# Calcul différentiel/Exercices/Équations différentielles linéaires

$I$ désignera un intervalle réel et $\Omega$ un ouvert de $\mathbb {R} ^{n}$.

## Exercice 1

Soient $n$ fonctions continues $a_{0},\dots ,a_{n-1}:I\to \mathbb {R}$.
* Mettre l'équation différentielle $y^{(n)}=a_{n-1}y^{(n-1)}+\dots +a_{1}y'+a_{0}y$ sous la forme d'un système d'ordre $1$.
* Lorsque les fonctions $a_{j}$ sont des constantes, déterminer le polynôme caractéristique de la matrice associée.
* On applique le procédé général (valable pour toute E.D. d'ordre n, même non linéaire ni sous forme résolue), en posant $Y={\begin{pmatrix}y^{(n-1)}\\\vdots \\y'\\y\end{pmatrix}}$. L'équation devient, pour une E.D. linéaire sous forme résolue comme ici : $Y'=AX$, avec $A={\begin{pmatrix}a_{n-1}&a_{n-2}&\dots &a_{1}&a_{0}\\1&0&\dots &0&0\\0&1&\dots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&\dots &1&0\end{pmatrix}}$.
* Si les fonctions $a_{j}$ sont des constantes, $A$ est la matrice compagnon de son polynôme caractéristique, $P(X)=X^{n}-a_{n-1}X^{n-1}-\dots -a_{1}X-a_{0}$ (au signe près et à transposition près de la matrice, selon les auteurs). Plus précisément : $\det \left(X\mathrm {I} _{n}-A\right)=\left|{\begin{matrix}X-a_{n-1}&-a_{n-2}&\dots &-a_{1}&-a_{0}\\-1&X&\dots &0&0\\0&-1&\dots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&\dots &-1&X\end{matrix}}\right|=$ en ajoutant à la dernière colonne $C_{n}$ la combinaison linéaire $\sum _{k=1}^{n-1}X^{n-k}C_{k}$ des colonnes précédentes, puis en développant suivant cette dernière colonne : $\left|{\begin{matrix}X-a_{n-1}&-a_{n-2}&\dots &-a_{1}&P(X)\\-1&X&\dots &0&0\\0&-1&\dots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&\dots &-1&0\end{matrix}}\right|=(-1)^{n-1}P(X)\left|{\begin{matrix}-1&X&\dots &0\\0&-1&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&\dots &-1\end{matrix}}\right|=P(X)$. Pour l'utilité de ce résultat, voir « Équation caractéristique d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants » sur Wikipédia.

## Exercice 2

Soient un entier $N\geq 2$ et un réel $C$. Montrer que l'équation différentielle
$x\left(x+C\right)y''+CNy'-N\left(N-1\right)y=0$
admet comme solutions particulières non nulles, sur $\left]0,+\infty \right[$ :
* une fonction de la forme $x\mapsto x^{\alpha }$, pour un réel $\alpha$ à déterminer ;
* un polynôme dont on précisera le degré.
Cette équation différentielle s'écrit aussi $x^{2}y''-N\left(N-1\right)y+C(xy''+Ny')=0$.
* Si $y=x^{\alpha }$ alors $xy'=\alpha y$ et $xy''=\left(\alpha -1\right)y'$ donc $x\left(x+C\right)y''+CNy'-N\left(N-1\right)y=\left[(\alpha -1)\alpha -N\left(N-1\right)\right]y+C(\alpha -1+N)y'=0$ si $\alpha =-N+1$.
* Pour $y(x)=\sum _{k=0}^{d}a_{k}x^{k}$ avec $a_{d}\neq 0$, l'équation différentielle se traduit par :
** $d\left(d-1\right)=N\left(N-1\right)$
** $\forall n<d\quad a_{n}\left[n\left(n-1\right)-N\left(N-1\right)\right]+Ca_{n+1}\left(n+1\right)\left(n+N\right)=0$
    c'est-à-dire : $d=N$ et $a_{d-1},\dots ,a_{0}$ déterminés de proche en proche en fonction de $a_{d}$. Il existe donc une solution polynomiale de degré $N$.

