# Théorie des groupes/Groupes libres, premiers éléments

Dans ce chapitre, on va exposer les premiers éléments sur les groupes libres. Le contenu du chapitre et ses exercices sont à la portée du lecteur connaissant les chapitres 1 à 7 et 16 de la leçon (groupe, sous-groupe, partie génératrice, homomorphisme, isomorphisme, sous-groupe normal, groupe quotient, groupes monogènes $\mathbb {Z}$ et $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$, éléments conjugués, groupe dérivé) et les propriétés les plus classiques des cardinaux infinis.
Une grande utilité des groupes libres est qu'ils permettent de fonder rigoureusement les présentations de groupes, ce que nous ferons dans un chapitre ultérieur.
La notion de produit libre d'une famille de groupes, qui sera exposée plus loin dans ce cours, permettrait de définir les groupes libres autrement que dans le présent chapitre, mais, de même que plusieurs auteurs de manuels, on a préféré commencer par un exposé des groupes libres indépendant de la notion de produit libre.

## Groupe libre construit sur un ensemble

Soit X un ensemble. Nous appellerons mot signé sur X tout multiplet de couples
    $((x_{i},\epsilon _{i}))_{1\leq i\leq n}=((x_{1},\epsilon _{1}),\ldots ,(x_{n},\epsilon _{n}))$,
où n est un nombre naturel ($\geq 0$), où $x_{1},\ldots ,x_{n}$ sont des éléments de X et où $\epsilon _{1},\ldots ,\epsilon _{n}$ appartiennent à la paire {1, -1} d'entiers rationnels.
Le nombre naturel n est appelé la longueur du mot signé $((x_{1},\epsilon _{1}),\ldots ,(x_{n},\epsilon _{n}))$. On notera long(w) la longueur du mot signé w. Nous appellerons mot signé vide l'unique mot signé de longueur 0.
Remarque. L'expression « mot signé » n'est pas standard. Bourbaki définit un mot sur l'ensemble X comme un multiplet d'éléments de X. Cette notion de mot sur X ne revient évidemment pas à celle de mot signé sur X qui est définie ici. Nos mots signés sur X sont, dans le langage de Bourbaki, les mots sur le produit cartésien $X\times \{1,-1\}.$
Calais recourt à un ensemble $X^{-1}$ choisi arbitrairement parmi les ensembles équipotents à X et disjoints de X ; elle parle alors de « mot sur $X\cup X^{-1}$ », où « mot » a le même sens que dans Bourbaki. Les « mots sur $X\cup X^{-1}$ » de Calais sont une autre version de nos « mots signés sur X ».
Rotman et Robinson recourent eux aussi à un ensemble $X^{-1}$ choisi arbitrairement parmi les ensembles équipotents à X et disjoints de X ; Rotman appelle « word on X » et Robinson appelle « word in X » ce que J. Calais appelle « mot sur $X\cup X^{-1}$ ». Les « words on X » de Rotman et les « words in X » de Robinson sont donc une autre version de nos « mots signés sur X ».
Nous conviendrons de définir une lettre signée comme un mot signé de longueur 1.
Pour un mot signé $w=((x_{1},\epsilon _{1}),\ldots ,(x_{n},\epsilon _{n}))$ de longueur $n\geq 1$, nous dirons :
* que la première lettre signée de $w$ est $((x_{1},\epsilon _{1}))$, ou que $w$ commence par la lettre signée $((x_{1},\epsilon _{1}))$ ;
* que la dernière lettre signée de $w$ est $((x_{n},\epsilon _{n}))$, ou que $w$ finit par la lettre signée $((x_{n},\epsilon _{n}))$.
Le mot signé vide n'a pas de première ni de dernière lettre signée.
$v\ _{juxt}\ w$
Si v est le mot signé $((x_{1},\epsilon _{1}),\ldots ,(x_{r},\epsilon _{r}))$ et w le mot signé $((y_{1},\delta _{1}),\ldots ,(y_{s},\delta _{s}))$, nous noterons $v\ _{juxt}\ w$ le mot signé (de longueur r + s)
    $((x_{1},\epsilon _{1}),\ldots ,(x_{r},\epsilon _{r}),(y_{1},\delta _{1}),\ldots ,(y_{s},\delta _{s}))$.
(On peut considérer que $v\ _{juxt}\ w$ s'obtient en juxtaposant v et w.)
On vérifie facilement que dans l'ensemble des mots signés sur X, $(v,w)\mapsto v\ _{juxt}\ w$ définit une loi de composition interne associative admettant le mot signé vide pour élément neutre. C'est donc une loi de monoïde.
Nous dirons qu'un mot signé $((x_{1},\epsilon _{1}),\ldots ,(x_{n},\epsilon _{n}))=x_{1}^{\epsilon _{1}}\cdots x_{n}^{\epsilon _{n}}$ est réduit s'il n'y a pas dans {1, ... , n-1} d'indice i tel que
    $x_{i+1}=x_{i}$ et $\epsilon _{i+1}=-\epsilon _{i}.$
Pour abréger, nous dirons « mot réduit » au lieu de « mot signé réduit ».
L'ensemble des mots réduits sur X est noté F(X).
Exemples.
    Tout mot signé de longueur $\leq 1$ est réduit.
    Le mot signé $((a,1),(a,1))$ est réduit.
    Un mot signé de la forme $((x,\epsilon ),(a,1),(a,-1),(y,\epsilon '))$ n'est pas réduit.
    Si $a$ et $b$ sont distincts, tout mot signé de la forme $(a,\epsilon ),(b,\epsilon ')$ est réduit.
Pour des raisons qui apparaîtront bientôt, on écrit généralement un mot signé réduit $((x_{1},\epsilon _{1}),\ldots ,(x_{n},\epsilon _{n}))$ sous la forme
    $x_{1}^{\epsilon _{1}}\cdots x_{n}^{\epsilon _{n}}$
et l'on omet même les $\epsilon _{i}$ égaux à 1. Dans cette notation, le mot signé vide est noté 1.
La notation $x_{1}^{\epsilon _{1}}\cdots x_{n}^{\epsilon _{n}}$ d'un mot réduit sur X est ambiguë si l'ensemble X est supposé contenu dans un groupe, cas que nous rencontrerons. Il faudra alors faire les distinctions nécessaires.
