# Probabilités sur les ensembles finis/Probabilités conditionnelles
## Probabilité de A sachant B

Soient A et B deux événements d'un espace probabilisé.
On définit la probabilité conditionnelle de A sachant B par :
$P_{B}(A)=P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}$.
* On lance un dé équilibré. On note B l'événement « obtenir un numéro pair » et A l'événement « obtenir 4 ».
    Calculer $P_{B}(A)$ et interpréter ce calcul.
On a $P(B)={\frac {3}{6}}={\frac {1}{2}}$. De plus, 4 étant un nombre pair, il vient $P(A\cap B)=P(A)={\frac {1}{6}}$, donc $P_{B}(A)={\frac {1}{3}}$.
Ceci peut se comprendre facilement : entre 1 et 6, il y a trois nombres pairs (2, 4, 6), chacun ayant une chance équivalente d’être tiré.
* On lance deux dés équilibrés et l'on calcule la somme des deux résultats.
    Calculer la probabilité d'obtenir 8 sachant qu'un dé au moins possède un résultat supérieur ou égal à 5.
Notons $X_{1}$ et $X_{2}$ les résultats des deux dés. On demande donc d'évaluer $P(X_{1}+X_{2}=8\mid (X_{1}\geq 5)\cup (X_{2}\geq 5))$.
On a $P(X_{1}\geq 5\cup X_{2}\geq 5)=P(X_{1}\geq 5)+P(X_{2}\geq 5)-P(X_{1}\geq 5\cap X_{2}\geq 5)=P(X_{1}\geq 5)+P(X_{2}\geq 5)-P(X_{1}\geq 5)P(X_{2}\geq 5)={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{3}}{\frac {1}{3}}={\frac {5}{9}}$ car les lancers sont indépendants.
Ensuite, pour le calcul de $P(X_{1}+X_{2}=8\cap (X_{1}\geq 5\cup X_{2}\geq 5))$, ce résultat n'apparait que pour 4 couples ((2, 6), (3, 5), (5, 3) et (6, 2)), donc $P(X_{1}+X_{2}=8\cap (X_{1}\geq 5\cup X_{2}\geq 5))={\frac {4}{36}}={\frac {1}{9}}$.
Finalement, la probabilité recherchée est de ${\frac {1}{5}}$.

### Formule pratique

Dans les problèmes, c’est souvent la probabilité conditionnelle qui est connue. On utilise alors :
$P(A\cap B)=P_{B}(A)\times P(B)$.
Dans un lot de pièces pouvant avoir deux défauts L et E, 8 % ont E.
Parmi les pièces qui ont le défaut E, 25 % ont aussi le défaut L. Donner les probabilités suivantes :
* $P(E)$ ;
* $P_{E}(L)$ ;
* $P(L\cap E)$.
$P(E)=0{,}08$ et $P_{E}(L)=0{,}25$ donc $P(L\cap E)=P_{E}(L)\times P(E)=0{,}25\times 0{,}08=0{,}02$.

## Indépendance de deux événements

Intuitivement, on dit que deux événements sont indépendants quand la réalisation de l'un n'a pas d'influence sur celle de l'autre.
La définition formelle est la suivante :
Deux événements A et B sont indépendants si $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$.
* Dans un lot de pièces pouvant avoir deux défauts L et E, 8 % ont E et 6 % ont L. Parmi les pièces qui ont le défaut E, 25 % ont aussi le défaut L.
    Les événements « avoir E » et « avoir L » sont-ils indépendants ?
* On lance successivement deux dés équilibrés et on calcule la somme des deux résultats.
** Les événements « obtenir 8 » et « obtenir 5 avec le premier dé » sont-ils indépendants ?
** Les événements « obtenir 8 » et « obtenir un numéro pair avec le premier dé » sont-ils indépendants ?
Dans ces trois cas, les deux événements sont dépendants. En effet :
* $P(L\cap E)=0{,}02$ (cf. exemple précédent) , tandis que $P(L)\times P(E)=0{,}08\times 0{,}06=0{,}0048$, ou plus directement : $P_{E}(L)=0{,}25$ tandis que $P(L)=0{,}06$.
* On peut obtenir 8 de 5 façons (équiprobables) : $2+6=3+5=4+4=5+3=6+2$.
** $P(X_{1}=5\mid X_{1}+X_{2}=8)={\frac {1}{5}}$, tandis que $P(X_{1}=5)={\frac {1}{6}}$.
** $P(X_{1}{\text{ pair}}\mid X_{1}+X_{2}=8)={\frac {3}{5}}$, tandis que $P(X_{1}{\text{ pair}})={\frac {1}{3}}$.
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