# Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Propagation d'un signal : Onde progressive dans le cas d'une propagation unidimensionnelle linéaire non dispersive
## Étude d'un mascaret

Le mascaret est une vague solitaire remontant un fleuve au voisinage de son estuaire et provoquée par une interaction entre l'écoulement du fleuve et la marée montante $\;{\big$voir un exemple de mascaret sur la photo ci-contre à droite${\big )}$.
On considère, dans cet exercice, un mascaret se déplaçant à la célérité «$\;c=$ $20\,km\cdot h^{-1}\;$» le long d'un fleuve rectiligne sur lequel on définit un axe «$\;(Ox)\;$» dans la direction et le sens de la propagation.
À l'instant initial «$\;t_{0}=0\;$» le profil de niveau de l'eau du fleuve a l'allure représentée ci-contre à gauche :

### Détermination du profil du niveau de l'eau du fleuve à un instant postérieur à l'instant initial

Faire un schéma de profil du niveau de l'eau du fleuve à l'instant «$\;t_{1}=1,0\,min\;$» en supposant que l'onde se propage sans déformation.
$\;x_{\text{front}}(0)=400\,m\;$
$\;t_{0}=0$
$\;c=20\,km\cdot h^{-1}={\dfrac {20}{3,6}}\,m\cdot s^{-1}\simeq$
$5,56\,m\cdot s^{-1}\;$
$\;t_{1}=1,0\,min=60,0\,s\;$
$\;x_{\text{front}}(t_{1})=400+c\,(t_{1}-t_{0})\simeq 400+5,56\times 60\;$
$\;m\;$
$\;x_{\text{front}}(t_{1})\simeq 733\,m\;$
$\;x_{\text{queue}}(0)=80\,m\;$
$\;t_{0}=0$
$\;c\simeq 5,56\,m\cdot s^{-1}\;$
$\;t_{1}=1,0\,min=60,0\,s\;$
$\;x_{\text{queue}}(t_{1})=80+c\,(t_{1}-t_{0})\simeq 400+5,56\times 60\;$
$\;m\;$
$\;x_{\text{queue}}(t_{1})\simeq 413\,m\;$
$\;x_{\text{crête}}(0)=340\,m\;$
$\;t_{0}=0$
$\;c\simeq 5,56\,m\cdot s^{-1}\;$
$\;t_{1}=1,0\,min=60,0\,s\;$
$\;x_{\text{crête}}(t_{1})=340+c\,(t_{1}-t_{0})\simeq 400+5,56\times 60\;$
$\;m\;$
$\;x_{\text{crête}}(t_{1})\simeq 673\,m\;$
voir, ci-contre, le profil du niveau de l'eau du fleuve à l'instant «$\;t_{1}=1,0\,min\;$» tracé juste au-dessous de celui du niveau de l'eau du fleuve à l'instant initial «$\;t_{0}=0\;$» rappelé juste au-dessus.

### Détermination de l'instant de passage de la vague à un endroit donné

Un surfeur attendant avec sa planche à l'abscisse «$\;x_{A}=2,000\,km\;$» préciser à quel instant il va recevoir la vague.
$\;x_{\text{front}}(0)=400\,m\;$
$\;t_{0}=0$
$\;d_{A}=x_{A}-x_{\text{front}}(0)=2000-400\;$
$\;m\;$
$\;d_{A}=1600\,m\;$
$\;\tau _{A}={\dfrac {d_{A}}{c}}\simeq {\dfrac {1600}{5,56}}\simeq 288\,s\;$
$\;t_{A}=t_{0}+\tau _{A}\simeq 288\,s\;$
$\;t_{A}\simeq 4\,min\;48\,s\;$

