# Mécanique 1 (PCSI)/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Mouvement conservatif
## Définition d'un mouvement conservatif

Un point matériel $\;M\;$ a un « mouvement conservatif » dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ s'il n'est soumis qu'à des forces conservatives ou si les éventuelles forces non conservatives ne travaillent pas.

## Intégrale 1ère « énergétique » d'un point matériel à mouvement conservatif

Une conséquence de la définition d'un point matériel à mouvement conservatif étudié dans un référentiel galiléen et utilisée dans le théorème de la variation de l'énergie mécanique de ce point dans ce référentiel s'énonce selon :
dans un référentiel galiléen, « l'énergie mécanique d'un point matériel à mouvement conservatif est conservée », cet énoncé représente l'intégrale 1ère « énergétique » d'un point matériel à mouvement conservatif.

## En complément : la conservation de l'énergie mécanique, cas particulier du théorème d'Emmy Nœther
### Rappel du théorème d'Emmy Nœther

$7$
« À toute invariance des lois de la physique selon un groupe de symétries est nécessairement associée une quantité conservée en toutes circonstances ».

### Conservation de l'énergie mécanique d'un point matériel « à mouvement conservatif » dans un référentiel galiléen comme cas particulier du théorème d'Emmy Nœther

Pour tout instant d'étude d'un point matériel à mouvement conservatif dans un référentiel galiléen, les lois de la physique appliquées à ce point doivent être « invariantes par translation de temps » ;
d'après le théorème d'Emmy Nœther, il y a « conservation d'une grandeur $\;{\big$cinétique${\big )}\;$ du point matériel étudié dans un référentiel galiléen » traduisant, dans ce référentiel, l'« invariance des lois physiques selon le groupe des translations de temps » et
d'après l'intégrale 1ère énergétique du point matériel à mouvement conservatif dans un référentiel galiléen, « cette grandeur $\;{\big$cinétique${\big )}\;$ définie dans ce référentiel est l'énergie mécanique du point ».

### Nécessité d'invariance des lois physiques par translation de temps pour expliquer la conservation de l'énergie mécanique d'un point à mouvement conservatif dans un référentiel galiléen sur l'« exemple d'un objet dans le champ de pesanteur terrestre uniforme »

L'invariance des lois physiques par translation de temps $\;{\big$c.-à-d. l'indépendance du choix de l'origine des temps${\big )}\;$ est nécessaire pour expliquer la conservation de l'énergie mécanique d'un point matériel à mouvement conservatif dans le champ de pesanteur terrestre uniforme en effet :
si le poids dépendait de l'instant dans la journée $\;{\big$par exemple plus faible à midi qu'à minuit${\big )}$, en montant à midi un objet au sommet d'une tour et en l'y déposant, on lui fournirait une certaine énergie potentielle de pesanteur s'identifiant à l'énergie mécanique de l'objet une fois déposé mais qui dépendrait de l'instant de la journée où cette ascension est envisagé ;
si le poids était supposé plus grand à minuit qu'à midi, il en serait de même de l'« énergie potentielle de pesanteur dont il dérive avec choix d'une même référence » et par suite l'énergie mécanique de l'objet déposé au sommet de la tour à midi deviendrait spontanément plus grande à minuit, ceci mettant en défaut la conservation de l'énergie mécanique d'un objet sans action extérieure travaillant $\;\ldots$
De plus, « la chute de l'objet à minuit restituerait une énergie plus grande qu'il n'aurait fallu en fournir pour monter l'objet à midi » d'où un gain spontané d'énergie « gratuite et inépuisable », ce qui, malheureusement, n'est pas possible $\;\ldots$

## Exemples de mouvement conservatif
### 1er exemple : oscillateur harmonique à une dimension

$1$
Traité sur l'exemple d'un « pendule élastique horizontal non amorti (P.E.H.N.A.) », l'axe du ressort étant choisi comme axe $\;{\overrightarrow {x'x}}\;$ dirigé de l'extrémité fixe du ressort à celle reliée au point matériel $\;M\;$ et l'origine $\;O\;$ de cet axe étant la « position d'équilibre du point $\;M\;$» ;
le point matériel $\;M\;$ est soumis
* à deux forces verticales non conservatives $\;{\big$ou considérées comme telles${\big )}\;$ le poids $\;m\;{\vec {g}}\;$ de $\;M\;$ et la réaction $\;{\vec {R}}\;$ du support horizontal sur lequel $\;M\;$ repose$^,$ « qui ne travaillent pas » et
* à une seule force horizontale conservative « la tension du ressort sur $\;M\;$» $\;{\vec {T}}=-k\;\Delta l\;{\vec {u}}_{x}=-k\left[l-l_{0}\right]{\vec {u}}_{x}\;$ selon la loi de Hooke$^,$ s'écrivant encore, avec le choix de l'origine $\;O\;$ de l'axe horizontal en la « position d'équilibre du point $\;M\;$», $\;{\vec {T}}=-k\;x\;{\vec {u}}_{x}\;$ dérivant de l'énergie potentielle élastique $\;U_{\text{élast}}(M)={\dfrac {1}{2}}\;k\;x^{2}\;$ avec référence en la position à vide ;
nous vérifions donc bien la définition d'un point matériel à mouvement conservatif.

### 2ème exemple : chute libre sans vitesse initiale d’un objet supposé ponctuel dans le champ de pesanteur terrestre uniforme

$10$
Traité en considérant le cas particulier $\;{\vec {V}}_{0}={\vec {0}}$, l'objet, supposé ponctuel et noté $\;M$, a une trajectoire verticale choisie comme axe $\;{\overrightarrow {z'z}}\;$ orienté dans le sens $\;\uparrow$, l'origine $\;O\;$ de cet axe étant choisie en la position initiale $\;M_{0}$ ;
le point matériel $\;M\;$ n'est soumis qu'à une seule force verticale conservative « son poids $\;m\;{\vec {g}}\;$» dérivant de l'énergie potentielle de pesanteur $\;U_{\text{pes}}(M)=$ $m\;g\;z\;$ avec référence en $\;z=0\;$ c.-à-d. à l'altitude de la position initiale ;
nous vérifions donc bien la définition d'un point matériel à mouvement conservatif.

### 3ème exemple : pendule pesant simple à un degré de liberté

$12$
Traité en considérant les C.I. de lancement $\;1a\;$ du pendule pesant simple $\;{\big$P.P.S.${\big )}$ $\;{\big$constitué d'une tige rigide, sans masse, de longueur $\;l$, mobile autour de son extrémité fixe $\;O$, l'autre extrémité étant liée à un point matériel $\;M\;$ dont on étudie le mouvement${\big ]}\;$ à savoir
* on écarte le P.P.S. de $\;\theta _{0}\;$ de sa position d'« équilibre stable » et
* on le lâche sans « vitesse initiale » dans le référentiel d'étude,
le mouvement du point matériel $\;M\;$ est plan, la trajectoire étant circulaire de centre $\;O\;$ dans le plan vertical de lancement, la position du point $\;M\;$ dans ce plan étant repérée en polaire de pôle $\;O\;$ et d'axe polaire $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ vertical $\;\downarrow \;$ de ce plan, c.-à-d. par son abscisse angulaire $\;\theta ={\widehat {\left({\overrightarrow {Oz}}\,,\,{\overrightarrow {OM}}\right)}}$ ;
le point matériel $\;M\;$ est soumis
* à une force conservative « son poids $\;m\;{\vec {g}}\;$» vertical $\;\downarrow$, dérivant de l'énergie potentielle de pesanteur $\;U_{\text{pes}}(M)=m\;g\left(l-z\right)\;$ avec référence en $\;z=l\;$ c.-à-d. à la cote de la position d'« équilibre stable » et
* à une force non conservative « la tension de la tige $\;{\vec {T}}={\overline {T}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ s'exerçant sur $\;M\;$» « qui ne travaille pas » ;
nous vérifions donc bien la définition d'un point matériel à mouvement conservatif.

## Étude énergétique d'un point matériel à mouvement conservatif à une dimension sur l’exemple de la chute libre sans vitesse initiale, diagramme d’énergies potentielle et mécanique, présence d'un seul mur d'énergie potentielle (position de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) non bornée
### Écriture de l'intégrale 1ère énergétique d'un point matériel à mouvement de chute conservatif

Le point matériel $\;M\;$ de masse $\;m\;$ étant lâché sans vitesse initiale d'une position $\;M_{0}\;$ situé à l'altitude $\;h\;$ dans le champ de pesanteur terrestre uniforme $\;{\vec {g}}$, on choisit pour axe vertical $\;{\overrightarrow {z'z}}\;$ orienté dans le sens $\;\uparrow \;$ l’axe passant par $\;M_{0}$, l'origine de cet axe étant au niveau du sol ;
la référence de l'énergie potentielle de pesanteur étant également au niveau du sol, le point matériel $\;M$, situé à l'altitude $\;z_{M}$, possède, dans le référentiel terrestre supposé galiléen, l'énergie potentielle de pesanteur $\;U_{\text{pes}}(M)=m\;g\;z_{M}\;$ et l'énergie cinétique $\;K(M)={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{M,\,z}^{\,2}={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {z}}_{M}^{\,2}\;$ soit au total l'énergie mécanique
$\;E_{m}(M)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {z}}_{M}^{\,2}+m\;g\;z_{M}\;$
l'intégrale 1ère énergétique du mouvement de chute conservatif du point $\;M$, s'écrit $\;E_{m}(M)=E_{m,\,0}\;$ avec $\;E_{m,\,0}=0+m\;g\;h=m\;g\;h\;$ soit finalement, à l'instant $\;t$,
$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {z}}_{M}^{\,2}\!(t)+m\;g\;z_{M}(t)=m\;g\;h\;$

### Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un point matériel en chute libre

Diagramme d'énergie potentielle $\;{\big$voir ci-contre en bleu${\big )}$ : tracé de la courbe d’énergie potentielle $\;(\Gamma _{u})\;$ c.-à-d. la courbe de variation de l'énergie potentielle $\;U_{\text{pes}}\;$ en fonction du paramètre de position $\;z$ ; on note $\;P_{u}\;$ le point générique de cette courbe qui a pour abscisse $\;z\;$ et pour ordonnée $\;U_{\text{pes}}(z)=m\;g\;z$ ;
diagramme d'énergie mécanique $\;{\big$voir ci-contre en rouge${\big )}$ : tracé de la courbe d’énergie mécanique $\;(\Gamma _{m})\;$ c.-à-d. la courbe de variation de l'énergie mécanique $\;E_{m}\;$ en fonction du paramètre de position $\;z$ ; on note $\;P_{m}\;$ le point générique de cette courbe qui a pour abscisse $\;z\;$ et pour ordonnée $\;E_{m}=E_{m,\,0}=m\;g\;h$ ;
lorsqu'il y a « mouvement de $\;M\;$ à partir de ses C.I. », les points $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ se déplacent simultanément sur $\;(\Gamma _{u})\;$ et $\;(\Gamma _{m})\;$ dans des limites autorisées « à déterminer » et c’est l'étude de ces déplacements possibles que l'on cherche à trouver par étude graphique.

### Notion de mur d'énergie potentielle

De la définition de $\;E_{m}(M)=K(M)+U_{\text{pes}}(M)$, nous en déduisons $\;K(M)=E_{m}(M)-U_{\text{pes}}(M)\;$ représenté par $\;{\overline {HP_{m}}}-{\overline {HP_{u}}}$ $={\overline {P_{u}P_{m}}}\;$ soit «$\;K(M)\;{\widehat {=}}\;{\overline {P_{u}P_{m}}}\;$»$^,$ et comme $\;K(M)\;$ est, par définition, $\;\geqslant 0$, « le point $\;P_{m}\;$ doit être au dessus de $\;P_{u}\;$», ce qui interdit aux points génériques $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ d’être dans les zones correspondant à $\;(\Gamma _{u})\;$ strictement au-dessus de $\;(\Gamma _{m})$ ;
on définit ainsi « un (ou des) mur(s) d’énergie potentielle » défini(s) par une valeur constante du paramètre de position séparant une zone autorisée d'une zone interdite et représentés comme sur le schéma ci-dessus ;
quand les points génériques $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ sont confondus sur le mur d'énergie potentielle, l'énergie cinétique associée à cette situation étant nulle, ceci correspond à une position d’arrêt $\;{\big$vitesse nulle${\big )}\;$ du point $\;M$ ;
dans le cas présent il n’y a qu'un mur d’énergie potentielle $\;z=h$, la zone située strictement à droite de ce mur étant interdite.

### Présence d'un seul mur d'énergie potentielle : trajectoire du point matériel cinétiquement non bornée

Les C.I. étant telles que $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ sont initialement confondus en $\;P_{0}\;$ sur le mur d’énergie potentielle $\;z=h$, la présence du mur interdisant la $\;\nearrow \;$ de $\;z$, nous en déduisons que «$\;z\;$ reste constant ou $\;\searrow \;$» ;
or $\;z=h\;$ qui correspond à une position d'arrêt « n'étant pas une position d’équilibre », $\;z\;$ ne peut rester constant et par suite $\;\searrow \;$ strictement, les points génériques $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ du diagramme d'énergies potentielle et mécanique se déplaçant en s'éloignant du mur d'énergie potentielle $\;{\big$c.-à-d. vers la gauche${\big )}\;\ldots$
ces déplacements simultanés de $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ engendrant une $\;\nearrow \;$ continue de $\;{\overline {P_{u}P_{m}}}\;{\widehat {=}}\;K(M)\;$ se poursuivent indéfiniment hors présence d'obstacles $\;{\big$la raison n'étant pas que $\;K(M)\;$ soit en $\;\nearrow \;$ continue, mais que $\;K(M)\;$ ne s'annule plus, c.-à-d. que $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ ne rencontrent pas un autre mur d'énergie potentielle${\big )}\;$ ce qui a pour conséquence que « la trajectoire du point matériel$\;M\;$à mouvement conservatif est cinétiquement non bornée » $\;{\big$on dit encore d'un point matériel ayant une trajectoire $\;{\big$cinétiquement${\big )}\;$ non bornée qu'il est dans un état de diffusion${\big ]}$.
Remarque 1 : dans le cas présent, le point matériel $\;M\;$ cessant d'être en chute libre quand il rencontre le sol, ce dernier représente une borne d'espace effective à la trajectoire de $\;M\;$ ${\big$mais cette borne d'espace étant une limite du domaine d'application de la chute libre et non une conséquence de la chute tant que celle-ci reste libre, sa présence n'est pas incompatible avec la qualification de trajectoire cinétiquement non bornée${\big )}$ ;
Remarque 1 : dans le cas présent, quand le point matériel $\;M\;$ en chute libre rencontre le sol, ce dernier exerce sur $\;M\;$ une « force de collision $\;{\big$force proportionnelle à un pic de Dirac d'impulsion unité centré à l'instant de collision c.-à-d. $\;\delta (t-t_{\text{collis}})\;$ donc discontinue de 2ème espèce${\big ]}\;$ permettant l'arrêt du point $\;M\;$».
Remarque 2 : dans le cas présent, pour une chute sans vitesse initiale, l'abscisse du mur d'énergie potentielle $\;z=h\;$ est aussi l'altitude maximale possible de l'objet lors de sa chute, cette valeur maximale étant la valeur initiale.

### Cas où le point matériel est lancé vers le haut avec une vitesse initiale verticale à partir d'une position d'altitude quelconque

$\;\ldots$
L'intégrale 1ère énergétique du point matériel $\;M\;$ à chute libre conservative reste la même qu'en absence de vitesse initiale «$\;E_{m}(M)$ $={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {z}}_{M}^{\,2}+m\;g\;z_{M}=E_{m,\,0}\;$» avec la même référence d'énergie potentielle mais une énergie mécanique initiale modifiée en «$\;E_{m,\,0}=$ ${\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{0}^{\,2}+m\;g\;h\;$» ;
le diagramme d’énergies potentielle et mécanique est tracé ci-contre, la courbe d'énergie potentielle $\;(\Gamma _{u})$, en bleu, étant la même qu'en absence de vitesse initiale et celle d'énergie mécanique $\;(\Gamma _{m})$, en rouge, translatée vers le haut relativement à celle du diagramme sans vitesse initiale de «$\;K_{0}(M)={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0,\,z}^{\,2}\;$» ;
on détecte l'existence d'« un et un seul mur d’énergie potentielle $\;z=z_{\text{max}}\;$» déplacé vers la droite par rapport à celui du diagramme sans vitesse initiale :
initialement les points génériques $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ de $\;(\Gamma _{u})\;$ et $\;(\Gamma _{m})$, respectivement en $\;P_{u,\,0}\;$ et $\;P_{m,\,0}\;$ tels que «$\;{\overline {P_{u,\,0}P_{m,\,0}}}\;{\widehat {=}}\;$ $K_{0}(M)>0\;$» se déplacent sur $\;(\Gamma _{u})\;$ et $\;(\Gamma _{m})\;$ vers la droite $\Rightarrow$ «$\;{\overline {P_{u}P_{m}}}\;{\widehat {=}}\;K(M)\searrow \;$ jusqu'à ce que $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ rencontrent en $\;P_{0}\;$ le mur d'énergie potentielle $\;z=z_{\text{max}}\;$ sur lequel $\;M\;$ est au repos » mais $\;\ldots$
cette position « n'étant pas une position d'équilibre » «$\;z\;$ ne peut rester constant et par suite $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ se déplacent sur $\;(\Gamma _{u})\;$ et $\;(\Gamma _{m})\;$ vers la gauche » $\;{\big$ce qui correspond à un mouvement de chute libre de $\;M\;$ dans le sens des altitudes $\;\searrow {\big )}$ $\;\ldots$ ces déplacements simultanés de $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ engendrant une croissance continue de $\;K(M)\;$ se poursuivent indéfiniment, ce qu'on traduit par le fait que «$\;M\;$ a une trajectoire cinétiquement non bornée »$^,$ $\;{\bigM\;$ est donc dans un état de diffusion${\big ]}$ ;
le mur d'énergie potentielle «$\;z=z_{\text{max}}\;$» étant la valeur maximale de l'altitude possible du point matériel $\;M\;$ se calcule par intégrale 1ère énergétique du mouvement de $\;M\;$ soit «$\;E_{m}(z_{\text{max}})=E_{m,\,0}\;$» ou «$\;0+m\;g\;z_{\text{max}}$ $={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0,\,z}^{\,2}+m\;g\;h\;$» soit finalement «$\;z_{\text{max}}=h+{\dfrac {V_{0,\,z}^{\,2}}{2\;g}}\;$».

