# Introduction à la science des matériaux/Propriétés mécaniques des matériaux I - Généralités et traction simple
## Résumé

Nous allons voir de manière concrète comment l’on caractérise un matériau d'un point de vue mécanique.
Durée recommandée : 2 h 30 (incluant les exercices).

## Introduction

Nous avons vu précédemment les autres propriétés principales des matériaux. Nous nous consacrons ici à leurs propriétés mécaniques.
Il faut en fait considérer plusieurs propriétés mécaniques, et en particulier distinguer les notions de résistance et de dureté : un matériau dur est souvent fragile, c’est par exemple le cas du verre. Il faut donc déterminer plusieurs caractéristiques, plusieurs valeurs. Ces valeurs sont obtenues par des essais normalisés.

## Fonctions concernées
### Fonctions techniques

* Formabilité : mise en forme du matériau sans enlèvement de matière ; martelage, pliage, cintrage, estampage (déformation par une presse pour donner la forme d'un moule), forgeage à chaud, laminage à froid ou à chaud (écrasement entre des rouleaux pour former une tôle, une plaque, une barre), tréfilage à froid ou à chaud (étirement à travers un trou appelé « filière » pour donner un fil) ;
* usinabilité : mise en forme par enlèvement de matière ; fraisage (enlèvement par un outil tournant appelé « fraise »), tournage (on fait tourner la pièce et un outil de coupe enlève la matière), tronçonnage.

### Fonctions de service

* Résistance : une pièce a été conçue avec des dimensions données appelées « cotes » (longueur, largeur, hauteur, diamètre, …) ; ces dimensions sont assorties de tolérances, c'est-à-dire d'un écart acceptable par rapport à ces cotes ; plus une tolérance est « serrée » (plus sa valeur est faible), plus la fabrication coûte cher (il faut prendre plus de soin, l'opération est plus longue), la tolérance doit donc correspondre à une fonction de la pièce (notion de « cotation fonctionnelle », le coût doit correspondre à une utilité) ; si la pièce se déforme en service, cette déformation doit rester dans la limite des tolérances ; on distingue
** l'état limite ultime (ELU) : il s'agit de la limite avant une déformation irréversible, voire un endommagement,
** l'état limite en service (ELS) : il s'agit ici de déformation non définitive, sans endommagement, mais pouvant empêcher le produit de fonctionner ;
* propriétés vis-à-vis du frottement :
** résistance à l'usure,
** adhérence forte (maintien en position d'une pièce) ou faible (guider un mouvement sans le gêner),
** frottement fort (frein, embrayage, limiteur de couple) ou faible (guider un mouvement sans le gêner).

### Caractéristiques

À ces fonctions correspondent des caractéristiques du matériau :
* ductilité : capacité à être mis en forme, à être travaillé → formabilité ;
* dureté : capacité à ne pas être rayé → résistance à l'usure, mauvaise usinabilité ;
* souplesse : capacité à subir de grandes déformations sans déformation irréversible → ressorts ;
* fragilité : se dit d'un matériau qui n'empêche pas la propagation d'une fissure → mauvaise résistance au choc ;
* tenacité : se dit d'un matériau résiste à la propagation d'une fissure → bonne résistance au choc
On a les couples d'antonymes : ductile/dur, souple/rigide, tenace/fragile.
Notons que si un matériau peut être mis en forme (ductile), alors :
* il n’est pas dur, puisqu'une rayure est une sorte de mise en forme ;
* il résiste à la propagation d'un fissure, puisque sa capacité à se déformer lui permet de s'adapter, donc il n’est pas fragile.
On a donc souvent les associations ductile = tenace et dur = fragile, bien que cela ne soit pas systématique.
Les sections suivantes précisent ces termes et les traduisent en valeurs.

