# Statique des fluides (PCSI)/Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen : Équivalent volumique des forces de pression, équation locale de la statique des fluides

$\;{\big$
${\big )}\;$

## Équivalent volumique des forces de pression dans un fluide
### But recherché

Les forces de pression s'exerçant sur une particule de fluide étant réparties sur la surface limitant cette dernière, on se propose de déterminer la résultante de ces forces de pression, Les forces de pression s'exerçant sur une particule de fluide étant réparties sur la surface limitant cette dernière, on se propose d’établir que cette résultante est $\;\propto \;$ au volume de la particule de fluide et Les forces de pression s'exerçant sur une particule de fluide étant réparties sur la surface limitant cette dernière, on se propose d’en déduire la « force volumique équivalente » c'est-à-dire le rapport de la résultante des forces de pression s'exerçant sur cette particule de fluide divisée par le volume de cette dernière ;
on va établir l'expression de cet équivalent en travaillant en coordonnées cartésiennes, on va induire une expression intrinsèque de cet équivalent et on va vérifier la validité de cette dernière quand on la traduit dans les autres systèmes de coordonnées $\;{\big$principalement cylindro-polaire et sphérique${\big )}$.

### Établissement de l'équivalent volumique des forces de pression exercées sur une particule de fluide parallélépipédique en repérage cartésien

Considérant le repérage cartésien d'une particule de fluide de forme parallélépipédique centrée en un point $\;P\left(x\,,\,y\,,\,z\right)\;$ quelconque, les faces étant respectivement $\;\parallel \;$ aux plans $\;yOz$, $\;zOx\;$ ou $\;xOy$, celles en regard étant séparées de $\;dx$, $\;dy\;$ ou $\;dz$ $\;{\big$voir schéma ci-contre${\big )}$, nous nous proposons de déterminer la résultante des forces pressantes exercées par le restant du fluide sur cette particule de fluide $\;\left(P\,,\,d{\mathcal {V}}\right)$ :
$\succ \;$soient les deux faces en regard «$\;ABCD\;$ d'abscisse $\;x-{\dfrac {dx}{2}}$, de vecteur surface $\;{\big$élémentaire${\big )}$ $\;{\overrightarrow {dS_{ABCD}}}=-dy\;dz\;{\vec {u}}_{x}\;$» et $\color {transparent}{\succ }\;$soient les deux faces en regard «$\;A'B'C'D'\;$ d'abscisse $\;x+{\dfrac {dx}{2}}$, de vecteur surface $\;{\big$élémentaire${\big )}$ $\;{\overrightarrow {dS_{A'B'C'D'}}}=dy\;dz\;{\vec {u}}_{x}\;$», $\color {transparent}{\succ }\;$soient les deux faces en regard la somme des forces pressantes que le reste du fluide exerce sur les faces $\;ABCD\;$ et $\;A'B'C'D'\;$ s'écrit «$\;{\overrightarrow {dR}}_{1}$ $={\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,ABCD}+{\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,A'B'C'D'}\simeq -p\!\left(x-{\dfrac {dx}{2}}\,,\,y\,,\,z\right)\,{\overrightarrow {dS_{ABCD}}}-p\!\left(x+{\dfrac {dx}{2}}\,,\,y\,,\,z\right)\,{\overrightarrow {dS_{A'B'C'D'}}}\;$» soit encore «$\;{\overrightarrow {dR}}_{1}$ $\simeq p\!\left(x-{\dfrac {dx}{2}}\,,\,y\,,\,z\right)\,dy\;dz\;{\vec {u}}_{x}-p\!\left(x+{\dfrac {dx}{2}}\,,\,y\,,\,z\right)\,dy\;dz\;{\vec {u}}_{x}=\left[p\!\left(x-{\dfrac {dx}{2}}\,,\,y\,,\,z\right)-p\!\left(x+{\dfrac {dx}{2}}\,,\,y\,,\,z\right)\right]\,dy\;dz\;{\vec {u}}_{x}\;$» ; $\color {transparent}{\succ }\;$soient les deux faces en regard utilisant alors l'« approximation linéaire de la pression $\;p\;$ ${\big$considérée comme fonction d'une seule variable si $\;y\;$ et $\;z\;$ sont figées${\big )}\;$ au voisinage de la valeur particulière $\;x\;$» pour évaluer $\;p\!\left(x-{\dfrac {dx}{2}}\,,\,y\,,\,z\right)\;$ et $\;p\!\left(x-{\dfrac {dx}{2}}\,,\,y\,,\,z\right)\;$ nous obtenons $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}p\!\left(x-{\dfrac {dx}{2}}\,,\,y\,,\,z\right)\simeq p(x\,,\,y\,,\,z)+\left({\dfrac {\partial p}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!(x\,,\,y\,,\,z)\,\left[-{\dfrac {dx}{2}}\right]\\p\!\left(x+{\dfrac {dx}{2}}\,,\,y\,,\,z\right)\simeq p(x\,,\,y\,,\,z)+\left({\dfrac {\partial p}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!(x\,,\,y\,,\,z)\,\left[{\dfrac {dx}{2}}\right]\end{array}}\right\rbrace$, puis, par différence et après simplification évidente, «$\;p\!\left(x-{\dfrac {dx}{2}}\,,\,y\,,\,z\right)-p\!\left(x+{\dfrac {dx}{2}}\,,\,y\,,\,z\right)\simeq$ $-\left({\dfrac {\partial p}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!(x\,,\,y\,,\,z)\;dx\;$» soit finalement, «$\;{\overrightarrow {dR}}_{1}\simeq -\left({\dfrac {\partial p}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!(x\,,\,y\,,\,z)\;dx\;dy\;dz\;{\vec {u}}_{x}=-\left({\dfrac {\partial p}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!(P)\;d{\mathcal {V}}\;{\vec {u}}_{x}\;$» ;
$\succ \;$soient les deux faces en regard «$\;A'ADD'\;$ d'ordonnée $\;y-{\dfrac {dy}{2}}$, de vecteur surface $\;{\big$élémentaire${\big )}$ $\;{\overrightarrow {dS_{A'ADD'}}}=-dx\;dz\;{\vec {u}}_{y}\;$» et $\color {transparent}{\succ }\;$soient les deux faces en regard «$\;B'BCC'\;$ d'ordonnée $\;y+{\dfrac {dy}{2}}$, de vecteur surface $\;{\big$élémentaire${\big )}$ $\;{\overrightarrow {dS_{B'BCC'}}}=dx\;dz\;{\vec {u}}_{y}\;$», $\color {transparent}{\succ }\;$soient les deux faces en regard la somme des forces pressantes que le reste du fluide exerce sur les faces $\;A'ADD'\;$ et $\;B'BCC'\;$ s'écrit «$\;{\overrightarrow {dR}}_{2}={\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,A'ADD'}+{\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,B'BCC'}\simeq$ $-p\!\left(x\,,\,y-{\dfrac {dy}{2}}\,,\,z\right)\,{\overrightarrow {dS_{A'ADD'}}}-p\!\left(x\,,\,y+{\dfrac {dy}{2}}\,,\,z\right)\,{\overrightarrow {dS_{B'BCC'}}}=p\!\left(x\,,\,y-{\dfrac {dy}{2}}\,,\,z\right)\,dx\;dz\;{\vec {u}}_{y}-p\!\left(x\,,\,y+{\dfrac {dy}{2}}\,,\,z\right)\,dx\;dz\;{\vec {u}}_{y}=\left[p\!\left(x\,,\,y-{\dfrac {dy}{2}}\,,\,z\right)-p\!