# Théorie des groupes/Produit direct et somme restreinte

Sauf mention contraire, les lois de groupe seront notées multiplicativement. Quand il sera question de plusieurs groupes, il nous arrivera de désigner leurs éléments neutres par le même symbole 1, ce qui, en pratique, ne prête pas à confusion.

## Produit direct de deux groupes

Soient $G_{1}$ et $G_{2}$ deux groupes. Désignons par $G_{1}\times G_{2}$ leur produit cartésien (ou, plus exactement, le produit cartésien de leurs ensembles sous-jacents). Il est naturel de définir sur $G_{1}\times G_{2}$ une loi de composition $\star$ composante par composante :
    $(x_{1},x_{2})\star (y_{1},y_{2})=(x_{1}y_{1},x_{2}y_{2})$,
le produit $x_{1}y_{1}$ apparaissant dans le second membre étant calculé dans $G_{1}$ et le produit $x_{2}y_{2}$ dans $G_{2}$. On vérifie facilement que cette loi de composition munit $G_{1}\times G_{2}$ d'une structure de groupe. Ce groupe est appelé produit direct (ou simplement produit) des groupes $G_{1}$ et $G_{2}$ et noté $G_{1}\times G_{2}$. Si $e_{1}$ et $e_{2}$ désignent respectivement les éléments neutres de $G_{1}$ et de $G_{2}$, l'élément neutre de $G_{1}\times G_{2}$ est $(e_{1},e_{2})$. Le symétrique d'un élément $(x_{1},x_{2})$ de $G_{1}\times G_{2}$ est l'élément $(x_{1}^{-1},x_{2}^{-1})$.
L'application $(g,h)\mapsto (h,g)$ définit un isomorphisme de $G\times H$ sur $H\times G$ (« commutativité » du produit direct) et l’application $((g,h),k)\mapsto (g,(h,k))$ définit un isomorphisme de $(G\times H)\times K$ sur $G\times (H\times K)$ (« associativité » du produit direct).

## Produit direct d'une famille de groupes

En théorie des ensembles, on emploie le mot « famille » dans deux sens légèrement différents.
Dans le premier sens, une famille est un graphe fonctionnel. Si on voit un graphe fonctionnel $\Gamma$ comme une famille et que $I$ désigne la première projection de ce graphe, on désigne la famille en question par ${(x_{i})}_{i\in I}$, où $x_{i}$ désigne l'unique élément tel que le couple $(i,x_{i})$ appartienne au graphe $\Gamma .$ L'ensemble $I$ est alors appelé l'ensemble des indices de la famille en question. Nous dirons aussi que cette famille est indexée par $I$.
Dans le second sens, on définit une famille d'éléments d'un ensemble E comme une application dont l'ensemble d'arrivée est E.
Dans le présent chapitre, nous emploierons le mot « famille » dans son premier sens. Par exemple, quand nous considérerons une famille ${(G_{i})}_{i\in I}$ de groupes, nous ne nous soucierons pas d'un ensemble dont chaque $G_{i}$ soit élément.
La définition qu'on a donnée plus haut du produit direct de deux groupes se généralise comme suit à une famille quelconque de groupes.
Soit $(G_{i})_{i\in I}$ une famille (finie ou infinie) de groupes. On appelle groupe produit de cette famille, ou produit de cette famille, ou produit direct de cette famille, et on note $\prod _{i\in I}G_{i}$ le produit cartésien de la famille des (ensembles sous-jacents des) $G_{i}$, muni de la loi de composition composante par composante :
    $(x_{i})_{i\in I}\star (y_{i})_{i\in I}=(x_{i}y_{i})_{i\in I}$,
où, pour chaque i, le produit $x_{i}y_{i}$ est calculé dans $G_{i}$.
Il est clair que cette loi de composition est bien une loi de groupe.
Remarque. Les notations ne sont pas tout à fait fixées. L'emploi ci-dessus du symbole $\prod$ est conforme à Bourbaki, à J.J. Rotman, à D.S. Dummit et R.M. Foote etc. Kurzweil et Stellmacher notent ${\underset {i=1}{\stackrel {n}{\times }}}G_{i}$ ou encore ${\underset {i=1,...,n}{\stackrel{\times }}}G_{i}$ ou encore $G_{1}\times \cdots \times G_{n}$ le produit direct d'une famille finie $(G_{i})_{1\leq i\leq n}$ de groupes. Ils n'emploient le symbole $\prod$ que pour désigner des opérations internes à un groupe. W.R. Scott, Group Theory, 1964, réimpr. Dover, 1987, pp. 14-15 (exemples 11 et 12), désigne par $\pi \{G_{s}\vert s\in S\}$ le produit direct d'une famille $\ (G_{s})_{s\in S}$ de groupes.

## Somme restreinte d'une famille de groupes

Dans le produit direct $\prod _{i\in I}G_{i}$, considérons les éléments $(x_{i})_{i\in I}$ possédant la propriété suivante : l’ensemble des éléments i de I tels que $x_{i}\neq 1$ (où 1 désigne le neutre de $G_{i}$) est fini. Ces éléments de $\prod _{i\in I}G_{i}$, appelés familles de support fini, forment un sous-groupe de $\prod _{i\in I}G_{i}$.
Soit $(G_{i})_{i\in I}$ une famille de groupes. On appelle somme restreinte externe, ou simplement somme restreinte de la famille $(G_{i})_{i\in I}$ et on note $\sum _{i\in I}G_{i}$ le sous-groupe de $\prod _{i\in I}G_{i}$ formé par les familles de support fini. Si les groupes G$_i$ sont commutatifs, on dit somme directe au lieu de somme restreinte; dans ce cas, il nous arrivera d'écrire ${\underset {i\in I}{\oplus }}G_{i}$ au lieu de $\sum _{i\in I}G_{i}$.
Remarque. La définition qui précède est conforme à la terminologie de Bourbaki. Là où nous disons « somme restreinte », de nombreux auteurs disent « somme directe », même s'il s'agit de groupes non commutatifs.
Si l’ensemble I est fini, la somme restreinte et le produit direct coïncident. Dans la suite de ce chapitre, nous ne nous intéresserons plus au produit direct.
Inclusions canoniques. Soient $(G_{i})_{i\in I}$ une famille de groupes et S sa somme restreinte externe. Pour chaque élément i de I, désignons par $\varphi _{i}$ l’application de $G_{i}$ dans S qui à l'élément x de $G_{i}$ fait correspondre la famille dont la i-ème valeur est x et dont les autres valeurs sont 1. Nous définissons ainsi un homomorphisme injectif $\varphi _{i}$ de $G_{i}$ dans S. Cet homomorphisme est appelé i-ème inclusion canonique de $G_{i}$ dans S. L'image $\varphi _{i}(G_{i})$ de $G_{i}$ par $\varphi _{i}$ est isomorphe à $G_{i}$ et on l'identifie souvent à $G_{i}$, disant par exemple que $G_{i}$ est un sous-groupe de S. Pour la clarté de ce premier exposé, nous éviterons cet abus de langage.
On vérifie facilement que les sous-groupes $\varphi _{i}(G_{i})$ de S sont distingués et qu’ils ont deux à deux des intersections réduites à l'élément neutre de S.
Soient i et j deux éléments distincts de I. Tout élément de $\varphi _{i}(G_{i})$ commute avec tout élément de $\varphi _{j}(G_{j})$. En effet, les produits $\varphi _{i}(x)\varphi _{j}(y)$ et $\varphi _{j}(y)\varphi _{i}(x)$ sont tous deux égaux à la famille dont la i-ème composante est x, la j-ème composante y et dont les autres composantes sont égales à 1. (L'hypothèse $i\neq j$ est essentielle dans le cas où les $G_{i}$ ne sont pas supposés commutatifs.)
