# Systèmes et représentations/Représentation des systèmes

On ne considérera que les systèmes linéaires, continus et invariants.

## Équation différentielle
### Représentation

L'évolution d'un système dynamique linéaire et invariant est généralement représenté par un système d'équations différentielles à coefficients constants liant les grandeurs d'entrée et de sortie. Dans le cas d'une seule équation différentielle linéaire, de la forme : $a_{n}{\frac {d^{n}\,s(t)}{dt^{n}}}+\ldots +a_{1}{\frac {d\,s(t)}{dt}}+a_{0}\,s(t)=b_{m}{\frac {d^{m}e(t)}{dt^{m}}}+\ldots +b_{1}{\frac {d\,e(t)}{dt}}+b_{0}\,e(t)$, avec n>m, n est appelé ordre du système.
On a également : $a_{i}\in \mathbb {R} ,\;i\in \mathbb {N} \times \left[0;n\right]$ et $b_{i}\in \mathbb {R} ,\;i\in \mathbb {N} \times \left[0;m\right]$.

### Résolution "classique"

Classiquement, une équation différentielle se résout en trois étapes :
* la résolution de l'équation sans second membre (solution générale), qui représente la solution transitoire du phénomène ;
* la détermination d'une solution particulière de l'équation avec second membre, qui représente la composante permanente du phénomène physique ;
* la solution "totale" est alors obtenue en réalisant la somme des deux solutions précédentes.

#### Résolution par transformation de Laplace

La méthode par transformation de Laplace permet de ramener l'équation différentielle à une équation polynomiale algébrique en tenant compte des conditions initiales.
La résolution est donc aisée. Par transformation inverse de Laplace, on peut retrouver la solution temporelle.

## Transformation de Laplace
### Définition

On appelle transformée de Laplace bilatérale d'une fonction de la variable temps f la fonction F de la variable p définie de la façon suivante :
$F(p)=\int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\times e^{-p\times t}\,dt$ avec $p=\sigma +j.\omega$ et $\sigma >\sigma _{0}$ ($\sigma _{0}$ étant l'abscisse de convergence).
Pour une fonction causale, la transformée de Laplace est dite monolatérale, et on a :
$F(p)=\int _{0}^{+\infty }f(t)\times e^{-p\times t}\,dt$ avec $p=\sigma +j.\omega$ et $\sigma >\sigma _{0}$ ($\sigma _{0}$ étant l'abscisse de convergence).
Dans toute la suite, on notera les fonctions du domaine temporel en minuscules, et les fonctions du domaine de Laplace (domaine symbolique) en majuscules.
Si ${\mathcal {L}}\left[f(t)\right]=F(p)$, on dit que F est la transformée de Laplace de f.
Si ${\mathcal {L}}^{-1}\left[F(p)\right]=f(t)$, on dit que f est la transformée inverse de Laplace de F (ou l'original de F).

### Propriétés
#### Unicité

À une fonction temporelle f donnée correspond une unique fonction F du domaine symbolique, et à une fonction F du domaine symbolique correspond une unique fonction temporelle f.

#### Linéarité

$\forall \left(\lambda ,\mu \right)\in \mathbb {R} ^{2},\;{\mathcal {L}}\left[\lambda \times f_{1}(t)+\mu \times f_{2}(t)\right]=\lambda \times {\mathcal {L}}\left[f_{1}(t)\right]+\mu \times {\mathcal {L}}\left[f_{2}(t)\right]$

### Théorèmes fondamentaux
#### Théorème du facteur d'échelle

${\mathcal {L}}\left[f(a\times t)\right]={\frac {1}{a}}\times F\left({\frac {p}{a}}\right)$

