# Mécanique 2 (PCSI)/Loi du moment cinétique : Pendule de torsion
## Notion de fil de torsion

Les fils introduits jusqu'à présent ne travaillaient qu'à la tension sans faire intervenir la « torsion », l'action qu'ils exercent sur les corps auxquels ils sont attachés était purement « longitudinale » et pour les distinguer des « fils de torsion » que nous allons introduire maintenant, on qualifie ces fils ne travaillant qu'à la tension de « fil sans torsion » ;
pour différencier un « fil sans torsion » d'un « fil de torsion », on pose le fil légèrement tendu sur un plan horizontal sans aucune action rotatoire déformante de façon à ce qu'il suive une ligne rectiligne et soit « non tordu » $\;{\big$voir ci-contre${\big )}$ ;
sur la surface latérale du « fil légèrement tendu et non tordu » on peut repérer une génératrice du tuyau cylindrique représentant la surface latérale du fil, cette génératrice est rectiligne dans la mesure où le fil est non tordu $\;{\big$voir figure supérieure ci-contre${\big )}$ ;
bloquant une extrémité du fil et exerçant une action de torsion dans un sens choisi comme sens «$\;+\;$» à l'autre extrémité, on constate d'une part que la génératrice prend la forme d'une hélice plus ou moins allongée $\;{\big$voir figure supérieure ci-contre${\big )}\;$ et d'autre part, quand on lâche l'extrémité tordue sans lui communiquer de vitesse initiale, deux cas limites peuvent se présenter :
* soit le fil reste en l'état c'est-à-dire tordu sans reprendre son état initial, il s'agit alors d’« un fil sans torsion », c'est-à-dire les fils utilisés jusqu'à présent,
* soit le fil se détord ce qu'on observe par le fait que l'extrémité tordue dans le sens «$\;+\;$» ainsi que tous les brins intermédiaires tordus dans le même sens de façon différentielle jusqu'à l’extrémité fixe subissent une diminution de déformation transversale $\;{\big$correspondant à une rotation des brins dans le sens «$\;-\;$»${\big )}\;$ également de façon différentielle « jusqu'à ce que le fil reprenne son état initial », il s'agit alors d'« un fil de torsion ».

## Couple exercé par le fil de torsion sur le solide auquel il est fixé, constante de torsion du fil
### Actions d’un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la « résultante des actions de translation exercées par le fil » et couple de torsion du fil défini par le « moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil »

Reprenons le fil de torsion du paragraphe précédent en le mettant vertical avec l'extrémité supérieure maintenue fixe et l'extrémité inférieure reliée au « solide » étudié, puis
exerçons une torsion initiale d'un angle «$\;\alpha _{0}\;$» sur l'extrémité inférieure reliée au solide, ce dernier étant lâché sans vitesse initiale $\;{\big$voir schéma ci-dessous représenté à un instant $\;t\;$ avec liaison inférieure du solide par un fil sans torsion${\big )}$ ;
sur ce schéma, «$\;A_{0}B_{0}\;$», représenté en tiretés, est la position du solide quand le fil de torsion supérieur n'est pas tordu servant de position de référence pour repérer l'angle de torsion du fil supérieur «$\;\alpha (t)={\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {A_{0}B_{0}}}\,,\,{\overrightarrow {AB}}(t)\right\rbrace }}\;$», «$\;\alpha _{0}\;$» étant la valeur de «$\;\alpha (t)\;$ à l'instant initial $\;t=0\;$» ;
seules les actions des fils sur le solide $\;{\big$représenté sans ajout des éventuelles masselottes situées de part et d'autre du point d'attache $\;C\;$ de la tige aux fils${\big )}\;$ figurent sur le schéma :
* celles du fil de torsion supérieur $\;{\big$tension du fil $\;{\vec {T}}_{\text{sup}}\;$ et couple de torsion de moment $\;{\vec {\Gamma }}_{\text{tors}}\;$${\big ]}\;$ et
* celle du « fil sans torsion inférieur $\;{\big$tension du fil $\;{\vec {T}}_{\text{inf}}{\big ]}\;$» ;
le fil de torsion supérieur étant orienté par le vecteur unitaire ascendant «$\;{\vec {u}}_{CO_{\text{sup}}}\;$» lequel définit aussi le sens «$\;+\;$» des angles dans le plan horizontal passant par $\;C$, l'angle de torsion «$\;\alpha (t)\;$» sur le schéma ci-dessus est «$\;>0\;$» correspondant à une génératrice de la surface latérale du fil tordue selon une « hélice gauche », le fil se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «$\;-\;$» dont le vecteur moment «$\;{\vec {\Gamma }}_{\text{tors}}\;$» est colinéaire et « de sens contraire à $\;{\vec {u}}_{CO_{\text{sup}}}\;$».
* Le vecteur moment du couple de torsion «$\;{\vec {\Gamma }}_{\text{tors}}(t)\;$» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché s'explicite partiellement, à l'instant $\;t$, sous la forme «$\;{\vec {\Gamma }}_{\text{tors}}(t)={\overline {\Gamma }}_{\text{tors}}(t)\;{\vec {u}}_{CO_{\text{sup}}}\;$» dans lequel «$\;{\overline {\Gamma }}_{\text{tors}}(t)\;$ est toujours de signe contraire à l'angle de torsion $\;\alpha (t)\;$».
Remarque 1 : Le vecteur moment du couple de torsion «$\;{\vec {\Gamma }}_{\text{tors}}(t)\;$» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché n'est pas représenté par un vecteur colinéaire et de sens contraire à $\;{\vec {u}}_{CO_{\text{sup}}}\;$ pour éviter la confusion avec une force, Remarque 1 : on représente le couple de torsion par le sens de rotation dont il serait la cause s'il agissait seul en indiquant à côté de cette flèche incurvée le nom du vecteur moment du couple «$\;{\vec {\Gamma }}_{\text{tors}}(t)\;$» $\;{\big$voir sur le schéma ci-dessus, la flèche incurvée étant positionnée autour de $\;C$, point d'attache du fil au solide${\big )}$.
Remarque 2 : Le fil de torsion supérieur exerce aussi sur le solide une force de tension «$\;{\vec {T}}_{\text{sup}}\;$» dont le vecteur moment par rapport à $\;C\;$ étant nul n'a aucune influence sur une éventuelle rotation du solide dans le plan horizontal.
Remarque 3 : Si le fil sans torsion inférieur est remplacé par un fil de torsion fixé à son extrémité inférieure $\;O_{\text{inf}}\;$ et tel que les deux fils de torsion soient simultanément non tordus quand «$\;\alpha =0\;$», l'angle de torsion «$\;\alpha (t)\;$» sur le schéma ci-dessus étant «$\;>0\;$» correspond à une génératrice de la surface latérale du fil de torsion inférieur tordue selon une « hélice droite » $\;{\big$le fil de torsion inférieur étant le symétrique par rapport au plan horizontal passant par $\;C\;$ du fil de torsion supérieur${\big )}$, Remarque 3 : le fil inférieur se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «$\;-\;$» dont le vecteur moment «$\;{\vec {\Gamma }}_{\text{tors. inf.}}\;$» est colinéaire et « de sens contraire à $\;{\vec {u}}_{CO_{\text{sup}}}\;$», $\;{\big$c'est en fait le même couple de torsion donc le même vecteur moment soit encore «$\;{\vec {\Gamma }}_{\text{tors. inf.}}={\vec {\Gamma }}_{\text{tors. sup.}}\;$ tous deux notés $\;{\vec {\Gamma }}_{\text{tors}}\;$»${\big ]}$.

### Expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil en fonction de l'angle de torsion « α(t) », notion de constante de torsion « C » du fil de torsion

Expérimentalement on constate, en restant dans le domaine des torsions modérées, que «$\;{\overline {\Gamma }}_{\text{tors}}(t)\;$ est $\;\propto \;$ à l'angle de torsion $\;\alpha (t)\;$ », le « cœfficient de proportionnalité étant $\;<0\;$», « de valeur absolue notée $\;C>0\;$» et appelée « constante de torsion du fil » soit
$\;{\overrightarrow {\Gamma }}_{\text{tors}}(t)=-C\;\alpha (t)\;{\vec {u}}_{CO_{\text{sup}}}\;$
$\;{\overrightarrow {\Gamma }}_{\text{tors}}(t)={\overline {\Gamma }}_{\text{tors}}(t)\;{\vec {u}}_{CO_{\text{sup}}}\;$
$\;{\overline {\Gamma }}_{\text{tors}}(t)=-C\;\alpha (t)\;$
$\;C\;$
$\;N\cdot m\cdot rad^{-1}\;$
$\;N\cdot m\;$

### Complément, « dépendance » de la constante de torsion d’un fil de torsion

En théorie la constante de torsion «$\;C\;$» d'un fil cylindrique de longueur «$\;{\mathit {l}}\;$», de diamètre «$\;d\;$» et de module d'élasticité transversale $\;{\big$ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb${\big )}\;$ «$\;G\;$» s’exprimant en «$\;N\cdot m^{-2}=Pa\;$», se calcule par
$\;C={\dfrac {\pi }{2}}\;{\dfrac {d^{4}}{\mathit {l}}}\;G\;$
Exemples : considérons un fil cylindrique, homogène, constitué de matière différente mais de même longueur $\;{\mathit {l}}=1,0\;m\;$ et de même diamètre $\;d=0,20\;mm$, la valeur de la constante de torsion du fil suivant la nature du matériau le composant est :  Exemples : $\;\succ \;$pour un fil en acier «$\;C_{\text{acier}}={\dfrac {\pi }{2}}\;{\dfrac {d^{4}}{\mathit {l}}}\;G_{\text{acier}}\simeq {\dfrac {\pi }{2}}\times {\dfrac {\left(0,20\;10^{-3}\right)^{4}}{1,0}}\times 81\;10^{9}\;$» soit «$\;C_{\text{acier}}\simeq 2,0\;10^{-4}\;N\cdot m\;$» $\;{\big \$valeur correspondant à un fil fin sensible à la torsion car un angle de torsion de valeur absolue «$\;0,1\;rad\simeq 6\;{\text{°}}\;$» nécessite un couple de moment «$\;2,0\;10^{-5}\;N\cdot m\;$ relativement faible $\;{\big$d'où une grande sensibilité${\big )}\;$ mais suffisamment grand pour ne pas être considéré comme nul »${\big \}$,  Exemples : $\;\succ \;$pour un fil en tungstène «$\;C_{W}={\dfrac {\pi }{2}}\;{\dfrac {d^{4}}{\mathit {l}}}\;G_{W}\simeq {\dfrac {\pi }{2}}\times {\dfrac {\left(0,20\;10^{-3}\right)^{4}}{1,0}}\times 150\;10^{9}\;$» soit «$\;C_{W}\simeq 3,8\;10^{-4}\;N\cdot m\;$» $\;{\big \$valeur correspondant à un fil fin un peu moins sensible à la torsion car un angle de torsion de valeur absolue «$\;0,1\;rad\simeq 6\;{\text{°}}\;$» nécessite un couple de moment «$\;3,8\;10^{-5}\;N\cdot m\;$ approximativement deux fois plus grand que le précédent $\;{\big$d'où une sensibilité approximativement deux fois plus faible que le précédent${\big )}\;$»${\big \}$ et  Exemples : $\;\succ \;$pour un fil en caoutchouc «$\;C_{\text{caoutchouc}}={\dfrac {\pi }{2}}\;{\dfrac {d^{4}}{\mathit {l}}}\;G_{\text{caoutchouc}}\simeq {\dfrac {\pi }{2}}\times {\dfrac {\left(0,20\;10^{-3}\right)^{4}}{1,0}}\times 0,5\;10^{9}\;$» soit «$\;C_{\text{caoutchouc}}\simeq 1,3\;10^{-6}\;N\cdot m\;$» $\;{\big \$valeur correspondant à un fil fin quasi insensible à la torsion car un angle de torsion de valeur absolue «$\;0,1\;rad\simeq 6\;{\text{°}}\;$» nécessite un couple de moment «$\;1,3\;10^{-7}\;N\cdot m\;$ quasi nul $\;{\big$d'où une très faible sensibilité${\big )}\;$ permettant de considérer le fil comme un fil sans torsion »${\big \}$.

