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# Espace préhilbertien complexe/Espaces hermitiens

On suppose dans ce chapitre que E un espace hermitien de dimension n, non réduit à {0}.

## Existence de bases

Il existe une base orthonormée de E.
Soit $(c_{1},\cdots ,c_{p})$ une famille orthonormale de vecteurs de E ($p<n$)
Alors cette famille peut être complétée en une base orthonormée de E $(c_{1},\cdots ,c_{n})$
Soit F un sous-espace vectoriel de E.
Alors :
* $E=F\oplus F^{\perp }$
* $(F^{\perp })^{\perp }=F$

## Écriture matricielle

On munit E d'une base orthonormée ${\mathcal {B}}=(e_{1},\cdots ,e_{n})$

### Écriture vectorielle du produit scalaire

Soit $(x,y)\in E^{2}$.
Il existe des coordonnées pour x et y dans la base ${\mathcal {B}}$ :
    $x=\sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i}$ et $y=\sum _{i=1}^{n}y_{i}e_{i}$
On pose les vecteurs $X={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$ et $Y={\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}$
* $\langle x|y\rangle =\sum _{i=1}^{n}{\overline {x_{i}}}y_{i}=^{t}\!\!{\bar {X}}Y$
* $||x||^{2}=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}=^{t}\!\!{\bar {X}}X$

### Matrice d'une forme hermitienne

Soient :
* $f\in {\mathcal {SH}}(E)$
* $\scriptstyle {\phi }$ la forme hermitienne associée à ƒ
* $x=\sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i}$ et $y=\sum _{i=1}^{n}y_{i}e_{i}$ deux vecteurs de E
On a :
$f(x,y)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\overline {x_{i}}}y_{j}f(e_{i},e_{j})$
On pose $A=(f(e_{i},e_{j}))_{1\leq i\leq n~,~1\leq j\leq n}$ la matrice de la forme sesquilinéaire à symétrie hermitienne ƒ dans la base ${\mathcal {B}}$.
On dira par extension que A est aussi la matrice de la forme hermitienne $\scriptstyle {\phi }$ associée à ƒ dans la base ${\mathcal {B}}$
$\forall (j,k),~f(e_{j},e_{k})={\overline {f(e_{k},e_{j})}}$
Donc $^{t}\!\!A={\bar {A}}$
Soit $M\in {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {C} )$
    M est dite hermitienne
    ssi $^{t}\!M={\overline {M}}$
    ssi $\forall (j,k),~m_{jk}={\overline {m_{kj}}}$
On pose $X={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$ et $Y={\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}$
* $f(x,y)=^{t}\!\!{\bar {X}}AY$
* $\phi (x)=^{t}\!\!{\bar {X}}AX$

## Isomorphisme canonique avec le dual

On pose l'application
    ${\begin{array}{ccccc}\psi &:&E&\rightarrow &E^{*}\\~&~&x&\mapsto &\langle x|\bullet \rangle \end{array}}$
$\scriptstyle {\psi }$ est un isomophisme sesquilinéaire entre E et son dual.
Soit $x\in E$
* Si $\psi (x)=0$
    ${\begin{aligned}\langle x|\bullet \rangle =0&\Rightarrow \forall y\in E,~\langle x|y\rangle =0\\&\Rightarrow \langle x|x\rangle =0\\&\Rightarrow x=0\end{aligned}}$
Donc $\scriptstyle {\psi }$ est injective.
De plus, $\scriptstyle {\psi }$ est une application sesquilinéaire entre deux espaces de même dimension n, donc $\scriptstyle {\psi }$ injective implique $\scriptstyle {\psi }$ surjective.
Finalement, $\scriptstyle {\psi }$ est un isomorphisme.
    → Nous verrons en annexe l’intérêt de cet isomorphisme pour l’application à la mécanique quantique, à travers de la notation bra-ket.
| Orthogonalité | Sommaire |
# Espace préhilbertien complexe/Formes hermitiennes

Dans tout ce cours, E est un $\mathbb {C}$-espace vectoriel.

