# Thermodynamique (PCSI)/Descriptions microscopique et macroscopique d'un système à l'équilibre : G.P. cas limite de G.R.
## Tracé des isothermes expérimentales d’un gaz réel dans le diagramme de Clapeyron
### Rappel de tracé des isothermes expérimentales de l’hexafluorure de soufre sous phase vapeur dans le diagramme de Clapeyron et complément

Voir le paragraphe « tracé des isothermes expérimentales de l'hexafluorure de soufre dans un diagramme de Clapeyron » du chap.$8$ de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » dans lequel le tracé a été fait dans le « diagramme de Watt » de la quantité $\;n_{SF_{6}}\simeq 1,9\;10^{-3}\;mol\;$ d'hexafluorure de soufre $\;SF_{6}\;$, Voir le paragraphe tracé du diagramme de Watt$^,$ rappelé partiellement ci-après $\;{\big$avec quelques ajouts${\big )}$, Voir le paragraphe celui du diagramme de Clapeyron$^,$ s'obtenant aisément en divisant « le volume $\;{\mathcal {V}}\;$ de l'expansion tridimensionnelle sur laquelle la quantité $\;n_{SF_{6}}\simeq 1,9\;10^{-3}\;mol\;$ d'hexafluorure de soufre $\;SF_{6}\;$ ${\big$de masse molaire $\;M_{SF_{6}}=146\;g\cdot mol^{-1}{\big )}\;$ de l'axe des abscisses du diagramme de Watt » par « la masse $\;m_{SF_{6}}=n_{SF_{6}}\;M_{SF_{6}}\simeq 0,28\;g\;$ de ce dernier » pour obtenir le « volume massique de l'hexafluorure de soufre $\;SF_{6}$ $\;v_{SF_{6}}={\dfrac {\mathcal {V}}{m_{SF_{6}}}}\;$ de l'axe des abscisses du diagramme de Clapeyron », la pression $\;p$, quant à elle, restant la même :
Dans le diagramme de Watt de la quantité $\;n_{SF_{6}}\simeq 1,9\;10^{-3}\;mol\;$ d'hexafluorure de soufre $\;SF_{6}\;$ tracées ci-contre, nous n'avons représenté que les isothermes à température $\;\theta \;$ inférieure à la température critique $\;\theta _{C}\simeq 45,5\;{\text{°C}}\;$ de l'hexafluorure de soufre $\;SF_{6}\;$ $\;{\Big \$pour $\;\theta <\theta _{C}$, il est possible de réaliser une liquéfaction par compression isotherme du gaz réalisée en $\;\searrow \;$ le volume $\;{\mathcal {V}}\;$ de l'expansion tridimensionnelle dans laquelle la quantité $\;n_{SF_{6}}\simeq 1,9\;10^{-3}\;mol\;$ d'hexafluorure de soufre $\;SF_{6}\;$ est répartie, les 1$^{ères}$ gouttes apparaissant pour une valeur $\;{\mathcal {V}}_{1^{\text{ères}}\,{\text{gouttes}}}(\theta )\;$ d'autant plus faible que $\;\theta \;$ se rapproche de $\;\theta _{C}$, pour $\;\theta \geqslant \theta _{C}$, pas de transition de phase par compression isotherme de l'hexafluorure de soufre $\;SF_{6}$, ce dernier n'étant ni gaz, ni liquide, est simplement appelé « fluide »${\Big \}$ ;
sur l'isotherme à température $\;\theta <\theta _{C}\;$ de la quantité $\;n_{SF_{6}}\simeq 1,9\;10^{-3}\;mol\;$ d'hexafluorure de soufre $\;SF_{6}\;$ du diagramme de Watt$^,$, nous observons, lors d'une compression isotherme à partir de l'état initial $\;{\mathcal {V}}\simeq 3,5\;mL\;$, une $\;\nearrow \;$ de la pression $\;p\;$ jusqu'à l'apparition des 1$^{ères}$ gouttes à partir de laquelle la pression stagne $\;{\big$pendant toute la phase de liquéfaction${\big )}\;$ à une valeur «$\;p_{\text{sat}}(\theta )\;$ appelée pression de vapeur saturante à la température $\;\theta \;$ de l'hexafluorure de soufre $\;SF_{6}\;$» ; le point d'apparition des 1$^{ères}$ gouttes sur l'isotherme du diagramme de Watt$^,$ définit le « point de rosée de l'hexafluorure de soufre $\;SF_{6}\;$» de coordonnées «$\;\left\lbrace {\mathcal {V}}_{1^{\text{ères}}\,{\text{gouttes}}}(\theta )\,,\,p_{\text{sat}}(\theta )\right\rbrace \;$» ;
sur l'isotherme à température $\;\color {transparent}{\theta <\theta _{C}}\;$ au fur et à mesure que la liquéfaction se poursuit à la température $\;\theta <\theta _{C}$, le système reste diphasé, l'état de ce dernier étant représenté par un point du « palier de liquéfaction » $\;\left\lbrace {\mathcal {V}}\,,\,p_{\text{sat}}(\theta )\right\rbrace$, la fraction liquéfiée est d'autant plus grande que le volume $\;{\mathcal {V}}\;$ est petit, le « palier de liquéfaction » étant limité à droite par le « point de rosée de l'hexafluorure de soufre $\;SF_{6}\;$ à la température $\;\theta <\theta _{C}\;$» «$\;\left\lbrace {\mathcal {V}}_{1^{\text{ères}}\,{\text{gouttes}}}(\theta )\,,\,p_{\text{sat}}(\theta )\right\rbrace \;$» ;
sur l'isotherme à température $\;\color {transparent}{\theta <\theta _{C}}\;$ la courbe de l'ensemble des « points de rosée de l'hexafluorure de soufre $\;SF_{6}\;$ à la température $\;\theta <\theta _{C}\;$» $\;{\big$représentée ci-contre en rouge${\big )}\;$ est appelée « courbe de rosée », son équation est «$\;p_{({\mathcal {C}}_{\text{rosée}})}$ $=p_{({\mathcal {C}}_{\text{rosée}})}\!\left({\mathcal {V}}\right)\;$ telle que $\;{\mathcal {V}}={\mathcal {V}}_{1^{\text{ères}}\,{\text{gouttes}}}(\theta )\;$ $\Rightarrow$ $\;p_{({\mathcal {C}}_{\text{rosée}})}=p_{\text{sat}}(\theta )\;$», elle est limitée
* d'un côté, par le point critique $\;C\;$ de l'hexafluorure de soufre $\;SF_{6}\;$ ${\big \$point limite des « paliers de liquéfaction » des isothermes à température $\;\theta <\theta _{C}\;$ du diagramme de Watt$^,$ de la quantité $\;n_{SF_{6}}\simeq$ $1,9\;10^{-3}\;mol\;$ d'hexafluorure de soufre $\;SF_{6}\;$ quand $\;\theta \rightarrow \theta _{C}^{\,-}{\big \}$ qui est le point particulier de l'isotherme à la température critique $\;\theta _{C}\simeq 45,5\;{\text{°C}}\;$ du diagramme de Watt$^,$ de la quantité $\;n_{SF_{6}}\simeq$ $1,9\;10^{-3}\;mol\;$ d'hexafluorure de soufre $\;SF_{6}\;$ de coordonnées «$\;\left\lbrace {\mathcal {V}}_{C}\simeq 0,4\;mL\,,\,p_{C}\simeq 38\;bar\right\rbrace \;$», la tangente en $\;C\;$ à cette isotherme critique ainsi que la tangente au même point $\;C\;$ à la « courbe de rosée » est $\;\parallel \;$ à l'axe des volumes du diagramme de Watt$^,$ de la quantité $\;n_{SF_{6}}\simeq$ $1,9\;10^{-3}\;mol\;$ d'hexafluorure de soufre $\;SF_{6}\;$ et