\left(x\,,\,y+{\dfrac {dy}{2}}\,,\,z\right)\right]\,dx\;dz\;{\vec {u}}_{y}\;$» ; $\color {transparent}{\succ }\;$soient les deux faces en regard utilisant alors l'« approximation linéaire de la pression $\;p\;$ ${\big$considérée comme fonction d'une seule variable si $\;x\;$ et $\;z\;$ sont figées${\big )}\;$ au voisinage de la valeur particulière $\;y\;$» pour évaluer $\;p\!\left(x\,,\,y-{\dfrac {dy}{2}}\,,\,z\right)\;$ et $\;p\!\left(x\,,\,y+{\dfrac {dy}{2}}\,,\,z\right)\;$ nous obtenons $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}p\!\left(x\,,\,y-{\dfrac {dy}{2}}\,,\,z\right)\simeq p(x\,,\,y\,,\,z)+\left({\dfrac {\partial p}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!(x\,,\,y\,,\,z)\,\left[-{\dfrac {dy}{2}}\right]\\p\!\left(x\,,\,y+{\dfrac {dy}{2}}\,,\,z\right)\simeq p(x\,,\,y\,,\,z)+\left({\dfrac {\partial p}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!(x\,,\,y\,,\,z)\,\left[{\dfrac {dy}{2}}\right]\end{array}}\right\rbrace$, puis, par différence et après simplification évidente, «$\;p\!\left(x\,,\,y-{\dfrac {dy}{2}}\,,\,z\right)-p\!\left(x\,,\,y+{\dfrac {dy}{2}}\,,\,z\right)\simeq$ $-\left({\dfrac {\partial p}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!(x\,,\,y\,,\,z)\;dy\;$» soit finalement, «$\;{\overrightarrow {dR}}_{2}\simeq -\left({\dfrac {\partial p}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!(x\,,\,y\,,\,z)\;dy\;dx\;dz\;{\vec {u}}_{y}=-\left({\dfrac {\partial p}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!(P)\;d{\mathcal {V}}\;{\vec {u}}_{y}\;$» ;
$\succ \;$soient les deux faces en regard «$\;CC'D'D\;$ de cote $\;z-{\dfrac {dz}{2}}$, de vecteur surface $\;{\big$élémentaire${\big )}$ $\;{\overrightarrow {dS_{CC'D'D}}}=-dx\;dy\;{\vec {u}}_{z}\;$» et $\color {transparent}{\succ }\;$soient les deux faces en regard «$\;BB'A'A\;$ de cote $\;z+{\dfrac {dz}{2}}$, de vecteur surface $\;{\big$élémentaire${\big )}$ $\;{\overrightarrow {dS_{BB'A'A}}}=dx\;dy\;{\vec {u}}_{z}\;$», $\color {transparent}{\succ }\;$soient les deux faces en regard la somme des forces pressantes que le reste du fluide exerce sur les faces $\;CC'D'D\;$ et $\;BB'A'A\;$ s'écrit «$\;{\overrightarrow {dR}}_{3}={\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,CC'D'D}+{\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,BB'A'A}\simeq$ $-p\!\left(x\,,\,y\,,\,z-{\dfrac {dz}{2}}\right)\,{\overrightarrow {dS_{CC'D'D}}}-p\!\left(x\,,\,y\,,\,z+{\dfrac {dz}{2}}\right)\,{\overrightarrow {dS_{BB'A'A}}}=p\!\left(x\,,\,y\,,\,z-{\dfrac {dz}{2}}\right)\,dx\;dy\;{\vec {u}}_{z}-p\!\left(x\,,\,y\,,\,z+{\dfrac {dz}{2}}\right)\,dx\;dy\;{\vec {u}}_{z}=\left[p\!\left(x\,,\,y\,,\,z-{\dfrac {dz}{2}}\right)-p\!\left(x\,,\,y\,,\,z+{\dfrac {dz}{2}}\right)\right]\,dx\;dy\;{\vec {u}}_{z}\;$» ; $\color {transparent}{\succ }\;$soient les deux faces en regard utilisant alors l'« approximation linéaire de la pression $\;p\;$ ${\big$considérée comme fonction d'une seule variable si $\;x\;$ et $\;y\;$ sont figées${\big )}\;$ au voisinage de la valeur particulière $\;z\;$» pour évaluer $\;p\!\left(x\,,\,y\,,\,z-{\dfrac {dz}{2}}\right)\;$ et $\;p\!\left(x\,,\,y\,,\,z+{\dfrac {dz}{2}}\right)\;$ nous obtenons $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}p\!\left(x\,,\,y\,,\,z-{\dfrac {dz}{2}}\right)\simeq p(x\,,\,y\,,\,z)+\left({\dfrac {\partial p}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!(x\,,\,y\,,\,z)\,\left[-{\dfrac {dz}{2}}\right]\\p\!\left(x\,,\,y\,,\,z+{\dfrac {dz}{2}}\right)\simeq p(x\,,\,y\,,\,z)+\left({\dfrac {\partial p}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!(x\,,\,y\,,\,z)\,\left[{\dfrac {dz}{2}}\right]\end{array}}\right\rbrace$, puis, par différence et après simplification évidente, «$\;p\!\left(x\,,\,y\,,\,z-{\dfrac {dz}{2}}\right)-p\!\left(x\,,\,y\,,\,z+{\dfrac {dz}{2}}\right)\simeq$ $-\left({\dfrac {\partial p}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!(x\,,\,y\,,\,z)\;dz\;$» soit finalement, «$\;{\overrightarrow {dR}}_{3}\simeq -\left({\dfrac {\partial p}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!(x\,,\,y\,,\,z)\;dz\;dx\;dy\;{\vec {u}}_{z}=-\left({\dfrac {\partial p}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!(P)\;d{\mathcal {V}}\;{\vec {u}}_{z}\;$» ;
$\succ \;$en ajoutant les trois contributions précédentes «$\;{\overrightarrow {dR}}_{1}\;$», «$\;{\overrightarrow {dR}}_{2}\;$» et «$\;{\overrightarrow {dR}}_{3}\;$» nous obtenons la résultante des forces pressantes exercées par le restant du fluide sur la particule de fluide $\;\left(P\,,\,d{\mathcal {V}}\right)\;$ c'est-à-dire «$\;{\overrightarrow {dR}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,{\text{fluide ext}}}={\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,ABCD}+{\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,A'B'C'D'}+{\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,A'ADD'}+{\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,B'BCC'}+{\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,CC'D'D}+{\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,BB'A'A}\;$» soit, après report des expressions approchées de «$\;{\overrightarrow {dR}}_{1}\;$», «$\;{\overrightarrow {dR}}_{2}\;$» et «$\;{\overrightarrow {dR}}_{3}\;$» et factorisation évidente,
$\;{\overrightarrow {dR}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,{\text{fluide ext}}}\simeq -\left[\left({\dfrac {\partial p}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!(P)\;{\vec {u}}_{x}+\left({\dfrac {\partial p}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!(P)\;{\vec {u}}_{y}+\left({\dfrac {\partial p}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!(P)\;{\vec {u}}_{z}\right]\,d{\mathcal {V}}\;$
$\succ \;$finalement, reconnaissant les composantes cartésiennes du « champ vectoriel gradient de la fonction scalaire “ pression ” » dans le 2ème membre de la relation ci-dessus, la résultante des forces pressantes exercées par le restant du fluide sur la particule de fluide $\;\left(P\,,\,d{\mathcal {V}}\right)\;$ se réécrit selon l'équivalent volumique suivant
$\;{\overrightarrow {dR}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,{\text{fluide ext}}}\simeq -{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[p\right]\!(P)\;d{\mathcal {V}}\;$

