# Théorie des groupes/Produit libre d'une famille de groupes

Dans ce chapitre, on va définir le produit libre d'une famille de groupes et montrer qu'il possède une propriété universelle analogue à celle de la somme directe d'une famille de groupes abéliens. Le produit libre ne jouera qu'un rôle modeste dans le futur chapitre sur les présentations de groupes, de sorte que le lecteur intéressé par les présentations et non par le produit libre pourra passer immédiatement au chapitre sur les présentations (non encore écrit dans l'état actuel du cours).

## Construction du produit libre

Étant donné une famille $(X_{i})_{i\in I}$ d'ensembles, nous définirons l'ensemble somme de cette famille, ou encore la réunion disjointe de cette famille, comme l'ensemble des couples (i, x), avec i dans $I$ et x dans X$_i$.
Pour tout ensemble X, notons Mo(X) l'ensemble des multiplets d'éléments de X. On sait que Mo(X) est un monoïde (le « monoïde libre construit sur X ») pour la loi de composition par « concaténation » :
    $((x_{1},\ldots ,x_{m}),(y_{1},\ldots y_{n}))\mapsto (x_{1},\ldots ,x_{m},y_{1},\ldots ,y_{n}).$
Nous avons déjà rencontré ce monoïde dans le chapitre Groupes libres, premiers éléments. Les éléments de Mo(X) sont souvent appelés les mots dans X. Le nombre naturel m est appelé la longueur du mot $(x_{1},\ldots ,x_{m})$.
Pour un groupe G de neutre 1, on désignera par $G^{\sharp }$ l'ensemble $G\setminus \{1\}$.
Soit $(G_{i})_{i\in I}$ une famille de groupes. On notera 1$_i$ le neutre de G$_i$. On désignera par $\Sigma$ l'ensemble somme de la famille $(G_{i}^{\sharp })_{i\in I}$.
Les éléments de Mo($\Sigma$) sont donc les multiplets de la forme
    $((i_{1},g_{1}),\ldots ,(i_{n},g_{n}))$,
où n parcourt les nombres naturels ($\geq 0$), où $i_{1},\ldots i_{n}$ parcourent $I$ et où, pour tout j dans {1, ... , n}, $g_{j}\in G_{i_{j}}\setminus \{1_{i_{j}}\}$.
$\Sigma$
Nous dirons qu'un élément $((i_{1},g_{1}),\ldots ,(i_{n},g_{n}))$ de Mo($\Sigma$) est réduit s'il n'existe pas d'indice r dans {1, ... , n-1} tel que $i_{r}=i_{r+1}$.
Exemples
    1) Le multiplet vide est réduit.
    2) Tout 1-uplet de Mo($\Sigma$) est réduit.
    3) Soient $i_{1},i_{2}$ deux différents éléments de $I$, soient $g_{1}\in G_{i_{1}}^{\sharp },g_{2}\in G_{i_{2}}^{\sharp }$ et $g_{3}\in G_{i_{1}}^{\sharp }$. Alors $((i_{1},g_{1}),(i_{2},g_{2}),(i_{1},g_{3}))$ est un élément réduit de Mo($\Sigma$), mais $((i_{2},g_{2}),(i_{1},g_{1}),(i_{1},g_{3}))$ n'en est pas un.
${\underset {i\in I}{*}}G_{i}$
Pour une famille $(G_{i})_{i\in I}$ de groupes, nous noterons ${\underset {i\in I}{*}}G_{i}$ l'ensemble des mots réduits de Mo($\Sigma$), où $\Sigma$ désigne l'ensemble somme des $G_{i}^{\sharp }$.
Nous allons maintenant munir ${\underset {i\in I}{*}}G_{i}$ d'une loi de groupe *.
Convenons d'abord, pour alléger les notations, que dans l'écriture $(i,gh)$, avec $i$ dans $I$ et $g,h$ dans $G_{i}$, $gh$ désignera toujours le produit de $g$ et $h$ dans $G_{i}$. De même, dans l'écriture $(i,g^{-1})$, $g^{-1}$ désignera toujours l'inverse de $g$ dans $G_{i}$. (Cela doit être précisé, puisque les groupes $G_{i}$ ne sont pas supposés disjoints deux à deux.)
Soient $((i_{1},g_{1}),\ldots ,(i_{m},g_{m}))$ et $((j_{1},h_{1}),\ldots ,(j_{n},h_{n}))$ deux éléments de ${\underset {i\in I}{*}}G_{i}$, autrement dit deux éléments réduits de Mo($\Sigma$).
Le « concaténé » de ces deux éléments, autrement dit leur produit dans le monoïde Mo($\Sigma$), est réduit si et seulement on n'est pas dans le cas $m\geq 1,n\geq 1$ et $i_{m}=j_{1}.$
Si on est dans le cas $m\geq 1,n\geq 1$ et $i_{m}=j_{1}$, il est assez naturel d'opérer une réduction du concaténé en procédant comme suit :
    - si $g_{m}h_{1}$, calculé dans le groupe $G_{i_{m}}=G_{j_{1}}$, n'est pas égal au neutre de ce groupe, on fusionne le m-ième et le (m+1)-ième couple du concaténé, à savoir les couples $(i_{m},g_{m})$ et $(j_{1},h_{1})$, en les remplaçant par le couple $(i_{m},g_{m}h_{1})=(j_{1},g_{m}h_{1})$ ; autrement dit, on remplace le concaténé par le mot
       $((i_{1},g_{1}),\ldots ,(i_{m-1},g_{m-1}),(i_{m},g_{m}h_{1}),(j_{2},h_{2}),\ldots ,(j_{n},h_{n}))$,
       qui peut encore s'écrire
       $((i_{1},g_{1}),\ldots ,(i_{m-1},g_{m-1}),(j_{1},g_{m}h_{1}),(j_{2},h_{2}),\ldots ,(j_{n},h_{n}))$ ;
    - si maintenant $g_{m}h_{1}$, calculé dans le groupe $G_{i_{m}}=G_{j_{n}}$, est égal au neutre de ce groupe, on supprime du concaténé le m-ième et le (m+1)-ième couple, à savoir les couples $(i_{m},g_{m})=(j_{1},g_{m})$ et $(j_{1},h_{1})=(j_{1},g_{m}^{-1})$.
Dans le second cas, il se peut que le résultat ne soit pas encore un mot réduit. On recommence alors l'opération de réduction jusqu'à ce qu'on tombe sur un mot réduit, ce qui doit arriver, puisqu'il est impossible de construire une suite infinie de mots de longueur strictement décroissante. Le mot réduit ainsi obtenu définit le composé (ou composé réduit)
    $((i_{1},g_{1}),\ldots ,(i_{m},g_{m}))*((j_{1},h_{1}),\ldots ,(j_{n},h_{n}))$.
Voici une description plus maniable des opérations.
Si $((k_{1},x_{1}),\ldots ,(k_{r},x_{r}))$ est un élément de Mo($\Sigma$), si s est un nombre naturel tel que $0\leq s\leq r$, définissons le segment initial de longueur s de $((k_{1},x_{1}),\ldots ,(k_{r},x_{r}))$ comme étant $((k_{1},x_{1}),\ldots ,(k_{s},x_{s}))$ et définissons le segment final de longueur s de $((k_{1},x_{1}),\ldots ,(k_{r},x_{r}))$ comme étant $((k_{r+1-s},x_{r+1-s}),(k_{r+2-s},x_{r+2-s}),\ldots ,(k_{r},x_{r}))$.
(Si s = 0, le segment initial de longueur s et le segment final de longueur s sont égaux au mot vide.)
Si maintenant $v=((i_{1},g_{1}),\ldots ,(i_{m},g_{m}))$ est un élément réduit de Mo($\Sigma$), autrement dit un élément de ${\underset {i\in I}{*}}G_{i}$, définissons l'inverse de $v$ comme étant $((i_{m},g_{m}^{-1}),\ldots ,(i_{1},g_{1}^{-1})).$ Il est clair que l'inverse de $v$ est lui aussi un élément réduit de Mo($\Sigma$) et que l'inverse de cet inverse est $v$. (Nous verrons que $((i_{1},g_{1}),\ldots ,(i_{m},g_{m}))$ et $((i_{m},g_{m}^{-1}),\ldots ,(i_{1},g_{1}^{-1}))$ sont inverse l'un de l'autre selon la loi de groupe que nous allons définir dans ${\underset {i\in I}{*}}G_{i}$.)
