# Trigonométrie/Équations et inéquations trigonométriques
## Équations trigonométriques
### Équations de base

Soient $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$.
* $\sin(x)=\sin(y)$ si et seulement s'il existe $k\in \mathbb {Z}$ tel que $x=y+2k\pi$ ou $x=\pi -y+2k\pi$.
* $\cos(x)=\cos(y)$ si et seulement s'il existe $k\in \mathbb {Z}$ tel que $x=y+2k\pi$ ou $x=-y+2k\pi$.
Soient $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\setminus \left\{{\frac {\pi }{2}}+k\pi \mid k\in \mathbb {Z} \right\}$.
* $\tan(x)=\tan(y)$ si et seulement s'il existe $k\in \mathbb {Z}$ tel que $x=y+k\pi$.
Résoudre dans $\mathbb {R}$ l'équation $2\sin(2x)=1$.
Soit $x\in \mathbb {R}$.
${\begin{aligned}2\sin(2x)=1&\Leftrightarrow \sin(2x)={\frac {1}{2}}\\&\Leftrightarrow \sin(2x)=\sin({\frac {\pi }{6}})\\&\Leftrightarrow \exists k\in \mathbb {Z} ,~2x={\frac {\pi }{6}}+2k\pi {\text{ ou }}2x={\frac {5\pi }{6}}+2k\pi .\end{aligned}}$
L'ensemble des solutions est donc $\left\{{\frac {\pi }{12}}+k\pi ,{\frac {5\pi }{12}}+k\pi \mid k\in \mathbb {Z} \right\}$.

### Cas général

L'équation trigonométrique que l'on étudie et que l'on doit résoudre dans le cas général est : $a\cos(x)+b\sin(x)=c$.
L'objectif est de calculer l'ensemble des valeurs de la variable $x$ tel que cette équation soit vérifiée.
Les constantes $a,b,c$ sont des nombres réels $(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}$ tels que $(a,b)\neq (0,0)$.
Nous procédons, dans un premier temps, à la création de trois nouvelles constantes à partir de $a,b,c$ :
$a'={a \over {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$, $b'={b \over {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$, $c'={c \over {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$
La condition à respecter est : $a'^{2}+b'^{2}=1$.
En effet, $a'^{2}+b'^{2}=({a \over {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}})^{2}+({b \over {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}})^{2}={(a^{2}+b^{2}) \over (a^{2}+b^{2})}=1$
De plus, l'égalité $a'^{2}+b'^{2}=1$ nous ramène à une équation trigonométrique de base faisant intervenir les fonction cosinus et sinus :
$a'^{2}+b'^{2}=1\Longrightarrow \cos(\alpha )^{2}+\sin(\alpha )^{2}=1$
Donc : ${\begin{cases}a'=\cos(\alpha )&\\b'=\sin(\alpha )&\end{cases}}$, $\alpha \in \mathbb {R}$
L'équation trigonométrique comportant les nouvelles constantes est : $a'\cos(x)+b'\sin(x)=c'$.
En appliquant les nouvelles expressions de $a'$ et $b'$ dans l'équation ci-dessus, et en utilisant deux formules de produits-sommes, l'équation peut être simplifiée et faire intervenir uniquement une expression avec la fonction cosinus.
Démonstration :
$a'\cos(x)+b'\sin(x)=c'\Longrightarrow \cos(\alpha )\cos(x)+\sin(\alpha )\sin(x)=c'$
$\cos(\alpha )\cos(x)={\cos(\alpha +x)+\cos(\alpha -x) \over 2}$
$\sin(\alpha )\sin(x)={\cos(\alpha -x)-\cos(\alpha +x) \over 2}$
Donc : $\cos(\alpha )\cos(x)+\sin(\alpha )\sin(x)=\cos(\alpha -x)=c'$
Remarque : L'expression $\cos(\alpha -x)$ est aussi égale à $\cos(x-\alpha )$.
L'équation $\cos(x-\alpha )=c'$ a plusieurs solutions (racines) en fonction de la valeur de la constante $c'$ :
* Si $|c'|>1$ : L'équation $\cos(x-\alpha )=c'$ n'admet pas de racines (solutions) car la valeur maximale atteinte par la fonction cosinus est : 1. L'ensemble des solutions est alors l'ensemble vide. $S=\varnothing$
* Si $|c'|\leq 1$ : L'équation $\cos(x-\alpha )=c'$ admet une infinité de solutions et il existe un réel $\phi \in \mathbb {R}$ tel que $c'=\cos(\phi )$.
La résolution de l'équation $\cos(x-\alpha )=c'$ est la suivante :
$\cos(x-\alpha )=c'\Longrightarrow \cos(x-\alpha )=\cos(\phi )$
${\begin{cases}x-\alpha =\phi +2k\pi &\\x-\alpha =-\phi +2k\pi &\end{cases}}\Longrightarrow {\begin{cases}x=\alpha +\phi +2k\pi &\\x=\alpha -\phi +2k\pi &\end{cases}}$
L'ensemble des solutions est alors : $S=\{\alpha \pm \phi \}$ (mod $2\pi$) $\Longleftrightarrow S=\alpha \pm \phi +2k\pi ,\quad k\in \mathbb {Z}$
Les expressions des constantes $\phi$ et $\alpha$ en fonction des coefficients $a,b,c$ sont les suivantes :
$\phi =\arccos({c \over {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}})$
$\alpha ={\begin{cases}\arctan({b \over a})\mid a>0&\\\pi -\arctan({b \over a})\mid a<0&\end{cases}}$
ATTENTION : Lors du calcul des solutions de l'équation $a\cos(x)+b\sin(x)=c$, vérifiez que votre calculatrice ou logiciel de calcul formel soit paramétré en radian et non en degré.

