# Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Mouvement de particules chargées dans des champs électrique et magnétique : Cas particulier d'un champ magnétostatique uniforme
## Séparation isotopique des particules chargées d'un faisceau monocinétique par l'action d'un champ magnétostatique uniforme perpendiculaire au vecteur vitesse initiale des particules

Le spectrographe de Bainbridge accélère préalablement les isotopes ionisés de même charge «$\;_{Z}^{A}X^{+}\;$» et «$\;_{Z}^{A'}\!X^{+}\;$» d'un « même élément $\;_{Z}X\;$» Le spectrographe de Bainbridge accélère préalablement lesquels, après passage dans un filtre de vitesse, ressortent avec un même vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{0}\;$ dans le référentiel d'étude lié au filtre, référentiel supposé galiléen, Le spectrographe de Bainbridge accélère préalablement pour pénétrer dans une chambre de déviation où règne un champ magnétostatique uniforme $\;{\vec {B}}\;$ dont la direction est $\;\perp \;$ à la direction du vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}\;$ commun aux isotopes ionisés ;
après une trajectoire semi-circulaire dans la chambre de déviation, on mesure la « distance $\;\delta \;$ séparant les points d'impact de chaque isotope ionisé » sur une « plaque photographique » située à la sortie de la chambre de déviation $\;{\big$voir figure ci-contre${\big )}$ ;
pour l'exposé de la solution nous supposerons que $\;A'\;$ représente le plus grande nombre de masse des deux isotopes c'est-à-dire «$\;A'>A\;$».

### Justification du mouvement de chaque isotope ionisé dans la chambre de déviation

Justifier que le mouvement de chaque ion est plan, circulaire et uniforme en précisant les rayons $\;{\mathcal {R}}\;$ et $\;{\mathcal {R}}'\;$ des différents isotopes ionisés.
L’application de la r.f.d.n. dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ galiléen à l'isotope ionisé $\;P\left(q=+e\right)\;$ soumise à la seule force magnétique de Lorentz «$\;{\vec {F}}_{\text{mag. de Lor}}(P)=q\;{\vec {V}}_{\!P}(t)\wedge {\vec {B}}\;$», $\;{\vec {V}}_{\!P}(t)\;$ étant le vecteur vitesse de l'isotope ionisé à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}$, soit «$\;{\vec {F}}_{\text{mag. de Lor}}(P)=m\;{\vec {a}}_{P}(t)\;$», conduit, sachant que le vecteur accélération de la particule à l'instant $\;t$, $\;{\vec {a}}_{P}(t)$, est la dérivée temporelle de son vecteur vitesse au même instant $\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{\!P}}{dt}}(t)$, à l’équation différentielle vectorielle du 1er ordre en $\;{\vec {V}}_{\!P}(t)\;$ «$\;q\;{\vec {V}}_{\!P}(t)\wedge {\vec {B}}=m\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{\!P}}{dt}}(t)\;$» ;
sachant que tout produit vectoriel non nul de deux vecteurs est $\;\perp \;$ à chacun de ses vecteurs, nous en déduisons que $\;q\;{\vec {V}}_{\!P}(t)\wedge {\vec {B}}\;$ est $\;\perp \;$ à $\;{\vec {B}}\;$ c'est-à-dire à $\;{\vec {u}}_{z}\;$ vecteur unitaire colinéaire à $\;{\vec {B}}\;$ et de sens contraire $\;{\big$de façon à ce que la base cartésienne orthonormée $\;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)\;$ soit directe${\big ]}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {B}}=-B\;{\vec {u}}_{z}\;$ avec $\;B=\Vert {\vec {B}}\Vert$ ; projetant l'équation différentielle sur $\;{\vec {u}}_{z}\;$ nous obtenons «$\;0=m\;{\dfrac {dV_{z,\,P}}{dt}}(t)\;$» $\Rightarrow$ $\;V_{z,\,P}(t)=cste\;$ et la C.I. $\;{\vec {V}}_{0}=V_{0}\;{\vec {u}}_{x}\;$ imposant «$\;V_{0,\,z}=0\;$» $\Rightarrow$ $\;cste=0\;$ soit «$\;V_{z,\,P}(t)=0\;\;\forall \;t\;$» et projetant l'équation différentielle sur uz nous obtenons «$\;0=V_{z,\,P}(t)={\dfrac {dz_{P}}{dt}}(t)\;$» $\Rightarrow$ $\;z_{P}(t)=cste'\;$ et la C.I. $\;P_{0}\;$ en $\;O\;$ imposant «$\;z_{0}=0\;$» $\Rightarrow$ $\;cste'=0\;$ soit «$\;z_{P}(t)=0\;\;\forall \;t\;$» ;
en 1re conclusion, le mouvement de l'isotope ionisé $\;P\;$ pénétrant dans l'espace champ magnétostatique uniforme avec un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{0}=V_{0}\;{\vec {u}}_{x}$ $\;\perp \;$ à $\;{\vec {B}}\;$ est, dans le cas où la seule force s'exerçant sur $\;P\;$ est la force magnétique de Lorentz, plan, le plan du mouvement étant $\;xOy$ ;
la force magnétique de Lorentz ne développant aucune puissance en étant la seule force appliquée à la particule, l’énergie cinétique de cette dernière reste constante par application du théorème de la puissance cinétique et par suite la norme de sa vitesse aussi soit «$\;\Vert {\vec {V}}_{\!P}(t)\Vert =cste\;$», la constante se déterminant par C.I. «$\;\Vert {\vec {V}}_{\!P}(0)\Vert =\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert =V_{0}\;$» d’où «$\;\Vert {\vec {V}}_{\!P}(t)\Vert =V_{0}\;\;\forall \;t\;$» c'est-à-dire
en 2ème conclusion, le mouvement de l'isotope ionisé $\;P\;$ après pénétration dans l'espace champ magnétostatique uniforme est uniforme de norme de vitesse égale à $\;V_{0}$ ;
le mouvement de l'isotope ionisé $\;P\left(q=+e\right)\;$ étant plan, dans le plan « le plan $\;xOy\;$» et la particule entrant dans l'espace champ magnétostatique uniforme en $\;O\;$ avec un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{0}=V_{0}\;{\vec {u}}_{x}$ $\;{\BigV_{0}=$ $\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert \;$ étant aussi la vitesse instantanée initiale $\;v_{0}\;$ de l'isotope ionisé si on choisit le sens $\;+\;$ sur la trajectoire dans le sens du mouvement${\Big )}$, nous obtenons le schéma descriptif ci-dessus présenté dans l'énoncé, $\;q\;$ étant $\;>0$ $\;{\bigg$pour savoir de quel côté de $\;{\vec {V}}_{0}\;$ la courbe s’amorce il convient de déterminer la force magnétique de Lorentz initiale «$\;{\vec {F}}_{\text{mag. de Lor}}(P_{0})=q\;{\vec {V}}_{0}\wedge {\vec {B}}\;$», de direction $\;\perp \;$ au plan $\;\left({\vec {V}}_{0}\,,\,{\vec {B}}\right)\;$ ou $\;xOz\;$ c'est-à-dire portée par $\;Oy\;$ et de sens tel que $\;\left\lbrace q\;{\vec {V}}_{0}\,,\,{\vec {B}}\,,\,{\vec {F}}_{\text{mag. de Lor}}(P_{0})\right\rbrace \;$ soit direct $\Rightarrow$ «$\;{\vec {F}}_{\text{mag. de Lor}}(P_{0})\;$» de même sens que $\;{\vec {u}}_{y}{\bigg ]}$, la rotation de l'isotope ionisé se faisant dans le sens $\;+\;$ du plan $\;xOy\;$ défini par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{z}\;$ colinéaire à $\;{\vec {B}}\;$ et de sens contraire $\;{\Big$le sens de $\;{\vec {F}}_{\text{mag. de Lor}}(M_{0})\;$ sur $\;Oy\;$ nous indique le sens du début de rotation mais le mouvement étant uniforme la rotation se poursuit dans le même sens${\Big ]}$ ; pour déterminer la nature de la trajectoire nous utilisons le repérage local de Frenet de base directe «$\;\left\lbrace {\vec {T}}\,,\,{\vec {N}}\,,\,{\vec {b}}={\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$» et projetons l'équation différentielle «$\;q\;{\vec {V}}_{\!P}(t)\wedge {\vec {B}}=m\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{\!P}}{dt}}(t)\;$» sur $\;{\vec {N}}$, le vecteur unitaire normal principal de la base locale de Frenet$^,$, en utilisant
d'une part que «$\;q\;{\vec {V}}_{\!P}(t)\wedge {\vec {B}}\;$ étant $\;\perp \;$ à $\;{\vec {V}}_{\!P}(t)\;$ et $\;{\vec {B}}\;$, donc à $\;{\vec {T}}\;$ et $\;{\vec {u}}_{z}$, est porté par $\;{\vec {N}}\;$», « son sens se déterminant par $\;\left\lbrace q\;{\vec {V}}_{\!P}(t)\,,\,{\vec {B}}\,,\,q\;{\vec {V}}_{\!P}(t)\wedge {\vec {B}}\right\rbrace \;$ direct est celui de $\;{\vec {N}}\;$» et
d'autre part que $\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{\!P}}{dt}}(t)\;$ étant $\;={\vec {a}}_{P}(t)\;$ sa projection sur $\;{\vec {N}}\;$ définit l'accélération normale de l'isotope ionisé $\;a_{n,\,P}(t)={\dfrac {v_{P}^{\,2}}{{\mathcal {R}}_{\!P}}}(t)\;$ avec $\;v_{P}(t)\;$ la vitesse instantanée de l'isotope ionisé $\;v_{P}(t)=$ ${\vec {V}}_{\!P}(t)\cdot {\vec {T}}\;$ et $\;{\mathcal {R}}_{\!P}(t)\;$ le rayon de courbure de la trajectoire en la position de l'isotope ionisé à l'instant $\;t\;$,
ce qui donne «$\;\Vert \,q\;{\vec {V}}_{\!P}(t)\wedge {\vec {B}}\,\Vert =m\;{\dfrac {v_{P}^{\,2}}{{\mathcal {R}}_{\!P}}}(t)\;$» avec «$\;\Vert \,q\;{\vec {V}}_{\!P}(t)\wedge {\vec {B}}\,\Vert =\vert q\vert \,\Vert {\vec {V}}_{\!P}(t)\Vert \,\Vert {\vec {B}}\vert \,{\bigg \vert }\sin \!{\widehat {\left[q\;{\vec {V}}_{\!P}(t)\,,\,{\vec {B}}\right]}}{\bigg \vert }\;$» dans laquelle $\;{\bigg \vert }\sin \!{\widehat {\left[q\;{\vec {V}}_{\!P}(t)\,,\,{\vec {B}}\right]}}{\bigg \vert }=1$ $\;{\Big$le mouvement se faisant dans le plan passant par $\;O\;$ et $\;\perp \;$ à $\;{\vec {B}}{\Big ]}\;$ et $\;\Vert {\vec {V}}_{\!P}(t)\Vert =v_{P}(t)$ $\;{\big$le sens $\;+\;$ étant choisi dans le sens du mouvement${\big ]}\;$ soit encore, $\;q\;$ étant $\;>0\;$ et $\;\Vert {\vec {B}}\Vert \;$ étant notée $\;B$, «$\;q\;v_{P}(t)\;B=m\;{\dfrac {v_{P}^{\,2}}{{\mathcal {R}}_{\!P}}}(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {R}}_{\!P}(t)={\dfrac {m\;v_{P}(t)}{q\;B}}\;$» ;
le mouvement de la particule étant uniforme $\;v_{p}(t)=v_{0},\;\;\forall \;t$, le rayon de courbure de la trajectoire à l'instant $\;t\;$ se réécrit «$\;{\mathcal {R}}_{\!P}(t)={\dfrac {m\;v_{0}}{q\;B}},\;\;\forall \;t\;$» c'est-à-dire une constante et
$\;{\big$
${\big )}$
$\;{\mathcal {R}}_{c}={\dfrac {m\;v_{0}}{q\;B}}\;$
En conclusion le rayon du cercle décrit par l'isotope ionisé «$\;_{Z}^{A}X^{+}\;$ de masse $\;m\;$» est «$\;{\mathcal {R}}={\dfrac {m\;v_{0}}{e\;B}}\;$» et celui du cercle décrit par l'isotope ionisé «$\;_{Z}^{A'}\!X^{+}\;$ de masse $\;m'\;$» est «$\;{\mathcal {R}}'={\dfrac {m'\;v_{0}}{e\;B}}\;$».

### Établissement de l'expression de la distance séparant les deux points d'impact des isotopes ionisés sur la plaque photographique de la sortie de la chambre de déviation

Exprimer la « distance $\;\delta \;$ séparant les points d'impact de chaque isotope ionisé » sur la « plaque photographique » située à la sortie de la chambre de déviation Exprimer la distance « δ » en fonction de la constante d'Avogadro $\;{\mathcal {N}}$, la charge élémentaire $\;e$, la norme du champ magnétostatique $\;B=\Vert {\vec {B}}\Vert$, la norme du vecteur vitesse d'entrée dans la chambre de déviation $\;V_{0}=\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert$, les masses molaires atomiques $\;M\;$ et $\;M'\;$ des isotopes de nombre de masse $\;A\;$ et $\;A'$.
Le rayon du cercle décrit par l'isotope ionisé «$\;_{Z}^{A}X^{+}\;$ de masse $\;m\;$» valant «$\;{\mathcal {R}}={\dfrac {m\;v_{0}}{e\;B}}\;$» et celui du cercle décrit par l'isotope ionisé «$\;_{Z}^{A'}\!X^{+}\;$ de masse $\;m'\;$» «$\;{\mathcal {R}}'$ $={\dfrac {m'\;v_{0}}{e\;B}}\;$», transformons l'expression du rayon de chaque cercle en explicitant la masse «$\;m\;$» et «$\;m'\;$» de chaque isotope ionisé en fonction de leur masse molaire atomique «$\;M\;$» et «$\;M'\;$» ainsi que de la « constante d'Avogadro $\;{\mathcal {N}}\;$» selon «$\;m={\dfrac {M}{\mathcal {N}}}\;$» et «$\;m'={\dfrac {M'}{\mathcal {N}}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {R}}={\dfrac {M\;v_{0}}{{\mathcal {N}}\;e\;B}}\;$» et «$\;{\mathcal {R}}'={\dfrac {M'\;v_{0}}{{\mathcal {N}}\;e\;B}}\;$» ;
le rayon du cercle décrit par chaque isotope ionisé étant $\;\propto \;$ à sa masse molaire atomique, c'est l'isotope ionisé ayant la plus grande masse molaire atomique $\;{\big$c'est-à-dire correspondant au plus grand nombre de masse soit $\;A'{\big )}\;$ qui décrit le demi-cercle le plus extérieur, c'est donc celui-là dont l'impact sur la plaque photographique est le plus éloigné de son point d'entrée dans la chambre de déviation ;
$\;_{Z}^{A}X^{+}\;$
$\;_{Z}^{A'}\!X^{+}\;$
$\;2\;{\mathcal {R}}\;$
$\;2\;{\mathcal {R}}'\;$
$\;{\big$
${\big )}$
$\;{\big$
${\big ]}$
$\;\delta =2\;{\mathcal {R}}'-2\;{\mathcal {R}}\;$
$\;\delta ={\dfrac {2\,\left(M'-M\right)\,v_{0}}{{\mathcal {N}}\;e\;B}}\;$

### Application numérique

À partir de «$\;B=0,30\;T\;$», «$\;e\simeq 1,60\;10^{-19}\;C\;$», «$\;V_{0}=600\;km\cdot s^{-1}\;$» et «$\;{\mathcal {N}}\simeq 6,02\;10^{23}\;mol^{-1}\;$», déduire, de la mesure de «$\;\delta \simeq 4,15\;cm\;$», la nature de l'autre isotope de carbone sachant que l'un des deux est l'isotope le plus fréquent le «$\;_{\;6}^{12}C\;$».
De la relation «$\;\delta ={\dfrac {2\,\left(M'-M\right)\,v_{0}}{{\mathcal {N}}\;e\;B}}\;$» établie précédemment nous déduisons «$\;M'-M={\dfrac {{\mathcal {N}}\;e\;B\;\delta }{2\;v_{0}}}={\dfrac {{\mathcal {N}}\;e\;B\;\delta }{2\;V_{0}}}\;$» $\;{\big$le sens $\;+\;$ sur les trajectoires ayant été choisi dans le sens du mouvement la vitesse instantanée s'identifie à la norme du vecteur vitesse${\big )}\;$ soit numériquement «$\;M'-M\simeq {\dfrac {6,02\;10^{23}\times 1,60\;10^{-19}\times 0,30\times 4,15\;10^{-2}}{2\times 6,00\;10^{5}}}\simeq 9,99\;10^{-4}\;kg\cdot mol^{-1}\;$» ou «$\;M'-M\simeq 1,00\;g\cdot mol^{-1}\;$» ce qui correspond à une différence de nombres de masse des isotopes de $\;1\;$ soit «$\;A'-A=1\;$» ;
l'un des isotopes étant le «$\;_{\;6}^{12}C\;$» $\Rightarrow$ $\;A\;$ ou $\;A'\;$ vaut $\;12\;$ et par suite
* si $\;A=12$, $\;A'\;$ vaut $\;A+\left(A'-A\right)=13\;$ correspondant à l'isotope «$\;_{\;6}^{13}C\;$» peu fréquent mais existant alors que
* si $\;A'=12$, $\;A\;$ vaut $\;A'-\left(A'-A\right)=11\;$ lequel correspond à un isotope «$\;_{\;6}^{11}C\;$» n'existant pas à l'état naturel. Les isotopes du carbone déterminés par séparation isotopique sont le «$\;_{\;6}^{12}C\;$» et le «$\;_{\;6}^{13}C\;$».

## Actions simultanées d'un champ électrostatique et d'un champ magnétostatique perpendiculaires entre eux sur une particule chargée pénétrant perpendiculaire aux deux champs, mouvement cycloïdal, filtre de vitesse

À l'instant pris pour origine des temps, une particule de masse $\;m\;$ et de charge $\;q>0\;$ est d'abord considérée immobile dans le vide en un point représentant l'origine $\;O\;$ des espaces ;
nous établissons à cet instant un champ magnétostatique $\;{\vec {B}}\;$ uniforme et un champ électrostatique $\;{\vec {E}}\;$ également uniforme, de direction perpendiculaire à celle du champ magnétique et
nous choisissons un repérage cartésien de base orthonormée directe $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ tel que $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {B}}=B\;{\vec {u}}_{z}\\{\vec {E}}=E\;{\vec {u}}_{y}\end{array}}\right\rbrace \;$ avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}B=\Vert {\vec {B}}\Vert \\E=\Vert {\vec {E}}\Vert \end{array}}\right\rbrace$, le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{x}\;$ permettant l'orientation des angles du plan $\;yOz$ $\;{\big$voir figure ci-contre${\big )}$.
Le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ lié au champ électromagnétique est supposé galiléen.

### Explicitation des équations différentielles cartésiennes régissant le mouvement de la particule soumis au champ électromagnétique uniforme

Après application de la r.f.d.n. à la particule chargée $\;M\left(q\right)\;$ de masse $\;m\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}$, déduire les trois équations différentielles en composantes cartésiennes du vecteur vitesse de cette particule dans l'espace champ électromagnétique uniforme, puis
simplifier ces équations en introduisant la pulsation cyclotron de la particule $\;\omega _{c}={\dfrac {\vert q\vert \;B}{m}}\;$ soit, pour une particule de charge positive «$\;\omega _{c}={\dfrac {q\;B}{m}}\;$».
L'application de la r.f.d.n., dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ galiléen, à la particule chargée $\;M\left(q\right)\;$ de masse $\;m\;$ soumis à la seule force de Lorentz «$\;{\vec {F}}_{\text{Lor}}(M_{t})=q\,\left({\vec {E}}+{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\right)\;$» dans laquelle $\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$ est le vecteur vitesse de la particule à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ donne «$\;{\vec {F}}_{\text{Lor}}(M_{t})=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ avec $\;{\vec {a}}_{M}(t)={\dfrac {d{\vec {V}}_{\!M}}{dt}}(t)\;$ le vecteur accélération de la particule au même instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$» soit encore l'équation différentielle vectorielle du mouvement de la particule en son vecteur vitesse «$\;q\,\left({\vec {E}}+{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\right)=m\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{\!M}}{dt}}(t)\;$» ;
sachant que «$\;{\vec {E}}=E\;{\vec {u}}_{y}\;$», «$\;{\vec {B}}=B\;{\vec {u}}_{z}\;$» et définissant les composantes cartésiennes du vecteur vitesse de la particule selon «$\;{\vec {V}}_{\!M}(t)=V_{M,\,x}(t)\;{\vec {u}}_{x}+V_{M,\,y}(t)\;{\vec {u}}_{y}+V_{M,\,z}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» nous en déduisons les composantes cartésiennes «$\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\;$» en effectuant les calculs suivants : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c c c c}&&q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)&\wedge &{\vec {B}}&=&q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}&{\scriptstyle {\text{♣}}}&q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\\{\vec {u}}_{x}&|&q\;V_{M,\,x}(t)&&0&&q\;V_{M,\,y}(t)\times B-q\;V_{M,\,z}(t)\times 0&=&q\;B\;V_{M,\,y}(t)\\{\vec {u}}_{y}&|&q\;V_{M,\,y}(t)&^{+}{\searrow }&0&&&&\\{\vec {u}}_{z}&|&q\;V_{M,\,z}(t)&_{-}{\nearrow }&B&&&&\end{array}}\right\rbrace$, $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c c c c}&&q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)&\wedge &{\vec {B}}&=&q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}&{\scriptstyle {\text{♣}}}&q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\\{\vec {u}}_{x}&|&q\;V_{M,\,x}(t)&&0&&&&\\{\vec {u}}_{y}&|&q\;V_{M,\,y}(t)&&0&&q\;V_{M,\,z}(t)\times 0-q\;V_{M,\,x}(t)\times 0&=&-q\;B\;V_{M,\,x}(t)\\{\vec {u}}_{z}&|&q\;V_{M,\,z}(t)&^{+}{\searrow }&B&&&&\\{\vec {u}}_{x}&|&q\;V_{M,\,x}(t)&_{-}{\nearrow }&0&&&&\end{array}}\right\rbrace \;$ et $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c c c c}&&q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)&\wedge &{\vec {B}}&=&q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}&{\scriptstyle {\text{♣}}}&q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\\{\vec {u}}_{x}&|&q\;V_{M,\,x}(t)&^{+}{\searrow }&0&&&&\\{\vec {u}}_{y}&|&q\;V_{M,\,y}(t)&_{-}{\nearrow }&0&&&&\\{\vec {u}}_{z}&|&q\;V_{M,\,z}(t)&&B&&q\;V_{M,\,x}(t)\times 0-q\;V_{M,\,y}(t)\times 0&=&0\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ «$\;q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}=q\;B\;V_{M,\,y}(t)\;{\vec {u}}_{x}-q\;B\;V_{M,\,x}(t)\;{\vec {u}}_{y}\;$» et par suite
$\;\left\lbrace {\begin{array}{r}q\;B\;V_{M,\,y}(t)=m\;{\dfrac {dV_{M,\,x}}{dt}}(t)\\q\;E\;-q\;B\;V_{M,\,x}(t)=m\;{\dfrac {dV_{M,\,y}}{dt}}(t)\\0=m\;{\dfrac {dV_{M,\,z}}{dt}}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {dV_{M,\,x}}{dt}}(t)=\;\;{\dfrac {q\;B}{m}}\;V_{M,\,y}(t)\\{\dfrac {dV_{M,\,y}}{dt}}(t)=-{\dfrac {q\;B}{m}}\;V_{M,\,x}(t)+{\dfrac {q}{m}}\;E\\{\dfrac {dV_{M,\,z}}{dt}}(t)=\qquad 0\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;\omega _{c}={\dfrac {\vert q\vert \;B}{m}}\;$
$\;\omega _{c}={\dfrac {q\;B}{m}}\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {dV_{M,\,x}}{dt}}(t)=\;\;\omega _{c}\;V_{M,\,y}(t)\qquad \qquad \;{\text{:}}\;\;\left({\mathfrak {1}}\right)\\{\dfrac {dV_{M,\,y}}{dt}}(t)=-\omega _{c}\;V_{M,\,x}(t)+{\dfrac {q}{m}}\;E\;\;{\text{:}}\;\;\left({\mathfrak {2}}\right)\\{\dfrac {dV_{M,\,z}}{dt}}(t)=\qquad 0\qquad \qquad \qquad \quad {\text{:}}\;\;\left({\mathfrak {3}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$

### Détermination des équations paramétriques de la trajectoire de la particule soumis au champ électromagnétique uniforme