### Retour sur l'étude de la chute libre d'un point matériel dans un champ de pesanteur uniforme quand le point est lancé avec une vitesse initiale inclinée

Dans ce paragraphe, nous prolongeons l'étude faite dans le chap.$10$ « loi de la quantité de mouvement : mouvement dans le champ de pesanteur uniforme » de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » par un traitement énergétique, celui-ci ne pouvant être fait qu'après l'introduction de la notion de force conservative et de celle de mouvement conservatif.
Rappel des C.I. : l'objet de C.D.I. $\;G\;$ est lancé d'un endroit telle que la position de son C.D.I. soit $\;G_{0}\;$ choisi comme origine $\;O\;$ du repère cartésien avec un mouvement de translation de vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}\;$ faisant l'angle $\;\alpha _{0}\;$ avec l'axe $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ horizontal du plan vertical de lancement tel que $\;\vert \alpha _{0}\vert \;$ soit aigu, l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ étant vertical $\;\uparrow \;$ et $\;{\overrightarrow {Oy}}\;$ horizontal $\;\perp \;$ au plan vertical de lancement $\;(xOz)$ de façon à ce que le trièdre $\;\left\lbrace {\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {Oy}}\,,\,{\overrightarrow {Oz}}\right\rbrace \;$ soit direct dans l'espace physique orienté à droite$^,$, les angles du plan vertical de lancement $\;(xOz)\;$ étant orientés dans le sens trigonométrique direct $\;{\big$ou sens anti-horaire${\big )}\;$ par $\;-{\vec {u}}_{y}\;$ ;
rappel des mouvements de$\;G_{x}$, $\;G_{y}\;$et$\;G_{z}\;$ : $\blacktriangleright \;$« le mouvement du C.D.I. se fait dans le plan vertical de lancement » d'où «$\;G_{y}\;$ immobile, confondu avec $\;O\;$»,
rappel des mouvements de$\;\color {transparent}{G_{x}}$, $\;\color {transparent}{G_{y}}\;$et$\;\color {transparent}{G_{z}}\;$ : $\blacktriangleright \;$« le mouvement de $\;G_{x}\;$ est $\;{\big$rectiligne${\big )}\;$ uniforme de vitesse $\;V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\;$» et
rappel des mouvements de$\;\color {transparent}{G_{x}}$, $\;\color {transparent}{G_{y}}\;$et$\;\color {transparent}{G_{z}}\;$ : $\blacktriangleright \;$« le mouvement de $\;G_{z}\;$ est $\;{\big$rectiligne${\big )}\;$ uniformément varié d'accélération $\;-g\;$ et de vitesse initiale $\;V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;$», rappel des mouvements de$\;\color {transparent}{G_{x}}$, $\;\color {transparent}{G_{y}}\;$et$\;\color {transparent}{G_{z}}\;$ : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ le mouvement étant d'abord ascendant dans la mesure où $\;\alpha _{0}\;$ est $\;>0$, la trajectoire de $\;G\;$ admettant alors un sommet $\;S\;$ effectivement atteint et rappel des mouvements de$\;\color {transparent}{G_{x}}$, $\;\color {transparent}{G_{y}}\;$et$\;\color {transparent}{G_{z}}\;$ : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ le vecteur vitesse de $\;G\;$ en ce sommet $\;S\;$ étant horizontal égal à $\;{\vec {V}}_{S}=V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\;{\vec {u}}_{x}$ ;
la seule force appliquée, le poids de l'objet, étant conservative, « le C.D.I. de ce dernier a un mouvement conservatif » obéissant à l'« intégrale 1ère énergétique $\;E_{m}(G)=E_{m,\,0}\;$» ou la seule force appliquée, le poids de l'objet, étant conservative, « le C.D.I. de ce dernier a un mouvement conservatif » obéissant à «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\,\left[V_{G,\,x}^{\,2}+V_{G,\,z}^{\,2}\right]+m\;g\,z_{G}={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{\,2}\;$» ;
la seule force appliquée, le poids de l'objet, étant conservative, si $\;\alpha _{0}\;$ est $\;>0$, on peut « déterminer l'altitude $\;z_{S}\;$ du sommet de la trajectoire du C.D.I. par intégrale 1ère énergétique du mouvement de ce dernier » selon «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\,\left[V_{0}^{\,2}\;\cos ^{2}(\alpha _{0})\;{\cancel {+V_{S,\,z}^{\,2}}}\right]+m\;g\,z_{G}$ $={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{\,2}\;$» ou «$\;m\;g\,z_{G}={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{\,2}\left[1-\cos ^{2}(\alpha _{0})\right]\;$» ou encore «$\;m\;g\,z_{G}=$ ${\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{\,2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})\;$» d'où
$\;z_{S}={\dfrac {V_{0}^{\,2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{2\;g}}\;$

## Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple de l'oscillateur harmonique à une dimension, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, isochronisme des oscillations

$1$

### Rappel de l'intégrale 1ère énergétique de l'oscillateur harmonique à une dimension constitué d'un pendule élastique horizontal non amorti (P.E.H.N.A.)

Une 1ère introduction $\;{\big$expérimentale${\big )}\;$ a été faite au paragraphe « définition de l'énergie mécanique et sa conservation, conséquence de l'absence de forces autres que celle du ressort (dans le cas d'un pendule élastique horizontal non amorti) » du chap.$1$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
Avec l'axe horizontal du ressort choisi comme axe $\;{\overrightarrow {x'x}}\;$ orienté de son extrémité fixe vers l'extrémité mobile où est lié le point matériel $\;M\;$ de masse $\;m$, Avec le ressort étant idéal, à spires non jointives, de raideur $\;k\;$ et de longueur à vide $\;l_{0}$, Avec l'origine $\;O\;$ de cet axe $\;{\big$horizontal${\big )}\;$ étant choisie à la position d'équilibre de $\;M\;$, Avec le point $\;M\;$ est initialement écarté de $\;x_{0}\;$ de la « position d'équilibre du P.E.H.N.A. » et lâché sans vitesse initiale ;
le point $\;M$, situé à l'abscisse $\;x$, possède une « énergie potentielle élastique égale, avec choix d'une référence à la position d'équilibre du point, à $\;U_{\text{élast}}(M)={\dfrac {1}{2}}\;k\;x^{2}\;$ » et le point $\;\color {transparent}{M}$, situé à l'abscisse $\;\color {transparent}{x}$, possède une « énergie cinétique $\;K(M)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {x}}^{2}\;$» soit le point $\;\color {transparent}{M}$, situé à l'abscisse $\;\color {transparent}{x}$, possède une « énergie mécanique $\;E_{m}(M)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {x}}^{2}+{\dfrac {1}{2}}\;k\;x^{2}\;$» ;
« le point $\;M\;$ étant à mouvement conservatif » ${\big$la seule force travaillant étant la force exercée par le ressort, laquelle est conservative${\big )}$, « le point $\;\color {transparent}{M}\;$ étant à mouvement conservatif » l'intégrale 1ère énergétique du mouvement d'oscillations du P.E.H.N.A. $\;M$, s'écrit «$\;E_{m}(M)=E_{m,\,0}\;$ avec $\;E_{m,\,0}=0+{\dfrac {1}{2}}\;k\;x_{0}^{2}={\dfrac {1}{2}}\;k\;x_{0}^{2}\;$ » « le point $\;\color {transparent}{M}\;$ étant à mouvement conservatif » l'intégrale 1ère énergétique du mouvement d'oscillations du P.E.H.N.A. $\;\color {transparent}{M}$, soit finalement, à l'instant $\;t$, «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {x}}^{\,2}\!(t)+{\dfrac {1}{2}}\;k\;x^{2}\!(t)={\dfrac {1}{2}}\;k\;x_{0}^{2}\;$».

### Diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.E.H.N.A.

L'étude d’un oscillateur harmonique par diagramme d'énergies potentielle et mécanique n'est pas cité dans le programme de physique de P.C.S.I., toutefois cette étude est intéressante car elle représente un autre exemple d'état lié que celui du pendule pesant simple non amorti $\;{\big$P.P.S.N.A.${\big )}\;$ traité à la suite du P.E.H.N.A..
Dans un même système d'axes, paramètre de position en abscisse et énergie en ordonnée, on trace les courbes
* d'énergie potentielle $\;(\Gamma _{u})\;$ en bleu ci-contre c.-à-d. l'ensemble des points $\;P_{u}\;$ d'abscisse $\;x\;$ et d'ordonnée $\;U_{\text{élast}}(x)=$ ${\dfrac {1}{2}}\;k\;x^{2}$ $\;{\big(\Gamma _{u})\;$ étant une parabole de concavité positive, de sommet $\;(0\,,\,0)\;$ et d'axe $\;x=0{\big ]}\;$ et
* d'énergie mécanique $\;(\Gamma _{m})\;$ en rouge ci-contre c.-à-d. l'ensemble des points $\;P_{m}\;$ d'abscisse $\;x\;$ et d'ordonnée $\;E_{m}(x)=E_{m,\,0}$ $={\dfrac {1}{2}}\;k\;x_{0}^{2}$ $\;{\big(\Gamma _{m})\;$ étant une droite $\;\parallel \;$ à l'axe des $\;x\;$ d'ordonnée $\;E_{m,\,0}{\big ]}$.

### Présence de deux murs d'énergie potentielle : trajectoire du point matériel cinétiquement bornée

On observe, sur le diagramme d'énergies potentielle et mécanique ci-contre, la présence de deux murs d'énergie potentielle délimitant les domaines d'abscisses interdites tels que $\;U_{\text{élast}}\ngtr E_{m,\,0}$,
* l'un correspondant à $\;P_{0}\;$ position commune initiale des points génériques $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ d'abscisse $\;x_{0}\;$ et
* l'autre correspond à $\;{P'}_{0}\;$ position symétrique de $\;P_{0}\;$ par rapport à l'axe des énergies, d'abscisse $\;{x'}_{0}=-x_{0}$ ;
ces deux murs d'énergie potentielle interdisent les domaines $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x<{x'}_{0}=-x_{0}\\x>x_{0}\end{array}}\right\rbrace \;$ pour la variation de l'abscisse du P.E.H.N.A. $\;M\;$ c.-à-d. que ce dernier a une trajectoire cinétiquement bornée, le domaine de variation de son abscisse étant un intervalle à bornes finies à savoir $\;\left[{x'}_{0}=-x_{0}\;,\;x_{0}\right]$ $\;{\big \$on dit encore du P.E.H.N.A. ayant une trajectoire cinétiquement bornée qu'il est dans un état lié $\;{\big$ce qui correspond à un déplacement possible des points génériques $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ des courbes $\;(\Gamma _{u})\;$ et $\;(\Gamma _{m})\;$ entre deux murs d'énergie potentielle ou, à un déplacement possible de ces points dans une cuvette$\;{\big$ou puits${\big )}\;$d'énergie potentielle${\big ]}{\big \}$.

### Détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.E.H. « par diagramme énergétique »

$1$
$\;\succ \;$Les C.I. étant telles que $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ sont initialement confondus en $\;P_{0}\;$ sur le mur d'énergie potentielle de droite $\;x=x_{0}$, la présence du mur interdisant la $\;\nearrow \;$ de $\;x$, nous en déduisons que «$\;x\;$ reste constant ou $\;\searrow \;$» ;
$\;\color {transparent}{\succ }\;$or $\;x=x_{0}\;$ qui correspond à une position d'arrêt « n'étant pas une position d’équilibre », $\;x\;$ ne peut rester constant et par suite $\;\searrow \;$ strictement, les points génériques $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ du diagramme d'énergies potentielle et mécanique se déplaçant en s'éloignant du mur d'énergie potentielle de droite $\;{\big$c.-à-d. vers la gauche${\big )}\;\ldots$
$\;\succ \;$ces déplacements simultanés de $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ engendrant d'abord une $\;\nearrow \;$ continue de $\;{\overline {P_{u}P_{m}}}\;{\widehat {=}}\;K(M)\;$ jusqu'au passage de $\;P_{m}\;$ par $\;P_{\text{éq}}\;$ puis une $\;\searrow \;$ continue jusqu'à atteindre la valeur nulle lorsque $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ se rejoignent en $\;{P'}_{0}\;$ point commun du mur d'énergie potentielle de gauche $\;x={x'}_{0}=-x_{0}$, la présence de ce mur interdisant la $\;\searrow \;$ de $\;x$, nous en déduisons que «$\;x\;$ reste constant ou $\;\nearrow \;$» ;
$\;\color {transparent}{\succ }\;$or $\;x={x'}_{0}=-x_{0}\;$ qui correspond à une position d'arrêt « n'étant pas une position d’équilibre », $\;x\;$ ne peut rester constant et par suite $\;\nearrow \;$ strictement, les points génériques $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ du diagramme d'énergies potentielle et mécanique se déplaçant en s'éloignant du mur d'énergie potentielle de gauche $\;{\big$c.-à-d. vers la droite${\big )}$ $\;\ldots$
$\;\succ \;$ces déplacements simultanés de $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ engendrant d'abord une $\;\nearrow \;$ continue de $\;{\overline {P_{u}P_{m}}}\;{\widehat {=}}\;K(M)\;$ jusqu'au nouveau passage de $\;P_{m}\;$ par $\;P_{\text{éq}}\;$ puis une $\;\searrow \;$ continue jusqu'à atteindre la valeur nulle lorsque $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ se rejoignent en $\;P_{0}\;$ point commun du mur d'énergie potentielle de droite $\;x=x_{0}$, la présence de ce mur interdisant la $\;\nearrow \;$ de $\;x$, nous en déduisons que «$\;x\;$ reste constant ou $\;\searrow \;$», ce qui, correspondant exactement à la situation initiale, permet de déduire que ces déplacements simultanés de $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ se poursuivent indéfiniment $\;{\big$en absence d'amortissements${\big )}\;$ de façon identique $\;\ldots$

### Détermination de la nature périodique du mouvement du P.E.H. en utilisant l'intégrale 1ère énergétique simultanément au diagramme d'énergies potentielle et mécanique du point M puis expression de la période sous forme intégrale

$1$
Pour déterminer la nature périodique du mouvement du P.E.H.N.A. par utilisation simultanée de son intégrale 1ère énergétique et de son diagramme d'énergies potentielle et mécanique, il faut « montrer que la durée correspondant au nème aller-retour des points $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ sur $\;(\Gamma _{u})\;$ et $\;(\Gamma _{m})\;$ de $\;P_{0}\rightarrow {P'}_{0}\rightarrow P_{0}\;$ est indépendant du numéro $\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$ de l'aller-retour » :
on utilise d'abord l'« intégrale 1ère énergétique du mouvement du P.E.H.N.A. $\;E_{m}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {x}}^{2}\!(t)+{\dfrac {1}{2}}\;k\;x^{2}\!(t)=E_{m,\,0}\;$ avec les mêmes C.I. que précédemment $\;E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;k\;x_{0}^{2}\;$» soit on utilise d'abord l'« intégrale 1ère énergétique «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {x}}^{2}\!(t)+{\dfrac {1}{2}}\;k\;x^{2}\!(t)={\dfrac {1}{2}}\;k\;x_{0}^{2}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {x}}^{2}\!(t)={\dfrac {1}{2}}\;k\,\left[x_{0}^{2}-x^{2}\!(t)\right]\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dot {x}}(t)={\dfrac {dx}{dt}}(t)=\pm {\sqrt {{\dfrac {k}{m}}\,\left[x_{0}^{2}-x^{2}\!(t)\right]}}\;$» et par suite on utilise d'abord l'« intégrale 1ère énergétique « la durée élémentaire $\;dt\;$ correspondant à une variation élémentaire $\;dx\;$ de l'abscisse $\;x\;$ de $\;M\;$» s'écrit «$\;dt=\pm {\dfrac {dx}{\sqrt {{\dfrac {k}{m}}\,\left[x_{0}^{2}-x^{2}\right]}}}\;$»$^,$ ;
on utilise dans un 2ème temps le diagramme d'énergies potentielle et mécanique pour faire le choix entre $\;+\;$ et $\;-\;$ suivant le sens de déplacement des points $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ entre les deux murs d'énergie potentielle $\;{\big \$soit encore leur sens de déplacement dans la cuvette $\;{\big$ou puits${\big )}\;$ d'énergie potentielle${\big \}$ :
on utilise dans un 2ème temps $\;\succ \;$pour le nème aller des points $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ de $\;P_{0}\;$ à $\;{P'}_{0}$, $\;x\searrow \;$ d'où $\;dx\;$ correspondant à $\;dt>0\;$ est $\;<0\;$ $\Rightarrow$ «$\;dt=-{\dfrac {dx}{\sqrt {{\dfrac {k}{m}}\,\left[x_{0}^{2}-x^{2}\!(t)\right]}}}\;$», la durée totale on utilise dans un 2ème temps $\;\color {transparent}{\succ }\;$du nème aller s'obtenant alors par intégration selon «$\;\Delta t_{P_{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,{P'}_{0}}=\displaystyle \int _{x_{0}}^{-x_{0}}-{\dfrac {dx}{\sqrt {{\dfrac {k}{m}}\,\left[x_{0}^{2}-x^{2}\right]}}}=\displaystyle \int _{-x_{0}}^{x_{0}}{\dfrac {dx}{\sqrt {{\dfrac {k}{m}}\,\left[x_{0}^{2}-x^{2}\right]}}}\;$» ;
on utilise dans un 2ème temps $\;\succ \;$pour le nème retour des mêmes points de $\;{P'}_{0}\;$ à $\;P_{0}$, $\;x\nearrow \;$ d'où $\;dx\;$ correspondant à $\;dt>0\;$ est $\;>0\;$ $\Rightarrow$ «$\;dt={\dfrac {dx}{\sqrt {{\dfrac {k}{m}}\,\left[x_{0}^{2}-x^{2}\!(t)\right]}}}\;$», la durée totale on utilise dans un 2ème temps $\;\color {transparent}{\succ }\;$du nème retour s'obtenant aussi par intégration selon «$\;\Delta t_{{P'}_{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,P_{0}}=\displaystyle \int _{-x_{0}}^{x_{0}}{\dfrac {dx}{\sqrt {{\dfrac {k}{m}}\,\left[x_{0}^{2}-x^{2}\right]}}}=\Delta t_{P_{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,{P'}_{0}}\;$» ;
on déduit de ce qui précède la durée de la nème oscillation du point $\;M$, «$\;\Delta t_{P_{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,{P'}_{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,P_{0}}=\Delta t_{P_{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,{P'}_{0}}+\Delta t_{{P'}_{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,P_{0}}=2\;\Delta t_{P_{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,{P'}_{0}}\;$» soit finalement on déduit de ce qui précède la durée de la nème oscillation «$\;\Delta t_{P_{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,{P'}_{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,P_{0}}=2\;\displaystyle \int _{-x_{0}}^{x_{0}}{\dfrac {dx}{\sqrt {{\dfrac {k}{m}}\,\left[x_{0}^{2}-x^{2}\right]}}}\;$ indépendante de $\;n\;$» on déduit de ce qui précède la durée de la nème oscillation $\;{\big$la fonction à intégrer ainsi que les bornes d'intégration en étant indépendantes${\big )}$, on déduit de ce qui précède la durée de la nème oscillation ce qui établit la nature périodique du mouvement d'oscillations du P.E.H.N.A. $\;M$.
La période $\;{\mathcal {T}}\;$ du mouvement d'oscillations du P.E.H.N.A. $\;M\;$ étant la durée d'un aller-retour des points $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ de $\;P_{0}\;$ à $\;P_{0}\;$ en passant par $\;{P'}_{0}$, s'obtient par l'intégrale suivante
$\;{\mathcal {T}}=\Delta t_{P_{0}\,\rightarrow \,{P'}_{0}\,\rightarrow \,P_{0}}=2\;\displaystyle \int _{-x_{0}}^{x_{0}}{\dfrac {dx}{\sqrt {{\dfrac {k}{m}}\,\left[x_{0}^{2}-x^{2}\right]}}}=4\;\displaystyle \int _{0}^{x_{0}}{\dfrac {dx}{\sqrt {{\dfrac {k}{m}}\,\left[x_{0}^{2}-x^{2}\right]}}}\;$

