# Mécanique 1 (PCSI)/Mouvement de particules chargées dans des champs électrique et magnétique : Force de Lorentz
## Sources de champ électrique et de champ magnétique
### Sources de champ électrique

Toute distribution de charges électriques « globalement immobiles » est source de champ électrique ; on distingue
* les distributions réelles qui sont « discrètes » $\;{\big$un échantillon solide chargé contient des ions immobiles et des porteurs de charge mobiles que l’on suppose sans mouvement d’ensemble, cette distribution est donc bien constituée de charges quasi ponctuelles séparées de régions vides d'où « une distribution réelle de charges est bien un ensemble constitué d’un nombre fini $\;{\big$mais usuellement très grand${\big )}\;$ de charges quasi ponctuelles »${\big ]}\;$ de
* leurs modélisations qui sont « continues » $\;{\big$un échantillon d’échelle mésoscopique $\;{\big$dont chaque dimension est de l’ordre du $\;\mu m{\big )}\;$ contient beaucoup de charges ponctuelles séparées par du vide correspondant à une structure discontinue à l’échelle microscopique $\;{\big$de dimension de l’ordre du $\;nm{\big )}\;$ mais souhaitant faire disparaître cette discontinuité à l’échelle mésoscopique, on réalise une modélisation continue de la distribution c'est-à-dire que l’on remplace la distribution réelle discrète de charges de l’échantillon mésoscopique par un « fonds » continue de charges respectant la conservation de la charge totale de l’échantillon${\big ]}$.

#### Modélisation en distribution continue volumique

On considère une expansion tridimensionnelle contenant un grand nombre de charges ponctuelles, ensemble définissant une distribution discrète de charges, On considère un point $\;P\;$ quelconque de cette expansion et un volume élémentaire $\;d\tau \;$ entourant le point $\;P$ ;
ce volume élémentaire d’échelle mésoscopique contient un nombre « suffisant » de charges permettant l’utilisation de la « statistique » ;
à cette échelle mésoscopique il est donc possible, si on ne s’intéresse pas aux propriétés microscopiques, de remplacer la distribution discrète de charges dans le volume élémentaire $\;d\tau \;$ entourant le point $\;P\;$ par une distribution continue de charges réparties en volume en conservant la charge totale du volume élémentaire $\;{\big$la distribution continue volumique de charges étant notée $\;{\mathcal {D}}{\big ]}$ ;
pour cela on définit la « densité volumique de charge $\;\rho (P)={\dfrac {dq}{d\tau }}\;$ exprimée en $\;C\cdot m^{-3}\;$» dans laquelle $\;dq\;$ est la charge totale contenue dans l'expansion tridimensionnelle de volume élémentaire $\;d\tau \;$ c'est-à-dire «$\;dq=\sum \limits _{O_{i}\,\in \,d\tau }^{O_{i}\,\left(q_{i}\right)}q_{i}\;$», la « densité volumique de charge ainsi définie $\;\rho (P)\;$» étant une fonction « continue de $\;P\in {\mathcal {D}}\;$» $\;{\big{\mathcal {D}}$, avec la connaissance de $\;\rho (P)$, définissant la modélisation en distribution continue volumique de la distribution discrète de charges initiale${\big ]}$ ;
remarque : en dehors de la distribution volumique $\;{\mathcal {D}}$, la densité volumique de charge $\;\rho (P)\;$ est nulle, il est alors possible qu’il y ait discontinuité de 1ère espèce de $\;\rho (P)\;$ lors du passage de $\;{\mathcal {D}}\;$ à son extérieur, ceci se produisant si $\;\rho (P)\;$ ne s’annule pas sur les « bords de $\;{\mathcal {D}}\;$» $\;{\big$bien entendu la question ne se pose que si $\;{\mathcal {D}}\;$ n'est pas d'extension infinie de façon à ce que l’extérieur de $\;{\mathcal {D}}\;$ existe${\big ]}$.
Conclusion : La caractérisation de la distribution continue volumique de charges $\;{\mathcal {D}}\;$ nécessite la connaissance de la densité volumique de charge $\;\rho (P)\;$ en tout point $\;P\;$ de l'expansion tridimensionnelle de la distribution $\;{\mathcal {D}}$, Conclusion : la charge contenue dans le volume élémentaire $\;d\tau \;$ entourant le point $\;P\;$ s'écrivant alors «$\;dq=\rho (P)\;d\tau \;$», Conclusion : cette charge «$\;dq\;$», considérée comme « quasi ponctuelle à l’échelle macroscopique », Conclusion : cette charge « dq », est la « source centrée en $\;P\in {\mathcal {D}}\;$ du champ électrique créé par cette dernière en tout point $\;M\;$ de l'espace ».

#### Modélisation en distribution continue surfacique

Une distribution continue volumique de charges peut être modélisée en distribution continue surfacique quand l'une des dimensions de la distribution volumique est petite par rapport aux deux autres $\;{\big$sur le schéma ci-contre la distribution volumique est d'extension finie et c'est la dimension d'épaisseur «$\;e\;$» qui est $\;\ll \;$ devant les deux autres «$\;L\;$ et $\;{\mathit {l}}\;$»${\big ]}$ :
considérons une distribution continue volumique d'extension finie de densité volumique de charge $\;\rho (P')\;$ d'expansion tridimensionnelle de dimension «$\;e\;$» $\;\ll \;$ devant «$\;{\mathit {l}}\;$» ainsi que $\;\ll \;$ devant «$\;L\;$» et notons $\;P\;$ le projeté de $\;P'\;$ sur $\;\left(\Sigma \right)\;$ l’une des surfaces limitant la distribution volumique suivant la dimension «$\;e\;$» $\;{\big$surface de dimensions «$\;{\mathit {l}}\;$ et $\;L\;$» et projection parallèlement à la direction transversale $\;{\big$voir ci-contre${\big )}{\big ]}$ ;
réaliser la modélisation surfacique à partir de la modélisation volumique initiale revient à considérer que les charges, au lieu d’être localisées dans l'expansion tridimensionnelle de hauteur «$\;e\;$» dont $\;\left(\Sigma \right)\;$ est l’une des bases, le sont sur $\;\left(\Sigma \right)\;$ et en particulier la charge élémentaire «$\;dq=\rho (P')\;d\tau \;$» de l'expansion tridimensionnelle élémentaire entourant $\;P'\;$ de volume $\;d\tau =e\;dS\;$ $\;{\bigdS\;$ étant l'aire de la surface élémentaire entourant $\;P{\big ]}\;$ se retrouve intégralement, dans la distribution surfacique associée $\;{\big$que l'on notera $\;{\mathcal {D}}{\big ]}$, sur la surface élémentaire entourant $\;P\;$ d'aire $\;dS$ $\;{\big$voir le schéma ci-dessous à droite${\big ]}$ ;
pour réaliser la modélisation surfacique $\;{\mathcal {D}}$, on définit la « densité surfacique de charge $\;\sigma (P)={\dfrac {dq}{dS}}\;$ exprimée en $\;C\cdot m^{-2}\;$» dans laquelle $\;dq\;$ est la charge totale contenue dans l'expansion tridimensionnelle de volume élémentaire $\;d\tau =e\;dS\;$ c'est-à-dire «$\;dq=\rho (P')\;d\tau$ $=\rho (P')\;e\;dS\;$», la « densité surfacique de charge ainsi définie $\;\sigma (P)\;$» étant une fonction « continue de $\;P\in {\mathcal {D}}\;$» $\;{\big{\mathcal {D}}$, avec la connaissance de $\;\sigma (P)$, définissant la modélisation en distribution continue surfacique de la distribution continue volumique de charges initiale de densité volumique $\;\rho (P')\;$ selon «$\;\sigma (P)=\rho (P')\;e\;$»${\big ]}$ ;
remarque : en dehors de la distribution surfacique $\;{\mathcal {D}}$ $\;{\big$ou $\;{\mathcal {D}}_{\Sigma }\;$ pour être plus précis${\big ]}\;$, la densité surfacique de charge $\;\sigma (P)\;$ étant nulle, on peut envisager deux façons d'aborder une éventuelle discontinuité suivant que l'extérieur de la distribution surfacique $\;{\mathcal {D}}_{\Sigma }\;$ est remarque : $\;\succ \;$le sous-ensemble tridimensionnel $\;\left\lbrace {\mathcal {S}}_{{\text{ext. de}}\,{\mathcal {D}},\,{{\text{dim.}}\,3}}\right\rbrace \;$ obtenu en se déplaçant perpendiculairement à $\;\left(\Sigma \right)\;$ ou remarque : $\;\succ \;$le sous-ensemble bidimensionnel $\;\left\lbrace {\mathcal {S}}_{{\text{ext. de}}\,{\mathcal {D}},\,{{\text{dim.}}\,2}}\right\rbrace \;$ obtenu en se déplaçant perpendiculairement à $\;\left(\Gamma \right)\;$ courbe fermée limite de $\;\left(\Sigma \right)\;$ dans $\;\left(\Sigma _{\infty }\right)\;$ « la surface d'extension infinie contenant $\;\left(\Sigma \right)\;$» vers l'extérieur de $\;\left(\Sigma \right)\;$ défini dans $\;\left(\Sigma _{\infty }\right)\;$ ;
remarque : en ce qui concerne le passage de la distribution surfacique $\;{\mathcal {D}}$ à son extérieur tridimensionnel $\;\left\lbrace {\mathcal {S}}_{{\text{ext. de}}\,{\mathcal {D}},\,{{\text{dim.}}\,3}}\right\rbrace$, il y a, a priori, discontinuité de 1ère espèce de $\;\sigma (P)\;$ dans la mesure où $\;\sigma (P)\neq 0,\;\;{\text{pour}}\;P\in \left(\Sigma \right)\;$ ;
remarque : en ce qui concerne le passage de la distribution surfacique $\;{\mathcal {D}}$ à son extérieur bidimensionnel $\;\left\lbrace {\mathcal {S}}_{{\text{ext. de}}\,{\mathcal {D}},\,{{\text{dim.}}\,2}}\right\rbrace$, il y a, a priori, discontinuité de 1ère espèce de $\;\sigma (P)\;$ dans la mesure où $\;\sigma (P)\neq 0,\;\;{\text{pour}}\;P\in \left(\Gamma \right)$, courbe fermée limite de $\;\left(\Sigma \right)\;$ dans $\;\left(\Sigma _{\infty }\right)\;$ « la surface d'extension infinie contenant $\;\left(\Sigma \right)\;$» $\;{\big$bien entendu la question de cette discontinuité éventuelle ne se pose que si $\;{\mathcal {D}}\;$ n'est pas d'extension infinie de façon à ce que $\;\left\lbrace {\mathcal {S}}_{{\text{ext. de}}\,{\mathcal {D}},\,{{\text{dim.}}\,2}}\right\rbrace \;$ existe${\big ]}$.
Conclusion : La caractérisation de la distribution continue surfacique de charge $\;{\mathcal {D}}\;$ nécessite la connaissance de la densité surfacique de charge $\;\sigma (P)\;$ en tout point $\;P\;$ de l'expansion bidimensionnelle de la distribution $\;{\mathcal {D}}$, Conclusion : la charge contenue dans la surface élémentaire d'aire $\;dS\;$ entourant le point $\;P\;$ s'écrivant alors «$\;dq=\sigma (P)\;dS\;$», Conclusion : cette charge «$\;dq\;$», considérée comme « quasi ponctuelle à l’échelle macroscopique », Conclusion : cette charge « dq », est la « source centrée en $\;P\in {\mathcal {D}}\;$ du champ électrique créé par cette dernière en tout point $\;M\;$ de l'espace ».
Décomposition d'une distribution continue volumique en une juxtaposition de distributions continues surfaciques : dans la mesure où une distribution continue volumique $\;{\mathcal {D}}_{3}\;$ de densité volumique de charge $\;\rho (P)\;$ est telle qu'il existe une des $\;3\;$ coordonnées de $\;P$ $\;{\big$par exemple $\;x_{1}{\big )}\;$ pour laquelle $\;\rho (P)\;$ ne varie pas avec les deux autres coordonnées $\;{\bigx_{2}\;$ et $\;x_{3}{\big )}$, Décomposition d'une distribution continue volumique en une juxtaposition de distributions continues surfaciques : on peut considérer $\;{\mathcal {D}}_{3}\;$ comme une juxtaposition de distributions continues volumiques élémentaires $\;{\mathcal {D}}_{\left[x_{1}\,,\,x_{1}+dx_{1}\right]}\;$ pour lesquelles la coordonnée $\;x_{1}\;$ est figée à $\;dx_{1}\;$ près, les deux autres coordonnées étant quelconques et Décomposition d'une distribution continue volumique en une juxtaposition de distributions continues surfaciques : on peut modéliser chaque distribution continue volumique élémentaire $\;{\mathcal {D}}_{\left[x_{1}\,,\,x_{1}+dx_{1}\right]}\;$ par une distribution continue surfacique de « densité surfacique de charge $\;\rho (P_{x_{1}})\;dx_{1}\;$» $\;{\big$correspondant effectivement à la dimension d'une densité surfacique de charge $\;\left(C\cdot m^{-3}\right)\times m=C\cdot m^{-2}{\big ]}$.

#### Modélisation en distribution continue linéique

Une distribution continue volumique de charges peut être modélisée en distribution continue linéique quand deux des dimensions de la distribution volumique sont petites par rapport la 3ème $\;{\big$sur le schéma ci-contre la distribution volumique est d'extension finie et ce sont les dimensions «$\;e\;$ et $\;e'\;$» $\;{\big$dites transversales${\big )}\;$ qui sont $\;\ll \;$ devant la 3ème «$\;{\mathit {l}}\;$» $\;{\big$dite longitudinale${\big )}{\big ]}$ :
considérons une distribution continue volumique d'extension finie de densité volumique de charge $\;\rho (P')\;$ d'expansion tridimensionnelle de dimensions transversales «$\;e\;$ et $\;e'\;$» $\;\ll \;$ devant la dimension longitudinale «$\;{\mathit {l}}\;$» et notons $\;P\;$ le projeté de $\;P'\;$ sur $\;\left(\Gamma \right)\;$ l’une des courbes de dimension «$\;{\mathit {l}}\;$» générant transversalement la distribution volumique $\;{\big$la projection se faisant parallèlement à toute section transversale $\;{\big$voir ci-contre${\big )}{\big ]}$ ;
réaliser la modélisation linéique à partir de la modélisation volumique initiale revient à considérer que les charges, au lieu d’être localisées dans l'expansion tridimensionnelle de section droite «$\;e\;$ x $\;e'\;$» dont $\;\left(\Gamma \right)\;$ est l’une des courbes génératrices, le sont sur $\;\left(\Gamma \right)\;$ et en particulier la charge élémentaire «$\;dq=\rho (P')\;d\tau \;$» de l'expansion tridimensionnelle élémentaire entourant $\;P'\;$ de volume $\;d\tau =e\;e'\;d{\mathit {l}}\;$ $\;{\bigd{\mathit {l}}\;$ étant la longueur de la portion de courbe élémentaire entourant $\;P{\big ]}\;$ se retrouve intégralement, dans la distribution linéique associée $\;{\big$que l'on notera $\;{\mathcal {D}}{\big ]}$, sur la portion de courbe élémentaire entourant $\;P\;$ de longueur $\;d{\mathit {l}}$ $\;{\big$voir le schéma ci-dessous à droite${\big ]}$ ;
pour réaliser la modélisation linéique $\;{\mathcal {D}}$, on définit la « densité linéique de charge $\;\lambda (P)={\dfrac {dq}{d{\mathit {l}}}}\;$ exprimée en $\;C\cdot m^{-1}\;$» dans laquelle $\;dq\;$ est la charge totale contenue dans l'expansion tridimensionnelle de volume élémentaire $\;d\tau =e\;e'\;d{\mathit {l}}\;$ c'est-à-dire «$\;dq=\rho (P')\;d\tau =$ $\rho (P')\;e\;e'\;d{\mathit {l}}\;$», la « densité linéique de charge ainsi définie $\;\lambda (P)\;$» étant une fonction « continue de $\;P\in {\mathcal {D}}\;$» $\;{\big{\mathcal {D}}$, avec la connaissance de $\;\lambda (P)$, définissant la modélisation en distribution continue linéique de la distribution continue volumique de charges initiale de densité volumique $\;\rho (P')\;$ selon «$\;\lambda (P)=\rho (P')\;e\;e'\;$»${\big ]}$ ;
remarque : en dehors de la distribution linéique $\;{\mathcal {D}}$ $\;{\big$ou $\;{\mathcal {D}}_{\Gamma }\;$ pour être plus précis${\big ]}\;$, la densité linéique de charge $\;\lambda (P)\;$ étant nulle, on peut envisager deux façons d'aborder une éventuelle discontinuité suivant que l'extérieur de la distribution linéique $\;{\mathcal {D}}_{\Gamma }\;$ est remarque : $\;\succ \;$le sous-ensemble tridimensionnel $\;\left\lbrace {\mathcal {S}}_{{\text{ext. de}}\,{\mathcal {D}},\,{{\text{dim.}}\,3}}\right\rbrace \;$ obtenu en se déplaçant perpendiculairement à $\;\left(\Gamma \right)\;$ ou remarque : $\;\succ \;$le sous-ensemble unidimensionnel $\;\left\lbrace {\mathcal {S}}_{{\text{ext. de}}\,{\mathcal {D}},\,{{\text{dim.}}\,1}}\right\rbrace \;$ obtenu en se déplaçant à travers $\;E\;$ ou $\;E'\;$ extrémités de $\;\left(\Gamma \right)\;$ dans $\;\left(\Gamma _{\infty }\right)\;$ « la courbe d'extension infinie contenant $\;\left(\Gamma \right)\;$» vers l'extérieur de $\;\left(\Gamma \right)\;$ défini dans $\;\left(\Gamma _{\infty }\right)\;$ ;
remarque : en ce qui concerne le passage de la distribution linéique $\;{\mathcal {D}}$ à son extérieur tridimensionnel $\;\left\lbrace {\mathcal {S}}_{{\text{ext. de}}\,{\mathcal {D}},\,{{\text{dim.}}\,3}}\right\rbrace$, il y a, a priori, discontinuité de 1ère espèce de $\;\lambda (P)\;$ dans la mesure où $\;\lambda (P)\neq 0,\;\;{\text{pour}}\;P\in \left(\Gamma \right)\;$ ;
remarque : en ce qui concerne le passage de la distribution linéique $\;{\mathcal {D}}$ à son extérieur unidimensionnel $\;\left\lbrace {\mathcal {S}}_{{\text{ext. de}}\,{\mathcal {D}},\,{{\text{dim.}}\,1}}\right\rbrace$, il y a, a priori, discontinuité de 1ère espèce de $\;\lambda (P)\;$ dans la mesure où $\;\lambda (P)\neq 0,\;\;{\text{pour}}\;P\in \left(E\,,\,E'\right)$, extrémités de $\;\left(\Gamma \right)\;$ dans $\;\left(\Gamma _{\infty }\right)\;$ « la courbe d'extension infinie contenant $\;\left(\Gamma \right)\;$» $\;{\big$bien entendu la question de cette discontinuité éventuelle ne se pose que si $\;{\mathcal {D}}\;$ n'est pas d'extension infinie de façon à ce que $\;\left\lbrace {\mathcal {S}}_{{\text{ext. de}}\,{\mathcal {D}},\,{{\text{dim.}}\,1}}\right\rbrace \;$ existe${\big ]}$.
Conclusion : La caractérisation de la distribution continue linéique de charge $\;{\mathcal {D}}\;$ nécessite la connaissance de la densité linéique de charge $\;\lambda (P)\;$ en tout point $\;P\;$ de l'expansion unidimensionnelle de la distribution $\;{\mathcal {D}}$, Conclusion : la charge contenue dans la portion de courbe élémentaire de longueur $\;d{\mathit {l}}\;$ entourant le point $\;P\;$ s'écrivant alors «$\;dq=\lambda (P)\;d{\mathit {l}}\;$», Conclusion : cette charge «$\;dq\;$», considérée comme « quasi ponctuelle à l’échelle macroscopique », Conclusion : cette charge « dq », est la « source centrée en $\;P\in {\mathcal {D}}\;$ du champ électrique créé par cette dernière en tout point $\;M\;$ de l'espace ».
Décomposition d'une distribution continue volumique en une juxtaposition de distributions continues linéiques : dans la mesure où une distribution continue volumique $\;{\mathcal {D}}_{3}\;$ de densité volumique de charge $\;\rho (P)\;$ est telle qu'il existe deux des $\;3\;$ coordonnées de $\;P$ $\;{\big$par exemple $\;x_{1}\;$ et $\;x_{2}{\big )}\;$ pour laquelle $\;\rho (P)\;$ ne varie pas avec la 3ème coordonnée $\;{\bigx_{3}{\big )}$, Décomposition d'une distribution continue volumique en une juxtaposition de distributions continues linéiques : on peut considérer $\;{\mathcal {D}}_{3}\;$ comme une juxtaposition de distributions continues volumiques élémentaires $\;{\mathcal {D}}_{\left\lbrace \left[x_{1}\,,\,x_{1}+dx_{1}\right]\times \left[x_{2}\,,\,x_{2}+dx_{2}\right]\right\rbrace }\;$ pour lesquelles les coordonnées $\;x_{1}\;$ et $\;x_{2}\;$ sont figées respectivement à $\;dx_{1}\;$ et $\;dx_{2}\;$ près, l'autre coordonnée étant quelconque et Décomposition d'une distribution continue volumique en une juxtaposition de distributions continues linéiques : on peut modéliser chacune des distributions continues volumiques élémentaires précédemment définies $\;{\mathcal {D}}_{\left\lbrace \left[x_{1}\,,\,x_{1}+dx_{1}\right]\times \left[x_{2}\,,\,x_{2}+dx_{2}\right]\right\rbrace }\;$ par une distribution continue linéique de « densité linéique de charge $\;\rho (P_{x_{1},\,x_{2}})\;dx_{1}\;dx_{2}\;$» $\;{\big$correspondant effectivement à la dimension d'une densité linéique de charge $\;\left(C\cdot m^{-3}\right)\times m\times m=C\cdot m^{-1}{\big ]}$.

### Sources de champ magnétique

Toute distribution de charges électriques « globalement mobiles » dans un référentiel d’étude est source de champ magnétique dans ce référentiel, ce peut être :
* un conducteur immobile relativement au référentiel d’étude traversé par un courant,
* un corps « chargé » se déplaçant dans le référentiel d’étude,
* un « faisceau de particules chargées »,
* de la matière « aimantée » $\;{\big$c'est-à-dire des aimants${\big )}\;$ ;
en conclusion, à l’aide des remarques faites dans les notes « $^{19}$, $^{20}$ et $^{21}$ » plus haut dans ce chapitre, nous constatons qu’« une source de champ magnétique peut être considérée comme la circulation d’un courant dans le référentiel où on étudie le champ magnétique ».

#### Distribution réelle discrète

Les deux principaux exemples de distribution réelle discrète de charges mobiles dans un référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ sont
* un ensemble fini d'échantillons mésoscopiques de porteurs de charge mobiles $\;P_{k}\;$ de charge $\;q_{k}\;$ se déplaçant à la vitesse moyenne $\;{\vec {V}}_{k}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$, chaque échantillon mésoscopique contenant un nombre de porteurs de charge fini mais néanmoins suffisamment grand pour la mise en œuvre de la statistique dont découle alors une modélisation continue $\;{\big$voir les paragraphes suivants « modélisation en distribution continue volumique », « modélisation en distribution continue surfacique » ou « modélisation en distribution continue linéique » plus bas dans ce chapitre${\big )}\;$ ou
* un faisceau monocinétique de particules chargées, identiques et indépendantes, chaque particule $\;P\left(q\right)\;$ se déplaçant à la même vitesse moyenne $\;{\vec {V}}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ sans interagir avec ses plus proches voisines $\;{\big$ce qui nécessite que la distance minimale séparant deux particules distinctes soit toujours $\;\gtrsim \;$ à $\;{\mathit {d}}_{\text{min}}{\big )}$, le débit instantané des particules du faisceau en chaque point de ce dernier $\;{\big$c'est-à-dire successivement $\;0\;$ ou $\;1\;$ à l'échelle microscopique de temps${\big )}\;$ pouvant être remplacé, à l'échelle mésoscopique de temps, par un débit particulaire moyen $\;n\;$ exprimé en $\;s^{-1}$, ceci correspond, là encore, à une modélisation mais en gardant le caractère particulaire du faisceau.