Soient maintenant $((i_{1},g_{1}),\ldots ,(i_{m},g_{m}))$ et $((j_{1},h_{1}),\ldots ,(j_{n},h_{n}))$ deux éléments réduits de Mo($\Sigma$).
Désignons par t le plus grand nombre naturel $\leq$ min{m, n} tel que le segment final de longueur t de $((i_{1},g_{1}),\ldots ,(i_{m},g_{m}))$ et le segment initial de longueur t de $((j_{1},h_{1}),\ldots ,(j_{n},h_{n}))$ soient inverses l'un de l'autre.
Autrement dit, t est le plus grand nombre naturel $\leq$ min{m, n} tel qu'il existe un élément (réduit) $((k_{1},f_{1}),\ldots ,(k_{t},f_{t}))$ de Mo($\Sigma$) pour lequel
    $((i_{m+1-t},g_{m+1-t}),\ldots ,(i_{m},g_{m}))=((k_{1},f_{1}),\ldots ,(k_{t},f_{t}))$
et
    $((j_{1},h_{1}),\ldots ,(j_{t},h_{t}))=((k_{t},f_{t}^{-1}),\ldots ,(k_{1},f_{1}^{-1})).$
Cela revient encore à dire que t est le plus grand nombre naturel $\leq$ min{m, n} tel que
    $(j_{1},h_{1})=(i_{m},g_{m}^{-1})$
    $(j_{2},h_{2})=(i_{m-1},g_{m-1}^{-1})$
    $(j_{t},h_{t})=(i_{m+1-t},g_{m+1-t}^{-1}).$
Le nombre t étant ainsi défini (il existe et, si $(i_{m},g_{m}^{-1})$ et $(j_{1},h_{1})$ sont distincts, il est égal à 0), on définit le composé
    $((i_{1},g_{1}),\ldots ,(i_{m},g_{m}))*((j_{1},h_{1}),\ldots ,(j_{n},h_{n}))$
comme égalant
    $((i_{1},g_{1}),\ldots ,(i_{m-t},g_{m-t}),((j_{t+1},h_{t+1}),\ldots ,(j_{n},h_{n}))$
       si on n'est pas dans le cas ($m-t\geq 1,n-t\geq 1$ et $i_{m-t}=j_{t+1}$) ;
    $((i_{1},g_{1}),\ldots ,(i_{m-t-1},g_{m-t-1}),(i_{m-t},g_{m-t}h_{t+1}),(j_{t+2},h_{t+2}),\ldots ,(j_{n},h_{n}))$,
       qu'on peut aussi écrire
    $((i_{1},g_{1}),\ldots ,(i_{m-t-1},g_{m-t-1}),(j_{t+1},g_{m-t}h_{t+1}),(j_{t+2},h_{t+2}),\ldots ,(j_{n},h_{n}))$,
       si on est dans le cas ($m-t\geq 1,n-t\geq 1$ et $i_{m-t}=j_{t+1}$).
Il est clair que, dans les deux cas, le composé
    $((i_{1},g_{1}),\ldots ,(i_{m},g_{m}))*((j_{1},h_{1}),\ldots ,(j_{n},h_{n}))$
est un élément réduit de Mo($\Sigma$). (Dans le second cas, où $i_{m-t}=j_{t+1}$, le fait que le composé appartient à Mo($\Sigma$) résulte du fait que, par maximalité de t, $g_{m-t}h_{t+1}\not =1_{i_{m-t}}=1_{j_{t+1}}.$)
Nous avons donc défini une loi de composition interne * dans l'ensemble ${\underset {i\in I}{*}}G_{i}$ des éléments réduits de Mo($\Sigma$). Quand nous parlerons du composé (ou composé réduit) de deux éléments $v$ et $w$ de ${\underset {i\in I}{*}}G_{i}$, il s'agira de $v*w.$
Par exemple, si $I=\{1,2\}$, si $G_{1}$ est le groupe multiplicatif des puissances de 3 (sous-groupe <3> de $\mathbb {Q} ,\times$), si $G_{2}$ est le groupe multiplicatif des puissances de 5, alors
    $((2,5),(1,3^{-1}),(2,5^{7}),(1,3^{8}))$
et
    $((1,3^{-8}),(2,5^{-7}),(1,3^{2}),(2,5^{-1}),(1,3^{9}))$
sont des éléments réduits de Mo($\Sigma$) et leur composé réduit
    $((2,5),(1,3^{-1}),(2,5^{7}),(1,3^{8}))*((1,3^{-8}),(2,5^{-7}),(1,3^{2}),(2,5^{-1}),(1,3^{9}))$
est
    $((2,5),(1,3),(2,5^{-1}),(1,3^{9})).$
Le fait que les indices 1 et 2 alternent n'est évidemment pas fortuit.
${\underset {i\in I}{*}}G_{i}$
Soit $(G_{i})_{i\in I}$ une famille de groupes. Muni de la loi *, l'ensemble ${\underset {i\in I}{*}}G_{i}$ est un groupe. L'élément neutre est le mot vide et l'inverse du mot $((i_{1},g_{1}),\ldots ,(i_{m},g_{m}))$ est le mot $((i_{m},g_{m}^{-1}),\ldots ,(i_{1},g_{1}^{-1})).$
Démonstration. Ce qui concerne le neutre et l'inverse résulte clairement de la définition du composé, donc l'essentiel est de prouver que la loi * est associative. Comme nous l'avons fait pour démontrer l'associativité de la loi de composition dans F(X) (groupe libre construit sur l'ensemble X), nous allons utiliser le procédé de van der Waerden. L'imitation est si étroite que le lecteur pourrait normalement trouver la démonstration lui-même.
Pour tout élément de ${\underset {i\in I}{*}}G_{i}$ de la forme ((i, g)) (avec $i\in I$ et $g\in G_{i}^{\sharp }$), notons $\vert i,g\vert$ l'application
    $v\mapsto ((i,g))*v$
de ${\underset {i\in I}{*}}G_{i}$ dans lui-même. (Les barres verticales n'ont rien à voir avec le cardinal.)
Donc, pour tout élément $v=((i_{1},h_{1}),\ldots ,(i_{n},h_{n}))$ de ${\underset {i\in I}{*}}G_{i}$,
    $\vert i,g\vert (v)=\left\lbrace {\begin{array}{l}((i,g),(i_{1},h_{1}),\ldots ,(i_{n},h_{n}))\ \mathrm {si\ n=0\ ou\ (n\geq 1\ et\ i\not =i_{1})} ,\\((i_{1},gh_{1}),(i_{2},h_{2}),\ldots ,(i_{n},h_{n}))\ \mathrm {si\ n\geq 1,i=i_{1}\ et\ gh_{1}\not =1_{i}=1_{i_{1}}} ,\\((i_{2},h_{2}),\ldots ,(i_{n},h_{n}))\ \mathrm {si\ n\geq 1,i=i_{1}\ et\ gh_{1}=1_{i}=1_{i_{1}}.} \end{array}}\right.$.
Prouvons que pour tout élément $i$ de $I$ et tout élément $g$ de $G_{i}^{\sharp }$, les applications $\vert i,g\vert$ et $\vert i,g^{-1}\vert$ sont réciproques l'une de l'autre.
Soit $v=((i_{1},h_{1}),\ldots ,(i_{n},h_{n}))$ un élément de ${\underset {i\in I}{*}}G_{i}$.
Si tout d'abord $n=0$ ou ($n\geq 1$ et $i\not =i_{1}$), alors
    $\vert i,g\vert (v)=((i,g),(i_{1},h_{1}),\ldots ,(i_{n},h_{n})$,
d'où, en passant aux images par $\vert i,g^{-1}\vert$,
    (1) $\qquad \vert i,g^{-1}\vert \circ \vert i,g\vert (v)=\vert i,g^{-1}\vert ((i,g),(i_{1},h_{1}),\ldots ,(i_{n},h_{n})).$
(Rappel : $f$ étant une application partant d'une partie P d'un produit cartésien $E_{1}\times \cdots \times E_{r}$ et $(x_{1},\ldots ,x_{r})$ étant un élément de P, l'image de $(x_{1},\ldots ,x_{r})$ par $f$ est généralement notée $f(x_{1},\ldots ,x_{r})$, alors qu'en toute rigueur il faudrait $f((x_{1},\ldots ,x_{r})).$ On s'est conformé à cet usage dans l'écriture du membre droit de (1).)
