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# Latin/Grammaire/Conjugaison/Imparfait

Nous allons étudier ici comment conjuguer des verbes à l'imparfait.
Radical du présent + éventuelle voyelle de liaison ē + "bā" + les désinences personnelles.
remarque : à la 3e , 4e et 5e conjugaison, on rajoute la voyelle "ē" derrière le radical.

## Les désinences

* 1ère sg : -m (comparer avec le grec ancien -ν)
* 2e sg : -s (comparer avec le grec ancien -ς)
* 3e sg : -t (comparer avec le grec ancien -τ)
* 1ère plur : -mus (comparer avec le grec ancien -μεν)
* 2e plur : -tis (comparer avec le grec ancien -τε)
* 3e plur : -nt (comparer avec le grec ancien -ντ)

## Tableau de l'imparfait

| 1re conjugaison : amā-re : aimer | 1re conjugaison : amā-re : aimer | 2e conjugaison : monē-re : avertir, conseiller (ici avertir) | 2e conjugaison : monē-re : avertir, conseiller (ici avertir) |
| amā-ba-m amā-bā-s amā-ba-t amā-bā-mus amā-bā-tis amā-ba-nt | j'aimais tu aimais il aimait nous aimions vous aimiez ils aimaient | monē-ba-m monē-bā-s monē-ba-t monē-bā-mus monē-bā-tis monē-ba-nt | j'avertissais tu avertissais il avertissait nous avertissions vous avertissiez ils avertissaient |
3e conjugaison : leg-e-re : lire :
| leg-ē-ba-m leg-ē-bā-s leg-ē-ba-t leg-ē-bā-mus leg-ē-bā-tis leg-ē-ba-nt | je lisais tu lisais il lisait nous lisions vous lisiez ils lisaient |
| 4e conjugaison : audī-re : entendre | 4e conjugaison : audī-re : entendre | 5e conjugaison : cape-re : prendre | 5e conjugaison : cape-re : prendre |
| audi-ē-ba-m audi-ē-bā-s audi-ē-ba-t audi-ē-bā-mus audi-ē-bā-tis audi-ē-ba-nt | j'entendais tu entendais il entendait nous entendions vous entendiez ils entendaient | capi-ē-ba-m capi-ē-bā-s capi-ē-ba-t capi-ē-bā-mus capi-ē-bā-tis capi-ē-ba-nt | je prenais tu prenais il prenait nous prenions vous preniez ils prenaient |

## Sum, possum et prosum

esse : être :
| er-a-m er-ā-s er-a-t er-ā-mus er-ā-tis er-a-nt | j'étais tu étais il était nous étions vous étiez ils étaient |
| posse : pouvoir | posse : pouvoir | prōsum : être utile | prōsum : être utile |
| pot-er-a-m pot-er-ā-s pot-er-a-t pot-er-ā-mus pot-er-ā-tis pot-er-a-nt | je pouvais tu pouvais il pouvait nous pouvions vous pouviez ils pouvaient | prōd-er-a-m prōd-er-ā-s prōd-er-a-t prōd-er-ā-mus prōd-er-ā-tis prōd-er-a-nt | j'étais utile tu étais utile il était utile nous étions utiles vous étiez utiles ils étaient utiles |
Le formation de l'imparfait du verbe esse se fait ainsi : - au radical es-, on rajoute la voyelle -ā- (qui indique le passé) sans la consonne de liaison -b- - on y ajoute les désinences habituelles - le -s- de esam devient un r entre voyelles : eram. Les composés de esse utilisent donc la forme -era- pour leur conjugaison
| Particularités | Passif |
# Latin/Grammaire/Conjugaison/Impératif

Il est temps d'étudier le mode de l'impératif, qui possède deux temps : le présent et le futur (qui se construisent sur le thème du présent).

