# Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple
## Pendule conique

Une tige rigide $\;OA$, de masse négligeable, de longueur $\;l\;$ constante, mobile autour d'un point fixe $\;O$, tourne autour d'un axe vertical $\;(\Delta )\;$ passant par $\;O\;$ avec une vitesse angulaire $\;\omega \;$ constante $\;{\big$la vitesse angulaire est comptée positivement dans le sens indiqué sur le schéma, ce sens correspondant à l'orientation de l'axe $\;(\Delta )\;$ par $\;{\vec {u}}_{z}\;$ vertical ascendant${\big ]}$.
À l'extrémité $\;A\;$ de la tige est fixée une boule assimilable à un point matériel $\;M\;$ de masse $\;m$, l'ensemble « tige rigide - boule » étant placé dans le champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}\;$ uniforme.
On désigne par $\;\theta \;$ l'angle $\;{\widehat {\left(-{\vec {u}}_{z}\,,\,{\overrightarrow {OA}}\right)}}\;$ que la tige $\;OA\;$ fait avec l'axe vertical $\;(\Delta )\;$ orienté dans le sens descendant.

### Démonstration de l'invariabilité de l'inclinaison de la tige rigide relativement à l'axe vertical de rotation dans la mesure où le mouvement de cette dernière est uniforme

Montrer que le caractère constant de la vitesse angulaire du « pendule conique » entraîne celui de son inclinaison $\;\theta \;$.
Rappelons, pour commencer, le caractère galiléen du référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport auquel la vitesse angulaire du pendule est mesurée ;
choisissant de repérer le point matériel $\;M\;$ assimilant la boule fixée en $\;A\;$ en cylindro-polaire d'axe $\;(\Delta )\;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{z}\;$, ses coordonnées cylindro-polaires sont $\;\left\lbrace \rho =l\,\sin(\theta )\,,\,\varphi \,,\,z=-l\,\cos(\theta )\right\rbrace \;$, la base cylindro-polaire associée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho }\,,\,{\vec {u}}_{\varphi }\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ étant choisie « directe » $\;{\big$voir schéma ci-contre${\big )}$ ;
bilan des forces appliquées au point$\;M$ $\;{\big$voir ci-contre${\big )}$ : $\succ \;$son poids $\;m\;{\vec {g}}\;$ vertical descendant soit encore «$\;m\;{\vec {g}}=-m\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$» et bilan des forces appliquées au point$\;\color {transparent}{M}$ $\;\color {transparent}{\big$voir ci-contre$\color {transparent}{\big )}$ : $\succ \;$le vecteur tension de la tige rigide $\;{\vec {T}}\;$ porté par $\;OA\;$ et usuellement de sens contraire à $\;{\overrightarrow {OA}}\;$ dans le demi-plan méridien $\;\left(A\,,\,{\vec {u}}_{\rho }\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)\;$ repéré par $\;\varphi$, soit «$\;{\vec {T}}=-T\;\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\rho }+T\;\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{z}\;$» ;
application de la r.f.d.n. au point$\;M$ : «$\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{k}=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$» avec «$\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ vecteur accélération du point $\;M\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen », donnant ici application de la r.f.d.n. au point$\;\color {transparent}{M}$ : «$\;{\vec {T}}+m\;{\vec {g}}=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$» et, comme aucune des forces n'a de composantes sur $\;{\vec {u}}_{\varphi }$, on en déduit «$\;a_{M,\,\varphi }(t)=0,\;\;\forall \;t\;$» ;
application de la r.f.d.n. au point$\;\color {transparent}{M}$ : la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale étant «$\;a_{M,\,\varphi }(t)={\dfrac {1}{\rho (t)}}{\dfrac {d\left[\rho ^{2}\,{\dot {\varphi }}\right]}{dt}}(t)\;$» $\;{\big$applicable si $\;\rho \neq 0{\big )}$, application de la r.f.d.n. au point$\;\color {transparent}{M}$ : on déduit de l'intégration de $\;a_{M,\,\varphi }(t)=0$, une intégrale 1ère du mouvement du pendule application de la r.f.d.n. au point$\;\color {transparent}{M}$ : on déduit de l'intégration de $\;\color {transparent}{a_{M,\,\varphi }(t)=0}$, «$\;\rho ^{2}(t)\,{\dot {\varphi }}(t)=cste\;$» ou, avec «$\;{\dot {\varphi }}(t)=\omega \;$ constante », application de la r.f.d.n. au point$\;\color {transparent}{M}$ : on déduit de l'intégration de $\;\color {transparent}{a_{M,\,\varphi }(t)=0}$, «$\;\rho (t)=cste'\;$» c.-à-d. la nature circulaire du mouvement de $\;M\;$ ou encore,
$\;\color {transparent}{M}$
$\;\color {transparent}{a_{M,\,\varphi }(t)=0}$
$\;\theta =cste''\;$
$\;{\big$
$\;\rho =l\;\sin(\theta )=cste'\;$
${\big ]}\;$
$\;OA\;$
$\;OA\;$
$\;{\dot {\varphi }}=\omega \;$
$\Rightarrow$
$\;{\widehat {\left(-{\vec {u}}_{z}\,,\,{\overrightarrow {OA}}\right)}}=\theta \;$

