# Mécanique 2 (PCSI)/Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Champ newtonien, lois de Kepler

$\;{\big$
${\big )}\;$

## Champ newtonien et force newtonienne subie par un point sensible au champ, définition, énergie potentielle du point dans le champ newtonien
### Définition d’un champ newtonien et exemples

Un « champ newtonien $\;{\vec {A}}(M)\;$» est un champ vectoriel défini en tout point $\;M\;$ de l'espace tridimensionnel affine euclidien $\;{\mathcal {E}}\;$ ayant les propriétés suivantes :
* $\;{\vec {A}}(M)\;$ est radial relativement à un point $\;O\in {\mathcal {E}}\;$ soit «$\;{\vec {A}}(M)\propto \;$ à $\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$» avec $\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ le vecteur unitaire radial de la base sphérique de pôle $\;O\;$ liée à $\;M\;$ et
* la norme de $\;{\vec {A}}(M)\;$ est inversement proportionnelle au carré de la distance séparant $\;M\;$ de $\;O\;$ soit «$\;{\Big \Vert }{\vec {A}}(M){\Big \Vert }\propto \;$ à $\;{\dfrac {1}{r^{2}}}\;$» avec $\;r=$ $OM\;$ la coordonnée radiale du repérage sphérique de pôle $\;O\;$ du point $\;M\;$ ;
$\;M\;$
$\;\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)\;$
$\;O$
$\;{\big$
$\;M\;$
$\;\left({\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{\varphi }\right)\;$
${\big ]}\;$
$\;M$
$\;{\vec {A}}(M)\;$
$\;{\vec {A}}(M)={\dfrac {K}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$
$\;K\in \mathbb {R} ^{*}$
$\;K>0\;$
$\;K<0\;$
Exemples : il y a principalement deux types de champ newtonien,
            * le 1er de « nature gravitationnelle » étant toujours centripète $\;{\bigg \$exemples : le champ d’attraction gravitationnelle du Soleil en tout point $\;M\;$ extérieur au Soleil «$\;{\vec {G}}_{\text{☉}}(M)=-{\mathcal {G}}\;{\dfrac {m_{\text{☉}}}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$» où «$\;K\;$ vaut $\;-{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}<0\;$» et «$\;m_{\text{☉}}\simeq 2,0\;10^{30}\;kg\;$ la masse du Soleil » $\;{\big{\mathcal {G}}\;$ étant la constante de gravitation universelle valant $\;\simeq 6,67\;10^{-11}\;U.S.I.{\big )}\;$ ou le champ d’attraction gravitationnelle de la Terre en tout point $\;M\;$ extérieur à la Terre «$\;{\vec {G}}_{\text{♁}}(M)=-{\mathcal {G}}\;{\dfrac {m_{\text{♁}}}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$» où «$\;K\;$ vaut $\;-{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}<0\;$» et «$\;m_{\text{♁}}\simeq 6,0\;10^{24}\;kg\;$ la masse de la Terre »${\bigg \}$,
            * le 2ème de « nature électrique créé par une source ponctuelle chargée » étant centripète si la charge ponctuelle source est négative et centrifuge si la charge ponctuelle source est positive $\;{\bigg \$exemple : le champ électrostatique créé par la charge ponctuelle $\;O\left(q_{O}\right)\;$ en tout point $\;M\neq O\;$ «$\;{\vec {E}}_{O}(M)={\dfrac {K}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$» où «$\;K\;$ vaut $\;{\dfrac {q_{O}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\;$ toujours du signe de $\;q_{O}\;$» $\;{\bigg\varepsilon _{0}\;$ étant la permittivité diélectrique du vide telle que $\;{\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\simeq 9\;10^{9}\;U.S.I.\;$ d'où $\;\varepsilon _{0}\simeq {\dfrac {1}{36\;\pi }}\;10^{-9}\;U.S.I.\simeq 8,85\;10^{-12}\;U.S.I.{\bigg )}{\bigg \}$.

### Force newtonienne subie par le point matériel M

Si, en reprenant l'un des deux types de champ newtonien précédent $\;{\big$gravitationnel ou électrostatique${\big ]}$, on observe l'action du champ newtonien sélectionné sur un point matériel $\;M\;$ doté d'une caractéristique lui permettant d'être sensible à ce champ $\;{\big$à savoir une masse $\;{\big$grave${\big )}\;$ pour le champ gravitationnel ou une charge pour le champ électrostatique${\big ]}$, on en déduit l'expression de la force exercée sur le point matériel $\;M\;$ placée dans le champ newtonien sélectionné, à savoir :
* dans l'espace de gravitation de source $\;{\mathcal {S}}\;$ représenté en $\;M\;$ par le vecteur champ de gravitation «$\;{\vec {G}}_{\mathcal {S}}(M)\;$», le point matériel $\;M\;$ de masse $\;{\big$grave${\big )}$ $\;m\;$ subit la force de gravitation «$\;{\vec {F}}_{{\text{gravit}},\,M\,\leftarrow \,{\mathcal {S}}}=$ $m\;{\vec {G}}_{\mathcal {S}}(M)\;$» et, dans la mesure où le champ de gravitation est newtonien c'est-à-dire «$\;{\vec {G}}_{\mathcal {S}}(M)={\dfrac {K_{\mathcal {S}}}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;K_{\mathcal {S}}=-{\mathcal {G}}\;m_{\mathcal {S}}<0\;$» la force se réécrivant «$\;{\vec {F}}_{{\text{gravit}},\,M\,\leftarrow \,{\mathcal {S}}}=m\;{\dfrac {K_{\mathcal {S}}}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}={\dfrac {k_{m,\;{\mathcal {S}}}}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;k_{m,\,{\mathcal {S}}}=m\;K_{\mathcal {S}}=-{\mathcal {G}}\;m_{\mathcal {S}}\;m<0\;$» définit une force newtonienne attractive et
* dans l'espace électrostatique de source $\;{\mathcal {S}}\;$ représenté en $\;M\;$ par le vecteur champ électrostatique «$\;{\vec {E}}_{\mathcal {S}}(M)\;$», le point matériel $\;M\;$ de charge $\;q\;$ subit la force électrostatique «$\;{\vec {F}}_{{\text{électrost}},\,M\,\leftarrow \,{\mathcal {S}}}=$ $q\;{\vec {E}}_{\mathcal {S}}(M)\;$» et, dans la mesure où le champ électrostatique est newtonien c'est-à-dire «$\;{\vec {E}}_{\mathcal {S}}(M)={\dfrac {K_{\mathcal {S}}}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;K_{\mathcal {S}}={\dfrac {q_{\mathcal {S}}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\;$ du signe de $\;q_{\mathcal {S}}\;$» la force se réécrivant «$\;{\vec {F}}_{{\text{électrost}},\,M\,\leftarrow \,{\mathcal {S}}}=q\;{\dfrac {K_{\mathcal {S}}}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}=$ ${\dfrac {k_{q,\;{\mathcal {S}}}}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;k_{q,\,{\mathcal {S}}}=q\;K_{\mathcal {S}}={\dfrac {q_{\mathcal {S}}\;q}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\;$ du signe de $\;q_{\mathcal {S}}\;q\;$» définit une force newtonienne attractive si $\;q_{\mathcal {S}}\;q\;$ est $\;<0\;$ et répulsive si $\;q_{\mathcal {S}}\;q\;$ est $\;>0$.
$\;{\vec {A}}(M)={\dfrac {K}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$
$\;K\in \mathbb {R} ^{*}$
$\;M\;$
$\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$
$\;r=OM\;$
$\;O\;$
$\;M\;$
$\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$
$\;O\;$
$\;M\;$
$\;k\in \mathbb {R} ^{*}\left\lbrace {\begin{array}{c}>0\;{\text{pour une force répulsive}}\\<0\;{\text{pour une force attractive}}\end{array}}\right\rbrace$
* dans le cas d'une force newtonienne gravitationnelle créée par une source $\;{\mathcal {S}}\;$ de masse $\;m_{\mathcal {S}}\;$ sur un point matériel $\;M\;$ de masse $\;m$, «$\;k=-{\mathcal {G}}\;m_{\mathcal {S}}\;m<0\;$» avec «$\;{\mathcal {G}}\simeq 6,67\;10^{-11}\;U.S.I.\;$ constante de gravitation universelle » assurant que la force newtonienne gravitationnelle est attractive et
* dans le cas d'une force newtonienne électrostatique créée par une source $\;{\mathcal {S}}\;$ de charge $\;q_{\mathcal {S}}\;$ sur un point matériel $\;M\;$ de charge $\;q$, «$\;k={\dfrac {q_{\mathcal {S}}\;q}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\;$ du signe de $\;q_{\mathcal {S}}\;q\;$» avec $\;{\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\simeq 9\;10^{9}\;U.S.I.\;$ où $\;\varepsilon _{0}\;$ est la permittivité diélectrique du vide assurant que la force newtonienne électrostatique est $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\text{attractive pour}}\;q_{\mathcal {S}}\;q<0\\{\text{répulsive pour}}\;q_{\mathcal {S}}\;q>0\end{array}}\right\rbrace$.

