# Théorie des groupes/Homomorphismes d'un groupe fini dans le groupe multiplicatif du corps des nombres complexes

Dans ce chapitre, quelque peu trivial, nous allons voir essentiellement que si G est un groupe fini, si D(G) désigne le dérivé de G, si on connaît une décomposition du groupe abélien G/D(G) en produit direct de groupes cycliques (dans le cas où G est abélien, connaître une décomposition de G/D(G) en produit direct de groupes cycliques revient évidemment à connaître une telle décomposition de G), on peut expliciter facilement les homomorphismes de G dans le groupe multiplicatif $\mathbb {C} ^{\times }$ du corps des nombres complexes. Cela nous servira dans un chapitre ultérieur sur les caractères complexes des groupes finis.
Soient G un groupe et A un groupe abélien, notés multiplicativement, soient f et g deux homomorphismes de G dans A. L'application $f\star g:x\to f(x)g(x)$ (produit de f et g « point par point ») est un homomorphisme de G dans A.
Démonstration (triviale). Soient x, y des éléments de G. Nous avons
    $(f\star g)(xy)=f(xy)g(xy),$
d'où, puisque f et g sont des homomorphismes,
    $(f\star g)(xy)=f(x)f(y)g(x)g(y).$
Puisque le groupe d'arrivée est commutatif, cela peut s'écrire
    $(f\star g)(xy)=f(x)g(x)f(y)g(y),$
autrement dit
    $(f\star g)(xy)=(f\star g)(x)(f\star g)(y),$
ce qui prouve que $f\star g$ est un homomorphisme de G dans A.
Soient G un groupe et A un groupe abélien. L'ensemble Hom(G, A) des homomorphismes de G dans A, muni de la loi de composition définie point par point à partir de celle de A, est un groupe abélien dont l'élément neutre est l'homomorphisme trivial (constant de valeur neutre).
Démonstration (triviale). Notons G et A multiplicativement et notons $\star$ la loi de composition définie point par point dans Hom(G, A) à partir de celle de A. Soient f, g, h des éléments de Hom(G, A), soit x un élément de G. Alors $(f\star g)\star h$ applique x sur $(f\star g)(x)h(x)=f(x)g(x)h(x)=f(x)(g\star h)(x)=(f\star (g\star h))(x),$ donc $(f\star g)\star h=f\star (g\star h),$, ce qui prouve que la loi $\star$ est associative. Comme A est abélien, nous avons $(f\star g)(x)=f(x)g(x)=g(x)f(x)=(g\star f)(x),$ donc $f\star g=g\star f,$ ce qui prouve que la loi $\star$ est commutative. Si e désigne l'homomorphisme trivial (constant de valeur 1) de G dans A, alors pour tout homomorphisme f de G dans A et pour tout élément x de G,
    $(f\star e)(x)=f(x)e(x)=f(x)1=f(x),$ donc $f\star e=f$ et, de même, $e\star f=f$, donc e est neutre pour la loi $\star$.
Si f est un élément de Hom(G, A), l'application ${\check {f}}:x\to f(x)^{-1}$ est elle aussi un élément de Hom(G, A), car, pour tous x, y dans G,
    ${\check {f}}(xy)=f(xy)^{-1}=(f(x)f(y))^{-1}=f(y)^{-1}f(x)^{-1}={\check {f}}(y){\check {f}}(x)={\check {f}}(x){\check {f}}(y)$ puisque A est abélien.
De plus, nous avons, pour tout x dans G,
    $(f\star {\check {f}})(x)=f(x){\check {f}}(x)=f(x)f(x)^{-1}=1,$
donc $f\star {\check {f}}=e$, ce qui prouve que pour tout élément f de Hom(G, A), ${\check {f}}$ est l'inverse de f pour la loi $\star$.
Quand nous parlerons du groupe Hom(G, A) (pour un groupe G et un groupe abélien A), il s'agira de la structure de groupe abélien qu'on vient de définir sur l'ensemble Hom(G, A).
Soit A un groupe abélien, noté multiplicativement, soit n un nombre naturel. Les éléments a de A tels que $a^{n}=1$ forment un sous-groupe de A.
