# Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Les tenseurs et leurs composantes, notion de contraction tensorielle et notation d'Einstein
## Composantes d'un tenseur

Les tenseurs considérés ici étant les éléments des « produits tensoriels construits à partir d'un $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel tridimensionnel $\;E\;$ et de son dual $\;E^{*}\;$», Les tenseurs considérés ici étant les éléments des « produits tensoriels nous considérerons ces espaces vectoriels « euclidiens » avec Les tenseurs considérés ici étant les éléments des « produits tensoriels nous considérerons $\bullet \;$la multiplication scalaire définie sur $\;E\;$ notée «$\;\cdot _{E}\;$» puis Les tenseurs considérés ici étant les éléments des « produits tensoriels nous considérerons $\bullet \;$une forme bilinéaire non dégénérée définie sur $\;E^{*}\times E$, notée Les tenseurs considérés ici étant les éléments des « produits tensoriels nous considérerons $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle \;$» et appelée « crochet de dualité » construite à l'aide de Les tenseurs considérés ici étant les éléments des « produits tensoriels nous considérerons $\color {transparent}{\bullet }\;$la multiplication scalaire sur $\;E\;$ telle que Les tenseurs considérés ici étant les éléments des « produits tensoriels nous considérerons $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\forall \;\left({\vec {u}}\cdot _{E}\;\in \,E^{*}\,,\,{\vec {x}}\;\in \,E\right)\;$», «$\;\langle {\vec {u}}\cdot _{E}\,,\,{\vec {x}}\rangle ={\vec {u}}\cdot _{E}{\vec {x}}\;\in \mathbb {R} \;$» Les tenseurs considérés ici étant les éléments des « produits tensoriels nous considérerons $\color {transparent}{\bullet }\;$${\Big$«$\;{\vec {u}}\cdot _{E}\;$» élément de $\;E^{*}\;$ en correspondance avec $\;{\vec {u}}\;$ de $\;E{\Big ]}$.
Remarque de terminologie : bien que la règle en mathématiques soit de parler de « coordonnées de vecteur » et donc de « coordonnées de tenseur », Remarque de terminologie : nous remplaçons ici ces termes par « composantes de vecteur » et donc par « composantes de tenseur », Remarque de terminologie : nous remplaçons ici réservant les termes « coordonnées » pour les points d'un espace affine $\;\ldots$

### Définition d'une base de l'espace vectoriel tridimensionnel et de celle de son dual

Soit «$\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace \;$ une base orthonormée du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ tridimensionnel euclidien », Soit «$\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace }\;$ vecteurs base tels que «$\;{\vec {b}}_{i}\cdot _{E}{\vec {b}}_{j}=\delta _{i,\,j}=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\;{\text{si }}\;i\neq j\\1\;{\text{si }}\;i=j\end{array}}\right\rbrace \;\;\forall \;\left(i\,,\,j\right)\in \left\lbrace \left[\left[1\,,\,3\right]\right]\right\rbrace ^{2}\;$» $\;{\big$dans lequel $\;\delta _{i\,,\,j}\;$ est le symbole de Kronecker${\big )}$ ; Soit « à cette base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace \;$ nous faisons correspondre, par utilisation du crochet de dualité entre $\;E\;$ et son dual $\;E^{*}\;$, Soit « à cette base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace }\;$ nous faisons correspondre, une famille de $\;3\;$ covecteurs de $\;E^{*}$, ainsi, Soit « aux « vecteurs $\;\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace \;$» de la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ de $\;E\;$, on associe les « covecteurs $\;\left({b'}_{\!1}={\vec {b}}_{1}\cdot _{E}\,,\,{b'}_{\!2}={\vec {b}}_{2}\cdot _{E}\,,\,{b'}_{\!3}={\vec {b}}_{3}\cdot _{E}\right)\;$ de $\;E^{*}\;$» Soit « aux « vecteurs $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace }\;$» de la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;$ de $\;\color {transparent}{E}\;$, on associe les « covecteurs définis par crochets de dualité entre chacun d'entre eux et chaque vecteur de la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ : Soit « aux « vecteurs $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace }\;$» de la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;$ de $\;\color {transparent}{E}\;$, on associe les « covecteurs définis par «$\;\langle {b'}_{\!i}\,,\,{\vec {b}}_{j}\rangle ={\vec {b}}_{i}\cdot _{E}{\vec {b}}_{j}=\delta _{i,\,j}\;\;\forall \;\left(i\,,\,j\right)\in \left\lbrace \left[\left[1\,,\,3\right]\right]\right\rbrace ^{2}\;$» d'où Soit « aux « vecteurs $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace }\;$» de la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;$ de $\;\color {transparent}{E}\;$, l'« unicité des covecteurs $\;\left({b'}_{\!1}\,,\,{b'}_{\!2}\,,\,{b'}_{\!3}\right)\;$ construits à partir de la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$» ; Soit « aux « vecteurs $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace }\;$» de la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;$ de $\;\color {transparent}{E}\;$, de plus « ces covecteurs $\;\left({b'}_{\!1}\,,\,{b'}_{\!2}\,,\,{b'}_{\!3}\right)\;$ forment une famille libre de $\;E^{*}\;$» en effet, Soit « aux « vecteurs $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace }\;$» de la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;$ de $\;\color {transparent}{E}\;$, de plus considérant la « forme linéaire nulle $\;\alpha _{1}\;{b'}_{\!1}+\alpha _{2}\;{b'}_{\!2}+\alpha _{3}\;{b'}_{\!3}=0_{E^{*}}\;$ de $\;E\;$» et appliquant cette forme linéaire à chaque $\;{\vec {b}}_{j}$, $\Rightarrow$ Soit « aux « vecteurs $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace }\;$» de la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;$ de $\;\color {transparent}{E}\;$, de plus «$\;0_{E^{*}}({\vec {b}}_{j})=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\alpha _{i}\;{b'}_{\!i}({\vec {b}}_{j})=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\alpha _{i}\;\langle {b'}_{\!i}\,,\,{\vec {b}}_{j}\rangle =\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\alpha _{i}\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\cdot _{E}{\vec {b}}_{j}\right\rbrace =\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\alpha _{i}\;\delta _{i\,,\,j}=\alpha _{j}\;$» avec «$\;0_{E^{*}}({\vec {b}}_{j})=0$ Soit « aux « vecteurs $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace }\;$» de la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;$ de $\;\color {transparent}{E}\;$, de plus «$\;\color {transparent}{0_{E^{*}}({\vec {b}}_{j})=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\alpha _{i}\;{b'}_{\!i}({\vec {b}}_{j})=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\alpha _{i}\;\langle {b'}_{\!i}\,,\,{\vec {b}}_{j}\rangle =\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\alpha _{i}\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\cdot _{E}{\vec {b}}_{j}\right\rbrace =\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\alpha _{i}\;\delta _{i\,,\,j}=\alpha _{j}}\;$» $\;\forall \;j\;\in \;\left[\left[1\,,\,3\right]\right]\;$» Soit « aux « vecteurs $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace }\;$» de la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;$ de $\;\color {transparent}{E}\;$, de plus d'où «$\;\alpha _{j}=0,\;\;\forall \;j\;\in \;\left[\left[1\,,\,3\right]\right]\;$» c.-à-d. «$\;\alpha _{1}\;{b'}_{\!1}+\alpha _{2}\;{b'}_{\!2}+\alpha _{3}\;{b'}_{\!3}=0_{E^{*}}\;$ $\Rightarrow$ $\;\left(\alpha _{1}=0\,,\,\alpha _{2}=0\,,\,\alpha _{3}=0\right)\;$» C.Q.F.D., Soit « aux « vecteurs $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace }\;$» de la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;$ de $\;\color {transparent}{E}\;$, enfin « ces covecteurs $\;\left({b'}_{\!1}\,,\,{b'}_{\!2}\,,\,{b'}_{\!3}\right)\;$ forment une famille génératrice de $\;E^{*}\;$» car de nombre d'éléments égal à la dimension de $\;E^{*}$, Soit « aux « vecteurs $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace }\;$» de la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;$ de $\;\color {transparent}{E}\;$, on conclut donc que «$\;\left\lbrace B'\right\rbrace =\left\lbrace {b'}_{\!1}\,,\,{b'}_{\!2}\,,\,{b'}_{\!3}\right\rbrace \;$ forme une base de $\;E^{*}\;$».
Pour affirmer le caractère euclidien du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel tridimensionnel $\;E^{*}$, il faut définir la multiplication scalaire «$\;\cdot _{E^{*}}\;$» en précisant les composantes de covecteurs sur la base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ de $\;E^{*}\;$ selon Pour affirmer le caractère euclidien du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel tridimensionnel $\;\color {transparent}{E^{*}}$, il faut définir la multiplication scalaire «$\;\color {transparent}{\cdot _{E^{*}}}\;$» «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\varphi =\varphi _{1}\;{b'}_{\!1}+\varphi _{2}\;{b'}_{\!2}+\varphi _{3}\;{b'}_{\!3}\;\in \;E^{*},\;\;\left(\varphi _{1}\,,\,\varphi _{2}\,,\,\varphi _{3}\right)\;\in \;\mathbb {R} ^{3}\\\psi =\psi _{1}\;{b'}_{\!1}+\psi _{2}\;{b'}_{\!2}+\psi _{3}\;{b'}_{\!3}\;\in \;E^{*},\;\;\left(\psi _{1}\,,\,\psi _{2}\,,\,\psi _{3}\right)\;\in \;\mathbb {R} ^{3}\end{array}}\right\rbrace$» $\Rightarrow$ Pour affirmer le caractère euclidien du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel tridimensionnel $\;\color {transparent}{E^{*}}$, il faut définir la multiplication scalaire «$\;\color {transparent}{\cdot _{E^{*}}}\;$» «$\;\varphi \cdot _{E^{*}}\psi =\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\varphi _{i}\;\psi _{i}\;$» définition contenant le caractère orthonormé Pour affirmer le caractère euclidien du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel tridimensionnel $\;\color {transparent}{E^{*}}$, il faut définir la multiplication scalaire «$\;\color {transparent}{\cdot _{E^{*}}}\;$» de la base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ car «$\;{b'}_{\!i}\cdot _{E^{*}}{b'}_{\!j}=\delta _{i\,,\,j}\;$» $\;{\big$symbole de Kronecker${\big )}$.

