# Topologie générale/Continuité et homéomorphismes

Au lycée, on dit d'une fonction qu'elle est continue si on peut la tracer sans lever le crayon. Mais considérons une courbe de longueur infinie : impossible de la tracer avec un crayon ! La notion de continuité s'est clarifiée au XIXe siècle, grâce notamment aux travaux de Cauchy.

## Limite

Soient $X$ et $Y$ deux espaces topologiques, $A$ une partie de $X$, $f:A\to Y$ une application, $a$ un point adhérent à $A$ et $\ell$ un point de $Y$.
On dit que $f$ a pour limite $\ell$ au point $a$ si, pour tout voisinage $V$ de $\ell$, il existe un voisinage $W$ de $a$ tel que $f(W\cap A)\subset V$.
Sous les hypothèses de la définition :
* $\ell$ est nécessairement adhérent à $f(A)$ ;
* si $Y$ est séparé et si une telle limite existe alors elle est unique, ce qui légitime dans ce cas la notation $\lim _{a}f=\ell$.
Pour tout voisinage $W$ de $a$, $f(W\cap A)$ est inclus dans $f(A)$ et (puisque $a\in {\overline {A}}$) non vide, donc :
* pour tout voisinage $V$ de $\ell$, $V\cap f(A)$ est non vide ;
* pour tous voisinages respectifs $V_{1}$ et $V_{2}$ de deux limites $\ell _{1}$ et $\ell _{2}$, $V_{1}\cap V_{2}$ est non vide (ce qui, si l'espace est séparé, prouve que $\ell _{1}=\ell _{2}$). En effet, il existe deux voisinages $W_{1}$ et $W_{2}$ de $a$ tels que $f(W_{i}\cap A)\subset V_{i}$ ; leur intersection $W$ est alors un voisinage de $a$ (donc $f(W\cap A)\neq \varnothing$) et $f(W\cap A)\subset {V_{1}\cap V_{2}}$.

## Continuité en un point

Soient $X$ et $Y$ deux espaces topologiques, $f:X\to Y$ une application et $a$ un point de $X$. On dit que $f$ est continue au point $a$ si $f$ a pour limite $f(a)$ au point $a$.
$f$ est continue au point $a$ si et seulement si l'image réciproque par $f$ de tout voisinage de $f(a)$ est un voisinage de $a$ :
    $\forall V\in {\mathcal {V}}(f(a))\quad f^{-1}(V)\in {\mathcal {V}}(a)$.
Si $f$ est continue au point $a$ et $g$ est continue au point $f(a)$, alors $g\circ f$ est continue au point $a$.
Soit $b=f(a)$. Pour tout $W\in {\mathcal {V}}((g\circ f)(a))={\mathcal {V}}(g(b))$, on a $V:=g^{-1}(W)\in {\mathcal {V}}(b)={\mathcal {V}}(f(a))$ donc $(g\circ f)^{-1}(W)=f^{-1}(V)\in {\mathcal {V}}(a)$.
L'application $\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,\;(x,y)\mapsto {\begin{cases}{\frac {\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}}&{\text{si }}(x,y)\neq (0,0)\\1&{\text{si }}(x,y)=(0,0)\end{cases}}$ est continue au point $(0,0)$ car égale à $g\circ f$, avec $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,\;(x,y)\mapsto x^{2}+y^{2}$ continue au point $(0,0)$ et $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;t\mapsto {\begin{cases}{\frac {\sin t}{t}}&{\text{si }}t\neq 0\\1&{\text{si }}t=0\end{cases}}$ continue au point $f(0,0)=0$.