## Présentation du pendule de torsion (non amorti)

Ci-contre un pendule de torsion $\;{\big$non amorti${\big )}\;$ avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «$\;C\;$» et positionnement de masselottes apparemment identiques $\;{\big$sauf pour la couleur${\big )}\;$ de part et d'autre du point $\;C\;$ $\;{\big$point d’attache des deux fils de torsion sur la tige${\big )}$ ;
contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil (remarque 3) » plus haut dans le chapitre, seule l'extrémité $\;O_{\text{inf}}\;$ du fil de torsion inférieur est fixe $\;{\big$position servant de référence${\big )}$, l'extrémité $\;O_{\text{sup}}\;$ pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «$\;2\;\theta _{1}\;$» $\;{\big$repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à $\;O_{\text{inf}}$, position de référence du cercle gradué${\big )}$, la conséquence de ce choix étant que
le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » adopte, après quelques oscillations,
$\;\theta _{1}\;$
en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite d'un angle «$\;\theta _{1}-2\;\theta _{1}=-\theta _{1}\;$» par rapport à l'extrémité $\;O_{\text{sup}}$, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment
$\;{\vec {\Gamma }}_{\text{tors. sup.}}=-C\left(-\theta _{1}\right){\vec {u}}_{CO_{\text{sup}}}=C\;\theta _{1}\;{\vec {u}}_{CO_{\text{sup}}}\;$
en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice droite d’un angle «$\;\theta _{1}-0=\theta _{1}\;$» par rapport à l’extrémité $\;O_{\text{inf}}$, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment
$\;{\vec {\Gamma }}_{\text{tors. inf.}}=-C\left(\theta _{1}\right){\vec {u}}_{CO_{\text{sup}}}=-C\;\theta _{1}\;{\vec {u}}_{CO_{\text{sup}}}\;$
en effet, la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide vérifiant «$\;{\vec {\Gamma }}_{\text{tors. sup.}}+{\vec {\Gamma }}_{\text{tors. inf.}}={\vec {0}}\;$» le solide est effectivement en équilibre dans cette position $\;\ldots$

## Établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)
### Moment d’inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe des fils de torsion

La tige étant homogène, de masse $\;m_{\text{tige}}\;$ et de longueur $\;{\mathit {l}}_{\text{tige}}$, le moment d’inertie par rapport à un axe médiatrice $\;\Delta _{C}\;$ de celle-ci s’écrit
$\;J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{tige}}\right)={\dfrac {1}{12}}\;m_{\text{tige}}\;{\mathit {l}}_{\text{tige}}^{\,2}\;$
chaque masselotte étant un cylindre homogène, de masse $\;m_{\text{masselotte}}$, de rayon $\;R_{\text{masselotte}}\;$ et de longueur $\;{\mathit {l}}_{\text{masselotte}}$, le moment d’inertie de chacune d'elle par rapport à un axe $\;\Delta _{G}\;\parallel \;$ à $\;\Delta _{C}$, passant par le C.D.I. $\;G\;$ de la masselotte considérée et $\;\perp \;$ à l'axe de révolution de cette dernière s’écrit
$\;J_{\Delta _{G}}\!\left({\text{masselotte}}\right)={\dfrac {1}{4}}\;m_{\text{masselotte}}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2}+{\dfrac {1}{12}}\;m_{\text{masselotte}}\;{\mathit {l}}_{\text{masselotte}}^{\,2}\;$
le C.D.I. $\;G\;$ de chaque masselotte étant situé de part et d’autre de $\;C\;$ à la distance $\;x$, le moment d’inertie de chaque masselotte par rapport à l’axe $\;\Delta _{C}\;$ se détermine par utilisation du « théorème de Huygens » «$\;J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{masselotte}}\right)=J_{\Delta _{G}}\!\left({\text{masselotte}}\right)+m_{\text{masselotte}}\;x^{2}\;$» soit finalement
$\;J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{masselotte}}\right)=m_{\text{masselotte}}\left({\dfrac {1}{4}}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2}+{\dfrac {1}{12}}\;{\mathit {l}}_{\text{masselotte}}^{\,2}+x^{2}\right)\;$
finalement le moment d'inertie autour d'un même axe étant une grandeur additive on en déduit l'expression du moment d'inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe $\;\Delta _{C}\;$ des fils de torsion soit
$\;J_{\Delta _{C}}=J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{tige}}\right)+2\;J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{masselotte}}\right)={\dfrac {1}{12}}\;m_{\text{tige}}\;{\mathit {l}}_{\text{tige}}^{\,2}+2\;m_{\text{masselotte}}\left({\dfrac {1}{4}}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2}+{\dfrac {1}{12}}\;{\mathit {l}}_{\text{masselotte}}^{\,2}+x^{2}\right)\;$

### Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)

