# Distributions statistiques des particules/Condensation de Bose-Einstein

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Les bosons, contrairement aux fermions, ne sont pas soumis au principe d'exclusion de Pauli : un nombre illimité de bosons est capable d'occuper le même état d'énergie en même temps.
Ceci explique le comportement très différent des bosons et des fermions à basse température. Une fraction macroscopique des bosons va se condenser à l'état de plus basse énergie. C'est ce que l’on appelle la condensation de Bose-Einstein.
On étudie dans ce chapitre le cas d'un gaz parfait de bosons (les particules n'interagissent pas entre elles) de spin 0 confiné dans un volume V = L³.

## Étude du gaz de bosons

On introduit une fonction g telle que g(ε) dε soit le nombre d'états d'énergie comprise entre ε et ε + dε. g s’appelle la fonction « densité d'états ». Pour calculer g(ε), on va d’abord calculer G(ε), le nombre d'états d'énergie inférieure à ε.
G(ε) peut être approché par le nombre d'états dont le vecteur ${\vec {n}}$ de composantes (n$_x$, n$_y$, n$_z$) pointe à l'intérieur de la boule de rayon $r={\sqrt {\frac {2mL^{2}}{(2\pi \hbar )^{2}}}}{\sqrt {\epsilon }}$.
Le volume de cette boule est ${\frac {4}{3}}\pi \left({\frac {2mL^{2}\epsilon }{(2\pi \hbar )^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}$. Or, avec la quantification des énergies, chaque état occupe un volume de 1. Donc $G(\epsilon )={\frac {4}{3}}\pi \left({\frac {2mL^{2}\epsilon }{(2\pi \hbar )^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}$
Or g(ε) dε = G(ε + dε) - G(ε) donc $g(\epsilon )={\frac {\mathrm {d} G}{\mathrm {d} \epsilon }}$, d'où $g(\epsilon )=2\pi V\left({\frac {2m}{(2\pi \hbar )^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}{\sqrt {\epsilon }}$
En choisissant l'énergie du niveau fondamental nulle, la distribution de Bose-Einstein $n_{i}={\frac {1}{e^{\beta (\epsilon -\mu )}-1}}$ donne par intégration sur les énergies : ${\begin{aligned}N&=\int _{0}^{+\infty }{\frac {g(\epsilon )}{e^{\beta (\epsilon -\mu )}-1}}\mathrm {d} \epsilon \\&=2\pi V\left({\frac {2m}{(2\pi \hbar )^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sqrt {\epsilon }}{e^{\beta (\epsilon -\mu )}-1}}\mathrm {d} \epsilon \\&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}V\left({\frac {2\pi m}{(2\pi \hbar )^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sqrt {\frac {x}{\beta }}}{e^{(x-\beta \mu )}-1}}{\frac {\mathrm {d} x}{\beta }}\\&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}V\left({\frac {mk_{B}T}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sqrt {x}}{e^{(x-\beta \mu )}-1}}\mathrm {d} x\end{aligned}}$
En introduisant la densité particulaire $n={\frac {N}{V}}$ et la longueur d'onde thermique Λ : $n\Lambda ^{3}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sqrt {x}}{e^{(x-\beta \mu )}-1}}\mathrm {d} x$

## Température de Bose

On examine maintenant la variation du potentiel chimique de ce gaz de bosons. On introduit :
* le paramètre thermodynamique γ : γ = - β μ
* la fonction $I(\gamma )={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sqrt {x}}{e^{(x+\gamma )}-1}}\mathrm {d} x$
Il doit donc exister γ tel que n Λ³ = I(γ). Comme le potentiel chimique μ est toujours inférieur à l'énergie du niveau fondamental, on doit donc avoir μ < 0, donc γ > 0.
Or on ne pourra trouver de valeur positive à γ que si $n\Lambda ^{3}<I(0)=\zeta \left({\frac {3}{2}}\right)$.
La température pour laquelle $n\Lambda ^{3}=\zeta \left({\frac {3}{2}}\right)$ est appelée température de Bose, notée T$_B$, et sépare deux domaines de température dans lesquels le système possède des propriétés totalement différentes :
$T_{B}=\left({\frac {n}{\zeta (3/2)}}\right)^{\frac {2}{3}}{\frac {2\pi \hbar ^{2}}{mk_{B}}}$

## En-dessous de T$_B$

Examinons le niveau d'occupation de l'état fondamental : $n_{0}={\frac {1}{e^{-\beta \mu }-1}}$
Lorsque $T\rightarrow T_{B}$, $\mu \rightarrow 0$, n₀ peut diverger. Ce qui se passe en réalité est la condensation de Bose-Einstein : les particules se condensent en fraction macroscopique dans l'état fondamental.
Pour T < T$_B$, on a donc μ=0. On peut calculer le nombre d'atomes non condensés : ${\begin{aligned}N_{e}&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}V\left({\frac {mk_{B}T}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sqrt {x}}{e^{x}-1}}\mathrm {d} x\\&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}VT^{\frac {3}{2}}{\frac {n}{\zeta (3/2)}}{\frac {1}{T_{B}^{\frac {3}{2}}}}\Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)\zeta \left({\frac {3}{2}}\right)\\&=N\left({\frac {T}{T_{B}}}\right)^{\frac {3}{2}}\end{aligned}}$
En-dessous de T$_B$, un nombre très important de particules (proportionnel à N) tombe dans l'état fondamental lorsque T décroît : $N_{\textrm {condensat}}=N\left(1-\left({\frac {T}{T_{B}}}\right)^{\frac {3}{2}}\right)$

## Conclusion sur la condensation de Bose-Einstein

La teinte de ce graphe en fausses couleurs indique le nombre d'atomes ayant l'énergie correspondante, le rouge correspondant aux hautes énergies, et le bleu-blanc aux basses énergies.
* À gauche : T=400 nK, juste avant l'apparition du condensat de Bose-Einstein
* Au centre : T=200 nK, juste après l'apparition du condensat,
* À droite : T=50 nK, il ne reste que du condensat de Bose-Einstein « pur ».