Démonstration. On peut dire par exemple qu'en raison de la commutativité de A, la transformation $x\to x^{n}$ de A est un endomorphisme. L'ensemble des éléments a de A tels que $a^{n}=1$ est le noyau de cet endomorphisme et est donc un sous-groupe de A.
Pour un groupe abélien G et un nombre naturel n, on notera $G_{[n]}$ le sous-groupe de G formé par les éléments x de G tels que (en notation multiplicative) $x^{n}=1$.
Soit G un groupe cyclique d'ordre n, soit A un groupe abélien. Les groupes Hom(G, A) et $A_{[n]}$ sont isomorphes. Plus précisément, si g est un générateur du groupe cyclique G, si $\varphi _{g}$ désigne l'application de $A_{[n]}$ dans $\mathrm {Hom} (G,A)$ qui à tout élément h de $A_{[n]}$ fait correspondre l'unique homomorphisme de G dans H qui applique g sur h, $\varphi _{g}$ est un isomorphisme du groupe $A_{[n]}$ sur le groupe $\mathrm {Hom} (G,A)$.
Démonstration. On notera G et A multiplicativement. Comme dans l'énoncé, soit g un générateur de G, c'est-à-dire un élément d'ordre n de G. Pour alléger les notations, on écrira $\varphi$ au lieu de $\varphi _{g}$. Soit h un élément de $A_{[n]}$. Alors h est un élément de A tel que $h^{n}=1$, donc, d'après le chapitre Groupes monogènes, ordre d'un élément, il existe un et un seul homomorphisme de G dans A qui applique g sur h.
Considérons l'application
    $\varphi :A_{[n]}\rightarrow \mathrm {Hom} (G,A)$
qui à tout élément h de $A_{[n]}$ fait correspondre l'homomorphisme de G dans H qui applique g sur h. (Donc $\varphi$ dépend de g.)
Prouvons que $\varphi$ est un homomorphisme de groupes de $A_{[n]}$ dans Hom(G, A). Si h, h' sont deux éléments de $A_{[n]}$, $\varphi (hh')$ est l'unique homomorphisme de G dans H qui applique g sur h h'. Or $\varphi (h)\star \varphi (h')$ (où $\star$ désigne la loi de groupe de Hom(G, A)) applique G sur h h', donc (unicité) $\varphi (hh')=\varphi (h)\star \varphi (h')$, ce qui montre bien que $\varphi$ est un homomorphisme de groupes de $A_{[n]}$ dans Hom(G, A). Si f est un homomorphisme de G dans A, alors, puisque G est d'ordre n, f prend ses valeurs dans $A_{[n]}$. Nous pouvons donc considérer l'application
    $\psi :\mathrm {Hom} (G,A)\rightarrow A_{[n]}:f\mapsto f(g).$
(L'application $\psi$ dépend de g.) Pour tout élément h de $A_{[n]}$, $(\psi \circ \varphi )(h)$ est égal à $\psi (\varphi (h))$ et est donc la valeur de $\phi (h)$ en g. Par définition de $\phi$, la valeur de $\phi (h)$ en g est h, donc $(\psi \circ \varphi )(h)=h$, donc
    (1) $\psi \circ \varphi$ est la transformation identique de $A_{[n]}.$
D'autre part, pour tout f dans Hom(G, A), nous avons
    $(\varphi \circ \psi )(f)=\varphi (\psi )(f))$,
d'où, par définition de $\psi$,
    (2) $(\varphi \circ \psi )(f)=\varphi (f(g)).$
Par définition de $\varphi$, $\varphi (f(g))$ est l'unique homomorphisme de G dans A qui applique g sur f(g) et cet unique homomorphisme est évidemment f. Donc la relation (2) peut s'écrire
    $(\varphi \circ \psi )(f)=f,$
donc $\varphi \circ \psi$ est la transformation identique de Hom(G, A). Joint à (1), cela montre que les applications $\varphi$ et $\psi$ sont des bijections réciproques l'une de l'autre, donc l'homomorphisme $\varphi$ est un isomorphisme de $A_{[n]}$ sur Hom(G, A).
