# Signaux physiques - bis (PCSI)/Oscillateurs amortis : association d'impédances complexes

$\;{\big$
${\big )}\;$

## Impédance complexe équivalente de l'association série de « deux impédances complexes », généralisation
### Association série de deux D.P.L. en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π)

On se place en complexe associé au r.s.f. et on considère l'association série de deux D.P.L. d'impédances complexes $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;$ et $\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;$ « traversés par un même courant d'intensité instantanée complexe $\;{\underline {i}}(t)={\underline {I}}\,{\sqrt {2}}\,\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$», la tension instantanée complexe aux bornes de chacun des dipôles $\;{\big$en convention récepteur${\big )}\;$ étant respectivement $\;{\underline {u_{1}}}(t)={\underline {U_{1}}}\,{\sqrt {2}}\,\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$ et $\;{\underline {u_{2}}}(t)=$ ${\underline {U_{2}}}\,{\sqrt {2}}\,\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)$ ;
la tension instantanée complexe $\;{\underline {u}}(t)\;$ aux bornes de l'association série étant la somme des tensions instantanées complexes individuelles $\;{\underline {u_{1}}}(t)\;$ et $\;{\underline {u_{2}}}(t)\;$ selon «$\;{\underline {u}}(t)={\underline {u_{1}}}(t)+{\underline {u_{2}}}(t)\;$» et
la loi d'Ohm en complexe s'appliquant à chacun des dipôles selon respectivement «$\;{\underline {u_{1}}}(t)={\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {i}}(t)\;$» et «$\;{\underline {u_{2}}}(t)={\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;{\underline {i}}(t)\;$», nous en déduisons «$\;{\underline {u}}(t)={\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {i}}(t)+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;{\underline {i}}(t)$ $=\left[{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\right]{\underline {i}}(t)\;$» c.-à-d. la proportionnalité de $\;{\underline {u}}(t)\;$ et $\;{\underline {i}}(t)\;$ prouvant l'applicabilité de la loi d'Ohm en complexe à l'association série de deux D.P.L. et précisant l'impédance complexe équivalente de cette association série
$\;{\underline {Z_{\text{assoc. série}}}}(j\,\omega )={\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;$

### Exemples : impédance complexe d'une bobine réelle d'auto-inductance L et de résistance r$_B$, impédance complexe d'un « R C série »
#### Impédance complexe d'une bobine réelle d'auto-inductance L et de résistance r$_B$

La modélisation d'une bobine réelle en association série d'un conducteur ohmique de résistance $\;r_{B}\;$ et d'une bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$ $\Rightarrow$
$\;{\underline {Z_{\text{bobine réelle}}}}(j\,\omega )=r_{B}+j\,L\,\omega \;$
Sous $\;f=50\;Hz\;$ avec une résistance $\;r_{B}=10\;\Omega \;$ et une inductance propre $\;L=0,1\;H\;$ on obtient
* une impédance complexe $\;{\underline {Z_{\text{bobine réelle}}}}\simeq 10+j\;31,4\;$ en $\;\Omega \;$ dont on tire
* une impédance $\;Z_{\text{bobine réelle}}={\sqrt {r_{B}^{2}+L^{2}\;\omega ^{2}}}\simeq {\sqrt {10^{2}+31,4^{2}}}\;$ en $\;\Omega \;$ c.-à-d. $\;Z_{\text{bobine réelle}}\simeq 33\;\Omega \;$ et
* une avance de phase de la tension sur l'intensité $\;\varphi _{u}-\varphi _{i}=\arctan \!\left({\dfrac {L\;\omega }{r_{B}}}\right)\simeq \arctan \!\left({\dfrac {31,4}{10}}\right)=\arctan \!\left(3,14\right)\simeq 72,3\,{\text{°}}\;$.

#### Impédance complexe d'un « R C série »

Le D.P.L. d'un $\;R\,C\;$ série étant une association série d'un conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ et d'un condensateur parfait de capacité $\;C\;$ $\Rightarrow$
$\;{\underline {Z_{R\;C\;{\text{série}}}}}(j\,\omega )=R+{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}\;$
Sous $\;f=50\;Hz\;$ avec une résistance $\;R=100\;\Omega \;$ et une capacité $\;C=10\;\mu F\;$ on obtient
* une impédance complexe $\;{\underline {Z_{R\;C\;{\text{série}}}}}\simeq 100+{\dfrac {1}{j\;3,14\;10^{-3}}}\simeq 100-j\;318\;$ en $\;\Omega \;$ dont on tire
* une impédance $\;Z_{R\;C\;{\text{série}}}={\sqrt {R^{2}+{\dfrac {1}{C^{2}\;\omega ^{2}}}}}\simeq {\sqrt {100^{2}+318^{2}}}\;$ en $\;\Omega \;$ c.-à-d. $\;Z_{R\;C\;{\text{série}}}\simeq 334\;\Omega \;$ et
* une avance de phase de la tension sur l'intensité $\;\varphi _{u}-\varphi _{i}=\arctan \!\left({\dfrac {-{\dfrac {1}{C\;\omega }}}{R}}\right)\;$ soit $\;\varphi _{u}-\varphi _{i}=-\arctan \!\left({\dfrac {1}{R\;C\;\omega }}\right)\;$ littéralement et, à partir de l'expression numérique de l'impédance complexe, $\;\varphi _{u}-\varphi _{i}\simeq -\arctan \!\left({\dfrac {318}{100}}\right)=-\arctan \!\left(3,18\right)\simeq -72,5\,{\text{°}}\;$.

### Généralisation : association série de plus de deux D.P.L. en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π)

On généralise sans difficulté la propriété d'équivalence précédente à plus de deux D.P.L. et on retient la proposition suivante :
« l'association série de $\;n\;$ D.P.L. en r.s.f. de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ d'impédances complexes respectives $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega ),\;\ldots ,\;{\underline {Z_{k}}}(j\,\omega ),\;\ldots ,\;{\underline {Z_{n}}}(j\,\omega )\;$ est un D.P.L. d'impédance complexe équivalente
$\;{\underline {Z_{\text{assoc. série}}}}(j\,\omega )=\sum \limits _{k}^{1\,\ldots \,n}{\underline {Z_{k}}}(j\,\omega )\;$

### Exemple : impédance complexe d'un « R L C série »

L'impédance complexe d'un $\;R\,L\,C\;$ série vaut donc $\;{\underline {Z_{R\,L\,C\;{\text{série}}}}}(j\,\omega )=R+j\,L\,\omega +{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}\;$ dont la forme algébrique s'écrit selon
$\;{\underline {Z_{R\,L\,C\;{\text{série}}}}}(j\,\omega )=R+j\left(L\,\omega -{\dfrac {1}{C\,\omega }}\right)\;$
on remarque que
* « à B.F. le $\;R\,L\,C\;$ série se comporte comme un condensateur parfait » car «$\;{\underline {Z_{R\,L\,C\;{\text{série}},\,B.F.}}}(j\,\omega )\sim {\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}\;$» et
* « à H.F. il se comporte comme une bobine parfaite » car «$\;{\underline {Z_{R\,L\,C\;{\text{série}},\,H.F.}}}(j\,\omega )\sim j\,L\,\omega \;$» ;
enfin « pour la fréquence particulière $\;\omega ={\dfrac {1}{\sqrt {L\;C}}}\;$» ${\big$c.-à-d. la fréquence propre $\;\omega _{0}\;$ du $\;R\,L\,C\;$ série${\big )}\;$ les impédances complexes de la bobine parfaite et du condensateur parfait se compensant, « le $\;R\,L\,C\;$ série est purement résistif $\;{\underline {Z_{R\,L\,C\;{\text{série}}}}}(j\,\omega _{0})=R\;$».

## Impédance complexe équivalente de l'association parallèle de « deux impédances complexes »
### Association parallèle de deux D.P.L. en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π)

On se place en complexe associé au r.s.f. et on considère l'association parallèle de deux D.P.L. d'impédances complexes $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;$ et $\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;$ « aux bornes desquels on a une même tension instantanée complexe $\;{\underline {u}}(t)={\underline {U}}\,{\sqrt {2}}\,\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$», l'intensité instantanée complexe du courant traversant chacun des dipôles $\;{\big$en convention récepteur${\big )}\;$ étant respectivement $\;{\underline {i_{1}}}(t)={\underline {I_{1}}}\,{\sqrt {2}}\,\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$ et $\;{\underline {i_{2}}}(t)={\underline {I_{2}}}\,{\sqrt {2}}\,\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)$ ;
l'intensité instantanée complexe $\;{\underline {i}}(t)\;$ du courant traversant l'association parallèle étant la somme des intensités instantanées complexes individuelles $\;{\underline {i_{1}}}(t)\;$ et $\;{\underline {i_{2}}}(t)\;$ selon «$\;{\underline {i}}(t)={\underline {i_{1}}}(t)+{\underline {i_{2}}}(t)\;$» et
la loi d'Ohm en complexe s'appliquant à chacun des dipôles selon respectivement «$\;{\underline {i_{1}}}(t)={\dfrac {{\underline {u}}(t)}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}}\;$» et «$\;{\underline {i_{2}}}(t)={\dfrac {{\underline {u}}(t)}{{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\;$», nous en déduisons «$\;{\underline {i}}(t)={\dfrac {{\underline {u}}(t)}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}}+{\dfrac {{\underline {u}}(t)}{{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}=$ $\left[{\dfrac {1}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}}+{\dfrac {1}{{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\right]{\underline {u}}(t)={\dfrac {{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {u}}(t)\;$» c.-à-d. la proportionnalité de $\;{\underline {i}}(t)\;$ et $\;{\underline {u}}(t)\;$ prouvant l'applicabilité de la loi d'Ohm en complexe à l'association parallèle de deux D.P.L. et précisant l'impédance complexe équivalente de cette association parallèle $\;{\underline {Z_{{\text{assoc. }}\parallel }}}(j\,\omega )\;$ telle que $\;{\underline {i}}(t)={\dfrac {{\underline {u}}(t)}{{\underline {Z_{{\text{assoc. }}\parallel }}}(j\,\omega )}}\;$ soit
$\;{\underline {Z_{{\text{assoc. }}\parallel }}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\;$

### Exemples : impédance complexe d'un « R L parallèle », impédance complexe d'un « R C parallèle »
#### Impédance complexe d'un « R L parallèle »

Le D.P.L. d'un $\;R\,L\;$ parallèle étant une association parallèle d'un conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ et d'un bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$ $\Rightarrow$
$\;{\underline {Z_{R\;L\;\parallel }}}(j\,\omega )={\dfrac {R\;j\,L\,\omega }{R+j\,L\,\omega }}\;$
Sous $\;f=50\;Hz\;$ avec une résistance $\;R=10\;\Omega \;$ et une inductance propre $\;L=0,1\;H\;$ on obtient
* une impédance complexe $\;{\underline {Z_{R\;L\;\parallel }}}\simeq {\dfrac {j\;314}{10+j\;31,4}}\;$ en $\;\Omega \;$ dont on tire
* une impédance $\;Z_{R\;L\;\parallel }={\dfrac {R\;L\;\omega }{\sqrt {R^{2}+L^{2}\;\omega ^{2}}}}\simeq {\dfrac {314}{\sqrt {10^{2}+31,4^{2}}}}\;$ en $\;\Omega \;$ c.-à-d. $\;Z_{R\;L\;\parallel }\simeq 9,5\;\Omega \;$ et
* une avance de phase de la tension sur l'intensité $\;\varphi _{u}-\varphi _{i}={\dfrac {\pi }{2}}-\arctan \!\left({\dfrac {L\;\omega }{R}}\right)\;$ littéralement et, numériquement, $\;\varphi _{u}-\varphi _{i}\simeq 90\,{\text{°}}-\arctan \!\left({\dfrac {31,4}{10}}\right)=90\,{\text{°}}-\arctan \!\left(3,14\right)\simeq$ $+17,7\,{\text{°}}\;$.

#### Impédance complexe d'un « R C parallèle »

Le D.P.L. d'un $\;R\,C\;$ parallèle étant une association parallèle d'un conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ et d'un condensateur parfait de capacité $\;C\;$ $\Rightarrow$
$\;{\underline {Z_{R\;C\;\parallel }}}(j\,\omega )={\dfrac {R\;{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}}{R+{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}}}={\dfrac {R}{j\,R\,C\,\omega +1}}={\dfrac {R}{1+j\,R\,C\,\omega }}\;$
Sous $\;f=50\;Hz\;$ avec une résistance $\;R=100\;\Omega \;$ et une capacité $\;C=10\;\mu F\;$ on obtient
* une impédance complexe $\;{\underline {Z_{R\;C\;\parallel }}}\simeq {\dfrac {100}{1+j\;0,314}}\;$ en $\;\Omega \;$ dont on tire
* une impédance $\;Z_{R\;C\;\parallel }={\dfrac {R}{\sqrt {1+R^{2}\;C^{2}\;\omega ^{2}}}}\simeq {\dfrac {100}{\sqrt {1+0,314^{2}}}}\;$ en $\;\Omega \;$ c.-à-d. $\;Z_{R\;C\;\parallel }\simeq 95,4\;\Omega \;$ et
* une avance de phase de la tension sur l'intensité $\;\varphi _{u}-\varphi _{i}=0-\arctan \!\left(R\;C\;\omega \right)\;$ soit $\;\varphi _{u}-\varphi _{i}=-\arctan \!\left(R\;C\;\omega \right)\;$ littéralement et, numériquement, $\;\varphi _{u}-\varphi _{i}\simeq -\arctan \!\left(0,314\right)\simeq$ $-17,4\,{\text{°}}\;$.

