# Équation du quatrième degré/Exercices/Sur les résolutions trigonométriques
## Exercice 8-1

Résoudre l'équation :
$x^{4}+4x^{3}+2x^{2}-4x-1={\sqrt {3}}~$
Nous avons une équation de la forme :
$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0~$
avec :
$a=1\qquad b=4\qquad c=2\qquad d=-4\qquad e=-1-{\sqrt {3}}~$
Nous constatons alors que :
    ${\begin{aligned}b^{3}-4abc+8a^{2}d&=4^{3}-4\times 1\times 4\times 2+8\times 1^{2}\times (-4)\\&=0\end{aligned}}$
Nous pouvons donc appliquer la méthode trigonométrique en sinus et cosinus
Nous poserons alors :
    $x=z-{\frac {b}{4a}}=z-1~$
Ce qui donne :
    $z^{4}-4z^{2}+2-{\sqrt {3}}=0~$
Nous obtenons alors une équation de la forme :
    $z^{4}+pz^{2}+r=0~$
avec :
    $p=-4\qquad r=2-{\sqrt {3}}~$
Comme p < 0 et 0 < 4r < p$^2$, nous ferons le nouveau changement de variable :
    $z={\sqrt {-p}}.\cos {\theta }=2\cos {\theta }~$
Nous obtenons alors l'équation :
    $16\cos ^{4}\theta -16\cos ^{2}\theta +2-{\sqrt {3}}=0~$
Qui se simplifie sous la forme :
    $8\cos ^{4}\theta -8\cos ^{2}\theta +1={\frac {\sqrt {3}}{2}}~$
Au premier membre, nous reconnaissons le développement de cos(4θ) et au second membre le cosinus de π/6, nous obtenons donc :
    $\cos(4\theta )=\cos \left({\frac {\pi }{6}}\right)~$
Ce qui entraîne :
${\begin{cases}4\theta ={\frac {\pi }{6}}+2k\pi \\ou\\4\theta =-{\frac {\pi }{6}}+2k\pi \end{cases}}$
C'est-à-dire :
${\begin{cases}\theta ={\frac {\pi }{24}}+{\frac {k\pi }{2}}\\ou\\\theta =-{\frac {\pi }{24}}+{\frac {k\pi }{2}}\end{cases}}$
En reportant ces valeurs de θ dans la relation :
    $z=2\cos {\theta }~$
On obtient, en utilisant le cercle trigonométrique, les quatre valeurs suivantes pour z :
${\begin{cases}z_{1}=2\cos {\frac {\pi }{24}}\\z_{2}=2\cos {\frac {11\pi }{24}}\\z_{3}=2\cos {\frac {13\pi }{24}}\\z_{4}=2\cos {\frac {23\pi }{24}}\end{cases}}$
En reportant ces dernières valeurs dans la relation :
    $x=z-1~$
Nous voyons que les racines de l'équation :
$x^{4}+4x^{3}+2x^{2}-4x-1={\sqrt {3}}~$
sont :
${\begin{cases}x_{1}=2\cos {\frac {\pi }{24}}-1\\x_{2}=2\cos {\frac {11\pi }{24}}-1\\x_{3}=2\cos {\frac {13\pi }{24}}-1\\x_{4}=2\cos {\frac {23\pi }{24}}-1\end{cases}}$

