# Mécanique 2 (PCSI)/Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels
## Explicitation de la puissance du système des forces intérieures s’exerçant sur un « système déformable de matière »

Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », ce système étant fermé et, a priori, « déformable ».

### Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque »

Les diverses expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ « quelconque », à l'instant $\;t\;$ et dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, $\;{\big$voir le paragraphe « puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.$10$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »${\big ]}\;$ sont rappelées ci-après :
«$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}(t)\right]\right\rbrace \;$» s'explicitant selon «$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}(t)\cdot {\vec {V}}_{M_{i}}(t)\right\rbrace =\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}(t)\right\rbrace \cdot {\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;$», $\;{\vec {V}}_{M_{i}}\!(t)\;$ étant le vecteur vitesse du point $\;M_{i}\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$, ou encore,
«$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i}{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\!M_{i}\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}(t)\right\rbrace =\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i}{\mathcal {P}}_{/\,{\mathcal {R}}_{j}}\!\!\left[{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}(t)\right]\right\rbrace \;$» en introduisant le vecteur vitesse relative, à l'instant $\;t$, de $\;M_{i}\;$ par rapport à $\;M_{j},\;j\neq i$ $\;{\Big$c'est-à-dire le vecteur vitesse, à l'instant $\;t$, de $\;M_{i}\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{j}$, lié à $\;M_{j}$, en translation par rapport à $\;{\mathcal {R}}$, noté $\;{\vec {V}}_{\!M_{i}\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}(t)\;$ et égal à $\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)-{\vec {V}}_{M_{j}}(t){\Big ]}$, soit aussi,
«$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\!M_{i}\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}(t)\right\rbrace \;$» en regroupant les points deux par deux, s'écrivant encore «$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\mathcal {P}}_{/\,{\mathcal {R}}_{j}}\!\!\left[{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}(t)\right]\right\rbrace \;$».
En repérant le point «$\;M_{i}\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{j}\;$» par ses « coordonnées sphériques de pôle $\;M_{j}\;$ soit $\;\left\lbrace r_{i,\,j},\,\theta _{i,\,j},\,\varphi _{i,\,j}\right\rbrace \;$» avec «$\;\left\lbrace {\vec {u}}_{r_{j\,\rightarrow \,i}},\,{\vec {u}}_{\theta _{j\,\rightarrow \,i}},\,{\vec {u}}_{\varphi _{j\,\rightarrow \,i}}\right\rbrace \;$ pour base sphérique liée à $\;M_{i}\;$»,
* la « force que $\;M_{j}\;$ exerce sur $\;M_{i}\;$» s'écrit, dans la « base sphérique de $\;{\mathcal {R}}_{j}\;$ liée à $\;M_{i}\;$» selon «$\;{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}={\overline {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}\;{\vec {u}}_{r_{j\,\rightarrow \,i}}\;$» $\;{\Big$se déduit de la 2ème relation du principe des actions réciproques à savoir $\;{\overrightarrow {M_{i}M_{j}}}\wedge {\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}={\vec {0}}{\Big )}\;$ avec «$\;{\overline {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}\;\left\lbrace {\begin{array}{c}>0\;{\text{lors d’une répulsion}}\\<0\;{\text{lors d’une attraction}}\end{array}}\right\rbrace \;$» définissant « l'intensité de l’interaction entre $\;M_{i}\;$ et $\;M_{i}\;$» et simplement notée «$\;{\overline {F}}_{i,\,j}({\vec {r}}_{j,\,i})\;$» d’où la réécriture «$\;{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}$ $={\overline {F}}_{i,\,j}({\vec {r}}_{j,\,i})\;{\vec {u}}_{r_{j\,\rightarrow \,i}}\;$», de même,
* le « vecteur vitesse relative de $\;M_{i}\;$ par rapport à $\;M_{j}\;$» dans la « base sphérique de $\;{\mathcal {R}}_{j}\;$» s'écrivant «$\;{\vec {V}}_{\!M_{i}\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}(t)=$ ${\dot {r}}_{i,\,j}(t)\;{\vec {u}}_{r_{j\,\rightarrow \,i}}+r_{i,\,j}(t)\;{\dot {\theta }}_{i,\,j}(t)\;{\vec {u}}_{\theta _{j\,\rightarrow \,i}}+r_{i,\,j}(t)\;\sin \!\left[\theta _{i,\,j}(t)\right]\;{\dot {\varphi }}_{i,\,j}(t)\;{\vec {u}}_{\varphi _{j\,\rightarrow \,i}}\;$»,
on en déduit l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que $\;M_{j}\;$ exerce sur $\;M_{i}\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{j}$, à savoir, «$\;{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\!M_{i}\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}(t)={\overline {F}}_{i,\,j}\!\left[{\vec {r}}_{j,\,i}(t)\right]\;{\dot {r}}_{i,\,j}(t)\;$», la base $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{r_{j\,\rightarrow \,i}},\,{\vec {u}}_{\theta _{j\,\rightarrow \,i}},\,{\vec {u}}_{\varphi _{j\,\rightarrow \,i}}\right\rbrace \;$ étant orthonormée d'où finalement «$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i}{\overline {F}}_{i,\,j}\!\left[{\vec {r}}_{j,\,i}(t)\right]\;{\dot {r}}_{i,\,j}(t)\right\rbrace ={\dfrac {1}{2}}\;\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\overline {F}}_{i,\,j}\!\left[{\vec {r}}_{j,\,i}(t)\right]\;{\dot {r}}_{i,\,j}(t)\right\rbrace \;$»$^,$.

### Cas particulier d’un système déformable

Si la puissance développée, à l'instant $\;t$, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ indéformable est identiquement nulle
$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)=0,\;\;\forall \;t\;$
ceci devient, a priori, faux pour un système déformable $\;{\big$sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas${\big ]}\;$ soit
$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)\neq 0\;$
$\;{\big$
${\big ]}$

## Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système

Comme au paragraphe précédent, par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », ce système étant fermé et, a priori, « déformable ».

### Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen

Le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ « quelconque », à l'instant $\;t\;$ et dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, $\;{\big$voir le paragraphe « énoncé (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque) » du chap.$10$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »${\big ]}\;$ est rappelé ci-après :
$\;{\mathcal {R}}$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;t\;$
$\;{\dot {K}}_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t)\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)\;$
$\;{\dot {K}}_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t)={\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)+{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
Remarque : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière « quelconque » est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

### Cas particulier d’un système déformable

Si le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant $\;t$, à un système de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ indéformable ne fait pas intervenir la puissance développée, au même instant $\;t$, par les forces intérieures s'exerçant sur le système parce que cette dernière est identiquement nulle
$\;{\dot {K}}_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t)={\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)\;$
ceci devient, a priori, faux pour un système déformable, la puissance développée par les forces intérieures s'exerçant sur le système déformable n'étant, a priori pas, identiquement nulle $\;{\big$sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas${\big ]}\;$ d'où l'expression mathématique du théorème de la puissance cinétique dans un référentiel galiléen
$\;{\dot {K}}_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t)={\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)+{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)\;$
$\;{\big$
${\big ]}$

## Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système

Comme dans les deux paragraphes précédents, par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », ce système étant fermé et, a priori, « déformable ».

### Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen

Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ « quelconque », sous une forme élémentaire ou sur une durée finie, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, $\;{\big$voir le paragraphe « théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final » du chap.$10$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »${\big ]}\;$ sont rappelés ci-après :
$\;{\mathcal {R}}$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$
$\;dK_{\left({\mathcal {S}}\right)}\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$
$\;\delta W_{\text{ext}}\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$
$\;\delta W_{\text{int}}\;$
$\;dK_{\left({\mathcal {S}}\right)}=\delta W_{\text{ext}}+\delta W_{\text{int}}\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;{\mathcal {R}}$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;t_{\mathcal {I}}\;$
$\;t_{\mathcal {F}}\;$
$\;\Delta K_{\left({\mathcal {S}}\right)}=$
$K_{\left({\mathcal {S}}\right)}\!(t_{\mathcal {F}})-K_{\left({\mathcal {S}}\right)}\!(t_{\mathcal {I}})\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left[t_{\mathcal {I}}\,,\,t_{\mathcal {F}}\right]\;$
$\;W_{{\text{ext}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left[t_{\mathcal {I}}\,,\,t_{\mathcal {F}}\right]\;$
$\;W_{{\text{int}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\;$
$\;\Delta K_{\left({\mathcal {S}}\right)}=W_{{\text{ext}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}+W_{{\text{int}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
Remarque : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière « quelconque » est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

### Cas particulier d’un système déformable

Si l'un ou l'autre des théorèmes de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ indéformable sous une forme élémentaire ou sur une durée finie ne fait pas intervenir le travail développé par les forces intérieures s'exerçant sur le système sur une durée élémentaire ou finie parce que, dans les deux cas, ce dernier est identiquement nul
$\;d{K}_{\left({\mathcal {S}}\right)}=\delta W_{\text{ext}}\;$
$\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$
$\;\Delta {K}_{\left({\mathcal {S}}\right)}\left\lbrace ={K}_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t_{\mathcal {F}})-{K}_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t_{\mathcal {I}})\right\rbrace =W_{{\text{ext}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\;$
$\;\left[t_{\mathcal {I}}\,,\,t_{\mathcal {F}}\right]\;$
ceci devient, a priori, faux pour un système déformable, le travail développé par les forces intérieures s'exerçant sur le système déformable sur une durée élémentaire ou finie n'étant, a priori pas, identiquement nul $\;{\big$sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas${\big ]}\;$ d'où l'expression mathématique des deux théorèmes de l'énergie cinétique dans un référentiel galiléen
$\;d{K}_{\left({\mathcal {S}}\right)}=\delta W_{\text{ext}}+\delta W_{\text{int}}\;$
$\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$
$\;{\big$
${\big ]}\;$
$\;\Delta {K}_{\left({\mathcal {S}}\right)}\left\lbrace ={K}_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t_{\mathcal {F}})-{K}_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t_{\mathcal {I}})\right\rbrace =W_{{\text{ext}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}+W_{{\text{int}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\;$
$\;\left[t_{\mathcal {I}}\,,\,t_{\mathcal {F}}\right]\;$
$\;{\big$
${\big ]}$

## « En complément », caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un système de matière déformable et énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives

Le « caractère conservatif de forces intérieures » appliquées à un système de matière déformable ainsi que la notion d'« énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I., mais ces notions sont néanmoins indispensables à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique $\;{\big$voir le paragraphe « quelle énergie utiliser pour un système thermodynamique défini dans le référentiel d'étude ? » du chap.$4$ de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »${\big ]}\;\ldots$

### Caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un « système de matière » déformable

Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ avec $\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \,\left\lbrace 1\right\rbrace \;$» mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.
À partir des expressions de la puissance développée par les forces intérieures appliquées au système $\;\left({\mathcal {S}}\right)$ $\;{\big$voir relation $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ du paragraphe « rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre${\big ]}\;$ et du lien entre travail élémentaire et puissance «$\;\delta W={\mathcal {P}}(t)\;dt\;$», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces intérieures appliquées au système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ sur l'intervalle $\;\left[t\,,\,t+dt\right]$ :
$\;\delta W_{\text{int}}=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i}{\overline {F}}_{i,\,j}\!\left[r_{i,\,j},\,\theta _{i,\,j},\,\varphi _{i,\,j}\right]\;d{r}_{i,\,j}\right\rbrace ={\dfrac {1}{2}}\;\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\overline {F}}_{i,\,j}\!\left[r_{i,\,j},\,\theta _{i,\,j},\,\varphi _{i,\,j}\right]\;d{r}_{i,\,j}\right\rbrace \;$
$\;{\dfrac {N\,(N-1)}{2}}\;$
$\;r_{i,\,j}\;$
le système des forces intérieures s'exerçant sur $\;\left({\mathcal {S}}\right)$ $\;{\big$ou un des sous-systèmes de forces intérieures${\big )}\;$ sera « conservatif » si son travail élémentaire $\;{\big$ou celui du sous-système de forces intérieures considéré${\big )}\;$ est une « différentielle de fonction », et comme le travail élémentaire est la somme de $\;{\dfrac {N\,(N-1)}{2}}\;$ formes différentielles dont chacune dépend d'une variable $\;r_{i,\,j}\;$ différente, ceci est réalisé dans la mesure où « chacune des $\;{\dfrac {N\,(N-1)}{2}}\;$ formes différentielles $\;{\overline {F}}_{i,\,j}\!\left[r_{i,\,j},\,\theta _{i,\,j},\,\varphi _{i,\,j}\right]\;d{r}_{i,\,j}\;$ est une différentielle de fonction » et,
le système des forces intérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces intérieures) sera « conservatif »dans la mesure où le cœfficient de $\;dr_{i,\,j}\;$ est, a priori, uniquement fonction des trois variables indépendantes $\;\left(r_{i,\,j},\theta _{i,\,j},\varphi _{i,\,j}\right)$, la C.N. pour que la forme différentielle «$\;{\overline {F}}_{i,\,j}\!\left[r_{i,\,j},\,\theta _{i,\,j},\,\varphi _{i,\,j}\right]\;d{r}_{i,\,j}\;$» soit une différentielle de fonction est que « le cœfficient de $\;dr_{i,\,j}\;$ ne dépende pas de $\;\left(\theta _{i,\,j},\varphi _{i,\,j}\right)\;$ mais soit fonction de la seule variable $\;r_{i,\,j}\;$»$^,$ $\;{\big \$cette C.N. est une C.S. dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » sur un « ouvert étoilé » de son domaine de définition $\;{\big$d'après le théorème de Poincaré relatif aux formes différentielles fermées sur un ouvert étoilé de $\;\mathbb {R} ^{3}\;$${\big ]}{\big \}$.
En conclusion, la C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur $\;\left({\mathcal {S}}\right)$ $\;{\big$ou un des sous-systèmes de forces intérieures${\big )}\;$ soit « conservatif » est que son travail élémentaire $\;{\big$ou celui du sous-système de forces intérieures considéré${\big )}\;$ s'écrive selon «$\;\delta W_{\text{int}}=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i}{\overline {F}}_{i,\,j}\!\left[r_{i,\,j}\right]\;d{r}_{i,\,j}\right\rbrace ={\dfrac {1}{2}}\;\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\overline {F}}_{i,\,j}\!\left[r_{i,\,j}\right]\;d{r}_{i,\,j}\right\rbrace \;$».

### Énergie potentielle d’interaction d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces intérieures conservatives)

Là encore cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ avec $\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \,\left\lbrace 1\right\rbrace \;$» mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.
Si le système des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ déformable $\;{\big$ou un de ses sous-systèmes de forces intérieures${\big )}\;$ est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées $\;\delta W_{\text{int}}\;$ étant une différentielle de fonction s'écrit «$\;{\overline {F}}_{i,\,j}\!\left[r_{i,\,j}\right]\;d{r}_{i,\,j}\;$» et on définit alors l'« énergie potentielle d’interaction $\;{\big$pour le type de forces intérieures considéré${\big )}\;$ du couple $\;\left(M_{i},\,M_{j}\right)\;$» notée «$\;U_{{\text{int}},\,i,\,j}(r_{i,\,j})\;$» selon «$\;{\overline {F}}_{i,\,j}\!\left[r_{i,\,j}\right]\;d{r}_{i,\,j}=-dU_{{\text{int}},\,i,\,j}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {dU_{{\text{int}},\,i,\,j}}{d{r}_{i,\,j}}}=-{\overline {F}}_{i,\,j}\!\left(r_{i,\,j}\right)\;$ » soit finalement
$\;U_{{\text{int}},\,i,\,j}(r_{i,\,j})=-\displaystyle \int ^{r_{i,\,j}}{\overline {F}}_{i,\,j}\!\left({r'}_{i,\,j}\right)\;d{r'}_{i,\,j}\;$
$\;U_{{\text{int}},\,i,\,j}(r_{i,\,j})=-\displaystyle \int _{\infty }^{r_{i,\,j}}{\overline {F}}_{i,\,j}\!\left({r'}_{i,\,j}\right)\;d{r'}_{i,\,j}\;$
$\;r_{i,\,j}=\infty \;$
de «$\;\delta W_{\text{int}}=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i}{\overline {F}}_{i,\,j}\!\left[r_{i,\,j}\right]\;d{r}_{i,\,j}\right\rbrace ={\dfrac {1}{2}}\;\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\overline {F}}_{i,\,j}\!\left[r_{i,\,j}\right]\;d{r}_{i,\,j}\right\rbrace \;$» utilisant «$\;{\overline {F}}_{i,\,j}\!\left[r_{i,\,j}\right]\;d{r}_{i,\,j}=-dU_{{\text{int}},\,i,\,j}\;$» on en tire les deux expressions de l'énergie potentielle d'interaction $\;{\big$pour le type de forces intérieures considéré${\big )}\;$ du système de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ déformable :
$\;U_{\text{int}}\!\left({\mathcal {S}}\right)=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i}U_{{\text{int}},\,i,\,j}(r_{i,\,j})\right\rbrace ={\dfrac {1}{2}}\;\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}U_{{\text{int}},\,i,\,j}(r_{i,\,j})\right\rbrace \;$
$\;U_{{\text{int}},\,i,\,j}(r_{i,\,j})=$
$-\displaystyle \int _{\infty }^{r_{i,\,j}}{\overline {F}}_{i,\,j}\!\left({r'}_{i,\,j}\right)\;d{r'}_{i,\,j}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;\left(M_{i},\,M_{j}\right)\;$

### « Exemples » de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable

Ci-dessous, comme exemples de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable, nous ne considérons que des systèmes discrets fermés à $\;2\;$ ou $\;3\;$ points matériels.

#### Système « Terre – Lune »

Dans ce 1er exemple, la Terre et la Lune sont chacun modélisés par un point matériel :
* «$\;T\,,\left(m_{\text{♁}}\right)\;$» pour la Terre dans lequel $\;T\;$ représente la position de son C.D.I. et $\;m_{\text{♁}}\;$ sa masse,
* «$\;L\,,\left(m_{\text{☽}}\right)\;$» pour la Lune dans lequel $\;L\;$ représente la position de son C.D.I. et $\;m_{\text{☽}}\;$ sa masse ;
l’intensité de la force d’interaction entre la Terre et la Lune étant «$\;{\overline {F}}_{{\text{gravit.}},\,({\text{♁}})\,\leftrightarrow \,({\text{☽}})}=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m_{\text{☽}}}{r_{({\text{♁}})\,\leftrightarrow \,({\text{☽}})}^{\,2}}}\;$» dans laquelle $\;r_{({\text{♁}})\,\leftrightarrow \,({\text{☽}})}\;$ est la distance séparant leur C.D.I., on en déduit aisément l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle $\;U_{{\text{gravit.}},\,({\text{♁}})\,\leftrightarrow \,({\text{☽}})}\;$ du système selon «$\;{\overline {F}}_{{\text{gravit.}},\,({\text{♁}})\,\leftrightarrow \,({\text{☽}})}\;dr_{({\text{♁}})\,\leftrightarrow \,({\text{☽}})}=-dU_{{\text{gravit.}},\,({\text{♁}})\,\leftrightarrow \,({\text{☽}})}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {dU_{{\text{gravit.}},\,({\text{♁}})\,\leftrightarrow \,({\text{☽}})}}{dr_{({\text{♁}})\,\leftrightarrow \,({\text{☽}})}}}=-{\overline {F}}_{{\text{gravit.}},\,({\text{♁}})\,\leftrightarrow \,({\text{☽}})}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m_{\text{☽}}}{r_{({\text{♁}})\,\leftrightarrow \,({\text{☽}})}^{\,2}}}\;$» d’où, après intégration avec choix de la référence pour la grandeur trouvée « la Lune infiniment éloignée de la Terre », l'expression de l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle du système « Terre – Lune »
$\;U_{{\text{gravit.}},\,({\text{♁}})\,\leftrightarrow \,({\text{☽}})}=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m_{\text{☽}}}{r_{({\text{♁}})\,\leftrightarrow \,({\text{☽}})}}}\;$
$\;r_{({\text{♁}})\,\leftrightarrow \,({\text{☽}})}=\infty \;$