Nous allons maintenant définir une loi de composition interne $(v,w)\mapsto vw$ dans l'ensemble des mots réduits sur X. La juxtaposition (mise bout à bout) ne convient pas car, par exemple, ((x, 1), (x, 1)) et ((x, -1)) sont des mots réduits mais ((x, 1), (x, 1), (x, -1)) n'en est pas un.
Soient v et w des mots réduits sur l'ensemble X. Soit n le plus grand nombre naturel possédant la propriété suivante :
    il existe des éléments $(a_{1},\delta _{1}),\ldots ,(a_{n},\delta _{n})$ de $X\times \{1,-1\}$ tels que
    v est de la forme $((x_{1},\epsilon _{1}),\ldots ,(x_{r},\epsilon _{r}),(a_{1},\delta _{1}),\ldots ,(a_{n},\delta _{n}))=x_{1}^{\epsilon _{1}}\cdots x_{r}^{\epsilon _{r}}a_{1}^{\delta _{1}}\cdots a_{n}^{\delta _{n}}$
    et w est de la forme $((a_{n},-\delta _{n}),\ldots ,(a_{1},-\delta _{1})(y_{1},\zeta _{1})\ldots (y_{s},\zeta _{z}))=a_{n}^{-\delta _{n}}\cdots a_{1}^{-\delta _{1}}y_{1}^{\zeta _{1}}\cdots y_{s}^{\zeta _{s}}.$
(Ce nombre naturel n existe ; il est éventuellement égal à 0.)
Le composé réduit v w de v et w est par définition le mot signé sur X
    $((x_{1},\epsilon _{1}),\ldots ,(x_{r},\epsilon _{r}),(y_{1},\zeta _{1})\ldots (y_{s},\zeta _{z}))=x_{1}^{\epsilon _{1}}\cdots x_{r}^{\epsilon _{r}}y_{1}^{\zeta _{1}}\cdots y_{s}^{\zeta _{s}},$
qui (vu la maximalité de n) est un mot réduit.
Le résultat est le même que si l'on mettait v et w bout à bout et qu'on supprimait du mot signé ainsi obtenu l'éventuel « digramme » de la forme $aa^{-1}$ ou $a^{-1}a$, en continuant les suppressions tant qu'il reste un tel « digramme ».
Par exemple, si a, b, c sont trois différents éléments de X, le composé réduit v w de v = a b b c$^{-1}$ et de w = c b$^{-1}$ a est a b a.
On a employé l'expression « composé réduit » pour faire la distinction avec la mise bout à bout, mais dans la suite, on dira souvent « composé » tout court au lieu de « composé réduit ».
Soit X un ensemble. L'ensemble F(X) des mots réduits sur X, muni de la loi de composition qu'on vient de définir, est un groupe. Le neutre de ce groupe est le mot signé vide 1. Tout mot réduit $((x_{1},\epsilon _{1}),\ldots ,(x_{n},\epsilon _{n}))$ admet pour inverse le mot signé, lui aussi réduit, $((x_{n},-\epsilon _{n}),\ldots ,(x_{1},-\epsilon _{1})).$
Démonstration. On a noté que le composé de deux mots réduits sur X est un mot réduit sur X, donc la loi de composition en question est une loi de composition interne. On pourrait démontrer l'associativité de cette loi par d'assez longues distinctions de cas, mais cette méthode étant fastidieuse, nous allons préférer un procédé de van der Waerden (qui consiste à plonger le magma F(X) dans le groupe de ses permutations).
Pour toute lettre signée $x^{\epsilon }$ dans F(X), notons $\vert x^{\epsilon }\vert$ (où les barres verticales n'ont rien à voir avec le cardinal) l'application de F(X) dans lui-même définie de la façon suivante :
    pour tout mot réduit v,
    $\vert x^{\epsilon }\vert (v)={\begin{cases}x_{juxt}^{\epsilon }v&\mathrm {si\ } v\mathrm {\ ne\ commence\ pas\ par\ la\ lettre\ sign{\acute {e}}e} \ x^{-\epsilon },\\w&\mathrm {si\ } v\mathrm {\ est\ de\ la\ forme\ } x^{-\epsilon }\ _{juxt}\ w\mathrm {\ (auquel\ cas} \ w\ \mathrm {est\ {\acute {e}}videmment\ un\ mot\ r{\acute {e}}duit\ d{\acute {e}}fini\ de\ mani{\grave {e}}re\ unique).} \end{cases}}$
Autrement dit, $\vert x^{\epsilon }\vert (v)$ est égal au composé réduit $x^{\epsilon }v$. La fonction $\vert x^{\epsilon }\vert$ prend donc bien ses valeurs dans F(X).
Vérifions que
    (thèse 1) $\qquad \vert x^{\epsilon }\vert \circ \vert x^{-\epsilon }\vert =\vert x^{-\epsilon }\vert \circ \vert x^{\epsilon }\vert =\mathrm {id} _{F(X)}.$
Si v est un mot signé qui ne commence pas par la lettre signée $x^{\epsilon }$, nous avons
    $\vert x^{-\epsilon }\vert (v)=x^{-\epsilon }\ _{juxt}v,$
d'où
    $\vert x^{\epsilon }\vert \circ \vert x^{-\epsilon }\vert (v)=\vert x^{\epsilon }\vert (x^{-\epsilon }\ _{juxt}v)$
    (2) $\qquad \vert x^{\epsilon }\vert \circ \vert x^{-\epsilon }\vert (v)=v.$
Si maintenant v commence par la lettre signée $x^{\epsilon }$, nous avons
    (3) $\qquad v=x_{juxt}^{\epsilon }w$ pour un certain mot signé w ne commençant pas par la lettre signée $x^{-\epsilon }$ ; alors
    $\vert x^{-\epsilon }\vert (v)=w,$
d'où,
    $\vert x^{\epsilon }\vert \circ \vert x^{-\epsilon }\vert (v)=\vert x^{\epsilon }\vert (w)$.
