# Signaux physiques - bis (PCSI)/Exercices/Filtrage linéaire : fonction de transfert harmonique et diagramme de Bode, 1ère partie
## Fonction de transfert d'un filtre R C série avec sortie aux bornes de C, diagramme de Bode

Le circuit ci-contre «$\;R\,C\;$ série avec sortie aux bornes de $\;C\;$» est alimenté par une tension sinusoïdale $\;e(t)$.
Pour la suite on notera $\;{\underline {e}}(t)\;$ et $\;{\underline {s}}(t)\;$ les représentations complexes associées aux grandeurs sinusoïdales $\;e(t)\;$ et $\;s(t)$.

### Étude théorique
#### Détermination de l'amplification complexe en tension du filtre ainsi que de son gain en dB et de sa phase

Exprimer l'amplification complexe en tension $\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {s}}(t)}{{\underline {e}}(t)}}\;$ du filtre en fonction des paramètres du circuit et de la pulsation imposée par le générateur.
En déduire le gain en dB $\;G_{dB}=G_{dB}(\omega )\;$ du filtre et
En déduire sa phase $\;\varphi =\varphi (\omega )$.
Il convient bien sûr de refaire le schéma du circuit ci-dessus en complexe en remplaçant les tensions instantanées $\;e(t)\;$ et $\;s(t)\;$ par les tensions instantanées complexes $\;{\underline {e}}(t)\;$ et $\;{\underline {s}}(t)\;$ et en représentant le condensateur par un rectangle à côté duquel on met la valeur de son impédance complexe $\;{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}$.
$\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {s}}(t)}{{\underline {e}}(t)}}={\dfrac {{\underline {S}}(j\,\omega )}{\underline {E}}}\;$
$\;{\underline {s}}(t)={\dfrac {\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}{R+{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}}}\;{\underline {e}}(t)\;$
${\Bigg \$
$\;{\underline {S}}(j\,\omega )={\dfrac {\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}{R+{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}}}\;{\underline {E}}\;$
${\Bigg \}$
$\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{1+j\,R\,C\,\omega }}\;$
* en en prenant le module, « le gain $\;G(\omega )=\vert {\underline {A}}(j\,\omega )\vert ={\dfrac {1}{\sqrt {1+R^{2}\,C^{2}\,\omega ^{2}}}}\;$» puis « le gain en dB $\;G_{dB}(\omega )=20\,\log \!\left[G(\omega )\right]=-10\,\log \!\left[1+R^{2}\,C^{2}\,\omega ^{2}\right]\;$» et
* en en prenant l'argument, « la phase $\;\varphi (\omega )=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {A}}(j\,\omega )\right]=-\arctan \!\left(R\,C\,\omega \right)\;$».

#### Tracé des courbes de gain et de phase du diagramme de Bode, principales propriétés du filtre

Tracer les courbes de gain et de phase du diagramme de Bode, on précisera :
* le comportement asymptotique B.F. et H.F.,
* le transfert statique,
* la fréquence de coupure à $\;-3\;dB\;$ «$\;f_{c}\;$»,
* la nature du filtre,
* la bande passante à $\;-3\;dB\;$ «$\;B.P._{-3\,dB}\;$» et
* la valeur de la phase $\;\varphi \;$ à la fréquence de coupure à $\;-3\;dB$.
On reconnaît un 1er ordre fondamental de pulsation de coupure à $\;-3\;dB\;$ «$\;\omega _{0}={\dfrac {1}{R\,C}}\;$» et de transfert statique «$\;A_{0}=1\;$» d'où
* la fréquence de coupure à $\;-3\;dB\;$ «$\;f_{c}={\dfrac {\omega _{0}}{2\,\pi }}={\dfrac {1}{2\,\pi \,R\,C}}\;$»,
* la nature du filtre : un passe-bas,
* sa bande passante à $\;-3\;dB\;$ «$\;B.P._{-3dB}=f_{c}={\dfrac {1}{2\,\pi \,R\,C}}\;$»,
* son gain statique en dB «$\;G_{0,\,dB}=0\;$»,
* la valeur de la phase à la fréquence de coupure à $\;-3\;dB\;$ «$\;\varphi (\omega _{0})=-{\dfrac {\pi }{4}}\;$» ;
le comportement B.F. supposant «$\;\omega \lesssim {\dfrac {\omega _{0}}{10}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\underline {A}}(j\,\omega )\sim 1\;$» on en déduit «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}G_{dB,\,{\text{asymptotique}}\,B.F.}=0\\\varphi _{{\text{asymptotique}}\,B.F.}=0\end{array}}\right\rbrace \;$» ;
le comportement H.F. supposant «$\;\omega \gtrsim 10\;\omega _{0}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\underline {A}}(j\,\omega )\sim {\dfrac {1}{j\,R\,C\,\omega }}\;$» on en déduit «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}G_{dB,\,{\text{asymptotique}}\,H.F.}=-20\,\log \!\left[R\,C\,\omega \right]\\\varphi _{{\text{asymptotique}}\,H.F.}=-{\dfrac {\pi }{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$», soit une « pente de la courbe de gain du diagramme de Bode asymptotique de $\;-20\;dB\,/\,{\text{décade}}\;$» et un « comportement intégrateur à H.F. » ;
pour le tracé des courbes de gain et de phase revoir les paragraphes « tracé de la courbe de gain et tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode d'un 1er ordre fondamental » du chap.$6$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) », les tracés avec les valeurs numériques seront donnés dans la solution de la question « applications numériques » plus loin dans cet exercice.

