# Fonction dérivée/Exercices/Dériver un polynôme
## Dérivée d'un monôme

* $f:x\mapsto x^{2}$
** Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\cdots$
** $f'(1)=\cdots$
* Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=2x$
* $f'(1)=2$
* $f:x\mapsto x^{3}$
** Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\cdots$
** $f'(1)=\cdots$
* Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=3x^{2}$
* $f'(1)=3$
* $f:x\mapsto x$
** Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\cdots$
** $f'(2)=\cdots$
* Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=1$
* $f'(2)=1$
* $f:x\mapsto x^{4}$
** Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\cdots$
** $f'(3)=\cdots$
* Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=4x^{3}$
* $f'(3)=108$
* $f:x\mapsto 1$
** Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\cdots$
** $f'(-2)=\cdots$
* Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=0$
* $f'(-2)=0$

## Constantes multiplicatives

Si k est un réel et u une fonction dérivable sur I,
alors la fonction $k\times u$ est dérivable sur I et : $(k\times u)'=k\times u'$
Grâce à cette formule, les constantes multiplicatives sont "transparentes" à la dérivation.
* $f:x\mapsto 5x^{2}$
** Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\cdots$
** $f'(3)=\cdots$
* Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=5\times 2x=10x$
* $f'(3)=30$
* $f:x\mapsto -6x$
** Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\cdots$
** $f'(2)=\cdots$
* Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=-6\times 1=-6$
* $f'(2)=-6$
* $f:x\mapsto -7x^{3}$
** Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\cdots$
** $f'\left({\frac {1}{3}}\right)=\cdots$
* Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=-7\times 3x^{2}=-21x^{2}$
* $f'\left({\frac {1}{3}}\right)=-{\frac {7}{3}}$

## Dérivée d'une somme

Si les fonctions u et v sont dérivables sur I,
alors la fonction $u+v$ l'est aussi et : $(u+v)'=u'+v'$.
Grâce à cette formule, pour dériver une somme, on dérive chaque terme séparément.
* $f:x\mapsto 2x^{2}-3x$.
** Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\cdots$
** $f'(1)=\cdots$
* $f:x\mapsto 2x^{2}-3x+4$.
** Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\cdots$
** $f'(3)=\cdots$
* $f:x\mapsto {\frac {1}{3}}x^{2}-6x+3$.
** Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\cdots$
** $f'\left({\frac {2}{5}}\right)=\cdots$
* $f:x\mapsto {\frac {x^{2}}{3}}+{\frac {5}{7}}x-12$.
** Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\cdots$
** $f'(2)=\cdots$
* $f:x\mapsto 7x^{3}-{\frac {2}{3}}x^{2}+x-7$.
** Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\cdots$
** $f'(-2)=\cdots$
* $f:x\mapsto 7{\frac {x^{3}}{5}}-5x^{2}+x-{\frac {7}{8}}$.
** Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\cdots$
** $f'(2)=\cdots$
* $f:x\mapsto -2x^{2}+3x-7$.
** Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\cdots$
** $f'\left({\frac {1}{2}}\right)=\cdots$
* $f:x\mapsto -2x^{3}+3x^{2}-7x+2$.
** Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\cdots$
** $f'\left({\frac {2}{3}}\right)=\cdots$
* $f:x\mapsto -x^{3}-3x$.
** Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\cdots$
** $f'\left({\frac {2}{7}}\right)=\cdots$
* $f:x\mapsto 13x^{2}-2-7x-7$
** Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\cdots$
** $f'\left(-{\frac {1}{6}}\right)=\cdots$
** Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=2\times 2x-3\times 1=4x-3$.
** $f'(1)=1$.
** Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=2\times 2x-3\times 1+0=4x-3$.
** $f'(3)=9$.
** Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)={\frac {1}{3}}\times 2x-6\times 1+0={\frac {2}{3}}x-6$.
** $f'\left({\frac {2}{5}}\right)=-{\frac {86}{15}}$.
** Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)={\frac {1}{3}}\times 2x+{\frac {5}{7}}\times 1-0={\frac {2}{3}}x+{\frac {5}{7}}$.
** $f'(2)={\frac {4}{3}}+{\frac {5}{7}}={\frac {43}{21}}$.
** Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=7\times 3x^{2}-{\frac {2}{3}}\times 2x+1+0=21x^{2}-{\frac {4}{3}}x+1$.
** $f'(-2)={\frac {115}{3}}$.
** Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)={\frac {7}{5}}\times 3x^{2}-5\times 2x+1={\frac {21}{5}}x^{2}-10x+1$.
** $f'(2)=-{\frac {11}{5}}$
** Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=-4x+3$.
** $f'\left({\frac {1}{2}}\right)=1$.
** Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=-6x^{2}+6x-7$.
** $f'\left({\frac {2}{3}}\right)=-{\frac {17}{3}}$.
** Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=-3x^{2}-3$.
** $f'\left({\frac {2}{7}}\right)=-{\frac {159}{49}}$.
** Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=26x-7$.
** $f'\left(-{\frac {1}{6}}\right)=-{\frac {34}{3}}$.

## Avec des racines carrées

* $f:x\mapsto {\sqrt {x}}$
** Pour tout $x\in \left]0,+\infty \right[,~f'(x)=\cdots$
** $f'(6)=\cdots$
* Pour tout $x\in \left]0,+\infty \right[,~f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$
* $f'(6)={\frac {1}{2{\sqrt {6}}}}={\frac {\sqrt {6}}{12}}$
* $f:x\mapsto 5{\sqrt {x}}$
** Pour tout $x\in \left]0,+\infty \right[,~f'(x)=\cdots$
** $f'(3)=\cdots$
* Pour tout $x\in \left]0,+\infty \right[,~f'(x)={\frac {5}{2{\sqrt {x}}}}$
* $f'(3)={\frac {5{\sqrt {3}}}{6}}$
* $f:x\mapsto {\frac {3}{2}}{\sqrt {x}}+2x-2$
** Pour tout $x\in \left]0,+\infty \right[,~f'(x)=\cdots$
** $f'(4)=\cdots$
* Pour tout $x\in \left]0,+\infty \right[,~f'(x)={\frac {3}{2}}{\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}+2={\frac {3}{4{\sqrt {x}}}}+2$
* $f'(4)={\frac {19}{8}}$.
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