### Vérification de l'équivalent volumique des forces de pression exercées sur une particule de fluide par calcul direct en repérage cylindro-polaire

Considérant le repérage cylindro-polaire d'axe $\;Oz\;$ d'une particule de fluide constituée d'une portion élémentaire de tuyau cylindrique centrée en un point $\;P\left(\rho \,,\,\theta \,,\,z\right)\;$ quelconque, les faces étant des portions de cylindres ou de plans méridiens ou de plans $\;\parallel$, celles en regard étant respectivement séparés de $\;d\rho \;$ ou de l'écart angulaire $\;d\theta \;$ ou de la distance $\;dz$ $\;{\big$voir schéma ci-contre${\big )}$, nous nous proposons de déterminer la résultante des forces pressantes exercées par le restant du fluide sur cette particule de fluide $\;\left(P\,,\,d{\mathcal {V}}\right)$ :
$\succ \;$soient les deux faces en regard «$\;ABCD\;$ de rayon $\;\rho -{\dfrac {d\rho }{2}}$, de vecteur surface $\;{\overrightarrow {dS_{ABCD}}}=-\left(\rho -{\dfrac {d\rho }{2}}\right)d\theta \;dz\;{\vec {u}}_{\rho }\;$» et $\color {transparent}{\succ }\;$soient les deux faces en regard «$\;A'B'C'D'\;$ de rayon $\;\rho +{\dfrac {d\rho }{2}}$, de vecteur surface $\;{\overrightarrow {dS_{A'B'C'D'}}}=\left(\rho +{\dfrac {d\rho }{2}}\right)d\theta \;dz\;{\vec {u}}_{\rho }\;$», $\color {transparent}{\succ }\;$soient les deux faces en regard la somme des forces pressantes que le reste du fluide exerce sur les faces $\;ABCD\;$ et $\;A'B'C'D'\;$ s'écrit «$\;{\overrightarrow {dR}}_{1}$ $={\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,ABCD}+{\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,A'B'C'D'}\simeq -p\!\left(\rho -{\dfrac {d\rho }{2}}\,,\,\theta \,,\,z\right)\,{\overrightarrow {dS_{ABCD}}}-p\!\left(\rho +{\dfrac {d\rho }{2}}\,,\,\theta \,,\,z\right)\,{\overrightarrow {dS_{A'B'C'D'}}}\;$» soit encore «$\;{\overrightarrow {dR}}_{1}\simeq p\!\left(\rho -{\dfrac {d\rho }{2}}\,,\,\theta \,,\,z\right)\,\left\lbrace \rho -{\dfrac {d\rho }{2}}\right\rbrace d\theta \;dz\;{\vec {u}}_{\rho }-p\!\left(\rho +{\dfrac {d\rho }{2}}\,,\,\theta \,,\,z\right)\,\left\lbrace \rho +{\dfrac {d\rho }{2}}\right\rbrace d\theta \;dz\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ ou, après factorisation de la partie commune «$\;{\overrightarrow {dR}}_{1}\simeq \left[\left\lbrace \rho -{\dfrac {d\rho }{2}}\right\rbrace \,p\!\left(\rho -{\dfrac {d\rho }{2}}\,,\,\theta \,,\,z\right)-\left\lbrace \rho +{\dfrac {d\rho }{2}}\right\rbrace \,p\!\left(\rho +{\dfrac {d\rho }{2}}\,,\,\theta \,,\,z\right)\right]\,d\theta \;dz\;{\vec {u}}_{\rho }\;$» ; $\color {transparent}{\succ }\;$soient les deux faces en regard utilisant alors l'« approximation linéaire du produit « rayon - pression $\;\rho \;p\;$» ${\big$considérée comme fonction d'une variable si $\;\theta \;$ et $\;z\;$ sont figées${\big )}\;$ au voisinage de la valeur particulière $\;\rho \;$» pour évaluer $\;\left\lbrace \rho -{\dfrac {d\rho }{2}}\right\rbrace \,p\!\left(\rho -{\dfrac {d\rho }{2}}\,,\,\theta \,,\,z\right)\;$ et $\;\left\lbrace \rho +{\dfrac {d\rho }{2}}\right\rbrace \,p\!\left(\rho +{\dfrac {d\rho }{2}}\,,\,\theta \,,\,z\right)\;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\left\lbrace \rho -{\dfrac {d\rho }{2}}\right\rbrace \,p\!\left(\rho -{\dfrac {d\rho }{2}}\,,\,\theta \,,\,z\right)\simeq \rho \;p(\rho \,,\,\theta \,,\,z)+\left({\dfrac {\partial [\rho \;p]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(\rho \,,\,\theta \,,\,z)\,\left[-{\dfrac {d\rho }{2}}\right]\\\left\lbrace \rho +{\dfrac {d\rho }{2}}\right\rbrace \,p\!\left(\rho +{\dfrac {d\rho }{2}}\,,\,\theta \,,\,z\right)\simeq \rho \;p(\rho \,,\,\theta \,,\,z)+\left({\dfrac {\partial [\rho \;p]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(\rho \,,\,\theta \,,\,z)\,\left[{\dfrac {d\rho }{2}}\right]\end{array}}\right\rbrace$, puis, par différence et après simplification évidente, «$\;\left\lbrace \rho -{\dfrac {d\rho }{2}}\right\rbrace \,p\!\left(\rho -{\dfrac {d\rho }{2}}\,,\,\theta \,,\,z\right)-\left\lbrace \rho +{\dfrac {d\rho }{2}}\right\rbrace \,p\!\left(\rho +{\dfrac {d\rho }{2}}\,,\,\theta \,,\,z\right)\simeq$ $-\left({\dfrac {\partial [\rho \;p]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(\rho \,,\,\theta \,,\,z)\;d\rho \;$» soit finalement la réécriture de la somme des forces pressantes que le reste du fluide exerce sur les faces $\;ABCD\;$ et $\;A'B'C'D'\;$ selon «$\;{\overrightarrow {dR}}_{1}\simeq -\left({\dfrac {\partial [\rho \;p]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(\rho \,,\,\theta \,,\,z)\;d\rho \;d\theta \;dz\;{\vec {u}}_{\rho }=-{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial [\rho \;p]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(P)\;d{\mathcal {V}}\;{\vec {u}}_{\rho }\;$» ;
$\succ \;$soient les deux faces en regard «$\;A'ADD'\;$ d'abscisse angulaire $\;\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}$, de vecteur surface $\;{\big$élémentaire${\big )}$ $\;{\overrightarrow {dS_{A'ADD'}}}=-d\rho \;dz\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\;$» et $\color {transparent}{\succ }\;$soient les deux faces en regard «$\;B'BCC'\;$ d'abscisse angulaire $\;\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}$, de vecteur surface $\;{\big$élémentaire${\big )}$ $\;{\overrightarrow {dS_{B'BCC'}}}=d\rho \;dz\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\;$», $\color {transparent}{\succ }\;$soient les deux faces en regard la somme des forces pressantes que le reste du fluide exerce sur les faces $\;A'ADD'\;$ et $\;B'BCC'\;$ s'écrit «$\;{\overrightarrow {dR}}_{2}={\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,A'ADD'}+{\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,B'BCC'}\simeq$ $-p\!\left(\rho \,,\,\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\,,\,z\right)\,{\overrightarrow {dS_{A'ADD'}}}-p\!\left(\rho \,,\,\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\,,\,z\right)\,{\overrightarrow {dS_{B'BCC'}}}=p\!\left(\rho \,,\,\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\,,\,z\right)\,d\rho \;dz\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)-p\!\left(\rho \,,\,\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\,,\,z\right)\,d\rho \;dz\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\;$» ou, après factorisation de la partie commune «$\;{\overrightarrow {dR}}_{2}\simeq \left[p\!\left(\rho \,,\,\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\,,\,z\right)\,{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)-p\!\left(\rho \,,\,\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\,,\,z\right)\,{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\right]\,d\rho \;dz\;$» ; $\color {transparent}{\succ }\;$soient les deux faces en regard utilisant alors l'« approximation linéaire du produit « pression - vecteur unitaire orthoradial $\;p\;{\vec {u}}_{\theta }\;$» ${\big$considérée comme fonction vectorielle d'une seule variable si $\;\rho \;$ et $\;z\;$ sont figées${\big )}\;$ au voisinage de la valeur particulière $\;\theta \;$» pour évaluer les expressions vectorielles $\;p\!\left(\rho \,,\,\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\,,\,z\right)\,{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\;$ et $\;p\!\left(\rho \,,\,\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\,,\,z\right)\,{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\;$ nous obtenons alors $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}p\!\left(\rho \,,\,\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\,,\,z\right)\,{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\simeq p(\rho \,,\,\theta \,,\,z)\;{\vec {u}}_{\theta }(\theta )+\left({\dfrac {\partial \left[p\;{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(\rho \,,\,\theta \,,\,z)\,\left[-{\dfrac {d\theta }{2}}\right]\\p\!\left(\rho \,,\,\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\,,\,z\right)\,{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\simeq p(\rho \,,\,\theta \,,\,z)\;{\vec {u}}_{\theta }(\theta )+\left({\dfrac {\partial \left[p\;{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(\rho \,,\,\theta \,,\,z)\,\left[{\dfrac {d\theta }{2}}\right]\end{array}}\right\rbrace$, puis, par différence, «$\;p\!\left(\rho \,,\,\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\,,\,z\right)\,{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)-p\!\left(\rho \,,\,\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\,,\,z\right)\,{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\simeq$ $-\left({\dfrac {\partial \left[p\;{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(\rho \,,\,\theta \,,\,z)\;d\theta \;$» soit finalement, «$\;{\overrightarrow {dR}}_{2}\simeq -\left({\dfrac {\partial \left[p\;{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(\rho \,,\,\theta \,,\,z)\;d\theta \;d\rho \;dz=-{\dfrac {1}{\rho }}\;\left({\dfrac {\partial \left[p\;{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(P)\;d{\mathcal {V}}\;$» ;
