# Intégration en mathématiques/Primitives
### Définition

f est une fonction définie sur un intervalle I. Une primitive F de f sur I est une fonction F dérivable sur I et telle que, pour tout x appartenant à I : F'(x) est égale à f(x).

#### Exemple

Soit la fonction $f$ définie sur ℝ par $f(x)=2x$. La fonction $F$ définie sur ℝ par $F(x)=x^{2}$ est une primitive de $f$ sur ℝ. La fonction $G$ définie sur ℝ par $G(x)=x^{2}+1$ est une autre primitive de $f$ sur ℝ.

### Ensemble des primitives d'une fonction sur un intervalle

f est une fonction définie sur un intervalle I. Si F est une primitive de f sur I, alors f admet une infinité de primitives qui sont toutes de la forme : F(x) + k (k étant un réel).

### Primitive prenant une valeur donnée en un point

Soit $f$ une fonction admettant des primitives sur un intervalle $I$.
Pour tout $a\in I$ et tout $b\in \mathbb {R}$, il existe (sur $I$) une primitive $F$ de $f$ et une seule telle que $F(a)=b$.
On définit la fonction $f$ sur ℝ par $f(x)=2x$. Déterminer la primitive $F$ de $f$ telle que $F(0)=4$.
Les primitives de $f$ sur ℝ sont les fonctions $G_{k}$ définies sur ℝ par $G_{k}(x)=x^{2}+k$ ($k$ est un réel).
$G_{k}(0)=4\Leftrightarrow 0^{2}+k=4\Leftrightarrow k=4$.
La primitive $F$ de $f$ telle que $F(0)=4$ est donc $F=G_{4}$, c'est-à-dire la fonction $F$ définie sur ℝ par $F(x)=x^{2}+4$.

### Calculs de primitives

| $f(x)$ | l'une des primitives de la fonction $f$ est... | sur l'intervalle... |
| $c$ ($c\in \mathbb {R}$) | $cx$ | ℝ |
| $x^{n}$ ($n\in \mathbb {N}$) | ${\frac {x^{n+1}}{n+1}}$ | ℝ |
| ${\frac {1}{x^{n}}}$ ($n$ nombre entier avec $n\geq 2$) | ${\frac {-1}{(n-1)x^{n-1}}}$ | ]-∞, 0[ ou ]0, +∞[ |
| ${\frac {1}{\sqrt {x}}}$ | $2{\sqrt {x}}$ | ]0, +∞[ |
| ${\frac {1}{x}}$ | $\ln x$ | ]0, +∞[ |
| $\mathrm {e} ^{x}$ | $\mathrm {e} ^{x}$ | ℝ |
| $\sin x$ | $-\cos x$ | ℝ |
| $\cos x$ | $\sin x$ | ℝ |

#### Exemple

Soit $f$ définie sur ℝ par $f(x)=2x^{3}-5x^{2}+3x-4$.
Les primitives de $f$ sur ℝ sont les fonctions $F$ de la forme
    ${\begin{aligned}F(x)&=2{\frac {x^{4}}{4}}-5{\frac {x^{3}}{3}}+3{\frac {x^{2}}{2}}-4x+k\\&={\frac {x^{4}}{2}}-{\frac {5x^{3}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-4x+k,\end{aligned}}$
où $k$ est une constante appartenant à ℝ.

### Primitives et opérations sur les fonctions:

* Si F et G sont deux primitives de f et g sur I, alors F + G est une primitive de f + g sur I.
* Si F est une primitive de f sur I et λ un réel, alors λF est une primitive de λf sur I.

### Primitives des fonctions composées

Soit $u$ une fonction dérivable sur I.
| f(x)=... | F(x)=... | Condition : |
| $u'u^{n}$ (n ∈ ℕ*) | ${\frac {u^{n+1}}{n+1}}+k$ | |
| ${\frac {u'}{u^{n}}}$ (n entier ≥ 2) | $-{\frac {1}{(n-1)u^{n-1}}}+k$ | $u(x)\neq 0$ sur $I$ |
| ${\frac {u'}{\sqrt {u}}}$ | $2{\sqrt {u}}+k$ | $u(x)>0$ sur $I$ |
| ${\frac {u'}{u}}$ | $\ln(u)+k$ | $u(x)>0$ sur $I$ |
| $u'\mathrm {e} ^{u}$ | $\mathrm {e} ^{u}+k$ | |

#### Exemples

Soit $f(x)={\frac {2x}{\sqrt {x^{2}-1}}}$
$f(x)={\frac {u'}{\sqrt {u}}}$
Avec ici : $u(x)=x^{2}-1$ et $u'(x)=2x$.
Donc l'une des primitives de $f$ sur ]-∞, –1[ ou ]1, +∞[ est
    $F=2{\sqrt {u}}$,
soit : $F(x)=2{\sqrt {x^{2}-1}}$.
Soit $f(x)=6x^{2}(x^{3}+5)^{4}$.
$f(x)=2u'u^{n}$
Avec ici : $u(x)=x^{3}+5$ et $u'(x)=3x^{2}$.
Donc l'une des primitives de $f$ sur ℝ est
    $F=2{\frac {u^{n+1}}{n+1}}$,
soit : $F(x)={\frac {2(x^{3}+5)^{5}}{5}}$.

#### Méthode pour les fonctions composées

* On commence par identifier la formule à utiliser.
* Puis, si nécessaire, on multiplie par un coefficient pour faire apparaître l’expression de u' souhaitée et conclure sur la primitive.
| Aire et intégrale | Intégrale et primitives |