# Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Changement de référentiels

Les changements de référentiels sont utilisés en physique lors de l'étude du mouvement de points mais aussi Les changements de référentiels sont utilisés en physique lors de l'utilisation de champ vectoriel dépendant implicitement du temps ainsi que Les changements de référentiels sont utilisés dans d'autres domaines comme celui de la S.I., d'où Les changements de référentiels sont utilisés en physique le classement de ce chapitre dans la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », Les changements de référentiels sont utilisés en physique d'autant plus que les démonstrations des propriétés ont un aspect fortement mathématique.

## Position du problème

Soit un 1er référentiel d'espace $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ appelé « référentiel absolu » et Soit un 2ème référentiel d'espace $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ en mouvement relativement au précédent et appelé « référentiel d'entraînement », Soit nous nous proposons d'étudier l'influence d'un changement de référentiel sur la variation de grandeurs vectorielles $\;{\vec {C}}\;$ dépendant du temps $\;t\;$ selon $\;{\vec {C}}(t)$.
Préliminaire : le temps $\;t\;$ étant absolu, une grandeur scalaire$\;f$, non spécifique d'un référentiel$^,$ et Préliminaire : le temps $\;\color {transparent}{t}\;$ étant absolu, une grandeur scalaire$\;\color {transparent}{f}$, dépendant du temps $\;t\;$ selon $\;f(t)$, Préliminaire : le temps $\;\color {transparent}{t}\;$ étant absolu, une grandeur scalaire$\;\color {transparent}{f}$, a une dérivée temporelle restant invariante par changement de référentiel car la définition n'en dépend pas, en effet Préliminaire : le temps $\;\color {transparent}{t}\;$ étant absolu, une grandeur scalaire$\;\color {transparent}{f}$, a une dérivée temporelle restant invariante par changement de référentiel que ce soit dans $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ ou $\;{\mathcal {R}}_{e}$, la dérivée temporelle se définit Préliminaire : le temps $\;\color {transparent}{t}\;$ étant absolu, une grandeur scalaire$\;\color {transparent}{f}$, a une dérivée temporelle restant invariante par changement de référentiel selon $\;{\dfrac {df}{dt}}(t)=\lim \limits _{\delta t\,\rightarrow \,0}{\dfrac {f(t+\delta t)-f(t)}{\delta t}}\;$ avec les valeurs Préliminaire : le temps $\;\color {transparent}{t}\;$ étant absolu, une grandeur scalaire$\;\color {transparent}{f}$, a une dérivée temporelle restant invariante par changement de référentiel $f(t+\delta t)\;$ et $\;f(t)\;$ indépendantes des référentiels$^,$ Préliminaire : le temps $\;\color {transparent}{t}\;$ étant absolu, une grandeur scalaire$\;\color {transparent}{f}$, a une dérivée temporelle restant invariante par changement de référentiel $\color {transparent}{f(t+\delta t)}\;$ et $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ de même que $\;\delta t\;\ldots \;$ Par contre Préliminaire : le temps $\;\color {transparent}{t}\;$ étant absolu, une grandeur vectorielle$\;{\vec {C}}\;$ dépendant du temps $\;t\;$ selon $\;{\vec {C}}(t)$, Préliminaire : le temps $\;\color {transparent}{t}\;$ étant absolu, une grandeur vectorielle$\;\color {transparent}{{\vec {C}}}\;$ a une dérivée temporelle dépendant a priori du référentiel dans laquelle elle est effectuée comme sur l'exemple décrit ci-après : Préliminaire : le temps $\;\color {transparent}{t}\;$ étant absolu, une grandeur vectorielle$\;\color {transparent}{{\vec {C}}}\;$ soit la grandeur « champ de pesanteur terrestre » $\;{\vec {g}}(M_{0})\;$ noté plus simplement $\;{\vec {g}}_{0}\;$ ; Préliminaire : le temps $\;\color {transparent}{t}\;$ étant absolu, une grandeur vectorielle$\;\color {transparent}{{\vec {C}}}\;$ considérons d'abord comme 1er référentiel $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ la Terre et le repère cartésien lui étant lié avec le 3ème vecteur de base vertical $\;\uparrow$, Préliminaire : le temps $\;\color {transparent}{t}\;$ étant absolu, une grandeur vectorielle$\;\color {transparent}{{\vec {C}}}\;$ considérons d'abord comme 1er référentiel $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ la dérivée temporelle de $\;{\vec {g}}_{0}\;$ y est nulle c.-à-d. $\;\left[{\dfrac {d{\vec {g}}_{0}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}(t)={\vec {0}}$ ; Préliminaire : le temps $\;\color {transparent}{t}\;$ étant absolu, une grandeur vectorielle$\;\color {transparent}{{\vec {C}}}\;$ considérons maintenant comme 2ème référentiel $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ un référentiel tournant relativement à $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ Préliminaire : le temps $\;\color {transparent}{t}\;$ étant absolu, une grandeur vectorielle$\;\color {transparent}{{\vec {C}}}\;$ considérons maintenant comme 2ème référentiel $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ un référentiel tournant à vitesse angulaire constante autour d'un axe horizontal Préliminaire : le temps $\;\color {transparent}{t}\;$ étant absolu, une grandeur vectorielle$\;\color {transparent}{{\vec {C}}}\;$ considérons maintenant comme et le repère cartésien lié à $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ avec le 3ème vecteur de base initialement vertical $\;\uparrow$, Préliminaire : le temps $\;\color {transparent}{t}\;$ étant absolu, une grandeur vectorielle$\;\color {transparent}{{\vec {C}}}\;$ considérons maintenant comme 2ème référentiel $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ la dérivée temporelle de $\;{\vec {g}}_{0}\;$ n'y est plus nulle c.-à-d. $\;\left[{\dfrac {d{\vec {g}}_{0}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}(t)\neq {\vec {0}}$, Préliminaire : le temps $\;\color {transparent}{t}\;$ étant absolu, une grandeur vectorielle$\;\color {transparent}{{\vec {C}}}\;$ considérons maintenant comme 2ème référentiel $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ la composante sur le 3ème vecteur de base cartésienne variant sinusoïdalement Préliminaire : le temps $\;\color {transparent}{t}\;$ étant absolu, une grandeur vectorielle$\;\color {transparent}{{\vec {C}}}\;$ considérons maintenant comme 2ème référentiel $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ avec une fréquence égale à la fréquence de rotation de $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ et Préliminaire : le temps $\;\color {transparent}{t}\;$ étant absolu, une grandeur vectorielle$\;\color {transparent}{{\vec {C}}}\;$ considérons maintenant comme 2ème référentiel $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ avec une amplitude égale à $\;\Vert {\vec {g}}_{0}\Vert \;$.
Nous nous intéressons donc à l'influence d'un changement de référentiels d'espace sur la dérivée temporelle de grandeur vectorielle $\;{\vec {C}}(t)\;$ Nous nous intéressons donc à l'influence d'un changement de référentiels d'espace connaissant le mouvement d'entraînement du référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ relativement au référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ Nous nous intéressons donc à l'influence d'un changement de référentiels d'espace en restreignant cette étude aux entraînements de translation et de rotation autour d'un axe fixe dans les deux référentiels, Nous nous intéressons donc à l'influence d'un changement de référentiels d'espace et en commençant par l'influence sur les vecteurs vitesses d'un point ainsi que les vecteurs accélérations du même point.