### Stratégie de choix

La pièce doit résister à son environnement et à ses sollicitations mécaniques (fonctions techniques). Il faut d’abord définir le mode de dégradation le plus probable — corrosion, rupture mécanique, association des deux (corrosion sous contrainte) —, puis définir lesdites sollicitations. Nous considérons ici qu’il s'agit d'une mode de rupture mécanique.
On classe en général les sollicitations mécanique de la manière suivante :
* sollicitations statiques :
** traction, compression
** flexion,
** torsion,
** flexion+traction/compression,
** flexion+torsion ;
* sollicitations dynamiques ;
** fatigue en traction/compression,
** fatigue en flexion,
** fatigue en flexion rotative (rbre fléchit tournant),
** fatigue en torsion,
** fatigue en cisaillement.
Notons qu’il s'agit du mode de déformaiton de la matière. Par exemple, dans le cas d'un ressort de traction ou d'un ressort de compression, hélicoïdaux, le fil se déforme en torsion.
Puis, on effectue un premier calcul de résistance des matériaux avec un modèle simplifié, typiquement un calcul de poutre, permettant d'estimer la contrainte maximale — il peut s'agir d'un calcul complet, mais le choix du matériau se fait en général alors que la pièce n’est pas totalement définie. On oriente ainsi son choix selon la résistance attendue de la matière, par exemple pour une contrainte équivalent de traction σ calculée :
* σ ≤ 400 MPa : tous alliages métalliques : alliages d'aluminium, de cuivre (bronze, laiton), fonte, acier doux ou inox ;
* 400 MPa < σ ≤ 700 MPa : acier trempé, alliage d'aluminium durcissant au traitement thermique ;
* σ > 700 MPa : acier trempé et traitement de surface (nitruration).
Intervient ensuite le mode de fabrication (fonderie, forgeage, formage, usinage, …).
En fatigue, on s'oriente plutôt vers de l'acier, qui présente une limite d'endurance (voir Essai de fatigue).

## Modes de déformation et de rupture

Une pièce se déforme lorsqu'elle est soumise à des efforts opposés. La matière a typiquement trois modes de déformation :
* élastique : lorsque l’on supprime les efforts, la matière reprend sa forme initiale, la déformation est réversible ;
* plastique : lorsque l’on supprime les efforts, la matière garde une déformation résiduelle, la déformation est irréversible ; c’est ce qui est utilisé pour la formabilité ;
* striction : la déformation se concentre en un endroit (du latin strictio, stringere, serrer) ; cela annonce une rupture prochaine.
La rupture peut se faire de deux manières :
* rupture ductile : avant la rupture, la pièce passe par une phase élastique, puis plastique, puis de striction ; elle rompt dans la phase de striction ;
* rupture fragile : la pièce casse dans la phase élastique, les morceaux rompus n'ont pas de déformation résiduelle.

## Essais normalisés

Le but des essais normalisés est de comparer les matériaux et de définir des lois de comportement, c'est-à-dire des lois mathématiques permettant de décrire le comportement mécanique des matériaux (déformation, résistance à la rupture). Il faut donc travailler avec des pièces toujours identiques quel que soit le matériau ; on parle d'éprouvettes. L'idéal est même d'extraire des valeurs indépendantes de la forme de l'éprouvette.
Un essai mécanique consiste à reproduire en laboratoire une sollicitation. Pour que l'essai soit reproductible, il faut que les conditions soient bien maîtrisées. Certains essais considèrent des sollicitations idéales (simples), comme par exemple l'essai de traction simple (ou traction uniaxiale), d’autre sont plus proches de la réalité, comme par exemple l'essai d'accident de voiture (crash test).
Nous nous intéressons ici à quelques essais représentant des sollicitations idéales : l'essai de traction uniaxiale, puis dans le chapitre suivant les essais de dureté, de flexion choc et de fluage.

## Essai de traction simple, uniaxiale

L'essai de traction simple consiste à tirer sur une éprouvette et à enregistrer la force et l'allongement de l'éprouvette.

### Machine de traction

La machine se compose d'un bâti, fixe, et d'une traverse mobile mue par un système hydraulique (pistons) ou par des vis sans fin. L'éprouvette est attachée au bâti d'un côté et à la traverse mobile de l'autre.

