# Équation du troisième degré/Exercices/Exercices sur l'équation du troisième degré
## Exercice 1-1

Donner le degré des équations suivantes :
a) $5x={\frac {x^{2}+2}{x^{2}-2}}$
b) $(x-1)(x+2)(x+3)=(x+4)(x-2)(x+1)$
a) L'équation peut s'écrire :
    $5x(x^{2}-2)=x^{2}+2$
    $5x^{3}-10x=x^{2}+2$
    $5x^{3}-x^{2}-10x-2=0$
L'équation donnée était donc du troisième degré.
b) Développons les deux membres, on obtient :
    $(x^{2}+x-2)(x+3)=(x^{2}+2x-8)(x+1)$
    $x^{3}+x^{2}-2x+3x^{2}+3x-6=x^{3}+2x^{2}-8x+x^{2}+2x-8$
    $x^{2}+7x+2=0$
L'équation donnée était donc du second degré.

## Exercice 1-2

Résoudre les équations suivantes :
    $a)\quad x^{3}+x^{2}+x+1=0$ ;
    $b)\quad x^{3}+3x^{2}-3x-10=0$ ;
    $c)\quad 5x^{3}+2x^{2}+1x+1=0$.
a) Résolvons l'équation :
    $x^{3}+x^{2}+x+1=0$.
Elle a une racine évidente $x_{0}=-1$. On factorise, comme dans la démonstration du cours ou bien en écrivant a priori :
    $x^{3}+x^{2}+x+1=(x-x_{0})(ax^{2}+bx+c)$,
puis en développant pour identifier les coefficients :
    $x^{3}+x^{2}+x+1=(x+1)(ax^{2}+bx+c)=ax^{3}+(a+b)x^{2}+(b+c)x+c$
donc
    $1=a$, $1=a+b$, $1=b+c$ (et $1=c$),
ce qui donne :
    $a=1$, $b=0$, $c=1$
donc
    $x^{3}+x^{2}+x+1=(x+1)(x^{2}+1)$.
Les deux solutions de $x^{2}+1=0$ sont $\mathrm {i}$ et $-\mathrm {i}$ donc les trois solutions de $x^{3}+x^{2}+x+1=0$ sont $-1$, $\mathrm {i}$ et $-\mathrm {i}$.
b) Résolvons l'équation :
    $x^{3}+3x^{2}-3x-10=0$.
Nous voyons que l'équation admet la racine évidente x$_1$ = -2. Nous pouvons donc la factoriser par x + 2.
Nous obtenons :
    $(x+2)(x^{2}+mx-5)=0$.
Cette factorisation a été faite de telle façon qu'en développant, on retrouve le terme de plus haut degré et le terme constant. Il nous reste à déterminer m. Pour cela on redéveloppe :
    $x^{3}+(m+2)x^{2}+(2m-5)x-10=0$
et l’on identifie avec l'équation initiale. On obtient :
${\begin{cases}m+2=3\\2m-5=-3\end{cases}}$
Dans les deux cas, on voit que m = 1. L'équation factorisée s'écrit donc :
    $(x+2)(x^{2}+x-5)=0$.
Il nous reste à résoudre :
    $x^{2}+x-5=0$.
Calculons le discriminant :
    $\Delta =1^{2}-4\times 1\times -5=21=\left({\sqrt {21}}\right)^{2}$.
Les deux racines de la dernière équation du second degré sont donc :
    ${\begin{cases}x_{2}={\frac {-1+{\sqrt {21}}}{2}}\\x_{3}={\frac {-1-{\sqrt {21}}}{2}}.\end{cases}}$
Finalement, les trois racines de l'équation :
    $x^{3}+3x^{2}-3x-10=0$
sont :
    ${\begin{cases}x_{1}=-2\\x_{2}={\frac {-1+{\sqrt {21}}}{2}}\\x_{3}={\frac {-1-{\sqrt {21}}}{2}}.\end{cases}}$
c) Résolvons l'équation :
    $5x^{3}+2x^{2}+x+1=0$
Nous voyons que l'équation admet la racine évidente x$_1$ = 2/3. Nous pouvons donc la factoriser par 3x - 2.
Nous obtenons :
    $(3x-2)(x^{2}+mx-1)=0$
Cette factorisation a été faite de façon à ce qu'en développant, on retrouve le terme de plus haut degré et le terme constant. Il nous reste à déterminer m. Pour cela on redéveloppe :
$3x^{3}+(3m-2)x^{2}+(-2m-3)x+2=0$
Et l’on identifie avec l'équation initiale. On obtient :
    ${\begin{cases}3m-2=1\\-2m-3=-5\end{cases}}$
Dans les deux cas, on voit que m = 1. L'équation factorisée s'écrit donc :
    $(3x-2)(x^{2}+x-1)=0$.
Il nous reste à résoudre :
    $x^{2}+x-1=0$.
Calculons le discriminant :
    $\Delta =1^{2}-4\times 1\times (-1)=5=\left({\sqrt {5}}\right)^{2}$.
Les deux racines de la dernière équation du second degré sont donc :
    ${\begin{cases}x_{2}={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}\\x_{3}={\frac {-1-{\sqrt {5}}}{2}}.\end{cases}}$
Finalement, les trois racines de l'équation :
    $3x^{3}+x^{2}-5x+2=0$
sont :
    ${\begin{cases}x_{1}={\frac {2}{3}}\\x_{2}={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}\\x_{3}={\frac {-1-{\sqrt {5}}}{2}}.\end{cases}}$

