# Calcul différentiel/Théorèmes utiles

Dans ce chapitre, nous rappelons quelques théorèmes importants qui serviront l'étude ultérieure des recherches d'extrema et des équations aux dérivées partielles.

## Définitions

Un ouvert d'un espace vectoriel normé E est une partie U de E telle que pour tout point x de U, U contient une boule ouverte de centre x et de rayon strictement positif.
Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet.
L'espace $\mathbb {R} ^{n}$ usuel est un espace de Banach.
Entre espaces de dimension finie, toute application linéaire est continue. Entre espaces de Banach, d'après le théorème de Banach-Schauder, la réciproque d'une bijection linéaire continue est toujours continue.
Soient E et F deux espaces vectoriels normés, V un ouvert de E et W un ouvert de F. Un C$^k$-difféomorphisme de V dans W est une bijection de classe C$^k$ de V dans W dont la réciproque est aussi de classe C$^k$.

## Théorème d'inversion locale

Soient E et F deux espaces de Banach, U un ouvert de E, $f:U\to F$ une fonction de classe C$^k$ (k ≥ 1), et $a\in U$ tel que :
    l'application $\mathrm {d} f_{a}:E\to F$ est bijective.
Alors, $f$ se restreint en un C$^k$-difféomorphisme d'un ouvert contenant $a$ (et inclus dans U) dans un ouvert (de F).
Par translations, on se ramène au cas où $a=0_{E}$ et $f\left(a\right)=0_{F}$. On suppose donc que $f\left(0_{E}\right)=0_{F}$ et $\mathrm {d} f_{0_{E}}:E\to F$ est bijective. Ensuite, par composition par cet isomorphisme, on se ramène au cas où $F=E$ et où la différentielle de $f$ au point $0_{E}$ (noté désormais $0$) n'est autre que l'application identité de $E$.
Soit $\varphi :U\to E,\ x\mapsto x-f\left(x\right)$. Puisque $\mathrm {d} \varphi _{0}=0$ et que l'application $\mathrm {d} \varphi :U\to {\mathcal {L}}\left(E\right)$ est continue, il existe un réel $r>0$ tel que la boule fermée $B_{F}\left(0,r\right)$ soit incluse dans $U$ et tel que pour tout vecteur $x$ de cette boule, $|\!|\!|\mathrm {d} \varphi _{x}|\!|\!|\leq 1/2$.
Définissons les ouverts $W:=B\left(0,r/2\right)$ et $V:=B\left(0,r\right)\cap f^{-1}\left(W\right)$. Nous allons prouver que $f$ se restreint en un C$^k$-difféomorphisme de $V$ dans $W$.
