# Matrice/Exercices/Produit matriciel
## Produit matriciel : possible ou pas ?

On considère les quatre matrices :
| $A={\begin{pmatrix}0&1&3&0\\8&5&0&6\\0&0&1&1\end{pmatrix}}$ | $B={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\3&3\\9&5\end{pmatrix}}$ | $C={\begin{pmatrix}0&1&3\\8&5&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$ | $D={\begin{pmatrix}1&3\\5&0\end{pmatrix}}$. |
1. Quels sont les produits matriciels réalisables ?
Ce sont ceux où la première matrice a autant de colonnes que la seconde a de lignes : $AB$, $BD$, $CA$, $CC$ et $DD$.
2. Effectuez-les.
${\begin{aligned}AB&={\begin{pmatrix}0&1&3&0\\8&5&0&6\\0&0&1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\3&3\\9&5\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0\times 0+1\times 0+3\times 3+0\times 9&0\times 1+1\times 0+3\times 3+0\times 5\\8\times 0+5\times 0+0\times 3+6\times 9&8\times 1+5\times 0+0\times 3+6\times 5\\0\times 0+0\times 0+1\times 3+1\times 9&0\times 1+0\times 0+1\times 3+1\times 5\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}9&9\\54&38\\12&8\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
${\begin{aligned}BD&={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\3&3\\9&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&3\\5&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0\times 1+1\times 5&0\times 3+1\times 0\\0\times 1+0\times 5&0\times 3+0\times 0\\3\times 1+3\times 5&3\times 3+3\times 0\\9\times 1+5\times 5&9\times 3+5\times 0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}5&0\\0&0\\18&9\\34&27\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
${\begin{aligned}CA&={\begin{pmatrix}0&1&3\\8&5&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1&3&0\\8&5&0&6\\0&0&1&1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0\times 0+8\times 1+0\times 3&0\times 1+1\times 5+3\times 0&0\times 3+1\times 0+3\times 1&0\times 0+1\times 6+3\times 1\\8\times 0+5\times 8+0\times 0&8\times 1+5\times 5+0\times 0&8\times 3+5\times 0+0\times 1&8\times 0+5\times 6+0\times 1\\0\times 0+0\times 8+1\times 0&0\times 1+0\times 5+1\times 0&0\times 3+0\times 0+1\times 1&0\times 0+0\times 6+1\times 1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}8&5&3&9\\40&33&24&30\\0&0&1&1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
${\begin{aligned}CC&={\begin{pmatrix}0&1&3\\8&5&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1&3\\8&5&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0\times 0+1\times 8+3\times 0&0\times 1+1\times 5+3\times 0&0\times 3+1\times 0+3\times 1\\8\times 0+5\times 8+0\times 0&8\times 1+5\times 5+0\times 0&8\times 3+5\times 0+0\times 1\\0\times 0+0\times 8+1\times 0&0\times 1+0\times 5+1\times 0&0\times 3+0\times 0+1\times 1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}8&5&3\\40&33&24\\0&0&1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
${\begin{aligned}DD&={\begin{pmatrix}1&3\\5&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&3\\5&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}1\times 1+3\times 5&1\times 3+3\times 0\\5\times 1+0\times 5&5\times 3+0\times 0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}16&3\\5&15\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

## Matrice strictement triangulaire

Soit $A\in \mathrm {M} _{n}(K)$ une matrice strictement triangulaire supérieure, c'est-à-dire qui n'a que des zéros en dessous de la diagonale et sur la diagonale elle-même. Démontrer que $A^{n}=0$.
Soit $(e_{1},\dots ,e_{n})$ la base canonique de $K^{n}$ et $E_{k}=\operatorname {Vect} \left(e_{1},\dots ,e_{k}\right)$, pour $k$ de $1$ à $n$.
Pour tout $i$ de $1$ à $n$, $A(e_{i})\in E_{i-1}$ donc pour tout $k$ de $1$ à $n$, $A(E_{k})\subset E_{k-1}$ et a fortiori, $A^{k}(E_{k})=A^{k-1}(A(E_{k}))\subset A^{k-1}(E_{k-1})$. Par conséquent :
    $A^{n}(K^{n})=A^{n}(E_{n})\subset A^{n-1}(E_{n-1})\subset \dots \subset A(E_{1})\subset E_{0}=\operatorname {Vect} (\varnothing )=\{0\}$.
Soit $A={\begin{pmatrix}0&a&b\\0&0&c\\0&0&0\end{pmatrix}}$ avec $a,b,c\in \mathbb {R}$.
* Calculer $A^{2}$ et $A^{3}$.
* En déduire la matrice inverse de $\mathrm {I} _{3}-A$.
* $A^{2}={\begin{pmatrix}0&0&ac\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$ et $A^{3}=0$.
* $\mathrm {I} _{3}=\mathrm {I} _{3}-A^{3}=(\mathrm {I} _{3}-A)(\mathrm {I} _{3}+A+A^{2})$ donc $(\mathrm {I} _{3}-A)^{-1}=\mathrm {I} _{3}+A+A^{2}={\begin{pmatrix}1&a&b+ac\\0&1&c\\0&0&1\end{pmatrix}}$.

