# Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Fonction de plusieurs variables indépendantes

Pour simplifier l'exposé nous nous placerons dans le cas de deux variables indépendantes, la « généralisation à plus de deux s'imaginant aisément ».

## Définition d'une fonction scalaire à deux variables indépendantes

$\;(x,\,y)\;$
$\;(x,\,y)\;{\overset {f}{\rightarrow }}\;f(x,\,y)\in \mathbb {R} ,\;\forall \;(x,\,y)\in \mathbb {R} ^{2}\;$
$\;y\;$
$\;y_{0}\;$
$\;f_{y_{0}}\;$
$\;x\;$
$\;x\;{\overset {f_{y_{0}}}{\rightarrow }}\;f(x,\,y_{0})\in \mathbb {R} ,\;\forall \;x\in \mathbb {R} \;$

## Graphe d'une fonction scalaire de deux variables indépendantes en fonction de ces dernières
### Représentation du graphe d'une fonction scalaire de deux variables indépendantes dans un repère à trois dimensions

Le plus facile à concevoir $\;{\big$mais non le plus pratique${\big )}\;$ consiste à représenter le graphe dans un repère à trois dimensions $\;(O,\,{\overrightarrow {x'x}},\,{\overrightarrow {y'y}},\,{\overrightarrow {z'z}})$, les axes $\;({\overrightarrow {x'x}},\,{\overrightarrow {y'y}})\;$ permettant de préciser les valeurs des deux variables indépendantes $\;(x,\,y)\;$ et l'axe $\;({\overrightarrow {z'z}})\;$ la valeur de $\;f(x,\,y)\;$ correspondante ; le graphe de la fonction dans ce repère est alors la surface d'équation «$\;z=f(x,\,y)\;$» ;
exemples : pour les différents points d'un terrain on peut définir l'altitude par la fonction «$\;(x,\,y)\;{\overset {f}{\rightarrow }}\;{\text{altitude}}=f(x,\,y)\;$» mais aussi exemples : pour les différents points d'un terrain on peut définir la composition surfacique en lombrics par «$\;(x,\,y)\;{\overset {g}{\rightarrow }}\;{\text{nbre de lombrics}}\!\cdot \!m^{-2}=g(x,\,y)\;$» ou exemples : pour les différents points d'un terrain on peut définir d'autres grandeurs encore $\ldots$

### Représentation du graphe d'une fonction scalaire de deux variables indépendantes à l'aide de courbes de niveaux dans un repère à deux dimensions

Dans l'exemple de l'altitude, il existe une façon plus pratique utilisant un repère à deux dimensions $\;(O,\,{\overrightarrow {x'x}},\,{\overrightarrow {y'y}})\;$ consistant à tracer, sur ce repère, les courbes de niveaux $\;-\;$ par exemple la courbe de niveau $\;z_{0}\;$ est la courbe joignant les points$\;(x,\,y)\;$dont l'image par$\;f\;$est$\;z_{0}$ $\;-\;$ on trace alors les courbes de niveaux pour les niveaux «$\;z_{0}\pm n\,\Delta z,\;\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$», si les courbes sont très resserrées cela signifie que l'altitude varie très rapidement alors que si elles sont très écartées l'altitude varie très lentement ;
on peut bien sûr étendre cela à n'importe quelle fonction de deux variables indépendantes en traçant dans un repère à deux dimensions les courbes de niveaux c.-à-d. les courbes joignant les points$\;(x,\,y)\;$dont l'image par$\;f\;$est de valeur constante.

### Graphe d'une fonction scalaire de plus de deux variables indépendantes

Pour fixer le propos, considérons une fonction scalaire à trois variables indépendantes «$\;(x,\,y,\,z)\;{\overset {f}{\rightarrow }}\;f(x,\,y,\,z)\in \mathbb {R} ,\;\forall \;(x,\,y,\,z)\in \mathbb {R} ^{3}\;$» ; par exemple la température ou la pression en chaque point de l'espace ;
il est impossible de généraliser la 1ère représentation car ceci nécessiterait de définir un repère à quatre dimensions ce que notre cerveau est incapable de représenter ;
par contre la généralisation de la 2ème représentation nécessitant de définir un repère à trois dimensions et des niveaux associés à des valeurs de $\;f(x,\,y,\,z)\;$ constante, est possible $\;-\;$ même si cela reste peu pratique $\;-\;$ on obtiendrait alors des « surfaces de niveaux » $\;-\;$ par exemple dans le cas de la température en chaque point de l'espace, la surface isotherme $\;0\,{\text{°C}}\;$ ;
    les surfaces de niveaux restant d'utilisation peu pratique, on peut peaufiner leur connaissance en représentant diverses coupes par un plan $\;\parallel \;$ à $\;xOz\;$ ou par un plan $\;\parallel \;$ à $\;yOz\;$ ou encore par un plan $\;\parallel \;$ à $\;xOy$, l'avantage étant que ces coupes donnant des courbes dans un repère à deux dimensions sont facilement transportables.

## Dérivées partielles relativement à chaque variable d'une fonction scalaire de deux variables indépendantes

Soient deux variables $\;(x,\,y)\;$ réelles indépendantes, et la fonction scalaire $\;f\;$ de ces deux variables
$\;(x,\,y)\;{\overset {f}{\rightarrow }}\;f(x,\,y)\in \mathbb {R} ,\;\forall \;(x,\,y)\in \mathbb {R} ^{2}\;$
dont on veut étudier la variation en fonction de chaque variable en définissant des dérivées adéquates.

### Définition des dérivées partielles

Si on fige une des variables ${\big$par exemple $\;y{\big )}$, la fonction devient $\;-\;$ pendant la durée du maintien constant de la variable $\;-\;$ fonction d'une seule variable ${\big$sur l'exemple, fonction de $\;x{\big )}\;$ notée $\;f_{y}(x)\;$ et sachant définir la dérivée d'une fonction d'une variable ${\big$sur l'exemple, de la variable $\;x{\big )}$, on obtient la variation de $\;f\;$ relativement à $\;x\;$ à $\;y\;$ figé par : $\;{\dfrac {df_{y}}{dx}}(x)\;$ que l'on notera «$\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y}(x,\,y)\;$», appelée « dérivée partielle de $\;f\;$ par rapport à $\;x\;$ à $\;y\;$ figé, calculée au point $\;(x,\,y)\;$» ;
si on fige l'autre variable ${\big$donc la variable $\;x{\big )}$, la fonction devient $\;-\;$ pendant la durée du maintien constant de la variable $\;-\;$ fonction de la seule variable $\;y\;$ notée $\;f_{x}(y)\;$ et sachant définir la dérivée d'une fonction de la variable $\;y$, on obtient la variation de $\;f\;$ relativement à $\;y\;$ à $\;x\;$ figé par : $\;{\dfrac {df_{x}}{dy}}(y)\;$ que l'on notera «$\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x}(x,\,y)\;$», appelée « dérivée partielle de $\;f\;$ par rapport à $\;y\;$ à $\;x\;$ figé, calculée au point $\;(x,\,y)\;$».

### Exemple de calcul de dérivées partielles

Calculer les dérivées partielles 1$^{ères}$ de la fonction $\;f\;$ définie par «$\;f(x,\,y)=x\,\sin \!\left(x^{2}+y^{2}\right)\;$» :
* dérivée partielle de $\;f\;$ par rapport $\;y\;$ à $\;x\;$ figé : «$\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x}(x,\,y)=x\,\cos \!\left(x^{2}+y^{2}\right)\,2\,y=2\,x\,y\,\cos \!\left(x^{2}+y^{2}\right)\;$»,
* dérivée partielle de $\;f\;$ par rapport $\;x\;$ à $\;y\;$ figé : «$\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y}(x,\,y)=\sin \!\left(x^{2}+y^{2}\right)+x\,\cos \!\left(x^{2}+y^{2}\right)\,2\,x\;$» qui se réécrit selon «$\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y}(x,\,y)=\sin \!\left(x^{2}+y^{2}\right)+2\,x^{2}\,\cos \!\left(x^{2}+y^{2}\right)\;$».

