# Mécanique 1 (PCSI)/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Barrière d'énergie potentielle
## Exemple de profil d’énergie potentielle présentant une « barrière », profil correspondant au lancer de l'obus de Jules Verne (J.V.) en direction de la Lune
### Lancer de l'obus de Jules Verne en direction de la Lune

Jules Verne avait imaginé, dans son roman « De la Terre à la Lune » publié en $\;1865$, la possibilité d'atteindre la Lune à l'aide d'un obus, c'est-à-dire d'un objet auquel on communique une vitesse initiale par explosion de poudre dans un canon fixé sur Terre et dont l'axe est vertical ;
si la vitesse initiale reste faible, l'obus monte mais atteint un point d'altitude maximale avant de redescendre ;
il s'agit donc de montrer qu'il existe une « vitesse initiale à partir de laquelle l'obus sort de l'attraction terrestre pour rentrer dans le domaine de l'attraction lunaire ».

### Résultante des forces de gravitations terrestre et lunaire s'exerçant sur un obus lancé à partir d'un point A de la surface terrestre et en mouvement vertical ascendant vers le point B de la surface lunaire tels que les points A et B soient sur le segment joignant les centres de la Terre et de la Lune

Considérant un canon placé en un point $\;A\;$ de la surface terrestre et dont le tube, d'axe vertical, pointe vers un point $\;B\;$ de la surface lunaire et
supposant, de façon à simplifier l'exposé, que la droite $\;(AB)\;$ passe par le centre $\;T\;$ de la Terre et celui $\;L\;$ de la Lune, l'ensemble étant imaginé fixe dans le référentiel terrestre galiléen,
nous notons $\;{\vec {u}}_{z}\;$ le vecteur de base cartésienne de la verticale ascendante au point $\;A\;$ de la surface terrestre et $\;d\;$ la distance séparant les centres de la Terre et de la Lune.
L'obus $\;M\;$ à envoyer vers la Lune étant supposé ponctuel de masse $\;m$, est soumis à deux forces de champ$^,$ :
* la force de gravitation terrestre $\;{\vec {F}}_{M\leftarrow ({\text{♁}})}=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{({\text{♁}})}\;m}{\left[R_{({\text{♁}})}+z\right]^{2}}}\;{\vec {u}}_{z}\;$ ou encore $\;{\vec {F}}_{M\leftarrow ({\text{♁}})}=m\;{\vec {G}}_{({\text{♁}})}(M)\;$ avec $\;{\vec {G}}_{({\text{♁}})}(M)=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{({\text{♁}})}}{\left[R_{({\text{♁}})}+z\right]^{2}}}\;{\vec {u}}_{z}\;$ le champ de gravitation terrestre en la position de l'obus et
* la force de gravitation lunaire $\;{\vec {F}}_{M\leftarrow ({\text{☽}})}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{({\text{☽}})}\;m}{\left[d-R_{({\text{♁}})}-z\right]^{2}}}\;{\vec {u}}_{z}\;$ ou encore $\;{\vec {F}}_{M\leftarrow ({\text{☽}})}=m\;{\vec {G}}_{({\text{☽}})}(M)\;$ avec $\;{\vec {G}}_{({\text{☽}})}(M)={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{({\text{☽}})}}{\left[d-R_{({\text{♁}})}-z\right]^{2}}}\;{\vec {u}}_{z}\;$ le champ de gravitation lunaire en la position de l'obus ;
la résultante des forces de gravitation s'exerçant sur l'obus est donc $\;{\vec {F}}_{M\leftarrow ({\text{♁, ☽}})}=m\;{\mathcal {G}}\left\lbrace {\dfrac {m_{({\text{☽}})}}{\left[d-R_{({\text{♁}})}-z\right]^{2}}}-{\dfrac {m_{({\text{♁}})}}{\left[R_{({\text{♁}})}+z\right]^{2}}}\right\rbrace \,{\vec {u}}_{z}$, résultante conservative, chaque composante l'étant ;
cette résultante se réécrit $\;{\vec {F}}_{M\leftarrow ({\text{♁, ☽}})}=m\;{\vec {G}}_{({\text{♁, ☽}})}(M)\;$ avec $\;{\vec {G}}_{({\text{♁, ☽}})}(M)={\mathcal {G}}\left\lbrace {\dfrac {m_{({\text{☽}})}}{\left[d-R_{({\text{♁}})}-z\right]^{2}}}-{\dfrac {m_{({\text{♁}})}}{\left[R_{({\text{♁}})}+z\right]^{2}}}\right\rbrace \,{\vec {u}}_{z}\;$ champ de gravitation global en la position de l'obus.

### Définition de la position de l'obus en état d'« apesanteur » sur la trajectoire AB

Définition de la notion d'« apesanteur » : on a un état d'« apesanteur » en une position où la résultante des champs de gravitation est nulle $\;{\big$en cette position les champs de gravitation $\;{\big$au moins au nombre de deux${\big )}\;$ se compensent${\big ]}$ ;
Définition de la notion d'« apesanteur » : à distinguer de la notion d'« impesanteur » correspondant à l'absence pratique de champ de gravitation $\;{\big$l'« impesanteur » existe dans toute une région $\;{\big$et non uniquement en une position comme c'est le cas de l'« apesanteur »${\big )}\;$ dans laquelle le champ de gravitation $\;{\big$en général unique${\big )}\;$ peut être considéré comme nul${\big ]}$.
Recherche de la position de l'obus en état d'« apesanteur » sur la trajectoire AB : la position de $\;M_{\text{apes}}\;$ satisfaisant à l'équation $\;{\vec {G}}_{({\text{♁, ☽}})}(M_{\text{apes}})={\vec {0}}\;$ conduit à l'équation en $\;z_{\text{apes}}\;$ suivante $\;{\dfrac {m_{({\text{☽}})}}{\left[d-R_{({\text{♁}})}-z_{\text{apes}}\right]^{2}}}-{\dfrac {m_{({\text{♁}})}}{\left[R_{({\text{♁}})}+z_{\text{apes}}\right]^{2}}}=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {m_{({\text{☽}})}}{\left[d-R_{({\text{♁}})}-z_{\text{apes}}\right]^{2}}}={\dfrac {m_{({\text{♁}})}}{\left[R_{({\text{♁}})}+z_{\text{apes}}\right]^{2}}}\;$ ou, par règle du « produit des extrêmes et des moyens », $\;m_{({\text{☽}})}\,\left[R_{({\text{♁}})}+z_{\text{apes}}\right]^{2}=$ $m_{({\text{♁}})}\,\left[d-R_{({\text{♁}})}-z_{\text{apes}}\right]^{2}\;$ soit $\;{\dfrac {R_{({\text{♁}})}+z_{\text{apes}}}{d-R_{({\text{♁}})}-z_{\text{apes}}}}={\sqrt {\dfrac {m_{({\text{♁}})}}{m_{({\text{☽}})}}}}\;$ ou, numériquement, $\;{\dfrac {R_{({\text{♁}})}+z_{\text{apes}}}{d-R_{({\text{♁}})}-z_{\text{apes}}}}\simeq 9\;$ $\Rightarrow$ l'équation approchée $\;10\;z_{\text{apes}}\simeq 9\;d-10\;R_{({\text{♁}})}\;$ soit finalement
$\;z_{\text{apes}}\simeq 0,9\;d-R_{({\text{♁}})}\;$
Recherche de la position de l'obus en état d'« apesanteur » sur la trajectoire AB : numériquement, avec $\;R_{({\text{♁}})}\simeq 6,400\;Mm\;$ et $\;d\simeq 384,000\;Mm\simeq 60\;R_{({\text{♁}})}\;$, on trouve $\;z_{\text{apes}}\simeq$ $0,9\times 60\;R_{({\text{♁}})}-R_{({\text{♁}})}\;$ soit finalement
$\;z_{\text{apes}}\simeq 53\;R_{({\text{♁}})}\simeq 339,200\;Mm\;$
Recherche de la position de l'obus en état d'« apesanteur » sur la trajectoire AB : numériquement, avec $\;R_{({\text{☽}})}\simeq 1,700\;Mm\simeq 0,27\;R_{({\text{♁}})}\;$, la distance séparant $\;A\;$ et $\;B$ $\;{\big$c'est-à-dire séparant les surfaces terrestre et lunaire${\big )}\;$ valant $\;AB=d-R_{({\text{♁}})}-R_{({\text{☽}})}\simeq 60\;R_{({\text{♁}})}-R_{({\text{♁}})}-0,27\;R_{({\text{♁}})}\simeq 58,73\;R_{({\text{♁}})}\simeq 375,900\;Mm\;$, on en déduit
$\;AB-z_{\text{apes}}\simeq 58,73\;R_{({\text{♁}})}-53\;R_{({\text{♁}})}\simeq 5,73\;R_{({\text{♁}})}\simeq 36,700\;Mm\;$
$\;AB-z_{\text{apes}}\simeq {\dfrac {5,73}{0,27}}\;R_{({\text{☽}})}\simeq 21,59\;R_{({\text{☽}})}\simeq 22\;R_{({\text{☽}})}$

## Tracé du profil d'énergie potentielle de l'obus de J.V. lancé verticalement dans le(s) champ(s) de force de gravitation(s) terrestre (et lunaire), définition de la « barrière » d’énergie potentielle au point de lancement
### Expression de l'énergie potentielle de l'obus de J.V. en fonction de l'altitude terrestre avec référence au niveau du sol de la Terre

L'énergie potentielle de gravitations terrestre et lunaire $\;U_{{\text{gravit.}}\leftarrow ({\text{♁, ☽}})}(M)\;$ de l'obus de J.V. se détermine par $\;{\vec {F}}_{M\leftarrow ({\text{♁, ☽}})}=-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[U_{{\text{gravit.}}\leftarrow ({\text{♁, ☽}})}\right]\!(M)\;$ ou, en projetant sur $\;{\vec {u}}_{z}\;$ l'équation de définition $\;m\;{\mathcal {G}}\left\lbrace {\dfrac {m_{({\text{☽}})}}{\left[d-R_{({\text{♁}})}-z\right]^{2}}}-{\dfrac {m_{({\text{♁}})}}{\left[R_{({\text{♁}})}+z\right]^{2}}}\right\rbrace =-{\dfrac {dU_{{\text{gravit.}}\leftarrow ({\text{♁, ☽}})}}{dz}}(z)\;$ soit, après intégration, $\;U_{{\text{gravit.}}\leftarrow ({\text{♁, ☽}})}(M)=-m\;{\mathcal {G}}\left\lbrace {\dfrac {m_{({\text{☽}})}}{d-R_{({\text{♁}})}-z}}+{\dfrac {m_{({\text{♁}})}}{R_{({\text{♁}})}+z}}\right\rbrace +cste\;$, $\;cste\;$ dépendant de la référence de l'énergie potentielle choisie au niveau du sol terrestre $\;{\bigz=0{\big )}\;$ d'où $\;0=-m\;{\mathcal {G}}\left\lbrace {\dfrac {m_{({\text{☽}})}}{d-R_{({\text{♁}})}}}+{\dfrac {m_{({\text{♁}})}}{R_{({\text{♁}})}}}\right\rbrace +cste\;$ $\Rightarrow$ $\;cste=m\;{\mathcal {G}}\left\lbrace {\dfrac {m_{({\text{☽}})}}{d-R_{({\text{♁}})}}}+{\dfrac {m_{({\text{♁}})}}{R_{({\text{♁}})}}}\right\rbrace \;$ et par suite une 1ère expression d'énergie potentielle de gravitations terrestre et lunaire de l'obus de J.V.
$\;U_{{\text{gravit.}}\leftarrow ({\text{♁, ☽}})}(M)=m\;{\mathcal {G}}\left\lbrace {\dfrac {m_{({\text{☽}})}}{d-R_{({\text{♁}})}}}-{\dfrac {m_{({\text{☽}})}}{d-R_{({\text{♁}})}-z}}+{\dfrac {m_{({\text{♁}})}}{R_{({\text{♁}})}}}-{\dfrac {m_{({\text{♁}})}}{R_{({\text{♁}})}+z}}\right\rbrace \;$
en regroupant les termes relatifs à la Terre et ceux relatifs à la Lune puis en les simplifiant,
* $\;{\dfrac {m_{({\text{♁}})}}{R_{({\text{♁}})}}}-{\dfrac {m_{({\text{♁}})}}{R_{({\text{♁}})}+z}}=m_{({\text{♁}})}\;{\dfrac {R_{({\text{♁}})}+z-R_{({\text{♁}})}}{R_{({\text{♁}})}\left[R_{({\text{♁}})}+z\right]}}={\dfrac {m_{({\text{♁}})}\;z}{R_{({\text{♁}})}\left[R_{({\text{♁}})}+z\right]}}\;$ ainsi que
* $\;{\dfrac {m_{({\text{☽}})}}{d-R_{({\text{♁}})}}}-{\dfrac {m_{({\text{☽}})}}{d-R_{({\text{♁}})}-z}}=m_{({\text{☽}})}\;{\dfrac {\left[d-R_{({\text{♁}})}-z\right]-\left[d-R_{({\text{♁}})}\right]}{\left[d-R_{({\text{♁}})}\right]\left[d-R_{({\text{♁}})}-z\right]}}=-{\dfrac {m_{({\text{☽}})}\;z}{\left[d-R_{({\text{♁}})}\right]\left[d-R_{({\text{♁}})}-z\right]}}$,
une 2ème expression d'énergie potentielle de gravitations terrestre et lunaire de l'obus de J.V.
$\;U_{{\text{gravit.}}\leftarrow ({\text{♁, ☽}})}(M)=m\;{\mathcal {G}}\left\lbrace {\dfrac {m_{({\text{♁}})}}{R_{({\text{♁}})}\left[R_{({\text{♁}})}+z\right]}}-{\dfrac {m_{({\text{☽}})}}{\left[d-R_{({\text{♁}})}\right]\left[d-R_{({\text{♁}})}-z\right]}}\right\rbrace z\;$

### Tracé du profil d'énergie potentielle de l'obus de J.V.

La composante sur $\;{\vec {u}}_{z}\;$ de la résultante des forces de gravitation s'exerçant sur l'obus de J.V. étant d’abord négative, son énergie potentielle $\;U_{{\text{gravit.}}\leftarrow ({\text{♁, ☽}})}(M)\nearrow \;$ avec l'altitude $\;z$ $\;{\big$en bleu sur le tracé ci-contre${\big )}\;$ et ceci jusqu'à la position d'apesanteur d'altitude $\;z_{\text{apes}}\;$ correspondant à la résultante des forces de gravitation nulle et donc à une position de stationnarité de l'énergie potentielle puis
la composante sur $\;{\vec {u}}_{z}\;$ de la résultante des forces de gravitation s’exerçant sur l’obus de J.V. étant devenue positive, son énergie potentielle $\;U_{{\text{gravit.}}\leftarrow ({\text{♁, ☽}})}(M)\searrow \;$ quand l'altitude $\;z\;$ continue de $\;\nearrow$ $\;{\big$en rouge sur le tracé ci-contre${\big )}\;$ et ceci jusqu'à l'arrivée sur le sol lunaire ;
le tracé ci-contre est fait avec les valeurs $\;m_{({\text{♁}})}\simeq 6,0\;10^{24}\;kg$, $\;m_{({\text{☽}})}\simeq 7,4\;10^{22}\;kg\simeq {\dfrac {m_{({\text{♁}})}}{81}}$, $\;m=1\;t=10^{3}\;kg\;$ et $\;{\mathcal {G}}\simeq$ $6,67\;10^{-11}\;u.s.i.$, les autres valeurs déjà été fournies sont rappelées ci-après $\;R_{({\text{♁}})}\simeq 6,400\;Mm\;$, $\;d\simeq 384,000\;Mm\simeq$ $60\;R_{({\text{♁}})}\;$ et $\;R_{({\text{☽}})}\simeq 1,700\;Mm\simeq$ $0,27\;R_{({\text{♁}})}\;$, ces valeurs ayant permis de déterminer $\;z_{\text{apes}}\simeq 53\;R_{({\text{♁}})}\simeq 339,200\;Mm\;$$^,$ ainsi que la distance séparant la position d'apesanteur de l'obus de la surface lunaire $AB-z_{\text{apes}}\simeq 5,73\;R_{({\text{♁}})}\simeq$ $36,700\;Mm\;$$^,$ ou, exprimée en rayon lunaire, $AB-z_{\text{apes}}\simeq 21,59\;R_{({\text{☽}})}\simeq 22\;R_{({\text{☽}})}$.
On constate que la position d'apesanteur correspondant à un maximum d'énergie potentielle est une position d'équilibre instable, un petit écart vers la Terre entraîne une retombée sur celle-ci alors qu'un petit écart vers la Lune contribue à une chute vers cette dernière.