### Éprouvette de traction

Les éprouvettes de traction peuvent être plates ou cylindriques. Elles sont élargies aux extrémités afin d’être sûr que la rupture aura lieu dans la partie centrale, loin des points d'attache avec la machine.
Les extrémités des éprouvettes cylindriques sont filetées ; elles sont donc vissées au bâti et à la traverse mobile. Les éprouvettes plates sont attachées par serrage.
Les caractéristiques importantes de l'éprouvette sont :
* sa longueur normalisée initiale l$_0$ ;
* l'aire de sa section droite initiale S$_0$.

### Enregistrement et analyse de l'essai

La traverse mobile impose un déplacement Δl, et l’on mesure la force résultant F. La table traçante ou l'ordinateur enregistrent
    F = ƒ(Δl ).
On cherche à avoir une loi indépendante de la géométrie de l'éprouvette. Pour cela, on définit la contrainte σ (sigma) comme étant la force divisée par l'aire de la section.
$\sigma ={\frac {\mathrm {F} }{\mathrm {S} _{0}}}$ (MPa)
La contrainte est homogène à une pression et devrait donc s'exprimer en pascals (1 Pa = 1 N/m$^2$). Les valeurs étant très élevées, on utilise les mégapascals :
    1 MPa = 10$^6$ Pa = 1 N/mm$^2$.
Faisons un parallèle avec des ressorts : pour une élongation donnée, si l’on met deux ressorts identiques en parallèle, on aura une force deux fois plus importante que si l’on n'a qu'un seul ressort. De même, si l’on a une éprouvette ayant une section double, la force obtenue sera deux fois plus importante.
C'est donc la force divisée par l'aire de la section qui est caractéristique de l'essai.
On définit également la déformation ε (épsilon) comme étant l'allongement relatif.
$\varepsilon ={\frac {\Delta l}{l_{0}}}$
C'est une grandeur sans dimension. On l'exprime souvent en pour cents :
    $\varepsilon _{\%}=100\times {\frac {\Delta l}{l_{0}}}$.
Faisons un parallèle avec des ressorts : pour une force donnée, si l’on met deux ressorts en série, on aura une élongation double par rapport à un ressort seul. En effet, chaque ressort est soumis à la même force donc s'allonge de la même quantité.

### Courbe de traction et loi de déformation d'un matériau ductile

On trace donc la courbe de traction
    σ = ƒ(ε).
Dans le cas d'un matériau ductile, on a une courbe de traction semblable à la figure ci-contre. On identifie quatre étapes :
* déformation élastique (réversible) : la loi est linéaire ;
* domaine plastique (irréversible) ;
* striction (endommagement) ;
* rupture (fin de la courbe).

#### Domaine élastique

Dans le domaine élastique, on a donc une loi linéaire, la loi de Hooke.
$\sigma =\mathrm {E} \cdot \varepsilon$
* E : module de Young ou module d'élasticité longitudinale (GPa).
Le module de Young caractérise la raideur du matériau :
* E élevé : matériau rigide ;
* E faible : matériau souple.
Il est homogène à la contrainte. On l'exprime donc en mégapascals, ou, comme ses valeurs sont très élevées, en gigapascals :
    1 GPa = 1 000 MPa = 10$^9$ Pa.
Pour les aciers, on a E ≃ 210 GPa.
Modules de Young de quelques matériaux :
| Matériau | E (GPa) |
| Diamant | 1 000 |
| Céramiques, carbures | 550 |
| Métaux | 70 – 420 |
| Béton | 20 |
| Élastomères | 0,003 (3 MPa) |
E détermine l’état limite en service (ELS) : déformation sans endommagement compatible avec le cahier des charges (tolérances géométriques).