### Détermination de la relation entre l'inclinaison du pendule conique par rapport à la verticale du lieu et sa vitesse angulaire de rotation autour de l'axe vertical

Déterminer la relation liant l'inclinaison $\;\theta \;$ du pendule conique par rapport à la verticale du lieu et sa vitesse angulaire $\;\omega \;$ de rotation autour de l'axe vertical ;
on précisera la valeur critique $\;\omega _{c}\;$ à partir de laquelle l'inclinaison du pendule conique par rapport à la verticale du lieu est possible c.-à-d. telle que $\;\theta \;$ peut être $\;\neq 0$.
Pour trouver la relation demandée nous allons projeter la r.f.d.n. sur les deux autres vecteurs unitaires non encore utilisés soit :
* sur $\;{\vec {u}}_{\rho }$, «$\;-T\;\sin(\theta )+0=m\;a_{M,\,\rho }(t)\;$» avec «$\;a_{M,\,\rho }(t)=\left[{\ddot {\rho }}-\rho \,{\dot {\varphi }}^{2}\right]\!(t)\;$» donnant, dans le cas présent où $\;\rho =cste'\;$ ainsi que $\;{\dot {\varphi }}=\omega \;$ constante, «$\;T\;\sin(\theta )=m\;\rho \;\omega ^{2}\;$» ou encore, avec $\;\rho =$ $l\;\sin(\theta )$, l'équation suivante «$\;T\;\sin(\theta )=m\;l\;\sin(\theta )\;\omega ^{2}\;$» soit finalement «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c c}\sin(\theta )\!\!&=&\!\!0&\\{\text{ou,}}\!\!&\!\!{\text{si }}\!\!&\!\!\sin(\theta )\neq 0\!\!&\Downarrow \\T\!\!&=&\!\!m\;l\;\omega ^{2}\!\!&({\mathfrak {1}})\end{array}}\right\rbrace \;$» et
* sur $\;{\vec {u}}_{z}$, «$\;T\;\cos(\theta )-m\;g=m\;a_{M,\,z}(t)\;$» avec «$\;a_{M,\,z}(t)={\ddot {z}}(t)\;$» donnant, dans le cas présent où $\;z=-l\;\cos(\theta )\;$ avec $\;\theta =cste''\;$ donc $\;z\;$ constante, l'équation suivante «$\;T\;\cos(\theta )=m\;g\;\;\;({\mathfrak {2}})\;$».
Détermination de la relation cherchée : En supposant la tige rigide effectivement inclinée par rapport à la verticale nous avons $\;\sin(\theta )\neq 0\;$ et par suite les deux équations «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l c}T\!\!&=&\!\!m\;l\;\omega ^{2}\!\!&({\mathfrak {1}})\\T\;\cos(\theta )\!\!&=&\!\!m\;g\!\!&({\mathfrak {2}})\end{array}}\right\rbrace \;$», la 1ère imposant le caractère strictement positif de $\;T\;$ et la 2nde celui de $\;\cos(\theta )\;$ c.-à-d. imposant $\;\theta \in \left]0\,,\,{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$ d'où, de $\;({\mathfrak {2}})\;$ on tire «$\;T={\dfrac {m\;g}{\cos(\theta )}}\;$» alors que $\;({\mathfrak {1}})\;$ s'écrit «$\;T=m\;l\;\omega ^{2}\;$», l'élimination de $\;T\;$ entre les deux donnant finalement la relation cherchée «$\;{\dfrac {m\;g}{\cos(\theta )}}=m\;l\;\omega ^{2}\;$» ou encore «$\;\cos(\theta )={\dfrac {g}{l\;\omega ^{2}}}\;$» ;