## Définitions

Soit $f:E^{2}\to \mathbb {C}$.
* ƒ est dite linéaire à droite si $\forall \lambda \in \mathbb {C} ,~\forall (x,y,z)\in E^{3},~f(x,\lambda y+z)=\lambda f(x,y)+f(x,z)$
* ƒ est dite semi-linéaire à gauche si $\forall \lambda \in \mathbb {C} ,~\forall (x,y,z)\in E^{3},~f(\lambda x+y,z)={\bar {\lambda }}f(x,z)+f(y,z)$
Si ƒ est linéaire à droite et semi-linéaire à gauche, on dit que ƒ est une forme sesquilinéaire.
Soit $f:E^{2}\to \mathbb {C}$
On dit que ƒ est à symétrie hermitienne si $\forall (x,y)\in E^{2}\quad f(y,x)={\overline {f(x,y)}}$.
Une forme hermitienne est une forme sesquilinéaire à symétrie hermitienne.
Soit ƒ une forme hermitienne sur E.
On définit l’application $q:E\to \mathbb {R}$ par
    $q(x)=f(x,x)$.
q est appelée forme quadratique (hermitienne) associée à ƒ.
ƒ est appelée forme polaire associée à q.
${\begin{array}{ccccl}f&:&\mathbb {C} [X]^{2}&\to &\mathbb {C} \\~&~&(P,Q)&\mapsto &{\overline {P(0)}}Q(1)+{\overline {P(1)}}Q(0)\end{array}}$
ƒ est une forme hermitienne.
Sa forme quadratique associée est :
    ${\begin{array}{ccccl}q&:&\mathbb {C} [X]&\to &\mathbb {C} \\~&~&P&\mapsto &2\Re ({\overline {P(0)}}P(1))\end{array}}$.

## Propriétés

$\forall (x,y)\in E^{2}$ :
* $q(x+y)=q(x)+q(y)+2\Re (f(x,y))$
* $q(x-y)=q(x)+q(y)-2\Re (f(x,y))$
* $q(x+iy)=q(x)+q(y)-2\Im (f(x,y))$
* $q(x-iy)=q(x)+q(y)+2\Im (f(x,y))$.
$\forall (x,y)\in E^{2}$ :
    $q(x+y)+q(x-y)=2(q(x)+q(y))$
    $f(x,y)={\frac {1}{2}}\left[q(x+y)-q(x)-q(y)\right]+{\frac {\mathrm {i} }{2}}\left[q(x)+q(y)-q(x+y)\right]$
    $f(x,y)={\frac {1}{4}}\left[q(x+y)-q(x-y)\right]+{\frac {\mathrm {i} }{4}}\left[q(x-\mathrm {i} y)-q(x+\mathrm {i} y)\right]$.

## Espaces des applications

On notera (ponctuellement) dans cette section :
* ${\mathcal {H}}(E)$ l’ensemble des formes hermitiennes sur E.
* ${\mathcal {QH}}(E)$ l’ensemble des formes quadratiques associées.
* ${\mathcal {H}}(E)$ est un $\mathbb {R}$-espace vectoriel.
* ${\mathcal {QH}}(E)$ est donc un $\mathbb {R}$-espace vectoriel.
* ${\mathcal {H}}(E)$ n'est pas un espace vectoriel sur $\mathbb {C}$ (sauf bien sûr si E est l'espace nul).
En effet, soient $f$ une forme hermitienne non nulle sur E et $(x,y)\in E^{2}$ tel que $f(x,y)\neq 0$. On pose $g=\mathrm {i} f$.
Alors, $g(y,x)=\mathrm {i} f(y,x)=\mathrm {i} {\overline {f(x,y)}}$,
tandis que ${\overline {g(x,y)}}={\overline {\mathrm {i} f(x,y)}}=-\mathrm {i} {\overline {f(x,y)}}$.
Donc g n’est pas à symétrie hermitienne.
La surjection $\mathbb {R}$-linéaire
    ${\begin{array}{ccc}{\mathcal {H}}(E)&\rightarrow &{\mathcal {QH}}(E)\\f&\mapsto &q\end{array}}$
est injective (donc bijective).
Cette injectivité justifie l'appellation de forme polaire associée à une forme quadratique hermitienne.
| Sommaire | Produit scalaire |
# Espace préhilbertien complexe/Orthogonalité