## Exercice 3

Soient $a,b:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ deux fonctions continues $T$-périodiques. On s'intéresse aux solutions de
$y'+ay+b=0$.
Montrer que :
* si $y$ est solution, $t\mapsto y\left(t+T\right)$ aussi ;
* une solution $y$ est $T$-périodique si (et seulement si) $y\left(T\right)=y\left(0\right)$ ;
* toute solution $y$ vérifie : $y\left(T\right)=$$y\left(0\right)\mathrm {e} ^{-\int _{0}^{T}a\left(t\right)\ \mathrm {d} t}-\int _{0}^{T}b\left(t\right)\mathrm {e} ^{-\int _{t}^{T}a\left(s\right)\ \mathrm {d} s}\ \mathrm {d} t$. Que peut-on en conclure ?
* Soit $y$ une solution ; posons $z\left(t\right)=y\left(t+T\right)$. Alors, $z'\left(t\right)=y'\left(t+T\right)=-a\left(t+T\right)y\left(t+T\right)+b\left(t+T\right)=-a\left(t\right)z\left(t\right)-b\left(t\right)$.
* Soit $y$ une solution vérifiant $y\left(T\right)=y\left(0\right)$. Alors, la solution $z$ de la question précédente coïncide avec $y$ en $0$ donc partout, d'après l'unicité dans le théorème de Cauchy-Lipschitz (qui s'applique ici car la fonction $\left(t,x\right)\mapsto -a\left(t\right)x-b\left(t\right)$ est bien continue, et localement lipschitzienne par rapport à $x$).
* Revoir « Équation différentielle linéaire du premier ordre » (niveau 13). Si $\Phi \left(t\right)=\int _{0}^{t}a(s)\ \mathrm {d} s$ (la primitive de $a$ qui s'annule en $0$), $y\left(T\right)=\mathrm {e} ^{-\Phi \left(T\right)}\left(y\left(0\right)-\int _{0}^{T}b\left(t\right)\mathrm {e} ^{\Phi \left(t\right)}\,\mathrm {d} t\right)$, ce qui est bien la formule annoncée. On en déduit les équivalences suivantes : $y$ est $T$-périodique $\Leftrightarrow$$y\left(0\right)\mathrm {e} ^{-\int _{0}^{T}a\left(t\right)\ \mathrm {d} t}-\int _{0}^{T}b\left(t\right)\mathrm {e} ^{-\int _{t}^{T}a\left(s\right)\ \mathrm {d} s}\ \mathrm {d} t=y\left(0\right)$$\Leftrightarrow$$\left(\mathrm {e} ^{-\int _{0}^{T}a\left(t\right)\ \mathrm {d} t}-1\right)y\left(0\right)=\int _{0}^{T}b\left(t\right)\mathrm {e} ^{-\int _{t}^{T}a\left(s\right)\ \mathrm {d} s}\ \mathrm {d} t$.

## Exercice 4

* Soient $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ une fonction de classe C$^k$ et $a$ un réel tel que $f\left(a\right)=0$ et $f^{\left(k\right)}\left(a\right)\neq 0$. Montrer que $a$ est un zéro isolé de $f$.
* Soient $n$ fonctions continues $a_{0},\dots ,a_{n-1}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ et $y$ une solution non identiquement nulle de $y^{\left(n\right)}=\sum _{j=0}^{n-1}a_{j}y^{\left(j\right)}$. Montrer que les éventuels zéros de $y$ sont isolés.
* S'il existait une suite de zéros de $f$ distincts de $a$ et convergeant vers $a$, on en déduirait, en appliquant le théorème de Rolle successivement à $f,f',\dots ,f^{\left(k-1\right)}$, une suite de zéros de $f^{\left(k\right)}$ convergeant vers $a$, ce qui (par continuité de $f^{\left(k\right)}$) contredirait l'hypothèse $f^{\left(k\right)}\left(a\right)\neq 0$.
* Si $a$ est un zéro non isolé d'une solution $y$, on en déduit, par le même raisonnement que dans la question précédente, que c'est aussi un zéro de $y^{\left(k\right)}$ pour tout $k$ de $1$ à $n-1$. Les $n$ valeurs au point $a$ de $y,y',\dots ,y^{\left(n-1\right)}$ déterminent entièrement la solution de l'équation différentielle et coïncident avec celles de la solution nulle, donc $y=0$.

