# Géométrie affine/Devoir/Groupes de paveurs du plan

Dans tout ce devoir, ${\cal {E}}$ désigne un plan affine, et ${\overrightarrow {E}}$ son espace vectoriel directeur. On suppose cet espace vectoriel muni d'une structure euclidienne et d'une orientation. On note ${\rm {O}}({\overrightarrow {E}})$ le sous-groupe de ${\rm {GL}}({\overrightarrow {E}})$ constitué des isométries, et ${\rm {O}}^{+}({\overrightarrow {E}})$ le sous-groupe des isométries directes, c'est-à-dire des rotations vectorielles.
I. Préliminaires.
I.1 Isométries affines.
1. Montrer que l'application suivante est surjective :
    $\Pi :{\begin{array}{ccc}{\rm {GA}}({\cal {E}})&\to &{\rm {GL}}({\overrightarrow {E}})\\u&\mapsto &{\overrightarrow {u}}.\end{array}}$
On rappelle que c'est un morphisme de groupes dont le noyau est par définition $T_{\cal {E}}$, le sous-groupe des translations de ${\cal {E}}$. On notera $t_{\overrightarrow {v}}$ la translation de vecteur ${\overrightarrow {v}}$.
2. Montrer que $\Pi ^{-1}({\rm {O}}^{+}({\overrightarrow {E}}))$ est un sous-groupe de ${\rm {GA}}({\cal {E}})$.
On notera ${\rm {Is}}^{+}({\cal {E}})$ le groupe $\Pi ^{-1}(O^{+}({\overrightarrow {E}}))$ (groupe des isométries affines directes). On appelle rotation (affine) tout élément de ${\rm {Is}}^{+}({\cal {E}})$ ayant un point fixe. On appelle angle d'une rotation affine l'angle, dans $\left[0,2\pi \right[$, de sa partie vectorielle.
3. Montrer qu'une rotation distincte de l'identité admet un unique point fixe. On appelle centre de la rotation ce point fixe.
4. Soit $u$ un élément de ${\rm {Is}}^{+}({\cal {E}})$. Montrer que pour tout point $C\in {\cal {E}}$, il existe un unique couple $(t_{\overrightarrow {v}},r)$, où $t_{\overrightarrow {v}}$ est une translation et $r$ une rotation de centre $C$, tels que $u=t_{\overrightarrow {v}}\circ r$. Montrer qu'un point $M=C+{\overrightarrow {x}}$ est fixe par $u$ si et seulement si ${\overrightarrow {u-{\rm {id}}}}({\overrightarrow {x}})=-{\overrightarrow {v}}$. En déduire que tout élément de ${\rm {Is}}^{+}({\cal {E}})$ est soit une rotation, soit une translation.
I.2 Composition de rotations.
Soient $r$ et $r'$ deux rotations non triviales, de centres respectifs $C$ et $C'$, d'angles respectifs $\theta$ et $\theta '$.
5. Décrire $r'\circ r$ si $C=C'$. On suppose désormais $C\neq C'$.
6. Montrer que si $\theta +\theta '\equiv 0{\bmod {2\pi }}$, alors $r'\circ r$ et $r\circ r'$ sont des translations. Exprimer les vecteurs de ces translations sous la forme ${\overrightarrow {CM}}$ (avec $M$ à préciser). En déduire que $r$ et $r'$ ne commutent pas.
7. Montrer qu'il existe un couple $({\overrightarrow {u}}_{1},{\overrightarrow {u}}_{2})$ de vecteurs unitaires, formant un angle orienté ${\widehat {({\overrightarrow {u}}_{1},{\overrightarrow {u}}_{2})}}=\theta$, et tels que la droite dirigée par ${\overrightarrow {CC'}}$ passant par $C$ soit bissectrice de cet angle. Montrer que le couple $({\cal {D}}_{1},{\cal {D}}_{2})$, où ${\cal {D}}_{i}$ est la droite dirigée par ${\overrightarrow {u}}_{i}$ passant par $C$, est unique.
On se donne ce couple de droites, et le couple analogue $({\cal {D}}'_{1},{\cal {D}}'_{2})$ centré en $C'$, d'angle orienté $\theta '$.
8. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) $t_{\overrightarrow {CC'}}({\cal {D}}_{2})={\cal {D}}'_{1}$ ;
(i') $t_{\overrightarrow {CC'}}({\cal {D}}_{1})={\cal {D}}'_{2}$ ;
(ii) ${\cal {D}}_{2}$ et ${\cal {D}}'_{1}$ sont parallèles ;
(ii') ${\cal {D}}_{1}$ et ${\cal {D}}'_{2}$ sont parallèles ;
(iii) $\theta +\theta '\equiv 0{\bmod {2\pi }}$.
9. On suppose maintenant $\theta +\theta '\not \equiv 0{\bmod {2\pi }}$, et l'on se donne des points d'intersection $A={\cal {D}}_{1}\cap {\cal {D}}'_{2}$ et $B={\cal {D}}_{2}\cap {\cal {D}}'_{1}$. Montrer que $r'\circ r$ et $r\circ r'$ sont des rotations, dont on précisera les centres et angles. En déduire qu'ici aussi, $r$ et $r'$ ne commutent pas.