* Montrons d'abord que $f:V\to W$ est surjective. Soit $y\in W$. Considérons la fonction$\varphi _{y}:B_{F}\left(0,r\right)\to E,\quad x\mapsto y+\varphi (x).$L'inégalité des accroissements finis montre que $\varphi$ est 1/2-lipschitzienne sur $B_{F}\left(0,r\right)$. On en déduit d'une part que sa translatée $\varphi _{y}$ l'est aussi et d'autre part, que $\varphi _{y}$ envoie $B_{F}\left(0,r\right)$ dans $B\left(0,r\right)$ car pour tout $x\in B_{F}\left(0,r\right)$, $r/2$ majore la norme de $\varphi \left(x\right)$ et majore strictement celle de $y$. Le théorème du point fixe montre alors l'existence dans $B_{F}\left(0,r\right)$ d'un point fixé par $\varphi _{y}$, donc appartenant à $B\left(0,r\right)$ et envoyé par $f$ sur $y$. Un tel point appartient à $V$.
* L'injectivité de $f$ sur $V$ s'obtient en utilisant à nouveau que $\varphi$ est 1/2-lipschitzienne. Pour tous $x_{1},x_{2}\in V$, si l'on note $y_{1}$ et $y_{2}$ leurs images par $f$, on a :$\|x_{1}-x_{2}\|=\|\varphi \left(x_{1}\right)+f\left(x_{1}\right)-\varphi \left(x_{2}\right)-f\left(x_{2}\right)\|\leq {\frac {1}{2}}\|x_{1}-x_{2}\|+\|y_{1}-y_{2}\|$,ce qui se réécrit $\|x_{1}-x_{2}\|\leq 2\|y_{1}-y_{2}\|$ et permet de conclure.
On a donc prouvé que $f$ était bijective de $V$ dans $W$. On notera dans la suite $f^{-1}:W\to V$ la bijection réciproque.
* Montrons que $f^{-1}$ est différentiable.
** Remarquons d'abord que pour tout $x\in V$, l'application linéaire $\mathrm {d} f_{x}=\mathrm {id} _{E}-\mathrm {d} \varphi _{x}$ est bijective. En effet, $|\!|\!|{\mathrm {d} \varphi _{x}}|\!|\!|\leq 1/2$, donc la série $\sum _{n\in \mathbb {N} }\left(\mathrm {d} \varphi _{x}\right)^{n}$ est convergente et sa somme (de norme $\leq 2$) est inverse de $\mathrm {d} f_{x}$.
** Soient $y\in W$ et $x:=f^{-1}\left(y\right)\in W$, démontrons qu'au point $y$, $f^{-1}$ est différentiable et sa différentielle n'est autre que l'inverse de $\mathrm {d} f_{x}$. Pour tout vecteur $k\in E$ tel que $y+k\in W$, notons $x+h$ l'antécédent dans $V$ de $y+k$ par $f$. De$k=f(x+h)-f(x)=\mathrm {d} f_{x}(h)+o(h)$on déduit :$f^{-1}(y+k)-f^{-1}(y)=h=(\mathrm {d} f_{x})^{-1}\left(k-o(h)\right)=(\mathrm {d} f_{x})^{-1}(k)+o(k)$,la dernière égalité venant du fait (démontré plus haut dans la preuve d'injectivité) que $\|h\|\leq 2\|k\|$.
* Montrons que $f^{-1}$ est même de classe C$^k$. On vient de prouver l'existence de $\mathrm {d} \left(f^{-1}\right):W\to {\mathcal {L}}\left(E\right)$ en montrant qu'elle était la composée de trois fonctions : la fonction $f^{-1}$, l'application $\mathrm {d} f$, et la « fonction inverse » qui à tout élément inversible de l'algèbre des endomorphismes continus de $E$ associe son inverse. La « fonction inverse » est infiniment différentiable, $f$ est de classe C$^k$ et $f^{-1}$ est continue (car différentiable) ; on en déduit que $f^{-1}$ est de classe C$^1$. De proche en proche, on vérifie que $f^{-1}$ est de classe C$^k$.

