# Dynamique/Forces

Le but de ce chapitre est de mener une présentation des principales forces à l’œuvre dans l’univers. En effet, les lois de Newton que nous avons énoncées dans le chapitre précédent sont le socle commun qui nous permettra l’étude du mouvement d'un corps dès l’instant que nous en connaissons précisément les causes de celui-ci, c'est-à-dire les forces qui s'appliquent ce corps.

## Force de gravitation universelle et poids
### Force de gravitation universelle

La force de gravitation universelle est une force dont l'existence a été postulée par Isaac Newton. Considérons deux corps $A$ et $B$ de masse respectives $m_{A}$ et $m_{B}$ et séparés d'une distance $d$. Soit $\mathbf {u} _{AB}$ un vecteur unitaire qui part de $A$ et qui va vers $B$. La force qu'exerce un de ces corps sur l'autre s'exprime par la relation
$\mathbf {F} _{A\rightarrow B}=-{\mathcal {G}}{\dfrac {m_{A}m_{B}}{d^{2}}}\mathbf {u} _{A\rightarrow B}$où ${\mathcal {G}}$ est une constante, appelée constante universelle de gravitation, et qui vaut $6,67\times 10^{-11}{\text{m}}^{3}{\text{kg}}^{-1}{\text{s}}^{-2}$ (l'unité de ${\mathcal {G}}$ n'est pas à connaître, mais on pourrait la retrouver par analyse dimensionnelle).

### Cas d'un objet au voisinage de la Terre : le poids

La Terre est une sphère de rayon $R_{T}=6400{\text{ }}{\text{km}}$. Si un objet est placé au voisinage de celle-ci (c'est-à-dire s'il est à la surface de la Terre ou un peu au dessus), à une distance $d$ du sol, la force gravitationnelle exercée par la Terre sur cet objet vaudra alors (en norme) G M$_T$m/((R$_T$+d)$^2$) {\textstyle {\mathcal {G}}{\dfrac {M_{T}m}{(R_{T}+d)^{2}}}}. Cependant, étant donné que l'objet est au voisinage de la Terre, il est très proche du sol, et donc $d\ll R_{T}$
On peut donc considérer que $R_{T}+d=R_{T}$, et ainsi, la grandeur ${\mathcal {G}}{\dfrac {M_{T}}{(R_{T}+d)^{2}}}$ peut être considérée comme constante au voisinage de la Terre. On note alors $g$ cette constante, que l'on appelle attraction de la pesanteur et qui vaut $9,81{\text{ m.s}}^{-2}$
La force gravitationnelle exercée par la Terre sur un objet à son voisinage est alors appelée poids et vaut $\mathbf {P} =m\mathbf {g}$

### Expression du poids en coordonnées cartésiennes, axe montant et descendant

$\mathbf {P}$ est donc un vecteur dirigé vers le centre de la Terre, vertical, de norme $mg$. On a donc $\mathbf {P} =-mg\mathbf {e} _{z}$ si l'axe $Oz$ est montant (choix effectué dans la grande majorité des ouvrages) et $\mathbf {P} =mg\mathbf {e} _{z}$ si l'axe $Oz$ est descendant.
Dans ce cours, sauf indications contraires, l'axe $Oz$ sera choisi montant.

## Force électrostatique, force magnétostatique, force de Lorentz
### Notion de charge

Procédons par analogie. La force gravitationnelle s'exprime comme le produit d'une constante, des masses des deux corps mis en jeux et de l'inverse du carré de la distance les séparant. La grandeur intrinsèque des corps intervenant en jeu dans cette expression est donc la masse. Mais il existe une autre grandeur fondamentale qui intervient dans l'expression d'une autre force, la force électrostatique : il s'agit de la charge. La charge est donc une grandeur intrinsèque des corps, analogue à la masse. Il y a toutefois une légère différence entre la charge et la masse : alors que les masses ne peuvent être que positives, les charges peuvent être positives, négatives, ou nulles.