#### Applications numériques

Calculer le gain statique en dB $\;G_{0,\,dB}\;$ et la fréquence de coupure à $\;-3\;dB\;$ «$\;f_{c}\;$» pour les filtres suivants :
* filtre $\;({\mathfrak {1}})\;$ construit avec $\;R=4,7\,k\Omega \;$ et $\;C=6,8\,nF$,
* filtre $\;({\mathfrak {2}})\;$ construit avec $\;R=680\,k\Omega \;$ et $\;C=47\,pF$.
Calcul du gain statique en dB$\;G_{0,\,dB}\;$et de la fréquence de coupure à$\;-3\;dB\;$“$\;f_{c}\;$” pour les filtres suivants :
* filtre $\;({\mathfrak {1}})$, «$\;G_{0,\,dB,\,({\mathfrak {1}})}=0\;$» et «$\;f_{c,\,({\mathfrak {1}})}={\dfrac {1}{2\,\pi \times 4,7\,10^{3}\times 6,8\,10^{-9}}}\simeq 4980\,Hz\;$»,
* filtre $\;({\mathfrak {2}})$, «$\;G_{0,\,dB,\,({\mathfrak {2}})}=0\;$» et «$\;f_{c,\,({\mathfrak {2}})}={\dfrac {1}{2\,\pi \times 680\,10^{3}\times 47\,10^{-12}}}\simeq 4980\,Hz\;$»,
les deux filtres ont donc mêmes caractéristiques dès lors que leur sortie reste ouverte, les tracés communs de leurs courbes de gain et de phase sont donnés ci-dessous :

### Étude expérimentale

Dans l'étude expérimentale de ces filtres, on mesure les valeurs de crête de $\;e(t)\;$ et $\;s(t)\;$ en envoyant $\;{\big$simultanément sur des voies différentes${\big )}\;$ la tension correspondante à l'entrée d'un oscilloscope cathodique, par l'intermédiaire d'un câble coaxial.
Si le tracé expérimental de la courbe de gain du diagramme de Bode donne une courbe tout à fait voisine de la courbe théorique pour le filtre $\;({\mathfrak {1}})\;$ pour lequel «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}G_{0,\,dB,\,{\text{exp}},\,({\mathfrak {1}})}\simeq G_{0,\,dB,\,{\text{th}}}\\f_{c,\,{\text{exp}},\,({\mathfrak {1}})}\simeq f_{c,\,{\text{th}}}\end{array}}\right\rbrace \;$», il n'en est pas de même pour le filtre $\;({\mathfrak {2}})\;$ pour lequel «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}G_{0,\,dB,\,{\text{exp}},\,({\mathfrak {2}})}\neq G_{0,\,dB,\,{\text{th}}}\\f_{c,\,{\text{exp}},\,({\mathfrak {2}})}\neq f_{c,\,{\text{th}}}\end{array}}\right\rbrace \;$» et on cherche à justifier les écarts observés en modélisant l'oscilloscope fonctionnant en r.s.f. par son impédance complexe d'entrée, le D.P. d'entrée de l'oscilloscope étant un condensateur parfait de capacité $\;C_{0}=30\,pF\;$ en parallèle sur un conducteur ohmique de résistance $\;R_{0}=1\,M\Omega \;$ $\;{\big$voir schéma ci-contre${\big )}$.

