OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Statique des fluides/Exercices/Manomètre en U

Un manomètre permet de mesurer la pression dans une canalisation contenant un fluide de masse volumique  connue. Le manomètre est constitué de deux ouvertures (en 1 et 2 sur le schéma) et d’un tube long et fin contenant un liquide de masse volumique m. Les points A, B, A’ et B’ sont situés au niveau de l’interface entre les fluides où il apparaît un ménisque de rayon RA et RB. À et B du côté du fluide de masse volumique  et A’ et B’ du côté du liquide de masse volumique m. L’axe vertical défini la hauteur z des différents points. On définit les pressions P1, P2, PA, PB, PA’ et PB’ aux points 1, 2, A, B, A’ et B’.
1. Sur quel volume de fluide peut-on appliquer la loi fondamentale de l’hydrostatique ? Pourquoi ?
2. En tenant compte de la tension superficielle, quelles conditions sont-elles nécessaires pour que PA - PA’ = PB - PB’ ?
3. Exprimer (P1 - P2) en fonction de , m, z1, z2, zA et zB et (P1 +  g z1) - (P2+  g z2) en fonction de , m et h = zB - zA.
4. Avec quelle précision peut-on écrire quand  = 1,2 kg m-3 (air), m = 1000 kg m-3 (eau)  = 1000 kg m-3 (eau), m = 1600 kg m-3 (CCl4)  = 1000 kg m-3 (eau), m = 13 590 kg m-3 (mercure). Que peut-on en conclure ?
Solution : 0,12%, 166%, 7,9%
a) On a, d’après la loi de Pascal,
$\Delta P={2\sigma \over R}$
$P_{a}-P_{a}'=P_{b}-P_{b}'\rightarrow {2\sigma _{a} \over R_{A}}={2\sigma _{B} \over R_{B}}$
Si dans le cadre des mesures, on construit le manomètre de telle sorte que les branches aient le même diamètre, on pourra avoir $R_{A}=R_{B}$.
Il faut aussi avoir les mêmes conditions thermiques, le même état de surface des tubes, etc.
b) On a :
$P_{1}-P_{2}=P_{1}-P_{a}+P_{a}-P_{2}+....$
$=(P_{1}-P_{a})+(P_{a}-P_{a}')+(P_{a}'-P_{B}')+(P_{B}'-P_{B})+(P_{B}-P_{2})$
La loi fondamentale de l'hydrostatique donne:
$P(z_{1})+\rho gz_{1}=P(z_{a})+\rho gz_{A}$
ou
$P(z_{1})-P(z_{A})=\rho g(z_{A}-z_{1})$
equivalent en écriture a:
$P_{1}-P_{a}=\rho g(z_{A}-z_{1})$
On a donc:
$P_{1}-P_{2}=\rho g(z_{A}-z_{1})+(P_{a}-P_{a}')+(P_{B}-P_{B}')+\rho _{m}g(z_{B}-z_{A})+\rho g(z_{2}-z_{B})$
En simplifiant par les deux menisques qui se compense, on trouve:
$P_{1}-P_{2}=g[\rho (z_{2}-z_{1})+(\rho _{m}-\rho )(z_{B}-z_{a})]$
$(P_{1}+\rho gz_{1})-(P_{2}+\rho gz_{2})=g(\rho _{m}-\rho )(z_{B}-z_{A})$
finalement, on peut écrire:
$\Delta P=g(\rho _{m}-\rho )h$
c) On peut écrire :
$\Delta P=\rho _{m}gh$ si $\rho gh<<\rho mg$ ou bien $\rho <<\rho _{m}$
La précision p est :
$P={\rho _{m}gh-(\rho _{m}gh-\rho gh) \over \rho _{m}gh-\rho gh}$
$P={\rho \over \rho _{m}-\rho }$
On trouve p = 0,12%, p=166%, p = 7,9%.
En conclusion, on peut dire que plus la masse volumique du liquide dans le tube est grande, et plus la précision sur la mesure est bonne.
| Nappe de pétrole | Barrage |
# Statique des fluides/Exercices/Paradoxe hydrostatique

