# Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Propagation d'un signal : Exemples de signaux, spectre
## Détermination du spectre d'un produit de deux fonctions sinusoïdales

On considère le signal formé du produit de deux fonctions sinusoïdales «$\;s(t)=A\,\cos(2\,\pi \,f_{1}\,t)\;\cos(2\,\pi \,f_{2}\,t\,+\,\varphi )\;$» où «$\;A\;$» et «$\;\varphi \;$» sont des constantes réelles et
on se propose d'en faire une analyse spectrale dans le cas où les fréquences peuvent être incommensurables puis dans le cas où elles sont égales.

### Analyse spectrale du produit de deux fonctions sinusoïdales de fréquences, a priori, incommensurables

Vérifier que le produit de fonctions sinusoïdales «$\;s(t)=A\,\cos(2\,\pi \,f_{1}\,t)\;\cos(2\,\pi \,f_{2}\,t\,+\,\varphi )\;$» avec $\;f_{1}\;$ et $\;f_{2}\;$ incommensurables n'est pas périodique et par suite Vérifier que le produit de fonctions sinusoïdales «$\;\color {transparent}{s(t)=A\,\cos(2\,\pi \,f_{1}\,t)\;\cos(2\,\pi \,f_{2}\,t\,+\,\varphi )}\;$» avec $\;\color {transparent}{f_{1}}\;$ et $\;\color {transparent}{f_{2}}\;$ incommensurables n'est pas éligible à l'application du théorème de Fourier ;
malgré cela, comme «$\;s(t)=A\,\cos(2\,\pi \,f_{1}\,t)\;\cos(2\,\pi \,f_{2}\,t\,+\,\varphi )\;$» peut être linéarisé en une somme de deux fonctions sinusoïdales, il est possible d'en faire une analyse spectrale ;
malgré cela déterminer les harmoniques contenus dans «$\;s(t)=A\,\cos(2\,\pi \,f_{1}\,t)\;\cos(2\,\pi \,f_{2}\,t\,+\,\varphi )\;$» et
malgré cela représenter son spectre d'amplitude ainsi que
malgré cela représenter son spectre de phase.
$\;s(t)=A\,\cos(2\,\pi \,f_{1}\,t)\;\cos(2\,\pi \,f_{2}\,t\,+\,\varphi )\;$
$\;\Delta t\;$
$\;s(t+\Delta t)=s(t)\;\;\forall \;t\;$
$\;\color {transparent}{s(t)=A\,\cos(2\,\pi \,f_{1}\,t)\;\cos(2\,\pi \,f_{2}\,t\,+\,\varphi )}\;$
$\;\cos(a)\,\cos(b)={\dfrac {1}{2}}\left[\cos(a+b)+\cos(a-b)\right]\;$
$\;s(t)=$
$A\,\cos(2\,\pi \,f_{1}\,t)\;\cos(2\,\pi \,f_{2}\,t\,+\,\varphi )={\dfrac {A}{2}}\left\lbrace \cos \left[2\,\pi \,(f_{1}+f_{2})\,t+\varphi \right]+\cos \left[2\,\pi \,(f_{1}-f_{2})\,t-\varphi \right]\right\rbrace \;$
$\;s(t)\;$
$\;s_{1}(t)={\dfrac {A}{2}}\;\cos \left[2\,\pi \,(f_{1}+f_{2})\,t+\varphi \right]\;$
$\;f_{h,\,1}=f_{1}+f_{2}\;$
$\;T_{h,\,1}={\dfrac {1}{f_{1}+f_{2}}}\;$
$\;\color {transparent}{s(t)}\;$
$\;s_{2}(t)={\dfrac {A}{2}}\;\cos \left[2\,\pi \,(f_{1}-f_{2})\,t-\varphi \right]\;$
$\;f_{h,\,2}=\vert f_{1}-f_{2}\vert \;$
$\;T_{h,\,2}={\dfrac {1}{\vert f_{1}-f_{2}\vert }}\;$
$\;s(t)\;$
$\;T_{h,\,1}={\dfrac {1}{f_{1}+f_{2}}}\;$