### Vérification du théorème de Schwarz sur un exemple

Le théorème de Schwarz$^,$ énonce : « lors du calcul d'une dérivée partielle 2nde croisée, on peut effectuer les dérivations successives dans n'importe quel ordre » c.-à-d.
$\;\left[{\dfrac {\partial }{\partial y}}\!\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\right]_{\!x}\!(x,\,y)=\left[{\dfrac {\partial }{\partial x}}\!\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\right]_{\!y}\!(x,\,y)\;$
Vérification sur l'exemple du paragraphe précédent : $\;f(x,\,y)=x\,\sin \!\left(x^{2}+y^{2}\right)\;$ : $\bullet \;$dérivée partielle de $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x}(x,\,y)=2\,x\,y\,\cos \!\left(x^{2}+y^{2}\right)\;$ par rapport $\;x\;$ à $\;y\;$ figé : Vérification sur l'exemple du paragraphe précédent : $\;\color {transparent}{f(x,\,y)=x\,\sin \!\left(x^{2}+y^{2}\right)}\;$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\left[{\dfrac {\partial }{\partial x}}\!\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\right]_{\!y}\!(x,\,y)=2\,y\,\cos \!\left(x^{2}+y^{2}\right)-2\,x\,y\,\sin \!\left(x^{2}+y^{2}\right)2\,x\;$», soit finalement Vérification sur l'exemple du paragraphe précédent : $\;\color {transparent}{f(x,\,y)=x\,\sin \!\left(x^{2}+y^{2}\right)}\;$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\left[{\dfrac {\partial }{\partial x}}\!\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\right]_{\!y}\!(x,\,y)=2\,y\,\cos \!\left(x^{2}+y^{2}\right)-4\,x^{2}\,y\,\sin \!\left(x^{2}+y^{2}\right)\;$», Vérification sur l'exemple du paragraphe précédent : $\;\color {transparent}{f(x,\,y)=x\,\sin \!\left(x^{2}+y^{2}\right)}\;$ : $\bullet \;$dérivée partielle de $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y}(x,\,y)=\sin \!\left(x^{2}+y^{2}\right)+2\,x^{2}\,\cos \!\left(x^{2}+y^{2}\right)\;$ par rapport $\;y\;$ à $\;x\;$ figé : Vérification sur l'exemple du paragraphe précédent : $\;\color {transparent}{f(x,\,y)=x\,\sin \!\left(x^{2}+y^{2}\right)}\;$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\left[{\dfrac {\partial }{\partial y}}\!\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\right]_{\!x}\!(x,\,y)=2\,y\,\cos \!\left(x^{2}+y^{2}\right)-2\,x^{2}\sin \!\left(x^{2}+y^{2}\right)2\,y\;$», soit finalement Vérification sur l'exemple du paragraphe précédent : $\;\color {transparent}{f(x,\,y)=x\,\sin \!\left(x^{2}+y^{2}\right)}\;$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\left[{\dfrac {\partial }{\partial y}}\!\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\right]_{\!x}\!(x,\,y)=2\,y\,\cos \!\left(x^{2}+y^{2}\right)-4\,x^{2}\,y\,\sin \!\left(x^{2}+y^{2}\right)\;$» identique à la dérivée 2nde précédente.
Conséquence : Du fait du théorème de Schwarz$^,$ les dérivées 2$^{ndes}$ croisées seront notées indifféremment «$\;{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}\;$» ou «$\;{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}\;$».

### Définition des dérivées logarithmiques partielles

À partir de la « fonction scalaire $\;f\;$ de deux variables réelles indépendantes $\;\left(x\,,\,y\right)\;$ dérivable partiellement relativement à $\;x\;$ à $\;y\;$ figé $\;{\big$ou relativement à $\;y\;$ à $\;x\;$ figé${\big )}\;$ en $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$ et À partir de la « fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ de deux variables réelles indépendantes $\;\color {transparent}{\left(x\,,\,y\right)}\;$ telle que $\;f(x_{0}\,,\,y_{0})\;$ soit $\;\neq 0\;$», À partir de la « fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ on définit le « nombre dérivé logarithmique partiel de $\;f\;$ relativement à $\;x\;$ à $\;y\;$ figé $\;{\big$ou relativement à $\;y\;$ à $\;x\;$ figé${\big )}\;$ en $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$» selon À partir de la « fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ «$\;{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x_{0}\,,\,y_{0})}{f(x_{0}\,,\,y_{0})}}\;$» dans lequel $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x_{0}\,,\,y_{0})\;$ est le nombre dérivé logarithmique partiel de $\;f\;$ relativement à $\;x\;$ à $\;y\;$ figé en $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$ ou À partir de la « fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ «$\;{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0}\,,\,y_{0})}{f(x_{0}\,,\,y_{0})}}\;$» dans lequel $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0}\,,\,y_{0})\;$ est le nombre dérivé logarithmique partiel de $\;f\;$ relativement à $\;y\;$ à $\;x\;$ figé en $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)$.
Fonctions dérivées logarithmiques partielles d'une fonction scalaire de deux variables réelles indépendantes : Fonctions dérivées logarithmiques Si la fonction scalaire $\;f\;$ de deux variables réelles indépendantes $\;\left(x\,,\,y\right)\;$ est dérivable partiellement relativement à $\;x\;$ à $\;y\;$ figé $\;{\big \$ou à $\;y\;$ à $\;x\;$ figé${\big \}$ Fonctions dérivées logarithmiques Si la fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ de deux variables réelles indépendantes $\;\color {transparent}{\left(x\,,\,y\right)}\;$ est dérivable sur un domaine $\;I_{x}\subseteq \mathbb {R} ^{2}\;$ de dérivabilité partielle relativement à $\;x\;$ à $\;y\;$ figé Fonctions dérivées logarithmiques Si la fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ de deux variables réelles indépendantes $\;\color {transparent}{\left(x\,,\,y\right)}\;$ est dérivable ${\big \$ou un domaine $\;I_{y}\subseteq \mathbb {R} ^{2}\;$ de dérivabilité partielle relativement à $\;y\;$ à $\;x\;$ figé${\big \}$, Fonctions dérivées logarithmiques Si la fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ de deux variables réelles indépendantes $\;\color {transparent}{\left(x\,,\,y\right)}\;$ est dérivable la fonction dérivée partielle de $\;f\;$ par rapport à $\;x\;$ à $\;y\;$ figé Fonctions dérivées logarithmiques Si la fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ de deux variables réelles indépendantes $\;\color {transparent}{\left(x\,,\,y\right)}\;$ est dérivable la fonction dérivée partielle de $\;\color {transparent}{f}$${\big \$ou par rapport à $\;y\;$ à $\;x\;$ figé${\big \}$ est définie par Fonctions dérivées logarithmiques Si la fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ de deux variables réelles indépendantes $\;\color {transparent}{\left(x\,,\,y\right)}\;$ est dérivable «$\;\forall \;\left(x\,,\,y\right)\in I_{x},\;\;\left(x\,,\,y\right)\;{\overset {{f'}_{\!x}}{\rightarrow }}\;{f'}_{\!x}(x\,,\,y)=\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x\,,\,y)\;$» $\;{\bigg \$ou par Fonctions dérivées logarithmiques Si la fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ de deux variables réelles indépendantes $\;\color {transparent}{\left(x\,,\,y\right)}\;$ est dérivable «$\;\forall \;\left(x\,,\,y\right)\in I_{y},\;\;\left(x\,,\,y\right)\;{\overset {{f'}_{\!y}}{\rightarrow }}\;{f'}_{\!y}(x\,,\,y)=\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x\,,\,y)\;$»${\bigg \}$ ; Fonctions dérivées logarithmiques partielles si l'image de $\;I_{x}\;$ ${\big \$ou de $\;I_{y}{\big \}$ par $\;f\;$ ne contient pas $\;0\;$ c.-à-d. «$\;f(I_{x})\nsupseteq \left\lbrace 0\right\rbrace \;$» ${\big \$ou $\;f(I_{y})\nsupseteq \left\lbrace 0\right\rbrace {\big \}$ ou encore Fonctions dérivées logarithmiques partielles si l'image de $\;\color {transparent}{I_{x}}\;$ $\color {transparent}{\big \$ou de $\;\color {transparent}{I_{y}{\big \}}$ par $\;\color {transparent}{f}\;$ ne contient pas $\;\color {transparent}{0}\;$ c.-à-d. « si $\;f(x\,,\,y)\neq 0\;\;\forall \;\left(x\,,\,y\right)\in I_{x}\;$» ${\big \$ou $\;f(x\,,\,y)\neq 0\;\;\forall \;\left(x\,,\,y\right)\in I_{y}{\big \}$, Fonctions dérivées logarithmiques partielles si l'image de $\;\color {transparent}{I_{x}}\;$ $\color {transparent}{\big \$ou de $\;\color {transparent}{I_{y}{\big \}}$ par $\;\color {transparent}{f}\;$ ne contient pas $\;\color {transparent}{0}\;$ « les nombres dérivés logarithmiques partiels de $\;f\;$ relativement à $\;x\;$ à $\;y\;$ figé en $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)$ Fonctions dérivées logarithmiques partielles si l'image de $\;\color {transparent}{I_{x}}\;$ $\color {transparent}{\big \$ou de $\;\color {transparent}{I_{y}{\big \}}$ par $\;\color {transparent}{f}\;$ ne contient pas $\;\color {transparent}{0}\;$ $\;{\dfrac {{f'}_{\!x}(x_{0}\,,\,y_{0})}{f(x_{0}\,,\,y_{0})}}\;$ définis pour chaque couple $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\in I_{x}\;$» Fonctions dérivées logarithmiques partielles si l'image de $\;\color {transparent}{I_{x}}\;$ $\color {transparent}{\big \$ou de $\;\color {transparent}{I_{y}{\big \}}$ par $\;\color {transparent}{f}\;$ ne contient pas $\;\color {transparent}{0}\;$ sont les « images de $\;(x_{0}\,,\,y_{0})\;$ par une fonction $\;h_{x}\;$» définie par Fonctions dérivées logarithmiques partielles si l'image de $\;\color {transparent}{I_{x}}\;$ $\color {transparent}{\big \$ou de $\;\color {transparent}{I_{y}{\big \}}$ par $\;\color {transparent}{f}\;$ ne contient pas $\;\color {transparent}{0}\;$ «$\;\forall \;\left(x\,,\,y\right)\in I_{x},\;\;(x\,,\,y)\;{\overset {h_{x}}{\rightarrow }}\;h_{x}(x\,,\,y)={\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x\,,\,y)}{f(x\,,\,y)}}\;$» appelée Fonctions dérivées logarithmiques partielles si l'image de $\;\color {transparent}{I_{x}}\;$ $\color {transparent}{\big \$ou de $\;\color {transparent}{I_{y}{\big \}}$ par $\;\color {transparent}{f}\;$ ne contient pas $\;\color {transparent}{0}\;$ « dérivée logarithmique partielle de la fonction $\;f\;$ relativement à $\;x\;$ à $\;y\;$ figé » $\;{\big \$c'est aussi la Fonctions dérivées logarithmiques partielles si l'image de $\;\color {transparent}{I_{x}}\;$ $\color {transparent}{\big \$ou de $\;\color {transparent}{I_{y}{\big \}}$ par $\;\color {transparent}{f}\;$ ne contient pas $\;\color {transparent}{0}\;$ « dérivée partielle relativement à $\;x\;$ à $\;y\;$ figé de la fonction composée $\;\left[\ln \,\circ \;{\big \vert }\;{\big \vert }\right]\circ f$ Fonctions dérivées logarithmiques partielles si l'image de $\;\color {transparent}{I_{x}}\;$ $\color {transparent}{\big \$ou de $\;\color {transparent}{I_{y}{\big \}}$ par $\;\color {transparent}{f}\;$ ne contient pas $\;\color {transparent}{0}\;$ « dérivée partielle relativement à $\;\color {transparent}{x}\;$ à $\;\color {transparent}{y}\;$ figé de la fonction composée $=\ln \left[{\big \vert }\,f\,{\big \vert }\right]\;$»${\big \}$ et Fonctions dérivées logarithmiques partielles si l'image de $\;\color {transparent}{I_{x}}\;$ $\color {transparent}{\big \$ou de $\;\color {transparent}{I_{y}{\big \}}$ par $\;\color {transparent}{f}\;$ ne contient pas $\;\color {transparent}{0}\;$ « les nombres dérivés logarithmiques partiels de $\;f\;$ relativement à $\;y\;$ à $\;x\;$ figé en $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)$ Fonctions dérivées logarithmiques partielles si l'image de $\;\color {transparent}{I_{x}}\;$ $\color {transparent}{\big \$ou de $\;\color {transparent}{I_{y}{\big \}}$ par $\;\color {transparent}{f}\;$ ne contient pas $\;\color {transparent}{0}\;$ $\;{\dfrac {{f'}_{\!y}(x_{0}\,,\,y_{0})}{f(x_{0}\,,\,y_{0})}}\;$ définis pour chaque couple $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\in I_{y}\;$» Fonctions dérivées logarithmiques partielles si l'image de $\;\color {transparent}{I_{x}}\;$ $\color {transparent}{\big \$ou de $\;\color {transparent}{I_{y}{\big \}}$ par $\;\color {transparent}{f}\;$ ne contient pas $\;\color {transparent}{0}\;$ sont les « images de $\;(x_{0}\,,\,y_{0})\;$ par une fonction $\;h_{y}\;$» définie par Fonctions dérivées logarithmiques partielles si l'image de $\;\color {transparent}{I_{x}}\;$ $\color {transparent}{\big \$ou de $\;\color {transparent}{I_{y}{\big \}}$ par $\;\color {transparent}{f}\;$ ne contient pas $\;\color {transparent}{0}\;$ «$\;\forall \;\left(x\,,\,y\right)\in I_{y},\;\;(x\,,\,y)\;{\overset {h_{y}}{\rightarrow }}\;h_{y}(x\,,\,y)={\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x\,,\,y)}{f(x\,,\,y)}}\;$» appelée Fonctions dérivées logarithmiques partielles si l'image de $\;\color {transparent}{I_{x}}\;$ $\color {transparent}{\big \$ou de $\;\color {transparent}{I_{y}{\big \}}$ par $\;\color {transparent}{f}\;$ ne contient pas $\;\color {transparent}{0}\;$ « dérivée logarithmique partielle de la fonction $\;f\;$ relativement à $\;y\;$ à $\;x\;$ figé » $\;{\big \$c'est aussi la Fonctions dérivées logarithmiques partielles si l'image de $\;\color {transparent}{I_{x}}\;$ $\color {transparent}{\big \$ou de $\;\color {transparent}{I_{y}{\big \}}$ par $\;\color {transparent}{f}\;$ ne contient pas $\;\color {transparent}{0}\;$ « dérivée partielle relativement à $\;y\;$ à $\;x\;$ figé de la fonction composée $\;\left[\ln \,\circ \;{\big \vert }\;{\big \vert }\right]\circ f$ Fonctions dérivées logarithmiques partielles si l'image de $\;\color {transparent}{I_{x}}\;$ $\color {transparent}{\big \$ou de $\;\color {transparent}{I_{y}{\big \}}$ par $\;\color {transparent}{f}\;$ ne contient pas $\;\color {transparent}{0}\;$ « dérivée partielle relativement à $\;\color {transparent}{x}\;$ à $\;\color {transparent}{y}\;$ figé de la fonction composée $=\ln \left[{\big \vert }\,f\,{\big \vert }\right]\;$»${\big \}$.

## Différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes

Soient deux variables $\;(x,\,y)\;$ réelles indépendantes, et la fonction scalaire $\;f\;$ de ces deux variables
$\;(x,\,y)\;{\overset {f}{\rightarrow }}\;f(x,\,y)\in \mathbb {R} ,\;\forall \;(x,\,y)\in \mathbb {R} ^{2}\;$
dont on veut définir la notion de différentielle comme cela a été fait pour une fonction d'une variable à partir de la dérivée de cette fonction par rapport à la variable et de la différentielle de la variable, dont on veut définir la notion de différentielle comme cela a été fait pour une fonction d'une variable à la différence près qu'ici il y a deux variables et deux dérivées partielles $\;\ldots$

### Petite variation de la fonction des deux variables indépendantes sur un pavé de ces deux variables de petite extension

On définit la petite variation de la fonction $\;f\;$ sur le pavé $\;[x_{0},\,x_{0}+\delta x]\times [y_{0},\,y_{0}+\delta y]\;$ par
$\;\delta f\;{\overset {\text{déf}}{=}}\;f(x_{0}+\delta x,\,y_{0}+\delta y)-f(x_{0},\,y_{0})\;$
par généralisation de l'approximation linéaire à une fonction de deux variables indépendantes, on établit la relation suivante :
$\;\delta f\;{\underset {\text{lin}}{\overset {\text{approx}}{=}}}\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\,\delta x+\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,\delta y+\varepsilon (\delta x,\,\delta y)\;$
$\;{\underset {\delta x\rightarrow 0}{\lim }}{\dfrac {\varepsilon (\delta x,\,\delta y)}{\delta x}}=0\;$
$\;{\underset {\delta y\rightarrow 0}{\lim }}{\dfrac {\varepsilon (\delta x,\,\delta y)}{\delta y}}=0\;$
Transformer «$\;f(x_{0}+\delta x,\,y_{0}+\delta y)-f(x_{0},\,y_{0})\;$» en retranchant $\;f(x_{0},\,y_{0}+\delta y)\;$ et en l'ajoutant, ainsi on obtient :
$\;\delta f=f(x_{0}+\delta x,\,y_{0}+\delta y)-f(x_{0},\,y_{0}+\delta y)+f(x_{0},\,y_{0}+\delta y)-f(x_{0},\,y_{0})\;$
* la différence des deux 1$^{ers}$ termes «$\;f(x_{0}+\delta x,\,y_{0}+\delta y)-f(x_{0},\,y_{0}+\delta y)\;$» correspond à une « petite variation de $\;f\;$ à $\;y\;$ figé à la valeur $\;y_{0}+\delta y\;$» et
* celle des deux derniers «$\;f(x_{0},\,y_{0}+\delta y)-f(x_{0},\,y_{0})\;$» correspond à une «petite variation de $\;f\;$ à $\;x\;$ figé à la valeur $\;x_{0}\;$» d'où :
$\;\delta f=\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0}+\delta y)\,\delta x+\varepsilon _{x}(\delta x)+\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,\delta y+\varepsilon _{y}(\delta y)\;$
$\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0}+\delta y)\;$
$\;y\;$
$\;x\;$
$\;g(x_{0},\,y_{0}+\delta y)\;$
$\;g(x_{0},\,y_{0}+\delta y)=g(x_{0},\,y_{0})+\left({\dfrac {\partial g}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,\delta y+\varepsilon _{1}(\delta y)\;$
$\;{\underset {\delta y\rightarrow 0}{\lim }}{\dfrac {\varepsilon _{1}(\delta y)}{\delta y}}=0\;$
$\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\;$
$\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0}+\delta y)=\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})+\left[{\dfrac {\partial }{\partial y}}\!\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\right]_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,\delta y+\varepsilon _{1}(\delta y)\;$
$\;{\underset {\delta y\rightarrow 0}{\lim }}{\dfrac {\varepsilon _{1}(\delta y)}{\delta y}}=0\;$
$\ldots$
$\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0}+\delta y)\;\delta x\;$
$\;\delta f\;$
$\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0}+\delta y)\;$
$\;\delta x\;$
* le 1er terme «$\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\,\delta x\;$»,
* les deux autres «$\;\left[{\dfrac {\partial }{\partial y}}\!\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\right]_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,\delta y\,\delta x\;$» ainsi que «$\;\varepsilon _{1}(\delta y)\,\delta x\;$» tendant vers $\;0\;$ plus rapidement que $\;\delta x\;$ ou que $\;\delta y\;$ et se retrouvant dans «$\;\varepsilon (\delta x,\,\delta y)\;$»
d'où le résultat que l'on se proposait de justifier $\ldots$
$\;\delta f\;{\underset {\textbf {lin}}{\overset {\textbf {approx}}{\simeq }}}\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\,\delta x+\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,\delta y\;$