## Cas d'un entraînement de translation
### Présentation du changement de référentiels lors d'un entraînement de translation

Soit un référentiel d'espace $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ appelé « référentiel absolu » et Soit un autre référentiel d'espace $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ en mouvement de translation relativement au précédent et appelé « référentiel d'entraînement » ; Soit un autre référentiel d'espace $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ un entraînement de translation $\Rightarrow$ les propriétés suivantes : Soit un autre référentiel d'espace $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ un entraînement de translation $\color {transparent}{\Rightarrow }$$\bullet \;$« les vecteurs de base cartésienne du repère lié à $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ identifiables aux vecteurs de base cartésienne du repère lié à $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$» car Soit un autre référentiel d'espace $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ un entraînement de translation $\color {transparent}{\Rightarrow }$$\color {transparent}{\bullet }\;$« le 1er étant en translation par rapport au 2nd, toute direction de $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ garde la même direction dans $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ et Soit un autre référentiel d'espace $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ un entraînement de translation $\color {transparent}{\Rightarrow }$$\bullet \;$« dériver par rapport au temps une grandeur vectorielle $\;{\vec {C}}(t)\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ est équivalent à Soit un autre référentiel d'espace $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ un entraînement de translation $\color {transparent}{\Rightarrow }$$\color {transparent}{\bullet }\;$« dériver par rapport au temps cette même grandeur vectorielle $\;{\vec {C}}(t)\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$», Soit un autre référentiel d'espace $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ un entraînement de translation $\color {transparent}{\Rightarrow }$$\color {transparent}{\bullet }\;$« la raison étant explicitée ci-dessous en repérage cartésien $\;{\big$avec utilisation de la 1ère propriété${\big )}\;$ mais Soit un autre référentiel d'espace $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ un entraînement de translation $\color {transparent}{\Rightarrow }$$\color {transparent}{\bullet }\;$« la raison restant valable dans tout repérage dont le repérage intrinsèque : Soit un autre référentiel d'espace $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ un entraînement de translation $\color {transparent}{\Rightarrow }$$\color {transparent}{\bullet }\;$« notant $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ la base cartésienne commune des repères liés à $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ et $\;{\mathcal {R}}_{a}$, Soit un autre référentiel d'espace $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ un entraînement de translation $\color {transparent}{\Rightarrow }$$\color {transparent}{\bullet }\;$« le champ vectoriel $\;{\vec {C}}(t)\;$ a les mêmes composantes cartésiennes dans les deux repères associés aux deux référentiels soit Soit un autre référentiel d'espace $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ un entraînement de translation $\color {transparent}{\Rightarrow }$$\color {transparent}{\bullet }\;$« le champ vectoriel $\;{\vec {C}}(t)=C_{x}(t)\;{\vec {u}}_{x}+C_{y}(t)\;{\vec {u}}_{y}+C_{z}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$ et Soit un autre référentiel d'espace $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ un entraînement de translation $\color {transparent}{\Rightarrow }$$\color {transparent}{\bullet }\;$« sa dérivation par rapport à $\;t\;$ revient à dériver uniquement ses composantes cartésiennes, Soit un autre référentiel d'espace $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ un entraînement de translation $\color {transparent}{\Rightarrow }$$\color {transparent}{\bullet }\;$« sa dérivation par rapport à $\;\color {transparent}{t}\;$ les vecteurs de base cartésienne étant constants dans les deux repères $\;\ldots$
D'après ce qui précède il est donc inutile de préciser dans quel référentiel la dérivée temporelle est effectuée puisque celle-ci est invariante par changement de référentiel soit
$\;\left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)\;$
$\;{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}(t)$

### Loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre

Notant $\;O_{a}\;$ l'origine du repère associé à $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ et $\;O_{e}\;$ celle du repère associé à $\;{\mathcal {R}}_{e}$, on obtient, par loi de Chasles, le lien intrinsèque entre vecteurs positions d'un point mobile $\;M$,
$\;{\overrightarrow {O_{a}M}}(t)={\overrightarrow {O_{a}O_{e}}}(t)+{\overrightarrow {O_{e}M}}(t)\;$
la dérivation temporelle, indépendante du repère dans lequel elle est effectuée, conduisant à
$\;{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}M}}}{dt}}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}O_{e}}}}{dt}}(t)+{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}M}}}{dt}}(t)\;$
on en déduit, avec les définitions des vecteurs vitesses dans $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ de $\;M\;$ et de $\;O_{e}\;$ $\bullet \;$«$\;{\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}M}}}{dt}}(t)\;$ vecteur vitesse absolue de $\;M\;$ encore noté $\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)\;$», on en déduit, avec les définitions des vecteurs vitesses dans $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ de $\;\color {transparent}{M}\;$ et de $\;\color {transparent}{O_{e}}\;$ $\bullet \;$«$\;{\vec {V}}_{O_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}O_{e}}}}{dt}}(t)\;$ vecteur vitesse absolue de $\;O_{e}\;$ encore noté $\;{\vec {V}}_{a,\,O_{e}}(t)\;$», ainsi que on en déduit, avec les définitionscelle du vecteur vitesse dans $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ de $\;M$, $\bullet \;$«$\;{\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{e}}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}M}}}{dt}}(t)\;$ vecteur vitesse relative de $\;M\;$ encore noté $\;{\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$», on en déduit, la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entrainement de translation
$\;{\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)={\vec {V}}_{O_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)+{\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{e}}(t)\;$
$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{a,\,O_{e}}(t)+{\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$

### Loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas où les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre

Dérivant par rapport à $\;t\;$ la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de translation «$\;{\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)={\vec {V}}_{O_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)+{\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{e}}(t)\;$» on obtient, Dérivant par rapport à $\;\color {transparent}{t}\;$ la dérivation temporelle étant indépendante du référentiel dans lequel on effectue la dérivation lorsque les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre,
$\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}}{dt}}(t)={\dfrac {d{\vec {V}}_{O_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}}{dt}}(t)+{\dfrac {d{\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{e}}}{dt}}(t)\;$
on en déduit, avec les définitions des vecteurs accélérations dans $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ de $\;M\;$ et de $\;O_{e}\;$ $\bullet \;$«$\;{\vec {a}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)={\dfrac {d{\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}}{dt}}(t)\;$ vecteur accélération absolue de $\;M\;$ encore noté $\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)\;$», on en déduit, avec les définitions des vecteurs accélérations dans $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ de $\;\color {transparent}{M}\;$ et de $\;\color {transparent}{O_{e}}\;$ $\bullet \;$«$\;{\vec {a}}_{O_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)={\dfrac {d{\vec {V}}_{O_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}}{dt}}(t)\;$ vecteur accélération absolue de $\;O_{e}\;$ encore noté $\;{\vec {a}}_{a,\,O_{e}}(t)\;$», ainsi que on en déduit, avec les définitionscelle du vecteur accélération dans $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ de $\;M$, $\bullet \;$«$\;{\vec {a}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{e}}(t)={\dfrac {d{\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{e}}}{dt}}(t)\;$ vecteur accélération relative de $\;M\;$ encore noté $\;{\vec {a}}_{r,\,M}(t)\;$», on en déduit, la loi de composition des vecteurs accélérations lors d'un entrainement de translation
$\;{\vec {a}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)={\vec {a}}_{O_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)+{\vec {a}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{e}}(t)\;$
$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)={\vec {a}}_{a,\,O_{e}}(t)+{\vec {a}}_{r,\,M}(t)\;$

## Cas d'un entraînement de rotation autour d'un axe fixe
### Présentation du changement de référentiels lors d'un entraînement de rotation autour d'un axe fixe

