# Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Utilisation de l'opérateur linéaire du premier ordre “nabla” en représentation matricielle

$\;{\big$
${\big )}\;$
Introduction : Une 1ère notion de l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla” et de quelques champs qui en découlent a été donnée au chap.$19$ intitulé « Champ vectoriel gradient de fonction scalaire de l'espace, opérateur linéaire du 1er ordre “nabla” et autres champs qui en découlent » de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ; Introduction : après un rappel succinct de cet opérateur linéaire du 1er ordre “nabla” noté «$\;{\vec {\nabla }}\;$» ainsi que Introduction : après un rappel succinct des opérateurs construits à partir de lui “nabla scalaire ...” noté «$\;{\vec {\nabla }}\cdot \;$», “nabla vectoriel ...” noté «$\;{\vec {\nabla }}\wedge \;$» et “nabla scalaire nabla” noté «$\;{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}\;$ ou $\;{\vec {\nabla }}^{2}\;$», puis Introduction : après un rappel succinct des champs vectoriel ou scalaire qui en découlent : Introduction : après un rappel succinct des champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire $\;U(M)\;$ noté «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)={\vec {\nabla }}\left[U\right](M)\;$», Introduction : après un rappel succinct des champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle $\;{\vec {A}}(M)\;$ noté «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)\;$», Introduction : après un rappel succinct des champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle $\;{\vec {A}}(M)\;$ noté «$\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}(M)\;$» et Introduction : après un rappel succinct des champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire $\;U(M)\;$ noté «$\;\Delta \left[U\right](M)={\vec {\nabla }}^{2}\!\left[U\right](M)\;$»,
Introduction : nous présenterons une représentation matricielle de ces champs vectoriels ou scalaires appliqués à des fonctions scalaire ou vectorielle et Introduction : nous introduirons $\;{\big$dans la mesure du besoin${\big )}\;$ la notion de fonctions tensorielles $\;\ldots$

## Rappel succinct de l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla”, des opérateurs qui en découlent et des principaux champs vectoriels ou scalaires appliqués à des fonctions scalaire ou vectorielle de l'espace
### Opérateurs linéaires du 1er ordre “nabla”, “nabla scalaire ...”, “nabla vectoriel ...”, opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla”
#### Opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla”

$\;{\vec {\nabla }}$
$\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]\;$
$\;d\left[\;\right]\;$
$\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=d\left[\;\right]\;$
Définition équivalente dans les principaux repérages : $\succ \;$repérage cartésien, «$\;{\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\right\rbrace \left[\;\right]\;$» ;
Définition équivalente dans les principaux repérages : $\succ \;$repérage cylindro-polaire, «$\;{\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right\rbrace \left[\;\right]\;$» ;
Définition équivalente dans les principaux repérages : $\succ \;$repérage sphérique, «$\;{\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right\rbrace \left[\;\right]\;$».

#### Opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...”

L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” noté «$\;{\vec {\nabla }}\cdot \;$» est construit à partir
* de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” $\;{\big$voir le rappel « opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” » plus haut dans ce chapitre${\big )}\;$ et
* de l'opérateur linéaire entre grandeurs vectorielles « multiplication scalaire »,
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” noté «$\;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}\cdot }\;$» il est défini suivant le repérage utilisé selon les expressions suivantes :
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” noté «$\;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}\cdot }\;$» il est défini suivant $\succ \;$en repérage cartésien «$\;{\vec {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {\text{?}}}=\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\right\rbrace \cdot {\overrightarrow {\text{?}}}\;$» ;
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” noté «$\;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}\cdot }\;$» il est défini suivant $\succ \;$en repérage cylindro-polaire «$\;{\vec {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {\text{?}}}=\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right\rbrace \cdot {\overrightarrow {\text{?}}}\;$» ;
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” noté «$\;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}\cdot }\;$» il est défini suivant $\succ \;$en repérage sphérique «$\;{\vec {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {\text{?}}}=\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right\rbrace \cdot {\overrightarrow {\text{?}}}\;$».

#### Opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...”

L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” noté «$\;{\vec {\nabla }}\wedge \;$» est construit à partir
* de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” $\;{\big$voir le rappel « opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” » plus haut dans ce chapitre${\big )}\;$ et
* de l'opérateur linéaire entre grandeurs vectorielles « multiplication vectoriel »,
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” noté «$\;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}\wedge }\;$» il est défini suivant le repérage utilisé selon les expressions suivantes :
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” noté «$\;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}\wedge }\;$» il est défini suivant $\succ \;$en repérage cartésien «$\;{\vec {\nabla }}\wedge {\overrightarrow {\text{?}}}=\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\right\rbrace \wedge {\overrightarrow {\text{?}}}\;$» ;
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” noté «$\;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}\wedge }\;$» il est défini suivant $\succ \;$en repérage cylindro-polaire «$\;{\vec {\nabla }}\wedge {\overrightarrow {\text{?}}}=\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right\rbrace \wedge {\overrightarrow {\text{?}}}\;$» ;
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” noté «$\;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}\wedge }\;$» il est défini suivant $\succ \;$en repérage sphérique «$\;{\vec {\nabla }}\wedge {\overrightarrow {\text{?}}}=\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right\rbrace \wedge {\overrightarrow {\text{?}}}\;$».

#### Opérateur linéaire du 2ème ordre “nabla scalaire nabla”

L'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” noté «$\;{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}={\vec {\nabla }}^{2}\;$» est construit à partir
* de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” $\;{\big$voir le rappel « opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” » plus haut dans ce chapitre${\big )}\;$ et
* de l'opérateur linéaire entre grandeurs vectorielles « multiplication scalaire »,
L'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla vectoriel nabla” noté «$\;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}={\vec {\nabla }}^{2}}\;$» il est défini suivant le repérage utilisé selon les expressions suivantes :
L'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla vectoriel nabla” noté «$\;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}={\vec {\nabla }}^{2}}\;$» il est défini suivant $\succ \;$en repérage cartésien «$\;{\vec {\nabla }}^{2}\left[\;\right]=\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\right\rbrace ^{2}\left[\;\right]\;$» ;
L'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla vectoriel nabla” noté «$\;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}={\vec {\nabla }}^{2}}\;$» il est défini suivant $\succ \;$en repérage cylindro-polaire «$\;{\vec {\nabla }}^{2}\left[\;\right]=\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right\rbrace ^{2}\left[\;\right]\;$» ;
L'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla vectoriel nabla” noté «$\;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}={\vec {\nabla }}^{2}}\;$» il est défini suivant $\succ \;$en repérage sphérique «$\;{\vec {\nabla }}^{2}\left[\;\right]=\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right\rbrace ^{2}\left[\;\right]\;$».

### Champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire, champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle, champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle et champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire
#### Champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace

Si on applique l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla” à la fonction scalaire de l'espace $\;U(M)\;$ on obtient «$\;U\;\;{\overset {\vec {\nabla }}{\rightarrow }}\;\;{\vec {\nabla }}\left[U\right]\;$» c'est-à-dire un champ vectoriel de l'espace noté Si on applique l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla” à la fonction scalaire de l'espace $\;\color {transparent}{U(M)}\;$ on obtient «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$ définissant le champ vectoriel gradient de la fonction scalaire $\;U(M)\;$»,
$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)={\vec {\nabla }}\left[U\right](M)\;$
$\;U\;$
on obtient ainsi les composantes de «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)={\vec {\nabla }}\left[U\right](M)\;$» suivant le type de repérage utilisé :
on obtient ainsi les composantes de «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)={\vec {\nabla }}\left[U\right](M)}\;$» $\succ \;$en repérage cartésien «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!(M)\;{\vec {u}}_{x}+\left({\dfrac {\partial U}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!(M)\;{\vec {u}}_{y}+\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!(M)\;{\vec {u}}_{z}\;$» ;
on obtient ainsi les composantes de «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)={\vec {\nabla }}\left[U\right](M)}\;$» $\succ \;$en repérage cylindro-polaire «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)\;{\vec {u}}_{\rho }+{\dfrac {1}{\rho }}\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)\;{\vec {u}}_{\theta }+\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\;{\vec {u}}_{z}\;$» ;
on obtient ainsi les composantes de «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)={\vec {\nabla }}\left[U\right](M)}\;$» $\succ \;$en repérage sphérique «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(M)\;{\vec {u}}_{r}+{\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(M)\;{\vec {u}}_{\theta }+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial U}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$» ;
ces composantes de «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$» selon le type de repérage sont en accord avec la « définition intrinsèque du champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace » rappelée ci-dessous :
$U(M)$
$\;U(M)\;$
$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$
$\;U(M)\;$
$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=dU(M)\;$
Remarque : quand il y a transport d'une grandeur intensive $\;{\big \$définie localement par la fonction scalaire $\;f(M,\,t){\big \}$ en raison du mouvement du milieu environnant $\;{\big \$caractérisé par le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$ du point où le transport est considéré${\big \}$, Remarque : quand il y a transport on dit qu'il y a « advection de la grandeur scalaire $\;f(M,\,t)\;$» et Remarque : quand il y a transport on caractérise le transport de cette dernière par « son champ scalaire d'advection “$\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\cdot \nabla \!\left[f(M,\,t)\right]\;$” » $\;{\Big \$qui s'écrit encore «$\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[f(M,\,t)\right]\;$»${\Big \}$.

#### Champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace

Si on applique l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire...” à la fonction vectorielle de l'espace $\;{\vec {A}}(M)\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\vec {A}}\;\;{\overset {{\vec {\nabla }}\cdot }{\rightarrow }}\;\;{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}\;$» c'est-à-dire un champ scalaire de l'espace noté Si on applique l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire...” à la fonction vectorielle de l'espace $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)\;$ définissant le champ scalaire divergence de la fonction vectorielle $\;{\vec {A}}(M)\;$»,
$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}(M)\;$
$\;{\vec {A}}\;$
on obtient ainsi l'expression de «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}(M)\;$» suivant le type de repérage utilisé :
on obtient ainsi l'expression de «$\;\color {transparent}{\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}(M)}\;$» $\succ \;$en repérage cartésien «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)=\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\;$» ;
on obtient ainsi l'expression de «$\;\color {transparent}{\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}(M)}\;$» $\succ \;$en repérage cylindro-polaire «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)={\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial \left[\rho \,A_{\rho }\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\;$» ;
on obtient ainsi l'expression de «$\;\color {transparent}{\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}(M)}\;$» $\succ \;$en repérage sphérique «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)={\dfrac {1}{r^{2}}}\left({\dfrac {\partial \left[r^{2}\,A_{r}\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right\rbrace _{\!r,\,\varphi }+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\;$»$^,$ ;
ces expressions de «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)\;$» selon le type de repérage sont en accord avec la « définition intrinsèque du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace » rappelée ci-dessous :
${\vec {A}}(M)$
$\;{\vec {A}}(M)\;$
$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)\;$
$\;M\;$
$\;{\vec {A}}(M)\;$
$\;(\delta {\mathcal {S}})\;$
$\;M\;$
$\;(\delta {\mathcal {S}})\;$
$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\dfrac {\delta \Phi ({\vec {A}})}{d{\mathcal {V}}_{M}}}\;$
$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\dfrac {\color {transparent}{\bigg\!\!\color {black}\displaystyle \oiint _{(\delta {\mathcal {S}})}{\vec {A}}(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {d^{2}S}}_{\text{lat.}}}{d{\mathcal {V}}_{M}}}\;$
$\;{\overrightarrow {d^{2}S}}_{\text{lat.}}\;$
$\;(\delta {\mathcal {S}})\;$
$\;M\;$
$\;d{\mathcal {V}}_{M}$

#### Champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace

Si on applique l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel...” à la fonction vectorielle de l'espace $\;{\vec {A}}(M)\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\vec {A}}\;\;{\overset {{\vec {\nabla }}\wedge }{\rightarrow }}\;\;{\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}\;$» c'est-à-dire un champ vectoriel de l'espace noté Si on applique l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel...” à la fonction vectorielle de l'espace $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\left[{\vec {A}}\right](M)\;$ définissant le champ vectoriel rotationnel de la fonction vectorielle $\;{\vec {A}}(M)\;$»,
$\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}(M)\;$
$\;{\vec {A}}\;$
on obtient ainsi les composantes de «$\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}(M)\;$» suivant le type de repérage utilisé :
on obtient ainsi les composantes de «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}(M)}\;$» $\succ \;$en repérage cartésien «$\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\left[{\vec {A}}\right](M)=\left\lbrace {\begin{array}{c}\left[\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\right]\;{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{x}\\\left[\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)\right]\;{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{y}\\\left[\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)\right]\;{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right\rbrace \;$» ;
on obtient ainsi les composantes de «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}(M)}\;$» $\succ \;$en repérage cylindro-polaire «$\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\left[{\vec {A}}\right](M)=\left\lbrace {\begin{array}{l r}\left[{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\right]\!\!&\!\!{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{\rho }\\\left[\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\right]\!\!&\!\!{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{\theta }\\{\dfrac {1}{\rho }}\left[\left({\dfrac {\partial \left[\rho \;A_{\theta }\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\right]\!\!&\!\!{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right\rbrace \;$» ;
on obtient ainsi les composantes de «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}(M)}\;$» $\succ \;$en repérage sphérique «$\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\left[{\vec {A}}\right](M)=\left\lbrace {\begin{array}{l r}{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left\lbrace \left({\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\varphi }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }-\left({\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right\rbrace \!\!&\!\!{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{r}\\{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }-{\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[r\;A_{\varphi }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!\!&\!\!{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{\theta }\\{\dfrac {1}{r}}\left\lbrace \left({\dfrac {\partial \left[r\;A_{\theta }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }-\left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\right\rbrace \!\!&\!\!{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right\rbrace \;$» ;
ces composantes de «$\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\left[{\vec {A}}\right](M)\;$» selon le type de repérage sont en accord avec la « définition intrinsèque du champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace » rappelée ci-dessous :
${\vec {A}}(M)$
$\;{\vec {A}}(M)\;$
$\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\left[{\vec {A}}\right](M)\;$
$\;M\;$
$\;(\delta {\mathcal {S}})\;$
$\;M\;$
$\;{\vec {A}}(M)\;$
$\;(\delta \Gamma )\;$
$\;(\delta {\mathcal {S}})\;$
$\;\delta \Phi \!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)=\delta {\mathcal {C}}({\vec {A}})\;$
$\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dS}}=\displaystyle \oint _{(\delta \Gamma )}{\vec {A}}(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {d^{2}M}}\;$
$\;(\delta \Gamma )\;$
$\;M\;$
$\;{\overrightarrow {dS}}\;$
$\;{\overrightarrow {d^{2}M}}\;$
$\;(\delta \Gamma )\;$
$\;(\delta \Gamma )\;$
$\;(\delta S)\;$

#### Champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace

Si on applique l'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” à la fonction scalaire de l'espace $\;U(M)\;$ $\Rightarrow$ «$\;U\;\;{\overset {{\vec {\nabla }}^{2}}{\rightarrow }}\;\;{\vec {\nabla }}^{2}\!\left[U\right]\;$» c'est-à-dire un champ scalaire de l'espace noté Si on applique l'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” à la fonction scalaire de l'espace $\;\color {transparent}{U(M)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\Delta \!\left[U\right](M)\;$ définissant le champ scalaire laplacien de la fonction scalaire $\;U(M)\;$»,
$\;\Delta \!\left[U\right](M)={\vec {\nabla }}^{2}\!\left[U\right](M)\;$
$\;U\;$
on obtient ainsi l'expression de «$\;\Delta \!\left[U\right](M)={\vec {\nabla }}^{2}\!\left[U\right](M)\;$» suivant le type de repérage utilisé :
on obtient ainsi l'expression de «$\;\color {transparent}{\Delta \!\left[U\right](M)={\vec {\nabla }}^{2}\!\left[U\right](M)}\;$» $\succ \;$en repérage cartésien «$\;\Delta \!\left[U\right](M)=\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}\right)_{\!y,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}\right)_{\!x,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}\right)_{\!x,\,y}(M)\;$» ;
on obtient ainsi l'expression de «$\;\color {transparent}{\Delta \!\left[U\right](M)={\vec {\nabla }}^{2}\!\left[U\right](M)}\;$» $\succ \;$en repérage cylindro-polaire «$\;\Delta \!\left[U\right](M)={\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial \left[\rho \,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)+{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial \theta ^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\;$» ;
on obtient ainsi l'expression de «$\;\color {transparent}{\Delta \!\left[U\right](M)={\vec {\nabla }}^{2}\!\left[U\right](M)}\;$» $\succ \;$en repérage sphérique «$\;\Delta \!\left[U\right](M)={\dfrac {1}{r^{2}}}{\dfrac {\partial \!\left[r^{2}{\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right]}{\partial r}}(M)+{\dfrac {1}{r^{2}\sin(\theta )}}{\dfrac {\partial \!\left[\sin(\theta ){\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right]}{\partial \theta }}(M)+{\dfrac {1}{r^{2}\sin ^{2}(\theta )}}{\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial \varphi ^{2}}}(M)\;$»$^,$ ;
ces expressions de «$\;\Delta \!\left[U\right](M)\;$» selon le type de repérage sont en accord avec la « définition intrinsèque du champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace » rappelée ci-dessous :
$U(M)$
$\;U(M)\;$
$\;\Delta \!\left[U\right](M)\;$
$\;U(M)\;$
$\;\Delta \!\left[U\right](M)=\mathrm {div} \!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right]\right\rbrace \!(M)\;$

## Représentation matricielle des champs vectoriels gradient et rotationnel, des champs scalaires divergence et laplacien

