# Phénomènes d'induction/Loi de Faraday
## Champ électromoteur

Soit un fil conducteur en mouvement dans un champ magnétique ${\vec {B}}$. Alors tout point du conducteur est le siège d'un champ électromoteur ${\vec {E}}_{m}$ valant
${\vec {E}}_{m}={\vec {v}}\wedge {\vec {B}}-{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}$
La force électromotrice induite e le long d'une courbe orientée Γ vaut $e=\int _{\Gamma }{\vec {E}}_{m}.\mathrm {d} {\vec {l}}$

## Loi de Faraday
### Cas d'un circuit mobile lorsque B est indépendant du temps

On dispose d'une spire Γ mobile dans un champ magnétique ${\vec {B}}$ indépendant du temps.
On considère Γ aux instants t et t+dt'. On dispose également
* d'une surface S qui s'appuie sur Γ(t), orientée en concordance avec Γ(t), au travers de laquelle le flux de ${\vec {B}}$ vaut Ф
* d'une surface S' qui s'appuie sur Γ(t+dt), orientée en concordance avec Γ(t+dt), au travers de laquelle le flux de ${\vec {B}}$ vaut Ф'
Un point courant P de Γ à l'instant t a subi une translation élémentaire ${\overrightarrow {{\rm {d}}P}}$ pour devenir P'.
Si ${\vec {B}}$ est indépendant du temps, ${\vec {A}}$ aussi et ${\vec {E}}_{m}={\vec {v}}\wedge {\vec {B}}$
${\begin{aligned}e&=\oint _{\Gamma }({\vec {v}}\wedge {\vec {B}}).\mathrm {d} {\vec {l}}\\&=\oint _{\Gamma }({\overrightarrow {{\rm {d}}l}}\wedge {\vec {v}}).{\vec {B}}\\&=\oint _{\Gamma }{\frac {1}{\mathrm {d} t}}({\overrightarrow {{\rm {d}}l}}\wedge {\vec {v}}~{\rm {d}}t).{\vec {B}}\\&={\frac {1}{\mathrm {d} t}}\oint _{\Gamma }({\overrightarrow {{\rm {d}}l}}\wedge {\overrightarrow {{\rm {d}}P}}).{\vec {B}}\end{aligned}}$
* La surface infinitésimale $\mathrm {d} ^{2}S_{c}~$ engendrée par ${\overrightarrow {{\rm {d}}l}}$ et ${\overrightarrow {{\rm {d}}P}}$ est appelée surface coupée élémentaire, ou parfois surface balayée élémentaire. Elle est orientée dans le sens de $\mathrm {d} {\vec {P}}\wedge {\overrightarrow {\mathrm {d} l}}$.
* La réunion de toutes les surfaces coupées élémentaires forme la surface coupée $\mathrm {d} S_{c}~$. Elle forme une sorte de tube s'appuyant sur S et S'.
* Le flux de ${\vec {B}}$ à travers la surface coupée $\mathrm {d} S_{c}~$ s’appelle le flux coupé dФ$_c$.
${\begin{aligned}e&=-{\frac {1}{{\rm {d}}t}}\oint _{\Gamma }({\rm {d}}^{2}S_{c}~{\vec {n}}_{c}).{\vec {B}}\\&=-\oint _{\Gamma }{\frac {\mathrm {d} ^{2}\Phi _{c}}{{\rm {d}}t}}\\&=-{\frac {{\rm {d}}\Phi _{c}}{{\rm {d}}t}}\end{aligned}}$
Comme $S\cup S'\cup \mathrm {d} S_{c}$ est une surface fermée, on a $~\Phi -\Phi '+\mathrm {d} \Phi _{c}=0$
Donc $~\mathrm {d} \Phi _{c}=\Phi -\Phi '=\mathrm {d} \Phi$
On a finalement $e=-{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} t}}$

### Cas d'un circuit fixe dans B(t)

On dispose d'une spire Γ orientée immobile dans un champ magnétique ${\vec {B}}(t)$. On dispose également d'une surface Σ qui s'appuie sur Γ, orientée en concordance avec Γ, au travers de laquelle le flux de ${\vec {B}}$ vaut Ф.
Pour un circuit fixe, ${\vec {v}}={\vec {0}}$ donc ${\vec {E}}_{m}=-{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}$
${\begin{aligned}e&=-\oint _{\Gamma }{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}.\mathrm {d} {\vec {l}}\\&=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\oint _{\Gamma }{\vec {A}}.\mathrm {d} {\vec {l}}\right)\\&=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\int _{\Sigma }{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {A}}).{\overrightarrow {{\rm {d}}S}}\right)\\&=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\int _{\Sigma }{\vec {B}}.{\overrightarrow {{\rm {d}}S}}\right)\\&=-{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}=-{\frac {{\rm {d}}\Phi }{{\rm {d}}t}}\end{aligned}}$

### Cas général

* Il est absolument fondamental de connaître et savoir correctement appliquer ce résultat. La méthode d'application est détaillée dans les exercices.
La force électromotrice induite $e(t)$ dans un circuit filiforme fermé $({\mathcal {C}})$ est :
    $e(t)=-{\frac {{\rm {d}}\Phi }{{\rm {d}}t}}$ avec $\Phi (t)=\iint _{S}{\vec {B}}.{\vec {\rm {dS}}}$.
La force électromotrice $e(t)$ est orienté comme le circuit et $\Phi (t)$ est défini en accord avec l'orientation de la surface $S$.
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