$\succ \;$soient les deux faces en regard «$\;CC'D'D\;$ de cote $\;z-{\dfrac {dz}{2}}$, de vecteur surface $\;{\big$élémentaire${\big )}$ $\;{\overrightarrow {dS_{CC'D'D}}}=-d\rho \;\rho \;d\theta \;{\vec {u}}_{z}\;$» et $\color {transparent}{\succ }\;$soient les deux faces en regard «$\;BB'A'A\;$ de cote $\;z+{\dfrac {dz}{2}}$, de vecteur surface $\;{\big$élémentaire${\big )}$ $\;{\overrightarrow {dS_{BB'A'A}}}=d\rho \;\rho \;d\theta \;{\vec {u}}_{z}\;$», $\color {transparent}{\succ }\;$soient les deux faces en regard la somme des forces pressantes que le reste du fluide exerce sur les faces $\;CC'D'D\;$ et $\;BB'A'A\;$ s'écrit «$\;{\overrightarrow {dR}}_{3}={\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,CC'D'D}+{\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,BB'A'A}\simeq$ $-p\!\left(\rho \,,\,\theta \,,\,z-{\dfrac {dz}{2}}\right)\,{\overrightarrow {dS_{CC'D'D}}}-p\!\left(\rho \,,\,\theta \,,\,z+{\dfrac {dz}{2}}\right)\,{\overrightarrow {dS_{BB'A'A}}}=p\!\left(\rho \,,\,\theta \,,\,z-{\dfrac {dz}{2}}\right)\,d\rho \;\rho \;d\theta \;{\vec {u}}_{z}-p\!\left(\rho \,,\,\theta \,,\,z+{\dfrac {dz}{2}}\right)\,d\rho \;\rho \;d\theta \;{\vec {u}}_{z}\;$» ou, après factorisation de la partie commune «$\;{\overrightarrow {dR}}_{3}\simeq$ $\left[p\!\left(\rho \,,\,\theta \,,\,z-{\dfrac {dz}{2}}\right)-p\!\left(\rho \,,\,\theta \,,\,z+{\dfrac {dz}{2}}\right)\right]\,d\rho \;\rho \;d\theta \;{\vec {u}}_{z}\;$» ; $\color {transparent}{\succ }\;$soient les deux faces en regard utilisant alors l'« approximation linéaire de la pression $\;p\;$ ${\big$considérée comme fonction d'une seule variable si $\;\rho \;$ et $\;\theta \;$ sont figées${\big )}\;$ au voisinage de la valeur particulière $\;z\;$» pour évaluer $\;p\!\left(\rho \,,\,\theta \,,\,z-{\dfrac {dz}{2}}\right)\;$ et $\;p\!\left(\rho \,,\,\theta \,,\,z+{\dfrac {dz}{2}}\right)\;$ nous obtenons $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}p\!\left(\rho \,,\,\theta \,,\,z-{\dfrac {dz}{2}}\right)\simeq p(\rho \,,\,\theta \,,\,z)+\left({\dfrac {\partial p}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(\rho \,,\,\theta \,,\,z)\,\left[-{\dfrac {dz}{2}}\right]\\p\!\left(\rho \,,\,\theta \,,\,z+{\dfrac {dz}{2}}\right)\simeq p(\rho \,,\,\theta \,,\,z)+\left({\dfrac {\partial p}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(\rho \,,\,\theta \,,\,z)\,\left[{\dfrac {dz}{2}}\right]\end{array}}\right\rbrace$, puis, par différence et après simplification évidente, «$\;p\!\left(\rho \,,\,\theta \,,\,z-{\dfrac {dz}{2}}\right)-p\!\left(\rho \,,\,\theta \,,\,z+{\dfrac {dz}{2}}\right)\simeq$ $-\left({\dfrac {\partial p}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(\rho \,,\,\theta \,,\,z)\;dz\;$» soit finalement, «$\;{\overrightarrow {dR}}_{3}\simeq -\left({\dfrac {\partial p}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(\rho \,,\,\theta \,,\,z)\;dz\;d\rho \;\rho \;d\theta \;{\vec {u}}_{z}=-\left({\dfrac {\partial p}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(P)\;d{\mathcal {V}}\;{\vec {u}}_{z}\;$» ;
$\succ \;$en ajoutant les trois contributions précédentes «$\;{\overrightarrow {dR}}_{1}\;$», «$\;{\overrightarrow {dR}}_{2}\;$» et «$\;{\overrightarrow {dR}}_{3}\;$» nous obtenons la résultante des forces pressantes exercées par le restant du fluide sur la particule de fluide $\;\left(P\,,\,d{\mathcal {V}}\right)\;$ c'est-à-dire «$\;{\overrightarrow {dR}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,{\text{fluide ext}}}={\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,ABCD}+{\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,A'B'C'D'}+{\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,A'ADD'}+{\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,B'BCC'}+{\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,CC'D'D}+{\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,BB'A'A}\;$» soit, après report des expressions approchées de «$\;{\overrightarrow {dR}}_{1}\;$», «$\;{\overrightarrow {dR}}_{2}\;$» et «$\;{\overrightarrow {dR}}_{3}\;$» et factorisation évidente, «$\;{\overrightarrow {dR}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,{\text{fluide ext}}}\simeq -\left[{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial [\rho \;p]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(P)\;{\vec {u}}_{\rho }+{\dfrac {1}{\rho }}\;\left({\dfrac {\partial \left[p\;{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(P)+\left({\dfrac {\partial p}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(P)\;{\vec {u}}_{z}\right]\,d{\mathcal {V}}\;$» soit encore, avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l c l}{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial [\rho \;p]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(P)\!\!&=&\!\!{\dfrac {1}{\rho }}\,\left[p(P)+\rho \;\left({\dfrac {\partial p}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(P)\right]\!\!&=&\!\!{\dfrac {p(P)}{\rho }}+\left({\dfrac {\partial p}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(P)\\{\dfrac {1}{\rho }}\;\left({\dfrac {\partial \left[p\;{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(P)\!\!&=&\!\!{\dfrac {1}{\rho }}\,\left[\left({\dfrac {\partial p}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(P)\;{\vec {u}}_{\theta }+p(P)\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}\right]\!\!&=&\!\!{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial p}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(P)\;{\vec {u}}_{\theta }-{\dfrac {p(P)}{\rho }}\;{\vec {u}}_{\rho }\end{array}}\right\rbrace \;$ soit, après simplification évidente,
$\;{\overrightarrow {dR}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,{\text{fluide ext}}}\simeq -\left[\left({\dfrac {\partial p}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(P)\;{\vec {u}}_{\rho }+{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial p}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(P)\;{\vec {u}}_{\theta }+\left({\dfrac {\partial p}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(P)\;{\vec {u}}_{z}\right]\,d{\mathcal {V}}\;$
$\succ \;$finalement, reconnaissant les composantes cylindro-polaires du « champ vectoriel gradient de la fonction scalaire “ pression ” » dans le 2ème membre de la relation ci-dessus, la résultante des forces pressantes exercées par le restant du fluide sur la particule de fluide $\;\left(P\,,\,d{\mathcal {V}}\right)\;$ se réécrit selon l'équivalent volumique suivant
$\;{\overrightarrow {dR}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,{\text{fluide ext}}}\simeq -{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[p\right]\!(P)\;d{\mathcal {V}}\;$

