# Introduction à l'élasticité/La loi de Hooke
## Introduction

Nous avons jusqu'ici développé des outils descriptifs :
* les déformations, au moyen du tenseur ε ;
* les contraintes, par le tenseur de Cauchy σ.
Il nous manque le lien entre les deux. En effet, en exerçant un effort sur un objet, il doit subir une déformation. De même, lorsqu'on impose une déformation à un objet, il doit subir des efforts internes.
Cette relation repose sur les propriétés du matériau : son organisation microscopique, ses défauts, sa géométrie… Pour certaines pièces, on peut expliciter une relation entre déformations et contraintes. Nous ne détaillerons pas comment aboutir à de tels résultats, qui relèvent plus de la théorie. En pratique, et pour tout ce qui concerne les applications d'ingénierie, on se sert de paramètres mesurés lors d'essais en laboratoire.
Comme nous le verrons cependant, la relation entre déformations et contraintes n’est pas simple, ni constante. Il faudra donc faire des hypothèses simplificatrices, pour réduire le nombre et la diversité des paramètres. Dans ce chapitre, nous introduisons la loi (à l'origine expérimentale) de Hooke, fondatrice de l'élasticité linéaire isotrope.

## Mesure des contraintes et des déplacements
### Contraintes

Lorsque nous avons introduit les contraintes, nous avons vu qu’il s'agissait d'efforts internes, qu'on ne peut donc mesurer qu'aux frontières du système. De fait, il n’est pas possible d'accéder aux contraintes dans le matériau. De plus, selon la pièce testée, la répartition et la direction des contraintes est susceptible de changer, si bien que l’on doit en pratique trouver la forme du champ des contraintes (ou plutôt, une forme simple approchée) avant de le mesurer — pour raffiner le modèle.
Il s'agit donc de combiner plusieurs méthodes de mesure, de multiplier les expériences et les modèles, pour obtenir un moyen sûr et efficace d'observation des contraintes — et ce ne seront que les contraintes sur la frontière.

### Déplacements, vitesses de déplacement

Il est en revanche relativement facile d'accéder aux déformations subies par un matériau, et ce par plusieurs méthodes. Par exemple, l’utilisation de jauges de déformation — des petits dispositifs électriques dont la résistance change selon la surface — ou de méthodes de suivi optique (assisté ou non par ordinateur). Les nombreuses méthodes d'extensométrie (ultrasons, interférométrie…) peuvent fournir le champ de déformation avec une bonne précision.
Par exemple, soumis à une lumière polarisée, les matériaux photoélastiques traduisent leurs déformations par un décalage des chemins optiques — qui provoquent des irisations. Le long des lignes de même couleur, le déplacement est constant.

### Mesure simultanée

Nous voulons connaître simultanément la contrainte et les déformations : il faut donc les mesurer ensembles pour observer la dépendance de l'un en l'autre. Par convention, on s'intéresse à la contrainte en fonction de la déformation, σ = ƒ(ε), c'est-à-dire les efforts à exercer pour imposer une déformation donnée.
L'essai le plus courant est l'essai de traction simple, réalisé sur des pièces — on parle alors d'éprouvettes de traction — faites dans le matériau que l’on souhaite tester. Si le matériau ne se prête pas facilement à un tel usinage (c'est le cas du béton par exemple), il existe des essais adaptés (voir en exercice sur l'essai brésilien).
Le dispositif utilisé pour l'essai va exercer une force de traction (contrôlée) de part et d’autre de l'éprouvette, dont la section (connue) permet de déduire σ aux bords. Les éprouvettes ont une forme cylindrique ou plane, avec des extrémités évasées pour être accrochées à l'appareil de mesure. Certains matériaux se déforment sous l'effet de la contrainte en réduisant le diamètre de l'éprouvette : on peut alors en tenir compte (c'est-à-dire évaluer les contraintes au niveau du rétrécissement) ou l’ignorer (c'est-à-dire tenir compte des contraintes globales). Parfois, on représente les deux, qui ne divergent que pour de grandes déformations.
Finalement, on obtient une courbe déformation-contrainte (ou graphe de déformation) du matériau, que l’on va pouvoir analyser ou utiliser.