#### Théorème du retard

${\mathcal {L}}\left[f(t-\tau )\right]=e^{-\tau \times p}\times F(p)$

#### Théorème de l'amortissement (ou décalage fréquentiel)

${\mathcal {L}}\left[f(t)\times e^{-\omega \times t}\right]=F(p+\omega )$

#### Théorème de dérivation par rapport au temps

* Dérivée première : ${\mathcal {L}}\left[{\frac {d\,f(t)}{dt}}\right]=p\times F(p)-f(O^{+})$
* Dérivée seconde : ${\mathcal {L}}\left[{\frac {d^{2}\,f(t)}{dt^{2}}}\right]=p^{2}\times F(p)-p\times f(0^{+})-f'(0^{+})$
On note :
* $f(0^{+})={\underset {t{\xrightarrow {t>0}}0}{\operatorname {lim} }}f(t)$
* $f'(0^{+})={\underset {t{\xrightarrow {t>0}}0}{\operatorname {lim} }}f'(t)$

#### Théorème d'intégration par rapport au temps

Si ${\mathcal {L}}\left[f(t)\right]=F(p)$ et $f(t)={\frac {d\,g(t)}{dt}}$, alors ${\mathcal {L}}\left[{\frac {d\,g(t)}{dt}}\right]=F(p)=p\times G(p)-g(0^{+})$.
Ainsi : $G(p)={\frac {F(p)}{p}}+{\frac {g(0^{+})}{p}}$
À noter que si les conditions initiales sont nulles (conditions de Heaviside), c'est-à-dire le système est causal, alors :
* dériver dans le domaine temporel revient à multiplier par p dans le domaine symbolique ;
* intégrer dans le domaine temporel revient à diviser par p dans le domaine symbolique.

#### Théorème du produit de convolution

${\mathcal {L}}\left[\int _{0}^{t}f(t-\tau )\times g(\tau )\,dt\right]=F(p)*G(p)$
* $\int _{0}^{t}f(t-\tau )\times g(\tau )\,dt$ est appelé produit de convolution de f par g et est noté $\left(f*g\right)(t)$
* $\tau$ est appelé variable muette
Attention : le produit de deux fonctions du temps n'a pas pour transformée de Laplace le produit des transformées : ${\mathcal {L}}\left[f(t)\times g(t)\right]\neq F(p)\times G(p)$

#### Théorème de la valeur initiale

${\underset {t\rightarrow 0}{\operatorname {lim} }}f(t)={\underset {p\rightarrow +\infty }{\operatorname {lim} }}p\times F(p)$

#### Théorème de la valeur finale

${\underset {t\rightarrow +\infty }{\operatorname {lim} }}f(t)={\underset {p\rightarrow 0}{\operatorname {lim} }}p\times F(p)$

#### Autres transformations

* ${\mathcal {L}}\left[\int _{0}^{t}f(u)\,du\right]={\frac {F(p)}{p}}$
* ${\mathcal {L}}\left[-t\,f(t)\right]=F'(p)$
* ${\mathcal {L}}\left[t^{2}\,f(t)\right]=F''(p)$
De façon plus générale:
* ${\mathcal {L}}\left[t^{n}\,f(t)\right]=(-1)^{(n)}F^{(n)}(p)$

### Transformées usuelles

| f(t) | F(p) |
| $\delta (t)$ (Dirac) | 1 |
| 1 | ${\frac {1}{p}}$ |
| $\sin(\omega t)$ | ${\frac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}$ |
| $\cos(\omega t)$ | ${\frac {p}{p^{2}+\omega ^{2}}}$ |
| $t^{n}\;(n\in \mathbb {N} )$ | ${\frac {n!}{p^{n+1}}}$ |
| $e^{-a\times t}$ | ${\frac {1}{p+a}}$ |
| $\operatorname {sh} (\omega t)$ | ${\frac {\omega }{p^{2}-\omega ^{2}}}$ |
| $\operatorname {ch} (\omega t)$ | ${\frac {p}{p^{2}-\omega ^{2}}}$ |
| Fonctions d'entrée courantes | Fonction de transfert |