# Mécanique 1 (PCSI)/Loi de la quantité de mouvement : Mouvement dans le champ de pesanteur uniforme
## Définition et condition de réalisation de la chute libre d'un système fermé de points matériels dans un champ de pesanteur uniforme
### Définition

Un système fermé de points matériels au voisinage de la Terre est « en chute libre » si la seule force extérieure s'appliquant sur lui est « son poids $\;m_{\text{syst}}\;{\vec {g}}\;$» $\;{\big{\vec {g}}\;$ étant le champ de pesanteur terrestre au lieu considéré${\big )}\;$.

### Conditions de réalisation
#### Condition de réalisation du caractère uniforme du champ de pesanteur terrestre

Préliminaire : On rappelle que la verticale en un lieu de la surface terrestre ne passe pas rigoureusement par le centre $\;O_{({\text{♁}})}\;$ de la Terre sauf aux pôles et à l'équateur, le poids dont la direction définit la verticale en un lieu ne s'identifiant pas rigoureusement à la force de gravitation terrestre de direction passant par le centre $\;O_{({\text{♁}})}\;$ de la Terre ;
Préliminaire : le poids «$\;m_{\text{syst}}\;{\vec {g}}\;$» est en fait la somme de  Préliminaire : $\;\succ \;$de la force de gravitation terrestre «$\;-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{({\text{♁}})}\;m_{\text{syst}}}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$» dans laquelle $\;r\;$ est la distance séparant le C.D.I. $\;G\;$ du système fermé de points matériels du centre $\;O_{({\text{♁}})}\;$ de la Terre et $\;{\vec {u}}_{r}\;$ le 1er vecteur de base sphérique liée à $\;G$, de pôle $\;O_{({\text{♁}})}\;$ et d'axe « l'axe pôle Sud - pôle Nord de rotation propre de la Terre » et  Préliminaire : $\;\succ \;$de la « pseudo force d'inertie d'entraînement » de rotation de la Terre relativement au référentiel géocentrique définie au lieu considéré «$\;m_{\text{syst}}\;\Omega _{({\text{♁}})}^{2}\;{\overrightarrow {C_{G}G}}=$ $m_{\text{syst}}\;\Omega _{({\text{♁}})}^{2}\;\rho \;{\vec {u}}_{\rho }\;$» dans laquelle «$\;\Omega _{({\text{♁}})}\;$ est la vitesse angulaire de rotation de la Terre autour de son axe égale à $\;\Omega _{({\text{♁}})}={\dfrac {2\;\pi }{T_{({\text{♁}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{géoc}})}}}={\dfrac {2\;\pi }{24\times 3600}}$ $\simeq 7,27\;10^{-5}\;rad\cdot s^{-1}\;$», «$\;\rho =r\;\cos(\lambda )\;$ la distance séparant le point $\;G\;$ de l'axe de rotation pôle Sud – pôle Nord » avec «$\;\lambda \;$ la latitude du lieu », «$\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ le 1er vecteur de base cylindro-polaire liée à $\;G\;$ d'axe pôle Sud – pôle Nord » se décomposant, dans la base sphérique de pôle $\;O_{({\text{♁}})}\;$ lié à $\;G\;$ selon «$\;{\vec {u}}_{\rho }=$ ${\vec {u}}_{r}\;\cos(\lambda )+{\vec {u}}_{\theta }\;\sin(\lambda )\;$» avec $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ le 2ème vecteur de base sphérique liée à $\;G$, de pôle $\;O_{({\text{♁}})}\;$ et d'axe « l'axe pôle Sud - pôle Nord de rotation propre de la Terre » ;  Préliminaire : on en déduit la « composante de $\;m_{\text{syst}}\;{\vec {g}}\;$ sur $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ égale à $\;m_{\text{syst}}\;\Omega _{({\text{♁}})}^{2}\;r\;\cos(\lambda )\;\sin(\lambda )\;$», composante qui est à l'origine de l'écart de la direction de la verticale par rapport à la direction de $\;{\vec {u}}_{r}\;$ c.-à-d. de la direction passant par le centre $\;O_{({\text{♁}})}\;$ de la Terre, écart non nul sauf aux pôles et à l'équateur pour lesquels $\;\cos(\lambda )\;\sin(\lambda )=0$ ;
Préliminaire : toutefois nous ne tiendrons pas compte de la différence entre le poids et la force de gravitation terrestre car Préliminaire : toutefois le terme correctif sur $\;{\vec {u}}_{r}\;$ à savoir «$\;m_{\text{syst}}\;\Omega _{({\text{♁}})}^{2}\;r\;\cos ^{2}(\lambda )\;$» ne représente, à Paris et au niveau du sol, que $\;0,3\,\%\;$ en norme et Préliminaire : toutefois l'écart de $\;5\,{\text{'}}\;$ d'angle au même endroit entre la verticale et la direction passant par le centre $\;O_{({\text{♁}})}\;$ de la Terre ne représente que $\;0,15\,\%\;$ en direction, Préliminaire : aussi considérons nous, dans ce paragraphe, que