## L'impératif présent

Il ne s'utilise qu’à la deuxième personne :
| esse : être | esse : être | 1re conjugaison : amā-re : aimer | 1re conjugaison : amā-re : aimer | 2e conjugaison : monē-re : avertir, conseiller (ici avertir) | 2e conjugaison : monē-re : avertir, conseiller (ici avertir) |
| es es-te | Sois Soyez | amā amā-te amā-re amā-minī | Aime Aimez Sois aimé Soyez aimés | monē monē-te monē-re monē-minī | Avertis Avertissez Sois averti Soyez avertis |
| 3e conjugaison : leg-e-re : lire | 3e conjugaison : leg-e-re : lire | 4e conjugaison : audī-re : entendre | 4e conjugaison : audī-re : entendre | 3è conjugaison mixte : cape-re : prendre | 3è conjugaison mixte : cape-re : prendre |
| leg-e leg-i-te leg-e-re leg-i-minī | Lis Lisez Sois lu Soyez lus | audī audī-te audī-re audī-minī | Entends Entendez Sois entendu Soyez entendus | cape capi-te cape-re capi-minī | Prends Prenez Sois pris Soyez pris |
1) Le ĭ passe à ӗ devant r, d'où les formes : legere et capere (et non legire et capire). Le ĭ passe également à ӗ en final, d'où les formes : lege et cape (et non legi et capi). 2) A l'impératif présent, contrairement aux autres temps, la désinence passive de la deuxième personne du singulier est toujours -re, jamais -ris.
* Il existe quatre verbes de la troisièmes conjugaison dont la deuxième personne du singulier à l'actif ne prend pas de voyelle thématique : dīcere (dire), dūcere (conduire), facere (faire) et ferre (porter, irrégulier) qui font respectivement : dīc, dūc, fac et fer

## L'impératif futur

Il ne s'utilise qu’à la deuxième et troisième personne, mais ne possède pas de deuxième personne du pluriel au passif :
| esse : être | 1re conjugaison : amā-re : aimer | 2e conjugaison : monē-re : avertir, conseiller (ici avertir) | 3e conjugaison : leg-e-re : lire | 4e conjugaison : audī-re : entendre | 3e conjugaison mixte : cape-re : prendre |
| es-tō es-tō es-tō-te s-u-ntō | amā-tō amā-tō amā-tō-te ama-ntō amā-tor amā-tor / ama-ntor | monē-tō monē-tō monē-tō-te mone-ntō monē-tor monē-tor / mone-ntor | leg-i-tō leg-i-tō leg-i-tō-te leg-u-ntō leg-i-tor leg-i-tor / leg-u-ntor | audī-tō audī-tō audī-tō-te audi-u-ntō audī-tor audī-tor / audi-u-ntor | capi-tō capi-tō capi-tō-te capi-u-ntō capi-tor capi-tor / capi-u-ntor |
L'impératif futur est d'un emploi assez rare. Il peut se traduire par un impératif présent dans le futur ( Amātō ! : Aime demain !). Mais il peut aussi avoir le sens concessif (Estō ! : Soit !)
| Futur Antérieur | Subjonctif1 |
# Latin/Grammaire/Conjugaison/Parfait

Cette leçon vise à utiliser le temps des contes, des histoires. Le parfait est utilisé pour une action passée achevée au moment présent.

## Rappel : les temps primitifs

Il est impossible de conjuguer un verbe en latin sans connaître ses temps primitifs. C'est la forme sous laquelle vous trouverez un verbe dans un lexique.

### Formation

En latin , les temps primitifs doivent être mémorisés car, la plupart du temps, il n'y a pas de règle.
reddō, reddis, reddere, reddidī, redditum : rendre
currō, curris, currere, cucurrī, cursum : courir
Cependant: pour la plupart des verbes de la 1re conjugaison, il suffit de rajouter un -vī / tum au radical :
amō, amās, amāre, amāvī, amātum : aimer
putō, putās, putāre, putāvī, putātum : penser
Attention ! Deux irréguliers fréquents : dare (dedī/datum), donner, et stāre (stetī/stātum), se tenir debout.

## Tableau de l'indicatif parfait actif

Pour conjuguer au parfait, il suffit d’utiliser le radical du parfait (amāv-) et d'ajouter les finales du parfait. (ī, istī, it, imus, istis, ērunt), même pour les verbes irréguliers (esse : fuī,fuistī,...).
conjugaison : amā-re : aimer :
| amāv-ī amāv-istī amāv-it amāv-imus amāv-istis amāv-ērunt | j'aimai tu aimas il aima nous aimâmes vous aimâtes ils aimèrent |
À la troisième personne du pluriel, l’on trouve généralement -ērunt, parfois -ēre mais rarement -erunt avec le e bref.

