# Fonctions affines et linéaires/Fonctions affines
## Fonctions affines et linéaires

* On dit qu'une quantité f(x) est fonction affine d'une autre quantité variable x quand ces quantités ont une relation décrite par l'équation suivante : $f(x)=a\times x+b$
Le coefficient a s’appelle coefficient directeur.
Le coefficient b s’appelle ordonnée à l'origine.
* Si l'ordonnée à l'origine b est nulle (b=0), on dit que la fonction est linéaire.
* Dans ce cas, f et x sont proportionnelles.
Remarque : La notation f(x) se lit "f de x". Elle indique que la quantité f dépend de x.
Exemple : Un complexe cinématographique propose un abonnement de 20 Euros par an, avec lequel la séance coûte 5 Euros. Sans abonnement, la séance coûte 8 Euros. Notons n le nombre de séances, A le coût de n séances avec abonnement, et S le coût de n séances sans abonnement.
* Exprimer A et S en fonction de n.
* À quels types de fonctions correspondent ces formules ?
$S=8\times n\ \ \ \ \ A=20+5\times n$
La somme S est proportionnelle au nombre de séances n, et
$S=8\times n$
est une relation de proportionnalité. S est donc une fonction linéaire de n.
La somme A n’est pas proportionnelle au nombre de séances, et
$A=20+5\times n$
n'est pas une relation de proportionnalité, mais A est une fonction affine de n.
Remarque : D'après la définition, les fonctions linéaires sont des fonctions affines particulières. Toutes les propriétés ci-dessous s'appliquent donc également aux fonctions linéaires, avec des particularités supplémentaires que nous signalerons au fur et à mesure.
On appelle f(x) l'image du nombre x par la fonction f.
Exemple : Soit la fonction affine $f(x)=2\times x+3$.
* Donner les valeurs des coefficients a et b.
* Calculer les images des nombres x = 0, x = 2 et x = -3 par f.
Les coefficients de l'équation $f(x)={2}\times {x}+3$ sont: $a=2$ et $b=3$
Pour calculer l'image des nombres ${\text{x = 0, x = 2 et x = -3}}$ en fonction de $f(x)={2}\times {x}+3$ il faut remplacer x par sa valeur dans l'équation, soit:
Pour x=0
$f(x)={2}\times {0}+3=\mathbf {3}$
Pour x=2
$f(x)={2}\times {2}+3=4+3=\mathbf {7}$
Pour x=-3
$f(x)={2}\times {-3}+3=-6+3=\mathbf {-3}$

## Représentation graphique d'une fonction affine
### Tableau de valeurs d'une fonction affine

Un tableau de valeurs contient dans une première ligne les valeurs de x et dans la seconde ligne les valeurs de f(x) correspondantes, calculées avec la formule $f(x)=a\times x+b$
Exemple : Considérons la fonction affine $f(x)=2\times x+3$.
Compléter le tableau de valeurs suivant :
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| f(x) | | | | | |
Solution :
Par exemple pour la troisième colonne : x = 1
$f(x)=f(1)=2\times 1+3=2+3=5$.
Cela donne au final :
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| f(x) | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 |

### Droite représentative

* Pour représenter graphiquement une fonction à partir d’un tableau de valeurs,
on place en abscisses (horizontalement) les valeurs de x
et en ordonnées (verticalement) les valeurs de f(x).
Exemple : Pour la fonction affine $f(x)=2\times x+3$. On a complété le tableau de valeurs :
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| f(x) | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 |
On obtient donc le graphique suivant :
* La représentation graphique d'une fonction affine $f(x)=a\times x+b$
est toujours une droite d'équation $y=a\times x+b$
* Si la fonction est linéaire (b = 0), la droite passe par l'origine (situation de proportionnalité).
On comprend alors pourquoi on appelle le coefficient b : ordonnée à l'origine.

## Calcul des coefficients a et b à partir de deux valeurs d'une fonction affine

Deux valeurs issues d'un tableau ou d'un graphique suffisent à déterminer complètement une fonction affine, car "par deux points, il passe une unique droite".

### Formule pour le coefficient directeur

Considérons une fonction affine $f(x)=a\times x+b$, deux points d'abscisses $x_{1}$ et $x_{2}$ et d'ordonnées $y_{1}$ et $y_{2}$, alors le coefficient directeur a vaut :
$a={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}$
$a={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$
Exemple :
* Pour la fonction affine $f(x)=2\times x+3$, nous avons dans le tableau de valeurs
f(2) = 7 et f(3) = 9. Retrouvons a grâce à la formule, en prenant $x_{2}=3$ et $x_{1}=2$.
$a={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {f(3)-f(2)}{3-2}}={\frac {9-7}{3-2}}={\frac {2}{1}}=2$
* Pour retrouver b, il suffit d’utiliser une valeur et résoudre une équation :
$f(2)=7=2\times 2+b=7$
donc
$7-4=b=3$
* On pourrait également trouver a et b en résolvant le système d'équations :
${\begin{cases}a\times 2+b=7,&{\text{valeur pour x = 2}}\\a\times 3+b=9,&{\text{valeur pour x = 3}}\end{cases}}$
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