# Introduction à la théorie des nombres/Devoir/Théorème des deux carrés de Jacobi

Ce devoir est lié au chapitre 3 : Séries et produits infinis formels.
1°) On définit les fonctions arithmétiques $\chi$ et $\delta$ par :
    $\chi (n):={\begin{cases}0&{\text{si }}n{\text{ est pair}}\\(-1)^{(n-1)/2}&{\text{si }}n{\text{ est impair}}\end{cases}}\quad {\text{puis}}\quad \delta (n):=\sum _{d\mid n}\chi (d)$.
    a) Démontrer que $\delta (n)=d_{1}(n)-d_{3}(n)$, où $d_{1}(n)$ (resp. $d_{3}(n)$) est le nombre de diviseurs de $n$ congrus à $1$ (resp. à $3$) modulo $4$.
    b) Montrer que $\chi$ est complètement multiplicative et en déduire que $\delta$ est multiplicative.
    c) Pour $p$ premier et $k\in \mathbb {N}$, calculer $\delta \left(p^{k}\right)$ dans chacun des trois cas suivants : $p=2$, $p\equiv 1\mod 4$, $p\equiv 3\mod 4$.
    d) Déduire de ce qui précède que $d_{1}(n)-d_{3}(n)$ est non nul si et seulement si, dans la décomposition de $n$ en facteurs premiers, les nombres premiers congrus à $3$ modulo $4$ n'apparaissent qu'à des puissances paires.
    e) Vérifier que $\sum _{d\geq 1}\chi (d){\frac {X^{d}}{1-X^{d}}}=\sum _{n\geq 1}\delta (n)X^{n}$.
a) $\delta (n)=\sum _{d\mid n,\,d{\text{ impair}}}(-1)^{(d-1)/2}=\sum _{d\mid n,\,d\equiv 1\mod 4}1+\sum _{d\mid n,d\equiv 3\mod 4}(-1)=d_{1}(n)-d_{3}(n)$.
b) Si $m$ ou $n$ est pair, $\chi (mn)=0=\chi (m)\chi (n)$. Si $m$ et $n$ sont impairs, $\chi (mn)=(-1)^{(mn-1)/2}$ et $\chi (m)\chi (n)=(-1)^{(m-1+n-1)/2}$ sont encore égaux car les deux exposants sont de même parité puisque ${\frac {mn-1}{2}}-{\frac {m+n-2}{2}}={\frac {(m-1)(n-1)}{2}}$ est pair. Donc $\chi$ est complètement multiplicative. Donc $\delta ={\bf {1}}*\chi$ est multiplicative (mais pas complètement, cf. question suivante), comme convolée de Dirichlet de deux fonctions (complètement) multiplicatives.
c) $\delta (p^{k})=\sum _{j=0}^{k}\chi \left(p^{j}\right)$.
* $\chi \left(2^{j}\right)=1$ si $j=0$ et $0$ si $j>0$ donc $\delta \left(2^{k}\right)=1$.
* Si $p\equiv 1\mod 4$, $\chi \left(p^{j}\right)=1$ donc $\delta \left(p^{k}\right)=k+1$.
* Si $p\equiv 3\mod 4$, $\chi \left(p^{j}\right)$ vaut alternativement $1$ et $-1$ donc $\delta \left(p^{k}\right)=1$ si $k$ pair et $0$ si $k$ impair.
d) Par multiplicativité de $\delta =d_{1}-d_{3}$, l'assertion se déduit de la question précédente.
e) $\sum _{d\geq 1}\chi (d){\frac {X^{d}}{1-X^{d}}}=\sum _{d\geq 1}\chi (d)X^{d}\sum _{k\in \mathbb {N} }X^{dk}=\sum _{d\geq 1,k\in \mathbb {N} }X^{d(k+1)}\chi (d)=\sum _{n\geq 1}X^{n}\sum _{d\mid n}\chi (d)=\sum _{n\geq 1}\delta (n)X^{n}$.
2°) Pour tout $n\in \mathbb {N}$, on note $r(n)$ le nombre de couples $(a,b)\in \mathbb {Z} ^{2}$ tels que $n=a^{2}+b^{2}$ (par exemple : $r(0)=1$ et $r(5)=8$).
    a) Expliquer pourquoi $\left(\sum _{j\in \mathbb {Z} }X^{j^{2}}\right)^{2}=\sum _{n\geq 0}r(n)X^{n}$.
    b) L'objet de la suite du problème est de démontrer le théorème des deux carrés de Jacobi (1829) (dont le théorème des deux carrés de Fermat se déduit, d'après la question 1.d) :
$\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad r(n)=4\left(d_{1}(n)-d_{3}(n)\right)$
       Déduire de ce qui précède que ce théorème équivaut à :
$\left(\sum _{j\in \mathbb {Z} }X^{j^{2}}\right)^{2}=1+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {4X^{4k+1}}{1-X^{4k+1}}}-\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {4X^{4k+3}}{1-X^{4k+3}}}$
a) Quand on développe $\left(\sum _{a\in \mathbb {Z} }X^{a^{2}}\right)\left(\sum _{b\in \mathbb {Z} }X^{b^{2}}\right)$, on obtient une série dans laquelle le coefficient de $X^{n}$ est égal par définition à $r(n)$.