### Définition de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes

$\;df\;{\overset {\text{déf}}{=}}\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\,dx\,+\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,dy\;$
$\;dx\;$
$\;dy\;$

### Propriété de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes dans son utilisation en physique

$\;dx\;$
$\;dy\;$
$\;df\;{\overset {\textbf {prop}}{=}}\;f(x_{0}+dx,\,y_{0}+dy)-f(x_{0},\,y_{0})\;$
Justification : $\;df\;$ s'identifie à $\;\delta \!f\;$ quand $\;\delta x\rightarrow 0\;$ et $\;\delta y\rightarrow 0\;$ selon l'approximation linéaire, Justification : or par définition $\;\delta \!f=f(x_{0}+\delta x,\,y_{0}+\delta y)-f(x_{0},\,y_{0})\;$ devient, à la limite où $\;\delta x\rightarrow 0\;$ et $\;\delta y\rightarrow 0$, Justification : or par définition $\;\color {transparent}{\delta \!f}$ $=f(x_{0}+dx,\,y_{0}+dy)-f(x_{0},\,y_{0})$, $\;dx\;$ se substituant à $\;\delta x\;$ et $\;dy\;$ à $\;\delta y$.

### Quelques règles de calcul de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes

Ce sont les mêmes que celles de calcul de la différentielle d'une fonction d'une variable ; $\bullet \;$«$\;d\!\left(u+v\right)=du+dv\;$», Ce sont les mêmes que celles de calcul de la différentielle d'une fonction d'une variable ; $\bullet \;$«$\;d\!\left(cste\right)=0\;$», Ce sont les mêmes que celles de calcul de la différentielle d'une fonction d'une variable ; $\bullet \;$«$\;d\!\left(u\,v\right)=(du)\,v+u\,(dv)\;$», Ce sont les mêmes que celles de calcul de la différentielle d'une fonction d'une variable ; $\bullet \;$«$\;d\!\left({\dfrac {u}{v}}\right)={\dfrac {(du)\,v-u\,(dv)}{v^{2}}}\;$».

### Exemple de calcul de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes

Soit à calculer la différentielle de «$\;f(x,\,y)=x\,\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)\;$» ; nous voyons deux méthodes,
* l'une utilisant les règles de différenciation précédentes ainsi que la différenciation de fonctions composées,
* l'autre calculant au préalable les dérivées partielles et utilisant la définition de la différentielle.

#### Par calcul direct utilisant les règles de différenciation précédemment introduites

«$\;df=(dx)\,\sin \!\left(x^{2}+y^{2}\right)+x\,d\!\left[\sin \!\left(x^{2}+y^{2}\right)\right]\;$» avec $\bullet \;$«$\;d\!\left[\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)\right]=cos\left(x^{2}+y^{2}\right)\,d\!\left[x^{2}+y^{2}\right]\;$», «$\;\color {transparent}{df=(dx)\,\sin \!\left(x^{2}+y^{2}\right)+x\,d\!\left[\sin \!\left(x^{2}+y^{2}\right)\right]}\;$» avec $\bullet \;$«$\;d\!\left[x^{2}+y^{2}\right]=d\!\left[x^{2}\right]+d\!\left[y^{2}\right]\;$», enfin «$\;\color {transparent}{df=(dx)\,\sin \!\left(x^{2}+y^{2}\right)+x\,d\!\left[\sin \!\left(x^{2}+y^{2}\right)\right]}\;$» avec $\bullet \;$«$\;d\!\left[x^{2}\right]=2\,x\,dx\;$» et «$\;d\!\left[y^{2}\right]=2\,y\,dy\;$»,
finalement on obtient, en regroupant toutes les informations, «$\;df=\sin \!\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dx+x\,\cos \!\left(x^{2}+y^{2}\right)\,\left[2\,x\,dx+2\,y\,dy\right]\;$» ou finalement on obtient, en regroupant toutes les informations, «$\;df=\left[\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)+2\,x^{2}\,\cos \left(x^{2}+y^{2}\right)\right]dx+2\,x\,y\,\cos \left(x^{2}+y^{2}\right)\,dy\;$».

#### Par calcul préalable des dérivées partielles

Ces calculs ayant déjà été faits on rappelle les résultats : $\bullet \;$«$\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y}(x,\,y)=\sin \!\left(x^{2}+y^{2}\right)+2\,x^{2}\,\cos \!\left(x^{2}+y^{2}\right)\;$» et Ces calculs ayant déjà été faits on rappelle les résultats : $\bullet \;$«$\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x}(x,\,y)=2\,x\,y\,\cos \!\left(x^{2}+y^{2}\right)\;$» d'où :
$\;df=\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x,\,y)\,dx\,+\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x,\,y)\,dy=\left[\sin \!\left(x^{2}+y^{2}\right)+2\,x^{2}\,\cos \!\left(x^{2}+y^{2}\right)\right]dx+2\,x\,y\,\cos \!\left(x^{2}+y^{2}\right)dy\;$

