# Signaux physiques (PCSI)/Filtrage linéaire : fonction de transfert harmonique et diagramme de Bode, 2ème partie
## Définition d'une fonction de transfert harmonique d'un quadripôle linéaire en régime sinusoïdal forcé, propriétés fondamentales d'une fonction de transfert « dépendante de la sortie » mais « indépendante de l'entrée »

Voir le paragraphe « Définition d'une fonction de transfert harmonique d'un quadripôle linéaire en régime sinusoïdal forcé, propriétés fondamentales d'une fonction de transfert “ dépendante de la sortie ” mais “ indépendante de l'entrée ” » du chap.$33$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

## Diagramme de Bode associé à une fonction de transfert harmonique, courbe de gain et courbe de phase

Voir le paragraphe « Diagramme de Bode associé à une fonction de transfert harmonique, courbe de gain et courbe de phase » du chap.$33$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

## Différentes fonctions de transfert du 1er ordre et leur diagramme de Bode associé, comportements asymptotiques B.F. ou H.F.

Voir le paragraphe « Différentes fonctions de transfert du 1er ordre et leur diagramme de Bode associé, comportements asymptotiques B.F. ou H.F. » du chap.$33$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

## Différentes fonctions de transfert du 2ème ordre et leur diagramme de Bode associé, comportements asymptotiques B.F. ou H.F.
### Définition d'une fonction de transfert du 2ème ordre

Une fonction de transfert $\;{\underline {H}}(j\,\omega )\;$ est dite du « 2ème ordre » quand, écrite sous forme d'un quotient irréductible de polynômes en$\;j\,\omega$, le « dénominateur $\;{\underline {D}}(j\,\omega )\;$ est un polynôme de degré $\;2\;$» ;
la fonction de transfert sera dite « sous forme normalisée » si le « monôme de degré 0 de $\;{\underline {D}}(j\,\omega )\;$ est $\;1\;$», ainsi une fonction de transfert du « 2ème ordre » s'écrit, « sous forme normalisée », selon
$\;{\underline {H}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {N}}(j\,\omega )}{1+j\,\alpha '\,\omega -\beta '\,\omega ^{2}}}\;$
$\;\alpha '\,\in \mathbb {R} \;$
$\;\beta '\,\in \mathbb {R} ^{*}\;$
$\;{\underline {N}}(j\,\omega )\;$
$\;0$
$\;1\;$
$\;2\;$
Remarque : si le quadripôle ne contient que des « conducteurs ohmiques, bobines et condensateurs », le cœfficient «$\;\alpha '\;$ est $\;>0$, homogène à une constante de temps » et le cœfficient «$\;\beta '\;$ est aussi $\;>0$, homogène à un carré de constante de temps », on pose alors «$\;\beta '={\dfrac {1}{\omega _{0}^{2}}}\;$» avec $\;\omega _{0}>0\;$ définissant la « pulsation propre » du système ainsi que «$\;\alpha '={\dfrac {1}{Q\;\omega _{0}}}\;$» avec $\;Q>0\;$ définissant le « facteur de qualité » du système et la fonction de transfert du « 2ème ordre » peut se réécrire sous forme normalisée selon
$\;{\underline {H}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {N}}(j\,\omega )}{1+j\,{\dfrac {\omega }{Q\;\omega _{0}}}-{\dfrac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}}}\;$
$\;\omega _{0}\,\in \mathbb {R} ^{+\,*}$
$\;Q\,\in \mathbb {R} ^{+\,*}\;$
$\;{\underline {N}}(j\,\omega )\;$
$\;0$
$\;1\;$
$\;2\;$
$\;x={\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}\;$
$\;{\underline {H}}(j\,x)={\dfrac {{\underline {N}}(j\,x)}{1+j\,{\dfrac {x}{Q}}-x^{2}}}\;$
$\;{\underline {D}}(j\,x)=1-x^{2}+j\,{\dfrac {x}{Q}}\;$

### Fonction de transfert du 2ème ordre « du type réponse en intensité du courant traversant le conducteur ohmique d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »
#### Rappel de la réponse en intensité du courant traversant le conducteur ohmique d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable

Il convient bien sûr de faire un schéma de situation en complexe associé au r.s.f. de pulsation $\;\omega$, « la tension instantanée complexe imposée au $\;R\,L\,C\;$ série étant $\;{\underline {u_{e}}}(t)={\underline {U_{e}}}\;{\sqrt {2}}\;\exp(j\,\omega \,t)\;$» Il convient bien sûr de faire un schéma de situation en complexe associé au r.s.f. de pulsation $\;\color {transparent}{\omega }$, avec «$\;{\underline {U_{e}}}=U_{e}\;\exp(j\,\varphi _{u_{e}})\;$ la tension efficace complexe associée ».
De façon à faire apparaître un transfert de tension $\;{\big$plus exactement une amplification complexe en tension en sortie ouverte${\big )}\;$ nous étudions la « réponse en tension aux bornes du conducteur ohmique $\;u_{R}(t)\;$ du $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante », réponse en $\;u_{R}(t)\;$ qui est $\;\propto$, $\;{\big$de facteur multiplicatif $\;R{\big )}$, à l'intensité $\;i(t)\;$ du courant traversant le conducteur ohmique $\;{\big$ou le $\;R\,L\,C\;$ série en sortie ouverte${\big )}$, l'amplification complexe en tension «$\;{\underline {A_{R,\,v}}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {u_{R,\,v}}}(t)}{{\underline {u_{e}}}(t)}}={\dfrac {{\underline {U_{R,\,v}}}(j\,\omega )}{\underline {U_{e}}}}\;$» s'obtenant par pont diviseur de tension en sortie ouverte selon «$\;{\underline {u_{R,\,v}}}(t)$ $={\dfrac {R}{{\underline {Z_{R\,L\,C\,{\text{série}}}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {u_{e}}}(t)\;$ $\Rightarrow$ $\;{\underline {A_{R,\,v}}}(j\,\omega )={\dfrac {R}{{\underline {Z_{R\,L\,C\,{\text{série}}}}}(j\,\omega )}}={\dfrac {R}{R+j\,L\,\omega +{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}}}\;$» ou, en multipliant haut et bas par $\;j\,C\,\omega$, la forme normalisée usuelle de l'amplification complexe en tension aux bornes du conducteur ohmique en sortie ouverte
$\;{\underline {A_{R,\,v}}}(j\,\omega )={\dfrac {j\,R\,C\,\omega }{1-L\,C\,\omega ^{2}+j\,R\,C\,\omega }}\;$
introduisant la « pulsation propre $\;\omega _{0}={\dfrac {1}{\sqrt {L\,C}}}\;$» et le « facteur de qualité $\;Q={\dfrac {L\,\omega _{0}}{R}}={\dfrac {1}{R\,C\,\omega _{0}}}\;$» du $\;R\,L\,C\;$ série ainsi que la « pulsation réduite $\;x={\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}\;$», introduisant on obtient, en « remplaçant $\;\omega \;$ par $\;\omega _{0}\;x\;$», la « forme canonique réduite et normalisée usuelle de l'amplification complexe en tension aux bornes du conducteur ohmique en sortie ouverte » «$\;{\underline {A_{R,\,v}}}(j\,\omega )$ $={\dfrac {j\,R\,C\,\omega _{0}\,x}{1-{\cancel {L\,C\,\omega _{0}^{2}}}\,x^{2}+j\,R\,C\,\omega _{0}\,x}}\;$»$^,$ soit, introduisant on obtient, en « reconnaissant en $\;R\,C\,\omega _{0}\;$ l'inverse du facteur de qualité », la « forme canonique réduite et normalisée de l'amplification complexe en tension aux bornes du conducteur ohmique en sortie ouverte écrite sous sa forme usuelle »
$\;{\underline {A_{R,\,v}}}(j\,x)={\dfrac {j\,{\dfrac {x}{Q}}}{1-x^{2}+j\,{\dfrac {x}{Q}}}}\;$
$\;u_{R}(t)\;$
$\;R\,L\,C\;$
$\;j\,x\;$
$\;1\;$

#### Définition d'une fonction de transfert du 2ème ordre « du type réponse en u$_R$ d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension »

$\;u_{R}\;$
$\;R\,L\,C\;$
$\;{\underline {H}}(j\,\omega )={\dfrac {j\,\gamma '\,\omega }{1-\beta '\,\omega ^{2}+j\,\alpha '\,\omega }}\;$
$\;\gamma '\;\in \,\mathbb {R} ^{*}\;$
$\;\beta '\in \mathbb {R} ^{+\,*}\;$
$\;\alpha '\in \mathbb {R} ^{+\,*}\;$
Grandeurs canoniques : l'identification du dénominateur de la fonction de transfert écrite sous sa forme normalisée usuelle avec $\;1-x^{2}+j\,{\dfrac {x}{Q}}\;$ ${\big$caractérisant un 2ème ordre${\big )}\;$ dans laquelle «$\;x={\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}\;$ est la pulsation réduite », «$\;\omega _{0}\;$ définissant la pulsation propre » et «$\;Q\;$ le facteur de qualité » du système, permet d'évaluer  Grandeurs canoniques : $\succ \;$la « pulsation propre $\;\omega _{0}\in \mathbb {R} ^{+\,*}\;$» par $\;\beta '\;\omega ^{2}=x^{2}={\dfrac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}\;\;\forall \;\omega \;$ d'où «$\;\omega _{0}={\dfrac {1}{\sqrt {\beta '}}}\;$» et  Grandeurs canoniques : $\succ \;$le « facteur de qualité $\;Q\in \mathbb {R} ^{+\,*}\;$» par $\;\alpha '\;\omega ={\dfrac {x}{Q}}={\dfrac {\omega }{Q\;\omega _{0}}}\;\;\forall \;\omega \;$ d'où «$\;Q={\dfrac {1}{\alpha '\;\omega _{0}}}\;$».
Réécriture de la fonction de transfert : avec l'introduction de ces deux grandeurs canoniques $\;\left(\omega _{0}\,,\,Q\right)\;$ et celle de la pulsation réduite $\;x={\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}$, la fonction de transfert « du type réponse en $\;u_{R}\;$ d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » se réécrit sous forme canonique réduite usuelle selon
$\;{\underline {H}}(j\,x)={\dfrac {j\,\alpha \,x}{1-x^{2}+j\,{\dfrac {x}{Q}}}}\;$
$\;\alpha \;=\gamma '\;\omega _{0}\in \,\mathbb {R} ^{*}\;$
$\;x\in \mathbb {R} ^{+}\;$
$\;Q\in \mathbb {R} ^{+\,*}\;$

#### Autre exemple, filtre de Wien : « R$_1$ série C$_1$ » en série avec « R$_2$ parallèle C$_2$ », sortie ouverte aux bornes de « R$_2$ parallèle C$_2$ » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension »

Bien sûr il convient d'ajouter un schéma en électricité complexe associée au r.s.f. de pulsation $\;\omega$, « la tension instantanée complexe d'entrée étant $\;{\underline {u_{e}}}(t)=$ ${\underline {U_{e}}}\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$» avec «$\;{\underline {U_{e}}}=$ $U_{e}\;\exp \!\left(j\,\varphi _{u_{e}}\right)\;$ la tension efficace complexe d'entrée », «$\;{\underline {Z_{R_{1}\,{\text{série}}\,C_{1}}}}(j\,\omega )=R_{1}+{\dfrac {1}{j\,C_{1}\,\omega }}={\dfrac {1+j\,R_{1}\,C_{1}\,\omega }{j\,C_{1}\,\omega }}\;$ étant l'impédance complexe d'attaque du P.D.T. »$^,$ et «$\;{\underline {Z_{R_{2}\,\parallel \,C_{2}}}}(j\,\omega )=$ ${\dfrac {R_{2}\;{\dfrac {1}{j\;C_{2}\;\omega }}}{R_{2}+{\dfrac {1}{j\;C_{2}\;\omega }}}}={\dfrac {R_{2}}{1+j\,R_{2}\,C_{2}\,\omega }}\;$ l'impédance complexe aux bornes de laquelle on prélève la tension instantanée complexe de sortie ouverte $\;{\underline {u_{s,\,v}}}(t)={\underline {U_{s,\,v}}}\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$» avec «$\;{\underline {U_{s,\,v}}}=$ $U_{s,\,v}\;\exp \!\left(j\,\varphi _{u_{s,\,v}}\right)\;$ la tension efficace complexe de sortie ouverte » ;
on cherche l'amplification complexe en tension du Q.L.P. constitué du P.D.T. alimenté en entrée sous $\;u_{e}(t)=U_{e}\;{\sqrt {2}}\;\cos(\omega \,t+\varphi _{u_{e}})\;$ et en sortie ouverte aux bornes de l'association «$\;R_{2}\,\parallel \,C_{2}\;$» c'est-à-dire «$\;{\underline {A_{v}}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {u_{s,\,v}}}(t)}{{\underline {u_{e}}}(t)}}={\dfrac {{\underline {U_{s,\,v}}}(j\,\omega )}{\underline {U_{e}}}}\;$» que l'on obtient sans difficulté par « formule de tension efficace complexe de sortie ouverte du P.D.T. alimenté sous tension efficace complexe d'entrée $\;{\underline {U_{s,\,v}}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {Z_{R_{2}\,\parallel \,C_{2}}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{R_{1}\,{\text{série}}\,C_{1}}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{R_{2}\,\parallel \,C_{2}}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {U_{e}}}\;$»$^,$ soit «$\;{\underline {A_{v}}}(j\,\omega )$ $={\dfrac {{\underline {U_{s,\,v}}}(j\,\omega )}{\underline {U_{e}}}}={\dfrac {\dfrac {R_{2}}{1+j\,R_{2}\,C_{2}\,\omega }}{{\dfrac {1+j\,R_{1}\,C_{1}\,\omega }{j\,C_{1}\,\omega }}+{\dfrac {R_{2}}{1+j\,R_{2}\,C_{2}\,\omega }}}}\;$» donnant, en multipliant haut et bas par $\;\left(j\,C_{1}\,\omega \right)\left(1+j\,R_{2}\,C_{2}\,\omega \right)$, l'amplification complexe en tension cherchée «$\;{\underline {A_{v}}}(j\,\omega )={\dfrac {j\,R_{2}\,C_{1}\,\omega }{\left(1+j\,R_{1}\,C_{1}\,\omega \right)\left(1+j\,R_{2}\,C_{2}\,\omega \right)+j\,R_{2}\,C_{1}\,\omega }}\;$» soit, en développant le dénominateur puis en regroupant les termes,
$\;{\underline {A_{v}}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {U_{s,\,v}}}(j\,\omega )}{\underline {U_{e}}}}={\dfrac {j\,R_{2}\,C_{1}\,\omega }{1-R_{1}\,R_{2}\,C_{1}\,C_{2}\,\omega ^{2}+j\left(R_{1}\,C_{1}+R_{2}\,C_{2}+R_{2}\,C_{1}\right)\omega }}\;$
$\;u_{R}\;$
$\;R\,L\,C\;$
Détermination des grandeurs caractéristiques du filtre de Wien :
* « pulsation propre $\;\omega _{0}\;$» par identification du cœfficient de $\;\omega ^{2}\;$ du dénominateur soit «$\;-{\dfrac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}=-R_{1}\,R_{2}\,C_{1}\,C_{2}\,\omega ^{2}\;\;\forall \;\omega \;$» d'où «$\;\omega _{0}={\dfrac {1}{\sqrt {R_{1}\,R_{2}\,C_{1}\,C_{2}}}}\;$»,
* « facteur de qualité $\;Q\;$» par identification du cœfficient de $\;\omega \;$ du dénominateur soit «$\;j\,{\dfrac {\omega }{Q\;\omega _{0}}}=j\left(R_{1}\,C_{1}+R_{2}\,C_{2}+R_{2}\,C_{1}\right)\omega \;\;\forall \;\omega \;$» d'où «$\;Q=$ ${\dfrac {1}{\left(R_{1}\,C_{1}+R_{2}\,C_{2}+R_{2}\,C_{1}\right)\omega _{0}}}\;$» et
* « facteur $\;\alpha \;$» par identification du cœfficient de $\;\omega \;$ du numérateur soit «$\;j\,\alpha \,{\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}=j\,R_{2}\,C_{1}\,\omega \;\;\forall \;\omega \;$» d'où «$\;\alpha =R_{2}\,C_{1}\,\omega _{0}\;$».

#### Rappel des propriétés de la « réponse en u$_R$ d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension »

Les propriétés étant les mêmes que celles du filtre prototype « réponse en tension aux bornes du conducteur ohmique d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace fixée et de fréquence variable » et leur démonstration se faisant de la même façon, nous vous renvoyons au paragraphe « établissement (théorique) de la réponse sinusoïdale forcée en intensité du courant traversant un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable par méthode des complexes (et par diagramme de Fresnel), fréquence de résonance en intensité, nullité du déphasage à la résonance en intensité » du chap.$31$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » en les rappelant succinctement ci-dessous :
* il y a résonance en grandeur de sortie du système pour la fréquence propre de ce dernier quelle que soit la valeur de son facteur de qualité, pour établir ceci il faut mettre la fonction de transfert sous sa forme canonique pratique $\;{\big$correspondant à un numérateur constant${\big )}\;$ obtenue en divisant haut et bas par $\;j\,{\dfrac {x}{Q}}\;$ ce qui donne «$\;{\underline {H}}(j\,x)={\dfrac {\alpha \;Q}{1+j\,Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)}}\;$», le gain s'écrivant alors «$\;G(x)=$ ${\dfrac {\vert \alpha \vert \,Q}{\sqrt {1+Q^{2}\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)^{\!2}}}}\;$», le gain à la résonance valant «$\;G_{\text{max}}=$ $G(x=1)=\vert \alpha \vert \,Q\;$», revoir le paragraphe « résonance en intensité du courant traversant le R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » du chap.$31$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ;
* la phase à la résonance est nulle si$\;\alpha \;$est$\;>0\;$ ${\big \$et elle vaut $\;\pi \;$ si $\;\alpha \;$ est $\;<0{\big \}$, la phase s'obtenant simplement en utilisant la forme canonique pratique de la fonction de transfert selon «$\;\varphi (x)=$ $\mathrm {arg} \!\left[\alpha \right]-\arctan \!\left[Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)\right]\;$» avec «$\;\mathrm {arg} \!\left[\alpha \right]=\left\lbrace {\begin{array}{c}0\;{\text{si }}\;\alpha >0\\\pi \;{\text{si }}\;\alpha <0\end{array}}\right\rbrace \;$», revoir le paragraphe « valeur du déphasage à la résonance en intensité du courant traversant le R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » du chap.$31$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ;
* le filtre est un passe-bande quelle que soit le facteur de qualité, l'« acuité de la résonance définie selon $\;{\mathcal {A}}={\dfrac {f_{0}}{\Delta f}}\;$» avec «$\;\Delta f=B.P._{-3dB}\;$ la bande passante à $\;-3\;dB\;$ du filtre », valant «$\;{\mathcal {A}}=Q\;$», revoir le paragraphe « nature du filtre de la réponse sinusoïdale forcée en intensité d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » d'une part et celui « de détermination des fréquences de coupure à -3dB de la réponse sinusoïdale forcée en intensité d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » ou « de détermination directe de la bande passante à -3dB de la réponse sinusoïdale forcée en intensité d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » ainsi que celui concernant « l'acuité de la résonance en intensité d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » d'autre part du chap.$31$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ;
* la phase pour les fréquences de coupure à$\;-3\;dB\;$ valant «$\;\varphi (x_{c})=\mathrm {arg} \!\left[\alpha \right]+\left\lbrace {\begin{array}{c}-{\dfrac {\pi }{4}}\;{\text{pour }}x_{c,\,h}\\\;{\dfrac {\pi }{4}}\;\;{\text{pour }}x_{c,\,b}\end{array}}\right\rbrace \;$», découlant des équations définissant les fréquences réduites de coupure haute et basse à $\;-3\;dB$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}Q\left(x_{c,\,h}-{\dfrac {1}{x_{c,\,h}}}\right)=1\\Q\left(x_{c,\,b}-{\dfrac {1}{x_{c,\,b}}}\right)=-1\end{array}}\right\rbrace \;$» et de l'expression de la phase en fonction de $\;x$, soit «$\;\varphi (x_{c})=\left\lbrace {\begin{array}{c}-{\dfrac {\pi }{4}}\;{\text{pour }}x_{c,\,h}\\\;{\dfrac {\pi }{4}}\;\;{\text{pour }}x_{c,\,b}\end{array}}\right\rbrace \;$ si $\;\alpha \;$ est $\;>0\;$» et «$\;\varphi (x_{c})=\left\lbrace {\begin{array}{c}{\dfrac {3\;\pi }{4}}\;{\text{pour }}x_{c,\,h}\\\;{\dfrac {5\;\pi }{4}}\;\;{\text{pour }}x_{c,\,b}\end{array}}\right\rbrace \;$ si $\;\alpha \;$ est $\;<0\;$», revoir le paragraphe « valeurs particulières du déphasage à la résonance en intensité et aux fréquences de coupure à -3dB » du chap.$31$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

#### Équivalents B.F. et H.F. de la fonction de transfert du 2ème ordre « du type réponse en u$_R$ d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension » et conséquences
##### Équivalents B.F. de la fonction de transfert du 2ème ordre « du type réponse en u$_R$ d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension » et conséquences

Se situant en B.F. si «$\;x\ll x_{0}=1\;$» ce qui est « approximativement réalisé si $\;x\lesssim {\dfrac {x_{0}}{10}}={\dfrac {1}{10}}\;$», Se situant en B.F. si «$\;\color {transparent}{x\ll x_{0}=1}\;$» nous obtenons l'« équivalent B.F. de la fonction de transfert selon $\;{\underline {H}}(j\,x)={\dfrac {j\,\alpha \,x}{1\;{\cancel {-x^{2}+j\,{\dfrac {x}{Q}}}}}}\sim j\,\alpha \,x\;$» et Se situant en B.F. si «$\;\color {transparent}{x\ll x_{0}=1}\;$» nous en déduisons :
* en en prenant le module, le « gain à B.F. $\;G_{B.F.}\sim \vert \alpha \vert \;x\;$» dont nous tirons le « gain en dB à B.F. $\;G_{dB,\,B.F.}\simeq 20\;\log \!\left[\vert \alpha \vert \right]+20\;\log(x)\;$» $\;{\big$équation de la droite croissante de pente $\;+20\;dB/{\text{décade}}\;$ avec laquelle la courbe de gain du diagramme de Bode se confond à B.F.${\big )}\;$ c'est-à-dire que la courbe de gain du diagramme de Bode admet pour « équation de l'asymptote B.F. $\;G_{dB,\,{\text{asymptote}}\,B.F.}=20\;\log \!\left[\vert \alpha \vert \right]+20\;\log(x)\;$» et
* en en prenant l'argument en en prenant l'argument $\;\succ \;$« dans la mesure où $\;\alpha \;$ est $\;>0\;$», la « phase à B.F. $\;\varphi _{B.F.}\sim {\dfrac {\pi }{2}}\;$» $\;{\big$équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode se confond à B.F.${\big )}\;$ c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode admet pour « équation de l'asymptote B.F. $\;\varphi _{{\text{asymptote}}\,B.F.}={\dfrac {\pi }{2}}\;$» ou en en prenant l'argument $\;\succ \;$« dans la mesure où $\;\alpha \;$ est $\;<0\;$», la « phase à B.F. $\;\varphi _{B.F.}\sim \pi +{\dfrac {\pi }{2}}={\dfrac {3\;\pi }{2}}\;$» $\;{\big$équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode se confond à B.F.${\big )}\;$ c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode admet pour « équation de l'asymptote B.F. $\;\varphi _{{\text{asymptote}}\,B.F.}={\dfrac {3\;\pi }{2}}\;$».