Soit le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$, Soit les vecteurs de base cartésienne des repères liés à $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ et à $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ ne peuvent pas être identifiés en effet, dans $\;{\mathcal {R}}_{a}$, les 1$^{ers}$ tournent relativement aux 2$^{nds}$ lesquels y sont fixes $\Rightarrow$ Soit les vecteurs de base cartésienne des repères liés à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ et à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ ne peuvent pas être identifiés en effet, « les dérivées temporelles d'une grandeur vectorielle $\;{\vec {C}}(t)\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ et dans $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ $\neq \;$», Soit les vecteurs de base cartésienne des repères liés à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ et à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ ne peuvent pas être identifiés en effet, « la raison étant explicitée ci-dessous en repérage cartésien mais Soit les vecteurs de base cartésienne des repères liés à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ et à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ ne peuvent pas être identifiés en effet, « la raison restant valable dans tout repérage dont le repérage intrinsèque : Soit les vecteurs de base cartésienne des repères liés à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ et à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ ne peuvent pas être identifiés en effet, « notant $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ la base cartésienne du repère lié à $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ et Soit les vecteurs de base cartésienne des repères liés à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ et à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ ne peuvent pas être identifiés en effet, « décomposant le champ vectoriel $\;{\vec {C}}(t)\;$ dans cette base liée à $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ soit Soit les vecteurs de base cartésienne des repères liés à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ et à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ ne peuvent pas être identifiés en effet, décomposant le champ vectoriel «$\;{\vec {C}}(t)=C_{x}(t)\;{\vec {u}}_{x}+C_{y}(t)\;{\vec {u}}_{y}+C_{z}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$», Soit les vecteurs de base cartésienne des repères liés à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ et à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ ne peuvent pas être identifiés en effet, « dans $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ la dérivation par rapport à $\;t\;$ n'agit que sur les composantes cartésiennes, Soit les vecteurs de base cartésienne des repères liés à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ et à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ ne peuvent pas être identifiés en effet, « dans $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ ${\big |}$les vecteurs de base cartésienne y étant constants${\big ]}\;$ soit Soit les vecteurs de base cartésienne des repères liés à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ et à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ ne peuvent pas être identifiés en effet, dans $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)={\dfrac {dC_{x}}{dt}}(t)\;{\vec {u}}_{x}+{\dfrac {dC_{y}}{dt}}(t)\;{\vec {u}}_{y}+{\dfrac {dC_{z}}{dt}}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» alors que Soit les vecteurs de base cartésienne des repères liés à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ et à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ ne peuvent pas être identifiés en effet, « dans $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ la dérivation par rapport à $\;t\;$ agit sur les composantes cartésiennes mais aussi Soit les vecteurs de base cartésienne des repères liés à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ et à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ ne peuvent pas être identifiés en effet, « dans $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ la dérivation par rapport à $\;\color {transparent}{t}\;$ agit sur les vecteurs de base du repère lié à $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ Soit les vecteurs de base cartésienne des repères liés à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ et à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ ne peuvent pas être identifiés en effet, « dans $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ la dérivation par rapport à $\;\color {transparent}{t}\;$ agit sur ${\big$non constants dans $\;{\mathcal {R}}_{a}{\big ]}\;$ soit Soit les vecteurs de base cartésienne des repères liés à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ et à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ ne peuvent pas être identifiés en effet, dans $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\dfrac {dC_{x}}{dt}}(t)\,{\vec {u}}_{x}+{\dfrac {dC_{y}}{dt}}(t)\,{\vec {u}}_{y}+{\dfrac {dC_{z}}{dt}}(t)\,{\vec {u}}_{z}+\cdots$ Soit les vecteurs de base cartésienne des repères liés à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ et à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ ne peuvent pas être identifiés en effet, dans $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ «$\;\color {transparent}{\left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=}$ $C_{x}(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)+C_{y}(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)+\cdots$ Soit les vecteurs de base cartésienne des repères liés à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ et à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ ne peuvent pas être identifiés en effet, dans $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ «$\;\color {transparent}{\left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=}$ $\color {transparent}{C_{x}(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)+}$ $C_{z}(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$» d'où Soit les vecteurs de base cartésienne des repères liés à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ et à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ ne peuvent pas être identifiés en effet, « l'affirmation «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)\neq \left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$».

### Loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où l'un des référentiels est en rotation autour d'un axe fixe de l'autre référentiel
#### Établissement de la loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où le référentiel d'entraînement est en rotation autour d'un axe fixe du référentiel absolu et en utilisant (partiellement) la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement

Le référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ est en rotation autour d'un axe $\;\Delta \;$ fixe du référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}$, Le référentiel d'entraînement $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ est en rotation avec $\;{\vec {\Omega }}\;$ pour vecteur rotation instantanée ${\big$le plus souvent constant mais Le référentiel d'entraînement $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ est en rotation avec $\;\color {transparent}{\vec {\Omega }}\;$ pour vecteur rotation instantanée $\color {transparent}{\big$pouvant, a priori, dépendre de $\;t{\big ]}$ ;
pour simplifier l'exposé nous avons choisi le 3ème vecteur $\;{\vec {u}}_{z_{a}}\;$ de la base cartésienne du repère lié au référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ pour simplifier l'exposé nous avons choisi le 3ème vecteur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{z_{a}}}\;$ porté par l'axe $\;\Delta \;$ ainsi que pour simplifier l'exposé nous avons choisi le 3ème vecteur $\;{\vec {u}}_{z}\;$ de la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ pour simplifier l'exposé nous avons choisi le 3ème vecteur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{z}}\;$ égal au précédent à savoir «$\;{\vec {u}}_{z}={\vec {u}}_{z_{a}}\;$» ;
notant $\;O_{a}\;$ l'origine du repère associé à $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ et notant $\;O_{e}\;$ celle du repère associé à $\;{\mathcal {R}}_{e}$, notant $\;\color {transparent}{O_{e}}\;$ on obtient, par loi de Chasles, le lien intrinsèque entre vecteurs positions d'un point mobile $\;M$,
$\;{\overrightarrow {O_{a}M}}(t)={\overrightarrow {O_{a}O_{e}}}(t)+{\overrightarrow {O_{e}M}}(t)\;$
la dérivation temporelle dans le repère lié à $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ définissant dans le membre de gauche le vecteur vitesse absolue du point $\;M\;$ $\Rightarrow$
$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}M}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}O_{e}}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)+\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}M}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;\;({\mathfrak {b}})\;$
« le 1er vecteur du membre de droite étant le vecteur vitesse absolue de l'origine $\;O_{e}\;$ du repère lié au référentiel d'entraînement soit $\;{\vec {V}}_{O_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)\;$ encore noté $\;{\vec {V}}_{a,\,O_{e}}(t)\;$», il reste à analyser « le 2ème vecteur $\;\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}M}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$» et pour cela nous décomposons le vecteur position du point $\;M\;$ défini dans le référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ sur la base cartésienne de ce dernier soit « le 2ème vecteur $\;\color {transparent}{\left[d{\overrightarrow {O_{e}M}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$» et pour cela nous décomposons «$\;{\overrightarrow {O_{e}M}}(t)=x(t)\;{\vec {u}}_{x}+y(t)\;{\vec {u}}_{y}+z(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» puis « le 2ème vecteur $\;\color {transparent}{\left[d{\overrightarrow {O_{e}M}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$» et pour cela nous effectuons la dérivation temporelle dans le référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ et « le 2ème vecteur $\;\color {transparent}{\left[d{\overrightarrow {O_{e}M}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$» et pour cela nous obtenons «$\;\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}M}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\dot {x}}(t)\,{\vec {u}}_{x}+{\dot {y}}(t)\,{\vec {u}}_{y}+{\dot {z}}(t)\,{\vec {u}}_{z}+x(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)+y(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)+z(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$» ; « le 2ème vecteur $\;\color {transparent}{\left[d{\overrightarrow {O_{e}M}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$» et pour cela nous y reconnaissons $\bullet \;$dans les trois 1$^{ers}$ termes du 2ème membre le vecteur vitesse relative du point $\;M\;$ ${\big$les vecteurs de base du repère lié à $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ « le 2ème vecteur $\;\color {transparent}{\left[d{\overrightarrow {O_{e}M}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$» et pour cela nous y reconnaissons $\color {transparent}{\bullet }\;$dans les trois 1$^{ers}$ termes du 2ème membre le vecteur vitesse relative du point $\;\color {transparent}{M}\;$ $\color {transparent}{\big$y étant supposés constants${\big ]}$, c.-à-d. « le 2ème vecteur $\;\color {transparent}{\left[d{\overrightarrow {O_{e}M}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$» et pour cela nous y reconnaissons $\color {transparent}{\bullet }\;$dans les trois 1$^{ers}$ termes du 2ème membre «$\;{\dot {x}}(t)\,{\vec {u}}_{x}+{\dot {y}}(t)\,{\vec {u}}_{y}+{\dot {z}}(t)\,{\vec {u}}_{z}=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}M}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)={\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{e}}(t)\;$ encore noté « le 2ème vecteur $\;\color {transparent}{\left[d{\overrightarrow {O_{e}M}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$» et pour cela nous y reconnaissons $\color {transparent}{\bullet }\;$dans les trois 1$^{ers}$ termes du 2ème membre «$\;\color {transparent}{{\dot {x}}(t)\,{\vec {u}}_{x}+{\dot {y}}(t)\,{\vec {u}}_{y}+{\dot {z}}(t)\,{\vec {u}}_{z}=\left[d{\overrightarrow {O_{e}M}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)=}$ $\;{\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» et, « le 2ème vecteur $\;\color {transparent}{\left[d{\overrightarrow {O_{e}M}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$» et pour cela nous y reconnaissons $\bullet \;$dans les trois derniers termes du 2ème membre la dérivée temporelle du vecteur $\;{\overrightarrow {O_{e}M_{c,\,t}}}(t)\;$ effectuée dans $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ avec « le 2ème vecteur $\;\color {transparent}{\left[d{\overrightarrow {O_{e}M}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$» et pour cela nous y reconnaissons $\color {transparent}{\bullet }\;$dans les trois derniers termes du 2ème membre $M_{c,\,t}\;$ le point coïncident de $\;M\;$ à la date $\;t\;$ ${\big$les composantes de $\;{\overrightarrow {O_{e}M}}\;$ « le 2ème vecteur $\;\color {transparent}{\left[d{\overrightarrow {O_{e}M}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$» et pour cela nous y reconnaissons $\color {transparent}{\bullet }\;$dans les trois derniers termes du 2ème membre $\;\color {transparent}{M_{c,\,t}}\;$ le point coïncident de $\;\color {transparent}{M}\;$ à la date $\;\color {transparent}{t}\;$ $\color {transparent}{\big$dans la base cartésienne du « le 2ème vecteur $\;\color {transparent}{\left[d{\overrightarrow {O_{e}M}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$» et pour cela nous y reconnaissons $\color {transparent}{\bullet }\;$dans les trois derniers termes du 2ème membre $\;\color {transparent}{M_{c,\,t}}\;$ le point coïncident de $\;\color {transparent}{M}\;$ à la date $\;\color {transparent}{t}\;$ $\color {transparent}{\big$repère lié à $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ y étant « le 2ème vecteur $\;\color {transparent}{\left[d{\overrightarrow {O_{e}M}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$» et pour cela nous y reconnaissons $\color {transparent}{\bullet }\;$dans les trois derniers termes du 2ème membre $\;\color {transparent}{M_{c,\,t}}\;$ le point coïncident de $\;\color {transparent}{M}\;$ à la date $\;\color {transparent}{t}\;$ $\color {transparent}{\big$supposées constantes${\big ]}\;$ $\Rightarrow$ « le 2ème vecteur $\;\color {transparent}{\left[d{\overrightarrow {O_{e}M}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$» et pour cela nous y reconnaissons $\color {transparent}{\bullet }\;$dans les trois derniers termes du 2ème membre «$\;x(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)+y(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)+z(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=$ « le 2ème vecteur $\;\color {transparent}{\left[d{\overrightarrow {O_{e}M}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$» et pour cela nous y reconnaissons $\color {transparent}{\bullet }\;$dans les trois derniers termes du 2ème membre «$\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}M_{c,\,t}}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}M_{c,\,t}}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)-\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}O_{e}}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=$ « le 2ème vecteur $\;\color {transparent}{\left[d{\overrightarrow {O_{e}M}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$» et pour cela nous y reconnaissons $\color {transparent}{\bullet }\;$dans les trois derniers termes du 2ème membre «${\vec {V}}_{M_{c,\,t}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)-{\vec {V}}_{O_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)\;$ encore noté $\;{\vec {V}}_{a,\,M_{c,\,t}}(t)-{\vec {V}}_{a,\,O_{e}}(t)\;$» ;
finalement la relation $\;({\mathfrak {b}})\;$ se réécrit «$\;{\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)={\vec {V}}_{O_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)+{\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{e}}(t)+\left[{\vec {V}}_{M_{c,\,t}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)-{\vec {V}}_{O_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)\right]={\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{e}}(t)+{\vec {V}}_{M_{c,\,t}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)\;$» soit,
finalement « la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entrainement de rotation $\;{\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)={\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{e}}(t)+{\vec {V}}_{M_{c,\,t}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)\;$» ou noté plus simplement finalement « la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entrainement de rotation «$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {V}}_{a,\,M_{c,\,t}}(t)\;$»$^,$ ;
finalement ${\mathcal {R}}_{e}\;$ étant en rotation autour de l'axe $\;\Delta \;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}_{a}$, le mouvement absolu de $\;M_{c,\,t}\;$ est un mouvement circulaire de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}\;$ $\Rightarrow$ finalement $\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ étant en rotation autour de l'axe $\;\color {transparent}{\Delta }\;$ fixe dans $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}$, le vecteur vitesse absolue de $\;M_{c,\,t_{0}}\;$ a pour expression intrinsèque «$\;{\vec {V}}_{a,\,M_{c,\,t_{0}}}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM_{c,\,t_{0}}}}(t)$, avec finalement $\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ étant en rotation autour de l'axe $\;\color {transparent}{\Delta }\;$ fixe dans $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}$, le vecteur vitesse absolue de $\;\color {transparent}{M_{c,\,t_{0}}}\;$ a pour expression intrinsèque «$\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{a,\,M_{c,\,t_{0}}}(t)=}$ $\;A\;$ point fixe quelconque de l'axe $\;\Delta \;$» d'où
finalement $\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ étant en rotation autour de l'axe $\;\color {transparent}{\Delta }\;$ fixe dans $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}$, le vecteur vitesse d'entraînement du point $\;M\;$ s'écrivant «$\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\;$»,
finalement « la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation » se réécrit selon «$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {V}}_{e,\,M}(t)\;$ avec $\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\;$».