## Traduction

Le Parfait est un temps du passé. Cette appellation ne se retrouve que dans quelques temps en français : Plus-que-Parfait, Imparfait. Pour une traduction basique, on utilise le passé composé ou le passé simple (ou plus rarement le passé antérieur). Nous verrons le sens premier du parfait dans la prochaine leçon.
Mais il arrive qu'une forme verbale prête à confusion.
Domus incendit.
On peut décomposer le verbes de deux façons :
incend-i-t = La maison brûle. / incend-it = La maison brûla.
Il faut donc regarder le contexte pour savoir s'il faut traduire par un présent ou un passé.
| Passif | Passé passif |
# Dérivation/Objectifs

* Définir rigoureusement les notions de nombre dérivé et de fonction dérivée.
* Maîtriser toutes les règles de manipulation des fonctions dérivées.
* Apporter un entraînement intensif sur tout ce qui touche à la dérivation.
# Dérivation/Exercices/Restitution organisée de connaissances
## Exercice 1-1

La formule donnant la dérivée du produit de deux fonctions dérivables est supposée connue.
On a énoncé ci-dessous deux propositions désignées par $P$ et $Q$. Dire pour chacune d'elles si elle est vraie ou fausse et justifier.
Dans cet exercice, $n$ désigne un entier naturel strictement supérieur à $1$.
$P:$ Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par $f(x)=x^{n}$ ; alors $f$ est dérivable sur $\mathbb {R}$, de dérivée $f'$ donnée sur $\mathbb {R}$ par $f'(x)=n.x^{n-1}$.
$Q:$ Soit $u$ une fonction dérivable sur $\mathbb {R}$ et soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par $f(x)=u^{n}$ ; alors $f$ est dérivable sur $\mathbb {R}$, de dérivée $f'$ donnée sur $\mathbb {R}$ par $f'(x)=u'.n.u^{n-1}$.
| Sommaire | Calcul de dérivées |
# Dérivation/Post-notions

* Étude et tracé d'une fonction
* Le chapitre « Dérivabilité » de la leçon sur les fonctions d'une variable réelle approfondit celui-ci.
* La dérivation est un outil extrêmement utile pour construire des modèles mathématiques : c’est la base des équations différentielles
* La dérivation est un outil puissant pour l'étude de fonctions tant au niveau global que local (développements limités…)
* La notion de dérivée se généralise dans des espaces de dimension supérieure. Consulter le cours de calcul différentiel. Pour une approche plus proche de la physique, consulter le cours sur la notion de différentielle en physique
* L'outil de dérivation a également une application dans le calcul des incertitudes en physique
# Dérivation/Exercices/Tangente à une courbe
## Exercice 4-1

Soit $f$ une fonction définie par :
$f(x)=x^{2}-3x+5$
Calculer la tangente à la courbe représentative de la fonction au point d'abscisse $x_{0}=2$.
Le coefficient directeur de la tangente est donné par la dérivée, calculons donc la dérivée :
$f'(x)=2x-3$
Si $y=ax+b$ est l'équation de la tangente, on aura donc :
$a=f'(x_{0})=f'(2)=2\times 2-3=1$
Le point de la courbe d'abscisse $2$ a pour ordonnée :
$y_{0}=f(2)=2^{2}-3\times 2+5=3$
La tangente passe donc par le point de coordonnées $(2,\,3)$, on en déduit :
$b=y_{0}-ax_{0}=3-1\times 2=1$
L'équation de la tangente est donc :
$y=x+1$

## Exercice 4-2

Soit $f$ une fonction définie par :
$f(x)={\frac {x+3}{x+1}}$.
Calculer l'équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $1$.
Le coefficient directeur de la tangente est donné par la dérivée, calculons donc la dérivée :
$f'(x)={\frac {1\times (x+1)-(x+3)\times 1}{(x+1)^{2}}}=-{\frac {2}{(x+1)^{2}}}$
Si $y=ax+b$ est l'équation de la tangente, on aura donc :
$a=f'(1)=-{\frac {2}{2^{2}}}=-{\frac {1}{2}}$
Le point de la courbe d'abscisse $1$ a pour ordonnée :
$f(1)={\frac {1+3}{1+1}}=2$
La tangente passe donc par le point de coordonnées $(1,2)$ ; on en déduit :
$b=f(1)-a\times 1=2+{\frac {1}{2}}={\frac {5}{2}}$.
L'équation de la tangente est donc :
$y=-{\frac {x}{2}}+{\frac {5}{2}}$.

