# Mécanique 2 (PCSI)/Exercices/Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Énergie potentielle effective, états lié et de diffusion
## Recherche de la trajectoire d'un point matériel ayant un mouvement à force centrale conservative de loi de force connue à conditions initiales fixées

On considère un point matériel $\;M\;$ de masse $\;m\;$ soumis de la part d'un centre attractif $\;O\;$ à une force centrale conservative du type «$\;{\vec {F}}(M)=-{\dfrac {A\;m}{r^{n}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;A\;$ constante $\;>0\;$ caractérisant la nature de l'interaction » et «$\;n\,\in \,\left\lbrace 2\,,\,3\,,\,4\,,\,5\,,\,7\right\rbrace \;$», $\;{\vec {u}}_{r}\;$ étant le vecteur unitaire radial lié à $\;M\;$ dans son repérage sphérique de pôle $\;O\;$ et $\;r=OM\;$ la coordonnée radiale de $\;M\;$ dans ce repérage.
Les conditions initiales de lancement du point matériel $\;M\,\left(m\right)$, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, sont telles que son vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}\;$ est $\;\perp \;$ à son vecteur position initiale $\;{\overrightarrow {OM_{0}}}\;$ et son énergie mécanique initiale $\;E_{m}(0)\;$ est nulle $\;{\Big$dans l'hypothèse où la référence de l'énergie potentielle de $\;M\;$ dans le champ de force force centrale conservative $\;{\vec {F}}(M)\;$ est choisie à l'infini${\Big ]}$.

### Détermination des équations différentielles du 1er ordre en t(r) et θ(r) du mouvement du point M

$\;\succ \;$Vérifier que la force «$\;{\vec {F}}(M)=-{\dfrac {A\;m}{r^{n}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$» s'exerçant sur $\;M\;$ est effectivement conservative et
déterminer l'énergie potentielle «$\;U(M)\;$» du point $\;M\;$ dont « dérive » la force en choisissant la référence de $\;U(M)\;$ à l'infini.
$\;\succ \;$Vérifier que le mouvement de $\;M\;$ est effectivement « à force centrale » et
déterminer la constante des aires $\;C\;$ de son mouvement dans les conditions initiales de lancement précédemment imposées.
$\;\succ \;$Définir l'énergie potentielle effective $\;U_{\text{eff}}(r)\;$ du point $\;M\;$ dans le champ de force centrale conservative «$\;{\vec {F}}(M)=-{\dfrac {A\;m}{r^{n}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$» et
expliciter l'intégrale 1re énergétique de $\;M\;$ utilisant cette énergie potentielle effective.
$\;\succ \;$Déduire de cette intégrale 1re énergétique, l'équation différentielle du 1er ordre en $\;t(r)\;$ du mouvement du point $\;M\;$ dans le champ de force centrale conservative «$\;{\vec {F}}(M)=-{\dfrac {A\;m}{r^{n}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$» puis
Déduire de cette équation différentielle en $\;t(r)\;$ associée à la loi des aires, l'équation différentielle du 1er ordre en $\;\theta (r)$.
$\;\succ \;$Pour vérifier que la force «$\;{\vec {F}}(M)=-{\dfrac {A\;m}{r^{n}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$» s'exerçant sur $\;M\;$ est effectivement conservative, nous exprimons le « travail élémentaire de la force $\;\delta W\!\left[{\vec {F}}(M)\right]={\vec {F}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$» dans le repérage sphérique du point $\;M$, le « vecteur déplacement élémentaire de ce dernier étant $\;{\overrightarrow {dM}}=dr\;{\vec {u}}_{r}+r\;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+r\;\sin(\theta )\;d\varphi \;{\vec {u}}_{\varphi }\;$» $\Rightarrow$ «$\;\delta W\!