# Signaux physiques (PCSI)/Propagation d'un signal : Onde progressive sinusoïdale
## Cas particulier d'une onde progressive sinusoïdale (ou harmonique) dans le cas d'une propagation unidimensionnelle linéaire non dispersive
### Définition d'une O.P.H.

$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;\omega \;$
$\;s(M,\,t)=A(M)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi (M)\right]\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A(M)\\{\text{et}}\\\varphi (M)\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;M\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A_{0}=A(O)\\{\text{et}}\\\varphi _{0}=\varphi (O)\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;O\;$
Dans le cas d'une propagation unidimensionnelle linéaire $\;{\big$non dispersive${\big )}$, une « onde progressive sinusoïdale » le long de l'axe $\;Ox\;$ est une onde sinusoïdale du type
$\;s(x,\,t)=$
$A(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi (x)\right]\;$
la « vibration observée à toute abscisse $\;x>0\;$ reproduit la vibration observée en $\;x=0\;$ avec le retard temporel $\;\tau =\pm {\dfrac {x}{c}}\;$» suivant que la propagation se fait dans le sens $\;\nearrow \;$ ${\big$ou $\;\searrow {\big )}\;$ de l'axe $\;Ox$ :
* dans le cas d'une propagation unidimensionnelle linéaire $\;{\big$non dispersive${\big )}\;$ dans le sens des $\;x\nearrow$, l'O.P.H. de pulsation $\;\omega \;$ s'écrit «$\;s(x,\,t)=s(0,\,t-\tau )=$ $s(0,\,t-|\tau |)=A_{0}\,\cos \!\left[\omega \left(t-{\dfrac {x}{c}}\right)+\varphi _{0}\right]\;$» ;
* dans le cas d'une propagation unidimensionnelle linéaire $\;{\big$non dispersive${\big )}\;$ dans le sens des $\;x\searrow$, l'O.P.H. de pulsation $\;\omega \;$ s'écrit «$\;s(x,\,t)=s(0,\,t-\tau )=$ $s(0,\,t+|\tau |)=A_{0}\,\cos \!\left[\omega \left(t+{\dfrac {x}{c}}\right)+\varphi _{0}\right]\;$».

### Notion de pulsation spatiale, vecteur d'onde

L'O.P.H. étant une fonction sinusoïdale de la variable $\;t\mp {\dfrac {x}{c}}\;$, peut se réécrire, après développement de l'argument du cosinus, selon «$\;s(x,\,t)=$ $A_{0}\,\cos \!\left[\omega \,t\mp {\dfrac {\omega }{c}}\,x+\varphi _{0}\right]\;$» ; on en déduit que l'O.P.H. est une fonction sinusoïdale à la fois :
* du temps$\;t\;$ ${\big$pour $\;x\;$ fixé${\big )}\;$ avec une pulsation temporelle$\;\omega$,
* de la variable spatiale$\;x\;$ ${\big$pour $\;t\;$ fixé${\big )}\;$ avec une pulsation spatiale$\;k={\dfrac {\omega }{c}}\;$ ;
on réécrit alors l'O.P.H. «$\;s(x,\,t)=A_{0}\,\cos \!\left[\omega \,t\mp k\,x+\varphi _{0}\right]\;$».
$\;{\vec {k}}\;$
$\;k$
$\;Ox\;$
$\;{\vec {k}}=\pm k\,{\vec {u}}_{x}\;$

## Périodicité temporelle de l'onde progressive sinusoïdale (O.P.H.), période et fréquence

« À $\;x\;$ fixé », l'O.P.H. s'écrivant «$\;s(x,\,t)=A_{0}\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi (x)\right]\;$» avec «$\;\varphi (x)=\mp k\,x+\varphi _{0}\;$» est périodique de période temporelle$\;T={\dfrac {2\,\pi }{\omega }}\;$ et « À $\;\color {transparent}{x}\;$ fixé », l'O.P.H. s'écrivant «$\;\color {transparent}{s(x,\,t)=A_{0}\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi (x)\right]}\;$» avec «$\;\color {transparent}{\varphi (x)=\mp k\,x+\varphi _{0}}\;$» est périodique de fréquence temporelle$\;f={\dfrac {1}{T}}={\dfrac {\omega }{2\,\pi }}$ ; « À $\;\color {transparent}{x}\;$ fixé », l'O.P.H. peut alors se réécrire
$\;s(x,\,t)=A_{0}\,\cos \!\left[2\,\pi \,{\dfrac {t}{T}}+\varphi (x)\right]=A_{0}\,\cos \!\left[2\,\pi \,f\,t+\varphi (x)\right]\;$

