# Théorie physique des distributions/Produit de convolution

Nous savons qu’il est possible de définir entre deux fonctions, une opération que l’on appelle produit de convolution. Cette opération n’est pas nécessairement définie selon les fonctions auxquelles on a affaire. De plus, le produit de convolution, en tant qu'opération, a des propriétés bien médiocres. Il n'a pas d'élément neutre et l'on peut se demander à quoi peut servir une telle opération. Bien sûr, elle a certaines propriétés de régulation puisqu'en faisant le produit de convolution entre une fonction dérivable et une fonction non dérivable, on obtient une fonction dérivable. Nous allons voir que cette opération acquiert des propriétés remarquables si on la généralise à l’ensemble des distributions.

## Activité préparatoire

Nous allons procéder comme au chapitre précédent en commençant par essayer de définir un produit de convolution sur les distributions régulières pour tenter ensuite de le généraliser à toutes les distributions.
Nous rappelons que, sur l’ensemble des fonctions, le produit de convolution de deux fonctions f et g est défini par :
$\forall t\in \mathbb {R} \quad f\star g(t)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)g(t-x)\,\mathrm {d} x$
Il apparaît alors de façon évidente que cette définition ne peut pas s'appliquer à toutes les fonctions. Encore faut-il que l'intégrale converge. Notre propos n'étant pas de faire une leçon sur le produit de convolution de deux fonctions, nous renvoyons le lecteur intéressé à un cours spécialisé. En ce qui nous concerne, pour nous tranquilliser l'esprit, nous pouvons supposer que g ou f est une fonction physique à support compact, ce qui assure la convergence de l'intégrale.
Soit donc deux fonctions physiques p et q (q étant à support compact). Nous pouvons commencer par calculer la distribution régulière associé à p⋆q avec les moyens dont nous disposons.
Nous avons :
${\begin{aligned}\forall \varphi \in {\mathcal {D}}\quad <T_{p\star q},\varphi >\,&=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (t).p\star q(t)\,\mathrm {d} t\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (t).\int _{-\infty }^{\infty }p(x)q(t-x)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} t\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (t)p(x)q(t-x)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} t\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (t)p(x)q(t-x)\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} x\\&=\int _{-\infty }^{\infty }p(x)\left(\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (t)q(t-x)\,\mathrm {d} t\right)\,\mathrm {d} x\end{aligned}}$
Dans l'intégrale entre parenthèse, faisons le changement de variable $y=t-x$, on obtient :
$\forall \varphi \in {\mathcal {D}}\quad <T_{p\star q},\varphi >\,=\int _{-\infty }^{\infty }p(x)\left(\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x+y)q(y)\,\mathrm {d} y\right)\,\mathrm {d} x$
Si nous regardons plus en détail la fonction :
$y\longmapsto \varphi (x+y)$
Nous voyons que c’est une translation de la fonction :
$y\longmapsto \varphi (y)$
En utilisant l'opérateur de translation τ$_α$ défini au chapitre 2, nous voyons que nous avons :
$\tau _{-x}\varphi (y)=\varphi (x+y)$
Ce qui nous donne :
$\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x+y)q(y)\,\mathrm {d} y=\int _{-\infty }^{\infty }\tau _{-x}\varphi (y)q(y)\,\mathrm {d} y=<T_{q},\tau _{-x}\varphi >$
En portant cette valeur dans notre calcul précédent, nous obtenons :
$\forall \varphi \in {\mathcal {D}}\quad <T_{p\star q},\varphi >\,=\int _{-\infty }^{\infty }p(x)<T_{q},\tau _{-x}\varphi >\,\mathrm {d} x$
Posons $\psi$ la fonction définie par :
$\forall x\in \mathbb {R} \quad \psi (x)=<T_{q},\tau _{-x}\varphi >$
On démontre et nous admettrons que, si q est à support compact, cette fonction est une fonction-test, nous obtenons alors :
$\forall \varphi \in {\mathcal {D}}\quad <T_{p\star q},\varphi >\,=\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x)p(x)\,\mathrm {d} x=\,<T_{p},\psi >$
Si l'on définit l'opération de convolution, notée $\star$, entre deux distributions régulières T$_p$ et T$_q$ en posant :
$T_{p}\star T_{q}=T_{p\star q}$,
nous voyons que nous avons obtenu la définition suivante pour le produit de convolution de deux distributions régulières T$_p$ et T$_q$ :
p et q étant deux fonctions physiques avec q à support compact.
Le produit de convolution $\star$ entre les deux distributions régulières T$_p$ et T$_q$ est défini par :
$\forall \varphi \in {\mathcal {D}}\quad <T_{p}\star T_{q},\varphi >\,=\,<T_{p},\psi >$
La fonction Ψ étant défini par :
$\forall x\in \mathbb {R} \quad \psi (x)=\,<T_{q},\tau _{-x}\varphi >$
Pour faire abstraction de la fonction Ψ, on aurait pu poser le produit de convolution ainsi :
$\forall \varphi \in {\mathcal {D}}\quad <T_{p}\star T_{q},\varphi >\,=\,<T_{p},x\mapsto \,<T_{q},\tau _{-x}\varphi >>$
On retiendra aussi l’expression symétrique (valable uniquement pour les distributions régulières telles que les intégrales convergent) :
$\forall \varphi \in {\mathcal {D}}\quad <T_{p}\star T_{q},\varphi >\,=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x+y)p(x)q(y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y$
montrant clairement la commutativité du produit de convolution entre deux distributions régulières.