$\;T_{h,\,2}={\dfrac {1}{\vert f_{1}-f_{2}\vert }}\;$
$\;\exists \;\left(p\,,\,q\right)\;\in \;\left[\mathbb {N} ^{*}\right]^{2}\;$
$\;{\dfrac {T_{h,\,1}}{T_{h,\,2}}}={\dfrac {p}{q}}\;$
$\Leftrightarrow$
$\;{\dfrac {\vert f_{1}-f_{2}\vert }{f_{1}+f_{2}}}={\dfrac {p}{q}}\;$
$\;q\;$
$\;\mathbb {Z} ^{*}$
$\;{\dfrac {f_{1}-f_{2}}{f_{1}+f_{2}}}={\dfrac {p}{q}}\;$
$\Leftrightarrow$
$\;q\left(f_{1}-f_{2}\right)=p\left(f_{1}+f_{2}\right)\;$
$\;f_{1}\left(q-p\right)=f_{2}\left(q+p\right)\;$
$\;{\dfrac {f_{1}}{f_{2}}}={\dfrac {q+p}{q-p}}\;\in \;\mathbb {Q} ^{*}\;$
$\;f_{1}\;$
$\;f_{2}\;$
$\;s(t)\;$
De la linéarisation de «$\;s(t)\;$» selon «$\;s(t)={\dfrac {A}{2}}\left\lbrace \cos \left[2\,\pi \,(f_{1}+f_{2})\,t+\varphi \right]+\cos \left[2\,\pi \,(f_{1}-f_{2})\,t+\varphi \right]\right\rbrace \;$» nous en déduisons que le signal «$\;s(t)\;$» contient deux harmoniques
De la linéarisation de «$\;\color {transparent}{s(t)}\;$» $\succ \;$«$\;s_{1}(t)={\dfrac {A}{2}}\;\cos \left[2\,\pi \,(f_{1}+f_{2})\,t+\varphi \right]\;$» de « fréquence $\;f_{h,\,1}=f_{1}+f_{2}\;$», d'« amplitude $\;{\dfrac {A}{2}}\;$» et de « phase à l'origine $\;\varphi \;$» et De la linéarisation de «$\;\color {transparent}{s(t)}\;$» $\succ \;$«$\;s_{2}(t)={\dfrac {A}{2}}\;\cos \left[2\,\pi \,(f_{1}-f_{2})\,t-\varphi \right]\;$» de « fréquence $\;f_{h,\,2}=\vert f_{1}-f_{2}\vert \;$», d'« amplitude $\;{\dfrac {A}{2}}\;$» et de « phase à l'origine $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}-\varphi \;\;{\text{si }}\;f_{1}>f_{2}\\+\varphi \;\;{\text{si }}\;f_{1}<f_{2}\end{array}}\right\rbrace \;$» ;
ci-dessous à gauche, le spectre d'amplitude du signal «$\;s(t)=A\,\cos(2\,\pi \,f_{1}\,t)\;\cos(2\,\pi \,f_{2}\,t\,+\,\varphi )\;$» composé de deux raies de « même hauteur $\;{\dfrac {A}{2}}\;$» aux fréquences «$\;\vert f_{1}-f_{2}\vert \;$ et $\;f_{1}+f_{2}\;$»,
ci-dessous à droite, les deux spectres de phase du signal «$\;s(t)=A\,\cos(2\,\pi \,f_{1}\,t)\;\cos(2\,\pi \,f_{2}\,t\,+\,\varphi )\;$» suivant $\;f_{1}>f_{2}\;$ à gauche ou $\;f_{1}<f_{2}\;$ à droite ; ci-dessous à droite, le 1er $\;{\big$à gauche pour $\;f_{1}>f_{2}{\big )}\;$ est composé de deux raies de « hauteurs opposées $\;\varphi \;$ pour la fréquence $\;f_{1}+f_{2}\;$ et $\;-\varphi \;$ pour la fréquence $\;\vert f_{1}-f_{2}\vert =f_{1}-f_{2}\;$», ci-dessous à droite, le 2ème $\;{\big$à droite pour $\;f_{1}<f_{2}{\big )}\;$ est composé de deux raies de « même hauteur $\;\varphi \;$ pour les fréquence $\;f_{1}+f_{2}\;$ et $\;\vert f_{1}-f_{2}\vert =f_{2}-f_{1}\;$».

