# Théorie de la mesure/Exercices/Algèbres et tribus
## Exercice 1-1

À partir de ${\cal {E_{0}\subset \Omega }}$, on définit la suite $({\cal {E_{n})}}$ par récurrence : ${\cal {E}}_{2k+1}={\cal {E}}_{2k}\cup \{A^{c}\mid A\in {\cal {E}}_{2k}\}$, ${\cal {E}}_{2k+2}=\{$unions finies d'éléments de ${\cal {E}}_{2k+1}\$.
* Montrer que $\forall n\geq 4\quad {\cal {E}}_{n}={\cal {E}}_{4}$.
* En déduire que l'algèbre sur $\Omega$ engendrée par ${\cal {E_{0}}}$ est égale à ${\cal {E_{4}}}$.
* ${\cal {E}}_{4}=\{$ unions finies d'intersections finies d'éléments de ${\cal {E}}_{1}\$ est stable par complémentaires, car $\cap _{i\in I}(\cup _{j\in J_{i}}X_{i,j})=$ (en posant $K=$ l'ensemble des familles ${\overline {j}}=(j_{i})_{i\in I}$ telles que $\forall i\in I,j_{i}\in J_{i}$) $\cup _{{\overline {j}}\in K}(\cap _{i\in I}X_{i,j_{i}})$ (et $K$ est fini si $I$ et les $J_{i}$ le sont), donc ${\cal {E}}_{5}={\cal {E}}_{4}$, à la fois stable par unions finies (comme ${\cal {E}}_{4}$) et complémentaires (comme ${\cal {E}}_{5}$), d'où $\forall n\geq 4\quad {\cal {E}}_{n}={\cal {E}}_{4}$.
* Donc ${\cal {E}}4$ est une algèbre. Or toute algèbre contenant ${\cal {E}}_{0}$ contient nécessairement ${\cal {E}}_{4}$, donc l'algèbre sur $\Omega$ engendrée par ${\cal {E}}_{0}$ est égale à ${\cal {E}}_{4}$.
Remarques.
* Pour certains ${\cal {E}}_{0}$, il peut arriver que la suite des ${\cal {E}}_{n}$ stationne avant $n=4$. Par exemple si ${\cal {E}}_{0}=\{\varnothing \}$ alors ${\cal {E}}_{2}={\cal {E}}_{1}$.
* On aurait pu commencer la récurrence par les unions finies.
* La construction analogue ${\cal {E}}'_{n}$ en remplaçant unions finies par unions dénombrables, n'est pas stationnaire en général, et la tribu engendrée risque même d'être plus grosse que la réunion croissante des ${\cal {E}}'_{n}$. Cette non stationnarité s'explique par le fait que pour $K=$ l'ensemble des familles ${\overline {j}}=(j_{i})_{i\in I}$ telles que $\forall i\in I,j_{i}\in J_{i}$, si $I$ et les $J_{i}$ sont (au plus) dénombrables, $K$ ne l'est pas forcément. Exemple : $I=\mathbb {N}$, $J_{i}=\{0,1\}$, $K=\{0,1\}^{\mathbb {N} }$.

## Exercice 1-2

Déterminer $\lim \inf A_{n}$ et $\lim \sup A_{n}$ dans chacun des cas suivants :
* $A_{n}=[(-1)^{n},n]$ ($n\geq 1$) ;
* $A_{n}=[1/n,1+1/n]$ ($n\geq 1$) ;
* $A_{n}=[n,n+1]$ ($n\geq 0$) ;
* $A_{n}=\left](-1)^{n}/n,1+(-1)^{n+1}/n\right[$ ($n\geq 1$) ;
* $A_{2n}=G$, $A_{2n+1}=H$ ($n\geq 0$), où $G,H$ sont deux ensembles arbitraires.
* $\lim \inf A_{n}=\cup _{n\geq 1}[1,n]=\left[1,+\infty \right[$, $\lim \sup A_{n}=\cap _{n\geq 1}\left[-1,+\infty \right[=\left[-1,+\infty \right[$.
* $\lim \inf A_{n}=\cup _{n\geq 1}[1/n,1]=\left]0,1\right]$, $\lim \sup A_{n}=\cap _{n\geq 1}\left]0,1+1/n\right]=\left]0,1\right]$.
* $\lim \inf A_{n}=\cup _{n\geq 0}\varnothing =\varnothing$, $\lim \sup A_{n}=\cap _{n\geq 0}\left[n,+\infty \right[=\varnothing$.
* $\lim \inf A_{n}=\cup _{n\geq 1,n{\text{ pair}}}[1/n,1-1/n]=\left]0,1\right[$, $\lim \sup A_{n}=\cap _{n\geq 1,n{\text{ impair}}}[-1/n,1+1/n]=[0,1]$.
* $\lim \inf A_{n}=G\cap H$, $\lim \sup A_{n}=G\cup H$.

