_{1}^{2}v_{1}^{2}=\hbar ^{2}$
    $m_{e}\left({\frac {m_{e}v_{1}^{2}}{r_{1}}}\right)r_{1}^{3}=\hbar ^{2}$
    $m_{e}{\frac {e^{2}}{r^{2}}}r_{1}^{3}=\hbar ^{2}$
    $\left(m_{e}e^{2}\right)r_{1}=\hbar ^{2}$
Soit enfin :
    $r_{1}={\frac {\hbar ^{2}}{m_{e}e^{2}}}$
On peut calculer numériquement ce rayon, on trouve :
    $r_{1}=53\;\mathrm {pm}$.
Cette quantité est appelée rayon de Bohr, et possède une importance théorique qui dépasse le seul modèle de Bohr. Pour des raisons historiques, elle est généralement notée a₀, notation que nous adopterons par la suite.
On montre facilement, de même que précédemment, que le rayon associé au nombre n est :
    $r_{n}=n^{2}a_{0}$

#### Énergie des orbites

Nous avons montré, dans la partie sur l'énergie, que :
    ${\mathcal {E}}_{n}=-{\frac {1}{2}}{\frac {e^{2}}{r_{n}}}$
Prenant en compte ce qui précède, nous avons ainsi :
    ${\begin{aligned}{\mathcal {E}}_{n}&=-{\frac {1}{2}}{\frac {e^{2}}{r_{n}}}\\\ &=-{\frac {1}{2}}{\frac {e^{2}}{n^{2}a_{0}}}\\\ &={\frac {{\mathcal {E}}_{1}}{n^{2}}}\end{aligned}}$
La constante :
    ${\mathcal {E}}_{1}=-{\frac {m_{e}e^{4}}{2\hbar ^{2}}}$
est appelée énergie de Rydberg et vaut environ −13,6 eV. Remarquons qu’il s'agit d'une énergie négative : l'électron est plus stable dans l'atome qu'en dehors — il faudra lui fournir cette énergie pour le séparer du proton et obtenir un électron « libre ».

#### Raies d'absorption/émission

Sur une orbite, l'électron ne rayonne pas. Il n'absorbe ou ne libère d'énergie qu'en passant d'une orbite stable à une autre, d’après les postulats cités plus haut. Comment se fait cet échange avec l'extérieur ? La réponse de Bohr est : le photon. En effet, d’après les travaux d'Einstein sur la lumière, on sait qu'un photon transporte une énergie proportionnelle à la fréquence de l'onde lumineuse :
    ${\mathcal {E}}=h\nu \;$
Ainsi, lorsqu’il y a émission d'énergie par l'atome, c’est qu'un photon de fréquence ν adaptée est émis. De même, l'atome est capable d'absorber des photons, à la condition que leur fréquence corresponde à l'énergie pour passer d'une orbite à une autre. En effet, l'énergie libérée (algébriquement) lors du passage de l'orbite m à l'orbite p est :
    ${\begin{aligned}\Delta {\mathcal {E}}_{m\to p}&={\mathcal {E}}_{p}-{\mathcal {E}}_{m}\\\ &={\mathcal {E}}_{1}\left({\frac {1}{p^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}}\right)\end{aligned}}$
Cette expression, d'origine tout d’abord expérimentale, s’appelle la formule de Balmer.
Remarquez que dans le cas où on passe d'une orbite haute à une orbite basse (p < m), puisque la constante de Rydberg est négative, l'énergie libérée est positive, donc effectivement émise. En termes plus simples, si (p < m) :
    $\Delta {\mathcal {E}}_{m\to p}>0$
Alors, un photon de fréquence ν est émis, dont la fréquence est :
    $\nu ={\frac {\Delta {\mathcal {E}}_{m\to p}}{h}}$
Mais il est plus intéressant, d'un point de vue historique, de considérer la longueur d'onde, sachant que :
    $\lambda ={\frac {c}{\nu }}$
On trouve que les photons émis ont pour longueur d'onde, pour p < m :
    $\lambda _{m\to p}={\frac {hc}{\Delta {\mathcal {E}}_{m\to p}}}$
Ce que l’on note généralement ainsi :
    ${\frac {1}{\lambda _{m\to p}}}=R_{\infty }\left({\frac {1}{p^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}}\right)$
Avec la « constante de Rydberg » $\scriptstyle R_{\infty }$, valant environ -1,097 m⁻¹.
Ainsi, les atomes dans les niveaux d'énergies élevées émettent un spectre lumineux discret, fait de photons de fréquences données. L'ensemble de ces fréquences sont les raies d'émission spectrales de l'atome.
De manière analogue, lorsque l'atome est bombardé par un photon de longueur d'onde adaptée, il l'absorbe et son électron passe à une orbite de plus haute énergie. Éclairé en lumière blanche, certaines longueurs d'onde sont donc absorbées, ce sont les raies d'absorption spectrales de l'atome.
La théorie de Bohr ne le montre pas, mais ces deux ensembles de raies sont caractéristiques d'un élément (et même, d'un ion donné).

## Succès et échecs du modèle de Bohr

Le modèle de Bohr fournit pour la première fois une explication à l’existence des raies d'absorption et d'émission, demeurées un mystère depuis 1750. Il justifie également la formule expérimentale de Balmer. La célèbre expérience de Franck et Hertz confirma les résultats théoriques du modèle sur les niveaux d'énergie de l'atome d'hydrogène, et d'autres expériences confirmeront dans un premier temps la validité de ce modèle.
Cependant, le modèle de Bohr n'explique pas, dans le cas général, le spectre des autres atomes et des molécules. Il peut être étendu aux ions hydrogénoïdes (n protons, un électron), mais échoue déjà à traiter le cas de l'hélium. De plus, la découverte de la structure fine des raies de l'hydrogène a mis en défaut la formule de Balmer — Sommerfeld proposa une modification du modèle de Bohr (avec des orbites elliptiques), pour prendre en compte cet effet. Réputé extrêmement compliqué et trompeur, et bien qu'en accord relatif avec les expériences, il sera abandonné dans les années 1925 avec l'avènement de la théorie quantique « moderne » et de l'équation de Schrödinger, qui permet un traitement complètement quantique de l'atome d'hydrogène. On sait aujourd’hui que le modèle de Bohr-Sommerfeld diffère de la mécanique quantique (moderne) et échoue à décrire les observations ultérieures sur l'effet Stark à champ intense, ou l'effet Zeeman par exemple.
Néanmoins, il garde le mérite d’avoir été le premier modèle « quantique » cohérent de l'atome, ayant motivé l’intérêt des scientifiques pour le sujet.