# Signaux physiques - bis (PCSI)/Exercices/Oscillateurs amortis : association d'impédances complexes
## Réponse en intensité d'un circuit « L parallèle sur R » en série avec C, soumis à une tension de valeur efficace fixée

On impose au circuit ci-contre une tension sinusoïdale $\;u(t)=U\,{\sqrt {2}}\cos(\omega \,t)$, la réponse forcée en intensité de courant circulant dans le circuit étant mise sous la forme $\;i(t)=I\,{\sqrt {2}}\cos(\omega \,t-\varphi )\;$.

### Condition pour que l'intensité efficace I du courant circulant dans le circuit soit indépendante de R

Après avoir déterminé l'impédance complexe du circuit, déterminer l'intensité efficace complexe du courant y circulant et Après avoir déterminé l'impédance complexe du circuit, en déduire son intensité efficace $\;I\;$ en fonction de $\;L$, $\;C$, $\;R$, $\;U\;$ et $\;\omega$ ;
Après avoir déterminé l'impédance complexe du circuit, déterminer à quelle condition de pulsation, $\;I\;$ est indépendante de $\;R$.
On impose au circuit ci-dessus une tension sinusoïdale $\;u(t)=U\,{\sqrt {2}}\cos(\omega \,t)\;$ à laquelle on associe la tension instantanée complexe «$\;{\underline {u}}(t)=U\,{\sqrt {2}}\,\exp(j\,\omega \,t)\;$» et on cherche la réponse forcée en intensité de courant circulant dans le circuit sous la forme $\;i(t)=I\,{\sqrt {2}}\cos(\omega \,t-\varphi )\;$ à laquelle on associe l'intensité instantanée complexe «$\;{\underline {i}}(t)={\underline {I}}\,{\sqrt {2}}\,\exp(j\,\omega \,t)\;$» avec l'intensité efficace complexe définie par «$\;{\underline {I}}=I\,\exp(-j\,\varphi )\;$» ${\big$voir le schéma en complexe ci-contre${\big )}$ ;
l'impédance complexe du circuit se définit alors selon «$\;{\underline {Z}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {u}}(t)}{{\underline {i}}(t)}}={\dfrac {U}{\underline {I}}}={\dfrac {U}{I}}\,\exp(j\,\varphi )=Z(\omega )\,\exp \!\left[j\,\varphi (\omega )\right]\;$», avec «$\;{\dfrac {U}{I}}=Z(\omega )=\vert {\underline {Z}}(j\,\omega )\vert \;$ l'impédance du circuit » et «$\;\varphi (\omega )=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {Z}}(j\,\omega )\right]\;$ l'avance de phase de la tension sur l'intensité » ;
$\;C$
$\;{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )=$
${\dfrac {1}{j\;C\;\omega }}\;$
$\;R\;$
$\;L$
$\;{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )=j\;L\;\omega$
$\;{\underline {Z_{L\,\parallel \,R}}}(j\,\omega )={\dfrac {R\;j\;L\;\omega }{R+j\;L\;\omega }}\;$
$\;{\underline {Z}}(j\,\omega )={\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{L\,\parallel \,R}}}(j\,\omega )\;$
$={\dfrac {1}{j\;C\;\omega }}+{\dfrac {R\;j\;L\;\omega }{R+j\;L\;\omega }}\;$
$\;{\underline {Z}}(j\,\omega )={\dfrac {R\left(1-L\;C\;\omega ^{2}\right)+j\;L\;\omega }{j\;C\;\omega \left(R+j\;L\;\omega \right)}}\;$
$\;{\underline {I}}={\dfrac {U}{{\underline {Z}}(j\,\omega )}}={\dfrac {j\;C\;\omega \left(R+j\;L\;\omega \right)}{R\left(1-L\;C\;\omega ^{2}\right)+j\;L\;\omega }}\;U\;$
$\;I={\Bigg \vert }{\dfrac {j\;C\;\omega \left(R+j\;L\;\omega \right)}{R\left(1-L\;C\;\omega ^{2}\right)+j\;L\;\omega }}{\Bigg \vert }\;U\;$
$\;I={\dfrac {C\;\omega \;{\sqrt {R^{2}+L^{2}\;\omega ^{2}}}}{\sqrt {R^{2}\left(1-L\;C\;\omega ^{2}\right)^{2}+L^{2}\;\omega ^{2}}}}\;U\;$
$\;I={\sqrt {\dfrac {R^{2}+L^{2}\;\omega ^{2}}{R^{2}\left(1-L\;C\;\omega ^{2}\right)^{2}+L^{2}\;\omega ^{2}}}}\;C\;\omega \;U\;$
$\;R\;$
$\;f(R^{2})=\left({\dfrac {I}{C\;\omega \;U}}\right)^{\!2}={\dfrac {R^{2}+L^{2}\;\omega ^{2}}{R^{2}\left(1-L\;C\;\omega ^{2}\right)^{2}+L^{2}\;\omega ^{2}}}\;$
$\;R^{2}\;$
$\;{\dfrac {df}{d(R^{2})}}=0\;$
$\;{\dfrac {df}{d(R^{2})}}=$
${\dfrac {\left[R^{2}\left(1-L\;C\;\omega ^{2}\right)^{2}+L^{2}\;\omega ^{2}\right]-\left[R^{2}+L^{2}\;\omega ^{2}\right]\left(1-L\;C\;\omega ^{2}\right)^{2}}{\left[R^{2}\left(1-L\;C\;\omega ^{2}\right)^{2}+L^{2}\;\omega ^{2}\right]^{2}}}=$
${\dfrac {L^{2}\;\omega ^{2}\left[1-\left(1-L\;C\;\omega ^{2}\right)^{2}\right]}{\left[R^{2}\left(1-L\;C\;\omega ^{2}\right)^{\!2}+L^{2}\;\omega ^{2}\right]^{\!2}}}={\dfrac {L^{2}\;\omega ^{2}\left[L\;C\;\omega ^{2}\left(2-L^{2}\;C^{2}\;\omega ^{2}\right)\right]}{\left[R^{2}\left(1-L\;C\;\omega ^{2}\right)^{\!2}+L^{2}\;\omega ^{2}\right]^{2}}}\;$
$\;L\;C\;\omega ^{2}=2\;$
$\;\omega _{1}={\sqrt {\dfrac {2}{L\;C}}}\;$
$\;I\;$
$\;R\;$
$\;\omega _{1}={\sqrt {\dfrac {2}{L\;C}}}\;$

### Dans cette condition évaluation de l'intensité efficace I$_1$ du courant ainsi que l'avance de phase φ$_1$ de la tension sur l'intensité