Introduction : Les scalaires et vecteurs étant des tenseurs sont représentables par des matrices, nous distinguons Introduction : Les scalaires et vecteurs étant des tenseurs d'ordre $\;0\;$ pour les 1$^{ers}$ « invariants » $\;{\big$donc représentables par une matrice de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;\left(1\times 1\right)\;$${\big ]}\;$ et Introduction : Les scalaires et vecteurs étant des tenseurs d'ordre $\;1\;$ pour les 2$^{nds}$ « contravariants » $\;{\big$représentables, après choix d'une base du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel les contenant, par une matrice colonne de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;\left(3\times 1\right)$, les éléments de la colonne étant les composantes du vecteur représenté sur la base choisie${\big ]}$.
Introduction : Admettant que les opérateurs scalaires et vectoriels sont aussi des opérateurs tensoriels représentables par des matrices d'opérateurs, nous en déduisons Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” «$\;{\vec {\nabla }}\;$» en matrice colonne s'écrivant Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” «$\;\color {transparent}{\vec {\nabla }}\;$» en cartésien «$\;\left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{cart}}=\left[{\begin{array}{c}{\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\\{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\\{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\end{array}}\right]\;$», Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” «$\;\color {transparent}{\vec {\nabla }}\;$» en cylindro-polaire «$\;\left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{cyl}}=\left[{\begin{array}{c}{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\\{\dfrac {{\vec {u}}_{\theta }}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\\{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\end{array}}\right]\;$» et Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” «$\;\color {transparent}{\vec {\nabla }}\;$» en sphérique «$\;\left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{sph}}=\left[{\begin{array}{c}{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\\{\dfrac {{\vec {u}}_{\theta }}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\\{\dfrac {{\vec {u}}_{\varphi }}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\end{array}}\right]\;$» ;
Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” «$\;{\vec {\nabla }}\cdot \;$» en matrice ligne s'écrivant Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire en cartésien «$\;\left[{\vec {\nabla }}\cdot \right]_{\text{cart}}=\left[{\vec {u}}_{x}\cdot \left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\;,\;{\vec {u}}_{y}\cdot \left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\;,\;{\vec {u}}_{z}\cdot \left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\right]\;$», Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire en cylindro-polaire «$\;\left[{\vec {\nabla }}\cdot \right]_{\text{cyl}}=\left[{\vec {u}}_{\rho }\cdot \left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\;,\;{\vec {u}}_{\theta }\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\;,\;{\vec {u}}_{z}\cdot \left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right]\;$» et Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire en sphérique «$\;\left[{\vec {\nabla }}\cdot \right]_{\text{sph}}=\left[{\vec {u}}_{r}\cdot \left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\;,\;{\vec {u}}_{\theta }\cdot {\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\;,\;{\vec {u}}_{\varphi }\cdot {\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\;$» ;
Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” «$\;{\vec {\nabla }}\wedge \;$» en matrice carrée de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;\left(3\times 3\right)\;$ s'écrivant Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire en cartésien «$\;\left[{\vec {\nabla }}\wedge \right]_{\text{cart}}=\left[{\begin{array}{c c c}{\vec {0}}\;\wedge &{\vec {u}}_{z}\wedge \left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}&{\vec {u}}_{y}\wedge \left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\\{\vec {u}}_{z}\wedge \left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}&{\vec {0}}\;\wedge &{\vec {u}}_{x}\wedge \left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\\{\vec {u}}_{y}\wedge \left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}&{\vec {u}}_{x}\wedge \left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}&{\vec {0}}\;\wedge \end{array}}\right]\;$», Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire en cylindro-polaire «$\;\left[{\vec {\nabla }}\wedge \right]_{\text{cyl}}=\left[{\begin{array}{c c c}{\vec {0}}\;\wedge &{\vec {u}}_{z}\wedge \left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }&{\vec {u}}_{\theta }\wedge {\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\\{\vec {u}}_{z}\wedge \left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }&{\vec {0}}\;\wedge &{\vec {u}}_{\rho }\wedge \left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\\{\vec {u}}_{\theta }\wedge {\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}&{\dfrac {{\vec {u}}_{\rho }}{\rho }}\wedge \left({\dfrac {\partial \left\lbrace \rho \right.}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}&{\vec {0}}\;\wedge \end{array}}\right]\;$» et Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire en sphérique «$\;\left[{\vec {\nabla }}\wedge \right]_{\text{sph}}=\left[{\begin{array}{c c c}{\vec {0}}\;\wedge &{\vec {u}}_{\varphi }\wedge {\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }&{\dfrac {{\vec {u}}_{\theta }}{\sin(\theta )}}\wedge {\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\right.}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\\{\vec {u}}_{\varphi }\wedge {\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }&{\vec {0}}\;\wedge &{\dfrac {{\vec {u}}_{r}}{r}}\wedge \left({\dfrac {\partial \left\lbrace r\right.}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\\{\vec {u}}_{\theta }\wedge {\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }&{\dfrac {{\vec {u}}_{r}}{r}}\wedge \left({\dfrac {\partial \left\lbrace r\right.}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }&{\vec {0}}\;\wedge \end{array}}\right]\;$» ;
Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” «$\;{\vec {\nabla }}^{2}\;$» en matrice de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;\left(1\times 1\right)\;$ s'écrivant Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire en cartésien «$\;\left[{\vec {\nabla }}^{2}\right]_{\text{cart}}=\left[{\vec {\nabla }}\cdot \right]_{\text{cart}}\times \left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{cart}}=\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)_{\!y,\,z}+\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)_{\!x,\,z}+\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)_{\!x,\,y}\;$», Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire en cylindro-polaire «$\;\left[{\vec {\nabla }}^{2}\right]_{\text{cyl}}=\left[{\vec {\nabla }}\cdot \right]_{\text{cyl}}\times \left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{cyl}}=\left[{\vec {u}}_{\rho }\cdot \left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\;,\;{\vec {u}}_{\theta }\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\;,\;{\vec {u}}_{z}\cdot \left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right]\times \left[{\begin{array}{c}{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\\{\dfrac {{\vec {u}}_{\theta }}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\\{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\end{array}}\right]$ Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire en cylindro-polaire «$\;\color {transparent}{\left[{\vec {\nabla }}^{2}\right]_{\text{cyl}}}$ ${\overset {\ldots }{\;=\;}}\;{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial \left[\rho \,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,z}+\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\;$» et Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire en sphérique «$\;\left[{\vec {\nabla }}^{2}\right]_{\text{sph}}=\left[{\vec {\nabla }}\cdot \right]_{\text{sph}}\times \left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{sph}}=$ Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire en sphérique «$\;\color {transparent}{\left[{\vec {\nabla }}^{2}\right]_{\text{sph}}=}$ $\left[{\vec {u}}_{r}\cdot \left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\;,\;{\vec {u}}_{\theta }\cdot {\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\;,\;{\vec {u}}_{\varphi }\cdot {\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\times \left[{\begin{array}{c}{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\\{\dfrac {{\vec {u}}_{\theta }}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\\{\dfrac {{\vec {u}}_{\varphi }}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\end{array}}\right]$ Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire en sphérique «$\;\color {transparent}{\left[{\vec {\nabla }}^{2}\right]_{\text{sph}}}$ ${\overset {\ldots }{\;=\;}}\;{\dfrac {1}{r^{2}}}{\dfrac {\partial \!\left[r^{2}{\dfrac {\partial }{\partial r}}\right]}{\partial r}}+{\dfrac {1}{r^{2}\sin(\theta )}}{\dfrac {\partial \!\left[\sin(\theta ){\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right]}{\partial \theta }}+{\dfrac {1}{r^{2}\sin ^{2}(\theta )}}{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\;$»$^,$.

### Représentation matricielle du champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace

Le champ vectoriel gradient de la fonction scalaire de l'espace $\;U(M)\;$ étant l'image de cette fonction par l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla” c'est-à-dire «$\;U(M)\;\;{\overset {\vec {\nabla }}{\rightarrow }}\;\;{\vec {\nabla }}\left[U\right](M)={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$» nous en déduisons, en utilisant la représentation de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” en matrice colonne $\;{\big \$voir l'introduction ci-dessus du paragraphe « représentation matricielle des champs vectoriels gradient et rotationnel, des champs scalaires divergence et laplacien » plus haut dans ce chapitre${\big \}$, celle du champ vectoriel $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$ en matrice colonne suivant le repérage choisi :
Le champ vectoriel gradient $\succ \;$en cartésien «$\;\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left\lbrace U\right\rbrace (M)\right]_{\text{cart}}=\left[{\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial U}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{x}\\\left({\dfrac {\partial U}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{y}\\\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;$»,
Le champ vectoriel gradient $\succ \;$en cylindro-polaire «$\;\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left\lbrace U\right\rbrace (M)\right]_{\text{cyl}}=\left[{\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{\rho }\\{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\\\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;$» et
Le champ vectoriel gradient $\succ \;$en sphérique «$\;\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left\lbrace U\right\rbrace (M)\right]_{\text{sph}}=\left[{\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{r}\\{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\\{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]\;$».

### Représentation matricielle du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace

Le champ scalaire divergence de la fonction vectorielle de l'espace $\;{\vec {A}}(M)\;$ étant l'image de cette fonction par l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” c'est-à-dire «$\;{\vec {A}}(M)\;\;{\overset {{\vec {\nabla }}\cdot }{\rightarrow }}\;\;{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}(M)=$ $\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)\;$» nous en déduisons, en utilisant la représentation de l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” en matrice ligne $\;{\big \$voir l'introduction ci-dessus du paragraphe « représentation matricielle des champs vectoriels gradient et rotationnel, des champs scalaires divergence et laplacien » plus haut dans ce chapitre${\big \}$, celle du champ scalaire $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)\;$ en matrice de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;\left(1\times 1\right)\;$, produit d'une matrice ligne et d'une matrice colonne suivant le repérage choisi :
Le champ scalaire divergence $\succ \;$en cartésien «$\;\left[\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)\right]_{\text{cart}}=\left[{\vec {\nabla }}\cdot \right]_{\text{cart}}\times \left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cart}}=\left[{\vec {u}}_{x}\cdot \left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\;,\;{\vec {u}}_{y}\cdot \left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\;,\;{\vec {u}}_{z}\cdot \left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\right]\times \left[{\begin{array}{c}A_{x}(M)\,{\vec {u}}_{x}\\A_{y}(M)\,{\vec {u}}_{y}\\A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]$ Le champ scalaire divergence $\color {transparent}{\succ }\;$en cartésien «$\;\color {transparent}{\left[\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)\right]_{\text{cart}}}$${\overset {\ldots }{\;=\;}}\;\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!(M)\;$»,
Le champ scalaire divergence $\succ \;$en cylindro-polaire «$\;\left[\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)\right]_{\text{cyl}}=\left[{\vec {\nabla }}\cdot \right]_{\text{cyl}}\times \left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cyl}}=\left[{\vec {u}}_{\rho }\cdot \left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\;,\;{\vec {u}}_{\theta }\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\;,\;{\vec {u}}_{z}\cdot \left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\right]\times \left[{\begin{array}{c}A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }\\A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\\A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]$ Le champ scalaire divergence $\color {transparent}{\succ }\;$en cylindro-polaire «$\;\color {transparent}{\left[\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)\right]_{\text{cyl}}}$${\overset {\ldots }{\;=\;}}\;{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial \left[\rho \,A_{\rho }\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\;$» et
Le champ scalaire divergence $\succ \;$en sphérique «$\;\left[\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)\right]_{\text{sph}}=\left[{\vec {\nabla }}\cdot \right]_{\text{sph}}\times \left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{sph}}=\left[{\vec {u}}_{r}\cdot \left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\;,\;{\vec {u}}_{\theta }\cdot {\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\;,\;{\vec {u}}_{\varphi }\cdot {\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\times \left[{\begin{array}{c}A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}\\A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\\A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]$ Le champ scalaire divergence $\color {transparent}{\succ }\;$en sphérique «$\;\color {transparent}{\left[\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)\right]_{\text{sph}}}$${\overset {\ldots }{\;=\;}}\;{\dfrac {1}{r^{2}}}\left({\dfrac {\partial \left[r^{2}\,A_{r}\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(M)+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right\rbrace _{\!r,\,\varphi }\!(M)+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!(M)\;$».

### Représentation matricielle du champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace

Le champ vectoriel rotationnel de la fonction vectorielle de l'espace $\;{\vec {A}}(M)\;$ étant l'image de cette fonction par l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” c'est-à-dire «$\;{\vec {A}}(M)\;\;{\overset {{\vec {\nabla }}\wedge }{\rightarrow }}\;\;{\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}(M)=$ ${\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)\;$» nous en déduisons, en utilisant la représentation de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” en matrice carrée de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;\left(3\times 3\right)$ $\;{\big \$voir l'introduction ci-dessus du paragraphe « représentation matricielle des champs vectoriels gradient et rotationnel, des champs scalaires divergence et laplacien » plus haut dans ce chapitre${\big \}$, celle du champ vectoriel $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\left[{\vec {A}}\right](M)\;$ en matrice colonne suivant le repérage choisi :
Le champ vectoriel rotationnel $\succ \;$en cartésien «$\;\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)\right]_{\text{cart}}=\left[{\vec {\nabla }}\wedge \right]_{\text{cart}}\times \left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cart}}=\left[{\begin{array}{c c c}{\vec {0}}\;\wedge &{\vec {u}}_{z}\wedge \left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}&{\vec {u}}_{y}\wedge \left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\\{\vec {u}}_{z}\wedge \left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}&{\vec {0}}\;\wedge &{\vec {u}}_{x}\wedge \left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\\{\vec {u}}_{y}\wedge \left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}&{\vec {u}}_{x}\wedge \left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}&{\vec {0}}\;\wedge \end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}A_{x}(M)\,{\vec {u}}_{x}\\\\A_{y}(M)\,{\vec {u}}_{y}\\\\A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]$ Le champ vectoriel rotationnel $\color {transparent}{\succ }\;$en cartésien «$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)\right]_{\text{cart}}}$${\overset {\ldots }{\;=\;}}\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left[\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\right]\;{\vec {u}}_{x}\\\left[\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)\right]\;{\vec {u}}_{y}\\\left[\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)\right]\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right\rbrace \;$»,
Le champ vectoriel rotationnel $\succ \;$en cylindro-polaire «$\;\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)\right]_{\text{cyl}}=\left[{\vec {\nabla }}\wedge \right]_{\text{cyl}}\times \left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cyl}}=\left[{\begin{array}{c c c}{\vec {0}}\;\wedge &{\vec {u}}_{z}\wedge \left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }&{\vec {u}}_{\theta }\wedge {\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\\{\vec {u}}_{z}\wedge \left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }&{\vec {0}}\;\wedge &{\vec {u}}_{\rho }\wedge \left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\\{\vec {u}}_{\theta }\wedge {\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}&{\dfrac {{\vec {u}}_{\rho }}{\rho }}\wedge \left({\dfrac {\partial \left\lbrace \rho \right.}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}&{\vec {0}}\;\wedge \end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }\\\\A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\\\\A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]$ Le champ vectoriel rotationnel $\color {transparent}{\succ }\;$en cylindro-polaire «$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)\right]_{\text{cyl}}}$${\overset {\ldots }{\;=\;}}\;\left[{\begin{array}{c}\left\lbrace {\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\rho }\\\left\lbrace \left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\theta }\\{\dfrac {1}{\rho }}\left\lbrace \left({\dfrac {\partial \left[\rho \;A_{\theta }\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;$» et
Le champ vectoriel rotationnel $\succ \;$en sphérique «$\;\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)\right]_{\text{sph}}=\left[{\vec {\nabla }}\wedge \right]_{\text{sph}}\times \left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{sph}}=$ Le champ vectoriel rotationnel $\color {transparent}{\succ }\;$en sphérique «$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)\right]_{\text{sph}}}=$ $\left[{\begin{array}{c c c}{\vec {0}}\;\wedge &{\vec {u}}_{\varphi }\wedge {\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }&{\dfrac {{\vec {u}}_{\theta }}{\sin(\theta )}}\wedge {\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\right.}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\\{\vec {u}}_{\varphi }\wedge {\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }&{\vec {0}}\;\wedge &{\dfrac {{\vec {u}}_{r}}{r}}\wedge \left({\dfrac {\partial \left\lbrace r\right.}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\\{\vec {u}}_{\theta }\wedge {\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }&{\dfrac {{\vec {u}}_{r}}{r}}\wedge \left({\dfrac {\partial \left\lbrace r\right.}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }&{\vec {0}}\;\wedge \end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}\\\\A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\\\\A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]$ Le champ vectoriel rotationnel $\color {transparent}{\succ }\;$en sphérique «$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)\right]_{\text{sph}}}$${\overset {\ldots }{\;=\;}}\;\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left\lbrace \left({\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\varphi }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(M)-\left({\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!(M)\right\rbrace \;{\vec {u}}_{r}\\\left\lbrace {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!(M)-{\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[r\;A_{\varphi }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(M)\right\rbrace \;{\vec {u}}_{\theta }\\{\dfrac {1}{r}}\left\lbrace \left({\dfrac {\partial \left[r\;A_{\theta }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(M)-\left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(M)\right\rbrace \;{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]\;$».

### Représentation matricielle du champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace

Le champ scalaire laplacien de la fonction scalaire de l'espace $\;U(M)\;$ étant l'image de cette fonction par l'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” c'est-à-dire «$\;U(M)\;\;{\overset {{\vec {\nabla }}^{2}}{\rightarrow }}\;\;{\vec {\nabla }}^{2}\left[U\right](M)=$ $\Delta \left[U\right](M)\;$» nous en déduisons, en utilisant la représentation de l'opérateur scalaire linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” en matrice de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;\left(1\times 1\right)\;$ $\;{\big \$voir l'introduction ci-dessus du paragraphe « représentation matricielle des champs vectoriels gradient et rotationnel, des champs scalaires divergence et laplacien » plus haut dans ce chapitre${\big \}$, celle du champ scalaire $\;\Delta \left\lbrace U\right\rbrace \!(M)\;$ en matrice de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;\left(1\times 1\right)\;$ suivant le repérage choisi :
Le champ scalaire laplacien $\succ \;$en cartésien «$\;\left[\Delta \left\lbrace U\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cart}}=\left[{\vec {\nabla }}^{2}\right]_{\text{cart}}\!\left\lbrace U(M)\right\rbrace =\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}\right)_{\!y,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}\right)_{\!x,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}\right)_{\!x,\,y}\!(M)\;$»,
Le champ scalaire laplacien $\succ \;$en cylindro-polaire «$\;\left[\Delta \left\lbrace U\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cyl}}=\left[{\vec {\nabla }}^{2}\right]_{\text{cyl}}\!\left\lbrace U(M)\right\rbrace ={\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial \left[\rho \,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)+{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial \theta ^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\;$» et
Le champ scalaire laplacien $\succ \;$en sphérique «$\;\left[\Delta \left\lbrace U\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{sph}}=\left[{\vec {\nabla }}^{2}\right]_{\text{sph}}\!\left\lbrace U(M)\right\rbrace ={\dfrac {1}{r^{2}}}{\dfrac {\partial \!\left[r^{2}{\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right]}{\partial r}}(M)+{\dfrac {1}{r^{2}\sin(\theta )}}{\dfrac {\partial \!\left[\sin(\theta ){\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right]}{\partial \theta }}(M)+{\dfrac {1}{r^{2}\sin ^{2}(\theta )}}{\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial \varphi ^{2}}}(M)\;$».

## Prolongement de l'application (directe) de l'opérateur linéaire "nabla" aux fonctions vectorielles de l'espace et conséquences

Introduction : ayant vu la signification de l'application directe, aux fonctions scalaires de l'espace, de l'opérateur linéaire "nabla" «$\;{\vec {\nabla }}\!\left[\,\right]\;$» dans les exemples suivants Introduction : $\succ \;$le champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire $\;U(M)\;$ de l'espace «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)={\vec {\nabla }}\left[U\right](M)\;$» ainsi que ses deux champs scalaires s'en déduisant Introduction : $\color {transparent}{\succ }$$\blacktriangleright \;$le champ scalaire différentielle de la fonction scalaire $\;U(M)$ «$\;d\left[U\right](M)=\left\lbrace {\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \left[U\right](M)={\overrightarrow {dM}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$» Introduction : $\color {transparent}{\succ }$$\blacktriangleright \;$le champ scalaire d'advection de la grandeur scalaire intensive $\;f(M,\,t){\big \}$ «$\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\cdot \nabla \!\left[f(M,\,t)\right]={\vec {V}}_{\!M}(t)\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[f(M,\,t)\right]\;$» où $\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$ est le vecteur vitesse du point $\;M\;$ du milieu environnant où le transport est considéré et Introduction : $\succ \;$le champ scalaire laplacien de la fonction scalaire $\;U(M)\;$ de l'espace «$\;\Delta \!\left[U\right](M)={\vec {\nabla }}^{2}\!\left[U\right](M)\;$»,
Introduction : nous nous proposons de donner une signification à l'application directe de l'opérateur linéaire "nabla" «$\;{\vec {\nabla }}\!\left[\,\right]\;$» aux fonctions vectorielles de l'espace.