#### Détermination de l'amplification complexe en tension du filtre fermé sur l'oscilloscope utilisé et ses principales propriétés

Calculer la nouvelle amplification complexe en tension ${\underline {A'}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {s'}}(t)}{{\underline {e}}(t)}}\;$ du filtre fermé sur l'oscilloscope et vérifier qu'il s'agit d'un filtre de même nature que le filtre en sortie ouverte.
En déduire le nouveau gain statique en dB $\;{G'}_{0,\,dB}\;$ du filtre et
En déduire sa nouvelle fréquence de coupure à $\;-3\;dB\;$ «$\;{f'}_{c}\;$».
Il convient bien sûr de refaire le schéma du circuit ci-dessus en complexe en remplaçant les tensions instantanées $\;e(t)\;$ et $\;s'(t)\;$ par les tensions instantanées complexes $\;{\underline {e}}(t)\;$ et $\;{\underline {s'}}(t)\;$ et en représentant chaque condensateur par un rectangle à côté duquel on met la valeur de son impédance complexe $\;{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}\;$ pour le condensateur de capacité $\;C\;$ ou $\;{\underline {Z_{C_{0}}}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{j\,C_{0}\,\omega }}\;$ pour le condensateur de capacité $\;C_{0}$.
$\;R_{0}$
$\;{\underline {Z_{C_{0}}}}(j\,\omega )\;$
$\;{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )\;$
$\;\parallel$
$\;{\underline {Z_{\text{éq}}}}(j\,\omega )\;$
$\;{\dfrac {1}{{\underline {Z_{\text{éq}}}}(j\,\omega )}}={\dfrac {1}{R_{0}}}+j\,C_{0}\,\omega +j\,C\,\omega =$
${\dfrac {1+j\,R_{0}\,(C_{0}+C)\,\omega }{R_{0}}}\;$
$\;{\underline {Z_{\text{éq}}}}(j\,\omega )$
$={\dfrac {R_{0}}{1+j\,R_{0}\,(C_{0}+C)\,\omega }}\;$
$\;{\underline {s'}}(t)={\dfrac {{\underline {Z_{\text{éq}}}}(j\,\omega )}{R+{\underline {Z_{\text{éq}}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {e}}(t)\;$
${\Bigg \$
$\;{\underline {S'}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {Z_{\text{éq}}}}(j\,\omega )}{R+{\underline {Z_{\text{éq}}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {E}}\;$
${\Bigg \}$
$\Rightarrow$
$\;{\underline {A'}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {s'}}(t)}{{\underline {e}}(t)}}={\dfrac {{\underline {S'}}(j\,\omega )}{\underline {E}}}=$
${\dfrac {\dfrac {R_{0}}{1+j\,R_{0}\,(C_{0}+C)\,\omega }}{R+{\dfrac {R_{0}}{1+j\,R_{0}\,(C_{0}+C)\,\omega }}}}={\dfrac {R_{0}}{R_{0}+R\left[1+j\,R_{0}\,(C_{0}+C)\,\omega \right]}}={\dfrac {R_{0}}{R_{0}+R+j\,R\,R_{0}\,(C_{0}+C)\,\omega }}\;$
$\;{\underline {A'}}(j\,\omega )={\dfrac {\dfrac {R_{0}}{R+R_{0}}}{1+j\,{\dfrac {R\,R_{0}}{R+R_{0}}}\,(C_{0}+C)\,\omega }}\;$
On en déduit que la nature du filtre reste la même puisque le 1er ordre est fondamental mais avec des caractéristiques modifiées selon ce qui suit :
* un nouveau gain statique en dB «$\;G'_{0,\,dB}=20\,\log \!\left({\dfrac {R_{0}}{R+R_{0}}}\right)<0=G_{0,\,dB}\;$» et
* une nouvelle fréquence de coupure à $\;-3\;dB\;$ «$\;{f'}_{c}={\dfrac {R+R_{0}}{2\,\pi \,R\,R_{0}\,(C_{0}+C)}}\;$», soit encore «$\;{f'}_{c}=f_{c}\,{\dfrac {R+R_{0}}{R_{0}}}\,{\dfrac {C}{C+C_{0}}}\;$» laquelle peut être «$\;>\;$ ou $\;<\;$ à $\;f_{c}\;$».