#### Limite d'élasticité

La contrainte limite entre le domaine élastique et le domaine plastique est appelé « limite d'élasticité » (improprement limite élastique) ou « contrainte d'écoulement » et est noté R$_e$. C'est la dureté ou la mollesse du matériau :
* R$_e$ élevé : dur
* R$_e$ faible : mou.
R$_e$ dépend du matériau, de sa pureté, de son écrouissage (déformation plastique préalable), de la température et de la structure de la matière.
Limites d'élasticité de quelques matériaux :
| Matériau | R$_e$ (MPa) |
| Bois | 10 – 60 |
| Aluminium | 20 – 500 |
| Acier | 180 – 1 000 |
R$_e$ détermine l’état limite ultime (ELU) : déformation irréversible, prémices de l'endommagement. On définit un coefficient de sécurité s pour prendre en compte les éventuelles erreurs et évènements inattendus.
Une solution technique est validée si
    $\sigma \leqslant \mathrm {R_{pe}}$
avec
* σ : contrainte maximale calculée pour l’application ;
* R$_{pe}$ : résistance pratique à l'extension, $\mathrm {R_{pe}} ={\frac {\mathrm {R_{e}} }{s}}$.
Jusque dans les années 1990 en France, on exprimait encore fréquemment la limite d'élasticité en kilogramme-force par millimètre carré (kgf/mm$^2$) :
    1 kgf/mm$^2$ ≃ 1 daN/mm$^2$ = 10 MPa
    1 MPa = 0,1 daN/mm$^2$ ≃ 0,1 kgf/mm$^2$
Cette unité est encore utilisée relativement fréquemment. Ainsi, lorsque quelqu’un parle d'un « acier à 140 kilos », il désigne un acier ayant une limite d'élasticité de 1 400 MPa.

##### Exercice

    On dispose d'un rond (barre de section circulaire) ∅20 et de longueur 200 faite en acier S235 (E24) de limite d'élasticité garantie 235 MPa (dans l’industrie mécanique, l'unité implicite est le millimètre, il faut donc comprendre « un diamètre de 20 mm » et « une longueur de 200 mm »). On lui suspend une masse de une tonne.
   * La barre résiste-t-elle ?
   * Si c’est le cas, jusqu'à quel coefficient de sécurité est-elle validée ?
   * Si elle résiste, quel est son allongement élastique ?
   * On désire utiliser un rond d'aluminium de limite d'élasticité 100 MPa avec un coefficient de sécurité de 4. Quelle doit être le diamètre du rond ?

##### 1.

La condition de résistance est
    σ ≤ R$_e$
et
    σ = F/S$_0$
avec
    S$_0$ = πr$^2$
et
    F = mg
donc
    $\sigma ={\frac {mg}{\pi r^{2}}}={\frac {1\,000\times 9,81}{\pi \times 0,01^{2}}}=3,12\cdot 10^{7}\ \mathrm {Pa} =31,2\ \mathrm {MPa}$.
On a 31,2 MPa ≤ 235 MPa donc la pièce résiste.

##### NB

    On peut faire les calculs avec r en millimètres, on obtient directement un résultat en MPa. Cette démarche est utilisée dans l'enseignement technologique, puisque l’on utilise toujours le mm dans l’industrie mécanique ; dans l'enseignement général, on s'attachera à faire les calculs en uSI (m, Pa) puis à convertir le résultat en unités usuelles.

##### 2.

À la limite de la validation (ELU), on a
    σ = R$_e$/s
soit
    $s={\frac {\mathrm {R_{e}} }{\sigma }}={\frac {\mathrm {R_{e}} \pi r^{2}}{mg}}={\frac {2,35\cdot 10^{8}\times \pi \times 0,01^{2}}{1\,000\times 9,81}}=7,5$.
La barre est donc validée à l'ELU jusqu'à un coefficient de sécurité de 7,5.
(Autre solution pour un calcul moins compliqué : 235 / 31,22 = 7,52 et surtout beaucoup plus rapide.)

