# Introduction à la mécanique des fluides/Annexe/Rappels de Mathématiques
## Chapitre 1er
### Définitions

* mécanique : science du mouvement et de l'équilibre
* mouvement : cinématique, qui cherche à déterminer la trajectoire.
Pour rappel, on a :
$M(t)={\vec {OM}}(t)$
${\vec {v}}(t)={d{\vec {OM}}(t) \over dt}$
${d{\vec {v}}(t) \over dt}=\Gamma (t)$
* science: étude de quelque chose, on remonte aux causes.
* causes: Forces , Newton: $\sum {\vec {F}}={d{\vec {p}} \over dt}$ et ${\vec {p}}=m{\vec {v}}$
Les changements qui arrivent dans le mouvement sont proportionnels à la force motrice et se font dans la ligne dans laquelle la force a été imprimée. La quantité de mouvement est le produit de la masse par la vitesse.
* Fluide: somme des gaz et des liquides. Le fluide est un corps qui ne peut pas conserver un effort de cisaillement pendant une durée quelconque.

### Équation de Navier-Stokes

$\rho [{\partial {\vec {v}} \over {\partial t}}+({\vec {\nabla }}\wedge {\vec {v}})+{1 \over 2}{\vec {\nabla }}v^{2}]=-\rho {\overrightarrow {\nabla \phi }}-{\vec {\nabla }}p+{\overrightarrow {\nabla {\tilde {\sigma }}}}'$
avec $\rho$ la masse volumique, $\phi$ l'energie potentielle par unité de masse, et ${\tilde {\sigma }}'$ le tenseur des contraintes visqueuses.

## Chapitre 2
### opérateur différentiels
#### Scalaire, vecteur et tenseur
##### Scalaire

Un scalaire est un nombre réel, une unité.
Un champ scalaire est un scalaire définit en chaque point d'un espace donné.

##### Vecteur

Un vecteur se définit par son intensité, son orientation. C'est aussi une unité.
Un champ vectoriel est un vecteur défini en chaque point d'un espace a deux dimensions donné.

##### Tenseur d'ordre 2

Un tenseur d'ordre 2 est un outil mathématique qui regroupe 9 nombres réels. C'est aussi l'unité supérieure au vecteur.
Un champ tensoriel définit les vecteurs pour chaque orientation vectorielle. Pour exemple, on peut s'intéresser au tenseur des déformations.

#### Opérateurs
##### Opérateur gradient

${\overrightarrow {grad}}f={\overrightarrow {\nabla f}}$
$={\partial f \over \partial x}{\vec {e}}_{x}+{\partial f \over \partial y}{\vec {e}}_{y}+{\partial f \over \partial z}{\vec {e}}_{z}$
$=\sum [i]{\partial f \over \partial x_{i}}{\vec {e}}_{i}=\sum [i]\partial f{\vec {e}}_{i}$
$=\partial f{\vec {e}}_{i}$
Convention d'Einstein:
Si un indice est répété 2 fois, on sous-entend qu’il faut faire la somme des 3 composantes de cet indice.
$({\tilde {\nabla }}{\vec {n}})_{ij}=\partial _{j}v_{i}$

##### Opérateur divergence

${\overrightarrow {div}}{\vec {v}}={\vec {\nabla }}{\vec {v}}$
$\partial _{i}v_{i}={\partial v_{x} \over \partial x}+{\partial v_{y} \over \partial y}+{\partial v_{z} \over \partial z}$
${\overrightarrow {div}}{\vec {v}}=O\rightarrow$ conservation de la masse.
${\vec {\nabla }}{\tilde {T}}=\partial _{j}T_{ij}{\vec {e}}_{i}$

##### Opérateur rotationel

${\overrightarrow {rot}}\wedge {\vec {v}}={\begin{vmatrix}{\vec {e}}_{x}&{\vec {e}}_{y}&{\vec {e}}_{z}\\\partial _{x}&\partial _{y}&\partial _{z}\\v_{x}&v_{y}&v_{z}\end{vmatrix}}$
${\begin{cases}\varepsilon _{xxx}=\varepsilon _{yyy}=\varepsilon _{zzz}=0\\\varepsilon _{xxy}=\varepsilon _{yxx}=\varepsilon _{xyx}=0\\\varepsilon _{xyz}=\varepsilon _{yxz}=\varepsilon _{zxy}=1\\\varepsilon _{xzy}=...=1\end{cases}}$

##### Opérateur Laplacien

Laplace est le Newton français : il a rendu toutes les théories newtoniennes géométriques en algébrique. Pour satisfaire le besoin de passer de la force gravitationelle au potentiel gravitationel, on utilise le Laplacien.
$\Delta f\cong {\vec {\nabla }}{\vec {\nabla f}}=\sum [i]\partial _{i}\partial _{i}f{\vec {e}}_{i}{\vec {e}}_{i}={\partial ^{2}f \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}$
$=\partial _{ii}f$
$=\Delta {\vec {v}}=\partial _{i}\partial _{i}{\vec {v}}$
$({\tilde {\Delta {\vec {v}}}})_{ij)={\partial ^{2}v_{i} \over \partial x_{j}}$

### Relations entre opérateurs et relations intégrodifférentielles
#### Relations entre opérateurs

$\Delta f={\vec {\nabla }}{\vec {\nabla f}}$
${\vec {\nabla }}\wedge {\vec {\nabla f}}={\vec {0}}$
${\vec {\nabla }}.{\vec {\nabla }}\wedge {\vec {v}}={\vec {0}}$
${\overrightarrow {\nabla ({\vec {\nabla }}.{\vec {v}}}})={\vec {\nabla }}\wedge ({\vec {\nabla }}\wedge {\vec {v}})-\Delta {\vec {v}}$
Avec $\delta \,$ le symbole de Kronecker, on a donc:
$\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ilm}=\delta _{jl}\delta _{km}-\delta _{jm}\delta _{lk}$
$\delta _{xx}=\delta _{yy}=\delta _{zz}=1,\delta _{xy}=...=0$
${\overrightarrow {\nabla ({\vec {A}}{\vec {B}})}}={\vec {A}}\wedge ({\vec {\nabla }}\wedge {\vec {B}})+{\vec {B}}\wedge ({\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}})+({\vec {B}}{\vec {\nabla }}){\vec {A}}+({\vec {A}}{\vec {\nabla }}){\vec {B}}$
$\rightarrow {1 \over 2}{\vec {\nabla }}{\vec {v}}^{2}={\vec {v}}\wedge ({\vec {\nabla }}\wedge {\vec {v}})+({\vec {v}}{\vec {\nabla }}){\vec {v}}$
* Sommaire