# Thermodynamique (PCSI)/Descriptions microscopique et macroscopique d'un système à l'équilibre : Système thermodynamique, premiers paramètres d'état, énergies échangées avec l'extérieur
## Rappel de la définition d'un système thermodynamique, 1$^{ers}$ paramètres d'état : pression et température
### Rappel de la définition d'un système thermodynamique

Comme cela a été introduit une 1ère fois dans le paragraphe « définition d'un système thermodynamique » du chap.$1$ de la leçon « Thermodynamique (PCSI) », un « système thermodynamique » est un système mésoscopique $\;{\big$ou macroscopique${\big )}\;$ d’« entités » dont on étudie « uniquement la répartition de vitesse de l'entité moyenne » représentative du système $\;{\big \$par opposition à la notion de « système mécanique » dont on étudie « la répartition de vitesse de toutes les entités prises individuellement »${\big \}$.

### Rappel : système thermodynamique en évolution stationnaire

Comme cela a été introduit une 1ère fois dans le paragraphe « définition d'un système thermodynamique (1ère propriété) » du chap.$1$ de la leçon « Thermodynamique (PCSI) », un « système thermodynamique à répartition de vitesse de l’entité moyenne » « stationnaire » $\;{\big \$le système thermodynamique en évolution stationnaire correspond à un système en équilibre thermodynamique $\;{\big$s'il ne reçoit globalement aucune énergie de l’extérieur par compensation locale${\big ]}\;$ ou à un système en état dynamique stationnaire $\;{\big$s'il est traversé par un flux d’énergie fourni d’un point de l’extérieur et restitué à un autre point de l’extérieur $\;{\big$le système ne reçoit globalement encore aucune énergie de l’extérieur mais la compensation n’est pas locale mais globale${\big )}{\big ]}{\big \}$ est complètement décrit par la connaissance d’un « petit nombre de paramètres » dits « paramètres d’état du système » qui représentent, à un cœfficient multiplicatif près, des valeurs moyennes de grandeurs microscopiques ;
le cas le plus fréquent de système thermodynamique en évolution stationnaire est celui d’un système « fermé » en équilibre thermodynamique c'est-à-dire pour lequel ses paramètres d’état n’évoluent pas avec le temps par « absence globale d’échange d’énergie avec son extérieur » mais aussi par « absence locale d'échange d'énergie entre échantillons mésoscopiques voisins » $\;{\big \$de même les paramètres d'état d'un système en état dynamique stationnaire n'évoluent pas avec le temps, mais c'est par compensation globale d'échange d'énergie entre le système et son extérieur ainsi qu'entre échantillons mésoscopiques voisins ${\big$la compensation n'étant pas locale comme dans le cas d'un système en équilibre thermodynamique${\big )}{\big \}$.

### 1er exemple de paramètre d'état d'un système : la pression p$_M$ en chaque point M du système, distinction pression « effective », pression cinétique et pression moléculaire

Nous nous proposons de définir, dans un 1er temps, la pression «$\;p\;$» exercée par un système gazeux sur un élément de paroi d’aire élémentaire «$\;dS\;$», puis Nous nous proposons de généraliser la définition à la pression du gaz en tout point intérieur à ce dernier et enfin Nous nous proposons de généraliser la définition à la pression d’un système liquide ou solide en tout point intérieur au système.

#### Pression p$_{(dS)}$ exercée par un gaz sur un élément de paroi d’aire élémentaire dS

La pression «$\;p_{(dS)\,\leftarrow \,{\text{gaz}}}\;$» exercée par un système gazeux sur un élément de paroi d’aire élémentaire «$\;dS\;$» est définie expérimentalement à partir de la force pressante «$\;{\overrightarrow {dF}}_{(dS)\,\leftarrow \,{\text{gaz}}}\;$» que le gaz exerce sur l’élément de paroi d'aire $\;dS\;$ par «$\;{\overrightarrow {dF}}_{(dS)\,\leftarrow \,{\text{gaz}}}=p_{(dS)\,\leftarrow \,{\text{gaz}}}\;dS\;{\vec {n}}\;$» avec «$\;{\vec {n}}\;$» vecteur unitaire normal à l’élément de paroi orienté du gaz vers l’extérieur $\Rightarrow$ «$\;p_{(dS)\,\leftarrow \,{\text{gaz}}}={\dfrac {{\overrightarrow {dF}}_{(dS)\,\leftarrow \,{\text{gaz}}}\cdot {\vec {n}}}{dS}}\;$».

#### Distinction entre les pressions « effective » et cinétique exercées par le gaz sur un élément de paroi, notion de pression moléculaire du gaz s’exerçant sur l’élément de paroi