### Référence

* 1 2 3 François Laudenbach, Calcul différentiel et intégral, éd. École Polytechnique, 2000 (ISBN 978-2-73020724-9) [lire en ligne], p. 61-62 .
Soient E et F deux espaces de Banach, U un ouvert de E, $f:U\to F$ une fonction de classe C$^k$ (k ≥ 1) telle que pour tout $a\in U$, l'application $\mathrm {d} f_{a}:E\to F$ est bijective. Alors :
* $f$ est ouverte, en particulier $f(U)$ est un ouvert de F ;
* si de plus $f$ est injective alors $f$ est un C$^k$-difféomorphisme de $U$ sur $f(U)$.

## Théorème des fonctions implicites
### Énoncé

Soient E, F et G trois espaces de Banach, U un ouvert de E × F, $f:U\to G$ une fonction de classe C$^k$ (k ≥ 1), et $\left(a,b\right)\in U$ tel que :
* $f\left(a,b\right)=0$ ;
* l'application ${\frac {\partial f}{\partial y}}\left(a,b\right):F\to G$ est bijective.
Alors, il existe un ouvert $V\times W\subset U$ contenant $\left(a,b\right)$ et une application $g:V\to W$ de classe C$^k$, tels que :
    $\forall \left(x,y\right)\in V\times W\quad f\left(x,y\right)=0\Leftrightarrow y=g\left(x\right)$ ;
Référence : Jean-Pierre Demailly, Analyse numérique et équations différentielles, EDP Sciences, 2006, 3e éd. (1re éd. 1991) (ISBN 9782759801121) [lire en ligne], p. 115-116 .
L'application $\psi :U\to E\times G,\quad \left(x,y\right)\mapsto \left(x,f\left(x,y\right)\right)$ est de classe C$^k$, et sa différentielle au point $\left(a,b\right)$ est bijective car
    $\mathrm {d} \psi _{\left(a,b\right)}={\begin{pmatrix}\mathrm {id} _{E}&0\\{\frac {\partial f}{\partial x}}\left(a,b\right)&{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(a,b\right)\end{pmatrix}}:E\times F\to E\times G$
D'après le théorème d'inversion locale, $\psi$ se restreint donc en un C$^k$-difféomorphisme, d'un ouvert $V_{1}$ contenant $\left(a,b\right)$ (et inclus dans U) sur un ouvert $W_{1}$ (de E × G, contenant $\psi \left(a,b\right)=\left(a,0\right)$). On peut de plus, en rétrécissant ces deux ouverts, faire en sorte que l'ouvert $V_{1}$ soit un produit : $V_{1}=V_{2}\times W$, $a\in V_{2}$, $b\in W$.
Le difféomorphisme réciproque $\psi ^{-1}:W_{1}\to V_{2}\times W$ est alors de la forme $\left(x,z\right)\mapsto \left(x,h\left(x,z\right)\right)$ pour une certaine fonction $h:W_{1}\to W$, de classe C$^k$.
Posons $V:=\{x\in V_{2}\mid \left(x,0\right)\in W_{1}\}$. Cet ouvert contient $a$ et pour tout $x\in V$, $g\left(x\right):=h\left(x,0\right)$ est, par construction, l'unique vecteur $y\in W$ tel que $f(x,y)=0$.
Montrer qu'au voisinage de (0, 0), la relation $x^{2}y^{5}+x^{3}+y=0$ définit implicitement y en fonction de x.
La fonction $f\left(x,y\right)=x^{2}y^{5}+x^{3}+y$ est polynomiale, de classe ${\mathcal {C}}^{\infty }$, donc au moins de classe ${\mathcal {C}}^{1}$ et la dérivée partielle de ƒ au point étudié vaut :
    ${\frac {\partial f}{\partial y}}\left(0,0\right)=1$
et n'est donc pas nulle. Ainsi, d’après le théorème des fonctions implicites, il existe une fonction φ telle que :
    $f\left(x,y\right)=0\Leftrightarrow y=\varphi \left(x\right)$
au voisinage de l'origine.

### Remarques

* L'intérêt de ce théorème est qu'on dispose de nombreux outils pour étudier les nappes paramétrées (en dimension 3), notamment ceux permettant la recherche d'extrema, sujet abordé au chapitre suivant.
* En différentiant l'équation $f\left(x,g\left(x\right)\right)=0$, on obtient :
    $\forall x\in V\quad \mathrm {d} g_{x}=-\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\left(x,g\left(x\right)\right)\right)^{-1}\circ {\frac {\partial f}{\partial x}}\left(x,g\left(x\right)\right)$,
    Si $k\geq 2$, en différentiant deux fois $f\left(x,g\left(x\right)\right)=0$, on obtient :
    $\forall x\in V\quad \mathrm {d} ^{2}g_{x}=-\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\left(x,g\left(x\right)\right)\right)^{-1}\circ \left[{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\left(x,g\left(x\right)\right)+2{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}\left(x,g\left(x\right)\right)\circ \left(\mathrm {id} ,\mathrm {d} g_{x}\right)+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\left(x,g\left(x\right)\right)\circ \left(\mathrm {d} g_{x},\mathrm {d} g_{x}\right)\right]$,
    expression dans laquelle on peut remplacer $\mathrm {d} g_{x}$ à l'aide de l'équation précédente. En continuant (jusqu'à l'ordre $k$), on peut ainsi exprimer les différentielles successives de $g$ en fonction de celles de $f$.
* Sur toute partie connexe C de V contenant $a$, $g$ est alors la seule application continue vérifiant
    $g\left(a\right)=b\quad {\text{et}}\quad \forall x\in C\quad \left(x,g\left(x\right)\right)\in U{\text{ et }}f(x,g\left(x\right))=0$. (C'est un exercice sur la connexité.)