### Construction d'une base pour chaque produit tensoriel d'espaces vectoriels formé à partir d'un espace vectoriel tridimensionnel et de son dual
#### Bases pour les espaces vectoriels dont les éléments sont des tenseurs d'ordre deux

« Les $\;\mathbb {R}$-espaces vectoriels contenant les tenseurs d'ordre $\;2\;$ sont de dimension $\;3^{2}=9\;$» $\;{\big\!\Leftrightarrow$ « toute famille libre de $\;9\;$ tenseurs d'ordre $\;2\;$ sera une base de l'espace vectoriel considéré »${\big ]}$, ce sont :
* pour «$\;E\otimes E\;$ ensemble des tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants »$^,$, on choisit pour base «$\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}=\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}\right\rbrace _{\left({\vec {b}}_{i}\,,\,{\vec {b}}_{j}\right)\,\in \,\left\lbrace B\right\rbrace ^{2},\,\forall \,\left(i\,,\,j\right)\,\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right]}\;$»,
* pour «$\;E^{*}\otimes E^{*}\;$ ensemble des tenseurs d'ordre $\;2\;$ covariants »$^,$, on choisit pour base «$\;\left\lbrace {b'}_{\!i}\otimes {b'}_{\!j}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}=\left\lbrace {b'}_{\!i}\otimes {b'}_{\!j}\right\rbrace _{\left({b'}_{\!i}\,,\,{b'}_{\!j}\right)\,\in \,\left\lbrace B'\right\rbrace ^{2},\,\forall \,\left(i\,,\,j\right)\,\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right]}\;$» et
* pour «$\;E\otimes E^{*}$$^,$ ensemble des tenseurs d'ordre $\;2\;$ “ mixtes ” »$^,$$^,$, choix pour base la famille libre «$\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {b'}_{\!j}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}$ $=\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {b'}_{\!j}\right\rbrace _{\left({\vec {b}}_{i}\,,\,{b'}_{\!j}\right)\,\in \,\left\lbrace B\right\rbrace \,\times \,\left\lbrace B'\right\rbrace ,\,\forall \,\left(i\,,\,j\right)\,\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right]}\;$».

#### Bases pour les espaces vectoriels dont les éléments sont des tenseurs d'ordre p

« Les $\;\mathbb {R}$-espaces vectoriels contenant les tenseurs d'ordre $\;p>2\;$ sont de dimension $\;3^{\,p}\;$» $\;{\big\!\Leftrightarrow$ « toute famille libre de $\;3^{\,p}\;$ tenseurs d'ordre $\;p\;$ sera une base de l'espace vectoriel en question »${\big ]}\;$ :
* pour «$\;E^{\,\otimes \,p}\;$ ensemble des tenseurs d'ordre $\;p\;$ contravariants »$^,$, on choisit pour base «$\;\left\lbrace {\underset {1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,p}{\otimes }}\;{\vec {b}}_{i_{k}}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i_{k}\,\leqslant \,3,\,\forall \,k\,\in \left[\left[1\,,\,p\right]\right]}=\left\lbrace {\underset {1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,p}{\otimes }}\;{\vec {b}}_{i_{k}}\right\rbrace _{{\vec {b}}_{i_{k}}\,\in \,\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\forall \,i_{k}\,\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right],\,\forall \,k\,\in \left[\left[1\,,\,p\right]\right]}\;$»$^,$,
* pour «$\;\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,p}\;$ ensemble des tenseurs d'ordre $\;p\;$ covariants »$^,$, on choisit pour base «$\;\left\lbrace {\underset {1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,p}{\otimes }}\;{b'}_{\!i_{k}}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i_{k}\,\leqslant \,3,\,\forall \,k\,\in \left[\left[1\,,\,p\right]\right]}=\left\lbrace {\underset {1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,p}{\otimes }}\;{b'}_{\!i_{k}}\right\rbrace _{{b'}_{\!i_{k}}\,\in \,\left\lbrace B'\right\rbrace ,\,\forall \,i_{k}\,\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right],\,\forall \,k\,\in \left[\left[1\,,\,p\right]\right]}\;$»$^,$ et
* pour «$\;E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)},\;k\,\in \left[\left[1\,,\,(p-1)\right]\right]\;$$^,$$^,$ ensemble des tenseurs d'ordre $\;p\;$ “ mixtes ” $\;k$-contravariant$^,$ et $\;(p-k)$-covariant$^,$ » choix pour base la famille libre pour «$\;\color {transparent}{E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)},\;k\,\in \left[\left[1\,,\,(p-1)\right]\right]}\;$ «$\;\left\lbrace {\overset {1\,\leqslant \,l\,\leqslant \,k}{\underset {k+1\,\leqslant \,m\,\leqslant \,p}{\otimes }}}\;{\vec {b}}_{i_{l}}\otimes {b'}_{\!j_{m}}\right\rbrace _{\begin{array}{|l l|}1\,\leqslant \,i_{l}\,\leqslant \,3,&\!\!\forall \,l\,\in \left[\left[1\,,\,k\right]\right]\\1\,\leqslant \,j_{m}\,\leqslant \,3,&\!\!\forall \,m\,\in \left[\left[k+1\,,\,p\right]\right]\end{array}}=$ $\left\lbrace {\overset {1\,\leqslant \,l\,\leqslant \,k}{\underset {k+1\,\leqslant \,m\,\leqslant \,p}{\otimes }}}\;{\vec {b}}_{i_{l}}\otimes {b'}_{\!j_{m}}\right\rbrace _{\begin{array}{|l l l|}\,{\vec {b}}_{i_{l}}\,\in \,\left\lbrace B\right\rbrace ,&\!\!\forall \,i_{l}\,\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right],&\!\!\forall \,l\,\in \left[\left[1\,,\,k\right]\right]\,\\\,{b'}_{\!i_{m}}\,\in \,\left\lbrace B'\right\rbrace ,&\!\!\forall \,i_{m}\,\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right],&\!\!\forall \,m\,\in \left[\left[k+1\,,\,p\right]\right]\,\end{array}}\;$».

### Définition des composantes d'un tenseur d'un produit tensoriel d'espaces vectoriels formé à partir d'un espace vectoriel tridimensionnel et de son dual
#### Composantes d'un tenseur d'ordre deux

Il s'agit des « composantes d'un tenseur décomposé sur la base du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel nonadimensionnel auquel il appartient » soit :
* pour un « tenseur $\;{\mathcal {T}}\;$ d'ordre $\;2\;$ contravariant$^,$ $\;\in E\otimes E\;$» dans lequel la base «$\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}\;$» a été choisie, on obtient la décomposition de $\;{\mathcal {T}}\;$ sur cette base selon pour un tenseur «$\;{\mathcal {T}}=\sum \limits _{\begin{array}{c}i\,=\,1\,..\,3\\j\,=\,1\,..\,3\end{array}}{\mathcal {T}}_{i,\,j}\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ $\;9\;$ composantes de $\;{\mathcal {T}}$ «$\;\left({\mathcal {T}}_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}$», qualifiées de « contravariantes »,
* pour un « tenseur $\;{\mathcal {S}}\;$ d'ordre $\;2\;$ covariant$^,$ $\;\in E^{*}\otimes E^{*}\;$» dans lequel la base «$\;\left\lbrace {b'}_{\!i}\otimes {b'}_{\!j}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}\;$» a été choisie, on obtient la décomposition de $\;{\mathcal {S}}\;$ sur cette base selon pour un tenseur «$\;{\mathcal {S}}=\sum \limits _{\begin{array}{c}i\,=\,1\,..\,3\\j\,=\,1\,..\,3\end{array}}{\mathcal {S}}_{i,\,j}\;\left\lbrace {b'}_{i}\otimes {b'}_{j}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ $\;9\;$ composantes de $\;{\mathcal {S}}$ «$\;\left({\mathcal {S}}_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}$», qualifiées de « covariantes » et
* pour un « tenseur $\;{\mathcal {R}}\;$ d'ordre $\;2\;$ “ mixte ”$^,$$^,$ $\;\in E\otimes E^{*}\;$»$^,$ dans lequel la base «$\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {b'}_{\!j}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}\;$» a été choisie, on obtient la décomposition de $\;{\mathcal {R}}\;$ sur cette base selon pour un tenseur «$\;{\mathcal {R}}=\sum \limits _{\begin{array}{c}i\,=\,1\,..\,3\\j\,=\,1\,..\,3\end{array}}{\mathcal {R}}_{i,\,j}\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {b'}_{\!j}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ $\;9\;$ composantes de $\;{\mathcal {R}}$ «$\;\left({\mathcal {R}}_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}$», qualifiées de “ mixtes ”$^,$.