### Définition de la « barrière d'énergie potentielle au point de lancement »

Un canon situé au point $\;A\;$ de la surface terrestre communique à l'obus de J.V. un vecteur vitesse initial vertical ascendant $\;{\vec {v}}_{0}=$ $v_{0}\;{\vec {u}}_{z}\;$ avec $\;v_{0}=\Vert {\vec {v}}_{0}\Vert \;$ et par suite une énergie mécanique initiale $\;E_{m,\,0}$ $={\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{0}^{2}\;$ ;
en négligeant les forces de frottement fluide de l'atmosphère cette énergie mécanique est conservée $\;E_{m,\,M}(z)=E_{m,\,0}\;$ ;
or le profil énergétique de l'obus présentant une « bosse » d’énergie potentielle de gravitations terrestre et lunaire, il y a risque que l'énergie mécanique initiale ne soit pas suffisamment grande pour empêcher l'existence d'un mur d'énergie potentielle interdisant à l'obus d’atteindre la Lune.
$\;A\;$
$\;{\big$
$\;S{\big )}\;$
$\;A\;$
$\;\Delta U(A)=U(S)-U(A)\;$
$\;\Delta U(A)=U(S)\;{\cancel {-\;U(A)}}\;$
$\;U(M)\;$
$\;A$
Dans le cas présent, la position $\;S\;$ ayant pour altitude $\;z_{\text{apes}}$, la « barrière d’énergie potentielle au point de lancement $\;A\;$» est définie, compte-tenu du choix de la référence de l'énergie potentielle au point de lancement, par $\;\Delta U_{{\text{gravit.}}\leftarrow ({\text{♁, ☽}})}(A)=U_{{\text{gravit.}}\leftarrow ({\text{♁, ☽}})}(z_{S}=z_{\text{apes}})\;{\cancel {-\;U_{{\text{gravit.}}\leftarrow ({\text{♁, ☽}})}(z_{A}=0)}}\;$ avec l'énergie potentielle en un point quelconque $\;U_{{\text{gravit.}}\leftarrow ({\text{♁, ☽}})}(z)=$ $m\;{\mathcal {G}}\left\lbrace {\dfrac {m_{({\text{♁}})}}{R_{({\text{♁}})}\left[R_{({\text{♁}})}+z\right]}}-{\dfrac {m_{({\text{☽}})}}{\left[d-R_{({\text{♁}})}\right]\left[d-R_{({\text{♁}})}-z\right]}}\right\rbrace z\;$ ainsi que la position de l'obus en état d'apesanteur $\;M_{\text{apes}}\;$ sur la trajectoire AB $\;z_{\text{apes}}\simeq 0,9\;d-R_{({\text{♁}})}\simeq 53\;R_{({\text{♁}})}\;$ $\Rightarrow$
$\;\Delta U_{{\text{gravit.}}\leftarrow ({\text{♁, ☽}})}(A)=m\;{\mathcal {G}}\left\lbrace {\dfrac {m_{({\text{♁}})}}{R_{({\text{♁}})}\left[R_{({\text{♁}})}+z_{\text{apes}}\right]}}-{\dfrac {m_{({\text{☽}})}}{\left[d-R_{({\text{♁}})}\right]\left[d-R_{({\text{♁}})}-z_{\text{apes}}\right]}}\right\rbrace z_{\text{apes}}\;$
soit, avec les valeurs numériques fournies ou rappelées ci-après «$\;R_{({\text{♁}})}\simeq 6,400\;Mm\;$, $\;d\simeq 384,000\;Mm\simeq 60\;R_{({\text{♁}})}\;$, $\;m_{({\text{♁}})}\simeq 6,0\;10^{24}\;kg$, $\;m_{({\text{☽}})}\simeq {\dfrac {m_{({\text{♁}})}}{81}}\simeq 7,4\;10^{22}\;kg$, $\;{\mathcal {G}}\simeq$ $6,67\;10^{-11}\;u.s.i.$, la masse de l'obus étant choisie à $\;m=10^{3}\;kg$ $\;{\bigg$pour être complet on rappelle le rayon de la Lune $\;R_{({\text{☽}})}\simeq 1,700\;Mm\simeq 0,27\;R_{({\text{♁}})}\simeq {\dfrac {R_{({\text{♁}})}}{3,7}}\;$, la distance $\;AB=d-R_{({\text{♁}})}-R_{({\text{☽}})}$ $\simeq 58,73\;R_{({\text{♁}})}\simeq 375,900\;Mm\;$, la distance séparant $\;M_{\text{apes}}\;$ sur la trajectoire AB et la surface lunaire $\;AB-z_{\text{apes}}\simeq 5,73\;R_{({\text{♁}})}\simeq 36,700\;Mm\;$$^,$ ou, exprimée en rayon lunaire, $\;AB-z_{\text{apes}}\simeq$ $22\;R_{({\text{☽}})}{\bigg ]}\;$», dont on déduit $\;R_{({\text{♁}})}+z_{\text{apes}}\simeq 54\;R_{({\text{♁}})}$, $\;d-R_{({\text{♁}})}\simeq 59\;R_{({\text{♁}})}\;$ et $\;d-R_{({\text{♁}})}-z_{\text{apes}}\simeq 6\;R_{({\text{♁}})}$, d'où $\;\Delta U_{{\text{gravit.}}\leftarrow ({\text{♁, ☽}})}(A)=$ $m\;{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{({\text{♁}})}}{R_{({\text{♁}})}}}\left\lbrace {\dfrac {1}{54}}-{\dfrac {\dfrac {1}{81}}{59\times 6}}\right\rbrace \times 53\simeq 0,97963\;m\;{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{({\text{♁}})}}{R_{({\text{♁}})}}}\;$ arrondi à
$\;\Delta U_{{\text{gravit.}}\leftarrow ({\text{♁, ☽}})}(A)\simeq 0,98\;m\;{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{({\text{♁}})}}{R_{({\text{♁}})}}}\;$
en injectant les dernières valeurs numériques, $\;\Delta U_{{\text{gravit.}}\leftarrow ({\text{♁, ☽}})}(A)\simeq 0,97963\times 10^{3}\times {\dfrac {6,67\;10^{-11}\times 6,0\;10^{24}}{6,4\;10^{6}}}\simeq 6,126\;10^{10}\;J\;$ c'est-à-dire finalement
$\;\Delta U_{{\text{gravit.}}\leftarrow ({\text{♁, ☽}})}(A)\simeq 61,26\;GJ\;$
Remarque : dans l'hypothèse où l'obus de J.V. puisse parvenir sur la Lune et en supposant que les explorateurs lunaires embarqués dans l'obus puissent construire un canon utilisable pour leur retour, on définit alors une nouvelle « barrière d'énergie potentielle au nouveau point de lancement $\;B\;$ de la surface lunaire » par
$\;\Delta U_{{\text{gravit.}}\leftarrow ({\text{♁, ☽}})}(B)=U_{{\text{gravit.}}\leftarrow ({\text{♁, ☽}})}(z_{S}=z_{\text{apes}})-U_{{\text{gravit.}}\leftarrow ({\text{♁, ☽}})}(z_{B})=\Delta U_{{\text{gravit.}}\leftarrow ({\text{♁, ☽}})}(A)-U_{{\text{gravit.}}\leftarrow ({\text{♁, ☽}})}(z_{B})\simeq$
$0,97963\;m\;{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{({\text{♁}})}}{R_{({\text{♁}})}}}-m\;{\mathcal {G}}\left\lbrace {\dfrac {m_{({\text{♁}})}}{R_{({\text{♁}})}\left[R_{({\text{♁}})}+z_{B}\right]}}-{\dfrac {m_{({\text{☽}})}}{\left[d-R_{({\text{♁}})}\right]\left[d-R_{({\text{♁}})}-z_{B}\right]}}\right\rbrace z_{B}\;$
Remarque : $\;z_{B}=AB\simeq 58,73\;R_{({\text{♁}})}\;$ dont on déduit $\;R_{({\text{♁}})}+z_{B}\simeq 59,73\;R_{({\text{♁}})}$, $\;d-R_{({\text{♁}})}\simeq 59\;R_{({\text{♁}})}\;$ et $\;d-R_{({\text{♁}})}-z_{B}\simeq 0,27\;R_{({\text{♁}})}\left\lbrace \simeq R_{({\text{☽}})}\right\rbrace \;$ d'où $\;U_{{\text{gravit.}}\leftarrow ({\text{♁, ☽}})}(z_{B})\simeq$ $m\;{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{({\text{♁}})}}{R_{({\text{♁}})}}}\left\lbrace {\dfrac {1}{59,73}}-{\dfrac {\dfrac {1}{81}}{59\times 0,27}}\right\rbrace \times 58,73\simeq 0,93774\;m\;{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{({\text{♁}})}}{R_{({\text{♁}})}}}\;$ et par suite $\;\Delta U_{{\text{gravit.}}\leftarrow ({\text{♁, ☽}})}(B)\simeq$ $0,97963\;m\;{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{({\text{♁}})}}{R_{({\text{♁}})}}}-0,93774\;m\;{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{({\text{♁}})}}{R_{({\text{♁}})}}}\;$ soit
$\;\Delta U_{{\text{gravit.}}\leftarrow ({\text{♁, ☽}})}(B)\simeq 0,04189\;m\;{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{({\text{♁}})}}{R_{({\text{♁}})}}}\simeq 2,620\;GJ\simeq 4,3\,\%\;{\text{de}}\;\Delta U_{{\text{gravit.}}\leftarrow ({\text{♁, ☽}})}(A)\;$

## Énergie minimale nécessaire au franchissement de la « bosse d'énergie potentielle »

L'énergie mécanique de l'obus de J.V. lancé à partir du point $\;A\;$ de la surface terrestre étant conservée dans l'hypothèse où on néglige les forces de frottement fluide de l'atmosphère terrestre, ce dernier pourra atteindre la Lune s'il a l'« énergie mécanique suffisante pour franchir la bosse d'énergie potentielle »$^,$, c'est-à-dire s'il possède encore de l'énergie cinétique en la position $\;S\;$ de la « bosse » soit la nécessité de fournir initialement à l'obus l'énergie mécanique $\;E_{m,\,0}$ égale à l'énergie mécanique $\;E_{m,\,M}(S)\;$ en la position $\;S\;$ avec $\;K_{M}(S)>0$, ce qui se traduit par $\;K_{0}+U_{{\text{gravit.}}\leftarrow ({\text{♁, ☽}})}(A)=$ $K_{M}(S)+U_{{\text{gravit.}}\leftarrow ({\text{♁, ☽}})}(S)\;$ avec $\;K_{M}(S)>0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;K_{0}=$ $K_{M}(S)+\left[U_{{\text{gravit.}}\leftarrow ({\text{♁, ☽}})}(S)-U_{{\text{gravit.}}\leftarrow ({\text{♁, ☽}})}(A)\right]\;$ avec $\;K_{M}(S)>0\;$ ou encore $\;K_{0}=$ $K_{M}(S)+\Delta U_{{\text{gravit.}}\leftarrow ({\text{♁, ☽}})}(A)\;$ avec $\;K_{M}(S)>0\;$ et finalement
$\;K_{0}>\Delta U_{{\text{gravit.}}\leftarrow ({\text{♁, ☽}})}(A)\;$
$\;A\;$
dans le cadre de la cinétique newtonienne la condition d'énergie cinétique initiale se réécrit $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{0}^{2}>\Delta U_{{\text{gravit.}}\leftarrow ({\text{♁, ☽}})}(A)\;$ ou $\;v_{0}=\Vert {\vec {v}}_{0}\Vert >{\sqrt {\dfrac {2\;\Delta U_{{\text{gravit.}}\leftarrow ({\text{♁, ☽}})}(A)}{m}}}\;$ soit numériquement $\;v_{0}>{\sqrt {\dfrac {2\times 61,26\;10^{9}}{10^{3}}}}\simeq 11,069\;m\cdot s^{-1}\;$ et finalement $\;v_{0}\gtrsim 11,07\;km\cdot s^{-1}\;$ $\;{\big$non réalisable avec un canon à poudre car la plus grande vitesse obtenue dans le passé à la « bouche » du canon a été $\;1,6\;km\cdot s^{-1}\;$, de plus l'accélération de l'obus de J.V. à l'intérieur du tube du canon serait nettement supérieure à l'accélération maximale que peut supporter un être humain estimée à « une dizaine de g »$^,$ et par suite les « astronautes en herbe » seraient morts avant que l'obus ne sorte du canon${\big )}$.
Remarque : Dans l'hypothèse où les explorateurs lunaires de J.V. aient eu à leur disposition un canon permettant le lancement de l'obus les contenant tout en leur assurant la survie au lancement, et qu'ils aient pu construire, à leur arrivée sur la Lune, un canon pour leur retour, la « barrière d'énergie potentielle au point de lancement de la surface lunaire » pour le trajet retour étant «$\;23\;$ fois moins haute », la vitesse initiale de lancement à partir de la Lune aurait été nettement moindre :
Remarque : en effet la conservation de l'énergie mécanique de l'obus entre le point de lancement $\;B\;$ de la surface lunaire et la position $\;S\;$ de la bosse de l'énergie potentielle $\;{\big$conservation rigoureuse compte-tenu de l'absence de toute atmosphère lunaire${\big )}$ à savoir $\;{E'}_{\!m,\,0}={E'}_{\!m,\,M}(S)\;$ avec $\;{K'}_{\!M}(S)>0$, se réécrit $\;{K'}_{\!0}+U_{{\text{gravit.}}\leftarrow ({\text{♁, ☽}})}(B)={K'}_{\!M}(S)+U_{{\text{gravit.}}\leftarrow ({\text{♁, ☽}})}(S)\;$ avec $\;{K'}_{\!M}(S)>0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{K'}_{\!0}={K'}_{\!M}(S)+\left[U_{{\text{gravit.}}\leftarrow ({\text{♁, ☽}})}(S)-U_{{\text{gravit.}}\leftarrow ({\text{♁, ☽}})}(B)\right]\;$ avec $\;{K'}_{\!M}(S)>0\;$ ou encore $\;{K'}_{\!0}={K'}_{\!M}(S)+\Delta U_{{\text{gravit.}}\leftarrow ({\text{♁, ☽}})}(B)\;$ avec $\;{K'}_{\!M}(S)>0\;$ et finalement
$\;{K'}_{\!0}>\Delta U_{{\text{gravit.}}\leftarrow ({\text{♁, ☽}})}(B)\;$
$\;B\;$
Remarque : dans le cadre de la cinétique newtonienne la condition d'énergie cinétique initiale se réécrit $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{v'}_{\!0}^{2}>\Delta U_{{\text{gravit.}}\leftarrow ({\text{♁, ☽}})}(B)\;$ ou $\;{v'}_{\!0}=$ ${\Big \Vert }{\vec {v'}}_{\!0}{\Big \Vert }>{\sqrt {\dfrac {2\;\Delta U_{{\text{gravit.}}\leftarrow ({\text{♁, ☽}})}(B)}{m}}}\;$ soit numériquement $\;{v'}_{\!0}>{\sqrt {\dfrac {2\times 2,62\;10^{9}}{10^{3}}}}\simeq 2,289\;m\cdot s^{-1}\;$ et finalement $\;{v'}_{\!0}\gtrsim 2,29\;km\cdot s^{-1}\;$ $\;{\big$encore non réalisable avec un canon à poudre, la plus grande vitesse obtenue dans le passé à la « bouche » d'un canon sur Terre ayant été $\;1,6\;km\cdot s^{-1}\;$, de plus l'accélération de l'obus de J.V. à l'intérieur du tube du canon serait, là encore, nettement supérieure à l'accélération maximale que peut supporter un être humain estimée, sur la Lune, à « une soixantaine de g$_{(☽)}$ »$^,$$^,$ et par suite les « apprentis explorateurs lunaires » seraient morts avant que l'obus ne sorte du canon${\big )}$.