##### Équivalents H.F. de la fonction de transfert du 2ème ordre « du type réponse en u$_R$ d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension » et conséquences

Se situant en H.F. si «$\;x\gg x_{0}=1\;$» ce qui est « approximativement réalisé si $\;x\gtrsim 10\;x_{0}=10\;$», Se situant en H.F. si «$\;\color {transparent}{x\gg x_{0}=1}\;$» nous obtenons l'« équivalent H.F. de la fonction de transfert selon $\;{\underline {H}}(j\,x)={\dfrac {j\,\alpha \,x}{{\cancel {1}}-x^{2}\;{\cancel {+j\,{\dfrac {x}{Q}}}}}}\sim {\dfrac {\alpha }{j\,x}}\;$» et Se situant en H.F. si «$\;\color {transparent}{x\gg x_{0}=1}\;$» nous en déduisons :
* en en prenant le module, le « gain à H.F. $\;G_{H.F.}\sim {\dfrac {\vert \alpha \vert }{x}}\;$» dont nous tirons le « gain en dB à H.F. $\;G_{dB,\,H.F.}\simeq 20\;\log \!\left[\vert \alpha \vert \right]-20\;\log(x)\;$» $\;{\big$équation de la droite décroissante de pente $\;-20\;dB/{\text{décade}}\;$ avec laquelle la courbe de gain du diagramme de Bode se confond à H.F.${\big )}\;$ c'est-à-dire que la courbe de gain du diagramme de Bode admet pour « équation de l'asymptote H.F. $\;G_{dB,\,{\text{asymptote}}\,H.F.}=20\;\log \!\left[\vert \alpha \vert \right]-20\;\log(x)\;$» et
* en en prenant l'argument en en prenant l'argument $\;\succ \;$« dans la mesure où $\;\alpha \;$ est $\;>0\;$», la « phase à H.F. $\;\varphi _{H.F.}\sim -{\dfrac {\pi }{2}}\;$» $\;{\big$équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode se confond à H.F.${\big )}\;$ c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode admet pour « équation de l'asymptote H.F. $\;\varphi _{{\text{asymptote}}\,H.F.}=-{\dfrac {\pi }{2}}\;$» ou en en prenant l'argument $\;\succ \;$« dans la mesure où $\;\alpha \;$ est $\;<0\;$», la « phase à H.F. $\;\varphi _{H.F.}\sim \pi -{\dfrac {\pi }{2}}={\dfrac {\pi }{2}}\;$» $\;{\big$équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode se confond à H.F.${\big )}\;$ c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode admet pour « équation de l'asymptote H.F. $\;\varphi _{{\text{asymptote}}\,H.F.}=\pi -{\dfrac {\pi }{2}}={\dfrac {\pi }{2}}\;$».

#### Tracé de la courbe de gain du diagramme de Bode

On trace d'abord les asymptotes B.F. $\;{\big$de pente $\;+20dB/{\text{décade}}{\big )}\;$ et H.F. $\;{\big$de pente $\;-20dB/{\text{décade}}{\big )}\;$ « se coupant en un point d'abscisse $\;x_{0}=1\;$ égale à la fréquence réduite de résonance et d'ordonnée $\;20\;\log \!\left[\vert \alpha \vert \right]\;$», l'ensemble des deux asymptotes constituant la courbe de gain du diagramme de Bode asymptotique $\;{\big$en tiretés ci-contre${\big )}$ ;
la courbe de gain du diagramme de Bode $\;{\big$en traits pleins ci-contre${\big )}\;$ se confondant avec celle du diagramme de Bode asymptotique $\;{\big$en tiretés ci-contre${\big )}\;$ sauf sur « un intervalle de un peu moins d'une décade de part et d'autre de la fréquence réduite de résonance », il suffit de positionner le « point d'abscisse $\;x_{0}=1\;$ et d'ordonnée $\;G_{dB}(x_{0}=1)=$ $20\;\log \!\left[\vert \alpha \vert \right]+20\;\log(Q)\;$ $\;20\;\log(Q)\;$ au-dessus du point d'intersection des deux asymptotes » puis de raccorder les asymptotes et ce point « de façon régulière » ;
la courbe de gain du diagramme de Bode ci-contre correspond à un exemple pour lequel le facteur de qualité vaut $\;Q=10\;$ et le cœfficient $\;\alpha \;$ de $\;j\,x\;$ du monôme du numérateur de la fonction de transfert vaut $\;\alpha =-2\;\ldots$
Remarques : en partant de la forme canonique réduite pratique de la fonction de transfert, on obtient l'« équation de la courbe de gain du diagramme de Bode sous la forme $\;G_{dB}(x)=20\;\log \!\left[{\dfrac {\vert \alpha \vert \,Q}{\sqrt {1+Q^{2}\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)^{\!2}}}}\right]\;$» montrant Remarques : l'invariance du gain en dB lors du changement de $\;x\;$ en $\;{\dfrac {1}{x}}\;$ ou, Remarques : l'invariance du gain en dB lors du changement de $\;\log(x)\;$ en $\;-\log(x)$, ce qui établit que Remarques : la courbe de gain du diagramme de Bode est invariante par symétrie axiale relativement à la droite$\;x=1$ ; Remarques : le maximum de la courbe de gain du diagramme de Bode étant sur l'axe de symétrie et Remarques : les fréquences de coupure à $\;-3\;dB\;$ étant définies par la « même valeur du gain $\;G(x_{c})={\dfrac {G_{\text{max}}}{\sqrt {2}}}\;$», on en déduit : Remarques : « les points de la courbe de gain du diagramme de Bode correspondant aux deux fréquences de coupure à $\;-3\;dB\;$ sont symétriques relativement à l'axe de symétrie » et par conséquent Remarques : « les fréquences de coupure à $\;-3\;dB\;$ ont des logarithmes opposés ».

#### Tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode

Tout d'abord on cherche le sens de variation de la phase et pour cela il est intéressant de prendre la fonction de transfert réduite sous sa forme canonique pratique «$\;{\underline {H}}(j\,x)={\dfrac {\alpha \;Q}{1+j\,Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)}}\;$» dont on tire la phase «$\;\varphi (x)=$ $\mathrm {arg} \!\left[\alpha \right]-\arctan \!\left[Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)\right]=$ $\left\lbrace {\begin{array}{r}-\arctan \!\left[Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)\right]\;\;{\text{si }}\;\alpha >0\\\pi -\arctan \!\left[Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)\right]\;\;{\text{si }}\;\alpha <0\end{array}}\right\rbrace \;$» qui est une fonction $\;\searrow \;$ de $\;x$ ; dans la suite nous nous plaçons dans le cas où «$\;\alpha \;$ est $\;<0\;$» ;
on trace ensuite les asymptotes B.F. $\;{\bigg$de pente nulle et de valeur $\;{\dfrac {3\;\pi }{2}}{\bigg )}\;$ et H.F. $\;{\bigg$de pente nulle et de valeur $\;{\dfrac {\pi }{2}}{\bigg )}$, l'ensemble des deux asymptotes constituant la courbe de phase du diagramme de Bode asymptotique $\;{\big$en tiretés ci-contre${\big )}$ ;
la courbe de phase du diagramme de Bode $\;{\big$en traits pleins ci-contre${\big )}\;$ se confondant très approximativement avec celle du diagramme de Bode asymptotique $\;{\big$en tiretés ci-contre${\big )}\;$ sauf sur « un intervalle de plus d'une décade de part et d'autre de la fréquence réduite de résonance », il suffit de positionner le « point d'abscisse $\;x_{0}=1\;$ à l'ordonnée $\;\varphi (x_{0}=1)=\pi \;$» puis de raccorder les asymptotes et ce point « de façon régulière » ;
la courbe de phase du diagramme de Bode ci-contre correspond à celle associée à l'exemple dont on a tracé la courbe de gain pour lequel le facteur de qualité vaut $\;Q=10\;$ et le cœfficient $\;\alpha \;$ de $\;j\,x\;$ du monôme du numérateur de la fonction de transfert $\;\alpha =-2\;\ldots$
Remarque : à partir de l'équation de la courbe de phase du diagramme de Bode d'un 2ème ordre « du type réponse en $\;u_{R}\;$ d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » «$\;\varphi (x)=$ $\left\lbrace {\begin{array}{r}-\arctan \!\left[Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)\right]\;\;{\text{si }}\;\alpha >0\\\pi -\arctan \!\left[Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)\right]\;\;{\text{si }}\;\alpha <0\end{array}}\right\rbrace \;$», on remarque que Remarque : l'expression $\;-\arctan \!\left[Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)\right]\;$ devient son opposée lors du changement de $\;x\;$ en $\;{\dfrac {1}{x}}\;$ ou, Remarque : l'expression $\;\color {transparent}{-\arctan \!\left[Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)\right]}\;$ devient son opposée lors du changement de $\;\log(x)\;$ en $\;-\log(x)$, d'où Remarque : la courbe de phase du diagramme de Bode est invariante par symétrie centrale de centre$\;\left(x=1\,,\,\varphi =0\right)\;$ si $\;\alpha \;$ est $\;>0\;$ ou de centre$\;\left(x=1\,,\,\varphi =\pi \right)\;$ si $\;\alpha \;$ est $\;<0$.

#### Interprétation de « l'équivalent B.F. » de la fonction de transfert : circuit « pseudo-dérivateur »

À B.F. c'est-à-dire si la pulsation réduite «$\;x={\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}\;$ est $\;<\;$ à $\;{\dfrac {1}{10}}\;$» ou si la pulsation «$\;\omega \;$ est $\;<\;$ à $\;{\dfrac {\omega _{0}}{10}}\;$» ou encore si la fréquence «$\;f={\dfrac {\omega }{2\,\pi }}\;$ est $\;<\;$ à $\;{\dfrac {\omega _{0}}{20\,\pi }}=$ ${\dfrac {f_{0}}{10}}\;$», À B.F. la fonction de transfert est « équivalente à $\;{\underline {H}}(j\,x)\sim j\,\alpha \,x\;$» ou, en éliminant la pulsation réduite au profit de la pulsation par $\;x={\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}$, À B.F. la fonction de transfert est « équivalente à $\;{\underline {H}}(j\,\omega )\sim {\dfrac {\alpha }{\omega _{0}}}\;j\,\omega \;$» et, en considérant comme fonction de transfert l'« amplification complexe en tension $\;{\underline {A}}(j\,\omega )=$ ${\dfrac {{\underline {u_{s}}}(t)}{{\underline {u_{e}}}(t)}}$» À B.F. la fonction de transfert est « équivalente à $\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {u_{s}}}(t)}{{\underline {u_{e}}}(t)}}\sim {\dfrac {\alpha }{\omega _{0}}}\;j\,\omega \;$» dont on tire la tension instantanée complexe de sortie en fonction de la tension instantanée complexe d'entrée selon
$\;{\underline {u_{s}}}(t)\sim {\dfrac {\alpha }{\omega _{0}}}\;j\,\omega \;{\underline {u_{e}}}(t)\;$
or nous savons qu'en électricité complexe associée au r.s.f. « multiplier la grandeur instantanée complexe par $\;j\,\omega \;$» est équivalent à « effectuer une dérivation temporelle » d'où «$\;{\underline {u_{s}}}(t)\sim {\dfrac {\alpha }{\omega _{0}}}\;{\dfrac {d{\underline {u_{e}}}}{dt}}(t)\;$» ou, en revenant aux grandeurs instantanées sinusoïdales
$\;u_{s}(t)\sim {\dfrac {\alpha }{\omega _{0}}}\;{\dfrac {du_{e}}{dt}}(t)={\dfrac {\alpha }{2\,\pi \,f_{0}}}\;{\dfrac {du_{e}}{dt}}(t)\;$
$\;f<{\dfrac {f_{0}}{10}}\;$
En conclusion, à B.F. soit pratiquement «$\;f<{\dfrac {f_{0}}{10}}\;$», on observe un fonctionnement « dérivateur » du système linéaire du 2ème ordre « du type réponse en $\;u_{R}\;$ d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable », cela se manifeste par En conclusion, à B.F. soit pratiquement «$\;\color {transparent}{f<{\dfrac {f_{0}}{10}}}\;$», on observe une « fonction de transfert $\;\propto \;$ à $\;j\,\omega \;$» ou En conclusion, à B.F. soit pratiquement «$\;\color {transparent}{f<{\dfrac {f_{0}}{10}}}\;$», on observe une courbe de gain à asymptote de « pente $\;+20dB/{\text{décade}}\;$».

#### Interprétation de « l'équivalent H.F. » de la fonction de transfert : circuit « pseudo intégrateur »

À H.F. c'est-à-dire si la pulsation réduite «$\;x={\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}\;$ est $\;>\;$ à $\;10\;$» ou si la pulsation «$\;\omega \;$ est $\;>\;$ à $\;10\;\omega _{0}\;$» ou encore si la fréquence «$\;f={\dfrac {\omega }{2\,\pi }}\;$ est $\;>\;$ à $\;10\;{\dfrac {\omega _{0}}{2\,\pi }}=10\;f_{0}\;$», À H.F. la fonction de transfert est « équivalente à $\;{\underline {H}}(j\,x)\sim {\dfrac {\alpha }{j\,x}}\;$» ou, en éliminant la pulsation réduite au profit de la pulsation par $\;x={\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}$, À H.F. la fonction de transfert est « équivalente à $\;{\underline {H}}(j\,\omega )\sim \alpha \;\omega _{0}\;{\dfrac {1}{j\,\omega }}\;$» et, en considérant comme fonction de transfert l'« amplification complexe en tension $\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {u_{s}}}(t)}{{\underline {u_{e}}}(t)}}\;$» À H.F. la fonction de transfert est « équivalente à $\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {u_{s}}}(t)}{{\underline {u_{e}}}(t)}}\sim \alpha \;\omega _{0}\;{\dfrac {1}{j\,\omega }}\;$» dont on tire la tension instantanée complexe de sortie en fonction de la tension instantanée complexe d'entrée selon
$\;{\underline {u_{s}}}(t)\sim \alpha \;\omega _{0}\;{\dfrac {{\underline {u_{e}}}(t)}{j\,\omega }}\;$
or nous savons qu'en électricité complexe associée au r.s.f. « multiplier la grandeur instantanée complexe par $\;j\,\omega \;$» est équivalent à « effectuer une dérivation temporelle » et que « diviser la grandeur instantanée complexe par $\;j\,\omega \;$» correspond à « prendre la primitive temporelle de valeur moyenne nulle » d'où «$\;{\underline {u_{s}}}(t)\sim \alpha \;\omega _{0}\;\displaystyle \int ^{t}{\underline {u_{e}}}(t')\,dt'\;$» ou, en revenant aux grandeurs instantanées sinusoïdales
$\;u_{s}(t)-u_{s}(0)\simeq \alpha \;\omega _{0}\;\displaystyle \int _{0}^{t}u_{e}(t')\,dt'=\alpha \,2\,\pi \,f_{0}\;\displaystyle \int _{0}^{t}u_{e}(t')\,dt'\;$
$\;f>10\;f_{0}\;$
En conclusion, à H.F. soit pratiquement «$\;f>10\,f_{0}\;$», on observe un fonctionnement « intégrateur » du système linéaire du 2ème ordre « du type réponse en $\;u_{R}\;$ d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable », cela se manifeste par En conclusion, à H.F. soit pratiquement «$\;\color {transparent}{f>10\,f_{0}}\;$», on observe une « fonction de transfert $\;\propto \;$ à $\;{\dfrac {1}{j\,\omega }}\;$» ou En conclusion, à H.F. soit pratiquement «$\;\color {transparent}{f>10\,f_{0}}\;$», on observe une courbe de gain à asymptote de « pente $\;-20dB/{\text{décade}}\;$».

### Fonction de transfert du 2ème ordre « du type réponse en tension aux bornes du condensateur d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »
#### Rappel de la réponse en tension aux bornes du condensateur d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable

Il convient bien sûr de faire un schéma de situation en complexe associé au r.s.f. de pulsation $\;\omega$, « la tension instantanée complexe imposée au $\;R\,L\,C\;$ série étant $\;{\underline {u_{e}}}(t)={\underline {U_{e}}}\;{\sqrt {2}}\;\exp(j\,\omega \,t)\;$» Il convient bien sûr de faire un schéma de situation en complexe associé au r.s.f. de pulsation $\;\color {transparent}{\omega }$, avec «$\;{\underline {U_{e}}}=U_{e}\;\exp(j\,\varphi _{u_{e}})\;$ la tension efficace complexe associée ».
Nous étudions la « réponse en tension aux bornes du condensateur $\;u_{C}(t)\;$ du $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante », et pour cela Nous considérons l'amplification complexe en tension en sortie ouverte «$\;{\underline {A_{C,\,v}}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {u_{C,\,v}}}(t)}{{\underline {u_{e}}}(t)}}={\dfrac {{\underline {U_{C,\,v}}}(j\,\omega )}{\underline {U_{e}}}}\;$» s'obtenant par pont diviseur de tension en sortie ouverte selon «$\;{\underline {u_{C,\,v}}}(t)=$ ${\dfrac {{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{R\,L\,C\,{\text{série}}}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {u_{e}}}(t)\;$ $\Rightarrow$ $\;{\underline {A_{C,\,v}}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{R\,L\,C\,{\text{série}}}}}(j\,\omega )}}={\dfrac {\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}{R+j\,L\,\omega +{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}}}\;$» ou, en multipliant haut et bas par $\;j\,C\,\omega$, la forme normalisée usuelle de l'amplification complexe en tension aux bornes du condensateur en sortie ouverte
$\;{\underline {A_{C,\,v}}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{1-L\,C\,\omega ^{2}+j\,R\,C\,\omega }}\;$
introduisant la « pulsation propre $\;\omega _{0}={\dfrac {1}{\sqrt {L\,C}}}\;$» et le « facteur de qualité $\;Q={\dfrac {L\,\omega _{0}}{R}}={\dfrac {1}{R\,C\,\omega _{0}}}\;$» du $\;R\,L\,C\;$ série ainsi que la « pulsation réduite $\;x={\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}\;$», introduisant on obtient, en « remplaçant $\;\omega \;$ par $\;\omega _{0}\;x\;$», la « forme canonique réduite et normalisée usuelle de l'amplification complexe en tension aux bornes du condensateur en sortie ouverte » «$\;{\underline {A_{C,\,v}}}(j\,\omega )$ $={\dfrac {1}{1-{\cancel {L\,C\,\omega _{0}^{2}}}\,x^{2}+j\,R\,C\,\omega _{0}\,x}}\;$»$^,$ soit, introduisant on obtient, en « reconnaissant en $\;R\,C\,\omega _{0}\;$ l'inverse du facteur de qualité », la « forme canonique réduite et normalisée de l'amplification complexe en tension aux bornes du condensateur en sortie ouverte écrite sous sa forme usuelle »
$\;{\underline {A_{C,\,v}}}(j\,x)={\dfrac {1}{1-x^{2}+j\,{\dfrac {x}{Q}}}}\;$
$\;u_{C}(t)\;$
$\;R\,L\,C\;$
$\;j\,x\;$
$\;0\;$

#### Définition d'une fonction de transfert du 2ème ordre « du type réponse en u$_C$ d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension »

$\;u_{C}\;$
$\;R\,L\,C\;$
$\;{\underline {H}}(j\,\omega )={\dfrac {H_{0}}{1-\beta '\,\omega ^{2}+j\,\alpha '\,\omega }}\;$
$\;H_{0}\;\in \,\mathbb {R} ^{*}\;$
$\;\beta '\in \mathbb {R} ^{+\,*}\;$
$\;\alpha '\in \mathbb {R} ^{+\,*}\;$
Grandeurs canoniques : l'identification du dénominateur de la fonction de transfert écrite sous sa forme normalisée usuelle avec $\;1-x^{2}+j\,{\dfrac {x}{Q}}\;$ ${\big$caractérisant un 2ème ordre${\big )}\;$ dans laquelle «$\;x={\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}\;$ est la pulsation réduite », «$\;\omega _{0}\;$ définissant la pulsation propre du système » et «$\;Q\;$ le facteur de qualité » du système, permet d'évaluer  Grandeurs canoniques : $\succ \;$la « pulsation propre $\;\omega _{0}\in \mathbb {R} ^{+\,*}\;$» par $\;\beta '\;\omega ^{2}=x^{2}={\dfrac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}\;\;\forall \;\omega \;$ d'où «$\;\omega _{0}={\dfrac {1}{\sqrt {\beta '}}}\;$» et  Grandeurs canoniques : $\succ \;$le « facteur de qualité $\;Q\in \mathbb {R} ^{+\,*}\;$» par $\;\alpha '\;\omega ={\dfrac {x}{Q}}={\dfrac {\omega }{Q\;\omega _{0}}}\;\;\forall \;\omega \;$ d'où «$\;Q={\dfrac {1}{\alpha '\;\omega _{0}}}\;$» ;
Réécriture de la fonction de transfert : avec l'introduction de ces deux grandeurs canoniques $\;\left(\omega _{0}\,,\,Q\right)\;$ et celle de la pulsation réduite $\;x={\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}$, la fonction de transfert « du type réponse en $\;u_{C}\;$ d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » se réécrit sous forme canonique réduite usuelle$^,$ selon
$\;{\underline {H}}(j\,x)={\dfrac {H_{0}}{1-x^{2}+j\,{\dfrac {x}{Q}}}}\;$
$\;H_{0}\in \,\mathbb {R} ^{*}\;$
$\;x\in \mathbb {R} ^{+}\;$
$\;Q\in \mathbb {R} ^{+\,*}\;$