Notation. On notera $\mathbb {C} ^{\times }$ le groupe multiplicatif du corps $\mathbb {C}$, c'est-à-dire le groupe obtenu en munissant l'ensemble des nombres complexes non nuls de la multiplication ordinaire dans $\mathbb {C}$.
Soient G un groupe et A un groupe abélien; on suppose que G est produit direct
    $G=G_{1}\times \cdots \times G_{r}$
de ses sous-groupes $G_{1},\ldots ,G_{r}$. (Cela revient à dire que G est somme restreinte interne de $G_{1},\ldots ,G_{r}$.) Alors Hom(G, A) est isomorphe au produit direct (qui, dans ce cas, est aussi la somme directe externe) des groupes $\mathrm {Hom} (G_{1},A),\ldots ,\mathrm {Hom} (G_{r},A)$. Plus précisément, si pour tout f dans Hom(G, A) et tout i dans {1, ... , r}, on désigne par $f_{i}$ la restriction de f à G$_i$ (autrement dit $f_{i}$ est le composé
       $G_{i}{\stackrel {incl_{i}}{\rightarrow }}G{\stackrel {f}{\rightarrow }}A$,
où $incl_{i}$ désigne la i-ième inclusion $G_{i}\rightarrow G:x\to x$), alors l'application
    $\varphi :\mathrm {Hom} (G,A)\rightarrow \mathrm {Hom} (G_{1},A)\times \mathrm {Hom} (G_{r},A):f\to (f_{1},\ldots f_{r})$
est un isomorphisme de $\mathrm {Hom} (G,A)$ sur la somme directe externe $\mathrm {Hom} (G_{1},A)\times \mathrm {Hom} (G_{r},A)$. L'isomorphisme réciproque de $\varphi$ est l'isomorphisme
    $\psi :\mathrm {Hom} (G_{1},A)\times \mathrm {Hom} (G_{r},A)\rightarrow \mathrm {Hom} (G,A)$
qui applique l'élément $(f_{1},\ldots f_{r})$ de $\mathrm {Hom} (G_{1},A)\times \mathrm {Hom} (G_{r},A)$ sur l'unique homomorphisme f de G dans A qui, pour tout i, coïncide avec $f_{i}$ sur $G_{i}$. (Cet homomorphisme f est tel que, pour tous $x_{1}\in G_{1},\ldots x_{r}\in G_{r}$, on ait
    $f(x_{1}\cdots x_{r})=f_{1}(x_{1})\cdots f_{r}(x_{r})$.)
Démonstration. Prouvons d'abord que $\varphi$ est un homomorphisme. On notera le produit dans $\mathrm {Hom} (G,A)$ et dans les $\mathrm {Hom} (G_{i},A)$ par juxtaposition. Si f et g sont des éléments de $\mathrm {Hom} (G,A)$,
    $\varphi (fg)$ est le r-uplet $((fg)_{1},\ldots (fg)_{r})$.
Pour tout i, $(fg)_{i}=f_{i}g_{i}$, donc le dernier résultat s'écrit
    $\varphi (fg)=(f_{1}g_{1},\ldots f_{r}g_{r})$,
d'où, par définition de la loi de composition dans la somme directe externe,
    $\varphi (fg)=(f_{1},\ldots f_{r})(g_{1},\ldots g_{r})$,
    $\varphi (fg)=\varphi (f)\varphi (g)$,
ce qui prouve que $\varphi$ est un homomorphisme de $\mathrm {Hom} (G,A)$ sur la somme directe externe $\mathrm {Hom} (G_{1},A)\times \mathrm {Hom} (G_{r},A)$. Prouvons maintenant que cet homomorphisme est bijectif. Il s'agit de prouver que si $(f_{i})_{1\leq i\leq r}$ est un r-uplet tel que, pour tout i, $f_{i}$ soit un homomorphisme de $G_{i}$ dans $A$, il existe un et un seul homomorphisme f de G dans A qui, pour tout i coïncide avec f$_i$ dans G. Cela résulte de la « propriété universelle de la somme restreinte » démontrée au chapitre Produit de groupes. (On peut préciser que si un élément x de G se décompose en $x_{1}\cdots x_{r}$ avec $x_{i}\in G_{i}$ pour tout i, alors f applique x sur $f_{1}(x_{1})\cdots f_{r}(x_{r})$.) Donc $\varphi$ est un isomorphisme. La caractérisation de l'isomorphisme réciproque $\psi$ résulte immédiatement du fait que, pour
    $(f_{1},\ldots f_{r})\in \mathrm {Hom} (G_{1},A)\times \mathrm {Hom} (G_{r},A)$,
l'homomorphisme $f=\psi (f_{1},\ldots f_{r})$ doit, pour chaque i, coïncider avec f$_i$ dans G$_i$.