10. Montrer que le commutateur $r\circ r'\circ r^{-1}\circ r'^{-1}$ de deux rotations non triviales n'ayant pas même centre est une translation non triviale.
I.3 Conjugaison.
11. Soient $t_{\overrightarrow {v}}$ une translation et $u\in {\rm {Is}}^{+}({\cal {E}})$. Montrer que $u\circ t\circ u^{-1}$ est une translation de vecteur ${\overrightarrow {u}}({\overrightarrow {v}})$.
12. Soient $u\in {\rm {Is}}^{+}({\cal {E}})$ et $r$ une rotation non triviale de centre $C$, montrer que $u\circ r\circ u^{-1}$ est une rotation de centre $u(C)$ et de même angle que $r$.
1. Soit ${\overrightarrow {u}}\in {\rm {GL}}({\overrightarrow {E}})$. Soit $O\in {\cal {E}}$. Un antécédent de ${\overrightarrow {u}}$ par $\Pi$ est $u(O+{\overrightarrow {x}})=O+{\overrightarrow {u}}({\overrightarrow {x}})$.
2. L'image réciproque d'un sous-groupe par un morphisme de groupes est un sous-groupe.
3. Si $C$ est un point fixe, l'équation aux points fixes est $C+{\overrightarrow {x}}=u(C+{\overrightarrow {x}})=C+{\overrightarrow {u}}({\overrightarrow {x}})\Leftrightarrow {\overrightarrow {u}}({\overrightarrow {x}})={\overrightarrow {x}}$, qui n'a pas de solution non nulle puisque ${\overrightarrow {u}}$ est une rotation vectorielle non triviale (et n'admet pas $1$ comme valeur propre).
4. On choisit pour $r$ la rotation de centre $C$ : $r(C+{\overrightarrow {x}})=C+{\overrightarrow {u}}({\overrightarrow {x}})$. On pose $t=u\circ r^{-1}$. Un calcul direct montre ${\overrightarrow {t}}={\overrightarrow {\rm {id}}}$ ; c'est donc une translation. Ceci montre l'existence. L'unicité provient de l'égalite ${\overrightarrow {u}}={\overrightarrow {r}}$ : $r$ est l'unique application affine fixant $C$ et de partie vectorielle ${\overrightarrow {u}}$. Et $t$ est uniquement déterminé à partir de $u$ et $r$. Un point $M=C+{\overrightarrow {x}}$ est fixe par $u$ si et seulement si $C+{\overrightarrow {x}}=u(C)+{\overrightarrow {u}}({\overrightarrow {x}})=C+{\overrightarrow {t}}+{\overrightarrow {u}}({\overrightarrow {x}})\Leftrightarrow {\overrightarrow {u}}({\overrightarrow {x}})-{\overrightarrow {x}}=-{\overrightarrow {t}}$. Supposons que $u$ n'est pas une translation, alors ${\overrightarrow {u}}$ est une rotation vectorielle non triviale, n'admet pas $1$ comme valeur propre, donc ${\overrightarrow {u-{\rm {id}}}}$ est un isomorphisme. L'équation précédente admet une (unique) solution, et donc $u$ admet un (unique) point fixe. $u$ est alors une rotation de centre ce point fixe.
5. Si $r$ et $r'$ sont deux rotations de même centre $C$ et d'angles $\theta$ et $\theta '$, alors $r'\circ r$ est la rotation de centre $C$ d'angle $\theta +\theta '$.
6. On calcule la partie vectorielle : ${\overrightarrow {r'\circ r}}={\overrightarrow {r'}}\circ {\overrightarrow {r}}$ est une rotation vectorielle d'angle $\theta +\theta '\equiv 0{\bmod {2\pi }}$, donc l'identité ici. Ainsi $r'\circ r$ est une translation. De même pour $r\circ r'$. $r'\circ r(C)=r'(C)$ donc $r'\circ r$ est la translation de vecteur ${\overrightarrow {Cr'(C)}}$, alors que $r\circ r'$ est la translation de vecteur ${\overrightarrow {Cr\circ r'(C)}}$. Si $r$ et $r'$ commutaient, on aurait $r'(C)=r\circ r'(C)$, donc $r'(C)$ serait égal à $C$, l'unique point fixe de $r$, puis $r'(C)=C$ donnerait $C=C'$, l'unique point fixe de $r'$. C'est exclu par hypothèse.