## Autres exemples de « barrière » d'énergie potentielle
### Lancer d'un proton en direction d'un autre proton « immobile »

Le proton immobile est choisi comme origine $\;O\;$ du repérage du proton mobile $\;P\;$ de masse $\;m_{p}\simeq 1,67\;10^{-27}\;kg\;$ et de charge $\;q_{p}=+e\simeq 1,60\;10^{-19}\;C$ ;
initialement $\;P\;$ est lancé avec un vecteur vitesse $\;{\vec {v}}_{0}\;$ de direction passant par $\;O\;$ et de sens vers $\;O\;$ à partir d'une position située à la distance $\;d\;$ de $\;O$ ;
on choisit l'axe $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ issu de $\;O\;$ et se dirigeant vers $\;P$, le proton $\;P\;$ ayant donc, dans un 1er temps, un mouvement rectiligne suivant $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ dans le sens $\;-\;$ de $\;{\overrightarrow {Ox}}$.
Bilan de forces exercées sur le proton P mobile : le proton $\;P\;$ est soumis à
* une force électrostatique répulsive de la part du proton situé en $\;O$, $\;{\vec {F}}_{{\text{électrost.}}\,P\,\leftarrow \;O}={\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;x^{2}}}\;{\vec {u}}_{x}\;$ correspondant au vecteur champ électrostatique créé par le proton $\;O\;$ immobile en la position $\;P\;$ du proton mobile $\;{\vec {E}}_{O}(P)={\dfrac {{\vec {F}}_{{\text{électrost.}}\,P\,\leftarrow \;O}}{+e}}={\dfrac {e}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;x^{2}}}\;{\vec {u}}_{x}$, mais aussi à
* une force d'« interaction nucléaire forte (résiduelle) » de la part du proton situé en $\;O$, $\;{\vec {F}}_{{\text{nucl. forte résid.}}\,P\,\leftarrow \,O}=F_{\text{nucl. forte résid.}}\!(x)\;{\vec {u}}_{x}\;$ dans lequel $\;F_{\text{nucl. forte résid.}}\!(x)$ représente l'intensité de l'« interaction nucléaire forte résiduelle » entre protons soit $\;F_{\text{nucl. forte résid.}}\!(x)\left\lbrace {\begin{array}{l}=0&{\text{si}}\;x\in \left[x_{\text{sup}}\simeq 2,5\;fm\,,\,+\infty \right[\\<0&{\text{si}}\;x\in \left]x_{\text{stat}}\simeq 0,5\;fm\,,\,x_{\text{sup}}\simeq 2,5\;fm\right[\\>0&{\text{si}}\;x\in \left]x_{\text{inf}}\simeq 0,25\;fm\,,\,x_{\text{stat}}\simeq 0,5\;fm\right[\\\rightarrow +\infty &{\text{si}}\;x\in \left]0\,,\,x_{\text{inf}}\simeq 0,25\;fm\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ ;
Bilan de forces exercées sur le proton P mobile : les deux forces étant conservatives, la résultante « dérive » d'une énergie potentielle dont
* le 1er terme électrostatique est «$\;U_{{\text{électrost.}}\,P\,\leftarrow \;O}(x)={\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;x}}\;$ en prenant la référence à l'infini » et
* le 2ème terme d'« interaction nucléaire forte résiduelle » «$\;U_{\text{nucl. forte résid.}}(x)\left\lbrace {\begin{array}{l}>0\;\;{\text{fortement}}\;\searrow &{\text{si}}\;x\in \left]0\,,\,x_{\text{inf}}\simeq 0,25\;fm\right]\\<0\;\;{\text{et}}\;\searrow &{\text{si}}\;x\in \left]x_{\text{inf}}\simeq 0,25\;fm\,,\,x_{\text{stat}}\simeq 0,5\;fm\right[\\<0\;\;{\text{faiblement}}\;\nearrow &{\text{si}}\;x\in \left]x_{\text{stat}}\simeq 0,5\;fm\,,\,x_{\text{sup}}\simeq 2,5\;fm\right[\\=0&{\text{si}}\;x\in \left[x_{\text{sup}}\simeq 2,5\;fm\,,\,+\infty \right[\end{array}}\right\rbrace \;$ avec référence à l'infini ».
Ci-contre le tracé du profil d’énergie potentielle électrostatique en rouge et, en superposition,
Ci-contre l’allure du profil d’énergie potentielle nucléaire forte résiduelle en tiretés bleus $\;{\big$la valeur numérique du minimum n’est pas connue avec précision car aucun système à deux protons nucléairement stable n’a été observé${\big )}$,
Ci-contre en ajoutant les deux on obtient l'allure du profil d’énergie potentielle totale $\;{\big$voir allure en traits pleins verts ci-contre, la valeur numérique du minimum n’est pas connue avec précision étant donné que celle du minimum de l'énergie potentielle nucléaire forte résiduelle ne l'est pas${\big )}$ ;
on constate que le profil d’énergie potentielle totale $\;{\big$traits pleins verts ci-contre${\big )}\;$
* s'identifie à celui de l’énergie potentielle électrostatique pour $\;x\gtrsim 2,5\;fm$,
* passe par un minimum aux alentours de $\;x\simeq 0,5\;fm\;$
* pour remonter fortement simultanément à la $\;\searrow \;$ de $\;x$,
* pour terminer avec une asymptote parallèle à l'axe des énergies potentielles aux alentours de $\;x_{\text{min}}\simeq 0,25\;fm$ $\;\ldots$
Il existe une 1ère « barrière d’énergie potentielle (au point de lancement situé à l'infini) » quand la force électrostatique répulsive est compensée par la force d’interaction nucléaire forte résiduelle attractive « aux alentours de $\;1,5\;fm\;$» mais cette « barrière » n’est pas très élevée « de l’ordre du $\;MeV\;$» puis
Il existe une 2ème « barrière d’énergie potentielle (au point de lancement situé à l'infini) » de valeur infinie quand la force d’interaction nucléaire forte résiduelle est devenue « de type collision » répulsive « aux alentours de $\;0,25\;fm\;$» ;
la différence entre la 1ère et la 2ème « barrière » est que le proton peut « franchir la bosse d'énergie potentielle » correspondant à la 1ère « barrière » si son énergie mécanique initiale $\;E_{m,\,0}\simeq$ $K_{P}(x\rightarrow \infty )\;$ est suffisante c'est-à-dire $\;\gtrsim 1\;MeV\;$ la différence entre la 1ère et la 2ème « barrière » alors que la 2ème « barrière » de hauteur infinie correspondant à la position d'un « mur d’énergie potentielle » rend cette « limite approchée de $\;0,25\;fm\;$ infranchissable » quelle que soit l'énergie mécanique initiale $\;E_{m,\,0}\simeq K_{P}(x\rightarrow \infty )\;$ du proton projectile $\;\ldots$

### Porteur de charge mobile dans la « jonction d'une diode »
#### Description d'une « diode à jonction »

Une « diode à jonction » est constituée d'un monocristal semi-conducteur $\;{\big$le plus souvent du $\;Si{\big )}\;$ dopé de type $\;N\;$ d'un côté et de type $\;P\;$ de l'autre ;
l'interface de ces deux régions $\;P\;$ et $\;N\;$ constitue « la jonction $\;P\;-\;N\;$» de très faible épaisseur de l'ordre de $\;1\,\mu m$.

#### Porteurs de charge mobiles dans une « diode à jonction » hors branchement

Les porteurs de charge mobiles sont :
* des trous $\;p$, présents dans la zone $\;P$ $\;{\big$la zone $\;P\;$ étant neutre, il y a donc aussi des anions $\;{\big$ions de charge négative${\big )}\;$ fixes en densité volumique égale à celle des trous${\big ]}\;$ et absents dans la zone $\;N$,
* des électrons de conduction $\;n$, présents dans la zone $\;N$ $\;{\big$la zone $\;N\;$ étant neutre, il y a donc aussi des cations $\;{\big$ions de charge positive${\big )}\;$ fixes en densité volumique égale à celle des électrons de conduction${\big ]}\;$ et absents dans la zone $\;P$ ;
hors branchement de la diode, il y a diffusion de trous de la zone $\;P\;$ vers la zone $\;N\;$ simultanément à une diffusion d'électrons de conduction de la zone $\;N\;$ vers la zone $\;P$, on observe ainsi l'annihilation de ces porteurs dans la jonction ;
il s'en suit qu'il y a, dans la jonction $\;{\big$voir schéma ci-contre${\big )}$ :
* du côté $\;P$, un excédent de charges $\;-\;$ fixes $\;{\big$qui n'est plus compensé par la présence de trous${\big )}\;$ et
* du côté $\;N$, un excédent de charges $\;+\;$ fixes $\;{\big$qui n'est plus compensé par la présence d'électrons de conduction${\big )}\;$ d'où
$\;{\vec {E}}_{D}\;$
$\;N\;$
$\;P\;$
$\;U_{D}=V_{N,\,{\text{de la jonction}}}-V_{P,\,{\text{de la jonction}}}>0\;$
cette tension stoppe la diffusion des trous vers la zone $\;N\;$ et des électrons de conduction vers la zone $\;P\;$ car, avec le choix de la référence des potentiels du côté $\;P\;$ de la jonction,
* dans la zone $\;P$, l'énergie mécanique des trous $\;p\;$ est $\;K_{p}$ $\;{\big$uniquement l'énergie cinétique puisque l'énergie potentielle électrique y est nulle par choix de sa référence au même endroit que celle du potentiel${\big )}$, ceux-ci rencontrent alors une bosse d'énergie potentielle de hauteur $\;e\;U_{D}>0\;$ jouant le rôle de mur d'énergie potentielle pour les trous ayant une énergie cinétique dans la zone $\;P\;$ telle que $\;K_{p}<e\;U_{D}\;$ et par suite la diffusion des trous vers la zone $\;N\;$ devient quasi impossible,
* dans la zone $\;N$, l'énergie mécanique des électrons de conduction $\;n\;$ est $\;K_{n}-e\;U_{D}$ $\;{\big$énergie cinétique et énergie potentielle électrique $\;-e\;U_{D}\;$${\big )}$, ceux-ci rencontrent alors un niveau d'énergie potentielle de hauteur nulle jouant le rôle de mur d'énergie potentielle pour les électrons de conduction ayant une énergie cinétique dans la zone $\;N\;$ telle que $\;K_{n}<e\;U_{D}\;$ et par suite la diffusion des électrons de conduction vers la zone $\;P\;$ devient quasi impossible.

#### Barrières d'énergie potentielle des trous de la zone P et des électrons de conduction de la zone N dans une diode à jonction hors branchement

Barrière d'énergie potentielle d'un trou de la zone P d'une diode à jonction hors branchement : On appelle « barrière d’énergie potentielle d'un trou de la zone $\;P\;$», « la différence d’énergie potentielle entre sa valeur la plus élevée située dans la zone $\;N\;$ et la valeur de sa zone $\;P\;$ de départ » soit
$\;\Delta {\mathcal {E}}_{p,\,N\leftarrow P}={\mathcal {E}}_{p}(N)-{\mathcal {E}}_{p}(P)=e\;V_{N}-e\;V_{P}=e\;U_{D}>0$
Barrière d'énergie potentielle d'un trou de la zone P d'une diode à jonction hors branchement : pour qu'un trou initialement présent dans la zone $\;P\;$ migre vers la zone $\;N$, il faut que son énergie cinétique d'agitation thermique $\;K_{p}\;$ dans la zone $\;P\;$ soit plus grande que la barrière d'énergie potentielle le séparant de la zone $\;N\;$ c'est-à-dire $\;K_{p}\geqslant e\;U_{D}$, ce qui n'est pas réalisé à température ordinaire d'où l'absence de migration de trou de la zone $\;P\;$ vers la zone $\;N\;$ dans une diode à jonction hors branchement.
Barrière d'énergie potentielle d'un électron de conduction de la zone N d'une diode à jonction hors branchement : On appelle « barrière d’énergie potentielle d'un électron de conduction de la zone $\;N\;$», « la différence d’énergie potentielle entre sa valeur la plus élevée située dans la zone $\;P\;$ et la valeur de sa zone $\;N\;$ de départ » soit
$\;\Delta {\mathcal {E}}_{n,\,P\leftarrow N}={\mathcal {E}}_{n}(P)-{\mathcal {E}}_{n}(N)=(-e)\;V_{P}-(-e)\;V_{N}=e\;U_{D}>0$
Barrière d'énergie potentielle d'un électron de conduction de la zone N d'une diode à jonction hors branchement : pour qu'un électron de conduction initialement présent dans la zone $\;N\;$ migre vers la zone $\;P$, il faut que son énergie cinétique d'agitation thermique $\;K_{n}\;$ dans la zone $\;N\;$ soit plus grande que la barrière d'énergie potentielle le séparant de la zone $\;P\;$ c'est-à-dire $\;K_{n}\geqslant e\;U_{D}$, ce qui n'est pas réalisé à température ordinaire d'où l'absence de migration d'électron de conduction de la zone $\;N\;$ vers la zone $\;P\;$ dans une diode à jonction hors branchement.

#### Largeur de la jonction d'une diode hors branchement

La largeur $\;d\;$ de la jonction d'une diode hors branchement est déterminée par l’énergie cinétique « maximale » d'agitation thermique des porteurs de charge mobiles dans les zones dopées, à savoir
* celle des trous $\;p\;$ dans la zone $\;P$, tant que leur « énergie cinétique maximale » $\;K_{{\text{max}},\,p,\,{\text{dans zone}}\,P}\;$ est $\;\gtrsim \;$ à la barrière d'énergie potentielle d'un trou dans cette zone $\;\Delta {\mathcal {E}}_{p,\,N\leftarrow P}=$ $e\;U_{D}>0$, cette largeur étant alors insuffisante pour empêcher la diffusion vers la zone $\;N\;$ et
* celle des électrons de conduction $\;n\;$ dans la zone $\;N$, tant que leur « énergie cinétique maximale » $\;K_{{\text{max}},\,n,\,{\text{dans zone}}\,N}\;$ est $\;\gtrsim \;$ à la barrière d'énergie potentielle d'un électron de conduction dans cette zone $\;\Delta {\mathcal {E}}_{n,\,P\leftarrow N}=e\;U_{D}>0$, cette largeur étant alors insuffisante pour empêcher la diffusion vers la zone $\;P$,
la poursuite simultanée de la diffusion des trous $\;p\;$ vers la zone $\;N\;$ et des électrons de conduction $\;n\;$ vers la zone $\;P\;$ $\;{\big$simulée sur les deux diagrammes d'énergie potentielle représentées ci-dessous, la référence de l'énergie potentielle des trous ou des électrons de conduction étant choisie du côté $\;P{\big )}\;$ entraînant la poursuite de l'annihilation des trous $\;p\;$dans la zone $\;P\;$ et celle des électrons de conduction $\;n\;$dans la zone $\;N\;$ et par suite une $\;\nearrow \;$ de la largeur $\;d\;$ de la jonction $\Rightarrow$ la $\;\nearrow \;$ de la tension de seuil théorique $\;U_{D}\;$ et simultanément la $\;\nearrow \;$ des barrières d'énergie potentielle des trous $\;p\;$ de la zone $\;P\;$ et des électrons de conduction $\;n\;$ de la zone $\;N$, ceci jusqu'à ce que l’« énergie cinétique maximale » des trous $\;p\;$ de la zone $\;P$ $\;K_{{\text{max}},\,p,\,{\text{dans zone}}\,P}\;$ soit $\;\simeq \Delta {\mathcal {E}}_{p,\,N\leftarrow P}=e\;U_{D}>0\;$ et celle des électrons de conduction $\;n\;$ de la zone $\;N$ $\;K_{{\text{max}},\,n,\,{\text{dans zone}}\,N}\;$ soit $\;\simeq \Delta {\mathcal {E}}_{n,\,P\leftarrow N}=e\;U_{D}>0$, ceci correspondant approximativement à $\;d\simeq 1\;\mu m$.