On travaille dans un espace préhilbertien complexe E muni du produit scalaire $\langle \cdot \mid \cdot \rangle$ et de la norme associée $\|\cdot \|$.

## Orthogonal d'une partie

Toutes les définitions de ce paragraphe ainsi que leurs démonstrations sont exactement les mêmes que dans le cas d'un espace préhilbertien réel.
    → Pour revoir les démonstrations de ces propositions, se reporter au chapitre Orthogonalité dans les espaces préhilbertiens réels.
* Soit $(x,y)\in E^{2}$. x et y sont orthogonaux lorsque $\langle x\mid y\rangle =0$.
* Soit $x\in E$ et A une partie de E. x est orthogonal à A si $\forall a\in A\quad \langle a\mid x\rangle =0$.
* Soient A et B deux parties de E. A et B sont orthogonales si $\forall a\in A\quad \forall b\in B\quad \langle a\mid b\rangle =0$.
* Si A une partie de E, on appelle orthogonal de A le sous-espace vectoriel $A^{\perp }=\{x\in E\mid \forall a\in A\quad \langle x\mid a\rangle =0\}$.
Soient A et B deux parties de E.
    $A\subset B\Rightarrow B^{\perp }\subset A^{\perp }$.
    $A^{\perp }=(\mathrm {Vect} (A))^{\perp }$.
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E.
    $(F+G)^{\perp }=F^{\perp }\cap G^{\perp }$.
    $F^{\perp }+G^{\perp }\subset (F\cap G)^{\perp }$.
    $F\subset (F^{\perp })^{\perp }$.

## Familles orthogonales

Un vecteur $x\in E$ est dit unitaire si $\|x\|=1$.
Soit v = $(v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n})$ une famille de vecteurs de E.
* v est orthogonale si $\forall (i,j)\quad i\not =j\Rightarrow (v_{i}\mid v_{j})=0$.
* v est orthonormale si
    v est orthogonale et les $v_{i}$ sont unitaires
    ou, ce qui est équivalent, $\forall (i,j)\quad \langle v_{i}\mid v_{j}\rangle =\delta _{i,j}$.
$\forall (x,y)\in E^{2}\quad \langle x\mid y\rangle =0\Rightarrow \|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}$.
* La réciproque est fausse ! Contrairement au cas réel, on n'a pas l'équivalence car, d’après les formules de polarisation, $\|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}\Leftrightarrow \langle x\mid y\rangle \in \mathrm {i} \mathbb {R}$, possibilité qui ne se présente pas dans un espace préhilbertien réel.

### Théorème de Pythagore généralisé

Soit $(v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n})$ une famille orthogonale de E.
    On a $\left\|\sum _{i=1}^{n}v_{i}\right\|^{2}=\sum _{i=1}^{n}\|v_{i}\|^{2}$
Une famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre.

## Supplémentaire orthogonal

Soit F un sous-espace vectoriel de dimension finie de E.
Alors $E=F\oplus F^{\perp }$.

## Note

* ↑ On définit la fonction delta de Kronecker par $\forall (i,j)\in \mathbb {C} ^{2}\quad \delta _{i,j}={\begin{cases}0{\rm {~si~}}i\not =j\\1{\text{ si }}i=j\\\end{cases}}$
| Produit scalaire | Espaces hermitiens |
# Espace préhilbertien complexe

| Chap. 1 : | Formes hermitiennes (15) |
| Chap. 2 : | Produit scalaire (15) |
| Chap. 3 : | Orthogonalité (15) |
| Chap. 4 : | Espaces hermitiens (15) |
| Annexe : | Application à la mécanique quantique (15) |
| Exercice : | Espaces hermitiens (15) |
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## Présentation [Modifier]

On s'intéresse dans cette leçon aux propriétés des $\mathbb {C}$-espaces vectoriels munis d'un produit scalaire complexe donné. On parle alors d'espaces préhilbertiens complexes.
Les notions abordées dans ce chapitre sont particulièrement utiles en mécanique quantique .

