# Signaux physiques - bis (PCSI)/Filtrage linéaire : gabarit d'un filtre, 1ère partie
## Définition du gabarit d'un filtre
### Introduction : fonction d'un filtre

La fonction d'un filtre est de récupérer, dans un ensemble de signaux reçus, le signal utile et de le manipuler pour en retirer une information précise $\;{\big$exemple : un récepteur radio recevant un ensemble d'ondes électromagnétiques radiophoniques en sélectionne une et la traite pour la transformer en ondes sonores audibles$\;\ldots {\big )}$
Le filtre doit donc :
* éliminer tous les signaux inutiles,
* transmettre sans atténuation et ni déformation $\;{\big$c.-à-d. sans déphasage pour un signal sinusoïdal${\big )}\;$ et enfin
* traiter l'information.
Un filtre réel ne possède pas toutes ces propriétés car
* d'une part le signal utile est en général atténué et déformé $\;{\big$ou déphasé s'il est sinusoïdal${\big )}\;$ et
* d'autre part le passage entre les fréquences transmises et absorbées n'est pas brutal mais progressif.

### Définition du gabarit d'un filtre en termes d'amplitude

Le plus simple est de le définir sur l'exemple d'un « filtre passe-bas » et pour cela il faut préciser :
* la dernière fréquence passante $\;f_{p}$, « le filtre doit laisser passer toutes les fréquences $\;f<f_{p}\;$»,
* le gain minimum en dB $\;G_{dB,\,{\text{sup}}}\;$ pour les fréquences passantes, « le gain associé aux fréquences passantes doit être $\;G_{dB,\,p}>G_{dB,\,{\text{sup}}}\;$»,
* la 1ère fréquence absorbée $\;f_{a}$, « le filtre doit arrêter toutes les fréquences $\;f<f_{a}\;$»,
* le gain maximum en dB $\;G_{dB,\,{\text{inf}}}\;$ pour les fréquences absorbées, « le gain associé aux fréquences absorbéees doit être $\;G_{dB,\,a}<G_{dB,\,{\text{inf}}}\;$».
Par exemple si on choisit $\;G_{dB,\,{\text{sup}}}=-3\;dB\;$ et $\;G_{dB,\,{\text{inf}}}=-60\;dB$, cela signifie
* que toutes les fréquences passantes sont telles que $\;G_{dB,\,p}=20\;\log \!\left[{\dfrac {S_{p}}{E}}\right]>-3\;dB=20\;\log \!\left[{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\right]\;$ soit «$\;S_{p}>{\dfrac {E}{\sqrt {2}}}\simeq 0,7\;E\;$» et
* que toutes les fréquences absorbées sont telles que $\;G_{dB,\,p}=20\;\log \!\left[{\dfrac {S_{a}}{E}}\right]<-60\;dB=20\;\log \!\left[10^{-3}\right]\;$ soit «$\;S_{a}<10^{-3}\;E=0,001\;E\;$» ;
sur cet exemple l'« intervalle passant $\;\left[0\,;\,f_{p}\right]\;$» est l'« intervalle passant à $\;-3\;dB\;$», sa largeur $\;\Delta f=f_{p}\;$ est la « bande passante à $\;-3\;dB\;$».

### Influence de la phase sur un filtre

Tout filtre agissant sur un signal sinusoïdal introduit un déphasage qui dépend de la fréquence et ceci même dans l'intervalle passant ; ce déphasage est équivalent à un décalage temporel en effet «$\;s(t)$ $=S_{0}\;{\sqrt {2}}\;\cos(\omega \;t+\varphi _{s})=S_{0}\;{\sqrt {2}}\;\cos \!\left[\omega \left(t+{\dfrac {\varphi _{s}}{\omega }}\right)\right]=S_{0}\;{\sqrt {2}}\;\cos \!\left[\omega \left(t+\Delta t_{s}\right)\right]\;$», « le déphasage $\;\varphi _{s}\;$ étant équivalent à un décalage temporel $\;\Delta t_{s}={\dfrac {\varphi _{s}}{\omega }}\;$».
Remarque : ne sachant pas construire de filtre analogique simple qui présente simultanément un filtrage idéal en amplitude sans déformer le signal utile par intervention d'un déphasage sur les composantes sinusoïdales, on construit en pratique les filtres en tenant compte uniquement du gabarit en amplitude sans tenir compte de la déformation due au déphasage des composantes sinusoïdales $\;\ldots$
Remarque : et si le déphasage devient primordial, on construit un filtre qui présente une grande régularité en déphasage correspondant à un retard temporel identique pour chaque fréquence, en n'accordant que peu d'importance à la qualité du filtrage en termes d'amplitude $\;\ldots$

## Établissement du gabarit d'un 1er ordre fondamental, condition pour l'utiliser en moyenneur ou en intégrateur

La notion de « moyenneur » pour un filtre passe-bas agissant sur un signal d'entrée périodique à composante permanente correspond au filtre laissant passer la composante permanente et arrêtant tous les autres harmoniques, celle d'« intégrateur » pour un même filtre correspond au filtre laissant passer la composante permanente et intégrant tous les autres harmoniques.

### Cahier des charges du passe-bas (traité sur un exemple)

On cherche à réaliser le filtrage passe-bas suivant :
* les fréquences jusqu'à $\;1,9\;kHz\;$ doivent passer à travers le filtre sans être amplifiées et ne pas être atténuées de plus de $\;3\,dB$,
* les fréquences supérieures à $\;6,2\;kHz\;$ doivent être filtrées et atténuées d'au moins $\;9\,dB$.

### Choix de l'ordre du filtre (pour l'exemple précédent)

On le détermine en « calculant la pente nécessaire dans la zone de transition », la valeur absolue de celle-ci donnant un minorant de la pente nécessaire dans la zone absorbante $\;{\big$voir exemple ci-contre${\big )}$ ;
dans la zone de transition on passe « de $\;f_{p}=1,9\;kHz\;$ à $\;f_{a}=6,2\;kHz\;$» soit «$\;\log \!\left({\dfrac {f_{a}}{f_{p}}}\right)=\log \!\left({\dfrac {6,2}{1,9}}\right)\simeq 0,51\;{\text{décade}}\;$ associée à une chute de $\;9-3=6\;dB\;$» $\Rightarrow$ « une pente dans cette zone intermédiaire de $\;{\dfrac {-6\;dB}{0,51\;{\text{décade}}}}\simeq$ $-11,8\;dB/{\text{décade}}\;$» d'où
$\;-20\;dB/{\text{décade}}\;$

### Choix de la fréquence caractéristique du filtre (c.-à-d., dans le cas présent, de sa fréquence de coupure à -3dB) pour l'exemple précédent

Compte-tenu de la valeur $\;f_{p}=1,9\;kHz\;$ avec $\;G_{dB,\,{\text{sup}}}=-3\,dB$, la fréquence de coupure à $\;-3\;dB$, $\;f_{c}\;$ doit vérifier «$\;f_{c}\geqslant f_{p}\;$» ;
compte-tenu de la valeur $\;f_{a}=6,2\;kHz\;$ avec $\;G_{dB,\,{\text{inf}}}=-9\,dB$, la fréquence de coupure à $\;-3\;dB$, $\;f_{c}\;$ doit vérifier «$\;f_{c}\leqslant {\dfrac {f_{a}}{2,82}}\;$» $\;{\bigg \$en effet l'abscisse de la droite de pente $\;-20\;dB/{\text{décade}}\;$ passant par le point $\;\left(f_{a}=6,2\,kHz\;,\,G_{dB,\,{\text{inf}}}=-9\,dB\right)\;$ est séparé de $\;f_{a}=6,2\,kHz\;$ de $\;{\dfrac {-9\,dB}{-20\,dB/{\text{décade}}}}$ $\simeq 0,45\,{\text{décade}}\;$ soit un rapport entre l'abscisse cherchée et $\;f_{a}=6,2\,kHz\;$ de $\;10^{0,45}\simeq 2,82{\bigg \}$.
$\;-3\;dB\;$
$\;f_{p}=1,9\;kHz\leqslant f_{c}\leqslant {\dfrac {f_{a}}{2,82}}={\dfrac {6,2\;kHz}{2,82}}\simeq 2,2\;kHz\;$

### Choix des éléments constitutifs du filtre sur l'exemple précédent

On choisit un «$\;R\;C\;$ série » avec « sortie aux bornes de $\;C\;$», tel que $\;1,9\;kHz\leqslant f_{c}={\dfrac {1}{2\,\pi \,R\,C}}\leqslant 2,2\;kHz\;$ soit, en inversant et divisant tous les membres par $\;2\,\pi \;$ après rétablissement en unités S.I., «$\;72\;10^{-5}\;s\simeq {\dfrac {1}{2,2\;10^{3}\times 2\,\pi }}\leqslant R\;C\leqslant {\dfrac {1}{2,2\;10^{3}\times 2\,\pi }}\simeq 84\;10^{-5}\;s\;$» et finalement
$\;\tau =R\;C\;{\underset {\sim }{\in }}\;\left[72\;\mu s\;;\;84\;\mu s\right]\;$
on peut par exemple choisir $\;\succ \;$ «$\;R=1\;k\Omega \;$ et $\;72\;nF\lesssim C\lesssim 84\;nF\;$» ou  on peut par exemple choisir $\;\succ \;$ «$\;R=2\;k\Omega \;$ et $\;36\;nF\lesssim C\lesssim 42\;nF\;$» ou encore  on peut par exemple choisir $\;\succ \;$ «$\;R=10\;k\Omega \;$ et $\;7,2\;nF\lesssim C\lesssim 8,4\;nF\;$» $\ldots$
Avec «$\;R=1\;k\Omega \;$ et $\;C\simeq 80\;nF\;$», on obtient une « fréquence de coupure à $\;-3\;dB$, $\;f_{c}\simeq 2,0\;kHz\;$» et  Avec «$\;\color {transparent}{R=1\;k\Omega }\;$ et $\;\color {transparent}{C\simeq 80\;nF}\;$», on obtient $\succ \;$ « pour $\;f_{p}=1,9\;kHz$, le gain en dB vaut $\;G_{dB}(f_{p})=20\;\log \!\!\left[{\dfrac {1}{\sqrt {1+\left(R\;C\;\omega _{p}\right)^{2}}}}\right]=-10\;\log \!\left[1+\left({\dfrac {f_{p}}{f_{c}}}\right)^{\!\!2}\right]\;$» soit pratiquement «$\;G_{dB}(f_{p})$ $\simeq -10\;\log \!\left[1+\left({\dfrac {1,9}{2,0}}\right)^{\!\!2}\right]\simeq -2,79\;dB\simeq -2,8\;dB>-3\;dB=G_{dB,\,{\text{sup}}}$» alors que  Avec «$\;\color {transparent}{R=1\;k\Omega }\;$ et $\;\color {transparent}{C\simeq 80\;nF}\;$», on obtient $\succ \;$ « pour $\;f_{a}=6,2\;kHz$, le gain en dB vaut $\;G_{dB}(f_{a})=20\;\log \!\!\left[{\dfrac {1}{\sqrt {1+\left(R\;C\;\omega _{a}\right)^{2}}}}\right]=-10\;\log \!\left[1+\left({\dfrac {f_{a}}{f_{c}}}\right)^{\!\!2}\right]\;$» soit pratiquement «$\;G_{dB}(f_{a})$ $\simeq -10\;\log \!\left[1+\left({\dfrac {6,2}{2,0}}\right)^{\!\!2}\right]\simeq -10,26\;dB\simeq -10,3\;dB<-9\;dB=G_{dB,\,{\text{inf}}}\;$».

