# Statique des fluides (PCSI)/Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen : Résultante des forces de pression

$\;{\big$
${\big )}\;$

## Rappel de notion de vecteur surface élémentaire dans les différents systèmes de coordonnées

$17$

### Notion de vecteur surface élémentaire en un point générique (régulier) d'une surface

Le « vecteur surface élémentaire en un point régulier $\;M\;$ de la surface $\;\left(S\right)\;$» est le « vecteur $\;{\overrightarrow {dS}}_{M}\;$ normal à $\;\left(S\right)\;$ en $\;M\;$», colinéaire au « vecteur unitaire $\;{\vec {n}}_{M}\;$ normal à $\;\left(S\right)\;$ en $\;M\;$» $\;{\big$de sens a priori arbitraire${\big )}\;$ tel que
$\;{\overrightarrow {dS}}_{M}=dS_{M}\;{\vec {n}}_{M}\;$
$\;dS_{M}\;$
$\;M\;$
$\;{\big$
$17$
${\big ]}$

### Expression en paramétrage cartésien

Si la surface $\;\left(S\right)\;$ est « plane $\;\parallel \;$ à $\;xOy$, orientée par $\;{\vec {u}}_{z}\;$ le 3ème vecteur de la base cartésienne orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ directe dans l'espace physique orienté à droite », le vecteur élément de surface de la surface $\;\left(S\right)\;$ en $\;M\;$ s'écrit
$\;{\overrightarrow {dS}}_{M}=dS_{M}\;{\vec {u}}_{z}\;$
$\;dS_{M}=dx\;dy\;$
$\;dM_{x}=dx\;$
$\;dM_{y}=dy\;$

### Expression en paramétrage cylindro-polaire

Si la surface $\;\left(S\right)\;$ est « plane $\;\parallel \;$ à $\;xOy$, orientée par $\;{\vec {u}}_{z}\;$ le 3ème vecteur de la base cylindro-polaire de pôle $\;O$ $\;{\big$d'axe $\;Oz{\big )}\;$ liée à $\;M\;$ orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho }\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ directe dans l'espace physique orienté à droite », le vecteur élément de surface de la surface $\;\left(S\right)\;$ en $\;M\;$ s'écrit
$\;{\overrightarrow {dS}}_{M}=dS_{M}\;{\vec {u}}_{z}\;$
$\;dS_{M}=d\rho \;\rho \;d\theta \;$
$\;dM_{\rho }=d\rho \;$
$\;dM_{\theta }=\rho \;d\theta \;$
Si la surface $\;\left(S\right)\;$ est une « portion de surface latérale de tuyau cylindrique de révolution d'axe à $\;Oz$, orientée par $\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ le 1er vecteur de la base cylindro-polaire de pôle $\;O$ $\;{\big$d'axe $\;Oz{\big )}\;$ liée à $\;M\;$ orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho }\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ directe dans l'espace physique orienté à droite », le vecteur élément de surface de la surface $\;\left(S\right)\;$ en $\;M\;$ s'écrit
$\;{\overrightarrow {dS}}_{M}=dS_{M}\;{\vec {u}}_{\rho }\;$
$\;dS_{M}=\rho \;d\theta \;dz\;$
$\;dM_{\theta }=\rho \;d\theta \;$
$\;dM_{z}=dz\;$

### Expression en paramétrage sphérique

Si la surface $\;\left(S\right)\;$ est une « portion de sphère de centre $\;O$, orientée par $\;{\vec {u}}_{r}\;$ le 1er vecteur de la base sphérique de pôle $\;O\;$ liée à $\;M\;$ orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{\varphi }\right\rbrace \;$ directe dans l'espace physique orienté à droite », le vecteur élément de surface de la surface $\;\left(S\right)\;$ en $\;M\;$ s'écrit
$\;{\overrightarrow {dS}}_{M}=dS_{M}\;{\vec {u}}_{r}\;$
$\;dS_{M}=r^{2}\;\sin(\theta )\;d\theta \;d\varphi \;$
$\;dM_{\theta }=r\;d\theta \;$
$\;dM_{\varphi }=r\;\sin(\theta )\;d\varphi \;$
Si la surface $\;\left(S\right)\;$ est une « portion de cône de révolution de sommet $\;O$, d'axe $\;Oz$, orientée par $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ le 2ème vecteur de la base sphérique de pôle $\;O$ $\;{\big$d'axe $\;Oz{\big )}\;$ liée à $\;M\;$ orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{\varphi }\right\rbrace \;$ directe dans l'espace physique orienté à droite », le vecteur élément de surface de la surface $\;\left(S\right)\;$ en $\;M\;$ s'écrit
$\;{\overrightarrow {dS}}_{M}=dS_{M}\;{\vec {u}}_{\theta }\;$
$\;dS_{M}=r\;\sin(\theta )\;d\varphi \;dr\;$
$\;dM_{r}=dr\;$
$\;dM_{\varphi }=r\;\sin(\theta )\;d\varphi \;$