## Exercice 8-2

Résoudre l'équation :
$x^{4}+4x^{3}+2x^{2}-4x-5=0~$
Nous avons une équation de la forme :
$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0~$
avec :
$a=1\qquad b=4\qquad c=2\qquad d=-4\qquad e=-5~$
Nous constatons alors que :
    ${\begin{aligned}b^{3}-4abc+8a^{2}d&=4^{3}-4\times 1\times 4\times 2+8\times 1^{2}\times (-4)\\&=0\end{aligned}}$
Nous pouvons donc appliquer la méthode trigonométrique en sinus et cosinus
Nous poserons alors :
    $x=z-{\frac {b}{4a}}=z-1~$
Ce qui donne :
    $z^{4}-4z^{2}-2=0~$
Nous obtenons alors une équation de la forme :
    $z^{4}+pz^{2}+r=0~$
avec :
    $p=-4\qquad r=-2~$
Comme p < 0 et r < 0, nous ferons le nouveau changement de variable :
    $z=\pm {\sqrt {-p}}.\operatorname {ch} {\theta }=\pm 2\operatorname {ch} {\theta }~$
Nous obtenons alors l'équation :
    $16\operatorname {ch} ^{4}{\theta }-16\operatorname {ch} ^{2}{\theta }-2=0~$
Qui se simplifie sous la forme :
    $8\operatorname {ch} ^{4}{\theta }-8\operatorname {ch} ^{2}{\theta }+1=2~$
Au premier membre, nous reconnaissons le développement de ch(4θ), nous obtenons donc :
    $\operatorname {ch} (4\theta )=2~$
Ce qui entraîne :
${\begin{cases}4\theta =Argch(2)\\ou\\4\theta =-Argch(2)\end{cases}}$
C'est-à-dire :
${\begin{cases}\theta ={\frac {Argch(2)}{4}}\\ou\\\theta =-{\frac {Argch(2)}{4}}\end{cases}}$
En reportant ces valeurs de θ dans la relation :
    $z=\pm 2\operatorname {ch} {\theta }~$
On obtient, compte tenu du fait que la fonction ch est paire, les deux valeurs suivantes pour z :
${\begin{cases}z_{1}=2\operatorname {ch} \left({\frac {Argch(2)}{4}}\right)\\z_{2}=-2\operatorname {ch} \left({\frac {Argch(2)}{4}}\right)\end{cases}}$
En reportant ces dernières valeurs dans la relation :
    $x=z-1~$
Nous voyons que les racines réelles de l'équation :
$x^{4}+4x^{3}+2x^{2}-4x-5=0~$
sont :
${\begin{cases}x_{1}=2\operatorname {ch} \left({\frac {Argch(2)}{4}}\right)-1\\x_{2}=-2\operatorname {ch} \left({\frac {Argch(2)}{4}}\right)-1\end{cases}}$
(Il existe deux autres racines qui sont complexes conjuguées. La méthode que l’on a utilisée ne donne que les racines réelles.)

## Exercice 8-3

Résoudre l'équation :
$x^{4}+4x^{3}+10x^{2}+12x+3=0~$
Nous avons une équation de la forme :
$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0~$
avec :
$a=1\qquad b=4\qquad c=10\qquad d=12\qquad e=3~$
Nous constatons alors que :
    ${\begin{aligned}b^{3}-4abc+8a^{2}d&=4^{3}-4\times 1\times 4\times 10+8\times 1^{2}\times 12\\&=0\end{aligned}}$
Nous pouvons donc appliquer la méthode trigonométrique en sinus et cosinus
Nous poserons alors :
    $x=z-{\frac {b}{4a}}=z-1~$
Ce qui donne :
    $z^{4}+4z^{2}-2=0~$
Nous obtenons alors une équation de la forme :
    $z^{4}+pz^{2}+r=0~$
avec :
    $p=4\qquad r=-2~$
Comme p > 0 et r < 0, nous ferons le nouveau changement de variable :
    $z=\pm {\sqrt {p}}.\operatorname {sh} {\theta }=\pm 2\operatorname {sh} {\theta }~$
Nous obtenons alors l'équation :
    $16\operatorname {sh} ^{4}{\theta }-16\operatorname {sh} ^{2}{\theta }-2=0~$
Qui se simplifie sous la forme :
    $8\operatorname {sh} ^{4}{\theta }-8\operatorname {sh} ^{2}{\theta }+1=2~$
Au premier membre, nous reconnaissons un développement de ch(4θ), nous obtenons donc :
    $\operatorname {ch} (4\theta )=2~$
Ce qui entraîne :
${\begin{cases}4\theta =Argch(2)\\ou\\4\theta =-Argch(2)\end{cases}}$
C'est-à-dire :
${\begin{cases}\theta ={\frac {Argch(2)}{4}}\\ou\\\theta =-{\frac {Argch(2)}{4}}\end{cases}}$
En reportant ces valeurs de θ dans la relation :
    $z=\pm 2\operatorname {sh} {\theta }~$
On obtient, compte tenu du fait que la fonction sh est impaire, les deux valeurs suivantes pour z :
${\begin{cases}z_{1}=2\operatorname {sh} \left({\frac {Argch(2)}{4}}\right)\\z_{2}=-2\operatorname {sh} \left({\frac {Argch(2)}{4}}\right)\end{cases}}$
En reportant ces dernières valeurs dans la relation :
    $x=z-1~$
Nous voyons que les racines réelles de l'équation :
$x^{4}+4x^{3}+10x^{2}+12x+3=0~$
sont :
${\begin{cases}x_{1}=2\operatorname {sh} \left({\frac {Argch(2)}{4}}\right)-1\\x_{2}=-2\operatorname {sh} \left({\frac {Argch(2)}{4}}\right)-1\end{cases}}$
(Il existe deux autres racines qui sont complexes conjuguées. La méthode que l’on a utilisé ne donne que les racines réelles.)