#### Composantes d'un tenseur d'ordre p

Il s'agit des « composantes d'un tenseur décomposé sur la base du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;3^{\,p}$-dimensionnel auquel il appartient » soit :
* pour un « tenseur $\;{\mathcal {T}}\;$ d'ordre $\;p\;$ contravariant$^,$ $\;\in E^{\,\otimes \,p}\;$» dans lequel la base «$\;\left\lbrace {\underset {1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,p}{\otimes }}\;{\vec {b}}_{i_{k}}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i_{k}\,\leqslant \,3,\,\forall \,k\,\in \left[\left[1\,,\,p\right]\right]}\;$» a été choisie, on obtient la décomposition de $\;{\mathcal {T}}\;$ sur cette base selon pour un tenseur «$\;{\mathcal {T}}=\sum \limits _{\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,..\,i_{k},\,..\,i_{p}\right)}{\mathcal {T}}_{i_{1},\,\cdots \,i_{k},\,\cdots \,i_{p}}\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i_{1}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{i_{k}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{i_{p}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ $\;3^{\,p}$ composantes «$\;\left({\mathcal {T}}_{i_{1},\,\cdots \,i_{k},\,\cdots \,i_{p}}\right)_{\;\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,..\,i_{k},\,..\,i_{p}\right)}$», qualifiées de « contravariantes »,
* pour un «tenseur $\;{\mathcal {S}}\;$ d'ordre $\;p\;$ covariant$^,$ $\;\in \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,p}\;$» dans lequel la base «$\;\left\lbrace {\underset {1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,p}{\otimes }}\;{b'}_{\!i_{k}}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i_{k}\,\leqslant \,3,\,\forall \,k\,\in \left[\left[1\,,\,p\right]\right]}\;$» a été choisie, on obtient la décomposition de $\;{\mathcal {S}}\;$ sur cette base selon pour un tenseur «$\;{\mathcal {S}}=\sum \limits _{\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,..\,i_{k},\,..\,i_{p}\right)}{\mathcal {S}}_{i_{1},\,\cdots \,i_{k},\,\cdots \,i_{p}}\;\left\lbrace {b'}_{\!i_{1}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!i_{k}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!i_{p}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ $\;3^{\,p}$ composantes «$\;\left({\mathcal {S}}_{i_{1},\,\cdots \,i_{k},\,\cdots \,i_{p}}\right)_{\;\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,..\,i_{k},\,..\,i_{p}\right)}$», qualifiées de « covariantes » et
* pour un « tenseur $\;{\mathcal {R}}\;$ d'ordre $\;p\;$ « mixte » $\;k$-contravariant$^,$ et $\;(p-k)$-covariant$^,$ $\;\in E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)},\;k\,\in \left[\left[1\,,\,(p-1)\right]\right]\;$»$^,$$^,$ pour un « tenseur $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ d'ordre $\;\color {transparent}{p}\;$ « mixte » avec «$\;\left\lbrace {\overset {1\,\leqslant \,l\,\leqslant \,k}{\underset {k+1\,\leqslant \,m\,\leqslant \,p}{\otimes }}}\;{\vec {b}}_{i_{l}}\otimes {b'}_{\!j_{m}}\right\rbrace _{\begin{array}{|l l|}1\,\leqslant \,i_{l}\,\leqslant \,3,&\!\!\forall \,l\,\in \left[\left[1\,,\,k\right]\right]\\1\,\leqslant \,j_{m}\,\leqslant \,3,&\!\!\forall \,m\,\in \left[\left[k+1\,,\,p\right]\right]\end{array}}\;$» choisie comme base, on obtient la décomposition de $\;{\mathcal {R}}\;$ sur cette base selon pour un tenseur «$\;{\mathcal {R}}=\sum \limits _{\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,..\,i_{l},\,..\,i_{k},\,i_{(k+1)}\,..\,i_{m},\,..\,i_{p}\right)}{\mathcal {R}}_{i_{1},\,\cdots \,i_{l},\,\cdots \,i_{k},\,i_{(k+1)},\,\cdots \,i_{m},\,\cdots \,i_{p}}\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i_{1}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{i_{l}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{i_{k}}\,\otimes \,{b'}_{\!i_{(k+1)}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!i_{m}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!i_{p}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ pour un tenseur «$\;3^{\,p}$ composantes «$\;\left({\mathcal {R}}_{i_{1},\,\cdots \,i_{l},\,\cdots \,i_{k},\,i_{(k+1)},\,\cdots \,i_{m},\,\cdots \,i_{p}}\right)_{\qquad \in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,..\,i_{l},\,..\,i_{k},\,i_{(k+1)}\,..\,i_{m},\,..\,i_{p}\right)}$», qualifiées de “ mixtes «$\;k$-contravariantes et $\;(p-k)$-covariantes ».

### Produit scalaire de deux vecteurs de l'ensemble des tenseurs d'ordre p contravariants, covariants ou « k-contravariants et (p - k)-covariants » formé à partir d'un même espace vectoriel et de son dual, conséquence sur la base choisie
#### Rappel sur les bases de l'espace vectoriel tridimensionnel euclidien et de son dual

Ayant choisi une « base orthonormée $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace \;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ tridimensionnel euclidien », telle que «$\;{\vec {b}}_{i}\cdot _{E}{\vec {b}}_{j}=\delta _{i,\,j}=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\;{\text{si }}\;i\neq j\\1\;{\text{si }}\;i=j\end{array}}\right\rbrace \;\;\forall \;\left(i\,,\,j\right)\in \left\lbrace \left[\left[1\,,\,3\right]\right]\right\rbrace ^{2}\;$» Ayant choisi une « base orthonormée $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace }\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{E}\;$ tridimensionnel euclidien », telle que «$\;\color {transparent}{{\vec {b}}_{i}\cdot _{E}{\vec {b}}_{j}}$ $\;{\big\delta _{i\,,\,j}\;$ étant le symbole de Kronecker${\big )}$, puis Ayant construit une « base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace =\left\lbrace {b'}_{\!1}\,,\,{b'}_{\!2}\,,\,{b'}_{\!3}\right\rbrace \;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E^{*}\;$ tridimensionnel euclidien, dual de $\;E\;$ » avec «$\;{b'}_{\!i}\left({\vec {b}}_{j}\right)=\delta _{i,\,j}=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\;{\text{si }}\;i\neq j\\1\;{\text{si }}\;i=j\end{array}}\right\rbrace \;\;\forall \;\left(i\,,\,j\right)\in \left\lbrace \left[\left[1\,,\,3\right]\right]\right\rbrace ^{2}\;$»$^,$ Ayant construit une « base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B'\right\rbrace =\left\lbrace {b'}_{\!1}\,,\,{b'}_{\!2}\,,\,{b'}_{\!3}\right\rbrace }\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{E^{*}}\;$ tridimensionnel euclidien, dual de $\;\color {transparent}{E}\;$ » avec «$\;\color {transparent}{{b'}_{\!i}\left({\vec {b}}_{j}\right)}$ $\;{\big\delta _{i\,,\,j}\;$ étant le symbole de Kronecker${\big )}$, on a ensuite Ayant défini la multiplication scalaire «$\;\cdot _{E^{*}}\;$» sur $\;E^{*}\;$ selon «$\;\varphi \cdot _{E^{*}}\psi =\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\varphi _{i}\;\psi _{i}\;$» avec «$\;\left(\varphi \,,\,\psi \right)\;\in \;\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{2}\;$ et $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\varphi =\varphi _{1}\;{b'}_{\!1}+\varphi _{2}\;{b'}_{\!2}+\varphi _{3}\;{b'}_{\!3},\;\;\left(\varphi _{1}\,,\,\varphi _{2}\,,\,\varphi _{3}\right)\;\in \;\mathbb {R} ^{3}\\\psi =\psi _{1}\;{b'}_{\!1}+\psi _{2}\;{b'}_{\!2}+\psi _{3}\;{b'}_{\!3},\;\;\left(\psi _{1}\,,\,\psi _{2}\,,\,\psi _{3}\right)\;\in \;\mathbb {R} ^{3}\end{array}}\right\rbrace \;$», Ayant défini la multiplication scalaire «$\;\color {transparent}{\cdot _{E^{*}}}\;$» sur $\;\color {transparent}{E^{*}}\;$ ce qui a permis de conclure au caractère orthonormé de la base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ car «$\;{b'}_{\!i}\cdot _{E^{*}}{b'}_{\!j}=\delta _{i,\,j}=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\;{\text{si }}\;i\neq j\\1\;{\text{si }}\;i=j\end{array}}\right\rbrace \;\;\forall \;\left(i\,,\,j\right)\in \left\lbrace \left[\left[1\,,\,3\right]\right]\right\rbrace ^{2}\;$».

#### Produits scalaires de deux vecteurs du même ensemble des tenseurs d'ordre 2 contravariants, covariants ou mixtes et déduction du caractère orthonormé des bases y étant définies