## Admittance complexe équivalente de l'association parallèle de plus de deux « admittances complexes »
### Admittance complexe équivalente de l'association parallèle de deux « admittances complexes »

D'une part, ayant établi que l'association parallèle de deux D.P.L. d'impédances complexes respectives $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;$ et $\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;$ est équivalente à un D.P.L. d'impédance complexe $\;{\underline {Z_{{\text{assoc. }}\parallel }}}(j\,\omega )=$ ${\dfrac {{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\;$ et
d'autre part l'admittance complexe d'un D.P.L. étant l'inverse de son impédance complexe, on en déduit que
l'admittance complexe du D.P.L. équivalent à l'association parallèle de deux D.P.L. s'écrit $\;{\underline {Y_{{\text{assoc. }}\parallel }}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{{\underline {Z_{{\text{assoc. }}\parallel }}}(j\,\omega )}}={\dfrac {{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}={\dfrac {1}{{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}+{\dfrac {1}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}}={\underline {Y_{2}}}(j\,\omega )+{\underline {Y_{1}}}(j\,\omega )\;$ soit finalement la propriété suivante :
« l'association parallèle de deux D.P.L. en r.s.f. de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ d'admittances complexes respectives $\;{\underline {Y_{1}}}(j\,\omega )\;$ et $\;{\underline {Y_{2}}}(j\,\omega )\;$ est un D.P.L. d'admittance complexe équivalente
$\;{\underline {Y_{{\text{assoc. }}\parallel }}}(j\,\omega )={\underline {Y_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Y_{2}}}(j\,\omega )\;$

### Généralisation : association parallèle de plus de deux D.P.L. en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π)

On généralise sans difficulté la propriété d'équivalence précédente à plus de deux D.P.L. et on retient la proposition suivante :
« l'association parallèle de $\;n\;$ D.P.L. en r.s.f. de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ d'admittances complexes respectives $\;{\underline {Y_{1}}}(j\,\omega ),\;\ldots ,\;{\underline {Y_{k}}}(j\,\omega ),\;\ldots ,\;{\underline {Y_{n}}}(j\,\omega )\;$ est un D.P.L. d'admittance complexe équivalente
$\;{\underline {Y_{{\text{assoc. }}\parallel }}}(j\,\omega )=\sum \limits _{k}^{1\,\ldots \,n}{\underline {Y_{k}}}(j\,\omega )\;$

### Exemple : admittance complexe d'un « R L C parallèle »

L'admittance complexe d'un $\;R\,L\,C\;$ parallèle vaut donc «$\;{\underline {Y_{R\,L\,C\;\parallel }}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{R}}+{\dfrac {1}{j\,L\,\omega }}+j\,C\,\omega \;$» dont la forme algébrique s'écrit selon
$\;{\underline {Y_{R\,L\,C\;\parallel }}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{R}}+j\left(C\,\omega -{\dfrac {1}{L\,\omega }}\right)\;$
on remarque que
* « à B.F. le $\;R\,L\,C\;$ parallèle se comporte comme une bobine parfaite » car «$\;{\underline {Y_{R\,L\,C\;\parallel }}}(j\,\omega )\sim {\dfrac {1}{j\,L\,\omega }}\;$» et
* « à H.F. il se comporte comme un condensateur parfait » car «$\;{\underline {Y_{R\,L\,C\;\parallel }}}(j\,\omega )\sim j\,C\,\omega \;$» ;
enfin « pour la fréquence particulière $\;\omega ={\dfrac {1}{\sqrt {L\;C}}}\;$» ${\big$c.-à-d. la fréquence propre $\;\omega _{0}\;$ du $\;R\,L\,C\;$ parallèle${\big )}\;$ les admittances complexes de la bobine parfaite et du condensateur parfait se compensant, « le $\;R\,L\,C\;$ parallèle est purement résistif $\;{\underline {Y_{R\,L\,C\;\parallel }}}(j\,\omega _{0})={\dfrac {1}{R}}\;$».

## Notion de dualité « série - parallèle » appliquée en électricité complexe associée au r.s.f. de fréquence f = ω/(2π)

La notion de dualité « série - parallèle » en électricité ayant été introduite dans le paragraphe intitulé « initiation à la dualité série - parallèle en électricité » du chap.$26$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », ses principales grandeurs et relations duales généralisables à l'électricité complexe associée au r.s.f. de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ sont précisées ci-dessous :
| association série | association parallèle |
| intensité instantanée complexe $\;{\underline {i}}(t)={\underline {I}}\,{\sqrt {2}}\,\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$ commune traversant les dipôles | tension instantanée complexe $\;{\underline {u}}(t)={\underline {U}}\,{\sqrt {2}}\,\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$ commune aux bornes des dipôles |
| intensité efficace complexe $\;{\underline {I}}=I\,\exp \!\left(j\,\varphi _{i}\right)\;$ commune traversant les dipôles | tension efficace complexe $\;{\underline {U}}=U\,\exp \!\left(j\,\varphi _{u}\right)\;$ commune aux bornes des dipôles |
| impédance complexe d'un D.P.L. $\;{\underline {Z}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {u}}(t)}{{\underline {i}}(t)}}={\dfrac {\underline {U}}{\underline {I}}}={\dfrac {1}{{\underline {Y}}(j\,\omega )}}\;$ | admittance complexe d'un D.P.L. $\;{\underline {Y}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {i}}(t)}{{\underline {u}}(t)}}={\dfrac {\underline {I}}{\underline {U}}}={\dfrac {1}{{\underline {Z}}(j\,\omega )}}\;$ |
| forme trigonométrique de l'impédance complexe d'un D.P.L. $\;{\underline {Z}}(j\,\omega )=Z(\omega )\;\exp \!\left[j\left(\varphi _{u}-\varphi _{i}\right)\right]\;$ avec $\;Z(\omega )={\dfrac {U}{I}}\;$ impédance du D.P.L. | forme trigonométrique de l'admittance complexe d'un D.P.L. $\;{\underline {Y}}(j\,\omega )=Y(\omega )\;\exp \!\left[j\left(\varphi _{i}-\varphi _{u}\right)\right]\;$ avec $\;Y(\omega )={\dfrac {I}{U}}\;$ admittance du D.P.L. |
| conducteur ohmique d'impédance complexe $\;{\underline {Z_{R}}}={\dfrac {{\underline {u_{R}}}(t)}{{\underline {i_{R}}}(t)}}={\dfrac {\underline {U_{R}}}{\underline {I_{R}}}}=R$ | conducteur ohmique d'admittance complexe $\;{\underline {Y_{R}}}={\dfrac {{\underline {i_{R}}}(t)}{{\underline {u_{R}}}(t)}}={\dfrac {\underline {I_{R}}}{\underline {U_{R}}}}={\dfrac {1}{R}}$ |
| condensateur parfait de capacité $\;C\;$ d'impédance complexe $\;{\underline {Z_{C}}}={\dfrac {{\underline {u_{C}}}(t)}{{\underline {i_{C}}}(t)}}={\dfrac {\underline {U_{C}}}{\underline {I_{C}}}}={\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}$ | bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$ d'admittance complexe $\;{\underline {Y_{L}}}={\dfrac {{\underline {i_{L}}}(t)}{{\underline {u_{L}}}(t)}}={\dfrac {\underline {I_{L}}}{\underline {U_{L}}}}={\dfrac {1}{j\,L\,\omega }}$ |
| bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$ d'impédance complexe $\;{\underline {Z_{L}}}={\dfrac {{\underline {u_{L}}}(t)}{{\underline {i_{L}}}(t)}}={\dfrac {\underline {U_{L}}}{\underline {I_{L}}}}=j\,L\,\omega$ | condensateur parfait de capacité $\;C\;$ d'admittance complexe $\;{\underline {Y_{C}}}={\dfrac {{\underline {i_{C}}}(t)}{{\underline {u_{C}}}(t)}}={\dfrac {\underline {I_{C}}}{\underline {U_{C}}}}=j\,C\,\omega$ |
| impédance complexe équivalente de l'association série de $\;n\;$ D.P.L. $\;{\underline {Z_{\text{assoc. série}}}}(j\,\omega )=\sum \limits _{k}^{1\,\ldots \,n}{\underline {Z_{k}}}(j\,\omega )$ | admittance complexe équivalente de l'association parallèle de $\;n\;$ D.P.L. $\;{\underline {Y_{{\text{assoc. }}\,\parallel }}}(j\,\omega )=\sum \limits _{k}^{1\,\ldots \,n}{\underline {Y_{k}}}(j\,\omega )$ |
| admittance complexe équivalente de l'association série de deux D.P.L. $\;{\underline {Y_{\text{assoc. série}}}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {Y_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Y_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {Y_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Y_{2}}}(j\,\omega )}}\;$ | impédance complexe équivalente de l'association parallèle de deux D.P.L. $\;{\underline {Z_{{\text{assoc. }}\,\parallel }}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\;$ |
| exemple impédance complexe d'un $\;R\,L\,C\;$ série $\;{\underline {Z_{R\,L\,C\;{\text{série}}}}}(j\,\omega )=R+j\,L\,\omega +{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}=R+j\left(L\,\omega -{\dfrac {1}{C\,\omega }}\right)\;$ | exemple admittance complexe d'un $\;R'\,L\,C\;$ parallèle $\;{\underline {Y_{R'\,L\,C\;\parallel }}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{R'}}+j\,C\,\omega +{\dfrac {1}{j\,L\,\omega }}={\dfrac {1}{R'}}+j\left(C\,\omega -{\dfrac {1}{L\,\omega }}\right)\;$ |

## Impédance complexe d'un « R L C série », impédance, résistance et réactance
### Rappel : impédance complexe d'un « R L C série » en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π)

$\;{\underline {Z_{R\,L\,C\;{\text{série}}}}}(j\,\omega )=R+j\,L\,\omega +{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}\;$

### Notion de résistance et de réactance d'un D.P.L. en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π) et d'impédance complexe connue

Quand l'impédance complexe $\;{\underline {Z}}(j\,\omega )\;$ d'un D.P.L. en r.s.f. de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ est écrite sous sa forme algébrique, on appelle
* « résistance $\;{\mathcal {R}}(\omega )\;$ du D.P.L., la partie réelle de l'impédance complexe » soit «$\;{\mathcal {R}}(\omega )=\Re \left[{\underline {Z}}(j\,\omega )\right]\;$» et
* « réactance $\;X(\omega )\;$ du D.P.L., la partie imaginaire de l'impédance complexe » soit «$\;X(\omega )=\Im \left[{\underline {Z}}(j\,\omega )\right]\;$»,
toutes deux exprimées en $\;\Omega$ ;
ainsi la forme algébrique de l'impédance complexe s'écrit «$\;{\underline {Z}}(j\,\omega )={\mathcal {R}}(\omega )+j\;X(\omega )\;$».

### Résistance et réactance d'un « R L C série » en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π)

Il faut donc mettre l'impédance complexe sous sa forme algébrique «$\;{\underline {Z_{R\,L\,C\;{\text{série}}}}}(j\,\omega )=R+j\left(L\,\omega -{\dfrac {1}{C\,\omega }}\right)\;$» et on en tire :
* « la résistance du $\;R\,L\,C\;$ série $\;{\mathcal {R}}({\cancel {\omega }})=R\;$» toujours $\;\geqslant 0\;$ égale à la résistance du conducteur ohmique et
* « la réactance du $\;R\,L\,C\;$ série $\;X(\omega )=L\,\omega -{\dfrac {1}{C\,\omega }}\;$» pouvant prendre n'importe quelle valeur réelle.

### Impédance et avance de phase de tension sur intensité d'un « R L C série » en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π), lien avec la résistance et la réactance de ce dernier

L'impédance complexe sous sa forme trigonométrique étant «$\;{\underline {Z_{R\,L\,C\;{\text{série}}}}}(j\,\omega )=Z_{R\,L\,C\;{\text{série}}}(\omega )\;\exp \!\left[j\left(\varphi _{u}-\varphi _{i}\right)\right]\;$» et sous sa forme algébrique «$\;{\underline {Z_{R\,L\,C\;{\text{série}}}}}(j\,\omega )={\mathcal {R}}(\omega )+j\;X(\omega )\;$» avec «$\;{\mathcal {R}}(\omega )$ $=R\;$» d'une part et «$\;X(\omega )=L\,\omega -{\dfrac {1}{C\,\omega }}\;$» d'autre part nous en déduisons :
* « l'impédance du $\;R\,L\,C\;$ série $\;Z_{R\,L\,C\;{\text{série}}}(\omega )={\bigg \vert }{\underline {Z_{R\,L\,C\;{\text{série}}}}}(j\,\omega ){\bigg \vert }={\sqrt {{\mathcal {R}}^{2}(\omega )+X^{2}(\omega )}}={\sqrt {R^{2}+\left(L\,\omega -{\dfrac {1}{C\,\omega }}\right)^{\!2}}}\;$» ${\big$l'impédance est minimale pour $\;\omega =\omega _{0}\;$ la pulsation propre du $\;R\,L\,C\;$ série et elle devient infiniment grande à T.B.F. et à T.H.F.${\big ]}\;$ et
* « l'avance de phase de la tension aux bornes du $\;R\,L\,C\;$ série sur l'intensité le traversant $\;\varphi _{u}-\varphi _{i}=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {Z_{R\,L\,C\;{\text{série}}}}}(j\,\omega )\right]=\arctan \!\left[{\dfrac {X(\omega )}{{\mathcal {R}}(\omega )}}\right]=$ $\arctan \!\left({\dfrac {L\,\omega -{\dfrac {1}{C\,\omega }}}{R}}\right)\;$» ${\big$la tension aux bornes du $\;R\,L\,C\;$ série et l'intensité le traversant sont en phase pour $\;\omega =\omega _{0}\;$ la pulsation propre du $\;R\,L\,C\;$ série et elle devient en quadrature retard à T.B.F.$^,$ et en quadrature avance à T.H.F.$^,$${\big ]}$.

### Admittance complexe d'un « R L C série » en r.s.f. de fréquence fréquence f = ω/(2π)

Il est possible que l'on ait besoin de déterminer l'admittance complexe d'un $\;R\,L\,C\;$ série dans l'hypothèse où il serait en parallèle sur deux autres D.P.L., on trouverait
$\;{\underline {Y_{R\,L\,C\;{\text{série}}}}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{{\underline {Z_{R\,L\,C\;{\text{série}}}}}(j\,\omega )}}={\dfrac {1}{R+j\,L\,\omega +{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}}}\;$
$\;{\underline {Y_{R\,L\,C\;{\text{série}}}}}(j\,\omega )={\dfrac {j\,C\,\omega }{j\,R\,C\,\omega -L\,C\,\omega ^{2}+1}}\;$

### Notion de conductance et de susceptance d'un D.P.L. en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π) et d'admittance complexe connue

Quand l'admittance complexe $\;{\underline {Y}}(j\,\omega )\;$ d'un D.P.L. en r.s.f. de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ est écrite sous sa forme algébrique, on appelle
* « conductance $\;{\mathcal {G}}(\omega )\;$ du D.P.L., la partie réelle de l'admittance complexe » soit «$\;{\mathcal {G}}(\omega )=\Re \left[{\underline {Y}}(j\,\omega )\right]\;$» et
* « susceptance $\;{\mathcal {B}}(\omega )\;$ du D.P.L., la partie imaginaire de l'admittance complexe » soit «$\;{\mathcal {B}}(\omega )=\Im \left[{\underline {Y}}(j\,\omega )\right]\;$»,
toutes deux exprimées en $\;S$ ;
ainsi la forme algébrique de l'admittance complexe s'écrit «$\;{\underline {Y}}(j\,\omega )={\mathcal {G}}(\omega )+j\;{\mathcal {B}}(\omega )\;$».

