# Naissance et développement de la théorie des nombres

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## Premiers résultats

La théorie des nombres ne deviendra une science qu’au XVIIIe siècle avec l’apport de Carl Friedrich Gauss, mais certains résultats qui lui sont affiliés datent de l’Antiquité et sont réunis dans les livres VII à IX des Éléments d’Euclide. On y trouve en particulier la démonstration du fait que les nombres premiers sont en nombre infini, les notions et le calcul du PPCM (plus petit commun multiple) et du PGCD (plus grand commun diviseur), notamment grâce à l’algorithme d’Euclide, et un critère pour construire des nombres parfaits pairs (nombres égaux à la somme de tous leurs diviseurs excepté eux-mêmes).
Puis, Diophante d’Alexandrie exposera dans son Arithmétique (dont seulement 6 livres sur 12 nous sont parvenus) une somme de problèmes et leurs résolutions. Il introduit notamment la notation de l’inconnue par ς (qui deviendra le x moderne) et c’est en son honneur que sont nommées les équations diophantiennes, dont les solutions sont cherchées en nombres entiers ou rationnels. C’est l’un des rares domaines des mathématiques antiques bénéficiant toujours d’intenses travaux modernes (la démonstration du dernier théorème de Fermat par Andrew Wiles en 1995 en témoigne suffisamment).

## Nouveau départ

Les XVIIe et XVIIIe siècles connaîtront respectivement deux maîtres de la théorie des nombres : Pierre de Fermat (1601-1665) et Leonhard Euler (1707-1783). Fermat, simple amateur de mathématiques, formulera ses théorèmes arithmétiques en fonction de la lecture de son exemplaire de l’Arithmétique (traduit par Bachet de Meziriac) abondamment annoté. C’est également dans certaines de ses lettres au père Marin Mersenne qu’il en parlera. On lui doit notamment :
* le petit théorème de Fermat ;
* le théorème des nombres polygonaux de Fermat :
       tout nombre entier est la somme de trois nombres triangulaires, quatre nombres carrés, cinq nombres pentagonaux, etc.
    C’est cette conjecture qui éveillera l’intérêt d’Euler pour la théorie des nombres ;
* la conjecture des nombres premiers de Fermat. Elle affirme que
       tout nombre de Fermat est premier.
    C’est la seule affirmation dont Fermat disait n’avoir aucune preuve mais elle semblait confirmée par les premiers cas qu’il avait calculés. Mais pour cause : Euler montrera que le cinquième nombre de Fermat n’est pas premier.
    Remarque : Mersenne formula une conjecture similaire sur les nombres de Mersenne, et de nos jours on ne sait toujours pas si ces nombres contiennent une infinité de nombres premiers ;
* le dernier ou grand théorème de Fermat. Il énonce que
       toute puissance supérieure ou égale à 3 ne peut être la somme de deux autres puissances identiques (en nombres entiers).
    Ce n’est qu’en 1995 qu’a été démontré ce très récalcitrant théorème.
Fermat n’a jamais fourni aucune démonstration des théorèmes ci-dessus mais il affirmait les avoir trouvées. Néanmoins, Fermat a laissé un exemple de nouveau type de démonstration qu’il a baptisé descente infinie, mélange de raisonnement par récurrence et par l’absurde. C’est par cette méthode qu’il a établi le Théorème de Fermat sur les triangles rectangles, le seul des théorèmes évoqués dans ses 48 Observations dont il ait fourni une démonstration. Le corollaire immédiat est la preuve du cas n = 4 de son grand théorème.
Quoi qu’il en soit, c’est à Leonhard Euler que l’on devra la plupart des démonstrations des conjectures de Fermat. L’intérêt d’Euler pour l’arithmétique est dû à Christian Goldbach qui, lors d’un de leurs échanges de lettres, lui soumet la conjecture des nombres polygonaux de Fermat ; Euler est vivement intéressé et se plonge dans les papiers du grand homme.
Il étudie le petit théorème de Fermat et en donne une généralisation connue sous le nom de théorème d’Euler-Fermat où il introduit la fonction appelée indicatrice d’Euler. Grâce à ce premier travail, il est en mesure de réfuter la conjecture des nombres de Fermat en montrant que le cinquième nombre de Fermat est divisible par 641.
Euler est également très intéressé par les sommes de carrés et arrive à montrer que tout nombre entier est somme d’au plus quatre carrés de rationnels, mais il devait revenir au comte de Lagrange l’honneur de démontrer que les carrés d'entiers suffisent. La démonstration de Lagrange était assez compliquée et fut simplifiée par Euler ; il en est souvent allé ainsi à cette époque : ce que l’un ne démontrait pas, l’autre s’en chargeait.
Mais Euler n’arriva jamais à démontrer deux conjectures : il formula la loi de réciprocité quadratique et son ami Goldbach lui soumit sa célèbre conjecture (tout entier pair supérieur à 3 est somme de deux nombres premiers), qui n'est toujours pas démontrée à ce jour.