* Dans le «$\;\mathbb {R}$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;E^{\,\otimes \,2}\;$ des tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants$^,$ » de base «$\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}$», on définit Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{E^{\,\otimes \,2}}\;$ la multiplication scalaire «$\;\cdot _{E^{\,\otimes \,2}}\;$» entre deux vecteurs $\;\left({\mathcal {T}}\,,\,{\mathcal {T}}'\right)\;$ de $\;E^{\,\otimes \,2}$ tels que $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\mathcal {T}}=\sum \limits _{\begin{array}{c}i\,=\,1\,..\,3\\j\,=\,1\,..\,3\end{array}}{\mathcal {T}}_{i,\,j}\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}\right\rbrace \\{\mathcal {T}}'=\sum \limits _{\begin{array}{c}i\,=\,1\,..\,3\\j\,=\,1\,..\,3\end{array}}{{\mathcal {T}}'}_{\!i,\,j}\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}\right\rbrace \end{array}}\right\rbrace \;$ Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{E^{\,\otimes \,2}}\;$ la multiplication scalaire «$\;\color {transparent}{\cdot _{E^{\,\otimes \,2}}}\;$» par «$\;{\mathcal {T}}\cdot _{E^{\,\otimes \,2}}{\mathcal {T}}'=\sum \limits _{\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,2}}^{\left(i_{1},\,i_{2}\right)}{\mathcal {T}}_{i_{1},\,i_{2}}\;{{\mathcal {T}}'}_{\!i_{1},\,i_{2}}\;$» d'où Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{E^{\,\otimes \,2}}\;$ le produit scalaire entre deux vecteurs de base «$\;\left({\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}\right)\,\cdot _{E^{\,\otimes \,2}}\left({\vec {b}}_{i'}\otimes {\vec {b}}_{j'}\right)=\delta _{i\,,\,i'}\;\delta _{j\,,\,j'}\;$» et par suite Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{E^{\,\otimes \,2}}\;$ le caractère orthonormé de la base «$\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}$» de $\;E^{\,\otimes \,2}\;$ ainsi que le caractère euclidien de ce dernier ;
* dans le «$\;\mathbb {R}$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,2}\;$ des tenseurs d'ordre $\;2\;$ covariants$^,$ » de base «$\;\left\lbrace {b'}_{\!i}\otimes {b'}_{\!j}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}$», on définit Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,2}}\;$ la multiplication scalaire «$\;\cdot _{\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,2}}\;$» entre vecteurs quelconques $\;\left({\mathcal {S}}\,,\,{\mathcal {S}}'\right)\;$ de $\;\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,2}$ tels que $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\mathcal {S}}=\sum \limits _{\begin{array}{c}i\,=\,1\,..\,3\\j\,=\,1\,..\,3\end{array}}{\mathcal {S}}_{i,\,j}\;\left\lbrace {b'}_{\!i}\otimes {b'}_{\!j}\right\rbrace \\{\mathcal {S}}'=\sum \limits _{\begin{array}{c}i\,=\,1\,..\,3\\j\,=\,1\,..\,3\end{array}}{{\mathcal {S}}'}_{\!i,\,j}\;\left\lbrace {b'}_{\!i}\otimes {b'}_{\!j}\right\rbrace \end{array}}\right\rbrace \;$ Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,2}}\;$ la multiplication scalaire «$\;\color {transparent}{\cdot _{\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,2}}}\;$» par «$\;{\mathcal {S}}\cdot _{\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,2}}{\mathcal {S}}'=\sum \limits _{\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,2}}^{\left(i_{1},\,i_{2}\right)}{\mathcal {S}}_{i_{1},\,i_{2}}\;{{\mathcal {S}}'}_{\!i_{1},\,i_{2}}\;$» d'où Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,2}}\;$ le produit scalaire entre deux vecteurs de base «$\;\left({b'}_{\!i}\otimes {b'}_{\!j}\right)\,\cdot _{\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,2}}\left({b'}_{\!i'}\otimes {b'}_{\!j'}\right)=\delta _{i\,,\,i'}\;\delta _{j\,,\,j'}\;$» et par suite Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,2}}\;$ le caractère orthonormé de la base «$\;\left\lbrace {b'}_{\!i}\otimes {b'}_{\!j}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}$» de $\;\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,2}\;$ ainsi que le caractère euclidien de ce dernier ;
* dans le «$\;\mathbb {R}$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;E\otimes E^{*}\;$$^,$ des tenseurs d'ordre $\;2\;$ “ mixtes ” »$^,$ de base «$\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {b'}_{\!j}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}$», on définit Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{E\otimes E^{*}}\;$ la multiplication scalaire «$\;\cdot _{E\,\otimes \,E^{*}}\;$» entre vecteurs quelconques $\;\left({\mathcal {R}}\,,\,{\mathcal {R}}'\right)\;$ de $\;E\otimes E^{*}$ tels que $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\mathcal {R}}=\sum \limits _{\begin{array}{c}i\,=\,1\,..\,3\\j\,=\,1\,..\,3\end{array}}{\mathcal {R}}_{i,\,j}\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {b'}_{\!j}\right\rbrace \\{\mathcal {R}}'=\sum \limits _{\begin{array}{c}i\,=\,1\,..\,3\\j\,=\,1\,..\,3\end{array}}{{\mathcal {R}}'}_{\!i,\,j}\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {b'}_{\!j}\right\rbrace \end{array}}\right\rbrace \;$ Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{E\otimes E^{*}}\;$ la multiplication scalaire «$\;\color {transparent}{\cdot _{E\,\otimes \,E^{*}}}\;$» par «$\;{\mathcal {R}}\cdot _{E\,\otimes \,E^{*}}{\mathcal {R}}'=\sum \limits _{\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,2}}^{\left(i_{1},\,i_{2}\right)}{\mathcal {R}}_{i_{1},\,i_{2}}\;{{\mathcal {R}}'}_{\!i_{1},\,i_{2}}\;$» d'où Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{E\otimes E^{*}}\;$ le produit scalaire entre deux vecteurs de base «$\;\left({\vec {b}}_{i}\otimes {b'}_{\!j}\right)\,\cdot _{E\,\otimes \,E^{*}}\left({\vec {b}}_{i'}\otimes {b'}_{\!j'}\right)=\delta _{i\,,\,i'}\;\delta _{j\,,\,j'}\;$» et par suite Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{E\otimes E^{*}}\;$ le caractère orthonormé de la base «$\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {b'}_{\!j}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}$» de $\;E\otimes E^{*}\;$ ainsi que le caractère euclidien de ce dernier.

#### Produits scalaires de deux vecteurs du même ensemble des tenseurs d'ordre p contravariants, covariants ou « k-contravariants et (p - k)-covariants », déduction du caractère orthonormé des bases y étant définies