### Caractère conservatif d’une force newtonienne et énergie potentielle « newtonienne » du point M la subissant

On vérifie aisément que « toute force newtonienne $\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ est conservative » et par suite « dérive » d’une énergie potentielle «$\;U(r)\;$» que l’on détermine par «$\;\delta W\!\left[{\vec {F}}(M)\right]=$ ${\vec {F}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}$ $={\dfrac {k}{r^{2}}}\;dr=-dU\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;{\dfrac {dU}{dr}}(r)=-{\dfrac {k}{r^{2}}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;U(r)={\dfrac {k}{r}}+cste\;$» soit «$\;U(r)={\dfrac {k}{r}}\;$ avec sa référence choisie à l'infini ».
Toute force newtonienne «$\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;k\in \mathbb {R} ^{*}\;$» $\;{\bigr\;$ et $\;{\vec {u}}_{r}\;$ étant respectivement la coordonnée radiale de $\;M\;$ et le vecteur unitaire radial de la base sphérique liée à $\;M\;$ dans le repérage sphérique de ce dernier${\big ]}\;$ est conservative, elle « dérive » de l'énergie potentielle dite « newtonienne » «$\;U(r)={\dfrac {k}{r}}\;$ avec choix de sa référence à l'infini » ;
* si «$\;k\;$ est $\;<0\;$», la force newtonienne est « attractive » et l'énergie potentielle newtonienne étant «$\;\nearrow \;$ de $\;-\infty \;$ à $\;0\;$» quand $\;r\nearrow \;$ de $\;0\;$ à $\;+\infty \;$ est telle que «$\;U(r)={\dfrac {k}{r}}\;$ reste $\;<0,\;\;\forall \;r\;\in \;\left]0\,,\,+\infty \right[\;$ en $\;\nearrow \;$»,
* si «$\;k\;$ est $\;>0\;$», la force newtonienne est « répulsive » et l'énergie potentielle newtonienne étant «$\;\searrow \;$ de $\;+\infty \;$ à $\;0\;$» quand $\;r\nearrow \;$ de $\;0\;$ à $\;+\infty \;$ est telle que «$\;U(r)={\dfrac {k}{r}}\;$ reste $\;>0,\;\;\forall \;r\;\in \;\left]0\,,\,+\infty \right[\;$ en $\;\searrow \;$».
Retour sur les exemples :
         * une « force newtonienne gravitationnelle » étant toujours attractive $\;{\bigg \$exemples : la force d’attraction gravitationnelle du Soleil sur tout point $\;M\left(m\right)\;$ extérieur au Soleil «$\;{\vec {F}}_{{\text{gravit}}\,{\text{du ☉}}}(M)=$ $-{\mathcal {G}}\;{\dfrac {m_{\text{☉}}\;m}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$» où «$\;k\;$ vaut $-{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}\;m<0\;$» avec «$\;m_{\text{☉}}\simeq 2,0\;10^{30}\;kg\;$ la masse du Soleil » $\;{\big{\mathcal {G}}\;$ la constante de gravitation universelle valant $\;\simeq 6,67\;10^{-11}\;U.S.I.{\big )}\;$ ou la force d’attraction gravitationnelle de la Terre sur tout point $\;M\left(m\right)\;$ extérieur à la Terre «$\;{\vec {F}}_{{\text{gravit}}\,{\text{de la ♁}}}(M)=-{\mathcal {G}}\;{\dfrac {m_{\text{♁}}\;m}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$» où «$\;k\;$ vaut $\;-{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m<0\;$» avec «$\;m_{\text{♁}}\simeq$ $6,0\;10^{24}\;kg\;$ la masse de la Terre »${\bigg \}$, « dérive » d'une « énergie potentielle newtonienne gravitationnelle » $\;\nearrow \;$ en restant $\;<0\;$ si la référence de cette dernière est choisie à l'infini $\;{\bigg \$exemples : l'énergie potentielle gravitationnelle du Soleil en tout point $\;M\left(m\right)\;$ extérieur au Soleil «$\;U_{{\text{gravit}}\,{\text{du ☉}}}(M)=$ $-{\mathcal {G}}\;{\dfrac {m_{\text{☉}}\;m}{r}}={\dfrac {k}{r}}\;$» où «$\;k\;$ vaut $\;-{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}\;m<0\;$» ou l'énergie potentielle gravitationnelle de la Terre en tout point $\;M\left(m\right)\;$ extérieur à la Terre «$\;U_{{\text{gravit}}\,{\text{de la ♁}}}(M)=-{\mathcal {G}}\;{\dfrac {m_{\text{♁}}\;m}{r}}={\dfrac {k}{r}}\;$» où «$\;k\;$ vaut $-{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m<0\;$»${\bigg \}$ ;
         * une « force newtonienne électrostatique » étant attractive si « la charge de la source $\;q_{\mathcal {S}}\;$ et celle du point $\;M$, $\;q$, sont de signe contraire » ou répulsive si « la charge de la source $\;q_{\mathcal {S}}\;$ et celle du point $\;M$, $\;q$, sont de même signe » $\;{\bigg \$exemple : la force électrostatique que le point chargé $\;O\left(q_{O}\right)\;$ exerce sur tout point chargé $\;M\left(q\right)\;$ positionné hors de $\;O\;$ «$\;{\vec {F}}_{{\text{électrost}}\,{\text{de O}}}(M)=$ ${\dfrac {q_{O}\;q}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$» où «$\;k\;$ vaut $\;{\dfrac {q_{O}\;q}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\;$ du signe de $\;q_{O}\;q\;$» $\;{\bigg\varepsilon _{0}\;$ étant la permittivité diélectrique du vide telle que $\;{\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\simeq 9\;10^{9}\;U.S.I.\;$ d'où $\;\varepsilon _{0}\simeq {\dfrac {1}{36\;\pi }}\;10^{-9}\;U.S.I.\simeq$ $8,85\;10^{-12}\;U.S.I.{\bigg )}{\bigg \}$, « dérive » d'une « énergie potentielle newtonienne électrostatique » dont la variation dépend du signe du produit des deux charges en présence à savoir «$\;\nearrow \;$ en restant $\;<0\;$ pour un produit $\;{\big$de charges${\big )}\;$ négatif » ou «$\;\searrow \;$ en restant $\;>0\;$ pour un produit $\;{\big$de charges${\big )}\;$ positif », si la référence de l'énergie potentielle, dans les deux cas, est choisie à l'infini $\;{\bigg \$exemples : l'énergie potentielle électrostatique du point chargé $\;O\left(q_{O}\right)\;$ en tout point chargé $\;M\left(q\right)\;$ positionné hors $\;O\;$ «$\;{\mathcal {E}}_{p,\,{\text{électrost}}\,{\text{de O}}}(M)\;$ $={\dfrac {q_{O}\;q}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r}}={\dfrac {k}{r}}\;$» où «$\;k\;$ vaut $\;{\dfrac {q_{O}\;q}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\;$ du signe de $\;q_{O}\;q\;$» c'est-à-dire «$\;\nearrow \;$ en restant $\;<0\;$ si $\;q_{O}\;q\;$ est $\;<0\;$» ou «$\;\searrow \;$ en restant $\;>0\;$ si $\;q_{O}\;q\;$ est $\;>0\;$»${\bigg \}$.
Autre référence usuelle d'une énergie potentielle newtonienne gravitationnelle : dans le cas de l'espace de gravitation créé autour d'une planète ayant une répartition de masse à symétrie sphérique $\;{\big$c'est-à-dire dont la masse volumique en un point $\;P\;$ de la planète de centre $\;O\;$ ne dépend que de la distance $\;r_{P}=OP\;$ soit «$\;\mu (P)=\mu (r_{P})\;$»${\big ]}$, l'énergie potentielle gravitationnelle d'un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ dans le champ de gravitation de la planète est, si $\;M\;$ est extérieur à la planète, newtonienne selon «$\;U_{{\text{gravit}}\,{\text{de la planète}}}(M)={\dfrac {k}{r}}+cste\;$» où «$\;k\;$ vaut $\;-{\mathcal {G}}\;m_{\text{planète}}\;m<0\;$» et $\;cste\;$ dépend du choix de la référence de l'énergie potentielle gravitationnelle ; pour la suite nous supposerons que la planète est la « Terre » ;
Autre référence usuelle d'une énergie potentielle newtonienne gravitationnelle : choisissant la référence de l'énergie potentielle newtonienne gravitationnelle terrestre du point matériel $\;M\left(m\right)\;$ sur la surface de la Terre $\;{\big$de rayon «$\;R_{\text{♁}}\simeq 6400\;km\;$»${\big ]}\;$ et repérant le point matériel $\;M\;$ par son altitude «$\;z=r-R_{\text{♁}}\;$», l'énergie potentielle newtonienne gravitationnelle terrestre du point matériel $\;M\left(m\right)\;$ se réécrit «$\;U_{{\text{gravit}}\,{\text{♁}}}(M)=U_{{\text{gravit}}\,{\text{♁}}}(z)={\dfrac {k}{R_{\text{♁}}+z}}+cste\;$» avec «$\;k=-{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m<0\;$» et $\;cste\;$ telle que «$\;U_{{\text{gravit}}\,{\text{♁}}}(z=0)={\dfrac {k}{R_{\text{♁}}}}+cste=0\;$» d'où $\;cste=-{\dfrac {k}{R_{\text{♁}}}}\;$ soit finalement
$\;U_{{\text{gravit}}\,{\text{♁}}}(z)={\dfrac {k}{R_{\text{♁}}+z}}-{\dfrac {k}{R_{\text{♁}}}}\;$
$\;k=-{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m<0\;$
$\;z=0\;$
Autre référence usuelle d'une énergie potentielle newtonienne gravitationnelle : dans l'hypothèse d'une faible altitude du point $\;M\;$ c'est-à-dire «$\;z\ll R_{\text{♁}}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;{\dfrac {z}{R_{\text{♁}}}}\ll 1\;$» $\;{\bigg{\dfrac {z}{R_{\text{♁}}}}\;$ étant considéré comme un infiniment petit d'ordre un${\bigg )}\;$ on peut alors faire un D.L. de $\;U_{{\text{gravit}}\,{\text{♁}}}(z)\;$ à l’ordre un en $\;{\dfrac {z}{R_{\text{♁}}}}\;$ après avoir fait apparaître l'infiniment petit d'ordre un selon «$\;U_{{\text{gravit}}\,{\text{♁}}}(z)={\dfrac {k}{R_{\text{♁}}\left(1+{\dfrac {z}{R_{\text{♁}}}}\right)}}-{\dfrac {k}{R_{\text{♁}}}}=$ ${\dfrac {k}{R_{\text{♁}}}}\left[\left(1+{\dfrac {z}{R_{\text{♁}}}}\right)^{\!-1}-1\right]\simeq {\dfrac {k}{R_{\text{♁}}}}\left[\left(1-{\dfrac {z}{R_{\text{♁}}}}\right)-1\right]\;$ à l'ordre un en$\;{\dfrac {z}{R_{\text{♁}}}}\;$» soit encore «$\;U_{{\text{gravit}}\,{\text{♁}}}(z)\simeq -{\dfrac {k}{R_{\text{♁}}}}\;{\dfrac {z}{R_{\text{♁}}}}=-{\dfrac {k}{R_{\text{♁}}^{\,2}}}\;z\;$» ou, avec «$\;k=-{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m\;$»
Autre référence usuelle d'une énergie potentielle newtonienne gravitationnelle : l'expression approchée de l'énergie potentielle newtonienne gravitationnelle terrestre en un point $\;M\;$ de faible altitude
$\;U_{{\text{gravit}}\,{\text{♁}}}(z)\simeq {\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}^{\,2}}}\;z\;$
Autre référence usuelle d'une énergie potentielle newtonienne gravitationnelle : s'écrivant encore, avec la norme du champ de gravitation terrestre au sol $\;{\Big \Vert }{\vec {G}}_{\text{♁}}(0){\Big \Vert }={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}^{\,2}}}$ $\;{\big$notée $\;G_{\text{♁}}(0)\;$ pour simplifier${\big ]}$,
$\;U_{{\text{gravit}}\,{\text{♁}}}(z)\simeq m\;G_{\text{♁}}(0)\;z\;$

## Intégrales 1$^{ères}$ du mouvement d’un point uniquement soumis à un champ newtonien dans un référentiel galiléen
### 1ère intégrale 1ère du mouvement d’un point uniquement soumis à un champ newtonien

Introduite au paragraphe « 1ère intégrale 1ère du mouvement d'un point à force centrale : conservation de son moment cinétique vectoriel par rapport au centre de force » du chap.$12$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
$\;M\;$
$\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$
$\;k\;\in \;\mathbb {R} ^{*}\;$
$\;k\left\lbrace {\begin{array}{c}>0\;{\text{pour une force répulsive}}\\<0\;{\text{pour une force attractive}}\end{array}}\right\rbrace$
$\;r=OM\;$
$\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$
$\;O\;$
$\;M\;$
$\;O\;$
$\;M\;$
$\;M\;$
$\;O\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;{\vec {\sigma }}_{O}(t)=$
${\overrightarrow {OM}}(t)\wedge m\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$
$\;t\;$
$\;{\vec {\sigma }}_{O}(t)={\vec {\sigma }}_{O}(0),\;\;\forall \;t\;$
$\;{\vec {\sigma }}_{O}(0)={\overrightarrow {OM}}(0)\wedge m\;{\vec {V}}_{M}(0)\;$
$\;m$
$\;{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {V}}_{M}(t)={\overrightarrow {OM}}(0)\wedge {\vec {V}}_{M}(0),\;\;\forall \;t\;$

### 2ème intégrale 1ère du mouvement d’un point uniquement soumis à un champ newtonien

Introduite au paragraphe « 2ème intégrale 1ère du mouvement d'un point à force centrale quand cette dernière est conservative : conservation de son énergie mécanique » du chap.$12$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
$\;M\,\left(m\right)\;$
$\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$
$\;k\;\in \;\mathbb {R} ^{*}\;$
$\;k\left\lbrace {\begin{array}{c}>0\;{\text{pour une force répulsive}}\\<0\;{\text{pour une force attractive}}\end{array}}\right\rbrace$
$\;r=OM\;$
$\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$
$\;O\;$
$\;M\;$
$\;O\;$
$\;M\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;M\;$
$\;E_{m}(t)=K_{M}(t)+U\!\left[r(t)\right]\;$
$\;t\;$
$\;K_{M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{M}^{\,2}\!(t)\;$
$\;M\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;U(r)={\dfrac {k}{r}}$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;E_{m}(t)=E_{m}(0),\;\;\forall \;t\;$
$\;E_{m}(0)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{0}^{\,2}+U(r_{0})\;$
$\;U(r_{0})={\dfrac {k}{r_{0}}}\;$
$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{M}^{\,2}\!(t)+U\!\left[r(t)\right]={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{0}^{\,2}+U(r_{0}),\;\;\forall \;t\;$
$\;U\!\left[r(t)\right]={\dfrac {k}{r(t)}}\;$

## Rappel des conséquences de la conservation du moment cinétique vectoriel du point : mouvement plan (ou rectiligne), applicabilité de la loi des aires (et des formules de Binet)
### 1ère conséquence : nature plane (ou rectiligne) du mouvement du point uniquement soumis à un champ newtonien

Voir le paragraphe « 1ère conséquence de la conservation du moment cinétique vectoriel du point par rapport au centre de force : nature plane (ou rectiligne) du mouvement » du chap.$12$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
$\;\succ \;$Si «$\;{\vec {V}}_{0}\neq {\vec {0}}\;$ est $\;\parallel \;$ à $\;{\overrightarrow {OM_{0}}}\neq {\vec {0}}\;$» le vecteur moment cinétique vectoriel initial du point matériel $\;M\;$ par rapport au centre de force $\;O\;$ étant nul c'est-à-dire «$\;{\vec {\sigma }}_{O}(0)={\overrightarrow {OM}}(0)\wedge m\;{\vec {V}}_{M}(0)={\vec {0}}\;$», de la conservation du moment cinétique vectoriel de $\;M\;$ par rapport à $\;O\;$ on en déduit la nullité de ce dernier pour tout instant $\;t\;$ c'est-à-dire «$\;{\vec {\sigma }}_{O}(t)={\overrightarrow {OM}}(t)\wedge m\;{\vec {V}}_{M}(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» ou, après simplification par $\;m$,
$\;{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {V}}_{M}(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$
«$\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;$ et $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ étant colinéaires pour tout $\;t\;$», on déduit que le mouvement du point $\;M\;$ est rectiligne selon $\;\left(OM_{0}\right)$ $\;{\big$revoir la démonstration par récurrence dans la note « $^{26}$ » du chap.$12$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »${\big ]}$.
$\;\succ \;$Si «$\;{\vec {V}}_{0}\neq {\vec {0}}\;$ est $\;\nparallel \;$ à $\;{\overrightarrow {OM_{0}}}\neq {\vec {0}}\;$» le vecteur moment cinétique vectoriel initial du point matériel $\;M\;$ par rapport au centre de force $\;O\;$ étant non nul c'est-à-dire «$\;{\vec {\sigma }}_{O}(0)={\overrightarrow {OM}}(0)\wedge m\;{\vec {V}}_{M}(0)\neq {\vec {0}}\;$», de la conservation du moment cinétique vectoriel de $\;M\;$ par rapport à $\;O\;$ c'est-à-dire de «$\;{\vec {\sigma }}_{O}(t)={\vec {\sigma }}_{O}(0),\;\;\forall \;t\;$», on en déduit la non nullité de «$\;{\vec {\sigma }}_{O}(t)={\overrightarrow {OM}}(t)\wedge m\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$» ainsi que la conservation de sa direction pour tout instant $\;t\;$ c'est-à-dire «$\;{\vec {\sigma }}_{O}(t)=$ ${\overrightarrow {OM}}(t)\wedge m\;{\vec {V}}_{M}(t)\neq {\vec {0}}\;$ de direction constante $\;\forall \;t\;$» ou, après simplification par $\;m$,
$\;{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {V}}_{M}(t)\neq {\vec {0}}\;$
$\;\forall \;t\;$
en utilisant la définition du produit vectoriel, on en déduit que «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;$ et $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ sont toujours $\;\perp \;$ à cette direction fixe » et par suite « le mouvement du point $\;M\;$ se fait dans le plan passant par $\;O\;$ et $\;\perp \;$ à $\;{\vec {\sigma }}_{O}(0)\;$» c'est-à-dire « le plan contenant $\;O$, $\;M_{0}\;$ et $\;{\vec {V}}_{0}\;$».