### Condition pour utiliser le filtre comme intégrateur ou moyenneur sur l'exemple précédent

Le filtre se comportera comme un « intégrateur » si les harmoniques d'un signal d'entrée à valeur moyenne nulle sont tous dans la zone intégrative à savoir $\;f\gtrsim 10\;f_{c}\;$ ${\big \$le choix d'une fréquence de coupure à $\;-3\;dB\;$ égale à $\;f_{c}\simeq$ $2,0\;kHz$, donne une zone intégrative $\;\left[20\;kHz\;,\;+\infty \right[\;$ mais le « signal ne sera réellement intégré que s'il est d'amplitude notable »${\big \}$ voir ci-contre à gauche ;
le filtre agissant sur un signal d'entrée à valeur moyenne non nulle laissera passer sans atténuation la composante permanente de ce signal et, dans la mesure où les autres harmoniques du signal d'entrée sont tous dans la zone intégrative à savoir $\;f\gtrsim 10\;f_{c}$, il se comportera comme un « intégrateur à composante permanente » $\;\ldots \;$ à condition que « l'amplitude des harmoniques intégrés soit de valeur notable » voir ci-contre à droite.
Le filtre agissant sur un signal d'entrée à valeur moyenne non nulle laissant passer sans atténuation la composante permanente de ce signal, se comportera comme « moyenneur $\;{\big$à composante permanente${\big )}\;$» si les autres harmoniques du signal d'entrée sont tous dans la zone intégrative mais tels que « la fréquence du signal d'entrée soit suffisamment éloignée de la borne inférieure » de façon à ce que l'amplitude des formes intégrées des harmoniques de rang non nul soit trop petite pour être observée, voir ci-contre à droite ;
justification : si la fréquence du signal d'entrée est de $\;200\;kHz\simeq 100\;f_{c}$, cela donne un gain en dB de $\;-40\;dB\;$ pour l'harmonique fondamental soit une atténuation d'un facteur $\;100\;$ et par suite une amplitude de la forme intégrée de l'harmonique fondamental pouvant être considérée inobservable si l'amplitude d'entrée reste de valeur raisonnable $\;{\big$par exemple une amplitude de $\;1\;V\;$ conduit à une amplitude de la forme intégrée de l'harmonique fondamental de $\;10\;mV\;$ de valeur comparable à celle des parasites${\big ]}$, justification : l'intégration des harmoniques de rang supérieur donnant une atténuation encore plus faible, ceux-ci sont évidemment encore moins observables $\;{\big$par exemple l'harmonique de rang $\;10\;$ conduirait à une atténuation d'un facteur $\;1000{\big ]}$.

## Établissement du gabarit d'un 1er ordre non fondamental à transfert statique nul, condition pour l'utiliser en dérivateur
### Cahier des charges du passe-haut (traité sur un exemple)

On cherche à réaliser le filtrage passe-haut suivant :
* les fréquences jusqu'à $\;1,9\;kHz\;$ doivent être filtrées et atténuées d'au moins $\;9\,dB$,
* les fréquences supérieures à $\;6,2\;kHz\;$ doivent passer à travers le filtre sans être amplifiées et ne pas être atténuées de plus de $\;3\,dB$.

### Choix de l'ordre du filtre (pour l'exemple précédent)

On le détermine en « calculant la pente nécessaire dans la zone de transition », celle-ci donnant un minorant de la pente nécessaire dans la zone absorbante $\;{\big$voir exemple ci-contre${\big )}$ ;
dans la zone de transition on passe « de $\;f_{a}=1,9\;kHz\;$ à $\;f_{p}=6,2\;kHz\;$» soit «$\;\log \!\left({\dfrac {f_{p}}{f_{a}}}\right)=\log \!\left({\dfrac {6,2}{1,9}}\right)\simeq 0,51\;{\text{décade}}\;$ associée à une croissance de $\;9-3=6\;dB\;$» $\Rightarrow$ « une pente dans cette zone intermédiaire de $\;{\dfrac {6\;dB}{0,51\;{\text{décade}}}}\simeq$ $11,8\;dB/{\text{décade}}\;$» d'où
$\;+20\;dB/{\text{décade}}\;$

### Choix de la fréquence caractéristique du filtre (c.-à-d., dans le cas présent, de sa fréquence de coupure à -3dB) pour l'exemple précédent

Compte-tenu de la valeur $\;f_{p}=6,2\;kHz\;$ avec $\;G_{dB,\,{\text{sup}}}=-3\,dB$, la fréquence de coupure à $\;-3\;dB$, $\;f_{c}\;$ doit vérifier «$\;f_{c}\leqslant f_{p}\;$» ;
compte-tenu de la valeur $\;f_{a}=1,9\;kHz\;$ avec $\;G_{dB,\,{\text{inf}}}=-9\,dB$, la fréquence de coupure à $\;-3\;dB$, $\;f_{c}\;$ doit vérifier «$\;f_{c}\geqslant 2,82\times f_{a}\;$» $\;{\bigg \$en effet l'abscisse de la droite de pente $\;+20\;dB/{\text{décade}}\;$ passant par le point $\;\left(f_{a}=1,9\,kHz\;,\,G_{dB,\,{\text{inf}}}=-9\,dB\right)\;$ est séparé de $\;f_{p}=6,2\,kHz\;$ de $\;{\dfrac {9\,dB}{20\,dB/{\text{décade}}}}$ $\simeq 0,45\,{\text{décade}}\;$ soit un rapport entre l'abscisse cherchée et $\;f_{a}=1,9\,kHz\;$ de $\;10^{0,45}\simeq 2,82{\bigg \}$.
$\;-3\;dB\;$
$\;2,82\times f_{a}=2,82\times 1,9\;kHz\simeq 5,4\;kHz\leqslant f_{c}\leqslant f_{p}=6,2\;kHz\;$

### Choix des éléments constitutifs du filtre sur l'exemple précédent

On choisit un «$\;R\;C\;$ série » avec « sortie aux bornes de $\;R\;$», tel que $\;5,4\;kHz\leqslant f_{c}={\dfrac {1}{2\,\pi \,R\,C}}\leqslant 6,2\;kHz\;$ soit, en inversant et divisant tous les membres par $\;2\,\pi \;$ après rétablissement en unités S.I., «$\;2,5\;10^{-5}\;s\simeq {\dfrac {1}{6,2\;10^{3}\times 2\,\pi }}\leqslant R\;C\leqslant {\dfrac {1}{5,4\;10^{3}\times 2\,\pi }}\simeq 3,0\;10^{-5}\;s\;$» et finalement
$\;\tau =R\;C\;{\underset {\sim }{\in }}\;\left[25\;\mu s\;;\;30\;\mu s\right]\;$
on peut par exemple choisir $\succ \;$ «$\;R=1\;k\Omega \;$ et $\;25\;nF\lesssim C\lesssim 30\;nF\;$» ou  on peut par exemple choisir $\succ \;$ «$\;R=2\;k\Omega \;$ et $\;12,5\;nF\lesssim C\lesssim 15\;nF\;$» ou encore  on peut par exemple choisir $\succ \;$ «$\;R=10\;k\Omega \;$ et $\;2,5\;nF\lesssim C\lesssim 3,0\;nF\;$» $\ldots$
Avec «$\;R=1\;k\Omega \;$ et $\;C\simeq 29\;nF\;$», on obtient une « fréquence de coupure à $\;-3\;dB$, $\;f_{c}\simeq 5,5\;kHz\;$» et  Avec «$\;\color {transparent}{R=1\;k\Omega }\;$ et $\;\color {transparent}{C\simeq 29\;nF}\;$», on obtient $\succ \;$ « pour $\;f_{a}=1,9\;kHz$, le gain en dB vaut $\;G_{dB}(f_{a})=20\;\log \!\!\left[{\dfrac {R\;C\;\omega _{a}}{\sqrt {1+\left(R\;C\;\omega _{a}\right)^{2}}}}\right]=-10\;\log \!\left[1+\left({\dfrac {f_{c}}{f_{a}}}\right)^{\!\!2}\right]\;$» soit en pratique «$\;G_{dB}(f_{a})$ $\simeq -10\;\log \!\left[1+\left({\dfrac {5,5}{1,9}}\right)^{\!\!2}\right]\simeq -9,72\;dB\simeq -9,7\;dB<-9\;dB=G_{dB,\,{\text{inf}}}\;$» alors que  Avec «$\;\color {transparent}{R=1\;k\Omega }\;$ et $\;\color {transparent}{C\simeq 29\;nF}\;$», on obtient $\;\succ \;$ « pour $\;f_{p}=6,2\;kHz$, le gain en dB vaut $\;G_{dB}(f_{p})=20\;\log \!\!\left[{\dfrac {R\,C\,\omega _{p}}{\sqrt {1+\left(R\;C\;\omega _{p}\right)^{2}}}}\right]=-10\;\log \!\left[1+\left({\dfrac {f_{c}}{f_{p}}}\right)^{\!\!2}\right]\;$» soit en pratique «$\;G_{dB}(f_{p})$ $\simeq -10\;\log \!\left[1+\left({\dfrac {5,5}{6,2}}\right)^{\!\!2}\right]\simeq -2,52\;dB\simeq -2,5\;dB>-3\;dB=G_{dB,\,{\text{sup}}}\;$».

### Condition pour utiliser le filtre comme dérivateur sur l'exemple précédent

Le filtre se comportera comme un « dérivateur » si les 1$^{ers}$ harmoniques qui importent pour construire le signal dérivé d'un signal d'entrée à valeur moyenne nulle sont tous dans la zone dérivative à savoir $\;n_{\text{min construction dérivé}}\;f\lesssim {\dfrac {f_{c}}{10}}\;$ ou $\;f\lesssim {\dfrac {f_{c}}{10\;n_{\text{min construction dérivé}}}}$, $\;n_{\text{min construction dérivé}}\;$ étant le rang minimal de l'harmonique du signal d'entrée nécessaire à la construction du signal dérivé par synthèse de Fourier ${\big \$le choix d'une fréquence de coupure à $\;-3\;dB\;$ égale à $\;f_{c}\simeq 5,5\;kHz$, donne une zone dérivative $\;\left[0\;,\;550\;Hz\right]\;$ mais le « signal ne sera réellement dérivé que s'il est d'amplitude notable $\;{\big$laquelle doit être le plus souvent très grande${\big )}\;$»${\big \}$, ci-contre à gauche un signal de sortie inobservable avec une amplitude du signal d'entrée de $\;1\;V\;$ ${\big \$l'amplitude théorique du signal de sortie serait de $\;2\;mV\;$ inférieure à celle des parasites${\big \}$ ;
en fait la condition $\;f\lesssim {\dfrac {f_{c}}{10\;n_{\text{min construction dérivé}}}}\;$ de dérivation étant beaucoup trop stricte, on l'élargit à $\;f\lesssim {\dfrac {f_{c}}{n_{\text{min construction dérivé}}}}\;$ $\Rightarrow$ une dérivation possible à condition que l'amplitude du signal dérivé ne soit pas trop faible, ci-contre à droite le signal de sortie peu observable avec une amplitude du signal d'entrée de $\;1\;V\;$ ${\big \$l'amplitude théorique du signal de sortie étant de $\;20\;mV\;$ de même ordre de grandeur que celle des parasites${\big \}$ ;
si on augmente la sensibilité d'observation dans les mêmes conditions de fréquence et d'amplitude du signal d'entrée que celles de la figure ci-contre à droite, on observe effectivement un signal de sortie assimilable à un créneau, voir ci-contre à gauche le signal $\;{\big$théorique${\big )}\;$ sans la présence de parasites ;
une autre façon d'observer le signal de sortie sans parasites dans les mêmes conditions de fréquence du signal d'entrée que celles de la figure ci-contre à gauche ou plus haut à droite, consiste à augmenter l'amplitude du signal d'entrée, celle du signal de sortie l'étant alors en même proportion, ce dernier devient observable malgré la présence de parasites dont les amplitudes sont plus faibles $\;{\big \$par exemple, avec une amplitude du signal d'entrée de $\;10\;V\;$ celle du signal de sortie devient égale à $\;200\;mV\;$ assez nettement supérieure à celle des parasites d'où une observation possible${\big \}$ non représenté mais ressemblerait à la figure ci-contre à gauche ;
si on élargit encore la condition de dérivation d'un facteur $\;10$, la dérivation se devine encore mais avec une distorsion un peu trop importante : voir ci-contre à droite l'observation de la tentative de dérivation d'un signal triangulaire de fréquence voisine de $\;{\dfrac {f_{c}}{3}}\simeq$ $2,0\;kHz\;$ avec une distorsion importante mais une amplitude notable.