### Analyse spectrale du produit de deux fonctions sinusoïdales de même fréquence

Reprendre les questions précédentes dans le cas où «$\;f_{1}=f_{2}\;$».
Dans le cas où «$\;f_{1}=f_{2}\;$» $\;{\big$fréquence commune notée «$\;f\;$» par la suite${\big )}$, on vérifie que «$\;s(t)=A\,\cos(2\,\pi \,f\,t)\;\cos(2\,\pi \,f\,t\,+\,\varphi )\;$» est périodique en linéarisant le signal par nouvelle utilisation de la formule de trigonométrie «$\;\cos(a)\,\cos(b)={\dfrac {1}{2}}\left[\cos(a+b)+\cos(a-b)\right]\;$», soit «$\;s(t)=A\,\cos(2\,\pi \,f\,t)\;\cos(2\,\pi \,f\,t\,+\,\varphi )={\dfrac {A}{2}}\left\lbrace \cos \left[4\,\pi \,f\,t+\varphi \right]+\cos \left[-\varphi \right]\right\rbrace \;$» $\;{\big \$une conséquence de la périodicité de $\;s(t)\;$ est que ce signal est éligible à l'application du théorème de Fourier même s'il s'avérera inutile de l'appliquer${\big \}$.
De la linéarisation de «$\;s(t)\;$» selon «$\;s(t)={\dfrac {A}{2}}\;\cos(\varphi )+{\dfrac {A}{2}}\;\cos \left[4\,\pi \,f\,t+\varphi \right]\;$» nous en déduisons que le signal «$\;s(t)\;$» contient deux harmoniques
De la linéarisation de «$\;\color {transparent}{s(t)}\;$» $\succ \;$«$\;s_{0}={\dfrac {A}{2}}\;\cos(\varphi )\;$» composante permanente $\;{\big \$ou harmonique de rang $\;0{\big \}$ et
De la linéarisation de «$\;\color {transparent}{s(t)}\;$» $\succ \;$«$\;s_{1}={\dfrac {A}{2}}\;\cos \left[4\,\pi \,f\,t+\varphi \right]\;$» de « fréquence $\;2\;f\;$», d'« amplitude $\;{\dfrac {A}{2}}\;$» et de « phase à l'origine $\;\varphi \;$» $\;{\big \$harmonique fondamental ou de rang $\;1{\big \}$ ;
le spectre d'amplitude est composé de deux raies, l'une de « hauteur $\;{\dfrac {A}{2}}\;\cos(\varphi )\;$» à « fréquence nulle » et l'autre de « hauteur $\;{\dfrac {A}{2}}\;$» à la « fréquence $\;2\;f\;$» ;
le spectre de phase est composé d'une raie de « hauteur $\;\varphi \;$» à la « fréquence $\;2\;f\;$».

