# Mécanique 1 (PCSI)/Description et paramétrage du mouvement d'un point : Mouvement de vecteur accélération constant
## Expression du vecteur vitesse en fonction du temps, déduction de ses composantes cartésiennes
### Mouvement à vecteur accélération constant

Se dit du mouvement d'un point $\;M\;$ ayant, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, un vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ constant noté $\;{\vec {a}}_{0}$, soit
$\;{\vec {a}}_{M}(t)={\vec {a}}_{0}\;\;\forall \;t\;$

### Expression du vecteur vitesse du point M

Le vecteur vitesse de $\;M$, noté $\;{\vec {V}}_{M}(t)$, étant lié au vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{M}(t)={\vec {a}}_{0}\;$ par $\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{M}}{dt}}(t)={\vec {a}}_{M}(t)={\vec {a}}_{0}\;\;\forall \;t$, on en déduit par intégration «$\;{\vec {V}}_{M}(t)$ $={\vec {a}}_{0}\;t+{\overrightarrow {\text{cste}}}\;$», le vecteur $\;{\overrightarrow {\text{cste}}}\;$ se déterminant à l'aide des C.I. à savoir $\;{\vec {V}}_{M}(0)={\vec {V}}_{0}\;$ d'où $\;{\vec {V}}_{M}(0)={\overrightarrow {\text{cste}}}={\vec {V}}_{0}\;$ et par suite
$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\vec {a}}_{0}\;t+{\vec {V}}_{0}\;$
$\;{\vec {V}}_{0}\;$
$\;M\;$

## Expression du vecteur position en fonction du temps, déduction de ses composantes cartésiennes
### Expression du vecteur position du point M

Le vecteur position de $\;M$, noté $\;{\overrightarrow {OM}}(t)$, étant lié au vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)={\vec {a}}_{0}\;t+{\vec {V}}_{0}\;$ par $\;{\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}(t)={\vec {V}}_{M}(t)={\vec {a}}_{0}\;t+{\vec {V}}_{0}\;\;\forall \;t$, on en déduit par intégration «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)=$ ${\vec {a}}_{0}\;{\dfrac {t^{2}}{2}}+{\vec {V}}_{0}\;t+{\overrightarrow {\text{cste'}}}\;$», le vecteur $\;{\overrightarrow {\text{cste'}}}\;$ se déterminant à l'aide des C.I. à savoir $\;{\overrightarrow {OM}}(0)={\overrightarrow {OM_{0}}}\;$ d'où $\;{\overrightarrow {OM}}(0)={\overrightarrow {\text{cste'}}}$ $={\overrightarrow {OM_{0}}}\;$ et par suite la loi horaire vectorielle de position s'écrit
$\;{\overrightarrow {OM}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;{\vec {a}}_{0}\;t^{2}+{\vec {V}}_{0}\;t+{\overrightarrow {OM_{0}}}\;$
$\;\left\lbrace {\vec {V}}_{0}\,,\,{\overrightarrow {OM_{0}}}\right\rbrace \;$
$\;M\;$

### Choix du repère cartésien associé au référentiel d'étude

On choisit, l'espace de l'étude étant orienté à droite, $\succ \;$l'origine $\;O\;$ en la position initiale $\;M_{0}$, On choisit, l'espace de l'étude étant orienté à droite, $\succ \;$l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ colinéaire au vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{0}\;$ et de même sens, On choisit, l'espace de l'étude étant orienté à droite, $\succ \;$l'axe $\;{\overrightarrow {Ox}}$ $\;\perp \;$ à l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ tel que le vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}\;$ soit dans le plan $\;xOz\;$, On choisit, l'espace de l'étude étant orienté à droite, $\color {transparent}{\succ }\;$l'axe $\;\color {transparent}{\overrightarrow {Ox}}$ $\;\color {transparent}{\perp }\;$ à l'axe $\;\color {transparent}{\overrightarrow {Oz}}\;$ tel que la composante de sa projection sur $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ étant $\;\geqslant 0\;$ et On choisit, l'espace de l'étude étant orienté à droite, $\succ \;$l'axe $\;{\overrightarrow {Oy}}$ $\;\perp \;$ au plan formé par $\;\left\lbrace {\vec {a}}_{0}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right\rbrace \;$ et tel que le trièdre $\;\left\lbrace {\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {Oy}}\,,\,{\overrightarrow {Oz}})\right\rbrace \;$ soit direct $\;{\big$c.-à-d. déterminée par la On choisit, l'espace de l'étude étant orienté à droite, $\color {transparent}{\succ }\;$l'axe $\;\color {transparent}{\overrightarrow {Oy}}$ $\;\color {transparent}{\perp }\;$ au plan formé par $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {a}}_{0}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right\rbrace }\;$ et tel que le trièdre $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {Oy}}\,,\,{\overrightarrow {Oz}})}\;$ soit direct $\;\color {transparent}{\big$« règle de la main droite »${\big )}\;$,
$\;{\vec {V}}_{0}\wedge {\vec {a}}_{0}\neq {\vec {0}}\;$