## Périodicité spatiale de l'onde progressive sinusoïdale (O.P.H.), longueur d'onde et nombre d'onde

« À $\;t\;$ fixé », l'O.P.H. s'écrivant «$\;s(x,\,t)=A_{0}\,\cos \!\left[\mp k\,x+\psi (t)\right]\;$»$^,$ avec «$\;\psi (t)=\omega \,t+\varphi _{0}\;$» est périodique de période spatiale$\;\lambda ={\dfrac {2\,\pi }{k}}\;$ ${\big$c.-à-d. « longueur d'onde » en $\;m{\big )}$ et « À $\;\color {transparent}{t}\;$ fixé », l'O.P.H. s'écrivant «$\;\color {transparent}{s(x,\,t)=A_{0}\,\cos \!\left[\mp k\,x+\psi (t)\right]}\;$» avec «$\;\color {transparent}{\psi (t)=\omega \,t+\varphi _{0}}\;$» est périodique de fréquence spatiale$\;\sigma ={\dfrac {1}{\lambda }}={\dfrac {k}{2\,\pi }}\;$ ${\big$c.-à-d. « nombre d'onde » en $\;m^{-1}{\big )}$ ; « À $\;\color {transparent}{t}\;$ fixé », l'O.P.H. peut alors se réécrire
$\;s(x,\,t)=A_{0}\,\cos \!\left[\mp 2\,\pi \,{\dfrac {x}{\lambda }}+\psi (t)\right]=A_{0}\,\cos \!\left[\mp 2\,\pi \,\sigma \,x+\psi (t)\right]\;$
Le vecteur d'onde peut être écrit selon
$\;{\vec {k}}=\pm k\,{\vec {u}}_{x}=\pm {\dfrac {2\,\pi }{\lambda }}\,{\vec {u}}_{x}=\pm 2\,\pi \,\sigma \,{\vec {u}}_{x}\;$