Déterminer les équations paramétriques de la trajectoire de la particule $\;M\;$ dans le champ électromagnétique uniforme en résolvant le système d'équations différentielles trouvées à la question précédente et
présenter ces équations paramétriques en utilisant, entre autres, la grandeur homogène à une longueur «$\;{\dfrac {E}{B\;\omega _{c}}}=R\;$».
L'équation différentielle «$\;\left({\mathfrak {3}}\right)\;{\text{:}}\;\;{\dfrac {dV_{M,\,z}}{dt}}(t)=0\;$» s'intègre en «$\;V_{M,\,z}(t)=cste_{z}\;$», la valeur de la constante se déterminant à l'aide de la C.I. «$\;{\vec {V}}_{\!M}(0)=0\;$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {V}}_{M,\,z}(0)=0\;$» d'où $\;cste_{z}=0\;$ $\Rightarrow$ «$\;V_{M,\,z}(t)$ $=0\;\;\forall \;t\;$» puis, intégrant «$\;V_{M,\,z}(t)={\dfrac {dz_{M}}{dt}}(t)=0\;$» en «$\;z_{M}(t)={cste'}_{z}\;$», la valeur de la constante se déterminant à l'aide de la C.I. «$\;M(0)=O\;$ $\Rightarrow$ $\;z_{M}(0)=0\;$» d'où $\;{cste'}_{z}=0\;$ $\Rightarrow$ «$\;z_{M}(t)=0\;\;\forall \;t\;$» d'où la nature plane du mouvement de la particule $\;M\;$ dans le « plan $\;xOy\;$».
$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\left({\mathfrak {1}}\right)\;{\text{:}}\;\;{\dfrac {dV_{M,\,x}}{dt}}(t)=\;\;\omega _{c}\;V_{M,\,y}(t)\\\left({\mathfrak {2}}\right)\;{\text{:}}\;\;{\dfrac {dV_{M,\,y}}{dt}}(t)=-\omega _{c}\;V_{M,\,x}(t)+{\dfrac {q}{m}}\;E\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)=V_{M,\,x}(t)+i\;V_{M,\,y}(t)\;$
$\;\left({\mathfrak {1}}\right)+i\,\left({\mathfrak {2}}\right)\;$
$\Rightarrow$
$\;{\dfrac {dV_{M,\,x}}{dt}}(t)+i\;{\dfrac {dV_{M,\,y}}{dt}}(t)=\omega _{c}\;V_{M,\,y}(t)-i\;\omega _{c}\;V_{M,\,x}(t)+i\;{\dfrac {q}{m}}\;E\;$
$\Leftrightarrow$
$\;{\dfrac {d\!\left[V_{M,\,x}+i\;V_{M,\,y}\right]}{dt}}(t)=-i\;\omega _{c}\,\left[V_{M,\,x}(t)+i\;V_{M,\,y}(t)\right]+i\;{\dfrac {q}{m}}\;E\;$
$\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)=V_{M,\,x}(t)+i\;V_{M,\,y}(t)\;$
$\;{\dfrac {d{\underline {\mathcal {V}}}}{dt}}(t)+i\;\omega _{c}\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)=i\;{\dfrac {q}{m}}\;E\;$
$\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)\;$
$\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)={\underline {\mathcal {V}}}_{l}(t)+{\underline {\mathcal {V}}}_{f}\;$
$\;{\underline {\mathcal {V}}}_{l}(t)\;$
$\;{\Bigg$
$\;{\dfrac {d{\underline {\mathcal {V}}}_{l}}{dt}}(t)+i\;\omega _{c}\;{\underline {\mathcal {V}}}_{l}(t)=0\;$
${\Bigg ]}\;$
$\;{\underline {\mathcal {V}}}_{f}\;$
$\;{\Bigg$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\cancel {{\dfrac {d{\underline {\mathcal {V}}}_{f}}{dt}}(t)\;+}}\;i\;\omega _{c}\;{\underline {\mathcal {V}}}_{f}(t)=i\;{\dfrac {q}{m}}\;E\;$
${\Bigg ]}\;$
$\;{\underline {\mathcal {V}}}_{l}(t)={\underline {A}}\;\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\;$
$\;{\underline {A}}\;$
$\;{\underline {\mathcal {V}}}_{f}={\dfrac {i\;{\dfrac {q}{m}}\;E}{i\;\omega _{c}}}={\dfrac {q}{m}}\;{\dfrac {E}{\omega _{c}}}\;$
$\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)=$
${\underline {A}}\;\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)+{\dfrac {q}{m}}\;{\dfrac {E}{\omega _{c}}}\;$
$\;{\underline {A}}\;$
$\;{\underline {\mathcal {V}}}(0)=0\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\Rightarrow$
$\;{\underline {A}}+{\dfrac {q}{m}}\;{\dfrac {E}{\omega _{c}}}=0\;$
$\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)={\dfrac {q}{m}}\;{\dfrac {E}{\omega _{c}}}\,\left[1-\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\right]={\dfrac {E}{B}}\,\left[1-\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\right]\;$
prenant la partie réelle de $\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)\;$ nous en déduisons la loi horaire de vitesse de la particule selon $\;x'x\;$ «$\;V_{M,\,x}(t)=\Re \!\left[{\underline {\mathcal {V}}}(t)\right]=\Re \!\left\lbrace {\dfrac {E}{B}}\,\left[1-\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\right]\right\rbrace ={\dfrac {E}{B}}\,\left[1-\cos \!\left(\omega _{c}\;t\right)\right]\;$» ou encore, «$\;{\dfrac {E}{B}}\;$ étant homogène à une vitesse » et «$\;\omega _{c}\;$ à une vitesse angulaire », « le rapport $\;{\dfrac {\dfrac {E}{B}}{\omega _{c}}}={\dfrac {E}{B\;\omega _{c}}}\;$ est homogène à une longueur notée $\;R\;$» $\Rightarrow$ «$\;V_{M,\,x}(t)=R\;\omega _{c}\,\left[1-\cos \!\left(\omega _{c}\;t\right)\right]\;$» et
$\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)\;$
$\;y'y\;$
$\;V_{M,\,y}(t)=\Im \!\left[{\underline {\mathcal {V}}}(t)\right]=\Im \!\left\lbrace {\dfrac {E}{B}}\,\left[1-\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\right]\right\rbrace ={\dfrac {E}{B}}\;\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right)=R\;\omega _{c}\;\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right)\;$
$\;{\big$
${\big )}$
$\;xOy\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{M,\,x}(t)=R\;\omega _{c}\,\left[1-\cos \!\left(\omega _{c}\;t\right)\right]\\V_{M,\,y}(t)=R\;\omega _{c}\;\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right)\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)=V_{\!M,\,x}(t)+i\;V_{\!M,\,y}(t)\;$
$\;{\underline {\mathcal {X}}}(t)=x_{M}(t)+i\;y_{M}(t)\;$
$\Rightarrow$
$\;{\dfrac {d{\underline {\mathcal {X}}}}{dt}}(t)={\dfrac {q}{m}}\;{\dfrac {E}{\omega _{c}}}\,\left[1-\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\right]={\dfrac {E}{B}}\,\left[1-\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\right]\;$
$\;{\underline {\mathcal {X}}}(t)={\dfrac {E}{B}}\,\left[t-{\dfrac {\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)}{-i\;\omega _{c}}}\right]+{\underline {cste}}={\dfrac {E}{B\;\omega _{c}}}\,\left[\omega _{c}\;t-i\;\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\right]+{\underline {cste}}\;$
$\;{\underline {cste}}\;$
$\;{\underline {\mathcal {X}}}(0)=0\;$
$\;{\big$
$\;O{\big )}\;$
$\Rightarrow$
$\;-i\;{\dfrac {E}{B\;\omega _{c}}}+{\underline {cste}}=0\;$
$\;{\underline {cste}}=i\;{\dfrac {E}{B\;\omega _{c}}}\;$
$\;{\underline {\mathcal {X}}}(t)={\dfrac {E}{B\;\omega _{c}}}\,\left\lbrace \omega _{c}\;t+i\,\left[1-\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\right]\right\rbrace \;$
$\;R={\dfrac {E}{B\;\omega _{c}}}\;$
$\;{\underline {\mathcal {X}}}(t)=R\,\left\lbrace \omega _{c}\;t+i\,\left[1-\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\right]\right\rbrace \;$
prenant la partie réelle de $\;{\underline {\mathcal {X}}}(t)\;$ nous en déduisons la loi horaire de position de la particule selon $\;x'x\;$ «$\;x_{M}(t)=\Re \!\left[{\underline {\mathcal {X}}}(t)\right]=\Re \!\left\lbrace R\;\omega _{c}\;t+i\;R\,\left[1-\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\right]\right\rbrace =R\;\omega _{c}\;t+i\;R\,\left[+i\;\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right)\right]\;$» ou encore, «$\;x_{M}(t)=R\,\left[\omega _{c}\;t-\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right)\right]\;$» et
$\;{\underline {\mathcal {X}}}(t)\;$
$\;y'y\;$
$\;y_{M}(t)=\Im \!\left[{\underline {\mathcal {X}}}(t)\right]=\Im \!\left\lbrace R\;\omega _{c}\;t+i\;R\,\left[1-\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\right]\right\rbrace =R\,\left[1-\cos \!\left(\omega _{c}\;t\right)\right]\;$
$\;xOy\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{M}(t)=R\,\left[\omega _{c}\;t-\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right)\right]\\y_{M}(t)=R\,\left[1-\cos \!\left(\omega _{c}\;t\right)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$

### Allure de la trajectoire de la particule ainsi que de l'hodographe de pôle O du mouvement de cette dernière

Préciser l'allure de la trajectoire de la particule soumis au champ électromagnétique uniforme.
Établir les équations paramétriques de l'hodographe de pôle $\;O\;$ du mouvement de la particule $\;M\;$ soumis au champ électromagnétique uniforme puis
préciser son allure.
$\;M\;$
$\;xOy\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{M}(t)=R\,\left[\omega _{c}\;t-\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right)\right]\\y_{M}(t)=R\,\left[1-\cos \!\left(\omega _{c}\;t\right)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}$
$\;\left(x_{M}\,,\,y_{M}\right)\;$
$\;\theta =\omega _{c}\;t\;$
$\;\left(y_{M}-R\right)^{2}+\left(x_{M}-R\;\theta \right)^{2}=R^{2}\;$
$\;xOy\;$
$\;R\;$
$\;C\left(x_{C}=R\;\theta \,,\,y_{C}=R\right)\;$
$\;\parallel \;$
$\;x'x\;$
$\;y=R\;$
$\;{\big$
${\big )}$
$\;x'x\;$
* d'une part il y est toujours tangent et
* d'autre part le point $\;A\;$ lié au cercle en contact avec l'axe $\;x'x\;$ à l'instant $\;t=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\theta =0\;$ étant confondu avec $\;O$, il a tourné sur le cercle à l'instant $\;t\;$ de $\;\Delta \theta =\theta -0=\omega _{c}\;t\;$ dans le sens horaire soit, en notant $\;I\;$ la position du point de contact du cercle sur l'axe $\;x'x$, une longueur d'arc «$\;{\overset {\curvearrowright }{IA}}=R\;\theta \;$» décrit sur le cercle égale à la distance de déplacement du point de contact sur l'axe $\;x'x\;$ «$\;{\overline {OI}}=x_{C}(\theta )-0=R\;\theta \;$», «$\;{\overset {\curvearrowright }{IA}}={\overline {OI}}\;$» caractérisant le roulement sans glissement du cercle « la roulante » sur l'axe « la courbe fixe » sur laquelle « la roulante » roule sans glisser, la courbe engendrée « la roulette » étant une « cycloïde droite de directrice l'axe $\;x'x\;$» ;
la trajectoire de la particule $\;M\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ est donc une cycloïde droite de directrice $\;x'x$ $\;{\big$voir tracé ci-dessus à droite${\big )}$, elle est périodique de « période spatiale $\;X\;$» correspondant à la « période temporelle commune de $\;y_{M}(t)\;$ et de la partie périodique de $\;x_{M}(t)\;$ égale à $\;T_{y}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{c}}}\;$» pendant laquelle «$\;y_{M}\;$ reprend sa valeur de début d'intervalle » et «$\;x_{M}\nearrow \;$ de $\;X=R\;\omega _{c}\;T_{y}=2\;\pi \;R\;$» ou encore, avec «$\;R=$ ${\dfrac {E}{B\;\omega _{c}}}\;$», la période spatiale de la trajectoire de $\;M\;$ «$\;X={\dfrac {2\;\pi \;E}{B\;\omega _{c}}}={\dfrac {E}{B}}\;T_{y}\;$» avec «$\;T_{y}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{c}}}\;$».
Les équations cartésiennes paramétriques de l'hodographe $\;\left({\mathcal {H}}\right)\;$ de pôle $\;O\;$ du mouvement de $\;M\;$ dans le plan $\;xOy\;$ du référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ défini comme l'ensemble des positions $\;P\;$ dans le plan $\;xOy\;$ du $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ tel que «$\;{\overrightarrow {OP}}(t)\;{\widehat {=}}\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$» sont aussi
les lois horaires de vitesse de $\;M\;$ dans le plan $\;xOy$, elles s'écrivent donc «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}X_{P}(t)\;{\widehat {=}}\;V_{\!M,\,x}(t)=R\;\omega _{c}\,\left[1-\cos \!\left(\omega _{c}\,t\right)\right]\\Y_{P}(t)\;{\widehat {=}}\;V_{\!M,\,y}(t)=R\;\omega _{c}\;\sin \!\left(\omega _{c}\,t\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ », ses dernières établissant que l'hodographe $\;\left({\mathcal {H}}\right)\;$ de pôle $\;O\;$ du mouvement de $\;M\;$ dans le plan $\;xOy\;$ du référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ est
le cercle du plan $\;xOy\;$ de « centre $\;C_{P}\left(X_{C_{P}}\,{\widehat {=}}\,R\;\omega _{c}\,,\,Y_{C_{P}}\,{\widehat {=}}\,0\right)\;$ », de « rayon $\;R_{P}\,{\widehat {=}}\,R\;\omega _{c}\;$ » passant par $\;O$,
le cercle décrit d'un mouvement uniforme à la « vitesse angulaire de valeur absolue $\;\vert \Omega _{P}\vert =\omega _{c}\;$» dans le sens horaire $\;{\big$car le point $\;P\;$ générique de $\;\left({\mathcal {H}}\right)\;$ partant de $\;O\;$ à l'instant $\;t=0\;$ poursuit avec $\;Y_{P}\nearrow \;$ jusqu'à $\;R_{P}\;$ pendant que $\;X_{P}\nearrow \;$ jusqu'à $\;R_{P}\;$ puis $\;Y_{P}\searrow \;$ jusqu'à $\;0\;$ pendant que $\;X_{P}\nearrow \;$ jusqu'à $\;2\;R_{P}\;$ suivi de $\;Y_{P}\searrow \;$ jusqu'à $\;-R_{P}\;$ pendant que $\;X_{P}\searrow \;$ jusqu'à $\;R_{P}\;$ et enfin $\;Y_{P}\nearrow \;$ jusqu'à $\;0\;$ pendant que $\;X_{P}\searrow \;$ jusqu'à $\;0\;$ $\Rightarrow$ rotation dans le sens horaire${\big ]}$ d'où
le cercle décrit d'un mouvement uniforme une vitesse angulaire négative «$\;\Omega _{P}=-\omega _{c}\;$» correspondant à une «période $\;T_{P}={\dfrac {2\;\pi }{\vert \Omega _{P}\vert }}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{c}}}\;$» $\;{\big$laquelle est aussi la période de variation de $\;y_{M}(t)\;$ ainsi que celle de la partie périodique de $\;x_{M}(t){\big ]}$.
Remarque : Les points de contact d'une cycloïde droite avec sa directrice sont des points de rebroussement de 1re espèce $\;{\bigg$en effet ces points sont effectivement singuliers car ils correspondent au passage par $\;O\;$ du point $\;P\;$ de l'hodographe de pôle $\;O\;$ du mouvement du point $\;M\;$ sur la cycloïde droite et les dérivées 2$^{ndes}$ des coordonnées de $\;M\;$ par rapport au paramètre $\;t\;$ étant aussi les dérivées 1$^{ères}$ des coordonnées de $\;P\;$ par rapport au même paramètre $\;t$ $\;{\big$au choix de l'échelle des vitesses près${\big )}\;$ ces points sont de rebroussement de 1re espèce si, $\;t_{0}\;$ étant la valeur du paramètre les définissant, «$\;{\dfrac {{Y_{P}}'}{{X_{P}}'}}(t_{0}^{+})=-{\dfrac {{Y_{P}}'}{{X_{P}}'}}(t_{0}^{-})\;$» ce qui est réalisé car l'hodographe $\;\left({\mathcal {H}}\right)\;$ de pôle $\;O\;$ du mouvement du point $\;M\;$ sur la cycloïde droite est symétrique relativement à l'axe $\;X'X\;$${\bigg ]}$ ;
Remarque : dans le cas présent les pentes des demi-tangentes à $\;\left({\mathcal {H}}\right)\;$ en $\;O\;$ $\;{\big$ou celles des demi-tangentes à la trajectoire cycloïdale de $\;M\;$ en ses points de contact avec la directrice de la cycloïde droite${\big ]}\;$ sont infinies avec, $\;t_{0}\;$ étant la valeur du paramètre définissant ces points de contact, $\;p(t_{0}^{+})=+\infty \;$ et $\;p(t_{0}^{-})=-\infty \;$ $\Rightarrow$ une même demi-droite tangente à la trajectoire de $\;M\;$ en ces points de contact $\;\parallel \;$ à $\;Oy\;$ assurant que ces derniers sont effectivement des points rebroussement de 1re espèce pour la trajectoire.

### Explicitation de la norme du vecteur vitesse de la particule à l'instant t

Déduire de ce qui précède la norme du vecteur vitesse de la particule $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ en fonction de $\;E$, $\;B$, $\;\omega _{c}\;$ et $\;t\;$ puis,
calculer la valeur de celle-ci pour «$\;t_{1}={\dfrac {\pi }{\omega _{c}}}\;$».
$\;M\;$
$\;\left({\mathcal {H}}\right)\;$
$\;O\;$
$\;M\;$
$\;\Vert {\vec {V}}_{\!M}(t)\Vert \;{\widehat {=}}\;{\sqrt {X_{P}^{2}(t)+Y_{P}^{2}(t)}}\;$
$\;\Vert {\vec {V}}_{\!M}(t)\Vert =R\;\omega _{c}\;{\sqrt {\left[1-\cos(\omega _{c}\;t)\right]^{\,2}+\sin ^{2}(\omega _{c}\;t)}}\;$
$\;\Vert {\vec {V}}_{\!M}(t)\Vert =R\;\omega _{c}\;{\sqrt {2\,\left[1-\cos(\omega _{c}\;t)\right]}}\;$
$\;1-\cos(\xi )=$
$2\;\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\xi }{2}}\right)\;$
$\;M\;$
$\;\Vert {\vec {V}}_{\!M}(t)\Vert =2\;R\;\omega _{c}\;{\bigg \vert }\sin \!\left({\dfrac {\omega _{c}\;t}{2}}\right)\!{\bigg \vert }=2\;{\dfrac {E}{B}}\;\;{\bigg \vert }\sin \!\left({\dfrac {\omega _{c}\;t}{2}}\right)\!{\bigg \vert }\;$
$\;R={\dfrac {E}{B\;\omega _{c}}}$
la norme du vecteur vitesse de $\;M\;$ prend donc pour $\;t_{1}={\dfrac {\pi }{\omega _{c}}}={\dfrac {T_{P}}{2}}={\dfrac {T_{y}}{2}}\;$ sa valeur maximale «$\;\Vert {\vec {V}}_{\!M}(t_{1})=v_{1}=2\;{\dfrac {E}{B}}\;$», cette vitesse correspondant au point $\;M_{1}\;$ de la trajectoire $\;{\big$représentée dans la solution de la question précédente${\big )}\;$ ou aux points qui se déduisent de $\;M_{1}\;$ par translation de $\;n\;X\;{\vec {u}}_{x}\;$ avec $\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$ et $\;X={\dfrac {E}{B}}\;T_{y}\;$ la période spatiale de la trajectoire $\;{\Big$le point $\;M_{1}$ $\;{\big$ainsi que tous les points se déduisant de $\;M_{1}\;$ par translation de $\;n\;X\;{\vec {u}}_{x}{\big )}\;$ correspond au point $\;P_{1}\neq O\;$ de $\;\left({\mathcal {H}}\right)\;$ sur l'axe $\,X'X{\Big ]}$.

### Détermination de la norme du vecteur vitesse de la particule à l'instant t par utilisation du théorème de l'énergie cinétique appliqué à cette dernière

Retrouver les résultats de la question précédente en utilisant le théorème de l'énergie cinétique appliqué à la particule soumis au champ électromagnétique uniforme.
$\;M\;$
$\;\perp$
$\;{\vec {F}}_{\text{mag. de Lor}}(t)=q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\;$
$\;{\Big$
$\;{\vec {F}}_{\text{élec}}=q\;{\vec {E}}\;$
${\Big ]}\;$
$\;M(0)\;$
$\;O\;$
$\;{\vec {V}}_{\!M}(0)={\vec {0}}\;$
$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t)-0=W_{\left[0\,,\,t\right]}\!\left({\vec {F}}_{\text{élec}}\right)=q\;{\vec {E}}\cdot {\overrightarrow {OM}}(t)\;$
$\;{\big$
${\big ]}\;$
$\;{\vec {E}}=E\;{\vec {u}}_{y}$
$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t)=q\;E\;y_{M}(t)\;$
$\;y'y\;$
$\;y_{M}(t)=R\,\left[1-\cos(\omega _{c}\;t)\right]$
$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t)=q\;E\;R\,\left[1-\cos(\omega _{c}\;t)\right]\;$
$\Rightarrow$
$\;\Vert {\vec {V}}_{\!M}(t)\Vert ={\sqrt {2\;{\dfrac {q}{m}}\;E\;R\,\left[1-\cos(\omega _{c}\;t)\right]}}=2\;{\sqrt {{\dfrac {q}{m}}\;E\;R}}\;{\bigg \vert }\sin \!\left({\dfrac {\omega _{c}\;t}{2}}\right)\!{\bigg \vert }\;$
$\;1-\cos(\xi )=$
$2\;\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\xi }{2}}\right)\;$
$\;{\dfrac {q\;B}{m}}=\omega _{c}\;$
$\Rightarrow$
$\;{\dfrac {q}{m}}={\dfrac {\omega _{c}}{B}}\;$
$\Rightarrow$
$\;{\dfrac {q}{m}}\;E\;R={\dfrac {E}{B}}\;R\;\omega _{c}\;$
$\;{\dfrac {E}{B\;\omega _{c}}}=R\;$
$\Rightarrow$
$\;{\dfrac {E}{B}}=R\;\omega _{c}$
$\;{\dfrac {q}{m}}\;E\;R=\left(R\;\omega _{c}\right)^{2}\;$
$\;\Vert {\vec {V}}_{\!M}(t)\Vert =2\;R\;\omega _{c}\;{\bigg \vert }\sin \!\left({\dfrac {\omega _{c}\;t}{2}}\right)\!{\bigg \vert }=2\;{\dfrac {E}{B}}\;\;{\bigg \vert }\sin \!\left({\dfrac {\omega _{c}\;t}{2}}\right)\!{\bigg \vert }\;$
$\;R={\dfrac {E}{B\;\omega _{c}}}$
$\;M\;$
$\;t_{1}={\dfrac {\pi }{\omega _{c}}}$
$\;\sin \!\left({\dfrac {\omega _{c}\;t_{1}}{2}}\right)=\sin \!\left({\dfrac {\pi }{2}}\right)=1$
$\;\Vert {\vec {V}}_{\!M}(t_{1})=v_{1}=2\;{\dfrac {E}{B}}\;$

### Cas d'une particule pénétrant dans l'espace champ électromagnétique uniforme avec un vecteur vitesse respectivement perpendiculaire aux deux composantes électrostatique et magnétostatique du champ, notion de filtre de vitesse