* de l'autre côté, par un point vapeur sèche $\;{\mathcal {T}}_{\text{vap}}\;$ des conditions de température et pression du « point triple » $\;{\mathcal {T}}\;$ ${\big$non représenté${\big )}\;$ de l'hexafluorure de soufre $\;SF_{6}\;$ ${\big \$point représentant l'état dans lequel l'hexafluorure de soufre $\;SF_{6}\;$ constitue un système triphasé c'est-à-dire avec présence simultanée des trois phases vapeur - liquide - solide $\;{\big$l'ensemble des points représentatifs du système triohasé associé au « point triple » constitue un palier $\;\parallel \;$ à l'axe des volumes allant du point vapeur sèche $\;{\mathcal {T}}_{\text{vap}}\;$ au point solide sec $\;{\mathcal {T}}_{\text{sol}}\;$ en passant par le point liquide sec $\;{\mathcal {T}}_{\text{liq}}\;$${\big )}{\big \}$, les deux 1$^{ères}$ données qui suivent sont encyclopédiques et non expérimentales : température du « point triple » $\;\theta _{\mathcal {T}}\simeq -50,8\;{\text{°C}}$, pression du « point triple » $\;p_{\mathcal {T}}\simeq 2,26\;bar$, la dernière donnée étant estimée $\;{\mathcal {V}}_{{\mathcal {T}}_{\text{vap}}}\simeq$ $16\;mL\;$$^,$.
Tracé des isothermes expérimentales de l'hexafluorure de soufre sous phase vapeur dans le diagramme de Clapeyron$^,$ : pour passer du diagramme de Watt de la quantité $\;n_{SF_{6}}\simeq 1,9\;10^{-3}\;mol\;$ de l'hexafluorure de soufre $\;SF_{6}\;$ au diagramme de Clapeyron de l'hexafluorure de soufre $\;SF_{6}\;$, il faut diviser le volume $\;{\mathcal {V}}\;$ de l'axe des abscisses du diagramme de Watt$^,$ par la masse $\;m_{SF_{6}}=$ $n_{SF_{6}}\;M_{SF_{6}}\simeq 0,28\;g\;$ d'hexafluorure de soufre $\;SF_{6}\;$ de l'expérience pour obtenir le volume massique $\;{\big$moyen${\big )}\;$ $\;v={\dfrac {\mathcal {V}}{m_{SF_{6}}}}\;$ de l'axe des abscisses du diagramme de Clapeyron$^,$, la pression $\;p$, quant à elle, n'étant pas modifiée ; les commentaires effectués ci-dessus sur le diagramme de Watt$^,$ peuvent aisément être réécrits pour le diagramme de Clapeyron$^,$ en particulier :
Tracé des isothermes expérimentales $\succ \;$pour $\;\theta <\theta _{C}\simeq 45,5\;{\text{°C}}$, apparition d'un « palier de liquéfaction » lors d'une compression isotherme dès que le volume massique $\;{\big$moyen${\big )}\;$ atteint «$\;v_{SF_{6}}(\theta )=$ ${\dfrac {{\mathcal {V}}_{1^{\text{ères}}\,{\text{gouttes}}}(\theta )}{m_{SF_{6}}}}=v_{SF_{6},\,{\text{vap. sat.}}}(\theta )\;$», la pression étant «$\;p_{SF_{6},\,{\text{sat}}}(\theta )\;$ pression de vapeur saturante à la température $\;\theta \;$ de l'hexafluorure de soufre $\;SF_{6}\;$» $\;{\big$cette pression reste constante lors de la poursuite de la liquéfaction par compression isotherme car le système diphasé étant monovariant, le choix de la température $\;\theta \;$ $\Rightarrow$ la pression $\;p\;$ est fixée dépendant de $\;\theta {\big )}$, Tracé des isothermes expérimentales $\color {transparent}{\succ }\;$pour $\;\color {transparent}{\theta <\theta _{C}\simeq 45,5\;{\text{°C}}}$, au fur et à mesure que la liquéfaction se poursuit, l'état du système diphasé étant représenté par un point du « palier de liquéfaction » $\;\left\lbrace v_{SF_{6},\,{\text{moy}}}(\theta )\,,\,p_{SF_{6},\,{\text{sat}}}(\theta )\right\rbrace$, la fraction liquéfiée est d'autant plus grande que le volume massique moyen $\;v_{SF_{6},\,{\text{moy}}}(\theta )\;$ est petit, le « palier de liquéfaction » étant limité à droite par le « point de rosée de l'hexafluorure de soufre $\;SF_{6}\;$ à la température $\;\theta <\theta _{C}\;$» «$\;\left\lbrace v_{SF_{6},\,{\text{vap. sat.}}}(\theta )\,,\,p_{SF_{6},\,{\text{sat}}}(\theta )\right\rbrace \;$» ;
Tracé des isothermes expérimentales $\succ \;$la courbe de l'ensemble des « points de rosée de l'hexafluorure de soufre $\;SF_{6}\;$ à la température $\;\theta <\theta _{C}\;$», appelée « courbe de rosée », a pour équation «$\;p_{({\mathcal {C}}_{\text{rosée}})}$ $=p_{({\mathcal {C}}_{\text{rosée}})}\!\left(v\right)\;$ telle que $\;v=v_{SF_{6},\,{\text{vap. sat.}}}(\theta )\;$ $\Rightarrow$ $\;p_{({\mathcal {C}}_{\text{rosée}})}=p_{SF_{6},\,{\text{sat}}}(\theta )\;$», elle est limitée
* d'un côté, par le point critique $\;C\;$ de l'hexafluorure de soufre $\;SF_{6}\;$ ${\big \$point limite des « paliers de liquéfaction » des isothermes à température $\;\theta <\theta _{C}\;$ du diagramme de Clapeyron$^,$ de l'hexafluorure de soufre $\;SF_{6}\;$ quand $\;\theta \rightarrow \theta _{C}^{\,-}{\big \}$ qui est le point particulier de l'isotherme à la température critique $\;\theta _{C}\simeq 45,5\;{\text{°C}}\;$ du diagramme de Clapeyron$^,$ de l'hexafluorure de soufre $\;SF_{6}\;$ de coordonnées «$\;\left\lbrace v_{C}\simeq 1,4\;L\cdot kg^{-1}\,,\,p_{C}\simeq 38\;bar\right\rbrace \;$»$^,$, la tangente en $\;C\;$ à cette isotherme critique ainsi que la tangente au même point $\;C\;$ à la « courbe de rosée » est $\;\parallel \;$ à l'axe des volumes massiques du diagramme de Clapeyron$^,$ de l'hexafluorure de soufre $\;SF_{6}\;$ et
* de l'autre côté, par un point vapeur sèche $\;{\mathcal {T}}_{\text{vap}}\;$ des conditions de température et pression du « point triple » $\;{\mathcal {T}}\;$ de l'hexafluorure de soufre $\;SF_{6}\;$ ${\big \$point représentant l'état dans lequel l'hexafluorure de soufre $\;SF_{6}\;$ constitue un système triphasé c'est-à-dire avec présence simultanée des trois phases vapeur - liquide - solide $\;{\big$l'ensemble des points représentatifs du système triohasé associé au « point triple » constitue un palier $\;\parallel \;$ à l'axe des volumes massiques allant du point vapeur sèche $\;{\mathcal {T}}_{\text{vap}}\;$ au point solide sec $\;{\mathcal {T}}_{\text{sol}}\;$ en passant par le point liquide sec $\;{\mathcal {T}}_{\text{liq}}\;$${\big ]}$ $\;{\big$la pression et la température du « point triple » sont fixées, ne dépendant que du corps, car, au « point triple », le système étant triphasé est zérovariant, la température $\;\theta \;$ et la pression $\;p\;$ sont fixées${\big )}{\big \}$, les deux 1$^{ères}$ données qui suivent sont encyclopédiques et non expérimentales : température du « point triple » $\;\theta _{\mathcal {T}}\simeq -50,8\;{\text{°C}}$, pression du « point triple » $\;p_{\mathcal {T}}\simeq$ $2,26\;bar$, la dernière donnée étant estimée $\;v_{SF_{6},\,{\mathcal {T}}_{\text{vap}}}\simeq 0,056\;m^{3}\cdot kg^{-1}\;$.