#### Autre exemple : « L série r » (c'est-à-dire une bobine réelle) en série avec « R parallèle C », sortie ouverte aux bornes de « R parallèle C » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension »

Bien sûr il convient d'ajouter un schéma en électricité complexe associée au r.s.f. de pulsation $\;\omega$, « la tension instantanée complexe d'entrée étant $\;{\underline {u_{e}}}(t)=$ ${\underline {U_{e}}}\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$» avec «$\;{\underline {U_{e}}}=$ $U_{e}\;\exp \!\left(j\,\varphi _{u_{e}}\right)\;$ la tension efficace complexe d'entrée », «$\;{\underline {Z_{L\,{\text{série}}\,r}}}(j\,\omega )=r+j\,L\,\omega \;$ ${\big$c'est-à-dire l'impédance complexe de la bobine réelle${\big )}\;$ étant l'impédance complexe d'attaque du P.D.T. »$^,$ et «$\;{\underline {Z_{R\,\parallel \,C}}}(j\,\omega )$ $={\dfrac {R\;{\dfrac {1}{j\;C\;\omega }}}{R+{\dfrac {1}{j\;C\;\omega }}}}={\dfrac {R}{1+j\,R\,C\,\omega }}\;$ l'impédance complexe aux bornes de laquelle on prélève la tension instantanée complexe de sortie ouverte $\;{\underline {u_{s,\,v}}}(t)={\underline {U_{s,\,v}}}\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$» avec «$\;{\underline {U_{s,\,v}}}$ $=U_{s,\,v}\;\exp \!\left(j\,\varphi _{u_{s,\,v}}\right)\;$ la tension efficace complexe de sortie ouverte » ;
on cherche l'amplification complexe en tension du Q.L.P. constitué du P.D.T. alimenté en entrée sous $\;u_{e}(t)=U_{e}\;{\sqrt {2}}\;\cos(\omega \,t+\varphi _{u_{e}})\;$ et en sortie ouverte aux bornes de l'association «$\;R\,\parallel \,C\;$» c'est-à-dire «$\;{\underline {A_{v}}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {u_{s,\,v}}}(t)}{{\underline {u_{e}}}(t)}}={\dfrac {{\underline {U_{s,\,v}}}(j\,\omega )}{\underline {U_{e}}}}\;$» que l'on obtient sans difficulté par « formule de tension efficace complexe de sortie ouverte du P.D.T. alimenté sous tension efficace complexe d'entrée $\;{\underline {U_{s,\,v}}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {Z_{R\,\parallel \,C}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{L\,{\text{série}}\,r}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{R\,\parallel \,C}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {U_{e}}}\;$»$^,$ soit «$\;{\underline {A_{v}}}(j\,\omega )=$ ${\dfrac {{\underline {U_{s,\,v}}}(j\,\omega )}{\underline {U_{e}}}}={\dfrac {\dfrac {R}{1+j\,R\,C\,\omega }}{r+j\,L\,\omega +{\dfrac {R}{1+j\,R\,C\,\omega }}}}\;$» donnant, en multipliant haut et bas par $\;1+j\,R\,C\,\omega$, l'amplification complexe en tension cherchée «$\;{\underline {A_{v}}}(j\,\omega )=$ ${\dfrac {R}{\left(r+j\,L\,\omega \right)\left(1+j\,R\,C\,\omega \right)+R}}={\dfrac {R}{r+R-L\,R\,C\,\omega ^{2}+j\left(L+r\,R\,C\right)\omega }}\;$» soit, en divisant haut et bas par $\;R+r\;$ pour obtenir une forme normalisée
$\;{\underline {A_{v}}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {U_{s,\,v}}}(j\,\omega )}{\underline {U_{e}}}}=$
${\dfrac {\dfrac {R}{r+R}}{1-L\,{\dfrac {R}{r+R}}\,C\,\omega ^{2}+j\left({\dfrac {L}{r+R}}+{\dfrac {r\,R}{r+R}}\,C\right)\omega }}\;$
$\;u_{C}\;$
$\;R\,L\,C\;$
Détermination des grandeurs caractéristiques du filtre :
* « pulsation propre $\;\omega _{0}\;$» par identification du cœfficient de $\;\omega ^{2}\;$ du dénominateur soit «$\;-{\dfrac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}=-L\,{\dfrac {R}{r+R}}\,C\,\omega ^{2}\;\;\forall \;\omega \;$» d'où «$\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {R+r}{R\,L\,C}}}\;$»,
* « facteur de qualité $\;Q\;$» par identification du cœfficient de $\;\omega \;$ du dénominateur soit «$\;j\,{\dfrac {\omega }{Q\;\omega _{0}}}=j\left({\dfrac {L}{r+R}}+{\dfrac {r\,R}{r+R}}\,C\right)\omega \;\;\forall \;\omega \;$» d'où «$\;Q=$ ${\dfrac {R+r}{\left(L+r\,R\,C\right)\omega _{0}}}\;$» et
* « transfert statique $\;H_{0}\;$» par identification du terme constant du numérateur soit «$\;H_{0}={\dfrac {R}{r+R}}\;$».

#### Rappel des propriétés de la « réponse en u$_C$ d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension »

Les propriétés étant les mêmes que celles du filtre prototype « réponse en tension aux bornes du condensateur d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace fixée et de fréquence variable » et leur démonstration se faisant de la même façon, nous vous renvoyons au paragraphe « établissement (théorique) de la réponse sinusoïdale forcée en charge (ou tension aux bornes du condensateur d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable par méthode des complexes (et par diagramme de Fresnel), résonance en charge (sous condition de facteur de qualité suffisant) pour une fréquence inférieure à la fréquence propre, nature du filtre suivant le facteur de qualité » du chap.$31$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » en les rappelant succinctement ci-dessous :
* il y a résonance conditionnelle en grandeur de sortie du système pour une fréquence de résonance$\;f_{r}=f_{0}\;{\sqrt {1-{\dfrac {1}{2\;Q^{2}}}}}\;$inférieure à sa fréquence propre$\;f_{0}\;$ « si $\;Q\geqslant {\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;$» et, « si $\;Q<{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;$» le gain est une fonction$\;\searrow \;$de la fréquence ; pour établir ceci il faut mettre le gain sous la forme «$\;G(x)={\dfrac {\vert H_{0}\vert }{\sqrt {g(x^{2})}}}\;$» avec «$\;g(x^{2})=\left(1-x^{2}\right)^{\!2}+{\dfrac {x^{2}}{Q^{2}}}\;$» et étudier la variation de $\;g(x^{2})\;$ avec $\;x^{2}\;$ en calculant sa dérivée relativement à $\;x^{2}$, revoir le paragraphe « recherche d'une éventuelle résonance en charge (ou en tension aux bornes du condensateur) du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » du chap.$31$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la valeur du gain pour la fréquence propre étant «$\;G(x=1)=\vert H_{0}\vert \,Q\;$» et le gain à la résonance en grandeur de sortie $\;{\bigg$si $\;Q\geqslant {\dfrac {1}{\sqrt {2}}}{\bigg )}\;$ «$\;G_{\text{max}}>G(x=1)=\vert H_{0}\vert \,Q\;$» ;
* la phase à la résonance en grandeur de sortie $\;{\bigg$si $\;Q\geqslant {\dfrac {1}{\sqrt {2}}}{\bigg )}\;$ n'est pas une valeur remarquable, la phase s'obtenant simplement à partir du dénominateur de la forme canonique usuelle$^,$ de la fonction de transfert en mettant $\;j\,{\dfrac {x}{Q}}\;$ en facteur dans le dénominateur pour que l'autre facteur de ce dernier ait une partie réelle positive soit «$\;{\underline {H}}(j\,\omega )=$ ${\dfrac {H_{0}}{j\,{\dfrac {x}{Q}}\left[1+j\,Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)\right]}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;\varphi (x)=$ $\mathrm {arg} \!\left[H_{0}\right]-{\dfrac {\pi }{2}}-\arctan \!\left[Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)\right]\;$» avec «$\;\mathrm {arg} \!\left[H_{0}\right]=\left\lbrace {\begin{array}{c}0\;{\text{si }}\;H_{0}>0\\\pi \;{\text{si }}\;H_{0}<0\end{array}}\right\rbrace \;$», la phase pour la fréquence propre valant «$\;\varphi (x=1)=\mathrm {arg} \!\left[H_{0}\right]-{\dfrac {\pi }{2}}=\left\lbrace {\begin{array}{r}-{\dfrac {\pi }{2}}\;{\text{si }}\;H_{0}>0\\{\dfrac {\pi }{2}}\;{\text{si }}\;H_{0}<0\end{array}}\right\rbrace \;$», revoir le paragraphe « phase à l'origine de la tension aux bornes du condensateur du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » du chap.$31$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ainsi que, pour l'obtention du déphasage à la résonance en grandeur de sortie $\;{\big$s'il y a résonance${\big )}\;$ le paragraphe « valeur du déphasage à la résonance éventuelle en charge (ou en tension aux bornes du condensateur) du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » du même chap.$31$ de la même leçon « Signaux physiques (PCSI) » ;
* le filtre est un passe-bas pour une faible valeur du facteur de qualité $\;{\big$pour $\;Q\lesssim 1,31{\big )}\;$ et le filtre est un passe-bande pour une valeur notable du facteur de qualité $\;{\big$pour $\;Q\gtrsim 1,31{\big )}\;$ avec une fréquence de résonance inférieure à la fréquence propre, résonance d'autant plus aiguë que$\;Q\;$est grand, la fréquence de résonance tendant vers la fréquence propre pour les grandes valeurs du facteur de qualité simultanément à l'acuité de la résonance tendant vers $\;Q$, le filtre est un passe-revoir le paragraphe « nature du filtre de la réponse en charge du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable suivant le facteur de qualité » d'une part et celui « complément : détermination des fréquences de coupure à -3dB du filtre réponse en charge du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable suivant qu'il y a, ou non, résonance en charge » d'autre part du chap.$31$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ; le filtre est un passe-revoir aussi les paragraphes traitant du cas $\;Q\gg 1\;$ « étude de la réponse en tension aux bornes du condensateur d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable à grand facteur de qualité justifiant la confusion de la fréquence de résonance avec la fréquence propre », « détermination des fréquences de coupure à -3dB du filtre réponse en charge du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable à grand facteur de qualité » ainsi que « la détermination directe de la bande passante à -3dB et celle de l'acuité de la résonance en charge du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable à grand facteur de qualité » du même chap.$31$ de la même leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

#### Équivalents B.F. et H.F. de la fonction de transfert du 2ème ordre « du type réponse en u$_C$ d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension » et conséquences
##### Équivalents B.F. de la fonction de transfert du 2ème ordre « du type réponse en u$_C$ d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension » et conséquences

Se situant en B.F. si «$\;x\ll x_{0}=1\;$» ce qui est « approximativement réalisé si $\;x\lesssim {\dfrac {x_{0}}{10}}={\dfrac {1}{10}}\;$», Se situant en B.F. si «$\;\color {transparent}{x\ll x_{0}=1}\;$» nous obtenons l'« équivalent B.F. de la fonction de transfert selon $\;{\underline {H}}(j\,x)={\dfrac {H_{0}}{1\;{\cancel {-x^{2}+j\,{\dfrac {x}{Q}}}}}}\sim H_{0}\;$» et Se situant en B.F. si «$\;\color {transparent}{x\ll x_{0}=1}\;$» nous en déduisons :
* en en prenant le module, le « gain à B.F. $\;G_{B.F.}\sim \vert H_{0}\vert \;$» dont nous tirons le « gain en dB à B.F. $\;G_{dB,\,B.F.}\simeq 20\;\log \!\left[\vert H_{0}\vert \right]\;$» $\;{\big$équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de gain du diagramme de Bode se confond à B.F.${\big )}\;$ c'est-à-dire que la courbe de gain du diagramme de Bode admet pour « équation de l'asymptote B.F. $\;G_{dB,\,{\text{asymptote}}\,B.F.}=$ $20\;\log \!\left[\vert H_{0}\vert \right]\;$» et
* en en prenant l'argument en en prenant l'argument $\;\succ \;$« dans la mesure où $\;H_{0}\;$ est $\;>0\;$», la « phase à B.F. $\;\varphi _{B.F.}\sim 0\;$» $\;{\big$équation de la droite coïncidant avec l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode se confond à B.F.${\big )}\;$ c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode admet pour « équation de l'asymptote B.F. $\;\varphi _{{\text{asymptote}}\,B.F.}=0\;$» ou en en prenant l'argument $\;\succ \;$« dans la mesure où $\;H_{0}\;$ est $\;<0\;$», la « phase à B.F. $\;\varphi _{B.F.}\sim \pi \;$» $\;{\big$équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode se confond à B.F.${\big )}\;$ c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode admet pour « équation de l'asymptote B.F. $\;\varphi _{{\text{asymptote}}\,B.F.}=\pi \;$».

##### Équivalents H.F. de la fonction de transfert du 2ème ordre « du type réponse en u$_C$ d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension » et conséquences

Se situant en H.F. si «$\;x\gg x_{0}=1\;$» ce qui est « approximativement réalisé si $\;x\gtrsim 10\;x_{0}=10\;$», Se situant en H.F. si «$\;\color {transparent}{x\gg x_{0}=1}\;$» nous obtenons l'« équivalent H.F. de la fonction de transfert selon $\;{\underline {H}}(j\,x)={\dfrac {H_{0}}{{\cancel {1}}-x^{2}\;{\cancel {+j\,{\dfrac {x}{Q}}}}}}\sim -{\dfrac {H_{0}}{x^{2}}}\;$» et Se situant en H.F. si «$\;\color {transparent}{x\gg x_{0}=1}\;$» nous en déduisons :
* en en prenant le module, le « gain à H.F. $\;G_{H.F.}\sim {\dfrac {\vert H_{0}\vert }{x^{2}}}\;$» dont nous tirons le « gain en dB à H.F. $\;G_{dB,\,H.F.}\simeq 20\;\log \!\left[\vert H_{0}\vert \right]-40\;\log(x)\;$» $\;{\big$équation de la droite décroissante de pente $\;-40\;dB/{\text{décade}}\;$ avec laquelle la courbe de gain du diagramme de Bode se confond à H.F.${\big )}\;$ c'est-à-dire que la courbe de gain du diagramme de Bode admet pour « équation de l'asymptote H.F. $\;G_{dB,\,{\text{asymptote}}\,H.F.}=20\;\log \!\left[\vert H_{0}\vert \right]-40\;\log(x)\;$» et
* en en prenant l'argument en en prenant l'argument $\;\succ \;$« dans la mesure où $\;H_{0}\;$ est $\;>0\;$» $\;{\big\!\Rightarrow \;-H_{0}\;<0{\big )}$, la « phase à H.F. $\;\varphi _{H.F.}\sim -\pi \;$» $\;{\big$équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode se confond à H.F.${\big )}\;$ c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode admet pour « équation de l'asymptote H.F. $\;\varphi _{{\text{asymptote}}\,H.F.}=-\pi \;$» ou en en prenant l'argument $\;\succ \;$« dans la mesure où $\;H_{0}\;$ est $\;<0\;$» $\;{\big\!\Rightarrow \;-H_{0}\;>0{\big )}$, la « phase à H.F. $\;\varphi _{H.F.}\sim 0\;$» $\;{\big$équation de la droite parallèle coïncidant avec l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode se confond à H.F.${\big )}\;$ c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode admet pour « équation de l'asymptote H.F. $\;\varphi _{{\text{asymptote}}\,H.F.}$ $=0\;$».

#### Tracé de la courbe de gain du diagramme de Bode

On trace d'abord les asymptotes B.F. $\;{\big$de pente nulle${\big )}\;$ et H.F. $\;{\big$de pente $\;-40dB/{\text{décade}}{\big )}\;$ « se coupant en un point d'abscisse $\;x_{0}=1\;$ égale à la fréquence réduite propre », l'ensemble des deux asymptotes constituant la courbe de gain du diagramme de Bode asymptotique $\;{\big$en traits noirs gras ci-contre${\big )}$ ;
la courbe de gain du diagramme de Bode $\;{\big$en traits de couleur ci-contre${\big )}\;$ se confondant avec celle du diagramme de Bode asymptotique $\;{\big$en traits noirs gras ci-contre${\big )}\;$ sauf sur « un intervalle de un peu moins d'une décade de part et d'autre de la fréquence réduite propre $\;x_{0}=1\;$», il suffit, pour obtenir un tracé de la courbe de gain de ce diagramme de Bode, de positionner le « point d'abscisse $\;x_{0}=1\;$ et d'ordonnée $\;G_{dB}(x_{0}=1)=$ $20\;\log \!\left[\vert H_{0}\vert \right]+20\;\log(Q)\;$, $\;20\;\log(Q)\;$ au-dessus du point d'intersection des deux asymptotes » puis de raccorder les asymptotes et ce point « de façon régulière » en utilisant la courbe de gain du diagramme de Bode l'absence de résonance si $\;Q<{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;$ ou la courbe de gain du diagramme de Bode la présence si $\;Q>{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}$, $\;{\big$la fréquence réduite de résonance étant d'autant plus proche de $\;x_{0}=1\;$ en lui restant inférieure que $\;Q\;$ est grand${\big )}$ ;
la courbe de gain des diagrammes de Bode ci-contre correspond à des exemples pour lesquels le transfert statique $\;H_{0}=-1\;$ et le facteur de qualité vaut
* «$\;Q=10\;$ donnant une résonance aiguë avec une fréquence réduite de résonance $\;x_{r}\simeq x_{0}=1\;$», la courbe en rouge correspondant à un passe-bande,
* «$\;Q=1,6\;$ donnant une résonance floue avec une fréquence réduite de résonance $\;x_{r}\simeq 0,90\;$», la courbe en vert correspondant à un passe-bande $\;{\big$très peu sélectif${\big )}\;$ et
* «$\;Q=0,5\;$ avec absence de résonance », la courbe en bleu correspondant à un passe-bas.

#### Tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode

Tout d'abord on cherche le sens de variation de la phase, l'expression de cette dernière ayant été obtenue au paragraphe « rappel des propriétés de la réponse en u$_C$ d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable pour la fonction de transfert amplification complexe en tension » plus haut dans ce chapitre en prenant l'argument de la fonction de transfert écrite selon «$\;{\underline {H}}(j\,\omega )={\dfrac {H_{0}}{j\,{\dfrac {x}{Q}}\left[1+j\,Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)\right]}}\;$» et ayant donné «$\;\varphi (x)=\mathrm {arg} \!\left[H_{0}\right]-{\dfrac {\pi }{2}}-\arctan \!\left[Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)\right]\;$» avec «$\;\mathrm {arg} \!\left[H_{0}\right]=\left\lbrace {\begin{array}{c}0\;{\text{si }}\;H_{0}>0\\\pi \;{\text{si }}\;H_{0}<0\end{array}}\right\rbrace \;$» établissant que la phase est une fonction $\;\searrow \;$ de $\;x$ ; dans la suite nous nous plaçons dans le cas où «$\;H_{0}\;$ est $\;<0\;$» ;
on trace ensuite les asymptotes B.F. $\;{\big$de pente nulle et de valeur $\;\pi {\big )}\;$ et H.F. $\;{\big$de pente nulle et de valeur $\;0{\big )}$, l'ensemble des deux asymptotes constituant la courbe de phase du diagramme de Bode asymptotique $\;{\big$en traits noirs gras ci-contre${\big )}$ ;
la courbe de phase du diagramme de Bode $\;{\big$en traits de couleur ci-contre${\big )}\;$ se confondant très approximativement avec celle du diagramme de Bode asymptotique $\;{\big$en traits noirs gras ci-contre${\big )}\;$ sauf sur « un intervalle de plus d'une décade de part et d'autre de la fréquence réduite propre », il suffit de positionner le « point d'abscisse $\;x_{0}=1\;$ à l'ordonnée $\;\varphi (x_{0}=1)={\dfrac {\pi }{2}}\;$» puis de raccorder les asymptotes et ce point « de façon régulière » ;
la courbe de phase des diagrammes de Bode ci-contre correspond à celle associée aux exemples dont on a tracé la courbe de gain pour lequel le transfert statique vaut $\;H_{0}=-1$, le facteur de qualité vaut
* «$\;Q=10\;$ avec une variation très rapide autour de la fréquence réduite propre », en couleur rouge,
* «$\;Q=1,6\;$ avec une variation moins rapide autour de la fréquence réduite propre et une approche plus lente des asymptotes », en couleur verte et
* «$\;Q=0,5\;$ avec une variation à peine plus rapide autour de la fréquence réduite propre qu'elle n'est au voisinage des asymptotes », en couleur bleue $\;\ldots$

#### Interprétation de « l'équivalent H.F. » de la fonction de transfert : circuit « pseudo-double-intégrateur »

À H.F. c'est-à-dire si la pulsation réduite «$\;x={\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}\;$ est $\;>\;$ à $\;10\;$» ou si la pulsation «$\;\omega \;$ est $\;>\;$ à $\;10\;\omega _{0}\;$» ou encore si la fréquence «$\;f={\dfrac {\omega }{2\,\pi }}\;$ est $\;>\;$ à $\;10\;{\dfrac {\omega _{0}}{2\,\pi }}=10\;f_{0}\;$», À H.F. la fonction de transfert est « équivalente à $\;{\underline {H}}(j\,x)\sim -{\dfrac {H_{0}}{x^{2}}}={\dfrac {H_{0}}{(j\,x)^{2}}}\;$» ou, en éliminant la pulsation réduite au profit de la pulsation par $\;x={\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}$, À H.F. la fonction de transfert est « équivalente à $\;{\underline {H}}(j\,\omega )\sim H_{0}\;\omega _{0}^{2}\;{\dfrac {1}{(j\,\omega )^{2}}}\;$» et, en considérant comme fonction de transfert l'« amplification complexe en tension $\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {u_{s}}}(t)}{{\underline {u_{e}}}(t)}}\;$» À H.F. la fonction de transfert est « équivalente à $\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {u_{s}}}(t)}{{\underline {u_{e}}}(t)}}\sim H_{0}\;\omega _{0}^{2}\;{\dfrac {1}{(j\,\omega )^{2}}}\;$» d'où la tension instantanée complexe de sortie en fonction de la tension instantanée complexe d'entrée selon
$\;{\underline {u_{s}}}(t)\sim H_{0}\;\omega _{0}^{2}\;{\dfrac {{\underline {u_{e}}}(t)}{(j\,\omega )^{2}}}\;$
or nous savons qu'en électricité complexe associée au r.s.f. « multiplier la grandeur instantanée complexe par $\;j\,\omega \;$» est équivalent à « effectuer une dérivation temporelle », que « diviser la grandeur instantanée complexe par $\;j\,\omega \;$» correspond à « prendre la primitive temporelle de valeur moyenne nulle » et que « diviser la grandeur instantanée complexe par $\;(j\,\omega )^{2}\;$» revient à « prendre successivement deux fois de suite la primitive temporelle de valeur moyenne nulle » d'où «$\;{\underline {u_{s}}}(t)\sim H_{0}\;\omega _{0}^{2}\;\displaystyle \int ^{t}\left[\displaystyle \int ^{t'}{\underline {u_{e}}}(t{''})\,dt{''}\right]dt'\;$» ou, en revenant aux grandeurs instantanées sinusoïdales
$\;u_{s}(t)-u_{s}(0)\simeq H_{0}\;\omega _{0}^{2}\;\displaystyle \int _{0}^{t}\left[\displaystyle \int _{0}^{t'}u_{e}(t{''})\,dt{''}\right]dt'=H_{0}\,4\,\pi ^{2}\,f_{0}^{2}\;\displaystyle \int _{0}^{t}\left[\displaystyle \int _{0}^{t'}u_{e}(t{''})\,dt{''}\right]dt'\;$
$\;f>10\;f_{0}\;$
En conclusion, à H.F. soit pratiquement «$\;f>10\,f_{0}\;$», on observe un fonctionnement « double-intégrateur » du système linéaire du 2ème ordre « du type réponse en $\;u_{C}\;$ d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable », cela se manifeste par En conclusion, à H.F. soit pratiquement «$\;\color {transparent}{f>10\,f_{0}}\;$», on observe une « fonction de transfert $\;\propto \;$ à $\;{\dfrac {1}{(j\,\omega )^{2}}}\;$» ou En conclusion, à H.F. soit pratiquement «$\;\color {transparent}{f>10\,f_{0}}\;$», on observe une courbe de gain à asymptote de « pente $\;-40dB/{\text{décade}}\;$».

