# Rappels de mécanique analytique/Lagrangien
## Introduction

La mécanique classique, fondée par Isaac Newton, se révéla à la fois efficace et puissante pour décrire les phénomènes de la nature, en termes de « forces » agissant sur des « systèmes ».
Joseph-Louis Lagrange proposa une formulation équivalente, mais remarquablement élégante des équations de la mécanique classique, qui d’une part simplifie souvent l'étude (les forces de « tension », de « support » etc. ne sont pas prises en compte), et d’autre part proposent une formulation simple de la mécanique quantique. Par ailleurs, la mécanique lagrangienne peut être aisément développée en une autre description équivalente, parfaitement adaptée à la description quantique : la mécanique hamiltonienne.
Nous introduirons ici le lagrangien, outil de base de cette mécanique, et décrirons brièvement ses applications. Le chapitre suivant l'appliquera à l'électromagnétisme et aux développements élémentaires de la mécanique quantique.

## Les coordonnées généralisées

Une des grandes forces de la description lagrangienne est de pouvoir faire abstraction des contraintes d'un système : qu’il s'agisse de l'angle formé par un pendule ou de l'abscisse d'un mobile, toutes les coordonnées sont traitées sur un pied d'égalité : on parle de « coordonnées généralisées ». Un système, comme un pendule, possède un seul degré de liberté, mesuré par l'angle qu’il forme avec une direction donnée : sa dynamique est décrite par une seule coordonnée, que l’on peut noter θ (ou plus traditionnellement, q).
Cela permet en outre la prédiction de phénomènes physiques sans aucun schéma — ce qui est passablement pratique lorsque une illustration d'un phénomène est impossible, inconnue ou illisible — c’est une véritable mécanique « analytique ».

## Le lagrangien et l'action

Le centre de la description lagrangienne de la mécanique est une quantité, appelée « lagrangien ». Il s'agit d'une énergie, définie par : ${\mathcal {L}}=Ec-Ep$ où Ec est l'énergie cinétique (totale, qui fait intervenir la vitesse) et Ep est l'énergie potentielle (totale, qui fait intervenir la position) du système. On suppose ici qu’il n'existe pas de phénomène non-conservatif, pour simplifier l'approche, mais il est tout à fait possible de prendre en compte une telle situation.
Pour illustrer, un système ayant deux degrés de liberté (donc décrit par deux coordonnées) a pour lagrangien une certaine fonction :
${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}\left(x_{1},x_{2},{\dot {x}}_{1},{\dot {x}}_{2}\right)$
On définit alors une quantité, appelée action d'un mouvement se déroulant entre les instants t₁ et t₂, notée S, par : ${\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}\,\mathrm {d} t$
Par analogie totale avec le principe de Fermat en optique, le chemin effectivement parcouru est celui qui minimise l'action : c’est le principe de moindre action. C’est un principe de minimisation, bien peu utilisable en pratique — tout comme le principe de Fermat. Fort heureusement, l'analyse permet d’en déduire un jeu d'équations différentielles à la fois simples et pratiques.

### Exemple : la particule libre

Pour illustrer ce principe, prenons le cas d'une particule de masse m libre dans l'espace, décrite par trois coordonnées cartésiennes : x, y, z. On se place dans un référentiel galiléen, de même vitesse que la vitesse initiale de la particule. Son énergie potentielle est nulle, son lagrangien se réduit donc à l'énergie cinétique, c'est-à-dire : ${\mathcal {L}}\left(x,y,z,{\dot {x}},{\dot {y}},{\dot {z}}\right)={\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right)$
L'action entre deux instants pour la particule est donc :
${\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}m\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right)\,\mathrm {d} t$
Qui est évidemment minimale pour la solution ${\dot {x}}={\dot {y}}={\dot {z}}=0$ : on retrouve le premier principe de la dynamique newtonienne, à savoir l'inertie galiléenne.

## Les équations d'Euler-Lagrange

Au travers de l'analyse, comme énoncé plus haut, il est possible de transformer le principe de minimisation — presque inutilisable — en un principe variationnel strictement équivalent : on obtient alors un jeu d'équations différentielles appelées équations d'Euler-Lagrange.
Pour un système possédant n degrés de liberté spatiale, donc décrit par n coordonnées généralisées (x₁, … , x$_i$, … , x$_n$), il y a n équations d'Euler-Lagrange :
${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}$
C'est ici qu'apparaissent les avantages de cette description : peu importe le système de coordonnées ou la complexité du système, ce sont toujours ces mêmes équations qui le régissent. On arrive ainsi toujours à établir les équations du mouvement — mais bien souvent, on ne peut pas les résoudre analytiquement, même numériquement cela pose des problèmes. La mécanique hamiltonienne résout parfois ce dernier point, en proposant notamment des équations différentielles du premier ordre, là où Lagrange et Newton proposent des équations du second ordre.

