# Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Oscillateur harmonique
## Ajout d'une surcharge à un pendule élastique vertical non amorti

Soit un disque de masse $\;m\;$ suspendu à un ressort idéal vertical de raideur $\;k\;$ et de longueur à vide $\;l_{0}\;$.
À l'équilibre on pose sur le disque un « tore » de même masse.
Déterminer l'allongement maximal du ressort ainsi que la période d'oscillation.
Vous devez faire autant de schémas de situation que nécessaire : ici ressort à vide, ressort avec disque à l'équilibre, ressort avec « disque et tore dans les conditions initiales $\;{\big$C.I.${\big )}\;$», ressort avec « disque et tore à l'équilibre » et enfin ressort avec « disque et tore à un instant $\;t\;$ quelconque ».
Mise en équation :
Les schémas ci-contre avec forces appliquées au disque ou à l'ensemble « disque - tore » $\;{\big$constituant un solide en translation${\big )}\;$ sont nécessaires à l'exposé ; le référentiel d’étude considéré est supposé galiléen ; cherchant l'allongement maximal du ressort, il convient de déterminer le mouvement du pendule élastique vertical nouvellement constitué à partir du disque et du tore et pour cela de trouver l'équation différentielle du mouvement de ce nouveau pendule en utilisant par exemple la r.f.d.n. appliquée à l'ensemble « disque tore ».
Deux forces agissent sur l'ensemble « disque - tore » : le poids de l'ensemble $\;2\,m\,{\vec {g}}\;$ et la tension du ressort $\;{\vec {T}}$ ; choisissant la position initiale de dépôt du tore comme origine de l'axe vertical descendant $\;{\overrightarrow {x'x}}\;$ on en déduit «$\;{\vec {T}}=-k\left[\Delta l_{\text{éq}}+x(t)\right]{\vec {u}}_{x}\;$» où «$\;x(t)\;$ est l'abscisse de l'ensemble à l'instant $\;t\;$ relativement à la position de dépôt du tore » $\;{\big$cette dernière étant encore la position d'équilibre du disque sans le tore${\big )}\;$ et $\;\Delta l_{\text{éq}}\;$ l'allongement à l'équilibre du pendule sans le tore ;
l'application de la r.f.d.n. à l'ensemble « disque - tore » projetée sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ donne : «$\;2\,m\,g-k\left[\Delta l_{\text{éq}}+x(t)\right]=2\,m\,{\ddot {x}}(t)\;$» ;
$\;\Delta l_{\text{éq}}\;$
$\;{\vec {T}}_{\text{éq}}+m\,{\vec {g}}={\vec {0}}\;$
$\;{\vec {u}}_{x}\;$
$\;-k\left(\Delta l_{\text{éq}}\right)+m\,g=0\;$
$\;\Delta l_{\text{éq}}={\dfrac {m\,g}{k}}\;$
$\;m\,g-k\,x(t)=2\,m\,{\ddot {x}}(t)\;$
$\;2\,m\,{\ddot {x}}(t)+k\,x(t)=m\,g\;$
Résolution de l'équation différentielle :
Il reste à résoudre cette équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre sans terme du 1er ordre « hétérogène », l'excitation $\;m\,g\;$ étant une constante, pour cela on utilisera le résultat exposé dans le paragraphe « résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2ème ordre sans terme du 1er ordre à excitation constante » du chap.$2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » :
* la solution générale de l'équation homogène $\;2\,m\,{\ddot {x}}_{\text{libre}}(t)+k\,x_{\text{libre}}(t)=0\;$ écrite sous forme normalisée «$\;{\ddot {x}}_{\text{libre}}(t)+{\dfrac {k}{2\,m}}\,x_{\text{libre}}(t)=0\;$» puis sous forme canonique en posant «$\;\omega _{0}^{2}={\dfrac {k}{2\,m}}\;$» où «$\;\omega _{0}\;$» est la pulsation propre du nouveau pendule constitué de l'ensemble « disque - tore » conduit à «$\;x_{\text{libre}}(t)=A\,\cos(\omega _{0}\,t)+B\,\sin(\omega _{0}\,t)\;$»,
* la solution forcée de l'équation hétérogène $\;{\big$c'est-à-dire la solution particulière cherchée sous la même forme que l'excitation${\big )}\;$ conduit à $\;k\,x_{\text{forcée}}=m\,g\;$ d'où «$\;x_{\text{forcée}}={\dfrac {m\,g}{k}}\;$»,
* la solution générale de l'équation hétérogène s'écrit donc $\;x(t)=x_{\text{libre}}(t)+x_{\text{forcée}}\;$ soit encore «$\;x(t)=A\,\cos(\omega _{0}\,t)+B\,\sin(\omega _{0}\,t)+{\dfrac {m\,g}{k}}\;$», $\;A\;$ et $\;B\;$ étant des constantes à déterminer par C.I..
Utilisation des C.I. :
L'abscisse de l'ensemble étant repéré par rapport à la position de dépôt du tore et l'instant de dépôt du tore étant choisi comme origine des temps, « la 1ère C.I. est $\;x(0)=0\;$», l'ensemble étant lâché sans vitesse initiale, « la 2ème C.I. est $\;{\dot {x}}(0)=0\;$» :
* de $\;x(0)=0\;$ on déduit $\;A+{\dfrac {m\,g}{k}}=0\;$ soit «$\;A=-{\dfrac {m\,g}{k}}\;$»,
* de $\;{\dot {x}}(0)=0\;$ avec «$\;{\dot {x}}(t)=-A\,\omega _{0}\,\sin(\omega _{0}\,t)+B\,\omega _{0}\,\cos(\omega _{0}\,t)\;$» on déduit $\;B\,\omega _{0}=0\;$ soit «$\;B=0\;$»,
$\;x(t)={\dfrac {m\,g}{k}}\left[1-\cos(\omega _{0}\,t)\right]\;$
Allongement maximal du ressort et période d'oscillations :
La période propre des oscillations est «$\;{\mathcal {T}}_{0}={\dfrac {2\,\pi }{\omega _{0}}}=2\,\pi \,{\sqrt {\dfrac {2\,m}{k}}}\;$» ;
$\;x(t)\;$
$\;t_{n}=(2\,n+1)\,{\dfrac {{\mathcal {T}}_{0}}{2}}\;$
$\;x_{\text{max}}=2\,{\dfrac {m\,g}{k}}\;$
$\;\Delta l_{\text{éq}}+x_{\text{max}}=3\,{\dfrac {m\,g}{k}}\;$

## Ressorts montés en parallèle, ressorts montés en série

On dispose d'un solide de masse $\;m\;$ et de deux ressorts idéaux de raideur $\;k_{1}\;$ et $\;k_{2}$ ; on négligera tout frottement.