### Isochronisme des oscillations

$12$
Dans le cas présent du P.E.H.N.A. qui est un oscillateur harmonique non amorti d'« équation différentielle normalisée $\;{\ddot {x}}(t)+\omega _{0}^{2}\;x(t)=0\;$ où $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k}{m}}}\;$ est la pulsation propre de l'oscillateur », la propriété d'isochronisme est évidente car la solution, avec les C.I. précédemment introduites, s'écrit
$\;x(t)=x_{0}\;\cos(\omega _{0}\;t)\;$
$\;x_{0}\;$
$\;{\big$
${\big )}$
$\;{\mathcal {T}}_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {m}{k}}}\;$
$\;x_{0}\;$
toutefois, au regard de l'expression de la période sous forme intégrale «$\;{\mathcal {T}}=4\;\displaystyle \int _{0}^{x_{0}}{\dfrac {dx}{\sqrt {{\dfrac {k}{m}}\,\left[x_{0}^{2}-x^{2}\right]}}}={\dfrac {4}{\omega _{0}}}\;\displaystyle \int _{0}^{x_{0}}{\dfrac {dx}{\sqrt {x_{0}^{2}-x^{2}}}}\;$»$^,$ faisant intervenir $\;x_{0}\;$ dans la borne supérieure de l'intégrale généralisée ainsi que dans la fonction à intégrer, on pourrait penser que « cette période $\;{\mathcal {T}}\;$ dépende de l'amplitude $\;x_{0}\;$» est la propriété la plus vraisemblable mais il n'en est rien d'après l'expression de la période $\;{\big$propre${\big )}$ $\;{\mathcal {T}}_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {m}{k}}}\;$ dans laquelle $\;x_{0}\;$ n'apparaît pas !
Pour vérifier l'« indépendance de $\;{\mathcal {T}}={\dfrac {4}{\omega _{0}}}\;\displaystyle \int _{0}^{x_{0}}{\dfrac {dx}{\sqrt {x_{0}^{2}-x^{2}}}}\;$$^,$ relativement à $\;x_{0}\;$», on « transforme l'intégrale généralisée $\;\displaystyle \int _{0}^{x_{0}}{\dfrac {dx}{\sqrt {x_{0}^{2}-x^{2}}}}\;$ de façon à faire disparaître $\;x_{0}\;$ de la fonction à intégrer », ce qui entraînera aussi, comme il y a isochronisme des oscillations, la disparition de $\;x_{0}\;$ des bornes d'intégration :
pour cela « on met $\;x_{0}\;$ en facteur dans le dénominateur de la fonction à intégrer » selon «$\;\displaystyle \int _{0}^{x_{0}}{\dfrac {dx}{x_{0}\;{\sqrt {1-\left({\dfrac {x}{x_{0}}}\right)^{\!\!2}}}}}=\displaystyle \int _{x=0}^{x=x_{0}}{\dfrac {d\!\left({\dfrac {x}{x_{0}}}\right)}{\sqrt {1-\left({\dfrac {x}{x_{0}}}\right)^{\!\!2}}}}\;$» soit, en posant «$\;u={\dfrac {x}{x_{0}}}\;$», l'expression de la période sous forme intégrale utilisant la nouvelle variable «$\;{\mathcal {T}}={\dfrac {4}{\omega _{0}}}\;\displaystyle \int _{0}^{1}{\dfrac {du}{\sqrt {1-u^{2}}}}\;$»$^,$ vérifiant effectivement la propriété d'« isochronisme des oscillations » ;
parallèlement le calcul de l'intégrale généralisée $\;\displaystyle \int _{0}^{1}{\dfrac {du}{\sqrt {1-u^{2}}}}\;$ peut être achevé sachant que «$\;{\dfrac {1}{\sqrt {1-u^{2}}}}\;$ admet pour primitive $\;\arcsin(u)\;$» ce qui implique «$\;\displaystyle \int _{0}^{1}{\dfrac {du}{\sqrt {1-u^{2}}}}=\left[\arcsin(u)\right]_{0}^{1}$ $=\arcsin(1)-\arcsin(0)={\dfrac {\pi }{2}}\;$» et par suite «$\;{\mathcal {T}}={\dfrac {4}{\omega _{0}}}\;{\dfrac {\pi }{2}}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}\;$» C.Q.F.V..

### En complément : prolongement de l'utilisation du diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un point matériel à mouvement non conservatif sur l'exemple d'un « oscillateur harmonique amorti »

$28$
La présence d'une « force de frottement fluide linéaire $\;{\overrightarrow {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}(t)=-h\;{\vec {V}}_{M}(t)=-h\;{\dot {x}}(t)\;{\vec {u}}_{x}\;$» non conservative agissant sur le point matériel $\;M\;$ d'un pendule élastique horizontal amorti $\;{\big$P.E.H.A.${\big )}\;$ et développant un travail, rend le mouvement du point matériel $\;M\;$ « non conservatif », ce qui nie l'existence d'une intégrale 1ère énergétique pour le P.E.H.A., « l'énergie mécanique de ce dernier $\;E_{m}(t)$ $={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {x}}^{2}\!(t)+{\dfrac {1}{2}}\;k\;x^{2}\!(t)\;$ obéissant alors au théorème de la puissance mécanique » «$\;{\dfrac {dE_{m}}{dt}}(t)={\mathcal {P}}\!\!\left[{\overrightarrow {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}\right]\!\!(t)=\left[-h\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]\cdot {\vec {V}}_{M}(t)=-h\;{\dot {x}}^{2}\!(t)\;$ toujours $\;\leqslant 0\;$».
La courbe d'énergie potentielle $\;(\Gamma _{u})\;$ reste la même que celle tracée dans le diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.E.H.N.A. c.-à-d. une parabole de concavité positive, mais
la cocelle d'énergie mécanique $\;(\Gamma _{m})\;$ n’est plus une droite $\;\parallel \;$ à l'axe des $\;x$ ; « pour la préciser il convient de déterminer la pente de $\;(\Gamma _{m})\;$ au point d'abscisse $\;x(t)\;$» soit «$\;{\dfrac {dE_{m}}{dx}}={\dfrac {dE_{m}}{dt}}\;{\dfrac {dt}{dx}}=$ ${\dfrac {1}{{\dot {x}}(t)}}\;{\dfrac {dE_{m}}{dt}}(t)\;$ ou finalement $\;{\dfrac {dE_{m}}{dx}}(t)=-h\;{\dot {x}}(t)\;$» ; nous en déduisons les propriétés suivantes de la tangente à $\;(\Gamma _{m})\;$ au point générique $\;P_{m}\;$ d'abscisse $\;x(t)$ : la courbe d'énergie mécanique $\;\color {transparent}{(\Gamma _{m})}\;$ $\blacktriangleright \;$elle est $\;\parallel \;$ à l'axe des $\;x\;$ aux points $\;P_{1}^{(n)}\;$ et $\;P_{2}^{(n)}\;$ correspondant à $\;M\;$ à l'arrêt, ces points $\;P_{1}^{(n)}\;$ et $\;P_{2}^{(n)}\;$ étant respectivement les points d'intersection d'abscisse positive et négative des courbes d'énergie potentielle $\;(\Gamma _{u})$ et d'énergie mécanique $\;(\Gamma _{m})$, la courbe d'énergie mécanique $\;\color {transparent}{(\Gamma _{m})}\;$ $\blacktriangleright \;$en tout autre point $\;P_{m}\;$ la pente de la tangente à $\;(\Gamma _{m})\;$ y est $\;\neq 0$, la courbe d'énergie mécanique $\;\color {transparent}{(\Gamma _{m})}\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$en tout autre point $\;\color {transparent}{P_{m}}\;$ elle est « positive quand le paramètre de position $\;x\searrow \;$» c.-à-d. « quand $\;P_{m}\;$ se déplace vers la gauche » et la courbe d'énergie mécanique $\;\color {transparent}{(\Gamma _{m})}\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$en tout autre point $\;\color {transparent}{P_{m}}\;$ elle est « négative quand le paramètre de position $\;x\nearrow \;$» c.-à-d. « quand $\;P_{m}\;$ se déplace vers la droite », enfin la courbe d'énergie mécanique $\;\color {transparent}{(\Gamma _{m})}\;$ $\blacktriangleright \;$« la pente de la tangente à $\;(\Gamma _{m})\;$ est extrémale aux points $\;P_{m}\;$ associés aux instants où la vitesse de $\;M\;$ est de valeur absolue $\;\vert {\dot {x}}(t)\vert \;$ maximale » c.-à-d. « là où l'énergie cinétique du P.E.H.A. $\;K_{M}(t)\;$ est maximale » $\;{\big$cela correspond aussi aux instants tels que «$\;{\overline {P_{u}P_{m}}}(t)\;{\widehat {=}}\;K_{M}(t)\;$ est maximal »${\big ]}$ ; la courbe d'énergie mécanique $\;\color {transparent}{(\Gamma _{m})}\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« suivant la valeur plus ou moins grande de $\;h\;$» $\;{\bigg\!$ou « plus ou moins grande du cœfficient d'amortissement $\;\sigma ={\dfrac {h}{2\;m\;\omega _{0}}}={\dfrac {h\;\omega _{0}}{2\;k}}={\dfrac {h}{2\;{\sqrt {k\;m}}}}\;$»$\!{\bigg )}$, « la valeur absolue de la pente de la tangente à $\;(\Gamma _{m})\;$ est plus ou moins grande » :
$\succ \;$« si $\;\sigma \;$ est relativement grand » $\;{\big$plus précisément « si $\;\sigma \;$ est $\;\geqslant 1\;$»${\big )}$, « la courbe $\;(\Gamma _{m})$, partant de $\;P_{1}\;$ aboutira directement en $\;(x=0\,,\,E_{m}=0)\;$», correspondant à un « régime apériodique ou apériodique critique de $\;M\;$» $\;{\big \$voir les diagrammes d’énergies potentielle et mécanique ci-contre, avec C.I. $\;\left[x(0)=a\,,\right.$ $\,\left.V(0)=0\right]\;$ et cœfficients d'amortissement différents $\;{\big$ou facteurs de qualité différents${\big )}$ $\;\sigma =2$ $\;{\big$ou $\;Q=0,25{\big )}\;$ à gauche et $\;\sigma =1\;$ $\;{\big$ou $\;Q=$ $0,5{\big )}\;$ à droite${\big \}$ ; $\color {transparent}{\succ }\;$dans les cas ci-contre, le retour à la position d'équilibre se fait, à partir de $\;P_{1}$, avec une énergie cinétique faible $\;{\big$dans ces deux cas, «$\;{\overline {P_{u}P_{m}}}(t)\;{\widehat {=}}\;K_{M}(t)\;$ étant petit »${\big ]}\;$ ${\big$et même très faible dans le cas $\;\sigma =2\;$ à gauche${\big )}$ ; $\color {transparent}{\succ }\;$si l'on compare les deux diagrammes d'énergies, c'est dans le cas d'un régime apériodique critique $\;{\big$à droite${\big )}\;$ que le retour à la position d'équilibre $\;x=0\;$ est le plus rapide $\;{\big$il se fait à énergie cinétique plus grande, $\;(\Gamma _{m})\;$ plus « écartée » de $\;(\Gamma _{u}){\big ]}$ ;
$\succ \;$« si $\;\sigma \;$ est relativement faible » $\;{\big$c.-à-d. « si $\;\sigma \;$ est $\;<1\;$»${\big )}$, « la courbe $\;(\Gamma _{m})$, partant de $\;P_{1}\;$ rencontrera $\;(\Gamma _{u})\;$ en $\;P_{2}\;$» $\;{\biggx\searrow \;$ $\Rightarrow$ $\;{\dot {x}}(t)<0\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {dE_{m}}{dx}}>0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;E_{m}\searrow \;$ quand $\;x\searrow {\bigg ]}\;$ puis « repartira dans l'autre sens et rencontrera $\;(\Gamma _{u})\;$ en $\;{P'}_{1}$» $\;{\bigg\;x\nearrow \;$ $\Rightarrow$ $\;{\dot {x}}(t)>0\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {dE_{m}}{dx}}<0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;E_{m}\searrow \;$ quand $\;x\nearrow {\bigg ]}\;$ etc$\ldots$ correspondant à un « régime pseudo-périodique de $\;M\;$» $\;{\big \$ci-contre diagrammes d’énergies potentielle et mécanique avec C.I. $\;\left[x(0)=a\,,\,V(0)=0\right]\;$ et cœfficients d'amortissement différents $\;{\big$ou facteurs de qualité différents${\big )}$ $\;\sigma =0,125\;$ ${\big$ou $\;Q=4{\big )}\;$ à gauche et $\;\sigma =0,0125\;$ ${\big$ou $\;Q=40{\big )}\;$ à droite${\big \}$ ; $\color {transparent}{\succ }\;$dans les cas ci-contre «$\;P_{m}\;$ et $\;P_{u}\;$ partent d'un 1er mûr d'énergie potentielle en $\;P_{1}$, butent sur un 2ème en $\;P_{2}$ puis un 3ème en $\;{P'}_{\!1}$, un 4ème en $\;{P'}_{\!2}\;$ etc$\ldots \;$» $\;{\big$chaque couple de murs d'énergie potentielle $\;\left(P_{1}\,,\,P_{2}\right)$, $\;\left({P'}_{\!1}\,,\,{P'}_{\!2}\right)$, $\;\left({P''}_{\!\!1}\,,\,{P''}_{\!\!2}\right)$ $\ldots \;$ correspondant à une pseudo-oscillation de $\;M{\big ]}$, « l'amplitude de ces pseudo oscillations $\;\searrow \;$ » ; $\color {transparent}{\succ }\;$remarque : « la durée pour aller de $\;P_{1}\;$ à $\;{P'}_{\!1}\;$ via $\;P_{2}\;$, de $\;{P'}_{\!1}\;$ à $\;{P''}_{\!\!1}\;$ via $\;{P'}_{\!2}\;$ ou de $\;{P''}_{\!\!1}\;$ à $\;{P'''}_{\!\!\!1}\;$ via $\;{P''}_{\!\!2}\;\ldots \;$ est la même pour une même valeur de cœfficient d'amortissement $\;\sigma \;$» car chacune correspond à une pseudo-période $\;{\mathcal {T}}={\dfrac {{\mathcal {T}}_{0}}{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\;$ avec $\;{\mathcal {T}}_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}\;$ la période propre du P.E.H.N.A.$^,$, toutefois il est impossible de le montrer par simple étude du diagramme énergétique.

## Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations

$12$

### Écriture de l'intégrale 1ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté

Le P.P.S. $\;{\big$constitué d'une tige rigide, sans masse, de longueur $\;l$, mobile autour de son extrémité fixe $\;O$, l'autre extrémité étant liée à un point matériel $\;M\;$ dont on étudie le mouvement${\big ]}\;$ est à un degré de liberté si les C.I. de lancement sont les conditions
* $\;\left(1{\mathfrak {a}}\right)\;$ à savoir « P.P.S. écarté de $\;\theta _{0}\;$ de sa position d'équilibre stable et lâché sans vitesse initiale » ou
* $\;\left(1{\mathfrak {b}}\right)\;$ à savoir « P.P.S. écarté de $\;\theta _{0}\;$ de sa position d'équilibre stable et lâché avec vitesse initiale dans le plan vertical de lancement ».
Le point matériel $\;M\;$ étant lâché dans les C.I. $\;\left(1{\mathfrak {a}}\right)$, son mouvement est plan dans le plan vertical de lancement ;
on oriente l'axe vertical $\;{\overrightarrow {z'z}}\;$ passant par $\;O\;$ dans le sens$\;\downarrow$, l'origine de cet axe étant le point $\;O\;$ et le sens $\;+\;$ des angles du « plan vertical de lancement » tel que l'élongation angulaire initiale$\;\theta _{0}\;$soit positive, permet de préciser l'orientation de l'« axe $\;\Delta \;$ autour duquel le P.P.S. tourne » selon $\;{\vec {u}}_{\Delta }$ ;
on utilise le « repérage polaire de pôle $\;O\;$ et d'axe polaire $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ pour repérer le point $\;M\;$ dans le plan de son mouvement c.-à-d le plan vertical de lancement », « ses coordonnées polaires étant $\;\left(l\,,\,\theta \right)\;$» et « sa base polaire $\;\left({\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\right)\;$» avec «$\;{\vec {u}}_{r}={\dfrac {\overrightarrow {OM}}{l}}\;$» d'une part et «$\;{\vec {u}}_{\theta }={\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {u}}_{r}\;$»$^,$ d'autre part ;
le point matériel $\;M\;$ étant soumis $\blacktriangleright \;$à son « poids $\;m\;{\vec {g}}=m\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$» force conservative dérivant de l'« énergie potentielle de pesanteur $\;U_{\text{pes}}(M)=$ $m\;g\left(l-z\right)\;$» avec référence en $\;z=l\;$ c.-à-d. à la cote de la position d'« équilibre stable » et le point matériel $\;\color {transparent}{M}\;$ étant soumis $\blacktriangleright \;$à une force non conservative « la tension de la tige $\;{\vec {T}}={\overline {T}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ s'exerçant sur $\;M\;$» « qui ne travaille pas »,
le point matériel $\;\color {transparent}{M}\;$ a un « mouvement conservatif », caractérisé par l’intégrale 1ère énergétique «$\;E_{m}(t)=E_{m,\,0}\;$ avec $\;E_{m}(t)=K_{M}(t)+U_{\text{pes}}(t)=$ ${\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{M}^{\,2}\!(t)+m\;g\left[l-z(t)\right]\;$» et «$\;E_{m,\,0}={\cancel {K_{M}(0)+}}\;U_{\text{pes}}(0)\;$ d'après les C.I. $\;\left(1{\mathfrak {a}}\right)\;$» soit, la cote $\;z\;$ du point $\;M\;$ étant liée à son abscisse angulaire $\;\theta \;$ par $\;z=l\;\cos(\theta )\;$ et son vecteur vitesse étant tangent à sa trajectoire circulaire $\;{\vec {V}}_{M}(t)=V_{\theta }(t)\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ avec $\;V_{\theta }(t)=l\;{\dot {\theta }}(t)$, d'où le point matériel $\;\color {transparent}{M}\;$ a un « mouvement conservatif », la réécriture de l'intégrale 1ère énergétique du point $\;M$ «$\;E_{m}(t)=E_{m,\,0}\;$» selon le point matériel $\;\color {transparent}{M}\;$ a un « mouvement conservatif », «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+m\;g\;l\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace =m\;g\;l\left[1-\cos \!\left(\theta _{0}\right)\right]\;$ ${\bigM\;$ lancé sous C.I. $\;\left(1{\mathfrak {a}}\right)\;$${\big ]}\;$ le point matériel $\;\color {transparent}{M}\;$ a un « mouvement conservatif », et référence de l'énergie potentielle de pesanteur au passage par la “ position d'équilibre stable ” ».

### Diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) « 1a »

Dans un même système d'axes, paramètre de position en abscisse et énergie en ordonnée, on trace les courbes
* d'énergie potentielle $\;(\Gamma _{u})\;$ en bleu ci-contre c.-à-d. l'ensemble des points $\;P_{u}\;$ d'abscisse $\;\theta \;$ et d'ordonnée $\;U_{\text{pes}}(\theta )=$ $m\;g\;l\left[1-\cos(\theta )\right]$ $\;{\bigg(\Gamma _{u})\;$ étant une sinusoïde tracée sur une période de l'intervalle de variation de $\;\theta \;$ à savoir $\;\left[-\pi \,,\,+\pi \right]$, de minimum nul pour $\;\theta =0\;$ et de maxima $\;2\;m\;g\;l\;$ pour $\;\theta =\pm \pi$, la valeur moyenne $\;m\;g\;l\;$ étant obtenue pour $\;\theta =$ $\pm {\dfrac {\pi }{2}}{\bigg ]}\;$ et
* d'énergie mécanique $\;(\Gamma _{m})\;$ en rouge ci-contre c.-à-d. l'ensemble des points $\;P_{m}\;$ d'abscisse $\;\theta \;$ et d'ordonnée $\;E_{m}(\theta )=$ $E_{m,\,0}=m\;g\;l\left[1-\cos(\theta _{0})\right]$ $\;{\bigg(\Gamma _{m})\;$ étant une droite $\;\parallel \;$ à l'axe des $\;\theta \;$ d'ordonnée $\;E_{m,\,0}=$ ${\dfrac {3}{2}}\;m\;g\;l\;$ l'élongation angulaire initiale étant $\;\theta _{0}={\dfrac {2\;\pi }{3}}\;$ avec une vitesse angulaire initiale nulle${\bigg ]}$.