Détermination de la relation cherchée : remarque : la relation ci-dessus n'est valide que si son 2nd membre est strictement inférieur à $\;1\;$ c.-à-d. si «$\;{\dfrac {g}{l\;\omega ^{2}}}<1\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\omega >{\sqrt {\dfrac {g}{l}}}\;$», « cette limite inférieure étant donc la vitesse angulaire critique $\;\omega _{c}\;$ à partir de laquelle la position inclinée du pendule conique $\;{\big$relativement à la verticale${\big )}\;$ est possible » soit «$\;\omega _{c}={\sqrt {\dfrac {g}{l}}}\;$» ${\bigg$la solution «$\;\cos(\theta )={\dfrac {g}{l\;\omega ^{2}}}\;$» nécessite donc «$\;\omega >\omega _{c}\;$»${\bigg ]}$.
Détermination de la relation cherchée : « Si $\;\omega \leqslant \omega _{c}={\sqrt {\dfrac {g}{l}}}\;$», la solution ci-dessus n'étant pas possible, nous avons nécessairement «$\;\sin(\theta )=0\;$ et $\;T={\dfrac {m\;g}{\cos(\theta )}}\;$», Détermination de la relation cherchée : « Si $\;\color {transparent}{\omega \leqslant \omega _{c}={\sqrt {\dfrac {g}{l}}}}\;$», la 1ère équation conduisant à «$\;\theta =0\;{\text{ou}}\;\pi \;$» et Détermination de la relation cherchée : « Si $\;\color {transparent}{\omega \leqslant \omega _{c}={\sqrt {\dfrac {g}{l}}}}\;$», la 2nde équation à «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\text{si}}\;\theta =0,\;\;T=m\;g\\{\text{si}}\;\theta =\pi ,\;\;T=-m\;g\end{array}}\right\rbrace \;$» $\;{\big\theta =\pi \;$ impliquant $\;T<0\;$ est possible car $\;OA\;$ est une tige rigide mais Détermination de la relation cherchée : « Si $\;\color {transparent}{\omega \leqslant \omega _{c}={\sqrt {\dfrac {g}{l}}}}\;$», la 2nde équation à «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\text{si}}\;\theta =\pi ,\;\;T=-m\;g\right\rbrace }\;$» $\;\color {transparent}{\big$si la tige rigide était remplacée par un fil idéal, seule $\;\theta =0\;$ resterait possible Détermination de la relation cherchée : « Si $\;\color {transparent}{\omega \leqslant \omega _{c}={\sqrt {\dfrac {g}{l}}}}\;$», la 2nde équation à «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\text{si}}\;\theta =\pi ,\;\;T=-m\;g\right\rbrace }\;$» $\;\color {transparent}{\big$comme seul mouvement satisfaisant au caractère tendu du fil c.-à-d. à $\;T>0{\big )}$.