### Exemple simple : le ressort oscillant

On traite ici une masse m, astreinte à se déplacer sur un axe, soumise à la seule force de rappel d'un ressort, de raideur k et de longueur au repos et de masse nulle. L'énergie cinétique est alors : $Ec={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}$ Et l'énergie potentielle est : $Ep={\frac {1}{2}}kx^{2}$
La première partie de l'équation d'Euler-Lagrange s'écrit alors : ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x}}=-kx$ La seconde partie s'écrit : ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}=m{\ddot {x}}$
Finalement, on retrouve l'équation que donnerait le second principe de la dynamique newtonienne pour le même problème : $m{\ddot {x}}=-kx$
Pour des systèmes aussi simples, l'efficacité de la mécanique lagrangienne n’est pas flagrante — il reste néanmoins important de se rappeler qu'on retrouve les résultats de la mécanique newtonienne — et qu'on ne retrouve que ces résultats. Ce n'est qu'une meilleure présentation du même gâteau.

### Exemple intéressant : le double pendule

Pour pleinement profiter du lagrangien, cet exemple est fructueux : il illustre le cas d'un problème extrêmement difficile avec la mécanique newtonienne, qui devient modérément subtil avec la mécanique lagrangienne. Soit un double pendule, constitué d'un premier pendule 1 et d'un second pendule 2 attaché à son extrémité, les angles étant repérés par rapport à la verticale. Soumis à la seule force de gravité, l’ensemble est doté d'une énergie potentielle :
$Ep=-(m_{1}+m_{2})gl_{1}cos\theta _{1}-m_{2}gl_{2}cos\theta _{2}$
L'énergie cinétique est un peu plus subtile : il faut prendre en compte le mouvement du premier pendule pour exprimer la vitesse du second. Le lecteur est invité à réitérer le calcul pour s'en convaincre, mais on obtient finalement :
$Ec={\frac {1}{2}}m_{1}l_{1}^{2}{\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}\left[l_{1}^{2}{\dot {\theta }}_{1}^{2}+l_{2}^{2}{\dot {\theta }}_{2}^{2}+2l_{1}l_{2}{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\cos \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)\right]$
Il est alors relativement facile de dériver le lagrangien et d’utiliser les équations d'Euler-Lagrange pour obtenir le jeu de plaisantes relations couplées qui décrivent le pendule double :
    (1) $\left(m_{1}+m_{2}\right)l_{1}{\ddot {\theta }}_{1}+m_{2}l_{2}{\ddot {\theta }}_{2}\cos \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)+m_{2}l_{2}{\dot {\theta }}_{2}^{2}\sin \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)+\left(m_{1}+m_{2}\right)g\sin \left(\theta _{1}\right)=0$
    (2) $l_{1}{\ddot {\theta }}_{1}\cos \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)+l_{2}{\ddot {\theta }}_{2}-l_{1}{\dot {\theta }}_{1}^{2}\sin \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)+g\sin \left(\theta _{2}\right)=0$
Ces deux équations ont l'air illisibles et pénibles à obtenir, mais en réalité une approche plus naïve se serait révélée bien plus ardue : il aurait fallu calculer l'accélération d'un point dans un référentiel lui-même accéléré, introduire des forces de tension, effectuer de nombreuses projections... pour aboutir, en fin de compte, au même résultat.
La résolution difficile et partielle de ces équations relève désormais plus de la manipulation mathématique que de la physique. En effet, le double pendule décrit un mouvement chaotique. Cela n'est malheureusement pas clairement visible ici. La mécanique hamiltonienne permet en revanche de vérifier l' « intégrabilité » d'un système, c'est-à-dire l’existence éventuelle de solutions exactes. Pour le double pendule, l'essentiel des cas ne sont solubles que numériquement.

## Notions complémentaires

On précise ici des notions plus subtiles, utiles à l'emploi et la compréhension de l'approche lagrangienne de la mécanique quantique.

### Densité de lagrangien

Pour des systèmes continus, à une ou plusieurs dimensions, il est possible de définir localement une quantité $\mathrm {d} {\mathcal {L}}$ telle que :
${\mathcal {L}}=\int _{\Sigma }\mathrm {d} {\mathcal {L}}$
Cette quantité est appelée « densité de lagrangien », et se révèle particulièrement utile à la description lagrangienne, puis quantique, des champs électromagnétiques.

### Fonctionnelle

On introduit ici une notion utile à l'étude de la mécanique analytique. Une fonction à valeurs réelles (ou complexes) qui prend en argument une ou plusieurs fonctions est appelée « fonctionnelle ». L'action est une fonctionnelle : elle prend en argument une fonction (la trajectoire) et retourne un nombre.
Prenons le cas unidimensionnel d'une coordonnée x, alors :
${\mathcal {S}}:\left(x,{\dot {x}}\right)\mapsto \int _{\Delta t}{\mathcal {L}}\left(x,{\dot {x}}\right)\,\mathrm {d} t$
À l'instar d'une fonction « usuelle », il est possible de dériver une fonctionnelle, de l'intégrer... Imposer une dérivée fonctionnelle nulle revient à imposer les relations d'Euler-Lagrange. En effet :
${\frac {\delta S}{\delta x}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}$
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