# Colorimétrie/CIE XYZ 1931

Le système colorimétrique CIE XYZ 1931 est un des systèmes qui fait office de référence encore à l’heure actuelle. Il a constitué un des premiers pas de la Commission internationale de l'éclairage (CIE) vers une description quantitative des couleurs conforme à la vision humaine.
Historiquement, il a été obtenu à partir de la définition du système CIE RGB 1931, elle-même établie grâce aux travaux de John Guild et de William David Wright effectués sous un angle de 2°. Il présente de nombreux avantages :
* des composantes trichromatiques toujours positives qui simplifient les calculs manuels de l'époque ;
* une composante qui porte seule l'information de la luminance suite à une proposition de Deane Brewster Judd (1900–1972) ;
* une meilleure répartition spatiale de l’ensemble des couleurs dans l'espace colorimétrique ; ce dernier point reste son principal défaut et sera encore amélioré avec les systèmes CIE UVW (1960), puis CIE U'V'W' (1976) et surtout les systèmes chromatiques uniformes non-linéaires CIE LAB (1976) et CIE LUV (1976) ;
* de conserver des composantes égales pour le blanc d'égale énergie $\{E\}$ comme dans le système CIE RGB : X = Y = Z = 5,6508 si R = G = B = 1
* de conserver les outils de calcul vectoriel (additivité, continuité) et l’utilisation des lois de Grassmann grâce au caractère linéaire de la transformation.
Aujourd'hui, ce sont les valeurs tabulées des fonctions colorimétriques ${\overline {x}}(\lambda )$, ${\overline {y}}(\lambda )$ et ${\overline {z}}(\lambda )$ qui sont normalisées et à partir desquelles on retrouve les fonctions colorimétriques ${\overline {r}}(\lambda )$, ${\overline {g}}(\lambda )$ et ${\overline {b}}(\lambda )$ du système CIE RGB 1931. Ces valeurs sont présentées en annexe n°2.