### Fonction de transfert du 2ème ordre « du type réponse en tension aux bornes de bobine parfaite d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable »
#### Rappel de la réponse en tension aux bornes de la bobine parfaite d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable (traitée en exercice)

Il convient bien sûr de faire un schéma de situation en complexe associé au r.s.f. de pulsation $\;\omega$, « la tension instantanée complexe imposée au $\;R\,L\,C\;$ série étant $\;{\underline {u_{e}}}(t)={\underline {U_{e}}}\;{\sqrt {2}}\;\exp(j\,\omega \,t)\;$» Il convient bien sûr de faire un schéma de situation en complexe associé au r.s.f. de pulsation $\;\color {transparent}{\omega }$, avec «$\;{\underline {U_{e}}}=U_{e}\;\exp(j\,\varphi _{u_{e}})\;$ la tension efficace complexe associée ».
Nous étudions la « réponse en tension aux bornes de la bobine parfaite $\;u_{L}(t)\;$ du $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante », et pour cela Nous considérons l'amplification complexe en tension en sortie ouverte «$\;{\underline {A_{L,\,v}}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {u_{L,\,v}}}(t)}{{\underline {u_{e}}}(t)}}={\dfrac {{\underline {U_{L,\,v}}}(j\,\omega )}{\underline {U_{e}}}}\;$» s'obtenant par pont diviseur de tension en sortie ouverte selon «$\;{\underline {u_{L,\,v}}}(t)=$ ${\dfrac {{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{R\,L\,C\,{\text{série}}}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {u_{e}}}(t)\;$ $\Rightarrow$ $\;{\underline {A_{L,\,v}}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{R\,L\,C\,{\text{série}}}}}(j\,\omega )}}={\dfrac {j\,L\,\omega }{R+j\,L\,\omega +{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}}}\;$» ou, en multipliant haut et bas par $\;j\,C\,\omega$, la forme normalisée usuelle de l'amplification complexe en tension aux bornes de la bobine parfaite en sortie ouverte
$\;{\underline {A_{L,\,v}}}(j\,\omega )={\dfrac {-L\,C\,\omega ^{2}}{1-L\,C\,\omega ^{2}+j\,R\,C\,\omega }}\;$
introduisant la « pulsation propre $\;\omega _{0}={\dfrac {1}{\sqrt {L\,C}}}\;$» et le « facteur de qualité $\;Q={\dfrac {L\,\omega _{0}}{R}}={\dfrac {1}{R\,C\,\omega _{0}}}\;$» du $\;R\,L\,C\;$ série ainsi que la « pulsation réduite $\;x={\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}\;$», introduisant on obtient, en « remplaçant $\;\omega \;$ par $\;\omega _{0}\;x\;$», la « forme canonique réduite et normalisée usuelle de l'amplification complexe en tension aux bornes de la bobine parfaite en sortie ouverte » «$\;{\underline {A_{L,\,v}}}(j\,\omega )$ $={\dfrac {-{\cancel {L\,C\,\omega _{0}^{2}}}\,x^{2}}{1-{\cancel {L\,C\,\omega _{0}^{2}}}\,x^{2}+j\,R\,C\,\omega _{0}\,x}}\;$»$^,$ soit, introduisant on obtient, en « reconnaissant en $\;R\,C\,\omega _{0}\;$ l'inverse du facteur de qualité », la « forme canonique réduite et normalisée de l'amplification complexe en tension aux bornes du condensateur en sortie ouverte écrite sous sa forme usuelle »
$\;{\underline {A_{L,\,v}}}(j\,x)={\dfrac {-x^{2}}{1-x^{2}+j\,{\dfrac {x}{Q}}}}\;$
$\;u_{L}(t)\;$
$\;R\,L\,C\;$
$\;j\,x\;$
$\;2\;$

#### Définition d'une fonction de transfert du 2ème ordre « du type réponse en u$_L$ d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension »

$\;u_{L}\;$
$\;R\,L\,C\;$
$\;{\underline {H}}(j\,\omega )={\dfrac {\delta '\,\omega ^{2}}{1-\beta '\,\omega ^{2}+j\,\alpha '\,\omega }}\;$
$\;\delta '\;\in \,\mathbb {R} ^{*}\;$
$\;\beta '\in \mathbb {R} ^{+\,*}\;$
$\;\alpha '\in \mathbb {R} ^{+\,*}\;$
Grandeurs canoniques : l'identification du dénominateur de la fonction de transfert écrite sous sa forme normalisée usuelle avec $\;1-x^{2}+j\,{\dfrac {x}{Q}}\;$ ${\big$caractérisant un 2ème ordre${\big )}\;$ dans laquelle «$\;x={\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}\;$ est la pulsation réduite », «$\;\omega _{0}\;$ définissant la pulsation propre du système » et «$\;Q\;$ le facteur de qualité » du système, permet d'évaluer  Grandeurs canoniques : $\succ \;$la « pulsation propre $\;\omega _{0}\in \mathbb {R} ^{+\,*}\;$» par $\;\beta '\;\omega ^{2}=x^{2}={\dfrac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}\;\;\forall \;\omega \;$ d'où «$\;\omega _{0}={\dfrac {1}{\sqrt {\beta '}}}\;$» et  Grandeurs canoniques : $\succ \;$le « facteur de qualité $\;Q\in \mathbb {R} ^{+\,*}\;$» par $\;\alpha '\;\omega ={\dfrac {x}{Q}}={\dfrac {\omega }{Q\;\omega _{0}}}\;\;\forall \;\omega \;$ d'où «$\;Q={\dfrac {1}{\alpha '\;\omega _{0}}}\;$» ;
Réécriture de la fonction de transfert : avec l'introduction de ces deux grandeurs canoniques $\;\left(\omega _{0}\,,\,Q\right)\;$ et celle de la pulsation réduite $\;x={\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}$, la fonction de transfert « du type réponse en $\;u_{L}\;$ d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » se réécrit sous forme canonique réduite usuelle selon
$\;{\underline {H}}(j\,x)={\dfrac {\beta \,x^{2}}{1-x^{2}+j\,{\dfrac {x}{Q}}}}\;$
$\;\beta =\delta '\,\omega _{0}^{2}\in \,\mathbb {R} ^{*}\;$
$\;x\in \mathbb {R} ^{+}\;$
$\;Q\in \mathbb {R} ^{+\,*}\;$

#### Autre exemple : « R$_1$ série C » en série avec « R$_2$ parallèle L », sortie ouverte aux bornes de « R$_2$ parallèle L » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension »

Bien sûr il convient d'ajouter un schéma en électricité complexe associée au r.s.f. de pulsation $\;\omega$, « la tension instantanée complexe d'entrée étant $\;{\underline {u_{e}}}(t)=$ ${\underline {U_{e}}}\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$» avec «$\;{\underline {U_{e}}}=$ $U_{e}\;\exp \!\left(j\,\varphi _{u_{e}}\right)\;$ la tension efficace complexe d'entrée », «$\;{\underline {Z_{R_{1}\,{\text{série}}\,C}}}(j\,\omega )=R_{1}+{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}={\dfrac {1+j\,R_{1}\,C\,\omega }{j\,C\,\omega }}\;$ étant l'impédance complexe d'attaque du P.D.T. »$^,$ et «$\;{\underline {Z_{R_{2}\,\parallel \,L}}}(j\,\omega )=$ ${\dfrac {R_{2}\;j\;L\;\omega }{R_{2}+j\;L\;\omega }}\;$ l'impédance complexe aux bornes de laquelle on prélève la tension instantanée complexe de sortie ouverte $\;{\underline {u_{s,\,v}}}(t)={\underline {U_{s,\,v}}}\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$» avec «$\;{\underline {U_{s,\,v}}}$ $=U_{s,\,v}\;\exp \!\left(j\,\varphi _{u_{s,\,v}}\right)\;$ la tension efficace complexe de sortie ouverte » ;
on cherche l'amplification complexe en tension du Q.L.P. constitué du P.D.T. alimenté en entrée sous $\;u_{e}(t)=U_{e}\;{\sqrt {2}}\;\cos(\omega \,t+\varphi _{u_{e}})\;$ et en sortie ouverte aux bornes de l'association «$\;R_{2}\,\parallel \,L\;$» c'est-à-dire «$\;{\underline {A_{v}}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {u_{s,\,v}}}(t)}{{\underline {u_{e}}}(t)}}={\dfrac {{\underline {U_{s,\,v}}}(j\,\omega )}{\underline {U_{e}}}}\;$» que l'on obtient sans difficulté par « formule de tension efficace complexe de sortie ouverte du P.D.T. alimenté sous tension efficace complexe d'entrée $\;{\underline {U_{s,\,v}}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {Z_{R_{2}\,\parallel \,L}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{R_{1}\,{\text{série}}\,C}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{R_{2}\,\parallel \,L}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {U_{e}}}\;$»$^,$ soit «$\;{\underline {A_{v}}}(j\,\omega )=$ ${\dfrac {{\underline {U_{s,\,v}}}(j\,\omega )}{\underline {U_{e}}}}={\dfrac {\dfrac {j\;R_{2}\;L\;\omega }{R_{2}+j\;L\;\omega }}{{\dfrac {1+j\,R_{1}\,C\,\omega }{j\,C\,\omega }}+{\dfrac {j\;R_{2}\;L\;\omega }{R_{2}+j\;L\;\omega }}}}\;$» donnant, en multipliant haut et bas par $\;j\,C\,\omega \left(R_{2}+j\,L\,\omega \right)$, l'amplification complexe en tension cherchée «$\;{\underline {A_{v}}}(j\,\omega )=$ ${\dfrac {-R_{2}\,L\,C\,\omega ^{2}}{\left(R_{2}+j\,L\,\omega \right)\left(1+j\,R_{1}\,C\,\omega \right)-R_{2}\,L\,C\,\omega ^{2}}}={\dfrac {-R_{2}\,L\,C\,\omega ^{2}}{R_{2}-\left(R_{1}+R_{2}\right)L\,C\,\omega ^{2}+j\left(L+R_{1}\,R_{2}\,C\right)\omega }}\;$» soit, en divisant haut et bas par $\;R_{2}\;$ pour obtenir une forme normalisée
$\;{\underline {A_{v}}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {U_{s,\,v}}}(j\,\omega )}{\underline {U_{e}}}}=$
${\dfrac {-L\,C\,\omega ^{2}}{1-\left(1+{\dfrac {R_{1}}{R_{2}}}\right)L\,C\,\omega ^{2}+j\left({\dfrac {L}{R_{2}}}+R_{1}\,C\right)\omega }}\;$
$\;u_{L}\;$
$\;R\,L\,C\;$
Détermination des grandeurs caractéristiques du filtre :
* « pulsation propre $\;\omega _{0}\;$» par identification du cœfficient de $\;\omega ^{2}\;$ du dénominateur soit «$\;-{\dfrac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}=-\left(1+{\dfrac {R_{1}}{R_{2}}}\right)L\,C\,\omega ^{2}\;\;\forall \;\omega \;$» d'où «$\;\omega _{0}={\dfrac {1}{\sqrt {\left(1+{\dfrac {R_{1}}{R_{2}}}\right)L\,C}}}={\sqrt {\dfrac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}}\,{\dfrac {1}{\sqrt {L\,C}}}\;$»,
* « facteur de qualité $\;Q\;$» par identification du cœfficient de $\;\omega \;$ du dénominateur soit «$\;j\,{\dfrac {\omega }{Q\;\omega _{0}}}=j\left({\dfrac {L}{R_{2}}}+R_{1}\,C\right)\omega \;\;\forall \;\omega \;$» d'où «$\;Q=$ ${\dfrac {1}{\left({\dfrac {L}{R_{2}}}+R_{1}\,C\right)\omega _{0}}}\;$» et
* « cœfficient $\;\beta \;$ de $\;x^{2}\;$ du numérateur » par identification du cœfficient de $\;\omega ^{2}\;$ du numérateur soit «$\;{\dfrac {\beta }{\omega _{0}^{2}}}\,\omega ^{2}=-L\,C\,\omega ^{2}\;$» d'où «$\;\beta =-L\,C\,\omega _{0}^{2}$ $=-{\dfrac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}\;$».

#### Rappel des propriétés de la « réponse en u$_L$ d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension »

Les propriétés étant les mêmes que celles du filtre prototype « réponse en tension aux bornes de la bobine parfaite d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace fixée et de fréquence variable » et leur démonstration se faisant de la même façon, nous vous renvoyons à l'exercice « réponse en tension aux bornes de la bobine (parfaite) d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable, lien avec la réponse en tension aux bornes du condensateur » de la série $31$ dans le cadre de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » en les rappelant succinctement ci-dessous :
* il y a résonance conditionnelle en grandeur de sortie du système pour une fréquence de résonance$\;f_{r}={\dfrac {f_{0}}{\sqrt {1-{\dfrac {1}{2\;Q^{2}}}}}}\;$supérieure à sa fréquence propre$\;f_{0}\;$ « si $\;Q\geqslant {\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;$» et, « si $\;Q<{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;$», le gain est une fonction$\;\nearrow \;$de la fréquence ; pour établir ceci il faut mettre le gain sous la forme «$\;G(x)={\dfrac {\vert \beta \vert }{\sqrt {g(\xi ^{2})}}}\;$ où $\;\xi ={\dfrac {1}{x}}\;$» avec «$\;g(\xi ^{2})=\left(1-\xi ^{2}\right)^{\!2}+{\dfrac {\xi ^{2}}{Q^{2}}}\;$» et étudier la variation de $\;g(\xi ^{2})\;$ avec $\;\xi ^{2}\;$ en calculant sa dérivée relativement à $\;\xi ^{2}$, la variation de $\;g\;$ relativement à $\;x\;$ étant alors l'inverse de celle obtenue relativement à $\;\xi ^{2}={\dfrac {1}{x^{2}}}$, revoir la question « recherche d'une éventuelle résonance en tension aux bornes de la bobine parfaite du R L C série » de l'exercice de la série $31$ dans le cadre de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la valeur du gain pour la fréquence propre étant «$\;G(x=1)$ $=\vert \beta \vert \,Q\;$», le gain à la résonance en grandeur de sortie $\;{\bigg$si $\;Q\geqslant {\dfrac {1}{\sqrt {2}}}{\bigg )}\;$ est «$\;G_{\text{max}}>G(x=1)=\vert \beta \vert \,Q\;$» ;
* la phase à la résonance en grandeur de sortie $\;{\bigg$si $\;Q\geqslant {\dfrac {1}{\sqrt {2}}}{\bigg )}\;$ n'est pas une valeur remarquable, la phase s'obtenant à partir de la forme canonique usuelle dans le dénominateur de laquelle on a mis $\;j\,{\dfrac {x}{Q}}\;$ en facteur pour que l'autre facteur ait une partie réelle positive soit «$\;{\underline {H}}(j\,\omega )=$ ${\dfrac {-\beta \left(j\,x\right)^{2}}{j\,{\dfrac {x}{Q}}\left[1+j\,Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)\right]}}={\dfrac {\beta \,Q\left(-j\,x\right)}{1+j\,Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;\varphi (x)=\mathrm {arg} \!\left[\beta \right]-{\dfrac {\pi }{2}}-\arctan \!\left[Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)\right]\;$» avec «$\;\mathrm {arg} \!\left[\beta \right]=$ $\left\lbrace {\begin{array}{r}0\;{\text{si }}\;\beta >0\\\pi \;{\text{si }}\;\beta <0\end{array}}\right\rbrace \;$», la valeur de la phase pour la fréquence propre étant «$\;\varphi (x=1)=\mathrm {arg} \!\left[\beta \right]-{\dfrac {\pi }{2}}=\left\lbrace {\begin{array}{r}-{\dfrac {\pi }{2}}\;{\text{si }}\;\beta >0\\+{\dfrac {\pi }{2}}\;{\text{si }}\;\beta <0\end{array}}\right\rbrace \;$», revoir la question « phase à l'origine de la tension aux bornes de la bobine parfaite du R L C série » de l'exercice de la série $31$ dans le cadre de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ;
* le filtre est un passe-haut pour une faible valeur du facteur de qualité $\;{\big$pour $\;Q\lesssim 1,31{\big )}\;$ et le filtre est un passe-bande pour une valeur notable du facteur de qualité $\;{\big$pour $\;Q\gtrsim 1,31{\big )}\;$ avec une fréquence de résonance supérieure à la fréquence propre, résonance d'autant plus aiguë que$\;Q\;$est grand, la fréquence de résonance tendant vers la fréquence propre pour les grandes valeurs du facteur de qualité simultanément à l'acuité de la résonance tendant vers $\;Q$, le filtre est un passe-revoir la question « nature du filtre suivant le facteur de qualité (de la réponse en tension aux bornes de la bobine parfaite d'un R L C série) » de l'exercice de la série $31$ dans le cadre de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », le filtre est un passe-par contre le comportement à grand facteur de qualité n'ayant pas été abordé dans l'exercice « précité » de la série $31$ dans le cadre de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » mais les propriétés étant semblables à celles obtenues pour la réponse en tension aux bornes du condensateur d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante, elles peuvent être admises sans difficulté sachant que les démonstrations $\;{\big$laborieuses${\big )}\;$ pourraient être aisément faites par analogie $\;\ldots$

#### Équivalents B.F. et H.F. de la fonction de transfert du 2ème ordre « du type réponse en u$_L$ d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension » et conséquences
##### Équivalents B.F. de la fonction de transfert du 2ème ordre « du type réponse en u$_L$ d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension » et conséquences

Se situant en B.F. si «$\;x\ll x_{0}=1\;$» ce qui est « approximativement réalisé si $\;x\lesssim {\dfrac {x_{0}}{10}}={\dfrac {1}{10}}\;$», Se situant en B.F. si «$\;\color {transparent}{x\ll x_{0}=1}\;$» nous obtenons l'« équivalent B.F. de la fonction de transfert selon $\;{\underline {H}}(j\,x)={\dfrac {\beta \;x^{2}}{1\;{\cancel {-x^{2}+j\,{\dfrac {x}{Q}}}}}}\sim \beta \;x^{2}\;$» et Se situant en B.F. si «$\;\color {transparent}{x\ll x_{0}=1}\;$» nous en déduisons :
* en en prenant le module, le « gain à B.F. $\;G_{B.F.}\sim \vert \beta \vert \;x^{2}\;$» dont nous tirons le « gain en dB à B.F. $\;G_{dB,\,B.F.}\simeq 20\;\log \!\left[\vert \beta \vert \right]+40\;\log(x)\;$» $\;{\big$équation de la droite croissante de pente $\;+40\;dB/{\text{décade}}\;$ avec laquelle la courbe de gain du diagramme de Bode se confond à B.F.${\big )}\;$ c'est-à-dire que la courbe de gain du diagramme de Bode admet pour « équation de l'asymptote B.F. $\;G_{dB,\,{\text{asymptote}}\,B.F.}=$ $20\;\log \!\left[\vert \beta \vert \right]+40\;\log(x)\;$» et
* en en prenant l'argument en en prenant l'argument $\;\succ \;$« dans la mesure où $\;\beta \;$ est $\;>0\;$», la « phase à B.F. $\;\varphi _{B.F.}\sim 0\;$» $\;{\big$équation de la droite coïncidant avec l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode se confond à B.F.${\big )}\;$ c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode admet pour « équation de l'asymptote B.F. $\;\varphi _{{\text{asymptote}}\,B.F.}=0\;$» ou en en prenant l'argument $\;\succ \;$« dans la mesure où $\;\beta \;$ est $\;<0\;$», la « phase à B.F. $\;\varphi _{B.F.}\sim \pi \;$» $\;{\big$équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode se confond à B.F.${\big )}\;$ c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode admet pour « équation de l'asymptote B.F. $\;\varphi _{{\text{asymptote}}\,B.F.}=\pi \;$».