7. On se place dans un (le) repère orthonormé direct dont la première composante est portée (et dirigée) par ${\overrightarrow {CC'}}$ ; soient $(\alpha _{1},\beta _{1})$, $(\alpha _{2},\beta _{2})$ les coordonnées de ${\overrightarrow {u}}_{1}$ et ${\overrightarrow {u}}_{2}$ dans ce repère. Le couple ${\overrightarrow {u}}_{1},{\overrightarrow {u}}_{2})$ est solution si et seulement si :
    $\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}\alpha _{1}\\\beta _{1}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}\alpha _{2}\\\beta _{2}\end{array}}\right)\,{\text{et}}\,\left({\begin{array}{cc}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}\alpha _{1}\\\beta _{1}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}\alpha _{2}\\\beta _{2}\end{array}}\right).$
La première relation donne $\alpha _{1}=\alpha _{2}$ et $\beta _{1}=-\beta _{2}$. La deuxième devient alors un système linéaire de deux équations à deux inconnues, non trivial, de déterminant nul. Il existe donc une droite vectorielle de solutions. Puisque ${\overrightarrow {u}}_{1}$ est unitaire, cela donne deux solutions (qui sont en fait échangées par symétrie centrale), chacune engendrant la même droite vectorielle.
8.
* $(i)\Leftrightarrow (ii)$ : $t_{\overrightarrow {CC'}}{\cal {D}}_{2}$ est la droite de direction ${\overrightarrow {D}}_{2}$ passant par $C'$. Puisque ${\overrightarrow {D}}'_{1}$ passe par $C'$, on a bien l'équivalence souhaitée.
* De même, $(i')\Leftrightarrow (ii')$.
* $(i)\Leftrightarrow (i')$ se montre en appliquant aux parties vectorielles la symétrie orthogonale d'axe $(CC')$.
* $(ii)+(ii)'\Rightarrow (iii)$ : on a le calcul ${\overrightarrow {r}}_{-\theta }({\overrightarrow {D}}_{2})={\overrightarrow {D}}_{1}={\overrightarrow {D}}'_{2}={\overrightarrow {r}}_{\theta '}{\overrightarrow {D}}'_{1}={\overrightarrow {r}}_{\theta '}{\overrightarrow {D}}_{2}$, qui montre que la rotation d'angle $\theta +\theta '$ est l'identité, d'où $(iii)$.
* $(iii)\Rightarrow (ii)$ : puisque $\theta '=-\theta {\bmod {2\pi }}$, ${\widehat {({\overrightarrow {u}}_{1},{\overrightarrow {u}}_{2})}}=\theta$, on a l'égalité ${\widehat {({\overrightarrow {u}}_{2},{\overrightarrow {u}}_{1})}}=\theta '$, la propriété de bissection est vérifiée, et le couple de vecteurs $({\overrightarrow {u}}_{2},{\overrightarrow {u}}_{1})$ est solution au problème de la question 8 adapté à $C'$. Par unicité, le parallélisme s'en déduit.
9. En considérant la partie vectorielle, qui est non triviale, on voit que $r\circ r'$ et $r'\circ r$ sont des rotations. On trouve $r(A)=B$. En effet, puisque $s({\cal {D}}_{1})={\cal {D}}_{2}$, $s({\cal {D}}'_{1})={\cal {D}}'_{2}$, et par les définitions de $A$ et $B$, on voit que $s(A)=B$. Or, par définition des droites ${\cal {D}}_{1}$ et ${\cal {D}}_{2}$, $s$ et $r$ coïncident sur ces droites, donc $r(A)=s(A)=B$. De même, $r'(B)=A$, ce qui montre que $A$ est le centre de $r'\circ r$, et $B$ celui de $r\circ r'$. Les angles sont $\theta +\theta '$ pour les deux rotations. $A$ est distinct de $B$ (sinon, le quadrilatère $(ACBC')$ serait aplati, et l'on aurait ${\cal {D}}_{1}$ et ${\cal {D}}'_{2}$ confondues). Deux rotations n'ayant pas même centre sont distinctes ; cela montre que $r$ et $r'$ ne commutent pas.
10. $r\circ r'$ est une rotation d'angle $\theta +\theta '$ et $r^{-1}\circ r'^{-1}$ une rotation d'angle $-(\theta +\theta ')$. Leurs centres sont distincts, d'après la question 6, leur composée est une translation non triviale.
11. Le calcul suivant montre la propriété attendue : $u\circ t\circ u^{-1}(C+{\overrightarrow {x}})=u\circ t(u^{-1}(C)+{\overrightarrow {u}}^{-1}({\overrightarrow {x}}))=u(u^{-1}(C)+{\overrightarrow {u}}^{-1}({\overrightarrow {x}})+{\overrightarrow {t}})=u\circ u^{-1}(C)+{\overrightarrow {u}}\circ {\overrightarrow {u}}^{-1}({\overrightarrow {x}})+{\overrightarrow {u}}({\overrightarrow {t}})=C+{\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {u}}({\overrightarrow {t}})$.
12. On voit que $u\circ r\circ u^{-1}$ a pour partie vectorielle ${\overrightarrow {r}}$, donc est une rotation. Un simple calcul montre que $u(C)$ est fixe.
II. Les groupes de paveurs.
L'espace affine ${\cal {E}}$ peut être identifié à $\mathbb {R} ^{2}$ muni de sa topologie usuelle, et a donc une structure topologique. On rappelle qu'une partie est compacte si et seulement si elle est fermée et bornée. On rappelle qu'une partie est discrète si elle n'intersecte chaque compact qu'en un nombre fini de points.