De façon générale, si G est un groupe, si $(g_{i})_{i\in J}$ est une famille finie d'éléments de G qui commutent deux à deux, on peut définir le produit de cette famille d'éléments de G sans se préoccuper d'un ordre dans l’ensemble J, car, vu la commutativité, le produit est indépendant de l’ordre choisi. Il est clair qu'on peut de même définir le produit d'une famille $(g_{i})_{i\in J}$ même infinie d'éléments de G qui commutent deux à deux si l’ensemble des i tels que $g_{i}\neq 1$ est fini. Avec cette définition, tout élément $(x_{i})_{i}$ de S est le produit de la famille $(\varphi _{i}(x_{i}))_{i}$ d'éléments de S. En particulier, les $\varphi _{i}(G_{i})$ engendrent S.
Projections canoniques. Soit $(G_{i})_{i\in I}$ une famille de groupes. Pour tout élément $j$ de $I$, l'application $\mathrm {pr} _{j}:\sum _{i\in I}G_{i}\to G_{j}:(x_{i})_{i\in I}\mapsto x_{j}$ est un homomorphisme de $\sum _{i\in I}G_{i}$ (somme restreinte externe) dans $G_{j}.$ (Vérification facile.) Cet homomorphisme est surjectif, car pour tout élément $x$ de G$_j$, $x$ est l'image de $\varphi (x)$ par $\mathrm {pr} _{j}.$ (Autrement dit, $\mathrm {pr} _{j}\circ \varphi _{j}=id_{G_{j}}.$) L'homomorphisme $\mathrm {pr} _{j}$ est appelé la j-ième projection canonique (ou simplement la j-ième projection) de $\sum _{i\in I}G_{i}$ sur $G_{j}.$
Soient $(G_{i})_{i\in I}$ une famille de groupes, S sa somme restreinte externe, K un groupe et $(f_{i}:G_{i}\to K)_{i\in I}$ une famille d'homomorphismes de groupes, telle que, pour tous éléments distincts i, j de I, tout élément de $f_{i}(G_{i})$ commute avec tout élément de $f_{j}(G_{j})$. Il existe un et un seul homomorphisme f de S dans K tel que, pour tout élément i de I, $f\circ \varphi _{i}=f_{i}$, où $\varphi _{i}$ désigne la i-ème inclusion canonique de G$_i$ dans S. Cet homomorphisme f applique la famille $(x_{i})_{i\in I}$ sur $\prod _{i\in I}f_{i}(x_{i})$.
Considérons l’application f de S dans K qui applique la famille $(x_{i})_{i\in I}$ sur $\prod _{i\in I}f_{i}(x_{i})$ (ce produit est bien défini, vu les hypothèses de commutation). Il est clair que pour tout élément i de I, $f\circ \varphi _{i}=f_{i}$, comme requis dans l'énoncé. Le fait que f est un homomorphisme résulte du fait suivant, démontré dans Monoïde/Composé d'une séquence : soient M un monoïde et x$_1$, ... , x$_n$, y$_1$, ... , y$_n$ des éléments de M. Si, pour tous indices distincts i, j, x$_i$ commute avec y$_j$, alors
    x$_1$ ... x$_n$ y$_1$ ... y$_n$ = x$_1$ y$_1$ ... x$_n$ y$_n$.
Donc f est un homomorphisme tel que requis dans l'énoncé. L'unicité de l'homomorphisme tel que requis dans l'énoncé se déduit facilement du fait que les images canoniques des G$_i$ dans S engendrent S.
Si tous les groupes $G_{i}$ sont abéliens alors leur somme directe l'est aussi, et le théorème ci-dessus fournit la propriété universelle de la somme directe externe :
    Propriété universelle de la somme directe externe. Soient $(G_{i})_{i\in I}$ une famille de groupes abéliens, K un groupe abélien et $(f_{i}:G_{i}\rightarrow K)_{i\in I}$ une famille d'homomorphismes. Il existe un et un seul homomorphisme f de $\sum _{i\in I}G_{i}$ dans K tel que, pour tout élément j de I, $f\circ \varphi _{j}=f_{j}$, où $\varphi _{j}$ désigne, comme plus haut, la j-ième inclusion canonique. Cet homomorphisme f applique la famille $(x_{i})_{i\in I}$ sur $\sum _{i\in I}f_{i}(x_{i})$
Dans le langage de la théorie des catégories, la propriété universelle de la somme directe d'une famille de groupes abéliens revient à dire que si $(G_{i})_{i\in I}$ est une famille de groupes abéliens, le groupe ${\underset {i\in I}{\oplus }}G_{i}$ et, dans les notations ci-dessus, la famille d'homomorphismes $(\varphi _{i})_{i\in I}$ constituent une somme (on dit aussi un « coproduit ») de la famille $(G_{i})_{i\in I}$ dans la catégorie des groupes abéliens. Nous avons ainsi prouvé que les sommes existent dans la catégorie des groupes abéliens. Nous verrons dans un chapitre ultérieur (Produit libre d'une famille de groupes) que les sommes existent aussi dans la catégorie des groupes.
Soient $(G_{i})_{i\in I}$ une famille de groupes et $(H_{i})_{i\in I}$ une famille telle que, pour tout i, H$_i$ soit un sous-groupe de G$_i$. Alors la somme restreinte externe H des H$_i$ est un sous-groupe de la somme restreinte externe G des G$_i$.
La démonstration, facile, est laissée au lecteur.
Des remarques faites plus haut sur la structure de la somme restreinte externe nous suggèrent la définition suivante :
Soient G un groupe et $(G_{i})_{i\in I}$ une famille (finie ou infinie) de sous-groupes de G. On dit que G est somme restreinte interne (ou, abusivement, somme restreinte sans plus) de cette famille si pour tous éléments distincts i et j de I, chaque élément de $G_{i}$ commute avec chaque élément de $G_{j}$ et si l'homomorphisme de $\sum _{i\in I}G_{i}$ dans G qui envoie $(x_{i})_{i\in I}$ sur $\prod _{i\in I}x_{i}$ (homomorphisme qui existe et est unique d’après la propriété universelle de la somme restreinte externe, appliquée aux inclusions $G_{i}\to G:x\mapsto x$) est un isomorphisme. On appelle cet isomorphisme l'isomorphisme canonique de $\sum _{i\in I}G_{i}$ sur G. L'isomorphisme réciproque est appelé isomorphisme canonique de G sur $\sum _{i\in I}G_{i}$.
Il revient au même de dire que pour tous éléments distincts i et j de I, chaque élément de $G_{i}$ commute avec chaque élément de $G_{j}$ et que tout élément de G peut s'écrire d'une et une seule façon $\prod _{i\in I}x_{i}$, la famille $(x_{i})_{i\in I}$ étant une famille de support fini telle que $x_{i}\in G_{i}$ pour tout i.
Soient G un groupe et $(G_{i})_{i\in I}$ une famille de sous-groupes de G. Si G est somme restreinte interne de cette famille, chaque $G_{i}$ est normal dans G.
On peut dire par exemple que l'isomorphisme canonique de $\sum _{i\in I}G_{i}$ sur G applique $\varphi _{i}(G_{i})$ sur $G_{i}$ et que, comme on l'a vu, $\varphi _{i}(G_{i})$ est normal dans $\sum _{i\in I}G_{i}$.
Donnons encore deux autres caractérisations de la somme restreinte interne. Le lecteur pourra les démontrer à l'aide de la remarque qui précède et du fait (démontré dans Exercices/Sous-groupe distingué et groupe quotient) que si deux sous-groupes normaux ont une intersection réduite à l'élément neutre, tout élément de l'un commute avec tout élément de l'autre.