### Définition de la différentielle logarithmique d'une fonction de deux variables indépendantes

À partir de la « fonction scalaire $\;f\;$ de deux variables réelles indépendantes $\;\left(x\,,\,y\right)\;$ dérivable partiellement relativement à $\;x\;$ à $\;y\;$ figé $\;{\big$ou relativement à $\;y\;$ à $\;x\;$ figé${\big )}\;$ en $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$ et À partir de la « fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ de deux variables réelles indépendantes $\;\color {transparent}{\left(x\,,\,y\right)}\;$ telle que $\;f(x_{0}\,,\,y_{0})\;$ soit $\;\neq 0\;$», À partir de la « fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ on a défini la « dérivée logarithmique partielle de la fonction $\;f\;$ par rapport à $\;x\;$ » pour $\;(x\,,\,y)\;$ du domaine $\;{I'}_{\!x}\;$ de dérivabilité partielle par rapport à $\;x\;$ À partir de la « fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ on a défini la « dérivée logarithmique partielle de la fonction $\;\color {transparent}{f}\;$ par rapport à $\;\color {transparent}{x}\;$ » pour $\;\color {transparent}{(x\,,\,y)}\;$ tel que $\;f(x\,,\,y)\;$ est $\;\neq 0\;$$^,$ selon À partir de la « fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ on a défini la «$\;\forall \;\left(x\,,\,y\right)\in {I'}_{\!x},\;\;(x\,,\,y)\;{\overset {h_{x}}{\rightarrow }}\;h_{x}(x\,,\,y)={\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x\,,\,y)}{f(x\,,\,y)}}\;$» $\;{\big \$c'est aussi la « dérivée partielle par rapport à $\;x\;$ de la fonction composée À partir de la « fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ on a défini la «$\;\color {transparent}{\forall \;\left(x\,,\,y\right)\in {I'}_{\!x},\;\;(x\,,\,y)\;{\overset {h_{x}}{\rightarrow }}\;h_{x}(x\,,\,y)=\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x\,,\,y)}\;$» $\;\color {transparent}{\big \$c'est aussi la « dérivée partielle par rapport à $\;\left[\ln \,\circ \;{\big \vert }\;{\big \vert }\right]\circ f=\ln \left[{\big \vert }\,f\,{\big \vert }\right]\;$»${\big \}$ et À partir de la « fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ on a défini la « dérivée logarithmique partielle de la fonction $\;f\;$ par rapport à $\;y\;$ » pour $\;(x\,,\,y)\;$ du domaine $\;{I'}_{\!y}\;$ de dérivabilité partielle par rapport à $\;y\;$ À partir de la « fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ on a défini la « dérivée logarithmique partielle de la fonction $\;\color {transparent}{f}\;$ par rapport à $\;\color {transparent}{y}\;$ » pour $\;\color {transparent}{(x\,,\,y)}\;$ tel que $\;f(x\,,\,y)\;$ est $\;\neq 0\;$$^,$ selon À partir de la « fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ on a défini la «$\;\forall \;\left(x\,,\,y\right)\in {I'}_{\!y},\;\;(x\,,\,y)\;{\overset {h_{y}}{\rightarrow }}\;h_{y}(x\,,\,y)={\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x\,,\,y)}{f(x\,,\,y)}}\;$» $\;{\big \$c'est aussi la « dérivée partielle par rapport à $\;y\;$ de la fonction composée À partir de la « fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ on a défini la «$\;\color {transparent}{\forall \;\left(x\,,\,y\right)\in {I'}_{\!y},\;\;(x\,,\,y)\;{\overset {h_{y}}{\rightarrow }}\;h_{y}(x\,,\,y)=\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x\,,\,y)}\;$» $\;\color {transparent}{\big \$c'est aussi la « dérivée partielle par rapport à $\;\left[\ln \,\circ \;{\big \vert }\;{\big \vert }\right]\circ f=\ln \left[{\big \vert }\,f\,{\big \vert }\right]\;$»${\big \}$ ; À partir de la « fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ on déduit la définition de la différentielle logarithmique de la fonction $\;f\;$ à partir des définitions des dérivées logarithmiques partielles de $\;f\;$ de la même façon que À partir de la « fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ on déduit la définition de la différentielle de la fonction $\;f\;$ a été déduite à partir des définitions des dérivées partielles de $\;f\;$.
$\;f\;$
$\;(x_{0}\,,\,y_{0})$
$\;f\;$
$\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$
$\;\left(x\,,\,y\right)\;$
$\;{I'}_{\!x}\cap {I'}_{\!y}\;$
$\;f$
$\;h_{x}\;$
$\;h_{y}\;$
$\;\forall \;(x\,,\,y)\in {I'}_{\!x},\;$
$\;(x\,,\,y)\;{\overset {h_{x}}{\rightarrow }}\;h_{x}(x\,,\,y)={\dfrac {{f'}_{\!x}(x\,,\,y)}{f(x\,,\,y)}}\;$
$\;\forall \;(x\,,\,y)\in {I'}_{\!y},\;\;(x\,,\,y)\;{\overset {h_{y}}{\rightarrow }}\;h_{y}(x\,,\,y)={\dfrac {{f'}_{\!y}(x\,,\,y)}{f(x\,,\,y)}}\;$
$\;h_{x}(x_{0}\,,\,y_{0})\,dx+h_{y}(x_{0}\,,\,y_{0})\,dy={\dfrac {{f'}_{\!x}(x_{0}\,,\,y_{0})}{f(x_{0}\,,\,y_{0})}}\;dx+{\dfrac {{f'}_{\!y}(x_{0}\,,\,y_{0})}{f(x_{0}\,,\,y_{0})}}\;dy={\dfrac {{f'}_{\!x}(x_{0}\,,\,y_{0})\;dx+{f'}_{\!y}(x_{0}\,,\,y_{0})\;dy}{f(x_{0}\,,\,y_{0})}}$
$\;\color {transparent}{h_{x}(x_{0}\,,\,y_{0})\,dx+h_{y}(x_{0}\,,\,y_{0})\,dy={\dfrac {{f'}_{\!x}(x_{0}\,,\,y_{0})}{f(x_{0}\,,\,y_{0})}}\;dx+{\dfrac {{f'}_{\!y}(x_{0}\,,\,y_{0})}{f(x_{0}\,,\,y_{0})}}\;dy}$
$={\dfrac {df}{f(x_{0}\,,\,y_{0})}}\;$
$\;df={f'}_{\!x}(x_{0}\,,\,y_{0})\;dx+{f'}_{\!y}(x_{0}\,,\,y_{0})\;dy\;$
$\;f\;$
$\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$

## Différentielle d'une fonction d'une variable, laquelle est fonction de deux autres variables indépendantes, théorème de dérivation partielle d'une fonction composée

Soit la « fonction scalaire $\;\varphi \;$ de deux variables réelles indépendantes $\;\left(x\,,\,y\right)\;$ dérivable partiellement relativement à $\;x\;$ $\;{\big$et relativement à $\;y\;$${\big )}\;$ en $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$ ainsi que Soit la « fonction scalaire $\;f\;$ d'une variable réelle $\;u\;$ dérivable en $\;u_{0}=\varphi (x_{0}\,,\,y_{0})\;$», nous pouvons conclure que
Soit la fonction scalaire composée $\;F=f\circ \varphi \;$ des deux variables réelles indépendantes $\;\left(x\,,\,y\right)$, est dérivable partiellement relativement à $\;x\;$ $\;{\big$et relativement à $\;y\;$${\big )}\;$ en $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$ et donc Soit la fonction scalaire composée $\;\color {transparent}{F=f\circ \varphi }\;$ des deux variables réelles indépendantes $\;\color {transparent}{\left(x\,,\,y\right)}$, est différentiable, la « différentielle de $\;F\;$ en $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$» s'écrivant Soit la fonction scalaire composée $\;\color {transparent}{F=f\circ \varphi }\;$ des deux variables réelles indépendantes $\;\color {transparent}{\left(x\,,\,y\right)}$, est différenciable, la «$\;dF\;{\overset {\text{déf}}{=}}\;\left({\dfrac {\partial F}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\,dx\,+\left({\dfrac {\partial F}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,dy\;$» ;
Soit la « fonction scalaire $\;\varphi \;$ des deux variables réelles indépendantes $\;\left(x\,,\,y\right)\;$ étant de même différentiable en $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$», la « différentielle de $\;\varphi \;$ en $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$» s'écrit Soit la « fonction scalaire $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ des deux variables réelles indépendantes $\;\color {transparent}{\left(x\,,\,y\right)}\;$ étant de même différentiable en $\;\color {transparent}{\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)}\;$», la «$\;d\varphi \;{\overset {\text{déf}}{=}}\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\,dx\,+\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,dy\;$» Soit la « fonction scalaire $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ des deux variables réelles indépendantes $\;\color {transparent}{\left(x\,,\,y\right)}\;$ étant de même différentiable en $\;\color {transparent}{\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)}\;$», la « pouvant s'écrire encore, en posant «$\;u=\varphi (x\,,\,y)\;$», Soit la « fonction scalaire $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ des deux variables réelles indépendantes $\;\color {transparent}{\left(x\,,\,y\right)}\;$ étant de même différentiable en $\;\color {transparent}{\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)}\;$», la «$\;du\;{\overset {\text{déf}}{=}}\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\,dx\,+\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,dy\;$» ;
Soit la « fonction scalaire $\;f\;$ de la variable réelle $\;u=\varphi \left(x\,,\,y\right)\;$ étant de même différentiable en $\;u_{0}=\varphi \left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$», la « différentielle de $\;f\;$ en $\;u_{0}\;$» s'écrit Soit la « fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ de la variable réelle $\;\color {transparent}{u=\varphi \left(x\,,\,y\right)}\;$ étant de même différentiable en $\;\color {transparent}{u_{0}=\varphi \left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)}\;$», la «$\;df\;\;{\overset {\text{déf}}{=}}\;\;{\dfrac {df}{du}}(u_{0})\,du=f'(u_{0})\;du\;$» ;
reportant l'expression «$\;du=\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\,dx\,+\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,dy\;$» dans «$\;df=f'(u_{0})\;du\;$» $\Rightarrow$ «$\;df=f'(u_{0})\left\lbrace \left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\,dx\,+\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,dy\right\rbrace$ ou reportant l'expression «$\;\color {transparent}{du=\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\,dx\,+\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,dy}\;$» dans «$\;\color {transparent}{df=f'(u_{0})\;du}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;df=f'(u_{0})\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\,dx\,+f'(u_{0})\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,dy\;$» s'identifiant à reportant l'expression «$\;\color {transparent}{du=\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\,dx\,+\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,dy}\;$» dans «$\;\color {transparent}{df=f'(u_{0})\;du}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ la différentielle $\;dF\;$ de $\;F=f\circ \varphi \;$ en $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$» ou encore, en éliminant $\;u_{0}\;$, reportant l'expression «$\;\color {transparent}{du=\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\,dx\,+\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,dy}\;$» dans «$\;\color {transparent}{df=f'(u_{0})\;du}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;dF=f\,'\!\left[\varphi (x_{0}\,,\,y_{0})\right]\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\,dx\,+f\,'\!\left[\varphi (x_{0}\,,\,y_{0})\right]\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,dy\;$» reportant l'expression «$\;\color {transparent}{du=\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\,dx\,+\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,dy}\;$» dans «$\;\color {transparent}{df=}$ s'identifiant à «$\;dF=\qquad \qquad \left({\dfrac {\partial F}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\,dx\qquad +\qquad \qquad \left({\dfrac {\partial F}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,dy\qquad \;$» ;
nous en déduisons le « théorème de dérivation partielle d'une fonction scalaire composée $\;F=f\circ \varphi \;$ dans laquelle $\;\varphi \;$ est une fonction de deux variables indépendantes $\;\left(x\,,\,y\right)\;$ et nous en déduisons le « théorème de dérivation partielle d'une fonction scalaire composée $\;\color {transparent}{F=f\circ \varphi }\;$ dans laquelle $\;f\;$ une fonction scalaire de la variable $\;u=\varphi (x\,,\,y)\;$» nous en déduisons en identifiant, deux à deux, les cœfficients de $\;dx\;$ et ceux de $\;dy\;$ dans les deux expressions précédentes de $\;dF$ :
$\;\varphi \;$
$\;\left(x\,,\,y\right)\;$
$\;I\times J\;$
$\;\varphi (I\times J)\;$
$\;f\;$
$\;\varphi (I\times J)\;$
$\;F=f\circ \varphi \;$
$\;I\times J\;$
$\;\varphi \;$
$\;x\;$
$\;y\;$
$\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\in I\times J\;$
${\big \$
$\;y\;$
$\;x\;$
$\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\in I\times J{\big \}$
$\;f\;$
$\;\varphi (x_{0}\,,\,y_{0})\in \varphi (I\times J)\;$
$\;F=f\circ \varphi \;$
$\;x\;$
$\;y\;$
$\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\in I\times J\;$
${\big \$
$\;y\;$
$\;x\;$
$\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\in I\times J{\big \}$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial F}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})=f\,'\!\left[\varphi (x_{0}\,,\,y_{0})\right]\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\\\left({\dfrac {\partial F}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})=f\,'\!\left[\varphi (x_{0}\,,\,y_{0})\right]\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\end{array}}\right\rbrace \;$