### Conditions d'existence de sommes et produits prescrits de cosinus et sinus

Soient les équations suivantes, faisant intervenir des sommes et produits de cosinus et sinus :
${\begin{matrix}\cos(a)+\cos(b)=S&\cos(a).\cos(b)=P\\\sin(a)+\sin(b)=S&\sin(a).\sin(b)=P\end{matrix}}$
Les nombres $a,b,P,S$ appartiennent à l'ensemble des réels. $\left(a,b,P,S\right)\in \mathbb {R} ^{4}$.
L'objectif est de déterminer les intervalles de valeurs auxquels appartiennent les réels $P$ et $S$ tels que les sommes et produits des fonctions cosinus et sinus soient vrais.

#### Somme des fonctions cosinus

Soit la somme de deux fonctions cosinus : $\cos(a)+\cos(b)$
Les valeurs des réels $a$ et $b$ pour lesquelles chaque fonction cosinus atteint ses extremums (valeurs maximale et minimale) sont : $0$ et $\pi$ ${\pmod {2\pi }}$
En effet : $\cos(0)=1$ et $\cos(\pi )=-1$
La somme $\cos(a)+\cos(b)$ donne également deux résultats extrêmes : $-2$ et $+2$. Il s'agit des valeurs affectées au réel $S$.
Conclusion :
Les valeurs affectées au nombre réel $S$, telles que l'équation $\cos(a)+\cos(b)=S$ soit vraie, appartiennent à l'intervalle : $[-2;+2]$.
$S\in [-2;+2]\Longrightarrow \left\vert S\right\vert \leq 2$

#### Produit des fonctions cosinus

Soit le produit de deux fonctions cosinus : $\cos(a).\cos(b)$
Les valeurs des réels $a$ et $b$ pour lesquelles chaque fonction cosinus atteint ses extremums (valeurs maximale et minimale) sont : $0$ et $\pi$ ${\pmod {2\pi }}$
En effet : $\cos(0)=1$ et $\cos(\pi )=-1$
Le produit $\cos(a).\cos(b)$ donne également deux résultats extrêmes : $-1$ et $+1$. Il s'agit des valeurs affectées au réel $P$.
Conclusion :
Les valeurs affectées au nombre réel $P$, telles que l'équation $\cos(a).\cos(b)=P$ soit vraie, appartiennent à l'intervalle : $[-1;+1]$.
$P\in [-1;+1]\Longrightarrow \left\vert P\right\vert \leq 1$
CONCLUSION POUR LES FONCTIONS COSINUS :
Les conditions d'existence des sommes et produits des fonctions cosinus, quelles que soient les valeurs des nombres réels $a$ et $b$, sont les suivantes :
$S\in [-2;+2]\Longrightarrow \left\vert S\right\vert \leq 2$
$P\in [-1;+1]\Longrightarrow \left\vert P\right\vert \leq 1$