$\;m_{\text{syst}}\;{\vec {g}}\simeq -{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{({\text{♁}})}\;m_{\text{syst}}}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$
Condition d'expansion tridimensionnelle pour que le champ de pesanteur terrestre soit quasi uniforme : du préliminaire précédent on déduit la variation du champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}(M)\;$ avec la position $\;M\;$ considérée au voisinage de la Terre soit
$\;{\vec {g}}(M)\simeq -{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{({\text{♁}})}}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$
dans laquelle «$\;{\vec {u}}_{r}\;$ étant le 1er vecteur de base sphérique liée à $\;M$, de pôle $\;O_{({\text{♁}})}\;$ et d'axe “ l'axe pôle Sud - pôle Nord de rotation propre de la Terre ” », est aussi, localement, « le vecteur unitaire vertical ascendant noté $\;{\vec {u}}_{z}\;$ en la position $\;M\;$ considérée » et «$\;r=\Vert {\overrightarrow {O_{({\text{♁}})}M}}\Vert \;$ la 1ère coordonnée sphérique de $\;M$, encore égale à $\;r=R_{({\text{♁}})}+z\;$» dans laquelle $\;R_{({\text{♁}})}\;$ est le rayon de la Terre et $\;z\ll R_{({\text{♁}})}\;$ l'altitude locale de $\;M$, les deux autres coordonnées sphériques de $\;M\;$ étant «$\;\theta ={\dfrac {\pi }{2}}-\lambda \;$ avec $\;\lambda \;$ sa latitude » et «$\;\varphi =\mu \;$ avec $\;\mu \;$ sa longitude » ;
Condition d'expansion tridimensionnelle pour que le champ de pesanteur terrestre soit quasi uniforme : « pour que $\;{\vec {g}}(M)\;$ soit uniforme à $\;1\,\%\;$ près », il faut donc que sa norme $\;{\big$dépendant de l'altitude${\big )}\;$ ainsi que sa direction $\;{\big$dépendant de la latitude et de la longitude${\big )}\;$ varient de moins de $\;1\,\%$, ce qui donne les conditions suivantes :
   * « quand $\;M\;$ est déplacé verticalement », «$\;g(z)=\Vert {\vec {g}}(M)\Vert \simeq {\Bigg \Vert }-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{({\text{♁}})}}{\left[R_{({\text{♁}})}+z\right]^{\!2}}}\;{\vec {u}}_{r}{\Bigg \Vert }={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{({\text{♁}})}}{\left[R_{({\text{♁}})}+z\right]^{\!2}}}\;$ reste constant à $\;1\,\%\;$ près » si « le déplacement vertical $\;z\;$ est inférieur à $\;h\;$» tel que «$\;{\dfrac {g(0)-g(h)}{g(0)}}$ $=10^{-2}\;$» ou, avec «$\;g(0)\simeq {\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{({\text{♁}})}}{\left[R_{({\text{♁}})}\right]^{\!2}}}\Rightarrow {\mathcal {G}}\;m_{({\text{♁}})}\simeq g(0)\;R_{({\text{♁}})}^{\,2}\;$» permettant de réécrire «$\;g(h)\simeq$ ${\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{({\text{♁}})}}{\left[R_{({\text{♁}})}+h\right]^{\!2}}}\simeq g(0)\left[{\dfrac {R_{({\text{♁}})}}{R_{({\text{♁}})}+h}}\right]^{2}=g(0)\left[1+{\dfrac {h}{R_{({\text{♁}})}}}\right]^{-2}\;$» soit encore, en considérant «$\;{\dfrac {h}{R_{({\text{♁}})}}}\ll 1\;$ comme un infiniment petit d'ordre un » et en faisant un D.L. d'ordre un de $\;{\dfrac {g(h)}{g(0)}}=\left[1+{\dfrac {h}{R_{({\text{♁}})}}}\right]^{-2}\simeq 1-2\;{\dfrac {h}{R_{({\text{♁}})}}}\;$ d'où, comme «$\;{\dfrac {g(0)-g(h)}{g(0)}}=$ $1-{\dfrac {g(h)}{g(0)}}$ $\simeq 2\;{\dfrac {h}{R_{({\text{♁}})}}}\;$», on en déduit le déplacement vertical maximal toléré $\;h\;$ pour que la variation de la norme du champ de pesanteur terrestre soit inférieure à $\;1\;\%$, soit $\;2\;{\dfrac {h}{R_{({\text{♁}})}}}=10^{-2}\;$ ou «$\;h=5\;10^{-3}\;R_{({\text{♁}})}\simeq 30\;km\;$» ;
   * « quand $\;M\;$ est déplacé horizontalement », « la direction de $\;{\vec {g}}(M)\;$ reste la même à $\;1\,\%\;$ près » si « le point $\;M\;$ décrit moins de $\;1\,\%\;$ de grand cercle de circonférence $\;2\;\pi \;R_{({\text{♁}})}\simeq 40000\;km\;$» c.-à-d. si « le déplacement horizontal est $\;\lesssim l_{\text{horiz}}=10^{-2}\;2\;\pi \;R_{({\text{♁}})}\;$» soit «$\;l_{\text{horiz}}\simeq 10^{-2}\times 40000\;km\simeq 400\;km\;$» ;
Condition d'expansion tridimensionnelle pour que le champ de pesanteur terrestre soit quasi uniforme : en conclusion le champ de pesanteur terrestre pourra être considéré « uniforme » à $\;1\,\%\;$ près « dans un parallélépipède rectangle haut de $\;30\;km\;$ et dont la base est un carré de $\;400\;km\;$ de côté ».

