# Signaux physiques (PCSI)/Filtrage linéaire : signaux périodiques

Dans ce chapitre, nous revoyons le développement en harmoniques de signaux périodiques, puis
Dans ce chapitre, nous introduisons la notion de puissance électrique moyenne reçue par un dipôle en r.s.f. et enfin
Dans ce chapitre, nous étendons cette notion pour tout régime périodique non sinusoïdal.

## Rappel du théorème de Fourier : décomposition d'un signal périodique en une somme (infinie) de signaux harmoniques

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Joseph Fourier (1768 – 1830) mathématicien et physicien français connu pour ses travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en séries trigonométriques convergentes $\;{\big$évoqués ici${\big )}\;$ et leur application au problème de la propagation de la chaleur $\ldots$

### Énoncé du théorème de Fourier

Toute fonction périodique $\;s(t)$, de fréquence $\;f$, est développable en série de Fourier, c'est-à-dire qu'elle est la somme infinie de fonctions sinusoïdales, de fréquences $\;f_{n}=n\,f,\;n\in \mathbb {N}$, appelées « harmoniques de rang $\;n\;$», le rang $\;n=0\;$ correspondant à la composante continue et le rang $\;n=1\;$ à l'harmonique fondamental.

### 2ème développement en série de Fourier

$\;s(t)$
$\;f$
$\;s(t)=C_{0}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left[C_{n}\,\cos(2\,\pi \,f_{n}\,t+\varphi _{n})\right]\;$
$\;f_{n}=n\,f,\;\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$
$\;C_{0}\;$
$\;C_{n}\,\cos(2\,\pi \,f_{n}\,t+\varphi _{n})\;$
$\;n$
L'ensemble des valeurs «$\;\left\lbrace C_{0},\,\left[C_{n},\,\varphi _{n}\right]_{n\,\in \,\mathbb {N} ^{*}}\right\rbrace \;$» définit alors « la représentation fréquentielle du signal ».

### Harmonique instantané complexe de rang n

On associe à l'« harmonique instantané de rang $\;n\;$ à savoir $\;C_{n}\,\cos \!\left(2\,\pi \,n\,f\,t+\varphi _{n}\right)\;$», l'« harmonique instantané complexe $\;{\underline {C_{n}}}\,\exp \!\left(i\,2\,\pi \,n\,f\,t\right)\;$» de fréquence $\;n\,f\;$ où «$\;{\underline {C_{n}}}=C_{n}\;\exp \!\left(i\,\varphi _{n}\right)\;$ est l'amplitude complexe de l'harmonique » ;
l'ensemble des amplitudes complexes $\;\left\lbrace C_{0},\,{\underline {C_{n}}}_{\,n\,\in \,\mathbb {N} ^{*}}\right\rbrace \;$ définit alors la « représentation fréquentielle complexe du signal ».

## Rappel de la définition de la grandeur efficace associée à une grandeur périodique, cas d'une grandeur sinusoïdale et autres exemples « grandeur créneau », « grandeur triangulaire », mesure à l'aide d'un multimètre

$24$

### Définition de la grandeur efficace associée à une grandeur instantanée alternative

$\;Y\;$
$\;T$
$\;y(t)\;$
$\;y(t)\;$
$\;Y\;$
$\;>0\;$
$\;Y^{2}={\Big \langle }y^{2}(t){\Big \rangle }={\dfrac {1}{T}}\,\displaystyle \int _{0}^{T}y^{2}(t)\,dt\;$
Remarque : L'intervalle sur lequel est calculée la moyenne, de largeur $\;T$, peut être choisi à partir de n'importe quel instant $\;t_{0}$, la moyenne en étant indépendante ;
Remarque : sans raison d'un choix particulier simplifiant le calcul de l'intégrale, on choisit usuellement l'instant $\;0$.

### Évaluation dans le cas d'une grandeur sinusoïdale

$\;y(t)=Y_{m}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{y})\;$
$\;T={\dfrac {2\,\pi }{\omega }}\;$
$\;Y_{m}>0$
$\;Y={\dfrac {Y_{m}}{\sqrt {2}}}\;$
$\;y(t)=Y_{m}\,\cos(\omega \,t+\varphi )\;$
$\;Y_{m}\;$
$\;Y\,{\sqrt {2}}\;$
$\;y(t)=Y\,{\sqrt {2}}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{y})\;$
$\;Y\;$
Démonstration : soit à calculer $\;Y^{2}={\dfrac {1}{T}}\,\displaystyle \int _{0}^{T}Y_{m}^{2}\,\cos ^{2}(\omega \,t+\varphi _{y})\,dt$, ce qui se fait en linéarisant $\;\cos ^{2}(\omega \,t+\varphi _{y})\;$ selon $\;\cos ^{2}(\omega \,t+\varphi _{y})=$ ${\dfrac {1+\cos(2\,\omega \,t+2\,\varphi _{y})}{2}}\;$ et en remarquant qu'une primitive de $\;{\dfrac {\cos(2\,\omega \,t+2\,\varphi _{y})}{2}}\;$ étant $\;{\dfrac {\sin(2\,\omega \,t+2\,\varphi _{y})}{4\,\omega }}\;$ avec les mêmes valeurs pour $\;0\;$ et $\;T\;$, donne une contribution nulle à l'intégrale correspondante $\;\displaystyle \int _{0}^{T}{\dfrac {\cos(2\,\omega \,t+2\,\varphi _{y})}{2}}\,dt={\cancel {\left[{\dfrac {\sin(2\,\omega \,t+2\,\varphi _{y})}{4\,\omega }}\right]_{0}^{T}}}$ $=0\;$ dont on déduit $\;Y^{2}=$ ${\dfrac {Y_{m}^{2}}{T}}\,\displaystyle \int _{0}^{T}{\dfrac {1+\cos(2\,\omega \,t+2\,\varphi _{y})}{2}}\,dt={\dfrac {Y_{m}^{2}}{T}}\,\left[{\dfrac {t}{2}}\right]_{0}^{T}={\dfrac {Y_{m}^{2}}{\cancel {T}}}\,{\dfrac {\cancel {T}}{2}}={\dfrac {Y_{m}^{2}}{2}}\;$ soit, comme la valeur efficace doit être positive et que l'amplitude l'est aussi, $\;Y={\dfrac {Y_{m}}{\sqrt {2}}}\;$ C.Q.F.D.

### En exercice, évaluation dans le cas de grandeurs « créneau » ou « triangulaire » symétriques

Revoir le paragraphe « ayant le même intitulé » du chap.$24$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », on rappelle que les valeurs efficaces des grandeurs « créneau » ou « triangulaire » symétriques ne sont pas à retenir.

### Utilisation d'un multimètre en régime alternatif périodique

Un multimètre peut fonctionner en voltmètre ou en ampèremètre on peut choisir un fonctionnement
* en régime permanent, repéré par $\;=$, de plus, quand les graduations sont colorées, elles sont blanches ou
* en régime périodique, repéré par $\;\sim$, de plus, quand les graduations sont colorées, elles sont rouges ;
il existe deux types de multimètres :
* un multimètre « bas de gamme », donnant la valeur efficace uniquement en régime sinusoïdal $\;{\big$le multimètre détermine l'amplitude et divise par $\;{\sqrt {2}}\;$ pour l'affichage${\big ]}$, dans ce cas les valeurs efficaces affichées sont fausses pour d'autres régimes périodiques « créneau ou triangulaire symétriques »,
* un multimètre « T.R.M.S. », donnant la valeur efficace quel que soit le régime $\;{\big$l'obtention pouvant se faire par réponse du multimètre proportionnellement au carré de la grandeur, avec une inertie du multimètre ne permettant pas un affichage instantané et se matérialisant avec un affichage de la moyenne${\big ]}$.

## Formule de Parseval

$5$
Marc-Antoine Parseval des Chênes (1755 – 1836) mathématicien français à qui on doit essentiellement le « théorème de Parseval » dont il eut l'intuition sans le démontrer.

### Énoncé de la formule de Parseval

Le carré de la valeur efficace d'une grandeur $\;T$-périodique est égal à la somme $\;{\big$infinie${\big )}\;$ des carrés des valeurs efficaces des harmoniques de la grandeur augmentée du carré de la composante continue.