## Inégalité des accroissements finis

Soient $[a,b]$ un segment réel, $f:\left[a,b\right]\to E$ une application continue sur $\left[a,b\right]$ et dérivable sur $\left]a,b\right[$, et $M$ un réel tel que
$\forall t\in \left]a,b\right[\quad |\!|\!|\mathrm {d} f_{t}|\!|\!|\leq M$
Alors :
$\|f(b)-f(a)\|\leq M(b-a)$

### Remarque

* Contrairement au cas des fonctions à valeurs réelles, il n'y a pas ici d'égalité des accroissements finis.

## Théorème de Schwarz
### Énoncé

Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés.
Théorème — Si une fonction $f:E\to F$ est deux fois différentiable en un point $a\in E$, alors l'application bilinéaire $\mathrm {d} ^{2}f_{a}:E\times E\to F$ est symétrique.
Corollaire — Si une fonction $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ est deux fois différentiable en un point $a\in \mathbb {R} ^{n}$, alors sa matrice hessienne en ce point est symétrique :
$\forall i,j\in \{1,2,\ldots ,n\}\qquad {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\left(a\right)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}(a)$
Le corollaire correspond au cas particulier $E=\mathbb {R} ^{n},F=\mathbb {R}$. Démontrons le cas général. On peut supposer $a=0$ pour alléger les notations. On pose ensuite
    $A(u,v)=f(u+v)-f(u)-f(v)+f(0)\quad {\text{et}}\quad B=A-\mathrm {d} ^{2}f_{0}$.
En tout $(u,v)$ assez petit, $B$ est dérivable par rapport à sa seconde variable et
    $\mathrm {d} _{2}B_{(u,v)}=\mathrm {d} f_{u+v}-\mathrm {d} f_{v}-\mathrm {d} ^{2}f_{0}(u,\cdot )$
or (par définition de $\mathrm {d} ^{2}f_{0}$, et avec la notation o de Landau)
    $\mathrm {d} f_{w}=\mathrm {d} f_{0}+\mathrm {d} ^{2}f_{0}(w,\cdot )+o(\|w\|)$,
donc
    $\mathrm {d} _{2}B_{(u,v)}={\bigl\mathrm {d} f_{0}+\mathrm {d} ^{2}f_{0}(u+v,\cdot )+o(\|u+v\|){\bigr ]}-{\bigl\mathrm {d} f_{0}+\mathrm {d} ^{2}f_{0}(v,\cdot )+o(\|v\|){\bigr ]}-\mathrm {d} ^{2}f_{0}(u,\cdot )=o(\|(u,v)\|)$.
L'inégalité des accroissements finis permet d'en déduire :
    $B(u,v)=B(u,v)-B(u,0)=o{\bigl\|(u,v)\|\|v\|{\bigr )}=o(\|(u,v)\|^{2})$,
autrement dit :
    $\mathrm {d} ^{2}f_{0}(u,v)=A(u,v)+o(\|(u,v)\|^{2})$.
En utilisant que $A$ est symétrique, on obtient ainsi :
    $\mathrm {d} ^{2}f_{0}(u,v)-\mathrm {d} ^{2}f_{0}(v,u)=o(\|(u,v)\|^{2})$,
ce qui prouve que l'application bilinéaire
    $(u,v)\mapsto \mathrm {d} ^{2}f_{0}(u,v)-\mathrm {d} ^{2}f_{0}(v,u)$
est nulle.

