# Expressions algébriques/Exercices/autres identités

Pour montrer chaque identité, on s'efforcera d'éviter la méthode classique (mais pouvant être fastidieuse) qui consiste à développer les deux membres et à comparer les résultats obtenus.

## Exercice 3-1

Déduire de l'identité d'Euler (exercice 3-2 ci-dessous) les deux cas particuliers suivants de l'identité de Lagrange :
a) $(a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})-(ax+by)^{2}=(ay-bx)^{2}$ (aussi appelée identité de Diophante, et qui se généralise en celle de Brahmagupta) ;
b) $(a^{2}+b^{2}+c^{2})(x^{2}+y^{2}+z^{2})-(ax+by+cz)^{2}=(bz-cy)^{2}+(cx-az)^{2}+(ay-bx)^{2}$.
L'identité a) est le cas particulier $c=z=0$ de b), qui est elle-même le cas particulier $d=t=0$ de l'identité d'Euler.

## Exercice 3-2

Vérifier l'identité d'Euler :
    $(ax+by+cz+dt)^{2}+(bx-ay+dz-ct)^{2}+(cx-dy-az+bt)^{2}+(dx+cy-bz-at)^{2}=(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})(x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2})$.
Les polynômes des deux membres sont homogènes par rapport à $x,\,y,\,z,\,t$. Nous vérifierons que ces polynômes sont identiques en vérifiant que les coefficients de $x^{2},\,y^{2},\,z^{2},\,t^{2},\,xy,\,xz,\,xt,\,yz,\,yt,\,zt$ sont égaux.
Pour $x^{2}$, on trouve dans les deux membres $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}$. On trouve des coefficients similaires pour $y^{2},\,z^{2},\,t^{2}$.
Pour $xy$, on trouve dans le premier membre $2ab-2ab-2cd+2cd=0$ et comme il n'y a pas de termes en $xy$ dans le second membre, c'est parfait.
La situation est similaire pour $xz,\,xt,\,yz,\,yt,\,zt$.
Les deux membres sont donc identiques.