#### Somme des fonctions sinus

Soit la somme de deux fonctions sinus : $\sin(a)+\sin(b)$
Les valeurs des réels $a$ et $b$ pour lesquelles chaque fonction sinus atteint ses extremums (valeurs maximale et minimale) sont : ${+\pi \over 2}$ et ${-\pi \over 2}$ ${\pmod {2\pi }}$
En effet : $\sin({\pi \over 2})=1$ et $\sin({-\pi \over 2})=-1$
La somme $\sin(a)+\sin(b)$ donne également deux résultats extrêmes : $-2$ et $+2$. Il s'agit des valeurs affectées au réel $S$.
Conclusion :
Les valeurs affectées au nombre réel $S$, telles que l'équation $\sin(a)+\sin(b)=S$ soit vraie, appartiennent à l'intervalle : $[-2;+2]$.
$S\in [-2;+2]\Longrightarrow \left\vert S\right\vert \leq 2$

#### Produit des fonctions sinus

Soit le produit de deux fonctions sinus : $\sin(a).\sin(b)$
Les valeurs des réels $a$ et $b$ pour lesquelles chaque fonction sinus atteint ses extremums (valeurs maximale et minimale) sont : ${+\pi \over 2}$ et ${-\pi \over 2}$${\pmod {2\pi }}$
En effet : $\sin({\pi \over 2})=1$ et $\sin({-\pi \over 2})=-1$
Le produit $\sin(a).\sin(b)$ donne également deux résultats extrêmes : $-1$ et $+1$. Il s'agit des valeurs affectées au réel $P$.
Conclusion :
Les valeurs affectées au nombre réel $P$, telles que l'équation $\sin(a).\sin(b)=P$ soit vraie, appartiennent à l'intervalle : $[-1;+1]$.
$P\in [-1;+1]\Longrightarrow \left\vert P\right\vert \leq 1$
CONCLUSION POUR LES FONCTIONS SINUS :
Les conditions d'existence des sommes et produits des fonctions sinus, quelles que soient les valeurs des nombres réels $a$ et $b$, sont les suivantes :
$S\in [-2;+2]\Longrightarrow \left\vert S\right\vert \leq 2$
$P\in [-1;+1]\Longrightarrow \left\vert P\right\vert \leq 1$

## Inéquations trigonométriques

Les inéquations trigonométriques sont des relations d'inégalité entre des expressions incluant des fonctions trigonométriques et des nombres.

### Inéquations de base

Les trois inéquations de base sont les inéquations faisant intervenir les fonctions cosinus, sinus et tangente. Les variables dans ces fonctions sont $x$ et $y$.
Dans toutes les inéquations suivantes, on considère le réel $x$ comme une variable et le réel $y$ comme une valeur fixe (constante).

#### Fonctions sinus

Soient $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$

##### Infériorité ou égalité de deux fonctions sinus

L'inéquation faisant intervenir deux fonctions sinus est la suivante : $\sin(x)\leq \sin(y)$
L'ensemble-solution rendant cette inégalité vraie est : $S=[-\pi -y;y]{\pmod {2\pi }}$
L'intervalle auquel $x$ appartient et qui vérifie cette inéquation est : $-\pi -y+2k\pi \leq x\leq y+2k\pi$

##### Stricte infériorité d'une première fonction sinus par rapport à une deuxième fonction sinus

L'inéquation stricte faisant intervenir deux fonctions sinus est la suivante : $\sin(x)<\sin(y)$
L'ensemble-solution rendant cette inégalité stricte vraie est : $S=]-\pi -y;y[{\pmod {2\pi }}$
L'intervalle auquel $x$ appartient et qui vérifie cette inéquation stricte est : $-\pi -y+2k\pi <x<y+2k\pi$

##### Supériorité ou égalité de deux fonction sinus

L'inéquation faisant intervenir deux fonctions sinus est la suivante : $\sin(x)\geq \sin(y)$
L'ensemble-solution rendant cette inégalité vraie est : $S=[y;\pi -y]{\pmod {2\pi }}$
L'intervalle auquel $x$ appartient et qui vérifie cette inéquation est : $y+2k\pi \leq x\leq \pi -y+2k\pi$