#### Modélisation en distribution continue volumique

Remarque préliminaire : Nous n'insisterons pas sur la justification du caractère continu de la distribution volumique de charges mobiles ni sur l'éventuelle discontinuité aux frontières de cette distribution, sachez que tout ce qui a été exposé dans le paragraphe étudiant les sources de champ électrique « modélisation en distribution continue volumique (remarque) » plus haut dans ce chapitre, peut être répété dans ce paragraphe et ses sous paragraphes.
On considère une expansion tridimensionnelle contenant un ensemble de charges ponctuelles définissant une distribution discrète de charges mobiles dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, On considère un point $\;P\;$ quelconque de cette expansion et un volume élémentaire $\;d\tau \;$ entourant le point $\;P$ ;
ce volume élémentaire d’échelle mésoscopique contient un nombre « suffisant » de charges mobiles permettant l’utilisation de la « statistique » ;
à cette échelle mésoscopique il est donc possible, si on ne s’intéresse pas aux propriétés microscopiques, de remplacer la distribution discrète de charges mobiles dans le volume élémentaire $\;d\tau \;$ entourant le point $\;P\;$ par une distribution continue de charges mobiles réparties en volume en conservant le nombre total de porteurs de charge mobiles de chaque type du volume élémentaire $\;{\big$la distribution continue volumique de charges mobiles étant notée $\;{\mathcal {D}}_{m}{\big ]}$ ;
pour cela on définit la « densité volumique de porteurs de charge mobiles du type $\;_{k}\;$ $\;N_{V,\,m,\,{\text{type}}\,_{k}}(P)={\dfrac {\delta N_{m}(\,_{k})}{d\tau }}\;$ exprimée en $\;m^{-3}\;$» dans laquelle $\;\delta N_{m}(\,_{k})\;$ est le nombre total moyen de porteurs de charge mobiles de type $\;_{k}\;$ contenus dans l'expansion tridimensionnelle de volume élémentaire $\;d\tau$ $\;{\big$nombre fluctuant à une échelle de temps microscopique$^,$ devenant constant par introduction d'une moyenne à une échelle de temps mésoscopique${\big )}$, la « densité volumique de porteurs de charge mobiles du type $\;_{k}\;$ ainsi définie $\;N_{V,\,m,\,{\text{type}}\,_{k}}(P)\;$» étant une fonction « continue de $\;P\in {\mathcal {D}}_{m}\;$» $\;{\big{\mathcal {D}}_{m}$ étant la modélisation en distribution continue volumique de la distribution discrète de charges mobiles initiale, la définition de $\;N_{V,\,m,\,{\text{type}}\,_{k}}(P)\;$ de tous les types de porteurs de charge mobiles étant nécessaire à la caractérisation de $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ sans qu'elle soit suffisante${\big ]}$ ;
en notant «$\;q_{\,_{k}}\;$» la charge d’un porteur de type $\;_{k}\;$, la « densité volumique de charge des porteurs de type $\;_{k}\;$ dans l’échantillon mésoscopique centré en $\;P\in {\mathcal {D}}_{m}$ $\;{\big$la distribution volumique continue de charges mobiles${\big )}\;$» à savoir «$\;\rho _{m,\,{\text{type}}\,_{k}}(P)\;$» s'écrit selon «$\;\rho _{m,\,{\text{type}}\,_{k}}(P)=q_{\,_{k}}\;N_{V,\,m,\,{\text{type}}\,_{k}}(P)\;$ exprimée en $\;C\cdot m^{-3}\;$».
Conclusion : La caractérisation de la distribution continue volumique de charges mobiles $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ nécessite, non seulement la connaissance de la densité volumique de charge des porteurs de charge mobiles de chaque différent type $\;_{k}\;$ «$\;\rho _{m,\,{\text{type}}\,_{k}}(P)\;$» en tout point $\;P\;$ de l'expansion tridimensionnelle de la distribution $\;{\mathcal {D}}_{m}$ $\;{\big$la charge des porteurs de charge mobiles de type $\;_{k}\;$ contenue dans le volume élémentaire $\;d\tau \;$ entourant le point $\;P\;$ s'écrivant alors «$\;dq_{k}=\rho _{m,\,{\text{type}}\,_{k}}(P)\;d\tau \;$»${\big ]}$, Conclusion : La caractérisation de la distribution continue volumique de charges mobiles Dm nécessite, mais aussi celle du vecteur vitesse moyen des porteurs de charge mobiles de chaque différent type $\;_{k}\;$ en tout point $\;P\;$ de l'expansion tridimensionnelle de la distribution $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ «$\;{\vec {V}}_{{\text{type}}\,_{k}}(P)\;$», Conclusion : toutes les charges mobiles «$\;dq_{k}\;$», considérées comme « quasi ponctuelles à l’échelle macroscopique » de vecteur vitesse «$\;{\vec {V}}_{{\text{type}}\,_{k}}(P)\;$» dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ Conclusion : toutes les charges mobiles « dqk », sont les « sources centrées en $\;P\in {\mathcal {D}}_{m}\;$ du champ magnétique créé par ces dernières en tout point $\;M\;$ de l'espace » ; Conclusion : remarque : tous les porteurs de charge mobiles d’un même type $\;_{k}\;$ ayant un même vecteur vitesse moyen dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ en traversant l'expansion tridimensionnelle de volume élémentaire $\;d\tau \;$ centrée en $\;P$, on peut remplacer « le déplacement des porteurs de ce type » par un « courant » associé à ce type, Conclusion : remarque : ce remplacement entraînant l'introduction d'autant de « courants » qu’il y a de « types de porteurs de charge mobiles » $\;\ldots$

##### Notion de vecteur densité volumique de courant associé à un type de porteurs de charge mobiles défini en un point d'une distribution continue volumique

$\;_{k}\;$
$\;P\;$
$\;{\mathcal {D}}_{m}\;$
$\;{\vec {j}}_{k}(P)\;$
* de direction $\;\parallel \;$ à celle de $\;{\vec {V}}_{k}(P)\;$ le vecteur vitesse d'entraînement du porteur de charge mobile de type $\;_{k}\;$ en $\;P\;$,
* de sens identique au sens de $\;{\vec {V}}_{k}(P)\;$ pour des porteurs de charge mobiles de type $\;_{k}\;$ dont la charge individuelle $\;q_{p,\,_{k}}\;$ est $\;>0\;$ de sens contraire au sens de $\;{\vec {V}}_{k}(P)\;$ pour des porteurs de charge mobiles de type $\;_{k}\;$ dont la charge individuelle $\;q_{p,\,_{k}}\;$ est $\;<0$,
* de norme égale à la quantité d'électricité des porteurs de charge mobiles de type $\;_{k}\;$ traversant $\;P\;$ par $\;s\;$ et par $\;m^{2}\;$ de section droite, $\;\Vert {\vec {j}}_{k}(P)\Vert \;$ s'exprime donc en «$\;C\cdot s^{-1}\cdot m^{-2}=A\cdot m^{-2}\;$» ;
$\;{\vec {j}}_{k}(P)\;$
$\;_{k}\;$

##### Lien entre le vecteur densité volumique de courant associé à un type de porteur de charge mobile et le vecteur vitesse d'ensemble de ce type

Le vecteur densité volumique de courant associé à un type $\;_{k}\;$ de porteurs de charge mobiles défini en tout point $\;P\;$ de la distribution continue volumique $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ «$\;{\vec {j}}_{k}(P)\;$» est lié
* au vecteur vitesse d'entraînement de ce type de porteur défini au même point $\;P\;$ de la même distribution continue volumique $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ «$\;{\vec {V}}_{k}(P)\;$» $\;{\big$de norme «$\;\Vert {\vec {V}}(P)\Vert \;$» notée simplement «$\;v\;$» sur le schéma ci-contre${\big ]}\;$ et
* à la densité volumique de charge en porteurs de charge mobiles de ce type définie en $\;P\;$ de $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ «$\;\rho _{m,\,_{k}}(P)\;$»
par la relation suivante $\;{\big$à retenir et à savoir retrouver${\big )}\;$
$\;{\vec {j}}_{k}(P)=\rho _{m,\,_{k}}(P)\;{\vec {V}}_{k}(P)\;$
Démonstration : Les porteurs de charge mobiles de type $\;_{k}\;$ qui traversent une section droite élémentaire centrée en $\;P$ $\;{\big$surface hachurée sur le schéma ci-contre${\big )}$, d’aire $\;dS$, entre $\;t\;$ et $\;t+dt$, se trouvaient, à l’instant $\;t\;$ dans le cylindre de même section droite et de longueur $\;v\;dt$ $\;{\big$cylindre matérialisé sur le schéma ci-dessus à droite${\big )}$ ;
Démonstration : la densité volumique de porteurs de charge mobiles de type $\;_{k}\;$ étant «$\;N_{V,\,m,\,_{k}}(P)\;$» au point $\;P$, le nombre de porteurs de charge mobiles de type $\;_{k}\;$ traversant la section droite élémentaire centrée en $\;P$, d’aire $\;dS$, entre $\;t\;$ et $\;t+dt$, est donc «$\;\delta N_{m,\,dS,\,dt,\,_{k}}=N_{V,\,m,\,_{k}}(P)\times \left(dS\;v\,dt\right)\;$ » et Démonstration : en notant $\;q_{p,\,_{k}}\;$ la charge d'un porteur de charge mobile de type $\;_{k}\;$, la charge traversant la même section droite élémentaire centrée en $\;P$, d’aire $\;dS$, entre $\;t\;$ et $\;t+dt$, est égale à «$\;\delta q_{dS,\,dt,\,_{k}}=$ $q_{p,\,_{k}}\times \delta N_{m,\,dS,\,dt,\,_{k}}=q_{p,\,_{k}}\;N_{V,\,m,\,_{k}}(P)\;dS\;v\;dt\;$» ou encore, Démonstration : en introduisant la densité volumique de charge des porteurs de charge mobiles de type $\;_{k}\;$ au point $\;P\;$ «$\;\rho _{m,\,_{k}}(P)=q_{p,\,_{k}}\;N_{V,\,m,\,_{k}}(P)\;$», «$\;\delta q_{dS,\,dt,\,_{k}}=\rho _{m,\,_{k}}(P)\;dS\;v\;dt\;$» ;
Démonstration : la quantité d’électricité associée aux porteurs de charge mobiles de type $\;_{k}\;$ traversant $\;dS\;$ entre $\;t\;$ et $\;t+dt\;$ «$\;\delta Q_{dS,\,dt,\,_{k}}\;$» étant, par définition, la valeur absolue de la charge associée aux mêmes porteurs traversant la même section pendant la même durée «$\;\vert \delta q_{dS,\,dt,\,_{k}}\vert \;$» est donc «$\;\delta Q_{dS,\,dt,\,_{k}}=\vert \rho _{m,\,_{k}}(P)\vert \;dS\;v\;dt\;$» et Démonstration : la norme du vecteur densité volumique de courant associé aux porteurs de charge mobiles de type $\;_{k}\;$ «$\;\Vert {\vec {j}}_{k}(P)\Vert \;$» étant la quantité d’électricité traversant par $\;m^{2}\;$ de section droite centrée en $\;P\;$ et par $\;s$, on en déduit «$\;\Vert {\vec {j}}_{k}(P)\Vert ={\dfrac {\delta Q_{dS,\,dt,\,_{k}}}{dS\;dt}}\;$» soit finalement
$\;\Vert {\vec {j}}_{k}(P)\Vert =\vert \rho _{m,\,_{k}}(P)\vert \;v=\Vert \rho _{m,\,_{k}}(P)\;{\vec {V}}_{k}(P)\Vert \;$
Démonstration : sachant que, par définition, la direction de $\;{\vec {j}}_{k}(P)\;$ est celle de $\;{\vec {V}}_{k}(P)\;$, on en déduit que «$\;{\vec {j}}_{k}(P)=\pm \vert \rho _{m,\,_{k}}(P)\vert \;{\vec {V}}_{k}(P)\;$» et Démonstration : sachant que, par définition, le sens de $\;{\vec {j}}_{k}(P)\;$ est celui de $\;{\vec {V}}_{k}(P)\;$ si $\;q_{p,\,_{k}}\;$ est $\;>0\;$ et contraire à celui de $\;{\vec {V}}_{k}(P)\;$ si $\;q_{p,\,_{k}}\;$ est $\;<0$, on en déduit :
Démonstration : $\;\succ \;$pour «$\;q_{p,\,_{k}}>0\;$», «$\;{\vec {j}}_{k}(P)=\vert \rho _{m,\,_{k}}(P)\vert \;{\vec {V}}_{k}(P)\;$» ou, $\;\rho _{m,\,_{k}}(P)\;$ étant $\;>0$, soit
$\;q_{p,\,_{k}}>0\;$
$\;{\vec {j}}_{k}(P)=\rho _{m,\,_{k}}(P)\;{\vec {V}}_{k}(P)\;$
Démonstration : $\;\succ \;$pour «$\;q_{p,\,_{k}}<0\;$», «$\;{\vec {j}}_{k}(P)=-\vert \rho _{m,\,_{k}}(P)\vert \;{\vec {V}}_{k}(P)\;$» ou, $\;\rho _{m,\,_{k}}(P)\;$ étant $\;<0\;$ $\Rightarrow$ $\;\rho _{m,\,_{k}}(P)=-\vert \rho _{m,\,_{k}}(P)\vert$, soit
$\;q_{p,\,_{k}}<0\;$
$\;{\vec {j}}_{k}(P)=\rho _{m,\,_{k}}(P)\;{\vec {V}}_{k}(P)\;$

##### Généralisation de la notion de vecteur densité volumique de courant au cas de plusieurs types de porteurs de charge mobiles

Le vecteur densité volumique de courant en un point $\;P\;$ d'une distribution continue volumique $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ «$\;{\vec {j}}(P)\;$» dans laquelle il y a plusieurs types $\;_{k}\;$ de porteurs de charge mobiles est la somme des Le vecteurs densités volumiques de courant associés à chaque type $\;_{k}\;$ de porteurs de charge mobiles définis au même point $\;P\;$ de $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ «$\;{\vec {j}}_{k}(P)\;$» pour lesquels
$\;{\vec {j}}_{k}(P)=\rho _{m,\,_{k}}(P)\;{\vec {V}}_{k}(P)\;$
avec «$\;\rho _{m,\,_{k}}(P)\;$» la densité volumique de charge en porteurs de charge mobiles de ce type définie en $\;P\;$ de $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ et avec «$\;{\vec {V}}_{k}(P)\;$» le vecteur vitesse d'entraînement de ce type de porteur défini au même point $\;P\;$ de $\;{\mathcal {D}}_{m}$, d'où la relation déduite de la définition du vecteur densité volumique de courant en un point $\;P\;$ de la distribution continue volumique $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ à plusieurs types $\;_{k}\;$ de porteurs de charge mobiles
$\;{\vec {j}}(P)=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,n}{\vec {j}}_{k}(P)=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,n}\rho _{m,\,_{k}}(P)\;{\vec {V}}_{k}(P)\;$
$\;n\;$
$\;{\mathcal {D}}_{m}$
Remarque : Le sens du vecteur densité volumique de courant en un point $\;P\;$ d'une distribution continue volumique $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ à savoir le sens de $\;{\vec {j}}(P)\;$ définit le sens $\;{\big$conventionnel${\big )}\;$ du courant en $\;P\in {\mathcal {D}}_{m}$, c'est aussi le sens de déplacement des porteurs de charge mobiles de charge positive et le sens contraire de déplacement des porteurs de charge mobiles de charge négative.
Exemples : $\;\succ \;$Un 1er exemple reprend celui cité en note « $^{26}$ (dans une solution aqueuse électrolytique) » plus haut dans ce chapitre à savoir une solution aqueuse décimolaire de chlorure cuivrique contenant deux types de porteurs de charge mobiles « des anions $\;Cl_{\text{aq}}^{-}\;$» et « des cations $\;Cu_{\text{aq}}^{2+}\;$» Exemples : Un 1er exemple de charge et de densité volumique de charge respectives «$\;q_{Cl_{\text{aq}}^{-}}\simeq -1,6\;10^{-19}\;C\;$ avec $\;\rho _{m,\,Cl_{\text{aq}}^{-}}=q_{Cl_{\text{aq}}^{-}}\;N_{V,\,m,\,Cl_{\text{aq}}^{-}}\;$» et «$\;q_{Cu_{\text{aq}}^{2+}}\simeq 3,2\;10^{-19}\;C\;$ avec $\;\rho _{m,\,Cu_{\text{aq}}^{2+}}=$ $q_{Cu_{\text{aq}}^{2+}}\;N_{V,\,m,\,Cu_{\text{aq}}^{2+}}\;$», Exemples : Un 1er exemple la densité volumique en anions $\;Cl_{\text{aq}}^{-}\;$ et en cations $\;Cu_{\text{aq}}^{2+}\;$ se déduisant de la « concentration volumique molaire $\;c=10^{-1}\;mol\cdot L^{-1}\;$ de la solution aqueuse de $\;\left(CuCl_{2}\right)_{(s)}\;$» associée à la « réaction de dissolution du soluté $\;\left(CuCl_{2}\right)_{(s)}\;{\overset {H_{2}O}{\;\rightarrow \;}}\;Cu_{\text{aq}}^{2+}+2\;Cl_{\text{aq}}^{-}\;$» soit «$\;N_{V,\,m,\,Cl_{\text{aq}}^{-}}={\mathcal {N}}\times \left(2\;n_{V}\right)\;$ et $\;N_{V,\,m,\,Cu_{\text{aq}}^{2+}}={\mathcal {N}}\times \left(n_{V}\right)\;$» dans lesquelles $\;{\mathcal {N}}\simeq$ $6,02\;10^{23}\;mol^{-1}\;$ est la constante d'Avogadro $\Rightarrow$ la densité volumique en anions $\;Cl_{\text{aq}}^{-}\;$ s'évalue par «$\;N_{V,\,m,\,Cl_{\text{aq}}^{-}}\simeq 6,02\;10^{23}\times \left[2\times \left(1000\times 10^{-1}\right)\right]\simeq 12\;10^{25}\;m^{-3}\;$» et celle en cations $\;Cu_{\text{aq}}^{2+}\;$ par «$\;N_{V,\,m,\,Cu_{\text{aq}}^{2+}}\simeq$ $6,02\;10^{23}\times \left(1000\times 10^{-1}\right)\simeq 6\;10^{25}\;m^{-3}\;$» soit finalement Exemples : Un 1er exemple les densités volumiques de charge respectives «$\;\rho _{m,\,Cl_{\text{aq}}^{-}}\simeq -1,6\;10^{-19}\times 12\;10^{25}\simeq -1,9\;10^{7}\;C\cdot m^{-3}\;$» et «$\;\rho _{m,\,Cu_{\text{aq}}^{2+}}\simeq 3,2\;10^{-19}\times 6\;10^{25}\simeq 1,9\;10^{7}\;C\cdot m^{-3}\;$» $\;{\big$les densités volumiques de charge de chaque type de porteurs de charge mobiles sont opposées en accord avec l'électroneutralité de la solution${\big )}$ ; Exemples : Un 1er exemple notant $\;{\vec {V}}_{Cl_{\text{aq}}^{-}}\;$ et $\;{\vec {V}}_{Cu_{\text{aq}}^{2+}}\;$ les vecteurs vitesse d'entraînement respectifs des anions $\;Cl_{\text{aq}}^{-}\;$ et des cations $\;Cu_{\text{aq}}^{2+}\;$ dans la solution aqueuse décimolaire de chlorure cuivrique plongée dans un électrolyseur aux bornes duquel on impose une tension électrique pour engendrer un courant $\;{\big{\vec {V}}_{Cu_{\text{aq}}^{2+}}\;$ étant de direction et de sens du champ électrique local imposé de l'extérieur et $\;{\vec {V}}_{Cl_{\text{aq}}^{-}}\;$ de direction mais de sens contraire à ce champ électrique local, ces deux vecteurs vitesse ont même direction mais sont de sens contraire soit, en notant $\;{\vec {\tau }}\;$ le vecteur unitaire définissant la direction et le sens du champ électrique local, «$\;{\vec {V}}_{Cu_{\text{aq}}^{2+}}=\Vert {\vec {V}}_{Cu_{\text{aq}}^{2+}}\Vert \;{\vec {\tau }}\;$» et «$\;{\vec {V}}_{Cl_{\text{aq}}^{-}}=-\Vert {\vec {V}}_{Cl_{\text{aq}}^{-}}\Vert \;{\vec {\tau }}\;$»${\big ]}$, Exemples : Un 1er exemple la densité volumique de courant associée aux anions $\;Cl_{\text{aq}}^{-}\;$ de la solution aqueuse décimolaire de $\;\left(CuCl_{2}\right)_{(s)}\;$ plongée dans un champ électrique extérieur s'écrit $\;{\vec {j}}_{Cl_{\text{aq}}^{-}}=$ $\rho _{Cl_{\text{aq}}^{-}}\;{\vec {V}}_{Cl_{\text{aq}}^{-}}=-\vert \rho _{Cl_{\text{aq}}^{-}}\vert \left[-\Vert {\vec {V}}_{Cl_{\text{aq}}^{-}}\Vert \;{\vec {\tau }}\right]\;$ ou «$\;{\vec {j}}_{Cl_{\text{aq}}^{-}}=\vert \rho _{Cl_{\text{aq}}^{-}}\vert \;\Vert {\vec {V}}_{Cl_{\text{aq}}^{-}}\Vert \;{\vec {\tau }}\;$» dans le sens du champ électrique local $\;{\big$c'est-à-dire le sens des potentiels $\;\searrow \;$${\big ]}$, Exemples : Un 1er exemple celle associée aux cations $\;Cu_{\text{aq}}^{2+}\;$ de la même solution aqueuse décimolaire de $\;\left(CuCl_{2}\right)_{(s)}\;$ plongée dans un même champ électrique extérieur s'écrit $\;{\vec {j}}_{Cu_{\text{aq}}^{2+}}=\rho _{Cu_{\text{aq}}^{2+}}\;{\vec {V}}_{Cu_{\text{aq}}^{2+}}=\vert \rho _{Cu_{\text{aq}}^{2+}}\vert \left[\Vert {\vec {V}}_{Cu_{\text{aq}}^{2+}}\Vert \;{\vec {\tau }}\right]\;$ ou «$\;{\vec {j}}_{Cu_{\text{aq}}^{2+}}=\vert \rho _{Cu_{\text{aq}}^{2+}}\vert \;\Vert {\vec {V}}_{Cu_{\text{aq}}^{2+}}\Vert \;{\vec {\tau }}\;$» également dans le sens du champ électrique local $\;{\big$c'est-à-dire le sens des potentiels $\;\searrow \;$${\big ]}$, d'où Exemples : Un 1er exemple la densité volumique de courant circulant dans la solution aqueuse décimolaire de $\;\left(CuCl_{2}\right)_{(s)}\;$ plongée dans un champ électrique «$\;{\vec {j}}_{{\text{sol. de}}\,\left(CuCl_{2}\right)_{(s)}}={\vec {j}}_{Cl_{\text{aq}}^{-}}+{\vec {j}}_{Cu_{\text{aq}}^{2+}}\;$» s'écrivant finalement, en notant «$\;\vert \rho _{m}\vert \;$ la valeur commune de $\;\vert \rho _{Cl_{\text{aq}}^{-}}\vert =\vert \rho _{Cu_{\text{aq}}^{2+}}\vert \simeq 1,9\;10^{7}\;C\cdot m^{-3}\;$»,
$\;{\vec {j}}_{{\text{sol. de}}\,\left(CuCl_{2}\right)_{(s)}}=\vert \rho _{m}\vert \,\left[\Vert {\vec {V}}_{Cl_{\text{aq}}^{-}}\Vert +\Vert {\vec {V}}_{Cu_{\text{aq}}^{2+}}\Vert \right]\,{\vec {\tau }}\simeq 1,9\;10^{7}\,\left[\Vert {\vec {V}}_{Cl_{\text{aq}}^{-}}\Vert +\Vert {\vec {V}}_{Cu_{\text{aq}}^{2+}}\Vert \right]\,{\vec {\tau }}$
$\;{\big$
$\;A\cdot m^{-2}\;$
$\;m\cdot s^{-1}{\big )}\;$
$\;{\vec {\tau }}\;$
$\;{\vec {j}}_{{\text{sol. de}}\,\left(CuCl_{2}\right)_{(s)}}\;$
$\;{\big$
$\;\searrow \;$
${\big ]}$
Exemples : $\;\succ \;$2ème exemple : une solution aqueuse décimolaire de sulfate d'ammonium dont l'acidité a été renforcée par ajout d'un même volume d'une solution aqueuse décimolaire d'acide sulfurique contient trois types de porteurs de charge mobiles « des anions $\;\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}\;$» et « deux cations différents $\;\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}\;$ et $\;H_{\text{aq}}^{+}\;$» Exemples : 2ème exemple : de charge et de densité volumique de charge respectives «$\;q_{\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}\simeq -3,2\;10^{-19}\;C\;$ avec $\;\rho _{m,\,\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}=q_{\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}\;N_{V,\,m,\,\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}\;$» ainsi que «$\;q_{\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}\simeq 1,6\;10^{-19}\;C\;$ avec $\;\rho _{m,\,\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}=q_{\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}\;N_{V,\,m,\,\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}\;$» et «$\;q_{H_{\text{aq}}^{+}}\simeq 1,6\;10^{-19}\;C\;$ avec $\;\rho _{m,\,H_{\text{aq}}^{+}}=q_{H_{\text{aq}}^{+}}\;N_{V,\,m,\,H_{\text{aq}}^{+}}\;$», Exemples : 2ème exemple : la densité volumique en anions $\;\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}\;$ ainsi qu'en cations $\;\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}\;$ et $\;H_{\text{aq}}^{+}\;$ se déduisant des « concentrations volumiques molaires $\;{\big$dans le mélange étudié${\big )}$ $\;c=$ $5\;10^{-2}\;mol\cdot L^{-1}\;$$^,$ de la solution aqueuse de $\;\left[\left(NH_{4}\right)_{2}SO_{4}\right]_{(s)}\;$ et de celle de $\;\left(H_{2}SO_{4}\right)_{({\mathit {l}})}\;$» Exemples : 2ème exemple : associée aux « réactions de dissolution de chaque soluté $\;\left[\left(NH_{4}\right)_{2}SO_{4}\right]_{(s)}\;{\overset {H_{2}O}{\;\rightarrow \;}}\;2\;\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}+\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ et $\;\left(H_{2}SO_{4}\right)_{({\mathit {l}})}\;{\overset {H_{2}O}{\;\rightarrow \;}}\;2\;H_{\text{aq}}^{+}+\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}\;\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$» ainsi qu'à Exemples : 2ème exemple : « la réaction acido-basique de Brønsted-Lowry$^,$ $\;\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}\;{\overset {H_{2}O}{\;\rightleftharpoons \;}}\;\left(NH_{3}\right)_{\text{aq}}+H_{\text{aq}}^{+}\;\;\left({\mathfrak {c}}\right)\;$» de constante d'équilibre égale à la constante d'acidité de l'acide $\;\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}\;$ «$\;K_{a}$ $=10^{-9,25}\;$», valeur faible autorisant une réaction très peu avancée $\;{\big$hypothèse à valider${\big )}\;$ d'où Exemples : 2ème exemple : une concentration volumique molaire d'ammoniac $\;\left[\left(NH_{3}\right)_{\text{aq}}\right]\ll \;$ devant celle en ammonium $\;\left[\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}\right]\;$ dont on déduit, en utilisant le caractère total de la réaction $\;\left({\mathfrak {a}}\right)$, $\;\left[\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}\right]\simeq 2\times 5\;10^{-2}=10^{-1}\;mol\cdot L^{-1}\;$ ou $\;n_{V,\,\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}\simeq 100\;mol\cdot m^{-3}\;$ dont on tire la densité volumique en cations $\;\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}\;$ «$\;N_{V,\,m,\,\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}={\mathcal {N}}\times n_{V,\,\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}\;$» soit «$\;N_{V,\,m,\,\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}$ $\simeq 6\;10^{25}\;m^{-3}\;$» et Exemples : 2ème exemple : une concentration volumique molaire en ion hydrogène hydraté fourni par la réaction $\;\left({\mathfrak {c}}\right)$ $\;\left[H_{\text{aq}}^{+}\right]_{\left({\mathfrak {c}}\right)}\ll \;$ devant celle en ion hydrogène hydraté fourni par la réaction $\;\left({\mathfrak {b}}\right)$ $\;\left[H_{\text{aq}}^{+}\right]_{\left({\mathfrak {b}}\right)}\;$ dont on déduit la valeur, en utilisant le caractère total de la réaction $\;\left({\mathfrak {b}}\right)$, $\;\left[H_{\text{aq}}^{+}\right]_{\left({\mathfrak {b}}\right)}=2\times 5\;10^{-2}\;mol\cdot L^{-1}=10^{-1}\;mol\cdot L^{-1}\;$ d'où $\;\left[H_{\text{aq}}^{+}\right]=\left[H_{\text{aq}}^{+}\right]_{\left({\mathfrak {b}}\right)}\;{\cancel {+\;\left[H_{\text{aq}}^{+}\right]_{\left({\mathfrak {c}}\right)}}}\simeq 10^{-1}\;mol\cdot L^{-1}\;$ ou $\;n_{V,\,H_{\text{aq}}^{+}}\simeq 100\;mol\cdot m^{-3}\;$ dont on tire la densité volumique en cations $\;H_{\text{aq}}^{+}\;$ «$\;N_{V,\,m,\,H_{\text{aq}}^{+}}={\mathcal {N}}\times n_{V,\,H_{\text{aq}}^{+}}\;$» soit «$\;N_{V,\,m,\,H_{\text{aq}}^{+}}\simeq$ $6\;10^{25}\;m^{-3}\;$», enfin Exemples : 2ème exemple : la concentration volumique molaire en ion sulfate hydraté résultant des deux réactions totales $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ et $\;\left({\mathfrak {b}}\right)$, on en déduit $\;\left[\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}\right]=\left[\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}\right]_{\left({\mathfrak {a}}\right)}+\left[\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}\right]_{\left({\mathfrak {b}}\right)}\simeq$ $10^{-1}\;mol\cdot L^{-1}\;$ ou $\;n_{V,\,\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}\simeq 100\;mol\cdot m^{-3}\;$ dont on tire la densité volumique en anions $\;\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}\;$ «$\;N_{V,\,m,\,\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}={\mathcal {N}}\times n_{V,\,\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}\;$» soit «$\;N_{V,\,m,\,\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}\simeq$ $6\;10^{25}\;m^{-3}\;$», au final Exemples : 2ème exemple : les densités volumiques de charge respectives «$\;\rho _{m,\,\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}\simeq -3,2\;10^{-19}\times 6\;10^{25}\simeq -1,92\;10^{7}\;C\cdot m^{-3}\;$», «$\;\rho _{m,\,H_{\text{aq}}^{+}}\simeq 1,6\;10^{-19}\times 6\;10^{25}\simeq$ $9,6\;10^{6}\;C\cdot m^{-3}\;$» et «$\;\rho _{m,\,\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}\simeq 1,6\;10^{-19}\times 6\;10^{25}\simeq 9,6\;10^{6}\;C\cdot m^{-3}\;$» $\;{\big$la somme des densités volumiques de charge en chaque type de cations est opposée à la densité volumique de charge en anions en accord avec l'électroneutralité de la solution${\big )}$ $\;{\bigg \$avant de poursuivre on valide l'hypothèse de réaction $\;\left({\mathfrak {c}}\right)\;$ très peu avancée c'est-à-dire qu'on doit valider $\;\left[\left(NH_{3}\right)_{\text{aq}}\right]\ll \left[\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}\right]\simeq 10^{-1}\;mol\cdot L^{-1}\;$ en utilisant $\;\left[H_{\text{aq}}^{+}\right]\simeq$ $10^{-1}\;mol\cdot L^{-1}\;$ et la constante d'acidité de $\;\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}\;$ soit $\;K_{a}={\dfrac {\left[\left(NH_{3}\right)_{\text{aq}}\right]\times \left[H_{\text{aq}}^{+}\right]}{\left[\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}\right]}}\;$ $\Rightarrow$ $\;\left[\left(NH_{3}\right)_{\text{aq}}\right]={\dfrac {K_{a}\times \left[\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}\right]}{\left[H_{\text{aq}}^{+}\right]}}\;$ soit numériquement $\;\left[\left(NH_{3}\right)_{\text{aq}}\right]\simeq 10^{-9,25}\;mol\cdot L^{-1}\;$ effectivement $\;\ll \;$ devant $\;10^{-1}\;mol\cdot L^{-1}\simeq \left[\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}\right]\;$ C.Q.F.V.${\bigg \}$ ; Exemples : 2ème exemple : notant $\;{\vec {V}}_{\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}$, $\;{\vec {V}}_{\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}\;$ et $\;{\vec {V}}_{H_{\text{aq}}^{+}}\;$ les vecteurs vitesse d'entraînement respectifs des anions $\;\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}\;$ ainsi que des cations $\;\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}\;$ et $\;H_{\text{aq}}^{+}\;$ dans le mélange à volume égal de deux solutions aqueuses décimolaires de sulfate d'ammonium et d'acide sulfurique plongé dans un électrolyseur aux bornes duquel on impose une tension électrique pour engendrer un courant $\;{\big{\vec {V}}_{\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}\;$ et $\;{\vec {V}}_{H_{\text{aq}}^{+}}\;$ étant de direction et de sens du champ électrique local imposé de l'extérieur et $\;{\vec {V}}_{\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}\;$ de direction mais de sens contraire à ce champ électrique local, les vecteurs vitesse des anions et ceux des cations ont même direction mais sont de sens contraire soit, en notant $\;{\vec {\tau }}\;$ le vecteur unitaire définissant la direction et le sens du champ électrique local, «$\;{\vec {V}}_{\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}=\Vert {\vec {V}}_{\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}\Vert \;{\vec {\tau }}\;$», «$\;{\vec {V}}_{H_{\text{aq}}^{+}}$ $=\Vert {\vec {V}}_{H_{\text{aq}}^{+}}\Vert \;{\vec {\tau }}\;$» et «$\;{\vec {V}}_{\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}=-\Vert {\vec {V}}_{\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}\Vert \;{\vec {\tau }}\;$»${\big ]}$, Exemples : 2ème exemple la densité volumique de courant associée aux anions $\;\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}\;$ du mélange à volume égal des deux solutions aqueuses décimolaires de $\;\left[\left(NH_{4}\right)_{2}SO_{4}\right]_{(s)}\;$ et d'$\left(H_{2}SO_{4}\right)_{({\mathit {l}})}\;$ plongé dans un champ électrique extérieur s'écrit $\;{\vec {j}}_{\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}=$ $\rho _{\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}\;{\vec {V}}_{\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}=-\vert \rho _{\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}\vert \left[-\Vert {\vec {V}}_{\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}\Vert \;{\vec {\tau }}\right]\;$ ou «$\;{\vec {j}}_{\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}=\vert \rho _{\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}\vert \;\Vert {\vec {V}}_{\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}\Vert \;{\vec {\tau }}\;$» dans le sens du champ électrique local $\;{\big$c'est-à-dire le sens des potentiels $\;\searrow \;$${\big ]}$, Exemples : 2ème exemple celle associée aux cations $\;\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}\;$ du même mélange à volume égal des deux solutions aqueuses décimolaires de $\;\left[\left(NH_{4}\right)_{2}SO_{4}\right]_{(s)}\;$ et d'$\left(H_{2}SO_{4}\right)_{({\mathit {l}})}\;$ plongé dans un même champ électrique extérieur s'écrit $\;{\vec {j}}_{\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}=\rho _{\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}\;{\vec {V}}_{\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}=\vert \rho _{\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}\vert \left[\Vert {\vec {V}}_{\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}\Vert \;{\vec {\tau }}\right]\;$ ou «$\;{\vec {j}}_{\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}=\vert \rho _{\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}\vert \;\Vert {\vec {V}}_{\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}\Vert \;{\vec {\tau }}\;$» également dans le sens du champ électrique local $\;{\big$c'est-à-dire le sens des potentiels $\;\searrow \;$${\big ]}\;$ ainsi que Exemples : 2ème exemple celle associée aux cations $\;H_{\text{aq}}^{+}\;$ du même mélange à volume égal des deux solutions aqueuses décimolaires de $\;\left[\left(NH_{4}\right)_{2}SO_{4}\right]_{(s)}\;$ et d'$\left(H_{2}SO_{4}\right)_{({\mathit {l}})}\;$ plongé dans un même champ électrique extérieur s'écrit $\;{\vec {j}}_{H_{\text{aq}}^{+}}=\rho _{H_{\text{aq}}^{+}}\;{\vec {V}}_{H_{\text{aq}}^{+}}=\vert \rho _{H_{\text{aq}}^{+}}\vert \left[\Vert {\vec {V}}_{H_{\text{aq}}^{+}}\Vert \;{\vec {\tau }}\right]\;$ ou «$\;{\vec {j}}_{H_{\text{aq}}^{+}}=\vert \rho _{H_{\text{aq}}^{+}}\vert \;\Vert {\vec {V}}_{H_{\text{aq}}^{+}}\Vert \;{\vec {\tau }}\;$» également dans le sens du champ électrique local $\;{\big$c'est-à-dire le sens des potentiels $\;\searrow \;$${\big ]}$, d'où Exemples : 2ème exemple la densité volumique de courant circulant dans le mélange à volume égal des deux solutions aqueuses décimolaires de $\;\left[\left(NH_{4}\right)_{2}SO_{4}\right]_{(s)}\;$ et d'$\left(H_{2}SO_{4}\right)_{({\mathit {l}})}\;$ plongé dans un champ électrique «$\;{\vec {j}}_{{\text{sol. de}}\,\left[\left(NH_{4}\right)_{2}SO_{4}\right]_{(s)}\,\cup \,\left(H_{2}SO_{4}\right)_{({\mathit {l}})}}={\vec {j}}_{\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}+{\vec {j}}_{\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}+{\vec {j}}_{H_{\text{aq}}^{+}}\;$» soit, en notant «$\;\vert \rho _{m}\vert \;$ la valeur commune de $\;{\dfrac {\vert \rho _{\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}\vert }{2}}=\vert \rho _{\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}\vert =\vert \rho _{H_{\text{aq}}^{+}}\vert \simeq 9,6\;10^{6}\;C\cdot m^{-3}\;$»,
$\;{\vec {j}}_{{\text{sol. de}}\,\left[\left(NH_{4}\right)_{2}SO_{4}\right]_{(s)}\,\cup \,\left(H_{2}SO_{4}\right)_{({\mathit {l}})}}=\vert \rho _{m}\vert \,\left[2\;\Vert {\vec {V}}_{\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}\Vert +\Vert {\vec {V}}_{\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}\Vert +\Vert {\vec {V}}_{H_{\text{aq}}^{+}}\Vert \right]\,{\vec {\tau }}\simeq 9,6\;10^{6}\,\left[2\;\Vert {\vec {V}}_{\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}\Vert +\Vert {\vec {V}}_{\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}\Vert +\Vert {\vec {V}}_{H_{\text{aq}}^{+}}\Vert \right]\,{\vec {\tau }}$
$\;{\big$
$\;A\cdot m^{-2}\;$
$\;m\cdot s^{-1}{\big )}\;$
$\;{\vec {\tau }}\;$
$\;{\vec {j}}_{{\text{sol. de}}\,\left[\left(NH_{4}\right)_{2}SO_{4}\right]_{(s)}\,\cup \,\left(H_{2}SO_{4}\right)_{({\mathit {l}})}}\;$
$\;{\big$
$\;\searrow \;$
${\big ]}$