## Comportement des matériaux

Comme on peut l'observer sur l'image précédente, la dépendance entre déformation et contrainte n’est pas simple. En fait, on devine qu'elle dépend de nombreux paramètres, par exemple la température. Pour mieux catégoriser et mieux comprendre la diversité des comportements des matériaux, nous allons considérer quelques situations caractéristiques.

### Comportement élastique

Pour de petites déformations, on observe une relation de proportionnalité entre déformations et contraintes, relation que nous préciserons plus tard. Le comportement du matériau ne dépend pas du temps et les déformations sont réversibles : lorsque l’on cesse d'exercer des efforts sur la pièce, elle reprend sa forme d'origine.
Certains matériaux, cependant, conservent cette réversibilité mais avec une dépendance non linéaire entre déformations et contraintes.

### Déformations irréversibles

En poursuivant la déformation de la pièce au-delà du domaine d'élasticité, on impose des déformations irréversible : lorsque l’on fait cesser les contraintes, la pièce ne reprend pas sa forme d'origine.
Si on continue d'augmenter les déformations, la rupture de la pièce pourra survenir. On parlera d'un matériau :
* fragile si la pièce rompt sans se déformer : le verre ou le graphite en sont des exemples ;
* ductile si la pièce se déforme avant de se rompre.
La température joue un grand rôle dans la manière selon laquelle se rompt une pièce. La température à laquelle un matériau passe de fragile à ductile est appelée DBTT (ductile-brittle transition temperature). Dans la plupart des applications, on préfère qu'une pièce subisse une rupture ductile puisque l’on dispose ainsi d'un « signal d'alarme » indiquant qu'elle va rompre.

### Évolution temporelle

On peut observer que la limite d'élasticité évolue avec le temps, ou au fur et à mesure des essais. Lorsqu'un matériau subit des déformations plastiques (c'est-à-dire qu’il subit des déformations au-delà de sa limite d'élasticité), cela peut modifier la valeur de la limite d'élasticité : on parle d’écrouissage.
De plus, beaucoup de matériaux comprennent des défauts : impuretés, creux (porosité). Avec le temps, ces défauts peuvent s'agrandir et modifier les propriétés en diminuant la rigidité on parle d’endommagement.
Pour observer le comportement dans le temps d'une pièce, on la soumet à des contraintes cycliques. On observe alors :
* l'adaptation : les déformations se stabilisent et restent linéaires ;
* l'accommodation: les déformations suivent un cycle d'hystérésis ;
* le rochet : les déformations s'amplifient à chaque cycle ;
* la fatigue : après de très nombreux cycles, même faibles, le matériau se rompt.
Ces comportements s'expliquent par la capacité des défauts à s'amplifier, à se regrouper (coalescence) ou au contraire à se réduire au sein du matériau.

### Diversité des comportements

On retiendra que la grande diversité des comportements des matériaux, ainsi que leurs façons de rompre, rendent difficile les prédictions générales. En pratique, il faudra toujours garder en tête l’utilisation qui sera faite de la pièce, les contraintes et la durée pendant laquelle elles seront exercées.
On notera également que la pureté du matériau, sa structure cristalline, la température… peuvent être autant d'éléments modifiant ces propriétés.

## Élasticité infinitésimale

Nous allons maintenant tenter de rendre compte, mathématiquement, de ce qui se passe pour de petites déformations.
Nous avons observé que, lorsque le matériau était peu déformé, les contraintes étaient proportionnelles aux déformations. Cette relation s'exprime ainsi de la manière suivante :
    ${\boldsymbol {\sigma }}=\mathbf {C} \left({\boldsymbol {\varepsilon }}\right)$
où C est un tenseur appelé tenseur d'élasticité, qui traduit la linéarité de cette relation. On montre, par symétrie de σ et de ε, que ce tenseur (qui dans l'absolu pourrait dépendre de 81 coefficients) est en fait décrit par 21 nombres.
Si aucun de ces nombres n'est nul, l'élasticité est totalement anisotrope, et relativement complexe à décrire. Nous allons nous intéresser au cas isotrope, le plus utilisé en pratique.