Par définition de $\vert i,g^{-1}\vert$, le membres droit de (1) égale
    $((i_{1},h_{1}),\ldots ,(i_{n},h_{n}))=v$,
donc nous avons prouvé que
    (2) $\qquad$si $n=0$ ou $(n\geq 1$ et $i\not =i_{1}$), alors $\vert i,g^{-1}\vert \circ \vert i,g\vert \ (v)=v.$
Si maintenant $n\geq 1$ et $i=i_{1}$, nous avons à distinguer entre les cas $gh_{1}\not =1_{i}$ et $gh_{1}=1_{i}$ dans $G_{i}=G_{i_{1}}$.
Supposons d'abord $gh_{1}\not =1_{i}.$ Alors, par définition de $\vert i,g\vert$,
    $\vert i,g\vert (v)=((i_{1},gh_{1}),(i_{2},h_{2}),\ldots ,(i_{n},h_{n}))$,
d'où, en passant aux images par $\vert i,g^{-1}\vert$,
    (3) $\qquad \vert i,g^{-1}\vert \circ \vert i,g\vert \ (v)=\vert i,g^{-1}\vert ((i_{1},gh_{1}),(i_{2},h_{2}),\ldots ,(i_{n},h_{n}).$
Puisque nous supposons $i=i_{1}$ et que (par définition d'un élément de ${\underset {i\in I}{*}}G_{i}$), $h_{1}\not =1_{i_{1}}=1_{i}$, d'où $g^{-1}(gh_{1})\not =1_{i}$, le membre droit de (3) égale
    $((i_{1},h_{1}),\ldots ,(i_{n},h_{n}))=v$,
donc nous avons prouvé que
    (4) $\qquad$si $n\geq 1$, $i=i_{1}$ et $gh_{1}\not =1_{i}$, alors $\vert i,g^{-1}\vert \circ \vert i,g\vert \ (v)=v.$
Si enfin (dans le cas $i=i_{1}$), nous avons $gh_{1}=1_{i}$, alors
    $\vert i,g\vert (v)=((i_{2},h_{2}),\ldots ,(i_{n},h_{n}))$
d'où, en passant aux valeurs par $\vert i,g^{-1}\vert$,
    (5) $\qquad \vert i,g^{-1}\vert \circ \vert i,g\vert \ (v)=\vert i,g^{-1}\vert ((i_{2},h_{2}),\ldots ,(i_{n},h_{n}).$
Puisque nous supposons $i=i_{1}$ et que (par définition d'un mot réduit) $i_{1}\not =i_{2}$, le membre droit de (5) égale $((i_{1},g^{-1}),(i_{2},h_{2}),\ldots ,(i_{n},h_{n})$, donc (5) peut s'écrire
    $\qquad \vert i,g^{-1}\vert \circ \vert i,g\vert \ (v)=((i_{1},g^{-1}),(i_{2},h_{2}),\ldots ,(i_{n},h_{n}).$
Puisque nous supposons $gh_{1}=1$, cela revient à
    $\qquad \vert i,g^{-1}\vert \circ \vert i,g\vert \ (v)=((i_{1},h_{1}),(i_{2},h_{2}),\ldots ,(i_{n},h_{n})$,
autrement dit
    $\qquad \vert i,g^{-1}\vert \circ \vert i,g\vert \ (v)=v.$
Joint à (2) et à (4), cela prouve que cette relation est vraie dans tous les cas, donc
    $\vert i,g^{-1}\vert \circ \vert i,g\vert$ est la transformation identique de ${\underset {i\in I}{*}}G_{i}$.
En remplaçant dans ce résultat $g$ par $g^{-1}$, nous trouvons que
    $\vert i,g\vert \circ \vert i,g^{-1}\vert$ est elle aussi la transformation identique de ${\underset {i\in I}{*}}G_{i}$.
Donc
    (6) $\qquad \vert i,g\vert$ et $\vert i,g^{-1}\vert$ sont deux permutations réciproques de ${\underset {i\in I}{*}}G_{i}$,
comme annoncé.
Montrons maintenant que si $i$ est un élément de $I$ et $g,h$ deux éléments de $G_{i}^{\sharp }$ non inverses l'un de l'autre, alors
    (thèse 7) $\qquad \vert i,g\vert \circ \vert i,h\vert =\vert i,gh\vert .$
Soit $v=((i_{1},a_{1}),\ldots ,(i_{n},a_{n}))$ un élément de ${\underset {i\in I}{*}}G_{i}$ ; il s'agit de prouver que
    $\qquad \vert i,g\vert \circ \vert i,h\vert \ (v)=\vert i,gh\vert \ (v)$,
autrement dit
    (thèse 8) $\qquad \vert i,g\vert \circ \vert i,h\vert \ ((i_{1},a_{1}),\ldots ,(i_{n},a_{n}))=\vert i,gh\vert \ ((i_{1},a_{1}),\ldots ,(i_{n},a_{n})).$
Supposons d'abord que
    (hyp. 9) $\qquad v$ ne commence pas par un couple appartenant à $\{i\}\times G_{i}^{\sharp }.$
Cela revient à supposer $n=0$ ou $(n\geq 1$ et $i_{1}\not =i)$.
Alors
    $\vert i,h\vert (v)=((i,h),(i_{1},a_{1}),\ldots ,(i_{n},a_{n}))$,
donc le membre gauche de la thèse (8) égale
    $\vert i,g\vert \ ((i,h),(i_{1},a_{1}),\ldots ,(i_{n},a_{n})).$
Puisque nous supposons que $g$ et $h$ ne sont pas inverses dans $G_{i}$, cela revient à dire que le membre gauche de la thèse (8) égale
    $((i,gh),(i_{1},a_{1}),\ldots ,(i_{n},a_{n})).$
D'autre part, d'après l'hypothèse (9) sur $v$, le membre droit de la thèse (8) égale lui aussi
    $((i,gh),(i_{1},a_{1}),\ldots ,(i_{n},a_{n})).$
Nous avons donc prouvé que
    (10) $\qquad$la thèse (8) est vraie dans l'hypothèse (9) sur $v$.
Supposons maintenant que l'hypothèse (9) n'est pas satisfaite, c'est-à-dire que
    (hyp. 11)$\qquad n\geq 1$ et $i_{1}=i.$
Si tout d'abord
    (hyp. 12)$\qquad ha_{1}\not =1_{i}=1_{i_{1}}$ dans $G_{i}=G_{i_{1}}$,
nous avons
    $\qquad \vert i,h\vert (v)=((i_{1},ha_{1}),(i_{2},h_{2}),\ldots ,(i_{n},a_{n}))$
d'où
    (13)$\qquad \vert i,g\vert \circ \vert i,h\vert \ (v)=\vert i,g\vert \ ((i_{1},ha_{1}),(i_{2},h_{2}),\ldots ,(i_{n},a_{n})).$
Si tout d'abord
    (hyp. 14)$\qquad gha_{1}\not =1_{i}$ dans$G_{i}$,
il résulte de (13) que le membre gauche de la thèse (8) égale
    $\qquad ((i_{1},gha_{1}),(i_{2},h_{2}),\ldots (i_{n},a_{n})).$
D'autre part, puisque nous supposons (hyp. 14) que $gha_{1}\not =1_{i}$ dans $G_{i}$, le membre droitde la thèse (8) égale lui aussi
    $\qquad ((i_{1},gha_{1}),(i_{2},h_{2}),\ldots (i_{n},a_{n})).$
Donc
    (15) $\qquad$la thèse (8) est vraie si les hypothèses (11), (12) et (14) sont satisfaites.