### Conductance et susceptance d'un « R L C série » en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π)

Il faut donc mettre l'admittance complexe sous sa forme algébrique «$\;{\underline {Y_{R\,L\,C\;{\text{série}}}}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{{\underline {Z_{R\,L\,C\;{\text{série}}}}}(j\,\omega )}}={\dfrac {1}{R+j\left(L\,\omega -{\dfrac {1}{C\,\omega }}\right)}}\;$» d'où la nécessité de multiplier haut et bas par le complexe conjugué du dénominateur soit «$\;{\underline {Y_{R\,L\,C\;{\text{série}}}}}(j\,\omega )={\dfrac {R-j\left(L\,\omega -{\dfrac {1}{C\,\omega }}\right)}{R^{2}+\left(L\,\omega -{\dfrac {1}{C\,\omega }}\right)^{\!2}}}\;$» et on en tire :
* « la conductance du $\;R\,L\,C\;$ série $\;{\mathcal {G}}(\omega )={\dfrac {R}{R^{2}+\left(L\,\omega -{\dfrac {1}{C\,\omega }}\right)^{\!2}}}\;$» toujours $\;\geqslant 0\;$$^,$ différente de la conductance du conducteur ohmique et
* « la susceptance du $\;R\,L\,C\;$ série $\;{\mathcal {B}}(\omega )=-{\dfrac {L\,\omega -{\dfrac {1}{C\,\omega }}}{R^{2}+\left(L\,\omega -{\dfrac {1}{C\,\omega }}\right)^{\!2}}}\;$» pouvant prendre n'importe quelle valeur réelle.

## Admittance complexe d'un « R L C parallèle », admittance, conductance et susceptance

$\;R'\,L'\,C'\;$

### Rappel : admittance complexe d'un « R L C parallèle » en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π)

$\;{\underline {Y_{R\,L\,C\;\parallel }}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{R}}+j\,C\,\omega +{\dfrac {1}{j\,L\,\omega }}\;$

### Rappel de la notion de conductance et de susceptance d'un D.P.L. en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π) et d'admittance complexe connue

Quand l'admittance complexe $\;{\underline {Y}}(j\,\omega )\;$ d'un D.P.L. en r.s.f. de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ est écrite sous sa forme algébrique, on appelle
* « conductance $\;{\mathcal {G}}(\omega )\;$ du D.P.L., la partie réelle de l'admittance complexe » soit «$\;{\mathcal {G}}(\omega )=\Re \left[{\underline {Y}}(j\,\omega )\right]\;$» et
* « susceptance $\;{\mathcal {B}}(\omega )\;$ du D.P.L., la partie imaginaire de l'admittance complexe » soit «$\;{\mathcal {B}}(\omega )=\Im \left[{\underline {Y}}(j\,\omega )\right]\;$»,
toutes deux exprimées en $\;S$ ;
ainsi la forme algébrique de l'admittance complexe s'écrit «$\;{\underline {Y}}(j\,\omega )={\mathcal {G}}(\omega )+j\;{\mathcal {B}}(\omega )\;$».

### Conductance et susceptance d'un « R L C parallèle » en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π)

Il faut donc mettre l'admittance complexe sous sa forme algébrique «$\;{\underline {Y_{R\,L\,C\;\parallel }}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{R}}+j\left(C\,\omega -{\dfrac {1}{L\,\omega }}\right)\;$» et on en tire :
* « la conductance du $\;R\,L\,C\;$ parallèle $\;{\mathcal {G}}({\cancel {\omega }})={\dfrac {1}{R}}\;$» toujours $\;\geqslant 0\;$ égale à la conductance du conducteur ohmique et
* « la susceptance du $\;R\,L\,C\;$ parallèle $\;{\mathcal {B}}(\omega )=C\,\omega -{\dfrac {1}{L\,\omega }}\;$» pouvant prendre n'importe quelle valeur réelle.

### Admittance et avance de phase de tension sur intensité d'un « R L C parallèle » en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π), lien avec la conductance et la susceptance de ce dernier

L'admittance complexe sous sa forme trigonométrique étant «$\;{\underline {Y_{R\,L\,C\;\parallel }}}(j\,\omega )=Y_{R\,L\,C\;\parallel }(\omega )\;\exp \!\left[-j\left(\varphi _{u}-\varphi _{i}\right)\right]\;$» et sous sa forme algébrique «$\;{\underline {Y_{R\,L\,C\;\parallel }}}(j\,\omega )={\mathcal {G}}(\omega )+j\;{\mathcal {B}}(\omega )\;$» avec «$\;{\mathcal {G}}(\omega )=$ ${\dfrac {1}{R}}\;$» d'une part et «$\;{\mathcal {B}}(\omega )=C\,\omega -{\dfrac {1}{L\,\omega }}\;$» d'autre part nous en déduisons :
* « l'admittance du $\;R\,L\,C\;$ parallèle $\;Y_{R\,L\,C\;\parallel }(\omega )={\bigg \vert }{\underline {Y_{R\,L\,C\;\parallel }}}(j\,\omega ){\bigg \vert }={\sqrt {{\mathcal {G}}^{2}(\omega )+{\mathcal {B}}^{2}(\omega )}}={\sqrt {{\dfrac {1}{R^{2}}}+\left(C\,\omega -{\dfrac {1}{L\,\omega }}\right)^{\!2}}}\;$» ${\big$l'admittance est minimale pour $\;\omega =\omega _{0}\;$ la pulsation propre du $\;R\,L\,C\;$ parallèle et elle devient infiniment grande à T.B.F. et à T.H.F.${\big ]}\;$ et
* « l'avance de phase de la tension aux bornes du $\;R\,L\,C\;$ parallèle sur l'intensité le traversant $\;\varphi _{u}-\varphi _{i}=-\mathrm {arg} \!\left[{\underline {Y_{R\,L\,C\;\parallel }}}(j\,\omega )\right]=-\arctan \!\left[{\dfrac {{\mathcal {B}}(\omega )}{{\mathcal {G}}(\omega )}}\right]=$ $-\arctan \!\left({\dfrac {C\,\omega -{\dfrac {1}{L\,\omega }}}{\dfrac {1}{R}}}\right)\;$» ${\big$la tension aux bornes du $\;R\,L\,C\;$ parallèle et l'intensité le traversant sont en phase pour $\;\omega =\omega _{0}\;$ la pulsation propre du $\;R\,L\,C\;$ série et elle devient en quadrature avance à T.B.F.$^,$ et en quadrature retard à T.H.F.$^,$${\big ]}$.

### Impédance complexe d'un « R L C parallèle » en r.s.f. de fréquence fréquence f = ω/(2π)

Il est possible que l'on ait besoin de déterminer l'impédance complexe d'un $\;R\,L\,C\;$ parallèle dans l'hypothèse où il serait en série avec d'autres D.P.L., on trouverait
$\;{\underline {Z_{R\,L\,C\;\parallel }}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{{\underline {Y_{R\,L\,C\;\parallel }}}(j\,\omega )}}={\dfrac {1}{{\dfrac {1}{R}}+j\,C\,\omega +{\dfrac {1}{j\,L\,\omega }}}}\;$
$\;{\underline {Z_{R\,L\,C\;\parallel }}}(j\,\omega )={\dfrac {j\,L\,\omega }{j\,{\dfrac {L\,\omega }{R}}-L\,C\,\omega ^{2}+1}}\;$

### Résistance et réactance d'un « R L C parallèle » en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π)

Il faut donc mettre l'impédance complexe sous sa forme algébrique «$\;{\underline {Z_{R\,L\,C\;\parallel }}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{{\underline {Y_{R\,L\,C\;\parallel }}}(j\,\omega )}}={\dfrac {1}{{\dfrac {1}{R}}+j\left(C\,\omega -{\dfrac {1}{L\,\omega }}\right)}}\;$» d'où la nécessité de multiplier haut et bas par le complexe conjugué du dénominateur soit «$\;{\underline {Z_{R\,L\,C\;\parallel }}}(j\,\omega )={\dfrac {{\dfrac {1}{R}}-j\left(C\,\omega -{\dfrac {1}{L\,\omega }}\right)}{{\dfrac {1}{R^{2}}}+\left(C\,\omega -{\dfrac {1}{L\,\omega }}\right)^{\!2}}}\;$» et on en tire :
* « la résistance du $\;R\,L\,C\;$ parallèle $\;{\mathcal {R}}(\omega )={\dfrac {\dfrac {1}{R}}{{\dfrac {1}{R^{2}}}+\left(C\,\omega -{\dfrac {1}{L\,\omega }}\right)^{\!2}}}={\dfrac {R}{1+\left(R\,C\,\omega -{\dfrac {R}{L\,\omega }}\right)^{\!2}}}\;$» toujours $\;\geqslant 0\;$$^,$ différente de la résistance du conducteur ohmique et
* « la réactance du $\;R\,L\,C\;$ parallèle $\;X(\omega )=-{\dfrac {C\,\omega -{\dfrac {1}{L\,\omega }}}{{\dfrac {1}{R^{2}}}+\left(C\,\omega -{\dfrac {1}{L\,\omega }}\right)^{\!2}}}=-{\dfrac {R\left(R\,C\,\omega -{\dfrac {R}{L\,\omega }}\right)}{1+\left(R\,C\,\omega -{\dfrac {R}{L\,\omega }}\right)^{\!2}}}\;$» pouvant prendre n'importe quelle valeur réelle.

## Lois d'Ohm généralisées en électricité complexe associée au r.s.f. pour des D.A.L. (en convention générateur), impédance complexe interne, modèles générateur de tension et de courant
### Modèle générateur de tension du G.B.F. en électricité complexe associée au r.s.f.

Un G.B.F. a une f.e.m. $\;e(t)\;$ T-périodique et un D.P.L. interne, linéaire au sens de l'A.R.Q.S. ;
quand la f.e.m. est sinusoïdale de pulsation $\;\omega ={\dfrac {2\;\pi }{T}}\;$ on peut associer au G.B.F. un modèle générateur de tension en complexe « association d'une source de tension parfaite de f.e.m. instantanée complexe $\;{\underline {e}}(t)={\underline {E}}\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$ où $\;{\underline {E}}=E\;\exp \!\left(j\,\varphi _{e}\right)\;$ est la f.e.m. efficace complexe, en série avec un D.P.L. d'impédance complexe interne $\;{\underline {z}}\;$ dont le module est l'impédance interne $\;{\big$de valeur usuelle $\;50\;\Omega {\big )}\;$» ;
en convention générateur on peut appliquer, aux grandeurs instantanées complexes, la loi d'Ohm généralisée
$\;{\underline {u}}(t)={\underline {e}}(t)-{\underline {z}}\;{\underline {i}}(t)\;$
$\;{\underline {u}}(t)={\underline {U}}\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$
$\;{\underline {U}}=U\;\exp \!\left(j\,\varphi _{u}\right)\;$
$\;{\underline {i}}(t)={\underline {I}}\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$
$\;{\underline {I}}=I\;\exp \!\left(j\,\varphi _{i}\right)\;$
si on divise par $\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)$, on obtient la loi d'Ohm généralisée en valeurs efficaces complexes
$\;{\underline {U}}={\underline {E}}-{\underline {z}}\;{\underline {I}}\;$

### Modèle générateur de courant du G.B.F. en électricité complexe associée au r.s.f.

On peut aussi modéliser un G.B.F. en générateur de courant $\;{\big$même si c'est nettement moins utilisé qu'en régime permanent${\big )}$ ;
en régime sinusoïdal forcé de pulsation $\;\omega ={\dfrac {2\;\pi }{T}}\;$ on peut associer au G.B.F. un modèle générateur de courant en complexe « association d'une source de courant parfaite de c.e.m. instantané complexe $\;{\underline {\eta }}(t)={\underline {I_{0}}}\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$ où $\;{\underline {I_{0}}}=I_{0}\;\exp \!\left(j\,\varphi _{\eta }\right)\;$ est le c.e.m. efficace complexe, en parallèle avec un D.P.L. d'impédance complexe interne $\;{\underline {z}}\;$ dont le module est l'impédance interne $\;{\big$de valeur usuelle $\;50\;\Omega {\big )}\;$» ;
en convention générateur on peut appliquer, aux grandeurs instantanées complexes, la loi d'Ohm généralisée
$\;{\underline {i}}(t)={\underline {\eta }}(t)-{\dfrac {{\underline {u}}(t)}{\underline {z}}}\;$
$\;{\underline {i}}(t)={\underline {I}}\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$
$\;{\underline {I}}=I\;\exp \!\left(j\,\varphi _{i}\right)\;$
$\;{\underline {u}}(t)={\underline {U}}\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$
$\;{\underline {U}}=U\;\exp \!\left(j\,\varphi _{u}\right)\;$
si on divise par $\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)$, on obtient la loi d'Ohm généralisée en valeurs efficaces complexes
$\;{\underline {I}}={\underline {I_{0}}}-{\dfrac {\underline {U}}{\underline {z}}}\;$

### Lien entre les modèles générateurs de tension et de courant du G.B.F. en électricité complexe associée au r.s.f.

« Le D.P.L. interne est le même dans les deux modèles, d'impédance complexe interne $\;{\underline {z}}\;$» ;
« le c.e.m. instantané complexe $\;{\underline {\eta }}(t)\;$ est lié à la f.e.m. instantanée complexe $\;{\underline {e}}(t)\;$ et l'impédance complexe interne $\;{\underline {z}}\;$» selon
$\;{\underline {\eta }}(t)={\dfrac {{\underline {e}}(t)}{\underline {z}}}\Leftrightarrow {\underline {e}}(t)={\underline {z}}\;{\underline {\eta }}(t)\;$
si on divise par $\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)$, on obtient le lien entre c.e.m. et f.e.m. efficaces complexes ainsi que l'impédance complexe interne
$\;{\underline {I_{0}}}={\dfrac {\underline {E}}{\underline {z}}}\Leftrightarrow {\underline {E}}={\underline {z}}\;{\underline {I_{0}}}\;$

## Pont diviseur de tension (P.D.T.) en électricité complexe associée au r.s.f., représentation de Thévenin équivalente vue de la sortie du pont diviseur de tension complexe alimenté en entrée
### Présentation du P.D.T. en électricité complexe associée au r.s.f.

Un pont diviseur de tension $\;{\big$P.D.T.${\big )}\;$ en électricité complexe associée au r.s.f. de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ est un quadripôle linéaire passif, alimenté en entrée par une tension instantanée complexe $\;{\underline {u_{e}}}(t)\;$ entre les bornes $\;E\;$ et $\;M\;$ de laquelle deux D.P.L. d'impédances complexes $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;$ et $\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;$ sont montés en série quand la sortie définie parallèlement au D.P.L. d'impédance complexe $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;$ entre les bornes $\;S\;$ et $\;M\;$ est ouverte $\;{\big$le pont diviseur de tension étant dit « en sortie ouverte »${\big )}\;$ mais si cette sortie entre les bornes $\;S\;$ et $\;M\;$ est fermée sur une « charge »$^,$, le D.P.L. d'impédance complexe $\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;$ est en série avec l'association parallèle « D.P.L. d'impédance complexe $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;$ et charge de sortie », la tension instantanée complexe aux bornes de cette association étant $\;{\underline {u_{s}}}(t)$.
Les grandeurs électriques d'entrée sont définies en convention récepteur pour l'entrée du P.D.T. et simultanément en convention générateur pour la source qui l'alimente :
* « tension instantanée complexe d'entrée $\;{\underline {u_{e}}}(t)={\underline {U_{e}}}\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$» de « tension efficace complexe d'entrée $\;{\underline {U_{e}}}=$ $U_{e}\;\exp \!\left(j\,\varphi _{u_{e}}\right)\;$» et
* « intensité instantanée complexe du courant d'entrée $\;{\underline {i_{e}}}(t)={\underline {I_{e}}}\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$» d'« intensité efficace complexe d'entrée $\;{\underline {I_{e}}}=$ $I_{e}\;\exp \!\left(j\,\varphi _{i_{e}}\right)\;$» ;
les grandeurs électriques de sortie sont définies en convention générateur pour la sortie du P.D.T. et simultanément en convention récepteur pour la charge aux bornes de laquelle le P.D.T. est branché :
* « tension instantanée complexe de sortie $\;{\underline {u_{s}}}(t)={\underline {U_{s}}}\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$» de « tension efficace complexe de sortie $\;{\underline {U_{s}}}=U_{s}\;\exp \!\left(j\,\varphi _{u_{s}}\right)\;$» et
* « intensité instantanée complexe du courant de sortie $\;{\underline {i_{s}}}(t)={\underline {I_{s}}}\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$» d'« intensité efficace complexe de sortie $\;{\underline {I_{s}}}=I_{s}\;\exp \!\left(j\,\varphi _{i_{s}}\right)\;$».

