# Intégration en mathématiques/Exercices/Valeur moyenne
## Exercice 3-1

Soit la fonction $f$ définie par :
    $f(x)={\frac {1}{\ln x}}-{\frac {1}{x-1}}$.
1° Préciser son ensemble de définition.
2° On pose :
    $I(x)=\int _{x}^{x^{2}}{\frac {\mathrm {d} t}{\ln t}}$, pour $x\in \mathbb {R} _{+}^{*}\setminus \{1\}$.
    Prouver qu'il existe un réel $c$ de l'intervalle $]x,x^{2}[$ (ou $]x^{2},x[$) tel que :
    $I(x)=(x^{2}-x)f(c)+[\ln |t-1|]_{x}^{x^{2}}$.
3° En déduire la limite de $I(x)$ lorsque $x$ tend vers $1$.
* $\mathbb {R} _{+}^{*}\setminus \{1\}$.
* $f$ est continue sur $]x,x^{2}[$ si $x>1$ (ou $]x^{2},x[$ si $0<x<1$) donc atteint sa valeur moyenne sur cet intervalle, si bien que
    $I(x)-[\ln |t-1|]_{x}^{x^{2}}=\int _{x}^{x^{2}}f(t)\,\mathrm {d} t=(x^{2}-x)f(c)$ pour un certain $c\in ]x,x^{2}[$ (ou $]x^{2},x[$).
** $I(x)=(x^{2}-x)f(c_{x})+\ln \left|{\frac {x^{2}-1}{x-1}}\right|={\frac {x^{2}-x}{c_{x}-1}}(c_{x}-1)f(c_{x})+\ln(x+1)$ avec $0<{\frac {x^{2}-x}{c_{x}-1}}<x$ et $\lim _{x\to 1}c_{x}=1$.
** Quand $c\to 1$, ${\frac {\ln c}{c-1}}\to \ln '(1)=1$ donc $(c-1)f(c)={\frac {c-1}{\ln c}}-1\to 0$.
** Par conséquent, $\lim _{1}I=\ln 2$.

## Exercice 3-2

Soit $f:[0,\pi ]\to \mathbb {R}$ une fonction continue telle que :
$\int _{0}^{\pi }f(t)\cos t\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\pi }f(t)\sin t\,\mathrm {d} t=0$.
Démontrer qu'il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que :
$0<\alpha <\beta <\pi$ et $f(\alpha )=f(\beta )=0$
Supposons $f$ non constamment nulle (sur son domaine de définition, $\left[0,\pi \right]$).
Alors elle n'est pas de signe constant (sinon, $f\times \sin$ le serait aussi, ce qui ne se peut car, étant continue et d'intégrale nulle, elle serait constamment nulle, or $\sin$ ne s'annule qu'en $0$ et $\pi$). Il existe donc $a,b\in \left[0,\pi \right]$ tels que $f(a)>0$ et $f(b)<0$ donc entre les deux (par le théorème des valeurs intermédiaires), un point $c\in \left]0,\pi \right[$ en lequel $f$ s'annule.
Si c'était le seul, les restrictions de $f$ à $\left]0,c\right[$ et à $\left]c,\pi \right[$ seraient de signes constants et distincts donc la fonction $\left[0,\pi \right]\to \mathbb {R} ,\ t\mapsto f(t)\sin(t-c)$ serait de signe constant. C'est impossible car (par combinaison linéaire) son intégrale est nulle et $\left[0,\pi \right]\to \mathbb {R} ,\ t\mapsto \sin(t-c)$ ne s'annule qu'en $c$.
Par conséquent, $f$ s'annule en au moins deux points de $\left]0,\pi \right[$.

## Exercice 3-3

Soit la fonction $f$ de $\mathbb {R}$ vers $\mathbb {R}$ définie par :
$f(x)={\frac {x-1}{|x^{2}-2x|+1}}$.
Calculer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $\left[1,m\right]\quad (m\in \mathbb {R} \setminus \{1\})$.
La valeur moyenne de $f$ sur $[1,m]$ est
${\frac {F(m)}{m-1}}$
avec $F(m)=\int _{1}^{m}f(x)\ \mathrm {d} x=\int _{0}^{m-1}f(1+y)\ \mathrm {d} y$, à calculer.
$f(1+y)={\frac {y}{|y^{2}-1|+1}}={\begin{cases}{\frac {y}{2-y^{2}}}&{\text{si}}&|y|\leq 1\\{\frac {1}{y}}&{\text{si}}&|y|\geq 1\end{cases}}$
donc
$F(m)={\begin{cases}-{\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {2-(m-1)^{2}}{2}}\right)&{\text{si}}&m\in \left[0,2\right]\\\ln \left(|m-1|{\sqrt {2}}\right)&{\text{si}}&m\notin \left]0,2\right[.\end{cases}}$
(La valeur commune aux deux cas se calcule grâce au premier cas : $F(2)=F(0)=-{\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1}{2}}\right)=\ln {\sqrt {2}}$, et permet de calculer le second cas : $\ln {\sqrt {2}}+\ln |m-1|=\ln \left(|m-1|{\sqrt {2}}\right)$.)

## Exercice 3-4

Soit $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ une fonction de classe C$^2$, c'est-à-dire que $f''$ est définie sur $[a,b]$ et continue.
1° Déterminer une primitive de la fonction $\varphi$ définie par :
    $\varphi (x)=(f''(x)+f(x))\sin(x-a)$.
2° En déduire $\int _{a}^{b}\varphi$.
3° On suppose que $b-a=\pi$ et $f(a)+f(b)>0$. Prouver qu'il existe un réel $\alpha \in [a,b]$ tel que $f''(\alpha )+f(\alpha )>0$.
* ${\begin{aligned}\int _{a}^{x}(f''(t)+f(t))\sin(t-a)\,\mathrm {d} t&=\int _{a}^{x}f''(t)\sin(t-a)\,\mathrm {d} t+\int _{a}^{x}f(t)\sin(t-a)\,\mathrm {d} t\\&=[f'(t)\sin(t-a)]_{a}^{x}-\int _{a}^{x}f'(t)\cos(t-a)\,\mathrm {d} t+\int _{a}^{x}f(t)\sin(t-a)\,\mathrm {d} t\\&=[f'(t)\sin(t-a)]_{a}^{x}-[f(t)\cos(t-a)]_{a}^{x}\end{aligned}}$ donc une primitive de $\varphi$ est$x\mapsto f'(x)\sin(x-a)-f(x)\cos(x-a)$.
* $\int _{a}^{b}\varphi =[f'(x)\sin(x-a)-f(x)\cos(x-a)]_{a}^{b}=f'(b)\sin(b-a)-f(b)\cos(b-a)+f(a)$.
* Supposons $b-a=\pi$. Alors, $\int _{a}^{b}\varphi =f(b)+f(a)$ et $\varphi$ est le produit de $f+f''$ par $x\mapsto \sin(x-a)$, qui est $\geq 0$ sur $[a,b]$. Par conséquent, si $f+f''\leq 0$ alors $f(b)+f(a)\leq 0$. On conclut par contraposition.
| Comparaison | Primitives 1 |