OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Série de Fourier/Généralités

Nous partons d’une fonction réelle ou complexe $f$ de période $T>0$, définie sur un intervalle de longueur $T$, par exemple $[0;T]$; nous supposons que les formules d’Euler-Fourier lui sont applicables, et nous associons à $f$ la série trigonométrique qui possède les coefficients ainsi calculés. On dit que cette série est la série de Fourier de $f$.
Le problème qui se pose est double : étudier la convergence de la série de Fourier ainsi associée à $f$ ; si cette série converge, chercher si elle représente la fonction $f$.

## Propriétés des coefficients de Fourier de $f$

À la fonction $f$, réelle ou complexe, intégrable sur $[0;T]$, nous associons les trois suites de coefficients :
Coefficients de Fourier de $f:\,{\begin{cases}a_{0}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(x)dx\;(n=0)\\a_{n}={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}f(x)\cos \left({\frac {2\pi n}{T}}x\right)dx\;(n\geq 1)\\b_{n}={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}f(x)\sin \left({\frac {2\pi n}{T}}x\right)dx\;(n\geq 1)\end{cases}}$
Si $f$ est intégrable sur $[0;T]$, $a_{n}$ et $b_{n}$ tendent vers $0$ quand $n$ $\rightarrow +\infty$.
Si $f$ admet sur $[0;T]$ une dérivée première continue, et si $f(0)=f(T)$, $na_{n}$ et $nb_{n}$ tendent vers $0$.
Si $f$ est continûment dérivable sur $[0;T]$ jusqu'à l’ordre $k$, et si chacune des fonctions $f,f',\ldots ,f^{(k-1)}$ prend les mêmes valeurs en $0$ et $T$, alors $n^{k}a_{n}$ et $n^{k}b_{n}$ tendent vers $0$.
Si $f$ est réelle, bornée et monotone par morceaux sur $[0;T]$, les suites $(na_{n})$ et $(nb_{n})$ sont bornées.
| Introduction | Étude de la convergence |
# Série de Fourier/Introduction
## Séries trigonométriques
### Premières définitions

On appelle série trigonométrique toute série de fonctions $\sum u_{n}$ du type :
    $u_{0}=c_{0}$
    $\forall n\in \mathbb {N} ^{*},u_{n}:x\mapsto c_{n}e^{inx}+c_{-n}e^{-inx}$
de somme partielle $S_{n}:x\mapsto \sum _{k=-n}^{n}c_{k}e^{ikx}$
Les coefficients $c_{k}$ sont appelés coefficients complexes de Fourier.
Une série trigonométrique du type $f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{inx}$
s'écrit aussi :
    $f(x)=c_{0}+\sum _{n\geq 1}(c_{n}+c_{-n})\cos(nx)+i(c_{n}-c_{-n})\sin(nx)$
On pose alors $a_{n}=c_{n}+c_{-n}$ et $b_{n}=i(c_{n}-c_{-n})$, de sorte que : $f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n\geq 1}a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)$
On obtient alors les formules d'inversion suivantes :
    $c_{0}={\frac {a_{0}}{2}}\quad {\text{et}}\quad \forall n>0\quad c_{n}={\frac {a_{n}-ib_{n}}{2}},\quad c_{-n}={\frac {a_{n}+ib_{n}}{2}}$

### Propriétés des séries trigonométriques

Soit $f(x)=c_{0}+\sum _{n\geq 1}c_{n}e^{inx}+c_{-n}e^{-inx}$ une série trigonométrique. Son ensemble de convergence ${\mathcal {D}}$ est invariant par translation de $2\pi$.
La somme d'une série trigonométrique est $2\pi$-périodique sur son ensemble de convergence ${\mathcal {D}}$.
Si les séries $\sum c_{n}$ et $\sum c_{-n}$ sont absolument convergentes, alors la série trigonométrique associée converge normalement sur $\mathbb {R}$ auquel cas la somme S est définie continue et $2\pi$-périodique sur $\mathbb {R}$.
Remarque. Si on remplace $x$ par ${\frac {2\pi }{T}}x$, on obtient une fonction de période $T$. C’est pourquoi les séries trigonométriques ont été utilisées par Euler, Fourier... pour la représentation des fonctions périodiques.