#### Condition de réalisation du caractère libre de la chute

Pour qu'un objet puisse être considéré « en chute libre » il faut que « chaque force $\;{\big$autres que le poids de l'objet${\big )}\;$ réellement appliquée soit de norme négligeable devant celle du poids de l'objet » c.-à-d., en travaillant à $\;1\;\%\;$ près, que « leur norme soit $\;\lesssim 10^{-2}\;m_{\text{syst}}\;g\;$», en particulier, si l'objet se déplace dans l'air, les deux forces de contact de l'objet avec l'air doivent pouvoir être négligées à savoir :
* « la poussée d'Archimède »$^,$, « considérée comme négligeable si la masse volumique de l'air $\;\rho _{\text{air}}\;$ est $\;\lesssim 10^{-2}\;\rho _{\text{moy. syst}}\;$» où $\;\rho _{\text{moy. syst}}\;$ est la masse volumique moyenne de l'objet soit, avec «$\;\rho _{\text{air}}\simeq 1,2\;kg\cdot m^{-3}\;$ dans des conditions usuelles de température et de pression », « la nécessité d'utiliser un objet de masse volumique moyenne $\;\rho _{\text{moy. syst}}\gtrsim 120\;kg\cdot m^{-3}\;$ ou de densité moyenne $\;d_{\text{moy. syst}}\gtrsim 0,120\;$»$^,$ et
* « la résistance de l'air », dépendant de la forme plus ou moins aérodynamique de l'objet $\;{\big$ceci n'étant pas réellement un obstacle si on sélectionne une forme aérodynamique « pointue en amont et convexe en aval » ou même un peu moins aérodynamique comme une « boule »${\big )}\;$ et « la résistance de l'air », dépendant de la vitesse de ce dernier, le caractère négligeable de la résistance de l'air dépendant surtout de la limitation de la vitesse, on pourra être amené à envisager uniquement un début de chute sans vitesse initiale pour pouvoir considérer la chute comme « libre » mais, même avec cette restriction, cela constituera toujours une mauvaise approximation $\;\ldots$
Remarque : La seule façon d'obtenir une bonne approximation est de réaliser une chute dans le vide, par exemple en utilisant un tube à vide de Newton.

## Application du théorème du mouvement du C.D.I. dans le référentiel terrestre galiléen
### Conditions de « lancement » du système fermé (indéformable) de points matériels et choix du repère cartésien associé au référentiel terrestre supposé galiléen

Le système fermé de points matériels $\;({\mathcal {S}})\;$, de C.D.I. $\;G$, est lancé « à un instant choisi comme origine des temps », « d'un endroit fixe du référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}$ $\;{\big$le C.D.I. de $\;({\mathcal {S}})\;$ étant en la position fixe de $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ notée $\;G_{0}{\big ]}\;$ avec un vecteur vitesse initiale du C.D.I. de $\;({\mathcal {S}})\;$ égal à $\;{\vec {V}}_{0}\;$ ».
Choix du repère cartésien associé au référentiel terrestre : on choisit l'origine $\;O\;$ du repère confondu avec $\;G_{0}$, l'axe vertical $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ étant choisi ascendant, $\;xOy\;$ est le plan horizontal passant par $\;G_{0}\;$ et les axes horizontaux $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ et $\;{\overrightarrow {Oy}}\;$ y sont choisis de façon que le trièdre $\;\left\lbrace {\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {Oy}}\,,\,{\overrightarrow {Oz}}\right\rbrace \;$ soit orthogonal direct, d'une part et d'autre part selon la règle suivante :
* « si $\;{\vec {V}}_{0}\;$ n'est pas vertical », l'axe horizontal $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ est choisi dans le plan vertical de lancement initial $\;{\big$c.-à-d. le plan vertical passant par $\;G_{0}\;$ et contenant $\;{\vec {V}}_{0}{\big )}\;$ tel que «$\;V_{0,\,x}\;$ soit $\;>0\;$» et on notera «$\;\alpha _{0}={\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)}}\;$», « les angles du plan $\;xOz\;$ étant orientés par $\;-{\vec {u}}_{y}\;$», angle de valeur absolue aigüe $\;{\big$voir schéma ci-contre${\big )}$ ;
* « si $\;{\vec {V}}_{0}\;$ est vertical », les axes horizontaux $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ et $\;{\overrightarrow {Oy}}\;$ sont choisis quelconques.