### Élasticité isotrope : loi de Hooke

Si le matériau est isotrope, son comportement ne dépend pas de la rotation qu’il a subi : on peut donc écrire la loi de comportement uniquement à partir des invariants de ε :
    ${\boldsymbol {\sigma }}=\lambda _{0}\mathbf {I} +\lambda _{1}{\boldsymbol {\varepsilon }}+\lambda _{2}{\boldsymbol {\varepsilon }}^{2}$
Nous ne considérons, pour de petites déformations, que les termes linéaires en ε : ce tenseur lui-même et sa trace (qui est le seul invariant du premier ordre). On a alors l'équation suivante, dite de souplesse :
    ${\boldsymbol {\sigma }}=\lambda \mathrm {Tr} \left({\boldsymbol {\varepsilon }}\right)\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}$
où λ et μ sont deux coefficients réels appelés coefficients de Lamé du matériau. Il est remarquable que la relation entre ces deux tenseurs n'implique que deux nombres (au lieu de 21, dans le cas général).
On peut inverser la relation ci-dessus :
Dans le cadre de l'élasticité linéaire isotrope infinitésimale,
    ${\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2\mu }}{\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\lambda }{2\mu \left(3\lambda +2\mu \right)}}\mathrm {Tr} \left({\boldsymbol {\sigma }}\right)\mathbf {I}$
où λ et μ sont les coefficients de Lamé. On introduit le module d'Young E et le coefficient de Poisson ν :
    ${\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1+\nu }{E}}{\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\nu }{E}}\mathrm {Tr} \left({\boldsymbol {\sigma }}\right)\mathbf {I}$
Notons que l’on peut utiliser indifféremment les coefficients de Lamé ou le module d'Young et le coefficient de Poisson. Ces deux derniers ont toutefois une interprétation simple. Considérons pour l'illustrer le cas d'une traction simple. Notons L$_0$ la longueur de la pièce au début de l'expérience et l$_0$ sa largeur. On a :
* $E={\frac {F}{S}}\cdot {\frac {L-L_{0}}{L_{0}}}$
* $\nu =-{\frac {l-l_{0}}{l_{0}}}\cdot {\frac {L-L_{0}}{L}}$
Ainsi, E traduit la tendance à l'allongement et ν exprime la tendance au rétrécissement lorsque la pièce s'allonge. Pour des raisons physiques, le coefficient ν ne peut pas prendre n’importe quelles valeurs.
Enfin, notons que E s'exprime en Pa (souvent en MPa) et est positif et que ν est sans unité (et souvent proche de 1/3) et compris entre -1 et 0,5.
Le cas où ν est négatif est rare, et concerne les matériaux dits auxétiques, qui gagnent du volume lorsqu’ils sont étirés.

### Remarque historique

La loi de Hooke fut énoncée en 1678, sous la forme suivante : « ut tensio sic vis » (telle extension, telle force). On vérifie en effet que dans le cas le plus simple d'un barreau subissant une élongation faible, il exerce une force de retour de la forme :
    $F=-kl$
où l est l'allongement. Ce résultat, bien connu, est une conséquence de ce que nous avons vu sur l'élasticité. On le retrouve dans le cas d'une traction simple, et nous sommes capables d'exprimer le coefficient k à partir des propriétés du matériau.

## Remarques et références

* ↑ En tout cas, il n'y a pas de méthode simple et générale, pouvant s'appliquer aux matériaux de construction usuels (béton, acier).
* ↑ Ce tenseur est d'ordre 4.
* ↑ C'est une conséquence du théorème de représentation de Rivlin-Ericksen.
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