La condition précédente étant réalisée déterminer la valeur $\;I_{1}\;$ de l'intensité efficace du courant traversant le circuit et
La condition précédente étant réalisée déterminer la valeur $\;\varphi _{1}\;$ de l'avance de phase de la tension imposée au circuit sur l'intensité du courant le traversant.
$\;R\;$
$\;\omega =\omega _{1}\;$
$\;L\;C\;\omega _{1}^{2}=2\;$
$\;{\underline {I}}_{1}={\dfrac {j\;C\;\omega _{1}\left(R+j\;L\;\omega _{1}\right)}{-R+j\;L\;\omega _{1}}}\;U\;$
$\;I_{1}=\vert {\underline {I}}_{1}\vert =C\;\omega _{1}\;U={\sqrt {\dfrac {2\;C}{L}}}\;U\;$
$\;R$
$\;\varphi _{1}=-\mathrm {arg} \!\left[{\underline {I}}_{1}\right]=$
$-\mathrm {arg} \!\left(j\;C\;\omega _{1}\right)-\mathrm {arg} \!\left(R+j\;L\;\omega _{1}\right)+\mathrm {arg} \!\left(-R+j\;L\;\omega _{1}\right)=-{\dfrac {\pi }{2}}-\arctan \!\left({\dfrac {L\,\omega _{1}}{R}}\right)+\mathrm {arg} \;\left[(-1)(R-j\;L\;\omega _{1})\right]\;$
$\;\varphi _{1}=-{\dfrac {\pi }{2}}-\arctan \!\left({\dfrac {L\,\omega _{1}}{R}}\right)+\pi -\arctan \!\left({\dfrac {L\,\omega _{1}}{R}}\right)\;$
$\;\mathrm {arg} (-1)$
$=\pi \;$
$\;\varphi _{1}={\dfrac {\pi }{2}}-2\,\arctan \!\left({\dfrac {L\,\omega _{1}}{R}}\right)={\dfrac {\pi }{2}}-2\,\arctan \!\left({\dfrac {1}{R}}\;{\sqrt {\dfrac {2\;L}{C}}}\right)\;$

### Condition supplémentaire pour que la tension et l'intensité soient en phase

En déduire la condition supplémentaire pour que $\;\varphi _{1}\;$ soit nul.
De «$\;\varphi _{1}={\dfrac {\pi }{2}}-2\,\arctan \!\left({\dfrac {L\,\omega _{1}}{R}}\right)={\dfrac {\pi }{2}}-2\,\arctan \!\left({\dfrac {1}{R}}\;{\sqrt {\dfrac {2\;L}{C}}}\right)\;$» on déduit «$\;\varphi _{1}=0\;$ si $\;\arctan \!\left({\dfrac {L\,\omega _{1}}{R}}\right)=\arctan \!\left({\dfrac {1}{R}}\;{\sqrt {\dfrac {2\;L}{C}}}\right)={\dfrac {\pi }{4}}\;$» ce qui est réalisé si «$\;R=L\;\omega _{1}={\sqrt {\dfrac {2\;L}{C}}}\;$».

## Réponse en intensité d'un circuit « R C série » en parallèle sur une bobine réelle en phase avec la tension imposée de valeur efficace fixée

On considère le circuit représenté ci-contre où la f.e.m. du générateur de tension parfait est $\;e(t)\;$ sinusoïdale de valeur efficace fixée $\;E\;$ et de pulsation variable $\;\omega$ ; on s'intéresse à la réponse sinusoïdale forcée en $\;i(t)\;$ intensité du courant délivré au circuit ci-contre par le générateur.
Sous réserve de condition sur $\;r$, $\;R$, $\;L\;$ et $\;C$, il existe une pulsation $\;\omega _{1}\;$ pour laquelle l'intensité $\;i(t)\;$ est en phase avec la tension $\;e(t)$.
Déterminer la pulsation $\;\omega _{1}\;$ et
préciser les conditions associées.
« L'intensité $\;i(t)\;$ du courant traversant le circuit et la tension $\;e(t)\;$ aux bornes du circuit seront en phase » si l'impédance complexe du circuit entre $\;A\;$ et $\;B$ «$\;{\underline {Z_{AB}}}(j\,\omega )\;$ est un réel positif » ;
or l'impédance complexe du circuit entre $\;A\;$ et $\;B$ s'évaluant selon «$\;{\underline {Z_{AB}}}(j\,\omega )={\dfrac {(r+j\;L\;\omega )\left(R+{\dfrac {1}{j\;C\;\omega }}\right)}{(r+j\;L\;\omega )+\left(R+{\dfrac {1}{j\;C\;\omega }}\right)}}\;$» $\;{\Bigg$l'impédance complexe de la bobine réelle et celle du «$\;R\,C\;$ série » étant $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\underline {Z}}_{AB,\,{\text{bobine}}}=r+j\;L\;\omega \\{\underline {Z}}_{AB,\,R\,C\,{\text{série}}}=R+{\dfrac {1}{j\;C\;\omega }}\end{array}}\right\rbrace \;$${\Bigg ]}\;$ ce que l'on peut réécrire en multipliant haut et bas par $\;j\;C\;\omega \;$ et en regroupant les termes du dénominateur de façon à y obtenir un polynôme en $\;j\;\omega \;$ selon «$\;{\underline {Z_{AB}}}(j\,\omega )={\dfrac {(r+j\;L\;\omega )\,(1+j\;R\;C\;\omega )}{1-L\;C\;\omega ^{2}+j\;(R+r)\;C\;\omega }}\;$» ou, en développant le numérateur et en regroupant les termes de ce dernier de façon à y obtenir un polynôme en $\;j\;\omega$, «$\;{\underline {Z_{AB}}}(j\,\omega )={\dfrac {r-R\;L\;C\;\omega ^{2}+j\;(L\;\omega +r\;R\;C\;\omega )}{1-L\;C\;\omega ^{2}+j\;(R+r)\;C\;\omega }}\;$» on en déduit :
l'avance de phase de la tension sur l'intensité par «$\;\varphi (\omega )=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {Z_{AB}}}(j\,\omega )\right]=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {N}}(j\,\omega )\right]-\mathrm {arg} \!\left[{\underline {D}}(j\,\omega )\right]$» dans laquelle le polynôme en $\;j\;\omega \;$
* du numérateur $\;{\underline {N}}(j\,\omega )=r-R\;L\;C\;\omega ^{2}+j\;(L\;\omega +r\;R\;C\;\omega )\;$ se réécrit selon «$\;{\underline {N}}(j\,\omega )=j\;(L\;\omega +r\;R\;C\;\omega )\left[1+j\;{\dfrac {R\;L\;C\;\omega ^{2}-r}{L\;\omega +r\;R\;C\;\omega }}\right]\;$» $\Rightarrow$ «$\;\mathrm {arg} \!\left[{\underline {N}}(j\,\omega )\right]$ $={\dfrac {\pi }{2}}+\arctan \!\left[{\dfrac {R\;L\;C\;\omega ^{2}-r}{L\;\omega +r\;R\;C\;\omega }}\right]\;$» et
* du dénominateur $\;{\underline {D}}(j\,\omega )=1-L\;C\;\omega ^{2}+j\;(R+r)\;C\;\omega \;$ se réécrit selon «$\;{\underline {D}}(j\,\omega )=j\;(R+r)\;C\;\omega \left[1+j\;{\dfrac {L\;C\;\omega ^{2}-1}{(R+r)\;C\;\omega }}\right]\;$» $\Rightarrow$ «$\;\mathrm {arg} \!\left[{\underline {D}}(j\,\omega )\right]$ $={\dfrac {\pi }{2}}+\arctan \!\left[{\dfrac {L\;C\;\omega ^{2}-1}{(R+r)\;C\;\omega }}\right]\;$» d'où
$\;e(t)\;$
$\;i(t)\;$
$\;\varphi (\omega )=\arctan \!\left[{\dfrac {R\;L\;C\;\omega ^{2}-r}{L\;\omega +r\;R\;C\;\omega }}\right]-\arctan \!\left[{\dfrac {L\;C\;\omega ^{2}-1}{(R+r)\;C\;\omega }}\right]\;$
il reste à écrire que «$\;\varphi (\omega _{1})=0\;$» soit encore «$\;\arctan \!\left[{\dfrac {R\;L\;C\;\omega _{1}^{2}-r}{L\;\omega _{1}+r\;R\;C\;\omega _{1}}}\right]=\arctan \!\left[{\dfrac {L\;C\;\omega _{1}^{2}-1}{(R+r)\,C\;\omega _{1}}}\right]\;$» ou «$\;{\dfrac {R\;L\;C\;\omega _{1}^{2}-r}{L+r\;R\;C}}={\dfrac {L\;C\;\omega _{1}^{2}-1}{(R+r)\;C}}\;$» nécessitant que la pulsation particulière $\;\omega _{1}\;$ soit solution de l'équation «$\;\left[R\;L\;C^{2}\;(R+r)-(L+r\;R\;C)\;L\;C\right]\omega _{1}^{2}=r\;(R+r)\;C-L-r\;R\;C\;$» ou, après simplification «$\;\omega _{1}^{2}={\dfrac {r^{2}\;C-L}{L\;C\;(R^{2}\;C-L)}}\;$» ;
« cette pulsation $\;\omega _{1}\;$ existe » si
* «$\;r\;$ et $\;R\;$ sont toutes deux $\;>{\sqrt {\dfrac {L}{C}}}\;$ ou
* «$\;\color {transparent}{r}\;$ et $\;\color {transparent}{R}\;$ sont toutes deux $\;<{\sqrt {\dfrac {L}{C}}}\;$»,
$\;\omega _{1}={\dfrac {1}{\sqrt {L\;C}}}\;{\sqrt {\dfrac {r^{2}\;C-L}{R^{2}\;C-L}}}$
$\;{\underline {Z}}_{AB}(j\,\omega _{1})={\dfrac {r-R\;L\;C\;\omega _{1}^{2}+j\;(L\;\omega _{1}+r\;R\;C\;\omega _{1})}{1-L\;C\;\omega _{1}^{2}+j\;(R+r)\;C\;\omega _{1}}}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\underline {Z}}_{AB}(j\,\omega _{1})={\dfrac {L+r\;R\;C}{(R+r)\;C}}\;$