### Identification de l'opérateur scalaire linéaire du premier ordre “dM scalaire nabla” avec l'opérateur “différenciation” lorsqu'ils agissent sur une fonction vectorielle de l'espace

Nous nous proposons d'étendre le domaine d'application de l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “dM scalaire nabla” «$\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\,\right]\;$» rappelé dans le paragraphe « prolongement de l'application (directe) de l'opérateur linéaire “nabla” aux fonction vectorielles de l'espace et conséquences (introduction) » plus haut dans ce chapitre, aux fonctions vectorielles différentiables de l'espace ;
pour préciser la façon dont l'opérateur scalaire «$\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\,\right]\;$» agit sur la fonction vectorielle «$\;{\vec {A}}(M)\;$», on se place en repérage « cylindro-polaire » dans lequel «$\;{\overrightarrow {dM}}=$ $d\rho \,{\vec {u}}_{\rho }+\rho \,d\theta \,{\vec {u}}_{\theta }+dz\,{\vec {u}}_{z}\;$» et «$\;{\vec {A}}(M)=A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\;$» ; « l'image de $\;{\vec {A}}(M)\;$ par $\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\,\right]\;$» est alors défini comme le vecteur
$\;\left\lbrace {\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)=\left\lbrace d\rho \,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+\rho \,d\theta \,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+dz\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right\rbrace \left[A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\right]\;$
soit, en faisant agir l'opérateur “nabla” uniquement sur les composantes, une 1ère série de termes
$\;{\overrightarrow {\delta A_{1}}}=\left\lbrace {\begin{aligned}\;\;\;d\rho \,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{\rho }+d\rho \,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{\theta }+d\rho \,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{z}+\cdots \\\cdots \,d\theta \,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{\rho }+d\theta \,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{\theta }+d\theta \,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{z}+\cdots \\\cdots \,dz\,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }+dz\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }+dz\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\,{\vec {u}}_{z}\color {transparent}{+\cdots }\,\end{aligned}}\right\rbrace \;$
$\;{\overrightarrow {\delta A_{1}}}=dA_{\rho }\,{\vec {u}}_{\rho }+dA_{\theta }\,{\vec {u}}_{\theta }+dA_{z}\,{\vec {u}}_{z}\;$
en faisant agir l'opérateur “nabla” sur les vecteurs de base cylindro-polaire, une 2ème série de termes
$\;{\overrightarrow {\delta A_{2}}}=d\rho \,A_{\rho }\,{\cancel {\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)}}+d\rho \,A_{\theta }\,{\cancel {\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)}}+d\rho \,A_{z}\,{\cancel {\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)}}={\vec {0}}\;$
en faisant agir l'opérateur “nabla” sur les vecteurs de base cylindro-polaire, une 3ème série de termes
$\;{\overrightarrow {\delta A_{3}}}=d\theta \,A_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)+d\theta \,A_{\theta }\,\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)+d\theta \,A_{z}\,{\cancel {\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)}}$
$=A_{\rho }\,d{\vec {u}}_{\rho }+A_{\theta }\,d{\vec {u}}_{\theta }\;$
en faisant agir l'opérateur “nabla” sur les vecteurs de base cylindro-polaire, une dernière série de termes
$\;{\overrightarrow {\delta A_{4}}}=dz\,A_{\rho }\,{\cancel {\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)}}+dz\,A_{\theta }\,{\cancel {\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)}}+dz\,A_{z}\,{\cancel {\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\theta ,\,\theta }(M)}}={\vec {0}}\;$
soit finalement, en regroupant toutes les séries de termes
$\;\left\lbrace {\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)=dA_{\rho }\,{\vec {u}}_{\rho }+dA_{\theta }\,{\vec {u}}_{\theta }+dA_{z}\,{\vec {u}}_{z}+A_{\rho }\,d{\vec {u}}_{\rho }+A_{\theta }\,d{\vec {u}}_{\theta }\;$
soit finalement, en reconnaissant dans le membre de droite la différentielle de la fonction vectorielle $\;{\vec {A}}$, l'identification recherchée à savoir
$\;\left\lbrace {\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)=d\!\left[{\vec {A}}\right](M)\;$
En conclusion, nous avons vérifié l'identification de «$\;\left\lbrace {\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)\;$ avec $\;d\!\left[{\vec {A}}\right](M)\;$» en repérage « cylindro-polaire », mais le résultat est valable quel que soit le repérage ;
En conclusion, la vérification ne présente aucune difficulté en repérage cartésien, les vecteurs de base cartésienne étant indépendants du point $\;M$, voir ci-dessous
$\;\left\lbrace {\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)=\left\lbrace dx\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+dy\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+dz\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\right\rbrace \left[A_{x}(M)\,{\vec {u}}_{x}+A_{y}(M)\,{\vec {u}}_{y}+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\right]\;$
$\;\left\lbrace {\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)=\left\lbrace {\begin{aligned}\;\;\;dx\,\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{x}+dx\,\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{y}+dx\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{z}+\cdots \\\cdots \,dy\,\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{x}+dy\,\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{y}+dy\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{z}+\cdots \\\cdots \,dz\,\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\,{\vec {u}}_{x}+dz\,\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\,{\vec {u}}_{y}+dz\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\,{\vec {u}}_{z}\color {transparent}{+\cdots }\,\end{aligned}}\right\rbrace \;$
$\;\left\lbrace {\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)=dA_{x}\,{\vec {u}}_{x}+dA_{y}\,{\vec {u}}_{y}+dA_{z}\,{\vec {u}}_{z}\;$
$\;d\!\left[{\vec {A}}\right](M)=dA_{x}\,{\vec {u}}_{x}+dA_{y}\,{\vec {u}}_{y}+dA_{z}\,{\vec {u}}_{z}\;$
En conclusion, la vérification est plus délicate en repérage sphérique car deux des vecteurs de base sphérique $\;{\vec {u}}_{r}\;$ et $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ dépendent des deux coordonnées sphériques $\;\theta \;$ et $\;\varphi \;$ du point $\;M$, le 3ème vecteur de base sphérique $\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ dépendant de la coordonnée sphérique $\;\varphi \;$ du point $\;M$ ; le lecteur qui le souhaite pourra utiliser la même méthode de vérification qu'en cylindro-polaire $\;{\big \$on pourra utiliser à bon escient les informations établies dans les paragraphes « détermination des dérivées partielles du 1er vecteur de base sphérique », « détermination des dérivées partielles du 2nd vecteur de base sphérique » et « détermination de la dérivée du 3ème vecteur de base sphérique » du chap.$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »${\big \}$.
Remarques : $\bullet \;$La représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “dM scalaire nabla” «$\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\,\right]\;$» se déduit de Remarques : La représentation matri $\color {transparent}{\bullet }\;$celle de la forme linéaire “dM scalaire ...” en matrice ligne s'écrivant respectivement Remarques : La représentation matricielle $\color {transparent}{\bullet }\;$$\succ \;$en cartésien «$\;\left[{\overrightarrow {dM}}\cdot \right]_{\text{cart}}=\left[\;dx\,{\vec {u}}_{x}\,\cdot \;,\;dy\,{\vec {u}}_{y}\,\cdot \;,\;dz\;{\vec {u}}_{z}\,\cdot \;\right]\;$», Remarques : La représentation matricielle $\color {transparent}{\bullet }\;$$\succ \;$en cylindro-polaire «$\;\left[{\overrightarrow {dM}}\cdot \right]_{\text{cyl}}=\left[\;d\rho \,{\vec {u}}_{\rho }\,\cdot \;,\;\rho \,d\theta \,{\vec {u}}_{\theta }\,\cdot \;,\;dz\;{\vec {u}}_{z}\,\cdot \;\right]\;$», Remarques : La représentation matricielle $\color {transparent}{\bullet }\;$$\succ \;$en sphérique «$\;\left[{\overrightarrow {dM}}\cdot \right]_{\text{sph}}=\left[\;dr\,{\vec {u}}_{r}\,\cdot \;,\;r\,d\theta \,{\vec {u}}_{\theta }\,\cdot \;,\;r\,\sin(\theta )\,d\varphi \;{\vec {u}}_{\varphi }\,\cdot \;\right]\;$» et de Remarques : La représentation matri $\color {transparent}{\bullet }\;$celle de l'opérateur linéaire “nabla” en matrice colonne s'écrivant respectivement Remarques : La représentation matricielle $\color {transparent}{\bullet }\;$$\succ \;$en cartésien «$\;\left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{cart}}=\left[{\begin{array}{c}{\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\\{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\\{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\end{array}}\right]\;$», Remarques : La représentation matricielle $\color {transparent}{\bullet }\;$$\succ \;$en cylindro-polaire «$\;\left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{cyl}}=\left[{\begin{array}{c}{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\\{\dfrac {{\vec {u}}_{\theta }}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\\{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\end{array}}\right]\;$», Remarques : La représentation matricielle $\color {transparent}{\bullet }\;$$\succ \;$en sphérique «$\;\left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{sph}}=\left[{\begin{array}{c}{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\\{\dfrac {{\vec {u}}_{\theta }}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\\{\dfrac {{\vec {u}}_{\varphi }}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\end{array}}\right]\;$» d'où Introduction : la représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “dM scalaire nabla” «$\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\,\right]\;$» en matrice de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;\left(1\times 1\right)\;$ soit respectivement Remarques : La représentation matricielle $\color {transparent}{\bullet }\;$$\succ \;$en cartésien «$\;\left[{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{cart}}=\left[{\overrightarrow {dM}}\cdot \right]_{\text{cart}}\times \left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{cart}}=\left[\;dx\,{\vec {u}}_{x}\,\cdot \;,\;dy\,{\vec {u}}_{y}\,\cdot \;,\;dz\;{\vec {u}}_{z}\,\cdot \;\right]\times \left[{\begin{array}{c}{\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\\{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\\{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\end{array}}\right]$ Remarque : La représentation matricielle $\color {transparent}{\bullet }\;$$\color {transparent}{\succ }\;$en cartésien «$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{cart}}}$ $=dx\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+dy\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+dz\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\;$», Remarques : La représentation matricielle $\color {transparent}{\bullet }\;$$\succ \;$en cylindro-polaire «$\;\left[{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{cyl}}=\left[{\overrightarrow {dM}}\cdot \right]_{\text{cyl}}\times \left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{cyl}}=\left[\;d\rho \,{\vec {u}}_{\rho }\,\cdot \;,\;\rho \,d\theta \,{\vec {u}}_{\theta }\,\cdot \;,\;dz\;{\vec {u}}_{z}\,\cdot \;\right]\times \left[{\begin{array}{c}{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\\{\dfrac {1}{\rho }}\,{\vec {u}}_{\theta }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\\{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\end{array}}\right]$ Remarques : La représentation matricielle $\color {transparent}{\bullet }\;$$\color {transparent}{\succ }\;$en cylindro-polaire «$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{cyl}}}$ $=d\rho \,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+d\theta \,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+dz\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\;$», Remarques : La représentation matricielle $\color {transparent}{\bullet }\;$$\succ \;$en sphérique «$\;\left[{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{sph}}=\left[{\overrightarrow {dM}}\cdot \right]_{\text{sph}}\times \left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{sph}}=\left[\;dr\,{\vec {u}}_{r}\,\cdot \;,\;r\,d\theta \,{\vec {u}}_{\theta }\,\cdot \;,\;r\,\sin(\theta )\,d\varphi \;{\vec {u}}_{\varphi }\,\cdot \;\right]\times \left[{\begin{array}{c}{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\\{\dfrac {1}{r}}\,{\vec {u}}_{\theta }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\\{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\vec {u}}_{\varphi }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\end{array}}\right]$ Remarques : La représentation matricielle $\color {transparent}{\bullet }\;$$\color {transparent}{\succ }\;$en sphérique «$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{sph}}}$ $=dr\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+d\theta \,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+d\varphi \,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\;$».
Remarques : $\bullet \;$La représentation matricielle de l'image de la fonction vectorielle $\;{\vec {A}}(M)\;$ par l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “dM scalaire nabla” «$\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\,\right]\;$» $\;{\big \$c'est-à-dire la représentation matricielle de « la différentielle $\;d{\vec {A}}(M)\;$»${\big \}$, est « la matrice colonne résultant de l'action de la matrice d'opérateurs de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;\left(1\times 1\right)\;$ sur la matrice colonne représentant $\;{\vec {A}}(M)\;$» soit Remarques : $\color {transparent}{\bullet }\;$ $\succ \;$en cartésien, «$\;\left[{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{cart}}\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cart}}=\left\lbrace dx\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+dy\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+dz\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\right\rbrace \left[{\begin{array}{c}A_{x}(M)\,{\vec {u}}_{x}\\A_{y}(M)\,{\vec {u}}_{y}\\A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;$ ou $\;d\left\lbrace \left[{\begin{array}{c}A_{x}(M)\,{\vec {u}}_{x}\\A_{y}(M)\,{\vec {u}}_{y}\\A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\right\rbrace$ Remarques : $\color {transparent}{\bullet }\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$en cartésien, «$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{cart}}\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cart}}}$ $=\left[{\begin{array}{c}\left\lbrace dx\,\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+dy\,\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+dz\,\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\right\rbrace \,{\vec {u}}_{x}\\\left\lbrace dx\,\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+dy\,\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+dz\,\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\right\rbrace \,{\vec {u}}_{y}\\\left\lbrace dx\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+dy\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+dz\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\right\rbrace \,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}dA_{x}\,{\vec {u}}_{x}\\\\dA_{y}\,{\vec {u}}_{y}\\\\dA_{z}\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;$»,
Remarques : $\color {transparent}{\bullet }\;$ $\succ \;$en cylindro-polaire, «$\;\left[{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{cyl}}\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cyl}}=\left\lbrace d\rho \,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+d\theta \,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+dz\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right\rbrace \left[{\begin{array}{c}A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }\\A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\\A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;$ ou $\;d\left\lbrace \left[{\begin{array}{c}A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }\\A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\\A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\right\rbrace$ Remarques : $\color {transparent}{\bullet }\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$en cylindro-polaire, «$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{cyl}}\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cyl}}}$ $=\left[{\begin{array}{l}\left\lbrace d\rho \,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+d\theta \,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+dz\,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\rho }+d\theta \,A_{\rho }\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\theta }}\\\left\lbrace d\rho \,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+d\theta \,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+dz\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\theta }+d\theta \,A_{\theta }\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}\\\left\lbrace d\rho \,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+d\theta \,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+dz\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right\rbrace \,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{l}dA_{\rho }\,{\vec {u}}_{\rho }+A_{\rho }\,d{\vec {u}}_{\rho }\\\\dA_{\theta }\,{\vec {u}}_{\theta }+A_{\theta }\,d{\vec {u}}_{\theta }\\\\dA_{z}\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;$»$^,$,
Remarques : $\color {transparent}{\bullet }\;$ $\succ \;$en sphérique, «$\;\left[{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{sph}}\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{sph}}=\left\lbrace dr\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+d\theta \,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+d\varphi \,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right\rbrace \left[{\begin{array}{c}A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}\\A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\\A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]\;$ ou $\;d\left\lbrace \left[{\begin{array}{c}A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}\\A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\\A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]\right\rbrace$ Remarques : $\color {transparent}{\bullet }\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$en sphérique, «$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{sph}}\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{sph}}}$ $=\left[{\begin{array}{l}\left\lbrace dr\,\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+d\theta \,\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+d\varphi \,\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right\rbrace \,{\vec {u}}_{r}+A_{r}\left\lbrace d\theta \,\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!\varphi }+d\varphi \,\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!\theta }\right\rbrace \\\left\lbrace dr\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+d\theta \,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+d\varphi \,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\theta }+A_{\theta }\left\lbrace d\theta \,\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\varphi }+d\varphi \,\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!\theta }\right\rbrace \\\left\lbrace dr\,\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+d\theta \,\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+d\varphi \,\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\varphi }+A_{\varphi }\,d\varphi \,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\varphi }}{d\varphi }}\end{array}}\right]\;$ Remarques : $\color {transparent}{\bullet }\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$en sphérique, «$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{sph}}\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{sph}}}$ $=\left[{\begin{array}{l}dA_{r}\,{\vec {u}}_{r}+A_{r}\,d{\vec {u}}_{r}\\\\dA_{\theta }\,{\vec {u}}_{\theta }+A_{\theta }\,d{\vec {u}}_{\theta }\\\\dA_{\varphi }\,{\vec {u}}_{\varphi }+A_{\varphi }\,d{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]\;$»$^,$.