\left[{\vec {F}}(M)\right]=-{\dfrac {A\;m}{r^{n}}}\;dr\;$» et ce dernier étant considéré comme une différentielle exacte $\;{\big$ou totale${\big )}\;$ $\;{\bigg \$la C.N. d'« égalité des dérivées croisées » pour qu'une forme différentielle soit une différentielle exacte $\;{\big$ou totale${\big )}\;$ se traduisant ici par « le cœfficient de $\;dr\;$ ne dépend ni de $\;\theta \;$ ni de $\;\varphi \;$» est vérifiée et même si la C.S. ne l'est pas sur les ouverts du domaine de définition de $\;\delta W\!\left[{\vec {F}}(M)\right]=-{\dfrac {A\;m}{r^{n}}}\;dr\;$ d'expansion non restreinte $\;{\big$c'est-à-dire sans limitation de variation des coordonnées angulaires du repérage sphérique d'un point de l'ouvert${\big )}\;$, elle peut être considérée comme vérifiée car la trajectoire de $\;M\;$ ne passera pas par le centre de force attractif $\;O$ $\;{\big$au pire $\;O\;$ pourrait être le point terminal de la trajectoire mais jamais un point intermédiaire de celle-ci${\big )}{\bigg \}$, la force «$\;{\vec {F}}(M)=-{\dfrac {A\;m}{r^{n}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$» est effectivement conservative ;
$\;U(M)\;$
$\;{\vec {F}}(M)=-{\dfrac {A\;m}{r^{n}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$
$\;M\;$
$\;\delta W\!\left[{\vec {F}}(M)\right]=-dU\;$
$\;-{\dfrac {A\;m}{r^{n}}}\;dr=-dU\;$
$\Rightarrow$
$\;{\dfrac {dU}{dr}}={\dfrac {A\;m}{r^{n}}}\;$
$\;U(M)=-{\dfrac {A\;m}{\left(n-1\right)\,r^{(n-1)}}}+cste\;$
$\;U(M)=-{\dfrac {A\;m}{\left(n-1\right)\,r^{(n-1)}}}\;$
$\;A>0\;$
$\;n\,\in \,\left\lbrace 2\,,\,3\,,\,4\,,\,5\,,\,7\right\rbrace \;$
$\;\succ \;$Le point matériel $\;M\,\left(m\right)\;$ soumis à une force centrale et à aucune autre, son mouvement est donc bien « à force centrale », c'est-à-dire que son mouvement est plan $\;{\Big$dans le plan contenant $\;O$, $\;M_{0}\;$ et $\;{\vec {V}}_{0}{\Big )}$, suit la « loi des aires $\;r^{2}(t)\;{\dot {\theta }}(t)=C\;$ avec $\;C\;$ la constante des aires » $\;{\Big \\left(r\,,\,\theta \right)\;$ étant les coordonnées polaires de $\;M\;$ dans son repérage polaire de pôle $\;O{\Big \}$ ;
$\;M\,\left(m\right)\;$
$\;\left\lbrace OM_{0}=r_{0}\,,\,{\vec {V}}_{0}\perp \,{\text{à}}\,{\overrightarrow {OM_{0}}}\right\rbrace \;$
$\;\alpha _{0}={\widehat {\left({\overrightarrow {OM_{0}}}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)}}=+{\dfrac {\pi }{2}}\;$
$\;C=V_{0}\;r_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;$
$\;V_{0}=\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert \;$
$\;C=V_{0}\;r_{0}>0\;$
$\Rightarrow$
$\;M\;$
$\;\succ \;$
$\;M\,\left(m\right)\;$
$\;U_{\text{eff}}(r)=U(r)+{\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{\theta }^{\,2}\;$
$\;V_{\theta }=r\;{\dot {\theta }}={\dfrac {C}{r}}$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;U_{\text{eff}}(r)=U(r)+{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dfrac {C^{2}}{r^{2}}}\;$
$\;U(r)\;$
$\;C\;$
$\;U_{\text{eff}}(r)=-{\dfrac {A\;m}{\left(n-1\right)\,r^{(n-1)}}}+{\dfrac {m\;V_{0}^{\,2}\;r_{0}^{\,2}}{2\;r^{2}}}\;$
$\;M\,\left(m\right)\;$
$\;E_{m}(t)=K(t)+U\!\left[r(t)\right]\;$
$\;E_{m}(t)=E_{m,\,0}=0\;$
$\;K(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{M}^{\,2}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{r}^{\,2}(t)+{\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{\theta }^{\,2}(t)=$
${\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {r}}^{2}(t)+{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dfrac {C^{2}}{r^{2}(t)}}\;$
$\Rightarrow$
$\;E_{m}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {r}}^{2}(t)+{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dfrac {C^{2}}{r^{2}(t)}}+U\!\left[r(t)\right]={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {r}}^{2}(t)+U_{\text{eff}}\!\left[r(t)\right]\;$
$\;E_{m}(t)=E_{m,\,0}=0\;$
$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {r}}^{2}(t)+U_{\text{eff}}\!\left[r(t)\right]=0\;$