### Déduction des composantes cartésiennes du vecteur position du point M
#### Cas où le vecteur vitesse initiale n'est pas colinéaire au vecteur accélération

Voir le « choix du repère cartésien associé au référentiel d'étude dans le paragraphe précédent » utilisé dans le schéma ci-contre, les angles du plan $\;(zOx)\;$ étant orientés par le sens $\;+\;$ précisé sur le schéma et défini par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{y}\;$ qui lui est $\;\perp$, l'angle que fait le vecteur vitesse initiale avec le vecteur accélération est noté $\;{\widehat {\left({\vec {a}}_{0}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)}}=\alpha _{0}>0\;$ ; ci-contre les composantes cartésiennes $\succ \;$du vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{0}\;\left\lbrace {\begin{array}{l}a_{0,\,x}=0\\a_{0,\,y}=0\\a_{0,\,z}=a_{0}\end{array}}\right\rbrace \;$ et  ci-contre les composantes cartésiennes $\succ \;$du vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}\;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{0,\,x}=V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\\V_{0,\,y}=0\\V_{0,\,z}=V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\end{array}}\right\rbrace$ ;
les projections respectives sur chaque axe de la loi horaire vectorielle de position «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;{\vec {a}}_{0}\;t^{2}+{\vec {V}}_{0}\;t+{\overrightarrow {OM_{0}}}\;$» donnent les projections respectives sur chaque axe «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x(t)=V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;t\\y(t)=0\\z(t)={\dfrac {1}{2}}\;a_{0}\;t^{2}+V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\;t\end{array}}\right\rbrace \;$» les projections respectives sur chaque axe correspondant aux trois lois horaires scalaires de position, la 2ème établissant la nature plane du mouvement dans le plan $\;(zOx)\;$.

#### Cas où le vecteur vitesse initiale est colinéaire au vecteur accélération

On rappelle que les conditions du problème définissent une direction privilégiée, celle qui est commune à $\;{\vec {a}}_{0}\;$ et $\;{\vec {V}}_{0}$, sur laquelle on a choisi un axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ orienté dans le sens de $\;{\vec {a}}_{0}$, On rappelle que les conditions du problème définissent une direction privilégiée, le vecteur vitesse initiale étant alors dans le même sens ou dans le sens opposé, On rappelle que les conditions du problème définissent une direction privilégiée, les deux autres axes $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ et $\;{\overrightarrow {Oy}}\;$ respectivement $\;\perp \;$ étant choisis $\;\perp \;$ à $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ avec l'origine $\;O\;$ en $\;M_{0}$ ;
ci-contre les composantes cartésiennes $\succ \;$du vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{0}\;\left\lbrace {\begin{array}{l}a_{0,\,x}=0\\a_{0,\,y}=0\\a_{0,\,z}=a_{0}\end{array}}\right\rbrace \;$ et ci-contre les composantes cartésiennes $\succ \;$du vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}\;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{0,\,x}=0\\V_{0,\,y}=0\\V_{0,\,z}={\overline {V_{0}}}\end{array}}\right\rbrace \;$ ;
les projections respectives sur chaque axe de la loi horaire vectorielle de position «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;{\vec {a}}_{0}\;t^{2}+{\vec {V}}_{0}\;t+{\overrightarrow {OM_{0}}}\;$» donnent «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x(t)=0\\y(t)=0\\z(t)={\dfrac {1}{2}}\;a_{0}\;t^{2}+{\overline {V_{0}}}\;t\end{array}}\right\rbrace \;$» les projections respectives sur chaque axe de la loi horaire vectorielle de position correspondant aux trois lois horaires scalaires de position, les projections respectives sur chaque axe de la loi horaire vectorielle de position les deux 1$^{ères}$ $\Rightarrow$ la nature rectiligne du mouvement le long de $\;(Oz)$.