### Présence de deux murs d'énergie potentielle : trajectoire du point matériel cinétiquement bornée

On observe, sur le diagramme d'énergies potentielle et mécanique ci-contre, la présence de deux murs d'énergie potentielle délimitant les domaines d'élongations angulaires interdites tels que $\;U_{\text{pes}}\ngtr E_{m,\,0}$,
* l'un correspondant à $\;P_{0}\;$ position commune initiale des points génériques $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ d'abscisse angulaire $\;\theta _{0}\;$ et
* l'autre correspond à $\;{P'}_{0}\;$ position symétrique de $\;P_{0}\;$ par rapport à l'axe des énergies, d'abscisse angulaire $\;{\theta '}_{0}=-\theta _{0}$ ;
ces deux murs d'énergie potentielle interdisent les domaines $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}\theta \!\!&<&\!\!{\theta '}_{\!0}=-\theta _{0}\\\theta \!\!&>&\!\!\theta _{0}\end{array}}\right\rbrace \;$ pour la variation de l'abscisse angulaire du point matériel $\;M\;$ ceci entraînant que $\;M\;$ a une trajectoire cinétiquement bornée, le domaine de variation de son abscisse angulaire étant un intervalle à bornes finies à savoir $\;\left[{\theta '}_{0}=-\theta _{0}\;,\;\theta _{0}\right]$ $\;{\big \$le point matériel $\;M\;$ est donc dans un état lié $\;{\big$ceci correspondant à un déplacement possible des points génériques $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ des courbes $\;(\Gamma _{u})\;$ et $\;(\Gamma _{m})\;$ entre les deux murs d'énergie potentielle ou, ce qui est équivalent, dans une cuvette$\;{\big$ou puits${\big )}\;$d'énergie potentielle${\big ]}{\big \}$.

### Détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté « par diagramme énergétique »

Préliminaire : La nature oscillatoire n'a pas été établie mais simplement vérifiée dans le chap.$12$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », Préliminaire : vérifications numérique par résolution numérique de l'équation différentielle du mouvement du P.P.S.N.A.$^,$ ou Préliminaire : vérifications graphique par tracé de portraits de phase correspondants, Préliminaire : nous nous proposons de la vérifier de nouveau graphiquement par diagramme d'énergies potentielle et mécanique $\;{\big$tracé dans un paragraphe précédent${\big )}$.
$\;\succ \;$Les C.I. étant telles que $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ sont initialement confondus en $\;P_{0}\;$ sur le mur d'énergie potentielle de droite $\;\theta =\theta _{0}$, la présence du mur interdisant la $\;\nearrow \;$ de $\;\theta$, nous en déduisons que «$\;\theta \;$ reste constant ou $\;\searrow \;$» ;
$\;\color {transparent}{\succ }\;$or $\;\theta =\theta _{0}\;$ qui correspond à une position d'arrêt « n'étant pas une position d’équilibre », $\;\theta \;$ ne peut rester constant et par suite $\;\searrow \;$ strictement, les points génériques $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ du diagramme d'énergies potentielle et mécanique se déplaçant en s'éloignant du mur d'énergie potentielle de droite $\;{\big$c.-à-d. vers la gauche${\big )}\;\ldots$
$\;\succ \;$ces déplacements simultanés engendrant d'abord une $\;\nearrow \;$ continue de $\;{\overline {P_{u}P_{m}}}\;{\widehat {=}}\;K(M)\;$ jusqu'au passage de $\;P_{m}\;$ par $\;P_{e}\;$ puis une $\;\searrow \;$ continue jusqu'à atteindre la valeur nulle lorsque $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ se rejoignent en $\;{P'}_{\!0}\;$ point commun du mur d'énergie potentielle de gauche $\;\theta =$ ${\theta '}_{\!0}=-\theta _{0}$, la présence de ce mur interdisant la $\;\searrow \;$ de $\;\theta$, nous en déduisons que «$\;\theta \;$ reste constant ou $\;\nearrow \;$» ;
$\;\color {transparent}{\succ }\;$or $\;\theta ={\theta '}_{\!0}=-\theta _{0}\;$ qui correspond à une position d'arrêt « n'étant pas une position d’équilibre », $\;\theta \;$ ne peut rester constant et par suite $\;\nearrow \;$ strictement, les points génériques $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ du diagramme d'énergies potentielle et mécanique se déplaçant en s'éloignant du mur d'énergie potentielle de gauche $\;{\big$c.-à-d. vers la droite${\big )}$ $\;\ldots$
$\;\succ \;$ces déplacements simultanés engendrant d'abord une $\;\nearrow \;$ continue de $\;{\overline {P_{u}P_{m}}}\;{\widehat {=}}\;K(M)\;$ jusqu'au nouveau passage de $\;P_{m}\;$ par $\;P_{e}\;$ puis une $\;\searrow \;$ continue jusqu'à atteindre la valeur nulle lorsque $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ se rejoignent en $\;P_{0}\;$ point commun du mur d'énergie potentielle de droite $\;\theta =\theta _{0}$, la présence de ce mur interdisant la $\;\nearrow \;$ de $\;\theta$, nous en déduisons que «$\;\theta \;$ reste constant ou $\;\searrow \;$», ce qui, correspondant exactement à la situation initiale, permet de déduire que ces déplacements simultanés de $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ se poursuivent à l'infini $\;{\big$en absence d'amortissements${\big )}\;$ de façon identique $\;\ldots$

### Détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et expression de la période sous forme intégrale

Préliminaire : La nature périodique n'a pas été établie mais simplement vérifiée simultanément à la nature oscillatoire dans le chap.$12$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » Préliminaire : par résolution numérique de l'équation différentielle du mouvement du P.P.S.N.A.$^,$ $\;{\big$par contre le tracé des portraits de phase n'apporte aucune information${\big )}$, Préliminaire : nous nous proposons de l'établir en utilisant simultanément l'intégrale 1ère énergétique et de son diagramme d'énergies potentielle et mécanique.
Pour déterminer la nature périodique du mouvement du P.P.S.N.A. par utilisation simultanée de son intégrale 1ère énergétique et de son diagramme d'énergies potentielle et mécanique, il faut « montrer que la durée correspondant au nème aller-retour des points $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ sur $\;(\Gamma _{u})\;$ et $\;(\Gamma _{m})\;$ de $\;P_{0}\rightarrow {P'}_{\!0}\rightarrow P_{0}\;$ est indépendant du numéro $\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$ de l'aller-retour » :
on utilise d'abord l'« intégrale 1ère énergétique du mouvement du P.P.S.N.A. $\;E_{m}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+m\;g\;l\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace =E_{m,\,0}\;$ avec les mêmes C.I. que précédemment $\;E_{m,\,0}=$ $m\;g\;l\,\left[1-\cos(\theta _{0})\right]\;$», «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+m\;g\;l\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace =m\;g\;l\,\left[1-\cos(\theta _{0})\right]\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)={\dfrac {2\;g}{l}}\,\left\lbrace \cos \!\left[\theta (t)\right]-\cos(\theta _{0})\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;{\dot {\theta }}(t)={\dfrac {d\theta }{dt}}(t)=$ $\pm {\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\,\left\lbrace \cos \!\left[\theta (t)\right]-\cos(\theta _{0})\right\rbrace }}\;$» d'où on utilise d'abord l'« intégrale 1ère énergétique « la durée élémentaire $\;dt\;$ correspondant à une variation élémentaire $\;d\theta \;$ de l'abscisse angulaire $\;\theta \;$ du point $\;M\;$» s'écrit on utilise d'abord l'« intégrale 1ère énergétique « la durée élémentaire «$\;dt=\pm {\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\,\left\lbrace \cos \!\left[\theta (t)\right]-\cos(\theta _{0})\right\rbrace }}}\;$»$^,$ ;
on utilise dans un 2ème temps le diagramme d'énergies potentielle et mécanique pour faire le choix entre $\;+\;$ et $\;-\;$ suivant le sens de déplacement des points $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ entre les deux murs d'énergie potentielle $\;{\big \$soit encore leur sens de déplacement dans la cuvette $\;{\big$ou puits${\big )}\;$ d'énergie potentielle${\big \}$ :
on utilise dans un 2ème temps $\;\succ \;$pour le nème aller des points $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ de $\;P_{0}\;$ à $\;{P'}_{\!0}$, $\;\theta \searrow \;$ d'où $\;d\theta \;$ correspondant à $\;dt>0\;$ est $\;<0\;$ $\Rightarrow$ «$\;dt=-{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\,\left\lbrace \cos \!\left[\theta (t)\right]-\cos(\theta _{0})\right\rbrace }}}\;$», on utilise dans un 2ème temps $\;\color {transparent}{\succ }\;$la durée totale du nème aller s'obtenant alors par intégration selon «$\;\Delta t_{P_{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,{P'}_{\!0}}=\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{-\theta _{0}}-{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}}=\displaystyle \int _{-\theta _{0}}^{\theta _{0}}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}}\;$ ;
on utilise dans un 2ème temps $\;\succ \;$pour le nème retour des mêmes points de $\;{P'}_{\!0}\;$ à $\;P_{0}$, $\;\theta \nearrow \;$ d'où $\;d\theta \;$ correspondant à $\;dt>0\;$ est $\;>0\;$ $\Rightarrow$ «$\;dt={\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\,\left\lbrace \cos \!\left[\theta (t)\right]-\cos(\theta _{0})\right\rbrace }}}\;$», on utilise dans un 2ème temps $\;\color {transparent}{\succ }\;$la durée totale du nème retour s'obtenant aussi par intégration selon «$\;\Delta t_{{P'}_{\!0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,P_{0}}=\displaystyle \int _{-\theta _{0}}^{\theta _{0}}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\,\left\lbrace \cos \!\left[\theta (t)\right]-\cos(\theta _{0})\right\rbrace }}}=\Delta t_{P_{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,{P'}_{\!0}}\;$» ;
on déduit de ce qui précède la durée de la nème oscillation du point $\;M$, «$\;\Delta t_{P_{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,{P'}_{\!0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,P_{0}}=\Delta t_{P_{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,{P'}_{\!0}}+\Delta t_{{P'}_{\!0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,P_{0}}=2\;\Delta t_{P_{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,{P'}_{\!0}}\;$» soit finalement on déduit de ce qui précède la durée de la nème oscillation «$\;\Delta t_{P_{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,{P'}_{\!0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,P_{0}}=2\;\displaystyle \int _{-\theta _{0}}^{\theta _{0}}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}}\;$ indépendante de $\;n\;$» on déduit de ce qui précède la durée de la nème oscillation $\;{\big$la fonction à intégrer ainsi que les bornes d'intégration en étant indépendantes${\big )}$, on déduit de ce qui précède la durée de la nème oscillation ce qui établit la nature périodique du mouvement d'oscillations du P.P.S.N.A. $\;M$.
La période $\;{\mathcal {T}}\;$ du mouvement d'oscillations du P.P.S.N.A. $\;M\;$ étant la durée d'un aller-retour des points $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ de $\;P_{0}\;$ à $\;P_{0}\;$ en passant par $\;{P'}_{\!0}$, s'obtient par l'intégrale suivante
$\;{\mathcal {T}}=\Delta t_{P_{0}\,\rightarrow \,{P'}_{0}\,\rightarrow \,P_{0}}=2\;\displaystyle \int _{-\theta _{0}}^{\theta _{0}}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}}=4\;\displaystyle \int _{0}^{\theta _{0}}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}}\;$
$\;{\mathcal {T}}=4\;{\sqrt {\dfrac {l}{g}}}\;\displaystyle \int _{0}^{\theta _{0}}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {2\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}}={\mathcal {T}}_{0}\;{\dfrac {2}{\pi }}\;\displaystyle \int _{0}^{\theta _{0}}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {2\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}}\;$
$\;{\mathcal {T}}_{0}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {l}{g}}}\;$
Remarque : L'intégrale généralisée $\;\displaystyle \int _{0}^{\theta _{0}}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {2\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}}\;$ n'est pas algébriquement calculable avec les fonctions usuelles, on utilise un logiciel de calcul $\;{\big$par exemple Scilab${\big )}\;$ pour l'évaluer numériquement avec n'importe quelle valeur numérique de $\;\theta _{0}$.

### Absence d'isochronisme des oscillations

$12$
Au regard de l'expression de la période d'oscillations du P.P.S.N.A. écrite sous forme intégrale «$\;{\mathcal {T}}={\mathcal {T}}_{0}\;{\dfrac {2}{\pi }}\;\displaystyle \int _{0}^{\theta _{0}}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {2\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}}\;$$^,$ avec $\;{\mathcal {T}}_{0}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {l}{g}}}\;$ période des petites élongations angulaires$^,$ du P.P.S.N.A. » faisant intervenir $\;\theta _{0}\;$ dans la borne supérieure de l'intégrale généralisée ainsi que dans la fonction à intégrer, Au regard de l'expression de la période d'oscillations du P.P.S.N.A. on ne peut affirmer que « cette période $\;{\mathcal {T}}\;$ dépende effectivement de l'amplitude $\;\theta _{0}\;$» car il pourrait y avoir un effet de compensation comme cela se produit dans l'expression de la période sous forme intégrale d'un P.E.H.N.A. $\;{\mathcal {T}}={\dfrac {4}{\omega _{0}}}\;\displaystyle \int _{0}^{x_{0}}{\dfrac {dx}{\sqrt {x_{0}^{2}-x^{2}}}}\;$$^,$$^,$ ;
pour pouvoir affirmer que « la période d'oscillation sous forme intégrale $\;{\mathcal {T}}={\mathcal {T}}_{0}\;{\dfrac {2}{\pi }}\;\displaystyle \int _{0}^{\theta _{0}}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {2\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}}\;$ d'un P.P.S.N.A. dépend effectivement de l'amplitude $\;\theta _{0}\;$», on choisit d'éliminer $\;\theta _{0}\;$ des bornes d'intégration en s'attendant à ce que $\;\theta _{0}\;$ reste dans la fonction à intégrer et, si ceci se produit, cela démontre l'effective dépendance de la période d'oscillations avec l'amplitude $\;\theta _{0}$ ;
pour pouvoir affirmer la présence de la racine carrée de l'expression $\;\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\;$ suggère de passer en angle moitié par utilisation de «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\cos(\theta )=1-2\;\sin ^{2}\!\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\\\cos(\theta _{0})=1-2\;\sin ^{2}\!\!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$» dont on déduit «$\;\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})$ $=2\left[\sin ^{2}\!\!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)-\sin ^{2}\!\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\right]\;$» d'où «$\;{\sqrt {2\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}=2\;{\sqrt {\sin ^{2}\!\!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)-\sin ^{2}\!\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}\;$» dans laquelle «$\;\vert \theta \vert \leqslant \theta _{0}<\pi \;$ $\Rightarrow$ $\;{\Bigg \vert }{\dfrac {\theta }{2}}{\Bigg \vert }\leqslant {\dfrac {\theta _{0}}{2}}<{\dfrac {\pi }{2}}\;$» dont une conséquence étant «$\;{\Bigg \vert }\sin \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right){\Bigg \vert }\leqslant \sin \!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)\;$» permet de choisir une « nouvelle variable $\;u\;$ telle que $\;\sin(u)={\dfrac {\sin \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}{\sin \!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)}}\;$» d'où «$\;{\sqrt {2\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}=2\;\sin \!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)\,{\sqrt {1-\sin ^{2}(u)}}\;$» soit encore «$\;{\sqrt {2\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}$ $=2\;\sin \!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)\,\vert \cos(u)\vert \;$» avec surtout « des valeurs de bornes d'intégration pour $\;u\;$ indépendantes de $\;\theta _{0}\;$» car à «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\theta =0&{\text{correspond}}&u=0\\\theta =\theta _{0}&&u={\dfrac {\pi }{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$», d'où, $\;u\;$ étant aigu, la réécriture de l'expression «$\;{\sqrt {2\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}=2\;\sin \!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)\,\cos(u)\;$» ;
pour pouvoir affirmer pour poursuivre le changement de variable « on différencie l'expression $\;\sin(u)={\dfrac {\sin \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}{\sin \!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)}}\;$» soit «$\;\cos(u)\;du={\dfrac {\cos \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right){\dfrac {d\theta }{2}}}{\sin \!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;d\theta ={\dfrac {2\;\sin \!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)\,\cos(u)\;du}{\cos \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}\;$» pour pouvoir affirmer expression dans laquelle il faut éliminer $\;\theta \;$ au profit de $\;u\;$ dans le membre de droite soit, $\;{\dfrac {\theta }{2}}\;$ étant aigu, «$\;\cos \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)={\sqrt {1-\sin ^{2}\!\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}={\sqrt {1-\sin ^{2}\!\!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)\,\sin ^{2}(u)}}\;$» d'où pour pouvoir affirmer l'expression finale de $\;d\theta \;$ en fonction de $\;du$, «$\;d\theta ={\dfrac {2\;\sin \!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)\,\cos(u)}{\sqrt {1-\sin ^{2}\!\!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)\,\sin ^{2}(u)}}}\;du\;$» ;
pour pouvoir affirmer l'intégrale généralisée à transformer se réécrit donc «$\;\displaystyle \int _{0}^{\theta _{0}}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {2\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}}=\displaystyle \int _{u=0}^{u={\frac {\pi }{2}}}{\dfrac {{\dfrac {2\;\sin \left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)\,\cos(u)}{\sqrt {1-\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)\,\sin ^{2}(u)}}}\;du}{2\;\sin \!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)\,\cos(u)}}=\displaystyle \int _{u=0}^{u={\frac {\pi }{2}}}{\dfrac {du}{\sqrt {1-\sin ^{2}\!\!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)\,\sin ^{2}(u)}}}\;$» soit finalement l'expression de la période sous forme intégrale du P.P.S.N.A. avec utilisation de la variable $\;u$, «$\;{\mathcal {T}}={\mathcal {T}}_{0}\;{\dfrac {2}{\pi }}\;\displaystyle \int _{u=0}^{u={\frac {\pi }{2}}}{\dfrac {du}{\sqrt {1-\sin ^{2}\!\!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)\,\sin ^{2}(u)}}}\;$» avec «$\;{\mathcal {T}}_{0}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {l}{g}}}\;$ la période des petites élongations angulaires du P.P.S.N.A.$^,$ », expression intégrale de $\;{\mathcal {T}}\;$ justifiant l'absence d'isochronisme des oscillations du P.P.S.N.A. car «$\;{\mathcal {T}}\;$ dépend effectivement de $\theta _{0}\;$».