### Généralisation du tracé des isothermes expérimentales d’un gaz réel (G.R.) dans le diagramme de Clapeyron

Tout ce qui a été rappelé $\;{\big$ou introduit${\big )}\;$ dans le paragraphe « rappel de tracé des isothermes expérimentales de l'hexafluorure de soufre sous phase vapeur dans le diagramme de Clapeyron et complément » plus haut dans ce chapitre est généralisable $\;{\big$mais bien sûr avec des valeurs diffèrentes${\big )}$ :
$\succ \;$l'« eau $\;H_{2}O\;$» : la pression de vapeur saturante à $\;\theta =100\;{\text{°C}}$ «$\;p_{{\text{sat}},\,H_{2}O}(100\,{\text{°C}})=1,00\;bar\;$», $\color {transparent}{\succ }\;$l'« eau $\;\color {transparent}{H_{2}O}\;$» : le point critique «$\;\left\lbrace \theta _{C,\,H_{2}O}\simeq 374,0\;{\text{°C}}\,,\,p_{C,\,H_{2}O}\simeq 221,2\;bar\,,\,v_{C,\,H_{2}O}\simeq 3,12\;cm^{3}\cdot g^{-1}=3,12\;mL\cdot g^{-1}\right\rbrace \;$»$^,$, $\color {transparent}{\succ }\;$l'« eau $\;\color {transparent}{H_{2}O}\;$» : le « point triple » «$\;\left\lbrace \theta _{{\mathcal {T}},\,H_{2}O}\simeq 0,01\;{\text{°C}}\,,\,p_{{\mathcal {T}},\,H_{2}O}\simeq 6,11\;mbar\right\rbrace \;$ avec un volume massique de phase vapeur $\;v_{{\mathcal {T}},\,H_{2}O,\,{\text{vap}}}\simeq 206,5\;m^{3}\cdot kg^{-1}=206,5\;L\cdot g^{-1}\;$»$^,$$^,$ ;
$\succ \;$le « dihydrogène $\;H_{2}\;$» : la pression de vapeur saturante à $\;\theta =-252,8\;{\text{°C}}$ «$\;p_{{\text{sat}},\,H_{2}}(-252,8\,{\text{°C}})=1,013\;bar\;$», $\color {transparent}{\succ }\;$le « dihydrogène $\;\color {transparent}{H_{2}}\;$» : le point critique «$\;\left\lbrace \theta _{C,\,H_{2}}\simeq -240,0\;{\text{°C}}\,,\,p_{C,\,H_{2}}\simeq 13,0\;bar\,,\,v_{C,\,H_{2}}\simeq 33,2\;cm^{3}\cdot g^{-1}=33,2\;mL\cdot g^{-1}\right\rbrace \;$»$^,$, $\color {transparent}{\succ }\;$le « dihydrogène $\;\color {transparent}{H_{2}}\;$» : le « point triple » «$\;\left\lbrace \theta _{{\mathcal {T}},\,H_{2}}\simeq -259,3\;{\text{°C}}\,,\,p_{{\mathcal {T}},\,H_{2}}\simeq 72,05\;mbar\right\rbrace \;$ de volume massique de phase vapeur $\;v_{{\mathcal {T}},\,H_{2},\,{\text{vap}}}\simeq 206,5\;m^{3}\cdot kg^{-1}=8,00\;L\cdot g^{-1}\;$»$^,$$^,$ ;
$\succ \;$le « dioxygène $\;O_{2}\;$» : la pression de vapeur saturante à $\;\theta =-183\;{\text{°C}}$ «$\;p_{{\text{sat}},\,H_{2}}(-183\,{\text{°C}})=1,013\;bar\;$», $\color {transparent}{\succ }\;$le « dioxygène $\;\color {transparent}{O_{2}}\;$» : le point critique «$\;\left\lbrace \theta _{C,\,O_{2}}\simeq -118,7\;{\text{°C}}\,,\,p_{C,\,O_{2}}\simeq 50,4\;bar\,,\,v_{C,\,O_{2}}\simeq 1,57\;cm^{3}\cdot g^{-1}=1,57\;mL\cdot g^{-1}\right\rbrace \;$»$^,$, $\color {transparent}{\succ }\;$le « dioxygène $\;\color {transparent}{O_{2}}\;$» : le « point triple » «$\;\left\lbrace \theta _{{\mathcal {T}},\,O_{2}}\simeq -218,8\;{\text{°C}}\,,\,p_{{\mathcal {T}},\,O_{2}}\simeq 1,49\;mbar\right\rbrace \;$ avec un volume massique de phase vapeur $\;v_{{\mathcal {T}},\,O_{2},\,{\text{vap}}}\simeq 94,8\;m^{3}\cdot kg^{-1}=94,8\;L\cdot g^{-1}\;$»$^,$$^,$ ;
$\succ \;$le « diazote $\;N_{2}\;$» : la pression de vapeur saturante à $\;\theta =-195,8\;{\text{°C}}$ «$\;p_{{\text{sat}},\,H_{2}}(-195,8\,{\text{°C}})=1,013\;bar\;$», $\color {transparent}{\succ }\;$le « diazote $\;\color {transparent}{N_{2}}\;$» : le point critique «$\;\left\lbrace \theta _{C,\,N_{2}}\simeq -147,1\;{\text{°C}}\,,\,p_{C,\,N_{2}}\simeq 33,9\;bar\,,\,v_{C,\,N_{2}}\simeq 3,22\;cm^{3}\cdot g^{-1}=3,22\;mL\cdot g^{-1}\right\rbrace \;$»$^,$, $\color {transparent}{\succ }\;$le « diazote $\;\color {transparent}{N_{2}}\;$» : le « point triple » «$\;\left\lbrace \theta _{{\mathcal {T}},\,N_{2}}\simeq -206,05\;{\text{°C}}\,,\,p_{{\mathcal {T}},\,N_{2}}\simeq 128,5\;mbar\right\rbrace \;$ avec un volume massique de phase vapeur $\;v_{{\mathcal {T}},\,N_{2},\,{\text{vap}}}\simeq 1,55\;m^{3}\cdot kg^{-1}=1,55\;L\cdot g^{-1}\;$»$^,$$^,$ ;
$\succ \;$le « dioxyde de carbone $\;CO_{2}\;$» : la pression de vapeur saturante à $\;\theta =20\;{\text{°C}}$ «$\;p_{{\text{sat}},\,CO_{2}}(20\,{\text{°C}})=57,2\;bar\;$», $\color {transparent}{\succ }\;$le « dioxyde de carbone $\;\color {transparent}{CO_{2}}\;$» : le point critique «$\;\left\lbrace \theta _{C,\,CO_{2}}\simeq 31,3\;{\text{°C}}\,,\,p_{C,\,CO_{2}}\simeq 73,8\;bar\,,\,v_{C,\,CO_{2}}\simeq 2,16\;cm^{3}\cdot g^{-1}=2,16\;mL\cdot g^{-1}\right\rbrace \;$»$^,$, $\color {transparent}{\succ }\;$le « dioxyde de carbone $\;\color {transparent}{CO_{2}}\;$» : le « point triple » «$\;\left\lbrace \theta _{{\mathcal {T}},\,CO_{2}}\simeq -56,6\;{\text{°C}}\,,\,p_{{\mathcal {T}},\,CO_{2}}\simeq 5,18\;bar\right\rbrace \;$ avec un volume massique de phase vapeur $\;v_{{\mathcal {T}},\,CO_{2},\,{\text{vap}}}\simeq 0,08\;m^{3}\cdot kg^{-1}\;$$^,$ ou $\;v_{{\mathcal {T}},\,CO_{2},\,{\text{vap}}}\simeq 80\;mL\cdot g^{-1}\;$»$^,$.
Remarque : dans le diagramme de Watt$^,$ ou de diagramme de Clapeyron$^,$ d'un corps pur, le palier $\;\parallel \;$ à l'axe des volumes ou des volumes massiques au « point triple » s'étend usuellement du point solide sec $\;{\mathcal {T}}_{\text{sol}}\;$ ayant le plus faible volume $\;{\big$ou volume massique${\big )}\;$ au point vapeur sèche $\;{\mathcal {T}}_{\text{vap}}\;$ ayant, de très loin, le plus grand volume $\;{\big$ou volume massique${\big )}\;$ en passant par le point liquide sec $\;{\mathcal {T}}_{\text{liq}}\;$ ayant un volume $\;{\big$ou volume massique${\big )}\;$ intermédiaire de valeur proche de celui du solide sec, mais $\;\ldots$
Remarque : dans le diagramme de Watt$^,$ ou de diagramme de Clapeyron$^,$ de l'eau, le palier $\;\parallel \;$ à l'axe des volumes ou des volumes massiques au « point triple » s'étend du point liquide sec $\;{\mathcal {T}}_{\text{liq}}\;$ ayant le plus faible volume $\;{\big$ou volume massique${\big )}\;$ au point vapeur sèche $\;{\mathcal {T}}_{\text{vap}}\;$ ayant, de très loin, le plus grand volume $\;{\big$ou volume massique${\big )}\;$ en passant par le point solide sec $\;{\mathcal {T}}_{\text{sol}}\;$ ayant un volume $\;{\big$ou volume massique${\big )}\;$ intermédiaire de valeur proche de celui du liquide sec $\;{\big$la phase solide de l'eau y ayant un volume légèrement supérieur à la même quantité de phase liquide${\big )}$.

## Tracé des isothermes expérimentales d’un gaz réel dans le diagramme d’Amagat

Préliminaire : Le diagramme d'Amagat peut être défini pour n'importe quel système thermodynamique monophasé mais il n’a d’intérêt que pour une phase gazeuse d'où le titre de ce paragraphe.