Toujours dans les hypothèses (11) et (12), supposons maintenant que l'hypothèse (14) n'est pas satisfaite, c'est-à-dire que
    $\qquad gha_{1}=1_{i}$ dans $G_{i}.$
Alors il résulte de (13) que le membre gauche de la thèse (8) égale
    $\qquad ((i_{2},h_{2}),\ldots (i_{n},a_{n})).$
D'autre part, puisque nous supposons que $gha_{1}=1_{i}$ dans $G_{i}$, le membre droitde la thèse (8) égale lui aussi
    $\qquad ((i_{2},h_{2}),\ldots (i_{n},a_{n})).$
Joint à (15), cela montre que
    (16)$\qquad$la thèse (8) est vraie dans les hypothèses (11) et (12), quelle que soit la valeur de $gha_{1}.$
Toujours dan l'hypothèse (11), où $n\geq 1$ et $i_{1}=i$, cessons de faire l'hypothèse (12) et supposons, au contraire, que
    $\qquad ha_{1}=1_{i}$ dans $G_{i}.$
Alors
    $\qquad \vert i,h\vert (v)=((i_{2},h_{2}),\ldots ,(i_{n},a_{n})),$
donc le membre gauche de la thèse (8) égale
    $\qquad ((i_{1},g),(i_{2},h_{2}),\ldots ,(i_{n},a_{n})).$
D'autre part, puisque nous supposons $ha_{1}=1_{i}$ dans $G_{i}$ et que $g\not =1_{i}$, nous avons $gha_{1}=g\not =1_{i}$ dans $G_{i}$, donc le membre droit de la thèse (8) égale lui aussi
    $\qquad ((i_{1},g),(i_{2},h_{2}),\ldots ,(i_{n},a_{n})).$
Joint aux résultats (10) et (16), cela montre que la thèse (8) est vraie dans tous les cas. Comme noté, cela revient à la thèse (7), à savoir que
    (17) $\qquad$pour tout élément $i$ de $I$ et tous éléments $g,h$ de $G_{i}^{\sharp }$ non inverses l'un de l'autre, $\vert i,g\vert \circ \vert i,h\vert =\vert i,gh\vert .$
Notons S le groupe symétrique (groupe des permutations) de l'ensemble ${\underset {i\in I}{*}}G_{i}.$
D'après (6), les applications $\vert i,g\vert$, avec $i$ dans $I$ et $g$ dans $G_{i}^{\sharp }$, sont des permutations de ${\underset {i\in I}{*}}G_{i}$ et donc des éléments de S.
Notons E le sous-groupe de S engendré par ces permutations. D'après la « description constructive du sous-groupe engendré » (chapitre Groupes, premières notions), tout élément $f$ de E peut s'écrire
    (18)$\qquad f=\vert i_{1},g_{1}\vert ^{\epsilon _{1}}\circ \vert i_{2},g_{2}\vert ^{\epsilon _{2}}\circ \cdots \circ \vert i_{n},g_{n}\vert ^{\epsilon _{n}}$,
avec $n\geq 0$, $g_{k}\in G_{i_{k}}^{\sharp }$ pour tout $k\in \{1,\ldots n\}$ et $\epsilon _{1},\ldots \epsilon _{n}\in \{1,-1\}\subseteq \mathbb {Z} .$
Nous avons vu en (6) que $\vert i,g\vert ^{-1}=\vert i,g^{-1}\vert$, donc, pour chaque $j\in \{1,\ldots ,n\}$, la permutation $\vert i_{j},g_{j}\vert ^{\epsilon _{j}}$ apparaissant dans (18) est de la forme $\vert i_{j},h_{j}\vert$ avec $h_{j}\in G_{i_{j}}^{\sharp }.$
Donc, d'après (18), tout élément $f$ de E peut s'écrire
    $f=\vert i_{1},h_{1}\vert \circ \cdots \circ \vert i_{n},h_{n}\vert$
avec $n\geq 0$ et $h_{k}\in G_{i_{k}}^{\sharp }$ pour tout $k\in \{1,\ldots ,n\}$.
Considérons une telle écriture de $f$ où $n$ est le plus petit possible. Alors on n'a jamais $i_{k}=i_{k+1}$, car dans le cas contraire, les résultats (6) et (17) montrent que
    $\vert i_{k},h_{k}\vert \circ \vert i_{k+1},h_{k+1}\vert$, autrement dit $\vert i_{k},h_{k}\vert \circ \vert i_{k},h_{k+1}\vert$,
pourrait être soit supprimé si on avait $h_{k}h_{k+1}=1_{k}$ dans $G_{i_{k}}$, soit remplacé par $\vert i_{k},h_{k}h_{k+1}\vert$ dans le cas contraire, ce qui fournirait une écriture de $f$ où $n$ serait devenu plus petit, contrairement au choix de $n$.
Nous avons donc prouvé que tout élément $f$ du sous-groupe E de S peut s'écrire
    $f=\vert i_{1},h_{1}\vert \circ \cdots \circ \vert i_{n},h_{n}\vert$
avec $n\geq 0,h_{k}\in G_{i_{k}}^{\sharp }$ pour tout $k\in \{1,\ldots ,n\}$ et $i_{k}\not =i_{k+1}$ pour tout $k$ tel que $1\leq k\leq n-1.$
Donc
    (19) l'application
    $\psi :{\underset {i\in I}{*}}G_{i}\to E:((i_{1},h_{1}),\ldots ,(i_{n},h_{n}))\mapsto \vert i_{1},h_{1}\vert \circ \cdots \circ \vert i_{n},h_{n}\vert$
    est surjective.
Prouvons maintenant que
    (thèse 20)$\qquad \psi$ est injective.
Soit $\lambda$ l'application $f\mapsto f(1)$ de E dans ${\underset {i\in I}{*}}G_{i}$ (où 1 désigne le neutre $\emptyset$ de ${\underset {i\in I}{*}}G_{i}$).
Nous allons prouver que $\lambda \circ \psi$ est la transformation identique de ${\underset {i\in I}{*}}G_{i}$, ce qui prouvera la thèse (20).
Soit $((i_{1},h_{1}),\ldots ,(i_{n},h_{n}))$ un élément de ${\underset {i\in I}{*}}G_{i}.$
Par définition de $\lambda$,
    $\lambda \circ \psi ((i_{1},h_{1}),\ldots ,(i_{n},h_{n}))$
est la valeur en $\emptyset$ de la permutation $\psi ((i_{1},h_{1}),\ldots ,(i_{n},h_{n})).$
Autrement dit, pour tout élément $((i_{1},h_{1}),\ldots ,(i_{n},h_{n}))$ de ${\underset {i\in I}{*}}G_{i}$,
    (21) $\qquad \lambda \circ \psi \ ((i_{1},h_{1}),\ldots ,(i_{n},h_{n}))=\vert i_{1},h_{1}\vert \circ \cdots \circ \vert i_{n},h_{n}\vert (\emptyset ).$
Explicitons le membre droit en prouvant par récurrence sur $n$ que
    (thèse 22)$\qquad \vert i_{1},h_{1}\vert \circ \cdots \circ \vert i_{n},h_{n}\vert (\emptyset )=((i_{1},h_{1}),\ldots ,(i_{n},h_{n})).$
C'est vrai pour $n=0$ (les deux membres sont alors égaux à $\emptyset$). Si $n\geq 1$, alors, par hypothèse de récurrence sur $n$,
    $\vert i_{2},h_{2}\vert \circ \cdots \circ \vert i_{n},h_{n}\vert (\emptyset )=((i_{2},h_{2}),\ldots ,(i_{n},h_{n})).$
En passant aux valeurs par $\vert i_{1},h_{1}\vert$, on obtient
    $\vert i_{1},h_{1}\vert \circ \cdots \circ \vert i_{n},h_{n}\vert (\emptyset )=\vert i_{1},h_{1}\vert ((i_{2},h_{2}),\ldots ,(i_{n},h_{n})).$
Si le mot $((i_{2},h_{2}),\ldots ,(i_{n},h_{n}))$ n'est pas vide (auquel cas nous pouvons parler de $i_{2}$), nous avons $i_{1}\not =i_{2}$ (par définition d'un élément réduit de Mo($\Sigma$)), donc, vu la définition de $\vert i_{1},h_{1}\vert$, notre résultat peut s'écrire (que le mot $((i_{2},h_{2}),\ldots ,(i_{n},h_{n}))$ soit vide ou non)
    $\qquad \vert i_{1},h_{1}\vert \circ \cdots \circ \vert i_{n},h_{n}\vert (\emptyset )=((i_{1},h_{1}),\ldots ,(i_{n},h_{n}))$,
ce qui prouve la thèse (22) par récurrence sur $n$.
La relation (21) peut donc s'écrire
    $\qquad \lambda \circ \psi \ ((i_{1},h_{1}),\ldots ,(i_{n},h_{n}))=((i_{1},h_{1}),\ldots ,(i_{n},h_{n})).$
Cela montre que, comme annoncé, $\lambda \circ \psi$ est la transformation identique de ${\underset {i\in I}{*}}G_{i}$. Comme noté, cela prouve la thèse (20), à savoir que $\psi$ est injective. Joint à (19), cela prouve que
    (23) l'application
    $\psi :{\underset {i\in I}{*}}G_{i}\to E:((i_{1},h_{1}),\ldots ,(i_{n},h_{n}))\mapsto \vert i_{1},h_{1}\vert \circ \cdots \circ \vert i_{n},h_{n}\vert$
    est une bijection de ${\underset {i\in I}{*}}G_{i}$ sur E.