Soient G un groupe et $(G_{i})_{i\in I}$ une famille de sous-groupes de G. Pour que G soit somme restreinte interne de cette famille, il faut et il suffit que les trois conditions suivantes soient satisfaites :
1° chaque G$_i$ est normal dans G ;
2° les G$_i$ engendrent G ;
3° pour tout i dans I, $G_{i}\ \cap \langle G_{j}\mid j\in I,j\neq i\rangle =1.$
Soient G un groupe et $(G_{i})_{i\in I}$ une famille de sous-groupes de G. Pour que G soit somme restreinte interne de cette famille, il faut et il suffit que les trois conditions suivantes soient satisfaites :
1° chaque G$_i$ est normal dans G ;
2° les G$_i$ engendrent G ;
3° si i$_1$, ... , i$_n$ sont des éléments de I deux à deux distincts, si $x_{1}$ est un élément de $G_{i_{1}}$, ... , si $x_{n}$ est un élément de $G_{i_{n}}$, si $x_{1}\ldots x_{n}=1,$ alors $x_{1}=\ldots =x_{n}=1.$
Cette dernière caractérisation est utile comme condition suffisante pour que G soit somme restreinte interne des G$_i$.
On vérifie facilement que la somme restreinte externe $\sum _{i\in I}G_{i}$ est somme restreinte interne de la famille $(\varphi _{i}(G_{i}))_{i}$ (où, comme plus haut, $\varphi _{i}$ désigne la i-ième inclusion canonique de $G_{i}$ dans la somme restreinte externe).
Si l’ensemble I est fini, on remplace souvent l’expression « somme restreinte interne » par « produit direct interne », ou « produit direct », ou « produit ». Plutôt que de dire qu'un groupe est produit direct interne d'un couple (H, K) de ses sous-groupes, on préfère dire qu’il est produit direct interne de H et de K, etc.
Projections de la somme restreinte interne. Soit $G$ un groupe, somme restreinte interne d'une famille $(G_{i})_{i\in I}$ de sous-groupes. Pour tout élément j de I, on appelle j-ième projection de G sur G$_j$ (relativement à la famille $(G_{i})_{i\in I}$) l’application de G dans G$_j$ qui, pour tout élément x de G, applique x sur l'élément x$_j$ de G$_j$ apparaissant dans l'unique expression de x sous la forme $\prod _{i\in I}x_{i}$ avec $x_{i}\in G_{i}$ pour chaque i. Il est clair que cette projection est un homomorphisme de $G$ dans $G$. Elle est d'ailleurs égale au composé $\mathrm {pr} _{j}\circ \sigma ,$ où $\sigma$ désigne l'isomorphisme canonique de G sur $\sum _{i\in I}G_{i}$ et où, comme plus haut, $\mathrm {pr} _{j}$ désigne l'homomorphisme $(x_{i})_{i\in I}\mapsto x_{j}$ de $\sum _{i\in I}G_{i}$ (somme restreinte externe) sur G$_j$. On a vu que l'homomorphisme $\mathrm {pr} _{j}$ de $\sum _{i\in I}G_{i}$ sur G$_j$ est surjectif, donc la j-ième projection de G sur G$_j$, étant égale à $\mathrm {pr} _{j}\circ \sigma$, est un homomorphisme surjectif. Il est d'ailleurs clair que tout élément de G$_j$ est sa propre image par la j-ième projection de G sur G$_{j.}$
Soient G un groupe, $(H_{i})_{i\in I}$ une famille de sous-groupes de G et $\sigma$ une permutation de l'index I. Si G est somme restreinte interne de la famille $(H_{i})_{i\in I}$, il est somme restreinte interne de la famille $(H_{\sigma (i)})_{i\in I}$.
Pour tous éléments distincts i, j de I, tout élément de H$_i$ commute avec tout élément de H$_j$ ; il en résulte clairement que, pour tous éléments distincts i, j de I, tout élément de H$_{σ(i)}$ commute avec tout élément de H$_{σ(j)}$. Le sous-groupe de G engendré par les H$_i$ est G tout entier ; il en résulte clairement que le sous-groupe engendré par les H$_{σ(i)}$ est G tout entier. Enfin, si J est une partie finie de I, si $(x_{j})_{j\in J}$ est une famille telle que pour tout élément j de J, x$_j$ appartienne à H$_j$, si $\prod _{j\in J}x_{j}=1$, alors chaque x$_j$ est égal à 1 ; il en résulte clairement que si K est une partie finie de I, si $(y_{k})_{k\in K}$ est une famille telle que pour tout élément k de K, y$_k$ appartienne à H$_{σ(k)}$, si $\prod _{k\in K}y_{k}=1$, alors chaque y$_k$ est égal à 1 (poser J = σ(K) et considérer la famille $(y_{\sigma ^{-1}(j)})_{j\in J}$, en notant que, pour chaque j dans J, $y_{\sigma ^{-1}(j)}$ appartient à H$_j$).
Soient $(G_{i})_{i\in I}$ une famille de groupes et $(H_{i})_{i\in I}$ une famille telle que, pour tout i, H$_i$ soit un sous-groupe de G$_i$. Alors la somme restreinte externe H des H$_i$ est un sous-groupe de la somme restreinte externe G des G$_i$.
La démonstration, facile, est laissée au lecteur.
Nous avons vu que si $(G_{i})_{i\in I}$ est une famille de groupes et $(H_{i})_{i\in I}$ une famille telle que, pour tout i, H$_i$ soit un sous-groupe de $G_{i}$, alors la somme restreinte externe des H$_i$ est un sous-groupe de la somme restreinte externe es G$_i$. Une version interne de ce théorème (si un groupe G est somme directe interne d'une famille $(G_{i})_{i\in I}$ de sous-groupes, si pour tout i, $H_{i}$ désigne un sous-groupe de $G_{i}$, alors le sous-groupe engendré par les $H_{i}$ est somme directe interne des $H_{i}$) peut s'obtient comme cas particulier du théorème suivant :
Soient G un groupe, $(G_{i})_{i\in I}$ une famille de sous-groupes de G dont G est somme restreinte interne, J une partie de I, $(H_{j})_{j\in J}$ une famille telle que, pour tout élément j de J, $H_{j}$ soit un sous-groupe de G$_j$. Le sous-groupe de G engendré par les H$_j$ est somme restreinte interne des H$_j$, j parcourant J.
Si j et k sont deux éléments distincts de J, tout élément de H$_j$ est un élément de G$_j$ et tout élément de H$_k$ est un élément de G$_k$, donc tout élément de H$_j$ commute avec tout élément de H$_k$. Si j$_1$, ... , j$_r$ sont des éléments de J deux à deux distincts, si x$_1$ ... x$_r$ = 1 avec $x_{1}\in H_{j_{1}},\ldots ,x_{r}\in H_{j_{r}},$ alors j$_1$, ... , j$_r$ sont des éléments de I deux à deux distincts et x$_1$ ... x$_r$ = 1 avec $x_{1}\in G_{j_{1}},\ldots ,x_{r}\in G_{j_{r}},$ donc x$_1$ = ... = x$_r$ = 1.
Soient G un groupe et $(H_{i})_{i\in I}$ une famille de sous-groupes de G, soit $(J_{k})_{k\in K}$ une famille de parties de I deux à deux disjointes de I dont la réunion est I. Pour chaque élément k de K, soit L$_k$ le sous-groupe de G engendré par les H$_i$ où i parcourt J$_k$. Les deux conditions suivantes sont équivalentes :
1° G est somme restreinte interne de la famille $(H_{i})_{i\in I}$ ;
2° G est somme restreinte interne de la famille $(L_{k})_{k\in K}$ et, pour chaque élément k de K, L$_k$ est somme restreinte interne de la famille $(H_{i})_{i\in J_{k}}$.
