# Équation différentielle/Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants
## Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants avec second membre

Une équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants et second membre variable est de la forme :
$(E)$ : $\ af''+bf'+cf=d(t)$
On suppose que $a$ n’est pas nul et que $d$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
Remarques :
* Les physiciens disposent de leur propre formalisme pour ces équations typiques décrivant des phénomènes oscillants. Voir pour cela : Équation différentielle linéaire de la faculté de physique.
* Néanmoins on utilisera la lettre $t$ comme variable dans ce chapitre.

### Exemples

1. $y''+y'-2y=t-1$ 2. $y''+4y=\sin(t)$

## Équation homogène associée

L’équation homogène associée (équation sans second membre) à $(E)$ est :
$(E_{0})$ : $\ af''+bf'+cf=0$

## Espace vectoriel

L'ensemble des solutions de $(E_{0})$ est un espace vectoriel de dimension 2.
Cela signifie qu’il suffit de déterminer 2 solutions linéairement indépendantes pour les avoir toutes par combinaison linéaire.

### Équation caractéristique

L'équation $ar^{2}+br+c=0$ est l'équation caractéristique de $(E_{0})$. Elle est notée $(E_{c})$

### Exemples

Donner les équations caractéristiques $(E_{c})$ des équations différentielles homogènes suivantes :
* $(E_{1}):y''+y'-2y=0$
* $(E_{2}):y''+4y'=0$
* $(E_{c_{1}}):r^{2}+r-2=0$
Dont les solutions sont : $r=-2$ et $r=1$
* $(E_{c_{2}}):r^{2}+4r=0$
Dont les solutions sont : $r=-4$ et $r=0$

## Résolution

On suppose ici que les coefficients $a,b,c$ sont réels, et l'on cherche les fonctions qui sont solutions de $(E_{0})$. Pour cela, il faut exprimer l'équation caractéristique en fonction des coefficients $a,b,c$ et effectuer le calcul suivant : $\Delta =b^{2}-4ac$
La solution générale de $(E_{0})$ s'écrit différemment selon le signe du discriminant $\Delta$ :
* Si $\Delta >0$, les solutions $r_{1}$ et $r_{2}$ de $(E_{c})$ sont des nombres réels et la solution générale de $(E_{0})$ est :
    $f_{h}=A\operatorname {e} ^{r_{1}t}+B\operatorname {e} ^{r_{2}t},\quad A,B\in \mathbb {R}$
En prenant en compte les coefficients $a,b,c$ et le discriminant $\Delta$, la solution générale de $(E_{0})$ s'écrit :
$f_{h}=e^{{-b \over 2a}t}\left(Ae^{{{\sqrt {\Delta }} \over 2a}t}+Be^{-{{\sqrt {\Delta }} \over 2a}t}\right)$
* Si $\Delta =0$, l'unique solution $r$ de $(E_{c})$ est un nombre réel et la solution générale de $(E_{0})$ est :
    $f_{h}=(At+B)\operatorname {e} ^{rt},\quad A,B\in \mathbb {R}$
En prenant en compte les coefficients $a,b,c$ et le discriminant $\Delta$, la solution générale de $(E_{0})$ s'écrit :
$f_{h}=\left(At+B\right)e^{{-b \over 2a}t}$
* Si $\Delta <0$, les solutions $c_{1}$ et $c_{2}$ de $(E_{c})$ sont des nombres complexes conjugués non réels de la forme $\alpha +\beta \mathrm {i}$ et $\alpha -\beta \mathrm {i}$ et la solution générale de $(E_{0})$ est :
    $f_{h}=\left(C\cos(\beta t)+D\sin(\beta t)\right)\operatorname {e} ^{\alpha t},\quad C,D\in \mathbb {R}$
En prenant en compte les coefficients $a,b,c$ et le discriminant $\Delta$, la solution générale de $(E_{0})$ s'écrit :
$f_{h}=\left(D\sin \left({{\sqrt {\left\vert \Delta \right\vert }} \over 2a}t\right)+C\cos \left({{\sqrt {\left\vert \Delta \right\vert }} \over 2a}t\right)\right)e^{{-b \over 2a}t}$

## Équation avec second membre

L'ensemble des solutions de l'équation complète $(E)$ s'obtient en ajoutant une solution particulière $(E_{p})$ de cette même équation à la solution générale de l'équation sans second membre $(E_{0})$.
Autrement dit :
$S_{(E)}=E_{0}+E_{p}$
Avec :
* $E_{0}$ : solution générale de l'équation sans second membre
* $E_{p}$ : solution particulière de l'équation complète
Remarque : Le problème revient à trouver une solution particulière de $(E)$, ce qui n’est pas toujours évident.