## Exercice 1-3

Décrire la tribu sur $\mathbb {R}$ engendrée par les ensembles de la forme $\left[-b,-a\right[\cup \left]a,b\right]$ pour $0<a<b$.
C'est la tribu $\sigma (f^{-1}({\cal {C))}}$ pour $f=|\ |:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+}$, ${\cal {C=}}$ l'ensemble des $\left]a,b\right]$ pour $0<a<b$.
D'après le lemme de transport, c'est donc la tribu $f^{-1}({\cal {T)}}$, où ${\cal {T=\sigma ({\cal {C}})={\cal {B}}_{\mathbb {R} ^{+}}}}$.
Cette tribu $f^{-1}({\cal {T)=f^{-1}({\cal {B}}_{\mathbb {R} ^{+}})}}$ est l'ensemble des $f^{-1}(A)=-A\cup A$ pour $A$ borélien de $\mathbb {R} ^{+}$, c'est-à-dire l'ensemble des boréliens symétriques de $\mathbb {R}$.

## Exercice 1-4

* Montrer que l'union d'une suite croissante d'algèbres est une algèbre.
* Soit $\Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }$ l'ensemble des suites $\omega =(\omega _{0},\omega _{1},\ldots )$ constituées de zéros et de uns. Pour $n\in \mathbb {N}$ fixé, soient $\Omega _{n}=\{0,1\}^{n}$, $\Pi _{n}:\Omega \to \Omega _{n},\omega \mapsto (\omega _{0},\dots ,\omega _{n-1})$ et ${\cal {F}}_{n}=\{\Pi _{n}^{-1}(B)\mid B\in {\cal {P}}(\Omega _{n})\}$. Montrer que ${\cal {F_{n}}}$ est une tribu sur $\Omega$.
* Montrer que la suite $({\cal {F_{n})}}$ est croissante.
* On veut montrer que la réunion ${\cal {F}}$ des ${\cal {F_{n}}}$ n'est pas une tribu. Soit $A=\{\omega \in \Omega \mid \lim _{n\to \infty }\omega _{n}=0\}$. Montrer que $A$ appartient à la tribu engendrée par ${\cal {F}}$. Montrer que tout $X$ non vide appartenant à ${\cal {F}}$ contient des suites n'appartenant pas à $A$. En déduire que $A\notin {\cal {F}}$. Conclure.
* Soient $({\cal {A}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ une suite croissante d'algèbres et ${\cal {A}}$ sa réunion. ${\cal {A}}$ est trivialement stable par complémentaires (peu importe ici que la suite soit croissante), mais aussi par réunion, car si $X\in A_{p}$ et $Y\in A_{q}$ alors $X,Y\in A_{r}$ pour $r=\max(p,q)$, donc $X\cup Y$ aussi.
* ${\cal {F_{n}}}$ est la tribu induite par l'application $\Pi _{n}$ et la tribu ${\cal {P(\Omega _{n})}}$.
* $\Pi _{n}^{-1}(B)=\Pi _{n+1}^{-1}(B\times \{0,1\})$.
* $A=\liminf B_{n}$ où $B_{n}=\Pi _{n}^{-1}(\{0,1\}^{p-1}\times \{0\})\in {\cal {F_{n}}}$, donc $A\in \sigma ({\cal {F)}}$. $X=\Pi _{n}^{-1}(B)$ pour certains $n,B$ avec $B\neq \varnothing$. Si $(x_{0},\ldots ,x_{n-1})\in B$, alors par exemple $(x_{0},\dots ,x_{n-1},1,1,1,\ldots )\in X\setminus A$, donc $A\neq X$. Comme de plus $A\neq \varnothing$, on en déduit $A\notin {\cal {F}}$, donc $\sigma ({\cal {F)\neq {\cal {F}}}}$, donc ${\cal {F}}$ n'est pas une tribu. Conclusion : dans la question 1, on ne peut pas remplacer algèbres par tribus.