#### Évolution des barrières d'énergie potentielle lors de la polarisation de la diode

Dans un circuit, la polarisation de la diode à jonction peut être :
* soit directe si on impose que l'extrémité $\;P\;$ soit à un potentiel plus élevé que son extrémité $\;N\;$, $\;V_{P}>V_{N}\;$ correspondant à $\;U_{PN}=V_{P}-V_{N}>0$,
* soit inverse si on impose que l'extrémité $\;P\;$ soit à un potentiel moins élevé que son extrémité $\;N$, $\;V_{P}<V_{N}\;$ correspondant à $\;U_{PN}=V_{P}-V_{N}<0$.

##### Évolution des barrières d'énergie potentielle lors de la polarisation directe de la diode

Dans le cas de la polarisation directe $\;V_{P}>V_{N}\;$ de la diode à jonction, il existe, dans toute la diode, un champ électrique $\;{\vec {E}}\;$ dirigé de $\;P\;$ vers $\;N$, ce qui crée plus particulièrement dans la jonction, un champ électrique total $\;{\vec {E}}_{\text{tot. jonct.}}={\vec {E}}+{\vec {E}}_{D}\;$ de même sens que $\;{\vec {E}}\;$ si la tension $\;U_{PN}>0\;$ est suffisante, c'est-à-dire si $\;U_{PN}\gtrsim {\dfrac {l}{d}}\;U_{D}\;$ où $\;l\;$ est la longueur totale de la diode et $\;d\;$ la largeur de la jonction ;
$\;\succ \;$si $\;U_{PN}\gtrsim {\dfrac {l}{d}}\;U_{D}\;$, ce champ électrique total dans la jonction $\;{\vec {E}}_{\text{tot. jonct.}}={\vec {E}}+{\vec {E}}_{D}\;$ étant de même sens que $\;{\vec {E}}$ $\;{\big$et de sens contraire à $\;{\vec {E}}_{D}{\big ]}$ $\;{\big$voir schéma ci-contre${\big )}$, permet la migration entretenue
* des trous $\;p\;$ de la zone $\;P\;$ vers la zone $\;N\;$ et
* des électrons de conduction $\;n\;$ de la zone $\;N\;$ vers la zone $\;P$,
par « suppression » de la barrière d’énergie potentielle des trous $\;p\;$ de la zone $\;P\;$ $\;{\big$voir, ci-dessous à gauche, l'allure du diagramme d'énergie potentielle des trous $\;p\;$ initialement présents à l'extrémité gauche de la zone $\;P{\big )}\;$ et de celle des électrons de conduction $\;n\;$ de la zone $\;N\;$ $\;{\big$voir, ci-dessous à droite, l'allure du diagramme d'énergie potentielle des électrons de conduction $\;n\;$ initialement présents à l'extrémité droite de la zone $\;N{\big )}$, ces deux diagrammes correspondant à $\;U_{D}\simeq 0,6\;V$, $\;U_{PN}\simeq 6\;V$, $\;d\simeq$ $1\;\mu m\;$ et $\;l\simeq 5\;\mu m$,
cette migration entretenue correspondant à un courant dans la diode de $\;P\;$ vers $\;N$ ;
$\;\succ \;$si $\;U_{PN}\;{\underset {\sim }{\in }}\;\left]U_{D}\,,\,{\dfrac {l}{d}}\;U_{D}\right]\;$$^,$, ce champ électrique total dans la jonction $\;{\vec {E}}_{\text{tot. jonct.}}={\vec {E}}+{\vec {E}}_{D}\;$ étant maintenant de sens contraire à $\;{\vec {E}}$ $\;{\big$donc de même sens que $\;{\vec {E}}_{D}{\big ]}$, de norme $\;\Vert {\vec {E}}_{\text{tot. jonct.}}\Vert =\Vert {\vec {E}}_{D}\Vert -\Vert {\vec {E}}\Vert$, a un effet ralentisseur dans la jonction sur les porteurs de charge mobiles, après que le champ électrique imposé de l'extérieur hors jonction ait créé un effet accélérateur, on constate que si la tension $\;U_{PN}\;$ reste supérieure à une tension « de seuil pratique » $\;U_{\text{seuil part.}}\;$ assimilée, pour simplifier, à la tension « de seuil théorique » $\;U_{D}$, l'effet accélérateur prédominant permet la migration entretenue
* des trous $\;p\;$ de la zone $\;P\;$ vers la zone $\;N\;$ et
* des électrons de conduction $\;n\;$ de la zone $\;N\;$ vers la zone $\;P$,
par le maintien de la « suppression » de la barrière d’énergie potentielle des trous $\;p\;$ de la zone $\;P\;$ $\;{\big$voir, ci-dessous à gauche, l'allure du diagramme d'énergie potentielle des trous $\;p\;$ initialement présents à l'extrémité gauche de la zone $\;P{\big )}\;$ et de celle des électrons de conduction $\;n\;$ de la zone $\;N\;$ $\;{\big$voir, ci-dessous à droite, l'allure du diagramme d'énergie potentielle des électrons de conduction $\;n\;$ initialement présents à l'extrémité droite de la zone $\;N{\big )}$, ces deux diagrammes correspondant à $\;U_{D}\simeq 0,6\;V$, $\;U_{PN}\simeq 2\;V$, $\;d\simeq 1\;\mu m\;$ et $\;l\simeq 5\;\mu m$,
cette migration entretenue correspondant encore à un courant dans la diode de $\;P\;$ vers $\;N$ ;
$\;\succ \;$si $\;U_{PN}\;{\underset {\sim }{\in }}\;\left]0\,,\,U_{D}\right]\;$, ce champ électrique total dans la jonction $\;{\vec {E}}_{\text{tot. jonct.}}={\vec {E}}+{\vec {E}}_{D}\;$ de sens contraire à $\;{\vec {E}}$ $\;{\big$donc de même sens que $\;{\vec {E}}_{D}{\big ]}$ $\;{\big$voir schéma ci-contre${\big )}$ de norme $\;\Vert {\vec {E}}_{\text{tot. jonct.}}\Vert =\Vert {\vec {E}}_{D}\Vert -\Vert {\vec {E}}\Vert$, a un effet ralentisseur dans la jonction sur les porteurs de charge mobiles, après que le champ électrique imposé de l'extérieur hors jonction ait créé un effet accélérateur, on constate que si la tension $\;U_{PN}\;$ reste inférieure à la tension « de seuil pratique » $\;U_{\text{seuil part.}}\;$ assimilée, pour simplifier, à la tension « de seuil théorique » $\;U_{D}$, l'effet ralentisseur prédominant, réduit, de façon plus ou moins significative, la migration spontanée des porteurs de charge mobiles à savoir
* celle des trous $\;p\;$ de la zone $\;P\;$ vers la zone $\;N\;$ en pourcentage de migration spontanée d'autant plus faible que $\;U_{PN}\;$ l'est et
* celle des électrons de conduction $\;n\;$ de la zone $\;N\;$ vers la zone $\;P\;$ en pourcentage de migration spontanée d'autant plus faible que $\;U_{PN}\;$ l'est,
par « création mais sous forme réduite » de la barrière d’énergie potentielle des trous $\;p\;$ de la zone $\;P\;$ $\;{\big$voir, ci-dessous à gauche, l'allure du diagramme d'énergie potentielle des trous $\;p\;$ initialement présents à l'extrémité gauche de la zone $\;P{\big )}\;$ et de celle des électrons de conduction $\;n\;$ de la zone $\;N\;$ $\;{\big$voir, ci-dessous à droite, l'allure du diagramme d'énergie potentielle des électrons de conduction $\;n\;$ initialement présents à l'extrémité droite de la zone $\;N{\big )}$, ces deux diagrammes correspondant à $\;U_{D}\simeq 0,6\;V$, $\;U_{PN}\simeq 0,5\;V$, $\;d\simeq 1\;\mu m\;$ et $\;l\simeq 5\;\mu m$,
cette migration très réduite correspondant à un courant très faible dans la diode de $\;P\;$ vers $\;N$.

##### Évolution des barrières d'énergie potentielle lors de la polarisation inverse de la diode

Dans le cas d'une polarisation inverse $\;V_{P}<V_{N}\;$ de la diode à jonction, il existe, dans toute la diode, un champ électrique $\;{\vec {E}}\;$ dirigé de $\;N\;$ vers $\;P$ en accord avec $\;U_{PN}<0$, ce qui crée plus particulièrement dans la jonction, un champ électrique total $\;{\vec {E}}_{\text{tot. jonct.}}={\vec {E}}+{\vec {E}}_{D}\;$ de même sens que $\;{\vec {E}}\;$ et $\;{\vec {E}}_{D}\;$ et de norme $\;\Vert {\vec {E}}_{\text{tot. jonct.}}\Vert =\Vert {\vec {E}}\Vert +\Vert {\vec {E}}_{D}\Vert$ ;
quelle que soit la tension $\;U_{PN}<0$ $\;{\big$de valeur absolue non trop élevée pour ne pas détruire irréversiblement la jonction de la diode${\big )}$, le champ électrique total dans la jonction $\;{\vec {E}}_{\text{tot. jonct.}}={\vec {E}}+{\vec {E}}_{D}\;$ empêche toute reprise de migration spontanée
* des trous $\;p\;$ de $\;P\;$ vers $\;N\;$ et
* des électrons de conduction $\;n\;$ de $\;N\;$ vers $\;P\;$
par « relèvement » de la barrière d’énergie potentielle des trous $\;p\;$ de la zone $\;P\;$ $\;{\big$voir, ci-dessous à gauche, l'allure du diagramme d'énergie potentielle des trous $\;p\;$ initialement présents à l'extrémité gauche de la zone $\;P{\big )}\;$ et de celle des électrons de conduction $\;n\;$ de l'extrémité droite de la zone $\;N\;$, $\;{\big$voir, ci-dessous à droite, l'allure du diagramme d'énergie potentielle des électrons de conduction $\;n\;$ initialement présents à l'extrémité droite de la zone $\;N{\big )}$, ces deux diagrammes correspondant à $\;U_{D}\simeq 0,6\;V$, $\;U_{PN}\simeq -2\;V$, $\;d\simeq 1\;\mu m\;$ et $\;l\simeq 5\;\mu m$,
cette absence de migration correspondant à une absence de courant dans la diode de $\;P\;$ vers $\;N$.

### Pendule pesant simple à un degré de liberté lancé dans les conditions « 1b »

A déjà été traité au paragraphe « condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. (à un degré de libreté) soit révolutif » du chap.$17$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » sans introduire la notion de « barrière d'énergie potentielle en la position de lancement repérée par l'abscisse angulaire $\;\theta _{0}\;$» $\;{\big$on rappelle les conditions $\;\left(1{\mathfrak {b}}\right)\;$ de lancement « on écarte le P.P.S.N.A. de $\;\theta _{0}\;$ de sa position d'équilibre stable et on le lâche avec une vitesse angulaire $\;{\dot {\theta }}_{0}\neq 0\;$»${\big ]}$.
Le profil d’énergie potentielle présente effectivement des « bosses » d'énergie potentielle aux abscisses angulaires $\;\theta _{\text{éq. inst.}}\equiv \pi \!\!{\pmod {2\;\pi }}$, correspondant aux positions d'équilibre instable, la « barrière (commune) d'énergie potentielle en la position de lancement repérée par l'abscisse angulaire $\;\theta _{0}\;$» étant
$\;\Delta U_{\text{pes}}(\theta _{0})=U_{\text{pes}}(\theta _{\text{éq. inst.}})-U_{\text{pes}}(\theta _{0})=2\;m\;g\;l-m\;g\;l\,\left[1-\cos(\theta _{0})\right]\;$
$\;\Delta U_{\text{pes}}(\theta _{0})=m\;g\;l\,\left[1+\cos(\theta _{0})\right]$
On en déduit qu'il est nécessaire que l'énergie cinétique initiale $\;K_{M}(0)={\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}\;$ de lancement du P.P.S.N.A. en la position repérée par l'abscisse angulaire $\;\theta _{0}\;$ soit $\;>\;$ à la barrière d'énergie potentielle $\;\Delta U_{\text{pes}}(\theta _{0})\;$ correspondante pour que son mouvement soit « révolutif » soit
$\;K_{M}(0)>\Delta U_{\text{pes}}(\theta _{0})\;$
$\Leftrightarrow$
$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}>m\;g\;l\,\left[1+\cos(\theta _{0})\right]\;$
$\;{\dot {\theta _{0}}}\;$
$\;\vert {\dot {\theta }}_{0}\vert >{\sqrt {2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left[1+\cos(\theta _{0})\right]}}$

## En complément, effet tunnel ou la possibilité quantique pour une particule de « traverser » la « barrière » d'énergie potentielle sans avoir l'énergie « classique » suffisante
### Présentation de l'effet tunnel en mécanique quantique

L'« effet tunnel » désigne la possibilité que possède un objet quantique de « franchir une bosse d'énergie potentielle » même si son énergie cinétique initiale étant inférieure à la hauteur de la « barrière d'énergie potentielle en la position initiale » ne permet pas de franchir la « bosse » au sens de la mécanique classique ; c’est donc un effet purement quantique, ne pouvant pas s'expliquer par la mécanique classique.
La fonction d'onde d'une particule « à un degré de liberté » se dirigeant vers la « bosse d'énergie potentielle » avec une énergie mécanique initiale insuffisante pour la franchir au sens de la mécanique classique,
* d'une part ne s'annule pas sur le « mur d'entrée de la bosse d'énergie potentielle de la mécanique classique » et
* d'autre part s'atténue quand la pénétration à l'« intérieur de la bosse d’énergie potentielle » augmente, atténuation pratiquement exponentielle pour une « bosse » assez large ;
si, sur le « mur de sortie de la bosse d'énergie potentielle de la mécanique classique », la particule possède une « densité linéique de probabilité de présence non nulle », elle peut traverser cette « bosse » avec une probabilité de présence non nulle au-delà, ce qui se traduit par l'effet tunnel.