### Formule de Parseval utilisant le 2ème développement en série de Fourier de la grandeur T-périodique

Écrivant le 2ème développement en série de Fourier de la fonction périodique $\;s(t)\;$ de fréquence $\;f\;$ sous la forme
$\;s(t)=C_{0}+\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}}^{1\,{\text{à}}\,+\infty }\left[C_{p,\,{\text{eff}}}\,{\sqrt {2}}\,\cos(2\,\pi \,p\,f\,t+\varphi _{p})\right]\;$
l'égalité de Parseval prend alors la forme suivante
$\;{\Big \langle }\left[s(t)\right]^{2}{\Big \rangle }=C_{0}^{2}+\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}}^{1\,{\text{à}}\,+\infty }C_{p,\,{\text{eff}}}^{2}\;$

### En complément : quelques éléments de démonstration de la formule de Parseval utilisant le 2ème développement en série de Fourier de la fonction T-périodique

On utilise la définition de la valeur efficace c'est-à-dire que l'on cherche à calculer l'expression suivante «$\;S_{\text{eff}}^{2}={\Big \langle }s^{2}(t){\Big \rangle }={\dfrac {1}{T}}\,\displaystyle \int _{0}^{T}s^{2}(t)\,dt=$ ${\dfrac {1}{T}}\,\displaystyle \int _{0}^{T}\left\lbrace C_{0}+\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}}^{1\,{\text{à}}\,+\infty }\left[C_{p,\,{\text{eff}}}\,{\sqrt {2}}\,\cos(2\,\pi \,p\,f\,t+\varphi _{p})\right]\right\rbrace ^{\!2}\,dt\;$» ; pour évaluer l'intégrale, on développe le carré de l'expression à intégrer donnant une somme de carrés «$\,C_{0}^{2}\;$», «$\;C_{p,\,{\text{eff}}}^{2}\,2\,\cos ^{2}(2\,\pi \,p\,f\,t+\varphi _{p})\;$», pour évaluer l'intégrale, on développe le carré de l'expression à intégrer donnant une somme de termes « rectangles » selon «$\;2\,C_{0}\,C_{p,\,{\text{eff}}}\,{\sqrt {2}}\,\cos(2\,\pi \,p\,f\,t+\varphi _{p})\;$» et pour évaluer l'intégrale, on développe le carré de l'expression à intégrer donnant une somme de termes « rectangles » selon «$\;4\,C_{p,\,{\text{eff}}}\,C_{q,\,{\text{eff}}}\,\cos(2\,\pi \,p\,f\,t+\varphi _{p})\,\cos(2\,\pi \,q\,f\,t+\varphi _{q})\;$ avec $\;q\neq p\;$» pour évaluer l'intégrale, on développe le carré de l'expression à intégrer donnant une somme dont on évalue l'intégrale de chaque terme selon :
* les intégrales des 1$^{ers}$ termes « rectangles » à savoir «$\;2\,C_{0}\,C_{p,\,{\text{eff}}}\,{\sqrt {2}}\,\cos(2\,\pi \,p\,f\,t+\varphi _{p})\;$» étant $\;{\dfrac {T}{p}}$-périodique et se calculant à l'aide de la primitive $\;2\,C_{0}\,C_{p,\,{\text{eff}}}\,{\sqrt {2}}\,{\dfrac {\sin(2\,\pi \,p\,f\,t+\varphi _{p})}{2\,\pi \,p\,f}}\;$ qui prend la même valeur pour $\;0\;$ et $\;T=p\;{\dfrac {T}{p}}\;$ sont nulles,
* les intégrales des derniers termes « rectangles » «$\;4\,C_{p,\,{\text{eff}}}\,C_{q,\,{\text{eff}}}\,\cos(2\,\pi \,p\,f\,t+\varphi _{p})\,\cos(2\,\pi \,q\,f\,t+\varphi _{q})\;$ avec $\;q\neq p\;$» nécessitant une linéarisation selon «$\;2\,\cos(2\,\pi \,p\,f\,t+\varphi _{p})\,\cos(2\,\pi \,q\,f\,t+\varphi _{q})$ $=\cos \!\left[2\,\pi \,(p+q)\,f\,t+\varphi _{p}+\varphi _{q}\right]+\cos \!\left[2\,\pi \,(p-q)\,f\,t+\varphi _{p}-\varphi _{q}\right]\;$» dont chaque terme se calcule à l'aide des primitives $\;{\dfrac {\sin \!\left[2\,\pi \,(p+q)\,f\,t+\varphi _{p}+\varphi _{q}\right]}{2\,\pi \,(p+q)\,f}}\;$ et $\;{\dfrac {\sin \!\left[2\,\pi \,(p-q)\,f\,t+\varphi _{p}+\varphi _{q}\right]}{2\,\pi \,(p-q)\,f}}\;$ lesquelles, prenant la même valeur pour $\;0\;$ et $\;T=(p+q)\;{\dfrac {T}{p+q}}\;$ dans la 1ère primitive, et pour $\;0\;$ et $\;T=\vert p-q\vert \;{\dfrac {T}{\vert p-q\vert }}\;$ dans la 2ème primitive, sont également nulles ;
* les intégrales des termes carrés à savoir «$\;C_{0}^{2}\;$» et «$\;C_{p,\,{\text{eff}}}^{2}\,2\,\cos ^{2}(2\,\pi \,p\,f\,t+\varphi _{p})\;$ pour $\;p\in \mathbb {N} ^{*}\;$» dont la somme se calcule aisément selon «$\;\displaystyle \int _{0}^{T}\left\lbrace C_{0}^{2}+\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}}^{1\,{\text{à}}\,+\infty }\left[C_{p,\,{\text{eff}}}^{2}\,2\,\cos ^{2}(2\,\pi \,p\,f\,t+\varphi _{p})\right]\right\rbrace \,dt$ $=C_{0}^{2}\,T+\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}}^{1\,{\text{à}}\,+\infty }\left[C_{p,\,{\text{eff}}}^{2}\;\displaystyle \int _{0}^{T}2\;\cos ^{2}(2\,\pi \,p\,f\,t+\varphi _{p})\;dt\right]\;$» ou, après « linéarisation de $\;2\;\cos ^{2}(2\,\pi \,p\,f\,t+\varphi _{p})\;$ en $\;1+\cos(4\,\pi \,p\,f\,t+2\,\varphi _{p})\;$ et intégration en $\;\displaystyle \int _{0}^{T}\left[1+\cos(4\,\pi \,p\,f\,t+2\,\varphi _{p})\right]dt$ $=T\;$» car l'intégrale $\;\displaystyle \int _{0}^{T}\cos(4\,\pi \,p\,f\,t+2\,\varphi _{p})\;dt={\cancel {\left[{\dfrac {\sin(4\,\pi \,p\,f\,t+2\,\varphi _{p})}{4\,\pi \,p\,f}}\right]_{0}^{T}}}\;$ est nulle compte-tenu du fait que $\;\sin(4\,\pi \,p\,f\,t+2\,\varphi _{p})\;$ prend la même valeur pour $\;0\;$ et $\;T=2\,p\;{\dfrac {T}{2\,p}}\;$, on en déduit «$\;\displaystyle \int _{0}^{T}\left\lbrace C_{0}^{2}+\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}}^{1\,{\text{à}}\,+\infty }\left[C_{p,\,{\text{eff}}}^{2}\,2\,\cos ^{2}(2\,\pi \,p\,f\,t+\varphi _{p})\right]\right\rbrace \,dt=\left\lbrace C_{0}^{2}+\left[\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}}^{1\,{\text{à}}\,+\infty }C_{p,\,{\text{eff}}}^{2}\right]\right\rbrace \;T\;$» ;
pour évaluer l'intégrale, on développe le carré de l'expression à intégrer donnant finalement «$\;S_{\text{eff}}^{2}={\Big \langle }s^{2}(t){\Big \rangle }={\dfrac {1}{T}}\,\displaystyle \int _{0}^{T}\left\lbrace C_{0}+\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}}^{1\,{\text{à}}\,+\infty }\left[C_{p,\,{\text{eff}}}\,{\sqrt {2}}\,\cos(2\,\pi \,p\,f\,t+\varphi _{p})\right]\right\rbrace ^{\!2}\,dt\;{\stackrel {\ldots }{=}}\;C_{0}^{2}+\left[\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}}^{1\,{\text{à}}\,+\infty }C_{p,\,{\text{eff}}}^{2}\right]\;$»
$\;S_{\text{eff}}^{2}={\Big \langle }s^{2}(t){\Big \rangle }=C_{0}^{2}+\left[\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}}^{1\,{\text{à}}\,+\infty }C_{p,\,{\text{eff}}}^{2}\right];$

## Puissance électrique moyenne reçue par un dipôle linéaire au sens de l'A.R.Q.S. dans le cas d'un régime périodique quelconque, évaluation pour un conducteur ohmique (intérêt de la notion de valeur efficace), un condensateur (parfait) et une bobine (parfaite)
### Puissance électrique moyenne reçue par un D.L. au sens de l'A.R.Q.S. dans le cas d'un régime périodique quelconque