Démonstration laissée au lecteur.
Soient G un groupe, H et K des sous-groupes de G. On suppose que H est produit direct interne d'une famille finie de sous-groupes H$_1$, ..., H$_n$ et que ⟨H, K⟩ (sous-groupe de G engendré par H et K) est produit direct interne de H et de K. Alors ⟨H, K⟩ est produit direct interne de la famille H$_1$, ..., H$_n$, K.
On dit qu'un sous-groupe H d'un groupe G est facteur direct de G s'il existe un sous-groupe K de G tel que G soit le produit direct (interne) H × K de H et K.
D'après la « commutativité » et l'« associativité » de la somme restreinte interne, il est clair que si un groupe G est somme restreinte interne d'une famille (H$_i$)$_i$ de sous-groupes, chaque H$_i$ est facteur direct de G.
Tout sous-groupe distingué d'un facteur direct d'un groupe G est sous-groupe distingué de G.
Soient H un facteur direct de G et N un sous-groupe distingué de H. Il s'agit de prouver que N est distingué dans G. Puisque H est facteur direct de G, il existe un sous-groupe K de G tel que G soit le produit direct H × K de H et K. Alors tout élément de K commute avec tout élément de H. En particulier, tout élément de K commute avec tout élément de N, donc K normalise N. D'autre part, puisque N est sous-groupe normal de H, H normalise N. Ainsi, H et K normalisent tous deux N. Puisque G est engendré par H et K, N est donc distingué dans G.
Soient G un groupe, somme restreinte interne d'une famille $(G_{i})_{i\in I}$ de ses sous-groupes, K un groupe et $(f_{i}:G_{i}\to K)_{i\in I}$ une famille d'homomorphismes de groupes, telle que, pour tous éléments distincts i, j de I, tout élément de $f_{i}(G_{i})$ commute avec tout élément de $f_{j}(G_{j})$. Il existe un et un seul homomorphisme f de G dans K tel que, pour tout élément i de I, f coïncide avec $f_{i}$ sur $G_{i}$. Si $(x_{i})_{i\in I}$ est une famille de support fini telle que pour chaque i, x$_i$ appartienne à G$_i$, f applique $\prod _{i\in I}x_{i}$ sur $\prod _{i\in I}f_{i}(x_{i})$.
D'après la propriété universelle de la somme restreinte externe, il existe un et un seul homomorphisme g de la somme restreinte externe S des G$_i$ dans K qui applique la famille de support fini $(x_{i})_{i\in I}$ sur $\prod _{i\in I}f_{i}(x_{i})$. D'autre part, puisque G est somme restreinte interne des G$_i$, il existe un et un seul isomorphisme $\varphi$ de G sur S (à savoir l'isomorphisme canonique considéré plus haut) qui, pour toute famille de support fini $(x_{i})_{i\in I}$, avec $x_{i}\in G_{i}$ pour tout i, applique $\prod _{i\in I}x_{i}$ sur $(x_{i})_{i\in I}$. Il est clair que $g\circ \varphi$ convient pour f. L'unicité de f résulte de ce que les G$_i$ engendrent G. Elle peut aussi se déduire de l'unicité de g : si f$_1$ et f$_2$ sont tous deux tels que le f de l'énoncé, alors $f_{1}\circ \varphi ^{-1}$ et $f_{2}\circ \varphi ^{-1}$ satisfont tous deux aux conditions qui définissent g, donc sont égaux, donc f$_1$ et f$_2$ sont égaux.
Soient $G$ un groupe, somme restreinte interne d'une famille $(G_{i})_{i\in I}$ de ses sous-groupes. Pour tout élément $j$ de $I$, l'application f_j de $G$ dans $G_{j}$ qui applique l'élément $x=\prod _{i\in I}x_{i}$ sur $x_{j}$ (application correctement définie puisque la décomposition $x=\prod _{i\in I}x_{i}$ est unique) est un homomorphisme surjectif de $G$ sur $G_{j}.$ Il nous arrivera de dire que cet homomorphisme est la j-ième projection correspondant à la décomposition de $G$ en somme restreinte interne des $G_{i}.$
Soit $j$ un élément de $I$. Prouvons que l'application f_j de $G$ dans $G_{j}$ définie dans l'énoncé est un homomorphisme. Pour tout $i$ dans $I$, considérons l'homomorphisme $f_{i,j}:G_{i}\to G_{j}$ défini comme étant l'homomorphisme identité si $i=j$ et comme étant l'homomorphisme nul si $i\not =j.$ D'après la propriété universelle de la somme restreinte interne, appliquée à la famille $(f_{i,j})_{i\in I}$, il existe un (et un seul) homomorphisme $g_{j}$ de $G$ dans $G_{j}$ qui, pour tout $i$, coïncide avec $f_{i,j}$ sur $G_{i}.$ Cela signifie que
    (1)$\qquad g_{j}$ coïncide avec l'identité dans $G_{j}$
et que
    (2)$\qquad$ pour tout $i$ dans $I\setminus \{j\}$, $g_{j}$ est nul dans $G_{i}.$
Soit $x$ un élément de $G.$ Puisque $G$ est somme restreinte des $G_{i}$, nous avons
    (3)$\qquad x=\prod _{i\in I}x_{i}$,
où $(x_{i})_{i_{i}nI}$ est une famille de support fini avec $x_{i}\in G_{i}$ pour tout $i$ dans $I.$ Puisque $g_{j}$ est un homomorphisme, il résulte de (1), (2) et (3) que
    $g_{j}(x)=x_{j}$,
ce qui montre que l'homomorphisme $g_{j}$ est égal à l'application $f_{j}$ de l'énoncé. Cette application est donc bien un homomorphisme. Puisque, par définition, $g_{j}$ coïncide avec l'identité sur $G_{j}$, chaque élément de $G_{j}$ est sa propre image par $f_{j}=g_{j}$, donc l'homomorphisme $f_{j}$ est surjectif.
Soient $(G_{i})_{i\in I}$ et $(H_{i})_{i\in I}$ deux familles de groupes, indexées par le même ensemble $I$, soit $(f_{i}:G_{i}\to H_{i})_{i\in I}$ une famille d'homomorphismes de groupes. Pour chaque élément $(x_{i})_{i\in I}$ de la somme restreinte externe $\sum _{i\in I}G_{i}$ des $G_{i}$, la famille $(f_{i}(x_{i}))_{i\in I}$ est évidemment de support fini et est donc un élément de la somme restreinte externe $\sum _{i\in I}H_{i}$ des $H_{i}.$ a) L’application $f:(x_{i})_{i\in I}\mapsto (f_{i}(x_{i}))_{i\in I}$ est un homomorphisme de $\sum _{i\in I}G_{i}$ dans $\sum _{i\in I}H_{i}.$ b) L'image de $f$ est $\sum _{i\in I}Im(f_{i})$ et le noyau de $f$ est $\sum _{i\in I}Ker(f_{i}).$ c) L'homomorphisme $f$ est surjectif (resp. injectif, resp. un isomorphisme) si et seulement si chaque $f_{i}$ est surjectif (resp. injectif, resp. un isomorphisme).