Puisque w ne commence pas par la lettre signée $x^{-\epsilon }$, cela peut s'écrire
    $\vert x^{\epsilon }\vert \circ \vert x^{-\epsilon }\vert (v)=x_{juxt}^{\epsilon }w$,
ou encore, d'après (3),
    $\vert x^{\epsilon }\vert \circ \vert x^{-\epsilon }\vert (v)=v.$
Avec (2), cela prouve que
    $\qquad \vert x^{\epsilon }\vert \circ \vert x^{-\epsilon }\vert =\mathrm {id} _{F(X)}.$
Les hypothèses sur $\epsilon$ étant satisfaites par $-\epsilon$, on en tire
    $\qquad \vert x^{-\epsilon }\vert \circ \vert x^{\epsilon }\vert =\mathrm {id} _{F(X)}.$
On a donc prouvé la thèse (1), donc $\vert x^{\epsilon }\vert$ et $\vert x^{-\epsilon }\vert$ sont deux permutations de F(X), inverses l'une de l'autre.
Notons $S_{F(X)}$ le groupe symétrique de F(X) ; notons ${\mathcal {F}}$ le sous-groupe de $S_{F(X)}$ engendré par les permutations $\vert x\vert$, où x parcourt X.
D'après la « description constructive du sous-groupe engendré » (chapitre Groupes, premières notions), tout élément g de ${\mathcal {F}}$ peut s'écrire
    $g=\vert x_{1}\vert ^{\epsilon _{1}}\circ \cdots \circ \vert x_{n}\vert ^{\epsilon _{n}}$
avec n naturel ($\geq 0$), $x_{1},\ldots ,x_{n}$ dans X et $\epsilon _{1},\ldots \epsilon _{n}$ dans {1, –1}.
Puisque nous avons vu que $\vert x^{\epsilon }\vert$ et $\vert x^{-\epsilon }\vert$ sont deux permutations de F(X) inverses l'une de l'autre, cela peut encore s'écrire
    $g=\vert x_{1}^{\epsilon _{1}}\vert \circ \cdots \circ \vert x_{n}^{\epsilon _{n}}\vert .$
En considérant une telle écriture de g où n est le plus petit possible, on voit qu'on peut supposer qu'il n'y a pas dans {1, ... , n} deux indices consécutifs i et i + 1 tels qu'on ait à la fois $x_{i}=x_{i+1}$ et $\epsilon _{i}=-\epsilon _{i+1}$. Nous dirons qu'une décomposition de g pour laquelle il n'y a pas deux tels indices est réduite.
Alors, d'après la définition de $\vert x\vert$,
    $g(1)=x_{1}^{\epsilon _{1}}\ _{juxt}\ x_{2}^{\epsilon _{2}}\ _{juxt}\ \cdots _{juxt}x_{n}^{\epsilon _{n}},$
autrement dit, en revenant à la notation initiale des mots signés,
    $g(1)=((x_{1},\epsilon _{1}),\ldots ,(x_{n},\epsilon _{n})).$
Il en résulte que la décomposition réduite $g=\vert x_{1}^{\epsilon _{1}}\vert \circ \cdots \circ \vert x_{n}^{\epsilon _{n}}\vert$ de g est unique : si $g=\vert y_{1}^{\zeta _{1}}\vert \circ \cdots \circ \vert y_{m}^{\zeta _{m}}\vert$ est une décomposition réduite de g, alors $m=n,y_{i}=x_{i}$ et $\zeta _{i}=\epsilon _{i}$ pour tout i dans {1, ... , n}.
Notons f l'application de F(X) dans ${\mathcal {F}}$ telle que, pour tout élément (mot réduit) $w=((x_{1},\epsilon _{1}),\ldots ,(x_{n},\epsilon _{n})),$
    $f(w)=\vert x_{1}^{\epsilon _{1}}\vert \circ \cdots \circ \vert x_{n}^{\epsilon _{n}}\vert .$
D'après ce qui précède,
    (4) f est une bijection de F(X) sur ${\mathcal {F}}$.
Prouvons que c'est un homomorphisme de magmas de F(X) dans ${\mathcal {F}}$, c'est-à-dire que, pour tous mots réduits v et w sur X,
    (thèse 5) $\qquad f(vw)=f(v)\circ f(w).$
Soit s le plus grand nombre naturel possédant la propriété suivante :
    v est de la forme $((x_{1},\epsilon _{1}),\ldots ,(x_{k},\epsilon _{k}),(t_{1},\mu _{1}),\ldots ,(t_{s},\mu _{s}))$
et
    w est de la forme $((t_{s},-\mu _{s}),\ldots ,(t_{1},-\mu _{1}),(y_{1},\lambda _{1}),\ldots (y_{r},\lambda _{r})).$
Par définition de la loi de composition dans F(X), nous avons
    $vw=((x_{1},\epsilon _{1}),\ldots ,(x_{k},\epsilon _{k}),(y_{1},\lambda _{1}),\ldots (y_{r},\lambda _{r}))$
donc, par définition de f,
    (6) $\qquad f(vw)=\vert x_{1}^{\epsilon _{1}}\vert \circ \cdots \circ \vert x_{k}^{\epsilon _{k}}\vert \circ \vert y_{1}^{\lambda _{1}}\vert \circ \cdots \vert y_{r}^{\lambda _{r}}\vert .$
D'autre part,
    $f(v)=\vert x_{1}^{\epsilon _{1}}\vert \circ \cdots \circ \vert x_{n}^{\epsilon _{n}}\vert \circ \vert t_{1}^{\mu _{1}}\vert \circ \cdots \circ \vert t_{s}^{\mu _{s}}\vert$
et
    $f(w)=\vert t_{s}^{-\mu _{s}}\vert \circ \cdots \circ \vert t_{1}^{-\mu _{1}}\vert \circ \vert y_{1}^{\lambda _{1}}\vert \circ \cdots \circ \vert y_{r}^{\lambda _{r}}\vert ,$
donc
    $f(v)\circ f(w)=\vert x_{1}^{\epsilon _{1}}\vert \circ \cdots \circ \vert x_{n}^{\epsilon _{n}}\vert \circ \vert y_{1}^{\lambda _{1}}\vert \circ \cdots \circ \vert y_{r}^{\lambda _{r}}\vert .$
La comparaison avec (6) donne
    $f(vw)=f(v)\circ f(w),$
ce qui prouve notre thèse (5).
Nous avons vu en (4) que f est une bijection, donc c'est un isomorphisme de magmas de F(X) sur ${\mathcal {F}}$. Puisque ${\mathcal {F}}$ est un groupe et qu'un magma isomorphe comme magma à un groupe est un groupe (voir chapitre Groupes, premières notions), nous avons prouvé que F(X) est un groupe (isomorphe à ${\mathcal {F}}$).