«$\;u(t)\;$ et $\;i(t)\;$ étant respectivement la tension instantanée aux bornes d'un D.L. et l'intensité instantanée du courant le traversant en convention récepteur », la puissance instantanée électrique reçue par le D.L. considéré précédemment s'écrit «$\;{\mathcal {P}}_{e,\,r}(t)=u(t)\;i(t)\;$» ;
dans un régime $\;T$-périodique quelconque, on définit la puissance électrique moyenne reçue par le D.L. par
$\;{\Big \langle }{\mathcal {P}}_{e,\,r}(t){\Big \rangle }={\dfrac {1}{T}}\;\displaystyle \int _{0}^{T}{\mathcal {P}}_{e,\,r}(t)\;dt={\dfrac {1}{T}}\;\displaystyle \int _{0}^{T}u(t)\;i(t)\;dt\;$

### Évaluation de la puissance électrique moyenne reçue par un conducteur ohmique de résistance R

Avec la loi d'Ohm de l'A.R.Q.S. appliquée au conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ en convention récepteur on a «$\;u(t)=R\;i(t)\;$» et la puissance électrique moyenne reçue par le conducteur ohmique en régime $\;T$-périodique quelconque se réécrit «$\;{\Big \langle }{\mathcal {P}}_{e,\,r,\,R}(t){\Big \rangle }={\dfrac {1}{T}}\;\displaystyle \int _{0}^{T}R\;i^{2}(t)\;dt=R\left[{\dfrac {1}{T}}\;\displaystyle \int _{0}^{T}i^{2}(t)\;dt\right]\;$» soit, en reconnaissant le carré de l'intensité efficace dans l'expression entre crochets,
$\;{\Big \langle }{\mathcal {P}}_{e,\,r,\,R}(t){\Big \rangle }=R\;I^{2}\;$
$\;I\;$
comme la tension efficace aux bornes de ce dernier est liée à l'intensité efficace du courant le traversant par «$\;U=R\;I\;$» ou $\;I={\dfrac {U}{R}}\;$ on a également
$\;{\Big \langle }{\mathcal {P}}_{e,\,r,\,R}(t){\Big \rangle }={\dfrac {U^{2}}{R}}\;$
$\;U\;$
$\;{\Big \langle }{\mathcal {P}}_{e,\,r,\,R}(t){\Big \rangle }=U\;I\;$
$\;U\;$
$\;I\;$
Rappel : Un des intérêts de l'introduction de la valeur efficace sur la valeur de crête dans la détermination d'une puissance électrique moyenne consommée par un conducteur ohmique est de « donner une même expression quelle que soit la forme du régime périodique » «$\;R\;I^{2}\;$ ou $\;{\dfrac {U^{2}}{R}}\;$ ou encore $\;U\;I\;$»  Rappel : alors qu'on aurait, en fonction des valeurs de crête, en régime sinusoïdal «$\;R\;{\dfrac {I_{m}^{2}}{2}}\;$ ou $\;{\dfrac {U_{m}^{2}}{2\;R}}\;$ ou encore $\;{\dfrac {U_{m}\;I_{m}}{2}}\;$»,  Rappel : alors qu'on aurait, en fonction des valeurs de crête, en régime créneau $\;{\big$symétrique${\big )}\;$ «$\;R\;I_{m}^{2}\;$ ou $\;{\dfrac {U_{m}^{2}}{R}}\;$ ou encore $\;U_{m}\;I_{m}\;$» et  Rappel : alors qu'on aurait, en fonction des valeurs de crête, en régime triangulaire symétrique «$\;R\;{\dfrac {I_{m}^{2}}{3}}\;$ ou $\;{\dfrac {U_{m}^{2}}{3\;R}}\;$ ou encore $\;{\dfrac {U_{m}\;I_{m}}{3}}\;$».

### Évaluation de la puissance électrique moyenne reçue par un condensateur parfait de capacité C

Avec la relation de l'A.R.Q.S. en convention récepteur liant l'intensité du courant « traversant » un condensateur de capacité $\;C\;$ à la tension à ses bornes on a «$\;i(t)=C\;{\dfrac {du}{dt}}(t)\;$» et la puissance électrique moyenne reçue par le condensateur en régime $\;T$-périodique quelconque se réécrit «$\;{\Big \langle }{\mathcal {P}}_{e,\,r,\,C}(t){\Big \rangle }=$ ${\dfrac {1}{T}}\;\displaystyle \int _{0}^{T}u(t)\;C\;{\dfrac {du}{dt}}(t)\;dt={\dfrac {1}{T}}\;\displaystyle \int _{0}^{T}{\dfrac {d\!\left[{\dfrac {1}{2}}\;C\;u^{2}\right]}{dt}}(t)\;dt\;$» soit, en reconnaissant l'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique $\;{\mathcal {E}}_{C}(t)\;$ dans l'expression entre crochets, «$\;{\Big \langle }{\mathcal {P}}_{e,\,r,\,C}(t){\Big \rangle }={\dfrac {\left[{\mathcal {E}}_{C}(t)\right]_{0}^{T}}{T}}\;$» dans laquelle «$\;{\mathcal {E}}_{C}(t)={\dfrac {1}{2}}\;C\;u^{2}(t)\;$ est l'énergie électrostatique stockée dans le condensateur à l'instant $\;t\;$» et finalement, $\;T\;$ étant une période de $\;{\mathcal {E}}_{C}(t)\;$,
$\;{\Big \langle }{\mathcal {P}}_{e,\,r,\,C}(t){\Big \rangle }=0\;$
ainsi la puissance électrique moyenne reçue par un condensateur parfait est nulle quelle soit la forme du régime $\;T$-périodique établi.

### Évaluation de la puissance électrique moyenne reçue par une bobine parfaite d'inductance propre L

Avec la relation de l'A.R.Q.S. en convention récepteur liant l'intensité du courant traversant une bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$ à la tension à ses bornes on a «$\;u(t)=L\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$» et la puissance électrique moyenne reçue par la bobine parfaite en régime $\;T$-périodique quelconque se réécrit «$\;{\Big \langle }{\mathcal {P}}_{e,\,r,\,L}(t){\Big \rangle }=$ ${\dfrac {1}{T}}\;\displaystyle \int _{0}^{T}L\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;i(t)\;dt={\dfrac {1}{T}}\;\displaystyle \int _{0}^{T}{\dfrac {d\!\left[{\dfrac {1}{2}}\;L\;i^{2}\right]}{dt}}(t)\;dt\;$» soit, en reconnaissant l'énergie stockée dans la bobine parfaite sous forme électromagnétique $\;{\mathcal {E}}_{L}(t)\;$ dans l'expression entre crochets, «$\;{\Big \langle }{\mathcal {P}}_{e,\,r,\,L}(t){\Big \rangle }={\dfrac {\left[{\mathcal {E}}_{L}(t)\right]_{0}^{T}}{T}}\;$» dans laquelle «$\;{\mathcal {E}}_{L}(t)={\dfrac {1}{2}}\;L\;i^{2}(t)\;$ est l'énergie électromagnétique stockée dans la bobine parfaite à l'instant $\;t\;$» et finalement, $\;T\;$ étant une période de $\;{\mathcal {E}}_{L}(t)\;$,
$\;{\Big \langle }{\mathcal {P}}_{e,\,r,\,L}(t){\Big \rangle }=0\;$
ainsi la puissance électrique moyenne reçue par une bobine parfaite est nulle quelle soit la forme du régime $\;T$-périodique établi.

## Puissance électrique moyenne reçue par un dipôle linéaire dans le cas d'un régime sinusoïdal, puissance apparente et facteur de puissance, autres expressions dans le cas d'un dipôle passif utilisant la notion d'impédance ou d'admittance complexes
### Évaluation de la puissance électrique moyenne reçue par un dipôle linéaire quelconque (actif ou passif) en r.s.f.