Soit n un nombre naturel non nul. Les racines n-ièmes de l'unité dans $\mathbb {C}$ forment un sous-groupe cyclique d'ordre n du groupe $\mathbb {C} ^{\times }$.
Démonstration. Une racine n-ième de l'unité est de valeur absolue 1, donc est de la forme $e^{\theta i}=\cos \theta +i\sin \theta$ pour un certain nombre réel $\theta$ (avec $i^{2}=-1$). Dire qu'un tel nombre est racine n-ième de l'unité revient à dire que $e^{n\theta i}=1$, autrement dit $\cos n\theta +i\sin n\theta =1$, ce qui a lieu si et seulement si $n\theta$ est de la forme $2k\pi$ avec $k\in \mathbb {Z}$. Donc les racines n-ièmes de l'unité sont les nombres $e^{{\frac {2k\pi }{n}}i}$. Pour deux entiers rationnels k, k', nous avons $e^{{\frac {2k\pi }{n}}i}=e^{{\frac {2k'\pi }{n}}i}$ si et seulement $k\equiv k'\mod {n}$, donc les racines de l'unité sont les n nombres distincts $e^{{\frac {2k\pi }{n}}i}$, où k parcourt 0, 1, ... , n-1. Elles forment donc un sous-groupe d'ordre n de $\mathbb {C} ^{\times }$, engendré par l'élément $e^{{\frac {2\pi }{n}}i}$, ce qui prouve l'énoncé.
Remarque. Le fait que les racines n-ièmes de l'unité dans $\mathbb {C}$ soient en nombre n exactement peut aussi se déduire des deux faits suivants : 1° le ploynôme $X^{n}-1$ se décompose en facteurs linéaires dans $\mathbb {C} [X]$ (« théorème fondamental de l'algèbre » ; 2° le polynôme $X^{n}-1$, ayant $nX^{n-1}$ pour dérivé, n'a clairement pas de racine double. Dès lors, le fait que les racines n-ièmes de l'unité dans $\mathbb {C}$ forment un groupe cyclique peut se déduire du théorème selon lequel tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif d'un corps commutatif est cyclique (chapitre Automorphismes d'un groupe cyclique).
Notation. Pour un groupe G, on notera $G^{\star }$ le groupe $\mathrm {Hom} (G,\mathbb {C} ^{\times })$.
Soit G un groupe abélien fini, soit $G=<a_{1}>\times \cdots <a_{r}>$ une décomposition de G en somme directe (interne) de sous-groupes cycliques. (D'après le chapitre /Groupes commutatifs finis, 1, il existe de telles décompositions de G.) Pour tout $i\in \{1,...,r\}$, soit $n_{i}$ l'ordre du sous-groupe $<a_{i}>$ de G, autrement dit l'ordre de $a_{i}$. 1° Pour tout r-uplet $(b_{1},\ldots ,b_{r})\in \mathbb {C} _{[n_{1}]}^{\times }\times \cdots \times \mathbb {C} _{[n_{r}]}^{\times }$, il existe un et un seul homomorphisme $f_{b_{1},\ldots b_{r}}$ de $G$ dans $\mathbb {C} ^{\times }$ tel que, pour tout i,
    $f_{b_{1},\ldots b_{r}}(a_{i})=b_{i}.$
(L'homomorphisme $f_{b_{1},\ldots b_{r}}$ dépend de $a_{1},\ldots a_{r}$, ce que la notation $f_{b_{1},\ldots b_{r}}$ laisse implicite.) 2° L'application $(b_{1},\ldots b_{r})\to f_{b_{1},\ldots b_{r}}$ est un isomorphisme du groupe $\mathbb {C} _{[n_{1}]}^{\times }\times \cdots \times \mathbb {C} _{[n_{r}]}^{\times }$ sur le groupe $G^{\star }=\mathrm {Hom} (G,\mathbb {C} ^{\times })$. 3° Le groupe $G^{\star }$ est isomorphe à G.