#### Détermination des dérivées temporelles, dans le référentiel absolu, des vecteurs de la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement

On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses pour déterminer la dérivée temporelle de chaque vecteur de base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses pour déterminer la dérivée temporelle dans le référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ à savoir «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)$, $\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$ ou $\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$» et pour cela On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses on définit un « point $\;I\;$ fixe de $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ par $\;{\overrightarrow {O_{e}I}}={\vec {u}}_{x}\;$» que l'on dérive par rapport à $\;t\;$ dans le référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ d'où On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}I}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}I}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)-\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}O_{e}}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$, soit encore On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses «$\;\color {transparent}{\left[d{\vec {u}}_{x}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[d{\overrightarrow {O_{e}I}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$ $={\vec {V}}_{a,\,I}(t)-{\vec {V}}_{a,\,O_{e}}(t)={\vec {V}}_{e,\,I}(t)-{\vec {V}}_{e,\,O_{e}}(t)\;$ et finalement On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses «$\;\color {transparent}{\left[d{\vec {u}}_{x}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[d{\overrightarrow {O_{e}I}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$ avec l'expression de leurs vecteurs vitesses d'entraînement $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {V}}_{e,\,I}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AI}}\\{\vec {V}}_{e,\,O_{e}}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AO_{e}}}\end{array}}\right\rbrace \;$ On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses «$\;\color {transparent}{\left[d{\vec {u}}_{x}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[d{\overrightarrow {O_{e}I}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$ $={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AI}}-{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AO_{e}}}={\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\overrightarrow {AI}}-{\overrightarrow {AO_{e}}}\right]\;$ par factorisation vectorielle à gauche par $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses «$\;\color {transparent}{\left[d{\vec {u}}_{x}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[d{\overrightarrow {O_{e}I}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AI}}-{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AO_{e}}}}\;$ $={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {O_{e}I}}\;$ $={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{x}\;$» par définition du point $\;I$ ; On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses finalement on retient «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{x}\;$», de même $\;{\big$la démonstration étant la même${\big )}$, On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses finalement on retient «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{y}\;$» ou On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses finalement on retient «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{z}\;$».
Remarque : il est aussi possible de déterminer «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)$, $\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$ ou $\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$» sans utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation ; Remarque : cet établissement est facilité avec le choix de $\;{\vec {u}}_{z}={\vec {u}}_{z_{a}}\;$ portés par l'axe $\;\Delta \;$ de rotation $\;{\big$voir figure plus haut de ce chapitre${\big )}$, Remarque : cet établissement est facilité avec le choix plaçant les deux 1$^{ers}$ vecteurs de base cartésienne $\;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\right)\;$ du repère lié à $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ Remarque : cet établissement est facilité avec le choix plaçant dans un même plan $\;\perp \;$ à $\;{\vec {u}}_{z}={\vec {u}}_{z_{a}}\;$ que les deux 1$^{ers}$ vecteurs de base cartésienne $\;\left({\vec {u}}_{x_{a}}\,,\,{\vec {u}}_{y_{a}}\right)\;$ du repère lié à $\;{\mathcal {R}}_{a}$, Remarque : cet établissement est facilité avec le ce qui permet de définir l'angle instantané de rotation de $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ relativement à $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ «$\;\theta (t)={\widehat {\left({\vec {u}}_{x_{a}}\,,\,{\vec {u}}_{x}\right)}}(t)={\widehat {\left({\vec {u}}_{y_{a}}\,,\,{\vec {u}}_{y}\right)}}(t)\;$» et par suite Remarque : cet établissement est facilité avec le ce qui permet de définir le vecteur rotation instantanée de $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ par rapport à $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ «$\;{\vec {\Omega }}(t)={\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{z_{a}}\;$» ; Remarque : on peut alors en déduire «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{d\theta }}(\theta )\times {\dfrac {d\theta }{dt}}(t)\;$» dans lequel on peut affirmer «$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{d\theta }}(\theta )={\vec {u}}_{y}\;$» d'où «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{y}\;$» soit enfin, comme «$\;{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{x}={\vec {u}}_{y}\;$», Remarque : on peut alors en déduire la réécriture de la dérivée cherchée selon «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{x}={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{x}\;$» C.Q.F.D. ; Remarque : on peut aussi écrire «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{d\theta }}(\theta )\times {\dfrac {d\theta }{dt}}(t)\;$» dans lequel on peut affirmer «$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{d\theta }}(\theta )=-{\vec {u}}_{x}\;$ d'où $\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=-{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{x}\;$» soit enfin, comme «$\;{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{y}=-{\vec {u}}_{x}\;$», Remarque : on peut alors en déduire la réécriture de la dérivée cherchée selon «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{y}={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{y}\;$» C.Q.F.D..