$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {r}}^{2}(t)-{\dfrac {A\;m}{\left(n-1\right)\,r^{(n-1)}(t)}}+{\dfrac {m\;V_{0}^{\,2}\;r_{0}^{\,2}}{2\;r^{2}(t)}}$
$=0\;$
$\;E_{m,\,0}={\cancel {{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {r}}^{2}(0)}}-{\dfrac {A\;m}{\left(n-1\right)\,r_{0}^{(n-1)}}}+{\dfrac {m\;V_{0}^{\,2}}{2}}=0\;$
$\;{\Big{\vec {V}}_{0}\;$
$\;\perp \;$
$\;{\overrightarrow {OM_{0}}}\;$
$\Rightarrow$
$\;{\dot {r}}(0)=0{\Big ]}\;$
$\Rightarrow$
$\;{\dfrac {V_{0}^{\,2}}{2}}={\dfrac {A}{\left(n-1\right)\,r_{0}^{(n-1)}}}\;$
$\;V_{0}$
$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {r}}^{2}(t)-{\dfrac {A\;m}{\left(n-1\right)\,r^{(n-1)}(t)}}+m\;{\dfrac {A}{\left(n-1\right)\,r_{0}^{(n-1)}}}\;{\dfrac {r_{0}^{\,2}}{r^{2}(t)}}=0\;$
$\;{\dfrac {1}{2}}\;{\dot {r}}^{2}(t)+{\dfrac {A}{\left(n-1\right)\,r_{0}^{(n-1)}}}\,\left[{\dfrac {r_{0}^{\,2}}{r^{2}(t)}}-{\dfrac {r_{0}^{(n-1)}}{r^{(n-1)}(t)}}\right]=0\;$
$\;{\dot {r}}^{2}(t)+{\dfrac {2\;A}{\left(n-1\right)\,r_{0}^{(n-1)}}}\,\left[{\dfrac {r_{0}^{\,2}}{r^{2}(t)}}-{\dfrac {r_{0}^{(n-1)}}{r^{(n-1)}(t)}}\right]=0\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$
$\;A\;$
$\;V_{0}$
$\;{\dot {r}}^{2}(t)+V_{0}^{\,2}\,\left[{\dfrac {r_{0}^{\,2}}{r^{2}(t)}}-{\dfrac {r_{0}^{(n-1)}}{r^{(n-1)}(t)}}\right]=0\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {a}}'\right)\;$
$\;\succ \;$
$\;t'(r)={\dfrac {dt}{dr}}={\dfrac {1}{\dfrac {dr}{dt}}}={\dfrac {1}{{\dot {r}}(t)}}\;$
$\;\left({\mathfrak {a}}'\right)\;$
$\;{\dot {r}}^{2}(t)=V_{0}^{\,2}\,\left[{\dfrac {r_{0}^{(n-1)}}{r^{(n-1)}(t)}}-{\dfrac {r_{0}^{\,2}}{r^{2}(t)}}\right]\;$
$\;t(r)\;$
$\;M\;$
$\;{\vec {F}}(M)=-{\dfrac {A\;m}{r^{n}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$
$\;{t'}^{2}(r)={\dfrac {1}{V_{0}^{\,2}\left[{\dfrac {r_{0}^{(n-1)}}{r^{(n-1)}}}-{\dfrac {r_{0}^{\,2}}{r^{2}}}\right]}}\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {b}}'\right)\;$
$\Leftrightarrow$
$\;{t'}^{2}(r)={\dfrac {\left(n-1\right)\,r_{0}^{(n-1)}}{2\;A\left[{\dfrac {r_{0}^{(n-1)}}{r^{(n-1)}}}-{\dfrac {r_{0}^{\,2}}{r^{2}}}\right]}}\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$
$\;\theta '(r)={\dfrac {d\theta }{dr}}={\dfrac {d\theta }{dt}}\;{\dfrac {dt}{dr}}={\dot {\theta }}(t)\;t'(r)={\dfrac {C}{r^{2}(t)}}\;t'(r)\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;C\;$
$\;V_{0}$
$\;\theta '(r)={\dfrac {V_{0}\;r_{0}}{r^{2}(t)}}\;t'(r)\;$
$\;\left({\mathfrak {b}}'\right)\;{\text{:}}\;{t'}^{2}(r)=$
${\dfrac {1}{V_{0}^{\,2}\left[{\dfrac {r_{0}^{(n-1)}}{r^{(n-1)}}}-{\dfrac {r_{0}^{\,2}}{r^{2}}}\right]}}\;$
$\;\theta (r)\;$
$\;M\;$
$\;{\vec {F}}(M)=-{\dfrac {A\;m}{r^{n}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$
$\;{\theta '}^{2}(r)={\dfrac {\dfrac {r_{0}^{\,2}}{r^{4}}}{\left[{\dfrac {r_{0}^{(n-1)}}{r^{(n-1)}}}-{\dfrac {r_{0}^{\,2}}{r^{2}}}\right]}}\;$
$\Leftrightarrow$
$\;{\theta '}^{2}(r)={\dfrac {1}{r_{0}^{\,2}}}\;{\dfrac {1}{\left[{\dfrac {r_{0}^{(n-5)}}{r^{(n-5)}}}-{\dfrac {r^{2}}{r_{0}^{\,2}}}\right]}}\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {c}}\right)\;$

### Détermination de l'équation polaire de la trajectoire du point M dans les cas particuliers considérés

Résoudre l'équation différentielle du 1er ordre en $\;\theta (r)\;$ du mouvement du point $\;M\;$ soumis à la force centrale conservative «$\;{\vec {F}}(M)=-{\dfrac {A\;m}{r^{n}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$» avec les C.I. de lancement imposées dans les cas particuliers de $\;n\,\in \,\left\lbrace 2\,,\,3\,,\,4\,,\,5\,,\,7\right\rbrace$ $\;{\big$dans chaque cas, préciser l'allure de la trajectoire et indiquer, si possible, sa nature${\big ]}$.