#### Atome d’hélium

L'atome d'hélium étant composé d’un noyau de charge «$\;+2e\;$» et de deux électrons de charge individuelle «$\;-e\;$», ces trois particules étant supposées « ponctuelles », nous nous proposons de déterminer l’énergie potentielle d’interaction électrique entre les trois constituants de l’atome d’hélium $\;{\big$voir ci-dessous un schéma descriptif du point de vue électrique${\big )}$ ;
il y a «$\;3\;$» intensités de force d’interaction électrique entre les couples de particules et à chaque intensité correspond un terme d’énergie potentielle d'interaction électrique entre couple :
* entre l’électron $\;(1)\;$ et le noyau $\;N\;$ séparés de la distance $\;r_{1}$, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «$\;{\overline {F}}_{{\text{élec}},\,(1)\,\leftrightarrow \,N}=-{\dfrac {2\;e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r_{1}^{\,2}}}\;$», on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron $\;(1)\,\leftrightarrow \,N\;$ «$\;U_{{\text{élec}},\,(1)\,\leftrightarrow \,N}\;$» par «$\;{\overline {F}}_{{\text{élec}},\,(1)\,\leftrightarrow \,N}\;dr_{1}=-dU_{{\text{élec}},\,(1)\,\leftrightarrow \,N}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {dU_{{\text{élec}},\,(1)\,\leftrightarrow \,N}}{dr_{1}}}=-{\overline {F}}_{{\text{élec}},\,(1)\,\leftrightarrow \,N}$ $={\dfrac {2\;e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r_{1}^{\,2}}}\;$» d’où «$\;U_{{\text{élec}},\,(1)\,\leftrightarrow \,N}=-{\dfrac {2\;e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r_{1}}}\;$» avec « référence : électron $\;(1)\;$ infiniment éloigné du noyau $\;N\;$»,
* entre l’électron $\;(2)\;$ et le noyau $\;N\;$ séparés de la distance $\;r_{2}$, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «$\;{\overline {F}}_{{\text{élec}},\,(2)\,\leftrightarrow \,N}=-{\dfrac {2\;e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r_{2}^{\,2}}}\;$», on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron $\;(2)\,\leftrightarrow \,N\;$ «$\;U_{{\text{élec}},\,(2)\,\leftrightarrow \,N}\;$» par «$\;{\overline {F}}_{{\text{élec}},\,(2)\,\leftrightarrow \,N}\;dr_{2}=-dU_{{\text{élec}},\,(2)\,\leftrightarrow \,N}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {dU_{{\text{élec}},\,(2)\,\leftrightarrow \,N}}{dr_{2}}}=-{\overline {F}}_{{\text{élec}},\,(2)\,\leftrightarrow \,N}$ $={\dfrac {2\;e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r_{2}^{\,2}}}\;$» d’où «$\;U_{{\text{élec}},\,(2)\,\leftrightarrow \,N}=$ $-{\dfrac {2\;e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r_{2}}}\;$» avec « référence : électron $\;(2)\;$ infiniment éloigné du noyau $\;N\;$» et
* entre l’électron $\;(1)\;$ et l’électron $\;(2)\;$ séparés de la distance $\;r_{1,\,2}$, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «$\;{\overline {F}}_{{\text{élec}},\,(1)\,\leftrightarrow \,(2)}={\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r_{1,\,2}^{\,2}}}\;$», on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron $\;(1)\,\leftrightarrow \,(2)\;$ «$\;U_{{\text{élec}},\,(1)\,\leftrightarrow \,(2)}\;$» par «$\;{\overline {F}}_{{\text{élec}},\,(1)\,\leftrightarrow \,(2)}\;dr_{1,\,2}=-dU_{{\text{élec}},\,(1)\,\leftrightarrow \,(2)}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {dU_{{\text{élec}},\,(1)\,\leftrightarrow \,(2)}}{dr_{1,\,2}}}=-{\overline {F}}_{{\text{élec}},\,(1)\,\leftrightarrow \,(2)}$ $=-{\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r_{1,\,2}^{\,2}}}\;$» d’où «$\;U_{{\text{élec}},\,(1)\,\leftrightarrow \,(2)}=$ ${\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r_{1,\,2}}}\;$» avec « référence : électron $\;(1)\;$ infiniment éloigné de l'électron $\;(2)\;$» ;
l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium «$\;U_{{\text{élec}},\,{\text{atome d'He}}}\;$» est alors la somme des trois énergies potentielles d'interaction électrique entre les couples de particules précédemment définis «$\;U_{{\text{élec}},\,(1)\,\leftrightarrow \,N}+U_{{\text{élec}},\,(2)\,\leftrightarrow \,N}+U_{{\text{élec}},\,(1)\,\leftrightarrow \,(2)}\;$» soit finalement
$\;U_{{\text{élec}},\,{\text{atome d'He}}}=-{\dfrac {2\;e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r_{1}}}-{\dfrac {2\;e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r_{2}}}+{\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r_{1,\,2}}}\;$

## « En complément », théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique »

« Le théorème de la variation de l’énergie mécanique » ainsi que sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique », tous deux appliqués à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il est souhaitable de les connaître pour une meilleure compréhension de la thermodynamique dans son aspect microscopique $\;{\big$voir le paragraphe « énoncé du premier principe de la thermodynamique » du chap.$15$ de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »${\big ]}\;\ldots$

### Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable

Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ avec $\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \,\left\lbrace 1\right\rbrace \;$» mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.
À partir des expressions de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système $\;\left({\mathcal {S}}\right)$ $\;{\big$voir relation $\;\left({\mathfrak {c}}\right)\;$ du paragraphe « définition (de la puissance du système des forces extérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.$10$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ${\big ]}\;$ et du lien entre travail élémentaire et puissance «$\;\delta W={\mathcal {P}}(t)\;dt\;$», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées au système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ sur l'intervalle $\;\left[t\,,\,t+dt\right]$ :
$\;\delta W_{\text{ext}}=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\cdot {\overrightarrow {dM_{i}}}\;$
$\;{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}=\sum _{k}{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}_{k}}\;$
$\;M_{i}$
$\;3\;N\;$
$\;N\;$
le système des forces extérieures s'exerçant sur $\;\left({\mathcal {S}}\right)$ $\;{\big$ou un des sous-systèmes de forces extérieures${\big )}\;$ sera « conservatif » si son travail élémentaire $\;{\big$ou celui du sous-système de forces extérieures considéré${\big )}\;$ est une « différentielle de fonction », et comme le travail élémentaire est la somme de $\;N\;$ formes différentielles dont chacune dépend d'un triplet de variables scalaires différent, ceci est réalisé dans la mesure où « chacune des $\;N\;$ formes différentielles $\;{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\cdot {\overrightarrow {dM_{i}}}\;$ est une différentielle de fonction » et,
le système des forces extérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces extérieures) sera « conservatif »dans la mesure où le point matériel $\;M_{i}\;$ est repéré, dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$, par ses coordonnées cartésiennes $\;\left(x_{i},y_{i},z_{i}\right)\;$, la C.N. pour que «$\;{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\cdot {\overrightarrow {dM_{i}}}={\overline {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}},\,x}(x_{i},\,y_{i},\,z_{i})\;dx_{i}+{\overline {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}},\,y}(x_{i},\,y_{i},\,z_{i})\;dy_{i}+{\overline {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}},\,z}(x_{i},\,y_{i},\,z_{i})\;dz_{i}\;$» soit une différentielle de fonction est que cette forme différentielle soit « fermée »$^,$$^,$ $\;{\big \$cette C.N. est une C.S. dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » sur un « ouvert étoilé » de son domaine de définition $\;{\big$d'après le théorème de Poincaré relatif aux formes différentielles fermées sur un ouvert étoilé de $\;\mathbb {R} ^{3}\;$${\big ]}{\big \}$.
En conclusion, la C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur $\;\left({\mathcal {S}}\right)$ $\;{\big$ou un des sous-systèmes de forces extérieures${\big )}\;$ soit « conservatif » est que son travail élémentaire $\;{\big$ou celui du sous-système de forces extérieures considéré${\big )}\;$ «$\;\delta W_{\text{ext}}=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\cdot {\overrightarrow {dM_{i}}}=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left[{\overline {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}},\,x}(x_{i},\,y_{i},\,z_{i})\;dx_{i}+{\overline {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}},\,y}(x_{i},\,y_{i},\,z_{i})\;dy_{i}+{\overline {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}},\,z}(x_{i},\,y_{i},\,z_{i})\;dz_{i}\right]\;$» $\;{\big$en repérage cartésien${\big )}\;$ satisfasse les conditions
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c}\left({\dfrac {\partial {\overline {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}},\,x}}{\partial y_{i}}}\right)_{\!\!x_{i},\,z_{i}}\!\!(x_{i},\,y_{i},\,z_{i})&=&\left({\dfrac {\partial \,{\overline {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}},\,y}}{\partial x_{i}}}\right)_{\!\!y_{i},\,z_{i}}\!\!(x_{i},\,y_{i},\,z_{i})\\\left({\dfrac {\partial {\overline {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}},\,x}}{\partial z_{i}}}\right)_{\!\!x_{i},\,y_{i}}\!\!(x_{i},\,y_{i},\,z_{i})&=&\left({\dfrac {\partial \,{\overline {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}},\,z}}{\partial x_{i}}}\right)_{\!\!y_{i},\,z_{i}}\!\!(x_{i},\,y_{i},\,z_{i})\\\left({\dfrac {\partial {\overline {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}},\,y}}{\partial z_{i}}}\right)_{\!\!x_{i},\,y_{i}}\!\!(x_{i},\,y_{i},\,z_{i})&=&\left({\dfrac {\partial \,{\overline {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}},\,z}}{\partial y_{i}}}\right)_{\!\!x_{i},\,z_{i}}\!\!(x_{i},\,y_{i},\,z_{i})\end{array}}\right\rbrace \;\;\forall \;i\;\in \;\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\;$

### Énergie potentielle d’interaction de type « $_k$ » avec l’extérieur d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces extérieures conservatives de type « $_k$ »)

Comme précédemment cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ avec $\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \,\left\lbrace 1\right\rbrace \;$» mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.
Si le système des forces extérieures de type «$\;_{k}\;$» s'exerçant sur un système de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «$\;_{k}\;$» considérées $\;\delta W_{{\text{ext}}_{k}}\;$ à savoir «$\;{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}_{k}}\cdot {\overrightarrow {dM_{i}}}\;$» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type $\;_{k}\;$ du point matériel $\;M_{i}\;$» notée «$\;U_{{\text{ext}}_{k}}(M_{i})\;$» selon «$\;{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}_{k}}\cdot {\overrightarrow {dM_{i}}}=-dU_{{\text{ext}}_{k}}(M_{i})\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}_{k}}=-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[U_{{\text{ext}}_{k}}\right]\!(M_{i})\;$ » soit finalement
$\;U_{{\text{ext}}_{k}}(M_{i})=-\displaystyle \int ^{M_{i}}{\vec {F}}_{{M'}_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}_{k}}\cdot {\overrightarrow {d{M'}_{i}}}\;$
on en déduit, en faisant la somme sur tous les points matériels du système discret, l'énergie potentielle du système de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ dans le champ des forces extérieures conservatives de type « $_k$ » selon
$\;U_{{\text{ext}}_{k}}\!\left({\mathcal {S}}\right)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}U_{{\text{ext}}_{k}}(M_{i})\;$

### Énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives

L'énergie mécanique d'un système de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives est notée, à l'instant $\;t$, «$\;E_{m,\,({\mathcal {S}})}(t)\;$» $\;{\big$ou $\;E_{m}(t)\;$ en absence d'ambiguïté${\big ]}\;$ et définie selon
$\;E_{m,\,({\mathcal {S}})}(t)=K_{({\mathcal {S}})}(t)+\sum \limits _{k}^{\text{cons.}}U_{{\text{ext}}_{k}}\!\left({\mathcal {S}},\,t\right)+\sum \limits _{\mathit {l}}^{\text{cons.}}U_{{\text{int}}_{\mathit {l}}}\!\left({\mathcal {S}},\,t\right)\;$
$\;t$
$\;_{k}\;$
$\;_{\mathit {l}}\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)$

### Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable

Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ déformable s'écrivant, dans un référentiel d’étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, «$\;\Delta K_{\left({\mathcal {S}}\right)}=W_{{\text{ext}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}+W_{{\text{int}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\;$», on distingue,
* dans les forces extérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas, d’où «$\;W_{{\text{ext}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}=\sum \limits _{k}^{\text{cons.}}W_{({\text{ext}}_{k}),\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}+\sum \limits _{k'}^{\text{non cons.}}W_{({\text{ext}}_{k'}),\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\;$» ainsi que,
* dans les forces intérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas, d’où «$\;W_{{\text{int}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}=\sum \limits _{\mathit {l}}^{\text{cons.}}W_{({\text{int}}_{\mathit {l}}),\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}+\sum \limits _{{\mathit {l}}\,'}^{\text{non cons.}}W_{({\text{int}}_{{\mathit {l}}\,'}),\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\;$» puis,
on utilise les définitions des énergies potentielles dont les forces conservatives « dérivent » ce qui implique
* «$\;W_{{\text{ext}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}=\sum \limits _{k}^{\text{cons.}}-\Delta U_{{\text{ext}}_{k}}\!\left({\mathcal {S}}\right)+\sum \limits _{k'}^{\text{non cons.}}W_{({\text{ext}}_{k'}),\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\;$» et
* «$\;W_{{\text{int}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}=\sum \limits _{\mathit {l}}^{\text{cons.}}-\Delta U_{{\text{int}}_{\mathit {l}}}\!\left({\mathcal {S}}\right)+\sum \limits _{{\mathit {l}}\,'}^{\text{non cons.}}W_{({\text{int}}_{{\mathit {l}}\,'}),\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\;$» ensuite,
on reporte ces expressions dans la variation de l’énergie cinétique «$\;\Delta K_{\left({\mathcal {S}}\right)}=\sum \limits _{k}^{\text{cons.}}-\Delta U_{{\text{ext}}_{k}}\!\left({\mathcal {S}}\right)+\sum \limits _{k'}^{\text{non cons.}}W_{({\text{ext}}_{k'}),\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}+\sum \limits _{\mathit {l}}^{\text{cons.}}-\Delta U_{{\text{int}}_{\mathit {l}}}\!\left({\mathcal {S}}\right)+\sum \limits _{{\mathit {l}}\,'}^{\text{non cons.}}W_{({\text{int}}_{{\mathit {l}}\,'}),\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\;$» et on termine en basculant dans le membre de gauche les variations d’énergies potentielles changées de signe «$\;\Delta K_{\left({\mathcal {S}}\right)}+\sum \limits _{k}^{\text{cons.}}\Delta U_{{\text{ext}}_{k}}\!\left({\mathcal {S}}\right)+\sum \limits _{\mathit {l}}^{\text{cons.}}\Delta U_{{\text{int}}_{\mathit {l}}}\!\left({\mathcal {S}}\right)=\sum \limits _{k'}^{\text{non cons.}}W_{({\text{ext}}_{k'}),\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}+\sum \limits _{{\mathit {l}}\,'}^{\text{non cons.}}W_{({\text{int}}_{{\mathit {l}}\,'}),\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\;$»
ce qui permet, en reconnaissant dans le membre de gauche, la variation d'énergie mécanique «$\;E_{m,\,({\mathcal {S}})}(t)=K_{({\mathcal {S}})}(t)+\sum \limits _{k}^{\text{cons.}}U_{{\text{ext}}_{k}}\!\left({\mathcal {S}},\,t\right)+\sum \limits _{\mathit {l}}^{\text{cons.}}U_{{\text{int}}_{\mathit {l}}}\!\left({\mathcal {S}},\,t\right)\;$» du système de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives soit «$\;\Delta E_{m,\,({\mathcal {S}})}=\Delta K_{\left({\mathcal {S}}\right)}+\sum \limits _{k}^{\text{cons.}}\Delta U_{{\text{ext}}_{k}}\!\left({\mathcal {S}}\right)+\sum \limits _{\mathit {l}}^{\text{cons.}}\Delta U_{{\text{int}}_{\mathit {l}}}\!\left({\mathcal {S}}\right)\;$» d’obtenir le théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué, dans un référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, à un système de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives «$\;\Delta E_{m,\,({\mathcal {S}})}=\sum \limits _{k'}^{\text{non cons.}}W_{({\text{ext}}_{k'}),\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}+\sum \limits _{{\mathit {l}}\,'}^{\text{non cons.}}W_{({\text{int}}_{{\mathit {l}}\,'}),\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\;$» dans lequel $\;\Delta E_{m,\,({\mathcal {S}})}=E_{m,\,({\mathcal {S}})}(t_{\mathcal {F}})-E_{m,\,({\mathcal {S}})}(t_{\mathcal {I}})$ ;
$\;{\mathcal {R}}$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;t_{\mathcal {I}}\;$
$\;t_{\mathcal {F}}\;$
$\;\Delta E_{m,\,\left({\mathcal {S}}\right)}=$
$E_{m,\,\left({\mathcal {S}}\right)}\!(t_{\mathcal {F}})-E_{m,\,\left({\mathcal {S}}\right)}\!(t_{\mathcal {I}})\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left[t_{\mathcal {I}}\,,\,t_{\mathcal {F}}\right]\;$
$\;W_{{\text{ext}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}^{\;{\text{non cons.}}}\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left[t_{\mathcal {I}}\,,\,t_{\mathcal {F}}\right]\;$
$\;W_{{\text{ext}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}^{\;{\text{non cons.}}}\;$
$\;\Delta E_{m,\,({\mathcal {S}})}=W_{{\text{ext}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}^{\;{\text{non cons.}}}+W_{{\text{int}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}^{\;{\text{non cons.}}}\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
On en déduit aisément le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous sa forme élémentaire :
$\;{\mathcal {R}}$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$
$\;dE_{m,\,\left({\mathcal {S}}\right)}\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$
$\;\delta W_{\text{ext}}^{\;{\text{non cons.}}}\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$
$\;\delta W_{\text{int}}^{\;{\text{non cons.}}}\;$
$\;dE_{m,\,\left({\mathcal {S}}\right)}=\delta W_{\text{ext}}^{\;{\text{non cons.}}}+\delta W_{\text{int}}^{\;{\text{non cons.}}}\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
Remarque : Sous ces deux formes le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

### Théorème de la puissance mécanique d’un système déformable

Le « théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives », étant la forme locale de la forme intégrée précédemment établie « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au même système de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ déformable, dans le même champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur une durée finie ou élémentaire » s'obtient en divisant par $\;dt\;$ chaque membre de la forme élémentaire du « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives » d'où «$\;{\dfrac {dE_{m,\,\left({\mathcal {S}}\right)}}{dt}}={\dfrac {\delta W_{\text{ext}}^{\;{\text{non cons.}}}}{dt}}+{\dfrac {\delta W_{\text{int}}^{\;{\text{non cons.}}}}{dt}}\;$ dans le référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$» dans lequel on reconnaît
* dans le 1er membre, la puissance mécanique instantanée de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, notée, à l'instant $\;t$, «$\;{\dot {E}}_{m,\,\left({\mathcal {S}}\right)}\!(t)\;$»,
* dans le 1er terme du 2ème membre, la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives appliquées à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ déformable, notée, à l'instant $\;t$, «$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}^{\,{\text{non cons.}}}\!(t)=$ $\sum \limits _{k'}^{\text{non cons.}}{\mathcal {P}}_{({\text{ext}}_{k'})}\!(t)\;$» et
* dans le 2ème terme du 2ème membre, la puissance instantanée développée par les forces intérieures non conservatives appliquées à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ déformable, notée, à l'instant $\;t$, «$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}^{\,{\text{non cons.}}}\!(t)=$ $\sum \limits _{{\mathit {l}}\,'}^{\text{non cons.}}{\mathcal {P}}_{({\text{int}}_{{\mathit {l}}\,'})}\!(t)\;$» d'où
l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives
$\;{\mathcal {R}}$
$\;t$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;{\dot {E}}_{m,\,\left({\mathcal {S}}\right)}\!(t)\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}^{\,{\text{non cons.}}}\!(t)\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}^{\,{\text{non cons.}}}\!(t)\;$
$\;{\dot {E}}_{m,\,\left({\mathcal {S}}\right)}\!(t)={\mathcal {P}}_{\text{ext}}^{\,{\text{non cons.}}}\!(t)+{\mathcal {P}}_{\text{int}}^{\,{\text{non cons.}}}\!(t)\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
Remarque : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

