# Introduction à la cinématique/Exercices/Mouvement de translation uniforme
## Halage d'un bateau en cale sèche

Un treuil effectue le halage du bateau. La longueur de halage est de 700 mètres. La vitesse de halage est de 30 m/min.
* Déterminer l'équation de mouvement du bateau.
* Déduire la durée totale du halage.
* Tracer les trois courbes suivantes :
** Déplacement en fonction du temps
** Vitesse en fonction du temps
** Accélération en fonction du temps
* Il s’agit d'un mouvement de translation uniforme, donc on utilise l'équation suivante : avec X la distance parcourue, X$_0$ la distance déjà parcourue, t le temps après le mouvement, t$_0$ = 0 s le temps au début du mouvement et une vitesse V constante.
    $X=Vt+X_{0}$
* Pour calculer le temps t, on utilise l'équation ci-dessus. On applique numériquement l’équation.
    ${\begin{aligned}X&=Vt+X_{0}\\Vt&=X-X_{0}\\t&={\frac {X-X_{0}}{V}}\end{aligned}}$
    ${\begin{aligned}t&={\frac {700-0}{\frac {30}{60}}}\\&=1\ 400\ {\text{s}}\end{aligned}}$

## Grue sur portique

Soit une grue sur portique. L'ensemble fait quatre mouvements successifs.
* Levage de la charge sur une hauteur de 10 m à la vitesse de 60 m/min.
* Arrêt du levage et translation de la grue sur le portique à la vitesse de 110 m/min sur 70 m.
* Arrêt de la grue et translation de l’ensemble du portique sur une distance de 150 m à la vitesse de 25 m/min.
* Arrêt du portique et descente de la charge sur une hauteur de 7 m à la vitesse de 60 m/min. On suppose que les quatre mouvements sont des mouvements rectilignes et uniformes.
* Déterminer pour chacune des phases des mouvements et les équations correspondantes.
* Quelle est la durée de chaque mouvement ? Quelle est la durée des quatre mouvements ?
* Chaque mouvement est un movement de translation uniforme, donc on utilise l'équation suivante : avec X la distance parcourue, X$_0$ la distance déjà parcourue, t$_x$ le temps après le mouvement de la phase x, t$_{0(x)}$ le temps au début du mouvement de la phase x et une vitesse V constante. Pour calculer le temps t, on utilise l'équation ci-dessus.
    $X=Vt+X_{0}$
    ${\begin{aligned}X&=Vt+X_{0}\\Vt&=X-X_{0}\\t&={\frac {X-X_{0}}{V}}+t_{0}\end{aligned}}$
* Pour le levage de la charge, on applique numériquement l’équation avec X = 10 m la distance parcourue, X$_0$ = 0 m la distance déjà parcourue, t le temps après le mouvement, t$_0$ = 0 s le temps au début du mouvement et une vitesse V = 60 m/min constante pour calculer le temps t. De même, pour la translation de la grue, on a X = 70 m la distance parcourue et une vitesse V = 110 m/min constante. De même, pour la translation de l’ensemble du portique, on a X = 150 m la distance parcourue et une vitesse V = 25 m/min constante. De même, pour la translation de l’ensemble du portique, on a X = 7 m la distance parcourue et une vitesse V = 60 m/min constante. On calcule la durée des quatre movements. On applique numérique l'équation.
    ${\begin{aligned}t_{1}&={\frac {10-0}{\frac {60}{60}}}\\&=10\ {\text{s}}\end{aligned}}$
    ${\begin{aligned}t_{2}&={\frac {70-0}{\frac {110}{60}}}\\&={\frac {420}{11}}\approx 38\ {\text{s}}\end{aligned}}$
    ${\begin{aligned}t_{3}&={\frac {150-0}{\frac {25}{60}}}\\&=360\ {\text{s}}\end{aligned}}$
    ${\begin{aligned}t_{4}&={\frac {7-0}{\frac {60}{60}}}\\&=7\ {\text{s}}\end{aligned}}$
    $t_{\text{total}}=t_{1}+t_{2}+t_{3}+t_{4}$
    ${\begin{aligned}t_{\text{total}}&=10+{\frac {420}{11}}+360+7\\&={\frac {4567}{11}}\approx 145.18\ {\text{s}}\end{aligned}}$