### Détermination de l'évolution temporelle de la hauteur de niveau d'eau en une position donnée

Un détecteur fixe, enregistrant la hauteur de niveau d'eau du fleuve $\;y\;$ en fonction du temps $\;t$, étant placé à l'abscisse «$\;x_{d}=1,400\,km\;$», représenter l'allure des variations de cette hauteur «$\;y(x_{d},\,t)\;$» en fonction du temps $\;t$.
$\;x_{d}=1,400\,km\;$
$\;x_{\text{front}}(0)=400\,m\;$
$\;t_{0}=0$
$\;\Delta x_{\text{front}}=$
$x_{d}-x_{\text{front}}(0)=1400-400=1000\,m\;$
$\;c\simeq$
$5,56\,m\cdot s^{-1}\;$
$\;\Delta t_{\text{front}}={\dfrac {\Delta x_{\text{front}}}{c}}\simeq {\dfrac {1000}{5,56}}\simeq 180\,s\;$
$\;t_{\text{front}}=t_{0}+\Delta t_{\text{front}}\simeq 180\,s\;$
$\;t_{\text{front}}\simeq 3\,min\;$
$\;x_{d}=1,400\,km\;$
$\;x_{\text{crête}}(0)=340\,m\;$
$\;t_{0}=0$
$\;\Delta x_{\text{front}}=$
$x_{d}-x_{\text{crête}}(0)=1400-340=1060\,m\;$
$\;c\simeq$
$5,56\,m\cdot s^{-1}\;$
$\;\Delta t_{\text{crête}}={\dfrac {\Delta x_{\text{crête}}}{c}}\simeq {\dfrac {1060}{5,56}}\simeq 190\,s\;$
$\;t_{\text{crête}}=t_{0}+\Delta t_{\text{crête}}\simeq 190\,s\;$
$\;t_{\text{crête}}\simeq 3\,min\;10\,s\;$
$\;x_{d}=1,400\,km\;$
$\;x_{\text{queue}}(0)=80\,m\;$
$\;t_{0}=0$
$\;\Delta x_{\text{queue}}=$
$x_{d}-x_{\text{queue}}(0)=1400-80=1320\,m\;$
$\;c\simeq$
$5,56\,m\cdot s^{-1}\;$
$\;\Delta t_{\text{queue}}={\dfrac {\Delta x_{\text{queue}}}{c}}\simeq$
${\dfrac {1320}{5,56}}\simeq 238\,s\;$
$\;t_{\text{queue}}=t_{0}+\Delta t_{\text{queue}}\simeq 238\,s\;$
$\;t_{\text{queue}}\simeq 3\,min\;58\,s\;$
voir ci-dessus à droite la variation de la hauteur de niveau d'eau du fleuve en la position d'abscisse $\;x_{d}=1,400\,km\;$ en fonction du temps $\;t\;$ c'est-à-dire voir ci-dessus à droite le diagramme temporel «$\;y(x_{d},\,t)\;$».

### Déformation de l'onde

En réalité, la célérité de propagation augmentant avec la profondeur d'eau sous la surface libre, l'onde se déforme petit à petit au cours de sa progression ;
En réalité, la célérité de propagation augmentant avec la profondeur d'eau sous la surface libre, préciser comment évolue le profil de la vague au cours de sa propagation.
La profondeur d'eau sous la surface libre étant plus grande sous la crête de la vague que sous le front $\;{\big$ou la queue${\big )}\;$ de cette dernière, La profondeur d'eau sous la surface libre étant plus grande sous la crête la crête se propage donc plus rapidement que le front $\;{\big$et aussi que la queue${\big )}$, La profondeur d'eau sous la surface libre étant plus grande sous la crête ce qui a pour conséquence que la vague « déferle », La profondeur d'eau sous la surface libre étant plus grande sous la crête voir les différents profils successifs ci-contre :

## Effet Doppler, explication physique

Un émetteur positionné en $\;E\;$ émet une onde sonore $\;{\big \$succession de bips${\big \}$ se propageant à la célérité $\;c\;$ dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}$ ;
cet émetteur se déplace, dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$, le long d'un axe $\;\left(Ox\right)\;$ avec un vecteur vitesse «$\;{\vec {V}}_{0}=V_{0}\,{\vec {u}}_{x}\;$» $\;{\big \{\vec {u}}_{x}\;$ vecteur unitaire orientant l'axe $\;\left(Ox\right){\big \}$, la position initiale de cet émetteur étant $\;E_{0}\;$ telle que «$\;OE_{0}=l_{0}\;$».
Pour capter l'onde sonore émise par l'émetteur on place un récepteur fixe en $\;O$.