Notant, en r.s.f., «$\;u(t)=U\;{\sqrt {2}}\;\cos(\omega \,t+\varphi _{u})\;$ la tension instantanée aux bornes du D.L. » et «$\;i(t)=I\;{\sqrt {2}}\;\cos(\omega \,t+\varphi _{i})\;$ l'intensité instantanée du courant traversant le D.L. en convention récepteur », la définition de « la puissance électrique moyenne reçue par le D.L., notée $\;P_{e,\,r,\,D.L.}\;$ » se réécrit selon «$\;P_{e,\,r,\,D.L.}=$ ${\dfrac {1}{T}}\;\displaystyle \int _{0}^{T}{\mathcal {P}}_{e,\,r,\,D.L.}(t)\;dt={\dfrac {1}{T}}\;\displaystyle \int _{0}^{T}u(t)\;i(t)\;dt=$ ${\dfrac {1}{T}}\;\displaystyle \int _{0}^{T}2\;U\;I\;\cos(\omega \,t+\varphi _{u})\;\cos(\omega \,t+\varphi _{i})\;dt\;$» et s'évalue en linéarisant, avant intégration, l'expression trigonométrique par utilisation de $\;2\,\cos(a)\,\cos(b)=\cos(a+b)+\cos(a-b)\;$ ce qui donne ici $\;2\,\cos(\omega \,t+\varphi _{u})\,\cos(\omega \,t+\varphi _{i})=$ $\cos(2\,\omega \,t+\varphi _{u}+\varphi _{i})+\cos(\varphi _{u}-\varphi _{i})\;$ d'où la réécriture de «$\;P_{e,\,r,\,D.L.}={\dfrac {U\,I}{T}}\;\displaystyle \int _{0}^{T}\left[\cos(2\,\omega \,t+\varphi _{u}+\varphi _{i})+\cos(\varphi _{u}-\varphi _{i})\right]dt\;$» soit encore, la somme de « deux valeurs moyennes à évaluer » $\;{\Big \langle }\cos(2\,\omega \,t+\varphi _{u}+\varphi _{i}){\Big \rangle }\;$ et $\;{\Big \langle }\cos(\varphi _{u}+\varphi _{i}){\Big \rangle }$,
* la 1ère étant nulle car la fonction à intégrer de pulsation $\;2\,\omega \;$ et donc de période $\;{\dfrac {T}{2}}$, donne une primitive également $\;{\dfrac {T}{2}}$-périodique à prendre entre deux valeurs séparées de $\;T=2\;{\dfrac {T}{2}}\;$ soit deux valeurs de primitive égales et
* la 2ème étant égale à $\;\cos(\varphi _{u}-\varphi _{i})$, la fonction à intégrer étant constante et la moyenne d'une constante étant cette constante,
$\;P_{e,\,r,\,D.L.}=U\;I\;\cos(\varphi _{u}-\varphi _{i})\;$
Ainsi la puissance moyenne électrique reçue par un D.L. en r.s.f. peut être considérée comme le produit de deux facteurs :
* «$\;U\,I\;$» appelée « puissance apparente », produit de la tension efficace et de l'intensité efficace et exprimée en $\;V\cdot A\;$ et
* «$\;\cos(\varphi _{u}-\varphi _{i})\;$» appelé « facteur de puissance », cosinus de l'avance de phase de la tension sur l'intensité du courant et sans unité.
Signe du facteur de puissance suivant que le dipôle linéaire est passif ou actif : d'une part la puissance électrique moyenne reçue par le D.L. étant positive s'il est passif et négative s'il est actif, d'autre part la puissance apparente étant naturellement positive, on en déduit que Signe du facteur de puissance suivant que le dipôle linéaire est passif ou actif : le facteur de puissance d'un D.P.L. est positif, ce qui implique que l'avance de phase de la tension sur l'intensité est comprise entre $\;-{\dfrac {\pi }{2}}\;$ et $\;+{\dfrac {\pi }{2}}\;$ ${\big$en convention récepteur${\big )}$, Signe du facteur de puissance suivant que le dipôle linéaire est passif ou actif : le facteur de puissance d'un D.A.L. est négatif, ce qui implique que l'avance de phase de la tension sur l'intensité est comprise entre $\;-\pi \;$ et $\;-{\dfrac {\pi }{2}}\;$ ou entre $\;+{\dfrac {\pi }{2}}\;$ et $\;+\pi \;$ ${\big$en convention récepteur${\big )}$.

### Autre expression de la puissance électrique moyenne reçue par un dipôle passif linéaire en r.s.f. utilisant l'impédance complexe du D.P.L.

Rappelant qu'on définit l'impédance complexe d'un D.P.L. en électricité complexe associée au r.s.f. à partir de la tension et de l'intensité instantanées complexes ou à partir de la tension et de l'intensité efficaces complexes selon «$\;{\underline {Z}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {u}}(t)}{{\underline {i}}(t)}}={\dfrac {{\underline {U}}(j\,\omega )}{{\underline {I}}(j\,\omega )}}\;$», on en déduit la forme trigonométrique de l'impédance complexe du D.P.L. avec «$\;Z(\omega )={\dfrac {U(\omega )}{I(\omega )}}\;$ l'impédance du D.P.L. », selon
$\;{\underline {Z}}(j\,\omega )=Z(\omega )\;\exp \!\left[\varphi _{u}(\omega )-\varphi _{i}(\omega )\right]\;$
parallèlement la forme algébrique de l'impédance complexe du D.P.L. s'écrivant
$\;{\underline {Z}}(j\,\omega )={\mathcal {R}}(\omega )+j\,X(\omega )\;$
$\;{\mathcal {R}}(\omega )\;$
$\;X(\omega )\;$
l'identification de la forme algébrique de l'impédance complexe du D.P.L. avec la forme trigonométrique de cette dernière $\Rightarrow$ l'explicitation de la résistance et de la réactance du D.P.L.$^,$ selon
$\;{\mathcal {R}}(\omega )=\Re \left[{\underline {Z}}(j\,\omega )\right]=Z(\omega )\;\cos \!\left[\varphi _{u}(\omega )-\varphi _{i}(\omega )\right]\;$
$\;X(\omega )=\Im \left[{\underline {Z}}(j\,\omega )\right]=Z(\omega )\;\sin \!\left[\varphi _{u}(\omega )-\varphi _{i}(\omega )\right]\;$
$\;\cos \!\left[\varphi _{u}(\omega )-\varphi _{i}(\omega )\right]={\dfrac {{\mathcal {R}}(\omega )}{Z(\omega )}}\;$
son report dans l'expression précédemment établie de la puissance électrique moyenne reçue «$\;P_{e,\,r,\,{\underline {Z}}(j\,\omega )}=U(\omega )\;I(\omega )\;\cos(\varphi _{u}-\varphi _{i})\;$» nous conduit à «$\;P_{e,\,r,\,{\underline {Z}}(j\,\omega )}=U(\omega )\;I(\omega )\;{\dfrac {{\mathcal {R}}(\omega )}{Z(\omega )}}\;$» soit, en utilisant la définition de l'impédance $\;Z(\omega )={\dfrac {U(\omega )}{I(\omega )}}\Leftrightarrow {\dfrac {U(\omega )}{Z(\omega )}}=I(\omega )\;$ $\Rightarrow$ une autre expression de la puissance électrique moyenne reçue par le D.P.L. d'impédance complexe $\;{\underline {Z}}(j\,\omega )\;$ selon
$\;P_{e,\,r,\,{\underline {Z}}(j\,\omega )}={\mathcal {R}}(\omega )\;\left[I(\omega )\right]^{2}\;$
$\;{\mathcal {R}}(\omega )=\Re \left[{\underline {Z}}(j\,\omega )\right]\;$

### Autre expression de la puissance électrique moyenne reçue par un dipôle passif linéaire en r.s.f. utilisant l'admittance complexe du D.P.L.

Rappelant qu'on définit l'admittance complexe d'un D.P.L. en électricité complexe associée au r.s.f. à partir de la tension et de l'intensité instantanées complexes ou à partir de la tension et de l'intensité efficaces complexes selon «$\;{\underline {Y}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {i}}(t)}{{\underline {u}}(t)}}={\dfrac {{\underline {I}}(j\,\omega )}{{\underline {U}}(j\,\omega )}}\;$», on en déduit la forme trigonométrique de l'admittance complexe du D.P.L. avec «$\;Y(\omega )={\dfrac {I(\omega )}{U(\omega )}}\;$ l'admittance du D.P.L. », selon
$\;{\underline {Y}}(j\,\omega )=Y(\omega )\;\exp \!\left\lbrace -\left[\varphi _{u}(\omega )-\varphi _{i}(\omega )\right]\right\rbrace \;$
parallèlement la forme algébrique de l'admittance complexe du D.P.L. s'écrivant
$\;{\underline {Y}}(j\,\omega )={\mathcal {G}}(\omega )+j\,{\mathcal {B}}(\omega )\;$
$\;{\mathcal {G}}(\omega )\;$
$\;{\mathcal {B}}(\omega )\;$
l'identification de la forme algébrique de l'admittance complexe du D.P.L. avec la forme trigonométrique de cette dernière $\Rightarrow$ l'explicitation de la conductance et de la susceptance du D.P.L.$^,$ selon
$\;{\mathcal {G}}(\omega )=\Re \left[{\underline {Y}}(j\,\omega )\right]=Y(\omega )\;\cos \!\left\lbrace -\left[\varphi _{u}(\omega )-\varphi _{i}(\omega )\right]\right\rbrace =Y(\omega )\;\cos \!\left[\varphi _{u}(\omega )-\varphi _{i}(\omega )\right]\;$
$\;{\mathcal {B}}(\omega )=\Im m\left[{\underline {Y}}(j\,\omega )\right]=Y(\omega )\;\sin \!\left\lbrace -\left[\varphi _{u}(\omega )-\varphi _{i}(\omega )\right]\right\rbrace =-Y(\omega )\;\sin \!\left[\varphi _{u}(\omega )-\varphi _{i}(\omega )\right]\;$
$\;\cos \!\left[\varphi _{u}(\omega )-\varphi _{i}(\omega )\right]={\dfrac {{\mathcal {G}}(\omega )}{Y(\omega )}}\;$
son report dans l'expression précédemment établie de la puissance électrique moyenne reçue «$\;P_{e,\,r,\,{\underline {Z}}(j\,\omega )}=U(\omega )\;I(\omega )\;\cos(\varphi _{u}-\varphi _{i})\;$» nous conduit à «$\;P_{e,\,r,\,{\underline {Z}}(j\,\omega )}=U(\omega )\;I(\omega )\;{\dfrac {{\mathcal {G}}(\omega )}{Y(\omega )}}\;$» soit, en utilisant la définition de l'admittance $\;Y(\omega )={\dfrac {I(\omega )}{U(\omega )}}\Leftrightarrow {\dfrac {I(\omega )}{Y(\omega )}}=U(\omega )\;$ $\Rightarrow$ une autre expression de la puissance électrique moyenne reçue par le D.P.L. d'admittance complexe $\;{\underline {Y}}(j\,\omega )\;$ selon
$\;P_{e,\,r,\,{\underline {Z}}(j\,\omega )}={\mathcal {G}}(\omega )\;\left[U(\omega )\right]^{2}\;$
$\;{\mathcal {G}}(\omega )=\Re \left[{\underline {Y}}(j\,\omega )\right]\;$