##### 3.

On a
    ε = Δl/l$_0$
soit
    Δl = l$_0$ε
et, selon la loi de Hooke
    σ = Eε
soit
    ε = σ/E
et donc
    $\Delta l={\frac {l_{0}\sigma }{\mathrm {E} }}={\frac {l_{0}mg}{\mathrm {E} \pi r^{2}}}={\frac {0,2\times 1\,000\times 9,81}{2,1\cdot 10^{11}\times \pi \times 0,01^{2}}}=2,97\cdot 10^{-5}\ \mathrm {m} =29,7\ \mu \mathrm {m}$.
L'ELS est donc validé pour un allongement d'au plus 0,03 mm — le centième de millimètre, appelé simplement « centième », est une unité couramment utilisée dans l’industrie mécanique, on note donc « 0,03 » (sans unité, le mm étant implicite) mais on dit « trois centièmes ».

##### 4.

À la limite de validation, on a
    σ = R$_e$/s
et par ailleurs
    σ = F/S$_0$ ⇒ S$_0$ = mg/σ
donc
    $\mathrm {S} _{0}={\frac {mgs}{\mathrm {R_{e}} }}$.
Ainsi,
    $r={\sqrt {\frac {\mathrm {S} _{0}}{\pi }}}={\sqrt {\frac {mgs}{\pi \mathrm {R_{e}} }}}={\sqrt {\frac {1\,000\times 9,81\times 4}{\pi \times 10^{8}}}}=1,12\cdot 10^{-2}\ \mathrm {m} =11,2\ \mathrm {mm}$.
Il faut donc un rond de ∅23.

#### Déformation plastique

La déformation plastique est une déformation irréversible : si l’on interrompt l'essai, l'éprouvette se rétracte (relâchement élastique) mais garde une déformation résiduelle.
Écrouissage

#### Résistance mécanique à la traction

La résistance mécanique à la traction R$_m$ (MPa) est la contrainte la plus importante enregistrée sur la courbe (sommet de la courbe).
Résistance mécanique à la traction de quelques matériaux :
| Matériau | R$_m$ (MPa) |
| Polymères | 10 – 90 |
| Bois | 20 – 100 |
| Aluminium | 60 – 550 |
| Acier | 290 – 1 800 |

#### Rupture

La ductilité est la capacité à être déformé. On la caractérise en général par l'allongement à la rupture A, ou A% lorsqu’il est exprimé en pour cent.
L'allongement à la rupture A est l'allongement relatif après rupture (après le retrait élastique des deux morceaux d'éprouvette).
La formabilité est la zone comprise entre R$_e$ et R$_m$. Plus l'allongement à la rupture A est important, plus on pourra déformer la pièce. Le paramètre pertinent ici serait l'allongement sous charge maximale (allongement relatif au sommet de la courbe), mais il est peu utilisé dans la pratique.
* A élevé : ductile
* A faible : fragile, formabilité faible.
Allongements à la rupture de quelques métaux :
| Métal | A% |
| fonte | 0,3 – 18 |
| Laiton | 4 – 28 |
| Acier | 3 – 40 |
| Bronze | 3 – 50 |
| Aluminium | 20 – 40 |

### Courbe de traction et loi de déformation d'un matériau fragile

Dans le cas d'un matériau fragile, la rupture se fait en mode élastique. La courbe de traction ne présente donc pas de partie plastique.
On définit de la même manière le module de Young et la limite à la rupture R$_m$. Il n'y a pas à proprement parler de limite d'élasticité : la partie courbe correspond au début de l'endommagement. L'allongement à la rupture est nul (A = 0).
Comme on n'a pas de limite élastique, l'ELU est déterminée par la limite à la rupture R$_m$ :
    $\mathrm {R_{pe}} ={\frac {\mathrm {R_{m}} }{s}}$.
Le coefficient de sécurité est alors bien évidemment plus important que dans le cas ductile, puisque l’on ne dispose pas de la « marge de réserve » que constitue la déformation plastique.