### Vérification de l'équivalent volumique des forces de pression exercées sur une particule de fluide par calcul direct en repérage sphérique

Considérant le repérage sphérique de pôle $\;O\;$ et d'axe $\;Oz\;$ d'une particule de fluide constituée d'une portion élémentaire de couche sphérique, portion élémentaire centrée en un point $\;P\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)\;$ quelconque, les faces étant des portions de sphères ou de plans méridiens ou de surfaces coniques d'axe $\;Oz$, celles en regard étant respectivement séparés de $\;dr\;$ ou de l'écart angulaire $\;d\theta \;$ ou de l'écart angulaire $\;d\varphi$ $\;{\big$voir schéma ci-contre${\big )}$, nous nous proposons de déterminer la résultante des forces pressantes exercées par le restant du fluide sur cette particule de fluide $\;\left(P\,,\,d{\mathcal {V}}\right)$ :
$\succ \;$soient les deux faces en regard «$\;ABCD\;$ de rayon $\;r-{\dfrac {dr}{2}}$, de vecteur surface $\;{\overrightarrow {dS_{ABCD}}}=-\left(r-{\dfrac {dr}{2}}\right)^{\!2}d\theta \;\sin(\theta )\;d\varphi \;{\vec {u}}_{r}\;$»$^,$ et $\color {transparent}{\succ }\;$soient les deux faces en regard «$\;A'B'C'D'\;$ de rayon $\;r+{\dfrac {dr}{2}}$, de vecteur surface $\;{\overrightarrow {dS_{A'B'C'D'}}}=\left(r+{\dfrac {dr}{2}}\right)^{\!2}d\theta \;\sin(\theta )\;d\varphi \;{\vec {u}}_{r}\;$»$^,$, $\color {transparent}{\succ }\;$soient les deux faces en regard la somme des forces pressantes que le reste du fluide exerce sur les faces $\;ABCD\;$ et $\;A'B'C'D'\;$ s'écrit «$\;{\overrightarrow {dR}}_{1}$ $={\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,ABCD}+{\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,A'B'C'D'}\simeq -p\!\left(r-{\dfrac {dr}{2}}\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)\,{\overrightarrow {dS_{ABCD}}}-p\!\left(r+{\dfrac {dr}{2}}\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)\,{\overrightarrow {dS_{A'B'C'D'}}}\;$» soit encore «$\;{\overrightarrow {dR}}_{1}$ $\simeq p\!\left(r-{\dfrac {dr}{2}}\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)\,\left\lbrace r-{\dfrac {dr}{2}}\right\rbrace ^{\!2}d\theta \;\sin(\theta )\;d\varphi \;{\vec {u}}_{r}-p\!\left(r+{\dfrac {dr}{2}}\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)\,\left\lbrace r+{\dfrac {dr}{2}}\right\rbrace ^{\!2}d\theta \;\sin(\theta )\;d\varphi \;{\vec {u}}_{r}\;$ ou, après factorisation de la partie commune «$\;{\overrightarrow {dR}}_{1}\simeq \left[\left\lbrace r-{\dfrac {dr}{2}}\right\rbrace ^{\!2}\,p\!\left(r-{\dfrac {dr}{2}}\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)-\left\lbrace r+{\dfrac {dr}{2}}\right\rbrace ^{\!2}\,p\!\left(r+{\dfrac {dr}{2}}\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)\right]\,d\theta \;\sin(\theta )\;d\varphi \;{\vec {u}}_{r}\;$» ; $\color {transparent}{\succ }\;$soient les deux faces en regard utilisant alors l'« approximation linéaire du produit « rayon au carré - pression $\;r^{2}\;p\;$» ${\big$considérée comme fonction d'une variable si $\;\theta \;$ et $\;\varphi \;$ sont figées${\big )}\;$ au voisinage de la valeur particulière $\;r\;$» pour évaluer $\;\left\lbrace r-{\dfrac {dr}{2}}\right\rbrace ^{\!2}\,p\!\left(r-{\dfrac {dr}{2}}\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)\;$ et $\;\left\lbrace r+{\dfrac {dr}{2}}\right\rbrace ^{\!2}\,p\!\left(r+{\dfrac {dr}{2}}\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)\;$ nous obtenons $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\left\lbrace r-{\dfrac {dr}{2}}\right\rbrace ^{\!2}\,p\!\left(r-{\dfrac {dr}{2}}\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)\simeq r^{2}\;p(r\,,\,\theta \,,\,\varphi )+\left({\dfrac {\partial [r^{2}\;p]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(r\,,\,\theta \,,\,\varphi )\,\left[-{\dfrac {dr}{2}}\right]\\\left\lbrace r+{\dfrac {dr}{2}}\right\rbrace ^{\!2}\,p\!\left(r+{\dfrac {dr}{2}}\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)\simeq r^{2}\;p(r\,,\,\theta \,,\,\varphi )+\left({\dfrac {\partial [r^{2}\;p]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(r\,,\,\theta \,,\,\varphi )\,\left[{\dfrac {dr}{2}}\right]\end{array}}\right\rbrace$, puis, en faisant la différence, «$\;\left\lbrace r-{\dfrac {dr}{2}}\right\rbrace ^{\!2}\,p\!\left(r-{\dfrac {dr}{2}}\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)-\left\lbrace r+{\dfrac {dr}{2}}\right\rbrace ^{\!2}\,p\!\left(r+{\dfrac {dr}{2}}\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)\simeq$ $-\left({\dfrac {\partial [r^{2}\;p]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(r\,,\,\theta \,,\,\varphi )\;dr\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\overrightarrow {dR}}_{1}\simeq -\left({\dfrac {\partial [r^{2}\;p]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(r\,,\,\theta \,,\,\varphi )\;dr\;d\theta \;\sin(\theta )\;d\varphi \;{\vec {u}}_{r}=-{\dfrac {1}{r^{2}}}\,\left({\dfrac {\partial [r^{2}\;p]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(P)\;d{\mathcal {V}}\;{\vec {u}}_{r}\;$» ;
$\succ \;$soient les deux faces en regard «$\;A'ADD'\;$ de colatitude $\;\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}$, de vecteur surface $\;{\big$élémentaire${\big )}$ $\;{\overrightarrow {dS_{A'ADD'}}}=-r\;\sin \!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\;d\varphi \;dr\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\;$»$^,$ et $\color {transparent}{\succ }\;$soient les deux faces en regard «$\;B'BCC'\;$ de colatitude $\;\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}$, de vecteur surface $\;{\big$élémentaire${\big )}$ $\;{\overrightarrow {dS_{B'BCC'}}}=r\;\sin \!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\;d\varphi \;dr\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\;$»$^,$, $\color {transparent}{\succ }\;$soient les deux faces en regard la somme des forces pressantes que le reste du fluide exerce sur les faces $\;A'ADD'\;$ et $\;B'BCC'\;$ s'écrit «$\;{\overrightarrow {dR}}_{2}={\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,A'ADD'}+{\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,B'BCC'}\simeq$ $-p\!\left(r\,,\,\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\,,\,\varphi \right)\,{\overrightarrow {dS_{A'ADD'}}}-p\!\left(r\,,\,\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\,,\,\varphi \right)\,{\overrightarrow {dS_{B'BCC'}}}=p\!\left(r\,,\,\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\,,\,\varphi \right)\,r\;\sin \!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\;d\varphi \;dr\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)-p\!\left(r\,,\,\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\,,\,\varphi \right)\,r\;\sin \!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\;d\varphi \;dr\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\;$» ou, après factorisation de la partie commune «$\;{\overrightarrow {dR}}_{2}\simeq \left[p\!\left(r\,,\,\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\,,\,\varphi \right)\,\sin \!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)-p\!\left(r\,,\,\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\,,\,\varphi \right)\,\sin \!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\right]\,r\;d\varphi \;dr\;$» ; $\color {transparent}{\succ }\;$soient les deux faces en regard utilisant alors l'« approximation linéaire du produit « pression - sinus de colatitude - vecteur unitaire colatitudal $\;p\;\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\;$» ${\big$considérée comme fonction vectorielle d'une seule variable si $\;r\;$ et $\;\varphi \;$ sont figées${\big )}\;$ au voisinage de la valeur particulière $\;\theta \;$» pour évaluer $\;p\!\left(r\,,\,\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\,,\,\varphi \right)\,\sin \!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\;$ et $\;p\!\left(r\,,\,\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\,,\,\varphi \right)\,\sin \!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}p\!\left(r\,,\,\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\,,\,\varphi \right)\,\sin \!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\simeq p(r\,,\,\theta \,,\,\varphi )\;\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }(\theta )+\left({\dfrac {\partial \left[p\;\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(r\,,\,\theta \,,\,\varphi )\,\left[-{\dfrac {d\theta }{2}}\right]\\p\!\left(r\,,\,\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\,,\,\varphi \right)\,\sin \!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\simeq p(r\,,\,\theta \,,\,\varphi )\;\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }(\theta )+\left({\dfrac {\partial \left[p\;\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(r\,,\,\theta \,,\,\varphi )\,\left[{\dfrac {d\theta }{2}}\right]\end{array}}\right\rbrace$, puis, par différence et après simplification évidente, «$\;p\!\left(r\,,\,\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\,,\,\varphi \right)\,\sin \!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)-p\!\left(r\,,\,\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\,,\,\varphi \right)\,\sin \!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\simeq$ $-\left({\dfrac {\partial \left[p\;\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(r\,,\,\theta \,,\,\varphi )\;d\theta \;$» dont nous déduisons finalement «$\;{\overrightarrow {dR}}_{2}\simeq$ $-\left({\dfrac {\partial \left[p\;\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(r\,,\,\theta \,,\,\varphi )\;d\theta \;r\;d\varphi \;dr=-{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\;\left({\dfrac {\partial \left[p\;\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(P)\;d{\mathcal {V}}\;$» ;