### Définition du diagramme d’Amagat d’une quantité « n » fixée de système thermodynamique monophasé

Le diagramme d'Amagat d'une quantité «$\;n\;$» fixée de système thermodynamique monophasé $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en équilibre thermodynamique est le diagramme thermodynamique représentant la variation du « produit extensif de la pression par le volume $\;p\;{\mathcal {V}}\;$» des isothermes de la quantité «$\;n\;$» du système en fonction de la « grandeur intensive pression $\;p\;$ imposée » à ce dernier.
Remarques : $\succ \;$Les systèmes thermodynamiques pour lesquels un diagramme d'Amagat est défini étant monophasés donc divariants, leurs états d'équilibre dépend de deux paramètres intensifs par exemple leur température $\;T\;$ et la pression $\;p\;$ à laquelle ils sont soumis, nous en déduisons alors,
Remarques : $\color {transparent}{\succ }\;$dans la mesure où les systèmes sont de quantité fixée $\;{\big$donc fermé${\big )}$, qu'une isotherme dans le diagramme d'Amagat de chaque système « ne dépendant que d'un seul paramètre intensif, la pression $\;p\;$», est représentée par une juxtaposition de « points d'équilibre $\;\left(p\,,\,p\;{\mathcal {V}}\right)\;$ avec $\;{\mathcal {V}}=n\;{\mathcal {V}}_{\text{mol}}\!\left(p\,,\,T\right)\;$» c'est-à-dire une courbe continue dans l'hypothèse où la pression peut prendre n'importe quelle valeur positive.
Remarques : $\succ \;$De même qu'à partir du diagramme de Watt$^,$ dépendant de la quantité $\;n\;$ d'un système thermodynamique $\;\left({\mathcal {S}}\right)$, il a été défini un diagramme thermodynamique indépendant de cette quantité « le diagramme de Clapeyron » en substituant « le volume $\;{\mathcal {V}}\;$ de l'expansion tridimensionnelle sur laquelle $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ est réparti » par « le volume massique $\;v={\dfrac {\mathcal {V}}{n}}\;$ du système », Remarques : $\color {transparent}{\succ }\;$nous pouvons définir, à partir du diagramme d'Amagat de la quantité $\;n\;$ d'un système thermodynamique monophasé $\;\left({\mathcal {S}}'\right)$, un « diagramme thermodynamique de type Amagat » indépendant de cette quantité en substituant « le volume $\;{\mathcal {V}}\;$ de l'expansion tridimensionnelle sur laquelle $\;\left({\mathcal {S}}'\right)\;$ est réparti » par « le volume massique $\;v={\dfrac {\mathcal {V}}{n}}\;$ du système », diagramme que nous appellerons « diagramme massique d'Amagat » : Remarques : $\color {transparent}{\succ }\;$le « diagramme massique d'Amagat » du système thermodynamique monophasé $\;\left({\mathcal {S}}'\right)\;$ en équilibre thermodynamique est le diagramme thermodynamique représentant la variation du « produit intensif de la pression par le volume massique $\;p\;v\;$» des isothermes du système en fonction de la « grandeur intensive pression $\;p\;$ imposée » à ce dernier.
Remarques : $\succ \;$Nous pourrions aussi définir le diagramme d'Amagat $\;{\big$ou le « diagramme massique d'Amagat »${\big )}\;$ d'un système thermodynamique monophasé ouvert $\;{\Big$dans ce cas, chaque état d'équilibre du système est représenté par un point $\;\left\lbrace p_{\text{éq}}\,,\,p_{\text{éq}}\;v_{\text{éq}}\right\rbrace \;$ du « diagramme massique d'Amagat » alors que chaque état d'équilibre de la quantité $\;n(t)\;$ du système l'est par un segment $\;\left\lbrace p_{\text{éq}}\,,\,p_{\text{éq}}\;{\mathcal {V}}(t)=n(t)\;p_{\text{éq}}\;v_{\text{éq}}\right\rbrace \;$ du diagramme d'Amagat $\;{\big \$correspondant à une succession de points se déplaçant parallèlement à l'axe des ordonnées vers le haut $\;{\big$ou vers le bas${\big )}\;$ dans le cas d'admission $\;{\big$ou d'éjection${\big )}\;$ de matière dans le système ouvert${\big \}$.

### Tracé des isothermes expérimentales de l’hexafluorure de soufre sous phase vapeur dans le diagramme d’Amagat

À partir des mesures exposées dans le paragraphe « hexafluorure de soufre à d'autres températures » du chap.$8$ de la leçon « Thermodynamique (PCSI) », nous pouvons en déduire, pour chaque isotherme de l'« hexafluorure de soufre $\;SF_{6}\;$ en phase gazeuse », les valeurs du produit «$\;p\;{\mathcal {V}}\;$» associées aux valeurs de «$\;p\;$» et ensuite tracer les isothermes expérimentales de l'« hexafluorure de soufre $\;SF_{6}\;$ vapeur » dans le diagramme d'Amagat ;
les valeurs extrêmes de chaque isotherme en phase gazeuse à la température $\;\theta <\theta _{C}\simeq 45,5\;{\text{°C}}\;$ sont données dans le tableau ci-dessous :
| $\;\theta \;$ en $\;{\text{°C}}\;$ | $\;T\;$ en $\;K\;$ | phase vapeur $\;{\big$sèche${\big )}\;$ | phase vapeur $\;{\big$juste saturante${\big )}\;$ |
| $\;\theta =6\;{\text{°C}}$ | $\;T=279\;K$ | $\;{\mathcal {V}}\simeq 3,5\;mL\;$, $\;p\simeq 10\;bar\;$ $\Rightarrow$ $\;p\;{\mathcal {V}}\simeq 3,50\;Pa\cdot m^{3}\;$ | $\;{\mathcal {V}}\simeq 2,1\;mL\;$, $\;p\simeq 14,5\;bar\;$ $\Rightarrow$ $\;p\;{\mathcal {V}}\simeq 3,05\;Pa\cdot m^{3}\;$ |
| $\;\theta =20\;{\text{°C}}$ | $\;T=293\;K$ | $\;{\mathcal {V}}\simeq 3,5\;mL\;$, $\;p\simeq 11\;bar\;$ $\Rightarrow$ $\;p\;{\mathcal {V}}\simeq 3,85\;Pa\cdot m^{3}\;$ | $\;{\mathcal {V}}\simeq 1,55\;mL\;$, $\;p\simeq 20,5\;bar\;$ $\Rightarrow$ $\;p\;{\mathcal {V}}\simeq 3,18\;Pa\cdot m^{3}\;$ |
| $\;\theta =30\;{\text{°C}}$ | $\;T=303\;K$ | $\;{\mathcal {V}}\simeq 3,5\;mL\;$, $\;p\simeq 12\;bar\;$ $\Rightarrow$ $\;p\;{\mathcal {V}}\simeq 4,20\;Pa\cdot m^{3}\;$ | $\;{\mathcal {V}}\simeq 1,1\;mL\;$, $\;p\simeq 26,5\;bar\;$ $\Rightarrow$ $\;p\;{\mathcal {V}}\simeq 2,92\;Pa\cdot m^{3}\;$ |
| $\;\theta =40\;{\text{°C}}$ | $\;T=313\;K$ | $\;{\mathcal {V}}\simeq 3,5\;mL\;$, $\;p\simeq 13\;bar\;$ $\Rightarrow$ $\;p\;{\mathcal {V}}\simeq 4,55\;Pa\cdot m^{3}\;$ | $\;{\mathcal {V}}\simeq 0,75\;mL\;$, $\;p\simeq 34\;bar\;$ $\Rightarrow$ $\;p\;{\mathcal {V}}\simeq 2,55\;Pa\cdot m^{3}\;$ |
Ci-contre le positionnement des points relevés dont seuls les valeurs extrêmes figurent dans le tableau ci-dessus permettant de tracer $\;{\big$ce qui n'a pas été fait${\big )}\;$ le diagramme d'Amagat de la quantité fixée d'hexafluorure de soufre $\;SF_{6}\;$ sous phase vapeur égale à $\;n_{SF_{6}}\simeq 1,9\;10^{-3}\;mol\;$ correspondant à une masse $\;m_{SF_{6}}\simeq 0,28\;g$ ;
Ci-contre en 1ère approximation nous constatons que chaque isotherme constitue, dans le diagramme d'Amagat, un ensemble de points alignés établissant que Ci-contre «$\;p\;{\mathcal {V}}\;$ est approximativement une fonction affine de $\;p\;$» d'équation «$\;p\;{\mathcal {V}}=a\;p+b_{\theta }\;$ avec $\;a<0\;$ à peu près indépendant de $\;\theta \;$ et $\;b_{\theta }\;$ dépendant de $\;\theta \;$ de valeur d'autant plus grande que $\;\theta \;$ l'est » ;
Ci-contre en 2ème approximation nous observons que les points représentant un état d'équilibre isotherme de l'hexafluorure de soufre $\;SF_{6}\;$ sous phase vapeur aux pressions un peu plus élevées ne sont plus dans l'alignement des points de la même isotherme aux pressions plus faibles, le « produit $\;p\;{\mathcal {V}}\;$ étant légèrement inférieur à $\;a\;p+b_{\theta }\;$».