Nous avons défini la pression cinétique d'un G.P. sur un élément de paroi $\;\left(dS\right)\;$ «$\;p_{c,\,(dS)}\;$» comme le gain horaire et surfacique de composante normale de résultante cinétique de $\;\left(dS\right)\;$ due à l'adsorption et à la désorption des molécules du gaz en supposant $\;\left(dS\right)\;$ libre soit $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}p_{c,\,(dS)}={\dfrac {{\overrightarrow {dF}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.P.}\cdot {\vec {n}}}{dS}}\\{\overrightarrow {dF}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.P.}={\dfrac {\delta {\vec {P}}_{(dS)_{\,{\text{libre}}}\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}}{\delta t}}\end{array}}\right\rbrace \;$ ${\Big \\delta {\vec {P}}_{(dS)_{\,{\text{libre}}}\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\;$ étant le gain de résultante cinétique de $\;\left(dS\right)_{\,{\text{libre}}}\;$ par adsorption et désorption des molécules du G.P. pendant l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]\!{\Big \}$ et
Nous avons établi son expression « statistique » en utilisant la loi des grands nombres «$\;p_{c,\,(dS)}\simeq N_{\text{vol}}^{(dS)}\,\left\lbrace {\dfrac {1}{3}}\;m_{p}\,\left[V_{(dS)}^{*}\right]^{2}\right\rbrace \;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$» dans laquelle «$\;N_{\text{vol}}^{(dS)}\;$ est la densité volumique de molécules de l'échantillon mésoscopique de G.P. au contact de $\;\left(dS\right)\;$» et «$\;V_{(dS)}^{*}\;$ la vitesse quadratique moyenne des molécules $\;{\big$de masse $\;m_{p}{\big )}\;$ situées au voisinage de $\;\left(dS\right)\;$» ;
si on considère maintenant un G.R. $\;{\big$gaz réel${\big )}$, il faut tenir compte des interactions entre molécules, lesquelles sont usuellement « attractives » $\;{\big \$pour que celles-ci ne soient plus négligeables il est nécessaire que la densité volumique moléculaire «$\;N_{\text{vol}}^{(dS)}\;$» soit de « grande valeur » sans toutefois que le rapprochement des molécules entre elles $\;{\big$consécutive à une grande densité volumique moléculaire${\big )}\;$ ne rende les interactions entre molécules « répulsives »${\big \}$ ; nous pouvons définir
si on considère maintenant un G.R. la pression cinétique d'un G.R. sur l'élément de paroi $\;\left(dS\right)\;$ «$\;p_{c,\,(dS)}\;$» comme le gain horaire et surfacique de composante normale de résultante cinétique de $\;\left(dS\right)\;$ due à l'adsorption et à la désorption des molécules du G.R. en supposant $\;\left(dS\right)\;$ libre et sans considérer les interactions intermoléculaires $\;{\big$c'est-à-dire en supposant le G.R. comme parfait${\big )}\;$ d'où une expression statistique de la pression cinétique du G.R. sur $\;\left(dS\right)\;$ «$\;p_{c,\,(dS)}\simeq N_{\text{vol}}^{(dS)}\,\left\lbrace {\dfrac {1}{3}}\;m_{p}\,\left[V_{(dS)}^{*}\right]^{2}\right\rbrace \;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$» $\;{\Big \$avec «$\;N_{\text{vol}}^{(dS)}\;$ la densité volumique de molécules de l'échantillon mésoscopique de G.R. au contact de $\;\left(dS\right)\;$» et «$\;V_{(dS)}^{*}\;$ la vitesse quadratique moyenne des molécules $\;{\big$de masse $\;m_{p}{\big )}\;$ de ce G.R. situées au voisinage de $\;\left(dS\right)\;$»${\Big \}$ mais, en réalité, il faut aussi définir
si on considère maintenant un G.R. la pression « effective » du G.R. sur $\;\left(dS\right)\;$ «$\;p_{(dS)}\;$» se distinguant de la pression cinétique de ce G.R. sur $\;\left(dS\right)\;$ «$\;p_{c,\,(dS)}\;$» pour tenir compte de l'effet que l'interaction intermoléculaire $\;{\big$attractive${\big )}\;$ a sur le gain horaire et surfacique de composante normale de résultante cinétique de $\;\left(dS\right)\;$ due à l'adsorption et à la désorption des molécules du G.R. en supposant $\;\left(dS\right)\;$ libre, cet effet définissant
si on considère maintenant un G.R. la pression moléculaire du G.R. sur $\;\left(dS\right)\;$ «$\;p_{m,\,(dS)}\;$» comme un correctif de «$\;p_{c,\,(dS)}\;$» pour tenir compte des interactions intermoléculaires $\;{\big$attractives${\big )}\;$ d'où
$\;p_{(dS)}=p_{c,\,(dS)}+p_{m,\,(dS)}\;$
si on considère maintenant un G.R. $\;\blacktriangleright \;$correction du gain de composante normale de résultante cinétique de $\;\left(dS\right)\;$ dû à l'adsorption pendant l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]\;$ de toutes les molécules adsorbables en tenant compte de l'interaction intermoléculaire $\;{\big$attractive${\big )}$ : nous avons établi, au paragraphe « gain de résultante cinétique de l'élément de paroi par adsorption des molécules de vecteur vitesse fixé adsorbables entre t et t + δt » du chap.$2$ de la leçon « Thermodynamique (PCSI) », le gain de résultante cinétique de $\;\left(dS\right)\;$ dû à l'adsorption pendant l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]\;$ des molécules de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ défini à l'instant $\;t\;$ en négligeant les interactions intermoléculaires $\;{\big$c'est-à-dire en considérant le G.R. comme parfait${\big )}$ si on considère maintenant un G.R. $\;\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$correction «$\;\delta {\vec {P}}_{a,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left({\vec {V}}\,,\,t\right)=\delta {\vec {P}}_{a,\,dS}\;\delta N_{{\text{ads par}}\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left[{\vec {V}}\,,\,t\right]\;$» dans lequel «$\;\delta {\vec {P}}_{a,\,dS}\;$ est le gain de résultante cinétique de la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ lors de l'adsorption d'une molécule de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ c'est-à-dire $\;\delta {\vec {P}}_{a,\,dS}\simeq m_{p}\;{\vec {V}}\;$» et «$\;\delta N_{{\text{ads par}}\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left[{\vec {V}}\,,\,t\right]\;$ le nombre de molécules de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ adsorbables par $\;\left(dS\right)\;$ pendant l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]\;$» d'où si on considère maintenant un G.R. $\;\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$correction «$\;\left\lbrace \delta {\vec {P}}_{a,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left({\vec {V}}\,,\,t\right)\right\rbrace \cdot {\vec {n}}=\left\lbrace m_{p}\;{\vec {V}}\cdot {\vec {n}}\right\rbrace \,\delta N_{{\text{ads par}}\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left[{\vec {V}}\,,\,t\right]\;$» avec $\;{\vec {n}}\;$ vecteur unitaire normal à $\;\left(dS\right)\;$ orienté du gaz vers l'extérieur, mais l'existence d'interactions intermoléculaires attractives fait que le facteur «$\;m_{p}\;{\vec {V}}\cdot {\vec {n}}\;$ devrait être remplacé par $\;m_{p}\;{\vec {V}}_{t\,\rightarrow \,t_{a}}\cdot {\vec {n}}\;$ où $\;t_{a}\in \left[t\,,\,t+\delta t\right]\;$ est l'instant réel d'adsorption de la molécule considérée » avec «$\;{\vec {V}}_{t\,\rightarrow \,t_{a}}\cdot {\vec {n}}\leqslant {\vec {V}}\cdot {\vec {n}}\;$ compte-tenu de l'effet globalement décélérateur des autres molécules sur la molécule considérée pendant l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t_{a}\right]\;$», nous en déduisons donc une erreur systématique par excès dans l'évaluation du gain de composante normale de résultante cinétique de $\;\left(dS\right)\;$ dû à l'adsorption pendant l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]\;$ des molécules de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ défini à l'instant $\;t\;$ en ne tenant pas compte des interactions intermoléculaires attractives soit «$\;\left\lbrace \delta {\vec {P}}_{a,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left[{\vec {V}}\,,\,t_{\text{ads}}\right]_{t_{\text{ads}}\,\in \,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\right\rbrace \cdot {\vec {n}}<\left\lbrace \delta {\vec {P}}_{a,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left[{\vec {V}}\,,\,t\right]\right\rbrace \cdot {\vec {n}}\;$» s'écrivant encore «$\;\left\lbrace \delta {\vec {P}}_{a,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left[{\vec {V}}\,,\,t_{\text{ads}}\right]_{t_{\text{ads}}\,\in \,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\right\rbrace \cdot {\vec {n}}=\left\lbrace \delta {\vec {P}}_{a,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left[{\vec {V}}\,,\,t\right]\right\rbrace \cdot {\vec {n}}+\varepsilon _{a,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left[{\vec {V}}\,,\,t\right]\;$» avec «$\;\varepsilon _{a,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left[{\vec {V}}\,,\,t\right]<0\;$ correctif du gain de composante normale de résultante cinétique de $\;\left(dS\right)\;$ dû à l'adsorption pendant l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]\;$ des molécules de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ défini à l'instant $\;t\;$ tenant compte de l'interaction intermoléculaire » ; si on considère maintenant un G.R. $\;\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$correction faisant la somme sur tous les vecteurs vitesse possibles des molécules adsorbables par $\;\left(dS\right)\;$ entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t$, nous obtenons le gain de composante normale de résultante cinétique de $\;\left(dS\right)\;$ dû à l'adsorption pendant l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]\;$ de toutes les molécules adsorbables à savoir «$\;\left\lbrace \left[\delta {\vec {P}}_{a,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\left(t_{\text{ads}}\right)\right]_{t_{\text{ads}}\,\in \,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\right\rbrace \cdot {\vec {n}}=$ $\sum \limits _{{\vec {V}}\,\cdot \,{\overrightarrow {dS}}\,>\,0}^{{\vec {V}}\,{\text{possible}}}\left\lbrace \delta {\vec {P}}_{a,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\left[{\vec {V}}\,,\,t_{\text{ads}}\right]_{t_{\text{ads}}\,\in \,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\right\rbrace \cdot {\vec {n}}=\sum \limits _{{\vec {V}}\,\cdot \,{\overrightarrow {dS}}\,>\,0}^{{\vec {V}}\,{\text{possible}}}\left\lbrace \delta {\vec {P}}_{a,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left[{\vec {V}}\,,\,t\right]\right\rbrace \cdot {\vec {n}}+\sum \limits _{{\vec {V}}\,\cdot \,{\overrightarrow {dS}}\,>\,0}^{{\vec {V}}\,{\text{possible}}}\varepsilon _{a,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left[{\vec {V}}\,,\,t\right]\;$» dans laquelle «$\;\sum \limits _{{\vec {V}}\,\cdot \,{\overrightarrow {dS}}\,>\,0}^{{\vec {V}}\,{\text{possible}}}\left\lbrace \delta {\vec {P}}_{a,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left[{\vec {V}}\,,\,t\right]\right\rbrace \cdot {\vec {n}}\;$ est le gain de composante normale de résultante cinétique de $\;\left(dS\right)\;$ dû à l'adsorption pendant l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]\;$ de toutes les molécules adsorbables en supposant les interactions intermoléculaires négligeables $\;{\big$c'est-à-dire en considérant le G.R. comme parfait${\big )}\;$» et «$\;\sum \limits _{{\vec {V}}\,\cdot \,{\overrightarrow {dS}}\,>\,0}^{{\vec {V}}\,{\text{possible}}}\varepsilon _{a,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left[{\vec {V}}\,,\,t\right]<0\;$ le correctif du terme précédent tenant compte de l'interaction intermoléculaire attractive » d'où si on considère maintenant un G.R. $\;\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$correction le gain de composante normale de résultante cinétique de $\;\left(dS\right)\;$ dû à l'adsorption pendant l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]\;$ des molécules adsorbables
$\;\left\lbrace \left[\delta {\vec {P}}_{a,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\left(t_{\text{ads}}\right)\right]_{t_{\text{ads}}\,\in \,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\right\rbrace \cdot {\vec {n}}=\delta {\vec {P}}_{a,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\cdot {\vec {n}}+\varepsilon _{a,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\;$
si on considère maintenant un G.R. $\;\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$correction avec «$\;\delta {\vec {P}}_{a,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\;$ le gain de résultante cinétique de $\;\left(dS\right)\;$ dû à l'adsorption pendant l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]\;$ des molécules adsorbables en considérant les interactions intermoléculaires négligeables » et «$\;\varepsilon _{a,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}<0\;$ le correctif de la composante normale du terme précédent tenant compte de l'interaction intermoléculaire attractive » ;
 si on considère maintenant un G.R. $\;\blacktriangleright \;$correction du gain de composante normale de résultante cinétique de $\;\left(dS\right)\;$ dû à la désorption pendant l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]\;$ de toutes les molécules désorbables en tenant compte de l'interaction intermoléculaire $\;{\big$attractive${\big )}$ : nous avons établi, au paragraphe « gain de résultante cinétique de l'élément de paroi par désorption des molécules de vecteur vitesse fixé désorbables entre t et t + δt » du chap.$2$ de la leçon « Thermodynamique (PCSI) », le gain de résultante cinétique de $\;\left(dS\right)\;$ dû à la désorption pendant l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]\;$ des molécules de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}'\;$ défini à l'instant $\;t+\delta t\;$ en négligeant les interactions intermoléculaires $\;{\big$c'est-à-dire en considérant le G.R. comme parfait${\big )}$, si on considère maintenant un G.R. $\;\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$correction «$\;\delta {\vec {P}}_{d,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left({\vec {V}}'\,,\,t+\delta t\right)=\delta {\vec {P}}_{d,\,dS}\;\delta N_{{\text{dés par}}\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left[{\vec {V}}'\,,\,t+\delta t\right]\;$» dans lequel «$\;\delta {\vec {P}}_{d,\,dS}\;$ est le gain de résultante cinétique de la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ lors de la désorption d'une molécule de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}'\;$ c'est-à-dire $\;\delta {\vec {P}}_{d,\,dS}\simeq -m_{p}\;{\vec {V}}'\;$» et «$\;\delta N_{{\text{dés par}}\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left[{\vec {V}}'\,,\,t+\delta t\right]\;$ le nombre de molécules de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}'\;$ désorbables par $\;\left(dS\right)\;$ pendant l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]\;$» d'où si on considère maintenant un G.R. $\;\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$correction «$\;\left\lbrace \delta {\vec {P}}_{d,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left({\vec {V}}'\,,\,t+\delta t\right)\right\rbrace \cdot {\vec {n}}=\left\lbrace -m_{p}\;{\vec {V}}'\cdot {\vec {n}}\right\rbrace \,\delta N_{{\text{dés par}}\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left[{\vec {V}}'\,,\,t+\delta t\right]\;$» avec $\;{\vec {n}}\;$ vecteur unitaire normal à $\;\left(dS\right)\;$ orienté du gaz vers l'extérieur, mais l'existence d'interactions intermoléculaires attractives fait que le facteur «$\;-m_{p}\;{\vec {V}}'\cdot {\vec {n}}>0\;$ devrait être remplacé par $\;-m_{p}\;{{\vec {V}}'}_{\!t+\delta t\,\rightarrow \,t_{d}}\cdot {\vec {n}}>0\;$ où $\;t_{d}\in \left[t\,,\,t+\delta t\right]\;$ est l'instant réel de désorption de la molécule considérée » avec «$\;-{{\vec {V}}'}_{\!t+\delta t\,\rightarrow \,t_{d}}\cdot {\vec {n}}\leqslant -{\vec {V}}'\cdot {\vec {n}}\;$ compte-tenu de l'effet globalement accélérateur des autres molécules sur la molécule considérée pendant l'intervalle de temps $\;\left[t_{d}\,,\,t+\delta t\right]\;$», nous en déduisons donc une erreur systématique par excès dans l'évaluation du gain de composante normale de résultante cinétique de la paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ dû à la désorption pendant l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]\;$ des molécules de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}'\;$ défini à l'instant $\;t+\delta t\;$ en ne tenant pas compte des interactions intermoléculaires attractives, ce qui s'écrit encore «$\;\left\lbrace \delta {\vec {P}}_{d,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left[{\vec {V}}'\,,\,t_{\text{dés}}\right]_{t_{\text{dés}}\,\in \,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\right\rbrace \cdot {\vec {n}}=$ $\left\lbrace \delta {\vec {P}}_{d,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left[{\vec {V}}'\,,\,t+\delta t\right]\right\rbrace \cdot {\vec {n}}+\varepsilon _{d,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left[{\vec {V}}'\,,\,t+\delta t\right]\;$» avec «$\;\varepsilon _{d,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left[{\vec {V}}'\,,\,t+\delta t\right]<0\;$ le correctif du gain de composante normale de résultante cinétique de $\;\left(dS\right)\;$ dû à la désorption pendant l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]\;$ des molécules de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}'\;$ défini à l'instant $\;t+\delta t\;$ tenant compte de l'interaction intermoléculaire » $\;{\Bigg$c'est-à-dire «$\;\left\lbrace \delta {\vec {P}}_{d,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left[{\vec {V}}'\,,\,t_{\text{dés}}\right]_{t_{\text{dés}}\,\in \,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\right\rbrace \cdot {\vec {n}}<\left\lbrace \delta {\vec {P}}_{d,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left[{\vec {V}}'\,,\,t+\delta t\right]\right\rbrace \cdot {\vec {n}}\;$»${\Bigg ]}$ ; si on considère maintenant un G.R. $\;\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$correction faisant la somme sur tous les vecteurs vitesse possibles des molécules désorbables par $\;\left(dS\right)\;$ entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t$, nous obtenons le gain de composante normale de résultante cinétique de $\;\left(dS\right)\;$ dû à la désorption pendant l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]\;$ de toutes les molécules désorbables à savoir «$\;\left\lbrace \left[\delta {\vec {P}}_{d,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\left(t_{\text{dés}}\right)\right]_{t_{\text{dés}}\,\in \,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\right\rbrace \cdot {\vec {n}}=$ $\sum \limits _{{\vec {V}}'\,\cdot \,{\overrightarrow {dS}}\,<\,0}^{{\vec {V}}'\,{\text{possible}}}\left\lbrace \delta {\vec {P}}_{d,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\left[{\vec {V}}'\,,\,t_{\text{dés}}\right]_{t_{\text{dés}}\,\in \,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\right\rbrace \cdot {\vec {n}}=\sum \limits _{{\vec {V}}'\,\cdot \,{\overrightarrow {dS}}\,<\,0}^{{\vec {V}}'\,{\text{possible}}}\left\lbrace \delta {\vec {P}}_{d,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left[{\vec {V}}'\,,\,t+\delta t\right]\right\rbrace \cdot {\vec {n}}+\sum \limits _{{\vec {V}}'\,\cdot \,{\overrightarrow {dS}}\,<\,0}^{{\vec {V}}'\,{\text{possible}}}\varepsilon _{d,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left[{\vec {V}}'\,,\,t+\delta t\right]\;$» dans laquelle «$\;\sum \limits _{{\vec {V}}'\,\cdot \,{\overrightarrow {dS}}\,<\,0}^{{\vec {V}}'\,{\text{possible}}}\left\lbrace \delta {\vec {P}}_{d,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left[{\vec {V}}'\,,\,t+\delta t\right]\right\rbrace \cdot {\vec {n}}\;$ est le gain de composante normale de résultante cinétique de $\;\left(dS\right)\;$ dû à la désorption pendant l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]\;$ de toutes les molécules désorbables en supposant les interactions intermoléculaires négligeables $\;{\big$c'est-à-dire en considérant le G.R. comme parfait${\big )}\;$» et «$\;\sum \limits _{{\vec {V}}'\,\cdot \,{\overrightarrow {dS}}\,<\,0}^{{\vec {V}}'\,{\text{possible}}}\varepsilon _{d,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left[{\vec {V}}'\,,\,t+\delta t\right]<0\;$ le correctif du terme précédent tenant compte de l'interaction intermoléculaire attractive » d'où si on considère maintenant un G.R. $\;\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$correction le gain de composante normale de résultante cinétique de $\;\left(dS\right)\;$ dû à la désorption pendant l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]\;$ des molécules désorbables
$\;\left\lbrace \left[\delta {\vec {P}}_{d,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\left(t_{\text{dés}}\right)\right]_{t_{\text{dés}}\,\in \,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\right\rbrace \cdot {\vec {n}}=\delta {\vec {P}}_{d,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\cdot {\vec {n}}+\varepsilon _{d,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\;$
si on considère maintenant un G.R. $\;\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$correction avec «$\;\delta {\vec {P}}_{d,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\;$ le gain de résultante cinétique de $\;\left(dS\right)\;$ dû à la désorption pendant l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]\;$ des molécules désorbables en considérant les interactions intermoléculaires négligeables » et «$\;\varepsilon _{d,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}<0\;$ le correctif de la composante normale du terme précédent tenant compte de l'interaction intermoléculaire attractive » ;
 si on considère maintenant un G.R. $\;\blacktriangleright \;$correction du gain de composante normale de résultante cinétique de $\;\left(dS\right)\;$ dû à l'adsorption et la désorption pendant l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]\;$ de toutes les molécules adsorbables et désorbables en tenant compte de l'interaction intermoléculaire $\;{\big$attractive${\big )}$ : il suffit d'ajouter le gain de composante normale de résultante cinétique de $\;\left(dS\right)\;$ dû à l'adsorption pendant l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]\;$ des molécules adsorbables, en tenant compte de l'interaction intermoléculaire $\;{\big$attractive${\big )}\;$ «$\;\left\lbrace \left[\delta {\vec {P}}_{a,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\left(t_{\text{ads}}\right)\right]_{t_{\text{ads}}\,\in \,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\right\rbrace \cdot {\vec {n}}\;$» et celui de composante normale de résultante cinétique de $\;\left(dS\right)\;$ dû à la désorption pendant le même intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]\;$ des molécules désorbables, toujours en tenant compte de l'interaction intermoléculaire $\;{\big$attractive${\big )}\;$ «$\;\left\lbrace \left[\delta {\vec {P}}_{d,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\left(t_{\text{dés}}\right)\right]_{t_{\text{dés}}\,\in \,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\right\rbrace \cdot {\vec {n}}\;$» et nous obtenons $\;\left\lbrace \left[\delta {\vec {P}}_{(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\right]_{\text{corrigé}}\right\rbrace \cdot {\vec {n}}=\left\lbrace \left[\delta {\vec {P}}_{a,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\left(t_{\text{ads}}\right)\right]_{t_{\text{ads}}\,\in \,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\right\rbrace \cdot {\vec {n}}+\left\lbrace \left[\delta {\vec {P}}_{d,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\left(t_{\text{dés}}\right)\right]_{t_{\text{dés}}\,\in \,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\right\rbrace \cdot {\vec {n}}=$ $\left\lbrace \delta {\vec {P}}_{a,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\cdot {\vec {n}}+\varepsilon _{a,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\right\rbrace +\left\lbrace \delta {\vec {P}}_{d,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\cdot {\vec {n}}+\varepsilon _{d,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\right\rbrace =\left\lbrace \delta {\vec {P}}_{a,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\cdot {\vec {n}}+\delta {\vec {P}}_{d,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\cdot {\vec {n}}\right\rbrace +\left\lbrace \varepsilon _{a,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}+\varepsilon _{d,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\right\rbrace \;$ soit finalement
$\;\left\lbrace \left[\delta {\vec {P}}_{(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\right]_{\text{corrigé}}\right\rbrace \cdot {\vec {n}}=\delta {\vec {P}}_{(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\cdot {\vec {n}}+\varepsilon _{(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\;\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$
si on considère maintenant un G.R. $\;\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$correction avec «$\;\delta {\vec {P}}_{(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\;$ le gain de résultante cinétique de $\;\left(dS\right)\;$ dû à l'adsorption et la désorption pendant l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]\;$ de toutes les molécules adsorbables et désorbables en considérant les interactions intermoléculaires négligeables » et «$\;\varepsilon _{(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}=\varepsilon _{a,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}+\varepsilon _{d,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}<0\;$ le correctif de la composante normale du terme précédent tenant compte de l'interaction intermoléculaire attractive » ;
si on considère maintenant un G.R. $\;\blacktriangleright \;$correction de l'expression statistique du gain de composante normale de résultante cinétique de $\;\left(dS\right)\;$ dû à l'adsorption et la désorption pendant l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]\;$ de toutes les molécules adsorbables et désorbables en tenant compte de l'interaction intermoléculaire $\;{\big$attractive${\big )}$ : appliquant la loi des grands nombres à la relation $\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$ nous obtenons l'expression statistique du gain de composante normale de résultante cinétique de $\;\left(dS\right)\;$ dû à l'adsorption et la désorption pendant l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]\;$ des molécules adsorbables et désorbables en tenant compte de l'interaction intermoléculaire $\;{\big$attractive${\big )}$ «$\;{\bigg \langle }\left[\delta {\vec {P}}_{(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\right]_{\text{corrigé}}{\bigg \rangle }\cdot {\vec {n}}={\Big \langle }\delta {\vec {P}}_{(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}{\Big \rangle }\cdot {\vec {n}}+{\Big \langle }\varepsilon _{(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}{\Big \rangle }\;\;\left({\mathfrak {b}}'\right)\;$» dans laquelle «$\;{\Big \langle }\delta {\vec {P}}_{(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}{\Big \rangle }\;$ est l'expression statistique du gain de résultante cinétique de $\;\left(dS\right)\;$ par adsorption et désorption pendant l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]\;$ en considérant les interactions intermoléculaires négligeables » et «$\;{\Big \langle }\varepsilon _{(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}{\Big \rangle }<0\;$ le correctif de la composante normale du terme précédent tenant compte de l'interaction intermoléculaire attractive » ;
si on considère maintenant un G.R. $\;\blacktriangleright \;$correction de la composante normale de force pressante exercée sur $\;\left(dS\right)\;$ par l'échantillon mésoscopique de G.R. en équilibre thermodynamique en tenant compte de l'interaction intermoléculaire $\;{\big$attractive${\big )}$ : pour obtenir l'expression corrigée de cette dernière «$\;{\overrightarrow {dF}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.R.}\cdot {\vec {n}}\;$» nous utilisons la définition de $\;{\overrightarrow {dF}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.R.}\;$ à partir de l'expression statistique du gain de résultante cinétique de $\;\left(dS\right)_{\text{libre}}\;$ dû à l'adsorption et la désorption pendant l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]\;$ de toutes les molécules adsorbables et désorbables du G.R. en tenant compte de l'interaction intermoléculaire $\;{\big$attractive${\big )}\;$ «$\;{\bigg \langle }\left[\delta {\vec {P}}_{(dS)_{\text{libre}}\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\right]_{\text{corrigé}}{\bigg \rangle }\;$» c'est-à-dire «$\;{\overrightarrow {dF}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.R.}={\dfrac {{\bigg \langle }\left[\delta {\vec {P}}_{(dS)_{\text{libre}}\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\right]_{\text{corrigé}}{\bigg \rangle }}{\delta t}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\overrightarrow {dF}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.R.}\cdot {\vec {n}}={\dfrac {{\bigg \langle }\left[\delta {\vec {P}}_{(dS)_{\text{libre}}\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\right]_{\text{corrigé}}{\bigg \rangle }\cdot {\vec {n}}}{\delta t}}\;$» soit, en utilisant la relation $\;\left({\mathfrak {b}}'\right)$, «$\;{\overrightarrow {dF}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.R.}\cdot {\vec {n}}={\dfrac {{\Big \langle }\delta {\vec {P}}_{(dS)_{\text{libre}}\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}{\Big \rangle }\cdot {\vec {n}}}{\delta t}}+{\dfrac {{\Big \langle }\varepsilon _{(dS)_{\text{libre}}\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}{\Big \rangle }}{\delta t}}=\left[{\overrightarrow {dF}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.R.}^{\,{\text{sans inter. intermol.}}}\right]\cdot {\vec {n}}+\varepsilon _{(dS)_{\text{libre}}\,,\,{\text{par}}\,s}\;$» avec «$\;{\overrightarrow {dF}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.R.}^{\,{\text{sans inter. intermol.}}}\;$ la force pressante exercée sur $\;\left(dS\right)\;$ par le G.R. en équilibre thermodynamique en supposant les interactions intermoléculaires négligeables $\;{\big$c'est-à-dire en considérant le G.R. comme parfait${\big )}\;$» et «$\;\varepsilon _{(dS)_{\text{libre}}\,,\,{\text{par}}\,s}<0\;$ le correctif de la composante normale du terme précédent tenant compte de l'interaction intermoléculaire attractive » soit encore «$\;{\overrightarrow {dF}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.R.}\cdot {\vec {n}}=\left[{\overrightarrow {dF}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.P.\,{\text{assoc. au}}\,G.R.}\right]\cdot {\vec {n}}+\varepsilon _{(dS)_{\text{libre}}\,,\,{\text{par}}\,s}\;\;\left({\mathfrak {c}}\right)\;$» $\;{\Bigg \$en négligeant les interactions intermoléculaires attractives dans le G.R. $\;{\big$c'est-à-dire en considérant le G.R. comme parfait${\big )}\;$ pour évaluer la composante normale de la force pressante exercée sur $\;\left(dS\right)\;$ par le G.R. en équilibre thermodynamique, nous commettons une erreur systématique par excès car «$\;{\overrightarrow {dF}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.R.}\cdot {\vec {n}}<\left[{\overrightarrow {dF}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.P.\,{\text{assoc. au}}\,G.R.}\right]\cdot {\vec {n}}\;$»${\Bigg \}$ ;
si on considère maintenant un G.R. $\;\blacktriangleright \;$correction de la pression cinétique exercée sur $\;\left(dS\right)\;$ par l'échantillon mésoscopique de G.R. en équilibre thermodynamique en tenant compte de l'interaction intermoléculaire $\;{\big$attractive${\big )}$ $\;{\big \$la pression cinétique corrigée définissant la pression « effective »${\big \}$ : pour définir la pression « effective » exercée sur $\;\left(dS\right)\;$ par un G.R. à partir de la composante normale de la force pressante que le G.R. exerce sur $\;\left(dS\right)$, nous divisons la relation $\;\left({\mathfrak {c}}\right)\;$ par $\;dS\;$ soit
$\;{\dfrac {{\overrightarrow {dF}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.R.}\cdot {\vec {n}}}{dS}}={\dfrac {\left[{\overrightarrow {dF}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.P.\,{\text{assoc. au}}\,G.R.}\right]\cdot {\vec {n}}}{dS}}+{\dfrac {\varepsilon _{(dS)_{\text{libre}}\,,\,{\text{par}}\,s}}{dS}}\;$
si on considère maintenant un G.R. $\;\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$correction le 1er membre s'identifie à la « pression $\;{\big$effective${\big )}\;$ $\;p_{(dS)}\;$ du G.R. sur $\;\left(dS\right)\;$», si on considère maintenant un G.R. $\;\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$correction le 1er terme du 2nd membre à la « pression cinétique $\;p_{c,\,(dS)}\;$ du G.R. sur $\;\left(dS\right)\;$» et si on considère maintenant un G.R. $\;\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$correction le 2ème terme du 2nd membre «$\;{\dfrac {\varepsilon _{(dS)_{\text{libre}}\,,\,{\text{par}}\,s}}{dS}}<0\;$» étant le correctif de la pression cinétique pour obtenir la pression $\;{\big$effective${\big )}\;$ tenant compte des interactions intermoléculaires attractives définit la « pression moléculaire $\;p_{m,\,(dS)}<0\;$ du G.R. sur $\;\left(dS\right)\;$» soit finalement
$\;p_{(dS)}=p_{c,\,(dS)}+p_{m,\,(dS)}\;\;\left({\mathfrak {a}}'\right)\;$
$\;p_{c,\,(dS)}\simeq N_{\text{vol}}^{(dS)}\,\left\lbrace {\dfrac {1}{3}}\;m_{p}\,\left[V_{(dS)}^{*}\right]^{2}\right\rbrace \;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$
$\;p_{m,\,(dS)}<0\;$
$\Leftarrow$
Tentative d'évaluation de la pression moléculaire, modèle dit de van der Waals : la « pression moléculaire d'un échantillon mésoscopique de G.R. en équilibre thermodynamique sur l'élément de paroi $\;\left(dS\right)\;$ le côtoyant $\;p_{m,\,(dS)}\;$» étant due aux interactions intermoléculaires doit correspondre à une « valeur moyenne de grandeur d’interaction caractéristique du G.R. » multipliée par le « nombre de couples interagissant dans l'échantillon mésoscopique d'expansion tridimensionnelle $\;\left(d{\mathcal {V}}_{(dS)}\right)\;$ c'est-à-dire $\;{\dfrac {\delta N_{(dS)}\,\left[\delta N_{(dS)}-1\right]}{2}}\simeq {\dfrac {\delta N_{(dS)}^{\,2}}{2}}\;$» dans lequel $\;\delta N_{(dS)}\;$ est le nombre de molécules de l'échantillon mésoscopique ; le nombre de molécules $\;\delta N_{(dS)}\;$ se réécrivant $\;N_{\text{vol}}^{(dS)}\;d{\mathcal {V}}_{(dS)}\;$ avec $\;N_{\text{vol}}^{(dS)}\;$ la densité volumique moléculaire de l'échantillon mésoscopique, nous en déduisons une autre expression du « nombre de couples interagissant dans l'échantillon mésoscopique $\;{\dfrac {\delta N_{(dS)}^{\,2}}{2}}=\left[N_{\text{vol}}^{(dS)}\right]^{2}\;{\dfrac {\left[d{\mathcal {V}}_{(dS)}\right]^{2}}{2}}\propto \left[N_{\text{vol}}^{(dS)}\right]^{2}\;$» et par suite nous pouvons admettre que la « pression moléculaire de l'échantillon mésoscopique de G.R. en équilibre thermodynamique sur l'élément de paroi $\;\left(dS\right)\;$ le côtoyant » est de la forme
$\;p_{m,\,(dS)}=-\left[N_{\text{vol}}^{(dS)}\right]^{2}\;a_{\,G.R.}^{(d{\mathcal {V}}_{(dS)})}\;\;\left({\mathfrak {a}}''\right)\;$
Tentative d'évaluation de la pression moléculaire, modèle dit de van der Waals : dans laquelle $\;a_{\,G.R.}^{(d{\mathcal {V}}_{(dS)})}\;$ est une grandeur moyenne caractérisant l'interaction intermoléculaire de l'échantillon mésoscopique du G.R. en équilibre thermodynamique $\;{\Big \a_{\,G.R.}^{(d{\mathcal {V}}_{(dS)})}\;$ étant $\;>0\;$ dans le cas quasi unanime d'interaction intermoléculaire attractive entraînant une pression moléculaire $\;<0\;$${\Big \}$.
Tentative d'évaluation de la pression moléculaire, modèle dit de van der Waals : Remarque : Ce modèle étant en fait une partie de modèle de fluide appelé « fluide de van der Waals » $\;{\big$introduit plus en détails au paragraphe « en complément, exemple de modèle de fluide “le fluide de van der Waals” et son cas particulier “le gaz de Joule” » du chap.$5$ de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »${\big ]}$, n'est pas répertorié comme « modèle de van der Waals » $\;{\big$le fluide de van der Waals étant plus complet que ce modèle${\big )}$, il s'agit donc d'un abus d'appellation.
Expression statistique de la pression « effective » exercée par le G.R. sur l'élément de paroi${\underline {\;(dS)}}$ : la pression $\;{\big$effective${\big )}\;$ «$\;p_{(dS)}\;$» exercée par le G.R. sur l'élément de paroi $\;(dS)\;$ étant la somme de la pression cinétique «$\;p_{c,\,(dS)}\;$» et de la pression moléculaire «$\;p_{m,\,(dS)}\;$» que ce gaz exerce sur $\;(dS)\;$ ${\big \$la 1ère supposant le G.R. parfait et la 2nde corrigeant la 1ère en tenant compte des interactions intermoléculaires${\big \}$ c'est-à-dire «$\;p_{(dS)}=p_{c,\,(dS)}+p_{m,\,(dS)}\;\;\left({\mathfrak {a}}'\right)\;$», l'utilisation de la loi des grands nombres quand le G.R. est en équilibre thermodynamique nous donne l'expression statistique de la pression $\;{\big$effective${\big )}\;$ «$\;p_{(dS)}\;$» exercée par le G.R. sur l'élément de paroi $\;(dS)\;$ suivant
$\;p_{(dS)}\simeq N_{\text{vol}}^{(dS)}\,\left\lbrace {\dfrac {1}{3}}\;m_{p}\,\left[V_{(dS)}^{*}\right]^{2}\right\rbrace -\left[N_{\text{vol}}^{(dS)}\right]^{2}\;a_{\,G.R.}^{(d{\mathcal {V}}_{(dS)})}\;$
$\;{\big$
$\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$
$\;\left({\mathfrak {a}}''\right){\big ]}\;$
$\;a_{\,G.R.}^{(d{\mathcal {V}}_{(dS)})}>0\;$
$\;{\big$
${\big )}$
$\;\color {transparent}{a_{\,G.R.}^{(d{\mathcal {V}}_{(dS)})}}\;$
$<0\;$
$\;{\big$
${\big )}$
Expression statistique de la pression « effective » exercée par le G.R. sur l'élément de paroi $\;\color {transparent}{(dS)}$ : Remarque : une conséquence de l'homogénéité de la répartition statistique des vecteurs vitesse des molécules du G.R. en équilibre thermodynamique est que l'expression statistique de la pression $\;{\big$effective${\big )}\;$ exercée par le G.R. sur un élément de paroi $\;(dS)\;$ est indépendante de la position et de l'orientation de la portion de paroi considérée $\;\left(dS\right)\;$ ${\Big \$la densité volumique $\;N_{\text{vol}}^{(dS)}\;$ de molécules de l'échantillon mésoscopique de G.R. au contact de $\;\left(dS\right)\;$ n'en dépendant pas ainsi que la vitesse quadratique moyenne $\;V_{(dS)}^{*}\;$ des molécules situées au voisinage de $\;\left(dS\right)$, nous admettons qu'il en est de même de la grandeur $\;a_{\,G.R.}^{(d{\mathcal {V}}_{(dS)})}\;$ caractérisant les interactions intermoléculaires${\Big \}$ soit finalement
$\;p_{(dS)}\simeq N_{\text{vol}}^{\cancel {(dS)}}\,\left\lbrace {\dfrac {1}{3}}\;m_{p}\,\left[V_{\cancel {(dS)}}^{*}\right]^{2}\right\rbrace -\left[N_{\text{vol}}^{\cancel {(dS)}}\right]^{2}\;a_{\,G.R.}^{(d{\mathcal {V}}_{\cancel {(dS)}})}\;\;\forall \,\left(dS\right)\;$
$\Updownarrow$
$\;p_{(dS)}\simeq N_{\text{vol}}\,\left\lbrace {\dfrac {1}{3}}\;m_{p}\,\left[V^{*}\right]^{2}\right\rbrace -N_{\text{vol}}^{\,2}\;a_{\,G.R.}^{(d{\mathcal {V}})}\;\;\forall \,\left(dS\right)\;$