Il s'agit de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion $\;{\big$non amorti${\big )}\;$ décrit au paragraphe « présentation du pendule de torsion (non amorti) » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à $\;\theta _{0}>\theta _{1}\;$ où $\;\theta _{1}\;$ est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide $\;{\big$toutes ces abscisses angulaires étant repérées par rapport à la position de l'extrémité inférieure $\;O_{\text{inf}}\;$ du fil de torsion inférieur${\big )}\;$ et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale ;
repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant $\;t\;$ par son abscisse angulaire $\;\theta (t)$ $\;{\big$repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure $\;O_{\text{inf}}\;$ du fil de torsion inférieur${\big )}$,
* l'angle de torsion du fil supérieur étant alors égal à «$\;\theta (t)-2\;\theta _{1}\;$» à l'instant $\;t$, le fil de torsion supérieur $\;\left\lbrace CO_{\text{sup}}\right\rbrace \;$ exerce sur le solide « tige + masselottes » un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe $\;\Delta _{C}\;$ «$\;{\overline {\Gamma _{\text{tors. sup.}}}}_{\Delta _{C}}=-C\left[\theta (t)-2\;\theta _{1}\right]\;$» et
* l’angle de torsion du fil inférieur étant égal à «$\;\theta (t)-0=\theta (t)\;$» à l'instant $\;t$, le fil de torsion inférieur $\;\left\lbrace CO_{\text{inf}}\right\rbrace \;$ exerce sur le solide « tige + masselottes » un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe $\;\Delta _{C}\;$ «$\;{\overline {\Gamma _{\text{tors. inf.}}}}_{\Delta _{C}}=-C\;\theta (t)\;$» d'où
d’où l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe $\;\Delta _{C}$, compte-tenu du fait que « les autres actions extérieures appliquées au solide sont toutes de moment scalaire nulles », nous conduit à «$\;{\overline {\Gamma _{\text{tors. sup.}}}}_{\Delta _{C}}+{\overline {\Gamma _{\text{tors. inf.}}}}_{\Delta _{C}}=J_{\Delta _{C}}\;{\ddot {\theta }}(t)\;$» soit encore «$\;-C\left[\theta (t)-2\;\theta _{1}\right]-C\;\theta (t)=J_{\Delta _{C}}\;{\ddot {\theta }}(t)\;$» et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en $\;\theta (t)$
$\;J_{\Delta _{C}}\;{\ddot {\theta }}(t)+2\;C\;\theta (t)=2\;C\;\theta _{1}\;$
Remarque : Dans l'hypothèse d'un pendule de torsion qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à $\;\alpha _{0}>0$ $\;{\big$abscisse angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure $\;O_{\text{sup}}\;$ du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure $\;O_{\text{inf}}\;$ du fil inférieur sans ou avec torsion${\big )}\;$ et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale,
Remarque : si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation de moment scalaire non nul relativement à $\;\Delta _{C}\;$ est celle du fil supérieur, l'angle de torsion de ce dernier étant à l'instant $\;t\;$ «$\;\alpha (t)-0=\alpha (t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\overline {\Gamma _{\text{tors. sup.}}}}_{\Delta _{C}}(t)=-C\;\alpha (t)\;$» au même instant $\;t\;$ et l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe $\;\Delta _{C}$ nous conduit à «$\;{\overline {\Gamma _{\text{tors. sup.}}}}_{\Delta _{C}}(t)=J_{\Delta _{C}}\;{\ddot {\alpha }}(t)\;$» soit encore «$\;-C\;\alpha (t)=J_{\Delta _{C}}\;{\ddot {\alpha }}(t)\;$» et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en $\;\alpha (t)$
$\;J_{\Delta _{C}}\;{\ddot {\alpha }}(t)+C\;\alpha (t)=0\;$
Remarque : si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation de moment scalaire non nul relativement à $\;\Delta _{C}\;$ sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur, l'angle de torsion du fil supérieur ou inférieur étant, à l'instant $\;t$, «$\;\alpha (t)-0=\alpha (t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\overline {\Gamma _{\text{tors. sup.}}}}_{\Delta _{C}}(t)={\overline {\Gamma _{\text{tors. inf.}}}}_{\Delta _{C}}(t)=-C\;\alpha (t)\;$» au même instant $\;t\;$ et l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe $\;\Delta _{C}$ nous conduit à «$\;{\overline {\Gamma _{\text{tors. sup.}}}}_{\Delta _{C}}(t)+{\overline {\Gamma _{\text{tors. inf.}}}}_{\Delta _{C}}(t)=J_{\Delta _{C}}\;{\ddot {\alpha }}(t)\;$» soit encore «$\;-2\;C\;\alpha (t)=J_{\Delta _{C}}\;{\ddot {\alpha }}(t)\;$» et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en $\;\alpha (t)$
$\;J_{\Delta _{C}}\;{\ddot {\alpha }}(t)+2\;C\;\alpha (t)=0\;$

## Pendule de torsion (non amorti) : oscillateur harmonique non amorti de rotation
### Forme normalisée de l'équation différentielle en « θ(t) » du pendule de torsion (non amorti)

Au paragraphe « Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) » nous avons établi l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion $\;{\big$non amorti${\big )}\;$ sous la forme «$\;J_{\Delta _{C}}\;{\ddot {\theta }}(t)+2\;C\;\theta (t)=2\;C\;\theta _{1}\;$», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant les deux membres par $\;J_{\Delta _{C}}\;$ soit
$\;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {2\;C}{J_{\Delta _{C}}}}\;\theta (t)={\dfrac {2\;C}{J_{\Delta _{C}}}}\;\theta _{1}\;$
Remarque : Dans l'hypothèse d'un pendule de torsion qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à $\;\alpha _{0}>0$ $\;{\big$abscisse angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure $\;O_{\text{sup}}\;$ du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure $\;O_{\text{inf}}\;$ du fil inférieur sans ou avec torsion${\big )}\;$ et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale,
Remarque : si le fil inférieur est sans torsion, de l'équation différentielle en $\;\alpha (t)$ déterminée précédemment «$\;J_{\Delta _{C}}\;{\ddot {\alpha }}(t)+C\;\alpha (t)=0\;$», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par $\;J_{\Delta _{C}}\;$ soit
$\;{\ddot {\alpha }}(t)+{\dfrac {C}{J_{\Delta _{C}}}}\;\alpha (t)=0\;$
Remarque : si le fil inférieur est avec torsion, de l'équation différentielle en $\;\alpha (t)$ déterminée précédemment «$\;J_{\Delta _{C}}\;{\ddot {\alpha }}(t)+2\;C\;\alpha (t)=0\;$», nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par $\;J_{\Delta _{C}}\;$ soit
$\;{\ddot {\alpha }}(t)+{\dfrac {2\;C}{J_{\Delta _{C}}}}\;\alpha (t)=0\;$