Prouvons que, d'autre part,
    (thèse 24)$\qquad \psi$ est un homomorphisme de magmas de ${\underset {i\in I}{*}}G_{i}$ dans le groupe de permutations E.
Soient $v,w$ deux éléments de ${\underset {i\in I}{*}}G_{i}$ ; il s'agit de prouver que
    (thèse 25)$\qquad \psi (v*w)=\psi (v)\circ \psi (w).$
Soit $s$ le plus grand nombre naturel ($\geq 0$) possédant la propriété suivante :
    il existe $j_{1},\ldots ,j_{s}\in I$ et $g_{1}\in G_{j_{1}},\ldots ,g_{s}\in G_{j_{s}}$ tels que $v$ soit de la forme
    (26)$\qquad v=((i_{1},f_{1}),\ldots ,(i_{r},f_{r}),(j_{1},g_{1}),\ldots ,(j_{s},g_{s}))$
    et $w$ de la forme
    (27)$\qquad w=((j_{s},g_{s}^{-1}),\ldots ,(j_{1},g_{1}^{-1}),(k_{1},h_{1}),\ldots ,(k_{t},h_{t})).$
(Puisque $v$ est réduit, il n'y a pas deux indices successifs égaux dans la suite $i_{1},\ldots ,i_{r},j_{1},\ldots ,j_{s}$, et même chose pour $w$.)
Par définition de $\psi$, nous avons donc
    (28) $\quad \psi (v)=\vert i_{1},f_{1}\vert \circ \cdots \circ \vert i_{r},f_{r}\vert \circ \vert j_{1},g_{1}\vert \circ \cdots \vert j_{s},g_{s}\vert$
et
    $\quad \psi (w)=\vert j_{s},g_{s}^{-1}\vert \circ \cdots \circ \vert j_{1},g_{1}^{-1}\vert \circ \vert k_{1},h_{1}\vert \circ \cdots \vert k_{t},h_{t}\vert .$
D'après (6), cette dernière relation peut encore s'écrire
    $\quad \psi (w)=\vert j_{s},g_{s}\vert ^{-1}\circ \cdots \circ \vert j_{1},g_{1}\vert ^{-1}\circ \vert k_{1},h_{1}\vert \circ \cdots \vert k_{t},h_{t}\vert .$
En composant cela membre à membre avec (28), nous obtenons
    (29)$\qquad \psi (v)\circ \psi (w)=\vert i_{1},f_{1}\vert \circ \cdots \circ \vert i_{r},f_{r}\vert \circ \vert k_{1},h_{1}\vert \circ \cdots \circ \vert k_{t},h_{t}\vert .$
Supposons d'abord
    (hyp. 30)$\qquad i_{r}\not =k_{1}.$
Alors, par définition du composé (réduit) de deux éléments de ${\underset {i\in I}{*}}G_{i}$, les relations (26) et (27) donnent
    $v*w=((i_{1},f_{1}),\ldots ,(i_{r},f_{r}),(k_{1},h_{1}),\ldots ,(k_{t},h_{t}))$,
d'où, par définition de $\psi$
    $\psi (v*w)=\vert i_{1},f_{1}\vert ,\ldots ,\vert i_{r},f_{r}\vert ,\vert k_{1},h_{1}\vert ,\ldots ,\vert k_{t},h_{t}\vert$
et la comparaison avec (29) montre que
    $\psi (v*w)=\psi (v)\circ \psi (w)$,
ce qui prouve la thèse (25) dans l'hypoyhèse (30), où $i_{r}\not =k_{1}.$
Cessons maintenant de faire l'hypothèse (30) et supposons au contraire que $i_{r}=k_{1}.$
Alors, par maximalité de $s$, $f_{r}$ et $h_{1}$ ne sont pas inverses dans $G_{i_{r}}=G_{k_{1}}$, donc les écritures (26) et (27) de $v$ et $w$ donnent
    $v*w=((i_{1},f_{1}),\ldots ,(i_{r-1},f_{r-1}),(i_{r},f_{r}h_{1}),(k_{2},h_{2}),\ldots ,(k_{t},h_{t}))$,
d'où
    (31)$\qquad \psi (v*w)=\vert i_{1},f_{1}\vert \circ \ldots \circ \vert i_{r-1},f_{r-1}\vert \circ \vert i_{r},f_{r}h_{1}\vert \circ \vert k_{2},h_{2}\vert \circ \ldots \circ \vert k_{t},h_{t}\vert .$
D'autre part, puisque nous supposons $i_{r}=k_{1}$ et que, comme nous l'avons noté, $f_{r}$ et $h_{1}$ ne sont pas inverses dans $G_{i_{r}}=G_{k_{1}}$, il résulte de (17) que
    $\vert i_{r},f_{r}\vert \circ \vert k_{1},h_{1}\vert =\vert i_{r},f_{r}h_{1}\vert$,
donc (29) peut s'écrire
    $\qquad \psi (v)\circ \psi (w)=\vert i_{1},f_{1}\vert \circ \cdots \circ \vert i_{r-1},f_{r-1}\vert \circ \vert i_{r},f_{r}h_{1}\vert \circ \vert k_{2},h_{2}\vert \circ \cdots \circ \vert k_{t},h_{t}\vert$
et la comparaison avec (31) donne de nouveau
    $\psi (v*w)=\psi (v)\circ \psi (w)$,
donc la thèse (25) est vraie dans tous les cas. Comme noté, cela prouve la thèse (24), à savoir que $\psi$ est un homomorphisme de magmas de ${\underset {i\in I}{*}}G_{i}$ dans le groupe de permutations E.
D'après (23), cet homomorphisme est un isomorphisme, donc le magma ${\underset {i\in I}{*}}G_{i}$ est un groupe, ce qui prouve l'énoncé.
Soit $(G_{i})_{i\in I}$ une famille de groupes. L'ensemble ${\underset {i\in I}{*}}G_{i}$, muni de la structure de groupe dont question au théorème qui précéde, est appelé le produit libre de la famille $(G_{i})_{i\in I}$. On dit aussi, abusivement, le produit libre des $G_{i}$.
Si $I$ est la partie $\{1,2,\ldots ,n\}$ de $\mathbb {N}$, on écrit souvent $G_{1}*\cdots *\cdots G_{n}$ au lieu de ${\underset {i\in I}{*}}G_{i}$. En particulier, si G et H sont deux groupes, $G*H$ désigne le produit libre de la famille $(K_{i})_{i\in \{1,2\}}$, avec $K_{1}=G$ et $K_{2}=H.$
Il y a une certaine ambigüité dans ces notations, car par exemple $G_{1}*G_{2}*G_{3}$ n'est généralement pas identique à $(G_{1}*G_{2})*G_{3}$, mais nous verrons dans les exercices que ces deux groupes sont isomorphes.
Remarques.
1° Soit $(G_{i})_{i\in I}$ une famille de groupes deux à deux disjoints. (On pourrait même se contenter de supposer que les $G_{i}^{\sharp }$ sont deux à deux disjoints.) Alors, pour un élément $g$ de $\bigcup _{i\in I}G_{i}$, il n'existe qu'un élément $i$ de $I$ tel que $g$ appartienne à $G_{i}$. On peut donc parler des multiplets $(g_{1},\ldots ,g_{n})$, où $n$ parcourt $\mathbb {N}$, où $g_{1},\ldots ,g_{n}$ parcourent $\bigcup _{i\in I}G_{i}^{\sharp }$ et où il n'y a pas de $j\in \{1,\ldots n-1\}$ tel que l'unique $G_{i}$ comprenant $g_{j}$ soit le même que celui qui comprend $g_{j+1}.$ En imitant notre définition du produit libre, on peut munir l'ensemble des multiplets en question d'une structure de groupe et le groupe P ainsi obtenu est isomorphe à ${\underset {i\in I}{*}}G_{i}$ par
    ${\underset {i\in I}{*}}G_{i}\to P:((i_{1},g_{1}),\ldots ,(i_{n},g_{n}))\mapsto (g_{1},\ldots ,g_{n}).$
Pour construire le produit libre d'une famille $(G_{i})_{i\in I}$ de groupes, certains auteurs se ramènent au cas où les $G_{i}$ sont deux à deux disjoints et définissent alors leur produit libre comme le groupe que nous avons noté P ; ils ajoutent qu'on passe au cas général en choisissant des copies mutuellement disjointes des $G_{i}$. On a préféré une méthode qui ne demande pas de faire des choix arbitraires et qui s'applique directement au cas où les $G_{i}$ ne sont pas forcément disjoints deux à deux. (En fait, si l'on munit $\{i\}\times G_{i}$ de la structure de groupe transportée de $G_{i}$ par la bijection $G_{i}\to \{i\}\times G_{i}:g\mapsto (i,g)$, le produit libre des $G_{i}$ selon notre définition est le produit libre des groupes deux à deux disjoints $\{i\}\times G_{i}$ selon la définition des auteurs en question.)