## Expression de la force pressante s'exerçant sur un élément de surface d'une paroi

Si on considère un élément de paroi en un point $\;M$, d’aire $\;dS_{M}$, orienté du fluide vers la paroi limitant le fluide par le vecteur unitaire normal «$\;{\vec {n}}_{\,{\text{fluide}}\;\rightarrow \;{\text{paroi}}}(M)\;$», la force pressante exercée par le fluide sur l’élément de paroi en $\;M$ $\;{\big$le fluide étant au repos relativement à la paroi${\big ]}\;$ s’écrit
$\;{\overrightarrow {dF}}_{\,{\text{paroi}}\;\leftarrow \;{\text{fluide}}}(M)=p(M)\;dS_{M}\;{\vec {n}}_{\,{\text{fluide}}\;\rightarrow \;{\text{paroi}}}(M)\;$
$=p(M)\;{\overrightarrow {dS}}_{M}\;$
$\;{\overrightarrow {dS}}_{M}=dS_{M}\;{\vec {n}}_{\,{\text{fluide}}\;\rightarrow \;{\text{paroi}}}(M)\;$

## Utilisation des symétries (ou antisymétries) planes de la répartition des forces pressantes s'exerçant sur une paroi pour déterminer la direction de la résultante des forces pressantes
### Invariance par symétrie plane de la répartition des forces pressantes s'exerçant sur une paroi et conséquence sur la direction de la résultante des forces pressantes

Si la répartition des forces pressantes s’exerçant sur une paroi est invariante par symétrie plane relativement à un plan${\underline {\;\left(\Pi \right)}}$, c’est aussi un plan de symétrie pour la résultante de ces forces pressantes et par suite cette résultante est dans ce plan de symétrie${\underline {\;\left(\Pi \right)}}$ $\;{\Big \$cela résulte du fait que toutes les forces pressantes possédant l'invariance par symétrie plane,
* d'une part leur résultante $\;{\big$c'est-à-dire leur somme${\big )}\;$ la possède également et
* d'autre part, cette dernière doit être appliquée en un point du plan de symétrie d'où
la résultante des forces pressantes est nécessairement contenue dans ce plan${\Big \}$ $\;{\big$voir ci-contre à droite${\big )}$.

### Invariance par antisymétrie plane de la répartition des forces pressantes s'exerçant sur une paroi et conséquence sur la direction de la résultante des forces pressantes

Si la répartition des forces pressantes s’exerçant sur une paroi est invariante par antisymétrie plane relativement à un plan${\underline {\;\left(\Pi \right)}}$, c’est aussi un plan d'antisymétrie pour la résultante de ces forces pressantes et par suite cette résultante est${\underline {\;\perp \;}}$à ce plan d'antisymétrie${\underline {\;\left(\Pi \right)}}$ $\;{\Big \$cela résulte du fait que toutes les forces pressantes possédant l'invariance par antisymétrie plane,
* d'une part leur résultante $\;{\big$c'est-à-dire leur somme${\big )}\;$ la possède également et
* d'autre part, cette dernière doit être appliquée en un point du plan d'antisymétrie d'où
la résultante des forces pressantes est nécessairement $\;\perp \;$ à ce plan${\Big \}$ $\;{\big$voir ci-contre à gauche${\big )}$.
Commentaire : L'invariance par antisymétrie plane de la répartition des forces pressantes s’exerçant sur une paroi ne se rencontre pratiquement jamais dans les exemples pratiques $\;{\big$nous avons vu sur l'exemple ci-dessus que la paroi choisie est sophistiquée${\big )}$, Commentaire : le cas le plus fréquent étant la reconnaissance d'une invariance par symétrie plane étudiée au paragraphe « invariance par symétrie plane de la répartition des forces pressantes s'exerçant sur une paroi et conséquence sur la direction de la résultante des forces pressantes » plus haut dans ce chapitre $\;\ldots$

## Exemple d'évaluation de la résultante des forces pressantes : forces pressantes s'exerçant sur un barrage hémicylindrique
### Présentation du barrage hémicylindrique