#### Autre façon d'établir la loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où le référentiel d'entraînement est en rotation autour d'un axe fixe du référentiel absolu par utilisation exclusive de la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement

Supposant l'évaluation directe des dérivées temporelles, dans le référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}$, des vecteurs de base cartésienne $\;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)\;$ du repère lié au référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ Supposant l'évaluation directe voir le paragraphe « détermination des dérivées temporelles, dans le référentiel absolu, des vecteurs de la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement Supposant l'évaluation directe voir le paragraphe « (remarque) » plus haut dans ce chapitre $\;{\big$c.-à-d. sans utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation${\big )}\;$ à savoir Supposant l'évaluation directe des dérivées temporelles, «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{x}$, $\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{y}\;$ et $\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{z}\;$» ;
avec $\;O_{a}\;$ l'origine du repère associé à $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ et $\;O_{e}\;$ celle du repère associé à $\;{\mathcal {R}}_{e}$, on a obtenu, par loi de Chasles, le lien intrinsèque entre vecteurs positions d'un point mobile $\;M$, à savoir avec $\;\color {transparent}{O_{a}}\;$ l'origine du repère associé à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ et $\;\color {transparent}{O_{e}}\;$ celle du repère associé à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}$, on a obtenu, par loi de Chasles, «$\;{\overrightarrow {O_{a}M}}(t)={\overrightarrow {O_{a}O_{e}}}(t)+{\overrightarrow {O_{e}M}}(t)\;$» et, avec $\;\color {transparent}{O_{a}}\;$ l'origine du repère associé à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ et $\;\color {transparent}{O_{e}}\;$ celle du repère associé à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}$, on a obtenu, après avoir effectué la dérivation temporelle dans le repère lié au référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ avec $\;\color {transparent}{O_{a}}\;$ l'origine du repère associé à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ et $\;\color {transparent}{O_{e}}\;$ celle du repère associé à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}$, on a obtenu, pour définir, dans le membre de gauche, le vecteur vitesse absolue $\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)\;$ du point $\;M\;$ $\Rightarrow$ avec $\;\color {transparent}{O_{a}}\;$ l'origine du repère associé à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ et $\;\color {transparent}{O_{e}}\;$ celle du repère associé à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}$, on a obtenu, $\;\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}M}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}O_{e}}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)+\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}M}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$ soit encore avec $\;\color {transparent}{O_{a}}\;$ l'origine du repère associé à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ et $\;\color {transparent}{O_{e}}\;$ celle du repère associé à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}$, on a obtenu, «$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{a,\,O_{e}}(t)+\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}M}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$» ;
décomposant le vecteur position du point $\;M\;$ défini dans le référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ sur la base cartésienne de ce dernier soit «$\;{\overrightarrow {O_{e}M}}(t)=$ $x(t)\;{\vec {u}}_{x}+y(t)\;{\vec {u}}_{y}+z(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» puis effectuant la dérivation temporelle dans le référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}$, nous obtenons «$\;\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}M}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\dot {x}}(t)\,{\vec {u}}_{x}+{\dot {y}}(t)\,{\vec {u}}_{y}+{\dot {z}}(t)\,{\vec {u}}_{z}+x(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)+y(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)+z(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$» ; effectuant la dérivation temporelle dans le référentiel absolu $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}$, nous obtenons $\bullet \;$dans les trois 1$^{ers}$ termes du 2ème membre le vecteur vitesse relative du point $\;M$, c.-à-d. effectuant la dérivation temporelle dans le référentiel absolu $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}$, nous obtenons $\color {transparent}{\bullet }\;$dans les trois 1$^{ers}$ termes du 2ème membre «$\;{\dot {x}}(t)\,{\vec {u}}_{x}+{\dot {y}}(t)\,{\vec {u}}_{y}+{\dot {z}}(t)\,{\vec {u}}_{z}={\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» et effectuant la dérivation temporelle dans le référentiel absolu $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}$, nous obtenons $\bullet \;$dans les trois derniers termes du 2ème membre les expressions des dérivées temporelles de $\;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)$, vecteurs de effectuant la dérivation temporelle dans le référentiel absolu $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}$, nous obtenons $\color {transparent}{\bullet }\;$dans les trois derniers termes du 2ème membre base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}_{e}$, effectuant la dérivation temporelle dans le référentiel absolu $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}$, nous obtenons $\color {transparent}{\bullet }\;$dans les trois derniers termes du 2ème membre dérivation effectuée dans le référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}$, c.-à-d. effectuant la dérivation temporelle dans le référentiel absolu $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}$, nous obtenons $\color {transparent}{\bullet }\;$dans les trois derniers termes du 2ème membre $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{x}\\\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{y}\\\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{z}\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ effectuant la dérivation temporelle dans le référentiel absolu $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}$, nous obtenons $\color {transparent}{\bullet }\;$dans les trois derniers termes du 2ème membre «$\;x(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)+y(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)+z(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=$ effectuant la dérivation temporelle dans le référentiel absolu $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}$, nous obtenons $\color {transparent}{\bullet }\;$dans les trois derniers termes du 2ème membre « $x(t)\left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{x}\right]+y(t)\left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{y}\right]+z(t)\left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{z}\right]=$ effectuant la dérivation temporelle dans le référentiel absolu $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}$, nous obtenons $\color {transparent}{\bullet }\;$dans les trois derniers termes du 2ème membre « ${\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[x(t)\;{\vec {u}}_{x}+y(t)\;{\vec {u}}_{y}+z(t)\;{\vec {u}}_{z}\right]\;$» en factorisant vectoriellement effectuant la dérivation temporelle dans le référentiel absolu $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}$, nous obtenons $\color {transparent}{\bullet }\;$dans les trois derniers termes du 2ème membre « $\color {transparent}{{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[x(t)\;{\vec {u}}_{x}+y(t)\;{\vec {u}}_{y}+z(t)\;{\vec {u}}_{z}\right]}\;$» à gauche par $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ soit effectuant la dérivation temporelle dans le référentiel absolu $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}$, nous obtenons $\color {transparent}{\bullet }\;$dans les trois derniers termes «$\;x(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)+y(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)+z(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {O_{e}M}}(t)\;$» soit effectuant la dérivation temporelle dans le référentiel absolu $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}$, nous obtenons $\bullet \;$«$\;\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}M}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {O_{e}M}}(t)\;$» ;
finalement, en ajoutant $\;{\vec {V}}_{a,\,O_{e}}(t)\;$ à $\;\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}M}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$ pour obtenir le vecteur vitesse absolue $\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)\;$ du point $\;M\;$ soit «$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{a,\,O_{e}}(t)+{\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {O_{e}M}}(t)\;$» dans lequel finalement, le vecteur vitesse absolue $\;{\vec {V}}_{a,\,O_{e}}(t)\;$ du point $\;O_{e}\;$ correspondant à un mouvement circulaire d'axe $\;\Delta$, de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)$, s'écrit «$\;{\vec {V}}_{a,\,O_{e}}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AO_{e}}}(t)\;$» d'où finalement, la réécriture du vecteur vitesse absolue $\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)\;$ du point $\;M\;$ «$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AO_{e}}}(t)+{\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {O_{e}M}}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AO_{e}}}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {O_{e}M}}(t)$ finalement, la réécriture du vecteur vitesse absolue $\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{a,\,M}(t)}\;$ du point $\;\color {transparent}{M}\;$ «$\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{a,\,M}(t)}$ $={\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\overrightarrow {AO_{e}}}(t)+{\overrightarrow {O_{e}M}}(t)\right]\;$» en factorisant vectoriellement à gauche par $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ ou encore, finalement, la réécriture du vecteur vitesse absolue $\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{a,\,M}(t)}\;$ du point $\;\color {transparent}{M}\;$ «$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\;$» par utilisation de la relation de Chasles ; finalement, reconnaissant dans «$\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\;$ le vecteur vitesse d'entraînement $\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t)\;$ du point $\;M\;$», nous retrouvons
$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {V}}_{e,\,M}(t)\;$
$\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\;$

### Loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas où l'un des référentiels est en rotation autour d'un axe fixe de l'autre référentiel
#### Établissement intrinsèque de la loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas où l'un des référentiels est en rotation autour d'un axe fixe de l'autre référentiel

La méthode la plus rapide pour établir la loi de composition des vecteurs accélérations lors d'un entraînement de rotation La méthode la plus rapide consiste à dériver temporellement, dans le référentiel absolu, la loi de composition des vecteurs vitesses lors du même entraînement La méthode la plus rapide consiste à dériver temporellement, dans le référentiel absolu, «$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {V}}_{e,\,M}(t)\;$ avec $\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\;$», La méthode la plus rapide consiste à dériver temporellement, dans le référentiel absolu, «$\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {V}}_{e,\,M}(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{e,\,M}(t)=}$$A\;$ étant un point fixe quelconque de l'axe $\;\Delta \;$ de rotation ; La méthode la plus rapide consiste à dérivant temporellement dans $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ on obtient «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{a,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)+\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{e,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$» dans laquelle La méthode la plus rapide consiste à dérivant temporellement dans $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ on obtient « le 1er membre est le vecteur accélération absolue $\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)\;$ du point $\;M\;$» ; La méthode la plus rapide consiste à dérivant temporellement dans $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ on obtient aucun des termes du 2ème membre ne peut être défini sans transformation au préalable, on les étudie séparément :  La méthode la plus rapide $\bullet \;$pour transformer «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$» on pose $\;{\overrightarrow {O_{e}P}}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$ $\Rightarrow$ «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}P}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$» ou encore, La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer «$\;\color {transparent}{\left[d{\vec {V}}_{r,\,M}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$» on pose $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {O_{e}P}}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}P}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)-\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}O_{e}}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$» soit La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer «$\;\color {transparent}{\left[d{\vec {V}}_{r,\,M}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$» on pose $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {O_{e}P}}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {V}}_{a,\,P}(t)-{\vec {V}}_{a,\,O_{e}}(t)\;$» ensuite, La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer «$\;\color {transparent}{\left[d{\vec {V}}_{r,\,M}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$» on pose $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {O_{e}P}}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\vec {V}}_{r,\,P}(t)+{\vec {V}}_{e,\,P}\right]-{\vec {V}}_{e,\,O_{e}}(t)\;$» enfin, La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer «$\;\color {transparent}{\left[d{\vec {V}}_{r,\,M}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$» on pose $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {O_{e}P}}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {V}}_{r,\,P}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AP}}(t)-{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AO_{e}}}(t)\;$» et La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer «$\;\color {transparent}{\left[d{\vec {V}}_{r,\,M}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$» on pose $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {O_{e}P}}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {V}}_{r,\,P}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\overrightarrow {AP}}(t)-{\overrightarrow {AO_{e}}}(t)\right]\;$» en factorisant vectoriellement La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer «$\;\color {transparent}{\left[d{\vec {V}}_{r,\,M}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$» on pose $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {O_{e}P}}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\color {transparent}{\left[d{\vec {V}}_{r,\,M}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {V}}_{r,\,P}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\overrightarrow {AP}}(t)-{\overrightarrow {AO_{e}}}(t)\right]}\;$» à gauche par $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ ou, La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer «$\;\color {transparent}{\left[d{\vec {V}}_{r,\,M}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$» on pose $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {O_{e}P}}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\color {transparent}{\left[d{\vec {V}}_{r,\,M}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}$ $=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}P}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {O_{e}P}}(t)\;$ soit, La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer «$\;\color {transparent}{\left[d{\vec {V}}_{r,\,M}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$» on pose $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {O_{e}P}}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» avec la définition de $\;P\;$ ou, La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer «$\;\color {transparent}{\left[d{\vec {V}}_{r,\,M}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$» on pose $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {O_{e}P}}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ le 1er terme du 2ème membre étant le vecteur accélération relative du point $\;M\;$ $\Rightarrow$ La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer «$\;\color {transparent}{\left[d{\vec {V}}_{r,\,M}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$» on pose $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {O_{e}P}}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {a}}_{r,\,M}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» ;
La méthode la plus rapide $\bullet \;$pour transformer «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{e,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$» on explicite $\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t)\;$ selon $\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\;$ avant de le dériver temporellement dans $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ d'où, par dérivation d'un produit vectoriel, La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{e,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\dfrac {d{\overrightarrow {AM}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{a,\,M}(t)\;$» ou encore, La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{e,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\vec {V}}_{e,\,M}(t)+{\vec {V}}_{r,\,M}(t)\right]\;$» par utilisation de la loi de composition des vecteurs vitesses soit, La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{e,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{e,\,M}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» par distributivité de la multiplication vectorielle La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer «$\;\color {transparent}{\left[d{\vec {V}}_{e,\,M}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[d{\vec {\Omega }}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{e,\,M}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)}\;$» par distributivité relativement à l'addition vectorielle ou encore, La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{e,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\right]+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» utilisant, dans le 2ème terme, l'expression du La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer «$\;\color {transparent}{\left[d{\vec {V}}_{e,\,M}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[d{\vec {\Omega }}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\right]+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)}\;$» utilisant, vecteur vitesse d'entraînement du point $\;M\;$ ; La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer l'ensemble des deux 1$^{ers}$ termes du 2ème membre «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\right]\;$» ne dépendant que de la position de $\;M\;$ et La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer l'ensemble des deux 1$^{ers}$ termes du 2ème membre «$\;\color {transparent}{\left[d{\vec {\Omega }}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\right]}\;$» non de son mouvement relatif dans $\;{\mathcal {R}}_{e}$, La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer l'ensemble des deux 1$^{ers}$ termes du 2ème membre peut être assimilé au « vecteur accélération d'entraînement $\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)\;$ du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$» lequel La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer l'ensemble des deux 1$^{ers}$ termes du 2ème membre peut être assimilé au « a pour valeur le vecteur accélération absolue $\;{\vec {a}}_{a,\,M_{c,\,t}}(t)\;$ du point $\;M_{c,\,t}\;$ coïncident La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer l'ensemble des deux 1$^{ers}$ termes du 2ème membre peut être assimilé au « a pour valeur le vecteur accélération absolue $\;\color {transparent}{{\vec {a}}_{a,\,M_{c,\,t}}(t)}\;$ de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ ; La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer l'ensemble des deux 1$^{ers}$ termes du 2ème membre or le mouvement absolu du point coïncident $\;M_{c,\,t}\;$ étant un mouvement circulaire d'axe $\;\Delta \;$ et La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer l'ensemble des deux 1$^{ers}$ termes du 2ème membre or le mouvement absolu du point coïncident $\;\color {transparent}{M_{c,\,t}}\;$ étant un de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)$, La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer l'ensemble des deux 1$^{ers}$ termes du 2ème membre or son vecteur accélération absolue $\;{\vec {a}}_{a,\,M_{c,\,t}}(t)\;$ est donné par son expression intrinsèque La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer l'ensemble des deux 1$^{ers}$ termes du 2ème membre or son vecteur accélération absolue «$\;{\vec {a}}_{a,\,M_{c,\,t}}(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {AM_{c,\,t}}}(t)-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\overrightarrow {C_{M_{c,\,t}}M_{c,\,t}}}(t)\;$ La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer l'ensemble des deux 1$^{ers}$ termes du 2ème membre or son vecteur accélération absolue avec $\;C_{M_{c,\,t}}\;$ le projeté de $\;M_{c,\,t}\;$ sur $\;\Delta \;$ » ; on vérifie aisément que La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer cet ensemble des deux termes «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\right]=\left[{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\overrightarrow {C_{M}M}}(t)\;$ prenant pour valeur La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer cet ensemble des deux termes «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {AM_{c,\,t}}}(t)-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\overrightarrow {C_{M_{c,\,t}}M_{c,\,t}}}(t)={\vec {a}}_{a,\,M_{c,\,t}}(t)\;$» s'identifie au « vecteur accélération d'entraînement $\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)\;$ La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer cet ensemble des deux termes «$\;\color {transparent}{\left[d{\vec {\Omega }}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {AM_{c,\,t}}}(t)-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\overrightarrow {C_{M_{c,\,t}}M_{c,\,t}}}(t)={\vec {a}}_{a,\,M_{c,\,t}}(t)}\;$» s'identifie au « du point $\;M\;$» ; finalement La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{e,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {a}}_{e,\,M}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» ;
La méthode la plus rapide $\bullet \;$ajoutant les deux transformations de «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$» et de «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{e,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$» pour obtenir «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{a,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {a}}_{a,\,M}(t)\;$» on aboutit à La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)=\left[{\vec {a}}_{r,\,M}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)\right]+\left[{\vec {a}}_{e,\,M}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)\right]={\vec {a}}_{r,\,M}(t)+{\vec {a}}_{e,\,M}(t)+2\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$», La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$« ce dernier vecteur accélération $\;2\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» étant appelé « vecteur accélération complémentaire ou de Coriolis du point $\;M\;$» et étant « noté $\;{\vec {a}}_{c,\,M}(t)\;$», La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$« c'est une composante spécifique d'un entraînement de rotation de $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ autour d'un axe fixe de $\;{\mathcal {R}}_{a}$.
Conclusion : la loi de composition des vecteurs accélérations lors d'un entraînement de rotation se réécrit donc sous la forme
$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)={\vec {a}}_{r,\,M}(t)+{\vec {a}}_{e,\,M}(t)+{\vec {a}}_{c,\,M}(t)\;$
$\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}\right]_{\!{\cancel {{\mathcal {R}}_{a}}}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\overrightarrow {C_{M}M}}(t)\;$
$\;M$
$\;C_{M}\;$
$\;M\;$
$\;\Delta$
$\;A\;$
$\;\Delta \;$
$\;{\vec {a}}_{c,\,M}(t)=2\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$
$\;M$