### Énergie de rupture

L'énergie nécessaire pour un déplacement de A à B est le travail de la force extérieure ${\vec {\mathrm {F} }}$, qui se calcule par :
    $\mathrm {W} _{\mathrm {A} \rightarrow \mathrm {B} }=\int _{\mathrm {A} }^{\mathrm {B} }{\vec {\mathrm {F} }}\cdot \mathrm {d} {\vec {x}}$.
L'énergie de déformation volumique, ou ténacité K$_C$, s'obtient en divisant par le volume V :
    $\mathrm {K_{C}} =w_{\mathrm {A} \rightarrow \mathrm {B} }=\int _{\mathrm {A} }^{\mathrm {B} }{\frac {1}{\mathrm {V} }}\mathrm {F} \cdot \mathrm {d} l=\int _{\mathrm {A} }^{\mathrm {B} }\sigma \cdot \varepsilon$.
L'énergie de rupture s'obtient donc en intégrant la courbe de traction, c'est-à-dire en prenant la surface sous la courbe. Qualitativement :
* K$_C$ élevé : matériau tenace ;
* K$_C$ faible : matériau fragile.
Notons qu’il faudrait utiliser les contraintes et déformations vraies, donc une courbe différente de la courbe conventionnelle, mais qualitativement, la courbe conventionnelle nous suffit pour comparer.
On obtient que pour un matériau fragile, l'énergie de rupture K$_C$ est très faible comparée à un matériau ductile, même si la résistance à la traction R$_m$ est souvent très élevée.
Une énergie de rupture permet d'encaisser un évènement pour lequel la contrainte est très élevée, comme par exemple un choc ou la propagation d'une fissure (le fond de fissure est très mince, on a une forte concentration de contraintes).
Les pièces de sécurité, comme par exemple les mousquetons d'escalade ou les casques, encaissent les efforts en se déformant plastiquement ou en se rompant (mousse d'un casque), raison pour laquelle ils sont à usage unique (il faut les changer en cas de chute). De même, pour les voitures, on définit des zones de déformation (bloc moteur et coffre arrière) qui permettent d'absorber l'énergie d'un choc en préservant les occupants de l'habitacle.

### Faciès de rupture

Dans le cas d'un matériau ductile et isotrope, l'éprouvette présente :
* un resserrement, la zone de striction ;
* une zone centrale présentant des cupules, marquant un arrachement de matière ;
* une zone périphérique présentant une pente à 45° par rapport à l'axe de traction, correspondant à du cisaillement.
Un matériau est isotrope s'il a les mêmes propriétés quelle que soit la direction considérée. Ici, cela signifie que quelle que soit la manière dont on prélève l'éprouvette dans l'objet, on a toujours la même courbe de traction (même limite d'élasticité, même allongement à la rupture, …).
Les matériaux anisotropes (non-isotropes) typiques sont les matériaux composites et les produits métalliques plats ou longs (tôles, barres, tubes) non recuits (qui n'ont pas été chauffés après leur mise en forme).
Dans le cas d'un matériau fragile :
* l'éprouvette ne présente pas de resserrement ;
* la surface de rupture est perpendiculaire à l'axe de traction ;
* le faciès de rupture présente des zones lisses et, dans le cas de matériaux cristallins, des facettes.

### Facteurs d'influence

Outre le matériau, le résultat de l'essai — courbe et faciès de rupture — dépend essentiellement :
* de la température T ;
* de la vitesse de déformation ${\dot {\varepsilon }}$.
De manière générale, concernant la température :
* pour la plupart des matériaux, le module de Young diminue lorsque la température augmente, à l'exception des polymères ;
* tous les matériaux sont fragiles en dessous d'une certaine température, dite « température de transition fragile-ductile » ;
* lorsqu'elle existe, la limite élastique a tendance à diminuer avec la température (le matériau s'amollit).
Certains matériaux changent de comportement avec la vitesse de déformation. En général :
* pour les vitesse de déformation très faibles, la plupart des matériaux s'écoulent ; c’est le cas par exemple des roches du manteau terrestre, qui sont solides pour les vitesses de déformation élevées, mais sont pâteuses pour les vitesses très lentes (de l’ordre de 10$^{−9}$ m.s$^{-1}$), ce qui pourrait expliquer la dérive des continents (convection de quelques centimètres par an sur une épaisseur de plusieurs centaines de kilomètres, mais cette explication est débattue) ;
* pour les vitesses très élevées, la plupart des matériaux sont fragiles, mais certains métaux peuvent modifier leur structure à vitesse élevée (recristallisation dynamique) et donc devenir plus ductiles.