2° Le produit libre d'une famille $(G_{i})_{i\in I}$ de groupes, tel que nous l'avons défini, ne dépend pas des neutres des $G_{i}$. Dans le même ordre d'idées, si $(G_{i})_{i\in I}$ est une famille de groupes, si J est une partie de I telle que, pour tout $i$ dans $I\setminus J$, le groupe $G_{i}$ soit trivial, alors ${\underset {i\in I}{*}}G_{i}$ est égal à ${\underset {j\in J}{*}}G_{j}.$
3° On vérifie facilement que si $(G_{i})_{i\in I}$ est une famille de groupes et $J$ une partie de $I$, alors ${\underset {j\in J}{*}}G_{j}$ est un sous-groupe de ${\underset {i\in I}{*}}G_{i}$.
4° Soient $(G_{i})_{i\in I}$ et $(H_{i})_{i\in I}$ deux familles de groupes telles que, pour tout $i$ dans $I$, $G_{i}$ soit un sous-groupe de $H_{i}.$ On vérifie facilement que ${\underset {i\in I}{*}}G_{i}$ est un sous-groupe de ${\underset {i\in I}{*}}H_{i}$.

## Propriété universelle du produit libre

Avant d'énoncer la propriété universelle du produit libre, donnons un théorème préparatoire.
Soit $(G_{i})_{i\in I}$ une famille de groupes, soit $P={\underset {i\in I}{*}}G_{i}$ le produit libre de cette famille. On notera $1_{i}$ le neutre de $G_{i}$ et $1_{P}=\varnothing$ le neutre de P.
Pour tout $i$ dans $I$, l'application $\varphi _{i}$ de $G_{i}$ dans P définie par
    $\varphi _{i}(x)=\left\lbrace {\begin{array}{l}((i,x))\ \mathrm {si} \ x\in G_{i}^{\sharp },\\1_{P}\ \mathrm {si} \ x=1_{i}\end{array}}\right.$
est un homomorphisme injectif de $G_{i}$ dans P. On appellera cet homomorphisme la i-ème inclusion canonique de $G_{i}$ dans P.
Les sous-groupes $\varphi _{i}(G_{i})$ de P — qui sont donc respectivement isomorphes aux groupes $G_{i}$ — se coupent trivialement deux à deux et engendrent P.
On va donner la démonstration, bien que tout soit assez banal.
Soient $x$ et $y$ des éléments de $G_{i}$ ; prouvons que
    (thèse 1)$\qquad \varphi _{i}(x,y)=\varphi _{i}(x)*\varphi _{i}(y)$,
où $*$ désigne la loi du groupe $P={\underset {i\in I}{*}}G_{i}$.
Si $x$ et $y$ sont tous deux distincts de $1_{i}$, la thèse (1) peut s'écrire
    $\varphi _{i}(x,y){\overset {?}{\ =\ }}((i,x))*((i,y)).$
Si $xy=1_{i}$ dans $G_{i}$, les deux membres sont égaux à $1_{P}=\varnothing .$ Dans le cas contraire, les deux membres sont égaux à ((i, xy)). La thèse (1) est donc vraie si $x$ et $y$ sont tous deux distincts de $1_{i}$.
Si $x=1_{i}$, les deux membres de la thèse (1) sont égaux à $\varphi _{i}(y)$ ; si $y=1_{i}$, les deux membres de la thèse (1) sont égaux à $\varphi _{i}(x)$.
La thèse (1) est donc vraie dans tous les cas, donc chaque $\varphi _{i}$ est un homomorphisme de $G_{i}$ dans P.
Il résulte clairement de la définition de $\varphi _{i}$ que son noyau est réduit à $1_{i}$, donc l'homomorphisme $\varphi _{i}$ est injectif, donc $\varphi _{i}(G_{i})$ est isomorphe à $G_{i}$.
Tout élément de P est de la forme $((i_{1},x_{1}),\ldots ,(i_{n},x_{n}))$, où, pour tout $j$ dans $\{1,\ldots ,n\}$, $x_{j}$ appartient à $G_{i_{j}}$ et où la suite $i_{1},\ldots ,i_{n}$ ne comprend pas deux valeurs successives égales. Alors
    $((i_{1},x_{1}),\ldots ,(i_{n},x_{n}))=((i_{1},x_{1}))*\cdots *((i_{n},x_{n}))$,
donc les éléments de la forme $((i,x))$, où $i$ parcourt $I$ et où $x$ parcourt $G_{i}^{\sharp }$, engendrent P. Puisqu'un tel $((i,x))$ appartient à $\varphi _{i}(G_{i})$, les sous-groupes $\varphi _{i}(G_{i})$ de P engendrent P.
Si $i$ et $j$ sont des éléments de $I$, tout élément de $\varphi _{i}(G_{i})\setminus \{1_{P}\}$ est de la forme $((i,x))$ et tout élément de $\varphi _{j}(G_{j})\setminus \{1_{P}\}$ est de la forme $((j,y))$ ; donc, si $i$ et $j$ sont distincts, $\varphi _{i}(G_{i})\setminus \{1_{P}\}$ et $\varphi _{j}(G_{j})\setminus \{1_{P}\}$ sont disjoints, autrement dit $\varphi _{i}(G_{i})$ et $\varphi _{j}(G_{j})$ se coupent trivialement, ce qui achève de démontrer l'énoncé.
Remarque. Au lieu de $((i_{1},g_{1}),\ldots ,(i_{n},g_{n}))$, on emploie souvent la notation $g_{1}\cdots g_{n}$ pour désigner un élément de ${\underset {i\in I}{*}}G_{i}$, tout en supposant que $g_{1},\ldots ,g_{n}$ appartiennent à la réunion des $G_{i}^{\sharp }$. Cela revient à identifier, pour chaque $i$ dans $I$, le sous-groupe $\varphi _{i}(G_{i})$ de ${\underset {i\in I}{*}}G_{i}$ au groupe $G_{i}$. Si on ne suppose pas que les $G_{i}$ se coupent trivialement deux à deux, cette notation rend (théoriquement) ambiguë la loi de composition du groupe ${\underset {i\in I}{*}}G_{i}$ dans le cas où une réduction est nécessaire. Dans le présent cours, on s'en tiendra à la notation $((i_{1},g_{1}),\ldots ,(i_{n},g_{n}))$, mais le lecteur doit savoir que la notation $g_{1}\cdots g_{n}$ est courante et que l'éviter risque d'être considéré par certains comme une mauvaise pratique.
Soit $(G_{i})_{i\in I}$ une famille de groupes, soit $P={\underset {i\in I}{*}}G_{i}$ le produit libre de cette famille ; pour tout $i$ dans $I$, on définit l'homomorphisme $\varphi _{i}:G_{i}\to P$ (i-ème inclusion canonique) comme au théorème 2.
Soient G un groupe et $(f_{i})_{i\in I}$ une famille d'homomorphismes $f_{i}:G_{i}\to G.$ Il existe un et un seul homomorphisme $f:P\to G$ tel que, pour tout $i$ dans $I$,
    $f\circ \varphi _{i}=f_{i}.$
L'homomorphisme $f$ applique l'élément $((i_{1},x_{1}),\ldots ,(i_{n},x_{n}))$ de P sur l'élément $f_{1}(x_{1})\cdots f_{n}(x_{n})$ de G.
Considérons l'application
    $f:P\to G:((i_{1},x_{1}),\ldots ,(i_{n},x_{n}))\mapsto f_{i_{1}}(x_{1})\cdots f_{_{n}}(x_{n})$
et prouvons que $f$ est un homomorphisme.