## Calcul des coefficients complexes

Les coefficients complexes de Fourier sont donnés par :
$c_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{\alpha }^{\alpha +2\pi }f(x)e^{-inx}\,\mathrm {d} x$

## Calcul des coefficients réels — Formule d’Euler-Fourier

    $a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{\alpha }^{\alpha +2\pi }f(x)\cos(nx)\,\mathrm {d} x\;(n\geq 1)$
    $b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{\alpha }^{\alpha +2\pi }f(x)\sin(nx)\,\mathrm {d} x\;(n\geq 1)$
* $f$ est paire si et seulement si $\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\;b_{n}=0$
* $f$ est impaire si et seulement si $\forall n\in \mathbb {N} \;a_{n}=0$
| Sommaire | Généralités |
# Série de Fourier/Prérequis conseillés

* Développements limités
* Intégration de Riemann
* Suite numérique et Série numérique
* Suites et séries de fonctions
* Série entière
# Série de Fourier/Exercices/Étude de fonction

Soit la fonction f de $\mathbb {R}$ vers $\mathbb {R}$ définie comme suit :
${\begin{cases}f{\mbox{ est paire }}\\f{\mbox{ est périodique et a pour période }}2\pi \\f(t)=1-\sin {t}{\mbox{ si }}0\leq t\leq \pi \end{cases}}$
1. Représenter graphiquement f sur l'intervalle $\left[-2\pi ;2\pi \right]$. Le plan sera muni d'un repère orthogonal : 2 cm en abscisse et 5 cm en ordonnées).
On se propose de calculer les coefficients $a_{n}$ et $b_{n}$ du développement en série de Fourier de la fonction f
2. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a : $b_{n}=0$
3. Calculer $a_{0}$
4. Calculer $a_{1}$
5. Calculer $a_{n}$ en fonction de n pour $n\geq 2$. En déduire $a_{2p}={\frac {4}{\pi \left(4p^{2}-1\right)}}$ et $a_{2p+1}=0$
6. Écrire un développement en série de Fourier de la fonction f
* À faire.
* $\forall n,b_{n}=0$ car f est paire.
* $a_{0}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }(1-\sin(t))dt={\frac {2\pi }{\pi }}-{\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(t)dt=2-{\frac {4}{\pi }}$
* $a_{1}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }(1-\sin(t))\cos(t)dt={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(t)dt-{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(2t)dt={\frac {2}{\pi }}\times 0-0=0$
* On a : ${\begin{aligned}a_{n}&={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }(1-\sin(t))\cos(nt)dt\\&={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(nt)dt-{\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(t)\cos(nt)dt\\&=0-{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin((n+1)t)dt+{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin((n-1)t)dt\\&={\frac {1}{\pi }}\left[{\frac {1-(-1)^{n-1}}{n-1}}-{\frac {1-(-1)^{n+1}}{n+1}}\right]\end{aligned}}$ car $\cos(k\pi )=(-1)^{k}$. Donc $a_{n}={\frac {1+(-1)^{n}}{\pi }}{\frac {2}{n^{2}-1}}$. Le numérateur s'annule pour n impair, et vaut 4 pour n pair, d'où la formule souhaitée.
* Connaissant les valeurs de tous les coefficients de Fourier trigonométriques, on écrit :
       $\forall x\in \mathbb {R} ,f(x)=1-{\frac {2}{\pi }}+{\frac {4}{\pi }}\sum _{p=1}^{+\infty }{\frac {\cos(2px)}{4p^{2}-1}}$
Soit la fonction g définie sur $\mathbb {R}$ par : $g(t)=1-{\frac {2}{\pi }}+{\frac {4}{3\pi }}\cos {2t}+{\frac {4}{15\pi }}\cos {4t}$
7. Démontrer que g est paire, qu'elle est périodique et admet pour période $\pi$
On étudie g sur l'intervalle $\left[0;{\frac {\pi }{2}}\right]$
8. Calculer g'(t) et démontrer que l’on a $g'(t)={\frac {-8}{3\pi }}\left(\sin {2t}\right)\left(1+{\frac {4}{5}}\cos {2t}\right)$.
9. En déduire le sens de variation de g sur l'intervalle $\left[0;{\frac {\pi }{2}}\right]$
10. Sur le graphique de la question 1 dessiner la courbe représentative de g sur $\left[0;{\frac {\pi }{2}}\right]$. On placera les tangentes à cette courbe aux points d'abscisses 0 et ${\frac {\pi }{2}}$
7. La parité et la périodicité de g sont évidentes, parce que la fonction cosinus est paire et périodique. Un simple calcul montre que $g(x+\pi )=g(x)$
8. $g'(t)=-{\frac {8}{3\pi }}\sin(2t)-{\frac {16}{15\pi }}\sin(4t)$
Pour factoriser, il suffit de remarquer que $\sin(4t)=2\cos(2t)\sin(2t)$
| Sommaire | Exemple de développement en série de Fourier |
# Code de numération/Présentation de la leçon