### Remarques

La version plus souvent énoncée dans les ouvrages suppose $f$ définie seulement au voisinage du point $a$, mais elle résulte du théorème ci-dessus, en étendant de façon arbitraire une telle fonction à l'espace entier.
En mathématiques, l’intérêt de ce théorème est multiple. D'une part, à l'affirmative, il permet de réaliser les calculs de dérivée partielle, donc simplifie l'étude des équations aux dérivées partielles. D'autre part, sa contraposée permet par l'absurde de montrer que certaines fonctions ne sont pas deux fois différentiables, comme dans l'exemple ci-dessous.
En physique et en chimie, les hypothèses de ce théorème sont souvent vérifiées et son utilisation est presque systématiquement implicite. On montre ainsi des égalités en thermodynamique classique, des formules fondamentales d'analyse vectorielle, ou dans l'étude des ondes (par exemple dans l'équation des télégraphistes).

### Contre-exemple

Le contre-exemple suivant, proposé par Peano en 1884, montre qu'une fonction peut, en un point, posséder une matrice hessienne non symétrique (donc ne pas être deux fois différentiable, d'après le théorème de Schwarz).
Il s'agit de la fonction :
$f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,\ \left(x,y\right)\mapsto {\begin{cases}{\frac {xy\left(x^{2}-y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}}&{\text{si }}\left(x,y\right)\neq \left(0,0\right)\\0&{\text{sinon.}}\end{cases}}$
Ses dérivées partielles premières sont :
${\frac {\partial f}{\partial x}}\left(0,y\right)=\lim _{x\to 0}{\frac {f\left(x,y\right)}{x}}=-y$
et
${\frac {\partial f}{\partial y}}\left(x,0\right)=\lim _{y\to 0}{\frac {f\left(x,y\right)}{y}}=x$
de sorte que
${\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}\left(0,0\right)=-1\quad {\text{tandis que}}\quad {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}\left(0,0\right)=1$