Soient $(x_{i})_{i\in I}$ et $(y_{i})_{i\in I}$ deux éléments de $G=\sum _{i\in I}G_{i}.$ L'application $f$, d'après sa définition, envoie le produit $(x_{i}y_{i})_{i\in I}$ de $(x_{i})_{i\in I}$ et de $(y_{i})_{i\in I}$ sur l'élément $(f_{i}(x_{i}y_{i}))_{i\in I}$ de $\sum _{i\in I}H_{i}.$ Puisque chaque $f_{i}$ est un homomorphisme, l'élément $(f_{i}(x_{i}y_{i}))_{i\in I}$ en question est égal à la famille $(f_{i}(x_{i})f_{i}(y_{i}))_{i\in I}$, qui est le produit de $(f_{i}(x_{i}))_{i\in I}=f((x_{i})_{i\in I})$ et de $(f_{i}(y_{i}))_{i\in I}=f((y_{i})_{i\in I}).$ Cela montre que $f$ est un homomorphisme. (Ce fait peut se mettre en relation avec la propriété universelle de la somme restreinte : dans cette propriété universelle telle qu'on l'a énoncée, prendre pour K la somme restreinte externe H des H$_i$ et remplacer $f_{i}$ par $\mathrm {incl} _{i,H_{i},H}\ \circ f_{i}$, où $f_{i}$ correspond aux présentes hypothèses et où $\mathrm {incl} _{i,H_{i},H}$ désigne la i-ième inclusion canonique de H$_i$ dans $K=\sum _{i\in I}H_{i}.$.) On a donc démontré l'assertion a) de l'énoncé. Prouvons que $Im(f)$ contient $\sum _{i\in I}Im(f_{i}).$ Soit $(y_{i})_{i\in I}$ un élément de $\sum _{i\in I}Im(f_{i})$; il s'agit de prouver que
    (thèse 1)$\qquad (y_{i})_{i\in I}$ appartient à $Im(f).$
Puisque la famille $(y_{i})_{i\in I}$ appartient à $\sum _{i\in I}Im(f_{i})$, elle est de support fini, donc
    il existe une partie finie $J$ de $I$ telle que, pour tout $i$ dans $I\setminus J,y_{i}=1.$
Toujours du fait que la famille $(y_{i})_{i\in I}$ appartient à $\sum _{i\in I}Im(f_{i})$, il résulte que
    pour chaque $j$ dans J, il existe un élément de $G_{j}$ dont l'image par $f_{j}$ est $y_{j}.$
Donc
    il existe une famille $(x_{j})_{j\in J}$ telle que, pour tout $j$ dans $J$, $x_{j}$ appartienne à $G_{j}$ et $y_{j}=f_{j}(x_{j}).$
(Cela ne dépend pas de l'axiome du choix, puisque $J$ est fini.) On peut compléter la famille $(x_{j})_{j\in J}$ en une famille appartenant à $\sum _{i\in I}G_{i}$ en ajoutant, pour chaque $i$ dans $I\setminus J$ une i-ième composante égale à l'élément neutre de $G_{i}.$ On obtient ainsi un élément $(x_{i})_{i\in I}$ de $\sum _{i\in I}G_{i}$ dont l'image par $f$ est $(y_{i})_{i\in I}$, ce qui prouve notre thèse (1). Nous avons donc prouvé que $Im(f)$ contient $\sum _{i\in I}Im(f_{i}).$ L'inclusion réciproque est immédiate, donc
    $Im(f)=\sum _{i\in I}Im(f_{i}).$
La démonstration de la relation $Ker(f)=\sum _{i\in I}Ker(f_{i})$ est laissée au lecteur. Le point c) de l'énoncé résulte évidemment du point b).
Dans les hypothèses et notations du théorème qui précède, nous dirons parfois que $f$ est la somme restreinte (somme directe dans le cas commutatif) de la famille $(f_{i})_{i\in I}$ (ou des $f_{i}$). Il est clair que si les $f_{i}$ sont des isomorphismes, la somme restreinte des $f_{i}$ a pour isomorphisme réciproque la somme restreinte des ${f_{i}}^{-1}.$
Soient $(G_{i})_{i\in I}$ et $(H_{i})_{i\in I}$ deux familles de groupes. Si, pour tout i, G$_i$ est isomorphe à H$_i$, la somme restreinte externe des G$_i$ est isomorphe à la somme restreinte externe des H$_i$.
Pour tout i, il existe un isomorphisme de G$_i$ sur H$_i$. D'après l'axiome du choix, il existe donc une famille $(g_{i}:G_{i}\to H_{i})_{i\in I}$ d'isomorphismes de groupes et la thèse résulte du théorème qui précède.
Soient $(G_{i})_{i\in I}$ une famille de groupes et $(H_{i})_{i\in I}$ une famille telle que, pour tout i, H$_i$ soit un sous-groupe distingué de G$_i$. Alors
1° la somme restreinte externe H des H$_i$ est un sous-groupe distingué de la somme restreinte externe G des G$_i$ ;
2° le quotient G/H est isomorphe à la somme restreinte externe des quotients G$_i$/H$_i$.
Le lecteur prouvera facilement le point 1°. Désignons par Q la somme restreinte externe des groupes quotients G$_i$/H$_i$. Pour tout élément $(x_{i})_{i\in I}$ de G, la famille $(x_{i}H_{i})_{i\in I}$ est de support fini et appartient donc à Q. Considérons l’application f de G dans Q qui à tout élément $(x_{i})_{i\in I}$ de G fait correspondre l'élément $(x_{i}H_{i})_{i\in I}$ de Q. Il est clair que f est un homomorphisme surjectif dont le noyau est H, donc f induit un isomorphisme de G/H sur Q, ce qui démontre le point 2°.
Voici une version interne de ce théorème :
Soient G un groupe, $(G_{i})_{i\in I}$ une famille de sous-groupes de G dont G est somme restreinte interne et $(H_{i})_{i\in I}$ une famille telle que, pour tout i, H$_i$ soit un sous-groupe distingué de G$_i$. Alors
1° le sous-groupe H de G engendré par les H$_i$ est somme restreinte interne des H$_i$ et est un sous-groupe distingué de G ;
2° le quotient G/H est isomorphe à la somme restreinte externe des quotients G$_i$/H$_i$.
Le point 1° est un cas particulier d'un théorème démontré plus haut. Pour démontrer le point 2°, désignons par S$_G$ la somme restreinte externe des G$_i$ et par S$_H$ la somme restreinte externe des H$_i$. L'isomorphisme $(x_{i})_{i\in I}\mapsto \prod _{i\in I}x_{i}$ de S$_G$ sur G applique S$_H$ sur H et induit donc un isomorphisme de S$_G$/S$_H$ sur G/H. D'après le théorème précédent, S$_G$/S$_H$ est isomorphe à la somme restreinte externe des quotients G$_i$/H$_i$ donc G/H l'est aussi, ce qui démontre le point 2°.
Soient $G$ un groupe, $(G_{i})_{i\in I}$ une famille de sous-groupes de $G$ dont $G$ est somme restreinte interne, $J$ et $K$ deux parties de $I$ formant une partition de $I$, $L_{J}$ le sous-groupe de $G$ engendré par les sous-groupes $G_{j}$ où j parcourt $J$, et $L_{K}$ le sous-groupe de $G$ engendré par les sous-groupes $G_{k}$ où k parcourt $K$. (Donc $L_{J}$ est somme restreinte interne des $G_{j}$ où j parcourt $J$, et $L_{K}$ est somme restreinte interne des $G_{k}$ où k parcourt $K$.) Alors $L_{J}$ est sous-groupe distingué de $G$ et le groupe quotient $G/L_{J}$ est isomorphe à $L_{K}$. En particulier, si un groupe G est produit direct interne de deux sous-groupes G$_1$ et G$_2$, le groupe quotient G/G$_1$ est isomorphe à G$_2$.