## Différentielle d'une fonction de deux variables, lesquelles sont fonctions d'une seule variable ou de deux autres variables indépendantes, extension du théorème de dérivation (partielle) d'une fonction composée
### Différentielle d'une fonction de deux variables, lesquelles sont fonctions d'une seule variable

Soit la « fonction $\;g=\left\lbrace g_{1}\,,\,g_{2}\right\rbrace \;$ d'une variable réelle $\;t\;$ à valeurs dans $\;\mathbb {R} ^{2}\;$ dérivable en $\;t_{0}\;$ ainsi que Soit la « fonction scalaire $\;\varphi \;$ de deux variables réelles indépendantes $\;\left(x\,,\,y\right)\;$ dérivable partiellement relativement à $\;x\;$ $\;{\big$et relativement à $\;y\;$${\big )}\;$ en $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)=g(t_{0})\;$», nous en déduisons que
Soit la fonction scalaire composée $\;G=\varphi \circ g\;$ de la variable réelle $\;t\;$ est dérivable en $\;t_{0}\;$ et donc Soit la fonction scalaire composée $\;\color {transparent}{G=\varphi \circ g}\;$ de la variable réelle $\;\color {transparent}{t}\;$ est différentiable, la « différentielle de $\;G\;$ en $\;t_{0}\;$» s'écrivant Soit la fonction scalaire composée $\;\color {transparent}{G=\varphi \circ g}\;$ de la variable réelle $\;\color {transparent}{t}\;$ est différenciable, la «$\;dG\;\;{\overset {\text{déf}}{=}}\;\;{\dfrac {dG}{dt}}\!(t_{0})\;dt=G\,'(t_{0})\;dt\;$» ;
Soit la « fonction $\;g=\left\lbrace g_{1}\,,\,g_{2}\right\rbrace \;$ de la variable réelle $\;t\;$ à valeurs dans $\;\mathbb {R} ^{2}\;$ étant de même différentiable en $\;t_{0}\;$», la « différentielle de $\;g\;$ en $\;t_{0}\;$» s'écrit Soit la « fonction $\;\color {transparent}{g=\left\lbrace g_{1}\,,\,g_{2}\right\rbrace }\;$ de la variable réelle $\;\color {transparent}{t}\;$ à valeurs dans $\;\color {transparent}{\mathbb {R} ^{2}}\;$ étant de même différentiable en $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$», la «$\;dg\;\;{\overset {\text{déf}}{=}}\;\;\left\lbrace {\dfrac {dg_{1}}{dt}}\!(t_{0})\,,\,{\dfrac {dg_{2}}{dt}}\!(t_{0})\right\rbrace \,dt=\left\lbrace {g\,'}_{\!1}(t_{0})\,,\,{g\,'}_{\!2}(t_{0})\right\rbrace \,dt\;$» ;
Soit la « fonction scalaire $\;\varphi \;$ des deux variables réelles indépendantes $\;\left(x\,,\,y\right)=g(t)=\left\lbrace g_{1}(t)\,,\,g_{2}(t)\right\rbrace \;$ étant de même différentiable en $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)=g(t_{0})=\left\lbrace g_{1}(t_{0})\,,\,g_{2}(t_{0})\right\rbrace \;$», Soit la « fonction $\;\color {transparent}{g=\left\lbrace g_{1}\,,\,g_{2}\right\rbrace }\;$ de la variable réelle $\;\color {transparent}{t}\;$ à valeurs dans $\;\color {transparent}{\mathbb {R} ^{2}}\;$ étant de même différentiable en $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$», la « différentielle de $\;\varphi \;$ en $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$» s'écrit Soit la « fonction $\;\color {transparent}{g=\left\lbrace g_{1}\,,\,g_{2}\right\rbrace }\;$ de la variable réelle $\;\color {transparent}{t}\;$ à valeurs dans $\;\color {transparent}{\mathbb {R} ^{2}}\;$ étant de même différentiable en $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$», la «$\;d\varphi \;{\overset {\text{déf}}{=}}\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\,dx\,+\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,dy\;$» ;
reportant «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}dx={g\,'}_{\!1}(t_{0})\;dt\\dy={g\,'}_{\!2}(t_{0})\;dt\end{array}}\right\rbrace \;$» dans «$\;d\varphi =\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\,dx\,+\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,dy\;$» $\Rightarrow$ «$\;d\varphi =\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\;{g\,'}_{\!1}(t_{0})\;dt+\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\;{g\,'}_{\!2}(t_{0})\;dt$ ou reportant «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\begin{array}{c}dx={g\,'}_{\!1}(t_{0})\;dt\\dy={g\,'}_{\!2}(t_{0})\;dt\end{array}}\right\rbrace }\;$» dans «$\;\color {transparent}{d\varphi =\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\,dx\,+\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,dy}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;d\varphi =\left[\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\;{g\,'}_{\!1}(t_{0})+\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\;{g\,'}_{\!2}(t_{0})\right]\,dt\;$» s'identifiant à reportant «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\begin{array}{c}dx={g\,'}_{\!1}(t_{0})\;dt\\dy={g\,'}_{\!2}(t_{0})\;dt\end{array}}\right\rbrace }\;$» dans «$\;\color {transparent}{d\varphi =\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\,dx\,+\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,dy}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ la « différentielle $\;dG\;$ de $\;G=\varphi \circ g\;$ en $\;t_{0}\;$» ou encore, en éliminant $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$ reportant «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\begin{array}{c}dx={g\,'}_{\!1}(t_{0})\;dt\\dy={g\,'}_{\!2}(t_{0})\;dt\end{array}}\right\rbrace }\;$» dans «$\;\color {transparent}{d\varphi =\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\,dx\,+\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,dy}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;dG=\left\lbrace \left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!\left[g_{1}(t_{0}),\,g_{2}(t_{0})\right]\;{g\,'}_{\!1}(t_{0})+\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!\left[g_{1}(t_{0}),\,g_{2}(t_{0})\right]\;{g\,'}_{\!2}(t_{0})\right\rbrace \,dt\;$» reportant «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\begin{array}{c}dx={g\,'}_{\!1}(t_{0})\;dt\\dy={g\,'}_{\!2}(t_{0})\;dt\end{array}}\right\rbrace }\;$» dans «$\;\color {transparent}{d\varphi =}$ s'identifiant à «$\;dG=\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;G\,'(t_{0})\;\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;dt\;$» ;
nous en déduisons le « théorème de dérivation partielle d'une fonction composée $\;G=\varphi \circ g\;$ dans laquelle $\;g=\left\lbrace g_{1}\,,\,g_{2}\right\rbrace \;$ est une fonction de la variable $\;t\;$ à valeurs dans $\;\mathbb {R} ^{2}\;$ et nous en déduisons le « théorème de dérivation partielle d'une fonction composée $\;\color {transparent}{G=\varphi \circ g}\;$ dans laquelle $\;\varphi \;$ une fonction scalaire de deux variables indépendantes $\;\left(x\,,\,y\right)=g(t)\;$» nous en déduisons en identifiant, deux à deux, le cœfficient de $\;dt\;$ dans les deux expressions précédentes de $\;dG$ :
$\;\mathbb {R} ^{2}\;$
$\;g=\left\lbrace g_{1}\,,\,g_{2}\right\rbrace \;$
$\;t\;$
$\;\mathbb {R} ^{2}\;$
$\;I\;$
$\;g(I)=g_{1}(I)\times g_{2}(I)\;$
$\;f\;$
$\;g(I)=g_{1}(I)\times g_{2}(I)\;$
$\;G=\varphi \circ g\;$
$\;I\;$
$\;g\;$
$\;t_{0}\in I\;$
$\;\varphi \;$
$\;x\;$
$\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\in g(I)=g_{1}(I)\times g_{2}(I)\;$
${\big \$
$\;y\;$
$\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\in g(I)=g_{1}(I)\times g_{2}(I){\big \}$
$\;G=\varphi \circ g\;$
$\;t_{0}\in I\;$
$\;G\,'(t_{0})=\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!\left[g_{1}(t_{0}),\,g_{2}(t_{0})\right]\;{g\,'}_{\!1}(t_{0})+\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!\left[g_{1}(t_{0}),\,g_{2}(t_{0})\right]\;{g\,'}_{\!2}(t_{0})\;$

