# Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Théorème de Fourier
## Énoncé du théorème de Fourier

Toute fonction périodique$\;s(t)$, de fréquence $\;f$, est développable en série de Fourier, c.-à-d. qu'elle est la somme infinie de fonctions sinusoïdales, de fréquences $\;f_{n}=n\,f,\;n\in \mathbb {N}$, appelées « harmoniques de rang $\;n\;$», le rang $\;n=0\;$ correspondant à la composante continue et le rang $\;n=1\;$ à l'harmonique fondamental.

## Premier développement en série de Fourier

$\;s(t)=A_{0}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left\lbrace \left[A_{n}\,\cos(2\,\pi \,f_{n}\,t)+B_{n}\,\sin(2\,\pi \,f_{n}\,t)\right]\right\rbrace \;$
$\;f_{n}=n\,f,\;\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$
$\;A_{0}\;$
$\;A_{n}\,\cos(2\,\pi \,f_{n}\,t)\;$
$\;B_{n}\,\sin(2\,\pi \,f_{n}\,t)\;$
$\;n\;$
Le calcul des cœfficients est un complément, il n'est donc pas exigible :
Calcul de la composante continue : «$\;A_{0}=\left\langle s(t)\right\rangle ={\dfrac {1}{T}}\displaystyle \int _{0}^{T}s(t)\,dt\;$».
Calcul de la composante continue : Justification : le théorème de Fourier étant admis, on prend la moyenne du membre de gauche «$\;\left\langle s(t)\right\rangle \;$», laquelle est égale à Calcul de la composante continue : Justification : le théorème de Fourier étant admis, on prend la moyenne du membre de droite, c.-à-d. à la somme $\;{\big$infinie${\big )}\;$ des moyennes de chaque harmonique Calcul de la composante continue : Justification : le théorème de Fourier étant admis, on prend soit «$\;\left\langle A_{0}\right\rangle +\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left[\left\langle A_{n}\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle +\left\langle B_{n}\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \right]\;$» ; Calcul de la composante continue : Justification : le théorème de Fourier étant admis, or « toutes les moyennes des harmoniques de rang non nul étant nulles », il reste, à droite, Calcul de la composante continue : Justification : le théorème de Fourier étant admis, or « toutes la moyenne de l'harmonique de rang zéro $\;{\big$c.-à-d. de la composante continue${\big )}\;$ et Calcul de la composante continue : Justification : le théorème de Fourier étant admis, comme cet harmonique est une constante, il reste «$\;\left\langle A_{0}\right\rangle =A_{0}\;$» C.Q.F.D..
Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang${\underline {\;n\;}}$non nul : «$\;A_{n}=2\times \left\langle s(t)\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle ={\dfrac {2}{T}}\displaystyle \int _{0}^{T}s(t)\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\,dt\;$».
Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang$\color {transparent}{\;n\;}$non nul : Justification : le théorème de Fourier étant admis, « on multiplie les deux membres par $\;\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\;$» et Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang$\color {transparent}{\;n\;}$non nul : Justification : le théorème de Fourier étant admis, « on prend la moyenne du membre de gauche «$\;\left\langle s(t)\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \;$», égale à Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang$\color {transparent}{\;n\;}$non nul : Justification : le théorème de Fourier étant admis, « on prend la moyenne du membre de droite, c.-à-d., Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang$\color {transparent}{\;n\;}$non nul : Justification : le théorème de Fourier étant admis, « après distribution du facteur multiplicatif, égale à la somme $\;{\big$infinie${\big )}\;$ Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang$\color {transparent}{\;n\;}$non nul : Justification : le théorème de Fourier étant admis, « on prend des moyennes du produit de chaque harmonique par le facteur multiplicatif Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang$\color {transparent}{\;n\;}$non nul : Justification : «$\;\left\langle A_{0}\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle +\sum \limits _{k=1}^{\infty }\left[\left\langle A_{k}\,\cos(2\,\pi \,k\,f\,t)\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle +\left\langle B_{k}\,\sin(2\,\pi \,k\,f\,t)\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \right]\;$» ; Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang$\color {transparent}{\;n\;}$non nul : Justification : or toutes les moyennes étant nulles à l'exception de «$\;\left\langle A_{k}\,\cos(2\,\pi \,k\,f\,t)\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \;{\text{avec }}k=n\;$», Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang$\color {transparent}{\;n\;}$non nul : Justification : il reste donc, à droite, «$\;\left\langle A_{k}\,\cos(2\,\pi \,k\,f\,t)\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \;{\text{avec }}k=n\;$» c.