##### Équivalents H.F. de la fonction de transfert du 2ème ordre « du type réponse en u$_L$ d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension » et conséquences

Se situant en H.F. si «$\;x\gg x_{0}=1\;$» ce qui est « approximativement réalisé si $\;x\gtrsim 10\;x_{0}=10\;$», Se situant en H.F. si «$\;\color {transparent}{x\gg x_{0}=1}\;$» nous obtenons l'« équivalent H.F. de la fonction de transfert selon $\;{\underline {H}}(j\,x)={\dfrac {\beta \;x^{2}}{{\cancel {1}}-x^{2}\;{\cancel {+j\,{\dfrac {x}{Q}}}}}}\sim -\beta \;$» et Se situant en H.F. si «$\;\color {transparent}{x\gg x_{0}=1}\;$» nous en déduisons :
* en en prenant le module, le « gain à H.F. $\;G_{H.F.}\sim \vert \beta \vert \;$» dont nous tirons le « gain en dB à H.F. $\;G_{dB,\,H.F.}\simeq 20\;\log \!\left[\vert \beta \vert \right]\;$» $\;{\big$équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de gain du diagramme de Bode se confond à H.F.${\big )}\;$ c'est-à-dire que la courbe de gain du diagramme de Bode admet pour « équation de l'asymptote H.F. $\;G_{dB,\,{\text{asymptote}}\,H.F.}=$ $20\;\log \!\left[\vert \beta \vert \right]\;$» et
* en en prenant l'argument en en prenant l'argument $\;\succ \;$« dans la mesure où $\;\beta \;$ est $\;>0\;$» $\;{\big\!\Rightarrow \;-\beta \;<0{\big )}$, la « phase à H.F. $\;\varphi _{H.F.}\sim -\pi \;$» $\;{\big$équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode se confond à H.F.${\big )}\;$ c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode admet pour « équation de l'asymptote H.F. $\;\varphi _{{\text{asymptote}}\,H.F.}=-\pi \;$» ou en en prenant l'argument $\;\succ \;$« dans la mesure où $\;\beta \;$ est $\;<0\;$» $\;{\big\!\Rightarrow \;-\beta \;>0{\big )}$, la « phase à H.F. $\;\varphi _{H.F.}\sim 0\;$» $\;{\big$équation de la droite parallèle coïncidant avec l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode se confond à H.F.${\big )}\;$ c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode admet pour « équation de l'asymptote H.F. $\;\varphi _{{\text{asymptote}}\,H.F.}$ $=0\;$».

#### Tracé de la courbe de gain du diagramme de Bode

On trace d'abord les asymptotes B.F. $\;{\big$de pente $\;+40dB/{\text{décade}}{\big )}\;$ et H.F. $\;{\big$de pente nulle${\big )}\;$ « se coupant en un point d'abscisse $\;x_{0}=1\;$ égale à la fréquence réduite propre », l'ensemble des deux asymptotes constituant la courbe de gain du diagramme de Bode asymptotique $\;{\big$en traits noirs gras ci-contre${\big )}$ ;
la courbe de gain du diagramme de Bode $\;{\big$en traits de couleur ci-contre${\big )}\;$ se confondant avec celle du diagramme de Bode asymptotique $\;{\big$en traits noirs gras ci-contre${\big )}\;$ sauf sur « un intervalle de un peu moins d'une décade de part et d'autre de la fréquence réduite propre $\;x_{0}=1\;$», il suffit, pour obtenir un tracé de la courbe de gain de ce diagramme de Bode, de positionner le « point d'abscisse $\;x_{0}=1\;$ et d'ordonnée $\;G_{dB}(x_{0}=1)=$ $20\;\log \!\left[\vert \beta \vert \right]+20\;\log(Q)\;$, $\;20\;\log(Q)\;$ au-dessus du point d'intersection des deux asymptotes » puis de raccorder les asymptotes et ce point « de façon régulière » en utilisant la courbe de gain du diagramme de Bode l'absence de résonance si $\;Q<{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;$ ou la courbe de gain du diagramme de Bode la présence si $\;Q>{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}$, $\;{\big$la fréquence réduite de résonance étant d'autant plus proche de $\;x_{0}=1\;$ en lui restant supérieure que $\;Q\;$ est grand${\big )}$ ;
la courbe de gain des diagrammes de Bode ci-contre correspond à des exemples pour lesquels le cœfficient de $\;x^{2}\;$ du numérateur $\;\beta =-1\;$ et le facteur de qualité vaut
* « $\;Q=10\;$ donnant une résonance aiguë avec une fréquence réduite de résonance $\;x_{r}\simeq x_{0}=1\;$», la courbe en rouge correspondant à un passe-bande,
* « $\;Q=1,6\;$ donnant une résonance floue avec une fréquence réduite de résonance $\;x_{r}\simeq 1,11\;$», la courbe en vert correspondant à un passe-bande $\;{\big$très peu sélectif${\big )}\;$ et
* « $\;Q=0,5\;$ avec absence de résonance », la courbe en bleu correspondant à un passe-haut.

#### Tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode

Tout d'abord on cherche le sens de variation de la phase, l'expression de celle-ci ayant été obtenue au paragraphe « rappel des propriétés de la réponse en u$_L$ d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable pour la fonction de transfert amplification complexe en tension » plus haut dans ce chapitre en prenant l'argument de la fonction de transfert écrite selon «$\;{\underline {H}}(j\,\omega )=$ ${\dfrac {\beta \,Q\left(-j\,x\right)}{1+j\,Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)}}\;$» et ayant donné «$\;\varphi (x)=$ $\mathrm {arg} \!\left[\beta \right]-{\dfrac {\pi }{2}}-\arctan \!\left[Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)\right]\;$» avec «$\;\mathrm {arg} \!\left[\beta \right]$ $=\left\lbrace {\begin{array}{c}0\;{\text{si }}\;\beta >0\\\pi \;{\text{si }}\;\beta <0\end{array}}\right\rbrace \;$» établissant que la phase est une fonction $\;\searrow \;$ de $\;x$ ; dans la suite nous nous plaçons dans le cas où $\;\beta \;$ est $\;<0$ ;
on trace ensuite les asymptotes B.F. $\;{\big$de pente nulle et de valeur $\;\pi {\big )}\;$ et H.F. $\;{\big$de pente nulle et de valeur $\;0{\big )}$, l'ensemble des deux asymptotes constituant la courbe de phase du diagramme de Bode asymptotique $\;{\big$en traits noirs gras ci-contre${\big )}$ ;
la courbe de phase du diagramme de Bode $\;{\big$en traits de couleur ci-contre${\big )}\;$ se confondant très approximativement avec celle du diagramme de Bode asymptotique $\;{\big$en traits noirs gras ci-contre${\big )}\;$ sauf sur « un intervalle de plus d'une décade de part et d'autre de la fréquence réduite propre », il suffit de positionner le « point d'abscisse $\;x_{0}=1\;$ à l'ordonnée $\;\varphi (x_{0}=1)={\dfrac {\pi }{2}}\;$» puis de raccorder les asymptotes et ce point « de façon régulière » ;
la courbe de phase des diagrammes de Bode ci-contre correspond à celle associée aux exemples dont on a tracé la courbe de gain pour lequel le cœfficient de $\;x^{2}\;$ du numérateur vaut $\;\beta =-1$, le facteur de qualité vaut
* «$\;Q=10\;$ avec une variation très rapide autour de la fréquence réduite propre », en couleur rouge,
* «$\;Q=1,6\;$ avec une variation moins rapide autour de la fréquence réduite propre et une approche plus lente des asymptotes », en couleur verte et
* «$\;Q=0,5\;$ avec une variation à peine plus rapide autour de la fréquence réduite propre qu'elle n'est au voisinage des asymptotes », en couleur bleue $\;\ldots$

#### Interprétation de l'« équivalent B.F. » de la fonction de transfert : circuit « pseudo-double-dérivateur »

À B.F. c'est-à-dire si la pulsation réduite «$\;x={\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}\;$ est $\;<\;$ à $\;{\dfrac {1}{10}}\;$» ou si la pulsation «$\;\omega \;$ est $\;<\;$ à $\;{\dfrac {\omega _{0}}{10}}\;$» ou encore si la fréquence «$\;f={\dfrac {\omega }{2\,\pi }}\;$ est $\;<\;$ à $\;{\dfrac {\omega _{0}}{20\,\pi }}={\dfrac {f_{0}}{10}}\;$», À B.F. la fonction de transfert est « équivalente à $\;{\underline {H}}(j\,x)\sim \beta \;x^{2}=-\beta \;(j\,x)^{2}\;$» ou, en éliminant la pulsation réduite au profit de la pulsation par $\;x={\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}$, À B.F. la fonction de transfert est « équivalente à $\;{\underline {H}}(j\,\omega )\sim -{\dfrac {\beta }{\omega _{0}^{2}}}\;(j\,\omega )^{2}\;$» et, en considérant comme fonction de transfert l'« amplification complexe en tension $\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {u_{s}}}(t)}{{\underline {u_{e}}}(t)}}\;$» À B.F. la fonction de transfert est « équivalente à $\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {u_{s}}}(t)}{{\underline {u_{e}}}(t)}}\sim -{\dfrac {\beta }{\omega _{0}^{2}}}\;(j\,\omega )^{2}\;$» d'où la tension instantanée complexe de sortie en fonction de la tension instantanée complexe d'entrée selon
$\;{\underline {u_{s}}}(t)\sim -{\dfrac {\beta }{\omega _{0}^{2}}}\;(j\,\omega )^{2}\;{\underline {u_{e}}}(t)\;$
or nous savons qu'en électricité complexe associée au r.s.f. « multiplier la grandeur instantanée complexe par $\;j\,\omega \;$» est équivalent à « effectuer une dérivation temporelle » et que « multiplier la grandeur instantanée complexe par $\;(j\,\omega )^{2}\;$» correspond à « effectuer une dérivation temporelle seconde » d'où «$\;{\underline {u_{s}}}(t)\sim -{\dfrac {\beta }{\omega _{0}^{2}}}\;{\dfrac {d^{2}{\underline {u_{e}}}}{dt^{2}}}(t)\;$» ou, en revenant aux grandeurs instantanées sinusoïdales
$\;u_{s}(t)\simeq -{\dfrac {\beta }{\omega _{0}^{2}}}\;{\dfrac {d^{2}u_{e}}{dt^{2}}}(t)\;$
$\;f<{\dfrac {f_{0}}{10}}\;$
En conclusion, à B.F. soit pratiquement «$\;f<{\dfrac {f_{0}}{10}}\;$», on observe un fonctionnement « double-dérivateur » du système linéaire du 2ème ordre « du type réponse en $\;u_{L}\;$ d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable », cela se manifeste par En conclusion, à B.F. soit pratiquement «$\;\color {transparent}{f<{\dfrac {f_{0}}{10}}}\;$», on observe une « fonction de transfert $\;\propto \;$ à $\;(j\,\omega )^{2}\;$» ou En conclusion, à B.F. soit pratiquement «$\;\color {transparent}{f<{\dfrac {f_{0}}{10}}}\;$», on observe une courbe de gain à asymptote de « pente $\;+40dB/{\text{décade}}\;$».

### En complément, fonction de transfert du 2ème ordre « du type réponse en tension aux bornes de l'ensemble condensateur - bobine parfaite d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable », notion de coupe-bande (ou réjecteur de fréquences)
#### Réponse en tension aux bornes de l'ensemble « condensateur - bobine parfaite » d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable

Il convient bien sûr de faire un schéma de situation en complexe associé au r.s.f. de pulsation $\;\omega$, « la tension instantanée complexe imposée au $\;R\,L\,C\;$ série étant $\;{\underline {u_{e}}}(t)={\underline {U_{e}}}\;{\sqrt {2}}\;\exp(j\,\omega \,t)\;$» Il convient bien sûr de faire un schéma de situation en complexe associé au r.s.f. de pulsation $\;\color {transparent}{\omega }$, avec «$\;{\underline {U_{e}}}=U_{e}\;\exp(j\,\varphi _{u_{e}})\;$ la tension efficace complexe associée ».
Nous étudions la « réponse en tension aux bornes de l'ensemble « bobine parfaite – condensateur » $\;u_{L\,C\,{\text{série}}}(t)\;$ du $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » et Nous considérons l'amplification complexe en tension en sortie ouverte «$\;{\underline {A_{L\,C\,{\text{série}},\,v}}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {u_{L\,C\,{\text{série}},\,v}}}(t)}{{\underline {u_{e}}}(t)}}={\dfrac {{\underline {U_{L\,C\,{\text{série}},\,v}}}(j\,\omega )}{\underline {U_{e}}}}\;$».

##### Établissement de l'amplification complexe en tension de sortie ouverte aux bornes de l'ensemble « condensateur - bobine parfaite » d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable

L'amplification complexe en tension de sortie ouverte aux bornes de l'ensemble « bobine parfaite – condensateur » d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace fixée et de fréquence variable «$\;{\underline {A_{L\,C\,{\text{série}},\,v}}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {u_{L\,C\,{\text{série}},\,v}}}(t)}{{\underline {u_{e}}}(t)}}={\dfrac {{\underline {U_{L\,C\,{\text{série}},\,v}}}(j\,\omega )}{\underline {U_{e}}}}\;$» s'obtient par pont diviseur de tension en sortie ouverte «$\;{\underline {u_{L\,C\,{\text{série}},\,v}}}(t)={\dfrac {{\underline {Z_{L\,C\,{\text{série}}}}}(j\,\omega )}{R+{\underline {Z_{L\,C\,{\text{série}}}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {u_{e}}}(t)\;$ $\Rightarrow$ $\;{\underline {A_{L\,C\,{\text{série}},\,v}}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {u_{L\,C\,{\text{série}},\,v}}}(t)}{{\underline {u_{e}}}(t)}}={\dfrac {j\,L\,\omega +{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}}{R+j\,L\,\omega +{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}}}\;$» soit, en multipliant haut et bas par $\;j\,C\,\omega \;$ la forme normalisée usuelle de l'amplification complexe en tension aux bornes de l'ensemble « bobine parfaite – condensateur » en sortie ouverte
$\;{\underline {A_{L\,C\,{\text{série}},\,v}}}(j\,\omega )={\dfrac {1-L\,C\,\omega ^{2}}{1-L\,C\,\omega ^{2}+j\,R\,C\,\omega }}\;$
introduisant la « pulsation propre $\;\omega _{0}={\dfrac {1}{\sqrt {L\,C}}}\;$» et le « facteur de qualité $\;Q={\dfrac {L\,\omega _{0}}{R}}={\dfrac {1}{R\,C\,\omega _{0}}}\;$» du $\;R\,L\,C\;$ série ainsi que la « pulsation réduite $\;x={\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}\;$», introduisant on obtient, en remplaçant « remplaçant $\;\omega \;$ par $\;\omega _{0}\;x\;$», la « forme canonique réduite et normalisée usuelle de l'amplification complexe en tension aux bornes de l'ensemble “ bobine parfaite – condensateur ” en sortie ouverte » «$\;{\underline {A_{L\,C\,{\text{série}},\,v}}}(j\,\omega )={\dfrac {1-{\cancel {L\,C\,\omega _{0}^{2}}}\,x^{2}}{1-{\cancel {L\,C\,\omega _{0}^{2}}}\,x^{2}+j\,R\,C\,\omega _{0}\,x}}\;$» soit, introduisant on obtient, en « reconnaissant en $\;R\,C\,\omega _{0}\;$ l'inverse du facteur de qualité », la « forme canonique réduite et normalisée de l'amplification complexe en tension aux bornes de l'ensemble “ bobine parfaite – condensateur ” en sortie ouverte écrite sous sa forme usuelle »
$\;{\underline {A_{L\,C\,{\text{série}},\,v}}}(j\,x)={\dfrac {1-x^{2}}{1-x^{2}+j\,{\dfrac {x}{Q}}}}\;$
$\;u_{L\,C\,{\text{série}}}(t)\;$
$\;R\,L\,C\;$
$\;j\,x\;$
$\;2\;$

##### Propriétés du système « condensateur - bobine parfaite » d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable découlant de l'amplification complexe en tension de sortie ouverte aux bornes du système

Contrairement aux exemples précédents de pont diviseur de tension construit à l'aide d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace fixée et de fréquence variable, exemples ayant été étudiés en cours ou en exercices et pour lesquels un simple rappel suffisait, celui de pont diviseur de tension de sortie aux bornes de l'ensemble « bobine parfaite – condensateur » n'ayant pas été antérieurement examiné, il est donc nécessaire de commencer par rechercher ses propriétés $\;\ldots$

###### Existence d'antirésonance de la tension aux bornes du système « condensateur - bobine parfaite » pour la fréquence propre du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable quel que soit le facteur de qualité

De «$\;{\underline {A_{L\,C\,{\text{série}},\,v}}}(j\,x)={\dfrac {1-x^{2}}{1-x^{2}+j\,{\dfrac {x}{Q}}}}\;$» on déduit que « le numérateur s'annule pour $\;x=1\;$», correspondant à un « minimum du gain$\;{\big$à valeur nulle${\big )}\;$pour la fréquence propre », De «$\;\color {transparent}{{\underline {A_{L\,C\,{\text{série}},\,v}}}(j\,x)={\dfrac {1-x^{2}}{1-x^{2}+j\,{\dfrac {x}{Q}}}}}\;$» on déduit que « la tension aux bornes de l'association série “ bobine parfaite – condensateur ” » entre en « antirésonance » pour la fréquence propre, on déduit que le minimum étant à valeur nulle ; il y a donc disparition du signal de sortie pour la fréquence propre.

###### Variation du gain en tension du système « condensateur - bobine parfaite » du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante en fonction de la fréquence, nature « coupe-bande » du filtre, bande non passante à -3dB et acuité de l'antirésonance

Pour une information plus complète il convient d'obtenir le sens de variation du gain, cette recherche étant simplifiée à partir d'une forme canonique pratique de la fonction de transfert, nécessitant,
* dans un 1er temps, de diviser haut et bas par $\;1-x^{2}\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\underline {A_{L\,C\,{\text{série}},\,v}}}(j\,x)={\dfrac {1}{1+{\dfrac {j\,{\dfrac {x}{Q}}}{1-x^{2}}}}}\;$» puis,
* dans un 2ème temps, transformer le terme du dénominateur autre que $\;1\;$ en divisant haut et bas par $\;{\dfrac {j\,x}{Q}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {j\,{\dfrac {x}{Q}}}{1-x^{2}}}={\dfrac {1}{j\,Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)}}\;$» d'où la forme canonique pratique de cette fonction de transfert «$\;{\underline {A_{L\,C\,{\text{série}},\,v}}}(j\,x)={\dfrac {1}{1+{\dfrac {1}{j\,Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)}}}}\;$».
Le gain s'écrit donc «$\;G_{L\,C\,{\text{série}},\,v}(x)=\vert {\underline {A_{L\,C\,{\text{série}},\,v}}}(j\,x)\vert ={\dfrac {1}{\sqrt {1+{\dfrac {1}{Q^{2}\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)^{\!2}}}}}}\;$» faisant apparaître le « paramètre $\;X(x)=x-{\dfrac {1}{x}}\;$ grandeur $\;\nearrow \;$ de $\;x\;$» d'où Le gain s'écrit donc la réécriture du gain selon «$\;G_{L\,C\,{\text{série}},\,v}(x)={\dfrac {1}{\sqrt {1+{\dfrac {1}{Q^{2}\,X^{2}(x)}}}}}\;$» Le gain s'écrit donc permettant de faire une étude semblable à celle utilisée pour la réponse en $\;u_{R}$ :
$\;\succ \;$ pour «$\;x\nearrow \;$ de $\;0\;$ à $\;1\;$» $\Rightarrow$ «$\;X(x)\nearrow \;$ de $\;-\infty \;$ à $\;0\;$» $\Rightarrow$ «$\;X^{2}(x)\searrow \;$ de $\;+\infty \;$ à $\;0\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {1}{Q^{2}\,X^{2}(x)}}\nearrow \;$ de $\;0\;$ à $\;+\infty \;$», le « dénominateur de $\;G_{L\,C\,{\text{série}},\,v}(x)\;$ $\;\nearrow \;$ de $\;1\;$ à $\;+\infty \;$» d'où $\;\color {transparent}{\succ }\;$ pour «$\;\color {transparent}{x\nearrow }\;$ de $\;\color {transparent}{0}\;$ à $\;\color {transparent}{1}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;G_{L\,C\,{\text{série}},\,v}(x)\searrow \;$ de $\;1\;$ à $\;0\;$» ;
$\;\succ \;$ pour «$\;x\nearrow \;$ de $\;1\;$ à $\;+\infty \;$» $\Rightarrow$ «$\;X(x)\nearrow \;$ de $\;0\;$ à $\;+\infty \;$» $\Rightarrow$ «$\;X^{2}(x)\nearrow \;$ de $\;0\;$ à $\;+\infty \;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {1}{Q^{2}\,X^{2}(x)}}\searrow \;$ de $\;+\infty \;$ à $\;0\;$», le « dénominateur de $\;G_{L\,C\,{\text{série}},\,v}(x)\;$ $\;\searrow \;$ de $\;+\infty \;$ à $\;1\;$» d'où $\;\color {transparent}{\succ }\;$ pour «$\;\color {transparent}{x\nearrow }\;$ de $\;\color {transparent}{1}\;$ à $\;\color {transparent}{+\infty }\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;G_{L\,C\,{\text{série}},\,v}(x)\nearrow \;$ de $\;0\;$ à $\;1\;$» ;
en résumé, « le gain est $\;\searrow \;$ puis $\;\nearrow \;$ de part et d'autre de son minimum obtenu pour la fréquence propre, minimum à valeur nulle », « les gains à B.F. et à H.F. étant égaux à $\;1\;$» ;
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;f_{0}\;$
en résumé « les fréquences de coupures à $\;-3\;dB\;$ sont situées de part et d'autre de $\;f_{0}\;$» et en résumé « le domaine passant à $\;-3\;dB\;$» étant «$\;\left[0\,;\,f_{c,\,b}\right]\cup \left[f_{c,\,h}\,;\,+\infty \right[\;$» ne permet pas de définir une « bande passante à $\;-3\;dB\;$» mais en résumé « le domaine passant à $\;\color {transparent}{-3\;dB}\;$» étant «$\;\color {transparent}{\left[0\,;\,f_{c,\,b}\right]\cup \left[f_{c,\,h}\,;\,+\infty \right\;$» autorise la définition d'une « bande non passante à $\;-3\;dB\;$» $\;{\big$définie comme la largeur de l'intervalle non passant${\big )}\;$ en résumé « le domaine passant à $\;\color {transparent}{-3\;dB}\;$» étant «$\;\color {transparent}{\left[0\,;\,f_{c,\,b}\right]\cup \left[f_{c,\,h}\,;\,+\infty \right\;$» autorise la définition d'une « bande non passante à $\;\color {transparent}{-3\;dB}\;$» «$\;B.n.P._{-3dB}=f_{c,\,h}-f_{c,\,b}\;$» ;
en résumé d'une part « les fréquences réduites de coupures à $\;-3\;dB\;$ sont définies par $\;G_{L\,C\,{\text{série}},\,v}(x_{c})={\dfrac {G_{L\,C\,{\text{série}},\,v,\,{\text{max}}}}{\sqrt {2}}}\;$» avec «$\;G_{L\,C\,{\text{série}},\,v,\,{\text{max}}}=1\;$» et en résumé d'autre part «$\;G_{L\,C\,{\text{série}},\,v}(x)={\dfrac {1}{\sqrt {1+{\dfrac {1}{Q^{2}\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)^{\!2}}}}}}\;$» d'où en résumé d'autre part l'équation en $\;x_{c}\;$ suivante «$\;{\dfrac {1}{\sqrt {1+{\dfrac {1}{Q^{2}\left(x_{c}-{\dfrac {1}{x_{c}}}\right)^{\!2}}}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;$» se réduisant en «$\;{\bigg \vert }x_{c}-{\dfrac {1}{x_{c}}}{\bigg \vert }=$ ${\dfrac {1}{Q}}\;$» ou «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x_{c,\,h}-{\dfrac {1}{x_{c,\,h}}}={\dfrac {1}{Q}}\\x_{c,\,b}-{\dfrac {1}{x_{c,\,b}}}=-{\dfrac {1}{Q}}\end{array}}\right\rbrace \;$» c'est-à-dire les mêmes équations que celles recherchant les fréquences réduites de coupure à $\;-3\;dB\;$ du filtre passe-bande du 2ème ordre $\;{\big \$voir les paragraphes « fréquences de coupure à -3dB de la réponse sinusoïdale forcée en intensité d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » et « bande passante à -3dB de la réponse sinusoïdale forcée en intensité d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » du chap.$31$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »${\big \}$, on en déduit donc que
$\;-3\;dB\;$
$\;B.n.P._{-3dB}=f_{c,\,h}-f_{c,\,b}={\dfrac {f_{0}}{Q}}\;$
$\;{\mathcal {A}}_{\text{antirésonance}}={\dfrac {f_{0}}{B.n.P._{-3dB}}}=Q\;$

