# Nombre entier relatif/Produit et division
## Cas du produit de deux nombres
### Règle des signes

* Le produit de deux nombres de même signe est un nombre positif.
* Le produit de deux nombres de signes contraires est un nombre négatif.
Cette règle peut être résumée par le tableau suivant :
| | | Signe du premier facteur | Signe du premier facteur |
| Signe du deuxième facteur | + | + | - |
| Signe du deuxième facteur | - | - | + |
* $3\times 5=15$
Le résultat est positif car les deux facteurs sont tous les deux positifs.
* $(-6)\times (-3)=18$
Le résultat est positif car les deux facteurs sont tous les deux négatifs.
* $(-4)\times 7=-28$
Le résultat est négatif car les deux facteurs sont de signes différents.
* $8\times (-2)=-16$
Le résultat est négatif car les deux facteurs sont de signes différents.

### Produits particuliers

Pour tout nombre relatif a
* $1\times a=a\times 1=a$
* $(-1)\times a=a\times (-1)=-a$
* $0\times a=a\times 0=0$
* $a^{2}=a\times a$ est toujours positif

## Cas général

* Un produit de nombres relatifs est positif s’il y a un nombre pair de facteurs négatifs.
* Un produit de nombres relatifs est négatif s’il y a un nombre impair de facteurs négatifs.
* $(-1)\times (-7)\times 2\times 3=42$
Le résultat est positif car il y a deux facteurs négatifs et deux est un nombre pair.
* $(-3)\times (-2)\times 2\times (-5)\times (-1)\times (-3)\times 8=-1440$
Le résultat est négatif car il y a cinq facteurs négatifs et cinq est un nombre impair.

## Inverse d’un nombre relatif

Deux nombres sont inverses l’un de l’autre si leur produit vaut 1
L’inverse d’un nombre correspond au résultat de la division de 1 par ce nombre.
* L’inverse de 2 est 0,5 car ${\frac {1}{2}}$=0,5.
* L’inverse de 10 est 0,1 car ${\frac {1}{10}}$ =0,1.
* L’inverse de 1 est 1 car ${\frac {1}{1}}$=1.
* L’inverse de 5 est 0,2 car ${\frac {1}{5}}$=0,2.
* Il ne faut pas confondre « inverse » et « opposé » :
* L’opposé de 2 est -2.
* L’inverse de 2 est 0,5.
Un nombre relatif et son inverse ont le même signe.
* L’inverse de -2 est -0,5, ils sont tous deux négatifs.
* L’inverse de 10 est 0,1, ils sont tous deux positifs.
* L’inverse de -0,25 est -4, ils sont tous deux négatifs.

### Inverse et division

Calculons :
$5\times 0,5=2,5$
$5\div 2=2,5$
Donc multiplier par 0,5 revient à diviser par 2, car 2 est l’inverse de 0,5.
Diviser par un nombre relatif revient à multiplier par son inverse.
Exercices :
Transformer en multiplications les calculs ci-dessous à l’exemple du premier calcul :
$10\div 4=10\times 0,25$
$-15\div 5=.................$
$222\div (-10)=................$
$-25\div (-2)=.................$
$-24\div 100=..................$
$-15\div 5=-15\times 0.2$
$222\div (-10)=222\times (-0,1)$
$-25\div (-2)=-25\times (-0.5)$
$-24\div 100=-24\times 0.01$

## Quotient de deux nombres relatifs
### Règle des signes

Comme un nombre et son inverse ont le même signe, la règle des signes pour la division sera la même que celle pour la multiplication.
* Le quotient de deux nombres de même signe est un nombre positif.
* Le quotient de deux nombres de signes contraires est un nombre négatif.
* ${7 \over 2}=3,5$
Le résultat est positif car le numérateur et le dénominateur sont tous les deux positifs.
* ${(-6) \over (-3)}=2$
Le résultat est positif car le numérateur et le dénominateur sont tous les deux négatifs.
* ${(-1) \over 8}=-0,125$
Le résultat est négatif car le numérateur et le dénominateur sont de signes différents.
* ${5 \over (-3)}\simeq -1,6667$
Le résultat est négatif car le numérateur et le dénominateur sont de signes différents.

## Quotients particuliers

Pour tout nombre relatif $a$ :
* ${\frac {a}{1}}=a$
Pour tout nombre relatif non nul $a$ :
* ${\frac {a}{a}}=1$ et ${\frac {0}{a}}=0$
Diviser par 0 est impossible, ainsi ${\frac {a}{0}}$ n’existe pas.
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