# Étude des systèmes électriques/Bobine d'induction et circuit RL

schéma d'un circuit RL

## Présentation du composant

Dans le cas général, une bobine est un dipôle formé par l'enroulement d'un fil de cuivre, de façon plus ou moins cylindrique. Lorsqu'on soumet une bobine à une différence de potentiel constante U, on observe que l'intensité du circuit augmente progressivement jusqu'à atteindre l'intensité I fournie par le générateur. À présent si l’on coupe l'alimentation de ce circuit, l'intensité le parcourant n'atteint 0 qu'au bout d'un laps de temps, la bobine permet donc de ralentir l'installation ou la disparition de l'intensité dans un circuit.

### Établissement du courant électrique dans une bobine

Lorsqu'un courant électrique non constant traverse une bobine, celle-ci crée un champ magnétique qui s'oppose à la variation de l'intensité. Ainsi, lorsqu'on cherche à faire passer un courant d'intensité constante dans une bobine, celui-ci va progressivement s'établir au sein de la bobine : l'intensité passera progressivement de la valeur zéro à la valeur finale constante du courant électrique. C’est pour cela qu'on parle de l'établissement du courant dans une bobine, de façon analogue à la charge d'un condensateur. Une fois le courant établi, la bobine peut être considérée comme un fil puisque la différence de potentiel à ses bornes sera quasi-nulle.

### Relation tension - intensité ; inductance

Cela peut paraître évident, mais d’après le paragraphe précédent, il est à noter qu'intensité et tension seront des grandeurs dépendant du temps, que nous noterons parfois u(t) et i(t) pour le marteler.
Tout comme $U=R.i$ pour un conducteur ohmique et $i=C.{\frac {du}{dt}}$ pour un condensateur, il existe une relation entre l'intensité (i en ampères A) traversant une bobine et la tension (u en volts V) à ses bornes :
où le coefficient constant ($L$) est appelé inductance de la bobine, qui s'exprime en henry (H).

## Réponse d'un circuit RL à un échelon de tension

Dans le jargon des physiciens, un "circuit RL" est un circuit où se trouvent en série un générateur, une résistance R et une bobine d'inductance L. On appelle échelon de tension le passage brutal de la tension appliquée à l’ensemble {R + L} d'une valeur nulle à une valeur non nulle : on suppose qu’à t < 0, la tension du générateur est nulle et qu’à partir de t = 0 elle est égale à une constante E.

### Équation différentielle

* D'après la loi d'Ohm, on peut directement écrire que la tension aux bornes de la résistance est $Ri$ pour ne pas ajouter de notations inutiles.
* D'après la loi d'additivité des tensions (ou loi des mailles), E=UL + UR
* À l'aide de la relation intensité tension du paragraphe précédent, on en déduit que $E=Ri+L{\frac {di}{dt}}$
Équation différentielle du circuit RL :

### Solution

La solution de cette équation différentielle est de la forme $i(t)=Ae^{-kt}+B$
* Au bout d'un temps infini, le courant a une intensité constante (on dit que le régime permanent est atteint) et la bobine peut être assimilée à un fil, ainsi la tension aux bornes de L est nulle et nous avons E = Ri, ce qu'on écrit : quand $t\rightarrow \infty ,i={\frac {E}{R}}$ d'où $B={\frac {E}{R}}$
* Comme i est une fonction continue du temps pour une bobine, elle doit valoir zéro à t = 0 puisque le courant s'est établit progressivement, de zéro à E/R, ce qui nous permet de trouver que : $i(0)=0=A+B$ d'où $A=-B=-{\frac {E}{R}}$
* Enfin, pour trouver k, il faut se servir de l'équation différentielle : puisque la forme proposée est solution de celle-ci, remplaçons i par son expression dans celle-ci, nous obtenons après calculs $k={\frac {R}{L}}$ car l'équation doit être valable pour toute valeur de t, et notamment pour t = 0.
* Solution de l'équation différentielle :
intensité traversant une bobine en fonction du temps :

## Constante de temps du circuit RL
### Définition et analyse dimensionnelle

Puisque ce qui se trouve dans une exponentielle ne doit pas avoir de dimension, c’est que le quotient $^{L/R{\displaystyle{\frac{L}{R}}}}$ a la dimension d'un temps. En effet : $[{\frac {L}{R}}]={\frac {[i]}{[u]}}\times {\frac {[u]\times T}{[i]}}=T$ Le quotient ${\frac {L}{R}}$ est donc analogue à une durée qu'on appelle constante de temps et qu'on note : $\tau ={\frac {L}{R}}$. En unités internationales, $\tau$ s'exprime en secondes.

### Détermination de la constante de temps

* Tracer la courbe de l'intensité traversant la bobine en fonction du temps lors de son établissement.
* Tracer une droite d'ordonnée la valeur finale d'intensité ($i_{max}$).
* Tracer la tangente à la courbe en t = 0.
* Le point d'intersection des ces deux droites a pour abscisse $\tau$ et à cette abscisse, l'ordonnée de la courbe vaut $\textstyle {(1-e^{-1}).E\approx 0,63.i_{max}}$
Au cours de l'établissement du courant dans une bobine :
* À $t=\tau$, $i=0,63.i_{max}$
* À $t=5\tau$, $i=0,99.i_{max}$ (le courant est quasiment établi)
La constante donne donc un ordre de grandeur de l'établissement du courant et nous pourrons retenir qu'au bout de $5\tau$ le courant est quasiment établi. Le temps de charge d'un circuit RL peut donc être contrôlé en modifiant les valeurs de R et L.

## Énergie magnétique emmagasinée dans une bobine

En convention récepteur, la puissance d'une bobine s'écrit : $p(t)=u(t)\times i(t)$
Or, $u(t)=L{\frac {di}{dt}}$
On a donc $p(t)=i(t)\times L{\frac {di}{dt}}={\frac {1}{2}}\times L\times {\frac {di^{2}}{dt}}$
Comme la puissance est l'énergie par unité de temps : ${\frac {dE}{dt}}=p(t)$, on en déduit :
$E(t)={\frac {1}{2}}\times L\times i^{2}$;
L'expression de l'énergie dans une bobine dépend du temps. Sa formule est la suivante :

## Inductance équivalente

Il est possible de calculer l'inductance équivalente à celle de plusieurs bobines :
* En série : $L_{1}+L_{2}+...+L_{n}=L_{eq}$
* En dérivation : ${\frac {1}{L_{1}}}+{\frac {1}{L_{2}}}+...+{\frac {1}{L_{n}}}={\frac {1}{L_{eq}}}$
| Condensateur et circuit RC | Oscillations libres dans un circuit RLC |