#### Applications numériques et commentaires

Calculer le gain statique en dB «$\;{G'}_{0,\,dB}\;$» et la fréquence de coupure à $\;-3\;dB\;$ «$\;{f'}_{c}\;$» pour les filtres $\;({\mathfrak {1}})\;$ et $\;({\mathfrak {2}})$.
L'expérience donne pour le filtre $\;({\mathfrak {2}})\;$ le gain statique en dB «$\;G'_{0,\,dB}=-4,5\;dB\;$». Commenter les résultats.
Calcul du nouveau gain statique en dB$\;{G'}_{0,\,dB}\;$et de la nouvelle fréquence de coupure à$\;-3\;dB\;$“$\;{f'}_{c}\;$” pour les filtres suivants :
* pour le filtre $\;({\mathfrak {1}})$ : «$\;{G'}_{0,\,dB,\,({\mathfrak {1}})}=20\,\log \!\left[{\dfrac {10^{6}}{{\cancel {4,7\,10^{3}+}}10^{6}}}\right]\simeq 0\;$» et «$\;{f'}_{c,\,({\mathfrak {1}})}\simeq 4980\times {\dfrac {{\cancel {4,7\,10^{3}+}}10^{6}}{10^{6}}}\times {\dfrac {6,8\,10^{-9}}{6,8\,10^{-9}{\cancel {+30\,10^{-12}}}}}\simeq 4980\,Hz\;$»,
* pour le filtre $\;({\mathfrak {2}})$ : «$\;{G'}_{0,\,dB,\,({\mathfrak {2}})}=20\,\log \!\left[{\dfrac {10^{6}}{680\,10^{3}+10^{6}}}\right]\simeq -4,5\,dB\;$» et «$\;{f'}_{c,\,({\mathfrak {2}})}\simeq 4980\times {\dfrac {680\,10^{3}+10^{6}}{10^{6}}}\times {\dfrac {47\,10^{-12}}{47\,10^{-12}+30\,10^{-12}}}\simeq 5107\,Hz\;$».
Pour que le gain statique ne soit pas perturbé, il faut «$\;R_{0}\gg R\;$» ${\big$ainsi, « avec $\;R_{0}=1\,M\Omega$, ne pas dépasser $\;100\,k\Omega \;$»${\big ]}\;$ et pour que la bande passante à $\;-3\;dB\;$ reste la même, il faut «$\;C_{0}\ll C\;$» ${\big$ainsi, « avec $\;C_{0}=30\,pF\;$ ne pas aller au-dessous de $\;300\,pF=0,3\,nF\;$»${\big ]}$.

## Circuit construit à l'aide d'un conducteur ohmique et d'une bobine parfaite montés en série et alimenté par un générateur idéal de tension sinusoïdale ou en parallèle alimenté par un générateur idéal de courant sinusoïdal
### Circuit construit à l'aide d'un conducteur ohmique et d'une bobine parfaite montés en série et alimenté par un générateur idéal de tension sinusoïdale
#### Sortie ouverte aux bornes du conducteur ohmique

Soit le quadripôle «$\;R,\,L\;$ série avec sortie aux bornes de $\;R\;$», représenté sur le schéma ci-contre, de tension d'entrée $\;u_{E}\;$ et de sortie ouverte $\;u_{S}$.

##### Détermination directe de l'expression de l'amplification statique en tension du filtre

Déterminer directement l'expression de l'amplification statique en tension $\;A_{0}={\dfrac {U_{S}}{U_{E}}}\;$ ${\bigU_{E}\;$ étant la tension permanente imposée en entrée et $\;U_{S}\;$ la tension permanente de sortie $\;{\big$ouverte${\big )}{\big ]}$.
En statique $\;{\big$régime permanent établi${\big )}\;$ il n'y a pas de phénomène d'induction, la bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$ est équivalente à un court-circuit, on a donc $\;U_{S}=U_{E}\;$ et par suite $\;A_{0}={\dfrac {U_{S}}{U_{E}}}=1$.

