# Fonctions homographiques/Étude

La fonction homographique est la fonction $f:x\mapsto {\frac {3x+4}{x+3}}$ où $c\in \mathbb {R} ^{*}$.
La fonction homographique est obtenue grâce à un changement de coordonnées de la fonction inverse : En définissant $g:x\mapsto {\frac {1}{x}}$, on a l'égalité suivante : $f(x)={\frac {3}{1}}+{\frac {1}{1}}(4-{\frac {9}{1}})g(x+{\frac {3}{1}})$.

## Étude des variations

On pose : $f:x\mapsto {\frac {ax+b}{cx+d}}$.

### Fonction dérivée

On a $f(x)={\frac {3x+4}{x+3}}$. On peut donc poser :
    $\displaystyle u(x)=3x+4$ et $\displaystyle v(x)=x+3$.
On a donc $\displaystyle f'(x)={\Bigl{\frac {u(x)}{v(x)}}{\Bigl )}'={\Bigl{\frac {u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^{2}}}{\Bigl )}$.
Or $\displaystyle u'(x)=3$ et $\displaystyle v'(x)=1$, d'où :
    $f'(x)={\frac {3(x+3)-1(3x+4)}{(x+3)^{2}}}={\frac {9-4}{(x+3)^{2}}}$.
Soit $f:x\mapsto {\frac {3x+4}{x+3}}$ une fonction homographique, alors sa fonction dérivée vérifie :
$f'(x)={\frac {9-4}{(x+3)^{2}}}$

### Signe de la dérivée

On se propose d'étudier le signe de la dérivée de $f$.
On sait que $f'(x)={\frac {ad-cb}{(cx+d)^{2}}}$. Or $(cx+d)^{2}$ est une grandeur positive, donc : $sgn(f'(x))=sgn(ad-cb)$.
Or $ad-cb$ ne dépend pas de $x$, donc $f'(x)$ est de signe constant sur $\mathbb {R} \setminus \left\{{\frac {-d}{c}}\right\}$ et :
$\displaystyle {\begin{cases}f'(x)>0,&{\text{si }}ad-cb>0\\f'(x)<0,&{\text{si }}ad-cb<0\end{cases}}$
Soit f une fonction homographique définie sur $D$, alors $f'(x)$ est de signe constant sur $D$ et : $\displaystyle f'(x)>0,{\text{ si }}ad-cb>0$ $\displaystyle f'(x)<0,{\text{ si }}ad-cb<0$

### Variations d'une fonction homographique

On peut donc déduire du signe de $f'$ les variations de $f$.
$f$
Soit $f:x\mapsto {\frac {3x+4}{x+3}}$ une fonction homographique définie sur $\mathbb {R} \setminus \left\{{\frac {-3}{1}}\right\}$, alors :
$\displaystyle {\begin{cases}f(x){\text{ est croissante}},&{\text{si }}5>0\\f(x){\text{ est decroissante}},&{\text{si }}5<0\end{cases}}$