### Générateur de Thévenin en électricité complexe associée au r.s.f. équivalent au réseau dipolaire « P.D.T. alimenté en entrée par u$_e$(t) et vu des bornes de sortie »
#### Énoncé du résultat

$\;{\underline {u_{e}}}(t)\;$
$\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\neq 0\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\underline {e_{\text{Th}}}}(t)={\dfrac {{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {u_{e}}}(t)\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\underline {z_{\text{Th}}}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\;$

#### Démonstration

Le but recherché est la détermination de l'expression de $\;{\underline {u_{s}}}(t)\;$ en fonction de $\;{\underline {u_{e}}}(t)$, $\;{\underline {i_{s}}}(t)\;$ et les composants passifs du P.D.T. et pour cela on utilise :
* la loi de maille soit «$\;{\underline {u_{s}}}(t)+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;{\underline {i_{e}}}(t)-{\underline {u_{e}}}(t)=0\;\;\left({\mathfrak {m}}\right)\;$» dans laquelle on élimine $\;{\underline {i_{e}}}(t)\;$ par
* la loi de nœud «$\;{\underline {i_{e}}}(t)={\underline {i_{1}}}(t)+{\underline {i_{s}}}(t)\;\;\left({\mathfrak {n}}\right)\;$» ou, en explicitant l'intensité instantanée complexe $\;{\underline {i_{1}}}(t)\;$ du courant traversant $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;$ en fonction de $\;{\underline {u_{s}}}(t)\;$ par loi d'Ohm en complexe «$\;{\underline {i_{1}}}(t)$ $={\dfrac {{\underline {u_{s}}}(t)}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}}\;$», la nouvelle expression de loi de nœud «$\;{\underline {i_{e}}}(t)={\dfrac {{\underline {u_{s}}}(t)}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}}+{\underline {i_{s}}}(t)\;\;\left({\mathfrak {n}}\right)\;$» soit
en reportant dans l'équation de maille $\;\left({\mathfrak {m}}\right)\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\underline {u_{s}}}(t)+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\left[{\dfrac {{\underline {u_{s}}}(t)}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}}+{\underline {i_{s}}}(t)\right]-{\underline {u_{e}}}(t)=0\;$» ou, en regroupant les termes en tension instantanée complexe de sortie, $\;{\underline {u_{s}}}(t)\left[1+{\dfrac {{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}}\right]$ $={\underline {u_{e}}}(t)-{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;{\underline {i_{s}}}(t)\;$ ou encore «$\;{\dfrac {{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {u_{s}}}(t)=$ ${\underline {u_{e}}}(t)-{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;{\underline {i_{s}}}(t)\;$» soit finalement, $\;\succ \;$dans la mesure où «$\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;$ est non nulle », «$\;{\underline {u_{s}}}(t)={\dfrac {{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {u_{e}}}(t)-{\dfrac {{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {i_{s}}}(t)\;$» dans laquelle on reconnaît le générateur de Thévenin en complexe équivalent au R.D.L. en convention générateur à savoir
* de f.e.m. instantanée complexe $\;{\big$de Thévenin${\big )}\;$ «$\;{\underline {e_{\text{Th}}}}(t)={\underline {u_{s,\,0}}}(t)={\dfrac {{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {u_{e}}}(t)\;$» et
* d'impédance complexe $\;{\big$de Thévenin${\big )}\;$ «$\;{\underline {z_{\text{Th}}}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\;$» ;
$\;\succ \;$si «$\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )=0\;$», l'équation de maille transformée se réécrivant «$\;{\underline {u_{e}}}(t)-{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;{\underline {i_{s}}}(t)=0\;\forall \;{\underline {u_{s}}}(t)\;$» permet d'en déduire $\;{\underline {i_{s}}}(t)=$ ${\dfrac {{\underline {u_{e}}}(t)}{{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\;\;\forall \;{\underline {u_{s}}}(t)\;$ ou «$\;{\underline {i_{s}}}(t)=$ $-{\dfrac {{\underline {u_{e}}}(t)}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}}\;\;\forall \;{\underline {u_{s}}}(t)\;$» établissant une équivalence avec une source de courant parfaite en complexe.
Commentaires : Il est relativement facile de retrouver les caractéristiques du générateur de Thévenin en complexe équivalent au R.D.L. « P.D.T. complexe alimenté en entrée par $\;{\underline {u_{e}}}(t)\;$ et vu des bornes de sortie » si on les a oubliées et dans la mesure où le générateur de Thévenin en complexe existe c.-à-d. si $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\neq 0\;$, en effet :
* d'une part la f.e.m. instantanée complexe de Thévenin étant la tension instantanée complexe de sortie ouverte, c'est la fraction $\;{\dfrac {{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\;$ de la tension instantanée complexe d'entrée,
* d'autre part l'impédance complexe de Thévenin étant l'impédance complexe du R.D.L. vue des bornes de sortie quand ce dernier est rendu passif c.-à-d. quand on a remplacé la tension instantanée complexe d'entrée par un court-circuit, le R.D.P. « P.D.T. complexe court-circuité en entrée et vu des bornes de sortie » est alors l'association parallèle des D.P.L. d'impédances complexes $\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;$ et $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;$ soit $\;{\underline {z_{\text{Th}}}}(j\,\omega )={\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\parallel {\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )=$ ${\dfrac {{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}$.

#### Le résultat le plus utilisé : P.D.T. en sortie ouverte alimenté en entrée par u$_e$(t)

$\;{\underline {u_{s,\,0}}}(t)={\dfrac {{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {u_{e}}}(t)\;$
Il suffit de faire $\;{\underline {i_{s}}}(t)=0\;$ dans le résultat du générateur de Thévenin en complexe précédemment démontré en se souvenant que son existence suppose $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\neq 0$, toutefois nous allons refaire la démonstration dans le cas particulier d'une sortie ouverte.
Démonstration : La sortie étant ouverte «$\;{\underline {i_{s}}}(t)=0\;$»,
Démonstration : les D.P.L. d'impédances complexes $\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;$ et $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;$ étant montés en série sont traversés par le même courant d'intensité instantanée complexe $\;{\underline {i_{e}}}(t)\;$ supposée finie,
Démonstration : la loi d'Ohm en complexe appliquée au D.P.L. d'impédance complexe $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;$ conduit à «$\;{\underline {u_{s,\,0}}}(t)={\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {i_{e}}}(t)\;$» et
Démonstration : celle appliquée à l'association série des D.P.L. d'impédances complexes $\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;$ et $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;$ à «$\;{\underline {u_{e}}}(t)=\left[{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\right]{\underline {i_{e}}}(t)\;$» mais $\;{\underline {u_{e}}}(t)\;$ étant de valeur finie, $\;{\underline {i_{e}}}(t)\;$ ne sera de valeur finie que si $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\neq 0$, nous voyons donc la « nécessité pour que $\;{\underline {i_{e}}}(t)\;$ reste de valeur finie que $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;$ soit non nulle »,
Démonstration : d'où en éliminant $\;{\underline {i_{e}}}(t)\;$ par «$\;{\underline {i_{e}}}(t)={\dfrac {{\underline {u_{e}}}(t)}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\;$ de valeur finie si $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\neq 0\;$», l'expression de la tension instantanée complexe de sortie ouverte «$\;{\underline {u_{s,\,0}}}(t)=$ ${\dfrac {{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {u_{e}}}(t)\;$».
Commentaires : C'est de cette expression $\;{\underline {u_{s,\,0}}}(t)={\dfrac {{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {u_{e}}}(t)\;$ que l'on tire le nom « pont diviseur de tension en complexe » $\;{\big$et en sortie ouverte${\big )}\;$ car $\;{\underline {u_{e}}}(t)\;$ est la tension instantanée complexe aux bornes de $\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;$ et $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;$ montées en série et $\;{\underline {u_{s,\,0}}}(t)\;$ la tension instantanée complexe aux bornes de $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;$, tension ne représentant que la fraction $\;{\dfrac {{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\;$ de $\;{\underline {u_{e}}}(t)$ ;
Commentaires : si on s'intéressait à la tension instantanée complexe $\;{\underline {u_{2}}}(t)\;$ aux bornes de $\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;$ au lieu de $\;{\underline {u_{1}}}(t)\;$ celle aux bornes de $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )$, on reconnaîtrait de même un pont diviseur de tension en complexe alimenté en entrée par $\;{\underline {u_{e}}}(t)\;$ et en sortie ouverte aux bornes de $\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;$ d'où, en permutant les indices $\;_{1}\;$ et $\;_{2}\;$, le résultat suivant $\;{\underline {u_{2}}}(t)={\dfrac {{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {u_{e}}}(t)\;$$^,$.

## Simplification de circuits par reconnaissance de pont(s) diviseur(s) de tension en électricité complexe associée au r.s.f.

$\;u_{e}(t)\;$
$\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\neq 0\;$

### Pont diviseur de tension alimenté en entrée par u$_e$(t) et fermé sur une charge d'impédance complexe connue

On souhaite déterminer la tension instantanée complexe de sortie $\;{\underline {u_{s}}}(t)\;$ d'un « P.D.T. en complexe alimenté en entrée par $\;{\underline {u_{e}}}(t)\;$ et fermé sur une charge d'impédance complexe $\;{\underline {Z_{u}}}(j\,\omega )\;$» en fonction de la tension instantanée complexe d'entrée $\;{\underline {u_{e}}}(t)$, des impédances complexes du pont et de l'impédance complexe d'utilisation $\;{\underline {Z_{u}}}(j\,\omega )$ ; il y a deux façons de procéder :
* Remarquer que «$\;{\underline {Z_{u}}}(j\,\omega )\;$ est en $\;\parallel \;$ sur $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;$», « remplacer cette association parallèle par son impédance complexe équivalente » et « reconnaître un R.D.L. en sortie ouverte “ P.D.T. en complexe alimenté en entrée par $\;{\underline {u_{e}}}(t)\;$ et en sortie ouverte aux bornes de $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\parallel {\underline {Z_{u}}}(j\,\omega )\;$” » $\;\ldots$
* « Remplacer le R.D.L. “ P.D.T. en complexe alimenté en entrée par $\;{\underline {u_{e}}}(t)\;$ et vu des bornes de sortie ” par son générateur de Thévenin équivalent en complexe » et « reconnaître dans le nouveau circuit un R.D.L. en sortie ouverte “ P.D.T. en complexe alimenté en entrée par $\;{\underline {e_{\text{Th}}}}(t)$, d'impédance complexe d'attaque $\;{\underline {z_{\text{Th}}}}(j\,\omega )\;$ et en sortie ouverte aux bornes de $\;{\underline {Z_{u}}}(j\,\omega )\;$” » $\;\ldots$

### 1ère résolution : remplacer l'impédance complexe du P.D.T. en parallèle sur l'impédance complexe de la charge de sortie par son impédance complexe équivalente

Voir schéma de situation ci-contre :
On utilise que l'impédance complexe de la charge $\;{\underline {Z_{u}}}(j\,\omega )\;$ est montée en $\;\parallel \;$ sur $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )$, et « on remplace l'association parallèle par son D.P.L. équivalent d'impédance complexe $\;{\underline {Z_{\text{éq}}}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{u}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{u}}}(j\,\omega )}}\;$» puis, on considère le « nouveau P.D.T. en complexe alimenté en entrée par $\;{\underline {u_{e}}}(t)\;$ et en sortie ouverte aux bornes de $\;{\underline {Z_{\text{éq}}}}(j\,\omega )\;$» d'où l'expression de la tension instantanée complexe de sortie ouverte de ce nouveau P.D.T.
«$\;{\underline {u_{s}}}(t)={\dfrac {{\underline {Z_{\text{éq}}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{\text{éq}}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {u_{e}}}(t)={\dfrac {\dfrac {{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{u}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{u}}}(j\,\omega )}}{{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )+{\dfrac {{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{u}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{u}}}(j\,\omega )}}}}\;{\underline {u_{e}}}(t)\;$» ou, en multipliant haut et bas par $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{u}}}(j\,\omega )$,
$\;{\underline {u_{s}}}(t)={\dfrac {{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{u}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\left[{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{u}}}(j\,\omega )\right]+{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{u}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {u_{e}}}(t)\;$

### 2ème résolution : utiliser le générateur de Thévenin du P.D.T. alimenté en entrée par u$_e$(t)

On remplace le R.D.L. « pont diviseur de tension en complexe alimenté en entrée par $\;{\underline {u_{e}}}(t)\;$ et vu des bornes de sortie » par le générateur de Thévenin équivalent en complexe
* de f.e.m. de Thévenin «$\;{\underline {e_{\text{Th}}}}(t)={\dfrac {{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {u_{e}}}(t)\;$» et
* d'impédance complexe de Thévenin «$\;{\underline {z_{\text{Th}}}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\;$»,
on obtient alors le schéma ci-contre dans lequel on reconnaît un « P.D.T. en complexe alimenté en entrée par $\;{\underline {e_{\text{Th}}}}(t)\;$ et en sortie ouverte aux bornes de $\;{\underline {Z_{u}}}(j\,\omega )\;$» d'où l'expression de la tension instantanée complexe de sortie ouverte de ce nouveau P.D.T.
«$\;{\underline {u_{s}}}(t)={\dfrac {{\underline {Z_{u}}}(j\,\omega )}{{\underline {z_{\text{Th}}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{u}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {e_{\text{Th}}}}(t)={\dfrac {{\underline {Z_{u}}}(j\,\omega )}{{\dfrac {{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}+{\underline {Z_{u}}}(j\,\omega )}}\;{\dfrac {{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {u_{e}}}(t)\;$» ou, par simplification évidente,
$\;{\underline {u_{s}}}(t)={\dfrac {{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{u}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{u}}}(j\,\omega )\left[{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\right]}}\;{\underline {u_{e}}}(t)\;$

## Pont diviseur de courant (P.D.C.) en électricité complexe associée au r.s.f., représentation de Norton équivalente vue de la sortie du pont diviseur de courant complexe alimenté en entrée
### Présentation du P.D.C. en électricité complexe associée au r.s.f.