#### Établissement non intrinsèque de la loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas où le référentiel d'entraînement est en rotation autour d'un axe fixe du référentiel absolu, en utilisant la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement

Si cette méthode non intrinsèque n'est pas la plus rapide, elle est néanmoins intéressante par le fait qu'elle n'est sujette à aucune embûche majeure $\;\ldots$
Partant de la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation «$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {V}}_{e,\,M}(t)\;$» avec «$\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\;$» ou, par utilisation de la relation de Chasles et par utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle «$\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {O_{e}M}}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AO_{e}}}(t)\;$» soit encore, en reconnaissant dans le dernier terme du 2nd membre $\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AO_{e}}}(t)\;$ l'expression intrinsèque du vecteur vitesse absolue $\;{\vec {V}}_{a,\,O_{e}}(t)\;$ de $\;O_{e}\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {O_{e}M}}(t)+{\vec {V}}_{a,\,O_{e}}(t)\;$» d'où la réécriture de la loi de composition des vecteurs vitesses sous une forme ne faisant intervenir que le vecteur position relative $\;{\overrightarrow {O_{e}M}}(t)\;$ du point $\;M\;$ et la réécriture de la loi de composition des vecteurs vitesses sous une forme ne faisant intervenir que sa dérivée temporelle $\;{\vec {V}}_{r,\,M}(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}M}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)\;$ effectuée dans $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ la réécriture de la loi de composition des vecteurs vitesses sous une forme ne faisant intervenir que à l'exception des grandeurs ne dépendant pas de $\;M\;$ c.-à-d. $\;{\vec {V}}_{a,\,O_{e}}(t)\;$ et $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ soit
$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{a,\,O_{e}}(t)+\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}M}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {O_{e}M}}(t)\;$
introduisant les vecteurs de base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}_{e}$, vecteurs notés $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {u}}_{x}={\vec {u}}_{1}\\{\vec {u}}_{y}={\vec {u}}_{2}\\{\vec {u}}_{z}={\vec {u}}_{3}\end{array}}\right\rbrace \;$ ainsi que introduisant les composantes du vecteur position relative du point $\;M\;$ notées $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x(t)=x_{1}(t)\\y(t)=x_{2}(t\\z(t)=x_{3}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$, le vecteur vitesse absolue du point $\;M\;$ se réécrit
$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{a,\,O_{e}}(t)+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{\dot {x}}_{i}(t)\;{\vec {u}}_{i}+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}x_{i}(t)\;{\vec {u}}_{i}\right]\;$
effectuant la dérivation temporelle de la relation ci-dessus dans le référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}$, nous obtenons
$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)={\vec {a}}_{a,\,O_{e}}(t)+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{\ddot {x}}_{i}(t)\;{\vec {u}}_{i}+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{\dot {x}}_{i}(t)\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{i}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)+{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge \left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}x_{i}(t)\;{\vec {u}}_{i}\right]+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{\dot {x}}_{i}(t)\;{\vec {u}}_{i}\right]+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left\lbrace \sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}x_{i}(t)\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{i}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\right\rbrace \;$
effectuant la dérivation temporelle en reportant «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{i}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{i}\;$», la réécriture du vecteur accélération absolue du point $\;M\;$ selon
$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)={\vec {a}}_{a,\,O_{e}}(t)+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{\ddot {x}}_{i}(t)\;{\vec {u}}_{i}+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{\dot {x}}_{i}(t)\;\left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{i}\right]+{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge \left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}x_{i}(t)\;{\vec {u}}_{i}\right]+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{\dot {x}}_{i}(t)\;{\vec {u}}_{i}\right]+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left\lbrace \sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}x_{i}(t)\;\left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{i}\right]\right\rbrace \;$
effectuant la dérivation temporelle grâce à la factorisation vectorielle à gauche par $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ dans le 2ème terme et le facteur entre accolades du 5ème terme,
$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)={\vec {a}}_{a,\,O_{e}}(t)+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{\ddot {x}}_{i}(t)\;{\vec {u}}_{i}+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{\dot {x}}_{i}(t)\;{\vec {u}}_{i}\right]+{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge \left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}x_{i}(t)\;{\vec {u}}_{i}\right]+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{\dot {x}}_{i}(t)\;{\vec {u}}_{i}\right]+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left\lbrace {\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}x_{i}(t)\;{\vec {u}}_{i}\right]\right\rbrace \;$
effectuant la dérivation temporelle en reconnaissant les grandeurs relatives suivantes «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{\ddot {x}}_{i}(t)\;{\vec {u}}_{i}={\vec {a}}_{r,\,M}(t)\\\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{\dot {x}}_{i}(t)\;{\vec {u}}_{i}={\vec {V}}_{r,\,M}(t)\\\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}x_{i}(t)\;{\vec {u}}_{i}={\overrightarrow {O_{e}M}}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$»,
$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)={\vec {a}}_{a,\,O_{e}}(t)+{\vec {a}}_{r,\,M}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {O_{e}M}}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {O_{e}M}}(t)\right]\;$
effectuant la dérivation temporelle $O_{e}\;$ ayant, dans $\;{\mathcal {R}}_{a}$, un mouvement circulaire autour de $\;\Delta$, de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)$, «$\;{\vec {a}}_{a,\,O_{e}}(t)={\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {AO_{e}}}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AO_{e}}}(t)\right]\;$», effectuant la dérivation temporelle la réécriture du vecteur accélération absolue $\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)\;$ du point $\;M\;$ en regroupant les termes identiques ou semblables
$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)={\vec {a}}_{r,\,M}(t)+2\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)+\left\lbrace {\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {AO_{e}}}(t)+{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {O_{e}M}}(t)\right\rbrace +\left\lbrace {\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AO_{e}}}(t)\right]+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {O_{e}M}}(t)\right]\right\rbrace \;$
effectuant la dérivation temporelle en factorisant vectoriellement à gauche par $\;{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\;$ dans la 1ère expression entre accolades du 2nd membre suivi de l'utilisation de la relation de Chasles et effectuant la dérivation temporelle en factorisant vectoriellement à gauche doublement par $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ dans la 2ème expression entre accolades du 2nd membre suivi de l'utilisation de la relation de Chasles
$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)={\vec {a}}_{r,\,M}(t)+2\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\right]\;$
$\Rightarrow$
$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)={\vec {a}}_{r,\,M}(t)+2\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\overrightarrow {C_{M}M}}(t)\;$
$\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)\;$
$\;M\;$
$\;{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\right]={\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\overrightarrow {C_{M}M}}(t)={\vec {a}}_{e,\,M}(t)$
effectuant la dérivation temporelle finalement on obtient pour « loi de composition des vecteurs accélérations lors d'un entraînement de rotation »
$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)={\vec {a}}_{r,\,M}(t)+{\vec {a}}_{C,\,M}(t)+{\vec {a}}_{e,\,M}(t)\;$
$\;M\;$
$\;{\vec {a}}_{c,\,M}(t)=2\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$
$\;M\;$
$\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)={\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\overrightarrow {C_{M}M}}(t)\;$
$\;A\;$
$\;\Delta \;$
$\;C_{M}\;$
$\;M\;$
$\;\Delta$