Les deux autres assertions de l'énoncé se vérifient facilement. ◻
Soit X un ensemble. Le groupe F(X) défini à l'énoncé 1 est appelé le groupe libre construit sur X.
Pour tout élément $x$ de X, notons ${\widetilde {x}}$ le mot signé $((x,1)$ ; notons ${\widetilde {X}}$ l'ensemble des ${\widetilde {x}}$, où $x$ parcourt X.
Alors $x\mapsto {\widetilde {x}}$ définit une bijection de X sur la partie ${\widetilde {X}}$ de F(X). On commet souvent l'abus d'identifier ${\widetilde {x}}$ à $x$ et ${\widetilde {X}}$ à $X$.
Le mot signé $((x_{1},\epsilon _{1}),\ldots ,(x_{n},\epsilon _{n}))$ peut s'écrire, selon la loi du groupe F(X),
    ${\widetilde {x_{1}}}^{\epsilon _{1}}\ {\widetilde {x_{2}}}^{\epsilon _{2}}\ \cdots {\widetilde {x_{n}}}^{\epsilon _{n}}.$
Si, pour tout élément $x$ de X, on identifie ${\widetilde {x}}$ à x, le mot signé $((x_{1},\epsilon _{1}),\ldots ,(x_{n},\epsilon _{n}))$ s'écrit donc
    $x_{1}^{\epsilon _{1}}\ x_{2}^{\epsilon _{2}}\ \cdots x_{n}^{\epsilon _{n}},$
ce qui explique pourquoi nous avons introduit cette notation plus haut.

## Groupes libres

Soient F un groupe et X une partie de F. On dit que X est une base de F si pour tout groupe G et pour toute application f de X dans G, il existe un et un seul homomorphisme $\varphi$ de F dans G qui prolonge f, c'est-à-dire tel que, pour tout x dans X, $\varphi (x)=f(x)$.
Un groupe qui admet (au moins) une base est appelé un groupe libre. Un groupe admettant une base X est appelé un groupe libre de base X.
Remarques. 1° On peut noter l'analogie entre la définition d'une base d'un groupe et une caractérisation des bases d'un espace vectoriel ou, plus généralement, d'un module.
2° On définit un groupe abélien libre comme un groupe abélien qui est libre en tant que $\mathbb {Z}$-module. Dans l'expression « groupe abélien libre », le mot « libre » n'a pas le même sens que dans l'expression « groupe libre » : un groupe abélien libre n'est généralement pas un groupe libre.
3° Un groupe admet sa partie vide pour base si et seulement s'il est trivial (c'est-à-dire réduit à son élément neutre).
Dire que l'ensemble vide est une base d'un groupe F revient à dire que pour tout groupe G, il existe un et un seul homomorphisme de F dans G. Cette condition est évidemment satisfaite si F est trivial. Réciproquement, supposons que pour tout groupe G, il existe un et un seul homomorphisme de F dans G. C'est alors vrai pour G égal à F, donc il existe un seul homomorphisme de F dans lui-même, donc l'endomorphisme identité $x\mapsto x$ de F et l'endomorphisme de F constant de valeur 1 sont égaux, ce qui revient à dire que F est réduit à son élément neutre.
4° Le singleton {1} est une base du groupe $(\mathbb {Z} ,+)$.
Cela revient à dire que pour tout groupe G et tout élément x de G, il existe un et un seul homomorphisme de $\mathbb {Z}$, + qui applique 1 sur x. Or on a noté que $n\mapsto x^{n}$ est le seul homomorphisme de $\mathbb {Z}$, + qui applique 1 sur x. (Voir chapitre Groupes, premières notions.)
5° On verra dans les exercices des exemples de groupes n'admettant pas de bases.
Soient G un groupe, X une base de G, $\sigma$ un isomorphisme de G sur un groupe H ; alors $\sigma (X)$ est une base de H.
Tout groupe isomorphe à un groupe libre est lui-même libre.
La seconde assertion de l'énoncé résultant évidemment de la première, nous nous contenterons de démontrer la première (ce que le lecteur, d'ailleurs, devrait normalement pouvoir faire lui-même en s'aidant d'un diagramme).
Soit K un groupe, soit f une application de $\sigma (X)$ dans K. Il s'agit de prouver
    (thèse 1) qu'il existe un et un seul homomorphisme de H dans K qui prolonge f.
Désignons par $f_{1}$ l'application
    $f_{1}:X\to K:x\mapsto f(\sigma (x)).$
Puisque X est une base de G, il existe un et un seul homomorphisme $\varphi$ de G dans K qui prolonge $f_{1}$, c'est-à-dire tel que
    pour tout x dans X, $\varphi (x)=f(\sigma (x)).$
Donc, pour tout y dans $\sigma (X)$,
    $\varphi (\sigma ^{-1}(y))=f(y),$
ce qui montre que
    (2) $\qquad \varphi \circ \sigma ^{-1}$ est un homomorphisme de H dans K qui prolonge f.
Si $\psi$ est un « autre » homomorphisme de H dans K qui prolonge f, nous avons,
    pour tout x dans X, $\psi (\sigma (x))=f(\sigma (x))=f_{1}(x),$
donc $\psi \circ \sigma$ est un homomorphisme de G dans K qui prolonge $f_{1}$. Par unicité de $\varphi$, il faut
    $\psi \circ \sigma =\varphi$
d'où
    $\psi =\varphi \circ \sigma ^{-1}$.
Joint à (2), ceci montre que $\varphi \circ \sigma ^{-1}$ est l'unique homomorphisme de H dans K qui prolonge f, d'où notre thèse (1).
Soit L un groupe libre de base X. Pour tout groupe G, l'ensemble $G^{X}$ des applications de X dans G et l'ensemble Hom(L, G) des homomorphismes de L dans G sont équipotents.
Notons $\rho$ l'application de Hom(L, G) dans $G^{X}$ qui à tout homomorphisme $\varphi$ de L dans G fait correspondre la restriction de $\varphi$ à X. Du fait que X est une base de L, il résulte que $\rho$ est une bijection de Hom(L, G) sur $G^{X}$, donc $G^{X}$ et Hom(L, G) sont équipotents.
Remarque. Ce lemme nous servira, plus loin dans ce chapitre, à démontrer l'équipotence des bases d'un même groupe libre.