## Objectifs [Modifier]

* Connaître les définitions des outils de base pour l'étude de ces espaces : produit scalaire complexe
* Savoir étendre aux espaces complexes, lorsque c’est possible, les résultats obtenus sur les espaces réels
* Connaître les propriétés les plus importantes des espaces de dimension finie
* Poser quelques résultats fondamentaux sur les familles orthonormales, qui seront la base de nombreux développements extrêmement importants comme les séries de Fourier

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 15.
* Espace préhilbertien réel
* Espace euclidien
* Quelques allusions à l'espace dual parsèment ce cours. Il peut donc être utile d’avoir quelques notions de dualité

## Référents [Modifier]

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
* Loïc Fabiou (discuter)
# Breton/Grammaire/Exercices/Substantifs

Substantifs
Exercices n$^o$1
Leçon : La grammaire bretonne
Chapitre du cours :
Substantifs
Exercices de niveau 2.
Exo préc. :Sommaire
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Substantifs Breton/Grammaire/Exercices/Substantifs  », n'a pu être restituée correctement ci-dessus. :

## Genre

| Un grand fleuve Ur stêr bras Ur stêr vras Ur stêr pras | Une petite maison Un ti vihan Un di vihan Un ti bihan | L'ancienne libraire Al levrier kozh Al levrierez kozh Al levrierenn gozh | Un froid rude Ur yender kriz Ur yender c'hriz Ur yender griz | Le Grand Londres Al London Meur London Meur London Veur |
| Un contentieux Ur breutadenn Ur breutaerezh Ur vreutaerezh | Une chose inconnue Un dra zianav Un tra dianav Un dra dianav | Le bon gâteau Ar gwastell mat Ar gwastell vat Ar wastell vat | Le bouton blanc An nozelenn wenn Un nozelenn wenn An nozelenn gwenn | Un immense orgueil Ur brasoni divent Ur vrasoni divent Ur vrasoni zivent | Le petit État Ar Stad bihan Ar Stad vihan Ar Stad pihan |

## Nombre

| Deux petites choses Daou traoù bihan Daou dra vihan Daou dra bihan | Des ânons Azenedigoù Azenoùigoù Azenediged | Un tas de pantalons Ur bern brageier Ur bern bragoù Ur bern bragioù | Mes coudes Ma ilinoù Ma daouilin Ma daou ilinoù | Des brins de paille Tammoù kolo Koloioù Koloennoù | La fille du puisatier Ar verc'h d'ar puñser Ur verc'h d'ar puñser Merc'h ar puñser |
| Des seaux Kelorned Kelern Kolorn | Des sceaux Sielled Sielloù Siellenned | Trois mésanges Tri fennduigoù Tri fennduiged Tri fennduig | Les chanteuses Ar c'hanerezed Ar c'hanerezioù Ar ganerezed | Des petites mésanges Pennduigennoù Pennduigigoù Pennduigiged | Le personnage de Dark Vador An tudenn Darth Vader An dudenn Darth Vader Tudenn Darth Vader |