## Montage déphaseur

On considère le circuit ci-contre où on étudie la « réponse sinusoïdale forcée en $\;u(t)=U\,{\sqrt {2}}\,\cos(\omega \,t+\varphi )\;$ tension de sortie du pont d'impédances en r.s.f. de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ alimenté en entrée par $\;e(t)=E\;{\sqrt {2}}\;\cos(\omega \;t)\;$».

### Tension efficace de sortie indépendante de R, L et C

Déterminer « la tension efficace complexe de sortie $\;{\underline {U}}=U\;\exp \!\left(j\,\varphi \right)\;$» en fonction de la tension efficace complexe d'entrée $\;E\;$, des grandeurs caractérisant le pont de type Wheatstone et de la pulsation $\;\omega \;$ du r.s.f. ;
en déduire « la tension efficace de sortie $\;U\;$» et vérifier qu'elle est indépendante de $\;R$, $\;L\;$ et $\;C$.
Il s'agit d'un « pont de type Wheatstone en sortie ouverte représenté ci-contre en complexe associée au r.s.f. de fréquence $\;f=$ ${\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ alimenté en entrée par $\;{\underline {e}}(t)=E\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$», « la tension instantanée complexe de sortie ouverte $\;{\underline {u}}(t)={\underline {U}}\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$ s'identifiant à la f.e.m. instantanée complexe de Thévenin $\;{\underline {e_{\text{Th}}}}(t)={\underline {v_{A}}}(t)-{\underline {v_{B}}}(t)\;$» où $\;{\underline {v_{A}}}(t)\;$ et $\;{\underline {v_{A}}}(t)\;$ sont respectivement les potentiels instantanés complexes des bornes $\;A\;$ et $\;B$, peut être déterminée par théorème de Millmann en $\;A\;$ puis $\;B\;$, la masse ayant été choisie en $\;D\;$ le potentiel instantané complexe en $\;F\;$ vaut donc $\;{\underline {v_{F}}}(t)={\underline {e}}(t)\;$ soit :
application du théorème de Millman en$\;A$ : «$\;{\underline {v_{A}}}(t)={\dfrac {{\dfrac {{\underline {e}}(t)}{R}}+0\,j\,C\,\omega }{{\dfrac {1}{R}}+j\,C\,\omega }}={\dfrac {{\underline {e}}(t)}{1+j\,R\,C\,\omega }}\;$»$^,$,
application du théorème de Millman en$\;B$ : «$\;{\underline {v_{B}}}(t)={\dfrac {{\dfrac {{\underline {e}}(t)}{j\,L\,\omega }}+{\dfrac {0}{j\,L\,\omega }}}{\dfrac {2}{j\,L\,\omega }}}={\dfrac {{\underline {e}}(t)}{2}}\;$»$^,$,
$\;{\underline {e_{\text{Th}}}}(t)={\underline {v_{A}}}(t)-{\underline {v_{B}}}(t)={\dfrac {{\underline {e}}(t)}{1+j\,R\,C\,\omega }}-{\dfrac {{\underline {e}}(t)}{2}}={\dfrac {{\underline {e}}(t)\left[2-(1+j\,R\,C\,\omega )\right]}{2\,(1+j\,R\,C\,\omega )}}\;$
$\;{\underline {u}}(t)={\underline {e_{\text{Th}}}}(t)={\dfrac {{\underline {e}}(t)}{2}}\,{\dfrac {1-j\,R\,C\,\omega }{1+j\,R\,C\,\omega }}\;$
$\;{\underline {U}}={\dfrac {E}{2}}\,{\dfrac {1-j\,R\,C\,\omega }{1+j\,R\,C\,\omega }}\;$
$\;U=\vert {\underline {U}}\vert ={\dfrac {E}{2}}\;{\bigg \vert }{\dfrac {1-j\,R\,C\,\omega }{1+j\,R\,C\,\omega }}{\bigg \vert }={\dfrac {E}{2}}\;$
c'est-à-dire que « la tension efficace de sortie $\;U\;$ est effectivement indépendante de $\;R$, $\;L\;$ et $\;C\;$».

