# Mécanique 2 (PCSI)/Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation
## Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière, cas d’un système en translation
### Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels

L'énergie cinétique «$\;K(t)\;$» du système discret (fermé) de points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ avec $\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \,\left\lbrace 1\right\rbrace \;$» dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ est définie, à l'instant $\;t$, comme la somme de l'énergie cinétique «$\;K_{M_{i}}(t)\;$» de chaque point matériel du système dans $\;{\mathcal {R}}\;$ au même instant $\;t\;$ soit
$\;K(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}K_{M_{i}}(t)\;$

### Expression newtonienne de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels

En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système discret (fermé) de points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ avec $\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \,\left\lbrace 1\right\rbrace \;$» dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ se réécrit, à l'instant $\;t$, selon
$\;K(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\dfrac {\left[{\vec {p}}_{M_{i}}(t)\right]^{2}}{2\;m_{i}}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\dfrac {1}{2}}\;m_{i}\left[{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\right]^{2}\;$
$\;{\vec {p}}_{M_{i}}(t)\;$
$\;M_{i}\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;t\;$
$\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;$
$\;M_{i}\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;t$

### En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels

L’expression de l’énergie cinétique d’un système discret (fermé) de points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ avec $\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \,\left\lbrace 1\right\rbrace \;$» dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ se réécrit, à l'instant $\;t$, s’écrit, en cinétique relativiste,
$\;K(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left[\gamma _{M_{i}}(t)-1\right]m_{i}\;c^{2}\;$
$\;\gamma _{M_{i}}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {\left[{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\right]^{2}}{c^{2}}}}}}\;$
$\;M_{i}\;$
$\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;t\;$
$\;K(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left\lbrace {\sqrt {\left[{\vec {p}}_{M_{i}}(t)\right]^{2}\;c^{2}+m_{i}^{2}\;c^{4}}}-m_{i}\;c^{2}\right\rbrace \;$
$\;{\sqrt {\left[{\vec {p}}_{M_{i}}(t)\right]^{2}\;c^{2}+m_{i}^{2}\;c^{4}}}\;$
$\;E_{M_{i}}(t)\;$
$\;M_{i}\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;t\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;m_{i}\;c^{2}\;$
$\;E_{M_{i}}^{\,0}\;$
$\;M_{i}\;$
Remarque : En définissant l'énergie totale du système discret fermé de points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ avec $\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \,\left\lbrace 1\right\rbrace \;$» dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$, à l'instant $\;t$, par
$\;E(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\sqrt {\left[{\vec {p}}_{M_{i}}(t)\right]^{2}\;c^{2}+m_{i}^{2}\;c^{4}}}\;$
Remarque : En définissant l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels par
$\;E_{{\text{sans }}e_{p}\,{\text{entre }}M_{i}}^{\,0}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}E_{M_{i}}^{\,0}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;c^{2}\;$
Remarque : l'énergie cinétique relativiste du système dans $\;{\mathcal {R}}$, à l'instant $\;t$, peut se réécrire selon «$\;K(t)=E(t)-E_{{\text{sans }}e_{p}\,{\text{entre }}M_{i}}^{\,0}\;$».

