# Mécanique 1 (PCSI)/Description et paramétrage du mouvement d'un point : Systèmes de coordonnées

Ce chapitre ayant un support mathématique important a déjà été grandement introduit dans le chap.$16$ « Divers repérages d'un point dans l'espace » de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

## Système de coordonnées cartésiennes

$16$

### Choix d'un repère cartésien associé à la composante d'espace du référentiel d'étude

Au « référentiel d'espace » $\;{\mathcal {R}}$, on associe un « repère cartésien » c.-à-d.
* une « origine » $\;O\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}\;$ et
* une « base orthonormée » $\;{\big$usuellement directe, l'espace étant supposé orienté à droite${\big )}$ $\;\left({\vec {u}}_{x},\,{\vec {u}}_{y},\,{\vec {u}}_{z}\right)\;$ également fixe dans $\;{\mathcal {R}}$.

### Coordonnées cartésiennes d'un point

Le vecteur position de $\;M\;$ se décompose dans la base cartésienne selon «$\;{\overrightarrow {OM}}=x\;{\vec {u}}_{x}+y\;{\vec {u}}_{y}+z\;{\vec {u}}_{z}\;$» dans laquelle «$\;\left(x,\,y,\,z\right)\;$» définissent les « coordonnées cartésiennes du point $\;M\;$», $\;{\big$avec «$\;x\;$ son abscisse », «$\;y\;$ son ordonnée » et «$\;z\;$ sa cote »${\big )}$.

## Système de coordonnées cylindriques (ou cylindro-polaires), base cylindrique liée au point repéré

$16$

### Principe du repérage cylindro-polaire d'un point dans la composante d'espace du référentiel d'étude

Pour définir un repérage cylindro-polaire d'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ pour le point $\;M$, on conserve le repérage cartésien du projeté orthogonal $\;M_{z}\;$ de $\;M\;$ sur l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ et on modifie le repérage du projeté orthogonal $\;M_{xy}\;$ de $\;M\;$ sur le plan $\;(xOy)\;$ en le repérant, dans ce plan, par sa distance à $\;O\;$ et par l'angle que fait $\;{\overrightarrow {OM_{xy}}}\;$ avec l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;\ldots$

### Repérage cylindro-polaire d'axe fixé d'un point dans la composante d'espace du référentiel d'étude

Les « coordonnées cylindro-polaires$\;{\big$ou cylindriques${\big )}\;$ de $\;M\;$» sont «$\;(\rho ,\,\theta ,\,z)\;$» avec
* «$\;\rho =\left\Vert {\overrightarrow {OM_{xy}}}\right\Vert \geqslant 0\;$» sa « coordonnée radiale »,
* «$\;\theta ={\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {OM_{xy}}}\right)}}\in \left]-\pi \,{\text{,}}\,+\pi \right]\;$» sa « coordonnée angulaire »$^,$ et
* «$\;z={\overline {OM_{z}}}\;$» sa « cote » ;
On définit la « base cylindro-polaire$\;{\big$ou cylindrique${\big )}\;$ liée à $\;M\;$», «$\;({\vec {u}}_{\rho },\,{\vec {u}}_{\theta },\,{\vec {u}}_{z})\;$» orthonormée directe $\;{\big$l'espace étant orienté à droite${\big )}\;$ avec
* le 1er vecteur de la base «$\;{\vec {u}}_{\rho }={\dfrac {\overrightarrow {OM_{xy}}}{\rho }}\;$»,
* le 2nd vecteur de la base «$\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ dans le plan $\;xOy\;$ directement $\;\perp \;$ au précédent » $\;{\big$on peut encore le définir par «$\;{\vec {u}}_{\theta }$ $={\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{\rho }\;$»${\big )}\;$ et
* le 3ème vecteur de la base «$\;{\vec {u}}_{z}\;$ identique au 3ème vecteur de la base cartésienne ».
Remarque : comme la base orthonormée cartésienne $\;({\vec {u}}_{x},\,{\vec {u}}_{y})\;$ du plan $\;xOy$, la base orthonormée polaire $\;({\vec {u}}_{\rho },\,{\vec {u}}_{\theta })\;$ permet d'exprimer tout vecteur du plan $\;xOy$, à la différence près que ces vecteurs de base polaire dépendent de l'abscisse angulaire $\;\theta \;$ du point alors que les vecteurs de base cartésienne sont constants.

### Composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur position d'un point M dans la composante d'espace du référentiel d'étude

Le vecteur position du point $\;M\;$ s'écrit dans la base cylindro-polaire liée à $\;M\;$ selon «$\;{\overrightarrow {OM}}=\rho \;{\vec {u}}_{\rho }+z\;{\vec {u}}_{z}\;$».

### Lien entre repérages cylindro-polaire (ou cylindrique) et cartésien

Voir le paragraphe « lien entre repérages cylindro-polaire et cartésien d'un point » du chap.$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » mais il faut savoir qu'en principe vous ne devez jamais revenir au repérage cartésien quand vous êtes en repérage cylindro-polaire $\;{\big$ou cylindrique${\big )}\;$ car, si vous avez choisi ce dernier $\;{\big$ou s'il vous a été imposé${\big )}$, c'est parce qu'il simplifie l'étude $\;\ldots$

## Système de coordonnées sphériques, base sphérique liée au point repéré

$16$

### Principe du repérage sphérique d'un point dans la composante d'espace du référentiel d'étude

Pour définir un repérage sphérique de pôle $\;O\;$ et d'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ pour le point «$\;M\;\not \in \left(Oz\right)\;$», on définit le « demi-plan contenant l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ et passant par $\;M$, appelé demi-plan méridien », repéré par l'angle qu'il fait avec le demi-plan méridien de référence $\;\left({\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {Oz}}\right)\;$$^,$ ; la position du point $\;M\;$ est alors repérée dans ce demi-plan méridien par sa distance au pôle $\;O\;$ et par l'angle positif que fait $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ avec l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ ; dans ce cas le repérage sphérique utilise une longueur et deux angles ;
si le point «$\;M\in \left(Oz\right)\;$», le « demi-plan méridien n'est pas défini $\;{\big$en fait tous les demi-plans contenant $\;\left(Oz\right)\;$ conviennent${\big ]}\;$» et on repère le point $\;M\;$ sur $\;\left(Oz\right)\;$ par sa distance au pôle $\;O\;$ et par l'angle positif que fait $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ avec l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ ${\big$cet angle valant $\;0\;$ si $\;M\;$ est du côté positif de l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ et $\;\pi \;$ s'il est du côté négatif${\big ]}$ ; dans ce cas un des angles restant indéfini, le repérage sphérique utilise une longueur et un angle.

### Repérage sphérique de pôle et d'axe fixés d'un point dans la composante d'espace du référentiel d'étude

Les « coordonnées sphériques de $\;M\;$» sont «$\;(r,\,\theta ,\,\varphi )\;$» avec
* «$\;r=\left\Vert {\overrightarrow {OM}}\right\Vert \geqslant 0\;$» son « rayon $\;{\big$polaire${\big )}\;$»,
* «$\;\theta ={\widehat {\left({\overrightarrow {Oz}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {OM}}\right)}}\in \left[0\,{\text{,}}\,+\pi \right]\;$» sa « colatitude »$^,$ et
* «$\;\varphi ={\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {OM_{xy}}}\right)}}\in \left]-\pi \,{\text{,}}\,+\pi \right]\;$» sa « longitude »$^,$ ;
On définit la « base sphérique liée à $\;M\;$», «$\;({\vec {u}}_{r},\,{\vec {u}}_{\theta },\,{\vec {u}}_{\varphi })\;$» orthonormée directe $\;{\big$l'espace étant orienté à droite${\big )}\;$ avec
* le 1er vecteur de la base «$\;{\vec {u}}_{r}={\dfrac {\overrightarrow {OM}}{r}}\;$»,
* le 2nd vecteur de la base «$\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ dans le demi-plan méridien directement $\;\perp \;$ au précédent »$^,$ et
* le 3ème vecteur de la base «$\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ $\perp \;$ au demi-plan méridien et orientant ce dernier » soit «$\;{\vec {u}}_{\varphi }={\vec {u}}_{r}\wedge {\vec {u}}_{\theta }\;$».
Remarque : comme la base orthonormée cylindro-polaire $\;({\vec {u}}_{z},\,{\vec {u}}_{\rho })\;$ du demi-plan méridien orienté par $\;{\vec {u}}_{\varphi }$, la base orthonormée sphérique $\;({\vec {u}}_{r},\,{\vec {u}}_{\theta })\;$ de ce même demi-plan méridien orienté par $\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ permet d'exprimer tout vecteur du demi-plan méridien, à la différence près que ces vecteurs de base sphérique dépendent de la colatitude $\;\theta \;$ du point alors que les vecteurs de base cylindro-polaire sont constants pour un demi-plan méridien fixé.

### Composantes sphériques du vecteur position d'un point M dans la composante d'espace du référentiel d'étude

Le vecteur position du point $\;M\;$ s'écrit dans la base sphérique liée à $\;M\;$ selon «$\;{\overrightarrow {OM}}=r\;{\vec {u}}_{r}\;$».

### Interprétation géographique du repérage sphérique de pôle et d'axe fixés

Pour un « repérage sphérique de pôle $\;O\;$ et d'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$», l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ est identifié à l'axe « pôle Sud $-$ pôle Nord » de la Terre,
* «$\;r\;$ est l'altitude augmentée du rayon de la Terre », «$\;{\vec {u}}_{r}\;$ le vecteur unitaire vertical ascendant »,
* «$\;\theta \;$ la colatitude », «$\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ le vecteur unitaire horizontal dirigé vers le Sud »,
* «$\;\varphi \;$ la longitude » et «$\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ le vecteur unitaire horizontal dirigé vers l'Est ».

### Lien entre repérages sphérique et cylindro-polaire (ou cylindrique)

Voir le paragraphe « lien entre repérages sphérique et cylindro-polaire d'un point » du chap.$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » mais il faut savoir qu'en principe vous ne devez jamais revenir au repérage cylindro-polaire quand vous êtes en repérage sphérique car, si vous avez choisi ce dernier $\;{\big$ou s'il vous a été imposé${\big )}$, c'est parce qu'il simplifie l'étude $\;\ldots$

### Lien entre repérages sphérique et cartésien

Voir le paragraphe « lien entre repérages sphérique et cartésien d'un point » du chap.$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » mais il faut savoir qu'en principe vous ne devez en aucun cas revenir au repérage cartésien quand vous êtes en repérage sphérique car, si vous avez choisi ce dernier $\;{\big$ou s'il vous a été imposé${\big )}$, c'est parce qu'il simplifie énormément l'étude $\;\ldots$

## Composantes cartésiennes du vecteur position, du vecteur vitesse et du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude
### Composantes cartésiennes du vecteur position du point repéré dans le référentiel d'étude

Le vecteur position s'exprimant en repérage cartésien sous la forme «$\;{\overrightarrow {OM}}=x\;{\vec {u}}_{x}+y\;{\vec {u}}_{y}+z\;{\vec {u}}_{z}\;$» a pour « composantes cartésiennes $\;\left(x,\,y,\,z\right)\;$» Le vecteur position s'exprimant en repérage cartésien sous la forme «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {OM}}=x\;{\vec {u}}_{x}+y\;{\vec {u}}_{y}+z\;{\vec {u}}_{z}}\;$» a pour $\;{\big$s'identifiant aux coordonnées cartésiennes de $\;M{\big ]}$ ;
le mouvement du point défini de façon intrinsèque par l'« équation horaire vectorielle paramétrique $\;{\overrightarrow {OM}}={\overrightarrow {OM}}(t)\;$» l'est, de façon équivalente, le mouvement du point défini de façon intrinsèque par la donnée des « trois équations horaires scalaires paramétriques $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{array}}\right\rbrace \;$» lesquelles sont encore le mouvement du point défini de façon intrinsèque par la donnée les « trois équations scalaires paramétriques de la trajectoire $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ du point $\;M\;$» ;
pour déterminer les « deux équations cartésiennes scalaires de $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$» il convient d'éliminer le paramètre $\;t\;$ entre ces trois équations $\;\ldots \;$
Voir l'exemple «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x={\dfrac {t}{2}}\\y=t^{2}-1\\z=2\,t+1\end{array}}\right\rbrace \;$» traité dans le paragraphe « repérage paramétrique d'une courbe » du chap.$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans lequel on établit que Voir l'exemple «$\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$» étant l'intersection $\succ \;$d'un « cylindre parabolique $\;y=4\,x^{2}-1\;$ de génératrices $\;\parallel \;$ à l'axe $\;Oz\;$» et Voir l'exemple «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {T}}\right)}\;$» étant l'intersection $\succ \;$d'un « plan $\;z=4\,x+1\;$ $\parallel \;$ à l'axe $\;Oy\;$»  Voir l'exemple «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {T}}\right)}\;$» est une « parabole » $\;{\big$voir ci-contre${\big )}$.