## Exercice 4-3

* Calculer l'équation de la tangente à l'hyperbole d'équation $xy=1$, en un point arbitraire $(a,1/a)$.
* Pour quelles valeurs de $c$ la droite d'équation $y=c-2x$ est-elle tangente à l'hyperbole ?
* Cette hyperbole est la courbe représentative de $f(x)={\frac {1}{x}}$. $f'(a)=-{\frac {1}{a^{2}}}$ donc la tangente a pour équation $y={\frac {1}{a}}-{\frac {1}{a^{2}}}(x-a)$, soit $y=-{\frac {x}{a^{2}}}+{\frac {2}{a}}$.
* D'après la question 1, un réel $c$ est solution s'il existe $a$ tel qu'on ait à la fois $-{\frac {1}{a^{2}}}=-2$ et ${\frac {2}{a}}=c$, c'est-à-dire $a=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}$ et $c=\pm 2{\sqrt {2}}$. Ou directement : l'équation $x(c-2x)=1$ a une racine double si et seulement si son discriminant $c^{2}-8$ est nul…

## Lien externe

« Tangente à une courbe (calculateur en ligne) », sur dcode.fr
| Autour de la dérivée | Applications diverses |
# Dérivation/Prérequis conseillés

* Généralités sur les fonctions
* Limites d'une fonction
Les élèves trouvant cette leçon difficile et souhaitant une approche plus élémentaire ou souhaitant simplement commencer par bien s'entraîner sur des exercices plus simples avant d'attaquer les exercices de cette leçon pourront commencer par étudier la leçon Fonction dérivée qui est théoriquement plus simple car destinée à des élèves des sections non scientifiques.
# Littérature de jeunesse en anglais : Vaclar Tille, Petit Tom/Chrysomela

| Excursions | La ville des fourmis |
* La coccinelle
* La libellule
* Traversée sur le dos de l’insecte.
* Le banquet
* Petit Tom et Chrysomela
* La visite de sept points.
* Petit Tom est invité à visiter le royaume des sept points.
* Il embarque sur une libellule et débarque au bord de l'étang dans la forêt.
* Le banquet sur la feuille de nénuphar.
* Petit Tom est proclamé roi du royaume des sept points.
* Il retrouve Chrysomela. Le festival.
* La visite des cloportes
* La maison dans le trou du hêtre creux.
| Excursions | La ville des fourmis |
# Littérature de jeunesse en anglais : Vaclar Tille, Petit Tom/Objectifs

* En lien avec Princesse Personne
* Une version tchèque des contes de Grimm sur Tom Pouce.
* Micromegas de Voltaire
* Gulliver chez les petits hommes
* Microcosmos, le peuple de l'herbe
# Littérature de jeunesse en anglais : Vaclar Tille, Petit Tom