### Dates de réception des bips successifs émis par l'émetteur mobile

L'émetteur mobile émettant une succession de bips à intervalles réguliers, chaque bip étant séparé du précédent de $\;T_{e}\;$ ${\big \$avec un 1er bip émis à $\;t=0{\big \}$, déterminer les dates de réception des différents bips par le récepteur.
$\succ \;$Un 1er bip émis par $\;E_{0}\;$ à l'instant $\;t_{0}=0\;$ doit parcourir la distance «$\;l_{0}=E_{0}O\;$» à la célérité «$\;c\;$» avant d'être capté par le récepteur, $\color {transparent}{\succ }\;$Un 1er bip émis par $\;\color {transparent}{E_{0}}\;$ à l'instant $\;\color {transparent}{t_{0}=0}\;$ il est donc reçu par $\;O\;$ à l'instant «$\;{t'}_{\!0}=t_{0}+{\dfrac {l_{0}}{c}}\;$» soit «$\;{t'}_{\!0}={\dfrac {l_{0}}{c}}\;$» ;
$\succ \;$un 2ème bip émis par $\;E_{1}\;$ à l'instant $\;t_{1}=T_{e}\;$ doit parcourir la distance «$\;E_{1}O=l_{0}+V_{0}\,T_{e}\;$» à la célérité «$\;c\;$» avant d'être capté par le récepteur, $\color {transparent}{\succ }\;$Un 2ème bip émis par $\;\color {transparent}{E_{1}}\;$ à l'instant $\;\color {transparent}{t_{1}=T_{e}}\;$ il est donc reçu par $\;O\;$ à l'instant «$\;{t'}_{\!1}=t_{1}+{\dfrac {l_{0}+V_{0}\,T_{e}}{c}}\;$» soit «$\;{t'}_{\!1}={\dfrac {l_{0}}{c}}+\left(1+{\dfrac {V_{0}}{c}}\right)\,T_{e}\;$» ;
$\succ \;$un 3ème bip émis par $\;E_{2}\;$ à l'instant $\;t_{2}=2\;T_{e}\;$ doit parcourir la distance «$\;E_{2}O=l_{0}+2\,V_{0}\,T_{e}\;$» à la célérité «$\;c\;$» avant d'être capté par le récepteur, $\color {transparent}{\succ }\;$Un 3ème bip émis par $\;\color {transparent}{E_{2}}\;$ à l'instant $\;\color {transparent}{t_{2}=2\;T_{e}}\;$ il est donc reçu par $\;O\;$ à l'instant «$\;{t'}_{\!2}=t_{2}+{\dfrac {l_{0}+2\,V_{0}\,T_{e}}{c}}\;$» soit «$\;{t'}_{\!2}={\dfrac {l_{0}}{c}}+2\,\left(1+{\dfrac {V_{0}}{c}}\right)\,T_{e}\;$» ;
$\succ \;$ $\ldots$
$\succ \;$un nème bip émis par $\;E_{n-1}\;$ à l'instant $\;t_{n-1}=(n-1)\;T_{e}\;$ doit parcourir la distance «$\;E_{n-1}O=l_{0}+(n-1)\,V_{0}\,T_{e}\;$» à la célérité «$\;c\;$» avant d'être capté par le récepteur, $\color {transparent}{\succ }\;$Un nème bip émis par $\;\color {transparent}{E_{n-1}}\;$ à l'instant $\;\color {transparent}{t_{n-1}=(n-1)\;T_{e}}\;$ il est donc reçu par $\;O\;$ à l'instant «$\;{t'}_{\!n-1}=t_{n-1}+{\dfrac {l_{0}+(n-1)\,V_{0}\,T_{e}}{c}}\;$» soit «$\;{t'}_{\!n-1}={\dfrac {l_{0}}{c}}+(n-1)\,\left(1+{\dfrac {V_{0}}{c}}\right)\,T_{e}\;$» ;
$\succ \;$ $\ldots$