### 2ème conséquence : applicabilité de la loi des aires au mouvement du point uniquement soumis à un champ newtonien

Voir le paragraphe « 2ème conséquence de la conservation du moment cinétique vectoriel du point par rapport au centre de force : applicabilité de la loi des aires » du chap.$12$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
Notant «$\;{\vec {u}}_{x}\;$» le vecteur unitaire de $\;\left(OM_{0}\right)\;$ orienté de $\;O\;$ vers $\;M_{0}$,
Notant «$\;{\vec {u}}_{y}\;$» le vecteur unitaire $\;\perp \;$ à «$\;{\vec {u}}_{x}\;$» tel que «$\;{\vec {V}}_{0}=V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\;{\vec {u}}_{x}+V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;{\vec {u}}_{y}\;$» et
Notant «$\;{\vec {u}}_{z}\;$» le vecteur unitaire $\;\perp \;$ aux deux précédents tel que «$\;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)\;$ soit direct $\;{\big$l'espace physique étant orienté à droite${\big )}\;$» puis
repérant $\;M\;$ dans le plan $\;xOy\;$ par ses coordonnées polaires $\;\left(r\,,\,\theta \right)\;$, on peut lui appliquer la « loi des aires » «$\;r^{2}\!(t)\;{\dot {\theta }}(t)=C\;$» dans laquelle «$\;C=$ ${\dfrac {{\vec {\sigma }}_{O}(0)\cdot {\vec {u}}_{z}}{m}}\;$ est la constante des aires » $\;{\bigg$la « loi des aires » n'étant rien d'autre que la projection de la « conservation du moment cinétique vectoriel du point divisé par sa masse » sur $\;{\vec {u}}_{z}\;$ exprimée en polaire soit «$\;{\dfrac {{\vec {\sigma }}_{O}(t)}{m}}\cdot {\vec {u}}_{z}={\dfrac {{\vec {\sigma }}_{O}(0)}{m}}\cdot {\vec {u}}_{z}\;$»${\bigg ]}$ ;
la constante des aires s'évalue encore selon $\;C=r_{0}\;V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;$ et
la « loi des aires » est encore applicable pour $\;\alpha _{0}=0\;$ ou $\;\pi \;$ $\Rightarrow$ «$\;C=0\;$» d'où «$\;r^{2}\!(t)\;{\dot {\theta }}(t)=0\;$ $\Rightarrow$ $\;\theta (t)=cste=\theta (0)=0\;$ c'est-à-dire la nature rectiligne du mouvement le long de $\;\left(OM_{0}\right)\;$».

### Possibilité d’introduire les variables et les formules de Binet

Voir le paragraphe « en complément : variables et formules de Binet d'un mouvement à force centrale et leur intérêt » du chap.$12$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
Avec les variables de Binet «$\;u={\dfrac {1}{r}}(\theta )$, $\;u'={\dfrac {du}{d\theta }}(\theta )\;$ et $\;u''={\dfrac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}(\theta )\;$» définissant respectivement la 1ère, 2ème et 3ème variables de Binet $\;{\big$la définition des 2ème et 3ème variables de Binet nécessitant $\;C\neq 0{\big )}$ $\;{\big$introduites au paragraphe « définition des variables de Binet » du chap.$12$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »${\big ]}$, on peut utiliser Avec les expressions de Binet des composantes radiale et orthoradiale du vecteur vitesse du point $\;M\;$ «$\;{\vec {V}}_{M}(t)=V_{r}(t)\;{\vec {u}}_{r}(t)+V_{\theta }(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\;$» lesquelles sont respectivement «$\;V_{r}(t)=-C\;u'(\theta )\;$» et «$\;V_{\theta }(t)=C\;u(\theta )\;$» $\;{\big$l'expression de Binet de la vitesse radiale nécessitant $\;C\neq 0{\big )}$ $\;{\big$introduites au paragraphe « préliminaire : expressions de Binet des composantes radiale et orthoradiale du vecteur vitesse du point M » du chap.$12$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »${\big ]}$ ainsi que Avec les formules de Binet relative au carré de la vitesse «$\;V^{2}(t)=C^{2}\left[{u'}^{2}(\theta )+u^{2}(\theta )\right]\;$» et relative à l’accélération radiale «$\;a_{r}(t)=-C^{2}\;u^{2}(\theta )\left[u''(\theta )+u(\theta )\right]\;$», encore appelée respectivement 1ère et 2ème formules de Binet $\;{\big$toutes deux nécessitant $\;C\neq 0{\big )}$ $\;{\big$respectivement introduites aux paragraphes « 1ère formule de Binet (ou formule de Binet relative au carré de la vitesse) » et « 2ème formule de Binet (ou formule de Binet relative à l'accélération radiale) » du chap.$12$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »${\big ]}$.

## « En complément » : détermination de la nature de la trajectoire par application de la r.f.d.n. et utilisation de la formule de Binet relative à l’accélération radiale, discussion de la nature suivant les conditions de lancement

La consigne du programme de physique de P.C.S.I. est d’admettre les résultats concernant la nature de la trajectoire d'un point matériel dont le mouvement est à force centrale newtonienne et de faire la démonstration uniquement dans le cas d’un mouvement circulaire $\;{\big$ce qui sera fait au paragraphe « application aux mouvements circulaires d'un satellite ou d'une planète » du chap.$15$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »${\big ]}$ ; toutefois, comme on admet plus facilement des résultats qui ont été établis, les démonstrations sont présentées en complément $\;\ldots$

### Application de la r.f.d.n. dans un référentiel galiléen et « détermination de l’équation polaire de la trajectoire par utilisation de la formule de Binet relative à l’accélération radiale »

Préliminaire : Ce n’est pas la seule méthode, il en existe au moins deux autres $\;{\big$voir la série d'exos.$17$ « mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : énergie mécanique du point matériel soumis à une force newtonienne » de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »${\big ]}$ :
Préliminaire : une 1ère connue sous le nom de « méthode du vecteur excentricité » $\;{\big$voir l'exercice « autre méthode de détermination de la trajectoire d'un point matériel dans un champ de force newtonien, vecteur excentricité » de la série d'exos.$17$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »${\big ]}\;$ et
Préliminaire : une 2nde connuesous le nom de « méthode du vecteur de Runge/Lenz »$^,$ $\;{\big$ou encore « méthode du vecteur de Laplace »${\big )}$ $\;{\big$voir l'exercice « autre méthode de détermination de la trajectoire d'un point matériel dans un champ de force newtonien, vecteur de Runge/Lenz (ou de Laplace) » de la série d'exos.$17$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »${\big ]}$.
Application de la r.f.d.n. à un point matériel ayant un mouvement à force centrale newtonienne avec utilisation de la 2ème formule de Binet : Soit le point matériel $\;M\left(m\right)\;$ ayant un mouvement à force centrale newtonienne $\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;k\in \mathbb {R} ^{*}$, $\;r\;$ et $\;{\vec {u}}_{r}\;$ étant respectivement la coordonnée radiale de $\;M\;$ et le vecteur unitaire radiale de la base polaire de pôle « le centre de force $\;O\;$» du plan $\;xOy\;$ dans lequel le mouvement de $\;M\;$ est observé dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen ;
Application de la r.f.d.n. appliquant, dans $\;{\mathcal {R}}$, la r.f.d.n. à $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ et la projetant sur $\;{\vec {u}}_{r}\;$ nous obtenons «$\;{\dfrac {k}{r^{2}(t)}}=m\;a_{r}(t)\;$» avec «$\;a_{r}(t)\;$ accélération radiale de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$» puis
Application de la r.f.d.n. par utilisation de la 1ère variable de Binet «$\;u(\theta )={\dfrac {1}{r(t)}}\;$» ainsi que de la 2ème formule de Binet «$\;a_{r}(t)=-C^{2}\;u^{2}(\theta )\left[u''(\theta )+u(\theta )\right]\;$» dans laquelle «$\;u''(\theta )=$ ${\dfrac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}(\theta )\;$» est la 3ème variable de Binet et qui nécessite que « la constante des aires $\;C={\dfrac {{\vec {\sigma }}_{O}(0)\cdot {\vec {u}}_{z}}{m}}=r_{0}\;V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;$ soit $\;\neq 0\;$», nous parvenons à «$\;k\;u^{2}(\theta )=-m\;C^{2}\;u^{2}(\theta )\left[u''(\theta )+u(\theta )\right]\;$» soit, après simplification par $\;u^{2}(\theta )\neq 0,\;\;\forall \;\theta \;$ et normalisation, à l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre en $\;u(\theta )\;$ sans terme du 1er ordre à excitation constante
$\;{\dfrac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}(\theta )+u(\theta )=-{\dfrac {k}{m\;C^{2}}}\;$
Détermination de l'équation polaire de la trajectoire du point matériel ayant un mouvement à force centrale newtonienne : l'équation différentielle ci-dessus étant linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre en $\;u(\theta )\;$ sans terme du 1er ordre à excitation constante, sa solution générale «$\;u(\theta )\;$» est la somme de la solution libre «$\;u_{\mathit {l}}(\theta )\;$» $\;{\big$solution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème sans terme du 1er ordre homogène${\big )}\;$ et de la solution forcée «$\;u_{f}(\theta )\;$» $\;{\big$solution particulière de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre sans terme du 1er ordre hétérogène de même forme que l'excitation c'est-à-dire constante${\big )}$ soit ici
Détermination $\;\succ \;$la solution libre «$\;u_{\mathit {l}}(\theta )\;$», solution de «$\;{\dfrac {d^{2}u_{\mathit {l}}}{d\theta ^{2}}}(\theta )+u_{\mathit {l}}(\theta )=0\;$» dont l’équation caractéristique «$s^{2}+1=0\;$» sans solutions réelles mais à solutions complexes «$\;{\underline {s}}=\pm i\;$» purement imaginaires conduirait à une solution libre C.L. de $\;\left\lbrace \exp \!\left(i\;\theta \right)\,,\,\exp \!\left(-i\;\theta \right)\right\rbrace \;$ et, comme «$\;u_{\mathit {l}}(\theta )\;$ doit être réelle », s'écrit en C.L. de $\;\left\lbrace \cos \!\left(\theta \right)\,,\,\sin \!\left(\theta \right)\right\rbrace \;$ soit «$\;u_{\mathit {l}}(\theta )=A\;\cos(\theta )+B\;\sin(\theta )\;$» avec $\;A\;$ et $\;B\;$ deux constantes réelles d'intégration et
Détermination $\;\succ \;$la solution forcée «$\;u_{f}(\theta )\;$» cherchée sous même forme que l'excitation à savoir constante «$\;u_{f}\;$» $\;{\bigg \$ce qui implique $\;{\dfrac {d^{2}u_{f}}{d\theta ^{2}}}=0{\bigg \}$ égale à «$\;u_{f}=-{\dfrac {k}{m\;C^{2}}}\;$» d'où
Détermination la solution générale «$\;u(\theta )=u_{\mathit {l}}(\theta )+u_{f}\;$» se réécrivant «$\;u(\theta )=A\;\cos(\theta )+B\;\sin(\theta )-{\dfrac {k}{m\;C^{2}}}\;\;({\mathfrak {1}})\;$», $\;A\;$ et $\;B\;$ étant déterminés par les « C.A.L. $\;u(\theta =0)\;$ et $\;u'(\theta =0)\;$» ;
Détermination mettant «$\;-{\dfrac {k}{m\;C^{2}}}\;$» en facteur dans la relation $\;({\mathfrak {1}})$, on obtient «$\;u(\theta )=-{\dfrac {k}{m\;C^{2}}}\,\left[1-{\dfrac {m\;C^{2}}{k}}\;A\;\cos(\theta )-{\dfrac {m\;C^{2}}{k}}\;B\;\sin(\theta )\right]\;$» ou, en posant «$\;A'=-{\dfrac {m\;C^{2}}{k}}\;A\;$ ainsi que $\;B'=$ $-{\dfrac {m\;C^{2}}{k}}\;B\;$» deux nouvelles constantes d’intégration à déterminer par « C.A.L.$^,$ » «$\;u(\theta )=-{\dfrac {k}{m\;C^{2}}}\,\left[1+A'\;\cos(\theta )+B'\;\sin(\theta )\right]\;\;({\mathfrak {2}})\;$» ;
Détermination finalement l’équation polaire de la trajectoire se met sous la forme «$\;r(\theta )={\dfrac {1}{u(\theta )}}={\dfrac {-{\dfrac {m\;C^{2}}{k}}}{1+A'\;\cos(\theta )+B'\;\sin(\theta )}}\;$» c'est-à-dire encore, en transformant la partie variable du dénominateur «$\;A'\;\cos(\theta )+B'\;\sin(\theta )\;$» en «$\;\pm D\;\cos(\theta -\varphi )\;$ avec $\;D\geqslant 0\;$» $\;{\big$«$\;\pm \;$ suivant le besoin »${\big )}$, sous la forme
$\;r(\theta )={\dfrac {-{\dfrac {m\;C^{2}}{k}}}{1\pm D\;\cos(\theta -\varphi )}}\;$
$\;D\geqslant 0\;$
$\;\varphi \;$
$\;\pm \;$
$\;k\;$