##### Notion de vecteur élément de courant en un point P de la distribution continue volumique de charges mobiles, source du champ magnétique en tout point M de l'espace

$\;P\;$
$\;{\mathcal {D}}_{m}\;$
$\;{\overrightarrow {dC}}(P)={\vec {j}}(P)\;d\tau \;$
$\;{\vec {j}}(P)\;$
$\;P\in {\mathcal {D}}_{m}\;$
$\;d\tau \;$
$\;P\;$
$\;{\overrightarrow {dC}}(P)\;$
$\;P\in {\mathcal {D}}_{m}\;$
$\;A\cdot m^{-2}\times m^{3}=A\cdot m\;$
Conséquence : L'ensemble des vecteurs élément de courant «$\;{\overrightarrow {dC}}(P)\;$» défini en chaque point $\;P\in {\mathcal {D}}_{m}\;$ est la source du champ magnétique créé par $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ en un point $\;M\;$ quelconque de l'espace ; Conséquence : «$\;{\overrightarrow {dC}}(P)={\vec {j}}(P)\;d\tau \;$» est, en tant que source du champ magnétique créé par une distribution continue volumique de charges mobiles $\;{\mathcal {D}}_{m}$, l’analogue de Conséquence : «$\;dq(P)=\rho (P)\;d\tau \;$», est, en tant que source du champ électrique créé par une distribution continue volumique de charges $\;{\mathcal {D}}$, Conséquence : la densité volumique de charge de $\;{\mathcal {D}}\;$ «$\;\rho (P)\;$» traduisant la répartition volumique de la source de champ électrique créé par $\;{\mathcal {D}}\;$ et Conséquence : la densité volumique de courant de $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ «$\;{\vec {j}}(P)\;$» la répartition volumique de la source de champ magnétique créé par $\;{\mathcal {D}}_{m}$, Conséquence : on peut donc affirmer que l'analogue de «$\;\rho (P)={\dfrac {dq(P)}{d\tau }}\;$» est «$\;{\vec {j}}(P)={\dfrac {{\overrightarrow {dC}}(P)}{d\tau }}\;$», ce qui justifie le nom de « densité volumique de courant donné à $\;{\vec {j}}(P)\;$».

##### 1ère définition de l'intensité algébrique d'un courant traversant une surface

$\;i\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;P\in \left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;{\vec {n}}(P)$
$\;{\big$
$\;{\vec {n}}(P)$
$\;P{\big ]}\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;i={\dfrac {dq}{dt}}\;$
$\;dq\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;dt$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;s\;$
$\;i(t)\;$

##### Notion de lignes de courant

$\;P_{0}\;$
$\;{\mathcal {D}}_{m}\;$
$\;P_{0}$
$\;{\vec {j}}(P)\;$
$\;P\;$
$\;{\vec {j}}(P)\;$

##### 2ème définition de l'intensité algébrique d'un courant traversant une surface (en fonction du vecteur densité volumique de courant en tout point de cette surface)

$\;di\;$
$\;{\mathcal {D}}_{m}\;$
$\;dS$
$\;P\in {\mathcal {D}}_{m}$
$\;{\overrightarrow {dS}}_{P}=dS\;{\vec {n}}(P)\;$
$\;{\big{\vec {n}}(P)\;$
${\big ]}$
$\;{\mathcal {D}}_{m}\;$
$\;P\in {\mathcal {D}}_{m}$
$\;P\in {\mathcal {D}}_{m}\;$
$\;{\vec {j}}(P)\;$
$\;{\vec {j}}(P)\;$
$\;{\overrightarrow {dS}}_{P}$
$=dS\;{\vec {n}}(P)\;$
$\;di=\delta \Phi \!\left[{\vec {j}}(P)\right]={\vec {j}}(P)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{P}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;i_{\left({\mathcal {S}}\right)}\;$
$\;{\mathcal {D}}_{m}\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)$
$\;\left(\Gamma \right)$
$\;P\in \left({\mathcal {S}}\right)$
$\;{\overrightarrow {dS}}_{P}=dS\;{\vec {n}}(P)\;$
$\;{\big{\vec {n}}(P)\;$
$\;{\vec {n}}(P)$
$\;P{\big ]}$
$\;{\mathcal {D}}_{m}\;$
$\;P\in {\mathcal {D}}_{m}\;$
$\;{\vec {j}}(P)\;$
$\;{\vec {j}}(P)\;$
$\;{\overrightarrow {dS}}_{P}=dS\;{\vec {n}}(P)\;$
$\;i_{\left({\mathcal {S}}\right)}=\Phi _{\left({\mathcal {S}}\right)}\!\left[{\vec {j}}(P)\right]=\displaystyle \iint _{\left({\mathcal {S}}\right)}{\vec {j}}(P)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{P}\;$
Démonstrations directe et réciproque : $\;\succ \;$ démontrer la 2ème définition à partir de la 1ère : pour simplifier supposons un seul type $\;_{k}\;$ de porteurs de charge mobiles de charge $\;q_{p,\,_{k}}>0\;$ de la distribution continue volumique $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ étudiée, type de porteur se déplaçant dans le « sens indiqué ci-contre » avec un vecteur vitesse d'entraînement $\;{\vec {V}}_{k}(P)\;$, en direction de la surface élémentaire centrée en $\;P\in {\mathcal {D}}_{m}\;$ de vecteur surface élémentaire $\;{\overrightarrow {dS}}_{P}$ $\;{\big$voir schéma ci-contre${\big )}$, les porteurs de charge mobiles de type $\;_{k}\;$ arrivant sur la surface élémentaire en faisant l'angle aigu $\;\alpha ={\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {dS}}_{P}\,,\,{\vec {V}}_{k}(P)\right\rbrace }}\;$ ;
Démonstrations directe et réciproque : pour démontrer cette implication, commençons par nous demander « où se trouvaient, à l'instant $\;t$, les porteurs de charge mobiles de type $\;_{k}\;$ qui ont traversé la surface élémentaire entre $\;t\;$ et $\;t+dt$ ? », réponse « ils se trouvaient dans le cylindre oblique de longueur $\;\Vert {\vec {V}}_{k}(P)\Vert \;dt\;$ et de section oblique d'aire $\;\Vert {\overrightarrow {dS}}_{P}\Vert =dS_{P}\;$» $\;{\big$voir schéma ci-contre${\big )}$ ;
Démonstrations directe et réciproque : la charge «$\;d^{2}q_{dS_{P},\,dt,\,_{k}}\;$ » des porteurs de charge mobiles de type $\;_{k}\;$ traversant la surface élémentaire d'aire $\;dS_{P}\;$ sur l’intervalle $\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$ est donc
$\;d^{2}q_{dS_{P},\,dt,\,_{k}}=\rho _{m,\,_{k}}(P)\;d\tau \;$
Démonstrations directe et réciproque : «$\;d\tau \;$ est le volume du cylindre oblique représenté ci-contre » et «$\;\rho _{m,\,_{k}}(P)\;$ la densité volumique de charge des porteurs de charge de type $\;_{k}\;$ définie au point $\;P\in {\mathcal {D}}_{m}\;$» soit, Démonstrations directe et réciproque : avec «$\;d\tau =dS_{P}\;dh=dS_{P}\left[\Vert {\vec {V}}_{k}(P)\Vert \;dt\;\cos(\alpha )\right]={\overrightarrow {dS}}_{P}\cdot {\vec {V}}_{k}(P)\;dt\;$», Démonstrations directe et réciproque : «$\;d^{2}q_{dS_{P},\,dt,\,_{k}}=\rho _{m,\,_{k}}(P)\;{\overrightarrow {dS}}_{P}\cdot {\vec {V}}_{k}(P)\;dt=\left[\rho _{m,\,_{k}}(P)\;{\vec {V}}_{k}(P)\right]\cdot {\overrightarrow {dS}}_{P}\;dt\;$» ou, avec «$\;\rho _{m,\,_{k}}(P)\;{\vec {V}}_{k}(P)$ $={\vec {j}}_{k}(P)\;$ le vecteur densité volumique de courant associé aux porteurs de charge mobiles de type $\;_{k}\;$ de $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ en $\;P\;$»
$\;d^{2}q_{dS_{P},\,dt,\,_{k}}={\vec {j}}_{k}(P)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{P}\;dt\;$
Démonstrations directe et réciproque : du fait que cette charge traverse la surface élémentaire étudiée dans le sens $\;+$, on en déduit l’intensité algébrique du courant associé aux porteurs de charge mobiles de type $\;_{k}\;$ traversant cette surface élémentaire par «$\;di_{dS_{P},\,_{k}}={\dfrac {d^{2}q_{dS_{P},\,dt,\,_{k}}}{dt}}={\vec {j}}_{k}(P)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{P}\;$» soit finalement, en se limitant à un seul type de porteurs de charge mobiles, la 2ème définition de l'intensité algébrique d'un courant traversant une surface élémentaire $\;{\big$définition indépendante du signe de la charge du porteur de charge mobile${\big )}$ ; Démonstrations directe et réciproque : remarque : dans le cas où les porteurs de charge mobiles de la distribution continue volumique $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ sont de plusieurs types $\;_{k}\;$, la charge $\;d^{2}q_{dS_{P},\,dt,\,_{k}}\;$ des porteurs de charge mobiles de chaque type $\;_{k}\;$ de charge $\;q_{p,\,_{k}}<0\;$ traversant la surface élémentaire d'aire $\;dS_{P}\;$ sur l’intervalle $\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$ dans le sens $\;-\;$ étant équivalente à la charge opposée $\;-d^{2}q_{dS_{P},\,dt,\,_{k}}\;$ traversant dans le sens $\;+$, nous en déduisons que la charge $\;d^{2}q_{dS_{P},\,dt}\;$ des porteurs de charge mobiles de tous les types $\;_{k}\;$ traversant la surface élémentaire étudiée sur l’intervalle de temps envisagé dans le sens $\;+\;$ s'écrit «$\;d^{2}q_{dS_{P},\,dt}=\sum \limits _{k}^{q_{p,\,_{k}}>0}d^{2}q_{dS_{P},\,dt,\,_{k}}-\sum \limits _{\mathit {l}}^{q_{p,\,_{\mathit {l}}}<0}d^{2}q_{dS_{P},\,dt,\,_{\mathit {l}}}\;$» soit encore, avec «$\;d^{2}q_{dS_{P},\,dt,\,_{k},\,q_{p,\,_{k}}>0}={\vec {j}}_{k}(P)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{P}\;dt\;$» et «$\;d^{2}q_{dS_{P},\,dt,\,_{\mathit {l}},\,q_{p,\,_{\mathit {l}}}<0}=-{\vec {j}}_{\mathit {l}}(P)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{P}\;dt\;$», «$\;d^{2}q_{dS_{P},\,dt}$ $=\sum \limits _{k}{\vec {j}}_{k}(P)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{P}\;dt\;$» traversant la surface élémentaire étudiée sur l’intervalle de temps envisagé dans le sens $\;+\;$ d'où «$\;di_{dS_{P}}={\dfrac {d^{2}q_{dS_{P},\,dt}}{dt}}=\sum \limits _{k}{\vec {j}}_{k}(P)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{P}\;$» ou, en faisant une factorisation scalaire par $\;{\overrightarrow {dS}}_{P}\;$, «$\;di_{dS_{P}}=\left[\sum \limits _{k}{\vec {j}}_{k}(P)\right]\cdot {\overrightarrow {dS}}_{P}\;$» ou «$\;di_{dS_{P}}={\vec {j}}(P)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{P}\;$» compte tenu de la définition du vecteur densité volumique de courant $\;{\vec {j}}(P)\;$ en $\;P\in {\mathcal {D}}_{m}\;$ C.Q.F.D.
Démonstrations directe et réciproque : $\;\succ \;$ démontrer la 1ère définition à partir de la 2ème : la 2ème définition $\Rightarrow$ l'intensité algébrique du courant de la distribution continue volumique $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ traversant la surface élémentaire centrée en $\;P\in {\mathcal {D}}_{m}\;$ de vecteur surface élémentaire $\;{\overrightarrow {dS}}_{P}\;$ s'écrit «$\;di_{dS_{P}}={\vec {j}}(P)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{P}\;$» avec «$\;{\vec {j}}(P)\;$ le vecteur densité volumique de courant en $\;P\in {\mathcal {D}}_{m}\;$» ; Démonstrations directe et réciproque : pour en déduire la 1ère définition il suffit de reprendre la démonstration directe en sens inverse et de la remonter jusqu'à son point de départ : Démonstrations directe et réciproque : de $\;{\vec {j}}(P)=\sum \limits _{k}{\vec {j}}_{k}(P)\;$ avec $\;{\vec {j}}_{k}(P)\;$ le vecteur densité de courant associé aux porteurs de charge mobiles de type $\;_{k}\;$ et de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle on tire «$\;di_{dS_{P}}=\sum \limits _{k}\left[{\vec {j}}_{k}(P)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{P}\right]\;$» ou «$\;di_{dS_{P}}=\sum \limits _{k}di_{dS_{P},\,_{k}}\;$» avec «$\;di_{dS_{P},\,_{k}}\;$ l'intensité du courant associé aux porteurs de charge mobiles de type $\;_{k}\;$ traversant la surface élémentaire centrée en $\;P\;$ de vecteur surface élémentaire $\;{\overrightarrow {dS}}_{P}\;$» ; Démonstrations directe et réciproque : on distingue alors les porteurs de charge mobiles de type $\;_{k}\;$ dont la charge $\;q_{p,\,_{k}}\;$ est $\;>0\;$ de ceux de type $\;_{\mathit {l}}\;$ dont la charge $\;q_{p,\,_{\mathit {l}}}\;$ est $\;<0$ :
Démonstrations directe et réciproque : pour les 1$^{ers}$ pour lesquels nous supposerons arbitrairement «$\;di_{dS_{P},\,_{k}}={\vec {j}}_{k}(P)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{P}>0\;$» $\Rightarrow$ les porteurs de charge mobiles de type $\;_{k}\;$ se déplacent dans le sens $\;+\;$ avec $\;{\vec {j}}_{k}(P)=\rho _{m,\,_{k}}(P)\;{\vec {V}}_{k}(P)\;$ d'où «$\;di_{dS_{P},\,_{k}}=\rho _{m,\,_{k}}(P)\;{\vec {V}}_{k}(P)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{P}\;$» soit Démonstrations directe et réciproque : pour les 1$^{ers}$ une charge «$\;d^{2}q_{dS_{P},\,dt,\,_{k}}=di_{dS_{P},\,_{k}}\;dt\;$» traversant, dans le sens $\;+$, la surface élémentaire considérée pendant $\;dt$, charge égale à «$\;d^{2}q_{dS_{P},\,dt,\,_{k}}=$ $\rho _{m,\,_{k}}(P)\left[{\vec {V}}_{k}(P)\;dt\cdot {\overrightarrow {dS}}_{P}\right]\;$» où «$\;{\vec {V}}_{k}(P)\;dt\cdot {\overrightarrow {dS}}_{P}=\Vert {\vec {V}}_{k}(P)\Vert \;dt\;dS_{P}\;\cos(\alpha )\;$» $\;{\bigg$avec $\;\alpha ={\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {dS}}_{P}\,,\,{\vec {V}}_{k}(P)\right\rbrace }}{\bigg ]}\;$ s'identifiant au volume $\;d\tau \;$ du cylindre oblique de longueur $\;\Vert {\vec {V}}_{k}(P)\Vert \;dt$, de section oblique d'aire $\;dS_{P}\;$ et de génératrices inclinées de $\;\alpha \;$ relativement $\;{\overrightarrow {dS}}_{P}\;$ $\Rightarrow$ «$\;d^{2}q_{dS_{P},\,dt,\,_{k}}=\rho _{m,\,_{k}}(P)\;d\tau \;$» justifiant que cette charge s'identifie à celle des porteurs de charge mobiles de type $\;_{k}\;$ traversant la surface élémentaire considérée dans le sens $\;+\;$ pendant $\;dt$ d'où, en divisant par $\;dt\;$ la 1ère définition en ce qui concerne ces 1$^{ers}$ types de porteurs $\;{\big$à $\;q_{p,\,_{k}}>0{\big )}\;$ C.Q.F.P.D. ;
Démonstrations directe et réciproque : pour les 2$^{nds}$ pour lesquels nous avons aussi «$\;di_{dS_{P},\,_{\mathit {l}}}={\vec {j}}_{\mathit {l}}(P)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{P}>0\;$» $\;{\big$les vecteurs densité volumique de courant associés à tous les types de porteurs de charge mobiles étant dans le même sens${\big )}\;$ $\Rightarrow$ les porteurs de charge mobiles de type $\;_{\mathit {l}}\;$ $\;{\bigq_{p,\,_{\mathit {l}}}\;$ étant $<0{\big )}\;$ se déplacent dans le sens $\;-\;$ avec «$\;{\vec {j}}_{\mathit {l}}(P)=\rho _{m,\,_{\mathit {l}}}(P)\;{\vec {V}}_{\mathit {l}}(P)$» $\;{\big\rho _{m,\,_{\mathit {l}}}(P)\;$ étant $\;<0$, $\;{\vec {V}}_{\mathit {l}}(P)\;$ est bien de sens contraire à $\;{\vec {j}}_{\mathit {l}}(P)\;$ c'est-à-dire dans le sens $\;-{\big ]}\;$ d'où «$\;di_{dS_{P},\,_{\mathit {l}}}=\rho _{m,\,_{\mathit {l}}}(P)\;{\vec {V}}_{\mathit {l}}(P)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{P}\;$» soit Démonstrations directe et réciproque : pour les 2$^{nds}$ une quantité d'électricité «$\;d^{2}Q_{dS_{P},\,dt,\,_{\mathit {l}}}=di_{dS_{P},\,_{\mathit {l}}}\;dt>0\;$» traversant, dans le sens $\;+$, la surface élémentaire considérée pendant $\;dt$, quantité d'électricité égale à «$\;d^{2}Q_{dS_{P},\,dt,\,_{\mathit {l}}}=$ $\rho _{m,\,_{\mathit {l}}}(P)\left[{\vec {V}}_{\mathit {l}}(P)\;dt\cdot {\overrightarrow {dS}}_{P}\right]\;$» où «$\;{\vec {V}}_{\mathit {l}}(P)\;dt\cdot {\overrightarrow {dS}}_{P}=\Vert {\vec {V}}_{\mathit {l}}(P)\Vert \;dt\;dS_{P}\;\cos(\alpha )<0\;$» $\;{\bigg$avec $\;\alpha ={\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {dS}}_{P}\,,\,{\vec {V}}_{\mathit {l}}(P)\right\rbrace }}\;$ obtus${\bigg ]}\;$ s'identifiant à l'opposé du volume $\;d\tau \;$ du cylindre oblique de longueur $\;\Vert {\vec {V}}_{\mathit {l}}(P)\Vert \;dt$, de section oblique d'aire $\;dS_{P}\;$ et de génératrices inclinées de $\;\alpha \;$ relativement à $\;{\overrightarrow {dS}}_{P}\;$ $\Rightarrow$ «$\;d^{2}Q_{dS_{P},\,dt,\,_{\mathit {l}}}=-\rho _{m,\,_{\mathit {l}}}(P)\;d\tau >0\;$» traversant la surface élémentaire considérée pendant $\;dt\;$ dans le sens $\;+\;$ ce qui est équivalent à la charge $\;d^{2}q_{dS_{P},\,dt,\,_{\mathit {l}}}=-d^{2}Q_{dS_{P},\,dt,\,_{\mathit {l}}}=\rho _{m,\,_{\mathit {l}}}(P)\;d\tau <0\;$» traversant la surface élémentaire considérée pendant $\;dt\;$ dans le sens $\;-\;$, justifiant que cette charge s'identifie à celle des porteurs de charge mobiles de type $\;_{\mathit {l}}\;$ traversant la surface élémentaire considérée dans le sens $\;-\;$ pendant $\;dt$ d'où, en divisant par $\;dt\;$ la quantité d'électricité $\;d^{2}Q_{dS_{P},\,dt,\,_{\mathit {l}}}$, la 1ère définition en ce qui concerne ces 2$^{nds}$ types de porteurs $\;{\big$à $\;q_{p,\,_{\mathit {l}}}<0{\big )}\;$ C.Q.R.D.

##### Tube de courant s'appuyant sur un contour fermé, conservation de l'intensité (algébrique) traversant une section quelconque du tube en A.R.Q.S. et conséquence sur le vecteur densité volumique de courant en A.R.Q.S.