##### Stricte supériorité d'une première fonction sinus sur une deuxième fonction sinus

L'inéquation stricte faisant intervenir deux fonctions sinus est la suivante : $\sin(x)>\sin(y)$
L'ensemble-solution rendant cette inégalité stricte vraie est : $S=]y;\pi -y[{\pmod {2\pi }}$
L'intervalle auquel $x$ appartient et qui vérifie cette inéquation stricte est : $y+2k\pi <x<\pi -y+2k\pi$

#### Fonctions cosinus

Soient $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$

##### Infériorité ou égalité de deux fonctions cosinus

L'inéquation faisant intervenir deux fonctions cosinus est la suivante : $\cos(x)\leq \cos(y)$
L'ensemble-solution rendant cette inégalité vraie est : $S=[y;2\pi -y]{\pmod {2\pi }}$
L'intervalle auquel $x$ appartient et qui vérifie cette inéquation est :$y+2k\pi \leq x\leq 2\pi -y+2k\pi$

##### Stricte infériorité d'une première fonction cosinus par rapport à une deuxième fonction cosinus

L'inéquation stricte faisant intervenir deux fonctions cosinus est la suivante : $\cos(x)<\cos(y)$
L'ensemble-solution rendant cette inégalité stricte vraie est : $S=]y;2\pi -y[{\pmod {2\pi }}$
L'intervalle auquel $x$ appartient et qui vérifie cette inéquation stricte est :$y+2k\pi <x<2\pi -y+2k\pi$

##### Supériorité ou égalité de deux fonctions cosinus

L'inéquation faisant intervenir deux fonctions cosinus est la suivante : $\cos(x)\geq \cos(y)$
L'ensemble-solution rendant cette inégalité vraie est : $S=[-y;y]{\pmod {2\pi }}$
L'intervalle auquel $x$ appartient et qui vérifie cette inéquation est :$-y+2k\pi \leq x\leq y+2k\pi$

##### Stricte supériorité d'une première fonction cosinus sur une deuxième fonction cosinus

L'inéquation stricte faisant intervenir deux fonctions cosinus est la suivante : $\cos(x)>\cos(y)$
L'ensemble-solution rendant cette inégalité stricte vraie est : $S=]-y;y[{\pmod {2\pi }}$
L'intervalle auquel $x$ appartient et qui vérifie cette inéquation stricte est :$-y+2k\pi <x<y+2k\pi$

#### Fonctions tangente

Soient $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\backslash \{(2k+1){\pi \over 2}\},k\in \mathbb {Z}$

##### Infériorité ou égalité de deux fonctions tangente

L'inéquation faisant intervenir deux fonctions tangente est la suivante : $\tan(x)\leq \tan(y)$
L'ensemble-solution rendant cette inégalité vraie est : $S=]{-\pi \over 2};y]{\pmod {\pi }}$
L'intervalle auquel $x$ appartient et qui vérifie cette inéquation est : ${(2k-1)\pi \over 2}<x\leq k\pi +y$

##### Stricte infériorité d'une première fonction tangente par rapport à une deuxième fonction tangente

L'inéquation stricte faisant intervenir deux fonctions tangente est la suivante : $\tan(x)<\tan(y)$
L'ensemble-solution rendant cette inégalité stricte vraie est : $S=]{-\pi \over 2};y[{\pmod {\pi }}$
L'intervalle auquel $x$ appartient et qui vérifie cette inéquation stricte est : ${(2k-1)\pi \over 2}<x<k\pi +y$

##### Supériorité ou égalité de deux fonctions tangente

L'inéquation faisant intervenir deux fonctions tangente est la suivante : $\tan(x)\geq \tan(y)$
L'ensemble-solution rendant cette inégalité vraie est : $S=[y;{\pi \over 2}[{\pmod {\pi }}$
L'intervalle auquel $x$ appartient et qui vérifie cette inéquation est : $k\pi +y\leq x<{(2k+1)\pi \over 2}$

##### Stricte supériorité d'une première fonction tangente sur une deuxième fonction tangente

L'inéquation stricte faisant intervenir deux fonctions tangente est la suivante : $\tan(x)>\tan(y)$
L'ensemble-solution rendant cette inégalité stricte vraie est : $S=]y;{\pi \over 2}[{\pmod {\pi }}$
L'intervalle auquel $x$ appartient et qui vérifie cette inéquation stricte est : $k\pi +y<x<{(2k+1)\pi \over 2}$
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