## Établissement du gabarit d'un 2ème ordre du type « réponse en intensité d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante », condition pour l'utiliser en dérivateur, intégrateur ou sélecteur d'harmonique
### Cahier des charges d'un passe-bande (traité sur un exemple)

On cherche à réaliser le filtrage passe-bande suivant :
* les fréquences entre $\;161,6\;kHz\;$ et $\;162,4\;kHz\;$ doivent passer à travers le filtre et ne pas être atténuées de plus de $\;3\,dB$,
* les fréquences inférieures à $\;112\;kHz\;$ et supérieures à $\;212\;kHz\;$ doivent être filtrées et atténuées d'au moins $\;40\,dB$.

### Choix des caractéristiques du filtre (c.-à-d., dans le cas présent, de sa fréquence de résonance et de sa bande passante à -3dB) pour l'exemple précédent

La « fréquence centrale étant $\;f_{0}=162,0\;kHz\;$», les « fréquences de coupure à $\;-3\;dB\;$ basse et haute doivent être respectivement $\;<\;$ à $\;f_{p}^{-}=161,6\;kHz\;$ et $\;>\;$ à $\;f_{p}^{+}=162,4\;kHz\;$», la « bande passante à $\;-3\;dB\;$ étant $\;>\;$ à $\;f_{p}^{+}-f_{p}^{-}=0,8\;kHz\;$», l'« acuité de la résonance doit donc être $\;<\;$ à $\;{\dfrac {f_{0}}{f_{p}^{+}-f_{p}^{-}}}={\dfrac {162,0}{0,8}}\simeq$ $202,5\;$» c.-à-d. «$\;Q\lesssim 202,5\simeq 203\;$» ;
compte-tenu du fait que «$\;{\dfrac {f_{a}^{-}}{f_{0}}}={\dfrac {112}{162}}\simeq 0,69\not \lesssim {\dfrac {1}{10}}\;$» et «$\;{\dfrac {f_{a}^{+}}{f_{0}}}={\dfrac {212}{162}}\simeq 1,31\not \gtrsim 10\;$», « nous ne pouvons pas a priori considérer que les points $\;\left\lbrace f_{a}^{-}=112\,kHz\,;\,G_{dB}(f_{a}^{-})\right\rbrace \;$ et $\;\left\lbrace f_{a}^{+}=212\,kHz\,;\,G_{dB}(f_{a}^{+})\right\rbrace \;$ se trouvent respectivement sur l'asymptote B.F. ou H.F. de la courbe de gain du diagramme de Bode du filtre » $\Rightarrow$ les conditions $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}G_{dB}(f_{a}^{-})<-40\,dB\\G_{dB}(f_{a}^{+})<-40\,dB\end{array}}\right\rbrace \;$ nécessitent d'utiliser l'expression complète du gain en dB du filtre à savoir «$\;G_{dB}(f)=20\,\log \!\left[{\dfrac {1}{\sqrt {1+Q^{2}\left({\dfrac {f}{f_{0}}}-{\dfrac {f_{0}}{f}}\right)^{\!\!2}}}}\right]\;$» ou «$\;G_{dB}(f)=$ $-10\,\log \!\left[1+Q^{2}\left({\dfrac {f}{f_{0}}}-{\dfrac {f_{0}}{f}}\right)^{\!\!2}\right]\;$» d'où la réécriture des conditions $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}G_{dB}(f_{a}^{-})<-40\,dB\\G_{dB}(f_{a}^{+})<-40\,dB\end{array}}\right\rbrace \;$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\log \!\left[1+Q^{2}\left({\dfrac {f_{a}^{-}}{f_{0}}}-{\dfrac {f_{0}}{f_{a}^{-}}}\right)^{\!\!2}\right]>4\\\log \!\left[1+Q^{2}\left({\dfrac {f_{a}^{+}}{f_{0}}}-{\dfrac {f_{0}}{f_{a}^{+}}}\right)^{\!\!2}\right]>4\end{array}}\right\rbrace \;$» soit «$\;\left\lbrace \!{\begin{array}{l}{\cancel {1+}}\;Q^{2}\left({\dfrac {f_{a}^{-}}{f_{0}}}-{\dfrac {f_{0}}{f_{a}^{-}}}\right)^{\!\!2}>10^{4}\\{\cancel {1+}}\;Q^{2}\left({\dfrac {f_{a}^{+}}{f_{0}}}-{\dfrac {f_{0}}{f_{a}^{+}}}\right)^{\!\!2}>10^{4}\end{array}}\!\right\rbrace \;$» ou «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}Q\;{\bigg \vert }{\dfrac {f_{a}^{-}}{f_{0}}}-{\dfrac {f_{0}}{f_{a}^{-}}}{\bigg \vert }>100\\Q\;{\bigg \vert }{\dfrac {f_{a}^{+}}{f_{0}}}-{\dfrac {f_{0}}{f_{a}^{+}}}{\bigg \vert }>100\end{array}}\right\rbrace \;$» et finalement «$\;Q\gtrsim \left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {100}{{\dfrac {1}{0,69}}-0,69}}\simeq 131,7\simeq 132\\{\dfrac {100}{1,31-{\dfrac {1}{1,31}}}}\simeq 182,9\simeq 183\end{array}}\right\rbrace \;$», ces deux conditions étant réalisées si «$\;Q\gtrsim 183\;$» ;
$\;183\lesssim Q\lesssim 203\;$
$\;Q\simeq 200\;$
nous vérifions que les valeurs du gain en décibels du filtre pour les fréquences $\;f_{a}^{-}=112\;kHz\;$ et $\;f_{a}^{+}=212\;kHz\;$ satisfont le cahier des charges avec cette valeur de facteur de qualité car
nous vérifions que les valeurs du gain en décibels du filtre $\succ \;$ «$\;G_{dB}(f_{a}^{-})=-10\,\log \!\left[1+200^{2}\left(0,69-{\dfrac {1}{0,69}}\right)^{\!\!2}\right]\simeq -43,6\,dB<-40\,dB\;$» et
nous vérifions que les valeurs du gain en décibels du filtre $\succ \;$ «$\;G_{dB}(f_{a}^{+})=-10\,\log \!\left[1+200^{2}\left(1,31-{\dfrac {1}{1,31}}\right)^{\!\!2}\right]\simeq -40,8\,dB<-40\,dB\;$».

### Choix des éléments constitutifs du filtre sur l'exemple précédent

On choisit donc un «$\;R\,L\,C\;$ série » avec « sortie aux bornes de $\;R\;$», tel que $\;f_{0}={\dfrac {1}{2\,\pi \,{\sqrt {L\;C}}}}=162\,kHz\;$ soit «$\;L\;C={\dfrac {1}{\left(2\;\pi \times 162\,10^{3}\right)^{2}}}\simeq$ $9,65\;10^{-13}\;s^{2}\;$» ;
on peut, par exemple, choisir $\;\succ \;$ «$\;L=100\;mH\;$ et $\;C=9,7\;pF\;$» ou  on peut, par exemple, choisir $\;\succ \;$ «$\;L=10\;mH\;$ et $\;C=97\;pF\;$» ou encore  on peut, par exemple, choisir $\;\succ \;$ «$\;L=1\;mH\;$ et $\;C=0,97\;nF\;$» $\;\ldots$
Le facteur de qualité permet de choisir $\;R\;$ par l'intermédiaire $\;Q={\dfrac {L\;\omega _{0}}{R}}={\dfrac {L\;2\,\pi \;f_{0}}{R}}\;$ soit «$\;R={\dfrac {L\;2\,\pi \;f_{0}}{Q}}\;$» donnant,
$\;L=100\,mH\;$
$\;C=9,7\;pF\;$
$\;R={\dfrac {0,1\times 2\,\pi \times 162\;10^{3}}{200}}\simeq 510\;\Omega \;$

