# Mécanique pour l'enseignement technique industriel/Exercices/Énergétique
## Étude d'un portail à ouverture automatique

On étudie le moteur électrique d'un portail de garage automatisé.
Électricité
Sur la plaque signalétique du moteur, qui entraîne la porte basculante, sont indiquées les caractéristiques suivantes :
Moteur monophasé :
| V | Hz | W | Cos φ | A |
| 230 | 50 | 150 | 0,8 | 1,2 |
1. Recopier et compléter le tableau ci-dessous.
| Grandeur | nom | tension | | puissance utile | |
| Grandeur | valeur | 230 | 50 | 150 | 1,2 |
| Unité | nom | volt | | | |
| Unité | symbole | V | Hz | W | A |
2. Calculer la puissance absorbée par le moteur.
3. Calculer, au centième, le rendement du moteur. Exprimer le résultat en pourcentage, arrondi à l'unité.
Énergie mécanique
La puissance utile du moteur est de 150 W, la fréquence de rotation est de 60 tr/min.
4. Calculer, au centième, le moment du couple moteur.
5. Calculer, arrondi au centième, le moment d'inertie J (exprimé en kg·m$^2$) de la roue dentée sachant que l'énergie cinétique acquise par celle-ci quand elle tourne à 60 tr/min est de 50 J.

### Indications

    P = 2πnM
    $\mathrm {E_{c}} ={\frac {1}{2}}\mathrm {J} \omega ^{2}$
1.
| Grandeur | nom | tension | fréquence | puissance utile | intensité | facteur de puissance |
| Grandeur | valeur | 230 | 50 | 150 | 1,2 | 0,8 |
| Unité | nom | volt | hertz | watt | ampère | |
| Unité | symbole | V | Hz | W | A | |
2. Le moteur est alimenté par électricité, donc la puissance absorbée est une puissance électrique calculée par (courant alternatif monophasé) :
    P$_a$ = UIcos(φ) = 230 × 1,2 × 0,8 = 221 W
3. On a :
    η = P$_u$/P$_a$ = 150/221 = 0,68 = 68 %.
4. La formule donnée se transforme en :
    M = P/(2πn )
où n est la fréquence en tour par seconde : n = 60 tr/min = 1 tr/min, soit
    M = 150/(2π × 1) = 23,87 Nm.
5. La formule donnée se transforme en :
    J = 2E$_c$/ω$^2$
La vitesse angulaire vaut, pour n en tr/s :
    ω = 2πn = 6,28 rad/s
soit
    J = 2 × 50/6,28 = 15,92 kg·m$^2$.

## Bélier de démolition

Sur un terrain à construire, un vieux mur existe encore et doit être démoli au moyen d'un « bélier » formé d'une boule d'acier de masse 500 kg accrochée à un câble fixé à l'extrémité M de la flèche d'une grue.
Pour détruire ce mur, la boule part du point A et vient heurter le mur au point B où le câble se trouve alors à la verticale du point M. La course de la boule s'arrête en B.
On supposera que l'énergie mécanique totale de la boule se conserve tout au long du mouvement.
On assimilera les points A et B au centre de gravité de la boule.
Le point A est situé à une hauteur de 6 mètres du plan horizontal passant par B.
On donne : accélération de la pesanteur g = 10 m.s$^{-2}$.
La référence pour l'énergie potentielle est l'horizontale passant par B.

### Questions

* Calculer l'énergie potentielle de la boule en A. Sachant que la boule part de A sans vitesse initiale : donner la valeur de l'énergie cinétique de la boule en A, puis la valeur de l'énergie mécanique totale de la boule en A.
* Donner la valeur de l'énergie potentielle de la boule en B. En appliquant le principe de conservation de l'énergie mécanique totale d'un système : donner la valeur de l'énergie mécanique totale de la boule en B. Calculer (au centième) la vitesse de la boule en B en mètre par seconde.
* Cette boule est manœuvrée par la grue au moyen d'un moteur portant les indications : 240 V ; P$_{électrique}$ = 5 kW, rendement 90 %, facteur de puissance 0,85. Calculer l'intensité (au dixième près) du courant qui traverse le moteur. Calculer la puissance mécanique fournie par le moteur.
* E$_{pA}$ = mgz$_A$ = 500 × 10 × 6 = 30 000 J. On a v$_A$ = 0 donc E$_{cA}$ = 0. E$_{mA}$ = E$_{pA}$ + E$_{cA}$ = 30 000 J.
* z = 0 donc E$_{pA}$ = 0. E$_{mB}$ = E$_{mA}$ = 30 000 J. On en déduit que E$_{cB}$ = E$_{mB}$ = 30 000 J, donc ½mv$_B$$^2$ = 30 000 J, donc $v_{\mathrm {B} }={\sqrt {\frac {2\mathrm {E_{c\ B}} }{m}}}={\sqrt {\frac {2\times 30\,000}{500}}}=10,95\ \mathrm {m/s}$.
* D'après la tension, on déduit que le moteur est alimenté par un courant alternatif monophasé. La puissance vaut P = U × I × cos(φ) soit I = P/(U × cos(φ)) = 5 000/(240 × 0,85) = 24,5 A. La puissance mécanique est la puissance utile P$_u$. On a η = P$_u$/P$_a$ donc P$_u$ = η × P$_a$ = 0,9 × 5 000 = 4 500 W.