-à-d. «$\;\left\langle A_{n}\,\cos ^{2}(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \;$» ou, Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang$\color {transparent}{\;n\;}$non nul : Justification : il reste donc, à droite, en linéarisant $\;\cos ^{2}(2\,\pi \,n\,f\,t)={\dfrac {1+\cos(4\,\pi \,n\,f\,t)}{2}}$, Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang$\color {transparent}{\;n\;}$non nul : Justification : il reste donc, à droite, la somme suivante «$\;\left\langle {\dfrac {A_{n}}{2}}\right\rangle +\left\langle {\dfrac {A_{n}}{2}}\,\cos(4\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \;$» soit, « la 2nde moyenne étant nulle », Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang$\color {transparent}{\;n\;}$non nul : Justification : il reste donc, à droite, la somme suivante «$\;\left\langle {\dfrac {A_{n}}{2}}\right\rangle ={\dfrac {A_{n}}{2}}\;$» C.Q.F.D.$^,$.
Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang${\underline {\;n\;}}$non nul : «$\;B_{n}=2\times \left\langle s(t)\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle ={\dfrac {2}{T}}\displaystyle \int _{0}^{T}s(t)\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\,dt\;$».
Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang$\color {transparent}{\;n\;}$non nul : Justification : le théorème de Fourier étant admis, « on multiplie les deux membres par $\;\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\;$» et Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang$\color {transparent}{\;n\;}$non nul : Justification : le théorème de Fourier étant admis, « on prend la moyenne du membre de gauche «$\;\left\langle s(t)\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \;$», égale à Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang$\color {transparent}{\;n\;}$non nul : Justification : le théorème de Fourier étant admis, « on prend la moyenne du membre de droite, c.-à-d., Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang$\color {transparent}{\;n\;}$non nul : Justification : le théorème de Fourier étant admis, « après distribution du facteur multiplicatif, égale à la somme $\;{\big$infinie${\big )}\;$ Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang$\color {transparent}{\;n\;}$non nul : Justification : le théorème de Fourier étant admis, « on prend des moyennes du produit de chaque harmonique par le facteur multiplicatif Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang$\color {transparent}{\;n\;}$non nul : Justification : «$\;\left\langle A_{0}\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle +\sum \limits _{k=1}^{\infty }\left[\left\langle A_{k}\,\cos(2\,\pi \,k\,f\,t)\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle +\left\langle B_{k}\,\sin(2\,\pi \,k\,f\,t)\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \right]\;$» ; Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang$\color {transparent}{\;n\;}$non nul : Justification : or toutes les moyennes étant nulles à l'exception de «$\;\left\langle B_{k}\,\sin(2\,\pi \,k\,f\,t)\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \;{\text{avec }}k=n\;$», Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang$\color {transparent}{\;n\;}$non nul : Justification : il reste donc, à droite, «$\;\left\langle B_{k}\,\sin(2\,\pi \,k\,f\,t)\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \;{\text{avec }}k=n\;$» c.-à-d. «$\;\left\langle B_{n}\,\sin ^{2}(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \;$» ou, Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang$\color {transparent}{\;n\;}$non nul : Justification : il reste donc, à droite, en linéarisant $\;\sin ^{2}(2\,\pi \,n\,f\,t)={\dfrac {1-\cos(4\,\pi \,n\,f\,t)}{2}}$, Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang$\color {transparent}{\;n\;}$non nul : Justification : il reste donc, à droite, la somme suivante «$\;\left\langle {\dfrac {B_{n}}{2}}\right\rangle -\left\langle {\dfrac {B_{n}}{2}}\,\cos(4\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \;$» soit, « la 2nde moyenne étant nulle », Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang$\color {transparent}{\;n\;}$non nul : Justification : il reste donc, à droite, la somme suivante «$\;\left\langle {\dfrac {B_{n}}{2}}\right\rangle ={\dfrac {B_{n}}{2}}\;$» C.Q.F.D.$^,$.