### Champ d'advection d'une fonction vectorielle de l'espace

L'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “vitesse scalaire nabla” «$\;{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\vec {\nabla }}\left[\,\right]\;$» étant lié à l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “dM scalaire nabla” «$\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\,\right]\;$» selon
$\;{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\vec {\nabla }}\left[\,\right]={\dfrac {1}{dt}}\left\lbrace {\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\,\right]\right\rbrace \;$
$\;dt\;$
$\;{\overrightarrow {dM}}\;$
$\;M\;$
il suffit de diviser par $\;dt\;$ les expressions de «$\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\,\right]\;$» établis dans le paragraphe « identification de l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “dM scalaire nabla” avec l'opérateur “différenciation” lorsqu'ils agissent sur une fonction vectorielle de l'espace » plus haut dans ce chapitre pour obtenir celles de l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “vitesse scalaire nabla” d'où :
* La représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “vitesse scalaire nabla” «$\;{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\vec {\nabla }}\left[\,\right]\;$» se déduit de La représentation matricelle de la forme linéaire “vitesse scalaire ...” en matrice ligne s'écrivant respectivement La représentation matricielle$\succ \;$en cartésien «$\;\left[{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot \right]_{\text{cart}}=\left[\;{\dot {x}}\,{\vec {u}}_{x}\,\cdot \;,\;{\dot {y}}\,{\vec {u}}_{y}\,\cdot \;,\;{\dot {z}}\;{\vec {u}}_{z}\,\cdot \;\right]\;$», La représentation matricielle$\succ \;$en cylindro-polaire «$\;\left[{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot \right]_{\text{cyl}}=\left[\;{\dot {\rho }}\,{\vec {u}}_{\rho }\,\cdot \;,\;\rho \,{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }\,\cdot \;,\;{\dot {z}}\;{\vec {u}}_{z}\,\cdot \;\right]\;$», La représentation matricielle$\succ \;$en sphérique «$\;\left[{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot \right]_{\text{sph}}=\left[\;{\dot {r}}\,{\vec {u}}_{r}\,\cdot \;,\;r\,{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }\,\cdot \;,\;r\,\sin(\theta )\,{\dot {\varphi }}\;{\vec {u}}_{\varphi }\,\cdot \;\right]\;$» et de La représentation matricelle de l'opérateur linéaire “nabla” en matrice colonne s'écrivant respectivement La représentation matricielle$\succ \;$en cartésien «$\;\left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{cart}}=\left[{\begin{array}{c}{\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\\{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\\{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\end{array}}\right]\;$», La représentation matricielle$\succ \;$en cylindro-polaire «$\;\left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{cyl}}=\left[{\begin{array}{c}{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\\{\dfrac {{\vec {u}}_{\theta }}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\\{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\end{array}}\right]\;$», La représentation matricielle$\succ \;$en sphérique «$\;\left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{sph}}=\left[{\begin{array}{c}{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\\{\dfrac {{\vec {u}}_{\theta }}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\\{\dfrac {{\vec {u}}_{\varphi }}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\end{array}}\right]\;$» d'où la représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “vitesse scalaire nabla” «$\;{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\vec {\nabla }}\left[\,\right]\;$» en matrice de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;\left(1\times 1\right)\;$ soit respectivement La représentation matricielle$\succ \;$en cartésien «$\;\left[{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{cart}}=\left[{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot \right]_{\text{cart}}\times \left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{cart}}=\left[\;{\dot {x}}\,{\vec {u}}_{x}\,\cdot \;,\;{\dot {y}}\,{\vec {u}}_{y}\,\cdot \;,\;{\dot {z}}\;{\vec {u}}_{z}\,\cdot \;\right]\times \left[{\begin{array}{c}{\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\\{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\\{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\end{array}}\right]\;$ La représentation matricielle$\color {transparent}{\succ }\;$en cartésien «$\;\color {transparent}{\left[{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{cart}}}$ $={\dot {x}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+{\dot {y}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+{\dot {z}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\;$», La représentation matricielle$\succ \;$en cylindro-polaire «$\;\left[{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{cyl}}=\left[{\vec {V}}_{\!M}\cdot \right]_{\text{cyl}}\times \left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{cyl}}=\left[\;{\dot {\rho }}\,{\vec {u}}_{\rho }\,\cdot \;,\;\rho \,{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }\,\cdot \;,\;{\dot {z}}\;{\vec {u}}_{z}\,\cdot \;\right]\times \left[{\begin{array}{c}{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\\{\dfrac {1}{\rho }}\,{\vec {u}}_{\theta }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\\{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\end{array}}\right]\;$ La représentation matricielle$\color {transparent}{\succ }\;$en cylindro-polaire «$\;\color {transparent}{\left[{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{cyl}}}$ $={\dot {\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+{\dot {\theta }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+{\dot {z}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\;$», La représentation matricielle$\succ \;$en sphérique «$\;\left[{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{sph}}=\left[{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot \right]_{\text{sph}}\times \left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{sph}}=\left[\;{\dot {r}}\,{\vec {u}}_{r}\,\cdot \;,\;r\,{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }\,\cdot \;,\;r\,\sin(\theta )\,{\dot {\varphi }}\;{\vec {u}}_{\varphi }\,\cdot \;\right]\times \left[{\begin{array}{c}{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\\{\dfrac {1}{r}}\,{\vec {u}}_{\theta }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\\{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\vec {u}}_{\varphi }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\end{array}}\right]\;$ La représentation matricielle$\color {transparent}{\succ }\;$en sphérique «$\;\color {transparent}{\left[{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{sph}}}$ $={\dot {r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+{\dot {\theta }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\dot {\varphi }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\;$».
* La représentation matricielle de l'image de la fonction vectorielle $\;{\vec {A}}(M,\,t)\;$ par l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “vitesse scalaire nabla” «$\;{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\vec {\nabla }}\left[\,\right]\;$» $\;{\big \$c'est-à-dire la représentation matricielle du « champ d'advection $\;{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\vec {\nabla }}\left[{\vec {A}}(M)\right]\;$» de la fonction vectorielle $\;{\vec {A}}(M)\;$${\big \}$, est « la matrice colonne résultant de l'action de la matrice d'opérateurs de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;\left(1\times 1\right)\;$ sur la matrice colonne représentant $\;{\vec {A}}(M)\;$»$^,$ soit $\succ \;$en cartésien, «$\;\left[{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{cart}}\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cart}}=\left\lbrace {\dot {x}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+{\dot {y}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+{\dot {z}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\right\rbrace \left[{\begin{array}{c}A_{x}(M)\,{\vec {u}}_{x}\\A_{y}(M)\,{\vec {u}}_{y}\\A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}\left\lbrace {\dot {x}}\,\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!(M)+{\dot {y}}\,\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!(M)+{\dot {z}}\,\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{x}\\\left\lbrace {\dot {x}}\,\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!(M)+{\dot {y}}\,\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!(M)+{\dot {z}}\,\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{y}\\\left\lbrace {\dot {x}}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!(M)+{\dot {y}}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!(M)+{\dot {z}}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$en cartésien, «$\;\color {transparent}{\left[{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{cart}}\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cart}}}\;$$=\left[{\begin{array}{c}{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace A_{x}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{x}\\{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace A_{y}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{y}\\{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace A_{z}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;$», $\succ \;$en cylindro-polaire, «$\;\left[{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{cyl}}\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cyl}}=\left\lbrace {\dot {\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+{\dot {\theta }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+{\dot {z}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right\rbrace \left[{\begin{array}{c}A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }\\A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\\A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$en cylindro-polaire, «$\;\color {transparent}{\left[{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{cyl}}\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cyl}}}\;$$=\left[{\begin{array}{l}\left\lbrace {\dot {\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)+{\dot {\theta }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)+{\dot {z}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\rho }+{\dot {\theta }}\,A_{\rho }(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\theta }}\\\left\lbrace {\dot {\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)+{\dot {\theta }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)+{\dot {z}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\theta }+{\dot {\theta }}\,A_{\theta }(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}\\\left\lbrace {\dot {\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)+{\dot {\theta }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)+{\dot {z}}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$en cylindro-polaire, «$\;\color {transparent}{\left[{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{cyl}}\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cyl}}}\;$$=\left[{\begin{array}{l}{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace A_{\rho }(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\rho }+A_{\rho }(M)\,{\dot {\theta }}\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\theta }}\\{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace A_{\theta }(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\theta }+A_{\theta }(M)\,{\dot {\theta }}\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}\\{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace A_{z}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;$»$^,$, $\succ \;$en sphérique, «$\;\left[{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{sph}}\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{sph}}=\left\lbrace {\dot {r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+{\dot {\theta }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\dot {\varphi }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right\rbrace \left[{\begin{array}{c}A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}\\A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\\A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$en sphérique, «$\;\color {transparent}{\left[{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{sph}}\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{sph}}}$ $=\left[{\begin{array}{l}\left\lbrace {\dot {r}}\,\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(M)+{\dot {\theta }}\,\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(M)+{\dot {\varphi }}\,\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{r}+A_{r}(M)\left\lbrace {\dot {\theta }}\,\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!\varphi }+{\dot {\varphi }}\,\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!\theta }\right\rbrace \\\left\lbrace {\dot {r}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(M)+{\dot {\theta }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(M)+{\dot {\varphi }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\theta }+A_{\theta }(M)\left\lbrace {\dot {\theta }}\,\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\varphi }+{\dot {\varphi }}\,\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!\theta }\right\rbrace \\\left\lbrace {\dot {r}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(M)+{\dot {\theta }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(M)+{\dot {\varphi }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\varphi }+A_{\varphi }(M)\,{\dot {\varphi }}\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\varphi }}{d\varphi }}\end{array}}\right]\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$en sphérique, «$\;\color {transparent}{\left[{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{sph}}\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{sph}}}$ $=\left[{\begin{array}{l}{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace A_{r}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{r}+A_{r}(M)\,\left\lbrace {\dot {\theta }}\,\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!\varphi }+{\dot {\varphi }}\,\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!\theta }\right\rbrace \\{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace A_{\theta }(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\theta }+A_{\theta }(M)\,\left\lbrace {\dot {\theta }}\,\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\varphi }+{\dot {\varphi }}\,\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!\theta }\right\rbrace \\{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace A_{\varphi }(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\varphi }+A_{\varphi }(M)\,{\dot {\varphi }}\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\varphi }}{d\varphi }}\end{array}}\right]\;$»$^,$.
Exemple, champ d'advection du champ des vecteurs vitesse d'un milieu environnant mobile «$\;\left\lbrace {\vec {V}}_{\!M}(t)\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \!\left[{\vec {V}}_{\!M}(t)\right]\;$» : suivant le repérage utilisé nous obtenons
Exemple, $\succ \;$en cartésien «$\;\left\lbrace {\vec {V}}_{\!M}(t)\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \!\left[{\vec {V}}_{\!M}(t)\right]={\vec {V}}_{\!M}(t)\,\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[V_{M,\,x}(t)\right]\,{\vec {u}}_{x}+{\vec {V}}_{\!M}(t)\,\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[V_{M,\,y}(t)\right]\,{\vec {u}}_{y}+{\vec {V}}_{\!M}(t)\,\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[V_{M,\,z}(t)\right]\,{\vec {u}}_{z}\;$»,
Exemple, $\succ \;$en cylindro-polaire «$\;\left\lbrace {\vec {V}}_{\!M}(t)\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \!\left[{\vec {V}}_{\!M}(t)\right]=\left\lbrace {\vec {V}}_{\!M}(t)\,\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[V_{M,\,\rho }(t)\right]-V_{M,\,\theta }(t)\;{\dot {\theta }}(t)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\rho }+\left\lbrace {\vec {V}}_{\!M}(t)\,\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[V_{M,\,\theta }(t)\right]+V_{M,\,\rho }(t)\;{\dot {\theta }}(t)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\theta }+{\vec {V}}_{\!M}(t)\,\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[V_{M,\,z}(t)\right]\,{\vec {u}}_{z}\;$» et
Exemple, $\succ \;$en sphérique «$\;\left\lbrace {\vec {V}}_{\!M}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \!\left[{\vec {V}}_{\!M}\right]=\left\lbrace {\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[V_{M,\,r}\right]-V_{M,\,\theta }\;{\dot {\theta }}-V_{M,\,\varphi }\;\sin(\theta )\;{\dot {\varphi }}\right\rbrace \,{\vec {u}}_{r}+\left\lbrace {\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[V_{M,\,\theta }\right]+V_{M,\,r}\;{\dot {\theta }}-V_{M,\,\varphi }\;\cos(\theta )\;{\dot {\varphi }}\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\theta }$ Exemple, $\color {transparent}{\succ }\;$en sphérique «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {V}}_{\!M}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \!\left[{\vec {V}}_{\!M}\right]=\left\lbrace {\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[V_{M,\,r}\right]-V_{M,\,\theta }\;{\dot {\theta }}-V_{M,\,\varphi }\;\sin(\theta )\;{\dot {\varphi }}\right\rbrace \,{\vec {u}}_{r}}$ $+\left\lbrace {\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[V_{M,\,\varphi }\right]+\left[V_{M,\,r}\;\sin(\theta )+V_{M,\,\theta }\;\cos(\theta )\right]\,{\dot {\varphi }}\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\varphi }\;$»$^,$.

### Prolongement de l'application (directe) de l'opérateur linéaire "nabla scalaire nabla" aux fonctions vectorielles de l'espace

Ayant rappelé dans le paragraphe « champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace » plus haut dans ce chapitre Ayant rappelé que « l'image de la fonction scalaire différentiable de l'espace $\;U(M)\;$ par l'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” » est Ayant rappelé que « le champ scalaire laplacien de la fonction scalaire $\;U(M)\;$» défini de façon intrinsèque par «$\;\Delta \!\left[U\right](M)=\mathrm {div} \!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right]\right\rbrace \!(M)\;$» c'est-à-dire
$\;\Delta \!\left[U\right](M)=\mathrm {div} \!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right]\right\rbrace \!(M)={\vec {\nabla }}^{2}\!\left[U\right](M)\;$
nous nous proposons d'appliquer l'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” à une fonction vectorielle différentiable de l'espace $\;{\vec {A}}(M)\;$ puis nous nous proposons de comparer le résultat obtenu au champ vectoriel laplacien vectoriel défini de façon intrinsèque selon «$\;{\vec {\Delta }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \mathrm {div} \left[{\vec {A}}\right]\right\rbrace (M)-{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right\rbrace (M)\;$» et ceci nous nous proposons de comparer dans les trois repérages cartésien, cylindro-polaire et sphérique $\;\ldots$

#### Identification de l'image par l'opérateur nabla scalaire nabla d'une fonction vectorielle et du champ laplacien vectoriel de cette fonction vectorielle en repérage cartésien

La représentation matricielle de l'image de la fonction vectorielle $\;{\vec {A}}(M)\;$ par l'opérateur scalaire linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” «$\;{\vec {\nabla }}^{2}\left[\,\right]\;$» étant « la matrice colonne résultant de l'action de la “ matrice d'opérateurs de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;\left(1\times 1\right)\;$” sur la matrice colonne représentant $\;{\vec {A}}(M)\;$» soit, en cartésien, La représentation matricielle «$\;\left[{\vec {\nabla }}^{2}\right]_{\text{cart}}\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cart}}=\left\lbrace \left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)_{\!y,\,z}+\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)_{\!x,\,z}+\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)_{\!x,\,y}\right\rbrace \left[{\begin{array}{c}A_{x}(M)\,{\vec {u}}_{x}\\A_{y}(M)\,{\vec {u}}_{y}\\A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}\left\lbrace \left({\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x^{2}}}\right)_{\!y,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial y^{2}}}\right)_{\!x,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial z^{2}}}\right)_{\!x,\,y}\!(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{x}\\\left\lbrace \left({\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial x^{2}}}\right)_{\!y,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial y^{2}}}\right)_{\!x,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial z^{2}}}\right)_{\!x,\,y}\!(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{y}\\\left\lbrace \left({\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial x^{2}}}\right)_{\!y,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial y^{2}}}\right)_{\!x,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z^{2}}}\right)_{\!x,\,y}\!(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;$ La représentation matricielle «$\;\color {transparent}{\left[{\vec {\nabla }}^{2}\right]_{\text{cart}}\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cart}}}\;$$=\left[{\begin{array}{c}\Delta \!\left\lbrace A_{x}\right\rbrace \!(M)\;{\vec {u}}_{x}\\\Delta \!\left\lbrace A_{y}\right\rbrace \!(M)\;{\vec {u}}_{y}\\\Delta \!\left\lbrace A_{z}\right\rbrace \!(M)\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;$» et
La représentation matri celle du champ laplacien vectoriel de la fonction vectorielle $\;{\vec {A}}(M)\;$ défini de façon intrinsèque selon «$\;{\vec {\Delta }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \mathrm {div} \left[{\vec {A}}\right]\right\rbrace (M)-{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right\rbrace (M)\;$» étant « la différence des matrices colonne “$\;\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \mathrm {div} \left[{\vec {A}}\right]\right\rbrace (M)\right]\;$” et “$\;\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]\;$” » soit, en cartésien,
La représentation matricielle $\succ \;$«$\;\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \mathrm {div} \left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]_{\text{cart}}=\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\right\rbrace \right]_{\text{cart}}\;$ La représentation matricielle $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \mathrm {div} \left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]_{\text{cart}}}\;$$=\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cart}}+\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cart}}+\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cart}}$ La représentation matricielle $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \mathrm {div} \left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]_{\text{cart}}}\;$$=\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x^{2}}}(M)\;{\vec {u}}_{x}\\{\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial y\,\partial x}}(M)\;{\vec {u}}_{y}\\{\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial z\,\partial x}}(M)\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]+\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial x\,\partial y}}(M)\;{\vec {u}}_{x}\\{\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial y^{2}}}(M)\;{\vec {u}}_{y}\\{\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial z\,\partial y}}(M)\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]+\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial x\,\partial z}}(M)\;{\vec {u}}_{x}\\{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial y\,\partial z}}(M)\;{\vec {u}}_{y}\\{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z^{2}}}(M)\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}\left\lbrace {\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x^{2}}}(M)+{\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial x\,\partial y}}(M)+{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial x\,\partial z}}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{x}\\\left\lbrace {\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial y\,\partial x}}(M)+{\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial y^{2}}}(M)+{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial y\,\partial z}}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{y}\\\left\lbrace {\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial z\,\partial x}}(M)+{\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial z\,\partial y}}(M)+{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z^{2}}}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]$»,
La représentation matricielle $\succ \;$«$\;\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]_{\text{cart}}=\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace \left[\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\right]\,{\vec {u}}_{x}+\left[\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)\right]\,{\vec {u}}_{y}\right.\right.$ La représentation matricielle $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]_{\text{cart}}=\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace \left[\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\right]\,{\vec {u}}_{x}\right.\right.}\;$$\left.\left.+\left[\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)\right]\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \right]_{\text{cart}}\;$ La représentation matricielle $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]_{\text{cart}}}\;$$=\left[{\begin{array}{c}\left\lbrace \left({\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial y\,\partial x}}-{\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial y^{2}}}\right)-\left({\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial z^{2}}}-{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z\,\partial x}}\right)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{x}\\\left\lbrace \left({\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z\,\partial y}}-{\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial z^{2}}}\right)-\left({\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial x^{2}}}-{\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x\,\partial y}}\right)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{y}\\\left\lbrace \left({\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x\,\partial z}}-{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial x^{2}}}\right)-\left({\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial y^{2}}}-{\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial y\,\partial z}}\right)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]_{\text{cart}}\;$$^,$ La représentation matricielle $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]_{\text{cart}}}\;$$=\left[{\begin{array}{c}\left\lbrace \left({\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial y\,\partial x}}+{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z\,\partial x}}\right)-\left({\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial y^{2}}}+{\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial z^{2}}}\right)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{x}\\\left\lbrace \left({\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z\,\partial y}}+{\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x\,\partial y}}\right)-\left({\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial z^{2}}}+{\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial x^{2}}}\right)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{y}\\\left\lbrace \left({\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x\,\partial z}}+{\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial y\,\partial z}}\right)-\left({\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial x^{2}}}+{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial y^{2}}}\right)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;$»,
La représentation matricielle $\color {transparent}{\succ }\;$d'où, en faisant la différence, $\;\left[{\vec {\Delta }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cart}}\;{\overset {\cdots }{\;=\;}}\;\left[{\begin{array}{c}\left\lbrace {\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x^{2}}}(M)+{\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial y^{2}}}(M)+{\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial z^{2}}}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{x}\\\left\lbrace {\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial x^{2}}}(M)+{\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial y^{2}}}(M)+{\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial z^{2}}}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{y}\\\left\lbrace {\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial x^{2}}}(M)+{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial y^{2}}}(M)+{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z^{2}}}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;$ $=\left[{\begin{array}{c}\Delta \!\left\lbrace A_{x}\right\rbrace \!(M)\;{\vec {u}}_{x}\\\\\Delta \!\left\lbrace A_{y}\right\rbrace \!(M)\;{\vec {u}}_{y}\\\\\Delta \!\left\lbrace A_{z}\right\rbrace \!(M)\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;$»$^,$ ;
en conclusion, « les représentations matricielles de $\;{\vec {\nabla }}^{2}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\;$ et de $\;{\vec {\Delta }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\;$ en repérage cartésien étant les mêmes » on peut affirmer que
$\;{\vec {\nabla }}^{2}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)={\vec {\Delta }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\;$

#### Identification de l'image par l'opérateur nabla scalaire nabla d'une fonction vectorielle et du champ laplacien vectoriel de cette fonction vectorielle en repérage cylindro-polaire