$\;\succ \;$Résolution de l'équation différentielle du 1er ordre en${\underline {\;\theta (r)\;}}$dans le cas${\underline {\;n=2}}$ : soit l'équation différentielle du 1er ordre en $\;\theta (r)\;$ «$\;\left({\mathfrak {c}}_{2}\right)\;{\text{:}}\;$ ${\theta '}^{2}(r)={\dfrac {1}{r_{0}^{\,2}}}\;{\dfrac {1}{\left[{\dfrac {r_{0}^{(-3)}}{r^{(-3)}}}-{\dfrac {r^{2}}{r_{0}^{\,2}}}\right]}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\theta '}^{2}(r)={\dfrac {1}{r_{0}^{\,2}}}\;{\dfrac {1}{\left[{\dfrac {r^{3}}{r_{0}^{\,3}}}-{\dfrac {r^{2}}{r_{0}^{\,2}}}\right]}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\theta '}(r)=$ $\pm {\dfrac {1}{r_{0}}}\;{\dfrac {1}{\sqrt {\left[{\dfrac {r^{3}}{r_{0}^{\,3}}}-{\dfrac {r^{2}}{r_{0}^{\,2}}}\right]}}}\;$» équation différentielle non linéaire du 1er ordre s'intégrant par séparation des variables soit «$\;d\theta =\pm {\dfrac {dr}{r_{0}}}\;{\dfrac {1}{\sqrt {\left[{\dfrac {r^{3}}{r_{0}^{\,3}}}-{\dfrac {r^{2}}{r_{0}^{\,2}}}\right]}}}=\pm {\dfrac {d\left({\dfrac {r}{r_{0}}}\right)}{\sqrt {\left[\left({\dfrac {r}{r_{0}}}\right)^{\!\!3}-\left({\dfrac {r}{r_{0}}}\right)^{\!\!2}\right]}}}=$ $\pm {\dfrac {d\rho }{\sqrt {\rho ^{3}-\rho ^{2}}}}\;$ en posant $\;\rho ={\dfrac {r}{r_{0}}}\;$» $\;{\bigg \$les changements de variables successifs à faire pour intégrer $\;{\dfrac {d\rho }{\sqrt {\rho ^{3}-\rho ^{2}}}}\;$ sont orientés par la connaissance de la trajectoire d'un point matériel soumis à une force attractive newtonienne, à savoir une conique dont $\;O\;$ est le (ou un des) foyer(s) d'équation polaire de pôle $\;O\;$ «$\;r={\dfrac {p}{1+e\;\cos(\theta -\varphi )}}\;$»${\bigg \}$ ;
1er changement de variable «$\;u={\dfrac {1}{\rho }}\;$» $\Rightarrow$ $\;\rho ={\dfrac {1}{u}}\;$ et $\;d\rho ={\dfrac {-du}{u^{2}}}\;$ d'où «$\;{\dfrac {d\rho }{\sqrt {\rho ^{3}-\rho ^{2}}}}={\dfrac {\dfrac {-du}{u^{2}}}{\sqrt {{\dfrac {1}{u^{3}}}-{\dfrac {1}{u^{2}}}}}}={\dfrac {-du}{\sqrt {u-u^{2}}}}\;$» soit, en remarquant que «$\;u^{2}-u=\left(u-{\dfrac {1}{2}}\right)^{\!2}-{\dfrac {1}{4}}={\dfrac {1}{4}}\left[\left(2\;u-1\right)^{2}-1\right]\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {d\rho }{\sqrt {\rho ^{3}-\rho ^{2}}}}$ $={\dfrac {-2\;du}{\sqrt {1-\left(2\;u-1\right)^{2}}}}={\dfrac {-2\;du}{\sqrt {1-\left(1-2\;u\right)^{2}}}}\;$»,
2ème changement de variable «$\;\chi =1-2\;u\;$» $\Rightarrow$ «$\;d\chi =-2\;du\;$» d'où «$\;{\dfrac {d\rho }{\sqrt {\rho ^{3}-\rho ^{2}}}}={\dfrac {d\chi }{\sqrt {1-\chi ^{2}}}}\;$», le 2nd membre s'intégrant en «$\;-\arccos(\chi )+cste\;$»$^,$ et
finalement, avec $\;\rho (\theta =0)=1$, «$\;d\theta =\pm {\dfrac {d\rho }{\sqrt {\rho ^{3}-\rho ^{2}}}}\;$» s'intègre en «$\;\theta -0=\mp \arccos \!\left[1-{\dfrac {2}{\rho }}\right]\pm \arccos(-1)\;$» ou «$\;\theta =$ $\pm \left\lbrace \pi -\arccos \!\left[1-{\dfrac {2}{\rho }}\right]\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ «$\;\arccos \!\left[1-{\dfrac {2}{\rho }}\right]=\pi \mp \theta \;$» s'inversant en «$\;1-{\dfrac {2}{\rho }}=$ $\cos(\pi \mp \theta )\;$ encore égal à $\;-\cos(\theta )\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {2}{\rho }}=1+\cos(\theta )\;$» et «$\;\rho ={\dfrac {2}{1+\cos(\theta )}}\;$» d'où,