### Ressorts d'axes verticaux montés en parallèle

Les deux extrémités supérieures des ressorts sont fixes et les deux extrémités inférieures sont liées au solide $\;{\big$le solide ayant un mouvement de translation vertical, les ressorts ont donc constamment même longueur${\big )}$.
Montrer que le système constitue un oscillateur harmonique et déterminer la période des oscillations ;
vérifier que l'ensemble des deux ressorts montés en parallèle est équivalent à un ressort unique dont on précisera la raideur $\;k_{{\text{éq}}\,\parallel }\;$ en fonction de $\;k_{1}\;$ et $\;k_{2}$.
$\;M\;$
$\;m\;$
$\;({\vec {T}}_{1},\;{\vec {T}}_{2}\;{\text{et}}\;m\,{\vec {g}})\;$
$\;{\overrightarrow {Ox}}\;$
$\;O\;$
$\;M$
$\;-k_{1}\left(\Delta l_{{\text{éq}},\,1}+x\right)-k_{2}\left(\Delta l_{{\text{éq}},\,2}+x\right)+m\,g=m\,{\ddot {x}}(t)\;$
$\;-k_{1}\,\Delta l_{{\text{éq}},\,1}-k_{2}\,\Delta l_{{\text{éq}},\,2}+m\,g=0\;$
$\;m\,{\ddot {x}}(t)+\left(k_{1}+k_{2}\right)x(t)=0\;$
on constate que l'association parallèle des deux ressorts de raideur $\;k_{1}\;$ et $\;k_{2}\;$ est équivalente à un ressort unique de raideur «$\;k_{{\text{éq}}\,\parallel }=k_{1}+k_{2}\;$» ; la forme canonique de l'équation différentielle s'écrivant «$\;{\ddot {x}}(t)+{\dfrac {k_{1}+k_{2}}{m}}\,x(t)=0\;$» on définit  $\succ \;$la pulsation propre de l'oscillateur «$\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k_{1}+k_{2}}{m}}}\;$» et on en déduit  $\succ \;$la période propre des oscillations «$\;{\mathcal {T}}_{0}=2\,\pi \,{\sqrt {\dfrac {m}{k_{1}+k_{2}}}}\;$».

### Ressorts d'axe commun vertical montés en série

L'extrémité supérieure du ressort supérieur $\;(1)\;$ est fixe et son extrémité inférieure est reliée à l'extrémité supérieure de ressort inférieur $\;(2)$, l'extrémité inférieure de ce dernier étant reliée au solide $\;{\big$dont on n'envisage que les mouvements de translation verticalemath>\big)</math>.
Montrer que le système constitue un oscillateur harmonique et déterminer la période des oscillations ;
vérifier que l'ensemble des deux ressorts montés en série est équivalent à un ressort unique dont on précisera la raideur $\;k_{\text{éq, série}}\;$ en fonction de $\;k_{1}\;$ et $\;k_{2}$.
Les deux ressorts d'axe commun vertical étant montés en série, seul le ressort inférieur agit directement sur le solide $\;M\;$ mais l'allongement de ce ressort dépend aussi de la position de son extrémité supérieure laquelle est directement liée à l'allongement du ressort supérieur ; soit $\;(1)\;$ le ressort supérieur et $\;(2)\;$ le ressort inférieur, on note $\;A\;$ le point d'attache entre eux deux $\;{\big$point sans masse${\big )}\;$ voir schéma ci-contre.
Application de la r.f.d.n. au solide :
La r.f.d.n. appliquée à $\;M\;$ projetée sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ donne : «$\;T_{2,\,x}+m\,g=m\,{\ddot {x}}(t)\;$» avec «$\;T_{2,\,x}=$ $-k_{2}\left[\Delta l_{{\text{éq}},\,2}+x(t)-x_{A}(t)\right]\;$» soit, en reportant dans la r.f.d.n. «$\;-k_{2}\left[\Delta l_{{\text{éq}},\,2}+x(t)-x_{A}(t)\right]+m\,g$ $=m\,{\ddot {x}}(t)\;$» ;
$\;-k_{2}\,\Delta l_{{\text{éq}},\,2}+m\,g=0\;$
$\;M\;$
$\;m\,{\ddot {x}}(t)+k_{2}\,x(t)=k_{2}\,x_{A}(t)\;$
Application de la r.f.d.n. au point d'attache entre les deux ressorts :
La r.f.d.n. appliquée à $\;A\;$ projetée sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ donne : «$\;{T'}_{2,\,x}+T_{1,\,x}=0\times {\ddot {x}}_{A}(t)\;$» ou «$\;T'_{2,\,x}+T_{1,\,x}=0\;$» avec «$\;{T'}_{2,\,x}=-T_{2,\,x}=$ $k_{2}\left[\Delta l_{{\text{éq}},\,2}+x(t)-x_{A}(t)\right]\;$» et «$\;T_{1,\,x}=-k_{1}\left[\Delta l_{{\text{éq}},\,1}+x_{A}(t)\right]\;$» soit «$\;k_{2}\left[\Delta l_{{\text{éq}},\,2}+x(t)-x_{A}(t)\right]-k_{1}\left[\Delta l_{{\text{éq}},\,1}+x_{A}(t)\right]=0\;$» ;
$\;k_{2}\,\Delta l_{{\text{éq}},\,2}-k_{1}\,\Delta l_{{\text{éq}},\,1}=0\;$
$\;x(t)\;$
$\;x_{A}(t)$
$\;k_{2}\left[x(t)-x_{A}(t)\right]-k_{1}\,x_{A}(t)=0\;$
$\;x_{A}(t)={\dfrac {k_{2}}{k_{1}+k_{2}}}\,x(t)\;$
Équation différentielle finale du mouvement du solide :
$\;x(t)\;$
$\;m\,{\ddot {x}}(t)+k_{2}\,x(t)=k_{2}\,{\dfrac {k_{2}}{k_{1}+k_{2}}}\,x(t)\;$
$\;m\,{\ddot {x}}(t)+{\dfrac {k_{1}\,k_{2}}{k_{1}+k_{2}}}\,x(t)=0\;$
on constate que l'association série des deux ressorts de raideur $\;k_{1}\;$ et $\;k_{2}\;$ est équivalente à un ressort unique de raideur «$\;k_{\text{éq, série}}={\dfrac {k_{1}\,k_{2}}{k_{1}+k_{2}}}\;$» ; la forme canonique de l'équation différentielle s'écrivant selon «$\;{\ddot {x}}(t)+{\dfrac {k_{1}\,k_{2}}{m\left(k_{1}+k_{2}\right)}}\,x(t)=0\;$» on définit  $\succ \;$la pulsation propre de l'oscillateur «$\;\omega _{0}=$ ${\sqrt {\dfrac {k_{1}\,k_{2}}{m\left(k_{1}+k_{2}\right)}}}\;$» et on en déduit  $\succ \;$la période propre des oscillations «$\;{\mathcal {T}}_{0}=2\,\pi \,{\sqrt {\dfrac {m\left(k_{1}+k_{2}\right)}{k_{1}\,k_{2}}}}\;$».

## Modes propres d'un oscillateur à deux ressorts

Considérons deux mobiles $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}$, de même masse $\;m$, supposés ponctuels, et astreints à glisser sur un plan horizontal dans la direction $\;Ox$. Considérons Le mobile $\;M_{1}\;$ est accroché à un point fixe $\;O$, par l'intermédiaire d'un ressort de raideur $\;k\;$ et de longueur à vide $\;l_{0}$. Considérons Le mobile $\;M_{2}\;$ est accroché au mobile $\;M_{1}\;$ par l'intermédiaire d'un ressort identique au précédent. Considérons Tous les frottements sont négligés $\;{\big$voir schéma ci-contre${\big )}$.