## Équations cartésiennes paramétrées de la trajectoire, nature de celle-ci
### Cas où le vecteur vitesse initiale n'est pas colinéaire au vecteur accélération

Les lois horaires scalaires $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x(t)=V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;t\\y(t)=0\\z(t)={\dfrac {1}{2}}\;a_{0}\;t^{2}+V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\;t\end{array}}\right\rbrace \;$ sont aussi les équations cartésiennes paramétriques de la trajectoire,
* celle-ci est donc plane dans le plan $\;(zOx)\;$ d'équation cartésienne $\;y=0\;$ et
* sa 2ème équation cartésienne s'obtient en exprimant $\;t\;$ à l'aide de la 1ère équation paramétrique $\;t={\dfrac {x}{V_{0}\;\sin(\alpha _{0})}}\;$ et en reportant dans la 3ème ce qui donne, après simplification évidente, sa 2ème équation cartésienne «$\;z={\dfrac {a_{0}}{2\;V_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}}\;x^{2}+\cot(\alpha _{0})\;x\;$», équation d'un cylindre parabolique de génératrices $\;\parallel \;$ à l'axe $\;(Oy)\;$ ;
le système des deux équations cartésiennes de la trajectoire $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}y=0\\z={\dfrac {a_{0}}{2\;V_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}}\;x^{2}+\cot(\alpha _{0})\;x\end{array}}\right\rbrace \;$ définit une « parabole de concavité vers les $\;z\nearrow \;$ », $\;{\big$voir le paragraphe « retour sur le cas où le vecteur vitesse initiale n'est pas colinéaire au vecteur accélération » plus loin dans ce chapitre où les figures présentées dépendent du signe de $\;V_{0,\,z}{\big ]}$.

### Cas où le vecteur vitesse initiale est colinéaire au vecteur accélération

Les lois horaires scalaires $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x(t)=0\\y(t)=0\\z(t)={\dfrac {1}{2}}\;a_{0}\;t^{2}+{\overline {V_{0}}}\;t\end{array}}\right\rbrace \;$ sont aussi les équations cartésiennes paramétriques de la trajectoire dont on tire, sans faire quoi que soit, les deux équations cartésiennes de cette dernière $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x=0\\y=0\end{array}}\right\rbrace$, système d'équations cartésiennes définissant une « trajectoire rectiligne le long de $\;(Oz)\;$».