## Lien entre longueur d'onde, fréquence (temporelle) et célérité pour une O.P.H.

La pulsation spatiale $\;k\;$ étant liée à la pulsation temporelle $\;\omega \;$ et la célérité de propagation $\;c\;$ par «$\;k={\dfrac {\omega }{c}}$», nous en déduisons la « période spatiale $\;{\big$ou longueur d'onde${\big )}\;$» «$\;\lambda ={\dfrac {2\,\pi }{k}}={\dfrac {2\,\pi }{\dfrac {\omega }{c}}}=$ ${\dfrac {2\,\pi }{\omega }}\,c\;$» soit, compte tenu de la définition de la période temporelle «$\;T={\dfrac {2\,\pi }{\omega }}\;$», la relation «$\;\lambda =c\,T\;$».
La longueur d'onde est donc aussi la « distance de propagation de l'O.P.H. pendant une période temporelle de cette dernière ».
On en déduit aussi la longueur d'onde $\;\lambda \;$ en fonction de la fréquence $\;{\big$temporelle${\big )}\;f\;$ et la célérité de propagation $\;c\;$ selon
$\;\lambda ={\dfrac {c}{f}}\;$
En conclusion : On peut trouver toutes les grandeurs relatives à la périodicité spatio-temporelle de l'O.P.H. quand on connaît l'une d'entre elles et la célérité de propagation, en effet :
* si on connaît la période$\;{\big$temporelle${\big )}\;$$T$, alors on en déduit : si on connaît la période$\;\color {transparent}{\big$temporelle$\color {transparent}{\big )}\;$$\color {transparent}{T}$, alors on en déduit : la pulsation $\;{\big$temporelle${\big )}$ $\;\omega ={\dfrac {2\,\pi }{T}}$, si on connaît la période$\;\color {transparent}{\big$temporelle$\color {transparent}{\big )}\;$$\color {transparent}{T}$, alors on en déduit : la fréquence $\;{\big$temporelle${\big )}$ $\;f={\dfrac {1}{T}}$, si on connaît la période$\;\color {transparent}{\big$temporelle$\color {transparent}{\big )}\;$$\color {transparent}{T}$, alors on en déduit : la longueur d'onde $\;{\big$ou période spatiale${\big )}$ $\;\lambda =c\,T$, si on connaît la période$\;\color {transparent}{\big$temporelle$\color {transparent}{\big )}\;$$\color {transparent}{T}$, alors on en déduit : le nombre d'onde $\;{\big$ou fréquence spatiale${\big )}$ $\;\sigma ={\dfrac {1}{\lambda }}={\dfrac {1}{c\,T}}\;$ et si on connaît la période$\;\color {transparent}{\big$temporelle$\color {transparent}{\big )}\;$$\color {transparent}{T}$, alors on en déduit : la norme du vecteur d'onde $\;{\big$ou pulsation spatiale${\big )}$ $\;k={\dfrac {2\,\pi }{\lambda }}={\dfrac {2\,\pi }{c\,T}}$ ;
* si on connaît la fréquence$\;{\big$temporelle${\big )}\;$$f$, alors on en déduit : si on connaît la fréquence$\;\color {transparent}{\big$temporelle$\color {transparent}{\big )}\;$$\color {transparent}{f}$, alors on en déduit : la pulsation $\;{\big$temporelle${\big )}$ $\;\omega =2\,\pi \,f$, si on connaît la fréquence$\;\color {transparent}{\big$temporelle$\color {transparent}{\big )}\;$$\color {transparent}{f}$, alors on en déduit : la période $\;{\big$temporelle${\big )}$ $\;T={\dfrac {1}{f}}$, si on connaît la fréquence$\;\color {transparent}{\big$temporelle$\color {transparent}{\big )}\;$$\color {transparent}{f}$, alors on en déduit : la longueur d'onde $\;{\big$ou période spatiale${\big )}$ $\;\lambda =c\,T={\dfrac {c}{f}}$, si on connaît la fréquence$\;\color {transparent}{\big$temporelle$\color {transparent}{\big )}\;$$\color {transparent}{f}$, alors on en déduit : le nombre d'onde $\;{\big$ou fréquence spatiale${\big )}$ $\;\sigma ={\dfrac {1}{\lambda }}={\dfrac {f}{c}}\;$ et si on connaît la fréquence$\;\color {transparent}{\big$temporelle$\color {transparent}{\big )}\;$$\color {transparent}{f}$, alors on en déduit : la norme du vecteur d'onde $\;{\big$ou pulsation spatiale${\big )}$ $\;k={\dfrac {2\,\pi }{\lambda }}={\dfrac {2\,\pi \,f}{c}}$ ;
* si on connaît la longueur d'onde$\;{\big$ou période spatiale${\big )}\;$$\lambda$, alors on en déduit : si on connaît la longueur d'onde$\;\color {transparent}{\big$ou période spatiale$\color {transparent}{\big )}\;$$\color {transparent}{\lambda }$, alors on en déduit : le nombre d'onde $\;{\big$ou fréquence spatiale${\big )}$ $\;\sigma ={\dfrac {1}{\lambda }}$, si on connaît la longueur d'onde$\;\color {transparent}{\big$ou période spatiale$\color {transparent}{\big )}\;$$\color {transparent}{\lambda }$, alors on en déduit : la norme du vecteur d'onde $\;{\big$ou pulsation spatiale${\big )}$ $\;k={\dfrac {2\,\pi }{\lambda }}$, si on connaît la longueur d'onde$\;\color {transparent}{\big$ou période spatiale$\color {transparent}{\big )}\;$$\color {transparent}{\lambda }$, alors on en déduit : la période $\;{\big$temporelle${\big )}$ $\;T={\dfrac {\lambda }{c}}$, si on connaît la longueur d'onde$\;\color {transparent}{\big$ou période spatiale$\color {transparent}{\big )}\;$$\color {transparent}{\lambda }$, alors on en déduit : la fréquence $\;{\big$temporelle${\big )}$ $\;f={\dfrac {1}{T}}={\dfrac {c}{\lambda }}\;$ et si on connaît la longueur d'onde$\;\color {transparent}{\big$ou période spatiale$\color {transparent}{\big )}\;$$\color {transparent}{\lambda }$, alors on en déduit : la pulsation $\;{\big$temporelle${\big )}$ $\;\omega =2\,\pi \,f={\dfrac {2\,\pi \,c}{\lambda }}$.
Il suffit de retenir les liens entre grandeurs temporelles «$\;\omega ={\dfrac {2\,\pi }{T}}\;$», «$\;f={\dfrac {1}{T}}\;$», Il suffit de retenir la façon de déduire la période spatiale $\;{\big$ou longueur d'onde${\big )}\;$ de la période temporelle «$\;\lambda =c\,T\;$», Il suffit de retenir le fait que le nombre d'onde est la fréquence spatiale «$\;\sigma ={\dfrac {1}{\lambda }}\;$» et Il suffit de retenir le fait que la norme du vecteur d'onde est la pulsation spatiale «$\;k={\dfrac {2\,\pi }{\lambda }}\;$», on retrouve alors toutes les autres relations.
L'O.P.H. peut alors se réécrire selon l'une de ses trois formes équivalentes :
$\;s(x,\,t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}A_{0}\,\cos \!\left[2\,\pi \left({\dfrac {t}{T}}\mp {\dfrac {x}{\lambda }}\right)+\varphi _{0}\right]\\A_{0}\,\cos \!\left[2\,\pi \left(f\,t\mp \sigma \,x\right)+\varphi _{0}\right]\\A_{0}\,\cos \!\left[\omega \,t\mp k\,x+\varphi _{0}\right]\end{array}}\right.\;$