Soit X un ensemble. L'ensemble ${\widetilde {X}}$ des mots signés de la forme ${\widetilde {x}}=((x,1))$, où $x$ parcourt $X$, est une base du groupe libre F(X) construit sur X (groupe qui est donc bien un groupe libre).
Démonstration. Soit G un groupe, soit f une application de ${\widetilde {X}}$ dans G ; il s'agit de prouver qu'il existe un et un seul homomorphisme de F(X) dans G qui prolonge f.
Pour tout élément
    $v=((x_{1},\epsilon _{1}),\ldots (x_{n},\epsilon _{n}))$ de F(X),
posons
    $\varphi (v)=f({\widetilde {x_{1}}})^{\epsilon _{1}}\cdots f({\widetilde {x_{n}}})^{\epsilon _{n}},$
le second membre étant calculé dans le groupe G. Nous définissons ainsi une application $\varphi$ de F(X) dans G.
En faisant $v={\widetilde {x}}=((x,1)),$ nous trouvons
    $\varphi ({\widetilde {x}})=f({\widetilde {x}})^{1}=f({\widetilde {x}}),$
donc
    (1) l'application $\varphi$ prolonge f.
Prouvons que $\varphi$ est un homomorphisme.
Soient v, w deux éléments de F(X), c'est-à-dire deux mots réduits sur X ; il s'agit de prouver que
    $\varphi (vw)=\varphi (v)\varphi (w),$
le produit du premier membre étant calculé dans le groupe F(X) et le produit du second membre étant calculé dans le groupe G.
Soit s le plus grand nombre naturel ($\geq 0$) possédant la propriété suivante :
    v est de la forme
    $v=((x_{1},\epsilon _{1}),\ldots (x_{n},\epsilon _{n}),(x_{n+1},\epsilon _{n+1}),\ldots (x_{n+s},\epsilon _{n+s}))$
et w est de la forme
    $w=((y_{1},\zeta _{1}),\ldots (y_{s},\zeta _{s}),(y_{s+1},\zeta _{s+1}),\ldots (y_{s+r},\epsilon _{s+r})),$
avec
    $(y_{1},\zeta _{1})=(x_{n+s},-\epsilon _{n+s}),\ldots (y_{s},\zeta _{s})=(x_{n+1},-\epsilon _{n+1}).$
Alors, par définition de la loi de groupe de F(X), vw est le mot réduit
    $((x_{1},\epsilon _{1}),\ldots (x_{n},\epsilon _{n}),(y_{s+1},\zeta _{s+1}),\ldots (y_{s+r},\epsilon _{s+r}))$
donc, par définition de $\varphi$,
    (2) $\qquad \varphi (vw)=f({\widetilde {x_{1}}})^{\epsilon _{1}}\cdots f({\widetilde {x_{n}}})^{\epsilon _{n}}f({\widetilde {y_{s+1}}})^{\epsilon _{1}}\cdots f({\widetilde {y_{s+r}}})^{\epsilon _{s+r}}.$
D'autre part, toujours par définition de $\varphi$,
    $\varphi (v)=f({\widetilde {x_{1}}})^{\epsilon _{1}}\cdots f({\widetilde {x_{n}}})^{\epsilon _{n}}f({\widetilde {x_{n+1}}})^{\epsilon _{n+1}}\cdots f({\widetilde {x_{n+s}}})^{\epsilon _{n+s}}$
et
    $\varphi (w)=f({\widetilde {x_{n+s}}})^{-\epsilon _{n+s}}\cdots f({\widetilde {x_{n+1}}})^{-\epsilon _{n+1}}f({\widetilde {y_{s+1}}})^{\zeta _{s+1}}\cdots f({\widetilde {y_{s+r}}})^{\zeta _{s+r}}$
d'où
    $\varphi (v)\varphi (w)=f({\widetilde {x_{1}}})^{\epsilon _{1}}\cdots f({\widetilde {x_{n}}})^{\epsilon _{n}}f({\widetilde {y_{s+1}}})^{\zeta _{s+1}}\cdots f({\widetilde {y_{s+r}}})^{\zeta _{s+r}}.$
La comparaison avec (2) montre que
    $\varphi (vw)=\varphi (v)\varphi (w)$,
comme annoncé.
De ceci et de (1), il résulte que $\varphi$ est un homomorphisme de F(X) dans G qui prolonge f. Par exemple parce que ${\widetilde {X}}$ est clairement une partie génératrice du groupe F(X), $\varphi$ est le seul homomorphisme de F(X) dans G qui prolonge f, ce qui achève la démonstration. ◻
Remarques. 1° Le théorème qui précède montre essentiellement qu'étant donné un ensemble X, il existe un groupe libre admettant une base équipotente à X.
2° Rappelons que, vu la bijection canonique $x\mapsto ((x,1))$ de $X$ sur ${\widetilde {X}}$, on commet volontiers l'abus de langage d'identifier ${\widetilde {X}}$ à $X$. On dit alors que X est une base de F(X). On pourrait d'ailleurs, à l'aide de remplacements convenables dans F(X) et d'un transport de structure, construire un groupe libre dont X serait une base en toute rigueur des termes, mais cela n'en vaut pas la peine. Dans le présent chapitre, on continuera à faire la distinction entre $X$ et ${\widetilde {X}}$, mais on avertit l'étudiant qu'un examinateur pourrait trouver qu'il s'agit là d'une mauvaise pratique.
Nous appellerons parfois base canonique de F(X) l'ensemble ${\widetilde {X}}$ dont il est question à l'énoncé 4.
Soit L un groupe, soit X une partie de L.
* Les trois conditions suivantes sont équivalentes :
    1° X est une base de L ;
    2° l'(unique) homomorphisme de F(X) dans L qui prolonge l'application ${\widetilde {X}}\to L:((x,1))\mapsto x$ est un isomorphisme ;
    3° pour tout élément y de L, il existe un et un seul mot réduit $((x_{1},\epsilon _{1}),\ldots ,(x_{n},\epsilon _{n}))$ sur X tel que
       $y=x_{1}^{\epsilon _{1}}\cdots x_{n}^{\epsilon _{n}},$
    le second membre étant calculé dans le groupe L.
* Pour tout ensemble X, tout groupe de base X est isomorphe à F(X).
Démonstration.