### Applications de l'effet tunnel

Les applications de l'effet tunnel sont nombreuses, par exemple :

#### Diodes « à effet tunnel »

Ce sont des diodes à jonction $\;P-N\;$ à dopage important $\;{\big1000\;$ fois plus d'impuretés que dans une diode à jonction usuelle${\big )}$, ce qui a pour conséquence une jonction très étroite $\;{\big$de largeur de l'ordre du $\;nm{\big )}\;$ entraînant la possibilité d'effet tunnel à travers la jonction pour des trous $\;p\;$ ou des électrons de conduction $\;n\;$ qui n'auraient pas l'énergie cinétique suffisante au sens classique ;
l'étude des jonctions avec semi-conducteurs fortement dopés a été menée par Leo Esaki en $\;1958\;$ et lui valut de partager une moitié de prix Nobel de physique avec Ivar Giaever en $\;1973\;$, l'autre moitié étant décernée à Brian David Josephson.
* En absence de polarisation de la diode « à effet tunnel » $\;{\big$c'est-à-dire hors branchement${\big )}\;$ la bande de valence du côté $\;P\;$ où sont les trous $\;p\;$ est au même niveau d’énergie que la bande de conduction du côté $\;N\;$ où sont les électrons de conduction $\;n\;$, si un trou $\;p\;$ peut traverser la jonction par effet tunnel de $\;P\;$ vers $\;N\;$ et un électron de conduction $\;n\;$ peut également traverser la jonction en sens inverse, ces derniers n'étant pas renouvelés par circuit extérieur, le courant reste globalement d'intensité nulle ;
* en polarisation directe à faible tension externe, la traversée des trous $\;p\;$ à travers la jonction par effet tunnel de $\;P\;$ vers $\;N\;$ et des électrons de conduction $\;n\;$ également par effet tunnel dans le sens inverse est rendue possible car les trous $\;p\;$ et les électrons de conduction $\;n\;$ sont renouvelés par circuit extérieur, on observe un courant d'intensité proportionnelle à la tension et ceci jusqu'à une valeur d'intensité $\;I_{\text{pic}}\;$ correspondant à une tension $\;U_{\text{pic}}\simeq$ $100\;mV$ ;
* en polarisation directe à partir de la tension $\;U_{\text{pic}}$, les niveaux énergétiques les plus bas de la bande de valence du côté $\;P\;$ étant remplis $\;{\big$disparition des trous à ce niveau${\big )}$, il ne subsiste, en regard de la bande de conduction du côté $\;N$, que les niveaux énergétiques les plus élevés, ainsi le nombre de transferts possibles par effet tunnel des trous dans un sens et des électrons de conduction dans l'autre diminue entraînant la diminution de l'intensité du courant au fur et à mesure que la tension augmente et ceci jusqu'à une valeur de tension $\;U_{\text{vallée}}\simeq 300\;mV$ $\;{\big$partie de la caractéristique statique courant tension de la diode « à effet tunnel » représentée ci-contre, à résistance dynamique négative${\big )}$ ;
* en polarisation directe à partir de la tension $\;U_{\text{vallée}}$, les niveaux énergétique de la bande de valence du côté $\;P\;$ étant quasiment remplis $\;{\big$pratiquement plus de trous${\big )}$, le transfert par effet tunnel ne peut plus se produire et on retrouve la conduction normale d'une diode à jonction classique ;
* en polarisation inverse, des électrons de la bande de valence de la zone $\;P\;$ étant au même niveau d’énergie que des sites vides de la bande de conduction de la zone $\;N\;$, ils peuvent être transférés par effet tunnel à travers la jonction $\;{\big$rappelons que celle-ci, hors branchement, correspond à une bosse d'énergie potentielle dont la hauteur s'accroissant en polarisation inverse empêche tout transfert dans une diode à jonction usuelle mais dont la largeur très faible dans une diode « à effet tunnel » autorise un transfert possible par effet tunnel${\big )}$, ce transfert d'électrons de valence de la zone $\;P\;$ vers la zone $\;N\;$ est modélisé par les électroniciens par un transfert de trous de la zone N vers la zone P, les électrons de valence de cette dernière restant en place, le départ de trous de la bande de conduction de la zone $\;N\;$ vers la zone $\;P\;$ correspondant à un transfert d'électrons (de conduction) de la zone P vers la zone N, ces transferts étant rendus possibles car les départs de trous de la zone $\;N\;$ et d'électrons de la zone $\;P\;$ sont compensés par des arrivées utilisant le circuit extérieur ; ainsi la diode « à effet tunnel » est-elle « passante en polarisation inverse » $\;{\big$à condition toutefois que la tension en inverse reste modérée en valeur absolue${\big )}\;$ contrairement à ce qu'on observe dans une diode à jonction usuelle polarisée en inverse.

#### Modélisation de désintégrations spontanées comme la « radioactivité α » ou la « fission spontanée »
##### Radioactivité α

Supposant la particule $\;\alpha \;$ formée dans le noyau « radioactif α » avec une certaine énergie quantifiée telle que sa plus grande valeur d'énergie soit inférieure à celle de la « bosse d’énergie potentielle la retenant dans le noyau » $\;{\big$même allure de profil d'énergie potentielle que celle du paragraphe « lancer d'un proton en direction d'un autre proton immobile (courbe verte) » représentée plus haut dans ce chapitre, mais à bosse d'énergie potentielle beaucoup plus prononcée${\big )}\;$ ce qui assure au noyau une certaine stabilité au sens classique pendant la durée d'existence de la particule $\;\alpha \;$ dans le noyau mais
la « bosse d’énergie potentielle retenant la particule $\;\alpha \;$ dans le noyau » étant de faible largeur $\;{\big$de l'ordre du $\;fm\;$${\big )}$, la particule α peut être spontanément éjectée par effet tunnel pour un niveau d’énergie fixé si elle l'est avant que cet état ne disparaisse dans le noyau $\;{\big$théorie développée en premier par Gueorgui Antonovitch Gamow $\;(1928)\;$ puis, indépendamment, par Edward Uhler Condon et Ronald Wilfred Gurney $\;(1929){\big ]}$.
Remarque : on peut définir une « barrière d’énergie potentielle retenant la particule $\;\alpha \;$ dans le noyau quand celle-ci y est retenue avec son niveau fondamental d'énergie $\;{\big$correspondant à $\;{\mathcal {E}}_{\alpha \,{\text{au niv. fondam. dans noyau}}}{\big )}$ », avec $\;{\mathcal {E}}_{\text{bosse}}\;$ l'énergie de la « bosse d'énergie potentielle retenant la particule $\;\alpha \;$ dans le noyau », par
$\;\Delta {\mathcal {E}}_{\alpha \,{\text{dans noyau}}}={\mathcal {E}}_{\text{bosse}}-{\mathcal {E}}_{\alpha \,{\text{au niv. fondam. dans noyau}}}$
Remarque : définissant l'énergie d'excitation de la particule $\;\alpha \;$ dans le noyau quand celle-ci y est retenue avec une énergie $\;{\mathcal {E}}_{\alpha \,{\text{dans noyau}}}>{\mathcal {E}}_{\alpha \,{\text{au niv. fondam. dans noyau}}}\;$ par $\;{\mathcal {E}}_{\alpha \,{\text{dans noyau}}}^{\,*}=$ ${\mathcal {E}}_{\alpha \,{\text{dans noyau}}}-{\mathcal {E}}_{\alpha \,{\text{au niv. fondam. dans noyau}}}\;$, on remarque que $\;{\mathcal {E}}_{\alpha \,{\text{dans noyau}}}^{\,*}\;$ étant toujours $\;<\;$ à $\;\Delta {\mathcal {E}}_{\alpha \,{\text{dans noyau}}}\;$ la particule $\;\alpha \;$ ne peut pas être spontanément éjectée selon la mécanique classique, mais que, dans le cadre de la mécanique quantique, une éjection par effet tunnel est envisageable $\;\ldots$

##### Fission spontanée

La fission spontanée est une forme de désintégration nucléaire caractéristique des isotopes très lourds $\;{\Bigg$il a été recensé $\;72\;$ isotopes spontanément fissiles en $\;1991$, la condition nécessaire (mais non suffisante) de possibilité de fission spontanée pour l'isotope $\;_{Z}^{A}X\;$ étant $\;{\dfrac {Z^{2}}{A}}\gtrsim 35\;$${\Bigg ]}\;$ dans laquelle le noyau spontanément fissile se divise, sans apport extérieur d'énergie, en au moins deux fragments plus légers avec émission de neutrons.
La description de la fission spontanée d'un isotope spontanément fissile se fait à l'aide d'un « effet tunnel à travers la bosse d'énergie potentielle limitant l'isotope et empêchant toute fission spontanée au sens de la mécanique classique » $\;\ldots$

#### Mémoire MRAM (Magnetic Random Access Memory)

La mémoire MRAM $\;{\big$Magnetic Random Access Memory${\big )}\;$ est une mémoire vive non volatile de type magnétique, en développement depuis les années $\;1990$ mais non commercialisée à grande échelle, notamment à cause de la concurrence des mémoires flash et DRAM $\;{\big$Dynamic Random Access Memory${\big )}\;$.
Chaque cellule de la MRAM est constituée de deux couches ferromagnétiques séparées par une fine couche isolante $\;{\big$large de $\;1\;$ à $\;2\;nm{\big )}$, la 1ère couche étant un aimant permanent dont la polarité est fixée et la 2nde ayant une polarité qui peut être modifiée et qui permet ainsi le stockage de données ; l'ensemble de la cellule utilise le phénomène de magnétorésistance à effet tunnel :
* pour écrire sur celle-ci on induit un champ magnétique sur la couche supérieure pour fixer la polarité, ce qui impose alors une magnétorésistance à effet tunnel entre les deux couches et
* pour la lire on mesure la résistance électrique de la cellule $\;{\big$le passage du courant dans la jonction de la cellule se fait par effet tunnel, l'intensité du courant étant plus intense quand les polarités des couches sont parallèles et plus faible quand elles sont antiparallèles${\big )}$ ;
quand la mémorisation informatique par MRAM sera suffisamment développée, elle devrait supplanter toute autre mémorisation vive par sa rapidité, son débit, sa capacité et sa non volatilité $\;\ldots$

#### Explication du « retournement de la molécule NH$_3$ par rapport au plan des hydrogènes »

La forme de la molécule d’ammoniac est « pyramidal », $\;N\;$ étant au sommet d’une pyramide « aplatie » et les trois $\;H\;$ aux sommets de la base équilatérale, mais
il existe deux positions d’équilibre de $\;N\;$ situées à égale distance $\;{\mathfrak {a}}\;$ du plan formé par les trois $\;H$ ;
on peut modéliser l’énergie potentielle de $\;N\;$ dans le champ créé par les trois $\;H\;$ par un puits d’énergie potentielle double soit, en notant $\;z\;$ la distance algébrisée de $\;N\;$ sur la normale au plan formé par les trois $\;H$, présence de deux minima d'énergie potentielle en $\;z=\pm {\mathfrak {a}}\;$ et d’un maximum en $\;z=0$, les deux configurations stables d’ammoniac étant donc séparées par une « bosse » d’énergie potentielle supposée rectangulaire dont la hauteur est supérieure à l'énergie de $\;N\;$ dans la molécule, le basculement d'une configuration stable à l'autre n'est pas envisageable dans le cadre de la mécanique classique mais
ce basculement étant expérimentalement observé $\;{\big$succession ininterrompue de « retournements » à une fréquence élevée $\;24\;GHz\;$${\big ]}$, le passage d’une configuration à l’autre ne peut s'expliquer que par effet tunnel.

#### Microscope « à effet tunnel »

Le microscope « à effet tunnel » ou microscope STM $\;{\big$scanning tunneling microscopy${\big )}\;$ fait partie de la famille des microscopes à sonde locale, il utilise l'effet tunnel entre
* une surface conductrice ou semi-conductrice à ausculter et
* une sonde qui la balaie $\;{\big$scanne${\big )}\;$ horizontalement $\;{\big$avec possibilité de déplacement vertical${\big )}$, la sonde et la surface à représenter étant séparée par un isolant $\;{\big$en général de l'air${\big )}$,
le courant traversant l'isolant par effet tunnel dépendant de la largeur de l'isolant, le fait de maintenir l'intensité constante permet de déterminer cette largeur laquelle correspond à la distance verticale séparant la sonde et la surface à ausculter ;
on obtient ainsi une résolution spatiale pouvant être égale ou inférieure à la taille des atomes ;
le microscope « à effet tunnel » ou microscope STM $\;{\big$scanning tunneling microscopy${\big )}\;$ a été inventé en $\;1982\;$ par Gerd Binnig (né en 1947) physicien allemand et Heinrich Rohrer (1933 - 2013) physicien suisse, colauréats d'une moitié de prix Nobel de physique pour cette invention en $\;1986$, l'autre moitié étant attribuée à Ernst Ruska (1906 - 1988) physicien allemand pour ses travaux fondamentaux en optique électronique et pour la conception du premier microscope électronique en transmission.

#### « Effet Josephson »

L'« effet Josephson » se manifeste par l'apparition d'un courant entre deux matériaux supraconducteurs séparés par une couche faite d'un matériau
* isolant $\;{\big$dans ce cas on parle de « jonction Josephson S-I-S » $\;{\big$supraconducteur – isolant – supraconducteur${\big )}{\big ]}\;$ ou
* métallique non supraconducteur $\;{\big$dans ce cas on parle de « jonction Josephson S-M-S » $\;{\big$supraconducteur – métal – supraconducteur${\big )}{\big ]}$ ;
la supraconduction étant assurée par les « paires de Cooper » $\;{\big$c'est-à-dire des paires stables d'électrons${\big )}\;$ et celles-ci n'existant pas dans un isolant ou un métal, elles ne peuvent traverser la jonction Josephson que par effet tunnel ;
effet prédit par Brian David Josephson en $\;1962$.

### Résolution de l'équation de Schrödinger en régime stationnaire d'une particule à un degré de liberté devant une « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire, l'énergie mécanique d'entrée de la particule étant inférieure à la hauteur de la « barrière »
#### Expression des deux formes d'équation de Schrödinger en régime stationnaire d'une particule à un degré de liberté hors et à l'intérieur d'une « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire

Supposant une particule quantique de masse $\;m\;$ à un degré de liberté $\;{\Big$c'est-à-dire dont la composante spatiale de la fonction d’onde ne dépend que d’un paramètre de position noté $\;x\;$ représentant l’abscisse de $\;M\;$ sur un axe $\;{\overrightarrow {x'Ox}}{\Big )}$, nous cherchons la composante spatiale de la fonction d’onde de cette particule $\;{\underline {\Psi }}(x)\;$ dans un état stationnaire d'énergie $\;E>0\;$$^,$ quand on place la particule quantique devant une « bosse » d’énergie potentielle rectangulaire
$\;U(x)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0&{\text{pour }}\;x\in \left]{\mathfrak {a}}\,,\,+\infty \right[\\U_{0}>0&{\text{pour }}\;x\in \left[0\,,\,{\mathfrak {a}}\right]\\0&{\text{pour }}\;x\in \left]-\infty \,,\,0\right[\end{array}}\right\rbrace$
d'après l'expression de l'équation de Schrödinger indépendante du temps d'une particule quantique de masse $\;m\;$ d'un espace tridimensionnel dans un champ scalaire d'énergie potentielle $\;U(M)\;$ introduite au paragraphe « recherche des états propres de l'opérateur linéaire hamiltonien à énergie potentielle ne dépendant pas explicitement du temps, équation de Schrödinger indépendante du temps » du chap.$19$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » s'écrivant $\;-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;\Delta \!\left[{\underline {\Psi }}_{E}(M)\right]+U(M)\;{\underline {\Psi }}_{E}(M)=$ $E\;{\underline {\Psi }}_{E}(M)\;$ dans laquelle $\;\Delta \!\left[\,\right]\;$ est l'opérateur linéaire du 2ème ordre « laplacien » dont l'expression se réduit, en repérage cartésien d'un espace à une dimension, à $\;\Delta \!\left[\,\right]={\dfrac {d^{2}}{dx^{2}}}\!\left[\,\right]$, on en déduit l'expression de l'équation de Schrödinger indépendante du temps de la particule quantique de masse $\;m\;$ dans le champ scalaire d'énergie potentielle $\;U(x)$, $\;-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;{\dfrac {d^{2}}{dx^{2}}}\!\left[{\underline {\Psi }}_{E}(x)\right]+U(x)\;{\underline {\Psi }}_{E}(x)=E\;{\underline {\Psi }}_{E}(x)\;$ d'où, les deux formes suivantes
* hors champ scalaire d'énergie potentielle c'est-à-dire pour $\;x\in \left]-\infty \,,\,0\right[\cup \left]{\mathfrak {a}}\,,\,+\infty \right[$ : $\;{\dfrac {d^{2}{\underline {\Psi }}_{E}}{dx^{2}}}(x)+{\dfrac {2\;m\;E}{\hbar ^{2}}}\;{\underline {\Psi }}_{E}(x)=0\;\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ et
* dans le champ scalaire d'énergie potentielle c'est-à-dire pour $\;x\in \left[0\,,\,{\mathfrak {a}}\right]$ : $\;{\dfrac {d^{2}{\underline {\Psi }}_{E}}{dx^{2}}}(x)+{\dfrac {2\;m\,\left(E-U_{0}\right)}{\hbar ^{2}}}\;{\underline {\Psi }}_{E}(x)=0\;\;\left({\mathfrak {2}}\right)$.