### Évaluation de la puissance électrique moyenne consommée par un D.P.L. sur l'exemple d'un dipôle R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable

Il y a plusieurs façons d'aborder la détermination de la puissance électrique moyenne consommée par un dipôle $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable, nous les énumérons ci-après.

#### Utilisation de la propriété « la puissance électrique moyenne consommée par une association série est la somme des puissances électriques moyennes consommées par chaque élément de l'association »

Comme la bobine parfaite et le condensateur parfait ne consomment aucune puissance électrique en moyenne, la puissance électrique moyenne consommée par le dipôle $\;R\,L\,C\;$ série l'est par le conducteur ohmique d'où «$\;P_{e,\,r,\,R\,L\,C\,{\text{série}}}=P_{e,\,r,\,R}=R\;\left[I(\omega )\right]^{2}\;$», «$\;I(\omega )\;$ étant l'intensité efficace du courant traversant le conducteur ohmique mais aussi le dipôle $\;R\,L\,C\;$ série soit $\;I(\omega )=$ ${\dfrac {U}{Z_{R\,L\,C\,{\text{série}}}(\omega )}}={\dfrac {U}{\sqrt {R^{2}+\left(L\;\omega -{\dfrac {1}{C\;\omega }}\right)^{\!2}}}}\;$» que l'on reporte dans l'expression de la puissance électrique moyenne consommée par le dipôle $\;R\,L\,C\;$ série soit
$\;P_{e,\,r,\,R\,L\,C\,{\text{série}}}={\dfrac {R}{R^{2}+\left(L\;\omega -{\dfrac {1}{C\;\omega }}\right)^{\!2}}}\;U^{2}\;$
Remarque : On aurait une propriété analogue avec des éléments montés en parallèle, la propriété s'énoncerait selon : Remarque : « La puissance électrique moyenne consommée par une association parallèle est la somme des puissances électriques moyennes consommées par chaque élément de l'association ».

#### Utilisation de la résistance du dipôle R L C série (c'est-à-dire de la partie réelle de l'impédance complexe)

L'impédance complexe du dipôle $\;R\,L\,C\;$ série étant «$\;{\underline {Z_{R\,L\,C\,{\text{série}}}}}(j\,\omega )=R+j\left(L\;\omega -{\dfrac {1}{C\;\omega }}\right)\;$» on en déduit simplement la « résistance du dipôle $\;{\mathcal {R}}(\omega )=$ $R\;$» et par suite «$\;P_{e,\,r,\,R\,L\,C\,{\text{série}}}=$ ${\mathcal {R}}\!{\cancel {(\omega )}}\left[I(\omega )\right]^{2}=R\,\left[I(\omega )\right]^{2}\;$», où «$\;I(\omega )\;$ est l'intensité efficace du courant traversant le $\;R\,L\,C\;$ série $\;{\stackrel {\ldots }{\Rightarrow }}\;$ $\;I(\omega )=$ ${\dfrac {U}{\sqrt {R^{2}+\left(L\;\omega -{\dfrac {1}{C\;\omega }}\right)^{\!2}}}}\;$» que l'on reporte dans l'expression de la puissance électrique moyenne consommée par le dipôle $\;R\,L\,C\;$ série soit
$\;P_{e,\,r,\,R\,L\,C\,{\text{série}}}={\dfrac {R}{R^{2}+\left(L\;\omega -{\dfrac {1}{C\;\omega }}\right)^{\!2}}}\;U^{2}\;$

#### Utilisation de la conductance du dipôle R L C série (c'est-à-dire de la partie réelle de l'admittance complexe)

L'impédance complexe du dipôle $\;R\,L\,C\;$ série étant «$\;{\underline {Z_{R\,L\,C\,{\text{série}}}}}(j\,\omega )=R+j\left(L\;\omega -{\dfrac {1}{C\;\omega }}\right)\;$» $\Rightarrow$ l'admittance complexe «$\;{\underline {Y_{R\,L\,C\,{\text{série}}}}}(j\,\omega )=$ ${\dfrac {1}{{\underline {Z_{R\,L\,C\,{\text{série}}}}}(j\,\omega )}}={\dfrac {1}{R+j\left(L\;\omega -{\dfrac {1}{C\;\omega }}\right)}}\;$» et la détermination de la conductance nécessitant la forme algébrique on multiplie haut et bas par le complexe conjugué du dénominateur soit «$\;{\underline {Y_{R\,L\,C\,{\text{série}}}}}(j\,\omega )={\dfrac {R-j\left(L\;\omega -{\dfrac {1}{C\;\omega }}\right)}{R^{2}+\left(L\;\omega -{\dfrac {1}{C\;\omega }}\right)^{\!2}}}\;$» dont on tire la « conductance du dipôle $\;{\mathcal {G}}(\omega )=$ ${\dfrac {R}{R^{2}+\left(L\;\omega -{\dfrac {1}{C\;\omega }}\right)^{\!2}}}\;$» et par suite «$\;P_{e,\,r,\,R\,L\,C\,{\text{série}}}={\mathcal {G}}(\omega )\;U^{2}\;$», où «$\;U\;$ est la tension efficace aux bornes du $\;R\,L\,C\;$ série » soit, en reportant l'expression de la conductance dans celle de la puissance électrique moyenne consommée par le dipôle $\;R\,L\,C\;$ série
$\;P_{e,\,r,\,R\,L\,C\,{\text{série}}}={\dfrac {R}{R^{2}+\left(L\;\omega -{\dfrac {1}{C\;\omega }}\right)^{\!2}}}\;U^{2}\;$

#### Utilisation de la puissance apparente et du facteur de puissance

Cette façon de procéder est de très loin la moins intéressante dans le cas présent car «$\;P_{e,\,r,\,R\,L\,C\,{\text{série}}}=U\;I(\omega )\;\cos \!\left(\varphi _{u}-\varphi _{i}\right)\;$» nécessite de déterminer
* d'une part l'intensité efficace traversant le dipôle $\;R\,L\,C\;$ série par «$\;I(\omega )={\dfrac {U}{Z_{R\,L\,C\,{\text{série}}}(\omega )}}\;$» et pour cela déterminer l'impédance du dipôle,
* d'autre part le facteur de puissance par «$\;\cos \!\left(\varphi _{u}-\varphi _{i}\right)={\dfrac {{\mathcal {R}}_{R\,L\,C\,{\text{série}}}(\omega )}{Z_{R\,L\,C\,{\text{série}}}(\omega )}}\;$» et pour cela déterminer la résistance du dipôle $\;\ldots$
Dans le cas précis : «$\;{\underline {Z_{R\,L\,C\,{\text{série}}}}}(j\,\omega )=R+j\left(L\;\omega -{\dfrac {1}{C\;\omega }}\right)\;$» $\Rightarrow$ «$\;Z_{R\,L\,C\,{\text{série}}}(\omega )={\bigg \vert }{\underline {Z_{R\,L\,C\,{\text{série}}}}}(j\,\omega ){\bigg \vert }={\sqrt {R^{2}+\left(L\;\omega -{\dfrac {1}{C\;\omega }}\right)^{\!2}}}\;$» $\;{\stackrel {\ldots }{\Rightarrow }}\;$ «$\;I(\omega )={\dfrac {U}{\sqrt {R^{2}+\left(L\;\omega -{\dfrac {1}{C\;\omega }}\right)^{\!2}}}}\;$» et Dans le cas précis : «$\;\color {transparent}{{\underline {Z_{R\,L\,C\,{\text{série}}}}}(j\,\omega )=R+j\left(L\;\omega -{\dfrac {1}{C\;\omega }}\right)}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;{\mathcal {R}}_{R\,L\,C\,{\text{série}}}(\omega )=\Re \left[{\underline {Z_{R\,L\,C\,{\text{série}}}}}(j\,\omega )\right]=R\;$ $\Rightarrow$ $\;\cos \!\left(\varphi _{u}-\varphi _{i}\right)={\dfrac {{\mathcal {R}}_{R\,L\,C\,{\text{série}}}(\omega )}{Z_{R\,L\,C\,{\text{série}}}(\omega )}}={\dfrac {R}{\sqrt {R^{2}+\left(L\;\omega -{\dfrac {1}{C\;\omega }}\right)^{\!2}}}}\;$», Dans le cas précis : soit finalement «$\;P_{e,\,r,\,R\,L\,C\,{\text{série}}}=U\;I(\omega )\;\cos \!\left(\varphi _{u}-\varphi _{i}\right)=U\;{\dfrac {U}{\sqrt {R^{2}+\left(L\;\omega -{\dfrac {1}{C\;\omega }}\right)^{\!2}}}}\;{\dfrac {R}{\sqrt {R^{2}+\left(L\;\omega -{\dfrac {1}{C\;\omega }}\right)^{\!2}}}}={\dfrac {R}{R^{2}+\left(L\;\omega -{\dfrac {1}{C\;\omega }}\right)^{\!2}}}\;U^{2}\;$».