## Exercice 3-3

Vérifier les identités :
a) $a(b+c)^{2}+b(c+a)^{2}+c(a+b)^{2}-4abc=(b+c)(c+a)(a+b)$
b) $(a+b+c)(bc+ca+ab)-abc=(b+c)(c+a)(a+b)$
c) $(a^{2}-1)(b^{2}-1)(c^{2}-1)+(a+bc)(b+ca)(c+ab)=(abc+1)(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc-1)$
d) $4\left[(az-cx)^{2}-(ay-bx)(bz-cy)\right]=\left[2(az+cx)-by\right]^{2}-(b^{2}-4ac)(y^{2}-4xz)$
e) $(a+b+c)(ax^{2}+by^{2}+cz^{2})-(ax+by+cz)^{2}=bc(y-z)^{2}+ca(z-x)^{2}+ab(x-y)^{2}$
f) $(bc+ca+ab)^{2}+(a^{2}-bc)^{2}+(b^{2}-ca)^{2}+(c^{2}-ab)^{2}=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$
Vu le peu de termes, on peut simplement développer les deux membres et comparer ce que l'on obtient.
On peut aussi remarquer que les deux membres sont des polynômes homogènes et symétriques du troisième degré par rapport aux lettres $a,\,b,\,c$. Il suffit donc de vérifier l'égalité des termes en $abc$ d'une part et seulement l'égalité des termes en $a^{2}b$ (par exemple) pour en déduire (par symétrie) l'égalité des deux membres.
Nous remarquons effectivement que nous avons $2abc$ dans chaque membre.
Nous avons $a^{2}b$ dans chaque membre. Nous aurons donc aussi par symétrie, sans avoir besoin de le vérifier $ab^{2}$, $a^{2}c$,… dans chaque membre.
Nous remarquons que les deux membres sont des polynômes homogènes et symétriques du troisième degré par rapport aux lettres $a,\,b,\,c$. On vérifiera donc l'égalité des termes en $abc$ d'une part et seulement l'égalité des termes en $a^{2}b$ pour en déduire, par symétrie, l'égalité des deux membres.
On a :
${\begin{cases}(a^{2}-1)(b^{2}-1)(c^{2}-1)=a^{2}b^{2}c^{2}-b^{2}c^{2}-c^{2}a^{2}-a^{2}b^{2}+a^{2}+b^{2}+c^{2}-1\\(a+bc)(b+ca)(c+ab)=abc+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+a^{2}b^{2}+abc(a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc)\end{cases}}$
Par addition membre à membre, on obtient :
$abc(a^{2}+b^{2}+c^{2})+2a^{2}b^{2}c^{2}+abc+a^{2}+b^{2}+c^{2}-1$
où l'on reconnaît un développement du second membre.
Nous partirons du second membre. Nous avons :
${\begin{cases}\left[2(az+cx)-by\right]^{2}=4(az+cx)^{2}-4by(az+cx)+b^{2}y^{2}\\(b^{2}-4ac)(y^{2}-4xz)=b^{2}y^{2}-4b^{2}xz-4acy^{2}+16acxy\end{cases}}$
En retranchant membre à membre, le second membre de l'identité s'écrira :
$4\left[(az+cx)^{2}-4acxy\right]+4\left[b^{2}xz+acy^{2}-by(az+cx)\right]=4(az-cx)^{2}+4\left[b^{2}xz+acy^{2}-abyz-bcxy\right]$
où l'on reconnait le premier membre de l'identité à montrer.
Les deux membres sont des polynômes homogènes du quatrième degré invariants par permutation circulaire des couples $(a;\,x)$, $(b;\,y)$ et $(c;\,z)$.
Dans le premier membre, le terme en $a^{2}x^{2}$ s'élimine. Par permutation circulaire, les termes en $b^{2}y^{2}$ et $c^{2}z^{2}$ s'élimineront donc aussi.
On trouve $abx^{2}$ et $acx^{2}$ dans chaque membre. Par permutation circulaire, il en sera donc de même des termes en $bay^{2}$ et $bcy^{2}$ d'une part et des termes en $acz^{2}$ et $bcz^{2}$ d'autre part.
On trouve $-2abxy$ dans chaque membre. Par permutation circulaire, on trouvera donc aussi $-2acxz$ et $-2bcyz$ dans chaque membre.
L'identité est donc vérifiée.
Elle équivaut, par changement de variables formelles, à l'identité de Lagrange (b de l'exercice 3-1 ci-dessus).
Nous remarquons que les deux membres sont des polynômes homogènes du quatrième degré et sont invariants par permutation circulaire de $a$, $b$ et $c$.
En considérant, par exemple, toutes les puissances possibles de $a$, nous vérifierons l'égalité des termes en $a^{4}$, $a^{2}bc$, $a^{2}b^{2}$ (il n'y a pas de termes en $a^{3}$). L'égalité des autres termes s'en déduira par permutation circulaire (y compris les termes où $a$ est à la puissance 1).
Nous avons $a^{4}$ dans chaque membre.
Nous avons $0a^{2}bc$ dans chaque membre.
Nous avons $2a^{2}b^{2}$ dans chaque membre.
L'identité est donc vérifiée.
C'est le cas particulier $(x,y,z)=(b,c,a)$ de l'identité de Lagrange (b de l'exercice 3-1 ci-dessus).

## Exercice 3-4

Vérifier les identités :
a) $(a+b)^{3}+3ab(1-a-b)-1=(a+b-1)(a^{2}+b^{2}-ab+a+b+1)$
b) $2(2a-b)^{3}-27ab^{2}=(a-2b)(4a+b)^{2}$
c) $(a-b)(a+b)^{3}=a(a-2b)^{3}+b(2a-b)^{3}$
En utilisant l'identité remarquable : $A^{3}-B^{3}=(A-B)(A^{2}+AB+B^{2})$, on obtient :
    $(a+b)^{3}-1=(a+b-1)\left[(a+b)^{2}+(a+b)+1\right]$.
Le premier membre de l'identité à montrer s'écrit alors :
    $(a+b-1)\left[(a+b)^{2}+(a+b)+1\right]-3ab(a+b-1)$.
En mettant $a+b-1$ en facteur, on obtient :
    $(a+b-1)\left[(a+b)^{2}+(a+b)+1-3ab\right]=(a+b-1)(a^{2}+b^{2}-ab+a+b+1)$.
En utilisant l'identité remarquable : $(A-B)^{3}=A^{3}-3A^{2}B+3AB^{2}-B^{3}$, on obtient :
    $(2a-b)^{3}=8a^{3}-12a^{2}b+6ab^{2}-b^{3}$.
En utilisant l'identité remarquable : $(A+B)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2}$, on obtient aussi :
    $(4a+b)^{2}=16a^{2}+8ab+b^{2}$.
On achèvera de développer les deux membres et l'on comparera les résultats obtenus.
Une autre méthode est d'utiliser que la différence est un polynôme en b de degré 3 (à coefficients dans les polynômes en a) qui s'annule par exemple en 0, a, –a et 2a. C'est donc le polynôme nul.
On peut également, pour alléger les calculs, remarquer que par homogénéité, il suffit de démontrer l'égalité par exemple pour a = 1.
On développera les deux membres en utilisant les identités remarquables :
    $(A+B)^{3}=A^{3}+3A^{2}B+3AB^{2}+B^{3}$
    $(A-B)^{3}=A^{3}-3A^{2}B+3AB^{2}-B^{3}$
et l'on comparera les résultats obtenus dans les deux membres.
Une autre méthode est d'utiliser que la différence est un polynôme en b de degré 4 (à coefficients dans les polynômes en a) qui s'annule par exemple en 0, a, –a, 2a et –2a. C'est donc le polynôme nul.
On peut également, pour alléger les calculs, remarquer que par homogénéité, il suffit de démontrer l'égalité par exemple pour a = 1.