#### Forme de la solution générale de chaque forme d'équation de Schrödinger en régime stationnaire d'une particule à un degré de liberté hors et à l'intérieur d'une « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire quand l'énergie mécanique de la particule est inférieure à la hauteur de la « barrière » d'énergie potentielle
##### Forme de la solution générale de la forme d'équation de Schrödinger en régime stationnaire d'une particule à un degré de liberté hors « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire

Il s'agit donc de chercher la solution générale de $\;{\dfrac {d^{2}{\underline {\Psi }}_{E}}{dx^{2}}}(x)+{\dfrac {2\;m\;E}{\hbar ^{2}}}\;{\underline {\Psi }}_{E}(x)=0\;\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ avec $\;E>0$, équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants d'équation caractéristique $\;{\underline {s}}^{2}+{\dfrac {2\;m\;E}{\hbar ^{2}}}=0\;$ de solutions $\;{\underline {s}}_{\pm }=\pm i\;{\sqrt {\dfrac {2\;m\;E}{\hbar ^{2}}}}=\pm i\;k\;$ avec $\;k={\dfrac {\sqrt {2\;m\;E}}{\hbar }}\;$ d'où
$\;{\underline {\Psi }}_{E}(x)={\underline {A}}\;\exp \!\left(i\;k\;x\right)+{\underline {B}}\;\exp \!\left(-i\;k\;x\right)$
* $\;{\underline {A}}\;$ étant l’amplitude complexe de la composante progressive dans le sens des $\;x\nearrow \;$ $\;{\big$associée à la particule classique se déplaçant vers la droite${\big )}\;$ et
* $\;{\underline {B}}\;$ celle de la composante progressive dans le sens des $\;x\searrow \;$ $\;{\big$associée à la particule classique se déplaçant vers la gauche${\big )}$ ;
$\;\succ \;$ pour $\;x\in \left]-\infty \,,\,0\right[$, on conserve la forme générale $\;{\underline {\Psi }}_{E,\,1a}(x)={\underline {A}}\;\exp \!\left(i\;k\;x\right)+{\underline {B}}\;\exp \!\left(-i\;k\;x\right)$, la 1ère composante étant associée au mouvement initial de la particule classique et la 2ème à une éventuelle réflexion sur la « bosse » d'énergie potentielle et
$\;\succ \;$ pour $\;x\in \left]{\mathfrak {a}}\,,\,+\infty \right[$, on ne conserve que la forme $\;{\underline {\Psi }}_{E,\,1b}(x)={\underline {A''}}\;\exp \!\left(i\;k\;x\right)\;$ traduisant l'éventuelle transmission de l'onde à travers la « bosse » d'énergie potentielle.

##### Forme de la solution générale de la forme d'équation de Schrödinger en régime stationnaire d'une particule à un degré de liberté à l'intérieur de la « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire quand l'énergie mécanique de la particule est inférieure à la hauteur de la « barrière » d'énergie potentielle

Il s'agit donc de chercher la solution générale de $\;{\dfrac {d^{2}{\underline {\Psi }}_{E}}{dx^{2}}}(x)-{\dfrac {2\;m\,\left(U_{0}-E\right)}{\hbar ^{2}}}\;{\underline {\Psi }}_{E}(x)=0\;\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ avec $\;0<E<U_{0}$, équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants d'équation caractéristique $\;{\underline {s}}^{2}-{\dfrac {2\;m\,\left(U_{0}-E\right)}{\hbar ^{2}}}=0\;$ de solutions $\;{\underline {s}}_{\pm }=\pm {\sqrt {\dfrac {2\;m\,\left(U_{0}-E\right)}{\hbar ^{2}}}}=\pm k'\;$ avec $\;k'={\dfrac {\sqrt {2\;m\,\left(U_{0}-E\right)}}{\hbar }}\;$ d'où
$\;{\underline {\Psi }}_{E,\,2}(x)={\underline {A'}}\;\exp \!\left(k'\;x\right)+{\underline {B'}}\;\exp \!\left(-k'\;x\right)$
* $\;{\underline {A'}}\;$ étant l’amplitude complexe de la composante « évanescente » dans le sens des $\;x\searrow \;$ et
* $\;{\underline {B'}}\;$ celle de la composante « évanescente » dans le sens des $\;x\nearrow \;$.

#### Utilisation des C.A.L. pour relier les différentes formes de la solution générale de l'équation de Schrödinger en régime stationnaire d'une particule à un degré de liberté hors et à l'intérieur d'une « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire quand l'énergie mécanique de la particule est inférieure à la hauteur de la « barrière » d'énergie potentielle

Préliminaire : les C.A.L. portant sur les éventuelles continuités ou discontinuités de la composante spatiale de la fonction d'onde $\;{\underline {\Psi }}(x)\;$ ainsi que de sa dérivée par rapport à $\;x\;$ à savoir $\;{\dfrac {d{\underline {\Psi }}}{dx}}(x)\;$ aux limites des domaines de validité des différentes formes c'est-à-dire en $\;x=0\;$ et $\;x={\mathfrak {a}}$, il y a
Préliminaire : $\;\succ \;$toujours continuité de $\;{\underline {\Psi }}(x)\;$ et
Préliminaire : $\;\succ \;$continuité de $\;{\dfrac {d{\underline {\Psi }}}{dx}}(x)\;$ dans la mesure où la discontinuité du champ scalaire d'énergie potentielle est de 1ère espèce.

##### Utilisation des C.A.L. en x = ɑ

$\;\succ \;{\underline {\Psi }}_{E,\,2}({\mathfrak {a}})={\underline {\Psi }}_{E,\,1b}({\mathfrak {a}})\;$ donne $\;{\underline {A'}}\;\exp \!\left(k'\;{\mathfrak {a}}\right)+{\underline {B'}}\;\exp \!\left(-k'\;{\mathfrak {a}}\right)={\underline {A''}}\;\exp \!\left(i\;k\;{\mathfrak {a}}\right)\;$ d'une part et
$\;\succ \;{\dfrac {d{\underline {\Psi }}_{E,\,2}}{dx}}({\mathfrak {a}})={\dfrac {d{\underline {\Psi }}_{E,\,1b}}{dx}}({\mathfrak {a}})\;$.....$\;{\underline {A'}}\;k'\;\exp \!\left(k'\;{\mathfrak {a}}\right)-{\underline {B'}}\;k'\;\exp \!\left(-k'\;{\mathfrak {a}}\right)={\underline {A''}}\;i\;k\;\exp \!\left(i\;k\;{\mathfrak {a}}\right)\;$ d'autre part ;
nous avons à résoudre le système des deux équations linéaires en $\;\left({\underline {A'}}\,,\,{\underline {B'}}\right)$, $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\exp \!\left(k'\;{\mathfrak {a}}\right)\!\!\!&{\underline {A'}}+\exp \!\left(-k'\;{\mathfrak {a}}\right)\!\!\!&{\underline {B'}}=\exp \!\left(i\;k\;{\mathfrak {a}}\right)\,{\underline {A''}}\\\exp \!\left(k'\;{\mathfrak {a}}\right)\!\!\!&{\underline {A'}}-\exp \!\left(-k'\;{\mathfrak {a}}\right)\!\!\!&{\underline {B'}}=\exp \!\left(i\;k\;{\mathfrak {a}}\right)\;{\dfrac {i\;k}{k'}}\,{\underline {A''}}\end{array}}\right\rbrace$, en fonction d'une 3ème inconnue $\;{\underline {A''}}$, nous obtenons
* en faisant la somme des deux équations $\;{\underline {A'}}={\dfrac {1+i\;{\dfrac {k}{k'}}}{2}}\;\exp \!\left[-\left(k'-i\;k\right){\mathfrak {a}}\right]\,{\underline {A''}}\;$ soit $\;{\underline {A'}}={\dfrac {k'+i\;k}{2\;k'}}\;\exp \!\left[-\left(k'-i\;k\right){\mathfrak {a}}\right]\,{\underline {A''}}\;$ et
* en faisant la différence des deux équations $\;{\underline {B'}}={\dfrac {1-i\;{\dfrac {k}{k'}}}{2}}\;\exp \!\left[\left(k'+i\;k\right){\mathfrak {a}}\right]\,{\underline {A''}}\;$ soit $\;{\underline {B'}}={\dfrac {k'-i\;k}{2\;k'}}\;\exp \!\left[\left(k'+i\;k\right){\mathfrak {a}}\right]\,{\underline {A''}}$.

##### Utilisation des C.A.L. en x = 0

$\;\succ \;{\underline {\Psi }}_{E,\,1a}(0)={\underline {\Psi }}_{E,\,2}(0)\;$ donne $\;{\underline {A}}+{\underline {B}}={\underline {A'}}+{\underline {B'}}\;$ d'une part et
$\;\succ \;{\dfrac {d{\underline {\Psi }}_{E,\,1a}}{dx}}(0)={\dfrac {d{\underline {\Psi }}_{E,\,2}}{dx}}(0)\;$.....$\;{\underline {A}}\;i\;k-{\underline {B}}\;i\;k={\underline {A'}}\;k'-{\underline {B'}}\;k'\;$ d'autre part ;
nous avons à résoudre le système des deux équations linéaires en $\;\left({\underline {A}}\,,\,{\underline {B}}\right)$, $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\underline {A}}+{\underline {B}}={\underline {A'}}+{\underline {B'}}\\{\underline {A}}-{\underline {B}}=\left({\underline {A'}}-{\underline {B'}}\right)\,{\dfrac {k'}{i\;k}}\end{array}}\right\rbrace$, en fonction des deux inconnues $\;\left({\underline {A'}}\,,\,{\underline {B'}}\right)$, nous obtenons
* en faisant la somme des deux équations $\;{\underline {A}}={\dfrac {1-i\;{\dfrac {k'}{k}}}{2}}\;{\underline {A'}}+{\dfrac {1+i\;{\dfrac {k'}{k}}}{2}}\;{\underline {B'}}\;$ soit $\;{\underline {A}}={\dfrac {k-i\;k'}{2\;k}}\;{\underline {A'}}+{\dfrac {k+i\;k'}{2\;k}}\;{\underline {B'}}={\dfrac {k'+i\;k}{2\;i\;k}}\;{\underline {A'}}-{\dfrac {k'-i\;k}{2\;i\;k}}\;{\underline {B'}}\;$ et
* en faisant la différence des deux équations $\;{\underline {B}}={\dfrac {1+i\;{\dfrac {k'}{k}}}{2}}\;{\underline {A'}}+{\dfrac {1-i\;{\dfrac {k'}{k}}}{2}}\;{\underline {B'}}\;$ soit $\;{\underline {B}}={\dfrac {k+i\;k'}{2\;k}}\;{\underline {A'}}+{\dfrac {k-i\;k'}{2\;k}}\;{\underline {B'}}=-{\dfrac {k'-i\;k}{2\;i\;k}}\;{\underline {A'}}+{\dfrac {k'+i\;k}{2\;i\;k}}\;{\underline {B'}}$ ;
y reportant les expressions de $\;\left({\underline {A'}}\,,\,{\underline {B'}}\right)\;$ en fonction de $\;{\underline {A''}}$, on obtient celles de $\;\left({\underline {A}}\,,\,{\underline {B}}\right)\;$ en fonction de $\;{\underline {A''}}$, soit
* $\;{\underline {A}}={\dfrac {k'+i\;k}{2\;i\;k}}\;{\underline {A'}}-{\dfrac {k'-i\;k}{2\;i\;k}}\;{\underline {B'}}={\dfrac {k'+i\;k}{2\;i\;k}}\;{\dfrac {k'+i\;k}{2\;k'}}\;\exp \!\left[-\left(k'-i\;k\right){\mathfrak {a}}\right]\,{\underline {A''}}-{\dfrac {k'-i\;k}{2\;i\;k}}\;{\dfrac {k'-i\;k}{2\;k'}}\;\exp \!\left[\left(k'+i\;k\right){\mathfrak {a}}\right]\,{\underline {A''}}\;$ soit finalement $\;{\underline {A}}={\dfrac {\left(k'+i\;k\right)^{2}\;\exp \!\left[-\left(k'-i\;k\right){\mathfrak {a}}\right]-\left(k'-i\;k\right)^{2}\;\exp \!\left[\left(k'+i\;k\right){\mathfrak {a}}\right]}{4\;i\;k\;k'}}\;{\underline {A''}}\;$ et
* $\;{\underline {B}}=-{\dfrac {k'-i\;k}{2\;i\;k}}\;{\underline {A'}}+{\dfrac {k'+i\;k}{2\;i\;k}}\;{\underline {B'}}=-{\dfrac {k'-i\;k}{2\;i\;k}}\;{\dfrac {k'+i\;k}{2\;k'}}\;\exp \!\left[-\left(k'-i\;k\right){\mathfrak {a}}\right]\,{\underline {A''}}+{\dfrac {k'+i\;k}{2\;i\;k}}\;{\dfrac {k'-i\;k}{2\;k'}}\;\exp \!\left[\left(k'+i\;k\right){\mathfrak {a}}\right]\,{\underline {A''}}\;$ soit finalement $\;{\underline {B}}={\dfrac {\left({k'}^{2}+k^{2}\right)\left\lbrace \exp \!\left[\left(k'+i\;k\right){\mathfrak {a}}\right]-\exp \!\left[-\left(k'-i\;k\right){\mathfrak {a}}\right]\right\rbrace }{4\;i\;k\;k'}}\;{\underline {A''}}$.

##### Réécriture des différentes formes de la solution générale de l'équation de Schrödinger en régime stationnaire d'une particule à un degré de liberté hors et à l'intérieur d'une « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire quand l'énergie mécanique de la particule est inférieure à la hauteur de la « barrière » d'énergie potentielle

* Si $\;x\in \left]-\infty \,,\,0\right[$, $\;{\underline {\Psi }}_{E,\,1a}(x)={\underline {A''}}\,\left\lbrace {\dfrac {\left(k'+i\;k\right)^{2}\;\exp \!\left[-\left(k'-i\;k\right){\mathfrak {a}}\right]-\left(k'-i\;k\right)^{2}\;\exp \!\left[\left(k'+i\;k\right){\mathfrak {a}}\right]}{4\;i\;k\;k'}}\;\exp \!\left(i\;k\;x\right)+\ldots \right.$ {{{1}}} $\left.\ldots {\dfrac {\left({k'}^{2}+k^{2}\right)\left\lbrace \exp \!\left[\left(k'+i\;k\right){\mathfrak {a}}\right]-\exp \!\left[-\left(k'-i\;k\right){\mathfrak {a}}\right]\right\rbrace }{4\;i\;k\;k'}}\;\exp \!\left(-i\;k\;x\right)\right\rbrace \;$ avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}k\!\!\!&={\dfrac {\sqrt {2\;m\;E}}{\hbar }}\\k'\!\!\!&={\dfrac {\sqrt {2\;m\,\left(U_{0}-E\right)}}{\hbar }}\end{array}}\right\rbrace \;$ dont on déduit $\;{k'}^{2}+k^{2}={\dfrac {2\;m\;U_{0}}{\hbar ^{2}}}$,
* si $\;x\in \left[0\,,\,{\mathfrak {a}}\right]$, $\;{\underline {\Psi }}_{E,\,2}(x)={\underline {A''}}\,\left\lbrace {\dfrac {k'+i\;k}{2\;k'}}\;\exp \!\left[-\left(k'-i\;k\right){\mathfrak {a}}\right]\;\exp \!\left(k'\;x\right)+{\dfrac {k'-i\;k}{2\;k'}}\;\exp \!\left[\left(k'+i\;k\right){\mathfrak {a}}\right]\;\exp \!\left(-k'\;x\right)\right\rbrace \;$ où $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}k\!\!\!&={\dfrac {\sqrt {2\;m\;E}}{\hbar }}\\k'\!\!\!&={\dfrac {\sqrt {2\;m\,\left(U_{0}-E\right)}}{\hbar }}\end{array}}\right\rbrace$,
* si $\;x\in \left]{\mathfrak {a}}\,,\,+\infty \right[$, $\;{\underline {\Psi }}_{E,\,1b}(x)={\underline {A''}}\;\exp \!\left(i\;k\;x\right)\;$ où $\;k={\dfrac {\sqrt {2\;m\;E}}{\hbar }}$.