Une autre particule, identique à la précédente, pénètre, à un instant pris comme nouvelle origine des temps, avec un vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V_{0}}}=V_{0}\;{\vec {u}}_{x}\;$ avec $\;V_{0}=\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert$ $\;{\Big$donc $\;\perp \;$ aux deux composantes électrostatique $\;{\vec {E}}=E\;{\vec {u}}_{y}\;$ et magnétostatique $\;{\vec {B}}=B\;{\vec {u}}_{z}\;$ du champ et tel que le trièdre $\;\left({\vec {V}}_{0}\,,\,{\vec {E}}\,,\,{\vec {B}}\right)\;$ soit direct${\Big ]}$.
Déterminer les nouvelles équations paramétriques de la trajectoire et
montrer que « les particules ayant une vitesse initiale à préciser en fonction de $\;E\;$ et $\;B\;$ ne sont pas déviées » $\;{\big$c'est-à-dire que, parmi toutes les valeurs de vitesse initiale, il en existe une $\;{\big$et une seule${\big )}\;$ pour laquelle le mouvement de la particule est rectiligne uniforme lui permettant de ressortir par un diaphragme judicieusement positionné sur l'axe $\;Ox$, toutes les autres particules à vitesses initiales différentes ne pouvant pas traverser ce diaphragme sont absentes dans le faisceau de sortie situé au-delà du diaphragme, nous avons donc un filtre de vitesse connu sous le nom de « filtre de Wien »${\big ]}$.
$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {dV_{M,\,x}}{dt}}(t)=\;\;{\dfrac {q\;B}{m}}\;V_{M,\,y}(t)\\{\dfrac {dV_{M,\,y}}{dt}}(t)=-{\dfrac {q\;B}{m}}\;V_{M,\,x}(t)+{\dfrac {q}{m}}\;E\\{\dfrac {dV_{M,\,z}}{dt}}(t)=\qquad 0\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;\omega _{c}={\dfrac {\vert q\vert \;B}{m}}={\dfrac {q\;B}{m}}\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {dV_{M,\,x}}{dt}}(t)=\;\;\omega _{c}\;V_{M,\,y}(t)\qquad \qquad \;{\text{:}}\;\;\left({\mathfrak {1}}\right)\\{\dfrac {dV_{M,\,y}}{dt}}(t)=-\omega _{c}\;V_{M,\,x}(t)+{\dfrac {q}{m}}\;E\;\;{\text{:}}\;\;\left({\mathfrak {2}}\right)\\{\dfrac {dV_{M,\,z}}{dt}}(t)=\qquad 0\qquad \qquad \qquad \quad {\text{:}}\;\;\left({\mathfrak {3}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$
Les C.I. de la particule $\;M\;$ dans cette question étant «$\;M(0)=O\;$ et $\;{\vec {V}}_{\!M}(0)={\vec {V}}_{0}=V_{0}\;{\vec {u}}_{x}\;$» conduisant aux mêmes C.I. pour le mouvement de $\;M\;$ sur l'axe $\;z'z\;$ que celles de la question « détermination des équations paramétriques de la trajectoire de la particule soumis au champ électromagnétique uniforme (mouvement le long de z'z) » de cet exercice, nous en déduisons la même conclusion à savoir, la nature plane du mouvement de $\;M\;$ dans le plan $\;xOy$.
$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\left({\mathfrak {1}}\right)\;{\text{:}}\;\;{\dfrac {dV_{M,\,x}}{dt}}(t)=\;\;\omega _{c}\;V_{M,\,y}(t)\\\left({\mathfrak {2}}\right)\;{\text{:}}\;\;{\dfrac {dV_{M,\,y}}{dt}}(t)=-\omega _{c}\;V_{M,\,x}(t)+{\dfrac {q}{m}}\;E\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)=V_{M,\,x}(t)+i\;V_{M,\,y}(t)\;$
$\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)=V_{M,\,x}(t)+i\;V_{M,\,y}(t)\;$
$\;{\dfrac {d{\underline {\mathcal {V}}}}{dt}}(t)+i\;\omega _{c}\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)=i\;{\dfrac {q}{m}}\;E\;$
$\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)\;$
$\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)=$
${\underline {A'}}\;\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)+{\dfrac {q}{m}}\;{\dfrac {E}{\omega _{c}}}\;$
$\;{\underline {A'}}\;$
$\;{\underline {\mathcal {V}}}(0)=V_{0}\;$
$\;{\big$
$V_{0}\;{\vec {u}}_{x}{\big )}\;$
$\Rightarrow$
$\;{\underline {A'}}+{\dfrac {q}{m}}\;{\dfrac {E}{\omega _{c}}}=V_{0}\;$
$\;{\underline {A'}}=V_{0}-{\dfrac {q}{m}}\;{\dfrac {E}{\omega _{c}}}\;$
$\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)=\left(V_{0}-{\dfrac {q}{m}}\;{\dfrac {E}{\omega _{c}}}\right)\,\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)+{\dfrac {q}{m}}\;{\dfrac {E}{\omega _{c}}}=\left(V_{0}-{\dfrac {E}{B}}\right)\,\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)+{\dfrac {E}{B}}\;$
prenant la partie réelle de $\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)\;$ nous en déduisons la loi horaire de vitesse de la particule selon $\;x'x\;$ «$\;V_{M,\,x}(t)=\Re \!\left[{\underline {\mathcal {V}}}(t)\right]=\Re \!\left\lbrace \left(V_{0}-{\dfrac {E}{B}}\right)\,\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)+{\dfrac {E}{B}}\right\rbrace =\left(V_{0}-{\dfrac {E}{B}}\right)\,\cos \!\left(\omega _{c}\;t\right)+{\dfrac {E}{B}}\;$» ou encore, «$\;{\dfrac {E}{B}}\;$ étant homogène à une vitesse » et «$\;\omega _{c}\;$ à une vitesse angulaire », « le rapport $\;{\dfrac {\dfrac {E}{B}}{\omega _{c}}}={\dfrac {E}{B\;\omega _{c}}}\;$ est homogène à une longueur notée $\;R\;$» $\Rightarrow$ «$\;V_{M,\,x}(t)=\left(V_{0}-R\;\omega _{c}\right)\,\cos \!\left(\omega _{c}\;t\right)+R\;\omega _{c}\;$» et
$\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)\;$
$\;y'y\;$
$\;V_{M,\,y}(t)=\Im \!\left[{\underline {\mathcal {V}}}(t)\right]=\Im \!\left\lbrace \left(V_{0}-{\dfrac {E}{B}}\right)\,\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)+{\dfrac {E}{B}}\right\rbrace =-\left(V_{0}-{\dfrac {E}{B}}\right)\,\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right)=-\left(V_{0}-R\;\omega _{c}\right)\,\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right)\;$
$\;{\big$
${\big )}$
$\;xOy\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{M,\,x}(t)=\left(V_{0}-R\;\omega _{c}\right)\,\cos \!\left(\omega _{c}\;t\right)+R\;\omega _{c}\\V_{M,\,y}(t)=-\left(V_{0}-R\;\omega _{c}\right)\,\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right)\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)=V_{\!M,\,x}(t)+i\;V_{\!M,\,y}(t)\;$
$\;{\underline {\mathcal {X}}}(t)=x_{M}(t)+i\;y_{M}(t)\;$
$\Rightarrow$
$\;{\dfrac {d{\underline {\mathcal {X}}}}{dt}}(t)=\left(V_{0}-{\dfrac {q}{m}}\;{\dfrac {E}{\omega _{c}}}\right)\,\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)+{\dfrac {q}{m}}\;{\dfrac {E}{\omega _{c}}}=$
$\left(V_{0}-{\dfrac {E}{B}}\right)\,\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)+{\dfrac {E}{B}}\;$
$\;{\underline {\mathcal {X}}}(t)=\left(V_{0}-{\dfrac {E}{B}}\right)\,{\dfrac {\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)}{-i\;\omega _{c}}}+{\dfrac {E}{B}}\;t+{\underline {cste'}}=i\,\left({\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}-{\dfrac {E}{B\;\omega _{c}}}\right)\,\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)+{\dfrac {E}{B}}\;t+{\underline {cste'}}\;$
$\;{\underline {cste'}}\;$
$\;{\underline {\mathcal {X}}}(0)=0\;$
$\;{\big$
$\;O{\big )}\;$
$\Rightarrow$
$\;i\,\left({\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}-{\dfrac {E}{B\;\omega _{c}}}\right)+{\underline {cste'}}=0\;$
$\;{\underline {cste'}}=-i\,\left({\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}-{\dfrac {E}{B\;\omega _{c}}}\right)\;$
$\;{\underline {\mathcal {X}}}(t)=-i\,\left({\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}-{\dfrac {E}{B\;\omega _{c}}}\right)\,\left[1-\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\right]+{\dfrac {E}{B}}\;t\;$
$\;R={\dfrac {E}{B\;\omega _{c}}}\;$
$\;{\underline {\mathcal {X}}}(t)=-i\,\left({\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}-R\right)\,\left[1-\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\right]+R\;\omega _{c}\;t\;$
prenant la partie réelle de $\;{\underline {\mathcal {X}}}(t)\;$ nous en déduisons la loi horaire de position de la particule selon $\;x'x\;$ «$\;x_{M}(t)=\Re \!\left[{\underline {\mathcal {X}}}(t)\right]=\Re \!\left\lbrace -i\,\left({\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}-R\right)\,\left[1-\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\right]+R\;\omega _{c}\;t\right\rbrace \;$» soit «$\;x_{M}(t)=$ $R\;\omega _{c}\;t-i\,\left({\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}-R\right)\,\left[+i\;\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right)\right]\;$» ou encore, «$\;x_{M}(t)=R\;\omega _{c}\;t+\left({\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}-R\right)\,\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right)\;$» et
$\;{\underline {\mathcal {X}}}(t)\;$
$\;y'y\;$
$\;y_{M}(t)=\Im \!\left[{\underline {\mathcal {X}}}(t)\right]=\Im \!\left\lbrace -i\,\left({\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}-R\right)\,\left[1-\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\right]+R\;\omega _{c}\;t\right\rbrace \;$
$\;y_{M}(t)=$
$=-\left({\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}-R\right)\,\left[1-\cos \!\left(\omega _{c}\;t\right)\right]\;$
$\;xOy\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{M}(t)=R\;\omega _{c}\;t+\left({\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}-R\right)\,\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right)\\y_{M}(t)=-\left({\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}-R\right)\,\left[1-\cos \!\left(\omega _{c}\;t\right)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;M\;$
$\;xOy\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{M}(t)=R\;\omega _{c}\;t+\left({\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}-R\right)\,\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right)\\y_{M}(t)=-\left({\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}-R\right)\,\left[1-\cos \!\left(\omega _{c}\;t\right)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}$
$\;\left(x_{M}\,,\,y_{M}\right)\;$
$\;\theta =\omega _{c}\;t\;$
$\;\left[y_{M}-\left(R-{\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}\right)\right]^{2}+\left(x_{M}-R\;\theta \right)^{2}=\left(R-{\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}\right)^{\!2}\;$
$\;xOy\;$
$\;{\Bigg \vert }R-{\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}{\Bigg \vert }\;$
$\;C\,\left\lbrace x_{C}=R\;\theta \,,\,y_{C}=\left(R-{\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}\right)\right\rbrace \;$
$\;\parallel \;$
$\;x'x\;$
$\;y=R-{\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}\;$
$\;x'x\;$
$\;{\vec {V}}_{0}=V_{0}\;{\vec {u}}_{x}$
$\;{\bigg$
$\;V_{0}<\;$
$\;R\;\omega _{c}\;$
$\Rightarrow$
$\;R-{\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}{\bigg ]}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
* d'une part il y est toujours tangent et
* d'autre part le point $\;A\;$ lié au cercle en contact avec l'axe $\;x'x\;$ à l'instant $\;t=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\theta =0\;$ étant confondu avec $\;O$, il a tourné sur le cercle à l'instant $\;t\;$ de $\;\Delta \theta =\theta -0=\omega _{c}\;t\;$ dans le sens horaire $\;{\big$considéré comme sens $\;+{\big )}\;$ soit, en notant $\;I\;$ la position du point de contact du cercle sur l'axe $\;x'x$, une longueur d'arc «$\;{\overset {\curvearrowright }{IA}}=\left(R-{\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}\right)\,\theta =R\;\theta -V_{0}\;t\;$» décrit sur le cercle dans laquelle l'abscisse de $\;I\;$ est la somme de la distance de déplacement du point de contact sur l'axe $\;x'x\;$ due au roulement du cercle en absence de glissement «$\;{\overline {OI}}_{\text{roul}}=\left(R\;\theta -V_{0}\;t\right)-0=R\;\theta -V_{0}\;t\;$» et de la distance parcourue par le cercle lors de son glissement sur l'axe $\;x'x\;$ «$\;{\overline {I_{\text{roul}}I}}=x_{C}(t)-{\overline {OI}}_{\text{roul}}=$ $R\;\theta -\left(R\;\theta -V_{0}\;t\right)=V_{0}\;t\;$» $\;{\Big$le vecteur vitesse de glissement du cercle sur l'axe $\;x'x\;$ est donc $\;{\vec {V}}_{0}=V_{0}\;{\vec {u}}_{x}{\Big )}$ ;
Les lois horaires$\;{\Bigg$dans le cas où «$\;V_{0}\;$ est $\;>\;$ à $\;R\;\omega _{c}\;$», « le rayon du cercle s'écrit $\;{\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}-R\;$» et l'« ordonnée de son centre $\;y_{C}=-\left({\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}-R\right)\;$ étant $\;<0\;$» le roulement du cercle se fait dans le sens anti-horaire $\;{\big$considéré comme sens $\;-{\big )}\;$ $\Rightarrow$ «$\;\theta =$ $-\omega _{c}\;t<0\;$» et une longueur d'arc «$\;{\overset {\curvearrowright }{IA}}=\left({\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}-R\right)\,\theta =-V_{0}\;t+R\;\omega _{c}\;t<0\;$» décrit sur le cercle dans laquelle l'abscisse de $\;I\;$ devant être la somme de la distance de déplacement du point de contact sur l'axe $\;x'x\;$ due au roulement du cercle en absence de glissement «$\;{\overline {OI}}_{\text{roul}}=-{\overset {\curvearrowright }{IA}}=V_{0}\;t-R\;\omega _{c}\;t>0\;$» et de la distance parcourue par le cercle lors de son glissement sur l'axe $\;x'x\;$ «$\;{\overline {I_{\text{roul}}I}}=V_{\text{gliss}}\;t=x_{C}(t)-{\overline {OI}}_{\text{roul}}=$ $R\;\omega _{c}\;t-\left(V_{0}\;t-R\;\omega _{c}\;t\right)=\left(2\;R\;\omega _{c}-V_{0}\right)\,t\;$» $\Rightarrow$ le vecteur vitesse de glissement du cercle sur l'axe $\;x'x\;$ est égal à $\;\left(2\;R\;\omega _{c}-V_{0}\right)\,{\vec {u}}_{x}$ $\;{\Big \$dans le schéma ci-contre $\;V_{0}\;$ est $\;<\;$ à $\;2\;R\;\omega _{c}{\Big \}$, les modifications par rapport au cas précédent étant donc le sens du roulement, le positionnement du centre du cercle par rapport à l'axe $\;x'x\;$ et l'expression de la vitesse de glissement du cercle $\;{\Big \$dans le cas où $\;V_{0}\;$ est $\;>\;$ à $\;2\;R\;\omega _{c}$ la seule modification par rapport au cas représenté sur le schéma ci-contre est le sens du vecteur vitesse de glissement du cercle sur l'axe $\;x'x{\Big \}$ ;
Les lois horaires en conclusion le roulement d'un cercle « la roulante » sur un axe « la courbe fixe » sur laquelle « la roulante » roule, se fait avec glissement si, $\;I\;$ étant le point de contact du cercle sur l'axe et $\;A\;$ le point fixe du cercle au contact de l'axe à l'instant initial, «$\;{\overset {\curvearrowright }{IA}}=\pm {\overline {OI}}_{\text{roul}}\;$ suivant que la rotation du cercle est dans le sens horaire ou anti-horaire », $\;I_{\text{roul}}\;$ étant le point de contact hypothétique du cercle sur l'axe en absence de glissement, tel que «$\;{\overline {OI}}={\overline {OI}}_{\text{roul}}+{\overline {V_{\text{gliss}}}}\;t\;$» avec $\;{\vec {V}}_{\text{gliss}}={\overline {V_{\text{gliss}}}}\;{\vec {u}}_{x}\;$ le vecteur vitesse de glissement du cercle sur l'axe,
Les lois horaires en conclusion la courbe « la roulette » engendrée par le cercle « la roulante » roulant en glissant sur l'axe $\;x'x\;$ « la courbe fixe » étant une « trochoïde de directrice l'axe $\;x'x\;$» $\;{\big$voir quelques tracés ci-contre${\big )}$.
$\;M\;$
$\;{\vec {E}}=$
$E\;{\vec {u}}_{y}\;$
$\;{\vec {B}}=B\;{\vec {u}}_{z}$
$\;{\vec {V}}_{0}=V_{0}\;{\vec {u}}_{x}$
$\;xOy\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{M}(t)=R\;\omega _{c}\;t+\left({\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}-R\right)\,\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right)\\y_{M}(t)=-\left({\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}-R\right)\,\left[1-\cos \!\left(\omega _{c}\;t\right)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;y_{M}(t)=0\;\;\forall \;t\;$
$\;\left[1-\cos(\omega _{c}\;t)\right]\;$
$\;{\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}-R=0\;$
$\;V_{0}=R\;\omega _{c}={\dfrac {E}{B}}\;$
$\;{\bigg$
$\;R={\dfrac {E}{B\;\omega _{c}}}{\bigg )}$
Recherche de la vitesse d'entrée de la particule pour que cette dernière ne soit pas déviée : toutes les autres particules ayant une vitesse d'entrée «$\;V_{0}\neq V_{\text{filtre}}\;$ avec $\;V_{\text{filtre}}=R\;\omega _{c}={\dfrac {E}{B}}\;$» subissant une déviation $\;{\big$voir les tracés de trajectoire ci-contre${\big )}\;$ ne peuvent pas sortir par le diaphragme aligné avec $\;O\;$ sur $\;x'x\;$ et situé à une distance de $\;O\;$ non multiple de la période spatiale $\;X\;$ de la trochoïde $\;{\biggX=2\;\pi \;R=2\;\pi \;{\dfrac {E}{B\;\omega _{c}}}=V_{\text{filtre}}\;{\dfrac {2\;\pi }{\omega _{c}}}=V_{\text{filtre}}\;{\dfrac {2\;\pi \;m}{q\;B}}{\bigg ]}\;$ $\Rightarrow$ ce dispositif est bien un filtre de vitesse, les particules pénétrant dans l'espace champ électromagnétique uniforme avec cette vitesse «$\;V_{0}=V_{\text{filtre}}=R\;\omega _{c}={\dfrac {E}{B}}\;$» ayant pour loi horaire de position «$\;x_{M}(t)=R\;\omega _{c}\;t=V_{\text{filtre}}\;t\;$» ont effectivement un mouvement rectiligne uniforme de vitesse égale à leur vitesse d'entrée.
Autre interprétation d'une trochoïde : L'équation cartésienne précédemment trouvée «$\;\left[y_{M}-\left(R-{\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}\right)\right]^{2}+\left(x_{M}-R\;\theta \right)^{2}=\left(R-{\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}\right)^{\!2}\;$» étant toujours celle d'un « cercle $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ du plan $\;xOy\;$ de rayon $\;{\Bigg \vert }R-{\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}{\Bigg \vert }\;$ dont le centre $\;C\,\left\lbrace x_{C}=R\;\theta \,,\,y_{C}=\left(R-{\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}\right)\right\rbrace \;$ se déplace sur la droite $\;\parallel \;$ à l'axe $\;x'x\;$ d'équation $\;y=R-{\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}\;$», ce cercle étant maintenant solidaire d'un autre cercle $\;\left({\mathcal {C}}_{R}\right)\;$ de même centre $\;C\;$ mais de rayon $\;R\;$ roulant sans glisser sur la droite $\;\parallel \;$ à $\;x'x\;$ d'équation $\;y=-{\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}$ $\;{\bigg$pour l'explication ci-dessous nous supposons «$\;V_{0}<\;$ à $\;R\;\omega _{c}\;$» $\Rightarrow$ « le rayon du cercle $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ s'écrit alors $\;R-{\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}{\bigg ]}\;$» en effet,  Autre interprétation d'une trochoïde : $\succ \;$d'une part le cercle $\;\left({\mathcal {C}}_{R}\right)\;$ est toujours tangent à la droite d'équation $\;y=-{\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}<0\;$ et  Autre interprétation d'une trochoïde : $\succ \;$d'autre part le point $\;A_{R}\;$ lié au cercle $\;\left({\mathcal {C}}_{R}\right)\;$ en contact avec la droite d'équation $\;y=-{\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}\;$ à l'instant $\;t=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\theta =0\;$ a tourné sur $\;\left({\mathcal {C}}_{R}\right)\;$ à l'instant $\;t\;$ de $\;\Delta \theta =\theta -0=$ $\omega _{c}\;t\;$ dans le sens horaire $\;{\big$considéré comme sens $\;+{\big )}\;$ soit $\;{\bigg$en notant $\;I_{R}\;$ la position du point de contact du cercle $\;\left({\mathcal {C}}_{R}\right)\;$ sur la droite d'équation $\;y=-{\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}{\bigg ]}\;$ une longueur d'arc sur $\;\left({\mathcal {C}}_{R}\right)\;$ «$\;{\overset {\curvearrowright }{I_{R}A_{R}}}=R\;\theta =$ $R\;\omega _{c}\;t\;$» égale à «$\;x_{C}(t)\;$» caractérisant le roulement sans glissement de $\;\left({\mathcal {C}}_{R}\right)\;$ sur la droite d'équation $\;y=-{\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}\;$ ou encore, le cercle $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ étant solidaire du cercle $\;\left({\mathcal {C}}_{R}\right)$ $\;{\Big$en notant $\;A\;$ le point de $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ aligné avec $\;A_{R}$ $\;{\big$du même côté par rapport au centre commun $\;C{\big )}\;$ et $\;I\;$ la position du point de contact du cercle $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ sur l'axe $\;x'x{\Big ]}\;$ une longueur d'arc sur le cercle $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ «$\;{\overset {\curvearrowright }{IA}}=\left(R-{\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}\right)\,\theta =R\;\omega _{c}\;t-V_{0}\;t\;$» d'où $\;A\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{A}(t)=x_{C}(t)-\left(R-{\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}\right)\,\sin(\theta )\\y_{A}(t)=y_{C}-\left(R-{\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}\right)\,\cos(\theta )\end{array}}\right\rbrace \;$ ou encore «$\;A\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{A}(t)=R\;\omega _{c}\;t-\left(R-{\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}\right)\,\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right)\\y_{A}(t)=\left(R-{\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}\right)\,\left[1-\cos \!\left(\omega _{c}\;t\right)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» c'est-à-dire effectivement les lois horaires de position du point $\;M$ ;
Autre interprétation d'une trochoïde : $\;{\Bigg$dans le cas où «$\;V_{0}\;$ est $\;>\;$ à $\;R\;\omega _{c}\;$» $\Rightarrow$ « le rayon du cercle $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ s'écrit alors $\;{\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}-R\;$», la droite $\;\parallel \;$ à l'axe $\;x'x\;$ sur laquelle le cercle $\;\left({\mathcal {C}}_{R}\right)$, de rayon $\;R$, solidaire de $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ et de même centre $\;{\bigg \$d'« ordonnée $\;y_{C}=-\left({\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}-R\right)<0{\bigg \}$» roule sans glisser est d'équation $\;y=\vert y_{C}\vert +R={\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}>0$, le centre de $\;\left({\mathcal {C}}_{R}\right)\;$ étant positionné au-dessous de cette droite, le roulement sans glissement de $\;\left({\mathcal {C}}_{R}\right)\;$ sur cette droite se fait dans le sens anti-horaire $\;{\big$considéré comme sens $\;-{\big )}\;$ $\Rightarrow$ «$\;\theta =-\omega _{c}\;t<0\;$» d'où une longueur d'arc sur le cercle $\;\left({\mathcal {C}}_{R}\right)\;$ «$\;{\overset {\curvearrowright }{I_{R}A_{R}}}=R\;\theta =-R\;\omega _{c}\;t\;$» égale à «$\;-x_{C}(t)\;$» caractérisant le roulement sans glissement de $\;\left({\mathcal {C}}_{R}\right)\;$ sur la droite d'équation $\;y={\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}\;$ dans le sens rétrograde ou encore, une longueur d'arc sur le cercle $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ «$\;{\overset {\curvearrowright }{IA}}=\left({\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}-R\right)\,\theta =R\;\omega _{c}\;t-V_{0}\;t\;$» d'où $\;A\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}x_{A}(t)=x_{C}(t)+\left({\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}-R\right)\,\sin(\theta )\!\!&=&\!\!R\;\omega _{c}\;t+\left(R-{\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}\right)\,\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right)\\y_{A}(t)=y_{C}+\left({\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}-R\right)\,\cos(\theta )\!\!&=&\!\!-\left({\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}-R\right)\,\left[1-\cos \!\left(\omega _{c}\;t\right)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ ou, avec $\;A'\;$ symétrique de $\;A\;$ par rapport à $\;x'x$, «$\;A'\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{A'}(t)=x_{A}(t)=R\;\omega _{c}\;t-\left({\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}-R\right)\,\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right)\\y_{A'}(t)=-y_{A}(t)=\left({\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}-R\right)\,\left[1-\cos \!\left(\omega _{c}\;t\right)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» c'est-à-dire effectivement les lois horaires de position du point $\;M$, les modifications par rapport au cas précédent étant donc le sens du rotation des cercles, le positionnement du centre commun des deux cercles par rapport à l'axe $\;x'x\;$ et la nécessité de prendre le symétrique par rapport à cet axe de façon à avoir le même sens de rotation des cercles $\;{\big$sur les schémas ci-contre la symétrie a déjà été effectuée, c'est donc le mouvement du point $\;A'\;$ qui y apparaît directement${\big )}{\Bigg ]}$.