## Exercice 3-5

1° Développer :
    $(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-yz-zx-xy)$
    et
    ${\frac {(y-z)^{2}+(z-x)^{2}+(x-y)^{2}}{2}}$
    En déduire l'identité remarquable :
    $x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz={\frac {1}{2}}(x+y+z)\left[(y-z)^{2}+(z-x)^{2}+(x-y)^{2}\right]$
2° En utilisant l'identité remarquable que l'on vient d'établir, en déduire les identités :
    a) $(b+c)^{3}+(c+a)^{3}+(a+b)^{3}-3(b+c)(c+a)(a+b)=2(a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc)$
    b) $(b-c)^{3}+(c-a)^{3}+(a-b)^{3}=3(b-c)(c-a)(a-b)$
    c) $(a^{2}-bc)^{3}+(b^{2}-ca)^{3}+(c^{2}-ab)^{3}-3(a^{2}-bc)(b^{2}-ca)(c^{2}-ab)=(a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc)^{2}$
1° en développant, on trouve :
    $(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-yz-zx-xy)=x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz$
    et
    ${\frac {(y-z)^{2}+(z-x)^{2}+(x-y)^{2}}{2}}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-yz-zx-xy$
    On a donc :
    ${\begin{aligned}x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz&=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-yz-zx-xy)\\&={\frac {1}{2}}(x+y+z)\left[(y-z)^{2}+(z-x)^{2}+(x-y)^{2}\right]\end{aligned}}$
2° a) Dans l'identité remarquable du 1°, en posant :
       ${\begin{cases}x=b+c\\y=c+a\\z=a+b\end{cases}}$
       on obtient :
       $(b+c)^{3}+(c+a)^{3}+(a+b)^{3}-3(b+c)(c+a)(a+b)=(a+b+c)\left[(c-b)^{2}+(a-c)^{2}+(b-a)^{2}\right]$
       Mais, toujours compte tenu de l'identité remarquable du 1°, le second membre obtenu s'écrit :
       $(a+b+c)\left[(c-b)^{2}+(a-c)^{2}+(b-a)^{2}\right]=2(a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc)$
       On a donc bien :
       $(b+c)^{3}+(c+a)^{3}+(a+b)^{3}-3(b+c)(c+a)(a+b)=2(a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc)$
    b) Dans l'identité remarquable du 1°, en posant :
       ${\begin{cases}x=b-c\\y=c-a\\z=a-b\end{cases}}$
       on obtient :
       $(b-c)^{3}+(c-a)^{3}+(a-b)^{3}-3(b-c)(c-a)(a-b)={\frac {1}{2}}(b-c+c-a+a-b)\left[(c-2a+b)^{2}+(a-2b+c)^{2}+(b-2c+a)^{2}\right]=0$
       on a donc :
       $(b-c)^{3}+(c-a)^{3}+(a-b)^{3}=3(b-c)(c-a)(a-b)$
    c) En posant :
       ${\begin{cases}x=a^{2}-bc\\y=b^{2}-ca\\z=c^{2}-ab\end{cases}}$
       on obtient :
       $y-z=(b^{2}-ca)-(c^{2}-ab)=(b^{2}-c^{2})+(ab-ca)=(b-c)(b+c)+a(b-c)=(b-c)(a+b+c)$
       Par permutation circulaire des couples $(x;\,a)$, $(y;\,b)$, $(z;\,c)$, on a donc :
       ${\begin{cases}y-z=(b-c)(a+b+c)\\z-x=(c-a)(a+b+c)\\x-y=(a-b)(a+b+c)\end{cases}}$
       En remplaçant dans l'identité remarquable du 1°, on obtient :
       ${\begin{aligned}(a^{2}-bc)^{3}+(b^{2}-ca)^{3}+(c^{2}-ab)^{3}-3(a^{2}-bc)(b^{2}-ca)(c^{2}-ab)&={\frac {1}{2}}(a^{2}-bc+b^{2}-ca+c^{2}-ab)\left[(b-c)^{2}(a+b+c)^{2}+(c-a)^{2}(a+b+c)^{2}+(a-b)^{2}(a+b+c)^{2}\right]\\&={\frac {1}{2}}(a^{2}-bc+b^{2}-ca+c^{2}-ab)(a+b+c)^{2}\left[(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+(a-b)^{2}\right]\\&={\frac {1}{2}}(a^{2}-bc+b^{2}-ca+c^{2}-ab)(a+b+c)^{2}(2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2bc-2ca-2ab)\\&=(a^{2}-bc+b^{2}-ca+c^{2}-ab)(a+b+c)^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2}-bc-ca-ab)\\&=(a+b+c)^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2}-bc-ca-ab)^{2}\\&=(a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc)^{2}\end{aligned}}$
       (la dernière égalité ayant déjà été établie au 1°)