## Trottoir roulant

Soit trois piétons 1, 2 et 3 se déplaçant de la façon suivante :
* Le piéton 2, immobile sur le trottoir roulant, se déplace à la même vitesse V$_2$ que celui-ci. Soit X$_2$ la position par rapport à l'origine choisie.
* Le piéton 1 se déplace sur le trottoir à la vitesse V$_1$ par rapport au sol. Soit X$_1$ la position par rapport à l'origine choisie.
* Le piéton 3 se déplace à côté du trottoir roulant à la vitesse V$_3$, en sens inverse des deux autres piétons. Soit X$_3$ la position par rapport à l'origine choisie.
Les conditions initiales du mouvement sont les suivantes :
* t = 0 s
* X$_{0(1)}$ = 0 m
* X$_{0(2)}$ = 50 m
* X$_{0(3)}$ = 400 m
* V$_1$ = V$_{piéton/tapis}$ + V$_2$ = 10,8 km⋅h$^{−1}$
* V$_2$ = 6,12 km⋅h$^{−1}$
* V$_3$ = −5,4 km⋅h$^{−1}$
* Déterminer les équations de mouvement des trois piétons.
* Tracer sur un même graphe ces trois équations. Echelles à choisir.
* A quel instant et à quelle distance le piéton 1 dépasse-t-il le piéton 2 ? Faire une résolution algébrique et une résolution graphique ?
* A quel instant et à quelle distance le piéton 1 rencontre-t-il le piéton 3 ? Faire une résolution algébrique et une résolution graphique ?
* A quel instant et à quelle distance le piéton 2 rencontre-t-il le piéton 3 ? Faire une résolution algébrique et une résolution graphique ?
* Chaque mouvement est un movement de translation uniforme, donc on utilise l'équation suivante : avec X$_x$ la distance parcourue du piéton x, X$_{0(x)}$ la distance déjà parcourue par le piéton x, t le temps après le mouvement, t$_{0(x)}$ le temps au début du mouvement du piéton x et une vitesse V$_x$ constante du piéton x. Pour le piéton 1, on a t$_{0(1)}$ = 0 s, donc On applique numérique l'équation. Pour le piéton 2, on a t$_{0(2)}$ = 0 s, donc On applique numérique l'équation. Pour le piéton 3, on a t$_{0(3)}$ = 0 s, donc On applique numérique l'équation.
    $X=Vt+X_{0}$
    $X=Vt+X_{0}$
    $X_{1}=V_{1}t+X_{0(1)}$
    ${\begin{aligned}X_{1}&={\frac {10{,}8}{3{,}6}}t+0\\X_{1}&=3t\end{aligned}}$
    $X_{2}=V_{2}t+X_{0(2)}$
    ${\begin{aligned}X_{2}&={\frac {6{,}12}{3{,}6}}t+50\\X_{2}&=1{,}7t+50\end{aligned}}$
    $X_{3}=V_{3}t+X_{0(3)}$
    ${\begin{aligned}X_{3}&={\frac {-5{,}4}{3{,}6}}t+400\\X_{3}&=-1{,}5t+400\end{aligned}}$
* Graphiquement, le piéton 1 dépasse le piéton 2 à t = 40 s à une distance de X = 120 m. Analytiquement, Lorsque le piéton 1 dépasse le piéton 2 donc On applique l'inéquation numériquement. On calcule X.
    ${\begin{cases}X_{1}=3t\\X_{2}=1{,}7t+50\end{cases}}$
    $X_{1}>X_{2}$
    ${\begin{aligned}3t&>1{,}7t+50\\1{,}3t&>50\\t&>{\frac {500}{13}}\ {\text{avec}}\ {\frac {500}{13}}\approx 38\ {\text{s}}\end{aligned}}$
    ${\begin{aligned}X&=3\times {\frac {500}{13}}\\X&={\frac {1500}{13}}\approx 115\ {\text{m}}\end{aligned}}$
* Graphiquement, le piéton 1 rencontre le piéton 3 à t = 90 s à une distance de X = 270 m. Analytiquement, Lorsque le piéton 1 rencontre le piéton 3 donc On applique l'inéquation numériquement. On calcule X.
    ${\begin{cases}X_{1}=3t\\X_{3}=-1{,}5t+400\end{cases}}$
    $X_{1}=X_{3}$
    ${\begin{aligned}3t&=-1{,}5t+400\\4{,}5t&=400\\t&={\frac {800}{9}}\approx 88{,}889\ {\text{s}}\end{aligned}}$
    ${\begin{aligned}X&=3\times {\frac {800}{9}}\\X&={\frac {800}{3}}\approx 266{,}67\ {\text{m}}\end{aligned}}$
* Graphiquement, le piéton 2 rencontre le piéton 3 à t = 110 s à une distance de X = 240 m. Analytiquement, Lorsque le piéton 1 rencontre le piéton 3 donc On applique l'inéquation numériquement. On calcule X.
    ${\begin{cases}X_{2}=1{,}7t+50\\X_{3}=-1{,}5t+400\end{cases}}$
    $X_{2}=X_{3}$
    ${\begin{aligned}1{,}7t+50t&=-1{,}5t+400\\3{,}2t&=350\\t&={\frac {875}{8}}=109{,}375\ {\text{s}}\end{aligned}}$
    ${\begin{aligned}X&=1{,}7\times {\frac {875}{8}}+50\\X&={\frac {3775}{16}}\approx 235{,}94\ {\text{m}}\end{aligned}}$