### Composantes cartésiennes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude

La définition intrinsèque du vecteur vitesse de $\;M\;$ étant «$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}(t)\;$» et les vecteurs de base cartésienne étant des vecteurs constants nous trouvons les composantes cartésiennes du vecteur vitesse en dérivant par rapport à $\;t\;$ l'équation horaire vectorielle de $\;M\;$ «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)=x(t)\;{\vec {u}}_{x}+y(t)\;{\vec {u}}_{y}+z(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» et en utilisant la linéarité de l'opération dérivation temporelle, soit «$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dot {x}}(t)\;{\vec {u}}_{x}+{\dot {y}}(t)\;{\vec {u}}_{y}+{\dot {z}}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$», les « composantes cartésiennes de $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ étant $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{x}={\dot {x}}(t)\\V_{y}={\dot {y}}(t)\\V_{z}={\dot {z}}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$» ; «$\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{M}(t)={\dot {x}}(t)\;{\vec {u}}_{x}+{\dot {y}}(t)\;{\vec {u}}_{y}+{\dot {z}}(t)\;{\vec {u}}_{z}}\;$», la « norme du vecteur vitesse se calculant selon $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert ={\sqrt {V_{x}^{2}(t)+V_{y}^{2}(t)+V_{z}^{2}(t)}}\;$ et s'exprime en $\;m\cdot s^{-1}\;$».
Exemple : mouvement du point $\;M\;$ défini par les trois équations horaires scalaires «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x={\dfrac {t}{2}}\\y=t^{2}-1\\z=2\,t+1\end{array}}\right\rbrace \;$», le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ a pour « composantes cartésiennes $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{x}={\dfrac {1}{2}}\\V_{y}=2\,t\\V_{z}=2\end{array}}\right\rbrace \;$», Exemple : mouvement du point M défini par les trois équations horaires scalaires sa norme valant «$\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert ={\sqrt {{\dfrac {1}{4}}+4\,t^{2}+4}}={\sqrt {{\dfrac {17}{4}}+4\,t^{2}}}\;$».

### Composantes cartésiennes du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude

La définition intrinsèque du vecteur accélération de $\;M\;$ étant «$\;{\vec {a}}_{M}(t)={\dfrac {d{\vec {V}}_{M}}{dt}}(t)\;$» et les vecteurs de base cartésienne étant des vecteurs constants nous trouvons les composantes cartésiennes du vecteur accélération en dérivant «$\;{\vec {V}}_{M}(t)=V_{x}(t)\;{\vec {u}}_{x}+V_{y}(t)\;{\vec {u}}_{y}+V_{z}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» par rapport à $\;t\;$ et en utilisant la linéarité de l'opération dérivation temporelle, soit
$\;{\vec {a}}_{M}(t)={\dot {V}}_{x}(t)\;{\vec {u}}_{x}+{\dot {V}}_{y}(t)\;{\vec {u}}_{y}+{\dot {V}}_{z}(t)\;{\vec {u}}_{z}={\ddot {x}}(t)\;{\vec {u}}_{x}+{\ddot {y}}(t)\;{\vec {u}}_{y}+{\ddot {z}}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$
$\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}a_{x}={\dot {V}}_{x}(t)={\ddot {x}}(t)\\a_{y}={\dot {V}}_{y}(t)={\ddot {y}}(t)\\a_{z}={\dot {V}}_{z}(t)={\ddot {z}}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;\Vert {\vec {a}}_{M}(t)\Vert ={\sqrt {a_{x}^{2}(t)+a_{y}^{2}(t)+a_{z}^{2}(t)}}\;$
$\;m\cdot s^{-2}\;$
Exemple : mouvement du point $\;M\;$ défini par les trois équations horaires scalaires «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x={\dfrac {t}{2}}\\y=t^{2}-1\\z=2\,t+1\end{array}}\right\rbrace \;$», le vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ a pour « composantes cartésiennes $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}a_{x}=0\\a_{y}=2\\a_{z}=0\end{array}}\right\rbrace \;$», Exemple : mouvement du point M défini par les trois équations horaires scalaires il est donc constant, $\;\parallel \;$ à $\;Oy$, et sa norme vaut «$\;\Vert {\vec {a}}_{M}(t)\Vert =2\;$».

## Composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur position, du vecteur vitesse et du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude
### Composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur position du point repéré dans le référentiel d'étude

Le vecteur position s'exprimant en repérage cylindro-polaire $\;{\big$ou cylindrique${\big )}\;$ d'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ sous la forme «$\;{\overrightarrow {OM}}=\rho \;{\vec {u}}_{\rho }+z\;{\vec {u}}_{z}\;$» a pour « composantes cylindro-polaires $\;\left(\rho ,\,0,\,z\right)\;$» Le vecteur position s'exprimant en repérage cylindro-polaire $\;\color {transparent}{\big$ou cylindrique$\color {transparent}{\big )}\;$ d'axe $\;\color {transparent}{\overrightarrow {Oz}}\;$ sous la forme «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {OM}}=\rho \;{\vec {u}}_{\rho }+z\;{\vec {u}}_{z}}\;$» a pour ${\big\neq \;$des « coordonnées cylindro-polaires $\;\left(\rho ,\,\theta ,\,z\right)\;$» de $\;M{\big ]}$ ;
le mouvement du point défini de façon intrinsèque par l'« équation horaire vectorielle paramétrique $\;{\overrightarrow {OM}}={\overrightarrow {OM}}(t)\;$» l'est, de façon équivalente, le mouvement du point défini de façon intrinsèque par la donnée des « trois équations horaires scalaires paramétriques$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\rho =\rho (t)\\\theta =\theta (t)\\z=z(t)\end{array}}\right\rbrace \;$» lesquelles sont encore le mouvement du point défini de façon intrinsèque par la donnée les « trois équations scalaires paramétriques de la trajectoire $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ du point $\;M\;$» ;
pour déterminer les « deux équations cylindro-polaires scalaires de $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$» il convient d'éliminer le paramètre $\;t\;$ entre ces trois équations $\;\ldots \;$
Exemple : soit le mouvement d'un point $\;M\;$ défini par les trois équations horaires scalaires cylindro-polaires «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\rho =R\\\theta =\omega \;t\\z=v\;t\end{array}}\right\rbrace \;$» lesquelles sont aussi les trois équations scalaires cylindro-polaires paramétriques de la trajectoire $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ du point $\;M$, nous nous proposons de déterminer la nature de la trajectoire en établissant ses deux équations cylindro-polaires ;
Exemple : une 1ère équation sans calcul «$\;\rho =R\;$ équation cylindro-polaire d'un tuyau cylindrique d'axe $\;Oz\;$ et de rayon $\;R\;$» ;
Exemple : une 2ème équation s'obtient en éliminant $\;t\;$ entre les deux dernières équations paramétriques soit $\;t={\dfrac {\theta }{\omega }}\;$ que l'on reporte dans $\;z=v\;t\;$ donnant «$\;z={\dfrac {v}{\omega }}\;\theta \;$ équation cylindro-polaire d'une nappe en colimaçon » ;
Exemple : la trajectoire $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ étant d'équations cylindro-polaires «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\rho =R\\z=h\;{\dfrac {\theta }{2\;\pi }}\end{array}}\right\rbrace \;$» avec «$\;h=2\;\pi \;{\dfrac {v}{\omega }}\;$ constante » c.-à-d. Exemple : la trajectoire $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {T}}\right)}\;$ étant l'intersection d'un tuyau cylindrique d'axe $\;Oz\;$ et d'une « nappe en colimaçon » ${\big$voir ci-contre${\big )}$ Exemple : la trajectoire $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {T}}\right)}\;$ est une hélice circulaire « droite » dont la constante $\;\vert h\vert \;$ définit le « pas de l'hélice ».

### Repérage polaire de M$_{xy}$, base polaire qui lui est liée, dérivée de ses vecteurs de base polaires relativement à l'abscisse angulaire de M$_{xy}$ repéré dans le référentiel d'étude
#### Notion de repérage polaire de M$_{xy}$, base polaire liée à M$_{xy}$

Le « repérage de $\;M_{xy}$, projeté orthogonal de $\;M\;$ sur le plan $\;\left(xOy\right)\;$», utilisant les « coordonnées partielles $\;\left(\rho ,\,\theta \right)\;$» des coordonnées cylindro-polaires $\;{\big$ou cylindriques${\big )}$ $\;\left(\rho ,\,\theta ,\,z\right)\;$ de $\;M$, Le « repérage de $\;\color {transparent}{M_{xy}}$, est appelé « repérage polaire de $\;M_{xy}\;$», la « base partielle $\;\left({\vec {u}}_{\rho },\,{\vec {u}}_{\theta }\right)\;$» de la base cylindro-polaire $\;{\big$ou cylindrique${\big )}$ $\;\left({\vec {u}}_{\rho },\,{\vec {u}}_{\theta },\,{\vec {u}}_{z}\right)\;$ liée à $\;M\;$ définit la « base polaire liée à $\;M_{xy}\;$».

#### Dérivée des vecteurs de base polaires relativement à l'abscisse angulaire de M$_{xy}$ repéré dans le référentiel d'étude

Les « vecteurs de base polaires $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho },\,{\vec {u}}_{\theta }\right\rbrace \;$ de $\;M_{xy}\;\left(\rho ,\,\theta \right)\;$» dépendant de l'abscisse angulaire $\;\theta \;$ de $\;M_{xy}\;$, leur dérivée par rapport à cette dernière est a priori non nulle ;
pour évaluer chacune d'elle on utilise leur décomposition dans la base cartésienne $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x},\,{\vec {u}}_{y}\right\rbrace \;$ du plan $\;\left(xOy\right)\;$ selon «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c r c r}{\vec {u}}_{\rho }\!\!&=&\!\!\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{x}\!\!&+&\!\!\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{y}\\{\vec {u}}_{\theta }\!\!&=&\!\!\cos \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{x}\!\!&+&\!\!\sin \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{y}\end{array}}\right\rbrace \;$»,
leur dérivée par rapport à $\;\theta \;$ donnant, compte-tenu du fait que les vecteurs de base cartésiennes sont constants d'une part et leur dérivée par rapport à $\;\color {transparent}{\theta }\;$ donnant, compte-tenu du fait que la dérivée d'un $\;\sin\;$ ou d'un $\;\cos\;$ par rapport à son argument s'obtient en ajoutant $\;{\dfrac {\pi }{2}}\;$ à l'argument d'autre part, leur dérivée par rapport à $\;\color {transparent}{\theta }\;$ donnant, «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c r c r c r}{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\theta }}\!\!&=&\!\!\cos \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{x}\!\!&+&\!\!\sin \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{y}\!\!&=&\!\!{\vec {u}}_{\theta }\\{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}\!\!&=&\!\!\cos \!\left(\theta +\pi \right)\,{\vec {u}}_{x}\!\!&+&\!\!\sin \!\left(\theta +\pi \right)\,{\vec {u}}_{y}\!\!&=&\!\!-{\vec {u}}_{\rho }\end{array}}\right\rbrace \;$».
$\rightsquigarrow$
$\;{\vec {u}}_{\rho }\;$
$\;{\vec {u}}_{\theta }\;$
$\;\theta$
$\;{\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]}{d\theta }}={\vec {u}}_{\theta }\;$
$\;{\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{d\theta }}=-{\vec {u}}_{\rho }\;$
$\;\perp \;$
$\succ \;$
$\;{\vec {u}}_{\rho }\;$
$\;\theta \;$
$\;{\vec {u}}_{x}$
$\;{\vec {u}}_{\theta }\;$
$\;{\vec {u}}_{\rho }\;$
$\;+{\dfrac {\pi }{2}}$
$\succ \;$
$\;{\vec {u}}_{\theta }\;$
$\;\theta \;$
$\;{\vec {u}}_{y}$
$\;-{\vec {u}}_{\rho }\;$
$\;{\vec {u}}_{\theta }\;$
$\;+{\dfrac {\pi }{2}}$
$\;{\big$
$\;{\vec {u}}_{z}\;$
$\;\perp \;$
$\;\left(xOy\right)\;$
${\big ]}$
$\;{\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]}{d\theta }}={\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{\rho }={\vec {u}}_{\theta }\;$
$\;{\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{d\theta }}={\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{\theta }=-{\vec {u}}_{\rho }\;$

### Composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude

La définition intrinsèque du vecteur vitesse de $\;M\;$ étant «$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}(t)\;$» et les « vecteurs de base cylindro-polaires dépendant de $\;\theta \;$ fonction de $\;t\;$», on trouve les composantes cylindro-polaires $\;{\big$ou cylindriques${\big )}$ du vecteur vitesse en dérivant « $\;{\overrightarrow {OM}}(t)=\rho (t)\;{\vec {u}}_{\rho }(t)+z(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» par rapport à $\;t$, avec «$\;{\dfrac {d\!\left[f\;{\vec {A}}\right]}{dt}}(t)={\dot {f}}(t)\;{\vec {A}}(t)+f(t)\;{\dot {\vec {A}}}(t)\;$» soit La définition intrinsèque du vecteur vitesse de $\;\color {transparent}{M}\;$ étant «$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}(t)={\dfrac {d\rho }{dt}}(t)\;{\vec {u}}_{\rho }(t)+\rho (t)\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{dt}}(t)+{\dfrac {dz}{dt}}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» puis, La définition intrinsèque du vecteur vitesse de $\;\color {transparent}{M}\;$ étant on évalue $\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{dt}}(t)\;$ en utilisant la formule de dérivation de fonction composée appliquée à $\;{\vec {u}}_{\rho }\!\left[\theta (t)\right]\;$ soit La définition intrinsèque du vecteur vitesse de $\;\color {transparent}{M}\;$ étant «$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{dt}}\!\left[\theta (t)\right]={\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\theta }}\!\left[\theta (t)\right]\;{\dfrac {d\theta }{dt}}(t)={\vec {u}}_{\theta }\!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\theta }}(t)\;$» d'où finalement l'expression du vecteur vitesse en repérage cylindro-polaire La définition intrinsèque du vecteur vitesse de $\;\color {transparent}{M}\;$ étant «$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dot {\rho }}(t)\;{\vec {u}}_{\rho }+\rho (t)\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }+{\dot {z}}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$», La définition intrinsèque du vecteur vitesse de $\;\color {transparent}{M}\;$ étant les « composantes cylindro-polaires de $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ étant $\;\left\lbrace {\begin{array}{l l c r}{\text{vitesse radiale}}\;&V_{\rho }\!\!&=&\!\!{\dot {\rho }}(t)\\{\text{vitesse orthoradiale}}\;&V_{\theta }\!\!&=&\!\!\rho (t)\;{\dot {\theta }}(t)\\{\text{vitesse axiale}}\;&V_{z}\!\!&=&\!\!{\dot {z}}(t)\\\end{array}}\right\rbrace \;$» ; La définition intrinsèque du vecteur vitesse de $\;\color {transparent}{M}\;$ étant la norme du vecteur vitesse se calculant selon «$\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert ={\sqrt {V_{\rho }^{2}(t)+V_{\theta }^{2}(t)+V_{z}^{2}(t)}}\;$ et s'exprimant en $\;m\cdot s^{-1}\;$».
Exemple : mouvement de $\;M\;$ défini par les trois équations horaires scalaires cylindriques «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\rho =R\\\theta =\omega \;t\\z=v\;t\end{array}}\right\rbrace \;$» qualifié de « mouvement hélicoïdal droit uniforme », Exemple : mouvement de $\;\color {transparent}{M}\;$ défini par les trois équations horaires scalaires cylindriques le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ a pour « composantes cylindriques $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{\rho }=0\\V_{\theta }=R\;\omega \\V_{z}=v\end{array}}\right\rbrace \;$», Exemple : mouvement de $\;\color {transparent}{M}\;$ défini par les trois équations horaires scalaires cylindriques sa norme valant «$\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert ={\sqrt {R^{2}\;\omega ^{2}+v^{2}}}\;$» ou encore, Exemple : mouvement de $\;\color {transparent}{M}\;$ défini par les trois équations horaires scalaires cylindriques en introduisant le pas $\;\vert h\vert \;$ de l'hélice, «$\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert =\vert \omega \vert \;{\sqrt {R^{2}+{\dfrac {h^{2}}{4\,\pi ^{2}}}}}\;$».

### Composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude

La définition intrinsèque du vecteur accélération de $\;M\;$ étant «$\;{\vec {a}}_{M}(t)={\dfrac {d{\vec {V}}_{M}}{dt}}(t)\;$» et les vecteurs de base cylindro-polaires dépendant de $\;\theta \;$ qui est fonction de $\;t$, on trouve les composantes cylindro-polaires $\;{\big$ou cylindriques${\big )}$ du vecteur accélération en dérivant «$\;{\vec {V}}_{M}(t)=V_{\rho }(t)\,{\vec {u}}_{\rho }(t)+V_{\theta }(t)\,{\vec {u}}_{\theta }(t)+V_{z}(t)\,{\vec {u}}_{z}={\dot {\rho }}(t)\,{\vec {u}}_{\rho }(t)+\rho (t)\,{\dot {\theta }}(t)\,{\vec {u}}_{\theta }(t)+V_{z}(t)\,{\vec {u}}_{z}\;$» par rapport à $\;t\;$ en utilisant «$\;{\dfrac {d\!\left[f\;{\vec {A}}\right]}{dt}}(t)$ $={\dot {f}}(t)\;{\vec {A}}(t)+f(t)\;{\dot {\vec {A}}}(t)\;$» ce qui nous conduit à La définition intrinsèque du vecteur accélération de $\;\color {transparent}{M}\;$ étant «$\;{\vec {a}}_{M}(t)={\ddot {\rho }}(t)\,{\vec {u}}_{\rho }(t)+{\dot {\rho }}(t)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{dt}}(t)+{\dot {\rho }}(t)\,{\dot {\theta }}(t)\,{\vec {u}}_{\theta }(t)+\rho (t)\,{\ddot {\theta }}(t)\,{\vec {u}}_{\theta }(t)+\rho (t)\,{\dot {\theta }}(t)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dt}}(t)+{\ddot {z}}(t)\,{\vec {u}}_{z}\;$» puis, La définition intrinsèque du vecteur accélération de $\;\color {transparent}{M}\;$ étant on évalue $\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dt}}(t)\;$ en utilisant la formule de dérivation de fonction composée appliquée à $\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left[\theta (t)\right]\;$ soit La définition intrinsèque du vecteur accélération de $\;\color {transparent}{M}\;$ étant «$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dt}}\!\left[\theta (t)\right]={\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}\!\left[\theta (t)\right]\;{\dfrac {d\theta }{dt}}(t)=-{\vec {u}}_{\rho }\!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\theta }}(t)\;$», $\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{dt}}(t)\;$ évaluée précédemment valant «$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{dt}}\!\left[\theta (t)\right]={\vec {u}}_{\theta }\!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\theta }}(t)\;$», La définition intrinsèque du vecteur accélération de $\;\color {transparent}{M}\;$ étant d'où une 1ère expression du vecteur accélération en repérage cylindro-polaire $\;{\big$nécessitant un regroupement de termes${\big )}$ La définition intrinsèque du vecteur accélération de $\;\color {transparent}{M}\;$ étant «$\;{\vec {a}}_{M}(t)={\ddot {\rho }}(t)\,{\vec {u}}_{\rho }(t)+{\dot {\rho }}(t)\,{\vec {u}}_{\theta }(t)\,{\dot {\theta }}(t)+{\dot {\rho }}(t)\,{\dot {\theta }}(t)\,{\vec {u}}_{\theta }(t)+\rho (t)\,{\ddot {\theta }}(t)\,{\vec {u}}_{\theta }(t)-\rho (t)\,{\dot {\theta }}(t)\,{\vec {u}}_{\rho }(t)\,{\dot {\theta }}(t)+{\ddot {z}}(t)\,{\vec {u}}_{z}\;$», ou La définition intrinsèque du vecteur accélération de $\;\color {transparent}{M}\;$ étant en regroupant les termes ayant même vecteur de base polaire, l'expression finale du vecteur accélération en repérage cylindro-polaire La définition intrinsèque du vecteur accélération de $\;\color {transparent}{M}\;$ étant «$\;{\vec {a}}_{M}(t)=\left[{\ddot {\rho }}(t)-\rho (t)\,{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\right]\,{\vec {u}}_{\rho }+\left[\rho (t)\,{\ddot {\theta }}(t)+2\,{\dot {\rho }}(t)\,{\dot {\theta }}(t)\right]\,{\vec {u}}_{\theta }+{\ddot {z}}(t)\,{\vec {u}}_{z}\;$», La définition intrinsèque du vecteur accélération de $\;\color {transparent}{M}\;$ étant les « composantes cylindro-polaires de $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ étant $\;\left\lbrace {\begin{array}{l l c r c r}{\text{accélération radiale}}\;&a_{\rho }\!\!&=&\!\!{\ddot {\rho }}(t)\!\!&-&\!\!\rho (t)\,{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\\{\text{accélération orthoradiale}}\;&a_{\theta }\!\!&=&\!\!\rho (t)\,{\ddot {\theta }}(t)\!\!&+&\!\!2\,{\dot {\rho }}(t)\,{\dot {\theta }}(t)\\{\text{accélération axiale}}\;&a_{z}\!\!&=&\!\!{\ddot {z}}(t)\!\!&&\!\!\\\end{array}}\right\rbrace \;$» ; La définition intrinsèque du vecteur accélération de $\;\color {transparent}{M}\;$ étant la norme du vecteur accélération se calculant selon «$\;\Vert {\vec {a}}_{M}(t)\Vert ={\sqrt {a_{\rho }^{2}(t)+a_{\theta }^{2}(t)+a_{z}^{2}(t)}}\;$ et s'exprimant en $\;m\cdot s^{-2}\;$».
Autre forme de l'accélération orthoradiale $\;{\big$forme « semi-intégrée »${\big )}$ : à partir de «$\;a_{\theta }(t)=\rho (t)\,{\ddot {\theta }}(t)+2\,{\dot {\rho }}(t)\,{\dot {\theta }}(t)\;$» on met «$\;{\dfrac {1}{\rho (t)}}\;$ en facteur » de façon à pouvoir reconnaître, Autre forme de l'accélération orthoradiale $\;\color {transparent}{\big$forme « semi-intégrée »$\color {transparent}{\big )}$ : dans le facteur restant, la dérivée temporelle d'une fonction du temps soit «$\;a_{\theta }(t)={\dfrac {1}{\rho (t)}}\left[\rho ^{2}\!(t)\,{\ddot {\theta }}(t)+2\,\rho (t)\;{\dot {\rho }}(t)\,{\dot {\theta }}(t)\right]\;$» Autre forme de l'accélération orthoradiale $\;\color {transparent}{\big$forme « semi-intégrée »$\color {transparent}{\big )}$ : dans laquelle on vérifie que le facteur entre crochets «$\;\rho ^{2}\!(t)\,{\ddot {\theta }}(t)+2\,\rho (t)\;{\dot {\rho }}(t)\,{\dot {\theta }}(t)\;$ est égal à $\;{\dfrac {d\!\left[\rho ^{2}\,{\dot {\theta }}\right]}{dt}}(t)\;$» d'où Autre forme de l'accélération orthoradiale $\;\color {transparent}{\big$forme « semi-intégrée »$\color {transparent}{\big )}$ : la forme « semi-intégrée » de l'accélération orthoradiale «$\;a_{\theta }(t)={\dfrac {1}{\rho (t)}}\;{\dfrac {d\!\left[\rho ^{2}\,{\dot {\theta }}\right]}{dt}}(t)\;$»$^,$.
Exemple : mouvement de $\;M\;$ défini par les trois équations horaires scalaires cylindriques «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\rho =R\\\theta =\omega \;t\\z=v\;t\end{array}}\right\rbrace \;$» qualifié de « mouvement hélicoïdal droit uniforme », Exemple : mouvement de $\;\color {transparent}{M}\;$ défini par les trois équations horaires scalaires cylindriques le vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ a pour « composantes cylindriques Exemple : mouvement de $\;\color {transparent}{M}\;$ défini par les trois équations horaires scalaires cylindriques le vecteur accélération $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c r c r c r}a_{\rho }\!\!&=&\!\!{\cancel {{\ddot {\rho }}(t)}}\!\!&-&\!\!\rho ^{2}\!(t)\;{\dot {\theta }}(t)\!\!&=&\!\!-R\;\omega ^{2}\\a_{\theta }\!\!&=&\!\!{\cancel {\rho (t)\;{\ddot {\theta }}(t)}}\!\!&+&\!\!{\cancel {2\;{\dot {\rho }}(t)\;{\dot {\theta }}(t)}}\!\!&=&\!\!0\\a_{z}\!\!&=&\!\!{\cancel {{\ddot {z}}(t)}}\!\!&&\!\!\!\!&=&\!\!0\end{array}}\right\rbrace \;$», Exemple : mouvement de $\;\color {transparent}{M}\;$ défini par les trois équations horaires scalaires cylindriques sa norme valant «$\;\Vert {\vec {a}}_{M}(t)\Vert =R\;\omega ^{2}\;$».

## Détermination géométrique des composantes cartésiennes et cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur déplacement élémentaire du point repéré dans le référentiel d'étude, déduction des composantes correspondantes du vecteur-vitesse
### Rappel de la notion de déplacement élémentaire d'un point le long d'une courbe ainsi que du lien entre vecteur déplacement élémentaire et vecteur vitesse

La notion de vecteur déplacement élémentaire a déjà été introduite dans le paragraphe « définition intrinsèque du vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ à partir du point $\;M\;$» du chap.$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et La notion de vecteur déplacement élémentaire a été identifiée à celle du paragraphe « définition intrinsèque du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue » du chap.$15$ de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » :
$\;{\overrightarrow {dM}}\;$
$\;{\overrightarrow {OM}}\;$
$\;M\;$
$\;{\overrightarrow {dM}}=d\!\left[{\overrightarrow {OM}}\right]\;$
$\;(\Gamma )\;$
$\;M$
$\;{\overrightarrow {dM}}\neq {\vec {0}}\;$

### Détermination géométrique des composantes cartésiennes du vecteur déplacement élémentaire du point repéré dans le référentiel d'étude

Revoir le paragraphe « détermination géométrique des composantes cartésiennes du vecteur déplacement élémentaire d'un point » du chap.$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » où cela a été traité en détails $\;{\big$à savoir refaire${\big )}$ ;
$\;{\overrightarrow {dM}}=dx\;{\vec {u}}_{x}+dy\;{\vec {u}}_{y}+dz\;{\vec {u}}_{z}\;$

### Détermination géométrique des composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur-déplacement élémentaire du point repéré dans le référentiel d'étude

Revoir le paragraphe « détermination géométrique des composantes cylindro-polaires du vecteur déplacement élémentaire d'un point » du chap.$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » où cela a été traité en détails $\;{\big$à savoir refaire${\big )}$ ;
$\;{\overrightarrow {dM}}=d\rho \;{\vec {u}}_{\rho }+\rho \;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+dz\;{\vec {u}}_{z}\;$

### Déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude

Dans le paragraphe « vecteur déplacement élémentaire du point M, autre définition de son vecteur vitesse » du chap.$1$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ayant établi «$\;{\overrightarrow {dM}}={\vec {V}}_{M}(t)\;dt\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\vec {V}}_{M}(t)=$ ${\dfrac {\overrightarrow {dM}}{dt}}\;$», on peut déduire simplement le vecteur vitesse du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ en divisant le vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ défini à partir du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ par la durée élémentaire $\;dt\;$ correspondant au déplacement d'où l'expression du vecteur vitesse :
* en repérage cartésien «$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dfrac {\overrightarrow {dM}}{dt}}={\dfrac {dx\;{\vec {u}}_{x}+dy\;{\vec {u}}_{y}+dz\;{\vec {u}}_{z}}{dt}}={\dfrac {dx}{dt}}\;{\vec {u}}_{x}+{\dfrac {dy}{dt}}\;{\vec {u}}_{y}+{\dfrac {dz}{dt}}\;{\vec {u}}_{z}={\dot {x}}(t)\;{\vec {u}}_{x}+{\dot {y}}(t)\;{\vec {u}}_{y}+{\dot {z}}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» et
* en repérage cylindro-polaire $\;{\big$ou cylindrique${\big )}$ «$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dfrac {\overrightarrow {dM}}{dt}}={\dfrac {d\rho \;{\vec {u}}_{\rho }+\rho \;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+dz\;{\vec {u}}_{z}}{dt}}={\dfrac {d\rho }{dt}}\;{\vec {u}}_{\rho }+\rho \;{\dfrac {d\theta }{dt}}\;{\vec {u}}_{\theta }+{\dfrac {dz}{dt}}\;{\vec {u}}_{z}\;$ soit $\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dot {\rho }}(t)\;{\vec {u}}_{\rho }+\rho (t)\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }+{\dot {z}}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$»$^,$.