## Développement limité

Si $f:E\to F$ est $n$ fois différentiable en un point $a\in E$, alors elle admet en ce point un développement limité à l'ordre $n$, donné par
    $f\left(a+h\right)=f\left(a\right)+\mathrm {d} f_{a}\left(h\right)+{\frac {1}{2!}}\mathrm {d} ^{2}f_{a}\left(h^{2}\right)+\dots +{\frac {1}{n!}}\mathrm {d} ^{n}f_{a}\left(h^{n}\right)+o\left(\|h\|^{n}\right)$
avec la notation o de Landau, et en notant $h^{k}$ le $k$-uplet $(h,\dots ,h)\in E^{k}$.
Exemple : formule de Taylor-Young à l’ordre 2
Si $f:E\to F$ est deux fois dérivable au point $a$, alors
    $f\left(a+h\right)=f\left(a\right)+\mathrm {d} f_{a}\left(h\right)+{\frac {1}{2}}\mathrm {d} ^{2}f_{a}\left(h,h\right)+o\left(\|h\|^{2}\right)$,
ce qui, si $E=\mathbb {R} ^{n}$, s'écrit :
    $f(a_{1}+h_{1},\dots ,a_{n}+h_{n})=f(a_{1},\ldots ,a_{n})+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\left(a\right)h_{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\left(a\right)h_{i}h_{j}+o(\|h\|^{2})$.
La formule de Taylor-Young vectorielle ci-dessus se démontre de la même façon que son homologue réelle, à l'aide du lemme suivant :
Si $\mathrm {d} f$ a un développement limité à l'ordre $n$ en $a$ :
    $\mathrm {d} f_{a+h}\left(\cdot \right)=\sum _{k=0}^{n}c_{k}\left(h^{k},\cdot \right)+o\left(\|h\|^{n}\right)$
où chaque application multilinéaire continue $c_{k}:E^{k+1}\to F$ est symétrique, alors $f$ a un développement limité à l'ordre $n+1$ en $a$ :
    $f\left(a+h\right)=f\left(a\right)+\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k+1}}c_{k}\left(h^{k+1}\right)+o\left(\|h\|^{n+1}\right)$.
Procédant comme dans le cas réel, définissons la fonction $R:E\to F$ (nulle en $0$) par :
$R\left(h\right)=f\left(a+h\right)-f\left(a\right)-\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k+1}}c_{k}\left(h^{k+1}\right)$
Par hypothèse,
$\mathrm {d} R_{h}=o\left(\|h\|^{n}\right)$
et il s'agit d'en déduire que
$R(h)=o\left(\|h\|^{n+1}\right)$
Dans le cas réel, cette déduction était immédiate grâce à la règle de L'Hôpital, qui repose sur le théorème des accroissements finis généralisé, donc sur le théorème de Rolle. Pour les fonctions à valeurs dans un espace vectoriel normé, on ne dispose plus de ces théorèmes. On utilise alors l'inégalité des accroissements finis ci-dessus :
Soit $\varepsilon >0$. Par hypothèse, il existe $\delta >0$ tel que
$\forall u\in E\quad \|u\|\leq \delta \Rightarrow \|\mathrm {d} R_{u}\|\leq \|u\|^{n}\varepsilon$
D'après le corollaire de l'inégalité des accroissements finis, on a donc bien
$\forall h\in E\quad \|h\|\leq \delta \Rightarrow \|R(h)\|\leq \|h\|^{n+1}\varepsilon$
La formule se démontre par récurrence.
Pour $n=0$, c'est la définition de la continuité de $f$ en $a$ et pour $n=1$, c'est la définition de $\mathrm {d} f_{a}$.
Soient $n\geq 1$ et $f$ différentiable $n+1$ fois en $a$, ce qui sous-entend que les différentielles précédentes, en particulier $\mathrm {d} f$, sont définies au voisinage de $a$. Supposons vraie la formule à l'ordre $n$ et appliquons-la à $\mathrm {d} f$ :
$\mathrm {d} f_{a+h}\left(\cdot \right)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}\mathrm {d} ^{k+1}f_{a}\left(h^{k},\cdot \right)+o\left(\|h\|^{n}\right)$
Le lemme s'applique alors (l'hypothèse de symétrie étant satisfaite d'après le théorème de Schwarz ci-dessus) et donne :
$f\left(a+h\right)=f\left(a\right)+\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k+1}}{\frac {1}{k!}}\mathrm {d} ^{k+1}f_{a}\left(h^{k+1}\right)+o\left(\|h\|^{n+1}\right)=\sum _{j=0}^{n+1}{\frac {1}{j!}}\mathrm {d} ^{j}f_{a}\left(h^{j}\right)+o\left(\|h\|^{n+1}\right)$
ce qui prouve la formule à l'ordre $n+1$.