Pour tout élément i de I, posons $H_{i}=G_{i}$ si i appartient à J et $H_{i}=1$ si i appartient à K. Pour tout i dans $I$, $H_{i}$ est distingué dans $G_{i}$, donc, d’après le théorème précédent, le sous-groupe H de G engendré par les $H_{i}$, i parcourant $I$, est distingué dans G et G/H est isomorphe à la somme restreinte externe des $G_{i}/H_{i}$, i parcourant $I$. Il est clair que H est égal à $L_{J}$, donc
    (1) $G/L_{J}$ est isomorphe à la somme restreinte externe des $G_{i}/H_{i}$, i parcourant I.
Dans la somme restreinte externe des $G_{i}/H_{i}$, les facteurs correspondant aux indices appartenant à J sont réduits à l'élément neutre, donc
    (2) la somme restreinte externe des $G_{i}/H_{i}$, i parcourant I, est isomorphe à la somme restreinte externe des $G_{k}/H_{k}$, où k parcourt K.
Pour un élément k de K, $G_{k}/H_{k}$ est isomorphe à $G_{k}$, donc la somme restreinte externe des $G_{k}/H_{k}$, où k parcourt K, est isomorphe à la somme restreinte externe des $G_{k}$, où k parcourt K, et est donc isomorphe à $L_{K}$. Il résulte donc de (2) que la somme restreinte externe des $G_{i}/H_{i}$, i parcourant I, est isomorphe à $L_{K}$. D'après (1), $G/L_{J}$ est donc isomorphe à $L_{K}$. Le cas particulier s'en déduit immédiatement.
Remarque. Il y a évidemment plusieurs démonstrations possibles. On pourrait commencer par démontrer le cas particulier (en notant que si un groupe G est produit direct interne de deux sous-groupes G$_1$ et G$_2$, la seconde projection associée à cette décomposition est un homomorphisme surjectif de G sur G$_2$ admettant G$_1$ pour noyau) et passer au cas général en notant que d’après l'« associativité » de la somme restreinte interne, G est somme restreinte interne de $L_{J}$ et de $L_{K}$.
Soient G un groupe, H$_1$, H$_2$, ... , H$_n$ des sous-groupes distingués de G tels que (H$_1$ H$_2$ ... H$_{i-1}$) ⋂ H$_i$ = 1 pour tout i (2 ≤ i ≤ n). Le sous-groupe H$_1$ H$_2$ ... H$_n$ de G est produit direct interne de H$_1$, ..., H$_n$.
Il suffit de le démontrer dans le cas où n = 2, l' « associativité » du produit direct interne permettant alors une démonstration par récurrence sur n. Soient donc H$_1$ et H$_2$ des sous-groupes distingués de G tels que H$_1$ ⋂ H$_2$ = 1. Il s'agit de prouver que H$_1$ H$_2$ est produit direct interne de H$_1$ et H$_2$. D'après un problème de la série Exercices/Sous-groupe distingué et groupe quotient tout élément de H$_1$ commute avec tout élément de H$_2$. D'autre part, l'hypothèse H$_1$ ⋂ H$_2$ = 1 entraîne que l'écriture h$_1$h$_2$ d'un élément de H$_1$H$_2$ avec h$_1$ dans H$_1$ et h$_2$ dans H$_1$, est unique : en effet, si h'$_1$h'$_2$ = h$_1$h$_2$, avec h'$_1$ dans H$_1$ et h'$_2$ dans H$_1$, alors h$_1$$^{-1}$h'1 = h$_2$h'$_2$$^{-1}$. Comme le premier membre appartient à H$_1$ et le second membre à H$_2$, h$_1$$^{-1}$h'$_1$ et h$_2$h'$_2$$^{-1}$ appartiennent « tous deux » à H$_1$ ⋂ H$_2$ = 1, donc h'$_1$ = h$_1$ et h'$_2$ = h$_2$. Nous avons donc prouvé que tout élément de H commute avec tout élément de K et que tout élément de HK peut s'écrire d'une et une seule façon comme produit d'un élément de H par un élément de K, donc HK est produit direct interne de H et de K.
Soient G un groupe fini, H$_1$, H$_2$, ... , H$_n$ des sous-groupes distingués de G dont les ordres sont premiers entre eux deux à deux. Le sous-groupe H$_1$ H$_2$ ... H$_n$ de G est produit direct interne de H$_1$, H$_2$, ... , H$_n$. Si l’ordre de G est égal au produit des ordres des H$_i$, G est produit direct interne des H$_i$.
Prouvons que H$_1$ H$_2$ ... H$_n$ est produit direct interne de H$_1$, H$_2$, ... , H$_n$. D'après le théorème qui précède, il suffit de prouver que (H$_1$ H$_2$ ... H$_{i-1}$) ⋂ H$_i$= 1 pour tout i (2 ≤ i ≤ n) et pour cela, il suffit de prouver que l’ordre de H$_i$ est premier avec celui de H$_1$ H$_2$ ... H$_{i-1}$. (Deux sous-groupes finis d'ordres premiers entre eux ont une intersection réduite à l'élément neutre, car l’ordre d'un élément commun à ces sous-groupes divise l’ordre de chacun de ces sous-groupes et est donc égal à 1.) On peut par exemple raisonner par récurrence sur n. Par hypothèse de récurrence, H$_1$ H$_2$ ... H$_{i-1}$ est produit direct interne de H$_1$, H$_2$, ... et H$_{i-1}$, donc son ordre est le produit des ordres de H$_1$, H$_2$, ... et H$_{i-1}$, donc est premier avec l’ordre de H$_i$. Nous avons donc démontré la première assertion de l'énoncé. Il en résulte que l’ordre de H$_1$ H$_2$ ... H$_n$ est égal au produit des ordres des H$_i$. Si l’ordre de G est supposé égal au produit des ordres des H$_i$, on a donc G = H$_1$ H$_2$ ... H$_n$ et G est le produit direct interne des H$_i$, ce qui prouve la seconde assertion de l'énoncé.
Remarques.
* Le corollaire qui précède nous servira dans l'étude des groupes nilpotents finis.
* Dans la démonstration de ce corollaire, on aurait pu éviter le raisonnement par récurrence en utilisant le fait que si G est un groupe et K$_1$, K$_2$, ... , K$_n$ des sous-groupes distingués finis de G, l'ordre de K$_1$ K$_2$ ... K$_n$ divise le produit des ordres des K$_i$. (Voir « formule du produit » au chapitre Classes modulo un sous-groupe.)
Soient G un groupe commutatif (dont tous les sous-groupes sont donc distingués), H et K deux sous-groupes de G. D'après ce qui précède, G est produit direct (interne) de H et de K si et seulement tout élément de G peut s'écrire d'une et une seule façon sous la forme hk, h appartenant à H et k à K. On vérifie facilement que la condition d'existence équivaut à G = HK et la condition d'unicité à H ⋂ K = 1.
Soient a et b deux nombres naturels > 0 et premiers entre eux. Prenons pour G un groupe cyclique d'ordre ab. On sait que G admet un unique sous-groupe H d'ordre a (formé par les b-ièmes puissances) et un unique sous-groupe K d'ordre b (formé par les a-ièmes puissances). D'après le corollaire qui précède, G est produit direct interne de H et de K. Ceci montre que si a et b sont des nombres naturels > 0 premiers entre eux, « le » groupe cyclique d'ordre ab est produit direct interne de son sous-groupe d'ordre a et de son sous-groupe d'ordre b.
Soient G$_1$, ... , G$_n$ des groupes et, pour tout i, x$_i$ un élément d'ordre fini de G$_i$ ; l’ordre de (x$_1$, ... , x$_n$) dans le produit des G$_i$ est le ppcm des ordres des x$_i$.