### Condition pour utiliser le filtre comme dérivateur, intégrateur ou sélecteur d'harmonique sur l'exemple précédent

Le filtre deviendra « dérivateur » si les 1$^{ers}$ harmoniques nécessaires pour construire le signal dérivé d'un signal d'entrée sont tous dans la zone dérivative soit «$\;n_{\text{min construction dérivé}}\;f\lesssim {\dfrac {f_{0}}{5}}\;$» ou «$\;f\lesssim {\dfrac {f_{0}}{5\;n_{\text{min construction dérivé}}}}\;$» ${\big \$le choix d'une fréquence propre égale à $\;f_{0}\simeq 162\;kHz\;$ donne une zone dérivative $\;\left[0\;;\;32,4\;kHz\right]\;$ mais le « signal ne sera réellement dérivé que s'il est d'amplitude notable $\;{\big$cette exigence étant, le plus souvent, trop élevée pour aboutir à une observation${\big )}\;$»${\big \}$.
ci-contre à gauche le signal de sortie créneau espéré avec une amplitude du signal d'entrée triangulaire de $\;1\;V\;$ totalement inobservable car son amplitude théorique serait de $\;20\;\mu V\;$ approximativement mille fois plus faible que celle des parasites,
ci-contre à droite, avec la même amplitude du signal d'entrée triangulaire de $\;1\;V$, le signal de sortie créneau attendu en absence de parasites et avec un facteur de loupe de $\;50000\;$ autrement dit d'observation totalement illusoire ;
le filtre se comportera comme un « intégrateur » si la fréquence du signal d'entrée est dans la zone intégrative à savoir $\;f\gtrsim 5\;f_{0}\;$ ${\big \$le choix d'une fréquence propre égale à $\;f_{0}\simeq 162\;kHz$, donne une zone intégrative $\;\left[810\;kHz\;;\;+\infty \right[\;$ mais le « signal ne sera réellement intégré que s'il est d'amplitude notable $\;{\big$laquelle devrait être le plus souvent relativement grande pour aboutir à une observation${\big )}\;$»${\big \}$,
ci-contre à gauche le signal de sortie triangulaire espéré avec une amplitude du signal d'entrée créneau de $\;1\;V\;$ totalement inobservable car son amplitude théorique serait de $\;1,4\;\mu V\;$ approximativement dix fois plus faible que celle des parasites,
ci-contre à droite, avec la même amplitude du signal d'entrée créneau de $\;1\;V$, le signal de sortie triangulaire attendu en absence de parasites et avec un facteur de loupe de $\;700\;$ autrement dit d'observation totalement illusoire ;
le filtre se comportera comme un « sélecteur d'harmonique » si le signal d'entrée est de fréquence telle que $\succ \;$l'harmonique souhaité a une fréquence dans la zone passante et $\succ \;$chaque harmonique immédiatement voisin, une fréquence dans les zones absorbantes, par exemple, pour un signal d'entrée créneau de fréquence $\;f$, nous sélectionnons : $\blacktriangleright \;$l'harmonique fondamental si «$\;f\in \left[161,6\,kHz\,;\,162,4\,kHz\right]\;$», celui de rang $\;3\;$ de fréquence «$\;3\,f\in \left[484,8\,kHz\,;\,487,2\,kHz\right]\;$» étant largement au-dessus de $\;212\,kHz\;$ ci-contre à gauche simultanément avec l'observation du signal d'entrée créneau de fréquence $\;162\;kHz$ ; $\blacktriangleright \;$l'harmonique de rang$\;3\;$ si «$\;3\;f\in \left[161,6\,kHz\;;\;162,4\,kHz\right]\;$ $\Leftrightarrow$ $\;f\in \left[{\dfrac {161,6\,kHz}{3}}\simeq 53,9\,kHz\;;\;{\dfrac {162,4\,kHz}{3}}\simeq 54,1\,kHz\right]\;$» $\Rightarrow$ l'harmonique fondamental est au-dessous de $\;112\,kHz\;$ et celui de rang $\;5\;$ de fréquence «$\;5\;f\in \left[269,3\,kHz\;;\;270,7\,kHz\right]\;$» au-dessus de $\;212\,kHz\;$ ci-contre à droite simultanément avec l'observation du signal d'entrée créneau de fréquence $\;54\;kHz\;$ ;
                                                          $\blacktriangleright \;$l'harmonique de rang$\;5\;$ si «$\;5\;f\in \left[161,6\,kHz\;;\;162,4\,kHz\right]\;$ $\Leftrightarrow$ $\;f\in \left[{\dfrac {161,6\,kHz}{5}}\simeq 32,3\,kHz\;;\;{\dfrac {162,4\,kHz}{5}}\simeq 32,5\,kHz\right]\;$», celui de rang $\;3\;$ de fréquence «$\;3\;f\in \left[97,0\,kHz\;;\;97,4\,kHz\right]\;$» étant au-dessous de $\;112\,kHz\;$ et celui de rang $\;7\;$ de fréquence «$\;7\;f\in \left[226,2\,kHz\;;\;227,4\,kHz\right]\;$» au-dessus de $\;212\;kHz$, observation de l'harmonique de rang $\;5\;$ du signal d'entrée créneau de fréquence $\;32,4\;kHz\;$ non représentée car n'apportant rien de nouveau relativement à l'observation de l'harmonique de rang $\;3\;$ ci-dessus à droite ;
$\blacktriangleright \;$l'harmonique de rang$\;7\;$ si «$\;7\;f\in \left[161,6\,kHz\;;\;162,4\,kHz\right]\;$ $\Leftrightarrow$ $\;f\in \left[{\dfrac {161,6\,kHz}{7}}\simeq 23,1\,kHz\;;\;{\dfrac {162,4\,kHz}{7}}\simeq 23,2\,kHz\right]\;$» $\Rightarrow$ celui de rang $\;5\;$ de fréquence «$\;5\;f\in \left[115,4\,kHz\;;\;116,0\,kHz\right]\;$» étant légèrement au-dessus de $\;112\,kHz\;$ ${\big$théoriquement hors de la zone absorbante inférieure mais considéré comme étant néanmoins absorbé${\big )}\;$ et celui de rang $\;9\;$ dont la fréquence vérifie l'encadrement «$\;9\;f\in \left[207,8\,kHz\;;\;208,8\,kHz\right]\;$» étant légèrement au-dessous de $\;212\,kHz$ ${\big$théoriquement hors de la zone absorbante supérieure mais considéré comme étant néanmoins absorbé${\big )}$, ci-contre à gauche observation de l'harmonique de rang$\;7\;$ très légèrement distordu $\;{\big \$distorsions $\;{\big$inobservables sur la figure de gauche mais légèrement perceptibles sur celle de droite${\big )}\;$ dues à la « présence très atténuée des harmoniques de rangs $\;5\;$ et $\;9\;$»${\big \}$ simultanément avec le signal d'entrée créneau de fréquence $\;23,1\;kHz\;$ et ci-contre à droite observation de l'harmonique de rang$\;7\;$ très légèrement distordu avec une croissance de sensibilité d'un facteur $\;7\;$ permettant d'observer la très légère distorsion mais sans représentation simultanée du signal d'entrée créneau de fréquence $\;23,1\;kHz\;$ ;
                                                          $\blacktriangleright \;$pour les harmoniques de rang supérieur, la distorsion va être lentement croissante en effet $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ si on souhaite observer l'harmonique de rang $\;2\;n+1\;$ on choisit la fréquence $\;f\;$ du signal créneau telle que «$\;(2\;n+1)\;f=$ $162\;kHz\;$ $\Leftrightarrow$ $\;f={\dfrac {162}{2\;n+1}}\;kHz\;$» dont on déduit que les harmoniques immédiatement voisins $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ de rang $\;2\;n-1\;$ de fréquence «$\;(2\;n-1)\;f={\dfrac {2\;n-1}{2\;n+1}}\;162\;kHz=$ $\left(1-{\dfrac {2}{2\;n+1}}\right)\,162\;kHz\;$» et $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ de rang $\;2\;n+3\;$ de fréquence «$\;(2\;n+3)\;f={\dfrac {2\;n+3}{2\;n+1}}\;162\;kHz=$ $\left(1+{\dfrac {2}{2\;n+1}}\right)\,162\;kHz\;$» $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ vont être de fréquence pénétrant d'autant plus dans les zones non absorbantes entourant la zone passante que $\;n\;$ est grand et $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ donc contribuer d'autant plus à la distorsion de l'harmonique de rang $\;2\;n+1\;$ ${\big \$le gain en dB appliqué aux harmoniques de rangs $\;2\;n-1\;$ et $\;2\;n+3$, $\;\nearrow \;$ légèrement avec $\;n$, leur fréquence se rapprochant lentement de $\;f_{0}{\big \}$ mais $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ l'amplitude des harmoniques d'un créneau, en étant $\;\propto \;$ à l'inverse de leur rang, est légèrement $\;\searrow \;$ avec $\;n\;$ ce qui ralentit l'effet de distorsion due à la $\;\nearrow \;$ du gain en dB appliqué aux harmoniques de rangs $\;2\;n-1\;$ et $\;2\;n+3\;$ d'où $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ une distorsion simplement « lentement croissante avec $\;n\;$» ;
                                                          $\blacktriangleright \;$$\;\ldots$
$\blacktriangleright \;$l'harmonique de rang$\;19\;$ si «$\;19\;f\in \left[161,6\,kHz\;;\;162,4\,kHz\right]\;$ $\Leftrightarrow$ $\;f\in \left[{\dfrac {161,6\,kHz}{19}}\simeq 8,51\,kHz\;;\;{\dfrac {162,4\,kHz}{19}}\simeq 8,55\,kHz\right]\;$» $\Rightarrow$ celui de rang $\;17\;$ dont la fréquence vérifie l'encadrement «$\;17\;f\in \left[144,6\,kHz\;;\;145,3\,kHz\right]\;$» étant au-dessus de $\;112\,kHz\;$ ${\big$hors de la zone absorbante inférieure${\big )}\;$ et celui de rang $\;21\;$ de fréquence «$\;21\;f\in \left[178,6\,kHz\;;\;179,5\,kHz\right]\;$» étant au-dessous de $\;212\,kHz$ ${\big$hors de la zone absorbante supérieure${\big )}$, ci-contre à gauche observation de l'harmonique de rang$\;19\;$ très légèrement distordu $\;{\big \$distorsions $\;{\big$inobservables sur la figure de gauche mais perceptibles sur celle de droite${\big )}\;$ dues à la « présence atténuée des harmoniques de rangs $\;17\;$ et $\;21\;$»${\big \}$ simultanément avec le signal d'entrée créneau de fréquence $\;8,53\;kHz\;$ et ci-contre à droite observation de l'harmonique de rang$\;19\;$ légèrement distordu avec une croissance de sensibilité d'un facteur $\;16\;$ permettant d'observer la légère distorsion mais sans représentation simultanée du signal d'entrée créneau de fréquence $\;8,53\;kHz\;$.
Remarque : pour déterminer la limite théorique du « sélectionneur d'harmonique de rang $\;2\,p+1,\;\;p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}\;$ d'un créneau symétrique » sans avoir à les essayer tous, nous pouvons admettre que Remarque : pour déterminer la limite théorique « la sélection cessera si les harmoniques de rang $\;2\,p-1\;$ et $\;2\,p+1\;$ sont séparés de moins de $\;49,6\,kHz\;$ » soit «$\;(2\,p+1)\;f-(2\,p-1)\;f=$ $49,6\;kHz\;$» donnant «$\;f=24,8\,kHz\;$ avec $\;(2\,p+1)\,f=161,6\,kHz\;$ » soit finalement «$\;2\,p+1={\dfrac {161,6}{24,8}}\simeq 6,52\;$» établissant que Remarque : pour déterminer la limite théorique « le 1er harmonique théoriquement non sélectionnable est celui de rang $\;7\;$», « le dernier sélectionnable étant celui de rang $\;5\;$» $\ldots \;$ Remarque : Ainsi on peut théoriquement sélectionner les harmoniques d'un créneau jusqu'au rang $\;5\;$ inclus à condition que leur amplitude soit « acceptable ».

## Établissement du gabarit d'un 2ème ordre du type « réponse en charge d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante », condition pour l'utiliser en moyenneur ou double intégrateur
### Cahier des charges d'un passe-bas du 2ème ordre (traité sur un exemple)

On cherche à réaliser le filtrage passe-bas suivant :
* les fréquences jusqu'à $\;1,9\;kHz\;$ doivent passer à travers le filtre sans être amplifiées et ne pas être atténuées de plus de $\;3\,dB$,
* les fréquences supérieures à $\;6,2\;kHz\;$ doivent être filtrées et atténuées d'au moins $\;20\,dB$.

### Choix de l'ordre du filtre sur l'exemple précédent

On le détermine en « calculant la pente nécessaire dans la zone de transition », la valeur absolue de celle-ci donnant un minorant de la pente nécessaire dans la zone absorbante $\;{\big$voir exemple ci-contre${\big )}$ ;
dans la zone de transition on passe « de $\;f_{p}=1,9\;kHz\;$ à $\;f_{a}=6,2\;kHz\;$» soit «$\;\log \!\left({\dfrac {f_{a}}{f_{p}}}\right)=\log \!\left({\dfrac {6,2}{1,9}}\right)\simeq 0,51\;{\text{décade}}\;$ associée à une chute de $\;20-3=17\;dB\;$» $\Rightarrow$ « une pente dans cette zone intermédiaire de $\;{\dfrac {-17\;dB}{0,51\;{\text{décade}}}}\simeq$ $-33,3\;dB/{\text{décade}}\;$»
$\;-40\;dB/{\text{décade}}\;$
$\;R\,L\,C\;$

### Choix des caractéristiques du filtre (c.-à-d., dans le cas présent, de sa fréquence propre et de son facteur de qualité) pour l'exemple précédent

Compte-tenu de la valeur $\;f_{p}=1,9\;kHz\;$ avec $\;G_{dB,\,{\text{sup}}}=-3\,dB$, la fréquence de coupure à $\;-3\;dB$, $\;f_{c}\;$ doit vérifier «$\;f_{c}\gtrsim f_{p}\;$» ;
compte-tenu de la valeur $\;f_{a}=6,2\;kHz\;$ avec $\;G_{dB,\,{\text{inf}}}=-20\,dB$, la fréquence de coupure à $\;-3\;dB$, $\;f_{c}\;$ doit vérifier «$\;f_{c}\lesssim {\dfrac {f_{a}}{3,16}}\;$» $\;{\bigg \$en effet l'abscisse de la droite de pente $\;-40\;dB/{\text{décade}}\;$ passant par le point $\;\left(f_{a}=6,2\,kHz\;,\,G_{dB,\,{\text{inf}}}=-20\,dB\right)\;$ est séparé de $\;f_{a}=6,2\,kHz\;$ de $\;{\dfrac {-20\,dB}{-40\,dB/{\text{décade}}}}$ $\simeq 0,5\,{\text{décade}}\;$ soit un rapport entre l'abscisse cherchée et $\;f_{a}=6,2\,kHz\;$ de $\;10^{0,5}\simeq 3,16{\bigg \}$.
$\;-3\;dB\;$
$\;f_{p}=1,9\;kHz\lesssim f_{c}\lesssim {\dfrac {f_{a}}{3,16}}={\dfrac {6,2\;kHz}{3,16}}\simeq 1,96\;kHz\;$
pour obtenir un passe-bas il faut que le facteur de qualité $\;Q\;$ ne soit pas trop élevé et le choix de «$\;Q\leqslant {\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\simeq 0,707\;$ correspondra à un passe-bas sans résonance ».