## Deuxième développement en série de Fourier

$\;s(t)=C_{0}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left[C_{n}\,\cos(2\,\pi \,f_{n}\,t+\varphi _{n})\right]\;$
$\;f_{n}=n\,f,\;\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$
$\;C_{0}\;$
$\;C_{n}\,\cos(2\,\pi \,f_{n}\,t+\varphi _{n})\;$
$\;n\;$
L'avantage de ce 2ème développement en série de Fourier par rapport au 1er est qu'il permet d'obtenir directement l'« amplitude de l'harmonique de rang $\;n\;$ par $\;\vert C_{n}\vert \;$» alors qu'avec le 1er il serait nécessaire de « calculer $\;{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}\;$ pour obtenir l'amplitude ».

## Passage du premier au second développement en série de Fourier

Les deux développements en série de Fourier précédemment introduits devant être identiques $\;\forall \;t\;$ on en déduit $\bullet \;$«$\;C_{0}=A_{0}\;$», Les deux développements en série de Fourier précédemment introduits devant être identiques $\;\color {transparent}{\forall \;t}\;$ on en déduit $\bullet \;$«$\;C_{n}\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t+\varphi _{n})=A_{n}\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)+B_{n}\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\quad \forall \;t\;$» ;
le but recherché dans ce paragraphe est de « déterminer $\;C_{n}\;$ et $\;\varphi _{n}\;$ connaissant $\;A_{n}\;$ et $\;B_{n}\;$» :
Établissement du lien permettant d'obtenir$\;(C_{n}\,,\,\varphi _{n})\;$à partir de$\;(A_{n}\,,\,B_{n})$ : partant de la somme d'harmoniques pair et impair de rang $\;n\;$ «$\;s_{n}(t)=A_{n}\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)+B_{n}\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\;$», Établissement du lien permettant d'obtenir$\;\color {transparent}{(C_{n}\,,\,\varphi _{n})}\;$à partir de$\;\color {transparent}{(A_{n}\,,\,B_{n})}$ : on divise $\;s_{n}(t)\;$ par $\;{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {s_{n}(t)}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}=\left[{\dfrac {A_{n}}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)+{\dfrac {B_{n}}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\right]$, Établissement du lien permettant d'obtenir$\color {transparent}{\;(C_{n}\,,\,\varphi _{n})\;}$à partir de$\color {transparent}{\;(A_{n}\,,\,B_{n})}$ : puis on définit «$\;\varphi _{n}\;$ par $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {A_{n}}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}=\cos(\varphi _{n})\\{\dfrac {B_{n}}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}=-\sin(\varphi _{n})\end{array}}\right.\;$», d'où la réécriture de $\;{\dfrac {s_{n}(t)}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}\;$ selon Établissement du lien permettant d'obtenir$\color {transparent}{\;(C_{n}\,,\,\varphi _{n})\;}$à partir de$\color {transparent}{\;(A_{n}\,,\,B_{n})}$ : «$\;{\dfrac {s_{n}(t)}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}=\left[\cos(\varphi _{n})\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)-\sin(\varphi _{n})\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\right]=\cos(2\,\pi \,n\,f\,t+\varphi _{n})\;$» soit finalement Établissement du lien permettant d'obtenir$\color {transparent}{\;(C_{n}\,,\,\varphi _{n})\;}$à partir de$\color {transparent}{\;(A_{n}\,,\,B_{n})}$ : «$\;s_{n}(t)=A_{n}\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)+B_{n}\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)={\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t+\varphi _{n})\;$» Établissement du lien permettant d'obtenir$\color {transparent}{\;(C_{n}\,,\,\varphi _{n})\;}$à partir de$\color {transparent}{\;(A_{n}\,,\,B_{n})}$ : «$\;\color {transparent}{s_{n}(t)=A_{n}\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)+B_{n}\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)}$ $=C_{n}\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t+\varphi _{n})\;$» d'où «$\;C_{n}={\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}\;$» et «$\;\varphi _{n}\;$ Établissement du lien permettant d'obtenir$\color {transparent}{\;(C_{n}\,,\,\varphi _{n})\;}$à partir de$\color {transparent}{\;(A_{n}\,,\,B_{n})}$ : «$\;\color {transparent}{s_{n}(t)=A_{n}\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)+B_{n}\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)=C_{n}\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t+\varphi _{n})}\;$» tel que $\;\left\lbrace \!{\begin{array}{c}\cos(\varphi _{n})={\dfrac {A_{n}}{C_{n}}}\\\sin(\varphi _{n})=-{\dfrac {B_{n}}{C_{n}}}\end{array}}\!\right\rbrace \;$».