## Exercice 3-6

1° Établir l'identité remarquable :
    $(x+y+z)^{3}=x^{3}+y^{3}+z^{3}+3(y+z)(z+x)(x+y)$.
2° En déduire les identités :
    a) $(a+b+c)^{3}=(-a+b+c)^{3}+(a-b+c)^{3}+(a+b-c)^{3}+24abc$
    b) $abc(a+b+c)^{3}-(bc+ca+ab)^{3}=(a^{2}-bc)(b^{2}-ca)(c^{2}-ab)$
3° Établir aussi les identités suivantes :
    a) $4(a+b+c)^{3}-15\left[a(b-c)^{2}+b(c-a)^{2}+c(a-b)^{2}\right]-a(2a-b-c)^{2}-b(2b-c-a)^{2}-c(2c-a-b)^{2}=108abc$
    b) $4(b^{2}+ab+a^{2})^{3}-27a^{2}b^{2}(b+a)^{2}=(b-a)^{2}(2b+a)^{2}(b+2a)^{2}$
1° On peut :
    Soit développer les deux membres et constater que l'on obtient bien les mêmes termes (solution fastidieuse, mais simple).
    Soit remarquer que les deux membres sont des polynômes homogènes du troisième degré symétriques par rapport aux variables $x,\,y,\,z$. Il suffit donc de percevoir que l'on a :
    $x^{3}$ dans les deux membres.
    $6xyz$ dans les deux membres.
    $3x^{2}y$ dans les deux membres.
    Cela suffit pour affirmer par symétrie que les deux membres sont égaux (solution plus rapide mais supposant un certain coup d’œil).
2° a) Nous partirons du second membre. Grâce à l'identité remarquable précédemment établie, nous voyons que :
       ${\begin{cases}(-a+b+c)^{3}=-a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(b+c)(c-a)(-a+b)=-a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a^{2}b+a^{2}c+b^{2}c-b^{2}a-c^{2}a+c^{2}b)-6abc\\(a-b+c)^{3}=a^{3}-b^{3}+c^{3}+3(-b+c)(c+a)(a-b)=-a^{3}-b^{3}+c^{3}+3(-a^{2}b+a^{2}c+b^{2}c+b^{2}a+c^{2}a-c^{2}b)-6abc\\(a+b-c)^{3}=a^{3}+b^{3}-c^{3}+3(b-c)(-c+a)(a+b)=-a^{3}+b^{3}-c^{3}+3(a^{2}b-a^{2}c-b^{2}c+b^{2}a+c^{2}a+c^{2}b)-6abc\end{cases}}$
       Par addition des trois résultats avec le terme $24abc$, nous obtenons :
       $a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a^{2}b+a^{2}c+b^{2}c+b^{2}a+c^{2}a+c^{2}b)-6abc$
       où l'on reconnaît le développement de :
       $a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(b+c)(c+a)(a+b)$
       qui, compte tenu de l'identité remarquable est bien le premier membre de l'identité à établir.
    b) En utilisant l'identité remarquable, nous avons :
       $abc(a+b+c)^{3}=abc(a^{3}+b^{3}+c^{3})+3abc(b+c)(c+a)(a+b)$
       et
       ${\begin{aligned}(bc+ca+ab)^{3}&=b^{3}c^{3}+c^{3}a^{3}+a^{3}b^{3}+3(ca+ab)(ab+bc)(bc+ca)\\&=b^{3}c^{3}+c^{3}a^{3}+a^{3}b^{3}+3abc(c+b)(a+c)(b+a)\end{aligned}}$
       Par soustraction membre à membre, nous voyons que le premier membre est égal à :
       $abc(a^{3}+b^{3}+c^{3})-b^{3}c^{3}-c^{3}a^{3}-a^{3}b^{3}$
       Le second membre peut se développer ainsi :
       ${\begin{aligned}(a^{2}-bc)(b^{2}-ca)(c^{2}-ab)&={\cancel {a^{2}b^{2}c^{2}}}-a^{3}b^{3}-b^{3}c^{3}-c^{3}a^{3}+a^{4}bc+b^{4}ca+c^{4}ab-{\cancel {a^{2}b^{2}c^{2}}}\\&=abc(a^{3}+b^{3}+c^{3})-b^{3}c^{3}-c^{3}a^{3}-a^{3}b^{3}\end{aligned}}$
       Ce qui nous permet de voir que l'identité est vérifiée.
3° a) Par symétrie, il suffit de vérifier que le coefficient est le même de part et d'autre pour seulement les monômes suivants :
   * $a^{3}$ : $4-4=0$ ;
   * $a^{2}b$ : $4\times 3-15+4-1=0$ ;
   * $abc$ : $24+15\times 6-6=108$.
    b) Posons :
       ${\begin{cases}r=b-a\\s=3ab\end{cases}}$
       On a alors :
       ${\begin{aligned}4(b^{2}+ab+a^{2})^{3}-27a^{2}b^{2}(b+a)^{2}&=4(r^{2}+s)^{3}-3s^{2}(r^{2}+{\frac {4}{3}}s)^{2}\\&=4r^{6}+12r^{4}s+9r^{2}s^{2}\\&=r^{2}\left(2r^{2}+3s\right)^{2}\\&=(b-a)^{2}\left[2(b-a)^{2}+9ab\right]^{2}\\&=(b-a)^{2}\left[2b^{2}+5ab+2a^{2}\right]^{2}\\&=(b-a)^{2}(2b+a)^{2}(b+2a)^{2}\end{aligned}}$