## Continuité globale

Soient $X$ et $Y$ deux espaces topologiques et $f:X\to Y$ une application.
On dit que $f$ est
* continue (sur $X$) si elle est continue en tout point de $X$ ;
* un homéomorphisme lorsqu'elle est bijective et que $f$ et $f^{-1}$ sont continues.
Les propriétés suivantes sont équivalentes :
* l'application $f$ est continue ;
* l'image réciproque par $f$ de tout ouvert de $Y$ est un ouvert de $X$ ;
* l'image réciproque par $f$ de tout fermé de $Y$ est un fermé de $X$ ;
* pour toute partie $A$ de $X$, $f({\overline {A}})\subset {\overline {f(A)}}$ ;
* pour toute partie $B$ de $Y$, ${\overline {f^{-1}(B)}}\subset f^{-1}({\overline {B}})$ ;
* pour toute partie $C$ de $Y$, $\operatorname {Fr} \left(f^{-1}(C)\right)\subset f^{-1}\left(\operatorname {Fr} (C)\right)$.
* 1 ⇔ 2 : d'après la définition locale, f est continue en a si et seulement si, pour tout ouvert O de Y tel que a appartienne à f$^{–1}$(O), f$^{–1}$(O) est voisinage de a. Donc f est continue en tout point si et seulement si, pour tout ouvert O de Y, f$^{–1}$(O) est voisinage de chacun de ses points, c'est-à-dire est ouvert.
* 2 ⇔ 3 : par passage aux complémentaires.
* 3 ⇒ 5 : en posant G = B.
* 5 ⇒ 4 : en posant B = f(A) et en utilisant le fait que A est inclus dans f $^{–1}$(f(A)).
* 4 ⇒ 3 : en posant A = f $^{–1}$(G) et en utilisant le fait que f(f $^{–1}$(G)) est inclus dans G.
Les propriétés 1 à 5 sont donc équivalentes. Enfin :
* 5 ⇒ 6 : en appliquant 5 à B = C et à B = Y\C et en prenant l'intersection membre à membre de part et d'autre des deux inclusions obtenues ;
* 6 ⇒ 3 : en utilisant qu'une partie est fermée si et seulement si elle contient sa frontière.
1 ⇒ 2 (resp. 1 ⇒ 3) est souvent utile pour démontrer :
* qu'une partie est ouverte (resp. fermée). Par exemple, tout hyperplan affine de $\mathbb {R} ^{n}$ est de la forme $H=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid f(x)=c\}$ avec $c\in \mathbb {R}$ et $f\neq 0$ forme linéaire sur $\mathbb {R} ^{n}$ (nécessairement continue), donc $H$ est un fermé de $\mathbb {R} ^{n}$ ;
* qu'elle ne l'est pas. Par exemple dans $\mathbb {R} ^{2}$, $A:=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid |x|=1,|y|\neq 1\}$ et $B:=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid |x|<1,|xy|=1\}$ ne sont ni ouverts, ni fermés car dans $\mathbb {R}$, $[x\mapsto (x,0)]^{-1}(A)=\{-1,1\}$ et $[x\mapsto (x,2)]^{-1}(B)=\{-1/2,1/2\}$ ne sont pas ouverts et $[y\mapsto (1,y)]^{-1}(A)=\mathbb {R} \setminus \{-1,1\}$ et $[t\mapsto (\mathrm {e} ^{t},\mathrm {e} ^{-t})]^{-1}(B)=\left]-\infty ,0\right[$ ne sont pas fermés.

## Continuité et espaces produits

Soient $(X_{i},{\mathcal {T}}_{i})_{i\in I}$ une famille d'espaces topologiques, $(X,{\mathcal {T}})$ l'espace produit et $Y$ un espace topologique.
* Les projections canoniques $p_{i}:X\to X_{i}\quad (i\in I)$ sont à la fois :
** continues (l'image réciproque d'un ouvert de $X_{i}$ est un ouvert de $X$) ;
** ouvertes (l'image directe d'un ouvert de $X$ est un ouvert de $X_{i}$).
* Une application $f:Y\to X$ est continue si et seulement si ses composantes $p_{i}\circ f:Y\to X_{i}$ le sont.
* Si une application $g:X\to Y$ est continue alors ses applications partielles le sont (l'application partielle associée à un point $a\in X$ et à indice $i$ étant : $X_{i}\to Y,\ t\mapsto g(x)$ où $x_{i}=t$ et $\forall j\neq i\quad x_{j}=a_{j}$).
L'application $\mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )\to \mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} ),\;A\mapsto A^{2}$ est continue car ses $n^{2}$ composantes $\mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )\to \mathbb {R}$ le sont, en tant que fonctions polynomiales (homogènes de degré 2) en les éléments de la matrice.

## Caractérisation séquentielle

Si tout point de $X$ admet une base de voisinages (finie ou) dénombrable — en particulier si $X$ est un espace métrique — on dispose de caractérisations plus intuitives de l'adhérence et de la continuité :
Si tout point de $X$ admet une base dénombrable de voisinages, alors, pour tout point $a$ et toute partie $A$ de $X$ :
* $a$ est adhérent à $A$ (si et) seulement s'il est limite d'une suite d'éléments de $A$ ;
* si $a$ est adhérent à $A$, une application $f:A\to Y$ a pour limite $\ell$ au point $a$ si (et seulement si) pour toute suite $(a_{n})$ dans $A$ de limite $a$, la suite $(f(a_{n}))$ a pour limite $\ell$.
* par conséquent, une application $f:X\to Y$ est continue au point $a$ si (et seulement si) pour toute suite $(a_{n})$ de limite $a$, la suite $(f(a_{n}))$ a pour limite $f(a)$.
Soit $(V_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ une base de voisinages de $a$, que l'on peut supposer décroissante (quitte à remplacer chaque $V_{n}$ par son intersection avec les $V_{m}$ précédents). Le principe est que toute suite $(a_{n})$ telle que $\forall n\in \mathbb {N} \quad a_{n}\in V_{n}$ converge alors vers $a$.
* Si $a$ est adhérent à $A$, comme chaque $V_{n}$ rencontre $A$, on peut choisir a$_{n}\in V_{n}\cap A$.
* Raisonnons par contraposition. Si $\ell$ n'est pas limite de $f$ en $a$, il existe un voisinage $V$ de $\ell$ dont l'image réciproque ne contient aucun $V_{n}\cap A$. En choisissant dans chaque $V_{n}\cap A$ un $a_{n}$ tel que $f(a_{n})\notin V$, on construit une suite de limite $a$ dont l'image n'admet pas $\ell$ pour limite.
| Dénombrabilité | Suites |