### Vérification de la périodicité de réception des bips successifs et explicitation de la période de réception

À l'aide de l'expression des dates de réception des bips successifs émis par l'émetteur mobile déterminées dans la solution de la « question précédente » exposée plus haut dans cet exercice, À l'aide de l'expression des dates de réception des bips successifs vérifier que le récepteur reçoit ces bips à intervalles réguliers $\;{\big \$c'est-à-dire que la réception des bips est un phénomène périodique${\big \}$ et À l'aide de l'expression des dates de réception des bips successifs expliciter l'intervalle de temps «$\;T_{r}\;$» séparant la réception de deux bips successifs $\;{\big \$c'est-à-dire la période de réception des bips${\big \}$ À l'aide de l'expression des dates de réception des bips successifs expliciter l'intervalle de temps «$\;\color {transparent}{T_{r}}\;$» en fonction de «$\;T_{e}$, $\;V_{0}\;$ et $\;c\;$».
La périodicité de réception des bips sera établie si on montre que la durée écoulée entre deux dates de réception successives est une constante c'est-à-dire La périodicité de réception des bips sera établie si on montre que «$\;{t'}_{\!n}-{t'}_{\!n-1}\;$ est indépendant de $\;n\;$» ;
$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}{t'}_{\!n-1}\!\!&=&\!\!{\dfrac {l_{0}}{c}}+(n-1)\,\left(1+{\dfrac {V_{0}}{c}}\right)\,T_{e}\\{t'}_{\!n}\!\!&=&\!\!{\dfrac {l_{0}}{c}}+n\,\left(1+{\dfrac {V_{0}}{c}}\right)\,T_{e}\end{array}}\right\rbrace \;$
$\Rightarrow$
$\;{t'}_{\!n}-{t'}_{\!n-1}=\left[{\dfrac {l_{0}}{c}}+n\,\left(1+{\dfrac {V_{0}}{c}}\right)\,T_{e}\right]-\left[{\dfrac {l_{0}}{c}}+(n-1)\,\left(1+{\dfrac {V_{0}}{c}}\right)\,T_{e}\right]\;$
$\;{t'}_{\!n}-{t'}_{\!n-1}=\left(1+{\dfrac {V_{0}}{c}}\right)\,T_{e}\;$
$\;n\;$
$\;T_{r}=\left(1+{\dfrac {V_{0}}{c}}\right)\,T_{e}\;$

### Sens physique de l'effet Doppler

Commenter le sens physique de l'effet Doppler.
Préciser comment obtenir une fréquence de réception «$\;f_{r}={\dfrac {1}{T_{r}}}\;$» plus grande que la fréquence d'émission «$\;f_{e}={\dfrac {1}{T_{e}}}\;$» c'est-à-dire Préciser comment obtenir un son plus aigu lors de sa réception que lors de son émission ?
D'après le lien «$\;T_{r}=\left(1+{\dfrac {V_{0}}{c}}\right)\,T_{e}\;$» établi dans la solution de la question « vérification de la périodicité de réception des bips successifs et explicitation de la période de réception » plus haut dans cet exercice, D'après le lien «$\;\color {transparent}{T_{r}=\left(1+{\dfrac {V_{0}}{c}}\right)\,T_{e}}\;$» la période écoulée entre deux réceptions successives $\;T_{r}\;$ est plus grande que celle d'émission des bips $\;T_{e}\;$ si $\;V_{0}\;$ est $\;>0\;$ c'est-à-dire D'après le lien «$\;\color {transparent}{T_{r}=\left(1+V_{0}/c\right)\,T_{e}}\;$» la période écoulée entre deux réceptions successives $\;\color {transparent}{T_{r}}\;$ est plus grande que celle d'émission des bips $\;\color {transparent}{T_{e}}\;$ si l'émetteur s'éloigne progressivement du récepteur $\;{\big \$la justification étant que les bips ont un trajet de plus en plus long à parcourir pour être reçus, l'augmentation du trajet à parcourir $\;{\big$c'est-à-dire $\;V_{0}\;T_{e}{\big )}\;$ divisée par la célérité de propagation des bips $\;{\big$c'est-à-dire $\;c{\big )}\;$ correspondant à l'augmentation de période $\;{\big$c'est-à-dire $\;T_{r}-T_{e}{\big )}{\big \}$ ;
D'après le lien «$\;\color {transparent}{T_{r}=\left(1+{\dfrac {V_{0}}{c}}\right)\,T_{e}}\;$» de même,  D'après le lien «$\;\color {transparent}{T_{r}=\left(1+V_{0}/c\right)\,T_{e}}\;$» la période écoulée entre deux réceptions successives $\;T_{r}\;$ est plus faible que celle d'émission des bips $\;T_{e}\;$ si $\;V_{0}\;$ est $\;<0\;$ c'est-à-dire D'après le lien «$\;\color {transparent}{T_{r}=\left(1+V_{0}/c\right)\,T_{e}}\;$» la période écoulée entre deux réceptions successives $\;\color {transparent}{T_{r}}\;$ est plus faible que celle d'émission des bips $\;\color {transparent}{T_{e}}\;$ si l'émetteur se rapproche progressivement du récepteur $\;{\big \$la justification étant que les bips ont un trajet de plus en plus court à parcourir pour être reçus, la diminution du trajet à parcourir $\;{\big$c'est-à-dire $\;\vert V_{0}\vert \;T_{e}{\big )}\;$ divisée par la célérité de propagation des bips $\;{\big$c'est-à-dire $\;c{\big )}\;$ correspondant à la diminution de période $\;{\big$c'est-à-dire $\;T_{e}-T_{r}{\big )}{\big \}$.
Ainsi, pour obtenir une fréquence de réception «$\;f_{r}={\dfrac {1}{T_{r}}}\;$» plus grande que la fréquence d'émission «$\;f_{e}={\dfrac {1}{T_{e}}}\;$» $\;{\big \$c'est-à-dire une période de réception «$\;T_{r}\;$» plus faible que la période d'émission «$\;T_{e}\;$»${\big \}$, il faut que l'émetteur se rapproche progressivement du récepteur, la période de réception s'écrivant «$\;T_{r}=\left(1-{\dfrac {\vert V_{0}\vert }{c}}\right)\,T_{e}<T_{e}\;$» et la fréquence «$\;f_{r}={\dfrac {f_{e}}{1-{\dfrac {\vert V_{0}\vert }{c}}}}>f_{e}\;$» ;
Ainsi, généralisant ce résultat au cas d'un signal périodique, nous pouvons affirmer qu'un son est plus aigu lors de sa réception que lors de son émission si la source d'émission se rapproche progressivement du récepteur.
Exemple d'observation de l'effet Doppler : ce phénomène est observé lors du passage d'un camion de pompiers, sirène hurlante,  Exemple d'observation de l'effet Doppler : $\succ \;$lorsque le camion se rapproche de l'observateur, la période de réception est plus petite que la période d'émission ce qui correspond à une fréquence de réception plus grande que celle d'émission $\Rightarrow$ le son reçu est plus aigu, puis  Exemple d'observation de l'effet Doppler : $\succ \;$lorsque le camion s'éloigne de l'observateur, la période de réception est plus grande que la période d'émission ce qui correspond à une fréquence de réception plus petite que celle d'émission, $\Rightarrow$ le son reçu est plus grave.