## Troisième développement en série de Fourier

$\;s(t)=\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left[{\underline {C'}}_{p}\,\exp(i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right]\;$
$\;{\underline {C'}}_{0}={C'}_{0}\;\in \mathbb {R} \;$
$\;{\underline {C'}}_{p}\,\exp(i\,2\,\pi \,p\,f\,t)+{\underline {C'}}_{(-p)}\,\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t),\;\;p\in \mathbb {N} ^{*}\;$
$\;p\;(>0)\;$
Ce 3ème développement en série de Fourier est donné à titre de complément car ne sera pas utilisé par la suite $\;{\big$sauf avis contraire${\big )}$ ; Ce 3ème développement en série de Fourier il présente néanmoins quelques avantages dont le principal est de donner des formules symétriques pour calculer les cœfficients $\;{\underline {C'}}_{p}\;\;p\in \mathbb {Z} \;$ :
Calcul du cœfficient$\;{\underline {C'}}_{p}\;p\in \mathbb {Z}$ : «$\;{\underline {C'}}_{p}=\left\langle s(t)\,\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right\rangle ={\dfrac {1}{T}}\displaystyle \int _{0}^{T}s(t)\,\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\,dt\;$».
Calcul du cœfficient$\;\color {transparent}{{C'}_{p}\;p\in \mathbb {Z} }$ : Justification : le théorème de Fourier étant admis, on multiplie le 3ème développement en série de Fourier par «$\;\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\;$» et Calcul du cœfficient$\;\color {transparent}{{C'}_{p}\;p\in \mathbb {Z} }$ : Justification : le théorème de Fourier étant admis, on prend la moyenne du membre de gauche «$\;\left\langle s(t)\,\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right\rangle \;$», égale à Calcul du cœfficient$\;\color {transparent}{{C'}_{p}\;p\in \mathbb {Z} }$ : Justification : le théorème de Fourier étant admis, on prend la moyenne du membre de droite, c.-à-d. Calcul du cœfficient$\;\color {transparent}{{C'}_{p}\;p\in \mathbb {Z} }$ : Justification : le théorème de Fourier étant admis, on prend la somme $\;{\big$infinie${\big )}\;$ des moyennes de $\;{\underline {C'}}_{p'}\,\exp \!\left[i\,2\,\pi \,(p'-p)\,f\,t\right]\;$ Calcul du cœfficient$\;\color {transparent}{{C'}_{p}\;p\in \mathbb {Z} }$ : Justification : «$\;\left\langle s(t)\,\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right\rangle =\left\langle {\underline {C'}}_{p}\right\rangle +\sum \limits _{p'\,\neq \,p}^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left\langle {\underline {C'}}_{p'}\,\exp \!\left[i\,2\,\pi \,(p'-p)\,f\,t\right]\right\rangle \;$» ; Calcul du cœfficient $\;\color {transparent}{{C'}_{p}\;p\in \mathbb {Z} }$ : Justification : or « les moyennes pour $\;p'\;$ fixé $\;\neq p\;$ sont nulles » $\;{\Bigg \$« moyenne $\;=\left\langle {\underline {C'}}_{p'}\,\exp \!\left[i\,2\,\pi \,(p'-p)\,f\,t\right]\right\rangle ={\dfrac {1}{T}}\displaystyle \int _{0}^{T}{\underline {C'}}_{p'}\,\exp \!\left[i\,2\,\pi \,(p'-p)\,f\,t\right]dt$ Calcul du cœfficient $\;\color {transparent}{{C'}_{p}\;p\in \mathbb {Z} }$ : Justification : or « les moyennes pour $\;\color {transparent}{p'}\;$ fixé $\;\color {transparent}{\neq p}\;$ sont nulles » $\;\color {transparent}{\Bigg \$« moyenne $\;\color {transparent}{=\left\langle {\underline {C'}}_{p'}\,\exp \!\left[i\,2\,\pi \,(p'-p)\,f\,t\right]\right\rangle }$ $={\dfrac {{\underline {C'}}_{p'}}{T}}{\cancel {\left[{\dfrac {\exp \!\left[i\,2\,\pi \,(p'-p)\,f\,t\right]}{i\,2\,\pi \,(p'-p)\,f}}\right]_{0}^{T}}}=0\;$»${\Bigg \}$ Calcul du cœfficient $\;\color {transparent}{{C'}_{p}\;p\in \mathbb {Z} }$ : Justification : or « les moyennes pour $\;\color {transparent}{p'}\;$ fixé $\;\color {transparent}{\neq p}\;$ sont nulles » on en déduit «$\;\left\langle s(t)\,\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right\rangle =\left\langle {\underline {C'}}_{p}\right\rangle ={\underline {C'}}_{p}\;$» C.Q.F.D..