## Détermination de la représentation fréquentielle d'un signal périodique construit à partir de deux signaux périodiques dont les représentations fréquentielles sont connues

Connaissant la représentation fréquentielle d'un signal créneau symétrique pair d'amplitude $\;U_{m}\;$ et de fréquence $\;f$ : «$\;\left\lbrace C_{0,\,{\text{créneau}}}=0\,;\,{\underline {C_{2\,p+1,\,{\text{max}},\,{\text{créneau}}}}}={\dfrac {4\,U_{m}}{\pi }}\,{\dfrac {(-1)^{p}}{2\,p+1}}\;p\in \mathbb {N} \right\rbrace \;$»$^,$ et
Connaissant la représentation fréquentielle celle d'un signal triangulaire symétrique pair d'amplitude $\;U_{m}\;$ et de fréquence $\;f$ : «$\;\left\lbrace C_{0,\,{\text{triang}}}=0\,;\,{\underline {C_{2\,p+1,\,{\text{max}},\,{\text{triang}}}}}={\dfrac {8\,U_{m}}{\pi ^{2}}}\,{\dfrac {-1}{(2\,p+1)^{2}}}\;p\in \mathbb {N} \right\rbrace \;$»$^,$,
on se propose d'en déduire la représentation fréquentielle du signal $\;s(t)\;$ périodique, de fréquence $\;f$, dont le diagramme temporel est donné ci-contre et pour cela
* trouver le lien entre ce signal $\;s(t)\;$ et les signaux créneau symétrique pair et triangulaire symétrique pair $\;{\big \$pour justifier ce lien, on représentera sur un même diagramme temporel les trois signaux et on conclura${\big \}$ puis,
* en déduire le lien entre la représentation fréquentielle du signal $\;s(t)\;$ et celles des signaux créneau symétrique pair et triangulaire symétrique pair ensuite,
* expliciter la représentation fréquentielle du signal $\;s(t)$,
* préciser le spectre d'amplitude de ce signal $\;s(t)$ $\;{\big \$on pourra se contenter d'évaluer les hauteurs des 1$^{ères}$ raies${\big \}$ et
* estimer le nombre minimal de 1$^{ers}$ harmoniques nécessaire pour reconstruire le signal $\;s(t)\;$ en comparant les vitesses de décroissance de hauteur des raies du spectre d'amplitude de ce signal à celles des raies des spectres d'amplitude des signaux créneau et triangulaire composants .
$\succ \;$On constate, sur le diagramme temporel ci-contre, que le signal $\;T$-périodique «$\;s(t)\;$» $\;{\big$en noir${\big )}\;$ est la somme $\color {transparent}{\succ }\;$On constate, sur le diagramme temporel ci-contre, que du signal triangulaire symétrique pair «$\;s_{\text{triangulaire}}(t)\;$» $\;{\big$en rouge${\big )}\;$ et $\color {transparent}{\succ }\;$On constate, sur le diagramme temporel ci-contre, que du signal créneau symétrique pair «$\;s_{\text{créneau}}(t)\;$» $\;{\big$en bleu${\big )}$, $\color {transparent}{\succ }\;$On constate, sur le diagramme temporel ci-contre, le passage du signal triangulaire «$\;s_{\text{triangulaire}}(t)\;$» au signal étudié «$\;s(t)\;$» étant obtenu par ajout du signal créneau «$\;s_{\text{créneau}}(t)\;$», ajout matérialisé par des flèches grises ; on constate aussi que $\color {transparent}{\succ }\;$On constate, sur le diagramme temporel ci-contre, que le signal étudié «$\;s(t)\;$» récupère les deux discontinuités de 1ère espèce du signal créneau «$\;s_{\text{créneau}}(t)\;$» sur tout intervalle large d'une période $\;T$ $\;{\big \$le signal triangulaire «$\;s_{\text{triangulaire}}(t)\;$» étant, quant à lui, continu sur le même intervalle d'une période $\;T{\big \}$.
$\succ \;$Compte-tenu de la définition du 2ème développement en série de Fourier d'un signal périodique comme somme infinie des harmoniques de ce dernier, nous en déduisons aisément que le 2ème développement en série de Fourier d'un signal somme est la somme des 2$^{èmes}$ développements en série de Fourier de chaque composante de la somme.
