# Espace préhilbertien réel/Produit scalaire
## Produit scalaire
### Définitions

On appelle produit scalaire sur E toute forme bilinéaire symétrique définie positive sur E.
On appelle alors espace préhilbertien réel tout $\mathbb {R}$-espace vectoriel muni d'un produit scalaire.
On suppose désormais qu'E est un espace préhilbertien réel, c'est-à-dire on suppose avoir muni E d'un produit scalaire.
On notera ce produit scalaire $\langle \cdot |\cdot \rangle$ (au lieu de $f(\cdot ,\cdot )$.

### Rappel

(Cf. chapitre précédent.)
$\forall (x,y)\in E^{2},~\langle x|y\rangle ^{2}\leq \langle x|x\rangle \langle y|y\rangle$
On a égalité si et seulement si $(x,y)$ est liée.

## Norme, distance
### Définitions

On définit sur E la norme préhilbertienne $||\cdot ||$, c'est-à-dire associée au produit scalaire $\langle \cdot |\cdot \rangle$, par $\forall x\in E,~||x||={\sqrt {\langle x|x\rangle }}$.
On pourra utiliser des notions de topologie pour montrer qu'on obtient bien une norme. La norme préhilbertienne est alors appelée « norme 2 », et est notée $||\cdot ||_{2}$. Le but de ce chapitre n'étant pas de faire de la topologie, on s'en tiendra à la notation simple.
    → Voir le cours sur les espaces vectoriels normés pour plus de détails sur les normes.
On définit la distance d associée à la norme ||.|| comme étant l’application :
${\begin{array}{ccccc}d&:&E^{2}&\rightarrow &\mathbb {R} \\~&~&(x,y)&\mapsto &||x-y||\end{array}}$

### Propriétés
#### Inégalité triangulaire

* $\forall (x,y)\in E^{2}\quad \|x\|-\|y\|\leq \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$
* $\forall (x,y)\in E^{2}\quad \|x\|-\|y\|\leq \|x-y\|\leq \|x\|+\|y\|$

#### Identité du parallélogramme

* $\forall (x,y)\in E^{2}\quad \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}$

#### Formules de polarisation

* $\forall (x,y)\in E^{2}\quad \|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}+2\langle x|y\rangle$
* $\forall (x,y)\in E^{2}\quad \|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}=4\langle x|y\rangle$
L'identité du parallélogramme est importante car on peut montrer qu'une norme est préhilbertienne si et seulement si elle vérifie l'identité du parallélogramme. C'est le théorème de Fréchet-von Neumann-Jordan, dont la démonstration est traitée en exercice :

## Exemples fondamentaux

Outre l'exemple du produit scalaire canonique sur $\mathbb {R} ^{n}$, décrit dans la leçon sur les espaces euclidiens qui figure en prérequis, on peut mentionner celui sur $\operatorname {M} _{m,n}(\mathbb {R} )$ qui n'en est qu'un cas particulier déguisé (cf. Trace et transposée de matrice/Espace euclidien sur un ensemble de matrices), mais aussi des exemples sur des espaces de dimension infinie :
$E={\mathcal {C}}([a,b])$ muni du produit scalaire $\forall (f,g)\in E^{2}\quad \langle f|g\rangle =\int _{a}^{b}f(t)g(t)~\mathrm {d} t$
* La norme associée est la norme 2 : $\forall f\in E\quad \|f\|_{2}={\sqrt {\int _{a}^{b}f(t)^{2}~\mathrm {d} t}}$
* L'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit : $\forall (f,g)\in E^{2}\quad \left(\int _{a}^{b}f(t)g(t)~\mathrm {d} t\right)^{2}\leq \left(\int _{a}^{b}f(t)^{2}~\mathrm {d} t\right)\left(\int _{a}^{b}g(t)^{2}~\mathrm {d} t\right)$
$E=\ell ^{2}(\mathbb {R} )$ muni du produit scalaire $\forall (u,v)\in E^{2}\quad \langle u|v\rangle =\sum _{n=0}^{+\infty }u_{n}v_{n}$
* La norme associée est la norme 2 : $\forall u\in E\quad \|u\|_{2}={\sqrt {\sum _{n=0}^{+\infty }u_{n}^{2}}}$
* L'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit : $\forall (u,v)\in E^{2}\quad \left(\sum _{n=0}^{+\infty }u_{n}v_{n}\right)^{2}\leq \left(\sum _{n=0}^{+\infty }u_{n}^{2}\right)\left(\sum _{n=0}^{+\infty }v_{n}^{2}\right)$
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