# Trigonométrie hyperbolique/Fonctions hyperboliques
## Définitions
### Cosinus hyperbolique

On définit la fonction cosinus hyperbolique, notée cosh, par
    ${\begin{array}{ccccc}\cosh &:&\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\~&~&x&\mapsto &\displaystyle {\frac {\operatorname {e} ^{x}+\operatorname {e} ^{-x}}{2}}.\end{array}}$
L'axe des ordonnées (ou droite d'équation x = 0) est axe de symétrie de la fonction ou y(x) = y(-x) : la fonction cosinus hyperbolique est paire.

### Sinus hyperbolique

On définit la fonction sinus hyperbolique, notée sinh, par
    ${\begin{array}{ccccc}\sinh &:&\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\~&~&x&\mapsto &\displaystyle {\frac {\operatorname {e} ^{x}-\operatorname {e} ^{-x}}{2}}.\end{array}}$
La courbe contient une symétrie centrale avec le point de coordonnées (0,0) ou y(-x) = -y(x) : la fonction sinus hyperbolique est impaire.

### Tangente hyperbolique

On définit la fonction tangente hyperbolique, notée tanh, par
    ${\begin{array}{ccccc}\tanh &:&\mathbb {R} &\to &\mathbb {R} \\~&~&x&\mapsto &\displaystyle {\frac {\sinh x}{\cosh x}}.\end{array}}$
La fonction tangente hyperbolique est impaire.

## Propriétés
### Somme et exponentielle

    $\forall x\in \mathbb {R} \quad \cosh x+\sinh x=\operatorname {e} ^{x}{\text{ et }}\cosh x-\sinh x=\operatorname {e} ^{-x}$.
Vérifions la première identité (le calcul pour la seconde est analogue).
    $\cosh x+\sinh x={\frac {\operatorname {e} ^{x}+\operatorname {e} ^{-x}}{2}}+{\frac {\operatorname {e} ^{x}-\operatorname {e} ^{-x}}{2}}={\frac {\operatorname {e} ^{x}+\operatorname {e} ^{-x}+\operatorname {e} ^{x}-\operatorname {e} ^{-x}}{2}}={\frac {2\operatorname {e} ^{x}}{2}}=\operatorname {e} ^{x}$.

### Relation fondamentale

    $\cosh ^{2}-\sinh ^{2}=1$.
    $\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=(\cosh x+\sinh x)(\cosh x-\sinh x)=\operatorname {e} ^{x}\operatorname {e} ^{-x}=1$.
Cette relation possède une interprétation géométrique.

### Dérivabilité

Les fonctions $\cosh$, $\sinh$ et $\tanh$ sont dérivables sur $\mathbb {R}$ et :
* $\cosh '=\sinh$ ;
* $\sinh '=\cosh$ ;
* $\tanh '={\frac {1}{\cosh ^{2}}}=1-\tanh ^{2}$.

### Variations

* $\sinh$ est strictement croissante (sur $\mathbb {R}$).
* $\cosh$ est strictement décroissante sur $\mathbb {R} ^{-}$ et strictement croissante sur $\mathbb {R} ^{+}$.
* $\tanh$ est strictement croissante (sur $\mathbb {R}$).
Soit $x\in \mathbb {R}$
* Variations de $\sinh$ :
** $\sinh 'x={\frac {\operatorname {e} ^{x}+\operatorname {e} ^{-x}}{2}}>0$ donc $\sinh$ est strictement croissante.
** De plus, $\sinh 0=0$ donc $\sinh x$ est du signe de $x$ (au sens strict).
* Variations de $\cosh$ :
** $\cosh 'x=\sinh x$ est du signe de $x$ au sens strict.
** Donc $\cosh$ est strictement décroissante sur $\mathbb {R} ^{-}$ et strictement croissante sur $\mathbb {R} ^{+}$.
* Variations de $\tanh$ :
** $\tanh 'x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}>0$ donc $\tanh$ est strictement croissante.
$\cosh$ est paire ; $\sinh$ et $\tanh$ sont impaires.
(Démonstration immédiate.)

### Limites

| Limite en $-\infty$ | Limite en $+\infty$ |
| $\lim _{-\infty }\cosh =+\infty$ | $\lim _{+\infty }\cosh =+\infty$ |
| $\lim _{-\infty }\sinh =-\infty$ | $\lim _{+\infty }\sinh =+\infty$ |
| $\lim _{-\infty }\tanh =-1$ | $\lim _{+\infty }\tanh =1$ |
En $+\infty$, $x\mapsto \operatorname {e} ^{-x}$ est dominée par $x\mapsto \operatorname {e} ^{x}$ donc $\sinh$ et $\cosh$ sont équivalentes à $x\mapsto {\frac {\operatorname {e} ^{x}}{2}}$. Donc elles tendent vers $+\infty$ et leur quotient, $\tanh$, tend vers $1$.
Les limites en $-\infty$ s'en déduisent, par parité de $\cosh$ et imparité de $\sinh$ et $\tanh$.