## Transfert de caisses

Un site de transfert de caisses parallélépipédiques est représenté dans un repère orthonormal par le schéma ci-contre. Les dimensions sont exprimées en m.
Les caisses peuvent ainsi être transférées, passant de la position A à la position E.
Le chemin ABCD est constitué de rouleaux pouvant tourner librement et sans frottement. Ces rouleaux sont assimilables à des cylindres de masse 200 kg, de longueur L = 1,5 m et de diamètre 75 cm.
Convoyeur à rouleaux
1. Calculer le moment d'inertie J (en kg·m$^2$) d'un rouleau. Arrondir à l'unité.
2. Le passage des caisses à la vitesse de 5,7 m/s provoque la rotation des rouleaux. Calculer la vitesse angulaire des rouleaux. Arrondir à l'unité.
3. Calculer l'énergie cinétique d'un rouleau. Arrondir à la centaine de joules.

### Formules

    $\mathrm {J} ={\frac {1}{2}}m\mathrm {R} ^{2}$
    $v=\mathrm {R} \omega$
    $\mathrm {E_{c}} ={\frac {1}{2}}\mathrm {J} \omega ^{2}$
Chariot élévateur
Les caisses de 800 kg sont ensuite chargées dans des camions grâce à un élévateur électrique qui les monte à une hauteur de 1,50 m en 6,0 s.
Arrondir les résultats des énergies et des puissances à la centaine d'unités.
4. Calculer le poids d'une caisse (g = 10 N/kg).
5. Calculer l'énergie nécessaire à la montée d'une caisse.
6. En déduire la puissance développée par l'élévateur électrique.
7. Le rendement de l'élévateur étant de 0,80, calculer la puissance absorbée.
8. Ce moteur est alimenté en triphasé. Son facteur de puissance est de 0,9 et la tension U entre deux phases est de 400 V. En déduire l'intensité I en ligne.

### Formule

    ${\mathcal {P}}=\mathrm {U} \mathrm {I} {\sqrt {3}}\cos(\varphi )$
1. Le diamètre vaut 75 cm = 0,75 m, donc le rayon vaut 0,375 m. On a donc :
    J = ½mR$^2$ = 0,5 × 200 × 0,375 = 38 kg·m$^2$.
2. la transformation de la formule donne
    ω = v/R = 5,7/0,375 = 15 rad/s.
3. E$_c$ = ½Jω$^2$ = 0,5 × 38 × 15$^2$ = 4 300 J.
4. P = mg = 800 × 10 = 8 000 N.
5. Le travail du poids vaut :
    W(P) = P × h = 8 000 × 1,5 = 12 000 J = 12 kJ.
6. La puissance vaut :
    P$_u$ = W(P)/t = 12 000/6 = 2 000 W = 2 kW.
7. On a η = P$_u$/P$_a$ soit
    P$_a$ = P$_u$/η = 2 000/0,8 = 2 500 W = 2,5 kW.
8. La transformation de la formule donne
    $\mathrm {I} ={\frac {\mathrm {P_{a}} }{\mathrm {U} {\sqrt {3}}\cos(\varphi )}}={\frac {2\,500}{400\times {\sqrt {3}}\times 0,9}}=3,25\ \mathrm {A}$.

## Ram air turbine

Sur un avion, lors d'une panne moteur, l'énergie nécessaire pour actionner les commandes de l'avion est assurée par l'éolienne de de secours, appelée « R.A.T. » (ram air turbine). L'hélice de la R.A.T., qui tourne grâce au vent relatif, entraîne une pompe hydraulique.
Question unique
L'hélice tourne à une fréquence de 5 730 tr/min. À cette vitesse, le moment du couple fourni par l'arbre de l'hélice est de 42 Nm.
Déterminer la puissance mécanique fournie par l'hélice.
On a :
    $\omega ={\frac {5\,730\times 2\pi }{60}}=600\ \mathrm {rad/s}$
et donc
    P = Cω = 42 × 600 = 25 200 W = 25,2 kW.