### En complément : évaluation numérique de la période et comparaison avec l'« expression approchée de de Borda »

La formule empirique de de Borda d'un P.P.S.N.A. a été introduite dans le paragraphe « expression empirique dite de “de Borda” de la période d'oscillations d'un P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté » du chap.$12$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ; elle s'écrit
$\;{\mathcal {T}}={\mathcal {T}}_{0}\left(1+{\dfrac {\theta _{m}^{\,2}}{16}}\right)\;$
$\;{\mathcal {T}}_{0}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {l}{g}}}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;\theta _{m}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;rad\;$
$\;\lesssim \;$
$\;{\dfrac {5\;\pi }{12}}\;rad=75\,{\text{°}}\;$
$\;1\,\%\;$
Le logiciel de calcul numérique utilisé pour évaluer la période d'un P.P.S.N.A. à partir de l'expression de cette dernière sous forme intégrale et Le logiciel de calcul numérique utilisé pour la comparer à l'expression empirique de « de Borda » Le logiciel de calcul numérique est l'un de ceux proposés par le programme de physique de P.C.S.I. « Scilab », le programme utilisé ainsi que les commentaires immédiats sont donnés ci-dessous :
* si la longueur de la tige du P.P.S.N.A. est $\;l=1,000\;m\;$ dans un champ de pesanteur terrestre d'intensité $\;g=9,81\;m\cdot s^{-2}$, pour une élongation angulaire initiale $\;\theta _{0}={\dfrac {\pi }{3}}\;rad=60\,{\text{°}}\;$ et une vitesse angulaire initiale nulle, les lignes de programme $\;{\big$en noir${\big )}$, les réponses de Scilab $\;{\big$en rouge${\big )}\;$ et mes commentaires entre parenthèses $\;{\big$en bleu${\big )}\;$ donnent :
g = 9.81 ;
L = 1.0 ;
T0 = 2*%pi*sqrt(L/g) T0 = 2.0060667 (période des petites élongations angulaires)
%theta1 = %pi/3 ;
function y = f(u) ; y = 2*T0/%pi/sqrt(1-(sin(%theta1/2))^2*(sin(u))^2) ; endfunction
T1 = integrate('f(u)' , 'u' , 0 , %pi/2) T1 = 2.1528747 (période par calcul d’intégrale)
Tb = T0*(1+(%theta1)^2/16) Tb = 2.1435603 (expression approchée de de Borda)
(T1-Tb)/T1 ans = 0.0043265 (soit 0,43 % d’écart entre la période et l'expression approchée de de Borda) ;
* si la longueur de la tige du P.P.S.N.A. est $\;l=1,000\;m\;$ dans un champ de pesanteur terrestre d'intensité $\;g=9,81\;m\cdot s^{-2}$, pour une élongation angulaire initiale $\;\theta _{0}={\dfrac {2\;\pi }{3}}\;rad=120\,{\text{°}}\;$ et une vitesse angulaire initiale nulle, les lignes de programme $\;{\big$en noir${\big )}$, les réponses de Scilab $\;{\big$en rouge${\big )}\;$ et mes commentaires entre parenthèses $\;{\big$en bleu${\big )}\;$ donnent :
g = 9.81 ;
L = 1.0 ;
T0 = 2*%pi*sqrt(L/g) T0 = 2.0060667 (période des petites élongations angulaires)
%theta2 = 2*%pi/3 ;
function y = g(u) ; y = 2*T0/%pi/sqrt(1-(sin(%theta2/2))^2*(sin(u))^2) ; endfunction
T2 = integrate('g(u)' , 'u' , 0 , %pi/2) T2 = 2.7540898 (période par calcul d’intégrale)
Tb = T0*(1+(%theta2)^2/16) Tb = 2.5560413 (expression approchée de de Borda)
(T2-Tb)/T2 ans = 0.0719107 (soit 7,19 % d’écart entre la période et l'expression approchée de de Borda) ;
* si la longueur de la tige du P.P.S.N.A. est $\;l=1,000\;m\;$ dans un champ de pesanteur terrestre d'intensité $\;g=9,81\;m\cdot s^{-2}$, pour une élongation angulaire initiale $\;\theta _{0}={\dfrac {5\;\pi }{6}}\;rad=150\,{\text{°}}\;$ et une vitesse angulaire initiale nulle, les lignes de programme $\;{\big$en noir${\big )}$, les réponses de Scilab $\;{\big$en rouge${\big )}\;$ et mes commentaires entre parenthèses $\;{\big$en bleu${\big )}\;$ donnent :
g = 9.81 ;
L = 1.0 ;
T0 = 2*%pi*sqrt(L/g) T0 = 2.0060667 (période des petites élongations angulaires)
%theta3 = 5*%pi/6 ;
function y = h(u) ; y = 2*T0/%pi/sqrt(1-(sin(%theta3/2))^2*(sin(u))^2) ; endfunction
T3 = integrate('h(u)' , 'u' , 0 , %pi/2) T3 = 3.5350982 (période par calcul d’intégrale)
Tb = T0*(1+(%theta3)^2/16) Tb = 2.8654019 (expression approchée de de Borda)
(T3-Tb)/T3 ans = 0.1894420 (soit 18,94 % d’écart entre la période et l'expression approchée de de Borda).

### Retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en termes de diagramme d'énergies potentielle et mécanique

Nous avons établi, au paragraphe « approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires » du chap.$12$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », Nous avons établi, que le P.P.S.N.A. à un degré de liberté étudié dans le cas des petites élongations angulaires est un oscillateur harmonique, cette démonstration Nous avons établi utilisant la « 1ère définition d'un oscillateur harmonique à une dimension » à savoir Nous avons établi utilisant la « 1ère définition « un oscillateur harmonique à une dimension est un système physique repéré par un paramètre noté $\;x\;$ obéissant à une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre $\;{\big$homogène${\big )}\;$ en $\;x(t)$ $\;{\big$sans terme du 1er ordre si l'oscillateur n’est pas amorti${\big )}\;$ soit, sous forme normalisée, $\;{\ddot {x}}(t)+\omega _{0}^{\,2}\;x(t)=0\;$» ;
nous avons également vu une « 2ème définition énergétique d’un oscillateur harmonique (équivalente à la 1ère) » au chap.$28$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » à savoir nous avons également vu une « 2ème définition « un oscillateur harmonique est un système physique à un degré de liberté de paramètre d'état noté $\;x\;$ plongé dans un puits d'énergie potentielle parabolique $\;{\big$en absence de grandeur de dissipation, le système physique est “ conservatif ” et l'oscillateur n'est pas amorti${\big )}\;$» ;
il faut donc montrer que la courbe d'énergie potentielle $\;(\Gamma _{u})\;$ se confond avec une parabole dans l'hypothèse des petites oscillations ;
il faut donc montrer dans le cas des petites élongations angulaires obtenues dans les C.I. $\;\left(1.a\right)\;$ où le pendule a été écarté initialement de sa position d'équilibre stable d'un petit angle $\;\theta _{0}\;$ et lâché sans vitesse initiale, les oscillations de faible amplitude $\;\vert \theta _{0}\vert \;$ correspondant à $\;\vert \theta (t)\vert \leqslant \vert \theta _{0}\vert \ll 1,\;\forall \;t$, on peut donc effectuer un « D.L. de $\;\cos(\theta )\;$ au voisinage de $\;0\;$ à l'ordre deux en $\;\theta \;$» selon «$\;\cos(\theta )\simeq 1-{\dfrac {\theta ^{\,2}}{2}}\;$» et en déduire le D.L. au voisinage de $\;\theta =0\;$ au même ordre deux en $\;\theta \;$ de l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.S. à savoir «$\;U_{\text{pes}}(\theta )=m\;g\;l\left[1-\cos(\theta )\right]\simeq$ $m\;g\;l\left[1-\left(1-{\dfrac {\theta ^{\,2}}{2}}\right)\right]\;$» soit «$\;U_{\text{pes}}(\theta )\simeq {\dfrac {1}{2}}\;m\;g\;l\;\theta ^{\,2}\;$ à l'ordre deux en $\;\theta \;$» $\Rightarrow$ la courbe d'énergie potentielle$\;(\Gamma _{u})\;$ est, au voisinage de son minimum, localement parabolique ;
il faut donc montrer nous vérifions donc bien $\;{\big$en terme énergétique${\big )}\;$ que le P.P.S. à un degré de liberté dans les conditions des petites élongations angulaires est un oscillateur harmonique, il faut donc montrer nous vérifions donc bien $\;\color {transparent}{\big$en terme énergétique$\color {transparent}{\big )}\;$ que le P.P.S. à un degré de liberté dans les conditions des petites élongations angulaires $\;(\Gamma _{u})\;$ étant localement parabolique. L'étude par diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté dans les conditions des petites élongations angulaires est alors celle effectuée, plus haut dans ce chapitre, aux paragraphes référencés ci-dessous :
* « diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.E.H.N.A. »,
* « présence de deux murs d'énergie potentielle : trajectoire du point matériel cinétiquement bornée »,
* « détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.E.H.(N.A.) par diagramme énergétique »,
* « détermination de la nature périodique du mouvement du P.E.H.(N.A.) en utilisant l'intégrale 1ère énergétique simultanément au diagramme d'énergies potentielle et mécanique du point M puis expression de la période sous forme intégrale » et
* « isochronisme des oscillations d'un P.E.H.N.A. ».

### Étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. « 1b » par diagramme d'énergies potentielle et mécanique

Dans ce paragraphe on considère les C.I. de lancement $\;1b\;$ du P.P.S.N.A. $\;{\big$toujours constitué d'une tige rigide, sans masse, de longueur $\;l$, mobile autour de son extrémité fixe $\;O$, l'autre extrémité étant liée à un point matériel $\;M\;$ dont on étudie le mouvement${\big ]}\;$ à savoir
* on écarte le P.P.S. de $\;\theta _{0}\;$ de sa position d'« équilibre stable » et
* on le lâche avec un « vecteur vitesse initiale » $\;{\vec {V}}_{0}\;$ de son point $\;M\;$ dans le « plan vertical de lancement » du référentiel d'étude ;
le mouvement du point matériel $\;M\;$ est plan, la trajectoire étant circulaire de centre $\;O\;$ dans le « plan vertical de lancement », la position du point $\;M\;$ dans ce plan étant repérée en polaire de pôle $\;O\;$ et d'axe polaire $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ vertical $\;\downarrow \;$ de ce plan, par son abscisse angulaire $\;\theta ={\widehat {\left({\overrightarrow {Oz}}\,,\,{\overrightarrow {OM}}\right)}}\;$ et le vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}\;$ correspond à une vitesse angulaire initiale $\;{\dot {\theta }}_{0}\neq 0\;$.
En absence de force d'amortissement le mouvement du point matériel $\;M\;$ est encore « conservatif » et l'intégrale 1ère énergétique est toujours vérifiée à savoir
$\;E_{m}(t)=E_{m,\,0}\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}E_{m}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+m\;g\;l\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \\E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}+m\;g\;l\,\left[1-\cos(\theta _{0})\right]\end{array}}\right\rbrace \;$
le tracé du diagramme d'énergies potentielle et mécanique du point $\;M\;$ est donc le même à l'exception du positionnement de la courbe d'énergie mécanique $\;(\Gamma _{m})\;$ par rapport à celle d'énergie potentielle $\;(\Gamma _{u})\;$ et par suite l'existence des murs d'énergie potentielle n'est plus assurée.

#### Condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire

La condition pour que le mouvement de $\;M\;$ soit « oscillatoire » est que les murs d'énergie potentielle existent, ce qui est réalisé si « l'énergie mécanique initiale $\;E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}+m\;g\;l\,\left[1-\cos(\theta _{0})\right]\;$ est $\;<\max \limits _{\left[-\pi \,,\,+\pi \right]}U_{\text{pes}}(\theta )=U_{\text{pes}}(\pm \pi )=$ $m\;g\;l\,\left[1-\cos(\pm \pi )\right]=2\;m\;g\;l\;$ c.-à-d. strictement inférieure au maximum de l'énergie potentielle » soit finalement
$\;E_{m,\,0}<2\;m\;g\;l\;$
on peut en déduire une autre condition $\;{\big$équivalente${\big )}\;$ sur la valeur absolue de la vitesse angulaire initiale $\;\vert {\dot {\theta }}_{0}\vert$, en effet «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}+m\;g\;l\,\left[1-\cos(\theta _{0})\right]<2\;m\;g\;l\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}<2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left\lbrace 2-\left[1-\cos(\theta _{0})\right]\right\rbrace \;$» soit finalement
$\;\vert {\dot {\theta }}_{0}\vert <{\sqrt {2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left[1+\cos(\theta _{0})\right]}}\;$
$\;\theta _{0}={\dfrac {\pi }{2}}\;rad=90\,{\text{°}}\;$
$\;{\dot {\theta }}_{0}={\sqrt {\dfrac {g}{l}}}\;$
« l’amplitude $\;\theta _{m}\;$ d'oscillation $\;{\big$définie par $\;\theta _{m}=\theta (t_{m})>0\;$ et $\;{\dot {\theta }}(t_{m})=0{\big ]}\;$ se détermine par » intégrale 1ère énergétique selon $\;E_{m}(t_{m})=$ ${\cancel {{\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t_{m})}}\;+m\;g\;l\,\left[1-\cos(\theta _{m})\right]=E_{m,\,0}\;$ soit finalement
$\;\theta _{m}=\arccos \!\left[1-{\dfrac {E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}\right]\;$
$\;\theta _{m}=\arccos \!\left[1-{\dfrac {3}{2}}\right]=\arccos \!\left[-{\dfrac {1}{2}}\right]={\dfrac {2\,\pi }{3}}\;rad=120\,{\text{°}}\;$
$\;\theta =\pm \theta _{m}=\pm {\dfrac {2\,\pi }{3}}\;rad=\pm 120\,{\text{°}}\;$
Le mouvement oscillatoire du P.P.S.N.A. lancé dans les C.I. $\;(1.{\mathfrak {b}})\;$ est périodique comme celui du P.P.S.N.A. lancé dans les C.I. $\;(1.{\mathfrak {a}})$, de période, sous forme intégrale, égale à «$\;{\mathcal {T}}=4\;{\sqrt {\dfrac {l}{g}}}\;\displaystyle \int _{0}^{\theta _{m}}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {2\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{m})\right]}}}\;$» ou «$\;{\mathcal {T}}$ $={\mathcal {T}}_{0}\;{\dfrac {2}{\pi }}\;\displaystyle \int _{0}^{\theta _{m}}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {2\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{m})\right]}}}\;$» avec «$\;{\mathcal {T}}_{0}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {l}{g}}}\;$ la période des petites élongations angulaires du P.P.S.N.A. »$^,$, «$\;\theta _{m}\;$ étant l'amplitude des oscillations déterminée par $\;\theta _{m}=$ $\arccos \!\left[1-{\dfrac {E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}\right]\;$ $=\arccos \!\left[\cos(\theta _{0})-{\dfrac {l}{2\;g}}\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}\right]\;$» ;
bien entendu il y a toujours absence d'isochronisme pour la même raison que celle exposée au paragraphe « absence d'isochronisme des oscillations $\;{\big$le P.P.S. y étant lancé dans les C.I. $\;(1.{\mathfrak {a}}){\big ]}\;$ plus haut dans ce chapitre $\;{\big$il suffit pour l'étendre aux C.I. $\;(1.{\mathfrak {b}})\;$ de remplacer $\;\theta _{0}\;$ par $\;\theta _{m}{\big ]}$.

#### Condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif

La condition pour que le mouvement de $\;M\;$ soit « révolutif » est que les murs d'énergie potentielle n'existent pas, La condition pour que le mouvement de $\;\color {transparent}{M}\;$ soit « révolutif » ceci nécessitant que « l'énergie mécanique initiale$\;E_{m,\,0}=$ ${\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}+m\;g\;l\,\left[1-\cos(\theta _{0})\right]\;$ soit $\;>\max \limits _{\left[-\pi \,,\,+\pi \right]}U_{\text{pes}}(\theta )=U_{\text{pes}}(\pm \pi )$ $=m\;g\;l\,\left[1-\cos(\pm \pi )\right]=2\;m\;g\;l\;$ c.-à-d. strictement supérieure au maximum de l'énergie potentielle » soit finalement «$\;E_{m,\,0}>2\;m\;g\;l\;$» ;
on peut en déduire une autre condition $\;{\big$équivalente${\big )}\;$ sur la valeur absolue de la vitesse angulaire initiale $\;\vert {\dot {\theta }}_{0}\vert$, en effet «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}+m\;g\;l\,\left[1-\cos(\theta _{0})\right]>2\;m\;g\;l\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}>2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left\lbrace 2-\left[1-\cos(\theta _{0})\right]\right\rbrace \;$» soit finalement
$\;\vert {\dot {\theta }}_{0}\vert >{\sqrt {2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left[1+\cos(\theta _{0})\right]}}\;$
$\;\theta _{0}={\dfrac {2\;\pi }{3}}\;rad=120\,{\text{°}}\;$
$\;{\dot {\theta }}_{0}=\pm {\sqrt {\dfrac {2\;g}{l}}}\;$
« si $\;{\dot {\theta }}_{0}=\left\lbrace {\begin{array}{l}+{\sqrt {\dfrac {2\;g}{l}}},\;\;{\dot {\theta }}(t)\;{\text{est}}\;>0\\-{\sqrt {\dfrac {2\;g}{l}}},\;\;{\dot {\theta }}(t)\;{\text{est}}\;<0\end{array}}\right\rbrace \;\forall \;t\;$», les points $\;P_{m}\;$ et $\;P_{u}\;$ se déplaçant respectivement sur $\;(\Gamma _{m})\;$ et $\;(\Gamma _{u})\;$ simultanément $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\text{vers la droite, flèches}}\;->\\{\text{ou}}\\{\text{vers la gauche, flèches}}\;<<-\end{array}}\right\rbrace$.
Quel que soit le sens du mouvement révolutif du P.P.S.N.A., son énergie cinétique est :
* « minimale pour $\;\vert \theta \vert \equiv \pi \!\!\!{\pmod {2\;\pi }}\;$» de valeur «$\;K_{\text{min}}=E_{m,\,0}-U_{\text{pes}}(\pi )=E_{m,\,0}-2\;m\;g\;l\;$» soit «$\;K_{\text{min}}=$ ${\dfrac {1}{2}}\;m\;g\;l\;$» dans les C.I. du diagramme ci-contre $\;{\bigg \\theta _{0}={\dfrac {2\;\pi }{3}}\;rad\;$ et $\;{\dot {\theta }}_{0}=\pm {\sqrt {\dfrac {2\;g}{l}}}{\bigg \}$ et
* « maximale pour $\;\theta \equiv 0\!\!\!{\pmod {2\;\pi }}\;$» de valeur «$\;K_{\text{max}}=E_{m,\,0}-U_{\text{pes}}(0)=E_{m,\,0}\;$» soit «$\;K_{\text{min}}={\dfrac {5}{2}}\;m\;g\;l\;$» dans les mêmes C.I. du diagramme ci-dessus $\;{\bigg \\theta _{0}={\dfrac {2\;\pi }{3}}\;rad\;$ et $\;{\dot {\theta }}_{0}=\pm {\sqrt {\dfrac {2\;g}{l}}}{\bigg \}$.
Le mouvement révolutif du P.P.S.N.A. lancé dans les C.I. $\;(1.{\mathfrak {b}})\;$ est périodique, la démonstration se faisant de façon analogue à celle du mouvement oscillatoire d'un P.P.S.N.A. lancé dans les C.I. $\;(1.{\mathfrak {a}})\;$ $\;{\big \$on établit que la durée d'un tour est indépendante du nombre de tours effectués auparavant, cette durée définissant la période de révolution du P.P.S.N.A. sous forme intégrale${\big \}$ ;
Le mouvement révolutif nous supposerons «$\;{\dot {\theta }}_{0}>0\;$ ce qui engendre un mouvement révolutif dans le sens $\;+\;$» :
Le mouvement révolutif nous supposerons «$\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}_{0}>0}\;$ on utilise d'abord l'« intégrale 1ère énergétique du mouvement du P.P.S.N.A. $\;E_{m}(t)=E_{m,\,0}\;$ avec les C.I. $\;(1.b)\;$ assurant un mouvement révolutif $\Rightarrow$ $\;E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}_{0}^{\,2}+m\;g\;l\,\left[1-\cos(\theta _{0})\right]\;$» et l'énergie mécanique à l'instant $\;t\;$ «$\;E_{m}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+m\;g\;l\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$» d'où, « sans expliciter l'énergie mécanique initiale $\;E_{m,\,0}\;$», «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+m\;g\;l\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace =E_{m,\,0}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)={\dfrac {2\;g}{l}}\left\lbrace \cos \!\left[\theta (t)\right]+\left[{\dfrac {E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-1\right]\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;{\dot {\theta }}(t)$ $={\dfrac {d\theta }{dt}}(t)={\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\left\lbrace \cos \!\left[\theta (t)\right]+\left[{\dfrac {E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-1\right]\right\rbrace }}\;$» et par suite on peut exprimer « la durée élémentaire $\;dt\;$ correspondant à une variation élémentaire $\;d\theta \;$ de l'abscisse angulaire $\;\theta \;$ du point $\;M\;$» selon «$\;dt={\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\left\lbrace \cos \!\left[\theta (t)\right]+\left[{\dfrac {E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-1\right]\right\rbrace }}}\;$» ;
Le mouvement révolutif nous supposerons «$\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}_{0}>0}\;$ $\succ \;$pour le 1er aller des points $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ de $\;P_{0}\;$ à $\;P_{1}$, $\;\theta \nearrow \;$ de $\;\theta _{0}\;$ à $\;\theta _{0}+2\;\pi \;$ d'où $\;d\theta \;$ correspondant à $\;dt>0\;$ est $\;>0\;$ et la durée totale du 1er tour s'obtient par intégration selon «$\;\Delta t_{P_{0}\,\rightarrow \,P_{1}}=\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{\theta _{0}+2\,\pi }{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\left\lbrace \cos(\theta )+\left[{\dfrac {E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-1\right]\right\rbrace }}}\;$» ;
Le mouvement révolutif nous supposerons «$\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}_{0}>0}\;$ $\succ \;$pour le nème aller de $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ de $\;P_{n-1}\;$ à $\;P_{n}$, $\;\theta \nearrow \;$ de $\;\theta _{0}+2\;(n-1)\;\pi \;$ à $\;\theta _{0}+2\;n\;\pi \;$ d'où $\;d\theta \;$ correspondant à $\;dt>0\;$ est $\;>0\;$ et la durée totale du nème tour s'obtient par intégration selon «$\;\Delta t_{P_{n-1}\,\rightarrow \,P_{n}}=\displaystyle \int _{\theta _{0}+2\,(n-1)\,\pi }^{\theta _{0}+2\,n\,\pi }{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\left\lbrace \cos(\theta )+\left[{\dfrac {E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-1\right]\right\rbrace }}}\;$» ou encore «$\;\Delta t_{P_{n-1}\,\rightarrow \,P_{n}}=\Delta t_{P_{0}\,\rightarrow \,P_{1}}\;$» $\;{\big$la fonction à intégrer étant $\;2\,\pi$-périodique et les bornes d'intégration différant respectivement d'un même multiple de $\;2\;\pi \;$${\big )}$ ;
Le mouvement révolutif nous supposerons «$\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}_{0}>0}\;$ « la durée d'un tour étant indépendante du nombre de tours effectués auparavant », le mouvement révolutif du P.P.S.N.A. est périodique.
Le mouvement révolutif La période $\;{\mathcal {T}}\;$ du mouvement révolutif de $\;M\;$ étant la durée d'un aller des points $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ de $\;P_{0}\;(\theta _{0})\;$ à $\;P_{1}\;(\theta _{0}+2\;\pi )\;$ elle s'écrit
$\;{\mathcal {T}}=\Delta t_{P_{0}\,\rightarrow \,P1}=\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{\theta _{0}+2\,\pi }{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\left\lbrace \cos(\theta )+\left[{\dfrac {E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-1\right]\right\rbrace }}}={\sqrt {\dfrac {l}{2\;g}}}\;\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{\theta _{0}+2\,\pi }{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-\left[1-\cos(\theta )\right]}}}\;$
$\;{\mathcal {T}}={\sqrt {\dfrac {l}{4\;g}}}\;\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{\theta _{0}+2\,\pi }{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;l}}-\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}}={\dfrac {{\mathcal {T}}_{0}}{2\;\pi }}\;\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{\theta _{0}+\pi }{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;l}}-\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}}\;$
$\;{\mathcal {T}}_{0}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {l}{g}}}\;$
$\;{\mathcal {T}}={\dfrac {{\mathcal {T}}_{0}}{2\;\pi }}\;\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;l}}-\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}}\;$
$\;{\dot {\theta }}_{0}\;$
$\;{\big$
${\big )}$
Remarque : L'intégrale $\;\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;l}}-\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}}\;$ n'est pas algébriquement calculable avec les fonctions usuelles, on utilise un logiciel de calcul $\;{\big$par exemple Scilab${\big )}\;$ pour l'évaluer numériquement avec n'importe quelle valeur de l'énergie mécanique initiale $\;E_{m,\,0}>2\;m\;g\;l\;$ ou de la quantité sans dimension $\;\alpha ={\dfrac {E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;l}}>1\;$ permettant un mouvement révolutif ;
Remarque : le logiciel de calcul numérique utilisé pour évaluer la période d'un P.P.S.N.A. à partir de l'expression de cette dernière sous forme intégrale Remarque : le logiciel de calcul numérique est l'un de ceux proposés par le programme de physique de P.C.S.I. « Scilab », voir ci-dessous le programme utilisé et les commentaires immédiats :
Remarque : $\succ \;$si la longueur de la tige du P.P.S.N.A. est $\;l=1,000\;m\;$ dans un champ de pesanteur terrestre d'intensité $\;g=9,81\;m\cdot s^{-2}$, pour une élongation angulaire initiale $\;\theta _{0}={\dfrac {2\;\pi }{3}}\;rad$ $=120\,{\text{°}}\;$ et une vitesse angulaire initiale $\;{\dot {\theta }}_{0}={\sqrt {\dfrac {2\;g}{l}}}\;$ $\Rightarrow$ $\;K_{0}=m\;g\;l\;$ et $\;E_{m,\,0}={\dfrac {5}{2}}\;m\;g\;l$, les lignes de programme $\;{\big$en noir${\big )}$, les réponses de Scilab $\;{\big$en rouge${\big )}\;$ et mes commentaires entre parenthèses $\;{\big$en bleu${\big )}\;$ donnent :
Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$g = 9.81 ;
Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$L = 1.0 ;
Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$m = 1 ;
Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$T0 = 2*%pi*sqrt(L/g) T0 = 2.0060667 (période des petites élongations angulaires en s)
Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$%theta1 = 2*%pi/3 ;
Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$K1 = m*g*L K1 = 9.81 (énergie cinétique initiale en J)
Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$%varpi1 = sqrt(2*K1/m/L^2) %varpi1 = 4.4294469 (vitesse angulaire initiale en rad.s$^{-1}$)
Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$U1 = m*g*L*(1 – cos(%theta1)) U1 = 14.715 (énergie potentielle initiale en J)
Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$E1 = K1 + U1 E1 = 24.525 (énergie mécanique initiale en J)
Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$%alpha1 = E1/(2*m*g*L) %alpha1 = 1.25 (grandeur sans dimension traduisant l'énergie mécanique initiale en proportion de celle traduisant la frontière entre mouvement révolutif et oscillatoire)
Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$function y = f(%theta) ; y = T0/(2*%pi)/sqrt(%alpha1-sin(%theta/2)^2) ; endfunction
Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$T1 = integrate('f(%theta)' , '%theta' , 0 , %pi) T1 = 1.289174 (période en s par calcul d'intégrale) ;
Remarque : $\succ \;$si la longueur de la tige du P.P.S.N.A. est $\;l=1,000\;m\;$ dans un champ de pesanteur terrestre d'intensité $\;g=9,81\;m\cdot s^{-2}$, pour une élongation angulaire initiale $\;\theta _{0}={\dfrac {2\;\pi }{3}}\;rad$ $=120\,{\text{°}}\;$ et une vitesse angulaire initiale $\;{\dot {\theta }}_{0}=2\;{\sqrt {\dfrac {g}{l}}}\;$ $\Rightarrow$ $\;K_{0}=2\;m\;g\;l\;$ et $\;E_{m,\,0}={\dfrac {7}{2}}\;m\;g\;l$, les lignes de programme $\;{\big$en noir${\big )}$, les réponses de Scilab $\;{\big$en rouge${\big )}\;$ et mes commentaires entre parenthèses $\;{\big$en bleu${\big )}\;$ donnent :
Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$g = 9.81 ;
Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$L = 1.0 ;
Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$m = 1 ;
Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$T0 = 2*%pi*sqrt(L/g) T0 = 2.0060667 (période des petites élongations angulaires en s)
Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$%theta2 = 2*%pi/3 ;
Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$K2 = 2*m*g*L K2 = 19.62 (énergie cinétique initiale en J)
Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$%varpi2 = sqrt(2*K2/m/L^2) %varpi2 = 6.2641839 (vitesse angulaire initiale en rad.s$^{-1}$)
Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$U2 = m*g*L*(1 – cos(%theta2)) U2 = 14.715 (énergie potentielle initiale en J)
Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$E2 = K2 + U2 E2 = 34.335 (énergie mécanique initiale en J)
Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$%alpha2 = E2/(2*m*g*L) %alpha2 = 1.75 (grandeur sans dimension traduisant l'énergie mécanique initiale en proportion de celle traduisant la frontière entre mouvement révolutif et oscillatoire)
Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$function y = g(%theta) ; y = T0/(2*%pi)/sqrt(%alpha2-sin(%theta/2)^2) ; endfunction
Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$T2 = integrate('g(%theta)' , '%theta' , 0 , %pi) T2 = 0.9267048 (période en s par calcul d'intégrale) ;
Remarque : $\succ \;$si la longueur de la tige du P.P.S.N.A. est $\;l=1,000\;m\;$ dans un champ de pesanteur terrestre d'intensité $\;g=9,81\;m\cdot s^{-2}$, pour une élongation angulaire initiale $\;\theta _{0}={\dfrac {2\;\pi }{3}}\;rad$ $=120\,{\text{°}}\;$ et une vitesse angulaire initiale $\;{\dot {\theta }}_{0}=\left({\sqrt {\dfrac {g}{l}}}\right)^{\!+}\;$ $\Rightarrow$ $\;K_{0}=\left({\dfrac {1}{2}}\;m\;g\;l\right)^{\!+}\;$ et $\;E_{m,\,0}=\left(2\;m\;g\;l\right)^{+}$, les lignes de programme $\;{\big$en noir${\big )}$, les réponses de Scilab $\;{\big$en rouge${\big )}\;$ et mes commentaires entre parenthèses $\;{\big$en bleu${\big )}\;$ donnent :
Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$g = 9.81 ;
Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$L = 1.0 ;
Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$m = 1 ;
Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$T0 = 2*%pi*sqrt(L/g) T0 = 2.0060667 (période des petites élongations angulaires en s)
Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$%theta3 = 2*%pi/3 ;
Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$K3 = 0.5001*m*g*L K3 = 4.905981 (énergie cinétique initiale en J)
Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$%varpi3 = sqrt(2*K3/m/L^2) %varpi3 = 3.1324051 (vitesse angulaire initiale en rad.s$^{-1}$)
Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$U3 = m*g*L*(1 – cos(%theta3)) U3 = 14.715 (énergie potentielle initiale en J)
Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$E3 = K3 + U3 E3 = 19.620981 (énergie mécanique initiale en J)
Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$%alpha3 = E3/(2*m*g*L) %alpha3 = 1.00005 (grandeur sans dimension traduisant l'énergie mécanique initiale en proportion de celle traduisant la frontière entre mouvement révolutif et oscillatoire)
Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$function y = h(%theta) ; y = T0/(2*%pi)/sqrt(%alpha3-sin(%theta/2)^2) ; endfunction
Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$T3 = integrate('h(%theta)' , '%theta' , 0 , %pi) T3 = 4.0471171 (période en s par calcul d'intégrale).
Remarque : Commentaires : Plus l'énergie mécanique initiale est grande, plus la période est courte : Remarque : Commentaires : pour «$\;E_{m,\,0}=2,5\;m\;g\;l\;$», «$\;{\mathcal {T}}\simeq 1,29\;s\;$», Remarque : Commentaires : pour «$\;E_{m,\,0}=3,5\;m\;g\;l>2,5\;m\;g\;l\;$», «$\;{\mathcal {T}}\simeq 0,93\;s$ $<1,29\;s\;$», Remarque : Commentaires : pour «$\;E_{m,\,0}=2,001\;m\;g\;l<2,5\;m\;g\;l\;$», «$\;{\mathcal {T}}\simeq 4,05\;s>1,29\;s\;$» et enfin Remarque : Commentaires : quand «$\;E_{m,\,0}\rightarrow 2\;m\;g\;l\;$», «$\;{\mathcal {T}}\rightarrow \infty \;$».

#### Condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable

La condition pour que le mouvement de $\;M\;$ s'arrête en une « position d'équilibre instable » $\;\theta \equiv \pi \!\!{\pmod {2\;\pi }}\;$ est que « les deux murs d'énergie potentielle coïncident avec $\;\theta =\pm \pi \;$» c.-à-d. que « l'énergie mécanique initiale $\;E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}+m\;g\;l\,\left[1-\cos(\theta _{0})\right]\;$ soit égale au maximum de l'énergie potentielle $\;\max \limits _{\left[-\pi \,,\,+\pi \right]}U_{\text{pes}}(\theta )=$ $U_{\text{pes}}(\pm \pi )=m\;g\;l\,\left[1-\cos(\pm \pi )\right]=2\;m\;g\;l\;$» soit la réécriture de la condition pour que le mouvement de $\;M\;$ s'arrête en une « position d'équilibre instable » «$\;E_{m,\,0}=2\;m\;g\;l\;$» ;
détermination de la condition $\;{\big$équivalente${\big )}\;$ sur la vitesse angulaire initiale $\;\vert {\dot {\theta }}_{0}\vert$ : «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}+m\;g\;l\,\left[1-\cos(\theta _{0})\right]=2\;m\;g\;l\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}=2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left\lbrace 2-\left[1-\cos(\theta _{0})\right]\right\rbrace \;$» soit finalement
$\;{\dot {\theta }}_{0}=\pm {\sqrt {2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left[1+\cos(\theta _{0})\right]}}\;$
$\;\theta _{0}={\dfrac {2\;\pi }{3}}\;rad=120\,{\text{°}}\;$
$\;{\dot {\theta }}_{0}=\pm {\sqrt {\dfrac {g}{l}}}\;$
si «$\;{\dot {\theta }}_{0}=\left\lbrace {\begin{array}{c}+{\sqrt {\dfrac {g}{l}}},\;\;{\dot {\theta }}(t)\;{\text{est}}\;>0\\-{\sqrt {\dfrac {2\;g}{l}}},\;\;{\dot {\theta }}(t)\;{\text{est}}\;<0\end{array}}\right\rbrace \;\forall \;t\;<\;t_{\text{arrêt}}\;$», les points $\;P_{m}\;$ et $\;P_{u}\;$ se déplacent respectivement sur $\;(\Gamma _{m})\;$ et $\;(\Gamma _{u})\;$ simultanément $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\text{vers la droite jusqu'à }}\;\theta _{\text{arrêt}}=+\pi \\{\text{ou}}\\{\text{vers la gauche jusqu'à }}\;\theta _{\text{arrêt}}=-\pi \end{array}}\right\rbrace$.

### En complément : prolongement de l'utilisation du diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un point matériel à mouvement non conservatif sur l'exemple d'un « pendule pesant simple amorti (P.P.S.A.) à un degré de liberté »