## Actions simultanées d'un champ électrostatique et d'un champ magnétostatique parallèles sur une particule chargée pénétrant perpendiculaire aux deux champs, spectrographe de J.J. Thomson

À l'instant pris pour origine des temps, une particule de masse $\;m\;$ et de charge $\;q>0\;$ pénètre dans un espace champ électromagnétique uniforme avec un vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}\;$ en un point représentant l'origine $\;O\;$ des espaces ;
l'espace champ électromagnétique résulte de la superposition d'un espace champ magnétostatique de champ $\;{\vec {B}}\;$ uniforme et d'un espace champ électrostatique de champ $\;{\vec {E}}\;$ également uniforme, de même direction perpendiculaire à celle du vecteur vitesse initiale de la particule et
nous choisissons un repérage cartésien de base orthonormée directe $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ tel que $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {B}}=B\;{\vec {u}}_{z}\\{\vec {E}}=E\;{\vec {u}}_{z}\\{\vec {V}}_{0}=V_{0}\;{\vec {u}}_{x}\end{array}}\right\rbrace \;$ avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}B=\Vert {\vec {B}}\Vert \\E=\Vert {\vec {E}}\Vert \\V_{0}=\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert \end{array}}\right\rbrace$ $\;{\big$voir figure ci-contre${\big )}$.
Le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ lié au champ électromagnétique est supposé galiléen.

### Explicitation des équations différentielles cartésiennes régissant le mouvement de la particule soumis aux champs électrostatique et magnétostatique uniformes

Après application de la r.f.d.n. à la particule chargée $\;M\left(q\right)\;$ de masse $\;m\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}$, déduire les trois équations différentielles cartésiennes régissant le mouvement de cette particule dans l'espace commun des champs électrostatique et magnétostatique uniformes.
L'application de la r.f.d.n., dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ galiléen, à la particule chargée $\;M\left(q\right)\;$ de masse $\;m\;$ soumis à la seule force de Lorentz «$\;{\vec {F}}_{\text{Lor}}(M_{t})=q\,\left({\vec {E}}+{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\right)\;$» dans laquelle $\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$ est le vecteur vitesse de la particule à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ donne «$\;{\vec {F}}_{\text{Lor}}(M_{t})=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ avec $\;{\vec {a}}_{M}(t)={\dfrac {d{\vec {V}}_{\!M}}{dt}}(t)\;$ le vecteur accélération de la particule au même instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$» soit encore l'équation différentielle vectorielle du mouvement de la particule en son vecteur vitesse «$\;q\,\left({\vec {E}}+{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\right)=m\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{\!M}}{dt}}(t)\;$» ;
sachant que «$\;{\vec {E}}=E\;{\vec {u}}_{z}\;$», «$\;{\vec {B}}=B\;{\vec {u}}_{z}\;$» et définissant les composantes cartésiennes du vecteur vitesse de la particule selon «$\;{\vec {V}}_{\!M}(t)=V_{M,\,x}(t)\;{\vec {u}}_{x}+V_{M,\,y}(t)\;{\vec {u}}_{y}+V_{M,\,z}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» nous en déduisons les composantes cartésiennes «$\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\;$» en effectuant les calculs suivants : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c c c c}&&q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)&\wedge &{\vec {B}}&=&q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}&{\scriptstyle {\text{♣}}}&q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\\{\vec {u}}_{x}&|&q\;V_{M,\,x}(t)&&0&&q\;V_{M,\,y}(t)\times B-q\;V_{M,\,z}(t)\times 0&=&q\;B\;V_{M,\,y}(t)\\{\vec {u}}_{y}&|&q\;V_{M,\,y}(t)&^{+}{\searrow }&0&&&&\\{\vec {u}}_{z}&|&q\;V_{M,\,z}(t)&_{-}{\nearrow }&B&&&&\end{array}}\right\rbrace$, $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c c c c}&&q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)&\wedge &{\vec {B}}&=&q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}&{\scriptstyle {\text{♣}}}&q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\\{\vec {u}}_{x}&|&q\;V_{M,\,x}(t)&&0&&&&\\{\vec {u}}_{y}&|&q\;V_{M,\,y}(t)&&0&&q\;V_{M,\,z}(t)\times 0-q\;V_{M,\,x}(t)\times 0&=&-q\;B\;V_{M,\,x}(t)\\{\vec {u}}_{z}&|&q\;V_{M,\,z}(t)&^{+}{\searrow }&B&&&&\\{\vec {u}}_{x}&|&q\;V_{M,\,x}(t)&_{-}{\nearrow }&0&&&&\end{array}}\right\rbrace \;$ et $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c c c c}&&q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)&\wedge &{\vec {B}}&=&q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}&{\scriptstyle {\text{♣}}}&q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\\{\vec {u}}_{x}&|&q\;V_{M,\,x}(t)&^{+}{\searrow }&0&&&&\\{\vec {u}}_{y}&|&q\;V_{M,\,y}(t)&_{-}{\nearrow }&0&&&&\\{\vec {u}}_{z}&|&q\;V_{M,\,z}(t)&&B&&q\;V_{M,\,x}(t)\times 0-q\;V_{M,\,y}(t)\times 0&=&0\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ «$\;q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}=q\;B\;V_{M,\,y}(t)\;{\vec {u}}_{x}-q\;B\;V_{M,\,x}(t)\;{\vec {u}}_{y}\;$» et par suite
$\;\left\lbrace {\begin{array}{r}q\;B\;V_{M,\,y}(t)=m\;{\dfrac {dV_{M,\,x}}{dt}}(t)\\-q\;B\;V_{M,\,x}(t)=m\;{\dfrac {dV_{M,\,y}}{dt}}(t)\\q\;E=m\;{\dfrac {dV_{M,\,z}}{dt}}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {dV_{M,\,x}}{dt}}(t)=\;\;{\dfrac {q\;B}{m}}\;V_{M,\,y}(t)\\{\dfrac {dV_{M,\,y}}{dt}}(t)=-{\dfrac {q\;B}{m}}\;V_{M,\,x}(t)\\{\dfrac {dV_{M,\,z}}{dt}}(t)=\qquad {\dfrac {q}{m}}\;E\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;\omega _{c}={\dfrac {\vert q\vert \;B}{m}}\;$
$\;\omega _{c}={\dfrac {q\;B}{m}}\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {dV_{M,\,x}}{dt}}(t)=\;\;\omega _{c}\;V_{M,\,y}(t)\quad {\text{:}}\;\;\left({\mathfrak {1}}\right)\\{\dfrac {dV_{M,\,y}}{dt}}(t)=-\omega _{c}\;V_{M,\,x}(t)\;\;\;{\text{:}}\;\;\left({\mathfrak {2}}\right)\\{\dfrac {dV_{M,\,z}}{dt}}(t)=\qquad {\dfrac {q}{m}}\;E\qquad {\text{:}}\;\;\left({\mathfrak {3}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$

### Détermination des lois horaires scalaires de vitesse et de position du mouvement de la particule soumis aux champs électrostatique et magnétostatique uniformes

Déterminer les lois horaires scalaires de vitesse et de position du mouvement de la particule $\;M\;$ dans les champs électrostatique et magnétostatique uniformes en résolvant le système d'équations différentielles trouvées à la question précédente.
L'équation différentielle «$\;\left({\mathfrak {3}}\right)\;{\text{:}}\;\;{\dfrac {dV_{M,\,z}}{dt}}(t)={\dfrac {q}{m}}\;E\;$» s'intègre en «$\;V_{M,\,z}(t)={\dfrac {q}{m}}\;E\;t+cste_{z}\;$», la valeur de la constante se déterminant à l'aide de la C.I. «$\;{\vec {V}}_{\!M}(0)={\vec {V}}_{0}=V_{0}\;{\vec {u}}_{x}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {V}}_{M,\,z}(0)=0\;$» d'où $\;cste_{z}=0\;$ $\Rightarrow$ «$\;V_{M,\,z}(t)$ $={\dfrac {q}{m}}\;E\;t,\;\;\forall \;t\;$» puis, intégrant «$\;V_{M,\,z}(t)={\dfrac {dz_{M}}{dt}}(t)={\dfrac {q}{m}}\;E\;t\;$» en «$\;z_{M}(t)={\dfrac {q}{m}}\;E\;{\dfrac {t^{2}}{2}}+{cste'}_{z}\;$», la valeur de la constante se déterminant à l'aide de la C.I. «$\;M(0)=O\;$ $\Rightarrow$ $\;z_{M}(0)=0\;$» d'où $\;{cste'}_{z}=0\;$ $\Rightarrow$ «$\;z_{M}(t)={\dfrac {q}{2\;m}}\;E\;t^{2},\;\;\forall \;t\;$» d'où un mouvement uniformément accéléré du « projeté orthogonal $\;M_{z}\;$ de la particule $\;M\;$ sur l'axe $\;Oz\;$».
$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\left({\mathfrak {1}}\right)\;{\text{:}}\;\;{\dfrac {dV_{M,\,x}}{dt}}(t)=\;\;\omega _{c}\;V_{M,\,y}(t)\\\left({\mathfrak {2}}\right)\;{\text{:}}\;\;{\dfrac {dV_{M,\,y}}{dt}}(t)=-\omega _{c}\;V_{M,\,x}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)=V_{M,\,x}(t)+i\;V_{M,\,y}(t)\;$
$\;\left({\mathfrak {1}}\right)+i\,\left({\mathfrak {2}}\right)\;$
$\Rightarrow$
$\;{\dfrac {dV_{M,\,x}}{dt}}(t)+i\;{\dfrac {dV_{M,\,y}}{dt}}(t)=\omega _{c}\;V_{M,\,y}(t)-i\;\omega _{c}\;V_{M,\,x}(t)\;$
$\Leftrightarrow$
$\;{\dfrac {d\!\left[V_{M,\,x}+i\;V_{M,\,y}\right]}{dt}}(t)=-i\;\omega _{c}\,\left[V_{M,\,x}(t)+i\;V_{M,\,y}(t)\right]\;$
$\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)=V_{M,\,x}(t)+i\;V_{M,\,y}(t)\;$
$\;{\dfrac {d{\underline {\mathcal {V}}}}{dt}}(t)+i\;\omega _{c}\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)=0\;$
$\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)\;$
$\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)={\underline {\mathcal {V}}}_{l}(t)\;$
$\;{\underline {\mathcal {V}}}_{l}(t)\;$
$\;{\Bigg$
$\;{\dfrac {d{\underline {\mathcal {V}}}_{l}}{dt}}(t)+i\;\omega _{c}\;{\underline {\mathcal {V}}}_{l}(t)=0\;$
${\Bigg ]}\;$
$\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)={\underline {\mathcal {V}}}_{l}(t)={\underline {A}}\;\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\;$
$\;{\underline {A}}\;$
$\;{\underline {\mathcal {V}}}(0)=V_{0}\;$
$\;{\big$
$\;{\vec {V}}_{0}=V_{0}\;{\vec {u}}_{x}{\big )}\;$
$\Rightarrow$
$\;{\underline {A}}=V_{0}\;$
$\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)=V_{0}\;\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\;$
prenant la partie réelle de $\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)\;$ nous en déduisons la loi horaire de vitesse de la particule selon $\;x'x\;$ «$\;V_{M,\,x}(t)=\Re \!\left[{\underline {\mathcal {V}}}(t)\right]=\Re \!\left[V_{0}\;\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\right]=V_{0}\;\cos \!\left(\omega _{c}\;t\right)\;$» et
$\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)\;$
$\;y'y\;$
$\;V_{M,\,y}(t)=\Im \!\left[{\underline {\mathcal {V}}}(t)\right]=\Im \!\left[V_{0}\;\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\right]=-V_{0}\;\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right)\;$
$\;xOy\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{M,\,x}(t)=V_{0}\;\cos \!\left(\omega _{c}\;t\right)\\V_{M,\,y}(t)=-V_{0}\;\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right)\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;O\;$
$\;M_{x\,y}\;$
$\;xOy\;$
$\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)=V_{\!M,\,x}(t)+i\;V_{\!M,\,y}(t)\;$
$\;{\underline {\mathcal {X}}}(t)=x_{M}(t)+i\;y_{M}(t)\;$
$\Rightarrow$
$\;{\dfrac {d{\underline {\mathcal {X}}}}{dt}}(t)=$
$V_{0}\;\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\;$
$\;{\underline {\mathcal {X}}}(t)=$
$V_{0}\;{\dfrac {\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)}{-i\;\omega _{c}}}+{\underline {cste}}=i\;{\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}\;\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)+{\underline {cste}}\;$
$\;{\underline {cste}}\;$
$\;{\underline {\mathcal {X}}}(0)=0\;$
$\;{\big$
$\;O{\big )}\;$
$\Rightarrow$
$\;i\;{\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}+{\underline {cste}}=0\;$
$\;{\underline {cste}}=$
$-i\;{\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}\;$
$\;{\underline {\mathcal {X}}}(t)=-i\;{\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}\,\left[1-\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\right]\;$
$\;{\mathcal {R}}_{c}={\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}={\dfrac {m\;V_{0}}{q\;B}}\;$
$\;{\underline {\mathcal {X}}}(t)=-i\;{\mathcal {R}}_{c}\;\left[1-\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\right]\;$
prenant la partie réelle de $\;{\underline {\mathcal {X}}}(t)\;$ nous en déduisons la loi horaire de position de la particule selon $\;x'x\;$ «$\;x_{M}(t)=\Re \!\left[{\underline {\mathcal {X}}}(t)\right]=\Re \!\left\lbrace -i\;{\mathcal {R}}_{c}\;\left[1-\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\right]\right\rbrace =$ $-i\;{\mathcal {R}}_{c}\,\left[+i\;\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right)\right]\;$» soit finalement, «$\;x_{M}(t)={\mathcal {R}}_{c}\;\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right)\;$» et
$\;{\underline {\mathcal {X}}}(t)\;$
$\;y'y\;$
$\;y_{M}(t)=\Im \!\left[{\underline {\mathcal {X}}}(t)\right]=\Im \!\left\lbrace -i\;{\mathcal {R}}_{c}\;\left[1-\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\right]\right\rbrace =$
$-{\mathcal {R}}_{c}\,\left[1-\cos \!\left(\omega _{c}\;t\right)\right]\;$
$\;xOy\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{M}(t)={\mathcal {R}}_{c}\;\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right)\\y_{M}(t)=-{\mathcal {R}}_{c}\,\left[1-\cos \!\left(\omega _{c}\;t\right)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;{\mathcal {R}}_{c}={\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}={\dfrac {m\;V_{0}}{q\;B}}\;$
$\;M_{x\,y}\;$
$\;xOy$
$\;{\mathcal {R}}_{c}={\dfrac {m\;V_{0}}{q\;B}}$
$\;C\,\left(x_{C}=0\,,\,y_{C}=-{\mathcal {R}}_{c}=-{\dfrac {m\;V_{0}}{q\;B}}\right)\;$
$\;M_{x\,y}\;$
$\;\omega _{c}\;$

### Détermination du lieu des impacts des particules chargées d'un faisceau polycinétique sur un écran perpendiculaire à la direction du faisceau dans le cas simultané de faibles déviations électrostatique et magnétostatique des particules

Considérant maintenant un faisceau de particules chargées $\;M\left(q\right)\;$ de masse $\;m\;$ de vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}$ $\;\perp \;$ à la direction commune des champs électrostatique et magnétostatique uniformes mais de norme $\;V_{0}\;$ quelconque et faisant l'hypothèse que la déviation magnétostatique reste faible, nous plaçons, à l'abscisse $\;x={\mathit {l}}$, un écran $\;\perp \;$ à la direction du faisceau $\;{\big$c'est-à-dire $\;\parallel \;$ au plan $\;yOz{\big )}$.
Après avoir précisé la signification de « la déviation magnétostatique reste faible », déterminer le lieu des impacts du faisceau polycinétique sur l'écran et vérifier qu'il s'agit d'une demi-parabole.
$\;M_{x\,y}\;$
$\;M\;$
$\;xOy$
$\;y_{M}(t)\;$
$\;\cos(\omega _{c}\;t)\;$
$\;1\;$
$\;\omega _{c}\;t\ll 1\;$
$\Leftrightarrow$
$\;t\ll {\dfrac {1}{\omega _{c}}}={\dfrac {T_{x\,y}}{2\;\pi }}\;$
$\;T_{x\,y}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{c}}}={\dfrac {2\;\pi \;m}{q\;B}}\;$
$\;M_{x\,y}\;$
«$\;\omega _{c}\;t\;$ étant considéré comme un infiniment petit d'ordre un » nous pouvons en déduire une approche des lois horaires du mouvement de $\;M_{x\,y}\;$ en faisant un D.L. d'ordre deux en $\;\omega _{c}\;t\;$ de ces dernières $\Rightarrow$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c c c}x_{M}(t)\!\!&=&\!\!{\mathcal {R}}_{c}\;\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right)\!\!&&\!\!\!\!&\simeq &\!\!{\mathcal {R}}_{c}\;\omega _{c}\;t\\y_{M}(t)\!\!&=&\!\!-{\mathcal {R}}_{c}\,\left[1-\cos \!\left(\omega _{c}\;t\right)\right]\!\!&\simeq &\!\!-{\mathcal {R}}_{c}\,\left[1-\left(1-{\dfrac {(\omega _{c}\;t)^{2}}{2}}\right)\right]\!\!&=&\!\!-{\mathcal {R}}_{c}\;{\dfrac {\omega _{c}^{2}\;t^{2}}{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$» et par suite « ω$_c$ t » étant considéré comme un infiniment petit d'ordre un » nous pouvons estimer l'instant $\;t_{I}\;$ de l'impact d'une particule $\;M\;$ sur l'écran d'abscisse $\;x_{I}={\mathit {l}}\;$ soit «$\;t_{I}\simeq {\dfrac {\mathit {l}}{{\mathcal {R}}_{c}\;\omega _{c}}}\;$» $\;{\big$dans la mesure où l'instant d'entrée de $\;M\;$ dans l'espace champ est $\;t_{0}=0{\big )}\;$ puis « ω$_c$ t » étant considéré comme un infiniment petit d'ordre un » nous pouvons exprimer la déviation magnétostatique de $\;M\;$ c'est-à-dire l'ordonnée de l'impact de la particule sur l'écran «$\;y_{I}\simeq -{\mathcal {R}}_{c}\;{\dfrac {\omega _{c}^{2}\;t_{I}^{\,2}}{2}}=-{\dfrac {{\mathit {l}}^{\,2}}{2\;{\mathcal {R}}_{c}}}\;$» ou encore, avec «$\;{\mathcal {R}}_{c}={\dfrac {m\;V_{0}}{q\;B}}\;$», «$\;y_{I}\simeq -{\dfrac {q\;B\;{\mathit {l}}^{\,2}}{2\;m\;V_{0}}}\;$» et « ω$_c$ t » étant considéré comme un infiniment petit d'ordre un » nous pouvons exprimer la déviation électrostatique de $\;M\;$ c'est-à-dire la cote de l'impact de la particule sur l'écran «$\;z_{I}={\dfrac {q\;E}{2\;m}}\;t_{I}^{\,2}\simeq {\dfrac {q\;E}{2\;m}}\;{\dfrac {{\mathit {l}}^{\,2}}{{\mathcal {R}}_{c}^{2}\;\omega _{c}^{2}}}\;$» ou encore, avec «$\;{\mathcal {R}}_{c}\;\omega _{c}=V_{0}\;$», «$\;z_{I}\simeq {\dfrac {q\;E\;{\mathit {l}}^{\,2}}{2\;m\;V_{0}^{\,2}}}\;$».
$\;I\;$
$\;x_{I}={\mathit {l}}$
$\;{\big$
$\;q\;$
$\;>0$
$\;V_{0}\;$
${\big )}$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{I}={\mathit {l}}\\y_{I}\simeq -{\dfrac {q\;B\;{\mathit {l}}^{\,2}}{2\;m\;V_{0}}}\\z_{I}\simeq {\dfrac {q\;E\;{\mathit {l}}^{\,2}}{2\;m\;V_{0}^{\,2}}}\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;I$
$\;{\big$
$\;x_{I}={\mathit {l}}\,{\big )}\;$
$\;V_{0}\;$
$\;y_{I}\simeq -{\dfrac {q\;B\;{\mathit {l}}^{\,2}}{2\;m\;V_{0}}}\;$
$\Rightarrow$
$\;V_{0}\simeq -{\dfrac {q\;B\;{\mathit {l}}^{\,2}}{2\;m\;y_{I}}}\;$
$\;z_{I}\simeq {\dfrac {q\;E\;{\mathit {l}}^{\,2}}{2\;m\;V_{0}^{\,2}}}\;$
$\;z_{I}\simeq {\dfrac {q\;E\;{\mathit {l}}^{\,2}}{2\;m}}\,\left(-{\dfrac {2\;m\;y_{I}}{q\;B\;{\mathit {l}}^{\,2}}}\right)^{\!\!2}={\dfrac {q\;E\;{\mathit {l}}^{\,2}}{2\;m}}\;{\dfrac {4\;m^{2}\;y_{I}^{\,2}}{q^{2}\;B^{\,2}\;{\mathit {l}}^{\,4}}}\;$
$\;I\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{I}={\mathit {l}}\\z_{I}\simeq {\dfrac {2\;m\;E}{q\;B^{\,2}\;{\mathit {l}}^{\,2}}}\;y_{I}^{\,2}\\q>0\Rightarrow y_{I}<0\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;x_{I}={\mathit {l}}\;$
$\;y<0\;$
$\;z>0\;$
$\;{\big$
${\big )}$
$\;V_{0}\;$
$\;z'z\;$
remarque : dans le cas où la charge $\;q\;$ de la particule $\;M\;$ est $\;<0$, les résultats précédemment obtenus sont remplacés par les suivants :
remarque : $\succ \;$le système d'équations différentielles «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {dV_{M,\,x}}{dt}}(t)=-\omega _{c}\;V_{M,\,y}(t)\;\;\;{\text{:}}\;\;\left({\mathfrak {1}}\right)\\{\dfrac {dV_{M,\,y}}{dt}}(t)=\;\;\omega _{c}\;V_{M,\,x}(t)\quad {\text{:}}\;\;\left({\mathfrak {2}}\right)\\{\dfrac {dV_{M,\,z}}{dt}}(t)=\qquad {\dfrac {q}{m}}\;E\qquad {\text{:}}\;\;\left({\mathfrak {3}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$» avec «$\;\omega _{c}={\dfrac {\vert q\vert \;B}{m}}=-{\dfrac {q\;B}{m}}\;$»,
remarque : $\succ \;$les lois horaires de position «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{M}(t)={\mathcal {R}}_{c}\;\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right)\\y_{M}(t)={\mathcal {R}}_{c}\,\left[1-\cos \!\left(\omega _{c}\;t\right)\right]\\z_{M}(t)={\dfrac {q}{2\;m}}\;E\;t^{2}\end{array}}\right\rbrace \;$» avec «$\;{\mathcal {R}}_{c}={\dfrac {V_{0}}{\omega _{c}}}=-{\dfrac {m\;V_{0}}{q\;B}}\;$»,
remarque : $\succ \;$le mouvement de $\;M_{z}\;$ est uniformément accéléré vers les $\;z<0\;$ et remarque : celui de $\;M_{x\,y}\;$ circulaire uniforme, de rayon $\;{\mathcal {R}}_{c}$, de centre $\;C\,\left(x_{C}=0\,,\,y_{C}={\mathcal {R}}_{c}\right)\;$ décrit dans le sens anti-horaire,
remarque : $\succ \;$l'impact $\;I\;$ sur l'écran d'abscisse $\;x_{I}={\mathit {l}}\;$ dans le cas de faibles déviations magnétostatiques a pour coordonnées «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{I}={\mathit {l}}\\y_{I}\simeq -{\dfrac {q\;B\;{\mathit {l}}^{\,2}}{2\;m\;V_{0}}}>0\\z_{I}\simeq {\dfrac {q\;E\;{\mathit {l}}^{\,2}}{2\;m\;V_{0}^{\,2}}}<0\end{array}}\right\rbrace \;$» et
$\succ \;$
$\;I\;$
$\;x_{I}={\mathit {l}}\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{I}={\mathit {l}}\\z_{I}\simeq {\dfrac {2\;m\;E}{q\;B^{\,2}\;{\mathit {l}}^{\,2}}}\;y_{I}^{\,2}\\q<0\Rightarrow y_{I}>0\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;x_{I}={\mathit {l}}\;$
$\;y>0\;$
$\;z<0\;$
$\;{\big$
${\big )}$
$\;V_{0}\;$
$\;z'z\;$

## Étude d'un cyclotron

Un cyclotron est un accélérateur de particules constitué, comme il est représenté sur la figure ci-contre, par deux demi cylindres à surfaces métalliques appelés « dés » $\;D\;$ et $\;D'$, de même direction d'axe $\;Oz$ $\;{\bigOz\;$ étant l'axe commun du cylindre constitué des deux « dés » avant que ceux-ci ne soient écartés de part et d'autre de $\;Oz\;$ d'une faible distance suivant la direction $\;y'y$ $\;{\big$non représenté sur la figure${\big )}{\big ]}$, placés dans le vide, à l'intérieur desquels règne un champ magnétostatique uniforme «$\;{\vec {B}}=B\;{\vec {u}}_{z}\;$», l'« interface $\;{\big$tridimensionnel${\big )}\;$» entre les deux « dés » étant un espace champ électrique uniforme alternatif de champ électrique dirigé suivant $\;y'y$ $\;{\big$non représenté sur la figure mais tel que la base cartésienne $\;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)\;$ soit orthonormée directe${\big ]}$ créé en appliquant entre $\;D\;$ et $\;D'\;$ une tension alternative «$\;u(t)=U_{m}\;\sin(\omega t)\;$» délivrée par un générateur haute fréquence $\;{\big$le sens $\;+\;$ de définition de la tension étant dans le sens de $\;{\vec {u}}_{y}\;$ c'est-à-dire de $\;D'\;$ et $\;D\;$ sur le schéma ci-contre${\big )}$.
Une particule de masse $\;m\;$ et de charge $\;q\;$ est injectée dans l'un des « dés » au voisinage de $\;O$, perpendiculairement à la surface plane limitant le « dé », à la vitesse instantanée $\;v_{1}\;$, l'action du champ magnétostatique sur la particule injectée communiquant à cette dernière une trajectoire semi circulaire centrée en $\;O\;$ et de rayon $\;{\mathcal {R}}_{1}\;$.
Dès que la particule sort d'un « dé », elle est soumise, avant de pénétrer dans l'autre « dé », à l'action du champ électrique existant dans l'« interface $\;{\big$tridimensionnel${\big )}\;$ étroit » séparant les deux « dés », correspondant à la valeur maximale $\;{\big$ou minimale${\big )}\;$ de la tension délivrée par le générateur de façon à accélérer la particule $\;{\big$maximale ou minimale suivant le signe de la charge de la particule et le sens de passage${\big )}$.
Nous admettrons que la durée de chaque passage entre $\;D\;$ et $\;D'\;$ est négligeable par rapport à celle de chaque traversée de « dé» et
Nous admettrons que l'étude peut être effectuée dans le cadre de la dynamique newtonienne, le référentiel d'étude lié au cyclotron $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ étant galiléen.