b) D'après la question précédente et la question 1.a (et puisque $r(0)=1$), on a $\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad r(n)=4\left(d_{1}(n)-d_{3}(n)\right)$ si et seulement si la série formelle $\left(\sum _{j\in \mathbb {Z} }X^{j^{2}}\right)^{2}$ est égale à $1+4\sum _{n\geq 1}\delta (n)X^{n}$, c'est-à-dire (d'après la question 1.e) à $1+4\sum _{d\geq 1}\chi (d){\frac {X^{d}}{1-X^{d}}}$, ou encore (par définition de $\chi$) à $1+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {4X^{4k+1}}{1-X^{4k+1}}}-\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {4X^{4k+3}}{1-X^{4k+3}}}$.
3°) On rappelle la notation de Pochhammer $(u;v)_{\infty }:=\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-uv^{k}\right)$.
    Démontrer les identités suivantes :
    a) $\left(q^{4};q^{4}\right)_{\infty }\;\left(-q^{3};q^{4}\right)_{\infty }\;\left(-q;q^{4}\right)_{\infty }=(-q;q)_{\infty }^{2}(q;q)_{\infty }$ ;
    b) ${\frac {(q;q)_{\infty }}{(-q;q)_{\infty }}}=\left(q;q^{2}\right)_{\infty }^{2}\;\left(q^{2};q^{2}\right)_{\infty }$.
a) L'égalité voulue se déduit des suivantes :
    $\left(q^{4};q^{4}\right)_{\infty }=\left(q^{2};q^{2}\right)_{\infty }\;\left(-q^{2};q^{2}\right)_{\infty }=(q;q)_{\infty }\;(-q;q)_{\infty }\;\left(-q^{2};q^{2}\right)_{\infty }$ ;
    $\left(-q^{3};q^{4}\right)_{\infty }\;\left(-q;q^{4}\right)_{\infty }=\left(-q;q^{2}\right)_{\infty }$ ;
    $\left(-q^{2};q^{2}\right)_{\infty }\;\left(-q;q^{2}\right)_{\infty }=(-q;q)_{\infty }$.
b) L'égalité voulue se déduit des suivantes :
    $(q;q)_{\infty }=\left(q;q^{2}\right)_{\infty }\;\left(q^{2};q^{2}\right)_{\infty }$ ;
    ${\frac {\left(q^{2};q^{2}\right)_{\infty }}{(-q;q)_{\infty }}}=(q;q)_{\infty }$.
4°) On définit la série formelle : $\theta (y,z):=\sum _{j\in \mathbb {Z} }z^{j}y^{j^{2}}$.
    a) Démontrer que $x\;\theta \left({\sqrt {q}},-x^{2}{\sqrt {q}}\right)=x\;\theta \left(q^{2},x^{4}q\right)-x^{-1}\;\theta \left(q^{2},x^{4}/q\right)$.
    b) On rappelle la formule du triple produit de Jacobi :
          $\theta (y,z)=\left(y^{2};y^{2}\right)_{\infty }\;\left(-zy;y^{2}\right)_{\infty }\;\left(-z^{-1}y;y^{2}\right)_{\infty }$.
       En déduire (à l'aide de la question précédente et en remarquant que $x\;\left(x^{-2};q\right)_{\infty }=\left(x-x^{-1}\right)\;\left(x^{-2}q;q\right)_{\infty }$) :
          $\left(x-x^{-1}\right)\;(q;q)_{\infty }\;\left(x^{2}q;q\right)_{\infty }\;\left(x^{-2}q;q\right)_{\infty }=x\;\left(q^{4};q^{4}\right)_{\infty }\;\left(-x^{4}q^{3};q^{4}\right)_{\infty }\;\left(-x^{-4}q;q^{4}\right)_{\infty }-x^{-1}\;\left(q^{4};q^{4}\right)_{\infty }\;\left(-x^{4}q;q^{4}\right)_{\infty }\;\left(-x^{-4}q^{3};q^{4}\right)_{\infty }$.
    c) En évaluant en $x=1$ la dérivée formelle par rapport à $x$ des deux membres de l'égalité ci-dessus (pour le second, on utilisera sans justification la formule $\left(\prod _{k}\left(1+u_{k}\right)\right)'=\prod _{k}\left(1+u_{k}\right)\sum _{j}{\frac {u'_{j}}{1+u_{j}}}$), en déduire :
          $(q;q)_{\infty }^{3}=\left(q^{4};q^{4}\right)_{\infty }\;\left(-q^{3};q^{4}\right)_{\infty }\;\left(-q;q^{4}\right)_{\infty }\left(1+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {4q^{3+4k}}{1+q^{3+4k}}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {-4q^{1+4k}}{1+q^{1+4k}}}\right)$.