### Mise en équations de l'oscillateur à deux ressorts

Établir les équations différentielles du mouvement vérifiées par les positions $\;x_{1}(t)\;$ et $\;x_{2}(t)\;$ des mobiles $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ par rapport à $\;O$ $\;{\big \$on notera que ces équations différentielles sont couplées, c'est-à-dire que l'équation différentielle en $\;x_{1}(t)\;$ contient des termes en $\;x_{2}(t)\;$ et vice versa${\big \}$.
Les seules forces pouvant créer ou modifier un mouvement sont « horizontales », ce sont les tensions des ressorts :
* s'exerçant sur $\;M_{1}$, les tensions des ressorts $\;(1)\;$ «$\;{\vec {T}}_{1}=-k\,(x_{1}-l_{0})\,{\vec {u}}_{x}\;$» et $\;(2)\;$ «$\;{\vec {T}}_{2}=k\,(x_{2}-x_{1}-l_{0})\,{\vec {u}}_{x}\;$» ;
* s'exerçant sur $\;M_{2}$, la tension du ressort $\;(2)\;$ «$\;{{\vec {T}}'}_{2}=-{\vec {T}}_{2}=-k\,(x_{2}-x_{1}-l_{0})\,{\vec {u}}_{x}\;$» ;
on applique la r.f.d.n. à $\;M_{1}\;$ pour avoir l'équation différentielle de son mouvement d'où, en projetant sur $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ «$\;-k\,(x_{1}-l_{0})+k\,(x_{2}-x_{1}-l_{0})=$ $m\,{\ddot {x}}_{1}\;$» et en ordonnant «$\;m\,{\ddot {x}}_{1}+2\,k\,x_{1}=k\,x_{2}\;$» ;
on applique la r.f.d.n. à $\;M_{2}\;$ pour avoir l'équation différentielle de son mouvement d'où, en projetant sur $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ «$\;-k\,(x_{2}-x_{1}-l_{0})=m\,{\ddot {x}}_{2}\;$» et en ordonnant «$\;m\,{\ddot {x}}_{2}+k\,x_{2}=k\,x_{1}+k\,l_{0}\;$» ;
$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c r c l}m\,{\ddot {x}}_{1}\!\!&+&\!\!2\,k\,x_{1}\!\!&=&\!\!k\,x_{2}\\m\,{\ddot {x}}_{2}\!\!&+&\!\!k\,x_{2}\!\!&=&\!\!k\,x_{1}+k\,l_{0}\end{array}}\right.\;$

### Détermination des modes propres d'oscillation

On pose «$\;X_{1}(t)=x_{1}(t)-l_{0}\;$» et «$\;X_{2}(t)=x_{2}(t)-2\,l_{0}\;$».

#### Réécriture du système d'équations différentielles couplées dans ce nouveau repérage et interprétation physique

Justifier le choix des grandeurs $\;X_{1}(t)\;$ et $\;X_{2}(t)\;$ en donnant leur interprétation physique.
On a «$\;x_{1}(t)=X_{1}(t)+l_{0}\;$» et «$\;x_{2}(t)=X_{2}(t)+2\,l_{0}\;$» ainsi que «$\;{\ddot {x}}_{1}(t)={\ddot {X}}_{1}(t)\;$» et «$\;{\ddot {x}}_{2}(t)={\ddot {X}}_{2}(t)\;$» soit, en reportant dans le système d'équations différentielles «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c r c l}m\,{\ddot {X}}_{1}\!\!&+&\!\!2\,k\,(X_{1}+l_{0})\!\!&=&\!\!k\,(X_{2}+2\,l_{0})\\m\,{\ddot {X}}_{2}\!\!&+&\!\!k\,(X_{2}+2\,l_{0})\!\!&=&\!\!k\,(X_{1}+l_{0})+k\,l_{0}\end{array}}\right.\;$» et après simplification «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c r c l}m\,{\ddot {X}}_{1}\!\!&+&\!\!2\,k\,X_{1}\!\!&=&\!\!k\,X_{2}\\m\,{\ddot {X}}_{2}\!\!&+&\!\!k\,X_{2}\!\!&=&\!\!k\,X_{1}\end{array}}\right.\;$» ;
les positions d'équilibre étant $\;x_{1,\,{\text{éq}}}=l_{0}\;$ et $\;x_{2,\,{\text{éq}}}=2\,l_{0}\;$, les changements d'origine entraînent le repérage de $\;M_{1}\;$ et de $\;M_{2}\;$ relativement à leur position d'équilibre d'où $\;X_{1,\,{\text{éq}}}=0\;$ et $\;X_{2,\,{\text{éq}}}=0$.

#### Mise en équation des modes propres d'oscillation

On étudie les mouvements oscillatoires harmoniques possibles des deux mobiles à la même pulsation $\;\omega \;$ en l'absence de frottements $\;{\big$les modes d'oscillation à la même pulsation étant appelés « modes propres »${\big )}$.
En choisissant «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}X_{1}(t)=X_{m,\,1}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{1})\\X_{2}(t)=X_{m,\,2}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{2})\end{array}}\right\rbrace \;$», montrer qu'on obtient dans ce cas le système «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c r c l}(2\,\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})\,X_{1}(t)\!\!&-&\!\!\omega _{0}^{2}\,X_{2}(t)\!\!&=&\!\!0\\-\omega _{0}^{2}\,X_{1}(t)\!\!&+&\!\!(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})\,X_{2}(t)\!\!&=&\!\!0\end{array}}\right.\;$» où $\;\omega _{0}\;$ est une grandeur qu'on explicitera en fonction de $\;k\;$ et $\;m$.
On cherche des solutions harmoniques de même pulsation $\;\omega \;$ c'est-à-dire des solutions de la forme «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}X_{1}(t)=X_{m,\,1}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{1})\\{\text{et}}\\X_{2}(t)=X_{m,\,2}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{2})\end{array}}\right.\;$» de dérivées temporelles 2$^{ndes}$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\ddot {X}}_{1}(t)=-\omega ^{2}\,X_{m,\,1}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{1})=\\{\ddot {X}}_{2}(t)=-\omega ^{2}\,X_{m,\,2}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{2})=\end{array}}\right.\;$ $\;\left.{\begin{array}{c}-\omega ^{2}\,X_{1}(t)\\-\omega ^{2}\,X_{2}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$» que l'on reporte dans le système d'équations différentielles simplifiées de la solution de la question « réécriture du système d'équations différentielles couplées dans ce nouveau repérage et interprétation physique » plus haut dans cet exercice «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c r c l}-m\,\omega ^{2}\,X_{1}\!\!&+&\!\!2\,k\,X_{1}\!\!&=&\!\!k\,X_{2}\\-m\,\omega ^{2}\,X_{2}\!\!&+&\!\!k\,X_{2}\!\!&=&\!\!k\,X_{1}\end{array}}\right.\;$» soit encore «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c r c l}(2\,k-m\,\omega ^{2})\,X_{1}\!\!&-&\!\!k\,X_{2}\!\!&=&\!\!0\\-k\,X_{1}\!\!&+&\!\!(k-m\,\omega ^{2})\,X_{2}\!\!&=&\!\!0\end{array}}\right.\;$» ou, en divisant par $\;m\;$ pour avoir des cœfficients homogènes au carré d'une pulsation «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c r c l}\left(2\,{\dfrac {k}{m}}-\omega ^{2}\right)X_{1}\!\!&-&\!\!{\dfrac {k}{m}}\,X_{2}\!\!&=&\!\!0\\-{\dfrac {k}{m}}\,X_{1}\!\!&+&\!\!\left({\dfrac {k}{m}}-\omega ^{2}\right)X_{2}\!\!&=&\!\!0\end{array}}\right.\;$» et, en posant $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k}{m}}}$, on obtient le système de deux équations linéaires en $\;X_{1}(t)\;$ et $\;X_{2}(t)\;$ homogène suivant «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c r c l}(2\,\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})\,X_{1}(t)\!\!&-&\!\!\omega _{0}^{2}\,X_{2}(t)\!\!&=&\!\!0\\-\omega _{0}^{2}\,X_{1}(t)\!\!&+&\!\!(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})\,X_{2}(t)\!\!&=&\!\!0\end{array}}\right.\;$».