Pour compter des objets et les représenter par des nombres, on utilise des « systèmes de numération », en général « pondérés ». En mathématiques on les appelle des bases arithmétiques.
# Coaching/Votre joker
## § C11. VOTRE FONCTION TRANSCENDANTALE : VOTRE JOKER
### Débriefing

| Votre fonction analytique | Exercice de remémoration |
# Code de numération/Prérequis conseillés

* La division
* Les puissances de 10
# Code de numération/Changement de base
## Conversion d’un décimal dans un autre système de numération

On procède par divisions successives du nombre par la base dans laquelle on veut l'écrire.
Le nombre converti commence par le dernier reste trouvé, les autres chiffres viennent des autres restes lus en sens inverse.

### Exemple
#### Conversion décimal vers binaire

Sur l'image ci-dessus, c’est la conversion du nombre 563 en son équivalent en binaire : le reste d'une division par deux ne peut être que 0 ou 1. On obtient donc :
$563_{(10)}=1000110011_{(2)}$

#### Conversion décimal vers octal

Sur l'image ci-dessus, c’est la conversion du nombre 563 en son équivalent en octal.
$563_{(10)}=1063_{(8)}$

#### Conversion en hexadécimal

On reprend (évidemment) le même principe de division successives ("incrémental") sauf que, comme le laisse supposer "hexa", cette fois on dispose d'une base 16.
Comme nos chiffres (le mot "bit" est parfois emprunté au binaire, celui de "chiffre" est préférable) usuels ne peuvent exprimer que dix valeurs il fallait trouver une parade. Celle choisie consiste à utiliser des lettres. Nous utiliserons donc A,B,C,D,E et F, respectivement 10, 11, 12, 13, 14 et 15.
Comme précédemment un "piège mental" est que 0 compte pour une unité, ainsi :
On précède généralement un digit hexadécimal de "0x" pour notifier que l’on utilise l'hexadécimal: en effet si le nombre évoqué est pas exemple 0x443, cela donne 1091 en décimal ce qui diffère quelque peu de 443 vous en conviendrez.
La page Wikipedia contient d’autre méthode de conversion que je vous laisse le plaisir de découvrir.
| Introduction | Codes binaires |
# Code de numération

| Chap. 1 : | Introduction (11) |
| Chap. 2 : | Changement de base (11) |
| Chap. 3 : | Codes binaires (11) |
| Chap. 4 : | Autres Codes (11) |
| Chap. 5 : | Compter (11) |
| Exercice : | Introduction (11) |

## Présentation [Modifier]

Pour compter des objets et les représenter par des nombres, on utilise des « systèmes de numération », en général « pondérés ». En mathématiques on les appelle des bases arithmétiques.