## On mélange !

| De beaux yeux Daou lagad brav Daoulagad vrav Un daoulagad brav | Le retour du Jedi An distro d'ar Jedi Ar Jedi a zistro Distro ar Jedi | Trois yeux bleus Tri lagad glas Tri daoulagad glas Tri lagadenn c'hlas | Les filles de la côte Ar plac'hed an aod Plac'hed an aod Ar blac'hed an aod | Des pièces d'or Pezhioù en aour Pezhioù aourioù Pezhioù aour | L'homme au chapeau noir Gwaz e dog du Ar gwaz an tog du Gwaz an tog du |
| Un homme de parole Un den e c'her Un den a c'her Den e c'her | Une girafe mâle Un tad jirafenn Un darjirafenn Ur jiraf | Toyoda fait des voitures Toyoda a ra karroù Toyoda a ra kirred Toyoda a ra kirri | Des petits témoins Testedigoù Testoùiged Testoùigoù | Des cousines d'Anna Kenitervezed da Anna Kenitervezed Anna Keniterved Anna | Les ports de Bretagne Ar porzhioù Breizh Porzhioù Breizh Perzhier Breizh |
* Sommaire
# Breton/Grammaire/Exercices/Articles

les articles en breton
Exercices n$^o$1
Leçon : La grammaire bretonne
Chapitre du cours :
Les articles en breton
Exercices de niveau 2.
Exo préc. :Sommaire
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : les articles en breton Breton/Grammaire/Exercices/Articles  », n'a pu être restituée correctement ci-dessus. :
| Indéfini reolenn (une règle ) werenn (un verre) urzh (un ordre) vilgen (une prostituée ) higenn (un hameçon) | Défini morioù (les mers) tan (le feu) oad (l'âge) skorn (la glace) zenit (le zénith) | Indéfini fun (un câble) etev (une bûche) jod (une joue) lamm (un saut) binioù (une cornemuse) | Défini c'hig (la viande) amzer (le temps) yod (la bouillie) deñved (les moutons) iliav (le lierre) | Indéfini pesk (un poisson) chutenn (un biberon) naer (un serpent) gwalc'heris (un lavabo) gitell (une bouilloire) |
| andon (une source ) hili (la sauce) touseg (un crapaud) razhed (les rats) jed (un calcul) | onn (les frênes) wreg (l'épouse) iliav (du lierre) deskardez (une apprentie) barner (le juge) | chadenn (une chaîne) yevioù (les jougs) meziant (un logiciel) vioù (des œufs) garvez (une biche) | sae (une robe) lagad (l'œil) uhel (haut) poder (un potier ) fri (le nez) | evn (un oiseau) c'hereon (les cordonniers) neudenn (un fil) gwifl (une solive) kirvi (des cerfs) |
* Sommaire
# Espaces vectoriels normés/Post-notions

Dans la continuité de cette leçon, on développe les leçons de :
* Topologie générale
* Calcul différentiel
* Espaces de Banach
# Espagnol/Grammaire/Alphabet

Cette leçon a pour objectif de vous familiariser avec l'alphabet espagnol. À la fin de cette leçon vous devriez être en mesure de prononcer chacune des lettres, de les écrire et de les reconnaître. (N.B. Cette leçon est en construction.)

## Alphabet

Les différentes lettres de l'alphabet Espagnol :
| Majuscules | A | B | C | CH | D | E | F | G | H | I | J | K | L | LL | M | N | Ñ | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z |
| Minuscules | a | b | c | ch | d | e | f | g | h | i | j | k | l | ll | m | n | ñ | o | p | q | r | s | t | u | v | w | x | y | z |

### Nom des lettres

| Lettres | Nom de la lettre | Exemples |
| A | a | el amo |
| B | be | el barco |
| C | ce | el cuadro , la cinta |
| Ch | che | el muchacho |
| D | de | el diente (d final muet : Madrid) |
| E | e | el elefante |
| F | efe | el frío |
| G | ge | +a,o,u = el gato, el gorro, la guitarra... |
| G | ge | +e,i = gitano, gemelo |
| H | hache | la hierba |
| I | i | la iluminación |
| J | jota | el jardín |
| K | ka | un kilo |
| L | ele | un litro |
| LL | elle | la lluvia |
| M | eme | el mapa |
| N | ene | la naturaleza |
| Ñ | eñe | la niña , España |
| O | o | el oso |
| P | pe | el padre |
| Q | cu | un paquete |
| R | erre | la tierra |
| S | ese | la casa |
| T | te | el patio |
| U | u | una uva |
| V | uve | un vagón |
| W | uve doble | Whisky |
| X | equis | un taxi |
| Y | i griega | el desayuno |
| Z | ceta | la caza |
| Sommaire | Les comparatifs |
# Espaces vectoriels normés/Présentation de la leçon