### Avance de phase de la tension de sortie sur la tension d'entrée et justification du nom du montage

Exprimer l'avance de phase $\;\varphi \;$ de la tension de sortie $\;u(t)\;$ sur celle d'entrée $\;e(t)\;$ et
préciser comment $\;\varphi \;$ varie lorsque l'on fait varier $\;R\;$ de $\;0\;$ à $\;\infty$.
Justifier le nom du montage.
La phase à l'origine de $\;u(t)\;$ se détermine par «$\;\varphi =\mathrm {arg} \!({\underline {U}})=\mathrm {arg} \!\left({\dfrac {E}{2}}\,{\dfrac {1-j\,R\,C\,\omega }{1+j\,R\,C\,\omega }}\right)=\mathrm {arg} (1-j\,R\,C\,\omega )-\mathrm {arg} (1+j\,R\,C\,\omega )\;$» soit «$\;\varphi =-2\,\arctan(R\,C\,\omega )\;$» ;
«$\;\varphi \searrow \;$ de $\;0\;$ à $\;-\pi \;$ quand $\;R\nearrow \;$ de $\;0\;$ à $\;\infty \;$» et ainsi seule la phase varie $\;{\big$la valeur efficace restant constante${\big )}$.
Le nom de « montage déphaseur » résulte du fait que la tension de sortie est de valeur efficace constante $\;{\big$la moitié de la valeur efficace de la tension d'entrée${\big )}\;$ et Le nom de « montage déphaseur » résulte du fait qu'il est possible de régler son avance de phase par rapport à la tension d'entrée grâce à la résistance variable$\;R$ $\;{\bigg$comme l'avance de phase de $\;u(t)\;$ sur $\;e(t)\;$ est négative, cela veut dire que $\;u(t)\;$ est en fait en retard de phase par rapport à $\;e(t)$, ce retard variant de $\;0\;$ à $\;\pi$, tensions d'entrée et de sortie quasiment en phase pour $\;R\;$ très faible et quasiment en opposition de phase pour $\;R\;$ très grande, la tension de sortie étant en quadrature retard sur celle d'entrée pour $\;R={\dfrac {1}{C\,\omega }}{\bigg ]}$.

## R.D.L.A. (réseau dipolaire linéaire actif) en r.s.f. équivalent, pour une fréquence particulière, à un générateur de courant quand il est fermé sur un conducteur ohmique

On considère le circuit ci-contre dans lequel le générateur de fonctions délivre une f.e.m. instantanée sinusoïdale $\;e(t)=E\,{\sqrt {2}}\,\sin(\omega \,t)\;$, de valeur efficace $\;E\;$ fixée et de pulsation $\;\omega \;$ que l'on fait varier ; de plus, son dipôle passif interne est supposé d'impédance négligeable.
Le reste du circuit est composé d'un P.D.T. en r.s.f. dont le « D.P.L. aux bornes duquel est définie la sortie est une bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$» et le « D.P.L. d'attaque un condensateur de capacité $\;C\;$» ; on place en sortie un conducteur ohmique de résistance $\;R$.

### Valeur de la pulsation pour que l'intensité efficace du courant traversant R soit indépendante de R

Déterminer l'« intensité instantanée complexe $\;{\underline {i}}(t)={\underline {I}}\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$ du courant circulant dans le conducteur ohmique » avec «$\;{\underline {I}}=I\;\exp \!\left(j\,\varphi \right)\;$ l'intensité efficace complexe » puis
en déduire l'« intensité efficace complexe $\;{\underline {I}}\;$» ainsi que l'« intensité efficace $\;I\;$» ;
déterminer la « valeur de la pulsation $\;\omega _{1}\;$ pour laquelle l'intensité efficace $\;I\;$ traversant le conducteur ohmique est indépendante de $\;R\;$».
Bien sûr il convient de refaire le schéma en représentation complexe.
On travaille en sinusoïdal forcé et « on associe à $\;e(t)=E\,{\sqrt {2}}\,\sin(\omega \,t)$, la f.e.m. instantanée complexe $\;{\underline {e}}(t)=E\,{\sqrt {2}}\,\exp(j\,\omega \,t)\;$».
Mettons $\;B\;$ à la masse et appliquons le théorème de Millmann complexe en $\;A\;$, en considérant que « le dipôle délivre un courant d'intensité instantanée complexe $\;{\underline {i}}(t)\;$», on obtient : Mettons $\;\color {transparent}{B}\;$ à la masse et appliquons le théorème de Millmann complexe en $\;\color {transparent}{A}\;$ «$\;{\underline {v_{A}}}(t)={\dfrac {j\,C\,\omega \,{\underline {e}}(t)+{\dfrac {0}{j\,L\,\omega }}-{\underline {i}}(t)}{j\,C\,\omega +{\dfrac {1}{j\,L\,\omega }}}}={\dfrac {-L\,C\,\omega ^{2}\,{\underline {e}}(t)-j\,L\,\omega \,{\underline {i}}(t)}{1-L\,C\,\omega ^{2}}}\;$» ;
$\;{\underline {v_{B}}}(t)=0\;$
$\;A\;$
$\;B\;$
$\;{\underline {u_{AB}}}(t)={\underline {v_{A}}}(t)-{\underline {v_{B}}}(t)={\dfrac {-L\,C\,\omega ^{2}\,{\underline {e}}(t)-j\,L\,\omega \,{\underline {i}}(t)}{1-L\,C\,\omega ^{2}}}\;$
$\;\color {transparent}{{\underline {v_{B}}}(t)=0}\;$
$\;R\;$
$\;{\underline {u_{AB}}}(t)=R\,{\underline {i}}(t)\;$
$\Rightarrow$
$\;{\dfrac {-L\,C\,\omega ^{2}\,{\underline {e}}(t)-j\,L\,\omega \,{\underline {i}}(t)}{1-L\,C\,\omega ^{2}}}=R\,{\underline {i}}(t)\;$
$\;{\dfrac {-L\,C\,\omega ^{2}\,{\underline {e}}(t)}{1-L\,C\,\omega ^{2}}}$
$=\left[{\dfrac {j\,L\,\omega }{1-L\,C\,\omega ^{2}}}+R\right]{\underline {i}}(t)\;$
$\;{\underline {i}}(t)={\dfrac {\dfrac {-L\,C\,\omega ^{2}\,{\underline {e}}(t)}{1-L\,C\,\omega ^{2}}}{{\dfrac {j\,L\,\omega }{1-L\,C\,\omega ^{2}}}+R}}\;$
$\;{\underline {i}}(t)={\dfrac {-L\,C\,\omega ^{2}\,{\underline {e}}(t)}{j\,L\,\omega +R\left(1-L\,C\,\omega ^{2}\right)}}\;$
$\;{\underline {I}}={\dfrac {-L\,C\,\omega ^{2}\,E}{j\,L\,\omega +R\left(1-L\,C\,\omega ^{2}\right)}}\;$
$\;{\underline {I}}={\dfrac {-L\,C\,\omega ^{2}\,E}{j\,L\,\omega +R\left(1-L\,C\,\omega ^{2}\right)}}\;$
$\;I=\vert {\underline {I}}\vert ={\dfrac {L\,C\,\omega ^{2}}{\sqrt {R^{2}\,\left(1-L\,C\,\omega ^{2}\right)^{2}+L^{2}\,\omega ^{2}}}}\;E\;$
laquelle « sera indépendante de $\;R\;$» si «$\;1-L\,C\,\omega ^{2}=0\;$» c'est-à-dire « pour la pulsation $\;\omega _{1}={\dfrac {1}{\sqrt {L\;C}}}\;$» ;
laquelle « sera indépendante de $\;\color {transparent}{R}\;$» pour $\;\omega _{1}\;$ l'intensité efficace complexe vaut «$\;{\underline {I}}(\omega _{1})={\dfrac {-{\underline {E}}}{j\,L\,\omega _{1}}}={\dfrac {j\,{\underline {E}}}{L\,\omega _{1}}}=j\,C\,\omega _{1}\,{\underline {E}}\;$» ce qui montre que laquelle « sera indépendante de $\;\color {transparent}{R}\;$» pour $\;\color {transparent}{\omega _{1}}\;$ « la phase de $\;i(t)\;$ est également indépendante de $\;R\;$» $\;{\bigg$plus précisément, la phase initiale de $\;e(t)\;$ étant nulle, celle de $\;i(t)\;$ vaut $\;\varphi _{i}={\dfrac {\pi }{2}}{\bigg ]}$ ;
finalement, à cette pulsation $\;\omega _{1}$, l'intensité instantanée du courant vaut «$\;i(t)=C\,\omega _{1}\,E\,{\sqrt {2}}\,\sin \!\left(\omega _{1}\,t+{\dfrac {\pi }{2}}\right)\;$» qui s'écrit encore «$\;i(t)=C\,\omega _{1}\,E\,{\sqrt {2}}\,\cos \!\left(\omega _{1}\,t\right)\;$».