## Description du système CIE XYZ 1931
### Couleurs primaires et blanc de référence

Les trois primaires choisies $\{X\}$, $\{Y\}$ et $\{Z\}$ sont trois couleurs virtuelles (elles ne correspondent à aucune couleur réelle) qui forment un gamut dans lequel s'insèrent toutes les couleurs réelles. Elles sont liées aux primaires monochromatiques rouge $\{R\}$, verte $\{G\}$ et bleue $\{B\}$ du système CIE RGB de la façon suivante à un facteur près :
    $\{R\}=k_{R}\cdot \left(0,73467\cdot \{X\}+0,26533\cdot \{Y\}+0,00000\cdot \{Z\}\right)$,
    $\{G\}=k_{G}\cdot \left(0,27376\cdot \{X\}+0,71741\cdot \{Y\}+0,00883\cdot \{Z\}\right)$,
    $\{B\}=k_{B}\cdot \left(0,16658\cdot \{X\}+0,00886\cdot \{Y\}+0,82456\cdot \{Z\}\right)$.
Le blanc de référence choisi est le blanc d'égale énergie $\{E\}$.
    Couleur Rouge $\{X\}$ Vert $\{Y\}$ Bleu $\{Z\}$ Blanc $\{E\}$ Coefficient de luminance $L_{\{R\}}=0$ $L_{\{G\}}=1$ $L_{\{B\}}=0$ $L_{\{E\}}=1$
Cas n°1
Dans la définition rigoureuse des systèmes CIE 1931, on souhaite avoir X = Y = Z = 5,6505 si R = G = B = 1. Les couleurs $\{X\}$, $\{Y\}$ et $\{Z\}$ peuvent alors s'exprimer :
    ${\begin{pmatrix}\{X\}\\\{Y\}\\\{Z\}\end{pmatrix}}\equiv {\begin{pmatrix}0,41847&-0,09117&0,00092\\-0,15866&0,25243&-0,00255\\-0,08283&0,01570&0,17859\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}\{R\}\\\{G\}\\\{B\}\end{pmatrix}}$
Connaissant les coefficients de luminances des primaires $\{R\}$, $\{G\}$ et $\{B\}$ :
    $L_{\{R\}}=1,0000\,;\,L_{\{G\}}=4,5907\,;\,L_{\{B\}}=0,0601\,;$
on peut observer que
* les coefficients de luminance des primaires $\{X\}$ et $\{Z\}$ sont nulles :
       $L_{\{X\}}=1,0000\cdot 0,41847+4,5907\cdot (-0,09117)+0,0601\cdot 0,00092=0$.
       $L_{\{Z\}}=1,0000\cdot (-0,0828)+4,5907\cdot 0,01570+0,0601\cdot 0,17859=0$ ;
    on dit que ces deux primaires sont alychnes, qu’elles sont dans le plan alychne ;
* la luminance de $\{Y\}$ vaut :
       $L_{\{Y\}}=1,0000\cdot (-0,15866)+4,5907\cdot 0,25243+0,0601\cdot (-0,00255)=1$.
Cas n°2
Cependant, on peut parfois préférer avoir X = Y = Z = 1 si R = G = B = 1 alors :
    ${\begin{pmatrix}\{X\}\\\{Y\}\\\{Z\}\end{pmatrix}}\equiv {\begin{pmatrix}2,3647&-0,5152&0,0052\\-08966&1.4264&-0,0144\\-0,4681&0,0887&1,0092\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}\{R\}\\\{G\}\\\{B\}\end{pmatrix}}$
et dans ce cas, les coefficients de luminance sont :
    $L_{\{X\}}=0,0000\,;\,L_{\{Y\}}=5,6508\,;\,L_{\{Z\}}=0,0000.$
Cas n°2
Dans le deuxième cas on se retrouve face à un changement de primaire comme expliqué dans l’annexe n°3 avec les primaires suivantes.
    Système de primaires expérimentales Couleurs 3 $\{R\}$ 700,0 nm $\{G\}$ 546,1 nm $\{B\}$ 435,8 nm Blanc $\{E\}$ Composantes pour égaliser le blanc 1 1 1 1 Système de primaires CIE RGB Couleurs 4 $\{X\}$ $\{Y\}$ $\{Z\}$ Blanc $\{E\}$ Composantes pour égaliser le blanc 1 1 1 1
Et d’après la décision 5 de la CIE :
    $\mathbf {N} ={\begin{pmatrix}0,73467&0,26533&0,00000\\0,27376&0,71741&0,00883\\0,16658&0,00886&0,82456\end{pmatrix}}$
En appliquant les relations démontrées dans l'annexe n°3 :
    ${\begin{pmatrix}k_{R}\\k_{G}\\k_{B}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0,6667\\1,1324\\1,2006\end{pmatrix}}.$
On obtient la relation entre les primaires
    ${\begin{pmatrix}\{X\}\\\{Y\}\\\{Z\}\end{pmatrix}}\equiv {\begin{pmatrix}2,3647&-0,5152&0,0052\\-08966&1.4264&-0,0144\\-0,4681&0,0887&1,0092\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}\{R\}\\\{G\}\\\{B\}\end{pmatrix}}$
On retrouve également la relation entre les composantes :
    ${\begin{pmatrix}X\\Y\\Z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0,49000&0,31000&0,20000\\0,17697&0,81240&0,01063\\0,00000&0,01000&0,99000\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}R\\G\\B\end{pmatrix}}.$
Cas n°1
Dans le premier cas et dans la définion du système CIE XYZ, la méthode est la même, il n'y a qu’à les trois composantes X, Y et Z par 5,6508 pour obtenir les relations.
    Système de primaires expérimentales Couleurs 3 $\{R\}$ 700,0 nm $\{G\}$ 546,1 nm $\{B\}$ 435,8 nm Blanc $\{E\}$ Composantes pour égaliser le blanc 1 1 1 1 Système de primaires CIE RGB Couleurs 4 $\{X\}$ $\{Y\}$ $\{Z\}$ Blanc $\{E\}$ Composantes pour égaliser le blanc 5,6508 5,6508 5,6508 1
    ${\begin{pmatrix}X\\Y\\Z\end{pmatrix}}=5,6508\cdot {\begin{pmatrix}0,49000&0,31000&0,20000\\0,17697&0,81240&0,01063\\0,00000&0,01000&0,99000\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}R\\G\\B\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2,7689&1,7517&1,1302\\1,0000&4,5907&0,0601\\0,0000&0,0565&5,5943\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}R\\G\\B\end{pmatrix}}.$
    ${\begin{pmatrix}\{X\}\\\{Y\}\\\{Z\}\end{pmatrix}}\equiv {\frac {1}{5,6508}}\cdot {\begin{pmatrix}2,3647&-0,5152&0,0052\\-08966&1.4264&-0,0144\\-0,4681&0,0887&1,0092\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}\{R\}\\\{G\}\\\{B\}\end{pmatrix}}\equiv {\begin{pmatrix}0,41847&-0,09117&0,00092\\-0,15866&0,25243&-0,00255\\-0,08283&0,01570&0,17859\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}\{R\}\\\{G\}\\\{B\}\end{pmatrix}}$