#### Détermination des pulsations propres d'oscillation

En déduire les solutions $\;\omega _{1}\;$ et $\;\omega _{2}\;$ ${\big$pulsations propres des oscillateurs couplés${\big )}\;$ correspondant aux valeurs de $\;\omega \;$ recherchées.
$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c r c l}(2\,\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})\,X_{1}(t)\!\!&-&\!\!\omega _{0}^{2}\,X_{2}(t)\!\!&=&\!\!0\\-\omega _{0}^{2}\,X_{1}(t)\!\!&+&\!\!(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})\,X_{2}(t)\!\!&=&\!\!0\end{array}}\right.\;$
$\;X_{1}(t)\;$
$\;X_{2}(t)\;$
$\;(2\,\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})\times (\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})=(-\omega _{0}^{2})\times (-\omega _{0}^{2})\;$
$3$
$\;\omega \;$
$\;\omega ^{4}-3\,\omega _{0}^{2}\,\omega ^{2}+\omega _{0}^{4}=0\;$
$\;\Delta =9\,\omega _{0}^{4}-4\,\omega _{0}^{4}=5\,\omega _{0}^{4}>0\;$
$\;\omega ^{2}\;$
$\;\omega ^{2}\;$
$\;\omega _{0}^{4}>0\;$
$\;3\,\omega _{0}^{2}>0\;$
$\;\omega ^{2}\;$
$\;\omega$
$\;\omega ^{2}\;$
$\;\omega _{1}^{2}=\omega _{0}^{2}\,{\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\;$
$\;\omega _{2}^{2}=\omega _{0}^{2}\,{\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\;$
$\;\omega _{1}\;$
$\;\omega _{2}\;$
$\;\omega _{1}=\omega _{0}\,{\sqrt {\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}}\simeq 1,62\;\omega _{0}\;$
$\;\omega _{2}=\omega _{0}\,{\sqrt {\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}\simeq 0,62\;\omega _{0}\;$

#### Détermination des modes propres correspondant aux pulsations propres d'oscillation

Préciser, pour chaque pulsation propre, le mode propre d'oscillations c'est-à-dire le lien entre $\;X_{1}(t)\;$ et $\;X_{2}(t)$, en particulier on précisera le lien entre leurs amplitudes et leurs phases.
Pour chaque valeur de $\;\omega _{1}\;$ et $\;\omega _{2}$, $\;X_{1}(t)\;$ et $\;X_{2}(t)\;$ sont liées par « l'une ou l'autre des équations du système $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c r c l}(2\,\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})\,X_{1}(t)\!\!&-&\!\!\omega _{0}^{2}\,X_{2}(t)\!\!&=&\!\!0\\-\omega _{0}^{2}\,X_{1}(t)\!\!&+&\!\!(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})\,X_{2}(t)\!\!&=&\!\!0\end{array}}\right.\;$», ainsi :
* pour la « pulsation $\;\omega _{1}=\omega _{0}\,{\sqrt {\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}}\simeq 1,62\;\omega _{0}\;$», la « 2ème équation » se réécrit, compte-tenu de «$\;\omega _{0}^{2}-\omega _{1}^{2}=\omega _{0}^{2}\left(1-{\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\right)=-\omega _{0}^{2}\left({\dfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)\;$», «$\;X_{1}(t)+{\dfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\,X_{2}(t)=0\;$» après simplification par $\;-\omega _{0}^{2}$, soit encore «$\;X_{2}(t)=-{\dfrac {2}{1+{\sqrt {5}}}}\,X_{1}(t)\;$» c'est-à-dire que $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ vibrent en opposition de phase avec des amplitudes $\;X_{m,\,2}={\dfrac {2}{1+{\sqrt {5}}}}\,X_{m,\,1}\simeq 0,62\;X_{m,\,1}\;$ ;
* pour la « pulsation $\;\omega _{2}=\omega _{0}\,{\sqrt {\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}\simeq 0,62\;\omega _{0}\;$», la « 2ème équation » se réécrit, compte-tenu de «$\;\omega _{0}^{2}-\omega _{2}^{2}=\omega _{0}^{2}\left(1-{\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\right)=\omega _{0}^{2}\left({\dfrac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)\;$», «$\;-X_{1}(t)+{\dfrac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}\,X_{2}(t)=0\;$» après simplification par $\;\omega _{0}^{2}$, soit encore «$\;X_{2}(t)={\dfrac {2}{{\sqrt {5}}-1}}\,X_{1}(t)\;$» c'est-à-dire que $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ vibrent en phase avec des amplitudes $\;X_{m,\,2}={\dfrac {2}{{\sqrt {5}}-1}}\,X_{m,\,1}\simeq 1,62\;X_{m,\,1}$.

### Découplage du système d'équations différentielles couplées de l'oscillateur à deux ressorts et conséquences

Reprenant le système d'équations différentielles couplées en $\;X_{1}(t)\;$ et $\;X_{2}(t)$, nous nous proposons de « le découpler » de façon à le résoudre d'une part et d'autre part de voir quel est le lien de ce découplage avec la recherche des modes propres d'oscillation de l'oscillateur à deux ressorts.