en conclusion, l'équation polaire de la trajectoire suivi par le point matériel $\;M\;$ soumis au champ de force «$\;{\vec {F}}(M)=-{\dfrac {A\;m}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$» avec les « C.I. de lancement telles que son énergie mécanique soit nulle et sa vitesse initiale orthoradiale » étant «$\;r={\dfrac {2\;r_{0}}{1+\cos(\theta )}}\;$», la trajectoire est portée par la « parabole de foyer $\;O$, de paramètre $\;2\;r_{0}\;$ et dont la direction orientée de $\;{\overrightarrow {OM_{0}}}\;$ est l'axe focal $\;{\big$avec $\;M_{0}\;$ pour sommet${\big )}\;$».
$\;\succ \;$Résolution de l'équation différentielle du 1er ordre en${\underline {\;\theta (r)\;}}$dans le cas${\underline {\;n=3}}$ : en fait l'équation différentielle du 1er ordre en $\;\theta (r)\;$ «$\;\left({\mathfrak {c}}_{3}\right)\;{\text{:}}\;$ ${\theta '}^{2}(r)={\dfrac {1}{r_{0}^{\,2}}}\;{\dfrac {1}{\left[{\dfrac {r_{0}^{(-2)}}{r^{(-2)}}}-{\dfrac {r^{2}}{r_{0}^{\,2}}}\right]}}\;$» n'étant pas définie pour cause de dénominateur nul ${\Bigg \$en effet le dénominateur du 2ème membre de $\;\left({\mathfrak {c}}_{3}\right)$ $\;{\bigg\!$au facteur $\;{\dfrac {1}{r_{0}^{\,2}}}\;$ près${\bigg )}\;$ se réécrivant «$\;\left[{\dfrac {r_{0}^{(-2)}}{r^{(-2)}}}-{\dfrac {r^{2}}{r_{0}^{\,2}}}\right]=\left[{\dfrac {r^{2}}{r_{0}^{2}}}-{\dfrac {r^{2}}{r_{0}^{\,2}}}\right]=0\;$» fait que $\;{\theta '}^{2}(r)\;$ n'est pas défini${\Bigg \}$ nous allons rechercher une équation différentielle en $\;r(\theta )\;$ en utilisant «$\;{\theta '}(r)={\dfrac {d\theta }{dr}}={\dfrac {1}{\dfrac {dr}{d\theta }}}={\dfrac {1}{{r'}(\theta )}}\;$» c'est-à-dire en inversant chaque membre de $\;\left({\mathfrak {c}}_{3}\right)\;$ d'où l'équation différentielle du 1er ordre en $\;r(\theta )\;$ «$\;\left({{\mathfrak {c}}'}_{3}\right)\;{\text{:}}\;{r'}^{2}(\theta )=r_{0}^{\,2}\,\left[{\dfrac {r_{0}^{(-2)}}{r^{(-2)}}}-{\dfrac {r^{2}}{r_{0}^{\,2}}}\right]\;$» se réécrivant «$\;\left({{\mathfrak {c}}'}_{3}\right)\;{\text{:}}\;{r'}^{2}(\theta )=r_{0}^{\,2}\,\left[{\dfrac {r^{2}}{r_{0}^{2}}}-{\dfrac {r^{2}}{r_{0}^{\,2}}}\right]=0\;$» et s'intégrant en $\;r(\theta )=cste$, plus exactement, en utilisant la C.A.L. «$\;r(\theta =0)=r_{0}\;$» $\;{\Big$s'identifiant à la 1re C.I. «$\;r(t=0)=r_{0}\;$» en choisissant l'axe polaire $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ passant par $\;M_{0}\;$ c'est-à-dire $\;\theta (t=0)=0{\Big ]}$, «$\;r(\theta )=r_{0}\;\;\forall \;\theta \;$» ;
en conclusion, l'équation polaire de la trajectoire suivi par le point matériel $\;M\;$ soumis au champ de force «$\;{\vec {F}}(M)=-{\dfrac {A\;m}{r^{3}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$» avec les « C.I. de lancement telles que son énergie mécanique soit nulle et sa vitesse initiale orthoradiale » étant «$\;r=r_{0}\;$», la trajectoire est le « cercle de centre $\;O\;$ et de rayon $\;r_{0}\;$».