### Sous condition de cette pulsation, circuit équivalent à un générateur de courant

Vérifier qu'à cette pulsation $\;\omega _{1}\;$ le P.D.T. situé entre $\;A\;$ et $\;B\;$ dans la partie en pointillés est équivalent $\;{\big$lorsqu'il est branché aux bornes d'un conducteur ohmique${\big )}\;$ à une source de courant parfaite dont on donnera le c.e.m. en fonction des données.
$\;AB\;$
$\;\eta (t)=C\,\omega _{1}\,E\,{\sqrt {2}}\,\cos \left(\omega _{1}\,t\right)\;$
$\;\eta (t)={\dfrac {E}{L\,\omega _{1}}}\,{\sqrt {2}}\,\cos \left(\omega _{1}\,t\right)={\sqrt {\dfrac {C}{L}}}\,E\,{\sqrt {2}}\,\cos \left(\omega _{1}\,t\right)\;$

## Modèle de Thévenin d'un R.D.L.A. (réseau dipolaire linéaire actif)

On considère le circuit ci-contre alimenté entre $\;A\;$ et $\;B\;$ par une source de tension sinusoïdale de f.e.m. instantanée «$\;e(t)=$ $E\,{\sqrt {2}}\ \cos(\omega \,t)\;$» ; On considère à la sortie de cette source de tension sinusoïdale on branche un « P.D.T. en r.s.f. à deux étages » constitué
* d'un 1er étage alimenté par $\;e(t)=E\,{\sqrt {2}}\ \cos(\omega \,t)\;$, de D.P.L. d'attaque composé d'un conducteur ohmique de résistance $\;R$, la sortie de ce 1er étage étant aux bornes d'une bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$ et
* d'un 2ème étage alimenté par la sortie du 1er étage, de D.P.L. d'attaque composé d'un conducteur ohmique de même résistance $\;R$, la sortie de ce 2ème étage étant aux bornes d'un condensateur de capacité $\;C$ ;
On considère pour ce circuit la fréquence du générateur $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ est telle que «$\;L\,C\,\omega ^{2}=1\;$» et «$\;R\,C\,\omega =1\;$».
Déterminer les caractéristiques du générateur de Thévenin complexe équivalent au R.D.L.A. ci-contre en complexe associé au r.s.f. de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ entre $\;F\;$ et $\;G\;$ ${\Big \$c'est-à-dire f.e.m. instantanée complexe de Thévenin $\;{\underline {e_{\text{Th}}}}(t)\;$ et impédance complexe de Thévenin $\;{\underline {z_{\text{Th}}}}(j\,\omega ){\Big \}$ en supposant que le R.D.L.A. délivre un courant sortant par $\;F\;$ et entrant par $\;G\;$ d'intensité instantanée complexe «$\;{\underline {i}}(t)={\underline {I}}\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$» et d'intensité efficace complexe «$\;{\underline {I}}=I\;\exp \!\left(j\,\varphi _{i}\right)\;$ ${\big \I\;$ étant l'intensité efficace et $\;\varphi _{i}\;$ la phase à l'origine${\big \}$».
Nous déterminerons le générateur de Thévenin complexe équivalent au R.D.L.A. ci-contre par utilisation du théorème de Millman en $\;F\;$ puis en $\;D\;$ en ayant choisi la masse en $\;G\;$.
Utilisation du théorème de Millman en$\;F$ : $\;{\underline {v_{F}}}(t)={\dfrac {{\dfrac {{\underline {v_{D}}}(t)}{R}}+{\dfrac {0}{{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )}}-{\underline {i}}(t)}{{\dfrac {1}{R}}+{\dfrac {1}{{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )}}}}={\dfrac {{\dfrac {{\underline {v_{D}}}(t)}{R}}-{\underline {i}}(t)}{{\dfrac {1}{R}}+j\,C\,\omega }}\;$ soit Utilisation du théorème de Millman en$\;\color {transparent}{F}$ : «$\;{\underline {v_{F}}}(t)={\dfrac {{\underline {v_{D}}}(t)-R\,{\underline {i}}(t)}{1+j\,R\,C\,\omega }}\;$ ou, avec $\;R\,C\,\omega =1$, $\;{\underline {v_{F}}}(t)={\dfrac {{\underline {v_{D}}}(t)-R\,{\underline {i}}(t)}{1+j}}\;$».
Utilisation du théorème de Millman en$\;D$ : tout d'abord remarquons que $\;{\underline {v_{B}}}(t)={\underline {v_{G}}}(t)=0\;$ $\Rightarrow$ $\;{\underline {v_{A}}}(t)={\underline {e}}(t)\;$ d'où Utilisation du théorème de Millman en$\;\color {transparent}{D}$ : $\;{\underline {v_{D}}}(t)={\dfrac {{\dfrac {{\underline {e}}(t)}{R}}+{\dfrac {0}{{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )}}+{\dfrac {{\underline {v_{F}}}(t)}{R}}}{{\dfrac {1}{R}}+{\dfrac {1}{{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )}}+{\dfrac {1}{R}}}}={\dfrac {{\dfrac {{\underline {e}}(t)}{R}}+{\dfrac {{\underline {v_{F}}}(t)}{R}}}{{\dfrac {2}{R}}+{\dfrac {1}{j\,L\,\omega }}}}\;$ soit Utilisation du théorème de Millman en$\;\color {transparent}{D}$ : «$\;{\underline {v_{D}}}(t)={\dfrac {j\,L\,\omega \left[{\underline {e}}(t)+{\underline {v_{F}}}(t)\right]}{R+2\,j\,L\,\omega }}\;$» ou, avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c}L\,C\,\omega ^{2}=1={\dfrac {L\,\omega }{R}}\;R\,C\,\omega \!