#### Cas particulier très fréquent : entraînement de rotation uniforme du référentiel d'entraînement autour d'un axe fixe du référentiel absolu

Dans le cas $\;{\big$très fréquent${\big )}\;$ où la rotation d'entraînement est uniforme c.-à-d. telle que le vecteur rotation instantanée est un vecteur constant noté $\;{\vec {\Omega }}_{0}$, Dans le cas $\;\color {transparent}{\big$très fréquent$\color {transparent}{\big )}\;$ « la loi de composition des vecteurs accélérations lors d'un entraînement de rotation uniforme » se réécrit sous la forme «$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)={\vec {a}}_{r,\,M}(t)+{\vec {a}}_{e,\,M}(t)+{\vec {a}}_{C,\,M}(t)\;$» avec Dans le cas $\;\color {transparent}{\big$très fréquent$\color {transparent}{\big )}\;$ « la loi de composition des vecteurs accélérations «$\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)=-{\vec {\Omega }}_{0}^{2}\;{\overrightarrow {C_{M}M}}(t)\;$ le vecteur accélération d'entraînement de $\;M\;$» où $\;C_{M}\;$ est le projeté de $\;M\;$ sur $\;\Delta \;$ et Dans le cas $\;\color {transparent}{\big$très fréquent$\color {transparent}{\big )}\;$ « la loi de composition des vecteurs accélérations «$\;{\vec {a}}_{C,\,M}(t)=2\;{\vec {\Omega }}_{0}\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$ le vecteur accélération complémentaire ou de Coriolis du point $\;M\;$».

## Changement de référentiel de définition de la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle, formule de Bour
### Position du problème

Considérant un 1er référentiel d'espace $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ appelé « référentiel absolu » et Considérant un 2ème référentiel d'espace $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ en mouvement relativement au précédent et appelé « référentiel d'entraînement », nous nous proposons d'étudier l'influence d'un changement de référentiel sur la variation de grandeurs vectorielles $\;{\vec {C}}\;$ dépendant du temps $\;t\;$ selon $\;{\vec {C}}(t)$, c.-à-d. nous nous proposons de trouver le lien existant entre la dérivée temporelle de $\;{\vec {C}}(t)\;$ effectuée dans $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$» et nous nous proposons de trouver le lien existant entre celle effectuée dans $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)\;$» connaissant le mouvement d'entraînement de $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{a}$, nous nous proposons de trouver le lien ${\big$toutefois nous nous limiterons, dans l'exposé, au cas où cet entraînement est une rotation autour d'un axe $\;\Delta \;$ fixe dans les deux référentiels nous nous proposons de trouver le lien $\color {transparent}{\big$toutefois nous nous limiterons, dans l'exposé, au cas où cet entraînement est une rotation avec le vecteur rotation instantanée ${\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)\;$${\big ]}$.

### Formule de Bour
#### Énoncé de la formule de Bour

Soient une grandeur vectorielle dépendant du temps $\;{\vec {C}}(t)\;$ et Soient deux référentiels en mouvement l'un par rapport à l'autre, plus précisément Soient un référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ en mouvement de rotation autour d'un axe $\;\Delta \;$ fixe dans un référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ Soient un référentiel d'entraînement $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ en mouvement de rotation avec le vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)$, le lien existant entre la dérivée temporelle de $\;{\vec {C}}(t)\;$ effectuée dans $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)\;$» et le lien existant entre celle effectuée dans $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$» le lien existant est donné par la formule de Bour$^,$ : «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)+{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge {\vec {C}}(t)\;$».

#### Démonstration dans le cas d'un entraînement de rotation autour d'un axe fixe dans les deux référentiels

On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses pour déterminer la dérivée temporelle de la grandeur vectorielle $\;{\vec {C}}(t)\;$ dans le référentiel absolu $\;\left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$ et On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses pour cela on définit un point $\;P\;$ par son vecteur position dans le référentiel d'entraînement «$\;{\overrightarrow {O_{e}P}}(t)={\vec {C}}(t)\;$» On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses pour cela on définit un point $\;\color {transparent}{P}\;$ par son vecteur position que l'on dérive par rapport à $\;t\;$ dans le référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ d'où On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses pour cela on définit un point $\;\color {transparent}{P}\;$ par son vecteur position «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}P}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}P}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)-\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}O_{e}}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$ ou On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses pour cela on définit un point $\;\color {transparent}{P}\;$ par son vecteur position «$\;\color {transparent}{\left[d{\vec {C}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}$ $\;={\vec {V}}_{a,\,P}(t)-{\vec {V}}_{a,\,O_{e}}(t)\;$ ou encore, On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses pour cela on définit un point $\;\color {transparent}{P}\;$ par son vecteur position «$\;\color {transparent}{\left[d{\vec {C}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}$ $\;={\vec {V}}_{r,\,P}(t)+{\vec {V}}_{e,\,P}(t)-{\vec {V}}_{e,\,O_{e}}(t)\;$ et finalement On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses pour cela on définit un point $\;\color {transparent}{P}\;$ par son vecteur position «$\;\color {transparent}{\left[d{\vec {C}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}$ $\;={\vec {V}}_{r,\,P}(t)+{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {AP}}-{\vec {\Omega }}(t)_{{\mathcal {R}}_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {AO_{e}}}\;$ ou On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses pour cela on définit un point $\;\color {transparent}{P}\;$ par son vecteur position après factorisation vectorielle à gauche par $\;{\vec {\Omega }}(t)_{{\mathcal {R}}_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$ On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses pour cela on définit un point $\;\color {transparent}{P}\;$ par son vecteur position après factorisation vectorielle à gauche dans les deux derniers termes, On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses pour cela on définit un point $\;\color {transparent}{P}\;$ par son vecteur position «$\;\color {transparent}{\left[d{\vec {C}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}$ $\;=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}P}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)+{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge \left[{\overrightarrow {AP}}-{\overrightarrow {AO_{e}}}\right]\;$ puis, On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses pour cela on définit un point $\;\color {transparent}{P}\;$ par son vecteur position après une nouvelle utilisation de la relation de Chasles On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses pour cela on définit un point $\;\color {transparent}{P}\;$ par son vecteur position «$\;\color {transparent}{\left[d{\vec {C}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}$ $\;=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}P}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)+{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {O_{e}P}}\;$» soit enfin, On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses pour cela on définit un point $\;\color {transparent}{P}\;$ par son vecteur position par définition du point $\;P$, la relation cherchée finale On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses pour cela on définit un point $\;\color {transparent}{P}\;$ par son vecteur position «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=$ $\left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)+{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge {\vec {C}}(t)\;$» C.Q.F.D..
Remarques : On peut utiliser la formule de Bour pour évaluer la dérivée temporelle des vecteurs de base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ Remarques : On peut utiliser la formule de Bour pour évaluer la dérivée temporelle des vecteurs de base cartésienne du repère en mouvement de rotation de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ Remarques : On peut utiliser la formule de Bour pour évaluer la dérivée temporelle des vecteurs de base cartésienne du repère en mouvement de rotation autour d'un axe fixe $\;\Delta \;$ Remarques : On peut utiliser la formule de Bour pour évaluer la dérivée temporelle des vecteurs de base cartésienne du repère en mouvement de rotation autour d'un axe fixe du référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}$, Remarques : on obtient alors «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\cancel {\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)\;+}}\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{x}\;$», «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\cancel {\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)\;+}}\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{y}\;$» et «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\cancel {\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)\;+}}\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{z}\;$»$^,$.
Remarques : L'application de la formule de Bour au vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ d'entraînement de rotation de $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ autour de l'axe $\;\Delta \;$ fixe de $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ Remarques : L'application de la formule de Bour au vecteur rotation instantanée $\;\color {transparent}{{\vec {\Omega }}(t)}\;$ nous conduit à «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)\;{\cancel {+\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {\Omega }}(t)}}\;$» $\Rightarrow$ Remarques : L'application de la formule de Bour au vecteur rotation instantanée $\;\color {transparent}{{\vec {\Omega }}(t)}\;$ nous conduit à « il est inutile de préciser le référentiel dans lequel est effectuée la dérivation temporelle.
Remarques : Enfin, la formule de Bour ayant été démontrée par utilisation de la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation autour d'un axe fixe dans les deux référentiels, Remarques : Enfin, il ne faut pas utiliser la formule de Bour pour établir la loi de composition des vecteurs vitesses.