On suppose dorénavant donné $P$, un compact connexe de ${\cal {E}}$, d'intérieur ${\stackrel {\circ }{P}}$ non vide, et un sous-groupe $G\subset {\rm {Is}}^{+}({\cal {E}})$ agissant sur ${\cal {E}}$ et vérifiant :
    ${\begin{matrix}\cup _{g\in G}g(P)={\cal {E}}&{\text{recouvrement}}\;\mathrm {(A)} \\\forall g,h\in G,g({\stackrel {\circ }{P}})\cap h({\stackrel {\circ }{P}})\neq \varnothing \Rightarrow g=h&{\text{non chevauchement}}\;\mathrm {(B)} \\\forall A\in {\cal {E}},\{g(A)\mid g\in G\}\,\,{\text{est une partie discrète et fermée de }}{\cal {E}}.&\mathrm {(C)} \end{matrix}}$
Dans une telle situation, on dit que le couple $(P,G)$ est un pavage du plan. L'objet du problème est d'obtenir des informations sur les sous-groupes de ${\rm {Is}}^{+}({\cal {E}})$ qui peuvent être un groupe de paveurs.
On admettra que le point $\mathrm {(C)}$ est en fait une conséquence des points $\mathrm {(A)}$ et $\mathrm {(B)}$.
13. Soient $P=(ABCD)$ un parallélogramme dans ${\cal {E}}$, et $G$ le groupe de translations engendré par les translations de vecteur ${\overrightarrow {AB}}$ et ${\overrightarrow {AD}}$. Montrer que $(P,G)$ est bien un pavage du plan (indication : on pensera à la partie entière).
II.1 Le sous-groupe des translations.
On note $\Gamma$ le sous-groupe $G\cap T_{\cal {E}}$ des translations de $G$. On l'identifiera librement au sous-groupe de ${\overrightarrow {E}}$ des vecteurs de ces translations.
II.1.1 Montrons que $\Gamma$ est non trivial.
Supposons au contraire que $\Gamma$ est trivial.
14. En utilisant $\mathrm {(A)}$, montrer que $G$ contient deux rotations n'ayant pas même centre.
12. Conclure (indication : question 10).
II.1.2 Montrons que $\Gamma$ contient deux vecteurs linéairement indépendants.
Supposons au contraire que les vecteurs de $\Gamma$ appartiennent à une droite vectorielle ${\overrightarrow {D}}$ de ${\overrightarrow {E}}$.
16. Si $G=\Gamma$, montrer que $\cup _{g\in G}g(P)$ est inclus dans une bande de direction ${\overrightarrow {D}}$. En déduire que $\Gamma \subsetneq G$ (par $\mathrm {(A)}$).
17. Soient $u\in G\setminus \Gamma$ et $t\in \Gamma$ non trivial. Montrer que ${\overrightarrow {u}}$ est une symétrie centrale (rotation d'angle $\pi$) (indication : question 11). Montrer que les centres des éléments de $G\setminus \Gamma$ sont alignés (indication : question 6).
18. En déduire que $\cup _{g\in G}g(P)$ est inclus dans une bande de direction ${\overrightarrow {D}}$, et conclure par $\mathrm {(A)}$.
II.1.3 Montrons que le groupe $\Gamma$ est discret.
19. Par l'hypothèse $\mathrm {(C)}$, montrer qu'il existe un vecteur ${\overrightarrow {x}}$ de plus petite norme parmi les vecteurs non nuls de $\Gamma$, et ${\overrightarrow {y}}$ un vecteur de plus petite norme parmi les vecteurs de $\Gamma$ non colinéaires à ${\overrightarrow {x}}$.
20. Supposons qu'il existe une translation $t\in \Gamma$ qui n'est pas dans $\mathbb {Z} {\overrightarrow {x}}+\mathbb {Z} {\overrightarrow {y}}$. Par un argument de division euclidienne, obtenir une contradiction avec la définition du couple $({\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}})$. En déduire :
    $\Gamma =\mathbb {Z} {\overrightarrow {x}}+\mathbb {Z} {\overrightarrow {y}}$.
II.2 Les rotations de $G$.
21. Soit $u\in G\setminus \Gamma$. En utilisant la question 11, montrer que la matrice de ${\overrightarrow {u}}$ dans la base $({\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}})$ de ${\overrightarrow {E}}$ est à coefficients entiers. En déduire que la trace de ${\overrightarrow {u}}$ est un entier. Quelle est la trace d'une rotation en fonction de son angle ? En déduire que ${\overrightarrow {u}}$ est d'ordre fini égal à $2$, $3$, $4$ ou $6$, puis qu'il en est de même de $u$.
