# Suites et séries de fonctions/Approximation de fonctions

Le résultat important de ce chapitre est le suivant :
Toute fonction continue sur un compact $[a,b]$ peut être approchée uniformément par des fonctions polynomiales.
La démonstration, longue, repose sur l’utilisation des polynômes de Bernstein.
Du point de vue de la topologie de l'espace fonctionnel ${\mathcal {C}}^{0}([a,b])$, ce théorème signifie que :
L'ensemble des fonctions polynomiales sur $[a,b]$ est dense dans ${\mathcal {C}}^{0}([a,b])$.

## Démonstration
### Polynômes de Bernstein

Pour $n\in \mathbb {N}$ et pour $k\in [0,n]$, le polynôme de Bernstein (n,k) est défini par :
$b_{n,k}(x)={\binom {n}{k}}x^{k}(1-x)^{n-k}$
Comme la formulation des polynômes de Bernstein nous y invite, on fera la démonstration sur [0,1]. Un simple changement de coordonnées peut ramener au cas général de l'intervalle [a, b].
Nous allons, avant de démontrer le théorème en lui-même, voir quelques propriétés utiles de ces polynômes :
Pour tous $x\in \mathbb {R} \ ,\ n\in \mathbb {N} \ ,\ k\in [0,n]$
* $\sum _{k=0}^{n}b_{n,k}(x)=1$
* $\forall p\in [0,n]\ \sum _{k=0}^{n}{\frac {k!}{(k-p)!}}b_{n,k}(x)={\frac {n!}{(n-p)!}}x^{p}$
* $\sum _{k=0}^{n}k^{2}b_{n,k}(x)=n(n-1)x^{2}+nx$
* $\sum _{k=0}^{n}(nx-k)^{2}b_{n,k}(x)=nx(1-x)$
* La première égalité est une simple application de la formule du binôme de Newton.
* Tout d’abord, il faut noter que :
       ${\frac {k!}{(k-p)!}}{\binom {n}{k}}={\frac {k!}{(k-p)!}}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}={\frac {n!(n-p)!}{(k-p)!(n-k)!(n-p)!}}={\frac {n!}{(n-p)!}}{\binom {n-p}{k-p}}$
    Ainsi, en prenant les coefficients binomiaux nuls si k-p<0 :
       $\sum _{k=0}^{n}{\frac {k!}{(k-p)!}}b_{n,k}(x)=\sum _{k=p}^{n}{\frac {n!}{(n-p)!}}{\binom {n-p}{k-p}}x^{k}(1-x)^{n-k}={\frac {n!}{(n-p)!}}\sum _{k=0}^{n-p}{\binom {n-p}{k}}x^{k+p}(1-x)^{n-k-p}={\frac {n!}{(n-p)!}}x^{p}$
    en appliquant la première égalité.
* En remarquant que :
       $k^{2}=k(k-1)+k={\frac {k!}{(k-2)!}}+{\frac {k!}{(k-1)!}}$
    il suffit alors d’utiliser la deuxième égalité deux fois :
paramètre titre${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}k^{2}b_{n,k}(x)&=\sum _{k=0}^{n}{\frac {k!}{(k-2)!}}b_{n,k}(x)+\sum _{k=0}^{n}{\frac {k!}{(k-1)!}}b_{n,k}(x)\\&=n(n-1)x^{2}+nx\end{aligned}}$
* Le calcul se fait par :
       ${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}(nx-k)^{2}b_{n,k}(x)&=n^{2}x^{2}\sum _{k=0}^{n}b_{n,k}(x)-2nx\sum _{k=0}^{n}kb_{n,k}(x)+\sum _{k=0}^{n}k^{2}b_{n,k}(x)\\&=n^{2}x^{2}\times 1-2nx\times nx+(n(n-1)x^{2}+nx)\\&=nx(1-x).\end{aligned}}$