## Détermination de la position et de la date d'un séisme

Sachant qu'un séisme produit deux types d'ondes sismiques :
* des ondes «$\;P\;$» $\;{\big$ou primaires${\big )}$, longitudinales qui se propagent à la célérité «$\;c_{P}\;$» et
* des ondes «$\;S\;$» $\;{\big$ou secondaires${\big )}$, transversales qui se propagent à la célérité «$\;c_{S}\;$».

### Détermination de la distance séparant le foyer du séisme du détecteur ainsi la date de début du séisme

À l'aide d'un détecteur localisé en $\;O$, on détecte des ondes provenant d'un séisme dont on ignore la position du foyer ainsi que la date de début du séisme ; À l'aide d'un détecteur localisé en $\;\color {transparent}{O}$, des ondes «$\;P\;$» atteignent en 1er le détecteur à l'instant «$\;t_{P}\;$» et À l'aide d'un détecteur localisé en $\;\color {transparent}{O}$, des ondes «$\;S\;$» arrivent en 2nd sur le détecteur à l'instant «$\;t_{P}\;$» ; À l'aide d'un détecteur localisé en $\;\color {transparent}{O}$, montrer que l'on peut en déduire, connaissant «$\;c_{P}\;$» et «$\;c_{S}\;$», À l'aide d'un détecteur localisé en $\;\color {transparent}{O}$, montrer que l'on peut en déduire, la distance «$\;\Delta \;$» entre le foyer du séisme et l'appareil, ainsi que À l'aide d'un détecteur localisé en $\;\color {transparent}{O}$, montrer que l'on peut en déduire, la date du début du séisme.
Un séisme créé en son foyer à une date «$\;t_{\text{séisme}}\;$» inconnue, foyer situé à une distance «$\;\Delta \;$» inconnue du détecteur dans toutes les directions possibles, a engendré des ondes «$\;P\;$» et «$\;S\;$» captées par le détecteur aux dates respectives :
$\succ \;$«$\;t_{P}\;$» pour l'onde «$\;P\;$» $\;{\big$longitudinale${\big )}\;$ se propageant à la célérité «$\;c_{P}\;$», réception après un parcours «$\;\Delta =c_{P}\,(t_{P}-t_{\text{séisme}})\;$» soit une 1ère équation entre les deux inconnues «$\;\Delta \;$ et $\;t_{\text{séisme}}\;$»,
$\succ \;$«$\;t_{S}\;$» pour l'onde «$\;S\;$» $\;{\big$transversale${\big )}\;$ se propageant à la célérité «$\;c_{S}\;$», réception après le même parcours «$\;\Delta =c_{S}\,(t_{S}-t_{\text{séisme}})\;$» soit une 2ème équation entre les deux mêmes inconnues «$\;\Delta \;$ et $\;t_{\text{séisme}}\;$» ;
$\;\Delta \;$
$\;t_{\text{séisme}}\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\Delta =c_{P}\,(t_{P}-t_{\text{séisme}})\\\Delta =c_{S}\,(t_{S}-t_{\text{séisme}})\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;\Delta \;$
$\;c_{P}\,(t_{P}-t_{\text{séisme}})=$
$c_{S}\,(t_{S}-t_{\text{séisme}})\;$
$\;c_{P}\ t_{P}-c_{S}\,t_{S}=(c_{P}-c_{S})\,t_{\text{séisme}})\;$
$\;t_{\text{séisme}}={\dfrac {c_{P}\ t_{P}-c_{S}\,t_{S}}{c_{P}-c_{S}}}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;\Delta =c_{P}\left(t_{P}-{\dfrac {c_{P}\ t_{P}-c_{S}\,t_{S}}{c_{P}-c_{S}}}\right)\;$
$\;\Delta =c_{P}\,{\dfrac {-c_{S}\,t_{P}+c_{S}\,t_{S}}{c_{P}-c_{S}}}\;$
$\;\Delta ={\dfrac {c_{P}\,c_{S}}{c_{P}-c_{S}}}\,(t_{S}-t_{P})\;$