## Produit de convolution entre deux distributions

L'activité du paragraphe précédent nous incite à définir le produit de convolution de deux distributions (pas forcément régulière) ainsi :
Soit deux distributions S et T, avec T à support compact.
Le produit de convolution ⋆ entre les deux distributions S et T est défini par :
$\forall \varphi \in {\mathcal {D}}\quad <S\star T,\varphi >\,=\,<S,x\mapsto \,<T,\tau _{-x}\varphi >>$
* Dans la littérature, on peut aussi trouver des définitions comme celle-ci :
* $\forall \varphi \in {\mathcal {D}}\quad <S\star T,\varphi >\,=\,<S_{p(x)},\,<T_{q(y)},\varphi (x+y)>>$
* Qui sont, bien sûr, mathématiquement incorrecte, et constituent des abus d'écriture.
On montre et nous l'admettrons que si S et T sont toutes les deux, des distributions à support compact, alors le produit de convolution est commutatif.
Par conséquent, si nous devons faire le produit de convolution entre deux distributions, l'une étant à support compact, mais pas l'autre, nous appliquerons la définition en choisissant pour S, la distribution qui n’est pas à support compact et pour T, la distribution qui est à support compact.
La définition précédente n’est pas très satisfaisante, car elle introduit une dissymétrie entre les fonctions S et T, puisque l'une des deux doit être à support compact si rien n'est précisé sur l'autre. Il existe une autre possibilité :
Nous rappelons la suite d'inclusion :
${\mathcal {E'}}\subset {\mathcal {S'}}\subset {\mathcal {D'}}$
Nous voyons que nous avons défini un produit de convolution entre une distribution de D$^′${\textstyle {\mathcal {D}}'} et une distribution de E$^′${\textstyle {\mathcal {E}}'}. On montre et nous admettrons qu’il est possible de faire un compromis en imposant aux deux distributions d’être dans S$^′${\textstyle {\mathcal {S}}'}.
L'ensemble S$^′${\textstyle {\mathcal {S}}'} est suffisamment vaste pour contenir la plus grande partie des distributions utiles. Nous supposerons donc la plupart du temps, sauf cas exceptionnel, que les deux distributions sont dans S$^′${\textstyle {\mathcal {S}}'}, ce qui permettra au produit de convolution d’être défini d'une façon plus symétrique. On a pour S et T dans S$^′${\textstyle {\mathcal {S}}'} :
$\forall \varphi \in {\mathcal {S}}\quad <S\star T,\varphi >\,=\,<S,x\mapsto \,<T,\tau _{-x}\varphi >>\,=\,<T,x\mapsto \,<S,\tau _{-x}\varphi >>$
On montre, en effet, qu’il est commutatif dans S$^′${\textstyle {\mathcal {S}}'}.

## Propriétés du produit de convolution

Nous allons, dans ce paragraphe, étudier quelques propriétés du produit de convolution. Nous verrons d'autres propriétés en exercice.