Voir aussi les paragraphes du chap.$12$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » : $\succ \;$« en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. 1a ou 1b »,  Voir aussi les paragraphes du chap.$\color {transparent}{12}$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » : $\succ \;$« en complément, mise en équation du P.P.S.A. »,  Voir aussi les paragraphes du chap.$\color {transparent}{12}$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » : $\succ \;$« en complément, P.P.S.A. dans le cadre des petites élongations angulaires » et  Voir aussi les paragraphes du chap.$\color {transparent}{12}$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » : $\succ \;$« en complément, allure des portraits de phase d'un P.P.S.A. lancé dans les C.I. 1b U 1a ».
La présence d'une force de frottement fluide linéaire «$\;{\overrightarrow {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}(t)=-h\;{\vec {V}}_{M}(t)=-h\;l\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }\;$» non conservative agissant sur le point matériel $\;M\;$ d'un pendule pesant simple amorti $\;{\big$P.P.S.A.${\big )}\;$ et développant un travail, rend le mouvement du point matériel $\;M\;$ « non conservatif » $\Rightarrow$ il n'existe pas d'intégrale 1ère énergétique pour le P.P.S.A., « l'énergie mécanique de ce dernier $\;E_{m}(t)=$ ${\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+m\;g\;l\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$ obéissant alors au théorème de la puissance mécanique » c.-à-d. «$\;{\dfrac {dE_{m}}{dt}}(t)={\mathcal {P}}\!\!\left[{\overrightarrow {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}\right]\!\!(t)=\left[-h\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]\cdot {\vec {V}}_{M}(t)=-h\;l^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;$ toujours $\;\leqslant 0\;$».
La courbe d'énergie potentielle $\;(\Gamma _{u})\;$ reste la même que celle tracée dans le diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S.N.A. c.-à-d. une sinusoïde, mais
la cocelle d'énergie mécanique $\;(\Gamma _{m})\;$ n’est plus une droite $\;\parallel \;$ à l'axe des $\;\theta$ ; « pour la préciser il convient de déterminer la pente de $\;(\Gamma _{m})\;$ au point d'abscisse angulaire $\;\theta (t)\;$» soit «$\;{\dfrac {dE_{m}}{d\theta }}=$ ${\dfrac {dE_{m}}{dt}}\;{\dfrac {dt}{d\theta }}={\dfrac {1}{{\dot {\theta }}(t)}}\;{\dfrac {dE_{m}}{dt}}(t)\;$ ou finalement $\;{\dfrac {dE_{m}}{d\theta }}(t)=-h\;l^{2}\;{\dot {\theta }}(t)\;$» ; nous en déduisons les propriétés suivantes de la tangente à $\;(\Gamma _{m})\;$ au point générique $\;P_{m}\;$ d'abscisse angulaire $\;\theta (t)$ : la courbe d'énergie mécanique $\;\color {transparent}{(\Gamma _{m})}\;$ $\blacktriangleright \;$elle est $\;\parallel \;$ à l'axe des $\;\theta \;$ aux éventuels points $\;P_{1}^{(n)}\;$ et $\;P_{2}^{(n)}\;$ correspondant à $\;M\;$ à l'arrêt, ces points $\;P_{1}^{(n)}\;$ et $\;P_{2}^{(n)}\;$ étant respectivement les éventuels points d'intersection d'abscisse positive et négative des courbes d'énergie potentielle $\;(\Gamma _{u})$ et d'énergie mécanique $\;(\Gamma _{m})$, la courbe d'énergie mécanique $\;\color {transparent}{(\Gamma _{m})}\;$ $\blacktriangleright \;$en tout autre point $\;P_{m}\;$ la pente de la tangente à $\;(\Gamma _{m})\;$ y est $\;\neq 0$, la courbe d'énergie mécanique $\;\color {transparent}{(\Gamma _{m})}\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$en tout autre point $\;\color {transparent}{P_{m}}\;$ elle est « positive quand le paramètre de position $\;\theta \searrow \;$» c.-à-d. « quand $\;P_{m}\;$ se déplace vers la gauche » et la courbe d'énergie mécanique $\;\color {transparent}{(\Gamma _{m})}\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$en tout autre point $\;\color {transparent}{P_{m}}\;$ elle est « négative quand le paramètre de position $\;\theta \nearrow \;$» c.-à-d. « quand $\;P_{m}\;$ se déplace vers la droite », enfin la courbe d'énergie mécanique $\;\color {transparent}{(\Gamma _{m})}\;$ $\blacktriangleright \;$« la pente de la tangente à $\;(\Gamma _{m})\;$ est extrémale aux points $\;P_{m}\;$ associés aux instants où la vitesse de $\;M\;$ est de valeur absolue $\;\vert l\;{\dot {\theta }}(t)\vert \;$ maximale » c.-à-d. « là où l'énergie cinétique du P.P.S.A. $\;K_{M}(t)\;$ est maximale » $\;{\big$cela correspond aussi aux instants tels que «$\;{\overline {P_{u}P_{m}}}(t)\;{\widehat {=}}\;K_{M}(t)\;$ est maximal »${\big ]}$ ; la courbe d'énergie mécanique $\;\color {transparent}{(\Gamma _{m})}\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« suivant la valeur plus ou moins grande de $\;h\;$» $\;{\bigg\!$ou « plus ou moins grande du cœfficient d'amortissement $\;\sigma ={\dfrac {h}{2\;m\;\omega _{0}}}={\dfrac {h}{2\;m}}\;{\sqrt {\dfrac {l}{g}}}\;$»$\!{\bigg )}$, « la valeur absolue de la pente de la tangente à $\;(\Gamma _{m})\;$ est plus ou moins grande » mais $\;\ldots \;$ dans les diagrammes d'énergies potentielle et mécanique représentés ci-dessous, nous nous sommes systématiquement placés dans les cas de « faible amortissement », $\;{\dfrac {h}{m}}=0,1\;s^{-1}$, la longueur du P.P.S. étant $\;l=1,00\;m\;$ et l'intensité de la pesanteur terrestre valant $\;g=9,81\;m\cdot s^{-2}\;$ d'où une pulsation des petites oscillations $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {g}{l}}}\simeq$ $3,13\;rad\cdot s^{-1}\;$ $\Rightarrow$ $\;\sigma ={\dfrac {h}{m}}\;{\dfrac {1}{2\;\omega _{0}}}\simeq 1,6\;10^{-2}$ :
$\;\succ \;$ci-contre, à gauche, le diagramme d’énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S. $\;{\big$faiblement amorti${\big )}\;$ à un degré de liberté lancé dans les C.I. $\;\left(1.{\mathfrak {a}}\right)\;$ $\left\lbrace \theta _{0}=-{\dfrac {2\;\pi }{3}}\;rad=-120\,{\text{°}}\,,\,{\dot {\theta }}_{0}=0\right\rbrace$ $\;{\big$on constate que les murs successifs d'énergie potentielle se resserrent $\Rightarrow$ l'amplitude oscillatoire $\;\searrow$, les murs atteints étant respectivement à droite $\;P_{1}$, $\;{P'}_{\!1}$, $\;{P''}_{\!\!1}$ $\;\ldots \;$ et à gauche $\;P_{2}$, $\;{P'}_{\!2}$, $\;{P''}_{\!\!2}$ $\;\ldots \;$ $\;P_{0}\,$ étant le mur de gauche initial${\big ]}$, $\;\succ \;$ci-contre, à droite, la superposition de deux diagrammes d’énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S. $\;{\big$faiblement amorti${\big )}\;$ à un degré de liberté lancé dans les C.I. $\;\left(1.{\mathfrak {b}}\right)\;$ soit $\;\color {transparent}{\succ }\;$$\blacktriangleright \;$diagramme $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ avec P.P.S.A. lancé dans les C.I. $\;\left\lbrace \theta _{0}=-{\dfrac {2\;\pi }{3}}\;rad=-120\,{\text{°}}\,,\right.$ $\;\left.{\dot {\theta }}_{0}=1,28\;{\sqrt {\dfrac {g}{l}}}\simeq 4,0\;rad\cdot s^{-1}\right\rbrace \;$ d'où « une énergie cinétique initiale $\;K_{0}({\mathfrak {1}})={\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}=$ ${\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\,\left[1,28\;{\sqrt {\dfrac {g}{l}}}\right]^{2}\simeq 0,82\;m\;g\;l\;$» et « une énergie mécanique initiale $\;E_{m,\,0}({\mathfrak {1}})=K_{0}({\mathfrak {1}})+U_{\text{pes}}(\theta _{0})\simeq$ $0,82\;m\;g\;l+m\;g\;l\,\left[1-\cos \!\left(-{\dfrac {2\;\pi }{3}}\right)\right]\simeq 2,32\;m\;g\;l\;$» c.-à-d. une énergie mécanique initiale permettant au P.P.S.A. d'avoir un mouvement révolutif amorti sur le 1er tour avant de poursuivre en mouvement oscillatoire amorti autour de la position d'équilibre stable repéré par $\;\theta =2\;\pi \;rad\;$,
$\;\color {transparent}{\succ }\;$$\blacktriangleright \;$diagramme $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ avec P.P.S.A. lancé dans les C.I. $\;\left\lbrace \theta _{0}=-{\dfrac {2\;\pi }{3}}\;rad=-120\,{\text{°}}\,,\,{\dot {\theta }}_{0}=1,21\;{\sqrt {\dfrac {g}{l}}}\simeq \right.$ $\;3,8\;rad\cdot s^{-1}{\bigg \}$ d'où « une énergie cinétique initiale $\;K_{0}({\mathfrak {2}})={\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}={\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\,\left[1,21\;{\sqrt {\dfrac {g}{l}}}\right]^{2}\simeq 0,73\;m\;g\;l\;$» et « une énergie mécanique initiale $\;E_{m,\,0}({\mathfrak {2}})=K_{0}({\mathfrak {2}})+U_{\text{pes}}(\theta _{0})\simeq 0,73\;m\;g\;l+m\;g\;l\,\left[1-\cos \!\left(-{\dfrac {2\;\pi }{3}}\right)\right]\simeq$ $2,23\;m\;g\;l\;$» ce qui correspond à une énergie mécanique initiale insuffisante pour que le P.P.S.A. ait un mouvement éventuellement révolutif amorti sur le 1er tour, son mouvement étant directement oscillatoire amorti autour de la position d'équilibre stable repéré par $\;\theta =0\;$ ;
$\;\color {transparent}{\succ }\;$$\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$remarque : dans le cas où le P.P.S.A. serait lancé dans l'autre sens avec la même valeur absolue de vitesse angulaire et à partir de la même position angulaire, c.-à-d. correspondant aux C.I. $\;\left\lbrace \theta _{0}=-{\dfrac {2\;\pi }{3}}\;rad=-120\,{\text{°}}\,,\,{\dot {\theta }}_{0}=-1,21\;{\sqrt {\dfrac {g}{l}}}\simeq -3,8\;rad\cdot s^{-1}\right\rbrace$, donc avec la même valeur d'énergie mécanique initiale $\;E_{m,\,0}\simeq 2,23\;m\;g\;l\;$ que celle du diagramme $\;({\mathfrak {2}})\;$ mais dans l'autre sens, on pourrait observer l'« absence de mur d'énergie potentielle à gauche sur l'intervalle $\;\left]-\pi \,,\,0\right[\;$» et par suite « un mouvement révolutif amorti du P.P.S.A. sur un 1er tour dans le sens $\;-\;$», suivi d'« un mouvement oscillatoire amorti autour de la position d'équilibre stable repérée par $\;\theta =-2\;\pi \;$».

### 1er additif : « trouver l'équation différentielle du 2ème ordre d'un P.P.S. à partir de considérations énergétiques »

Si le P.P.S. est « non amorti », il suffit, pour déterminer son équation différentielle du 2ème ordre en $\;\theta (t)\;$ à partir de son « intégrale 1ère énergétique $\;E_{m}(t)=E_{m,\,0}\;$» dans laquelle «$\;E_{m}(t)=$ ${\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+m\;g\;l\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$ est l'énergie mécanique à l'instant $\;t\;$» et «$\;E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}+m\;g\;l\,\left[1-\cos(\theta _{0})\right]\;$ l'énergie mécanique initiale dépendant des C.I. $\;1{\mathfrak {a}}\cup 1{\mathfrak {b}}\;$ »,
Si le P.P.S. est « non amorti », il suffit, $\succ \;$de « dériver cette intégrale 1ère énergétique par rapport à $\;t\;$» avec «$\;{\dfrac {dE_{m,\,0}}{dt}}=0\;$» et «$\;{\dfrac {dE_{m}}{dt}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;2\;{\dot {\theta }}(t)\;{\ddot {\theta }}(t)+m\;g\;l\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\,{\dot {\theta }}\!(t)=$ $\left\lbrace l\;{\ddot {\theta }}(t)+g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \,m\;l\;{\dot {\theta }}(t)\;$» d'où «$\;\left\lbrace l\;{\ddot {\theta }}(t)+g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \,m\;l\;{\dot {\theta }}(t)=0\;$» puis
Si le P.P.S. est « non amorti », il suffit, $\succ \;$de « simplifier par $\;m\;l\;{\dot {\theta }}(t)\;$» d’où «$\;l\;{\ddot {\theta }}(t)+g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=0\;$» et finalement la forme normalisée de l'équation différentielle du 2ème ordre en $\;\theta (t)$ Si le P.P.S. est « non amorti », il suffit, $\color {transparent}{\succ }\;$de « simplifier par $\;\color {transparent}{m\;l\;{\dot {\theta }}(t)}\;$» d’où «$\;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {g}{l}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=0\;$».
En complément : si le P.P.S. est « amorti », il faut, pour déterminer son équation différentielle du 2ème ordre en $\;\theta (t)\;$ à partir de considérations énergétiques,
En complément : si le P.P.S. est « amorti », il faut, $\blacktriangleright \;$« expliciter le théorème de la puissance mécanique $\;{\dfrac {dE_{m}}{dt}}(t)={\mathcal {P}}\!\left[{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(t)\right]\;$» dans lequel «$\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(t)=-h\;{\vec {V}}_{M}(t)=-h\;l\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\;$ est la résistance à l'avancement de $\;M\;$ dans le fluide entourant le P.P.S., la puissance instantanée de cette dernière s'écrivant $\;{\mathcal {P}}\!\left[{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(t)\right]={\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(t)\cdot {\vec {V}}_{M}(t)\;{\overset {\ldots }{=}}\;$ $-h\;l^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;$» et « la puissance mécanique du P.P.S.A. restant la même que celle du P.P.S.N.A. soit $\;{\dfrac {dE_{m}}{dt}}(t)=\left\lbrace l\;{\ddot {\theta }}(t)+g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \,m\;l\;{\dot {\theta }}(t)\;$» d'où «$\;\left\lbrace m\;l\;{\ddot {\theta }}(t)+m\;g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \,l\;{\dot {\theta }}(t)=\left\lbrace -h\;l\;{\dot {\theta }}(t)\right\rbrace \,l\;{\dot {\theta }}(t)\;$» puis
En complément : si le P.P.S. est « amorti », il faut, $\blacktriangleright \;$« simplifier par $\;l\;{\dot {\theta }}(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;m\;l\;{\ddot {\theta }}(t)+m\;g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=-h\;l\;{\dot {\theta }}(t)\;$» d'où l'équation différentielle normalisée du 2ème ordre en $\;\theta (t)$ En complément : si le P.P.S. est « amorti », il faut, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« simplifier par $\;\color {transparent}{l\;{\dot {\theta }}(t)}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {h}{m}}\;{\dot {\theta }}(t)+{\dfrac {g}{l}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=0\;$».

### 2ème additif : « dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil »

Tout ce qui a été traité auparavant dans ce chapitre ou le chap.$12$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » concernant un P.P.S.N.A. à un degré de liberté reste applicable à condition de vérifier que le fil idéal remplaçant la tige rigide sans masse est effectivement tendu ;
le vecteur force « tension du fil » exercé sur $\;M\;$ s'écrivant $\;{\vec {T}}={\overline {T}}\;{\vec {u}}_{r}$, « le fil idéal sera tendu si la mesure algébrique $\;{\overline {T}}\;$ de la composante radiale de $\;{\vec {T}}\;$ est $\;<0\;$» $\;{\big$si tel est le cas la tension du fil $\;{\big$c.-à-d. la norme du vecteur « tension du fil »${\big )}\;$ $\Vert {\vec {T}}\Vert =-{\overline {T}}\;$ et est usuellement notée $\;T{\big ]}$ ;
on obtient $\;{\overline {T}}(t)\;$ par projection, sur $\;{\vec {u}}_{r}$, de la r.f.d.n. appliquée à $\;M\;$ dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ supposé galiléen «$\;{\vec {T}}(t)+m\;{\vec {g}}=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$» avec $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ le vecteur accélération de $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ soit «$\;{\overline {T}}(t)+m\;g\;\cos \!\left[\theta (t)\right]=m\;a_{M,\,r}(t)\;$», «$\;a_{M,\,r}(t)\;$ étant l'accélération radiale de $\;M\;$ en mouvement circulaire de centre $\;O\;$ et de rayon $\;l\;$ égale à $\;a_{M,\,r}(t)=-l\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;$» dont on tire «$\;{\overline {T}}(t)=-m\,\left\lbrace l\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+g\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$» ;
on exprime alors $\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;$ en fonction de $\;\theta (t)\;$ et de l'énergie mécanique initiale $\;E_{m,\,0}\;$ par l'intégrale 1ère énergétique $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+m\;g\;l\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace$ $=E_{m,\,0}\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)={\dfrac {2\;E_{m,\,0}}{m\;l^{2}}}-{\dfrac {2\;g}{l}}\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$» que l'on reporte dans l'expression de $\;{\overline {T}}(t)\;$ obtenue précédemment par utilisation de la r.f.d.n. soit «$\;{\overline {T}}(t)=$ $-m\,\left\lbrace {\dfrac {2\;E_{m,\,0}}{m\;l}}-2\;g\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace +g\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$» et finalement, après simplification et regroupement des termes
$\;{\overline {T}}(t)=-m\;g\,\left\lbrace {\dfrac {2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-2+3\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$
« le fil reste tendu dans tout le mouvement si $\;{\overline {T}}(\theta )\;$ est $\;<0\;\;\forall \;\theta \;$», ce qui est réalisé « si le maximum de $\;{\overline {T}}(\theta )\;$ est $\;<0\;$» mais, pour poursuivre, il convient d'introduire le domaine de variation de $\;\theta$, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant $\;E_{m,\,0}$ :
« le fil reste tendu $\blacktriangleright \;$« si $\;E_{m,\,0}\;$ est $\;>\;$ à $\;2\;m\;g\;l\;$ le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif », le domaine de variation de $\;\theta \;$ est «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left[\theta _{0}\,,\,+\infty \right[\;{\text{pour }}{\dot {\theta }}_{0}>0\\\left]-\infty \,,\,\theta _{0}\right]\;{\text{pour }}{\dot {\theta }}_{0}<0\end{array}}\right\rbrace \;$» mais la fonction $\;{\overline {T}}(\theta )=-m\;g\,\left[{\dfrac {2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-2+3\;\cos(\theta )\right]\;$ étant $\;2\;\pi$-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de $\;{\overline {T}}(\theta )\;$ soit, « le fil reste tendu $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« si $\;\color {transparent}{E_{m,\,0}}\;$ est $\;\color {transparent}{>}\;$ à $\;\color {transparent}{2\;m\;g\;l}\;$ $\succ \;$avec $\;{\dot {\theta }}_{0}>0$, le fil reste tendu pour un mouvement hypothétique révolutif si «$\;\max \limits _{\left[\theta _{0}\,,\,\theta _{0}+\pi \right]}\left\lbrace {\overline {T}}(\theta )\right\rbrace <0\;$ ou $\;\max \limits _{\left[0\,,\,+\pi \right]}\left\lbrace {\overline {T}}(\theta )\right\rbrace <0\;$» et, « le fil reste tendu $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« si $\;\color {transparent}{E_{m,\,0}}\;$ est $\;\color {transparent}{>}\;$ à $\;\color {transparent}{2\;m\;g\;l}\;$ $\succ \;$avec $\;{\dot {\theta }}_{0}<0$, le fil reste tendu pour un mouvement hypothétique révolutif si «$\;\max \limits _{\left[\theta _{0}-\pi \,,\,\theta _{0}\right]}\left\lbrace {\overline {T}}(\theta )\right\rbrace <0\;$ ou $\;\max \limits _{\left[-\pi \,,\,0\right]}\left\lbrace {\overline {T}}(\theta )\right\rbrace <0\;$», « le fil reste tendu $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« si $\;\color {transparent}{E_{m,\,0}}\;$ est $\;\color {transparent}{>}\;$ à $\;\color {transparent}{2\;m\;g\;l}\;$ soit, la fonction $\;{\overline {T}}(\theta )\;$ étant paire, une même condition indépendante du signe de $\;{\dot {\theta }}_{0}$, «$\;\max \limits _{\left[0\,,\,+\pi \right]}\left\lbrace {\overline {T}}(\theta )\right\rbrace <0\;$» ;
« le fil reste tendu $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« si $\;\color {transparent}{E_{m,\,0}}\;$ est $\;\color {transparent}{>}\;$ à $\;\color {transparent}{2\;m\;g\;l}\;$ «$\;{\overline {T}}(\theta )=-m\;g\,\left[{\dfrac {2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-2+3\;\cos(\theta )\right]\;$ étant une fonction $\;\nearrow \;$ sur $\;\left[0\,,\,+\pi \right]\;$», la condition «$\;\max \limits _{\left[0\,,\,+\pi \right]}\left\lbrace {\overline {T}}(\theta )\right\rbrace <0\;$» se réécrit «$\;\max \limits _{\left[0\,,\,+\pi \right]}\left\lbrace {\overline {T}}(\theta )\right\rbrace ={\overline {T}}(+\pi )<0\;$ ou encore $\;-m\;g\,\left[{\dfrac {2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-2+3\;\cos(\pi )\right]<0\;$» soit $\;{\dfrac {2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-5>0\;$ d'où « le fil reste tendu $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« si $\;\color {transparent}{E_{m,\,0}}\;$ est $\;\color {transparent}{>}\;$ à $\;\color {transparent}{2\;m\;g\;l}\;$ la condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal soit révolutif sans que le fil ne se détende : «$\;E_{m,\,0}>{\dfrac {5}{2}}\;m\;g\;l\;$» ;
« le fil reste tendu $\blacktriangleright \;$« si $\;E_{m,\,0}\;$ est $\;<\;$ à $\;2\;m\;g\;l\;$ le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire », le domaine de variation de $\;\theta \;$ est «$\;\left[-\theta _{m}\,,\,+\theta _{m}\right[\;$ avec $\;\theta _{m}=\arccos \!\left[1-{\dfrac {E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}\right]\;$ » mais la fonction $\;{\overline {T}}(\theta )=-m\;g\,\left[{\dfrac {2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-2+3\;\cos(\theta )\right]\;$ étant $\;2\;\pi$-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de $\;{\overline {T}}(\theta )\;$, à savoir «$\;\left[0\,,\,\theta _{m}\right]\;$», « le fil reste tendu $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« si $\;\color {transparent}{E_{m,\,0}}\;$ est $\;\color {transparent}{<}\;$ à $\;\color {transparent}{2\;m\;g\;l}\;$ la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrit alors «$\;\max \limits _{\left[0\,,\,\theta _{m}\right]}\left\lbrace {\overline {T}}(\theta )\right\rbrace <0\;$» ;
« le fil reste tendu $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« si $\;\color {transparent}{E_{m,\,0}}\;$ est $\;\color {transparent}{<}\;$ à $\;\color {transparent}{2\;m\;g\;l}\;$ «$\;{\overline {T}}(\theta )=-m\;g\,\left[{\dfrac {2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-2+3\;\cos(\theta )\right]\;$ étant une fonction $\;\nearrow \;$ sur $\;\left[0\,,\,\theta _{m}\right]\;$», la condition «$\;\max \limits _{\left[0\,,\,\theta _{m}\right]}\left\lbrace {\overline {T}}(\theta )\right\rbrace <0\;$» se réécrit «$\;\max \limits _{\left[0\,,\,\theta _{m}\right]}\left\lbrace {\overline {T}}(\theta )\right\rbrace ={\overline {T}}(\theta _{m})<0\;$ ou encore $\;-m\;g\,\left[{\dfrac {2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-2+3\;\cos(\theta _{m})\right]<0\;$» soit, avec $\;\cos(\theta _{m})=1-{\dfrac {E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}$, «$\;{\dfrac {2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-2+3\left[1-{\dfrac {E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}\right]>0\;$» d'où « le fil reste tendu $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« si $\;\color {transparent}{E_{m,\,0}}\;$ est $\;\color {transparent}{<}\;$ à $\;\color {transparent}{2\;m\;g\;l}\;$ la condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal soit oscillatoire sans que le fil ne se détende : «$\;E_{m,\,0}<m\;g\;l\;$».
En conclusion, la nature du mouvement d'un P.P.S.N.A. à fil idéal lancé dans les C.I. $\;1{\mathfrak {a}}\cup 1{\mathfrak {b}}\;$ dépend de la valeur de son énergie mécanique initiale En conclusion, la nature du mouvement d'un P.P.S.N.A. à fil idéal lancé dans les C.I. $\;\color {transparent}{1{\mathfrak {a}}\cup 1{\mathfrak {b}}}\;$ dépend de la valeur de «$\;E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}+m\;g\;l\,\left[1-\cos(\theta _{0})\right]\;$» et
En conclusion, $\succ \;$pour «$\;E_{m,\,0}<m\;g\;l\;$», le mouvement est oscillatoire d'amplitude aiguë, celle-ci étant déterminée par «$\;\theta _{m}=\arccos \!\left[1-{\dfrac {E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}\right]\;$ », «$\;\theta _{m}\in \left]0\,,\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$»,
En conclusion, $\succ \;$pour «$\;E_{m,\,0}\in \left[m\;g\;l\,,\,2\;m\;g\;l\right[\;$», le mouvement débute de façon oscillatoire jusqu'à ce que le fil se détende, pour l'abscisse angulaire $\;\theta _{\text{détente}}\;$ telle que $\;{\overline {T}}(\theta _{\text{détente}})=0\;$ $\Rightarrow$ $\;-m\;g\,\left[{\dfrac {2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-2+3\;\cos(\theta _{\text{détente}})\right]=0\;$ soit «$\;\theta _{\text{détente}}=\arccos \!\left[{\dfrac {2}{3}}-{\dfrac {2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\;l}}\right]\;$ », variant de «$\;\theta _{\text{détente}}={\dfrac {\pi }{2}}\;$ pour $\;E_{m,\,0}=m\;g\;l\;$» à «$\;\theta _{\text{détente}}\rightarrow \left\lbrace \arccos \!\left[-{\dfrac {2}{3}}\right]\right\rbrace ^{-}\;$ $\simeq$ $\left(131,8\,{\text{°}}\right)^{-}\;$ pour $\;E_{m,\,0}\rightarrow \left(2\;m\;g\;l\right)^{-}\;$»,
En conclusion $\;\succ \;$pour «$\;E_{m,\,0}=2\;m\;g\;l\;$», il n'y a pas de position d'équilibre instable, le mouvement débutant de façon oscillatoire jusqu'à ce que le fil se détende, c.-à-d. pour l'abscisse angulaire «$\;\theta _{\text{détente}}$ $=\arccos \!\left[-{\dfrac {2}{3}}\right]\;$ $\simeq 131,8\,{\text{°}}\;$»,
En conclusion $\;\succ \;$pour «$\;E_{m,\,0}\in \left]2\;m\;g\;l\,,\,{\dfrac {5}{2}}\;m\;g\;l\right]\;$», le mouvement débute de façon révolutif jusqu'à ce que le fil se détende, c.-à-d. pour l'abscisse angulaire $\;\theta _{\text{détente}}\;$ telle que $\;{\overline {T}}(\theta _{\text{détente}})$ $=0\;$ ${\overset {\ldots }{\Rightarrow }}$ «$\;\theta _{\text{détente}}$ $=\arccos \!\left[{\dfrac {2}{3}}-{\dfrac {2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\;l}}\right]\;$ », variant de «$\;\theta _{\text{détente}}\rightarrow \left\lbrace \arccos \!\left[-{\dfrac {2}{3}}\right]\right\rbrace ^{+}\;$ $\simeq$ $\left(131,8\,{\text{°}}\right)^{+}\;$ pour $\;E_{m,\,0}\rightarrow \left(2\;m\;g\;l\right)^{+}\;$» à «$\;\theta _{\text{détente}}=\pi \;$ pour $\;E_{m,\,0}=$ ${\dfrac {5}{2}}\;m\;g\;l\;$» et
En conclusion $\;\succ \;$pour «$\;E_{m,\,0}>{\dfrac {5}{2}}\;m\;g\;l\;$», le mouvement est révolutif.