| Chap. 1 : | Petit Tom |
| Chap. 2 : | Petit Tom et sa marraine |
| Chap. 3 : | Voyage autour du monde |
| Chap. 4 : | Le château enchanté |
| Chap. 5 : | Aventures dans le jardin |
| Chap. 6 : | Excursions |
| Chap. 7 : | Chrysomela |
| Chap. 8 : | La ville des fourmis |
| Chap. 9 : | La guerre des fourmis |
| Chap. 10 : | Prisonnier puis libéré |
| Chap. 11 : | La mort de Chrysomela |
Sur les autres projets Wikimedia :
* Couverture du livre publié en 1922
* Page de présentation
Petit Tom est une version en anglais des contes traditionnels sur Tom Pouce. Le livre de 144 pages a été publié à Prague en 1922 par le Professeur Václav Tille (1867-1937) et abondamment illustré par Otakar Štáfl (1884-1945).
L'ouvrage est dans le domaine public. Il est téléchargeable sur le site d'archive.org.
* Les cinquante illustrations, presque toutes en couleurs, ont été importées sur Wikimedia Commons.
* La traduction du texte est en cours de rédaction et sera déposée sous licence cc-by-sa sur Wikimedia Commons.
* Dix épisodes :
* Petit Tom (3 046 mots)
* Petit Tom et sa marraine (2 861 mots)
* Voyage autour du monde (3 477 mots)
* Le château enchanté (2 240 mots)
* Aventures dans le jardin (2 700 mots)
* Excursions
* Chrysomela
* La ville des fourmis
* La guerre des fourmis
* Prisonnier puis libéré
* La mort de Chrysomela
* Écouter l'histoire en français :
* Regarder le diaporama en français

## S'informer sur le conte merveilleux et l'illustrateur

* Broucci, les merveilleux insectes humanoïdes de Jan Karafiát (1846-1929), illustré par Otakar Štáfl. Traduit en anglais sous le titre Fireflies en 1942,

## Lire le texte d'origine en anglais

* sur Archive.org

## Objectifs

Les objectifs de ce livre sont :
* En lien avec Princesse Personne
* Une version tchèque des contes de Grimm sur Tom Pouce.
* Micromegas de Voltaire
* Gulliver chez les petits hommes
* Microcosmos, le peuple de l'herbe
ces objectifs.
# Littérature de jeunesse en anglais : Vaclar Tille, Petit Tom/Excursions

| Aventures dans le jardin | Chrysomela |
* La toile d'araignée
* Petit Tom se fait engloutir par une truite.
* Invitation à boire et à trinquer.
* Petit Tom s'abrite dans le sabot.
* Les excursions de Petit Tom
* L'expédition de Petit Tom autour du cottage
* Sa promenade dans le champ de blé
* La toile d'araignée et le combat avec l'araignée
* Petit Tom se retrouve dans la cour avec les poules.
* Il s'échappe et Rover le poursuit.
* Il tombe dans un ruisseau et se fait avaler par une truite qui le recrache sur l'herbe.
* Il se promène dans la prairie avec sa marraine.
* Le bourdon le persuade de se saouler.
| Aventures dans le jardin | Chrysomela |
# Littérature de jeunesse en anglais : Vaclar Tille, Petit Tom/La guerre des fourmis

| La ville des fourmis | Prisonnier puis libéré |
* Préparatifs
* En guerre
* La retraite
* La guerre des fourmis
* Préparatifs de guerre
* Petit Tom devient le commandant de la ville noire.
* L'embuscade des têtes rouges
* La victoire de Petit Tom. À la poursuite de l'ennemi.
* Petit Tom prisonnier.
| La ville des fourmis | Prisonnier puis libéré |
# Littérature de jeunesse en anglais : Vaclar Tille, Petit Tom/La mort de Chrysomela

| Prisonnier puis libéré | Sommaire |
* Petit Tom et Chrysomela
* Chrysomela tombe malade
* Le grand chagrin
* Le traineau de la reine des fées.
* La mort de Chrysomela
* Petit Tom et Chrysomela repartent chez la marraine de Tom.
* Ils se reposent sous l'églantine.
* Le vent les emporte dans un sillon.
* Ils errent dans le noir et rencontrent un hamster dans son terrier.
* Chrysomela tombe malade et meurt. L'enterrement.
* Le hamster transporte Petit Tom dans la neige jusqu'à la chapelle.
* Petit Tom apprend par une souris la mort de sa marraine et va sur sa tombe.
* Il rentre avec le hamster.
* Le traineau de la reine des fées.
| Prisonnier puis libéré | Sommaire |
# Littérature de jeunesse en anglais : Vaclar Tille, Petit Tom/La ville des fourmis

| Chrysomela | La guerre des fourmis |
* Les larves
* La ville
* Réserves.
* La ville des fourmis
* Petit Tom rentre dans la cité des fourmis.
* Mirmex lui parle du royaume des fourmis.
* L'accueil. La randonnée dans la ville.
* Les larves et les chrysalides
* Myrmex parle des têtes rouges et de leurs esclaves.
* La ville désertée.
* Les réserves, les étables et les couveuses.
| Chrysomela | La guerre des fourmis |
# Fonctions circulaires réciproques/Fonction arcsin