$\;\left(\Gamma \right)\;$
$\;\left(\Gamma \right)$
le tube de courant s'appuyant sur le contour fermé $\;\left(\Gamma \right)\;$ est donc limité « latéralement » par l’ensemble des lignes de courant coupant la courbe fermée $\;\left(\Gamma \right)$, cet ensemble de lignes de courant constituant la surface latérale du tube de courant $\;{\big$voir ci-contre${\big ]}$.
$\;\left(\Gamma \right)\;$
1ère propriété : Soit le tube de courant représenté ci-contre et deux sections quelconques de ce tube $\;\left({\mathcal {S}}_{1}\right)\;$ et $\;\left({\mathcal {S}}_{2}\right)\;$ orientées dans le même sens de façon à ce que l'intensité du courant transporté par le tube et traversant chaque section soit positive ;
1ère propriété : en « A.R.Q.S. », il y a conservation de la charge de tous les porteurs de charge mobiles contenue dans la portion de tube de courant limitée par les deux sections $\;\left({\mathcal {S}}_{1}\right)\;$ et $\;\left({\mathcal {S}}_{2}\right)$ $\;{\big$cela signifiant qu’il n’y a ni création de nouveaux porteurs de charge mobiles, ni capture d'anciens porteurs de charge mobiles dans le conducteur constitué du tube de courant limité par les deux sections${\big ]}\;$ et par suite, 1ère propriété : en « A.R.Q.S. » la charge des porteurs de charge mobiles entrant, par la section $\;\left({\mathcal {S}}_{1}\right)$, dans la portion de tube de courant considérée entre $\;t\;$ et $\;t+dt\;$ «$\;dq_{({\mathcal {S}}_{1}),\,dt}\;$» $\;{\big$charge traversant $\;\left({\mathcal {S}}_{1}\right)\;$ dans le sens $\;+\;$ d'orientation de cette dernière${\big ]}\;$ est égale à 1ère propriété : en « A.R.Q.S. » la charge des porteurs de charge mobiles sortant, par la section $\;\left({\mathcal {S}}_{2}\right)$, de la portion de tube de courant considérée entre $\;t\;$ et $\;t+dt\;$ «$\;dq_{({\mathcal {S}}_{2}),\,dt}\;$» $\;{\big$charge traversant $\;\left({\mathcal {S}}_{2}\right)\;$ dans le sens $\;+\;$ d'orientation de cette dernière${\big ]}\;$ soit mathématiquement
$\;dq_{({\mathcal {S}}_{1}),\,dt}=dq_{({\mathcal {S}}_{2}),\,dt}\;$
1ère propriété : en « A.R.Q.S. » compte tenu de la 1ère définition de l’intensité algébrique du courant traversant $\;\left({\mathcal {S}}_{1}\right)\;$ «$\;i_{({\mathcal {S}}_{1})}(t)={\dfrac {dq_{({\mathcal {S}}_{1}),\,dt}}{dt}}\;$» et 1ère propriété : en « A.R.Q.S. » compte tenu de la 1ère définitionde celle de l'intensité algébrique du courant traversant $\;\left({\mathcal {S}}_{2}\right)\;$ «$\;i_{({\mathcal {S}}_{2})}(t)={\dfrac {dq_{({\mathcal {S}}_{2}),\,dt}}{dt}}\;$», on en déduit
$\;i_{({\mathcal {S}}_{1})}(t)=i_{({\mathcal {S}}_{2})}(t)\;$
1ère propriété : en conclusion, l’intensité algébrique du courant traversant une section $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ quelconque d’un tube de courant est, en « A.R.Q.S. », indépendante de cette section ; aussi parlera-t-on simplement d’« intensité algébrique du courant transporté par le tube de courant », sans préciser la section traversée.
2ème propriété : Soit la surface fermée $\;\left(\Sigma \right)$, orientée vers l'extérieur $\;{\big$voir schéma ci-contre, l'orientation vers l'extérieur y étant repérée par l'ajout de «$\;'\;$» à chaque vecteur surface élémentaire${\big ]}$, constituée 2ème propriété : $\;\succ \;$de « la surface latérale de la portion de tube de courant limitée par les deux sections de ce tube $\;\left({\mathcal {S}}_{1}\right)\;$ et $\;\left({\mathcal {S}}_{2}\right)\;$» $\;{\Big$le vecteur surface élémentaire «$\;{\overrightarrow {dS'}}_{\text{lat}}\;$ étant $\;\perp \;$ à la surface latérale »${\Big ]}\;$ ainsi que 2ème propriété : $\;\succ \;$de ces « deux sections $\;\left({\mathcal {S}}_{1}\right)\;$ et $\;\left({\mathcal {S}}_{2}\right)\;$» $\;{\Big$l'orientation vers l'extérieur conserve l'orientation précédente de $\;\left({\mathcal {S}}_{2}\right)\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\overrightarrow {dS'}}_{2}={\overrightarrow {dS}}_{2}\;$» mais inverse celle de $\;\left({\mathcal {S}}_{1}\right)\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\overrightarrow {dS'}}_{1}=-{\overrightarrow {dS}}_{1}\;$»${\Big ]}$ ;
2ème propriété : le flux du vecteur densité volumique de courant transporté par le tube de courant $\;{\vec {j}}(P)\;$ à travers la surface fermée $\;\left(\Sigma \right)\;$ s'évalue par «$\;\Phi _{\left(\Sigma \right)}\!\left[{\vec {j}}\right]=\displaystyle \oiint _{\left(\Sigma \right)}{\vec {j}}(P)\cdot {\overrightarrow {d\Sigma '}}_{P}\;$»$^,$ ou $\;\Phi _{\left(\Sigma \right)}\!\left[{\vec {j}}\right]=\displaystyle \iint _{\left({\mathcal {S}}_{2}\right)}{\vec {j}}(P)\cdot {\overrightarrow {dS'}}_{2,\,P}+\displaystyle \iint _{\left({\mathcal {S}}_{1}\right)}{\vec {j}}(P)\cdot {\overrightarrow {dS'}}_{1,\,P}\;{\cancel {+\displaystyle \iint _{\left({\mathcal {S}}_{\text{lat}}\right)}{\vec {j}}(P)\cdot {\overrightarrow {dS'}}_{{\text{lat}},\,P}}}$ $\;{\Big{\vec {j}}(P)\;$ étant $\;\perp \;$ à $\;{\overrightarrow {dS'}}_{{\text{lat}},\,P}{\Big ]}\;$ ou encore «$\;\Phi _{\left(\Sigma \right)}\!\left[{\vec {j}}\right]=\displaystyle \iint _{\left({\mathcal {S}}_{2}\right)}{\vec {j}}(P)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{2,\,P}-\displaystyle \iint _{\left({\mathcal {S}}_{1}\right)}{\vec {j}}(P)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{1,\,P}\;$» $\;{\Big$car «$\;{\overrightarrow {dS'}}_{2}={\overrightarrow {dS}}_{2}\;$» et «$\;{\overrightarrow {dS'}}_{1}=-{\overrightarrow {dS}}_{1}\;$»${\Big ]}\;$ soit finalement
$\;\Phi _{\left(\Sigma \right)}\!\left[{\vec {j}}\right]=i_{({\mathcal {S}}_{2})}(t)-i_{({\mathcal {S}}_{1})}(t)=0\;\;\forall \;t\;$
2ème propriété : en conclusion le flux du vecteur densité volumique de courant transporté par le tube de courant $\;{\vec {j}}(P)\;$ à travers la surface fermée particulière $\;\left(\Sigma \right)\;$ est, en « A.R.Q.S. », nul, 2ème propriété : en conclusion cette propriété étant généralisable, en « A.R.Q.S. », à toute surface fermée $\;\left(S\right)$ $\;{\big$généralisation admise${\big ]}\;$ soit «$\;\left.{\begin{array}{c}\\\Phi _{\left(S\right)}\!\left[{\vec {j}}\right]=\displaystyle \oiint _{\left(S\right)}{\vec {j}}(P)\cdot {\overrightarrow {dS'}}_{P}=0\;\;\forall \;\left(S\right)\\\\\end{array}}\right.$ fermée », nous pouvons préciser la 2ème propriété recherchée
$\;{\vec {j}}(P)\;$
$\;{\mathcal {D}}_{m}\;$
$\;{\big$
${\big ]}\;$
* son flux à travers une surface fermée quelconque $\;{\big$d'orientation arbitraire${\big )}\;$ est nul ou
* son flux à travers une surface ouverte s'appuyant sur une courbe fermée orientée est indépendant de la surface ouverte.

##### Autre expression du vecteur élément de courant en un point P de la distribution continue volumique (source du champ magnétique en tout point M), en considérant un vecteur longueur élémentaire d’un tube élémentaire de courant d’intensité connue

Soit un tube élémentaire de courant passant par un point quelconque $\;P\;$ d'une distribution continue volumique de charges mobiles $\;{\mathcal {D}}_{m}$ $\;{\big$voir schéma ci-contre${\big ]}$, ce tube étant, au point $\;P$,
* de section droite de vecteur surface élémentaire «$\;{\overrightarrow {dS}}_{P}=dS_{P}\;{\vec {u}}_{P}\;$» $\;{\Big{\vec {u}}_{P}\;$ étant le vecteur unitaire orientant la ligne de courant passant par $\;P\;$ et $\;dS_{P}=\Vert {\overrightarrow {dS}}_{P}\Vert \;$ l'aire élémentaire de la section droite du tube en $\;P{\Big ]}\;$ et
* de vecteur densité volumique de courant «$\;{\vec {j}}(P)=j(P)\;{\vec {u}}_{P}\;$» $\;{\big$avec $\;j(P)=\Vert {\vec {j}}(P)\Vert \;$ donc $\;>0{\big ]}$ ;
considérant une longueur élémentaire $\;d{\mathit {l}}\;$ à partir du point $\;P\;$ du tube de courant élémentaire, longueur comptée dans le sens de la ligne de courant en $\;P$, on définit ainsi une expansion tridimensionnelle élémentaire de la distribution $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ de volume «$\;d\tau =dS_{P}\;d{\mathit {l}}\;$» auquel on associe le vecteur élément de courant défini en $\;P\in {\mathcal {D}}_{m}\;$
$\;{\overrightarrow {d^{2}C}}(P)={\vec {j}}(P)\;d\tau ={\vec {j}}(P)\;dS_{P}\;d{\mathit {l}}\;$
définissant le vecteur élément de longueur du tube de courant élémentaire en $\;P\;$ selon «$\;{\overrightarrow {d{\mathit {l}}}}_{P}=d{\mathit {l}}\;{\vec {u}}_{P}\;$» et l'intensité algébrique du courant transporté en $\;P\;$ par le tube élémentaire de courant dans le sens de $\;{\vec {u}}_{P}\;$ selon «$\;di_{dS_{P}}={\vec {j}}(P)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{P}=j(P)\;dS_{P}\;$», nous pouvons réécrire le vecteur élément de courant défini en $\;P\in {\mathcal {D}}_{m}\;$ selon «$\;{\overrightarrow {d^{2}C}}(P)=\left[j(P)\;{\vec {u}}_{P}\right]\,dS_{P}\;d{\mathit {l}}\;$» ou, en utilisant l'associativité de la multiplication de scalaires par un vecteur, «$\;{\overrightarrow {d^{2}C}}(P)=\left[j(P)\;dS_{P}\right]\,\left[d{\mathit {l}}\;{\vec {u}}_{P}\right]\;$» soit finalement
$\;{\overrightarrow {d^{2}C}}(P)={\vec {j}}(P)\;d\tau =di_{dS_{P}}\;{\overrightarrow {d{\mathit {l}}}}_{P}\;$
$\;{\big$
${\big )}$
$\;d\tau =dS_{P}\;d{\mathit {l}}\;$
$\;di_{dS_{P}}=j(P)\;dS_{P}\;$
$\;{\vec {j}}(P)\;$
$\;{\overrightarrow {d{\mathit {l}}}}_{P}\;$

#### Modélisation en distribution continue surfacique

Remarque préliminaire : Nous n'insisterons pas sur la justification du caractère continu de la distribution surfacique de charges mobiles ni sur l'éventuelle discontinuité aux frontières de cette distribution, sachez que tout ce qui a été exposé dans le paragraphe étudiant les sources de champ électrique « modélisation en distribution continue surfacique (remarque) » ainsi que dans la note « $^{13}$ » plus haut dans ce chapitre, peut être répété dans ce paragraphe.
Une distribution continue volumique de charges mobiles peut être modélisée en distribution continue surfacique quand l'une des dimensions de la distribution volumique est petite par rapport aux deux autres $\;{\big$sur le schéma ci-contre la distribution volumique est d'extension finie et c'est la dimension d'épaisseur «$\;e\;$» qui est $\;\ll \;$ devant les deux autres «$\;L\;$ et $\;{\mathit {l}}\;$»${\big ]}$ :
considérons une distribution continue volumique de charges mobiles d'extension finie de densité volumique de courant $\;{\vec {j}}(P')\;$ d'expansion tridimensionnelle de dimension «$\;e\;$» $\;\ll \;$ devant «$\;{\mathit {l}}\;$» ainsi que $\;\ll \;$ devant «$\;L\;$» et notons $\;P\;$ le projeté de $\;P'\;$ sur $\;\left(\Sigma \right)\;$ l’une des surfaces limitant la distribution volumique suivant la dimension «$\;e\;$» $\;{\big$surface de dimensions «$\;{\mathit {l}}\;$ et $\;L\;$» et projection parallèlement à la direction transversale ${\big ]}$ et plus particulièrement
considérons le tube de courant élémentaire de cette distribution passant par $\;P'$ $\;{\big$l'ensemble des lignes de courant de l'une ou l'autre face du tube située sur les surfaces limites de la distribution suivant la dimension $\;e\;$ définit chacun une nappe de courant élémentaire ${\big$voir ci-contre${\big )}{\big ]}$ ;
réaliser la modélisation surfacique à partir de la modélisation volumique initiale revient à considérer que les vecteurs élément de courant de chaque tube de courant élémentaire, au lieu d’être localisés dans l'expansion tridimensionnelle de hauteur «$\;e\;$» dont $\;\left(\Sigma \right)\;$ est l’une des bases, le sont sur $\;\left(\Sigma \right)\;$ et en particulier le vecteur élément de courant «$\;{\overrightarrow {dC}}={\vec {j}}(P')\;d\tau \;$» de l'expansion tridimensionnelle élémentaire entourant $\;P'\;$ de volume $\;d\tau =$ $e\;d\Sigma \;$ $\;{\bigd\Sigma \;$ étant l'aire de la surface élémentaire entourant $\;P{\big ]}\;$ se retrouve intégralement, dans la distribution surfacique associée $\;{\big$que l'on notera $\;{\mathcal {D}}_{m}{\big ]}$, sur la surface élémentaire entourant $\;P\;$ d'aire $\;d\Sigma$ $\;{\big$voir le schéma ci-contre${\big )}$ $\;{\big$par cette modélisation, le tube de courant élémentaire passant par $\;P'\;$ de la distribution tridimensionnelle est intégralement transformé en nappe de courant élémentaire passant par $\;P\;$ de la distribution surfacique $\;{\mathcal {D}}_{m}{\big ]}$ ;
pour réaliser la modélisation surfacique $\;{\mathcal {D}}_{m}$, on définit le « vecteur densité surfacique de courant $\;{\vec {j}}_{s}(P)={\dfrac {\overrightarrow {dC}}{d\Sigma }}\;$ exprimée en $\;A\cdot m^{-1}\;$» dans laquelle $\;{\overrightarrow {dC}}\;$ est le vecteur élément de courant de l'expansion tridimensionnelle de volume élémentaire $\;d\tau =e\;d\Sigma \;$ c'est-à-dire «$\;{\overrightarrow {dC}}=$ ${\vec {j}}(P')\;d\tau$ $={\vec {j}}(P')\;e\;d\Sigma \;$», la « densité surfacique de courant ainsi définie $\;{\vec {j}}_{s}(P)\;$» étant une fonction « continue de $\;P\in {\mathcal {D}}_{m}\;$» $\;{\big{\mathcal {D}}_{m}$, avec la connaissance de $\;{\vec {j}}_{s}(P)$, définissant la modélisation en distribution continue surfacique de la distribution continue volumique de charges mobiles initiale de densité volumique $\;{\vec {j}}(P')\;$ selon «$\;{\vec {j}}_{s}(P)={\vec {j}}(P')\;e\;$»${\big ]}$ ;
dans la nappe de courant élémentaire passant par $\;P\in {\mathcal {D}}_{m}\;$ « de largeur locale $\;dL_{P}\;$», les porteurs de charge mobiles se déplacent perpendiculairement à cette dernière en restant sur $\;\left(\Sigma \right)$ $\;{\big$support de la distribution continue surfacique $\;{\mathcal {D}}_{m}{\big )}$ $\;{\Big$tout comme, dans la distribution continue volumique initiale, le tube de courant élémentaire passant par $\;P'\;$ « de section droite locale de vecteur surface élémentaire $\;{\overrightarrow {dS}}_{P'}=dS_{P'}\;{\vec {n}}_{P'}\;$ $\;{\bigdS_{P'}\;$ étant l'aire de la section droite élémentaire et $\;{\vec {n}}_{P'}\;$ le vecteur unitaire normal à cette dernière orientant le sens de traversée des porteurs${\big )}\;$» transporte les porteurs de charge mobiles perpendiculairement à cette section droite $\;{\Big$ou encore parallèlement à $\;{\overrightarrow {dS}}_{P'}{\Big )}{\Big ]}$ ;
remarque : de façon à conserver une unité de traitement entre les distributions continues surfacique et volumique de charges mobiles, il est possible d'associer à la largeur locale $\;dL_{P}\;$ de la nappe de courant élémentaire passant par $\;P\in {\mathcal {D}}_{m}\;$ un vecteur largeur élémentaire «$\;{\overrightarrow {dL}}_{P}=dL_{P}\;{\vec {n}}_{P}\;$» dans lequel $\;{\vec {n}}_{P}\;$ est le vecteur unitaire normal à cette largeur orientant le sens de traversée des porteurs perpendiculairement à cette largeur $\;{\big$la notion de « vecteur largeur élémentaire » n'étant pas normalisée, elle ne peut être utilisée qu'en rappelant sa définition et avec prudence${\big ]}$ ;
en utilisant cette remarque il est possible de redéfinir ou de définir, ${\big$en procédant par analogie${\big )}$,
* le « vecteur densité surfacique de courant en $\;P\in {\mathcal {D}}_{m}\;$ associé à un type $\;_{k}\;$ de porteurs de charge mobiles $\;{\vec {j}}_{s,\,_{k}}(P)\;$»,
* son « lien avec le vecteur vitesse d'entraînement $\;{\vec {V}}_{k}(P)\;$ et la densité surfacique de charges mobiles $\;\sigma _{m,\,_{k}}(P)\;$ des porteurs de ce type »,
* la « généralisation à une distribution continue surfacique ayant plusieurs types de porteurs de charge mobiles »,
* « l'intensité algébrique du courant de cette distribution continue surfacique traversant une courbe ouverte $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ en A.R.Q.S. $\;i_{\left({\mathcal {C}}\right)}(t)\;$»,
* le « vecteur élément de courant en $\;P\in {\mathcal {D}}_{m}\;$ en fonction du vecteur longueur élémentaire $\;{\overrightarrow {d{\mathit {l}}}}_{P}=d{\mathit {l}}\;{\vec {u}}_{P}\;$ d’une nappe élémentaire de courant d’intensité $\;di_{dL_{P}}\;$ connue, vecteur élément de courant noté $\;{\overrightarrow {d^{2}C}}(P)\;$ ».
$\;_{k}\;$
$\;P\;$
$\;{\mathcal {D}}_{m}\;$
$\;{\vec {j}}_{s,\,k}(P)\;$
* de direction $\;\parallel \;$ à celle de $\;{\vec {V}}_{k}(P)\;$ le vecteur vitesse d'entraînement du porteur de charge mobile de type $\;_{k}\;$ en $\;P\;$,
* de sens identique au sens de $\;{\vec {V}}_{k}(P)\;$ pour des porteurs de charge mobiles de type $\;_{k}\;$ dont la charge individuelle $\;q_{p,\,_{k}}\;$ est $\;>0\;$ de sens contraire au sens de $\;{\vec {V}}_{k}(P)\;$ pour des porteurs de charge mobiles de type $\;_{k}\;$ dont la charge individuelle $\;q_{p,\,_{k}}\;$ est $\;<0$,
* de norme égale à la quantité d'électricité des porteurs de charge mobiles de type $\;_{k}\;$ traversant $\;P\;$ par $\;s\;$ et par $\;m\;$ de « largeur droite », $\;\Vert {\vec {j}}_{s,\,k}(P)\Vert \;$ s'exprime donc en «$\;C\cdot s^{-1}\cdot m^{-1}=A\cdot m^{-1}\;$» ;
$\;{\vec {j}}_{s,\,k}(P)\;$
$\;_{k}\;$
Lien entre le vecteur densité surfacique de courant associé à un type de porteurs de charge mobiles, le vecteur vitesse d'entraînement et la densité surfacique de charge de ces derniers : le vecteur densité surfacique de courant associé à un type $\;_{k}\;$ de porteurs de charge mobiles défini en tout point $\;P\;$ de la distribution continue surfacique $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ «$\;{\vec {j}}_{s,\,k}(P)\;$» est lié
* au vecteur vitesse d'entraînement de ce type de porteur défini au même point $\;P\;$ de la même distribution continue surfacique $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ «$\;{\vec {V}}_{k}(P)\;$» et
* à la densité surfacique de charge en porteurs de charge mobiles de ce type définie en $\;P\;$ de $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ «$\;\sigma _{m,\,_{k}}(P)\;$» s'exprimant en $\;C\cdot m^{-2}$ $\;{\bigg \$cette dernière se définissant de la même façon que celle exposée dans le paragraphe « modélisation en distribution continue surfacique (d'une distribution continue volumique de charges, source de champ électrique) » plus haut dans ce chapitre $\;{\big$le fait que les porteurs de charge soient ici mobiles et sources de champ magnétique ne changeant rien${\big )}$, $\;\sigma _{m,\,_{k}}(P)={\dfrac {dq_{m,\,_{k}}}{d\Sigma }}\;$ dans lequel « la charge des porteurs de charge mobiles présent à l'instant considéré dans l'expansion tridimensionnelle centrée en $\;P'\;$ de volume $\;d\tau =e\;d\Sigma \;$ à savoir $\;dq_{m,\,_{k}}=\rho _{m,\,_{k}}(P')\;d\tau$ $\;{\big\rho _{m,\,_{k}}(P')\;$ étant la densité volumique de charge en porteurs de charge mobiles définie en $\;P'\;$ de la distribution continue volumique initiale${\big ]}\;$ se retrouve intégralement dans la surface élémentaire centrée en $\;P\;$ d'aire $\;d\Sigma \;$» $\Rightarrow$ $\;\sigma _{m,\,_{k}}(P)={\dfrac {\rho _{m,\,_{k}}(P')\;d\tau }{d\Sigma }}={\dfrac {\rho _{m,\,_{k}}(P')\;e\;d\Sigma }{d\Sigma }}\;$ soit finalement le lien entre densités surfacique de $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ et volumique de la distribution volumique initiale à modéliser «$\;\sigma _{m,\,_{k}}(P)=\rho _{m,\,_{k}}(P')\;e\;$» $\;{\big$en accord avec une analyse dimensionnelle «$\;C\cdot m^{-2}=\left(C\cdot m^{-3}\right)\times m\;$»${\bigg \}$
$\;{\vec {j}}_{s,\,k}(P)=\sigma _{m,\,_{k}}(P)\;{\vec {V}}_{k}(P)\;$
Généralisation à une distribution continue surfacique ayant plusieurs types de porteurs de charge mobiles : le vecteur densité surfacique de courant en un point $\;P\;$ d'une distribution continue surfacique $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ «$\;{\vec {j}}_{s}(P)\;$» dans laquelle il y a plusieurs types $\;_{k}\;$ de porteurs de charge mobiles est la somme des vecteurs densités surfaciques de courant associés à chaque type $\;_{k}\;$ de porteurs de charge mobiles définis au même point $\;P\;$ de $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ «$\;{\vec {j}}_{s,\,k}(P)\;$» pour lesquels
$\;{\vec {j}}_{s,\,k}(P)=\sigma _{m,\,_{k}}(P)\;{\vec {V}}_{k}(P)\;$
avec «$\;\sigma _{m,\,_{k}}(P)\;$» la densité surfacique de charge en porteurs de charge mobiles de ce type définie en $\;P\;$ de $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ et avec «$\;{\vec {V}}_{k}(P)\;$» le vecteur vitesse d'entraînement de ce type de porteur défini au même point $\;P\;$ de $\;{\mathcal {D}}_{m}$, d'où la relation déduite de la définition du vecteur densité surfacique de courant en un point $\;P\;$ de la distribution continue surfacique $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ à plusieurs types $\;_{k}\;$ de porteurs de charge mobiles
$\;{\vec {j}}_{s}(P)=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,n}{\vec {j}}_{s,\,k}(P)=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,n}\sigma _{m,\,_{k}}(P)\;{\vec {V}}_{k}(P)\;$
$\;n\;$
$\;{\mathcal {D}}_{m}$
$\;i\;$
$\;{\mathcal {D}}_{m}\;$
$\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$
$\;\left(\Sigma \right)\;$
$\;{\mathcal {D}}_{m}$
$\;\left(\Sigma \right)\;$
$\;P\in \left({\mathcal {C}}\right)\;$
$\;{\vec {n}}(P)$
$\;{\big$
$\;{\vec {n}}(P)$
$\;P{\big ]}\;$
$\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$
$\;i={\dfrac {dq}{dt}}\;$
$\;dq\;$
$\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$
$\;dt$
$\;{\mathcal {D}}_{m}\;$
$\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$
$\;\left(\Sigma \right)\;$
$\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$
$\;s\;$
$\;i(t)\;$
$\;di\;$
$\;{\mathcal {D}}_{m}\;$
$\;dL$
$\;P\in {\mathcal {D}}_{m}$
$\;{\overrightarrow {dL}}_{P}=dL\;{\vec {n}}(P)\;$
$\;{\big$
${\big )}$
$\;{\big{\vec {n}}(P)\;$
$\;\left(\Sigma \right)\;$
$\;{\mathcal {D}}_{m}$
${\big ]}$
$\;{\mathcal {D}}_{m}\;$
$\;P\in {\mathcal {D}}_{m}$
$\;P\in {\mathcal {D}}_{m}\;$
$\;{\vec {j}}_{s}(P)\;$
$\;{\vec {j}}_{s}(P)\;$
$\;{\overrightarrow {dL}}_{P}\;$
$\;di={\vec {j}}_{s}(P)\cdot {\overrightarrow {dL}}_{P}\;$
$\;{\overrightarrow {dL}}_{P}=dL\;{\vec {n}}(P)\;$
$\;i_{\left({\mathcal {C}}\right)}\;$
$\;{\mathcal {D}}_{m}\;$
$\;\left({\mathcal {C}}\right)\subset \left(\Sigma \right)$
$\;{\big$
$\;{\mathcal {D}}_{m}{\big ]}\;$
$\;E_{1}\;$
$\;E_{2}\;$
$\;\left(\Sigma \right)$
$\;\left(\Sigma \right)\;$
$\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$
$\;P\in \left({\mathcal {C}}\right)$
$\;{\vec {n}}(P)$
$\;{\big$
$\;{\vec {n}}(P)$
$\;P{\big ]}$
$\;{\mathcal {D}}_{m}\;$
$\;P\in {\mathcal {D}}_{m}\;$
$\;{\vec {j}}_{s}(P)\;$
$\;{\mathcal {D}}_{m}\;$
$\;P\in {\mathcal {D}}_{m}\;$
$\;{\overrightarrow {dL}}_{P}=dL\;{\vec {n}}(P)\;$
$\;\left({\mathcal {C}}\right)$
$\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$
$\;di_{P}={\vec {j}}_{s}(P)\cdot {\overrightarrow {dL}}_{P}={\vec {j}}_{s}(P)\cdot dL\;{\vec {n}}(P)\;$
$\;i_{\left({\mathcal {C}}\right)}=\displaystyle \int \limits _{E_{1}\;{\overset {\left({\mathcal {C}}\right)}{\rightarrow }}\;E_{2}}{\vec {j}}_{s}(P)\cdot {\overrightarrow {dL}}_{P}\;$
$\;{\mathcal {D}}_{m}\;$
$\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$
$\;\left(\Sigma \right)\;$
$\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$
$\;i_{({\mathcal {C}})}(t)\;$
Vecteur élément de courant d'une longueur élémentaire de nappe élémentaire de courant défini en un point P d'une distribution continue surfacique de charges mobiles : Soit une nappe élémentaire de courant passant par un point quelconque $\;P\;$ d'une distribution continue surfacique de charges mobiles $\;{\mathcal {D}}_{m}$, cette nappe étant, au point $\;P$,
* de largeur droite de vecteur largeur élémentaire «$\;{\overrightarrow {dL}}_{P}=dL_{P}\;{\vec {u}}_{P}\;$» avec $\;{\vec {u}}_{P}\;$ le vecteur unitaire orientant la ligne de courant passant par $\;P\;$ et $\;dL_{P}=\Vert {\overrightarrow {dL}}_{P}\Vert \;$ la largeur élémentaire de la largeur droite de la nappe en $\;P\;$ et
* de vecteur densité surfacique de courant «$\;{\vec {j}}_{s}(P)=j_{s}(P)\;{\vec {u}}_{P}\;$» $\;{\big$avec $\;j_{s}(P)=\Vert {\vec {j}}_{s}(P)\Vert \;$ donc $\;>0{\big ]}$ ;
Vecteur élément de courant d'une longueur élémentaire de nappe élémentaire de courant défini en un point P d'une distribution continue surfacique de charges mobiles : considérant une longueur élémentaire $\;d{\mathit {l}}\;$ à partir du point $\;P\;$ de la nappe de courant élémentaire, longueur comptée dans le sens de la ligne de courant en $\;P$, on définit ainsi une expansion surfacique élémentaire de la distribution $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ d'aire «$\;d\Sigma$ $=dL_{P}\;d{\mathit {l}}\;$» auquel on associe le vecteur élément de courant défini en $\;P\in {\mathcal {D}}_{m}\;$
$\;{\overrightarrow {d^{2}C}}(P)={\vec {j}}_{s}(P)\;d\Sigma ={\vec {j}}_{s}(P)\;dL_{P}\;d{\mathit {l}}\;$
Vecteur élément de courant d'une longueur élémentaire de nappe élémentaire de courant défini en un point P d'une distribution continue surfacique de charges mobiles : définissant le vecteur élément de longueur de la nappe de courant élémentaire en $\;P\;$ selon «$\;{\overrightarrow {d{\mathit {l}}}}_{P}=d{\mathit {l}}\;{\vec {u}}_{P}\;$» et l'intensité algébrique du courant transporté en $\;P\;$ par la nappe élémentaire de courant dans le sens de $\;{\vec {u}}_{P}\;$ selon «$\;di_{dL_{P}}=$ ${\vec {j}}_{s}(P)\cdot {\overrightarrow {dL}}_{P}=j_{s}(P)\;dL_{P}\;$», nous pouvons réécrire le vecteur élément de courant défini en $\;P\in {\mathcal {D}}_{m}\;$ selon «$\;{\overrightarrow {d^{2}C}}(P)=\left[j_{s}(P)\;{\vec {u}}_{P}\right]\,dL_{P}\;d{\mathit {l}}\;$» ou, en utilisant l'associativité de la multiplication de scalaires par un vecteur, «$\;{\overrightarrow {d^{2}C}}(P)=\left[j_{s}(P)\;dL_{P}\right]\,\left[d{\mathit {l}}\;{\vec {u}}_{P}\right]\;$» soit finalement
$\;{\overrightarrow {d^{2}C}}(P)={\vec {j}}_{s}(P)\;d\Sigma =di_{dL_{P}}\;{\overrightarrow {d{\mathit {l}}}}_{P}\;$
$\;{\big$
${\big )}$
$\;d\Sigma =dL_{P}\;d{\mathit {l}}\;$
$\;di_{dL_{P}}=j_{s}(P)\;dL_{P}\;$
$\;{\vec {j}}_{s}(P)\;$
$\;{\overrightarrow {d{\mathit {l}}}}_{P}\;$