### Variation de la puissance électrique moyenne consommée par le dipôle R L C série en fonction de la fréquence, résonance en puissance

La puissance électrique moyenne consommée par le $\;R\,L\,C\;$ série étant «$\;P_{e,\,r,\,R\,L\,C\,{\text{série}}}(\omega )={\dfrac {R}{R^{2}+\left(L\;\omega -{\dfrac {1}{C\;\omega }}\right)^{\!2}}}\;U^{2}\;$» peut se réécrire, à l'aide des grandeurs canoniques « la pulsation propre $\;\omega _{0}={\dfrac {1}{\sqrt {L\;C}}}\;$» et « le facteur de qualité $\;Q={\dfrac {L\;\omega _{0}}{R}}={\dfrac {1}{R\;C\;\omega _{0}}}\;$», ainsi que de « la fréquence réduite $\;x=$ ${\dfrac {f}{f_{0}}}={\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}\;$» et d'une « grandeur homogène à une puissance $\;{\dfrac {U^{2}}{R\;}}\;$», La puissance électrique moyenne consommée par le $\;\color {transparent}{R\,L\,C}\;$ série étant «$\;\color {transparent}{P_{e,\,r,\,R\,L\,C\,{\text{série}}}(\omega )={\dfrac {R}{R^{2}+\left(L\;\omega -{\dfrac {1}{C\;\omega }}\right)^{\!2}}}\;U^{2}}\;$» peut se réécrire, en divisant haut et bas par $\;R\;$ et en factorisant le dénominateur restant par $\;R\;$ que l'on associe à $\;U^{2}\;$ de façon à faire apparaître dans l'autre facteur une grandeur sans dimension selon «$\;P_{e,\,r,\,R\,L\,C\,{\text{série}}}(\omega )={\dfrac {1}{1+\left({\dfrac {L\;\omega }{R}}-{\dfrac {1}{R\;C\;\omega }}\right)^{\!2}}}\;{\dfrac {U^{2}}{R\;}}=$ ${\dfrac {1}{1+\left({\dfrac {L\;\omega _{0}\;x}{R}}-{\dfrac {1}{R\;C\;\omega _{0}\;x}}\right)^{\!2}}}\;{\dfrac {U^{2}}{R\;}}\;$» soit, en reconnaissant le facteur de qualité au carré que l'on factorisera dans le terme au carré du dénominateur,
$\;P_{e,\,r,\,R\,L\,C\,{\text{série}}}(x)={\dfrac {1}{1+Q^{2}\,\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)^{\!2}}}\;{\dfrac {U^{2}}{R\;}}\;$
La puissance électrique moyenne consommée par le $\;R\,L\,C\;$ série est alors « maximale quand $\;x-{\dfrac {1}{x}}=0\;$ c'est-à-dire pour $\;x=1\;$», nous retiendrons que « la puissance électrique moyenne consommée par un $\;R\,L\,C\;$ série résonne pour la fréquence égale à sa fréquence propre », « la valeur maximale étant alors égale à $\;P_{e,\,r,\,R\,L\,C\,{\text{série}},\,{\text{max}}}=P_{e,\,r,\,R\,L\,C\,{\text{série}}}(x=1)={\dfrac {U^{2}}{R\;}}\;$» ;
à B.F. le terme prédominant du dénominateur étant $\;{\dfrac {Q^{2}}{x^{2}}}$, la puissance électrique moyenne consommée par le $\;R\,L\,C\;$ série est alors équivalente à «$\;P_{e,\,r,\,R\,L\,C\,{\text{série}},\,B.F.}(x)\sim {\dfrac {x^{2}}{Q^{2}}}\;{\dfrac {U^{2}}{R\;}}\rightarrow 0\;$» et
à H.F. le terme prédominant du dénominateur étant $\;Q^{2}\;x^{2}$, la puissance électrique moyenne consommée par le $\;R\,L\,C\;$ série est alors équivalente à «$\;P_{e,\,r,\,R\,L\,C\,{\text{série}},\,H.F.}\sim$ ${\dfrac {1}{Q^{2}\;x^{2}}}\;{\dfrac {U^{2}}{R\;}}\rightarrow 0\;$» ;
ci-contre la courbe de la puissance électrique moyenne en fonction de la fréquence réduite avec le positionnement des « fréquences de coupure à $\;-3dB\;$»$^,$ pour les valeurs de facteur de qualité $\;Q=10\;$ donnant une résonance aiguë $\;{\bigg$les fréquences réduites de coupure à $\;-3dB\;$ sont $\;x_{c,\,b}\simeq 0,95\;$ et $\;x_{c,\,h}\simeq 1,05\;$ la bande passante réduite à $\;-3dB\;$ étant $\;B.P._{x,\,-3dB}={\dfrac {1}{Q}}=0,1\;$${\bigg ]}$, $\;Q=2\;$ une résonance modérée $\;{\bigg$les fréquences réduites de coupure à $\;-3dB\;$ sont $\;x_{c,\,b}\simeq 0,78\;$ et $\;x_{c,\,h}\simeq 1,28\;$ la bande passante réduite à $\;-3dB\;$ étant $\;B.P._{x,\,-3dB}={\dfrac {1}{Q}}=0,5\;$${\bigg ]}\;$ et $\;Q=0,4\;$ une résonance floue $\;{\bigg$les fréquences réduites de coupure à $\;-3dB\;$ sont $\;x_{c,\,b}\simeq 0,35\;$ et $\;x_{c,\,h}\simeq 2,85\;$ la bande passante réduite à $\;-3dB\;$ étant $\;B.P._{x,\,-3dB}$ $={\dfrac {1}{Q}}=2,5\;$${\bigg ]}$.

## Expression de la puissance électrique moyenne reçue par un dipôle passif linéaire au sens de l'A.R.Q.S. dans le cas d'un régime périodique quelconque, application de la formule de Parseval
### Décomposition en série de Fourier de la tension aux bornes du D.P.L. et de l'intensité du courant le traversant dans le cas d'un régime T-périodique quelconque, conséquence sur la puissance instantanée électrique reçue

