# Espaces de Banach/Exercices/Applications linéaires continues
## Exercice 3-1

Soient $E$ et $F$ deux espaces de Banach et $T,I\in {\mathcal {L}}(E,F)$. On suppose que $T$ est un isomorphisme et $I\neq 0$. Montrer qu'il existe $\varepsilon >0$ tel que pour tout scalaire $\lambda$ de module $<\varepsilon$, $T+\lambda I$ soit un isomorphisme. (Utiliser le début de Calcul différentiel/Exercices/Différentiabilité#Exercice 2.)
$T+\lambda I:E\to F$ est un isomorphisme si et seulement si son composé par $T^{-1}$, à gauche par exemple, en est un. Pour que $\mathrm {id} _{E}+\lambda T^{-1}\circ I:E\to E$ soit un isomorphisme, il suffit que $|\!|\!|\lambda T^{-1}\circ I|\!|\!|<1$, c'est-à-dire que $|\lambda |<1/|\!|\!|T^{-1}\circ I|\!|\!|$.

## Exercice 3-2

Soient $E$ et $F$ deux espaces de Banach. On dit qu'un opérateur linéaire $T\in {\mathcal {L}}(E,F)$ est compact si $T\left(B_{E}(0,1)\right)$ est relativement compact dans $F$ (c'est-à-dire d'adhérence compacte). On désigne par ${\mathcal {K}}(E,F)\subset {\mathcal {L}}(E,F)$ le sous-espace vectoriel des opérateurs compacts de $E$ dans $F$.
* Soit $(T_{n})$ une suite d'éléments de ${\mathcal {K}}(E,F)$, convergeant vers $T\in {\mathcal {L}}(E,F)$. Montrer que $T\left(B_{E}(0,1)\right)$ est précompact. (On en déduit qu'il est relativement compact — puisque $F$ est complet — et par conséquent ${\mathcal {K}}(E,F)$ est fermé dans ${\mathcal {L}}(E,F)$.)
* Soit $G$ un espace de Banach. Si $T\in {\mathcal {L}}(E,F)$ et $S\in {\mathcal {K}}(F,G)$, montrer que $S\circ T\in {\mathcal {K}}(E,G)$.
* Soit $T\in {\mathcal {K}}(E,E)$. Montrer que le sous-espace $\ker(\mathrm {id} _{E}-T)$ est de dimension finie (montrer que la boule unité fermée de ce sous-espace est compacte).
* Soit $\varepsilon >0$. Il existe $n\in \mathbb {N}$ tel que $|\!|\!|T-T_{n}|\!|\!|<\varepsilon$. Comme $T\left(B_{E}(0,1)\right)$ est relativement compact, il est recouvert par une famille finie de boules de rayon $\varepsilon$. L'ensemble $T\left(B_{E}(0,1)\right)$ est alors recouvert par la famille des boules de mêmes centres et de rayon $2\varepsilon$.
* $S\circ T\left(B_{E}(0,1)\right)\subset |\!|\!|T|\!|\!|S(B_{F}(0,1))$.
* $\ker(\mathrm {id} _{E}-T)$ est un fermé de $E$ donc sa boule unité fermée aussi. Or cette boule est incluse dans $T\left(B_{E}(0,1)\right)$. Elle est donc compacte, et l'on conclut par le théorème de Riesz.

## Exercice 3-3

On considère l'espace de Banach $E=C([0,1])$ muni de la norme $\|\cdot \|_{\infty }$.
Soit $k$ une fonction continue sur $[0,1]\times [0,1]$, bornée par $M>0$.
On définit une application linéaire$K:E\to E$ par $Kf(x)=\int _{0}^{x}k(x,y)f(y)\,\mathrm {d} y$.
Pour tout $n\in \mathbb {N}$, on note $K^{n}$ l'application itérée $n$ fois de $K$, c'est-à-dire $K^{n}f=K(K^{n-1}f)$.
* Montrer que pour tout $n\in \mathbb {N}$, $|K^{n}f(x)|\leq {\frac {(Mx)^{n}\|f\|_{\infty }}{n!}}$, pour tout $x\in [0,1]$.
* Soient $\lambda \in \mathbb {C} ^{*}$ et $f\in E$. Montrer que la série $\sum \lambda ^{-(n+1)}K^{n}f$ est convergente dans $E$.
* En déduire que l'équation de Volterra, $(\lambda I-K)g=f$, possède une unique solution $g$ dans $E$.
* Récurrence. $|K^{n+1}f(x)|\leq M\int _{0}^{x}{\frac {(My)^{n}\|f\|_{\infty }}{n!}}\,\mathrm {d} y\leq M\int _{0}^{x}|K^{n}f(y)|\,\mathrm {d} y\leq {\frac {(Mx)^{n+1}\|f\|_{\infty }}{(n+1)!}}$.
* $\sum \left|\lambda ^{-(n+1)}\right|\|K^{n}f\|_{\infty }\leq |\lambda |\sum {\frac {|M/\lambda |^{n}}{n!}}\|f\|_{\infty }\leq |\lambda |\|f\|_{\infty }\operatorname {e} ^{M/|\lambda |}<\infty$.
* $\lambda I-K$ est inversible.

