# Algèbre linéaire/Devoir/Décomposition polaire d'une matrice complexe

Dans les questions 3 et 5, $\mathrm {j}$ désigne le nombre complexe $-{\frac {1}{2}}+{\frac {\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}$.
1° Soient $K$ un corps, $E$ un $K$-espace vectoriel (de dimension non nécessairement finie), $u$ et $v$ deux endomorphismes diagonalisables de $E$, et $P(X)\in K[X]$ un polynôme.
   * Montrer que si la fonction polynomiale associée à $P$ est injective sur le spectre de $u$, alors $P(u)$ a mêmes sous-espaces propres que $u$, avec comme valeurs propres les images par $P$ de celles de $u$.
   * En déduire que si $P$ est aussi injective sur le spectre de $v$ et si $P(u)=P(v)$, alors $u=v$.
2° Soit H et H' deux matrices hermitiennes positives de M$_n$(ℂ). Déduire de la question 1 que :
   * toute base de ℂ$^n$ formée de vecteurs propres de H$^2$ est une base de vecteurs propres de H ;
   * si H$^2$ = H'$^2$, alors H = H'.
3° Soit :
    $M={\begin{pmatrix}2&2\mathrm {j} &0\\2\mathrm {j} ^{2}&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$.
    Déterminer une matrice hermitienne positive H ∈ M$_3$(ℂ) telle que H$^2$ = M.
4° Soit A une matrice de M$_n$(ℂ). Montrer que si :
    $^{t}{\overline {A}}A=D^{2}$
    avec D matrice diagonale positive dans M$_n$(ℝ),
    alors il existe U unitaire dans M$_n$(ℂ) telle que A = U.D.
5° Soit A dans M$_n$(ℂ). En déduire qu’il existe une matrice hermitienne positive unique H et une matrice unitaire U de M$_n$(ℂ) telles que A = U.H.
    U est-elle unique ?
    Déterminer U et H dans le cas particulier où :
    $A={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}-\mathrm {j} &-\mathrm {j} ^{2}&\mathrm {j} \\-1&-\mathrm {j} &1\\2\mathrm {j} ^{2}&2&\mathrm {j} ^{2}\end{pmatrix}}$
    et dans le cas où :
    $A={\begin{pmatrix}1&2&1\\-2&-1&-1\\-1&-1&-2\end{pmatrix}}$.
1° Notons $S$ le spectre (non nécessairement fini) de $u$. Par hypothèse,
$E=\bigoplus _{\lambda \in S}V_{\lambda }$, où $V_{\lambda }$ est le sous-espace propre de $u$ relatif à $\lambda$.
Un vecteur $x\neq 0$ de $E$ se décompose suivant cette somme directe sous la forme
$x=\sum _{\lambda \in S}x_{\lambda }$, avec seulement un nombre fini ($\geq 1$) de composantes $x_{\lambda }$ non nulles.
* Supposons que $P$ est injective sur $S$.
    $x$ est propre pour $P(u)$ pour une valeur propre $\mu$ si et seulement si
    $\sum _{\lambda \in S}P(\lambda )x_{\lambda }=\sum _{\lambda \in S}\mu x_{\lambda }$, c'est-à-dire (par unicité de la décomposition)
    $\forall \lambda \in S\quad (x_{\lambda }=0{\text{ ou }}P(\lambda )=\mu )$
    ou encore (puisque les $x_{\lambda }$ sont non tous nuls et que $P$ est injective sur $S$) :
    $\exists \lambda \in S\quad (\mu =P(\lambda ){\text{ et }}x\in V_{\lambda })$.
* Supposons que $P$ est aussi injective sur le spectre de $v$, et que $P(u)=P(v)$.
    D'après le premier point, $u$ et $v$ ont alors mêmes sous-espaces propres, avec mêmes valeurs propres associées, donc $u=v$.
2° Simple application à $E=\mathbb {C} ^{n}$, $S\subset \mathbb {R} _{+}$ et $P(X)=X^{2}$.
3° (Il existe au plus une telle matrice H d'après la question 2, et son existence prouvera que M est hermitienne positive.)
Cherchons les valeurs propres de M :
${\begin{vmatrix}2-\lambda &2j&0\\2j^{2}&2-\lambda &0\\0&0&1-\lambda \end{vmatrix}}=(1-\lambda )\left[(2-\lambda )^{2}-4\right]=(1-\lambda )\lambda (\lambda -4)$
Déterminons les sous-espaces propres associés :
V(0) = Ker(M) = {(x,y,z) | 2x + 2jy = 0 et z = 0}.
On trouve que V(0) est engendré par le vecteur suivant, de norme 1 (pour le produit hermitien canonique sur ℂ$^3$) :
$\left({\frac {\mathrm {j} }{\sqrt {2}}},{\frac {-1}{\sqrt {2}}},0\right)$.
V(1) = Ker(M – I) = {(x,y,z) | x + 2jy = 0 et 2j$^2$x + y=0}. On trouve que V(1) est engendré par le vecteur de norme 1 suivant :
$\left(0,0,1\right)$.
V(4) = Ker(M – 4I) = {(x,y,z) | x – jy = 0 et z = 0}. On trouve que V(4) est engendré par le vecteur de norme 1 suivant :
$\left({\frac {\mathrm {j} }{\sqrt {2}}},{\frac {1}{\sqrt {2}}},0\right)$.
On a donc :
$M=PDP^{-1}{\text{ avec }}P={\frac {\sqrt {2}}{2}}{\begin{pmatrix}\mathrm {j} &0&\mathrm {j} \\-1&0&1\\0&{\sqrt {2}}&0\end{pmatrix}}{\text{ et }}D={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&4\end{pmatrix}}$.
Calculons $P^{-1}$. Comme M est hermitienne, les trois colonnes de P sont non seulement de norme 1 mais orthogonales, si bien que P est unitaire, donc :
$P^{-1}=^{t}{\overline {P}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}{\begin{pmatrix}\mathrm {j} ^{2}&-1&0\\0&0&{\sqrt {2}}\\\mathrm {j} ^{2}&1&0\end{pmatrix}}$.
La matrice diagonale $D$ est le carré de la matrice hermitienne positive
$E:={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{pmatrix}}$
et M = PE$^2$P$^{-1}$ = (PEP$^{-1}$)(PEP$^{-1}$) = H$^2$ avec H := PEP$^{-1}$ qui est, comme E, hermitienne positive.
Après calcul, on trouve :
$H={\begin{pmatrix}1&\mathrm {j} &0\\\mathrm {j} ^{2}&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$
4° Notons d$_1$, d$_2$, ... , d$_n$ les éléments diagonaux de D (réels positifs ou nuls) et A$_1$, A$_2$, ... , A$_n$ les matrices colonnes de A.
$^{t}{\overline {A}}A=D^{2}$ signifie que :
$\forall k,\forall h\in [\![0;n]\!]\qquad {\begin{cases}^{t}{\overline {A_{h}}}A_{k}=0\\^{t}A_{h}A_{h}=d_{h}^{2}\end{cases}}$
On peut donc normaliser chaque vecteur colonne A$_h$ de A correspondant à une valeur d$_h$ ≠ 0 et poser :
$U_{h}={\frac {1}{d_{h}}}A_{h}$
et ensuite compléter en une base orthonormale (U$_1$,...U$_n$) de ℂ$^n$.
La matrice U, matrice de passage de la base canonique à U$_1$,...U$_n$, est évidemment unitaire, et A$_h$ = d$_h$U$_h$ pour tout indice h, d'où A = UD.
5° Posons $M=^{t}{\overline {A}}A$.
M est hermitienne positive car :
$^{t}{\overline {X}}MX=^{t}{\overline {X}}^{t}{\overline {A}}AX=^{t}({\overline {AX}})AX\geqslant 0$
Il existe donc une matrice unitaire W et une matrice diagonale D positive telles que M = WD$^2$W$^{-1}$ d'où, en posant H = WDW$^{-1}$ :
$M=(WDW^{-1})^{2}=H^{2}$
et H est hermitienne positive et c’est la seule telle H$^2$ = M d’après la question 2.
De plus :
$D^{2}=W^{-1}MW=^{t}{\overline {W}}^{t}{\overline {A}}AW=^{t}({\overline {AW}})AW$
D'où d’après la question 4, AW = VD avec V unitaire, si bien que
$A=VDW^{-1}=VW^{-1}WDW^{-1}=UH$
avec $U:=VW^{-1}$ unitaire.