### Généralisation, énergie cinétique d’un système continu de matière

En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)$, notée «$\;K_{\left({\mathcal {V}}\right)}(t)\;$», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ «$\;dK_{M}(t)=K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}={\dfrac {\left[{\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\right]^{2}}{2\;\mu (M)}}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» soit encore «$\;dK_{M}(t)=\left[{\dfrac {1}{2}}\;\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}^{2}(t)\right]\,d{\mathcal {V}}_{M}\;$», ce qui revient à une intégrale volumique définie selon
$\;K_{\left({\mathcal {V}}\right)}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,{\mathcal {V}}}dK_{M}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,{\mathcal {V}}}K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,{\mathcal {V}}}\left[{\dfrac {1}{2}}\;\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}^{2}(t)\right]\,d{\mathcal {V}}_{M}\;$
En cinétique newtonienne, l'énergie celle d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique $\;\left(S\right)$, notée «$\;K_{\left(S\right)}(t)\;$», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion surfacique $\;\left(S\right)\;$ «$\;dK_{M}(t)=K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;dS_{M}={\dfrac {\left[{\vec {P}}_{\text{surfac}}(M,\,t)\right]^{2}}{2\;\sigma (M)}}\;dS_{M}\;$» soit encore «$\;dK_{M}(t)=\left[{\dfrac {1}{2}}\;\sigma (M)\;{\vec {V}}_{M}^{2}(t)\right]\,dS_{M}\;$», ce qui revient à une intégrale surfacique définie selon
$\;K_{\left(S\right)}(t)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,S}dK_{M}(t)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,S}K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;dS_{M}=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,S}\left[{\dfrac {1}{2}}\;\sigma (M)\;{\vec {V}}_{M}^{2}(t)\right]\,dS_{M}\;$
En cinétique newtonienne, l'énergie celle d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique $\;\left(\Gamma \right)$, notée «$\;K_{\left(\Gamma \right)}(t)\;$», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion linéique $\;\left(\Gamma \right)\;$ «$\;dK_{M}(t)=K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d{\mathit {l}}_{M}={\dfrac {\left[{\vec {P}}_{\text{lin}}(M,\,t)\right]^{2}}{2\;\lambda (M)}}\;d{\mathit {l}}_{M}\;$» soit encore «$\;dK_{M}(t)=\left[{\dfrac {1}{2}}\;\lambda (M)\;{\vec {V}}_{M}^{2}(t)\right]\,d{\mathit {l}}_{M}\;$», ce qui revient à une intégrale curviligne définie selon
$\;K_{\left(\Gamma \right)}(t)=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\Gamma }dK_{M}(t)=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\Gamma }K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d{\mathit {l}}_{M}=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\Gamma }\left[{\dfrac {1}{2}}\;\lambda (M)\;{\vec {V}}_{M}^{2}(t)\right]\,d{\mathit {l}}_{M}\;$