## « En complément », conservation de l’énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas

La propriété de « conservation de l'énergie mécanique d'un système de matière déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives en cas d'absence de travail des autres forces » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I., mais cette notion est indispensable à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique $\;{\big$voir le paragraphe « système thermodynamique fermé et isolé thermodynamiquement » du chap.$4$ de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » $\;{\big$dans un système thermodynamique toutes les forces intérieures doivent être considérées comme conservatives${\big )}{\big ]}\;\ldots$
« L'énergie mécanique d'un système de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives, définie dans un référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen » est conservée dans la mesure où les autres forces extérieures et intérieures non conservatives s’exerçant sur $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ ne travaillent pas ;
c'est une application directe du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un système de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives impliquant «$\;W_{{\text{ext}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}^{\;{\text{non cons.}}}=0\;$ ainsi que $\;W_{{\text{int}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}^{\;{\text{non cons.}}}=0\;$» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen s'écrivant «$\;\Delta E_{m,\,({\mathcal {S}})}$ $=W_{{\text{ext}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}^{\;{\text{non cons.}}}+W_{{\text{int}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}^{\;{\text{non cons.}}}\;$» on en tire «$\;\Delta E_{m,\,({\mathcal {S}})}=0\;$» ou encore «$\;E_{m,\,({\mathcal {S}})}\!(t_{\mathcal {F}})=E_{m,\,({\mathcal {S}})}\!(t_{\mathcal {I}})\;$» ;
c'est aussi une application directe du théorème de la puissance mécanique d'un système de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de puissance instantanée développée par des forces extérieures et intérieures non conservatives impliquant «$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}^{\,{\text{non cons.}}}\!(t)=0,\;\;\forall \;t\;$ ainsi que $\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}^{\,{\text{non cons.}}}\!(t)=0,\;\;\forall \;t\;$» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen s'écrivant «$\;{\dot {E}}_{m,\,({\mathcal {S}})}\!(t)$ $={\mathcal {P}}_{\text{ext}}^{\,{\text{non cons.}}}\!(t)+{\mathcal {P}}_{\text{int}}^{\,{\text{non cons.}}}\!(t)\;$» on en tire «$\;{\dot {E}}_{m,\,({\mathcal {S}})}\!(t)=0,\;\;\forall \;t\;$» ou, après intégration, «$\;E_{m,\,({\mathcal {S}})}\!(t)=E_{m,\,({\mathcal {S}})}\!(t_{0}),\;\;\forall \;t\;$».

## Exemple : bilan énergétique du tabouret d’inertie
### Présentation du tabouret d’inertie

Ci-contre un exemple de « tabouret d'inertie » :
Un tabouret d'inertie est composé d'un tabouret tournant $\;{\big$avec un minimum de frottement solide et fluide${\big )}\;$ autour d'un axe « vertical » $\;{\big$dans la mesure, bien sûr, où le tabouret repose sur un plan horizontal${\big )}\;$ et sur le siège duquel est positionné un système de matière $\;{\big$pratiquement un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle${\big )}\;$ déformable $\;{\big$par exemple un individu avec un haltère dans chaque main${\big )}$ ;
le tabouret tournant ci-contre peut servir de base au tabouret d'inertie avec, pour système de matière déformable, un expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère et ne laissant pas traîner ses pieds sur le plan horizontal $\;{\big$c'est, en effet, le siège et ce qu'il supporte qui doit tourner, sans frottement, autour de l'axe restant fixe dans le référentiel terrestre supposé galiléen${\big )}\;\ldots$

### Description de l’expérience

On met en rotation le « système déformable » $\;{\big$c'est-à-dire l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol${\big )}\;$ associé au siège du tabouret tournant lorsque le « système déformable » est « le plus rassemblé au voisinage de l’axe » $\;{\big$c'est-à-dire lorsque les haltères sont au plus proche de l’axe${\big )}\;$ et on le lâche ; il a alors acquis une certaine vitesse angulaire de rotation ;
un « moteur interne au système déformable » $\;{\big$c'est-à-dire les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau${\big )}\;$ déforme ce dernier de façon symétrique relativement à l'axe en lui « donnant l'extension la plus éloignée de l'axe » $\;{\big$c'est-à-dire en éloignant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale${\big )}$, on constate alors que la vitesse angulaire de rotation $\;\searrow \;$ puis
le même « moteur interne » $\;{\big$c'est-à-dire les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau${\big )}\;$ redonne au système déformable l'extension initiale « la plus rassemblée au voisinage de l'axe » $\;{\big$c'est-à-dire en rapprochant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale${\big )}$ et on observe que la vitesse angulaire de rotation $\;\nearrow \;$ en reprenant sa valeur initiale.
Remarque : Cette façon de procéder est utilisée par des patineurs sur glace pivotant sur eux-mêmes dans le but de réduire puis de retrouver leur vitesse de pivotement sur eux-mêmes.

### Explication de l’observation

L'ensemble « système déformable $\;{\big$c'est-à-dire l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol${\big )}\;$ associé au siège du tabouret tournant », ensemble noté «$\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$», n'étant soumis qu'aux actions extérieures
* « le poids de $\;\left({\mathcal {E}}\right)$ $\;{\big \$force verticale descendante${\big \}$» et
* « les forces de liaison du pivot » qui se réduisent en un point $\;O$, choisi fixe sur $\;\Delta$, axe vertical de rotation de l'ensemble $\;\left({\mathcal {E}}\right)$, $\;\succ \;$ à une résultante verticale ascendante $\;{\vec {R}}\;$ et $\;\succ \;$ à un couple de vecteur moment $\;{\vec {\Gamma }}\;\perp \;$ à l'axe vertical de rotation $\;\Delta$ $\;{\big$idéalité de la liaison pivot par absence de frottement${\big )}$,
on en déduit que « le moment résultant scalaire dynamique par rapport à l'axe vertical de rotation $\;\Delta \;$ agissant sur $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ est nul » soit «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\text{ext}}}\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=0\;$» $\;{\big{\vec {u}}_{\Delta }\;$ étant le vecteur unitaire de $\;\Delta \;$ orientant les angles de rotation${\big )}\;$ et
l'application, à l'ensemble $\;\left({\mathcal {E}}\right)$, du « théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l'axe $\;\Delta \;$ fixe dans le référentiel d’étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen » nous conduit à «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\sigma _{\Delta ,\,({\mathcal {E}})}}{dt}}(t),\;\;\forall \;t\;$» soit, dans le cas présent, «$\;{\dfrac {d\sigma _{\Delta ,\,({\mathcal {E}})}}{dt}}(t)=0,\;\;\forall \;t\;$» d'où, après intégration, «$\;\sigma _{\Delta ,\,({\mathcal {E}})}\!(t)=\sigma _{\Delta ,\,({\mathcal {E}})}\!(0)\;$» c'est-à-dire « la conservation du moment cinétique scalaire de l'ensemble tournant $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ par rapport à l'axe de rotation $\;\Delta \;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen », ceci restant indépendant de la déformation du système $\;{\big$dans la mesure où celle-ci est créée par des actions intérieures${\big )}$ ;
de plus, le moment cinétique scalaire du système continu de matière $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ en rotation autour de l'axe $\;\Delta \;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ s’écrit, à l'instant $\;t$, «$\;\sigma _{\Delta ,\,({\mathcal {E}})}\!(t)=J_{\Delta }\!\left({\mathcal {E}}\right)\,{\overline {\Omega }}(t)\;$» avec «$\;{\overline {\Omega }}(t)$, la vitesse angulaire de rotation de $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ autour de $\;\Delta \;$ à l'instant $\;t\;$» et «$\;J_{\Delta }\!\left({\mathcal {E}}\right)$, le moment d’inertie du système $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ relativement à l’axe $\;\Delta \;$ au même instant $\;t\;$» ;
$\;\blacktriangleright \;$tant que l'ensemble $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ ne se déforme pas, son moment d'inertie «$\;J_{\Delta }\!\left({\mathcal {E}}\right)\;$» reste constant et par suite, ceci établit l’équivalence entre
* « la conservation du moment cinétique scalaire de $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ autour de l'axe de rotation $\;\Delta \;$ fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen » et