$\succ \;$soient les deux faces en regard «$\;CC'D'D\;$ de longitude $\;\varphi -{\dfrac {d\varphi }{2}}$, de vecteur surface $\;{\big$élémentaire${\big )}$ $\;{\overrightarrow {dS_{CC'D'D}}}=-r\;d\theta \;dr\;{\vec {u}}_{\varphi }\!\left(\varphi -{\dfrac {d\varphi }{2}}\right)\;$» et $\color {transparent}{\succ }\;$soient les deux faces en regard «$\;BB'A'A\;$ de longitude $\;\varphi +{\dfrac {d\varphi }{2}}$, de vecteur surface $\;{\big$élémentaire${\big )}$ $\;{\overrightarrow {dS_{BB'A'A}}}=r\;d\theta \;dr\;{\vec {u}}_{\varphi }\!\left(\varphi +{\dfrac {d\varphi }{2}}\right)\;$», $\color {transparent}{\succ }\;$soient les deux faces en regard la somme des forces pressantes que le reste du fluide exerce sur les faces $\;CC'D'D\;$ et $\;BB'A'A\;$ s'écrit «$\;{\overrightarrow {dR}}_{3}={\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,CC'D'D}+{\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,BB'A'A}\simeq$ $-p\!\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi -{\dfrac {d\varphi }{2}}\right)\,{\overrightarrow {dS_{CC'D'D}}}-p\!\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi +{\dfrac {d\varphi }{2}}\right)\,{\overrightarrow {dS_{BB'A'A}}}=p\!\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi -{\dfrac {d\varphi }{2}}\right)\,r\;d\theta \;dr\;{\vec {u}}_{\varphi }\!\left(\varphi -{\dfrac {d\varphi }{2}}\right)-p\!\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi +{\dfrac {d\varphi }{2}}\right)\,r\;d\theta \;dr\;{\vec {u}}_{\varphi }\!\left(\varphi +{\dfrac {d\varphi }{2}}\right)\;$» ou, après factorisation de la partie commune «$\;{\overrightarrow {dR}}_{3}\simeq$ $\left[p\!\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi -{\dfrac {d\varphi }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{\varphi }\!\left(\varphi -{\dfrac {d\varphi }{2}}\right)-p\!\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi +{\dfrac {d\varphi }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{\varphi }\!\left(\varphi +{\dfrac {d\varphi }{2}}\right)\right]\,r\;d\theta \;dr\;$» ; $\color {transparent}{\succ }\;$soient les deux faces en regard utilisant alors l'« approximation linéaire du produit « pression - vecteur unitaire longitudal $\;p\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ ${\big$considérée comme fonction d'une seule variable si $\;r\;$ et $\;\theta \;$ sont figées${\big )}\;$ au voisinage de la valeur particulière $\;\varphi \;$» pour évaluer les expressions vectorielles des produits $\;p\!\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi -{\dfrac {d\varphi }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{\varphi }\!\left(\varphi -{\dfrac {d\varphi }{2}}\right)\;$ et $\;p\!\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi +{\dfrac {d\varphi }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{\varphi }\!\left(\varphi +{\dfrac {d\varphi }{2}}\right)\;$ nous obtenons alors $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}p\!\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi -{\dfrac {d\varphi }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{\varphi }\!\left(\varphi -{\dfrac {d\varphi }{2}}\right)\simeq p(r\,,\,\theta \,,\,\varphi )\;{\vec {u}}_{\varphi }+\left({\dfrac {\partial \left[p\;{\vec {u}}_{\varphi }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!(r\,,\,\theta \,,\,\varphi )\,\left[-{\dfrac {d\varphi }{2}}\right]\\p\!\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi +{\dfrac {d\varphi }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{\varphi }\!\left(\varphi +{\dfrac {d\varphi }{2}}\right)\simeq p(r\,,\,\theta \,,\,\varphi )\;{\vec {u}}_{\varphi }+\left({\dfrac {\partial \left[p\;{\vec {u}}_{\varphi }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!(r\,,\,\theta \,,\,\varphi )\,\left[{\dfrac {d\varphi }{2}}\right]\end{array}}\right\rbrace$, puis, par différence, «$\;p\!\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi -{\dfrac {d\varphi }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{\varphi }\!\left(\varphi -{\dfrac {d\varphi }{2}}\right)-p\!\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi +{\dfrac {d\varphi }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{\varphi }\!\left(\varphi +{\dfrac {d\varphi }{2}}\right)\simeq$ $-\left({\dfrac {\partial \left[p\;{\vec {u}}_{\varphi }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!(r\,,\,\theta \,,\,\varphi )\;d\varphi \;$» soit finalement, «$\;{\overrightarrow {dR}}_{3}\simeq -\left({\dfrac {\partial \left[p\;{\vec {u}}_{\varphi }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!(r\,,\,\theta \,,\,\varphi )\;d\varphi \;r\;d\theta \;dr=-{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\;\left({\dfrac {\partial \left[p\;{\vec {u}}_{\varphi }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!(P)\;d{\mathcal {V}}\;$» ;
$\succ \;$en ajoutant les trois contributions précédentes «$\;{\overrightarrow {dR}}_{1}\;$», «$\;{\overrightarrow {dR}}_{2}\;$» et «$\;{\overrightarrow {dR}}_{3}\;$» nous obtenons la résultante des forces pressantes exercées par le restant du fluide sur la particule de fluide $\;\left(P\,,\,d{\mathcal {V}}\right)\;$ c'est-à-dire «$\;{\overrightarrow {dR}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,{\text{fluide ext}}}={\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,ABCD}+{\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,A'B'C'D'}+{\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,A'ADD'}+{\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,B'BCC'}+{\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,CC'D'D}+{\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,BB'A'A}\;$» soit, après report des expressions approchées de «$\;{\overrightarrow {dR}}_{1}\;$», «$\;{\overrightarrow {dR}}_{2}\;$» et «$\;{\overrightarrow {dR}}_{3}\;$» et factorisation, «$\;{\overrightarrow {dR}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,{\text{fluide ext}}}\simeq -\left[{\dfrac {1}{r^{2}}}\,\left({\dfrac {\partial [r^{2}\;p]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(P)\;{\vec {u}}_{r}+{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\;\left({\dfrac {\partial \left[p\;\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(P)+{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\;\left({\dfrac {\partial \left[p\;{\vec {u}}_{\varphi }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!(P)\right]\,d{\mathcal {V}}\;$» soit, avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l c l}{\dfrac {1}{r^{2}}}\,\left({\dfrac {\partial [r^{2}\;p]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!\!&=&\!\!{\dfrac {1}{r^{2}}}\,\left[2\;r\;p+r^{2}\;\left({\dfrac {\partial p}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\right]\!\!&=&\!\!{\dfrac {2\;p}{r}}+\left({\dfrac {\partial p}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\\{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\;\left({\dfrac {\partial \left[p\;\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!\!&=&\!\!{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left[\left({\dfrac {\partial p}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\;\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }+p\;\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }+p\;\sin(\theta )\,\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\varphi }\right]\!\!&=&\!\!{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial p}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\;{\vec {u}}_{\theta }+{\dfrac {p\;\cos(\theta )}{r\;\sin(\theta )}}\;{\vec {u}}_{\theta }-{\dfrac {p}{r}}\;{\vec {u}}_{r}\\{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\;\left({\dfrac {\partial \left[p\;{\vec {u}}_{\varphi }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!\!&=&\!\!{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left[\left({\dfrac {\partial p}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\;{\vec {u}}_{\varphi }+p\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\varphi }}{d\varphi }}\right]\!\!&=&\!\!{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial p}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\;{\vec {u}}_{\varphi }-{\dfrac {p}{r\;\sin(\theta )}}\left[\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{r}+\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\right]\end{array}}\right\rbrace \;$$^,$ soit encore, après simplification évidente,
$\;{\overrightarrow {dR}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,{\text{fluide ext}}}\simeq -\left[\left({\dfrac {\partial p}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(P)\;{\vec {u}}_{r}+{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial p}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(P)\;{\vec {u}}_{\theta }+{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial p}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!(P)\;{\vec {u}}_{\varphi }\right]\,d{\mathcal {V}}\;$
$\succ \;$finalement, reconnaissant les composantes sphériques du « champ vectoriel gradient de la fonction scalaire “ pression ” » dans le 2ème membre de la relation ci-dessus, la résultante des forces pressantes exercées par le restant du fluide sur la particule de fluide $\;\left(P\,,\,d{\mathcal {V}}\right)\;$ se réécrit selon l'équivalent volumique suivant
$\;{\overrightarrow {dR}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,{\text{fluide ext}}}\simeq -{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[p\right]\!(P)\;d{\mathcal {V}}\;$

