# Apprendre à lire les expressions mathématiques/Opérateurs n-aire

Les opérateurs n-aire (ou opérateurs de famille) sont des opérateurs recouvrant à peu près tous les domaines mathématiques, comme l'algèbre, la théorie des ensembles, les applications etc.… Elles ont comme principal intérêt de pouvoir traiter un nombre inconnu (ou grand) de données, simplement. À un certain stade, l’utilisation des opérateurs n-aire est obligatoire pour la compréhension des formules, et pour leurs expressions.

## Opérateurs d'Algèbre

On appelle sommation d'une famille une addition de tous les membres d'une famille. L'opérateur de sommation se note sigma Majuscule Grec : $\sum$
On appelle cela faire "La somme des x"
Soit une famille, dont les membres appelés x sont 2, 3 et 8. La sommation de cette famille se notera : $\sum x=2+3+8=13$
On appelle produit d'une famille une multiplication de tous les membres d'une famille. L'opérateur de produit se note pi Majuscule Grec : $\prod$ On appelle cela faire "Le produit des x"
Soit une famille, dont les membres appelés x sont 3, 10 et 2. Le produit de cette famille se notera $\prod x=3\times 10\times 2=60$

### Remarque

Il n'y a pas d'opérateur de famille pour la division et la soustraction car ces opérateurs ne sont pas associatifs: $a-(b-c)\neq (a-b)-c$. On résout ce problème en remarquant que la soustraction est une addition particulière, et la division une multiplication particulière.
* $18-9$, c’est en fait 18 + (-9)
* $8\div 7=8\times {\frac {1}{7}}$

## Opérateurs sur les ensembles

On appelle union d'une famille l'union de tous les ensembles d'une famille. L'opérateur d'union se note d'un grand U majuscule : $\bigcup$
On appelle cela faire "l'union des x"
Soit une famille, dont les membres appelés x sont $\mathbb {W} =\{0;5;8\},\mathbb {X} =\{1;2;3\},\mathbb {Y} =\{-4;4;-10\},$. L'union des x se notera : $\bigcup x=\mathbb {W} \cup \mathbb {X} \cup \mathbb {Y} =\{-10;-4;0;1;2;3;4;5;8\}$
On appelle intersection d'une famille l'intersection de tous les membres d'une famille. L'opérateur d'intersection se note d'un grand U majuscule culbuté : $\bigcap$ On appelle cela faire "l'intersection des x"
Soit une famille, dont les membres appelés x sont $\mathbb {W} =\{0;2;9;27\},\mathbb {X} =\{0;2;6;9;15\},\mathbb {Y} =\{0;2;6;9;15\}$. L'intersection des x se notera : $\bigcap x=\mathbb {W} \cap \mathbb {X} \cap \mathbb {Y} =\{0;2;9\}$

### Remarque

Il n'y a pas d'opérateur de famille pour la différence, la différence symétrique et le complément.

## Opérateurs Logique

On appelle conjonction d'une famille la conjonction de toutes les propositions d'une famille. L'opérateur de conjonction se note d'un grand V majuscule culbuté : $\bigwedge$
On appelle cela faire "la conjonction des x"
Soit une famille, dont les membres appelés x sont $~P,Q,R,S,T$ et $~U$. La conjonction des x se notera : $\bigwedge x=~P\land Q\land R\land S\land T\land U$
On appelle disjonction d'une famille la disjonction de toutes les propositions d'une famille. L'opérateur de disjonction se note d'un grand V majuscule : $\bigvee$
On appelle cela faire "la disjonction des x"
Soit une famille, dont les membres appelés x sont $~P,Q,R,S,T$ et $~U$. La disjonction des x se notera : $\bigvee x=~P\lor Q\lor R\lor S\lor T\lor U$

## Opérateurs de coalgèbre

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