# Interférence/Généralités
## Qu'est-ce que le phénomène d'interférence ?

Le phénomène d'interférence est une manifestation intéressante et utile de la physique des ondes. Il se produit lorsque deux ondes se rencontrent au cours de leur propagation : la combinaison des effets des ondes provoque des résultats inattendus.
Prenons pour exemple deux ondes planes se propageant dans des directions différentes. On représente l'amplitude des vibrations en niveau de gris : plus l'amplitude est forte, plus le gris est foncé.
On observe que, dans la zone de l'espace où les ondes se superposent, l'amplitude résultante n’est pas simplement la superposition des amplitudes des ondes qui contribuent au motif.
Tous les types d'ondes sont sujets aux interférences : ondes électromagnétiques, mécaniques, lumineuses… Cependant, les interférences ne se manifestent pas n’importe quand avec n’importe quelles ondes.
Les interférences au sens propre du terme se produisent pour des ondes de même fréquence. Les motifs d'interférence proviennent alors du déphasage des ondes.
En effet, suivant la configuration, les contributions des ondes peuvent :
* s'ajouter ; on parle alors d'interférence constructive
* s'annuler ; on parle alors d'interférence destructive
Les deux cas extrêmes sont :
* le cas où les ondes sont en phase. L'amplitude résultante est le double de l'amplitude de départ (à gauche sur la figure ci-dessous).
* le cas où les ondes sont en opposition de phase. L'amplitude résultante est nulle (à droite sur la figure).

## Principe des dispositifs interférentiels

Les conditions sur les ondes pour obtenir des interférences étant difficiles à obtenir dans la réalité avec deux sources différentes, on utilise en pratique une seule « source principale » à partir de laquelle on va créer les « sources secondaires » qui vont produire les ondes qui vont entrer en interférence.
Cette idée a donné naissance à deux grands principes pour la création d'interférences :
* Interférences par division du front d'onde
* Interférences par division d'amplitude

### Formalisme

* L'amplitude d'une onde au point M et à l'instant t est notée ${\mathcal {A}}(M,t)$
* L'intensité d'une onde est liée à sa valeur moyenne quadratique dans le temps
    $I(M)=\langle {\mathcal {A}}(M,t)\cdot {\mathcal {A}}(M,t)^{*}\rangle$
L'amplitude, grâce à son terme de phase, est la cause des interférences, tandis que l'utilisateur est sensible à l'intensité de l'onde.

### Interférences par division du front d'onde

La « source principale » S émet une onde d'amplitude ${\mathcal {A}}={\mathcal {A}}_{0}e^{j\omega t}$.
Par un dispositif approprié, on récupère à partir du front d'onde initial deux ondes ${\mathcal {A}}_{1}(S_{1})={\mathcal {A}}_{0}e^{j\omega t}$ et ${\mathcal {A}}_{2}(S_{2})={\mathcal {A}}_{0}e^{j\omega t}$ en deux « sources secondaires » S$_1$ et S$_2$.
Les deux ondes sont ensuite recombinées pour générer des interférences.
L'exemple peut-être le plus célèbre est l'expérience des fentes d'Young. On vient « arroser » deux fentes avec une onde monochromatique. Par diffraction, chaque fente se comporte comme une source qui émet dans toutes les directions.
Les ondes émanant de chaque source vont alors interférer.

### Interférences par division d'amplitude

La « source principale » S émet une onde d'amplitude ${\mathcal {A}}={\mathcal {A}}_{0}e^{j\omega t}$.
Cette onde se retrouve alors « coupée en deux » par un dispositif adéquat.
Par exemple, en optique, lorsqu'on envoie de la lumière sur une surface séparant deux milieux d'indices optiques différents, une partie de la lumière est réfléchie et une autre partie est transmise. On peut également utiliser une lame semi-transparente : tout photon incident a une chance sur deux d’être émis et une chance sur deux d’être réfléchi. Les deux faisceaux sont par la suite combinés pour produire les interférences.
Un exemple de dispositif à division d'amplitude est la lame à faces parallèles. Prenons l'exemple d'une lame de verre dans l'air.
Lorsqu'on envoie un faisceau lumineux sur cette lame de verre, une partie de la lumière est réfléchie directement. Une autre partie, au contraire, va pénétrer dans la lame de verre et se réfléchir sur la deuxième interface avant de repartir. Le trajet effectué par la deuxième onde est plus long que celui effectué par la première. De ce fait, un opérateur observant ces deux ondes en sortie du dispositif verra un déphasage entre ces ondes, et pourra donc les combiner pour générer des interférences.