$\succ \;$À partir de la représentation fréquentielle du signal triangulaire «$\;s_{\text{triangulaire}}(t)\;$» écrite avec l'amplitude complexe de ses harmoniques «$\;\left\lbrace C_{0,\,{\text{triang}}}=0\,;\,{\underline {C_{2\,p+1,\,{\text{max}},\,{\text{triang}}}}}={\dfrac {8\,U_{m}}{\pi ^{2}}}\,{\dfrac {-1}{(2\,p+1)^{2}}}\;p\in \mathbb {N} \right\rbrace \;$» on détermine sa réponse fréquentielle sous forme classique «$\;\left\lbrace C_{0,\,{\text{triang}}}=0\,;\,\left[C_{2\,p+1,\,{\text{max}},\,{\text{triang}}}={\dfrac {8\,U_{m}}{\pi ^{2}}}\,{\dfrac {1}{(2\,p+1)^{2}}}\,,\,\varphi _{2\,p+1,\,{\text{triang}}}=\pi \right]_{p\,\in \,\mathbb {N} }\right\rbrace \;$» puis son 2ème développement en série de Fourier «$\;s_{\text{triangulaire}}(t)=\sum \limits _{p=0}^{\infty }\left\lbrace C_{2\,p+1,\,{\text{max}},\,{\text{triang}}}\,\cos \!\left[2\,\pi \,(2\,p+1)\,f\,t+\varphi _{2\,p+1,\,{\text{triang}}}\right]\right\rbrace \;$» ou «$\;s_{\text{triangulaire}}(t)=$ $\sum \limits _{p=0}^{\infty }\left\lbrace {\dfrac {8\,U_{m}}{\pi ^{2}}}\,{\dfrac {1}{(2\,p+1)^{2}}}\,\cos \!\left[2\,\pi \,(2\,p+1)\,f\,t+\pi \right]\right\rbrace =\sum \limits _{p=0}^{\infty }\left\lbrace {\dfrac {8\,U_{m}}{\pi ^{2}}}\,{\dfrac {-1}{(2\,p+1)^{2}}}\,\cos \!\left[2\,\pi \,(2\,p+1)\,f\,t\right]\right\rbrace \;$» ; de même
$\color {transparent}{\succ }\;$à partir de la représentation fréquentielle du signal créneau «$\;s_{\text{créneau}}(t)\;$» écrite avec l'amplitude complexe de ses harmoniques «$\;\left\lbrace C_{0,\,{\text{créneau}}}=0\,;\,{\underline {C_{2\,p+1,\,{\text{max}},\,{\text{créneau}}}}}={\dfrac {4\,U_{m}}{\pi }}\,{\dfrac {(-1)^{p}}{2\,p+1}}\;p\in \mathbb {N} \right\rbrace \;$» on détermine sa réponse fréquentielle sous forme classique «$\;\left\lbrace C_{0,\,{\text{triang}}}=0\,;\,\left[C_{2\,p+1,\,{\text{max}},\,{\text{créneau}}}={\dfrac {4\,U_{m}}{\pi }}\,{\dfrac {1}{2\,p+1}}\,,\,\varphi _{2\,p+1,\,{\text{créneau}}}=\left\lbrace {\begin{array}{c l}0\!\!&{\text{pour }}p\;{\text{nul ou pair}}\\\pi \!\!&{\text{pour }}p\;{\text{impair}}\end{array}}\right.\right]_{p\,\in \,\mathbb {N} }\right\rbrace \;$» puis son 2ème développement en série de Fourier «$\;s_{\text{créneau}}(t)=$ $\sum \limits _{p=0}^{\infty }\left\lbrace C_{2\,p+1,\,{\text{max}},\,{\text{créneau}}}\,\cos \!\left[2\,\pi \,(2\,p+1)\,f\,t+\varphi _{2\,p+1,\,{\text{créneau}}}\right]\right\rbrace \;$» ou «$\;s_{\text{créneau}}(t)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }\left\lbrace {\dfrac {4\,U_{m}}{\pi }}\,{\dfrac {1}{4\,k+1}}\,\cos \!