On considère un barrage hémicylindrique d’axe $\;Oz$, de « hauteur $\;h\;$» et de « rayon $\;a\;$», l’eau étant située du côté « concave » du barrage $\;{\big$voir les schémas de droite, en vue de dessus et en perspective, du paragraphe « invariance par symétrie plane de la répartition des forces pressantes s'exerçant sur une paroi et conséquence sur la direction de la résultante des forces pressantes » plus haut dans ce chapitre${\big )}$, le repérage du point générique $\;M\;$ du barrage étant cylindro-polaire d'axe $\;{\overrightarrow {z'z}}$, axe vertical ascendant de révolution du barrage, de pôle $\;O\;$ ${\big$choisi sur l'axe de révolution au fond de l'étendue d'eau${\big )}$, l'axe $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ étant choisi horizontal dans le plan de symétrie du barrage, axe orienté dans le sens « eau - barrage » et l'axe $\;{\overrightarrow {Oy}}\;$ horizontal tel que « le trièdre $\;\left\lbrace {\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {Oy}}\,,\,{\overrightarrow {Oz}}\right\rbrace \;$ soit direct $\;{\big$l'espace physique étant orienté à droite${\big )}\;$», on se propose d’évaluer la « résultante des forces pressantes $\;{\vec {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau}}}\;$ que l’eau exerce sur le barrage » quand la hauteur maximale d’eau est retenue.

### Rappel des propriétés de symétrie déterminant la direction de la résultante des forces pressantes

d'une part le plan $\;xOz\;$ étant un plan de symétrie de la répartition des forces pressantes que l'eau exerce sur le barrage, la résultante de ces forces pressantes $\;{\vec {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau}}}\;$ est dans ce plan d'où
$\;{\overline {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau}},\,y}={\vec {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau}}}\cdot {\vec {u}}_{y}=0\;$
d'autre part les forces pressantes que l'eau exerce sur le barrage étant toutes horizontales $\;{\big$car le barrage est vertical${\big )}$, la résultante de ces forces pressantes $\;{\vec {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau}}}\;$ est aussi horizontale d'où
$\;{\overline {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau}},\,z}={\vec {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau}}}\cdot {\vec {u}}_{z}=0\;$
des deux informations précédentes on en déduit que la direction de la résultante des forces pressantes que l'eau exerce sur le barrage $\;{\vec {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau}}}\;$ est horizontale selon $\;{\vec {u}}_{x}\;$ soit
$\;{\vec {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau}}}={\overline {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau}},\,x}\;{\vec {u}}_{x}\;$