## Pendule cycloïdal, traitement par utilisation de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.)

Un point matériel $\;M\;$ de masse $\;m\;$ est assujetti à se déplacer dans le plan vertical $\;xOy\;$ sur la portion de cycloïde dont les équations paramétriques sont : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}x\!\!&=&\!\!a\,\left[\theta +\sin(\theta )\right]\\y\!\!&=&\!\!a\,\left[1-\cos(\theta )\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ avec $\;\theta \in \left[-\pi \,,\,\pi \right]\;$ $\;{\big$voir ci-contre${\big )}$.
À la date $\;t=0$, on lâche $\;M\;$ de $\;A\;$ sans vitesse initiale ; il est soumis au champ de pesanteur $\;{\vec {g}}\;$ uniforme et À la date $\;\color {transparent}{t=0}$, on lâche $\;\color {transparent}{M}\;$ de $\;\color {transparent}{A}\;$ sans vitesse initiale ; il se déplace en liaison bilatérale sans frottement sur la portion de cycloïde.

### Expression de l'angle d'inclinaison avec l'axe Ox du vecteur unitaire tangentiel de Frenet au point M

Déterminer l'expression de $\;\varphi ={\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {\tau }}\right)}}\;$ en fonction de $\;\theta \;$ ${\big$il s'agit d'une question de géométrie voire de cinématique $\;{\big$si on fait intervenir le temps mais nous ne le ferons pas${\big )}\;$ indépendante des forces appliquées${\big ]}$ ;
ci-après on rappelle la méthode d'obtention du vecteur unitaire tangentiel de Frenet en un point $\;M\;$ d'une courbe continue, ci-après déterminer $\succ \;$les « composantes cartésiennes du vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}\;$» en fonction de $\;d\theta \;$ puis ci-après déterminer $\succ \;$la « valeur absolue de la variation élémentaire de l'abscisse curviligne $\;\vert ds\vert =\Vert {\overrightarrow {dM}}\Vert \;$» suivi de $\;ds\;$ après choix de l'orientation de la courbe et enfin ci-après déterminer $\succ \;$le « vecteur unitaire tangentiel de Frenet au point $\;M\;$ défini par $\;{\vec {\tau }}={\dfrac {\overrightarrow {dM}}{ds}}\;$» en fonction de $\;\theta \;$ dont on peut tirer «$\;\cos(\varphi )={\vec {\tau }}\!\cdot {\vec {u}}_{x}\;$» en fonction de $\;\theta \;\ldots$
À partir des équations cartésiennes paramétriques de la portion de cycloïde $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}x\!\!&=&\!\!a\,\left[\theta +\sin(\theta )\right]\\y\!\!&=&\!\!a\,\left[1-\cos(\theta )\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ ${\big$voir schéma ci-contre${\big )}$, on détermine $\succ \;$le vecteur déplacement élémentaire par différenciation de «$\;{\overrightarrow {OM}}=x(\theta )\;{\vec {u}}_{x}+y(\theta )\;{\vec {u}}_{y}\;$» soit «$\;{\overrightarrow {dM}}=dx\;{\vec {u}}_{x}+dy\;{\vec {u}}_{y}\;$» avec «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}dx\!\!&=&\!\!a\,\left[1+\cos(\theta )\right]\,d\theta \\dy\!\!&=&\!\!a\,\left[0+\sin(\theta )\right]\,d\theta \end{array}}\right\rbrace \;$» d'où «$\;{\overrightarrow {dM}}=a\,\left[1+\cos(\theta )\right]\,d\theta \;{\vec {u}}_{x}+a\;\sin(\theta )\;d\theta \;{\vec {u}}_{y}\;$», puis
