# Fonction exponentielle/Dérivée de exp(u)
## Dérivée de e$^{ax+b}$

On considère des fonctions de paramètres a et b écrites sous la forme : $x\mapsto e^{ax+b}$.
Par exemple, soit la fonction ƒ définie par : $f(x)=e^{2x+1}$ $\forall x\in \mathbb {R}$
ƒ est la fonction composée de la fonction affine $u:x\mapsto 2x+1$, définie sur $\mathbb {R}$,
et de la fonction exponentielle $e^{x}$, ce que l’on représente par le schéma suivant :
${\begin{array}{ccccc}x&\rightarrow &u(x)&~&~\\~&~&t&\rightarrow &e^{t}=e^{u(x)}\end{array}}$
Pour calculer l’expression de ƒ', on utilise le théorème suivant :
Soient a et b deux réels.
Soit g une fonction définie par $g:x\mapsto f(ax+b)$ sur un intervalle I.
Si ƒ est dérivable au point d'abscisse x alors g est dérivable au point d'abscisse a x + b et : $g'(x)=a\cdot f'(ax+b)\quad x\in I$
Dans notre cas particulier, pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=2\cdot e^{2x+1}$

## Dérivée de e$^{u(x)}$

Toujours dans l'exemple de la fonction ƒ, on avait, pour tout $x\in \mathbb {R} ,~u'(x)=a=2$.
On généralise ce procédé dans le cas où u(x) n’est pas forcément une fonction affine.
Soit u(x) une fonction dérivable sur un intervalle I.
Alors e$^{u(x)}$ est dérivable sur I et :

## Exemples

Sans se préoccuper de l’intervalle I, dériver les fonctions ƒ suivantes :

### Exemple 1

$f:x\mapsto e^{x^{2}+1}$
    Pour tout $x\in I,~u(x)=\ldots$.
    Pour tout $x\in I,~u'(x)=\ldots$
    Donc pour tout $x\in I,~f'(x)=\ldots$
    Pour tout $x\in I,~u(x)=x^{2}+1$
    Pour tout $x\in I,~u'(x)=2x$
    Donc pour tout $x\in I,~f'(x)=2x\cdot e^{x^{2}+1}$

### Exemple 2

$f:x\mapsto e^{2x^{3}+1}$
    Pour tout $x\in I,~u(x)=2x^{3}+1$
    Pour tout $x\in I,~u'(x)=6x^{2}$
    Donc pour tout $x\in I,~f'(x)=6x^{2}\cdot e^{2x^{3}+1}$

### Exemple 3

$f:x\mapsto e^{x^{2}+2x+1}$
    Pour tout $x\in I,~u(x)=x^{2}+2x+1$
    Pour tout $x\in I,~u'(x)=2x+2=2(x+1)$
    Donc pour tout $x\in I,~f'(x)=2(x+1)\cdot e^{x^{2}+2x+1}$

### Exemple 4

$f:x\mapsto e^{(x+1)^{2}}$
    Pour tout $x\in I,~u(x)=(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1$
    Pour tout $x\in I,~u'(x)=2x+2=2(x+1)$
    Donc pour tout $x\in I,~f'(x)=2(x+1)\cdot e^{(x+1)^{2}}$

### Exemple 5

$f_{5}:x\mapsto -3e^{5x^{2}+3}$
    Pour tout $x\in I,~u(x)=5x^{2}+3$
    Pour tout $x\in I,~u'(x)=10x$
    Donc pour tout $x\in I,~f'(x)=-30x\cdot e^{5x^{2}+3}$

### Exemple 6

$f_{6}:x\mapsto x(3e^{5x^{2}+3})$
On remarque que pour tout $x\in I,~f_{6}(x)=-x\cdot f_{5}(x)$ Donc pour tout $x\in I$ ${\begin{aligned}f_{6}'(x)&=-(1\cdot f_{5}(x)+xf_{5}'(x))\\&=-3e^{5x^{2}+3}-30x^{2}\cdot e^{5x^{2}+3}\\&=(3+30x^{2})e^{5x^{2}+3}\\&=3(1+10x^{2})e^{5x^{2}+3}\end{aligned}}$

## Exemple : l’exponentielle décroissante

On considère la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par $f:x\mapsto e^{-x}$
On a alors, pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\ldots$ et le tableau de variations :
* x
* ƒ'
* ƒ
Les limites aux bornes du domaine de définition de la fonction exponentielle sont :
* $\lim _{x\to +\infty }e^{-x}=\ldots$
* $\lim _{x\to -\infty }e^{-x}=\ldots$
Pour tout $x\in \mathbb {R} ,f'(x)=-e^{-x}$
* $\lim _{x\to +\infty }e^{-x}=0$
* $\lim _{x\to -\infty }e^{-x}=+\infty$
${\begin{array}{c|ccc|}x&-\infty &&+\infty \\\hline {\textrm {Sgn(f'(x))}}&&-&\\\hline &+\infty &&\\{\textrm {Var(f(x))}}&&\searrow &\\&&&0\\\end{array}}$
On peut remarquer que ƒ' = - ƒ ce qui fait de ƒ l’archétype de la solution des situations où, plus x augmente, plus ƒ diminue. Physiquement, on retrouve ce comportement dans de nombreuses situations : décharge d’un condensateur, freinage par frottements fluides, loi exponentielle en fiabilité, et bien d’autres…
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