# Arithmétique/Exercices/Fractions
## Exercice 7-1

Prouvez que la fraction :
    ${\frac {n}{2n+1}}\qquad n\in \mathbb {N}$
est irréductible.
$\operatorname {pgcd} (2n+1,n)=\operatorname {pgcd} (1,n)=1$.

## Exercice 7-2

La fraction :
    ${\frac {n+17}{n-4}}\qquad n\in \mathbb {N} \quad n>4$
peut-elle être égale à un entier ?
Pour $m=n-4\in \mathbb {N} ^{*}$, ${\frac {n+17}{n-4}}={\frac {m+21}{m}}=1+{\frac {21}{m}}$ est entier si et seulement si $m\mid 21$, c'est-à-dire $n\in \{5,7,11,25\}$.

## Exercice 7-3

La fraction :
    ${\frac {n^{2}+n}{2n+1}}\qquad n\in \mathbb {N}$
est-elle irréductible ?
$n^{2}+n=n(n+1)$, $\operatorname {pgcd} (n,2n+1)=\operatorname {pgcd} (n,1)=1$ et $\operatorname {pgcd} (n+1,2n+1)=\operatorname {pgcd} (n+1,-1)=1$ donc (d'après un corollaire du théorème de Gauss) $\operatorname {pgcd} (n^{2}+n,2n+1)=1$.

## Exercice 7-4

1° a et b sont deux entiers naturels premiers entre eux. Démontrez qu'il en est de même :
    a) de a + b et a ;
    b) de a + b et b ;
    c) de a + b et ab.
2° Déduisez de la question précédente que la fraction :
    ${\frac {2n+3}{n^{2}+3n+2}}\qquad n\in \mathbb {N}$
est irréductible.
** $\operatorname {pgcd} (a+b,a)=\operatorname {pgcd} (b,a)=1$ ;
** $\operatorname {pgcd} (a+b,b)=\operatorname {pgcd} (a,b)=1$ ;
** se déduit des deux points précédents et d'un corollaire du lemme de Gauss.
* Appliquer 1.c à $a=n+1$ et $b=n+2$.

## Exercice 7-5

Démontrer que si la fraction ${\frac {a}{b}}$ est irréductible, il en est de même pour les fractions :
* ${\frac {a+b}{ab}}$
* ${\frac {ab}{a^{2}+b^{2}}}$
* ${\frac {a+b}{a^{2}+ab+b^{2}}}$
* ${\frac {a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}$
* Cf. exercice précédent.
* $\operatorname {pgcd} (ab,a^{2}+b^{2})=\operatorname {pgcd} (ab,(a+b)^{2})=1$, d'après la question précédente et un corollaire du lemme de Gauss
* $\operatorname {pgcd} (ab,a^{2}+ab+b^{2})=\operatorname {pgcd} (ab,a^{2}+b^{2})=1$ d'après la question précédente
* D'après un corollaire du lemme de Gauss (appliqué deux fois), $a^{2}$ et $b^{2}$ sont premiers entre eux donc d'après la question 1, $a^{2}b^{2}$ et $a^{2}+b^{2}$ le sont aussi.

## Exercice 7-6

Prouvez que si la somme de deux fractions irréductibles est un entier, alors les dénominateurs de ces fractions sont égaux.
Soient $a,c\in \mathbb {Z}$ et $b,d\in \mathbb {N} ^{*}$ tels que $\operatorname {pgcd} (a,b)=\operatorname {pgcd} (c,d)=1$. Si $bd\mid ad+bc$ alors :
* $b\mid ad$ et $\operatorname {pgcd} (a,b)=1$ donc (théorème de Gauss) $b\mid d$ ;
* de même, $d\mid b$.
Donc $b=d$.

## Exercice 7-7

On pose :
    $a={\frac {n^{2}+1}{n(n^{2}-1)}}\qquad n\in \mathbb {N} ^{*}$.
* Prouvez que les diviseurs communs au numérateur et au dénominateur de $a$ sont les diviseurs communs à n$^2$ – 1 et 2.
* Déduisez-en que si n est pair, la fraction est irréductible, et que si n est impair, le PGCD du numérateur et du dénominateur est égal à 2.
* $\operatorname {pgcd} (n^{2}+1,n(n^{2}-1))=\operatorname {pgcd} (n^{2}+1,n(n^{2}-1)-n(n^{2}+1))=\operatorname {pgcd} (n^{2}+1,2n)$. D'après le théorème de Gauss, puisque $n$ est premier avec $n^{2}+1$, $\operatorname {pgcd} (n^{2}+1,2n)=\operatorname {pgcd} (n^{2}+1,2)=\operatorname {pgcd} (n^{2}+1-2,2)=\operatorname {pgcd} (n^{2}-1,2)$.
* Si $n$ est pair, $n^{2}-1$ est impair donc premier avec $2$. Si $n$ est impair, $n^{2}-1$ est pair donc $\operatorname {pgcd} (n^{2}-1,2)=2$.
| Théorème de Gauss | Numération |