### Choix des éléments constitutifs du filtre sur l'exemple précédent

On choisit donc un «$\;R\,L\,C\;$ série » avec « sortie aux bornes de $\;C\;$», tel que la fréquence de coupure à $\;-3\;dB$, $\;f_{c}\;{\underset {\sim }{\in }}\;\left[1,9\;kHz\;;\;1,96\;kHz\right]\;$ et le facteur de qualité $\;Q\in \left]0\;;\;{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\simeq 0,707\right]$ ;
si nous choisissons la plus grande valeur du facteur de qualité compatible avec l'encadrement précédent c.-à-d. «$\;Q={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\simeq 0,707\;$», la fréquence de coupure à $\;-3\;dB\;$ se confond alors avec la fréquence propre c.-à-d. «$\;f_{c}=f_{0}={\dfrac {1}{2\,\pi \,{\sqrt {L\;C}}}}\;$» ${\Bigg \$en effet « la fonction de transfert $\;{\underline {A}}(j\,f)={\dfrac {1}{1-{\dfrac {f^{2}}{f_{0}^{2}}}+j\,{\dfrac {f}{Q\,f_{0}}}}}\;$ se réécrit $\;{\underline {A}}_{\left(\!Q\,=\,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\right)}(j\,f)={\dfrac {1}{1-{\dfrac {f^{2}}{f_{0}^{2}}}+j\,{\sqrt {2}}\,{\dfrac {f}{f_{0}}}}}\;$» $\Rightarrow$ « un gain $\;G_{\left(\!Q\,=\,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\right)}(f)$ $={\dfrac {1}{\sqrt {\left(1-{\dfrac {f^{2}}{f_{0}^{2}}}\right)^{\!\!2}+2\,{\dfrac {f^{2}}{f_{0}^{2}}}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {1+{\dfrac {f^{4}}{f_{0}^{4}}}}}}\;$» d'où, « par définition de la fréquence de coupure à $\;-3\;dB$, $\;G_{\left(\!Q\,=\,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\right)}(f_{c})={\dfrac {G_{\left(\!Q\,=\,{\frac {1}{\sqrt {2}}},\,{\text{max}}\!\right)}}{\sqrt {2}}}\;$», l'équation «$\;{\dfrac {1}{\sqrt {1+{\dfrac {f_{c}^{4}}{f_{0}^{4}}}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;f_{c}=f_{0}\;$»${\Bigg \}$ ;
ainsi « pour $\;Q={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;$», nous en déduisons un encadrement pour la fréquence propre «$\;1,9\,kHz\lesssim f_{0}={\dfrac {1}{2\,\pi \,{\sqrt {L\;C}}}}\lesssim 1,96\,kHz\;$» soit, en inversant et divisant tous les membres par $\;2\,\pi \;$ et en élevant au carré après rétablissement en unités S.I., «$\;{\dfrac {1}{\left(1,96\;10^{3}\times 2\,\pi \right)^{2}}}\lesssim L\;C\lesssim {\dfrac {1}{\left(1,9\;10^{3}\times 2\,\pi \right)^{2}}}\;$» ou encore «$\;6,59\;10^{-9}\;s^{2}\lesssim L\;C\lesssim 7,02\;10^{-9}\;s^{2}\;$» ; ainsi « pour $\;\color {transparent}{Q={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}}\;$», nous pouvons, par exemple, choisir $\;\succ \;$ «$\;L=100\;mH\;$ et $\;66\;nF\lesssim C\lesssim 70\;nF\;$» ou  ainsi « pour $\;\color {transparent}{Q={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}}\;$», nous pouvons, par exemple, choisir $\;\succ \;$ «$\;L=10\;mH\;$ et $\;0,66\;\mu F\lesssim C\lesssim 0,70\;\mu F\;$» ou encore  ainsi « pour $\;\color {transparent}{Q={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}}\;$», nous pouvons, par exemple, choisir $\;\succ \;$ «$\;L=1\;mH\;$ et $\;6,6\;\mu F\lesssim C\lesssim 7,0\;\mu F\;$» $\;\ldots$
Le facteur de qualité permet de choisir $\;R\;$ par l'intermédiaire $\;Q={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}={\dfrac {L\;\omega _{0}}{R}}={\dfrac {L\;2\,\pi \;f_{0}}{R}}\;$ soit «$\;R={\dfrac {L\;2\,\pi \;f_{0}}{Q}}=L\;2\,{\sqrt {2}}\,\pi \;f_{0}\;$» donnant,
$\;L=100\,mH\;$
$\;C=70\;nF$
$\;R=0,1\times 2\times {\sqrt {2}}\times \pi \times 1,9\;10^{3}\simeq 1,69\,10^{3}\;\Omega \;$
$\;R\simeq 1,69\;k\Omega \;$
nous vérifions alors que le gain en dB pour $\;f_{p}=f_{c}=1,9\;kHz\;$ vaut «$\;G_{dB}(f_{p})=-3\,dB=G_{dB,\,{\text{max}}}\;$» ainsi que nous vérifions alors que le gain en dB pour $\;f_{a}=6,2\;kHz\;$ vaut «$\;G_{dB}(f_{a})=-10\,\log \!\left[1+{\dfrac {f_{a}^{4}}{f_{0}^{4}}}\right]=-10\,\log \!\left[1+{\dfrac {(6,2)^{4}}{(1,9)^{4}}}\right]\simeq -20,6\,dB\;$» effectivement tel que nous vérifions alors que le gain en dB pour $\;\color {transparent}{f_{a}=6,2\;kHz}\;$ vaut «$\;G_{dB}(f_{a})\simeq -20,6\,dB\lesssim -20\,dB=G_{dB,\,{\text{inf}}}\;$».
Remarque : un facteur de qualité strictement inférieur à $\;{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;$ pourrait être envisagé mais la condition portant sur la fréquence de coupure à $\;-3\;dB$ $\;{\big$qui ne s'identifie plus avec la fréquence propre${\big )}\;$ nécessiterait de déterminer l'« expression de $\;f_{c}\;$ en fonction de $\;f_{0}\;$ et $\;Q\;$» pour en déduire un encadrement sur $\;f_{0}\;$ compte-tenu de la valeur de $\;Q\;$ souhaitée $\;\ldots \;$ la fin serait alors identique à celle présentée ci-dessus.

### Condition pour utiliser le filtre comme double intégrateur ou moyenneur sur l'exemple précédent

Le filtre se comportera comme un « double intégrateur » si les harmoniques d'un signal d'entrée à valeur moyenne nulle sont tous dans la zone double-intégrative à savoir $\;f\gtrsim 10\;f_{c}\;$ ${\big \$le choix d'une fréquence propre égale à $\;f_{0}=1,9\;kHz$, donne une zone double-intégrative $\;\left[19\;kHz\;,\;+\infty \right[\;$ mais le « signal ne sera réellement bi-intégré que s'il est d'amplitude notable »${\big \}$,
* ci-contre à gauche où le signal d'entrée est un créneau d'amplitude $\;1\;V$, de fréquence $\;f=19\;kHz\;$ et le signal de sortie $\;{\big$inobservable sans effet de loupe${\big )}\;$ est une succession de portions paraboliques de concavités inversées, correspondant aux deux intégrations successives du signal créneau,
* ci-contre à droite, avec la même amplitude du signal d'entrée créneau de $\;1\;V$, le signal de sortie attendu “ succession de portions paraboliques de concavités inversées ” en absence de parasites et avec un facteur de loupe de $\;80$, l'amplitude du signal de sortie de $\;12\;mV\;$ étant de même ordre de grandeur que celle des parasites ;
autre exemple d'utilisation de la double intégration d'un signal d'entrée construit en simulant la dérivation temporelle d'un créneau d'amplitude $\;U_{m}\;$ à savoir « deux pics de Dirac d'impulsion $\;2\;U_{m}\;$ inversés séparés de $\;{\dfrac {T}{2}}\;$» de fréquence $\;f=19\;kHz$ :
* ci-contre à gauche, le signal d'entrée “ répétition périodique des deux pics de Dirac d'impulsion $\;2\;U_{m}\;$ inversés séparés de $\;{\dfrac {T}{2}}\;$” avec superposition du signal de sortie peu visible sans effet de loupe car d'amplitude trop faible et
* ci-contre à droite, avec la même amplitude du signal d'entrée “ répétition périodique des deux pics de Dirac d'impulsion $\;2\;U_{m}\;$ inversés séparés de $\;{\dfrac {T}{2}}\;$” que celle du signal d'entrée présentée dans la figure de gauche, le signal de sortie triangulaire attendu après une double intégration du signal d'entrée ” en absence de parasites et avec un facteur de loupe de $\;100$, l'amplitude du signal de sortie de $\;11\;mV\;$ étant de même ordre de grandeur que celle des parasites ;
le filtre agissant sur un signal d'entrée à valeur moyenne non nulle laissera passer sans atténuation la composante permanente de ce signal $\;{\big$le filtre étant un passe-bas${\big )}\;$ et, dans la mesure où les autres harmoniques du signal d'entrée seraient tous dans la zone double-intégrative à savoir $\;f\gtrsim 10\;f_{c}$, il devrait se comporter comme un « double-intégrateur à composante permanente » $\;\ldots \;$ à condition que « l'amplitude de harmoniques doublement intégrés soit de valeur notable » voir
* ci-contre à gauche où le signal d'entrée créneau est d'amplitude $\;10\,V\;$ avec une composante permanente de $\;0,5\,V\;$ et le signal de sortie est une succession de portions paraboliques de concavités inversées avec une composante permanente de $\;0,5\,V\;$ et
* ci-contre à droite, avec la même amplitude du signal d'entrée créneau de $\;10\;V\;$ et la même composante permanente de $\;0,5\,V$, le signal de sortie attendu “ succession de portions paraboliques de concavités inversées ” en absence de parasites et avec un facteur de loupe de $\;80$, le signal de sortie décalé de la composante permanente de $\;500\,mV$ étant d'amplitude $\;120\;mV\;$ est telle que l'ajout physique $\;{\big$incontournable${\big )}\;$ des parasites devient nettement moins gênant.
Le filtre agissant sur un signal d'entrée à valeur moyenne non nulle laissant passer sans atténuation la composante permanente de ce signal, se comportera comme un « moyenneur$\;{\big$à composante permanente${\big )}\;$» si les autres harmoniques du signal d'entrée sont tous dans la zone double-intégrative mais tels que $\succ \;$« la fréquence du signal d'entrée soit suffisamment éloignée de la borne inférieure » ou que $\succ \;$« l'amplitude de variation du signal d'entrée ne soit pas trop grande » de façon à ce que l'amplitude des formes bi-intégrées des harmoniques de rang non nul soit trop petite pour être observée voir
* ci-dessous à droite l'oscillogramme avec signal d'entrée et signal de sortie alors que
* ci-dessous à gauche le signal de sortie est représenté seul avec une même sensibilité permettant d'observer la composante permanente, le calcul étant fait en ignorant l'ajout des inévitables parasites $\;\ldots$

## Établissement du gabarit d'un 2ème ordre du type « réponse en tension aux bornes de la bobine parfaite d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante », condition pour l'utiliser en double dérivateur

Le 2ème ordre du type « réponse en tension aux bornes de la bobine parfaite d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension d'amplitude constante » a d'abord été introduit dans l'exercice « réponse en tension aux bornes de la bobine (parfaite) d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable, lien avec la réponse en tension aux bornes du condensateur » de la série $4$ dans le cadre de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » avant d'être prolongé dans le paragraphe « définition d'une fonction de transfert du 2ème ordre “ du type réponse en u$_L$ d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable ” pour la fonction de transfert “ amplification complexe en tension ” » du chap.$7$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » mais il n'est pas explicitement inscrit dans le programme de physique de PCSI $\;\ldots$

### Cahier des charges d'un passe-haut du 2ème ordre (traité sur un exemple)

On cherche à réaliser le filtrage passe-haut suivant :
* les fréquences jusqu'à $\;1,9\;kHz\;$ doivent être filtrées et atténuées d'au moins $\;20\,dB$,
* les fréquences supérieures à $\;6,2\;kHz\;$ doivent passer à travers le filtre sans être amplifiées et ne pas être atténuées de plus de $\;3\,dB$.