#### Pression p en un point M d'un G.R. (gaz réel)

La démarche pour étendre la définition de la pression exercée par un G.R. sur un élément de paroi à celle de la pression en un point $\;M\;$ quelconque de ce G.R., ce dernier étant en équilibre thermodynamique, est la même que celle qui a été utilisée pour un G.P. $\;{\big$la pression pour ce dernier se limitant à la pression cinétique${\big )}$ $\;{\big$voir le paragraphe « généralisation, pression cinétique en tout point intérieur à un G.P. en équilibre thermodynamique » du chap.$2$ de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »${\big ]}$.
La pression « effective » $\;p\;$ en un point $\;M\;$ quelconque d'un G.R. en équilibre thermodynamique s'obtient en imaginant une portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)$, centrée en $\;M$, d'orientation quelconque séparant le G.R. en deux sous systèmes $\;\left(\Sigma _{-}\right)\;$ et $\;\left(\Sigma _{+}\right)\;$ globalement et individuellement en équilibre thermodynamique puis en définissant la pression « effective » que chaque sous système $\;\left(\Sigma _{-}\right)\;$ et $\;\left(\Sigma _{+}\right)\;$ exercerait sur le côté $\;\left(dS_{-}\right)\;$ et $\;\left(dS_{+}\right)\;$ de l'élément de paroi $\;\left(dS\right)\;$ respectivement au contact de $\;\left(\Sigma _{-}\right)\;$ et $\;\left(\Sigma _{+}\right)\;$ si $\;\left(dS\right)\;$ était réelle c'est-à-dire $\;{\big \$avec «$\;N_{\text{vol}}\;$ la densité volumique de molécules du G.R., $\;V^{*}\;$ la vitesse quadratique moyenne de ces mêmes molécules $\;{\big$de masse $\;m_{p}{\big )}\;$ et $\;a_{\,G.R.}^{(d{\mathcal {V}})}\;$ caractérisant les interactions intermoléculaires de ce G.R. »${\big \}$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}p_{\left(dS_{-}\right)}\simeq N_{\text{vol}}\,\left[{\dfrac {1}{3}}\;m_{p}\,\left[V^{*}\right]^{2}\right]-N_{\text{vol}}^{\,2}\;a_{\,G.R.}^{(d{\mathcal {V}})}\\p_{\left(dS_{+}\right)}\simeq N_{\text{vol}}\,\left[{\dfrac {1}{3}}\;m_{p}\,\left[V^{*}\right]^{2}\right]-N_{\text{vol}}^{\,2}\;a_{\,G.R.}^{(d{\mathcal {V}})}\end{array}}\right\rbrace \;$» ;
$\;p\;$
$\;M\;$
$\;\left(\Sigma _{-}\right)\;$
$\;\left(\Sigma _{+}\right)\;$
$\;\left(dS_{-}\right)\;$
$\;\left(dS_{+}\right)\;$
$\;\left(dS\right)\;$
$\;p=p_{\left(dS_{-}\right)}=p_{\left(dS_{+}\right)}\simeq N_{\text{vol}}\,\left[{\dfrac {1}{3}}\;m_{p}\,\left[V^{*}\right]^{2}\right]-N_{\text{vol}}^{\,2}\;a_{\,G.R.}^{(d{\mathcal {V}})}\;$
$\;M\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;\left(dS\right)$
$\;a_{\,G.R.}^{(d{\mathcal {V}})}>0\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;\color {transparent}{a_{\,G.R.}^{(d{\mathcal {V}})}}\;$
$<0\;$
$\;{\big$
${\big )}$

#### Pression p en un point M d'un liquide ou d'un solide

Pression p en un point M quelconque d'un liquide : nous définissons d'abord la « pression $\;p_{(dS)}\;$ exercée par le liquide $\;\left({\mathcal {L}}\right)\;$ sur l'élément de paroi $\;\left(dS\right)\;$ du récipient au contact de $\;\left({\mathcal {L}}\right)\;$» à l'aide de la « force pressante $\;{\overrightarrow {dF}}_{(dS)\,\leftarrow \,({\mathcal {L}})}\;$ que ce dernier exerce sur l'élément de paroi $\;\left(dS\right)\;$ d'aire $\;dS\;$» selon «$\;{\overrightarrow {dF}}_{(dS)\,\leftarrow \,({\mathcal {L}})}=p_{(dS)}\;dS\;{\vec {n}}\;$» avec «$\;{\vec {n}}\;$» vecteur unitaire normal à l’élément de paroi orienté du liquide vers l’extérieur $\Rightarrow$ «$\;p_{(dS)}={\dfrac {{\overrightarrow {dF}}_{(dS)\,\leftarrow \,({\mathcal {L}})}\cdot {\vec {n}}}{dS}}\;$ usuellement $\;>0\;$» ;
Pression p en un point M quelconque d'un liquide : la « pression $\;p\;$ exercée par le liquide $\;\left({\mathcal {L}}\right)\;$ en chacun des points $\;M\;$ strictement intérieur au récipient le contenant » est définie par la même méthode que celle utilisée pour un G.R.$^,$ d'où « la pression $\;p\;$ en un point $\;M\;$ quelconque d'un liquide $\;\left({\mathcal {L}}\right)\;$ en équilibre thermodynamique s'obtient en imaginant une portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)$, centrée en $\;M$, d'orientation quelconque séparant le liquide en deux sous systèmes $\;\left(\Sigma _{-}\right)\;$ et $\;\left(\Sigma _{+}\right)\;$ globalement et individuellement en équilibre thermodynamique puis en définissant la pression que chaque sous système $\;\left(\Sigma _{-}\right)\;$ et $\;\left(\Sigma _{+}\right)\;$ exercerait sur le côté $\;\left(dS_{-}\right)\;$ et $\;\left(dS_{+}\right)\;$ de l'élément de paroi $\;\left(dS\right)\;$ respectivement au contact de $\;\left(\Sigma _{-}\right)\;$ et $\;\left(\Sigma _{+}\right)\;$ si $\;\left(dS\right)\;$ était réelle c'est-à-dire $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}p_{\left(dS_{-}\right)}={\dfrac {{\overrightarrow {dF}}_{\left(dS_{-}\right)\,\leftarrow \,(\Sigma _{-})}\cdot {\vec {n}}}{dS}}\\p_{\left(dS_{+}\right)}=-{\dfrac {{\overrightarrow {dF}}_{\left(dS_{+}\right)\,\leftarrow \,(\Sigma _{+})}\cdot {\vec {n}}}{dS}}\end{array}}\right\rbrace \;$ ${\big \{\vec {n}}\;$ étant le vecteur unitaire normal à $\;(dS)\;$ orienté de $\;\left(\Sigma _{-}\right)\;$ à $\;\left(\Sigma _{+}\right)\!{\big \}$, ces deux pressions $\;p_{\left(dS_{-}\right)}\;$ et $\;p_{\left(dS_{+}\right)}\;$ étant égales, leur valeur commune définit la pression $\;p\;$ au point $\;M\;$ du liquide $\;\left({\mathcal {L}}\right)\;$» soit
$\;p(M)=\left\lbrace {\begin{array}{c}p_{\left(dS_{-}\right)}={\dfrac {{\overrightarrow {dF}}_{\left(dS_{-}\right)\,\leftarrow \,(\Sigma _{-})}\cdot {\vec {n}}}{dS}}\\p_{\left(dS_{+}\right)}=-{\dfrac {{\overrightarrow {dF}}_{\left(dS_{+}\right)\,\leftarrow \,(\Sigma _{+})}\cdot {\vec {n}}}{dS}}\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;>0\;$
$\;(dS)$
Pression p en un point M quelconque d'un liquide : Remarque : Cette identification entre $\;p(M)\;$ et $\;p_{\left(dS_{-}\right)}\;$ ou $\;p_{\left(dS_{+}\right)}\;$ est utilisée pour mesurer la pression $\;p(M)\;$ d'un liquide $\;($ou d’ailleurs de n’importe quel gaz réel ou parfait${\big )}$ : on place en $\;M\;$ la membrane élastique fermant le tuyau flexible d’un manomètre $\;{\big \$la membrane élastique emprisonne une quantité fixée d’air entre elle et une des deux surfaces d’un liquide dans un tube en $\;U$, la surface du liquide dans l’autre branche étant à une pression fixée en général égale à la pression atmosphérique, la dénivellation permet alors de mesurer la pression du liquide étudié en $\;M$, voir le paragraphe « application au modèle de fluide à masse volumique constante, formule du nivellement barométrique » du chap.$2$ de la leçon « Statique des fluides (PCSI) »${\big \}$, Pression p en un point M quelconque d'un liquide : Remarque : la pression mesurée par le manomètre, s’identifiant à la pression que le liquide exerce sur la membrane, représente la pression de ce dernier en $\;M\;$ à condition que la mesure de la pression par le manomètre soit indépendante de l’orientation de la membrane $\;{\big$ce qui est le cas${\big )}\;$ et que l’immersion partielle du manomètre dans le liquide ne perturbe pas ce dernier $\;{\big$ce qui est le cas dans la mesure où la surface de la membrane reste faible${\big )}$.
Pression p en un point M quelconque d'un solide : nous ne pouvons pas procéder comme dans un gaz $\;{\big$ou comme dans un liquide${\big )}$, « les particules constituant le solide restant au même endroit à l’échelle de temps mésoscopique $\;{\big$ainsi que macroscopique${\big )}\;$», mais Pression p en un point M quelconque d'un solide : nous définissons la « pression exercée sur le solide $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ par l’élément de surface de contact extérieur $\;\left(dS_{\text{ext}}\right)\;$ à savoir $\;p_{({\mathcal {S}})\,\leftarrow \,\left(dS_{\text{ext}}\right)}\;$» à partir de la « composante normale de la force pressante $\;d{\vec {F}}_{({\mathcal {S}})\,\leftarrow \,\left(dS_{\text{ext}}\right)}\;$ que l’élément de surface $\;\left(dS_{\text{ext}}\right)\;$ exerce sur le solide $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$» c'est-à-dire «$\;p_{({\mathcal {S}})\,\leftarrow \,\left(dS_{\text{ext}}\right)}={\dfrac {d{\vec {F}}_{({\mathcal {S}})\,\leftarrow \,\left(dS_{\text{ext}}\right)}\cdot {\vec {n}}}{dS_{\text{ext}}}}\;$», «$\;{\vec {n}}\;$ étant un vecteur unitaire normal à $\;\left(dS_{\text{ext}}\right)\;$ dirigé vers l’intérieur du solide » $\;{\Bigd{\vec {F}}_{({\mathcal {S}})\,\leftarrow \,\left(dS_{\text{ext}}\right)}\;$ étant égale à $\;p_{({\mathcal {S}})\,\leftarrow \,\left(dS_{\text{ext}}\right)}\;dS_{\text{ext}}\;{\vec {n}}{\Big ]}\;$ puis, Pression p en un point M quelconque d'un solide : nous définissons la « pression en un point $\;M\;$ intérieur au solide $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ par continuité » $\;{\big \$en fait si $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ est emprisonné entre deux mâchoires de même forme, chaque mâchoire exerce une force pressante de même direction et de sens opposé, ce qui entraîne, dans la mesure où les surfaces de contact des mâchoires sont identiques, une même pression du solide en ces points de contact avec les mâchoires et par suite une même pression en tout point intermédiaire${\big \}$.

#### Ordre de grandeur des pressions extrêmes

Ordre de grandeur des pressions extrêmement hautes : $\succ \;$au cœur de certaines étoiles «$\;p\simeq 10^{15}\;Pa=10\;Gbar\;$»,
Ordre de grandeur des pressions extrêmement hautes : $\succ \;$dans une enclume à diamant $\;{\big$deux mâchoires en diamant pouvant enserrer un objet${\big )}\;$ «$\;p\simeq 10^{11}\;Pa=1\;Mbar\;$»,
Ordre de grandeur des pressions extrêmement basses : $\succ \;$dans une pompe à vide «$\;p\simeq 10^{-9}\;Pa=10\;fbar\;$».

### 2ème exemple de paramètre d'état d'un système : la température (cinétique) T en chaque point M du système

Nous nous proposons de définir, dans un 1er temps, la température cinétique «$\;T\;$» d'un système fluide de deux façons, Nous nous proposons de définir, l’une à partir de valeur moyenne d’une grandeur énergétique microscopique, Nous nous proposons de définir, l’autre en utilisant les échanges énergétiques avec un G.P., puis Nous nous proposons de généraliser ces deux définitions $\;{\big$équivalentes${\big )}\;$ à un système solide.