## Théorème de différentiation terme à terme
### Énoncé

Soient U un ouvert connexe d'un espace vectoriel normé E et $\left(f_{n}\right)$ une suite d'applications différentiables de U dans un espace de Banach F, telle que :
* il existe un élément $a$ de U tel que $\left(f_{n}(a)\right)$ converge dans F ;
* pour tout $x\in U$, il existe $r_{x}>0$ tel que la suite des différentielles $\left(\mathrm {d} f_{n}\right)$ converge uniformément sur $B\left(x,r_{x}\right)$ vers une fonction $g$.
Alors :
* la suite $\left(f_{n}\right)$ converge vers une fonction $f$, uniformément sur chacune des boules $B\left(x,r_{x}\right)$ ;
* cette fonction $f$ est différentiable et $\mathrm {d} f=g$.
(Si les $\mathrm {d} f_{n}$ sont continues, $\mathrm {d} f$ le sera donc également.)
Nous utiliserons deux fois la conséquence suivante de l'inégalité des accroissements finis : si $x$ et $y$ appartiennent à une même boule $B$ alors
    $(*)\qquad \qquad \forall p,q\in \mathbb {N} \quad \|\left(f_{p}(x)-f_{q}(x)\right)-\left(f_{p}(y)-f_{q}(y)\right)\|\leq \|x-y\|\sup _{z\in B}|\!|\!|\left(\mathrm {d} f_{p}-\mathrm {d} f_{q}\right)(z)|\!|\!|$.
Soit $B$ une boule sur laquelle $\mathrm {d} f_{n}\to g$ uniformément, et contenant un point $y$ tel que la suite $\left(f_{n}(y)\right)$ converge. Notons $d$ le diamètre de cette boule. D'après $(*)$, on a :
    $\forall x\in B\quad \forall p,q\in \mathbb {N} \quad \|f_{p}(x)-f_{q}(x)\|\leq \|f_{p}(y)-f_{q}(y)\|+d\sup _{z\in B}|\!|\!|\left(\mathrm {d} f_{p}-\mathrm {d} f_{q}\right)(z)|\!|\!|$.
Par conséquent, sur $B$, la suite de fonctions $\left(f_{n}\right)$ est uniformément de Cauchy donc (puisque F est complet) uniformément convergente, vers une certaine fonction $f$.
Cela prouve que dans U, l'ensemble V des points $x$ tels que la suite $\left(f_{n}(x)\right)$ converge est à la fois ouvert et fermé (car si V contient un point d'une boule $B\left(x,r_{x}\right)$ alors il contient toute cette boule). Comme V est non vide, il est égal au connexe U tout entier.
Il reste à démontrer que $f$ est différentiable en tout point $y\in U$ et $\mathrm {d} f(y)=g(y)$. Soit $\varepsilon >0$. Fixons un entier $q$ tel que
    $\forall z\in B\left(y,r_{y}\right)\quad |\!|\!|\left(g-\mathrm {d} f_{q}\right)(z)|\!|\!|\leq \varepsilon$.
Pour tout $x\in B\left(y,r_{y}\right)$, en faisant $p\to +\infty$ dans $(*)$, on obtient :
    $\|\left(f(x)-f_{q}(x)\right)-\left(f(y)-f_{q}(y)\right)\|\leq \varepsilon \|x-y\|$,
si bien que
    $\|\left(f(x)-f(y)-g(y)(x-y)\right)-\left(f_{q}(x)-f_{q}(y)-\mathrm {d} f_{q}(y)(x-y)\right)\|\leq 2\varepsilon \|x-y\|$.
D'autre part, par définition de $\mathrm {d} f_{q}(y)$, il existe $r>0$ tel que pour tout $x\in B\left(y,r\right)$,
    $\left\|f_{q}(x)-f_{q}(y)-\mathrm {d} f_{q}(y)(x-y)\right\|\leq \varepsilon \|x-y\|$.
On en déduit que pour tout $x$ tel que $\|x-y\|<\min(r_{y},r)$,
    $\left\|f(x)-f(y)-g(y)(x-y)\right\|\leq 3\varepsilon \|x-y\|$,
ce qui conclut.
Inspiré de Peter Haïssinsky, « L3 maths, Calcul différentiel et optimisation, chap. 2, p. 10-11 (théorème 4.8) », Université d'Aix-Marseille, octobre 2017 et Gilles Dubois, « Convergence d'une suite de fonctions différentiables ».

### Remarques

Ce théorème généralise le théorème de dérivation terme à terme valable pour les suites de fonctions d'une variable réelle ou, plus généralement, le théorème de dérivation d'une intégrale paramétrique. Il intervient notamment dans le cas de fonctions « limites », qu'on ne sait pas exprimer autrement que comme limite d'une suite, ou dans le cadre des séries de fonctions.
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