### Équations différentielles (scalaires) du mouvement du C.D.I. du système fermé (indéformable) de points matériels

Le référentiel terrestre étant supposé galiléen, l'application du théorème du mouvement du C.D.I. nous conduit à «$\;m_{\text{syst}}\;{\vec {g}}=m_{\text{syst}}\;{\vec {a}}_{G}\;$» soit finalement, la masse inerte étant identifiée à la masse grave d'après le principe d'équivalence, «$\;{\vec {a}}_{G}={\vec {g}}\;$» dont nous pouvons déduire que le mouvement du C.D.I. du système $\;({\mathcal {S}})\;$ lors de sa chute libre est un mouvement à vecteur accélération constant ;
compte-tenu de «$\;{\vec {a}}_{G}={\dfrac {d{\vec {V}}_{G}}{dt}}(t)\;$» d'une part et «$\;{\vec {V}}_{G}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {OG}}}{dt}}(t)\;$» d'autre part, nous pouvons
   * trouver les équations vectorielles horaires de vitesse et de position de $\;G\;$ par deux intégrations successives puis projeter ces équations vectorielles horaires sur les trois axes pour en déduire les trois équations scalaires horaires de vitesse ainsi que les trois de position de $\;G\;$ ou
   * projeter cette équation différentielle vectorielle en $\;{\overrightarrow {OG}}(t)\;$ sur les trois axes pour en déduire les trois équations différentielles scalaires en $\;x_{G}(t)$, $\;y_{G}(t)\;$ et $\;z_{G}(t)\;$ puis, par deux intégrations successives chacune, déterminer les trois équations scalaires horaires de vitesse ainsi que les trois de position de $\;G\;$ ;
projetons l'équation différentielle vectorielle «$\;{\vec {a}}_{G}={\vec {g}}\;$» sur les trois axes pour obtenir les trois équations différentielles scalaires du mouvement de $\;G\;$ soit «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}a_{x,\,G}=0\\a_{y,\,G}=0\\a_{z,\,G}=-g\end{array}}\right\rbrace \;$».

## Cas particulier de mouvement à vecteur accélération constant, lois horaires de vitesse et de position du C.D.I. du système fermé (indéformable) de points matériels
### Conséquence de l'expression de l'équation différentielle vectorielle du mouvement du C.D.I. du système fermé (indéformable) de points matériels

Le mouvement du C.D.I. $\;G\;$ du système fermé de points matériels $\;({\mathcal {S}})\;$ étant un cas particulier de mouvement à vecteur accélération constant, nous pouvons dès à présent affirmer la nature plane $\;{\big$ou rectiligne${\big )}\;$ du mouvement de $\;G$, la « trajectoire de ce dernier, dans le cas d'un mouvement plan, étant une parabole ».

### Lois horaires de vitesse du C.D.I. du système fermé (indéformable) de points matériels

Intégrant les équations différentielles «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dot {V}}_{x,\,G}=0\\{\dot {V}}_{y,\,G}=0\\{\dot {V}}_{z,\,G}=-g\end{array}}\right\rbrace \;$» par rapport à $\;t$, on trouve «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{x,\,G}=cste_{x}\\V_{y,\,G}=cste_{y}\\V_{z,\,G}=-g\;t+cste_{z}\end{array}}\right\rbrace \;$», les constantes se déterminant à l'aide de la « C.I. $\;{\vec {V}}_{G}(0)={\vec {V}}_{0}\;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{x,\,G}(0)\\V_{y,\,G}(0)\\V_{z,\,G}(0)\end{array}}\right.$ $\left.{\begin{array}{l}=V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\\=0\\=V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\end{array}}\right\rbrace \;$», d'où les lois horaires de vitesse de $\;G$
$\;{\vec {V}}_{G}(t)\;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{x,\,G}(t)=V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\\V_{y,\,G}(t)=0\\V_{z,\,G}(t)=-g\;t+V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\end{array}}\right\rbrace \;$