###### Variation de la phase du système « condensateur - bobine parfaite » du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante en fonction de la fréquence, discontinuité de la phase lors du passage par la fréquence d'antirésonance de la tension aux bornes du système, valeurs particulières de la phase pour les fréquences de coupure à -3dB

La « phase du système “ condensateur - bobine parfaite ” d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace fixée et en sortie ouverte $\;\varphi _{L\,C\,{\text{série}},\,v}\;$» se détermine, en fonction de la « fréquence réduite $\;x={\dfrac {f}{f_{0}}}={\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}\;$», en prenant l'argument de la forme canonique pratique de l'amplification complexe en tension de sortie ouverte «$\;{\underline {A_{L\,C\,{\text{série}},\,v}}}(j\,x)$ $={\dfrac {1}{1-j\,{\dfrac {1}{Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)}}}}\;$» soit «$\;\varphi _{L\,C\,{\text{série}},\,v}(x)=$ $\mathrm {arg} \!\left[{\underline {A_{L\,C\,{\text{série}},\,v}}}(j\,x)\right]=-\arctan \!\left[-{\dfrac {1}{Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)}}\right]\;$» et finalement
$\;\varphi _{L\,C\,{\text{série}},\,v}(x)=\arctan \!\left[{\dfrac {1}{Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)}}\right]=\arctan \!\left[{\dfrac {1}{Q\;X(x)}}\right]\;$
$\;X(x)=x-{\dfrac {1}{x}}\;$
$\;\nearrow \;$
$\;x\;$
D'une part, de «$\;\varphi _{L\,C\,{\text{série}},\,v}(x)=\arctan \!\left[{\dfrac {1}{Q\;X(x)}}\right]\;$» on déduit que «$\;\varphi _{L\,C\,{\text{série}},\,v}(x)\;$ est une fonction $\;\searrow \;$ de $\;X(x)\;$» donc D'une part, de «$\;\color {transparent}{\varphi _{L\,C\,{\text{série}},\,v}(x)=\arctan \!\left[{\dfrac {1}{Q\;X(x)}}\right]}\;$» on déduit que «$\;\color {transparent}{\varphi _{L\,C\,{\text{série}},\,v}(x)}\;$ est une fonction $\;\searrow \;$ de $\;x\;$ et
d'autre part $\;\varphi _{L\,C\,{\text{série}},\,v}(x)\;$ « n'est pas définie pour $\;X(x)=0\;$ c'est-à-dire pour la pulsation réduite propre $\;x=1=x_{0}\;$» et d'autre part $\;\color {transparent}{\varphi _{L\,C\,{\text{série}},\,v}(x)}\;$ « ne peut pas être définie pour $\;x=1=x_{0}\;$» car elle y est discontinue de 1ère espèce en effet  d'autre part $\;\color {transparent}{\varphi _{L\,C\,{\text{série}},\,v}(x)}\;$ « ne peut pas être définie pour $\;\color {transparent}{x=1=x_{0}}\;$» $\succ \;$« si $\;x\rightarrow 1^{-}\;$» $\Rightarrow$ $\;X(x)\rightarrow 0^{-}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {1}{Q\;X(x)}}\rightarrow -\infty \;$ et par suite «$\;\varphi _{L\,C\,{\text{série}},\,v}(x)\rightarrow -{\dfrac {\pi }{2}}\;$» et  d'autre part $\;\color {transparent}{\varphi _{L\,C\,{\text{série}},\,v}(x)}\;$ « ne peut pas être définie pour $\;\color {transparent}{x=1=x_{0}}\;$» $\succ \;$« si $\;x\rightarrow 1^{+}\;$» $\Rightarrow$ $\;X(x)\rightarrow 0^{+}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {1}{Q\;X(x)}}\rightarrow +\infty \;$ et par suite «$\;\varphi _{L\,C\,{\text{série}},\,v}(x)\rightarrow +{\dfrac {\pi }{2}}\;$».
Finalement « sur $\;\left[0\,;\,1\right[\;$ la phase $\;\varphi _{L\,C\,{\text{série}},\,v}(x)\searrow \;$ de $\;0\;$ à $\;-{\dfrac {\pi }{2}}\;$» et Finalement « sur $\;\left]1\,;\,+\infty \right[\;$ la phase $\;\varphi _{L\,C\,{\text{série}},\,v}(x)\searrow \;$ de $\;+{\dfrac {\pi }{2}}\;$ à $\;0\;$» ;
enfin pour les pulsations réduites de coupure à $\;-3\;dB$, la « phase $\;\varphi _{L\,C\,{\text{série}},\,v}(x)\;$ vaut $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\varphi _{L\,C\,{\text{série}},\,v}(x_{c,\,b})=-{\dfrac {\pi }{4}}\\\varphi _{L\,C\,{\text{série}},\,v}(x_{c,\,h})=+{\dfrac {\pi }{4}}\end{array}}\right\rbrace \;$»$^,$.

#### Définition d'un coupe-bande du 2ème ordre « du type réponse en u$_{L,C}$ d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension »

$\;u_{L\,C\,{\text{série}}}\;$
$\;R\,L\,C\;$
$\;{\underline {H}}(j\,\omega )={\dfrac {H_{0}\left(1-\beta '\,\omega ^{2}\right)}{1-\beta '\,\omega ^{2}+j\,\alpha '\,\omega }}\;$
$\;H_{0}\;\in \,\mathbb {R} ^{*}\;$
$\;\beta '\in \mathbb {R} ^{+\,*}\;$
$\;\alpha '\in \mathbb {R} ^{+\,*}\;$
Grandeurs canoniques : l'identification du dénominateur de la fonction de transfert écrite sous sa forme normalisée usuelle avec $\;1-x^{2}+j\,{\dfrac {x}{Q}}\;$ ${\big$caractérisant un 2ème ordre${\big )}\;$ dans laquelle «$\;x={\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}\;$ est la pulsation réduite », «$\;\omega _{0}\;$ définissant la pulsation propre » et «$\;Q\;$ le facteur de qualité » du système, permet d'évaluer  Grandeurs canoniques : $\succ \;$la « pulsation propre $\;\omega _{0}\in \mathbb {R} ^{+\,*}\;$» par $\;\beta '\;\omega ^{2}=x^{2}={\dfrac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}\;\;\forall \;\omega \;$ d'où «$\;\omega _{0}={\dfrac {1}{\sqrt {\beta '}}}\;$» et  Grandeurs canoniques : $\succ \;$le « facteur de qualité $\;Q\in \mathbb {R} ^{+\,*}\;$» par $\;\alpha '\;\omega ={\dfrac {x}{Q}}={\dfrac {\omega }{Q\;\omega _{0}}}\;\;\forall \;\omega \;$ d'où «$\;Q={\dfrac {1}{\alpha '\;\omega _{0}}}\;$».
Réécriture de la fonction de transfert : avec l'introduction de ces deux grandeurs canoniques $\;\left(\omega _{0}\,,\,Q\right)\;$ et celle de la pulsation réduite $\;x={\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}$, la fonction de transfert « du type réponse en $\;u_{L\,C\,{\text{série}}}\;$ d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » se réécrit sous forme canonique réduite usuelle selon
$\;{\underline {H}}(j\,x)={\dfrac {H_{0}\left(1-x^{2}\right)}{1-x^{2}+j\,{\dfrac {x}{Q}}}}\;$
$\;H_{0}\in \,\mathbb {R} ^{*}\;$
$\;x\in \mathbb {R} ^{+}\;$
$\;Q\in \mathbb {R} ^{+\,*}\;$

#### Équivalents B.F. et H.F. de la fonction de transfert du 2ème ordre « du type réponse en u$_{L,C}$ d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension » et conséquences
##### Équivalents B.F. de la fonction de transfert du 2ème ordre « du type réponse en u$_{L,C}$ d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension » et conséquences

Se situant en B.F. si «$\;x\ll x_{0}=1\;$» ce qui est « approximativement réalisé si $\;x\lesssim {\dfrac {x_{0}}{10}}={\dfrac {1}{10}}\;$», Se situant en B.F. si «$\;\color {transparent}{x\ll x_{0}=1}\;$» nous obtenons l'« équivalent B.F. de la fonction de transfert selon $\;{\underline {H}}(j\,x)={\dfrac {H_{0}\left(1{\cancel {-x^{2}}}\right)}{1\;{\cancel {-x^{2}+j\,{\dfrac {x}{Q}}}}}}\sim H_{0}\;$» et Se situant en B.F. si «$\;\color {transparent}{x\ll x_{0}=1}\;$» nous en déduisons :
* en en prenant le module, le « gain à B.F. $\;G_{B.F.}\sim \vert H_{0}\vert \;$» dont nous tirons le « gain en dB à B.F. $\;G_{dB,\,B.F.}\simeq 20\;\log \!\left[\vert H_{0}\vert \right]\;$» $\;{\big$équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de gain du diagramme de Bode se confond à B.F.${\big )}\;$ c'est-à-dire que la courbe de gain du diagramme de Bode admet pour « équation de l'asymptote B.F. $\;G_{dB,\,{\text{asymptote}}\,B.F.}=$ $20\;\log \!\left[\vert H_{0}\vert \right]\;$» et
* en en prenant l'argument en en prenant l'argument $\;\succ \;$« dans la mesure où $\;H_{0}\;$ est $\;>0\;$», la « phase à B.F. $\;\varphi _{B.F.}\sim 0\;$» $\;{\big$équation de la droite coïncidant avec l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode se confond à B.F.${\big )}\;$ c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode admet pour « équation de l'asymptote B.F. $\;\varphi _{{\text{asymptote}}\,B.F.}=0\;$» ou en en prenant l'argument $\;\succ \;$« dans la mesure où $\;H_{0}\;$ est $\;<0\;$», la « phase à B.F. $\;\varphi _{B.F.}\sim \pi \;$» $\;{\big$équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode se confond à B.F.${\big )}\;$ c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode admet pour « équation de l'asymptote B.F. $\;\varphi _{{\text{asymptote}}\,B.F.}=\pi \;$».

##### Équivalents H.F. de la fonction de transfert du 2ème ordre « du type réponse en u$_{L,C}$ d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » pour la fonction de transfert « amplification complexe en tension » et conséquences

Se situant en H.F. si «$\;x\gg x_{0}=1\;$» ce qui est « approximativement réalisé si $\;x\gtrsim 10\;x_{0}=10\;$», Se situant en H.F. si «$\;\color {transparent}{x\gg x_{0}=1}\;$» nous obtenons l'« équivalent H.F. de la fonction de transfert selon $\;{\underline {H}}(j\,x)={\dfrac {H_{0}\left({\cancel {1}}-x^{2}\right)}{{\cancel {1}}-x^{2}\;{\cancel {+j\,{\dfrac {x}{Q}}}}}}\sim H_{0}\;$» et Se situant en H.F. si «$\;\color {transparent}{x\gg x_{0}=1}\;$» nous en déduisons :
* en en prenant le module, le « gain à H.F. $\;G_{H.F.}\sim \vert H_{0}\vert \;$» dont nous tirons le « gain en dB à H.F. $\;G_{dB,\,H.F.}\simeq 20\;\log \!\left[\vert H_{0}\vert \right]\;$» $\;{\big$équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de gain du diagramme de Bode se confond à H.F.${\big )}\;$ c'est-à-dire que la courbe de gain du diagramme de Bode admet pour « équation de l'asymptote H.F. $\;G_{dB,\,{\text{asymptote}}\,H.F.}=$ $20\;\log \!\left[\vert H_{0}\vert \right]\;$» et
* en en prenant l'argument en en prenant l'argument $\;\succ \;$« dans la mesure où $\;H_{0}\;$ est $\;>0\;$», la «phase à H.F. $\;\varphi _{H.F.}\sim 0\;$» $\;{\big$équation de la droite parallèle à l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode se confond à H.F.${\big )}\;$ c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode admet pour « équation de l'asymptote H.F. $\;\varphi _{{\text{asymptote}}\,H.F.}=0\;$» ou en en prenant l'argument $\;\succ \;$« dans la mesure où $\;H_{0}\;$ est $\;<0\;$», la « phase à H.F. $\;\varphi _{H.F.}\sim \pi \;$» $\;{\big$équation de la droite parallèle coïncidant avec l'axe des fréquences avec laquelle la courbe de phase du diagramme de Bode se confond à H.F.${\big )}\;$ c'est-à-dire que la courbe de phase du diagramme de Bode admet pour « équation de l'asymptote H.F. $\;\varphi _{{\text{asymptote}}\,H.F.}=+\pi \;$».

#### Tracé de la courbe de gain du diagramme de Bode

Ci-contre la courbe de gain du diagramme de Bode d'un 2ème ordre du « type réponse en tension aux bornes de l'ensemble “ condensateur - bobine parfaite ” d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace fixée et de fréquence variable » avec un « transfert statique $\;H_{0}=1\;$» et un « facteur de qualité $\;Q=0,25\;$» ;
en plus des asymptotes B.F. et H.F. d'« équation commune $\;G_{dB,\,{\text{asymptote}}\,B.F.}=G_{dB,\,{\text{asymptote}}\,H.F.}=$ $20\;\log \!\left[\vert H_{0}\vert \right]=0\;$», on observe en plus une asymptote parallèle à l'axe des gains en dB d'« équation $\;x=x_{0}=1\;$» traduisant l'« existence d'une antirésonance à gain nul $\;{\big$ou à gain en dB infini${\big )}\;$» ; on vérifie la nature du filtre « coupe-bande $\;{\big$ou réjecteur de fréquences${\big )}\;$» sur la courbe de gain du diagramme de Bode ci-contre ;
avec ce facteur de qualité $\;Q=0,25\;$ les fréquences réduites de coupure à $\;-3\;dB\;$ valent avec ce facteur de qualité $\;\color {transparent}{Q=0,25}\;$ «$\;x_{c,\,b}=-{\dfrac {1}{2\;Q}}+{\sqrt {1+{\dfrac {1}{4\;Q^{2}}}}}\simeq 0,25\;$» et avec ce facteur de qualité $\;\color {transparent}{Q=0,25}\;$ «$\;x_{c,\,h}={\dfrac {1}{2\;Q}}+{\sqrt {1+{\dfrac {1}{4\;Q^{2}}}}}\simeq 4,25\;$», avec ce facteur de qualité $\;\color {transparent}{Q=0,25}\;$ la bande non passante à $\;-3\;dB\;$ en fréquence réduite étant
$\;B.n.P._{-3dB,\,{\text{réduite}}}=x_{c,\,h}-x_{c,\,b}=4\;$
avec ce facteur de qualité $\;\color {transparent}{Q=0,25}\;$ on vérifie l'expression de l'« acuité de l'antirésonance $\;{\mathcal {A}}_{\text{antirésonance}}={\dfrac {f_{0}}{B.n.P._{-3dB}}}=$ ${\dfrac {1}{B.n.P._{-3dB,\,{\text{réduite}}}}}={\dfrac {1}{4}}=Q\;$».
Remarques : en partant de la forme canonique réduite pratique de la fonction de transfert «$\;{\underline {H}}(j\,x)={\dfrac {H_{0}}{1+{\dfrac {1}{j\,Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)}}}}\;$», on obtient l'« équation de la courbe de gain du diagramme de Bode sous la forme $\;G_{dB}(x)=20\;\log \!\left[{\dfrac {\vert H_{0}\vert }{\sqrt {1+{\dfrac {1}{Q^{2}\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)^{\!2}}}}}}\right]\;$» montrant Remarques : l'invariance du gain en dB lors du changement de $\;x\;$ en $\;{\dfrac {1}{x}}\;$ ou, Remarques : l'invariance du gain en dB lors du changement de $\;\log(x)\;$ en $\;-\log(x)$, ce qui établit que Remarques : la courbe de gain du diagramme de Bode est invariante par symétrie axiale relativement à la droite$\;x=1$ ; Remarques : les fréquences de coupure à $\;-3\;dB\;$ étant définies par la « même valeur du gain $\;G(x_{c})={\dfrac {G_{\text{max}}}{\sqrt {2}}}\;$», on en déduit : Remarques : « les points de la courbe de gain du diagramme de Bode correspondant aux deux fréquences de coupure à $\;-3\;dB\;$ sont symétriques relativement à l'axe de symétrie » et par conséquent Remarques : « les fréquences de coupure à $\;-3\;dB\;$ ont des logarithmes opposés ».

#### Tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode

Ci-contre la courbe de phase du diagramme de Bode d'un 2ème ordre du « type réponse en tension aux bornes de l'ensemble “ condensateur - bobine parfaite ” d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace fixée et de fréquence variable » avec un « transfert statique $\;H_{0}=1\;$» et un « facteur de qualité $\;Q=0,25\;$» ;
en plus des asymptotes B.F. et H.F. d'« équation commune $\;\varphi _{{\text{asymptote}}\,B.F.}=\varphi _{{\text{asymptote}}\,H.F.}=0\;$», on observe en plus une « discontinuité de 1ère espèce » de saut égal à $\;\pi \;$ lors de l'antirésonance de gain de valeur nulle pour la fréquence réduite propre $\;x_{0}=1$.
Remarques : Avec un transfert statique négatif, la courbe de phase serait celle tracée ci-contre après une translation de $\;\pi \;$ parallèlement à l'axe des phases dans le sens croissant de ce dernier, ainsi Remarques : Avec un transfert statique négatif, la phase à la fréquence $\;f_{0}^{-}\;$ serait égale à $\;{\dfrac {\pi }{2}}\;$ et Remarques : Avec un transfert statique négatif, celle à la fréquence $\;f_{0}^{+}\;$ serait égale à $\;{\dfrac {3\;\pi }{2}}$ ;
Remarques : à partir de l'« équation de la courbe de phase du diagramme de Bode de la fonction de transfert de forme canonique réduite pratique $\;{\underline {H}}(j\,x)={\dfrac {H_{0}}{1+{\dfrac {1}{j\,Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)}}}}\;$ à savoir $\;\varphi (x)=\left\lbrace {\begin{array}{r}\arctan \!\left[{\dfrac {1}{Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)}}\right]\;\;{\text{si }}\;H_{0}>0\\\pi +\arctan \!\left[{\dfrac {1}{Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)}}\right]\;\;{\text{si }}\;H_{0}<0\end{array}}\right\rbrace \;$»$^,$, on peut faire les constatations suivantes : Remarques : l'expression $\;\arctan \!\left[{\dfrac {1}{Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)}}\right]\;$ devient son opposée lors du changement de $\;x\;$ en $\;{\dfrac {1}{x}}\;$ ou, Remarques : l'expression devient son opposée lors du changement de $\;\log(x)\;$ en $\;-\log(x)$, ce qui établit que Remarques : la courbe de phase du diagramme de Bode est invariante par symétrie centrale relativement au point$\;\left(x=1\,,\,\varphi =0\right)\;$ si $\;H_{0}\;$ est $\;>0\;$ ou Remarques : la courbe de phase du diagramme de Bode est invariante par symétrie centrale relativement au point$\;\left(x=1\,,\,\varphi =\pi \right)\;$ si $\;H_{0}\;$ est $\;<0$.