##### Détermination de l'amplification complexe en tension du filtre fonctionnant en r.s.f.

Déterminer l'expression de l'amplification complexe en tension $\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {U_{s}}}(j\,\omega )}{\underline {U_{e}}}}\;$ en r.s.f. en fonction de $\;\omega \;$ et «$\;\tau ={\dfrac {L}{R}}\;$ la constante de temps du $\;R\,L\;$ série »
et retrouver la valeur de $\;A_{0}\;$ trouvée à la question précédente.
Il convient bien sûr de refaire le schéma ci-dessus en complexe en remplaçant les tensions instantanées $\;u_{e}(t)$, $\;u_{s}(t)$ et les intensités instantanées des courants $\;i_{e}(t)\;$ et $\;i_{s}(t)=0\;$ par leurs expressions instantanées complexes associées $\;{\underline {u_{e}}}(t)$, $\;{\underline {u_{s}}}(t)$, $\;{\underline {i_{e}}}(t)\;$ et $\;{\underline {i_{s}}}(t)=0\;$ en représentant la bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$ par un rectangle à côté duquel on met son impédance complexe $\;{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )=j\,L\,\omega$.
$\;{\underline {u_{s}}}(t)={\dfrac {R}{R+{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {u_{e}}}(t)\;$
${\Bigg \$
$\;{\underline {U_{s}}}(j\,\omega )={\dfrac {R}{R+{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {U_{e}}}\;$
${\Bigg \}$
$\Rightarrow$
$\;{\underline {A}}(j\,\omega )$
$={\dfrac {{\underline {u_{s}}}(t)}{{\underline {u_{e}}}(t)}}={\dfrac {{\underline {U_{s}}}(j\,\omega )}{\underline {U_{e}}}}={\dfrac {R}{R+j\,L\,\omega }}\;$
$\;R\;$
$\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{1+j\,\tau \,\omega }}\;$
$\;\tau ={\dfrac {L}{R}}\;$
$\;R\,L\;$
Il s'agit donc d'un 1er ordre fondamental de transfert statique «$\;A_{0}=1\;$» en accord avec le résultat trouvé à la question précédente.

##### Allure du diagramme de Bode associé à l'amplification complexe en tension du filtre construit

Donner l'allure du diagramme de Bode associé à cette fonction de transfert en
en précisant la nature du filtre et ses principales propriétés.
Le gain associé est «$\;G(\omega )={\dfrac {U_{s}(\omega )}{U_{e}}}=\vert {\underline {A}}(j\,\omega )\vert ={\dfrac {1}{\sqrt {1+\tau ^{2}\,\omega ^{2}}}}\;$» correspondant à un passe-bas de pulsation de coupure à $\;-3\;dB\;$ «$\;\omega _{c}={\dfrac {1}{\tau }}\;$» ;
le gain en décibels se définissant par $\;G_{dB}(\omega )=20\,\log \!\left[G(\omega )\right]\;$ se réécrit $\;G_{dB}(\omega )=20\,\log \!\left[{\dfrac {1}{\sqrt {1+\tau ^{2}\,\omega ^{2}}}}\right]$, ou encore «$\;G_{dB}(\omega )=-10\,\log \!\left[1+\tau ^{2}\,\omega ^{2}\right]\;$» et
sa phase «$\;\varphi (\omega )=\varphi _{u_{s}}(\omega )-\varphi _{u_{e}}=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {A}}(j\,\omega )\right]=-\arctan \!\left(\tau \,\omega \right)\;$» ;
le comportement asymptotique B.F. correspondant à «$\;\omega \lesssim {\dfrac {\omega _{0}}{10}}\;$» conduit à une amplification complexe en tension «$\;{\underline {A_{B.F.}}}\sim 1\;$» d'où les asymptotes B.F. de la courbe de gain «$\;G_{dB,\,{\text{asymptote}}\,B.F.}=0\;$» et de la courbe de phase «$\;\varphi _{{\text{asymptote}}\,B.F.}=0\;$» du diagramme de Bode alors que
le comportement asymptotique H.F. correspondant à «$\;\omega \gtrsim 10\;\omega _{0}\;$» conduit à une amplification complexe en tension «$\;{\underline {A_{H.F.}}}\sim {\dfrac {1}{j\,\tau \,\omega }}\;$» entraînant l'équivalence à un « circuit intégrateur à H.F. » avec les asymptotes H.F. de la courbe de gain «$\;G_{dB,\,{\text{asymptote}}\,H.F.}=-20\,\log(\tau \,\omega )\;$» et de la courbe de phase «$\;\varphi _{{\text{asymptote}}\,H.F.}=-{\dfrac {\pi }{2}}\;$» du diagramme de Bode, enfin
la valeur de la phase pour la pulsation de coupure à $\;-3\;dB\;$ est «$\;\varphi (\omega _{0})=-{\dfrac {\pi }{4}}\;$».
Pour le tracé des courbes de gain et de phase revoir les paragraphes « tracé de la courbe de gain et tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode d'un 1er ordre fondamental » du chap.$6$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».

#### Sortie ouverte aux bornes de la bobine parfaite

Après permutation du conducteur ohmique et de la bobine parfaite on reprend les mêmes questions.