#### Découplage par combinaison linéaire (C.L.) des deux équations différentielles couplées

Le système d'équations différentielles couplées étant mis sous la forme $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}m\,{\ddot {X}}_{1}+a\,X_{1}=b\,X_{2}\;\;{\mathfrak {(1)}}\\m\,{\ddot {X}}_{2}+c\,X_{2}=d\,X_{1}\;\;{\mathfrak {(2)}}\end{array}}\right\rbrace \;$, $\;a,\;b,\;c,\;d\;$ étant des cœfficients précédemment trouvés, « former la C.L. $\;\alpha \,{\mathfrak {(1)}}+\beta \,{\mathfrak {(2)}}\;$» dans le but de poser «$\;\alpha \,X_{1}+\beta \,X_{2}\;$ comme nouvelle variable », et « mettre cette C.L. sous la forme $\;m\left[\alpha \,{\ddot {X}}_{1}+\beta \,{\ddot {X}}_{2}\right]+k\left[\gamma \,X_{1}+\delta \,X_{2}\right]=0\;$», $\;\gamma \;{\text{et}}\;\delta \;$ dépendant de $\;\alpha \;{\text{et}}\;\beta \;$ ainsi que des cœfficients numériques des équations différentielles $\;{\mathfrak {(1)}}\;{\text{et}}\;{\mathfrak {(2)}}\;$ ;
le système d'équations différentielles sera découplé si «$\;\gamma \;$ est $\;\propto \;$ à $\;\alpha \;$» et «$\;\delta \;$ $\;\propto \;$ à $\;\beta \;$» avec le même cœfficient de proportionnalité c'est-à-dire si «$\;{\dfrac {\gamma }{\alpha }}={\dfrac {\delta }{\beta }}\;$» ou si «$\;\gamma \times \beta =\alpha \times \delta \;$», le système d'équations différentielles sera découplé en déduire l'équation du 2ème degré en $\;{\dfrac {\alpha }{\beta }}\;$ pour qu'il en soit ainsi et la résoudre ;
le système d'équations différentielles sera découplé proposer alors deux nouvelles variables «$\;\xi _{1}(t)=\alpha _{1}\,X_{1}(t)+\beta _{1}\,X_{2}(t)\;$» et «$\;\xi _{2}(t)=\alpha _{2}\,X_{1}(t)+\beta _{2}\,X_{2}(t)\;$» et le système d'équations différentielles sera découplé réécrire le système d'équations différentielles découplées en $\;\xi _{1}(t)\;$ et $\;\xi _{2}(t)$.
$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c r c l}m\,{\ddot {X}}_{1}\!\!&+&\!\!2\,k\,X_{1}\!\!&=&\!\!k\,X_{2}\;\;{\mathfrak {(1)}}\\m\,{\ddot {X}}_{2}\!\!&+&\!\!k\,X_{2}\!\!&=&\!\!k\,X_{1}\;\;{\mathfrak {(2)}}\end{array}}\right.\;$
$\;{\big \$
$\;a=2\,k$
$\;b=c=d=k{\big \}$
$\;\alpha \,{\mathfrak {(1)}}+\beta \,{\mathfrak {(2)}}\;$
$\;m\left(\alpha \,{\ddot {X}}_{1}+\beta \,{\ddot {X}}_{2}\right)+2\,\alpha \,k\,X_{1}+\beta \,k\,X_{2}=\alpha \,k\,X_{2}+\beta \,k\,X_{1}\;$
$\;m\left(\alpha \,{\ddot {X}}_{1}+\beta \,{\ddot {X}}_{2}\right)+k\left[\left(2\,\alpha -\beta \right)X_{1}+\left(\beta -\alpha \right)X_{2}\right]=0\;$
$\;{\big \$
$\;\gamma =2\,\alpha -\beta$
$\;\delta =\beta -\alpha {\big \}$
$\;\gamma \times \beta =\alpha \times \delta \;$
$\;\left(2\,\alpha -\beta \right)\times \beta =\alpha \times \left(\beta -\alpha \right)\;$
$\;2\,\alpha \,\beta -\beta ^{2}=\alpha \,\beta -\alpha ^{2}\;$
$\;\alpha ^{2}+\alpha \,\beta -\beta ^{2}=0\;$
$\;\color {transparent}{\gamma \times \beta =\alpha \times \delta }\;$
$\;\beta ^{2}\;$
$\;\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)^{\!\!2}+{\dfrac {\alpha }{\beta }}-1=0\;$
$\;\color {transparent}{\gamma \times \beta =\alpha \times \delta }\;$
$\;\Delta =1+4=5\;$
$\;{\dfrac {\alpha _{1}}{\beta _{1}}}={\dfrac {-1-{\sqrt {5}}}{2}}\;$
$\;{\dfrac {\alpha _{2}}{\beta _{2}}}={\dfrac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}\;$
la condition de découplage «$\;\color {transparent}{\gamma \times \beta =\alpha \times \delta }\;$» on peut alors proposer les valeurs suivantes «$\;\alpha _{1}=-\left(1+{\sqrt {5}}\right)\;{\text{et}}\;\beta _{1}=2\;$ pour l'une des nouvelles variables » ainsi que la condition de découplage «$\;\color {transparent}{\gamma \times \beta =\alpha \times \delta }\;$» on peut alors proposer les valeurs suivantes «$\;\alpha _{2}=\left({\sqrt {5}}-1\right)\;{\text{et}}\;\beta _{2}=2\;$ pour l'autre des nouvelles variables » la condition de découplage «$\;\color {transparent}{\gamma \times \beta =\alpha \times \delta }\;$» on peut alors proposer les valeurs suivantes donnant pour variables de découplage «$\;\xi _{1}(t)=-\left(1+{\sqrt {5}}\right)X_{1}(t)+2\,X_{2}(t)\;$» et la condition de découplage «$\;\color {transparent}{\gamma \times \beta =\alpha \times \delta }\;$» on peut alors proposer les valeurs suivantes donnant pour variables de découplage «$\;\xi _{2}(t)=\left({\sqrt {5}}-1\right)X_{1}(t)+2\,X_{2}(t)\;$» ;
la condition de découplage «$\;\color {transparent}{\gamma \times \beta =\alpha \times \delta }\;$» on peut alors proposer les valeurs suivantes au couple $\;(\alpha _{1}\,,\,\beta _{1})\;$ correspond «$\;\gamma _{1}=2\,\alpha _{1}-\beta _{1}=-2\left(1+{\sqrt {5}}\right)-2=-2\left(2+{\sqrt {5}}\right)\;$» et la condition de découplage «$\;\color {transparent}{\gamma \times \beta =\alpha \times \delta }\;$» on peut alors proposer les valeurs suivantes au couple $\;\color {transparent}{(\alpha _{1}\,,\,\beta _{1})}\;$ correspond «$\;\delta _{1}=\beta _{1}-\alpha _{1}=2+\left(1+{\sqrt {5}}\right)=3+{\sqrt {5}}\;$» d'où la condition de découplage «$\;\color {transparent}{\gamma \times \beta =\alpha \times \delta }\;$» on peut alors proposer les valeurs suivantes le même cœfficient de proportionnalité entre $\;\alpha _{1}\;$ et $\;\gamma _{1}\;$ ${\big \$ou entre $\;\beta _{1}\;$ et $\;\delta _{1}{\big \}$ s'évalue selon «$\;{\dfrac {\gamma _{1}}{\alpha _{1}}}={\dfrac {-2\left(2+{\sqrt {5}}\right)}{-\left(1+{\sqrt {5}}\right)}}=$ ${\dfrac {2\left(2+{\sqrt {5}}\right)\left(-1+{\sqrt {5}}\right)}{\left(1+{\sqrt {5}}\right)\left(-1+{\sqrt {5}}\right)}}\;$ soit $\;{\dfrac {\gamma _{1}}{\alpha _{1}}}={\dfrac {2\left(-2-{\sqrt {5}}+2\,{\sqrt {5}}+5\right)}{4}}={\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}={\dfrac {\delta _{1}}{\beta _{1}}}\;$» dont on déduit la condition de découplage «$\;\color {transparent}{\gamma \times \beta =\alpha \times \delta }\;$» on peut alors proposer les valeurs suivantes la réécriture de la « C.L. $\;\alpha _{1}\,{\mathfrak {(1)}}+\beta _{1}\,{\mathfrak {(2)}}\;$» c'est-à-dire «$\;m\left(\alpha _{1}\,{\ddot {X}}_{1}+\beta _{1}\,{\ddot {X}}_{2}\right)+k\left[\gamma _{1}X_{1}+\delta _{1}X_{2}\right]=0\;$» soit, avec la condition de découplage «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\gamma _{1}=\alpha _{1}\,{\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\\\delta _{1}=\beta _{1}\,{\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$», «$\;m\left(\alpha _{1}\,{\ddot {X}}_{1}+\beta _{1}\,{\ddot {X}}_{2}\right)+k\,{\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\left[\alpha _{1}X_{1}+\beta _{1}X_{2}\right]=0\;$» ou finalement «$\;m\,{\ddot {\xi }}_{1}(t)+k\,{\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\xi _{1}(t)=0\;$» ;
la condition de découplage «$\;\color {transparent}{\gamma \times \beta =\alpha \times \delta }\;$» on peut alors proposer les valeurs suivantes au couple $\;(\alpha _{2}\,,\,\beta _{2})\;$ correspond «$\;\gamma _{2}=2\,\alpha _{2}-\beta _{2}=2\left({\sqrt {5}}-1\right)-2=2\left({\sqrt {5}}-2\right)\;$» et la condition de découplage «$\;\color {transparent}{\gamma \times \beta =\alpha \times \delta }\;$» on peut alors proposer les valeurs suivantes au couple $\;\color {transparent}{(\alpha _{2}\,,\,\beta _{2})}\;$ correspond «$\;\delta _{2}=\beta _{2}-\alpha _{2}=2-\left({\sqrt {5}}-1\right)=3-{\sqrt {5}}\;$» d'où la condition de découplage «$\;\color {transparent}{\gamma \times \beta =\alpha \times \delta }\;$» on peut alors proposer les valeurs suivantes le même cœfficient de proportionnalité entre $\;\alpha _{2}\;$ et $\;\gamma _{2}\;$ ${\big \$ou entre $\;\beta _{2}\;$ et $\;\delta _{2}{\big \}$ s'évalue selon «$\;{\dfrac {\gamma _{2}}{\alpha _{2}}}={\dfrac {2\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\left({\sqrt {5}}-1\right)}}=$ ${\dfrac {2\left({\sqrt {5}}-2\right)\left({\sqrt {5}}+1\right)}{\left({\sqrt {5}}-1\right)\left({\sqrt {5}}+1\right)}}\;$ soit $\;{\dfrac {\gamma _{2}}{\alpha _{2}}}={\dfrac {2\left(5-2\,{\sqrt {5}}+{\sqrt {5}}-2\right)}{4}}={\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{2}}={\dfrac {\delta _{2}}{\beta _{2}}}\;$» dont on déduit la condition de découplage «$\;\color {transparent}{\gamma \times \beta =\alpha \times \delta }\;$» on peut alors proposer les valeurs suivantes la réécriture de la « C.L. $\;\alpha _{2}\,{\mathfrak {(1)}}+\beta _{2}\,{\mathfrak {(2)}}\;$» c'est-à-dire «$\;m\left(\alpha _{2}\,{\ddot {X}}_{1}+\beta _{2}\,{\ddot {X}}_{2}\right)+k\left[\gamma _{2}X_{1}+\delta _{2}X_{2}\right]=0\;$» soit, avec la condition de découplage «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\gamma _{2}=\alpha _{2}\,{\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\\\delta _{2}=\beta _{2}\,{\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$», «$\;m\left(\alpha _{2}\,{\ddot {X}}_{1}+\beta _{2}\,{\ddot {X}}_{2}\right)+k\,{\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\left[\alpha _{2}X_{1}+\beta _{2}X_{2}\right]=0\;$» ou finalement «$\;m\,{\ddot {\xi }}_{2}(t)+k\,{\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\xi _{2}(t)=0\;$» ;
la condition de découplage «$\;\color {transparent}{\gamma \times \beta =\alpha \times \delta }\;$» le système d'équations différentielles découplées s'écrit donc «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}m\,{\ddot {\xi }}_{1}(t)+k\,{\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\xi _{1}(t)=0\;\;({\mathfrak {1}}')\\m\,{\ddot {\xi }}_{2}(t)+k\,{\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\xi _{2}(t)=0\;\;({\mathfrak {2}}')\end{array}}\right.$».