### Retour sur le cas où le vecteur vitesse initiale n'est pas colinéaire au vecteur accélération

La trajectoire étant parabolique d'équation cartésienne dans le plan $\;(zOx)\;$ de la trajectoire $\;z={\dfrac {a_{0}}{2\;V_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}}\;x^{2}+\cot(\alpha _{0})\;x$, nous allons déterminer quelques propriétés de cette parabole :
* elle possède un axe de symétrie $\;\parallel \;$ à l'axe $\;(Oz)\;$ sur lequel se trouve son sommet $\;S\;$ d'abscisse $\;x_{S}\;$ déterminée par la nullité du cœfficient directeur de la tangente à la parabole en ce point soit elle possède un axe de symétrie $\;\color {transparent}{\parallel }\;$ à l'axe $\;\color {transparent}{(Oz)}\;$ sur lequel se trouve son sommet $\;\color {transparent}{S}\;$ d'abscisse $\;\color {transparent}{x_{S}}\;$ déterminée par $z'(x_{S})=0\;$ avec $\;z'(x)={\dfrac {a_{0}}{V_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}}\;x+\cot(\alpha _{0})\;$ et par suite elle possède un axe de symétrie $\;\color {transparent}{\parallel }\;$ à l'axe $\;\color {transparent}{(Oz)}\;$ sur lequel se trouve son sommet $\;\color {transparent}{S}\;$ d'abscisse $\;x_{S}=-\cot(\alpha _{0})\;{\dfrac {V_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{a_{0}}}=-{\dfrac {V_{0}^{2}\;\sin(\alpha _{0})\;\cos(\alpha _{0})}{a_{0}}}\;$ d'où elle possède l'axe de symétrie d'équation «$\;x=-{\dfrac {V_{0}^{2}\;\sin(\alpha _{0})\;\cos(\alpha _{0})}{a_{0}}}=-{\dfrac {V_{0}^{2}\;\sin(2\,\alpha _{0})}{2\;a_{0}}}\;$» ;
* son sommet $\;S\;$ a pour abscisse «$\;x_{S}=-{\dfrac {V_{0}^{2}\;\sin(\alpha _{0})\;\cos(\alpha _{0})}{a_{0}}}\;$» et sa cote $\;z_{S}\;$ s'obtient par report de son abscisse dans l'équation cartésienne de la parabole soit son sommet $\;\color {transparent}{S}\;$ a pour abscisse «$\;\color {transparent}{x_{S}=-V_{0}^{2}\;\sin(\alpha _{0})\;\cos(\alpha _{0})}\;$» et sa cote «$\;z_{S}={\dfrac {a_{0}}{2\;V_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}}\,\left[-{\dfrac {V_{0}^{2}\;\sin(\alpha _{0})\;\cos(\alpha _{0})}{a_{0}}}\right]^{2}+\cot(\alpha _{0})\,\left[-{\dfrac {V_{0}^{2}\;\sin(\alpha _{0})\;\cos(\alpha _{0})}{a_{0}}}\right]=-{\dfrac {V_{0}^{2}\;\cos ^{2}(\alpha _{0})}{2\;a_{0}}}\;$» son sommet $\;\color {transparent}{S}\;$ d'où les coordonnées du sommet de la parabole : «$\;S\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{S}=-{\dfrac {V_{0}^{2}\;\sin(2\,\alpha _{0})}{2\;a_{0}}}\\z_{S}=-{\dfrac {V_{0}^{2}\;\cos ^{2}(\alpha _{0})}{2\;a_{0}}}\end{array}}\right\rbrace \;$».
Ci-dessous la trajectoire dans le cas où $\;a_{0}=1\;m\cdot s^{-2}\;$ et $\;V_{0}=0,2\;m\cdot s^{-1}$, l'angle entre vecteur vitesse initiale et vecteur accélération étant $\succ \;$«$\;\alpha _{0}={\dfrac {\pi }{3}}\;$» pour le graphe de gauche, Ci-dessous la trajectoire dans le cas où $\;\color {transparent}{a_{0}=1\;m\cdot s^{-2}}\;$ et $\;\color {transparent}{V_{0}=0,2\;m\cdot s^{-1}}$, l'angle entre vecteur vitesse initiale et vecteur accélération étant $\succ \;$«$\;\alpha _{0}={\dfrac {2\;\pi }{3}}\;$» pour le graphe de droite.
* Trajectoire d'un point de vecteur accélération constant, l'axe $\;Oz\;$ ayant été choisi le long de ce dernier et étant orienté dans le même sens, le vecteur vitesse initiale faisant l'angle $\;60\;{\text{°}}\;$ avec lui et l'origine du repère étant choisi en la position initiale : trajectoire parabolique de concavité dans le sens du vecteur accélération, le sommet étant d'abscisse négative
* Trajectoire d'un point de vecteur accélération constant, l'axe $\;Oz\;$ ayant été choisi le long de ce dernier et étant orienté dans le même sens, le vecteur vitesse initiale faisant l'angle $\;60\;{\text{°}}\;$ avec lui et l'origine du repère étant choisi en la position initiale : trajectoire parabolique de concavité dans le sens du vecteur accélération, le sommet étant d'abscisse positive $\;{\big$et de cote négative${\big )}$

## En complément, équations cartésiennes paramétrées de l'hodographe de pôle O du mouvement, nature de celui-ci
### Équations cartésiennes paramétrées de l’hodographe de pôle O du mouvement du point M

L'hodographe de pôle $\;O\;$ du mouvement du point $\;M\;$ étant l'ensemble des positions $\;P\;$ tel que $\;{\overrightarrow {OP}}(t)\;{\widehat {=}}\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$$^,$ et notant $\;\left(X\,,\,Y\,,\,Z\right)\;$ les coordonnées cartésiennes du point générique $\;P\;$ de l'hodographe $\;\left({\mathcal {H}}\right)\;$ nous obtenons, en projetant $\;{\overrightarrow {OP}}(t)\;{\widehat {=}}\;{\vec {V}}_{M}(t)={\vec {a}}_{0}\;t+{\vec {V}}_{0}\;$ sur chaque axe «$\;P\;\left\lbrace {\begin{array}{l}X(t)\;{\widehat {=}}\;V_{x,\,M}(t)=V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\\Y(t)\;{\widehat {=}}\;V_{y,\,M}(t)=0\\Z(t)\;{\widehat {=}}\;V_{z,\,M}(t)=a_{0}\;t+V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\end{array}}\right\rbrace \;$»$^,$.