### Calcul de la résultante des forces pressantes que l'eau exerce sur le barrage

Soit $\;{\vec {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau}}}\;$ la résultante des forces pressantes que l'eau exerce sur le barrage hémicylindrique $\;\left({\mathcal {T}}_{\text{hémicyl}}\right)$, elle se calcule selon
$\;{\vec {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau}}}=\displaystyle \iint \limits _{\left({\mathcal {T}}_{\text{hémicyl}}\right)}p(M)\;{\overrightarrow {dS}}_{M}\;$
$\;{\overrightarrow {dS}}_{M}=dS_{M}\;{\vec {n}}_{\,{\text{eau}}\,\rightarrow \,\left({\mathcal {T}}_{\text{hémicyl}}\right)}(M)\;$
$\;M$
$\;{\vec {n}}_{\,{\text{eau}}\,\rightarrow \,\left({\mathcal {T}}_{\text{hémicyl}}\right)}(M)\;$
en utilisant le repérage cylindro-polaire d'axe $\;{\overrightarrow {z'z}}$, axe vertical ascendant de révolution du barrage, de pôle $\;O\;$ ${\big$choisi sur l'axe de révolution au fond de l'étendue d'eau${\big )}\;$ nous en déduisons que
* d'une part le vecteur unitaire normal orienté de l'eau vers le barrage s'identifie au 1er vecteur de base cylindro-polaire en $\;M$ soit «$\;{\vec {n}}_{\,{\text{eau}}\,\rightarrow \,\left({\mathcal {T}}_{\text{hémicyl}}\right)}(M)={\vec {u}}_{\rho }(M)\;$» et
* d'autre part l'aire de la surface élémentaire en $\;M\left\lbrace a\,,\,\theta _{M}={\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {OM}}\right)}}\,,\,z_{M}\right\rbrace \;$ s'écrit «$\;dS_{M}=a\;d\theta _{M}\;dz_{M}\;$»,
d'où la réécriture de l'expression intégrale de la résultante des forces pressantes que l'eau exerce sur le barrage hémicylindrique $\;\left({\mathcal {T}}_{\text{hémicyl}}\right)$,
$\;{\vec {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau}}}=\displaystyle \iint \limits _{\left({\mathcal {T}}_{\text{hémicyl}}\right)}p(M)\;a\;d\theta _{M}\;dz_{M}\;{\vec {u}}_{\rho }(M)\;$
la pression $\;p(M)\;$ au point générique $\;M\left\lbrace a\,,\,\theta _{M}\,,\,z_{M}\right\rbrace \;$ du barrage s’obtenant par intégrale 1ère spatiale $\;{\big$l'axe vertical étant ascendant, l'intensité de la pesanteur uniforme égale à $\;g$, la masse volumique de l'eau $\;\mu _{\text{eau}}\;$ constante et $\;p_{0}\;$ la pression de l'atmosphère à la surface libre de l'eau${\big ]}\;$
$\;p(M)+\mu _{\text{eau}}\;g\;z_{M}=cste=p_{0}+\mu _{\text{eau}}\;g\;h\;$
$\;p(M)=p_{0}+\mu _{\text{eau}}\;g\,\left(h-z_{M}\right)\;$
d'où la réécriture de l'expression intégrale de la résultante des forces pressantes que l'eau exerce sur le barrage hémicylindrique $\;\left({\mathcal {T}}_{\text{hémicyl}}\right)$,
$\;{\vec {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau}}}=\displaystyle \iint \limits _{\left({\mathcal {T}}_{\text{hémicyl}}\right)}\left[p_{0}+\mu _{\text{eau}}\;g\,\left(h-z_{M}\right)\right]\,a\;d\theta _{M}\;dz_{M}\;{\vec {u}}_{\rho }(\theta _{M})\;$
$=\displaystyle \int _{z_{M}=0}^{z_{M}=h}\left[p_{0}+\mu _{\text{eau}}\;g\,\left(h-z_{M}\right)\right]\,a\left[\displaystyle \int _{\theta _{M}=-{\dfrac {\pi }{2}}}^{\theta _{M}=+{\dfrac {\pi }{2}}}{\vec {u}}_{\rho }(\theta _{M})\;d\theta _{M}\right]dz_{M}\;$
pour terminer nous utilisons «$\;{\vec {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau}}}={\overline {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau}},\,x}\;{\vec {u}}_{x}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\overline {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau}},\,x}={\vec {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau}}}\cdot {\vec {u}}_{x}=\left\lbrace \displaystyle \int _{z_{M}=0}^{z_{M}=h}\left[p_{0}+\mu _{\text{eau}}\;g\,\left(h-z_{M}\right)\right]\,a\left[\displaystyle \int _{\theta _{M}=-{\dfrac {\pi }{2}}}^{\theta _{M}=+{\dfrac {\pi }{2}}}{\vec {u}}_{\rho }(\theta _{M})\;d\theta _{M}\right]dz_{M}\right\rbrace \cdot {\vec {u}}_{x}\;$» ou, $\;{\vec {u}}_{x}\;$ étant un vecteur constant, «$\;{\overline {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau}},\,x}=\displaystyle \int _{z_{M}=0}^{z_{M}=h}\left[p_{0}+\mu _{\text{eau}}\;g\,\left(h-z_{M}\right)\right]\,a\left\lbrace \displaystyle \int _{\theta _{M}=-{\dfrac {\pi }{2}}}^{\theta _{M}=+{\dfrac {\pi }{2}}}\left[{\vec {u}}_{\rho }(\theta _{M})\cdot {\vec {u}}_{x}\right]d\theta _{M}\right\rbrace dz_{M}\;$» soit enfin, avec «$\;{\vec {u}}_{\rho }(\theta _{M})\cdot {\vec {u}}_{x}=\cos \!\left(\theta _{M}\right)\;$», «$\;{\overline {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau}},\,x}=$ $\displaystyle \int _{z_{M}=0}^{z_{M}=h}\left[p_{0}+\mu _{\text{eau}}\;g\,\left(h-z_{M}\right)\right]\,a\left[\displaystyle \int _{\theta _{M}=-{\dfrac {\pi }{2}}}^{\theta _{M}=+{\dfrac {\pi }{2}}}\cos \!\left(\theta _{M}\right)\,d\theta _{M}\right]dz_{M}=\left\lbrace \displaystyle \int _{z_{M}=0}^{z_{M}=h}\left[p_{0}+\mu _{\text{eau}}\;g\,\left(h-z_{M}\right)\right]\,a\;dz_{M}\right\rbrace \,\left[\displaystyle \int _{\theta _{M}=-{\dfrac {\pi }{2}}}^{\theta _{M}=+{\dfrac {\pi }{2}}}\cos \!\left(\theta _{M}\right)\,d\theta _{M}\right]\;$» dans lequel