#### Différentes formes de la densité linéique de probabilité de présence d'une particule à un degré de liberté hors et à l'intérieur d'une « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire quand l'énergie mécanique de la particule est inférieure à la hauteur de la « barrière » d'énergie potentielle
##### Expression de la densité linéique de probabilité de présence d'une particule à un degré de liberté au-delà d'une « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire quand l'énergie mécanique de la particule est inférieure à la hauteur de la « barrière » d'énergie potentielle

La densité linéique de probabilité de présence de la particule quantique au-delà de la « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire à énergie mécanique inférieure à la hauteur de la « barrière » d'énergie potentielle s'écrit $\;{\mathcal {P}}_{l,\,E,\,1b}(x)=\vert {\underline {\Psi }}_{E,\,1b}(x)\vert ^{2}=\vert {\underline {A''}}\vert ^{2}\;$ indépendante de $\;x$.

##### Expression de la densité linéique de probabilité de présence d'une particule à un degré de liberté à l'intérieur d'une « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire quand l'énergie mécanique de la particule est inférieure à la hauteur de la « barrière » d'énergie potentielle

La densité linéique de probabilité de présence de la particule quantique à l'intérieur de la « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire à énergie mécanique inférieure à la hauteur de la « barrière » d'énergie potentielle s'écrit $\;{\mathcal {P}}_{l,\,E,\,2}(x)=\vert {\underline {\Psi }}_{E,\,2}(x)\vert ^{2}=\vert {\underline {A''}}\vert ^{2}\;\left\lbrace {\dfrac {{k'}^{2}+k^{2}}{4\;{k'}^{2}}}\left\lbrace \exp \!\left[2\;k'\left(x-{\mathfrak {a}}\right)\right]+\exp \!\left[-2\;k'\left(x-{\mathfrak {a}}\right)\right]\right\rbrace +{\dfrac {{k'}^{2}-k^{2}}{2\;{k'}^{2}}}\right\rbrace \;$ soit encore, à l'aide du cosinus hyperbolique selon $\;{\mathcal {P}}_{l,\,E,\,2}(x)=$ $\vert {\underline {A''}}\vert ^{2}\;{\dfrac {U_{0}\;\cosh \!\left[2\;k'\left(x-{\mathfrak {a}}\right)\right]+\left(U_{0}-2\;E\right)}{2\,\left(U_{0}-E\right)}}\;$$^,$.

##### Expression de la densité linéique de probabilité de présence d'une particule à un degré de liberté en-deçà d'une « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire quand l'énergie mécanique de la particule est inférieure à la hauteur de la « barrière » d'énergie potentielle

La densité linéique de probabilité de présence de la particule quantique en-deçà de la « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire à énergie mécanique $\;<\;$ à la hauteur de la « barrière » d'énergie potentielle s'écrit $\;{\mathcal {P}}_{l,\,E,\,1a}(x)=\vert {\underline {\Psi }}_{E,\,1a}(x)\vert ^{2}=\vert {\underline {A''}}\vert ^{2}\;\left\lbrace {\dfrac {\vert \left(k'+i\;k\right)^{2}\;\exp \!\left[-\left(k'-i\;k\right){\mathfrak {a}}\right]-\left(k'-i\;k\right)^{2}\;\exp \!\left[\left(k'+i\;k\right){\mathfrak {a}}\right]\vert ^{2}}{16\;k^{2}\;{k'}^{2}}}+{\dfrac {\left({k'}^{2}+k^{2}\right)^{2}\;\vert \exp \!\left[\left(k'+i\;k\right){\mathfrak {a}}\right]-\exp \!\left[-\left(k'-i\;k\right){\mathfrak {a}}\right]\vert ^{2}}{16\;k^{2}\;{k'}^{2}}}+\ldots \right.$ $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ldots {\dfrac {\left\lbrace \left(k'+i\;k\right)^{2}\;\exp \!\left[-\left(k'-i\;k\right){\mathfrak {a}}\right]-\left(k'-i\;k\right)^{2}\;\exp \!\left[\left(k'+i\;k\right){\mathfrak {a}}\right]\right\rbrace \left({k'}^{2}+k^{2}\right)\left\lbrace \exp \!\left[\left(k'-i\;k\right){\mathfrak {a}}\right]-\exp \!\left[-\left(k'+i\;k\right){\mathfrak {a}}\right]\right\rbrace }{16\;k^{2}\;{k'}^{2}}}\;\exp \!\left(i\;2\;k\;x\right)+\ldots$ $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.\ldots {\dfrac {\left\lbrace \left(k'-i\;k\right)^{2}\;\exp \!\left[-\left(k'+i\;k\right){\mathfrak {a}}\right]-\left(k'+i\;k\right)^{2}\;\exp \!\left[\left(k'-i\;k\right){\mathfrak {a}}\right]\right\rbrace \left({k'}^{2}+k^{2}\right)\left\lbrace \exp \!\left[\left(k'+i\;k\right){\mathfrak {a}}\right]-\exp \!\left[-\left(k'-i\;k\right){\mathfrak {a}}\right]\right\rbrace }{16\;k^{2}\;{k'}^{2}}}\;\exp \!\left(-i\;2\;k\;x\right)\right\rbrace \;$ soit
* un 1er terme $\;={\dfrac {\left({k'}^{2}+k^{2}\right)^{2}\;\exp \!\left(-2\;k'\;{\mathfrak {a}}\right)+\left({k'}^{2}+k^{2}\right)^{2}\;\exp \!\left(2\;k'\;{\mathfrak {a}}\right)-\left(k'+i\;k\right)^{4}-\left(k'-i\;k\right)^{4}}{16\;{k'}^{2}\;k^{2}}}\;$ soit, en développant la somme élevée à la puissance $\;4\;$ dans les deux derniers termes du numérateur $\;\left(k'\pm i\;k\right)^{4}={k'}^{4}\pm 4\;i\;{k'}^{3}\;k-6\;{k'}^{2}\;k^{2}\mp 4\;i\;k'\;k^{3}+k^{4}$, on en déduit la somme des deux derniers termes du numérateur $\;-\left(k'+i\;k\right)^{4}-\left(k'-i\;k\right)^{4}=-2\,\left({k'}^{4}-6\;{k'}^{2}\;k^{2}+k^{4}\right)\;$ soit, avec la réécriture de la somme des deux 1$^{ers}$ termes du numérateur selon $\;2\,\left({k'}^{2}+k^{2}\right)^{2}\;\cosh \!\left(2\;k'\;{\mathfrak {a}}\right)\;$, 1er terme $\;={\dfrac {\left({k'}^{2}+k^{2}\right)^{2}\;\cosh \!\left(2\;k'\;{\mathfrak {a}}\right)-\left[\left({k'}^{2}-k^{2}\right)^{2}-4\;{k'}^{2}\;k^{2}\right]}{8\;{k'}^{2}\;k^{2}}}\;$,
* un 2ème terme $\;={\dfrac {\left({k'}^{2}+k^{2}\right)^{2}\;\left[\exp \!\left(2\;k'\;{\mathfrak {a}}\right)+\exp \!\left(-2\;k'\;{\mathfrak {a}}\right)-1-1\right]}{16\;k^{2}\;{k'}^{2}}}\;$ $\;={\dfrac {\left({k'}^{2}+k^{2}\right)^{2}\;\left[\exp \!\left(k'\;{\mathfrak {a}}\right)-\exp \!\left(-k'\;{\mathfrak {a}}\right)\right]^{2}}{16\;k^{2}\;{k'}^{2}}}={\dfrac {\left({k'}^{2}+k^{2}\right)^{2}\;\sinh ^{2}\!\left(k'\;{\mathfrak {a}}\right)}{4\;k^{2}\;{k'}^{2}}}\;$,
* un 3ème terme $\;={\dfrac {\left(k'+i\;k\right)^{2}\,\left({k'}^{2}+k^{2}\right)\,\left[1-\exp(-2\;k'\;{\mathfrak {a}})\right]-\left(k'-i\;k\right)^{2}\,\left({k'}^{2}+k^{2}\right)\,\left[\exp(2\;k'\;{\mathfrak {a}})-1\right]}{16\;k^{2}\;{k'}^{2}}}\;\exp \!\left(i\;2\;k\;x\right)=$ ${\dfrac {\left({k'}^{2}+k^{2}\right)\,\left\lbrace \left({k'}^{2}-k^{2}\right)\,\left[1-\cosh(2\;k'\;{\mathfrak {a}})\right]+2\;i\;k'\;k\;\sinh(2\;k'\;{\mathfrak {a}})\right\rbrace }{8\;k^{2}\;{k'}^{2}}}\;\exp \!\left(i\;2\;k\;x\right)\;$,
* un 4ème terme $\;={\dfrac {\left(k'-i\;k\right)^{2}\,\left({k'}^{2}+k^{2}\right)\,\left[1-\exp(-2\;k'\;{\mathfrak {a}})\right]-\left(k'+i\;k\right)^{2}\,\left({k'}^{2}+k^{2}\right)\,\left[\exp(2\;k'\;{\mathfrak {a}})-1\right]}{16\;k^{2}\;{k'}^{2}}}\;\exp \!\left(-i\;2\;k\;x\right)=$ ${\dfrac {\left({k'}^{2}+k^{2}\right)\,\left\lbrace \left({k'}^{2}-k^{2}\right)\,\left[1-\cosh(2\;k'\;{\mathfrak {a}})\right]-2\;i\;k'\;k\;\sinh(2\;k'\;{\mathfrak {a}})\right\rbrace }{8\;k^{2}\;{k'}^{2}}}\;\exp \!\left(-i\;2\;k\;x\right)\;$ d'où
* 3ème $+$ 4ème termes $\;={\dfrac {\left({k'}^{2}+k^{2}\right)\,\left\lbrace \left({k'}^{2}-k^{2}\right)\,\left[1-\cosh(2\;k'\;{\mathfrak {a}})\right]\,\cos(2\;k\;x)-2\;k'\;k\;\sinh(2\;k'\;{\mathfrak {a}})\;\sin(2\;k\;x)\right\rbrace }{4\;k^{2}\;{k'}^{2}}}\;$ ;
ajoutant toutes les contributions précédemment évaluées, la densité linéique de probabilité de présence de la particule quantique en-deçà de la « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire à énergie mécanique strictement inférieure à la hauteur de la « barrière » d'énergie potentielle s'écrit $\;{\mathcal {P}}_{l,\,E,\,1a}(x)=$ $\vert {\underline {A''}}\vert ^{2}\,\left\lbrace {\dfrac {\left({k'}^{2}+k^{2}\right)^{2}\,\left[\cosh(2\;k'\;{\mathfrak {a}})+2\;\sinh ^{2}(k'\;{\mathfrak {a}})\right]-\left[\left({k'}^{2}-k^{2}\right)^{2}-4\;{k'}^{2}\;k^{2}\right]}{8\;k^{2}\;{k'}^{2}}}+{\dfrac {{k'}^{4}-k^{4}}{4\;k^{2}\;{k'}^{2}}}\;\left[1-\cosh(2\;k'\;{\mathfrak {a}})\right]\,\cos(2\;k\;x)-{\dfrac {{k'}^{2}+k^{2}}{2\;k\;k'}}\;\sinh(2\;k'\;{\mathfrak {a}})\;\sin(2\;k\;x)\right\rbrace \!\!$, soit finalement
$\;{\mathcal {P}}_{l,\,E,\,1a}(x)=\vert {\underline {A''}}\vert ^{2}\left\lbrace {\dfrac {\left({k'}^{2}+k^{2}\right)^{2}\;\cosh(2\;k'\;{\mathfrak {a}})-\left({k'}^{2}-k^{2}\right)^{2}}{4\;k^{2}\;{k'}^{2}}}+{\dfrac {\left({k'}^{4}-k^{4}\right)\,\left[1-\cosh(2\;k'\;{\mathfrak {a}})\right]}{4\;k^{2}\;{k'}^{2}}}\;\cos(2\;k\;x)-{\dfrac {\left({k'}^{2}+k^{2}\right)\,\sinh(2\;k'\;{\mathfrak {a}})}{2\;k\;k'}}\;\sin(2\;k\;x)\right\rbrace \;$
$\;{\mathcal {P}}_{l,\,E,\,1a}(x)=\vert {\underline {A''}}\vert ^{2}\left\lbrace {\dfrac {U_{0}^{2}\;\cosh(2\;k'\;{\mathfrak {a}})-\left(U_{0}-2\;E\right)^{2}}{4\;(U_{0}-E)\;E}}+{\dfrac {U_{0}\,\left(U_{0}-2\;E\right)\,\left[1-\cosh(2\;k'\;{\mathfrak {a}})\right]}{4\;(U_{0}-E)\;E}}\;\cos(2\;k\;x)-{\dfrac {U_{0}\,\sinh(2\;k'\;{\mathfrak {a}})}{2\;{\sqrt {(U_{0}-E)\;E}}}}\;\sin(2\;k\;x)\right\rbrace \;$

#### Tracé, en fonction de l'abscisse x du point d'observation, de la densité linéique de probabilité de présence d'une particule à un degré de liberté hors et à l'intérieur d'une « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire quand l'énergie mécanique de la particule est inférieure à la hauteur de la « barrière » d'énergie potentielle