## Passage du second au troisième développement en série de Fourier

Les 2nd et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques $\;\forall \;t\;$ $\Rightarrow$ $\bullet \;$«$\;{C'}_{0}=C_{0}\;(=A_{0})\;$», Les 2nd et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques $\;\color {transparent}{\forall \;t}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\bullet \;$«$\;{\underline {C'}}_{p}\,\exp(i\,2\,\pi \,p\,f\,t)+{\underline {C'}}_{(-p)}\,\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)=C_{p}\,\cos(2\,\pi \,p\,f\,t+\varphi _{p})\quad \forall \;t\;$» ou, Les 2nd et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques $\;\color {transparent}{\forall \;t}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{\bullet }\;$« avec la formule d'Euler relative au cosinus, «$\;{\underline {C'}}_{p}\,\exp(i\,2\,\pi \,p\,f\,t)+{\underline {C'}}_{(-p)}\,\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)$ Les 2nd et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques $\;\color {transparent}{\forall \;t}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{\bullet }\;$« $={\dfrac {C_{p}}{2}}\,\exp \!\left[i\left(2\,\pi \,p\,f\,t+\varphi _{p}\right)\right]+{\dfrac {C_{p}}{2}}\,\exp \!\left[-i\left(2\,\pi \,p\,f\,t+\varphi _{p}\right)\right]\quad \forall \;t\;$» soit, Les 2nd et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques $\;\color {transparent}{\forall \;t}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{\bullet }\;$« par identification des cœfficients de $\;\exp(i\,2\,\pi \,p\,f\,t)$, «$\;{\underline {C'}}_{p}={\dfrac {C_{p}}{2}}\,\exp(i\,\varphi _{p}),\;\;p\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\;$» et Les 2nd et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques $\;\color {transparent}{\forall \;t}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{\bullet }\;$« par identification des cœfficients de $\;\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)$, «$\;{\underline {C'}}_{(-p)}={\dfrac {C_{p}}{2}}\,\exp(-i\,\varphi _{p}),\;\;p\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\;$» soit Les 2nd et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques $\;\color {transparent}{\forall \;t}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{\bullet }\;$« finalement, avec $\;p\,\in \,\mathbb {N} ^{*}$, «$\;{\underline {C'}}_{p}={\dfrac {C_{p}}{2}}\,\exp(i\,\varphi _{p})\;$» et, avec $\;p'=-p\;$ Les 2nd et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques $\;\color {transparent}{\forall \;t}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{\bullet }\;$« finalement, avec $\;\color {transparent}{p\,\in \,\mathbb {N} ^{*}}$, «$\;{\underline {C'}}_{p'}={\underline {C'}}_{(-p)}={\dfrac {C_{p}}{2}}\,\exp(-i\,\varphi _{p})\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\underline {C'}}_{p'}=\left[{\underline {C'}}_{p}\right]^{*}\;$» Les 2nd et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques $\;\color {transparent}{\forall \;t}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{\bullet }\;$« les cœfficients $\;{\underline {C'}}_{p}\;$ et $\;{\underline {C'}}_{p'}\;$ étant conjugués l'un de l'autre, il suffit de calculer$\;{\underline {C'}}_{p}\;$pour$\;p>0$.

## Passage du premier au troisième développement en série de Fourier

Autre façon de déterminer les cœfficients du 3ème développement en série de Fourier en utilisant la méthode de calcul de ceux du 1er développement c.-à-d. Autre façon de déterminer les cœfficients du 3ème développement en série de Fourier en utilisant $\bullet \;$«$\;A_{0}=\left\langle s(t)\right\rangle \;$»$^,$, Autre façon de déterminer les cœfficients du 3ème développement en série de Fourier en utilisant $\bullet \;$«$\;A_{n}=2\times \left\langle s(t)\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \;$»$^,$ et Autre façon de déterminer les cœfficients du 3ème développement en série de Fourier en utilisant $\bullet \;$«$\;B_{n}=2\times \left\langle s(t)\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \;$»$^,$ ;
les 1er et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques $\;\forall \;t\;$ $\Rightarrow$ «$\;s(t)=A_{0}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left\lbrace \left[A_{n}\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)+B_{n}\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\right]\right\rbrace =\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left[{\underline {C'}}_{p}\,\exp(i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right]\;$» ou, les 1er et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques $\;\color {transparent}{\forall \;t}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ « en utilisant dans le 1er développement les « formules d'Euler », les 1er et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques $\;\color {transparent}{\forall \;t}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;s(t)=A_{0}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left\lbrace {\dfrac {A_{n}\,-i\,B_{n}}{2}}\,\exp(i\,2\,\pi \,n\,f\,t)+{\dfrac {A_{n}\,+i\,B_{n}}{2}}\,\exp(-i\,2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rbrace \;$» et les 1er et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques $\;\color {transparent}{\forall \;t}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ « en identifiant les cœfficients de $\;\exp(i\,2\,\pi \,p\,f\,t),\;p\in \mathbb {Z} \;$ dans les deux développements les 1er et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques $\;\color {transparent}{\forall \;t}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ « $\blacktriangleright \;$si $\;p=0$, «$\;{\underline {C'}}_{0}=A_{0}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\underline {C'}}_{0}=\left\langle s(t)\right\rangle \;$», les 1er et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques $\;\color {transparent}{\forall \;t}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ « $\blacktriangleright \;$si $\;p\in \mathbb {N} ^{*}$, «$\;{\underline {C'}}_{p}={\dfrac {A_{p}-i\,B_{p}}{2}}=\left\langle s(t)\left[\cos(2\,\pi \,p\,f\,t)-i\,\sin(2\,\pi \,p\,f\,t)\right]\right\rangle \;$ les 1er et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques $\;\color {transparent}{\forall \;t}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ « $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$si $\;\color {transparent}{p\in \mathbb {N} ^{*}}$, «$\;\color {transparent}{{\underline {C'}}_{p}=A_{p}-i\,B_{p}}$ $=\left\langle s(t)\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right\rangle \;$» et les 1er et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques $\;\color {transparent}{\forall \;t}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ « $\blacktriangleright \;$si $\;p\in \mathbb {Z} ^{(-,\,*)}$, «$\;{\underline {C'}}_{p}={\underline {C'}}_{(-\vert p\vert )}={\dfrac {A_{(\vert p\vert )}+i\,B_{(\vert p\vert )}}{2}}=\left\langle s(t)\left[\cos(2\,\pi \,\vert p\vert \,f\,t)+i\,\sin(2\,\pi \,\vert p\vert \,f\,t)\right]\right\rangle \;$ les 1er et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques $\;\color {transparent}{\forall \;t}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ « $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$si $\;\color {transparent}{p\in \mathbb {Z} ^{(-,\,*)}}$, «$\;\color {transparent}{{\underline {C'}}_{p}={\underline {C'}}_{(-\vert p\vert )}=A_{(\vert p\vert )}+i\,B_{(\vert p\vert )}}$ $=\left\langle s(t)\exp(i\,2\,\pi \,\vert p\vert \,f\,t)\right\rangle \;$ les 1er et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques $\;\color {transparent}{\forall \;t}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ « $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$si $\;\color {transparent}{p\in \mathbb {Z} ^{(-,\,*)}}$, «$\;\color {transparent}{{\underline {C'}}_{p}={\underline {C'}}_{(-\vert p\vert )}=A_{(\vert p\vert )}+i\,B_{(\vert p\vert )}}$ $=\left\langle s(t)\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right\rangle \;$»$^,$.