\!&\Rightarrow &\!\!{\dfrac {L\,\omega }{R}}={\dfrac {1}{R\,C\,\omega }}\;\;({\mathfrak {1}})\\R\,C\,\omega =1\;\;{\text{et}}\;\;({\mathfrak {1}})\!\!&\Rightarrow &\!\!{\dfrac {L\,\omega }{R}}=1\;\Leftrightarrow \;L\,\omega =R\end{array}}\right\rbrace$ Utilisation du théorème de Millman en$\;\color {transparent}{D}$ : «$\;{\underline {v_{D}}}(t)={\dfrac {j\,R\left[{\underline {e}}(t)+{\underline {v_{F}}}(t)\right]}{R+2\,j\,R}}={\dfrac {j\left[{\underline {e}}(t)+{\underline {v_{F}}}(t)\right]}{1+2\,j}}={\dfrac {{\underline {e}}(t)+{\underline {v_{F}}}(t)}{2-j}}\;$».
$\;D$
$\;{\underline {v_{D}}}(t)={\dfrac {{\underline {e}}(t)+{\underline {v_{F}}}(t)}{2-j}}\;$
$\;{\underline {v_{F}}}(t)={\dfrac {{\underline {v_{D}}}(t)-R\,{\underline {i}}(t)}{1+j}}\;$
$\;{\underline {v_{F}}}(t)={\dfrac {{\dfrac {{\underline {e}}(t)+{\underline {v_{F}}}(t)}{2-j}}-R\,{\underline {i}}(t)}{1+j}}={\dfrac {{\underline {e}}(t)+{\underline {v_{F}}}(t)-R\,(2-j)\,{\underline {i}}(t)}{(1+j)\,(2-j)}}$
$={\dfrac {{\underline {e}}(t)+{\underline {v_{F}}}(t)-R\,(2-j)\,{\underline {i}}(t)}{3+j}}\;$
$\;{\underline {v_{F}}}(t)\left[(3+j)-1\right]={\underline {e}}(t)-R\,(2-j)\,{\underline {i}}(t)\;$
$\;{\underline {v_{F}}}(t)={\dfrac {{\underline {e}}(t)}{2+j}}-{\dfrac {2-j}{2+j}}\;R\;{\underline {i}}(t)\;$
Finalement le générateur de Thévenin complexe équivalent au R.D.L.A. complexe associé au r.s.f. de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ a pour
* « f.e.m. instantanée complexe $\;{\big$de Thévenin${\big )}\;$ $\;{\underline {e_{\text{Th}}}}(t)={\dfrac {{\underline {e}}(t)}{2+j}}={\dfrac {E}{2+j}}\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$» à laquelle correspond la « f.e.m. efficace complexe $\;{\big$de Thévenin${\big )}\;$ $\;{\underline {E_{\text{Th}}}}={\dfrac {E}{2+j}}\;$» dont on tire la « f.e.m. efficace $\;{\big$de Thévenin${\big )}\;$ en en prenant le module soit $\;E_{\text{Th}}={\dfrac {E}{\sqrt {5}}}\;$» et la « phase à l'origine de la f.e.m. instantanée $\;{\big$de Thévenin${\big )}\;$ en en prenant l'argument soit $\;\varphi _{e_{\text{Th}}}=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {E_{\text{Th}}}}\right]=-\arctan \!\left({\dfrac {1}{2}}\right)$ $\simeq -26,6\;{\text{°}}\;$» et
* « impédance complexe $\;{\big$de Thévenin${\big )}\;$ $\;{\underline {z_{\text{Th}}}}={\dfrac {2-j}{2+j}}\;R={\dfrac {(2-j)^{2}}{5}}\;R={\dfrac {3-4\,j}{5}}\;R\;$», de « résistance $\;r_{\text{Th}}=\Re \!\left[{\underline {z_{\text{Th}}}}\right]={\dfrac {3\,R}{5}}\;$», de « réactance $\;{\big$capacitive${\big )}$ $\;x_{\text{Th}}=$ $\Im \!\left[{\underline {z_{\text{Th}}}}\right]=-{\dfrac {4\,R}{5}}\;$» et d'« impédance $\;z_{\text{Th}}=\vert {\underline {z_{\text{Th}}}}\vert =R\;$».

## Ponts d'impédances

On étudie successivement les trois ponts universels d'impédances en r.s.f. de fréquence fixe $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}$ ; on admettra que le R.D.L.A. en complexe associée au r.s.f. aux bornes duquel est branché un détecteur est équivalent à un générateur de Thévenin complexe de « f.e.m. instantanée complexe s'annulant si $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )={\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )\;$ à condition que $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\neq 0\\{\text{et}}\\{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )\neq 0\end{array}}\right\rbrace \;$ avec $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;$ et $\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;$ de part et d'autre d'une des bornes reliée au détecteur ainsi que $\;{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )\;$ et $\;{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )\;$ de part et d'autre de l'autre borne reliée au détecteur, les indices $\;_{1},\;_{2},\;_{3},\;_{4}\;$ correspondant à la disposition des impédances en circulation dans le sens horaire $\;{\big$ou trigonométrique direct${\big )}\;$».