### Lois horaires de position du C.D.I. du système fermé (indéformable) de points matériels

Intégrant «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dot {x}}_{G}=V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\\{\dot {y}}_{G}=0\\{\dot {z}}_{G}=-g\;t+V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\end{array}}\right\rbrace \;$» par rapport à $\;t\;$ $\Rightarrow$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{G}=V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\;t+{cste'}_{x}\\y_{G}={cste'}_{y}\\z_{G}=-{\dfrac {1}{2}}\;g\;t^{2}+V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;t+{cste'}_{z}\end{array}}\right\rbrace \;$», les constantes se déterminant à l'aide de la « C.I. $\;{\overrightarrow {OG}}(0)={\vec {0}}\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{G}(0)\\y_{G}(0)\\z_{G}(0)\end{array}}\right.$ $\left.{\begin{array}{l}=0\\=0\\=0\end{array}}\right\rbrace \;$», d'où les lois horaires de position de $\;G$
$\;{\overrightarrow {OG}}(t)\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{G}(t)=V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\;t\\y_{G}(t)=0\\z_{G}(t)=-{\dfrac {1}{2}}\;g\;t^{2}+V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;t\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;G$

## Trajectoire du C.D.I. du système fermé (indéformable) de points matériels et quelques propriétés de la trajectoire
### Cas de lancement vertical

$\;{\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)}}=\alpha _{0}=\pm {\dfrac {\pi }{2}}\;$
Les équations scalaires horaires de position du C.D.I. $\;G\;$ du système $\;({\mathcal {S}})\;$ sont donc «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{G}(t)=0\\y_{G}(t)=0\\z_{G}(t)=-{\dfrac {1}{2}}\;g\;t^{2}\pm V_{0}\;t\end{array}}\right\rbrace \;$», lesquelles représentant aussi les équations paramétriques scalaires de la trajectoire de $\;G$, nous obtenons aisément les deux équations scalaires cartésiennes de la trajectoire de $\;G\;$ par élimination évidente du paramètre $\;t$, ce qui donne «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{G}=0\\y_{G}=0\end{array}}\right\rbrace \;$» c.-à-d. l'« équation de la droite $\;(Oz)\;$» correspondant à
$\;G$
$\;O\;$
* « dans le cas d'un lancement vers le haut c.-à-d. $\;\alpha _{0}=+{\dfrac {\pi }{2}}\;$», l'équation horaire de position de $\;G\;$ sur sa trajectoire étant «$\;z_{G}(t)=-{\dfrac {1}{2}}\;g\;t^{2}+V_{0}\;t\;$» et celle de vitesse «$\;V_{z,\,G}(t)=-g\;t+V_{0}\;$» on observe
    une 1ère phase de mouvement retardé vers le haut $\;{\bigg$l'accélération $\;a_{z,\,G}=-g\;$ est $\;<0\;$ et la vitesse $\;V_{z,\,G}(t)=-g\;t+V_{0}\searrow \;$ en restant $\;>0\;$ pour tout $\;t<{\dfrac {V_{0}}{g}}=t_{S}{\bigg ]}\;$ puis
    une 2ème phase de mouvement accéléré vers le bas $\;{\bigg$l'accélération $\;a_{z,\,G}=-g\;$ est $\;<0\;$ et la vitesse $\;V_{z,\,G}(t)=-g\;t+V_{0}\;$ devenue $\;<0\;$ pour tout $\;t>{\dfrac {V_{0}}{g}}=t_{S}\;$ est $\;\nearrow \;$ en valeur absolue${\bigg ]}$ ;
* « dans le cas d'un lancement vers le bas c.-à-d. $\;\alpha _{0}=-{\dfrac {\pi }{2}}\;$», l'équation horaire de position de $\;G\;$ sur sa trajectoire étant «$\;z_{G}(t)=-{\dfrac {1}{2}}\;g\;t^{2}-V_{0}\;t\;$» et celle de vitesse «$\;V_{z,\,G}(t)=-g\;t-V_{0}\;$» on n'observe qu'une seule phase de mouvement accéléré vers le bas $\;{\bigg$l'accélération $\;a_{z,\,G}=-g\;$ est $\;<0\;$ et la vitesse $\;V_{z,\,G}(t)=-g\;t-V_{0}\;$ est aussi $\;<0\;$ pour tout $\;t\geqslant 0\;$ en étant $\;\nearrow \;$ en valeur absolue${\bigg ]}$.
Cas particulier de chute libre sans vitesse initiale : « la trajectoire de $\;G\;$ est verticale passant par $\;O\;$», les équations horaires de position et de vitesse de $\;G\;$ sur sa trajectoire étant «$\;z_{G}(t)=$ $-{\dfrac {1}{2}}\;g\;t^{2}\;$» et «$\;V_{z,\,G}(t)=-g\;t\;$», on n'observe qu'une seule phase de mouvement accéléré vers le bas $\;\ldots$