##### Détermination directe de l'expression de l'amplification statique en tension du nouveau filtre

Déterminer directement l'expression de l'amplification statique en tension $\;A_{0}={\dfrac {U_{S}}{U_{E}}}\;$ ${\bigU_{E}\;$ étant la tension permanente imposée en entrée et $\;U_{S}\;$ la tension permanente de sortie $\;{\big$ouverte${\big )}{\big ]}$.
En statique (régime permanent établi) il n'y a pas de phénomène d'induction, la bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$ est équivalente à un court-circuit, on a donc $\;U_{S}=0\;$ et par suite $\;A_{0}={\dfrac {U_{S}}{U_{E}}}=0$.

##### Détermination de l'amplification complexe en tension du nouveau filtre fonctionnant en r.s.f.

Déterminer l'expression de l'amplification complexe en tension $\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {U_{s}}}(j\,\omega )}{\underline {U_{e}}}}\;$ en r.s.f. en fonction de $\;\omega \;$ et «$\;\tau ={\dfrac {L}{R}}\;$ la constante de temps du $\;R\,L\;$ série »
et retrouver la valeur de $\;A_{0}\;$ trouvée à la question précédente.
Il convient bien sûr de refaire le schéma ci-dessus en complexe en remplaçant les tensions instantanées $\;u_{e}(t)$, $\;u_{s}(t)$ et les intensités instantanées des courants $\;i_{e}(t)\;$ et $\;i_{s}(t)=0\;$ par leurs expressions instantanées complexes associées $\;{\underline {u_{e}}}(t)$, $\;{\underline {u_{s}}}(t)$, $\;{\underline {i_{e}}}(t)\;$ et $\;{\underline {i_{s}}}(t)=0\;$ en représentant la bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$ aux bornes de laquelle se trouve la sortie par un rectangle à côté duquel on met son impédance complexe $\;{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )=j\,L\,\omega$.
$\;{\underline {u_{s}}}(t)={\dfrac {{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )}{R+{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {u_{e}}}(t)\;$
${\Bigg \$
$\;{\underline {U_{s}}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )}{R+{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {U_{e}}}\;$
${\Bigg \}$
$\Rightarrow$
$\;{\underline {A}}(j\,\omega )$
$={\dfrac {{\underline {u_{s}}}(t)}{{\underline {u_{e}}}(t)}}={\dfrac {{\underline {U_{s}}}(j\,\omega )}{\underline {U_{e}}}}={\dfrac {j\,L\,\omega }{R+j\,L\,\omega }}\;$
$\;R\;$
$\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {j\,\tau \,\omega }{1+j\,\tau \,\omega }}\;$
$\;\tau ={\dfrac {L}{R}}\;$
$\;R\,L\;$
Il s'agit donc d'un 1er ordre non fondamental à transfert statique nul de transfert statique «$\;A_{0}=\lim \limits _{\omega \,\rightarrow \,0}\left[{\underline {A}}(j\,\omega )\right]=0\;$» en accord avec le résultat trouvé à la question précédente.