## Exercice 1-3

Soit P un polynôme du troisième degré, P' (de degré 2) son polynôme dérivé, et x$_1$ une racine de P.
a) Montrer que x$_1$ est racine multiple de P si et seulement si x$_1$ est racine de P', et que x$_1$ est même racine triple de P si et seulement si x$_1$ est même racine double P'.
b) Si x$_1$ est racine seulement simple de P' (donc racine seulement double de P), donner sa valeur en fonction des coefficients de P, à l'aide des calculs faits en cours pour trouver le « résultant R$_{2-3}$ ».
c) En déduire les solutions des deux équations suivantes :
    α) ${\frac {4x^{2}}{3}}={\frac {{\sqrt {3}}-6x}{2x-{\sqrt {27}}}}$ ;
    β) $x^{3}-5x^{2}+x-1=4x{\sqrt {2}}$.
a) Supposons que x$_1$ est racine multiple du polynôme P. Celui-ci peut alors s'écrire :
    $P(X)=a(X-x_{1})^{2}(X-x_{0})$,
x$_0$ étant la troisième racine de P. En appliquant la règle de dérivation (formelle) d'un produit, on en déduit :
    $P'(X)=2a(X-x_{1})\times (X-x_{0})+a(X-x_{1})^{2}\times 1=3a(X-x_{1})\left(X-{\frac {x_{1}+2x_{0}}{3}}\right)$,
ce qui montre que x$_1$ est racine de P'. Réciproquement, si x$_1$ est racine de P' alors celui-ci s'écrit
    $P'(X)=3a(X-x_{1})\left(X-y_{0}\right)$
donc d'après le calcul de dérivée précédent (et en posant $x_{0}={\frac {3y_{0}-x_{1}}{2}}$, pour avoir ${\frac {x_{1}+2x_{0}}{3}}=y_{0}$)
    $P(X)=a(X-x_{1})^{2}(X-x_{0})+k$
avec
    $k=P(x_{1})=0$
donc la racine x$_1$ de P est multiple.
De plus, avec ces notations, un calcul immédiat montre que x$_0$ = x$_1$ si et seulement si y$_0$ = x$_1$.
b) Notons $a,\,b,\,c,\,d$ les coefficients de P et $p=3a,\,q=2b,\,r=c$ ceux de P'.
D'après les calculs faits en cours, le système
    ${\begin{cases}P'(x)&=0\\P(x)&=0\end{cases}}$
est équivalent à
    ${\begin{cases}P'(x)&=0\\\alpha x+\beta &=0\end{cases}}$
avec
    ${\begin{cases}\alpha &=aq^{2}-apr-bpq+cp^{2}&=2a(3ac-b^{2})\\\beta &=aqr-bpr+dp^{2}&=a(9ad-bc).\end{cases}}$
Supposons que x$_1$ est racine de P et racine seulement simple de P'.
Alors, $\alpha \neq 0$ (sinon, on aurait $\beta =-\alpha x_{1}=0$ et les deux racines de P', distinctes, seraient racines de P, multiples d'après la question précédente, donc P aurait plus de racines que son degré), et les racines de P sont donc :