Dans cette leçon, on cherche à définir une notion de « longueur » (ou norme) sur un espace vectoriel. Cela va permettre d'étendre notamment des notions comme la continuité à des espaces vectoriels plus élaborés que l’ensemble $\mathbb {R}$.
# Espagnol/Grammaire

| Chap. 1 : | Alphabet et prononciation (2) |
| Chap. 2 : | Les comparatifs (2) |
| Chap. 3 : | Article défini et pronom (2) |
| Chap. 4 : | Possessifs (2) |
| Chap. 5 : | Accentuation (2) |
| Chap. 6 : | Conjugaison (2) |
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## Présentation

La présentation de cette leçon n'a pas été rédigée. Pour le faire, cliquez ici.

## Objectifs

Les objectifs de cette leçon n'ont pas encore été fixés. Pour le faire, cliquez ici.

## Niveau et prérequis conseillés

Leçon de niveau 2. Les prérequis pour cette leçon n'ont pas encore été précisés. Pour le faire, cliquez ici.

## Référents

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
    Personne ne s'est déclaré prêt à aider pour cette leçon. Pour vous ajouter, cliquez ici.
# Espaces vectoriels normés/Objectifs

* Définir la notion de norme et présenter, dans le cadre des espaces vectoriels normés, des premières définitions topologiques.
* Élargir les notions de limites et de continuité d'une fonction aux espaces vectoriels normés.
* Utiliser la complétude et la compacité.
# Espaces vectoriels normés/Prérequis conseillés

* En Analyse :
** Suite numérique
** Fonctions d'une variable réelle
* En Algèbre :
** Espace vectoriel
** Application linéaire
** et éventuellement le cours sur les espaces préhilbertiens réels (ceux-ci sont un cas particulier d'espaces vectoriels normés)
# Espagnol/Grammaire/Accentuation

L'espagnol, comme toutes les langues, dispose d'une accentuation qui lui est propre, la particularité de l'espagnol, surtout depuis la réforme linguistique du début du siècle passé, c’est qu'une règle stricte est peu irrégulière est né dans l'accentuation de la langue.
De manière assez simple, l'espagnol accentue ses mots de deux façons qui dépende de la terminaison du mot en lui-même.
Tous les mots qui se terminent par une voyelle (sauf [Y]) sont accentués sur l'avant dernière syllabe. À cette liste s'ajoutent les mots qui finissent par [S] (pluriel des mots) et par [N] (pluriel des verbes).
Tous les mots qui se terminent par une consonne (sauf [S] et [N]) sont accentués sur la dernière syllabes.
Quand le mot ne répond pas à cette règle, l'espagnol impose la présence d'un accent AIGU à l'écrit sur la syllabe qui porte l'accentuation.
les mots composés conservent leur accentuation originale (avec ou sans accent), une tendance veut que le suffixe « mente » servant à construire les adverbes, prennent le pas sur l'accentuation, ainsi par exemple :
« inferior » est accentué sur le [O] (sinon, si accentué sur la voyelle dite « faible » de la diphtongue, celle-ci porte un accent à l'écrit) de la diphtongues finale, « inferiormente » peut se construire en accentuant sur le même [I] de la diphtongue centrale et sur le [E] final, mais aussi en omettant la diphtongue pour ne focaliser que sur le [E].
Petite précision, les mots monosyllabiques ne portent jamais d'accent sauf dans le cas de mots qui pourraient être confondus, cette règle prévaut également pour les mots à deux syllabes.Dans ce cas, on parle d'accent grammatical.
Les articles « EL », « LA », « LOS », « LAS » et « LES » ne sont accentués que si et seulement si le mot qui les suit n’est pas accentué sur la syllabe initiale. Exception faite des mots féminins finissant par une voyelle et ne comportant que deux syllabes, pour cette catégorie, le changement de genre au singulier emporte l'accentuation de l’article pour des raisons de diction, au pluriel, l'accentuation de base est maintenue.
| Possessifs | Conjugaison |
# Cloud computing et entreprise/Prérequis conseillés