La tension instantanée $\;{\bigT$-périodique mais non harmonique${\big )}\;$ aux bornes du D.P.L.$^,$ se décomposant en série de Fourier $\;{\big$avec choix de la 2ème décomposition${\big )}\;$ selon «$\;u(t)=$ $U_{0}+\sum \limits _{n=1}^{+\infty }U_{{\text{eff}},\,n}\;{\sqrt {2}}\;\cos \!\left(2\;\pi \;n\;f\;t+\varphi _{u,\,n}\right)\;$» et l'intensité instantanée $\;{\big$également $\;T$-périodique mais non harmonique${\big )}\;$ du courant le traversant, en convention récepteur, se décomposant en série de Fourier selon «$\;i(t)=$ $I_{0}+\sum \limits _{n=1}^{+\infty }I_{{\text{eff}},\,n}\;{\sqrt {2}}\;\cos \!\left(2\;\pi \;n\;f\;t+\varphi _{i,\,n}\right)\;$», nous en déduisons la puissance électrique instantanée consommée par le D.P.L. en régime $\;T$-périodique non harmonique utilisant ces deux décompositions selon «$\;{\mathcal {P}}_{e,\,r,\,D.P.L.}(t)=u(t)\;i(t)=$ $\left[U_{0}+\sum \limits _{n=1}^{+\infty }U_{{\text{eff}},\,n}\;{\sqrt {2}}\;\cos \!\left(2\;\pi \;n\;f\;t+\varphi _{u,\,n}\right)\right]\left[I_{0}+\sum \limits _{n=1}^{+\infty }I_{{\text{eff}},\,n}\;{\sqrt {2}}\;\cos \!\left(2\;\pi \;n\;f\;t+\varphi _{i,\,n}\right)\right]\;$» ce qui, en développant, donne
* des termes définissant la puissance instantanée électrique reçue par l'intermédiaire de chaque harmonique explicitée ci-après $\;\succ \;$« reçue par la composante permanente c'est-à-dire $\;U_{0}\;I_{0}\;$» ou $\;\succ \;$« reçue par l'harmonique de rang $\;n\;$ c'est-à-dire $\;2\,U_{{\text{eff}},\,n}\,I_{{\text{eff}},\,n}\,\cos \!\left(2\,\pi \,n\,f\,t+\varphi _{u,\,n}\right)\,\cos \!\left(2\,\pi \,n\,f\,t+\varphi _{i,\,n}\right)\;$» mais aussi
* des termes de puissance correspondant au couplage de deux harmoniques différents explicitée ci-dessous $\;\succ \;$« couplage de la composante permanente et de l'harmonique de rang $\;n\;$ c'est-à-dire $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}U_{0}\;I_{{\text{eff}},\,n}\;{\sqrt {2}}\;\cos \!\left(2\;\pi \;n\;f\;t+\varphi _{i,\,n}\right)\\U_{{\text{eff}},\,n}\;I_{0}\;{\sqrt {2}}\;\cos \!\left(2\;\pi \;n\;f\;t+\varphi _{u,\,n}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$» ou $\;\succ \;$« couplage de l'harmonique de rang $\;n\;$ et de l'harmonique de rang $\;n'\neq n\;$ c'est-à-dire $\;2\,U_{{\text{eff}},\,n}\,I_{{\text{eff}},\,n'}\,\cos \!\left(2\,\pi \,n\,f\,t+\varphi _{u,\,n}\right)\,\cos \!\left(2\,\pi \,n'\,f\,t+\varphi _{i,\,n'}\right)\;$».

### Puissance électrique moyenne reçue par le D.P.L. en régime T-périodique quelconque

* Effectuant la moyenne des divers termes précédemment développés de la puissance électrique instantanée consommée par le D.P.L.$^,$ en régime $\;T$-périodique non harmonique utilisant les deux décompositions en série de Fourier de la tension instantanée aux bornes du dipôle et de l'intensité instantanée du courant le traversant en convention récepteur, nous trouvons que tous les termes de puissance correspondant au couplage de deux harmoniques différents ont une moyenne nulle en effet $\;\succ \;$ les termes de couplage de la composante permanente et de l'harmonique de rang $\;n\;$ c'est-à-dire «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}U_{0}\;I_{{\text{eff}},\,n}\;{\sqrt {2}}\;\cos \!\left(2\;\pi \;n\;f\;t+\varphi _{i,\,n}\right)\\U_{{\text{eff}},\,n}\;I_{0}\;{\sqrt {2}}\;\cos \!\left(2\;\pi \;n\;f\;t+\varphi _{u,\,n}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$» étant de moyenne temporelle définie par $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\Big \langle }U_{0}\;I_{{\text{eff}},\,n}\;{\sqrt {2}}\;\cos \!\left(2\;\pi \;n\;f\;t+\varphi _{i,\,n}\right){\Big \rangle }={\dfrac {1}{T}}\displaystyle \int _{0}^{T}U_{0}\;I_{{\text{eff}},\,n}\;{\sqrt {2}}\;\cos \!\left(2\;\pi \;n\;f\;t+\varphi _{i,\,n}\right)\;dt\\{\Big \langle }U_{{\text{eff}},\,n}\;I_{0}\;{\sqrt {2}}\;\cos \!\left(2\;\pi \;n\;f\;t+\varphi _{u,\,n}\right){\Big \rangle }={\dfrac {1}{T}}\displaystyle \int _{0}^{T}U_{{\text{eff}},\,n}\;I_{0}\;{\sqrt {2}}\;\cos \!\left(2\;\pi \;n\;f\;t+\varphi _{u,\,n}\right)\;dt\end{array}}\right\rbrace \;$ dans laquelle chaque fonction à intégrer, de période $\;{\dfrac {T}{n}}$, conduit à une primitive de même périodicité à prendre entre deux valeurs séparées de $\;T=n\;{\dfrac {T}{n}}\;$ donnant deux valeurs de primitive égales et par suite une moyenne temporelle nulle et $\;\succ \;$ les termes de couplage de deux harmoniques de rangs différents c'est-à-dire «$\;2\,U_{{\text{eff}},\,n}\,I_{{\text{eff}},\,n'}\,\cos \!\left(2\,\pi \,n\,f\,t+\varphi _{u,\,n}\right)\,\cos \!\left(2\,\pi \,n'\,f\,t+\varphi _{i,\,n'}\right)\;$» étant de moyenne temporelle définie par $\;{\Big \langle }2\,U_{{\text{eff}},\,n}\,I_{{\text{eff}},\,n'}\,\cos \!\left(2\,\pi \,n\,f\,t+\varphi _{u,\,n}\right)\,\cos \!\left(2\,\pi \,n'\,f\,t+\varphi _{i,\,n'}\right){\Big \rangle }=$ ${\dfrac {1}{T}}\displaystyle \int _{0}^{T}2\,U_{{\text{eff}},\,n}\,I_{{\text{eff}},\,n'}\,\cos \!\left(2\,\pi \,n\,f\,t+\varphi _{u,\,n}\right)\,\cos \!\left(2\,\pi \,n'\,f\,t+\varphi _{i,\,n'}\right)\;dt\;$ dont l'intégrande s'intégrant par linéarisation en une somme de deux fonctions sinusoïdales $\;{\dfrac {T}{n+n'}}$-périodique pour l'une et $\;{\dfrac {T}{\vert n-n'\vert }}$-périodique pour l'autre, de primitive respective de même périodicité que la fonction considérée à prendre entre deux valeurs séparées de $\;T=(n+n')\;{\dfrac {T}{n+n'}}\;$ pour la 1ère $\;{\big$ce qui donne deux valeurs de primitive égales${\big )}\;$ et séparées de $\;T=\vert n-n'\vert \;{\dfrac {T}{\vert n-n'\vert }}\;$ pour la 2ème $\;{\big$ce qui donne encore deux valeurs de primitive égales${\big )}\;$ et par suite, leur ajout donne une moyenne nulle ;
* la moyenne des termes définissant la puissance instantanée électrique reçue par l'intermédiaire de chaque harmonique s'obtient en appliquant le « résultat de la puissance électrique moyenne reçue par un D.P.L.$^,$ en r.s.f. » d'où
la puissance électrique moyenne consommée par le D.P.L.$^,$ en régime $\;T$-périodique non harmonique est égale à la somme des puissances électriques moyennes consommées par le D.P.L.$^,$ soumis à chaque harmonique pris isolément soit
$\;P_{e,\,r,\,D.P.L.}={\Big \langle }{\mathcal {P}}_{e,\,r,\,D.P.L.}(t){\Big \rangle }=U_{0}\;I_{0}+\sum \limits _{n=1}^{+\infty }\;U_{{\text{eff}},\,n}\;I_{{\text{eff}},\,n}\;\cos \!\left(\varphi _{u,\,n}-\varphi _{i,\,n}\right)\;$