## Exercice 1-5

Continuité presque partout $\Rightarrow$ mesurabilité :
Soient $X$ et $Y$ deux espaces topologiques munis respectivement des tribus boréliennes associées ${\cal {B}}_{X}$ et ${\cal {B}}_{Y}$, $\mu$ une mesure sur ${\cal {B}}_{X}$, ${\overline {\cal {B}}}_{X}$ la tribu complétée pour cette mesure et $f:X\to Y$ une application continue $\mu$-presque-partout, c'est-à-dire telle que l'ensemble $N=\{x\in X\mid f{\text{ discontinue en }}x\}$ soit $\mu$-négligeable.
Démontrer que $f$ est mesurable de $(X,{\overline {\cal {B}}}_{X})$ dans $(Y,{\cal {B}}_{Y})$.
Indication : pour tout ouvert $O$ de $Y$, construire un ouvert $V$ de $X$ tel que
    $f^{-1}(O)\cap (X\setminus N)\subset V\subset f^{-1}(O)$ et montrer qu'alors, $f^{-1}(O)=V\cup (f^{-1}(O)\cap N)$.
La tribu ${\cal {B}}_{Y}$ étant engendrée par les ouverts de $Y$, il suffit de montrer que pour un tel ouvert $O$, on a $f^{-1}(O)\in {\overline {\cal {B}}}_{X}$.
Soit $Z=f^{-1}(O)\cap (X\setminus N)$. Pour tout $x\in Z$, $f$ est continue en $x$ et $O$ est un voisinage de $f(x)$, donc il existe un ouvert $V_{x}$ contenant $x$ tel que $V_{x}\subset f^{-1}(O)$. Soit $V=\cup _{x\in Z}V_{x}$.
On a $V\subset f^{-1}(O)$ et (puisque $x\in V_{x}$ pour chaque $x\in Z$) $Z\subset V$.
Posons $Z'=f^{-1}(O)\cap N$ (ainsi, $f^{-1}(O)=Z\cup Z'$).
De $V\subset f^{-1}(O)$ on déduit $V\cup Z'\subset f^{-1}(O)$,
et de $Z\subset V$ on déduit $f^{-1}(O)\subset V\cup Z'$, d'où l'égalité : $f^{-1}(O)=V\cup Z'$.
Or $V$ est ouvert (comme réunion d'ouverts) donc appartient à ${\cal {B}}_{X}$,
et $Z'$ est $\mu$-négligeable (car inclus dans $N$).
Donc $f^{-1}(O)\in {\overline {\cal {B}}}_{X}$.

## Exercice 1-6

Soient $(Y,{\cal {T}}_{Y})$ et $(Z,{\cal {T}}_{Z})$ deux espaces mesurables.
* Montrer que la tribu produit ${\cal {T}}_{Y}\otimes {\cal {T}}_{Z}$ est la plus grande tribu sur $Y\times Z$ telle que si $f:X\to Y$ et $g:X\to Z$ sont mesurables alors $(f,g):X\to Y\times Z$ aussi.
* Montrer que ${\cal {T}}_{Y}\otimes {\cal {T}}_{Z}$ est la plus petite tribu sur $Y\times Z$ telle que les projections $p:Y\times Z\to Y$ et $q:Y\times Z\to Z$ soient mesurables.
* Montrer que la propriété précédente, pour une tribu ${\cal {T}}$ sur $Y\times Z$, équivaut à : si $(f,g):X\to (Y\times Z,{\cal {T}})$ est mesurable alors $f:X\to Y$ et $g:X\to Z$ aussi.
* Déduire de tout ce qui précède une caractérisation de ${\cal {T}}_{Y}\otimes {\cal {T}}_{Z}$.
* Soient $f:X\to Y$ et $g:X\to Z$ mesurables alors $(f,g):X\to Y\times Z$ l'est aussi lorsque $Y\times Z$ est muni de la tribu produit (ou a fortiori d'une tribu plus petite), car $(f,g)^{-1}(A\times B)=f^{-1}(A)\cap g^{-1}(B)$. Réciproquement, soit $X=Y\times Z$ muni de la tribu ${\cal {T}}_{Y}\otimes {\cal {T}}_{Z}$, alors les projections $p:X\to Y$ et $q:X\to Z$ sont mesurables. Or $(p,q)=id:X\to (Y\times Z,{\cal {T}})$ est mesurable si et seulement si ${\cal {T}}\subset {\cal {T}}_{Y}\otimes {\cal {T}}_{Z}$.
* On a déjà dit que $p,q$ sont mesurables lorsque $Y\times Z$ est muni de la tribu produit (ou a fortiori d'une tribu plus grosse). Réciproquement, si $p,q$ sont mesurables lorsque $Y\times Z$ est muni d'une tribu ${\cal {T}}$, alors ${\cal {T}}$ doit contenir les $p^{-1}(A)=A\times Z$ pour $A\in {\cal {T}}_{Y}$ et les $q^{-1}(B)=Y\times B$ pour $B\in {\cal {T}}_{Z}$, donc leurs intersections $A\times B$, donc la tribu produit.
* $2\Rightarrow 3$ par composition, car $f=p\circ (f,g)$ et $g=q\circ (f,g)$. Réciproquement, $3\Rightarrow 2$ en prenant $X=Y\times Z$ muni de la tribu ${\cal {T}}$ et $(f,g)=\mathrm {id} _{X}$.
* C'est l'unique tribu ${\cal {T}}$ sur $Y\times Z$ telle que $\forall f:X\to Y\quad \forall g:X\to Z\quad \left[f,g{\text{ mesurables }}\Leftrightarrow (f,g){\text{ mesurable}}\right]$.
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