## Différence de marche

La source envoie une onde d'amplitude ${\mathcal {A}}={\mathcal {A}}_{0}e^{j\omega t}$ et de célérité c. Cette source a donné naissance à deux ondes d'amplitudes respectives ${\mathcal {A}}_{1}$ et ${\mathcal {A}}_{2}$. L'onde 1 a parcouru le chemin (SM)$_1$ et l'onde 2 a parcouru le chemin (SM)$_2$ depuis la source S jusqu'au point M d'observation.
* ${\mathcal {A}}_{1}(M,t)={\mathcal {A}}_{0}(S,t-\tau _{1})={\mathcal {A}}_{0}e^{j\omega (t-\tau _{1})}$
* ${\mathcal {A}}_{2}(M,t)={\mathcal {A}}_{0}(S,t-\tau _{2})={\mathcal {A}}_{0}e^{j\omega (t-\tau _{2})}$
    avec $\tau _{1}={\frac {({\rm {SM}})_{1}}{c}}$ et $\tau _{2}={\frac {({\rm {SM}})_{2}}{c}}$ les retards respectifs avec lesquels les ondes 1 et 2 arrivent en M.
On veut déterminer l'amplitude résultante ${\mathcal {A}}(M,t)$ au point M à l'instant t.
On appelle différence de marche et on note δ le déphasage entre les deux ondes.
    $\delta =({\rm {SM}})_{2}-({\rm {SM}})_{1}$
Ce déphasage est dû à la différence de temps que mettent les deux ondes à faire leurs trajets respectifs.
Calculons l'intensité résultante :
    ${\begin{aligned}I(M)&=\langle {\mathcal {A}}(M,t)\cdot {\mathcal {A}}(M,t)^{*}\rangle \\&={\mathcal {A}}_{0}^{2}\left\langle \left(e^{-j\omega {\frac {({\rm {SM}})_{1}}{c}}}+e^{-j\omega {\frac {({\rm {SM}})_{2}}{c}}}\right)\left(e^{-j\omega {\frac {({\rm {SM}})_{1}}{c}}}+e^{-j\omega {\frac {({\rm {SM}})_{2}}{c}}}\right)^{*}\right\rangle \\&={\mathcal {A}}_{0}^{2}\left\langle \left(e^{-j\omega {\frac {({\rm {SM}})_{1}}{c}}}+e^{-j\omega {\frac {({\rm {SM}})_{2}}{c}}}\right)\left(e^{j\omega {\frac {({\rm {SM}})_{1}}{c}}}+e^{j\omega {\frac {({\rm {SM}})_{2}}{c}}}\right)\right\rangle \\&={\mathcal {A}}_{0}^{2}\left\langle 2+2\cos \left({\frac {\omega }{c}}\left(({\rm {SM}})_{2}-({\rm {SM}})_{1}\right)\right)\right\rangle \\&=2{\mathcal {A}}_{0}^{2}\left\langle 1+\cos \left({\frac {\omega \delta }{c}}\right)\right\rangle \\&=2{\mathcal {A}}_{0}^{2}\left\langle 1+\cos \left(2\pi \delta {\frac {\nu }{c}}\right)\right\rangle \\&=2{\mathcal {A}}_{0}^{2}\left\langle 1+\cos \left(2\pi \delta {\frac {1}{\lambda _{0}}}\right)\right\rangle \\&=4{\mathcal {A}}_{0}^{2}\cos \left({\frac {\pi \delta }{\lambda _{0}}}\right)^{2}\\\end{aligned}}$
En posant $I_{0}={\mathcal {A}}_{0}^{2}$ et le nombre d'onde $\sigma _{0}={\frac {1}{\lambda _{0}}}$ :
Sans interférences, on aurait simplement $I(M)=2I_{0}$. Avec interférences, on obtient un terme modulant, la modulation dépendant de la différence de marche δ.
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