La représentation matricielle de l'image de la fonction vectorielle $\;{\vec {A}}(M)\;$ par l'opérateur scalaire linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” «$\;{\vec {\nabla }}^{2}\left[\,\right]\;$» étant « la matrice colonne résultant de l'action de la “ matrice d'opérateurs de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;\left(1\times 1\right)\;$” sur la matrice colonne représentant $\;{\vec {A}}(M)\;$» soit, en cylindro-polaire, La représentation matricielle «$\;\left[{\vec {\nabla }}^{2}\right]_{\text{cyl}}\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cyl}}=\left\lbrace {\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial \left[\rho \,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,z}+\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right\rbrace \left[{\begin{array}{c}A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }\\A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\\A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]$ la représentation matricielle «$\;\color {transparent}{\left[{\vec {\nabla }}^{2}\right]_{\text{cyl}}\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cyl}}}\;$ $=\left[{\begin{array}{l}\left\lbrace {\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial \left(\rho \,{\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)}{\partial \rho }}(M)+{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\,{\dfrac {\partial ^{2}A_{\rho }}{\partial \theta ^{2}}}(M)+{\dfrac {\partial ^{2}A_{\rho }}{\partial z^{2}}}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\rho }+{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\left\lbrace 2\,{\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\theta }}+A_{\rho }(M)\,{\dfrac {d^{2}{\vec {u}}_{\rho }}{d\theta ^{2}}}\right\rbrace \\\left\lbrace {\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial \left(\rho \,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}\right)}{\partial \rho }}(M)+{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\,{\dfrac {\partial ^{2}A_{\theta }}{\partial \theta ^{2}}}(M)+{\dfrac {\partial ^{2}A_{\theta }}{\partial z^{2}}}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\theta }+{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\left\lbrace 2\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}+A_{\theta }(M)\,{\dfrac {d^{2}{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta ^{2}}}\right\rbrace \\\left\lbrace {\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial \left(\rho \,{\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)}{\partial \rho }}(M)+{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\,{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial \theta ^{2}}}(M)+{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z^{2}}}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;$ la représentation matricielle «$\;\color {transparent}{\left[{\vec {\nabla }}^{2}\right]_{\text{cyl}}\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cyl}}}\;$$=\left[{\begin{array}{c}\left\lbrace \Delta \!\left(A_{\rho }\right)\!(M)-{\dfrac {A_{\rho }(M)}{\rho ^{2}}}\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\rho }+{\dfrac {2}{\rho ^{2}}}\;{\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\;{\vec {u}}_{\theta }\\\left\lbrace \Delta \!\left(A_{\theta }\right)\!(M)-{\dfrac {A_{\theta }(M)}{\rho ^{2}}}\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\theta }-{\dfrac {2}{\rho ^{2}}}\;{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\;{\vec {u}}_{\rho }\\\Delta \!\left\lbrace A_{z}\right\rbrace \!(M)\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;$»$^,$$^,$ et
La représentation matri celle du champ laplacien vectoriel de la fonction vectorielle $\;{\vec {A}}(M)\;$ défini de façon intrinsèque selon «$\;{\vec {\Delta }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \mathrm {div} \left[{\vec {A}}\right]\right\rbrace (M)-{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right\rbrace (M)\;$» étant « la différence des matrices colonne “$\;\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \mathrm {div} \left[{\vec {A}}\right]\right\rbrace (M)\right]\;$” et “$\;\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]\;$” » soit, en cylindro-polaire,
La représentation matricielle $\succ \;$«$\;\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \mathrm {div} \left[{\vec {A}}\right]\right\rbrace (M)\right]_{\text{cyl}}=\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial \left[\rho \,A_{\rho }\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\right\rbrace \right]_{\text{cyl}}\;$ La représentation matricielle $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \mathrm {div} \left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]_{\text{cyl}}}\;$$=\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial \left[\rho \,A_{\rho }\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cyl}}+\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{\rho }}\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cyl}}+\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cyl}}$ La représentation matricielle $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \mathrm {div} \left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]_{\text{cyl}}}\;$$=\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {\partial \left\lbrace {\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial \left(\rho \,A_{\rho }\right)}{\partial \rho }}\right\rbrace }{\partial \rho }}(M)\;{\vec {u}}_{\rho }\\{\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial \left\lbrace {\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial \left(\rho \,A_{\rho }\right)}{\partial \rho }}\right\rbrace }{\partial \theta }}(M)\;{\vec {u}}_{\theta }\\{\dfrac {\partial \left\lbrace {\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial \left(\rho \,A_{\rho }\right)}{\partial \rho }}\right\rbrace }{\partial z}}(M)\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]+\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {\partial \left\lbrace {\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right\rbrace }{\partial \rho }}(M)\;{\vec {u}}_{\rho }\\{\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial \left\lbrace {\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right\rbrace }{\partial \theta }}(M)\;{\vec {u}}_{\theta }\\{\dfrac {\partial \left\lbrace {\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right\rbrace }{\partial z}}(M)\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]+\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {\partial \left\lbrace {\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right\rbrace }{\partial \rho }}(M)\;{\vec {u}}_{\rho }\\{\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial \left\lbrace {\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right\rbrace }{\partial \theta }}(M)\;{\vec {u}}_{\theta }\\{\dfrac {\partial \left\lbrace {\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right\rbrace }{\partial z}}(M)\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;$ La représentation matricielle $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \mathrm {div} \left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]_{\text{cyl}}}\;$$=\left[{\begin{array}{c}\left\lbrace {\dfrac {\partial \left({\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial \left(\rho \,A_{\rho }\right)}{\partial \rho }}\right)}{\partial \rho }}(M)-{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\;{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\;{\dfrac {\partial ^{2}A_{\theta }}{\partial \rho \,\partial \theta }}(M)+{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial \rho \,\partial z}}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\rho }\\\left\lbrace {\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\,{\dfrac {\partial ^{2}\left(\rho \,A_{\rho }\right)}{\partial \theta \,\partial \rho }}(M)+{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\,{\dfrac {\partial ^{2}A_{\theta }}{\partial \theta ^{2}}}(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial \theta \,\partial z}}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\theta }\\\left\lbrace {\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial ^{2}\left(\rho \,A_{\rho }\right)}{\partial z\,\partial \rho }}(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial ^{2}A_{\theta }}{\partial z\,\partial \theta }}(M)+{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z^{2}}}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]$»,
La représentation matricielle $\succ \;$«$\;\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]_{\text{cyl}}=\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace \left[{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\right]\,{\vec {u}}_{\rho }+\left[\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\right]\,{\vec {u}}_{\theta }\right.\right.$ La représentation matricielle $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]_{\text{cyl}}=\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace \left[{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\right]\,{\vec {u}}_{\rho }\right.\right.}\;$$\left.\left.+{\dfrac {1}{\rho }}\left[\left({\dfrac {\partial \left[\rho \;A_{\theta }\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\right]\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \right]_{\text{cyl}}\;$ La représentation matricielle $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]_{\text{cyl}}}\;$$=\left[{\begin{array}{l}\left\lbrace {\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial \left\lbrace {\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial \left[\rho \,A_{\theta }\right]}{\partial \rho }}-{\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right\rbrace }{\partial \theta }}-{\dfrac {\partial \left[{\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}-{\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right]}{\partial z}}\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\rho }\\\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[{\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}-{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right]}{\partial z}}-{\dfrac {\partial \left[{\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial \left(\rho \,A_{\theta }\right)}{\partial \rho }}-{\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right]}{\partial \rho }}\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\theta }\\\left\lbrace {\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial \left[\rho \,{\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}-\rho \,{\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right]}{\partial \rho }}-{\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial \left[{\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}-{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right]}{\partial \theta }}\right\rbrace \,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]_{\text{cyl}}\;$$^,$$^,$ La représentation matricielle $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]_{\text{cyl}}}\;$$=\left[{\begin{array}{l}\;\left\lbrace \left({\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial ^{2}A_{\theta }}{\partial \theta \,\partial \rho }}+{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}+{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z\,\partial \rho }}\right)-\left({\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\,{\dfrac {\partial ^{2}A_{\rho }}{\partial \theta ^{2}}}+{\dfrac {\partial ^{2}A_{\rho }}{\partial z^{2}}}\right)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\rho }\\\left\lbrace \left({\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z\,\partial \theta }}+{\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial ^{2}A_{\rho }}{\partial \rho \,\partial \theta }}+{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\,A_{\theta }\right)-\left({\dfrac {\partial ^{2}A_{\theta }}{\partial z^{2}}}+{\dfrac {\partial ^{2}A_{\theta }}{\partial \rho ^{2}}}+{\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}+{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\,{\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\theta }\\\;\;\left\lbrace \left({\dfrac {\partial ^{2}A_{\rho }}{\partial \rho \,\partial z}}+{\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial ^{2}A_{\theta }}{\partial \theta \,\partial z}}+{\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)-\left({\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial \rho ^{2}}}+{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\,{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial \theta ^{2}}}+{\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;$»$^,$,
La représentation matricielle $\color {transparent}{\succ }\;$d'où, en faisant la différence, $\;\left[{\vec {\Delta }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cyl}}\;{\overset {\cdots }{\;=\;}}\;\left[{\begin{array}{c}\left\lbrace {\dfrac {\partial ^{2}A_{\rho }}{\partial \rho ^{2}}}(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\;{\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}(M)+{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\;{\dfrac {\partial ^{2}A_{\rho }}{\partial \theta ^{2}}}(M)+{\dfrac {\partial ^{2}A_{\rho }}{\partial z^{2}}}(M)-{\dfrac {A_{\rho }(M)}{\rho }}-{\dfrac {2}{\rho ^{2}}}\;{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\rho }\\\left\lbrace {\dfrac {\partial ^{2}A_{\theta }}{\partial \rho ^{2}}}(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\;{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}(M)+{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\;{\dfrac {\partial ^{2}A_{\theta }}{\partial \theta ^{2}}}(M)+{\dfrac {\partial ^{2}A_{\theta }}{\partial z^{2}}}(M)-{\dfrac {A_{\theta }(M)}{\rho ^{2}}}+{\dfrac {2}{\rho ^{2}}}\;{\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\theta }\\\left\lbrace {\dfrac {1}{\rho }}\;{\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}(M)+{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial \rho ^{2}}}(M)+{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\;{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial \theta ^{2}}}(M)+{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z^{2}}}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;$$^,$ La représentation matricielle $\color {transparent}{\succ }\;$d'où, en faisant la différence, $\;\color {transparent}{\left[{\vec {\Delta }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cyl}}}\;$ $=\left[{\begin{array}{c}\left\lbrace \Delta \!\left[A_{\rho }\right]\!(M)-{\dfrac {A_{\rho }(M)}{\rho }}-{\dfrac {2}{\rho ^{2}}}\;{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\rho }\\\left\lbrace \Delta \!\left[A_{\theta }\right]\!(M)-{\dfrac {A_{\theta }(M)}{\rho ^{2}}}+{\dfrac {2}{\rho ^{2}}}\;{\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\theta }\\\Delta \!\left[A_{z}\right]\!(M)\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;$» ;
en conclusion, « les représentations matricielles de $\;{\vec {\nabla }}^{2}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\;$ et de $\;{\vec {\Delta }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\;$ en repérage cylindro-polaire étant les mêmes » on peut affirmer que
$\;{\vec {\nabla }}^{2}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)={\vec {\Delta }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\;$
Remarque : Contrairement à ce qu'on observe en cartésien, les composantes cylindro-polaires du laplacien vectoriel de la fonction vectorielle $\;{\vec {A}}(M)\;$ ne sont pas les laplaciens scalaires des composantes cylindro-polaires de la fonction vectorielle !

#### Identification de l'image par l'opérateur nabla scalaire nabla d'une fonction vectorielle et du champ laplacien vectoriel de cette fonction vectorielle en repérage sphérique

La représentation matricielle de l'image de la fonction vectorielle $\;{\vec {A}}(M)\;$ par l'opérateur scalaire linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” «$\;{\vec {\nabla }}^{2}\left[\,\right]\;$» étant « la matrice colonne résultant de l'action de la “ matrice d'opérateurs de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;\left(1\times 1\right)\;$” sur la matrice colonne représentant $\;{\vec {A}}(M)\;$» soit, en sphérique, La représentation matricielle «$\;\left[{\vec {\nabla }}^{2}\right]_{\text{sph}}\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{sph}}=\left\lbrace {\dfrac {1}{r^{2}}}{\dfrac {\partial \!\left[r^{2}{\dfrac {\partial }{\partial r}}\right]}{\partial r}}+{\dfrac {1}{r^{2}\sin(\theta )}}{\dfrac {\partial \!\left[\sin(\theta ){\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right]}{\partial \theta }}+{\dfrac {1}{r^{2}\sin ^{2}(\theta )}}{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right\rbrace \left[{\begin{array}{c}A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}\\A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\\A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]\;$» la représentation matricielle «$\;\color {transparent}{\left[{\vec {\nabla }}^{2}\right]_{\text{sph}}\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{sph}}}\;$ $=\left[{\begin{array}{l}\left\lbrace {\dfrac {1}{r^{2}}}{\dfrac {\partial \!\left[r^{2}{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial r}}\right]}{\partial r}}+{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin(\theta )}}{\dfrac {\partial \!\left[\sin(\theta ){\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right]}{\partial \theta }}+{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}{\dfrac {\partial ^{2}A_{r}}{\partial \varphi ^{2}}}\right\rbrace \,{\vec {u}}_{r}+{\dfrac {2}{r^{2}}}\left\lbrace -A_{r}\;{\vec {u}}_{r}+{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\;{\vec {u}}_{\theta }+{\dfrac {1}{\sin(\theta )}}\;{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}\;{\vec {u}}_{\varphi }\right\rbrace \\\left\lbrace {\dfrac {1}{r^{2}}}{\dfrac {\partial \!\left[r^{2}{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial r}}\right]}{\partial r}}+{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin(\theta )}}{\dfrac {\partial \!\left[\sin(\theta ){\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right]}{\partial \theta }}+{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}{\dfrac {\partial ^{2}A_{\theta }}{\partial \varphi ^{2}}}\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\theta }+\;\cdots \;\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \cdots \;{\dfrac {1}{r^{2}}}\left\lbrace -2\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\,{\vec {u}}_{r}-2\,{\dfrac {\cos(\theta )}{\sin(\theta )}}\,A_{\theta }\,{\vec {u}}_{r}-{\dfrac {A_{\theta }}{\sin ^{2}(\theta )}}\,{\vec {u}}_{\theta }+2\,{\dfrac {\cos(\theta )}{\sin ^{2}(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\,{\vec {u}}_{\varphi }\right\rbrace \\\left\lbrace {\dfrac {1}{r^{2}}}{\dfrac {\partial \!\left[r^{2}{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial r}}\right]}{\partial r}}+{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin(\theta )}}{\dfrac {\partial \!\left[\sin(\theta ){\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \theta }}\right]}{\partial \theta }}+{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}{\dfrac {\partial ^{2}A_{\varphi }}{\partial \varphi ^{2}}}\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\varphi }\;\cdots \;\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \cdots \;-{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\left\lbrace 2\,{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\;{\vec {u}}_{r}+2\,{\dfrac {\cos(\theta )}{\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\;{\vec {u}}_{\theta }+{\dfrac {1}{\sin(\theta )}}\,A_{\varphi }\;{\vec {u}}_{\varphi }\right\rbrace \end{array}}\right]\;$$^,$$^,$  la représentation matricielle «$\;\color {transparent}{\left[{\vec {\nabla }}^{2}\right]_{\text{sph}}\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{sph}}}\;$ $=\left[{\begin{array}{c}\left\lbrace \Delta \!\left(A_{r}\right)\!(M)-2\,{\dfrac {A_{r}(M)}{r^{2}}}\right\rbrace \,{\vec {u}}_{r}+{\dfrac {2}{r^{2}}}\;{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\;{\vec {u}}_{\theta }+{\dfrac {2}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\;{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}\;{\vec {u}}_{\varphi }\\\left\lbrace \Delta \!\left(A_{\theta }\right)\!(M)-{\dfrac {A_{\theta }(M)}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\theta }-{\dfrac {2}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\,{\vec {u}}_{r}+{\dfrac {2\,\cos(\theta )}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\,{\vec {u}}_{\varphi }\\\left\lbrace \Delta \!\left\lbrace A_{\varphi }\right\rbrace \!(M)-{\dfrac {A_{\varphi }(M)}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}\right\rbrace \;{\vec {u}}_{\varphi }-{\dfrac {2}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\,{\vec {u}}_{r}-{\dfrac {2\,\cos(\theta )}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\,{\vec {u}}_{\theta }\end{array}}\right]\;$»$^,$ et
La représentation matri celle du champ laplacien vectoriel de la fonction vectorielle $\;{\vec {A}}(M)\;$ défini de façon intrinsèque selon «$\;{\vec {\Delta }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \mathrm {div} \left[{\vec {A}}\right]\right\rbrace (M)-{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right\rbrace (M)\;$» étant « la différence des matrices colonne “$\;\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \mathrm {div} \left[{\vec {A}}\right]\right\rbrace (M)\right]\;$” et “$\;\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]\;$” » soit, en sphérique $\;{\big \$en utilisant, quand cela s'avère nécessaire, le théorème de Schwarz c'est-à-dire consistant à permuter l'ordre des dérivations lors d'une dérivation partielle du 2nd ordre sans changement du résultat${\big \}$,
La représentation matricielle $\succ \;$«$\;\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \mathrm {div} \left[{\vec {A}}\right]\right\rbrace (M)\right]_{\text{sph}}=\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{r^{2}}}\left({\dfrac {\partial \left[r^{2}\,A_{r}\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right\rbrace _{\!r,\,\varphi }+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right\rbrace \right]_{\text{sph}}\;$ La représentation matricielle $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \mathrm {div} \left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]_{\text{sph}}}$$=\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{r^{2}}}\left({\dfrac {\partial \left[r^{2}\,A_{r}\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\right\rbrace \right]_{\text{sph}}+\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right\rbrace _{\!r,\,\varphi }\right\rbrace \right]_{\text{sph}}+\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right\rbrace \right]_{\text{sph}}\;$ La représentation matricielle $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \mathrm {div} \left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]_{\text{sph}}}$$=\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {\partial \left\lbrace {\dfrac {1}{r^{2}}}\,{\dfrac {\partial \left(r^{2}\,A_{r}\right)}{\partial r}}\right\rbrace }{\partial r}}(M)\;{\vec {u}}_{r}\\{\dfrac {1}{r}}\,{\dfrac {\partial \left\lbrace {\dfrac {1}{r^{2}}}\,{\dfrac {\partial \left(r^{2}\,A_{r}\right)}{\partial r}}\right\rbrace }{\partial \theta }}(M)\;{\vec {u}}_{\theta }\\{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial \left\lbrace {\dfrac {1}{r^{2}}}\,{\dfrac {\partial \left(r^{2}\,A_{r}\right)}{\partial r}}\right\rbrace }{\partial \varphi }}(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]+\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {\partial \left\lbrace {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right\rbrace }{\partial r}}(M)\;{\vec {u}}_{r}\\{\dfrac {1}{r}}\,{\dfrac {\partial \left\lbrace {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right\rbrace }{\partial \theta }}(M)\;{\vec {u}}_{\theta }\\{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial \left\lbrace {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right\rbrace }{\partial \varphi }}(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]\;\cdots$ La représentation matricielle $\color {transparent}{\succ }$«$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \mathrm {div} \left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]_{\text{sph}}}$$\color {transparent}{=\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {\partial \left\lbrace {\dfrac {1}{r^{2}}}\,{\dfrac {\partial \left(r^{2}\,A_{r}\right)}{\partial r}}\right\rbrace }{\partial r}}(M)\;{\vec {u}}_{r}\\{\dfrac {1}{r}}\,{\dfrac {\partial \left\lbrace {\dfrac {1}{r^{2}}}\,{\dfrac {\partial \left(r^{2}\,A_{r}\right)}{\partial r}}\right\rbrace }{\partial \theta }}(M)\;{\vec {u}}_{\theta }\\{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial \left\lbrace {\dfrac {1}{r^{2}}}\,{\dfrac {\partial \left(r^{2}\,A_{r}\right)}{\partial r}}\right\rbrace }{\partial \varphi }}(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]}$$\cdots \;+\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {\partial \left\lbrace {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right\rbrace }{\partial r}}(M)\;{\vec {u}}_{r}\\{\dfrac {1}{r}}\,{\dfrac {\partial \left\lbrace {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right\rbrace }{\partial \theta }}(M)\;{\vec {u}}_{\theta }\\{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial \left\lbrace {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right\rbrace }{\partial \varphi }}(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]\;$ La représentation matricielle $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \mathrm {div} \left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]_{\text{sph}}}$${\overset {\cdots }{=\;}}\;\left[{\begin{array}{c}\left\lbrace {\dfrac {1}{r^{2}}}\left[{\dfrac {\partial ^{2}\left(r^{2}\,A_{r}\right)}{\partial r^{2}}}-4\;A_{r}-2\;r\;{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial r}}\right]-{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\left[{\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\theta }\right]}{\partial \theta }}+{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}-r\,{\dfrac {\partial ^{2}\left[\sin(\theta )\,A_{\theta }\right]}{\partial r\,\partial \theta }}-r\,{\dfrac {\partial ^{2}A_{\varphi }}{\partial r\,\partial \varphi }}\right]\right\rbrace \,{\vec {u}}_{r}\\\left\lbrace {\dfrac {1}{r^{3}}}\,{\dfrac {\partial ^{2}\left(r^{2}\,A_{r}\right)}{\partial \theta \,\partial r}}+{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right]}{\partial \theta }}-{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}\,A_{\theta }-{\dfrac {\cos(\theta )}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}+{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial ^{2}A_{\varphi }}{\partial \theta \,\partial \varphi }}\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\theta }\\\left\lbrace {\dfrac {1}{r^{3}\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial ^{2}\left(r^{2}\,A_{r}\right)}{\partial \varphi \,\partial r}}+{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}\,{\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right]}{\partial \theta }}+{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}\,{\dfrac {\partial ^{2}A_{\varphi }}{\partial \varphi ^{2}}}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]$»$^,$,
La représentation matricielle $\succ \;$«$\;\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]_{\text{sph}}=\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace \left[{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\varphi }\right]}{\partial \theta }}-{\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial \varphi }}\right)\right]\,{\vec {u}}_{r}+\left[{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial \varphi }}-{\dfrac {1}{r}}\,{\dfrac {\partial \left[r\;A_{\varphi }\right]}{\partial r}}\right]\,{\vec {u}}_{\theta }\right.\right.$ La représentation matricielle $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]_{\text{sph}}=\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace \left[{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\varphi }\right]}{\partial \theta }}-{\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial \varphi }}\right)\right]\,{\vec {u}}_{r}\right.\right.}\;$$\left.\left.+{\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[r\;A_{\theta }\right]}{\partial r}}-{\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial \theta }}\right)\,{\vec {u}}_{\varphi }\right\rbrace \right]_{\text{sph}}\;$ La représentation matricielle $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]_{\text{sph}}}\;$$=\left[{\begin{array}{l}\left\lbrace {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial \left[{\dfrac {\sin(\theta )}{r}}\,{\dfrac {\partial \left[r\,A_{\theta }\right]}{\partial r}}-{\dfrac {\sin(\theta )}{r}}\,{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right]}{\partial \theta }}-{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial \left[{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}-{\dfrac {1}{r}}\,{\dfrac {\partial \left[r\,A_{\varphi }\right]}{\partial r}}\right]}{\partial \varphi }}\right\rbrace \,{\vec {u}}_{r}\\\left\lbrace {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial \left[{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\varphi }\right]}{\partial \theta }}-{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right]}{\partial \varphi }}-{\dfrac {1}{r}}\,{\dfrac {\partial \left[{\dfrac {\partial \left[r\,A_{\theta }\right]}{\partial r}}-{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right]}{\partial r}}\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\theta }\\\left\lbrace {\dfrac {1}{r}}\,{\dfrac {\partial \left[{\dfrac {1}{\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}-{\dfrac {\partial \left[r\,A_{\varphi }\right]}{\partial r}}\right]}{\partial r}}-{\dfrac {1}{r}}\,{\dfrac {\partial \left[{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\varphi }\right]}{\partial \theta }}-{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right]}{\partial \theta }}\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]_{\text{sph}}\;$$^,$$^,$ La représentation matricielle $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]_{\text{sph}}}\;$$=\left[{\begin{array}{l}{\dfrac {1}{r^{2}}}\,\left\lbrace \left(\,{\dfrac {\partial ^{2}\left[r\,A_{\theta }\right]}{\partial \theta \,\partial r}}+{\dfrac {1}{\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial ^{2}\left[r\,A_{\varphi }\right]}{\partial \varphi \,\partial r}}+{\dfrac {\cos(\theta )}{\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial \left[r\,A_{\theta }\right]}{\partial r}}\right)-\left({\dfrac {\partial ^{2}A_{r}}{\partial \theta ^{2}}}+{\dfrac {1}{\sin ^{2}(\theta )}}\,{\dfrac {\partial ^{2}A_{r}}{\partial \varphi ^{2}}}+{\dfrac {\cos(\theta )}{\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{r}\\{\dfrac {1}{r^{2}}}\,\left\lbrace \left({\dfrac {1}{\sin ^{2}(\theta )}}\,{\dfrac {\partial ^{2}\left[\sin(\theta )\,A_{\varphi }\right]}{\partial \varphi \,\partial \theta }}+r\,{\dfrac {\partial ^{2}A_{r}}{\partial r\,\partial \theta }}\right)-\left({\dfrac {1}{\sin ^{2}(\theta )}}\,{\dfrac {\partial ^{2}A_{\theta }}{\partial \varphi ^{2}}}+r\,{\dfrac {\partial ^{2}\left[r\,A_{\theta }\right]}{\partial r^{2}}}\right)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\theta }\\{\dfrac {1}{r^{2}}}\,\left\lbrace \left({\dfrac {r}{\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial ^{2}A_{r}}{\partial r\,\partial \varphi }}+{\dfrac {\cos(\theta )}{\sin ^{2}(\theta )}}\,{\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\varphi }\right]}{\partial \theta }}+{\dfrac {1}{\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial ^{2}A_{\theta }}{\partial \theta \,\partial \varphi }}\right)\right.\;\cdots \\\left.\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \cdots \;-\left(r\,{\dfrac {\partial ^{2}\left[r\,A_{\varphi }\right]}{\partial r^{2}}}+{\dfrac {1}{\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial ^{2}\left[\sin(\theta )\,A_{\varphi }\right]}{\partial \theta ^{2}}}+{\dfrac {\cos(\theta )}{\sin ^{2}(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]\;$»$^,$,
La représentation matricielle $\color {transparent}{\succ }\;$d'où, en faisant la différence, $\;\left[{\vec {\Delta }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{sph}}\;{\overset {\cdots }{\;=\;}}\;\left[{\begin{array}{l}{\dfrac {1}{r^{2}}}\left\lbrace r^{2}\,{\dfrac {\partial ^{2}A_{r}}{\partial r^{2}}}+2\;r\;{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial r}}+{\dfrac {\partial ^{2}A_{r}}{\partial \theta ^{2}}}+{\dfrac {1}{\sin ^{2}(\theta )}}\,{\dfrac {\partial ^{2}A_{r}}{\partial \varphi ^{2}}}+{\dfrac {\cos(\theta )}{\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right.\;\cdots \\\left.\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \cdots \;-\left(2\;A_{r}+2\,{\dfrac {\cos(\theta )}{\sin(\theta )}}\,A_{\theta }+2\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}+{\dfrac {2}{\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{r}\\{\dfrac {1}{r^{2}}}\left\lbrace 2\,{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}+{\dfrac {\cos(\theta )}{\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}+{\dfrac {\partial ^{2}A_{\theta }}{\partial \theta ^{2}}}+{\dfrac {1}{\sin ^{2}(\theta )}}\,{\dfrac {\partial ^{2}A_{\theta }}{\partial \varphi ^{2}}}+2\,r\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial r}}+r^{2}\,{\dfrac {\partial ^{2}A_{r}}{\partial r^{2}}}\right.\;\cdots \\\left.\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \cdots \;-\left({\dfrac {1}{\sin ^{2}(\theta )}}\,A_{\theta }+{\dfrac {2\,\cos(\theta )}{\sin ^{2}(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\theta }\\{\dfrac {1}{r^{2}}}\left\lbrace {\dfrac {2}{\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}+{\dfrac {2\,\cos(\theta )}{\sin ^{2}(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}+2\,r\,{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial r}}+r^{2}\,{\dfrac {\partial ^{2}A_{\varphi }}{\partial r^{2}}}+{\dfrac {\cos(\theta )}{\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \theta }}+{\dfrac {\partial ^{2}A_{\varphi }}{\partial \theta ^{2}}}\right.\;\cdots \\\left.\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \cdots \;+{\dfrac {1}{\sin ^{2}(\theta )}}\,{\dfrac {\partial ^{2}A_{\varphi }}{\partial \varphi ^{2}}}-{\dfrac {1}{\sin ^{2}(\theta )}}\,A_{\varphi }\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]\;$$^,$ La représentation matricielle $\color {transparent}{\succ }\;$d'où, en faisant la différence, $\;\color {transparent}{\left[{\vec {\Delta }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{sph}}}\;$ ${\overset {\cdots }{=\;}}\;\left[{\begin{array}{c}\left\lbrace \Delta \!\left(A_{r}\right)\!(M)-2\,{\dfrac {A_{r}(M)}{r^{2}}}-{\dfrac {2}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\theta }\right]}{\partial \theta }}(M)-{\dfrac {2}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{r}\\\left\lbrace \Delta \!\left[A_{\theta }\right]\!(M)-{\dfrac {A_{\theta }(M)}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}+{\dfrac {2}{r^{2}}}\;{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}(M)-{\dfrac {2\,\cos(\theta )}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\theta }\\\left\lbrace \Delta \!\left[A_{\varphi }\right]\!(M)-{\dfrac {A_{\varphi }(M)}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}+{\dfrac {2}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}(M)+{\dfrac {2\,\cos(\theta )}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]\;$»$^,$ ;
en conclusion, « les représentations matricielles de $\;{\vec {\nabla }}^{2}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\;$ et de $\;{\vec {\Delta }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\;$ en repérage sphérique étant les mêmes » on peut affirmer que
$\;{\vec {\nabla }}^{2}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)={\vec {\Delta }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\;$
Remarque : Contrairement à ce qu'on observe en cartésien, les composantes sphériques du laplacien vectoriel de la fonction vectorielle $\;{\vec {A}}(M)\;$ ne sont pas les laplaciens scalaires des composantes sphériques de la fonction vectorielle $\;{\big$comme ce ne l'est pas non plus en cylindro-polaire${\big )}$ !