### Détermination de la fréquence de la tension accélératrice imposée entre les « dés »

Déterminer, en fonction de $\;q$, $\;m\;$ et $\;B$, la fréquence $\;f\;$ qu'il convient de donner à la tension accélératrice imposée entre les surfaces planes de chaque « dé » pour que les particules chargées soient effectivement accélérées chaque fois qu'elles traversent l'« interface $\;{\big$tridimensionnel${\big )}\;$ étroit » séparant les deux « dés ».
A.N. : les particules à accélérer étant des protons avec une « norme de champ magnétostatique $\;B=1,00\;T\;$», «$\;q=e\simeq 1,60\;10^{-19}\;C$ $\;{\big$charge élémentaire${\big )}\;$» et «$\;m\simeq 1,67\;10^{-27}\;kg\;$».
$\;D\;$
$\;D'\;$
$\;\omega _{c}={\dfrac {|q|\;B}{m}}\;$
$\;\Delta t={\dfrac {\pi }{\omega _{c}}}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\big$
${\big )}$
$\;\Delta t={\dfrac {\pi }{\omega _{c}}}\;$
$\;\Delta t={\dfrac {T_{u}}{2}}\;$
$\Rightarrow$
$\;T_{u}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{c}}}\;$
$\;f={\dfrac {1}{T_{u}}}={\dfrac {\omega _{c}}{2\;\pi }}={\dfrac {\vert q\vert \;B}{2\;\pi \;m}}\;$
A.N. : Cas de protons avec «$\;B=1,00\;T\;$», «$\;q=e\simeq 1,60\;10^{-19}\;C$ $\;{\big$charge élémentaire${\big )}\;$» et «$\;m\simeq 1,67\;10^{-27}\;kg\;$», «$\;f\simeq {\dfrac {1,6\;10^{-19}\times 1,00}{2\times \pi \times 1,67\,10^{-27}}}\simeq 15,25\;10^{6}\;Hz\;$» soit «$\;f\simeq 15,25\;M\!Hz\;$».

### Détermination du rayon de la nème trajectoire lors du passage de la particule dans l'un ou l'autre des « dés »

Sachant que la trajectoire d'une particule est formée d'une suite de demi cercles centrés au voisinage de $\;O$, de rayons successifs «$\;{\mathcal {R}}_{1}$, $\;{\mathcal {R}}_{2}$, $\;\ldots$, $\;{\mathcal {R}}_{n}\;$ avec $\;n\in \mathbb {N} ^{*}\,\backslash \left\lbrace 1\,,\,2\right\rbrace \;$» reliés, dans l'« interface $\;{\big$tridimensionnel${\big )}\;$ » séparant les deux « dés », par des éléments de trajectoires rectilignes $\;\perp \;$ aux surfaces planes de ces deux « dés », déterminer le rayon $\;{\mathcal {R}}_{n}\;$ en fonction de $\;q$, $\;m$, $\,B$, $\;n$, $\;v_{1}\;$ et l'amplitude $\;U_{m}\;$ de la tension accélératrice.
Le rayon «$\;{\mathcal {R}}_{n}\;$» dépendant de la vitesse instantanée «$\;v_{n}\;$» $\;{\big$ou norme du vecteur vitesse d'entrée sur le nème demi-cercle $\;V_{n}=\Vert {\vec {V}}_{n}\Vert \;$ si l'orientation de la trajectoire est faite dans le sens du mouvement${\big )}\;$ selon «$\;{\mathcal {R}}_{n}={\dfrac {m\;v_{n}}{\vert q\vert \;B}}\;$» $\;{\big$à connaître${\big )}$, il faut donc auparavant déterminer «$\;v_{n}\;$» ;
lors de la 1re accélération $\;{\bigg$c'est-à-dire à la sortie de la 1re trajectoire semi-circulaire de rayon $\;{\mathcal {R}}_{1}={\dfrac {m\;v_{1}}{\vert q\vert \;B}}{\bigg )}\;$ on détermine $\;v_{2}\;$ en fonction de $\;v_{1}\;$ par application du théorème de l'énergie cinétique à la particule entre le point de sortie de la 1re trajectoire semi-circulaire de rayon $\;{\mathcal {R}}_{1}\;$ et le point d'entrée de la 2ème trajectoire semi-circulaire de rayon $\;{\mathcal {R}}_{2}\;$ dans le référentiel lié au cyclotron $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ galiléen et dans le cadre de la dynamique newtonienne $\;{\big$ou par conservation de l'énergie mécanique newtonienne de la particule dans l'espace champ électromagnétique entre les mêmes points et dans le même référentiel${\big ]}\;$ soit : $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{2}^{\,2}-{\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{1}^{\,2}=W_{1\,\rightarrow \,2}(q\;{\vec {E}})=\vert q\vert \;U_{m}\;{\text{:}}\;\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ $\Rightarrow$ «$\;v_{2}={\sqrt {v_{1}^{\,2}+{\dfrac {2\;\vert q\vert }{m}}\;U_{m}}}\;$» ;
lors de la 2ème accélération $\;{\bigg$c'est-à-dire à la sortie de la 2ème trajectoire semi-circulaire de rayon $\;{\mathcal {R}}_{2}={\dfrac {m\;v_{2}}{\vert q\vert \;B}}{\bigg )}\;$ on détermine $\;v_{3}\;$ en fonction de $\;v_{2}\;$ par application du théorème de l'énergie cinétique à la particule entre le point de sortie de la 2ème trajectoire semi-circulaire de rayon $\;{\mathcal {R}}_{2}\;$ et le point d'entrée de la 3ème trajectoire semi-circulaire de rayon $\;{\mathcal {R}}_{3}\;$ dans le référentiel lié au cyclotron $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ galiléen et dans le cadre de la dynamique newtonienne $\;{\big$ou par conservation de l'énergie mécanique newtonienne de la particule dans l'espace champ électromagnétique entre les mêmes points et dans le même référentiel${\big ]}\;$ soit : $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{3}^{\,2}-{\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{3}^{\,2}=W_{2\,\rightarrow \,3}(q\;{\vec {E}})=\vert q\vert \;U_{m}\;{\text{:}}\;\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ $\Rightarrow$ «$\;v_{3}={\sqrt {v_{2}^{\,2}+{\dfrac {2\;\vert q\vert }{m}}\;U_{m}}}\;$» ou, avec «$\;v_{2}^{\,2}=v_{1}^{\,2}+{\dfrac {2\;\vert q\vert }{m}}\;U_{m}\;$» $\Rightarrow$ «$\;v_{3}={\sqrt {v_{1}^{\,2}+{\dfrac {4\;\vert q\vert }{m}}\;U_{m}}}\;$» ;
hypothèse de récurrence : la vitesse instantanée $\;v_{p}\;$ de la particule à la sortie de la pème trajectoire semi-circulaire de rayon $\;{\mathcal {R}}_{p}={\dfrac {m\;v_{p}}{\vert q\vert \;B}}\;$ est liée à celle $\;v_{1}\;$ sur la 1re trajectoire semi-circulaire de rayon $\;{\mathcal {R}}_{1}=$ ${\dfrac {m\;v_{1}}{\vert q\vert \;B}}\;$ par «$\;v_{p}={\sqrt {v_{1}^{\,2}+{\dfrac {2\,\left(p-1\right)\,\vert q\vert }{m}}\;U_{m}}}\;$» : hypothèse de récurrence : lors de la pème accélération $\;{\bigg$c'est-à-dire à la sortie de la pème trajectoire semi-circulaire de rayon $\;{\mathcal {R}}_{p}={\dfrac {m\;v_{p}}{\vert q\vert \;B}}{\bigg )}\;$ on détermine $\;v_{p+1}\;$ en fonction de $\;v_{p}\;$ par application du théorème de l'énergie cinétique à la particule entre le point de sortie de la pème trajectoire semi-circulaire de rayon $\;{\mathcal {R}}_{p}\;$ et le point d'entrée de la (p + 1)ème trajectoire semi-circulaire de rayon $\;{\mathcal {R}}_{p+1}\;$ dans le référentiel lié au cyclotron $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ galiléen et dans le cadre de la dynamique newtonienne $\;{\big$ou par conservation de l'énergie mécanique newtonienne de la particule dans l'espace champ électromagnétique entre les mêmes points et dans le même référentiel${\big ]}\;$ soit : $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{p+1}^{\,2}-{\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{p}^{\,2}=W_{p\,\rightarrow \,(p+1)}(q\;{\vec {E}})=\vert q\vert \;U_{m}\;{\text{:}}\;\;\left({\mathfrak {p}}\right)\;$ $\Rightarrow$ «$\;v_{p+1}={\sqrt {v_{p}^{\,2}+{\dfrac {2\;\vert q\vert }{m}}\;U_{m}}}\;$» ou, avec «$\;v_{p}^{\,2}=v_{1}^{\,2}+{\dfrac {2\,\left(p-1\right)\,\vert q\vert }{m}}\;U_{m}\;$» $\Rightarrow$ «$\;v_{p+1}={\sqrt {v_{1}^{\,2}+{\dfrac {2\;p\;\vert q\vert }{m}}\;U_{m}}}\;$», ce qui valide l'hypothèse de récurrence ;
en conclusion la propriété $\;{\mathcal {P}}_{p}\;$ «$\;v_{p}={\sqrt {v_{1}^{\,2}+{\dfrac {2\,\left(p-1\right)\,\vert q\vert }{m}}\;U_{m}}}\;$» est établie par récurrence $\;\forall \;p\in \mathbb {N} ^{*}\,\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \;$ car elle est « démontrée pour $\;p=2\;$» et «$\;{\mathcal {P}}_{p}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\mathcal {P}}_{p+1}\;$».
$\;{\mathcal {R}}_{n}={\dfrac {m\;v_{n}}{\vert q\vert \;B}}={\dfrac {m\;{\sqrt {v_{1}^{2}+{\dfrac {2\left(n-1\right)\,\vert q\vert }{m}}\,U_{m}}}}{\vert q\vert \,B}}\;$
$\;{\dfrac {m\;v_{1}}{\vert q\vert \;B}}$
$\;{\mathcal {R}}_{n}={\dfrac {m\,v_{1}}{\vert q\vert \,B}}\;{\sqrt {1+2\,\left(n-1\right)\,{\dfrac {\vert q\vert \;U_{m}}{m\;v_{1}^{2}}}}}\;$
$\;{\mathcal {R}}_{1}={\dfrac {m\;v_{1}}{\vert q\vert \;B}}\;$
$\;{\mathcal {R}}_{n}={\mathcal {R}}_{1}\;{\sqrt {1+2\,\left(n-1\right)\,{\dfrac {\vert q\vert \;U_{m}}{m\;v_{1}^{2}}}}}\;$

### Évaluation de la vitesse maximale atteinte par la particule à la sortie du cyclotron, du nombre de tours qu'elle a effectué et de son temps de transit dans l'accélérateur

Des protons étant injectés dans le cyclotron précédemment décrit sur une trajectoire de rayon «$\;{\mathcal {R}}_{1}=5,2\;10^{-8}\;m\;$», la norme du champ magnétostatique ayant pour valeur «$\;B=1,00\;T\;$», le diamètre utile du cyclotron étant «$\;D=0,625\;m\;$» et l'amplitude de la tension accélératrice valant «$\;U_{m}=20,0\;kV\;$», calculer :
* la vitesse maximale atteinte par les protons sortant tangentiellement du cyclotron,
* le nombre de tours effectués par les particules dans l'appareil et
* leur temps de transit «$\;\tau \;$» dans l'accélérateur.
Données : Injection de protons de charge «$\;q=e\simeq 1,60\;10^{-19}\;C$ $\;{\big$charge élémentaire${\big )}\;$», de masse «$\;m\simeq 1,67\;10^{-27}\;kg\;$» sur une trajectoire initiale de rayon «$\;{\mathcal {R}}_{1}=5,2\;10^{-8}\;m\;$» dans un des « dés » dans lesquels règne un champ magnétostatique de norme «$\;B=1,00\;T\;$», la tension accélératrice entre les « dés » étant d'amplitude «$\;U_{m}=20,0\;kV\;$», chaque « dé » étant de rayon utile «$\;{\dfrac {D}{2}}=0,3125\;m\;$» :
Données :$\succ \;$Vitesse maximale atteinte par les protons sortant tangentiellement du cyclotron : le rayon utile des « dés » du cyclotron s'identifiant au plus grand rayon possible des trajectoires semi-circulaires des protons soit «$\;R_{\text{max}}={\dfrac {D}{2}}={\dfrac {m\;v_{\text{max}}}{q\;B}}\;$» nous en déduisons la vitesse maximale de sortie des protons «$\;v_{\text{max}}={\dfrac {q\;B\;R_{\text{max}}}{m}}\simeq {\dfrac {1,6\;10^{-19}\times 1,00\times 0,3125}{1,67\;10^{-27}}}\simeq 2,99\;10^{7}\;m\cdot s^{-1}\;$» soit «$\;v_{\text{max}}\simeq 29,9\;10^{3}\;km\cdot s^{-1}\;$» ou approximativement «$\;v_{\text{max}}\simeq 30\,000\;km\cdot s^{-1}\;$» c'est-à-dire $\;\lesssim {\dfrac {c}{10}}\;$ ce qui valide l'utilisation de la dynamique newtonienne.
Données :$\succ \;$Nombre de tours effectuée par les protons dans l'appareil avant éjection : de «$\;{\mathcal {R}}_{1}=5,2\;10^{-8}\;m\;$», nous en déduisons la vitesse d'injection des protons sur leur 1re trajectoire semi-circulaire dans l'un des « dés » «$\;v_{1}={\dfrac {q\;B\;{\mathcal {R}}_{1}}{m}}\simeq {\dfrac {1,6\;10^{-19}\times 1,00\times 5,2\;10^{-8}}{1,67\;10^{-27}}}\simeq 4,98\;m\cdot s^{-1}\;$» dont nous tirons aisément que «$\;{\dfrac {q\;U_{m}}{m\;v_{1}^{\,2}}}\simeq {\dfrac {1,6\;10^{-19}\times 2\;10^{4}}{1,67\;10^{-27}\times \left(4,98\right)^{2}}}\simeq 7,7\;10^{10}\gg 1\;$» et par suite la possibilité de déterminer $\;n\;$ par «$\;{\mathcal {R}}_{n}={\mathcal {R}}_{1}{\sqrt {{\cancel {1\;+}}\;2\,\left(n-1\right){\dfrac {q\;U_{m}}{m\;v_{1}^{\,2}}}}}\;$» soit «$\;R_{\text{max}}={\mathcal {R}}_{1}{\sqrt {2\,\left(n-1\right){\dfrac {q\;U_{m}}{m\;v_{1}^{\,2}}}}}\;$» d'où «$\;n\simeq 1+{\dfrac {R_{\text{max}}^{\,2}}{{\mathcal {R}}_{1}^{\,2}}}\;{\dfrac {m\;v_{1}^{\,2}}{2\;q\;U_{m}}}\;$» et numériquement «$\;n\simeq 1+\left({\dfrac {0,3125}{5,2\;10^{-8}}}\right)^{\!2}\times {\dfrac {1,67\;10^{-27}\times \left(4,98\right)^{2}}{2\times 1,6\;10^{-19}\times 2\;10^{4}}}\simeq 234,7\;$» soit finalement un maximum de $\;234\;$ demi-tours correspondant à «$\;117\;$ tours ».
Données :$\succ \;$Temps de transit des protons dans l'accélérateur : le temps de transit «$\;\tau \;$» des protons dans l'accélérateur correspond à leur durée de séjour dans l'ensemble des « dés » $\;{\big$car la largeur de l'interface $\;{\big$tridimensionnel${\big )}\;$ entre les « dés » étant faible, la durée de séjour des protons dans cet interface est négligeable devant celle dans les deux « dés »${\big ]}\;$ c'est-à-dire «$\;\tau \simeq n\;\Delta t=n\;{\dfrac {\pi }{\omega _{c}}}={\dfrac {n}{2}}\;T_{u}={\dfrac {n}{2\;f}}\;$» soit numériquement «$\;\tau \simeq {\dfrac {234}{2\times 15,25\;10^{6}}}\simeq 7,67\;10^{-6}\;s\;$» et finalement «$\;\tau \simeq 7,67\;\mu s\;$».

## Freinage d'une particule dans une chambre à bulles

Considérons une particule chargée $\;M\left(q\right)\;$ de masse $\;m\;$ pénétrant en $\;M_{0}\;$ dans une région où règne un champ magnétostatique $\;{\vec {B}}\;$ uniforme avec un vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}$ $\;\perp \;$ au champ $\;{\vec {B}}$ ; la particule se déplace dans un milieu qui exerce sur elle une force de frottement fluide linéaire «$\;{\overrightarrow {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}(M_{t})=-h\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$» dans laquelle «$\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$ est le vecteur vitesse de la particule à l'instant $\;t\;$» et «$\;h\;$ est une constante réelle positive $\;{\big$exprimée en $\;kg\cdot s^{-1}{\big )}\;$ caractéristique de la viscosité dynamique et de la densité du fluide ainsi que de la dimension de la particule » en plus de la particule se déplace dans un milieu qui exerce sur elle la force magnétique de Lorentz due à son déplacement dans l'espace champ magnétostatique uniforme.
Nous admettrons que l'étude peut être faite dans le cadre de la dynamique newtonienne et que le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ est galiléen.

### Explicitation des équations différentielles cartésiennes régissant le mouvement de la particule soumise un frottement fluide linéaire dans le champ magnétostatique uniforme

Pour définir le repère cartésien lié au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}$, on choisit l'origine $\;O\;$ en $\;M_{0}$, le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{x}\;$ colinéaire à $\;{\vec {V}}_{0}\;$ et de même sens $\;{\big\!\Rightarrow$ $\;{\vec {V}}_{0}=V_{0}\;{\vec {u}}_{x}\;$ avec $\;V_{0}=\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert {\big )}$, le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{z}\;$ colinéaire à $\;{\vec {B}}\;$ et de même sens $\;{\big\!\Rightarrow$ $\;{\vec {B}}=B\;{\vec {u}}_{z}\;$ avec $\;B=\Vert {\vec {B}}\Vert {\big )}$ et le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{y}\;$ tel que la base $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ soit orthonormée directe $\;{\big\!\Rightarrow$ $\;{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{x}={\vec {u}}_{y}{\big )}$.
Après application de la r.f.d.n. à la particule chargée $\;M\left(q\right)\;$ de masse $\;m\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}$, déduire les trois équations différentielles cartésiennes régissant le mouvement de cette particule soumise un frottement fluide linéaire dans l'espace champ magnétostatique uniforme $\;{\big$on vérifiera que deux des trois équations différentielles forment un système d'équations différentielles couplées${\big )}\;$ puis,
les réécrire en introduisant la pulsation cyclotron « algébrisée » de la particule «$\;{\overline {\omega }}_{c}={\dfrac {q\;B}{m}}\;$» ainsi que la constante de temps d'amortissement de celle-ci dans le fluide «$\;\tau ={\dfrac {m}{h}}\;$».
L'application de la r.f.d.n., dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ galiléen, à la particule chargée $\;M\left(q\right)\;$ de masse $\;m\;$ se déplaçant dans un milieu matériel visqueux où règne un champ magnétostatique uniforme $\;{\vec {B}}$, nous donne, sachant que $\;M\;$ est soumis
* à la force magnétique de Lorentz «$\;{\vec {F}}_{\text{mag. de Lor}}(M_{t})=q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\;$» avec $\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$ le vecteur vitesse de la particule à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ et
* à la force de frottement fluide linéaire «$\;{\overrightarrow {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}(M_{t})=-h\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$» avec «$\;h\;$ une constante réelle positive $\;{\big$exprimée en $\;kg\cdot s^{-1}{\big )}\;$ caractéristique de la viscosité dynamique et de la densité du fluide ainsi que de la dimension de la particule,
$\;{\vec {F}}_{\text{mag. de Lor}}(M_{t})+{\overrightarrow {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}(M_{t})=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$
$\;{\vec {a}}_{M}(t)={\dfrac {d{\vec {V}}_{\!M}}{dt}}(t)\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$
$\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$
$\;q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}-h\;{\vec {V}}_{\!M}(t)=m\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{\!M}}{dt}}(t)\;$
sachant que «$\;{\vec {B}}=B\;{\vec {u}}_{z}\;$» et définissant les composantes cartésiennes du vecteur vitesse de la particule selon «$\;{\vec {V}}_{\!M}(t)=V_{M,\,x}(t)\;{\vec {u}}_{x}+V_{M,\,y}(t)\;{\vec {u}}_{y}+V_{M,\,z}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» nous en déduisons les composantes cartésiennes «$\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\;$» en effectuant les calculs suivants : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c c c c}&&q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)&\wedge &{\vec {B}}&=&q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}&{\scriptstyle {\text{♣}}}&q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\\{\vec {u}}_{x}&|&q\;V_{M,\,x}(t)&&0&&q\;V_{M,\,y}(t)\times B-q\;V_{M,\,z}(t)\times 0&=&q\;B\;V_{M,\,y}(t)\\{\vec {u}}_{y}&|&q\;V_{M,\,y}(t)&^{+}{\searrow }&0&&&&\\{\vec {u}}_{z}&|&q\;V_{M,\,z}(t)&_{-}{\nearrow }&B&&&&\end{array}}\right\rbrace$, $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c c c c}&&q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)&\wedge &{\vec {B}}&=&q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}&{\scriptstyle {\text{♣}}}&q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\\{\vec {u}}_{x}&|&q\;V_{M,\,x}(t)&&0&&&&\\{\vec {u}}_{y}&|&q\;V_{M,\,y}(t)&&0&&q\;V_{M,\,z}(t)\times 0-q\;V_{M,\,x}(t)\times 0&=&-q\;B\;V_{M,\,x}(t)\\{\vec {u}}_{z}&|&q\;V_{M,\,z}(t)&^{+}{\searrow }&B&&&&\\{\vec {u}}_{x}&|&q\;V_{M,\,x}(t)&_{-}{\nearrow }&0&&&&\end{array}}\right\rbrace \;$ et $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c c c c}&&q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)&\wedge &{\vec {B}}&=&q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}&{\scriptstyle {\text{♣}}}&q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\\{\vec {u}}_{x}&|&q\;V_{M,\,x}(t)&^{+}{\searrow }&0&&&&\\{\vec {u}}_{y}&|&q\;V_{M,\,y}(t)&_{-}{\nearrow }&0&&&&\\{\vec {u}}_{z}&|&q\;V_{M,\,z}(t)&&B&&q\;V_{M,\,x}(t)\times 0-q\;V_{M,\,y}(t)\times 0&=&0\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ «$\;q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}=q\;B\;V_{M,\,y}(t)\;{\vec {u}}_{x}-q\;B\;V_{M,\,x}(t)\;{\vec {u}}_{y}\;$» et par suite
$\;\left\lbrace {\begin{array}{r}q\;B\;V_{M,\,y}(t)-h\;V_{M,\,x}(t)=m\;{\dfrac {dV_{M,\,x}}{dt}}(t)\\-q\;B\;V_{M,\,x}(t)-h\;V_{M,\,y}(t)=m\;{\dfrac {dV_{M,\,y}}{dt}}(t)\\-h\;V_{M,\,z}(t)=m\;{\dfrac {dV_{M,\,z}}{dt}}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {dV_{M,\,x}}{dt}}(t)+{\dfrac {h}{m}}\;V_{M,\,x}(t)=\;\;{\dfrac {q\;B}{m}}\;V_{M,\,y}(t)\\{\dfrac {dV_{M,\,y}}{dt}}(t)+{\dfrac {h}{m}}\;V_{M,\,y}(t)=-{\dfrac {q\;B}{m}}\;V_{M,\,x}(t)\\{\dfrac {dV_{M,\,z}}{dt}}(t)+{\dfrac {h}{m}}\;V_{M,\,z}(t)=\qquad 0\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;{\overline {\omega }}_{c}={\dfrac {q\;B}{m}}\;$
$\;\tau ={\dfrac {m}{h}}\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {dV_{M,\,x}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{\tau }}\;V_{M,\,x}(t)=\;\;{\overline {\omega }}_{c}\;V_{M,\,y}(t)\;\;{\text{:}}\;\;\;\left({\mathfrak {1}}\right)\\{\dfrac {dV_{M,\,y}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{\tau }}\;V_{M,\,y}(t)=-{\overline {\omega }}_{c}\;V_{M,\,x}(t)\;\;{\text{:}}\;\;\left({\mathfrak {2}}\right)\\{\dfrac {dV_{M,\,z}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{\tau }}\;V_{M,\,z}(t)=\qquad 0\qquad \quad \;\;{\text{:}}\;\;\left({\mathfrak {3}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;{\big$
$\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$
$\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$
${\big ]}$