1. Calculer les forces de pression exercées par l'eau, supposées incompressible, sur le fond du récipient représenté ci-contre. Calculez la force effective, c'est-à-dire, retranchée de la force exercée par la pression atmosphérique sur le dessous du fond du récipient.
2. Calculez le poids W de l'eau dans le récipient. Où passe la différence ? Justifier votre réponse par un calcul effectif.
3. On laisse maintenant flotter un glaçon de volume V et de poids w sur l'eau. Exprimer en fonction de w le surcroit de force exercée sur le fond du récipient avant que le glaçon ne fonde et après qu’il soit fondu. Connaissez-vous une application concrète de cet effet ?
1. Soit $P_{f}$ la pression au fond du récipient et $F_{p}$ les forces de pression exercées par l'eau sur le fond du récipient.
${\vec {n}}$
$F_{p}=P_{f}.S.{\vec {n}}$
$F_{p}=(P_{atm}+\rho g(H+h)).S.{\vec {n}}$
$F_{p}=(1,01325.10^{5}+1000\times 9.81\times (1+0.01))\times 10^{-2}$
$F_{p}=1112.331$
$F_{p}=\rho g(H+h).S$
$F_{p}=1000\times 9.81\times (1+0.01)\times 10^{-2}$
$F_{effective}=99.081$
2. Soit W le poids de l'eau.
$\rho _{eau}={\frac {Masse_{eau}}{Volume_{eau}}}$
$W=Masse_{eau}\times g$
$W=\rho g(S.h+s.H)$
$W=1000\times 9.81\times (10^{-2}\times 0.01+10^{-4}\times 1)$
$W=1.962$
Cette différence s'explique par le fait que la pression agit dans toutes directions en un point donné, et non uniquement selon sa composante verticale (contrairement à la gravité). Ainsi au final, sur une balance, on aura bien un poids égal au poids de l'eau contenue car la force de pression qui s'exerce sur le fond du récipient, bien que plus élevée que le poids de l'eau se trouve compensée par la force de pression qui s'exerce également sur les côtés du récipient. (C'est de là que vient le "paradoxe".)
3. Soit un glaçon de volume V et de masse w et de hauteur h_{glacon}.
$P_{A}=P_{atm}+{w\times h_{glacon} \over V}$
La nouvelle pression au fond vaut alors ( en appliquant la loi fondamentale de l’hydrostatique) :
$P'_{f}=P_{A}+\rho _{eau}\times g(H+h)$
$P'_{f}=P_{atm}+{w\times h_{glacon} \over V}+\rho _{eau}\times g(H+h)$
Or on sait désormais que
$P_{f}=P_{atm}+\rho _{eau}\times g(H+h)$
$P'_{f}=P_{f}+{w\times h_{glacon} \over V}$
$\Delta F$
$\Delta F=F'_{f}-F_{f}=(P'_{f}-P_{f})\times S$
$\Delta F={w\times h_{glacon} \over V\times S}$
$\Delta F={w\times h_{glacon} \over V}\times 100$
| Barrage | Maitre cylindre |
# Statique des fluides/Exercices/Maitre cylindre

Notre système est statique et l’huile est incompressible, on peut donc utiliser le principe d’hydrostatique :
$P+\rho gz=P_{0}$
On pose z=0 au niveau du piston 1.
On obtient :
$P_{1}=P_{0}$
Notre système est un système de freinage, on peut estimer la hauteur h entre les deux pistons à 20 cm et ainsi déterminer P2 :
$P_{2}=P_{1}+\rho gh$
De plus, on peut déterminer la pression grâce à l'équation suivante :
$P={\frac {F}{S}}$
D'où :
$P_{1}={\frac {F_{1}}{S_{1}}}$ $P_{2}={\frac {F_{2}}{S_{2}}}=P_{1}+\rho gh$
Soit :
$F_{2}=F_{1}{\frac {S_{2}}{S_{1}}}+\rho gh$
* Application numérique pour : D1=3 cm ; D2 = 15 cm ; h= 20 cm ; F1= 20 N
* $F_{2}=1606N$
| Paradoxe hydrostatique | Rotation circulaire uniforme |
# Notions de base en finance/Portefeuille de titre