Voir tracé ci-contre, la largeur de la « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire étant $\;{\mathfrak {a}}\simeq 3,2\;pm\;$ et la « barrière » d'énergie potentielle associée valant $\;U_{0}\simeq$ $6\;keV\;$ ;
la particule quantique dont on étudie l'effet tunnel est un électron de masse $\;m\simeq 0,91\;10^{-30}\;kg\;$ associée à une énergie de masse $\;m\;c^{2}\simeq$ $511\;keV$, on rappelle la valeur de la constante de Planck réduite $\;\hbar ={\dfrac {h}{2\;\pi }}\simeq 1,055\;10^{-34}\;J\cdot s$ ;
l'énergie mécanique de l'électron incident étant $\;E\simeq 5,4\;keV\;$, ne peut traverser la « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire au sens de la mécanique classique, le rapport $\;{\dfrac {E}{U_{0}}}\simeq 0,9\;$ étant inférieur à $\;1$, mais on observe effectivement une traversée par effet tunnel $\;\ldots$
Commentaires : On observe des interférences sur $\;\left]-\infty \,,\,0\right[\;$ correspondant à la superposition des deux ondes sinusoïdales progressant en sens inverse $\;{\bigg \$de périodicité $\;{\dfrac {\pi }{k}}\simeq 8,3\;pm\;$ correspondant à $\;k\simeq 0,38\;pm^{-1}=3,8\;10^{11}\;m^{-1}\;$${\bigg \}$ puis Commentaires : On observe une superposition de deux ondes dites « évanescentes » sur $\;\left[0\,,\,{\mathfrak {a}}\right]$ $\;{\big \$correspondant à une $\;\searrow \;$ de $\;1,9\;$ à $\;0,7\;$ en unités arbitraires${\big \}$ et enfin Commentaires : On observe une « onde plane progressive dans le sens des $\;x\nearrow \;$» $\;{\big \$correspondant à une amplitude constante évaluée à $\;0,7\;$ unités arbitraires assimilée à $\;\vert {\underline {A''}}\vert ^{2}{\big \}$ sur $\;\left]{\mathfrak {a}}\,,\,+\infty \right[$ ;
Commentaires : on peut en déduire le « taux de transfert tunnel » de la particule quantique défini selon $\;{\mathcal {T}}={\dfrac {{\mathcal {P}}_{l,\,E}({\mathfrak {a}})}{{\mathcal {P}}_{l,\,E}(0)}}\;$ soit, en y reportant $\;{\mathcal {P}}_{l,\,E}({\mathfrak {a}})=\vert {\underline {A''}}\vert ^{2}\;$ et $\;{\mathcal {P}}_{l,\,E}(0)=\vert {\underline {A''}}\vert ^{2}\;{\dfrac {U_{0}\;\cosh \!\left(2\;k'\;{\mathfrak {a}}\right)+\left(U_{0}-2\;E\right)}{2\,\left(U_{0}-E\right)}}\;$ on obtient $\;{\mathcal {T}}={\dfrac {2\,\left(U_{0}-E\right)}{U_{0}\;\cosh \!\left(2\;k'\;{\mathfrak {a}}\right)+\left(U_{0}-2\;E\right)}}=$ ${\dfrac {U_{0}-E}{U_{0}\;\sinh ^{2}\!\left(k'\;{\mathfrak {a}}\right)+\left(U_{0}-E\right)}}\;$ qui peut encore s'écrire $\;{\mathcal {T}}={\dfrac {1-{\dfrac {E}{U_{0}}}}{\sinh ^{2}\!\left(k'\;{\mathfrak {a}}\right)+\left(1-{\dfrac {E}{U_{0}}}\right)}}\;$ avec $\;k'={\dfrac {\sqrt {2\;m\,\left(U_{0}-E\right)}}{\hbar }}={\dfrac {\sqrt {2\;m\;U_{0}}}{\hbar }}\;{\sqrt {1-{\dfrac {E}{U_{0}}}}}\;$ d'où $\;{\mathcal {T}}=$ ${\dfrac {1}{{\dfrac {\sinh ^{2}\!\left({\dfrac {{\sqrt {2\;m\;U_{0}}}\;{\mathfrak {a}}}{\hbar }}\;{\sqrt {1-{\dfrac {E}{U_{0}}}}}\right)}{1-{\dfrac {E}{U_{0}}}}}+1}}\;$ de variation
* $\;\searrow \;$ quand $\;{\mathfrak {a}}\nearrow \;$ à $\;{\dfrac {E}{U_{0}}}\;$ constant et
* $\;\nearrow \;$ quand $\;{\dfrac {E}{U_{0}}}\nearrow$ $\;{\bigg$c'est-à-dire quand $\;1-{\dfrac {E}{U_{0}}}\searrow {\bigg )}\;$ à $\;{\mathfrak {a}}\;$ constant ;
Commentaires : dans l'exemple présenté $\;{\mathcal {T}}\simeq {\dfrac {0,7}{1,9}}\simeq 37\;\%$ $\;{\bigg \$pour obtenir un « taux de transfert tunnel » de la particule quantique le plus grand possible, on peut diminuer la largeur $\;{\mathfrak {a}}\;$ de la « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire $\;{\bigg$par exemple $\;{\mathfrak {a}}\simeq 2\;pm\;$ avec le même rapport $\;{\dfrac {E}{U_{0}}}\simeq 0,9\;$ et les mêmes autres valeurs numériques, donnerait un « taux de transfert tunnel » de l'électron $\;{\mathcal {T}}\simeq$ $61\;\%{\bigg ]}\;$ ou (et) augmenter le rapport $\;{\dfrac {E}{U_{0}}}$ $\;{\big$en restant strictement inférieur à $\;1\;$${\big )}$ $\;{\bigg$par exemple $\;{\dfrac {E}{U_{0}}}\simeq 0,95\;$ avec la même largeur $\;{\mathfrak {a}}\simeq 3,2\;pm\;$ et les mêmes autres valeurs numériques, donnerait un « taux de transfert tunnel » de l'électron $\;{\mathcal {T}}\simeq$ $61\;\%{\bigg ]}{\bigg \}$.

#### Application du modèle (très simplifié) de « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire pour interpréter qualitativement la radioactivité α

Avec une « barrière d'énergie potentielle » $\;U_{0}\simeq 10\;MeV\;$ de la particule $\;\alpha \;$ supposée constituée dans le noyau radioactif et une largeur de « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire évaluée à $\;{\mathfrak {a}}\simeq 8\;fm\;$ $\;{\big$ordre de grandeur du rayon du noyau radioactif${\big )}$, sachant que la masse de la particule $\;\alpha \;$ vaut $\;m\simeq$ $6,64\;10^{-27}\;kg\;$ et estimant son énergie à $\;E\simeq 5\;MeV\;$ $\;{\big$ordre de grandeur de l'énergie cinétique de la particule $\;\alpha \;$ après éjection du noyau radioactif${\big )}$, on en déduit
* $\;k'={\dfrac {\sqrt {2\;m\,\left(U_{0}-E\right)}}{\hbar }}={\dfrac {\sqrt {2\;m\;U_{0}}}{\hbar }}\;{\sqrt {1-{\dfrac {E}{U_{0}}}}}\simeq {\dfrac {\sqrt {2\times 6,64\;10^{-27}\times 10\times 1,6\;10^{-13}}}{1,055\;10^{-34}}}\;{\sqrt {1-{\dfrac {5}{10}}}}\simeq 9,8\;10^{14}\;m^{-1}=0,98\;fm^{-1}\;$,
* $\;k'\;{\mathfrak {a}}\simeq 0,98\times 8\simeq 7,84\;$ $\Rightarrow$ $\;\sinh ^{2}(k'\;{\mathfrak {a}})\simeq 1,66\;10^{6}\;$ d'où
* $\;{\mathcal {T}}={\dfrac {1-{\dfrac {E}{U_{0}}}}{\sinh ^{2}\!\left(k'\;{\mathfrak {a}}\right)+\left(1-{\dfrac {E}{U_{0}}}\right)}}\simeq {\dfrac {1-{\dfrac {5}{10}}}{1,66\;10^{6}\;{\cancel {+\left(1-{\dfrac {5}{10}}\right)}}}}\simeq 3,0\;10^{-7}\;$ « taux de transfert tunnel » de la particule α hors du noyau radioactif petit ;
ce taux dépend fortement de la hauteur de la « barrière d'énergie potentielle » ainsi, avec $\;U_{0}\simeq 50\;MeV\;$ et le maintien des autres valeurs on trouve
* $\;k'={\dfrac {\sqrt {2\;m\,\left(U_{0}-E\right)}}{\hbar }}={\dfrac {\sqrt {2\;m\;U_{0}}}{\hbar }}\;{\sqrt {1-{\dfrac {E}{U_{0}}}}}\simeq {\dfrac {\sqrt {2\times 6,64\;10^{-27}\times 50\times 1,6\;10^{-13}}}{1,055\;10^{-34}}}\;{\sqrt {1-{\dfrac {5}{50}}}}\simeq 2,9\;10^{15}\;m^{-1}=2,9\;fm^{-1}\;$,
* $\;k'\;{\mathfrak {a}}\simeq 2,9\times 8\simeq 23,6\;$ $\Rightarrow$ $\;\sinh ^{2}(k'\;{\mathfrak {a}})\simeq 7,9\;10^{19}\;$ d'où
* $\;{\mathcal {T}}={\dfrac {1-{\dfrac {E}{U_{0}}}}{\sinh ^{2}\!\left(k'\;{\mathfrak {a}}\right)+\left(1-{\dfrac {E}{U_{0}}}\right)}}\simeq {\dfrac {1-{\dfrac {5}{50}}}{7,9\;10^{19}\;{\cancel {+\left(1-{\dfrac {5}{50}}\right)}}}}\simeq 1,1\;10^{-20}\;$ « taux de transfert tunnel » de la particule α hors du noyau radioactif très petit.
Remarque : avec $\;k'\;{\mathfrak {a}}\gtrsim 3$, on observe que $\;\sinh ^{2}(k'\;{\mathfrak {a}})\gtrsim 100\;$ et, $\;1-{\dfrac {E}{U_{0}}}\;$ étant $\;<\;$ à $\;1$, on en déduit $\;{\mathcal {T}}={\dfrac {1-{\dfrac {E}{U_{0}}}}{\sinh ^{2}\!\left(k'\;{\mathfrak {a}}\right)\;{\cancel {+\left(1-{\dfrac {E}{U_{0}}}\right)}}}}\simeq {\dfrac {1-{\dfrac {E}{U_{0}}}}{\sinh ^{2}\!\left(k'\;{\mathfrak {a}}\right)}}\;$
$\;{\mathcal {T}}\simeq 4\,\left(1-{\dfrac {E}{U_{0}}}\right)\,\exp \!\left(-2\;k'\;{\mathfrak {a}}\right)\;$
$\;k'\;{\mathfrak {a}}\gtrsim 3\;$

#### Transmitivité de la « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire pour une particule quantique d'énergie mécanique inférieure à la hauteur de la « barrière »

Le cœfficient $\;T\;$ de transmitivité de la « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire pour une particule quantique d'énergie mécanique inférieure à la hauteur de la « barrière » tient compte du fait que l'onde progressive incidente associée à la particule quantique arrivant sur la « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire est partiellement réfléchie par le mur d'entrée de la « bosse », le reste étant transmis avec perte à travers celle-ci pour ressortir par son mur de sortie ; si, dans toutes les situations, c'est cette dernière onde transmise par effet tunnel qui nous intéresse, il convient de la comparer
* à l'onde résultante se propageant dans les deux sens en-deçà de la « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire pour interpréter un phénomène par effet tunnel comme la radioactivité α, pour cela on utilise le « taux de transfert tunnel » de la particule quantique défini selon $\;{\mathcal {T}}={\dfrac {{\mathcal {P}}_{l,\,E,\,1b}({\mathfrak {a}})}{{\mathcal {P}}_{l,\,E,\,1a}(0)}}={\dfrac {\vert {\underline {\Psi }}_{l,\,E,\,1b}({\mathfrak {a}})\vert ^{2}}{\vert {\underline {\Psi }}_{l,\,E,\,1a}(0)\vert ^{2}}}={\dfrac {\vert {\underline {A''}}\vert ^{2}}{\vert {\underline {A}}+{\underline {A}}\vert ^{2}}}\;$ ou
* à l'onde incidente arrivant sur la « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire pour évaluer le pourcentage d'onde transmise au-delà de la « bosse » relativement à l'onde qui serait transmise au même endroit en son absence, pour cela on utilise la « transmitivité de la bosse d'énergie potentielle » rectangulaire $\;T\;$ définie comme le rapport de la densité linéique de probabilité de présence de l'onde transmise au-delà de la « bosse » sur la densité linéique de probabilité de présence de l'onde incidente en-deçà de la « bosse » soit $\;T={\dfrac {{\mathcal {P}}_{l,\,E,\,1b}({\mathfrak {a}})}{{\mathcal {P}}_{l,\,E,\,1a\,{\text{sans réflexion}}}(0)}}={\dfrac {\vert {\underline {\Psi }}_{l,\,E,\,1b}({\mathfrak {a}})\vert ^{2}}{\vert {\underline {\Psi }}_{l,\,E,\,1a\,{\text{sans réflexion}}}(0)\vert ^{2}}}={\dfrac {\vert {\underline {A''}}\vert ^{2}}{\vert {\underline {A}}\vert ^{2}}}$ $\;{\big$à utiliser quand on compare une mesure au-delà de la « bosse » d'énergie potentielle à ce qu'on aurait sans « bosse » comme dans la microscopie « à effet tunnel »${\big ]}$.
Avec les calculs précédents on en déduit la « transmitivité de la bosse d'énergie potentielle » rectangulaire pour une particule quantique d'énergie mécanique inférieure à la hauteur de la « barrière » $\;T={\dfrac {\vert {\underline {A''}}\vert ^{2}}{\vert {\underline {A}}\vert ^{2}}}={\dfrac {16\;k^{2}\;{k'}^{2}}{\vert \left(k'+i\;k\right)^{2}\;\exp \!\left[-\left(k'-i\;k\right){\mathfrak {a}}\right]-\left(k'-i\;k\right)^{2}\;\exp \!\left[\left(k'+i\;k\right){\mathfrak {a}}\right]\vert ^{2}}}\;$ ou encore, en utilisant les calculs déjà effectués plus haut dans ce chapitre $\;T=$ ${\dfrac {8\;{k'}^{2}\;k^{2}}{\left({k'}^{2}+k^{2}\right)^{2}\;\cosh \!\left(2\;k'\;{\mathfrak {a}}\right)-\left[\left({k'}^{2}-k^{2}\right)^{2}-4\;{k'}^{2}\;k^{2}\right]}}\;$ $\;={\dfrac {8\;{k'}^{2}\;k^{2}}{\left({k'}^{2}+k^{2}\right)^{2}\,\left[2\;\sinh ^{2}\!\left(k'\;{\mathfrak {a}}\right)+1\right]-\left[\left({k'}^{2}-k^{2}\right)^{2}-4\;{k'}^{2}\;k^{2}\right]}}\;$
$\;T={\dfrac {4\;{k'}^{2}\;k^{2}}{\left({k'}^{2}+k^{2}\right)^{2}\;\sinh ^{2}\!\left(k'\;{\mathfrak {a}}\right)+4\;{k'}^{2}\;k^{2}}}\;$
$\;T={\dfrac {4\,\left(U_{0}-E\right)\,E}{U_{0}^{2}\;\sinh ^{2}\!\left(k'\;{\mathfrak {a}}\right)+4\,\left(U_{0}-E\right)\,E}}={\dfrac {4\,\left(1-{\dfrac {E}{U_{0}}}\right)\,{\dfrac {E}{U_{0}}}}{\sinh ^{2}\!\left(k'\;{\mathfrak {a}}\right)+4\,\left(1-{\dfrac {E}{U_{0}}}\right)\,{\dfrac {E}{U_{0}}}}}$
Exemple : avec une largeur de « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire $\;{\mathfrak {a}}\simeq 3,2\;pm\;$ et la « barrière » d'énergie potentielle associée $\;U_{0}\simeq 6\;keV\;$, un électron dont on étudie l'effet tunnel étant de masse $\;m\simeq 0,91\;10^{-30}\;kg\;$ associée à une énergie de masse $\;m\;c^{2}\simeq 511\;keV$ $\;{\bigg$la constante de Planck réduite valant $\;\hbar ={\dfrac {h}{2\;\pi }}\simeq 1,055\;10^{-34}\;J\cdot s{\bigg )}$ avec une énergie mécanique à l'arrivée sur la « bosse » $\;E\simeq 5,4\;keV\;$, la « transmitivité de la bosse d'énergie potentielle » rectangulaire pour cet électron d'énergie mécanique inférieure à la hauteur de la « barrière » vaut $\;T=$ ${\dfrac {1}{{\dfrac {\sinh ^{2}\!\left(k'\;{\mathfrak {a}}\right)}{4\,\left(1-{\dfrac {E}{U_{0}}}\right)\,{\dfrac {E}{U_{0}}}}}+1}}\;$ avec $\;k'={\dfrac {\sqrt {2\;m\,\left(U_{0}-E\right)}}{\hbar }}=$ ${\dfrac {\sqrt {2\;m\;U_{0}}}{\hbar }}\;{\sqrt {1-{\dfrac {E}{U_{0}}}}}\simeq {\dfrac {\sqrt {2\times 0,91\;10^{-30}\times 6\times 1,6\;10^{-16}}}{1,055\;10^{-34}}}\;{\sqrt {1-{\dfrac {5,4}{6}}}}\simeq 1,25\;10^{11}\;m^{-1}=0,125\;pm^{-1}\;$ d'où $\;k'\;{\mathfrak {a}}\simeq$ $0,125\times 3,2\simeq 0,4\;$ $\Rightarrow$ $\;\sinh ^{2}(k'\;{\mathfrak {a}})\simeq 0,17\;$ et par suite $\;T\simeq {\dfrac {1}{{\dfrac {0,17}{4\times \left(1-{\dfrac {5,4}{6}}\right)\times {\dfrac {5,4}{6}}}}+1}}\simeq 68\;\%$.