### Cas de lancement oblique

$\;{\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)}}=\alpha _{0}\neq \pm {\dfrac {\pi }{2}}\;$
Les équations scalaires horaires de position du C.D.I. $\;G\;$ du système $\;({\mathcal {S}})\;$ sont donc «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{G}(t)=V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\;t\\y_{G}(t)=0\\z_{G}(t)=-{\dfrac {1}{2}}\;g\;t^{2}+V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;t\end{array}}\right\rbrace \;$», lesquelles représentant aussi les équations paramétriques scalaires de la trajectoire de $\;G$, nous obtenons aisément que
$\;G\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;\left(O\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)\;$
$\;y=0\;$
le mouvement de $\;G\;$ sur sa trajectoire résulte alors de la « composition de deux mouvements rectilignes »
   * « celui de $\;G_{x}$, projeté de $\;G\;$ sur $\;Ox$, uniforme le long de $\;Ox\;$» et
   * « celui de $\;G_{z}$, projeté de $\;G\;$ sur $\;Oz$, uniformément varié le long de $\;Oz\;$».

#### Nature de la trajectoire

Les équations paramétriques de la trajectoire étant «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{G}(t)=V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\;t\\y_{G}(t)=0\\z_{G}(t)=-{\dfrac {1}{2}}\;g\;t^{2}+V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;t\end{array}}\right\rbrace \;$» et l'une des $\;2\;$ équations scalaires cartésiennes étant «$\;y_{G}=0\;$», on détermine l'autre en « éliminant le paramètre $\;t\;$ entre les $\;2\;$ autres équations paramétriques $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{G}(t)=V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\;t\\z_{G}(t)=-{\dfrac {1}{2}}\;g\;t^{2}+V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;t\end{array}}\right\rbrace \;$» c.-à-d. «$\;t={\dfrac {x_{G}}{V_{0}\;\cos(\alpha _{0})}}\;$» reporté dans l'équation paramétrique non utilisée soit «$\;z_{G}=-{\dfrac {1}{2}}\;g\left[{\dfrac {x_{G}}{V_{0}\;\cos(\alpha _{0})}}\right]^{2}+V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;{\dfrac {x_{G}}{V_{0}\;\cos(\alpha _{0})}}\;$» donnant finalement
$\;z_{G}=-{\dfrac {g}{2\;V_{0}^{2}\;\cos ^{2}(\alpha _{0})}}\;x_{G}^{2}+\tan(\alpha _{0})\;x_{G}\;$
$\;\parallel \;$
$\;Oy\;$
les deux équations cartésiennes de la trajectoire de $\;G\;$ étant «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}y_{G}=0\\z_{G}=-{\dfrac {g}{2\;V_{0}^{2}\;\cos ^{2}(\alpha _{0})}}\;x_{G}^{2}+\tan(\alpha _{0})\;x_{G}\end{array}}\right\rbrace \;$», celle-ci est l'intersection d'un cylindre parabolique de génératrices $\;\parallel \;$ à $\;Oy\;$ avec le plan $\;xOz\;\perp \;$ aux génératrices c.-à-d. que
$\;G\;$
$\;xOz$
$\;\parallel \;$
$\;Oz\;$
$\;z<0\;$
${\big$
${\big )}$

#### Définition du sommet de la trajectoire

Le « sommet $\;S\,\left(x_{S}\,,\,z_{S}\right)\;$ de la trajectoire » peut être déterminé comme le « point d'altitude maximale atteint à l'instant $\;t_{S}\;$ tel que $\;V_{z,\,G}(t_{S})=0\;$» ou $\;-g\;t_{S}+V_{0}\;\sin(\alpha _{0})=0\;$ donnant finalement «$\;t_{S}=$ ${\dfrac {V_{0}\;\sin(\alpha _{0})}{g}}\;$» ;
* « si le lancement oblique est dirigé vers le haut c.-à-d. si $\;\alpha _{0}\;$ est $\;>0\;$», l'instant $\;t_{S}\;$ est $\;>0\;$ et « le sommet $\;S\;$ est atteint car d'instant postérieur à celui du lancement » d'où $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{S}=x_{G}(t_{S})=\color {transparent}{\dfrac {V_{0}}{g}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\\z_{S}=z_{G}(t_{S})=\color {transparent}{\left[{\dfrac {V_{0}}{g}}\right]^{2}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\end{array}}\right.$ $\left.{\begin{array}{r}V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\;{\dfrac {V_{0}\;\sin(\alpha _{0})}{g}}\\-{\dfrac {1}{2}}\;g\left[{\dfrac {V_{0}\;\sin(\alpha _{0})}{g}}\right]^{2}+V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;{\dfrac {V_{0}\;\sin(\alpha _{0})}{g}}\end{array}}\right\rbrace \;$ ou $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{S}={\dfrac {V_{0}^{2}\;\sin(\alpha _{0})\;\cos(\alpha _{0})}{g}}\\z_{S}={\dfrac {V_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{2\;g}}\end{array}}\right\rbrace \;$ ou encore «$\;S\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{S}={\dfrac {V_{0}^{2}\;\sin(2\;\alpha _{0})}{2\;g}}\\z_{S}={\dfrac {V_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{2\;g}}\end{array}}\right\rbrace \;$» ;
* « si le lancement oblique est dirigé vers le bas c.-à-d. si $\;\alpha _{0}\;$ est $\;<0\;$», l'instant $\;t_{S}\;$ est $\;<0\;$ et « le sommet $\;S\;$ n'est pas accessible car d'instant antérieur à celui du lancement » $\;\ldots$