## Détermination géométrique des composantes sphériques du vecteur déplacement élémentaire du point repéré dans le référentiel d'étude, déduction des composantes correspondantes du vecteur-vitesse
### Détermination géométrique des composantes sphériques du vecteur déplacement élémentaire du point repéré dans le référentiel d'étude

Revoir le paragraphe « détermination géométrique des composantes sphériques du vecteur déplacement élémentaire d'un point » du chap.$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » où cela a été traité en détails $\;{\big$à savoir refaire${\big )}$ ;
$\;{\overrightarrow {dM}}=dr\;{\vec {u}}_{r}+r\;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+r\;\sin(\theta )\;d\varphi \;{\vec {u}}_{\varphi }\;$

### Équations horaires sphériques du mouvement du point repéré dans le référentiel d'étude

L'équation horaire vectorielle du mouvement de $\;M\;$ repéré dans le référentiel d'étude étant «$\;{\overrightarrow {OM}}={\overrightarrow {OM}}(t)\;$» ou, en utilisant la base sphérique liée à $\;M$ «$\;\left\lbrace {\vec {u}}_{r}(\theta ,\,\varphi )\;;\;{\vec {u}}_{\theta }(\theta ,\,\varphi )\;;\;{\vec {u}}_{\varphi }(\varphi )\right\rbrace \;$», «$\;{\overrightarrow {OM}}=$ $r\;{\vec {u}}_{r}(\theta ,\,\varphi )\;$» égal à la fonction vectorielle du temps «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)=r(t)\;{\vec {u}}_{r}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;$» établissant que la connaissance de l'équation horaire du mouvement de $\;M\;$ dans le référentiel d'étude L'équation horaire vectorielle du mouvement de $\;\color {transparent}{M}\;$ est équivalente à celle des « trois équations horaires sphériques paramétriques de $\;M\;\left\lbrace {\begin{array}{l}r=r(t)\\\theta =\theta (t)\\\varphi =\varphi (t)\end{array}}\right\rbrace \;$» dans le référentiel d'étude, L'équation horaire vectorielle du mouvement de $\;\color {transparent}{M}\;$ est équivalente à celle ces « trois équations horaires sphériques étant aussi les trois équations sphériques paramétriques de la trajectoire de $\;M\;$».
Remarque : on rappelle que le vecteur position du point repéré dans le référentiel d'étude a pour composantes sphériques «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\overline {OM}}_{r}=r=r(t)\\{\overline {OM}}_{\theta }=0\quad \;\forall \;t\\{\overline {OM}}_{\varphi }=0\quad \;\forall \;t\end{array}}\right\rbrace \;$» c.-à-d. Remarque : utilisant « uniquement la 1ère équation horaire sphérique $\;r=r(t)\;$» du point mais Remarque : « les deux autres équations horaires sphériques $\;\left\lbrace \theta =\theta (t)\,,\,\varphi =\varphi (t)\right\rbrace \;$» du point sont néanmoins nécessaires pour savoir dans quelle direction positionner le point à l'instant $\;t\;$ Remarque : « les deux autres équations horaires sphériques ${\big$celle de $\;{\vec {u}}_{r}$, $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ étant toujours colinéaire à $\;{\vec {u}}_{r}{\big )}$, ce qui nécessite de connaître «$\;{\vec {u}}_{r}(t)={\vec {u}}_{r}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;$» $\;\ldots$

### Déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude

Dans le paragraphe « vecteur déplacement élémentaire du point M, autre définition de son vecteur vitesse » du chap.$1$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ayant établi «$\;{\overrightarrow {dM}}={\vec {V}}_{M}(t)\;dt\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\vec {V}}_{M}(t)=$ ${\dfrac {\overrightarrow {dM}}{dt}}\;$», on peut déduire simplement le vecteur vitesse du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ en divisant le vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ défini à partir du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ par la durée élémentaire $\;dt\;$ correspondant au déplacement d'où
l'expression du vecteur vitesse en repérage sphérique «$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dfrac {\overrightarrow {dM}}{dt}}={\dfrac {dr\;{\vec {u}}_{r}+r\;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+r\;\sin(\theta )\;d\varphi \;{\vec {u}}_{\varphi }}{dt}}={\dfrac {dr}{dt}}\;{\vec {u}}_{r}+r\;{\dfrac {d\theta }{dt}}\;{\vec {u}}_{\theta }+r\;\sin(\theta )\;{\dfrac {d\varphi }{dt}}\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$» soit finalement
$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dot {r}}(t)\;{\vec {u}}_{r}+r(t)\,{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }+r(t)\,\sin \!\left[\theta (t)\right]\,{\dot {\varphi }}(t)\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$
$\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{r}{\text{vitesse radiale}}\;&V_{r}&=&{\dot {r}}(t)\\{\text{vitesse orthoradiale}}\;&V_{\theta }&=&r(t)\,{\dot {\theta }}(t)\\{\text{vitesse longitudale}}\;&V_{\varphi }&=&r(t)\,\sin \!\left[\theta (t)\right]\,{\dot {\varphi }}(t)\\\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert ={\sqrt {V_{r}^{2}(t)+V_{\theta }^{2}(t)+V_{\varphi }^{2}(t)}}\;$
$\;m\cdot s^{-1}\;$
Exemple : mouvement du point $\;M\;$ défini par les trois équations horaires scalaires sphériques «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}r=a\\\theta ={\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\qquad {\text{avec }}\qquad \omega >0\\\varphi =-\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,\ln \!\left[\tan \!\left({\dfrac {\pi }{4}}-{\dfrac {\omega \;t}{2}}\right)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» Exemple : qualifié de « mouvement loxodromique de sphère uniforme », le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ ayant pour « composantes sphériques Exemple : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{r}={\cancel {\dot {r}}}\\V_{\theta }=r\;{\dot {\theta }}\\V_{\varphi }=r\;\sin(\theta )\;{\dot {\varphi }}\end{array}}\right\rbrace \;$» soit, avec «$\;{\dot {\theta }}=-\omega \;$», «$\;{\dot {\varphi }}=-\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\;{\dfrac {1+\tan ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{4}}-{\dfrac {\omega \;t}{2}}\right)}{\tan \!\left({\dfrac {\pi }{4}}-{\dfrac {\omega \;t}{2}}\right)}}\;{\dfrac {-\omega }{2}}\;$» et «$\;\sin(\theta )=$ Exemple : $\sin \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)={\dfrac {2\;\tan \!\left({\dfrac {\pi }{4}}-{\dfrac {\omega \;t}{2}}\right)}{1+\tan ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{4}}-{\dfrac {\omega \;t}{2}}\right)}}\;$» dont on déduit finalement Exemple : mouvement du point $\;\color {transparent}{M}\;$ les « composantes sphériques de $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{r}=0\\V_{\theta }=-a\;\omega \\V_{\varphi }=a\;\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,\omega \end{array}}\right\rbrace \;$» et Exemple : mouvement du point $\;\color {transparent}{M}\;$ sa norme valant «$\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert ={\sqrt {a^{2}\;\omega ^{2}+a^{2}\,\tan ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,\omega ^{2}}}={\dfrac {a}{\cos \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}}\;\omega =2\;a\;\omega \;$», c.-à-d. Exemple : mouvement du point $\;\color {transparent}{M}\;$ sa norme valant une constante, justifiant le caractère « uniforme » du mouvement.

## Compléments : détermination des dérivées partielles des vecteurs de base sphériques liés, dans le référentiel d'étude, au point M en fonction de la colatitude et de la longitude de ce dernier, conséquences sur l'étude du mouvement du point en repérage sphérique
### Détermination des dérivées partielles des vecteurs de base sphériques liés, dans le référentiel d'étude, au point M en fonction de la colatitude et de la longitude de ce dernier

À partir de la notion de dérivées partielles d'une fonction scalaire de deux variables indépendantes à revoir dans le paragraphe « définition des dérivées partielles » du chap.$6$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », on introduit celle de dérivées partielles d'une fonction vectorielle de deux variables indépendantes de la même façon c.-à-d. en figeant une variable et en dérivant la fonction vectorielle de la variable laissée libre par rapport à cette dernière.

#### Détermination des dérivées partielles du premier vecteur de base sphérique lié au point M repéré dans le référentiel d'étude

Voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 1er vecteur de base sphérique » du chap.$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », on y a établi :
* «$\;\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{r}\right)}{\partial \theta }}\right]_{\varphi }={\vec {u}}_{\theta }\;$» en se plaçant dans le demi-plan méridien, lequel est figé pendant le temps de la dérivation, et en appliquant la propriété “ quand on dérive un vecteur unitaire dans un plan fixe par rapport à l'angle que fait ce vecteur avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan fixe directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive ” et
* «$\;\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{r}\right)}{\partial \varphi }}\right]_{\theta }=\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$» en utilisant la « décomposition de $\;{\vec {u}}_{r}\;$ dans la base cylindro-polaire du demi-plan méridien à savoir $\;\left[{\vec {u}}_{z},\;{\vec {u}}_{\rho }(\varphi )\right]\;$» selon «$\;{\vec {u}}_{r}=\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{z}+\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\rho }(\varphi )\;$», suivi de l'utilisation de «$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\varphi }}(\varphi )=$ ${\vec {u}}_{\varphi }(\varphi )\;$», les autres facteurs ne dépendant pas de $\;\varphi$.

#### Détermination des dérivées partielles du second vecteur de base sphérique lié au point M repéré dans le référentiel d'étude

Voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 2nd vecteur de base sphérique » du chap.$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », on y a établi :
* «$\;\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{\theta }\right)}{\partial \theta }}\right]_{\varphi }=-{\vec {u}}_{r}\;$» en se plaçant dans le demi-plan méridien, lequel est figé pendant le temps de la dérivation, et en appliquant la propriété “ quand on dérive un vecteur unitaire dans un plan fixe par rapport à l'angle que fait ce vecteur avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan fixe directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive ” et
* «$\;\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{\theta }\right)}{\partial \varphi }}\right]_{\theta }=\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$» en utilisant la « décomposition de $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ dans la base cylindro-polaire du demi-plan méridien à savoir $\;\left[{\vec {u}}_{z},\;{\vec {u}}_{\rho }(\varphi )\right]\;$» selon «$\;{\vec {u}}_{\theta }=$ $-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{z}+\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\rho }(\varphi )\;$», suivi de l'utilisation de «$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\varphi }}(\varphi )={\vec {u}}_{\varphi }(\varphi )\;$», les autres facteurs ne dépendant pas de $\;\varphi$.

#### Détermination de la dérivée du troisième vecteur de base sphérique lié au point M repéré dans le référentiel d'étude

Voir le paragraphe « détermination de la dérivée du 3ème vecteur de base sphérique » du chap.$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », on y a établi
«$\;{\dfrac {d\left({\vec {u}}_{\varphi }\right)}{d\varphi }}=-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{r}-\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\;$» en utilisant la propriété “ quand on dérive un vecteur unitaire dans un plan fixe par rapport à l'angle que fait ce vecteur avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan fixe directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive ” soit «$\;{\dfrac {d\left({\vec {u}}_{\varphi }\right)}{d\varphi }}(\varphi )=$ $-{\vec {u}}_{\rho }(\varphi )\;$» suivi de la « décomposition du 1er vecteur de base cylindro-polaire, vecteur du demi-plan méridien, dans la base sphérique de ce demi-plan à savoir $\;\left[{\vec {u}}_{r},\;{\vec {u}}_{\theta }\right]\;$» selon «$\;{\vec {u}}_{\rho }=\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{r}+\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\;$».