on détermine $\succ \;$la valeur absolue de la variation élémentaire de l'abscisse curviligne $\;s\;$ repérant le point $\;M$, l'origine du repérage ayant été choisie en $\;O\;$ on utilisant l'expression du « vecteur déplacement élémentaire dans la base locale de Frenet $\;{\overrightarrow {dM}}=ds\;{\vec {\tau }}\;$» dont on tire «$\;\vert ds\vert$ $=\Vert {\overrightarrow {dM}}\Vert ={\sqrt {\left\lbrace a\,\left[1+\cos(\theta )\right]\,d\theta \right\rbrace ^{2}+\left\lbrace a\;\sin(\theta )\;d\theta \right\rbrace ^{2}}}=a\;\vert d\theta \vert \;{\sqrt {1+2\;\cos(\theta )+\cos ^{2}(\theta )+\sin ^{2}(\theta )}}\;$» soit, après simplification évidente «$\;\vert ds\vert =a\;{\sqrt {2}}\;\vert d\theta \vert \;{\sqrt {1+\cos(\theta )}}\;$» ou, en « utilisant la formule de trigonométrie $\;\cos(2\;\xi )=2\;\cos ^{2}(\xi )-1\;$ $\Rightarrow$ $\;1+\cos(2\;\xi )=$ $2\;\cos ^{2}(\xi )\;$», l'expression finale «$\;\vert ds\vert =2\;a\;\vert d\theta \vert \;{\Bigg \vert }\cos \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\!{\Bigg \vert }\;$», ensuite
on détermine $\succ \;$la variation élémentaire de l'abscisse curviligne $\;s\;$ repérant le point $\;M\;$ sachant que $\;\theta \in \left[-\pi \,,\,\pi \right]\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {\theta }{2}}\in \left[-{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,{\dfrac {\pi }{2}}\right]\;$ et par suite $\;\cos \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\geqslant 0$, d'où, orientant la portion de cycloïde dans le sens des$\;\theta \;\nearrow$, «$\;ds=2\;a\;\cos \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\,d\theta \;$» et enfin
on détermine $\succ \;$le vecteur unitaire tangentiel de Frenet au point $\;M\;$ «$\;{\vec {\tau }}={\dfrac {\overrightarrow {dM}}{ds}}\;$» se déduisant de $\;{\overrightarrow {dM}}=ds\;{\vec {\tau }}\;$ d'où «$\;{\vec {\tau }}={\dfrac {\overrightarrow {dM}}{ds}}={\dfrac {a\,\left[1+\cos(\theta )\right]\,d\theta \;{\vec {u}}_{x}+a\;\sin(\theta )\;d\theta \;{\vec {u}}_{y}}{2\;a\;\cos \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\,d\theta }}\;$» dans lequel on utilise $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}1+\cos(\theta )\!\!&=&\!\!2\;\cos ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\\\sin(\theta )\!\!&=&\!\!2\;\sin \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\cos \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ la simplification suivante «$\;{\vec {\tau }}=\cos \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right){\vec {u}}_{x}+\sin \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right){\vec {u}}_{y}\;$» et par suite «$\;\cos(\varphi )={\vec {\tau }}\!\cdot {\vec {u}}_{x}=\cos \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\;$» ;
on détermine $\color {transparent}{\succ }\;$le vecteur unitaire tangentiel de Frenet au point $\;\color {transparent}{M}\;$ constatant sur le schéma que «$\;\varphi \in \left[-{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,{\dfrac {\pi }{2}}\right]\;$ comme $\;{\dfrac {\theta }{2}}\;$» et que «$\;\varphi \;$ est $\;>0\;$ quand $\;\theta \in \left]0\,,\,\pi \right]\;$», on en déduit que le lien de l'angle $\;\varphi ={\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {\tau }}\right)}}\;$ ${\big$ayant une signification directe sur la portion de cycloïde${\big )}\;$ avec le paramètre $\;\theta \;$ ${\big$sans signification directe sur la portion de cycloïde${\big )}\;$ est «$\;\varphi ={\dfrac {\theta }{2}}\;$».