* «la conserv celle de la vitesse angulaire de rotation de $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ autour de l'axe de rotation $\;\Delta \;$ fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen » soit «$\;{\overline {\Omega }}(t)={\overline {\Omega }}_{0},\;\;\forall \;t\;$ avant la 1ère déformation » ;
$\;\blacktriangleright \;$après que l'ensemble $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe $\;{\big$c'est-à-dire après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale${\big )}$, le moment d'inertie de l'ensemble a acquis une valeur «$\;{J'}_{\Delta }\!\left({\mathcal {E}}\right)>\;$ à $\;J_{\Delta }\!\left({\mathcal {E}}\right)\;$» et de
* « la conservation du moment cinétique scalaire de $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ autour de l'axe de rotation $\;\Delta \;$ fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de «$\;{J'}_{\Delta }\!\left({\mathcal {E}}\right)>J_{\Delta }\!\left({\mathcal {E}}\right)\;$»,
* « une vitesse angulaire de rotation de $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ autour de l'axe de rotation $\;\Delta \;$ fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen restant constante mais de valeur plus faible dans cette phase que dans la phase initiale » soit «$\;{\overline {\Omega '}}(t)={\overline {\Omega '}}_{1},\;\;\forall \;t\;$ après la 1ère déformation avec $\;{\overline {\Omega '}}_{1}<{\overline {\Omega }}_{0}\;$» ;
$\;\blacktriangleright \;$après que l'ensemble $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ ait repris son extension la plus proche de l'axe $\;{\big$c'est-à-dire après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale${\big )}$, le moment d'inertie de l'ensemble a repris sa valeur initiale «$\;J_{\Delta }\!\left({\mathcal {E}}\right)<\;$ à $\;{J'}_{\Delta }\!\left({\mathcal {E}}\right)\;$» et de
* « la conservation du moment cinétique scalaire de $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ autour de l'axe de rotation $\;\Delta \;$ fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de «$\;J_{\Delta }\!\left({\mathcal {E}}\right)<{J'}_{\Delta }\!\left({\mathcal {E}}\right)\;$»,
* « une vitesse angulaire de rotation de $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ autour de l'axe de rotation $\;\Delta \;$ fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen restant constante de valeur plus grande dans cette phase que dans la phase précédente $\;{\big$plus exactement reprenant la valeur initiale de la vitesse angulaire${\big )}\;$» soit «$\;{\overline {\Omega }}(t)={\overline {\Omega }}_{0},\;\;\forall \;t\;$ après la 2ème déformation avec $\;{\overline {\Omega }}_{0}>{\overline {\Omega '}}_{1}\;$».
$\;\blacktriangleright \;$Remarque : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble $\;\left({\mathcal {E}}\right)$ $\;{\big$c'est-à-dire celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »${\big ]}$, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ $\;{\big \$car certaines parties de $\;\left({\mathcal {E}}\right)$, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas${\big \}$, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «$\;\sigma _{\Delta ,\,({\mathcal {E}})}\!(t)\;{\overset {?}{=}}\;J_{\Delta }\!\left({\mathcal {E}}\right)\,{\overline {\Omega }}(t)\;$» ;
Remarque : toutefois un pseudo-point quelconque $\;M\,\left(dm\right)\;$ de l'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ constituant $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ ayant, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, une même vitesse angulaire instantanée $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ lors de la 1ère ou de la 2nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, s'écrit, avec $\;\left\lbrace r(t)\,,\,\theta (t)\,,\,z(t)\right\rbrace \;$ pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe $\;\Delta \;$ de $\;M\;$ $\;{\big$la base cylindro-polaire d'axe $\;\Delta \;$ liée à $\;M\;$ étant notée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{\Delta }\right\rbrace {\big ]}$, «$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dot {r}}(t)\;{\vec {u}}_{r}+r(t)\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }+{\dot {z}}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$» et par suite,
Remarque : le vecteur moment cinétique de $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ à l'instant $\;t\;$ relativement à $\;O\;$ étant défini, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, selon $\;{\vec {\sigma }}_{O,\,({\mathcal {E}})}\!(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge \mu (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ dans lequel $\;{\overrightarrow {OM}}(t)=r(t)\;{\vec {u}}_{r}+z(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ $\Rightarrow$ $\;{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {V}}_{M}(t)=\left[r(t)\;{\vec {u}}_{r}+z(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }\right]\wedge \left[{\dot {r}}(t)\;{\vec {u}}_{r}+r(t)\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }+{\dot {z}}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }\right]\;$ ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle, ${\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {V}}_{M}(t)=r^{2}(t)\;{\overline {\Omega }}(t)\left[{\vec {u}}_{r}\wedge {\vec {u}}_{\theta }\right]+r(t)\;{\dot {z}}(t)\left[{\vec {u}}_{r}\wedge {\vec {u}}_{\Delta }\right]+z(t)\;{\dot {r}}(t)\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {u}}_{r}\right]+z(t)\;r(t)\;{\overline {\Omega }}(t)\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {u}}_{\theta }\right]=\left\lbrace {\begin{array}{l l}-z(t)\;r(t)\;{\overline {\Omega }}(t)&{\text{sur }}\;{\vec {u}}_{r}\\z(t)\;{\dot {r}}(t)-r(t)\;{\dot {z}}(t)&{\text{sur }}\;{\vec {u}}_{\theta }\\r^{2}(t)\;{\overline {\Omega }}(t)&{\text{sur }}\;{\vec {u}}_{\Delta }\end{array}}\right.\;$ d'où, l'expression du vecteur moment cinétique de $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ à l'instant $\;t\;$ relativement à $\;O$ $\;{\vec {\sigma }}_{O,\,({\mathcal {E}})}\!(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left\lbrace -z(t)\;r(t)\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{r}+\left[z(t)\;{\dot {r}}(t)-r(t)\;{\dot {z}}(t)\right]{\vec {u}}_{\theta }+r^{2}(t)\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }\right\rbrace d{\mathcal {V}}_{M}\;$ dont on tire l'expression du moment cinétique scalaire de $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ à l'instant $\;t\;$ relativement à $\;\Delta$ $\;\sigma _{\Delta ,\,({\mathcal {E}})}\!(t)={\vec {\sigma }}_{O,\,({\mathcal {E}})}\!(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left\lbrace {\cancel {-z(t)\;r(t)\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{r}\cdot {\vec {u}}_{\Delta }}}+{\cancel {\left[z(t)\;{\dot {r}}(t)-r(t)\;{\dot {z}}(t)\right]{\vec {u}}_{\theta }\cdot {\vec {u}}_{\Delta }}}+r^{2}(t)\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }^{2}\right\rbrace d{\mathcal {V}}_{M}\;$ en utilisant de nouveau la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle ainsi que le caractère orthonormé de la base cylindro-polaire $\Rightarrow$ $\;\sigma _{\Delta ,\,({\mathcal {E}})}\!(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;r^{2}(t)\;{\overline {\Omega }}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}=$ $\left\lbrace \displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;r^{2}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \;{\overline {\Omega }}(t)\;$ soit finalement la validité de «$\;\sigma _{\Delta ,\,({\mathcal {E}})}\!(t)=J_{\Delta }\!\left({\mathcal {E}}\right)\;{\overline {\Omega }}(t)\;$» lors des deux phases de déformation de l'ensemble $\;\left({\mathcal {E}}\right)$ ;
Remarque : $\;\succ \;$lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «$\;\sigma _{\Delta ,\,({\mathcal {E}})}\!(t)=J_{\Delta }\!\left({\mathcal {E}}\right)\;{\overline {\Omega }}(t)\;$» mais comme le moment d'inertie de $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ par rapport à l'axe «$\;J_{\Delta }\!\left({\mathcal {E}}\right)\nearrow \;$», la vitesse angulaire de rotation de $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ autour de l'axe «$\;{\overline {\Omega }}(t)\searrow \;$» et
Remarque : $\;\succ \;$lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «$\;\sigma _{\Delta ,\,({\mathcal {E}})}\!(t)=J_{\Delta }\!\left({\mathcal {E}}\right)\;{\overline {\Omega }}(t)\;$» mais comme le moment d'inertie de $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ par rapport à l'axe «$\;J_{\Delta }\!\left({\mathcal {E}}\right)\searrow \;$», la vitesse angulaire de rotation de $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ autour de l'axe «$\;{\overline {\Omega }}(t)\nearrow \;$».