Un pont diviseur de courant $\;{\big$P.D.C.${\big )}\;$ en électricité complexe associée au r.s.f. de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ est un quadripôle linéaire passif, alimenté en entrée par un courant d'intensité instantanée complexe $\;{\underline {i_{e}}}(t)\;$ entrant par la borne $\;E\;$ et traversant deux D.P.L. d'impédances complexes $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;$ et $\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;$ lesquels sont montés en parallèle quand la sortie en série avec le D.P.L. d'impédance complexe $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;$ est court-circuitée $\;{\big$le pont diviseur de courant étant dit « en sortie court-circuitée »${\big )}\;$ mais si cette sortie est fermée sur une « charge »$^,$, le D.P.L. d'impédance complexe $\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;$ est en parallèle avec l'association série « D.P.L. d'impédance complexe $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;$ et charge de sortie », l'intensité instantanée complexe du courant sortant par la borne $\;S\;$ étant $\;{\underline {i_{s}}}(t)$.
Les grandeurs électriques d'entrée sont définies en convention récepteur pour l'entrée du P.D.C. et simultanément en convention générateur pour la source qui l'alimente :
* « intensité instantanée complexe du courant d'entrée $\;{\underline {i_{e}}}(t)={\underline {I_{e}}}\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$» d'« intensité efficace complexe d'entrée $\;{\underline {I_{e}}}=$ $I_{e}\;\exp \!\left(j\,\varphi _{i_{e}}\right)\;$» et
* « tension instantanée complexe d'entrée $\;{\underline {u_{e}}}(t)={\underline {U_{e}}}\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$» de « tension efficace complexe d'entrée $\;{\underline {U_{e}}}=$ $U_{e}\;\exp \!\left(j\,\varphi _{u_{e}}\right)\;$» ;
les grandeurs électriques de sortie sont définies en convention générateur pour la sortie du P.D.C. et simultanément en convention récepteur pour la charge aux bornes de laquelle le P.D.C. est branché :
* « intensité instantanée complexe du courant de sortie $\;{\underline {i_{s}}}(t)={\underline {I_{s}}}\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$» d'« intensité efficace complexe de sortie $\;{\underline {I_{s}}}=I_{s}\;\exp \!\left(j\,\varphi _{i_{s}}\right)\;$» et
* « tension instantanée complexe de sortie $\;{\underline {u_{s}}}(t)={\underline {U_{s}}}\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$» de « tension efficace complexe de sortie $\;{\underline {U_{s}}}=U_{s}\;\exp \!\left(j\,\varphi _{u_{s}}\right)\;$».

### Générateur de Norton en électricité complexe associée au r.s.f. équivalent au réseau dipolaire « P.D.C. alimenté en entrée par i$_e$(t) et vu des bornes de sortie »
#### Énoncé du résultat

$\;{\underline {u_{e}}}(t)\;$
$\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\neq 0\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\underline {\eta _{N}}}(t)={\dfrac {{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {i_{e}}}(t)\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\underline {z_{N}}}(j\,\omega )={\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;$

#### Démonstration

Le but recherché est la détermination de l'expression de $\;{\underline {i_{s}}}(t)\;$ en fonction de $\;{\underline {i_{e}}}(t)$, $\;{\underline {u_{s}}}(t)\;$ et les composants passifs du P.D.C. et pour cela on utilise :
* la loi de nœud «$\;{\underline {i_{e}}}(t)={\underline {i_{2}}}(t)+{\underline {i_{s}}}(t)\;\;\left({\mathfrak {n}}\right)\;$» dans laquelle on élimine $\;{\underline {i_{2}}}(t)\;$ par
* la loi de maille soit «$\;{\underline {u_{s}}}(t)+{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {i_{s}}}(t)-{\underline {u_{e}}}(t)=0\;\;\left({\mathfrak {m}}\right)\;$» ou, en explicitant la tension instantanée complexe d'entrée $\;{\underline {u_{e}}}(t)\;$ en fonction de $\;{\underline {i_{2}}}(t)\;$ par loi d'Ohm en complexe «$\;{\underline {u_{e}}}(t)=$ ${\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;{\underline {i_{2}}}(t)\;$», la nouvelle expression de loi de maille «$\;{\underline {u_{s}}}(t)+{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {i_{s}}}(t)-{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;{\underline {i_{2}}}(t)=$ $0\;\;\left({\mathfrak {m}}\right)\;$» dont on tire «$\;{\underline {i_{2}}}(t)={\dfrac {{\underline {u_{s}}}(t)}{{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}+{\dfrac {{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {i_{s}}}(t)\;$» ;
en reportant dans l'équation de nœud $\;\left({\mathfrak {n}}\right)\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\underline {i_{e}}}(t)={\dfrac {{\underline {u_{s}}}(t)}{{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}+{\dfrac {{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {i_{s}}}(t)+{\underline {i_{s}}}(t)\;$» ou, en regroupant les termes en intensité instantanée complexe de sortie, $\;{\underline {i_{s}}}(t)\left[1+{\dfrac {{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\right]=$ ${\underline {i_{e}}}(t)-{\dfrac {{\underline {u_{s}}}(t)}{{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\;$ ou encore «$\;{\dfrac {{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {i_{s}}}(t)=$ ${\underline {i_{e}}}(t)-{\dfrac {{\underline {u_{s}}}(t)}{{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\;$» soit finalement $\;\succ \;$dans la mesure où «$\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;$ est non nulle », «$\;{\underline {i_{s}}}(t)={\dfrac {{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {i_{e}}}(t)-{\dfrac {{\underline {u_{s}}}(t)}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\;$» dans laquelle on reconnaît le générateur de Norton en complexe équivalent au R.D.L. en convention générateur à savoir
* de c.e.m. instantané complexe $\;{\big$de Norton${\big )}\;$ «$\;{\underline {\eta _{N}}}(t)={\underline {i_{s,\,c.c.}}}(t)={\dfrac {{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {i_{e}}}(t)\;$» et
* d'impédance complexe $\;{\big$de Norton${\big )}\;$ «$\;{\underline {z_{N}}}(j\,\omega )={\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;$» ;
$\;\succ \;$si «$\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )=0\;$», l'équation de nœud transformée se réécrivant «$\;{\underline {i_{e}}}(t)-{\dfrac {{\underline {u_{s}}}(t)}{{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}=0\;\forall \;{\underline {i_{s}}}(t)\;$» permet d'en déduire $\;{\underline {u_{s}}}(t)=$ ${\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;{\underline {i_{e}}}(t)\;\;\forall \;{\underline {i_{s}}}(t)\;$ ou «$\;{\underline {u_{s}}}(t)=$ $-{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {i_{e}}}(t)\;\;\forall \;{\underline {i_{s}}}(t)\;$» établissant une équivalence avec une source de tension parfaite en complexe.
Commentaires : Il est relativement facile de retrouver les caractéristiques du générateur de Norton en complexe équivalent au R.D.L. « P.D.C. complexe alimenté en entrée par $\;{\underline {i_{e}}}(t)\;$ et vu des bornes de sortie » si on les a oubliées et dans la mesure où le générateur de Norton en complexe existe c.-à-d. dans l'hypothèse $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\neq 0\;$, en effet :
* d'une part le c.e.m. instantané complexe de Norton étant l'intensité instantanée complexe de sortie court-circuitée, c'est la fraction $\;{\dfrac {{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\;$ de l'intensité instantanée complexe d'entrée,
* d'autre part l'impédance complexe de Norton étant l'impédance complexe du R.D.L. vue des bornes de sortie quand ce dernier est rendu passif c.-à-d. quand on a remplacé la tension instantanée complexe d'entrée par un interrupteur ouvert, le R.D.P. « P.D.C. complexe ouvert en entrée et vu des bornes de sortie » est alors l'association série des D.P.L. d'impédances complexes $\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;$ et $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;$ dont on tire $\;{\underline {z_{N}}}(j\,\omega )={\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\,_{\text{série}}\,{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )=$ ${\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )$.

#### Le résultat le plus utilisé : P.D.C. en sortie court-circuitée alimenté en entrée par i$_e$(t)

$\;{\underline {i_{s,\,c.c.}}}(t)={\dfrac {{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {i_{e}}}(t)={\dfrac {{\underline {Y_{1}}}(j\,\omega )}{{\underline {Y_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Y_{2}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {i_{e}}}(t)\;$
Il suffit de faire $\;{\underline {u_{s}}}(t)=0\;$ dans le résultat du générateur de Norton en complexe précédemment démontré en se souvenant que son existence suppose $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\neq 0$, toutefois nous allons refaire la démonstration dans le cas particulier d'une sortie court-circuitée.
Démonstration : La sortie étant court-circuitée «$\;{\underline {u_{s}}}(t)=0\;$»,
Démonstration : les D.P.L. d'impédances complexes $\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;$ et $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;$ étant montés en parallèle sont soumis à la même tension instantanée complexe $\;{\underline {u_{e}}}(t)\;$ supposée finie,
Démonstration : la loi d'Ohm en complexe appliquée au D.P.L. d'impédance complexe $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;$ conduit à «$\;{\underline {i_{s,\,c.c.}}}(t)$ $={\dfrac {{\underline {u_{e}}}(t)}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}}\;$»
Démonstration : et celle appliquée à l'association parallèle des D.P.L. d'impédances complexes $\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;$ et $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;$ à «$\;{\underline {i_{e}}}(t)=$ ${\dfrac {{\underline {u_{e}}}(t)}{\dfrac {{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}}=$ ${\underline {u_{e}}}(t)\left[{\underline {Y_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Y_{2}}}(j\,\omega )\right]\;$» mais $\;{\underline {i_{e}}}(t)\;$ étant de valeur finie, $\;{\underline {u_{e}}}(t)\;$ ne sera de valeur finie que si $\;{\underline {Y_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Y_{2}}}(j\,\omega )\neq 0$, nous voyons donc la « nécessité pour que $\;{\underline {i_{e}}}(t)\;$ reste de valeur finie que $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;$ soit non nulle »,
Démonstration : d'où en éliminant $\;{\underline {u_{e}}}(t)\;$ par «$\;{\underline {u_{e}}}(t)={\dfrac {{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {i_{e}}}(t)\;$ de valeur finie si $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\neq 0\;$», l'expression de l'intensité instantanée complexe de sortie court-circuitée «$\;{\underline {i_{s,\,c.c.}}}(t)=$ ${\dfrac {{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {i_{e}}}(t)\;$»
Commentaires : C'est de cette expression $\;{\underline {i_{s,\,c.c.}}}(t)={\dfrac {{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {i_{e}}}(t)\;$ que l'on tire le nom « pont diviseur de courant en complexe » $\;{\big$et en sortie court-circuitée${\big )}\;$ car $\;{\underline {i_{e}}}(t)\;$ est l'intensité instantanée complexe du courant traversant $\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;$ et $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;$ montées en parallèle et $\;{\underline {i_{s,\,c.c.}}}(t)\;$ l'intensité instantanée complexe du courant traversant $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;$, intensité ne représentant que la fraction $\;{\dfrac {{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\;$ de $\;{\underline {i_{e}}}(t)$ ;
Commentaires : si on s'intéressait à l'intensité instantanée complexe $\;{\underline {i_{2}}}(t)\;$ du courant traversant $\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;$ au lieu de $\;{\underline {i_{1}}}(t)\;$ celle du courant traversant $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )$, on reconnaîtrait de même un pont diviseur de courant en complexe alimenté en entrée par $\;{\underline {i_{e}}}(t)\;$ et en sortie court-circuitée en série avec $\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;$ d'où, en permutant les indices $\;_{1}\;$ et $\;_{2}\;$, le résultat suivant $\;{\underline {i_{2}}}(t)={\dfrac {{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {i_{e}}}(t)\;$$^,$.

## Simplification de circuits par reconnaissance de pont(s) diviseur(s) de courant en électricité complexe associée au r.s.f.

$\;i_{e}(t)\;$
$\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\neq 0\;$

### Pont diviseur de courant alimenté en entrée par i$_e$(t) et fermé sur une charge d'impédance complexe connue

On souhaite déterminer l'intensité instantanée complexe du courant de sortie $\;{\underline {i_{s}}}(t)\;$ d'un « P.D.C. en complexe alimenté en entrée par $\;{\underline {i_{e}}}(t)\;$ et fermé sur une charge d'impédance complexe $\;{\underline {Z_{u}}}(j\,\omega )\;$» en fonction de l'intensité instantanée complexe du courant d'entrée $\;{\underline {i_{e}}}(t)$, des impédances complexes du pont et de l'impédance complexe d'utilisation $\;{\underline {Z_{u}}}(j\,\omega )$ ; il y a deux façons de procéder :
* Remarquer que «$\;{\underline {Z_{u}}}(j\,\omega )\;$ est en série avec $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;$», « remplacer cette association série par son impédance complexe équivalente » et « reconnaître un R.D.L. en sortie court-circuitée “ P.D.C. en complexe alimenté en entrée par $\;{\underline {i_{e}}}(t)\;$ et en sortie court-circuitée à la suite de $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;_{\text{série}}\;{\underline {Z_{u}}}(j\,\omega )\;$” » $\;\ldots$
* « Remplacer le R.D.L. “ P.D.C. en complexe alimenté en entrée par $\;{\underline {i_{e}}}(t)\;$ et vu des bornes de sortie ” par son générateur de Norton équivalent en complexe » et « reconnaître dans le nouveau circuit un R.D.L. en sortie court-circuitée “ P.D.C. en complexe alimenté en entrée par $\;{\underline {\eta _{N}}}(t)$, d'impédance complexe d'attaque $\;{\underline {z_{N}}}(j\,\omega )\;$ et en sortie court-circuitée à la suite de $\;{\underline {Z_{u}}}(j\,\omega )\;$” » $\;\ldots$

### 1ère résolution : remplacer l'impédance complexe du P.D.C. en série avec l'impédance complexe de la charge de sortie par son impédance complexe équivalente

Voir schéma de situation ci-contre :
On utilise que l'impédance complexe de la charge $\;{\underline {Z_{u}}}(j\,\omega )\;$ est montée en série avec $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )$, et « on remplace l'association série par son D.P.L. équivalent d'impédance complexe $\;{\underline {Z_{\text{éq}}}}(j\,\omega )={\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{u}}}(j\,\omega )\;$» puis, on considère le « nouveau P.D.C. en complexe alimenté en entrée par $\;{\underline {i_{e}}}(t)\;$ et en sortie court-circuitée à la suite de $\;{\underline {Z_{\text{éq}}}}(j\,\omega )$ $={\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{u}}}(j\,\omega )\;$» d'où l'expression de l'intensité instantanée complexe de courant de sortie court-circuitée de ce nouveau P.D.C.
«$\;{\underline {i_{s}}}(t)={\dfrac {{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{\text{éq}}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {i_{e}}}(t)={\dfrac {{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )+\left[{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{u}}}(j\,\omega )\right]}}\;{\underline {i_{e}}}(t)\;$» et finalement
$\;{\underline {i_{s}}}(t)={\dfrac {{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{u}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {i_{e}}}(t)\;$