* Dans le «$\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;3^{\,p}$-dimensionnel $\;E^{\,\otimes \,p}\;$ des tenseurs d'ordre $\;p\;$ contravariants$^,$ » de base «$\;\left\lbrace {\underset {1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,p}{\otimes }}\;{\vec {b}}_{i_{k}}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i_{k}\,\leqslant \,3,\,\forall \,k\,\in \left[\left[1\,,\,p\right]\right]}\;$», on définit Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{3^{\,p}}$dimensionnel $\;\color {transparent}{E^{\,\otimes \,p}}\;$ la multiplication scalaire «$\;\cdot _{E^{\,\otimes \,p}}\;$» entre vecteurs quelconques $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\mathcal {T}}=\sum \limits _{\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,..\,i_{k},\,..\,i_{p}\right)}{\mathcal {T}}_{i_{1},\,\cdots \,i_{k},\,\cdots \,i_{p}}\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i_{1}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{i_{k}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{i_{p}}\right\rbrace \\{\mathcal {T}}'=\sum \limits _{\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,..\,i_{k},\,..\,i_{p}\right)}{{\mathcal {T}}'}_{\!i_{1},\,\cdots \,i_{k},\,\cdots \,i_{p}}\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i_{1}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{i_{k}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{i_{p}}\right\rbrace \end{array}}\right\rbrace \;$ de $\;E^{\,\otimes \,p}\;$ Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{3^{\,p}}$dimensionnel $\;\color {transparent}{E^{\,\otimes \,p}}\;$ la multiplication scalaire par «$\;{\mathcal {T}}\cdot _{E^{\,\otimes \,p}}{\mathcal {T}}'=\sum \limits _{\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,..\,i_{k},\,..\,i_{p}\right)}{\mathcal {T}}_{i_{1},\,\cdots \,i_{k},\,\cdots \,i_{p}}\;{{\mathcal {T}}'}_{\!i_{1},\,\cdots \,i_{k},\,\cdots \,i_{p}}\;$» d'où Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{3^{\,p}}$dimensionnel $\;\color {transparent}{E^{\,\otimes \,p}}\;$ le produit scalaire entre deux vecteurs de base de l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre $\;p\;$ contravariants$^,$ Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{3^{\,p}}$dimensionnel $\;\color {transparent}{E^{\,\otimes \,p}}\;$ le produit scalaire «$\;\left({\vec {b}}_{i_{1}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{i_{k}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{i_{p}}\right)\,\cdot _{E^{\,\otimes \,p}}\left({\vec {b}}_{{i'}_{\!1}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{{i'}_{\!k}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{{i'}_{\!p}}\right)=\delta _{i_{1}\,,\,{i'}_{\!1}}\;\cdots \;\delta _{i_{k}\,,\,{i'}_{\!k}}\;\cdots \;\delta _{i_{p}\,,\,{i'}_{\!p}}\;$» et par suite Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{3^{\,p}}$dimensionnel $\;\color {transparent}{E^{\,\otimes \,p}}\;$ le caractère orthonormé de la base «$\;\left\lbrace {\underset {1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,p}{\otimes }}\;{\vec {b}}_{i_{k}}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i_{k}\,\leqslant \,3,\,\forall \,k\,\in \left[\left[1\,,\,p\right]\right]}\;$» de $\;E^{\,\otimes \,p}\;$ ainsi que le caractère euclidien de ce dernier ;
* dans le «$\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;3^{\,p}$-dimensionnel $\;\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,p}\;$ des tenseurs d'ordre $\;p\;$ covariants$^,$ » de base «$\;\left\lbrace {\underset {1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,p}{\otimes }}\;{b'}_{\!i_{k}}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i_{k}\,\leqslant \,3,\,\forall \,k\,\in \left[\left[1\,,\,p\right]\right]}\;$», on définit Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{3^{\,p}}$dimensionnel $\;\color {transparent}{\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,p}}\;$ la multiplication scalaire «$\;\cdot _{\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,p}}\;$» entre vecteurs $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\mathcal {S}}=\sum \limits _{\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,..\,i_{k},\,..\,i_{p}\right)}{\mathcal {S}}_{i_{1},\,\cdots \,i_{k},\,\cdots \,i_{p}}\;\left\lbrace {b'}_{\!i_{1}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!i_{k}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!i_{p}}\right\rbrace \\{\mathcal {S}}'=\sum \limits _{\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,..\,i_{k},\,..\,i_{p}\right)}{{\mathcal {S}}'}_{\!i_{1},\,\cdots \,i_{k},\,\cdots \,i_{p}}\;\left\lbrace {b'}_{\!i_{1}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!i_{k}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!i_{p}}\right\rbrace \end{array}}\right\rbrace \;$ de $\;\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,p}\;$ Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{3^{\,p}}$dimensionnel $\;\color {transparent}{\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,p}}\;$ la multiplication scalaire «$\;{\mathcal {S}}\cdot _{\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,p}}{\mathcal {S}}'=\sum \limits _{\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,..\,i_{k},\,..\,i_{p}\right)}{\mathcal {S}}_{i_{1},\,\cdots \,i_{k},\,\cdots \,i_{p}}\;{{\mathcal {S}}'}_{\!i_{1},\,\cdots \,i_{k},\,\cdots \,i_{p}}\;$» d'où Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{3^{\,p}}$dimensionnel $\;\color {transparent}{\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,p}}\;$ le produit scalaire entre deux vecteurs de base de l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre $\;p\;$ covariants$^,$ Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{3^{\,p}}$dimensionnel $\;\color {transparent}{\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,p}}\;$ le produit scalaire «$\;\left({b'}_{\!i_{1}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!i_{k}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!i_{p}}\right)\,\cdot _{\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,p}}\left({b'}_{\!{i'}_{\!1}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!{i'}_{\!k}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!{i'}_{\!p}}\right)=\delta _{i_{1}\,,\,{i'}_{\!1}}\;\cdots \;\delta _{i_{k}\,,\,{i'}_{\!k}}\;\cdots \;\delta _{i_{p}\,,\,{i'}_{\!p}}\;$» et par suite Dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{3^{\,p}}$dimensionnel $\;\color {transparent}{\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,p}}\;$ le caractère orthonormé de la base «$\;\left\lbrace {\underset {1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,p}{\otimes }}\;{b'}_{\!i_{k}}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i_{k}\,\leqslant \,3,\,\forall \,k\,\in \left[\left[1\,,\,p\right]\right]}\;$» de $\;\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,p}\;$ ainsi que le caractère euclidien de ce dernier ;
* dans le «$\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;3^{\,p}$-dimensionnel “$\;E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}\;$”$^,$$^,$ des tenseurs d'ordre $\;p\;$ “ mixtes ” $\;k$-contravariants$^,$ et $\;(p-k)$-covariants$^,$ » dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{3^{\,p}}$-dimensionnel “$\;\color {transparent}{E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}}\;$” de base «$\;\left\lbrace {\overset {1\,\leqslant \,l\,\leqslant \,k}{\underset {k+1\,\leqslant \,m\,\leqslant \,p}{\otimes }}}\;{\vec {b}}_{i_{l}}\otimes {b'}_{\!j_{m}}\right\rbrace _{\begin{array}{|l l|}1\,\leqslant \,i_{l}\,\leqslant \,3,&\!\!\forall \,l\,\in \left[\left[1\,,\,k\right]\right]\\1\,\leqslant \,j_{m}\,\leqslant \,3,&\!\!\forall \,m\,\in \left[\left[k+1\,,\,p\right]\right]\end{array}}\;$», on définit dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{3^{\,p}}$-dimensionnel “$\;\color {transparent}{E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}}\;$” la multiplication scalaire «$\;\cdot _{E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}}\;$» entre deux vecteurs quelconques $\;\left({\begin{array}{c}{\mathcal {R}}\\{\mathcal {R}}'\end{array}}\right)\;$ de $\;E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}\;$ dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{3^{\,p}}$-dimensionnel “$\;\color {transparent}{E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}}\;$” de composantes respectives sur $\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i_{1}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{i_{l}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{i_{k}}\,\otimes \,{b'}_{\!i_{(k+1)}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!i_{m}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!i_{p}}\right\rbrace \;$ dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{3^{\,p}}$-dimensionnel “$\;\color {transparent}{E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}}\;$” de composantes $\left({\begin{array}{c}{\mathcal {R}}_{i_{1},\,\cdots \,i_{l},\,\cdots \,i_{k},\,i_{(k+1)},\,\cdots \,i_{m},\,\cdots \,i_{p}}\\{{\mathcal {R}}'}_{\!i_{1},\,\cdots \,i_{l},\,\cdots \,i_{k},\,i_{(k+1)},\,\cdots \,i_{m},\,\cdots \,i_{p}}\end{array}}\right)_{\begin{array}{|l l|}1\,\leqslant \,i_{l}\,\leqslant \,3,&\!\!\forall \,l\,\in \left[\left[1\,,\,k\right]\right]\\1\,\leqslant \,j_{m}\,\leqslant \,3,&\!\!\forall \,m\,\in \left[\left[k+1\,,\,p\right]\right]\end{array}}$, multiplication scalaire définie par dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{3^{\,p}}$-dimensionnel “$\;\color {transparent}{E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}}\;$” «$\;{\mathcal {R}}\cdot _{E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}}{\mathcal {R}}'=\sum \limits _{\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\begin{array}{c}\left(i_{1},\,..\,i_{l},\,..\,i_{k},\right.\\\left.i_{(k+1)}\,..\,i_{m},\,..\,i_{p}\right)\end{array}}{\mathcal {R}}_{i_{1},\,\cdots \,i_{l},\,\cdots \,i_{k},\,i_{(k+1)},\,\cdots \,i_{m},\,\cdots \,i_{p}}\;{{\mathcal {R}}'}_{\!i_{1},\,\cdots \,i_{l},\,\cdots \,i_{k},\,i_{(k+1)},\,\cdots \,i_{m},\,\cdots \,i_{p}}\;$» d'où dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{3^{\,p}}$-dimensionnel “$\;\color {transparent}{E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}}\;$” le produit scalaire entre deux vecteurs de base du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;3^{\,p}$-dimensionnel $\;E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}\;$ dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{3^{\,p}}$-dimensionnel “$\;\color {transparent}{E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}}\;$” le produit scalaire des tenseurs d'ordre $\;p\;$ “ mixtes ” $\;k$-contravariants$^,$ et $\;(p-k)$-covariants$^,$$^,$ dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{3^{\,p}}$-dimensionnel $\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i_{1}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{i_{l}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{i_{k}}\,\otimes \,{b'}_{\!i_{(k+1)}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!i_{m}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!i_{p}}\right\rbrace \,\cdot _{E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}}\left\lbrace {\vec {b}}_{{i'}_{\!1}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{{i'}_{\!l}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{{i'}_{\!k}}\,\otimes \,{b'}_{\!{i'}_{\!(k+1)}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!{i'}_{\!m}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!{i'}_{\!p}}\right\rbrace$ dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{3^{\,p}}$-dimensionnel $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {b}}_{i_{1}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{i_{l}}\,\otimes \cdots \,{\vec {b}}_{i_{k}}\,\otimes \,{b'}_{\!i_{(k+1)}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!i_{m}}\,\otimes \cdots \,{b'}_{\!i_{p}}\right\rbrace }$ $=\delta _{i_{1}\,,\,{i'}_{\!1}}\;\cdots \;\delta _{i_{l}\,,\,{i'}_{\!l}}\;\cdots \;\delta _{i_{k}\,,\,{i'}_{\!k}}\;\cdots \;\delta _{i_{(k+1)}\,,\,{i'}_{\!(k+1)}}\;\cdots \;\delta _{i_{m}\,,\,{i'}_{\!m}}\;\cdots \;\delta _{i_{p}\,,\,{i'}_{\!p}}\;$ et par suite dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{3^{\,p}}$-dimensionnel “$\;\color {transparent}{E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}}\;$” le caractère orthonormé de la base «$\;\left\lbrace {\overset {1\,\leqslant \,l\,\leqslant \,k}{\underset {k+1\,\leqslant \,m\,\leqslant \,p}{\otimes }}}\;{\vec {b}}_{i_{l}}\otimes {b'}_{\!j_{m}}\right\rbrace _{\begin{array}{|l l|}1\,\leqslant \,i_{l}\,\leqslant \,3,&\!\!\forall \,l\,\in \left[\left[1\,,\,k\right]\right]\\1\,\leqslant \,j_{m}\,\leqslant \,3,&\!\!\forall \,m\,\in \left[\left[k+1\,,\,p\right]\right]\end{array}}\;$» de $\;E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}\;$ dans le «$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{3^{\,p}}$-dimensionnel “$\;\color {transparent}{E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}}\;$” le caractère orthonormé de la base ainsi que le caractère euclidien de ce dernier.

## Contraction tensorielle

L'opération « contraction tensorielle » a pour effet, quand celle-ci est définie, de diminuer de $\;2\;$ l'ordre d'un tenseur, la C.N. pour qu'une « contraction tensorielle » soit définissable sur un tenseur L'opération « contraction tensorielle » a pour effet, quand celle-ci est définie, de diminuer de $\;\color {transparent}{2}\;$ l'ordre d'un tenseur, la C.N. est que ce dernier soit d'ordre $\;p\geqslant 2\;$ mais cette C.N. n'est pas S. $\;\ldots$