## Exercice 8-4

Montrer que :
$\tan \left({\frac {\pi }{8}}\right)={\sqrt {2}}-1~$
En déduire la résolution de l'équation :
${\frac {x^{2}}{8}}={\frac {({\sqrt {2}}-1)x^{3}+{\sqrt {2}}+1}{(2{\sqrt {2}}-3)x^{2}+12{\sqrt {2}}}}~$
Nous pouvons utiliser la formule :
$\tan 2A={\frac {2\tan A}{1-\tan ^{2}A}}~$
en posant :
$A={\frac {\pi }{8}}~$
On obtient :
$1={\frac {2\tan {\frac {\pi }{8}}}{1-\tan ^{2}{\frac {\pi }{8}}}}~$
Par conséquent tan(π/8) est racine de l'équation :
$x^{2}+2x-1=0~$
On trouve bien :
$\tan \left({\frac {\pi }{8}}\right)={\sqrt {2}}-1~$
L'équation :
${\frac {x^{2}}{8}}={\frac {({\sqrt {2}}-1)x^{3}+{\sqrt {2}}+1}{(2{\sqrt {2}}-3)x^{2}+12{\sqrt {2}}}}~$
S'écrit après produit en croix, développement, et transfert des termes dans le premier membre :
$(2{\sqrt {2}}-3)x^{4}-8({\sqrt {2}}-1)x^{3}+12x^{2}{\sqrt {2}}-8{\sqrt {2}}-8=0~$
Nous avons une équation de la forme :
$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0~$
avec :
$a=(2{\sqrt {2}}-3)\qquad b=-8({\sqrt {2}}-1)\qquad c=12{\sqrt {2}}\qquad d=0\qquad e=-8{\sqrt {2}}-8~$
Nous constatons alors que :
    ${\begin{aligned}\Psi &=2c^{3}+27ad^{2}+27b^{2}e-9bcd-72ace\\&=0\end{aligned}}$
Le sottien étant nul, nous pouvons résoudre l'équation par la méthode trigonométrique en tangente.
Nous poserons alors :
    $x=z-{\frac {bc-6ad}{3b^{2}-8ac}}=z+1~$
Nous obtenons l'équation :
$(2{\sqrt {2}}-3)z^{4}-4z^{3}+6z^{2}+4(2{\sqrt {2}}+3)z-(2{\sqrt {2}}+3)=0~$
Nous obtenons alors une équation de la forme :
    $tz^{4}+rz^{3}+sz^{2}+pz+q=0~$
avec :
    $t=(2{\sqrt {2}}-3),\qquad r=-4,\qquad s=6,\qquad p=4(2{\sqrt {2}}+3),\qquad q=-2{\sqrt {2}}-3$.
Cette dernière équation vérifie la condition rs - 6tp = 0 qui est la condition essentielle pour pouvoir appliquer la méthode de résolution en tangente.
Nous poserons donc :
$z={\sqrt {-{\frac {p}{r}}}}.\tan(\theta )={\sqrt {-{\frac {4(2{\sqrt {2}}+3)}{-4}}}}.\tan(\theta )=({\sqrt {2}}+1).\tan(\theta )~$
En remplaçant, on obtient :
$(2{\sqrt {2}}-3)({\sqrt {2}}+1)^{4}.\tan ^{4}(\theta )-4({\sqrt {2}}+1)^{3}.\tan ^{3}(\theta )+6({\sqrt {2}}+1)^{2}.\tan ^{2}(\theta )+4(2{\sqrt {2}}+3)({\sqrt {2}}+1).\tan(\theta )-(2{\sqrt {2}}+3)=0~$