### Détermination des lois horaires scalaires de vitesse et de position du mouvement de la particule soumise un frottement fluide linéaire dans le champ magnétostatique uniforme

Déterminer la loi horaire de vitesse puis de position de la particule suivant la direction $\;z'z\;$ et résolvant l'équation différentielle non couplée aux deux autres.
Découpler les deux autres équations différentielles en introduisant la vitesse complexe «$\;{\underline {\mathcal {V}}}_{\!M}(t)=V_{\!M,\,x}(t)+i\;V_{\!M,\,y}(t)\;$» et déterminant l'équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1er ordre en $\;{\underline {\mathcal {V}}}_{\!M}(t)\;$ homogène,
en déduire la loi horaire de vitesse complexe puis les deux lois horaires de vitesse selon $\;x'x\;$ et $\;y'y\;$ ;
enfin introduire la position complexe «$\;{\underline {\mathcal {X}}}_{\!M}(t)=x_{M}(t)+i\;y_{M}(t)\;$» et déduire de la loi horaire de vitesse complexe celle de position complexe puis les deux lois horaires de position selon $\;x'x\;$ et $\;y'y$.
$\;\left({\mathfrak {3}}\right)\;{\text{:}}\;\;{\dfrac {dV_{M,\,z}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{\tau }}\;V_{M,\,z}(t)=0\;$
$\;V_{M,\,z}(t)=A_{z}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;$
$\;{\vec {V}}_{\!M}(0)={\vec {V}}_{0}=V_{0}\;{\vec {u}}_{x}\;$
$\Rightarrow$
$\;{\vec {V}}_{M,\,z}(0)=0\;$
$\;A_{z}=0\;$
$\Rightarrow$
$\;V_{M,\,z}(t)$
$=0\;\;\forall \;t\;$
$\;V_{M,\,z}(t)={\dfrac {dz_{M}}{dt}}(t)=0\;$
$\;z_{M}(t)={cste'}_{z}\;$
$\;M(0)=M_{0}=O\;$
$\Rightarrow$
$\;z_{M}(0)=0\;$
$\;{cste'}_{z}=0\;$
$\Rightarrow$
$\;z_{M}(t)=0\;\;\forall \;t\;$
$\;M\;$
$\;xOy\;$
$\;{\big$
$\;M_{0}\;$
$\;\perp \;$
$\;{\vec {B}}{\big )}$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\left({\mathfrak {1}}\right)\;{\text{:}}\;\;{\dfrac {dV_{M,\,x}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{\tau }}\;V_{M,\,x}(t)=\;\;{\overline {\omega }}_{c}\;V_{M,\,y}(t)\\\left({\mathfrak {2}}\right)\;{\text{:}}\;\;{\dfrac {dV_{M,\,y}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{\tau }}\;V_{M,\,y}(t)=-{\overline {\omega }}_{c}\;V_{M,\,x}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)=V_{M,\,x}(t)+i\;V_{M,\,y}(t)\;$
$\;\left({\mathfrak {1}}\right)+i\,\left({\mathfrak {2}}\right)\;$
$\Rightarrow$
$\;{\dfrac {dV_{M,\,x}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{\tau }}\;V_{M,\,x}(t)+i\;{\dfrac {dV_{M,\,y}}{dt}}(t)+i\;{\dfrac {1}{\tau }}\;V_{M,\,y}(t)={\overline {\omega }}_{c}\;V_{M,\,y}(t)-i\;{\overline {\omega }}_{c}\;V_{M,\,x}(t)\;$
$\;{\dfrac {d\!\left[V_{M,\,x}+i\;V_{M,\,y}\right]}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{\tau }}\,\left[V_{M,\,x}(t)+i\;V_{M,\,y}(t)\right]=$
$-i\;{\overline {\omega }}_{c}\,\left[V_{M,\,x}(t)+i\;V_{M,\,y}(t)\right]\;$
$\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)=V_{M,\,x}(t)+i\;V_{M,\,y}(t)\;$
$\;{\dfrac {d{\underline {\mathcal {V}}}}{dt}}(t)+\left({\dfrac {1}{\tau }}+i\;{\overline {\omega }}_{c}\right)\,{\underline {\mathcal {V}}}(t)=0\;$
$\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)\;$
$\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)={\underline {A}}\;\exp \!\left[-\left({\dfrac {1}{\tau }}+i\;{\overline {\omega }}_{c}\right)t\right]\;$
$\;{\underline {A}}\;$
$\;{\underline {A}}\;$
$\;{\underline {\mathcal {V}}}(0)=V_{0}\;$
$\;{\big$
${\vec {V}}_{0}=V_{0}\;{\vec {u}}_{x}{\big )}\;$
$\Rightarrow$
$\;{\underline {A}}=V_{0}\;$
$\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)=V_{0}\;\exp \!\left[-\left({\dfrac {1}{\tau }}+i\;{\overline {\omega }}_{c}\right)t\right]\;$
prenant la partie réelle de $\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)\;$ nous en déduisons la loi horaire de vitesse de la particule selon $\;x'x\;$ «$\;V_{M,\,x}(t)=\Re \!\left[{\underline {\mathcal {V}}}(t)\right]=\Re \!\left\lbrace V_{0}\;\exp \!\left[-\left({\dfrac {1}{\tau }}+i\;{\overline {\omega }}_{c}\right)t\right]\right\rbrace =V_{0}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\,\cos \!\left({\overline {\omega }}_{c}\;t\right)\;$» ou encore, quel que soit le signe de la charge $\;q$, «$\;V_{M,\,x}(t)=V_{0}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\,\cos \!\left(\omega _{c}\;t\right)\;$» avec «$\;\omega _{c}={\dfrac {\vert q\vert \;B}{m}}\;$ la pulsation cyclotron de la particule » et
$\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)\;$
$\;y'y\;$
$\;V_{M,\,y}(t)=\Im \!\left[{\underline {\mathcal {V}}}(t)\right]=\Im \!\left\lbrace V_{0}\;\exp \!\left[-\left({\dfrac {1}{\tau }}+i\;{\overline {\omega }}_{c}\right)t\right]\right\rbrace =-V_{0}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\,\sin \!\left({\overline {\omega }}_{c}\;t\right)\;$
$\;q$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\text{pour }}q>0\;{\text{:}}\;V_{M,\,y}(t)=-V_{0}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\,\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right)\\{\text{pour }}q<0\;{\text{:}}\;V_{M,\,y}(t)=V_{0}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\,\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right)\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;\omega _{c}={\dfrac {\vert q\vert \;B}{m}}\;$
$\;xOy\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{M,\,x}(t)=V_{0}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\,\cos \!\left(\omega _{c}\;t\right),\;\;\forall \;{\text{le signe de }}q\\V_{M,\,y}(t)=\left[{\begin{array}{c}-V_{0}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\,\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right),\;{\text{pour }}q>0\\V_{0}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\,\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right),\;{\text{pour }}q<0\end{array}}\right.\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;\omega _{c}={\dfrac {\vert q\vert \;B}{m}}\;$
$\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)=V_{\!M,\,x}(t)+i\;V_{\!M,\,y}(t)\;$
$\;{\underline {\mathcal {X}}}(t)=x_{M}(t)+i\;y_{M}(t)\;$
$\Rightarrow$
$\;{\dfrac {d{\underline {\mathcal {X}}}}{dt}}(t)=V_{0}\;\exp \!\left[-\left({\dfrac {1}{\tau }}+i\;{\overline {\omega }}_{c}\right)t\right]\;$
$\;{\underline {\mathcal {X}}}(t)$
$=V_{0}\;{\dfrac {\exp \!\left[-\left({\dfrac {1}{\tau }}+i\;{\overline {\omega }}_{c}\right)t\right]}{-\left({\dfrac {1}{\tau }}+i\;{\overline {\omega }}_{c}\right)}}+{\underline {cste}}=V_{0}\;{\dfrac {-{\dfrac {1}{\tau }}+i\;{\overline {\omega }}_{c}}{{\dfrac {1}{\tau ^{2}}}+{\overline {\omega }}_{c}^{\,2}}}\;\exp \!\left[-\left({\dfrac {1}{\tau }}+i\;{\overline {\omega }}_{c}\right)t\right]+{\underline {cste}}=V_{0}\;\tau \;{\dfrac {-1+i\;{\overline {\omega }}_{c}\;\tau }{1+{\overline {\omega }}_{c}^{\,2}\;\tau ^{2}}}\;\exp \!\left[-\left({\dfrac {1}{\tau }}+i\;{\overline {\omega }}_{c}\right)t\right]+{\underline {cste}}\;$
$\;{\underline {cste}}\;$
$\;{\underline {\mathcal {X}}}(0)=0\;$
$\;{\big$
$\;O{\big )}\;$
$\Rightarrow$
$\;V_{0}\;\tau \;{\dfrac {-1+i\;{\overline {\omega }}_{c}\;\tau }{1+{\overline {\omega }}_{c}^{\,2}\;\tau ^{2}}}+{\underline {cste}}=0\;$
$\;{\underline {cste}}=V_{0}\;\tau \;{\dfrac {1-i\;{\overline {\omega }}_{c}\;\tau }{1+{\overline {\omega }}_{c}^{\,2}\;\tau ^{2}}}\;$
$\;{\underline {\mathcal {X}}}(t)=V_{0}\;\tau \;{\dfrac {1-i\;{\overline {\omega }}_{c}\;\tau }{1+{\overline {\omega }}_{c}^{\,2}\;\tau ^{2}}}\,\left\lbrace 1-\exp \!\left[-\left({\dfrac {1}{\tau }}+i\;{\overline {\omega }}_{c}\right)t\right]\right\rbrace \;$
$\;{\overline {R}}={\dfrac {V_{0}}{{\overline {\omega }}_{c}}}\;$
$\;{\overline {\xi }}=\tau \;{\overline {\omega }}_{c}\;$
$\;{\underline {\mathcal {X}}}(t)={\overline {R}}\;{\overline {\xi }}\;{\dfrac {1-i\;{\overline {\xi }}}{1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}\,\left\lbrace 1-\exp \!\left[-\left({\dfrac {1}{\tau }}+i\;{\overline {\omega }}_{c}\right)t\right]\right\rbrace \;$
prenant la partie réelle de $\;{\underline {\mathcal {X}}}(t)\;$ nous en déduisons la loi horaire de position de la particule selon $\;x'x\;$ «$\;x_{M}(t)=\Re \!\left[{\underline {\mathcal {X}}}(t)\right]=\Re \!\left\lbrace {\overline {R}}\;{\overline {\xi }}\;{\dfrac {1-i\;{\overline {\xi }}}{1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}\right\rbrace +\Re \!\left\lbrace -{\overline {R}}\;{\overline {\xi }}\;{\dfrac {1-i\;{\overline {\xi }}}{1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}\;\exp \!\left[-\left({\dfrac {1}{\tau }}+i\;{\overline {\omega }}_{c}\right)t\right]\right\rbrace =$ ${\dfrac {{\overline {R}}\;{\overline {\xi }}}{1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}+\Re \!\left\lbrace -{\overline {R}}\;{\overline {\xi }}\;{\dfrac {1-i\;{\overline {\xi }}}{1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}\right\rbrace \;\Re \!\left\lbrace \exp \!\left[-\left({\dfrac {1}{\tau }}+i\;{\overline {\omega }}_{c}\right)t\right]\right\rbrace -\Im \!\left\lbrace -{\overline {R}}\;{\overline {\xi }}\;{\dfrac {1-i\;{\overline {\xi }}}{1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}\right\rbrace \;\Im \!\left\lbrace \exp \!\left[-\left({\dfrac {1}{\tau }}+i\;{\overline {\omega }}_{c}\right)t\right]\right\rbrace ={\dfrac {{\overline {R}}\;{\overline {\xi }}}{1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}-{\dfrac {{\overline {R}}\;{\overline {\xi }}}{1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\,\cos \!\left({\overline {\omega }}_{c}\;t\right)+{\dfrac {{\overline {R}}\;{\overline {\xi }}^{\,2}}{1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\,\sin \!\left({\overline {\omega }}_{c}\;t\right)\;$» ou encore, «$\;x_{M}(t)={\dfrac {{\overline {R}}\;{\overline {\xi }}}{1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}\,\left\lbrace 1-\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\left[\cos \!\left({\overline {\omega }}_{c}\;t\right)-{\overline {\xi }}\;\sin \!\left({\overline {\omega }}_{c}\;t\right)\right]\right\rbrace ={\dfrac {{\overline {R}}\;{\overline {\xi }}}{1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}\,\left[1-{\sqrt {1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;\cos \!\left({\overline {\omega }}_{c}\;t+{\overline {\varphi }}\right)\right]\;$» avec «$\;{\overline {\varphi }}=\arctan \!\left({\overline {\xi }}\right)\;$» et
$\;{\underline {\mathcal {X}}}(t)\;$
$\;y'y\;$
$\;y_{M}(t)=\Im \!\left[{\underline {\mathcal {X}}}(t)\right]=\Im \!\left\lbrace {\overline {R}}\;{\overline {\xi }}\;{\dfrac {1-i\;{\overline {\xi }}}{1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}\right\rbrace +\Im \!\left\lbrace -{\overline {R}}\;{\overline {\xi }}\;{\dfrac {1-i\;{\overline {\xi }}}{1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}\;\exp \!\left[-\left({\dfrac {1}{\tau }}+i\;{\overline {\omega }}_{c}\right)t\right]\right\rbrace =$
$-{\dfrac {{\overline {R}}\;{\overline {\xi }}^{\,2}}{1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}+\Re \!\left\lbrace -{\overline {R}}\;{\overline {\xi }}\;{\dfrac {1-i\;{\overline {\xi }}}{1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}\right\rbrace \;\Im \!\left\lbrace \exp \!\left[-\left({\dfrac {1}{\tau }}+i\;{\overline {\omega }}_{c}\right)t\right]\right\rbrace +\Im \!\left\lbrace -{\overline {R}}\;{\overline {\xi }}\;{\dfrac {1-i\;{\overline {\xi }}}{1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}\right\rbrace \;\Re \!\left\lbrace \exp \!\left[-\left({\dfrac {1}{\tau }}+i\;{\overline {\omega }}_{c}\right)t\right]\right\rbrace =-{\dfrac {{\overline {R}}\;{\overline {\xi }}^{\,2}}{1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}+{\dfrac {{\overline {R}}\;{\overline {\xi }}}{1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\,\sin \!\left({\overline {\omega }}_{c}\;t\right)+{\dfrac {{\overline {R}}\;{\overline {\xi }}^{\,2}}{1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\,\cos \!\left({\overline {\omega }}_{c}\;t\right)\;$
$\;y_{M}(t)=-{\dfrac {{\overline {R}}\;{\overline {\xi }}}{1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}\,\left\lbrace {\overline {\xi }}-\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\left[{\overline {\xi }}\;\cos \!\left({\overline {\omega }}_{c}\;t\right)+\sin \!\left({\overline {\omega }}_{c}\;t\right)\right]\right\rbrace =-{\dfrac {{\overline {R}}\;{\overline {\xi }}}{1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}\,\left[{\overline {\xi }}-{\sqrt {1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\,\sin \!\left({\overline {\omega }}_{c}\;t+{\overline {\varphi }}\right)\right]\;$
$\;{\overline {\varphi }}=\arctan \!\left({\overline {\xi }}\right)\;$
$\;xOy\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{M}(t)={\dfrac {{\overline {R}}\;{\overline {\xi }}}{1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}\,\left[1-{\sqrt {1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;\cos \!\left({\overline {\omega }}_{c}\;t+{\overline {\varphi }}\right)\right]\\y_{M}(t)=-{\dfrac {{\overline {R}}\;{\overline {\xi }}}{1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}\,\left[{\overline {\xi }}-{\sqrt {1+{\overline {\xi }}^{\,2}}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\,\sin \!\left({\overline {\omega }}_{c}\;t+{\overline {\varphi }}\right)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;{\overline {\varphi }}=\arctan \!\left({\overline {\xi }}\right)\;$
$\;{\overline {R}}={\dfrac {V_{0}}{{\overline {\omega }}_{c}}}={\dfrac {m\;V_{0}}{q\;B}}\;$
$\;{\overline {\xi }}=\tau \;{\overline {\omega }}_{c}={\dfrac {q\;B}{h}}\;$
$\Rightarrow$
$\;{\overline {\varphi }}=\arctan \!\left({\dfrac {q\;B}{h}}\right)\;$
$\;q$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{M}(t)={\dfrac {R\;\tau \;\omega _{c}}{1+\tau ^{2}\;\omega _{c}^{\,2}}}\,\left[1-{\sqrt {1+\tau ^{2}\;\omega _{c}^{\,2}}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;\cos \!\left(\omega _{c}\;t+\varphi \right)\right],\;\;\forall \;{\text{le signe de }}q\\y_{M}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{c}-{\dfrac {R\;\tau \;\omega _{c}}{1+\tau ^{2}\;\omega _{c}^{\,2}}}\,\left[\tau \;\omega _{c}-{\sqrt {1+\tau ^{2}\;\omega _{c}^{\,2}}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\,\sin \!\left(\omega _{c}\;t+\varphi \right)\right],\;\;{\text{pour }}q>0\\{\dfrac {R\;\tau \;\omega _{c}}{1+\tau ^{2}\;\omega _{c}^{\,2}}}\,\left[\tau \;\omega _{c}-{\sqrt {1+\tau ^{2}\;\omega _{c}^{\,2}}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\,\sin \!\left(\omega _{c}\;t+\varphi \right)\right],\;\;{\text{pour }}q<0\end{array}}\right.\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;\omega _{c}={\dfrac {\vert q\vert \;B}{m}}\;$
$\;M\;$
$\;R={\dfrac {m\;V_{0}}{\vert q\vert \;B}}\;$
$\;\tau ={\dfrac {m}{h}}\;$
$\;\varphi =\arctan(\tau \;\omega _{c})\;$

### Tracé de la courbe suivie par la particule soumise un frottement fluide linéaire dans le champ magnétostatique uniforme avec existence d'un point asymptotique sur la trajectoire

Représenter la trajectoire de la particule $\;M\;$ soumise un frottement fluide linéaire dans le champ magnétostatique uniforme dans le cas où la charge $\;q\;$ de la particule est $\;>\;$ 0 et
montrer que la trajectoire admet un point asymptotique «$\;M_{\infty }\;$».
Les lois horaires de position de $\;M\left(q>0\right)\;$ dans le plan $\;xOy\;$ étant
* d'une part les équations cartésiennes paramétriques de sa trajectoire dans ce plan et
* d'autre part celles-ci étant pseudo-périodiques à amortissement exponentiel de même pseudo-période $\;T_{c}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{c}}}={\dfrac {2\;\pi \;m}{\vert q\vert \;B}}\;$ se réécrivant «$\;T_{c}={\dfrac {2\;\pi \;m}{q\;B}}\;$» $\;{\big$la particule étant de charge positive${\big )}$,
nous en déduisons le caractère « spiralant » de la trajectoire, la spirale étant décrite dans le sens horaire du plan $\;xOy\;$ pour une particule de charge positive $\;{\big$elle serait décrite dans le sens anti-horaire pour une particule de charge négative${\big )}\;$ autour d'un point asymptotique $\;M_{\infty }$, la particule effectuant d'autant plus de tours avant d'atteindre « pratiquement » ce dernier, voir ci-contre :
à gauche, un frottement modéré où $\;\tau ={\dfrac {T_{c}}{2}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;h={\dfrac {q\;B}{\pi }}\;$,
à droite, un faible frottement où $\;\tau =2\;T_{c}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;h={\dfrac {q\;B}{4\;\pi }}\;$.
$\;M_{\infty }\;$
$\;M\;$
$\;xOy\;$
$\;M\;$
$\;t\rightarrow \infty$
$\;\left(x_{\infty }\,,\,y_{\infty }\right)\;$
$\;M_{\infty }\;$
$\;\left[{\begin{array}{l c c c}\lim \limits _{t\,\rightarrow \,\infty }\!\!&\!\!\left\lbrace {\dfrac {R\;\tau \;\omega _{c}}{1+\tau ^{2}\;\omega _{c}^{\,2}}}\,\left[1-{\sqrt {1+\tau ^{2}\;\omega _{c}^{\,2}}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\,\cos \!\left(\omega _{c}\;t+\varphi \right)\right]\right\rbrace \!\!&=&\!\!x_{\infty }\\\lim \limits _{t\,\rightarrow \,\infty }\!\!&\!\!\left\lbrace -{\dfrac {R\;\tau \;\omega _{c}}{1+\tau ^{2}\;\omega _{c}^{\,2}}}\,\left[\tau \;\omega _{c}-{\sqrt {1+\tau ^{2}\;\omega _{c}^{\,2}}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\,\sin \!\left(\omega _{c}\;t+\varphi \right)\right]\right\rbrace \!\!&=&\!\!y_{\infty }\end{array}}\right]\;$
$\Rightarrow$
$\;M_{\infty }\,\left(x_{\infty }={\dfrac {R\;\tau \;\omega _{c}}{1+\tau ^{2}\;\omega _{c}^{\,2}}}\,,\,y_{\infty }=-{\dfrac {R\;\tau ^{2}\;\omega _{c}^{\,2}}{1+\tau ^{2}\;\omega _{c}^{\,2}}}\right)\;$
$\;M_{\infty }\,\left(x_{\infty }=R\;{\dfrac {{\dfrac {m}{h}}\;{\dfrac {q\;B}{m}}}{1+{\dfrac {m^{2}}{h^{2}}}\;{\dfrac {q^{2}\;B^{\,2}}{m^{2}}}}}\,,\,y_{\infty }=-R\;{\dfrac {{\dfrac {m^{2}}{h^{2}}}\;{\dfrac {q^{2}\;B^{\,2}}{m^{2}}}}{1+{\dfrac {m^{2}}{h^{2}}}\;{\dfrac {q^{2}\;B^{\,2}}{m^{2}}}}}\right)\;$
$\;{\dfrac {h^{2}}{q^{2}\;B^{\,2}}}\;$
$\;M_{\infty }\;$
$\;R={\dfrac {m\;V_{0}}{q\;B}}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;\chi ={\dfrac {h}{q\;B}}\;$
$\;\propto \;$
$\;h\;$
$\;M_{\infty }\,\left(x_{\infty }=R\;{\dfrac {\chi }{1+\chi ^{2}}}\,,\,y_{\infty }=-R\;{\dfrac {1}{1+\chi ^{2}}}\right)\;$
$\;R={\dfrac {m\;V_{0}}{q\;B}}\;$
$\;\chi ={\dfrac {h}{q\;B}}\;$
$\;M_{\infty }\,\left(x_{\infty }={\dfrac {h\;m\;V_{0}}{h^{2}+q^{2}\;B^{\,2}}}\,,\,y_{\infty }=-{\dfrac {q\;B\;m\;V_{0}}{h^{2}+q^{2}\;B^{\,2}}}\right)\;$
Remarque : Nous constatons que la limite du « point asymptotique $\;M_{\infty }\,\left(x_{\infty }=R\;{\dfrac {\chi }{1+\chi ^{2}}}\,,\,y_{\infty }=-R\;{\dfrac {1}{1+\chi ^{2}}}\right)\;$ de la trajectoire de la particule $\;M\;$ dans le plan $\;xOy\;$» quand le cœfficient «$\;h\;$» caractérisant la viscosité dynamique et la densité du fluide ainsi que la dimension de la particule dans la force de frottement fluide linéaire $\;\rightarrow 0$ $\;{\bigg\!\!\Rightarrow$ «$\;\chi ={\dfrac {h}{q\;B}}\rightarrow 0{\bigg )}\;$» est le centre $\;C\,\left(x_{C}=0\,,\,y_{C}=-R\right)\;$ de la trajectoire circulaire de la particule $\;M\;$ soumise à la seule force magnétique de Lorentz dans le plan $\;xOy$.