## En complément, notion de champ tensoriel de l'espace, application à un champ vectoriel de l'opérateur linéaire “nabla” et notion de champ tensoriel gradient d'un champ vectoriel
### Notion de champ tensoriel de l'espace

Rappel, notion élémentaire de tenseurs d'ordre deux contravariants : on appelle « tenseur d'ordre deux contravariant » tout élément d'un $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel de dimension $\;3^{2}=9$ $\;{\Bigg \$par exemple toute famille de $\;3\;$ vecteurs du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel direction de l'espace affine tridimensionnel, avec le choix d'une base du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel, chaque tenseur d'ordre deux contravariant est représenté par une matrice carrée $\;\left[{\begin{array}{c}x_{1}&v_{1}&w_{1}\\x_{2}&v_{2}&w_{2}\\x_{3}&v_{3}&w_{3}\end{array}}\right]\in M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ résultant de la juxtaposition des matrices colonne associées à chaque vecteur $\;{\big$ou tenseur d'ordre $\;1\;$ contravariant${\big )}{\Bigg \}$ ;
Rappel, notion élémentaire de tenseurs d'ordre deux contravariant : notant $\;W\;$ le $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel direction de l'espace affine tridimensionnel, un « tenseur d'ordre deux contravariant » est défini, de façon plus élaborée $\;{\big$mais qui sera inutile par la suite${\big )}$, comme un « élément quelconque du carré tensoriel de $\;W\;$ noté “$\;W^{\,\otimes \,2}\;$” » $\;{\big\mathbb {R}$-espace vectoriel de dimension $\;3^{2}=9{\big )}$ $\;{\big \$d'où la représentativité d'un élément quelconque, avec choix d'une base de $\;W\;$, par une matrice carrée de $\;M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$${\big \}$.
$\;M\;$
$\;{\mathcal {E}}$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\mathcal {F}}\;$
$\;M\;$
$\;M\;{\overset {\mathcal {F}}{\rightarrow }}\;{\mathcal {F}}(M)\,\in \,W^{\,\otimes \,2},\;\forall \;M\in {\mathcal {E}}\;$
$\;W\;$
$\;{\mathcal {E}}\;$
$\;W^{\,\otimes \,2}\;$
$\;W\;$
$\;{\mathcal {F}}(M)\;$
$\;{\big \$
$\;3\;$
$\;W$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;3\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
${\big \}$
Avec choix d'une base «$\;\left\lbrace {\mathcal {B}}\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1},\;{\vec {b}}_{2},\;{\vec {b}}_{3}\right\rbrace \;$» de «$\;W\;$ direction de l'espace affine $\;{\mathcal {E}}\;$», tout point $\;M\;$ est alors caractérisé par un triplet de réels correspondant à ses coordonnées $\;(x_{1},\,x_{2},\,x_{3})\;$ tel que, $\;O\;$ étant un point fixe de $\;{\mathcal {E}}\;$ choisi comme origine du repérage, «$\;{\overrightarrow {OM}}=x_{1}\,{\vec {b}}_{1}+x_{2}\,{\vec {b}}_{2}+x_{3}\,{\vec {b}}_{3}\;$» et
Avec choix d'une base $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\mathcal {B}}\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1},\;{\vec {b}}_{2},\;{\vec {b}}_{3}\right\rbrace }\;$ de «$\;\color {transparent}{W}\;$ direction de l'espace affine $\;\color {transparent}{\mathcal {E}}\;$» , «$\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}\right\rbrace _{\left({\vec {b}}_{i}\,,\,{\vec {b}}_{j}\right)\,\in \,\left\lbrace B\right\rbrace ^{2},\,\forall \,\left(i\,,\,j\right)\,\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right]}\;$» constituant une base de $\;W^{\,\otimes \,2}\;$», le tenseur d'ordre deux contravariant $\;{\mathcal {F}}(M)\;$ est alors caractérisé par un nonuplet $\;{\big$ou $\;9$-uplet${\big )}\;$ de réels correspondant à ses $\;9\;$ composantes contravariantes $\;\left\lbrace {\mathcal {F}}_{i,\,j}(M)\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}\;$ telles que «$\;{\mathcal {F}}(M)=$ $\sum \limits _{\begin{array}{c}i\,=\,1\,..\,3\\j\,=\,1\,..\,3\end{array}}{\mathcal {F}}_{i,\,j}(M)\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}\right\rbrace \;$», chacune des composantes étant une fonction scalaire de $\;{\mathcal {E}}$.
$\;M\;$
$\;{\mathcal {E}}\;$
$\;(x_{1},\,x_{2},\,x_{3})$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\mathcal {F}}\;$
$\;M\;$
$\;(x_{1},\,x_{2},\,x_{3})\;{\overset {\mathcal {F}}{\rightarrow }}\;{\mathcal {F}}(x_{1},\,x_{2},\,x_{3})\,\in \,W^{\,\otimes \,2},\;\;\forall \;(x_{1},\,x_{2},\,x_{3})\in \mathbb {R} ^{3}\;$
$\;W^{\,\otimes \,2}\;$
$\;W\;$
${\BigW\;$
$\;{\mathcal {E}}\;$
$\;\left\lbrace {\mathcal {B}}\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1},\;{\vec {b}}_{2},\;{\vec {b}}_{3}\right\rbrace {\Big ]}$
$\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}\right\rbrace _{\left({\vec {b}}_{i}\,,\,{\vec {b}}_{j}\right)\,\in \,\left\lbrace B\right\rbrace ^{2},\,\forall \,\left(i\,,\,j\right)\,\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right]}\;$
$\;W^{\,\otimes \,2}\;$
$\;{\mathcal {F}}(x_{1},\,x_{2},\,x_{3})\;$
$\;9\;$
$\;{\mathcal {F}}(x_{1},\,x_{2},\,x_{3})=\sum \limits _{\begin{array}{c}i\,=\,1\,..\,3\\j\,=\,1\,..\,3\end{array}}{\mathcal {F}}_{i,\,j}(x_{1},\,x_{2},\,x_{3})\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}\right\rbrace \;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;\left\lbrace (x_{1},\,x_{2},\,x_{3})\;\;{\overset {{\mathcal {F}}_{i,\,j}}{\longrightarrow }}\;\;{\mathcal {F}}_{i,\,j}(x_{1},\,x_{2},\,x_{3})\in \mathbb {R} ,\;\;\forall \,(x_{1},\,x_{2},\,x_{3})\in \mathbb {R} ^{3}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}\;$
Un champ $\;{\big$ou une fonction${\big )}\;$ tensoriel(le) de l'espace s'identifie aux ${\underline {9\;}}$fonctions scalaires des${\underline {\;3\;}}$coordonnées du point de l'espace correspondant aux ${\underline {9\;}}$composantes du champ${\underline {\;}$ou fonction${\underline\;}}$tensoriel(le).
Exemple de champ tensoriel $\;{\big$en mécanique des milieux continus${\big )}$ : « tenseur des contraintes $\;{\mathcal {C}}(M)\;$» représenté, avec choix de la base $\;\left\lbrace {\vec {e}}_{1},\;{\vec {e}}_{2},\;{\vec {e}}_{3}\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ ${\big$direction de l'espace affine tridimensionnel $\;{\mathcal {E}}\;$${\big )}$, par la matrice carrée « des contraintes » de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;3\;$ «$\;\left[{\mathcal {C}}(M)\right]=\left[{\begin{array}{c c c}\sigma _{1,\,1}(M)\!&\!\ \sigma _{1,\,2}(M)\!&\!\sigma _{1,\,3}(M)\\\sigma _{2,\,1}(M)\!&\!\sigma _{2,\,2}(M)\!&\!\sigma _{2,\,3}(M)\\\sigma _{3,\,1}(M)\!&\!\sigma _{3,\,2}(M)\!&\!\sigma _{3,\,3}(M)\end{array}}\right]\;\in \,M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» dans laquelle « le cœfficient $\;\sigma _{i,\,j}(M)\;$ de la ième ligne et jème colonne » est « la composante sur $\;{\vec {e}}_{i}\;$ de la force surfacique que l'environnement exerce sur la face élémentaire $\;_{j}\;$ d'aire $\;d^{2}S_{j}\;$» soit «$\;\sigma _{i,\,j}(M)={\dfrac {{\overrightarrow {d^{2}F}}_{_{j}\,\leftarrow \,{\text{env}}}(M_{j})\cdot {\vec {e}}_{i}}{d^{2}S_{j}}}\;$» $\;{\bigM_{j}\;$ étant le centre de la face élémentaire $\;_{j}{\big )}\;$ ;
Exemple de champ tensoriel $\;\color {transparent}{\big$en mécanique des milieux continus $\color {transparent}{\big )}$ : de la définition de la matrice « des contraintes » on vérifie que « la colonne $\;_{j}\;$» de cette dernière représente « le vecteur force surfacique que l'environnement exerce sur la face élémentaire $\;_{j}\;$ d'aire $\;d^{2}S_{j}\;$» c'est-à-dire «$\;{\dfrac {{\overrightarrow {d^{2}F}}_{_{j}\,\leftarrow \,{\text{env}}}(M_{j})}{d^{2}S_{j}}}\;$» ;
Exemple de champ tensoriel $\;\color {transparent}{\big$en mécanique des milieux continus $\color {transparent}{\big )}$ : on démontre que la matrice « des contraintes » est « symétrique » pour un milieu continu localement au repos c'est-à-dire que «$\;\sigma _{i,\,j}(M)=\sigma _{j,\,i}(M)\;\;\forall \,\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left[\left[1\,,\,3\right]\right]^{2}\;$».

### Application de l'opérateur linéaire “nabla” à un champ vectoriel, notion de champ tensoriel gradient d'un champ vectoriel

Introduction : $\bullet \;$ayant vu la signification de l'application directe, aux fonctions scalaires de l'espace, de l'opérateur linéaire "nabla" «$\;{\vec {\nabla }}\!\left[\,\right]\;$» dans les exemples suivants Introduction : $\succ \;$le champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire $\;U(M)\;$ de l'espace «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)={\vec {\nabla }}\left[U\right](M)\;$» ainsi que ses deux champs scalaires s'en déduisant Introduction : $\color {transparent}{\succ }$$\blacktriangleright \;$le champ scalaire différentielle de la fonction scalaire $\;U(M)$ «$\;d\left[U\right](M)=\left\lbrace {\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \left[U\right](M)={\overrightarrow {dM}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$» Introduction : $\color {transparent}{\succ }$$\blacktriangleright \;$le champ scalaire d'advection de la grandeur scalaire intensive $\;f(M,\,t){\big \}$ «$\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\cdot \nabla \!\left[f(M,\,t)\right]={\vec {V}}_{\!M}(t)\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[f(M,\,t)\right]\;$» où $\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$ est le vecteur vitesse du point $\;M\;$ du milieu environnant où le transport est considéré et Introduction : $\succ \;$le champ scalaire laplacien de la fonction scalaire $\;U(M)\;$ de l'espace «$\;\Delta \!\left[U\right](M)={\vec {\nabla }}^{2}\!\left[U\right](M)\;$»,
Introduction : $\bullet \;$puis prolongé la signification de l'application directe, aux fonctions vectorielles de l'espace, de l'opérateur linéaire "nabla" «$\;{\vec {\nabla }}\!\left[\,\right]\;$» dans les exemples suivants Introduction : $\succ \;$les deux champs vectoriels se déduisant de l'application de l'opérateur linéaire "vecteur scalaire nabla" «$\;{\overrightarrow {\text{?}}}\cdot {\vec {\nabla }}\!\left[\,\right]\;$» Introduction : $\color {transparent}{\succ }$$\blacktriangleright \;$le champ vectoriel différentielle de la fonction vectorielle $\;{\vec {A}}(M)$ «$\;d\left[{\vec {A}}\right](M)=\left\lbrace {\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)={\overrightarrow {dM}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[{\vec {A}}\right](M)\;$» Introduction : $\color {transparent}{\succ }$$\blacktriangleright \;$le champ vectoriel d'advection de la grandeur vectorielle intensive $\;{\vec {A}}(M,\,t){\big \}$ «$\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\cdot \nabla \!\left[{\vec {A}}(M,\,t)\right]={\vec {V}}_{\!M}(t)\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[{\vec {A}}(M,\,t)\right]\;$» où $\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$ est le vecteur vitesse du point $\;M\;$ du milieu environnant où le transport est considéré et Introduction : $\succ \;$le champ vectoriel laplacien de la fonction vectorielle $\;{\vec {A}}(M)\;$ de l'espace «$\;{\vec {\Delta }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}^{2}\!\left[{\vec {A}}\right](M)\;$»,
Introduction : $\bullet \;$nous nous proposons de donner une signification à l'application directe de l'opérateur linéaire "nabla" «$\;{\vec {\nabla }}\!\left[\,\right]\;$» aux fonctions vectorielles de l'espace sans qu'auparavant l'opérateur vectoriel "nabla" ne soit transformé en opérateur scalaire par multiplication scalaire avec une grandeur vectorielle comme dans les deux exemples $\;\left\lbrace {\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \left[\;\right]\;$ et $\;\left\lbrace {\vec {V}}_{M}(t)\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \left[\;\right]$.