### Démonstration

On pose, pour n entier et toute fonction f continue sur [0,1], la fonction polynomiale :
$B_{n}(f)(x)=\sum _{k=0}^{n}f\left({\frac {k}{n}}\right)b_{n,k}(x)$.
L'objectif est de montrer que la suite de fonctions polynomiales $(B_{n}(f))_{n\in \mathbb {N} }$ converge uniformément vers f sur [0,1].
Fixons $\varepsilon >0$ et $x\in [0,1]$.
On a : $\ f(x)-B_{n}(f)(x)=\sum _{k=0}^{n}\left[f(x)-f\left({\frac {k}{n}}\right)\right]b_{n,k}(x)$.
La fonction f étant continue sur [0, 1], elle y est uniformément continue : il existe donc $\delta >0$ tel que $|x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<{\frac {\varepsilon }{2}}$.
On sépare les indices en deux ensembles : on pose ${\mathcal {E}}_{1}=\lbrace k\in 0,\ldots ,n\mid \left|x-{\frac {k}{n}}\right|<\delta \rbrace$ et ${\mathcal {E}}_{2}=\lbrace 0,\ldots ,n\rbrace \setminus {\mathcal {E}}_{1}$.
Les deux ensembles sont disjoints, donc on a : $\sum _{k=0}^{n}\left[f(x)-f\left({\frac {k}{n}}\right)\right]b_{n,k}(x)=\sum _{k\in {\mathcal {E}}_{1}}\left[f(x)-f\left({\frac {k}{n}}\right)\right]b_{n,k}(x)+\sum _{k\in {\mathcal {E}}_{2}}\left[f(x)-f\left({\frac {k}{n}}\right)\right]b_{n,k}(x)$.
On peut déjà dire que $\left|\sum _{k\in {\mathcal {E}}_{1}}\left[f(x)-f\left({\frac {k}{n}}\right)\right]b_{n,k}(x)\right|<{\frac {\varepsilon }{2}}$ par l'inégalité triangulaire, puis en ramenant la somme sur l'intervalle entier.
Il s'agit maintenant de majorer la deuxième partie de la somme. Pour cela, on remarque que :
$\forall k\in {\mathcal {E}}_{1}\ b_{n,k}(x)={\frac {(nx-k)^{2}b_{n,k}(x)}{(nx-k)^{2}}}\leq {\frac {(nx-k)^{2}b_{n,k}(x)}{n^{2}\delta ^{2}}}$
Ainsi,
$\left|\sum _{k\in {\mathcal {E}}_{2}}\left[f(x)-f\left({\frac {k}{n}}\right)\right]b_{n,k}(x)\right|\leq \sum _{k\in {\mathcal {E}}_{2}}\left[\left|f(x)\right|+\left|f\left({\frac {k}{n}}\right)\right|\right]{\frac {(nx-k)^{2}b_{n,k}(x)}{n^{2}\delta ^{2}}}\leq {\frac {2\|f\|_{\infty }}{n^{2}\delta ^{2}}}nx(1-x)$
d'après la quatrième égalité calculée avant. La fonction$x\rightarrow x(1-x)$ est majorée par 1/4 sur [0,1], d'où :
$\left|\sum _{k\in {\mathcal {E}}_{2}}\left[f(x)-f\left({\frac {k}{n}}\right)\right]b_{n,k}(x)\right|\leq {\frac {\|f\|_{\infty }}{2n\delta ^{2}}}$
On a donc prouvé que :
$\left|f(x)-B_{n}(f)(x)\right|\leq {\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\|f\|_{\infty }}{2n\delta ^{2}}}$
Pour tout x dans [0,1], il existe donc un entier N tel que :
$n\geq N\Rightarrow \|f-B_{n}(f)\|_{\infty }\leq \varepsilon$
Remarquons que cette démonstration offre un intérêt supplémentaire, puisqu'elle fournit un exemple de suite de polynômes convergeant vers la fonction désirée.
| Séries de fonctions | Sommaire |