### Conséquence « le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation »

L'équation différentielle normalisée du pendule de torsion $\;{\big$non amorti${\big )}\;$ «$\;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {2\;C}{J_{\Delta _{C}}}}\;\theta (t)={\dfrac {2\;C}{J_{\Delta _{C}}}}\;\theta _{1}\;$» étant une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants positifs du 2ème ordre sans terme du 1er ordre avec un 2nd membre constant est effectivement la 1re définition d'un « oscillateur harmonique non amorti » ;
on vérifie que $\;\theta _{1}\;$ est la solution forcée de l'équation différentielle hétérogène, laquelle représente l'abscisse angulaire de la position d’équilibre du solide que l'on obtiendrait dans l'hypothèse de frottements,
la pulsation propre «$\;\omega _{0}\;$» du pendule de torsion $\;{\big$non amorti${\big )}\;$ étant «$\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {2\;C}{J_{\Delta _{C}}}}}\;$», la solution libre de l'équation différentielle de ce dernier s'écrit sous la forme «$\;\theta _{\mathit {l}}(t)=$ $A\;\cos \!\left(\omega _{0}\;t\right)+B\;\sin \!\left(\omega _{0}\;t\right)\;$»$^,$ ;
on en déduit la solution transitoire «$\;\theta (t)=\theta _{1}+A\;\cos \!\left(\omega _{0}\;t\right)+B\;\sin \!\left(\omega _{0}\;t\right)\;$», $\;A\;$ et $\;B\;$ se déterminant à l’aide des C.I. soit
* $\;\theta (0)=\theta _{0}\;$ $\Rightarrow$ $\;\theta _{1}+A=\theta _{0}\;$ d'où $\;A=\theta _{0}-\theta _{1}\;$ et
* $\;{\dot {\theta }}(0)=0\;$ $\Rightarrow$ $\;B\;\omega _{0}=0\;$ d'où $\;B=0\;$
finalement la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion $\;{\big$non amorti${\big )}\;$ avec ces C.I. « abscisse angulaire initiale $\;\theta _{0}\;$ et absence de vitesse angulaire initiale » s'écrit selon
$\;\theta (t)=\theta _{1}+\left(\theta _{0}-\theta _{1}\right)\;\cos \!\left(\omega _{0}\;t\right)\;$
finalement la période propre d’oscillation du pendule de torsion s’écrit selon «$\;{\mathcal {T}}_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {J_{\Delta _{C}}}{2\;C}}}\;$», finalement $\;{\mathcal {T}}_{0}\nearrow \;$ quand l’inertie du solide « tige + masselottes » $\;\nearrow \;$ c'est-à-dire quand $\;J_{\Delta _{C}}\nearrow \;$ ce qui est réalisé en écartant les masselottes de l'axe $\;\Delta _{C}$ $\;{\big$correspondant à $\;x\nearrow {\big )}\;$ ou finalement quand la constante de torsion des fils $\;C\searrow$ $\;{\bigg$d'après le « complément : dépendance de la constante de torsion d'un fil de torsion » exposé plus haut dans ce chapitre «$\;C=$ ${\dfrac {\pi }{2}}\;{\dfrac {d^{4}}{\mathit {l}}}\;G\;$» avec $\;G\;$ le module d'élasticité transversale du matériau composant le fil de torsion, $\;d\;$ étant son diamètre et $\;{\mathit {l}}\;$ sa longueur, on en déduit que «$\;C\searrow \;$» quand le diamètre du fil «$\;d\searrow \;$» ou quand sa longueur «$\;{\mathit {l}}\nearrow \;$» ou encore quand le module d'élasticité transversale du matériau composant le fil «$\;G\searrow \;$»$^,$${\bigg ]}$ ;
finalement on notera l’isochronisme des oscillations, cette propriété étant caractéristique de tout oscillateur harmonique.
Exemple numérique : Considérant un fil d'acier de module d'élasticité transversale $\;G_{\text{acier}}=81\;GPa\;$, de diamètre $\;d=0,50\;mm\;$ et de longueur $\;{\mathit {l}}=0,50\;m$, sa constante de torsion $\;C\;$ est évaluée à $\;C={\dfrac {\pi }{2}}\;{\dfrac {d^{4}}{\mathit {l}}}\;G={\dfrac {\pi }{2}}\times {\dfrac {\left(0,50\;10^{-3}\right)^{4}}{0,50}}\times 81\;10^{9}\;$ soit «$\;C\simeq 1,59\;10^{-2}\;N\cdot m\;$», Exemple numérique : Considérant un solide constitué d'une tige de masse $\;m_{\text{tige}}=100\;g$, de longueur $\;{\mathit {l}}_{\text{tige}}=30\;cm\;$ et Exemple numérique : Considérant un solide constitué de deux masselottes de masse individuelle $\;m_{\text{masselotte}}=150\;g$, de rayon $\;R_{\text{masselotte}}=2,0\;cm\;$ et de longueur $\;{\mathit {l}}_{\text{masselotte}}=$ $3,0\;cm$, positionnées symétriquement, de part et d'autre de $\;\Delta _{C}$, à la distance $\;x=10\;cm$, d'où Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide $\;J_{\Delta _{C}}=J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{tige}}\right)+2\;J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{masselotte}}\right)\;$ d'après le caractère additif du moment d'inertie avec Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide $\;J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{tige}}\right)={\dfrac {1}{12}}\;m_{\text{tige}}\;{\mathit {l}}_{\text{tige}}^{\,2}\;$ $={\dfrac {0,10\times \left(0,30\right)^{2}}{12}}=7,5\;10^{-4}\;kg\cdot m^{2}\;$ et Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide $\;J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{masselotte}}\right)=m_{\text{masselotte}}\left({\dfrac {1}{4}}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2}+{\dfrac {1}{12}}\;{\mathit {l}}_{\text{masselotte}}^{\,2}+x^{2}\right)\;$$^,$ donnant numériquement $\;0,15\times \left[{\dfrac {\left(2,0\;10^{-}2\right)^{2}}{4}}+{\dfrac {\left(3,0\;10^{-}2\right)^{2}}{12}}+\left(0,10\right)^{2}\right]\simeq 15,26\;10^{-3}\;kg\cdot m^{2}\;$ d'où Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide $\;J_{\Delta _{C}}\;$ est évalué selon $\;J_{\Delta _{C}}=J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{tige}}\right)+2\;J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{masselotte}}\right)\simeq 7,5\;10^{-4}+2\times 15,26\;10^{-3}\;$ soit «$\;J_{\Delta _{C}}\simeq 3,8\;10^{-3}\;kg\cdot m^{2}\;$» ;
Exemple numérique : la période propre d'oscillation du pendule de torsion, lorsque les masselottes sont fixées sur la tige, est $\;{\mathcal {T}}_{0,\,{\text{tige + masselottes}}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {J_{\Delta _{C}}}{2\;C}}}\;$ soit numériquement $\;{\mathcal {T}}_{0,\,{\text{tige + masselottes}}}\simeq 2\times \pi \times {\sqrt {\dfrac {3,8\;10^{-3}}{2\times 1,59\;10^{-2}}}}\simeq 2,17\;s\;$ et Exemple numérique : la période propre d'oscillation du pendule de torsion, en absence de masselottes $\;{\mathcal {T}}_{0,\,{\text{tige}}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{tige}}\right)}{2\;C}}}\simeq 2\times \pi \times {\sqrt {\dfrac {7,4\;10^{-4}}{2\times 1,59\;10^{-2}}}}\simeq 0,96\;s$.
Remarque : Dans l'hypothèse d'un pendule de torsion qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à $\;\alpha _{0}>0$ $\;{\big$abscisse angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure $\;O_{\text{sup}}\;$ du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure $\;O_{\text{inf}}\;$ du fil inférieur sans ou avec torsion${\big )}\;$ et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale,
Remarque : si le fil inférieur est sans torsion, l'équation différentielle normalisée en $\;\alpha (t)\;$ s'écrivant «$\;{\ddot {\alpha }}(t)+{\dfrac {C}{J_{\Delta _{C}}}}\;\alpha (t)=0\;$», on en déduit la pulsation propre «$\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {C}{J_{\Delta _{C}}}}}\;$» puis la période propre d'oscillation «$\;{\mathcal {T}}_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {J_{\Delta _{C}}}{C}}}\;$», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du pendule de torsion «$\;\alpha (t)=\alpha _{0}\;\cos \!\left(\omega _{0}\;t\right)\;$»$^,$ $\;{\big$numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation est multipliée par $\;{\sqrt {2}}\;$ par rapport à celle déterminée hors remarque soit $\;{\mathcal {T}}_{0,\,{\text{tige + masselottes}}}\simeq 2,17\times {\sqrt {2}}\simeq 3,07\;s\;$ ou $\;{\mathcal {T}}_{0,\,{\text{tige}}}\simeq 0,96\times {\sqrt {2}}\simeq 1,36\;s{\big )}\;$ et
Remarque : si le fil inférieur est avec torsion, l'équation différentielle normalisée en $\;\alpha (t)\;$ s'écrivant «$\;{\ddot {\alpha }}(t)+{\dfrac {2\;C}{J_{\Delta _{C}}}}\;\alpha (t)=0\;$», on en déduit la pulsation propre «$\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {2\;C}{J_{\Delta _{C}}}}}\;$» puis la période propre d'oscillation «$\;{\mathcal {T}}_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {J_{\Delta _{C}}}{2\;C}}}\;$», suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du pendule de torsion «$\;\alpha (t)=\alpha _{0}\;\cos \!\left(\omega _{0}\;t\right)\;$»$^,$ $\;{\big$numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation reste la même que celle déterminée hors remarque soit $\;{\mathcal {T}}_{0,\,{\text{tige + masselottes}}}\simeq 2,17\;s\;$ ou $\;{\mathcal {T}}_{0,\,{\text{tige}}}\simeq 0,96\;s{\big )}$.

