# Équations/Résoudre une équation
## Propriété n° 1

Une égalité est vraie si on ajoute ou si on soustrait un même nombre à ses deux membres.
Pour tous nombres réels $a,b,k$ :
Si $a=b$ alors :
* $a+b=2a=2b$
* $a-b=0$
* $a+k=b+k$
* $a-k=b-k$
* On veut résoudre l'équation $x-7=-2$
--> On va ajouter 7 à gauche et à droite du signe =.
$x-7+7=-2+7$
$x=5$
Donc 5 est la solution de cette équation.
On peut vérifier ce résultat en remplaçant $x$ par 5 dans l'équation :
$x-7=5-7=-2$
L'égalité est vraie.
* On veut résoudre l'équation $5+x=1$
--> on va soustraire 5 à gauche et à droite du signe =.
$5+x-5=1-5$
$x=-4$
Donc - 4 est la solution de cette équation.
On peut vérifier ce résultat en remplaçant $x$ par - 4 dans l'équation :
$5+x=5+(-4)=1$
L'égalité est vraie.

## Propriété n° 2

Une égalité est vraie si on multiplie ou si on divise chacun de ses membres par un même nombre non nul.
Pour tous nombres réels et non nuls $a,b,k$ :
Si $a=b$ alors :
* $a\times b=a^{2}=b^{2}$
* $a\div b=1$
* $a\times k=b\times k$
* $a\div k=b\div k$
* $1\div a=1\div b$
Si $1\div a=b$ alors : $a=1\div b$
* On veut résoudre l'équation ${x \over 4}=5$
--> on va multiplier par 4 les deux membres.
${x \over 4}\times 4=5\times 4$
$x=20$
Donc 20 est la solution de cette équation.
On peut vérifier ce résultat en remplaçant $x$ par 20 dans l'équation :
${x \over 4}={20 \over 4}=5$
L'égalité est vraie.
* On veut résoudre l'équation $3x=-2$
--> on va diviser par 3 les deux membres.
${3x \over 3}={-2 \over 3}$
$x={-2 \over 3}$
Donc -2/3 est la solution de cette équation.
On peut vérifier ce résultat en remplaçant $x$ par -2/3 dans l'équation :
$3\times x=3\times ({-2 \over 3})=-2$
L'égalité est vraie.

## Propriété n°3

Une égalité est vraie si on élève chacun de ses membres à une même puissance entière, positive et non nulle.
Pour tous nombres réels $a,b$ et tout nombre entier, positif et non nul $n$ :
Si $a=b$ alors :
* $a^{n}=b^{n}$
* ${a^{n}}\div {b^{n}}=1$
* On veut résoudre l'équation ${\sqrt[{3}]{x}}=25e^{2}$
--> on va élever à la puissance 3 les deux membres.
${\sqrt[{3}]{x}}^{3}=(25e^{2})^{3}$
$x=15625e^{6}$
Donc 15625e^6 est la solution de cette équation.
On peut vérifier ce résultat en remplaçant $x$ par 15625e^6 dans l'équation :
${\sqrt[{3}]{x}}={\sqrt[{3}]{15625e^{6}}}=25e^{2}$
L'égalité est vraie.

## Méthode de résolution d'une équation à une inconnue

La méthode générale de résolution d'une équation à une inconnue est la suivante :
Manipuler les expressions algébriques à gauche et à droite du signe = afin de simplifier leurs écritures et d'isoler l'inconnue. L'objectif est d'écrire, à la fin, une égalité sous la forme : inconnue = nombre.
Pour cela, il faut identifier toutes les expressions contenant l'inconnue et les rassembler d'un seul côté du signe = puis transférer les expressions contenant les valeurs numériques indépendantes de l'inconnue de l'autre côté du signe d'égalité.
Après simplification des expressions se situant de part et d'autre du signe =, la résolution de l'équation peut être effectuée plus aisément qu'au départ.
Pour simplifier les expressions, il faut se baser sur les propriétés ci-dessus. Dans certains cas, d'autres propriétés algébriques doivent être appliquées.
On veut résoudre l'équation $6x-7=3x+5$
On utilise les propriétés précédentes pour isoler l'inconnue dans le membre de gauche de l'équation.
$6x-7-3x=3x+5-3x$
$3x-7=5$
$3x-7+7=5+7$
$3x=12$
${3x \over 3}={12 \over 3}$
$x=4$
La solution de l'équation $6x-7=3x+5$ est :
$S=\{4\}$
On peut vérifier que 4 est bien la solution de cette équation :
* Membre de gauche : $6x-7=6\times 4-7=24-7=17$
* Membre de droite : $3x+5=3\times 4+5=12+5=17$
L'égalité est vraie.
On veut résoudre l'équation $6x+5=(3-x)\times 4$
On utilise les propriétés précédentes pour isoler l'inconnue dans le membre de gauche de l'équation.
On développe et on réduit $(3-x)\times 4$ :
$(3-x)\times 4=3\times 4-x\times 4=12-4x$
L'équation devient : $6x+5=12-4x$
$6x+5+4x=12-4x+4x$
$10x+5=12$
$10x+5-5=12-5$
${10x \over 10}={7 \over 10}$
$x={7 \over 10}=0.7$
La solution de l'équation $6x+5=(3-x)\times 4$ est :
$S=\left\{{\frac {7}{10}}\right\}=\left\{0.7\right\}$
On peut vérifier que 0.7 est bien la solution de cette équation :
* Membre de gauche : $6x+5=6\times 0.7+5=4.2+5=9.2$
* Membre de droite : $(3-x)\times 4=(3-0.7)\times 4=2.3\times 4=9.2$
L'égalité est vraie.
Mais pourquoi résoudre des équations ? La raison principale a été donnée dans l'introduction de ce cours, mais nous allons voir que les équations sont très utiles pour modéliser et résoudre des problèmes concrets que l'on peut rencontrer dans la vie courante.
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