#### 1ère définition de la température cinétique d’un système fluide en chacun de ses points M

« La température cinétique en tout point $\;M\;$ d'un système fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ en équilibre thermodynamique dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ lié macroscopiquement au fluide » est la « grandeur scalaire $\;T(M)\;$ $\propto \;$ à l’énergie cinétique microscopique moyenne de translation des molécules $\;{\big$de masse individuelle $\;m_{p}{\big )}\;$ localisées dans un échantillon mésoscopique quelconque $\;\left(d{\mathcal {V}}_{M}\right)\;$ centré en $\;M\;$ c'est-à-dire $\;{\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;{\vec {V}}_{\!G_{Q}}^{\,2}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}\;$» $\;{\Big \G_{Q}\;$ étant le C.D.I. de la molécule quelconque $\;Q\,\in \,\left(d{\mathcal {V}}_{M}\right)\!{\Big \}$, la constante de proportionnalité étant telle que
$\;{\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;{\vec {V}}_{\!G_{Q}}^{\,2}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}={\dfrac {3}{2}}\;k_{B}\;T(M)\;$
$\;k_{B}\;$
$\;k_{B}\simeq 1,3806\;10^{-23}\;J\cdot K^{-1}\;$
La définition de la température cinétique $\;T(M)\;$ en tout point $\;M\;$ d'un fluide en équilibre thermodynamique dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ lié macroscopiquement au fluide peut se réécrire à l'aide de la « vitesse quadratique moyenne des molécules localisées dans l'échantillon mésoscopique $\;\left(d{\mathcal {V}}_{M}\right)\;$ centré en $\;M\;$ définie selon $\;V_{\!M}^{*}={\sqrt {{\Big \langle }{\vec {V}}_{\!G_{Q}}^{\,2}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}}}\;$», la relation de définition se réécrivant
$\;{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\,\left[V_{\!M}^{\,*}\right]^{2}={\dfrac {3}{2}}\;k_{B}\;T(M)\;:\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$
Remarque : la définition $\;{\big$équivalente${\big )}\;$ de la température cinétique en tout point $\;M\;$ d'un gaz en équilibre thermodynamique dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ lié macroscopiquement au gaz donnée dans le paragraphe « définition de la température cinétique d'un gaz en équilibre thermodynamique (2ème énoncé) » du chap.$3$ de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » est généralisable à tout système fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ en équilibre thermodynamique dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ lié macroscopiquement au fluide d'où l'énoncé suivant :
Remarque : « la température cinétique en tout point $\;M\;$ d'un fluide en équilibre thermodynamique dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ lié macroscopiquement au fluide » est la « grandeur scalaire $\;T(M)\;$ $\propto \;$ à l'énergie cinétique microscopique moyenne de translation des molécules $\;{\big$de masse $\;m_{p}{\big )}\;$ dont le C.D.I. passe par $\;M\;$ en un instant $\;t\;$ quelconque de l'intervalle de temps d'observation $\;({\mathcal {I}}_{\tau })\;$ de durée mésoscopique $\;\tau \;$ c'est-à-dire $\;{\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}\;$», la constante de proportionnalité étant telle que
$\;{\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}={\dfrac {3}{2}}\;k_{B}\;T(M)\;$
$\;k_{B}\;$
$\;k_{B}\simeq 1,3806\;10^{-23}\;J\cdot K^{-1}\;$
Remarque : ce qui redonne la relation $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ en utilisant la définition $\;{\big$équivalente${\big )}\;$ de la « vitesse quadratique moyenne des molécules dont le C.D.I. passe par $\;M\;$ en tout instant de l'intervalle de temps $\;\left({\mathcal {I}}_{\tau }\right)\;$ de durée mésoscopique $\;\tau \;$ définie selon $\;V_{\!M}^{*}={\sqrt {{\Big \langle }{\vec {V}}_{M}^{\,2}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}}}\;$».
Propriétés : $\succ \;$ si le fluide est en « équilibre thermique » avec l'extérieur et si la température de l'extérieur $\;{\big$définie en chaque point de la surface de contact avec le fluide${\big )}\;$ est constante, alors « la température cinétique du fluide ne dépend pas du point $\;M\;$ considéré » $\;{\big\!\Rightarrow$ la vitesse quadratique moyenne des molécules du fluide est également indépendante de son point de localisation${\big )}$, la définition de la température cinétique $\;T\;$ du fluide se simplifie alors en «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\,\left[V^{\,*}\right]^{2}={\dfrac {3}{2}}\;k_{B}\;T\;$» où $\;V^{\,*}\;$ est la vitesse quadratique moyenne du fluide en équilibre thermique avec son environnement thermostaté
Propriétés : $\color {transparent}{\succ }\;$ si le fluide est en « équilibre thermique » avec l'extérieur et si la température de l’extérieur n’est pas constante $\;{\big$dépendant du point de la surface de contact avec le fluide${\big )}$, le fluide pourra être localement en équilibre thermique avec son environnement immédiat $\;{\big$la température cinétique locale du fluide en $\;M\;$ étant égale à la température de son environnement surfacique avec l’extérieur au même point $\;M\;$${\big )}\;$ mais la température cinétique du fluide dépendant du point $\;M$, le fluide n’est pas en équilibre thermique interne $\;{\big$les zones où la température cinétique est la plus élevée cédant une partie de leur énergie cinétique microscopique de translation aux zones où la température cinétique est plus faible, ceci caractérisant un déséquilibre thermique interne${\big )}$ $\;{\big \$s'il n'y a pas d'évolution de la température cinétique locale du fluide avec le temps, nous dirons que le fluide est en évolution dynamique stationnaire interne${\big \}$ ;
Propriétés : $\succ \;$ si le fluide est en équilibre thermique interne « indépendamment de son extérieur », alors « la température cinétique du fluide ne dépend pas de $\;M\;$» $\;{\big\!\Rightarrow$ la vitesse quadratique moyenne des molécules du fluide est également indépendante de son point de localisation${\big )}$, la définition de la température cinétique $\;T\;$ du fluide se simplifie alors en «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\,\left[V^{\,*}\right]^{2}={\dfrac {3}{2}}\;k_{B}\;T\;$» où $\;V^{\,*}\;$ est la vitesse quadratique moyenne du fluide en équilibre thermique interne ; toutefois il est possible d'observer une situation où
Propriétés : $\color {transparent}{\succ }\;$ si le fluide est en équilibre thermique interne « indépendamment de son extérieur », le fluide est « localement en équilibre thermique interne $\;{\big$c'est-à-dire sur une étendue macroscopique réduite et pendant une faible durée macroscopique${\big )}\;$ mais ne l'est pas globalement $\;{\big$c'est-à-dire sur l'étendue macroscopique totale du fluide et pendant une durée macroscopique plus grande${\big )}\;$», dans ce cas il est nécessaire de préciser « le point $\;M\;$ ainsi que l'instant $\;t\;$ » de définition de la température cinétique de l'étendue macroscopique réduite de fluide en équilibre thermique interne ainsi que ceux de définition de la vitesse quadratique moyenne de cette même étendue macroscopique réduite de fluide en équilibre thermique interne, ce qui se traduit par «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\,\left[V_{\!M}^{\,*}(t)\right]^{2}={\dfrac {3}{2}}\;k_{B}\;T(M,\,t)\;$».

#### 2ème définition (équivalente) de la température cinétique d’un système fluide en équilibre thermodynamique

« La température cinétique $\;T\;$ d’un système fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ en équilibre thermodynamique » est définie comme « la température cinétique du G.P. en contact avec le fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ par l’intermédiaire d’une paroi fixe, rigide et “ diathermane ” quand l’équilibre thermodynamique entre fluide et G.P. est réalisé ».
Le G.P. joue le rôle de « thermomètre » $\;{\big \$pour que la mesure ait une signification, il faut que l’utilisation du thermomètre à G.P. au contact du fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ ne perturbe pas ce dernier, ce qui est le cas si la quantité de G.P. est très petite par rapport à celle du fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ et si la température initiale du G.P. n’est pas trop éloignée de celle de $\;\left({\mathcal {F}}\right)\!{\big \}$.
Remarque : Cette définition est équivalente à la définition précédente pour un système fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ en équilibre thermodynamique car l’équilibre thermodynamique entre $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ et le G.P. situé de l’autre côté de la paroi fixe, rigide et « diathermane », est réalisé quand les molécules situées de part et d’autre de la paroi ont même énergie cinétique microscopique moyenne de translation.

#### Généralisation : définitions équivalentes de la température cinétique d’un système solide en équilibre thermodynamique

Les deux définitions précédentes de la température cinétique d’un système fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ en équilibre thermodynamique peuvent être généralisées sans restriction à tout système solide $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en équilibre thermodynamique, la 1ère définition étant applicable pour préciser la température cinétique de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en chacun de ses points.
$\;M\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;T(M)\;$
$\propto \;$
$\;{\big$
$\;m_{p}{\big )}\;$
$\;\left(d{\mathcal {V}}_{M}\right)\;$
$\;M\;$
$\;{\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;{\vec {V}}_{\!G_{Q}}^{\,2}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}\;$
$\;{\Big \G_{Q}\;$
$\;Q\,\in \,\left(d{\mathcal {V}}_{M}\right)\!{\Big \}$
$\;{\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;{\vec {V}}_{\!G_{Q}}^{\,2}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}={\dfrac {3}{2}}\;k_{B}\;T(M)\;$
$\;k_{B}\;$
$\;k_{B}\simeq 1,3806\;10^{-23}\;J\cdot K^{-1}\;$
$\;T(M)\;$
$\;M\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;\left(d{\mathcal {V}}_{M}\right)\;$
$\;M\;$
$\;V_{\!M}^{*}={\sqrt {{\Big \langle }{\vec {V}}_{\!G_{Q}}^{\,2}{\Big \rangle }_{Q\,\in \,(d{\mathcal {V}}_{M})}}}\;$
$\;{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\,\left[V_{\!M}^{\,*}\right]^{2}={\dfrac {3}{2}}\;k_{B}\;T(M)\;:\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$
$\;M\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;T(M)\;$
$\propto \;$
$\;{\big$
$\;m_{p}{\big )}\;$
$\;M\;$
$\;t\;$
$\;({\mathcal {I}}_{\tau })\;$
$\;\tau \;$
$\;{\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}\;$
$\;{\Big \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}={\dfrac {3}{2}}\;k_{B}\;T(M)\;$
$\;k_{B}\;$
$\;k_{B}\simeq 1,3806\;10^{-23}\;J\cdot K^{-1}\;$
ce qui redonne la relation $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ en utilisant la définition $\;{\big$équivalente${\big )}\;$ de la « vitesse quadratique moyenne des atomes dont le C.D.I. passe par $\;M\;$ en tout instant de l'intervalle de temps $\;\left({\mathcal {I}}_{\tau }\right)\;$ de durée mésoscopique $\;\tau \;$ définie selon $\;V_{\!M}^{*}={\sqrt {{\Big \langle }{\vec {V}}_{M}^{\,2}(t){\Big \rangle }_{t\,\in \,({\mathcal {I}}_{\tau })}}}\;$».
« La température cinétique $\;T\;$ d’un système solide $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en équilibre thermodynamique » est définie comme « la température cinétique du G.P. en contact avec le solide $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ par l’intermédiaire d’une paroi fixe, rigide et “ diathermane ” quand l’équilibre thermodynamique entre solide et G.P. est réalisé ».
Le G.P. joue encore le rôle de « thermomètre » $\;{\big \$pour que la mesure ait une signification, il faut que le contact entre le solide $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ et le G.P. par l'intermédiaire de la paroi soit le plus large possible sachant qu'il est nécessaire que l’utilisation du thermomètre à G.P. au contact du solide $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ ne perturbe pas ce dernier, ce qui est le cas si la quantité de G.P. est très petite par rapport à celle du solide $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ et si la température initiale du G.P. n’est pas trop éloignée de celle de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\!{\big \}$.

#### Ordre de grandeur des températures extrêmes

Ordre de grandeur des températures extrêmement hautes : $\succ \;$au cœur de la plupart des étoiles par exemple le Soleil «$\;T_{\text{centre (☉)}}\simeq 15\;MK\;$» Ordre de grandeur des températures extrêmement hautes : $\color {transparent}{\succ }\;$au cœur de la plupart des étoiles${\big \$la température à la surface du Soleil étant «$\;T_{\text{surface (☉)}}\simeq 6\;kK\;$»${\big \}$,
Ordre de grandeur des températures extrêmement basses : $\succ \;$minimum atteinte en laboratoire «$\;T_{\text{min labo}}\simeq 1\;mK\;$».

## Distinction « système fermé » - « système ouvert », méthode d'étude d'un système ouvert

$\;{\big$
${\big )}\;$

### Distinction « système fermé » - « système ouvert »

Un système thermodynamique est dit « fermé » si, à l'échelle mésoscopique, il n'y a aucun échange de matière avec l'extérieur $\;{\big \$dans un échantillon mésoscopique les molécules sont indiscernables, il peut donc y avoir échange de quelques molécules avec l'extérieur sans que cela entraîne une modification de la quantité de molécules contenue dans l'échantillon${\big \}$, à distinguer d'un système mécanique de points matériels « fermé » pour lequel il n'y a strictement aucun échange de points matériels avec l'extérieur$\;{\big \$toutefois le cas le plus fréquent d'un système thermodynamique « fermé » est l'absence totale d'échange de molécules avec l'extérieur${\big \}$.
Un système thermodynamique est dit « ouvert » si, à l'échelle mésoscopique, il y a échange de matière avec l'extérieur $\;{\big \$un échantillon mésoscopique échange de la matière avec l'extérieur s'il y a modification de la quantité de molécules contenue dans l'échantillon${\big \}$ $\;{\big$pour rappel un système mécanique de points matériels est dit « ouvert » s'il y a échange d'au moins un point matériel avec l'extérieur${\big ]}$ ; Un système thermodynamique est dit « ouvert » « un système thermodynamique $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ ouvert » est défini comme le « contenu d’une surface $\;\left(\Sigma \right)\;$ fermée dite “surface de contrôle” » $\;{\big$usuellement fixe dans le référentiel d’étude${\big )}$ $\;{\big \$définition analogue à celle d'un système mécanique ouvert${\big \}$.

### Présentation des deux types de système ouvert

Il y a principalement deux types de système thermdynamique ouvert :
* un système thermodynamique $\;\left({\mathcal {S}}_{t}\right)\;$ localisé à l'intérieur d'une surface fermée $\;\left(\Sigma \right)\;$ dans laquelle il y a un trou permettant l’échange de matière de système thermodynamique avec l’extérieur, système thermodynamique baptisé « pseudo fermé » $\;{\big \$la surface fermée $\;\left(\Sigma \right)\;$ étant la surface de contrôle du système thermodynamique « pseudo fermé » $\;\left({\mathcal {S}}_{t}\right){\big \}$,
* un système thermodynamique $\;\left({\mathcal {S}}_{t}\right)\;$ en écoulement dans un tuyau $\;{\big \$l'ensemble « parois du tuyau, section droite d'entrée et section droite de sortie » $\;{\big$ces deux sections droites permettant l'échange de matière du système thermodynamique avec l'extérieur${\big )}\;$ constituant la surface de contrôle dans laquelle le système thermodynamique $\;\left({\mathcal {S}}_{t}\right)\;$ en écoulement est localisé à l'instant $\;t{\big \}$.

### Méthode d'étude d'un système ouvert

Préliminaire : La méthode d'étude d'un système ouvert exposée ci-après est applicable à un système thermodynamique ou mécanique $\;\ldots$
Exposé de la méthode d'étude : usuellement pour étudier un système ouvert $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ « pseudo fermé » ou en écoulement dans un tuyau, « nous nous ramenons à un système fermé $\;\left({\mathcal {S}}^{\,*}\right)\;$ que l'on suit entre les instants $\;t\;$ et $\;t+dt\;$» ;
Exposé de la méthode d'étude : $\succ \;$dans le cas d'un système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ « pseudo fermé » pour lequel il y a fuite de matière à l'extérieur, le système fermé $\;\left({\mathcal {S}}^{\,*}\right)\;$ coïncide, à l'instant $\;t$, avec le système « pseudo fermé » $\;{\Big \\left({\mathcal {S}}^{\,*}\right)_{t}=\left({\mathcal {S}}\right)_{t}{\Big \}}\;$ et, à l'instant $\;t+dt\;$, avec le système « pseudo fermé » augmenté de la partie sortie de $\;\left(\Sigma \right)$ $\;{\Big \\left({\mathcal {S}}^{\,*}\right)_{t+dt}=\left({\mathcal {S}}\right)_{t+dt}\cup \left(\delta {\mathcal {S}}\right)_{{\text{pendant }}dt}^{{\text{sortie de }}(\Sigma )}{\Big \}}\;$ ou
Exposé de la méthode d'étude : $\color {transparent}{\succ }\;$dans le cas d'un système $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}\;$ « pseudo fermé » pour lequel il y a entrée de matière de l'extérieur, le système fermé $\;\left({\mathcal {S}}^{\,*}\right)\;$ coïncide, à l'instant $\;t+dt\;$, avec le système « pseudo fermé » $\;{\Big \\left({\mathcal {S}}^{\,*}\right)_{t+dt}=\left({\mathcal {S}}\right)_{t+dt}{\Big \}}\;$ et, à l'instant $\;t$, avec le système « pseudo fermé » augmenté de la partie extérieure entrant dans $\;\left(\Sigma \right)\;$ pendant la durée $\;dt\;$ $\;{\Big \\left({\mathcal {S}}^{\,*}\right)_{t}=$ $\left({\mathcal {S}}\right)_{t}\cup \left(\delta {\mathcal {S}}\right)_{{\text{pendant }}dt}^{{\text{entrant ds }}(\Sigma )}{\Big \}$ ;
Exposé de la méthode d'étude : $\succ \;$dans le cas d'un système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en écoulement dans un tuyau, le système fermé $\;\left({\mathcal {S}}^{\,*}\right)\;$ coïncide, à l'instant $\;t$, avec l’ensemble du « système ouvert $\;\left({\mathcal {S}}_{t}\right)\;$ augmenté de la partie qui va entrer dans $\;\left(\Sigma \right)\;$ pendant la durée $\;dt\;$ » $\;{\Big \\left({\mathcal {S}}^{\,*}\right)_{t}=\left({\mathcal {S}}\right)_{t}\cup \left(\delta {\mathcal {S}}\right)_{{\text{pendant }}dt}^{{\text{entrant ds }}(\Sigma )}{\Big \}}\;$ et, à l'instant $\;t+dt\;$, avec l'ensemble du « système ouvert $\;\left({\mathcal {S}}_{t+dt}\right)\;$ augmenté de la partie qui est sortie de $\;\left(\Sigma \right)\;$ pendant la durée $\;dt\;$ » $\;{\Big \\left({\mathcal {S}}^{\,*}\right)_{t+dt}=\left({\mathcal {S}}\right)_{t+dt}\cup \left(\delta {\mathcal {S}}\right)_{{\text{pendant }}dt}^{{\text{sortie de }}(\Sigma )}{\Big \}}$.
Remarque : Dans la situation où l'échange de matière avec l'extérieur du système thermodynamique $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ ouvert est suffisamment « brutal » pour que la quantité de matière échangée avec l'extérieur sur l'intervalle $\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$ soit très mal définie, la seule solution consiste à suivre un système fermé $\;\left({\mathcal {S}}^{\,*}\right)\;$ pour lequel les instants $\;t\;$ et $\;t+dt\;$ sont remplacés par les instants $\;t_{i}\;$ de début d'expérience et $\;t_{f}\;$ de fin d'expérience $\;{\Big \$le contenu de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en ces instants étant alors parfaitement défini il en est de même de $\;\left({\mathcal {S}}^{\,*}\right)\!{\Big \}$.

### En complément, démonstration de l’expression de la puissance instantanée électrique reçue par une portion de circuit en fonction de la tension entre ses bornes et de l’intensité du courant la traversant (en convention récepteur)