### Équations cartésiennes de l’hodographe de pôle O du mouvement du point M

Les équations cartésiennes paramétriques $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}X(t)\;{\widehat {=}}\;V_{x,\,M}(t)=V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\\Y(t)\;{\widehat {=}}\;V_{y,\,M}(t)=0\\Z(t)\;{\widehat {=}}\;V_{z,\,M}(t)=a_{0}\;t+V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\end{array}}\right\rbrace \;$ de l'hodographe $\;\left({\mathcal {H}}\right)\;$ de pôle $\;O\;$ du mouvement de $\;M\;$ permettent d'obtenir, sans aucun calcul, les deux équations cartésiennes de l'hodographe de pôle $\;O\;$ du mouvement de $\;M\;$ «$\;\left({\mathcal {H}}\right)\;\left\lbrace {\begin{array}{l}X\;{\widehat {=}}\;V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\\Y\;{\widehat {=}}\;0\end{array}}\right\rbrace \;$».

### Nature de l’hodographe de pôle O du mouvement du point M

L'hodographe $\;\left({\mathcal {H}}\right)\;$ de pôle $\;O\;$ du mouvement de $\;M\;$ étant d'équations cartésiennes «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}X\;{\widehat {=}}\;V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\\Y\;{\widehat {=}}\;0\end{array}}\right\rbrace \;$» L'hodographe $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {H}}\right)}\;$ de pôle $\;\color {transparent}{O}\;$ du mouvement de $\;\color {transparent}{M}\;$ est porté par la droite$\;\parallel \;$à$\;(OZ)\;$ et passant par le point de $\;(XOY)\;$ de coordonnées représentées par $\;\left\lbrace V_{0}\sin(\alpha _{0})\,,\,0\right\rbrace$ ;
tracés de $\;\left({\mathcal {H}}\right)\;$ représentés dans le plan $\;(ZOX)$, avec $\;a_{0}=1\;m\cdot s^{-2}\;$ et $\;V_{0}=0,2\;m\cdot s^{-1}$, tracés de $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {H}}\right)}\;$ représentés dans le plan $\;\color {transparent}{(ZOX)}$, l'angle entre vecteur vitesse initiale et vecteur accélération étant $\succ \;$«$\;\alpha _{0}={\dfrac {\pi }{3}}\;$» pour l'hodographe de gauche correspondant à une demi-droite tracés de $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {H}}\right)}\;$ représentés dans le plan $\;\color {transparent}{(ZOX)}$, l'angle entre vecteur vitesse initiale et vecteur accélération étant $\color {transparent}{\succ }\;$issue de $\;P_{0}\;$ du quadrant supérieur droite du plan $\;(ZOX)\;$ et tracés de $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {H}}\right)}\;$ représentés dans le plan $\;\color {transparent}{(ZOX)}$, l'angle entre vecteur vitesse initiale et vecteur accélération étant $\color {transparent}{\succ }\;$allant vers $\;P_{\infty }\;$ d'ordonnée $\;+\infty \;$, tracés de $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {H}}\right)}\;$ représentés dans le plan $\;\color {transparent}{(ZOX)}$, l'angle entre vecteur vitesse initiale et vecteur accélération étant $\succ \;$«$\;\alpha _{0}={\dfrac {2\;\pi }{3}}\;$» pour l'hodographe de droite correspondant à une demi-droite tracés de $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {H}}\right)}\;$ représentés dans le plan $\;\color {transparent}{(ZOX)}$, l'angle entre vecteur vitesse initiale et vecteur accélération étant $\color {transparent}{\succ }\;$issue de $\;P_{0}\;$ du quadrant inférieur droite du plan $\;(ZOX)\;$ et tracés de $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {H}}\right)}\;$ représentés dans le plan $\;\color {transparent}{(ZOX)}$, l'angle entre vecteur vitesse initiale et vecteur accélération étant $\color {transparent}{\succ }\;$allant vers $\;P_{\infty }\;$ d'ordonnée $\;+\infty \;$ ; tracés de $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {H}}\right)}\;$ représentés dans le plan $\;\color {transparent}{(ZOX)}$, l'angle entre vecteur vitesse initiale et vecteur accélération étant $\color {transparent}{\succ }\;$le point $\;P_{S}\;$ correspondant au sommet $\;S\;$ de la trajectoire tracés de $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {H}}\right)}\;$ représentés dans le plan $\;\color {transparent}{(ZOX)}$, l'angle entre vecteur vitesse initiale et vecteur accélération étant $\color {transparent}{\succ }\;$est ici observable, c'est le point de $\;\left({\mathcal {H}}\right)\;$ placé sur l'axe $\;(OX)$.
* Hodographe de pôle $\;O\;$ du mouvement d'un point de vecteur accélération constant, l'axe $\;Oz\;$ ayant été choisi le long de ce dernier et étant orienté dans le même sens, le vecteur vitesse initiale faisant l'angle $\;60\;{\text{°}}\;$ avec lui, le sommet de la trajectoire n'est pas observable sur l'hodographe car correspondrait à $\;t<0$
* Hodographe de pôle $\;O\;$ du mouvement d'un point de vecteur accélération constant, l'axe $\;Oz\;$ ayant été choisi le long de ce dernier et étant orienté dans le même sens, le vecteur vitesse initiale faisant l'angle $\;120\;{\text{°}}\;$ avec lui, le sommet de la trajectoire correspond au point $\;P_{S}\;$ de l'hodographe
Remarques : De $\;{\overrightarrow {OP}}(t)\;{\widehat {=}}\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ on en déduit que $\succ \;$le cœfficient directeur de la direction $\;(OP)\;$ défini par $\;\tan \!{\widehat {\left({\overrightarrow {OX}}\,,\,{\overrightarrow {OP}}\right)}}\;$ permet de visualiser la pente du vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}\;$ Remarques : De $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {OP}}(t)\;{\widehat {=}}\;{\vec {V}}_{M}(t)}\;$ on en déduit que $\color {transparent}{\succ }\;$sur la trajectoire du point $\;M$, ceci permettant de constater sur l'hodographe de gauche l'absence de sommet accessible sur la trajectoire Remarques : De $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {OP}}(t)\;{\widehat {=}}\;{\vec {V}}_{M}(t)}\;$ on en déduit que $\color {transparent}{\succ }\;$et sur l'hodographe de droite l'accessibilité du sommet de la trajectoire correspondant à la position $\;P_{S}\;$ de l'hodographe, Remarques : De $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {OP}}(t)\;{\widehat {=}}\;{\vec {V}}_{M}(t)}\;$ on en déduit que $\succ \;$la norme de $\;{\overrightarrow {OP}}\;$ représente celle de $\;{\vec {V}}_{M}\;$ soit $\;\Vert {\overrightarrow {OP}}\Vert \;{\widehat {=}}\;\Vert {\vec {V}}_{M}\Vert \;$ montrant Remarques : De $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {OP}}(t)\;{\widehat {=}}\;{\vec {V}}_{M}(t)}\;$ on en déduit que $\color {transparent}{\succ }\;$sur l'hodographe de gauche que $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert \nearrow \;$ jusqu'à l'infini et Remarques : De $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {OP}}(t)\;{\widehat {=}}\;{\vec {V}}_{M}(t)}\;$ on en déduit que $\color {transparent}{\succ }\;$sur l'hodographe de droite que $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert \searrow \;$ jusqu'à $\;\Vert {\vec {V}}_{S}\Vert \;{\widehat {=}}\;\Vert {\overrightarrow {OP_{S}}}\Vert \;$ ${\big$vitesse minimale obtenue au sommet $\;S\;$de la trajectoire${\big )}\;$ puis Remarques : De $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {OP}}(t)\;{\widehat {=}}\;{\vec {V}}_{M}(t)}\;$ on en déduit que $\color {transparent}{\succ }\;$sur l'hodographe de droite que $\;\color {transparent}{\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert }$ $\;\nearrow \;$ jusqu'à l'infini.