### Obtention des composantes sphériques du vecteur vitesse du point M repéré dans le référentiel d'étude par dérivation temporelle du vecteur position du point

Le vecteur position de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ s'écrivant, en repérage sphérique, «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)=r(t)\;\;{\vec {u}}_{r}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;$», on obtient son vecteur vitesse au même instant $\;t\;$ par Le vecteur position de $\;\color {transparent}{M}\;$ à l'instant $\;\color {transparent}{t}\;$ s'écrivant, en repérage sphérique, «$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}(t)={\dot {r}}(t)\;\;{\vec {u}}_{r}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]+r(t)\;\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{r}}{dt}}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;$» ;
la « détermination de $\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{r}}{dt}}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;$ s'établit en utilisant la formule de dérivation de fonctions composées » dans laquelle la 1ère fonction est une fonction vectorielle de deux variables indépendantes soit «$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{r}}{dt}}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]=\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!\!\varphi }\!\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;{\dfrac {d\theta }{dt}}(t)+\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!\!\theta }\!\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;{\dfrac {d\varphi }{dt}}(t)\;$» dans laquelle on utilise «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!\!\varphi }={\vec {u}}_{\theta }\\\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!\!\theta }=\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right\rbrace \;$» d'où
$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{r}}{dt}}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]={\vec {u}}_{\theta }\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;{\dot {\theta }}(t)+\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\vec {u}}_{\varphi }\!\left[\varphi (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)\;$
$\;M\;$
$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dot {r}}(t)\;{\vec {u}}_{r}+r(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }+r(t)\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$
$\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{r}{\text{vitesse radiale}}\;&V_{r}&=&{\dot {r}}(t)\\{\text{vitesse orthoradiale}}\;&V_{\theta }&=&r(t)\,{\dot {\theta }}(t)\\{\text{vitesse longitudale}}\;&V_{\varphi }&=&r(t)\,\sin \!\left[\theta (t)\right]\,{\dot {\varphi }}(t)\\\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert ={\sqrt {V_{r}^{2}(t)+V_{\theta }^{2}(t)+V_{\varphi }^{2}(t)}}\;$
$\;m\cdot s^{-1}\;$

### Quelques indications pour avoir la possibilité de déterminer les composantes sphériques du vecteur accélération du point M repéré dans le référentiel d'étude par dérivation temporelle du vecteur vitesse du point

Préliminaire : les composantes sphériques du vecteur accélération ne doivent « JAMAIS être utilisées de votre propre chef » car beaucoup trop compliquées.
Le vecteur vitesse de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ s'écrivant, en repérage sphérique, «$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dot {r}}(t)\;\;{\vec {u}}_{r}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]+r(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]+r(t)\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)\;\;{\vec {u}}_{\varphi }\!\left[\varphi (t)\right]\;$», on obtient son vecteur accélération au même instant $\;t\;$ en dérivant temporellement $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ soit
$\;{\vec {a}}_{M}(t)={\dfrac {d{\vec {V}}_{M}}{dt}}(t)={\ddot {r}}(t)\;\;{\vec {u}}_{r}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]+{\dot {r}}(t)\;\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{r}}{dt}}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]+{\dot {r}}(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]+r(t)\;{\ddot {\theta }}(t)\;\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]+r(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dt}}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]+\cdots$
${\dot {r}}(t)\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)\;\;{\vec {u}}_{\varphi }\!\left[\varphi (t)\right]+r(t)\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\theta }}(t)\;{\dot {\varphi }}(t)\;\;{\vec {u}}_{\varphi }\!\left[\varphi (t)\right]+r(t)\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\ddot {\varphi }}(t)\;\;{\vec {u}}_{\varphi }\!\left[\varphi (t)\right]+r(t)\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)\;\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\varphi }}{dt}}\!\left[\varphi (t)\right]\;$
$\succ \;$la dérivée «$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{r}}{dt}}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;$» a été établie au paragraphe « obtention des composantes sphériques du vecteur vitesse du point M dans le référentiel d'étude par dérivation temporelle du vecteur position du point » plus haut dans ce chapitre $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{r}}{dt}}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]={\vec {u}}_{\theta }\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;{\dot {\theta }}(t)+\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\vec {u}}_{\varphi }\!\left[\varphi (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)\;$» ;
$\succ \;$on adopte la même démarche pour évaluer «$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dt}}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;$» en utilisant la formule de dérivation de fonctions composées dans laquelle la 1ère fonction est une fonction vectorielle de deux variables indépendantes soit «$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dt}}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]=\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\!\varphi }\!\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;{\dfrac {d\theta }{dt}}(t)+\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!\!\theta }\!\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;{\dfrac {d\varphi }{dt}}(t)\;$» dans laquelle on utilise «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\!\varphi }=-{\vec {u}}_{r}\\\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!\!\theta }=\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right\rbrace \;$» d'où
$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dt}}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]=-{\vec {u}}_{r}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;{\dot {\theta }}(t)+\cos \!\left[\theta (t)\right]\;{\vec {u}}_{\varphi }\!\left[\varphi (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)\;$
$\succ \;$on adopte une démarche analogue mais simplifiée pour «$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\varphi }}{dt}}\!\left[\varphi (t)\right]\;$» en utilisant la formule de dérivation de fonctions composées dans laquelle la 1ère fonction est une fonction vectorielle d'une seule variable soit «$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\varphi }}{dt}}\!\left[\varphi (t)\right]={\dfrac {d{\vec {u}}_{\varphi }}{d\varphi }}\!\left[\varphi (t)\right]\;{\dfrac {d\varphi }{dt}}(t)\;$» dans laquelle on utilise «$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\varphi }}{d\varphi }}=-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{r}-\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\;$» d'où
$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\varphi }}{dt}}\!\left[\varphi (t)\right]=-\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\vec {u}}_{r}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)-\cos \!\left[\theta (t)\right]\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left[\varphi (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)\;$
le report dans l'expression du vecteur accélération de $\;M\;$ et le regroupement des composantes de même vecteur de base nous conduit à
$\;{\vec {a}}_{M}(t)=\left\lbrace {\ddot {r}}(t)-r(t)\,{\dot {\theta }}^{2}(t)-r(t)\,\sin ^{2}\!\left[\theta (t)\right]\,{\dot {\varphi }}^{2}(t)\right\rbrace \;{\vec {u}}_{r}+\left\lbrace r(t)\;{\ddot {\theta }}(t)+2\,{\dot {r}}(t)\,{\dot {\theta }}(t)-r(t)\,\sin \!\left[\theta (t)\right]\,\cos \!\left[\theta (t)\right]\,{\dot {\varphi }}^{2}(t)\right\rbrace \;{\vec {u}}_{\theta }+\cdots$
$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left\lbrace 2\,{\dot {r}}(t)\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)+2\,r(t)\,\cos \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\theta }}(t)\;{\dot {\varphi }}(t)+r(t)\,\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\ddot {\varphi }}(t)\right\rbrace \;{\vec {u}}_{\varphi }\;$
$\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{r}{\text{accélération radiale}}\;&a_{r}&=&{\ddot {r}}-r\,{\dot {\theta }}^{2}-r\,\sin ^{2}(\theta )\,{\dot {\varphi }}^{2}\\{\text{accélération orthoradiale}}\;&a_{\theta }&=&r\;{\ddot {\theta }}+2\,{\dot {r}}\,{\dot {\theta }}-r\,\sin(\theta )\,\cos(\theta )\,{\dot {\varphi }}^{2}\\{\text{accélération longitudale}}\;&a_{\varphi }&=&2\,{\dot {r}}\;\sin(\theta )\;{\dot {\varphi }}+2\,r\,\cos(\theta )\;{\dot {\theta }}\;{\dot {\varphi }}+r\,\sin(\theta )\;{\ddot {\varphi }}\\\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;\Vert {\vec {a}}_{M}(t)\Vert ={\sqrt {a_{r}^{2}(t)+a_{\theta }^{2}(t)+a_{\varphi }^{2}(t)}}\;$
$\;m\cdot s^{-2}\;$
Exemple : mouvement du point $\;M\;$ défini par les trois équations horaires scalaires sphériques «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}r=a\\\theta ={\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\qquad {\text{avec }}\qquad \omega >0\\\varphi =-\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,\ln \!\left[\tan \!\left({\dfrac {\pi }{4}}-{\dfrac {\omega \;t}{2}}\right)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» Exemple : qualifié de « mouvement loxodromique de sphère uniforme », le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ ayant pour « composantes sphériques Exemple : déterminées précédemment $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{r}=0\\V_{\theta }=-a\;\omega \\V_{\varphi }=a\;\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,\omega \end{array}}\right\rbrace \;$», sa « norme ayant pour valeur également déterminée Exemple : précédemment $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert ={\sqrt {a^{2}\;\omega ^{2}+a^{2}\,\tan ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,\omega ^{2}}}={\dfrac {a}{\cos \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}}\;\omega =2\;a\;\omega \;$» c.-à-d. constante, justifiant le caractère Exemple : « uniforme » du mouvement.
Exemple : Pour déterminer les composantes sphériques du vecteur accélération du point, il faut évaluer les dérivées 1ère et 2nde temporelles de Exemple : ses coordonnées sphériques soit «$\;{\dot {r}}=0\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\ddot {r}}=0\;$», Exemple : ses coordonnées sphériques soit «$\;{\dot {\theta }}=-\omega \;$» $\Rightarrow$ «$\;{\ddot {\theta }}=0\;$», Exemple : ses coordonnées sphériques soit «$\;{\dot {\varphi }}=\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\;{\dfrac {1+\tan ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{4}}-{\dfrac {\omega \;t}{2}}\right)}{\tan \!\left({\dfrac {\pi }{4}}-{\dfrac {\omega \;t}{2}}\right)}}\;{\dfrac {\omega }{2}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dot {\varphi }}=\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\;{\dfrac {\omega }{\sin \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}}\;$» $\Rightarrow$ Exemple : ses coordonnées sphériques soit «$\;{\ddot {\varphi }}=\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\;{\dfrac {\cos \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)\,\omega ^{2}}{\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}}\;$» d'où Exemple : «$\;{\vec {a}}_{M}(t)\;\left\lbrace {\begin{array}{l}a_{r}={\cancel {\ddot {r}}}-r\,{\dot {\theta }}^{2}-r\,\sin ^{2}(\theta )\,{\dot {\varphi }}^{2}\\a_{\theta }={\cancel {r\;{\ddot {\theta }}+2\,{\dot {r}}\,{\dot {\theta }}}}-r\,\sin(\theta )\,\cos(\theta )\,{\dot {\varphi }}^{2}\\a_{\varphi }={\cancel {2\,{\dot {r}}\;\sin(\theta )\;{\dot {\varphi }}}}+2\,r\,\cos(\theta )\;{\dot {\theta }}\;{\dot {\varphi }}+r\,\sin(\theta )\;{\ddot {\varphi }}\end{array}}\right\rbrace \;$» ou, en explicitant les colatitude et longitude ainsi que les vitesses associées, Exemple : les « composantes sphériques de $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;\left\lbrace {\begin{array}{l}a_{r}=-a\;\omega ^{2}-a\;\tan ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,\omega ^{2}=-{\dfrac {a}{\cos ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}}\;\omega ^{2}\\a_{\theta }=-a\;\tan ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,{\dfrac {\cos \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}{\sin \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}}\,\omega ^{2}\\a_{\varphi }=-a\;\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,{\dfrac {\cos \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}{\sin \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}}\;\omega ^{2}\end{array}}\right\rbrace \;$», Exemple : sa « norme valant $\;\Vert {\vec {a}}_{M}(t)\Vert ={\sqrt {{\dfrac {a^{2}}{\cos ^{4}\!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}}\;\omega ^{4}+a^{2}\,\tan ^{4}\!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,{\dfrac {\cos ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}{\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}}\;\omega ^{4}+\left[-a\;\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,{\dfrac {\cos \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}{\sin \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}}\;\omega ^{2}\right]^{2}}}\;$» Exemple : ou, après factorisation par «$\;a\;\omega ^{2}\;$» ainsi que par «$\;\tan ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,{\dfrac {\cos ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}{\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}}$ entre les deux derniers termes sous le radical », Exemple : «$\;\Vert {\vec {a}}_{M}(t)\Vert =a\;\omega ^{2}\,{\sqrt {{\dfrac {1}{\cos ^{4}\!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}}+\tan ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,{\dfrac {\cos ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}{\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}}\,\left[1+\tan ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\right]}}\;$» Exemple : ou encore, en évaluant numériquement la tangente et le cosinus de l'angle que fait la loxodromie de sphère avec le demi-plan méridien, Exemple : «$\;\Vert {\vec {a}}_{M}(t)\Vert =a\;\omega ^{2}\,{\sqrt {16+{\dfrac {12}{\tan ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}}}}=2\;a\;\omega ^{2}\;{\sqrt {4+{\dfrac {3}{\tan ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}}}}\;$» ;
Exemple : la complication du vecteur accélération de $\;M\;$ dans son mouvement loxodromique de sphère uniforme montre qu'en ce qui concerne l'accélération le repérage sphérique n'est pas le bon.

## Choix du système de coordonnées adapté au problème

Voir, pour plus de détails, le paragraphe « choix du système de coordonnées adapté au problème » du chap.$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » où ceci a déjà été traité, Voir, pour plus de détails, ci-dessous sont rappelées les grandes lignes du choix $\;{\big$en se limitant aux seuls repérages au programme de physique de PCSI${\big )}$ :
* choix du repérage cylindro-polaire$\;{\big$ou cylindrique${\big )}\;$ pour un problème « invariant par symétrie de révolution d'axe $\;Oz\;$»,
* choix du repérage sphérique pour un problème « invariant par symétrie sphérique de centre $\;O\;$» $\;{\big$à condition que l'on n'ait pas besoin d'expliciter le vecteur accélération${\big )}\;$ et
* choix du repérage cartésien pour un problème « sans invariance par symétries de révolution ou sphérique ».