## Premier cas

    $A={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}-\mathrm {j} &-\mathrm {j} ^{2}&\mathrm {j} \\-1&-\mathrm {j} &1\\2\mathrm {j} ^{2}&2&\mathrm {j} ^{2}\end{pmatrix}}\qquad ;\qquad ^{t}{\overline {A}}A=M={\begin{pmatrix}2&2j&0\\2\mathrm {j} ^{2}&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$
    et M = H$^2$ avec :
    $H={\begin{pmatrix}1&\mathrm {j} &0\\\mathrm {j} ^{2}&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$
    d'après la question 3 et A = U.H avec par exemple :
    $U={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}1&1&\mathrm {j} \\\mathrm {j} &1&1\\\mathrm {j} ^{2}&1&\mathrm {j} ^{2}\end{pmatrix}}$.

## Second cas

    $A={\begin{pmatrix}1&2&1\\-2&-1&-1\\-1&-1&-2\end{pmatrix}}\qquad ;\qquad ^{t}{\overline {A}}A={\begin{pmatrix}6&5&5\\5&6&5\\5&5&6\end{pmatrix}}$
    Cette dernière matrice est diagonalisable et l’on a :
    $W^{-1}\left(^{t}{\overline {A}}A\right)W=D^{2}{\text{ avec }}D^{2}={\begin{pmatrix}16&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}^{2}{\text{ et }}W={\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {3}}{3}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {6}}{6}}\\{\frac {\sqrt {3}}{3}}&-{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {6}}{6}}\\{\frac {\sqrt {3}}{3}}&0&-{\frac {\sqrt {6}}{3}}\end{pmatrix}}{\text{ et }}W^{-1}=^{t}W$
    D'où :
    $H=WDW^{-1}={\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}}$.
    U est ici unique puisque A est inversible donc :
    $U=AH^{-1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}$.