#### Modélisation en distribution continue linéique

Remarque préliminaire : Nous n'insisterons pas sur la justification du caractère continu de la distribution linéique de charges mobiles ni sur l'éventuelle discontinuité aux frontières de cette distribution, sachez que tout ce qui a été exposé dans le paragraphe étudiant les sources de champ électrique « modélisation en distribution continue linéique (remarque) » ainsi que dans la note « $^{16}$ » plus haut dans ce chapitre, peut être répété dans ce paragraphe.
Une distribution continue volumique de charges mobiles peut être modélisée en distribution continue linéique quand deux des dimensions de la distribution volumique sont petites par rapport à la 3ème $\;{\big$sur le schéma ci-contre la distribution volumique est d'extension finie et ce sont les dimensions d'épaisseur «$\;e\;$» et «$\;e'\;$» qui sont $\;\ll \;$ devant la 3ème «$\;{\mathit {l}}\;$»${\big ]}$ :
considérons une distribution continue volumique de charges mobiles d'extension finie de densité volumique de courant $\;{\vec {j}}(P')\;$ d'expansion tridimensionnelle de dimension «$\;e\;$» et «$\;e'\;$» $\;\ll \;$ devant «$\;{\mathit {l}}\;$» et notons $\;P\;$ le projeté de $\;P'\;$ sur $\;\left(\Gamma \right)\;$ l’une des courbes génératrices de la surface latérale limitant la distribution volumique $\;{\big$courbe de dimension «$\;{\mathit {l}}\;$ et projection parallèlement à la direction transversale ${\big ]}$ et
remarquons que le tube de courant de cette distribution de dimensions transversales petites devant la dimension longitudinale peut être considéré comme un tube de courant élémentaire $\;{\big$élémentaire en cela que le vecteur densité volumique de courant défini en tout point $\;P'\;$ de la section droite passant par $\;P\;$ ne dépend pas, en 1ère approximation, de $\;P'{\big ]}$ ;
réaliser la modélisation linéique à partir de la modélisation volumique initiale revient à considérer que le vecteur élément de courant du tube de courant $\;{\big$élémentaire${\big )}\;$ passant par $\;P'$, au lieu d’être localisé dans l'expansion tridimensionnelle de dimensions transversales «$\;e\;$» et «$\;e'\;$», l'est sur $\;\left(\Gamma \right)\;$ l’une des courbes génératrices de la surface latérale limitant la distribution volumique $\;{\big$par cette modélisation, le tube de courant $\;{\big$élémentaire${\big )}\;$ passant par $\;P'\;$ de la distribution tridimensionnelle initiale est intégralement transformé en la ligne de courant passant par $\;P\;$ de la distribution linéique obtenue $\;{\mathcal {D}}_{m}$, cette dernière, ne comprenant qu'une seule ligne de courant, est alors encore appelée « circuit filiforme » $\;{\big$voir le schéma ci-contre${\big )}{\big ]}$ ;
tous les porteurs de charges mobiles du tube de courant $\;{\big$élémentaire${\big )}\;$ de la distribution continue volumique initiale traversant la section droite passant par $\;P'$ $\;{\big$dans le « sens $\;+\;$ pour les porteurs de charge mobiles de charge individuelle $\;>0\;$» et dans le « sens $\;-\;$ pour ceux de charge individuelle $\;<0\;$»${\big )}\;$ sur l'intervalle $\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$ se retrouvant passant par $\;P\;$ $\;{\big$sans changer de sens${\big )}\;$ en suivant le « circuit filiforme » $\;\left(\Gamma \right)\;$ sur le même intervalle de temps, nous définissons l'intensité algébrique du courant circulant, à l'instant $\;t$, sur le circuit filiforme $\;\left(\Gamma \right)\;$ orienté $\;{\big$le sens $\;+\;$ au point $\;P\in \left(\Gamma \right)\;$ étant défini par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{P}\;$ tangentiel à la courbe génératrice de la surface latérale limitant la distribution volumique choisie pour faire la modélisation linéique${\big ]}\;$ «$\;i(t)\;$» en l'identifiant à l'intensité algébrique du courant circulant, à l'instant $\;t$, dans le tube de courant $\;{\big$élémentaire${\big )}\;$ de la distribution continue volumique initiale $\;{\big \$cette définition justifiant celle donnée au paragraphe « notion de courant électrique et définition du courant en un point du circuit filiforme » du chap.$21$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »${\big \}$ ;
le vecteur élément de courant «$\;{\overrightarrow {dC}}(P')={\vec {j}}(P')\;d\tau \;$» de l'expansion tridimensionnelle élémentaire entourant $\;P'\;$ de volume $\;d\tau =$ $e\;e'\;d{\mathit {l}}\;$ $\;{\bigd{\mathit {l}}\;$ étant la longueur élémentaire de la portion de tube de courant $\;{\big$élémentaire${\big )}\;$ à partir de la section droite passant par $\;P'{\big ]}\;$ s'écrivant encore «$\;{\overrightarrow {dC}}(P')=i_{\text{tube}}\;{\overrightarrow {d{\mathit {l}}}}_{P'}\;$» $\;{\big$avec $\;{\overrightarrow {d{\mathit {l}}}}_{P'}=d{\mathit {l}}\;{\vec {u}}_{P'}\;$ le vecteur élément de longueur du tube en $\;P'$, $\;{\vec {u}}_{P'}\;$ étant le vecteur unitaire tangentiel orientant la ligne de courant en $\;P'{\big ]}\;$ se retrouve intégralement, dans la distribution linéique associée $\;{\mathcal {D}}_{m}$, sur la portion de courbe élémentaire entourant $\;P\;$ de longueur $\;d{\mathit {l}}$ $\;{\big$voir le schéma ci-dessus à droite${\big )}$, celle-ci étant traversée, en $\;P$, par la même intensité algébrique «$\;i\;$» que celle traversant la section droite du tube en $\;P'\;$ «$\;i_{\text{tube}}\;$» d'où $\;i=i_{\text{tube}}\;$ et par suite
$\;P\;$
$\;\left(\Gamma \right)\;$
$\;{\big$
$\;{\vec {u}}_{P}\;$
$\;\left(\Gamma \right){\big ]}$
$\;M\;$
$\;{\overrightarrow {dC}}(P)=i\;{\overrightarrow {d{\mathit {l}}}}_{P}\;$
$\;i\;$
$\;{\overrightarrow {d{\mathit {l}}}}_{P}=d{\mathit {l}}\;{\vec {u}}_{P}\;$
Remarques : $\;\succ \;$ Pour simplifier la présentation l'intensité algébrique du courant transporté par un circuit filiforme dans le cadre de l'A.R.Q.S. a simplement été notée $\;i\;$ sans référence à la notion de temps mais, sauf dans le cas d'un régime permanent de courant, elle dépend de l'instant $\;t\;$ considéré et doit être notée «$\;i(t)\;$».
Remarques : $\;\succ \;$ Par analogie aux traitements des distributions continues volumique et surfacique, on aurait pu introduire, dans l'étude d'une distribution continue linéique $\;{\mathcal {D}}_{m}$ $\;{\big$de support $\;\left(\Gamma \right)\;$ orienté en $\;P\;$ par le vecteur unitaire tangentiel $\;{\vec {u}}_{P}{\big ]}$, la notion de vecteur densité linéique de courant de la distribution $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ en $\;P\;$ «$\;{\vec {j}}_{\mathit {l}}(P)\;$» lié au vecteur élément de courant de la portion de circuit filiforme centrée en $\;P\;$ de longueur élémentaire $\;d{\mathit {l}}\;$ traversée par un courant d'intensité algébrique $\;i\;$ «$\;{\overrightarrow {dC}}(P)=i\;{\overrightarrow {d{\mathit {l}}}}_{P}=i\;d{\mathit {l}}\;{\vec {u}}_{P}\;$» selon «$\;{\vec {j}}_{\mathit {l}}(P)={\dfrac {{\overrightarrow {dC}}(P)}{d{\mathit {l}}}}\;$» soit finalement
$\;{\vec {j}}_{\mathit {l}}(P)=i\;{\vec {u}}_{P}\;$
$\;i\;$
$\;{\vec {u}}_{P}\;$
Remarques : poursuivant dans cette introduction, nous obtiendrions un lien entre ce vecteur densité linéique de courant de la distribution $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ en $\;P\;$ dans le cas d'un seul type de porteurs de charge mobiles $\;_{k}\;$ «$\;{\vec {j}}_{{\mathit {l}},_{k}}(P)\;$», le vecteur vitesse d'entraînement $\;{\vec {V}}_{k}(P)\;$ et la densité linéique de charge $\;\lambda _{m,\,_{k}}(P)\;$ des porteurs de charge mobiles de ce type «$\;{\vec {j}}_{{\mathit {l}},_{k}}(P)=\lambda _{m,\,_{k}}(P)\;{\vec {V}}_{k}(P)\;$», puis, dans le cas de plusieurs types de porteurs de charge mobiles «$\;{\vec {j}}_{\mathit {l}}(P)=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,n}{\vec {j}}_{{\mathit {l}},_{k}}(P)=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,n}\lambda _{m,\,_{k}}(P)\;{\vec {V}}_{k}(P)\;$» avec $\;n\;$ le nombre de types de porteurs de charge mobiles différents circulant dans $\;{\mathcal {D}}_{m}$ ;
Remarques : toutefois s'il y a une ressemblance de traitement dans le lien entre vecteur densité volumique ou surfacique de courant et intensité algébrique du courant à travers une surface ou une largeur élémentaire dans les distributions continue volumique ou surfacique «$\;di={\vec {j}}(P)\cdot {\overrightarrow {dS}}_{P}={\vec {j}}(P)\cdot \left[dS\;{\vec {u}}_{P}\right]\;$ flux élémentaire de $\;{\vec {j}}(P)\;$ à travers $\;{\overrightarrow {dS}}_{P}\;$» ou «$\;di={\vec {j}}_{s}(P)\cdot {\overrightarrow {dL}}_{P}={\vec {j}}_{s}(P)\cdot \left[dL\;{\vec {u}}_{P}\right]\;$ pseudo-flux élémentaire de $\;{\vec {j}}_{s}(P)\;$ à travers $\;{\overrightarrow {dL}}_{P}\;$», le lien entre vecteur densité de courant linéique et intensité algébrique du courant à travers le point $\;P\;$ d'une distribution continue linéique peut difficilement être considéré comme un flux ou un « pseudo-flux » car «$\;i={\vec {j}}_{\mathit {l}}(P)\cdot {\vec {u}}_{P}\;$» $\;{\big$à moins de considérer que la multiplication scalaire d'un champ vectoriel par un vecteur unitaire définisse un pseudo-flux à travers un point, ce que nous ferons pas car n'ayant vraiment aucun autre intérêt qu'une analogie de traitement${\big ]}$ ;
Remarques : finalement introduire un vecteur densité linéique de courant en tout point $\;P\;$ de la distribution continue linéique $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ selon «$\;{\vec {j}}_{\mathit {l}}(P)=i\;{\vec {u}}_{P}\;$» n'injectant aucune grandeur physique qui n'ait déjà été introduite, il n'y a donc aucun intérêt à l'utiliser car si nous en avons besoin il suffira d'écrire «$\;i\;{\vec {u}}_{P}\;$» à la place de «$\;{\vec {j}}_{\mathit {l}}(P)$» $\;\ldots$

### Dépendance relativement au temps

Il s'agit ici de revenir sur les sources de champ magnétique ou électrique en mettant en évidence l'intervention du temps.

#### Distribution de courant permanent dans des conducteurs « immobiles » d'un référentiel d’étude

Une distribution de courant permanent dans des conducteurs « immobiles » d'un référentiel d’étude est source de « champ magnétique stationnaire » encore appelé « champ magnétostatique ».

#### Distribution de courant de l’A.R.Q.S. dans des conducteurs non nécessairement « immobiles » d'un référentiel d’étude ou distribution de courant permanent dans des conducteurs « mobiles » d'un référentiel d’étude

Une distribution de courant de l'A.R.Q.S. dans des conducteurs non nécessairement « immobiles » d'un référentiel d’étude ou
une distribution de courant permanent dans des conducteurs « mobiles » d'un référentiel d’étude
Une distribution de courant de l'A.R.Q.S. dans des conducteurs non nécessairement « immobiles » d'un référentiel d’étude ou sont sources de « champ magnétique dépendant du temps » ;
une distribution de courant permanent dans des conducteurs « mobiles » d'un référentiel d’étude en plus elles sont également sources de « champ électrique dépendant du temps », c'est-à-dire d'un « champ électrique » dit d’« induction »$^,$.

#### Distribution de charges statiques dans des corps « immobiles » dans le référentiel d’étude

Une distribution de charges statiques dans des corps « immobiles » d'un référentiel d’étude est source de « champ électrique stationnaire » encore appelé « champ électrostatique ».

#### Distribution de charges statiques dans des corps « mobiles » dans le référentiel d’étude

Une distribution de charges statiques dans des corps « mobiles » d'un référentiel d’étude est source de « champ électrique dépendant du temps » ; Une distribution de charges statiques dans des corps en plus elle peut être également source de « champ magnétique dépendant du temps » si la fréquence est « très élevée ».

## Méthode pour déterminer expérimentalement la présence d'un champ électrique stationnaire (ou champ électrostatique)
### Exposé de la méthode

Placer une charge ponctuelle « témoin » «$\;q>0\;$» à l'endroit «$\;M\;$» où on souhaite mettre en évidence le vecteur champ électrique stationnaire «$\;{\vec {E}}_{\mathcal {D}}(M)\;$» que la distribution de charges $\;{\mathcal {D}}\;$ est « supposée créer » au point $\;M$,
déterminer le vecteur force électrostatique «$\;{\vec {F}}_{q\,\leftarrow \,{\mathcal {D}}}(M)\;$» que la distribution de charges $\;{\mathcal {D}}\;$ est « supposée exercer » sur la charge témoin «$\;q>0\;$» par « modification de l’équilibre de cette dernière en $\;M\;$» et
en déduire le vecteur champ électrostatique «$\;{\vec {E}}_{\mathcal {D}}(M)\;$» que la distribution de charges $\;{\mathcal {D}}\;$ est « supposée créer » $\;{\big$en fait qu'elle crée réellement dans la mesure où une force «$\;{\vec {F}}_{q\,\leftarrow \,{\mathcal {D}}}(M)\;$» a été déterminée${\big ]}\;$ au point $\;M$ par «$\;{\vec {F}}_{q\,\leftarrow \,{\mathcal {D}}}(M)=q\;{\vec {E}}_{\mathcal {D}}(M)\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\vec {E}}_{\mathcal {D}}(M)={\dfrac {{\vec {F}}_{q\,\leftarrow \,{\mathcal {D}}}(M)}{q}}\;$» $\;{\big$sa norme s'exprimant en $\;V\cdot m^{-1}{\big )}$ $\;{\Big$en particulier la direction de $\;{\vec {E}}_{\mathcal {D}}(M)\;$ est celle de $\;{\vec {F}}_{q\,\leftarrow \,{\mathcal {D}}}(M)\;$ et le sens de $\;{\vec {E}}_{\mathcal {D}}(M)\;$ celui de $\;{\vec {F}}_{q\,\leftarrow \,{\mathcal {D}}}(M)$ $\;{\big$mais uniquement si la charge témoin $\;q\;$ est positive${\big )}{\Big ]}$.

### En complément, « champ électrostatique créé en M par une charge ponctuelle q$_O$ placée en O » (expression de Coulomb du champ électrostatique)

Considérant une charge ponctuelle «$\;O\left(q_{0}\right)\;$», celle-ci crée autour d'elle un espace champ électrostatique et nous nous proposons de déterminer le vecteur champ électrostatique créé par cette charge ponctuelle en tout point $\;M\neq O\;$ «$\;{\vec {E}}_{O}(M)\;$» en utilisant le repérage sphérique de pôle $\;O\;$ du point $\;M\;$ $\;{\bigM\;$ de coordonnées sphériques $\;\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)\;$ et de base locale sphérique $\;\left({\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{\varphi }\right){\big ]}$ $\;{\big$voir ci-contre${\big )}$ ;
pour cela on place en $\;M\;$ une charge ponctuelle témoin $\;q>0$, celle-ci subit de la part de la charge ponctuelle $\;O\left(q_{O}\right)\;$ une force d'interaction électrostatique suivant la « loi de Coulomb » «$\;{\vec {F}}_{q\,\leftarrow \,q_{O}}(M)$ $={\dfrac {q\;q_{O}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$» $\;{\big$appelée force de Coulomb${\big )}\;$ dans laquelle «$\;\varepsilon _{0}\;$ est la permittivité diélectrique du vide » de valeur telle que $\;{\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\simeq 9\;10^{9}\,U.S.I.\;$ ;
on en déduit le vecteur champ électrostatique créé par la charge ponctuelle $\;O\left(q_{O}\right)\;$ en $\;M\;$ «$\;{\vec {E}}_{O\,\left(q_{O}\right)}(M)={\dfrac {{\vec {F}}_{q\,\leftarrow \,q_{O}}(M)}{q}}={\dfrac {{\dfrac {q\;q_{O}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}}{q}}\;$» d'où l’expression de Coulomb du vecteur champ électrostatique créé par la charge ponctuelle $\;O\left(q_{O}\right)\;$ en $\;M\;\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)$ $\;{\Big$avec $\;\left({\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{\varphi }\right)\;$ base liée à $\;M{\Big ]}$
$\;{\vec {E}}_{O\,\left(q_{O}\right)}(M)={\dfrac {q_{O}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$
$\;M\neq O\;$
$\;{\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\simeq 9\;10^{9}\,U.S.I.\;$
$\;\varepsilon _{0}\;$
Ce vecteur champ électrostatique en $\;M\;$ est central, plus exactement Ce vecteur champ électrostatique en M est centrifuge pour $\;q_{O}>0$ $\;{\big$voir cas de figure${\big )}\;$ et Ce vecteur champ électrostatique en M est centripète pour $\;q_{O}<0$.

### En complément, « champ électrostatique créé en M par une distribution discrète ou continue (volumique, surfacique ou linéique) de charges (intégrale de Coulomb du champ électrostatique) »

On admet l’applicabilité du théorème de superposition à l’évaluation du vecteur champ électrostatique créé par une distribution discrète ou continue de charges c'est-à-dire que le vecteur champ créé en un point $\;M\;$ par un ensemble discret ou continu de charges est la somme discrète ou continue des vecteurs champs créés en $\;M\;$ par chaque charge ponctuelle ou pseudo-ponctuelle individuelle.

#### Distribution discrète de charges (ou source composée d'un nombre fini de charges ponctuelles)

Le vecteur champ électrostatique créé par l'« ensemble des charges ponctuelles $\;{\mathcal {D}}_{n}=\left\lbrace O_{k}\left(q_{k}\right)\right\rbrace _{k\,=\,1\,..\,n}\;$» en « tout point $\;M\neq O_{k}\;\;\forall \;k\;\in \;\left[\left[1\,,\,n\right]\right]\;$» étant la somme discrète des vecteurs « champ électrostatique créé au point $\;M\;$ par la charge ponctuelle $\;O_{k}\left(q_{k}\right)\;$ prise individuellement $\;{\vec {E}}_{O_{k}}(M\neq O_{k})={\dfrac {q_{k}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r_{k}^{2}}}\;{\vec {u}}_{r_{k}}\;$» $\;{\Bigg$dans lequel «$\;r_{k}=O_{k}M=\Vert {\overrightarrow {O_{k}M}}\Vert \;$ et $\;{\vec {u}}_{r_{k}}={\dfrac {\overrightarrow {O_{k}M}}{r_{k}}}\;$»${\Bigg ]}\;$ $\Rightarrow$
$\;{\vec {E}}_{{\mathcal {D}}_{n}}(M)=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,n}{\vec {E}}_{O_{k}}(M)=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,n}{\dfrac {q_{k}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r_{k}^{2}}}\;{\vec {u}}_{r_{k}}\;$
$\;M\neq O_{k}\;\;\forall \;k\;\in \;\left[\left[1\,,\,n\right]\right]\;$
$\;r_{k}=O_{k}M=\Vert {\overrightarrow {O_{k}M}}\Vert \;$
$\;{\vec {u}}_{r_{k}}={\dfrac {\overrightarrow {O_{k}M}}{r_{k}}}\;$
$\;{\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\simeq 9\;10^{9}\,U.S.I.\;$
$\;\varepsilon _{0}\;$

#### Distribution continue volumique de charges d'extension finie ou infinie et champ électrostatique crée en tout point M intérieur ou extérieur à la distribution

Le vecteur champ électrostatique créé par la « distribution continue volumique de charge $\;{\mathcal {D}}\;$ d'extension finie ou infinie $\;{\big$caractérisée par la densité volumique de charge $\;\rho (P)\;\;\forall \;P\;\in \;{\mathcal {D}}{\big ]}\;$» en « tout point $\;M\;$ extérieur à $\;{\mathcal {V}}\;$ l'expansion tridimensionnelle de $\;{\mathcal {D}}\;$» étant la somme continue des vecteurs « champ électrostatique créé au point $\;M\;$ par la charge quasi-ponctuelle, centrée en $\;P\in {\mathcal {D}}$, d'expansion tridimensionnelle de volume $\;d\tau \;$ prise individuellement $\;{\vec {E}}_{P\,\left(dq_{P}\right)}(M\neq P)={\dfrac {dq_{P}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;PM^{2}}}\;{\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}={\dfrac {\rho (P)\;d\tau }{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;PM^{2}}}\;{\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}\;$» $\;{\Bigg$dans lequel «$\;PM=\Vert {\overrightarrow {PM}}\Vert \;$ et $\;{\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}={\dfrac {\overrightarrow {PM}}{PM}}\;$»${\Bigg ]}\;$ s'obtient, pour $\;M\;$ extérieur à $\;{\mathcal {V}}$, sous la forme de l'« intégrale volumique » « propre » ou « généralisée $\;{\big$pour $\;{\mathcal {D}}\;$ d'extension infinie${\big )}\;$», «$\;{\vec {E}}_{\mathcal {D}}(M\notin {\mathcal {V}})=\displaystyle \iiint \limits _{\mathcal {V}}{\vec {E}}_{P\,\left(dq_{P}\right)}(M)\;$» soit
$\;{\vec {E}}_{\mathcal {D}}(M\notin {\mathcal {V}})=\displaystyle \iiint \limits _{\mathcal {V}}{\dfrac {dq_{P}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;PM^{2}}}\;{\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}=\displaystyle \iiint \limits _{\mathcal {V}}{\dfrac {\rho (P)\;d\tau }{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;PM^{2}}}\;{\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}\;$
$\;M\notin {\mathcal {V}}\;$
$\;PM=\Vert {\overrightarrow {PM}}\Vert \;$
$\;{\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}={\dfrac {\overrightarrow {PM}}{PM}}\;$
$\;{\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\simeq 9\;10^{9}\,U.S.I.\;$
$\;\varepsilon _{0}\;$
Remarque : Bien qu'il soit impossible de déterminer physiquement le vecteur champ électrostatique créé par la « distribution continue volumique de charge $\;{\mathcal {D}}\;$ d'extension finie ou infinie $\;{\big$caractérisée par la densité volumique de charge $\;\rho (P)\;\;\forall \;P\;\in \;{\mathcal {D}}{\big ]}\;$» en « tout point $\;M\;$ intérieur à $\;{\mathcal {V}}\;$ l'expansion tridimensionnelle de $\;{\mathcal {D}}\;$» car il serait impossible d'y placer une charge témoin $\;q>0\;$ pour évaluer la force de Coulomb «$\;{\vec {F}}_{q\,\leftarrow \,{\mathcal {D}}}(M)\;$» que $\;{\mathcal {D}}\;$ exercerait sur elle, Remarque : Bien qu’il est possible de le déterminer mathématiquement car, si « la fonction à intégrer dans l'intégrale volumique définissant $\;{\vec {E}}_{\mathcal {D}}(M\notin {\mathcal {V}})\;$ à savoir $\;{\dfrac {\rho (P)}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;PM^{2}}}\;{\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}\;$ diverge quand $\;M\;$ pénètre $\;{\mathcal {V}}\;$», « l'intégrale volumique $\;\displaystyle \iiint \limits _{{\mathcal {V}}\,\backslash \,{\mathcal {B}}_{\left(M,\,\eta \right)}}{\dfrac {\rho (P)\;d\tau }{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;PM^{2}}}\;{\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}$ $\;{\big{\mathcal {B}}_{\left(M,\,\eta \right)}\;$ étant une boule de centre $\;M\;$ et de rayon $\;\eta {\big ]}\;$ converge quand $\;\eta \rightarrow 0$ $\;{\big$admis${\big )}\;$», la limite définissant l'intégrale volumique « généralisée $\;{\big$pour $\;{\mathcal {D}}\;$ d'extension finie, extension qui peut aussi être infinie${\big )}\;$».
En conclusion de la remarque précédente, le vecteur champ électrostatique créé par «$\;{\mathcal {D}}\;$ d'extension finie ou infinie $\;{\big$caractérisée par la densité volumique de charge $\;\rho (P)\;\;\forall \;P\;\in \;{\mathcal {D}}{\big ]}\;$» en « tout point $\;M\;$ intérieur à $\;{\mathcal {V}}\;$» s'obtient sous la forme de l'« intégrale volumique généralisée $\;{\big$pour $\;{\mathcal {D}}\;$ d'extension finie, extension qui peut aussi être infinie${\big )}\;$»
$\;{\vec {E}}_{\mathcal {D}}(M\in {\mathcal {V}})=\displaystyle \iiint \limits _{\mathcal {V}}{\dfrac {dq_{P}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;PM^{2}}}\;{\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}=\displaystyle \iiint \limits _{\mathcal {V}}{\dfrac {\rho (P)\;d\tau }{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;PM^{2}}}\;{\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}\;$
$\;M\in {\mathcal {V}}\;$
$\;PM=\Vert {\overrightarrow {PM}}\Vert \;$
$\;{\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}={\dfrac {\overrightarrow {PM}}{PM}}\;$
$\;{\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\simeq 9\;10^{9}\,U.S.I.\;$
$\;\varepsilon _{0}\;$

