# Notions de thermodynamique quantique/Théories des ressources
## Théories des ressources

Les théories des ressources ont été développées pour modéliser les échanges d'énergie et d'information dans divers systèmes physiques. Ces théories ont permis de mieux comprendre la nature fondamentale des processus thermodynamiques, en particulier pour les systèmes de petite échelle. Les théories des ressources peuvent être utilisées pour décrire les propriétés des systèmes quantiques, comme les qubits, qui sont utilisés dans l'informatique quantique.
Les théories des ressources quantiques permettent de quantifier un effet quantique utile, de développer de nouveaux protocoles pour sa détection et de déterminer les processus exacts qui maximisent son utilisation pour des tâches pratiques.
Dans les théories des ressources, l'ingéniosité est considérée comme une ressource fondamentale qui peut être convertie entre différentes formes d'énergie et d'information. La notion d'ingéniosité, ou « travail extractible », a été introduite pour décrire la quantité maximale d'énergie qui peut être extraite d'un système thermodynamique. En d'autres termes, l'ingéniosité représente la quantité maximale de travail qui peut être effectué sans réduire l'entropie du système.
Les théories des ressources sont basées sur le principe de conservation de l'ingéniosité, qui stipule que la quantité totale d'ingéniosité dans un système fermé est conservée. Cette conservation de l'ingéniosité est liée à la seconde loi de la thermodynamique, qui stipule que l'entropie d'un système fermé ne peut jamais décroître.
Les théories des ressources peuvent être appliquées à des systèmes thermodynamiques de différentes natures, tels que les systèmes électrochimiques, magnétiques, gravitationnels, etc. En outre, les théories des ressources peuvent être utilisées pour décrire les interactions entre différents systèmes, par exemple entre un système thermodynamique et un système informatique.

## Distillation d'intrication

Un exemple d'utilisation de la théorie des ressources pour modéliser les échanges d'énergie et d'information est la théorie de la distillation d'intrication. Cette théorie permet de quantifier la quantité d'intrication d'une paire de qubits et de montrer comment cet intrication peut être transformé en un état plus pur en utilisant des opérations locales et une communication classique. Les opérations locales et la communication classique sont des opérations libres dans cette théorie, tandis que l'intrication est considéré comme une ressource. Cette théorie est importante dans le développement de la communication quantique, où l'intrication est utilisé pour transmettre de l'information de manière sécurisée et efficace. Cette distillation d'intrication est donc essentielle pour le futur internet quantique.
La distillation d'intrication (également appelée purification d'intrication) est la transformation de N copies d'un état entrelacé arbitraire ρ en un certain nombre de paires de Bell approximativement pures, en n'utilisant que des opérations locales et une communication classique. La distillation d'intrication quantique peut ainsi surmonter l'influence dégénérative des canaux quantiques bruyants en transformant les paires moins entrelacées précédemment partagées en un nombre plus petit de paires maximales d'entrelacement.
Un système à deux qubits peut être écrit comme une superposition d'états qubit de base de calcul possibles : |00⟩, |01⟩, |10⟩, |11⟩, chacun avec un coefficient complexe associé α :
    $|\psi \rangle =\alpha _{00}|00\rangle +\alpha _{01}|01\rangle +\alpha _{10}|10\rangle +\alpha _{11}|11\rangle$
Comme dans le cas d'un seul qubit, la probabilité de mesurer un état de base de calcul particulier |x⟩ est le carré du module de son amplitude, ou coefficient associé, $|\alpha _{x}|^{2}\,\!$ , soumis à la condition de normalisation ∑$_{x∈0, 1}$|α$_x$|$^2$=1{\textstyle \sum _{x\in {0, 1}}|\alpha _{x}|^{2}=1}. La condition de normalisation garantit que la somme des probabilités s'ajoute à 1, ce qui signifie qu'à la mesure, l'un des états sera observé.
L'état de Bell est un exemple particulièrement important d'un état à deux qubits : 1/√2 (|00⟩+|11⟩){\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle )}.
Les états de Bell possèdent la propriété que les résultats de mesure sur les deux qubits sont corrélés. Comme on peut le voir dans l'expression ci-dessus, les deux résultats de mesure possibles sont zéro et un, tous deux avec une probabilité de 50 %. Par conséquent, une mesure du deuxième qubit donne toujours le même résultat que la mesure du premier qubit.
Les états de Bell peuvent être utilisés pour quantifier l'entrelacement. Soit m le nombre de copies à haute fidélité d'un état de Bell. Étant donné un grand nombre d'états de Bell, la quantité d'intrication présente dans un état pur | ψ ⟩ peut ensuite être définie comme le rapport n / m, appelé l'entrelacement distillable d'un état particulier | ϕ ⟩, qui donne une mesure quantifiée de la quantité d'intrication présente dans un système donné. Le processus de distillation d'intrication vise à saturer ce ratio limite. Le nombre de copies d'un état pur qui peuvent être converties en un état maximalement entrelacé est égal à l'entropie de von Neumann S(p) de l'état, qui est une extension du concept d'entropie classique pour les systèmes quantiques. Mathématiquement, pour une matrice de densité donnée ρ, l'entropie de von Neumann S(ρ) est $S=-\operatorname {tr} (\rho \ln \rho )$. L'entrelacement peut donc être quantifié par l'entropie d'entrelacement, qui est l'entropie de von Neumann de $\rho _{A}$ ou $\rho _{B}$ :
    $S=-\mathrm {tr} (\rho _{A}\ln \rho _{A})=-\mathrm {tr} (\rho _{B}\ln \rho _{B}),$
qui varie de 0 pour un état produit à ln 2 pour un état maximalement entrelacé (si ln est remplacé par log 2, alors l'état maximalement entrelacé a une valeur de 1).

## Conclusion

Les théories des ressources sont également utilisées pour modéliser les échanges de particules dans les systèmes thermodynamiques. Les échanges de particules peuvent conduire à des changements significatifs dans les propriétés thermodynamiques du système, tels que l'entropie et l'ingéniosité. Les théories des ressources peuvent être utilisées pour modéliser ces échanges de particules et pour décrire les propriétés thermodynamiques des systèmes qui en résultent.
Ces théories visent à transformer les phénomènes physiques, telles que l'intrication et la cohérence quantique, en propriétés utiles à l'exécution de tâches concrètes liées à l'information quantique. L’intrication et la cohérence quantiques sont les ressources qui vont permettre de calculer plus vite, mesurer plus précisément et communiquer de façon plus sûre.
Les théories des ressources sont donc des outils importants pour la modélisation des systèmes thermodynamiques, en particulier pour les systèmes de petite échelle tels que les qubits. Ces théories permettent de mieux comprendre la nature fondamentale des processus thermodynamiques et peuvent être utilisées pour prédire les propriétés thermodynamiques des systèmes dans des conditions expérimentales spécifiques.