Préliminaire : Nous avons admis cette expression au paragraphe « expression, en convention récepteur, de la puissance instantanée électrique reçue par une portion de circuit en fonction de la tension entre ses bornes et de l'intensité du courant la traversant » du chap.$21$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », nous nous proposons de la démontrer en considérant le système ouvert des porteurs de charge présents à l'instant $\;t\;$ dans la portion de circuit considérée et en évaluant la puissance instantanée des forces électriques s'exerçant sur eux $\;{\big \$ou plus exactement le travail élémentaire de ces forces électriques sur l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+dt\right]$, la puissance s'obtenant en divisant le travail élémentaire par $\;dt{\big \}$.
Exposé de la démonstration : « le travail électrique élémentaire $\;\delta W_{e,\,r}\;$ reçu par un dipôle passif $\;{\big$ou actif${\big )}\;$ sur l’intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$» est « le travail élémentaire des forces électriques exercées sur tous les porteurs de charge mobiles présents entre $\;t\;$ et $\;t+dt\;$ dans le dipôle $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$», soit mathématiquement, $\;q_{p}\;$ étant la charge d'un porteur de charge mobile,
$\;\delta W_{e,\,r,\,{\text{par }}({\mathcal {C}})}^{{\text{sur }}\left[t\,,\,t+dt\right]}=\sum \limits _{{\text{présents dans }}({\mathcal {C}})\,{\text{à }}t}^{\text{tous les porteurs}}{\mathcal {P}}\!\left[q_{p}\;{\vec {E}}(M_{t})\right]\,dt\;$
Exposé de la démonstration : avec «$\;{\mathcal {P}}\!\left[q_{p}\;{\vec {E}}(M_{t})\right]=q_{p}\;{\vec {E}}(M_{t})\cdot {\vec {v}}_{e,\,M}(t)\;$ la puissance instantanée de la force électrique s'exerçant sur $\;M_{t}\;$ c'est-à-dire la position du porteur à l'instant $\;t\;$», «$\;{\vec {E}}(M)=-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[V(M)\right]\;$ étant le champ électrique au point $\;M\;$ ${\big \$ainsi que $\;V(M)\;$ le potentiel électrique du même point $\;M\;$» et «$\;{\vec {v}}_{e,\,M}(t)\;$ le vecteur vitesse d'entraînement du porteur de charge mobile passant par $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ ${\big \$c'est-à-dire sans tenir compte de son agitation thermique${\big \}$» ;
Exposé de la démonstration : nous raisonnons sur un dipôle passif $\;\left({\mathcal {C}}\right)$, en nous plaçant en convention récepteur, le courant d’intensité «$\;i(t)\;$» à l'instant $\;t\;$ entrant par la borne $\;A\;$ et sortant par la borne $\;B$, la tension entre les bornes $\;A\;$ et $\;B$, au même instant $\;t\;$ étant, en convention récepteur, «$\;u(t)=V_{A}(t)-V_{B}(t)\;$» ;
Exposé de la démonstration : les porteurs de charge mobiles $\;{\big$supposés de charge $\;q_{p}>0{\big )}\;$ présents dans le dipôle $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ à l'instant $\;t\;$ n'étant pas les mêmes que ceux présents à l'instant $\;t+dt\;$, l'ensemble des porteurs de charge mobiles du dipôle constitue un système ouvert $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ du type écoulement $\;{\big \$la surface de contrôle $\;\left(\Sigma \right)\;$ est la surface latérale du dipôle $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ accrue des bornes d'entrée $\;A\;$ et de sortie $\;B{\big \}$ ;
Exposé de la démonstration : pour étudier le système ouvert $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ sur l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$, nous considérons le système fermé $\;\left({\mathcal {S}}^{\,*}\right)\;$ que nous suivons entre $\;t\;$ et $\;t+dt\;$,
* «$\;\left({\mathcal {S}}^{\,*}\right)_{t}\;$ étant constitué de l'ensemble des porteurs de charge mobiles présents dans le dipôle $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ à l'instant $\;t$, à savoir $\;\left({\mathcal {S}}\right)_{t}$, auquel sont ajoutés les porteurs de charge mobiles qui vont entrer par $\;A\;$ entre $\;t\;$ et $\;t+dt\;$, à savoir $\;\left(\delta {\mathcal {S}}\right)_{\;{\text{pendant }}dt}^{\,{\text{entrant par }}A}\;$» $\;{\big$voir schéma supérieur de la figure ci-dessus${\big )}\;$ et
* «$\;\left({\mathcal {S}}^{\,*}\right)_{t+dt}\;$ se retrouvant constitué de l'ensemble des porteurs de charge mobiles présents dans le dipôle $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ à l'instant $\;t+dt\;$, à savoir $\;\left({\mathcal {S}}\right)_{t+dt}\;$, auquel sont ajoutés les porteurs de charge mobiles qui sont sortis par $\;B\;$ entre $\;t\;$ et $\;t+dt\;$, à savoir $\;\left(\delta {\mathcal {S}}\right)_{{\text{pendant }}dt}^{\,{\text{sorti par }}B}\;$» $\;{\big$voir schéma inférieur de la figure ci-dessus${\big )}$ ;
Exposé de la démonstration : les porteurs de charge mobiles étant indiscernables et travaillant dans le cadre de l'A.R.Q.S., tout se passe comme si « les porteurs de charge mobiles du dipôle étaient restés immobiles » et que « les porteurs de charge mobiles présents en amont de ${\underline {A}}$ à l'instant ${\underline {t}}\;$ ${\big$entrant par $\;A\;$ entre $\;t\;$ et $\;t+dt\;$${\big )}\;$ se retrouvaient en aval de ${\underline {B}}$ à l'instant ${\underline {t+dt}}\;$ », d'où la réécriture du « travail électrique élémentaire $\;\delta W_{e,\,r}\;$ reçu par le dipôle passif $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ sur l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$»
$\;\delta W_{e,\,r,\,{\text{par }}({\mathcal {C}})}^{\,{\text{sur }}\left[t\,,\,t+dt\right]}\simeq \left({\overline {\delta N}}\right)_{{\text{pendant }}dt}^{{\text{entrant par }}A}\displaystyle \int \limits _{A\,{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}\,B}q_{p}\;{\vec {E}}(M_{t})\cdot {\vec {v}}_{e,\,M}(t)\;dt\;$
$\;\color {transparent}{\delta W_{e,\,r,\,{\text{par }}({\mathcal {C}})}^{\,{\text{sur }}\left[t\,,\,t+dt\right]}}\;$
$\;\;\simeq \left({\overline {\delta N}}\right)_{{\text{pendant }}dt}^{{\text{sorti par }}B}\displaystyle \int \limits _{A\,{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}\,B}q_{p}\;{\vec {E}}(M_{t})\cdot {\vec {v}}_{e,\,M}(t)\;dt\;$
Exposé de la démonstration : «$\;\displaystyle \int \limits _{A\,{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}\,B}q_{p}\;{\vec {E}}(M_{t})\cdot {\vec {v}}_{e,\,M}(t)\;dt\;$ se réécrivant $\;q_{p}\displaystyle \int \limits _{A\,{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}\,B}{\vec {E}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$» avec «$\;{\vec {E}}(M)=-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[V(M)\right]\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\vec {E}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=-dV(M)\;$» d'où l'évaluation de l'intégrale curviligne «$\;\displaystyle \int \limits _{A\,{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}\,B}{\vec {E}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$» selon «$\;\displaystyle \int \limits _{A\,{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}\,B}-dV(M)=V_{A}(t)-V_{B}(t)=u(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;\displaystyle \int \limits _{A\,{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}\,B}q_{p}\;{\vec {E}}(M_{t})\cdot {\vec {v}}_{e,\,M}(t)\;dt=q_{p}\;u(t)\;$» ;
Exposé de la démonstration : nous en déduisons «$\;\delta W_{e,\,r,\,{\text{par }}({\mathcal {C}})}^{\,{\text{sur }}\left[t\,,\,t+dt\right]}\simeq {\overline {\delta N}}\;q_{p}\;u(t)\;$»$^,$ ou, «$\;{\overline {\delta N}}\;q_{p}=dq\;$ étant la charge des porteurs de charge mobiles entrant par $\;A\;$ dans le dipôle $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ pendant $\;dt\;$ c'est-à-dire la charge de $\;\left(\delta {\mathcal {S}}\right)_{\;{\text{pendant }}dt}^{\,{\text{entrant par }}A}\;$» mais aussi « la charge des porteurs de charge mobiles sortis par $\;B\;$ du dipôle $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ pendant $\;dt\;$ c'est-à-dire la charge de $\;\left(\delta {\mathcal {S}}\right)_{{\text{pendant }}dt}^{\,{\text{sorti par }}B}\;$» soit encore
$\;\delta W_{e,\,r,\,{\text{par }}({\mathcal {C}})}^{\,{\text{sur }}\left[t\,,\,t+dt\right]}=dq\;u(t)\;$
Exposé de la démonstration : de l'expression du travail électrique élémentaire $\;\delta W_{e,\,r,\,{\text{par }}({\mathcal {C}})}^{\,{\text{sur }}\left[t\,,\,t+dt\right]}\;$ reçu par le dipôle passif $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ sur l’intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$ nous en déduisons celle de la puissance instantanée électrique $\;{\mathcal {P}}_{e,\,r,\,{\text{par }}({\mathcal {C}})}(t)\;$ reçue par le dipôle passif $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ à l'instant $\;t\;$ «$\;{\mathcal {P}}_{e,\,r,\,{\text{par }}({\mathcal {C}})}(t)={\dfrac {\delta W_{e,\,r,\,{\text{par }}({\mathcal {C}})}^{\,{\text{sur }}\left[t\,,\,t+dt\right]}}{dt}}={\dfrac {dq\;u(t)}{dt}}\;$» soit encore, la charge $\;dq\;$ circulant dans le sens $\;+\;$ pendant $\;dt\;$, « l'intensité $\;{\big$algébrique${\big )}\;$ du courant circulant à l'instant $\;t\;$ s'écrit $\;i(t)={\dfrac {dq}{dt}}\;$» et par suite «$\;{\mathcal {P}}_{e,\,r,\,{\text{par }}({\mathcal {C}})}(t)\;$» se réécrit
$\;{\mathcal {P}}_{e,\,r,\,{\text{par }}({\mathcal {C}})}(t)=i(t)\;u(t)\;$

## Notion d'extensivité et d'intensivité de grandeurs d'un système thermodynamique à l'équilibre
### Grandeurs intensives

Une grandeur intensive est une grandeur définie localement $\;{\big$donc définie en tout point $\;M\;$ et indépendante de la taille du système${\big )}\;$ de valeur uniforme pour un système « en équilibre thermodynamique hors champ extérieur » ; exemples :
* la température cinétique $\;T\;$ ${\big$effectivement uniforme pour un système en équilibre thermodynamique en absence de champ de température extérieure${\big )}$,
* la pression $\;p\;$ ${\big$effectivement uniforme pour un système en équilibre thermodynamique en absence de champ de force extérieure comme un champ de pesanteur ou de gravitation${\big )}$,
* $\;\ldots$

### Grandeurs extensives

$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {S}}_{1}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {S}}_{2}\right)\;$
$\;g\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;g\;$
$\;\left({\mathcal {S}}_{1}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {S}}_{2}\right)\;$
$\;g\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c}\left({\mathcal {S}}_{1}\right)\cup \left({\mathcal {S}}_{2}\right)\!\!\!&=&\!\!\!\left({\mathcal {S}}\right)\\\left({\mathcal {S}}_{1}\right)\cap \left({\mathcal {S}}_{2}\right)\!\!\!&=&\!\!\!\emptyset \end{array}}\right\rbrace \Rightarrow g_{\left({\mathcal {S}}\right)}=g_{\left({\mathcal {S}}_{1}\right)}+g_{\left({\mathcal {S}}_{2}\right)}\;$
* la quantité de matière «$\;n\;$»,
* la masse «$\;m\;$»,
* le volume «$\;{\mathcal {V}}\;$» $\;{\big$nécessitant que les entités du système n'interagissent pas chimiquement, ce qui est réalisé si ces entités sont d'un seul type${\big )}$,
* $\;\ldots$

### Construction de grandeurs intensives à partir de grandeurs extensives

Propriété des grandeurs extensives : toutes les grandeurs extensives $\;g\;$ d'un système sont $\;\propto \;$ à la quantité de matière $\;n\;$ du système.
Conséquence de la propriété précédente : le rapport de deux grandeurs extensives $\;g\;$ et $\;g'\;$ d'un même système est une grandeur intensive de ce système ;
Conséquence de la propriété précédente : justification : «$\;g\;$ grandeur extensive du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ de quantité de matière $\;n\;$» $\Rightarrow \;$ «$\;g\propto n\;$»,
Conséquence de la propriété précédente : justification : «$\;g'\;$ grandeur extensive du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ de quantité de matière $\;n\;$» $\Rightarrow \;$ «$\;g'\propto n\;$»,
Conséquence de la propriété précédente : justification : « le rapport $\;{\dfrac {g'}{g}}\;$ ou $\;{\dfrac {g}{g'}}\;$ étant indépendant de $\;n\;$ ${\big$et défini localement${\big )}\;$» est une « grandeur intensive du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$».
Exemples de grandeurs intensives définies à partir de deux grandeurs extensives $\;{\big$liste non exhaustive${\big )}$ :
Exemples $\succ \;$les grandeurs molaires du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ de corps $\;{\mathcal {C}}$ : la « masse molaire $\;M_{\mathcal {C}}={\dfrac {dm_{({\mathcal {S}})}}{dn_{({\mathcal {S}})}}}\;$ en $\;kg\cdot mol^{-1}\;$»,
Exemples $\color {transparent}{\succ }\;$les grandeurs molaires du système $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}\;$ de corps $\;\color {transparent}{\mathcal {C}}$ : le « volume molaire $\;{\mathcal {V}}_{{\text{mol}},\,{\mathcal {C}}}={\dfrac {d{\mathcal {V}}_{({\mathcal {S}})}}{dn_{({\mathcal {S}})}}}\;$ en $\;m^{3}\cdot mol^{-1}\;$»,
Exemples $\succ \;$les grandeurs massiques du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ de corps $\;{\mathcal {C}}$ : la « concentration massique $\;{\dfrac {dn_{({\mathcal {S}})}}{dm_{({\mathcal {S}})}}}\;$ en $\;mol\cdot kg^{-1}\;$» s'identifiant à «$\;{\dfrac {1}{M_{\mathcal {C}}}}\;$»,
Exemples $\color {transparent}{\succ }\;$les grandeurs massiques du système $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}\;$ de corps $\;\color {transparent}{\mathcal {C}}$ : le « volume massique $\;v_{\mathcal {C}}={\dfrac {d{\mathcal {V}}_{({\mathcal {S}})}}{dm_{({\mathcal {S}})}}}\;$ en $\;m^{3}\cdot kg^{-1}\;$»$^,$,
Exemples $\succ \;$les grandeurs volumiques du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ de corps $\;{\mathcal {C}}\;$ : la « concentration volumique molaire $\;n_{{\text{vol}},\,{\mathcal {C}}}={\dfrac {dn_{({\mathcal {S}})}}{d{\mathcal {V}}_{({\mathcal {S}})}}}\;$ en $\;mol\cdot m^{-3}\;$» s'identifiant à «$\;{\dfrac {1}{{\mathcal {V}}_{{\text{mol}},\,{\mathcal {C}}}}}\;$»,
Exemples $\color {transparent}{\succ }\;$les grandeurs volumiques du système $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}\;$ de corps $\;\color {transparent}{\mathcal {C}}\;$ : la « masse volumique $\;\mu _{\mathcal {C}}={\dfrac {dm_{({\mathcal {S}})}}{d{\mathcal {V}}_{({\mathcal {S}})}}}\;$ en $\;kg\cdot m^{-3}\;$» s'identifiant à «$\;{\dfrac {1}{v_{\mathcal {C}}}}\;$».

## Notion de phase d'un système thermodynamique à l'équilibre
### Définition d'une phase

Une « phase » est un « système thermodynamique en équilibre tel que tous ses paramètres intensifs y sont constants » ; une « phase » est donc nécessairement
* « isobare » $\;{\big \$pression $\;p\;$ constante en tout point $\;M\;$ de la « phase »${\big \}$,
* « isotherme » $\;{\big \$température cinétique $\;T\;$ constante en tout point $\;M\;$ de la « phase »${\big \}$ et
* « homogène » $\;{\big \$concentration volumique molaire $\;n_{\text{vol}}\;$ constante en tout point $\;M\;$ de la « phase » ou « homogène » $\;\color {transparent}{\big \$masse volumique $\;\mu \;$ constante en tout point $\;M\;$ de la « phase »${\big \}$.

### Exemples de systèmes thermodynamiques monophasé ou polyphasé

Système thermodynamique monophasé : système thermodynamique constitué d'« une seule phase » comme « tout gaz » $\;{\big$dont les G.P.${\big )}\;$ ou Système thermodynamique monophasé : système thermodynamique constitué d'« une seule phase » comme « tout liquide ou solide pur » $\;{\big \$l'un ou l'autre définissant une phase condensée${\big \}$.
Système thermodynamique polyphasé : système thermodynamique ayant « au moins un paramètre intensif variant d'un point à un autre », comme l'« atmosphère terrestre » $\;{\big$la pression $\;p\;$ variant avec l'altitude${\big )}$ $\;{\Big \$dans le modèle d'atmosphère isotherme $\;{\big$ou à gradient de température uniforme${\big )}$, une « couche de faible épaisseur $\;dz\;$ constitue une phase élémentaire car la pression $\;p\;$ ${\big$ainsi que la température $\;T\;$ et la masse volumique $\;\mu {\big )}\;$ y est constante », « l’atmosphère isotherme $\;{\big$ou à gradient de température uniforme${\big )}\;$ est donc une juxtaposition infinie de phases élémentaires »${\Big \}$ ou Système thermodynamique polyphasé : système thermodynamique ayant « au moins un paramètre intensif variant d'un point à un autre » comme un « même corps pur constitué de liquide et vapeur $\;{\big$ou de liquide et solide ou encore de solide et vapeur${\big )}\;$ en équilibre “ physique ” à une même température », un tel système est dit « diphasé » $\;{\Big \$la pression $\;p\;$ et la température $\;T\;$ y sont constantes mais la masse volumique constante dans la phase liquide $\;\rho _{\text{liq}}\;$ diffère de celle constante dans la phase vapeur $\;\rho _{\text{vap}}\;$ ${\big$de même avec un équilibre physique “ liquide - solide ” ou “ solide - vapeur ”${\big )}$, il s'agit donc bien de deux phases distinctes « l'une liquide » et « l'autre vapeur » $\;{\big$ou « l'une liquide » et « l'autre solide » ou encore « l'une solide » et « l'autre vapeur »${\big )}\;$ d'un même corps pur, ce dernier constituant un système « diphasé »${\Big \}$.

## Notion de variance d'un système thermodynamique à l'équilibre
### Définition de la variance d'un système thermodynamique à l'équilibre

$\;v\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
Remarque : Si « le système thermodynamique $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en équilibre est un corps pur », la « variance $\;v\;$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ se détermine par le cas particulier de règle des phases $\;{\big$ou règle de Gibbs${\big )}\;$ appliquée à un corps pur » $\;{\big$admise${\big )}\;$ soit «$\;v=c+n_{\,{\text{fact. d'éq}}}-\varphi \;$» dans laquelle Remarque : «$\;c\;$ est le nombre de corps purs présents dans le système $\;{\Big \$donc $\;c=1{\Big \}$», Remarque : «$\;n_{\,{\text{fact. d'éq}}}\;$ le nombre de paramètres d'état facteurs d'équilibre du système $\;{\Big \$usuellement $\;n_{\,{\text{fact. d'éq}}}=2\;$ correspondant aux équilibres mécanique $\;{\big$nécessitant de préciser la pression $\;p{\big )}\;$ et thermique $\;{\big$nécessitant de préciser la température $\;T{\big )}\;$ mais, dans certains cas particuliers, $\;n_{\,{\text{fact. d'éq}}}\;$ est réduit${\Big \}$» et Remarque : «$\;\varphi \;$ le nombre de phases en équilibre dans le système $\;{\Big \\varphi =1\;$ pour un système monophasé, $\;\varphi =2\;$ pour un système diphasé $\;\ldots {\Big \}$».