### Choix de l'ordre du filtre sur l'exemple précédent

On le détermine en « calculant la pente nécessaire dans la zone de transition », la valeur absolue de celle-ci donnant un minorant de la pente nécessaire dans la zone absorbante $\;{\big$voir exemple ci-contre${\big )}$ ;
dans la zone de transition on passe « de $\;f_{a}=1,9\;kHz\;$ à $\;f_{p}=6,2\;kHz\;$» soit «$\;\log \!\left({\dfrac {f_{p}}{f_{a}}}\right)=\log \!\left({\dfrac {6,2}{1,9}}\right)\simeq 0,51\;{\text{décade}}\;$ associée à une chute de $\;20-3=17\;dB\;$» $\Rightarrow$ « une pente dans cette zone intermédiaire de $\;{\dfrac {17\;dB}{0,51\;{\text{décade}}}}\simeq$ $33,3\;dB/{\text{décade}}\;$» d'où
$\;+40\;dB/{\text{décade}}\;$
$\;u_{L}\;$
$\;R\,L\,C\;$

### Choix des caractéristiques du filtre (c.-à-d., dans le cas présent, de sa fréquence propre et de son facteur de qualité) pour l'exemple précédent

Compte-tenu de la valeur $\;f_{p}=6,2\;kHz\;$ avec $\;G_{dB,\,{\text{sup}}}=-3\,dB$, la fréquence de coupure à $\;-3\,dB$, $\;f_{c}\;$ doit vérifier «$\;f_{c}\lesssim f_{p}\;$» ;
compte-tenu de la valeur $\;f_{a}=1,9\;kHz\;$ avec $\;G_{dB,\,{\text{inf}}}=-20\,dB$, la fréquence de coupure à $\;-3\,dB$, $\;f_{c}\;$ doit vérifier «$\;f_{c}\gtrsim {\dfrac {f_{a}}{0,316}}\;$» $\;{\bigg \$en effet l'abscisse de la droite de pente $\;+40\;dB/{\text{décade}}\;$ passant par le point $\;\left(f_{a}=1,9\,kHz\;,\,G_{dB,\,{\text{inf}}}=-20\,dB\right)\;$ est séparé de $\;f_{a}=1,9\,kHz\;$ de $\;{\dfrac {-20\,dB}{+40\,dB/{\text{décade}}}}$ $\simeq -0,5\,{\text{décade}}\;$ soit un rapport entre l'abscisse cherchée et $\;f_{a}=1,9\,kHz\;$ de $\;10^{-0,5}\simeq 0,316{\bigg \}$.
$\;-3\;dB\;$
$\;{\dfrac {f_{a}}{0,316}}={\dfrac {1,9\;kHz}{0,316}}\simeq 6,0\;kHz\lesssim f_{c}\lesssim f_{p}=6,2\;kHz\;$
pour obtenir un passe-haut il faut que le facteur de qualité $\;Q\;$ ne soit pas trop élevé et le choix de «$\;Q\leqslant {\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\simeq 0,707\;$ correspondra à un passe-haut sans résonance ».

### Choix des éléments constitutifs du filtre sur l'exemple précédent

On choisit donc un «$\;R\,L\,C\;$ série » avec « sortie aux bornes de $\;L\;$», tel que la fréquence de coupure à $\;-3\;dB$, $\;f_{c}\;{\underset {\sim }{\in }}\;\left[6,0\;kHz\;;\;6,2\;kHz\right]\;$ et le facteur de qualité $\;Q\in \left]0\;;\;{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\simeq 0,707\right]$ ;
si nous choisissons la plus grande valeur du facteur de qualité compatible avec l'encadrement précédent c.-à-d. «$\;Q={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\simeq 0,707\;$», la fréquence de coupure à $\;-3\;dB\;$ se confond alors avec la fréquence propre c.-à-d. «$\;f_{c}=f_{0}={\dfrac {1}{2\,\pi \,{\sqrt {L\;C}}}}\;$» ${\Bigg \$en effet « la fonction de transfert $\;{\underline {A}}(j\,f)={\dfrac {-{\dfrac {f^{2}}{f_{0}^{2}}}}{1-{\dfrac {f^{2}}{f_{0}^{2}}}+j\,{\dfrac {f}{Q\,f_{0}}}}}\;$ se réécrit $\;{\underline {A}}_{\left(\!Q\,=\,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\right)}(j\,f)={\dfrac {-{\dfrac {f^{2}}{f_{0}^{2}}}}{1-{\dfrac {f^{2}}{f_{0}^{2}}}+j\,{\sqrt {2}}\,{\dfrac {f}{f_{0}}}}}\;$» $\Rightarrow$ « un gain $\;G_{\left(\!Q\,=\,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\right)}(f)$ $={\dfrac {\dfrac {f^{2}}{f_{0}^{2}}}{\sqrt {\left(1-{\dfrac {f^{2}}{f_{0}^{2}}}\right)^{\!\!2}+2\,{\dfrac {f^{2}}{f_{0}^{2}}}}}}={\dfrac {\dfrac {f^{2}}{f_{0}^{2}}}{\sqrt {1+{\dfrac {f^{4}}{f_{0}^{4}}}}}}\;$» d'où, « par définition de la fréquence de coupure à $\;-3\;dB$, $\;G_{\left(\!Q\,=\,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\right)}(f_{c})={\dfrac {G_{\left(\!Q\,=\,{\frac {1}{\sqrt {2}}},\,{\text{max}}\!\right)}}{\sqrt {2}}}\;$», l'équation «$\;{\dfrac {1}{\sqrt {1+{\dfrac {f_{0}^{4}}{f_{c}^{4}}}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;f_{c}=f_{0}\;$»${\Bigg \}$ ;
ainsi « pour $\;Q={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;$», nous en déduisons un encadrement pour la fréquence propre «$\;6,0\,kHz\lesssim f_{0}={\dfrac {1}{2\,\pi \,{\sqrt {L\;C}}}}\lesssim 6,2\,kHz\;$» soit, en inversant et divisant tous les membres par $\;2\,\pi \;$ et en élevant au carré après rétablissement en unités S.I., «$\;{\dfrac {1}{\left(6,2\;10^{3}\times 2\,\pi \right)^{2}}}\lesssim L\;C\lesssim {\dfrac {1}{\left(6,0\;10^{3}\times 2\,\pi \right)^{2}}}\;$» ou encore «$\;6,59\;10^{-10}\;s^{2}\lesssim L\;C\lesssim 7,04\;10^{-10}\;s^{2}\;$» ; ainsi « pour $\;\color {transparent}{Q={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}}\;$», nous pouvons, par exemple, choisir $\;\succ \;$ «$\;L=100\;mH\;$ et $\;6,6\;nF\lesssim C\lesssim 7,0\;nF\;$» ou  ainsi « pour $\;\color {transparent}{Q={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}}\;$», nous pouvons, par exemple, choisir $\;\succ \;$ «$\;L=10\;mH\;$ et $\;66\;nF\lesssim C\lesssim 70\;nF\;$» ou encore  ainsi « pour $\;\color {transparent}{Q={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}}\;$», nous pouvons, par exemple, choisir $\;\succ \;$ «$\;L=1\;mH\;$ et $\;0,66\;\mu F\lesssim C\lesssim 0,70\;\mu F\;$» $\;\ldots$
Le facteur de qualité permet de choisir $\;R\;$ par l'intermédiaire $\;Q={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}={\dfrac {L\;\omega _{0}}{R}}={\dfrac {L\;2\,\pi \;f_{0}}{R}}\;$ soit «$\;R={\dfrac {L\;2\,\pi \;f_{0}}{Q}}=L\;2\,{\sqrt {2}}\,\pi \;f_{0}\;$» donnant,
$\;L=100\,mH\;$
$\;C=7,0\;nF$
$\;R=0,1\times 2\times {\sqrt {2}}\times \pi \times 6,2\;10^{3}\simeq 5,51\,10^{3}\;\Omega \;$
$\;R\simeq 5,51\;k\Omega \;$
nous vérifions alors que le gain en dB pour $\;f_{p}=f_{c}=6,2\;kHz\;$ vaut «$\;G_{dB}(f_{p})=-3\,dB=G_{dB,\,{\text{max}}}\;$» ainsi que nous vérifions alors que le gain en dB pour $\;f_{a}=1,9\;kHz\;$ vaut «$\;G_{dB}(f_{a})=-10\,\log \!\left[1+{\dfrac {f_{0}^{4}}{f_{a}^{4}}}\right]=-10\,\log \!\left[1+{\dfrac {(6,2)^{4}}{(1,9)^{4}}}\right]\simeq -20,6\,dB\;$» effectivement tel que nous vérifions alors que le gain en dB pour $\;\color {transparent}{f_{a}=6,2\;kHz}\;$ vaut «$\;G_{dB}(f_{a})\simeq -20,6\,dB\lesssim -20\,dB=G_{dB,\,{\text{inf}}}\;$».
Remarque : un facteur de qualité strictement inférieur à $\;{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;$ pourrait être envisagé mais la condition portant sur la fréquence de coupure à $\;-3\;dB$ $\;{\big$qui ne s'identifie plus avec la fréquence propre${\big )}\;$ nécessiterait de déterminer l'« expression de $\;f_{c}\;$ en fonction de $\;f_{0}\;$ et $\;Q\;$» pour en déduire un encadrement sur $\;f_{0}\;$ compte-tenu de la valeur de $\;Q\;$ souhaitée $\;\ldots \;$ la fin serait alors identique à celle présentée ci-dessus.

### Condition pour l'utiliser comme double dérivateur

Le filtre se comportera comme un « double-dérivateur » si les 1$^{ers}$ harmoniques qui importent pour construire le signal doublement dérivé d'un signal d'entrée à valeur moyenne nulle sont tous dans la zone double-dérivative c.-à-d. «$\;n_{\text{min construct. dble dérivé}}\;f\lesssim {\dfrac {f_{c}}{10}}\;$» ou «$\;f\lesssim {\dfrac {f_{c}}{10\;n_{\text{min construct. dble dérivé}}}}\;$» ${\big \$le choix d'une fréquence de coupure à $\;-3\;dB\;$ égale à $\;f_{c}\simeq 6,2\;kHz$, donne une zone double-dérivative $\;\left[0\;,\;620\;Hz\right]\;$ mais le « signal ne sera réellement doublement dérivé que s'il est d'amplitude notable $\;{\big$le plus souvent trop grande pour aboutir à une observation${\big )}\;$»${\big \}$,
* ci-contre à gauche le signal de sortie avec un signal d'entrée formé de portions paraboliques à concavités opposées séparées de $\;{\dfrac {T}{2}}\;$ de $\;10\;V\;$ d'amplitude et de fréquence $\;f=20\;Hz\;$ est inobservable car son amplitude théorique serait de l'ordre de $\;100\;\mu V\;$ largement inférieure à celle des parasites,
* ci-contre à droite le signal de sortie calculé en absence de parasites et représenté seul avec un facteur de loupe de $\;100000$ ;
en pratique, la condition de fréquence imposée au signal d'entrée pour réaliser une double-dérivation est beaucoup trop stricte, il suffit de constater que en pratique l'harmonique fondamental est dans la zone double-dérivative c.-à-d. «$\;f\lesssim {\dfrac {f_{c}}{10}}\;$», en pratique les harmoniques suivants du signal doublement dérivé de rang «$\;2\;p+1\leqslant n_{\text{min construct. dble dérivé}}$, $\;p\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\;$» étant dans la zone intermédiaire tels que «$\;\left(2\,p+1\right)\,f\gtrsim {\dfrac {f_{c}}{10}}\;$» et subissant donc une double-dérivation imparfaite voir l'exemple
* ci-contre à gauche avec un signal d'entrée biparabolique à concavités opposées séparées de $\;{\dfrac {T}{2}}\;$ de fréquence $\;f=600\,Hz$ $\simeq {\dfrac {f_{0}}{10}}\;$ et d'amplitude $\;10\,V\;$ dans lequel la variation du signal de sortie est peu visible et
* ci-contre à droite, avec le même signal d'entrée biparabolique à concavités opposées séparées de $\;{\dfrac {T}{2}}\;$ de fréquence $\;f=600\,Hz\;$ et d'amplitude $\;10\,V$, le signal de sortie calculé en absence de parasites étant représenté seul avec un facteur de loupe de $\;100$, l'amplitude calculée du signal de sortie étant $\;\simeq 80\,mV\;$ ;
autre exemple d'utilisation de la double dérivation d'un signal d'entrée montrant le caractère beaucoup trop strict de la condition de fréquence imposée à ce dernier pour réaliser la double-dérivation d'un signal triangulaire d'amplitude égale à $\;10\,V$, cette condition de fréquence $\;{\big$beaucoup trop stricte${\big )}\;$ serait «$\;f_{\text{max pour dble dériv}}=$ ${\dfrac {f_{c}}{10\;n_{\text{min construct. dble dérivé}}}}={\dfrac {6,2\,10^{3}}{10\times 300}}\simeq 2,0\,Hz\;$» alors que la condition de fréquence moins stricte «$\;f_{\text{max pour dble dériv prat}}$ $\simeq 60,0\,Hz\;$» suffit $\;{\big \$correspondant aux seuls harmoniques de rang $\;<\;$ à $\;10\;$ dans la zone double-dérivative${\big \}$,
* ci-contre à gauche un signal d'entrée triangulaire de fréquence $\;f=$ $60\,Hz\;$ et d'amplitude $\;10\,V\;$ avec un faible signal de sortie à peine observable et
* ci-contre à droite, avec le même signal d'entrée triangulaire de fréquence $\;f=$ $60\,Hz\;$ et d'amplitude $\;10\,V$, le signal de sortie calculé en absence de parasites représenté seul avec un facteur de loupe de $\;200$, l'amplitude calculée du signal étant $\;\simeq 50\,mV\;$.