### Approximation linéaire des isothermes de l’hexafluorure de soufre aux faibles pressions dans le diagramme d’Amagat

Reprenant les points, aux faibles pressions, des isothermes du diagramme d'Amagat de la quantité fixée d'hexafluorure de soufre $\;SF_{6}\;$ sous phase vapeur précédemment positionnés dans le paragraphe « tracé des isothermes expérimentales de l'hexafluorure de soufre sous phase vapeur dans le diagramme d'Amagat » plus haut dans ce chapitre et
les repositionnant sur un nouveau diagramme d'Amagat $\;{\big$voir ci-contre${\big )}\;$ nous pouvons remarquer que les points d’une même isotherme sont grossièrement alignés et tracer la meilleure droite possible pour chaque isotherme $\;{\big$c'est-à-dire faire une régression linéaire à partir des valeurs utilisées permettant d'obtenir un ajustement affine en employant, par exemple, la méthode des moindres carrés${\big )}$, nous obtenons alors, pour chaque isotherme, la droite tracée ci-contre dont l'équation est estimée ci-après :
* à «$\;\theta \simeq 6\;{\text{°C}}\;$» la pente évaluée à «$\;a_{1}\simeq {\dfrac {3,5-3,1}{10-14}}\simeq -0,1\;Pa\cdot m^{3}\cdot bar^{-1}\;$» conduit à une ordonnée à l'origine $\;b_{\,6\,{\text{°C}}}\;$ telle que $\;p\;{\mathcal {V}}\simeq a_{1}\;p+b_{\,6\,{\text{°C}}}\;$ soit, avec le point $\;\left\lbrace 10\,bar\,,\,3,5\,Pa\cdot m^{3}\right\rbrace$, «$\;b_{\,6\,{\text{°C}}}\simeq 3,5-(-0,1)\times 10\simeq 4,5\,Pa\cdot m^{3}\;$» ;
* à «$\;\theta \simeq 20\;{\text{°C}}\;$» la pente évaluée à «$\;a_{2}\simeq {\dfrac {3,85-3,2}{11-19}}\simeq -0,08125\;Pa\cdot m^{3}\cdot bar^{-1}\;$» conduit à une ordonnée à l'origine $\;b_{\,20\,{\text{°C}}}\;$ telle que $\;p\;{\mathcal {V}}\simeq a_{2}\;p+b_{\,20\,{\text{°C}}}\;$ soit, avec $\;\left\lbrace 11\,bar\,,\,3,85\,Pa\cdot m^{3}\right\rbrace$, «$\;b_{\,20\,{\text{°C}}}\simeq 3,85-(-0,08125)\times 11\simeq 4,74\,Pa\cdot m^{3}\;$» ;
* à «$\;\theta \simeq 30\;{\text{°C}}\;$» la pente évaluée à «$\;a_{3}\simeq {\dfrac {4,2-3,6}{12-20,5}}\simeq -0,0706\;Pa\cdot m^{3}\cdot bar^{-1}\;$» conduit à une ordonnée à l'origine $\;b_{\,30\,{\text{°C}}}\;$ telle que $\;p\;{\mathcal {V}}\simeq a_{3}\;p+b_{\,30\,{\text{°C}}}\;$ soit, avec le point $\;\left\lbrace 12\,bar\,,\,4,2\,Pa\cdot m^{3}\right\rbrace$, «$\;b_{\,30\,{\text{°C}}}\simeq 4,2-(-0,0706)\times 12\simeq 5,04\,Pa\cdot m^{3}\;$» ;
* à «$\;\theta \simeq 40\;{\text{°C}}\;$» la pente évaluée à «$\;a_{4}\simeq {\dfrac {4,55-4,2}{13-20,5}}\simeq -0,0467\;Pa\cdot m^{3}\cdot bar^{-1}\;$» $\Rightarrow$ une ordonnée à l'origine $\;b_{\,40\,{\text{°C}}}\;$ telle que $\;p\;{\mathcal {V}}\simeq a_{4}\;p+b_{\,30\,{\text{°C}}}\;$ soit, avec $\;\left\lbrace 13\,bar\,,\,4,55\,Pa\cdot m^{3}\right\rbrace$, «$\;b_{\,40\,{\text{°C}}}$ $\simeq 4,55-(-0,0467)\times 13\simeq 5,16\,Pa\cdot m^{3}\;$».
Remarques : Nous constatons que la droite représentant une isotherme dans le diagramme d'Amagat de la quantité fixée d'hexafluorure de soufre $\;SF_{6}\;$ sous phase vapeur aux faibles pressions est de pente légèrement dépendante de la température $\;\theta <\theta _{C}\simeq 45,5\;{\text{°C}}\;$ $\Rightarrow$ dès maintenant, nous noterons cette pente «$\;a_{\theta }\;$» d'où la réécriture de l'équation d'une isotherme selon la température :
Remarques : $\succ \;$« isotherme à $\;\theta \simeq 6\;{\text{°C}}\;$» d'équation «$\;\left(p\;{\mathcal {V}}\right)_{{\text{en }}Pa\cdot m^{3}}\simeq -0,100\;p_{{\text{en }}bar}+4,50\;$»,
Remarques : $\succ \;$« isotherme à $\;\theta \simeq 20\;{\text{°C}}\;$» d'équation «$\;\left(p\;{\mathcal {V}}\right)_{{\text{en }}Pa\cdot m^{3}}\simeq -0,081\;p_{{\text{en }}bar}+4,74\;$»,
Remarques : $\succ \;$« isotherme à $\;\theta \simeq 30\;{\text{°C}}\;$» d'équation «$\;\left(p\;{\mathcal {V}}\right)_{{\text{en }}Pa\cdot m^{3}}\simeq -0,071\;p_{{\text{en }}bar}+5,04\;$»,
Remarques : $\succ \;$« isotherme à $\;\theta \simeq 40\;{\text{°C}}\;$» d'équation «$\;\left(p\;{\mathcal {V}}\right)_{{\text{en }}Pa\cdot m^{3}}\simeq -0,047\;p_{{\text{en }}bar}+5,16\;$».
Remarques : Si nous extrapolons linéairement le tracé de chaque isotherme dans le diagramme d'Amagat de la quantité fixée d'hexafluorure de soufre $\;SF_{6}\;$ sous phase vapeur « aux pressions évanouissantes », nous trouvons $\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,0}\left[p\;{\mathcal {V}}\right]_{\theta \,{\text{figé}}}=b_{\theta }\simeq \left\lbrace {\begin{array}{c c r}4,50\;Pa\cdot m^{3}\!\!&{\text{à}}&\!\!6\;{\text{°C}}\\4,74\;Pa\cdot m^{3}\!\!&{\text{à}}&\!\!20\;{\text{°C}}\\5,04\;Pa\cdot m^{3}\!\!&{\text{à}}&\!\!30\;{\text{°C}}\\5,16\;Pa\cdot m^{3}\!\!&{\text{à}}&\!\!40\;{\text{°C}}\end{array}}\right\rbrace$, or une phase gazeuse « aux pressions évanouissantes » se comportant comme un G.P.$^,$, «$\;b_{\theta }\;$ doit être identifiée à $\;n\;R\;T\;$ avec $\;T=\theta +273,15\;$» d'où une évaluation possible de la quantité $\;n\;$ selon «$\;n\simeq {\dfrac {b_{\theta }}{R\,\left(\theta +273,15\right)}}\simeq \left\lbrace {\begin{array}{c c r}{\dfrac {4,50}{8,31\times 279}}\simeq 1,94\;10^{-3}\;mol\!\!&{\text{à}}&\!\!6\;{\text{°C}}\\{\dfrac {4,74}{8,31\times 293}}\simeq 1,95\;10^{-3}\;mol\!\!&{\text{à}}&\!\!20\;{\text{°C}}\\{\dfrac {5,04}{8,31\times 303}}\simeq 2,00\;10^{-3}\;mol\!\!&{\text{à}}&\!\!30\;{\text{°C}}\\{\dfrac {5,16}{8,31\times 313}}\simeq 1,98\;10^{-3}\;mol\!\!&{\text{à}}&\!\!40\;{\text{°C}}\end{array}}\right\rbrace \;$» valeurs ayant un écart entre $\;5\;$ à $\;10\;\%\;$ avec la quantité initialement injectée de $\;1,9\;10^{-3}\;mol$.