## Cisaillement

Le cisaillement est l'effet produit par deux forces égales et opposées, mais parallèles à la section considérée, contrairement à la traction qui est perpendiculaire à la section. On parle d'effort « tranchant ». C'est l'effet produit par une paire de ciseaux lorsque l’on coupe une feuille de papier.
La section à laquelle on s'intéresse n’est pas nécessairement la section droite, c'est-à-dire la section perpendiculaire à l'axe de l'éprouvette. En effet, une pièce réelle n'a pas forcément de direction privilégiée. Dans le cas de la traction simple, si l’on prend une section en diagonale, la force de traction ${\vec {\mathrm {F} }}$ se projette sur le plan de la section en une force ${\vec {\mathrm {T} }}_{1}$ ; l'aire de cette section est S$_1$. La contrainte de cisaillement τ, appelée également cission, est toujours le rapport de la force sur l'aire de la section :
    τ = T$_1$/S$_1$.
On peut calculer que la cission est maximale pour une section faisant un angle de 45° avec l'axe de l'éprouvette. Or, nous verrons plus loin que la déformation plastique se fait précisément par cisaillement (voir Défauts dans les cristaux > Défauts linéaires). Donc, si le matériau est isotrope, c’est sur un plan à 45° que va s'effectuer le glissement. Cela explique le faciès de rupture ductile : dans la zone de striction, la section centrale est affaiblie par des arrachements de matière et la rupture se termine par du cisaillement selon une direction de cission maximale.
Le calcul montre également que la contrainte dans une section à 45° vaut la moitié de la contrainte normale σ dans la section droite :
    τ$_{max}$ = σ/2.
À la limite élastique, on a pour un matériau isotrope :
    σ = R$_e$ ⇒ τ$_{max}$ = R$_e$/2.
La limite d'élasticité au cisaillement est appelée « résistance élastique au glissement » R$_{eg}$, et l’on a donc on a pour un matériau isotrope :
R$_{eg}$ = R$_e$/2.
Donc, dans le cas d'un matériau isotrope, l'essai de traction permet de déterminer la résistance au cisaillement du matériau.
De manière générale, le glissement survient lorsque τ ≥ R$_{eg}$. Dans le cas d'un matériau non isotrope, cela peut survenir pour une section faisant un angle différent de 45° avec l'axe de traction, et R$_{eg}$ n’est pas nécessairement la moitié de R$_e$.

## Graphique de choix

Si l’on considère l'éprouvette de traction, pour un matériau donné, la résistance de la pièce, prise comme étant la force provoquant une déformation plastique limite élastique, ne dépend que de l'aire S de la section (F$_{limite}$ = R$_e$ × S). Pour une longueur L$_0$ imposée, cette force est ainsi proportionnelle au volume ; la masse est elle aussi proportionnelle au volume. Il est donc légitime d’utiliser un graphique de choix sur le modèle de celui présenté précédemment.
On voit que les aciers permettent de fabriquer des pièces peu onéreuses (excellent rapport performance/prix), de même que les bétons, grès et calcaires (matériaux peu performants mais très bon marché). Certains polymères ont une résistance spécifique similaire aux aciers, mais pour un coût plus élevé. Pour avoir des pièces réellement plus légères, il faut avoir recours aux matériaux composites ou à certains alliages non ferreux (alliages de titane, de nickel, d'aluminium), mais pour un coût plus élevé.