### Nature de la trajectoire

L'équation polaire de la trajectoire précédemment déterminée « dans le cas où la constante des aires $\;C\;$ est $\;\neq 0\;$» et écrite sous la forme «$\;r(\theta )={\dfrac {-{\dfrac {m\;C^{2}}{k}}}{1\pm D\;\cos(\theta -\varphi )}}\;$» avec $\;D\geqslant 0\;$ et $\;\varphi \;$ deux constantes d'intégration à déterminer par « C.A.L.$^,$ » s'identifie, suivant le « signe de $\;k\;$»,
* à «$\;r(\theta )={\dfrac {p}{1+e\;\cos(\theta -\varphi )}}\;$» si «$\;k\;$ est $\;<0\;$» c'est-à-dire si $\;M\;$ subit une force newtonienne attractive avec «$\;p=-{\dfrac {m\;C^{2}}{k}}>0$, $\;e=D\geqslant 0\;$» et le choix de $\;\varphi \;$ pour que le signe entre $\;\pm \;$ soit $\;+\;$ ou
* à «$\;r(\theta )={\dfrac {-p}{1-e\;\cos(\theta -\varphi )}}\;$» si «$\;k\;$ est $\;>0\;$» c'est-à-dire si $\;M\;$ subit une force newtonienne répulsive avec «$\;p={\dfrac {m\;C^{2}}{k}}>0$, $\;e=D>0\;$ » et le choix de $\;\varphi \;$ pour que le signe entre $\;\pm \;$ soit $\;-\;$ ;
ces formes d’équations polaires nous suggère de discuter suivant le type « attractif » ou « répulsif » de la force newtonienne subie par le point $\;M$.

#### Cas d’une force newtonienne attractive (k < 0)

$\;M\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$
$\;k<0\;$
$\;r\;$
$\;{\vec {u}}_{r}\;$
$\;M\;$
$\;O\;$
$\;xOy\;$
$\;M\;$
$\;C\;$
$\;\neq 0\;$
$\;r={\dfrac {p}{1+e\;\cos(\theta -\varphi )}}\;$
$\;p=-{\dfrac {m\;C^{2}}{k}}>0\;$
$\;e\geqslant 0\;$
$\;\varphi \;$
est l'équation polaire d'une « conique $\;{\big$ou branche de conique en ce qui concerne l'hyperbole${\big )}\;$
* dont le centre de force $\;O\;$ est le $\;{\big$ou l'un des${\big )}\;$ foyer(s) $\;{\big$le foyer en ce qui concerne la parabole, l'un des foyers en ce qui concerne l'ellipse et l'hyperbole, celui intervenant dans ce dernier cas étant celui contourné par la branche d'hyperbole en question${\big )}$,
* de paramètre $\;p={\dfrac {m\;C^{2}}{\vert k\vert }}=-{\dfrac {m\;C^{2}}{k}}>0\;$ ou encore $\;p=$ ${\dfrac {m\;V_{0}^{2}\;r_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{\vert k\vert }}\;$,
* d'excentricité $\;e\geqslant 0\;$ et d'axe focal orienté faisant l'angle $\;\varphi \;$ avec l'axe polaire $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$», ces deux dernières grandeurs étant à déterminer par C.A.L.$^,$.
L'excentricité $\;e\geqslant 0\;$ de la conique $\;{\big$ou branche de conique${\big )}\;$ dépendant des C.I. de lancement du point $\;M\;$ ou C.A.L.$^,$ de la trajectoire, on en déduit la nature de la conique $\;{\big$ou branche de conique${\big )}\;$ suivant le résultat trouvé pour l'excentricité à savoir :
* une ellipse si $\;e\;\in \;\left[0\,,\,1\right[$ $\;{\big \$un cercle si $\;e=0{\big \}$,
* une parabole si $\;e=1\;$ et
* la branche contournant le foyer $\;O\;$ parmi les deux branches d'une hyperbole si $\;e\;\in \;\left]1\,,\,+\infty \right[$.

#### Cas d’une force newtonienne répulsive (k > 0)

$\;M\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$
$\;k>0\;$
$\;r\;$
$\;{\vec {u}}_{r}\;$
$\;M\;$
$\;O\;$
$\;xOy\;$
$\;M\;$
$\;C\;$
$\;\neq 0\;$
$\;r={\dfrac {-p}{1-e\;\cos(\theta -\varphi )}}={\dfrac {p}{e\;\cos(\theta -\varphi )-1}}\;$
$\;p={\dfrac {m\;C^{2}}{k}}>0\;$
$\;e>0\;$
$\;\varphi \;$
est l'équation polaire d'une « branche d'hyperbole
* dont le centre de force $\;O\;$ est l'un des foyers de l'hyperbole, celui non contourné par la branche d'hyperbole en question,
* de paramètre $\;p={\dfrac {m\;C^{2}}{\vert k\vert }}={\dfrac {m\;C^{2}}{k}}>0\;$ ou encore $\;p=$ ${\dfrac {m\;V_{0}^{2}\;r_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{\vert k\vert }}\;$,
* d'excentricité $\;e>1\;$ et d'axe focal orienté faisant l'angle $\;\varphi \;$ avec l'axe polaire $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$», ces deux dernières grandeurs étant à déterminer par C.A.L.$^,$.

### En exercice, détermination de l’excentricité « e » et de l’angle « φ » que fait l’axe focal avec l’axe polaire par utilisation des C.I.

Ce n’est pas la meilleure méthode pour déterminer l'excentricité «$\;e\;$» de la conique $\;{\big$nous verrons une méthode nettement plus rapide aux paragraphes « en complément, nature de la conique décrite par le point dans un champ de force newtonien attractif suivant le signe de l'énergie mécanique » et « en complément, expression de l'énergie mécanique du point dans un champ de force newtonien répulsif en fonction du demi-axe focal de la trajectoire hyperbolique » du chap.$17$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »${\big ]}\;$ mais c’est quasiment la seule pour connaître «$\;\varphi ={\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{\text{focal}}\right)}}\;$» $\;\ldots \;$ C’est donc la méthode à retenir pour le positionnement de l’axe focal.