### 2ème résolution : utiliser le générateur de Norton du P.D.C. alimenté en entrée par i$_e$(t)

On remplace le R.D.L. « pont diviseur de courant en complexe alimenté en entrée par $\;{\underline {i_{e}}}(t)\;$ et vu des bornes de sortie » par le générateur de Norton équivalent en complexe
* de c.e.m. de Norton «$\;{\underline {\eta _{N}}}(t)={\dfrac {{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {i_{e}}}(t)\;$» et
* d'impédance complexe de Norton «$\;{\underline {z_{N}}}(j\,\omega )={\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;$»,
on obtient alors le schéma ci-contre dans lequel on reconnaît un « P.D.C. en complexe alimenté en entrée par $\;{\underline {\eta _{N}}}(t)\;$ et en sortie court-circuitée à la suite de $\;{\underline {Z_{u}}}(j\,\omega )\;$» d'où l'expression de l'intensité instantanée complexe de courant de sortie courticircuitée de ce nouveau P.D.C. «$\;{\underline {i_{s}}}(t)={\dfrac {{\underline {z_{N}}}(j\,\omega )}{{\underline {z_{N}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{u}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {\eta _{N}}}(t)\;$» et,
en y reportant le c.e.m. et l'impédance complexes de Norton «$\;{\underline {i_{s}}}(t)={\dfrac {{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}{\left[{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\right]+{\underline {Z_{u}}}(j\,\omega )}}\;{\dfrac {{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {i_{e}}}(t)\;$» ou, par simplification évidente
$\;{\underline {i_{s}}}(t)={\dfrac {{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{u}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {i_{e}}}(t)\;$

## Association parallèle de deux sources linéaires non idéales de tension en électricité complexe associée au r.s.f., représentation de Thévenin équivalente à l'association, théorème de Millman appliqué au cas de deux branches du type « impédance complexe, potentiel complexe » délivrant un courant d'intensité connue (ou à connaître)
### Association parallèle de deux sources linéaires non idéales de tension en électricité complexe associée au r.s.f. et générateur de Thévenin équivalent à l'association

Considérons le montage ci-contre dans lequel on a représenté les sources linéaires non idéales de tension sinusoïdale de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ par leur modèle générateur de Thévenin en électricité complexe associée au r.s.f. de pulsation $\;\omega$ ; vu des bornes de sortie ce R.D.L. « association parallèle de deux sources non idéales de tension complexe » est équivalente à un générateur de Thévenin en complexe dont nous cherchons la f.e.m. instantanée complexe $\;{\big$de Thévenin${\big )}\;$ $\;{\underline {e_{\text{Th}}}}(t)\;$ et l'impédance complexe $\;{\big$de Thévenin${\big )}\;$ $\;{\underline {z_{\text{Th}}}}(j\,\omega )$ :
le plus simple pour l'obtenir passe par la transformation de chaque source réelle de tension complexe en son modèle générateur de Norton$^,$ en complexe à savoir une “ association parallèle d'une source de courant parfaite de c.e.m. instantané complexe «$\;{\underline {\eta _{k}}}(t)=$ ${\dfrac {{\underline {e_{k}}}(t)}{{\underline {z_{k}}}(j\,\omega )}}\;$» et d'un D.P.L. d'impédance complexe «$\;{\underline {z_{k}}}(j\,\omega )\;$» ” puis de remplacer
* l'association parallèle des deux D.P.L. en complexe par leur D.P.L. en complexe équivalent d'impédance complexe «$\;{\underline {z_{\text{éq}}}}(j\,\omega )=$ ${\dfrac {{\underline {z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {z_{2}}}(j\,\omega )}}\;$» ainsi que
* l'association parallèle des deux sources de courant parfaites en complexe par leur source de courant parfaite en complexe équivalente de c.e.m. instantané complexe «$\;{\underline {\eta _{\text{éq}}}}(t)={\underline {\eta _{1}}}(t)+{\underline {\eta _{2}}}(t)=$ ${\dfrac {{\underline {e_{1}}}(t)}{{\underline {z_{1}}}(j\,\omega )}}+{\dfrac {{\underline {e_{2}}}(t)}{{\underline {z_{2}}}(j\,\omega )}}$ $={\dfrac {{\underline {z_{2}}}(j\,\omega )\;{\underline {e_{1}}}(t)+{\underline {z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {e_{2}}}(t)}{{\underline {z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {z_{2}}}(j\,\omega )}}\;$» ;
on obtient alors le modèle générateur de Norton complexe du R.D.L. « association parallèle de deux sources non idéales de tension complexe » $\;{\Big$c.-à-d. l'association $\;\parallel \;$ d'une source de courant parfaite complexe de c.e.m. instantané complexe «$\;{\underline {\eta _{N}}}(t)={\dfrac {{\underline {z_{2}}}(j\,\omega )\;{\underline {e_{1}}}(t)+{\underline {z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {e_{2}}}(t)}{{\underline {z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {z_{2}}}(j\,\omega )}}\;$» et d'un D.P.L. en complexe d'impédance complexe «$\;{\underline {z_{N}}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {z_{2}}}(j\,\omega )}}\;$»${\Big ]}\;$ et
il reste à transformer, quand cela est possible, ce générateur de Norton complexe en un générateur de Thévenin complexe équivalent pour établir le générateur de Thévenin équivalent au R.D.L. initial « association parallèle de deux sources non idéales de tension complexe » $\;{\Big$c.-à-d. l'association série d'une source de tension parfaite complexe de f.e.m. instantanée complexe «$\;{\underline {e_{\text{Th}}}}(t)=$ ${\underline {z_{N}}}(j\,\omega )\;{\underline {\eta _{N}}}(t)=$ ${\dfrac {{\underline {z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {z_{2}}}(j\,\omega )}}\;{\dfrac {{\underline {z_{2}}}(j\,\omega )\;{\underline {e_{1}}}(t)+{\underline {z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {e_{2}}}(t)}{{\underline {z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {z_{2}}}(j\,\omega )}}=$ ${\dfrac {{\underline {z_{2}}}(j\,\omega )\;{\underline {e_{1}}}(t)+{\underline {z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {e_{2}}}(t)}{{\underline {z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {z_{2}}}(j\,\omega )}}\;$» et d'un D.P.L. en complexe d'impédance complexe «$\;{\underline {z_{\text{Th}}}}(j\,\omega )={\underline {z_{N}}}(j\,\omega )=$ ${\dfrac {{\underline {z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {z_{2}}}(j\,\omega )}}\;$»${\Big ]}\;$.
Conclusion : le générateur de Thévenin en complexe équivalent au R.D.L. « association parallèle de deux sources non idéales de tension complexe » a, « si $\;{\underline {z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {z_{2}}}(j\,\omega )\neq 0\;$», pour
* f.e.m. instantanée complexe $\;{\big$de Thévenin${\big )}\;$ «$\;{\underline {e_{\text{Th}}}}(t)={\dfrac {{\underline {z_{2}}}(j\,\omega )\;{\underline {e_{1}}}(t)+{\underline {z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {e_{2}}}(t)}{{\underline {z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {z_{2}}}(j\,\omega )}}\;$» et
* impédance complexe $\;{\big$de Thévenin${\big )}\;$ «$\;{\underline {z_{\text{Th}}}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {z_{2}}}(j\,\omega )}}\;$» ;
Conclusion : la loi d'Ohm généralisée en complexe du générateur de Thévenin en complexe équivalent au R.D.L. « association parallèle de deux sources non idéales de tension complexe » s'écrit donc, en convention générateur :
$\;{\underline {u_{s}}}(t)={\underline {e_{\text{Th}}}}(t)-{\underline {z_{\text{Th}}}}(j\,\omega )\;{\underline {i_{s}}}(t)={\dfrac {{\underline {z_{2}}}(j\,\omega )\;{\underline {e_{1}}}(t)+{\underline {z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {e_{2}}}(t)}{{\underline {z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {z_{2}}}(j\,\omega )}}-{\dfrac {{\underline {z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {z_{2}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {i_{s}}}(t)\;$
Commentaires : Le R.D.L. « pont diviseur de tension en complexe alimenté en entrée par $\;{\underline {e_{1}}}(t)\;$ avec sortie aux bornes du D.P.L. en complexe d'impédance complexe $\;{\underline {z_{2}}}(j\,\omega )\;$» est un cas particulier de ce R.D.L. « association parallèle de deux sources non idéales de tension complexe » avec $\;{\underline {e_{2}}}(t)=0$, le générateur de Thévenin équivalent en complexe a donc la même impédance complexe$\;{\big$de Thévenin${\big )}\;$ «$\;{\underline {z_{\text{Th}}}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {z_{2}}}(j\,\omega )}}\;$» et sa f.e.m. instantanée complexe$\;{\big$de Thévenin${\big )}\;$ qui, dans le R.D.L. « association parallèle de deux sources non idéales de tension complexe » était une C.L. des f.e.m. instantanées complexes des sources, les cœfficients des f.e.m. instantanées complexes étant croisés «$\;{\dfrac {{\underline {z_{1}}}(j\,\omega )}{{\underline {z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {z_{2}}}(j\,\omega )}}\;$ pour $\;{\underline {e_{2}}}(t)\;$ et $\;{\dfrac {{\underline {z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {z_{2}}}(j\,\omega )}}\;$ pour $\;{\underline {e_{1}}}(t)\;$» devient, en imposant$\;{\underline {e_{2}}}(t)=0$, «$\;{\underline {e_{\text{Th}}}}(t)=$ ${\dfrac {{\underline {z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {z_{2}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {e_{1}}}(t)\;$» si «$\;{\underline {z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {z_{2}}}(j\,\omega )\neq 0\;$».

### Complément : théorème de Millman de l'électricité complexe associée au r.s.f. appliqué au nœud d'où partent deux branches de type « impédance complexe, potentiel complexe » lesquelles délivrent un courant d'intensité instantanée i$_s$(t) connue (ou à connaître)

$\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$
Il s'agit du résultat du paragraphe précédent réécrit en termes de potentiel instantané complexe du nœud où on applique le théorème de Millman de l'électricité complexe associée au r.s.f. de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ ${\big$voir schéma ci-contre${\big )}$ :
on pourra appliquer le théorème de Millman de l'électricité complexe associée au r.s.f. de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ en un nœud $\;S\;$ si, arrivent à ce nœud deux branches internes du type $\;\left\lbrace {\underline {Z}}(j\,\omega ),\,{\underline {v}}(t)\right\rbrace \;$, la branche externe permettant le départ d'un courant d'intensité instantanée complexe $\;{\underline {i_{s}}}(t)$ ; le théorème de Millman de l'électricité complexe associée au r.s.f. de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ appliqué au nœud $\;S\;$ permet de déterminer le potentiel instantané complexe du nœud considéré en fonction des deux potentiels instantanés complexes et des deux impédances complexes définis sur chaque branche interne ainsi que de l'intensité instantanée complexes du courant délivré ;
l'« association parallèle de deux sources linéaires non idéales de tension en électricité complexe associée au r.s.f. » délivrant un courant d'intensité instantanée complexe $\;{\underline {i_{s}}}(t)\;$ satisfait aux conditions d'« utilisation du théorème de Millman au nœud $\;A\;$» si « on choisit la masse en $\;B\;$» $\;{\big$voir schéma du paragraphe précédent${\big )}\;$ ;
or ayant établi «$\;{\underline {u_{s}}}(t)={\dfrac {{\underline {z_{2}}}(j\,\omega )\;{\underline {e_{1}}}(t)+{\underline {z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {e_{2}}}(t)}{{\underline {z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {z_{2}}}(j\,\omega )}}-{\dfrac {{\underline {z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {z_{2}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {i_{s}}}(t)\;$» si «$\;{\underline {z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {z_{2}}}(j\,\omega )\neq 0\;$» on peut réécrire cette relation en termes de potentiels instantanés complexes car «$\;{\underline {u_{s}}}(t)={\underline {v_{A}}}(t)-{\underline {v_{B}}}(t)={\underline {v_{A}}}(t)\;$» soit «$\;{\underline {v_{A}}}(t)=$ ${\dfrac {{\underline {z_{2}}}(j\,\omega )\;{\underline {v_{C}}}(t)+{\underline {z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {v_{D}}}(t)}{{\underline {z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {z_{2}}}(j\,\omega )}}-{\dfrac {{\underline {z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {z_{2}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {i_{s}}}(t)$ $={\dfrac {{\underline {z_{2}}}(j\,\omega )\;{\underline {v_{C}}}(t)+{\underline {z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {v_{D}}}(t)-{\underline {z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {z_{2}}}(j\,\omega )\;{\underline {i_{s}}}(t)}{{\underline {z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {z_{2}}}(j\,\omega )}}\;$» ou, en divisant haut et bas par «$\;{\underline {z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {z_{2}}}(j\,\omega )\;$», l'expression suivante
$\;{\underline {v_{A}}}(t)={\dfrac {{\dfrac {{\underline {v_{C}}}(t)}{{\underline {z_{1}}}(j\,\omega )}}+{\dfrac {{\underline {v_{D}}}(t)}{{\underline {z_{2}}}(j\,\omega )}}-{\underline {i_{s}}}(t)}{{\dfrac {1}{{\underline {z_{1}}}(j\,\omega )}}+{\dfrac {1}{{\underline {z_{2}}}(j\,\omega )}}}}\;$
${\bigg$
$\;{\dfrac {1}{{\underline {z_{1}}}(j\,\omega )}}+{\dfrac {1}{{\underline {z_{2}}}(j\,\omega )}}\neq 0\;$
${\bigg ]}$
$\;f=$
${\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$
$\;S\;$
$\;\left\lbrace {\underline {Z}}(j\,\omega ),\,{\underline {v}}(t)\right\rbrace \;$
$\;{\underline {i_{s}}}(t)\;$
$\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\neq 0\;$
${\bigg$
$\;{\dfrac {1}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}}+{\dfrac {1}{{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\neq 0{\bigg ]}\;$
$\;S$
$\;{\underline {v_{S}}}(t)={\dfrac {{\dfrac {{\underline {v_{1}}}(t)}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}}+{\dfrac {{\underline {v_{2}}}(t)}{{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}-{\underline {i_{s}}}(t)}{{\dfrac {1}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}}+{\dfrac {1}{{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}}}\;$
Commentaires : Pour appliquer le théorème de Millman de l'électricité complexe associée au r.s.f. de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ en un nœud, vérifier que les deux branches internes sont de type $\;\left\lbrace {\underline {Z}}(j\,\omega ),\,{\underline {v}}(t)\right\rbrace \;$ ${\big$choisir la « masse » pour obtenir des potentiels instantanés complexes les plus simples possibles${\big )}\;$ et définir le courant délivré dans la branche externe ;  Commentaires : le potentiel instantané complexe du nœud choisi est exprimé sous la forme d'un quotient d'une somme de trois intensités instantanées complexes sur une somme de deux admittances complexes, chaque branche interne ayant pour terme dans la somme du numérateur $\;{\dfrac {{\underline {v_{k}}}(t)}{{\underline {Z_{k}}}(j\,\omega )}}\;$ et pour terme dans la somme du dénominateur $\;{\dfrac {1}{{\underline {Z_{k}}}(j\,\omega )}}$, la branche externe n'ayant que le terme $\;-{\underline {i_{s}}}(t)\;$ dans la somme du numérateur.