### Expression, en fonction de l'angle d'inclinaison avec l'axe Ox du vecteur unitaire tangentiel de Frenet au point M, de l'abscisse curviligne du point sur la portion de cycloïde, puis du rayon de courbure de cette dernière au même point

Déduire, de la question précédente, l'abscisse curviligne $\;s={\overset {\curvearrowright }{OM}}\;$ du point $\;M\;$ sur la portion de cycloïde Déduire, de la question précédente, l'abscisse curviligne $\;\color {transparent}{s={\overset {\curvearrowright }{OM}}}\;$ en fonction de $\;\varphi \;$ angle d'inclinaison avec $\;Ox\;$ du vecteur unitaire tangentiel de Frenet $\;{\vec {\tau }}\;$ au même point $\;M\;$$^,$ puis,
Déduire, de la question précédente, le rayon de courbure $\;{\mathcal {R}}\;$ de la portion de cycloïde au point $\;M\;$ en fonction de $\;\varphi \;$ Déduire, de la question précédente, le rayon de courbure $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ ${\bigg$on rappelle que le rayon de courbure pour une courbe plane peut se déterminer par «$\;{\mathcal {R}}={\dfrac {ds}{d\alpha }}\;$ avec $\;\alpha ={\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {\tau }}\right)}}\;$»$^,$${\bigg ]}$.
Pour déterminer l'abscisse curviligne $\;s={\overset {\curvearrowright }{OM}}\;$ du point $\;M\;$ sur la portion de cycloïde, il suffit d'« intégrer $\;ds=2\;a\;\cos \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\,d\theta =4\;a\;\cos \!\left(\varphi \right)\,d\varphi \;$ entre $\;0\;$ et $\;\varphi \;$» soit Pour déterminer l'abscisse curviligne $\;s=\displaystyle \int _{0}^{\varphi }4\;a\;\cos \!\left(\varphi '\right)\,d\varphi '\;$ donnant finalement «$\;s=4\;a\;\sin \!\left(\varphi \right)\;$» ;
Pour déterminer le rayon de courbure au point $\;M\;$ de la portion de cycloïde s'évaluant par «$\;{\mathcal {R}}={\dfrac {ds}{d\varphi }}\;$»$^,$ avec $\;ds=4\;a\;\cos \!\left(\varphi \right)\,d\varphi$, on en déduit aisément «$\;{\mathcal {R}}=4\;a\;\cos \!\left(\varphi \right)\;$».

### Détermination de la nature oscillatoire du mouvement de M sur la portion de cycloïde déterminée par r.f.d.n. et expression de sa période d'oscillations