## Compléments : Repérage de Frenet d'un point sur une courbe du référentiel d'étude, base locale de Frenet lié au point

Commentaires préliminaires : L'introduction du repérage de Frenet est présentée « en complément », toutefois Commentaires préliminaires : il est difficile de s'en passer car c'est le seul repérage introduisant les notions de la vie quotidienne comme la « longueur parcourue sur une courbe » ou Commentaires préliminaires : il est difficile de s'en passer car c'est le seul repérage introduisant les notions de la vie quotidienne comme la « vitesse lue sur un tachymètre » ou Commentaires préliminaires : il est difficile de s'en passer car c'est le seul repérage introduisant les notions de la vie quotidienne comme l'« accélération $\;{\big$tangentielle${\big )}\;$ le long d'une courbe ». Commentaires préliminaires : La particularité du repérage de Frenet est qu'il nécessite de connaître la trajectoire $\;\left(\Gamma \right)\;$ suivie par le point $\;M$, cette courbe pouvant être « plane » ou « gauche » ; Commentaires préliminaires : La particularité ce repérage nécessite de choisir sur $\;\left(\Gamma \right)\;$ une origine notée $\;A\;$ et un sens $\;+\;$ arbitraire pour orienter la courbe.
Notion déjà introduite dans le paragraphe « en complément, repérage de Frenet d'un point sur une courbe » du chap.$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », Notion déjà introduite ci-dessous sont rappelées les grandes lignes nécessaires à la définition du repérage de Frenet :

### Notion d'abscisse curviligne d'un point d'une courbe continue

Voir le paragraphe « abscisse curviligne d'un point sur une courbe continue » du chap.$15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » :
le « point générique » $\;M\;$ de $\;(\Gamma )\;$ est repéré par son « abscisse curviligne $\;s={\overset {\curvearrowright }{AM}}\;$ ${\big$longueur algébrique parcourue dans le sens $\;+\;$ sur $\;(\Gamma )\;$ depuis l'origine $\;A{\big ]}\;$».

### Notion de premier vecteur de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe continue

Voir le paragraphe « 1er vecteur de base de Frenet » du chap.$15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » :
On définit, en tout point $\;M\;$ non anguleux de $\;(\Gamma )$, un vecteur unitaire $\;{\vec {\tau }}\;$ tangent à $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ orienté dans le sens $\;+\;$ appelé « vecteur unitaire tangentiel » et constituant le « 1er vecteur de la base locale de Frenet » ;
la relation «$\;{\overrightarrow {OM}}={\overrightarrow {OM}}(s)\;$» caractérisant la courbe $\;(\Gamma )\;$ et représentant l'« équation vectorielle paramétrique » de cette dernière, on définit mathématiquement la relation «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {OM}}={\overrightarrow {OM}}(s)}\;$» le 1er vecteur de base de Frenet $\;{\big$équivalente à celle qui a été donnée précédemment${\big )}\;$ par «$\;{\vec {\tau }}={\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{ds}}(s)\;$» c.-à-d. que la relation «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {OM}}={\overrightarrow {OM}}(s)}\;$» le vecteur unitaire tangentiel $\;{\vec {\tau }}(s)\;$ peut être obtenu en dérivant par rapport $\;s\;$ l'équation vectorielle paramétrique de la courbe $\;{\overrightarrow {OM}}={\overrightarrow {OM}}(s)$.

### Composante de Frenet du vecteur déplacement élémentaire à partir d'un point d'une courbe continue

Le « vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ à partir du point $\;M\;$ de la courbe continue $\;\left(\Gamma \right)\;$ d'équation vectorielle $\;{\overrightarrow {OM}}={\overrightarrow {OM}}(s)\;$» étant « la différentielle de $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ en suivant $\;\left(\Gamma \right)\;$», on en déduit Le « vecteur déplacement élémentaire «$\;{\overrightarrow {dM}}=d\!\left[{\overrightarrow {OM}}\right]={\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{ds}}(s)\;ds\;$» soit, en utilisant la définition mathématique précédente de $\;{\vec {\tau }}(s)$, «$\;{\overrightarrow {dM}}=ds\;{\vec {\tau }}(s)\;$».
Remarque : Une autre présentation a été proposée dans le paragraphe « rappel : composante de Frenet du vecteur déplacement élémentaire d'un point de la courbe étudiée » du chap.$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », où Remarque : « on détermine géométriquement le vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}=ds\;{\vec {\tau }}\;$» avec $\;{\vec {\tau }}\;$ défini comme vecteur unitaire tangentiel à la courbe $\;\left(\Gamma \right)\;$ en $\;M\;$ dans le sens $\;+$, puis Remarque : on justifie la 2ème définition $\;{\big$mathématique${\big )}\;$ de $\;{\vec {\tau }}\;$ par «$\;{\overrightarrow {dM}}=ds\;{\vec {\tau }}\Rightarrow {\vec {\tau }}={\dfrac {\overrightarrow {dM}}{ds}}={\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{ds}}\;$» $\;\ldots$

### Notion de cercle osculateur en un point d'une courbe plane, de centre et de rayon de courbure en ce point, 1ère définition du rayon de courbure d'une courbe plane en un point non anguleux de celle-ci

Voir le paragraphe « notion de cercle osculateur en un point d'une courbe plane, centre et rayon de courbure en ce point » ainsi que « définition du rayon de courbure en un point non anguleux d'une courbe plane » du chap.$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » :
Le cercle osculateur en $\;M\;$ d'une courbe plane $\;(\Gamma )\;$ est le cercle du plan de la courbe qui lui est « tangent et localement le plus proche »$^,$.
Autres notions : $\blacktriangleright \;$le « centre $\;C\;$ du « cercle osculateur » à la courbe $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$» définit le centre de courbure de $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ et Autres notions : $\blacktriangleright \;$le « rayon $\;{\big$c.-à-d. $CM{\big )}\;$» du « cercle osculateur » à la courbe $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$» définit le rayon de courbure$\;{\mathcal {R}}_{M}\;$ de $\;(\Gamma )\;$ en $\;M$.
Définition du rayon de courbure d'une courbe plane en un point non anguleux de celle-ci : Définition du rayon de courbure Le vecteur unitaire tangentiel $\;{\vec {\tau }}\;$ de la base locale de Frenet en $\;M$, point non anguleux de $\;(\Gamma )$, étant Définition du rayon de courbure Le vecteur unitaire tangentiel $\;\color {transparent}{\vec {\tau }}\;$ de direction repérée par l'angle $\;\alpha \;$ avec la direction fixe $\;{\vec {u}}_{x}\;$ du plan de $\;(\Gamma )$ Définition du rayon de courbure Le vecteur unitaire tangentiel $\;\color {transparent}{\vec {\tau }}\;$ c.-à-d. «$\;\alpha ={\widehat {({\vec {u}}_{x}\,{,}\,{\vec {\tau }})}}\;$», on définit Définition du rayon de courbure l'angle algébrisé formé entre les vecteurs unitaires tangentiels en deux points voisins $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ de $\;(\Gamma )\;$ Définition du rayon de courbure «$\;\delta \alpha ={\widehat {({\vec {\tau }}_{1}\,{,}\,{\vec {\tau }}_{2})}}=\alpha _{2}-\alpha _{1}\;$» et Définition du rayon de courbure les vecteurs unitaires normaux $\;{\big$principaux${\big )}\;$ de Frenet $\;{\vec {n}}\;$ en chacun de ces deux points voisins Définition du rayon de courbure les vecteurs unitaires normaux $\;\color {transparent}{\big$principaux$\color {transparent}{\big )}\;$ formant le même angle algébrisé «$\;{\widehat {({\vec {n}}_{1}\,{,}\,{\vec {n}}_{2})}}=\delta \alpha \;$», on définit Définition du rayon de courbure le rayon de courbure moyen sur l'arc de courbe $\;{\overset {\frown }{M_{1}M_{2}}}\;$ par «$\;{\mathcal {R}}_{{\text{moy sur }}{\overset {\frown }{M_{1}M_{2}}}}={\dfrac {\delta s}{\delta \alpha }}\;$» ; on en déduit
Définition du rayon de courbure la définition du « rayon de courbure de $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$» $\;{\big \\!\neq \;$ d'un point d'inflexion de $\;(\Gamma ){\big \}$ Définition du rayon de courbure la définition du « rayon de courbure de $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ en $\;\color {transparent}{M}\;$» comme la « limite du rayon de courbure moyen Définition du rayon de courbure la définition du « rayon de courbure de $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ en $\;\color {transparent}{M}\;$» comme la « quand on fait tendre l'écart angulaire entre normales vers zéro » soit Définition du rayon de courbure la définition du « rayon de courbure de $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ en $\;\color {transparent}{M}\;$» «$\;{\mathcal {R}}_{M_{1}}=\lim \limits _{M_{2}\rightarrow M_{1}}\left[{\mathcal {R}}_{{\text{moy sur }}{\overset {\frown }{M_{1}M_{2}}}}\right]=\lim \limits _{\delta \alpha \rightarrow 0}\left[{\dfrac {\delta s}{\delta \alpha }}\right]\;$» d'où Définition du rayon de courbure une 1ère définition du rayon de courbure de la courbe plane $\;(\Gamma )\;$ en un point $\;M\;$ non anguleux «$\;{\mathcal {R}}_{M}={\dfrac {ds}{d\alpha }}(\alpha )\;$»$^,$ avec «$\;\alpha ={\widehat {({\vec {u}}_{x}\,{,}\,{\vec {\tau }})}}\;$».

### Deuxième et troisième vecteurs de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe plane continue

Voir le paragraphe « définition du rayon de courbure en un point non anguleux d'une courbe plane à la suite de laquelle est défini le vecteur unitaire normal $\;{\big$principal${\big )}\;$» du chap.$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » :
Propriété du vecteur unitaire normal$\;{\big$principal${\big )}\;$ en un point non anguleux d'une courbe plane : «$\;\alpha \;$ étant l'angle que fait le vecteur unitaire tangentiel $\;{\vec {\tau }}\;$ ${\big$1er vecteur de la base de Frenet${\big )}\;$ avec $\;{\vec {u}}_{x}\;$ ${\big$un vecteur unitaire quelconque de direction fixe dans le plan de la courbe${\big )}\;$» ${\big \$voir « schéma du paragraphe notion de cercle osculateur en un point d'une courbe plane, de centre et de rayon de courbure en ce point, 1ère définition d'une courbe plane en un point non anguleux de celle-ci » plus haut dans ce chapitre${\big \}$, si on dérive $\;{\vec {\tau }}\;$ par rapport à $\;\alpha$, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur unitaire que l'on dérive c.-à-d. le vecteur unitaire normal $\;{\big$principal${\big )}\;$ $\;{\vec {n}}\;$ ${\big$2ème vecteur de la base locale de Frenet${\big )}\;$ soit «$\;{\dfrac {d\!\left({\vec {\tau }}\right)}{d\alpha }}(\alpha )={\vec {n}}\;$» avec «$\;\alpha ={\widehat {({\vec {u}}_{x}\,{,}\,{\vec {\tau }})}}\;$».
3ème vecteur de la base locale de Frenet en un point $\;{\big$non anguleux${\big )}\;$ d'une courbe plane : ce vecteur unitaire $\;{\vec {b}}\;$ est $\;\perp \;$ au plan de la courbe et son sens est choisi tel que le sens $\;+\;$ des angles du plan de la courbe rende le 2ème vecteur de la base de Frenet directement $\;\perp \;$ au 1er vecteur de cette même base, la « base de Frenet $\;\left\lbrace {\vec {\tau }}_{M}\,,\,{\vec {n}}_{M}\,,\,{\vec {b}}\right\rbrace \;$ étant directe » dans l'espace physique supposé orienté à droite, on en déduit «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l c l}{\vec {\tau }}_{M}\!\!&\wedge &\!\!{\vec {n}}_{M}\!\!&=&\!\!{\vec {b}}\\{\vec {n}}_{M}\!\!&\wedge &\!\!{\vec {b}}\!\!&=&\!\!{\vec {\tau }}_{M}\\{\vec {b}}\!\!&\wedge &\!\!{\vec {\tau }}_{M}\!\!&=&\!\!{\vec {n}}_{M}\end{array}}\right\rbrace \;$».

### Notion de plan et de cercle osculateurs en un point d'une courbe « gauche », de centre et de rayon de courbure en ce point, définition simultanée du rayon de courbure et du 2ème vecteur de la base locale de Frenet en un point non anguleux d'une courbe quelconque, complétion de la base locale de Frenet

Voir le paragraphe « notion de plan et de cercle osculateurs en un point d'une courbe gauche, centre et rayon de courbure en ce point » ainsi que « définition simultanée du 2ème vecteur de la base locale de Frenet et du rayon de courbure en un point non anguleux d'une courbe quelconque (gauche ou plane) » du chap.$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » :

#### Notion de plan et cercle osculateurs en un point d'une courbe « gauche », de centre et de rayon de courbure en ce point

Le plan osculateur en $\;M\;$ à la courbe gauche $\;(\Gamma )\;$ est le plan qui lui est « tangent et localement le plus proche »$^,$$^,$.
Le « cercle osculateur » à la courbe gauche $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ est le cercle du plan osculateur à la courbe gauche $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ qui lui est « tangent et localement le plus proche ».
Autres notions : $\blacktriangleright \;$le « centre $\;C\;$ du « cercle osculateur » à la courbe $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$» définit le centre de courbure de $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ et Autres notions : $\blacktriangleright \;$le « rayon du cercle osculateur à la courbe $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ ${\big$c.-à-d. $CM{\big )}\;$», définit le rayon de courbure $\;{\mathcal {R}}_{M}\;$ de $\;(\Gamma )\;$ en $\;M$.

