# Arithmétique/Exercices/Théorème de Gauss
## Exercice 5-1

a est le nombre a = n(n$^2$ + 5), n étant un entier naturel.
* Démontrer que a est divisible par 2.
* Démontrer que a est divisible par 3.
* Que pouvez-vous déduire des deux questions précédentes ?
* $n$ et $n^{2}$ sont de même parité donc $n$ et $n^{2}+5$ sont de parités contraires.
* Modulo 3, $n(n^{2}+5)\equiv n(n^{2}-1)=(n-1)n(n+1)\equiv 0$.
* a est divisible par ppcm(2, 3) = 6.

## Exercice 5-2

n est un entier relatif. Prouvez que n(2n + 1)(7n + 1) est divisible par 6.
Modulo 2, $n(2n+1)(7n+1)\equiv n(0n+1)(1n+1)=n(n+1)\equiv 0$.
Modulo 3, $n(2n+1)(7n+1)\equiv n(-n+1)(n+1)=-(n-1)n(n+1)\equiv 0$.
Donc n(2n + 1)(7n + 1) est divisible par ppcm(2, 3) = 6.

## Exercice 5-3

n est un entier relatif. Prouvez que :
1° n(n + 1)(n + 2)(n + 3) est divisible par 24 ;
2° n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) est divisible par 120.
1° n(n + 1)(n + 2) est divisible par 3 et parmi quatre entiers consécutifs, deux sont pairs, et l'un des deux est multiple de 4 donc le produit est multiple de 8, et donc de ppcm(8, 3) = 24.
2° n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) est divisible par 24 d'après la question précédente, mais aussi par 5 donc par ppcm(24, 5) = 120.

## Exercice 5-4

* Démontrer que le produit de trois entiers consécutifs est un multiple de 6.
* Soient n un entier naturel et x l'entier : x = n(n + 1)(n + 2)(n + 3). Écrivez $n+3 \choose 4$ à l'aide de x et déduisez-en que x est un multiple de 4!.
* Soient n et p des entiers strictement positifs. Démontrer que y = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)…(n + p – 1) est un multiple de p!.
* Parmi trois entiers consécutifs, l'un est multiple de 3 et au moins un est pair, donc le produit est divisible par ppcm(2, 3) = 6.
* ${\frac {x}{4}}={n+3 \choose 4}\in \mathbb {N}$ donc $4\mid x$.
* De même, ${\frac {y}{p!}}={n+p \choose p!}\in \mathbb {N}$ donc $p!\mid y$.

## Exercice 5-5

a et b sont des entiers naturels.
* Montrer que a$^5$ – a est divisible par 10.
* Démontrer que si a$^5$ – b$^5$ est divisible par 10, alors a$^2$ – b$^2$ est divisible par 20.
* a$^5$ – a est pair (car a$^5$ et a ont même parité). Modulo 5, il est congru à $0^{5}-0=0$ ou $1^{5}-1=0$ ou $(-1)^{5}-(-1)=0$ ou $2^{5}-2=30\equiv 0$ ou $(-2)^{5}-(-2)=-30\equiv 0$. Il est donc divisible par ppcm(2, 5) = 10.
* Si 10 divise a$^5$ – b$^5$ alors, d'après la question précédente, il divise aussi a – b, qui est donc pair donc a + b est divisible par 2. Le produit a$^2$ – b$^2$ = (a – b)(a + b) est alors divisible par 10×2.

## Exercice 5-6

n est un entier naturel.
Prouvez que n$^2$(n$^2$ – 1)(n$^2$ + 1) est divisible par 60.
n(n$^2$ – 1) = (n – 1)n(n + 1) est divisible par 3.
Si n est pair, n$^2$ est divisible par 4 et si n est impair, n$^2$ – 1 = (n – 1)(n + 1) est divisible par 2×2 = 4.
Modulo 5, n$^2$ est congru à $0^{2}=0$, $(\pm 1)^{2}=1$ ou $(\pm 2)^{2}=-1$ donc n$^2$, n$^2$ – 1 ou n$^2$ + 1 est divisible par 5.
Donc n$^2$(n$^2$ – 1)(n$^2$ + 1) est divisible par ppcm(3, 4, 5) = 60.

## Exercice 5-7

n et p sont des entiers strictement positifs. Démontrer que :
1° n(n$^4$ – 1) est divisible par 30 ;
2° l'écriture décimale de n$^p$ et n$^{p+4}$ se termine à droite par le même chiffre.
1° n(n$^4$ – 1) = n(n$^2$ – 1)(n$^2$ + 1) et n(n$^2$ – 1) = (n – 1)n(n + 1) est divisible par 2 et par 3 donc par 6.
    Si n n'est pas divisible par 5 alors modulo 5, n$^2$ est congru à $(\pm 1)^{2}=1$ ou $(\pm 2)^{2}\equiv -1$ donc n$^4$ – 1 est congru à $(\pm 1)^{2}-1=0$.
    Donc n(n$^4$ – 1) est divisible par ppcm(6, 5) = 30.
2° D'après la question précédente, modulo 30 et a fortiori modulo 10, n$^{p+4}$ – n$^p$ est congru à n$^{p–1}$×0 = 0.

## Exercice 5-8

a et b sont deux entiers naturels premiers entre eux tels que b > 1. On note b$_1$ < b$_2$ < … < b$_n$ les entiers naturels inférieurs à b et premiers avec b.
* Démontrer que les éléments de l'ensemble E = {b$_1$a, b$_2$a, b$_3$a, … , b$_n$a} sont premiers avec b.
* Démontrer qu'en divisant par b deux éléments quelconques de l'ensemble E, on obtient des restes différents et premiers avec b. Quel est alors l'ensemble des restes ?
* Théorème de Gauss.
* Notons r$_k$ le reste de la division par b de b$_k$a. Alors, 0 ≤ r$_k$ < b et pgcd(r$_k$, b) = pgcd(b$_k$a, b) = 1 (d'après la question précédente). De plus, si j > k alors r$_j$ ≠ r$_k$ car b ne divise pas b$_j$a – b$_k$a = (b$_j$ – b$_k$)a car sinon (théorème de Gauss) il diviserait b$_j$ – b$_k$, or 0 < b$_j$ – b$_k$ < b. L'ensemble des n restes est donc E.
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