### Introduction à la contraction tensorielle

Pour introduire cette opération nous allons d'abord revenir sur la notion de « crochet de dualité » $\;\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle \;$, forme bilinéaire non dégénérée définie sur $\;E^{*}\times E\;$ et Pour introduire cette opération nous allons d'abord revenir sur la notion de « crochet de dualité » $\;\color {transparent}{\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle }\;$, construite $\bullet \;$à l'aide de la multiplication scalaire sur $\;E\;$ telle que «$\;\forall \;\left({\vec {x'}}\!\cdot _{E}\,\in E^{*}\,,\,{\vec {x}}\in E\right)$, Pour introduire cette opération nous allons d'abord revenir sur la notion de « crochet de dualité » $\;\color {transparent}{\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle }\;$, construite $\color {transparent}{\bullet }\;$$\langle {\vec {x'}}\!\cdot _{E}\,,\,{\vec {x}}\rangle ={\vec {x'}}\!\cdot _{E}\,{\vec {x}}\;\in \mathbb {R} \;$» ${\Big$«$\;{\vec {x'}}\!\cdot _{E}\;$» élément de $\;E^{*}\;$ associé à $\;{\vec {x'}}\in E{\Big ]}\;$ ou, Pour introduire cette opération nous allons d'abord revenir sur la notion de « crochet de dualité » $\;\color {transparent}{\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle }\;$, construite $\bullet \;$telle que «$\;\forall \;\left(\varphi \in E^{*}\,,\,{\vec {x}}\in E\right)$, $\;\langle \varphi \,,\,{\vec {x}}\rangle =\varphi ({\vec {x}})\;\in \mathbb {R} \;$» Pour introduire cette opération nous allons d'abord revenir sur la notion de « crochet de dualité » $\;\color {transparent}{\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle }\;$, construite $\color {transparent}{\bullet }\;$${\big\varphi \;$ élément quelconque de $\;E^{*}\;$ étant, par définition, une forme linéaire de $\;E{\big ]}$ ;
Pour introduire cette opération nous allons d'abord revenir sur la notion le « crochet de dualité » $\;\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle \;$ étant une forme bilinéaire $\;{\big$non dégénérée${\big )}\;$ de $\;E^{*}\times E\;$ Pour introduire cette opération nous allons d'abord revenir sur la notion le « crochet de dualité » $\;\color {transparent}{\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle }\;$ est un tenseur d'ordre $\;2\;$ “ mixte ”$^,$ de $\;E^{*}\otimes E\;$$^,$, noté «$\;\delta \;$» et appelé Pour introduire cette opération nous allons d'abord revenir sur la notion le crochet de dualité » $\;\color {transparent}{\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle }\;$ est un « tenseur de Kronecker »$^,$$^,$, s'exprimant en fonction de la base orthonormée Pour introduire cette opération nous allons d'abord revenir sur la notion le crochet de dualité » $\;\color {transparent}{\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle }\;$ est un « tenseur de Kronecker » «$\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {b'}_{\!j}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}$» de $\;E\otimes E^{*}\;$ selon Pour introduire cette opération nous allons d'abord revenir sur la notion le crochet de dualité » $\;\color {transparent}{\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle }\;$ est un «$\;\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle =\delta =\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{\vec {b}}_{i}\otimes {b'}_{\!i}\;$» ou Pour introduire cette opération nous allons d'abord revenir sur la notion le crochet de dualité » $\;\color {transparent}{\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle }\;$ est un « tenseur de Kronecker », s'exprimant en fonction de la base orthonormée Pour introduire cette opération nous allons d'abord revenir sur la notion le crochet de dualité » $\;\color {transparent}{\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle }\;$ est un « tenseur de Kronecker » «$\;\left\lbrace {b'}_{\!i}\otimes {\vec {b}}_{j}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}$» de $\;E^{*}\otimes E$, selon Pour introduire cette opération nous allons d'abord revenir sur la notion le crochet de dualité » $\;\color {transparent}{\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle }\;$ est un «$\;\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle =\delta =\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{b'}_{\!i}\otimes {\vec {b}}_{i}\;$»$^,$ Pour introduire cette opération nous allons d'abord revenir sur la notion le crochet de dualité » $\;\color {transparent}{\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle }\;$ est un «$\;\color {transparent}{\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle }$ dont l'action $\bullet \;$sur un couple de $\;E^{*}\times E\;$ engendre un scalaire ou Pour introduire cette opération nous allons d'abord revenir sur la notion le crochet de dualité » $\;\color {transparent}{\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle }\;$ est un «$\;\color {transparent}{\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle }$ dont l'action $\bullet \;$sur un couple de tenseurs d'ordre $\;1\;$ covariant$^,$ et Pour introduire cette opération nous allons d'abord revenir sur la notion le crochet de dualité » $\;\color {transparent}{\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle }\;$ est un «$\;\color {transparent}{\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle }$ dont l'action $\color {transparent}{\bullet }\;$contravariant$^,$ engendre un tenseur d'ordre $\;0$.
Nous nous proposons de déterminer un opérateur qui aurait une action analogue à celle du « crochet de dualité » ${\big$ou « tenseur de Kronecker »$^,$$^,$${\big )}\;$ mais Nous nous proposons de déterminer un opérateur qui aurait une action analogue à celle du « crochet de dualité » sur un tenseur d'ordre $\;2\;$ “ mixte ”$^,$ a priori non explicité à l'aide Nous nous proposons de déterminer un opérateur qui aurait une action analogue à celle du « crochet de dualité » d'un couple de tenseurs d'ordre $\;1\;$ covariant$^,$ et contravariant$^,$ Nous nous proposons de déterminer un opérateur qui aurait une action analogue à celle du « crochet de dualité » $\color {transparent}{\neq }\;$ d'un couple de tenseurs d'ordre $\;\color {transparent}{1}\;$ comme $\;\left(\varphi \,,\,{\vec {x}}\right)\in E^{*}\times E$, Nous nous proposons de déterminer un opérateur qui aurait une action analogue à celle du « crochet de dualité » transformant le tenseur d'ordre $\;2\;$ “ mixte ”$^,$ en tenseur d'ordre $\;0$.

### Contraction tensorielle d'un tenseur d'ordre deux mixte

Préliminaire : D'une part nous avons vu, au paragraphe « introduction à la contraction tensorielle » et à la note « $^{34}$ » plus haut dans ce chapitre, Préliminaire : D'une part nous avons vu, que l'image du « crochet de dualité » $\;{\big \$ou « tenseur de Kronecker »$^,$ “ mixte ”$^,$$^,$${\big \}$ Préliminaire : D'une part nous avons vu, que l'image du « crochet de dualité » d'un couple de tenseurs d'ordre $\;1\;$ covariant$^,$ et contravariant$^,$ comme $\;\left(\varpi \,,\,{\vec {y}}\right)\in E^{*}\times E\;$ Préliminaire : D'une part nous avons vu, que l'image du « crochet de dualité » s'écrit «$\;\langle \varpi \,,\,{\vec {y}}\rangle =\delta (\varpi \,,\,{\vec {y}})=\varpi ({\vec {y}})=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\varpi _{i}\;y_{i}\;$» avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\varpi _{i}\\y_{i}\end{array}}\right\rbrace _{i\,\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right]}\;$ composantes de $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\varpi \;\in E^{*}\\{\vec {y}}\;\in E\end{array}}\right\rbrace \;$ sur les Préliminaire : D'une part nous avons vu, que l'image du « crochet de dualité » s'écrit «$\;\color {transparent}{\langle \varpi \,,\,{\vec {y}}\rangle =\delta (\varpi \,,\,{\vec {y}})=\varpi ({\vec {y}})=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\varpi _{i}\;y_{i}}\;$» avec $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\begin{array}{c}\varpi _{i}\\y_{i}\end{array}}\right\rbrace _{i\,\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right]}}\;$ vecteurs de base respectifs $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{b'}_{\!i}\\{\vec {b}}_{i}\end{array}}\right\rbrace _{i\,\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right]}$ ; Préliminaire : d'autre part les $\;9\;$ composantes du tenseur d'ordre $\;2\;$ “ mixte ”$^,$ $\;\varpi \otimes {\vec {y}}\;\in E^{*}\otimes E\;$ sur les vecteurs de base orthonormée «$\;\left\lbrace {b'}_{\!i}\otimes {\vec {b}}_{j}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}$» de $\;E^{*}\otimes E$ Préliminaire : d'autre part les $\;\color {transparent}{9}\;$ composantes du tenseur d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ “ mixte ” s'écrivant «$\;\left(\varpi _{i}\;y_{j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}$» ${\Bigg$car «$\;\varpi \otimes {\vec {y}}=\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\varpi _{i}\;{b'}_{\!i}\right]\otimes \left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,3}y_{j}\;{\vec {b}}_{j}\right]$ Préliminaire : d'autre part les $\;\color {transparent}{9}\;$ composantes du tenseur d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ “ mixte ” s'écrivant «$\;\color {transparent}{\left(\varpi _{i}\;y_{j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}}$» $\color {transparent}{\Bigg$car «$\;\color {transparent}{\varpi \otimes {\vec {y}}}$ $=\sum \limits _{\begin{array}{c}i\,=\,1\,..\,3\\j\,=\,1\,..\,3\end{array}}\varpi _{i}\;y_{j}\;\left\lbrace {b'}_{\!i}\otimes {\vec {b}}_{j}\right\rbrace \;$»${\Bigg )}$, nous remarquons que Préliminaire : d'autre part l'image du « crochet de dualité » du couple $\;\left(\varpi \,,\,{\vec {y}}\right)\in E^{*}\times E\;$ «$\;\langle \varpi \,,\,{\vec {y}}\rangle \;$» c.-à-d. «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\varpi _{i}\;y_{i}\;$» Préliminaire : d'autre part l'image du « crochet de dualité » utilise $\;3\;$ des $\;9\;$ composantes du tenseur d'ordre $\;2\;$ “ mixte ”$^,$ $\;\varpi \otimes {\vec {y}}\;\in E^{*}\otimes E\;$ plus précisément Préliminaire : d'autre part l'image du « crochet de dualité » utilise «$\;\left(\varpi _{i}\;y_{j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}$» sur les vecteurs de base orthonormée de $\;E^{*}\otimes E\;$ d'où Préliminaire : la définition de la contraction tensorielle du tenseur d'ordre $\;2\;$ “ mixte ”$^,$ $\;\varpi \otimes {\vec {y}}\;\in E^{*}\otimes E\;$ selon «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\varpi _{i}\;y_{i}\;$» Préliminaire : la définition de la contraction tensorielle du tenseur d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ “ mixte ” identifiant le tenseur contracté d'ordre $\;0\;$ avec l'image du « crochet de dualité » du couple $\;\left(\varpi \,,\,{\vec {y}}\right)\in E^{*}\times E$.
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;2\;$
$\,E^{*}\otimes E$
$\;{\big$
$\,E\otimes E^{*}{\big ]}\;$
$\;\left({\mathcal {R}}_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}$
$\;0\;$
$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{\mathcal {R}}_{i,\,i}\;\in \;\mathbb {R} \;$