## Limites d'une fonction homographique
### Calcul des limites

Soit $f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}$ une fonction homographique définie sur $\mathbb {R} \setminus \left\{{\frac {-d}{c}}\right\}$, on se propose de chercher les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition :
* en $\infty$ : $\lim _{x\to \infty }f(x)=\lim _{x\to \infty }{\frac {ax+b}{cx+d}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {x\times (a+{\frac {b}{x}})}{x\times (c+{\frac {d}{x}})}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {a+{\frac {b}{x}}}{c+{\frac {d}{x}}}}={\frac {\lim \limits _{x\to \infty }a+{\frac {b}{x}}}{\lim \limits _{x\to \infty }c+{\frac {d}{x}}}}={\frac {a+\lim \limits _{x\to \infty }{\frac {b}{x}}}{c+\lim \limits _{x\to \infty }{\frac {d}{x}}}}={\frac {a+0}{c+0}}$ $\lim _{x\to \infty }f(x)={\frac {a}{c}}$
* en ${\frac {-d}{c}}$ : $\lim _{x\to {\frac {-d}{c}}}f(x)=\lim _{x\to {\frac {-d}{c}}}{\frac {ax+b}{cx+d}}=\lim _{x\to {\frac {-d}{c}}}(ax+b)\times {\frac {1}{cx+d}}=\infty$. Le calcul du signe de cet infini est à traiter au cas par cas.
On doit donc calculer la limite en ${\frac {-d}{c}}$ de f au cas par cas :
Il faut donc chercher le signe de $f$ aux alentours de ${\frac {-d}{c}}$ : Or, $f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}={\frac {(ax+b)(cx+d)}{(cx+d)^{2}}}$ Or, $(cx+d)^{2}\geq 0$ Donc,$\displaystyle sgn(f(x))=sgn((ax+b)(cx+d))$. En posant $\displaystyle g(x)=(ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ab+cd)x+bd$, on obtient un polynôme du second degré, dont le signe va dépendre de l’ordre des racines et du signe de $ac$. 1°cas : Si $a$ et $c$ sont de même signe, alors, g(x) est négatif entre ses racines, il faut envisager deux cas :
* Si ${\frac {-b}{a}}\leq {\frac {-d}{c}}$, alors, $f(x)\leq 0$ sur $\left[{\frac {-b}{a}}:{\frac {-d}{c}}\right]$ et $\lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\leq {\frac {-d}{c}}}f(x)$ est négatif et $\lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\leq {\frac {-d}{c}}}f(x)=-\infty$, et $\lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\geq {\frac {-d}{c}}}f(x)=+\infty$
* Si ${\frac {-b}{a}}\geq {\frac {-d}{c}}$, alors, $f(x)\leq 0$ sur $\left[{\frac {-d}{c}}:{\frac {-b}{a}}\right]$ et $\lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\geq {\frac {-d}{c}}}f(x)$ est négatif et $\lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\geq {\frac {-d}{c}}}f(x)=-\infty$, et $\lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\leq {\frac {-d}{c}}}f(x)=+\infty$
2° cas : Si $a$ et $c$ sont de signes différents, alors $g(x)$ est positif entre ses racines, et les deux configurations sont :
* Si ${\frac {-b}{a}}\leq {\frac {-d}{c}}$, alors, $f(x)\geq 0$ sur $\left[{\frac {-b}{a}}:{\frac {-d}{c}}\right]$ et $\lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\leq {\frac {-d}{c}}}f(x)$ est positif et $\lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\leq {\frac {-d}{c}}}f(x)=+\infty$, et $\lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\geq {\frac {-d}{c}}}f(x)=-\infty$
* Si ${\frac {-b}{a}}\geq {\frac {-d}{c}}$, alors, $f(x)\geq 0$ sur $\left[{\frac {-d}{c}}:{\frac {-b}{a}}\right]$ et $\lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\geq {\frac {-d}{c}}}f(x)$ est positif et $\lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\geq {\frac {-d}{c}}}f(x)=+\infty$, et $\lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\leq {\frac {-d}{c}}}f(x)=-\infty$

### Limites d'une fonction homographique

Soit $f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}$, une fonction homographique définie sur $\mathbb {R} \setminus \left\{{\frac {-d}{c}}\right\}$, alors :
* $\lim _{x\to \infty }f(x)={\frac {a}{c}}$
* Si $a$ et $c$ sont de même signe : $\lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\geq {\frac {-d}{c}}}f(x)=+\infty$, et $\lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\leq {\frac {-d}{c}}}f(x)=-\infty$, si ${\frac {-b}{a}}\leq {\frac {-d}{c}}$
$\lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\geq {\frac {-d}{c}}}f(x)=-\infty$, et $\lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\leq {\frac {-d}{c}}}f(x)=+\infty$, si ${\frac {-b}{a}}\geq {\frac {-d}{c}}$
* Si $a$ et $c$ sont de signes différents : $\lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\geq {\frac {-d}{c}}}f(x)=-\infty$, et $\lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\leq {\frac {-d}{c}}}f(x)=+\infty$, si ${\frac {-b}{a}}\leq {\frac {-d}{c}}$
$\lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\geq {\frac {-d}{c}}}f(x)=+\infty$, et $\lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\leq {\frac {-d}{c}}}f(x)=-\infty$, si ${\frac {-b}{a}}\geq {\frac {-d}{c}}$
Remarque: les limites en +infini et en -infini sont identiques et valent a/c (on peut aisément le démontrer par factorisation). Autrement dit, une fonction homographique possède deux asymptotes: les droites x = -d/c et y = a/c.
| Définition | Interprétation graphique |