    $x_{2}=x_{1}=-{\frac {\beta }{\alpha }}={\frac {bc-9ad}{2(3ac-b^{2})}},\quad x_{0}=-{\frac {b}{a}}-2x_{1}$.
Remarque : on retrouvera ce résultat au chapitre 4.
c) Application à la résolution d'équations.
α) L'équation :
    ${\frac {4x^{2}}{3}}={\frac {{\sqrt {3}}-6x}{2x-{\sqrt {27}}}}$
se met sous la forme $P(x)=0$, avec :
    $P(X)=8X^{3}-12X^{2}{\sqrt {3}}+18X-3{\sqrt {3}}$
donc
    $P'(X)=24X^{2}-24X{\sqrt {3}}+18=6(4X^{2}-4X{\sqrt {3}}+3)=6(2X-{\sqrt {3}})^{2}$.
Or la racine double ${\frac {\sqrt {3}}{2}}$ de P' est racine de P car
    $P\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)=8\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)^{3}-12\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)^{2}{\sqrt {3}}+18{\frac {\sqrt {3}}{2}}-3{\sqrt {3}}=3{\sqrt {3}}-9{\sqrt {3}}+9{\sqrt {3}}-3{\sqrt {3}}=0$
Par conséquent, ${\frac {\sqrt {3}}{2}}$ est racine triple de P, et les racines de l'équation à résoudre sont donc :
    $x_{0}=x_{1}=x_{2}={\frac {\sqrt {3}}{2}}$.
β) L'équation :
    $x^{3}-5x^{2}+x-1=4x{\sqrt {2}}$
se met sous la forme $P(x)=0$, avec :
    $P(X)=X^{3}-5X^{2}+(1-4{\sqrt {2}})X-1=aX^{3}+bX^{2}+cX+d$
avec
    $a=1\quad b=-5\quad c=1-4{\sqrt {2}}\quad d=-1$.
Calculons le nombre qui, d'après la question b, sera racine double de P s'il est racine de P'.
    $x_{1}:={\frac {bc-9ad}{2(3ac-b^{2})}}={\frac {-5(1-4{\sqrt {2}})+9}{2(3(1-4{\sqrt {2}})-(-5)^{2})}}=-{\frac {1+5{\sqrt {2}}}{11+6{\sqrt {2}}}}=-{\frac {(1+5{\sqrt {2}})(11-6{\sqrt {2}})}{11^{2}-6^{2}\times 2}}=1-{\sqrt {2}}$.
    $P'(x_{1})=3\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{2}-10\left(1-{\sqrt {2}}\right)+1-4{\sqrt {2}}=3\left(3-2{\sqrt {2}}\right)-10\left(1-{\sqrt {2}}\right)+1-4{\sqrt {2}}=0$.
Par conséquent, $x_{1}$ est bien racine double de P, et l'autre racine est $x_{0}=-{\frac {b}{a}}-2x_{1}=5-2\left(1-{\sqrt {2}}\right)=3+2{\sqrt {2}}$.
Les racines de l'équation à résoudre sont donc :
    $x_{2}=x_{1}=1-{\sqrt {2}},\quad x_{0}=3+2{\sqrt {2}}$.
Remarque : nous retrouverons ces deux équations dans l'exercice 4-3.