#### Distribution continue surfacique de charges d'extension finie ou infinie et champ électrostatique crée en tout point M extérieur à la distribution

Le vecteur champ électrostatique créé par la « distribution continue surfacique de charge $\;{\mathcal {D}}\;$ d'extension finie ou infinie $\;{\big$caractérisée par la densité surfacique de charge $\;\sigma (P)\;\;\forall \;P\;\in \;{\mathcal {D}}{\big ]}\;$» en « tout point $\;M\;$ extérieur à $\;\Sigma \;$ l'expansion surfacique de $\;{\mathcal {D}}\;$» étant la somme continue des vecteurs « champ électrostatique créé au point $\;M\;$ par la charge quasi-ponctuelle, centrée en $\;P\in {\mathcal {D}}$, d'expansion surfacique d'aire $\;dS\;$ prise individuellement $\;{\vec {E}}_{P\,\left(dq_{P}\right)}(M\neq P)={\dfrac {dq_{P}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;PM^{2}}}\;{\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}={\dfrac {\sigma (P)\;dS}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;PM^{2}}}\;{\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}\;$» $\;{\Bigg$dans lequel «$\;PM=\Vert {\overrightarrow {PM}}\Vert \;$ et $\;{\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}={\dfrac {\overrightarrow {PM}}{PM}}\;$»${\Bigg ]}\;$ s'obtient, pour $\;M\;$ extérieur à $\;\Sigma$, sous la forme de l'« intégrale surfacique » « propre » ou « généralisée $\;{\big$pour $\;{\mathcal {D}}\;$ d'extension infinie${\big )}\;$», «$\;{\vec {E}}_{\mathcal {D}}(M\notin \Sigma )=\displaystyle \iint \limits _{\Sigma }{\vec {E}}_{P\,\left(dq_{P}\right)}(M)\;$» soit
$\;{\vec {E}}_{\mathcal {D}}(M\notin \Sigma )=\displaystyle \iint \limits _{\Sigma }{\dfrac {dq_{P}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;PM^{2}}}\;{\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}=\displaystyle \iint \limits _{\Sigma }{\dfrac {\sigma (P)\;dS}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;PM^{2}}}\;{\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}\;$
$\;M\notin \Sigma \;$
$\;PM=\Vert {\overrightarrow {PM}}\Vert \;$
$\;{\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}={\dfrac {\overrightarrow {PM}}{PM}}\;$
$\;{\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\simeq 9\;10^{9}\,U.S.I.\;$
$\;\varepsilon _{0}\;$
Remarque : S'il est impossible de déterminer physiquement le vecteur champ électrostatique créé par la « distribution continue surfacique de charge $\;{\mathcal {D}}\;$ d'extension finie ou infinie $\;{\big$caractérisée par la densité surfacique de charge $\;\sigma (P)\;\;\forall \;P\;\in \;{\mathcal {D}}{\big ]}\;$» en « tout point $\;M\;$ intérieur à $\;\Sigma \;$ l'expansion surfacique de $\;{\mathcal {D}}\;$» car il serait impossible d'y placer une charge témoin $\;q>0\;$ pour évaluer la force de Coulomb «$\;{\vec {F}}_{q\,\leftarrow \,{\mathcal {D}}}(M)\;$» que $\;{\mathcal {D}}\;$ exercerait sur elle, Remarque : S’il est aussi impossible de le déterminer mathématiquement car, si « la fonction à intégrer dans l'intégrale surfacique définissant $\;{\vec {E}}_{\mathcal {D}}(M\notin \Sigma )\;$ à savoir $\;{\dfrac {\sigma (P)}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;PM^{2}}}\;{\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}\;$ diverge quand $\;M\;$ pénètre $\;\Sigma \;$», « l'intégrale surfacique $\;\displaystyle \iint \limits _{\Sigma \,\backslash \,{\mathit {d}}_{\left(M,\,\eta \right)}}{\dfrac {\sigma (P)\;dS}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;PM^{2}}}\;{\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}$ $\;{\big{\mathit {d}}_{\left(M,\,\eta \right)}\;$ étant un pseudo-disque de centre $\;M\;$ et de rayon $\;\eta \;$${\big ]}\;$ diverge $\;{\big$plus précisément n'admet pas de limite finie${\big )}\;$ quand $\;\eta \rightarrow 0$ $\;{\big$admis${\big )}\;$», l'absence de limite empêchant de définir une intégrale surfacique « généralisée $\;{\big$pour $\;{\mathcal {D}}\;$ d'extension finie, même si l'extension est aussi infinie${\big )}\;$».
En conclusion de la remarque précédente, le vecteur champ électrostatique créé par «$\;{\mathcal {D}}\;$ d'extension finie ou infinie $\;{\big$caractérisée par la densité surfacique de charge $\;\sigma (P)\;\;\forall \;P\;\in \;{\mathcal {D}}{\big ]}\;$» en « tout point $\;M\;$ intérieur à $\;\Sigma \;$» n'est pas définissable, toutefois En conclusion de la remarque précédente, à partir d'un point «$\;P_{0}\;$ quelconque $\;\in \;\Sigma \;$» et en définissant «$\;\Delta _{P_{0}}\;$ la perpendiculaire à $\;\Sigma \;$ en $\;P_{0}\;$ orientée par le vecteur unitaire $\;{\vec {n}}_{P_{0}}\;$», En conclusion de la remarque précédente, les « vecteurs champs électrostatiques créés par $\;{\mathcal {D}}\;$ en tout point $\;M\;\in \;\Delta _{P_{0}}\;$ mais $\;\neq \;$ de $\;P_{0}\;$» sont continus à l'exception de $\;P_{0}$ $\;{\big$en accord avec l'impossibilité de définir le champ en $\;P_{0}{\big )}\;$ où on observe une discontinuité de 1ère espèce de saut fini «$\;{\vec {E}}_{\mathcal {D}}(M^{+}\in \Delta _{P_{0}})-{\vec {E}}_{\mathcal {D}}(M^{-}\in \Delta _{P_{0}})={\dfrac {\sigma (P_{0})}{\varepsilon _{0}}}\;{\vec {n}}_{P_{0}}\;$» $\;{\big$admis${\big )}$.

#### Distribution continue linéique de charges d'extension finie ou infinie et champ électrostatique crée en tout point M extérieur à la distribution

Le vecteur champ électrostatique créé par la « distribution continue linéique de charge $\;{\mathcal {D}}\;$ d'extension finie ou infinie $\;{\big$caractérisée par la densité linéique de charge $\;\lambda (P)\;\;\forall \;P\;\in \;{\mathcal {D}}{\big ]}\;$» en « tout point $\;M\;$ extérieur à $\;\Gamma \;$ l'expansion curviligne de $\;{\mathcal {D}}\;$» étant la somme continue des vecteurs « champ électrostatique créé au point $\;M\;$ par la charge quasi-ponctuelle, centrée en $\;P\in {\mathcal {D}}$, d'expansion curviligne de longueur $\;d{\mathit {l}}\;$ prise individuellement $\;{\vec {E}}_{P\,\left(dq_{P}\right)}(M\neq P)={\dfrac {dq_{P}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;PM^{2}}}\;{\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}={\dfrac {\lambda (P)\;d{\mathit {l}}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;PM^{2}}}\;{\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}\;$» $\;{\Bigg$dans lequel «$\;PM=\Vert {\overrightarrow {PM}}\Vert \;$ et $\;{\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}={\dfrac {\overrightarrow {PM}}{PM}}\;$»${\Bigg ]}\;$ s'obtient, pour $\;M\;$ extérieur à $\;\Gamma$, sous la forme de l'« intégrale curviligne » « propre » ou « généralisée $\;{\big$pour $\;{\mathcal {D}}\;$ d'extension infinie${\big )}\;$», «$\;{\vec {E}}_{\mathcal {D}}(M\notin \Gamma )=\displaystyle \int \limits _{\Gamma }{\vec {E}}_{P\,\left(dq_{P}\right)}(M)\;$» soit
$\;{\vec {E}}_{\mathcal {D}}(M\notin \Gamma )=\displaystyle \int \limits _{\Gamma }{\dfrac {dq_{P}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;PM^{2}}}\;{\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}=\displaystyle \int \limits _{\Gamma }{\dfrac {\lambda (P)\;d{\mathit {l}}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;PM^{2}}}\;{\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}\;$
$\;M\notin \Gamma \;$
$\;PM=\Vert {\overrightarrow {PM}}\Vert \;$
$\;{\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}={\dfrac {\overrightarrow {PM}}{PM}}\;$
$\;{\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\simeq 9\;10^{9}\,U.S.I.\;$
$\;\varepsilon _{0}\;$
Remarque : S'il est impossible de déterminer physiquement le vecteur champ électrostatique créé par la « distribution continue linéique de charge $\;{\mathcal {D}}\;$ d'extension finie ou infinie $\;{\big$caractérisée par la densité linéique de charge $\;\lambda (P)\;\;\forall \;P\;\in \;{\mathcal {D}}{\big ]}\;$» en « tout point $\;M\;$ intérieur à $\;\Gamma \;$ l'expansion curviligne de $\;{\mathcal {D}}\;$» car il serait impossible d'y placer une charge témoin $\;q>0\;$ pour évaluer la force de Coulomb «$\;{\vec {F}}_{q\,\leftarrow \,{\mathcal {D}}}(M)\;$» que $\;{\mathcal {D}}\;$ exercerait sur elle, Remarque : S’il est aussi impossible de le déterminer mathématiquement car, si « la fonction à intégrer dans l'intégrale curviligne définissant $\;{\vec {E}}_{\mathcal {D}}(M\notin \Gamma )\;$ à savoir $\;{\dfrac {\lambda (P)}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;PM^{2}}}\;{\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}\;$ diverge quand $\;M\;$ pénètre $\;\Gamma \;$», « l'intégrale curviligne $\;\displaystyle \int \limits _{\Gamma \,\backslash \,{\mathit {s}}_{\left(M,\,\eta \right)}}{\dfrac {\lambda (P)\;d{\mathit {l}}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;PM^{2}}}\;{\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}$ $\;{\big{\mathit {s}}_{\left(M,\,\eta \right)}\;$ étant un pseudo-segment de centre $\;M\;$ et de demi-largeur $\;\eta \;$${\big ]}\;$ diverge $\;{\big$plus précisément n'admet pas de limite finie${\big )}\;$ quand $\;\eta \rightarrow 0$ $\;{\big$admis${\big )}\;$», l'absence de limite finie empêchant de définir une intégrale curviligne « généralisée $\;{\big$pour $\;{\mathcal {D}}\;$ d'extension finie, même si l'extension est aussi infinie${\big )}\;$».
En conclusion de la remarque précédente, le vecteur champ électrostatique créé par «$\;{\mathcal {D}}\;$ d'extension finie ou infinie $\;{\big$caractérisée par la densité linéique de charge $\;\lambda (P)\;\;\forall \;P\;\in \;{\mathcal {D}}{\big ]}\;$» en « tout point $\;M\;$ intérieur à $\;\Gamma \;$» n'est pas définissable, plus particulièrement En conclusion de la remarque précédente, à partir d'un point «$\;P_{0}\;$ quelconque $\;\in \;\Gamma \;$» et en définissant «$\;\left\lbrace \Delta _{P_{0},\,\alpha }\right\rbrace _{\alpha \,\in \,\left]-\pi \,,\,+\pi \right]}\;$ l'ensemble des demi-droites issues de $\;P_{0}\;$ perpendiculaires à $\;\Gamma \;$ en $\;P_{0}\;$», En conclusion de la remarque précédente, les « vecteurs champs électrostatiques créés par $\;{\mathcal {D}}\;$ en tout point $\;M\;\in \;\left\lbrace \Delta _{P_{0},\,\alpha }\right\rbrace _{\alpha \,\in \,\left]-\pi \,,\,+\pi \right]}\;$ mais $\;\neq \;$ de $\;P_{0}\;$» sont continus à l'exception de $\;P_{0}$ $\;{\big$en accord avec l'impossibilité de définir le champ en $\;P_{0}{\big )}\;$ où on observe une limite infinie $\;{\big$admis${\big )}$.

## Méthode pour déterminer expérimentalement la présence d'un champ magnétique stationnaire (ou champ magnétostatique)

Préliminaire : Une charge ponctuelle «$\;P\left(q\right)\;$» en mouvement dans un référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ de vecteur vitesse «$\;{\vec {V}}_{P}(t)\;$» subit l'action d'un vecteur champ magnétique «$\;{\vec {B}}(M,\,t)\;$» par l'intermédiaire d'une « force magnétique de Lorentz » «$\;{\vec {F}}_{\text{magn. de Lor.}}(P)=q\;{\vec {V}}_{P}(t)\wedge {\vec {B}}(P,\,t)\;$» dont l'introduction sera détaillée au paragraphe « force de Lorentz exercée sur une charge ponctuelle mobile de vecteur vitesse connu placée dans un champ électromagnétique donné » plus loin dans ce chapitre.

### Exposé de la méthode

Faire passer une charge ponctuelle « témoin » «$\;q>0\;$» à l'endroit «$\;M\;$» où on souhaite mettre en évidence le vecteur champ magnétique stationnaire «$\;{\vec {B}}_{{\mathcal {D}}_{m}}(M)\;$» que la distribution de charges mobiles $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ est « supposée créer » au point $\;M$, avec un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}\;$ connu,
déterminer le vecteur force magnétique «$\;{\vec {F}}_{q\,{\vec {V}}_{M}\,\leftarrow \,{\mathcal {D}}_{m}}(M)\;$» que la distribution de charges mobiles $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ est « supposée exercer » sur la charge témoin mobile «$\;q>0\;$» par « modification du mouvement de cette dernière à partir de $\;M\;$» $\;{\Big$en fait connaissant $\;{\vec {V}}_{M}\;$ à l'instant $\;t_{0}\;$ d'injection de la charge témoin mobile et déterminant que sa modification locale à savoir $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ aux instants immédiatement postérieurs à $\;t_{0}\;$ nous en déduisons le vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{M}\;$ à $\;t_{0}^{+}\;$ ainsi que «$\;{\vec {F}}_{q\,{\vec {V}}_{M}\,\leftarrow \,{\mathcal {D}}_{m}}(M)\;$» à $\;t_{0}^{+}\;$ à partir de la r.f.d.n. et du bilan de forces appliquées${\Big ]}\;$ et
en déduire les 1$^{ères}$ informations sur le vecteur champ magnétostatique «$\;{\vec {B}}_{{\mathcal {D}}_{m}}(M)\;$» que la distribution de charges mobiles $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ est « supposée créer » $\;{\Big$en fait qu'elle crée réellement dans la mesure où l'action d'une force magnétique «$\;{\vec {F}}_{q\,{\vec {V}}_{M}\,\leftarrow \,{\mathcal {D}}_{m}}(M)\;$» a été observée${\Big ]}\;$ au point $\;M$ par utilisation de l'expression de la force magnétique de Lorentz «$\;{\vec {F}}_{q\,{\vec {V}}_{M}\,\leftarrow \,{\mathcal {D}}_{m}}(M)=q\;{\vec {V}}_{M}\wedge {\vec {B}}_{{\mathcal {D}}_{m}}(M)\;$» $\;{\Big$ce ne sont que des 1$^{ères}$ informations car la connaissance de «$\;{\vec {F}}_{q\,{\vec {V}}_{M}\,\leftarrow \,{\mathcal {D}}_{m}}(M)\;$» et de «$\;q\;{\vec {V}}_{M}\;$» est insuffisante pour déduire «$\;{\vec {B}}_{{\mathcal {D}}_{m}}(M)\;$» de façon unique, il faut donc obtenir d’autres informations${\Big ]}\;$ c'est-à-dire que la direction du vecteur champ magnétostatique «$\;{\vec {B}}_{{\mathcal {D}}_{m}}(M)\;$» est dans le plan $\;\left({\mathcal {P}}_{M}\right)\;$ passant par $\;M\;$ et $\;\perp \;$ à la force magnétique «$\;{\vec {F}}_{q\,{\vec {V}}_{M}\,\leftarrow \,{\mathcal {D}}_{m}}(M)\;$» ;
$\;{\vec {B}}_{{\mathcal {D}}_{m}}(M)\;$
faire passer la même charge ponctuelle « témoin » «$\;q>0\;$» au même endroit «$\;M\;$» où on souhaite mettre en évidence le vecteur champ magnétique stationnaire «$\;{\vec {B}}_{{\mathcal {D}}_{m}}(M)\;$» que la distribution de charges mobiles $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ est « supposée créer » au point $\;M$, avec un autre vecteur vitesse $\;{{\vec {V}}'}_{\!\!M}\;$ connu,
déterminer le nouveau vecteur force magnétique «$\;{\vec {F}}_{q\,{{\vec {V}}'}_{\!\!M}\,\leftarrow \,{\mathcal {D}}_{m}}(M)\;$» que la distribution de charges mobiles $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ est « supposée exercer » sur la charge témoin mobile «$\;q>0\;$» par « modification du mouvement de cette dernière à partir de $\;M\;$» $\;{\Big$en fait connaissant $\;{{\vec {V}}'}_{\!\!M}\;$ à l'instant $\;t_{0}\;$ d'injection de la charge témoin mobile et déterminant que sa modification locale à savoir $\;{{\vec {V}}'}_{\!\!M}(t)\;$ aux instants immédiatement postérieurs à $\;t_{0}\;$ nous en déduisons le vecteur accélération $\;{{\vec {a}}'}_{\!\!M}\;$ à $\;t_{0}^{+}\;$ ainsi que «$\;{\vec {F}}_{q\,{{\vec {V}}'}_{\!\!M}\,\leftarrow \,{\mathcal {D}}_{m}}(M)\;$» à $\;t_{0}^{+}\;$ à partir de la r.f.d.n. et du bilan de forces appliquées${\Big ]}\;$ et
en déduire les 2$^{èmes}$ informations sur le vecteur champ magnétostatique «$\;{\vec {B}}_{{\mathcal {D}}_{m}}(M)\;$» que la distribution de charges mobiles $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ est « supposée créer » $\;{\Big$en fait qu'elle crée réellement dans la mesure où l'action d'une force magnétique «$\;{\vec {F}}_{q\,{{\vec {V}}'}_{\!\!M}\,\leftarrow \,{\mathcal {D}}_{m}}(M)\;$» a été observée${\Big ]}\;$ au point $\;M$ par utilisation de l'expression de la force magnétique de Lorentz «$\;{\vec {F}}_{q\,{{\vec {V}}'}_{\!\!M}\,\leftarrow \,{\mathcal {D}}_{m}}(M)=q\;{{\vec {V}}'}_{\!\!M}\wedge {\vec {B}}_{{\mathcal {D}}_{m}}(M)\;$» $\;{\Big$ce sont des 2$^{èmes}$ informations car la connaissance de «$\;{\vec {F}}_{q\,{{\vec {V}}'}_{\!\!M}\,\leftarrow \,{\mathcal {D}}_{m}}(M)\;$» et de «$\;q\;{{\vec {V}}'}_{\!\!M}\;$» insuffisante pour déduire «$\;{\vec {B}}_{{\mathcal {D}}_{m}}(M)\;$» de façon unique s'ajoute aux 1$^{ères}$ informations déjà obtenues${\Big ]}\;$ c'est-à-dire que la direction du vecteur champ magnétostatique «$\;{\vec {B}}_{{\mathcal {D}}_{m}}(M)\;$» est dans le plan $\;\left({{\mathcal {P}}'}_{\!\!M}\right)\;$ passant par $\;M\;$ et $\;\perp \;$ à la force magnétique «$\;{\vec {F}}_{q\,{{\vec {V}}'}_{\!\!M}\,\leftarrow \,{\mathcal {D}}_{m}}(M)\;$» ;
regroupant les deux informations sur la direction du vecteur champ magnétostatique «$\;{\vec {B}}_{{\mathcal {D}}_{m}}(M)\;$» que la distribution de charges mobiles $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ crée au point $\;M$, nous en déduisons que celle-ci est l'intersection des deux plans dans lesquels elle a été déterminée précédemment à savoir $\;\left({\mathcal {P}}_{M}\right)\cap \left({{\mathcal {P}}'}_{\!\!M}\right)\;$ puis
nous déterminons le sens de «$\;{\vec {B}}_{{\mathcal {D}}_{m}}(M)\;$» sur $\;\left({\mathcal {P}}_{M}\right)\cap \left({{\mathcal {P}}'}_{\!\!M}\right)\;$ en utilisant la nature directe du trièdre $\;\left\lbrace q\;{\vec {V}}_{M}\,,\,{\vec {B}}_{{\mathcal {D}}_{m}}(M)\,,\,{\vec {F}}_{q\,{\vec {V}}_{M}\,\leftarrow \,{\mathcal {D}}_{m}}(M)\right\rbrace \;$$^,$ ou $\;\left\lbrace {\vec {F}}_{q\,{\vec {V}}_{M}\,\leftarrow \,{\mathcal {D}}_{m}}(M)\,,\,q\;{\vec {V}}_{M}\,,\,{\vec {B}}_{{\mathcal {D}}_{m}}(M)\right\rbrace \;$ trièdre obtenu par permutation circulaire $\;{\Big \$le sens du 3ème vecteur étant obtenu par utilisation de la « règle de la main droite » $\;{\big$voir le paragraphe « base directe d'un espace orienté à droite » du chap.$7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »${\big ]}\;$ ou d'une autre règle équivalente $\;{\big$voir la note « $^{12}$ » du chap.$7$ de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »${\big ]}{\Big \}$ et enfin
nous déterminons la norme de «$\;{\vec {B}}_{{\mathcal {D}}_{m}}(M)\;$» par «$\;{\Big \Vert }{\vec {F}}_{q\,{\vec {V}}_{M}\,\leftarrow \,{\mathcal {D}}_{m}}(M){\Big \Vert }={\Big \Vert }q\;{\vec {V}}_{M}{\Big \Vert }\;{\Big \Vert }{\vec {B}}_{{\mathcal {D}}_{m}}(M){\Big \Vert }\;{\bigg \vert }\sin \!\left\lbrace {\widehat {\left[q\;{\vec {V}}_{M}\,,\,{\vec {B}}_{{\mathcal {D}}_{m}}(M)\right]}}\right\rbrace {\bigg \vert }\;$»$^,$ $\Rightarrow$ $\;{\Big \Vert }{\vec {B}}_{{\mathcal {D}}_{m}}(M){\Big \Vert }={\dfrac {{\Big \Vert }{\vec {F}}_{q\,{\vec {V}}_{M}\,\leftarrow \,{\mathcal {D}}_{m}}(M){\Big \Vert }}{{\Big \Vert }q\;{\vec {V}}_{M}{\Big \Vert }\;{\bigg \vert }\sin \!\left\lbrace {\widehat {\left[q\;{\vec {V}}_{M}\,,\,{\vec {B}}_{{\mathcal {D}}_{m}}(M)\right]}}\right\rbrace {\bigg \vert }}}\;$ s'exprimant en $\;T\;$.
Remarque : Cette façon de mettre en évidence la présence du champ magnétostatique en un point donné est formelle et est en fait peu utilisable, heureusement il existe d'autres méthodes, non exposables pour l'instant, plus pratiques $\;\ldots$

### En complément, « champ magnétostatique créé en M par un vecteur élément de courant placé en P » (expression de Biot et Savart du champ magnétostatique)

Le vecteur champ magnétostatique créé en un point $\;M\;$ de l'espace par un vecteur élément de courant permanent centré en $\;P\;$ d'une distribution discrète ou continue de charges mobiles $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ «$\;{\overrightarrow {dC}}(P)\;$» se détermine par l'expression de Biot et Savart$^,$
$\;{\vec {B}}_{{\overrightarrow {dC}}(P)}(M\neq P)={\dfrac {\mu _{0}}{4\;\pi }}\;{\dfrac {{\overrightarrow {dC}}(P)\wedge {\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}}{PM^{2}}}\;$
$\;{\Bigg$
$\;PM=\Vert {\overrightarrow {PM}}\Vert \;$
$\;{\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}={\dfrac {\overrightarrow {PM}}{PM}}\;$
${\Bigg ]}\;$
$\;\mu _{0}\;$
$\;{\dfrac {\mu _{0}}{4\;\pi }}\simeq 10^{-7}\;U.S.I.\;$
Remarque : Le vecteur élément de courant «$\;{\overrightarrow {dC}}(P)\;$» n’ayant de signification qu’en tant que « portion de tube de courant » fermé sur lui-même, le vecteur champ magnétostatique «$\;{\vec {B}}_{{\overrightarrow {dC}}(P)}(M)\;$» ne peut jamais être considéré isolément, il doit être nécessairement accompagné des vecteurs champs créés par tous les autres vecteurs éléments de courant du tube de courant ; Remarque : en conclusion ne jamais oublier que le vecteur champ magnétostatique «$\;{\vec {B}}_{{\overrightarrow {dC}}(P)}(M)\;$» isolé étant sans signification, son introduction ne constitue qu'une étape mathématique dans l'évaluation du vecteur champ magnétostatique créé par le tube de courant entier au point $\;M$, le seul à avoir une signification physique$\;\ldots$

### En complément, « champ magnétostatique créé en M par une distribution discrète de porteurs de charge mobiles ou continue (volumique, surfacique ou linéique) de courants (intégrale de Biot et Savart du champ magnétostatique) »

On admet l’applicabilité du théorème de superposition à l’évaluation du vecteur champ magnétostatique créé par une distribution discrète de porteurs de charges mobiles ou continue de courants c'est-à-dire que le vecteur champ créé en un point $\;M\;$ par un ensemble discret de charges mobiles ou continu de courants est la somme discrète ou continue des vecteurs champs créés en $\;M\;$ par chaque porteur de charge mobile ou chaque vecteur élément de courant individuels.