## Théorème de Parseval
### Théorème de Parseval utilisant le 3ème développement en série de Fourier

Considérant le 3ème développement en série de Fourier de la fonction périodique $\;s(t)\;$ de fréquence $\;f$, «$\;s(t)=\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left[{\underline {C'}}_{p}\,\exp(i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right]\;$» dans lequel Considérant le 3ème développement en série de Fourier de la fonction périodique $\;\color {transparent}{s(t)}\;$ de fréquence $\;\color {transparent}{f}$, «$\;{\underline {C'}}_{p}=\left\langle s(t)\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right\rangle ={\dfrac {1}{T}}\displaystyle \int _{0}^{T}s(t)\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\,dt\;$» Considérant le 3ème développement en série de Fourier de la fonction périodique $\;\color {transparent}{s(t)}\;$ de fréquence $\;\color {transparent}{f}$, est appelé cœfficient de Fourier complexe de $\;s\;$ pour $\;p\,\in \mathbb {Z}$, et Considérant le 3ème développement en série de Fourier de la fonction périodique $\;\color {transparent}{s(t)}\;$ de fréquence $\;\color {transparent}{f}$, formant la série suivante «$\;{c'}_{n}(s)=\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-n\,{\text{à}}\,+n}\left[\vert {\underline {C'}}_{p}\vert ^{2}\right]\;$», Parseval a eu l'intuition Considérant le 3ème développement en série de Fourier de la fonction périodique $\;\color {transparent}{s(t)}\;$ de fréquence $\;\color {transparent}{f}$, de la « convergence de cette série $\;{c'}_{n}(s)\;$ vers $\;\left\langle \left[s(t)\right]^{2}\right\rangle \;$».
$\;s\;$
$\;\leqslant n\;$
$\;{c'}_{n}(s)=\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-n\,{\text{à}}\,+n}\left[\vert {\underline {C'}}_{p}\vert ^{2}\right]\;$
$\;{\underline {C'}}_{p}=\left\langle s(t)\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right\rangle \;$
$\;\color {transparent}{{c'}_{n}(s)=\left[\vert {\underline {C'}}_{p}\vert ^{2}\right]}\;$
$\;n\rightarrow \infty$
$\;\left\langle \left[s(t)\right]^{2}\right\rangle \;$
$\;\left\langle \left[s(t)\right]^{2}\right\rangle =\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left[\vert {\underline {C'}}_{p}\vert ^{2}\right]\;$

### Quelques éléments de démonstration de l'égalité de Parseval utilisant le 3ème développement en série de Fourier de la fonction T-périodique