## En complément, établissement du gabarit d'un 2ème ordre du type « réponse en tension aux bornes de l'ensemble bobine parfaite et condensateur d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante », condition pour l'utiliser en réjecteur d'un harmonique
### Cahier des charges d'un réjecteur de fréquences (traité sur un exemple)

On cherche à réaliser le filtrage coupe-bande suivant :
* les fréquences inférieures à $\;112\;kHz\;$ et supérieures à $\;212\;kHz\;$ doivent passer à travers le filtre et ne pas être atténuées de plus de $\;3\,dB$,
* les fréquences entre $\;161,6\;kHz\;$ et $\;162,4\;kHz\;$ doivent être filtrées et atténuées d'au moins $\;40\,dB$.

### Choix des caractéristiques du filtre (c.-à-d., dans le cas présent, de sa fréquence d'antirésonance et de sa bande non passante à -3dB) pour l'exemple précédent

La « fréquence centrale étant la fréquence d'antirésonance $\;f_{0}=162,0\;kHz\;$», les « fréquences de coupure à $\;-3\;dB\;$ basse et haute doivent être respectivement $\;<\;$ à $\;f_{p}^{-}=112\;kHz\;$ et $\;>\;$ à $\;f_{p}^{+}=212\;kHz\;$», la « bande non passante à $\;-3\;dB\;$ étant donc $\;>\;$ à $\;f_{p}^{+}-f_{p}^{-}=$ $100\;kHz\;$», l'« acuité de l'antirésonance doit être $\;<\;$ à $\;{\dfrac {f_{0}}{f_{p}^{+}-f_{p}^{-}}}$ $={\dfrac {162,0}{100}}\simeq 1,62\;$» c.-à-d. «$\;Q\lesssim 1,62\;$»$^,$ ;
« le gain en dB sur la plage absorbante devant être $\;\lesssim \;$ à $\;-40\,dB\;$», on en déduit que «$\;G_{dB}(f_{0})\;$ est nécessairement $\;\lesssim \;$ à $\;-40\,dB\;$», on affine ce gain en admettant une chute supplémentaire de $\;3\,dB\;$ soit «$\;G_{dB}(f_{0})\lesssim -43\,dB\;$» ou «$\;\log \!\left[G(f_{0})\right]\lesssim {\dfrac {-43}{20}}=-2,15\;$» soit «$\;G(f_{0})\lesssim 10^{-2,15}\simeq 7,1\;10^{-3}\;$» ou encore «$\;G_{0}\;\vert \alpha \vert \;Q\lesssim 7,1\;10^{-3}\;$» ;
en conclusion le facteur de qualité du filtre doit satisfaire «$\;Q\lesssim 1,62\;$» et en conclusion le cœfficient $\;\alpha \;$ associé au facteur de qualité en conclusion le facteur de qualité du filtre doit satisfaire «$\;\vert \alpha \vert \;Q\lesssim 7,1\;10^{-3}\;$ si $\;G_{0}=1\;$».

### Choix des éléments constitutifs du filtre sur l'exemple précédent

On choisit, comme 2ème ordre, un «$\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » avec « sortie ouverte aux bornes de l'ensemble “ bobine réelle $\;{\bigr\,L\;$ série${\big )}$ – condensateur ”, $\;r\simeq 10\;\Omega \;$ étant la résistance de la bobine réelle », d'amplification complexe en tension sous forme canonique usuelle «$\;{\underline {A_{r\,L\,C\,{\text{série}}}}}(j\,\omega )={\dfrac {1-L\,C\,\omega ^{2}+j\,r\,C\,\omega }{1-L\,C\,\omega ^{2}+j\,R\,C\,\omega }}\;$» dont on déduit :
* la fréquence propre $\;{\big$d'antirésonance${\big )}\;$ vaut $\;f_{0}={\dfrac {1}{2\,\pi \,{\sqrt {L\;C}}}}=162\,kHz\;$ soit $\;L\;C={\dfrac {1}{\left(2\;\pi \times 162\,10^{3}\right)^{2}}}\simeq$ $9,65\;10^{-13}\;s^{2}$ ; on peut, par exemple, choisir $\;\succ \;$ «$\;L=100\;mH\;$ et $\;C=9,7\;pF\;$» ou on peut, par exemple, choisir $\;\succ \;$ «$\;L=10\;mH\;$ et $\;C=97\;pF\;$» ou encore on peut, par exemple, choisir $\;\succ \;$ «$\;L=1\;mH\;$ et $\;C=0,97\;nF\;$» puis
* le facteur de qualité permettant de choisir $\;R\;$ par l'intermédiaire $\;Q={\dfrac {1}{R\;C\;\omega _{0}}}={\dfrac {L\;\omega _{0}}{R}}={\dfrac {L\;2\,\pi \;f_{0}}{R}}\;$ soit $\;R={\dfrac {L\;2\,\pi \;f_{0}}{Q}}\;$ donnant, avec la condition sur l'acuité de l'antirésonance à savoir $\;Q\lesssim 1,62$, une valeur de résistance minimale «$\;R\gtrsim {\dfrac {L_{{\text{en }}\,H}\times 2\,\pi \times 162\;10^{3}}{1,62}}\simeq 6,3\;10^{5}\;L_{{\text{en }}\,H}\;$» ainsi que
* la forme canonique réduite usuelle «$\;{\underline {A_{r\,L\,C\,{\text{série}}}}}(j\,x)={\dfrac {1-x^{2}+j\,\alpha \,x}{1-x^{2}+j\,{\dfrac {x}{Q}}}}\;$ avec $\;x={\dfrac {f}{f_{0}}}\;$» et «$\;\alpha =r\;C\;\omega _{0}\;$» $\Rightarrow$ le « gain à la fréquence d'antirésonance $\;G(f_{0})={\dfrac {r}{R}}=\alpha \;Q\;$» et par suite, la réécriture de la « condition sur la profondeur du puits d'absorption $\;\vert \alpha \vert \;Q\lesssim 7,1\,10^{-3}\;$» selon «$\;G(f_{0})={\dfrac {r}{R}}\lesssim 7,1\,10^{-3}\;$» d'où «$\;R\gtrsim {\dfrac {r_{{\text{en }}\,\Omega }}{7,1\,10^{-3}}}\simeq 141\;r_{{\text{en }}\,\Omega }\simeq 1,41\,k\Omega \;$» $\;{\bigg \$cette condition sera moins stricte que celle portant sur l'acuité de l'antirésonance si «$\;6,3\;10^{5}\;L_{{\text{en }}\,H}\;$ est plus grande que $\;1,41\,k\Omega \;$» soit «$\;L_{{\text{en }}\,H}\gtrsim {\dfrac {1,41\;10^{3}}{6,3\;10^{5}}}\simeq 2,24\,10^{-3}\,H=2,24\,mH\;$»${\bigg \}$.
En conclusion on choisit, pour satisfaire la fréquence d'antirésonance et l'acuité de cette dernière ainsi que la profondeur du puits d'absorption, les valeurs suivantes
$\;L=100\,mH$
$\;C=9,7\;pF\;$
$\;R=R_{\text{min}}\simeq 6,3\;10^{5}\times 0,1\simeq 63\;k\Omega \;$
Nous vérifions que les valeurs du gain en décibels du filtre satisfont le cahier des charges pour les fréquences $\;f_{p}^{-}=112\;kHz\;$ et $\;f_{p}^{+}=212\;kHz\;$ puisqu'elles correspondent respectivement aux fréquences de coupure à $\;-3\;dB\;$ basse et haute ainsi que nous vérifions que les valeurs du gain en décibels du filtre satisfont le cahier des charges pour les fréquences $\;f_{a}^{-}=161,6\;kHz\;$ et $\;f_{a}^{+}=162,4\;kHz\;$ avec le « facteur de qualité $\;Q\simeq 1,62\;$» et l'expression du « gain en dB en fonction de la fréquence $\;G_{dB}(f)=10\,log\!\left\lbrace \left[1-\left({\dfrac {f}{f_{0}}}\right)^{\!2}\right]^{\!2}+\left({\dfrac {r}{R}}\right)^{\!2}{\dfrac {f^{2}}{Q^{2}\;f_{0}^{2}}}\right\rbrace -10\,log\!\left\lbrace \left[1-\left({\dfrac {f}{f_{0}}}\right)^{\!2}\right]^{\!2}+{\dfrac {f^{2}}{Q^{2}\;f_{0}^{2}}}\right\rbrace \;$»,
nous vérifions que $\succ \;$«$\;G_{dB}(f_{a}^{-})=10\,log\!\left\lbrace \left[1-\left({\dfrac {161,6}{162}}\right)^{\!2}\right]^{\!2}+\left({\dfrac {10}{6,3\;10^{3}}}\right)^{\!2}\left({\dfrac {161,6}{1,62\times 162}}\right)^{\!2}\right\rbrace -10\,log\!\left\lbrace \left[1-\left({\dfrac {161,6}{162}}\right)^{\!2}\right]^{\!2}+\left({\dfrac {161,6}{1,62\times 162}}\right)^{\!2}\right\rbrace$ $\simeq -41,8\,dB<-40\,dB\;$» et
nous vérifions que $\succ \;$«$\;G_{dB}(f_{a}^{+})=10\,log\!\left\lbrace \left[1-\left({\dfrac {162,4}{162}}\right)^{\!2}\right]^{\!2}+\left({\dfrac {10}{6,3\;10^{3}}}\right)^{\!2}\left({\dfrac {162,4}{1,62\times 162}}\right)^{\!2}\right\rbrace -10\,log\!\left\lbrace \left[1-\left({\dfrac {162,4}{162}}\right)^{\!2}\right]^{\!2}+\left({\dfrac {162,4}{1,62\times 162}}\right)^{\!2}\right\rbrace$ $\simeq -41,8\,dB<-40\,dB\;$»,
nous vérifions que le gain en décibels à la fréquence d'antirésonance valant «$\;G_{dB}(f_{0})=20\,\log \!\left({\dfrac {r}{R}}\right)\simeq 20\,\log \!\left({\dfrac {10}{6,3\;10^{3}}}\right)\simeq -56\,dB\;$».