## Complément, pendule de torsion amorti
### Modification du dispositif pour obtenir un pendule de torsion amorti

On reprend le dispositif représenté au paragraphe « présentation du pendule de torsion » en remplaçant les masselottes par des ailettes en carton $\;{\big$ou autre matériau${\big )}\;$ positionnées perpendiculairement à leur déplacement $\;{\big$c'est-à-dire en position verticale parallèlement à la tige les supportant${\big )}\;$ voir figure ci-contre en vue de dessus.
Remarque : On peut faire un « enregistrement » par oscilloscope numérique $\;{\big$le balayage devant être très lent de façon ce que la durée de l'enregistrement soit de quelques dizaines de secondes${\big )}\;$ à l’aide d’un capteur transformant la position angulaire en tension électrique permanente $\;{\big$la position angulaire $\;\theta =\theta _{1}\;$ correspondant à la position d'équilibre du pendule étant transformée en tension nulle${\big )}$, l’interfaçage au niveau du pendule est réalisé par un montage potentiométrique $\;{\big$voir ci-dessous à droite${\big )}$ :
Remarque : Description de l'interfaçage $\;{\big$voir ci-contre${\big )}$ : une cuve contenant une solution conductrice est positionnée sous la tige, deux électrodes fixes aux bornes desquelles on impose une tension permanente engendrée par une alimentation stabilisée $\;{\big$A.S.${\big )}\;$ plongent dans la solution au-dessous des endroits extrêmes que les extrémités de la tige peuvent atteindre lors de toutes les oscillations envisageables de celle-ci, une 3ème électrode fixe est positionnée sous la position d'équilibre du pendule et une 4ème électrode est solidaire de la tige ; Remarque : Description de l'interfaçage : ainsi entre la 4ème électrode mobile solidaire du pendule et la 3ème électrode fixe positionnée en la position d'équilibre du pendule, on prélève une tension $\;\propto \;$ à l’angle de rotation du pendule par rapport à sa position d’équilibre soit «$\;\theta (t)-\theta _{1}\;$».

### Couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l’intermédiaire des ailettes

Les ailettes se déplaçant perpendiculairement à leur surface plane dans l'air immobile $\;{\big$ou dans un liquide plus ou moins visqueux immobile${\big )}\;$ sont chacune soumises à des forces de frottement fluide que nous supposerons linéaires, la vitesse des ailettes dans le référentiel d'étude du mouvement du pendule restant faible ;
les ailettes étant disposées symétriquement relativement à l'axe $\;\Delta _{C}\;$ de rotation, chaque point $\;M_{i,\,1}\;$ de l'ailette $\;\left(1\right)\;$ ayant un symétrique $\;M_{i,\,2}\;$ de l'ailette $\;\left(2\right)\;$ de vecteurs vitesse opposés, on en déduit que ces deux points subissent des forces de frottement fluide opposées correspondant à un couple de forces et par suite que l'ensemble des deux ailettes subit l'action d'un couple de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à $\;\Delta _{C}\;$ est la somme des moments scalaires de chaque couple de forces de frottement s'exerçant sur $\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2}\right\rbrace \;$ pour $\;i\;$ variant de $\;1\;$ à $\;N\;$ le nombre de points matériels de l'ailette $\;\left(1\right)$ $\;{\big$ou $\;\left(2\right){\big ]}\;$ soit $\;{\overline {\Gamma _{\text{flui.}}}}_{\Delta _{C}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left\lbrace {\overline {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(M_{i,\,1})\;\left(M_{i,\,1}M_{i,\,2}\right)\right\rbrace \;$ ou, avec $\;\left(M_{i,\,1}M_{i,\,2}\right)=$ $2\;r_{i}$ $\;{\bigr_{i}\;$ étant la distance orthogonale commune de $\;M_{i,\,1}\;$ ou $\;M_{i,\,2}\;$ à $\;\Delta _{C}{\big )}\;$ et $\;{\overline {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(M_{i,\,1})=-h\;r_{i}\;{\dot {\theta }}(t)\;$ on en déduit $\;{\overline {\Gamma _{\text{flui.}}}}_{\Delta _{C}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left\lbrace -h\;r_{i}\;{\dot {\theta }}(t)\left(2\;r_{i}\right)\right\rbrace =-\left\lbrace 2\;h\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}r_{i}^{2}\right]\right\rbrace \;{\dot {\theta }}(t)\;$ soit finalement un couple de frottement fluide linéaire s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » de moment scalaire relativement à $\;\Delta _{C}\;$ s'écrivant selon
$\;{\overline {\Gamma _{\text{flui.}}}}_{\Delta _{C}}=-H\;{\dot {\theta }}(t)\;$
$\;H\;$
$\;N\cdot m\cdot s=kg\cdot m^{2}\cdot s\;$

### Mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti

L’application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe $\;\Delta _{C}$, compte-tenu du fait que « les seules actions extérieures appliquées au solide de moment scalaire non nul sont celles des couples de torsion des fils supérieur et inférieur et du couple de frottement fluide linéaire dont les moments scalaires par rapport à $\;\Delta _{C}\;$ sont respectivement $\;{\overline {\Gamma _{\text{tors. sup.}}}}_{\Delta _{C}}=-C\left[\theta (t)-2\;\theta _{1}\right]$, $\;{\overline {\Gamma _{\text{tors. inf.}}}}_{\Delta _{C}}=-C\;\theta (t)\;$ et $\;{\overline {\Gamma _{\text{flui.}}}}_{\Delta _{C}}=-H\;{\dot {\theta }}(t)\;$», « les autres actions extérieures appliquées au solide étant toutes de moment scalaire nulles », nous conduit à «$\;{\overline {\Gamma _{\text{tors. sup.}}}}_{\Delta _{C}}+{\overline {\Gamma _{\text{tors. inf.}}}}_{\Delta _{C}}+{\overline {\Gamma _{\text{flui.}}}}_{\Delta _{C}}=$ $J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{tige}}+{\text{ailettes}}\right)\;{\ddot {\theta }}(t)\;$» soit encore «$\;-C\left[\theta (t)-2\;\theta _{1}\right]-C\;\theta (t)-H\;{\dot {\theta }}(t)=$ $J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{tige}}+{\text{ailettes}}\right)\;{\ddot {\theta }}(t)\;$» à résoudre avec les mêmes C.I. que celles du paragraphe « mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) » plus haut dans ce chapitre et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en $\;\theta (t)$
$\;J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{tige}}+{\text{ailettes}}\right)\;{\ddot {\theta }}(t)+H\;{\dot {\theta }}(t)+2\;C\;\theta (t)=2\;C\;\theta _{1}\;$
soit enfin, en normalisant, «$\;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {H}{J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{tige}}+{\text{ailettes}}\right)}}\;{\dot {\theta }}(t)+{\dfrac {2\;C}{J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{tige}}+{\text{ailettes}}\right)}}\;\theta (t)={\dfrac {2\;C}{J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{tige}}+{\text{ailettes}}\right)}}\;\theta _{1}\;$» c'est-à-dire l'équation différentielle d'un « oscillateur harmonique amorti ».

### Loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti

Préliminaire : si les ailettes utilisées sont en carton, la masse de chacune d'elles restant faible par exemple $\;m_{\text{ailette}}\simeq 1,0\;g$, on peut assimiler le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe $\;\Delta _{C}\;$ avec le moment d'inertie de la tige par rapport à $\;\Delta _{C}\;$ selon «$\;J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{tige}}+{\text{ailettes}}\right)=J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{tige}}\right){\cancel {+\;2\;J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{ailette}}\right)}}\simeq J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{tige}}\right)\;$» d'où la réécriture de l'équation différentielle normalisée du pendule de torsion amorti «$\;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {H}{J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{tige}}\right)}}\;{\dot {\theta }}(t)+{\dfrac {2\;C}{J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{tige}}\right)}}\;\theta (t)={\dfrac {2\;C}{J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{tige}}\right)}}\;\theta _{1}\;$».
Réduction canonique : la réduction canonique de ce pendule de torsion amorti nous conduit à définir :
* la pulsation propre du pendule «$\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {2\;C}{J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{tige}}\right)}}}\;$» $\;{\bigg \$dont on déduit «$\;J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{tige}}\right)\;\omega _{0}={\dfrac {2\;C}{\omega _{0}}}\;$»${\bigg \}$,
* le cœfficient d'amortissement du pendule «$\;\sigma \;$» tel que «$\;{\dfrac {H}{J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{tige}}\right)}}=2\;\sigma \;\omega _{0}\;$» soit «$\;\sigma ={\dfrac {H}{2\;J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{tige}}\right)\;\omega _{0}}}={\dfrac {H\;\omega _{0}}{4\;C}}={\dfrac {H}{2\;{\sqrt {2\;J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{tige}}\right)\;C}}}}\;$» ou le facteur de qualité du pendule «$\;Q={\dfrac {1}{2\;\sigma }}={\dfrac {J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{tige}}\right)\;\omega _{0}}{H}}={\dfrac {2\;C}{H\;\omega _{0}}}={\dfrac {\sqrt {2\;J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{tige}}\right)\;C}}{H}}\;$» d'où
Réduction canonique : la réécriture de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti sous forme canonique
$\;{\ddot {\theta }}(t)+2\;\sigma \;\omega _{0}\;{\dot {\theta }}(t)+\omega _{0}^{2}\;\theta (t)=\omega _{0}^{2}\;\theta _{1}\;$
$\;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {\omega _{0}}{Q}}\;{\dot {\theta }}(t)+\omega _{0}^{2}\;\theta (t)=\omega _{0}^{2}\;\theta _{1}\;$
Résolution de l'équation différentielle : celle-ci étant linéaire à cœfficients réels constants du 2ème ordre à excitation constante, sa solution générale est la somme de la solution forcée et de la solution libre soit «$\;\theta (t)=$ $\theta _{\mathit {f}}+\theta _{\mathit {l}}(t)\;$»,
* la solution forcée est la même que celle du pendule de torsion non amorti à savoir «$\;\theta _{\mathit {f}}=\theta _{1}\;$» et
* la solution libre nécessite de résoudre l'équation caractéristique «$\;s^{2}+2\;\sigma \;\omega _{0}\;s+\omega _{0}^{2}=0\;$», cette résolution dépendant de la discussion suivante selon la valeur de $\;\sigma \;$ la solution libre$\;\succ \;$pour $\;\sigma <1\;$ la solution libre est pseudo-périodique de « pseudo-pulsation $\;\omega =\omega _{0}\;{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}\;$» correspondant à une « pseudo-période $\;{\mathcal {T}}={\dfrac {2\;\pi }{\omega }}=$ ${\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}\;{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}}={\dfrac {{\mathcal {T}}_{0}}{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\;$» $\;>{\mathcal {T}}_{0}$ $\;{\bigg$dans lequel $\;{\mathcal {T}}_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {J_{\Delta _{C}\!\left({\text{tige}}\right)}}{2\;C}}}\;$» est la période propre du pendule de torsion non amorti${\bigg ]}$, $\;{\big$la pseudo-période $\;{\mathcal {T}}\;$ s'écartant d’autant plus de la période propre $\;{\mathcal {T}}_{0}\;$ que le cœfficient d’amortissement $\;\sigma \;$ se rapproche de $\;1{\big )}$, la forme de la solution libre étant «$\;\theta _{\mathit {l}}(t)=A\,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\cos \!\left(\omega \;t+\varphi \right)\;$», $\;A\;$ et $\;\varphi \;$ étant deux constantes réelles arbitraires, la solution libre$\;\succ \;$pour $\;\sigma =1\;$ la solution libre est apériodique critique de forme «$\;\theta _{\mathit {l}}(t)=\left(A+B\;t\right)\,\exp \!\left(-\omega _{0}\;t\right)\;$», $\;A\;$ et $\;B\;$ étant deux constantes réelles arbitraires et la solution libre$\;\succ \;$pour $\;\sigma >1\;$ la solution libre est apériodique de forme «$\;\theta _{\mathit {l}}(t)=A_{+}\,\exp \!\left[-\omega _{0}\left(\sigma -{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right)\,t\right]+A_{-}\,\exp \!\left[-\omega _{0}\left(\sigma +{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right)\,t\right]\;$», $\;A_{+}\;$ et $\;A_{-}\;$ étant deux constantes réelles arbitraires ;
Résolution de l'équation différentielle : la solution transitoire du pendule de torsion amorti prend donc, suivant le type de régime libre $\;{\big$ou la valeur de $\;\sigma {\big )}$, la forme suivante : Résolution de l'équation différentielle : $\;\succ \;$pour $\;\sigma <1$ $\;{\big$régime pseudo-périodique${\big )}\;$ «$\;\theta (t)=\theta _{1}+A\,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\cos \!\left(\omega \;t+\varphi \right)\;$», $\;A\;$ et $\;\varphi \;$ se déterminant à l'aide des C.I., la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti dans son régime pseudo-périodique traduisant un amortissement exponentiel de la pseudo-amplitude des pseudo-oscillations autour de la valeur d'équilibre $\;\theta _{\text{éq}}=\theta _{1}$, amortissement exponentiel de constante de temps $\;\tau _{\text{amortis}}={\dfrac {1}{\sigma \;\omega _{0}}}={\dfrac {2\;J_{\Delta _{C}}}{H}}$, la pseudo-période $\;{\mathcal {T}}={\dfrac {{\mathcal {T}}_{0}}{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\;$ des pseudo-oscillations ${\bigg$avec $\;{\mathcal {T}}_{0}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {J_{\Delta _{C}\!\left({\text{tige}}\right)}}{2\;C}}}\;$ période propre du pendule de torsion non amorti${\bigg ]}\;$ étant d'autant plus grande que $\;\sigma \;$ est proche de sa valeur critique $\;\sigma _{c}=1$ $\;{\Big$avec $\;\lim \limits _{\sigma \,\rightarrow \,1}{\mathcal {T}}=+\infty {\Big )}$, Résolution de l'équation différentielle : $\;\succ \;$pour $\;\sigma =1$ $\;{\big$régime apériodique critique${\big )}\;$ «$\;\theta (t)=\theta _{1}+\left(A+B\;t\right)\,\exp \!\left(-\omega _{0}\;t\right)\;$», $\;A\;$ et $\;B\;$ se déterminant à l'aide des C.I., la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti dans son régime apériodique critique traduisant un un retour direct à la valeur d'équilibre $\;\theta _{\text{éq}}=\theta _{1}$ $\;{\big$retour direct dans la mesure où la C.I. de vitesse est $\;{\dot {\theta }}(0)=0{\big ]}\;$ et Résolution de l'équation différentielle : $\;\succ \;$pour $\;\sigma >1$ $\;{\big$régime apériodique${\big )}\;$ «$\;\theta (t)=\theta _{1}+A_{+}\,\exp \!\left[-\omega _{0}\left(\sigma -{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right)\,t\right]+A_{-}\,\exp \!\left[-\omega _{0}\left(\sigma +{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right)\,t\right]\;$», $\;A_{+}\;$ et $\;A_{-}\;$ se déterminant à l'aide des C.I., la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti dans son régime apériodique critique traduisant un un retour direct à la valeur d'équilibre $\;\theta _{\text{éq}}=\theta _{1}$ $\;{\big$retour direct dans la mesure où la C.I. de vitesse est $\;{\dot {\theta }}(0)=0{\big ]}$, ce retour se faisant plus lentement que lors d'un retour apériodique critique et ceci d'autant plus lentement que $\;\sigma \;$ est grand.
Diagrammes temporelles de position angulaire : ceux-ci sont de même allure que ceux déjà présentés au paragraphe « relevé expérimental de l'évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur (d'un R L C série) avec observation de sa continuité en t = 0 » du chap.$28$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » en remplaçant Diagrammes temporelles de position angulaire : $\;u_{C}(t)\;$ par $\;\theta (t)$, Diagrammes temporelles de position angulaire : $\;u_{C}(0^{-})=0\;$ par $\;\theta (0^{-})=\theta _{0}>\theta _{1}\;$ et Diagrammes temporelles de position angulaire : $\;u_{C}(\infty )=E=1\;V\;$ par $\;\theta (\infty )=\theta _{1}$.