Il s'agit de prouver que
    si $((i_{1},x_{1}),\ldots ,(i_{n},x_{n}))$ et $((j_{1},y_{1}),\ldots ,(j_{r},y_{r}))$ sont des éléments de P, alors, $*$ désignant la loi de groupe de P,
    (thèse 1)$\qquad f(((i_{1},x_{1}),\ldots ,(i_{n},x_{n}))*((j_{1},y_{1}),\ldots ,(j_{r},y_{r})))=f_{i_{1}}(x_{1})\cdots f_{i_{n}}(x_{n})f_{j_{1}}(y_{1})\cdots f_{j_{r}}(y_{r}).$
Soit $s$ le plus grand nombre naturel $\leq \mathrm {min} \{n,r\}$ tel qu'il existe un s-uplet $((k_{1},z_{1}),\ldots ,(k_{s},z_{s}))$ pour lequel
    (2)$\qquad ((i_{1},x_{1}),\ldots ,(i_{n},x_{n}))=((i_{1},x_{1}),\ldots ,(i_{n-s},x_{n-s}),(k_{1},z_{1}),\ldots (k_{s},z_{s}))$
et
    (3)$\qquad ((j_{1},y_{1}),\ldots ,(j_{r},y_{r}))=((k_{s},z_{s}^{-1}),\ldots ,(k_{1},z_{1}^{-1}),(j_{s+1},y_{s+1}),\ldots (j_{r},y_{r})).$
Par définition de $*$,
    (4)$\qquad ((i_{1},x_{1}),\ldots ,(i_{n},x_{n}))*((j_{1},y_{1}),\ldots ,(j_{r},y_{r}))=((i_{1},x_{1}),\ldots ,(i_{n-s},x_{n-s}),(j_{s+1},y_{s+1}),\ldots (j_{r},y_{r}))$ si $i_{n-s}\not =j_{s+1}$ ;
    (5)$\qquad ((i_{1},x_{1}),\ldots ,(i_{n},x_{n}))*((j_{1},y_{1}),\ldots ,(j_{r},y_{r}))=((i_{1},x_{1}),\ldots ,(i_{n-s-1},x_{n-s-1}),(i_{n-s},x_{n-s}y_{s+1}),(j_{s+2},y_{s+2}),\ldots (j_{r},y_{r}))$ si $i_{n-s}=j_{s+1}.$
Si tout d'abord $i_{n-s}\not =j_{s+1}$, la relation (4), qui s'applique dans ce cas, donne, par passage aux valeurs par $f$,
    (6)$\qquad f(((i_{1},x_{1}),\ldots ,(i_{n},x_{n}))*((j_{1},y_{1}),\ldots ,(j_{r},y_{r})))=f_{i_{1}}(x_{1})\cdots f_{i_{n-s}}(x_{n-s})f_{j_{s+1}}(y_{s+1})\cdots f_{j_{r}}(y_{r}).$
Si maintenant $i_{n-s}=j_{s+1}$, la relation (5), qui s'applique dans ce cas, donne
    (7)$\qquad f(((i_{1},x_{1}),\ldots ,(i_{n},x_{n}))*((j_{1},y_{1}),\ldots ,(j_{r},y_{r})))=f_{i_{1}}(x_{1})\cdots f_{i_{n-s-1}}(x_{n-s-1})f_{i_{n-s}}(x_{n-s}y_{s+1})f_{j_{s+2}}(y_{s+2})\cdots f_{j_{r}}(y_{r}).$
Puisque $f_{i_{n-s}}$ est un homomorphisme, on peut remplacer dans le membre droit de (7) $f_{i_{n-s}}(x_{n-s}y_{s+1})$ par $f_{i_{n-s}}(x_{n-s})f_{i_{n-s}}(y_{s+1})$, qui peut encore s'écrire (puisque (7) est sous l'hypothèse $i_{n-s}=j_{s+1}$) $f_{i_{n-s}}(x_{n-s})f_{j_{s+1}}(y_{s+1})$. La relation (7) devient ainsi identique à la relation (6), donc la relation (6) est vraie aussi bien dans le cas $i_{n-s}=j_{s+1}$ que dans le cas $i_{n-s}\not =j_{s+1}.$
Pour prouver la thèse (1), il suffit donc de vérifier que, dans G,
    $f_{i_{n-s+1}}(x_{n-s+1})\cdots f_{i_{n}}(x_{n})f_{j_{1}}(y_{1})\cdots f_{j_{s}}(y_{s})=1.$
D'après (2) et (3), cela peut s'écrire
    $f_{k_{1}}(z_{1})\cdots f_{k_{s}}(z_{s})f_{k_{s}}(z_{s}^{-1})\cdots f_{k_{1}}(z_{1}^{1})=1$,
ce qui est bien vrai. Nous avons donc prouvé que notre application $f$ est un homomorphisme de P dans G et il résulte clairement de la définition de $f$ que, pour tout $i$ dans $I$, $f\circ \varphi _{i}=f_{i}$, ce qui prouve l'existence d'un homomorphisme $f$ tel que dans l'énoncé.
Si $h$ est un « autre » homomorphisme de P dans G satisfaisant à la condition sur $f$, c'est-à-dire si
    pour tout $i$ dans $I$, $h\circ \varphi _{i}=f_{i}$,
alors $f$ et $h$ coïncident en tout élément de $\bigcup _{i\in I}\varphi _{i}(G_{i})$ ; nous avons vu au théorème précédent que les $\varphi _{i}(G_{i})$ engendrent P, donc $f$ et $h$ sont égaux, ce qui prouve l'unicité de l'homomorphisme $f$ tel que dans l'énoncé.
Remarque. Le lecteur qui connaît les éléments de la théorie des catégories notera que la propriété universelle qu'on vient de démontrer revient à dire que le produit libre ${\underset {i\in I}{*}}G_{i}$ et la famille $(\varphi _{i})_{i\in I}$ constituent dans la catégorie des groupes un coproduit (appelé aussi somme) de la famille $(G_{i})_{i\in I}.$
Dans le chapitre Produit direct et somme restreinte, nous avons prouvé que si $(A_{i})_{i\in I}$ est une famille de groupes abéliens, la somme directe $\sum _{i\in I}A_{i}$ et la famille $(\mathrm {incl} _{i})_{i\in I}$ des inclusions canoniques correspondantes constituent un coproduit (ou somme) de la famille $(A_{i})_{i\in I}$ dans la catégorie des groupes abéliens. Si $(A_{i})_{i\in I}$ est une famille de groupes abéliens, le produit libre ${\underset {i\in I}{*}}A_{i}$ de cette famille est un groupe généralement non abélien et n'est donc généralement pas un coproduit des $A_{i}$ dans la catégorie des groupes abéliens.
La propriété universelle du produit libre admet une sorte de réciproque :
Soient $(G_{i})_{i\in I}$ une famille de groupes et P un groupe. On suppose qu'il existe une famille $(\psi _{i})_{i\in I}$ d'homomorphismes $\psi _{i}:G_{i}\to P$ possédant la propriété suivante :
    pour tout groupe G, pour toute famille $(\mu _{i})_{i\in I}$ d'homomorphismes $\mu _{i}:G_{i}\to G$, il existe un et un seul homomorphisme $m$ de P dans G tel que, pour tout $i$ dans $I$,
    $\mu _{i}=m\circ \psi _{i}.$
Alors P est isomorphe à ${\underset {i\in I}{*}}G_{i}.$
Appliquons les hypothèses au groupe $G={\underset {i\in I}{*}}G_{i}$ et aux homomorphismes $\mu _{i}=\varphi _{i}$, où $\varphi _{i}:G_{i}\to {\underset {i\in I}{*}}G_{i}$ est la i-ème inclusion canonique définie au théorème 2. Nous trouvons qu'il existe un (et un seul) homomorphisme $m$ de P dans ${\underset {i\in I}{*}}G_{i}$ tel que, pour tout $i$ dans $I$,
    (1)$\qquad \varphi _{i}=m\circ \psi _{i}.$
Nous allons prouver que $m$ est un isomorphisme de P sur ${\underset {i\in I}{*}}G_{i}$.
D'après la propriété universelle du produit libre, il existe un (et un seul) homomorphisme $f$ de ${\underset {i\in I}{*}}G_{i}$ dans P tel que, pour tout $i$ dans $I$,
    (2)$\qquad \psi _{i}=f\circ \varphi _{i}.$
En portant (1) dans (2), nous trouvons que, pour tout $i$ dans $I$,
    (3)$\qquad \psi _{i}=f\circ m\circ \psi _{i}.$
D'autre part, en portant (2) dans (1), nous trouvons que, pour tout $i$ dans $I$,
    (4)$\qquad \varphi _{i}=m\circ f\circ \varphi _{i}.$
Appliquons maintenant les hypothèses de l'énoncé au groupe G = P et aux homomorphismes $\mu _{i}=\psi _{i}$ de $G_{i}$ dans P. Nous trouvons qu'il existe un et un seul homomorphisme $g$ de P dans lui-même tel que, pour tout $i$ dans $I$,
    $\psi _{i}=g\circ \psi .$
Puisque l'homomorphisme identique de P dans lui-même satisfait à cette condition sur $g$, il est donc le seul à y satisfaire, donc le résultat (3) donne
    (5)$\qquad f\circ m=\mathrm {id} _{P}.$
En utilisant l'assertion d'unicité de la propriété universelle comme on vient d'utiliser celle des hypothèses de l'énoncé, on déduira de (4) que
    $\qquad m\circ f=\mathrm {id} _{{\underset {i\in I}{*}}G_{i}}.$
Joint à (5), cela prouve que $m$ est un isomorphisme de P sur ${\underset {i\in I}{*}}G_{i}$, ce qui prouve l'énoncé.