### Convolution avec la distribution de Dirac

Nous rappelons que la distribution de Dirac δ associe à toute fonction-test, sa valeur en 0.
Soit T une distribution. Nous avons :
${\begin{aligned}\forall \varphi \in {\mathcal {D}}\quad <T\star \delta ,\varphi >\,&=\,<T,x\mapsto \,<\delta ,\tau _{-x}.\varphi >>\\&=\,<T,x\mapsto \,\tau _{-x}.\varphi (0)>\\&=\,<T,x\mapsto \,\varphi (x)>\\&=\,<T,\varphi >\end{aligned}}$
Nous voyons que la distribution de Dirac est élément neutre à droite du produit de convolution.
Mais nous avons aussi en supposant que T est dans S$^′${\textstyle {\mathcal {S}}'} :
${\begin{aligned}\forall \varphi \in {\mathcal {D}}\quad <\delta \star T,\varphi >\,&=\,<\delta ,x\mapsto \,<T,\tau _{-x}.\varphi >>\\&=\,<T,\tau _{0}.\varphi >\\&=\,<T,\varphi >\end{aligned}}$
Ce qui montre que la distribution de Dirac est aussi élément neutre à gauche du produit de convolution.
Nous pouvons conclure :
$\forall T\in {\mathcal {S}}'\quad T\star \delta =\delta \star T=T$
Nous voyons que le produit de convolution, qui n'avait pas d'élément neutre dans l’ensemble des fonctions, a un élément neutre dans l’ensemble des distributions

### Convolution avec une distribution de Dirac en un réel a

Ce que nous avons vu au paragraphe précédent nous incite à étudier la convolution d'une distribution T avec la distribution de Dirac en a : δ$_a$.
Nous avons :
${\begin{aligned}\forall \varphi \in {\mathcal {D}}\quad <T\star \delta _{a},\varphi >\,&=\,<T,x\mapsto \,<\delta _{a},\tau _{-x}.\varphi >>\\&=\,<T,x\mapsto \,\tau _{-x}.\varphi (a)>\\&=\,<T,x\mapsto \,\varphi (x+a)>\\&=\,<T,x\mapsto \,\tau _{-a}.\varphi (x)>\\&=\,<T,\tau _{-a}.\varphi >\\&=\,<\tau _{a}.T,\varphi >\end{aligned}}$
Si T est dans S$^′${\textstyle {\mathcal {S}}'}, nous avons aussi :
${\begin{aligned}\forall \varphi \in {\mathcal {D}}\quad <\delta _{a}\star T,\varphi >\,&=\,<\delta _{a},x\mapsto \,<T,\tau _{-x}.\varphi >>\\&=\,<T,\tau _{-a}.\varphi >\\&=\,<\tau _{a}.T,\varphi >\end{aligned}}$
Nous pouvons conclure :
$\forall T\in {\mathcal {S}}'\quad T\star \delta _{a}=\delta _{a}\star T=\tau _{a}.T$

### Dérivée du produit de convolution

Soit S et T, deux distributions de S$^′${\textstyle {\mathcal {S}}'}.Essayons de calculer la dérivée du produit de convolution de S et T. Nous avons :
${\begin{aligned}\forall \varphi \in {\mathcal {S}}\quad <(S\star T)',\varphi >\,&=-<S\star T,\varphi '>\\&=-<S,x\mapsto \,<T,\tau _{-x}.\varphi '>>\\&=-<S,x\mapsto \,<T,(\tau _{-x}.\varphi )'>>\\&=-<S,x\mapsto \,-<T',\tau _{-x}.\varphi >>\\&=\,<S,x\mapsto \,<T',\tau _{-x}.\varphi >>\\&=\,<S\star T',\varphi >\end{aligned}}$
Nous pouvons conclure :
$\forall S\in {\mathcal {S}}'\quad \forall T\in {\mathcal {S}}'\quad (S\star T)'=S\star T'=S'\star T$

### Convolution avec la dérivée de la distribution de Dirac

Une application immédiate du paragraphe qui précède est
$T'=(T\star \delta )'=T\star \delta '$
On retiendra :
On peut calculer la dérivée d'une distribution en la convolant avec la dérivée de la distribution de Dirac δ'.
$T'=T\star \delta '=\delta '\star T$
De façon plus générale, on a :
$T^{(n)}=T\star \delta ^{(n)}=\delta ^{(n)}\star T$

### Associativité du produit de convolution

* Le produit de convolution n’est, en général, pas associatif. S'il était associatif, on aurait :
* ${\begin{aligned}(T_{1}\star \delta ')\star H=T_{1}\star (\delta '\star H)&\Leftrightarrow T_{0}\star H=T_{1}\star \delta \\&\Leftrightarrow T_{0}=T_{1}\\&\Leftrightarrow 0=1\end{aligned}}$
Nous verrons toutefois dans un prochain chapitre que, si l'on impose certaines conditions aux distributions, alors le produit de convolution devient associatif.
| Dérivation | Transformée de Fourier |