# Théorie des groupes/Lois de composition internes, monoïdes
## Loi de composition interne

Une loi de composition interne $\star$ sur un ensemble X est une application : $\star :X\times X\rightarrow X$. Au lieu d’utiliser une notation fonctionnelle $\star (x,y)$ on utilise une notation en loi : $x\star y$.
Si $\star$ est une loi de composition interne sur un ensemble E, le couple (E, $\star$) est appelé un magma.
En toute rigueur, le magma (E, $\star$) est distinct de l’ensemble sous-jacent E, mais on commet souvent l'abus de langage de les identifier.
Soient E et F deux magmas. Commettons l'abus de noter leurs lois de composition par le même symbole $\star$. Un homomorphisme, ou encore morphisme, du magma E dans le magma F est une application f de E dans F telle que pour tous éléments x, y de E, on ait
    $\ f(x\star y)=f(x)\star f(y).$
Si le morphisme f est bijectif, on dit que c’est un isomorphisme. S'il existe un isomorphisme entre deux magmas, on dit que ces deux magmas sont isomorphes.
On verra plus loin des exemples de morphismes entre des magmas d'un type particulier, les monoïdes. En fait, la notion générale de magma servira très peu dans ce cours et uniquement dans la situation suivante : devant prouver qu'un ensemble G muni d'une loi de composition interne est un groupe (notion encore à définir), on prouvera que, comme magma, G est isomorphe à un groupe, ce qui entraîne que G est un groupe.
Si $(M,\star )$ est un magma, une partie X de M stable pour la loi de M (ce qui signifie que le composé de deux éléments de X appartient toujours à X) est appelée un sous-magma de M.
Si X est une telle partie de M, alors X, muni de la loi de composition interne induite $(x,y)\mapsto x\star y$, est un magma. Ce magma est appelé, tout comme la partie X, un sous-magma de M. (Autrement dit, on commet l'abus, signalé plus haut, d'identifier un magma et son ensemble sous-jacent.)
Une loi de composition interne $\star$ sur un ensemble X est dite commutative si, pour tous éléments x, y de X, $x\star y=y\star x.$
Une loi de composition interne $\star$ sur un ensemble X est dite associative si, pour tous éléments x, y et z de X, $\ (x\star y)\star z=x\star (y\star z).$
On voit que si une loi est associative, les parenthèses peuvent être omises sans ambiguïté : on écrit $x\star y\star z$ plutôt que $(x\star y)\star z$ ou $x\star (y\star z).$
Une loi associative est souvent notée multiplicativement, c'est-à-dire qu'on écrit $xy$ au lieu de $x\star y$. On peut aussi la noter additivement, c'est-à-dire écrire $x+y$ au lieu de $x\star y$, mais on préfère en général réserver la notation additive aux lois associatives et commutatives.
Soit $\star$ une loi de composition interne sur un ensemble X. On dit qu'un élément e de X est neutre pour cette loi si, pour tout élément x de X, $x\star e=e\star x=x$.
Un élément neutre pour une loi notée multiplicativement est généralement noté 1. Un élément neutre pour une loi notée additivement est généralement noté 0.
Une loi de composition interne admet au plus un élément neutre.
Soit $\star$ une loi de composition interne sur un ensemble X, admettant un (unique) élément neutre e. On dit que deux éléments x et y de X sont symétriques l'un de l'autre si $x\star y=y\star x=e$. Pour une loi notée multiplicativement, on dit plutôt inverses — et l'on dit qu'un élément est inversible s'il possède un inverse — et pour une loi notée additivement, on dit plutôt opposés.