22. On se place dans le cas particulier où ${\overrightarrow {x}}$ et ${\overrightarrow {y}}$ n'ont pas même norme. Montrer que ${\overrightarrow {u}}({\overrightarrow {x}})=-{\overrightarrow {x}}$, et en déduire que ${\overrightarrow {u}}=-{\overrightarrow {\rm {id}}}$.
II.2.1 Groupe $\mathbb {Z} ^{2}\ltimes \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$.
On suppose ici que toutes les rotations de $G$ sont des symétries centrales.
23. Soit $C$ un centre d'une symétrie de $G$. Montrer que l'ensemble des centres des symétries de $G$ est $C+{\frac {1}{2}}\Gamma$ (indication : on procédera par double inclusion, et l'on utilisera la question 4 pour l'inclusion réciproque).
II.2.2 Les autres cas.
Soit $r\in G$ une rotation, de centre $A$, d'ordre $\alpha \geq 3$ et d'angle ${\frac {2\pi }{\alpha }}$. On admet qu'il existe une rotation $s\in G$, de centre $B$, d'ordre $\beta$ et d'angle ${\frac {2\pi }{\beta }}$, telle que le centre $B$ soit le plus proche de $A$ parmi les centres des rotations non triviales de $G$.
Attention, dans cette partie, $t$ désignera une rotation, qu'on introduit à la question suivante.
24. Montrer que $t:=(r\circ s)^{-1}\in G$ est une rotation, dont on note $C$ le centre. Montrer que les angles (non orientés) du triangle $(ABC)$ sont moitié de ceux des rotations $r$, $s$ et $t$ (indication : questions 7 et 9).
25. Soit $\gamma$ l'ordre de $t$. On veut montrer que l'angle de $t$ est ${\frac {2\pi }{\gamma }}$. Supposons qu'il soit de la forme ${\frac {2n\pi }{\gamma }}$ avec $2\leq n<\gamma$, et $\operatorname {pgcd} (n,\gamma )=1$. Montrer que la rotation $t'$ de centre $C$ et d'angle ${\frac {2\pi }{\gamma }}$ appartient à $G$. Construire le centre de la rotation $t'\circ r$ et en déduire une contradiction avec le choix de $B$.
26. Déduire des deux questions précédentes :
    ${\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\beta }}+{\frac {1}{\gamma }}=1$.
Donner tous les triplets $(\alpha ,\beta ,\gamma )$ d'entiers naturels avec $\alpha \geq 3$, $\alpha \geq \beta \geq \gamma \geq 2$ et vérifiant cette relation.
On se limite dorénavant au cas $\alpha =\beta =\gamma =3$. On suppose que les vecteurs ${\overrightarrow {AB}}$ et ${\overrightarrow {AC}}$ sont de norme $1$. Quelle est la nature du triangle $(ABC)$ ?
27. Montrer que $s^{2}\circ r$ et $t^{2}\circ r$ sont des translations, dont on écrira les vecteurs $T_{1}$ et $T_{2}$ dans la base ${\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {AC}}$.
28. On souhaite montrer que $\Gamma =\mathbb {Z} T_{1}+\mathbb {Z} T_{2}$. Pour cela, montrer que l'application ${\overrightarrow {r-{\rm {id}}}}$ est une similitude vectorielle, c'est-à-dire conserve l'orthogonalité. En calculant son déterminant dans la base $({\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {AC}})$, trouver son rapport. Conclure en utilisant la question 4, la section 2.1 et la définition de $B$.
29. Montrer que $((ABCD),\langle \Gamma ,t\rangle )$ vérifie l'axiome $\mathrm {(A)}$ (indication : on note $E$ et $H$ les sommets non encore introduits de l'hexagone régulier centré en $C$ dont $A$, $B$, $D$ et $F$ sont des sommets. On commencera par recouvrir cet hexagone).
30. On souhaite montrer que toutes les rotations d'ordre $\geq 3$ sont obtenues comme conjuguées d'une des rotations $r$, $r^{2}$, $s$, $s^{2}$, $t$ ou $t^{2}$ par un élément de $\Gamma$. Soit donc une telle rotation $W$. Montrer qu'il existe une rotation $W_{1}$ conjuguée à $W$ par des éléments de $\Gamma$, et dont le centre $C_{1}$ est dans $(ABDEFH)$. Montrer qu'une telle rotation est $t$, $r$, $s$, une puissance de celles-ci, ou une conjuguée de celles-ci par $T_{1}$ ou $T_{2}$ et conclure.
31. En déduire que toute rotation dans $G$ est d'ordre $3$. Montrer qu'il existe un morphisme surjectif $G\twoheadrightarrow \mathbb {Z} /3\mathbb {Z}$ dont le noyau est isomorphe à $\mathbb {Z} ^{2}$.
