# Limites d'une fonction/Limite des polynômes et fractions rationnelles à l'infini

Remarque : Les théorèmes qui suivent ne figurent pas au programme de toutes les classes de terminales, voir les fiches d'exercices pour résoudre le problème sans les théorèmes.

## Cas des polynômes

La limite d'un polynôme en $-\infty$ et en $+\infty$ est celle de son terme de plus haut degré.

### Exemple

Déterminer les limites aux infinis des fonctions suivantes :
* $g:x\mapsto -x^{2}+x+1$
* $h:x\mapsto -2x^{3}+4x-1$
* $k:x\mapsto {\frac {1}{2}}x^{3}-x+1$
* $l:x\mapsto -{\frac {1}{3}}x^{7}+x^{3}+x^{2}$
1. Le terme dominant de g est $-x^{2}$
* $\lim _{x\to +\infty }-x^{2}=-\infty$ donc $\lim _{x\to +\infty }g(x)=-\infty$
* $\lim _{x\to -\infty }-x^{2}=-\infty$ donc $\lim _{x\to -\infty }g(x)=-\infty$
2. Le terme dominant de h est $-2x^{3}$
* $\lim _{x\to +\infty }-2x^{3}=-\infty$ donc $\lim _{x\to +\infty }h(x)=-\infty$
* $\lim _{x\to -\infty }-2x^{3}=+\infty$ donc $\lim _{x\to -\infty }h(x)=+\infty$
3. Le terme dominant de k est ${\frac {1}{2}}x^{3}$
* $\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{2}}x^{3}=+\infty$ donc $\lim _{x\to +\infty }k(x)=+\infty$
* $\lim _{x\to -\infty }{\frac {1}{2}}x^{3}=-\infty$ donc $\lim _{x\to -\infty }k(x)=-\infty$
4. Le terme dominant de l est $-{\frac {1}{3}}x^{7}$
* $\lim _{x\to +\infty }-{\frac {1}{3}}x^{7}=-\infty$ donc $\lim _{x\to +\infty }l(x)=-\infty$
* $\lim _{x\to -\infty }-{\frac {1}{3}}x^{7}=+\infty$ donc $\lim _{x\to -\infty }l(x)=+\infty$

## Cas des fractions rationnelles

Une fraction rationnelle (ou fonction rationnelle) est un quotient de polynômes.
La limite d'une fraction rationnelle (ou fonction rationnelle) en $-\infty$ et en $+\infty$ est celle du quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

### Exemple

Déterminer les limites quand x tend vers $+\infty$ et quand x tend vers $-\infty$ des fractions rationnelles suivantes en précisant la forme indéterminée rencontrée.
* $f_{1}(x)={\frac {-5x^{3}+2x^{2}-x+7}{3x^{2}+1}}$
* $f_{2}(x)={\frac {x^{4}+2}{x^{3}+x}}$
* $f_{3}(x)={\frac {-{\frac {1}{3}}x^{2}+5x-4}{x^{5}+1}}$
* $f_{4}(x)={\frac {5x^{2}}{x^{2}+1}}$

#### Question 1

* Le terme dominant du numérateur de ƒ$_1$ est -5x$^3$, donc $\lim _{x\to +\infty }-5x^{3}+2x^{2}-x+7=-\infty$
* Le terme dominant du dénominateur de ƒ$_1$ est 3x$^2$, donc $\lim _{x\to +\infty }3x^{2}+1=+\infty$
* En $+\infty$, on est donc face à la forme indéterminée ${\frac {-\infty }{+\infty }}$
* On considère alors le quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur de ƒ$_1$ : ${\frac {-5x^{3}}{3x^{2}}}=-{\frac {5}{3}}x$
* On a $\lim _{x\to +\infty }-{\frac {5}{3}}x=-\infty$, donc $\lim _{x\to +\infty }f_{1}(x)=-\infty$
* De même, on aboutit à $\lim _{x\to -\infty }f_{1}(x)=+\infty$

#### Question 2

* Le terme dominant du numérateur de ƒ$_2$ est x$^4$, donc $\lim _{x\to +\infty }x^{4}+2=+\infty$
* Le terme dominant du dénominateur de ƒ$_2$ est x$^3$, donc $\lim _{x\to +\infty }x^{3}+x=+\infty$
* En $+\infty$, on est donc face à la forme indéterminée ${\frac {+\infty }{+\infty }}$
* On considère alors le quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur de ƒ$_2$ : ${\frac {x^{4}}{x^{3}}}=x$
* On a $\lim _{x\to +\infty }x=+\infty$, donc $\lim _{x\to +\infty }f_{2}(x)=+\infty$
* De même, on aboutit à $\lim _{x\to -\infty }f_{2}(x)=-\infty$

#### Question 3

* Le terme dominant du numérateur de ƒ$_3$ est $-{\frac {1}{3}}x^{2}$, donc $\lim _{x\to +\infty }-{\frac {1}{3}}x^{2}+5x-4=-\infty$
* Le terme dominant du dénominateur de ƒ$_3$ est x$^5$, donc $\lim _{x\to +\infty }x^{5}+1=+\infty$
* En $+\infty$, on est donc face à la forme indéterminée ${\frac {-\infty }{+\infty }}$
* On considère alors le quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur de ƒ$_3$ : ${\frac {-{\frac {1}{3}}x^{2}}{x^{5}}}=-{\frac {1}{3x^{3}}}$
* On a $\lim _{x\to +\infty }-{\frac {1}{3x^{3}}}=0$, donc $\lim _{x\to +\infty }f_{3}(x)=0$
* De même, on aboutit à $\lim _{x\to -\infty }f_{3}(x)=0$

#### Question 4

* Le terme dominant du numérateur de ƒ$_4$ est 5x$^2$, donc $\lim _{x\to +\infty }5x^{2}=+\infty$
* Le terme dominant du dénominateur de ƒ$_4$ est x$^2$, donc $\lim _{x\to +\infty }x^{2}+1=+\infty$
* En $+\infty$, on est donc face à la forme indéterminée ${\frac {+\infty }{+\infty }}$
* On considère alors le quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur de ƒ$_4$ : ${\frac {5x^{2}}{x^{2}}}=5$
* On a $\lim _{x\to +\infty }5=5$, donc $\lim _{x\to +\infty }f_{4}(x)=5$
* De même, on aboutit à $\lim _{x\to -\infty }f_{4}(x)=5$
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