On utilise la définition du carré de la moyenne quadratique de la fonction $\;s(t)\;$ en utilisant son 3ème développement en série de Fourier soit
$\;\left\langle s^{2}(t)\right\rangle ={\dfrac {1}{T}}\,\displaystyle \int _{0}^{T}s^{2}(t)\,dt=$
${\dfrac {1}{T}}\,\displaystyle \int _{0}^{T}\left\lbrace \sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left[{\underline {C'}}_{p}\,\exp(i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right]\right\rbrace ^{\!2}\,dt\;$
pour évaluer l'intégrale, on est amené à développer le carré de l'expression à intégrer donnant une somme de carrés de type «$\;{\underline {C'}}_{p}^{2}\,\exp(i\,4\,\pi \,p\,f\,t)\;$» et pour évaluer l'intégrale, on est amené à développer le carré de l'expression à intégrer donnant une somme de termes « rectangles $\;{\underline {C'}}_{p}\,{\underline {C'}}_{q}\,\exp[i\,2\,\pi \,(p+q)\,f\,t]\;$ avec $\;(p\,,\,q)\in \mathbb {Z} ^{2}\;$ mais $\;q\neq p\;$» pour évaluer l'intégrale, on est amené à développer le carré de l'expression à intégrer donnant une somme de dont on évalue l'intégrale de chaque terme selon :
* les intégrales des 1$^{ers}$ termes c.-à-d. de «$\;{\underline {C'}}_{p}^{2}\,\exp(i\,4\,\pi \,p\,f\,t)\;$» $\blacktriangleright \;$«$\;p=0\;$» $\Rightarrow$ «$\;\displaystyle \int _{0}^{T}{\underline {C'}}_{0}^{2}\;dt={\underline {C'}}_{0}^{2}\;T\;$» ou les intégrales des 1$^{ers}$ termes c.-à-d. de «$\;\color {transparent}{{\underline {C'}}_{p}^{2}\,\exp(i\,4\,\pi \,p\,f\,t)}\;$» $\blacktriangleright \;$«$\;p\neq 0\;$» $\Rightarrow$ «$\;\displaystyle \int _{0}^{T}{\underline {C'}}_{p}^{2}\,\exp(i\,4\,\pi \,p\,f\,t)\;dt={\underline {C'}}_{p}^{2}\left[{\dfrac {\exp(i\,4\,\pi \,p\,f\,t)}{i\,4\,\pi \,p\,f}}\right]_{0}^{T}=0\;$» et
* les intégrales des 2$^{èmes}$ termes c.-à-d. de «$\;{\underline {C'}}_{p}\,{\underline {C'}}_{q}\,\exp[i\,2\,\pi \,(p+q)\,f\,t]\;$ avec $\;(p\,,\,q\neq p)\in \mathbb {Z} ^{2}\;$» $\blacktriangleright \;$«$\;q=-p\;$» $\Rightarrow$ «$\;\displaystyle \int _{0}^{T}{\underline {C'}}_{p}\,{\underline {C'}}_{-p}\;dt=\vert {\underline {C'}}_{p}\vert ^{2}\;T\;$» ou les intégrales des 2$^{èmes}$ termes c.-à-d. de «$\;\color {transparent}{{\underline {C'}}_{p}\,{\underline {C'}}_{q}\,\exp[i\,2\,\pi \,(p+q)\,f\,t]}\;$ avec $\;\color {transparent}{(p\,,\,q\neq p)\in \mathbb {Z} ^{2}}\;$» $\blacktriangleright \;$«$\;q\neq -p\;$» $\Rightarrow$ «$\;\displaystyle \int _{0}^{T}{\underline {C'}}_{p}\,{\underline {C'}}_{q}\,\exp[i\,2\,\pi \,(p+q)\,f\,t]\;dt=$ les intégrales des 2$^{èmes}$ termes c.-à-d. de «$\;\color {transparent}{{\underline {C'}}_{p}\,{\underline {C'}}_{q}\,\exp[i\,2\,\pi \,(p+q)\,f\,t]}\;$ avec $\;\color {transparent}{(p\,,\,q\neq p)\in \mathbb {Z} ^{2}}\;$» $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$«$\;\color {transparent}{q\neq -p}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ « ${\underline {C'}}_{p}\,{\underline {C'}}_{q}\left[{\dfrac {\exp[i\,2\,\pi \,(p+q)\,f\,t]}{i\,2\,\pi \,(p+q)\,f}}\right]_{0}^{T}=0\;$» ;
finalement «$\;\left\langle s^{2}(t)\right\rangle ={\dfrac {1}{T}}\,\displaystyle \int _{0}^{T}\left\lbrace \sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left[{\underline {C'}}_{p}\,\exp(i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right]\right\rbrace ^{\!2}\,dt\;{\stackrel {\ldots }{=}}\;{\underline {C'}}_{0}^{2}+\left[\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} ^{*}}^{-\infty \,{\text{à}}\,-1\,{\text{et}}\,1\,{\text{à}}\,+\infty }\vert {\underline {C'}}_{p}\vert ^{2}\right]\;$» d'où, sous forme plus compacte
$\;\left\langle s^{2}(t)\right\rangle =\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\vert {\underline {C'}}_{p}\vert ^{2}\;$