### Positionnement du point asymptotique de la trajectoire de la particule soumise un frottement fluide linéaire dans le champ magnétostatique uniforme

Déterminer la distance séparant le point asymptotique «$\;M_{\infty }\;$» de la trajectoire de la particule soumise un frottement fluide linéaire dans le champ magnétostatique uniforme de sa position initiale «$\;M_{0}\;$» soit «$\;a=$ $M_{0}M_{\infty }\;$» et
Déterminer l'angle que fait la direction du point asymptotique «$\;M_{\infty }\;$» à partir de la position initiale «$\;M_{0}\;$» de la particule avec le vecteur vitesse initiale de cette dernière «$\;\alpha ={\widehat {\left({\vec {V}}_{0}\,,\,{\overrightarrow {M_{0}M_{\infty }}}\right)}}\;$».
$\;M_{0}\left(0\,,\,0\right)\;$
$\;M_{\infty }\left(x_{\infty }\,,\,y_{\infty }\right)\;$
$\;a=M_{0}M_{\infty }={\sqrt {x_{\infty }^{\,2}+y_{\infty }^{\,2}}}={\dfrac {R}{1+\chi ^{2}}}\;{\sqrt {\left(\chi \right)^{2}+\left(-1\right)^{2}}}\;$
$\;a=M_{0}M_{\infty }={\dfrac {R}{\sqrt {1+\chi ^{2}}}}\;$
$\;R={\dfrac {m\;V_{0}}{q\;B}}\;$
$\;\chi ={\dfrac {h}{q\;B}}\;$
$\;a=M_{0}M_{\infty }={\dfrac {m\;V_{0}}{\sqrt {q^{2}\;B^{\,2}+h^{2}}}}={\dfrac {V_{0}}{\sqrt {\omega _{c}^{\,2}+{\dfrac {1}{\tau ^{2}}}}}}\;$
$\;\omega _{c}={\dfrac {q\;B}{m}}\;$
$\;M\;$
$\;\tau ={\dfrac {m}{h}}\;$
$\;M\;$
$\;M_{\infty }\left(x_{\infty }\,,\,y_{\infty }\right)\;$
$\;M_{0}\left(0\,,\,0\right)\;$
$\;{\vec {V}}_{0}=V_{0}\;{\vec {u}}_{x}\;$
$\;\alpha ={\widehat {\left({\vec {V}}_{0}\,,\,{\overrightarrow {M_{0}M_{\infty }}}\right)}}=\arctan \!\left({\dfrac {y_{\infty }-0}{x_{\infty }-0}}\right)=\arctan \!\left({\dfrac {-R\;{\dfrac {1}{1+\chi ^{2}}}}{R\;{\dfrac {\chi }{1+\chi ^{2}}}}}\right)\;$
$\;\alpha ={\widehat {\left({\vec {V}}_{0}\,,\,{\overrightarrow {M_{0}M_{\infty }}}\right)}}=-\arctan \!\left({\dfrac {1}{\chi }}\right)\;$
$\;\chi ={\dfrac {h}{q\;B}}\;$
$\;\alpha ={\widehat {\left({\vec {V}}_{0}\,,\,{\overrightarrow {M_{0}M_{\infty }}}\right)}}=-\arctan \!\left({\dfrac {q\;B}{h}}\right)=-\arctan \!\left(\tau \;\omega _{c}\right)\;$
$\;\omega _{c}={\dfrac {q\;B}{m}}\;$
$\;M\;$
$\;\tau ={\dfrac {m}{h}}\;$
$\;M\;$

## Actions simultanées, sur une particule chargée pénétrant en O dans un espace champ magnétostatique uniforme constitué d'un milieu matériel, de la force magnétique de Lorentz due au champ magnétostatique et des interactions électriques avec le milieu matériel environnant modélisées par une force de rappel de centre O, la particule pénétrant en O avec un vecteur vitesse perpendiculaire au champ

Un espace champ magnétostatique uniforme de vecteur champ «$\;{\vec {B}}\;$» étant repéré par le trièdre $\;Oxyz$, de base cartésienne orthonormée directe «$\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$», $\;{\vec {u}}_{y}\;$ étant colinéaire et de même sens que $\;{\vec {B}}$ $\;{\Big\!\Rightarrow$ $\;{\vec {B}}=B\;{\vec {u}}_{y}\;$ avec $\;B=\Vert {\vec {B}}\Vert {\Big ]}$, une particule chargée «$\;M\left(q>0\right)\;$» de masse $\;m\;$ « pénètre à $\;t=0\;$ en $\;O\;$» dans cet espace avec une « vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}$ $\;\perp \;$ au champ $\;{\vec {B}}\;$», $\;{\vec {V}}_{0}\;$ étant colinéaire et de même sens que $\;{\vec {u}}_{z}$ $\;{\Big\!\Rightarrow$ $\;{\vec {V}}_{0}=V_{0}\;{\vec {u}}_{z}\;$ avec $\;V_{0}=\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert {\Big ]}$ ;
le milieu dans lequel pénètre la particule étant matériel, celle-ci subit, en plus d'une force magnétique de Lorentz due à l'action du champ magnétostatique, le milieu dans lequel pénètre la particule étant matériel, celle-ci subit, une force due aux interactions électriques de la particule avec le milieu matériel modélisée par une force linéaire de rappel vers le point d'entrée dans le milieu soit «$\;{\vec {F}}_{\text{int. élec}}(M_{t})=-k\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;$» $\;k\;$ étant une constante $\;>0\;$ caractérisant l'évolution électrique du milieu par rapport à son point particulier $\;O$.
Nous supposons que l'étude peut être faite dans le cadre de la dynamique newtonienne et que le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ est galiléen.

### Détermination de l'équation différentielle vectorielle du mouvement de la particule

Par application de la r.f.d.n. à la particule chargée $\;M\left(q\right)\;$ de masse $\;m\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}$, déterminer l'équation différentielle vectorielle du mouvement de celle-ci.
$\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$
$\;M\left(q\right)\;$
$\;m\;$
$\;{\vec {F}}_{\text{mag. de Lor}}(M_{t})=q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\;$
$\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$
$\;{\vec {F}}_{\text{int. élec}}(M_{t})=-k\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;$
$\;{\bigk\;$
$\;>0\;$
$\;O{\big )}\;$
$\;{\vec {F}}_{\text{mag. de Lor}}(M_{t})+{\vec {F}}_{\text{int. élec}}(M_{t})=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$
$\;{\vec {a}}_{M}(t)={\dfrac {d^{2}{\overrightarrow {OM}}}{dt^{2}}}(t)\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$
$\;q\;{\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}(t)\wedge {\vec {B}}-k\;{\overrightarrow {OM}}(t)=m\;{\dfrac {d^{2}{\overrightarrow {OM}}}{dt^{2}}}(t)\;$
$\;M\;$
$\;{\overrightarrow {OM}}(t)$
$\;{\dfrac {d^{2}{\overrightarrow {OM}}}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {q}{m}}\;{\vec {B}}\wedge {\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}(t)+{\dfrac {k}{m}}\;{\overrightarrow {OM}}(t)={\vec {0}},\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$

### Établissement de la nature plane du mouvement de la particule

Montrer que le mouvement de la particule se fait dans le plan contenant le vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}\;$ et $\;\perp \;$ au champ magnétostatique $\;{\vec {B}}$, c'est-à-dire le « plan $\;xOz\;$».
Sachant que tout produit vectoriel non nul de deux vecteurs est $\;\perp \;$ à chacun de ses vecteurs, nous en déduisons que la force magnétique de Lorentz «$\;{\vec {F}}_{\text{mag. de Lor}}(M_{t})=q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\;$» est $\;\perp \;$ au champ magnétostatique uniforme $\;{\vec {B}}\;$ c'est-à-dire à $\;{\vec {u}}_{y}\;$ vecteur unitaire colinéaire à $\;{\vec {B}}\;$ et de même sens d'où la projection de l'équation différentielle vectorielle $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ sur $\;{\vec {u}}_{y}\;$ «$\;{\dfrac {d^{2}y_{M}}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {k}{m}}\;y_{M}(t)=0,\;\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$» correspondant à l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique $\;{\big$non amorti${\big )}\;$le long de $\;y'y\;$ soit encore, avec «$\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k}{m}}}\;$ la pulsation propre de cet oscillateur harmonique », la réécriture de l'équation différentielle de ce dernier sous forme canonique «$\;{\ddot {y}}_{M}(t)+\omega _{0}^{\,2}\;y_{M}(t)=0,\;\;\left({\mathfrak {2}}'\right)\;$» ;
l'équation différentielle normalisée $\;\left({\mathfrak {2}}'\right)\;$ étant linéaire à cœfficients constants homogène du 2ème ordre en $\;y_{M}(t)\;$ sans terme du 1er ordre, avec pour cœfficient de $\;y_{M}(t)\;$ «$\;\omega _{0}^{\,2}>0\;$», la solution s'écrit «$\;y_{M}(t)$ $=A_{y}\;\cos(\omega _{0}\;t)+B_{y}\;\sin(\omega _{0}\;t)\;$», les constantes $\;A_{y}\;$ et $\;B_{y}\;$ se déterminant à l'aide des C.I. «$\;M(0)=O\;$ $\Rightarrow$ $\;y_{M}(0)=0\;$» et «$\;{\vec {V}}_{\!M}(0)={\vec {V}}_{0}=V_{0}\;{\vec {u}}_{z}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dot {y}}_{\!M}(0)=0\;$» d'où
* «$\;y_{M}(0)=0\;$» reporté dans $\;y_{M}(t)=A_{y}\;\cos(\omega _{0}\;t)+B_{y}\;\sin(\omega _{0}\;t)\;$ impliquant «$\;A_{y}=0\;$» $\Rightarrow$ «$\;y_{M}(t)=B_{y}\;\sin(\omega _{0}\;t)\;$» et
* «$\;{\dot {y}}_{\!M}(0)=0\;$» reporté dans $\;{\dot {y}}_{M}(t)=B_{y}\;\omega _{0}\;\cos(\omega _{0}\;t)\;$ impliquant $\;B_{y}\;\omega _{0}=0\;$ soit «$\;B_{y}=0\;$» $\Rightarrow$ «$\;y_{M}(t)=0\;\;\forall \;t\;$»,
soit la nature plane du mouvement de la particule dans le plan contenant le vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}\;$ et $\;\perp \;$ au champ magnétostatique $\;{\vec {B}}$, c'est-à-dire le « plan $\;xOz\;$».

### Détermination du système d'équations différentielles cartésiennes couplées du mouvement de la particule relativement aux deux directions x'x et z'z

Expliciter le système des deux équations différentielles cartésiennes couplées du mouvement de la particule relatives à «$\;x(t)\;$ et $\;z(t)\;$» c'est-à-dire les lois horaires de l'abscisse et de la cote de cette dernière ;
faire une réduction canonique de ce système en posant «$\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k}{m}}}\;$» et «$\;2\;\sigma \;\omega _{0}={\dfrac {q\;B}{m}}\;$».
$\;{\vec {B}}=B\;{\vec {u}}_{y}\;$
$\;xOz\;$
$\;{\vec {V}}_{\!M}(t)={\dot {x}}_{M}(t)\;{\vec {u}}_{x}+{\dot {z}}_{M}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$
$\;{\vec {B}}\wedge {\vec {V}}_{\!M}(t)\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c c c c}&&{\vec {B}}&\wedge &{\vec {V}}_{\!M}(t)&=&{\vec {B}}\wedge {\vec {V}}_{\!M}(t)&{\scriptstyle {\text{♣}}}&{\vec {B}}\wedge {\vec {V}}_{\!M}(t)\\{\vec {u}}_{x}&|&0&&{\dot {x}}_{M}(t)&&B\times {\dot {z}}_{M}(t)-0\times 0&=&B\;{\dot {z}}_{M}(t)\\{\vec {u}}_{y}&|&B&^{+}{\searrow }&0&&&&\\{\vec {u}}_{z}&|&0&_{-}{\nearrow }&{\dot {z}}_{M}(t)&&&&\end{array}}\right\rbrace$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c c c c}&&{\vec {B}}&\wedge &{\vec {V}}_{\!M}(t)&=&{\vec {B}}\wedge {\vec {V}}_{\!M}(t)&{\scriptstyle {\text{♣}}}&{\vec {B}}\wedge {\vec {V}}_{\!M}(t)\\{\vec {u}}_{x}&|&0&&{\dot {x}}_{M}(t)&&&&\\{\vec {u}}_{y}&|&B&&0&&0\times {\dot {x}}_{M}(t)-0\times {\dot {z}}_{M}(t)&=&0\\{\vec {u}}_{z}&|&0&^{+}{\searrow }&{\dot {z}}_{M}(t)&&&&\\{\vec {u}}_{x}&|&0&_{-}{\nearrow }&{\dot {x}}_{M}(t)&&&&\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c c c c}&&{\vec {B}}&\wedge &{\vec {V}}_{\!M}(t)&=&{\vec {B}}\wedge {\vec {V}}_{\!M}(t)&{\scriptstyle {\text{♣}}}&{\vec {B}}\wedge {\vec {V}}_{\!M}(t)\\{\vec {u}}_{x}&|&0&^{+}{\searrow }&{\dot {x}}_{M}(t)&&&&\\{\vec {u}}_{y}&|&B&_{-}{\nearrow }&0&&&&\\{\vec {u}}_{z}&|&0&&{\dot {z}}_{M}(t)&&0\times 0-B\times {\dot {x}}_{M}(t)&=&-B\;{\dot {x}}_{M}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;{\vec {B}}\wedge {\vec {V}}_{\!M}(t)=B\;{\dot {z}}_{M}(t)\;{\vec {u}}_{x}-B\;{\dot {x}}_{M}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$
$\;xOz\;$
$\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$
$\;xOz\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\ddot {x}}_{M}(t)+{\dfrac {q}{m}}\;B\;{\dot {z}}_{M}(t)+{\dfrac {k}{m}}\;x_{M}(t)=0\\{\ddot {z}}_{M}(t)-{\dfrac {q}{m}}\;B\;{\dot {x}}_{M}(t)+{\dfrac {k}{m}}\;z_{M}(t)=0\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k}{m}}}\;$
$\;2\;\sigma \;\omega _{0}={\dfrac {q\;B}{m}}\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\ddot {x}}_{M}(t)+2\;\sigma \;\omega _{0}\;{\dot {z}}_{M}(t)+\omega _{0}^{\,2}\;x_{M}(t)=0\;{\text{:}}\;\;\left({\mathfrak {1}}\right)\\{\ddot {z}}_{M}(t)-2\;\sigma \;\omega _{0}\;{\dot {x}}_{M}(t)+\omega _{0}^{\,2}\;z_{M}(t)=0\;{\text{:}}\;\;\left({\mathfrak {3}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$

### Découplage des deux équations différentielles cartésiennes couplées du mouvement de la particule relativement aux deux directions x'x et z'z par introduction de la position complexe « x(t) + i z(t) » avec explicitation puis résolution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 2ème ordre en cette position complexe

Découpler les deux équations différentielles cartésiennes du mouvement de la particule relativement aux deux directions $\;x'x\;$ et $\;z'z\;$ en introduisant la position complexe «$\;{\underline {\mathcal {X}}}(t)=x(t)+i\;z(t)\;$» et
déterminer l'équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 2ème ordre en $\;{\underline {\mathcal {X}}}(t)\;$ homogène puis
la résoudre en explicitant la forme que doit suivre la loi horaire de position complexe «$\;{\underline {\mathcal {X}}}={\underline {\mathcal {X}}}(t)\;$» de la particule étudiée
la résoudre en explicitant${\Big$vérifier que celle-ci est de la forme «$\;{\underline {\mathcal {X}}}(t)={\underline {A}}\;\exp \!\left(-i\;\omega \;t\right)+{\underline {B}}\;\exp \!\left(+i\;\omega '\;t\right)\;$» avec «$\;\omega \;$ et $\;\omega '\;$ grandeurs réelles vérifiant $\;0<\omega <\omega '\;$» à expliciter${\Big ]}$.
$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\left({\mathfrak {1}}\right)\;{\text{:}}\;\;{\ddot {x}}_{M}(t)+2\;\sigma \;\omega _{0}\;{\dot {z}}_{M}(t)+\omega _{0}^{\,2}\;x_{M}(t)=0\\\left({\mathfrak {3}}\right)\;{\text{:}}\;\;{\ddot {z}}_{M}(t)-2\;\sigma \;\omega _{0}\;{\dot {x}}_{M}(t)+\omega _{0}^{\,2}\;z_{M}(t)=0\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;{\underline {\mathcal {X}}}(t)=x_{M}(t)+i\;z_{M}(t)\;$
$\;\left({\mathfrak {1}}\right)+i\,\left({\mathfrak {3}}\right)\;$
$\Rightarrow$
$\;{\ddot {x}}_{M}(t)+i\;{\ddot {z}}_{M}(t)+2\;\sigma \;\omega _{0}\;{\dot {z}}_{M}(t)-2\;i\;\sigma \;\omega _{0}\;{\dot {x}}_{M}(t)+\omega _{0}^{\,2}\;x_{M}(t)+i\;\omega _{0}^{\,2}\;z_{M}(t)=0\;$
$\;{\dfrac {d^{2}\!\left[x_{M}+i\;z_{M}\right]}{dt^{2}}}(t)-2\;i\;\sigma \;\omega _{0}\;{\dfrac {d\!\left[x_{M}+i\;z_{M}\right]}{dt}}(t)+\omega _{0}^{\,2}\,\left[x_{M}(t)+i\;z_{M}(t)\right]=0\;$
$\;{\underline {\mathcal {X}}}(t)=x_{M}(t)+i\;z_{M}(t)\;$
$\;{\dfrac {d^{2}{\underline {\mathcal {X}}}}{dt^{2}}}(t)-2\;i\;\sigma \;\omega _{0}\;{\dfrac {d{\underline {\mathcal {X}}}}{dt}}(t)+\omega _{0}^{\,2}\;{\underline {\mathcal {X}}}(t)=0\;$
$\;{\underline {\mathcal {X}}}(t)\;$
$\;\mathbb {C}$
$\;{\underline {s}}^{2}-2\;i\;\sigma \;\omega _{0}\;{\underline {s}}+\omega _{0}^{\,2}=0\;$
$\;\Delta '=\left(-i\;\sigma \;\omega _{0}\right)^{2}-\omega _{0}^{\,2}=-\omega _{0}^{\,2}\,\left(1+\sigma ^{2}\right)=\left(i\;\omega _{0}\;{\sqrt {1+\sigma ^{2}}}\right)^{\!2}\;$
$\Rightarrow$
$\;{\underline {s}}_{\pm }=i\;\sigma \;\omega _{0}\pm i\;\omega _{0}\;{\sqrt {1+\sigma ^{2}}}\;$
$\;{\underline {s}}_{\pm }=\left\lbrace {\begin{array}{c c r}i\;\omega _{0}\,\left(\sigma +{\sqrt {1+\sigma ^{2}}}\right)\!\!\!&=&\!\!\!i\;\omega '\\i\;\omega _{0}\,\left(\sigma -{\sqrt {1+\sigma ^{2}}}\right)\!\!\!&=&\!\!\!-i\;\omega \end{array}}\right\rbrace \;$
$\;{\underline {\mathcal {X}}}(t)\;$
$\;{\underline {\mathcal {X}}}(t)={\underline {A}}\;\exp \!\left(-i\;\omega \;t\right)+{\underline {B}}\;\exp \!\left(+i\;\omega '\;t\right)\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\omega =\omega _{0}\,\left({\sqrt {1+\sigma ^{2}}}-\sigma \right)\\\omega '=\omega _{0}\,\left({\sqrt {1+\sigma ^{2}}}+\sigma \right)\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;{\underline {A}}\;$
$\;{\underline {B}}\;$
$\;M(0)=O\;$
$\;{\vec {V}}_{\!M}(0)={\vec {V}}_{0}=V_{0}\;{\vec {u}}_{z}\;$
* «$\;M(0)=O\;$ $\Rightarrow$ $\;{\underline {\mathcal {X}}}(0)=0\;$» d'où «$\;{\underline {A}}+{\underline {B}}=0\;$» $\;{\underline {A}}=-{\underline {B}}\;$ permettant de réécrire «$\;{\underline {\mathcal {X}}}(t)={\underline {B}}\,\left[\exp \!\left(i\;\omega '\;t\right)-\exp \!\left(-i\;\omega \;t\right)\right]\;$» et
* «$\;{\vec {V}}_{\!M}(0)=V_{0}\;{\vec {u}}_{z}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dot {\underline {\mathcal {X}}}}(0)={\dot {x}}_{M}(0)+i\;{\dot {z}}_{M}(0)=i\;V_{0}\;$» dans laquelle «$\;{\dot {\underline {\mathcal {X}}}}(t)={\underline {B}}\,\left[i\;\omega '\;\exp \!\left(i\;\omega '\;t\right)+i\;\omega \;\exp \!\left(-i\;\omega \;t\right)\right]\;$» d'où $\;i\;V_{0}=i\,\left(\omega '+\omega \right)\,{\underline {B}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\underline {B}}={\dfrac {V_{0}}{\omega '+\omega }}\;$»
$\;M\;$
$\;xOz\;$
$\;{\underline {\mathcal {X}}}(t)={\dfrac {V_{0}}{\omega '+\omega }}\,\left[\exp \!\left(i\;\omega '\;t\right)-\exp \!\left(-i\;\omega \;t\right)\right]\;$
$\;0<\omega =\omega _{0}\,\left({\sqrt {1+\sigma ^{2}}}-\sigma \right)<\omega '=\omega _{0}\,\left({\sqrt {1+\sigma ^{2}}}+\sigma \right)\;$
$\Downarrow$
$\;\omega +\omega '=2\;\omega _{0}\;{\sqrt {1+\sigma ^{2}}}\;$