### Bilan énergétique du tabouret d’inertie

On définit l'énergie mécanique, à l'instant $\;t$, de l’ensemble $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ composé du « système déformable $\;{\big$c'est-à-dire l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol${\big )}\;$ associé au siège du tabouret tournant », selon «$\;E_{m,\,({\mathcal {E}})}(t)=K_{({\mathcal {E}})}(t)+U_{\text{pes}}(t)+U_{{\text{int}},\,{\text{déform.}}}(t)\;$» dans laquelle «$\;K_{({\mathcal {E}})}(t)\;$» est l’énergie cinétique de l’ensemble $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ à l'instant $\;t$, «$\;U_{\text{pes}}(t)\;$» l’énergie potentielle de pesanteur de $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ au même instant $\;t$ $\;{\big$celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système »${\big ]}\;$ et «$\;U_{{\text{int}},\,{\text{déform.}}}(t)\;$» l’énergie potentielle d’interaction entre les différentes parties du système $\;{\big$celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système »${\big ]}$ ;
les actions extérieures non conservatives étant les « les forces de liaison du pivot » lesquelles, se réduisant en un point $\;O$, choisi fixe sur $\;\Delta$, axe vertical de rotation de l'ensemble $\;\left({\mathcal {E}}\right)$, en une résultante verticale ascendante $\;{\vec {R}}\;$ et un couple de vecteur moment $\;{\vec {\Gamma }}\;\perp \;$ à l'axe vertical de rotation $\;\Delta$ $\;{\big$idéalité de la liaison pivot par absence de frottement${\big )}$, ne travaillent pas ;
les actions intérieures agissant entre parties mobiles de l’ensemble $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ étant supposées toutes conservatives, les éventuelles actions intérieures non conservatives ne travaillent pas ;
nous déduisons, de l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives agissant sur l'ensemble $\;\left({\mathcal {E}}\right)$, la conservation de l’énergie mécanique de ce système déformable soit
$\;E_{m,\,({\mathcal {E}})}(t)=E_{m,\,({\mathcal {E}})}(0)\;$
$K_{({\mathcal {E}})}(t)+U_{\text{pes}}(t)+U_{{\text{int}},\,{\text{déform.}}}(t)=K_{({\mathcal {E}})}(0)+U_{\text{pes}}(0)+U_{{\text{int}},\,{\text{déform.}}}(0)$
$\;\blacktriangleright \;$avant la 1ère déformation de l'ensemble $\;\left({\mathcal {E}}\right)$, l'extension de ce dernier restant constante dans le temps et la plus rapprochée de l'axe, $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe $\;\Delta \;$ et son énergie cinétique s'écrit «$\;K_{({\mathcal {E}})}(t_{{\text{avant }}1^{\text{ère}}\,{\text{déform.}}})={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta }\!\left({\mathcal {E}}\right)\left[{\overline {\Omega }}(t_{{\text{avant }}1^{\text{ère}}\,{\text{déform.}}})\right]^{2}={\dfrac {\sigma _{\Delta ,\,({\mathcal {E}})}^{\,2}(t_{{\text{avant }}1^{\text{ère}}\,{\text{déform.}}})}{2\;J_{\Delta }\!\left({\mathcal {E}}\right)}}={\dfrac {\sigma _{\Delta ,\,({\mathcal {E}})}(t_{{\text{avant }}1^{\text{ère}}\,{\text{déform.}}})\;{\overline {\Omega }}(t_{{\text{avant }}1^{\text{ère}}\,{\text{déform.}}})}{2}}=K_{({\mathcal {E}})}(0)\;$», «$\;J_{\Delta }\!\left({\mathcal {E}}\right)\;$ étant le moment d’inertie du système $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ relativement à l’axe $\;\Delta \;$», «$\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ la vitesse angulaire de $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ autour $\;\Delta \;$» et «$\;\sigma _{\Delta ,\,({\mathcal {E}})}(t)\;$ le moment cinétique scalaire de $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ relativement à $\;\Delta \;$» ;
$\;\blacktriangleright \;$après la 1ère déformation de l'ensemble $\;\left({\mathcal {E}}\right)$, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe $\;{\big$c'est-à-dire après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale${\big )}$, $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe $\;\Delta \;$ dans la mesure où $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ a cessé de se déformer et son énergie cinétique s'écrit «$\;{K'}_{\!({\mathcal {E}})}(t_{{\text{après }}1^{\text{ère}}\,{\text{déform.}}})={\dfrac {1}{2}}\;{J'}_{\Delta }\!\left({\mathcal {E}}\right)\left[{\overline {\Omega '}}(t_{{\text{après }}1^{\text{ère}}\,{\text{déform.}}})\right]^{2}={\dfrac {{\sigma '}_{\Delta ,\,({\mathcal {E}})}^{\,2}(t_{{\text{après }}1^{\text{ère}}\,{\text{déform.}}})}{2\;{J'}_{\Delta }\!\left({\mathcal {E}}\right)}}={\dfrac {{\sigma '}_{\Delta ,\,({\mathcal {E}})}(t_{{\text{après }}1^{\text{ère}}\,{\text{déform.}}})\;{\overline {\Omega '}}(t_{{\text{après }}1^{\text{ère}}\,{\text{déform.}}})}{2}}={K'}_{\!({\mathcal {E}})}(t_{1})=$ ${\dfrac {1}{2}}\;{J'}_{\Delta }\!\left({\mathcal {E}}\right)\;{\overline {\Omega '}}_{1}^{2}\;$», «$\;{J'}_{\Delta }\!\left({\mathcal {E}}\right)\;$ étant le moment d’inertie du système $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ par rapport à l’axe $\;\Delta \;$ dans son extension la plus éloignée de ce dernier » $\;{\big$on rappelle que «$\;{J'}_{\Delta }\!\left({\mathcal {E}}\right)\;$ est $\;>\;$ à $\;J_{\Delta }\!\left({\mathcal {E}}\right)\;$»${\big ]}$, «$\;{\overline {\Omega '}}(t)\;$ la vitesse angulaire de $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ autour $\;\Delta \;$ avec cette extension » $\;{\big$laquelle garde la valeur «$\;{\overline {\Omega '}}_{1}<{\overline {\Omega }}_{0}\;$»${\big ]}\;$ ainsi que «$\;{\sigma '}_{\Delta ,\,({\mathcal {E}})}(t)\;$ le moment cinétique scalaire de $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ relativement à $\;\Delta \;$ avec la même extension » $\;{\big$on rappelle que «$\;{J'}_{\Delta }\!\left({\mathcal {E}}\right)>J_{\Delta }\!\left({\mathcal {E}}\right)\;$» avec «$\;{\sigma '}_{\Delta ,\,({\mathcal {E}})}(t_{{\text{après }}1^{\text{ère}}\,{\text{déform.}}})=$ $\sigma _{\Delta ,\,({\mathcal {E}})}(0)\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\overline {\Omega '}}(t_{{\text{après }}1^{\text{ère}}\,{\text{déform.}}})<{\overline {\Omega }}_{0}\;$»${\big ]}$ et des relations entre moments cinétiques scalaires et vitesses angulaires précédemment établies $\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c}{\sigma '}_{\Delta ,\,({\mathcal {E}})}(t_{{\text{après }}1^{\text{ère}}\,{\text{déform.}}})\!\!\!&=\!\!\!&\sigma _{\Delta ,\,({\mathcal {E}})}(t_{{\text{avant }}1^{\text{ère}}\,{\text{déform.}}})\\{\overline {\Omega '}}(t_{{\text{après }}1^{\text{ère}}\,{\text{déform.}}})\!\!\!&<\!\!\!&{\overline {\Omega }}(t_{{\text{avant }}1^{\text{ère}}\,{\text{déform.}}})\end{array}}\right\rbrace \;$ associées à la 3ème expression de l'énergie cinétique d'un solide en rotation on en déduit la relation entre énergies cinétiques suivante «$\;{K'}_{\!({\mathcal {E}})}(t_{{\text{après }}1^{\text{ère}}\,{\text{déform.}}})<K_{({\mathcal {E}})}(t_{{\text{avant }}1^{\text{ère}}\,{\text{déform.}}})\;$» $\;{\big$ou «$\;{K'}_{\!({\mathcal {E}})}(t_{1})<K_{({\mathcal {E}})}(0)\;$»${\big ]}$ ;
$\;\diamond \;$si la 1ère déformation de l'ensemble $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ correspond au C.D.I. des parties déformables de l'ensemble $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ à la même altitude, on en déduit que l'énergie potentielle de pesanteur de $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ prend la même valeur après la 1ère déformation que celle qu'elle avait avant celle-ci soit «$\;U_{\text{pes}}(t_{{\text{après }}1^{\text{ère}}\,{\text{déform.}}})=U_{\text{pes}}(t_{{\text{avant }}1^{\text{ère}}\,{\text{déform.}}})\;$» ;
$\;\diamond \;$de la conservation de l'énergie mécanique de part et d'autre de la 1ère déformation, on en tire, après simplification,
$K_{({\mathcal {E}})}(t_{{\text{après }}1^{\text{ère}}\,{\text{déform.}}})+U_{{\text{int}},\,{\text{déform.}}}(t_{{\text{après }}1^{\text{ère}}\,{\text{déform.}}})=K_{({\mathcal {E}})}(t_{{\text{avant }}1^{\text{ère}}\,{\text{déform.}}})+U_{{\text{int}},\,{\text{déform.}}}(t_{{\text{avant }}1^{\text{ère}}\,{\text{déform.}}})$
après la 1ère déformation de l'ensemble $\;\left({\mathcal {E}}\right)$, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe $\;{\big$c'est-à-dire après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale${\big )}$, on observe simultanément une diminution d'énergie cinétique $\;K_{({\mathcal {E}})}(t)\searrow \;$ et une augmentation d'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties du système $\;U_{{\text{int}},\,{\text{déform.}}}(t)\nearrow \;$, ces deux variations «$\;\Delta K_{({\mathcal {E}})}=K_{({\mathcal {E}})}(t_{{\text{après }}1^{\text{ère}}\,{\text{déform.}}})-K_{({\mathcal {E}})}(t_{{\text{avant }}1^{\text{ère}}\,{\text{déform.}}})<0\;$» d'une part et «$\;\Delta U_{{\text{int}},\,{\text{déform.}}}=$ $U_{{\text{int}},\,{\text{déform.}}}(t_{{\text{après }}1^{\text{ère}}\,{\text{déform.}}})-U_{{\text{int}},\,{\text{déform.}}}(t_{{\text{avant }}1^{\text{ère}}\,{\text{déform.}}})>0\;$» d'autre part, se compensant selon «$\;\Delta K_{({\mathcal {E}})}=-\Delta U_{{\text{int}},\,{\text{déform.}}}<0\;$» $\;{\big$ainsi, pour que l'ensemble $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ adopte l'extension la plus éloignée de l'axe, une partie de l'énergie cinétique de rotation du système a été convertie en gain d'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties de ce système, c'est-à-dire que l’énergie nécessaire à éloigner les haltères de l’axe de rotation a été puisée dans la réserve d’énergie cinétique de rotation${\big ]}$ ;
après la 2ème déformation de l'ensemble $\;\left({\mathcal {E}}\right)$, ce dernier ayant repris son extension la plus rapprochée de l'axe $\;{\big$c'est-à-dire après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale${\big )}$, $\;{\big \$ceci correspondant à un échange entre état final et initial tel que les états de $\;t_{{\text{après }}2^{\text{ème}}\,{\text{déform.}}}\;$ soient ceux de $\;t_{{\text{avant }}1^{\text{ère}}\,{\text{déform.}}}\;$ ainsi que les états de $\;t_{{\text{avant }}2^{\text{ème}}\,{\text{déform.}}}\;$ soient ceux de $\;t_{{\text{après }}1^{\text{ère}}\,{\text{déform.}}}{\big \}$, on observe simultanément une augmentation d'énergie cinétique $\;K_{({\mathcal {E}})}(t)\nearrow \;$ et une diminution d'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties du système $\;U_{{\text{int}},\,{\text{déform.}}}(t)\searrow \;$, ces deux variations «$\;\Delta K_{({\mathcal {E}}),\,2\,\leftarrow \,1}=K_{({\mathcal {E}})}(t_{{\text{après }}2^{\text{ème}}\,{\text{déform.}}})-K_{({\mathcal {E}})}(t_{{\text{avant }}2^{\text{ème}}\,{\text{déform.}}})>0\;$» d'une part et «$\;\Delta U_{{\text{int}},\,{\text{déform.}},\,2\,\leftarrow \,1}=$ $U_{{\text{int}},\,{\text{déform.}}}(t_{{\text{après }}2^{\text{ème}}\,{\text{déform.}}})-U_{{\text{int}},\,{\text{déform.}}}(t_{{\text{avant }}2^{\text{ème}}\,{\text{déform.}}})<0\;$» d'autre part, se compensant selon «$\;\Delta K_{({\mathcal {E}}),\,2\,\leftarrow \,1}=-\Delta U_{{\text{int}},\,{\text{déform.}},\,2\,\leftarrow \,1}>0\;$» $\;{\big$ainsi, pour que l'ensemble $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ reprenne l'extension la plus proche de l'axe, une partie de l'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties du système a été convertie en gain d'énergie cinétique de rotation de ce système, c'est-à-dire que l’énergie récupérée en rapprochant les haltères de l’axe de rotation a été transformée en réserve d’énergie cinétique de rotation${\big ]}$.