## Système du 1er ordre fondamental et détermination de sa réponse temporelle à un signal sinusoïdal, à une somme finie de signaux sinusoïdaux ou à un signal périodique non sinusoïdal

Voir le paragraphe « Système du 1er ordre fondamental et détermination de sa réponse temporelle à un signal sinusoïdal, à une somme finie de signaux sinusoïdaux ou à un signal périodique non sinusoïdal » du chap.$33$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

## Système du 1er ordre non fondamental avec transfert statique nul et détermination de sa réponse temporelle à un signal sinusoïdal, à une somme finie de signaux sinusoïdaux ou à un signal périodique non sinusoïdal

Voir le paragraphe « Système du 1er ordre non fondamental avec transfert statique nul et détermination de sa réponse temporelle à un signal sinusoïdal, à une somme finie de signaux sinusoïdaux ou à un signal périodique non sinusoïdall » du chap.$33$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

## Système du 2ème ordre « du type réponse en intensité d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante » et détermination de sa réponse temporelle à un signal sinusoïdal, à une somme finie de signaux sinusoïdaux ou à un signal périodique non sinusoïdal
### Rappel de la définition de la réponse fréquentielle d'un filtre linéaire à un signal sinusoïdal de pulsation ω

Définition donnée dans le paragraphe « Réponse fréquentielle d'un filtre linéaire à un signal sinusoïdal de pulsation ω » du chap.$33$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » et rappelée ci-dessous :
Étant donné un filtre linéaire de fonction de transfert $\;{\underline {H}}(j\,\omega )\;$ et un signal sinusoïdal de pulsation $\;\omega \;$ variable et de valeur efficace $\;X_{e}\;$ fixée, on appelle
$\;{\underline {X_{e}}}\;$
$\;\left\lbrace {\underline {Y_{s}}}(j\,\omega )={\underline {H}}(j\,\omega )\;{\underline {X_{e}}}\right\rbrace _{\forall \;\omega }\;$

### Réponse fréquentielle d'un système linéaire du 2ème ordre « du type réponse en u$_R$ d'un R L C série soumis à une tension de valeur efficace constante » à un signal sinusoïdal de pulsation ω

Soit un système linéaire de fonction de transfert harmonique du 2ème ordre « du type réponse en $\;u_{R}\;$ d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension de valeur efficace constante » «$\;{\underline {H}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {y_{s}}}(t)}{{\underline {x_{e}}}(t)}}=$ ${\dfrac {j\,\gamma '\,\omega }{1-{\dfrac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}+j\,{\dfrac {\omega }{Q\,\omega _{0}}}}}\;$» avec «$\;\gamma '\in \mathbb {R} ^{*}\;$ homogène au transfert harmonique multiplié par un temps », de « pulsation propre $\;\omega _{0}\in \mathbb {R} ^{+\,*}\;$» et de « facteur de qualité $\;Q\in \mathbb {R} ^{+\,*}\;$ sans dimension », l'équation différentielle en $\;{\underline {y_{s}}}(t)\;$ associée au signal instantané complexe d'entrée $\;{\underline {x_{e}}}(t)\;$ se retrouve l'équation différentielle en $\;\color {transparent}{{\underline {y_{s}}}(t)}\;$ à partir de la fonction de transfert en égalant les extrêmes et les moyens «$\;\left[1+{\dfrac {\left(j\,\omega \right)^{2}}{\omega _{0}^{2}}}+{\dfrac {\left(j\,\omega \right)}{Q\,\omega _{0}}}\right]\!{\underline {y_{s}}}(t)=j\,\gamma '\,\omega \;{\underline {x_{e}}}(t)\;$» d'une part et l'équation différentielle en $\;\color {transparent}{{\underline {y_{s}}}(t)}\;$ à partir de la fonction de transfert en remplaçant la « multiplication par $\;j\,\omega \;$» par la « dérivation temporelle » et l'équation différentielle en $\;\color {transparent}{{\underline {y_{s}}}(t)}\;$ à partir de la fonction de transfert en remplaçant la « multiplication par $\;(j\,\omega )^{2}\;$» par la « dérivation temporelle seconde » d'autre part d'où l'équation différentielle en $\;\color {transparent}{{\underline {y_{s}}}(t)}\;$ «$\;\left[1+{\dfrac {1}{\omega _{0}^{2}}}\,{\dfrac {d^{2}}{dt^{2}}}+{\dfrac {1}{Q\,\omega _{0}}}\,{\dfrac {d}{dt}}\right]\!{\underline {y_{s}}}(t)=\gamma '\,{\dfrac {d}{dt}}{\underline {x_{e}}}(t)\;$» soit, l'équation différentielle en $\;\color {transparent}{{\underline {y_{s}}}(t)}\;$ en revenant aux grandeurs sinusoïdales et en ordonnant, «$\;{\dfrac {1}{\omega _{0}^{2}}}\;{\dfrac {d^{2}y_{s}}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {1}{Q\,\omega _{0}}}\;{\dfrac {dy_{s}}{dt}}(t)+y_{s}(t)=\gamma '\;{\dfrac {dx_{e}}{dt}}(t)\;$»$^,$.
La « réponse fréquentielle du filtre du 2ème ordre “ du type réponse en $\;u_{R}\;$ d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension de valeur efficace constante ” $\;{\underline {H}}(j\,\omega )=$ ${\dfrac {j\,\gamma '\,\omega }{1-{\dfrac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}+j\,{\dfrac {\omega }{Q\,\omega _{0}}}}}\;$ au signal sinusoïdal de pulsation $\;\omega \;$ variable et de valeur efficace $\;X_{e}\;$ fixée est l'« ensemble des valeurs efficaces complexes du signal de sortie » soit
$\;\left\lbrace {\underline {Y_{s}}}(j\,\omega )={\underline {H}}(j\,\omega )\;{\underline {X_{e}}}={\dfrac {j\,\gamma '\,\omega }{1-{\dfrac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}+j\,{\dfrac {\omega }{Q\,\omega _{0}}}}}\;{\underline {X_{e}}}\right\rbrace _{\forall \;\omega }\;$

### Détermination de la réponse temporelle d'un système linéaire du 2ème ordre « du type réponse en u$_R$ d'un R L C série soumis à une tension de valeur efficace constante » à un signal sinusoïdal de pulsation ω à partir de sa réponse fréquentielle

Connaissant la « réponse fréquentielle $\;{\underline {Y_{s}}}(j\,\omega )={\underline {H}}(j\,\omega )\;{\underline {X_{e}}}\;$ dont la forme trigonométrique s'écrit $\;{\underline {Y_{s}}}(j\,\omega )=Y_{s}(\omega )\;\exp \!\left[j\,\varphi _{s}(\omega )\right]\;$», on obtient Connaissant la « réponse temporelle $\;y_{s}(t)\;$» en « revenant à la grandeur sinusoïdale associée à la grandeur instantanée complexe $\;{\underline {y_{s}}}(t)={\underline {Y_{s}}}(j\,\omega )\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$» selon
$\;y_{s}(t)=Y(\omega )\;{\sqrt {2}}\;\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{s}(\omega )\right]\;$
$\;Y(\omega )=\vert {\underline {H}}(j\,\omega )\;{\underline {X_{e}}}\vert =G(\omega )\;X_{e}\;$
$\;G(\omega )=\vert {\underline {H}}(j\,\omega )\vert \;$
$\;\varphi _{s}(\omega )=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {H}}(j\,\omega )\;{\underline {X_{e}}}\right]=\varphi (\omega )+\varphi _{e}\;$
$\;\varphi (\omega )=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {H}}(j\,\omega )\right]\;$
il est intéressant de « comparer cette réponse temporelle $\;y_{s}(t)=Y(\omega )\;{\sqrt {2}}\;\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{s}(\omega )\right]\;$ au signal d'entrée $\;x_{e}(t)=X_{e}\;{\sqrt {2}}\;\cos(\omega \,t+\varphi _{e})\;$» suivant la valeur de la pulsation de ce dernier il est intéressant connaissant le diagramme de Bode, la « pulsation propre $\;\omega _{0}\;$», le « facteur de qualité $\;Q\;$» ainsi que le « gain à la résonance $\;G_{\text{max}}=G(\omega _{0})=\vert \gamma '\vert \,\omega _{0}\,Q=\vert \alpha \vert \,Q\;$» du filtre :
il est intéressant $\succ \;$« à B.F. c'est-à-dire si $\;\omega \lesssim {\dfrac {\omega _{0}}{10}}\;$», l'« équivalent de la fonction de transfert s'écrivant $\;{\underline {H}}(j\,\omega )={\dfrac {j\,\gamma '\,\omega }{1\;{\cancel {-{\dfrac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}+j\,{\dfrac {\omega }{Q\,\omega _{0}}}}}}}\sim j\,\gamma '\,\omega \;$» nous en déduisons il est intéressant $\color {transparent}{\succ }\;$« à B.F. c'est-à-dire si $\;\color {transparent}{\omega \lesssim {\dfrac {\omega _{0}}{10}}}\;$», son « équivalent en équation différentielle $\;{\cancel {{\dfrac {1}{\omega _{0}^{2}}}\,{\dfrac {d^{2}y_{s}}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {1}{Q\,\omega _{0}}}\,{\dfrac {dy_{s}}{dt}}(t)\;+}}\;y_{s}(t)=\gamma '\,{\dfrac {dx_{e}}{dt}}(t)\;$» établissant que il est intéressant $\color {transparent}{\succ }\;$« à B.F. c'est-à-dire si $\;\color {transparent}{\omega \lesssim {\dfrac {\omega _{0}}{10}}}\;$», la réponse temporelle est égale à la dérivée du signal d'entrée multipliée par le cœfficient$\;\gamma '\;$, il est intéressant $\color {transparent}{\succ }\;$« à B.F. c'est-à-dire si $\;\color {transparent}{\omega \lesssim {\dfrac {\omega _{0}}{10}}}\;$», le système du 2ème ordre « du type réponse en $\;u_{R}\;$ d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension de valeur efficace constante » étant en effet équivalent, à B.F., à un circuit pseudo-dérivateur, il est intéressant $\color {transparent}{\succ }\;$« à B.F. c'est-à-dire si $\;\color {transparent}{\omega \lesssim {\dfrac {\omega _{0}}{10}}}\;$», en accord avec l'existence d'une asymptote B.F. de la courbe de gain du diagramme de Bode de pente$\;+20\;dB\,/\,{\text{décade}}$,
il est intéressant $\succ \;$« à H.F. c'est-à-dire si $\;\omega \gtrsim 10\;\omega _{0}\;$», l'« équivalent de la fonction de transfert s'écrivant $\;{\underline {H}}(j\,\omega )={\dfrac {j\,\gamma '\,\omega }{{\cancel {1}}-{\dfrac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}\;{\cancel {+j\,{\dfrac {\omega }{Q\,\omega _{0}}}}}}}\sim {\dfrac {\gamma '\,\omega _{0}^{2}}{j\,\omega }}={\dfrac {\alpha \,\omega _{0}}{j\,\omega }}\;$» nous en déduisons il est intéressant $\color {transparent}{\succ }\;$« à B.F. c'est-à-dire si $\;\color {transparent}{\omega \gtrsim 10\;\omega _{0}}\;$», son « équivalent en équation différentielle $\;{\dfrac {1}{\omega _{0}^{2}}}\,{\dfrac {d^{2}y_{s}}{dt^{2}}}(t)\;{\cancel {+{\dfrac {1}{Q\,\omega _{0}}}\,{\dfrac {dy_{s}}{dt}}(t)+y_{s}(t)}}\;=\gamma '\;{\dfrac {dx_{e}}{dt}}(t)\;$» ou, il est intéressant $\color {transparent}{\succ }\;$« à B.F. c'est-à-dire si $\;\color {transparent}{\omega \gtrsim 10\;\omega _{0}}\;$», en prenant les primitives $\;{\big$de valeur moyenne nulle${\big )}\;$ de chaque membre «$\;{\dfrac {1}{\omega _{0}^{2}}}\,{\dfrac {dy_{s}}{dt}}(t)\simeq \gamma '\;x_{e}(t)\;$» puis, de nouveau, il est intéressant $\color {transparent}{\succ }\;$« à B.F. c'est-à-dire si $\;\color {transparent}{\omega \gtrsim 10\;\omega _{0}}\;$», en prenant les primitives $\;{\big$de valeur moyenne nulle${\big )}\;$ de chaque membre «$\;{\dfrac {y_{s}(t)}{\omega _{0}^{2}}}\simeq \gamma '\,\displaystyle \int _{0}^{t}x_{e}(t')\,dt'\;$» ou encore il est intéressant $\color {transparent}{\succ }\;$« à B.F. c'est-à-dire si $\;\color {transparent}{\omega \gtrsim 10\;\omega _{0}}\;$», en prenant les primitives $\;\color {transparent}{\big$de valeur moyenne nulle$\color {transparent}{\big )}\;$ de chaque membre «$\;y_{s}(t)\simeq \gamma '\,\omega _{0}^{2}\,\displaystyle \int _{0}^{t}x_{e}(t')\,dt'=\alpha \,\omega _{0}\,\displaystyle \int _{0}^{t}x_{e}(t')\,dt'\;$» $\Rightarrow$ il est intéressant $\color {transparent}{\succ }\;$« à B.F. c'est-à-dire si $\;\color {transparent}{\omega \gtrsim 10\;\omega _{0}}\;$», la réponse temporelle est égale à la primitive$\;{\big$de valeur moyenne nulle${\big )}\;$du signal d'entrée au facteur multiplicatif près$\;\gamma '\,\omega _{0}^{2}=\alpha \,\omega _{0}\;$$^,$, il est intéressant $\color {transparent}{\succ }\;$« à B.F. c'est-à-dire si $\;\color {transparent}{\omega \gtrsim 10\;\omega _{0}}\;$», le système du 2ème ordre « du type réponse en $\;u_{R}\;$ d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension de valeur efficace constante » étant en effet équivalent, à H.F., à un circuit pseudo-intégrateur, il est intéressant $\color {transparent}{\succ }\;$« à B.F. c'est-à-dire si $\;\color {transparent}{\omega \gtrsim 10\;\omega _{0}}\;$», en accord avec l'existence d'une asymptote H.F. de la courbe de gain du diagramme de Bode de pente$\;-20\;dB\,/\,{\text{décade}}$,
il est intéressant $\succ \;$« à fréquence voisine de la fréquence propre c'est-à-dire si $\;{\dfrac {\omega }{Q\,\omega _{0}}}\gg {\Bigg \vert }1-{\dfrac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}{\Bigg \vert }\;$» ou $\;{\dfrac {\omega }{Q\,\omega _{0}}}\gg \left\lbrace {\begin{array}{c}{\dfrac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}-1\;{\text{si }}\omega >\omega _{0}\\1-{\dfrac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}\;{\text{si }}\omega <\omega _{0}\end{array}}\right\rbrace \;$ ou encore, «$\;{\dfrac {\omega }{Q\,\omega _{0}}}>10\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\dfrac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}-1\;{\text{si }}\omega >\omega _{0}\\1-{\dfrac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}\;{\text{si }}\omega <\omega _{0}\end{array}}\right\rbrace \;$ en travaillant à $\;1\,\%\;$ près », c'est-à-dire les deux inéquations $\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c}10\;{\dfrac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}-{\dfrac {1}{Q}}\;{\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}-10>0\!&{\text{si}}&\!\omega >\omega _{0}\\10\;{\dfrac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}+{\dfrac {1}{Q}}\;{\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}-10>0\!&{\text{si}}&\!\omega <\omega _{0}\end{array}}\right\rbrace \;$ ou $\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c}x^{2}-{\dfrac {1}{10\;Q}}\;x-1>0\!&{\text{si}}&\!x>1\\x^{2}+{\dfrac {1}{10\;Q}}\;x-1>0\!&{\text{si}}&\!x<1\end{array}}\right\rbrace \;$ en utilisant la fréquence réduite $\;x={\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}\;$ et en normalisant les inéquations soit enfin, «$\;x\in \left[x_{\text{lim inf réson}}\,;\,x_{\text{lim sup réson}}\right]\;$» $\;{\bigg \$les valeurs limites de cette zone de résonance étant «$\;x_{\text{lim inf réson}}\simeq 1-{\dfrac {1}{20\;Q}}\;$» et «$\;x_{\text{lim sup réson}}\simeq 1+{\dfrac {1}{20\;Q}}\;$» dans la mesure où «$\;Q\;$ est $\;\gtrsim \;$ à $\;{\dfrac {1}{2}}\;$» $\;{\big$ce qui est usuellement réalisé dès lors qu'on s'intéresse à un passe-bande${\big ]}\;$${\bigg \}$, il est intéressant $\color {transparent}{\succ }\;$« à fréquence voisine de la fréquence propre l'« équivalent de la fonction de transfert s'écrivant $\;{\underline {H}}(j\,\omega )={\dfrac {j\,\gamma '\,\omega }{{\cancel {1-{\dfrac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}}}\;+j\,{\dfrac {\omega }{Q\,\omega _{0}}}}}\sim \gamma '\,\omega _{0}\,Q=\alpha \,Q\;$» nous en déduisons il est intéressant $\color {transparent}{\succ }\;$« à fréquence voisine de la fréquence propre son « équivalent en équation différentielle $\;{\cancel {{\dfrac {1}{\omega _{0}^{2}}}\,{\dfrac {d^{2}y_{s}}{dt^{2}}}(t)+}}\;{\dfrac {1}{Q\,\omega _{0}}}\,{\dfrac {dy_{s}}{dt}}(t)\;{\cancel {+y_{s}(t)}}\;=\gamma '\;{\dfrac {dx_{e}}{dt}}(t)\;$» ou, il est intéressant $\color {transparent}{\succ }\;$« à fréquence voisine de la fréquence propre en prenant les primitives $\;{\big$de valeur moyenne nulle${\big )}\;$ de chaque membre «$\;{\dfrac {1}{Q\,\omega _{0}}}\,y_{s}(t)\simeq \gamma '\;x_{e}(t)\;$» ou encore il est intéressant $\color {transparent}{\succ }\;$« à fréquence voisine de la fréquence propre en prenant les primitives $\;\color {transparent}{\big$de valeur moyenne nulle$\color {transparent}{\big )}\;$ de chaque membre «$\;y_{s}(t)\simeq \gamma '\,\omega _{0}\,Q\;x_{e}(t)=\alpha \,Q\;x_{e}(t)\;$» établissant que il est intéressant $\color {transparent}{\succ }\;$« à fréquence voisine de la fréquence propre la réponse temporelle est approximativement égale au signal d'entrée$\;{\big$ou à son opposé${\big )}\;$multiplié par le gain maximal du filtre$^,$.

### Détermination de la réponse temporelle d'un système linéaire du 2ème ordre « du type réponse en u$_R$ d'un R L C série soumis à une tension de valeur efficace constante » à une somme finie de signaux sinusoïdaux de fréquences distinctes à partir des réponses fréquentielles de chaque composante de la somme finie de signaux
#### Rappel du théorème de superposition

Théorème mentionné dans le paragraphe « enoncé du théorème de superposition » du chap.$33$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » et rappelé ci-dessous :
Dans une équation différentielle linéaire dont l'excitation est une somme d'excitations distinctes, « la réponse forcée de l'équation différentielle à l'excitation somme est la somme des réponses forcées de l'équation différentielle à chaque excitation prise individuellement ».

#### Réponse temporelle d'un système linéaire du 2ème ordre « du type réponse en u$_R$ d'un R L C série soumis à une tension de valeur efficace constante » à une somme finie de signaux sinusoïdaux de fréquences distinctes à partir des réponses fréquentielles de chaque composante de la somme finie de signaux

Le système étant linéaire, on peut lui appliquer le théorème de superposition et Le système étant linéaire, on en déduit que « la réponse temporelle à une somme finie de signaux sinusoïdaux est la somme des réponses temporelles à chaque signal sinusoïdal pris individuellement » $\;{\big$pour chacune de ces dernières on peut appliquer les résultats du paragraphe « détermination de la réponse temporelle d'un système linéaire du 2ème ordre “ du type réponse en u$_R$ d'un R L C série soumis à une tension de valeur efficace constante ” à un signal sinusoïdal de pulsation ω à partir de sa réponse fréquentielle »${\big )}\;\ldots$

### Détermination de la réponse temporelle d'un système linéaire du 2ème ordre « du type réponse en u$_R$ d'un R L C série soumis à une tension de valeur efficace constante » à un signal périodique non sinusoïdal à partir des réponses fréquentielles de chaque harmonique du signal
#### Obtention de la réponse fréquentielle du filtre à un signal d'entrée périodique non sinusoïdal et rappel de la méthode à utiliser pour en déduire la réponse temporelle

On associe au signal périodique d'entrée $\;x_{E}(t)\;$ de fréquence $\;f_{e}\;$ sa représentation fréquentielle $\;\left\lbrace C_{0,\,E}\,;\,{\underline {C_{p,\,e}}}\;p\in \mathbb {N} ^{*}\right\rbrace \;$ et
on applique de nouveau le théorème de superposition, chaque harmonique du signal d'entrée donnant en sortie l'harmonique de même fréquence et de valeur efficace complexe «$\;{\underline {C_{p,\,s}}}(j\,2\,\pi \,p\,f_{e})=$ ${\underline {H}}(j\,2\,\pi \,p\,f_{e})\;{\underline {C_{p,\,e}}}\;p\in \mathbb {N} ^{*}\;$», la composante permanente du signal de sortie étant nulle par absence de transfert statique du filtre soit «$\;C_{0,\,S}=0\;$», on applique de nouveau le théorème de superposition, l'« ensemble $\;\left\lbrace C_{0,\,S}=0\,;\,{\underline {C_{p,\,s}}}\;p\in \mathbb {N} ^{*}\right\rbrace \;$ définissant la réponse fréquentielle du système linéaire au signal d'entrée périodique non sinusoïdal » ;
on applique de nouveau le théorème de superposition, il reste alors à effectuer une synthèse de Fourier pour obtenir la réponse temporelle du système au signal d'entrée à partir de sa réponse fréquentielle et nous allons le faire sur un exemple « un signal créneau symétrique » :