Démonstration. Pour un élément b de $\mathbb {C} _{[n_{i}]}^{\times }$, désignons par $h_{i,b}$ l'unique homomorphisme de $<a_{i}>$ dans $\mathbb {C} ^{\times }$ qui applique a$_i$ sur b. (On a rappelé l'existence de $h_{i,b}$ dans la démonstration de l'énoncé 4.) D'après l'énoncé 4, $b\to >h_{i,b}$ définit un isomorphisme de $\mathbb {C} _{[n_{i}]}^{\times }$ sur $\mathrm {Hom} (<a_{i}>,\mathbb {C} ^{\times })=<a_{i}>^{\star }$. Donc (chapitre Produit de groupes)
    $(b_{1},\ldots ,b_{r})\to (h_{1,b_{1}},\ldots ,h_{r,b_{r}})$
définit un isomorphisme $\lambda$ de $\mathbb {C} _{[n_{1}]}^{\times }\times \cdots \times \mathbb {C} _{[n_{r}]}^{\times }$ sur $<a_{1}>^{\star }\cdots <a_{r}>^{\star }$. D'autre part, d'après l'énoncé 5, il existe un (et un seul) isomorphisme
    $\psi :<a_{1}>^{\star }\cdots <a_{r}>^{\star }\rightarrow \mathrm {Hom} (G,\mathbb {C} ^{\star })$
tel que, pour tout $(f_{1},\ldots f_{r})\in <a_{1}>^{\star }\cdots <a_{r}>^{\star }$,
    $\psi (f_{1},\ldots f_{r})$ soit l'unique homomorphisme de G dans $\mathrm {C} ^{\times }$ qui, pour tout i, coïncide avec $f_{i}$ sur $<a_{i}>^{\star }$.
Alors $\psi \circ \lambda$ est un isomorphisme de $\mathbb {C} _{[n_{1}]}^{\times }\times \cdots \times \mathbb {C} _{[n_{r}]}^{\times }$ sur $G^{\star }$ tel que, pour tout élément $(b_{1},\ldots ,b_{r})$ de $\mathbb {C} _{[n_{1}]}^{\times }\times \cdots \times \mathbb {C} _{[n_{r}]}^{\times }$,
    $\psi \circ \lambda (b_{1},\ldots ,b_{r})$ soit l'unique homomorphisme de G dans $\mathbb {C} ^{\star }$ qui, pour tout i, coïncide avec $h_{,b_{i}}$ sur $<a_{i}>^{\star }$.
Mais l'unique homomorphisme de G dans $\mathbb {C} ^{\star }$ qui, pour tout i, coïncide avec $h_{,b_{i}}$ sur $<a_{i}>^{\star }$ est l'unique homomorphisme de G dans $\mathbb {C} ^{\star }$ qui, pour tout i, applique a$_i$ sur b$_i$. Nous avons donc prouvé que (1) pour tout élément $(b_{1},\ldots ,b_{r})$ de $\mathbb {C} _{[n_{1}]}^{\times }\times \cdots \times \mathbb {C} _{[n_{r}]}^{\times }$, il existe un et un seul homomorphisme $f_{b_{1},\ldots b_{r}}$ de $G$ dans $\mathbb {C} ^{\times }$ tel que, pour tout i,
    $f_{b_{1},\ldots b_{r}}(a_{i})=b_{i}$ ;
(2) $\psi \circ \lambda$ est un isomorphisme de $\mathbb {C} _{[n_{1}]}^{\times }\times \cdots \times \mathbb {C} _{[n_{r}]}^{\times }$ sur $G^{\star }$ qui applique l'élément $(b_{1},\ldots ,b_{r})$ de $\mathbb {C} _{[n_{1}]}^{\times }\times \cdots \times \mathbb {C} _{[n_{r}]}^{\times }$ sur $f_{b_{1},\ldots b_{r}}$. Cela démontre les deux premières assertions de l'énoncé. Nous avons vu que $\psi$ est un isomorphisme du produit externe $<a_{1}>^{\star }\cdots <a_{r}>^{\star }$ sur $G^{\star }$ ; retenons que
    (3) $G^{\star }$ est isomorphe à $<a_{1}>^{\star }\cdots <a_{r}>^{\star }$.