1> Avantage du SMI pour effectuer une réplique :
Le SMI n’est composé que de 24-26 titres dont les 7 premiers expliquent 70% de la capitalisation boursière.
2> Ratio
a> Sharpe : Le ratio de Sharpe mesure l'écart de rentabilité d'un portefeuille d'actifs financiers (actions par exemple) par rapport au taux de rendement d'un placement sans risque (autrement dit la prime de risque, positive ou négative), divisé par un indicateur de risque, l'écart type de la rentabilité de ce portefeuille (autrement dit sa volatilité). Pour simplifier, c’est un indicateur de la rentabilité (marginale) obtenue par la gestion du portefeuille par rapport au risque pris dans cette gestion. Il permet de répondre à la question suivante : le gestionnaire parvient-il à obtenir un rendement supérieur au référentiel, mais avec davantage de risque ? Si le ratio est négatif, le portefeuille considéré a moins performé que le référentiel (c'est très mauvais). Si le ratio est compris entre 0 et 1, le sur-rendement du portefeuille considéré par rapport au référentiel se fait pour une prise de risque trop élévée. Ou, le risque pris est trop élevé pour le rendement obtenu (c'est pas terrible). Si le ratio est supérieur à 1, le rendement du portefeuille sur-performe le référentiel pour une prise de risque ad hoc. Autrement dit, la sur-performance ne se fait pas au prix d'un risque trop élevé (c'est bon).
b> Treynor :
Formule : Ti= (Ri-Rf)/Bi Ti est le ratio de Treynor, Ri est la rentabilité moyenne du porte-feuille i, Rf est le rendement moyen hors risque, Bi est le beta moyen du porte-feuille i. Plus ce ratio est élevé, plus le portefeuille présente une rentabilité intéressante par rapport au risque encouru.
c>Tracking Error Formule : (Ri-Rx)σ Il mesure le risque d'un actif ou fond par rapport à son indice de référence (benchmark). Plus le TE est faible plus il ressemble à son indice de référence (risque et performance)
d>Alpha de Jensen Formule : Ri-((Rf+Bi(Rm-Rf). avec Rm est le rendement moyen du marché. Il mesure l'excédent de rentabilité par rapport aux risques pris. Si positif→ surperformance.
e>Ratio d' information Formule : (Ri-Rx)/TE avec Rx rendement moyen de l' indice et TE Tracking Error Le ratio d'information est un indicateur de la surperformance d'un fonds par rapport à son indice de référence.
| Réussir un Management Buy Out | Les SWAP |
# Notions de base en finance/Réussir un Management Buy Out

1> Les conditions :
- Le management est capable de reprendre la société - Les cash flow attendus sont stables - Il y a un potentiel d’augmentation de la valeur à travers une consolidation ou une augmentation de l’efficience - Capacité de l’entreprise à se financer respectivement s’endetter.
2> Les transactions possibles dans un MBO:
L'ASSET DEAL sera préféré par l'acheteur car il y a une délimitation claire de la vente, les risques sont réduits et l'amortissement du goodwill serait intéressant d'un point de vue fiscal.
Le SHARE DEAL sera lui préféré par le vendeur car il y aura un gain en capital non imposable.
La nouvelle entité créer serait une holding.
3> Possibilités de financement lorsque les FP ne sont pas suffisant:
- Mezzanine financing à travers la banque - Financement à travers un fond spécialisé dans le MBO - Financement à travers une personne privée
4> Investissement du management
Le management investira moins cher, ceci est accepté par les personnes externes en tant qu'incentive pour le management
4> Avantages et inconvénients d’un IPO (Initial Public Offering) par rapport au MBO :
Avantages :
- Meilleure disponibilité des moyens de financement - Actions cotées par le marché - Instrument additionnel de marketing - D’autres possibilités de fusions et acquisitions
Inconvénients :
- Coûts d’émission - Reporting comptable plus fréquents - Tendance à la recherche de l’optimisation des profits - Couts en audit interne. - Les flux d’information vers le public plus important - Danger d’être rachetés par une autre entreprise (OPA inamical) - Conséquences fiscales pour le détenteur de l’entreprise.
| Évaluation des actions | Portefeuille de titre |
# Notions de base en finance/Évaluation des actions