## Objectifs

Les objectifs de cette leçon n'ont pas encore été fixés. Pour le faire, cliquez ici.

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 11.
* La division
* Les puissances de 10

## Référents [Modifier]

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
* Jacques Boudier
# Coaching/Votre jugement arbitraire
## Votre jugement arbitraire

Notre jugement arbitraire est une source principale de subjectif. Mais c'est une de nos capacités réelles indispensable pour vivre. Son existence, ses facultés et ses grilles sont authentiques donc objectives et présentes dans ses qualia. Par contre ses produits sont arbitraires, approximatifs et souvent partiaux. Il opère cinq principaux types de jugement : le jugement de vérité, le jugement d'efficacité, le jugement éthique, le jugement du beau et le jugement de sa propre efficience qui varie de l'indécision à la sureté. Il est toujours accompagné d'un doute, aussi minime soit-il, constitutif de sa qualité, donc authentique.

### Discussion, débat

| Votre direction volontaire | Votre concentration |
# Coaching/Votre énergie mentale
## § C6. VOTRE ÉNERGIE MENTALE
### Débriefing

| Votre fonction motrice | Votre direction volontaire |
# Électromagnétisme des milieux matériels/Leçons

| Leçon 1 : Introduction à l'électromagnétisme des milieux matériels Leçon 2 : Électromagnétisme des milieux conducteurs Leçon 3 : Électromagnétisme des milieux diélectriques | Leçon 4 : Introduction à la magnétohydrodynamique Leçon 5 : Piézoélectricité Leçon 6 : Supraconductivité |
# Électromagnétisme dépendant du temps

| Chap. 1 : | Rappels de statique (15) |
| Chap. 2 : | Nécessité de nouvelles équations (15) |
| Chap. 3 : | Équations de Maxwell (15) |
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## Présentation [Modifier]

Les relations établies pour les régimes statiques (électrostatique, magnétostatique) ne sont plus toutes valables dans le cas général. Cette leçon montre comment les champs électrique et magnétique s'entremêlent lorsqu’ils sont variables, pour amener à des phénomènes comme l'induction ou les ondes électromagnétiques — devenant alors indissociables l'un de l'autre.

## Objectifs [Modifier]

* Rappeler les principaux résultats valables en électrostatique et magnétostatique (chapitre 1) ;
* Montrer que, lorsque les champs varient dans le temps, certains ne sont plus valables (chapitre 2) ;
* Introduire les équations de Maxwell qui résolvent ce problème dans le cas général (chapitre 3).

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 15.
* Électrostatique, magnétostatique ;
* Analyse vectorielle (à haute dose, posséder un formulaire pendant la lecture est conseillé);
* Phénomènes d'induction (facultatif, mais conseillé).

## Pour aller plus loin [Modifier]

* Ondes électromagnétiques

## Référents

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# Électromagnétisme dépendant du temps/Objectifs

* Rappeler les principaux résultats valables en électrostatique et magnétostatique (chapitre 1) ;
* Montrer que, lorsque les champs varient dans le temps, certains ne sont plus valables (chapitre 2) ;
* Introduire les équations de Maxwell qui résolvent ce problème dans le cas général (chapitre 3).
# Électromagnétisme des milieux matériels