### Condition pour utiliser le filtre comme réjecteur d'un harmonique sur l'exemple précédent

Le filtre se comportera comme « réjecteur d'un harmonique » si les harmoniques du signal d'entrée sont la zone passante $\;{\big$à gauche et à droite${\big )}\;$ à l'exception de l'harmonique que l'on veut rejeter qui doit être dans la zone absorbante ;
* pour rejeter l'harmonique fondamental du signal d'entrée de fréquence $\;f$, il faut que la fréquence de l'harmonique fondamental soit dans la zone absorbante «$\;f\in \left[161,6\,kHz\;;\;162,4\,kHz\right]\;$» et pour rejeter l'harmonique fondamental du signal d'entrée de fréquence $\;\color {transparent}{f}$, il faut que celle de l'harmonique suivant c.-à-d. de rang $\;3\;$ soit dans la zone passante à droite «$\;3\,f\geqslant 212\,kHz\;$» réalisé ici car «$\;3\;f\in \left[3\times 161,6\,kHz\simeq 484,8\,kHz\;;\;3\times 162,4\,kHz\simeq 487,2\,kHz\right]\;$» ;
* pour rejeter l'harmonique de rang$\;3\;$ du signal d'entrée de fréquence $\;f$, il faut que la fréquence de l'harmonique de rang $\;3\;$ soit dans la zone absorbante «$\;3\;f\in \left[161,6\,kHz\;;\;162,4\,kHz\right]\;$» nécessitant, pour fréquence du signal d'entrée, «$\;f\in \left[{\dfrac {161,6\,kHz}{3}}\simeq 53,9\,kHz\;;\;{\dfrac {162,4\,kHz}{3}}\simeq 54,1\,kHz\right]\;$», pour rejeter l'harmonique de rang $\;\color {transparent}{3}\;$ du signal d'entrée de fréquence $\;\color {transparent}{f}$, il faut que celle de l'harmonique fondamental soit dans la zone passante de gauche à savoir «$\;f\leqslant 112\,kHz\;$» C.Q.F.V. et pour rejeter l'harmonique de rang $\;\color {transparent}{3}\;$ du signal d'entrée de fréquence $\;\color {transparent}{f}$, il faut que celle de l'harmonique de rang $\;5\;$ dans la zone passante de droite «$\;5\,f\geqslant 212\,kHz\;$», réalisée ici car «$\;5\;f\in \left[{\dfrac {5}{3}}\times 161,6\,kHz\simeq 269,3\,kHz\;;\;{\dfrac {5}{3}}\times 162,4\,kHz\simeq 270,7\,kHz\right]\;$» ;
* pour rejeter l'harmonique de rang$\;5\;$ du signal d'entrée de fréquence $\;f$, il faut que la fréquence de l'harmonique de rang $\;5\;$ soit dans la zone absorbante «$\;5\;f\in \left[161,6\,kHz\;;\;162,4\,kHz\right]\;$» nécessitant, pour fréquence du signal d'entrée, «$\;f\in \left[{\dfrac {161,6\,kHz}{5}}\simeq 32,3\,kHz\;;\;{\dfrac {162,4\,kHz}{5}}\simeq 32,5\,kHz\right]\;$», pour rejeter l'harmonique de rang $\;\color {transparent}{5}\;$ du signal d'entrée de fréquence $\;\color {transparent}{f}$, il faut que celle de l'harmonique de rang $\;3\;$ soit dans la zone passante de gauche à savoir «$\;3\;f\leqslant 112\,kHz\;$», réalisée ici car «$\;3\;f\in \left[{\dfrac {3}{5}}\times 161,6\,kHz\simeq 97,0\,kHz\;;\;{\dfrac {3}{5}}\times 162,4\,kHz\simeq 97,4\,kHz\right]\;$» et pour rejeter l'harmonique de rang $\;\color {transparent}{5}\;$ du signal d'entrée de fréquence $\;\color {transparent}{f}$, il faut que celle de l'harmonique de rang $\;7\;$ soit dans la zone passante de droite à savoir «$\;7\,f\geqslant 212\,kHz\;$», réalisée ici car «$\;7\;f\in \left[{\dfrac {7}{5}}\times 161,6\,kHz\simeq 226,2\,kHz\;;\;{\dfrac {7}{5}}\times 162,4\,kHz\simeq 227,4\,kHz\right]\;$» ;
* pour rejeter l'harmonique de rang $\;7\;$ du signal d'entrée de fréquence $\;f$, il faut que la fréquence de l'harmonique de rang $\;7\;$ soit dans la zone absorbante «$\;7\;f\in \left[161,6\,kHz\;;\;162,4\,kHz\right]\;$» nécessitant, pour fréquence du signal d'entrée, «$\;f\in \left[{\dfrac {161,6\,kHz}{7}}\simeq 23,1\,kHz\;;\;{\dfrac {162,4\,kHz}{7}}\simeq 23,2\,kHz\right]\;$», pour rejeter l'harmonique de rang $\;\color {transparent}{7}\;$ du signal d'entrée de fréquence $\;\color {transparent}{f}$, il faut que celle de l'harmonique de rang $\;5\;$ soit dans la zone passante de gauche à savoir «$\;5\;f\leqslant 112\,kHz\;$», non réalisée ici car «$\;5\;f\in \left[{\dfrac {5}{7}}\times 161,6\,kHz\simeq 115,4\,kHz\;;\;{\dfrac {5}{7}}\times 162,4\,kHz\simeq 116,0\,kHz\right]\;$» soit «$\;5\;f\not \leqslant 112\;kHz\;$» et pour rejeter l'harmonique de rang $\;\color {transparent}{7}\;$ du signal d'entrée de fréquence $\;\color {transparent}{f}$, il faut que celle de l'harmonique de rang $\;9\;$ soit dans la zone passante de droite à savoir «$\;9\,f\geqslant 212\,kHz\;$», non réalisée ici car «$\;9\;f\in \left[{\dfrac {9}{7}}\times 161,6\,kHz\simeq 207,8\,kHz\;;\;{\dfrac {9}{7}}\times 162,4\,kHz\simeq 208,8\,kHz\right]\;$» soit «$\;9\;f\not \geqslant 212\;kHz\;$» ; pour rejeter l'harmonique de rang $\;\color {transparent}{7}\;$ du signal d'entrée de fréquence $\;\color {transparent}{f}$, ainsi avec un signal d'entrée de fréquence $\;f\in \left[23,1\,kHz\;;\;23,2\,kHz\right]$, l'harmonique de rang $\;7\;$ est effectivement rejeté mais les harmoniques de rangs $\;5\;$ et $\;9\;$ sont également très partiellement rejetés ;
* il est donc possible avec ce filtre de rejeter un harmonique d'un signal créneau ou triangulaire jusqu'au rang $\;5\;$ inclus, au-delà il y aura plus d'un harmonique rejeté $\;\ldots$
Ci-dessous le signal de sortie du filtre avec un signal d'entrée créneau dans le but de rejeter l'harmonique fondamental à gauche, Ci-dessous le signal de sortie du filtre avec un signal d'entrée créneau dans le but de rejeter l'harmonique de rang $\;3\;$ au centre et Ci-dessous le signal de sortie du filtre avec un signal d'entrée créneau dans le but de rejeter l'harmonique de rang $\;5\;$ à droite Ci-dessous le signal de sortie du filtre en magenta est à comparer au signal représenté en pointillés calculé par synthèse de Fourier sur tous les harmoniques du signal d'entrée créneau à l'exception de l'harmonique rejeté $\;{\big \$l'observation d'un écart à partir de la réjection de l'harmonique de rang $\;3\;$ pouvant être interprétée à l'aide du phénomène de Gibbs $\;{\big$on rappelle que ce phénomène apparaît lors de la tentative de reconstitution de discontinuités du signal ou de sa dérivée $\;{\big$correspondant aux pointes du signal${\big )}$, phénomène se manifestant par un dépassement au niveau des discontinuités ou par un arrondi au niveau de pointes à reconstituer${\big ]}{\big \}$ :
ci-contre le signal de sortie du filtre avec un signal d'entrée triangulaire dans le but de rejeter l'harmonique fondamental à gauche et ci-contre le signal l'harmonique de rang $\;3\;$ à droite ci-contre le signal de sortie du filtre en magenta est à comparer au signal représenté en pointillés calculé par synthèse de Fourier sur tous les harmoniques du signal triangulaire à l'exception de l'harmonique rejeté :
remarque 1 : on observe l'importance de l'harmonique fondamental dans un triangulaire car, remarque 1 : d'une part, le signal de sortie avec réjection du fondamental ne laisse pas deviner le signal origine triangulaire et remarque 1 : d'autre part, le signal de sortie avec réjection du fondamental est de faible amplitude alors que remarque 1 : le signal de sortie avec réjection de l'harmonique de rang $\;3\;$ est semblable au signal origine triangulaire avec une amplitude voisine $\;{\big \$la comparaison du signal de sortie du filtre en magenta avec le signal représenté en pointillés calculé par synthèse de Fourier sur tous les harmoniques du signal d'entrée triangulaire à l'exception de l'harmonique de rang $\;3\;$ conduit à l'observation d'un faible écart pouvant être interprétée à l'aide du phénomène de Gibbs $\;{\big$apparition d'arrondi au niveau des pointes à reconstituer $\;{\big$se manifeste lors de discontinuité de la dérivée du signal origine${\big )}\;$ suivi d'un retard au niveau des pentes${\big ]}{\big \}$ :
remarque 2 : pour déterminer la limite théorique du réjecteur d'harmonique sans avoir à les essayer tous, nous pouvons admettre que remarque 2 : pour déterminer la limite théorique « la réjection cessera si les harmoniques de rang $\;2\,p-1\;$ et $\;2\,p+1\;$ sont séparés de moins de $\;49,6\,kHz\;$ » soit «$\;(2\,p+1)\;f-(2\,p-1)\;f=$ $49,6\;kHz\;$» donnant «$\;f=24,8\,kHz\;$ avec $\;(2\,p+1)\,f=161,6\,kHz\;$ » soit finalement «$\;2\,p+1={\dfrac {161,6}{24,8}}\simeq 6,52\;$» établissant que remarque 2 : pour déterminer la limite théorique « le 1er harmonique théoriquement non rejetable seul est celui de rang $\;7\;$», « le dernier rejetable seul étant celui de rang $\;5\;$» $\ldots \;$ remarque 2 : Ainsi on peut théoriquement rejeter un seul harmonique d'un triangulaire jusqu'au rang $\;5\;$ inclus à condition que leur amplitude soit « faible ».

## Mise en cascade de filtres et intérêt de réaliser des filtres à faible impédance de sortie et forte impédance d'entrée

Voir le paragraphe « Mise en cascade de filtres et intérêt de réaliser des filtres à faible impédance de sortie et forte impédance d'entrée » du chap.$9$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».

## Étude du filtrage linéaire d'un signal non sinusoïdal à partir de son spectre

Voir le paragraphe « Étude du filtrage linéaire d'un signal non sinusoïdal à partir de son spectre » du chap.$9$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».

## Retour sur la réponse d'un système linéaire à un échelon, notion de réponse indicielle

Voir le paragraphe « Retour sur la réponse d'un système linéaire à un échelon, notion de réponse indicielle » du chap.$9$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».

## Exemple de filtrage non linéaire : redressement simple ou double alternance et propriétés d'un filtre non linéaire « enrichissement du spectre »

Voir le paragraphe « Exemple de filtrage non linéaire : redressement simple ou double alternance et propriétés d'un filtre non linéaire “ enrichissement du spectre ” » du chap.$9$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».

## Quelques notions de filtrage en mécanique

Voir le paragraphe « Quelques notions de filtrage en mécanique » du chap.$9$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».