### Généralisation du tracé des isothermes expérimentales d’un gaz réel (G.R.) dans le diagramme d’Amagat

Presque tout ce qui a été exposé dans les paragraphes « tracé des isothermes expérimentales de l'hexafluorure de soufre sous phase vapeur dans le diagramme d'Amagat » et « approximation linéaire des isothermes de l'hexafluorure de soufre aux faibles pressions dans le diagramme d'Amagat » plus haut dans ce chapitre est généralisable à tout fluide sous forme vapeur Presque tout ce qui a été exposé à l’exception de la pente des isothermes dans leur approximation linéaire aux faibles pressions, dont le signe dépend de la température ;
Presque tout ce qui a été exposé plus exactement il existe, « pour la plupart des G.R. »$^,$, une « température de Boyle-Mariotte$^,$ $\;T_{M}\;$» $\;{\big$encore appelée « par les francophones, température de Mariotte » ou « par les anglophones, température de Boyle »${\big )}\;$ pour laquelle la pente de l'isotherme du G.R.$^,$ dans l'approximation linéaire « aux faibles pressions » du diagramme d'Amagat d'une quantité $\;n\;$ fixée de ce G.R.$^,$ est nulle $\;{\big \$« pour $\;T<T_{M}\;$» la pente de l'isotherme considérée est $\;<0\;$ alors que « pour $\;T>T_{M}\;$» elle est $\;{\big$ou serait $\;{\big$dans l'hypothèse où l'existence de $\;T_{M}\;$ n'a pas encore été validée${\big )}{\big ]}$ $\;>0{\big \}$ ;
Presque tout ce qui a été exposé exemples : $\succ \;$le « dihydrogène $\;H_{2}\;$», $\;\theta _{M,\,H_{2}}\simeq -166\;{\text{°C}}\;$ ${\big \$rappel : la température critique a pour valeur $\;\theta _{C,\,H_{2}}\simeq -240\;{\text{°C}}\;$ et la température d'ébullition standard $\;\theta _{{\text{ébull. std}},\,H_{2}}$ $\simeq -252,8\;{\text{°C}}\;$ en accord avec la pression de vapeur saturante à $\;\theta =-252,8\;{\text{°C}}$ «$\;p_{{\text{sat}},\,H_{2}}(-252,8\,{\text{°C}})=1,013\;bar\;$»${\big \}$ ; Presque tout ce qui a été exposé exemples : $\color {transparent}{\succ }\;$le « dihydrogène $\;\color {transparent}{H_{2}}\;$», entre «$\;-252,8\;{\text{°C}}\;$ et $\;-240\;{\text{°C}}\;$» $\;H_{2}\;$ est un gaz dont les isothermes dans l'approximation linéaire aux faibles pressions du diagramme d'Amagat d'une quantité $\;n\;$ fixée de $\;H_{2}\;$ sont de pente $\;<0$ ; Presque tout ce qui a été exposé exemples : $\color {transparent}{\succ }\;$le « dihydrogène $\;\color {transparent}{H_{2}}\;$», entre «$\;-240\;{\text{°C}}\;$ et $\;-166\;{\text{°C}}\;$» $\;H_{2}\;$ est un fluide appelé G.R. par abus dont les isothermes dans l'approximation linéaire aux faibles pressions du diagramme d'Amagat de la même quantité $\;n\;$ fixée de $\;H_{2}\;$ sont encore de pente $\;<0$ $\;{\big$à l'exception de $\;-166\;{\text{°C}}\;$ où l'isotherme est de pente nulle${\big )}$ ; Presque tout ce qui a été exposé exemples : $\color {transparent}{\succ }\;$le « dihydrogène $\;\color {transparent}{H_{2}}\;$», « au-dessus de $\;-166\;{\text{°C}}\;$» $\;{\big$donc en particulier aux températures ordinaires${\big )}$ $\;H_{2}\;$ est un fluide appelé G.R. par abus dont les isothermes dans l'approximation linéaire aux faibles pressions du diagramme d'Amagat de la même quantité $\;n\;$ fixée de $\;H_{2}\;$ sont de pente $\;>0$ ;
Presque tout ce qui a été exposé exemples : $\succ \;$le « diazote $\;N_{2}\;$», $\;\theta _{M,\,N_{2}}\simeq 51\;{\text{°C}}\;$ ${\big \$rappel : la température critique a pour valeur $\;\theta _{C,\,N_{2}}\simeq -147,1\;{\text{°C}}\;$ et la température d'ébullition standard $\;\theta _{{\text{ébull. std}},\,N_{2}}$ $\simeq -195,8\;{\text{°C}}\;$ en accord avec la pression de vapeur saturante à $\;\theta =-195,8\;{\text{°C}}$ «$\;p_{{\text{sat}},\,N_{2}}(-195,8\,{\text{°C}})=1,013\;bar\;$»${\big \}$ ; Presque tout ce qui a été exposé exemples : $\color {transparent}{\succ }\;$le « diazote $\;\color {transparent}{N_{2}}\;$», entre «$\;-195,8\;{\text{°C}}\;$ et $\;-147,1\;{\text{°C}}\;$» $\;N_{2}\;$ est un gaz dont les isothermes dans l'approximation linéaire aux faibles pressions du diagramme d'Amagat d'une quantité $\;n\;$ fixée de $\;N_{2}\;$ sont de pente $\;<0$ ; Presque tout ce qui a été exposé exemples : $\color {transparent}{\succ }\;$le « diazote $\;\color {transparent}{N_{2}}\;$», entre «$\;-147,1\;{\text{°C}}\;$ et $\;51\;{\text{°C}}\;$» $\;{\big$donc en particulier aux températures ordinaires${\big )}$ $\;N_{2}\;$ est un fluide appelé G.R. par abus dont les isothermes dans l'approximation linéaire aux faibles pressions du diagramme d'Amagat de la même quantité $\;n\;$ fixée de $\;N_{2}\;$ sont encore de pente $\;<0$ $\;{\big$à l'exception de $\;51\;{\text{°C}}\;$ où l'isotherme est de pente nulle${\big )}$ ; Presque tout ce qui a été exposé exemples : $\color {transparent}{\succ }\;$le « diazote $\;\color {transparent}{N_{2}}\;$», « au-dessus de $\;51\;{\text{°C}}\;$» $\;N_{2}\;$ est un fluide appelé G.R. par abus dont les isothermes dans l'approximation linéaire aux faibles pressions du diagramme d'Amagat de la même quantité $\;n\;$ fixée de $\;N_{2}\;$ sont de pente $\;>0$ ;
Presque tout ce qui a été exposé exemples : $\succ \;$le « dioxyde de carbone $\;CO_{2}\;$», $\;\theta _{M,\,CO_{2}}\simeq 500\;{\text{°C}}\;$ ${\big \$rappel : la température critique a pour valeur $\;\theta _{C,\,CO_{2}}\simeq 31,3\;{\text{°C}}\;$ et la température d'ébullition standard $\;\theta _{{\text{ébull. std}},\,CO_{2}}$ $\simeq -78,5\;{\text{°C}}\;$ $\Leftrightarrow$ la pression de vapeur saturante à $\;\theta =-78,5\;{\text{°C}}$ «$\;p_{{\text{sat}},\,CO_{2}}(-78,5\,{\text{°C}})=1,013\;bar\;$»${\big \}$ ; Presque tout ce qui a été exposé exemples : $\color {transparent}{\succ }\;$le « dioxyde de carbone $\;\color {transparent}{CO_{2}}\;$», entre «$\;-78,5\;{\text{°C}}\;$ et $\;31,3\;{\text{°C}}\;$» $\;{\big$donc en particulier aux températures ordinaires${\big )}$ $\;CO_{2}\;$ est un gaz dont les isothermes dans l'approximation linéaire aux faibles pressions du diagramme d'Amagat d'une quantité $\;n\;$ fixée de $\;CO_{2}\;$ sont de pente $\;<0$ ; Presque tout ce qui a été exposé exemples : $\color {transparent}{\succ }\;$le « dioxyde de carbone $\;\color {transparent}{CO_{2}}\;$», entre «$\;31,3\;{\text{°C}}\;$ et $\;500\;{\text{°C}}\;$» $\;CO_{2}\;$ est un fluide appelé G.R. par abus dont les isothermes dans l'approximation linéaire aux faibles pressions du diagramme d'Amagat de la même quantité $\;n\;$ fixée de $\;CO_{2}\;$ sont encore de pente $\;<0$ $\;{\big$à l'exception de $\;500\;{\text{°C}}\;$ où l'isotherme est de pente nulle${\big )}$ ; Presque tout ce qui a été exposé exemples : $\color {transparent}{\succ }\;$le « dioxyde de carbone $\;\color {transparent}{CO_{2}}\;$», « au-dessus de $\;500\;{\text{°C}}\;$» $\;CO_{2}\;$ est un fluide appelé G.R. par abus dont les isothermes dans l'approximation linéaire aux faibles pressions du diagramme d'Amagat de la même quantité $\;n\;$ fixée de $\;CO_{2}\;$ sont de pente $\;>0$ ;