1> Le cours de marché d’une action cotée en bourse peut-il être utilisé comme indicateur du cours théorique d’une action ?
Arguments en faveur :
* objectif, estimé par le marché, respectivement par les investisseurs ;
* aucune hypothèse, restriction, simplification.
Arguments contre :
* avec des faibles volumes de transaction, le cours de l’action devient plus volatile et s’éloigne de sa valeur théorique ;
* psychologie des marché, spéculation, etc.
2> Cours de théorique avec l'approche par les bénéfices :
EPS/Cout des fonds propres
3> Calcul de la croissance du bénéfice :
(Cours théorique-EPS)/Cour actuel*Rdmt espéré des fonds propres
4> Avec un taux de retention différent de 0 si KE (rendement exigé des actionnaires) = ROE alors :
Cours théorique de l'action avec DDM avec ou sans croissance est le même.
5> Qu’indique le PER et quels peuvent être les inconvénients ?
Le PER indique combien de fois l’actionnaire paie le bénéfice attendu.
Inconvénients (alternative) :
* quand l’entreprise ne réalise pas des bénéfices : P/Sales ;
* quand l’entreprise fait beaucoup d’amortissements, et donc crée des réserves latentes : P/CF.
6> Rentabilité d’une action selon Gordon Shapiro :
R=D/P+G
* avec D = Dividende ;
* P = Prix ;
* G = Croissance du dividende.
7> Prix d’une action :
Prix=Bénéfice net attendu*PER
8> Beta d'une action :
Comment passer du Beta des actions au Beta des actifs d'une société ?
Baction/(1+(D/V)/(1-D/V)*(1-Tc)=B des actifs. Ceci en tenant compte d'un Bdette=0 car dette sans risque.
9> Le WACC
Hypothèses :
* liquidités parfaites des titres ;
* pas de risque anormaux oublié dans le calcul du B ;
* constance des paramètres dans le temps.
Problèmes :
* orientation vers le passé ;
* quand les rendements sont négatifs (possibilité d'élargir l'horizon temps).
Analyse :
| Politique d’investissement | Réussir un Management Buy Out |
# Notions de base en génie civil

| Chap. 1 : | Introduction (10) |
| Chap. 2 : | Vie de l'ouvrage (10) |
| Chap. 3 : | Conception (10) |
| Chap. 4 : | Normes (10) |
| Chap. 5 : | Construction (10) |
| Chap. 6 : | Les acteurs en construction (10) |
Sur les autres projets Wikimedia :

## Présentation [Modifier]

Le génie civil est un ensemble de techniques de construction qui fait appel à de nombreuses notions. Il fait intervenir de nombreux acteurs depuis les étapes de conception et de planification jusqu’à l’exploitation et la maintenance de l’ouvrage. Les constructions dont il est question peuvent être des bâtiments, des infrastructures de transports, urbaines, hydrauliques, hygiéniques, etc.
Dans cette leçon, nous nous limiterons aux bases de ces techniques.

## Objectifs [Modifier]

* Découvrir les bases du génie civil
* Se familiariser avec la nomenclature du génie civil
* Comprendre les différentes étapes de la vie d'un ouvrage de sa naissance à sa mort

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 10.
Aucun.

## Référents [Modifier]

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
* Amqui
* mathiasricci
# Notions de base en finance/Les obligations

* Risque de variation des taux
* Risque de refinancement
| Les emprunts convertible | Gestion des risques |
# Notions de base en finance/Politique d’investissement

- Les problèmes de l’évaluation par le TRI :
* Le TRI ne différencie pas les cash-flows avec signes inversés et quand il existe plusieurs valeurs possibles.
* Le TRI simple, ne donne pas d’ordre de grandeur sur un projet, il donne donc une vision limitée de la réalité
- A quelles conditions est soumise l’utilisation du WACC pour l'évaluation d'un projet:
* Structure de financement du projet égale à la structure de capital de l'entreprise
* Le risque du projet est le même que celui de l'entreprise
* L’entreprise dans son ensemble réalise des bénéfices
| Politique de Dividende | Évaluation des actions |
# Notions de base en finance/Évaluation d'une société

1> Ratio d'évaluation:
* Market to Book ratio: Capitalisation boursière/Valeur comptable du capital action.
* Price to Sales ratio: Capitalisation boursières/ Total des ventes
* Price Earnings ratio: voir évaluation des actions
* Price EBITDA ratio:
* Price Cash-Flow ratio:
* Price Earning to Growth ratio:
2> Evaluation en fonction des FCF :
CA + autres revenu Opérationnels - Couts Achats et charges Opérationnelles
= Cash Flow Opérationnels
- Amortissements
D’où calcul de l’impôt.
Cash Flow après Impôts= CFO – Impôts
- Investissement + Désinvestissement
= Free Cash flow.
3> Evaluation en fonction de l'EVA:
Avec l'EVA on peut obtenir la MVA, il suffit d'actualiser l'EVA avec le taux de WACC. Après ça, il est possible de trouver la valeur nette des capitaux propre en faisant: Valeur des actifs opérationnel + MVA - Valeur du capital étranger
4> Différence entre l'EVA et le DCF:
* L'EVA considère la valeur substantielle de l'entreprise aujourd’hui et y ajoute les valeurs ajoutées futures. Alors que la méthode des DCF considère uniquement les CF futurs
* La méthode des DCF se base sur les FCF futurs alors que l'EVA considère le profit excédentaire par rapport au WACC.
| Les options et futures | Les emprunts convertible |
# Notions de base en finance/Les options et futures