Supposons d'abord 1° et prouvons 2°.
Notons $\lambda :L\to F(X)$ l'unique homomorphisme (résultant de l'hypothèse 1°) qui applique tout x de X sur ((x, 1)).
Notons $\varphi :F(X)\to L$ l'unique homomorphisme (résultant de même de l'énoncé 4) qui applique tout ((x, 1)) de ${\widetilde {X}}$ sur x.
Alors, $\varphi \circ \lambda$ est l'unique endomorphisme de L qui fixe tout élément de X donc $\varphi \circ \lambda =\mathrm {id} _{L}$.
De même, $\lambda \circ \varphi$ est l'unique endomorphisme de F(X) qui fixe tout élément de ${\widetilde {X}}$ donc $\lambda \circ \varphi =\mathrm {id} _{F(X)}$. (En fait, ce dernier point peut aussi se déduire du fait que ${\widetilde {X}}$ est clairement une partie génératrice de F(X).)
Donc $\varphi$ et $\lambda$ sont des isomorphismes réciproques l'un de l'autre. En particulier, $\varphi$ est un isomorphisme, ce qui prouve la condition 2°.
Montrons maintenant que 2° et 3° sont équivalents.
Considérons à nouveau l'unique homomorphisme $\varphi :F(X)\to L$ qui applique tout ((x, 1)) de ${\widetilde {X}}$ sur x. Alors,
    $\varphi ((x_{1},\epsilon _{1}),\ldots ,(x_{n},\epsilon _{n}))=\varphi (((x_{1},1))^{\epsilon _{1}}\cdots ((x_{n},1))^{\epsilon _{n}})=\varphi ((x_{1},1))^{\epsilon _{1}}\cdots \varphi ((x_{n},1))^{\epsilon _{n}}=x_{1}^{\epsilon _{1}}\cdots x_{n}^{\epsilon _{n}}$
donc la bijectivité de $\varphi$ (condition 2°) équivaut exactement à la condition 3°.
Supposons enfin 2° et prouvons 1°.
Considérons encore une fois l'unique homomorphisme $\varphi :F(X)\to L$ qui applique tout ((x, 1)) de ${\widetilde {X}}$ sur x.
Puisque nous supposons que la condition 2° est satisfaite, $\varphi$ est un isomorphisme. D'après les énoncés 4 et 2, X est donc une base de L.
Nous avons donc prouvé la première assertion de l'énoncé, à savoir l'équivalence des conditions 1° à 3°. La seconde assertion de l'énoncé, à savoir que tout groupe de base X est isomorphe à F(X), résulte évidemment du fait que 1° entraîne 2°. ◻
Soient F un groupe libre, X une base de F et a un élément de F. Nous définirons le mot réduit représentant a dans la base X comme étant l'unique élément (mot signé réduit) $((x_{1},\epsilon _{1}),\ldots ,(x_{n},\epsilon _{n}))$ de F(X) tel que
    $a=x_{1}^{\epsilon _{1}}\cdots x_{n}^{\epsilon _{n}}.$
(Cette définition est justifiée par l'énoncé 5, partie 1° $\Rightarrow$ 3°.)
On dit couramment que $x_{1}^{\epsilon _{1}}\cdots x_{n}^{\epsilon _{n}}$ est l'expression réduite de a dans la base X, ce qui est un peu équivoque, car cela pourrait sembler signifier que a est sa propre expression réduite dans la base X.
Si la base X est clairement désignée par le contexte, on dit « expression réduite de a » au lieu de « expression réduite de a dans la base X ».
Soient F un groupe libre et X une base de F. L'application de F dans F(X) qui applique tout élément a de F sur le mot signé représentant a dans la base X est un isomorphisme de F sur F(X).
Démonstration. C'est une forme faible de la partie 1° $\Rightarrow$ 2° de l'énoncé 5. ◻
Remarque. Tout groupe libre non trivial est donc infini.
G étant un groupe et $w=((x_{1},\epsilon _{1}),\ldots ,(x_{n},\epsilon _{n}))$ étant un élément de F(G), autrement dit un mot signé sur G, nous définirons la valeur de w dans G comme l'élément $x_{1}^{\epsilon _{1}}\cdots x_{n}^{\epsilon _{n}}$ de G, calculé selon la loi de groupe de G. Autrement dit, la valeur de w dans G est la valeur en w de l'unique homomorphisme de F(G) dans G qui prolonge l'application ${\widetilde {G}}\to G:((g,1))\mapsto g.$
(L'expression « valeur de w dans G » n'est pas standard.)
Avec cette définition, l'équivalence des conditions 1° et 3° de l'énoncé 5 revient à l'énoncé suivant :
Soit X une partie d'un groupe G. X est une base de G si et seulement si pour tout élément g de G, il existe un et un seul élément w de F(X) tel que g soit la valeur de w dans G.
Toute base d'un groupe est une partie génératrice de ce groupe.
Démonstration. Soit X une base d'un groupe L. La condition 3° de l'énoncé 5 est alors satisfaite. Or l'existence affirmée par cette condition entraîne que X engendre L. ◻
Soient X un ensemble et Y une partie de X. Le lecteur vérifiera facilement que l'ensemble ${\tilde {Y}}$ est contenu dans ${\tilde {X}}$ et que le groupe F(Y) est un sous-groupe de F(X). Puisque ${\tilde {Y}}$ est une partie génératrice (et même une base, comme on l'a vu) de F(Y), on peut préciser que F(Y) est le sous-groupe de F(X) engendré par ${\tilde {Y}}$.
Rappelons (voir chapitre Sous-groupe distingué et groupe quotient) que s'il existe un homomorphisme surjectif du groupe G sur le groupe H, on dit que H est un quotient de G.
Soient G un groupe et X une partie génératrice de G ; alors G est un quotient du groupe libre F(X).
Tout groupe est un quotient d'un groupe libre.
Démonstration. Notons $\varphi$ l'homomorphisme de F(X) dans G qui prolonge l'application $f:{\widetilde {X}}\to G:((x,1))\mapsto x.$ L'image de l'application f est la partie X de G, donc, puisque $\varphi$ prolonge f, l'image de $\varphi$ contient X. Puisque X est une partie génératrice de G et $\varphi$ un homomorphisme, il en résulte que $\varphi$ est surjectif. Donc G est isomorphe au quotient $F(X)/Ker\ \varphi$, ce qui prouve la première assertion de l'énoncé.