#### Définition simultanée du rayon de courbure et du 2ème vecteur de la base locale de Frenet en un point non anguleux d'une courbe plane, généralisation à une courbe « gauche »

Nous avons vu, dans le paragraphe « notion de 1er vecteur de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe continue » plus haut dans ce chapitre, que le 1er vecteur de base de Frenet pouvait être défini, pour une courbe $\;(\Gamma )\;$ quelconque, par «$\;{\vec {\tau }}_{M}={\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{ds}}(s)\;$» où «$\;{\overrightarrow {OM}}={\overrightarrow {OM}}(s)\;$ est l'équation paramétrique vectorielle de $\;(\Gamma )\;$» et Nous avons vu, en définissant l'angle $\;\alpha ={\widehat {({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {\tau }})}}\;$ pour une courbe plane, que la courbure en $\;M\;$ pouvait être définie par «$\;{\dfrac {1}{{\mathcal {R}}_{M}}}(s)={\dfrac {d\alpha }{ds}}(s)\;$» où «$\;\alpha =\alpha (s)\;$ est la fonction associant à toute valeur d'abscisse curviligne $\;s\;$ une valeur unique $\;\alpha \;$» d'une part et Nous avons vu, en définissant l'angle $\;\color {transparent}{\alpha ={\widehat {({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {\tau }})}}}\;$ pour une courbe plane, que le 2ème vecteur de base de Frenet pouvait l'être, d'autre part, par «$\;{\vec {n}}_{M}={\dfrac {d{\vec {\tau }}_{M}}{d\alpha }}(\alpha )\;$» ; formant «$\;{\dfrac {d{\vec {\tau }}_{M}}{ds}}\!\left[\alpha (s)\right]\;$ dans le cas d'une courbe plane » et utilisant la formule de dérivation de fonction composée, nous en déduisons «$\;{\dfrac {d{\vec {\tau }}_{M}}{ds}}\!\left[\alpha (s)\right]=$ ${\dfrac {d{\vec {\tau }}_{M}}{d\alpha }}\!\left[\alpha (s)\right]\;{\dfrac {d\alpha }{ds}}(s)={\vec {n}}_{M}\;{\dfrac {1}{{\mathcal {R}}_{M}}}(s)\;$» soit finalement une expression pouvant servir de « définition simultanée du rayon de courbure et du 2ème vecteur de la base locale de Frenet en un point non anguleux d'une courbe plane » soit
$\;{\dfrac {d{\vec {\tau }}_{M}}{ds}}(s)={\dfrac {{\vec {n}}_{M}}{{\mathcal {R}}_{M}}}(s)\;$
On généralise la définition simultanée du rayon de courbure et du 2ème vecteur de la base locale de Frenet en un point non anguleux d'une courbe non plane :
$\;{\dfrac {d{\vec {\tau }}_{M}}{ds}}(s)={\dfrac {{\vec {n}}_{M}}{{\mathcal {R}}_{M}}}(s)\;$
$\;{\mathcal {R}}_{M}>0\;$

### Deuxième et troisième vecteurs de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe « gauche » continue

Voir le paragraphe « 2ème et 3ème vecteurs de la base locale de Frenet associée à un point de la courbe continue quelconque » du chap.$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » :
* le 2ème vecteur de base locale de Frenet en un point $\;M\;$ de la courbe $\;(\Gamma )$, noté «$\;{\vec {n}}_{M}\;$» et appelé « vecteur$\;{\big$unitaire${\big )}\;$normal principal » le 2ème vecteur de base locale de Frenet en un point $\;\color {transparent}{M}\;$ de la courbe $\;\color {transparent}{(\Gamma )}$, est le « vecteur unitaire porté par la normale principale » à $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ c.-à-d. le 2ème vecteur de base locale de Frenet en un point $\;\color {transparent}{M}\;$ de la courbe $\;\color {transparent}{(\Gamma )}$, est le « vecteur unitaire ${\big$la normale principale étant la direction $\;(MC)\;$ où $\;C\;$ est le centre de courbure${\big ]}\;$ et le 2ème vecteur de base locale de Frenet en un point $\;\color {transparent}{M}\;$ de la courbe $\;\color {transparent}{(\Gamma )}$, est le « vecteur unitaire porté par la normale principale » à $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ en $\;\color {transparent}{M}\;$ de sens dirigé vers le centre de courbure$\;C$ ;
* le 3ème vecteur de base locale de Frenet en un point $\;M\;$ de la courbe $\;(\Gamma )$, noté «$\;{\vec {b}}_{M}\;$» et appelé « vecteur$\;{\big$unitaire${\big )}\;$normal secondaire » le 3ème vecteur de base locale de Frenet en un point $\;\color {transparent}{M}\;$ de la courbe $\;\color {transparent}{(\Gamma )}$, est le « vecteur unitaire porté par la normale secondaire » à $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ c.-à-d. le 3ème vecteur de base locale de Frenet en un point $\;\color {transparent}{M}\;$ de la courbe $\;\color {transparent}{(\Gamma )}$, est le « vecteur unitaire ${\big$la normale secondaire étant la direction $\;\perp \;$ au plan osculateur à $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$${\big ]}\;$ et le 3ème vecteur de base locale de Frenet en un point $\;\color {transparent}{M}\;$ de la courbe $\;\color {transparent}{(\Gamma )}$, est le « vecteur unitaire porté par la normale secondaire » de sens tel que la « base$\;\left({\vec {\tau }}_{M},\;{\vec {n}}_{M},\;{\vec {b}}_{M}\right)\;$est directe », le 3ème vecteur de base locale de Frenet en un point $\;\color {transparent}{M}\;$ de la courbe $\;\color {transparent}{(\Gamma )}$, est le « vecteur unitaire porté par la normale secondaire » l'espace étant supposé orienté à droite ; le 3ème vecteur de base locale de Frenet en un point $\;\color {transparent}{M}\;$ de la courbe $\;\color {transparent}{(\Gamma )}$, remarque : les angles du plan osculateur à $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ sont orientés par le vecteur normal secondaire $\;{\vec {b}}_{M}\;$ ; le 3ème vecteur de base locale de Frenet une définition équivalente de «$\;{\vec {b}}_{M}\;$», les deux autres vecteurs de base locale de Frenet étant au préalable définis, est «$\;{\vec {b}}_{M}={\vec {\tau }}_{M}\wedge {\vec {n}}_{M}\;$».

## Compléments : composantes locales de Frenet du vecteur vitesse et du vecteur accélération du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude
### Composante locale de Frenet du vecteur vitesse du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude, vitesse instantanée du point

Le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ du point $\;M\;$ à la date $\;t\;$ sur sa trajectoire $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ peut s'obtenir en divisant « son vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}=ds\;{\vec {\tau }}_{M}\;$ pendant la durée $\;dt\;$» Le vecteur vitesse $\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{M}(t)}\;$ du point $\;\color {transparent}{M}\;$ à la date $\;\color {transparent}{t}\;$ sur sa trajectoire $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {T}}\right)}\;$ peut s'obtenir en divisant par « la durée élémentaire correspondante $\;dt\;$» soit «$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dfrac {\overrightarrow {dM}}{dt}}={\dfrac {ds\;{\vec {\tau }}_{M}}{dt}}\;$» ou Le vecteur vitesse $\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{M}(t)}\;$ du point $\;\color {transparent}{M}\;$ à la date $\;\color {transparent}{t}\;$ sur sa trajectoire $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {T}}\right)}\;$ s'obtient finalement par «$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dfrac {ds}{dt}}(t)\;{\vec {\tau }}_{M}(t)={\dot {s}}(t)\;{\vec {\tau }}_{M}(t)\;$» ;
la composante $\;{\big$tangentielle${\big )}\;$ de Frenet du vecteur vitesse du point $\;M\;$ sur sa trajectoire définissant la vitesse instantanée$\;v_{M}(t)\;$ de ce dernier, on en déduit
$\;{\vec {V}}_{M}(t)=v_{M}(t)\;{\vec {\tau }}_{M}(t)\;$
$\Rightarrow$
$\;v_{M}(t)={\vec {V}}_{M}(t)\cdot {\vec {\tau }}_{M}(t)\;$
$\;M\;$
$\;({\mathcal {T}})$
$\;v_{M}(t)={\dot {s}}(t)\;$

### Composantes locales de Frenet du vecteur accélération du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude, accélérations tangentielle et normale du point

Le vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ du point $\;M\;$ à la date $\;t\;$ sur sa trajectoire $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ s'obtient en « dérivant l'expression de Frenet du vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)=v_{M}(t)\;{\vec {\tau }}_{M}(t)\;$ par rapport à $\;t\;$», Le vecteur accélération $\;\color {transparent}{{\vec {a}}_{M}(t)}\;$ du point $\;\color {transparent}{M}\;$ à la date $\;\color {transparent}{t}\;$ sur sa trajectoire $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {T}}\right)}\;$ s'obtient ${\Big \\!{\vec {\tau }}_{M}(t)\;$ considéré comme une fonction vectorielle composée de $\;s_{M}(t)\;$ c.-à-d. $\;{\vec {\tau }}_{M}(t)={\vec {\tau }}_{M}\!\left[s_{M}(t)\right]\!{\Big \}$ d'où Le vecteur accélération $\;\color {transparent}{{\vec {a}}_{M}(t)}\;$ du point $\;\color {transparent}{M}\;$ à la date $\;\color {transparent}{t}\;$ sur sa trajectoire $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {T}}\right)}\;$ s'obtient en «$\;{\vec {a}}_{M}(t)={\dfrac {d{\vec {V}}_{M}}{dt}}(t)={\dfrac {d\left[v_{M}(t)\;{\vec {\tau }}_{M}\right]}{dt}}(t)={\dfrac {dv_{M}}{dt}}(t)\;{\vec {\tau }}_{M}(t)+v_{M}(t)\;{\dfrac {d{\vec {\tau }}_{M}}{dt}}(t)$ Le vecteur accélération $\;\color {transparent}{{\vec {a}}_{M}(t)}\;$ du point $\;\color {transparent}{M}\;$ à la date $\;\color {transparent}{t}\;$ sur sa trajectoire $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {T}}\right)}\;$ s'obtient en «$\;\color {transparent}{{\vec {a}}_{M}(t)}$ $={\dot {v}}_{M}(t)\;{\vec {\tau }}_{M}(t)+v_{M}(t)\;{\dfrac {d{\vec {\tau }}_{M}}{ds_{M}}}(t)\;{\dfrac {ds_{M}}{dt}}(t)\;$» soit, avec «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}{\dfrac {d{\vec {\tau }}_{M}}{ds_{M}}}(t)\!\!&=&\!\!{\dfrac {{\vec {n}}_{M}}{{\mathcal {R}}_{M}}}(t)\\{\dfrac {ds_{M}}{dt}}(t)\!\!&=&\!\!v_{M}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$», Le vecteur accélération $\;\color {transparent}{{\vec {a}}_{M}(t)}\;$ du point $\;\color {transparent}{M}\;$ à la date $\;\color {transparent}{t}\;$ sur sa trajectoire $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {T}}\right)}\;$ s'obtient en «$\;{\vec {a}}_{M}(t)={\dot {v}}_{M}(t)\;{\vec {\tau }}_{M}+{\dfrac {v_{M}^{2}(t)}{{\mathcal {R}}_{M}(t)}}\;{\vec {n}}_{M}\;$».
Propriétés : Le « vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ est dans le plan osculateur de la trajectoire en $\;M\;$», Propriétés : il s'écrit «$\;{\vec {a}}_{M}(t)=a_{\tau ,\,M}(t)\;{\vec {\tau }}_{M}+a_{n,\,M}(t)\;{\vec {n}}_{M}\;$» avec «$\;\left\lbrace a_{\tau ,\,M}(t)\,,\,a_{n,\,M}(t)\right\rbrace \;$ les accélérations respectivement tangentielle et normale », Propriétés : les « composantes de Frenet de $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ sont donc respectivement $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\text{accélération tangentielle}}\;\;a_{\tau ,\,M}(t)={\dot {v}}_{M}(t)={\ddot {s}}_{M}(t)\\{\text{accélération normale}}\qquad a_{n,\,M}(t)={\dfrac {v_{M}^{2}}{{\mathcal {R}}_{M}}}(t)\geqslant 0\end{array}}\right\rbrace \;$» ; Propriétés : la norme du vecteur accélération se calcule selon «$\;\Vert {\vec {a}}_{M}(t)\Vert ={\sqrt {a_{\tau ,\,M}^{2}(t)+a_{n,\,M}^{2}(t)}}\;$ et s'exprime en $\;m\cdot s^{-2}\;$».