Remarque. On a rédigé la démonstration de sorte qu'elle ne repose pas sur la construction du produit libre mais uniquement sur sa propriété universelle. Cette démonstration se généralise immédiatement au coproduit dans n'importe quelle catégorie.

## Les groupes libres comme produits libres

Nous allons voir dans cette section que le groupe libre F(X) construit sur l'ensemble X pourrait être défini comme un cas particulier de produit libre. On désignera par $\mathbb {Z}$ le groupe additif $(\mathbb {Z} ,+)$.
Soit $(X_{i})_{i\in I}$ une partition d'un ensemble X. Le groupe libre F(X) construit sur X est isomorphe au produit libre de la famille de groupes $(F(X_{i}))_{i\in I}$.
D'après le théorème 4 ci-dessus, il suffit de vérifier que pour tout groupe G et toute famille $(\mu _{i})_{i\in I}$ d'homomorphismes $\mu _{i}:F(X_{i})\to G$, il existe un et un seul homomorphisme $m:F(X)\to G$ tel que, pour tout $i$ dans $I$, $\mu _{i}=m\circ \psi _{i}$, où $\psi _{i}:F(X_{i})\to F(X)$ désigne l'homomorphisme d'inclusion.
L'unicité d'un tel $m$ est garantie par le fait que $\cup _{i\in I}F(X_{i})$ contient la partie $\{((x,1))\mid x\in X\}$, génératrice de F(X).
Montrons son existence. Notons $\mu :X\to G$ l'application telle que $\forall i\in I\quad \forall x\in X_{i}\quad \mu (x)=\mu _{i}((x,1))$, puis $m:F(X)\to G$ l'homomorphisme tel que $\forall x\in X\quad m((x,1))=\mu (x)$. Alors, pour tout $i\in I$, les deux homomorphismes $\mu _{i}$ et $m\circ \psi _{i}$ coïncident sur la partie $\{((x,1))\mid x\in X_{i}\}$ génératrice de $F(X_{i})$, donc ils sont égaux.
Soit X un ensemble. Le groupe libre F(X) construit sur X est isomorphe au produit libre de la famille de groupes $(\mathbb {Z} )_{x\in X}$ (autrement dit de la famille $(G_{x})_{x\in X}$, où, pour tout $x$ dans $X$, $G_{x}$ est le groupe $\mathbb {Z}$).
Le théorème précédent, appliqué à la partition de X par singletons, fournit un isomorphisme entre F(X) et ${\underset {x\in X}{*}}F(\{x\})$, or chaque $F(\{x\})$ est isomorphe à $\mathbb {Z}$. On conclut grâce au Problème 3.
Remarques. 1° L'isomorphisme ${\underset {x\in X}{*}}\mathbb {Z} \to F(X)$ fourni par ce corollaire applique l'élément $((x,1))$ de ${\underset {x\in X}{*}}\mathbb {Z}$ sur ce même élément $((x,1))$ de F(X), donc l'application
    $((x_{1},n_{1}),\ldots ,(x_{r},n_{r}))\mapsto {\widetilde {x_{1}}}^{n_{1}}\cdots {\widetilde {x_{r}}}^{n_{r}}=((x_{1},1))^{n_{1}}\cdots ((x_{r},1))^{n_{r}}$
de l'ensemble ${\underset {x\in X}{*}}\mathbb {Z}$ dans l'ensemble F(X) est une bijection, ce qu'on avait annoncé dans le chapitre Groupes libres, premiers éléments, section « Seconde forme des éléments de F(X) ».
2° Puisque le produit libre ${\underset {x\in X}{*}}\mathbb {Z}$ est canoniquement isomorphe au groupe libre F(X), il rend les mêmes services que F(X), ce qui explique que certains auteurs définissent F(X) comme égal à ${\underset {x\in X}{*}}\mathbb {Z}$. Il faut cependant noter que la longueur d'un élément $w$ de F(X), telle qu'on l'a définie au chapitre Groupes libres, premiers éléments, n'est généralement pas égale à la longueur, définie dans le présent chapitre, de l'élément de ${\underset {x\in X}{*}}\mathbb {Z}$ correspondant à $w$.

## Produit libre interne

Soient G un groupe et $(G_{i})_{i\in I}$ une famille de sous-groupes de G. Pour tout $i$ dans $I$, désignons par $f_{i}$ l'homomorphisme $t\mapsto t$ de $G_{i}$ dans G. D'après la propriété universelle du produit libre, il existe un et un seul homomorphisme $f$ de ${\underset {i\in I}{*}}G_{i}$ dans G tel que, pour tout $j$ dans $I$,
    $f_{j}=f\circ \varphi _{j}$,
où l'homomorphisme $\varphi _{j}:G_{j}\to {\underset {i\in I}{*}}G_{i}$ est la j-ième inclusion canonique (définie au théorème 2).
L'homomorphisme $f$ applique l'élément $((i_{1},g_{1}),\ldots ,(i_{n},g_{n}))$ de ${\underset {i\in I}{*}}G_{i}$ sur l'élément $g_{1}\cdots g_{n}$ de G.
Soient G un groupe et $(G_{i})_{i\in I}$ une famille de sous-groupes de G. On dit que G est le produit libre interne de la famille $(G_{i})_{i\in I}$ si l'homomorphisme $((i_{1},g_{1}),\ldots ,(i_{n},g_{n}))\mapsto g_{1}\cdots g_{n}$ de ${\underset {i\in I}{*}}G_{i}$ dans G est un isomorphisme.
Donc si G est un groupe et $(G_{i})_{i\in I}$ une famille de sous-groupes de G, dire que G est le produit libre interne de la famille $(G_{i})_{i\in I}$ revient à dire que pour tout élément $g$ de G, il existe un et un seul élément $((i_{1},g_{1}),\ldots ,(i_{n},g_{n}))$ de ${\underset {i\in I}{*}}G_{i}$ tel que
    $g=g_{1}\cdots g_{n}.$
Pour distinguer entre le produit libre interne et le produit libre ${\underset {i\in I}{*}}G_{i}$ au premier sens de l'expression, on désigne parfois ${\underset {i\in I}{*}}G_{i}$ comme le produit libre externe des $G_{i}.$
D'autre part, on commet parfois l'abus d'écrire $G={\underset {i\in I}{*}}G_{i}$ pour dire que G est le produit libre interne des $G_{i}.$
Voici une caractérisation du produit libre interne qui ne fait pas intervenir le produit libre externe.
Soient G un groupe et $(G_{i})_{i\in I}$ une famille de sous-groupes de G. Pour que G soit le produit libre interne de la famille $(G_{i})_{i\in I}$, il faut et il suffit que les conditions suivantes soient satisfaites :
    1° les $G_{i}$ se coupent trivialement deux à deux ;
    2° pour tout élément $g$ de G, il existe un et un seul multiplet $(g_{1},\ldots g_{1})$ d'éléments de $\bigcup _{i\in I}G_{i}^{\sharp }$ tel que
       a) pour tout $j$ dans $\{1,\ldots ,n-1\}$, $g_{j}$ et $g_{j+1}$ n'appartiennent pas à un même $G_{i}$ ;
       b) $g=g_{1}\cdots g_{n}.$
Démonstration. Voir les exercices.
On vérifie facilement (par exemple à l'aide du théorème 6) que si $(G_{i})_{i\in I}$ est une famille de groupes, si pour tout $j$ dans $I$, $\varphi _{j}:G_{j}\to {\underset {i\in I}{*}}G_{i}$ désigne la j-ième inclusion canonique, alors le produit libre externe ${\underset {i\in I}{*}}G_{i}$ est le produit libre interne de la famille $(\varphi _{i}(G_{i}))_{i\in I}.$