* «$\;\displaystyle \int _{\theta _{M}=-{\dfrac {\pi }{2}}}^{\theta _{M}=+{\dfrac {\pi }{2}}}\cos \!\left(\theta _{M}\right)\,d\theta _{M}=\left[\sin \!\left(\theta _{M}\right)\right]_{-{\dfrac {\pi }{2}}}^{+{\dfrac {\pi }{2}}}=2\;$» et
* «$\;\displaystyle \int _{z_{M}=0}^{z_{M}=h}\left[p_{0}+\mu _{\text{eau}}\;g\,\left(h-z_{M}\right)\right]\,a\;dz_{M}=a\,\left[\left(p_{0}+\mu _{\text{eau}}\;g\;h\right)\,z_{M}-\mu _{\text{eau}}\;g\;{\dfrac {z_{M}^{2}}{2}}\right]_{0}^{h}=a\,\left(p_{0}\;h+\mu _{\text{eau}}\;g\;h^{2}-\mu _{\text{eau}}\;g\;{\dfrac {h^{2}}{2}}\right)=\left(p_{0}+\mu _{\text{eau}}\;g\;{\dfrac {h}{2}}\right)\,a\;h\;$»
d'où l'expression de la composante de la résultante des forces pressantes que l'eau exerce sur le barrage hémicylindrique $\;\left({\mathcal {T}}_{\text{hémicyl}}\right)$ «$\;{\overline {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau}},\,x}\;$» puis de la résultante «$\;{\vec {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau}}}\;$» :
$\;{\overline {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau}},\,x}=2\;p_{0}\;a\;h+\mu _{\text{eau}}\;g\;a\;h^{2}\;$
$\;{\vec {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau}}}=2\;p_{0}\;a\;h\;{\vec {u}}_{x}+\mu _{\text{eau}}\;g\;a\;h^{2}\;{\vec {u}}_{x}\;$
Remarque : Dans l'hypothèse où l'eau retenue par le barrage est remplacée par de l'air $\;{\big$c'est-à-dire si l'eau retenue a été libérée par ouverture des vannes d'évacuation${\big )}$, la résultante des forces pressantes que l'air exerce sur la partie du barrage hémicylindrique $\;\left({\mathcal {T}}_{\text{hémicyl}}\right)$ usuellement immergée est «$\;{\vec {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{air}}}=\displaystyle \iint \limits _{\left({\mathcal {T}}_{\text{hémicyl}}\right)}p_{0}\;a\;d\theta _{M}\;dz_{M}\;{\vec {u}}_{\rho }(M)\;$» avec «$\;{\vec {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{air}}}={\overline {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{air}},\,x}\;{\vec {u}}_{x}\;$» pour les mêmes raisons d'invariance de la répartition des forces pressantes par symétrie relativement à $\;\left(yOz\right)\;$ d'où «$\;{\vec {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{air}},\,x}=\left[\displaystyle \iint \limits _{\left({\mathcal {T}}_{\text{hémicyl}}\right)}p_{0}\;a\;d\theta _{M}\;dz_{M}\;{\vec {u}}_{\rho }(M)\right]\cdot {\vec {u}}_{x}\;$» ce qui donne, $\;{\vec {u}}_{x}\;$ étant un vecteur constant, «$\;{\overline {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{air}},\,x}=\displaystyle \int _{z_{M}=0}^{z_{M}=h}p_{0}\;a\left\lbrace \displaystyle \int _{\theta _{M}=-{\dfrac {\pi }{2}}}^{\theta _{M}=+{\dfrac {\pi }{2}}}\left[{\vec {u}}_{\rho }(\theta _{M})\cdot {\vec {u}}_{x}\right]d\theta _{M}\right\rbrace dz_{M}\;$» ou, «$\;{\overline {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{air}},\,x}=\displaystyle \int _{z_{M}=0}^{z_{M}=h}p_{0}\;a\left[\displaystyle \int _{\theta _{M}=-{\dfrac {\pi }{2}}}^{\theta _{M}=+{\dfrac {\pi }{2}}}\cos \!\left(\theta _{M}\right)\,d\theta _{M}\right]dz_{M}\;$» sachant que $\;{\vec {u}}_{\rho }(\theta _{M})\cdot {\vec {u}}_{x}=$ $\cos \!\left(\theta _{M}\right)$, soit «$\;{\overline {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{air}},\,x}=\left\lbrace \displaystyle \int _{z_{M}=0}^{z_{M}=h}p_{0}\;a\;dz_{M}\right\rbrace \,\left[\displaystyle \int _{\theta _{M}=-{\dfrac {\pi }{2}}}^{\theta _{M}=+{\dfrac {\pi }{2}}}\cos \!\left(\theta _{M}\right)\,d\theta _{M}\right]\;$» ou «$\;{\overline {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{air}},\,x}=2\;p_{0}\;a\;h\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\vec {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{air}}}=2\;p_{0}\;a\;h\;{\vec {u}}_{x}\;$» ;
Remarque : nous en déduisons que le remplissage de la réserve d'eau située en amont du barrage hémicylindrique $\;\left({\mathcal {T}}_{\text{hémicyl}}\right)$ engendre une résultante de forces pressantes «$\;{\overrightarrow {\Delta R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau }}\,/\,{\text{air}}}=$ ${\vec {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau}}}-{\vec {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{air}}}\;$» soit «$\;{\overrightarrow {\Delta R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau }}\,/\,{\text{air}}}=\mu _{\text{eau}}\;g\;a\;h^{2}\;{\vec {u}}_{x}\;$» $\;{\big$numériquement, avec $\;\mu _{\text{eau}}\simeq 10^{3}\;kg\cdot m^{-3}$, $\;g\simeq 9,8\;m\cdot s^{-2}$, $\;a\simeq 50\;m\;$ et $\;h\simeq 20\;m$, «$\;{\overline {\Delta R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau }}\,/\,{\text{air}},\,x}\simeq$ $10^{3}\times 9,8\times 50\times (20)^{2}\simeq 1,96\;10^{8}\;N\simeq 196\;10^{6}\;N\;$» c'est-à-dire une force de poussée horizontale équivalente au poids d'une charge de $\;2\;10^{7}\;kg=20000\;t\;$${\big ]}$.