#### Définition de la portée

La « portée est la distance horizontale séparant les points de lancement et de retombée à la même altitude du C.D.I. $\;G\;$ du système $\;({\mathcal {S}})\;$» c.-à-d. la « distance $\;OP=x_{P}\;$ où $\;P\;$ est le point de la trajectoire de $\;G\;$ de cote $\;z_{P}=z_{O}=0\;$ et d'abscisse $\;x_{P}\neq x_{0}=0\;$» ;
de $\;z_{P}=0\;$ on déduit l'équation algébrique «$\;-{\dfrac {g}{2\;V_{0}^{2}\;\cos ^{2}(\alpha _{0})}}\;x_{P}^{2}+\tan(\alpha _{0})\;x_{P}=0\;$ avec $\;x_{P}\neq 0\;$» soit, après simplification par $\;x_{P}$, la nouvelle équation algébrique «$\;{\dfrac {g}{2\;V_{0}^{2}\;\cos ^{2}(\alpha _{0})}}\;x_{P}=$ $\tan(\alpha _{0})\;$» d'où «$\;x_{P}=\tan(\alpha _{0})\;{\dfrac {2\;V_{0}^{2}\;\cos ^{2}(\alpha _{0})}{g}}={\dfrac {2\;V_{0}^{2}\;\cos(\alpha _{0})\;\sin(\alpha _{0})}{g}}\;$» et finalement une portée
$\;OP=x_{P}={\dfrac {V_{0}^{2}\;\sin(2\;\alpha _{0})}{g}}\;$
Le temps mis par $\;G\;$ pour atteindre $\;P\;$ est «$\;t_{P}-t_{O}=t_{P}\;$» avec «$\;t_{P}\;$ déterminé par $\;x_{P}=x_{G}(t_{P})\;$ ou $\;{\dfrac {V_{0}^{2}\;\sin(2\;\alpha _{0})}{g}}=V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\;t_{P}\;$» dont on déduit $\;t_{P}={\dfrac {V_{0}^{2}\;\sin(2\;\alpha _{0})}{g\;V_{0}\;\cos(\alpha _{0})}}\;$ soit finalement
$\;t_{P}={\dfrac {2\;V_{0}\;\sin(\alpha _{0})}{g}}\;$

#### Vitesse de retombée au point correspondant à la portée

On cherche donc le vecteur vitesse au point de retombée $\;P\;$ à la même altitude que le point de lancement $\;O\;$ et pour cela il suffit
* d'« évaluer les composantes cartésiennes du vecteur vitesse de $\;G\;$ à l'instant $\;t_{P}={\dfrac {2\;V_{0}\;\sin(\alpha _{0})}{g}}\;$» soit «$\;{\vec {V}}_{P}\;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{x,\,P}=V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\\V_{z,\,P}=-g\;t_{P}+V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\end{array}}\right\rbrace \;$» avec d'« évaluer les composantes cartésiennes du vecteur vitesse de $\;\color {transparent}{G}\;$ à l'instant $\;\color {transparent}{t_{P}={\dfrac {2\;V_{0}\;\sin(\alpha _{0})}{g}}}\;$» soit «$\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{P}}\;$ «$\;V_{z,\,P}=-g\;{\dfrac {2\;V_{0}\;\sin(\alpha _{0})}{g}}+V_{0}\;\sin(\alpha _{0})$ $=-V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;$» d'où «$\;{\vec {V}}_{P}\;\left\lbrace {\begin{array}{c}V_{x,\,P}=V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\\V_{z,\,P}=-V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\end{array}}\right\rbrace \;$» ou
* d'« utiliser le fait que $\;P\;$ étant le symétrique de $\;O\;$ sur la trajectoire parabolique de $\;G\;$», « la pente de la tangente à la trajectoire en $\;P\;$ est opposée à celle de la tangente à la trajectoire en $\;O\;$» c.-à-d. que «$\;{\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {V}}_{P}\right)}}=-{\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)}}=-\alpha _{0}\;$» et comme $\;V_{x,\,P}=\left\lbrace {\begin{array}{c}\Vert {\vec {V}}_{P}\Vert \;\cos(-\alpha _{0})\\{\text{ainsi que}}\\V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\end{array}}\right\rbrace \;$ on en déduit «$\;\Vert {\vec {V}}_{P}\Vert =$ $V_{0}\;$» établissant ainsi «$\;V_{z,\,P}=\Vert {\vec {V}}_{P}\Vert \;\sin(-\alpha _{0})=-V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;$» soit finalement «$\;{\vec {V}}_{P}\;\left\lbrace {\begin{array}{c}V_{x,\,P}=V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\\V_{z,\,P}=-V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\end{array}}\right\rbrace \;$» c.-à-d. «$\;{\vec {V}}_{P}\;$ antisymétrique de $\;{\vec {V}}_{0}\;$ relativement à l'axe de symétrie de la trajectoire parabolique ».