### Cas d'un système en translation

Préliminaire : Un « système en translation » ne se déforme pas, il peut donc être qualifié de « solide » au sens de la mécanique $\;{\big$et il est nécessairement fermé${\big )}$ ; Préliminaire : l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière.
Considérant le système discret de points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ avec $\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \,\left\lbrace 1\right\rbrace \;$» en translation dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ de vecteur vitesse, à l'instant $\;t$, égal à celui de son C.D.I. $\;G\;$ soit «$\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)={\vec {V}}_{\!G}(t)\;$» $\;{\big \$tous les points $\;M_{i}\;$ ont le même vecteur vitesse à l'instant $\;t\;$ soit $\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)={\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall \,i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]{\big \}$, l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans $\;{\mathcal {R}}\;$ étant définie selon $\;K_{\text{syst. en transl.}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\dfrac {1}{2}}\;m_{i}\left[{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\right]^{2}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\dfrac {1}{2}}\;m_{i}\left[{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\right]^{2}\;$ soit, en factorisant par «$\;{\dfrac {\left[{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\right]^{2}}{2}}\;$» puis en reconnaissant dans l'autre facteur «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;$» la masse du système «$\;m_{\text{syst. en transl.}}\;$»,
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;t$
$K_{\text{syst. en transl.}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst. en transl.}}\left[{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\right]^{2}={\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst. en transl.}}\left[{\vec {V}}_{\!G}(t)\right]^{2}$
$\;G\;\left(m_{\text{syst. en transl.}}\right)\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;t$
sachant que la résultante cinétique d'un système discret de points matériels s’écrit, en cinétique newtonienne, «$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\!G}(t)\;$», on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ avec $\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \,\left\lbrace 1\right\rbrace \;$» en translation dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ de vecteur vitesse, à l'instant $\;t$, «$\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)={\vec {V}}_{\!G}(t)\;$» selon
$\;K_{\text{syst. en transl.}}(t)={\dfrac {\left[{\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\right]^{2}}{2\;m_{\text{syst. en transl.}}}}\;$
une 3ème expression $\;{\big$très peu utilisée${\big )}\;$ peut être établie en éliminant la masse du système au profit de la vitesse du C.D.I. et de la résultante cinétique newtonienne, on en déduit que l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ avec $\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \,\left\lbrace 1\right\rbrace \;$» en translation dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ de vecteur vitesse, à l'instant $\;t$, «$\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)={\vec {V}}_{\!G}(t)\;$» peut se réécrire selon
$\;K_{\text{syst. en transl.}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;{\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;{\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\!G}(t)\;$
Complément : On peut trouver les expressions correspondantes en « cinétique relativiste » en généralisant les expressions d'énergie cinétique obtenue pour un point matériel, compte-tenu du fait que l'énergie cinétique d'un système en translation est aussi l'énergie cinétique du point fictif « C.D.I. du système $\;G\;\left(m_{\text{syst. en transl.}}\right)\;$» dans $\;{\mathcal {R}}\;$ à l'instant $\;t$, expression obtenue en cinétique newtonienne et restant applicable en cinétique relativiste, on obtient ainsi l'énergie cinétique relativiste du système discret de points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ avec $\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \,\left\lbrace 1\right\rbrace \;$» en translation dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ de vecteur vitesse, à l'instant $\;t$, «$\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)={\vec {V}}_{\!G}(t)\;$» selon
$\;K_{{\text{syst. en transl.}},\,{\text{relativ}}}(t)=\left[\gamma _{G}(t)-1\right]\,m_{\text{syst. en transl.}}\;c^{2}=\left[\gamma _{\text{syst. en transl.}}(t)-1\right]\,m_{\text{syst. en transl.}}\;c^{2}\;$
$\;\gamma _{\text{syst. en transl.}}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{c^{2}}}}}}=\gamma _{G}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)}{c^{2}}}}}}\;$
$\;{\big$
${\big )}$
Complément : ou encore, en éliminant la vitesse du système en translation au profit de sa résultante cinétique relativiste et de sa masse, selon
$\;K_{{\text{syst. en transl.}},\,{\text{relativ}}}(t)={\sqrt {{\vec {P}}_{{\text{syst. en transl.}},\,{\text{relativ}}}^{\,2}\;c^{2}+m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^{4}}}-m_{\text{syst. en transl.}}\;c^{2}\;$
$\;{\sqrt {{\vec {P}}_{{\text{syst. en transl.}},\,{\text{relativ}}}^{\,2}\;c^{2}+m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^{4}}}\;$
$\;E_{{\text{syst. en transl.}},\,{\text{relativ}}}(t)\;$
$\;m_{\text{syst. en transl.}}\;c^{2}\;$
$\;E_{{\text{sans }}e_{p}\,{\text{entre }}M_{i}}^{\,0}\;$

## Énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu
### Forme particulière de l’énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu

Une définition de l’énergie cinétique d’un point matériel «$\;M,\left(m\right)\;$» dans le cadre de la cinétique newtonienne étant «$\;K_{M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\left[{\vec {V}}_{M}(t)\right]^{2}\;$» et le vecteur vitesse de $\;M\;$ en mouvement circulaire de centre $\;C\;$ et de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ s’écrivant selon «$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {CM}}(t)\;$», en remplaçant un seul vecteur vitesse par l’expression de $\;K_{M}(t)\;$ précédemment rappelée, on en déduit «$\;K_{M}(t)$ $={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{M}(t)\cdot \left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {CM}}(t)\right]\;$» ou, par permutation circulaire du produit mixte de façon à faire apparaître le vecteur moment cinétique du point $\;M\;$ par rapport à $\;C\;$ «$\;K_{M}(t)=$ ${\dfrac {1}{2}}\;{\vec {\Omega }}(t)\cdot \left[{\overrightarrow {CM}}(t)\wedge m\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]\;$» soit finalement
$\;K_{M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;{\vec {\Omega }}(t)\cdot {\vec {\sigma }}_{C}(M,\,t)\;$
ou encore, avec $\;{\vec {\Omega }}(t)={\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ et $\;{\vec {\sigma }}_{C}(M,\,t)=\sigma _{\Delta }(M,\,t)\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ dans lesquelles $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ est le vecteur unitaire orientant l'axe $\;\Delta \;$ de rotation, $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ étant la vitesse angulaire de rotation du point $\;M\;$ autour de $\;\Delta \;$ et $\;\sigma _{\Delta }(M,\,t)\;$ le moment cinétique scalaire relativement à $\;\Delta \;$ de $\;M$, l’énergie cinétique newtonienne du point matériel «$\;M,\left(m\right)\;$» en rotation autour de $\;\Delta \;$ à la vitesse angulaire $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ se réécrit selon l'expression suivante $\;{\big$laquelle est la moins utilisée des trois expressions entre grandeurs scalaires établies ici et ci-après${\big )}\;$
$\;K_{M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;{\overline {\Omega }}(t)\;\sigma _{\Delta }(M,\,t)\;$
définissant le moment d’inertie de $\;M\;$ relativement à l’axe $\;\Delta \;$ par «$\;J_{\Delta }(M)=m\;R^{2}\;$» dans laquelle $\;R\;$ est le rayon de la trajectoire circulaire de $\;M$, on a établi, entre le moment cinétique scalaire newtonien de ce dernier $\;\sigma _{\Delta }(M,\,t)\;$ et sa vitesse angulaire $\;{\overline {\Omega }}(t)$, le lien suivant «$\;\sigma _{\Delta }(M,\,t)=J_{\Delta }(M)\;{\overline {\Omega }}(t)\;$» dont on déduit les deux expressions importantes de l’énergie cinétique newtonienne du point matériel en rotation autour d’un axe $\;\Delta$ $\;{\big$la 1ère étant utilisée plus fréquemment que la 2nde${\big )}$
$\;K_{M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta }(M)\;{\overline {\Omega }}^{2}(t)\;$
$\;K_{M}(t)={\dfrac {\left[\sigma _{\Delta }(M,\,t)\right]^{2}}{2\;J_{\Delta }(M)}}\;$

### Analogie formelle entre l’énergie cinétique newtonienne d’un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire

Il existe une analogie formelle entre l'une quelconque des trois formes de l'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et la forme associée de l'énergie cinétique newtonienne d’un point en mouvement circulaire selon la correspondance suivante
$\;{\begin{array}{|c| |c| |c| |c|}\hline \;{\text{analogie formelle}}&{\text{grandeur cinétique vectorielle}}&{\text{grandeur cinématique vectorielle}}&{\text{grandeur d'inertie}}\;\\{\text{mouvement quelconque}}&{\text{vecteur quantité de mouvement «}}\;{\vec {p}}_{M}(t)\;{\text{»}}&{\text{vecteur vitesse «}}\;{\vec {V}}_{M}(t)\;{\text{»}}&{\text{masse «}}\;m\;{\text{»}}\\\updownarrow &\updownarrow &\updownarrow &\updownarrow \\{\text{mouvement circulaire}}&{\text{moment cinétique vectoriel «}}\;{\vec {\sigma }}_{C}(M,\,t)\;{\text{»}}&{\text{vecteur rotation instantanée «}}\;{\vec {\Omega }}(t)\;{\text{»}}&{\text{moment d'inertie «}}\;J_{\Delta }(M)\;{\text{»}}\\\hline \end{array}}\;$
ainsi pour la forme la moins utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à
$\;{\text{énergie cinétique}}={\dfrac {{\overrightarrow {\text{grandeur cinétique}}}\cdot {\overrightarrow {\text{grandeur cinématique}}}}{2}}\;$
$\;K_{M}(t)={\dfrac {{\vec {p}}_{M}(t)\cdot {\vec {V}}_{M}(t)}{2}}\;$
$\;C\;$
$\;K_{M}(t)={\dfrac {{\vec {\sigma }}_{C}(M,\,t)\cdot {\vec {\Omega }}(t)}{2}}\;$
ainsi pour la forme la plus utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à
$\;{\text{énergie cinétique}}={\dfrac {1}{2}}\times {\text{grandeur d'inertie}}\times \left[{\overrightarrow {\text{grandeur cinématique}}}\right]^{2}\;$
$\;K_{M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\,\left[{\vec {V}}_{M}(t)\right]^{2}\;$
$\;\Delta \;$
$\;K_{M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta }(M)\,\left[{\vec {\Omega }}(t)\right]^{2}\;$
$\;{\bigg$
$\;{\overline {\Omega }}(t)\;$
$\;K_{M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta }(M)\;{\overline {\Omega }}^{2}(t)\;$
${\bigg ]}$
ainsi pour la forme moyennement utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à
$\;{\text{énergie cinétique}}={\dfrac {\left[{\overrightarrow {\text{grandeur cinétique}}}\right]^{2}}{2\times {\text{grandeur d'inertie}}}}\;$
$\;K_{M}(t)={\dfrac {\left[{\vec {p}}_{M}(t)\right]^{2}}{2\;m}}\;$
$\;C\;$
$\;\Delta \;$
$\;K_{M}(t)={\dfrac {\left[{\vec {\sigma }}_{C}(M,\,t)\right]^{2}}{2\;J_{\Delta }(M)}}\;$
$\;{\bigg$
$\;\sigma _{\Delta }(M,\,t)\;$
$\;K_{M}(t)={\dfrac {\left[\sigma _{\Delta }(M,\,t)\right]^{2}}{2\;J_{\Delta }(M)}}\;$
${\bigg ]}$