### Méthode de détermination du foyer d'un séisme à l'aide de trois détecteurs

À l'aide de mesures effectuées par trois détecteurs localisés en trois lieux distincts montrer qu'il est possible de déterminer la position du foyer d'un séisme.
Quel système fonctionne sur le même principe ?
Chaque détecteur respectivement positionné en «$\;O_{i},\;i\;\in \;\left[\left[1\,;\,3\right]\right]\;$» détectant les ondes «$\;P\;$» et «$\;S\;$» émis par un même séisme, la célérité de ses ondes étant connues, permet de déterminer
* la date du séisme $\;{\big \$et par suite de s'assurer qu'il s'agit bien du même séisme${\big \}$ ainsi que
* la distance «$\;\Delta _{i},\;i\;\in \;\left[\left[1\,;\,3\right]\right]\;$» séparant chaque position «$\;O_{i},\;i\;\in \;\left[\left[1\,;\,3\right]\right]\;$» de détecteur considéré du foyer du séisme ;
de la connaissance de «$\;\Delta _{1}\;$» nous en déduisons que le foyer du séisme se trouve sur la partie terrestre d'une sphère $\;\left(\Sigma _{1}\right)\;$ centrée en $\;O_{1}\;$ et de rayon $\;\Delta _{1}$,
de celle de «$\;\Delta _{2}\;$» nous en déduisons que le foyer du séisme se trouve sur la partie terrestre d'une 2ème sphère $\;\left(\Sigma _{2}\right)\;$ centrée en $\;O_{2}\;$ et de rayon $\;\Delta _{2}$ et par suite de celle de «$\;\color {transparent}{\Delta _{2}}\;$» nous en déduisons que le foyer du séisme qu'il se trouve sur la partie terrestre du cercle $\;\left({\mathcal {C}}_{1,\,2}\right)\;$ intersection des deux sphères $\;\left(\Sigma _{1}\right)\;$ et $\;\left(\Sigma _{2}\right)$, enfin,
de celle de «$\;\Delta _{3}\;$» nous en déduisons que le foyer du séisme se trouve sur la partie terrestre d'une 3ème sphère $\;\left(\Sigma _{3}\right)\;$ centrée en $\;O_{3}\;$ et de rayon $\;\Delta _{3}$ et par suite de celle de «$\;\color {transparent}{\Delta _{3}}\;$» nous en déduisons que le foyer du séisme qu'il se trouve sur la partie terrestre de l'intersection du cercle $\;\left({\mathcal {C}}_{1,\,2}\right)=\left(\Sigma _{1}\right)\cap \left(\Sigma _{2}\right)\;$ et de la sphère $\;\left(\Sigma _{3}\right)$, ce qui donne de celle de «$\;\color {transparent}{\Delta _{3}}\;$» deux positions possibles, la seule à retenir étant celle située à l'« intérieur de la Terre ».
Le système fonctionnant sur le même principe est le « G.P.S. » ainsi que le futur réseau européen « Galileo ».