## Exercice 3-7

Vérifier les identités :
a) $4\left[ab(x^{2}-y^{2})+(a^{2}-b^{2})xy\right]^{2}+\left[(a^{2}-b^{2})(x^{2}-y^{2})-4abxy\right]^{2}=(a^{2}+b^{2})^{2}(x^{2}+y^{2})^{2}$
b) $\left[(x^{2}+y^{2})^{2}+a^{2}x^{2}\right]^{2}-4a^{2}(x^{2}+y^{2})^{3}=\left[(x^{2}+y^{2}+ay)^{2}-a^{2}(x^{2}+y^{2})\right]\left[(x^{2}+y^{2}-ay)^{2}-a^{2}(x^{2}+y^{2})\right]$
c) $(a^{2}+b^{2}+c^{2}-bc-ca-ab)^{2}={\frac {(b-c)^{4}+(c-a)^{4}+(a-b)^{4}}{2}}=(a-b)^{2}(a-c)^{2}+(b-c)^{2}(b-a)^{2}+(c-a)^{2}(c-b)^{2}$
d) $(2x^{2}+a^{2})^{4}+(2x^{2}-a^{2})^{4}+(4ax)^{4}=(4x^{4}+12a^{2}x^{2}+a^{4})^{2}+(4x^{4}-12a^{2}x^{2}+a^{4})^{2}$
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle.

## Exercice 3-8

Vérifier les identités :
a) $(b+c-2a)^{4}+(c+a-2b)^{4}+(a+b-2c)^{4}=18(a^{2}+y^{2}+z^{2}-bc-ca-ab)^{2}$
b) $(b+c)^{2}(c+a)^{2}(a+b)^{2}+2a^{2}b^{2}c^{2}-a^{4}(b+c)^{2}-b^{4}(c+a)^{2}-c^{4}(a+b)^{2}=2(bc+ca+ab)^{3}$
c) $(a+b+c)^{4}-(b+c)^{4}-(c+a)^{4}-(a+b)^{4}+a^{4}+b^{4}+c^{4}=12abc(a+b+c)$
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle.

## Exercice 3-9

Vérifier les identités :
a) $(a+b)^{4}+a^{4}+b^{4}=2(a^{2}+ab+b^{2})^{2}$
b) $(a+b)^{5}-a^{5}-b^{5}=5ab(a+b)(a^{2}+ab+b^{2})$
c) $(a+b)^{7}-a^{7}-b^{7}=7ab(a+b)(a^{2}+ab+b^{2})^{2}$
d) $(a+b+c)^{5}-(b+c-a)^{5}-(c+a-b)^{5}-(a+b-c)^{5}=80abc(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle.
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