#### Distribution réelle discrète de porteurs de charge mobiles

Comme cela a été évoqué au paragraphe « distribution réelle discrète (de porteurs de charge mobiles, source de champ magnétique) » plus haut dans ce chapitre, sur les deux exemples cités,
* le 1er à savoir « un ensemble fini d'échantillons mésoscopiques de porteurs de charge mobiles $\;P_{k}\;$ de charge $\;q_{k}\;$ se déplaçant à la vitesse moyenne $\;{\vec {V}}_{k}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$» étant modélisé en distributions continues volumique, surfacique ou linéique sera étudié dans les paragraphes « distribution continue volumique de courants d'extension finie ou infinie et champ magnétostatique créé en tout point M intérieur ou extérieur à la distribution », « distribution continue surfacique de courants d'extension finie ou infinie et champ magnétostatique créé en tout point M extérieur à la distribution » ou « distribution continue linéique de courants d'extension finie ou infinie et champ magnétostatique créé en tout point M extérieur à la distribution » plus bas dans ce chapitre et
* le 2ème à savoir « un faisceau monocinétique de particules chargées, identiques et indépendantes $\;\left({\mathcal {F}}\right)$, chaque particule $\;P\left(q\right)\;$ se déplaçant à la même vitesse moyenne $\;{\vec {V}}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ sans interagir avec ses plus proches voisines $\;{\big$ce qui nécessite que la distance minimale séparant deux particules distinctes soit toujours $\;\gtrsim \;$ à $\;{\mathit {d}}_{\text{min}}{\big )}\;$» étant modélisé à l'échelle mésoscopique de temps en introduisant un débit particulaire moyen $\;n\;$ exprimé en $\;s^{-1}\;$ mais en gardant le caractère particulaire du faisceau $\;{\Big$bien que ce cas ne se présente que rarement dans la pratique, nous donnerons ci-après, quelques éléments pour évaluer le vecteur champ magnétostatique créé par le faisceau monocinétique de particules chargées, identiques et indépendantes $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ en tout point $\;M\;$ par lequel le faisceau ne passe pas${\Big ]}$ : $\;\succ \;$tout d'abord, si les dimensions transversales du faisceau sont d'échelle mésoscopique, on le modélise en circuit filiforme de support $\;\left(\Gamma \right)\;$ la trajectoire moyenne de ses porteurs de charge mobiles, $\;\succ \;$puis, à l'échelle de temps mésoscopique, on définit l'intensité moyenne algébrisée du courant transporté par $\;\left(\Gamma \right)\;$ dans le sens $\;+$ $\;{\big$le sens de $\;{\vec {V}}{\big )}\;$ selon «$\;i=q\;n\;$» $\;{\bigq\;$ étant la charge individuelle d'un porteur de charge mobile et $\;n\;$ le débit particulaire moyen défini en n'importe quel point du faisceau${\big ]}$, $\;\succ \;$ensuite, on définit le vecteur élément de courant centré en $\;P\in \left(\Gamma \right)\;$ correspondant à la longueur élémentaire $\;d{\mathit {l}}\;$ par «$\;{\overrightarrow {dC}}(P)=i\;d{\mathit {l}}\;{\vec {u}}_{P}\;$» dans lequel $\;{\vec {u}}_{P}\;$ est le vecteur unitaire tangentiel à $\;\left(\Gamma \right)\;$ en $\;P\;$ choisi dans le sens $\;+$ $\;{\big$le sens de $\;{\vec {V}}{\big )}$, ou encore «$\;{\overrightarrow {dC}}(P)=q\;n\;d{\mathit {l}}\;{\vec {u}}_{P}\;$», $\;\succ \;$suivi de l'utilisation de l'expression de Biot et Savart$^,$ «$\;{\vec {B}}_{{\overrightarrow {dC}}(P)}(M\neq P)={\dfrac {\mu _{0}}{4\;\pi }}\;{\dfrac {{\overrightarrow {dC}}(P)\wedge {\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}}{PM^{2}}}\;$» pour évaluer le vecteur champ magnétostatique créé par le vecteur élément de courant centré en $\;P\in \left(\Gamma \right)$ $\;{\big$correspondant à la longueur élémentaire $\;d{\mathit {l}}{\big )}\;$ en tout point $\;M\neq P\;$ et $\;\succ \;$enfin on applique le théorème de superposition à l’évaluation du vecteur champ magnétostatique créé par le faisceau monocinétique de particules chargées, identiques et indépendantes $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ modélisé par le circuit filiforme $\;\left(\Gamma \right)\;$ soit «$\;{\vec {B}}_{\left({\mathcal {F}}\right)}(M)=\displaystyle \int \limits _{\left(\Gamma \right)}{\vec {B}}_{{\overrightarrow {dC}}(P)}(M\neq P)=\displaystyle \int \limits _{\left(\Gamma \right)}{\dfrac {\mu _{0}}{4\;\pi }}\;{\dfrac {{\overrightarrow {dC}}(P)\wedge {\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}}{PM^{2}}}=\displaystyle \int \limits _{\left(\Gamma \right)}{\dfrac {\mu _{0}}{4\;\pi }}\;{\dfrac {\left(q\;n\;d{\mathit {l}}\;{\vec {u}}_{P}\right)\wedge {\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}}{PM^{2}}}\;$» en tout point $\;M\;$ hors du faisceau.

#### Distribution continue volumique de courants d'extension finie ou infinie et champ magnétostatique créé en tout point M intérieur ou extérieur à la distribution

Le vecteur champ magnétostatique créé par la « distribution continue volumique de charge mobiles $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ d'extension finie ou infinie $\;{\big$caractérisée par $\;{\vec {j}}(P)\;\;\forall \;P\;\in \;{\mathcal {D}}_{m}\;$ le vecteur densité volumique de courant${\big ]}\;$» en « tout point $\;M\;$ extérieur à $\;{\mathcal {V}}\;$ l'expansion tridimensionnelle de $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$» étant la somme continue des vecteurs « champ magnétostatique créé au point $\;M\;$ par le vecteur élément de courant, centrée en $\;P\in {\mathcal {D}}_{m}$, d'expansion tridimensionnelle de volume $\;d\tau \;$ pris individuellement $\;{\vec {B}}_{P\,\left({\overrightarrow {dC}}_{P}\right)}(M\neq P)={\dfrac {\mu _{0}}{4\;\pi }}\;{\dfrac {{\overrightarrow {dC}}_{P}\wedge {\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}}{PM^{2}}}={\dfrac {\mu _{0}}{4\;\pi }}\;{\dfrac {\left({\vec {j}}(P)\;d\tau \right)\wedge {\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}}{PM^{2}}}\;$» $\;{\Bigg$dans lequel «$\;PM=\Vert {\overrightarrow {PM}}\Vert \;$ et $\;{\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}={\dfrac {\overrightarrow {PM}}{PM}}\;$»${\Bigg ]}\;$ s'obtient, pour $\;M\;$ extérieur à $\;{\mathcal {V}}$, sous la forme de l'« intégrale volumique » « propre » ou « généralisée $\;{\big$pour $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ d'extension infinie${\big )}\;$», «$\;{\vec {B}}_{{\mathcal {D}}_{m}}(M\notin {\mathcal {V}})=$ $\displaystyle \iiint \limits _{\mathcal {V}}{\vec {B}}_{P\,\left({\overrightarrow {dC}}_{P}\right)}(M)\;$» soit
$\;{\vec {B}}_{{\mathcal {D}}_{m}}(M\notin {\mathcal {V}})=\displaystyle \iiint \limits _{\mathcal {V}}{\dfrac {\mu _{0}}{4\;\pi }}\;{\dfrac {{\overrightarrow {dC}}_{P}\wedge {\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}}{PM^{2}}}=\displaystyle \iiint \limits _{\mathcal {V}}{\dfrac {\mu _{0}}{4\;\pi }}\;{\dfrac {{\vec {j}}(P)\wedge {\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}}{PM^{2}}}\;d\tau \;$
$\;M\notin {\mathcal {V}}\;$
$\;PM=\Vert {\overrightarrow {PM}}\Vert \;$
$\;{\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}={\dfrac {\overrightarrow {PM}}{PM}}\;$
$\;{\dfrac {\mu _{0}}{4\;\pi }}\simeq 10^{-7}\,U.S.I.\;$
$\;\mu _{0}\;$
Remarque : Bien qu'il soit impossible de déterminer physiquement le vecteur champ magnétostatique créé par la « distribution continue volumique de charges mobiles $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ d'extension finie ou infinie $\;{\big$caractérisée par le vecteur densité volumique de courant $\;{\vec {j}}(P)\;\;\forall \;P\;\in \;{\mathcal {D}}_{m}{\big ]}\;$» en « tout point $\;M\;$ intérieur à $\;{\mathcal {V}}\;$ l'expansion tridimensionnelle de $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$» car il serait impossible d'y placer une charge témoin mobile $\;q>0\left({\vec {V}}\right)\;$ pour évaluer la force magnétique de Lorentz «$\;{\vec {F}}_{q\,\left({\vec {V}}\right)\,\leftarrow \,{\mathcal {D}}_{m}}(M)\;$» que $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ exercerait sur elle, Remarque : Bien qu’il est possible de le déterminer mathématiquement car, si « la fonction à intégrer dans l'intégrale volumique définissant $\;{\vec {B}}_{{\mathcal {D}}_{m}}(M\notin {\mathcal {V}})\;$ à savoir $\;{\dfrac {\mu _{0}}{4\;\pi }}\;{\dfrac {{\vec {j}}(P)\wedge {\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}}{PM^{2}}}\;$ diverge quand $\;M\;$ pénètre $\;{\mathcal {V}}\;$», « l'intégrale volumique $\;\displaystyle \iiint \limits _{{\mathcal {V}}\,\backslash \,{\mathcal {B}}_{\left(M,\,\eta \right)}}{\dfrac {\mu _{0}}{4\;\pi }}\;{\dfrac {{\vec {j}}(P)\wedge {\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}}{PM^{2}}}\;d\tau$ $\;{\big{\mathcal {B}}_{\left(M,\,\eta \right)}\;$ étant une boule de centre $\;M\;$ et de rayon $\;\eta {\big ]}\;$ converge quand $\;\eta \rightarrow 0$ $\;{\big$admis${\big )}\;$», la limite définissant l'intégrale volumique « généralisée $\;{\big$pour $\;{\mathcal {D}}\;$ d'extension finie, extension qui peut aussi être infinie${\big )}\;$».
En conclusion de la remarque précédente, le vecteur champ magnétostatique créé par «$\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ d'extension finie ou infinie $\;{\big$caractérisée par le vecteur densité volumique de courant $\;{\vec {j}}(P)\;\;\forall \;P\;\in \;{\mathcal {D}}_{m}{\big ]}\;$» en « tout point $\;M\;$ intérieur à $\;{\mathcal {V}}\;$» s'obtient sous la forme de l'« intégrale volumique généralisée $\;{\big$pour $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ d'extension finie, extension qui peut aussi être infinie${\big )}\;$»
$\;{\vec {B}}_{{\mathcal {D}}_{m}}(M\in {\mathcal {V}})=\displaystyle \iiint \limits _{\mathcal {V}}{\dfrac {\mu _{0}}{4\;\pi }}\;{\dfrac {{\overrightarrow {dC}}_{P}\wedge {\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}}{PM^{2}}}=\displaystyle \iiint \limits _{\mathcal {V}}{\dfrac {\mu _{0}}{4\;\pi }}\;{\dfrac {{\vec {j}}(P)\wedge {\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}}{PM^{2}}}\;d\tau \;$
$\;M\in {\mathcal {V}}\;$
$\;PM=\Vert {\overrightarrow {PM}}\Vert \;$
$\;{\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}={\dfrac {\overrightarrow {PM}}{PM}}\;$
$\;{\dfrac {\mu _{0}}{4\;\pi }}\simeq 10^{-7}\,U.S.I.\;$
$\;\mu _{0}\;$

#### Distribution continue surfacique de courants d'extension finie ou infinie et champ magnétostatique créé en tout point M extérieur à la distribution

Le vecteur champ magnétostatique créé par la « distribution continue surfacique de charges mobiles $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ d'extension finie ou infinie $\;{\big$caractérisée par $\;{\vec {j}}_{s}(P)\;\;\forall \;P\;\in \;{\mathcal {D}}_{m}\;$ le vecteur densité surfacique de courant${\big ]}\;$» en « tout point $\;M\;$ extérieur à $\;\Sigma \;$ l'expansion surfacique de $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$» étant la somme continue des vecteurs « champ magnétostatique créé au point $\;M\;$ par le vecteur élément de courant, centrée en $\;P\in {\mathcal {D}}_{m}$, d'expansion surfacique d'aire $\;dS\;$ pris individuellement $\;{\vec {B}}_{P\,\left({\overrightarrow {dC}}_{P}\right)}(M\neq P)={\dfrac {\mu _{0}}{4\;\pi }}\;{\dfrac {{\overrightarrow {dC}}_{P}\wedge {\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}}{PM^{2}}}={\dfrac {\mu _{0}}{4\;\pi }}\;{\dfrac {\left({\vec {j}}_{s}(P)\;dS\right)\wedge {\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}}{PM^{2}}}\;$» $\;{\Bigg$dans lequel «$\;PM=\Vert {\overrightarrow {PM}}\Vert \;$ et $\;{\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}=$ ${\dfrac {\overrightarrow {PM}}{PM}}\;$»${\Bigg ]}\;$ s'obtient, pour $\;M\;$ extérieur à $\;\Sigma$, sous la forme de l'« intégrale surfacique » « propre » ou « généralisée $\;{\big$pour $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ d'extension infinie${\big )}\;$», «$\;{\vec {B}}_{{\mathcal {D}}_{m}}(M\notin \Sigma )=$ $\displaystyle \iint \limits _{\Sigma }{\vec {B}}_{P\,\left({\overrightarrow {dC}}_{P}\right)}(M)\;$» soit
$\;{\vec {B}}_{{\mathcal {D}}_{m}}(M\notin \Sigma )=\displaystyle \iint \limits _{\Sigma }{\dfrac {\mu _{0}}{4\;\pi }}\;{\dfrac {{\overrightarrow {dC}}_{P}\wedge {\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}}{PM^{2}}}=\displaystyle \iint \limits _{\Sigma }{\dfrac {\mu _{0}}{4\;\pi }}\;{\dfrac {\left({\vec {j}}_{s}(P)\;dS\right)\wedge {\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}}{PM^{2}}}\;$
$\;M\notin \Sigma \;$
$\;PM=\Vert {\overrightarrow {PM}}\Vert \;$
$\;{\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}={\dfrac {\overrightarrow {PM}}{PM}}\;$
$\;{\dfrac {\mu _{0}}{4\;\pi }}\simeq 10^{-7}\,U.S.I.\;$
$\;\mu _{0}\;$
Remarque : S'il est impossible de déterminer physiquement le vecteur champ magnétostatique créé par la « distribution continue surfacique de charges mobiles $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ d'extension finie ou infinie $\;{\big$caractérisée par le vecteur densité surfacique de courant $\;{\vec {j}}_{s}(P)\;\;\forall \;P\;\in \;{\mathcal {D}}_{m}{\big ]}\;$» en « tout point $\;M\;$ intérieur à $\;\Sigma \;$ l'expansion surfacique de $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$» car il serait impossible d'y placer une charge témoin mobile $\;q>0\left({\vec {V}}\right)\;$ pour évaluer la force magnétique de Lorentz «$\;{\vec {F}}_{q\,\left({\vec {V}}\right)\,\leftarrow \,{\mathcal {D}}_{m}}(M)\;$» que $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ exercerait sur elle, Remarque : S’il est aussi impossible de le déterminer mathématiquement car, si « la fonction à intégrer dans l'intégrale surfacique définissant $\;{\vec {B}}_{{\mathcal {D}}_{m}}(M\notin \Sigma )\;$ à savoir $\;{\dfrac {\mu _{0}}{4\;\pi }}\;{\dfrac {{\vec {j}}_{s}(P)\wedge {\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}}{PM^{2}}}\;$ diverge quand $\;M\;$ pénètre $\;\Sigma \;$», « l'intégrale surfacique $\;\displaystyle \iint \limits _{\Sigma \,\backslash \,{\mathit {d}}_{\left(M,\,\eta \right)}}{\dfrac {\mu _{0}}{4\;\pi }}\;{\dfrac {\left({\vec {j}}_{s}(P)\;dS\right)\wedge {\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}}{PM^{2}}}$ $\;{\big{\mathit {d}}_{\left(M,\,\eta \right)}\;$ étant un pseudo-disque de centre $\;M\;$ et de rayon $\;\eta \;$${\big ]}\;$ diverge $\;{\big$plus précisément n'admet pas de limite finie${\big )}\;$ quand $\;\eta \rightarrow 0$ $\;{\big$admis${\big )}\;$», l'absence de limite empêchant de définir une intégrale surfacique « généralisée $\;{\big$pour $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ d'extension finie, même si l'extension est aussi infinie${\big )}\;$».
En conclusion de la remarque précédente, le vecteur champ magnétostatique créé par «$\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ d'extension finie ou infinie $\;{\big$caractérisée par le vecteur densité surfacique de courant $\;{\vec {j}}_{s}(P)\;\;\forall \;P\;\in \;{\mathcal {D}}{\big ]}\;$» en « tout point $\;M\;$ intérieur à $\;\Sigma \;$» n'est pas définissable, toutefois En conclusion de la remarque précédente, à partir d'un point «$\;P_{0}\;$ quelconque $\;\in \;\Sigma \;$» et en définissant «$\;\Delta _{P_{0}}\;$ la perpendiculaire à $\;\Sigma \;$ en $\;P_{0}\;$ orientée par le vecteur unitaire $\;{\vec {n}}_{P_{0}}\;$», En conclusion de la remarque précédente, les « vecteurs champs magnétostatiques créés par $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ en tout point $\;M\;\in \;\Delta _{P_{0}}\;$ mais $\;\neq \;$ de $\;P_{0}\;$» sont continus à l'exception de $\;P_{0}$ $\;{\big$en accord avec l'impossibilité de définir le champ en $\;P_{0}{\big )}\;$ où on observe une discontinuité de 1ère espèce de saut fini «$\;{\vec {B}}_{{\mathcal {D}}_{m}}(M^{+}\in \Delta _{P_{0}})-{\vec {B}}_{{\mathcal {D}}_{m}}(M^{-}\in \Delta _{P_{0}})=\mu _{0}\;{\vec {j}}_{s}(P_{0})\wedge {\vec {n}}_{P_{0}}\;$» $\;{\big$admis${\big )}$.

#### Distribution continue linéique de courants d'extension finie ou infinie et champ magnétostatique créé en tout point M extérieur à la distribution

Le vecteur champ magnétostatique créé par la « distribution continue linéique de charges mobiles $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ d'extension finie ou infinie $\;{\big$caractérisée par l'intensité algébrique de courant $\;i\;$ dans le sens $\;+$, ce dernier étant défini par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{P}\;\;\forall \;P\;\in \;{\mathcal {D}}_{m}{\big ]}\;$» en « tout point $\;M\;$ extérieur à $\;\Gamma \;$ l'expansion curviligne de $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$» étant la somme continue des vecteurs « champ magnétostatique créé au point $\;M\;$ par le vecteur élément de courant, centrée en $\;P\in {\mathcal {D}}_{m}$, d'expansion curviligne de longueur $\;d{\mathit {l}}\;$ pris seul $\;{\vec {B}}_{P\,\left({\overrightarrow {dC}}_{P}\right)}(M\neq P)={\dfrac {\mu _{0}}{4\;\pi }}\;{\dfrac {{\overrightarrow {dC}}_{P}\wedge {\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}}{PM^{2}}}={\dfrac {\mu _{0}}{4\;\pi }}\;{\dfrac {\left(i\;{\overrightarrow {d{\mathit {l}}}}_{P}\right)\wedge {\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}}{PM^{2}}}\;$» $\;{\Bigg$dans lequel «$\;PM=\Vert {\overrightarrow {PM}}\Vert \;$ et $\;{\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}={\dfrac {\overrightarrow {PM}}{PM}}\;$»${\Bigg ]}\;$ s'obtient, pour $\;M\;$ extérieur à $\;\Gamma$, sous la forme de l'« intégrale curviligne » « propre » ou « généralisée $\;{\big$pour $\;{\mathcal {D}}\;$ d'extension infinie${\big )}\;$», «$\;{\vec {B}}_{{\mathcal {D}}_{m}}(M\notin \Gamma )=\displaystyle \int \limits _{\Gamma }{\vec {B}}_{P\,\left({\overrightarrow {dC}}_{P}\right)}(M)\;$» soit
$\;{\vec {B}}_{{\mathcal {D}}_{m}}(M\notin \Gamma )=\displaystyle \int \limits _{\Gamma }{\dfrac {\mu _{0}}{4\;\pi }}\;{\dfrac {{\overrightarrow {dC}}_{P}\wedge {\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}}{PM^{2}}}=\displaystyle \int \limits _{\Gamma }{\dfrac {\mu _{0}}{4\;\pi }}\;{\dfrac {\left(i\;{\overrightarrow {d{\mathit {l}}}}_{P}\right)\wedge {\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}}{PM^{2}}}\;$
$\;M\notin \Gamma \;$
$\;PM=\Vert {\overrightarrow {PM}}\Vert \;$
$\;{\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}={\dfrac {\overrightarrow {PM}}{PM}}\;$
$\;{\dfrac {\mu _{0}}{4\;\pi }}\simeq 10^{-7}\,U.S.I.\;$
$\;\mu _{0}\;$
Remarque : S'il est impossible de déterminer physiquement le vecteur champ magnétostatique créé par la « distribution continue linéique de charges mobiles $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ d'extension finie ou infinie $\;{\big$caractérisée par l'intensité algébrique de courant $\;i\;$ dans le sens $\;+$, ce dernier étant défini par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{P}\;\;\forall \;P\;\in \;{\mathcal {D}}_{m}{\big ]}\;$» en « tout point $\;M\;$ intérieur à $\;\Gamma \;$ l'expansion curviligne de $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$» car il serait impossible d'y placer une charge témoin mobile $\;q>0\left({\vec {V}}\right)\;$ pour évaluer la force magnétique de Lorentz «$\;{\vec {F}}_{q\,\left({\vec {V}}\right)\,\leftarrow \,{\mathcal {D}}_{m}}(M)\;$» que $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ exercerait sur elle, Remarque : S’il est aussi impossible de le déterminer mathématiquement car, si « la fonction à intégrer dans l'intégrale curviligne définissant $\;{\vec {B}}_{{\mathcal {D}}_{m}}(M\notin \Gamma )\;$ à savoir $\;{\dfrac {\mu _{0}}{4\;\pi }}\;{\dfrac {\left(i\;{\vec {u}}_{P}\right)\wedge {\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}}{PM^{2}}}\;$ diverge quand $\;M\;$ pénètre $\;\Gamma \;$», « l'intégrale curviligne $\;\displaystyle \int \limits _{\Gamma \,\backslash \,{\mathit {s}}_{\left(M,\,\eta \right)}}{\dfrac {\mu _{0}}{4\;\pi }}\;{\dfrac {\left(i\;{\overrightarrow {d{\mathit {l}}}}_{P}\right)\wedge {\vec {u}}_{P\,\rightarrow \,M}}{PM^{2}}}\;$ $\;{\big{\mathit {s}}_{\left(M,\,\eta \right)}\;$ étant un pseudo-segment de centre $\;M\;$ et de demi-largeur $\;\eta \;$${\big ]}\;$ diverge $\;{\big$plus précisément n'admet pas de limite finie${\big )}\;$ quand $\;\eta \rightarrow 0$ $\;{\big$admis${\big )}\;$», l'absence de limite finie empêchant de définir une intégrale curviligne « généralisée $\;{\big$pour $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ d'extension finie, même si l'extension est aussi infinie${\big )}\;$».
En conclusion de la remarque précédente, le vecteur champ magnétostatique créé par «$\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ d'extension finie ou infinie $\;{\big$caractérisée par l'intensité algébrique de courant $\;i\;$ dans le sens $\;+$, ce dernier étant défini par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{P}\;\;\forall \;P\;\in \;{\mathcal {D}}_{m}{\big ]}\;$» en « tout point $\;M\;$ intérieur à $\;\Gamma \;$» n'est pas définissable, plus particulièrement En conclusion de la remarque précédente, à partir d'un point «$\;P_{0}\;$ quelconque $\;\in \;\Gamma \;$» et en définissant «$\;\left\lbrace \Delta _{P_{0},\,\alpha }\right\rbrace _{\alpha \,\in \,\left]-\pi \,,\,+\pi \right]}\;$ l'ensemble des demi-droites issues de $\;P_{0}\;$ perpendiculaires à $\;\Gamma \;$ en $\;P_{0}\;$», En conclusion de la remarque précédente, les « vecteurs champs magnétostatiques créés par $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ en tout point $\;M\;\in \;\left\lbrace \Delta _{P_{0},\,\alpha }\right\rbrace _{\alpha \,\in \,\left]-\pi \,,\,+\pi \right]}\;$ mais $\;\neq \;$ de $\;P_{0}\;$» sont continus à l'exception de $\;P_{0}$ $\;{\big$en accord avec l'impossibilité de définir le champ en $\;P_{0}{\big )}\;$ où on observe une limite infinie $\;{\big$admis${\big )}$.

## Force de Lorentz exercée sur une charge ponctuelle mobile de vecteur vitesse connu placée dans un champ électromagnétique donné
### Définition

$\;M\;$
$\;q\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;t$
$\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$
$\;P\;$
$\;t$
$\;{\vec {E}}(P,\,t)\;$
$\;{\vec {B}}(P,\,t)\;$
$\;{\vec {F}}_{\text{Lor}}(M,\,t)\;$
$\;{\vec {F}}_{\text{Lor}}(M,\,t)=q\,\left[{\vec {E}}(M,\,t)+{\vec {V}}_{M}(t)\wedge {\vec {B}}(M,\,t)\right]\;$

### Cas particuliers

* Si le champ électromagnétique se réduit, dans le référentiel d’étude $\;{\mathcal {R}}$, à sa seule composante vectorielle électrique «$\;{\vec {E}}(P,\,t)\;$», la force de Lorentz agissant sur un point «$\;M\;$» chargé, de charge «$\;q\;$» $\;{\big$se déplaçant relativement à $\;{\mathcal {R}}\;$ avec le vecteur vitesse, à l'instant $\;t$, «$\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$»${\big ]}\;$ se limitant à sa seule composante électrique «$\;q\;{\vec {E}}(M,\,t)\;$» est simplement appelée « force électrique » et notée «$\;{\vec {F}}_{\text{élec}}(M,\,t)=q\;{\vec {E}}(M,\,t)\;$» ;
* si le champ électromagnétique se réduit, dans le référentiel d’étude $\;{\mathcal {R}}$, à sa seule composante vectorielle magnétique «$\;{\vec {B}}(P,\,t)\;$», la force de Lorentz agissant sur un point «$\;M\;$» chargé, de charge «$\;q\;$» $\;{\big$se déplaçant relativement à $\;{\mathcal {R}}\;$ avec le vecteur vitesse, à l'instant $\;t$, «$\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$»${\big ]}\;$ se limitant à sa seule composante magnétique «$\;q\;{\vec {V}}_{M}(t)\wedge {\vec {B}}(M,\,t)\;$» est simplement appelée « force magnétique de Lorentz » et notée «$\;{\vec {F}}_{\text{mag. de Lor}}(M,\,t)=q\;{\vec {V}}_{M}(t)\wedge {\vec {B}}(M,\,t)\;$» « force magnétique de Lorentz » $\;{\big$ou notée «$\;{\vec {F}}_{\text{Lor}}(M,\,t)\;$» s'il n'y a pas d'ambiguïté${\big ]}$.