#### Résolution du système d'équations différentielles découplées

Résoudre le système d'équations différentielles découplées en $\;\xi _{1}(t)\;$ et $\;\xi _{2}(t)\;$ et préciser les pulsations propres correspondant aux deux oscillateurs découplés ;
comparer aux pulsations propres de l'oscillateur à deux ressorts.
Le système d'équations différentielles étant découplé on peut résoudre chaque équation indépendamment l'une de l'autre ainsi :
* $\;({\mathfrak {1}}')$ : «$\;m\,{\ddot {\xi }}_{1}(t)+k\,{\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\xi _{1}(t)=0\;$» donne, en divisant par $\;m\;$ et en définissant $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k}{m}}}$, la forme canonique «$\;{\ddot {\xi }}_{1}(t)+\omega _{0}^{2}\,{\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\xi _{1}(t)=0\;$» correspondant à un oscillateur harmonique non amorti de pulsation propre «$\;\omega _{1}=\omega _{0}\,{\sqrt {\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}}\;$» et de solution «$\;\xi _{1}(t)=A_{1}\,\cos(\omega _{1}\,t+\varphi _{1})\;$», $\;A_{1}\;{\text{et}}\;\varphi _{1}\;$ étant à déterminer à l'aide des C.I. ;
* $\;({\mathfrak {2}}')$ : «$\;m\,{\ddot {\xi }}_{2}(t)+k\,{\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\xi _{2}(t)=0\;$» donne, en divisant par $\;m\;$ et en définissant $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k}{m}}}$, la forme canonique «$\;{\ddot {\xi }}_{2}(t)+\omega _{0}^{2}\,{\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\xi _{2}(t)=0\;$» correspondant à un oscillateur harmonique non amorti de pulsation propre «$\;\omega _{2}=\omega _{0}\,{\sqrt {\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}\;$» et de solution «$\;\xi _{2}(t)=A_{2}\,\cos(\omega _{2}\,t+\varphi _{2})\;$», $\;A_{2}\;{\text{et}}\;\varphi _{2}\;$ étant à déterminer à l'aide des C.I. ;
on constate que les pulsations propres des deux oscillateurs harmoniques obtenus par découplage sont exactement les pulsations propres de l'oscillateur harmonique à deux ressorts précédemment trouvées $\;{\big$ce qui n'est pas une surprise compte-tenu de la définition des modes propres d'oscillation de l'oscillateur harmonique à deux ressorts${\big )}$.