## Notion de déphasage de l'onde entre des points séparés d'une distance finie au même instant
### Définition

La phase initiale du signal transporté par l'O.P.H. à l'abscisse $\;x\;$ étant «$\;\varphi (x)=\varphi _{0}\mp k\,x=\varphi _{0}\mp {\dfrac {2\,\pi }{\lambda }}\,x\;$» $\Rightarrow$ le signal au point d'abscisse $\;x_{1}\;$ est déphasé, par rapport au signal considéré au même instant au point d'abscisse $\;x_{0}$, de
$\;\Delta \varphi =\varphi (x_{1})-\varphi (x_{0})=\mp k\left(x_{1}-x_{0}\right)=\mp {\dfrac {2\,\pi }{\lambda }}\left(x_{1}-x_{0}\right)=\mp {\dfrac {2\,\pi }{\lambda }}\,\Delta x\;$
$\;{\big$
$\;\Delta x=x_{1}-x_{0}{\big )}\;$
ce résultat se retrouve facilement par des considérations physiques :
* si $\;x_{1}>x_{0}\;$ et si la propagation se fait dans le sens des $\;x\nearrow$, « le signal en $\;x_{1}\;$ est, sur le signal en $\;x_{0}\;$ considéré au même instant, en retard temporel de $\;\tau ={\dfrac {x_{1}-x_{0}}{c}}={\dfrac {\Delta x}{c}}\;$» ${\big$en notant $\;\Delta x=x_{1}-x_{0}{\big )}$, ce qui se traduit par le déphasage «$\;\Delta \varphi$ $=\varphi (x_{1})-\varphi (x_{0})=-2\,\pi \,{\dfrac {\tau }{T}}=-2\,\pi \,{\dfrac {\Delta x}{c\,T}}\;$» qui se réécrit «$\;\varphi (x_{1})-\varphi (x_{0})=$ $-{\dfrac {2\,\pi }{\lambda }}\,\Delta x\;$» $\;{\big \$voir ci-contre${\big \}$,
* si $\;x_{1}>x_{0}\;$ et si la propagation se fait dans le sens des $\;x\searrow$, « le signal en $\;x_{1}\;$ est, sur le signal en $\;x_{0}\;$ considéré au même instant, en retard temporel de $\;\tau =-{\dfrac {x_{1}-x_{0}}{c}}=-{\dfrac {\Delta x}{c}}\;$» ${\big$en notant $\;\Delta x=x_{1}-x_{0}{\big )}$, ce qui se traduit par le déphasage «$\;\Delta \varphi$ $=\varphi (x_{1})-\varphi (x_{0})=-2\,\pi \,{\dfrac {\tau }{T}}=2\,\pi \,{\dfrac {\Delta x}{c\,T}}\;$ qui se réécrit $\;\varphi (x_{1})-\varphi (x_{0})$ $={\dfrac {2\,\pi }{\lambda }}\,\Delta x\;$» $\;{\big \$voir ci-contre${\big \}$.