### Fonctions colorimétriques

Les fonctions colorimétriques ${\overline {x}}(\lambda )$, ${\overline {y}}(\lambda )$ et ${\overline {z}}(\lambda )$ doivent permettre de retrouver les composantes de n’importe quelle couleur connaissant la répartition de sa densité spectrale d'énergie $S(\lambda )$. Les valeurs normalisées sont tabulées par pas de 5 nm entre 380 et 780 nm$^,$$^,$$^,$ pour la plupart des applications. Si la précision n’est pas suffisante, il est recommandé d’utiliser les valeurs tabulées par pas de 1 nm entre 360 et 830 nm$^,$$^,$.
Le système a été défini de façon à ce que notamment :
* ${\overline {x}}(\lambda )$, ${\overline {y}}(\lambda )$ et ${\overline {z}}(\lambda )$ soient partout supérieures ou égales à zéro, pour obtenir des composantes positives ;
* ${\overline {y}}(\lambda )=V(\lambda )$,
    ${\overline {y}}(\lambda )$ soit égale à la fonction d'efficacité lumineuse relative spectrale photopique $V(\lambda )$, définie en 1924, pour l'observateur de référence de la CIE ;
* $\int \limits _{380~nm}^{780~nm}{\overline {x}}(\lambda )\cdot \mathrm {d} \lambda =\int \limits _{380~nm}^{780~nm}{\overline {y}}(\lambda )\cdot \mathrm {d} \lambda =\int \limits _{380~nm}^{780~nm}{\overline {z}}(\lambda )\cdot \mathrm {d} \lambda$,
    pour assurer des composantes égales pour le blanc de référence $\{E\}$ choisi.

### Caractéristiques d'une couleur $\{C\}$
#### Composantes X Y Z

Une couleur est caractérisée par ses trois composantes $X$, $Y$ et $Z$ :
    $\{C\}\equiv X.\{X\}+Y.\{Y\}+Z.\{Z\}$.
Elles sont positives pour toutes les couleurs réelles et les lois de Grassmann peuvent s'appliquer.
Pour une couleur possédant une densité spectrale d'énergie $S(\lambda )$ connue, et pour l'observateur de référence, les composantes se calculent à partir des fonctions colorimétriques :
    ${\begin{cases}X=K.\int \limits _{380~nm}^{780~nm}{\overline {x}}(\lambda )\cdot S(\lambda )\cdot \mathrm {d} \lambda \\Y=K.\int \limits _{380~nm}^{780~nm}{\overline {y}}(\lambda )\cdot S(\lambda )\cdot \mathrm {d} \lambda \\Z=K.\int \limits _{380~nm}^{780~nm}{\overline {z}}(\lambda )\cdot S(\lambda )\cdot \mathrm {d} \lambda \end{cases}}.$
Le fait d’avoir imposé ${\overline {y}}(\lambda )=V(\lambda )$ entraîne que Y porte seule l'information de la luminance de la couleur $\{C\}$.
    $L_{\{C\}}=K.\int \limits _{380~nm}^{780~nm}S(\lambda )\cdot V(\lambda )\cdot \mathrm {d} \lambda =Y$
Ici encore on peut étudier n’importe quelle grandeur photométrique, et son équivalent radiométrique (énergétique), caractéristique de la surface colorée puisqu'elles sont toutes proportionnelles.
Dans le cas particulier où $S(\lambda )$ est la luminance énergétique spectrale (en W⋅sr$^{-1}$⋅m$^{-2}$⋅m$^{-1}$), l'étude faite entre 380 et 780 nm, et K = K$_m$ = 683 lm⋅W$^{-1}$, alors Y = L est exactement la luminance photométrique (en cd.m$^{-2}$) de la lumière monochromatique étudiée. Ceci permettrait d'obtenir les coordonnées X = Y = Z = 1 pour un blanc d'égale énergie $\{E\}$ de luminance L = 1 cd⋅m$^{-2}$.
Cependant, dans la plupart des cas, il est plus judicieux de choisir Y = 100 pour le blanc de référence et d'obtenir une échelle de 0 à à 100. Par exemple, dans le cas l'étude d'une source secondaire (surface éclairée par une source primaire), on applique souvent un coefficient K permettant d'obtenir Y = 100 pour le diffuseur parfait (qui renvoie 100% de la lumière et qui est orthotrope). Y peut alors être nommé facteur de luminance (permettant directement de calculer la clarté).
En pratique, on ne connait aucune des fonctions de λ de façon analytique (pour toute valeur de λ), mais seulement sur des intervalles de largeur Δλ centrés sur une longueur d'onde λ. L'opération qui est effectuée est donc une somme et non une intégrale à proprement parler.
    ${\begin{cases}X=K.\sum {\overline {x}}(\lambda )\cdot S(\lambda )\cdot \Delta \lambda \\Y=K.\sum {\overline {y}}(\lambda )\cdot S(\lambda )\cdot \Delta \lambda \\Z=K.\sum {\overline {z}}(\lambda )\cdot S(\lambda )\cdot \Delta \lambda \end{cases}}.$

#### Coordonnées x y z

Les coordonnées trichromatiques x, y, z, sont obtenues à partir des composantes et indiquent les proportions de chacune des primaires.
    $x={\frac {X}{X+Y+Z}}$ $y={\frac {Y}{X+Y+Z}}$ $z={\frac {Z}{X+Y+Z}}$
Dans le système CIE Yxy, ce sont les coordonnées x et y qui sont utilisées pour repérer le point représentatif de la couleur sur le diagramme de chromaticité. La grandeur Y est utilisée pour conserver l'information de la luminance.