Faculté de Physique
Ce cours a pour but d'étudier les conséquences des équations de Maxwell dans les milieux matériels.
| Leçon 1 : Introduction à l'électromagnétisme des milieux matériels Leçon 2 : Électromagnétisme des milieux conducteurs Leçon 3 : Électromagnétisme des milieux diélectriques | Leçon 4 : Introduction à la magnétohydrodynamique Leçon 5 : Piézoélectricité Leçon 6 : Supraconductivité |
Les objectifs de ce cours sont :
    Les objectifs de ce cours n'ont pas encore été fixés. Pour le faire, cliquez ici.
Cours de niveau 15. Les prérequis conseillés sont :
    Les prérequis pour ce cours n'ont pas encore été précisés. Pour le faire, cliquez ici.
Référents
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# Électromagnétisme des milieux matériels/Présentation du cours

Ce cours a pour but d'étudier les conséquences des équations de Maxwell dans les milieux matériels.
# Électromagnétisme dépendant du temps/Prérequis conseillés

* Électrostatique, magnétostatique ;
* Analyse vectorielle (à haute dose, posséder un formulaire pendant la lecture est conseillé);
* Phénomènes d'induction (facultatif, mais conseillé).
# Électromagnétisme dépendant du temps/Présentation de la leçon

Les relations établies pour les régimes statiques (électrostatique, magnétostatique) ne sont plus toutes valables dans le cas général. Cette leçon montre comment les champs électrique et magnétique s'entremêlent lorsqu’ils sont variables, pour amener à des phénomènes comme l'induction ou les ondes électromagnétiques — devenant alors indissociables l'un de l'autre.
# Le siècle des totalitarismes/Fiche/Repères chronologiques

Il s'agit d'une fiche regroupant les dates essentielles à connaître. Pour les notions les plus importantes du cours, consultez la fiche sur les notions-clés.

## Genèse et affirmation des régimes totalitaires

* 1926 : invention de la notion de « totalitarisme » par Giovanni Amendola (un opposant au fascisme).
* 1951 : comparaison entre les totalitarismes nazi et soviétique par Hannah Arendt (une philosophe américaine).
* 1917 : Révolution d'Octobre, Lénine s'empare du pouvoir en Russie.
* 1922 : Marche sur Rome, Mussolini nommé chef du gouvernement du royaume d'Italie.
* 1924 : mort de Lénine, Staline prend le pouvoir en Union soviétique.
* 1933 : Hitler nommé chancelier d'Allemagne.

## La fin des totalitarismes
### La dénazification de l'Allemagne et le procès de Nuremberg

* 8 mai 1945 : capitulation sans condition allemande.
* août 1945 : conférence de Potsdam, les vainqueurs lancent la dénazification.
* 1946 : condamnation par le Tribunal international de Nuremberg des principaux criminels nazis.
* 1949 : arrêt de la dénazification, à cause du début de la guerre froide.

### Gorbatchev, de la Glasnost à la disparition de l'URSS

* 1985 : Gorbatchev arrive au pouvoir en Union soviétique.
* 1986 : discours de lancement de la perestroïka, de la glasnost et de la demokratizatsiya.
* 1989 : première élection libres (candidats indépendants du Parti et vote à bulletin secret).
* 1990 : proclamation d'indépendance de la Lituanie et de l'Arménie, Eltsine devient président de la Russie.
* août 1991 : tentative de coup d'État des conservateurs, repoussée par Eltsine.
* décembre 1991 : indépendance de la Russie proclamée par Eltsine, démission de Gorbatchev et dissolution de l'URSS.
| Sommaire | Notions-clés |
# Le siècle des totalitarismes/Genèse des régimes totalitaires dans l'entre-deux-guerres

Un système totalitaire, selon Giovanni Amendola, est une « promesse d'une domination absolue de tout le processus législatif et de contrôle du champ de la vie politique et administrative ».
Les différentes arrivées au pouvoir :
* Lénine en 1917
* Benito Mussolini en 1922
* Staline en 1924
* Adolf Hitler en 1933
Les causes de ces arrivées au pouvoir sont les difficultés économiques et sociales causées par la Première Guerre mondiale.