### Détermination des lois horaires de position de la particule relativement aux deux directions x'x et z'z

Déduire de la loi horaire de position complexe «$\;{\underline {\mathcal {X}}}={\underline {\mathcal {X}}}(t)\;$» de la particule étudiée, celles de position de cette particule relativement aux deux directions $\;x'x\;$ et $\;z'z\;$ c'est-à-dire «$\;x=x(t)\;$» et «$\;z=z(t)\;$» en fonction de «$\;V_{0}$, $\;\omega$, $\;\omega '\;$ et $\;t\;$».
Nous déterminons «$\;x_{M}(t)\;$ et $\;z_{M}(t)\;$» en prenant respectivement les parties réelle et imaginaire de «$\;{\underline {\mathcal {X}}}(t)={\dfrac {V_{0}}{\omega '+\omega }}\,\left[\exp \!\left(i\;\omega '\;t\right)-\exp \!\left(-i\;\omega \;t\right)\right]\;$» soit :
$\;x_{M}(t)=\Re \!\left[{\underline {\mathcal {X}}}(t)\right]=\Re \!\left\lbrace {\dfrac {V_{0}}{\omega '+\omega }}\,\left[\exp \!\left(i\;\omega '\;t\right)-\exp \!\left(-i\;\omega \;t\right)\right]\right\rbrace ={\dfrac {V_{0}}{\omega +\omega '}}\,\left[\cos(\omega '\;t)-\cos(\omega \;t)\right]\;$
$\;\cos(p)-\cos(q)=-2\;\sin \!\left({\dfrac {p+q}{2}}\right)\,\sin \!\left({\dfrac {p-q}{2}}\right)\;$
$\;M\;$
$\;x'x\;$
$\;x_{M}(t)=-2\;{\dfrac {V_{0}}{\omega +\omega '}}\;\sin \!\left[{\dfrac {\omega '+\omega }{2}}\;t\right]\,\sin \!\left[{\dfrac {\omega '-\omega }{2}}\;t\right]\;$
$\;\omega =\omega _{0}\,\left({\sqrt {1+\sigma ^{2}}}-\sigma \right)\;$
$\;\omega '=\omega _{0}\,\left({\sqrt {1+\sigma ^{2}}}+\sigma \right)\;$
$\;{\bigg\Rightarrow$
$\;\left({\begin{array}{l c c}\omega '+\omega \!\!&=&\!\!2\;\omega _{0}\;{\sqrt {1+\sigma ^{2}}}\\\omega '-\omega \!\!&=&\!\!2\;\sigma \;\omega _{0}\end{array}}\right)\;$
${\bigg ]}\;$
$\;x_{M}(t)=-{\dfrac {V_{0}}{\omega _{0}\;{\sqrt {1+\sigma ^{2}}}}}\;\sin \!\left[\omega _{0}\;{\sqrt {1+\sigma ^{2}}}\;t\right]\,\sin \!\left[\sigma \;\omega _{0}\;t\right]\;$
$\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k}{m}}}\;$
$\;2\;\sigma \;\omega _{0}={\dfrac {q\;B}{m}}\;$
${\Bigg\Rightarrow$
$\;\sigma \;\omega _{0}={\dfrac {q\;B}{2\;m}}\;$
$\;\omega _{0}\;{\sqrt {1+\sigma ^{2}}}={\sqrt {{\dfrac {k}{m}}+{\dfrac {q^{2}\;B^{\,2}}{4\;m^{2}}}}}={\dfrac {q\;B}{2\;m}}\;{\sqrt {1+{\dfrac {4\;k\;m}{q^{2}\;B^{\,2}}}}}\;$
${\Bigg ]}\;$
$\;z_{M}(t)=\Im \!\left[{\underline {\mathcal {X}}}(t)\right]=\Im \!\left\lbrace {\dfrac {V_{0}}{\omega '+\omega }}\,\left[\exp \!\left(i\;\omega '\;t\right)-\exp \!\left(-i\;\omega \;t\right)\right]\right\rbrace ={\dfrac {V_{0}}{\omega +\omega '}}\,\left[\sin(\omega '\;t)+\sin(\omega \;t)\right]\;$
$\;\sin(p)+\sin(q)=2\;\sin \!\left({\dfrac {p+q}{2}}\right)\,\cos \!\left({\dfrac {p-q}{2}}\right)\;$
$\;M\;$
$\;z'z\;$
$\;z_{M}(t)=2\;{\dfrac {V_{0}}{\omega +\omega '}}\;\sin \!\left[{\dfrac {\omega '+\omega }{2}}\;t\right]\,\cos \!\left[{\dfrac {\omega '-\omega }{2}}\;t\right]\;$
$\;\omega =\omega _{0}\,\left({\sqrt {1+\sigma ^{2}}}-\sigma \right)\;$
$\;\omega '=\omega _{0}\,\left({\sqrt {1+\sigma ^{2}}}+\sigma \right)\;$
$\;{\bigg\Rightarrow$
$\;\left({\begin{array}{l c c}\omega '+\omega \!\!&=&\!\!2\;\omega _{0}\;{\sqrt {1+\sigma ^{2}}}\\\omega '-\omega \!\!&=&\!\!2\;\sigma \;\omega _{0}\end{array}}\right)\;$
${\bigg ]}\;$
$\;z_{M}(t)={\dfrac {V_{0}}{\omega _{0}\;{\sqrt {1+\sigma ^{2}}}}}\;\sin \!\left[\omega _{0}\;{\sqrt {1+\sigma ^{2}}}\;t\right]\,\cos \!\left[\sigma \;\omega _{0}\;t\right]\;$
$\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k}{m}}}\;$
$\;2\;\sigma \;\omega _{0}={\dfrac {q\;B}{m}}\;$
${\Bigg\Rightarrow$
$\;\sigma \;\omega _{0}={\dfrac {q\;B}{2\;m}}\;$
$\;\omega _{0}\;{\sqrt {1+\sigma ^{2}}}={\sqrt {{\dfrac {k}{m}}+{\dfrac {q^{2}\;B^{\,2}}{4\;m^{2}}}}}={\dfrac {q\;B}{2\;m}}\;{\sqrt {1+{\dfrac {4\;k\;m}{q^{2}\;B^{\,2}}}}}\;$
${\Bigg ]}$

### Étude de la variation en fonction du temps de la position de la particule relativement à chaque direction x'x et z'z, tracé l'allure de leur diagramme horaire puis de la trajectoire suivie par la particule étudiée

Vérifier que les lois horaires de position de la particule relativement aux directions $\;x'x\;$ et $\;z'z\;$ se mettent sous la forme «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c r}x(t)\!\!\!&=&\!\!\!-X_{m}(t)\;\sin \!\left({\dfrac {\omega '+\omega }{2}}\;t\right)\\z(t)\!\!\!&=&\!\!\!Z_{m}(t)\;\sin \!\left({\dfrac {\omega '+\omega }{2}}\;t\right)\end{array}}\right\rbrace \;$» dans lesquelles «$\;X_{m}(t)\;$ et $\;Z_{m}(t)\;$ varient plus lentement que $\;\sin \!\left({\dfrac {\omega '+\omega }{2}}\;t\right)\;$» $\;{\Big\!\Rightarrow$ «$\;\vert X_{m}(t)\vert \;$» et «$\;\vert Z_{m}(t)\vert \;$» sont donc les « pseudo-amplitudes » respectives de $\;x(t)\;$ et $\;z(t){\Big ]}$ ;
tracer l'allure des diagrammes horaires de variation de «$\;X_{m}(t)\;$» et «$\;Z_{m}(t)\;$», vérifier qu'elles ont même période $\;T_{m}\;$ et expliciter celle-ci puis,
tracer l'allure des diagrammes horaires de variation de «$\;x(t)\;$» et «$\;z(t)\;$», expliciter la pseudo-période commune $\;T\;$ et commenter l'évolution de $\;x(t)\;$ et de $\;z(t)\;$ en fonction du temps en termes de modulation d'amplitude de période $\;T_{\text{mod. ampl.}}\;$ à expliciter ;
tracer l'allure de la trajectoire de la particule sur une période de modulation d'amplitude $\;T_{\text{mod. ampl.}}\;$ et
comparer ce tracé à celui que suivrait la même particule en absence d'interactions électriques avec le milieu matériel $\;{\Big$c'est-à-dire sans force modélisée par «$\;{\vec {F}}_{\text{int. élec}}(M_{t})=-k\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;$»${\Big ]}$.
À partir de la loi horaire de position de $\;M\;$ le long de l'axe $\;x'x\;$ «$\;x_{M}(t)=-2\;{\dfrac {V_{0}}{\omega +\omega '}}\,\sin \!\left[{\dfrac {\omega '-\omega }{2}}\;t\right]\,\sin \!\left[{\dfrac {\omega '+\omega }{2}}\;t\right]\;$» nous vérifions que «$\;x_{M}(t)=-X_{m}(t)\;\sin \!\left({\dfrac {\omega '+\omega }{2}}\;t\right)\;$» dans laquelle «$\;X_{m}(t)=$ $2\;{\dfrac {V_{0}}{\omega +\omega '}}\,\sin \!\left[{\dfrac {\omega '-\omega }{2}}\;t\right]\;$» de pulsation $\;{\dfrac {\omega '-\omega }{2}}<{\dfrac {\omega '+\omega }{2}}\;$ « varie plus lentement que $\;\sin \!\left({\dfrac {\omega '+\omega }{2}}\;t\right)\;$» ; À partir de la loi horaire de position de M le long de l'axe x'x «$\;x_{M}(t)=-X_{m}(t)\;\sin \!\left({\dfrac {\omega '+\omega }{2}}\;t\right)=-X_{m}(t)\;\sin \!\left(\omega _{0}\;{\sqrt {1+\sigma ^{2}}}\;t\right)\;$» est donc une fonction pseudo-périodique du temps de « pseudo-période $\;T={\dfrac {4\;\pi }{\omega '+\omega }}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}\;{\sqrt {1+\sigma ^{2}}}}}\;$» avec, pour fonction du temps réalisant la modulation d'amplitude «$\;X_{m}(t)=2\;{\dfrac {V_{0}}{\omega +\omega '}}\,\sin \!\left[{\dfrac {\omega '-\omega }{2}}\;t\right]={\dfrac {V_{0}}{\omega _{0}\;{\sqrt {1+\sigma ^{2}}}}}\,\sin \!\left[\sigma \;\omega _{0}\;t\right]\;$» $\;{\big$le signal modulant${\big )}\;$ périodique de « période $\;T_{m}={\dfrac {4\;\pi }{\omega '-\omega }}={\dfrac {2\;\pi }{\sigma \;\omega _{0}}}\;$» $\;{\big$qui est $\;>$ $\;{\big$et en général $\;\gg {\big )}\;$ à la pseudo-période $\;T\;$ du signal modulé${\big ]}$ $\;{\bigg \$comme le signal modulant est sinusoïdal et que la pseudo-amplitude du signal modulé est définie positivement, cette dernière s'écrit $\;\vert X_{m}(t)\vert \;$ et sa périodicité $\;{\dfrac {T_{m}}{2}}\;$ définissant la période de modulation d'amplitude $\;T_{\text{mod. ampl.}}$, celle-ci vaut donc «$\;T_{\text{mod. ampl.}}={\dfrac {2\;\pi }{\omega '-\omega }}={\dfrac {\pi }{\sigma \;\omega _{0}}}\;$»${\bigg \}$, voir ci-dessous à gauche la superposition du diagramme horaire du signal modulant $\;X_{m}(t)\;$ en rouge et de celui du signal modulé $\;x_{M}(t)\;$ en noir dans le cas où la période $\;T_{m}\;$ du signal modulant vaut $\;20\;$ fois la pseudo-période $\;T\;$ du signal modulé ;
à partir de la loi horaire de position de $\;M\;$ le long de l'axe $\;z'z\;$ «$\;z_{M}(t)=2\;{\dfrac {V_{0}}{\omega +\omega '}}\,\cos \!\left[{\dfrac {\omega '-\omega }{2}}\;t\right]\,\sin \!\left[{\dfrac {\omega '+\omega }{2}}\;t\right]\;$» nous vérifions que «$\;z_{M}(t)=Z_{m}(t)\;\sin \!\left({\dfrac {\omega '+\omega }{2}}\;t\right)\;$» dans laquelle «$\;Z_{m}(t)=$ $2\;{\dfrac {V_{0}}{\omega +\omega '}}\,\cos \!\left[{\dfrac {\omega '-\omega }{2}}\;t\right]\;$» de pulsation $\;{\dfrac {\omega '-\omega }{2}}<{\dfrac {\omega '+\omega }{2}}\;$ « varie plus lentement que $\;\sin \!\left({\dfrac {\omega '+\omega }{2}}\;t\right)\;$» ; à partir de la loi horaire de position de M le long de l'axe z'z «$\;z_{M}(t)=Z_{m}(t)\;\sin \!\left({\dfrac {\omega '+\omega }{2}}\;t\right)=Z_{m}(t)\;\sin \!\left(\omega _{0}\;{\sqrt {1+\sigma ^{2}}}\;t\right)\;$» est donc une fonction pseudo-périodique du temps de « pseudo-période $\;T=$ ${\dfrac {4\;\pi }{\omega '+\omega }}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}\;{\sqrt {1+\sigma ^{2}}}}}\;$» avec, pour fonction du temps réalisant la modulation d'amplitude «$\;Z_{m}(t)=2\;{\dfrac {V_{0}}{\omega +\omega '}}\,\cos \!\left[{\dfrac {\omega '-\omega }{2}}\;t\right]={\dfrac {V_{0}}{\omega _{0}\;{\sqrt {1+\sigma ^{2}}}}}\,\cos \!\left[\sigma \;\omega _{0}\;t\right]\;$» $\;{\big$le signal modulant${\big )}\;$ périodique de « période $\;T_{m}$ $={\dfrac {4\;\pi }{\omega '-\omega }}={\dfrac {2\;\pi }{\sigma \;\omega _{0}}}\;$» $\;{\big$qui est $\;>$ $\;{\big$et en général $\;\gg {\big )}\;$ à la pseudo-période $\;T\;$ du signal modulé${\big ]}$ $\;{\bigg \$comme le signal modulant est sinusoïdal et que la pseudo-amplitude du signal modulé est définie positivement, cette dernière s'écrit $\;\vert Z_{m}(t)\vert \;$ et sa périodicité $\;{\dfrac {T_{m}}{2}}\;$ définissant la période de modulation d'amplitude $\;T_{\text{mod. ampl.}}$, celle-ci vaut donc «$\;T_{\text{mod. ampl.}}={\dfrac {2\;\pi }{\omega '-\omega }}={\dfrac {\pi }{\sigma \;\omega _{0}}}\;$»${\bigg \}$, voir ci-dessus à droite la superposition du diagramme horaire du signal modulant $\;Z_{m}(t)\;$ en rouge et de celui du signal modulé $\;z_{M}(t)\;$ en noir dans le cas où la période $\;T_{m}\;$ du signal modulant vaut $\;20\;$ fois la pseudo-période $\;T\;$ du signal modulé.
Commentaire : la pseudo-amplitude $\;\vert X_{m}(t)\vert \;$ de $\;x_{M}(t)\;$ étant initialement nulle $\Rightarrow$ la particule $\;M\;$ oscille initialement en restant proche de l'axe $\;z'z\;$ alors que Commentaire : la pseudo-amplit celle $\;\vert Z_{m}(t)\vert \;$ de $\;z_{M}(t)\;$ étant initialement maximale $\Rightarrow$ les oscillations initiales de $\;M\;$ se font quasiment sur l'axe $\;z'z$, Commentaire : ensuite $\;\vert X_{m}(t)\vert \nearrow \;$ et $\;\vert Z_{m}(t)\vert \searrow \;$ $\Rightarrow$ les pseudo-oscillations de $\;M\;$ se font pratiquement suivant une direction de plus en plus inclinée relativement à l'axe $\;z'z\;$ en se rapprochant de l'axe $\;x'x$, la rotation de la direction des pseudo-oscillations se faisant dans le sens anti-horaire du plan $\;xOz$ $\;{\big$le sens $\;+\;$ de mesure des angles orientés de ce plan étant défini par $\;{\vec {u}}_{y}{\big )}$, Commentaire : puis $\;{\dfrac {T_{m}}{4}}={\dfrac {T_{\text{mod. ampl.}}}{2}}\;$ plus tard, la pseudo-amplitude $\;\vert X_{m}(t)\vert \;$ de $\;x_{M}(t)\;$ étant maximale alors que celle $\;\vert Z_{m}(t)\vert \;$ de $\;z_{M}(t)\;$ est nulle $\Rightarrow$ les pseudo-oscillations de $\;M\;$ se font quasiment sur l'axe $\;x'x$, la direction des pseudo-oscillations ayant tourné de $\;-{\dfrac {\pi }{2}}$ $\;{\bigg$ou de $\;{\dfrac {\pi }{2}}$ dans le sens anti-horaire${\bigg )}$, Commentaire : par la suite $\;\vert X_{m}(t)\vert \searrow \;$ et $\;\vert Z_{m}(t)\vert \nearrow \;$ $\Rightarrow$ les pseudo-oscillations de $\;M\;$ se font pratiquement suivant une direction de plus en plus inclinée relativement à l'axe $\;x'x\;$ en se rapprochant de l'axe $\;z'z$, la rotation de la direction des pseudo-oscillations se poursuivant dans le sens anti-horaire du plan $\;xOz$, Commentaire : enfin $\;{\dfrac {T_{m}}{2}}=T_{\text{mod. ampl.}}\;$ plus tard relativement à l'instant initial, la pseudo-amplitude $\;\vert X_{m}(t)\vert \;$ de $\;x_{M}(t)\;$ étant de nouveau nulle alors que celle $\;\vert Z_{m}(t)\vert \;$ de $\;z_{M}(t)\;$ est maximale $\Rightarrow$ les pseudo-oscillations de $\;M\;$ se font de nouveau quasiment sur l'axe $\;z'z$, la direction des pseudo-oscillations ayant tourné de $\;-\pi$ depuis l'instant initial $\;{\big$ou de $\;\pi$ dans le sens anti-horaire${\big )}$ $\Rightarrow$ les pseudo-oscillations de la particule $\;M\;$ se sont donc pratiquement effectuées sur toutes les directions du plan $\;xOz\;$ ; Commentaire : en conclusion retrouvant approximativement le mouvement initial de $\;M\;$ à l'instant $\;T_{\text{mod. ampl.}}\;$ nous pouvons convenir que le mouvement de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ se retrouve pratiquement à l'identique à l'instant $\;t+T_{\text{mod. ampl.}}\;$ et par suite en déduire que «$\;T_{\text{mod. ampl.}}={\dfrac {2\;\pi }{\omega '-\omega }}={\dfrac {\pi }{\sigma \;\omega _{0}}}={\dfrac {2\;\pi \;m}{q\;B}}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{c}}}$ $\;{\bigg \\omega _{c}={\dfrac {\vert q\vert \;B}{m}}={\dfrac {q\;B}{m}}$ $\;{\big$car $\;q\;$ est $\;>0{\big )}\;$ étant la pulsation cyclotron de la particule${\bigg \}$» mesure la périodicité pratique du mouvement de la particule.
Voir ci-contre à gauche le tracé du début de trajectoire de la particule $\;M\left(q>0\right)$, de masse $\;m$, injectée en $\;O\;$ avec un vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}=V_{0}\;{\vec {u}}_{z}\;$ dans un milieu matériel baignant dans un champ magnétostatique uniforme $\;{\vec {B}}=B\;{\vec {u}}_{y}$, les interactions électriques de $\;M\;$ avec le milieu matériel étant modélisées par une force de rappel linéaire «$\;{\vec {F}}_{\text{int. élec}}(M_{t})=-k\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;$», le tracé étant effectué sur le 1er cinquième de la « période pratique du mouvement de la particule $\;T_{\text{mod. ampl.}}=$ ${\dfrac {2\;\pi }{\omega '-\omega }}={\dfrac {\pi }{\sigma \;\omega _{0}}}={\dfrac {2\;\pi \;m}{q\;B}}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{c}}}$ $\;{\bigg \\omega _{c}={\dfrac {\vert q\vert \;B}{m}}={\dfrac {q\;B}{m}}$ $\;{\big$car $\;q\;$ est $\;>0{\big )}\;$ étant la pulsation cyclotron de la particule${\bigg \}$» et
Voir ci-contre à droite le tracé de la trajectoire de la particule $\;M\left(q>0\right)$, de masse $\;m$, injectée au même endroit dans les mêmes conditions avec les mêmes modélisations, le tracé étant maintenant sur la « période pratique du mouvement de la particule $\;T_{\text{mod. ampl.}}=$ ${\dfrac {2\;\pi }{\omega '-\omega }}={\dfrac {\pi }{\sigma \;\omega _{0}}}={\dfrac {2\;\pi \;m}{q\;B}}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{c}}}$ $\;{\big \\omega _{c}\;$ étant la pulsation cyclotron de la particule${\big \}$».
Remarques : L'étude du mouvement de la particule est effectué à partir de l'instant $\;t=0$, à cet instant elle est en $\;O\;$ situé au centre de l'espace champ magnétostatique avec un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{0}$, ce qu'a été son mouvement avant $\;t=0\;$ n'est théoriquement pas notre problème $\;{\big$pratiquement nous pourrions supposer que sur la partie négative de l'axe $\;z'z\;$ ni l'espace champ magnétostatique ni le milieu matériel n'existaient pour $\;t<0$, d'où la possibilité d'injecter la particule en $\;O\;$ avec un vecteur vitesse connu, avec pour conséquence l'impossibilité d'obtenir un tracé complet de la trajectoire sur une « période pratique de son mouvement » ou, si nous souhaitons obtenir le tracé complet, supposer que l'espace champ magnétostatique et le milieu matériel sont créés sur la partie négative de l'axe $\;z'z\;$ après injection de la particule $\;\ldots {\big )}$ ;
Remarques : en absence d'interactions électriques avec le milieu matériel $\;{\Big$c'est-à-dire sans force modélisée par «$\;{\vec {F}}_{\text{int. élec}}(M_{t})=-k\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;$»${\Big ]}$, la particule $\;M\left(q>0\right)\;$ entrant en $\;O\;$ avec le vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}=V_{0}\;{\vec {u}}_{z}\;$ dans l'espace champ magnétostatique uniforme de champ $\;{\vec {B}}=B\;{\vec {u}}_{y}\;$ décrirait, dans le plan $\;xOz$, un « cercle de centre $\;C\,\left(x_{C}=-{\mathcal {R}}=-{\dfrac {m\;V_{0}}{q\;B}}\,,\,z_{C}=0\right)\;$» dans le sens anti-horaire du plan $\;xOz$ $\;{\big$le sens $\;+\;$ de mesure des angles orientés de ce plan étant défini par $\;{\vec {u}}_{y}{\big )}\;$ « à la vitesse angulaire $\;-\omega _{c}=-{\dfrac {q\;B}{m}}\;$», le rayon du cercle «$\;{\mathcal {R}}={\dfrac {m\;V_{0}}{q\;B}}\;$» s'écrivant en fonction de l'« unité choisie sur les axes des deux tracés ci-dessus $\;{\dfrac {2\;V_{0}}{\omega '+\omega }}={\dfrac {V_{0}}{\omega _{0}\;{\sqrt {1+\sigma ^{2}}}}}={\dfrac {V_{0}}{2\;\sigma \;\omega _{0}}}\;{\dfrac {2\;\sigma }{\sqrt {1+\sigma ^{2}}}}={\dfrac {m\;V_{0}}{q\;B}}\;{\dfrac {2\;\sigma }{\sqrt {1+\sigma ^{2}}}}\;$» soit, en notant «$\;\left[{\dfrac {2\;V_{0}}{\omega '+\omega }}\right]\;$» cette unité, «$\;{\mathcal {R}}={\dfrac {\sqrt {1+\sigma ^{2}}}{2\;\sigma }}\,\left[{\dfrac {2\;V_{0}}{\omega '+\omega }}\right]={\dfrac {\omega '+\omega }{2\,\left(\omega '-\omega \right)}}\,\left[{\dfrac {2\;V_{0}}{\omega '+\omega }}\right]\;$» soit, avec les valeurs numériques proposées sur les tracés ci-dessus, «$\;{\mathcal {R}}={\dfrac {2,1\;\omega _{0}+1,9\;\omega _{0}}{2\times \left(2,1\;\omega _{0}+1,9\;\omega _{0}\right)}}\,\left[{\dfrac {2\;V_{0}}{\omega '+\omega }}\right]=10\,\left[{\dfrac {2\;V_{0}}{\omega '+\omega }}\right]\;$» ; Remarques : alors que l'absence d'interactions électriques entre le milieu matériel et la particule permet à $\;M\;$ de s'éloigner de $\;O\;$ jusqu'à une distance maximale de $\;20\;$ unités de longueur, l'intervention des interactions électriques avec le milieu matériel localise $\;M\;$ relativement à $\;O\;$ à l'intérieur d'un cercle de centre $\;O\;$ et de $\;1\;$ unité de longueur $\;{\big \$nette limitation de l'éloignement de la particule relativement à sa position d'entrée due à la modélisation des interactions électriques par une force de rappel linéaire${\big \}$.