### Cas particulier où $d(t)=\operatorname {e} ^{\lambda t}P(t)$

Dans le cas où :
$(E):af''+bf'+cf=\operatorname {e} ^{\lambda t}P(t)$
où $P$ est un polynôme, il existe une solution particulière de la forme :
$f_{p}=\operatorname {e} ^{\lambda t}Q(t)$
où $Q$ est un polynôme.
* si $\lambda$ n’est pas solution de l'équation caractéristique, le degré de $Q$ est le même que celui de $P$. Dans ce cas : $\deg(Q)=\deg(P)$
* si $\lambda$ est solution simple de l'équation caractéristique, le degré de $Q$ est celui de $P$ auquel on ajoute 1. Dans ce cas : $\deg(Q)=\deg(P)+1$
* si $\lambda$ est solution double de l'équation caractéristique, le degré de $Q$ est celui de $P$ auquel on ajoute 2. Dans ce cas : $\deg(Q)=\deg(P)+2$

#### Remarque

Ce cas particulier inclut, pour $\lambda =0$, la présence d'un second membre simplement polynomial.
Ce cas particulier inclut également les fonctions trigonométriques.
En effet, $\sin(t)=\operatorname {Im} \left(\operatorname {e} ^{\mathrm {i} t}\right)$ et $\cos(t)=\operatorname {Re} \left(\operatorname {e} ^{\mathrm {i} t}\right)$.
Pour résoudre une équation faisant intervenir ces fonctions, il faut donc passer par les exponentielles complexes.

#### Exemple

    Déterminer une solution générale de $(E)$ :
    $y''+3y'+2y=3t+7$
L'équation est sous forme normale.
* Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : $y''+3y'+2y=0$
    Équation caractéristique :
$r^{2}+3r+2=0\Leftrightarrow (r+1)(r+2)=0$ (en voyant que -1 est solution évidente par exemple)
$\Leftrightarrow r=-1$ ou $r=-2$
    Donc $y=\lambda \operatorname {e} ^{-t}+\mu \operatorname {e} ^{-2t},\;(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$
* Recherche d'une solution particulière de l'équation complète : $y''+3y'+2y=3t+7$
    On cherche une solution particulière sous la forme $y_{1}=at+b$
$y_{1}'=a$ et $y_{1}''=0$
    Donc $y_{1}''+3y_{1}'+2y_{1}=3t+7\Leftrightarrow 3a+2at+2b=3t+7$
$\Leftrightarrow {\begin{cases}2a=3\\3a+2b=7\end{cases}}$
$\Leftrightarrow {\begin{cases}a={\frac {3}{2}}\\b={\frac {5}{4}}.\end{cases}}$
    Une solution particulière est donc $y_{1}={\frac {3}{2}}t+{\frac {5}{4}}$

## La condition initiale

* L'ensemble des solutions d'une E.D.L du second ordre est un espace vectoriel de dimension 2 ; le fait de fixer deux valeurs suffit à la définir parfaitement.
* Le sens physique de cette remarque est très intuitif :
    - un système physique régi par une équation différentielle du second ordre voit son état déterminé par une seule fonction $f$
    - pour déterminer cette fonction, il faut donner une valeur fixe à $f(0)$ et une autre valeur fixe à $f'(0)$.
C'est ce qu'on appelle les conditions initiales.
Soit une valeur de la variable $x_{0}$, deux valeurs $y_{0}$ et $z_{0}$ étant données.
Il existe une unique solution d'une équation différentielle linéaire d'ordre 2 vérifiant $f(x_{0})=y_{0}$ et $f'(x_{0})=z_{0}$

### Exemple

Déterminer la solution unique de $(E)$ vérifiant les conditions initiales données :
$(E):y''+4y'-5y=10$
$y(0)=4$
$y'(0)=0$
L'équation est sous forme normale.
* Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : $y''+4y'-5y=0$
Équation caractéristique :
$r^{2}+4r-5=0\Leftrightarrow (r-1)(r+5)=0$ (en voyant que 1 est solution évidente par exemple)
$\Leftrightarrow r=1$ ou $r=-5$
    Donc $y=\lambda e^{t}+\mu e^{-5t},(\lambda ;\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$
* Recherche d'une solution particulière de l'équation complète :
$y''+4y'-5y=10$
$y=-{\frac {10}{5}}$ est solution constante évidente.
Donc $y$ est de la forme :
$y=\lambda e^{t}+\mu e^{-5t}-2\,,\,(\lambda ;\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$
* Détermination de $\lambda$ et de $\mu$ :
${\begin{cases}f(0)=4\\f'(0)=0\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}\lambda +\mu -2=4\\\lambda -5\mu =0\end{cases}}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases}\mu =1\\\lambda =5\end{cases}}$
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