## Monoïdes

Un monoïde est un ensemble muni d'une loi de composition interne associative et admettant un élément neutre.
Exemples. L'ensemble des nombres naturels, muni de l'addition usuelle, est un monoïde dont le neutre est 0; nous appellerons ce monoïde le monoïde additif des nombres naturels. L'ensemble des nombres naturels, muni de la multiplication usuelle, est un monoïde dont le neutre est 1; nous appellerons ce monoïde le monoïde multiplicatif des nombres naturels.
Dans la suite, E désigne un monoïde et sa loi de composition est notée sous forme multiplicative, c'est-à-dire que nous écrirons $xy$ pour désigner le composé noté plus haut $x\star y$. L'élément neutre est alors désigné par 1. Remarquons qu'E est non vide.
Dans un monoïde, tout élément admet au plus un symétrique.
Soient y et z deux symétriques de x (ou même seulement : y un symétrique à gauche et z un symétrique à droite), alors $z=1z=(yx)z=y(xz)=y1=y$.
On dit donc « le » symétrique de x. Il est clair que le symétrique du symétrique de x est x lui-même. En notation multiplicative : $(x^{-1})^{-1}=x.$
Dans un monoïde, tout élément $a$ inversible (c'est-à-dire admettant un symétrique) est simplifiable, c'est-à-dire qu'il vérifie : $ax=ay\Rightarrow x=y$ et $xa=ya\Rightarrow x=y$.
Montrons plus précisément tout élément $a$ inversible à gauche est simplifiable à gauche. Supposons donc que $ba=1$. Alors, pour tout élément $x$ de E, $b(ax)=(ba)x=1x=x$, donc si deux éléments $x$ et $y$ de E vérifient $ax=ay$ alors ils sont égaux (car $x=b(ax)=b(ay)=y$). De même, tout élément inversible à droite est simplifiable à droite.
Si $(M,\star )$ est un monoïde, une partie X de M stable pour la loi de M (ce qui signifie que le composé de deux éléments de X appartient toujours à X) et comprenant le neutre de M est appelée un sous-monoïde de M. Autrement dit, un sous-monoïde de M est un sous-magma de M qui comprend le neutre de M.
Si X est une telle partie de M, alors X, muni de la loi de composition interne $(x,y)\mapsto x\star y$, est un monoïde dont le neutre est égal au neutre de M.
Remarque. Si M est un monoïde et S un sous-magma de M, S peut être un monoïde sans être un sous-monoïde de M. C'est le cas par exemple si M est le monoïde multiplicatif des nombres naturels et S le singleton {0}.
On dit que deux éléments a et b d'un monoïde (ou plus généralement, d'un magma) commutent entre eux si ab = ba. Un monoïde est dit commutatif si sa loi est commutative, ce qui revient à dire que tous ses éléments commutent entre eux.
On vérifie facilement que dans un monoïde, le produit de deux élément commutant avec un élément a commute lui aussi avec a. (L'associativité joue un rôle dans la démonstration.) Comme le neutre commute avec tout élément, l'ensemble des éléments d'un monoïde M commutant avec un élément donné a de M est donc un sous-monoïde de M. Ce sous-monoïde de M est appelé le commutant de a. (Nous verrons que, quand le monoïde M est un groupe, on dit « centralisateur » plutôt que « commutant ».)

## Composé d'une séquence (finie) d'éléments d'un monoïde

On peut définir récursivement le composé (« produit » dans notre notation) $\prod _{i\in I}x_{i}$ d'une séquence d'éléments de E — c'est-à-dire d'une famille indexée par un ensemble fini totalement ordonné — de telle manière que le produit de la famille vide soit l'élément neutre et que
    $x_{1}\ldots x_{n+1}=\left(x_{1}\ldots x_{n}\right)x_{n+1}$.
On démontre alors :
* un théorème d'associativité selon lequel, dans un monoïde, un produit $x_{1}\ldots x_{n}$, évalué par cette définition ou en plaçant les parenthèses de n'importe quelle autre façon, donnera le même résultat (par exemple : $((ab)c)d=(a(bc))d=(ab)(cd)=a((bc)d)=a(b(cd))$).
* un théorème de commutativité selon lequel, dans un monoïde commutatif (ou plus généralement, pour une famille dont les éléments commutent deux à deux) le composé d'une famille finie ne dépend pas de l'ordre choisi sur l'index de cette famille.
On démontre également le lemme suivant, qui nous servira au chapitre « Produit de groupes » :
Soient M un monoïde et x$_1$, … , x$_n$, y$_1$, … , y$_n$ des éléments de M. Si, pour tous indices i > j, x$_i$ commute avec y$_j$, alors

### Remarque

    C'est vrai a fortiori dans l'hypothèse plus forte où tous les éléments x$_1$, … , x$_n$, y$_1$, … , y$_n$ commutent deux à deux. Dans ce cas, l'énoncé est un cas particulier du théorème de commutativité.
Pour un élément a d'un monoïde M noté multiplicativement et pour un naturel n, on note a$^n$ le produit d'un n-uplet d'éléments tous égaux à a. On dit que a$^n$ est la n-ième puissance de a. En notation additive, on écrit na au lieu de a$^n$
On a alors a$^{m+n}$ = a$^m$ a$^n$ et $a^{mn}={(a^{m})}^{n}$ pour tout élément a de M et tous nombres naturels m et n.
Si M est un monoïde et a un élément de M, tout sous-monoïde de M comprenant a comprend toutes les puissances a$^n$ de a, avec n naturel. En appliquant cela au commutant d'un élément b de M, nous trouvons que si un élément b de M commute avec un élément a, alors b commute avec a$^n$ pour tout nombre naturel n.
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