### En complément, possibilité de calculer la résultante des forces de pression exercées sur une partie du fluide à l’intérieur d'une surface fermée (fictive) par le fluide situé à l’extérieur à partir de l'« équivalent volumique des forces de pression du fluide »

Remarque préliminaire : La résultante des forces de pression exercées par le fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ à l'extérieur d'une surface fermée $\;{\big$fictive${\big )}$ $\;\left(S\right)\;$ sur la partie du fluide situé à l’intérieur $\;\left({\mathcal {F}}_{{\text{int de }}S}\right)\;$ est aussi Remarque préliminaire : la résultante des forces pressantes exercées sur un corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)$, de surface extérieure $\;\left(S\right)$, totalement immergé dans le fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)$, dans la mesure où $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ peut être remplacé par son « fluide déplacé » $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$ c'est-à-dire remplacé par du fluide $\;{\big$fictif${\big )}\;$ sans modification de la répartition du champ de pression dans $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ à l'extérieur de $\;\left(S\right)$.
Développement : il est usuel d'effectuer le calcul de la résultante des forces de pression exercées par le fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ à l'extérieur d'une surface fermée $\;{\big$fictive${\big )}$ $\;\left(S\right)\;$ sur la partie du fluide situé à l’intérieur $\;\left({\mathcal {F}}_{{\text{int de }}S}\right)\;$ en ajoutant toutes les forces surfaciques que le fluide extérieur $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ exerce sur cette surface fermée $\;\left(S\right)\;$ selon
$\;{\vec {R}}_{(S)\,\leftarrow \,({\mathcal {F}})}=\color {transparent}{\Bigg\!\!\!\color {black}\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \,(S)}{\overrightarrow {dF}}_{(S)\,\leftarrow \,({\mathcal {F}})}(M)=\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \,(S)}-p(M)\;dS_{M}\;{\vec {n}}_{(S)\,\rightarrow \,({\mathcal {F}})}(M)\;$
Développement : considérons le fluide intérieur à $\;\left(S\right)\;$ c'est-à-dire $\;\left({\mathcal {F}}_{{\text{int de }}S}\right)\;$ composé de particules de fluide d'expansion tridimensionnelle modélisée en cartésien par des petits parallélépipèdes rectangles pour lesquels «$\;dS_{M}\;$ est l'aire d'une des faces centrée en $\;M\,\in \,(S)\;$ de la particule de fluide considérée $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$» $\;{\big$cette face étant orientée de l'intérieur de la particule de fluide $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ vers l'extérieur${\big ]}$ $\;{\big \$les cinq autres faces de cette particule de fluide n'apparaissant pas dans l'intégrale surfacique évaluant la résultante des forces de pression exercées par $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ sur $\;\left({\mathcal {F}}_{{\text{int de }}S}\right){\big \}$, Développement : considérons « la face opposée correspondante étant centrée en un point $\;P\;$ strictement intérieur à $\;\left(S\right)\;$» et Développement : considérons « les quatre autres faces respectivement centrées en $\;N_{i}\,,\,i\,\in \,\left[\left[1\,,\,4\right]\right]\;$ étant également des faces communes à quatre particules de fluide voisines $\;\left({{\mathfrak {a}}'}_{\!i\,\in \,\left[\left[1\,,\,4\right]\right]}\right)\;$ dont une des faces est centrée en $\;{M'}_{\!i\,\in \,\left[\left[1\,,\,4\right]\right]}\,\in \,(S)\;$ avec $\;{M'}_{\!i\,\in \,\left[\left[1\,,\,4\right]\right]}\;$ infiniment proche de $\;M\;$ sur la surface $\;(S)\;$» ;
Développement : il est possible de faire apparaître ces cinq faces manquantes en ajoutant des termes élémentaires à l'intégrale évaluant $\;{\vec {R}}_{(S)\,\leftarrow \,({\mathcal {F}})}\;$ sans en modifier le résultat, pour cela remarquant que Développement : il est possible de faire apparaître ces cinq faces manquantes les quatre autres faces de la particule de fluide considérée $\;\left({\mathfrak {a}}\right)$, faces centrées en $\;N_{i}\,,\,i\,\in \,\left[\left[1\,,\,4\right]\right]$, étant communes à quatre particules de fluide voisines $\;\left({{\mathfrak {a}}'}_{\!i\,\in \,\left[\left[1\,,\,4\right]\right]}\right)\;$ dont une des faces est centrée en $\;{M'}_{\!i\,\in \,\left[\left[1\,,\,4\right]\right]}\,\in \,(S)\;$ avec $\;{M'}_{\!i\,\in \,\left[\left[1\,,\,4\right]\right]}\;$ infiniment proche de $\;M\;$ sur la surface $\;(S)$, « l'ajout des quatre termes élémentaires $\;-p(N_{i})\;dS_{N_{i}}\;{\vec {n}}_{\left({\mathfrak {a}}\right)\,\rightarrow \,\left({{\mathfrak {a}}'}_{\!i\,\in \,\left[\left[1\,,\,4\right]\right]}\right)}(N_{i})\;$ associés à la particule de fluide $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$» ne modifie pas le résultat de l'intégrale dans la mesure où il est compensé par « l'ajout simultané des quatre termes élémentaires $\;-p(N_{i})\;dS_{N_{i}}\;{\vec {n}}_{\left({{\mathfrak {a}}'}_{\!i\,\in \,\left[\left[1\,,\,4\right]\right]}\right)\,\rightarrow \,\left({\mathfrak {a}}\right)}(N_{i})\;$ associés aux particules de fluide voisines $\;\left({{\mathfrak {a}}'}_{\!i\,\in \,\left[\left[1\,,\,4\right]\right]}\right)\;$» $\;{\Big \$la pression ainsi que l'aire élémentaire en $\;N_{i}\;$ étant évidemment les mêmes et les vecteurs unitaires normaux étant opposés l'un de l'autre suivant qu'ils sont associés à la particule de fluide $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ ou à une de ses voisines $\;\left({{\mathfrak {a}}'}_{\!i\,\in \,\left[\left[1\,,\,4\right]\right]}\right)\!{\Big \}$ et que Développement : il est possible de faire apparaître ces cinq faces manquantes la 5ème face de la particule de fluide $\;\left({\mathfrak {a}}\right)$ $\;{\big$face opposée à celle centrée en $\;M\,\in \,(S)\;$ de la particule de fluide $\;\left({\mathfrak {a}}\right){\big ]}$, 5ème face centrée en un point $\;P\;$ strictement intérieur à $\;\left(S\right)$, étant commune à une particule de fluide voisine $\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$ strictement intérieur à $\;\left(S\right)$ $\;{\big \$donc sans face située sur $\;\left(S\right){\big \}$, « l'ajout du terme élémentaire $\;-p(P)\;dS_{P}\;{\vec {n}}_{\left({\mathfrak {a}}\right)\,\rightarrow \,\left({\mathfrak {b}}\right)}(P)\;$ associé à la particule de fluide $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$» ne modifie pas le résultat de l'intégrale dans la mesure où il est compensé par « l'ajout simultané du terme élémentaire $\;-p(P)\;dS_{P}\;{\vec {n}}_{\left({\mathfrak {b}}\right)\,\rightarrow \,\left({\mathfrak {a}}\right)}(P)\;$ associé à la particule de fluide voisine $\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$» $\;{\Big \$la pression ainsi que l'aire élémentaire en $\;P\;$ étant évidemment les mêmes et les vecteurs unitaires normaux étant opposés l'un de l'autre suivant qu'ils sont associés à la particule de fluide $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ ou à celle voisine $\;\left({\mathfrak {b}}\right)\!{\Big \}$ ; Développement : il est possible de faire apparaître ces cinq faces manquantes il faut alors recommencer l'ajout de termes élémentaires en considérant chaque particule de fluide de type $\;\left({\mathfrak {a}}\right)$ $\;{\big$c'est-à-dire dont une face est centrée en $\;M\;$ quelconque $\;\in \,\left(S\right){\big ]}\;$ associée aux quatre particules de fluide voisines de type $\;\left({\mathfrak {a}}'\right)\;$ et à la particule de fluide également voisine de type $\;\left({\mathfrak {b}}\right)$, ainsi que Développement : il est possible de faire apparaître ces cinq faces manquantes il faut alors recommencer l'ajout de termes élémentaires en considérant chaque particule de fluide de type $\;\left({\mathfrak {b}}\right)$ $\;{\big$c'est-à-dire dont une face est centrée en $\;P\;$ strictement intérieur à $\;\left(S\right){\big ]}$, associée aux cinq particules de fluide voisines de type $\;\left({\mathfrak {b}}'\right)$ $\;{\big$c'est-à-dire dont au moins quatre autres faces sont centrées en $\;P'\;$ strictement intérieur à $\;\left(S\right)\;$ la 5ème autre face pouvant être centrée en un point strictement intérieur à $\;\left(S\right)\;$ ou en un point sur $\;\left(S\right){\big ]}$, Développement : il est possible de faire apparaître ces cinq faces manquantes il faut alors recommencer l'ajout de tous ces termes élémentaires se compensant deux à deux et permettant de remplacer l'intégrale surfacique évaluant $\;{\vec {R}}_{(S)\,\leftarrow \,({\mathcal {F}})}\;$ en la somme $\;{\big$continue${\big )}\;$ des résultantes des forces pressantes que le fluide exerce sur toutes les particules de fluide situées à l'intérieur de $\;\left(S\right)\;$ c'est-à-dire «$\;{\vec {R}}_{(S)\,\leftarrow \,({\mathcal {F}})}$ $=\sum \limits _{P\,\in \,{\text{int de}}\,(S)}{\overrightarrow {dR}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,\left({\mathcal {F}}\right)}\;$ ou encore $\;{\vec {R}}_{(S)\,\leftarrow \,({\mathcal {F}})}=\displaystyle \iiint \limits _{P\,\in \,{\text{int de}}\,(S)}{\overrightarrow {dR}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,\left({\mathcal {F}}\right)}\;$» ;
Développement : finalement, en utilisant l'équivalent volumique de la résultante des forces pressantes exercées par le restant du fluide sur la particule de fluide $\;\left(P\,,\,d{\mathcal {V}}\right)\;$ «$\;{\overrightarrow {dR}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,{\text{fluide ext}}}\simeq$ $-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[p\right]\!(P)\;d{\mathcal {V}}\;$», la résultante des forces de pression exercées par le fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ à l'extérieur d'une surface fermée $\;{\big$fictive${\big )}$ $\;\left(S\right)\;$ sur la partie du fluide situé à l’intérieur $\;\left({\mathcal {F}}_{{\text{int de }}S}\right)\;$ se réécrit selon
$\;{\vec {R}}_{(S)\,\leftarrow \,({\mathcal {F}})}=\displaystyle \iiint \limits _{P\,\in \,{\text{int de}}\,(S)}{\overrightarrow {dR}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,\left({\mathcal {F}}\right)}=\displaystyle \iiint \limits _{P\,\in \,{\text{int de}}\,(S)}-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[p\right]\!(P)\;d{\mathcal {V}}_{P}\;$