1> Pourquoi se couvrir avec des contrats futurs sur des matières premières ?
- Pour éviter de faire de la spéculation. - Permet d’avoir un budget de coût d'achat des matières 1re stable et fixé à l'avance. - Les actionnaires peuvent y être opposés s'ils souhaitent que le profil de risque de l'action suive celui de la matière 1re en question.
2> Pourquoi choisir un futures au lieu d'une option ?
* Le futures suffit à fixer le prix en avance.
* Or si le but d'une société est de connaître ces coûts à l'avance, l'achat d'une option qui demande le paiement d'une prime dans le but de garder un potentiel d'upside n’est pas nécessaire. C'est au contraire un coût d'opportunité.
* simple d’utilisation
3> Pourquoi choisir une option au lieu d'un future ?
* L'option peut être exécuter ou pas, ce qui fait que le management se réserve un bon résultat quoi qui ce passe. Bien sur les actionnaires paient ce coût d'opportunité.
* L'option donne un sentiment de sécurité face aux actionnaires.
4> A quoi correspond la différence entre la valeur intrinsèque et le prix des options ?
- Elle correspond à la valeur temporelle de l'option, ce temps restant permet à l'option d’être in the money - Facteurs de cette différence: a) le temps jusqu'à l'échéance. b) la volatilité du sous-jacent. c) les flux de dividendes. d) les niveau de taux d'intérêts.
5> Volatilité historique et implicite :
La volatilité historique est basée sur l’analyse des rendements passés, en revanche la volatilité implicite se déduit en fonction du prix du marché d’un produit financier à une date t. Ainsi, le problème de la volatilité historique est de savoir le poids qu’il faut donner aux différents évènements passés ( plus de poids au passé récent ou pas). Avec la volatilité implicite on peut aussi se demander si l’action n’a pas sous ou sur réagit par rapport à un évènement donné.
1 Calcul des rendements de l’indice : (Val Arrivée-Val Départ)/Val Départ 2 Moyenne de ces rendements 3 Ecart au carré par rapport à la moyenne 4 Somme de ces écarts puis moyenne 5 Racine carrée de cette valeur.
Elle donne une idée de la dispersion des valeurs autour du rendement attendu. Cela donne une idée de la vitesse à laquelle évolue le sous-jacent d’une option.
6> BREAK EVEN D'UN CALL:
7> LONG STRADDLE:
Stratégie qui consiste à acheter des call et des puts en quantités équivalentes, avec le même prix d'exercice et la même maturité.
Avantages:
* pas besoin de prévoir correctement la direction du marché
* spéculation possible pour de grosse variation
Désavantages:
* il faut payer deux primes
* les couts de transactions sont payés deux fois
* il faut une variation importante du cours pour être gagnant
8> Quel est l'effet du paiement d'un dividende sur le prix d'une option:
La valeur de l'option diminue car la valeur intrinsèque de l'option diminue
| Les SWAP | Évaluation d'une société |
# Notions de base en finance/Taux de change et monnaie

Nombre d'€ nécessaires pour obtenir un GBP.
Prix d’achat (bid) et de vente (ask) présents sur le marché. Notons que sur un marché très liquide l’écart entre les 2 (bid offer spread) est minime.
Hypothèse :On connait le chf/gbp qui est de 2.1 et le chf/eur de 1.6
Questions: comment obtenir de l’eur par gbp:
Eur/gbp= (chf/gbp)/(chf/eur)=2.1/1.6=1.132
| Gestion des risques | Les caisses de pensions |
# Paiement mobile (m-paiement)/Quiz/QCM M-paiement

| QCM Utilisations | QCM Mode de paiement et technologie |
# Panthéon nordique

| Chap. 1 : | Thor |
| Chap. 2 : | Amour |
| Chap. 3 : | Odin |
| Chap. 4 : | Légendes les concernant |
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## Présentation

La présentation de cette leçon n'a pas été rédigée. Pour le faire, cliquez ici.

## Objectifs

Les objectifs de cette leçon n'ont pas encore été fixés. Pour le faire, cliquez ici.

## Niveau et prérequis conseillés

Leçon de niveau intermédiaire. Les prérequis pour cette leçon n'ont pas encore été précisés. Pour le faire, cliquez ici.