13. Notons $t_{1}$ et $t_{2}$ les translations de vecteurs respectifs ${\overrightarrow {AB}}$ et ${\overrightarrow {AD}}$. Montrons que le point $(\mathrm {A} )$ est vérifié. Soient $M$ un point de ${\cal {E}}$ et $(x,y)$ ses coordonnées dans le repère affine $(A,{\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {AD}})$. Alors $M$ est l'image d'un point de $P$ par $[x]t_{1}+[y]t_{2}$, où $[.]$ désigne la partie entière. Soirnt maintenant $T_{1}=x_{1}t_{1}+y_{1}t_{2}\in G$ et $T_{2}=x_{2}t_{1}+y_{2}\in G$ (avec donc $x_{i},y_{i}\in \mathbb {Z}$) tels qu'il y ait un point $M$ dans $T_{1}({\stackrel {\circ }{P}})\cap T_{2}({\stackrel {\circ }{P}})$. Les coordonnées de $M$ sont donc d'une part de la forme $(x_{1}+a_{1},y_{1}+b_{1})$, avec $0<a_{1}<1$, et $0<b_{1}<1$, d'autre part de la forme $(x_{2}+a_{2},y_{2}+b_{2})$, avec $0<a_{2}<1$, et $0<b_{2}<1$. On a donc l'égalité $x_{1}+a_{1}=x_{2}+a_{2}$, puis $x_{1}-x_{2}=a_{2}-a_{1}$ est entier. D'après les inégalités sur les $a_{i}$, il est nul, donc $x_{1}=x_{2}$. De même, $y_{1}=y_{2}$, et donc $T_{1}=T_{2}$.
14. Si toutes les rotations de $G$ avaient même centre $C$, les images de $P$ par ces rotations seraient incluses dans une certaine boule centrée en $C$ (en fait, dans n'importe quelle boule centrée en $C$ contenant $P$), et ne pourraient pas recouvrir ${\cal {E}}$.
15. Le commutateur de deux rotations n'ayant pas même centre est une translation non triviale, ce qui est une contradiction.
16. Sous les hypothèses faites, $\cup _{g\in G}g(P)\subset P+{\cal {D}}$, qui est une bande de direction ${\cal {D}}$ strictement incluse dans ${\cal {E}}$. La déduction est claire.
17. $u\circ t\circ u^{-1}$ est une translation de vecteur ${\overrightarrow {u}}({\overrightarrow {t}})$, contenue dans $\Gamma$, donc ${\overrightarrow {u}}({\overrightarrow {t}})$ est colinéaire à ${\overrightarrow {t}}$. La rotation ${\overrightarrow {u}}$ admet donc une valeur propre réelle ; elle est non triviale, c'est donc $-{\overrightarrow {\rm {id}}}$. La composée de deux symétries centrales dans $G$ (de centres $C$ et $C'$) est une translation de $G$ de vecteur $2{\overrightarrow {CC'}}$, ces centres sont sur la droite passant par $C$ de direction ${\overrightarrow {D}}$.
18. On considère une bande centrée sur $C+{\overrightarrow {D}}$ et suffisamment large pour contenir $P$. Alors $G$ conserve cette bande, donc les images de $P$ restent incluses dans cette bande et ne peuvent recouvrir ${\cal {E}}$.
19. Pour tout $A\in {\cal {E}}$, $\{t(A)\mid t\in \Gamma \}$ est discret et fermé comme partie d'un espace discret et fermé. Soit une boule fermée centrée en $A$ et contenant au moins un autre point de cet ensemble. Par compacité et discrétude, la boule contient un nombre fini de points de cet ensemble ; il en est donc un tel que la norme $\|{\overrightarrow {AB}}\|$ soit minimale. Ceci donne ${\overrightarrow {x}}$. De même pour l'obtention de ${\overrightarrow {y}}$.
20. Puisque $({\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}})$ est libre, c'est une base de ${\overrightarrow {E}}$. Un vecteur ${\overrightarrow {t}}$ d'une translation $t\in \Gamma$ s'écrit $a{\overrightarrow {x}}+b{\overrightarrow {y}}$. Alors ${\overrightarrow {u}}=(a-[a]){\overrightarrow {x}}+(b-[b]){\overrightarrow {y}}\in \Gamma$. Prenons un point $A$, et $B=A+{\overrightarrow {x}}$, $C=A+{\overrightarrow {y}}$, $D=A+{\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}$. Alors, soit $A+{\overrightarrow {u}}$ est dans le triangle $(ABC)$ (c'est-à-dire barycentre de $A,B,C$ à coefficients positifs), et c'est une contradiction avec la définition de ${\overrightarrow {x}}$ ou de ${\overrightarrow {y}}$, soit il est dans le triangle $(BCD)$, et dans ce cas $A+{\overrightarrow {u}}-{\overrightarrow {x}}-{\overrightarrow {y}}$ est dans le symétrique par rapport à $A$ du triangle $(ABC)$ et c'est une contradiction.