##### Allure du diagramme de Bode associé à l'amplification complexe en tension du nouveau filtre construit

Donner l'allure du diagramme de Bode associé à cette fonction de transfert en
en précisant la nature du filtre et ses principales propriétés.
Le gain associé est «$\;G(\omega )={\dfrac {U_{s}(\omega )}{U_{e}}}=\vert {\underline {A}}(j\,\omega )\vert ={\dfrac {\tau \,\omega }{\sqrt {1+\tau ^{2}\,\omega ^{2}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {1+{\dfrac {1}{\tau ^{2}\,\omega ^{2}}}}}}\;$» correspondant à un passe-haut de pulsation de coupure à $\;-3\;dB\;$ «$\;\omega _{c}={\dfrac {1}{\tau }}\;$» ;
le gain en décibels se définissant par $\;G_{dB}(\omega )=20\,\log \!\left[G(\omega )\right]\;$ se réécrit $\;G_{dB}(\omega )=20\,\log \!\left[{\dfrac {\tau \,\omega }{\sqrt {1+\tau ^{2}\,\omega ^{2}}}}\right]\;$ ou encore «$\;G_{dB}(\omega )=20\,\log(\tau \,\omega )-10\,\log \!\left[1+\tau ^{2}\,\omega ^{2}\right]\;$» et
sa phase «$\;\varphi (\omega )=\varphi _{u_{s}}(\omega )-\varphi _{u_{e}}=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {A}}(j\,\omega )\right]={\dfrac {\pi }{2}}-\arctan \!\left(\tau \,\omega \right)\;$» ;
le comportement asymptotique B.F. correspondant à «$\;\omega \lesssim {\dfrac {\omega _{0}}{10}}\;$» conduit à une amplification complexe en tension «$\;{\underline {A_{B.F.}}}\sim j\,\tau \,\omega \;$» entraînant l'équivalence à un « circuit dérivateur à B.F. » avec les asymptotes B.F. de la courbe de gain «$\;G_{dB,\,{\text{asymptote}}\,B.F.}=20\,\log(\tau \,\omega )\;$» et de la courbe de phase «$\;\varphi _{{\text{asymptote}}\,B.F.}=+{\dfrac {\pi }{2}}\;$» du diagramme de Bode alors que
le comportement asymptotique H.F. correspondant à «$\;\omega \gtrsim 10\;\omega _{0}\;$» conduit à une amplification complexe en tension «$\;{\underline {A_{H.F.}}}\sim 1\;$» d'où les asymptotes H.F. de la courbe de gain «$\;G_{dB,\,{\text{asymptote}}\,H.F.}=0\;$» et de la courbe de phase «$\;\varphi _{{\text{asymptote}}\,H.F.}=0\;$» du diagramme de Bode, enfin
la valeur de la phase pour la pulsation de coupure à $\;-3\;dB\;$ est «$\;\varphi (\omega _{0})=+{\dfrac {\pi }{4}}\;$».
Pour le tracé des courbes de gain et de phase revoir les paragraphes « tracé de la courbe de gain et tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode d'un 1er ordre non fondamental à transfert statique nul » du chap.$6$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».

### Circuit construit à l'aide d'un conducteur ohmique et d'une bobine parfaite montés en parallèle alimenté par un générateur idéal de courant sinusoïdal

Soit le circuit linéaire «$\;R\,L\;$ parallèle », représenté sur le schéma ci-contre, commandé par un générateur de courant parfait de c.e.m. $\;i_{G}$.

#### Détermination de l'expression de la transimpédance complexe du filtre commandé en courant et fonctionnant en r.s.f.

Déterminer l'expression de la transimpédance complexe $\;{\underline {Z_{t}}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {U_{s}}}(j\,\omega )}{\underline {I_{g}}}}\;$, en r.s.f. en fonction de $\;\omega$, $\;R\;$ et $\;\tau ={\dfrac {L}{R}}\;$ la constante de temps du $\;R\,L\;$ montées en parallèle.
En déduire l'expression de la transrésistance $\;R_{t,\,0}={\dfrac {U_{S}}{I_{G}}}\;$ de ce filtre ${\bigU_{S}\;$ étant la tension permanente mesurée en sortie et $\;I_{G}\;$ le c.e.m. permanent imposé à l'entrée${\big ]}$..
Il convient bien sûr refaire le schéma ci-dessus en complexe en remplaçant le c.e.m. instantané $\;i_{g}(t)\;$ et la tension instantanée $\;u_{s}(t)\;$ par leurs expressions instantanées complexes $\;{\underline {i_{g}}}(t)\;$ et $\;{\underline {u_{s}}}(t)\;$ en représentant la bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$ par un rectangle à côté duquel on met son impédance complexe $\;{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )=j\,L\,\omega$ ;
$\;{\underline {Z_{t}}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {u_{s}}}(t)}{{\underline {i_{g}}}(t)}}={\dfrac {{\underline {U_{s}}}(j\,\omega )}{\underline {I_{g}}}}\;$
$\;{\underline {Z_{t}}}(j\,\omega )=$
$j\,L\,\omega \,\parallel \,R={\dfrac {R\,j\,L\,\omega }{R+j\,L\,\omega }}={\dfrac {j\,L\,\omega }{1+j\,\tau \,\omega }}\;$
$\;R\;$
$\;\tau ={\dfrac {L}{R}}\;$
$\;R\,L\;$
$\;{\underline {Z_{t}}}(j\,\omega )=R\,{\dfrac {j\,\tau \,\omega }{1+j\,\tau \,\omega }}\;$
La transrésistance $\;R_{t,\,0}={\dfrac {U_{S}}{I_{G}}}\;$ étant la limite de la transimpédance complexe quand la pulsation $\;\omega \;$ tend vers $\;0$, on en déduit «$\;R_{t,\,0}=\lim \limits _{\omega \,\rightarrow \,0}\left[{\underline {Z_{t}}}(j\,\omega )\right]=0\;$» en accord avec le fait qu'en statique les phénomènes d'induction disparaissant, une bobine parfaite en régime permanent est équivalente à un court-circuit d'où $\;U_{S}=0$.