## Référents

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# Panthéon nordique/Amour

Sa femme est Sif aux cheveux d'or. Ses cheveux sont réellement d'or mais ils poussent comme de vrais cheveux. Loki ayant coupé les cheveux de sa femme, Thor menaça de lui fracasser la tête avec Miolnir et lui demanda d'arranger cela le plus rapidement possible. Ce dernier demanda aux Alfes noirs ( Eitri et Brokk) de confectionner une chevelure en or pour apaiser Thor. Cette chevelure avait la propriété de pousser comme de vrais cheveux. C'est pourquoi les nordiques appelaient aussi l'or la chevelure de Sif. Il aurait eu aussi une maîtresse la géante Járnsaxa mais qui ne serait qu'un autre nom de Sif.
| Thor | Odin |
# Panthéon nordique/Odin

Odin était le père des dieux, le dieu le plus sage et le plus éloquent de tous, il était représenté comme un vieux vagabond borgne, avec ses frères Odin a créé le monde en tuant un géant. On dit qu'Odin a sacrifié son œil pour pouvoir boire aux eaux de Mymir et c'est aussi dit qu'il a volé l'hydromel aux géants et qu'il sait même jusqu'à sa propre mort à Ragnarok.
Odin vivait à Valhalla et lors des batailles, il assistait en personne monté sur son cheval à huit pattes appelé Sleipnir, qui était plus rapide que l'éclair et pouvait le transporter à travers tous les mondes et était généralement plus apprécié que Thor parmi l'élite viking et considéré comme l'inventeur des runes.
| Amour | Légendes les concernant |
# Paiement mobile (m-paiement)/Présentation de la leçon

Le M-Paiement, une nouvelle façon de régler ses achats et de transferer de l'argent.
Le paiement mobile, ce sont toutes les transactions de paiement effectuées depuis un téléphone mobile.
# Paiement mobile (m-paiement)/Quiz/QCM Généralités

| Sommaire | QCM Utilisations |
# Paiement mobile (m-paiement)/Quiz/QCM Mode de paiement et technologie

| QCM M-paiement | Sommaire |
# Paiement mobile (m-paiement)/Quiz/QCM Utilisations

| QCM Généralités | QCM M-paiement |
# Implication et équivalence

| Chap. 1 : | Implications (14) |
| Chap. 2 : | Équivalences (14) |
| Chap. 3 : | Contraposées (14) |
| Exos. 1 : | Quelques chausse-trappes (14) |
| Exos. 2 : | Contraposées (14) |
| Exos. 3 : | Logique et raisonnements (14) |
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## Présentation [Modifier]

Les implications et équivalences sont à la base de quasiment tout raisonnement mathématique.

## Objectifs [Modifier]

* Comprendre la base de tout raisonnement mathématique
* Distinguer implication et équivalence
* Maîtriser les symboles associés
* Définir dans quel cadre précis on peut utiliser ces notions.

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 14.
* Introduction à la logique mathématique

## Référents [Modifier]

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
* Loïc Fabiou (discuter)
# Implication et équivalence/Exercices/Quelques chausse-trappes
## Exercice 1-1

Soit à résoudre l'équation $x^{2}+x+1=0$ (E).
Expliquer pourquoi le raisonnement suivant est incorrect :
(E) équivaut à $x^{2}=-(x+1)$ (1)
(E) équivaut aussi à $x\neq 0\quad {\text{et}}\quad x+1+{\frac {1}{x}}=0$ donc à
    $x\neq 0\quad {\text{et}}\quad {\frac {1}{x}}=-(x+1)$ (2).
Avec (1) et (2) on déduit :
    $x\neq 0\quad {\text{et}}\quad {\frac {1}{x}}=x^{2}$,
qui équivaut à
    $x^{3}=1$ (3)
donc à $x=1$.
Finalement, $S=\{1\}$.
Or on vérifie facilement que $x=1$ n’est pas solution de (E).
Que s'est-il passé ?
(E), (1), (2) sont bien deux à deux équivalents, et chacun d'eux (ou une quelconque conjonction de certains d'entre eux, comme « (1) et (2) ») implique bien (3) (on aurait d'ailleurs pu montrer plus directement que (E) implique (3), en utilisant que $(X^{2}+X+1)(X-1)=X^{3}-1$), mais on n'a pas démontré la réciproque, donc on peut seulement affirmer que $S\subset \{1\}$.
Finalement, puisque $x=1$ n'est pas solution de (E), $S=\varnothing$.
| Sommaire | Contraposées |
# Implication et équivalence/Objectifs

* Comprendre la base de tout raisonnement mathématique
* Distinguer implication et équivalence
* Maîtriser les symboles associés
* Définir dans quel cadre précis on peut utiliser ces notions.