## Autre exemple : résultante des forces pressantes sur un corps sphérique totalement immergé dans un fluide incompressible et homogène en équilibre isotherme dans le champ de pesanteur terrestre uniforme
### Exposé du problème et expression de la force pressante que le fluide exerce sur un élément de surface de la sphère limitant le corps totalement immergé

On considère un corps sphérique $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ de centre $\;C$, de rayon $\;a$, totalement immergé dans un fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ à « masse volumique $\;\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;$ constante » $\;{\big$réalisée si le fluide est incompressible et homogène en équilibre isotherme${\big )}$, le centre $\;C\;$ étant repérée par sa « cote $\;z_{C}\;$» relativement à un axe vertical orienté dans le sens ascendant $\;{\big$voir le schéma ci-contre${\big )}$,
on se propose d’évaluer la « résultante des forces pressantes $\;{\vec {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}\;$ que le fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ exerce sur le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$» appelée « poussée d'Archimède dans la mesure où le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ est indéformable » et pour cela
on rappelle l'expression de la force pressante que le fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ exerce sur le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ sur l'élément de surface centré en $\;M\;$ point générique de la surface $\;\left(S\right)\;$ limitant le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ de « vecteur surface élémentaire $\;{\overrightarrow {dS}}_{M}=dS_{M}\;{\vec {n}}_{{\mathcal {C}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}(M)\;$» $\;{\big{\vec {n}}_{{\mathcal {C}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}(M)\;$ étant le vecteur unitaire normal à $\;\left(S\right)\;$ en $\;M\;$ orienté vers l'extérieur et $\;dS_{M}\;$ l'aire de la surface élémentaire${\big ]}$, soit
$\;{\overrightarrow {dF}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}(M)=-p(M)\;{\overrightarrow {dS}}_{M}=-p(M)\;dS_{M}\;{\vec {n}}_{{\mathcal {C}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}(M)\;$
$\;p(M)\;$
$\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$
$\;\left(S\right)\;$
$\;M\;$
compte-tenu du fait que la surface $\;\left(S\right)\;$ limitant le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ est une sphère de centre $\;C$, le meilleur repérage du point générique $\;M\;$ de $\;\left(S\right)\;$ est un repérage sphérique de pôle $\;C$, nous le choisissons d'axe vertical ascendant $\;{\overrightarrow {z'z}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\vec {n}}_{{\mathcal {C}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}(M)={\vec {u}}_{r}(M)\;$» le 1er vecteur de la « base sphérique liée à $\;M\;$ orthonormée directe dans l'espace physique orienté à droite $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{\varphi }\right\rbrace \;$», le point $\;M\;$ étant de « coordonnées $\;\left(a\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)\;$» ;
la pression $\;p(M)\;$ exercée par le fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ sur la surface $\;\left(S\right)\;$ au point $\;M\;$ s'obtient par application de l'intégrale 1ère spatiale du fluide selon «$\;p(M)+\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;g\;z_{M}$ $=cste=p(O_{C})+\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;g\;z_{C}\;$» où $\;O_{C}\;$ est un point du fluide à la même cote $\;z_{C}\;$ que le centre $\;C\;$ de la sphère avec $\;z_{M}=z_{C}+a\;\cos(\theta )\;$ d'où, l'expression de la pression cherchée «$\;p(M)=p(O_{C})+\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;g\,\left[z_{C}-z_{M}\right]\;$» ou encore, celle-ci étant la même dans un même plan horizontal,
$\;p(M)=p(z_{C})-\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;g\;a\;\cos(\theta )\;$
$\;{\overrightarrow {dF}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}(M)=-\left[p(z_{C})-\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;g\;a\;\cos(\theta )\right]\,dS_{M}\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$
$\;dS_{M}=a^{2}\;\sin(\theta )\;d\theta \;d\varphi \;$
$\;\left(S\right)\;$
$\;M\;$