Presque tout ce qui a été exposé exemples : $\succ \;$le « dioxygène $\;O_{2}\;$», $\;\theta _{M,\,O_{2}}\;$ d'ordre de grandeur entre $\;150\;$ à $\;200\;{\text{°C}}\;$ ${\big \$rappel : la température critique a pour valeur $\;\theta _{C,\,O_{2}}\simeq -118,7\;{\text{°C}}\;$ et la température d'ébullition standard $\;\theta _{{\text{ébull. std}},\,O_{2}}$ $\simeq -183\;{\text{°C}}\;$ en accord avec la pression de vapeur saturante à $\;\theta =-183\;{\text{°C}}$ «$\;p_{{\text{sat}},\,O_{2}}(-183\,{\text{°C}})=1,013\;bar\;$»${\big \}$ ; Presque tout ce qui a été exposé exemples : $\color {transparent}{\succ }\;$le « dioxygène $\;\color {transparent}{O_{2}}\;$», entre «$\;-183\;{\text{°C}}\;$ et $\;-118,7\;{\text{°C}}\;$» $\;O_{2}\;$ est un gaz dont les isothermes dans l'approximation linéaire aux faibles pressions du diagramme d'Amagat d'une quantité $\;n\;$ fixée de $\;O_{2}\;$ sont de pente $\;<0$ ; Presque tout ce qui a été exposé exemples : $\color {transparent}{\succ }\;$le « dioxygène $\;\color {transparent}{O_{2}}\;$», entre «$\;-118,7\;{\text{°C}}\;$ et $\;150\;$ à $\;200\;{\text{°C}}\;$» $\;{\big$donc en particulier aux températures ordinaires${\big )}$ $\;O_{2}\;$ est un fluide appelé G.R. par abus dont les isothermes dans l'approximation linéaire aux faibles pressions du diagramme d'Amagat de la même quantité $\;n\;$ fixée de $\;O_{2}\;$ sont encore de pente $\;<0$ $\;{\big$à l'exception de $\;150\;$ à $\;200\;{\text{°C}}\;$ où l'isotherme est de pente nulle${\big )}$ ; Presque tout ce qui a été exposé exemples : $\color {transparent}{\succ }\;$le « dioxygène $\;\color {transparent}{O_{2}}\;$», « au-dessus de $\;150\;$ à $\;200\;{\text{°C}}\;$» $\;O_{2}\;$ est un fluide appelé G.R. par abus dont les isothermes dans l'approximation linéaire aux faibles pressions du diagramme d'Amagat de la même quantité $\;n\;$ fixée de $\;O_{2}\;$ sont de pente $\;>0$ ;
Presque tout ce qui a été exposé exemples : $\succ \;$l'« eau $\;H_{2}O\;$», $\;\theta _{M,\,H_{2}O}\simeq 1000\;{\text{°C}}\;$ ${\big \$rappel : la température critique a pour valeur $\;\theta _{C,\,H_{2}O}\simeq 374,0\;{\text{°C}}\;$ et la température d'ébullition standard $\;\theta _{{\text{ébull. std}},\,H_{2}O}$ $\simeq 100\;{\text{°C}}\;$ en accord avec la pression de vapeur saturante à $\;\theta =100\;{\text{°C}}$ «$\;p_{{\text{sat}},\,H_{2}O}(100\,{\text{°C}})=1,013\;bar\;$»${\big \}$ ; Presque tout ce qui a été exposé exemples : $\color {transparent}{\succ }\;$l'« eau $\;\color {transparent}{H_{2}O}\;$», entre «$\;100\;{\text{°C}}\;$ et $\;374,0\;{\text{°C}}\;$» $\;H_{2}O\;$ est un gaz dont les isothermes dans l'approximation linéaire aux faibles pressions du diagramme d'Amagat d'une quantité $\;n\;$ fixée de $\;H_{2}O\;$ sont de pente $\;<0$ ; Presque tout ce qui a été exposé exemples : $\color {transparent}{\succ }\;$l'« eau $\;\color {transparent}{H_{2}O}\;$», entre «$\;374,0\;{\text{°C}}\;$ et $\;1000\;{\text{°C}}\;$» $\;H_{2}O\;$ est un fluide appelé G.R. par abus dont les isothermes dans l'approximation linéaire aux faibles pressions du diagramme d'Amagat de la même quantité $\;n\;$ fixée de $\;H_{2}O\;$ sont encore de pente $\;<0$ $\;{\big$à l'exception de $\;1000\;{\text{°C}}\;$ où l'isotherme est de pente nulle${\big )}$ ; Presque tout ce qui a été exposé exemples : $\color {transparent}{\succ }\;$l'« eau $\;\color {transparent}{H_{2}O}\;$», « au-dessus de $\;1000\;{\text{°C}}\;$» $\;H_{2}O\;$ est un fluide appelé G.R. par abus dont les isothermes dans l'approximation linéaire aux faibles pressions du diagramme d'Amagat de la même quantité $\;n\;$ fixée de $\;H_{2}O\;$ sont de pente $\;>0$.
Remarque : À «$\;T<T_{M,\,G.R.}\;$», l'isotherme dans l'approximation linéaire aux faibles pressions du diagramme d'Amagat d'une quantité $\;n\;$ fixée de G.R.$^,$ étant de pente $\;<0$, nous en déduisons «$\;\left({\dfrac {\partial \left[p\;{\mathcal {V}}\right]}{\partial p}}\right)_{\!T}\!\left(T\,,\,p\right)<0\;$» $\Leftrightarrow$ $\;{\mathcal {V}}\left(T\,,\,p\right)+p\,\left({\dfrac {\partial {\mathcal {V}}}{\partial p}}\right)_{\!T}\!\left(T\,,\,p\right)<0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left({\dfrac {\partial {\mathcal {V}}}{\partial p}}\right)_{\!T}\!\left(T\,,\,p\right)<-{\dfrac {{\mathcal {V}}\left(T\,,\,p\right)}{p}}\;$ soit «$\;-{\dfrac {1}{{\mathcal {V}}\left(T\,,\,p\right)}}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {V}}}{\partial p}}\right)_{\!T}\!\left(T\,,\,p\right)>{\dfrac {1}{p}}\;$» dans lequel le 1er membre est le cœfficient de compressibilité isotherme du G.R.$^,$ à la température $\;T\;$ et aux faibles pressions$^,$, le 2ème membre étant celui d'un G.P. dans les mêmes conditions de température et de pression c'est-à-dire
$\;\chi _{T,\,G.R.}\left(T<T_{M,\,G.R.}\,,\,p_{\,{\text{faible}}}\right)>\chi _{T,\,G.P.}\left(T<T_{M,\,G.R.}\,,\,p_{\,{\text{faible}}}\right)\;$
$\;T<T_{M,\,G.R.}\;$
Remarque : à «$\;T>T_{M,\,G.R.}\;$», l'isotherme dans l'approximation linéaire aux faibles pressions du diagramme d'Amagat d'une quantité $\;n\;$ fixée de G.R.$^,$ étant de pente $\;>0$, nous en déduisons «$\;\left({\dfrac {\partial \left[p\;{\mathcal {V}}\right]}{\partial p}}\right)_{\!T}\!\left(T\,,\,p\right)>0\;$» $\Leftrightarrow$ $\;{\mathcal {V}}\left(T\,,\,p\right)+p\,\left({\dfrac {\partial {\mathcal {V}}}{\partial p}}\right)_{\!T}\!\left(T\,,\,p\right)>0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left({\dfrac {\partial {\mathcal {V}}}{\partial p}}\right)_{\!T}\!\left(T\,,\,p\right)>-{\dfrac {{\mathcal {V}}\left(T\,,\,p\right)}{p}}\;$ soit «$\;-{\dfrac {1}{{\mathcal {V}}\left(T\,,\,p\right)}}\left({\dfrac {\partial {\mathcal {V}}}{\partial p}}\right)_{\!T}\!\left(T\,,\,p\right)<{\dfrac {1}{p}}\;$» dans lequel le 1er membre est le cœfficient de compressibilité isotherme du G.R.$^,$ à la température $\;T\;$ et aux faibles pressions$^,$, le 2ème membre étant celui d'un G.P. dans les mêmes conditions de température et de pression c'est-à-dire
$\;\chi _{T,\,G.R.}\left(T>T_{M,\,G.R.}\,,\,p_{\,{\text{faible}}}\right)<\chi _{T,\,G.P.}\left(T>T_{M,\,G.R.}\,,\,p_{\,{\text{faible}}}\right)\;$
$\;T>T_{M,\,G.R.}\;$