#### Retour aux variables d'origine

Déduire de la résolution du système d'équations différentielles découplées les expressions des variables $\;X_{1}(t)\;$ et $\;X_{2}(t)\;$ puis retrouver les modes propres d'oscillation de l'oscillateur harmonique à deux ressorts.
De «$\;\xi _{1}(t)=-\left(1+{\sqrt {5}}\right)X_{1}(t)+2\,X_{2}(t)\;$» et «$\;\xi _{2}(t)=\left({\sqrt {5}}-1\right)X_{1}(t)+2\,X_{2}(t)\;$» on en déduit :
$\;\xi _{1}(t)-\xi _{2}(t)=-2\,{\sqrt {5}}\,X_{1}(t)\;$
$\;X_{1}(t)={\dfrac {\xi _{2}(t)-\xi _{1}(t)}{2\,{\sqrt {5}}}}\;$
$\;\xi _{1}(t)\;{\text{et}}\;\xi _{2}(t)$
$\;X_{1}(t)={\dfrac {A_{2}\,\cos(\omega _{2}\,t+\varphi _{2})-A_{1}\,\cos(\omega _{1}\,t+\varphi _{1})}{2\,{\sqrt {5}}}}\;$
$\;\left({\sqrt {5}}-1\right)\xi _{1}(t)+\left({\sqrt {5}}+1\right)\xi _{2}(t)=4\,{\sqrt {5}}\,X_{2}(t)\;$
$\;X_{2}(t)={\dfrac {\left({\sqrt {5}}-1\right)\xi _{1}(t)+\left({\sqrt {5}}+1\right)\xi _{2}(t)}{4\,{\sqrt {5}}}}\;$
$\;\xi _{1}(t)\;{\text{et}}\;\xi _{2}(t)$
$\;X_{2}(t)={\dfrac {\left({\sqrt {5}}-1\right)A_{1}\,\cos(\omega _{1}\,t+\varphi _{1})+\left({\sqrt {5}}+1\right)A_{2}\,\cos(\omega _{2}\,t+\varphi _{2})}{4\,{\sqrt {5}}}}\;$
pour avoir un mode propre d'oscillation de l'oscillateur harmonique à deux ressorts, les variables $\;X_{1}(t)\;{\text{et}}\;X_{2}(t)\;$ doivent osciller à la même fréquence ce qui impose :
* soit «$\;A_{2}=0\;$» correspondant à «$\;\xi _{2}(t)=0\;$» ou encore «$\;\left({\sqrt {5}}-1\right)X_{1}(t)+2\,X_{2}(t)=0\;$» soit enfin «$\;X_{2}(t)=-{\dfrac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\,X_{1}(t)\;$» c'est-à-dire «$\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ vibrant en opposition de phase avec des amplitudes $\;X_{m,\,2}={\dfrac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\,X_{m,\,1}\simeq 0,62\;X_{m,\,1}\;$» avec la pulsation «$\;\omega _{1}=\omega _{0}\,{\sqrt {\dfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}}\;$» ce qui est effectivement le 1er mode propre trouvé précédemment,
* soit «$\;A_{1}=0\;$» correspondant à «$\;\xi _{1}(t)=0\;$» ou encore «$\;-\left(1+{\sqrt {5}}\right)X_{1}(t)+2\,X_{2}(t)=0\;$» soit enfin «$\;X_{2}(t)={\dfrac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\,X_{1}(t)\;$» c'est-à-dire «$\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ vibrant en phase avec des amplitudes $\;X_{m,\,2}=$ ${\dfrac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\,X_{m,\,1}\simeq 1,62\;X_{m,\,1}\;$» avec la pulsation «$\;\omega _{2}=\omega _{0}\,{\sqrt {\dfrac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}\;$» ce qui est effectivement le 2nd mode propre trouvé précédemment.

## Pendule élastique vertical non amorti

On considère un ressort idéal, d'axe $\;(z'z)\;$ vertical, de raideur $\;k\;$ et de longueur à vide $\;l_{0}$, dont l'extrémité supérieure $\;O\;$ est fixe et dont l'extrémité inférieure est liée à un objet $\;M\;$ de masse $\;m$, se déplaçant sans frottements le long de l'axe vertical $\;(Oz)$.
On note $\;{\vec {g}}=g\,{\vec {u}}_{z}\;$ le champ de pesanteur uniforme ${\big{\vec {u}}_{z}\;$ étant un vecteur unitaire vertical descendant${\big )}$.

### Équation du mouvement et équilibre

Établir l'équation différentielle vérifiée par la cote $\;z(t)\;$ de l'objet $\;M\;$ de masse $\;m$ ;
en déduire sa position d'équilibre $\;z_{\text{éq}}$.
Posant $\;\zeta (t)=z(t)-z_{\text{éq}}$, réécrire la nouvelle équation différentielle vérifiée par $\;\zeta (t)$.
Commenter le résultat obtenu.
L'objet étant lâché à $\;t=0\;$ depuis sa position d'équilibre avec une vitesse initiale $\;{\vec {v}}_{0}=v_{0}\,{\vec {u}}_{z}$, déterminer l'expression de $\;\zeta (t)\;$ pour tout $\;t$.
Bilan des forces appliquées à $M$ : son poids $\;m\,{\vec {g}}=m\,g\,{\vec {u}}_{z}\;$ et la tension du ressort $\;{\vec {T}}=-k\,(z-l_{0})\,{\vec {u}}_{z}$ ;
$\;M\;$
$\;{\vec {u}}_{z}$
$\;m\,g-k\,(z-l_{0})=m\,{\ddot {z}}\;$
$\;m\,{\ddot {z}}+k\,z=m\,g+k\,l_{0}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;M$
$\;m\,{\vec {g}}+{\vec {T}}_{\text{éq}}={\vec {0}}\;$
$\;{\vec {u}}_{z}$
$\;m\,g-k\,(z_{\text{éq}}-l_{0})=0\;$
$\;z_{\text{éq}}=l_{0}+{\dfrac {m\,g}{k}}\;$
$\;z(t)=z_{\text{éq}}+\zeta (t)\;$
$\;{\ddot {z}}(t)={\ddot {\zeta }}(t)\;$
$\;z(t)\;$
$\;m\,{\ddot {\zeta }}(t)+k\,z_{\text{éq}}+k\,\zeta (t)=m\,g+k\,l_{0}\;$
$\;z_{\text{éq}}\;$
$\;m\,{\ddot {\zeta }}(t)+k\left(l_{0}+{\dfrac {m\,g}{k}}\right)+k\,\zeta (t)=m\,g+k\,l_{0}\;$
$\;m\,{\ddot {\zeta }}(t)+k\,\zeta (t)=0\;$
Ayant choisi de repérer $\;M\;$ relativement à sa position d'équilibre, on doit avoir, à l'équilibre, «$\;\zeta (t)=\zeta _{\text{éq}}=0\;$» avec «$\;{\ddot {\zeta }}(t)=0\;$» et par suite il est tout à fait naturel que le 2nd membre de l'équation différentielle en $\;\zeta (t)\;$ soit nul.
La forme canonique de l'équation différentielle s'écrit, après avoir divisé les deux membres par $\;m$, «$\;{\ddot {\zeta }}(t)+\omega _{0}^{2}\,\zeta (t)=0\;$» avec «$\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k}{m}}}\;$ pulsation propre de l'oscillateur harmonique » ; la solution générale de l'équation est alors «$\;\zeta (t)=A\,\cos(\omega _{0}\,t)+B\,\sin(\omega _{0}\,t)\;$» et, on détermine $\;A\;$ et $\;B\;$ par C.I. soit :
* «$\;\zeta (0)=0\;$» $\Rightarrow$ $\;A=0\;$ $\Rightarrow$ «$\;\zeta (t)=B\,\sin(\omega _{0}\,t)\;$» dont on tire $\;{\dot {\zeta }}(t)=B\,\omega _{0}\,\cos(\omega _{0}\,t)\;$ et
* «$\;{\dot {\zeta }}(0)=v_{0}\;$» $\Rightarrow$ $\;v_{0}=B\,\omega _{0}\;$ $\Rightarrow$ $\;B={\dfrac {v_{0}}{\omega _{0}}}\;$ d'où finalement «$\;\zeta (t)={\dfrac {v_{0}}{\omega _{0}}}\,\sin(\omega _{0}\,t)\;$».