Si (K$_1$, ... , K$_n$) est une famille finie de groupes cycliques dont les ordres sont premiers entre eux deux à deux, la somme directe (interne ou externe) de cette famille est un groupe cyclique. Si (G$_1$, ... , G$_n$) est une famille finie de groupes finis (non forcément cycliques) dont les ordres ne sont pas premiers entre eux deux à deux, la somme directe (interne ou externe) de cette famille n’est pas un groupe cyclique.
On prouvera seulement que si G$_1$, ... , G$_n$ sont des groupes finis dont les ordres ne sont pas premiers entre eux deux à deux, la somme directe des G$_i$ n’est pas un groupe cyclique, le reste étant laissé au lecteur.
Supposons d’abord n = 2. Il s'agit de prouver que si G$_1$ est un groupe fini d'ordre n$_1$ et G$_2$ un groupe fini d'ordre n$_2$, si n$_1$ et n$_2$ ne sont pas premiers entre eux, alors la somme directe de G$_1$ et de G$_2$ n’est pas un groupe cyclique.
Soit (a, b) un élément de cette somme directe. D'après la première partie de l'énoncé, l’ordre de (a, b) est égal au ppcm des ordres de a et de b. Comme l’ordre de a divise n$_1$ et que l’ordre de b divise n$_2$, le ppcm de n$_1$ et de n$_2$ est un multiple commun de l’ordre de a et de l’ordre de b, donc est multiple du ppcm des ordres de a et de b. Ainsi, l’ordre de (a, b) divise le ppcm de n$_1$ et de n$_2$. Puisque n$_1$ et n$_2$ ne sont pas premiers entre eux, leur ppcm est strictement plus petit que leur produit. Donc aucun élément (a, b) de la somme directe de G$_1$ et de G$_2$ n'a un ordre égal à l’ordre n$_1$ n$_2$ de cette somme directe, donc cette somme directe n’est pas cyclique.
Notre thèse est donc prouvée dans le cas n = 2. Dans le cas général, il existe deux indices distincts j et k tels que les ordres de G$_j$ et de G$_k$ ne soient pas premiers entre eux. D'après la première partie de la démonstration, la somme directe de G$_j$ et de G$_k$ n’est pas cyclique, donc la somme directe de G$_1$, ... , G$_n$ contient un sous-groupe non cyclique et n'est donc elle-même pas cyclique.

## Facteurs directs d'un groupe abélien

Cette section peut être omise en première lecture.
Les groupes supposés abéliens seront notés additivement.
Dans un groupe abélien G, tous les sous-groupes sont normaux, ce qui entraîne que si H et K sont des sous-groupes de G, le sous-groupe de G engendré par H et K est H + K. Dès lors, d'après le théorème 4 (ou encore le théorème 18) :
Soit G un groupe abélien, soient H et K des sous-groupes de G. Pour que G soit somme directe (interne) de H et K, il faut et il suffit que les deux conditions suivantes soient satisfaites :
1° $G=H+K$ ;
2° $H\cap K=0.$
Si G est un groupe (non forcément abélien), si H et K sont des sous-groupes de G, la condition « HK = G » est symétrique en H et K (passer aux inverses). Donc la condition « $HK=G$ et $H\cap K=1$» est symétrique en H et K.
Soit G un groupe (non forcément abélien), soient H et K des sous-groupes de G. On dit que H et K sont complémentaires dans G, ou encore que H est un complément de K dans H, ou encore que K est un complément de H dans G, si $HK=G$ et $H\cap K=1$.
Le théorème 21 peut alors se formuler comme suit :
Soit G un groupe abélien, soient H et K des sous-groupes de G. Pour que G soit somme directe (interne) de H et K, il faut et il suffit que H et K soient complémentaires dans G.
Soit G un groupe (non forcément abélien), soient H et K des sous-groupes de G. Les deux conditions suivantes sont équivalentes :
    (i) H et K sont complémentaires dans G ;
    (ii) tout élément de G peut se mettre d'une et une seule façon sous la forme $hk$, avec $h\in H$ et $k\in K.$
Supposons que H et K sont complémentaires dans G. Alors tout élément $g$de G est de la forme $g=hk$, avec $h\in H$ et $k\in K.$ Si $h'$ et $k'$ sont respectivement des éléments de H et de K tels qu'on ait aussi $g=h'k'$, alors $hk=h'k'$, donc $h'^{-1}h=k'k^{-1}.$ Le membre gauche appartient à H et le membre droit à K, donc (puisque H et K sont supposés complémentaires) les deux membres appartiennent à $H\cap K=1$, donc $h'=h$ et $k'=k.$ Nous avons donc prouvé l'implication (i) $Rightarrow(ii)$, à savoir que si H et K sont complémentaires dans G, alors tout élément de G s'écrit d'une et une seule façon sous la forme $hk$ avec $h\in H$ et $k\in K.$
Réciproquement, supposons que tout élément de G s'écrit d'une et une seule façon sous la forme $hk$ avec $h\in H$ et $k\in K$ et prouvons que dans ce cas, H et K sont complémentaires dans G. On a évidemment G = HK. Si $g$ est un élément de $H\cap K$, alors $g=1g$ et $g=g1$ sont toutes deux des écritures de $g$ sous la forme $hk$ avec $h\in H$ et $k\in K.$ Puisqu'on suppose qu'une telle écriture est unique, il faut $g=1$, ce qui prouve que $H\cap K=1$ et achève donc de prouver que H et K sont complémentaires dans G.
Soient G un groupe abélien et H un sous-groupe de G. Les conditions suivantes sont équivalentes :
    (i) H est facteur direct de G ;
    (ii) il existe un sous-groupe K de G tel que tout élément de G s'écrive d'une et une seule façon $h+k$ avec $h\in H$ et $k\in K$ ;
    (iii) l'homomorphisme canonique $\varphi :G\to G/H$ admet (au moins) un homomorphisme section, c'est-à-dire qu'il existe un homomorphisme $\sigma :G/H\mapsto G$ tel que $\varphi \circ \sigma$ soit l'automorphisme identique du groupe G/H ;
    (iv) il existe un endomorphisme $\pi$ de G tel que Ker$\pi$ = H et que $\pi \circ \pi =\pi$ ;
    (v) il existe un homomorphisme (surjectif) de G dans H qui coïncide avec l'identité en tout élément de H.
Supposons (i) et tirons-en (ii). D'après l'hypothèse (i), il existe un sous-groupe K de G tel que $G=H\oplus K.$ D'après le théorème 16 bis, H et K sont complémentaires dans G, donc, d'après le théorème 17, tout élément de G peut se mettre d'une et une seule façon sous la forme $h+k$ avec $h\in H$ et $k\in K$, ce qui prouve que la condition (ii) est satisfaite.
Cessons de supposer (i) mais supposons (ii) et tirons-en (iii). D'après l'hypothèse (ii), il existe un sous-groupe K de G tel que tout élément de G s'écrive d'une et une seule façon $h+k$ avec $h$ dans H et $k$ dans K. Cela revient à dire que
    (1)$\qquad$ tout élément de G est congru à un et un seul élément de K modulo H.
Soit X un élément de G/H. Il existe un élément $g$ de G tel que X = gH, donc, d'après (1),
    $\qquad$il existe un et un seul élément $k$ de G tel que X = kH.
Puisque K est contenu dans G, nous pouvons donc considérer l'application $\sigma$ de G/H dans G qui, pour tout élément X de G/H, envoie X sur l'unique élément $k$ de K tel que X = kH. Prouvons que $\sigma$ est un homomorphisme de G/H dans G.