## Complément : généralisation du théorème de Millman de l'électricité complexe associée au r.s.f.
### Condition d'application du théorème de Millman de l'électricité complexe associée au r.s.f. en un nœud duquel part une branche externe par laquelle le courant est délivré

Il s'agit de la généralisation du théorème de Millman de l'électricité complexe associée au r.s.f. de fréquence $\;f=$ ${\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ avec modification des branches internes $\;{\big$voir schéma ci-contre${\big )}$ :
on pourra appliquer la généralisation du théorème de Millman de l'électricité complexe associée au r.s.f. de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ en un nœud $\;S\;$ si, arrivent à ce nœud des branches internes du type $\;\left\lbrace {\underline {Z}}(j\,\omega ),\,{\underline {v}}(t)\right\rbrace \;$$^,$ et $\;{\big$éventuellement${\big )}\;$ des branches internes de type $\;\left\lbrace {\underline {i'}}(t)\right\rbrace \;$, la branche externe permettant le départ d'un courant d'intensité instantanée complexe $\;{\underline {i_{s}}}(t)$ ; la généralisation du théorème de Millman de l'électricité complexe associée au r.s.f. de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ appliquée au nœud $\;S\;$ permet de déterminer le potentiel instantané complexe du nœud considéré en fonction des potentiels instantanés complexes et des impédances complexes définis sur chaque branche interne de type $\;\left\lbrace {\underline {Z}}(j\,\omega ),\,{\underline {v}}(t)\right\rbrace \;$ ainsi que des intensités instantanées complexes des courants traversant chaque branche interne de type $\;\left\lbrace {\underline {i'}}(t)\right\rbrace \;$ et l'intensité instantanée complexe du courant délivré.

### Énoncé du théorème de Millman appliqué au nœud S de sortie du réseau par lequel le courant sortant alimente la branche extérieure

La démonstration consiste
* à transformer les $\;n\;$ branches de type $\;\left\lbrace {\underline {Z}}(j\,\omega ),\,{\underline {v}}(t)\right\rbrace \;$ en leur modèle générateur de courant de l'électricité complexe,
* à considérer les courants des $\;m\;$ branches de type $\;\left\lbrace {\underline {i'}}(t)\right\rbrace \;$ comme des courants délivrés par des sources idéales de courant de l'électricité complexe,
* à regrouper les $\;n+m\;$ c.e.m. instantanés complexes en parallèle en un seul c.e.m. instantané complexe équivalent «$\;{\underline {\eta _{\text{éq}}}}(t)\;$»
* puis regrouper les $\;n\;$ D.P.L. de l'électricité complexe en parallèle résultant des modèles générateurs de courant de l'électricité complexe équivalents aux branches de type $\;\left\lbrace {\underline {Z}}(j\,\omega ),\,{\underline {v}}(t)\right\rbrace \;$ en un seul D.P.L. complexe équivalent d'admittance complexe «$\;{\underline {Y_{\text{éq}}}}(j\,\omega )\;$» et
* terminer en écrivant que ce D.P.L. complexe équivalent est traversée par le courant d'intensité instantanée complexe $\;{\underline {\eta _{\text{éq}}}}(t)-{\underline {i_{s}}}(t)\;$ d'où «$\;{\underline {v_{S}}}(t)$ $={\dfrac {{\underline {\eta _{\text{éq}}}}(t)-{\underline {i_{s}}}(t)}{{\underline {Y_{\text{éq}}}}(j\,\omega )}}\;$» si «$\;{\underline {Y_{\text{éq}}}}(j\,\omega )\neq 0\;$».
$\;f=$
${\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$
$\;S\;$
$\;n\geqslant 1\;$
$\;{\dfrac {{\underline {v}}(t)}{{\underline {Z}}(j\,\omega )}}$
$\;m\;$
$\;\left\lbrace {\underline {i'}}(t)\right\rbrace \;$
$\;{\underline {i_{s}}}(t)\;$
$\;S\;$
$\;\sum \limits _{k=1}^{n}{\dfrac {1}{{\underline {Z_{k}}}(j\,\omega )}}\neq 0\;$
$\;{\underline {v_{S}}}(t)={\dfrac {\sum \limits _{k=1}^{n}{\dfrac {{\underline {v_{k}}}(t)}{{\underline {Z_{k}}}(j\,\omega )}}+\sum \limits _{l=1}^{m}{{\underline {i'}}_{l}}(t)-{\underline {i_{s}}}(t)}{\sum \limits _{k=1}^{n}{\dfrac {1}{{\underline {Z_{k}}}(j\,\omega )}}}}\;$

### Intérêt du théorème de Millman de l'électricité complexe associée au r.s.f.

Si on cherche à déterminer le générateur de Thévenin de l'électricité complexe associée au r.s.f. de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ équivalent à un R.D.L. actif complexe $\;AB\;$ comportant une ou plusieurs sources, il peut être intéressant $\;-\;$ dans le cas où la notion de pont diviseur de tension complexe « ne serait pas opérationnelle » $\;-\;$ d'appliquer le théorème de Millman complexe en « chaque borne extrême $\;A\;$ et $\;B\;$ du réseau » pour déterminer le potentiel instantané complexe de chaque borne en fonction des grandeurs internes et de l'« intensité instantané complexe du courant traversant le réseau », puis de faire la différence pour obtenir la tension instantanée complexe aux bornes du réseau ;
* Schéma d'un réseau dipolaire linéaire $\;{\big$R.D.L.${\big )}\;$ en électricité complexe associée au r.s.f. de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ avec application du théorème de Millman en complexe en la borne supérieure du R.D.L., la masse $\;M\;$ choisie en un point interne du R.D.L. étant la même lors de l'application du théorème de Millman en complexe en la borne inférieure du R.D.L. ; nous supposerons «$\;\sum \limits _{j=1}^{j=m}{\dfrac {1}{{\underline {Z_{j}}}(j\,\omega )}}\neq 0\;$»
* Schéma d'un réseau dipolaire linéaire $\;{\big$R.D.L.${\big )}\;$ en électricité complexe associée au r.s.f. de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ avec application du théorème de Millman en complexe en la borne inférieure du R.D.L., la masse $\;M\;$ choisie en un point interne du R.D.L. étant la même lors de l'application du théorème de Millman en complexe en la borne supérieure du R.D.L. ; nous supposerons «$\;\sum \limits _{l=1}^{l=p}{\dfrac {1}{{\underline {z_{l}}}(j\,\omega )}}\neq 0\;$»
ayant obtenu «$\;{\underline {v_{A}}}(t)={\underline {v_{A,\,0}}}(t)-{\underline {z_{A}}}(j\,\omega )\;{\underline {i_{s}}}(t)\;$» par application du théorème de Millman complexe en $\;A\;$ et ayant obtenu «$\;{\underline {v_{B}}}(t)={\underline {v_{B,\,0}}}(t)+{\underline {z_{B}}}(j\,\omega )\;{\underline {i_{s}}}(t)\;$» par application du théorème de Millman complexe en $\;B$, la différence s'écrit alors «$\;{\underline {u_{s}}}(t)={\underline {v_{A}}}(t)-{\underline {v_{B}}}(t)=\left[{\underline {v_{A,\,0}}}(t)-{\underline {v_{B,\,0}}}(t)\right]-\left[{\underline {z_{A}}}(j\,\omega )+{\underline {z_{B}}}(j\,\omega )\right]{\underline {i_{s}}}(t)\;$» et on reconnaît la loi d'Ohm en complexe généralisée,
* la « f.e.m. instantanée complexe de Thévenin étant $\;{\underline {e_{\text{Th}}}}(t)={\underline {u_{s,\,0}}}(t)={\underline {v_{A,\,0}}}(t)-{\underline {v_{B,\,0}}}(t)\;$» et
* l'« impédance complexe de Thévenin $\;{\underline {z_{\text{Th}}}}(j\,\omega )={\underline {z_{A}}}(j\,\omega )+{\underline {z_{B}}}(j\,\omega )\;$».
Nous pourrons voir des exemples en exercices en plus de celui traité dans le paragraphe suivant.

### Exemple d'utilisation du théorème de Millman de l'électricité complexe associée au r.s.f. : pont de type « Wheatstone » en r.s.f.

