# Équations et fonctions du second degré/Factorisation d'un trinôme
## Factorisation d'un trinôme

Rappels :
* Une valeur particulière $x_{0}$ telle que $f(x_{0})=0$ est appelée racine de la fonction trinôme ƒ.
* On appelle discriminant le nombre $\Delta =b^{2}-4ac$. Ce nombre est dit discriminant parce que, selon son signe, on peut connaître le nombre de solutions réelles de l'équation ƒ(x) = 0 d'inconnue x.

### Théorème

Lorsqu'un nombre $x_{0}$ est racine d'une fonction trinôme, alors l’expression de cette fonction trinôme peut se factoriser par $(x-x_{0})$.
En d'autres termes, soit ƒ la fonction trinôme $f:x\mapsto ax^{2}+bx+c$ :
* Si ƒ possède deux racines x₁ et x₂ réelles, on peut factoriser ƒ de la manière suivante : pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})$
* Si ƒ est de discriminant nul, il admet une racine double x₀ et on peut factoriser ƒ de la manière suivante : pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f(x)=a(x-x_{0})^{2}$
* Si ƒ est de discriminant strictement négatif, alors ƒ ne se factorise tout simplement pas dans $\mathbb {R}$.

### Exemples

Factoriser le polynôme suivant f(x) = 3x$^2$ + 11x − 4.
f est un polynôme du second degré avec a = 3, b = 11 et c = −4.
    ${\begin{aligned}\Delta &=11^{2}-4\times 3\times (-4)\\&=121+48\\&=169\end{aligned}}$
Δ > 0, le polynôme a deux racines :
    ${\begin{aligned}x_{1}&={\frac {-11-{\sqrt {169}}}{2\times 3}}\\&={\frac {-11-13}{6}}\\&={\frac {-24}{6}}\\&=-4\end{aligned}}$
et
    ${\begin{aligned}x_{2}&={\frac {-11+{\sqrt {169}}}{2\times 3}}\\&={\frac {-11+13}{6}}\\&={\frac {2}{6}}\\&={\frac {1}{3}}\end{aligned}}$
On a donc :
    $f(x)=3(x-(-4))(x-{\tfrac {1}{3}})=(x+4)(3x-1)$.
Factoriser, lorsque c’est possible, les trinômes suivants. On pourra réutiliser les résultats de la page précédente.
* $f_{1}:x\mapsto 2x^{2}+3x+1$ ;
* $f_{2}:x\mapsto x^{2}-2x+2$ ;
* $f_{3}:x\mapsto -x^{2}+3$ ;
* $f_{4}:x\mapsto -3x^{2}-x$.
* Les racines de $f_{1}$ sont $x_{1}=-1$ et $x_{2}=-{\frac {1}{2}}$. On factorise : pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f_{1}(x)=2(x+1)\left(x+{\frac {1}{2}}\right)$.
* $f_{2}$ est de discriminant strictement négatif, donc ne se factorise pas dans $\mathbb {R}$.
* Les racines de $f_{3}$ sont $x_{1}=-{\sqrt {3}}$ et $x_{2}={\sqrt {3}}$. On factorise : pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f_{3}(x)=-(x-{\sqrt {3}})(x+{\sqrt {3}})$.
* Les racines de $f_{4}$ sont $x_{1}=0$ et $x_{2}=-{\frac {1}{3}}$. On factorise : pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f_{4}(x)=-3x\left(x+{\frac {1}{3}}\right)$.

## Factorisation et calcul de racines

Tout d’abord, qu'est-ce qu'une racine évidente ?
    On appelle « racine évidente » toute racine facile à trouver ! En pratique, on essaye pour un trinôme ƒ, de calculer ƒ(0), ƒ(1), et ƒ(-1). Si on trouve 0, on tient une racine de ƒ.
Il devient facile de trouver l'autre racine. Par exemple, prenons la fonction $f:x\mapsto 2x^{2}+3x+1$.
* On s'aperçoit que $f(-1)=0$
* On sait alors que ƒ se factorise par (x + 1). Si on note α la deuxième racine de ƒ, on a $f(x)=2(x+1)(x-\alpha )$.
* Pour trouver α, on développe le terme constant de ƒ : $2\times 1\times (-\alpha )=1$
* On en déduit $\alpha =-{\frac {1}{2}}$
On a alors trouvé les racines de ƒ.
Enfin, il ne faut pas oublier les identités remarquables ! $g(x)=-x^{2}+3$ est de la forme $a^{2}-b^{2}$, donc se factorise directement en $g(x)=-(x-{\sqrt {3}})(x+{\sqrt {3}})$, ce qui donne les racines de g.
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