### Pont de Sauty parallèle en r.s.f.

Le 1er pont est le pont de Sauty parallèle : $\;{\big$voir schéma ci-contre${\big )}\;$ ce pont $\;{\big$de type « P/Q »${\big )}\;$ sert à mesurer la capacité $\;C\;$ d'un condensateur avec résistance de fuite $\;R$, à l’aide d'un conducteur ohmique étalon de résistance $\;R_{1}\;$ variable et d'un condensateur $\;{\big$parfait${\big )}\;$ étalon de capacité variable $\;C_{1}\;$ monté en parallèle sur la même branche, les deux autres D.P.L. étant des conducteurs ohmiques étalon.
Le 1er pont est le pont de Sauty parallèle : Vérifier que le R.D.L.A. branché aux bornes du détecteur vérifie les conditions d'équivalence à un générateur de Thévenin en complexe associée au r.s.f. de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ et
Le 1er pont est le pont de Sauty parallèle : déterminer les valeurs de $\;C\;$ et de $\;R\;$ du condensateur étudié en fonction des autres grandeurs étalon en écrivant la condition d'équilibre du pont en complexe.
Il convient bien sûr de refaire le schéma ci-dessus en complexe associée au r.s.f. de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ dans lequel les impédances complexes sont les suivantes :
* $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )={\dfrac {R_{1}\;{\dfrac {1}{j\;C_{1}\;\omega }}}{R_{1}+{\dfrac {1}{j\;C_{1}\;\omega }}}}\;$ soit finalement «$\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )={\dfrac {R_{1}}{1+j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega }}\;$»,
* «$\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )=R_{2}\;$»,
* «$\;{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )=R_{3}\;$» et
* $\;{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )={\dfrac {R\;{\dfrac {1}{j\;C\;\omega }}}{R+{\dfrac {1}{j\;C\;\omega }}}}\;$ soit finalement «$\;{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )={\dfrac {R}{1+j\;R\;C\;\omega }}\;$».
On vérifie que «$\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )={\dfrac {R_{1}}{1+j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega }}+R_{2}\neq 0\;\;\forall \;\omega \;$» et On vérifie que «$\;{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )=R_{3}+{\dfrac {R}{1+j\;R\;C\;\omega }}\neq 0\;\;\forall \;\omega \;$» d'où On vérifie l'existence d'un générateur de Thévenin complexe équivalent au R.D.L.A. branché aux bornes du détecteur.
$\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )={\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )\;$
$\;{\dfrac {R_{1}}{1+j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega }}\;R_{3}=R_{2}\;{\dfrac {R}{1+j\;R\;C\;\omega }}\;$
$\;{\dfrac {R}{1+j\;R\;C\;\omega }}=$
${\dfrac {R_{3}}{R_{2}}}\;{\dfrac {R_{1}}{1+j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega }}\;$
$\;{\dfrac {R\;(1-j\;R\;C\;\omega )}{1+R^{2}\;C^{2}\;\omega ^{2}}}={\dfrac {R_{3}}{R_{2}}}\;{\dfrac {R_{1}\;(1-j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega )}{1+R_{1}^{2}\;C_{1}^{2}\;\omega ^{2}}}\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\dfrac {R}{1+R^{2}\;C^{2}\;\omega ^{2}}}={\dfrac {R_{3}}{R_{2}}}\;{\dfrac {R_{1}}{1+R_{1}^{2}\;C_{1}^{2}\;\omega ^{2}}}\\-R\;{\dfrac {R\;C\;\omega }{1+R^{2}\;C^{2}\;\omega ^{2}}}=-{\dfrac {R_{3}\;R_{1}}{R_{2}}}\;{\dfrac {R_{1}\;C_{1}\;\omega }{1+R_{1}^{2}\;C_{1}^{2}\;\omega ^{2}}}\end{array}}\right\rbrace \;$
on résout le système des deux équations non linéaires en $\;R\;$ et $\;C\;$
* en divisant membre à membre la 2ème équation par la 1ère soit «$\;-R\;C\;\omega =-R_{1}\;C_{1}\;\omega \;$» d'où $\;R\;C\;\omega =R_{1}\;C_{1}\;\omega \;$ ou «$\;R\;C=R_{1}\;C_{1}\;$» entraînant, par report dans la 2ème équation et simplification évidente $\;-R\;{\cancel {\dfrac {R_{1}\;C_{1}\;\omega }{1+R_{1}^{2}\;C_{1}^{2}\;\omega ^{2}}}}=-{\dfrac {R_{3}\;R_{1}}{R_{2}}}\;{\cancel {\dfrac {R_{1}\;C_{1}\;\omega }{1+R_{1}^{2}\;C_{1}^{2}\;\omega ^{2}}}}\;$ soit «$\;R={\dfrac {R_{3}\;R_{1}}{R_{2}}}\;$» d'une part
* et d'autre part, en réinjectant l'expression de $\;R\;$ dans $\;R\;C=R_{1}\;C_{1}\;$ on en déduit «$\;C=C_{1}\;{\dfrac {R_{1}}{\dfrac {R_{3}\;R_{1}}{R_{2}}}}\;$» soit «$\;C=C_{1}\;{\dfrac {R_{2}}{R_{3}}}\;$».
La condition d'équilibre étant réalisée quelle que soit la fréquence, on se place donc d'abord en régime permanent $\;{\big$les condensateurs ne jouant alors aucun rôle${\big )}\;$ et on règle$\;R_{1}\;$pour obtenir un courant nul, on en déduit alors la valeur de $\;R$ ;
La condition d'équilibre étant réalisée quelle que soit la fréquence, ce réglage étant fait, on passe en sinusoïdal forcé et on règle la valeur de$\;C_{1}$sans modifier$\;R_{1}\;$pour retrouver un courant d'intensité instantanée nulle, on en déduit alors la valeur de $\;C$.