## Exercice 3-4

Soit $(\lambda _{n})_{n}$ une suite de nombres complexes et soit $T$ l'application linéaire de $\ell ^{p}$ dans lui-même ($p\in [1,+\infty [$) définie par
    $\forall f=(f(n))_{n}\in \ell ^{p}\quad Tf(n)=\lambda _{n}f(n)$.
* Montrer que $T$ est continue si et seulement si $(\lambda _{n})_{n}$ est bornée.
* On suppose que $(\lambda _{n})_{n}$ tend vers 0. Montrer que $T$ est un opérateur compact (voir supra). Indication : on pourra introduire la suite des opérateurs $T_{k}$ définis par $T_{k}f(n)=\lambda _{n}f(n)$ si $n\leq k$ et $0$ sinon.
* Réciproquement, on suppose que $(\lambda _{n})_{n}$ ne tend pas vers 0. En raisonnant par l'absurde, montrer que $T$ n'est pas compact.
* On a évidemment $|\!|\!|T|\!|\!|\leq \|\lambda \|_{\infty }$. Réciproquement, $\forall n\in \mathbb {N} \quad \|T\delta _{n}\|_{p}=\|\lambda _{n}\delta _{n}\|_{p}=|\lambda _{n}|\|\delta _{n}\|_{p}$ donc $\|\lambda \|_{\infty }\leq |\!|\!|T|\!|\!|$.
* Les $T_{k}$ sont de rang fini donc compacts, et $|\!|\!|T-T_{k}|\!|\!|=\sup _{n\geq k}|\lambda _{n}\|\to 0$. On en déduit que $T$ est compact (voir supra).
* Puisque $(\lambda _{n})_{n}$ ne tend pas vers 0, il existe $\varepsilon >0$ et une sous-suite $\lambda _{n_{k}}\geq \varepsilon$. Soit $F$ le sous-espace des $f\in \ell ^{p}$ telles que $f_{n}=0$ pour tout $n\notin \{n_{k}\mid k\in \mathbb {N} \}$. On a $\forall f\in F\quad \|Tf\|_{p}\geq \varepsilon \|f\|_{p}$ donc la restriction de $T$ à ce sous-espace (fermé et de dimension infinie) est bicontinue. Si $T$ était compact, $T\left(B(0,1)\right)$ serait relativement compact donc $T\left(B(0,1)\cap F\right)=T\left(B(0,1)\right)\cap F$ aussi donc (par bicontinuité de la restriction de $T$ à $F$) $B(0,1)\cap F$ aussi, ce qui contredirait le théorème de Riesz.
Remarques
* Si $(\lambda _{n})_{n}$ n'est pas bornée, non seulement $T$ n'est pas continue de $\ell ^{p}$ dans lui-même, mais $T$ n'envoie même pas $\ell ^{p}$ dans $\ell ^{p}$. En effet, $(\lambda _{n}^{p})_{n}$ n'est pas bornée donc $\exists g\in \ell ^{1}\quad (\lambda _{n}^{p}g_{n})_{n\in \mathbb {N} }\notin \ell ^{1}$ donc (en posant $f_{n}=|g_{n}|^{1/p}$) $\exists f\in \ell ^{p}~T(f)\notin \ell ^{p}$.
* On a utilisé le fait que si $F$ est complet alors toute limite, dans ${\mathcal {L}}(E,F)$, d'une suite d'opérateurs de rang fini, est un opérateur compact La réciproque est fausse en général (même avec $F$ Banach séparable), mais vraie si $F$ est un Hilbert (non nécessairement séparable) (en utilisant la précompacité et des projections orthogonales).

## Exercice 3-5

Soit $E=C^{0}([0,1],\mathbb {R} )$ muni de la norme uniforme, et $k:[0,1]\times [0,1]\to \mathbb {R}$ une application continue. Soit $K:E\to E$ l'application linéaire qui à $f\in E$ associe $Kf$ définie par
    $Kf(x)=\int _{0}^{1}k(x,y)f(y)\,\mathrm {d} y$.
* Montrer que $K$ est continue.
* Montrer que $k$ peut être approximée uniformément par une suite de polynômes à deux variables, que l'on notera $(p_{n})_{n}$.
* On définit $K_{n}:E\to E$ l'application qui à $f\in E$ associe $K_{n}f$ définie par $K_{n}f(x)=\int _{0}^{1}p_{n}(x,y)f(y)\,\mathrm {d} y$. Montrer que $K_{n}$ est un opérateur de rang fini pour tout $n$.
* Montrer que $K_{n}\to K$, ce qui prouve que $K$ est un opérateur compact (voir supra).
* $|\!|\!|K|\!|\!|\leq \|k\|_{2}$.
* C'est la version à deux variables du théorème d'approximation de Weierstrass.
* Si $p_{n}(x,y)$ est de degré $m$ en $x$, $K_{n}$ est à valeurs dans $\mathbb {R} _{m}[X]$.
* $|\!|\!|K-K_{n}|\!|\!|\leq \|k-p_{n}\|_{2}\leq \|k-p_{n}\|_{\infty }$.
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