#### Application de l'opérateur linéaire “nabla” à un champ vectoriel

Sachant que la représentation matricielle de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” «$\;{\vec {\nabla }}\;$» est la matrice colonne «$\;\left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{cart}}\;$» en cartésien, «$\;\left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{cyl}}\;$» en cylindro-polaire ou «$\;\left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{sph}}\;$» en sphérique dont nous déduisons Sachant que la représentation matri celle de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” projeté sur les trois directions du repérage «$\;\nabla =\left\lbrace {\vec {u}}_{i}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,3}\;$» c'est-à-dire la matrice colonne «$\;\left[\nabla \right]_{\text{cart}}=$ $\left({\vec {u}}_{i}\cdot {\vec {\nabla }}\right)_{\text{cart}}^{i\,=\,1\,..\,3}=\left[{\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\\\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\\\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\end{array}}\right]\;$» en cartésien, «$\;\left[\nabla \right]_{\text{cyl}}=\left({\vec {u}}_{i}\cdot {\vec {\nabla }}\right)_{\text{cyl}}^{i\,=\,1\,..\,3}=\left[{\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\\{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\\\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\end{array}}\right]\;$» en cylindro-polaire ou «$\;\left[\nabla \right]_{\text{sph}}=\left({\vec {u}}_{i}\cdot {\vec {\nabla }}\right)_{\text{sph}}^{i\,=\,1\,..\,3}=\left[{\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\\{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\\{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\end{array}}\right]\;$» en sphérique et Sachant que la représentation matricielle d'un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ est la matrice colonne d'éléments de $\;W\;$ «$\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cart}}=\left[{\begin{array}{c}A_{x}(M)\;{\vec {u}}_{x}\\A_{y}(M)\;{\vec {u}}_{y}\\A_{z}(M)\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;$» en cartésien, «$\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cyl}}=\left[{\begin{array}{c}A_{\rho }(M)\;{\vec {u}}_{\rho }\\A_{\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }\\A_{z}(M)\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;$» en cylindro-polaire ou «$\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{sph}}=\left[{\begin{array}{c}A_{r}(M)\;{\vec {u}}_{r}\\A_{\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }\\A_{\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]\;$» en sphérique,
nous nous proposons de définir l'image par l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” «$\;{\vec {\nabla }}\;$» du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ par représentation matricielle et comme
nous nous proposons de définir l'image d'un champ vectoriel par l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” «$\;{\vec {\nabla }}\;$» est un champ tensoriel d'ordre deux contravariant $\;{\big \$en effet chaque composante vectorielle du champ vectoriel pouvant varier relativement à chaque coordonnée de $\;M$, il y a donc $\;3\times 3=9\;$ grandeurs caractérisant la variation du champ vectoriel, ce qui correspond à un champ tensoriel d'ordre deux${\big \}$ c'est-à-dire représenté par une matrice carrée d'éléments de $\;W\;$ de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;3\;$ et nous nous proposons de définir celle-ci devant résulter de l'action d'une matrice colonne d'opérateurs de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;\left(3\times 1\right)\;$ sur une matrice d'éléments de $\;W\;$, cette dernière doit être nécessairement de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;\left(1\times 3\right)\;$ c'est-à-dire correspondant à la matrice ligne d'éléments de $\;W\;$ transposée de la matrice colonne des mêmes éléments de $\;W\;$ représentant le champ vectoriel en question.
Conclusion : La représentation matricielle de l'image par l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” «$\;{\vec {\nabla }}\;$» du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ est la matrice carrée réelle associée à la matrice carrée d'éléments de $\;W\;$ de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;3\;$ «$\;\left[{\vec {\nabla }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace (M)\right]^{W}\,\in \,M_{3}(W)\;$» laquelle est obtenue par « l'action de la matrice colonne d'opérateurs $\;\left[\nabla \right]_{\text{repér. fix.}}\;$» sur « la matrice transposée de la matrice colonne $\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{repé. fix.}}\;$ d'éléments de $\;W\;$ représentant le champ vectoriel c'est-à-dire la matrice ligne $\;^{t}\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{repér. fix.}}\;$» d'éléments de $\;W\;$ de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;\left(1\times 3\right)\;$ « suivie de la transposition de la matrice obtenue »$^,$ et pour terminer nous associons à «$\;\left[{\vec {\nabla }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace (M)\right]^{W}\,\in \,M_{3}(W)\;$» la matrice carrée réelle «$\;\left[{\vec {\nabla }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace (M)\right]^{\mathbb {R} }\,\in \,M_{3}(\mathbb {R} )\;$»$^,$$^,$ soit
$\;M_{3}(\mathbb {R} )\,\ni \,\left[{\vec {\nabla }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace (M)\right]_{\text{repér. fix.}}^{\mathbb {R} }\,\leftarrow \,\left[{\vec {\nabla }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace (M)\right]_{\text{repér. fix.}}^{W}=\;^{t}\!\left\lbrace \left[\nabla \right]_{\text{repér. fix.}}\;^{t}\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{repér. fix.}}\right\rbrace \,\in \,M_{3}(W)\;$

#### Champ tensoriel gradient d'une fonction vectorielle de l'espace

Le champ tensoriel gradient de la fonction vectorielle de l'espace $\;{\vec {A}}(M)\;$ étant l'image de cette fonction par l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla”
$\;{\vec {A}}(M)\;\;{\overset {\vec {\nabla }}{\rightarrow }}\;\;{\vec {\nabla }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\;$
en utilisant la représentation de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” projeté sur les trois directions du repérage «$\;\nabla =\left\lbrace {\vec {u}}_{i}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,3}\;$» en matrice colonne $\;{\big \$voir le paragraphe « application de l'opérateur linéaire “nabla” à un champ vectoriel » plus haut dans ce chapitre${\big \}$ ainsi que en utilisant la représentcelle du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ en matrice colonne d'éléments de $\;W\;$, la représentation du champ tensoriel $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\;$ en matrice carrée d'éléments de $\;W\;$ de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;3\;$ puis la représentcelle du champ tensoriel $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\;$ en matrice carrée réelle selon l'association décrite dans la note « $^{94}$ » plus haut dans ce chapitre soit :
Le champ tensoriel gradient $\blacktriangleright \;$en cartésien «$\;\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cart}}^{W}=\;^{t}\!\left\lbrace \left[\nabla \right]_{\text{cart}}\;^{t}\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cart}}\right\rbrace =\;^{t}\!\left\lbrace \left[{\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)\\\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)\\\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\end{array}}\right]\;^{t}\!\left[{\begin{array}{c}A_{x}(M)\,{\vec {u}}_{x}\\A_{y}(M)\,{\vec {u}}_{y}\\A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\right\rbrace \;$ Le champ tensoriel gradient $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$en cartésien «$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cart}}}\;$$=\;^{t}\!\left\lbrace \left[{\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\\\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\\\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\end{array}}\right]\;\left[A_{x}\,{\vec {u}}_{x}\,,\,A_{y}\,{\vec {u}}_{y}\,,\,A_{z}\,{\vec {u}}_{z}\right]\right\rbrace =\;^{t}\!\left[{\begin{array}{c c c}\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\;{\vec {u}}_{x}&\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\;{\vec {u}}_{y}&\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\;{\vec {u}}_{z}\\\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\;{\vec {u}}_{x}&\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\;{\vec {u}}_{y}&\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\;{\vec {u}}_{z}\\\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\;{\vec {u}}_{x}&\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\;{\vec {u}}_{y}&\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;$ Le champ tensoriel gradient $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$en cartésien «$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cart}}}\;$$=\left[{\begin{array}{c c c}\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)\;{\vec {u}}_{x}&\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)\;{\vec {u}}_{x}&\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\;{\vec {u}}_{x}\\\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)\;{\vec {u}}_{y}&\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)\;{\vec {u}}_{y}&\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\;{\vec {u}}_{y}\\\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)\;{\vec {u}}_{z}&\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)\;{\vec {u}}_{z}&\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;$» soit finalement, Le champ tensoriel gradient $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$en cartésien «$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cart}}}\;$par association décrite dans la note « $^{94}$ » plus haut dans ce chapitre, Le champ tensoriel gradient $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$en cartésien «$\;\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cart}}^{\cancel {\mathbb {R} }}=\left[{\begin{array}{c c c}\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)&\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)&\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\\\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)&\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)&\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\\\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)&\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)&\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\end{array}}\right]\,\in \,M_{3}(\mathbb {R} )\;$» Le champ tensoriel gradient $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$en cartésien «$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cart}}^{\cancel {\mathbb {R} }}=}\;$ $\quad \uparrow \quad$représentation matricielle du tenseur d'ordre deux contravariant «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\;$» en cartésien ;
Le champ tensoriel gradient $\blacktriangleright \;$en cylindro-polaire «$\;\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cyl}}^{W}=\;^{t}\!\left\lbrace \left[\nabla \right]_{\text{cyl}}\;^{t}\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cyl}}\right\rbrace =\;^{t}\!\left\lbrace \left[{\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\\{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\\\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\end{array}}\right]\;^{t}\!\left[{\begin{array}{c}A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }\\A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\\A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\right\rbrace \;$ Le champ tensoriel gradient $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$en cylindro-polaire «$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cyl}}}\;$$=\;^{t}\!\left\lbrace \left[{\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\\{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\\\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\end{array}}\right]\;\left[A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }\,,\,A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\right]\right\rbrace$ Le champ tensoriel gradient $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$en cylindro-polaire «$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cyl}}}\;$$=\;^{t}\!\left[{\begin{array}{l l l}\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\;{\vec {u}}_{\rho }&\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\;{\vec {u}}_{\theta }&\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\;{\vec {u}}_{z}\\{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\;{\vec {u}}_{\rho }+{\dfrac {A_{\rho }(M)}{\rho }}\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\theta }}&{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\;{\vec {u}}_{\theta }+{\dfrac {A_{\theta }(M)}{\rho }}\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}&{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\;{\vec {u}}_{z}\\\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\rho }&\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }&\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;$ Le champ tensoriel gradient $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$en cylindro-polaire «$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cyl}}}\;$$=\;^{t}\!\left[{\begin{array}{l l l}\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\;{\vec {u}}_{\rho }&\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\;{\vec {u}}_{\theta }&\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\;{\vec {u}}_{z}\\{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\;{\vec {u}}_{\rho }+{\dfrac {A_{\rho }(M)}{\rho }}\;{\vec {u}}_{\theta }&{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\;{\vec {u}}_{\theta }-{\dfrac {A_{\theta }(M)}{\rho }}\;{\vec {u}}_{\rho }&{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\;{\vec {u}}_{z}\\\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\rho }&\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }&\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;$» Le champ tensoriel gradient $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$en cylindro-polaire «$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cyl}}}\;$$=\left[{\begin{array}{l l l}\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\;{\vec {u}}_{\rho }&{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\;{\vec {u}}_{\rho }+{\dfrac {A_{\rho }(M)}{\rho }}\;{\vec {u}}_{\theta }&\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\rho }\\\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\;{\vec {u}}_{\theta }&{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\;{\vec {u}}_{\theta }-{\dfrac {A_{\theta }(M)}{\rho }}\;{\vec {u}}_{\rho }&\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }\\\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\;{\vec {u}}_{z}&{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\;{\vec {u}}_{z}&\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;$» soit finalement, Le champ tensoriel gradient $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$en cylindro-polaire «$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cyl}}}\;$par association décrite dans la note « $^{94}$ » plus haut dans ce chapitre, Le champ tensoriel gradient $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$en cylindro-polaire «$\;\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cyl}}^{\cancel {\mathbb {R} }}=\left[{\begin{array}{c c c}\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)&{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)-{\dfrac {A_{\theta }(M)}{\rho }}&\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\\\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)&{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)+{\dfrac {A_{\rho }(M)}{\rho }}&\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\\\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)&{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)&\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\end{array}}\right]\,\in \,M_{3}(\mathbb {R} )\;$» Le champ tensoriel gradient $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$en cylindro-polaire «$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cyl}}^{\cancel {\mathbb {R} }}=}\;$ $\quad \uparrow \quad$représentation matricielle du tenseur d'ordre deux contravariant «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\;$» en cylindro-polaire et
Le champ tensoriel gradient $\blacktriangleright \;$en sphérique «$\;\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{sph}}^{W}=\;^{t}\!\left\lbrace \left[\nabla \right]_{\text{sph}}\;^{t}\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{sph}}\right\rbrace =\;^{t}\!\left\lbrace \left[{\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\\{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\\{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\end{array}}\right]\;^{t}\!\left[{\begin{array}{c}A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}\\A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\\A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]\right\rbrace \;$ Le champ tensoriel gradient $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$en sphérique «$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{sph}}}\;$$=\;^{t}\!\left\lbrace \left[{\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\\{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\\{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\end{array}}\right]\;\left[A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}\,,\,A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }\right]\right\rbrace$ Le champ tensoriel gradient $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$en sphérique «$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{sph}}}\;$$=\;^{t}\!\left[{\begin{array}{l l l}\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{r}&\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }&\cdots \\{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{r}+{\dfrac {A_{r}(M)}{r}}\,\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\varphi }&{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }+{\dfrac {A_{\theta }(M)}{r}}\,\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\varphi }&\cdots \\{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\;{\vec {u}}_{r}+{\dfrac {A_{r}(M)}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\theta }&{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }+{\dfrac {A_{\theta }(M)}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\theta }&\cdots \end{array}}\right.\;$ Le champ tensoriel gradient $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$en sphérique «$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{sph}}}\;$$\left.{\begin{array}{l l}\cdots &\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }\\\cdots &{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }\\\cdots &{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }+{\dfrac {A_{\varphi }(M)}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\varphi }}{d\varphi }}\end{array}}\right]\;$ Le champ tensoriel gradient $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$en sphérique «$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{sph}}}\;$$=\;^{t}\!\left[{\begin{array}{l l l}\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{r}&\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }&\cdots \\{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{r}+{\dfrac {A_{r}(M)}{r}}\;{\vec {u}}_{\theta }&{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }-{\dfrac {A_{\theta }(M)}{r}}\;{\vec {u}}_{r}&\cdots \\{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\;{\vec {u}}_{r}+{\dfrac {A_{r}(M)}{r\,\sin(\theta )}}\;\sin(\theta )\,{\vec {u}}_{\varphi }&{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }+{\dfrac {A_{\theta }(M)}{r\,\sin(\theta )}}\;\cos(\theta )\,{\vec {u}}_{\varphi }&\cdots \end{array}}\right.\;$ Le champ tensoriel gradient $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$en sphérique «$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{sph}}}\;$$\left.{\begin{array}{l l}\cdots &\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }\\\cdots &{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }\\\cdots &{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }-{\dfrac {A_{\varphi }(M)}{r\,\sin(\theta )}}\,\left\lbrace \sin(\theta )\,{\vec {u}}_{r}+\cos(\theta )\,{\vec {u}}_{\theta }\right\rbrace \end{array}}\right]\;$ Le champ tensoriel gradient $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$en sphérique «$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{sph}}}\;$$=\left[{\begin{array}{l l l}{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial r}}\;{\vec {u}}_{r}&{\dfrac {1}{r}}\,{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\;{\vec {u}}_{r}+{\dfrac {A_{r}}{r}}\;{\vec {u}}_{\theta }&{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}\,{\vec {u}}_{r}+{\dfrac {A_{r}}{r\,\sin(\theta )}}\;\sin(\theta )\,{\vec {u}}_{\varphi }\\{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial r}}\;{\vec {u}}_{\theta }&{\dfrac {1}{r}}\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\;{\vec {u}}_{\theta }-{\dfrac {A_{\theta }}{r}}\;{\vec {u}}_{r}&{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\,{\vec {u}}_{\theta }+{\dfrac {A_{\theta }}{r\,\sin(\theta )}}\;\cos(\theta )\,{\vec {u}}_{\varphi }\\{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial r}}\;{\vec {u}}_{\varphi }&{\dfrac {1}{r}}\,{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \theta }}\;{\vec {u}}_{\varphi }&{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\,{\vec {u}}_{\varphi }-{\dfrac {A_{\varphi }}{r\,\sin(\theta )}}\,\left\lbrace \sin(\theta )\,{\vec {u}}_{r}+\cos(\theta )\,{\vec {u}}_{\theta }\right\rbrace \end{array}}\right]\;$»$^,$ soit finalement,  Le champ tensoriel gradient $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$en sphérique «$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{sph}}}\;$par association décrite dans la note « $^{94}$ » plus haut dans ce chapitre et simplification évidente, Le champ tensoriel gradient $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$en sphérique «$\;\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{sph}}^{\cancel {\mathbb {R} }}=\left[{\begin{array}{c c c}\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }&{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }-{\dfrac {A_{\theta }}{r}}&{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }-{\dfrac {A_{\varphi }}{r}}\\\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }&{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\dfrac {A_{r}}{r}}&{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }-{\dfrac {\cot(\theta )}{r}}\,A_{\varphi }\\\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }&{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }&{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }+{\dfrac {A_{r}}{r}}+{\dfrac {\cot(\theta )}{r}}\,A_{\theta }\end{array}}\right]\,\in \,M_{3}(\mathbb {R} )\;$»$^,$$^,$ Le champ tensoriel gradient $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$en sphérique «$\;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{sph}}^{\cancel {\mathbb {R} }}=}\;$ $\quad \uparrow \quad$représentation matricielle du tenseur d'ordre deux contravariant «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\;$» en sphérique.
Remarque : Le champ gradient d'une fonction scalaire c'est-à-dire d'une fonction tensorielle d'ordre zéro étant un champ vectoriel c'est-à-dire un champ tensoriel d'ordre un et Remarque : Le champ gradcelui d'une fonction vectorielle c'est-à-dire d'une fonction tensorielle d'ordre un étant un champ tensoriel d'ordre deux, nous pourrions généraliser selon Remarque : « le champ gradient d'une fonction tensorielle d'ordre${\underline {\;p\;\in \;\mathbb {N} }}\;$est un champ tensoriel d'ordre${\underline {\;p+1}}\;$» par exemple Remarque : «le champ gradient d'une fonction tensorielle d'ordre deux $\;{\big \$laquelle est représentable par une matrice carrée de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;3{\big \}$ est un champ tensoriel d'ordre trois $\;{\big \$lequel nécessiterait une représentation en tableau cubique d'où la difficulté de traitement outre que cette notion n'est usuellement pas utilisée en physique${\big \}$.