### Condition pour les signaux considérés au même instant en deux points d'abscisses différentes soient en phase

La condition pour laquelle les vibrations aux deux points d'abscisse $\;x_{0}\;$ et $\;x_{1}\;$ considérées au même instant soient en phase s'écrit «$\;\Delta \varphi =\varphi (x_{1})-\varphi (x_{0})=p'\,2\,\pi ,\;p'\in \mathbb {Z} ^{*}\;$» soit, en utilisant le déphasage explicité ci-dessus,
$\;\Delta x=x_{1}-x_{0}=p\,\lambda ,\;p\in \mathbb {Z} ^{*}\;$
$\;x_{0}\;$
$\;x_{1}=x_{0}+\Delta x\;$
$\;\Delta x=p\,\lambda ,\;p\in \mathbb {Z} ^{*}\;$
$\;Ox\;$

### Condition pour les signaux considérés au même instant en deux points d'abscisses différentes soient en opposition de phase

La condition pour laquelle les vibrations aux deux points d'abscisse $\;x_{0}\;$ et $\;x_{1}\;$ considérées au même instant soient en opposition de phase s'écrit «$\;\Delta \varphi =\varphi (x_{1})-\varphi (x_{0})=\left(p'+{\dfrac {1}{2}}\right)2\,\pi \;$ avec $\;p'\in \mathbb {Z} \;$» soit, en utilisant le déphasage explicité ci-dessus,
$\;\Delta x=x_{1}-x_{0}=\left(p+{\dfrac {1}{2}}\right)\lambda ,\;p\in \mathbb {Z} \;$
$\;x_{0}\;$
$\;x_{1}=x_{0}+\Delta x\;$
$\;\Delta x={\dfrac {\lambda }{2}}+p\,\lambda ,\;p\in \mathbb {Z} \;$
$\;Ox\;$

## Notion de déphasage de l'onde entre des instants écartés d'une durée finie (au même endroit)
### Préliminaire à la définition

Le signal transporté par l'O.P.H. au point d'abscisse $\;x\;$ et à l'instant $\;t\;$ s'écrivant «$\;s(x,\,t)=A_{0}\,\cos \!\left[\mp k\,x+\psi _{1}(t)\right]\;$», avec «$\;\psi _{1}(t)=\omega \,t+\varphi _{0}\;$», soit
$\;s(x,\,t)=\left\lbrace {\begin{array}{l l}A_{0}\,\cos \!\left[k\,x-\psi _{1}(t)\right]\!\!&{\text{si propagation dans le sens des }}x\searrow \\A_{0}\,\cos \!\left[-k\,x+\psi _{1}(t)\right]\!\!&{\text{si propagation dans le sens des }}x\nearrow \end{array}}\right.\;$
nous définissons le déphasage après avoir mis le signal sous la forme «$\;s(x,\,t)=A_{0}\,\cos \!\left[k\,x+\psi (t)\right]\;$», avec «$\;\psi (t)=\left\lbrace {\begin{array}{r c r l}\psi _{1}(t)\!\!\!&=&\!\!\!\omega \,t+\varphi _{0}\!\!&{\text{si propagation dans le sens des }}x\searrow \\-\psi _{1}(t)\!\!\!&=&\!\!\!-\omega \,t-\varphi _{0}\!\!&{\text{si propagation dans le sens des }}x\nearrow \end{array}}\right.\;$».