### Énergie

Le mouvement de l'objet $\;M\;$ étant vertical, son énergie potentielle comporte, non seulement un terme d'« énergie potentielle élastique », mais aussi Le mouvement de l'objet $\;M\;$ étant vertical, son énergie potentielle comporte, non seulement un terme d'énergie potentielle de pesanteur «$\;U_{\text{pes}}(M)=-m\,g\,z+cste_{2}\;$».
Montrer que l'énergie potentielle totale peut être mise sous la forme «$\;U={\dfrac {1}{2}}\,k\,\zeta ^{2}+cste\;$» ;
choisissant comme référence de l'énergie potentielle totale, la position d'équilibre de l'objet $\;M$, que vaut, dans ce cas, $\;cste$ ?
En utilisant l'expression de $\;\zeta (t)\;$ trouvée précédemment, en déduire l'expression de l'énergie mécanique $\;E_{m}\;$ de l'objet $\;M\;$ en fonction de $\;m$, $\;v_{0}\;$ et $\;\omega _{0}$ ;
commenter le résultat obtenu.
On démontre, en mécanique, qu'en absence de frottements et d'apport d'énergie de l'extérieur, l'énergie mécanique d'un objet est conservée ; utiliser cette propriété pour établir une intégrale 1ère du mouvement de l'objet $\;M\;$ en fonction de $\;\zeta (t)$, $\;{\dot {\zeta }}(t)$, $\;m$, $\;k$ et $\;v_{0}$ ;
en déduire l'équation différentielle du 2ème ordre vérifiée par $\;\zeta (t)\;$.
$\;M\;$
$\;U_{\text{élast}}(M)={\dfrac {1}{2}}\,k\,(z-l_{0})^{2}+cste_{1}\;$
$\;U_{\text{pes}}(M)=-m\,g\,z+cste_{2}\;$
$\;M\;$
$\;U(M)=U_{\text{élast}}(M)+U_{\text{pes}}(M)={\dfrac {1}{2}}\,k\,(z-l_{0})^{2}-m\,g\,z+cste'\;$
$\;\zeta (t)=z(t)-z_{\text{éq}}=z(t)-l_{0}-{\dfrac {m\,g}{k}}\;$
$\Rightarrow$
$\;z(t)=\zeta (t)+l_{0}+{\dfrac {m\,g}{k}}\;$
$\;U(M)=$
${\dfrac {1}{2}}\,k\left(\zeta +{\dfrac {m\,g}{k}}\right)^{2}-m\,g\left(\zeta +l_{0}+{\dfrac {m\,g}{k}}\right)+cste'\;$
$\;U(M)={\dfrac {1}{2}}\,k\,\zeta ^{2}+k\,\zeta \,{\dfrac {m\,g}{k}}+{\dfrac {1}{2}}\,k\left({\dfrac {m\,g}{k}}\right)^{2}-m\,g\zeta -m\,g\left(l_{0}+{\dfrac {m\,g}{k}}\right)+cste'\;$
$\;\zeta \;$
$\;cste$
$\;U(M)={\dfrac {1}{2}}\,k\,\zeta ^{2}+m\,g\,\zeta -m\,g\zeta +cste\;$
$\;U(M)={\dfrac {1}{2}}\,k\,\zeta ^{2}+cste\;$
$\;M\;$
$\;U(\zeta _{\text{éq}})=0\;$
$\;\zeta _{\text{éq}}=0\;$
$\;cste=0\;$
$\;U(M)={\dfrac {1}{2}}\,k\,\zeta ^{2}\;$
$\;M\;$
$\;E_{m}(t)=K+U={\dfrac {1}{2}}\,m\,{\dot {\zeta }}^{2}+{\dfrac {1}{2}}\,k\,\zeta ^{2}\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\zeta (t)={\dfrac {v_{0}}{\omega _{0}}}\,\sin(\omega _{0}t)\\{\dot {\zeta }}(t)=v_{0}\,\cos(\omega _{0}t)\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;E_{m}(t)={\dfrac {1}{2}}\,m\,v_{0}^{2}\,\cos ^{2}(\omega _{0}t)+{\dfrac {1}{2}}\,k\,{\dfrac {v_{0}^{2}}{\omega _{0}^{2}}}\,\sin ^{2}(\omega _{0}t)\;$
$\;k\;$
$\;\omega _{0}^{2}={\dfrac {k}{m}}\;$
$\Rightarrow$
$\;k=m\,\omega _{0}^{2}\;$
$\;\cos ^{2}(\omega _{0}t)+\sin ^{2}(\omega _{0}t)=1$
$\;E_{m}(t)={\dfrac {1}{2}}\,m\,v_{0}^{2}\;$
en absence de frottements, l'énergie mécanique reste constante $\;{\big$donc indépendante du temps $\;t{\big )}\;$ sa valeur étant celle acquise à l'instant $\;0\;$ c'est-à-dire $\;E_{m}(0)={\dfrac {1}{2}}\,m\,v_{0}^{2}+0\;$.
par absence de frottements, l'énergie mécanique est conservée c'est-à-dire «$\;E_{m}(t)=E_{m}(0)\;$» soit «$\;{\dfrac {1}{2}}\,m\,{\dot {\zeta }}^{2}(t)+{\dfrac {1}{2}}\,k\,\zeta ^{2}(t)={\dfrac {1}{2}}\,m\,v_{0}^{2}\;$» ;
$\;\zeta (t)$
$\;M\;$
$\;t\;$
$\;{\dfrac {1}{2}}\,m\,2\,{\dot {\zeta }}(t)\,{\ddot {\zeta }}(t)+{\dfrac {1}{2}}\,k\,2\,\zeta (t)\,{\dot {\zeta }}(t)=0\;$
$\;{\dot {\zeta }}(t)\neq 0\;$
$\;m\,{\ddot {\zeta }}(t)+k\,\zeta (t)=0\;$
on vérifie effectivement que l'on trouve la même équation différentielle que celle trouvée dans la solution de la question « équation du mouvement et équilibre » plus haut dans cet exercice.