## Hodographe de pôle O du mouvement du C.D.I. du système fermé (indéformable) de points matériels

$1$
Ainsi l'« hodographe $\;\left({\mathcal {H}}\right)\;$ de pôle $\;O\;$ du mouvement du C.D.I. $\;G\;$ du système fermé $\;({\mathcal {S}})\;$ de points matériels dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$» est l'« ensemble des positions $\;Q\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ tel que $\;{\overrightarrow {OQ}}(t)\;{\widehat {=}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$$^,$ ».

### Équations paramétriques de l'hodographe de pôle O du mouvement du C.D.I. du système fermé (indéformable) de points matériels

De la définition de l'hodographe $\;({\mathcal {H}})\;$ de pôle $\;O\;$ du mouvement du C.D.I. $\;G\;$ du système fermé $\;({\mathcal {S}})\;$ de points matériels dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}$, nous en déduisons les équations paramétriques de l'hodographe du mouvement de $\;G\;$ de pôle $\;O\;$
$\;{\overrightarrow {OQ}}(t)\;\left\lbrace {\begin{array}{l}X_{Q}(t)=V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\\Y_{Q}(t)=0\\Z_{Q}(t)=-g\;t+V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\end{array}}\right\rbrace \;$

### Nature de l'hodographe du mouvement de G de pôle O

La nature de $\;({\mathcal {H}})\;$ pouvant être obtenue en précisant les deux équations cartésiennes le définissant, équations nécessitant d'éliminer le paramètre $\;t\;$ et La nature de $\;\color {transparent}{({\mathcal {H}})}\;$ observant que, parmi les trois équations paramétriques, deux ne dépendent pas du paramètre nous en déduisons « les deux équations cartésiennes de $\;({\mathcal {H}})\;$ $\;Q\;\left\lbrace {\begin{array}{l}X_{Q}=V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\\Y_{Q}=0\end{array}}\right\rbrace \;$» et
nous concluons que l'« hodographe $\;({\mathcal {H}})\;$ est une droite intersection du plan $\;XOZ\;$ d'équation $\;Y=0\;$ et nous concluons que l'« hodographe $\;\color {transparent}{({\mathcal {H}})}\;$ est une droite intersection du plan $\;\parallel \;$ à $\;YOZ\;$ d'équation $\;X=V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\;$» ;
$\;XOZ\;$
$\;\parallel \;$
$\;OZ\;$
$\;X=V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\;$
$\;{\big$
${\big )}$

### Description de l'hodographe du mouvement de G de pôle O

* À «$\;t=0$, $\;Q\;$ est en $\;Q_{0}\;$ de cote $\;Z_{Q_{0}}=V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;$»,
* à «$\;t=t_{S}$, $\;Q\;$ est en $\;Q_{S}\;$ de cote $\;Z_{Q_{S}}=0\;$» et
* à «$\;t=t_{P}$, $\;Q\;$ est en $\;Q_{P}\;$ de cote $\;Z_{Q_{P}}=-V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;$» symétrique de $\;Q_{0}\;$ relativement à l'axe $\;Z=0$.
La partie ascendante de la trajectoire $\;V_{z,\,G}>0\Leftrightarrow Z_{Q}>0\;$ correspond à $\;(Q_{0}Q_{S})\;$ de l'hodographe et la partie descendante de la trajectoire $\;V_{z,\,G}<0\Leftrightarrow Z_{Q}<0\;$ correspond à la partie de l'hodographe située au dessous de $\;Q_{S}$.
Sur l'hodographe de pôle $\;O\;$ du mouvement de $\;G\;$ on peut en déduire
* « la variation de la vitesse de $\;G\;$ en suivant celle de $\;\Vert {\overrightarrow {OQ}}\Vert \;$» et
* « la variation de l'angle que fait le vecteur vitesse de $\;G\;$ avec la direction horizontale du plan de lancement en suivant celle de $\;{\widehat {\left({\overrightarrow {OX}}\,,\,{\overrightarrow {OQ}}\right)}}\;$» $\;\ldots$