### Utilisation des propriétés de symétrie pour déterminer la direction de la résultante des forces pressantes

Tout plan vertical${\underline {\;\left(\Pi \right)\;}}$contenant le centre${\underline {\;C\;}}$de la sphère${\underline {\;\left(S\right)\;}}$ limitant le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ est plan de symétrie de la répartition des forces pressantes «$\;{\overrightarrow {dF}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}(M)=$ $-p(M)\;dS_{M}\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ que le fluide incompressible et homogène $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ en équilibre isotherme dans le champ de pesanteur uniforme exerce sur le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ en $\;M\;$ point générique de $\;\left(S\right)\;$» $\;{\big \$en effet $\;M\;$ et $\;M'\;$ étant deux points de $\;\left(S\right)$, symétriques par rapport à $\;\left(\Pi \right)$, sont dans un même plan horizontal et donc soumis à la même pression $\;p(M)=p(M')\;$ d'une part et d'autre part ces points ayant une même colatitude $\;\theta \;$ et des longitudes $\;\varphi \;$ séparées de $\;\pi \;$ sont associés à des vecteurs surfaces élémentaires symétriques relativement à $\;\left(\Pi \right)$ $\;{\big$mêmes aires élémentaires et 1$^{ers}$ vecteurs de base sphérique symétriques relativement à $\;\left(\Pi \right){\big ]}\;$ voir ci-contre${\big \}$,
on en déduit que « la résultante des forces pressantes $\;{\vec {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}\;$ que le fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ exerce sur le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$» possédant la même invariance de symétrie plane par rapport à tous ces plans verticaux est $\;\parallel \;$ à tous ceux-ci donc verticale soit
$\;{\vec {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}={\overline {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}},\,z}\;{\vec {u}}_{z}\;$
Remarque : la répartition des forces pressantes que le fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ exerce sur le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ est « équivalente à sa résultante $\;{\vec {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}\;$» dans la mesure où le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ est indéformable $\;{\big{\vec {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}\;$ est appelée « poussée d'Archimède »${\big )}\;$ appliquée en un point $\;P\;$ particulier de l'axe vertical passant par le centre $\;C\;$ du corps sphérique, point particulier appelé « centre de poussée » $\;{\big$voir la justification dans la note « $^{12}$ » plus haut dans ce chapitre${\big ]}$.