### Différentielle d'une fonction de deux variables, lesquelles sont fonctions de deux autres variables indépendantes

Soit la « fonction $\;\varphi =\left\lbrace \varphi _{1}\,,\,\varphi _{2}\right\rbrace \;$ de deux variables réelles indépendantes $\;\left(x\,,\,y\right)\;$ à valeurs dans $\;\mathbb {R} ^{2}\;$ dérivable partiellement relativement à $\;x\;$ $\;{\big$et relativement à $\;y\;$${\big )}\;$ en $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$» Soit et la « fonction scalaire $\;\psi \;$ de deux autres variables réelles indépendantes $\;\left(u\,,\,v\right)\;$ dérivable partiellement relativement à $\;u\;$ $\;{\big$et relativement à $\;v\;$${\big )}\;$ en $\;\left(u_{0}\,,\,v_{0}\right)=\varphi (x_{0}\,,\,y_{0})\;$», $\Rightarrow$
Soit la fonction scalaire composée $\;G=\psi \circ \varphi \;$ des deux variables réelles indépendantes $\;\left(x\,,\,y\right)\;$ est dérivable partiellement en $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$ et donc Soit la fonction scalaire composée $\;\color {transparent}{G=\psi \circ \varphi }\;$ des deux variables réelles indépendantes $\;\color {transparent}{\left(x\,,\,y\right)}\;$ est différentiable, la « différentielle de $\;G\;$ en $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$» s'écrivant Soit la fonction scalaire composée $\;\color {transparent}{G=\varphi \circ g}\;$ des deux variables réelles indépendantes $\;\color {transparent}{\left(x\,,\,y\right)}\;$ est différentiable, la «$\;dG\;{\overset {\text{déf}}{=}}\;\left({\dfrac {\partial G}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\,dx\,+\left({\dfrac {\partial G}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,dy\;$» ;
Soit la « fonction $\;\varphi =\left\lbrace \varphi _{1}\,,\,\varphi _{2}\right\rbrace \;$ des deux variables réelles indépendantes $\;\left(x\,,\,y\right)\;$ à valeurs dans $\;\mathbb {R} ^{2}\;$ étant de même différentiable en $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$», la « différentielle de $\;\varphi \;$ en $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$» s'écrit Soit la fonction scalaire composée $\;\color {transparent}{G=\varphi \circ g}\;$ des deux variables réelles indépendantes $\;\color {transparent}{\left(x\,,\,y\right)}\;$ est différentiable, la «$\;d\varphi \;{\overset {\text{déf}}{=}}\;\left\lbrace \left({\dfrac {\partial \varphi _{1}}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\,dx\,+\left({\dfrac {\partial \varphi _{1}}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,dy\;,\;\cdots \;\right.$ Soit la fonction scalaire composée $\;\color {transparent}{G=\varphi \circ g}\;$ des deux variables réelles indépendantes $\;\color {transparent}{\left(x\,,\,y\right)}\;$ est différentiable, la «$\;\color {transparent}{d\varphi \;{\overset {\text{déf}}{=}}}\;$ $\cdots \;\left.\left({\dfrac {\partial \varphi _{2}}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\,dx\,+\left({\dfrac {\partial \varphi _{2}}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,dy\right\rbrace \;$» ;
Soit la « fonction scalaire $\;\psi \;$ des deux variables réelles indépendantes $\;\left(u\,,\,v\right)=\varphi (x\,,\,y)=\left\lbrace \varphi _{1}(x\,,\,y)\,,\,\varphi _{2}(x\,,\,y)\right\rbrace \;$ étant de même différentiable en $\;\left(u_{0}\,,\,v_{0}\right)=\varphi (x_{0}\,,\,y_{0})\;$, Soit la « fonction $\;\color {transparent}{\varphi =\left\lbrace \varphi _{1}\,,\,\varphi _{2}\right\rbrace }\;$ des deux variables réelles indépendantes $\;\color {transparent}{\left(x\,,\,y\right)}\;$ à valeurs dans $\;\color {transparent}{\mathbb {R} ^{2}}\;$ étant de même différentiable en $\;\color {transparent}{\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)}\;$», la « différentielle de $\;\psi \;$ en $\;\left(u_{0}\,,\,v_{0}\right)\;$» s'écrit Soit la « fonction $\;\color {transparent}{g=\left\lbrace g_{1}\,,\,g_{2}\right\rbrace }\;$ de la variable réelle $\;\color {transparent}{t}\;$ à valeurs dans $\;\color {transparent}{\mathbb {R} ^{2}}\;$ étant de même différentiable en $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$», la «$\;d\psi \;{\overset {\text{déf}}{=}}\;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial u}}\right)_{\!\!v}\!(u_{0},\,v_{0})\,du\,+\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial v}}\right)_{\!\!u}\!(u_{0},\,v_{0})\,dv\;$» ;
reportant «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}du=\left({\dfrac {\partial \varphi _{1}}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\,dx\,+\left({\dfrac {\partial \varphi _{1}}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,dy\\dv=\left({\dfrac {\partial \varphi _{2}}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\,dx\,+\left({\dfrac {\partial \varphi _{2}}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,dy\end{array}}\right\rbrace \;$» dans «$\;d\psi =\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial u}}\right)_{\!\!v}\!(u_{0},\,v_{0})\,du\,+\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial v}}\right)_{\!\!u}\!(u_{0},\,v_{0})\,dv\;$» $\Rightarrow$ Soit la « fonction $\;\color {transparent}{g=\left\lbrace g_{1}\,,\,g_{2}\right\rbrace }\;$ de la variable réelle $\;\color {transparent}{t}\;$ à valeurs dans $\;\color {transparent}{\mathbb {R} ^{2}}\;$ étant de même différentiable en $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$», la «$\;d\psi =\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial u}}\right)_{\!\!v}\!(u_{0},\,v_{0})\left\lbrace \left({\dfrac {\partial \varphi _{1}}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\,dx\,+\left({\dfrac {\partial \varphi _{1}}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,dy\right\rbrace +\cdots$ Soit la « fonction $\;\color {transparent}{g=\left\lbrace g_{1}\,,\,g_{2}\right\rbrace }\;$ de la variable réelle $\;\color {transparent}{t}\;$ à valeurs dans $\;\color {transparent}{\mathbb {R} ^{2}}\;$ étant de même différentiable en $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$», la «$\;\color {transparent}{d\psi =}$ $\cdots \;\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial v}}\right)_{\!\!u}\!(u_{0},\,v_{0})\left\lbrace \left({\dfrac {\partial \varphi _{2}}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\,dx\,+\left({\dfrac {\partial \varphi _{2}}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,dy\right\rbrace \;$» Soit la « fonction $\;\color {transparent}{g=\left\lbrace g_{1}\,,\,g_{2}\right\rbrace }\;$ de la variable réelle $\;\color {transparent}{t}\;$ à valeurs dans $\;\color {transparent}{\mathbb {R} ^{2}}\;$ étant de même différentiable en $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$», la s'identifiant à la « différentielle $\;dG\;$ de $\;G=\psi \circ \varphi \;$ en $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$» ou encore, Soit la « fonction $\;\color {transparent}{g=\left\lbrace g_{1}\,,\,g_{2}\right\rbrace }\;$ de la variable réelle $\;\color {transparent}{t}\;$ à valeurs dans $\;\color {transparent}{\mathbb {R} ^{2}}\;$ étant de même différentiable en $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$», la en éliminant $\;\left(u_{0}\,,\,v_{0}\right)=\left\lbrace \varphi _{1}(x_{0}\,,\,y_{0})\,,\,\varphi _{2}(x_{0}\,,\,y_{0})\right\rbrace =\varphi (x_{0}\,,\,y_{0})$, $\Rightarrow$ Soit la « fonction $\;\color {transparent}{g=\left\lbrace g_{1}\,,\,g_{2}\right\rbrace }\;$ de la variable réelle $\;\color {transparent}{t}\;$ à valeurs dans $\;\color {transparent}{\mathbb {R} ^{2}}\;$ étant de même différentiable en $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$», la «$\;dG=\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial u}}\right)_{\!