### Force électrostatique (ou loi de Coulomb), notion de champ électrostatique

La force électrostatique est une force dont l'existence et l'expression a été postulée par Coulomb. Considérons deux corps ponctuels $A$ et $B$ de charge respectives $q_{A}$ et $q_{B}$ et séparés d'une distance $d$. Soit $\mathbf {u} _{AB}$ un vecteur unitaire qui part de $A$ et qui va vers $B$. La force qu'exerce un de ces corps sur l'autre s'exprime par la relation
$\mathbf {F} ={\frac {q_{A}q_{B}}{4\pi \varepsilon _{0}d^{2}}}\mathbf {u} _{AB}$
Une notion extrêmement importante à développer à partir de là est celle de champ électrostatique. Considérons une charge ponctuelle $q$ placée quelque part dans l'Univers. Si l'on place une autre charge ponctuelle $q'$ à une certaine distance $d$ de la première charge, la charge ponctuelle $q'$ subira alors, comme nous l'avons dit, une force $\mathbf {F} ={\frac {qq'}{4\pi \varepsilon _{0}d^{2}}}\mathbf {u} _{AB}$. On définit alors le champ électrostatique par $\mathbf {E} ={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}d^{2}}}$ et on a alors $\mathbf {F} =q'\mathbf {E}$. On interprète cela en disant qu'une charge créée en un point de l'espace crée tout autour d'elle un champ électrostatique, capable de produire une force sur d'autres charges ponctuelles.

### Notion d'intensité, de densité de courant

Considérons un ensemble de charges se déplaçant dans un milieu. On pourrait considérer la vitesse de chacune des charges, vitesse qui serait, classiquement, égale à dOM/dt {\textstyle {\dfrac {{\text{d}}\mathbf {OM} }{{\text{d}}t}}}. Cette quantité représente l'évolution de la position d'une charge.
Toutefois, il peut également s'avérer intéressant de savoir comment évolue la charge électrique en un point du milieu considérée. L'intensité, définie par $i={\frac {{\text{d}}q}{{\text{d}}t}}$ permet d'étudier cela. Cette grandeur, en effet, modélise la vitesse d'évolution de la charge en un point du milieu.
Parlons maintenant du vecteur densité de courant. Considérons une surface infinitésimale ${\text{d}}S$ orientée par le vecteur ${\text{d}}\mathbf {S} ={\text{d}}S\mathbf {n}$, où $\mathbf {n}$ est un vecteur normale à la surface. On définit le vecteur densité de courant $\mathbf {j}$ par ${\text{d}}i=\mathbf {j} {\text{d}}\mathbf {S}$.

### Champ magnétostatique, loi de Biot-Savart, force magnétostatique

En plus du champ électrostatique décrit ci-avant causé par la présence de charges dans l'espace, il existe un autre champ, le champ magnétique, créé par des courants, et dont l'expression est donnée par la loi de Biot-Savart : La présence d'une densité de courant électrique sur un certain volume crée en un point $P$ de l'espace un champ magnétique, que l'on note $\mathbf {B}$ et vérifiant
$\mathbf {B} (P)={\dfrac {\mu _{0}}{4\pi }}\iiint _{V}{\mathbf {j} (M)\wedge \mathbf {u} _{PM}{\text{d}}\tau }$où $\mu _{0}$ est une constante fondamentale appelée perméabilité magnétique du vide.
Cette loi ne sera, en pratique, jamais utilisée en cours de mécanique, on ne la présente ici qu'à titre culturel (d'ailleurs, même en cours de magnétisme, cette loi est rarement utilisée pour déterminer le champ magnétique, on lui préfère un de ses corollaires, le théorème d'Ampère, qui rend plus aisé le calcul de champ magnétique).
De plus, ce champ génère sur une charge ponctuelle $q$ animée d'une vitesse $\mathbf {v}$ une force $\mathbf {F} =q(\mathbf {v} \wedge \mathbf {B} )$ (cette loi-ci sera utilisée en cours de mécanique)