### Exemples de variance de systèmes thermodynamiques monophasé ou polyphasé en équilibre

Corps pur monophasé en équilibre thermodynamique $\;{\big$mécanique et thermique${\big )}$ : exemple de G.P. ou de G.R., la « variance vaut $\;v=1+2-1=2\;$» $\;{\big \c=1$, $\;n_{\text{fact. d'éq}}=2\;$ et $\;\varphi =1{\big \}$, ce système monophasé étant « divariant » $\;{\bigg$l'équilibre dépend de deux paramètres intensifs indépendants par exemple « la pression $\;p\;$ et la température $\;T\;$», les autres paramètres intensifs étant alors fonction de ces deux paramètres intensifs indépendants $\;\left(p\,,\,T\right)\;$ par exemple la « concentration volumique molaire $\;n_{\text{vol}}=n_{\text{vol}}\!\left(p\,,\,T\right)\;$», le « volume molaire $\;{\mathcal {V}}_{\text{mol}}={\mathcal {V}}_{\text{mol}}\!\left(p\,,\,T\right)={\dfrac {1}{n_{\text{vol}}}}\;$», la « masse volumique $\;\rho =$ $\rho \!\left(p\,,\,T\right)\;$» ou le « volume massique $\;v_{\text{mass}}=v_{\text{mass}}\!\left(p\,,\,T\right)={\dfrac {1}{\rho }}\;$»${\bigg ]}$.
Corps pur diphasé en équilibre thermodynamique $\;{\big$mécanique, thermique et physique${\big )}$ : exemple de corps pur en équilibre « liquide - vapeur » ou « liquide - solide » ou « solide - vapeur », la « variance vaut $\;v=1+2-2=1\;$» $\;{\big \c=1$, $\;n_{\text{fact. d'éq}}=2\;$ et $\;\varphi =2{\big \}$, ce système diphasé étant « monovariant » $\;{\bigg \$l'équilibre dépend d'un seul paramètre intensif indépendant par exemple « la pression $\;p\;$», les autres paramètres intensifs étant alors fonction de ce paramètre intensif indépendant $\;p\;$ $\;{\big$et éventuellement de la phase considérée${\big )}\;$ par exemple la « température $\;T=T_{\text{transition de phase}}\!\left(p\right)\;$ $\;{\big$seul paramètre intensif autre que $\;p\;$ ${\big$introduit dans le cours de physique de P.C.S.I.${\big )}\;$ commun aux deux phases${\big ]}\;$», les autres paramètres intensifs différant suivant la phase considérée par exemple la « concentration volumique molaire de la phase $\;\phi _{i,\,i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}$, $\;n_{{\text{vol}},\,\phi _{i}}=n_{{\text{vol}},\,\phi _{i}}\!\left[p\,,\,T_{{\text{transition de phase}}\,\phi _{1}\,\leftrightarrow \,\phi _{2}}\!\left(p\right)\right]\;$», le « volume molaire de la phase $\;\phi _{i}$, $\;{\mathcal {V}}_{{\text{mol}},\,\phi _{i}}={\mathcal {V}}_{{\text{mol}},\,\phi _{i}}\!\left[p\,,\,T_{{\text{transition de phase}}\,\phi _{1}\,\leftrightarrow \,\phi _{2}}\!\left(p\right)\right]$ $={\dfrac {1}{n_{{\text{vol}},\,\phi _{i}}}}\;$», la « masse volumique $\;\rho _{\phi _{i}}=$ $\rho _{\phi _{i}}\!\left[p\,,\,T_{{\text{transition de phase}}\,\phi _{1}\,\leftrightarrow \,\phi _{2}}\!\left(p\right)\right]\;$» ou le « volume massique $\;v_{{\text{mass}},\,\phi _{i}}=v_{{\text{mass}},\,\phi _{i}}\!\left[p\,,\,T_{{\text{transition de phase}}\,\phi _{1}\,\leftrightarrow \,\phi _{2}}\!\left(p\right)\right]={\dfrac {1}{\rho _{\phi _{i}}}}\;$»${\bigg \}$.
Corps pur triphasé en équilibre thermodynamique $\;{\big$mécanique, thermique et physique${\big )}$ : exemple de corps pur en équilibre « solide - liquide - vapeur », la « variance vaut $\;v=1+2-3=0\;$» $\;{\big \c=1$, $\;n_{\text{fact. d'éq}}=2\;$ et $\;\varphi =3{\big \}$, ce système triphasé étant « zérovariant » $\;{\bigg \$il n'y a, pour cet équilibre, « aucun paramètre intensif indépendant », « la pression et la température ne peuvent prendre qu'une seule valeur, celles du point triple du corps pur $\;{\mathcal {C}}\;$ $\;\left[{\begin{array}{c}p=p_{\,{\mathcal {T}}_{\mathcal {C}}}\\T=T_{\,{\mathcal {T}}_{\mathcal {C}}}\end{array}}\right]\;$» ${\Big$par exemple, pour l'eau, $\;p_{\,{\mathcal {T}}_{H_{2}O}}\simeq 620\;Pa=6,2\;mbar\;$ et $\;T_{\,{\mathcal {T}}_{H_{2}O}}\simeq 273,16\;K\;$ soit $\;\theta _{\,{\mathcal {T}}_{H_{2}O}}\simeq 0,01\;{\text{°C}}{\Big )}\;$ ${\big$pression et température sont les seuls paramètres intensifs ${\big$introduits dans le cours de physique de P.C.S.I.${\big )}\;$ commun aux trois phases${\big ]}$, les autres paramètres intensifs différant suivant la phase considérée par exemple la « concentration volumique molaire de la phase $\;\phi _{i,\,i\,\in \,\left[\left[1\,,\,3\right]\right]}$, $\;n_{{\text{vol}},\,\phi _{i}}=n_{{\text{vol}},\,\phi _{i}}\!\left[p_{\,{\mathcal {T}}_{\mathcal {C}}}\,,\,T_{\,{\mathcal {T}}_{\mathcal {C}}}\right]\;$», le « volume molaire de la phase $\;\phi _{i}$, $\;{\mathcal {V}}_{{\text{mol}},\,\phi _{i}}={\mathcal {V}}_{{\text{mol}},\,\phi _{i}}\!\left[p_{\,{\mathcal {T}}_{\mathcal {C}}}\,,\,T_{\,{\mathcal {T}}_{\mathcal {C}}}\right]$ $={\dfrac {1}{n_{{\text{vol}},\,\phi _{i}}}}\;$», la « masse volumique $\;\rho _{\phi _{i}}=$ $\rho _{\phi _{i}}\!\left[p_{\,{\mathcal {T}}_{\mathcal {C}}}\,,\,T_{\,{\mathcal {T}}_{\mathcal {C}}}\right]\;$» ou le « volume massique $\;v_{{\text{mass}},\,\phi _{i}}=v_{{\text{mass}},\,\phi _{i}}\!\left[p_{\,{\mathcal {T}}_{\mathcal {C}}}\,,\,T_{\,{\mathcal {T}}_{\mathcal {C}}}\right]={\dfrac {1}{\rho _{\phi _{i}}}}\;$»${\bigg \}$.

## Échange d'énergie avec l'extérieur d'un système thermodynamique fermé, travail macroscopique des forces extérieures s'exerçant sur le système et chaleur échangée par le système avec l'extérieur
### Quelles énergies utiliser pour un système thermodynamique étudié dans un référentiel donné ?
#### Énergies à utiliser pour un système thermodynamique fermé dans le référentiel d'étude

Rappel, énergies d'un système mécanique fermé dans le référentiel d'étude : à tout système mécanique fermé $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ dans des champs de forces extérieures et intérieures conservatives$^,$, il est possible d'associer, à tout instant $\;t$, une énergie mécanique $\;E_{m,\,({\mathcal {S}})}(t)\;$ dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives$^,$ définie selon
$\;E_{m,\,({\mathcal {S}})}(t)=K_{({\mathcal {S}})}(t)+\sum \limits _{k}^{\text{cons.}}E_{p,\,{\text{ext}}_{k}}\!\left[({\mathcal {S}}),\,t\right]+\sum \limits _{\mathit {l}}^{\text{cons.}}E_{p,\,{\text{int}}_{\mathit {l}}}\!\left[({\mathcal {S}}),\,t\right]\;$
$\;t$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;t$
$\;_{k}\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;_{\mathit {l}}\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
Rappel, énergies d'un système mécanique Remarque : $\succ \;$l'énergie cinétique «$\;K_{({\mathcal {S}})}(t)\;$» du système mécanique $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ étant la somme des énergies cinétiques de tous les échantillons mésoscopiques constituant $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ au même instant $\;t\;$ hors agitation thermique ainsi que Rappel, énergies d'un système mécanique Remarque : $\succ \;$l'énergie potentielle «$\;E_{p,\,{\text{ext}}_{k}}\!\left[({\mathcal {S}}),\,t\right]\;$» du système mécanique $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le champ de forces extérieures de type $\;_{k}\;$, la somme des énergies potentielles de tous les échantillons mésoscopiques constituant $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ dans le même champ de forces extérieures de type $\;_{k}\;$ ${\big$définition s'appliquant telle quelle en thermodynamique${\big )}\;$ et Rappel, énergies d'un système mécanique Remarque : $\succ \;$l'énergie potentielle «$\;E_{p,\,{\text{int}}_{\mathit {l}}}\!\left[({\mathcal {S}}),\,t\right]\;$» du système mécanique $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le champ de forces intérieures de type $\;_{\mathit {l}}\;$, la somme des énergies potentielles d'interaction de type $\;_{\mathit {l}}\;$ entre tous les échantillons mésoscopiques constituant $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ hors utilisation de la loi des grands nombres, Rappel, énergies d'un système mécanique Remarque : $\succ \;$la somme «$\;E_{m,\,({\mathcal {S}})}(t)=K_{({\mathcal {S}})}(t)+\sum \limits _{k}^{\text{cons.}}E_{p,\,{\text{ext}}_{k}}\!\left[({\mathcal {S}}),\,t\right]+\sum \limits _{\mathit {l}}^{\text{cons.}}E_{p,\,{\text{int}}_{\mathit {l}}}\!\left[({\mathcal {S}}),\,t\right]\;$» ne tenant compte ni de l'agitation thermique des entités ni des grandeurs énergétiques nécessitant d'utiliser la loi des grands nombres ne représente qu'une part de l'énergie mécanique définissable pour un système thermodynamique, c'est donc la raison pour laquelle «$\;E_{m,\,({\mathcal {S}})}(t)\;$» sera appelée « énergie mécanique macroscopique du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ lors de l'étude de ce dernier dans le cadre de la thermodynamique ».
Énergies d'un système thermodynamique fermé dans le référentiel d'étude : à l'énergie mécanique macroscopique «$\;E_{m,\,({\mathcal {S}})}(t)\;$» d'un système thermodynamique fermé $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ traduisant le comportement énergétique de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ dans le cadre de la mécanique, il convient d'ajouter Énergies d'un système thermodynamique fermé dans le référentiel d'étude : une énergie spécifique de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ traduisant l'agitation thermique moyenne des entités des différents échantillons mésoscopiques de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ ainsi que l'interaction moyenne entre échantillons quelconques de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ dont une conséquence est la nature de la phase $\;{\big$ou des phases${\big )}\;$ présentée(s) par $\;\left({\mathcal {S}}\right)$, énergie spécifique baptisée « énergie interne de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ et notée $\;U_{({\mathcal {S}})}(t)\;$», définie, à l'instant $\;t\;$ et dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$, selon
$\;U_{({\mathcal {S}})}(t)=K_{{\text{microscopique}},\,({\mathcal {S}})}(t)+E_{p,\,{\text{microscopique}}}\!\left[({\mathcal {S}}),\,t\right]\;$
$\;t$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)$
Énergies d'un système thermodynamique fermé dans le référentiel d'étude La somme de l'énergie mécanique macroscopique «$\;E_{m,\,({\mathcal {S}})}(t)\;$» et de l'énergie interne «$\;U_{({\mathcal {S}})}(t)\;$» d'un système thermodynamique fermé $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ définit l'énergie totale «$\;E_{({\mathcal {S}})}(t)\;$» du système thermodynamique fermé $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ soit
$\;E_{({\mathcal {S}})}(t)=E_{m,\,({\mathcal {S}})}(t)+U_{({\mathcal {S}})}(t)\;$
Énergies d'un système thermodynamique Remarque : $\succ \;$l'énergie cinétique microscopique moyenne d'agitation thermique «$\;K_{{\text{microscopique}},\,({\mathcal {S}})}(t)\;$» de toutes les entités du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)$, à l'instant $\;t$, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, est la somme de l'énergie cinétique microscopique moyenne de translation des entités «$\;K_{{\text{microscopique}},\,{\text{transl.}},\,({\mathcal {S}})}(t)\;$» et des éventuelles énergies cinétiques microscopiques moyennes de rotation et de vibration barycentriques «$\;K_{{\text{microscopique}},\,{\text{rot.}},\,({\mathcal {S}})}^{\,*}(t)+K_{{\text{microscopique}},\,{\text{vib. intraent.}},\,({\mathcal {S}})}^{\,*}(t)\;$», ces trois composantes s'écrivant, en utilisant la loi des grands nombres et en notant $\;N_{({\mathcal {S}})}\;$ le nombre d'entités du système fermé $\;\left({\mathcal {S}}\right)$, $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}K_{{\text{microscopique}},\,{\text{transl.}},\,({\mathcal {S}})}(t)\simeq N_{({\mathcal {S}})}\;{\Big \langle }k_{{\text{entité}},\,{\text{transl.}}}(t){\Big \rangle }\\K_{{\text{microscopique}},\,{\text{rot.}},\,({\mathcal {S}})}^{\,*}(t)\simeq N_{({\mathcal {S}})}\;{\Big \langle }k_{{\text{entité}},\,{\text{rot.}}}^{\,*}(t){\Big \rangle }\\K_{{\text{microscopique}},\,{\text{vib. intraent.}},\,({\mathcal {S}})}^{\,*}(t)\simeq N_{({\mathcal {S}})}\;{\Big \langle }k_{{\text{entité}},\,{\text{vib. intraent.}}}^{\,*}(t){\Big \rangle }\end{array}}\right\rbrace \;$ où $\;{\Big \langle }k_{{\text{entité}},\,{\text{transl.}}}(t){\Big \rangle }$, $\;{\Big \langle }k_{{\text{entité}},\,{\text{rot.}}}^{\,*}(t){\Big \rangle }\;$ et $\;{\Big \langle }k_{{\text{entité}},\,{\text{vib. intraent.}}}^{\,*}(t){\Big \rangle }\;$ sont respectivement l'énergie cinétique microscopique moyenne de translation ainsi que celles $\;{\big$éventuelles${\big )}\;$ de rotation et de vibration intraentitaire barycentriques d'une entité $\;{\Big \$voir les paragraphes « différentes composantes de l'énergie cinétique d'agitation d'une molécule de gaz et leur moyenne » et « en complément, notion d'équipartition de l'énergie (suite) » du chap.$3$ de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » $\;{\big$notions aisément généralisables aux phases condensées $\;{\big$liquides ou solides${\big )}{\big ]}\!{\Big \}$ d'où la réécriture de l'énergie cinétique microscopique moyenne d'agitation thermique «$\;K_{{\text{microscopique}},\,({\mathcal {S}})}(t)\;$» de toutes les entités du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)$, à l'instant $\;t$, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$,
$\;K_{{\text{microscopique}},\,({\mathcal {S}})}(t)\simeq N_{({\mathcal {S}})}\,\left[{\Big \langle }k_{{\text{entité}},\,{\text{transl.}}}(t){\Big \rangle }+{\Big \langle }k_{{\text{entité}},\,{\text{rot.}}}^{\,*}(t){\Big \rangle }+{\Big \langle }k_{{\text{entité}},\,{\text{vib. intraent.}}}^{\,*}(t){\Big \rangle }\right]\;$
Énergies d'un système thermodynamique Remarque : $\succ \;$l'énergie potentielle microscopique moyenne d'interaction interentitaire «$\;E_{p,\,{\text{microscopique}},\,{\text{interentit.}}}\!\left[({\mathcal {S}}),\,t\right]\;$» du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ étant définie selon «$\;E_{p,\,{\text{microscopique}},\,{\text{interentit.}}}\!\left[({\mathcal {S}}),\,t\right]$ $=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N_{({\mathcal {S}})}}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,i+1\,..\,N_{({\mathcal {S}})}}e_{p,\,{\text{interentit.}}\,i\,\leftrightarrow \,j}(t)\right\rbrace \;$» avec «$\;e_{p,\,{\text{interentit.}}\,i\,\leftrightarrow \,j}(t)\;$ l'énergie potentielle d'interaction entre les deux entités $_{i}\;$ et $_{j}\;$» ou, après transformation du terme entre accolades selon «$\;\sum \limits _{j\,=\,i+1\,..\,N_{({\mathcal {S}})}}e_{p,\,{\text{interentit.}}\,i\,\leftrightarrow \,j}(t)={\dfrac {1}{2}}\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N_{({\mathcal {S}})}}^{j\,\neq \,i}e_{p,\,{\text{interentit.}}\,i\,\leftrightarrow \,j}(t)\simeq {\dfrac {1}{2}}\sum \limits _{j\,{\text{voisin de }}i}e_{p,\,{\text{interentit.}}\,i\,\leftrightarrow \,j}(t)\;$», «$\;E_{p,\,{\text{microscopique}},\,{\text{interentit.}}}\!\left[({\mathcal {S}}),\,t\right]=$ ${\dfrac {1}{2}}\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N_{({\mathcal {S}})}}\left\lbrace \sum \limits _{j\,{\text{voisin de }}i}e_{p,\,{\text{interentit.}}\,i\,\leftrightarrow \,j}(t)\right\rbrace \;$» soit, après utilisation de la loi des grands nombres simultanément à l'assimilation de «$\;\sum \limits _{j\,{\text{voisin de }}i}e_{p,\,{\text{interentit.}}\,i\,\leftrightarrow \,j}(t)\;$ à $\;{\Big \langle }e_{p,\,{\text{interentit. sur }}\,i}(t){\Big \rangle }_{\forall \;i}\;$»,
$\;E_{p,\,{\text{microscopique}},\,{\text{interentit.}}}\!\left[({\mathcal {S}}),\,t\right]\simeq {\dfrac {N_{({\mathcal {S}})}}{2}}\;{\Big \langle }e_{p,\,{\text{interentit. sur }}\,i}(t){\Big \rangle }_{\forall \;i}\;$
Énergies d'un système thermodynamique Remarque : $\succ \;$l'énergie potentielle microscopique moyenne d'interaction intraentitaire «$\;E_{p,\,{\text{microscopique}},\,{\text{intraentit.}}}\!\left[({\mathcal {S}}),\,t\right]\;$» du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ étant définie selon «$\;E_{p,\,{\text{microscopique}},\,{\text{intraentit.}}}\!\left[({\mathcal {S}}),\,t\right]$ $=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N_{({\mathcal {S}})}}\left\lbrace \sum \limits _{(a_{i},\,b_{i})\,\in \,\left[\left[1\,,\,\alpha \,\right]\right]^{\,2}}^{b_{i}\,>\,a_{i}}e_{p,\,{\text{vib. intraent.}}\,a_{i}\,\leftrightarrow \,b_{i}}(t)\right\rbrace \;$» avec «$\;e_{p,\,{\text{vib. intraent.}}\,a_{i}\,\leftrightarrow \,b_{i}}(t)\;$ l'énergie potentielle de vibration intraentitaire entre les deux éléments $_{a_{i}}\;$ et $_{b_{i}}\;$ de la même entité $_{i}$ $\;{\big$entité à $\;\alpha \;$ éléments${\big )}\;$» ou, le terme entre accolades $\;\sum \limits _{(a_{i},\,b_{i})\,\in \,\left[\left[1\,,\,\alpha \,\right]\right]^{\,2}}^{b_{i}\,>\,a_{i}}e_{p,\,{\text{vib. intraent.}}\,a_{i}\,\leftrightarrow \,b_{i}}(t)\;$ représentant l'« énergie potentielle de vibration barycentrique de l'entité $_{i}\;$ c'est-à-dire $\;e_{p,\,{\text{vib. intraent.}}\,i}(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;E_{p,\,{\text{microscopique}},\,{\text{intraentit.}}}\!\left[({\mathcal {S}}),\,t\right]=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N_{({\mathcal {S}})}}e_{p,\,{\text{vib. intraent.}}\,i}(t)\;$» soit enfin, en utilisant la loi des grands nombres,
$\;E_{p,\,{\text{microscopique}},\,{\text{intraentit.}}}\!\left[({\mathcal {S}}),\,t\right]\simeq N_{({\mathcal {S}})}\;{\Big \langle }e_{p,\,{\text{vib. intraent.}}}(t){\Big \rangle }\;$
$\;{\Big \langle }e_{p,\,{\text{vib. intraent.}}}(t){\Big \rangle }\;$
Énergies d'un système thermodynamique Remarque : $\succ \;$L'énergie totale «$\;E_{({\mathcal {S}})}(t)\;$» du système thermodynamique fermé $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ étant la somme de l'énergie mécanique macroscopique du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ «$\;E_{m,\,({\mathcal {S}})}(t)\;$» et de l'énergie interne «$\;U_{({\mathcal {S}})}(t)\;$» du même système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ se réécrit
$\;E_{({\mathcal {S}})}(t)\simeq \left\lbrace K_{({\mathcal {S}})}(t)+\sum \limits _{k}^{\text{cons.}}E_{p,\,{\text{ext}}_{k}}\!\left[({\mathcal {S}}),\,t\right]+\sum \limits _{\mathit {l}}^{\text{cons.}}E_{p,\,{\text{int}}_{\mathit {l}}}\!\left[({\mathcal {S}}),\,t\right]\right\rbrace +{\Big \K_{{\text{microscopique}},\,({\mathcal {S}})}(t)+E_{p,\,{\text{microscopique}},\,{\text{interentit.}}}\!\left[({\mathcal {S}}),\,t\right]+E_{p,\,{\text{microscopique}},\,{\text{intraentit.}}}\!\left[({\mathcal {S}}),\,t\right]{\Big \}}\;$
$\;K_{{\text{microscopique}},\,({\mathcal {S}})}(t)\simeq N_{({\mathcal {S}})}\,\left[{\Big \langle }k_{{\text{entité}},\,{\text{transl.}}}(t){\Big \rangle }+{\Big \langle }k_{{\text{entité}},\,{\text{rot.}}}^{\,*}(t){\Big \rangle }+{\Big \langle }k_{{\text{entité}},\,{\text{vib. intraent.}}}^{\,*}(t){\Big \rangle }\right]\;$
$\;E_{p,\,{\text{microscopique}},\,{\text{interentit.}}}\!\left[({\mathcal {S}}),\,t\right]\simeq {\dfrac {N_{({\mathcal {S}})}}{2}}\;{\Big \langle }e_{p,\,{\text{interentit. sur }}\,i}(t){\Big \rangle }_{\forall \;i}\;$
$\;E_{p,\,{\text{microscopique}},\,{\text{intraentit.}}}\!\left[({\mathcal {S}}),\,t\right]\simeq N_{({\mathcal {S}})}\;{\Big \langle }e_{p,\,{\text{vib. intraent.}}}(t){\Big \rangle }\;$
Énergies d'un système thermodynamique fermé Remarque : quelle différence faire entre l'« énergie potentielle dans le champ de toutes les forces intérieures conservatives $\;\sum \limits _{\mathit {l}}^{\text{cons.}}E_{p,\,{\text{int}}_{\mathit {l}}}\!\left[({\mathcal {S}}),\,t\right]\;$$^,$ du système fermé $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ intervenant dans l'énergie mécanique macroscopique $\;E_{m,\,({\mathcal {S}})}(t)\;$ de ce dernier » et Énergies d'un système thermodynamique fermé Remarque : quelle différence faire entre l'« énergie potentielle microscopique moyenne d'interaction interentitaire $\;E_{p,\,{\text{microscopique}},\,{\text{interentit.}}}\!\left[({\mathcal {S}}),\,t\right]\;$ du même système fermé $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ intervenant dans l'énergie interne $\;U_{({\mathcal {S}})}(t)\;$ de ce dernier » ? Énergies d'un système thermodynamique fermé Remarque : quelle différence pour que l'énergie potentielle soit comptabilisée dans l'énergie mécanique macroscopique et non dans l'énergie interne, le champ de forces intérieures conservatives dérivant de l'énergie potentielle doit être défini macroscopiquement $\;{\big$c'est-à-dire entre échantillons mésoscopiques${\big )}\;$ et non microscopiquement $\;{\big$c'est-à-dire entre entités${\big )}$.