## Équation locale de la statique des fluides dans un référentiel galiléen : relation fondamentale de la statique des fluides (ou r.f.s.f.) dans un référentiel galiléen
### Énoncé de la r.f.s.f. dans un référentiel galiléen

$\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$
$\;{\vec {f}}_{\!V}(P)\;$
$\;{\mathcal {R}}_{g}\;$
$\;{\vec {f}}_{\!V}(P)-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[p\right]\!(P)={\vec {0}},\;\;\forall \;P\;\in \;\left({\mathcal {F}}\right)\;$
${\big$
${\big )}$
$\;{\mathcal {R}}_{g}$

### Démonstration

Considérons la C.N. d’équilibre du fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ galiléen, et plus particulièrement Considérons la C.N. celle d’équilibre de chaque particule de fluide $\;\left(P,\;d{\mathcal {V}}\right)\;$ c'est-à-dire centrée en $\;P\;$ et de volume $\;d{\mathcal {V}}$ ;
Considérons cette particule de fluide $\;\left(P,\;d{\mathcal {V}}\right)\;$ étant soumise à des forces volumiques de « densité volumique $\;{\vec {f}}_{\!V}(P)\;$» et Considérons cette particule de fluide $\;\color {transparent}{\left(P,\;d{\mathcal {V}}\right)}\;$ étant soumise à des forces surfaciques pressantes de « densité surfacique $\;{\vec {f}}_{S}(M)=-p(M)\;{\vec {n}}_{{\text{int}}\,\rightarrow \,{\text{ext}}}(M)\;$» $\;{\big \M\;$ étant l'un des six centres des faces limitant l'expansion tridimensionnelle de $\;\left(P,\;d{\mathcal {V}}\right)\!{\big \}$, Considérons cette particule de fluide $\;\color {transparent}{\left(P,\;d{\mathcal {V}}\right)}\;$ sa C.N. d’équilibre s’écrit «$\;{\vec {f}}_{\!V}(P)\;d{\mathcal {V}}+\sum _{i\,=\,1}^{i\,=\,6}{\vec {f}}_{S}(M_{i})\;dS_{i}={\vec {0}}\;$» $\;{\bigdS_{i}\;$ étant l'aire de la surface $\;{\big$élémentaire${\big )}\;$ de la ième face limitant l'expansion tridimensionnelle de $\;\left(P,\;d{\mathcal {V}}\right)\!{\big ]}\;$ ou, en remplaçant la résultante des forces pressantes que le restant du fluide exerce sur $\;\left(P,\;d{\mathcal {V}}\right)\;$ «$\;\sum _{i\,=\,1}^{i\,=\,6}{\vec {f}}_{S}(M_{i})\;dS_{i}\;$» par son équivalent volumique «$\;-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[p\right]\!(P)\;d{\mathcal {V}}\;$», la réécriture de la C.N. d’équilibre de la particule de fluide $\;\left(P,\;d{\mathcal {V}}\right)\;$ selon «$\;{\vec {f}}_{\!V}(P)\;d{\mathcal {V}}-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[p\right]\!(P)\;d{\mathcal {V}}={\vec {0}}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;\left\lbrace {\vec {f}}_{\!V}(P)-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[p\right]\!(P)\right\rbrace \,d{\mathcal {V}}={\vec {0}}\;$» ou encore Considérons cette particule de fluide $\;\color {transparent}{\left(P,\;d{\mathcal {V}}\right)}\;$ sa C.N. d’équilibre s’écrit «$\;{\vec {f}}_{\!V}(P)-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[p\right]\!(P)={\vec {0}}\;$» C.Q.F.D..

### Forme « différentielle » de la r.f.s.f.

Préliminaire : La relation fondamentale de la statique des fluides $\;{\big$r.f.s.f.${\big )}\;$ ${\big \$voir le paragraphe « énoncé de la r.f.s.f. dans un référentiel galiléen » plus haut dans ce chapitre${\big \}$ est une « équation locale », Préliminaire : la forme « différentielle » de la r.f.s.f. $\;{\big$que nous allons déduire de la r.f.s.f. dans ce paragraphe${\big )}\;$ est l'« équation intégrée associée à l'équation locale “r.f.s.f.” » $\;{\big$équation intégrée sous forme élémentaire${\big ]}$.
Développement : considérant un déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ allant d’une particule de fluide en équilibre centrée en $\;M\;$ à une particule de fluide voisine infiniment proche également en équilibre et centrée en $\;M'$ $\;{\Big$c'est-à-dire tel que $\;{\overrightarrow {MM'}}={\overrightarrow {dM}}{\Big )}$, puis Développement : multipliant scalairement par $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ la r.f.s.f. écrite en $\;M\;$ c'est-à-dire «$\;{\vec {f}}_{\!V}(M)-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[p\right]\!(M)={\vec {0}}\;$», Développement : nous obtenons «$\;\left\lbrace {\vec {f}}_{\!V}(M)-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[p\right]\!(M)\right\rbrace \cdot {\overrightarrow {dM}}={\vec {0}}\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$» ou «$\;{\vec {f}}_{\!V}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[p\right]\!(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=0\;$» en utilisant la distributivité de la multiplication relativement à l'addition vectorielle, ou encore «$\;{\vec {f}}_{\!V}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}-dp(M)=0\;$» en utilisant la définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace c'est-à-dire «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[p\right]\!(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=dp(M)\;$».
$\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$
$\;{\vec {f}}_{\!V}(M)\;$
$\;{\mathcal {R}}_{g}\;$
$\;M\;\in \,\left({\mathcal {F}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$
$\;M\;$
$\;{\vec {f}}_{\!V}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=dp(M),\;\;\forall \;M\;\in \;\left({\mathcal {F}}\right)\;$
${\big$
${\big )}$
$\;{\mathcal {R}}_{g}$

### Retour sur l'équilibre d'un fluide dans un référentiel galiléen uniquement soumis à un champ de pesanteur uniforme

Dans ce cas, il n'y a qu'une force volumique appliquée au fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)$, la force volumique de pesanteur «$\;{\vec {f}}_{\!V,\,{\text{pes}}}(M)=\mu _{\,{\text{flu}}}(M)\;{\vec {g}}\;$» dans laquelle $\;\mu _{\,{\text{flu}}}(M)\;$ est la masse volumique de $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ au point $\;M\;$ et $\;{\vec {g}}\;$ le champ de pesanteur terrestre uniforme ; nous en déduisons l'expression de la r.f.s..f.
Dans ce cas, $\succ \;$sous sa forme locale «$\;\mu _{\,{\text{flu}}}(M)\;{\vec {g}}-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[p\right]\!(M)={\vec {0}}\;$» qui s'écrit encore Dans ce cas, $\color {transparent}{\succ }\;$sous sa forme locale «$\;\mu _{\,{\text{flu}}}(M)\;{\vec {g}}={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[p\right]\!(M)\;$» ou
Dans ce cas, $\succ \;$sous sa forme différentielle «$\;\mu _{\,{\text{flu}}}(M)\;{\vec {g}}\cdot {\overrightarrow {dM}}=dp(M)\;$» qui s'écrit encore Dans ce cas, $\color {transparent}{\succ }\;$sous sa forme différentielle «$\;-\mu _{\,{\text{flu}}}(M)\;g\;dz=dp(M)\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;dp(M)+\mu _{\,{\text{flu}}}(z)\;g\;dz=0\;$» en orientant l'axe vertical dans le sens ascendant ou Dans ce cas, $\color {transparent}{\succ }\;$sous sa forme différentielle «$\;\mu _{\,{\text{flu}}}(M)\;g\;dz=dp(M)\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;dp(M)-\mu _{\,{\text{flu}}}(z)\;g\;dz=0\;$» en orientant l'axe vertical dans le sens descendant.