\left[2\,\pi \,(4\,k+1)\,f\,t\right]+{\dfrac {4\,U_{m}}{\pi }}\,{\dfrac {1}{4\,k+3}}\,\cos \!\left[2\,\pi \,(4\,k+3)\,f\,t+\pi \right]\right\rbrace \;$» ou encore «$\;s_{\text{créneau}}(t)=$ $\sum \limits _{k=0}^{\infty }\left\lbrace {\dfrac {4\,U_{m}}{\pi }}\,{\dfrac {1}{4\,k+1}}\,\cos \!\left[2\,\pi \,(4\,k+1)\,f\,t\right]-{\dfrac {4\,U_{m}}{\pi }}\,{\dfrac {1}{4\,k+3}}\,\cos \!\left[2\,\pi \,(4\,k+3)\,f\,t\right]\right\rbrace \;$» ;
$\color {transparent}{\succ }\;$
$\;s(t)=s_{\text{triangulaire}}(t)+s_{\text{créneau}}(t)\;$
$\;s(t)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }\left\lbrace \left[{\dfrac {4\,U_{m}}{\pi }}\,{\dfrac {1}{4\,k+1}}-{\dfrac {8\,U_{m}}{\pi ^{2}}}\,{\dfrac {1}{(4\,k+1)^{2}}}\right]\,\cos \!\left[2\,\pi \,(4\,k+1)\,f\,t\right]-\left[{\dfrac {4\,U_{m}}{\pi }}\,{\dfrac {1}{4\,k+3}}+{\dfrac {8\,U_{m}}{\pi ^{2}}}\,{\dfrac {1}{(4\,k+3)^{2}}}\right]\,\cos \!\left[2\,\pi \,(4\,k+3)\,f\,t\right]\right\rbrace \;$
$\;s(t)\;$
$\;\left\lbrace C_{0,\,s}=0\,;\,\left[{\begin{array}{c}{\underline {C_{4\,k+1,\,{\text{max}},\,s}}}={\dfrac {4\,U_{m}}{\pi }}\,{\dfrac {1}{4\,k+1}}-{\dfrac {8\,U_{m}}{\pi ^{2}}}\,{\dfrac {1}{(4\,k+1)^{2}}}\\{\underline {C_{4\,k+3,\,{\text{max}},\,s}}}=-{\dfrac {4\,U_{m}}{\pi }}\,{\dfrac {1}{4\,k+3}}-{\dfrac {8\,U_{m}}{\pi ^{2}}}\,{\dfrac {1}{(4\,k+3)^{2}}}\end{array}}\right]_{k\,\in \,\mathbb {N} }\right\rbrace \;$
$\succ \;$Pour en déduire le spectre d'amplitude du signal $\;T$-périodique «$\;s(t)\;$» il est nécessaire d'expliciter l'amplitude de chacun de ses harmoniques suivant le rang de ce dernier :
* « rang $\;0\;$» pas de composante permanente,
* « rang $\;1\;$» ou harmonique fondamental d'amplitude complexe «$\;{\underline {C_{1,\,{\text{max}},\,s}}}={\dfrac {4\,U_{m}}{\pi }}-{\dfrac {8\,U_{m}}{\pi ^{2}}}=\left\lbrace {\dfrac {4\,U_{m}}{\pi ^{2}}}\left[\pi -2\right]\right\rbrace \,\in \,\mathbb {R} ^{+}\;$» $\Rightarrow$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}C_{1,\,{\text{max}},\,s}\!\!&=&\!\!{\dfrac {4\,U_{m}\,(\pi -2)}{\pi ^{2}}}\simeq 0,463\;U_{m}\\\varphi _{1,\,s}\!\!&=&\!\!0\end{array}}\right\rbrace \;$»,
* « rang $\;3\;$» d'amplitude complexe «$\;{\underline {C_{3,\,{\text{max}},\,s}}}=-{\dfrac {4\,U_{m}}{\pi }}\,{\dfrac {1}{3}}-{\dfrac {8\,U_{m}}{\pi ^{2}}}\,{\dfrac {1}{(3)^{2}}}=\left\lbrace -{\dfrac {4\,U_{m}}{9\,\pi ^{2}}}\left[3\;\pi +2\right]\right\rbrace \,\in \,\mathbb {R} ^{-}\;$» $\Rightarrow$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}C_{3,\,{\text{max}},\,s}\!\!&=&\!\!{\dfrac {4\,U_{m}\,(3\,\pi +2)}{9\,\pi ^{2}}}\simeq 0,514\;U_{m}\\\varphi _{3,\,s}\!\!&=&\!\!\pi \end{array}}\right\rbrace \;$»,
