# Diffraction/Principe de Huygens-Fresnel

Dans toute la suite, on considère que l’on est dans les conditions de Fraunhofer. On oublie en outre les lentilles : cela revient à considérer que la source est placée à l'infini, tout comme l'écran d'observation (cela ne change pas la figure de diffraction).

## Principe de Huygens-Fresnel

Comme nous l'avons indiqué au chapitre 2, le principe de Huygens-Fresnel consiste à dire que tous les points de l'espace soumis à un rayonnement incident ré-émettent ce rayonnement dans toutes les directions. Si la lumière d'incidence est cohérente, il peut alors y avoir interférence entre différentes ondes qui ont été ré-émises par différent points. Pour simplifier dans la suite de l'énoncé, on considèrera que ce phénomène n'a lieu que dans le plan où se trouve l’objet diffractant. En conséquence, la ré-émission des ondes n'a lieu que dans ce plan.

## Énoncé mathématique du principe de Huygens-Fresnel

Lorsque l’on se place en un point M de l'écran, pour tout point P de l'ouverture diffractante, on reçoit une onde (d'après le principe de Huygens-Fresnel). Cette onde a parcouru un chemin optique que l’on note (SPM) (elle a d’abord parcouru le chemin SP en ligne droite, puis le chemin PM, après sa ré-émission, en oubliant les lentilles comme on l'a indiqué). L'amplitude de cette onde s'écrit donc (en considérant la phase comme nulle au niveau de la source lumineuse) :
    ${\underline {a}}(x,t)=A_{0}e^{i\omega t-ik(SPM)}$.
Les ondes ré-émises par les points de l'ouverture sont toutes cohérentes. L'amplitude de l'onde observée en M est donc la somme des amplitudes des ondes ré-émises par tous les points de l'ouverture. Comme on effectue une somme continue, il s'agit en fait d'une intégrale, qui est double puisque l’on a une ouverture en deux dimensions. Donc :
    ${\underline {a}}=K\iint _{S}A_{0}e^{i\omega t}e^{-ik(SPM)}\;\mathrm {d} S(P)$
où K est une constante de proportionnalité, S l’ensemble des points de l'ouverture, et dS(P) un petit élément de surface de l'ouverture centré autour de P (point courant de la surface S). L'éclairement perçu étant le module au carré de l'amplitude complexe, on peut simplifier le $e^{i\omega t}$ qui est de module 1.
On a donc l'énoncé formel du principe de Huygens-Fresnel :
${\underline {a}}=K\iint _{S}A_{0}e^{-ik(SPM)}\;\mathrm {d} S_{P}$.

## Simplification dans les conditions de Fraunhofer

Cette intégrale se simplifie assez efficacement d’après ce que nous avons fait dans le chapitre précédent. On a en effet :
    ${\begin{aligned}(SPM)&=(SOM)+\delta \\\ &=(SOM)+({\vec {u}}_{M}-{\vec {u}}_{S})\cdot {\overrightarrow {O}}P\\\ &=(SOM)+(x_{m}/f-x_{s}/f')x+(y_{m}/f-y_{s}/f')y\end{aligned}}$.
On obtient alors :
    ${\underline {a}}=K\exp(ik(SOM))\iint _{S}A_{0}\exp(-ik((x_{m}/f-x_{s}/f')x+(y_{m}/f-y_{s}/f')y))\;\mathrm {d} S(P)$.
Cela ne paraît pas vraiment plus simple, mais en réalité on vient de remplacer un chemin optique inconnu (SPM) par une valeur calculable. C’est un grand pas ! Malheureusement, dans la plupart des cas, cette intégrale n’est pas calculable analytiquement.

## Cas d'une ouverture rectangulaire

Il s'agit d'un des cas où l’on peut pousser jusqu'au bout les calculs.