### Pont de Maxwell en r.s.f.

Le 2ème pont est le pont de Maxwell : $\;{\big$voir schéma ci-contre${\big )}\;$ ce pont $\;{\big$de type « PQ »${\big )}\;$ sert à mesurer l'inductance propre $\;L\;$ et la résistance $\;R\;$ d'une bobine, à l’aide d'un conducteur ohmique étalon de résistance $\;R_{1}\;$ variable et d'un condensateur $\;{\big$parfait${\big )}\;$ étalon de capacité variable $\;C_{1}\;$ monté en parallèle sur la même branche, les deux autres D.P.L. étant des conducteurs ohmiques étalon.
Le 2ème pont est le pont de Maxwell : Vérifier que le R.D.L.A. branché aux bornes du détecteur vérifie les conditions d'équivalence à un générateur de Thévenin en complexe associée au r.s.f. de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ et
Le 2ème pont est le pont de Maxwell : déterminer les valeurs de $\;L\;$ et de $\;R\;$ de la bobine étudiée en fonction des autres grandeurs étalon en écrivant la condition d'équilibre du pont en complexe.
Il convient bien sûr de refaire le schéma ci-dessus en complexe associée au r.s.f. de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ dans lequel les impédances complexes sont les suivantes :
* $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )={\dfrac {R_{1}\;{\dfrac {1}{j\;C_{1}\;\omega }}}{R_{1}+{\dfrac {1}{j\;C_{1}\;\omega }}}}\;$ soit finalement «$\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )={\dfrac {R_{1}}{1+j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega }}\;$»,
* «$\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )=R_{2}\;$»,
* «$\;{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )=R+j\;L\;\omega \;$» et
* $\;{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )=R_{3}\;$».
On vérifie que «$\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )={\dfrac {R_{1}}{1+j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega }}+R_{2}\neq 0\;\;\forall \;\omega \;$» et On vérifie que «$\;{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )=R+j\;L\;\omega +R_{3}\neq 0\;\;\forall \;\omega \;$» d'où On vérifie l'existence d'un générateur de Thévenin complexe équivalent au R.D.L.A. branché aux bornes du détecteur.
$\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )={\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )\;$
$\;{\dfrac {R_{1}}{1+j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega }}\left[R+j\;L\;\omega \right]=R_{2}\;R_{3}\;$
$\;R+j\;L\;\omega =$
$R_{2}\;R_{3}\;{\dfrac {1+j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega }{R_{1}}}\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}R={\dfrac {R_{2}\;R_{3}}{R_{1}}}\\L\;{\cancel {\omega }}=R_{2}\;R_{3}\;C_{1}\;{\cancel {\omega }}\end{array}}\right\rbrace$
La condition d'équilibre étant réalisée quelle que soit la fréquence, on se place donc d'abord en régime permanent $\;{\big$le condensateur et la partie inductive de la bobine ne jouant alors aucun rôle${\big )}\;$ et on règle$\;R_{1}\;$pour obtenir un courant nul, on en déduit alors la valeur de $\;R$ ;
La condition d'équilibre étant réalisée quelle que soit la fréquence, ce réglage étant fait, on passe en sinusoïdal forcé et on règle la valeur de$\;C_{1}$sans modifier$\;R_{1}\;$pour retrouver un courant d'intensité instantanée nulle, on en déduit alors la valeur de $\;L$.

### Pont de Robinson en r.s.f.

Le 3ème pont est le pont de Robinson : $\;{\big$voir schéma ci-contre${\big )}\;$ ce pont $\;{\big$de type « P/Q », sert à mesurer la fréquence à l'aide d'une part d'un conducteur ohmique étalon de résistance $\;R_{1}\;$ variable et d'un condensateur $\;{\big$parfait${\big )}\;$ étalon de capacité fixe $\;C_{1}\;$ monté en parallèle sur une même branche et d'autre part d'un même conducteur ohmique étalon de résistance $\;R_{1}\;$ variable $\;{\big$les deux résistances $\;R_{1}\;$ restant couplées dans leur variation${\big )}\;$ et d'un condensateur $\;{\big$parfait${\big )}\;$ étalon de capacité fixe $\;C_{1}\;$ monté en série sur une même autre branche, les deux autres D.P.L. étant des conducteurs ohmiques étalon.
Le 3ème pont est le pont de Robinson : Vérifier que le R.D.L.A. branché aux bornes du détecteur vérifie les conditions d'équivalence à un générateur de Thévenin en complexe associée au r.s.f. de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ et
Le 3ème pont est le pont de Robinson : déterminer la valeur de la fréquence $\;f\;$ en fonction des autres grandeurs étalon en écrivant la condition d'équilibre du pont en complexe.
Il convient bien sûr de refaire le schéma ci-dessus en complexe associée au r.s.f. de fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ dans lequel les impédances complexes sont les suivantes :
* $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )={\dfrac {R_{1}\;{\dfrac {1}{j\;C_{1}\;\omega }}}{R_{1}+{\dfrac {1}{j\;C_{1}\;\omega }}}}\;$ soit finalement «$\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )={\dfrac {R_{1}}{1+j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega }}\;$»,
* «$\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )=R_{2}\;$»,
* «$\;{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )=R_{3}\;$» et
* $\;{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )=R_{1}+{\dfrac {1}{j\;C_{1}\;\omega }}\;$ soit finalement «$\;{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )={\dfrac {1+j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega }{j\;C_{1}\;\omega }}\;$».
On vérifie que «$\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )={\dfrac {R_{1}}{1+j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega }}+R_{2}\neq 0\;\;\forall \;\omega \;$» et On vérifie que «$\;{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )=R_{3}+{\dfrac {1+j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega }{j\;C_{1}\;\omega }}\neq 0\;\;\forall \;\omega \;$» d'où On vérifie l'existence d'un générateur de Thévenin complexe équivalent au R.D.L.A. branché aux bornes du détecteur.
$\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )={\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )\;$
$\;{\dfrac {R_{1}}{1+j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega }}\;R_{3}=R_{2}\;{\dfrac {1+j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega }{j\;C_{1}\;\omega }}\;$
$\;{\dfrac {(1+j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega )^{2}}{j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega }}={\dfrac {R_{3}}{R_{2}}}\;$
$\;{\dfrac {(1-R_{1}^{2}\;C_{1}^{2}\;\omega ^{2})+2\;j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega }{j\;R_{1}\;C_{1}\;\omega }}={\dfrac {R_{3}}{R_{2}}}\;$
$\;2-j\;{\dfrac {(1-R_{1}^{2}\;C_{1}^{2}\;\omega ^{2})}{R_{1}\;C_{1}\;\omega }}={\dfrac {R_{3}}{R_{2}}}\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c}2\!\!&=&\!\!{\dfrac {R_{3}}{R_{2}}}\\-{\dfrac {(1-R_{1}^{2}\;C_{1}^{2}\;\omega ^{2})}{R_{1}\;C_{1}\;\omega }}\!\!&=&\!\!0\end{array}}\right\rbrace$
il faut adapter les conducteurs ohmiques étalon de résistance $\;R_{3}\;$ et $\;R_{2}\;$ telles que «$\;R_{3}=2\;R_{2}\;$» et
la pulsation $\;\omega \;$ est alors telle que $\;R_{1}\;C_{1}\;\omega =1\;$ soit «$\;\omega ={\dfrac {1}{R_{1}\;C_{1}}}\;$», la fréquence s'obtenant par «$\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}={\dfrac {1}{2\;\pi \;R_{1}\;C_{1}}}\;$».
La relation liant les deux résistances étalon «$\;R_{3}=2\;R_{2}\;$» étant réalisée, on se place en régime sinusoïdal forcé à la fréquence souhaitée et on règle$\;R_{1}\;$pour obtenir un courant d'intensité instantanée nulle, on en déduit alors la valeur de la fréquence $\;f\;$.