## Exercice 5

On considère l'équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants
    $\left({\mathcal {E}}\right)\quad y''+y=f$
où $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ est une fonction continue. Montrer que :
* la fonction $x\mapsto \int _{0}^{x}f\left(t\right)\sin \left(x-t\right)\ \mathrm {d} t$ est une solution de $\left({\mathcal {E}}\right)$. En déduire la solution générale de $\left({\mathcal {E}}\right)$ ;
* si $\forall t\in \mathbb {R} \quad \left|f\left(t\right)\right|\leq {\frac {1}{1+t^{2}}}$ alors toutes les solutions de $\left({\mathcal {E}}\right)$ sont des fonctions bornées. En est-il de même si $f$ est seulement bornée sur $\mathbb {R}$ ?
* Soit $g\left(x\right)=\int _{0}^{x}f\left(t\right)\sin \left(x-t\right)\ \mathrm {d} t$. Alors, $g'\left(x\right)=\int _{0}^{x}f\left(t\right)\cos \left(x-t\right)\ \mathrm {d} t$ et $g''\left(x\right)=f\left(x\right)-\int _{0}^{x}f\left(t\right)\sin \left(x-t\right)\ \mathrm {d} t$ donc $g''+g=f$. Dès lors, les solutions de $\left({\mathcal {E}}\right)$ sont : $y=g+\lambda \cos +\mu \sin \quad \left(\lambda ,\mu \in \mathbb {R} \right)$.
* D'après la question précédente, les solutions de $\left({\mathcal {E}}\right)$ sont bornées si et seulement si $g$ l'est. Si $\left|f\left(t\right)\right|\leq {\frac {1}{1+t^{2}}}$ alors $\left|g\left(x\right)\right|\leq \left|\int _{0}^{x}{\frac {1}{1+t^{2}}}\ \mathrm {d} t\right|=\left|\arctan x\right|\leq {\frac {\pi }{2}}$. En revanche, si par exemple $f=\sin$ (bornée) alors $g\left(x\right)={\frac {\sin x-x\cos x}{2}}$ (non bornée).

## Exercice 6

* Soient $\omega _{1},\omega _{2},\alpha _{1},\alpha _{2}\in \mathbb {C}$, avec $\omega _{1}\neq \omega _{2}$. Montrer que si $\lim _{t\to \pm \infty }{\alpha _{1}\mathrm {e} ^{\omega _{1}t}+\alpha _{2}\mathrm {e} ^{\omega _{2}t}}=0$ alors $\alpha _{1}=\alpha _{2}=0$.
* Que peut-on en déduire sur les solutions de l'équation différentielle $y''+ay'+by=0$, où $a$ et $b$ sont des constantes réelles ?
* Soit $\omega =\omega _{1}-\omega _{2}$. En supposant par exemple $\alpha _{1}\neq 0$, l'hypothèse peut se mettre sous la forme $\lim _{t\to \pm \infty }{\mathrm {e} ^{\omega t}}=\beta$, ce qui n'est possible que si $\omega =0$.
* Si $a^{2}-4b\neq 0$, la seule solution $y$ vérifiant $\lim _{\pm \infty }y=0$ est la fonction nulle.

## Exercice 7

Calculer la résolvante $R(t,t_{0})$ du système suivant.
    ${{\rm {d}}x \over {\rm {d}}t}=3x,\quad {{\rm {d}}y \over {\rm {d}}t}=2y+z,\quad {{\rm {d}}z \over {\rm {d}}t}=2z$.
Avant de présenter les calculs, on indiquera la méthode que l'on entend suivre (il y en a plusieurs).
Résolvons le système, puis déduisons-en $R(t,t_{0})$ comme la matrice telle que pour toute solution $X=(x,y,z)$, $X(t)=R(t,t_{0})X(t_{0})$.
$x'=3x\Longleftrightarrow x=a{\rm {e}}^{3t}$, $z'=2z\Longleftrightarrow z=c{\rm {e}}^{2t}$ et $y'=2y+c{\rm {e}}^{2t}\Longleftrightarrow y=(ct+b){\rm {e}}^{2t}$ (avec $a,b,c\in {\mathbb {R} }$ quelconques).
Donc $X(t)=S(t){\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}$ avec $S(t)={\begin{pmatrix}{\rm {e}}^{3t}&0&0\\0&{\rm {e}}^{2t}&t{\rm {e}}^{2t}\\0&0&{\rm {e}}^{2t}\end{pmatrix}}$
    $R(t,t_{0})=S(t)S(t_{0})^{-1}={\begin{pmatrix}{\rm {e}}^{3(t-t_{0})}&0&0\\0&{\rm {e}}^{2(t-t_{0})}&(t-t_{0}){\rm {e}}^{2(t-t_{0})}\\0&0&{\rm {e}}^{2(t-t_{0})}\end{pmatrix}}$.
(On peut éviter le calcul de $S(t)S(t_{0})^{-1}$ en remarquant que $X(0)=(a,b,c)$ donc $S(t)=R(t,0)={\rm {exp}}(tA)$, d'où $R(t,t_{0})={\rm {exp}}((t-t_{0})A)=S(t-t_{0})$).
Une autre méthode serait de calculer l'exponentielle de la matrice $(t-t_{0})A$, où $A={\begin{pmatrix}3&0&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}}$.
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