$\;\blacktriangleright \;$Remarque : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble $\;\left({\mathcal {E}}\right)$ $\;{\big$c'est-à-dire celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »${\big ]}$, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ $\;{\big \$car certaines parties de $\;\left({\mathcal {E}}\right)$, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas${\big \}$, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «$\;K_{({\mathcal {E}})}\!(t)\;{\overset {?}{=}}\;{\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta }\!\left({\mathcal {E}}\right)\,{\overline {\Omega }}^{2}(t)={\dfrac {\sigma _{\Delta ,\,({\mathcal {E}})}^{\,2}(t)}{2\;J_{\Delta }\!\left({\mathcal {E}}\right)}}={\dfrac {\sigma _{\Delta ,\,({\mathcal {E}})}(t)\;{\overline {\Omega }}(t)}{2}}\;$» et
Remarque : contrairement au moment cinétique scalaire pour lequel la relation «$\;\sigma _{\Delta ,\,({\mathcal {E}})}(t)=J_{\Delta }\!\left({\mathcal {E}}\right)\;{\overline {\Omega }}(t)\;$» reste applicable à $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ lors de la 1ère ou 2ème déformation de ses parties mobiles, avec le reste indéformable en rotation autour de l'axe $\;\Delta \;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}\;$, le maintien de la relation pour l'énergie cinétique n'est pas applicable à $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ dans les mêmes phases de déformation de ses parties mobiles, avec le même mouvement de rotation du reste indéformable c'est-à-dire que «$\;K_{({\mathcal {E}})}\!(t)\neq {\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta }\!\left({\mathcal {E}}\right)\,{\overline {\Omega }}^{2}(t)\;$» comme prouvé ci-après ;
Remarque : en effet un pseudo-point quelconque $\;M\,\left(dm\right)\;$ de l'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ constituant $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ ayant, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, une même vitesse angulaire instantanée $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ lors de la 1ère ou de la 2nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, s'écrit, avec $\;\left\lbrace r(t)\,,\,\theta (t)\,,\,z(t)\right\rbrace \;$ pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe $\;\Delta \;$ de $\;M\;$ $\;{\big$la base cylindro-polaire d'axe $\;\Delta \;$ liée à $\;M\;$ étant notée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{\Delta }\right\rbrace {\big ]}$, «$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dot {r}}(t)\;{\vec {u}}_{r}+r(t)\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }+{\dot {z}}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$» et par suite,
Remarque : l'énergie cinétique de la partie déformable $\;\left({\mathcal {D}}\right)\;$ de $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ à l'instant $\;t\;$ étant défini, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, selon $\;K_{({\mathcal {D}})}\!(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {D}}\right)}{\dfrac {1}{2}}\;\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}^{\,2}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ dans lequel $\;{\vec {V}}_{M}^{\,2}(t)=$ ${\dot {r}}^{2}(t)+{\dot {z}}^{2}(t)+r^{2}(t)\;{\overline {\Omega }}^{\,2}(t)\;$ $\Rightarrow$ $\;K_{({\mathcal {D}})}\!(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {D}}\right)}{\dfrac {1}{2}}\;\mu (M)\,\left[{\dot {r}}^{2}(t)+{\dot {z}}^{2}(t)\right]\,d{\mathcal {V}}_{M}+\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {D}}\right)}{\dfrac {1}{2}}\;\mu (M)\;r^{2}(t)\;{\overline {\Omega }}^{\,2}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ que l'on peut réécrire, en factorisant le 2ème terme par $\;{\dfrac {1}{2}}\;{\overline {\Omega }}^{\,2}(t)$, selon $\;K_{({\mathcal {D}})}\!(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {D}}\right)}{\dfrac {1}{2}}\;\mu (M)\,\left[{\dot {r}}^{2}(t)+{\dot {z}}^{2}(t)\right]\,d{\mathcal {V}}_{M}+{\dfrac {1}{2}}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {D}}\right)}\mu (M)\;r^{2}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \;{\overline {\Omega }}^{\,2}(t)\;$ soit, en reconnaissant dans «$\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {D}}\right)}\mu (M)\;r^{2}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ le moment d'inertie de $\;\left({\mathcal {D}}\right)\;$ par rapport à $\;\Delta$, noté $\;J_{\Delta }\!\left({\mathcal {D}}\right)\;$», la réécriture de l'énergie cinétique de la partie déformable $\;\left({\mathcal {D}}\right)\;$ de $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ à l'instant $\;t$, «$\;K_{({\mathcal {D}})}\!(t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta }\!\left({\mathcal {D}}\right)\;{\overline {\Omega }}^{\,2}(t)+\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {D}}\right)}{\dfrac {1}{2}}\;\mu (M)\,\left[{\dot {r}}^{2}(t)+{\dot {z}}^{2}(t)\right]\,d{\mathcal {V}}_{M}\;$» ;
Remarque : on en déduit l'expression de l'énergie cinétique de $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ lors de la 1ère ou 2ème déformation en ajoutant à $\;K_{({\mathcal {D}})}\!(t)\;$ l'expression de l'énergie cinétique de la partie indéformable $\;\left({\mathcal {D}}'\right)\;$ de $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ soit $\;K_{({\mathcal {D}}')}\!(t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta }\!\left({\mathcal {D}}'\right)\;{\overline {\Omega }}^{\,2}(t)\;$ d'où $\;K_{({\mathcal {E}})}\!(t)=K_{({\mathcal {D}})}\!(t)+K_{({\mathcal {D}}')}\!(t)=\left[{\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta }\!\left({\mathcal {D}}\right)\;{\overline {\Omega }}^{\,2}(t)+\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {D}}\right)}{\dfrac {1}{2}}\;\mu (M)\,\left[{\dot {r}}^{2}(t)+{\dot {z}}^{2}(t)\right]\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]+{\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta }\!\left({\mathcal {D}}'\right)\;{\overline {\Omega }}^{\,2}(t)\;$ soit encore $\;K_{({\mathcal {E}})}\!(t)={\dfrac {1}{2}}\,\left[J_{\Delta }\!\left({\mathcal {D}}\right)+J_{\Delta }\!\left({\mathcal {D}}'\right)\right]\,{\overline {\Omega }}^{\,2}(t)+\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {D}}\right)}{\dfrac {1}{2}}\;\mu (M)\,\left[{\dot {r}}^{2}(t)+{\dot {z}}^{2}(t)\right]\,d{\mathcal {V}}_{M}\;$ ou, la grandeur moment d'inertie étant « additive » $\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c}\left({\mathcal {D}}\right)\cup \left({\mathcal {D}}'\right)\!\!\!&=\!\!\!&\left({\mathcal {E}}\right)\\\left({\mathcal {D}}\right)\cap \left({\mathcal {D}}'\right)\!\!\!&=\!\!\!&\emptyset \end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;J_{\Delta }\!\left({\mathcal {D}}\right)+J_{\Delta }\!\left({\mathcal {D}}'\right)=J_{\Delta }\!\left({\mathcal {E}}\right)\;$ et par suite
$\;K_{({\mathcal {E}})}\!(t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta }\!\left({\mathcal {E}}\right)\;{\overline {\Omega }}^{\,2}(t)+\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {D}}\right)}{\dfrac {1}{2}}\;\mu (M)\,\left[{\dot {r}}^{2}(t)+{\dot {z}}^{2}(t)\right]\,d{\mathcal {V}}_{M}\;$
$\;K_{({\mathcal {E}})}\!(t)={\dfrac {\sigma _{\Delta ,\,({\mathcal {E}})}^{\,2}(t)}{2\;J_{\Delta }\!\left({\mathcal {E}}\right)}}+\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {D}}\right)}{\dfrac {1}{2}}\;\mu (M)\,\left[{\dot {r}}^{2}(t)+{\dot {z}}^{2}(t)\right]\,d{\mathcal {V}}_{M}\;$
$\;K_{({\mathcal {E}})}\!(t)={\dfrac {\sigma _{\Delta ,\,({\mathcal {E}})}(t)\;{\overline {\Omega }}(t)}{2}}+\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {D}}\right)}{\dfrac {1}{2}}\;\mu (M)\,\left[{\dot {r}}^{2}(t)+{\dot {z}}^{2}(t)\right]\,d{\mathcal {V}}_{M}\;$
Remarque : en prenant la 2ème expression de $\;K_{({\mathcal {E}})}\!(t)$, on peut réécrire la « conservation de l’énergie mécanique de l’ensemble $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$» lors de la 1ère ou 2ème déformation selon
$\;E_{m,\,({\mathcal {E}})}(t)={\dfrac {\sigma _{\Delta ,\,({\mathcal {E}})}^{\,2}(t)}{2\;J_{\Delta }\!\left({\mathcal {E}}\right)}}+K_{\text{déform.}}(t)+U_{\text{pes}}(t)+U_{{\text{int}},\,{\text{déform.}}}(t)=E_{m,\,({\mathcal {E}})}(0)\;$
$\;K_{\text{déform.}}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {D}}\right)}{\dfrac {1}{2}}\;\mu (M)\,\left[{\dot {r}}^{2}(t)+{\dot {z}}^{2}(t)\right]\,d{\mathcal {V}}_{M}\;$
Remarque : $\;\succ \;$lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «$\;\sigma _{\Delta ,\,({\mathcal {E}})}\!(t)\;$» mais comme le moment d'inertie de $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ par rapport à l'axe «$\;J_{\Delta }\!\left({\mathcal {E}}\right)\nearrow \;$», l'énergie cinétique de rotation de $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ autour de l'axe «$\;{\dfrac {\sigma _{\Delta ,\,({\mathcal {E}})}^{\,2}(t)}{2\;J_{\Delta }\!\left({\mathcal {E}}\right)}}\searrow \;$» et par suite la quantité énergétique «$\;K_{\text{déform.}}(t)+U_{\text{pes}}(t)+U_{{\text{int}},\,{\text{déform.}}}(t)\nearrow \;$» $\;{\big \$sachant qu'avant et après la déformation, on a $\;K_{\text{déform.}}=0\;$ ainsi que $\;U_{\text{pes}}(t_{{\text{après }}1^{\text{ère}}\,{\text{déform.}}})=$ $U_{\text{pes}}(t_{{\text{avant }}1^{\text{ère}}\,{\text{déform.}}})$, on vérifie «$\;U_{{\text{int}},\,{\text{déform.}}}(t_{{\text{après }}1^{\text{ère}}\,{\text{déform.}}})>U_{{\text{int}},\,{\text{déform.}}}(t_{{\text{avant }}1^{\text{ère}}\,{\text{déform.}}})\;$»${\big \}$ ;
Remarque : $\;\succ \;$lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «$\;\sigma _{\Delta ,\,({\mathcal {E}})}\!(t)\;$» mais comme le moment d'inertie de $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ par rapport à l'axe «$\;J_{\Delta }\!\left({\mathcal {E}}\right)\searrow \;$», l'énergie cinétique de rotation de $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ autour de l'axe «$\;{\dfrac {\sigma _{\Delta ,\,({\mathcal {E}})}^{\,2}(t)}{2\;J_{\Delta }\!\left({\mathcal {E}}\right)}}\nearrow \;$» et par suite la quantité énergétique «$\;K_{\text{déform.}}(t)+U_{\text{pes}}(t)+U_{{\text{int}},\,{\text{déform.}}}(t)\searrow \;$» $\;{\big \$sachant qu'avant et après la déformation, on a $\;K_{\text{déform.}}=0\;$ ainsi que $\;U_{\text{pes}}(t_{{\text{après }}2^{\text{ème}}\,{\text{déform.}}})=$ $U_{\text{pes}}(t_{{\text{avant }}2^{\text{ème}}\,{\text{déform.}}})$, on vérifie «$\;U_{{\text{int}},\,{\text{déform.}}}(t_{{\text{après }}2^{\text{ème}}\,{\text{déform.}}})<U_{{\text{int}},\,{\text{déform.}}}(t_{{\text{avant }}2^{\text{ème}}\,{\text{déform.}}})\;$»${\big \}$.