# Relativité restreinte/Paradoxe des jumeaux de Langevin

Le paradoxe des jumeaux de Langevin ou des horloges consiste à comparer l’heure donnée par deux horloges de haute précision comme les horloges atomiques, l'une restant sur Terre et l'autre faisant un voyage autour de la Terre ou dans le cosmos. On compare les indications des deux horloges à l'aller et au retour.
Utilisons la notion d'espace-temps, imaginée par d'Alembert, concrétisée par Minkowski et généralisée par Einstein à l'espace courbe pseudo-riemannien. Commençons par un espace euclidien à deux dimensions, le plan, où se déplacent deux jumeaux partant de l'origine O des axes Ox et Oy pour atteindre un point P sur l'axe des y. Le premier prend le chemin direct en longeant l'axe des y, l'autre fait un détour pour arriver en P. Le premier aura parcouru la droite Oy sur une distance $s_{1}=\int _{0}^{P}{dy}=y_{P}$ et le second une courbe de longueur d'arc $s_{2}=\int _{0}^{P}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}>y_{P}$
Lorsqu’ils arrivent en P, ils ont les mêmes coordonnées (0,y$_P$). Changeons maintenant de variable en posant y=ict, où i est la racine carrée de -1, c, la vitesse de la lumière et t, le temps. Le trajet doit être monotone en t puisqu'on ne peut remonter le temps. Le premier jumeau, casanier, reste immobile à l'origine de l'axe des x mais il se déplace selon l'axe du temps de t=0 à t=t$_P$. Le référentiel utilisé, tournant avec la Terre, est, en toute rigueur, non galiléen (en fait ptoléméen, ce qui est assez curieux en relativité). Le jumeau casanier aura parcouru, en restant immobile, un chemin uniquement temporel: $s_{1}=\int _{0}^{P}d(ict)=ict_{P}$
Le jumeau voyageur aura fait un aller-retour le long de l'axe des x. Le long de l'axe du temps, il aura fait le même trajet que son jumeau casanier, de (0,0) à (0,t=t$_P$) ce qui lui fait un chemin à la fois d'espace et de temps: $s_{2}=\int _{0}^{P}{\sqrt {dx^{2}-c^{2}dt^{2}}}$
Pour éviter les nombres imaginaires s₁ et s₂, on préfère souvent utiliser le temps propre τ qui est le temps affiché par les horloges des jumeaux dans leurs référentiels propres où le déplacement x est nul: $\tau _{1}=\int _{0}^{P}dt=t_{P}$ et $\tau _{2}=\int _{0}^{P}{\sqrt {dt^{2}-{\frac {dx^{2}}{c^{2}}}}}<t_{P}$
On a τ₂<τ₁. Le chemin τ₂ parcouru dans l'espace-temps par le second jumeau est donc plus court que celui du jumeau casanier qui ne s'est déplacé que dans le temps. Au contraire de l'espace euclidien, faire un détour raccourcit le chemin à cause du signe - dû au carré de i. Ce chemin n’est pas une géodésique car le moteur d'une fusée permet de se déplacer selon une trajectoire quelconque. D'ailleurs, en relativité restreinte, les géodésiques sont des droites. À la fin du voyage, les horloges se trouvent au même point d'espace-temps qu'au départ, l'horloge reprend son rythme initial. On aurait pu imaginer que les jumeaux comparent leurs règles: elles raccourciraient pendant le voyage mais reprendraient leur longueur initiale au retour. Ceci n’est pas possible pour le temps car il s'écoule inéluctablement dans le même sens. Il n'est toutefois pas exclu que la cadence de l'horloge puisse s'accélérer pendant la décélération à l'arrivée et rattraper ainsi son retard. Il n'y a pas d'avance puisque la vitesse ralentit toujours le rythme des horloges distantes, sous réserve du rôle de l'accélération. La vitesse du jumeau voyageur apparaît en posant v =dx/dt et on peut écrire : $\tau _{2}=\int _{0}^{P}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\,dt<t_{P}$
Le jumeau voyageur vieillirait donc moins vite que son jumeau resté à terre.
Les preuves expérimentales de la dilatation du temps sont quotidiennes sur des particules de vitesse proche de celle de la lumière, que ce soit dans les accélérateurs de particules ou dans la nature (rayons cosmiques par exemple) mais il est plus difficile de réaliser concrètement une "expérience des jumeaux" idéale, principalement parce que les vitesses de nos avions ou de nos fusées sont très faibles devant celle de la lumière. Cependant la précision requise est à la portée des horloges atomiques actuelles et des moyens de mesure. Toutefois la précision des mesures est telle que l'effet de relativité restreinte est mélangé aux effets de relativité générale dus à la gravitation (l'avion vole par exemple à une certaine altitude, où la gravitation est plus faible) et par conséquent c’est l’ensemble de tous ces effets relativistes, par ailleurs indéniables, qui doivent être pris en compte. Rappelons que le système de repérage de position par satellites, ou GPS, inclut dans ses mesures et calculs l’ensemble des effets relativistes, y compris ceux de relativité générale. En pratique, vu le grand nombre d'effets (atmosphère, trajectoire non-circulaire…), le GPS fonctionne plus par essais et erreurs que par la relativité
En conclusion, comme l'a montré l'expérience des mésons, la vitesse a une influence sur leur horloge interne, vue par un observateur immobile et distant. Toutefois, il reste encore à prouver de façon incontestable, théoriquement et expérimentalement, que, lorsque les horloges sont réunies au départ, on observe bien un décalage lorsqu'on les réunit à nouveau.