Le stockage de données d'entreprise. Les traitements de données d'entreprise.
# Cloud computing et entreprise/Objectifs

* L'initiation au Cloud computing.
* L'exposé de l’intérêt du Cloud.
# Cloud computing et entreprise/Présentation de la leçon

Le Cloud Computing, ou « informatique dans les nuages », est un « nouveau » modèle informatique qui consiste à proposer les services informatiques sous forme de services à la demande, accessibles de n’importe où, n’importe quand et par n’importe qui. Cette approche n’est pas tout à fait nouvelle (modèle ASP,IBM on demand). La réelle nouveauté réside dans son approche systématique.
# Cloud computing et entreprise/Présentation du Cloud computing
## Définition du Cloud Computing

Né dans les années 2000, le Cloud Computing ou « nuage informatique » permet d'offrir l'accessibilité à un réseau de données dans plusieurs lieux, à tout moment, et depuis différents types de terminaux (ordinateurs, smartphone, tablette). L’accessibilité au service est offerte en effectuant une demande via « portail » Internet ouvert en libre service.
Le National Institute of Standards and Technology (NIST) donne une définition très précise des différents éléments qui caractérisent le Cloud computing :
Cinq principales caractéristiques:
* libre-service à la demande.
* accès étendu au réseau.
* mutualisation des ressources.
* élasticité / mise à l’échelle rapide.
* service mesuré.
Trois modèles de service:
* Software as a Service,
* Platform as a Service,
* Infrastructure as a Service.
Quatre modèles de déploiement:
* privé,
* communautaire,
* public,
* hybride.
Le Cloud expliqué en Vidéo en 3 minutes

## Principaux acteurs et modèles économiques

Les principales entreprises dominant le marche du Cloud computing sont 4 grandes entreprises du numérique américaines Amazon, Microsoft, IBM et Google qui représentent à elles seules 54% du marché du Cloud Computing IaaS au deuxième trimestre 2015 (soit une évolution de 8 point part au deuxième trimestre 2014).
Les offres de Cloud Computing se déclinent en 3 modèles économiques de services à la demande :
- La gratuité, à l’origine pour le grand public (par exemple : (Box, Dropbox, Microsoft OneDrive, Google Drive, Apple iCloud)
- La facturation à la consommation (en fonction du processeur, de la mémoire, de la bande passante utilisées)
- La facturation au forfait (en fonction du nombre de postes équipés)
Aujourd'hui les fournisseurs sont capables d'adapter automatiquement la capacité de stockage et la puissance de calcul des services de Cloud Computing aux besoins de l'utilisateur ce qui en fait un produit d'autant plus attrayant.
| Sommaire | Historique et définition du Cloud Computing |
# Cloud computing et entreprise/Quiz/QCM Cloud computing Généralités

| QCM Cloud et Protection de données | Sommaire |
# Cloud computing et entreprise/Quiz/QCM Cloud computing et Entreprise

| Sommaire | QCM Cloud et Protection de données |
# Introduction à la langue pied-noir/Présentation de la leçon

Le pied-noir, également appelé blackfoot, est une langue algonquienne parlée par les Pieds-Noirs, une nation amérindienne des Prairies de l'Ouest du Canada et des États-Unis. En 2011, il y avait environ 3 200 locuteurs, mais ce nombre est en constante décroissance. Des programmes de revitalisation de la langue pied-noir sont en place depuis la fin des années 1900.
Cette leçon offre une introduction de base à la langue pied-noir.