#### Cas d’une force newtonienne attractive (k < 0)

Dans le cas du mouvement du point $\;M\;$ à force centrale newtonienne attractive «$\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;k<0\;$», $\;r\;$ et $\;{\vec {u}}_{r}\;$ étant respectivement la coordonnée radiale de $\;M\;$ et le vecteur unitaire radiale de la base polaire de pôle « le centre de force $\;O\;$» du plan $\;xOy\;$ lié au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen dans lequel le mouvement de $\;M\;$ est observé, la trajectoire du point est une conique $\;{\big$ou branche de conique en ce qui concerne l'hyperbole${\big )}\;$ dont le centre de force $\;O\;$ est le $\;{\big$ou l'un des${\big )}\;$ foyer(s) $\;{\big$le foyer en ce qui concerne la parabole, l'un des foyers en ce qui concerne l'ellipse et l'hyperbole, celui intervenant dans ce dernier cas étant celui contourné par la branche d'hyperbole en question${\big )}$
$\;r={\dfrac {p}{1+e\;\cos(\theta -\varphi )}}\;$
dans laquelle «$\;p={\dfrac {m\;C^{2}}{\vert k\vert }}=-{\dfrac {m\;C^{2}}{k}}>0\;$» est le paramètre de la conique, «$\;e\geqslant 0\;$» son excentricité et «$\;\varphi ={\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{\text{focal}}\right)}}\;$» l'angle orienté que fait son axe focal avec l'axe polaire du repérage de $\;M$, ces deux dernières grandeurs étant à déterminer par C.A.L.$^,$ ;
de l'équation polaire on en déduit l'expression, en fonction de $\;\theta$, de
* la 1ère variable de Binet «$\;u(\theta )={\dfrac {1}{r(\theta )}}={\dfrac {1}{p}}+{\dfrac {e}{p}}\;\cos(\theta -\varphi )\;$» et de
* la 2ème variable de Binet «$\;u'(\theta )={\dfrac {du}{d\theta }}(\theta )=-{\dfrac {e}{p}}\;\sin(\theta -\varphi )\;$», puis
de l'équation polaire on en déduit les expressions de Binet des composantes radiale et orthoradiale du vecteur vitesse de $\;M$ $\;{\big$«$\;C=V_{0}\;r_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;$» étant la constante des aires du mouvement${\big ]}$,
* «$\;V_{r}(t)=-C\;u'\!\left[\theta (t)\right]=C\;{\dfrac {e}{p}}\;\sin \!\left[\theta (t)-\varphi \right]\;$» et
* «$\;V_{\theta }(t)=C\;u\!\left[\theta (t)\right]=C\left\lbrace {\dfrac {1}{p}}+{\dfrac {e}{p}}\;\cos \!\left[\theta (t)-\varphi \right]\right\rbrace ={\dfrac {C}{p}}+C\;{\dfrac {e}{p}}\;\cos \!\left[\theta (t)-\varphi \right]\;$» ;
les « C.I. étant aussi les C.A.L. », nous en déduisons
* par «$\;u(\theta =0)={\dfrac {1}{r_{0}}}\;$» $\;{\big$ou, ce qui donne la même condition, «$\;V_{\theta }(t=0)=V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;$»${\big ]}\;$ ou «$\;{\dfrac {1}{p}}+{\dfrac {e}{p}}\;\cos(-\varphi )={\dfrac {1}{r_{0}}}\;$» d’où «$\;{\dfrac {e}{p}}\;\cos(\varphi )={\dfrac {1}{r_{0}}}-{\dfrac {1}{p}}\;$» ou «$\;e\;\cos(\varphi )={\dfrac {p}{r_{0}}}-1\;$» et
* par «$\;V_{r}(t=0)=V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\;$» encore égale à $\;-C\;u'(\theta =0)\;$ $\Rightarrow$ «$\;u'(\theta =0)=-{\dfrac {V_{0}\;\cos(\alpha _{0})}{C}}\;$» ou, avec $\;C=V_{0}\;r_{0}\;\sin(\alpha _{0})$, «$\;u'(\theta =0)=-{\dfrac {\cot(\alpha _{0})}{r_{0}}}\;$» dont on tire «$\;-{\dfrac {e}{p}}\;\sin(-\varphi )=$ $-{\dfrac {\cot(\alpha _{0})}{r_{0}}}\;$» ou «$\;e\;\sin(\varphi )=-{\dfrac {p}{r_{0}}}\;\cot(\alpha _{0})\;$» ;
de «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c}e\;\cos(\varphi )\!\!&=\!\!&{\dfrac {p}{r_{0}}}-1\\e\;\sin(\varphi )\!\!&=\!\!&-{\dfrac {p}{r_{0}}}\;\cot(\alpha _{0})\end{array}}\right\rbrace \;$» on détermine l'excentricité «$\;e\;$» en éliminant $\;\varphi \;$ par «$\;\left[e\;\cos(\varphi )\right]^{2}+\left[e\;\sin(\varphi )\right]^{2}=e^{2}\;$» soit $\;e^{2}=\left({\dfrac {p}{r_{0}}}-1\right)^{\!2}+{\dfrac {p^{2}}{r_{0}^{2}}}\;\cot ^{2}(\alpha _{0})\;$ ou, en développant puis ordonnant selon les puissances $\;\searrow \;$ de $\;{\dfrac {p}{r_{0}}}$, $\;e^{2}={\dfrac {p^{2}}{r_{0}^{2}}}\;\left[1+\cot ^{2}(\alpha _{0})\right]-2\;{\dfrac {p}{r_{0}}}+1={\dfrac {p^{2}}{r_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}}-2\;{\dfrac {p}{r_{0}}}+1\;$ soit finalement «$\;e={\sqrt {1+{\dfrac {p^{2}}{r_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}}-2\;{\dfrac {p}{r_{0}}}}}\;$» et
de on détermine l'angle orienté «$\;\varphi ={\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{\text{focal}}\right)}}\;$» que fait l'axe focal avec l'axe polaire en éliminant $\;e\;$ par «$\;{\dfrac {e\;\sin(\varphi )}{e\;\cos(\varphi )}}=\tan(\varphi )\;$» soit «$\;\tan(\varphi )=$ ${\dfrac {-{\dfrac {p}{r_{0}}}\;\cot(\alpha _{0})}{{\dfrac {p}{r_{0}}}-1}}\;$» ou encore, suivant les signes de $\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c}e\;\cos(\varphi )\!\!&=\!\!&{\dfrac {p}{r_{0}}}-1\\e\;\sin(\varphi )\!\!&=\!\!&-{\dfrac {p}{r_{0}}}\;\cot(\alpha _{0})\end{array}}\right\rbrace \;$ la discussion suivante : de on détermine $\;\succ \;$si $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\dfrac {p}{r_{0}}}>1\;{\text{et}}\;\\\cot(\alpha _{0})<0\end{array}}\right\rbrace \;$ $\;\cos(\varphi )\;$ et $\;\sin(\varphi )\;$ sont $\;>0\;$ $\Rightarrow$ $\;\varphi \in \left]0\,,\,{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$ d'où «$\;\varphi =\arctan \!\left[-{\dfrac {{\dfrac {p}{r_{0}}}\;\cot(\alpha _{0})}{{\dfrac {p}{r_{0}}}-1}}\right]\;$», de on détermine $\;\succ \;$si $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\dfrac {p}{r_{0}}}>1\;{\text{et}}\;\\\cot(\alpha _{0})>0\end{array}}\right\rbrace \;$ $\;\cos(\varphi )\;$ est $\;>0\;$ et $\;\sin(\varphi )<0\;$ $\Rightarrow$ $\;\varphi \in \left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,0\right[\;$ d'où «$\;\varphi =\arctan \!\left[-{\dfrac {{\dfrac {p}{r_{0}}}\;\cot(\alpha _{0})}{{\dfrac {p}{r_{0}}}-1}}\right]\;$», de on détermine $\;\succ \;$si $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\dfrac {p}{r_{0}}}<1\;{\text{et}}\;\\\cot(\alpha _{0})<0\end{array}}\right\rbrace \;$ $\;\cos(\varphi )\;$ est $\;<0\;$ et $\;\sin(\varphi )>0\;$ $\Rightarrow$ $\;\varphi \in \left]{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,\pi \right[\;$ d'où «$\;\varphi =\arctan \!\left[{\dfrac {{\dfrac {p}{r_{0}}}\;\cot(\alpha _{0})}{1-{\dfrac {p}{r_{0}}}}}\right]+\pi \;$», de on détermine $\;\succ \;$si $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\dfrac {p}{r_{0}}}<1\;{\text{et}}\;\\\cot(\alpha _{0})>0\end{array}}\right\rbrace \;$ $\;\cos(\varphi )\;$ et $\;\sin(\varphi )\;$ sont $\;<0\;$ $\Rightarrow$ $\;\varphi \in \left]-\pi \,,\,-{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$ d'où «$\;\varphi =\arctan \!\left[{\dfrac {{\dfrac {p}{r_{0}}}\;\cot(\alpha _{0})}{1-{\dfrac {p}{r_{0}}}}}\right]-\pi \;$».
Discussion sur la nature de la conique : L'excentricité de cette dernière s'écrivant «$\;e={\sqrt {1+{\dfrac {p^{2}}{r_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}}-2\;{\dfrac {p}{r_{0}}}}}\;$», nous en déduisons la nature de la conique en comparant la valeur de son excentricité $\;e\;$ à la valeur critique $\;1$, d'où la conique est Discussion sur la nature de la conique : $\;\succ \;$une parabole si «$\;e=1\;$» c'est-à-dire si «$\;{\dfrac {p^{2}}{r_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}}-2\;{\dfrac {p}{r_{0}}}=0\;$» soit, avec $\;p={\dfrac {m\;C^{2}}{\vert k\vert }}\neq 0\;$ car $\;C\neq 0$,
$\;{\dfrac {p}{r_{0}}}=2\;\sin ^{2}(\alpha _{0})\;$
Discussion sur la nature de la conique : en reportant $\;p={\dfrac {m\;C^{2}}{\vert k\vert }}\;$ avec $\;C=V_{0}\;r_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;$ $\Rightarrow$ $\;p={\dfrac {m\;V_{0}^{2}\;r_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{\vert k\vert }}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {p}{r_{0}}}={\dfrac {m\;V_{0}^{2}\;r_{0}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{\vert k\vert }}$, la condition pour que la conique soit une parabole, à savoir «$\;{\dfrac {p}{r_{0}}}=2\;\sin ^{2}(\alpha _{0})\;$», se réécrit «$\;{\dfrac {m\;V_{0}^{2}\;r_{0}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{\vert k\vert }}=2\;\sin ^{2}(\alpha _{0})\;$» ou, après simplification évidente,
$\;V_{0}={\sqrt {\dfrac {2\;\vert k\vert }{m\;r_{0}}}}={\sqrt {\dfrac {-2\;k}{m\;r_{0}}}}\;$
Discussion sur la nature de la conique : $\;\succ \;$une ellipse si «$\;e<1\;$» c'est-à-dire si «$\;{\dfrac {p^{2}}{r_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}}-2\;{\dfrac {p}{r_{0}}}<0\;$» soit, avec $\;p={\dfrac {m\;C^{2}}{\vert k\vert }}\neq 0\;$ car $\;C\neq 0$,
$\;{\dfrac {p}{r_{0}}}<2\;\sin ^{2}(\alpha _{0})\;$
Discussion sur la nature de la conique : en reportant $\;p={\dfrac {m\;C^{2}}{\vert k\vert }}\;$ avec $\;C=V_{0}\;r_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;$ $\Rightarrow$ $\;p={\dfrac {m\;V_{0}^{2}\;r_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{\vert k\vert }}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {p}{r_{0}}}={\dfrac {m\;V_{0}^{2}\;r_{0}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{\vert k\vert }}$, la condition pour que la conique soit une ellipse, à savoir «$\;{\dfrac {p}{r_{0}}}<2\;\sin ^{2}(\alpha _{0})\;$», se réécrit «$\;{\dfrac {m\;V_{0}^{2}\;r_{0}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{\vert k\vert }}<2\;\sin ^{2}(\alpha _{0})\;$» ou, après simplification évidente,
$\;V_{0}<{\sqrt {\dfrac {2\;\vert k\vert }{m\;r_{0}}}}={\sqrt {\dfrac {-2\;k}{m\;r_{0}}}}\;$
Discussion sur la nature de la conique : $\;\succ \;$une branche d'hyperbole $\;{\big$celle contournant le centre de force $\;O{\big )}\;$ si «$\;e>1\;$» c'est-à-dire si «$\;{\dfrac {p^{2}}{r_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}}-2\;{\dfrac {p}{r_{0}}}>0\;$» soit, avec $\;p={\dfrac {m\;C^{2}}{\vert k\vert }}\neq 0\;$ car $\;C\neq 0$,
$\;{\dfrac {p}{r_{0}}}>2\;\sin ^{2}(\alpha _{0})\;$
Discussion sur la nature de la conique : en reportant $\;p={\dfrac {m\;C^{2}}{\vert k\vert }}\;$ avec $\;C=V_{0}\;r_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;$ $\Rightarrow$ $\;p={\dfrac {m\;V_{0}^{2}\;r_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{\vert k\vert }}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {p}{r_{0}}}={\dfrac {m\;V_{0}^{2}\;r_{0}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{\vert k\vert }}$, la condition pour que la conique soit une branche d'hyperbole $\;{\big$celle contournant le centre de force $\;O{\big )}$, à savoir «$\;{\dfrac {p}{r_{0}}}>2\;\sin ^{2}(\alpha _{0})\;$», se réécrit «$\;{\dfrac {m\;V_{0}^{2}\;r_{0}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{\vert k\vert }}>2\;\sin ^{2}(\alpha _{0})\;$» ou, après simplification évidente,
$\;V_{0}>{\sqrt {\dfrac {2\;\vert k\vert }{m\;r_{0}}}}={\sqrt {\dfrac {-2\;k}{m\;r_{0}}}}\;$

#### Cas d’une force newtonienne répulsive (k > 0)

Dans le cas du mouvement du point $\;M\;$ à force centrale newtonienne répulsive «$\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;k>0\;$», $\;r\;$ et $\;{\vec {u}}_{r}\;$ étant respectivement la coordonnée radiale de $\;M\;$ et le vecteur unitaire radiale de la base polaire de pôle « le centre de force $\;O\;$» du plan $\;xOy\;$ lié au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen dans lequel le mouvement de $\;M\;$ est observé, la trajectoire du point est une branche d'hyperbole dont le centre de force $\;O\;$ est l'un des foyers $\;{\big$celui non contourné par la branche d'hyperbole en question${\big )}$
$\;r={\dfrac {-p}{1-e\;\cos(\theta -\varphi )}}={\dfrac {p}{e\;\cos(\theta -\varphi )-1}}\;$
dans laquelle «$\;p={\dfrac {m\;C^{2}}{\vert k\vert }}={\dfrac {m\;C^{2}}{k}}>0\;$» est le paramètre de la conique, «$\;e>1\;$» son excentricité et «$\;\varphi ={\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{\text{focal}}\right)}}\;$» l'angle orienté que fait son axe focal avec l'axe polaire du repérage de $\;M$, ces deux dernières grandeurs étant à déterminer par C.A.L.$^,$ ;
de l'équation polaire on en déduit l'expression, en fonction de $\;\theta$, de
* la 1ère variable de Binet «$\;u(\theta )={\dfrac {1}{r(\theta )}}=-{\dfrac {1}{p}}+{\dfrac {e}{p}}\;\cos(\theta -\varphi )\;$» et de
* la 2ème variable de Binet «$\;u'(\theta )={\dfrac {du}{d\theta }}(\theta )=-{\dfrac {e}{p}}\;\sin(\theta -\varphi )\;$», puis
de l'équation polaire on en déduit les expressions de Binet des composantes radiale et orthoradiale du vecteur vitesse de $\;M$ $\;{\big$«$\;C=V_{0}\;r_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;$» étant la constante des aires du mouvement${\big ]}$,
* «$\;V_{r}(t)=-C\;u'\!\left[\theta (t)\right]=C\;{\dfrac {e}{p}}\;\sin \!\left[\theta (t)-\varphi \right]\;$» et
* «$\;V_{\theta }(t)=C\;u\!\left[\theta (t)\right]=C\left\lbrace -{\dfrac {1}{p}}+{\dfrac {e}{p}}\;\cos \!\left[\theta (t)-\varphi \right]\right\rbrace =-{\dfrac {C}{p}}+C\;{\dfrac {e}{p}}\;\cos \!\left[\theta (t)-\varphi \right]\;$» ;
les « C.I. étant aussi les C.A.L. », nous en déduisons
* par «$\;u(\theta =0)={\dfrac {1}{r_{0}}}\;$» $\;{\big$ou, ce qui donne la même condition, «$\;V_{\theta }(t=0)=V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;$»${\big ]}\;$ ou «$\;-{\dfrac {1}{p}}+{\dfrac {e}{p}}\;\cos(-\varphi )={\dfrac {1}{r_{0}}}\;$» d’où «$\;{\dfrac {e}{p}}\;\cos(\varphi )={\dfrac {1}{r_{0}}}+{\dfrac {1}{p}}\;$» ou «$\;e\;\cos(\varphi )={\dfrac {p}{r_{0}}}+1\;$» et
* par «$\;V_{r}(t=0)=V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\;$» encore égale à $\;-C\;u'(\theta =0)\;$ $\Rightarrow$ «$\;u'(\theta =0)=-{\dfrac {V_{0}\;\cos(\alpha _{0})}{C}}\;$» ou, avec $\;C=V_{0}\;r_{0}\;\sin(\alpha _{0})$, «$\;u'(\theta =0)=-{\dfrac {\cot(\alpha _{0})}{r_{0}}}\;$» dont on tire «$\;-{\dfrac {e}{p}}\;\sin(-\varphi )=$ $-{\dfrac {\cot(\alpha _{0})}{r_{0}}}\;$» ou «$\;e\;\sin(\varphi )=-{\dfrac {p}{r_{0}}}\;\cot(\alpha _{0})\;$» ;
de «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c}e\;\cos(\varphi )\!\!&=\!\!&{\dfrac {p}{r_{0}}}+1\\e\;\sin(\varphi )\!\!&=\!\!&-{\dfrac {p}{r_{0}}}\;\cot(\alpha _{0})\end{array}}\right\rbrace \;$» on détermine l'excentricité «$\;e\;$» en éliminant $\;\varphi \;$ par «$\;\left[e\;\cos(\varphi )\right]^{2}+\left[e\;\sin(\varphi )\right]^{2}=e^{2}\;$» soit $\;e^{2}=\left({\dfrac {p}{r_{0}}}+1\right)^{\!2}+{\dfrac {p^{2}}{r_{0}^{2}}}\;\cot ^{2}(\alpha _{0})\;$ ou, en développant puis ordonnant selon les puissances $\;\searrow \;$ de $\;{\dfrac {p}{r_{0}}}$, $\;e^{2}={\dfrac {p^{2}}{r_{0}^{2}}}\;\left[1+\cot ^{2}(\alpha _{0})\right]+2\;{\dfrac {p}{r_{0}}}+1={\dfrac {p^{2}}{r_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}}+2\;{\dfrac {p}{r_{0}}}+1\;$ soit finalement
$\;e={\sqrt {1+{\dfrac {p^{2}}{r_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}}+2\;{\dfrac {p}{r_{0}}}}}>1\;$
de on détermine l'angle orienté «$\;\varphi ={\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{\text{focal}}\right)}}\;$» que fait l'axe focal avec l'axe polaire en éliminant $\;e\;$ par «$\;{\dfrac {e\;\sin(\varphi )}{e\;\cos(\varphi )}}=\tan(\varphi )\;$» soit «$\;\tan(\varphi )=$ ${\dfrac {-{\dfrac {p}{r_{0}}}\;\cot(\alpha _{0})}{{\dfrac {p}{r_{0}}}+1}}\;$» ou encore, «$\;e\;\cos(\varphi )={\dfrac {p}{r_{0}}}+1\;$ étant $\;>0\;$» $\Rightarrow$ $\;\varphi \in \left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$» soit
$\;\varphi =\arctan \!\left[-{\dfrac {{\dfrac {p}{r_{0}}}\;\cot(\alpha _{0})}{{\dfrac {p}{r_{0}}}+1}}\right]\;$