Soient $g_{1}$ et $g_{2}$ des éléments de G. Alors
    (2)$\qquad <math>\sigma$ applique l'élément $(g_{1}H)(g_{2}H)=(g_{1}g_{2})H$ sur l'unique élément $k$ de K tel que $(g_{1}g_{2})H=kH.$ Mais si $k_{1}$ (resp. $k_{2}$) désigne l'unique élément de K tel que $g_{1}H=k_{1}H$ (resp. $g_{2}H=k_{2}H$, alors d'où, puisque G est abélien, donc l'unique élément $k$ de K tel que $g_{1}g_{2}H=kH$ est $k_{1}k_{2}.$ Donc, d'après (1), donc $\sigma$ est un homomorphisme de G/H dans G. Pour tout élément gH de G/H, nous avons, par définition de $\sigma$, où La relation (3) peut encore s'écrire ou encore, d'après (4) donc $\varphi \circ \sigma$ est l'automorphisme identique de G/H. Nous avons ainsi prouvé que la condition (ii) de l'énoncé entraîne (iii). Sans autres hypothèses que celles de l'énoncé, supposons (iii) et tirons-en (iv). Désignons par $\varphi$ l'homomorphisme canonique de G sur G/H. D'après l'hypothèse (iii), il existe un homomorphisme $\sigma$ de G/H dans G tel que Désignons par $\pi$ l'endomorphisme $\sigma \circ \varphi$ de G. Alors D'autre part, pour tout élément $h$ de H, Puisque $\sigma$ est un homomorphisme de G/H dans G et que H est l'élément neutre de G/H, le membre droit de (7) est l'élément nul de G, donc $\pi (h)=0$ pour tout élément $h$ de G, autrement dit Prouvons l'inclusion réciproque. Si $g$ est un élément du noyau de $\pi$, nos avons, par définition de $\pi$ Par exemple en composant à gauche avec $\varphi$ et en tenant compte que $\varphi \circ \sigma$ est l'automorphisme identique de G/H, on trouve $\varphi (g)=0$, gH = 0, donc $g$ appartient à H, ce qui prouve que le noyau de $\pi$ est contenu dans H. Joint à (8), cela prouve que le noyau de $\pi$ est égal à H. Avec (6), cela prouve que la condition (iv) de l'énoncé est satisfaite. Nous avons donc prouvé que (iii) entraîne (iv). Sans autres hypothèses que celles de l'énoncé, supposons (iv) et prouvons (v). D'après (iv), il existe un endomorphisme $\pi$ de G tel que et que donc $g-\pi (g)$ appartient à Ker($\pi )$, c'est-à-dire, d'après (10), à H. Donc si $id_{G}$ désigne l'automorphisme identique de G, D'autre part, d'après (10), $\pi$ s'annule en tout point de H, donc D'après (11), nous pouvons considérer la corestriction à H de l'endomorphisme $id_{G}-\pi :g\mapsto g-\pi (g)$ de G. D'après (12), cette corestriction est un homomorphisme de G dans H qui coïncide avec l'identité sur H, donc la condition (v) de l'énoncé est satisfaite. Nous avons ainsi prouvé que la condition (iv) de l'énoncé entraîne la condition (v). (On peut noter que l'homomorphisme de G dans H mentionné dans (v) est évidemment surjectif.) Sans autres hypothèses que celles de l'énoncé, supposons que la condition (v) est satisfaite et prouvons que la condition (i) l'est aussi. D'après l'hypothèse (v), nous avons un homomorphisme $\lambda$ de G dans H qui coïncide avec l'identité en tout élément de H. Il est clair que $\lambda$ est surjectif : Posons $K=$ Ker($\lambda$). Nous allons prouver que Pour tout élément $g$ de G, nous avons d'où, puisque $\lambda$ coïncide avec l'identité en tout élément de H, donc, pour tout élément $g$ de G, d'où, d'après (13), donc Soit $t$ un élément de $H\cap K.$ Puisque $t$ appartient à H, il existe, d'après (13), un élément $t'$ de G tel que d'où Puisque $t$ appartient à $K=$ Ker($\lambda$), le membre gauche de (19) est nul, donc ce qui, d'après (16), peut s'écrire d'où, d'après (18), $t=0$, ce qui prouve que Joint à (17) et au théorème 16bis, cela prouve notre thèse (14), à savoir $G=H\oplus K$, et donc l'implication (v) $\Rightarrow$ (i).
       $\qquad g_{1}g_{2}H=g_{1}k_{2}H$,
       $\qquad g_{1}g_{2}H=k_{2}g_{1}H$
       $\qquad g_{1}g_{2}H=k_{2}k_{1}H$
       $\qquad g_{1}g_{2}H=k_{1}k_{2}H$,
       $\sigma$ applique l'élément $(g_{1}H)(g_{2}H)$ de G/H sur $k_{1}k_{2}=\sigma (g_{1}H)\sigma (g_{2}H)$,
       (3)$\qquad \varphi \circ \sigma (gH)=\varphi (k)$,
       (4)$\qquad k$ est l'unique élément de K tel que gH = kH.
       $\qquad \varphi \circ \sigma (gH)=kH$,
       $\qquad \varphi \circ \sigma (gH)=gH$,
       (5)$\qquad \varphi \circ \sigma$ soit l'automorphisme identique de G/H.
       $\qquad \pi \circ \pi =\sigma \circ \varphi \circ \sigma \circ \varphi$, où, d'après (5), nous pouvons remplacer dans le membre droit $\varphi \circ \sigma$ par l'automorphisme identique de G/H. Donc
       $\qquad \pi \circ \pi =\sigma \circ \varphi$
       (6)$\qquad \pi \circ \pi =\pi .$
       $\pi (h)=\sigma \circ \varphi (h)$,
       (7)$\qquad \pi (h)=\sigma (H).$
       (8)$\qquad$H est contenu dans le noyau de $\pi .$
       $\sigma \circ \varphi (g)=0.$
       (9)$\qquad \pi \circ \pi =\pi$
       (10)$\qquad$le noyau de $\pi$ soit égal à H. Alors, pour tout élément $g$ de G,
       $\qquad \pi (g)=\pi \circ \pi (g)$,
       $\qquad \pi (g-\pi (g))=0$,
       (11)$\qquad$l'endomorphisme $id_{G}-\pi :g\mapsto g-\pi (g)$ de G (on vérifiera que c'est bien un endomorphisme, compte tenu que G est abélien) prend ses valeurs dans H.
       (12) l'endomorphisme $id_{G}-\pi :g\mapsto g-\pi (g)$ de G coïncide avec l'identité en tout élément de H.
       (13)$\qquad \lambda (G)=H.$
       (thèse 14)$\qquad G=H\oplus K.$
       (15)$\qquad \lambda (g)\in H$,
       (16)$\qquad \lambda (\lambda (g))=\lambda (g)$,
       $\qquad \lambda (g-\lambda (g))=0$,
       $\qquad g-\lambda (g)\in$ Ker($\lambda$),
       $\qquad g-\lambda (g)\in K$,
       $\qquad g\in \lambda (g)+K$,
       $\qquad g\in H+K$,
       (17)$\qquad G=H+K.$
       (18)$\qquad t=\lambda (t')$,
       (19)$\qquad \lambda (t)=\lambda (\lambda (t')).$
       $\qquad \lambda (\lambda (t'))=0$,
       $\qquad \lambda (t')=0$,
       $H\cap K=0.$
Remarques.
* L'équivalence des conditions (i) à (iv) (mais non (v)) sera généralisée dans le chapitre Théorie des groupes/Produit semi-direct.
* On utilisera le théorème qui précède dans un futur chapitre (non encore publié) sur les groupes abéliens libres.