La fonction sinus est une surjection de $\mathbb {R}$ vers $[-1,1]$. Elle devient bijective si l'on ne considère que les angles compris dans un intervalle de la forme $I_{k}:=\left[-{\frac {\pi }{2}}+k\pi ,{\frac {\pi }{2}}+k\pi \right],\ k\in \mathbb {Z}$, car sa restriction à $I_{k}$ est strictement monotone donc injective. On choisit l'intervalle le plus simple ($I_{0}$), et l'on peut alors définir l'application réciproque de cette fonction :

## La fonction arc sinus

On appelle arcsinus, et l'on note $\arcsin$, la bijection de $[-1,1]$ dans $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$ qui,
à tout réel $x\in [-1,1]$, associe l'unique réel $\theta \in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$ tel que $\sin(\theta )=x$
Autrement dit :
$\arcsin(x)=\theta \Leftrightarrow x=\sin(\theta )\quad {\text{et}}\quad \theta \in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$
La courbe représentative de $\arcsin$ se déduit de celle de la fonction sinus (restreinte à $I_{0}$) par une symétrie axiale par rapport à la première bissectrice du repère :
* $\forall \theta \in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]\quad \arcsin(\sin(\theta ))=\theta$
* $\forall x\in \left[-1,1\right]\quad \sin(\arcsin(x))=x$

## Variations

Puisque $\sin$ est continue et strictement croissante sur $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$, on a :
La fonction $\arcsin$ est continue et strictement croissante sur $[-1,1]$.
Tableau de variation :
| $x$ | $-1$ $+1$ |
| $\arcsin(x)$ | $+{\frac {\pi }{2}}$ $\nearrow$ $-{\frac {\pi }{2}}$ |

## Dérivée

La fonction $\arcsin$ est dérivable sur $\left]-1,1\right[$ et
$\forall x\in \left]-1,1\right[\quad \arcsin '(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
| Sommaire | Fonction arccos |
# Fonctions circulaires réciproques/Prérequis conseillés

Fonctions circulaires
# Fonctions circulaires réciproques/Post-notions

Exercices, dont certains corrigés : « 126.01 Fonctions circulaires inverses », sur exo7 (sélectionner d'abord L1 Analyse, puis 126 Fonctions circulaires et hyperboliques)
# Fonctions circulaires réciproques/Fonction arctan
## La fonction arc tangente

La fonction tangente étant strictement croissante et continue sur $\left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$, et de limites infinies aux bornes, à chaque réel $b$ correspond un unique nombre $a$ de $\left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$ tel que : $\tan(a)=b$
On note : $a=\arctan(b)$
On a tracé ci-dessous la courbe représentative de $\arctan$ sur $\mathbb {R}$. Elle se déduit de celle de tangente par une symétrie axiale par rapport à la première bissectrice du repère.

## Variations

La fonction $\arctan$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb {R}$.
Tableau de variation :
| x | $-\infty$ $+\infty$ |
| $\arctan(x)$ | $+{\frac {\pi }{2}}$ $\nearrow$ $-{\frac {\pi }{2}}$ |

## Dérivée

La fonction $\arctan$ est dérivable sur $\mathbb {R}$ et :
$\forall x\in \left]-\infty ,+\infty \right[\quad \arctan '(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$

## Somme de deux arctan

Si $xy\neq 1$,
    $\arctan(x)+\arctan(y)=\arctan \left({\frac {x+y}{1-xy}}\right)+k\pi$
où
    $k={\begin{cases}0&{\text{si }}xy<1\\1&{\text{si }}xy>1{\text{ avec }}x{\text{ (et }}y{\text }}>0\\-1&{\text{si }}xy>1{\text{ avec }}x{\text{ (et }}y{\text }}<0\end{cases}}$
| Fonction arccos | Sommaire |
# Fonctions circulaires réciproques/Objectifs