## Cas particulier d’un mouvement elliptique dans un champ newtonien de gravitation, expression de la période (« démontrée » en complément)
### Nature périodique du mouvement elliptique de M dans un champ newtonien

L'équation polaire de la trajectoire d'un point $\;M\;$ soumis à un mouvement de force centrale newtonienne attractive «$\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;k<0\;$», $\;r\;$ et $\;{\vec {u}}_{r}\;$ étant respectivement la coordonnée radiale de $\;M\;$ et le vecteur unitaire radiale de la base polaire de pôle « le centre de force $\;O\;$» du plan $\;xOy\;$ dans lequel le mouvement de $\;M\;$ est observé s'écrivant, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen et « dans le cas où la constante des aires $\;C\;$ est $\;\neq 0\;$»,
$\;r={\dfrac {p}{1+e\;\cos(\theta -\varphi )}}\;$
$\;p=-{\dfrac {m\;C^{2}}{k}}>0\;$
$\;e\geqslant 0\;$
$\;\varphi \;$
$\;e\in \left[0\,,\,1\right[\;$
nous déduisons, du domaine de définition de l'équation polaire «$\;\mathbb {R} \;$» ainsi que de son caractère «$\;2\;\pi$-périodique », le caractère périodique du mouvement elliptique de $\;M\;$ en effet quand $\;\theta \nearrow \;$ de $\;2\;\pi \;$ à partir de n'importe quelle abscisse angulaire nous retrouvons
* la même valeur de « coordonnée radiale $\;r\;$» donc la même valeur de vecteur position «$\;{\overrightarrow {OM}}\;$»,
* la même valeur de « vitesse angulaire $\;{\dot {\theta }}={\dfrac {C}{r^{2}}}\neq 0,\;\;\forall \;t\;$» $\;{\big\Rightarrow$ le mouvement de $\;M\;$ sur sa trajectoire elliptique se fait toujours dans le même sens sans position d'arrêt${\big ]}$,
* la même valeur de « composante radiale de vecteur vitesse $\;V_{r}={\dot {r}}={\dfrac {dr}{d\theta }}\;{\dot {\theta }}\;$» car «$\;{\dfrac {dr}{d\theta }}\;$ ainsi que $\;{\dot {\theta }}\;$» sont « définis sur $\;\mathbb {R} \;$ et $\;2\;\pi$-périodiques » et la même valeur de « composante orthoradiale de vecteur vitesse $\;V_{\theta }=r\;{\dot {\theta }}\;$» car «$\;r\;$ ainsi que $\;{\dot {\theta }}\;$» sont « définis sur $\;\mathbb {R} \;$ et $\;2\;\pi$-périodiques », donc la même valeur de vecteur vitesse «$\;{\vec {V}}_{M}\;$»,
* la même valeur d'« accélération angulaire $\;{\ddot {\theta }}={\dfrac {d\left({\dot {\theta }}\right)}{dt}}={\dfrac {d\left({\dfrac {C}{r^{2}}}\right)}{dt}}=-2\;{\dfrac {C}{r^{3}}}\;{\dot {r}}\;$» car «$\;r\;$ ainsi que $\;{\dot {r}}\;$» sont « définis sur $\;\mathbb {R} \;$ et $\;2\;\pi$-périodiques »,
* la même valeur de « composante radiale de vecteur accélération $\;a_{r}={\ddot {r}}-r\;{\dot {\theta }}^{2}={\dfrac {d\left({\dot {r}}\right)}{d\theta }}\;{\dot {\theta }}-r\;{\dot {\theta }}^{2}\;$» car «$\;{\dot {r}}\;$ donc $\;{\dfrac {d\left({\dot {r}}\right)}{d\theta }}\;$ ainsi que $\;r\;$ et $\;{\dot {\theta }}\;$» sont « définis sur $\;\mathbb {R} \;$ et $\;2\;\pi$-périodiques » et une « composante orthoradiale de vecteur accélération $\;a_{\theta }=0,\;\;\forall \;t\;$», donc la même valeur de vecteur accélération «$\;{\vec {a}}_{M}\;$» ;
finalement retrouvant les mêmes vecteurs position, vitesse et accélération de $\;M\;$ sur la trajectoire elliptique de ce dernier quand $\;\theta \nearrow \;$ de $\;2\;\pi$, nous pouvons affirmer que le mouvement de $\;M\;$ est le même sur les intervalles successifs de variation de $\;\theta \;$ de largeur $\;2\;\pi \;$ c'est-à-dire que le mouvement de $\;M\;$ sur la trajectoire elliptique de ce dernier est périodique.

### Expression de la période du mouvement elliptique de M dans un champ newtonien (démonstration en complément)

Rappel : Au programme de physique de P.C.S.I. il est demandé d’admettre le résultat concernant l'expression de la période du mouvement du point $\;M\;$ à force centrale newtonienne attractive quand $\;M\;$ décrit une trajectoire elliptique, et de faire la démonstration uniquement dans le cas d’un mouvement sur une trajectoire circulaire $\;{\big$voir le paragraphe « expression de la période du mouvement circulaire de centre O du point M uniquement soumis à une force centrale conservative » du chap.$15$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »${\big ]}$, cas particulier d'une trajectoire elliptique $\;{\big$la généralisation du mouvement circulaire au mouvement elliptique étant admise selon le programme de physique de P.C.S.I.${\big ]}$ ;
Rappel : toutefois la démonstration dans le cas elliptique est proposée $\;{\big$en complément${\big )}$, elle ne présente d'ailleurs aucune difficulté $\;\ldots$
En complément, établissement de l'expression de la période du mouvement d'un point à force centrale newtonienne attractive quand ce dernier décrit une trajectoire elliptique : la détermination de la période $\;T\;$ du mouvement du point $\;M\;$ à force centrale newtonienne attractive «$\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;k<0\;$», $\;r\;$ et $\;{\vec {u}}_{r}\;$ étant respectivement la coordonnée radiale de $\;M\;$ et le vecteur unitaire radiale de la base polaire de pôle « le centre de force $\;O\;$» du plan $\;xOy\;$ dans lequel le mouvement de $\;M\;$ est observé, ce dernier décrivant une trajectoire elliptique, peut se faire simplement par utilisation de la loi des aires sous sa forme « vitesse aréolaire constante » c'est-à-dire
$\;{\dfrac {d{\mathcal {A}}}{dt}}(t)={\dfrac {C}{2}}\;$
$\;d{\mathcal {A}}\;$
$\;{\overrightarrow {OM}}\;$
$\;M\;$
$\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$
$\;{\big$
$\;d{\mathcal {A}}\;$
$\;>0\;$
$\;M\;$
$\Leftrightarrow$
$\;C>0\;$
$\;<0\;$
$\;M\;$
$\Leftrightarrow$
$\;C<0\;$
${\big ]}$
En complément, on intègre alors «$\;d{\mathcal {A}}={\dfrac {C}{2}}\;dt\;$» entre $\;t\;$ et $\;t+\Delta t\;$ et on obtient «$\;\displaystyle \int _{t}^{t+\Delta t}d{\mathcal {A}}(t')=\displaystyle \int _{t}^{t+\Delta t}{\dfrac {C}{2}}\;dt'\;$» avec, dans le membre de gauche, «$\;\displaystyle \int _{t}^{t+\Delta t}d{\mathcal {A}}(t')=\Delta {\mathcal {A}}_{\,{\text{sur}}\,\left[t\,,\,t+\Delta t\right]}\;$» c'est-à-dire l'aire algébrique balayée par le rayon vecteur $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ sur l'intervalle $\;\left[t\,,\,t+\Delta t\right]\;$ et, dans le membre de droite, «$\;\displaystyle \int _{t}^{t+\Delta t}{\dfrac {C}{2}}\;dt'={\dfrac {C}{2}}\;\Delta t\;$» soit finalement
$\;\Delta {\mathcal {A}}_{\,{\text{sur}}\,\left[t\,,\,t+\Delta t\right]}={\dfrac {C}{2}}\;\Delta t\;$
En complément, dont on déduit, en choisissant la période $\;T\;$ de rotation de $\;M\;$ sur sa trajectoire elliptique comme durée $\;\Delta t\;$ de l'intervalle, «$\;\Delta {\mathcal {A}}_{\,{\text{sur}}\,\left[t\,,\,t+T\right]}={\dfrac {C}{2}}\;T\;$» dans laquelle «$\;{\Big \vert }\Delta {\mathcal {A}}_{\,{\text{sur}}\,\left[t\,,\,t+T\right]}{\Big \vert }\;$ est l'aire $\;{\big$non algébrisée${\big )}\;$ de la surface intérieure à l'ellipse $\;{\mathcal {A}}_{\,{\text{int. de l'ellipse}}}\;$» soit finalement l'expression de la période $\;T\;$ de rotation de $\;M\;$ sur sa trajectoire elliptique
$\;T={\dfrac {2\;{\mathcal {A}}_{\,{\text{int. de l'ellipse}}}}{\vert C\vert }}\;$
En complément, l'aire de la surface intérieure à une ellipse de demi-axes $\;a\;$ et $\;b\;$ valant «$\;{\mathcal {A}}_{\,{\text{int. de l'ellipse}}}=\pi \;a\;b\;$» $\;{\big$voir le paragraphe « exemples d'aire de surface classique (à retenir) » du chap.$17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »${\big ]}$, nous pouvons réécrire la période $\;T\;$ de rotation du point matériel $\;M\;$ à force centrale newtonienne attractive sur sa trajectoire elliptique selon
$\;T={\dfrac {2\;\pi \;a\;b}{\vert C\vert }}\;$
$\;a\;$
$\;b\;$
$\;C\;$
$\;M$
Autres expressions de la période du mouvement d'un point à force centrale newtonienne attractive quand ce dernier décrit une trajectoire elliptique :
Autres expressions Tout d'abord on élimine la valeur absolue de la constante des aires $\;\vert C\vert \;$ au profit du paramètre $\;p={\dfrac {m\;C^{2}}{\vert k\vert }}\;$ de l'ellipse par $\;\vert C\vert ={\sqrt {{\dfrac {\vert k\vert }{m}}\;p}}\;$ ce qui donne $\;T={\dfrac {2\;\pi \;a\;b}{\sqrt {{\dfrac {\vert k\vert }{m}}\;p}}}\;$ soit
$\;T=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {m}{\vert k\vert }}}\;{\dfrac {a\;b}{\sqrt {p}}}\;$
Autres expressions Tout d'abord on élimine le demi-petit axe $\;b\;$ au profit du demi-grand axe $\;a\;$ et du paramètre $\;p={\dfrac {b^{2}}{a}}\;$ par $\;b={\sqrt {p\;a}}\;$ ce qui donne $\;T=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {m}{\vert k\vert }}}\;{\dfrac {a\;{\sqrt {p\;a}}}{\sqrt {p}}}\;$ soit finalement
$\;T=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {m}{\vert k\vert }}}\;a^{\frac {3}{2}}\;$
$\Rightarrow$
$\;{\dfrac {T^{2}}{a^{3}}}={\dfrac {4\;\pi ^{2}\;m}{\vert k\vert }}\;$