### Calcul de la fonction d'éclairement

On prend une ouverture rectangulaire de de taille a selon x et b selon y. On centre l'ouverture sur O. Le calcul devient donc :
    ${\underline {a}}=Ke^{ik(SOM)}\int _{\frac {-a}{2}}^{\frac {a}{2}}\left(\int _{\frac {-b}{2}}^{\frac {b}{2}}A_{0}e^{-ik(x_{m}/f-x_{s}/f')x}e^{-ik(y_{m}/f-y_{s}/f')y}\;\mathrm {d} y\right)\;\mathrm {d} x$.
On vérifie d'ailleurs que l’on parcourt bien toute la surface de l'ouverture avec les deux intégrales. On note qu’à l'intérieur des intégrales, les exponentielles ne dépendent que d'une seule variable x ou y.
Commençons par l'intégrale en y :
    ${\begin{aligned}\int _{\frac {-b}{2}}^{\frac {b}{2}}e^{-ik(y_{m}/f-y_{s}/f')y}\;\mathrm {d} y&=\left[{\frac {e^{-ik(y_{m}/f-y_{s}/f')y}}{-ik(y_{m}/f-y_{s}/f')}}\right]_{\frac {-b}{2}}^{\frac {b}{2}}\\\ &={\frac {1}{-ik(y_{m}/f-y_{s}/f')}}\left(e^{-ik(y_{m}/f-y_{s}/f'){\frac {b}{2}}}-e^{ik(y_{m}/f-y_{s}/f'){\frac {b}{2}}}\right)\end{aligned}}$.
On reconnaît ici la définition du sinus (ou alors on peut aussi passer aux parties réelles et imaginaires) :
    $e^{ix}-e^{-ix}=2i\sin(x)$.
On utilise alors la fonction sinus cardinal, notée sinc :
    $\mathrm {sinc} \;(x)={\frac {\sin(x)}{x}}$.
L'intégrale précédente vaut donc :
    $\mathrm {sinc} \;\left({\frac {bk(y_{m}/f-y_{s}/f')}{2}}\right)$.
En effectuant le même calcul sur x, on obtient finalement :
    ${\underline {a}}=KA_{0}e^{i{\frac {2\pi }{\lambda }}}\mathrm {sinc} \;\left({\frac {a\pi }{\lambda }}(x_{m}/f-x_{s}/f')\right)\mathrm {sinc} \;\left({\frac {b\pi }{\lambda }}(y_{m}/f-y_{s}/f')\right)$.
L'éclairement E (qui est la grandeur physique effectivement perçue) correspond au module de l'amplitude complexe au carré. On obtient donc :
    $E=K'\mathrm {sinc} ^{2}\left({\frac {a\pi }{\lambda }}(x_{m}/f-x_{s}/f')\right)\mathrm {sinc} ^{2}\left({\frac {b\pi }{\lambda }}(y_{m}/f-y_{s}/f')\right)$.

### Tracé de la figure de diffraction

Le calcul est donc assez long, mais il ne faut pas perdre de vue ce que l’on cherche : on souhaite la figure d'interférence sur l'écran, c'est-à-dire l'éclairement en fonction de la position sur l'écran. Les paramètres $x_{M}$ et $y_{M}$, qui étaient fixées jusqu'à présent, sont maintenant des variables. Il est donc possible de tracer l'éclairement reçu en fonction de la position. Cette fonction (à 2 dimensions) est tracée ci-contre.
On note plusieurs éléments importants dans cette image. Avant tout, on voit que la majorité de l'éclairement se situe au niveau de la tache centrale, mais qu'un certain nombre de taches périphériques, beaucoup moins lumineuses, sont aussi présentes. En outre, on remarque que la diffraction conserve les symétries de l'ouverture : la figure est symétrique par rapport aux 2 plans de symétrie de l'ouverture rectangulaire.
Un dernier point très important est l'inversion des échelles par la diffraction : la fente était en effet plus étroite que haute, ce qui a créé une figure de diffraction plus étendue en largeur qu'en hauteur. On peut donc en conclure le phénomène général :
Remarque : le phénomène de diffraction est d'autant plus intense que la dimension de l’objet diffractant est faible.
Ainsi, si on a une fente beaucoup plus haute que large, on pourra négliger la diffraction dans la direction verticale par rapport à celle dans le plan horizontal.
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