## Organisation et perfectionnement

L’on voit de tout ce qui précède que l'arithmétique est restée un art, une suite de problèmes et de résultats assez inextricables, une « jungle » de propriétés. Mais tout change en 1801 (annus mirabilis de l'arithmétique) lorsque Carl Friedrich Gauss publie ses Disquisitiones arithmeticae (Recherches arithmétiques), ouvrage fondateur et organisateur où l’auteur de 24 ans relie entre elles les découvertes de ses prédécesseurs et les siennes propres.
Tout est articulé autour de la notion de congruence, introduite dans la section I. Tout au long des autres sections, Gauss construit l’édifice de la science arithmétique : il étudie les formes quadratiques, démontre la loi de réciprocité quadratique d’Euler et inclut une section sur la division régulière du cercle à la règle et au compas (Gauss avait trouvé le processus de construction de l’heptadécagone régulier).
Il a également conjecturé (sous une forme équivalente) le théorème des nombres premiers, qui ne sera démontré qu’à la fin de son siècle, après sa mort (voir infra).

## Théorie analytique des nombres

Un des élèves de Gauss, Bernard Riemann, apporta une unique contribution à l'arithmétique, mais quelle contribution ! Dans un article de sept pages, il prolonge la fonction zêta d’Euler aux nombres complexes et conjecture une propriété de ses zéros complexes (points où la fonction s’annule) : c’est l’hypothèse de Riemann :
    Tous les zéros non triviaux de la fonction zêta ont pour partie réelle 1/2.
Cette droite est appelée par Riemann droite critique ; de plus, tous les zéros non triviaux ont pour partie réelle un nombre situé dans la bande critique (de 0 à 1).
L’absence de zéros de partie réelle 1 constitue une démonstration du théorème des nombres premiers et sera prouvée indépendamment par Charles-Jean De La Vallée Poussin et Jacques Hadamard, en 1896.

## Bibliographie pour aller plus loin

* Gauss, une révolution de la théorie des nombres, coll. « Génies mathématiques »
    Présentation historique du réformateur de l'arithmétique, très complet.
* Marc Guinot, Arithmétique pour Amateur, Aléas
** tome 1 : Pythagore, Euclide et toute la Clique
** tome 2 : Les Resveries de Fermat
** tome 3 : Ce diable d’homme d’Euler
    Ces trois tomes constituent une excellente formation (avec démonstrations) à l'arithmétique, exécutée avec humour par l’auteur. Très agréable à lire.
* Les Éléments d’Euclide
* Arithmétique de Diophante
* Œuvres de Fermat
* Algebra de Leonhard Euler
Le tome 2 est consacré à l’analyse indéterminée, ou la résolution d’équations diophantiennes.
* Disquisitiones arithmeticae de Gauss