## Non-commutativité

On considère les deux matrices suivantes :
    $A={\begin{pmatrix}2&3&-4&1\\5&2&1&0\\3&1&-6&7\\2&4&0&1\end{pmatrix}},\ \ \ \ \ \ B={\begin{pmatrix}3&-1&-3&7\\4&0&2&1\\2&3&0&-5\\1&6&6&1\end{pmatrix}}$.
Calculer $AB$ et $BA$. Que remarque-t-on ?
$AB={\begin{pmatrix}11&-8&6&38\\25&-2&-11&32\\8&21&35&59\\23&4&8&19\end{pmatrix}}\neq BA={\begin{pmatrix}6&32&5&-11\\16&18&-28&19\\9&-8&-5&-3\\52&25&-34&44\end{pmatrix}}$.
Soient $A={\begin{pmatrix}4&8\\1&2\end{pmatrix}}$ et $B={\begin{pmatrix}3&9\\1&1\end{pmatrix}}$. Calculez et comparez $A^{2}+2AB+B^{2}$ et $(A+B)^{2}$.
$A^{2}+2AB+B^{2}={\begin{pmatrix}24&48\\6&12\end{pmatrix}}+2{\begin{pmatrix}20&44\\5&11\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}18&36\\4&10\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}82&172\\20&44\end{pmatrix}}\neq (A+B)^{2}={\begin{pmatrix}7&17\\2&3\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}83&170\\20&43\end{pmatrix}}$.
Normal puisque $A^{2}+2AB+B^{2}-(A+B)^{2}=AB-BA={\begin{pmatrix}20&44\\5&11\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}21&42\\5&10\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&2\\0&1\end{pmatrix}}$.

## Diviseurs de zéro

Soient $A$ et $B$ deux matrices carrées de même taille. Montrer que si $AB=0$, les matrices $A$ et $B$ ne sont pas inversibles.
$A'A=\mathrm {I} {\text{ et }}AB=0\Rightarrow 0=A'0=A'(AB)=(A'A)B=\mathrm {I} B=B$. De même, $BB'=\mathrm {I} {\text{ et }}AB=0\Rightarrow A=0$.

## Calculs d'inverses
### Par la méthode polynomiale

Soit $A={\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}}$. Calculer $A^{2}$ et vérifier que $A^{2}=A+2\mathrm {I} _{3}$. En déduire que $A$ est inversible et calculer son inverse.
$A^{2}={\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}}=A+2\mathrm {I} _{3}$, donc $\mathrm {I} _{3}={\frac {A^{2}-A}{2}}=AB=BA$ pour $B:={\frac {A-\mathrm {I} _{3}}{2}}$, ce qui prouve que $A$ est inversible, d'inverse $B={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1\end{pmatrix}}$.
Soit $A={\begin{pmatrix}-1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1\end{pmatrix}}$. Calculer $A^{2}$ et vérifier que $A^{2}=2\mathrm {I} _{3}-A$. En déduire que $A$ est inversible et calculer son inverse.
$A^{2}={\begin{pmatrix}3&-1&-1\\-1&3&-1\\-1&-1&3\end{pmatrix}}=2\mathrm {I} _{3}-A$, donc $\mathrm {I} _{3}={\frac {A^{2}+A}{2}}=AB=BA$ pour $B:={\frac {A+\mathrm {I} _{3}}{2}}$, ce qui prouve que $A$ est inversible, d'inverse $B={\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}}$.
Soient $n\in \mathbb {N} ^{*}$ et $A\in \mathrm {M} _{n}$ une matrice nilpotente, c'est-à-dire qu'il existe un entier $p\geq 1$ tel que $A^{p}=0$. Démontrer que la matrice $\mathrm {I} _{n}-A$ est inversible et déterminer son inverse.
$(\mathrm {I} _{n}-A)(\mathrm {I} _{n}+A+A^{2}+\dots +A^{p-1})=\mathrm {I} _{n}$.

### Par résolution de système

En utilisant un système linéaire, inverser la matrice $A={\begin{pmatrix}1&1&1\\2&1&1\\1&2&1\end{pmatrix}}$.
${\begin{cases}x+y+z&=a\\2x+y+z&=b\\x+2y+z&=c\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}x+y+z&=a\\x&=b-a\\y&=c-a\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}x&=b-a\\y&=c-a\\z&=3a-b-c\end{cases}}$ donc $A$ est inversible, d'inverse ${\begin{pmatrix}-1&1&0\\-1&0&1\\3&-1&-1\end{pmatrix}}$.