## Explication qualitative du lien entre « profil d'énergie potentielle » et portrait de phase d'un point matériel à mouvement conservatif
### Généralités

À partir du « profil d'énergie potentielle » et À partir de l'intégrale 1ère énergétique du point matériel $\;M\;$ à « mouvement conservatif »$^,$ matérialisé par le diagramme d'énergies potentielle et mécanique, on peut en déduire
* l'expression de l'énergie cinétique en fonction du paramètre de position, puis, de cette dernière
* la valeur absolue de la vitesse en fonction du même paramètre de position,
* le signe de la vitesse pour un sens de variation du paramètre de position à partir d'une valeur de ce dernier d'après « la connaissance du sens de déplacement du point générique $\;P_{u}\;$ de $\;(\Gamma _{u})\;$» obtenu sur le diagramme d'énergies potentielle et mécanique$^,$ et enfin,
* la vitesse en fonction du paramètre de position et de son sens de variation, cette connaissance permettant de tracer le portrait de phase associé au profil d'énergie potentielle du point matériel $\;M\;$ à « mouvement conservatif ».

### Exemple de la chute libre d'un point matériel sans vitesse initiale dans un champ de pesanteur uniforme

Nous allons donc utiliser le « diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un point matériel en chute libre sans vitesse initiale dans un champ de pesanteur uniforme » rappelé ci-contre à gauche Nous allons pour en déduire le « portrait de phase »$^,$ associé $\;{\big$ci-contre à droite${\big )}$ ;
on établit, à partir de l'intégrale 1ère énergétique du point matériel $\;M\;$ en chute libre sans vitesse initiale à partir de l'altitude $\;h$, l'« équation du portrait de phase $\;{\dot {z}}$ $=-{\sqrt {2\;g\,\left(h-z\right)}}\;$» c.-à-d. une demi-parabole ayant pour axe, l'axe des $\;z\;$ et de concavité tournée vers la gauche, ainsi que On établit, la « pente du portrait de phase $\;{\dfrac {d{\dot {z}}}{dz}}(z)={\sqrt {\dfrac {g}{2\,\left(h-z\right)}}}\;$», fonction $\;>0$, « de valeur $\;\infty \;$ pour $\;z_{0}=h\;$», «$\;\searrow \;$ si $\;z\searrow \;$».
En complément, nous utilisons le « diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un point matériel en chute libre dans le cas où ce dernier est lancé vers le haut avec une vitesse initiale verticale à partir d'une position quelconque dans un champ de pesanteur uniforme » rappelé ci-contre à gauche En complément, nous utilisons pour en déduire le « portrait de phase »$^,$ associé $\;{\big$ci-contre à droite${\big )}$ ; En complément, on établit, à partir de l'intégrale 1ère énergétique du point matériel $\;M\;$ en chute libre avec une vitesse initiale verticale $\;\uparrow \;$ $\;V_{0}\;$ à partir de l'altitude $\;h$, l'« équation du portrait de phase $\;\vert {\dot {z}}\vert$ $={\sqrt {V_{0}^{2}+2\;g\,\left(h-z\right)}}\;$» c.-à-d. une portion de parabole ayant pour axe, l'axe des $\;z$, de concavité tournée vers la gauche avec $\;{\dot {z}}\leqslant V_{0}$, En complément, on détermine aussi la « pente du portrait de phase de valeur absolue $\;{\bigg \vert }{\dfrac {d{\dot {z}}}{dz}}(z){\bigg \vert }={\dfrac {g}{\sqrt {V_{0}^{2}+2\;g\,\left(h-z\right)}}}\;$», la pente étant $\succ \;$« une fonction $\;<0\;$ et $\;\searrow \;$ quand $\;z\nearrow \;$ de $\;h\;$ jusqu'à $\;z_{\text{max}}\;$ où sa valeur absolue devient $\;\infty \;$» puis la pente étant $\succ \;$« une fonction $\;>0\;$ et $\;\searrow \;$ quand $\;z\searrow \;$ à partir de $\;z_{\text{max}}\;$».
Remarque : dans les deux exemples présentés ci-dessus, le diagramme d'énergies potentielle et mécanique est celui d'un point matériel $\;M\;$ dans un « état de diffusion » $\;{\big$présence d'un seul mur d'énergie potentielle${\big ]}\;$ et le portrait de phase est une « courbe ouverte » $\;{\big$possibilité cinétique que le paramètre de position $\;z\;$ tende vers l'infini${\big ]}\;$ avec le point générique du portrait de phase « tournant dans le sens horaire » $\;{\big$portrait de phase $\;\perp \;$ à l'axe des $\;z\;$ avec $\;z\nearrow \;$ dans la zone $\;{\dot {z}}>0\;$ et $\;z\searrow \;$ dans la zone $\;{\dot {z}}<0{\big ]}$.

### Exemple de l'oscillateur harmonique à une dimension « P.E.H. »

L'étude d'un oscillateur harmonique par diagramme d'énergies potentielle et mécanique n'étant pas cité dans le programme de physique de P.C.S.I., il en est de même du lien entre le profil d'énergie potentielle d'un oscillateur harmonique et son portrait de phase, toutefois l'exposé de cette relation est intéressant car il présente un exemple de corrélation entre un « état lié » de diagramme d'énergies potentielle et mécanique et le « sens d'évolution du point générique du portrait de phase correspondant ainsi que la fermeture de ce dernier » autre que celui du P.P.S.N.A. traité dans le paragraphe « exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a) » plus loin dans ce chapitre.
Nous allons donc utiliser le « diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.E.H.N.A. » rappelé ci-contre à gauche
Nous allons pour en déduire le « portrait de phase »$^,$ associé $\;{\big$ci-contre à droite${\big )}$ ;
on établit, à partir de l'intégrale 1ère énergétique du point matériel $\;M\;$ du P.E.H.N.A. écarté de $\;x_{0}\;$ de sa position d'équilibre et lâché sans vitesse initiale, l'« équation implicite du portrait de phase $\;{\dfrac {{\dot {x}}^{2}}{\omega _{0}^{2}\;x_{0}^{2}}}+{\dfrac {x^{2}}{x_{0}^{2}}}=$ $1\;$» définissant une ellipse dont les axes sont l'axe des $\;x\;$ et des $\;{\dot {x}}\;$ et dont le centre est le point d'intersection des axes $\;\left(0\,,\,0\right)\;$ c.-à-d. le point représentatif de l'équilibre de $\;M\;$ dans le diagramme de phase ;
commentaire : quand $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ du diagramme d'énergies potentielle et mécanique sont en $\;P_{0}\;$ c.-à-d. sur le mur d’énergie potentielle initiale, ils ne peuvent se déplacer que vers la gauche,
commentaire : parallèlement $\;Q\;$ du portrait de phase est en $\;Q_{0}\;$ c.-à-d. la position extrême du portrait de phase sur l'axe des $\;x\;$ sur la droite et $\;x\;$ ne peut que $\;\searrow$, ce qui nécessite $\;{\dot {x}}<0\;$ d'où le déplacement de $\;Q\;$ sur le portrait de phase à partir de $\;Q_{0}\;$ dans le sens horaire $\;\ldots$
Conclusion : La présence de deux murs d'énergie potentielle dans le diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.E.H.N.A. se traduisant par « le P.E.H.N.A. est dans un état lié » se concrétise, dans son portrait de phase, par la fermeture et la description dans le sens horaire de ce dernier.
Remarque : Bien que le programme de physique de PCSI stipule de présenter le lien entre profil d'énergie potentielle et portrait de phase d'un point matériel à mouvement conservatif et qu'un P.E.H.A. correspond à un point matériel à mouvement non conservatif, nous allons néanmoins le faire pour ce dernier dans le cas faiblement amorti plus précisément avec un cœfficient d'amortissement $\;\sigma =0,125\;$ ;
Remarque : le diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.E.H.A. introduit plus haut dans ce chapitre est rappelé, dans le cas où $\;\sigma =0,125$, ci-contre à gauche et
Remarque : le portrait de phase d'un P.E.H.A. évoqué dans le paragraphe « portraits de phase en élongation (ou en vitesse) du P.E.V.A. suivant le cœfficient d'amortissement » du chap.$28$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » est tracé avec le même cœfficient d'amortissement $\;\sigma =0,125\;$ et les mêmes C.I., ci-contre à droite :
Remarque : vous êtes invités à vérifier le lien entre le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.E.H.A. ci-contre à gauche et le portrait de phase du même P.E.H.A. ci-contre à droite, en particulier préciser la correspondance entre les points $\;P_{1}^{(n)}\;$ et $\;P_{2}^{(n)}\;$ d'une part et $\;Q_{1}^{(n)}\;$ et $\;Q_{2}^{(n)}\;$ d'autre part $\;\ldots$

### Exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté « P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a) »

Nous allons d'abord utiliser le diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S.N.A. en mouvement révolutif$^,$ $\;{\bigg$lancé sous C.I. «$\;\theta _{0}={\dfrac {2\;\pi }{3}}\;rad$ $=120\,{\text{°}}\;$», «$\;{\dot {\theta }}_{0}=\pm {\sqrt {\dfrac {2\;g}{l}}}\simeq$ $\pm 4,4\;rad\cdot s^{-1}\;$»${\bigg ]}\;$ rappelé ci-contre à gauche ainsi que Nous allons d'abord utiliser le « diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté dans les C.I. $\;1.a\;$ conduisant à un mouvement oscillatoire » $\;{\bigg$lancé sous C.I. «$\;\theta _{0}={\dfrac {2\;\pi }{3}}\;rad$ $=120\,{\text{°}}\;$» et «$\;{\dot {\theta }}_{0}$ $=0\;$»${\bigg ]}\;$ rappelé ci-contre à droite
Nous allons d'abord utiliser pour en déduire les « portraits de phase »$^,$ associés $\;{\big$ci-dessous à droite${\big )}$ ; on a établi, l'« équation du portrait de phase d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les C.I. 1b U 1a » dans le chap.$12$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » et on a obtenu «$\;{\dot {\theta }}^{2}=$ ${\dot {\theta }}_{0}^{2}+2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]\;$»,
on notera que l'absence de mur d'énergie potentielle sur les diagrammes d'énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S.N.A. en mouvement révolutif$\;{\big$ci-dessus à gauche${\big )}\;$ se traduit par l'ouverture des portraits de phase de ce dernier $\;{\big$en vert ci-contre${\big )}$, chaque courbe étant situé d'un même côté de l'axe des élongations angulaires se développant sur la droite pour un portrait situé au-dessus et sur la gauche pour un portrait situé au-dessous, de plus les diagrammes et les portraits de phase sont tous deux $\;2\;\pi$-périodiques et
on notera que la présence de deux murs d'énergie potentielle sur le diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S.N.A. en mouvement oscillatoire $\;{\big$ci-dessus à droite${\big )}\;$ se traduit par la fermeture du portrait de phase de ce dernier $\;{\big$en magenta ci-contre${\big )}$, la courbe étant décrite dans le sens horaire $\;{\big$de plus cette courbe admet pour axes, l'axe des $\;\theta \;$ et des $\;{\dot {\theta }}\;$ et pour centre le point d'intersection des axes $\;\left(0\,,\,0\right)\;$ c.-à-d. un point représentatif de l'équilibre stable de $\;M\;$ dans le diagramme de phase${\big ]}$.
Pour terminer il reste à lier les diagrammes d'énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S.N.A. $\;{\big$ci-contre à gauche${\big )}\;$ Pour terminer il reste à lier avec les portraits de phase associés quand l'énergie mécanique initiale du pendule est $\;E_{m,\,0}=2\;m\;g\;l$ $\;{\bigg$portraits de phase dont l'un, celui du P.P.S.N.A. lancé dans les C.I. «$\;\theta _{0}={\dfrac {2\;\pi }{3}}\;rad$ $=120\,{\text{°}}\;$» et «$\;{\dot {\theta }}_{0}=\pm {\sqrt {\dfrac {g}{l}}}$ $\simeq$ $\pm 3,1\;rad\cdot s^{-1}\;$», s'arrêtant dans une position d'équilibre instable $\pm \pi$, est représenté en vert ci-dessous à droite${\bigg ]}$ ;
« si $\;{\dot {\theta }}_{0}=\pm {\sqrt {\dfrac {g}{l}}}\;$ pour $\;\theta _{0}={\dfrac {2\;\pi }{3}}\;$», l'arrêt du P.P.S.N.A. se fait en la position d'équilibre instable repérée par $\;\theta =\pm \pi \;$ mais pratiquement cet arrêt n'est pas définitif car il suffit d'une très faible perturbation extérieure pour que le pendule quitte cet équilibre instable, par exemple $\;\succ \;$« à partir de la position repérée par $\;\theta =+\pi \;$», « les points $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ du diagramme d'énergies potentielle et mécanique peuvent poursuivre sur la droite jusqu'à une autre position d'équilibre instable repérée par $\;\theta =3\;\pi \;$» $\Rightarrow$ « le point $\;Q\;$ du portrait de phase poursuit au-dessus de l'axe des $\;\theta \;$ jusqu'à la position repérée par $\;\theta =$ $3\;\pi \;$», autre position d'équilibre instable ou, $\;\succ \;$« à partir de la position repérée par $\;\theta =+\pi \;$», « les points $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ du diagramme d'énergies potentielle et mécanique peuvent poursuivre sur la gauche jusqu'à une autre position d'équilibre instable repérée par $\;\theta =-\pi \;$» $\Rightarrow$ « le point $\;Q\;$ du portrait de phase poursuit au-dessous de l'axe des $\;\theta \;$ jusqu'à la position repérée par $\;\theta =-\pi \;$», autre position d'équilibre instable ; $\;\succ \;$« à partir de la position repérée par $\;\theta =-\pi \;$», « les points $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ du diagramme d'énergies potentielle et mécanique peuvent poursuivre sur la droite jusqu'à une autre position d'équilibre instable repérée par $\;\theta =+\pi \;$» $\Rightarrow$ « le point $\;Q\;$ du portrait de phase poursuit au-dessus de l'axe des $\;\theta \;$ jusqu'à la position repérée par $\;\theta =+\pi \;$», autre position d'équilibre instable ou, $\;\succ \;$« à partir de la position repérée par $\;\theta =-\pi \;$», « les points $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ du diagramme d'énergies potentielle et mécanique peuvent poursuivre sur la gauche jusqu'à une autre position d'équilibre instable repérée par $\;\theta =-3\;\pi$\;» $\Rightarrow$ « le point $\;Q\;$ du portrait de phase poursuit au-dessous de l'axe des $\;\theta \;$ jusqu'à la position repérée par $\;\theta =-3\;\pi \;$», autre position d'équilibre instable.
Remarque : À la lumière de ce qui vient d'être exposé on trouvera aisément le lien entre Remarque : $\;\succ \;$les diagrammes d'énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S.A.$^,$ faiblement amorti introduits au paragraphe intitulé « en complément : prolongement de l'utilisation du diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un point matériel à mouvement non conservatif sur l'exemple d'un P.P.S.A. à un degré de liberté » plus haut dans ce chapitre $\;{\big$et rappelés ci-contre à gauche${\big )}\;$ et
Remarque : $\;\succ \;$les portraits de phase du P.P.S.A.$^,$ lancé dans les mêmes C.I. avec le même cœfficient d'amortissement dont les tracés ont été fournis au paragraphe intitulé « en complément, allure des portraits de phase d'un P.P.S.A. lancé dans les C.I. 1b U 1a » du chap.$12$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » $\;{\big$et rappelés ci-contre à droite${\big )}$ $\;\ldots$