En repérant le point $\;M\;$ par son abscisse curviligne $\;s\;$ et en appliquant la r.f.d.n. à $\;M\;$ dans le référentiel terrestre supposé galiléen dans lequel la courbe est fixe, en appliquant la r.f.d.n. à $\;\color {transparent}{M}\;$ trouver, par projection sur $\;{\vec {\tau }}\;$ vecteur unitaire tangentiel de Frenet lié à $\;M\;$, en appliquant la r.f.d.n. à $\;\color {transparent}{M}\;$ trouver, $\succ \;$l'équation différentielle du 2ème ordre en $\;s(t)\;$ du mouvement de $\;M$, puis en appliquant la r.f.d.n. à $\;\color {transparent}{M}\;$ trouver, $\succ \;$la nature de ce mouvement par résolution de l'équation différentielle précédente et enfin, en appliquant la r.f.d.n. à $\;\color {transparent}{M}\;$ trouver, $\succ \;$l'expression de la période $\;T\;$ de ce mouvement.
Les forces appliquées au point $\;M\;$ glissant sans frottement sur la portion de cycloïde étant :
* son poids «$\;m\;{\vec {g}}=-m\;g\;{\vec {u}}_{y}=-m\;g\;\sin(\varphi )\;{\vec {\tau }}-m\;g\;\cos(\varphi )\;{\vec {n}}\;$» en utilisant la base locale de Frenet$^,$ dans laquelle «$\;{\vec {u}}_{y}=$ $\sin(\varphi )\;{\vec {\tau }}+\cos(\varphi )\;{\vec {n}}\;$» $\;{\big$voir schéma ci-contre${\big )}\;$ et
* la réaction de la portion de cycloïde $\;{\vec {R}}\perp \;$ à $\;{\vec {\tau }}\;$ par absence de frottement soit «$\;{\vec {R}}=R\;{\vec {n}}\;$», $\;R(t)\;$ pouvant être a priori $\;>0$, $\;=0\;$ ou $\;<0\;$ compte-tenu de la nature bilatérale de la liaison,
$\;M\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$
$\;m\;{\vec {g}}+{\vec {R}}(t)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$
$\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$
$\;M\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$
$\;t$
$\;{\vec {\tau }}\;$
$\;M\;$
$\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$
$\;M\;$
$\;{\vec {a}}_{M}\cdot {\vec {\tau }}=a_{\tau ,\,M}\;$
$\;t\;$
$\;a_{\tau ,\,M}(t)={\ddot {s}}(t)\;$
$\;-m\;g\;\sin \!\left[\varphi (t)\right]=m\;{\ddot {s}}(t)\;$
$\;\varphi (t)\;$
$\;s(t)\;$
$\;s=4\;a\;\sin \!\left(\varphi \right)\;$
$\Rightarrow$
$\;\sin \!\left[\varphi (t)\right]={\dfrac {s(t)}{4\;a}}\;$
$\;s(t)\;$
$\;-m\;g\;{\dfrac {s(t)}{4\;a}}=m\;{\ddot {s}}(t)\;$
$\;{\ddot {s}}(t)+{\dfrac {g}{4\;a}}\;s(t)=0\;$
$\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {g}{4\,a}}}\;$
$\;s(t)=c\;\cos(\omega _{0}\,t)+d\;\sin(\omega _{0}\,t)\;$
$\;c\;$
$\;d\;$
$\;M\;$
$\;A\;$
$\;\color {transparent}{s(t)=c\;\cos(\omega _{0}\,t)+d\;\sin(\omega _{0}\,t)}\;$
$\;\color {transparent}{c}\;$
$\;\color {transparent}{d}\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}s(0)\!\!&=&\!\!4\;a\\{\dot {s}}(0)\!\!&=&\!\!0\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;c=4\;a\;$
$\;{\dot {s}}(t)=-c\;\omega _{0}\;\sin(\omega _{0}\,t)+d\;\omega _{0}\;\cos(\omega _{0}\,t)\;$
$\;d\;\omega _{0}=0\;$
$\Rightarrow$
$\;d=0\;$
$\;s(t)\;$
$\;s(t)=4\;a\;\cos(\omega _{0}\,t)\;$
On en déduit la période $\;T\;$ du pendule cycloïdal identique à la période propre de l'oscillateur harmonique non amorti qu'il définit soit «$\;T=T_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}=4\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {a}{g}}}\;$».
Remarque : la période d'un oscillateur harmonique non amorti étant indépendante de l'amplitude d'oscillations, il en est de même de celle du pendule cycloïdal défini ici d'où Remarque : la période d'un oscillateur harmonique non amorti étant indépendante de l'amplitude d'oscillations, l'isochronisme des oscillations d'un pendule cycloïdal.