21. La question 11 montre que ${\overrightarrow {u}}({\overrightarrow {x}})$ et ${\overrightarrow {u}}({\overrightarrow {y}})$ sont encore des vecteurs de translation de $G$, et s'écrivent donc $a{\overrightarrow {x}}+b{\overrightarrow {y}}$ et $c{\overrightarrow {x}}+d{\overrightarrow {y}}$ respectivement, avec $a,b,c,d$ entiers. La matrice de ${\overrightarrow {u}}$ dans cette base est $\left({\begin{array}{cc}a&c\\b&d\end{array}}\right)$. La trace de ${\overrightarrow {u}}$ est donc entière. Or, la trace d'une rotation est $2\cos \theta$, où $\theta$ est l'angle de la rotation. Puisque la trace est invariante par conjugaison, on en déduit que $2\cos \theta$ est entier, donc $\cos \theta \in \left\{-1,-{\frac {1}{2}},0,{\frac {1}{2}},1\right\}$, et donc $\theta \in \left\{-\pi ,\pm {\frac {2\pi }{3}},\pm {\frac {\pi }{2}},\pm {\frac {\pi }{3}},0\right\}$ (on exclut $0$ comme $u\not \in \Gamma$ est non triviale), puis que l'ordre de ${\overrightarrow {u}}$ est $2,3,4$ ou $6$.
22. Si ${\overrightarrow {x}}$ et ${\overrightarrow {y}}$ n'ont pas même norme, alors ${\overrightarrow {x}}$ et $-{\overrightarrow {x}}$ sont les seuls vecteurs de norme minimale parmi les vecteurs de $\Gamma$. Comme ${\overrightarrow {u}}({\overrightarrow {x}})$ est un vecteur de $\Gamma$ de même norme que ${\overrightarrow {x}}$, il s'agit de $\pm {\overrightarrow {x}}$. Puisque la rotation ${\overrightarrow {u}}$ admet $\pm 1$ comme valeur propre, on a ${\overrightarrow {u}}=\pm {\overrightarrow {\rm {id}}}$, et donc ${\overrightarrow {u}}=-{\overrightarrow {\rm {id}}}$ puisque $u\notin \Gamma$.
23. En composant deux symétries centrales de centres $C$ et $C'$, on obtient une translation de vecteur $2{\overrightarrow {CC'}}\in \Gamma$. Ainsi, $C'\in C+{\frac {1}{2}}\Gamma$. Réciproquement, soit ${\overrightarrow {v}}$ le vecteur d'une translation $t$ dans $\Gamma$. On souhaite montrer que $C+{\frac {1}{2}}{\overrightarrow {v}}$ est le centre d'une symétrie centrale de $G$ : d'après la question 4, $t\circ s$ convient (c'est une symétrie centrale et son centre est $C+{\frac {1}{2}}{\overrightarrow {v}}$).
24. La somme des angles de $r$ et $s$ vérifie $0<{\frac {2\pi }{\alpha }}+{\frac {2\pi }{\beta }}<2\pi$ donc, d'après la question 9, $r\circ s$, et donc $t$ sont des rotations. D'après la question 9, les angles ${\hat {A}}$ et ${\hat {B}}$ du triangle $(ABC)$ sont moitié de ceux des rotations $r$ et $s$. En échangeant les rôles, on déduit la même propriété sur l'angle ${\hat {C}}$ et la rotation $t$.
25. Si $t$ est d'ordre $\gamma$, alors toutes les rotations de même centre et d'angle ${\frac {2k\pi }{\gamma }}$, pour $\gamma$ entier, sont une puissance de $t$ (car les puissances de $t$ sont de cette forme, et il y en a $\gamma$ distinctes). En particulier, la rotation $t'$ d'angle ${\frac {2\pi }{\gamma }}$ et de centre $C$ est dans $G$. Mais alors, en appliquant la construction des questions 7 et 9 à la composée $t'\circ r$, on obtient deux droites ${\cal {D}}_{1}$ et ${\cal {D}}_{2}$ passant par $C$ et deux droites ${\cal {D}}'_{1}$ et ${\cal {D}}'_{2}$ passant par $A$. La droite ${\cal {D}}_{2}$ est tracée dans le secteur angulaire centré en $C$ et délimité par $(AC)$ et $(BC)$, donc coupe la droite $(BC)$ en un point situé sur le segment $[BC]$. Ce point est le centre de la rotation $t'\circ r$. On a donc exhibé un centre d'une rotation de $G$ qui est plus proche de $A$ que $B$ : c'est une contradiction.
26. La somme des angles d'un triangle est $\pi$. La relation ${\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\beta }}+{\frac {1}{\gamma }}=1$ montre qu'au plus un des entiers vaut $2$. Si $\gamma =2$, $\alpha =\beta =4$ et $\alpha =6$, $\beta =3$ sont solutions, et l'on remarque qu'il n'y a pas de solution pour les autres valeurs de $\alpha$. Si $\gamma =3$, on voit que $\alpha =\beta =3$ est solution, et qu'il n'y a pas de solution pour les autres valeurs de $\alpha$. Les triplets sont donc $(3,3,3)$, $(4,4,2)$ et $(6,3,2)$.