Remarque : bien que l'équation différentielle du 1er ordre en $\;\theta (r)\;$ «$\;\left({\mathfrak {c}}_{3}\right)\;{\text{:}}\;{\theta '}^{2}(r)={\dfrac {1}{r_{0}^{\,2}}}\;{\dfrac {1}{\left[{\dfrac {r_{0}^{(-2)}}{r^{(-2)}}}-{\dfrac {r^{2}}{r_{0}^{\,2}}}\right]}}\;$» ne soit pas définie, nous pouvions néanmoins aboutir au résultat escompté $\;{\big$si nous n'avions pas remarqué cette absence de définition${\big )}\;$ en adoptant la méthode de résolution d'une équation différentielle non linéaire du 1er ordre, à savoir la séparation des variables, soit «$\;d\theta =\pm {\dfrac {dr}{r_{0}\;{\sqrt {\left[{\dfrac {r_{0}^{(-2)}}{r^{(-2)}}}-{\dfrac {r^{2}}{r_{0}^{\,2}}}\right]}}}}\;$», la nullité du dénominateur du 2ème membre nécessitant celle du numérateur de ce membre de façon à ce que ce dernier prenne une forme indéterminée autorisant la définition du 1er membre indispensable au déplacement du point $\;M\;$ d'où finalement $\;dr=0\;\;\forall \;\theta \;$ et par suite $\;r=cste\;\ldots$
$\;\succ \;$Résolution de l'équation différentielle du 1er ordre en${\underline {\;\theta (r)\;}}$dans le cas${\underline {\;n=4}}$ : soit l'équation différentielle du 1er ordre en $\;\theta (r)\;$ «$\;\left({\mathfrak {c}}_{4}\right)\;{\text{:}}\;{\theta '}^{2}(r)={\dfrac {1}{r_{0}^{\,2}}}\;{\dfrac {1}{\left[{\dfrac {r_{0}^{(-1)}}{r^{(-1)}}}-{\dfrac {r^{2}}{r_{0}^{\,2}}}\right]}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\theta '}^{2}(r)={\dfrac {1}{r_{0}^{\,2}}}\;{\dfrac {1}{\left[{\dfrac {r}{r_{0}}}-{\dfrac {r^{2}}{r_{0}^{\,2}}}\right]}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\theta '}(r)=$ $\pm {\dfrac {1}{r_{0}}}\;{\dfrac {1}{\sqrt {\left[{\dfrac {r}{r_{0}}}-{\dfrac {r^{2}}{r_{0}^{\,2}}}\right]}}}\;$» équation différentielle non linéaire du 1er ordre s'intégrant par séparation des variables soit «$\;d\theta =\pm {\dfrac {dr}{r_{0}}}\;{\dfrac {1}{\sqrt {\left[{\dfrac {r}{r_{0}}}-{\dfrac {r^{2}}{r_{0}^{\,2}}}\right]}}}=$ $\pm {\dfrac {d\left({\dfrac {r}{r_{0}}}\right)}{\sqrt {\left[{\dfrac {r}{r_{0}}}-\left({\dfrac {r}{r_{0}}}\right)^{\!\!2}\right]}}}=\pm {\dfrac {d\rho }{\sqrt {\rho -\rho ^{2}}}}\;$ en posant $\;\rho ={\dfrac {r}{r_{0}}}\;$» $\;{\Bigg \$dans l'équation obtenue «$\;d\theta =\pm {\dfrac {d\rho }{\sqrt {\rho -\rho ^{2}}}}\;$» nous retrouvons dans le 2nd membre $\;{\big$au signe près${\big )}\;$ «$\;{\dfrac {d\rho }{\sqrt {\rho -\rho ^{2}}}}\;$» c'est-à-dire l'opposé du 2nd membre $\;{\big$au signe près${\big )}\;$ de l'équation «$\;d\theta =\pm {\dfrac {d\rho }{\sqrt {\rho ^{3}-\rho ^{2}}}}\;$» obtenue dans le « 1er cas étudié $\;n=2\;$» après transformation par changement de variable $\;u={\dfrac {1}{\rho }}\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {d\rho }{\sqrt {\rho ^{3}-\rho ^{2}}}}={\dfrac {-du}{\sqrt {u-u^{2}}}}\;$», la méthode pour intégrer «$\;{\dfrac {d\rho }{\sqrt {\rho -\rho ^{2}}}}\;$» est donc la même que celle ayant permis d'intégrer «$\;{\dfrac {-du}{\sqrt {u-u^{2}}}}\;$»${\Bigg \}$ ;
transformation de «$\;{\dfrac {d\rho }{\sqrt {\rho -\rho ^{2}}}}\;$», en remarquant que «$\;\rho -\rho ^{2}=-\left(\rho -{\dfrac {1}{2}}\right)^{\!2}+{\dfrac {1}{4}}={\dfrac {1}{4}}\left[1-\left(2\;\rho -1\right)^{2}\right]\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {d\rho }{\sqrt {\rho -\rho ^{2}}}}$ $={\dfrac {2\;d\rho }{\sqrt {1-\left(2\;\rho -1\right)^{2}}}}={\dfrac {2\;d\rho }{\sqrt {1-\left(1-2\;\rho \right)^{2}}}}\;$»,