### Calcul de la résultante des forces pressantes que le fluide exerce sur le corps sphérique

L'expression de la force pressante que le fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ exerce sur le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ au point $\;M\,\left(a\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)\;$ de la surface $\;\left(S\right)\;$ limitant le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ étant «$\;{\overrightarrow {dF}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}(M)=$ $-\left[p(z_{C})-\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;g\;a\;\cos(\theta )\right]\,dS_{M}\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$» avec «$\;dS_{M}=a^{2}\;\sin(\theta )\;d\theta \;d\varphi \;$ l'aire de la surface élémentaire de $\;\left(S\right)\;$ centrée en $\;M\;$», la résultante de ces forces pressantes s'évalue selon
$\;{\vec {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}=\color {transparent}{\Bigg\!\!\!\color {black}\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \,(S)}{\overrightarrow {dF}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}(M)=\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \,(S)}-\left[p(z_{C})-\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;g\;a\;\cos(\theta )\right]\,dS_{M}\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$
sachant que la direction de la résultante est suivant la verticale c'est-à-dire que «$\;{\vec {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}={\overline {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}},\,z}\;{\vec {u}}_{z}\;$», on en déduit la composante verticale «$\;{\overline {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}},\,z}\;$» en projetant son expression intégrale sur $\;{\vec {u}}_{z}\;$
$\;{\overline {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}},\,z}={\vec {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}\cdot {\vec {u}}_{z}=\left\lbrace \displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \,(S)}-\left[p(z_{C})-\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;g\;a\;\cos(\theta )\right]\,dS_{M}\;{\vec {u}}_{r}(M)\right\rbrace \cdot {\vec {u}}_{z}\;$
comme le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{z}\;$ est constant, on peut permuter l'intégration surfacique et la multiplication scalaire puis utiliser «$\;{\vec {u}}_{r}(M)\cdot {\vec {u}}_{z}=\cos(\theta )\;$» selon
$\;{\overline {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}},\,z}=\color {transparent}{\Bigg\!\!\!\color {black}\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \,(S)}-\left[p(z_{C})-\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;g\;a\;\cos(\theta )\right]\,dS_{M}\,\left[{\vec {u}}_{r}(M)\cdot {\vec {u}}_{z}\right]=\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \,(S)}-\left[p(z_{C})-\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;g\;a\;\cos(\theta )\right]\,\cos(\theta )\;dS_{M}\;$
enfin, la fonction à intégrer «$\;-\left[p(z_{C})-\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;g\;a\;\cos(\theta )\right]\,\cos(\theta )\;$» de l'intégrale surfacique étant « indépendante du paramètre $\;\varphi$ $\;{\big$ne dépendant que de $\;\theta {\big )}\;$», on peut remplacer $\;dS_{M}\;$ par l'aire d'une surface élémentaire semi-intégrée correspondant à une « couronne sphérique élémentaire comprise entre les deux parallèles de colatitudes infiniment proches $\;\theta \;$ et $\;\theta +d\theta \;$» «$\;dS_{{\text{couronne sphérique sur }}\left[\theta ,\,\theta +d\theta \right]}=$ $2\;\pi \;a^{2}\;\sin(\theta )\;d\theta \;$»$^,$ soit finalement
$\;{\overline {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}},\,z}=\displaystyle \int _{0}^{\pi }-\left[p(z_{C})-\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;g\;a\;\cos(\theta )\right]\,\cos(\theta )\;dS_{{\text{couronne sphérique sur }}\left[\theta ,\,\theta +d\theta \right]}$
$=\displaystyle \int _{0}^{\pi }-\left[p(z_{C})-\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;g\;a\;\cos(\theta )\right]\,\cos(\theta )\,\left[2\;\pi \;a^{2}\;\sin(\theta )\;d\theta \right]$
$=2\;\pi \;a^{2}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{\pi }-p(z_{C})\;\cos(\theta )\;\sin(\theta )\;d\theta +\displaystyle \int _{0}^{\pi }\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;g\;a\;\cos ^{2}(\theta )\;\sin(\theta )\;d\theta \right\rbrace \;$
* la 1ère intégrale «$\;\displaystyle \int _{0}^{\pi }-p(z_{C})\;\cos(\theta )\;\sin(\theta )\;d\theta \;$» s'évaluant selon «$\;p(z_{C})\;\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos(\theta )\;d\left[\cos(\theta )\right]=p(z_{C})\,\left[{\dfrac {\cos ^{2}(\theta )}{2}}\right]_{0}^{\pi }=0\;$» et
* la 2ème intégrale «$\;\displaystyle \int _{0}^{\pi }\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;g\;a\;\cos ^{2}(\theta )\;\sin(\theta )\;d\theta \;$» s'évaluant selon «$\;-\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;g\;a\;\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos ^{2}(\theta )\;d\left[\cos(\theta )\right]=-\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;g\;a\,\left[{\dfrac {\cos ^{3}(\theta )}{3}}\right]_{0}^{\pi }={\dfrac {2}{3}}\;\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;g\;a\;$»,
d'où l'expression finale de la composante verticale de la résultante des forces pressantes que le fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ exerce sur le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$
$\;{\overline {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}},\,z}={\dfrac {4\;\pi }{3}}\;\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;g\;a^{3}\;$
$\Downarrow$
$\;{\vec {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}},\,z}=\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;{\dfrac {4\;\pi \;a^{3}}{3}}\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$
Remarque : le calcul fait ci-dessus n’est applicable que dans un fluide à masse volumique constante comme par exemple un fluide incompressible, homogène à évolution isotherme mais $\;\ldots$
Remarque : le fait que la « résultante des forces pressantes est verticale ascendante de norme égale au poids du « fluide déplacé » reste valable dans un fluide compressible et inhomogène $\;\ldots \;$ bien sûr, une autre démonstration de ce résultat doit être fournie $\;{\big$voir le paragraphe « en complément, démonstration du théorème d'Archimède » du chap.$5$ de la leçon « Statique des fluides (PCSI) »${\big ]}$.