### Par la formule de Laplace

Pour quelles valeurs de $a$ la matrice $A={\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&4\\1&3&a\end{pmatrix}}$ est-elle inversible ? Calculer dans ce cas son inverse.
$\det A=a-7$ donc $A$ est inversible pour $a\neq 7$, et son inverse est alors égale à
${\frac {1}{a-7}}\operatorname {transpos{\acute {e}}e} {\begin{pmatrix}{\begin{vmatrix}2&4\\3&a\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}1&4\\1&a\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}1&2\\1&3\end{vmatrix}}\\-{\begin{vmatrix}1&1\\3&a\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}1&1\\1&a\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}1&1\\1&3\end{vmatrix}}\\{\begin{vmatrix}1&1\\2&4\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}1&1\\1&4\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix}}\end{pmatrix}}={\frac {1}{a-7}}{\begin{pmatrix}2a-12&3-a&2\\4-a&a-1&-3\\1&-2&1\end{pmatrix}}$.
Calculer l'inverse de la matrice suivante en passant par le calcul de sa comatrice.
    $A={\begin{pmatrix}1&2&1&0\\2&1&1&3\\1&2&-2&1\\3&0&2&1\end{pmatrix}}$.
En développant par exemple par rapport à la première ligne,
    $\det(A)=\left|{\begin{array}{ccc}1&1&3\\2&-2&1\\0&2&1\end{array}}\right|-2\left|{\begin{array}{ccc}2&1&3\\1&-2&1\\3&2&1\end{array}}\right|+\left|{\begin{array}{ccc}2&1&3\\1&2&1\\3&0&1\end{array}}\right|=6-2\times 18-12=-42\neq 0$
donc $A$ est inversible, et
    $\mathrm {com} (A)=\left({\begin{array}{cccc}\left|{\begin{array}{ccc}1&1&3\\2&-2&1\\0&2&1\end{array}}\right|&-\left|{\begin{array}{ccc}2&1&3\\1&-2&1\\3&2&1\end{array}}\right|&\left|{\begin{array}{ccc}2&1&3\\1&2&1\\3&0&1\end{array}}\right|&-\left|{\begin{array}{ccc}2&1&1\\1&2&-2\\3&0&2\end{array}}\right|\\-\left|{\begin{array}{ccc}2&1&0\\2&-2&1\\0&2&1\end{array}}\right|&\left|{\begin{array}{ccc}1&1&0\\1&-2&1\\3&2&1\end{array}}\right|&-\left|{\begin{array}{ccc}1&2&0\\1&2&1\\3&0&1\end{array}}\right|&\left|{\begin{array}{ccc}1&2&1\\1&2&-2\\3&0&2\end{array}}\right|\\\left|{\begin{array}{ccc}2&1&0\\1&1&3\\0&2&1\end{array}}\right|&-\left|{\begin{array}{ccc}1&1&0\\2&1&3\\3&2&1\end{array}}\right|&\left|{\begin{array}{ccc}1&2&0\\2&1&3\\3&0&1\end{array}}\right|&-\left|{\begin{array}{ccc}1&2&1\\2&1&1\\3&0&2\end{array}}\right|\\-\left|{\begin{array}{ccc}2&1&0\\1&1&3\\2&-2&1\end{array}}\right|&\left|{\begin{array}{ccc}1&1&0\\2&1&3\\1&-2&1\end{array}}\right|&-\left|{\begin{array}{ccc}1&2&0\\2&1&3\\1&2&1\end{array}}\right|&\left|{\begin{array}{ccc}1&2&1\\2&1&1\\1&2&-2\end{array}}\right|\\\end{array}}\right)$
    $=\left({\begin{array}{cccc}6&-18&-12&6\\10&-2&-6&-18\\-11&-2&15&3\\-19&8&3&9\end{array}}\right)$
donc
    $A^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}{\Big\mathrm {com} (A)){\Big )}^{t}={\frac {1}{-42}}\left({\begin{array}{cccc}6&10&-11&-19\\-18&-2&-2&8\\-12&-6&15&3\\6&-18&3&9\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cccc}-1/7&-5/21&11/42&19/42\\3/7&1/21&1/21&-4/21\\2/7&1/7&-5/14&-1/14\\-1/7&3/7&-1/14&-3/14\end{array}}\right)$
et pour s'assurer qu'on n'a pas fait d'erreur de calcul, on peut vérifier que $A\times A^{-1}=\mathrm {I} _{4}$ ou que $A^{-1}\times A=\mathrm {I} _{4}$ (l'une des deux vérifications suffit car une matrice carrée est inversible à droite si et seulement si elle est inversible à gauche et quand elle l'est, l'inverse est unique).

### Par la méthode du pivot de Gauss

Calculer, par la méthode du pivot de Gauss, l'inverse de
    ${\begin{pmatrix}1&2&1\\2&0&1\\3&1&2\end{pmatrix}}$.
${\begin{pmatrix}1&3&-2\\1&1&-1\\-2&-5&4\end{pmatrix}}$.