* « rang $\;5\;$» d'amplitude complexe «$\;{\underline {C_{5,\,{\text{max}},\,s}}}={\dfrac {4\,U_{m}}{\pi }}\,{\dfrac {1}{5}}-{\dfrac {8\,U_{m}}{\pi ^{2}}}\,{\dfrac {1}{(5)^{2}}}=\left\lbrace {\dfrac {4\,U_{m}}{25\,\pi ^{2}}}\left[5\;\pi -2\right]\right\rbrace \,\in \,\mathbb {R} ^{+}\;$» $\Rightarrow$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}C_{5,\,{\text{max}},\,s}\!\!&=&\!\!{\dfrac {4\,U_{m}\,(5\,\pi -2)}{25\,\pi ^{2}}}\simeq 0,222\;U_{m}\\\varphi _{5,\,s}\!\!&=&\!\!0\end{array}}\right\rbrace \;$»,
* « rang $\;7\;$» d'amplitude complexe «$\;{\underline {C_{7,\,{\text{max}},\,s}}}=-{\dfrac {4\,U_{m}}{\pi }}\,{\dfrac {1}{7}}-{\dfrac {8\,U_{m}}{\pi ^{2}}}\,{\dfrac {1}{(7)^{2}}}=\left\lbrace -{\dfrac {4\,U_{m}}{49\,\pi ^{2}}}\left[7\;\pi +2\right]\right\rbrace \,\in \,\mathbb {R} ^{-}\;$» $\Rightarrow$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}C_{7,\,{\text{max}},\,s}\!\!&=&\!\!{\dfrac {4\,U_{m}\,(7\,\pi +2)}{49\,\pi ^{2}}}\simeq 0,198\;U_{m}\\\varphi _{7,\,s}\!\!&=&\!\!\pi \end{array}}\right\rbrace \;$»,
* « rang $\;9\;$» d'amplitude complexe «$\;{\underline {C_{9,\,{\text{max}},\,s}}}={\dfrac {4\,U_{m}}{\pi }}\,{\dfrac {1}{9}}-{\dfrac {8\,U_{m}}{\pi ^{2}}}\,{\dfrac {1}{(9)^{2}}}=\left\lbrace {\dfrac {4\,U_{m}}{81\,\pi ^{2}}}\left[9\;\pi -2\right]\right\rbrace \,\in \,\mathbb {R} ^{+}\;$» $\Rightarrow$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}C_{9,\,{\text{max}},\,s}\!\!&=&\!\!{\dfrac {4\,U_{m}\,(9\,\pi -2)}{81\,\pi ^{2}}}\simeq 0,131\;U_{m}\\\varphi _{9,\,s}\!\!&=&\!\!0\end{array}}\right\rbrace \;$»,
* « rang $\;11\;$» d'amplitude complexe «$\;{\underline {C_{11,\,{\text{max}},\,s}}}=-{\dfrac {4\,U_{m}}{\pi }}\,{\dfrac {1}{11}}-{\dfrac {8\,U_{m}}{\pi ^{2}}}\,{\dfrac {1}{(11)^{2}}}=\left\lbrace -{\dfrac {4\,U_{m}}{121\,\pi ^{2}}}\left[11\;\pi +2\right]\right\rbrace \,\in \,\mathbb {R} ^{-}\;$» $\Rightarrow$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}C_{11,\,{\text{max}},\,s}\!\!&=&\!\!{\dfrac {4\,U_{m}\,(11\,\pi +2)}{121\,\pi ^{2}}}\simeq 0,122\;U_{m}\\\varphi _{11,\,s}\!\!&=&\!\!\pi \end{array}}\right\rbrace \;$»,
* $\;\ldots$
* « rang $\;4\,k+1,\;\;k\;\in \;\mathbb {N} ^{*}\,\setminus \,\left\lbrace 1\,,\,2\right\rbrace \;$» d'amplitude complexe «$\;{\underline {C_{4\,k+1,\,k\,\in \,\mathbb {N} ,\,{\text{max}},\,s}}}={\dfrac {4\,U_{m}}{\pi }}\,{\dfrac {1}{4\,k+1}}-{\dfrac {8\,U_{m}}{\pi ^{2}}}\,{\dfrac {1}{(4\,k+1)^{2}}}=\left\lbrace {\dfrac {4\,U_{m}}{(4\,k+1)^{2}\,\pi ^{2}}}\,\left[(4\,k+1)\;\pi -2\right]\right\rbrace \,\in \,\mathbb {R} ^{+}\;$» dont on déduit «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}C_{4\,k+1,\,{\text{max}},\,s}\!