### Exemple d'utilisation du repérage de Frenet : mouvement loxodromique de sphère uniforme

Nous revenons sur le « mouvement loxodromique de sphère uniforme » défini par les trois équations horaires scalaires sphériques «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}r=a\\\theta ={\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\qquad {\text{avec }}\qquad \omega >0\\\varphi =-\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,\ln \!\left[\tan \!\left({\dfrac {\pi }{4}}-{\dfrac {\omega \;t}{2}}\right)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» pour lequel nous avons évalué les « composantes sphériques du vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$» par «$\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{r}=0\\V_{\theta }=-a\;\omega \\V_{\varphi }=a\;\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,\omega \end{array}}\right\rbrace \;$», sa norme valant «$\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert ={\sqrt {a^{2}\;\omega ^{2}+a^{2}\,\tan ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,\omega ^{2}}}={\dfrac {a}{\cos \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}}\;\omega =$ $2\;a\;\omega =cste\;$» ;
compte-tenu de l'extrême complication des composantes sphériques du vecteur accélération et dans la mesure où la trajectoire est connue, nous reprenons l'étude avec le repérage de Frenet en orientant la trajectoire dans le sens du mouvement c.-à-d. en identifiant la vitesse instantanée avec la norme du vecteur vitesse soit «$\;v_{M}(t)=\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert ={\dfrac {a\;\omega }{\cos \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}}=2\;a\;\omega \;$» d'où les « composantes sphériques du vecteur unitaire tangentiel de Frenet $\;{\vec {\tau }}_{M}(t)={\dfrac {{\vec {V}}_{M}(t)}{v_{M}(t)}}\;$$^,$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\tau _{r,\,M}=0\\\tau _{\theta ,\,M}=-\cos \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)=-{\dfrac {1}{2}}\\\tau _{\varphi ,\,M}=\sin \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)={\dfrac {\sqrt {3}}{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$» ;
le mouvement étant uniforme, l'« accélération tangentielle $\;a_{\tau ,\,M}=0\;$», et par suite le mouvement étant uniforme, le vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ est porté par le vecteur unitaire normal principal de Frenet $\;{\vec {n}}_{M}(t)\;$ le mouvement étant uniforme, le vecteur accélération $\;\color {transparent}{{\vec {a}}_{M}(t)}\;$ est porté par que l'on peut déterminer simultanément au rayon de courbure de la loxodromie de sphère par «$\;{\dfrac {d{\vec {\tau }}_{M}}{ds_{M}}}(t)={\dfrac {{\vec {n}}_{M}}{{\mathcal {R}}_{M}}}(t)\;$» le mouvement étant uniforme, le vecteur accélération $\;\color {transparent}{{\vec {a}}_{M}(t)}\;$ est porté par avec «$\;ds_{M}=v_{M}(t)\;dt\;$ $={\dfrac {a\;\omega }{\cos \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}}\;dt=2\,a\,\omega \;dt\;$» $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {dt}{ds_{M}}}={\dfrac {\cos \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}{a\,\omega }}={\dfrac {1}{2\,a\,\omega }}\;$ et $\;{\dfrac {d{\vec {\tau }}_{M}}{ds_{M}}}={\dfrac {d{\vec {\tau }}_{M}}{dt}}\;{\dfrac {dt}{ds_{M}}}\;$ le mouvement étant uniforme, le vecteur accélération $\;\color {transparent}{{\vec {a}}_{M}(t)}\;$ est porté par d'où «$\;{\dfrac {{\vec {n}}_{M}}{{\mathcal {R}}_{M}}}(t)={\dfrac {d{\vec {\tau }}_{M}}{ds_{M}}}(t)={\dfrac {d{\vec {\tau }}_{M}}{dt}}(t)\;{\dfrac {dt}{ds_{M}}}={\dfrac {d\!\left[-\cos \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right){\vec {u}}_{\theta }(t)+\sin \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right){\vec {u}}_{\varphi }(t)\right]}{dt}}\;{\dfrac {\cos \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}{a\;\omega }}\;$ le mouvement étant uniforme, le vecteur accélération $\;\color {transparent}{{\vec {a}}_{M}(t)}\;$ est porté par d'où $=\left[-\cos \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right){\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dt}}(t)+\sin \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right){\dfrac {d{\vec {u}}_{\varphi }}{dt}}(t)\right]\;{\dfrac {\cos \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}{a\;\omega }}\;$» ;
$\;M$
$\;\color {transparent}{M}$
$\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left[\theta (t)\,,\,\varphi (t)\right]\;$
$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dt}}(t)=\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\varphi }\!(t)\;{\dot {\theta }}(t)+\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!\theta }\!(t)\;{\dot {\varphi }}(t)\;$
$\;\color {transparent}{M}$
$\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }\!\left[\theta (t)\,,\,\varphi (t)\right]}\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\varphi }=-{\vec {u}}_{r}\\\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!\theta }=\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;\color {transparent}{M}$
$\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }\!\left[\theta (t)\,,\,\varphi (t)\right]}\;$
$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dt}}(t)=-{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{r}+\cos \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$
dérivée temporelle du 3ème vecteur de base sphérique liée au point$\;M$ : la formule de dérivation de fonction composée, fonction d'une variable dépendant d'une autre variable dérivée temporelle du 3ème vecteur de base sphérique liée au point$\;\color {transparent}{M}$ : la formule de dérivation de fonction composée, appliquée à $\;{\vec {u}}_{\varphi }\!\left[\varphi (t)\right]\;$ donne «$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\varphi }}{dt}}(t)={\dfrac {d{\vec {u}}_{\varphi }}{d\varphi }}\!\left[\varphi (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)\;$» dérivée temporelle du 3ème vecteur de base sphérique liée au point$\;\color {transparent}{M}$ : la formule de dérivation de fonction composée, appliquée à $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }\!\left[\varphi (t)\right]}\;$ donne dans laquelle «$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\varphi }}{d\varphi }}=-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{r}-\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\;$» soit dérivée temporelle du 3ème vecteur de base sphérique liée au point$\;\color {transparent}{M}$ : la formule de dérivation de fonction composée, appliquée à $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }\!\left[\varphi (t)\right]}\;$ donne «$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\varphi }}{dt}}(t)=-\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)\;{\vec {u}}_{r}-\cos \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }\;$» ;
$\;M\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c r c l c l}{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dt}}(t)\!\!&=&\!\!-{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{r}\!\!&&\!\!\!\!\!\!\!\!&+&\!\!\cos \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)\;{\vec {u}}_{\varphi }\\{\dfrac {d{\vec {u}}_{\varphi }}{dt}}(t)\!\!&=&\!\!-\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)\;{\vec {u}}_{r}\!\!&-&\!\!\cos \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }\end{array}}\right\rbrace \;$
le mouvement étant uniforme, le vecteur accélération $\;\color {transparent}{{\vec {a}}_{M}(t)}\;$ est porté par d'où reportant dans «$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dt}}(t)=-{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{r}+\cos \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$» «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}{\dot {\theta }}(t)\!\!&=&\!\!-\omega \\{\dot {\varphi }}(t)\!\!&=&\!\!\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right){\dfrac {\omega }{\sin \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}}\\\theta (t)\!\!&=&\!\!{\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\end{array}}\right\rbrace \;$» le mouvement étant uniforme, le vecteur accélération $\;\color {transparent}{{\vec {a}}_{M}(t)}\;$ est porté par d'où on obtient «$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dt}}(t)=\omega \;{\vec {u}}_{r}+\cos \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)\;\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right){\dfrac {\omega }{\sin \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}}\;{\vec {u}}_{\varphi }=\omega \left[{\vec {u}}_{r}+{\dfrac {\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}{\tan \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}}\;{\vec {u}}_{\varphi }\right]\;$» ;
le mouvement étant uniforme, le vecteur accélération $\;\color {transparent}{{\vec {a}}_{M}(t)}\;$ est porté par d'où reportant dans «$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\varphi }}{dt}}(t)=-\left\lbrace \sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\vec {u}}_{r}+\cos \!\left[\theta (t)\right]\;{\vec {u}}_{\theta }\right\rbrace \;{\dot {\varphi }}(t)\;$» les expressions évaluées précédemment le mouvement étant uniforme, le vecteur accélération $\;\color {transparent}{{\vec {a}}_{M}(t)}\;$ est porté par d'où «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}{\dot {\varphi }}(t)\!\!&=&\!\!\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right){\dfrac {\omega }{\sin \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}}\\\theta (t)\!\!&=&\!\!{\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\end{array}}\right\rbrace \;$» on obtient le mouvement étant uniforme, le vecteur accélération $\;\color {transparent}{{\vec {a}}_{M}(t)}\;$ est porté par d'où «$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\varphi }}{dt}}(t)=-\left[\sin \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right){\vec {u}}_{r}+\cos \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right){\vec {u}}_{\theta }\right]\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right){\dfrac {\omega }{\sin \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}}$ le mouvement étant uniforme, le vecteur accélération $\;\color {transparent}{{\vec {a}}_{M}(t)}\;$ est porté par d'où $=-\omega \;\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\left[{\vec {u}}_{r}+{\dfrac {{\vec {u}}_{\theta }}{\tan \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}}\right]\;$» ;
le mouvement étant uniforme, le vecteur accélération $\;\color {transparent}{{\vec {a}}_{M}(t)}\;$ est porté par d'où reportant dans «$\;{\dfrac {{\vec {n}}_{M}}{{\mathcal {R}}_{M}}}(t)=\left[-\cos \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right){\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dt}}(t)+\sin \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right){\dfrac {d{\vec {u}}_{\varphi }}{dt}}(t)\right]\;{\dfrac {\cos \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}{a\;\omega }}\;$» les expressions de $\;\left\lbrace \!\!{\begin{array}{c}{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dt}}(t)\\{\dfrac {d{\vec {u}}_{\varphi }}{dt}}(t)\end{array}}\!\!\right\rbrace \;$
le mouvement étant uniforme, le vecteur accélération $\;\color {transparent}{{\vec {a}}_{M}(t)}\;$ est porté par d'où on obtient «$\;{\dfrac {{\vec {n}}_{M}}{{\mathcal {R}}_{M}}}(t)\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\text{sur }}\;{\vec {u}}_{r}\;{\text{:}}\;-{\dfrac {\cos \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}{a}}\left[\cos \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)+\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\sin \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\right]=-{\dfrac {1}{a}}\\{\text{sur }}\;{\vec {u}}_{\theta }\;{\text{:}}\;-{\dfrac {\cos \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\sin \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}{a}}\;{\dfrac {\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}{\tan \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}}=-{\dfrac {\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}{a\;\tan \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}}\\{\text{sur }}\;{\vec {u}}_{\varphi }\;{\text{:}}\;-{\dfrac {\cos ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}{a}}\;{\dfrac {\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}{\tan \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}}=-{\dfrac {\sin \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\cos \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}{a\;\tan \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}}\end{array}}\right\rbrace \;$» d'où le mouvement étant uniforme, la courbure «$\;{\dfrac {1}{{\mathcal {R}}_{M}}}={\bigg \Vert }{\dfrac {{\vec {n}}_{M}}{{\mathcal {R}}_{M}}}(t){\bigg \Vert }={\dfrac {1}{a}}\;{\sqrt {1+{\dfrac {\sin ^{4}\!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)+\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\cos ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}{\tan ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}}}}={\dfrac {1}{a}}\;{\sqrt {1+{\dfrac {\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}{\tan ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}}}}\;$» et par suite le mouvement étant uniforme, le « rayon de courbure » exprimé en fonction de la « colatitude $\;\theta ={\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\;$», «$\;{\mathcal {R}}_{M}(\theta )={\dfrac {a\;\tan(\theta )}{\sqrt {\tan ^{2}(\theta )+\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}}}={\dfrac {2\;a\;\tan(\theta )}{\sqrt {4\;\tan ^{2}(\theta )+3}}}\;$» ;
le mouvement étant uniforme, on en déduit les « composantes sphériques de $\;{\vec {n}}_{M}\;\left\lbrace {\begin{array}{l}n_{r,\,M}=-{\dfrac {1}{a}}\;{\dfrac {a\;\tan(\theta )}{\sqrt {\tan ^{2}(\theta )+\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}}}=-{\dfrac {\tan(\theta )}{\sqrt {\tan ^{2}(\theta )+\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}}}\\n_{\theta ,\,M}=-{\dfrac {\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}{a\;\tan(\theta )}}\;{\dfrac {a\;\tan(\theta )}{\sqrt {\tan ^{2}(\theta )+\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}}}=-{\dfrac {\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}{\sqrt {\tan ^{2}(\theta )+\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}}}\\n_{\varphi ,\,M}=-{\dfrac {\sin \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\cos \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}{a\;\tan(\theta )}}\;{\dfrac {a\;\tan(\theta )}{\sqrt {\tan ^{2}(\theta )+\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}}}=-{\dfrac {\sin \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\cos \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}{\sqrt {\tan ^{2}(\theta )+\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}}}\end{array}}\right\rbrace \;$» soit
le mouvement étant uniforme, numériquement, «$\;{\vec {n}}_{M}\;\left\lbrace {\begin{array}{l}n_{r,\,M}=-{\dfrac {2\;\tan(\theta )}{\sqrt {4\;\tan ^{2}(\theta )+3}}}\\n_{\theta ,\,M}=-{\dfrac {3}{2\;{\sqrt {4\;\tan ^{2}(\theta )+3}}}}\\n_{\varphi ,\,M}=-{\dfrac {\sqrt {3}}{2\;{\sqrt {4\;\tan ^{2}(\theta )+3}}}}\end{array}}\right\rbrace \;$» c.-à-d. «$\;{\vec {n}}_{M}=-{\dfrac {4\;\tan(\theta )\;{\vec {u}}_{r}+3\;{\vec {u}}_{\theta }+{\sqrt {3}}\;{\vec {u}}_{\varphi }}{2\;{\sqrt {4\;\tan ^{2}(\theta )+3}}}}\;$» ;
le mouvement étant uniforme, l'« accélération normale vaut donc $\;a_{n,\,M}(t)={\dfrac {v^{2}(t)}{{\mathcal {R}}_{M}(t)}}={\dfrac {a^{2}\;\omega ^{2}}{\cos ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}}\;{\dfrac {\sqrt {\tan ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)+\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}}{a\;\tan \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}}={\dfrac {a\;\omega ^{2}\;{\sqrt {\tan ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)+\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}}}{\cos ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\tan \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}}\;$» ou encore le mouvement étant uniforme, l'« accélération normale vaut donc «$\;a_{n,\,M}(t)={\dfrac {2\;a\;\omega ^{2}\;{\sqrt {4\;\tan ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)+3}}}{\tan \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}}\;$»$^,$.