Bien connaître les propriétés des fonctions réciproques des fonctions trigonométriques.
# Fonctions circulaires réciproques/Exercices/Fonction arctan
## Exercice 2-1

Soit $a$ un réel fixé.
* Étudier les variations de la fonction :
    $f:x\mapsto \arctan {\frac {a+x}{1-ax}}-\arctan x$.
* En déduire que pour tout réel $b$ tel que $ab<1$,
    $\arctan a+\arctan b=\arctan {\frac {a+b}{1-ab}}$.
* Que dire si $ab\geq 1$ ?
Le cas $a=0$ étant immédiat, supposons désormais $a\neq 0$.
* La fonction $f$ est définie sur $D=\left]-\infty ,1/a\right[\cup \left]1/a,+\infty \right[$, et dérivable :
    ${\begin{aligned}f'(x)&=\left({\frac {\left({\frac {a+x}{1-ax}}\right)'}{1+\left({\frac {a+x}{1-ax}}\right)^{2}}}\right)-{\frac {1}{1+x^{2}}}\\&=\left({\frac {\frac {1-ax-(a+x)(-a)}{(1-ax)^{2}}}{\frac {(1-ax)^{2}+(a+x)^{2}}{(1-ax)^{2}}}}\right)-{\frac {1}{1+x^{2}}}\\&={\frac {1+a^{2}}{(1-ax)^{2}+(a+x)^{2}}}-{\frac {1}{1+x^{2}}}\\&={\frac {(1+a^{2})(1+x^{2})-(1-ax)^{2}-(a+x)^{2}}{(1+x^{2})\left((1-ax)^{2}+(a+x)^{2}\right)}}\\&={\frac {(1+a^{2})(1+x^{2})-(1-ax)^{2}-(a+x)^{2}}{(1+x^{2})\left((1-ax)^{2}+(a+x)^{2}\right)}}\\&=0.\end{aligned}}$
    La fonction $f$ est donc constante sur chacune des deux demi-droites ($ax<1$, $ax>1$) dont $D$ est la réunion.
* On en déduit que pour tout $b$ tel que $ab<1$, $f(b)=f(0)=\arctan a$, ce qui prouve l'égalité annoncée.
* Par passage à la limite quand $x$ tend vers l'une des deux bornes (au choix) de la demi-droite $ax<1$, on en déduit également :
    $\arctan a+\arctan {\frac {1}{a}}={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}}&{\text{si }}a>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\text{si }}a<0.\end{cases}}$
    Puis, lorsque $ab>1$, on obtient de même (en calculant, en l'une des deux extrémités au choix, la valeur constante de $f$ sur l'autre demi-droite, $ax>1$) :
    $\arctan a+\arctan b=\arctan {\frac {a+b}{1-ab}}+{\begin{cases}+\pi &{\text{si }}a>0\\-\pi &{\text{si }}a<0.\end{cases}}$

### Remarque

    Les formules pour $ab\neq 1$ ont été démontrées en cours par une méthode bien plus directe, qui permet aussi de démontrer la formule pour $ab=1$.

## Exercice 2-2

On se propose d'établir, par deux méthodes différentes : $\forall t>0\quad \arctan t>{\frac {t}{1+t^{2}}}$.
* Étudier les variations sur $\mathbb {R} _{+}$ de la fonction $f(t)=\arctan t-{\frac {t}{1+t^{2}}}$ et en déduire le résultat.
* Montrer que la fonction $\arctan$ vérifie les hypothèses du théorème des accroissements finis sur $[0,t]$ et en déduire le même résultat.
* $f'(t)={2t^{2} \over (1+t^{2})^{2}}>0$ et $f(0)=0$ donc $f>0$ sur $\mathbb {R} _{+}^{*}$.
* $\exists s\in \left]0,t\right[\quad {\frac {\arctan t}{t}}={\frac {1}{1+s^{2}}}>{\frac {1}{1+t^{2}}}$.
| Résolution d'équations | Fonction arccos |
# Fonctions circulaires réciproques/Présentation de la leçon

On étudie dans cette leçon les fonctions réciproques des fonctions trigonométriques circulaires usuelles.