\!&=&\!\!{\dfrac {4\,U_{m}\,[(4\,k+1)\,\pi -2]}{(4\,k+1)^{2}\,\pi ^{2}}}\\\varphi _{4\,k+1,\,s}\!\!&=&\!\!0\end{array}}\right\rbrace \;$» soit par exemple le « rang $\;4\times 7+1=29\;$» «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}C_{29,\,{\text{max}},\,s}\!\!&=&\!\!{\dfrac {4\,U_{m}\,(29\,\pi -2)}{(29)^{2}\,\pi ^{2}}}\simeq 0,0429\;U_{m}\\\varphi _{29,\,s}\!\!&=&\!\!0\end{array}}\right\rbrace \;$»,
* « rang $\;4\,k+3,\;\;k\;\in \;\mathbb {N} ^{*}\,\setminus \,\left\lbrace 1\,,\,2\right\rbrace \;$» d'amplitude complexe «$\;{\underline {C_{4\,k+3,\,k\,\in \,\mathbb {N} ,\,{\text{max}},\,s}}}=-{\dfrac {4\,U_{m}}{\pi }}\,{\dfrac {1}{4\,k+3}}-{\dfrac {8\,U_{m}}{\pi ^{2}}}\,{\dfrac {1}{(4\,k+3)^{2}}}=\left\lbrace -{\dfrac {4\,U_{m}}{(4\,k+3)^{2}\,\pi ^{2}}}\,\left[(4\,k+3)\;\pi +2\right]\right\rbrace \,\in \,\mathbb {R} ^{-}\;$» dont on déduit «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}C_{4\,k+3,\,{\text{max}},\,s}\!\!&=&\!\!{\dfrac {4\,U_{m}\,[(4\,k+3)\,\pi +2]}{(4\,k+3)^{2}\,\pi ^{2}}}\\\varphi _{4\,k+3,\,s}\!\!&=&\!\!\pi \end{array}}\right\rbrace \;$» soit par exemple le « rang $\;4\times 7+3=31\;$» «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}C_{31,\,{\text{max}},\,s}\!\!&=&\!\!{\dfrac {4\,U_{m}\,(31\,\pi +2)}{(31)^{2}\,\pi ^{2}}}\simeq 0,0419\;U_{m}\\\varphi _{31,\,s}\!\!&=&\!\!\pi \end{array}}\right\rbrace \;$»,
* $\;\ldots$
$\succ \;$On constate donc la lente $\;\searrow \;$ de l'amplitude des harmoniques de «$\;s(t)\;$» $\;{\big \\searrow \;$ comparable à celle d'un signal créneau${\big \}$ et on induit que le nombre minimal de 1$^{ers}$ harmoniques nécessaire pour reconstruire le signal $\;s(t)\;$ est approximativement le même que celui nécessaire pour reconstruire le signal créneau c'est-à-dire « utiliser tous les harmoniques de rang $\;\lesssim 30\;{\text{ou}}\;50\;$».
$\succ \;$Complément : pour vérifier le nombre minimal de 1$^{ers}$ harmoniques nécessaire pour reconstruire le signal $\;s(t)\;$ nous avons utilisé un logiciel de calcul évaluant la somme des 1$^{ers}$ harmoniques considérés puis superposant le graphe de la somme $\;{\big$en rouge${\big )}\;$ au signal $\;s(t)$ $\;{\big$en noir${\big )}$ dans deux cas :
$\color {transparent}{\succ }\;$Complément : $\blacktriangleright \;$ci-dessous à gauche en tronquant la somme au rang $\;3\;$ inclus et
$\color {transparent}{\succ }\;$Complément : $\blacktriangleright \;$ci-dessous à droite en tronquant la somme au rang $\;31\;$ inclus.