### Expression de la période du mouvement elliptique de M dans un « champ newtonien gravitationnel »

C'est donc le cas particulier « gravitationnel » de l'« expression de la période du mouvement elliptique de M dans un champ newtonien (démonstration en complément) » exposé plus haut dans ce chapitre,
la constante $\;k\;$ intervenant dans la force newtonienne attractive «$\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;k<0\;$», $\;r\;$ et $\;{\vec {u}}_{r}\;$ étant respectivement la coordonnée radiale de $\;M\;$ et le vecteur unitaire radiale de la base polaire de pôle « le centre de force $\;O\;$» du plan $\;xOy\;$ dans lequel le mouvement de $\;M\left(m\right)\;$ est observé, valant,
dans le cas « gravitationnel » créé par un astre $\;{\big$étoile, planète ou satellite${\big )}\;$ dont la répartition de masse est à symétrie sphérique de pôle $\;O$, l'astre étant de masse $\;m_{\text{astre}}\;$ et l'espace champ gravitationnel considéré étant hors astre,
$\;k=-{\mathcal {G}}\;m_{\text{astre}}\;m\;$
$\;{\mathcal {G}}\simeq 6,67\;10^{-11}\;U.S.I.\;$
nous en déduisons que la période $\;T\;$ du mouvement elliptique de $\;M\;$ dans le « champ newtonien gravitationnel créé par l'astre de centre $\;O\;$ et de masse $\;m_{\text{astre}}\;$», dans le cas où l'ellipse décrite est de « demi-grand axe $\;a\;$», suit la relation «$\;{\dfrac {T^{2}}{a^{3}}}={\dfrac {4\;\pi ^{2}\;m}{{\mathcal {G}}\;m_{\text{astre}}\;m}}\;$» soit, après simplification évidente, la relation
$\;{\dfrac {T^{2}}{a^{3}}}={\dfrac {4\;\pi ^{2}}{{\mathcal {G}}\;m_{\text{astre}}}}\;$
$\;m_{\text{astre}}\;$
$\;M\;$
$\;T\;$
$\;a$

### En complément, expression de la période du mouvement elliptique de M dans un « champ newtonien électrostatique »

C'est donc le cas particulier « électrostatique » de l'« expression de la période du mouvement elliptique de M dans un champ newtonien (démonstration en complément) » exposé plus haut dans ce chapitre,
la constante $\;k\;$ intervenant dans la force newtonienne «$\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;k<0\;$», $\;r\;$ et $\;{\vec {u}}_{r}\;$ étant respectivement la coordonnée radiale de $\;M\;$ et le vecteur unitaire radiale de la base polaire de pôle « le centre de force $\;O\;$» du plan $\;xOy\;$ dans lequel le mouvement de $\;M\left(m\right)\;$ est observé, valant,
dans le cas « électrostatique » créé par un point $\;O\;$ de charge $\;q_{O}\;$, le point $\;M\;$ subissant le champ électrostatique étant de charge $\;q$, de signe contraire à $\;q_{O}\;$,
$\;k={\dfrac {q_{O}\;q}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}<0\;$
$\;{\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\simeq 9\;10^{9}\;U.S.I.$
$\;\varepsilon _{0}\simeq {\dfrac {1}{36\;\pi }}\;10^{-9}\;U.S.I.\simeq 8,85\;10^{-12}\;U.S.I.\;$
nous en déduisons que la période $\;T\;$ du mouvement elliptique de $\;M\;$ dans le « champ newtonien électrostatique créé par le point $\;O\;$ de charge $\;q_{O}\;$» $\;{\big$mouvement elliptique qui ne peut exister que si la charge $\;q\;$ du point $\;M\;$ est de signe contraire à $\;q_{O}\;$${\big )}$, dans le cas où l'ellipse décrite est de « demi-grand axe $\;a\;$», suit la relation «$\;{\dfrac {T^{2}}{a^{3}}}={\dfrac {4\;\pi ^{2}\;m}{\dfrac {\vert q_{O}\;q\vert }{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}}\;$» soit finalement, la relation
$\;{\dfrac {T^{2}}{a^{3}}}={\dfrac {16\;\pi ^{3}\;\varepsilon _{0}\;m}{\vert q_{O}\;q\vert }}=-{\dfrac {16\;\pi ^{3}\;\varepsilon _{0}\;m}{q_{O}\;q}}\;$
$\;q_{O}$
$\;q\;$
$\;m\;$
$\;M$
$\;T\;$
$\;a$

## Application au cas de l’attraction solaire : énoncé des lois de Kepler pour les planètes
### Historique

La 1ère étude des mouvements à force centrale conservative dans un champ newtonien gravitationnel a été celle des trajectoires des planètes dans le champ d’attraction du Soleil ;
l’analyse scientifique précise des observations de ces mouvements remonte au XVIIème siècle et elle a été résumée en trois lois énoncées par « Johannes Kepler » en $\;1609\;$ et $\;1618$.

### 1ère loi de Kepler

« Les planètes décrivent des trajectoires elliptiques dont le Soleil est un des foyers » $\;{\big$ces dernières étant définies dans le référentiel galiléen de Copernic${\big )}$.

### 2ème loi de Kepler

$\;{\big$
${\big )}$
$\;\Delta {\mathcal {A}}_{\left[t\,,\,t+\Delta t\right]}\;$
$\;\Delta t\;$
$\;t\;$

### 3ème loi de Kepler

$\;{\big$
${\big )}$
$\;{\dfrac {a^{3}}{T^{2}}}=cste\;$
De nos jours on peut préciser la valeur de la constante dépendant de la masse du Soleil «$\;m_{\text{☉}}\simeq 2,0\;10^{30}\;kg\;$», la 3ème loi de Kepler se réécrivant «$\;{\dfrac {a^{3}}{T^{2}}}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}}{4\;\pi ^{2}}}\;$» ce qui donne numériquement, avec $\;{\mathcal {G}}\simeq 6,67\;10^{-11}\;U.S.I.$, «$\;{\dfrac {a^{3}}{T^{2}}}\simeq {\dfrac {6,67\;10^{-11}\times 2,0\;10^{30}}{4\times \pi ^{2}}}\simeq 3,38\;10^{18}\;m^{3}\cdot s^{-2}\simeq 1\;ua^{3}\cdot \;a^{-2}\;$ » ;
De nos jours la 3ème loi de Kepler appliquée à la Terre « ♁ » pour laquelle la période de révolution sidérale est $\;T_{{\text{orbite}},\,{\text{♁}}}=1\;a\;$ conduit à $\;a_{\text{♁}}\simeq 1\;ua$ $\;{\Bigg$la trajectoire suivie par la Terre « ♁ », considérée comme ponctuelle, étant une ellipse d'excentricité $\;e_{\text{♁}}\simeq 0,0167\;$ $\;{\big$c'est-à-dire quasiment un cercle${\big )}$, on peut en déduire l'aphélie $\;r_{A,\,{\text{♁}}}={\dfrac {p_{\text{♁}}}{1-e_{\text{♁}}}}\;$ et le périhélie $\;r_{P,\,{\text{♁}}}={\dfrac {p_{\text{♁}}}{1+e_{\text{♁}}}}\;$ de l'orbite terrestre en déterminant au préalable le paramètre $\;p_{\text{♁}}\;$ de cette dernière par $\;r_{A,\,{\text{♁}}}+r_{P,\,{\text{♁}}}=2\;a_{\text{♁}}\;$ ou $\;{\dfrac {p_{\text{♁}}}{1-e_{\text{♁}}}}+{\dfrac {p_{\text{♁}}}{1+e_{\text{♁}}}}=2\;a_{\text{♁}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {2\;p_{\text{♁}}}{1-e_{\text{♁}}^{\,2}}}=2\;a_{\text{♁}}\;$ soit $\;p_{\text{♁}}=a_{\text{♁}}\left(1-e_{\text{♁}}^{\,2}\right)\;$ $\Rightarrow$ $\;r_{A,\,{\text{♁}}}={\dfrac {a_{\text{♁}}\left(1-e_{\text{♁}}^{\,2}\right)}{1-e_{\text{♁}}}}=$ $a_{\text{♁}}\left(1+e_{\text{♁}}\right)\simeq$ $1,0167\;ua\simeq 152,5\;10^{6}\;km\;$ et $\;r_{P,\,{\text{♁}}}={\dfrac {a_{\text{♁}}\left(1-e_{\text{♁}}^{\,2}\right)}{1+e_{\text{♁}}}}=a_{\text{♁}}\left(1-e_{\text{♁}}\right)\simeq$ $0,9833\;ua\simeq 147,5\;10^{6}\;km\;$${\Bigg ]}$.
Conséquences : connaissant la « période orbitale $\;{\big$ou période de révolution sidérale${\big )}\;$ d’une planète » on peut en déduire « le demi-grand axe de son orbite » $\;{\big$ou inversement${\big )}$, cela donne pour
* Mercure « ☿ » dont la période orbitale vaut «$\;T_{{\text{orbite}},\,{\text{☿}}}\simeq 87,5\;j\simeq 0,23956\;a\;$» un demi-grand axe «$\;a_{{\text{orbite}},\,{\text{☿}}}={\sqrt[{3}]{\left(1\;ua^{3}\cdot a^{-2}\right)\times T_{{\text{orbite}},\,{\text{☿}}}^{\,2}}}\simeq {\sqrt[{3}]{\left(0,23956\right)^{2}}}\;ua\;$» soit «$\;a_{{\text{orbite}},\,{\text{☿}}}\simeq 0,386\;ua\;$»,
* Vénus « ♀ » dont la période orbitale vaut «$\;T_{{\text{orbite}},\,{\text{♀}}}\simeq 224,7\;j\simeq 0,61520\;a\;$» un demi-grand axe «$\;a_{{\text{orbite}},\,{\text{♀}}}={\sqrt[{3}]{\left(1\;ua^{3}\cdot a^{-2}\right)\times T_{{\text{orbite}},\,{\text{♀}}}^{\,2}}}\simeq {\sqrt[{3}]{\left(0,61520\right)^{2}}}\;ua\;$» soit «$\;a_{{\text{orbite}},\,{\text{♀}}}\simeq 0,723\;ua\;$»,
* Mars « ♂ » dont la période orbitale vaut «$\;T_{{\text{orbite}},\,{\text{♂}}}\simeq 687\;j\simeq 1,88090\;a\;$» un demi-grand axe «$\;a_{{\text{orbite}},\,{\text{♂}}}={\sqrt[{3}]{\left(1\;ua^{3}\cdot a^{-2}\right)\times T_{{\text{orbite}},\,{\text{♂}}}^{\,2}}}\simeq {\sqrt[{3}]{\left(1,88090\right)^{2}}}\;ua\;$» soit «$\;a_{{\text{orbite}},\,{\text{♂}}}\simeq 1,524\;ua\;$»,
* Jupiter « ♃ » dont la période orbitale vaut «$\;T_{{\text{orbite}},\,{\text{♃}}}\simeq 4331\;j\simeq 11,8576\;a\;$» un demi-grand axe «$\;a_{{\text{orbite}},\,{\text{♃}}}={\sqrt[{3}]{\left(1\;ua^{3}\cdot a^{-2}\right)\times T_{{\text{orbite}},\,{\text{♃}}}^{\,2}}}\simeq {\sqrt[{3}]{\left(11,8576\right)^{2}}}\;ua\;$» soit «$\;a_{{\text{orbite}},\,{\text{♃}}}\simeq 5,200\;ua\;$»,
* Saturne « ♄ » dont la période orbitale vaut «$\;T_{{\text{orbite}},\,{\text{♄}}}\simeq 10747\;j\simeq 29,4237\;a\;$» un demi-grand axe «$\;a_{{\text{orbite}},\,{\text{♄}}}={\sqrt[{3}]{\left(1\;ua^{3}\cdot a^{-2}\right)\times T_{{\text{orbite}},\,{\text{♄}}}^{\,2}}}\simeq {\sqrt[{3}]{\left(29,4237\right)^{2}}}\;ua\;$» soit «$\;a_{{\text{orbite}},\,{\text{♄}}}\simeq 9,531\;ua\;$»,
* Uranus « ♅ » dont la période orbitale vaut «$\;T_{{\text{orbite}},\,{\text{♅}}}\simeq 30589\;j\simeq 83,7481\;a\;$» un demi-grand axe «$\;a_{{\text{orbite}},\,{\text{♅}}}={\sqrt[{3}]{\left(1\;ua^{3}\cdot a^{-2}\right)\times T_{{\text{orbite}},\,{\text{♅}}}^{\,2}}}\simeq {\sqrt[{3}]{\left(83,7481\right)^{2}}}\;ua\;$» soit «$\;a_{{\text{orbite}},\,{\text{♅}}}\simeq 19,14\;ua\;$» et
* Neptune « ♆ » dont la période orbitale vaut «$\;T_{{\text{orbite}},\,{\text{♆}}}\simeq 59802\;j\simeq 163,729\;a\;$» un demi-grand axe «$\;a_{{\text{orbite}},\,{\text{♆}}}={\sqrt[{3}]{\left(1\;ua^{3}\cdot a^{-2}\right)\times T_{{\text{orbite}},\,{\text{♆}}}^{\,2}}}\simeq {\sqrt[{3}]{\left(163,729\right)^{2}}}\;ua\;$» soit «$\;a_{{\text{orbite}},\,{\text{♆}}}\simeq 29,93\;ua\;$».
Conséquences : On peut aussi, en déterminant la valeur de la constante de la 3ème loi de Kepler à l'aide de la période orbitale de la Terre et du demi-grand axe de l'orbite elliptique décrite par celle-ci «$\;\left(T_{{\text{orbite}},\,{\text{♁}}}=1\;a\,,\,a_{{\text{orbite}},\,{\text{♁}}}=1\;ua\right)\;$» ou, en U.S.I. «$\;\left(T_{{\text{orbite}},\,{\text{♁}}}=3,16\;10^{7}\;s\,,\,a_{{\text{orbite}},\,{\text{♁}}}\simeq 1,50\;10^{11}\;m\right)\;$», en déduire la masse du Soleil « ☉ » connaissant la constante de gravitation universelle $\;{\mathcal {G}}\simeq 6,67\;10^{-11}\;U.S.I.\;$ selon «$\;{\dfrac {a_{{\text{orbite}},\,{\text{♁}}}^{\,3}}{T_{{\text{orbite}},\,{\text{♁}}}^{\,2}}}=$ ${\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}}{4\;\pi ^{2}}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;m_{\text{☉}}={\dfrac {4\;\pi ^{2}}{\mathcal {G}}}\;{\dfrac {a_{{\text{orbite}},\,{\text{♁}}}^{\,3}}{T_{{\text{orbite}},\,{\text{♁}}}^{\,2}}}\simeq {\dfrac {4\times \pi ^{2}}{6,67\;10^{-11}}}\times {\dfrac {\left(1,50\;10^{11}\right)^{3}}{\left(3,16\;10^{7}\right)^{2}}}\simeq 2,00\;10^{30}\;kg\;$».