### Contraction tensorielle d'un tenseur d'ordre p mixte

Pour que l'opération de contraction tensorielle définie sur $\;E^{*}\otimes E\;$$^,$ se généralise à $\;E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}\;$$^,$$^,$, il faut que l'ordre $\;p\;$ du tenseur à contracter soit $\;\geqslant 2\;$ et Pour que l'opération de contraction tensorielle définie sur $\;\color {transparent}{E^{*}\otimes E}\;$ se généralise à $\;\color {transparent}{E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}}$, il suffit que ce tenseur soit « mixte » c.-à-d. que $\;k\in \left[\left[1\,,\,(p-1)\right]\right]$.
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;p\;$
$\;\mathbb {R}$
$\;E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}\;$
$\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$
$\;E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k)}\;$
$\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$
$\;\left\lbrace {\overset {1\,\leqslant \,l\,\leqslant \,k}{\underset {k+1\,\leqslant \,m\,\leqslant \,p}{\otimes }}}\;{\vec {b}}_{i_{l}}\otimes {b'}_{\!j_{m}}\right\rbrace _{\begin{array}{|l l|}1\,\leqslant \,i_{l}\,\leqslant \,3,&\!\!\forall \,l\,\in \left[\left[1\,,\,k\right]\right]\\1\,\leqslant \,j_{m}\,\leqslant \,3,&\!\!\forall \,m\,\in \left[\left[k+1\,,\,p\right]\right]\end{array}}\;$
$\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$
$\;\left({\mathcal {R}}_{i_{1},\,\cdots \,i_{l},\,\cdots \,i_{k},\,i_{(k+1)},\,\cdots \,i_{m},\,\cdots \,i_{p}}\right)_{\begin{array}{|l l|}1\,\leqslant \,i_{l}\,\leqslant \,3,&\!\!\forall \,l\,\in \left[\left[1\,,\,k\right]\right]\\1\,\leqslant \,j_{m}\,\leqslant \,3,&\!\!\forall \,m\,\in \left[\left[k+1\,,\,p\right]\right]\end{array}}\;$
$\;(p-2)\;$
$\;E^{\,\otimes \,(k-1)}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\otimes \,(p-k-1)}\;$
$\;\color {transparent}{(p-2)}\;$
$\;\left\lbrace {\overset {s\,\in \,\left[\left[1\,,\,(l-1)\right]\right]\,\cup \,\left[\left[(l+1)\,,\,k\right]\right]}{\underset {t\,\in \,\left[\left[(k+1)\,,\,(m-1)\right]\right]\,\cup \,\left[\left[(m+1)\,,\,p\right]\right]}{\otimes }}}\;{\vec {b}}_{i_{s}}\otimes {b'}_{\!j_{t}}\right\rbrace _{\begin{array}{|l l|}1\,\leqslant \,i_{s}\,\leqslant \,3,&\!\!\forall \,s\,\in \left[\left[1\,,\,l-1\right]\right]\,\cup \,\left[\left[(l+1)\,,\,k\right]\right]\\1\,\leqslant \,j_{t}\,\leqslant \,3,&\!\!\forall \,t\,\in \left[\left[(k+1)\,,\,(m-1)\right]\right]\,\cup \,\left[\left[(m+1)\,,\,p\right]\right]\end{array}}\;$
$\;\left(\sum \limits _{=\,1\,..\,3}^{i_{l}\,=\,i_{m}}{\mathcal {R}}_{i_{l}}\;{\mathcal {R}}_{i_{m}}\right)\left({\mathcal {R}}_{i_{1},\,\cdots \,i_{s},\,\cdots \,i_{k},\,i_{(k+1)},\,\cdots \,i_{t},\,\cdots \,i_{p}}\right)_{\begin{array}{|l l|}1\,\leqslant \,i_{s}\,\leqslant \,3,&\!\!\forall \,s\,\in \left[\left[1\,,\,l-1\right]\right]\,\cup \,\left[\left[(l+1)\,,\,k\right]\right]\\1\,\leqslant \,j_{t}\,\leqslant \,3,&\!\!\forall \,t\,\in \left[\left[(k+1)\,,\,(m-1)\right]\right]\,\cup \,\left[\left[(m+1)\,,\,p\right]\right]\end{array}}\;$
Remarque : La contraction tensorielle peut être poursuivie tant que le tenseur contracté n'est pas purement contravariant$^,$ ou purement covariant$^,$ $\;\ldots$

### Produit contracté de deux tenseurs

Le produit contracté de deux tenseurs est le résultat de leur produit tensoriel suivi d'une contraction tensorielle entre le 1er tenseur et le 2nd, il n'est faisable que
* si les deux tenseurs sont d'ordre $\;\geqslant 2\;$ et « mixtes » ou
* si l'un des deux tenseurs est d'ordre $\;\geqslant 1\;$ contravariant ou covariant, l'autre étant d'ordre $\;\geqslant 2\;$ « mixte » ou encore
* si les deux tenseurs sont d'ordre $\;\geqslant 1$, l'un étant contravariant et l'autre covariant ;
le produit contracté entre un tenseur $\;{\mathcal {T}}\;$ et un tenseur $\;{\mathcal {S}}$ $\;{\big$quand il est faisable${\big )}\;$ est noté $\;{\mathcal {T}}\odot {\mathcal {S}}\;$, le produit contracté si le tenseur $\;{\mathcal {T}}\;$ est d'ordre $\;p\;$ et le tenseur $\;{\mathcal {S}}\;$ d'ordre $\;q$, le tenseur $\;{\mathcal {T}}\odot {\mathcal {S}}\;$ est d'ordre $\;p+q-2$.
Remarque : comme il a été vu dans le paragraphe « contraction tensorielle d'un tenseur d'ordre p mixte » plus haut dans ce chapitre, la contraction tensorielle nécessite de préciser au préalable les composantes du tenseur à contracter sur la base de l'espace vectoriel le contenant, il faut donc ici Remarque : préciser les composantes du 1er tenseur sur la base de son espace vectoriel ainsi que celles du 2ème tenseur sur la base adéquate et, Remarque : utiliser la règle suivante : « par défaut, la contraction tensorielle entre deux tenseurs est faite entre le dernier indice des composantes du 1er tenseur et le 1er indice des composantes de nature différente du 2nd tenseur » $\;\ldots$
Exemples : $\succ \;$soit «$\;\varphi \;$ un tenseur d'ordre $\;1\;$ covariant de $\;E^{*}\;$» $\;{\big$ou une forme linéaire de $\;E{\big ]}\;$ et Exemples : $\color {transparent}{\succ }\;$soit «$\;{\vec {x}}\;$ un tenseur d'ordre $\;1\;$ contravariant de $\;E\;$» $\;{\big$ou un vecteur de $\;E{\big ]}$, Exemples : $\color {transparent}{\succ }\;$le produit contracté «$\;\varphi \odot {\vec {x}}\;$ est un tenseur d'ordre $\;0\;$» défini par «$\;\varphi \odot {\vec {x}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\varphi _{i}\;x_{i}=\varphi ({\vec {x}})\;\in \;\mathbb {R} \;$» ;
Exemples : $\succ \;$soit «$\;\delta =\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle =\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{\vec {b}}_{i}\otimes {b'}_{\!i}\;$ le “ tenseur de Kronecker ”$^,$, d'ordre $\;2\;$ “ mixte ”$^,$ de $\;E\otimes E^{*}\;$» $\;{\big$c.-à-d. aussi une forme bilinéaire (non dégénérée) de $\;E\times E^{*}{\big ]}\;$ et Exemples : $\color {transparent}{\succ }\;$soit «$\;{\vec {x}}\otimes {\vec {y}}\;\in \;E^{\,\otimes \,2}\;$ le tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant » construit à partir du couple $\;\left({\vec {x}}\,,\,{\vec {y}}\right)\in E^{2}$, Exemples : $\color {transparent}{\succ }\;$le produit contracté «$\;\delta \odot \left\lbrace {\vec {x}}\otimes {\vec {y}}\right\rbrace \;$ des deux tenseurs est le tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant » résultant de la contraction tensorielle du tenseur d'ordre $\;4\;$ “ mixte ” «$\;\delta \otimes \left\lbrace {\vec {x}}\otimes {\vec {y}}\right\rbrace \;$ tri-contravariant et mono-covariant » de composantes «$\;\left\lbrace \left(\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\delta _{i\,,\,i_{1}}\;\delta _{i\,,\,i_{2}}\right)x_{i_{3}}\;y_{i_{4}}\right\rbrace _{\begin{array}{|c|}1\,\leqslant \,i_{l}\,\leqslant \,3\\l\,\in \,\left[\left[\,1\,,\,4\,\right]\right]\end{array}}\;$» sur la base «$\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i_{1}}\otimes {b'}_{\!i_{2}}\otimes {\vec {b}}_{i_{3}}\otimes {\vec {b}}_{i_{4}}\right\rbrace _{\begin{array}{|c|}1\,\leqslant \,i_{l}\,\leqslant \,3\\l\,\in \,\left[\left[\,1\,,\,4\,\right]\right]\end{array}}\;$», la contraction tensorielle étant faite sur les indices «$\;_{i_{2}}\;$» et «$\;_{i_{3}}\;$» $\Rightarrow$ les composantes de $\;\delta \odot \left\lbrace {\vec {x}}\otimes {\vec {y}}\right\rbrace \;$ dans la base «$\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i_{1}}\otimes {\vec {b}}_{i_{2}}\right\rbrace _{\begin{array}{|c|}1\,\leqslant \,i_{1}\,\leqslant \,3\\1\,\leqslant \,i_{2}\,\leqslant \,3\end{array}}\;$» sont «$\;\left\lbrace \left(\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\delta _{i\,,\,i_{1}}\;x_{i}\right)y_{i_{2}}\right\rbrace _{\begin{array}{|c|}1\,\leqslant \,i_{1}\,\leqslant \,3\\1\,\leqslant \,i_{2}\,\leqslant \,3\end{array}}\;$» soit encore «$\;\left(x_{i_{1}}\;y_{i_{2}}\right)_{1\,\leqslant \,i_{1}\,\leqslant \,3,\;1\,\leqslant \,i_{2}\,\leqslant \,3}\;$» dont on déduit
$\;\delta \odot \left\lbrace {\vec {x}}\otimes {\vec {y}}\right\rbrace ={\vec {x}}\otimes {\vec {y}}\;$

## Notation d'Einstein, convention de sommation d'Einstein

La notation d'Einstein a pour but de mettre concrètement en évidence la différence entre composantes contravariantes et covariantes d'un tenseur ainsi qu'entre vecteurs de base du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel tridimensionnel euclidien et ceux de son dual ;
la convention de sommation d'Einstein utilisée simultanément à la notation d'Einstein permet de simplifier l'écriture de formules «$\;\sum \limits _{i}a_{i}\;b_{i}\;$» en introduisant la notion d'« indice muet » correspondant à l'indice sur lequel est faite la sommation.