En prenant pour X l'ensemble (sous-jacent) de G, nous trouvons que G est un quotient du groupe libre F(G), ce qui prouve la seconde assertion de l'énoncé. ◻
Soient L un groupe, X une base de L et Y une partie génératrice de L ; alors
    $\vert X\vert \leq \vert Y\vert .$
Deux bases d'un même groupe ont toujours le même cardinal.
Démonstration. Puisque Y est une partie génératrice de L, il résulte de l'énoncé 9 que
    (1) L est un quotient de F(Y).
Donc
    (2) $\vert F(Y)\vert \geq \vert L\vert .$
Puisque X est une base de L, L est isomorphe à F(X) (énoncé 6), donc (2) peut s'écrire
    (3) $\qquad \vert F(Y)\vert \geq \vert F(X)\vert .$
Démontrons d'abord que la première assertion de l'énoncé est vraie si Y est infinie.
Supposons donc que
    (hyp. 4) la partie Y de G est infinie.
Rappelons que, de façon générale (voir un exercice de la série Groupes, premières notions),
    (5) si G est un groupe, si T est une partie génératrice infinie de G, alors $\vert G\vert =\vert T\vert .$
Puisque ${\widetilde {Y}}$ est équipotente à Y, elle est infinie ; puisque, de plus, ${\widetilde {Y}}$ est une partie génératrice (et même une base) de F(Y), la relation (5) donne
    $\vert F(Y)\vert =\vert {\widetilde {Y}}\vert ,$
d'où, puisque ${\widetilde {Y}}$ est équipotente à Y,
    $\vert F(Y)\vert =\vert Y\vert .$
D'après (3), on a donc
    (6) $\qquad \vert Y\vert \geq \vert F(X)\vert .$
Puisque ${\widetilde {X}}$ est équipotent à X et contenu dans F(X), nous avons $\vert F(X)\vert \geq \vert X\vert$, donc (6) donne
    $\vert Y\vert \geq \vert X\vert ,$
ce qui prouve que la première assertion de l'énoncé est vraie si Y est infinie.
Démontrons maintenant que la première assertion de l'énoncé est vraie si Y est finie.
Puisque X est une base de L et ${\widetilde {Y}}$ une base de F(Y), nous avons, d'après l'énoncé 3,
    (7) $\qquad \vert Hom(L,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\vert =2^{\vert X\vert }$
et
    (8) $\qquad \vert Hom(F(Y),\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\vert =2^{\vert Y\vert },$
où $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ désigne « le » groupe à deux éléments.
De façon générale, si un groupe H est un quotient d'un groupe G, on a, pour tout groupe K,
    (9) $\qquad \vert Hom(H,K)\vert \leq \vert Hom(G,K)\vert .$
(Voir un problème de la série Sous-groupe distingué, groupe quotient.)
Or on a vu en (1) que L est un quotient de F(Y). Donc, d'après (9),
    $\qquad \vert Hom(L,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\vert \leq \vert Hom(F(Y),\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\vert .$
D'après (7) et (8), cela peut s'écrire
    $2^{\vert X\vert }\leq 2^{\vert Y\vert }.$
Puisque nous supposons $\vert Y\vert$ fini, il en résulte que $\vert X\vert$ est lui aussi fini et que $\vert X\vert \leq \vert Y\vert$ (car l'application $n\mapsto 2^{n}$ de $\mathbb {N}$ dans lui-même est strictement croissante).
Cela achève la démonstration de la première assertion de l'énoncé. La seconde résulte clairement de la première. ◻
Remarques. 1° Pour démontrer la relation $2^{\vert X\vert }\leq 2^{\vert Y\vert },$ nous n'avons pas supposé que la partie Y est finie, mais nous avons fait cette supposition pour déduire de $2^{\vert X\vert }\leq 2^{\vert Y\vert }$ que $\vert X\vert \leq \vert Y\vert$. Il est nécessaire de distinguer les cas Y finie et Y infinie, car la question de savoir si pour tous ensembles infinis X et Y la relation $2^{\vert X\vert }\leq 2^{\vert Y\vert }$ entraîne $\vert X\vert \leq \vert Y\vert$ est indécidable dans l'axiomatique ZFC de la théorie des ensembles (sauf contradiction dans cette axiomatique).
2° Pour prouver que deux bases d'un même groupe libre ont toujours le même cardinal, on peut aussi démontrer que l'abélianisé d'un groupe libre de base X est un $\mathbb {Z}$-module admettant une base équipotente à X (un énoncé équivalent est démontré dans les exercices) et utiliser le fait que deux bases d'un même $\mathbb {Z}$-module ont toujours le même cardinal.
Le cardinal des bases d'un groupe libre est appelé le rang de ce groupe. D'après l'énoncé 10, c'est le plus petit cardinal de partie génératrice de ce groupe.
Remarques. 1° Le fait que deux bases d'un même groupe libre sont toujours équipotentes est une nouvelle analogie entre les bases d'un groupe libre et celles d'un espace vectoriel, le rang d'un groupe libre étant analogue à la dimension d'un espace vectoriel. Nous verrons toutefois dans les exercices de la série Groupes libres : théorème de Nielsen-Schreier qu'un groupe libre H sous-groupe d'un groupe libre L peut avoir un rang strictement supérieur à celui de L, ce qui rompt l'analogie entre groupes libres et espaces vectoriels.
2°. Nous avons vu (remarque 3° après la définition d'une base) qu'un groupe admet sa partie vide pour base si et seulement s'il est trivial (réduit à l'élément neutre). Cela revient à dire qu'un groupe est libre de rang 0 si et seulement s'il est trivial.
Soient F un groupe admettant une base X et G un groupe admettant une base Y. F et G sont isomorphes (si et) seulement si X et Y sont équipotentes.
Cela revient à dire que deux groupes libres sont isomorphes (si et) seulement s'ils ont le même rang.
Démonstration. Par construction, si X et Y sont équipotentes alors F(X) et F(Y) sont isomorphes.