### Définition

Au lieu d'envisager le signal transporté par l'onde au même instant mais en deux points différents, on considère le signal transporté par l'onde au même endroit mais à deux instants différents $\;t_{1}\;$ et $\;t_{0}$, sachant que la phase initiale du signal transporté par l'O.P.H. à l'instant $\;t\;$ est défini selon «$\;\psi (t)=\mp \omega \,t\mp \varphi _{0}=$ $\mp {\dfrac {2\,\pi }{T}}\,t\mp \varphi _{0}\;$»$^,$, on en déduit que le signal à l'instant $\;t_{1}\;$ est déphasé par rapport au signal à l'instant $\;t_{0}\;$ considéré au même point de
$\;\Delta \psi =$
$\psi (t_{1})-\psi (t_{0})=$
$\mp \omega \left(t_{1}-t_{0}\right)=\mp {\dfrac {2\,\pi }{T}}\left(t_{1}-t_{0}\right)=\mp {\dfrac {2\,\pi }{T}}\,\Delta t\;$
${\big$
$\;\Delta t=t_{1}-t_{0}{\big )}$
ce résultat peut se retrouver par des considérations physiques :
* si $\;t_{1}>t_{0}\;$ et si la propagation se fait dans le sens des $\;x\nearrow$, « le signal à $\;t_{1}\;$ en l'abscisse $\;x\;$ est identique au signal à $\;t_{0}\;$ en l'abscisse $\;x-\delta \;$ où $\;\delta =c\,(t_{1}-t_{0})=c\,\Delta t\;$ ${\big$en notant $\;\Delta t=t_{1}-t_{0}{\big )}\;$ est la distance parcourue pendant la durée écoulée entre $\;t_{0}\;$ et $\;t_{1}\;$», $\Rightarrow$ le déphasage «$\;\Delta \psi =\psi (t_{1})-\psi (t_{0})=-2\,\pi \,{\dfrac {\delta }{\lambda }}=$ $-2\,\pi \,{\dfrac {c\,\Delta t}{c\,T}}\;$» que l'on peut réécrire «$\;\psi (t_{1})-\psi (t_{0})=-{\dfrac {2\,\pi }{T}}\,\Delta t\;$»,
* si $\;t_{1}>t_{0}\;$ et si la propagation se fait dans le sens des $\;x\searrow$, « le signal à $\;t_{1}\;$ en l'abscisse $\;x\;$ est identique au signal à $\;t_{0}\;$ en l'abscisse $\;x-\delta \;$ où $\;\delta =$ $-c\,(t_{1}-t_{0})=-c\,\Delta t\;$ ${\big$en notant $\;\Delta t=t_{1}-t_{0}{\big )}\;$ est la distance parcourue pendant la durée écoulée entre $\;t_{0}\;$ et $\;t_{1}\;$», $\Rightarrow$ le déphasage «$\;\Delta \psi =\psi (t_{1})-\psi (t_{0})=-2\,\pi \,{\dfrac {\delta }{\lambda }}=2\,\pi \,{\dfrac {c\,\Delta t}{c\,T}}\;$» que l'on peut réécrire «$\;\psi (t_{1})-\psi (t_{0})={\dfrac {2\,\pi }{T}}\,\Delta t\;$».

## Étude expérimentale, mesure de la célérité, de la longueur d'onde et du déphasage d'une O.P.H.
### Principe de la mesure de la célérité de propagation dans un milieu unidimensionnel, exemple de la détermination expérimentale de la célérité du son dans l'air

On dispose deux microphones à la distance $\;d\;$ l'un de l'autre, l'onde sonore utilisée étant créée dans l'alignement de ces deux microphones ; l'onde sonore correspond par exemple à un coup donné sur un socle en bois, le signal capté par le 1er microphone étant envoyé sur la voie $\;CH1\;$ d'un oscilloscope numérique et celui capté par le 2ème microphone sur la voie $\;CH2\;$ du même oscilloscope numérique $\;{\big$voir ci-contre à gauche${\big )}$ ;
le signal capté par le 1er microphone étant choisi comme source de déclenchement à l'enregistrement « monocoup » de l'oscilloscope, on observe l'enregistrement ci-contre à droite :
la distance $\;d\;$ étant mesurée avec précision $\;{\big$emploi d'un banc gradué${\big )}\;$ et le retard temporel $\;\tau \;$ étant également connu avec précision $\;{\big$on estime aisément cette dernière par déplacement de curseurs verticaux sur l'oscilloscope${\big )}$, on peut évaluer la célérité du son dans l'air par «$\;c={\dfrac {d}{\tau }}\;$».