## Exercice 1-4

Résoudre le système de trois équations à trois inconnues suivant :
    $\left\{{\begin{matrix}yz=x-7\\xz=y+7\\x+2y=z\end{matrix}}\right.$.
Portons z de la troisième équation dans les deux premières :
    $\left\{{\begin{matrix}y(x+2y)=x-7\\x(x+2y)=y+7\\x+2y=z\end{matrix}}\right.$.
Le système peut alors se réécrire ainsi :
    $\left\{{\begin{matrix}z=x+2y\\2y^{2}+xy+7-x=0\\(2x-1)y+x^{2}-7=0\end{matrix}}\right.$.
Nous allons éliminer y entre les deux dernières équations en utilisant leur résultant par rapport à y. La dernière équation est considérée comme de degré $n=1$ par rapport à y car on ne peut pas avoir à la fois $2x-1=0$ et $x^{2}-7=0$.
En utilisant les notations du cours, on pose :
    $p=2\qquad q=x\qquad r=7-x\qquad a=b=0\qquad c=2x-1\qquad d=x^{2}-7$.
Nous obtenons alors :
    ${\begin{aligned}\operatorname {Res} (pY^{2}+qY+r,cY+d)&=c[cr-dq]+pd^{2}\\&=(2x-1)[(2x-1)(7-x)-(x^{2}-7)x]+2(x^{2}-7)^{2}\\&=-3x^{3}+18x^{2}-36x+105\\&=-3(x^{3}-6x^{2}+12x-35).\end{aligned}}$
Le système peut donc s'écrire :
    $\left\{{\begin{matrix}z=x+2y\\(2x-1)y+x^{2}-7=0\\x^{3}-6x^{2}+12x-35=0\end{matrix}}\right.$.
(C'est la troisième équation du système précédent qu'il faut garder car elle est du premier degré en y.)
Nous remarquons que x = 5 est une racine évidente de la troisième équation. Le système s'écrira donc :
    $\left\{{\begin{matrix}z=x+2y\\(2x-1)y+x^{2}-7=0\\(x-5)(x^{2}-x+7)=0\end{matrix}}\right.$.
Pour finir de résoudre la troisième équation, il nous reste à résoudre :
    $x^{2}-x+7=0$,
qui a pour solution :
    $\left\{{\begin{matrix}x_{1}={\frac {1}{2}}+{\frac {3i{\sqrt {3}}}{2}}\\x_{2}={\frac {1}{2}}-{\frac {3i{\sqrt {3}}}{2}}\end{matrix}}\right.$.
En joignant la solution x = 5, les valeurs possibles de x sont :
    $\left\{{\begin{matrix}x_{1}={\frac {1}{2}}+{\frac {3i{\sqrt {3}}}{2}}\\x_{2}={\frac {1}{2}}-{\frac {3i{\sqrt {3}}}{2}}\\x_{3}=5\end{matrix}}\right.$.
De la deuxième équation du système, nous tirons :
    $y={\frac {7-x^{2}}{2x-1}}$.
En conséquence, les valeurs de y correspondantes respectivement aux valeurs de x trouvées précédemment sont :
    $\left\{{\begin{matrix}y_{1}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\\y_{2}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\\y_{3}=-2\end{matrix}}\right.$
Et comme :
    $z=x+2y$,
les valeurs respectives de z correspondantes sont :
    $\left\{{\begin{matrix}z_{1}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\\z_{2}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\\z_{3}=1\end{matrix}}\right.$

## Exercice 1-5

Soient $P$ un polynôme du second degré et $Q(X)=(X-\alpha )P(X)$. Montrer que
    $\Delta _{Q}=\Delta _{P}\times (P(\alpha ))^{2}$.
Notons $P(X)=a(X-\beta )(X-\gamma )$.
    $\Delta _{Q}=a^{4}(\alpha -\beta )^{2}(\alpha -\gamma )^{2}(\beta -\gamma )^{2}=a^{2}(\beta -\gamma )^{2}\times (P(\alpha ))^{2}=\Delta _{P}\times (P(\alpha ))^{2}$.
Pour une généralisation, voir Résultant/Exercices/Discriminant#Exercice 2.

## Exercice 1-6

On veut construire une boîte de base carrée de volume 562,5 cm$^3$ en découpant, à chaque coin d'une plaque en carton de 20 cm de côté, un carré de côté x cm, et en repliant bord à bord les quatre rectangles ainsi créés.
* Vérifier qu'une solution est x = 2,5.
* Montrer qu'il y a une seule autre solution et la calculer.
* Le volume de la boîte (en cm$^3$) est (pour $0\leq x\leq 10$) : $V(x)=x\left(20-2x\right)^{2}$. Pour $a=2{,}5$, on a bien $V(a)=2{,}5\times 15^{2}=562{,}5$.
* On cherche les $x\in \left[0,10\right]$ différents de $a$ tels que $V(x)-V(a)=0$, c'est-à-dire (en simplifiant par $4$) tels que $x^{3}-a^{3}-20\left(x^{2}-a^{2}\right)+100\left(x-a\right)=0$. Ce sont donc (en simplifiant par $X-a$) les racines du polynôme $X^{2}+aX+a^{2}-20\left(X+a\right)+100=X^{2}+\left(a-20\right)X+{\frac {V(a)}{4a}}=X^{2}-17{,}5X+56{,}25$ comprises entre $0$ et $10$. Il n'y en a qu'une : ${\frac {17{,}5-{\sqrt {81{,}25}}}{2}}\approx 4{,}243$ (l'autre est trop grande).
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