### Expression de la réaction de la cycloïde sur le point M

Trouver, par projection sur $\;{\vec {n}}\;$ vecteur unitaire normal principal de Frenet lié à $\;M\;$, de la r.f.d.n. appliquée à $\;M$, Trouver, la réaction $\;{\vec {R}}\;$ de la cycloïde agissant sur $\;M\;$ ${\big$on l'exprimera en fonction de $\;t\;$ et $\;\varphi \;$ puis Trouver, la réaction $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ de la cycloïde agissant sur $\;\color {transparent}{M}\;$ $\color {transparent}{\big$on l'exprimera en fonction de $\;\varphi \;$ seul${\big ]}$.
$\;{\vec {R}}\;$
$\;M\;$
$\;M\;$
$\;{\vec {n}}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;R-m\;g\;cos\!\left[\varphi (t)\right]=m\;a_{n,\,M}(t)\;$
$\;a_{n,\,M}\;$
$\;M\;$
$\;{\vec {a}}_{M}\cdot {\vec {n}}=a_{n,\,M}\;$
$\;v_{M}(t)={\dot {s}}(t)\;$
$\;t\;$
$\;a_{n,\,M}(t)={\dfrac {v_{M}^{2}(t)}{{\mathcal {R}}(t)}}\;$
$\;{\mathcal {R}}(t)=4\;a\;\cos \!\left[\varphi (t)\right]\;$
$\;M\;$
$\;t\;$
On détermine de la projection de la r.f.d.n. sur $\;{\vec {n}}\;$ avec remplacement de l'expression de $\;{\mathcal {R}}(t)\;$ on en déduit «$\;R=m\left\lbrace g\;cos\!\left[\varphi (t)\right]+{\dfrac {v_{M}^{2}(t)}{4\;a\;\cos \!\left[\varphi (t)\right]}}\right\rbrace \;$» ou,
On détermine de la projection de la r.f.d.n. sur $\;\color {transparent}{\vec {n}}\;$ avec $\;v_{M}(t)={\dot {s}}(t)=-4\;a\;\omega _{0}\;\sin(\omega _{0}\,t)\;$$^,$ «$\;R=m\left\lbrace g\;cos\!\left[\varphi (t)\right]+{\dfrac {16\;a^{2}\;\omega _{0}^{2}\;\sin ^{2}(\omega _{0}\,t)}{4\;a\;\cos \!\left[\varphi (t)\right]}}\right\rbrace \;$» ou encore, On détermine de la projection de la r.f.d.n. sur $\;\color {transparent}{\vec {n}}\;$ avec $\;\color {transparent}{v_{M}(t)={\dot {s}}(t)=-4\;a\;\omega _{0}\;\sin(\omega _{0}\,t)}\;$ on en déduit «$\;R=m\left\lbrace g\;cos\!\left[\varphi (t)\right]+{\dfrac {4\;a\;\omega _{0}^{2}\;\sin ^{2}(\omega _{0}\,t)}{\cos \!\left[\varphi (t)\right]}}\right\rbrace \;$» ;
On détermine en identifiant $\;s(t)=4\;a\;\cos(\omega _{0}\,t)\;$ avec $\;s(\varphi )=4\;a\;\sin(\varphi )\;$ on en déduit $\;\cos(\omega _{0}\,t)=\sin(\varphi )=\cos \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\varphi \right)\;$ soit «$\;\omega _{0}\,t\equiv {\dfrac {\pi }{2}}-\varphi \!\!{\pmod {2\,\pi }}\;$» dont on déduit On détermine en identifiant $\;\color {transparent}{s(t)=4\;a\;\cos(\omega _{0}\,t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{s(\varphi )=4\;a\;\sin(\varphi )}\;$ on en déduit $\;\color {transparent}{\cos(\omega _{0}\,t)=\sin(\varphi )=\cos \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\varphi \right)}\;$ soit «$\;\sin(\omega _{0}\,t)=\sin \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\varphi \right)=\cos(\varphi )\;$» d'où, par report,
On détermine de la projection de la r.f.d.n. sur $\;\color {transparent}{\vec {n}}\;$ avec $\;\color {transparent}{v_{M}(t)={\dot {s}}(t)=-4\;a\;\omega _{0}\;\sin(\omega _{0}\,t)}\;$ on en déduit «$\;R=m\left\lbrace g\;cos\!\left(\varphi \right)+{\dfrac {4\;a\;\omega _{0}^{2}\;\cos ^{2}(\varphi )}{\cos \!\left(\varphi \right)}}\right\rbrace =m\,\left(g+4\;a\;\omega _{0}^{2}\right)\,\cos(\varphi )\;$» soit, On détermine de la projection de la r.f.d.n. sur $\;\color {transparent}{\vec {n}}\;$ avec «$\;\omega _{0}^{2}={\dfrac {g}{4\;a}}\;$» et après une simplification évidente, «$\;R=2\;m\;g\;\cos(\varphi )\;$».