## Ordre de grandeur des forces électriques comparé aux forces gravitationnelles
### Comparaison de la force électrique exercée sur un proton dans un champ électrique de norme modérée au poids du proton dans le champ de pesanteur terrestre

Soit un proton $\;P\;$ de charge $\;q_{p}=e\simeq 1,6\;10^{-19}\;C\;$ et de masse $\;m_{p}\simeq 1,001\;u\simeq 1,67\;10^{-27}\;kg\;$ placé dans un champ électrostatique $\;{\vec {E}}\;$ uniforme de norme modérée $\;\Vert {\vec {E}}\Vert =$ $10^{4}\;V\cdot m^{-1}\;$ et dans le champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}\;$ localement uniforme de norme $\;\Vert {\vec {g}}\Vert =9,81\;m\cdot s^{-2}$ $\;{\big$usuellement notée $\;g{\big )}$, nous nous proposons de comparer les normes des deux forces appliquées sur le proton dans le contexte précédemment évoqué, à savoir :
* la force électrique «$\;{\vec {F}}_{\text{élec}}(P)=q_{p}\;{\vec {E}}\;$» de norme $\;\Vert {\vec {F}}_{\text{élec}}(P)\Vert =e\;\Vert {\vec {E}}\Vert \simeq 1,6\;10^{-19}\times 10^{4}\;$ en $\;N\;$ soit «$\;\Vert {\vec {F}}_{\text{élec}}(P)\Vert \simeq 1,6\;10^{-15}\;N\;$» et
* le poids «$\;{\vec {F}}_{\text{pes}}(P)=m_{p}\;{\vec {g}}\;$» de norme $\;\Vert {\vec {F}}_{\text{pes}}(P)\Vert =m_{p}\;\Vert {\vec {g}}\Vert \simeq 1,67\;10^{-27}\times 9,81\;$ en $\;N\;$ soit «$\;\Vert {\vec {F}}_{\text{pes}}(P)\Vert \simeq 1,64\;10^{-26}\;N\simeq 1,6\;10^{-26}\;N\;$».
Conclusion : La force électrique s'exerçant sur un proton dans un champ électrique de norme modérée «$\;10^{4}\;V\cdot m^{-1}\;$» étant de norme «$\;10^{11}\;$ fois » la norme du poids du proton, nous pouvons conclure que la norme du poids du proton sera toujours négligeable relativement à celle de la force électrique pourvu que « la norme du champ électrique ne soit pas divisée par un facteur $\;>\;$ à $\;10^{9}\;$».
Conclusion : Remarque : Si les vecteurs champs électrique et de pesanteur sont de même direction, il est légitime de négliger le poids devant la force électrique dans les conditions usuelles de valeur de champ électrique mais Conclusion : Remarque : s'ils sont de directions différentes, leur effet individuel ne se faisant pas sentir sur une même direction, ce n'est que l'action du poids sur une durée finie qui peut être négligée devant celle de la force électrique sur la même durée $\;{\big$et non le poids négligé devant la force électrique $\;{\big$même si c'est fréquemment affirmé par abus${\big )}{\big ]}$, ceci signifiant qu'il est inutile de tenir compte du poids ${\big$dans les conditions usuelles de valeur de champ électrique${\big )}\;\ldots$

### Comparaison de la force électrique exercée sur l'électron dans le champ électrique créé par le proton de l'atome d'hydrogène dans son état fondamental à la force de gravitation exercée sur cet électron dans le champ de gravitation du proton du même atome d'hydrogène

Soit un atome d'hydrogène dans son état fondamental, traité dans le cadre de la mécanique newtonienne c'est-à-dire en considérant un électron ponctuel $\;El\;$ de charge $\;q_{e}=-e\simeq -1,6\;10^{-19}\;C\;$, de masse $\;m_{e}\simeq 0,91\;10^{-30}\;kg\;$ tournant autour d'un proton $\;P\;$ de charge $\;q_{p}=e\simeq 1,6\;10^{-19}\;C\;$, de masse $\;m_{p}\simeq 1,001\;u\simeq 1,67\;10^{-27}\;kg\;$ dans le référentiel « protocentrique $\;{\mathcal {R}}_{p}\;$» suivant un mouvement circulaire, de centre $\;P$, de rayon «$\;r_{e}\simeq 0,53\;{\text{Å}}=0,53\;10^{-10}\;m\;$», nous nous proposons de comparer les normes des deux forces appliquées sur l'électron dans le contexte précédemment évoqué, à savoir :
* la force électrostatique «$\;{\vec {F}}_{{\text{élec}},\,El\,\leftarrow \,P}(El)=q_{e}\;{\vec {E}}_{P,\left(q_{p}\right)}(El)\;$» dans lequel $\;{\vec {E}}_{P,\left(q_{p}\right)}(M)={\dfrac {q_{p}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ est le vecteur champ électrostatique créé par le proton en tout point $\;M\neq P\;$ $\;{\biggr\;$ étant la coordonnée radiale et $\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ le vecteur unitaire radial de $\;M\;$ dans son repérage sphérique de pôle $\;P\;$ avec «$\;{\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\simeq 9\;10^{9}\,U.S.I.\;$», «$\;\varepsilon _{0}\;$ étant la permittivité diélectrique du vide »${\bigg ]}\;$ de norme $\;\Vert {\vec {F}}_{{\text{élec}},\,El\,\leftarrow \,P}(El)\Vert =e\;\Vert {\vec {E}}_{P,\left(q_{p}\right)}(El)\Vert ={\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r_{e}^{2}}}\simeq {\dfrac {\left(1,6\;10^{-19}\right)^{\!2}\times 9\;10^{9}}{\left(0,53\;10^{-10}\right)^{\!2}}}\;$ en $\;N\;$ soit «$\;\Vert {\vec {F}}_{{\text{élec}},\,El\,\leftarrow \,P}(El)\Vert \simeq 8,2\;10^{-8}\;N\;$» et
* la force de gravitation «$\;{\vec {F}}_{{\text{gravit}},\,El\,\leftarrow \,P}(El)=m_{e}\;{\vec {G}}_{P,\left(m_{p}\right)}(El)\;$» dans lequel $\;{\vec {G}}_{P,\left(m_{p}\right)}(M)=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{p}}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ est le vecteur champ gravitationnel créé par le proton en tout point $\;M\neq P\;$ $\;{\Bigr\;$ étant la coordonnée radiale et $\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ le vecteur unitaire radial de $\;M\;$ dans son repérage sphérique de pôle $\;P\;$ avec «$\;{\mathcal {G}}\simeq 6,67\;10^{-11}\,U.S.I.\;$», la constante de gravitation universelle »${\Big ]}\;$ de norme $\;\Vert {\vec {F}}_{{\text{gravit}},\,El\,\leftarrow \,P}(El)\Vert =m_{e}\;\Vert {\vec {G}}_{P,\left(m_{p}\right)}(El)\Vert ={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{e}\;m_{p}}{r_{e}^{2}}}\simeq {\dfrac {6,67\;10^{-11}\times 0,91\;10^{-30}\times 1,67\;10^{-27}}{\left(0,53\;10^{-10}\right)^{\!2}}}\;$ en $\;N\;$ soit «$\;\Vert {\vec {F}}_{{\text{gravit}},\,El\,\leftarrow \,P}(El)\Vert \simeq 3,6\;10^{-47}\;N\;$».
Conclusion : La force électrostatique s'exerçant sur l'électron dans le champ électrostatique créé par le proton d'un atome d'hydrogène dans son état fondamental étant de norme «$\;2,3\;10^{39}\;$ fois » la norme de la force gravitationnelle s'exerçant sur l'électron dans le champ gravitationnel créé par le proton d'un même atome d'hydrogène dans son état fondamental, nous pouvons conclure que la norme de la force gravitationnelle sera toujours largement négligeable relativement à celle de la force électrostatique à portée identique des vecteurs champs électrostatique et gravitationnel.
Conclusion : Remarque : Les vecteurs champs électrostatique et gravitationnel de même source ponctuelle étant de même direction, il est toujours légitime de négliger la force de gravitation devant la force électrostatique $\;\ldots$

## Ordre de grandeur des forces magnétiques comparé aux forces gravitationnelles
### Comparaison de la force magnétique exercée sur un proton lancé à une vitesse de norme modérée perpendiculairement dans un champ magnétique de norme de même ordre de grandeur que le champ magnétique terrestre au poids du proton dans le champ de pesanteur terrestre

Soit un proton $\;P\;$ de charge $\;q_{p}=e\simeq 1,6\;10^{-19}\;C\;$, de masse $\;m_{p}\simeq 1,001\;u\simeq 1,67\;10^{-27}\;kg\;$, lancé dans un champ magnétostatique $\;{\vec {B}}\;$ uniforme de norme modérée $\;\Vert {\vec {B}}\Vert =$ $100\;\mu T\;$ avec un vecteur vitesse, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, $\;{\vec {V}}_{P}(0)$, de norme petite $\;\Vert {\vec {V}}_{P}(0)\Vert =10\;km\cdot s^{-1}\;$, de direction $\;\perp \;$ à celle d'un champ magnétostatique $\;{\vec {B}}\;$ et dans le champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}\;$ localement uniforme de norme $\;\Vert {\vec {g}}\Vert =9,81\;m\cdot s^{-2}$ $\;{\big$usuellement notée $\;g{\big )}$, nous nous proposons de comparer les normes des deux forces appliquées sur le proton dans le contexte précédemment évoqué, à savoir :
* la force magnétique de Lorentz à l'instant initial de pénétration dans l'espace champ magnétostatique «$\;{\vec {F}}_{\text{mag. de Lor}}(P,\,0)=q_{p}\;{\vec {V}}_{P}(0)\wedge {\vec {B}}\;$» $\;{\big$à l'instant initial car la force à l'instant $\;t\;$ est a priori différente${\big )}\;$ de norme $\;\Vert {\vec {F}}_{\text{mag. de Lor}}(P,\,0)\Vert =e\;\Vert {\vec {V}}_{P}(0)\Vert \;\Vert {\vec {B}}\Vert \;{\bigg \vert }\sin \!\left[{\widehat {\left\lbrace q_{p}\;{\vec {V}}_{P}(0)\,,\,{\vec {B}}\right\rbrace }}\right]{\bigg \vert }\;$ $\;\simeq 1,6\;10^{-19}\times 10^{4}\times 10^{-4}\times \sin \!\left({\dfrac {\pi }{2}}\right)\;$ en $\;N\;$ soit «$\;\Vert {\vec {F}}_{\text{mag. de Lor}}(P,\,0)\Vert \simeq 1,6\;10^{-19}\;N\;$» et
* le poids «$\;{\vec {F}}_{\text{pes}}(P)=m_{p}\;{\vec {g}}\;$» de norme $\;\Vert {\vec {F}}_{\text{pes}}(P)\Vert =m_{p}\;\Vert {\vec {g}}\Vert \simeq 1,67\;10^{-27}\times 9,81\;$ en $\;N\;$ soit «$\;\Vert {\vec {F}}_{\text{pes}}(P)\Vert \simeq 1,64\;10^{-26}\;N\simeq 1,6\;10^{-26}\;N\;$».
Conclusion : La force magnétique de Lorentz initiale s'exerçant sur un proton lancé initialement dans une direction $\;\perp \;$ à un champ magnétostatique de norme modérée «$\;100\;\mu T\;$» avec une vitesse initiale de norme petite $\;10\;km\cdot s^{-1}\;$ étant «$\;10^{7}\;$ fois » la norme du poids du proton, nous pouvons conclure que la norme du poids du proton sera toujours négligeable relativement à celle de la force magnétique initiale de Lorentz pourvu que « la norme du vecteur vitesse initiale ne soit pas divisée par un facteur $\;>\;$ à $\;10^{5}\;$, à norme de champ magnétostatique conservée ».  Conclusion : Remarque : Si les vecteurs force magnétique de Lorentz initiale et de pesanteur sont de même direction, il est légitime de négliger le poids devant la force magnétique de Lorentz initiale dans les conditions usuelles de valeurs de champ magnétique et de vitesse initiale mais Conclusion : Remarque : s'ils sont de directions différentes, d'une part leur effet individuel ne se faisant pas sentir sur une même direction et d'autre part la force magnétique de Lorentz n'étant pas constante, ce n'est que l'action du poids sur une durée finie qui peut être négligée devant celle de la force magnétique de Lorentz sur la même durée $\;{\big$et non le poids négligé devant la force magnétique $\;{\big$même si c'est fréquemment affirmé par abus${\big )}{\big ]}$, ceci signifiant qu'il est inutile de tenir compte du poids ${\big$dans les conditions usuelles de valeurs de champ magnétique et de vitesse initiale${\big )}\;\ldots$

### Comparaison de la force magnétique exercée sur un des deux électrons d'un atome d'hélium pris à son état fondamental dans le champ magnétique créé par la rotation de l'autre électron autour du noyau de cet atome d'hélium à la force de gravitation exercée sur le 1er électron dans le champ de gravitation du noyau de ce même atome d'hélium

Soit un atome d'hélium dans son état fondamental, traité dans le cadre de la mécanique newtonienne c'est-à-dire en considérant deux électrons ponctuels $\;El_{1}\;$ et $\;El_{2}\;$ de même charge $\;q_{e}=-e\simeq$ $-1,6\;10^{-19}\;C\;$, de même masse $\;m_{e}\simeq 0,91\;10^{-30}\;kg\;$ tournant autour d'un noyau $\;N\;$ de charge $\;q_{N}=2\;e\simeq 3,2\;10^{-19}\;C\;$, de masse $\;m_{N}\simeq 4,003\;u\simeq 6,64\;10^{-27}\;kg\;$ dans le référentiel « nucléocentrique $\;{\mathcal {R}}_{N}\;$» suivant tous deux un mouvement circulaire, de même centre $\;N$, de même rayon «$\;r_{e}\simeq 0,31\;{\text{Å}}=0,31\;10^{-10}\;m\;$», nous nous proposons de comparer les normes de deux des forces appliquées sur l'électron $\;El_{2}\;$ en tenant compte de « l'interaction de gravitation avec le noyau $\;N\;$ et de l'interaction magnétique avec l'électron $\;El_{1}\;$», à savoir :
* la force magnétique de Lorentz «$\;{\vec {F}}_{{\text{mag. de Lor}},\,El_{2}\,\leftarrow \,El_{1}}(El_{2})=q_{e}\;{\vec {V}}_{El_{2}}\wedge {\vec {B}}_{El_{1}\left(v_{El_{1}}\right)}(El_{2})\;$» dans lequel $\;{\vec {B}}_{El_{1}\left(v_{El_{1}}\right)}(M)\;$ est le « vecteur champ magnétostatique créé en $\;M\;$ par l'électron $\;El_{1}\;$ en mouvement circulaire, de centre $\;N$, de rayon $\;r_{e}\;$ et de vitesse $\;v_{El_{1}}=\Vert {\vec {V}}_{El_{1}}\Vert \;$», vecteur champ dont la détermination en un point quelconque n'étant pas pratiquement réalisable se limitera à l'évaluation au centre $\;N\;$ de la trajectoire de $\;El_{1}$, de norme donnant un ordre de grandeur de la norme du vecteur champ en tout point $\;M\;$ intérieur à la trajectoire hors proximité de celle-ci soit «$\;{\vec {B}}_{El_{1}\left(v_{El_{1}}\right)}(N)=$ ${\dfrac {\mu _{0}\;i}{2\;r_{e}}}\;{\vec {n}}\;$ avec $\;{\vec {n}}\;$ le vecteur unitaire normal au plan du cercle décrit par $\;El_{1}$, définissant le sens $\;+\;$ de rotation sur le cercle et $\;i\;$ l'intensité moyenne du courant résultant de la rotation de $\;El_{1}\;$ autour de $\;N$ $\;{\bigg$cette intensité moyenne $\;i\;$ peut être estimée par «$\;i\simeq {\dfrac {-e}{T_{El_{1}}}}\;$» dans laquelle «$\;T_{El_{1}}\;$» est la « période moyenne » de révolution de l'électron $\;El_{1}\;$ sur sa trajectoire, cette dernière étant liée à la « vitesse moyenne » de révolution de l'électron $\;El_{1}\;$ sur sa trajectoire «$\;v_{El_{1}}\;$» par «$\;T_{El_{1}}\simeq$ ${\dfrac {2\;\pi \;r_{e}}{v_{El_{1}}}}\;$», «$\;v_{El_{1}}\;$» s'obtenant par application de la r.f.d.n. à $\;El_{1}\;$ dans le référentiel nucléocentrique $\;{\mathcal {R}}_{N}\;$ supposé galiléen et en supposant que $\;El_{1}\;$ n'est soumis qu'à la force d'interaction électrique avec $\;N\;$ «$\;{\vec {F}}_{{\text{élec}}\,El_{1}\,\leftarrow \,N}(El_{1})={\dfrac {q_{e}\;q_{N}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r_{e}^{2}}}\;{\vec {u}}_{N\,\rightarrow \,El_{1}}=$ ${\dfrac {-2\;e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r_{e}^{2}}}\;{\vec {u}}_{N\,\rightarrow \,El_{1}}\;$» ${\overset {\ldots }{\Rightarrow }}\;$ «$\;v_{El_{1}}\simeq$ ${\sqrt {\dfrac {2\;e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;m_{e}\;r_{e}}}}\;$ » $\Rightarrow$ «$\;T_{El_{1}}\simeq \left(2\;\pi \;r_{e}\right){\sqrt {\dfrac {4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;m_{e}\;r_{e}}{2\;e^{2}}}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;m_{e}\;r_{e}^{3}}{2\;e^{2}}}}\;$» et finalement «$\;i\simeq {\dfrac {-e}{2\;\pi }}\;{\sqrt {\dfrac {2\;e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;m_{e}\;r_{e}^{3}}}}=$ ${\dfrac {-e^{2}}{\pi \;{\sqrt {2}}\;{\sqrt {4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;m_{e}\;r_{e}^{3}}}}}\;$»${\bigg ]}\;$» d'où «$\;{\vec {B}}_{El_{1}\left(v_{El_{1}}\right)}(N)=$ ${\dfrac {\mu _{0}\;i}{2\;r_{e}}}\;{\vec {n}}\simeq {\dfrac {-\mu _{0}\;e^{2}}{2\;\pi \;{\sqrt {2}}\;{\sqrt {4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;m_{e}\;r_{e}^{3}}}\;r_{e}}}\;{\vec {n}}={\dfrac {-\mu _{0}\;e^{2}}{2\;\pi \;{\sqrt {2}}\;{\sqrt {4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;m_{e}\;r_{e}^{5}}}}}\;{\vec {n}}\;$» dont on déduit un ordre de grandeur de $\;\Vert {\vec {B}}_{El_{1}\left(v_{El_{1}}\right)}(El_{2})\Vert \;$ soit «$\;{\text{ordre de grandeur de}}\!\left[\Vert {\vec {B}}_{El_{1}\left(v_{El_{1}}\right)}(El_{2})\Vert \right]=$ ${\dfrac {\mu _{0}\;e^{2}}{2\;\pi \;{\sqrt {2}}\;{\sqrt {4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;m_{e}\;r_{e}^{5}}}}}\;$» $\Rightarrow$ un ordre de grandeur de la norme de la force magnétique «$\;\Vert {\vec {F}}_{{\text{mag. de Lor}},\,El_{2}\,\leftarrow \,El_{1}}(El_{2})\Vert =$ $e\;v_{El_{2}}\;\Vert {\vec {B}}_{El_{1}\left(v_{El_{1}}\right)}(El_{2})\Vert \;{\Bigg \vert }\sin \!\left[{\widehat {\left\lbrace q_{e}\;{\vec {V}}_{El_{2}}\,,\,{\vec {B}}_{El_{1}\left(v_{El_{1}}\right)}(El_{2})\right\rbrace }}\right]{\Bigg \vert }\;$» soit, en majorant la valeur absolue du sinus, «$\;{\text{ordre de grandeur de}}\!\left[{\vec {F}}_{{\text{mag. de Lor}},\,El_{2}\,\leftarrow \,El_{1}}(El_{2})\right]\lesssim e\;{\sqrt {\dfrac {2\;e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;m_{e}\;r_{e}}}}\;{\dfrac {\mu _{0}\;e^{2}}{2\;\pi \;{\sqrt {2}}\;{\sqrt {4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;m_{e}\;r_{e}^{5}}}}}\;$» en utilisant $\;v_{El_{2}}\simeq v_{El_{1}}\simeq$ ${\sqrt {\dfrac {2\;e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;m_{e}\;r_{e}}}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\text{ordre de grandeur de}}\!\left[{\vec {F}}_{{\text{mag. de Lor}},\,El_{2}\,\leftarrow \,El_{1}}(El_{2})\right]$ $\lesssim {\dfrac {\mu _{0}\;e^{4}}{2\;\pi \left(4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;m_{e}\;r_{e}^{3}\right)}}\simeq {\dfrac {\left(4\;\pi \;10^{-7}\right)\times \left(1,6\;10^{-19}\right)^{\!4}\times 9\;10^{9}}{2\;\pi \times 0,91\;10^{-30}\times \left(0,31\;10^{-10}\right)^{\!3}}}\;$ en $\;N\;$» $\;{\bigg$en utilisant $\;{\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\simeq 9\;10^{9}\,U.S.I.\;$, «$\;\varepsilon _{0}\;$ étant la permittivité diélectrique du vide » et $\;{\dfrac {\mu _{0}}{4\;\pi }}\simeq 10^{-7}\,U.S.I.\;$, «$\;\mu _{0}\;$ étant la perméabilité magnétique du vide »${\bigg ]}\;$ soit finalement «$\;{\text{ordre de grandeur de}}\!\left[{\vec {F}}_{{\text{mag. de Lor}},\,El_{2}\,\leftarrow \,El_{1}}(El_{2})\right]\lesssim$ $4,35\;10^{-11}\;N\;$» $\;{\Bigg$numériquement on trouve une vitesse moyenne commune «$\;v_{El_{1}}\simeq v_{El_{2}}\simeq {\sqrt {\dfrac {2\;e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;m_{e}\;r_{e}}}}\simeq {\sqrt {\dfrac {2\times \left(1,6\;10^{-19}\right)^{\!^{2}}\times 9\;10^{9}}{0,91\;10^{-30}\times 0,31\;10^{-10}}}}\simeq 4,04\;10^{6}\;m\cdot s^{-1}\simeq 4000\;km\cdot s^{-1}\;$», une intensité moyenne «$\;i\simeq$ ${\dfrac {-e^{2}}{\pi \;{\sqrt {2}}\;{\sqrt {4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;m_{e}\;r_{e}^{3}}}}}\simeq {\dfrac {-\left(1,6\;10^{-19}\right)^{\!2}\times {\sqrt {9\;10^{9}}}}{\pi \;{\sqrt {2}}\;{\sqrt {0,91\;10^{-30}\times \left(0,31\;10^{-10}\right)^{\!3}}}}}\simeq -3,3\;10^{-3}\;A=-3,3\;mA\;$» et une norme de champ magnétique dont l'«$\;{\text{ordre de grandeur de}}\!\left[\Vert {\vec {B}}_{El_{1}\left(v_{El_{1}}\right)}(El_{2})\Vert \right]=$ ${\dfrac {\mu _{0}\;e^{2}}{2\;\pi \;{\sqrt {2}}\;{\sqrt {4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;m_{e}\;r_{e}^{5}}}}}\simeq {\dfrac {4\;\pi \;10^{-7}\times \left(1,6\;10^{-19}\right)^{\!2}\times {\sqrt {9\;10^{9}}}}{2\;\pi \;{\sqrt {2}}\;{\sqrt {0,91\;10^{-30}\times \left(0,31\;10^{-10}\right)^{\!5}}}}}\simeq 67,3\;T\simeq 67\;T\;$»${\Bigg ]}\;$ et
* la force de gravitation «$\;{\vec {F}}_{{\text{gravit}},\,El_{2}\,\leftarrow \,N}(El_{2})=m_{e}\;{\vec {G}}_{N,\left(m_{N}\right)}(El_{2})\;$» dans lequel $\;{\vec {G}}_{N,\left(m_{N}\right)}(M)=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{N}}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ est le vecteur champ gravitationnel créé par le noyau en tout point $\;M\neq N\;$ $\;{\Bigr\;$ étant la coordonnée radiale et $\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ le vecteur unitaire radial de $\;M\;$ dans son repérage sphérique de pôle $\;P\;$ avec «$\;{\mathcal {G}}\simeq 6,67\;10^{-11}\,U.S.I.\;$», la constante de gravitation universelle »${\Big ]}\;$ de norme $\;\Vert {\vec {F}}_{{\text{gravit}},\,El_{2}\,\leftarrow \,N}(El_{2})\Vert =m_{e}\;\Vert {\vec {G}}_{N,\left(m_{N}\right)}(El_{2})\Vert ={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{e}\;m_{N}}{r_{e}^{2}}}\simeq {\dfrac {6,67\;10^{-11}\times 0,91\;10^{-30}\times 6,64\;10^{-27}}{\left(0,31\;10^{-10}\right)^{\!2}}}\;$ en $\;N\;$ soit «$\;\Vert {\vec {F}}_{{\text{gravit}},\,El_{2}\,\leftarrow \,N}(El_{2})\Vert \simeq 4,2\;10^{-46}\;N\;$».
Conclusion : La force magnétique de Lorentz s'exerçant sur un des deux électrons d'un atome d'hélium dans son état fondamental dans le champ magnétique créé par le mouvement de révolution de l'autre électron autour du noyau d'hélium étant de norme d'ordre de grandeur «$\;\lesssim 10^{35}\;$ fois » la norme de la force gravitationnelle s'exerçant sur le 1er électron dans le champ gravitationnel créé par le noyau du même atome d'hélium dans son état fondamental, nous pouvons conclure que la norme de la force gravitationnelle sera pratiquement toujours négligeable relativement à celle de la force magnétique de Lorentz $\;{\bigg$toutefois cette force magnétique de Lorentz appliquée à l'électron $\;El_{2}\;$ étant de norme négligeable devant celle de la force électrostatique que le noyau exerce sur le même électron $\;\Vert {\vec {F}}_{{\text{élec}}\,El_{2}\,\leftarrow \,N}(El_{2})\Vert$ $={\dfrac {2\;e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r_{e}^{2}}}\simeq {\dfrac {2\times \left(1,6\;10^{-19}\right)^{\!2}\times 9\;10^{9}}{\left(0,31\;10^{-1}\right)^{!2}}}\simeq 4,8\;10^{-7}\;N\;$, c'est uniquement cette dernière qui est utilisée pour déterminer le mouvement de $\;El_{2}\;$ dans le référentiel nucléocentrique $\;{\mathcal {R}}_{N}\;$${\bigg ]}$.
Conclusion : Remarque : Usuellement Les vecteurs force magnétique de Lorentz et gravitationnelle ne sont pas de même direction, leur effet individuel ne se faisant pas sentir sur une même direction, on peut affirmer que l'action de la force gravitationnelle sur une durée finie peut être négligée devant celle de la force magnétique de Lorentz sur la même durée $\;{\big$et non que la force gravitationnelle est négligeable devant la force magnétique $\;{\big$même si c'est fréquemment affirmé par abus${\big )}{\big ]}$, ceci signifiant qu'il est inutile de tenir compte de la force gravitationnelle ${\big$et, compte-tenu de la petitesse de la norme de cette force, cela restera applicable même aux instants où la force magnétique de Lorentz serait nulle${\big )}\;\ldots$

## Conclusion, possibilité de négliger les forces de gravitation s'exerçant sur un point devant les forces électriques ou magnétiques exercées sur ce même point

Dans le domaine des distances microscopiques la norme des forces de gravitation étant toujours excessivement petite $\;{\big$« de l’ordre de $\;10^{-45}\;N\;$ dans le domaine atomique »${\big ]}$, les forces gravitationnelles auront toujours une action négligeable sur une durée finie devant celle des forces électriques ou magnétiques $\;{\big \$et usuellement les forces électriques dans les atomes étant de norme d'ordre de grandeur $\;\simeq 10^{-7}\;N\;$ nettement plus grande que celle des forces magnétiques créées par le mouvement relatif des particules entre elles d'ordre de grandeur $\;\simeq 10^{-11}\;N\;$, l'action de ces dernières est toujours considérée négligeable relativement à celle des forces électriques${\big \}$.
Dans le domaine des distances mésoscopiques la norme des forces de pesanteur terrestre étant toujours excessivement petite $\;{\big$« de l’ordre de $\;10^{-26}\;N\;$ à $\;10^{-21}\;N\;$ suivant que l'on considère un électron ou un ion polyatomique »${\big ]}$, les forces de pesanteur auront toujours une action négligeable sur une durée finie devant celle des forces électriques ou magnétiques $\;{\big$de norme d'ordre de grandeur respectivement $\;\gtrsim 10^{-15}\;N\;$ et ne diminuant guère $\;{\big$quand elles ne sont pas nulles par colinéarité des vecteurs vitesse et champ magnétique${\big )}\;$ au-dessous de $\;10^{-19}\;N{\big ]}\;$.