### Autres expressions de la puissance électrique moyenne reçue par le D.P.L. en régime T-périodique quelconque

Ayant établi que la puissance électrique moyenne reçue par le D.P.L.$^,$ en régime $\;T$-périodique non harmonique est la somme des puissances électriques moyennes consommées par le D.P.L.$^,$ soumis à chaque harmonique pris isolément, et notant $\;{\underline {Z_{D.P.L.,\,n}}}(n\;\omega )\;$ l'impédance complexe du D.P.L. pour l'harmonique de rang $\;n\;$ dont la résistance est $\;{\mathcal {R}}_{D.P.L.,\,n}(n\;\omega )=$ $\Re \!\left[{\underline {Z_{D.P.L.,\,n}}}(n\;\omega )\right]\;$, nous pouvons réécrire notant $\;\color {transparent}{{\underline {Z_{D.P.L.,\,n}}}(n\;\omega )}\;$ la puissance électrique moyenne consommée par le D.P.L.$^,$ soumis à l'harmonique de rang $\;n\;$ selon «$\;{\mathcal {R}}_{D.P.L.,\,n}(n\;\omega )\,\left[I_{{\text{eff}},\,n}(n\;\omega )\right]^{2}\;$» dans laquelle $\;I_{{\text{eff}},\,n}(n\;\omega )\;$ est l'intensité efficace du courant de l'harmonique de rang $\;n\;$ traversant le dipôle d'où une autre expression de la puissance électrique moyenne reçue par le D.P.L.$^,$ en régime $\;T$-périodique quelconque
$\;P_{e,\,r,\,D.P.L.}={\Big \langle }{\mathcal {P}}_{e,\,r,\,D.P.L.}(t){\Big \rangle }={\mathcal {R}}_{D.P.L.,\,0}\,\left[I_{0}\right]^{2}+\sum \limits _{n=1}^{+\infty }\;{\mathcal {R}}_{D.P.L.,\,n}(n\;\omega )\,\left[I_{{\text{eff}},\,n}(n\;\omega )\right]^{2}\;$
notant $\;{\underline {Y_{D.P.L.,\,n}}}(n\;\omega )\;$ l'admittance complexe du D.P.L. pour l'harmonique de rang $\;n\;$ dont la conductance est $\;{\mathcal {G}}_{D.P.L.,\,n}(n\;\omega )=$ $\Re \!\left[{\underline {Y_{D.P.L.,\,n}}}(n\;\omega )\right]\;$, nous pouvons réécrire notant $\;\color {transparent}{{\underline {Z_{D.P.L.,\,n}}}(n\;\omega )}\;$ la puissance électrique moyenne consommée par le D.P.L.$^,$ soumis à l'harmonique de rang $\;n\;$ selon «$\;{\mathcal {G}}_{D.P.L.,\,n}(n\;\omega )\,\left[U_{{\text{eff}},\,n}(n\;\omega )\right]^{2}\;$» dans laquelle $\;U_{{\text{eff}},\,n}(n\;\omega )\;$ est la tension efficace de l'harmonique de rang $\;n\;$ aux bornes du dipôle d'où une autre expression de la puissance électrique moyenne reçue par le D.P.L.$^,$ en régime $\;T$-périodique quelconque
$\;P_{e,\,r,\,D.P.L.}={\Big \langle }{\mathcal {P}}_{e,\,r,\,D.P.L.}(t){\Big \rangle }={\mathcal {G}}_{D.P.L.,\,0}\,\left[U_{0}\right]^{2}+\sum \limits _{n=1}^{+\infty }\;{\mathcal {G}}_{D.P.L.,\,n}(n\;\omega )\,\left[U_{{\text{eff}},\,n}(n\;\omega )\right]^{2}\;$
Cas particuliers où la résistance de l'harmonique de rang $\;n\;$ du D.P.L.$^,$ est indépendante du rang : c'est-à-dire «$\;{\mathcal {R}}_{D.P.L.,\,{\cancel {n}}}\!{\cancel {(n\;\omega )}}={\mathcal {R}}_{0}\;\;\forall \;n\;$» $\;{\big \$exemple du dipôle $\;R\,L\,C\;$ série où $\;{\mathcal {R}}_{0}=R{\big \}$ ; Cas particuliers où la résistance de l'harmonique de rang $\;\color {transparent}{n}\;$ du D.P.L. est indépendante du rang : on en déduit, après factorisation par $\;{\mathcal {R}}_{0}$, la puissance électrique moyenne consommée par le D.P.L.$^,$ en régime $\;T$-périodique quelconque «$\;P_{e,\,r,\,D.P.L.}={\mathcal {R}}_{0}\,\left\lbrace I_{0}^{2}+\sum \limits _{n=1}^{+\infty }\;\left[I_{{\text{eff}},\,n}(n\;\omega )\right]^{2}\right\rbrace ={\mathcal {R}}_{0}\;\left[I_{\text{eff}}\right]^{2}\;$» ;
Cas particuliers où la conductance de l'harmonique de rang $\;n\;$ du D.P.L.$^,$ est indépendante du rang : c'est-à-dire «$\;{\mathcal {G}}_{D.P.L.,\,{\cancel {n}}}\!{\cancel {(n\;\omega )}}={\mathcal {G}}_{0}\;\;\forall \;n\;$» $\;{\bigg \$exemple du dipôle $\;R\,L\,C\;$ parallèle où $\;{\mathcal {G}}_{0}={\dfrac {1}{R}}{\bigg \}$ ; Cas particuliers où la conductance de l'harmonique de rang $\;\color {transparent}{n}\;$ du D.P.L. est indépendante du rang : on en déduit, après factorisation par $\;{\mathcal {G}}_{0}$, la puissance électrique moyenne consommée par le D.P.L.$^,$ en régime $\;T$-périodique quelconque «$\;P_{e,\,r,\,D.P.L.}={\mathcal {G}}_{0}\,\left\lbrace U_{0}^{2}+\sum \limits _{n=1}^{+\infty }\;\left[U_{{\text{eff}},\,n}(n\;\omega )\right]^{2}\right\rbrace ={\mathcal {G}}_{0}\;\left[U_{\text{eff}}\right]^{2}\;$».

### Peut-on se ramener à une application de la formule de Parseval pour évaluer la puissance électrique moyenne consommée par un D.P.L. dans le cas d'un régime T-périodique quelconque, le D.P.L. étant de résistance (ou de conductance) dépendant effectivement de la fréquence ?

La réponse est, a priori, « NON » car dans ces cas il n'y a pas de factorisation possible par la résistance commune $\;{\big$ou la conductance commune${\big )}\;$ La réponse est, a priori, « NON » car dans ces cas il n'y a pas de factorisation possible dans «$\;P_{e,\,r,\,D.P.L.}$ $={\mathcal {R}}_{D.P.L.,\,0}\,\left[I_{0}\right]^{2}+\sum \limits _{n=1}^{+\infty }\;{\mathcal {R}}_{D.P.L.,\,n}(n\;\omega )\,\left[I_{{\text{eff}},\,n}(n\;\omega )\right]^{2}$» ou La réponse est, a priori, « NON » car dans ces cas il n'y a pas de factorisation possible dans «$\;P_{e,\,r,\,D.P.L.}={\mathcal {G}}_{D.P.L.,\,0}\,\left[U_{0}\right]^{2}+\sum \limits _{n=1}^{+\infty }\;{\mathcal {G}}_{D.P.L.,\,n}(n\;\omega )\,\left[U_{{\text{eff}},\,n}(n\;\omega )\right]^{2}$» donc La réponse est, a priori, « NON » car dans ces cas il n'y a pas d'utilisation d'égalité de Parseval concernant l'intensité efficace $\;{\big$ou la tension efficace${\big )}$ ;
La réponse est, a priori, « NON » toutefois on peut procéder autrement, en utilisant que « seuls les conducteurs ohmiques consomment en moyenne de la puissance », « les condensateurs parfaits et les bobines parfaites ayant une consommation moyenne nulle » :
La réponse est, a priori, « NON » toutefois on peut procéder autrement, pour cela on repère chaque élément résistif du D.P.L. de résistance $\;R_{k}\;$ et La réponse est, a priori, « NON » toutefois on peut procéder autrement, pour cela on évalue l'intensité instantanée du courant traversant cet élément résistif $\;i_{k}(t)\;$ par sa 2ème décomposition en série de Fourier c'est-à-dire «$\;i_{k}(t)=I_{k,\,0}+\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}}^{1\,{\text{à}}\,+\infty }\left[I_{k,\,{\text{eff}},\,p}(2\,\pi \,p\,f)\,{\sqrt {2}}\,\cos(2\,\pi \,p\,f\,t+\varphi _{k,\,p})\right]\;$» puis La réponse est, a priori, « NON » toutefois on peut procéder autrement, on en déduit la puissance électrique moyenne consommée dans $\;R_{k}\;$ «$\;P_{e,\,r,\,R_{k}}=R_{k}\,\left\lbrace \left[I_{k,\,0}\right]^{2}+\sum \limits _{n=1}^{+\infty }\;\left[I_{k,\,{\text{eff}},\,n}(n\;\omega )\right]^{2}\right\rbrace \;$» soit finalement «$\;P_{e,\,r,\,R_{k}}=R_{k}\,\left[I_{k,\,{\text{eff}}}\right]^{2}\;$» ;
La réponse est, a priori, « NON » toutefois on peut procéder autrement, pour évaluer la puissance électrique moyenne consommée dans le D.P.L. on ajoute les puissances électriques moyennes consommées dans tous les conducteurs ohmiques du D.P.L. soit «$\;P_{e,\,r,\,D.P.L.}=\sum \limits _{k}\;P_{e,\,r,\,R_{k}}=\sum \limits _{k}\;R_{k}\,\left[I_{k,\,{\text{eff}}}\right]^{2}\;$».