## Transposition au cas de l’attraction terrestre : énoncé des lois de Kepler adaptées aux satellites terrestres
### Remarque préliminaire

Les trois lois de Kepler s'appliquant aux planètes du Système solaire dans le « référentiel de Kepler » $\;{\big$c'est-à-dire le référentiel lié au Soleil $\;{\big$considéré comme ponctuel${\big )}\;$ en translation par rapport au référentiel galiléen de Copernic${\big ]}\;$ dans la mesure où le référentiel de Kepler peut être considéré comme galiléen $\;{\big$c'est-à-dire si la translation du référentiel de Kepler relativement au référentiel galiléen de Copernic est approximativement rectiligne uniforme, ce qui est réalisé pour une durée ne dépassant pas un mois${\big )}$, avec pour pôle d’attraction de gravitation newtonienne le Soleil « ☉ » $\;{\big$en 1ère approximation le référentiel de Kepler s'identifie au référentiel de Copernic, lequel est le meilleur galiléen pour les objets du Système solaire, c'est donc la raison pour laquelle les trois lois de Kepler appliquées aux planètes du Système solaire sont énoncées dans le référentiel de Copernic${\big ]}$,
peuvent être transposées aux satellites terrestres naturel ou artificiels dans le référentiel géocentrique $\;{\big$c'est-à-dire le référentiel lié au centre de la Terre en translation par rapport au référentiel galiléen de Copernic${\big ]}\;$ dans la mesure où d'une part le référentiel géocentrique peut être considéré comme galiléen $\;{\big$c'est-à-dire si la translation du référentiel géocentrique relativement au référentiel galiléen de Copernic est approximativement rectiligne uniforme, ce qui est réalisé pour une durée ne dépassant pas trois jours${\big )}$ et d'autre part le référentiel barycentrique du système «$\;\left({\text{♁}}\,,\,{\text{satellite}}\right)\;$» $\;{\bigg$c'est-à-dire le référentiel lié au C.D.I. du système «$\;\left({\text{♁}}\,,\,{\text{satellite}}\right)\;$» en translation par rapport au référentiel quasi galiléen géocentrique${\bigg ]}\;$ puisse aussi être considéré comme galiléen $\;{\bigg$c'est-à-dire si la translation du référentiel barycentrique du système «$\;\left({\text{♁}}\,,\,{\text{satellite}}\right)\;$» relativement au référentiel quasi galiléen géocentrique est approximativement rectiligne uniforme, ce qui est réalisé sans aucune autre condition si le satellite est artificiel mais qui n'est réalisé que pour une durée ne dépassant pas six heures si le satellite est naturel c'est-à-dire la Lune « ☽ »${\bigg ]}$, le pôle d’attraction de gravitation newtonienne étant la Terre « ♁ » $\;{\big$en 1ère approximation le référentiel barycentrique du système « ♁, ☽ » s'identifie au référentiel géocentrique, lequel est le meilleur galiléen pour les objets de l'espace champ de gravitation terrestre, c'est donc la raison pour laquelle les trois lois de Kepler appliquées aux satellites de la Terre seront énoncées dans le référentiel géocentrique${\big ]}$,
la justification de cette extension des trois lois de Kepler aux satellites terrestres étant hors programme de physique de P.C.S.I..

### 1ère loi de Kepler transposée aux satellites de la Terre dans l’attraction gravitationnelle de cette dernière

« Les satellites artificiels ou naturel de la Terre décrivent des trajectoires elliptiques dont le centre de la Terre est un des foyers » $\;{\big$ces dernières étant définies dans le référentiel géocentrique quasi galiléen${\big )}$.

### 2ème loi de Kepler transposée aux satellites de la Terre dans l’attraction gravitationnelle de cette dernière

$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;\Delta {\mathcal {A}}_{\left[t\,,\,t+\Delta t\right]}\;$
$\;\Delta t\;$
$\;t\;$

### 3ème loi de Kepler transposée aux satellites de la Terre dans l’attraction gravitationnelle de cette dernière

$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\dfrac {a^{3}}{T^{2}}}=cste\;$
On peut préciser la valeur de la constante dépendant de la masse de la Terre «$\;m_{\text{♁}}\simeq 6,0\;10^{24}\;kg\;$», la 3ème loi de Kepler se réécrivant «$\;{\dfrac {a^{3}}{T^{2}}}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}}{4\;\pi ^{2}}}\;$» ce qui donne numériquement, avec $\;{\mathcal {G}}\simeq$ $6,67\;10^{-11}\;U.S.I.$, «$\;{\dfrac {a^{3}}{T^{2}}}\simeq {\dfrac {6,67\;10^{-11}\times 6,0\;10^{24}}{4\times \pi ^{2}}}\simeq 1,01\;10^{13}\;m^{3}\cdot s^{-2}\simeq 289\;R_{\text{♁}}^{\,3}\cdot \;j^{-2}\;$ » ;
la 3ème loi de Kepler appliquée à la Lune « ☽ » pour laquelle la période de révolution sidérale (mois sidéral) est $\;T_{{\text{orbite}},\,{\text{☽}}}\simeq 27,3\;j\;$ conduit à $\;a_{\text{☽}}\simeq {\sqrt[{3}]{289\times (27,3)^{2}}}\;R_{\text{♁}}\simeq 59,9\;R_{\text{♁}}\;$ soit encore $\;a_{\text{☽}}\simeq$ $383000\;km\;$ $\;{\Bigg$la trajectoire suivie par la Lune « ☽ », considérée comme ponctuelle, étant une ellipse d'excentricité moyenne $\;e_{\text{☽}}\simeq 0,0549\;$ $\;{\big$c'est-à-dire quasiment un cercle${\big )}$, on peut en déduire la position de l'apogée $\;r_{A,\,{\text{☽}}}={\dfrac {p_{\text{☽}}}{1-e_{\text{☽}}}}\;$ et celle du périgée $\;r_{P,\,{\text{☽}}}={\dfrac {p_{\text{☽}}}{1+e_{\text{☽}}}}\;$ de l'orbite lunaire en déterminant au préalable le paramètre $\;p_{\text{☽}}\;$ de cette dernière par $\;r_{A,\,{\text{☽}}}+r_{P,\,{\text{☽}}}=2\;a_{\text{☽}}\;$ ou $\;{\dfrac {p_{\text{☽}}}{1-e_{\text{☽}}}}+{\dfrac {p_{\text{☽}}}{1+e_{\text{☽}}}}=$ $2\;a_{\text{☽}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {2\;p_{\text{☽}}}{1-e_{\text{☽}}^{\,2}}}=$ $2\;a_{\text{☽}}\;$ soit $\;p_{\text{☽}}=a_{\text{☽}}\left(1-e_{\text{☽}}^{\,2}\right)\;$ $\Rightarrow$ $\;r_{A,\,{\text{☽}}}={\dfrac {a_{\text{☽}}\left(1-e_{\text{☽}}^{\,2}\right)}{1-e_{\text{☽}}}}=$ $a_{\text{☽}}\left(1+e_{\text{☽}}\right)\simeq$ $63,19\;R_{\text{♁}}\simeq 404400\;km\;$ et $\;r_{P,\,{\text{☽}}}={\dfrac {a_{\text{☽}}\left(1-e_{\text{☽}}^{\,2}\right)}{1+e_{\text{☽}}}}=$ $a_{\text{☽}}\left(1-e_{\text{☽}}\right)\simeq 56,61\;R_{\text{♁}}\simeq$ $362300\;km$, ainsi la distance « Terre - Lune » varie-t-elle de $\;\simeq 42000\;km\;$ soit approximativement $\;10\;\%\;$ de la distance moyenne « Terre - Lune »${\Bigg ]}$.
Conséquences : connaissant la « période orbitale $\;{\big$ou période de révolution sidérale${\big )}\;$ d’un satellite artificiel de la Terre » on peut en déduire « le demi-grand axe de son orbite » $\;{\big$ou inversement${\big )}$, cela donne par exemple pour «$\;T_{{\text{orbite}},\,{\text{satellite}}}\simeq 1\;j\;$» un demi-grand axe «$\;a_{{\text{orbite}},\,{\text{satellite}}}={\sqrt[{3}]{\left(289\;R_{\text{♁}}^{\,3}\cdot \;j^{-2}\right)\times T_{{\text{orbite}},\,{\text{satellite}}}^{\,2}}}\simeq {\sqrt[{3}]{289}}\;R_{\text{♁}}\;$» soit «$\;a_{{\text{orbite}},\,{\text{satellite}}}\simeq 6,61\;R_{\text{♁}}\simeq 42300\;km\;$» correspondant à une position d'altitude $\;\simeq 35900\;km$ ;
Conséquences : la démarche précédente $\;{\big$ou la démarche inverse${\big )}\;$ peut être renouvelée pour n'importe quel satellite artificiel de la Terre, on constate que la période orbitale du satellite est d'autant plus petite que le demi-grand axe de l'ellipse que ce dernier décrit est petit $\;\ldots$
Remarque : La valeur de la constante de la 3ème loi de Kepler transposée aux satellites de la Terre dans l’attraction gravitationnelle de cette dernière écrite dans le référentiel géocentrique quasi galiléen à savoir «$\;{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}}{4\;\pi ^{2}}}\;$» peut être exprimée en fonction Remarque : de l’intensité du champ de gravitation au niveau du sol de la Terre «$\;G_{\text{♁, sol terrestre}}={\Big \Vert }{\vec {G}}_{\text{♁, sol terrestre}}{\Big \Vert }={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}^{\,2}}}\;$» où «$\;R_{\text{♁}}\;$ est le rayon de la Terre » $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}=G_{\text{♁, sol terrestre}}\;R_{\text{♁}}^{\,2}\;$» d'où la réécriture de la 3ème loi de Kepler transposée aux satellites de la Terre dans l’attraction gravitationnelle de cette dernière écrite dans le référentiel géocentrique quasi galiléen selon
$\;{\dfrac {a^{3}}{T^{2}}}={\dfrac {G_{\text{♁, sol terrestre}}\;R_{\text{♁}}^{\,2}}{4\;\pi ^{2}}}\;$
Remarque : de l’intensité de la pesanteur terrestre au niveau du sol de la Terre «$\;g_{{\text{♁}},\,0}={\big \Vert }{\vec {g}}_{\text{♁, sol terrestre}}{\big \Vert }\;$ en « confondant le champ d’attraction terrestre au niveau du sol et l’intensité de la pesanteur au même niveau » $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}=G_{\text{♁, sol terrestre}}\;R_{\text{♁}}^{\,2}\simeq g_{{\text{♁}},\,0}\;R_{\text{♁}}^{\,2}\;$» d'où la réécriture de la 3ème loi de Kepler transposée aux satellites de la Terre dans l’attraction gravitationnelle de cette dernière écrite sous forme approchée dans le référentiel géocentrique quasi galiléen,
$\;{\dfrac {a^{3}}{T^{2}}}\simeq {\dfrac {g_{{\text{♁}},\,0}\;R_{\text{♁}}^{\,2}}{4\;\pi ^{2}}}\;$
$\;g_{{\text{♁}},\,0}\simeq 9,81\;m\cdot s^{-2}$
$\;{\big$
${\big )}\;$