### Principe de la mesure de la longueur d'onde d'une O.P.H. dans un milieu unidimensionnel, exemple d'une O.P.H. ultrasonore dans l'air

Un émetteur d'ultrasons étant alimenté par un G.B.F. à une fréquence $\;f=44,0\;kHz\;$, deux récepteurs sont placés sur un même banc, quasiment dans l'alignement avec l'émetteur, le 1er étant fixe et le 2ème mobile, les signaux reçus par chacun d'eux étant repérés respectivement sur les voies $\;CH1\;$ et $\;CH2\;$ d'un oscilloscope numérique ; sans réglage préalable sur le récepteur $\;2\;$ proche du récepteur $\;1$, on observe a priori un déphasage entre ces deux signaux ; on déplace le récepteur $\;2\;$ de façon à ce que les signaux soient en phase, on repère alors la position du récepteur $\;2\;$ notée $\;x_{2}^{0}$, et on poursuit le déplacement en recherchant les positions correspondant aux signaux en phase jusqu'à une nème position notée $\;x_{2}^{n}$ ; « la distance $\;x_{2}^{n}-x_{2}^{0}\;$ s'identifie alors à $\;n\,\lambda \;$», ce qui permet d'en déduire la longueur d'onde de l'O.P.H. ultrasonore avec une précision d'autant meilleure que $\;n\;$ peut être grand ; connaissant la fréquence de l'onde on en déduit la célérité de propagation dans l'air par «$\;c=\lambda \;f\;$».

### Principe de la mesure d'un déphasage d'une O.P.H. enregistrée en deux positions distinctes du milieu unidimensionnel, exemple d'une O.P.H. ultrasonore dans l'air

On reprend le montage précédent et, sans effectuer de réglage a priori, les signaux enregistrés sur les voies $\;CH1\;$ et $\;CH2\;$ de l'oscilloscope sont déphasés $\;{\big \$bien que le signal reçu par le récepteur $\;2\;$ soit « mathématiquement » en retard de phase sur le signal reçu par le récepteur $\;1$, il peut être « physiquement » en retard ou en avance et c'est uniquement ce déphasage que l'on mesure directement en fonctionnement $\;(y,\,t)\;$ de l'oscilloscope${\big \}$ ;
on détermine le décalage « physique » temporel $\;\Delta t\;$ par curseurs de temps et on en déduit l'avance de phase « physique » du signal $\;1\;$ sur le signal $\;2\;$ par
$\;\Delta \varphi _{\text{phys}}=\left(\varphi _{1}-\varphi _{2}\right)_{\text{phys}}=$
$\pm 2\,\pi \left({\dfrac {\Delta t}{T}}\right)\;$
$\;rad\;$
$\;\Delta \varphi _{\text{phys}}=\left(\varphi _{1}-\varphi _{2}\right)_{\text{phys}}=\pm 360\left({\dfrac {\Delta t}{T}}\right)\;$
$\;{\text{°}}\;$
On peut déterminer l'avance de phase « mathématique » du signal $\;1\;$ sur le signal $\;2\;$ indirectement en mesurant
* $\;\Delta x=x_{2}-x_{1}\;$ à l'aide du banc gradué et
* la longueur d'onde $\;\lambda \;$ par la méthode exposée au paragraphe « principe de la mesure de la longueur d'onde d'une O.P.H. dans un milieu unidimensionnel, exemple d'une O.P.H. ultrasonore dans l'air » plus haut dans ce chapitre ;
$\;\varphi _{1}-\varphi _{2}=2\,\pi \left({\dfrac {\Delta x}{\lambda }}\right)\;$