### Notation d'Einstein

La notation d'Einstein consiste à étendre le positionnement des indices placés en bas à droite des grandeurs indexées en ne se limitant pas à «$\;_{i}\;$» mais en autorisant également «$\;^{i}\;$» suivant la propriété de la grandeur indexée, plus exactement :
* « les vecteurs de base du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel tridimensionnel euclidien $\;E\;$ sont indexés par un indice en bas » $\Rightarrow$ les vecteurs de la base orthonormée $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ de $\;E\;$ sont notés «$\;\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace \;$»,
* « les composantes contravariantes d'un vecteur de $\;E\;$ sont indexées par un indice en haut » $\Rightarrow$ les composantes contravariantes du vecteur $\;{\vec {x}}\;$ de $\;E\;$ sont notées «$\;\left\lbrace x^{1}\,,\,x^{2}\,,\,x^{3}\right\rbrace \;$»,
* « la décomposition du vecteur $\;{\vec {x}}\;$ de $\;E\;$ dans la base orthonormée $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ de ce dernier » s'écrit «$\;{\vec {x}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}x^{i}\;{\vec {b}}_{i}\;$» ;
* « les covecteurs de base du dual $\;E^{*}\;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel tridimensionnel euclidien $\;E\;$ sont indexés par un indice en haut » $\Rightarrow$ les covecteurs de la base orthonormée $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ de $\;E^{*}\;$ sont notés «$\;\left\lbrace {b'}^{1}\,,\,{b'}^{2}\,,\,{b'}^{3}\right\rbrace \;$»,
* « les composantes covariantes d'un covecteur de $\;E^{*}\;$ sont indexées par un indice en bas » $\Rightarrow$ les composantes covariantes du covecteur $\;\varphi \;$ de $\;E^{*}\;$ sont notées «$\;\left\lbrace \varphi _{1}\,,\,\varphi _{2}\,,\,\varphi _{3}\right\rbrace \;$»,
* « la décomposition du covecteur $\;\varphi \;$ de $\;E^{*}\;$ dans la base orthonormée $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ de ce dernier » s'écrit «$\;\varphi =\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\varphi _{i}\;{b'}^{i}\;$» ;
* « les composantes contravariantes d'un tenseur d'ordre $\;p\;$ de $\;E^{\,\otimes \,p}\;$ sont indexées par des indices en haut » $\Rightarrow$ les composantes contravariantes du tenseur $\;{\mathcal {T}}\;$ d'ordre $\;p\;$ de $\;E^{\,\otimes \,p}\;$ sont notées «$\;\left({\mathcal {T}}^{i_{1},\,\cdots \,i_{k},\,\cdots \,i_{p}}\right)_{\;\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,..\,i_{k},\,..\,i_{p}\right)}\;$»,
* « les composantes covariantes d'un tenseur d'ordre $\;p\;$ de $\;\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,p}\;$ sont indexées par des indices en bas » $\Rightarrow$ les composantes covariantes du tenseur $\;{\mathcal {S}}\;$ d'ordre $\;p\;$ de $\;\left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,p}\;$ sont notées «$\;\left({\mathcal {S}}_{i_{1},\,\cdots \,i_{k},\,\cdots \,i_{p}}\right)_{\;\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,..\,i_{k},\,..\,i_{p}\right)}\;$»,
* « les composantes “ mixtes ” $\;k$-contravariantes et $\;(p-k)$-covariantes d'un tenseur d'ordre $\;p\;$ de $\;E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,(p-k)}\;$ sont indexées par des indices en haut ou en bas suivant le caractère contravariant ou covariant » $\Rightarrow$ les composantes “ mixtes ” $\;k$-contravariantes et $\;(p-k)$-covariantes du tenseur $\;{\mathcal {R}}\;$ d'ordre $\;p\;$ de $\;E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,(p-k)}\;$ sont notées «$\;\left({\mathcal {R}}_{i_{(k+1)},\,\cdots \,i_{m},\,\cdots \,i_{p}}^{i_{1},\,\cdots \,i_{l},\,\cdots \,i_{k}}\right)_{\qquad \in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,..\,i_{l},\,..\,i_{k},\,i_{(k+1)}\,..\,i_{m},\,..\,i_{p}\right)}\;$».

### Convention de sommation d'Einstein

Avec la notation d'Einstein exposée dans le paragraphe « de même nom » plus haut dans ce chapitre, les indices « muets » $\;{\Big$c.-à-d. les indices sur lesquels les sommations sont faites${\Big ]}\;$ étant systématiquement en positions opposées « haute » et « basse » $\;{\Big$c.-à-d. suivant l'une ou l'autre des deux formules «$\;\sum \limits _{i}a^{i}\;b_{i}\;$» ou «$\;\sum \limits _{i}a_{i}\;b^{i}\;$»${\Big ]}$, Avec la notation d'Einstein la convention de sommation d'Einstein consiste à omettre le symbole de sommation «$\;\sum \limits _{i}\;$» en considérant qu'il fait double emploi avec la répétition, dans une formule, d'un indice commun en positions alternées $\;{\Big$ainsi les formules «$\;\sum \limits _{i}a^{i}\;b_{i}\;$» ou «$\;\sum \limits _{i}a_{i}\;b^{i}\;$» seront simplement écrites «$\;a^{i}\;b_{i}\;$» ou «$\;a_{i}\;b^{i}\;$», la répétition de l'indice commun en positions alternées entraînant la sommation sur cet indice, cela justifiant le qualificatif « muet » attribué à cet indice${\Big ]}$.
Exemples d'utilisation de la convention de sommation d'Einstein ${\big$en pratique, dès lors que la « notation » d'Einstein est utilisée, la « convention de sommation » l'est aussi${\big ]}$ :
* « la décomposition du vecteur $\;{\vec {x}}\;$ de $\;E\;$ dans la base orthonormée $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ de ce dernier » s'écrira «$\;{\vec {x}}=x^{i}\;{\vec {b}}_{i},\;\;i\;\in \;\left[\left[1\,,\,3\right]\right]\;$»,
* « la décomposition du covecteur $\;\varphi \;$ de $\;E^{*}\;$ dans la base orthonormée $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ de ce dernier » s'écrira «$\;\varphi =\varphi _{i}\;{b'}^{i},\;\;i\;\in \;\left[\left[1\,,\,3\right]\right]\;$» ;
* « la contraction tensorielle de $\;{\mathcal {R}}\;$ tenseur d'ordre $\;2\;$ “ mixte ” »$^,$ de composantes, sur la base de $\;E\otimes E^{*}$, «$\;\left({\mathcal {R}}_{i_{2}}^{i_{1}}\right)_{1\,\leqslant \,i_{2}\,\leqslant \,3}^{1\,\leqslant \,i_{1}\,\leqslant \,3}\;$» s'écrira «$\;{\mathcal {R}}_{i}^{i}\;$» correspondant à un tenseur d'ordre $\;0\;$ ou encore «$\;{\mathcal {R}}_{i}^{i},\;\;i\;\in \;\left[\left[1\,,\,3\right]\right]\;$»,
* « la contraction tensorielle de $\;{\mathcal {R}}\;$ tenseur d'ordre $\;p\;$ “ mixte ” $\;k$-contravariant et $\;(p-k)$-covariant » de composantes «$\;\left({\mathcal {R}}_{i_{(k+1)},\,\cdots \,i_{m},\,\cdots \,i_{p}}^{i_{1},\,\cdots \,i_{l},\,\cdots \,i_{k}}\right)_{\qquad \in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,..\,i_{l},\,..\,i_{k},\,i_{(k+1)}\,..\,i_{m},\,..\,i_{p}\right)}\;$» sur la base de son espace vectoriel $\;E^{\,\otimes \,k}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,(p-k)}$, donnant « un tenseur d'ordre $\;(p-2)\;$ “ mixte $\;{\big$ou non${\big )}\;$” $\;(k-1)$-contravariant et $\;(p-k-1)$-covariant » de composantes, sur la base de l'espace vectoriel $\;E^{\,\otimes \,(k-1)}\otimes \left\lbrace E^{*}\right\rbrace ^{\,\otimes \,(p-k-1)}$, s'écrivant «$\;\left({\mathcal {R}}_{\color {red}{i}\color {black},\,i_{(k+2)},\,\cdots \,i_{m},\,\cdots \,i_{p}}^{i_{1},\,\cdots \,i_{l},\,\cdots \,i_{(k-1)},\,\color {red}{i}}\right)_{\qquad \qquad \in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]^{\,p}}^{\left(i_{1},\,..\,i_{l},\,..\,i_{(k-1)},\,i_{(k+2)}\,..\,i_{m},\,..\,i_{p}\right)}$, $\;\color {red}{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,3\right]\right]}\;$»$^,$ $\;\ldots$