# Colorimétrie/Lois de Grassmann

Les lois de Grassmann sont à la base de tout calcul colorimétrique. Les études menées par Hermann Grassmann au XIXe siècle sur la perception humaine des couleurs l'ont mené à énoncer 3 lois en 1853. Ces lois expriment le principe de la trichromie : une sensation colorée peut être égalisée par un mélange additif de trois couleurs primaires convenablement choisies. Elles sont mentionnées avec des énoncés variables qui ont probablement peu de rapports avec les énoncés originaux datant du XIXe siècle. En termes modernes, elles se réduisent à trois propositions.
* Pour caractériser une sensation colorée, trois paramètres sont nécessaires et suffisants ;
* Dans un mélange additif, ce sont les sensations colorées procurées par les couleurs qui importent et non leurs compositions spectrales ;
* Dans un mélange additif de lumières, le résultat évolue graduellement si on modifie graduellement l'intensité d'une ou plusieurs lumières.
On retrouve fréquemment ces règles énoncées par des formules mathématiques comme indiquées dans la suite de ce chapitre. Les notations utilisées diffèrent considérablement selon les auteurs. Les lois de Grassman, sous cette forme, sont applicables à tous les systèmes colorimétriques linéaires.

## Première loi : trichromie ou trivariance visuelle

Toute sensation colorée peut être reproduite par un mélange additif de trois couleurs primaires convenablement choisies. Pour une couleur quelconque $\{C\}$, l’égalisation de la sensation colorée se notera :
    $\{C\}\equiv R.\{R\}+V.\{V\}+B.\{B\}$ aussi noté $\{C\}\equiv {\begin{pmatrix}R\\V\\B\end{pmatrix}}$ .
* Symbole : l'égalisation de la sensation, symbolisée par le signe $\equiv$, est fondée sur le principe du métamérisme, selon lequel deux couleurs perçues de façon identique n'ont pas nécessairement la même composition spectrale.
* Primaires : $\{R\},~\{V\},~\{B\}$ représentent les couleurs primaires utilisées. Elles peuvent être aussi bien réelles (dans le cas des systèmes RGB) que virtuelles (dans le cas des systèmes XYZ ou UVW).
* Composantes : $R,~V,~B$ représentent les coefficients selon lesquels il faut modifier les primaires et sont appelées composantes.
* Valeurs négatives : selon le système adopté, les composantes peuvent prendre des valeurs négatives dans le cas de couleurs très saturées. Par exemple pour un cyan, il faut lui ajouter du rouge pour le délaver : $\{C\}+4.\{R\}\equiv 12.\{V\}+15.\{B\}\Leftrightarrow \{C\}\equiv 12.\{V\}+15.\{B\}-4.\{R\}$.
Les propriétés de symétrie et de transitivité découlent du principe de la trivariance. En effet, si
    $\{C_{1}\}\equiv \{C_{2}\}$ et $\{C_{2}\}\equiv \{C_{3}\}$,
alors
    $\{C_{2}\}\equiv \{C_{1}\}$ (symétrie) et $\{C_{1}\}\equiv \{C_{3}\}$ (transitivité).

## Deuxième loi : additivité

La sensation colorée provoquée par un mélange additif de deux ou plusieurs lumières colorées est égalisée par la somme des intensités des primaires correspondant à chacune des lumières. Soient 2 couleurs égalisées par :
    $\{C_{1}\}\equiv {\begin{pmatrix}R_{1}\\V_{1}\\B_{1}\end{pmatrix}}$ et $\{C_{2}\}\equiv {\begin{pmatrix}R_{2}\\V_{2}\\B_{2}\end{pmatrix}}$ ;
alors la couleur C obtenu par synthèse additive est définie par :
    $\{C\}\equiv \{C_{1}\}+\{C_{2}\}\equiv {\begin{pmatrix}R_{1}+R_{2}\\V_{1}+V_{2}\\B_{1}+B_{2}\end{pmatrix}}$ .
Il en découle que si $\{C_{1}\}\equiv \{C_{2}\}$ et $\{C_{3}\}\equiv \{C_{4}\}$, alors $\{C_{1}\}+\{C_{4}\}\equiv \{C_{2}\}+\{C_{4}\}$ et $\{C_{1}\}+\{C_{3}\}\equiv \{C_{2}\}+\{C_{4}\}$.

## Troisième loi : continuité ou dilatation

Si une lumière colorée baisse ou augmente en intensité, il faut, pour l'égaliser, modifier les trois primaires dans les mêmes proportions.
    $\{C'\}\equiv k.\{C\}\equiv {\begin{pmatrix}k.R\\k.V\\k.B\end{pmatrix}}$ .