# Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Récurrence affine d'ordre 2

Les deux premiers exercices visent à vérifier votre assimilation des résultats du cours : les équations y sont proposées sous une forme simple qui vous permet d’utiliser directement les théorèmes développés dans la leçon.
Les exercices suivants seront moins « automatiques » et nécessiteront la recherche et la mise en équation du problème, la résolution étant supposée acquise.

## Exercice 1

Soit $\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ une suite telle que :
    $\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad {\frac {1}{4}}a_{n}+{\frac {1}{2}}a_{n-1}+1=0$.
* Exprimer $a_{n}$ en fonction de n et $a_{0}$.
* La suite converge-t-elle ? Si oui, quelle est sa limite ?
1. La relation de récurrence peut également s'écrire
    $\forall n\in \mathbb {N} \quad a_{n+1}=-2a_{n}-4$.
Il s'agit d'une suite récurrente affine d'ordre 1, de la forme
    $a_{n+1}=\alpha a_{n}+\beta$ avec $\alpha =-2\neq 1$ et $\beta =-4$
L'expression explicite de $\left(a_{n}\right)$ est alors :
    $\forall n\in \mathbb {N} \quad a_{n}=\alpha ^{n}(a_{0}-r)+r$ avec $r={\frac {\beta }{1-\alpha }}=-{\frac {4}{3}}$,
c'est-à-dire :
    $a_{n}=(-2)^{n}\left(a_{0}+{\frac {4}{3}}\right)-{\frac {4}{3}}$.
2. La convergence de $\left(a_{n}\right)$ dépend alors de la valeur de $a_{0}$ :
* Si $a_{0}=-{\frac {4}{3}}$, la suite stationne à $-{\frac {4}{3}}$, donc elle converge vers $-{\frac {4}{3}}$.
* Si $a_{0}\neq -{\frac {4}{3}}$, la suite n'a pas de limite.

## Exercice 2

* Soit $(u_{n})$ la suite définie par : $u_{0}=u_{1}=1,\quad 5u_{n+2}-4u_{n+1}-u_{n}=3$. Exprimer $u_{n}$ en fonction de n. Quelle est la limite de cette suite ?
* Soit $(v_{n})$ la suite définie par : $v_{0}=1,v_{1}=-1,\quad {\frac {1}{2}}v_{n+1}-v_{n}={\frac {2}{3}}\left(v_{n+2}-5\right)$. Exprimer $v_{n}$ en fonction de n.
* On commence par résoudre l'équation linéaire associée à cette récurrence affine : $5t_{n+2}-4t_{n+1}-t_{n}=0$.
* Le polynôme caractéristique associé est $P(X)=5X^{2}-4X-1$.
* Le discriminant de P vaut $\Delta =16-4~(-1)~5=36$ donc P admet deux racines réelles $r_{1}=1$ et $r_{2}=-{\frac {1}{5}}$.
* L'ensemble des solutions de l'équation linéaire est alors constitué des suites $(t_{n})$ de la forme $t_{n}=\alpha +\beta \left(-{\frac {1}{5}}\right)^{n}$, avec $(\alpha ,\beta )\in \mathbb {R} ^{2}$.
* On cherche une solution particulière de l'équation de récurrence affine originale.
** On a P(1) = 0. On étudie donc $P'(X)=10X-4$
** $P'(1)\neq 0$ donc la suite $\left({\frac {n}{2}}\right)$ est solution particulière de l'équation de récurrence affine.
* L'ensemble des solutions de l'équation de récurrence affine est alors constitué des suites $(s_{n})$ de la forme $s_{n}=\alpha +\beta \left(-{\frac {1}{5}}\right)^{n}+{\frac {n}{2}}$, avec $(\alpha ,\beta )\in \mathbb {R} ^{2}$.
* On utilise alors les conditions initiales pour trouver l’expression de u$_n$ en trouvant $\alpha$ et $\beta$ :
    ${\begin{cases}1=u_{0}=\alpha +\beta \\1=u_{1}=\alpha -{\frac {\beta }{5}}+{\frac {1}{2}}\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}\alpha +\beta =1\\\alpha -{\frac {\beta }{5}}={\frac {1}{2}}\end{cases}}\Leftrightarrow (\alpha ,\beta )=\left({\frac {7}{12}},{\frac {5}{12}}\right)$.
Finalement : $\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n}={\frac {7}{12}}+{\frac {5}{12}}\left(-{\frac {1}{5}}\right)^{n}+{\frac {n}{2}}$.
$\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n}\geq {\frac {7}{12}}-{\frac {5}{12}}{\frac {1}{5}}+{\frac {n}{2}}$ donc $u_{n}\to +\infty$.
* On commence par résoudre l'équation linéaire associée à cette récurrence affine : $4t_{n+2}-3t_{n+1}+6t_{n}=0$.
* Le polynôme caractéristique associé est $P(X)=4X^{2}-3X+6$.
* Le discriminant de P vaut $\Delta =9-4.4.6=-87$ donc P admet deux racines complexes conjuguées $r_{1}={\frac {3+\mathrm {i} {\sqrt {87}}}{8}}$ et $r_{2}={\frac {3-\mathrm {i} {\sqrt {87}}}{8}}$, de même module $\rho ={\frac {\sqrt {6}}{2}}$ et d'arguments respectifs $\theta =\arctan {\frac {\sqrt {87}}{3}}$ et $-\theta$.
* L'ensemble des solutions de l'équation linéaire est alors constitué des suites $(t_{n})$ de la forme $t_{n}=\rho ^{n}(A\cos(n\theta )+B\sin(n\theta ))$, avec $(A,B)\in \mathbb {R} ^{2}$.
* On cherche une solution particulière de l'équation de récurrence affine originale.
** On a P(1) ≠ 0 donc la suite constante $\left({\frac {20}{7}}\right)$ est solution particulière de l'équation de récurrence affine.
* L'ensemble des solutions de l'équation de récurrence affine est alors constitué des suites $(s_{n})$ de la forme $s_{n}=\rho ^{n}(A\cos(n\theta )+B\sin(n\theta ))+{\frac {20}{7}}$, avec $(A,B)\in \mathbb {R} ^{2}$.
* On utilise alors les conditions initiales pour trouver l’expression de v$_n$ en trouvant A et B :
    ${\begin{cases}1=v_{0}=A+{\frac {20}{7}}\\-1=v_{1}=\rho (A\cos \theta +B\sin \theta )+{\frac {20}{7}}\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}A=-{\frac {13}{7}}\\-{\frac {27}{7}}={\frac {\sqrt {6}}{2}}\left(-{\frac {13}{7}}{\frac {\sqrt {6}}{8}}+B{\frac {\sqrt {58}}{8}}\right)\end{cases}}\Leftrightarrow (A,B)=\left(-{\frac {13}{7}},-{\frac {59{\sqrt {87}}}{203}}\right)$.
Finalement : $\forall n\in \mathbb {N} \quad v_{n}=\left({\frac {\sqrt {6}}{2}}\right)^{n}\left(-{\frac {13}{7}}\cos \left(n\arctan {\frac {\sqrt {87}}{3}}\right)-{\frac {59{\sqrt {87}}}{203}}\sin \left(n\arctan {\frac {\sqrt {87}}{3}}\right)\right)+{\frac {20}{7}}$.