changement de variable «$\;\chi =1-2\;\rho \;$» $\Rightarrow$ «$\;d\chi =-2\;d\rho \;$» d'où «$\;{\dfrac {d\rho }{\sqrt {\rho -\rho ^{2}}}}={\dfrac {-d\chi }{\sqrt {1-\chi ^{2}}}}\;$», le 2nd membre s'intégrant en «$\;\arccos(\chi )+cste\;$» et
finalement, avec $\;\rho (\theta =0)=1$, «$\;d\theta =\pm {\dfrac {d\rho }{\sqrt {\rho -\rho ^{2}}}}\;$» s'intègre en «$\;\theta -0=\pm \arccos \!\left(1-2\;\rho \right)\mp \arccos(-1)\;$» ou «$\;\theta =$ $\mp \left[\pi -\arccos \!\left(1-2\;\rho \right)\right]\;$» $\Rightarrow$ «$\;\arccos \!\left(1-2\;\rho \right)=\pi \pm \theta \;$» s'inversant en «$\;1-2\;\rho =$ $\cos(\pi \pm \theta )\;$ encore égal à $\;-\cos(\theta )\;$» $\Rightarrow$ «$\;2\;\rho =1+\cos(\theta )\;$» et «$\;\rho ={\dfrac {1+\cos(\theta )}{2}}\;$» d'où,
en conclusion, l'équation polaire de la trajectoire suivi par le point matériel $\;M\;$ soumis au champ de force «$\;{\vec {F}}(M)=-{\dfrac {A\;m}{r^{4}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$» avec les « C.I. de lancement telles que son énergie mécanique soit nulle et sa vitesse initiale orthoradiale » étant «$\;r={\dfrac {r_{0}\left[1+\cos(\theta )\right]}{2}}\;$», la trajectoire est portée par la « cardioïde de point anguleux $\;O\;$ et d'axe de symétrie $\;Ox$ $\;{\big$avec $\;M_{0}\;$ sur cet axe, à la distance la plus grande $\;r_{0}\;$ du point anguleux $\;O{\big )}\;$».
$\;\succ \;$Résolution de l'équation différentielle du 1er ordre en${\underline {\;\theta (r)\;}}$dans le cas${\underline {\;n=5}}$ : soit l'équation différentielle du 1er ordre en $\;\theta (r)\;$ «$\;\left({\mathfrak {c}}_{5}\right)\;{\text{:}}$ $\;{\theta '}^{2}(r)={\dfrac {1}{r_{0}^{\,2}}}\;{\dfrac {1}{\left[1-{\dfrac {r^{2}}{r_{0}^{\,2}}}\right]}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\theta '}(r)=\pm {\dfrac {1}{r_{0}}}\;{\dfrac {1}{\sqrt {\left[1-{\dfrac {r^{2}}{r_{0}^{\,2}}}\right]}}}\;$» équation différentielle non linéaire du 1er ordre s'intégrant par séparation des variables soit «$\;d\theta =\pm {\dfrac {dr}{r_{0}}}\;{\dfrac {1}{\sqrt {\left[1-{\dfrac {r^{2}}{r_{0}^{\,2}}}\right]}}}=$ $\pm {\dfrac {d\left({\dfrac {r}{r_{0}}}\right)}{\sqrt {\left[1-\left({\dfrac {r}{r_{0}}}\right)^{\!\!2}\right]}}}=\pm {\dfrac {d\rho }{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}\;$ en posant $\;\rho ={\dfrac {r}{r_{0}}}\;$» ;
«$\;{\dfrac {d\rho }{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}\;$» s'intègre en «$\;-\arccos(\rho )+cste\;$»$^,$ et
finalement, avec $\;\rho (\theta =0)=1$, «$\;d\theta =\pm {\dfrac {d\rho }{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}\;$» s'intègre en «$\;\theta -0=\mp \arccos \!\left(\rho \right)\pm \arccos(1)\;$» ou «$\;\theta =$ $\mp \arccos \!\left(\rho \right)\;$» $\Rightarrow$ «$\;\arccos \!\left(\rho \right)=\mp \theta \;$» s'inversant en «$\;\rho =$ $\cos(\mp \theta )\;$ encore égal à $\;\cos(\theta )\;$» $\Rightarrow$ «$\;\rho =\cos(\theta )\;$» d'où,
en conclusion, l'équation polaire de la trajectoire suivi par le point matériel $\;M\;$ soumis au champ de force «$\;{\vec {F}}(M)=-{\dfrac {A\;m}{r^{5}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$» avec les « C.I. de lancement telles que son énergie mécanique soit nulle et sa vitesse initiale orthoradiale » étant «$\;r=r_{0}\;\cos(\theta )\;$», la trajectoire est portée par le « cercle passant par $\;O$, centré sur l'axe $\;Ox$, de diamètre $\;OM_{0}\;$ et de rayon $\;{\dfrac {r_{0}}{2}}\;$ $\;{\bigM_{0}\;$ étant le point le plus éloigné de $\;O{\big )}\;$».