## Retour sur la recherche d'une façon plus compacte de traduire l'étude de la variation d'un champ vectoriel

Dans le chap.$13$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », nous avons évoqué, dans la dernière note de bas de page ${\big$plus précisément la note $^{15}$${\big ]}$, une façon plus compacte de traduire l'étude de la variation d'un champ vectoriel, mais en vérifiant cette méthode uniquement en représentation cartésienne ${\big$cette introduction étant d'un niveau plus élevé que $\;BAC+1\;$ est évoquée à titre documentaire${\big ]}$ ;
peut-on prolonger le résultat trouvé en représentation cartésienne en représentation cylindro-polaire $\;{\big$respectivement sphérique${\big )}$ ?
peut-on prolonger le résultat La réponse dépend de ce qu'on entend par étude de la variation du champ vectoriel, est-ce qu'on souhaite étudier cette variation de façon
* « absolue » ${\big$dans ce cas il faut étudier la direction, le sens et la norme de $\;d{\vec {A}}(M)\;$${\big ]}\;$ ou
* « relative » ${\big$dans ce cas il faut étudier le signe des différentielles des composantes cylindro-polaires $\;{\big$respectivement sphériques${\big )}\;$ de $\;{\vec {A}}(M)\;$${\big ]}$.

### Recherche d'une façon plus compacte de traduire la variation « relative » d'un champ vectoriel de l'espace

Comme cela a été indiqué en introduction du paragraphe « retour sur la recherche d'une façon plus compacte de traduire l'étude de la variation d'un champ vectoriel (variation relative) » plus haut dans ce chapitre, il faut étudier le signe des différentielles des composantes du champ vectoriel soit
$\;\succ \;$en cylindro-polaire, pour un « champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)=A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\;$» étudier le signe des « différentielles des composantes radiale, orthoradiale et axiale du champ vectoriel $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}dA_{\rho }(M)=\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\!\theta ,\,z}(M)\,d\rho +\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\!\rho ,\,z}(M)\,d\theta +\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\!\rho ,\,\theta }(M)\,dz\\dA_{\theta }(M)=\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}\right)_{\!\!\theta ,\,z}(M)\,d\rho +\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\!\rho ,\,z}(M)\,d\theta +\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\!\rho ,\,\theta }(M)\,dz\\dA_{z}(M)=\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\!\theta ,\,z}(M)\,d\rho +\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\!\rho ,\,z}(M)\,d\theta +\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\!\rho ,\,\theta }(M)\,dz\end{array}}\right\rbrace \;$» pour en déduire la variation relative du champ selon la direction $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {u}}_{\rho }(M)\\{\vec {u}}_{\theta }(M)\\{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right\rbrace$, en remarquant que le signe de ces différentielles ne dépend que des dérivées partielles des composantes du champ ; on peut alors induire une façon plus compacte d'étudier cette variation par l'intermédiaire de la notion de dérivée du champ par rapport au vecteur position, grandeur ne faisant intervenir que les dérivées partielles des composantes du champ ;
$\;\succ \;$en sphérique, pour un « champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)=A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)\;$», étudier le signe des « différentielles des composantes radiale, orthoradiale et longitudale du champ vectoriel $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}dA_{r}(M)=\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial r}}\right)_{\!\!\theta ,\,\varphi }(M)\,d\rho +\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!\!r,\,\varphi }(M)\,d\theta +\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!\!r,\,\theta }(M)\,d\varphi \\dA_{\theta }(M)=\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial r}}\right)_{\!\!\theta ,\,\varphi }(M)\,dr+\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\!r,\,\varphi }(M)\,d\theta +\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!\!r,\,\theta }(M)\,d\varphi \\dA_{\varphi }(M)=\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial r}}\right)_{\!\!\theta ,\,\varphi }(M)\,dr+\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \theta }}\right)_{\!\!r,\,\varphi }(M)\,d\theta +\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!\!r,\,\varphi }(M)\,d\varphi \end{array}}\right\rbrace \;$» pour en déduire la variation relative du champ selon la direction $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {u}}_{r}(M)\\{\vec {u}}_{\theta }(M)\\{\vec {u}}_{\varphi }(M)\end{array}}\right\rbrace$, en remarquant que le signe de ces différentielles ne dépend que des dérivées partielles des composantes du champ ; on peut alors induire une façon plus compacte d'étudier cette variation par l'intermédiaire de la notion de dérivée du champ par rapport au vecteur position, grandeur ne faisant intervenir que les dérivées partielles des composantes du champ.

### Recherche d'une façon plus compacte de traduire la variation « absolue » d'un champ vectoriel de l'espace

Comme cela a été indiqué en introduction du paragraphe « retour sur la recherche d'une façon plus compacte de traduire l'étude de la variation d'un champ vectoriel (variation absolue) » plus haut dans ce chapitre, il faut étudier la direction, le sens et la norme de $\;d{\vec {A}}(M)\;$ c'est-à-dire le signe des composantes de $\;d{\vec {A}}(M)$ $\;{\big \$et non le signe des différentielles des composantes comme cela est fait pour traduire la variation relative du champ vectoriel${\big \}$ et une question subsiste « peut-on remplacer l'étude de la direction, du sens et de la norme de $\;d{\vec {A}}(M)\;{\big$grandeur infiniment petite en physique${\big ]}\;$ par l'étude d'une grandeur finie ? »
une question subsiste « La réponse est « oui mais » d'une façon matricielle qui dépend du type de représentation donc nettement moins intéressante $\;{\big$voir 1er sous-paragraphe ci-dessous${\big )}\;$ ou
une question subsiste « La réponse est « oui mais » en utilisant la notion de « champ tensoriel gradient du champ vectoriel », présenté en complément plus haut dans ce chapitre dans le paragraphe précité $\;{\big$voir 2ème sous-paragraphe ci-dessous${\big )}\;$.
une question subsiste « La réponse est « oui mais » $\succ \;$Étude de la variation absolue d'un champ vectoriel par représentation matricielle : nous avons établi dans le paragraphe « identification de l'opérateur scalaire du 1er ordre “dM scalaire nabla” avec l'opérateur “différenciation” lorsqu'ils agissent sur une fonction vectorielle de l'espace » plus haut dans ce chapitre à expliciter la différentielle du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ sous forme matricielle d'éléments de $\;W\;$ selon «$\;d\left[{\vec {A}}\right]_{\text{repér. fix.}}\!(M)=\left\lbrace {\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace _{\text{repér. fix.}}\left[{\vec {A}}\right]_{\text{repér. fix.}}\!(M)\;$» soit
    une question subsiste « La réponse est « oui mais » $\color {transparent}{\succ }\;$ $\blacktriangleright \;$en cylindro-polaire : «$\;d\left\lbrace \left[{\begin{array}{c}A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }\\A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\\A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\right\rbrace =\left[{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{cyl}}\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cyl}}{\overset {\cdots }{\;=\;}}\left[{\begin{array}{l}dA_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }+A_{\rho }(M)\,d{\vec {u}}_{\rho }\\dA_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }+A_{\theta }(M)\,d{\vec {u}}_{\theta }\\dA_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;$» ou, en utilisant les résultats rappelés en note « $^{52}$ » plus haut dans ce chapitre $\;d\left\lbrace \left[{\begin{array}{c}A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }\\A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\\A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\right\rbrace =\left[{\begin{array}{c}dA_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }+A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\,d\theta \\dA_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }-A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }\,d\theta \\dA_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}d{\vec {A}}(M)\cdot {\vec {u}}_{\rho }=dA_{\rho }(M)-A_{\theta }(M)\;d\theta \\d{\vec {A}}(M)\cdot {\vec {u}}_{\theta }=dA_{\theta }(M)+A_{\rho }(M)\;d\theta \\{\vec {A}}(M)\cdot {\vec {u}}_{z}=dA_{z}(M)\end{array}}\right\rbrace$, l'étude du signe de chacun permettant de déterminer la variation absolue radiale, orthoradiale ou axiale de $\;{\vec {A}}(M)$ ;
    une question subsiste « La réponse est « oui mais » $\color {transparent}{\succ }\;$ $\blacktriangleright \;$en sphérique : «$\;d\left\lbrace \left[{\begin{array}{c}A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}\\A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\\A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]\right\rbrace =\left[{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{sph}}\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{sph}}{\overset {\cdots }{\;=\;}}\left[{\begin{array}{l}dA_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}+A_{r}(M)\,d{\vec {u}}_{r}\\dA_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }+A_{\theta }(M)\,d{\vec {u}}_{\theta }\\dA_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }+A_{\varphi }(M)\,d{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]\;$» ou, en utilisant les résultats rappelés en note « $^{100}$ » plus haut dans ce chapitre $\;d\left\lbrace \left[{\begin{array}{c}A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}\\A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\\A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]\right\rbrace =\left[{\begin{array}{c}dA_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}+A_{r}(M)\left\lbrace {\vec {u}}_{\theta }\,d\theta +{\vec {u}}_{\varphi }\,\sin(\theta )\,d\varphi \right\rbrace \\dA_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }+A_{\theta }(M)\left\lbrace -{\vec {u}}_{r}\,d\theta +{\vec {u}}_{\varphi }\,\cos(\theta )\,d\varphi \right\rbrace \\dA_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }-A_{\varphi }(M)\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,\sin(\theta )+{\vec {u}}_{\theta }\,\cos(\theta )\right\rbrace d\varphi \end{array}}\right]$, l'étude du signe de chacune des composantes suivantes $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}d{\vec {A}}(M)\cdot {\vec {u}}_{r}=dA_{r}(M)-A_{\theta }(M)\,d\theta -A_{\varphi }(M)\,\sin(\theta )\,d\varphi \\d{\vec {A}}(M)\cdot {\vec {u}}_{\theta }=dA_{\theta }(M)+A_{r}(M)\,d\theta -A_{\varphi }(M)\,\cos(\theta )\,d\varphi \\{\vec {A}}(M)\cdot {\vec {u}}_{\varphi }=dA_{\varphi }(M)+\left\lbrace A_{r}(M)\,\sin(\theta )+A_{\theta }(M)\,\cos(\theta )\right\rbrace d\varphi \end{array}}\right\rbrace \;$ permettant de déterminer la variation absolue radiale, orthoradiale ou longitudale de $\;{\vec {A}}(M)$.
une question subsiste « La réponse est « oui mais » $\succ \;$Étude de la variation absolue d'un champ vectoriel par champ tensoriel gradient de ce dernier : associant à la représentation matricielle d'éléments de $\;W\;$ de la différentielle du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ c'est-à-dire $\;\left[d{\vec {A}}\right]_{\text{repér. fix.}}\!(M)$ $\;{\Big \$ou la différentielle de la matrice colonne d'éléments de $\;W\;$ représentant le champ vectoriel $\;d\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{repér. fix.}}{\Big \}$ la représentation matricielle des composantes de la différentielle du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ c'est-à-dire $\;\left[\left(d{\vec {A}}\right)_{\text{proj}}(M)\right]_{\text{repér. fix.}}\;$ mise sous la forme d'un produit de matrices réelles «$\;\left[\left(d{\vec {A}}\right)_{\text{proj}}(M)\right]_{\text{repér. fix.}}=$ $\left[\,B\,\right]_{\text{repér. fix.}}\!(M)\times \left[{\vec {dM}}_{\text{proj}}\right]_{\text{repér. fix.}}\;$» dans lequel «$\;\left[{\vec {dM}}_{\text{proj}}\right]_{\text{repér. fix.}}\;$ est la matrice colonne réelle des composantes radiale, orthoradiale et axiale de $\;{\vec {dM}}\;$» et «$\;\left[\,B\,\right]_{\text{repér. fix.}}\!(M)\;$ une matrice carrée réelle de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;3\;$» s'identifiant à la « représentation matricielle du champ tensoriel gradient de $\;{\vec {A}}(M)\;$» $\;{\big \$dont l'étude permet de déterminer la variation absolue du champ vectoriel${\big \}$ soit
    une question subsiste « La réponse est « oui mais » $\color {transparent}{\succ }\;$ $\blacktriangleright \;$en cylindro-polaire «$\;d\left\lbrace \left[{\begin{array}{c}A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }\\A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\\A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\right\rbrace {\overset {\cdots }{\;=\;}}\left[{\begin{array}{l}dA_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }+A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\,d\theta \\dA_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }-A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }\,d\theta \\dA_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;$» ou, en explicitant les différentielles des composantes radiale, orthoradiale et axiale du champ vectoriel «$\;d\left\lbrace \left[{\begin{array}{c}A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }\\A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\\A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\right\rbrace =\left[{\begin{array}{l}\left\lbrace \left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)\,d\rho +\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)\,d\theta +\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\,dz\right\rbrace {\vec {u}}_{\rho }+A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\,d\theta \\\left\lbrace \left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)\,d\rho +\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)\,d\theta +\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\,dz\right\rbrace {\vec {u}}_{\theta }-A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }\,d\theta \\\left\lbrace \left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)\,d\rho +\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)\,d\theta +\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\,dz\right\rbrace {\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;$» soit, en introduisant $\;\left[{\vec {dM}}_{\text{proj}}\right]_{\text{cyl}}=\left[{\begin{array}{c}d\rho \\\rho \,d\theta \\dz\end{array}}\right]\;$ et $\;\left[\left(d{\vec {A}}\right)_{\text{proj}}(M)\right]_{\text{cyl}}=\left[{\begin{array}{c}d{\vec {A}}(M)\cdot {\vec {u}}_{\rho }\\d{\vec {A}}(M)\cdot {\vec {u}}_{\theta }\\d{\vec {A}}(M)\cdot {\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;$ $\Rightarrow$ «$\;\left[{\begin{array}{c}d{\vec {A}}(M)\cdot {\vec {u}}_{\rho }\\\\d{\vec {A}}(M)\cdot {\vec {u}}_{\theta }\\\\d{\vec {A}}(M)\cdot {\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c c c}\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)&{\dfrac {1}{\rho }}\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)-{\dfrac {A_{\theta }(M)}{\rho }}&\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\\\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)&{\dfrac {1}{\rho }}\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)+{\dfrac {A_{\rho }(M)}{\rho }}&\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\\\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)&{\dfrac {1}{\rho }}\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)&\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}d\rho \\\\\rho \,d\theta \\\\dz\end{array}}\right]=$ $\left[\,B\,\right]_{\text{cyl}}(M)\times \left[{\vec {dM}}_{\text{proj}}\right]_{\text{cyl}}\;$», la matrice carrée réelle de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;3\;$ dont l'étude permet la détermination de la variation absolue du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ s'identifiant effectivement au champ tensoriel gradient de ce dernier «$\;\left[\,B\,\right]_{\text{cyl}}(M)=\left[{\begin{array}{c c c}\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)&{\dfrac {1}{\rho }}\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)-{\dfrac {A_{\theta }(M)}{\rho }}&\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\\\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)&{\dfrac {1}{\rho }}\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)+{\dfrac {A_{\rho }(M)}{\rho }}&\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\\\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)&{\dfrac {1}{\rho }}\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)&\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\end{array}}\right]=\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cyl}}\;$» ;
    une question subsiste « La réponse est « oui mais » $\color {transparent}{\succ }\;$ $\blacktriangleright \;$en sphérique «$\;d\left\lbrace \left[{\begin{array}{c}A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}\\A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\\A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]\right\rbrace {\overset {\cdots }{\;=\;}}\left[{\begin{array}{c}dA_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}+A_{r}(M)\left\lbrace {\vec {u}}_{\theta }\,d\theta +{\vec {u}}_{\varphi }\,\sin(\theta )\,d\varphi \right\rbrace \\dA_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }+A_{\theta }(M)\left\lbrace -{\vec {u}}_{r}\,d\theta +{\vec {u}}_{\varphi }\,\cos(\theta )\,d\varphi \right\rbrace \\dA_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }-A_{\varphi }(M)\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,\sin(\theta )+{\vec {u}}_{\theta }\,\cos(\theta )\right\rbrace d\varphi \end{array}}\right]\;$» ou, en explicitant les différentielles des composantes du champ vectoriel «$\;d\left\lbrace \left[{\begin{array}{c}A_{r}\,{\vec {u}}_{r}\\A_{\theta }\,{\vec {u}}_{\theta }\\A_{\varphi }\,{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]\right\rbrace =$ $\left[{\begin{array}{l}\left\lbrace \left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }dr+\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,z}d\theta +\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }d\varphi \right\rbrace {\vec {u}}_{r}+A_{r}\left\lbrace {\vec {u}}_{\theta }\,d\theta +{\vec {u}}_{\varphi }\,\sin(\theta )\,d\varphi \right\rbrace \\\left\lbrace \left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }dr+\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }d\theta +\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }d\varphi \right\rbrace {\vec {u}}_{\theta }+A_{\theta }\left\lbrace -{\vec {u}}_{r}\,d\theta +{\vec {u}}_{\varphi }\,\cos(\theta )\,d\varphi \right\rbrace \\\left\lbrace \left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }dr+\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }d\theta +\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }d\varphi \right\rbrace {\vec {u}}_{\varphi }-A_{\varphi }\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,\sin(\theta )+{\vec {u}}_{\theta }\,\cos(\theta )\right\rbrace d\varphi \end{array}}\right]\;$» soit, avec $\;\left[{\vec {dM}}_{\text{proj}}\right]_{\text{sph}}=\left[{\begin{array}{c}dr\\r\,d\theta \\r\,\sin(\theta )\,d\varphi \end{array}}\right]\;$ et $\;\left[\left(d{\vec {A}}\right)_{\text{proj}}(M)\right]_{\text{sph}}=\left[{\begin{array}{c}d{\vec {A}}(M)\cdot {\vec {u}}_{r}\\d{\vec {A}}(M)\cdot {\vec {u}}_{\theta }\\d{\vec {A}}(M)\cdot {\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]\;$ $\Rightarrow$ «$\;\left[{\begin{array}{c}d{\vec {A}}\cdot {\vec {u}}_{r}\\\\d{\vec {A}}\cdot {\vec {u}}_{\theta }\\\\d{\vec {A}}\cdot {\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]=$ $\left[{\begin{array}{c c c}{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial r}}&{\dfrac {1}{r}}\,{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}-{\dfrac {A_{\theta }}{r}}\!\!\!&\!\!\!{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}-{\dfrac {A_{\varphi }}{r}}\\{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial r}}&{\dfrac {1}{r}}\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}+{\dfrac {A_{r}}{r}}\!\!\!&\!\!\!{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}-{\dfrac {A_{\varphi }\,\cot(\theta )}{r}}\\{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial r}}&{\dfrac {1}{r}}\,{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \theta }}\!\!\!&\!\!\!{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}+{\dfrac {A_{r}}{r}}+{\dfrac {A_{\theta }\,\cot(\theta )}{r}}\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}dr\\\\r\,d\theta \\\\r\,\sin(\theta )\,d\varphi \end{array}}\right]\;$$^,$ $=\;$ $\left[\,B\,\right]_{\text{sph}}(M)\times \left[{\vec {dM}}_{\text{proj}}\right]_{\text{sph}}\;$», la matrice carrée réelle de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;3\;$ dont l'étude permet la détermination de la variation absolue du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ s'identifiant effectivement au champ tensoriel gradient de ce dernier «$\;\left[\,B\,\right]_{\text{sph}}(M)=\left[{\begin{array}{c c c}\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(M)&{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(M)-{\dfrac {A_{\theta }(M)}{r}}\!\!\!&\!\!\!{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!(M)-{\dfrac {A_{\varphi }(M)}{r}}\\\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(M)&{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(M)+{\dfrac {A_{r}(M)}{r}}\!\!\!&\!\!\!{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!(M)-{\dfrac {\cot(\theta )}{r}}\,A_{\varphi }(M)\\\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(M)&{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(M)\!\!\!&\!\!\!{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!(M)+{\dfrac {A_{r}(M)}{r}}+{\dfrac {\cot(\theta )}{r}}\,A_{\theta }(M)\end{array}}\right]=\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{sph}}\;$».

### Remarque finale

On remarquera néanmoins que ces deux façons se confondent en représentation cartésienne$^,$.