## Comparaison avec la trigonométrie circulaire

On remarque une grande symétrie des définitions entre les fonctions trigonométriques circulaires et hyperboliques :
| Trigonométrie circulaire | Trigonométrie hyperbolique |
| $\cos x={\frac {\operatorname {e} ^{\mathrm {i} x}+\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} x}}{2}}$ | $\cosh x={\frac {\operatorname {e} ^{x}+\operatorname {e} ^{-x}}{2}}$ |
| $\sin x={\frac {\operatorname {e} ^{\mathrm {i} x}-\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} x}}{2\mathrm {i} }}$ | $\sinh x={\frac {\operatorname {e} ^{x}-\operatorname {e} ^{-x}}{2}}$ |
| $\tan ={\frac {\sin }{\cos }}$ | $\tanh ={\frac {\sinh }{\cosh }}$ |
| $\cos ^{2}+\sin ^{2}=1$ | $\cosh ^{2}-\sinh ^{2}=1$ |
| $\cos '=-\sin$ | $\cosh '=\sinh$ |
| $\sin '=\cos$ | $\sinh '=\cosh$ |
| $\tan '={\frac {1}{\cos ^{2}}}=1+\tan ^{2}$ | $\tanh '={\frac {1}{\cosh ^{2}}}=1-\tanh ^{2}$ |
On se demande alors s'il n'y aurait pas un moyen pratique facile de passer d'une trigonométrie à l'autre.
On connaît une formule de trigonométrie circulaire et on aimerait trouver un équivalent en trigonométrie hyperbolique.
* On écrit la formule en trigonométrie circulaire.
* On remplace :
** sin par i sinh, où i$^2$ = –1
** cos par cosh
** tan par i tanh
    Les i doivent se simplifier et l'on obtient la formule en trigonométrie hyperbolique.
* On fait la preuve de la formule en utilisant les exponentielles, maintenant qu'on sait dans quelle direction faire le calcul.
Soit $x\in \mathbb {R}$. On voudrait exprimer $\sinh(2x)$ en fonction de $\sinh x$ et $\cosh x$ :
* $\sin(2x)=2\sin x\cos x$
* On effectue les remplacements : i sinh(2x) = 2i sinhx coshx donc sinh(2x) = 2 sinhx coshx
* On fait la preuve :
    ${\begin{aligned}2\sinh x\cosh x&=2{\frac {(\operatorname {e} ^{x}-\operatorname {e} ^{-x})}{2}}{\frac {(\operatorname {e} ^{x}+\operatorname {e} ^{-x})}{2}}\\&={\frac {1}{2}}(\operatorname {e} ^{2x}-\operatorname {e} ^{-2x})\\&=\sinh(2x).\end{aligned}}$

## Lien avec la trigonométrie complexe

Les fonctions $\cos$, $\sin$, $\cosh$ et $\sinh$ sont définies (voir supra) à partir de la fonction exponentielle donc sont en fait, comme elle, définies non seulement sur $\mathbb {R}$ mais sur $\mathbb {C}$, et sont alors (par définition même) reliées par les formules suivantes :
Pour tout nombre complexe $z$,
    $\cos z=\cosh(\mathrm {i} z)\quad {\text{et}}\quad \mathrm {i} \sin z=\sinh(\mathrm {i} z)$
ou encore :
    $\cosh z=\cos(\mathrm {i} z)\quad {\text{et}}\quad \sinh z=-\mathrm {i} \sin(\mathrm {i} z).$
Les deux premières identités résultent directement des expressions de $\cos$, $\sin$, $\cosh$ et $\sinh$ en termes d'exponentielles. Les deux autres s'en déduisent par changement de variable : si $Z=\mathrm {i} z$ alors $z={\frac {1}{\mathrm {i} }}Z=-\mathrm {i} Z$ et les deux premières formules deviennent :
    $\cosh Z=\cos(-\mathrm {i} Z)$ et $\sinh Z=\mathrm {i} \sin(-\mathrm {i} Z)$
donc par parité de $\cos$ et imparité de $\sin$ (sur $\mathbb {C}$ comme sur $\mathbb {R}$)
    $\cosh Z=\cos(\mathrm {i} Z)$ et $\sinh Z=-\mathrm {i} \sin(\mathrm {i} Z)$.
Ces relations expliquent et justifient la « recette de cuisine » de la section précédente et dispensent de sa troisième étape (« on fait la preuve »).
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