\!v}\!\left[\varphi (x_{0}\,,\,y_{0})\right]\left\lbrace \left({\dfrac {\partial \varphi _{1}}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\,dx\,+\left({\dfrac {\partial \varphi _{1}}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,dy\right\rbrace$ Soit la « fonction $\;\color {transparent}{g=\left\lbrace g_{1}\,,\,g_{2}\right\rbrace }\;$ de la variable réelle $\;\color {transparent}{t}\;$ à valeurs dans $\;\color {transparent}{\mathbb {R} ^{2}}\;$ étant de même différentiable en $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$», la «$\;\color {transparent}{dG}$ $+\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial v}}\right)_{\!\!u}\!\left[\varphi (x_{0}\,,\,y_{0})\right]\left\lbrace \left({\dfrac {\partial \varphi _{2}}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\,dx\,+\left({\dfrac {\partial \varphi _{2}}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,dy\right\rbrace \;$» Soit la « fonction $\;\color {transparent}{g=\left\lbrace g_{1}\,,\,g_{2}\right\rbrace }\;$ de la variable réelle $\;\color {transparent}{t}\;$ à valeurs dans $\;\color {transparent}{\mathbb {R} ^{2}}\;$ étant de même différentiable en $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$», la soit encore, en regroupant les termes $\;\propto \;$ à $\;dx\;$ et ceux $\;\propto \;$ à $\;dy\;$ dans $\;dG$, Soit la « fonction $\;\color {transparent}{g=\left\lbrace g_{1}\,,\,g_{2}\right\rbrace }\;$ de la variable réelle $\;\color {transparent}{t}\;$ à valeurs dans $\;\color {transparent}{\mathbb {R} ^{2}}\;$ étant de même «$\;dG=\left\lbrace \left({\dfrac {\partial \psi }{\partial u}}\right)_{\!\!v}\!\left[\varphi (x_{0}\,,\,y_{0})\right]\;\left({\dfrac {\partial \varphi _{1}}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})+\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial v}}\right)_{\!\!u}\!\left[\varphi (x_{0}\,,\,y_{0})\right]\;\left({\dfrac {\partial \varphi _{2}}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\right\rbrace \,dx$ Soit la « fonction $\;\color {transparent}{g=\left\lbrace g_{1}\,,\,g_{2}\right\rbrace }\;$ de la variable réelle $\;\color {transparent}{t}\;$ à valeurs dans $\;\color {transparent}{\mathbb {R} ^{2}}\;$ étant de même «$\;\color {transparent}{dG}$ $+\left\lbrace \left({\dfrac {\partial \psi }{\partial u}}\right)_{\!\!v}\!\left[\varphi (x_{0}\,,\,y_{0})\right]\;\left({\dfrac {\partial \varphi _{1}}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})+\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial v}}\right)_{\!\!u}\!\left[\varphi (x_{0}\,,\,y_{0})\right]\;\left({\dfrac {\partial \varphi _{2}}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\right\rbrace \,dy\;$» Soit la « fonction $\;\color {transparent}{g=\left\lbrace g_{1}\,,\,g_{2}\right\rbrace }\;$ de la variable réelle $\;\color {transparent}{t}\;$ à valeurs dans $\;\color {transparent}{\mathbb {R} ^{2}}\;$ étant de même différentiable en $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$», la s'identifiant à «$\;dG=\left({\dfrac {\partial G}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\,dx\,+\left({\dfrac {\partial G}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,dy\;$» ;
nous en déduisons l'« extension du théorème de dérivation d'une fonction scalaire composée $\;G=\psi \circ \varphi =\psi \circ \left\lbrace \varphi _{1}\,,\,\varphi _{2}\right\rbrace \;$ dans laquelle $\;\varphi =\left\lbrace \varphi _{1}\,,\,\varphi _{2}\right\rbrace \;$ est une fonction des deux variables réelles nous en déduisons l'« extension du théorème de dérivation d'une fonction scalaire composée $\;\color {transparent}{G=\psi \circ \varphi =\psi \circ \left\lbrace \varphi _{1}\,,\,\varphi _{2}\right\rbrace }\;$ dans laquelle $\;\color {transparent}{\varphi =}$ indépendantes $\;\left(x\,,\,y\right)\;$ à valeurs dans $\;\mathbb {R} ^{2}\;$ et nous en déduisons l'« extension du théorème de dérivation d'une fonction scalaire composée $\;\color {transparent}{G=\psi \circ \varphi =\psi \circ \left\lbrace \varphi _{1}\,,\,\varphi _{2}\right\rbrace }\;$ dans laquelle $\;\psi \;$ une fonction scalaire des deux variables indépendantes nous en déduisons l'« extension du théorème de dérivation d'une fonction scalaire composée $\;\color {transparent}{G=\psi \circ \varphi =\psi \circ \left\lbrace \varphi _{1}\,,\,\varphi _{2}\right\rbrace }\;$ dans laquelle $\;\color {transparent}{\psi }\;$ $\;\left(u\,,\,v\right)=\varphi (x\,,\,y)=\left\lbrace \varphi _{1}(x\,,\,y)\,,\,\varphi _{2}(x\,,\,y)\right\rbrace \;$» nous en déduisons en identifiant, deux à deux, les cœfficients de $\;dx\;$ et ceux de $\;dy\;$ dans les deux expressions précédentes de $\;dG$ :
$\;\varphi =\left\lbrace \varphi _{1}\,,\,\varphi _{2}\right\rbrace \;$
$\;(x\,,\,y)\;$
$\;\mathbb {R} ^{2}\;$
$\;I\times J\;$
$\;\varphi (I\times J)=\varphi _{1}(I\times J)\times \varphi _{2}(I\times J)\;$
$\;\psi \;$
$\;(u\,,\,v)$
$\;\varphi (I\times J)=$
$\varphi _{1}(I\times J)\times \varphi _{2}(I\times J)\;$
$\;G=\psi \circ \varphi \;$
$\;I\times J\;$
$\;\varphi \;$
$\;x\;$
$\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\in I\times J\;$
${\big \$
$\;y\;$
$\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\in I\times J{\big \}$
$\;\psi \;$
$\;u\;$
$\;\left(u_{0}\,,\,v_{0}\right)\in \varphi (I\times J)=\varphi _{1}(I\times J)\times \varphi _{2}(I\times J)\;$
${\big \$
$\;v\;$
$\;\left(u_{0}\,,\,v_{0}\right)\in \varphi (I\times J)=\varphi _{1}(I\times J)\times \varphi _{2}(I\times J){\big \}$
$\;G=\psi \circ \varphi \;$
$\;x\;$
$\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\in I\times J\;$
${\big \$
$\;y\;$
$\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\in I\times J{\big \}$
$\left\lbrace \!{\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial G}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})=\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial u}}\right)_{\!\!v}\!\left[\varphi _{1}(x_{0}\,,\,y_{0})\,,\,\varphi _{2}(x_{0}\,,\,y_{0})\right]\left({\dfrac {\partial \varphi _{1}}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})+\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial v}}\right)_{\!\!u}\!\left[\varphi _{1}(x_{0}\,,\,y_{0})\,,\,\varphi _{2}(x_{0}\,,\,y_{0})\right]\left({\dfrac {\partial \varphi _{2}}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\\\left({\dfrac {\partial G}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})=\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial u}}\right)_{\!\!v}\!\left[\varphi _{1}(x_{0}\,,\,y_{0})\,,\,\varphi _{2}(x_{0}\,,\,y_{0})\right]\left({\dfrac {\partial \varphi _{1}}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})+\left({\dfrac {\partial \psi }{\partial v}}\right)_{\!\!u}\!\left[\varphi _{1}(x_{0}\,,\,y_{0})\,,\,\varphi _{2}(x_{0}\,,\,y_{0})\right]\left({\dfrac {\partial \varphi _{2}}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\end{array}}\!\right\rbrace$