#### Synthèse de Fourier pour déterminer la réponse temporelle du filtre à un signal triangulaire symétrique d'entrée

Rappel de la représentation fréquentielle d'un signal créneau symétrique de valeur moyenne nulle, d'amplitude$\;U_{m}\;$et de fréquence$\;f_{e}\;$ : «$\;\left\lbrace C_{0,\,E}=0\,;\,{\underline {C_{2\,n+1,\,e}}}=-{\dfrac {2\,U_{m}\,{\sqrt {2}}}{\pi }}\,{\dfrac {j}{2\,n+1}}\;n\in \mathbb {N} \right\rbrace \;$» soit une $\;\searrow \;$ lente en $\;{\dfrac {1}{p}}=$ ${\dfrac {1}{2\,n+1}}\;$ de la valeur efficace des harmoniques suivant le rang ; on estime qu'il faut superposer tous les harmoniques jusqu'au rang $\;30\;$ pour reconstituer approximativement le signal créneau $\;{\big$voir le paragraphe « nombre minimal de 1$^{ers}$ harmoniques nécessaire pour reconstruire un signal créneau symétrique » du chap.$2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »${\big ]}\;\ldots$
Choix du filtre et ses propriétés : nous choisissons un passe-bande du 2ème ordre « du type réponse en $\;u_{R}\;$ d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension de valeur efficace constante », de fréquence propre $\;f_{0}=10\,kHz$, de facteur de qualité $\;Q=10\;$ et de cœfficient $\;\alpha =$ $0,1\;$ de $\;j\,x\;$ du numérateur de la fonction de transfert écrite sous sa forme canonique réduite usuelle conduisant à un gain à la résonance «$\;G_{\text{max}}$ $=G(x_{0}=1)=1\;$», Choix du filtre et ses propriétés : la « zone dérivative » s'étend pratiquement sur l'intervalle «$\;\left[0\,;\,{\dfrac {f_{0}}{10}}=1\,kHz\right]\;$», Choix du filtre et ses propriétés : la « zone intégrative » s'étend pratiquementsur l'intervalle «$\;\left[10\,f_{0}=100\,kHz\,;\,+\infty \right[\;$» et Choix du filtre et ses propriétés : l'« intervalle passant à $\;-3\;dB\;$» s'étendant sur «$\;\left[f_{c,\,b}\simeq 9,51\,kHz\,;\,f_{c,\,h}\simeq 10,51\,kHz\right]\;$»$^,$, Choix du filtre et ses propriétés : la « bande passante à $\;-3\;dB\;$» valant «$\;B.P._{-3dB}=f_{c,\,h}-f_{c,\,b}={\dfrac {f_{0}}{Q}}=1\,kHz\;$».
Condition de fréquence pour obtenir le signal dérivé du créneau en sortie : les harmoniques nécessaires à la constitution du signal dérivé du créneau doivent être dans la zone dérivative c'est-à-dire que le 300ème harmonique doit y être soit «$\;300\;fe\lesssim {\dfrac {f_{0}}{10}}\;$» ou encore «$\;f_{e}\lesssim {\dfrac {f_{0}}{3000}}\simeq 3,3\,Hz\;$» voir ci-contre avec «$\;f_{e}=3\,Hz\;$» ;
Condition de fréquence pour obtenir le signal dérivé du créneau en sortie : remarque : on y observe un phénomène de Gibbs lors de la tentative de reconstitution de chaque discontinuité de 2ème espèce du signal de sortie et de façon plus marquée que pour une discontinuité de 1ère espèce $\;{\big$lorsque le pic de Dirac est orienté vers le haut on observe un retrait très important vers le haut $\;{\big$le pic devant être infini${\big )}\;$ et un dépassement de $\;10\,\%\;$ vers le bas, le phénomène de Gibbs étant inversé pour le pic de Dirac orienté vers le bas${\big ]}$.
Condition de fréquence pour obtenir un signal triangulaire en sortie : les harmoniques nécessaires à la constitution d'un signal triangulaire doivent être dans la zone intégrative c'est-à-dire qu'il suffit que le 1er harmonique y soit $\;{\big \$puisque le 3ème est de fréquence plus élevée${\big )}\;$ soit «$\;fe\gtrsim 10\;f_{0}=100\,kHz\;$» voir ci-contre à gauche avec «$\;f_{e}=100\,kHz\;$» ; Condition de fréquence pour obtenir un signal triangulaire en sortie : remarque : on y observe le phénomène de Gibbs lors de la tentative de reconstitution de chaque pointe du signal de sortie $\;{\big$on rappelle qu'une pointe de signal correspond à une discontinuité de 1ère espèce de la dérivée de ce dernier${\big )}$, ce phénomène se manifestant par un plus ou moins grand arrondi à la place de la pointe $\;{\big \$si le tronquement de la synthèse de Fourier se faisait à un rang plus élevé, cela ne ferait pas disparaître le phénomène de Gibbs mais limiterait l'étendue spatiale de l'arrondi${\big \}$.
Condition de fréquence pour obtenir l'harmonique fondamental du signal créneau en sortie : l'harmonique fondamental du signal créneau étant de fréquence $\;f_{e}\;$ alors que l'harmonique suivant, c'est-à-dire celui de rang $\;3$, de fréquence $\;3\,f_{e}$, il est souhaitable de choisir Condition de fréquence pour obtenir l'harmonique fondamental «$\;f_{e}\;$ égale à la fréquence de résonance $\;f_{0}=10\,kHz\;$» de façon que la fréquence de l'harmonique fondamental soit au centre de l'intervalle passant à $\;-3\;dB\;$ «$\;\left[f_{c,\,b}\simeq 9,51\,kHz\,;\,f_{c,\,h}\simeq 10,51\,kHz\right]\;$» en constatant que la fréquence de l'harmonique de rang $\;3$, c'est-à-dire $\;30\,kHz$, est hors de l'intervalle passant à $\;-3\;dB\;$, de même que les fréquences de tous les autres harmoniques $\;{\big$puisque de fréquence supérieure${\big )}$ ; Condition de fréquence pour obtenir l'harmonique fondamental avec ce choix de fréquence «$\;f_{e}=f_{0}=10\,kHz\;$» on observe ainsi en sortie l'harmonique fondamental du créneau d'amplitude $\;1,27\;U_{m}\;$ voir ci-dessous à gauche.
Condition de fréquence pour obtenir l'harmonique de rang$\;3\;$du signal créneau en sortie : l'harmonique fondamental du signal créneau étant de fréquence $\;f_{e}$, l'harmonique de rang $\;3\;$ est de fréquence $\;3\,f_{e}$, il est souhaitable de choisir Condition de fréquence pour obtenir l'harmonique de rang $\;\color {transparent}{3}\;$«$\;3\,f_{e}\;$ égale à la fréquence de résonance $\;f_{0}=10\,kHz\;$» soit «$\;f_{e}={\dfrac {f_{0}}{3}}$ $\simeq 3,3\,kHz\;$» de façon que la fréquence de l'harmonique de rang $\;3\;$ soit au centre de l'intervalle passant à $\;-3\;dB\;$ c'est-à-dire au centre de «$\;\left[f_{c,\,b}\simeq 9,51\,kHz\,;\,f_{c,\,h}\simeq 10,51\,kHz\right]\;$», la fréquence de l'harmonique fondamental égale à $\;3,3\,kHz\;$ étant alors hors de l'intervalle passant à $\;-3\;dB\;$ ainsi que la fréquence de l'harmonique de rang $\;5\;$ égale à $\;5\,f_{e}\simeq$ $16,7\,kHz\;$ et tous les autres harmoniques de rang supérieur $\;{\big$puisque de fréquence supérieure${\big )}$ ;
Condition de fréquence pour obtenir l'harmonique de rang $\;\color {transparent}{3}\;$on observe en sortie l'harmonique de rang $\;3\;$ du créneau d'amplitude $\;0,42\;U_{m}\;$ ${\big \$voir ci-dessous à droite où on constate, néanmoins, que la sortie pratique n'est pas composée du seul harmonique de rang $\;3$, l'harmonique fondamental y apparaissant affecté d'un gain faible conduisant à une légère transmission du filtre, de même les harmoniques de rang supérieur à $\;3$ $\;{\big$essentiellement $\;5{\big )}\;$ y apparaissant également affecté d'un gain d'autant plus faible $\;{\big$donc bloquant d'autant mieux l'harmonique correspondant${\big )}\;$ que le rang est élevé${\big \}$. Condition de fréquence pour obtenir l'harmonique de rang $\;\color {transparent}{3}\;$Remarques :
Ci-contre à droite nous constatons qu'un facteur de qualité $\;Q=10\;$ ne permet pas d'obtenir en signal de sortie l'harmonique de rang $\;3\;$ pur mais que les deux harmoniques fondamental et de rang $\;5\;$ créent une distorsion dans le signal de sortie ; Ci-contre à droite comment modifier le filtre pour qu'en sortie, on obtienne l'harmonique de rang $\;3\;$ sans la distorsion observée ? Ci-contre à droite Cela étant dû au gain trop important obtenu aux fréquences de ces harmoniques voisins il faut augmenter l'acuité de la résonance en utilisant un facteur de qualité plus grand, par exemple Ci-contre à droite en prenant $\;Q=20\;$ ${\big$et $\;\alpha =0,05\;$ pour que le gain à la résonance reste égal à $\;1\;$ et que l'on puisse comparer facilement${\big )}$, le gain pour l'harmonique fondamental devenant égal à $\;G(f_{e})$ $={\dfrac {\vert \alpha \vert \;{\dfrac {f_{e}}{f_{0}}}}{\sqrt {\left[1-\left({\dfrac {f_{e}}{f_{0}}}\right)^{\!2}\right]^{2}+\left({\dfrac {f_{e}}{Q\;f_{0}}}\right)^{2}}}}={\dfrac {0,05\times 0,33}{\sqrt {\left[1-(0,33)^{2}\right]^{2}+(0,0165)^{2}}}}\simeq 0,0185\simeq {\dfrac {1}{54}}\;$ $\Rightarrow$ une influence de l'harmonique fondamental sur le signal de sortie devenue quasi-inexistante et le gain pour l'harmonique de rang $\;5\;$ devenant égal à $\;G(5\,f_{e})=$ ${\dfrac {\vert \alpha \vert \;{\dfrac {5\,f_{e}}{f_{0}}}}{\sqrt {\left[1-\left({\dfrac {5\,f_{e}}{f_{0}}}\right)^{\!2}\right]^{2}+\left({\dfrac {5\,f_{e}}{Q\;f_{0}}}\right)^{2}}}}={\dfrac {0,05\times 1,67}{\sqrt {\left[1-(1,67)^{2}\right]^{2}+(0,083)^{2}}}}\simeq 0,047\simeq {\dfrac {1}{21}}\;$ $\Rightarrow$ aussi une influence de l'harmonique de rang $\;5\;$ sur le signal de sortie devenue quasi-inexistante $\;\ldots$
Tentative d'observation des autres harmoniques : pour observer, en sortie, l'« harmonique de rang $\;2\,p+1,\;p\in \mathbb {N} ^{*}\setminus \left\lbrace 1\right\rbrace \;$», il est souhaitable de choisir Tentative d'observation des autres harmoniques : la fréquence de ce dernier égale à la fréquence de résonance soit «$\;(2\,p+1)\,f_{e}=f_{0}\;$» $\Rightarrow$ «$\;f_{e}={\dfrac {f_{0}}{2\,p+1}}\;$» comme fréquence du signal créneau mais Tentative d'observation des autres harmoniques : il faut aussi s'assurer que les harmoniques de rang immédiatement inférieur et supérieur, de fréquences respectives «$\;(2\,p-1)\,f_{e}={\dfrac {2\,p-1}{2\,p+1}}\;f_{0}\;$» et «$\;(2\,p+3)\,f_{e}$ $={\dfrac {2\,p+3}{2\,p+1}}\;f_{0}\;$» soient en dehors de l'intervalle passant à $\;-3\;dB$, ce qui, en supposant ce dernier centré sur la fréquence de résonance, nécessite que l'écart de fréquences entre l'harmonique de rang immédiatement inférieur $\;{\big$ou supérieur${\big )}\;$ et de l'harmonique observée en sortie soit de valeur absolue supérieure à $\;{\dfrac {B.P._{-3dB}}{2}}={\dfrac {f_{0}}{2\,Q}}\;$ c'est-à-dire
Tentative d'observation des autres harmoniques : $\succ \;$«$\;f_{0}-{\dfrac {2\,p-1}{2\,p+1}}\;f_{0}\gtrsim {\dfrac {f_{0}}{2\,Q}}\;$» ou $\;1-{\dfrac {2\,p-1}{2\,p+1}}\gtrsim {\dfrac {1}{2\,Q}}\;$ soit encore «$\;{\dfrac {2}{2\,p+1}}\gtrsim {\dfrac {1}{2\,Q}}\;$» réalisé « si $\;2\,p+1\lesssim 4\,Q\;$» et
Tentative d'observation des autres harmoniques : $\succ \;$«$\;{\dfrac {2\,p+3}{2\,p+1}}\;f_{0}-f_{0}\gtrsim {\dfrac {f_{0}}{2\,Q}}\;$» ou $\;{\dfrac {2\,p+3}{2\,p+1}}-1\gtrsim {\dfrac {1}{2\,Q}}\;$ soit encore «$\;{\dfrac {2}{2\,p+1}}\gtrsim {\dfrac {1}{2\,Q}}\;$» réalisé « si $\;2\,p+1\lesssim 4\,Q\;$»,
Tentative d'observation des autres harmoniques : $\color {transparent}{\succ }\;$ donnant numériquement $\;2\,p+1\lesssim 40\;$ c'est-à-dire qu'en théorie les harmoniques du créneau jusqu'au rang $\;39\;$ inclus peuvent être visualisés seuls en sortie sans que les fréquences de l'harmonique de rang précédent ou suivant soient simultanément dans l'intervalle passant à $\;-3\;dB\;$ ${\bigg \$en fait nous ne sommes pas du tout assez sélectif en considérant un intervalle passant à $\;-3\;dB\;$ ${\bigg$en dehors de cet intervalle le gain n'étant que $\;\lesssim {\dfrac {G(f_{0})}{\sqrt {2}}}\simeq 0,7\;G(f_{0})\;$ n'est pas nécessairement suffisamment petit pour considérer le blocage de l'harmonique dont la fréquence est hors de cet intervalle${\bigg ]}\!{\bigg \}$.

## Cas d'un système linéaire à plusieurs étages, cas particulier d'étages identiques en r.s.f. et intérêt de la notion d'impédance complexe itérative
### Système linéaire à plusieurs étages

Supposons trois Q.L.P. montés en cascade $\;{\big$voir schéma ci-contre${\big )}\;$ et considérons l'« amplification complexe en tension $\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {u_{s}}}(t)}{{\underline {u_{e}}}(t)}}\;$» ; nous pouvons écrire formellement «$\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {u_{s}}}(t)}{{\underline {u_{e}}}(t)}}={\dfrac {{\underline {u_{s}}}(t)}{{\underline {u_{3}}}(t)}}\;{\dfrac {{\underline {u_{3}}}(t)}{{\underline {u_{2}}}(t)}}\;{\dfrac {{\underline {u_{2}}}(t)}{{\underline {u_{e}}}(t)}}\;$» soit, en introduisant les amplifications complexes de chaque étage «$\;{\underline {A_{3}}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {u_{s}}}(t)}{{\underline {u_{3}}}(t)}}\;$», «$\;{\underline {A_{2}}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {u_{3}}}(t)}{{\underline {u_{2}}}(t)}}\;$» et «$\;{\underline {A_{1}}}(j\,\omega )=$ ${\dfrac {{\underline {u_{2}}}(t)}{{\underline {u_{e}}}(t)}}\;$» selon
$\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\underline {A_{3}}}(j\,\omega )\;{\underline {A_{2}}}(j\,\omega )\;{\underline {A_{1}}}(j\,\omega )\;$
$\;\ldots \;$
cette écriture ne correspond pas à une simplification contrairement à ce qu'elle pourrait laisser croire !

### Simplification apparente mais, sauf cas très particulier, complication réelle

Cette simplification apparente n'est en fait qu'un leurre dans le cas général, en effet pour envisager le calcul par cette démarche il faut :
* « calculer $\;{\underline {A_{3}}}(j\,\omega )\;$» ce qui se fait sans difficulté apparente car le 3ème étage est fermé sur une impédance complexe $\;{\underline {Z_{u}}}(j\,\omega )\;$ connue, puis
* « calculer $\;{\underline {A_{2}}}(j\,\omega )\;$» mais pour cela il faut d'abord déterminer l'impédance complexe sur laquelle ce 2ème étage se ferme c'est-à-dire l'« impédance complexe d'entrée du 3ème étage $\;{\underline {Z_{e,\,3}}}(j\,\omega )\;$», cette impédance complexe jouant le rôle d'impédance complexe d'utilisation du 2ème étage pour l'évaluation de $\;{\underline {A_{2}}}(j\,\omega )\;$ et enfin
* « calculer $\;{\underline {A_{1}}}(j\,\omega )\;$» mais pour cela il faut d'abord déterminer l'impédance complexe sur laquelle ce 1er étage se ferme c'est-à-dire l'« impédance complexe d'entrée du 2ème étage $\;{\underline {Z_{e,\,2}}}(j\,\omega )\;$», cette impédance complexe jouant le rôle d'impédance complexe d'utilisation du 1er étage pour l'évaluation de $\;{\underline {A_{1}}}(j\,\omega )$, ce dernier calcul étant le plus compliqué compte-tenu de la vraisemblable complication de $\;{\underline {Z_{e,\,2}}}(j\,\omega )$.
On termine alors en formant le produit «$\;{\underline {A_{3}}}(j\,\omega )\;{\underline {A_{2}}}(j\,\omega )\;{\underline {A_{1}}}(j\,\omega )\;$» pour obtenir $\;{\underline {A}}(j\,\omega )$.

### Impédance(s) complexe(s) itérative(s) d'un Q.L.P.
#### Définition de l'impédance complexe itérative (ou des impédances complexes itératives) d'un Q.L.P.

On appelle impédance(s) complexe(s) itérative(s) d'un Q.L.P. « les valeurs particulières de l'impédance complexe d'utilisation sur laquelle le Q.L.P. est fermé égales à l'impédance complexe d'entrée du Q.L.P. fermé sur l'impédance complexe d'utilisation » ou On appelle impédance(s) complexe(s) itérative(s) d'un Q.L.P. « les solutions de l'équation en $\;{\underline {Z_{u}}}\;$, $\;{\underline {Z_{e}}}\!\left({\underline {Z_{u}}}\right)={\underline {Z_{u}}}\;$»$^,$.

#### Exemple de calcul de l'impédance complexe itérative d'un pont diviseur de tension avec les deux résistances égales

Bien sur il convient d'ajouter un schéma de situation du P.D.T. en r.s.f.$^,$ avec pour D.P.L. d'attaque et pour D.P.L. aux bornes duquel se situe la sortie du P.D.T. un conducteur ohmique de même résistance $\;R$.
La sortie du pont étant fermée sur $\;{\underline {Z_{u}}}\;$, l'« impédance complexe d'entrée est $\;{\underline {Z_{e}}}=R+\left(R\parallel {\underline {Z_{u}}}\right)=R+{\dfrac {R\;{\underline {Z_{u}}}}{R+{\underline {Z_{u}}}}}\;$» soit, après simplification évidente
$\;{\underline {Z_{e}}}={\dfrac {R\left(R+2\;{\underline {Z_{u}}}\right)}{R+{\underline {Z_{u}}}}}\;$
l'« impédance complexe itérative $\;{\underline {Z_{i}}}\;$ est donc une valeur de $\;{\underline {Z_{u}}}\;$ solution de $\;{\dfrac {R\left(R+2\;{\underline {Z_{u}}}\right)}{R+{\underline {Z_{u}}}}}={\underline {Z_{u}}}\;$» ou «$\;R\left(R+2\;{\underline {Z_{u}}}\right)={\underline {Z_{u}}}\left(R+{\underline {Z_{u}}}\right)\;$» soit encore l'« impédance complexe itérative $\;\color {transparent}{\underline {Z_{i}}}\;$ est donc une solution de l'équation du 2ème degré en $\;{\underline {Z_{u}}}\;$ «$\;{\underline {Z_{u}}}^{2}-R\;{\underline {Z_{u}}}-R^{2}=0\;$» de discriminant $\;\Delta =(-R)^{2}+4\,R^{2}=5\,R^{2}\;$ d'où l'« impédance complexe itérative $\;\color {transparent}{\underline {Z_{i}}}\;$ est donc un ensemble de deux solutions réelles «$\;{\underline {Z_{i}}}={\dfrac {R\pm R\,{\sqrt {5}}}{2}}\;$» dont
l'« impédance complexe itérative $\;\color {transparent}{\underline {Z_{i}}}\;$ est donc un ensemble de deux solutions réelles $\succ \;$l'une est résistive «$\;{\underline {Z_{i}}}=R\;{\dfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\;$» et
l'« impédance complexe itérative $\;\color {transparent}{\underline {Z_{i}}}\;$ est donc un ensemble de deux solutions réelles $\succ \;$l'autre est équivalente à une résistance négative «$\;{\underline {Z_{i}}}'=R\;{\dfrac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\;$».

### Système linéaire à plusieurs étages identiques, le dernier étage étant fermé sur son impédance complexe itérative

Bien sur il convient d'ajouter un schéma de situation du système linéaire à plusieurs étages identiques en r.s.f., le dernier étage étant fermé sur son impédance complexe itérative $\;{\underline {Z_{i}}}\;$.
On considère donc une succession de $\;n\;$ mêmes Q.L.P. « en cascade », telle que le dernier étage soit fermé sur son impédance complexe itérative $\;{\underline {Z_{i}}}\;$ et on se propose de déterminer l'amplification complexe en tension $\;{\underline {A_{\text{tot}}}}(j\,\omega )\;$ de la chaîne des $\;n\;$ étages en cascade fermé sur l'impédance complexe itérative du dernier étage en utilisant la décomposition en amplification complexe en tension de chaque étage $\;{\big$nous faisons l'exposé ci-dessous en prenant $\;n=3$, la généralisation à $\;n\;$ quelconque se faisant sans difficulté${\big )}$ :
* soit «$\;{\underline {A_{3}}}(j\,\omega )={\underline {A_{\underline {Z_{i}}}}}(j\,\omega )\;$ l'amplification complexe en tension du 3ème étage fermé sur son impédance complexe itérative $\;{\underline {Z_{i}}}\;$»,
* pour évaluer «$\;{\underline {A_{2}}}(j\,\omega )\;$ l'amplification complexe en tension du 2ème étage fermé sur l'impédance complexe d'entrée du 3ème étage $\;{\underline {Z_{e,\,3}}}$», il faut évaluer cette dernière laquelle, par définition de l'impédance complexe itérative du 3ème étage, est égale $\;{\underline {Z_{i}}}\;$ ; « le 2ème étage étant identique au 3ème a donc même impédance complexe itérative $\;{\underline {Z_{i}}}\;$» et « le 2ème étage étant fermé sur son impédance complexe itérative $\;{\underline {Z_{i}}}\;$ a pour amplification complexe en tension la même expression que le 3ème soit $\;{\underline {A_{2}}}(j\,\omega )={\underline {A_{\underline {Z_{i}}}}}(j\,\omega )\;$» et enfin
* pour évaluer «$\;{\underline {A_{1}}}(j\,\omega )\;$ l'amplification complexe en tension du 1er étage fermé sur l'impédance complexe d'entrée du 2ème étage $\;{\underline {Z_{e,\,2}}}$», il faut évaluer cette dernière laquelle, par définition de l'impédance complexe itérative du 2ème étage, est égale $\;{\underline {Z_{i}}}\;$ ; « le 1er étage étant identique au 2ème a donc même impédance complexe itérative $\;{\underline {Z_{i}}}\;$» et « le 1er étage étant fermé sur son impédance complexe itérative $\;{\underline {Z_{i}}}\;$ a pour amplification complexe en tension la même expression que le 2ème ou le 3ème soit $\;{\underline {A_{1}}}(j\,\omega )={\underline {A_{\underline {Z_{i}}}}}(j\,\omega )\;$».
On termine alors en formant le produit «$\;{\underline {A_{3}}}(j\,\omega )\;{\underline {A_{2}}}(j\,\omega )\;{\underline {A_{1}}}(j\,\omega )\;$» et on obtient «$\;{\underline {A_{\text{tot}}}}(j\,\omega )=\left[{\underline {A_{\underline {Z_{i}}}}}(j\,\omega )\right]^{3}\;$» ; la généralisation à $\;n\;$ quelconque est aisée et donne
$\;{\underline {A_{{\text{tot}},\,n\,{\text{étages}}}}}(j\,\omega )=\left[{\underline {A_{{\text{dernier étage fermé sur }}\,{\underline {Z_{i}}}}}}(j\,\omega )\right]^{n}\;$