    d) À l'aide de la question 3 et de la formule du triple produit de Jacobi, en déduire :
          $\left(\sum _{j\in \mathbb {Z} }(-q)^{j^{2}}\right)^{2}=1+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {4q^{3+4k}}{1+q^{3+4k}}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {-4q^{1+4k}}{1+q^{1+4k}}}$.
    e) Conclure (cf. question 2.b).
a) $x\;\theta \left({\sqrt {q}},-x^{2}{\sqrt {q}}\right)=x\;\sum _{j\in \mathbb {Z} }(-x^{2}{\sqrt {q}})^{j}({\sqrt {q}})^{j^{2}}=\sum _{j\in \mathbb {Z} }(-1)^{j}x^{2j+1}q^{j(j+1)/2}=$
    (en séparant en $j=2k$ et $j=2k-1$)
       $x\sum _{k\in \mathbb {Z} }x^{4k}q^{2k^{2}+k}-x^{-1}\sum _{k\in \mathbb {Z} }x^{4k}q^{2k^{2}-k}=x\;\theta \left(q^{2},x^{4}q\right)-x^{-1}\;\theta \left(q^{2},x^{4}/q\right)$.
b) D'après la question précédente et la formule de Jacobi, on a égalité entre :
   * d'une part $x\;\theta \left({\sqrt {q}},-x^{2}{\sqrt {q}}\right)=$
       $(q,q)_{\infty }\;\left(x^{2}q;q\right)_{\infty }\;x\;\left(x^{-2};q\right)_{\infty }=(q,q)_{\infty }\;\left(x^{2}q;q\right)_{\infty }\;\left(x-x^{-1}\right)\;\left(x^{-2}q;q\right)_{\infty }$
   * d'autre part $x\;\theta \left(q^{2},x^{4}q\right)-x^{-1}\;\theta \left(q^{2},x^{4}/q\right)=$
       $x\;\left(q^{4};q^{4}\right)_{\infty }\;\left(-x^{4}q^{3};q^{4}\right)_{\infty }\;\left(-x^{-4}q;q^{4}\right)_{\infty }-x^{-1}\;\left(q^{4};q^{4}\right)_{\infty }\;\left(-x^{4}q;q^{4}\right)_{\infty }\;\left(-x^{4}q^{3};q^{4}\right)_{\infty }$.
c) La dérivée en $x=1$ du premier membre est
       $\left(1+1^{-2}\right)\;(q;q)_{\infty }^{3}+\left(1-1^{-1}\right)\times \dots =2\;(q;q)_{\infty }^{3}$.
    Celle du second membre est
       $\left(q^{4};q^{4}\right)_{\infty }\;\left(-q^{3};q^{4}\right)_{\infty }\;\left(-q;q^{4}\right)_{\infty }\left(1+\sum _{k\geq 0}{\frac {4q^{4k+3}}{1+q^{4k+3}}}+\sum _{k\geq 0}{\frac {-4q^{4k+1}}{1+q^{4k+1}}}\right)$
       $-\left(q^{4};q^{4}\right)_{\infty }\;\left(-q;q^{4}\right)_{\infty }\;\left(-q^{3};q^{4}\right)_{\infty }\left(-1+\sum _{k\geq 0}{\frac {4q^{4k+1}}{1+q^{4k+1}}}+\sum _{k\geq 0}{\frac {-4q^{4k+3}}{1+q^{4k+3}}}\right)$
       $=2\left(q^{4};q^{4}\right)_{\infty }\;\left(-q^{3};q^{4}\right)_{\infty }\;\left(-q;q^{4}\right)_{\infty }\left(1+\sum _{k\geq 0}{\frac {4q^{4k+3}}{1+q^{4k+3}}}+\sum _{k\geq 0}{\frac {-4q^{4k+1}}{1+q^{4k+1}}}\right)$.
    En divisant ces deux résultats par $2$, on obtient l'égalité voulue.
d) $1+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {4q^{3+4k}}{1+q^{3+4k}}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {-4q^{1+4k}}{1+q^{1+4k}}}$ est égal à
       ${\frac {(q;q)_{\infty }^{3}}{\left(q^{4};q^{4}\right)_{\infty }\;\left(-q^{3};q^{4}\right)_{\infty }\;\left(-q;q^{4}\right)_{\infty }}}$
    d'après la question précédente, donc à
       ${\big\;\left(q^{2};q^{2}\right)_{\infty }\;\left(q;q^{2}\right)_{\infty }^{2}{\big ]}^{2}$
    d'après la question 3, donc à
       $\theta (-q,1)^{2}$ (ou encore : $\theta (q,-1)^{2}$)
    d'après la formule du triple produit de Jacobi, c'est-à-dire à
       $\left(\sum _{j\in \mathbb {Z} }(-q)^{j^{2}}\right)^{2}$ (ou encore : $\left(\sum _{j\in \mathbb {Z} }(-1)^{j}q^{j^{2}}\right)^{2}$)
    par définition de $\theta$.
e) En remplaçant $q$ par $-X$, on obtient le théorème annoncé dans la question 2.b.