En développant, nous obtenons :
$-(2{\sqrt {2}}+3).\tan ^{4}(\theta )-4(5{\sqrt {2}}+7).\tan ^{3}(\theta )+6(2{\sqrt {2}}+3).\tan ^{2}(\theta )+4(5{\sqrt {2}}+7).\tan(\theta )-(2{\sqrt {2}}+3)=0~$
Que nous pouvons factoriser partiellement sous la forme :
$(5{\sqrt {2}}+7)(4\tan(\theta )-4\tan ^{3}(\theta ))=(2{\sqrt {2}}+3)(1-6\tan ^{2}(\theta )+\tan ^{4}(\theta ))~$
Qui s'écrit :
${\frac {4\tan(\theta )-4\tan ^{3}(\theta )}{1-6\tan ^{2}(\theta )+\tan ^{4}(\theta )}}={\frac {(2{\sqrt {2}}+3)}{(5{\sqrt {2}}+7)}}~$
Le second membre se simplifie sous la forme :
${\frac {4\tan(\theta )-4\tan ^{3}(\theta )}{1-6\tan ^{2}(\theta )+\tan ^{4}(\theta )}}={\sqrt {2}}-1~$
Au premier membre, nous reconnaissons le développement de tan(4θ) et au second membre la tangente de π/8 calculée au début. On obtient donc :
$\tan(4\theta )=\tan \left({\frac {\pi }{8}}\right)~$
Ce qui nous donne :
$4\theta ={\frac {\pi }{8}}+k\pi ~$
(k entier relatif)
On obtient donc :
$\theta ={\frac {\pi }{32}}+{\frac {k\pi }{4}}~$
En reportant dans :
$z=({\sqrt {2}}+1).\tan(\theta )~$
Nous voyons, à l'aide du cercle trigonométrique, que z peut prendre les quatre valeurs suivantes :
${\begin{cases}z_{1}=({\sqrt {2}}+1).\tan \left({\frac {\pi }{32}}\right)\\z_{2}=({\sqrt {2}}+1).\tan \left({\frac {9\pi }{32}}\right)\\z_{3}=({\sqrt {2}}+1).\tan \left({\frac {17\pi }{32}}\right)\\z_{4}=({\sqrt {2}}+1).\tan \left({\frac {25\pi }{32}}\right)\end{cases}}$
Et en reportant dans la relation :
    $x=z+1~$
Nous voyons que les racines de l'équation :
${\frac {x^{2}}{8}}={\frac {({\sqrt {2}}-1)x^{3}+{\sqrt {2}}+1}{(2{\sqrt {2}}-3)x^{2}+12{\sqrt {2}}}}~$
sont :
${\begin{cases}x_{1}=({\sqrt {2}}+1).\tan \left({\frac {\pi }{32}}\right)+1\\x_{2}=({\sqrt {2}}+1).\tan \left({\frac {9\pi }{32}}\right)+1\\x_{3}=({\sqrt {2}}+1).\tan \left({\frac {17\pi }{32}}\right)+1\\x_{4}=({\sqrt {2}}+1).\tan \left({\frac {25\pi }{32}}\right)+1\end{cases}}$
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