D'autre part, en faisant $A=\mathbb {C} ^{\times }$ dans l'énoncé 4 et en tenant compte de l'énoncé 6, nous trouvons que $<a_{i}>^{\star }$ est un groupe cyclique d'ordre $n_{i}$, donc
    (4) $\qquad <a_{i}>^{\star }$ est isomorphe à $a_{i}$.
D'après le chapitre Produit de groupes, il résulte de (4) que $<a_{1}>^{\star }\times <a_{r}>^{\star }$ est isomorphe à la somme directe externe $<a_{1}>\times <a_{r}>$. Comme G est lui-même isomorphe à cette somme directe externe, il résulte de (1) que $G^{\star }$ est isomorphe à G, ce qui achève la démonstration.
Remarques. 1° L'isomorphisme de G sur G* fourni par l'énoncé 7 dépend d'une décomposition de G en somme directe de sous-groupes cycliques et du choix d'un générateur dans chacun de ces groupes cycliques. L'énoncé 7 ne fournit donc pas un isomorphisme « canonique » de G sur G*. 2° Si G est un groupe abélien fini, G* en est un lui aussi (par exemple parce qu'on vient de voir que G* est isomorphe à G). Nous pouvons donc remplacer G par G* dans la partie de l'énoncé 7 selon laquelle G* est isomorphe à G. Nous trouvons ainsi que G** est isomorphe à G. On verra même dans les exercices qu'on peut définir un isomorphisme « canonique » de G sur G**. 3° L'énoncé 7 montre en particulier que si G est un groupe abélien fini, on peut expliciter les homomorphismes de G dans $\mathbb {C} ^{\star }$ de la façon suivante : on choisit une décomposition $<a_{1}>\times <a_{r}>$ de G en somme directe (interne) de sous-groupes cycliques ; $n_{i}$ désignant, pour tout i, l'ordre de $a_{i}$, on fait parcourir par $(b_{1},\ldots b_{r})$ les r-uplets formant l'ensemble $\mathbb {C} _{[n_{1}]}^{\times }\times \cdots \times \mathbb {C} _{[n_{r}]}^{\times }$ ; à chacun de ces r-uplets, il correspond un unique homomorphisme de G dans $\mathbb {C} ^{\star }$ qui applique $a_{1}$ sur $b_{1}$, ... , $a_{r}$ sur $b_{r}$ ; deux de ces r-uplets fournissent des homomorphismes distincts et on obtient ainsi tous les homomorphismes de G dans $\mathbb {C} ^{\star }$. C'est cette partie (assez pauvre et, en somme, triviale) de l'énoncé 7 que nous utiliserons dans un chapitre sur les caractères complexes des groupes finis. 4° Soient G un groupe (non forcément abélien) et A un groupe abélien, soit $\pi$ l'homomorphisme canonique de G sur G/D(G) ; nous avons vu au chapitre Commutateurs, groupe dérivé que $g\to g\circ \pi$ définit une bijection de Hom(G/D(G), A) sur Hom(G, A). En particulier, si G est un groupe fini (non forcément abélien), $g\to g\circ \pi$ définit une bijection de $\mathrm {Hom} (G/D(G),\mathbb {C} ^{\times })$ sur $\mathrm {Hom} (G,\mathbb {C} ^{\times })$. Joint à la remarque précédente, cela permet de déterminer les homomorphismes de G dans $\mathbb {C} ^{\times }$ à partir d'une décomposition du groupe abélien G/D(G) en somme directe de sous-groupes cycliques.
| Automorphismes d'un groupe cyclique | Produit semi-direct |