## Le fascisme en pionnier
### Italie : en proie aux troubles

L'Italie est dans le camps des vainqueurs mais s'estime lésée par les traités de paix. 1919-1920 :
* Situation sociale explosive.
* Difficultés économiques.
* Les syndicalistes et le Parti communiste sont tentés de propager la révolution bolchévique.
* Grèves dans les usines et les campagnes.

### La prise de pouvoir du parti fasciste

Mussolini accède au pouvoir légalement. Grâce à ses succès électoraux mais surtout à sa stratégie d'intimidation, il pousse le roi à le nommer président de Conseil en 1922. Les lois fascistes en 1925-26 lui donnent tous les pouvoirs et suppriment toutes les libertés.

## La prise du pouvoir par Hitler
### Du NSDAP à l'échec du putsch

Le Parti national-socialiste des travailleurs allemands (NSDAP).

### L'élimination des opposants
## Staline successeur de Lénine

La Russie devient communiste dès la Révolution d'Octobre en 1917. Dater le début du totalitarisme soviétique à l'arrivée au pouvoir de Staline est négliger le caractère totalitaire du régime de Lénine.
# Le siècle des totalitarismes/Objectifs

* de permettre le partage entre élèves des compléments de cours ;
* d’aborder la période contemporaine sous le thème du totalitarisme.
# Mathématiques en MP

Faculté de Mathématiques
Ce cours de mathématiques est destiné aux élèves de deuxième année des classes préparatoires aux grandes écoles scientifiques (Écoles normales supérieures ou l'École polytechnique…). Ces classes sont aussi communément désignées sous le nom de « maths spé option maths physique ». Ce cours (en y incluant les MP*) peut être considéré comme ce qu'il existe de plus poussé en mathématiques de deuxième année d'enseignement supérieur. L'option MP est l'une des options dont disposent les étudiants après avoir accompli leur première année de MPSI (les autres étant les options PC, PSI et PT).
* Fonctions convexes
* Espaces vectoriels normés
* Espace préhilbertien réel
* Calcul différentiel
* Réduction des endomorphismes
Feuille d'exercices 1 (15)
Intégrales dépendant d'un paramètre (15)
* Devoir 1 :   Intégrale dépendant d'un paramètre
* Programme (2013)
* Ancien programme
* Michel Quercia, Nombreuses fiches d'exercices, parfois corrigés + Une grande feuille d'exercices d'oraux, classés par thèmes et corrigés
Les objectifs de ce cours sont :
    Les objectifs de ce cours n'ont pas encore été fixés. Pour le faire, cliquez ici.
Cours de niveau 15. Les prérequis conseillés sont :
Référents
Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant ce cours :
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# Mathématiques en MP/Devoir

* Devoir 1 :   Intégrale dépendant d'un paramètre
# Mathématiques en MP/Annexe

* Programme (2013)
* Ancien programme
* Michel Quercia, Nombreuses fiches d'exercices, parfois corrigés + Une grande feuille d'exercices d'oraux, classés par thèmes et corrigés
# Mathématiques en CP/Référents

* Hérisson grognon (discuter)
* Loïc Fabiou (discuter)
# Mathématiques en CP/Présentation du cours

Ce cours présente les différentes leçons du niveau primaire (classe de CP) à connaitre et maitriser avant de rentrer en classe de CE1.
# Mathématiques en MP/Devoir/Intégrale dépendant d'un paramètre