#### Définition et allure du diagramme de Bode associé à la transimpédance complexe du filtre commandé en courant fonctionnant en r.s.f. avec précision de ses principales propriétés

Pour pouvoir définir un diagramme de Bode associé à une transimpédance complexe, on introduit le gain associé à cette impédance complexe de transfert par «$\;G_{z}(\omega )={\dfrac {\vert {\underline {Z_{t}}}(j\,\omega )\vert }{1\,\Omega }}\;$» de façon à ce que ce gain soit une grandeur sans unité.
Définir et donner l'allure du diagramme de Bode associé à la transimpédance complexe du filtre ainsi construit
en précisant les principales propriétés de ce dernier.
Le gain associé est «$\;G_{z}(\omega )={\dfrac {\vert {\underline {Z_{t}}}(j\,\omega )\vert }{1\,\Omega }}={\dfrac {1}{1\,\Omega }}\;{\dfrac {U_{s}(\omega )}{I_{g}}}={\dfrac {R}{1\,\Omega }}\;{\dfrac {\tau \,\omega }{\sqrt {1+\tau ^{2}\,\omega ^{2}}}}={\dfrac {R}{1\,\Omega }}\;{\dfrac {1}{\sqrt {1+{\dfrac {1}{\tau ^{2}\,\omega ^{2}}}}}}\;$» correspondant à un passe-haut de pulsation de coupure à $\;-3\;dB\;$ «$\;\omega _{c}={\dfrac {1}{\tau }}\;$» $\;{\big \$en accord avec le fait que la transimpédance complexe du filtre est un 1er ordre non fondamental à transfert statique nul donc un passe-haut${\big \}$ ;
le gain en décibels se définissant par $\;G_{z,\,dB}(\omega )=20\,\log \!\left[G_{z}(\omega )\right]\;$ se réécrit $\;G_{z,\,dB}(\omega )=20\,\log \!\left[{\dfrac {R}{1\,\Omega }}\right]+20\,\log \!\left[{\dfrac {\tau \,\omega }{\sqrt {1+\tau ^{2}\,\omega ^{2}}}}\right]\;$ ou «$\;G_{z,\,dB}(\omega )=$ $20\,\log \!\left[{\dfrac {R}{1\,\Omega }}\right]+20\,\log(\tau \,\omega )-10\,\log \!\left[1+\tau ^{2}\,\omega ^{2}\right]\;$» et
sa phase «$\;\varphi (\omega )=\varphi _{u_{s}}(\omega )-\varphi _{i_{g}}=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {Z_{t}}}(j\,\omega )\right]={\dfrac {\pi }{2}}-\arctan \!\left(\tau \,\omega \right)\;$» ;
le comportement asymptotique B.F. correspondant à «$\;\omega \lesssim {\dfrac {\omega _{0}}{10}}\;$» conduit à une transimpédance complexe «$\;{\underline {Z_{t,\,B.F.}}}\sim j\,R\,\tau \,\omega \;$» entraînant l'équivalence à un « circuit dérivateur à B.F. » avec les asymptotes B.F. de la courbe de gain «$\;G_{z,\,dB,\,{\text{asymptote}}\,B.F.}=20\,\log \!\left[{\dfrac {R}{1\,\Omega }}\right]+20\,\log(\tau \,\omega )\;$» et de la courbe de phase «$\;\varphi _{{\text{asymptote}}\,B.F.}=+{\dfrac {\pi }{2}}\;$» du diagramme de Bode alors que
le comportement asymptotique H.F. correspondant à «$\;\omega \gtrsim 10\;\omega _{0}\;$» conduit à une transimpédance complexe «$\;{\underline {Z_{t,\,H.F.}}}\sim R\;$» d'où les asymptotes H.F. de la courbe de gain «$\;G_{dB,\,{\text{asymptote}}\,H.F.}=$ $20\,\log \!\left[{\dfrac {R}{1\,\Omega }}\right]\;$» et de la courbe de phase «$\;\varphi _{{\text{asymptote}}\,H.F.}=0\;$» du diagramme de Bode, enfin
la valeur de la phase pour la pulsation de coupure à $\;-3\;dB\;$ est «$\;\varphi (\omega _{0})=+{\dfrac {\pi }{4}}\;$».
Pour le tracé des courbes de gain et de phase revoir les paragraphes « tracé de la courbe de gain et tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode d'un 1er ordre non fondamental à transfert statique nul » du chap.$6$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».