#### Énergies à utiliser pour un système thermodynamique ouvert dans le référentiel d'étude

Énergies d'un système mécanique ouvert dans le référentiel d'étude : à un système mécanique ouvert $\;\left({\mathcal {S}}\right)_{t}\;$ défini, à l'instant $\;t$, comme le contenu intérieur à une surface $\;\left(\Sigma \right)\;$ fermée, appelée “ surface de contrôle ” $\;{\big$usuellement fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}{\big )}\;$, est associée une « énergie mécanique $\;E_{m,\,({\mathcal {S}})_{t}}(t)\;$ dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives »$^,$, somme Énergies d'un système mécanique ouvert $\succ \;$de l'« énergie cinétique $\;K_{({\mathcal {S}})_{t}}(t)\;$» $\;{\big \$définie sans ambiguïté${\big \}$, Énergies d'un système mécanique ouvert $\succ \;$de l'« énergie potentielle dans le champ de toutes les forces extérieures conservatives $\;\sum \limits _{k}^{\text{cons.}}E_{p,\,{\text{ext}}_{k}}\!\left[({\mathcal {S}})_{t},\,t\right]\;$»$^,$ $\;{\big \$définie sans ambiguïté${\big \}$ et Énergies d'un système mécanique ouvert $\succ \;$de l'« énergie potentielle dans le champ de toutes les forces intérieures conservatives $\;\sum \limits _{\mathit {l}}^{\text{cons.}}E_{p,\,{\text{int}}_{\mathit {l}}}\!\left[({\mathcal {S}})_{t},\,t\right]\;$»$^,$ $\;{\big \$non définie sans ambiguïté${\big \}$ ;
Énergies d'un système mécanique ouvert dans le référentiel d'étude : la variation de l'énergie mécanique $\;E_{m,\,({\mathcal {S}})_{t}}(t)\;$ du système mécanique ouvert $\;\left({\mathcal {S}}\right)_{t}\;$ dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives$^,$ peut correspondre à la variation d'énergie mécanique des entités présentes à l'intérieur de $\;\left(\Sigma \right)\;$ ${\big \$seule possibilité de variation pour un système fermé${\big \}$ ou à celle accompagnant l'entrée d'entités à l'intérieur de $\;\left(\Sigma \right)$ $\;{\big$ou leur sortie${\big )}\;$ ${\big \$variation spécifique pour un système ouvert${\big \}$.
Énergies d'un système thermodynamique ouvert dans le référentiel d'étude : à un système thermodynamique ouvert $\;\left({\mathcal {S}}\right)_{t}\;$ défini, à l'instant $\;t$, comme le contenu intérieur à une surface $\;\left(\Sigma \right)\;$ fermée, appelée “ surface de contrôle ” $\;{\big$usuellement fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}{\big )}\;$, est associée une « énergie totale $\;E_{({\mathcal {S}})_{t}}(t)\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$» somme Énergies d'un système thermodynamique ouvert $\succ \;$de l'« énergie mécanique macroscopique $\;E_{m,\,({\mathcal {S}})_{t}}(t)\;$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right)_{t}\;$ dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives » et Énergies d'un système thermodynamique ouvert $\succ \;$de l'« énergie interne $\;U_{({\mathcal {S}})_{t}}(t)\;$ du même système ouvert $\;\left({\mathcal {S}}\right)_{t}\;$ », cette dernière étant définie comme la somme Énergies d'un système thermodynamique ouvert $\color {transparent}{\succ }\;$l'« énergie $\blacktriangleright \;$de l'« énergie cinétique microscopique moyenne d'agitation thermique $\;K_{{\text{microscopique}},\,({\mathcal {S}})_{t}}(t)\;$ de toutes les entités du système ouvert $\;\left({\mathcal {S}}\right)_{t}$, à l'instant $\;t$, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$» $\;{\big \$définie sans ambiguïté${\big \}$, Énergies d'un système thermodynamique ouvert $\color {transparent}{\succ }\;$l'« énergie $\blacktriangleright \;$de l'« énergie potentielle microscopique moyenne d'interaction interentitaire $\;E_{p,\,{\text{microscopique}},\,{\text{interentit.}}}\!\left[({\mathcal {S}})_{t},\,t\right]\;$ du système ouvert $\;\left({\mathcal {S}}\right)_{t}$, à l'instant $\;t\;$»$^,$ $\;{\big \$non définie sans ambiguïté${\big \}$ et Énergies d'un système thermodynamique ouvert $\color {transparent}{\succ }\;$l'« énergie $\blacktriangleright \;$de l'« énergie potentielle microscopique moyenne d'interaction intraentitaire $\;E_{p,\,{\text{microscopique}},\,{\text{intraentit.}}}\!\left[({\mathcal {S}})_{t},\,t\right]\;$ du système ouvert $\;\left({\mathcal {S}}\right)_{t}$, à l'instant $\;t\;$»$^,$ $\;{\big \$définie sans ambiguïté${\big \}$ ;
Énergies d'un système thermodynamique ouvert dans le référentiel d'étude : la variation de l'énergie totale $\;E_{({\mathcal {S}})_{t}}(t)\;$ du système thermodynamique ouvert $\;\left({\mathcal {S}}\right)_{t}\;$ dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives$^,$ peut correspondre à la variation d'énergie totale des entités présentes à l'intérieur de $\;\left(\Sigma \right)\;$ ${\big \$seule possibilité de variation pour un système fermé${\big \}$ ou à celle accompagnant l'entrée d'entités à l'intérieur de $\;\left(\Sigma \right)$ $\;{\big$ou leur sortie${\big )}\;$ ${\big \$variation spécifique pour un système ouvert${\big \}$.

#### Caractère extensif ou non des énergies totale, mécanique macroscopique et interne d'un système thermodynamique

$\blacktriangleright \;$Les différentes énergies d'un système thermodynamique fermé $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ sont de deux types :
* celles « rigoureusement extensives » correspondant à une somme de termes énergétiques associés à une entité $\;{\big$ou à un échantillon mésoscopique${\big )}\;$ du système, c'est le cas des $\succ \;$énergies cinétique $\;{\big$macroscopique${\big )}\;$ «$\;K_{({\mathcal {S}})}(t)\;$» et potentielle $\;{\big$macroscopique${\big )}\;$ dans le champ de toutes les forces extérieures conservatives «$\;\sum \limits _{k}^{\text{cons.}}E_{p,\,{\text{ext}}_{k}}\!\left[({\mathcal {S}}),\,t\right]\;$» intervenant dans l'énergie mécanique macroscopique $\;E_{m,\,({\mathcal {S}})}(t)\;$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ ainsi que celui des $\succ \;$énergies cinétique microscopique moyenne d'agitation thermique «$\;K_{{\text{microscopique}},\,({\mathcal {S}})}(t)\;$» et potentielle microscopique moyenne d'interaction intraentitaire «$\;E_{p,\,{\text{microscopique}},\,{\text{intraentit.}}}\!\left[({\mathcal {S}}),\,t\right]\;$» intervenant dans l'énergie interne $\;U_{({\mathcal {S}})}(t)\;$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right)$,
* celles « a priori non extensives » correspondant à une somme de termes énergétiques associés à un couple d'entités $\;{\big$ou à un couple d'échantillons mésoscopiques${\big )}\;$ du système, c'est le cas de $\succ \;$l'énergie potentielle $\;{\big$macroscopique${\big )}\;$ dans le champ de toutes les forces intérieures conservatives «$\;\sum \limits _{\mathit {l}}^{\text{cons.}}E_{p,\,{\text{int}}_{\mathit {l}}}\!\left[({\mathcal {S}}),\,t\right]\;$» intervenant dans l'énergie mécanique macroscopique $\;E_{m,\,({\mathcal {S}})}(t)\;$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ ainsi que celui de $\succ \;$l'énergie potentielle microscopique moyenne d'interaction interentitaire «$\;E_{p,\,{\text{microscopique}},\,{\text{interentit.}}}\!\left[({\mathcal {S}}),\,t\right]\;$» intervenant dans l'énergie interne $\;U_{({\mathcal {S}})}(t)\;$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right)$.
$\blacktriangleright \;$Chaque énergie du 1er type est effectivement extensive car toute partition du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en deux sous-systèmes $\;\left({\mathcal {S}}_{1}\right)\;$ et $\;\left({\mathcal {S}}_{2}\right)\;$ disjoints a pour conséquence « quelle que soit l'énergie du 1er type envisagée, la valeur de cette énergie pour le système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ est la somme des valeurs de cette énergie pour chaque sous système $\;\left({\mathcal {S}}_{1}\right)\;$ et $\;\left({\mathcal {S}}_{2}\right)\;$» ;
$\blacktriangleright \;$chaque énergie du 2ème type n'est pas a priori extensive car toute partition du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en deux sous-systèmes $\;\left({\mathcal {S}}_{1}\right)\;$ et $\;\left({\mathcal {S}}_{2}\right)\;$ disjoints a pour conséquence « quelle que soit l'énergie du 2ème type envisagée, les termes énergétiques associés à un couple d'entités $\;{\big$ou à un couple d'échantillons mésoscopiques${\big )}\;$ du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ se retrouvent dans le sous-système $\;\left({\mathcal {S}}_{1}\right)\;$ si, avant partition, les deux éléments du couple étaient dans $\;\left({\mathcal {S}}_{1}\right)$, se retrouvent dans le sous-système $\;\left({\mathcal {S}}_{2}\right)\;$ si, avant partition, les deux éléments du couple étaient dans $\;\left({\mathcal {S}}_{2}\right)\;$ mais ne se retrouvent nulle part si, avant partition, les deux éléments du couple étaient séparément dans $\;\left({\mathcal {S}}_{1}\right)\;$ et $\;\left({\mathcal {S}}_{2}\right)\;$ ${\big \$le terme énergétique correspondant à ce couple est effectivement un terme de l'énergie envisagée de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ mais n'est ni un terme de l'énergie envisagée de $\;\left({\mathcal {S}}_{1}\right)\;$ ni un terme de l'énergie envisagée de $\;\left({\mathcal {S}}_{2}\right)\!{\big \}$» ; $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$toutefois, en absence de forces intérieures conservatives s'appliquant sur le système thermodynamique $\;\left({\mathcal {S}}\right)$, l'énergie mécanique macroscopique $\;E_{m,\,({\mathcal {S}})}(t)\;$ de ce dernier est extensive $\;{\big \$en cas d'existence de forces intérieures conservatives entre échantillons mésoscopiques, ces dernières étant usuellement de courte portée, le nombre de couples dont les éléments sont situés de part et d'autre d'une surface de séparation $\;\left(\Sigma \right)_{1\,\leftrightarrow \,2}\;$ scindant le système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en deux sous-systèmes $\;\left({\mathcal {S}}_{1}\right)\;$ et $\;\left({\mathcal {S}}_{2}\right)\;$ disjoints est toujours petit par rapport au nombre total de couples dont les éléments sont situés d'un même côté de $\;\left(\Sigma \right)_{1\,\leftrightarrow \,2}\;$ $\Rightarrow$ la contribution, dans $\;E_{m,\,({\mathcal {S}})}(t)$, de ces couples à éléments situés de part et d'autre de $\;\left(\Sigma \right)_{1\,\leftrightarrow \,2}\;$ étant négligeable par rapport à celle des couples à éléments situés d'un même côté de $\;\left(\Sigma \right)_{1\,\leftrightarrow \,2}\;$ nous en déduisons le caractère « extensif approché de l'énergie mécanique macroscopique du système $\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en cas de présence d'énergie potentielle $\;{\big$macroscopique${\big )}\;$ associée aux forces intérieures conservatives »${\big \}$ de même $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$toutefois, en absence de forces interentitaires conservatives s'appliquant sur le système thermodynamique $\;\left({\mathcal {S}}\right)$, l'énergie interne $\;U_{({\mathcal {S}})}(t)\;$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ est extensive $\;{\big \$en cas d'existence de forces interentitaires conservatives, ces dernières étant usuellement de courte portée, le nombre de couples dont les entités sont situées de part et d'autre d'une surface de séparation $\;\left(\Sigma \right)_{1\,\leftrightarrow \,2}\;$ scindant le système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en deux sous-systèmes $\;\left({\mathcal {S}}_{1}\right)\;$ et $\;\left({\mathcal {S}}_{2}\right)\;$ disjoints est toujours petit par rapport au nombre total de couples dont les entités sont situées d'un même côté de $\;\left(\Sigma \right)_{1\,\leftrightarrow \,2}\;$ $\Rightarrow$ la contribution, dans $\;U_{({\mathcal {S}})}(t)$, de ces couples à entités situées de part et d'autre de $\;\left(\Sigma \right)_{1\,\leftrightarrow \,2}\;$ étant négligeable par rapport à celle des couples à entités situées d'un même côté de $\;\left(\Sigma \right)_{1\,\leftrightarrow \,2}\;$ nous en déduisons le caractère « extensif approché de l'énergie interne du système $\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en cas de présence d'énergie potentielle microscopique moyenne d'interaction interentitaire »${\big \}$ et enfin $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$toutefois, en absence de forces intérieures d'échelle mésoscopique et interentitaires, toutes deux conservatives, s'appliquant sur le système thermodynamique $\;\left({\mathcal {S}}\right)$, l'énergie totale $\;E_{({\mathcal {S}})}(t)\;$ du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ est extensive $\;{\big \$en cas d'existence de forces intérieures conservatives entre échantillons mésoscopiques et de forces interentitaires conservatives, l'« énergie mécanique macroscopique $\;E_{m,\,({\mathcal {S}})}(t)\;$ du système $\left({\mathcal {S}}\right)\;$ étant estimée extensive approchée » et l'« énergie interne $\;U_{({\mathcal {S}})}(t)\;$ du même système $\left({\mathcal {S}}\right)\;$ également extensive approchée », nous en déduisons le caractère « extensif approché de l'énergie totale $\;E_{({\mathcal {S}})}(t)\;$ du système $\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en cas de présence simultanée d'énergie potentielle $\;{\big$macroscopique${\big )}\;$ associée aux forces intérieures conservatives et d'énergie potentielle microscopique moyenne d'interaction interentitaire »${\big \}$.
$\blacktriangleright \;$Conséquence du caractère extensif des énergies d'un système thermodynamique : Les énergies mécanique macroscopique $\;E_{m,\,({\mathcal {S}})}(t)$, interne $\;U_{({\mathcal {S}})}(t)\;$ et totale $\;E_{({\mathcal {S}})}(t)\;$ du système thermodynamique $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ étant extensives $\;{\big$rigoureusement ou de façon approchée${\big )}$, nous pouvons en déduire des énergies définies localement à caractère intensif $\;{\big$rigoureux ou approché${\big )}\;$ associées à chacune des énergies $\;{\big$rigoureusement ou de façon approchée\;${\big )}$ extensives par exemple, avec $\;(d{\mathcal {V}}_{M})\;$ un échantillon mésoscopique de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ centré en $\;M$, de quantité $\;dn_{(d{\mathcal {V}}_{M})}$, de masse $\;dm_{(d{\mathcal {V}}_{M})}\;$ et de volume $\;d{\mathcal {V}}_{M}$, nous pouvons définir les grandeurs énergétiques molaires, massiques et éventuellement volumiques $\;{\big$à condition que le système soit un corps pur${\big )}\;$ associées : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Conséquence du caractère extensif $\succ \;$l'énergie mécanique macroscopique molaire définie en chaque point $\;M\;$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ «$\;E_{m,\,{\text{mol}},\,({\mathcal {S}})}(M,\,t)={\dfrac {dE_{m,\,({\mathcal {S}})}\!\left[(d{\mathcal {V}}_{M}),\,t\right]}{dn_{(d{\mathcal {V}}_{M})}}}\;$ en $\;J\cdot mol^{-1}\;$», $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Conséquence du caractère extensif $\color {transparent}{\succ }\;$l'énergie interne molaire définie en chaque point $\;M\;$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ «$\;U_{{\text{mol}},\,({\mathcal {S}})}(M,\,t)={\dfrac {dU_{({\mathcal {S}})}\!\left[(d{\mathcal {V}}_{M}),\,t\right]}{dn_{(d{\mathcal {V}}_{M})}}}\;$ en $\;J\cdot mol^{-1}\;$» et $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Conséquence du caractère extensif $\color {transparent}{\succ }\;$l'énergie totale molaire définie en chaque point $\;M\;$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ «$\;E_{{\text{mol}},\,({\mathcal {S}})}(M,\,t)={\dfrac {dE_{({\mathcal {S}})}\!\left[(d{\mathcal {V}}_{M}),\,t\right]}{dn_{(d{\mathcal {V}}_{M})}}}\;$ en $\;J\cdot mol^{-1}\;$», $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Conséquence du caractère extensif $\succ \;$l'énergie mécanique macroscopique massique définie en chaque point $\;M\;$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ «$\;E_{m,\,{\text{mass}},\,({\mathcal {S}})}(M,\,t)={\dfrac {dE_{m,\,({\mathcal {S}})}\!\left[(d{\mathcal {V}}_{M}),\,t\right]}{dm_{(d{\mathcal {V}}_{M})}}}\;$ en $\;J\cdot kg^{-1}\;$», $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Conséquence du caractère extensif $\color {transparent}{\succ }\;$l'énergie interne massique définie en chaque point $\;M\;$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ «$\;u_{({\mathcal {S}})}(M,\,t)={\dfrac {dU_{({\mathcal {S}})}\!\left[(d{\mathcal {V}}_{M}),\,t\right]}{dm_{(d{\mathcal {V}}_{M})}}}\;$ en $\;J\cdot kg^{-1}\;$» et $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Conséquence du caractère extensif $\color {transparent}{\succ }\;$l'énergie totale molaire définie en chaque point $\;M\;$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ «$\;E_{{\text{mass}},\,({\mathcal {S}})}(M,\,t)={\dfrac {dE_{({\mathcal {S}})}\!\left[(d{\mathcal {V}}_{M}),\,t\right]}{dm_{(d{\mathcal {V}}_{M})}}}\;$ en $\;J\cdot kg^{-1}\;$», $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Conséquence du caractère extensif $\succ \;$l'énergie mécanique macroscopique volumique définie en $\;M\;$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ ${\big$corps pur${\big ]}\;$ «$\;E_{m,\,{\text{vol}},\,({\mathcal {S}})}(M,\,t)={\dfrac {dE_{m,\,({\mathcal {S}})}\!\left[(d{\mathcal {V}}_{M}),\,t\right]}{d{\mathcal {V}}_{M}}}\;$ en $\;J\cdot m^{-3}\;$», $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Conséquence du caractère extensif $\color {transparent}{\succ }\;$l'énergie interne volumique définie en $\;M\;$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ ${\big$corps pur${\big ]}\;$ «$\;U_{{\text{vol}},\,({\mathcal {S}})}(M,\,t)={\dfrac {dU_{({\mathcal {S}})}\!\left[(d{\mathcal {V}}_{M}),\,t\right]}{d{\mathcal {V}}_{M}}}\;$ en $\;J\cdot m^{-3}\;$» et $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Conséquence du caractère extensif $\color {transparent}{\succ }\;$l'énergie totale volumique définie en $\;M\;$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ ${\big$corps pur${\big ]}\;$ «$\;E_{{\text{vol}},\,({\mathcal {S}})}(M,\,t)={\dfrac {dE_{({\mathcal {S}})}\!\left[(d{\mathcal {V}}_{M}),\,t\right]}{d{\mathcal {V}}_{M}}}\;$ en $\;J\cdot m^{-3}\;$».
$\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Conséquence du caractère extensif $\succ \;$Lien entre les différentes grandeurs énergétiques intensives : «$\;E_{m,\,{\text{mass}},\,({\mathcal {S}})}(M,\,t)={\dfrac {E_{m,\,{\text{mol}},\,({\mathcal {S}})}(M,\,t)}{M_{{\text{mat. de }}({\mathcal {S}})}}}\;$», «$\;u_{({\mathcal {S}})}(M,\,t)={\dfrac {U_{{\text{mol}},\,({\mathcal {S}})}(M,\,t)}{M_{{\text{mat. de }}({\mathcal {S}})}}}\;$» et «$\;E_{{\text{mass}},\,({\mathcal {S}})}(M,\,t)={\dfrac {E_{{\text{mol}},\,({\mathcal {S}})}(M,\,t)}{M_{{\text{mat. de }}({\mathcal {S}})}}}\;$» dans lesquelles «$\;M_{{\text{mat. de }}({\mathcal {S}})}\;$ est la masse molaire entitaire de la matière composant le système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$»,
$\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Conséquence du caractère extensif $\color {transparent}{\succ }\;$Lien entre les différentes grandeurs énergétiques intensives : pour $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ corps pur «$\;E_{m,\,{\text{vol}},\,({\mathcal {S}})}(M,\,t)={\dfrac {E_{m,\,{\text{mol}},\,({\mathcal {S}})}(M,\,t)}{{\mathcal {V}}_{{\text{mol}},\,({\mathcal {S}})}(M,\,t)}}\;$», «$\;U_{{\text{vol}},\,({\mathcal {S}})}(M,\,t)=$ ${\dfrac {U_{{\text{mol}},\,({\mathcal {S}})}(M,\,t)}{{\mathcal {V}}_{{\text{mol}},\,({\mathcal {S}})}(M,\,t)}}\;$» et «$\;E_{{\text{vol}},\,({\mathcal {S}})}(M,\,t)={\dfrac {E_{{\text{mol}},\,({\mathcal {S}})}(M,\,t)}{{\mathcal {V}}_{{\text{mol}},\,({\mathcal {S}})}(M,\,t)}}\;$» dans lesquelles «$\;{\mathcal {V}}_{{\text{mol}},\,({\mathcal {S}})}(M,\,t)\;$ est le volume molaire du corps pur composant le système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$» et
$\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Conséquence du caractère extensif $\color {transparent}{\succ }\;$Lien entre les différentes grandeurs énergétiques intensives : pour $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ corps pur «$\;E_{m,\,{\text{vol}},\,({\mathcal {S}})}(M,\,t)=E_{m,\,{\text{mass}},\,({\mathcal {S}})}(M,\,t)\;\rho _{({\mathcal {S}})}(M,\,t)\;$», «$\;U_{{\text{vol}},\,({\mathcal {S}})}(M,\,t)=$ $u_{({\mathcal {S}})}(M,\,t)\;\rho _{({\mathcal {S}})}(M,\,t)\;$» et «$\;E_{{\text{vol}},\,({\mathcal {S}})}(M,\,t)=E_{{\text{mass}},\,({\mathcal {S}})}(M,\,t)\;\rho _{({\mathcal {S}})}(M,\,t)\;$» dans lesquelles «$\;\rho _{({\mathcal {S}})}(M,\,t)\;$ est la masse volumique du corps pur composant le système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$».