Pour $x>0$, on pose
$f(x)=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {e} ^{t}}{x+t}}\;\mathrm {d} t$
* Montrer que $f$ est bien définie sur $\left]0,+\infty \right[$ et que $f(0)$ est une intégrale divergente.
* Montrer que $f$ est décroissante.
* Montrer que$\forall x\in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad f(x)=\mathrm {e} ^{-x}\int _{x}^{x+1}{\frac {\mathrm {e} ^{u}}{u}}\;\mathrm {d} u$.
* On définit la fonction $h:\mathbb {R} _{+}^{*}\to \mathbb {R}$ par$h(x)=\int _{x}^{x+1}{\frac {\mathrm {e} ^{u}}{u}}\;\mathrm {d} u$.Montrer que $h$ est dérivable et exprimer sa dérivée.
* En déduire que $f$ est dérivable et que$\forall x\in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad f'(x)=-f(x)+{\frac {\mathrm {e} }{x+1}}-{\frac {1}{x}}$.
Dans les questions suivantes, on étudie le comportement de $f$ au voisinage de $+\infty$ puis au voisinage de $0$. Il est conseillé d'utiliser la formule $f(x)=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {e} ^{t}}{x+t}}\;\mathrm {d} t$.
* Montrer que$\forall x\in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad {\frac {1}{x+1}}\int _{0}^{1}\mathrm {e} ^{t}\;\mathrm {d} t\leq f(x)\leq {\frac {1}{x}}\int _{0}^{1}\mathrm {e} ^{t}\;\mathrm {d} t$.
* En déduire un équivalent de $f$ au voisinage de $+\infty$.
* Montrer que$\forall x\in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad f(x)=g(x)+\ln(x+1)-\ln x$,avec$g(x)=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {e} ^{t}-1}{x+t}}\;\mathrm {d} t$.
* Montrer que $g$ est définie et continue sur $\left[0,+\infty \right[$.
* Déduire des questions précédentes l'équivalent suivant en $0$ : $f(x)\sim _{0}-\ln x$.
* $\forall x\geq \varepsilon >0\quad 0<{\frac {\mathrm {e} ^{t}}{x+t}}\leq {\frac {\mathrm {e} ^{t}}{\varepsilon +t}}\in \mathrm {L} ^{1}([0,1])$, tandis que ${\frac {\mathrm {e} ^{t}}{t}}\sim _{0}{\frac {1}{t}}$, non intégrable en $0$.
* $\forall y\geq x>0\quad \forall t\geq 0\quad {\frac {\mathrm {e} ^{t}}{y+t}}\leq {\frac {\mathrm {e} ^{t}}{x+t}}$, donc $f(y)\leq f(x)$.
* Simple changement de variable $u=x+t$.
* D'après le théorème fondamental de l'analyse, $\forall x>0\quad h'(x)={\frac {\mathrm {e} ^{x+1}}{x+1}}-{\frac {\mathrm {e} ^{x}}{x}}$.
* $\forall x>0\quad f'(x)=-\mathrm {e} ^{x}h(x)+\mathrm {e} ^{x}h'(x)=-f(x)+{\frac {\mathrm {e} }{x+1}}-{\frac {1}{x}}$.
* $\forall x\in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad \forall t\geq 0\quad {\frac {1}{x+1}}\leq {\frac {1}{x+t}}\leq {\frac {1}{x}}$.
* $\forall x\in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad {\frac {\mathrm {e} -1}{x+1}}\leq f(x)\leq {\frac {\mathrm {e} -1}{x}}$ donc $f(x)\sim _{+\infty }{\frac {\mathrm {e} -1}{x}}$.
* $\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{x+t}}=\ln(1+x)-\ln x$.
* $\forall t>0\quad x\mapsto {\frac {\mathrm {e} ^{t}-1}{x+t}}$ est continue sur $\left[0,+\infty \right[$ et $\forall x\geq 0\quad \forall t>0\quad 0\leq {\frac {\mathrm {e} ^{t}-1}{x+t}}\leq {\frac {\mathrm {e} ^{t}-1}{t}}$, (prolongeable en une) fonction continue donc intégrable sur $[0,1]$.
* Quand $x\to 0$, $g(x)+\ln(x+1)\to g(0)\prec -\ln x$.
# Mathématiques en MP/Exercices

Feuille d'exercices 1 (15)
Intégrales dépendant d'un paramètre (15)
# Contrôle interne/Prérequis conseillés

Disposer des connaissances en:
* Comptabilité,
* Gestion,
* Management.