# Fonctions d'une variable complexe/Le logarithme complexe
## L'exponentielle complexe

Avant de définir le logarithme complexe, rappelons la définition de l'exponentielle complexe par une série entière de rayon de convergence infini.
L'exponentielle complexe est définie par :
    $\forall z\in \mathbb {C} \quad \exp(z)=\operatorname {e} ^{z}=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {z^{m}}{m!}}$
et holomorphe sur $\mathbb {C}$.
* Contrairement à l'exponentielle réelle l'exponentielle complexe n’est pas injective dans $\mathbb {C}$ puisque $\forall k\in \mathbb {Z} \quad \operatorname {e} ^{z}=\operatorname {e} ^{z+2k\mathrm {i} \pi }$.
Par conséquent on ne peut définir un logarithme dans $\mathbb {C}$ comme un logarithme dans $\mathbb {R}$

## Fonctions hyperboliques

Grâce à l'exponentielle complexe nous pouvons étendre la définition des fonctions hyperboliques à $\mathbb {C}$ :
$\cosh z={\frac {\operatorname {e} ^{z}+\operatorname {e} ^{-z}}{2}},\quad \cos z={\frac {\operatorname {e} ^{z\mathrm {i} }+\operatorname {e} ^{-z\mathrm {i} }}{2}}=\cosh(\mathrm {i} z)$
$\sinh z={\frac {\operatorname {e} ^{z}-\operatorname {e} ^{-z}}{2}},\quad \sin z={\frac {\operatorname {e} ^{z\mathrm {i} }-\operatorname {e} ^{-z\mathrm {i} }}{2\mathrm {i} }}={\frac {\sinh(\mathrm {i} z)}{\mathrm {i} }}$

## Propriétés de l'exponentielle complexe

$\forall \;z,w\in \mathbb {C}$ :
* $\exp(z+w)=\exp(z)\exp(w)$ ;
* $\forall n\in \mathbb {Z} \;\exp(z)^{n}=\exp(nz)$ ;
* $\ |\exp(z)|=\exp(\operatorname {Re} (z))$.

## La fonction « argument » : Arg

Pour des raisons purement géométriques, l'argument d'un nombre complexe n'est jamais défini que modulo $2\pi$ et on ne peut définir de façon naturelle de fonction argument à valeurs réelles.
Ici, on se fixera un choix de l'argument, de sorte que l’on ait les propriétés suivantes :
$\forall \;z=x+\mathrm {i} y\;\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {R} _{-}$ on a :
    $\operatorname {Arg} (x+\mathrm {i} y)={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\text{si }}x>0,\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\text{si }}x<0{\text{ et }}y>0,\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\text{si }}x<0{\text{ et }}y<0,\\+{\frac {\pi }{2}}&{\text{si }}x=0{\text{ et }}y>0,\\-{\frac {\pi }{2}}&{\text{si }}x=0{\text{ et }}y<0.\end{cases}}$
On constate que cette fonction Arg(z) n’est pas prolongeable continument aux $z\in \left]-\infty ,0\right[$, car si elle était définie sur $\mathbb {C} \setminus \{0\}$, on aurait un saut de $2\pi$ et elle serait alors discontinue sur son ouvert de définition.
On appelle cette fonction détermination principale de l'argument.

## Le logarithme complexe

On définit sur $\Omega =\mathbb {C} \setminus \mathbb {R} _{-}$ la fonction $\mathrm {Log}$, qu'on appellera détermination principale du logarithme complexe par :
$\mathrm {Log} :\Omega \to \mathbb {C} ,\quad z\mapsto \ln(|z|)+\mathrm {i} \,\operatorname {Arg} \left(z\right)$
où $\ln$ désigne le logarithme népérien réel usuel.
Alors, $\mathrm {Log}$ est holomorphe sur $\Omega$.
Pour tout $z\in \Omega$, on a :
* $\operatorname {Log} '(z)={\frac {1}{z}}$,
* $\operatorname {e} ^{\operatorname {Log} (z)}=z$,
* $\operatorname {Log} (\operatorname {e} ^{z})=z+2\mathrm {i} \pi \mathbb {Z}$ dès que $\operatorname {e} ^{z}\in \Omega$.
* $\operatorname {Log} (1+z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}z^{n}$ si $|z|\leq 1$ et $z\neq -1$.

#### Dérivées partielles du logarithme complexe

On note $z=x+y\mathrm {i}$, pour $z\in \Omega$, on a :
* $\mathrm {D} _{x}\operatorname {Log} (z)=\mathrm {D} _{x}(\ln({\sqrt {x^{2}+y^{2}}})+\mathrm {i} \mathrm {D} _{x}(\operatorname {Arg} (x+y\mathrm {i} ))={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}+\mathrm {i} {\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {x-yi}{x^{2}+y^{2}}}$ ;
* $\mathrm {D} _{y}\operatorname {Log} (z)=\mathrm {D} _{y}(\ln({\sqrt {x^{2}+y^{2}}})+\mathrm {i} \mathrm {D} _{y}(\operatorname {Arg} (x+y\mathrm {i} ))={\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}+\mathrm {i} {\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {y+x\mathrm {i} }{x^{2}+y^{2}}}$.
Ainsi $\operatorname {Log}$ est holomorphe, puisque :
$\mathrm {D} _{x}\operatorname {Log} (z)+\mathrm {i} \mathrm {D} _{y}\operatorname {Log} (z)={\frac {x-y\mathrm {i} }{x^{2}+y^{2}}}+i{\frac {y+x\mathrm {i} }{x^{2}+y^{2}}}=0$.
La dérivée de $\operatorname {Log}$ se calcule en appliquant la règle de dérivation des fonctions composées :
    $\mathrm {D} _{x}\operatorname {Log} (z)=\mathrm {D} _{z}\operatorname {Log} (z)\mathrm {D} _{x}(z)$,
ce qui donne :
    $\mathrm {D} _{z}\operatorname {Log} (z)={\frac {\mathrm {D} _{x}\operatorname {Log} (z)}{\mathrm {D} _{x}(z)}}={\frac {x-y\mathrm {i} }{x^{2}+y^{2}}}={\frac {\bar {z}}{{\bar {z}}z}}={\frac {1}{z}}$.

### Puissance généralisée

$z^{\alpha }$
Soit $\alpha \in \mathbb {C}$ et $z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {R} _{-}$, on appelle puissance généralisée (ou détermination/branche principale) de $z^{\alpha }$ la fonction définie par : $z^{\alpha }=\exp(\alpha \operatorname {Log} (z))$
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