# Calcul avec les nombres complexes/Module et argument
## Module d’un nombre complexe
### Définition

$\left|z\right|$
De plus, pour $z=x+iy$, on a :
$\left|z\right|={\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}}={\sqrt {z{\bar {z}}}}$
$|z|={\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}}$
$z\times {\bar {z}}=(x+iy)(x-iy)={x}^{2}+{y}^{2}$
$\left|z\right|={\sqrt {z{\bar {z}}}}$

### Distance entre deux points

$z_{A}$
$z_{B}$
$AB=\|{\overrightarrow {AB}}\|=\left|z_{B}-z_{A}\right|={\sqrt {{(x_{B}-x_{A})}^{2}+{(y_{B}-y_{A})}^{2}}}$
$z_{A}=x_{A}+iy_{A}$
$z_{B}=x_{B}+iy_{B}$
$AB=\|{\overrightarrow {AB}}\|=\left|z_{B}-z_{A}\right|$
$z_{B}-z_{A}=(x_{B}-x_{A})+i(y_{B}-y_{A})$
$AB={\sqrt {{(x_{B}-x_{A})}^{2}+{(y_{B}-y_{A})}^{2}}}$
$AB$
$z_{A}=5-i$
$z_{B}=3+4i$
$AB=\left|z_{B}-z_{A}\right|=\left|(3+4i)-(5-i)\right|=\left|-2+5i\right|={\sqrt {{(-2)}^{2}+{5}^{2}}}={\sqrt {4+25}}={\sqrt {29}}$
${\sqrt {29}}$

## Argument d’un nombre complexe non nul

$z=x+iy$
* Une mesure en radians $\theta$ de l'angle $({\vec {u}},{\overrightarrow {OM}})$ est appelé argument de z.
* On le note souvent $arg(z)$.
* L'argument est défini à $2\pi$ près.
* On appelle argument principal celui qui est compris dans $]-\pi ;\pi ]$.

## Écriture trigonométrique
### Cosinus et sinus

Soit $z=x+iy$ un nombre complexe non nul, son module $|z|$, d'argument principal $\theta$, et M le point d'affixe z.
On considère le triangle dans le plan complexe, formé par l'origine, M et son projeté orthogonal sur l’axe des réels.
Les calculs respectivement du cosinus et du sinus d’une mesure de l'angle orienté $({\vec {u}},{\overrightarrow {OM}})$ donnent les deux propriétés suivantes :
$\cos(\theta )={\frac {x}{|z|}}$
$\sin(\theta )={\frac {y}{|z|}}$

### Forme trigonométrique

On sait que : $\cos(\theta )={\frac {x}{|z|}}\Leftrightarrow x=|z|\cos(\theta )$ et $\sin(\theta )={\frac {y}{|z|}}\Leftrightarrow y=|z|\sin(\theta )$.
Et on a alors : $z=x+iy=|z|\cos(\theta )+i|z|\sin(\theta )=|z|(\cos(\theta )+i\sin(\theta ))$.
$z=|z|(\cos(\theta )+i\sin(\theta ))$ de ce nombre pour n’importe quelle mesure de l'angle $\theta$.
Dans cette écriture on retrouve directement le module et un argument (la plupart du temps l'argument principal).
Remarque importante : la forme trigonométrique d’un complexe est liée à ses coordonnées polaires $[r,\theta ]$, tandis que la forme algébrique est liée à ses coordonnées cartésiennes $(x,y)$.
$r$
$z=r(\cos(\theta )+i\sin(\theta ))$

### Changer d'écriture

Soit z un nombre complexe non nul, sous la forme $z=x+iy$, de module $|z|$ et d'argument principal $\theta$.
Les propriétés énoncées lors des calculs du cosinus et du sinus permettent de passer d’une écriture à une autre :
${\begin{cases}\cos(\theta )=x~/~|z|\\\sin(\theta )=y~/~|z|\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}x=|z|\cos(\theta )\\y=|z|\sin(\theta )\end{cases}}$
$|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$
$z=1-i$
$z={\sqrt {2}}\left(\cos \left(-{\frac {\pi }{4}}\right)+i\sin \left(-{\frac {\pi }{4}}\right)\right)$.
${\sqrt {2}}$

### Égalité de deux nombres complexes

$z=z'\Leftrightarrow {\begin{cases}|z|=|z'|\\arg(z)=arg(z')[2\pi ]\end{cases}}$

## Propriétés du module

* Opérations sur les modules :
** $\left|z_{1}\times z_{2}\right|=\left|z_{1}\right|\times \left|z_{2}\right|$
** $\left|{\frac {z_{1}}{z_{2}}}\right|={\frac {\left|z_{1}\right|}{\left|z_{2}\right|}}$
** $\left|z_{1}+z_{2}\right|\leq \left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|$ (plus connue sous le nom d'inégalité triangulaire)
* Module de l'opposé, du conjugué :
** $\left|-z\right|=\left|z\right|$
** $\left|{\bar {z}}\right|=\left|z\right|$