## Définition d’un G.P. comme cas limite d’un G.R. aux pressions évanouissantes
### Rappel de la définition d’un G.P. (aspect microscopique)

Voir les paragraphes « modèle du G.P.M. (gaz parfait monoatomique) » et « généralisation, modèle du G.P.P. (gaz parfait polyatomique) » du chap.$3$ de la leçon « Thermodynamique (PCSI) », Voir les paragraphes définition rappelée ci-après $\;{\big$aspect microscopique${\big )}$ :
Un G.P. est un gaz de « molécules identiques » « quasi-ponctuelles » « sans interaction intermoléculaire » ; une répartition statistique des vecteurs vitesse des molécules traduisant les propriétés d'isotropie, d'homogénéité et de stationnarité $\;{\big$cette dernière propriété si le G.P. est en équilibre thermodynamique${\big )}\;$ y est adoptée.
Remarque : si le gaz est composé de « plusieurs types de molécules monoatomiques ou polyatomiques », « quasi-ponctuelles » et « sans interaction intermoléculaire » y compris entre deux types différents de molécules, le gaz est un « mélange idéal de G.P. » $\;{\big$et non un G.P.${\big )}$.

### Autre définition d’un G.P. (aspect macroscopique ou mésoscopique)

Un G.P. $\;{\big$dans son aspect macroscopique ou mésoscopique${\big )}\;$ est défini comme la limite d’un G.R. $\;{\big$de molécules identiques${\big )}\;$ aux pressions évanouissantes en effet :
Un G.P. $\;\color {transparent}{\big$dans son aspect macroscopique ou mésoscopique$\color {transparent}{\big )}\;$ partant de cette définition, nous en déduisons celle d'un G.P. dans son aspect microscopique car, Un G.P. $\;\color {transparent}{\big$dans son aspect macroscopique ou mésoscopique$\color {transparent}{\big )}\;$ faisant tendre la pression $\;p\;$ vers $\;0$, la distance moyenne séparant les molécules tend vers l’infini ce qui implique que Un G.P. $\;\color {transparent}{\big$dans son aspect macroscopique ou mésoscopique$\color {transparent}{\big )}\;$ faisant tendre la pression $\;\color {transparent}{p}\;$ vers $\;\color {transparent}{0}$, les molécules peuvent être considérées « quasi-ponctuelles » $\;{\big \$leur dimension propre devenant très petite par rapport à la distance moyenne intermoléculaire $\;{\big\!\Rightarrow$ le covolume $\;{\big$qui ne dépend que des dimensions propres${\big )}\;$ est négligeable relativement au volume $\;{\big$qui est devenu infini${\big )}{\big ]}{\big \}$ et Un G.P. $\;\color {transparent}{\big$dans son aspect macroscopique ou mésoscopique$\color {transparent}{\big )}\;$ faisant tendre la pression $\;\color {transparent}{p}\;$ vers $\;\color {transparent}{0}$, les molécules peuvent être considérées « sans interaction intermoléculaire » $\;{\bigg \$les forces d’interaction entre molécules étant à très courte portée deviennent nulles lorsque la distance moyenne intermoléculaire est infinie $\;{\bigg\!\Rightarrow$ la valeur absolue de la pression moléculaire $\;{\bigg\!$qui dépend de l'intensité des forces d'interaction et est $\;\propto \;$au carré de la densité volumique molaire $\;n_{\text{vol}}^{\,2}={\dfrac {n^{2}}{{\mathcal {V}}^{2}}}{\bigg )}\;$ est négligeable relativement à la pression $\;{\big$la pression tendant vers $\;0\;$ selon un infiniment petit d'ordre un alors que la pression moléculaire tend vers $\;0\;$ selon un infiniment petit d'ordre deux${\big )}{\bigg ]}{\bigg \}$ d'où Un G.P. $\;\color {transparent}{\big$dans son aspect macroscopique ou mésoscopique$\color {transparent}{\big )}\;$ un G.P. $\;{\big$dans son aspect macroscopique ou mésoscopique${\big )}\;$ est « parfait » $\;{\big$dans son aspect microscopique${\big )}$.
Un G.P. $\;{\big$dans son aspect microscopique${\big )}\;$ n'a de sens qu'en considérant un « échantillon mésoscopique de G.P. $\;{\big$dans l'aspect microscopique de ce dernier${\big )}\;$» à savoir un échantillon de gaz composé de « molécules identiques », « quasi-ponctuelles », « sans interaction intermoléculaire » quelle que soit la pression $\;p\;$ à laquelle il est soumis et Un G.P. $\;\color {transparent}{\big$dans son aspect microscopique$\color {transparent}{\big )}\;$ cet échantillon suit la définition d'un G.P. $\;{\big$dans son aspect macroscopique ou mésoscopique${\big )}\;$ car les molécules le constituant étant « identiques », « quasi-ponctuelles », « sans interaction intermoléculaire » quelle que soit la pression $\;p\;$ le restent quand $\;p\rightarrow 0$ $\;{\big \$l'échantillon mésoscopique de G.P. $\;{\big$dans son aspect microscopique${\big )}\;$ est en fait une approximation d'un échantillon mésoscopique de G.R.$^,$${\big \}$ d'où Un G.P. $\;\color {transparent}{\big$dans son aspect microscopique$\color {transparent}{\big )}\;$ la définition d'un G.P. $\;{\big$dans son aspect microscopique${\big )}\;$ contient celle d'un G.P. $\;{\big$dans son aspect macroscopique et mésoscopique${\big )}\;$.
Que ce soit l'une ou l'autre des définitions d'un G.P., il faut y ajouter une répartition statistique des vecteurs vitesse des molécules traduisant les propriétés d'isotropie, d'homogénéité et de stationnarité $\;{\big$cette dernière propriété si le G.P. est en équilibre thermodynamique${\big )}\;$.

## Tracé des isothermes d’un G.P. dans le diagramme de Clapeyron

La forme locale de l'équation d’état d'un G.P. en équilibre thermodynamique étant «$\;p\;{\mathcal {V}}_{\text{mol}}=R\;T\;$» ou, La forme locale de l'équation d'état d'un G.P. en équilibre thermodynamique avec le volume massique $\;v={\dfrac {{\mathcal {V}}_{\text{mol}}}{M}}\;$ $\;{\bigM\;$ étant la masse molaire moléculaire du G.P.${\big )}$, La forme locale de l'équation d'état d'un G.P. en équilibre thermodynamique étant «$\;p\;v=r\;T\;$ avec $\;r={\dfrac {R}{M}}\;$ la constante massique de ce G.P. », nous en déduisons La forme locale de l'équation d'état d'un G.P. en équilibre thermodynamique l’équation de l’isotherme à la température $\;T_{0}\;$ de ce G.P. dans le diagramme de Clapeyron$^,$ «$\;p={\dfrac {r\;T_{0}}{v}}\;$», équation de la branche d’une « hyperbole équilatère » située dans le dièdre supérieur droit du repère$^,$.

## Tracé des isothermes d’une quantité « n » fixée d’un G.P. dans le diagramme d’Amagat

Une quantité «$\;n\;$» fixée d’un G.P. en équilibre thermodynamique ayant pour équation d’état sous forme intégrale «$\;p\;{\mathcal {V}}=n\;R\;T\;$» avec $\;{\mathcal {V}}\;$ le volume de l'expansion tridimensionnelle dans laquelle la quantité $\;n\;$ de ce G.P. est répartie, nous en déduisons Une quantité «$\;\color {transparent}{n}\;$» fixée d’un G.P. en équilibre thermodynamique l’équation de l’isotherme à la température $\;T_{0}\;$ de la quantité $\;n\;$ de ce G.P. dans le diagramme d’Amagat «$\;p\;{\mathcal {V}}=n\;R\;T_{0}\;$», équation d’une « droite $\;\parallel \;$ à l’axe des pressions » $\;{\big$l’ordonnée à l’origine dépendant de la quantité $\;n\;$ et de la température $\;T_{0}{\big )}\;$.
Remarque : Le tracé du diagramme d’Amagat est particulièrement intéressant pour tester le caractère parfait ou non d’un G.R..