# Intégration en mathématiques/Devoir/Encadrement du nombre e

1° Pour tout entier naturel $n$, on considère l'application $f_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ définie par :
    $f_{n}(x)={\frac {x^{n}\mathrm {e} ^{-x}}{n!}}$.
    a) Pour $n>0$, donner le tableau de variation de $f_{n}$, en distinguant les deux cas : $n$ pair et $n$ impair.
    b) Tracer, dans un repère orthonormal $\left(O,{\vec {i}},{\vec {j}}\right)$, les courbes représentatives des fonctions $f_{2}$ et $f_{3}$ ; on précisera la position relative de ces courbes.
    c) En revenant au cas général, montrer que, si $0\leqslant x\leqslant 1$, alors on a :
       $0\leqslant f_{n}(x)\leqslant {\frac {1}{n!\,\mathrm {e} }}$.
2° Soit :
    $I_{n}(x)=\int _{0}^{x}f_{n}$.
    a) Calculer $I_{0}(x)$.
    b) À l'aide d'une intégration par parties, démontrer la relation de récurrence :
       $I_{n}(x)-I_{n-1}(x)=-{\frac {x^{n}}{n!}}\mathrm {e} ^{-x}$.
    c) Démontrer que l'on a :
       $I_{n}(x)=1-\mathrm {e} ^{-x}\left[1+{\frac {x}{1!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\right]$,
       c'est-à-dire : $I_{n}(x)=1-\mathrm {e} ^{-x}\left[\sum _{p=0}^{n}{\frac {x^{p}}{p!}}\right]$.
       Quelle est la limite, pour $n$ fixé, de $I_{n}(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$ ?
3° On pose $J_{n}=I_{n}(1)$.
    a) Démontrer que $0\leqslant J_{n}\leqslant {\frac {1}{n!\,\mathrm {e} }}$.
       En déduire, en utilisant le calcul de $I_{n}$, que l'on a :
       $0\leqslant 1-\mathrm {e} ^{-1}\left[\sum _{p=0}^{n}{\frac {1}{p!}}\right]\leqslant {\frac {1}{n!\,\mathrm {e} }}$
       et
       $\sum _{p=0}^{n}{\frac {1}{p!}}\leqslant \mathrm {e} \leqslant \left[\sum _{p=0}^{n}{\frac {1}{p!}}\right]+{\frac {1}{n!}}$.
    b) Quelle est la limite, quand $n$ tend vers $+\infty$, de $\sum _{p=0}^{n}{\frac {1}{p!}}$ ?
    c) En calculant $\sum _{p=0}^{5}{\frac {1}{p!}}$, donner le meilleur encadrement, permis par ce calcul, du nombre $\mathrm {e}$.
    a) $f'_{n}(x)={\frac {\mathrm {e} ^{-x}x^{n-1}(n-x)}{n!}}$ (nulle en $0$ — comme $f_{n}$ — si $n>1$), $\lim _{+\infty }f=0$ et $\lim _{-\infty }f=+\infty$ si $n$ pair, $-\infty$ si $n$ impair. Si $n$ est pair, $f$ est décroissante jusqu'à $x=0$, puis croissante jusqu'à $n$, puis décroissante. Si $n$ est impair, $f$ est croissante jusqu'à $x=n$, puis décroissante.
    b) $f_{3}(x)>f_{2}(x)\Leftrightarrow x>3$.
    c) Si $0\leqslant x\leqslant 1$ alors $0=f_{n}(0)\leqslant f_{n}(x)\leqslant f_{n}(1)={\frac {1}{n!\,\mathrm {e} }}$.
    a) $I_{0}(x)=\left[-\mathrm {e} ^{-t}\right]_{0}^{x}=1-\mathrm {e} ^{-x}$.
    b) $I_{n}(x)=\left[-{\frac {t^{n}\mathrm {e} ^{-t}}{n!}}\right]_{0}^{x}+I_{n-1}$.
    c) Récurrence immédiate, et $\lim _{+\infty }I_{n}=1$.
    a) L'encadrement de $J_{n}$ s'obtient en intégrant celui de $f_{n}$ sur $\left[0,1\right]$ obtenu dans la question 1.c. D'après la question 2.c, $J_{n}=1-\mathrm {e} ^{-1}\left[\sum _{p=0}^{n}{\frac {1}{p!}}\right]$. L'encadrement de $\mathrm {e}$ est alors immédiat.
    b) D'après le théorème des gendarmes, $\lim _{n\to \infty }J_{n}=\mathrm {e}$.
    c) $1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{120}}={\frac {326}{120}}$ donc ${\frac {326}{120}}\leqslant \mathrm {e} \leqslant {\frac {327}{120}}$. ${\frac {326}{120}}={\frac {163}{60}}\approx 2{,}717$ et ${\frac {327}{120}}={\frac {109}{40}}=2{,}725$, donc $\mathrm {e} \approx 2{,}72$.
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