## Propriétés algébriques de l'argument
### Produit

$arg(zz')=arg(z)+arg(z')[2\pi ]$
$z_{1}$
$z=r(\cos(\theta )+i\sin(\theta ))$
* $z\times 1=z$ donc l'effet de la multiplication par $z_{1}$ sur le premier vecteur de base ${\overrightarrow {u}}$ est une rotation d'angle $\theta$.
* $z_{1}\times i=r(-\sin(\theta )+i\cos(\theta ))=r\left(\cos(\theta +{\frac {\pi }{2}})+i\sin(\theta +{\frac {\pi }{2}})\right)$
    donc l'effet de la multiplication par $z_{1}$ sur le second vecteur de base ${\overrightarrow {v}}$ est également une rotation d'angle $\theta$
* Soit vecteur quelconque ${\overrightarrow {OM}}=a{\overrightarrow {u}}+b{\overrightarrow {v}}$.
    La multiplication par $z_{1}$ étant distributive, son effet sur le vecteur ${\overrightarrow {OM}}$ est encore une rotation d'angle $\theta$.
Soit un nombre complexe $z_{2}=a+i.b$ avec $arg(z_{2})=\theta _{2}$
$arg(z_{1}\times z_{2})$
$\theta _{1}+\theta _{2}$
$z_{1}=\rho _{1}\times (\cos {(\theta _{1})}+i\sin {(\theta _{1})})$
$z_{2}=\rho _{2}\times (\cos {(\theta _{2})}+i\sin {(\theta _{2})})$
$(\rho _{1},\rho _{2})\in {\mathbb {R} }^{2},(\theta _{1},\theta _{2})\in {[0;\pi ]}^{2},$
$(k_{1},k_{2})=0$
${\begin{matrix}z_{3}&=&z_{1}\times z_{2}&=&\rho _{1}\times (\cos {(\theta _{1})}+i\sin {(\theta _{1})})\times \rho _{2}\times (\cos {(\theta _{2})}+i\sin {(\theta _{2})})\\&&&=&\rho _{1}\rho _{2}\times [(\cos {(\theta _{1})}\cos {(\theta _{2})}-\sin {(\theta _{1})}\sin {(\theta _{2})})+i(\sin {(\theta _{1})}\cos {(\theta _{2})}+\cos {(\theta _{1})}\sin {(\theta _{2})})]\\&&&=&\rho _{1}\rho _{2}\times [\cos {(\theta _{1}+\theta _{2})}+i\sin {(\theta _{1}+\theta _{2})}]\\&=&\rho _{3}[\cos {(\theta _{3})}+i\sin {(\theta _{3})}]\end{matrix}}$ Nous passons de la deuxième à la troisième ligne en utilisant les formules de trigonométrie ce qui nous donne:
* $\cos {(a+b)}=\cos {a}\times \cos {b}-\sin {a}\times \sin {b}$
* $\sin {(a+b)}=\sin {a}\times \cos {b}+\cos {a}\times \sin {b}$
$z_{3}=\rho _{3}[\cos {(\theta _{3})}+i\sin {(\theta _{3})}]$
$arg(-z)=\pi +arg(z)[2\pi ]$

### Inverse et division

$arg\left({\frac {1}{z}}\right)=-arg(z)[2\pi ]$
$arg\left({\frac {z}{z'}}\right)=arg(z)-arg(z')[2\pi ]$
$z'\neq 0$

### Puissance

$arg({z}^{n})=n\times arg(z)[2\pi ]$
$n\in \mathbb {Z}$

### Conjugués

$arg({\bar {z}})=-arg(z)[2\pi ]$.
$arg(z{\bar {z}})=arg(z)+arg({\bar {z}})=arg(z)-arg(z)=0[2\pi ]$.

## Calcul de l'argument
### Calcul avec le cosinus et le sinus

Connaissant la partie réelle et imaginaire d’un nombre complexe, on peut calculer son $\cos(\theta )$ et son $\sin(\theta )$.
$z=x+iy$
$\theta$
$\cos(\theta )={\frac {x}{|z|}}={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$
$\sin(\theta )={\frac {y}{|z|}}={\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$
Il faut ensuite en déduire un angle $\theta$ en « reconnaissant » les valeurs usuelles de cosinus et sinus.
$z=1-i$
$r={\sqrt {2}}$
Donc :
$\cos(\theta )={\frac {x}{r}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}$ et $\sin(\theta )={\frac {y}{r}}=-{\frac {\sqrt {2}}{2}}$
$\theta =-{\frac {\pi }{4}}$
$\theta =\arccos \left({\frac {x}{|z|}}\right)=\arcsin \left({\frac {y}{|z|}}\right)$

### Calcul avec la tangente

$z=x+iy$
On a si et seulement si z n’est pas un imaginaire pur, c'est-à-dire $x\neq 0$ : $\tan(\theta )={\frac {y}{x}}$ Ce qui implique que :
$\theta \equiv \arctan \left({\frac {y}{x}}\right)\mod \pi$
L'argument est alors déterminé à $\pi$ près, il faut décider entre $\theta$ et $\theta +\pi$ en utilisant le signe de $x$ (généralement, on cherche la mesure principale, c’est celle qui est dans ]-$\pi ;\pi$] ):
* si $x>0$ alors $\theta$ est dans $\left]-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]$
* si $x=0$ alors si $y>0$ alors $\theta ={\frac {\pi }{2}}$ et si $y<0$ alors $\theta =-{\frac {\pi }{2}}$
* si $x<0$ alors $\theta$ est dans $\left]-\pi ;{\frac {-\pi }{2}}\right]\cup \left]{\frac {\pi }{2}};\pi \right]$
Remarque : Une rapide représentation des complexes $1$, $-1$, $i$ et $-i$ sur le cercle trigonométrique permet de synthétiser les règles précédentes. Remarque : Les calculatrices renvoient généralement l'angle dans $\left]-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]$ mais ce résultat doit être révisé suivant la règle ci-dessus. Notons qu'en électricité, l'argument est :