### Échange d'énergie entre un système thermodynamique fermé et son extérieur

L'extérieur peut fournir de l'énergie à un système thermodynamique fermé $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ de deux façons différentes :
L'extérieur peut fournir de l'énergie $\succ \;$par travail macroscopique des forces extérieures «$\;W_{e}\;$» $\;{\big \$essentiellement le travail des forces de pression extérieure, celles-ci travaillant dès lors que les parois limitant le système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ peuvent se déplacer dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, le déplacement étant le plus souvent imposé par l'opérateur${\big \}$ et
L'extérieur peut fournir de l'énergie $\succ \;$par transfert thermique «$\;Q_{e}\;$» $\;{\big \$cet échange se fait à travers les parois extérieures du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ essentiellement par « conduction thermique » et se produit si « les températures sont différentes de part et d’autre de ces parois $\;{\big$conductrices${\big )}\;$» ; parfois le transfert thermique par « conduction thermique » peut être amélioré $\;{\big$en fait être rendu un peu plus rapide${\big )}\;$ si le milieu extérieur $\;{\big$celui situé du côté extérieur de la paroi${\big )}\;$ est un fluide et si les entités de ce dernier ont un mouvement macroscopique permettant le transfert thermique en direction de la paroi par « convection thermique » $\;{\big$c'est-à-dire une combinaison d'advection et de diffusion${\big )}\;$ ; dans le cas où la conduction thermique des parois est nulle, le transfert thermique par conduction n'est donc plus possible, néanmoins l'extérieur peut encore fournir du transfert thermique par « rayonnement thermique » à condition que les parois soient transparentes $\;{\big$c'est-à-dire n'absorbent pas et ne réfléchissent pas le rayonnement${\big )}\;$ ; dans le cas où aucun transfert thermique par conduction ou rayonnement à travers les parois n’est possible, les parois sont dites « calorifugées »${\big \}$.

### En complément, échange d’énergie entre un système thermodynamique ouvert et l’extérieur situé au-delà de la surface de contrôle

L'énergie totale «$\;E_{({\mathcal {S}})_{t}}(t)\;$» du système thermodynamique ouvert $\;\left({\mathcal {S}}\right)_{t}\;$ dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives$^,$ peut varier de deux façons $\;{\big \$il en est bien sûr de même de ses deux composantes à savoir l'énergie mécanique macroscopique «$\;E_{m,\,({\mathcal {S}})_{t}}(t)\;$» et l'énergie interne «$\;U_{({\mathcal {S}})_{t}}(t)\;$»${\big \}$ :
L'énergie totale «$\;\color {transparent}{E_{({\mathcal {S}})_{t}}(t)}\;$» $\succ \;$par entrée $\;{\big$ou sortie${\big )}\;$ de matière dans $\;{\big$ou de${\big )}\;$ la surface de contôle $\;\left(\Sigma \right)\;$ limitant $\;\left({\mathcal {S}}\right)_{t}$ $\;{\Big \$et par suite entrée $\;{\big$ou sortie${\big )}\;$ d’énergie liée à la « quantité de matière entrante $\;\delta \left[n_{({\mathcal {S}})}\right]_{{\text{sur }}\left[t\,,\,t+dt\right]}^{{\text{entrant ds }}(\Sigma )}\;$» $\;{\Big$ou à la « quantité de matière sortie $\;\delta \left[n_{({\mathcal {S}})}\right]_{{\text{sur }}\left[t\,,\,t+dt\right]}^{{\text{sortie de }}(\Sigma )}\;$»${\Big )}\;$ dans $\;{\big$ou de${\big )}$ $\;\left(\Sigma \right)\!{\Big \}$ et
L'énergie totale «$\;\color {transparent}{E_{({\mathcal {S}})_{t}}(t)}\;$» $\succ \;$par variation d'énergie molaire de la matière déjà présente à l'instant $\;t\;$ c'est-à-dire « variation $\;{\big$par rapport à $\;t'\;$ à $\;t\;$ figé${\big )}\;$ de $\;E_{{\text{mol}},\,({\mathcal {S}})_{t}}(t')\;$» $\;{\Big \$et bien sûr variation $\;{\big$par rapport à $\;t'\;$ à $\;t\;$ figé${\big )}\;$ de ses deux composantes à savoir l'énergie mécanique macroscopique molaire «$\;E_{m,\,{\text{mol}},\,({\mathcal {S}})_{t}}(t')\;$» et l'énergie interne molaire «$\;U_{{\text{mol}},\,({\mathcal {S}})_{t}}(t')\;$»${\Big \}$.
Application de la méthode d'étude d'un système ouvert au système thermodynamique $\;\left({\mathcal {S}}\right)_{t}$ ${\big \$que nous supposons de type écoulement dans un tuyau pour simplifier l'exposé${\big \}$ : pour cela nous nous ramenons au système fermé $\;\left({\mathcal {S}}^{\,*}\right)\;$ que l'on suit entre les instants $\;t\;$ et $\;t+dt\;$», Application de la méthode d'étude d'un système ouvert le système fermé $\;\left({\mathcal {S}}^{\,*}\right)\;$ coïncidant, à l'instant $\;t$, avec l’ensemble du « système ouvert $\;\left({\mathcal {S}}_{t}\right)\;$ augmenté de la partie $\;\left(\delta {\mathcal {S}}\right)_{{\text{pendant }}dt}^{{\text{entrant ds }}(\Sigma )}\;$ qui va entrer dans $\;\left(\Sigma \right)\;$ pendant la durée $\;dt\;$ » soit «$\;\left({\mathcal {S}}^{\,*}\right)_{t}=\left({\mathcal {S}}\right)_{t}\cup \left(\delta {\mathcal {S}}\right)_{{\text{pendant }}dt}^{{\text{entrant ds }}(\Sigma )}\;$» et, Application de la méthode d'étude d'un système ouvert le système fermé $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}^{\,*}\right)}\;$ coïncidant, à l'instant $\;t+dt\;$, avec l'ensemble du « système ouvert $\;\left({\mathcal {S}}_{t+dt}\right)\;$ augmenté de la partie $\;\left(\delta {\mathcal {S}}\right)_{{\text{pendant }}dt}^{{\text{sortie de }}(\Sigma )}\;$ qui est sortie de $\;\left(\Sigma \right)\;$ pendant la durée $\;dt\;$ » soit «$\;\left({\mathcal {S}}^{\,*}\right)_{t+dt}=\left({\mathcal {S}}\right)_{t+dt}\cup \left(\delta {\mathcal {S}}\right)_{{\text{pendant }}dt}^{{\text{sortie de }}(\Sigma )}\;$» ;
Application de la méthode d'étude d'un système ouvert la variation d'énergie totale du système fermé $\;\left({\mathcal {S}}^{\,*}\right)\;$ sur l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$ s'écrit, en tenant compte du caractère extensif de l'énergie totale, «$\;E_{\left({\mathcal {S}}^{\,*}\right)_{t+dt}}(t+dt)-E_{\left({\mathcal {S}}^{\,*}\right)_{t}}(t)=\left[E_{\left({\mathcal {S}}\right)_{t+dt}}(t+dt)+E_{\left(\delta {\mathcal {S}}\right)_{{\text{pendant }}dt}^{{\text{sortie de }}(\Sigma )}}(t+dt)\right]-\left[E_{\left({\mathcal {S}}\right)_{t}}(t)+E_{\left(\delta {\mathcal {S}}\right)_{{\text{pendant }}dt}^{{\text{entrant ds }}(\Sigma )}}(t)\right]=\left\lbrace {\begin{array}{c}E_{\left(\delta {\mathcal {S}}\right)_{{\text{pendant }}dt}^{{\text{sortie de }}(\Sigma )}}(t+dt)-E_{\left(\delta {\mathcal {S}}\right)_{{\text{pendant }}dt}^{{\text{entrant ds }}(\Sigma )}}(t)\\+\\E_{\left({\mathcal {S}}\right)_{t+dt}}(t+dt)-E_{\left({\mathcal {S}}\right)_{t}}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$» dont nous déduisons la variation d'énergie totale du système ouvert $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ sur l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$ «$\;E_{\left({\mathcal {S}}\right)_{t+dt}}(t+dt)-E_{\left({\mathcal {S}}\right)_{t}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{c}E_{\left(\delta {\mathcal {S}}\right)_{{\text{pendant }}dt}^{{\text{entrant ds }}(\Sigma )}}(t)-E_{\left(\delta {\mathcal {S}}\right)_{{\text{pendant }}dt}^{{\text{sortie de }}(\Sigma )}}(t+dt)\\+\\E_{\left({\mathcal {S}}^{\,*}\right)_{t+dt}}(t+dt)-E_{\left({\mathcal {S}}^{\,*}\right)_{t}}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$», Application de la méthode d'étude d'un système ouvert les deux 1$^{ers}$ termes «$\;E_{\left(\delta {\mathcal {S}}\right)_{{\text{pendant }}dt}^{{\text{entrant ds }}(\Sigma )}}(t)-E_{\left(\delta {\mathcal {S}}\right)_{{\text{pendant }}dt}^{{\text{sortie de }}(\Sigma )}}(t+dt)\;$» associés à l'entrée de matière dans $\;\left(\Sigma \right)$ avec un « signe $\;+\;$» et à la sortie de matière de $\;\left(\Sigma \right)$ avec un « signe $\;-\;$» s'évaluent selon «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}E_{\left(\delta {\mathcal {S}}\right)_{{\text{pendant }}dt}^{{\text{entrant ds }}(\Sigma )}}(t)=\delta \left[n_{({\mathcal {S}})}\right]_{{\text{sur }}\left[t\,,\,t+dt\right]}^{{\text{entrant ds }}(\Sigma )}\;E_{{\text{mol en amont de }}(\Sigma )}(t)\,\\E_{\left(\delta {\mathcal {S}}\right)_{{\text{pendant }}dt}^{{\text{sortie de }}(\Sigma )}}(t+dt)=\delta \left[n_{({\mathcal {S}})}\right]_{{\text{sur }}\left[t\,,\,t+dt\right]}^{{\text{sortie de }}(\Sigma )}\;E_{{\text{mol en aval de }}(\Sigma )}(t+dt)\end{array}}\right\rbrace \;$» dans lesquelles $\;E_{{\text{mol en amont de }}(\Sigma )}(t)\;$ et $\;E_{{\text{mol en aval de }}(\Sigma )}(t)\;$ sont les énergies totales molaires à l'instant $\;t\;$ respectivement en amont de l'entrée et en aval de la sortie de $\;\left(\Sigma \right)$, Application de la méthode d'étude d'un système ouvert les deux derniers termes «$\;E_{\left({\mathcal {S}}^{\,*}\right)_{t+dt}}(t+dt)-E_{\left({\mathcal {S}}^{\,*}\right)_{t}}(t)\;$» $\;{\big \$variation d'énergie totale du système fermé $\;\left({\mathcal {S}}^{\,*}\right)\;$ suivi entre $\;t\;$ et $\;t+dt\;$${\big \}$ résultent de l'apport extérieur « par travail macroscopique des forces extérieures $\;\delta W_{e,\,\left({\mathcal {S}}^{\,*}\right)_{t}}\;$ et par transfert thermique $\;\delta Q_{e,\,\left({\mathcal {S}}^{\,*}\right)_{t}}\;$».

## Système fermé, isolé mécaniquement, thermiquement ou thermodynamiquement
### Système thermodynamique fermé isolé mécaniquement

Un système thermodynamique fermé $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ « ne recevant aucun travail macroscopique des forces extérieures » c'est-à-dire Un système thermodynamique fermé $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}\;$ tel que «$\;W_{e,\,\left({\mathcal {S}}\right)}=0\;$ quelle que soit la durée de l'observation » Un système thermodynamique fermé $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}\;$ est dit isolé mécaniquement.
Commentaire : comme, le plus souvent, les seuls travaux macroscopiques de forces extérieures à considérer sont ceux des forces de pression extérieures s’exerçant par l’intermédiaire des parois, le système thermodynamique fermé $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ est isolé mécaniquement si les parois sont fixes ;
Commentaire : dans la mesure où les parois sont fixes, le fait que la pression extérieure n’ait plus aucune influence sur la définition des paramètres d’état du système fermé $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ se traduit par « la pression extérieure n’est pas une contrainte extérieure pour le système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$».

### Système thermodynamique fermé isolé thermiquement

Un système thermodynamique fermé $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ « ne recevant aucun transfert thermique de l'extérieur » c'est-à-dire Un système thermodynamique fermé $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}\;$ tel que «$\;Q_{e,\,\left({\mathcal {S}}\right)}=0\;$ quelle que soit la durée de l'observation » Un système thermodynamique fermé $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}\;$ est dit isolé thermiquement.
Commentaire : le plus souvent, les seuls transferts thermiques de l'extérieur se faisant par conduction thermique à travers les parois limitant le système thermodynamique fermé $\;\left({\mathcal {S}}\right)$, ce dernier est isolé thermiquement si les parois sont calorifugées ;
Commentaire : dans la mesure où les parois sont calorifugées, le fait que la température extérieure n’ait plus aucune influence sur la définition des paramètres d’état du système fermé $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ se traduit par « la température extérieure n’est pas une contrainte extérieure pour le système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$».

### Système thermodynamique fermé isolé thermodynamiquement

Un système thermodynamique fermé $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ « ne recevant aucun travail macroscopique des forces extérieures ni aucun transfert thermique de l'extérieur » c'est-à-dire Un système thermodynamique fermé $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}\;$ tel que «$\;W_{e,\,\left({\mathcal {S}}\right)}=0\;$ et $\;Q_{e,\,\left({\mathcal {S}}\right)}=0\;$ quelle que soit la durée de l'observation » Un système thermodynamique fermé $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}\;$ est dit isolé thermodynamiquement.
Commentaire : dans la mesure où les seuls travaux macroscopiques de forces extérieures sont ceux des forces de pression extérieures s’exerçant par l’intermédiaire des parois limitant le système thermodynamique fermé $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ et où les seuls transferts thermiques de l'extérieur se font par conduction thermique à travers ces parois, le système thermodynamique fermé $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ est isolé thermodynamiquement si les parois sont fixes et calorifugées ;
Commentaire : si les parois sont fixes et calorifugées, le fait que la pression et la température extérieures n’aient plus aucune influence sur la définition des paramètres d’état du système fermé $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ se traduit par « la pression et température extérieures ne sont pas des contraintes extérieures pour le système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$».

### Définition d'une évolution adiabatique

Une évolution d'un système thermodynamique $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ « sans échange calorifique avec l'extérieur » c'est-à-dire Une évolution d'un système thermodynamique $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}\;$ tel que «$\;Q_{e,\,\left({\mathcal {S}}\right)}=0\;$ pendant la durée de l'observation » Une évolution d'un système thermodynamique $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}\;$ est une « évolution adiabatique de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$».
Commentaires : un système thermodynamique fermé subissant une « évolution adiabatique » est « isolé thermiquement » ;
Commentaires : la mise en équilibre mécanique d'un système thermodynamique étant toujours beaucoup plus rapide que la mise en équilibre thermique de ce système, nous en déduisons qu'« une évolution rapide de mise en équilibre mécanique d'un système thermodynamique » peut toujours être considérée comme « adiabatique » pendant le temps de cette évolution.