27. Le triangle $(ABC)$ est équilatéral. Leurs parties linéaires sont triviales donc $s^{2}\circ r$ et $t^{2}\circ r$ sont des translations. $s^{2}\circ r(A)$ est l'image de $A$ par la rotation centrée en $C$ et d'angle ${\frac {4\pi }{3}}$. C'est donc l'unique point $D$ tel que $ABDC$ soit un losange. Ainsi $s^{2}\circ r$ a pour vecteur $T_{1}={\overrightarrow {A(s^{2}\circ r)(A)}}={\overrightarrow {AD}}={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AC}}$. De même, $t^{2}\circ r$ a pour vecteur $T_{2}=2{\overrightarrow {AC}}-{\overrightarrow {AB}}$.
28. Si $\langle x,y\rangle =0$, alors :
    $\langle {\overrightarrow {r-{\rm {id}}}}(x),{\overrightarrow {r-{\rm {id}}}}(y)\rangle =-\langle {\overrightarrow {r}}(x),y\rangle -\langle x,{\overrightarrow {r}}(y)\rangle =-\langle x,{\overrightarrow {r}}(y)+{\overrightarrow {r}}^{2}(y)\rangle =-\langle x,-y\rangle =0$,
en se servant de ce que ${\overrightarrow {r}}$ est une isométrie donc admet pour adjoint ${\overrightarrow {r}}^{-1}$, et des relations ${\overrightarrow {r}}^{-1}={\overrightarrow {r}}^{2}$ et ${\overrightarrow {r}}^{2}+{\overrightarrow {r}}+{\overrightarrow {id}}=0$, qui proviennent de l'angle de $r$. La matrice de ${\overrightarrow {r-{\rm {id}}}}$ dans $({\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {AC}})$ est $\left({\begin{array}{cc}-2&1\\-1&-1\end{array}}\right)$ qui a pour déterminant $3$. Le rapport de la similitude est donc ${\sqrt {3}}$. Soit $T_{\overrightarrow {v}}$ une translation dans $\Gamma$. Puisque $\Gamma$ est engendré par n'importe quel couple de vecteurs non liés de normes minimales (partie 2.1), il suffit de voir que la norme de ${\overrightarrow {v}}$ est plus grande que celles de $T_{1}$ et $T_{2}$. Mais, d'après la question 4, le vecteur $-{\overrightarrow {v}}$ est l'image par ${\overrightarrow {r-{\rm {id}}}}$ d'un vecteur ${\overrightarrow {x}}$ tel que $A+{\overrightarrow {x}}$ est centre de $T\circ r$. D'après la définition de $B$, on a $\|{\overrightarrow {x}}\|\geq 1$ donc, puisque ${\overrightarrow {r-{\rm {id}}}}$ est une similitude de rapport ${\sqrt {3}}$, on a $\|{\overrightarrow {v}}\|\geq {\sqrt {3}}$. Un calcul direct (hauteur d'un triangle équilatéral) montre $\|T_{1}\|=\|T_{2}\|={\sqrt {3}}$, et l'on conclut.
29. En posant $F'=A+T_{1}+T_{2}$, les images par $\Gamma$ du parallélogramme $(ADF'F)$ recouvrent ${\cal {E}}$ par la question 13. Or, les images de l'hexagone $(ABDEFH)$ par ${\rm {id}}$, $T_{1}$ et $T_{2}$ recouvrent ce parallélogramme. Enfin, cet hexagone est exactement l'union des images de $(ABDC)$ par ${\rm {id}}$, $t$ et $t^{2}$.
30. D'après la question 29, il existe un élément de $\Gamma$ qui translate le centre de $W$ dans $(ABDEFH)$. Cette translation conjugue $W$ à une rotation $W_{0}$ dont le centre est dans $(ABDEFH)$ d'après la question 12. Les rotations $t$, $t^{2}$, $r$, $s$, $r^{2}$, $s^{2}$, et les conjugués de ces quatre dernières par $T_{1}$ et $T_{2}$ répondent effectivement à la question. S'il y a une rotation centrée en un autre point de l'hexagone que $A,B,C,D,E,F,H$, ce point est strictement plus proche de $C$ que $A$ et $B$, et par conjugaison par une translation, on en déduit un centre de rotation strictement plus proche de $A$ que $B$, ce qui est en contradiction avec la définition de $B$. S'il y a dans $G$ une rotation non triviale centrée en un des sommets ou en le centre de l'hexagone et d'ordre $\neq 3$, on en déduit une rotation d'ordre $>3$, et toujours quitte à translater, on construit comme à la question 25 un centre de rotation strictement plus proche de $A$ que $B$ et c'est encore une contradiction.
31. L'ordre d'un élément est stable par conjugaison, et toutes les rotations listées précédemment sont d'ordre $3$. L'image de $G$ par $\Pi$ est donc constituée uniquement de l'identité et des rotations vectorielles d'angles respectifs ${\frac {2\pi }{3}}$ et ${\frac {4\pi }{3}}$ : c'est un groupe isomorphe à $\mathbb {Z} /3\mathbb {Z}$. Le noyau de $\Pi$ restreint à $G$ est le groupe $\Gamma$ dont on a vu qu'il est isomorphe à $\mathbb {Z} ^{2}$.
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