### Force de Lorentz, force électromagnétique

Ainsi, si une charge ponctuelle $q$ est plongée dans un champ électrostatique et un champ magnétostatique, on a alors $\mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \wedge \mathbf {B} )$, cette force est appelée force de Lorentz.
Toutefois, si les champs électrostatique et magnétostatique varient au cours du temps (l'appellation champ électrostatique et magnétostatique est alors erronée, ces champs ne sont plus statiques. On parle de champ électrique et de champ magnétique), il se produit des phénomènes non prévues par les équations ci-dessus.
Ces phénomènes ont été expliqués par la théorie de l'électromagnétisme classique, due à Maxwell. Cette théorie repose sur cinq postulats : la force de Lorentz (qui reste vraie) et quatre équations qui donnent des propriétés des champs électriques et magnétiques. En particulier, ces quatre équations montrent un couplage des champs électriques et magnétiques. La séparation entre ces deux champs n'est alors qu'une vue de l'esprit, on parle de façon plus exacte de champ électromagnétique. De plus, la théorie de l'électromagnétisme classique s'avère, sur de nombreux points, incompatibles avec la théorie de la mécanique classique. La théorie de l'électromagnétisme classique ne sera pas donc développée ici. Le lecteur intéressé pourra se reporter à un cours d'électromagnétisme de la Wikiversité.

## Force de frottements fluides (linéaire et quadratique)

La force de frottements fluides est une force qui intervient quand un corps est plongé dans un fluide (de l'air, de l'eau...), et est fonction de la vitesse du corps.
Si celui-ci évolue à vitesse plutôt faible, une bonne expression de la force de frottements est $\mathbf {F} =-\alpha \mathbf {v}$
Un modèle plus réaliste, à basse ou à haute vitesse, est $\mathbf {F} =-\beta v\mathbf {v}$. Ce modèle a toutefois l'inconvénient de mener à des équations difficilement résoluble (cf chapitre suivant)
Il faut toutefois bien comprendre que ces deux formules, même la seconde, ne sont que des modèles, assez acceptable dès lors que la précision de mesure n'est pas trop importante. Les phénomènes, et tout particulièrement les phénomènes microscopiques intervenant lors de situations donnant lieu à des frottements fluides, sont hautement complexes et chaotique, et une étude poussée du phénomène de frottement fluide amène à penser qu'il n'existera jamais, au vu de la complexité du phénomène étudié, de formule simple et précise pour la force de frottements.

## Force de rappel élastique (ou force phénoménologique de Hooke)

Un ressort élastique est caractérise par sa longueur à vide $l_{0}$, longueur qu'il a en l'absence de toute contrainte extérieure, et par sa constante de raideur, $k$, qui caractérise la facilité ou la difficulté qu'aura un ressort à s'élonger.

## Réaction du support
### Une considération expérimentale simple

Considérons un point matériel quelconque posé sur une table. Ce point subit évidemment son poids, et devrait donc être entraîné vers le sol. Pourtant, il ne l'est pas (heureusement pour nous !), et est même parfaitement statique. L'application de la Première Loi de Newton dans le référentiel du laboratoire (que l'on peut supposer galiléen au vu de la courte durée de cette expérience !) permet donc de déduire l'existence d'une autre force, la réaction du support, opposée au poids.

### Notion de réaction du support

Tout point matériel posé sur un support (une table, le sol, etc) subit du simple fait qu'il y est posé une force, appelée réaction du support.
La force de réaction du support peut être vue comme la somme d'une composante tangente au support et une composante orthogonale au support (cela n'a rien d'étonnant, on a juste décomposé un vecteur dans une base !). La composante orthogonale existe constamment, alors que la composante tangentielle n'existe que dans le cas de frottements solides.
Les lois phénoménologiques du frottements solides relevant plus de la mécanique du solide que de la mécanique du point, on commencera dans un premier temps, sauf indication contraires, par systématiquement négliger la composante tangentielle de la réaction du support.

## Force de rappel d'un fil

Un fil tendu fixé à une de ses extrémités à un bâti et auquel est attaché à l'autre de ses extrémités une masse ponctuelle fait subir à cette masse ponctuelle une force, appelée force de rappel du fil, et notée $\mathbf {T}$. On a (cf schéma), $\mathbf {T} =-T\mathbf {u} _{x}$. Il n'existe aucune formule permettant de déterminer explicitement l'expression de $T$.
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