## Énergie cinétique newtonienne d’un « système de points en rotation » autour d’un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu

Préliminaire : Un « système en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique $\;{\big$et il est nécessairement fermé${\big )}$, c'est pratiquement le seul cas envisageable ; Préliminaire : l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière.
L’énergie cinétique du système discret de points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ avec $\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \,\left\lbrace 1\right\rbrace \;$» étant définie selon «$\;K(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}K_{M_{i}}(t)\;$», elle se réécrit, dans le cadre de la cinétique newtonienne, quand le système est en rotation autour d’un axe fixe $\;\Delta$, de vitesse angulaire instantanée «$\;{\overline {\Omega }}(t)\;$», selon «$\;K(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta }(M_{i})\;{\overline {\Omega }}^{2}(t)\;$» ou, en factorisant par «$\;{\dfrac {1}{2}}\;{\overline {\Omega }}^{2}(t)\;$» et, en reconnaissant, dans le facteur restant, le moment d’inertie du système relativement à l’axe $\;\Delta \;$ c'est-à-dire «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}J_{\Delta }(M_{i})=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;r_{i}^{2}=J_{\Delta }\;$» avec «$\;r_{i}\;$ distance orthogonale entre $\;M_{i}\;$ et $\;\Delta \;$»,
$\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta }\;{\overline {\Omega }}^{2}(t)\;$
$\;{\big$
${\big )}$
à l'aide du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système discret de points matériels en rotation autour d’un axe fixe $\;\Delta \;$ «$\;\sigma _{\Delta }({\text{syst. en rotat.}},\,t)\;$» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «$\;{\overline {\Omega }}(t)\;$» à savoir «$\;\sigma _{\Delta }({\text{syst. en rotat.}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overline {\Omega }}(t)\;$» on peut, en éliminant la vitesse angulaire instantanée, réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe $\;\Delta \;$ selon
$\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t)={\dfrac {\left[\sigma _{\Delta }({\text{syst. en rotat.}},\,t)\right]^{2}}{2\;J_{\Delta }}}\;$
$\;{\big$
${\big )}$
en éliminant le moment d'inertie par utilisation du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système en rotation autour de l'axe fixe $\;\Delta \;$ «$\;\sigma _{\Delta }({\text{syst. en rotat.}},\,t)\;$» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «$\;{\overline {\Omega }}(t)\;$» à savoir «$\;J_{\Delta }={\dfrac {\sigma _{\Delta }({\text{syst. en rotat.}},\,t)}{{\overline {\Omega }}(t)}}\;$», on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe $\;\Delta \;$ selon
$\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t)={\dfrac {\sigma _{\Delta }({\text{syst. en rotat.}},\,t)\;{\overline {\Omega }}(t)}{2}}\;$
$\;{\big$
${\big )}$