### Expression de l'égalité de Parseval utilisant le 2ème développement en série de Fourier

Soit le 2ème développement en série de Fourier de la fonction périodique $\;s(t)\;$ de fréquence $\;f$, «$\;s(t)=C_{0}+\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}}^{1\,{\text{à}}\,+\infty }\left[C_{p}\,\cos(2\,\pi \,p\,f\,t+\varphi _{p})\right]\;$» dans lequel Soit le 2ème développement en série de Fourier de la fonction périodique $\;\color {transparent}{s(t)}\;$ la composante continue s'évalue par «$\;C_{0}={C'}_{0}=\left\langle s(t)\right\rangle \;$» et Soit le 2ème développement en série de Fourier de la fonction périodique $\;\color {transparent}{s(t)}\;$ l'amplitude de l'harmonique de rang $\;p\;$ par «$\;C_{p}=2\,\vert {\underline {C'}}_{p}\vert =2\;\left\vert \left\langle s(t)\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right\rangle \right\vert \;$», souhaitant réécrire l'égalité de Parseval en utilisant ce 2ème développement en série de Fourier, il suffit de « transformer $\;\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left[\vert {\underline {C'}}_{p}\vert ^{2}\right]\;$ en fonction des nouveaux cœfficients $\;C_{0}\;$ et $\;C_{p}\;$» soit «$\;\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left[\vert {\underline {C'}}_{p}\vert ^{2}\right]=C_{0}^{2}+2\;\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}}^{1\,{\text{à}}\,+\infty }\left[\vert {\underline {C'}}_{p}\vert ^{2}\right]=C_{0}^{2}+2\;\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}}^{1\,{\text{à}}\,+\infty }\left[\left({\dfrac {C_{p}}{2}}\right)^{\!\!2}\right]\;$» ou encore «$\;\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left[\vert {\underline {C'}}_{p}\vert ^{2}\right]=$ $C_{0}^{2}+{\dfrac {1}{2}}\left[\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}}^{1\,{\text{à}}\,+\infty }C_{p}^{2}\right]\;$».
$\;\left\langle \left[s(t)\right]^{2}\right\rangle =C_{0}^{2}+{\dfrac {1}{2}}\left[\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}}^{1\,{\text{à}}\,+\infty }C_{p}^{2}\right]\;$

### Expression de l'égalité de Parseval utilisant le 1er développement en série de Fourier

Soit le 1er développement en série de Fourier de la fonction périodique $\;s(t)\;$ de fréquence $\;f\;$ «$\;s(t)=A_{0}+\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}}^{1\,{\text{à}}\,+\infty }\left[A_{p}\,\cos(2\,\pi \,p\,f\,t)+B_{p}\,\sin(2\,\pi \,p\,f\,t)\right]\;$» dans lequel Soit le 1er développement en série de Fourier de la fonction périodique $\;\color {transparent}{s(t)}\;$ la composante continue s'évalue par «$\;A_{0}={C'}_{0}=\left\langle s(t)\right\rangle \;$»$^,$, Soit le 1er développement en série de Fourier de la fonction périodique $\;\color {transparent}{s(t)}\;$ l'amplitude de l'harmonique pair de rang $\;p\;$ par «$\;A_{p}=2\,\Re \left[{\underline {C'}}_{p}\right]=2\,\Re \left[\left\langle s(t)\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right\rangle \right]\;$»$^,$ et Soit le 1er développement en série de Fourier de la fonction périodique $\;\color {transparent}{s(t)}\;$ l'amplitude de l'harmonique impair de rang $\;p\;$ par «$\;B_{p}=-2\,\Im \left[{\underline {C'}}_{(-p)}\right]=2\,\Im \left[\left\langle s(t)\exp(i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right\rangle \right]\;$»$^,$, souhaitant réécrire l'égalité de Parseval en utilisant ce 1er développement en série de Fourier, il suffit de « transformer $\;\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left[\vert {\underline {C'}}_{p}\vert ^{2}\right]\;$ en fonction des nouveaux cœfficients $\;A_{0}$, $\;A_{p}\;$ et $\;B_{p}\;$» soit «$\;\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left[\vert {\underline {C'}}_{p}\vert ^{2}\right]=A_{0}^{2}+2\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}}^{1\,{\text{à}}\,+\infty }\left[\vert {\underline {C'}}_{p}\vert ^{2}\right]=$ $A_{0}^{2}+2\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}}^{1\,{\text{à}}\,+\infty }\left[{\dfrac {A_{p}^{2}}{4}}+{\dfrac {B_{p}^{2}}{4}}\right]\;$» ou encore «$\;\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left[\vert {\underline {C'}}_{p}\vert ^{2}\right]=A_{0}^{2}+{\dfrac {1}{2}}\left[\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}}^{1\,{\text{à}}\,+\infty }(A_{p}^{2}+B_{p}^{2})\right]\;$».
$\;\left\langle \left[s(t)\right]^{2}\right\rangle =A_{0}^{2}+{\dfrac {1}{2}}\left[\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}}^{1\,{\text{à}}\,+\infty }(A_{p}^{2}+B_{p}^{2})\right]\;$