## Exercice 3

Un automate cellulaire est un algorithme qui évolue pas à pas, observant les structures qu’il a déjà produites pour effectuer l'étape suivante. Cet exercice propose d’en étudier un très simple au moyen des suites récurrentes affines d'ordre 2.

### Définition de l'automate

Cet automate prendra deux valeurs, d'indices n et n + 1, et retournera la valeur d'indice n + 2. On incrémente alors n et l'on recommence l'opération.
Les règles sont :
* $(0,0)\mapsto 1$ ;
* $(1,0)\mapsto 0$ ;
* $(0,1)\mapsto 0$.
L'automate reçoit les deux premières valeurs et les complète avec ces règles. Par exemple, si l'on commence avec « 00 », alors il calculera le chiffre suivant (d'après les règles précédentes, c’est un 1). L'automate ne peut traiter que des 0 et des 1. On suppose que le cas « 11 » ne peut débuter la séquence.

### Questions

* Mettre en équation l'automate décrit, sous la forme d'une suite récurrente affine d'ordre 2. Cette mise en équation est-elle unique ?
* Déterminer les solutions réelles de l'équation linéaire associée.
* Montrer que, quels que soient les deux premiers termes de la suite, celle-ci est périodique et ne contient pas deux 1 consécutifs.
* On cherche $a,b,c$ tels que $u_{n+2}=au_{n+1}+bu_{n}+c$, ce qui impose ${\begin{cases}1=a0+b0+c\\0=a0+b1+c\\0=a1+b0+c.\end{cases}}$ L'unique solution est $(a,b,c)=(-1,-1,1)$.
* Les solutions réelles de l'équation linéaire associée $v_{n+2}=-v_{n+1}-v_{n}$ sont $v_{n}=\alpha \cos {\frac {2\pi n}{3}}+\beta \sin {\frac {2\pi n}{3}}$ avec $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$.
* $u_{n}={\frac {1}{3}}+\alpha \cos {\frac {2\pi n}{3}}+\beta \sin {\frac {2\pi n}{3}}$, de période 3. Par ailleurs, si deux termes consécutifs valent 1 alors le suivant vaut $a+b+c=-1$, ce qui est exclu par hypothèse.

### Oublions les règles

Oublions maintenant les règles : il s'agit désormais de mathématiques pures.
* Le cas « 11 » n'est plus exclu : montrer que la solution est toujours périodique ;
* Existe-t-il une solution complexe à l'équation linéaire ? Est-elle bornée ?
* La solution est toujours $u_{n}={\frac {1}{3}}+\alpha \cos {\frac {2\pi n}{3}}+\beta \sin {\frac {2\pi n}{3}}$, de période 3.
* Les solutions complexes de l'équation linéaire associée $v_{n+2}=-v_{n+1}-v_{n}$ sont $v_{n}=\alpha \cos {\frac {2\pi n}{3}}+\beta \sin {\frac {2\pi n}{3}}$ avec $\alpha ,\beta \in \mathbb {C}$. Elles sont donc bornées.
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