Soit le pont « de type Wheatstone »$^,$ représenté ci-contre, alimenté en entrée par une source de tension parfaite de f.e.m. instantanée complexe $\;{\underline {e}}(t)\;$ de f.e.m. efficace fixée et délivrant, à travers un détecteur d'impédance complexe interne $\;{\underline {Z_{\mathcal {D}}}}(j\,\omega )\;$ branché entre les bornes de sortie, un courant d'intensité instantanée complexe $\;{\underline {i_{s}}}(t)$ ;
souhaitant évaluer l'intensité instantanée complexe $\;{\underline {i_{s}}}(t)$ en fonction de $\;{\underline {e}}(t)$, des quatre impédances complexes du pont et de celle $\;{\underline {Z_{\mathcal {D}}}}(j\,\omega )\;$ du détecteur, on détermine au préalable le générateur de Thévenin en complexe équivalent au R.D.L. « pont de type Wheatstone alimenté en entrée par $\;{\underline {e}}(t)\;$ et vu des bornes de sortie » par utilisation du théorème de Millman en complexe successivement à chacune des bornes de sortie ;
on choisit la masse en $\;B\;$ ce qui permet de connaître $\;{\underline {v_{A}}}(t)={\underline {e}}(t)\;$ en plus de $\;{\underline {v_{B}}}(t)=0$ ;
application du théorème de Millman complexe au nœud$\;C$ : il s'agit du théorème à deux branches internes de type $\;\left\lbrace {\underline {Z}}(j\,\omega ),\,{\underline {v}}(t)\right\rbrace \;$ avec une branche externe par laquelle un courant d'intensité instantanée complexe $\;{\underline {i_{s}}}(t)\;$ s'éloigne de $\;C\;$ soit, « dans l'hypothèse où $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\neq 0\;$», «$\;{\underline {v_{C}}}(t)={\dfrac {{\dfrac {{\underline {v_{A}}}(t)}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}}+{\dfrac {{\underline {v_{B}}}(t)}{{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}-{\underline {i_{s}}}(t)}{{\dfrac {1}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}}+{\dfrac {1}{{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}}}=$ ${\dfrac {{\dfrac {{\underline {e}}(t)}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}}+{\cancel {\dfrac {0}{{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}}-{\underline {i_{s}}}(t)}{{\dfrac {1}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}}+{\dfrac {1}{{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}}}\;$» ou, en multipliant haut et bas par $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )$,
$\;{\underline {v_{C}}}(t)=$
${\dfrac {{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {e}}(t)-{\dfrac {{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {i_{s}}}(t)\;$
étude du cas très particulier $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )=0\;$ : le R.D.L. en complexe entre le nœud $\;C\;$ et la masse $\;B$ $\;{\big$la branche contenant le détecteur étant considérée comme externe${\big )}\;$ constitué de deux branches l'une $\;\left\lbrace {\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;;\;{\underline {e}}(t)\right\rbrace \;$ et l'autre $\;\left\lbrace {\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;;\;0\right\rbrace \;$ et délivrant un courant sortant de $\;C\;$ d'intensité instantanée complexe $\;{\underline {i_{s}}}(t)\;$ est équivalent au générateur de Norton complexe de c.e.m. instantané complexe $\;{\dfrac {{\underline {e}}(t)}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}}\;$ et d'impédance complexe infinie c.-à-d. à une source de courant parfaite en complexe de c.e.m. instantané complexe $\;{\dfrac {{\underline {e}}(t)}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}}=-{\dfrac {{\underline {e}}(t)}{{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\;$ dont on déduit
$\;{\underline {i_{s}}}(t)={\dfrac {{\underline {e}}(t)}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}}=-{\dfrac {{\underline {e}}(t)}{{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\;\;\forall \;{\underline {v_{C}}}(t)\;$
application du théorème de Millman complexe au nœud$\;D$ : il s'agit du théorème à deux branches internes de type $\;\left\lbrace {\underline {Z}}(j\,\omega ),\,{\underline {v}}(t)\right\rbrace \;$ avec une branche externe par laquelle un courant d'intensité instantanée complexe $\;{\underline {i_{s}}}(t)\;$ s'approche de $\;D\;$ soit, « dans l'hypothèse où $\;{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )\neq 0\;$», «$\;{\underline {v_{D}}}(t)=$ ${\dfrac {{\dfrac {{\underline {v_{A}}}(t)}{{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )}}+{\dfrac {{\underline {v_{B}}}(t)}{{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )}}+{\underline {i_{s}}}(t)}{{\dfrac {1}{{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )}}+{\dfrac {1}{{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )}}}}={\dfrac {{\dfrac {{\underline {e}}(t)}{{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )}}+{\cancel {\dfrac {0}{{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )}}}+{\underline {i_{s}}}(t)}{{\dfrac {1}{{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )}}+{\dfrac {1}{{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )}}}}\;$» ou, en multipliant haut et bas par $\;{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )$,
$\;{\underline {v_{D}}}(t)=$
${\dfrac {{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {e}}(t)+{\dfrac {{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {i_{s}}}(t)\;$
étude du cas très particulier $\;{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )=0\;$ : le R.D. en complexe entre le nœud $\;D\;$ et la masse $\;B$ $\;{\big$la branche contenant le détecteur étant considérée comme externe${\big )}\;$ constitué de deux branches l'une $\;\left\lbrace {\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )\;;\;{\underline {e}}(t)\right\rbrace \;$ et l'autre $\;\left\lbrace {\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )\;;\;0\right\rbrace \;$ et délivrant un courant entrant par $\;D\;$ d'intensité instantanée complexe $\;{\underline {i_{s}}}(t)\;$ est équivalent au générateur de Norton complexe de c.e.m. instantané complexe $\;{\dfrac {{\underline {e}}(t)}{{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )}}\;$ et d'impédance complexe infinie c.-à-d. à une source de courant parfaite en complexe de c.e.m. instantané complexe $\;{\dfrac {{\underline {e}}(t)}{{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )}}=-{\dfrac {{\underline {e}}(t)}{{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )}}\;$ dont on déduit
$\;-{\underline {i_{s}}}(t)={\dfrac {{\underline {e}}(t)}{{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )}}=-{\dfrac {{\underline {e}}(t)}{{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )}}\;\;\forall \;{\underline {v_{D}}}(t)\;$
on termine en faisant la différence pour obtenir la tension instantanée complexe aux bornes du R.D.L. « pont de type Wheatstone alimenté en entrée par $\;{\underline {e}}(t)\;$ et vu des bornes de sortie » soit, dans l'hypothèse où «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\neq 0\\{\text{et}}\\{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )\neq 0\end{array}}\right\rbrace \;$», soit la tension instantanée complexe aux bornes de ce R.D.L. $\;{\underline {u_{s}}}(t)={\underline {v_{C}}}(t)-{\underline {v_{D}}}(t)\;$ en fonction de l'intensité instantanée complexe $\;{\underline {i_{s}}}(t)$ :
$\;{\underline {u_{s}}}(t)={\underline {v_{C}}}(t)-{\underline {v_{D}}}(t)=\left[{\dfrac {{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}-{\dfrac {{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )}}\right]{\underline {e}}(t)-\left[{\dfrac {{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}+{\dfrac {{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )}}\right]{\underline {i_{s}}}(t)\;$
et on en tire le générateur de Thévenin en complexe équivalent
* de f.e.m. instantanée complexe $\;{\big$de Thévenin${\big )}\;$ «$\;{\underline {e_{\text{Th}}}}(t)=\left[{\dfrac {{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}-{\dfrac {{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )}}\right]{\underline {e}}(t)\;$» ou, en réduisant au même dénominateur $\;{\underline {e_{\text{Th}}}}(t)=$ ${\dfrac {{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;[{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )]-{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )\;[{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )]}{[{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )]\;[{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )]}}\;{\underline {e}}(t)\;$ soit, après simplification évidente, «$\;{\underline {e_{\text{Th}}}}(t)=$ ${\dfrac {{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )-{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )}{[{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )]\;[{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )]}}\;{\underline {e}}(t)\;$» et
* d'impédance complexe $\;{\big$de Thévenin${\big )}\;$ «$\;{\underline {z_{\text{Th}}}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}+{\dfrac {{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )}}\;$» ;
nous obtenons finalement le schéma de sortie équivalent en complexe représenté ci-contre :
on en déduit l'intensité instantanée complexe du courant traversant le détecteur par loi de Pouillet en complexe$^,$ soit
$\;{\underline {i_{s}}}(t)={\dfrac {{\underline {e_{\text{Th}}}}(t)}{{\underline {z_{\text{Th}}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{\mathcal {D}}}}(j\,\omega )}}={\dfrac {{\dfrac {{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )-{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )}{[{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )]\;[{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )]}}\;{\underline {e}}(t)}{{\dfrac {{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}+{\dfrac {{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )}}+{\underline {Z_{\mathcal {D}}}}(j\,\omega )}}\;$
$\;{\underline {i_{s}}}(t)={\dfrac {\left[{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )-{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )\right]{\underline {e}}(t)}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\left[{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )\right]+{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )\left[{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\right]+\cdots }}$
${\dfrac {\color {white}Z}{\color {black}\cdots \;{\underline {Z_{\mathcal {D}}}}(j\,\omega )\left[{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\right]\left[{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )\right]}}\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\neq 0\\{\text{et}}\\{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )\neq 0\end{array}}\right\rbrace \;$
le sens du courant dépendant du signe de $\;e_{\text{Th}}(t)\;$, on observe l'« absence de courant dans le détecteur » quand la f.e.m. de Thévenin du générateur de Thévenin équivalent au R.D.L. « pont de type Wheatstone alimenté en entrée par $\;e(t)\;$ et vu des bornes de sortie » est nulle à tout instant soit
$\;e_{\text{Th}}(t)=0\;\;\forall \;t\;$
$\Leftarrow$
$\;{\underline {e_{\text{Th}}}}(t)=0\;\;\forall \;t$
$\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )={\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )\;$
Retour sur les cas très particuliers $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )=0\;$ ou $\;{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )=0\;$ : pour l'explication qui suit nous supposerons que $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )=0\\{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )\neq 0\end{array}}\right\rbrace \;$$^,$ ;
Retour sur les cas très particuliers $\;\color {transparent}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )=0}\;$ ou $\;\color {transparent}{{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )=0}\;$ : l'intensité instantanée complexe du courant traversant le détecteur étant fixée, indépendante des deux autres impédances complexes de somme non nulle et valant «$\;{\underline {i_{s}}}(t)={\dfrac {{\underline {e}}(t)}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}}=-{\dfrac {{\underline {e}}(t)}{{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\;\;\forall \;{\underline {v_{C}}}(t)\;$», il est impossible d'équilibrer le pont ;
Retour sur les cas très particuliers $\;\color {transparent}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )=0}\;$ ou $\;\color {transparent}{{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )=0}\;$ : la valeur du potentiel instantané complexe du nœud $\;D\;$ étant connue en fonction de $\;{\underline {i_{s}}}(t)\;$ entre autres selon $\;{\underline {v_{D}}}(t)=$ ${\dfrac {{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {e}}(t)+{\dfrac {{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {i_{s}}}(t)\;$ et $\;{\underline {i_{s}}}(t)\;$ étant fixée, $\;{\underline {v_{D}}}(t)\;$ l'est aussi, le report de $\;{\underline {i_{s}}}(t)\;$ dans l'expression de $\;{\underline {v_{D}}}(t)\;$ donne «$\;{\underline {v_{D}}}(t)=$ ${\dfrac {{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {e}}(t)+{\dfrac {{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )}}\;{\dfrac {{\underline {e}}(t)}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}}={\dfrac {{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )}}\left[1+{\dfrac {{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}}\right]{\underline {e}}(t)\;$» ;
Retour sur les cas très particuliers $\;\color {transparent}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )=0}\;$ ou $\;\color {transparent}{{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )=0}\;$ : la détermination de la valeur du potentiel instantané complexe du nœud $\;C\;$ ayant été substituée par celle de l'intensité instantanée complexe du courant $\;{\underline {i_{s}}}(t)\;$ circulant dans le détecteur, nous utiliserons celle-ci ainsi que la valeur de l'impédance complexe du détecteur $\;{\underline {Z_{\mathcal {D}}}}(j\,\omega )\;$ pour en déduire «$\;{\underline {v_{C}}}(t)-{\underline {v_{D}}}(t)$ $={\underline {Z_{\mathcal {D}}}}(j\,\omega )\;{\underline {i_{s}}}(t)={\underline {Z_{\mathcal {D}}}}(j\,\omega )\;{\dfrac {{\underline {e}}(t)}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}}\;$» $\Rightarrow$ $\;{\underline {v_{C}}}(t)={\underline {v_{D}}}(t)+{\dfrac {{\underline {Z_{\mathcal {D}}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {e}}(t)\;$ soit finalement «$\;{\underline {v_{C}}}(t)={\dfrac {{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )}}\left[1+{\dfrac {{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{\mathcal {D}}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}}\right]{\underline {e}}(t)\;$».
Parmi les détecteurs possibles figurent
* l'« oscilloscope » qui permet de visualiser la tension aux bornes d'un conducteur ohmique en fonction du temps $\;{\big$dans ces conditions $\;{\underline {z_{\mathcal {D}}}}({\cancel {j\,\omega }})\simeq R\;$ la résistance utilisée pour visualiser${\big ]}\;$ ou
* l'« ampèremètre » en fonctionnement alternatif qui mesure l'intensité efficace le traversant $\;{\big$dans ces conditions $\;{\underline {z_{\mathcal {D}}}}({\cancel {j\,\omega }})\simeq r_{A}\;$ la résistance de l'ampèremètre correspondant au calibre choisi${\big ]}\;$.
Les différents types de pont $\;{\big$donnés à titre documentaire${\big )}\;$ sont :
* ponts universels P/Q :
$\;\succ \;$ pont de Wien : $\;({\mathfrak {1}})=R_{1}\;{\text{en série avec}}\;C_{1}\;$ toutes deux variables, $\;({\mathfrak {2}})=R\;{\text{en}}\;\parallel \;{\text{sur}}\;C\;$ toutes deux à évaluer, $\;({\mathfrak {3}})=R_{3}\;$ étalon et $\;({\mathfrak {4}})=R_{4}\;$ étalon ;
$\;\succ \;$ pont de Sauty parallèle : $\;({\mathfrak {1}})=R\;{\text{en}}\;\parallel \;{\text{sur}}\;C\;$ toutes deux à déterminer, $\;({\mathfrak {2}})=R_{2}\;$ étalon, $\;({\mathfrak {3}})=R_{3}\;$ étalon et $\;({\mathfrak {4}})=R_{4}\;{\text{en}}\;\parallel \;{\text{sur}}\;C_{4}\;$ toutes deux variables ;
* ponts universels PQ :
$\;\succ \;$ pont de Hay : $\;({\mathfrak {1}})=R\;{\text{en série avec}}\;L\;$ toutes deux à déterminer, $\;({\mathfrak {2}})=R_{2}\;$ étalon, $\;({\mathfrak {3}})=R_{3}\;{\text{en série avec}}\;C_{3}\;$ toutes deux variables et $\;({\mathfrak {4}})=R_{4}\;$ étalon ;
$\;\succ \;$ pont de Maxwell : $\;({\mathfrak {1}})=R\;{\text{en série avec}}\;L\;$ toutes deux à déterminer, $\;({\mathfrak {2}})=R_{2}\;$ étalon, $\;({\mathfrak {3}})=R_{3}\;{\text{en}}\;\parallel \;{\text{sur}}\;C_{3}\;$ toutes deux variables et $\;({\mathfrak {4}})=R_{4}\;$ étalon.
Exemple de traitement d'un pont de Wien$^,$ : trouver $\;R\;$ et $\;C\;$ en fonction de $\;R_{1}$, $\;C_{1}$, $\;R_{3}$, $\;R_{4}$ et $\;\omega$ ;
Exemple de traitement d'un pont de Wien les valeurs des quatre impédances complexes sont respectivement «$\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )=R_{1}+{\dfrac {1}{j\;C_{1}\;\omega }}\;$», «$\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )=$ ${\dfrac {R\;{\dfrac {1}{j\;C\;\omega }}}{R+{\dfrac {1}{j\;C\;\omega }}}}={\dfrac {R}{1+j\;R\;C\;\omega }}\;$», «$\;{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )=R_{3}\;$» et «$\;{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )=R_{4}\;$» ;
Exemple de traitement d'un pont de Wien la condition d'équilibre du pont s'écrivant «$\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )={\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )\;$» nous conduit ici à l'égalité de complexes «$\;{\dfrac {R}{1+j\;R\;C\;\omega }}\;R_{4}=$ $\left[R_{1}+{\dfrac {1}{j\;C_{1}\;\omega }}\right]R_{3}\;$» c.-à-d. l'égalité des parties réelles de chaque membre et de celle des parties imaginaires d'où la modification du membre de gauche en multipliant haut et bas par le complexe conjugué du dénominateur et celle du membre de droite en le mettant sous forme algébrique «$\;{\dfrac {R\left[1-j\;R\;C\;\omega \right]}{1+R^{2}\;C^{2}\;\omega ^{2}}}\;R_{4}=\left[R_{1}-j\;{\dfrac {1}{C_{1}\;\omega }}\right]R_{3}\;$» $\Rightarrow$ le système suivant «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}\!{\dfrac {R\;R_{4}}{1+R^{2}\;C^{2}\;\omega ^{2}}}\!\!\!\!&=&\!\!\!\!R_{1}\;R_{3}\!\\\!{\dfrac {R^{2}\;R_{4}\;C\;\omega }{1+R^{2}\;C^{2}\;\omega ^{2}}}\!\!\!\!&=&\!\!\!\!{\dfrac {R_{3}}{C_{1}\;\omega }}\!\end{array}}\right\rbrace \;$» ;
Exemple de traitement d'un pont de Wien on élimine $\;1+R^{2}\;C^{2}\;\omega ^{2}\;$ en divisant la 2ème équation par la 1ère d'où «$\;R\;C\;\omega ={\dfrac {1}{R_{1}\;C_{1}\;\omega }}\;$» ce qui permet d'évaluer «$\;1+R^{2}\;C^{2}\;\omega ^{2}=$ $1+{\dfrac {1}{R_{1}^{2}\;C_{1}^{2}\;\omega ^{2}}}={\dfrac {1+R_{1}^{2}\;C_{1}^{2}\;\omega ^{2}}{R_{1}^{2}\;C_{1}^{2}\;\omega ^{2}}}\;$» et par suite $\;R\;$ par la 1ère équation soit $\;R={\dfrac {R_{1}\;R_{3}}{R_{4}}}\left[1+R^{2}\;C^{2}\;\omega ^{2}\right]={\dfrac {R_{1}\;R_{3}}{R_{4}}}\;{\dfrac {1+R_{1}^{2}\;C_{1}^{2}\;\omega ^{2}}{R_{1}^{2}\;C_{1}^{2}\;\omega ^{2}}}\;$ ou encore
$\;R={\dfrac {R_{1}\;R_{3}}{R_{4}}}\left[1+{\dfrac {1}{R_{1}^{2}\;C_{1}^{2}\;\omega ^{2}}}\right]\;$
Exemple de traitement d'un pont de Wien on détermine $\;C\;$ en reportant $\;R\;$ dans $\;R\;C\;\omega ={\dfrac {1}{R_{1}\;C_{1}\;\omega }}\;$ selon $\;C={\dfrac {1}{R_{1}\;C_{1}\;\omega }}\;{\dfrac {1}{R\;\omega }}\;$ $\Rightarrow$ $\;C={\dfrac {1}{R_{1}\;C_{1}\;\omega ^{2}}}\;{\dfrac {R_{4}}{R_{1}\;R_{3}}}\;{\dfrac {R_{1}^{2}\;C_{1}^{2}\;\omega ^{2}}{1+R_{1}^{2}\;C_{1}^{2}\;\omega ^{2}}}\;$ ou
$\;C={\dfrac {R_{4}}{R_{3}}}\;{\dfrac {C_{1}}{1+R_{1}^{2}\;C_{1}^{2}\;\omega ^{2}}}\;$
Exemple de traitement d'un pont de Wien exemple numérique : sous $\;f=50\;Hz$, avec $\;R_{3}=R_{4}=1\;k\Omega$, on réalise l'équilibre avec $\;C_{1}=1,0\;\mu F\;$ et $\;R_{1}=1,0\;k\Omega$, on en déduit la résistance cherchée $\;R\simeq {\dfrac {1,0\times 1,0}{1,0}}\times {\dfrac {1+\left(10^{3}\right)^{2}\times \left(10^{-6}\right)^{2}\times \left(314\right)^{2}}{\left(10^{3}\right)^{2}\times \left(10^{-6}\right)^{2}\times \left(314\right)^{2}}}\;$ en $\;k\Omega \;$ soit encore $\;R\simeq 11,1\;k\Omega \;$ ainsi que la capacité à évaluer $\;C\simeq$ ${\dfrac {1,0}{1,0}}\;{\dfrac {1,0}{1+\left(10^{3}\right)^{2}\times \left(10^{-6}\right)^{2}\times \left(314\right)^{2}}}\;$ soit enfin $\;C\simeq 0,076\;\mu F=76\;nF$.