$\;\succ \;$Résolution de l'équation différentielle du 1er ordre en${\underline {\;\theta (r)\;}}$dans le cas${\underline {\;n=7}}$ : soit l'équation différentielle du 1er ordre en $\;\theta (r)\;$ «$\;\left({\mathfrak {c}}_{7}\right)\;{\text{:}}$ $\;{\theta '}^{2}(r)={\dfrac {1}{r_{0}^{\,2}}}\;{\dfrac {1}{\left[{\dfrac {r_{0}^{2}}{r^{2}}}-{\dfrac {r^{2}}{r_{0}^{\,2}}}\right]}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\theta '}^{2}(r)={\dfrac {1}{r_{0}^{\,2}}}\;{\dfrac {\dfrac {r^{2}}{r_{0}^{\,2}}}{\left[1-{\dfrac {r^{4}}{r_{0}^{\,4}}}\right]}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\theta '}(r)=$ $\pm {\dfrac {1}{r_{0}}}\;{\dfrac {\dfrac {r}{r_{0}}}{\sqrt {\left[1-{\dfrac {r^{4}}{r_{0}^{\,4}}}\right]}}}\;$» équation différentielle non linéaire du 1er ordre s'intégrant par séparation des variables soit «$\;d\theta =\pm {\dfrac {dr}{r_{0}}}\;{\dfrac {\dfrac {r}{r_{0}}}{\sqrt {\left[1-{\dfrac {r^{4}}{r_{0}^{\,4}}}\right]}}}=\pm {\dfrac {d\left[\left({\dfrac {r}{r_{0}}}\right)^{\!2}\right]}{2\;{\sqrt {\left\lbrace 1-\left[\left({\dfrac {r}{r_{0}}}\right)^{\!\!2}\right]^{2}\right\rbrace }}}}=$ $\pm {\dfrac {du}{2\;{\sqrt {1-u^{2}}}}}\;$ en posant $\;u=\left({\dfrac {r}{r_{0}}}\right)^{\!2}\;$» ;
«$\;{\dfrac {du}{\sqrt {1-u^{2}}}}\;$» s'intègre en «$\;-\arccos(u)+cste\;$»$^,$ et
finalement, avec $\;u(\theta =0)=1$, «$\;d\theta =\pm {\dfrac {du}{2\;{\sqrt {1-u^{2}}}}}\;$» s'intègre en «$\;\theta -0=\mp {\dfrac {1}{2}}\;\arccos \!\left(u\right)\pm {\dfrac {1}{2}}\;\arccos(1)\;$» ou «$\;\theta =$ $\mp {\dfrac {1}{2}}\;\arccos \!\left(u\right)\;$» $\Rightarrow$ «$\;\arccos \!\left(u\right)=\mp 2\;\theta \;$» s'inversant en «$\;u=$ $\cos(\mp 2\;\theta )\;$ encore égal à $\;\cos(2\;\theta )\;$» $\Rightarrow$ «$\;u=\cos(2\;\theta )\;$» d'où,
en conclusion, l'équation polaire de la trajectoire suivi par le point matériel $\;M\;$ soumis au champ de force «$\;{\vec {F}}(M)=-{\dfrac {A\;m}{r^{7}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$» avec les « C.I. de lancement telles que son énergie mécanique soit nulle et sa vitesse initiale orthoradiale » étant «$\;r^{2}=r_{0}^{\,2}\;\cos(2\;\theta )\;$ ou $\;r=r_{0}\;{\sqrt {\cos(2\;\theta )}}\;$», la trajectoire est portée par la « lemniscate de Bernoulli de centre de symétrie $\;O$, de demi-axe $\;OM_{0}$ $\;{\big$avec $\;M_{0}\;$ le point le plus éloigné de $\;O{\big )}\;$».