Soit $f$ une bijection de X sur Y. Si $x_{1}^{\epsilon _{1}}\cdots x_{n}^{\epsilon _{n}}$ est un mot réduit sur X, alors $f(x_{1})^{\epsilon _{1}}\cdots f(x_{n})^{\epsilon _{n}}$ est un mot réduit sur Y. On a donc une application ${\bar {f}}$ de F(X) dans F(Y) qui envoie l'élément $x_{1}^{\epsilon _{1}}\cdots x_{n}^{\epsilon _{n}}$ de F(X) sur l'élément $f(x_{1})^{\epsilon _{1}}\cdots f(x_{n})^{\epsilon _{n}}$ de F(Y) et cette application ${\bar {f}}$ est une bijection de F(X) sur F(Y). Compte tenu de la définition des lois de groupe de F(X) et de F(Y) (juxtaposition suivie d'éventuelles réductions), ${\bar {f}}$ est un homomorphisme de F(X) dans F(Y) et donc un isomorphisme de F(X) sur F(Y).
D'après l'énoncé 6, F et G sont alors isomorphes.
Réciproquement, si $\sigma$ est un isomorphisme de F sur G, les parties génératrices de F ont pour images par $\sigma$ celles de G, et chacune est équipotente à son image, si bien que F et G ont même rang donc X et Y sont équipotentes. ◻
Remarque. On a vu (remarque 4° suivant la définition d'une base) que le singleton {1} est une base du groupe $(\mathbb {Z} ,+)$. Donc, d'après l'énoncé 11, un groupe est libre de rang 1 si et seulement s'il est isomorphe à $(\mathbb {Z} ,+)$.

## Parties libres d'un groupe

Soit G un groupe (non forcément libre), soit X une partie de G. Les conditions suivantes sont équivalentes :
    1° X est une base du sous-groupe de G qu'elle engendre;
    2° l'unique homomorphisme de F(X) dans G qui prolonge l'application $((x,1))\mapsto x$ de ${\widetilde {X}}$dans G est injectif;
    3° si $((x_{1},\epsilon _{1}),\ldots ,(x_{r},\epsilon _{r}))$ et $((y_{1},\zeta _{1}),\ldots ,(y_{s},\zeta _{s}))$ sont des mots signés réduits sur X tels que $x_{1}^{\epsilon _{1}}\cdots x_{r}^{\epsilon _{r}}=y_{1}^{\zeta _{1}}\cdots y_{s}^{\epsilon _{s}}$ selon la loi de G, ces deux mots signés sont égaux
    (autrement dit : si deux mots signés réduits sur X ont la même valeur dans G, ils sont égaux);
    4° si $((x_{1},\epsilon _{1}),\ldots ,(x_{r},\epsilon _{r}))$ est un mot signé réduit sur X tel que $x_{1}^{\epsilon _{1}}\cdots x_{r}^{\epsilon _{r}}=1$ selon la loi de G (autrement dit : si un mot signé réduit sur X a pour valeur dans G l'élément neutre de G), ce mot signé est le mot vide.
Démonstration. Notons <X> le sous-groupe de G engendré par X. D'après l'énoncé 5, le point 1° du présent énoncé équivaut à ce que l'unique homomorphisme $\varphi$ de F(X) dans <X> qui prolonge l'application $((x,1))\mapsto x$ de ${\widetilde {X}}$ dans <X> soit un isomorphisme. Comme l'image de $\varphi$ contient X, $\varphi$ est surjectif, donc dire que $\varphi$ est un isomorphisme revient à dire qu'il est injectif. Cela équivaut à ce que l'homomorphisme
    $\psi :F(X)\to G:w\mapsto \phi (w)$
soit injectif. Comme $\psi$ est l'unique homomorphisme de F(X) dans G qui prolonge l'application $((x,1))\mapsto x$ de ${\widetilde {X}}$dans G, nous avons prouvé que les conditions 1° et 2° de l'énoncé sont équivalentes. Notons toujours $\psi$ l'unique homomorphisme de F(X) dans G qui prolonge l'application $((x,1))\mapsto x$ de ${\widetilde {X}}$dans G. La valeur de $\psi$ en un mot réduit $((x_{1},\epsilon _{1}),\ldots ,(x_{r},\epsilon _{r}))$ est l'élément $x_{1}^{\epsilon _{1}}\cdots x_{r}^{\epsilon _{r}}$ de G, calculé selon la loi de G. Il en résulte que les conditions 2° et 3° de l'énoncé sont équivalentes. Il en résulte aussi (puisqu'un homomorphisme de groupes est injectif si et seulement si son noyau est trivial) que les conditions 2° et 4° de l'énoncé sont équivalentes. ◻
Une partie X d'un groupe G satisfaisant aux conditions équivalentes 1° à 4° de l'énoncé qui précède est appelée une partie libre de G.
Ce nouvel emploi du mot libre est un peu ambigu car un sous-groupe d'un groupe G peut être libre comme groupe mais n'est jamais une partie libre de G, par exemple parce qu'une partie libre de G ne comprend jamais le neutre de G. (Vérification facile, voir les exercices.)
De la caractérisation 3° ou 4° des parties libres, il résulte clairement que toute partie d'une partie libre d'un groupe est une partie libre de ce groupe.
Une partie d'un groupe est une base de ce groupe si et seulement si c'est une partie libre et génératrice de ce groupe.
Démonstration. Cela se déduit facilement, par exemple, de l'énoncé 8 et du fait qu'une partie d'un groupe est libre si et seulement cette partie est une base du sous-groupe qu'elle engendre. ◻
Remarque. On verra dans les exercices de la série Groupes libres : théorème de Nielsen-Schreier que le cardinal d'une partie libre d'un groupe libre L peut être strictement supérieur au rang de L.

## Seconde forme des éléments de F(X)

Soit X un ensemble. Pour un élément $x$ de X, notons ${\tilde {x}}$ l'élément $((x,1))$ de ${\tilde {X}}$. Tout élément de F(X) peut se mettre d'une et une seule façon sous la forme
    ${\widetilde {x_{1}}}^{n_{1}}\cdots {\widetilde {x_{r}}}^{n_{r}}$,
où $r$ est un nombre naturel ($\geq 0$), où $x_{1},\ldots ,x_{r}$ est une séquence d'éléments de X dans laquelle deux éléments consécutifs ne sont jamais égaux et où $n_{1},\ldots ,n_{r}$ sont des entiers relatifs tous distincts de 0. Il ne serait pas bien difficile de le démontrer ici, mais nous ne le ferons pas, parce que l'étude des produits libres nous fournira un énoncé plus satisfaisant.