# Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Transformées bilatérales de Laplace directes et inverses, cas particulier des transformées de Fourier

La transformation de Laplace a été nommée ainsi en l'honneur de Pierre-Simon Laplace pour son utilisation dans la théorie des probabilités qu'il a initiée.

## Transformée (bilatérale) de Laplace (sous condition d'existence) d'une fonction réelle « non causale » d'une variable réelle

Soit une fonction réelle $\;g\;$ « non causale » de la variable réelle $\;t\;$ ayant les propriétés suivantes :
* « la fonction est continue par morceaux sur tout intervalle $\;\left[t_{1}\,;\,0\right[\;$ et $\;\left]0\,;\,t_{0}\right]\;$»$^,$$^,$,
* « au voisinage de $\;t=0$, $\;\exists \;\gamma \in \left]0\,;1\right[\;$ tels que $\;\lim \limits _{t\,\rightarrow \,0}\left[t^{\gamma }\;\vert g(t)\vert \right]=0\;$» et
* « la fonction est “ d'ordres exponentiels $\;\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\;$” avec $\;\alpha _{1}\in \mathbb {R} \cup \left\lbrace -\infty \right\rbrace \;$ et $\;\alpha _{2}\in \mathbb {R} \;$ en étant $\;>\alpha _{1}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;\exists \;M>0\;$ vériifiant $\;\forall \,\beta \;$ tel que $\;\alpha _{1}\,\leqslant \,\beta \,\leqslant \,\alpha _{2}$, $\;\vert \exp \!\left(-\beta \;t\right)\;g(t)\vert <M,\;\;\forall \,\vert t\vert >\tau \;$ et $\;\forall \,\tau >0\;$».

### Définition de la transformée (bilatérale) de Laplace de la fonction « non causale » g(t) ci-dessus

$\;g(t)$
$\;\color {transparent}{g(t)}$
$\;\left[t_{1}\,;\,0\right[\cup \left]0\,;\,t_{2}\right]\;$
$\;\color {transparent}{g(t)}$
$\;{\mathcal {V}}(0)\;$
$\;\alpha _{1},\,\alpha _{2}\;$
$\;\color {transparent}{g(t)}$
$\;G\;$
$\;p\;$
$\;G(p)={\mathcal {L}}\!\left\lbrace g(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\exp(-p\,t)\;g(t)\;dt\;$
$\;p\in \mathbb {C} \;$
$\;\alpha _{1}<\Re (p)<\alpha _{2}\;$
$\;\left]\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right[\;$
$\;G(p)\;$
$\;g(t)\;$
Remarques : On prolonge la définition de la transformée bilatérale de Laplace d'une fonction à celle d'une distribution $\;{\big$la distribution devant être telle que l'intégrale de définition de sa transformée de Laplace converge${\big )}$ $\;{\big \$mais aussi à celle d'une hyperfonction que nous ne ferons que citer car dépassant très largement le cadre de cet exposé${\big \}$ ;
Remarques : en physique la transformée bilatérale de Laplace n'est quasiment pas utilisée, on lui préfère la transformation monolatérale de Laplace, raison pour laquelle on introduit la même notation $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \right\rbrace \;$ pour les deux, toutefois, dans le cas où les deux transformations apparaitraient dans le même exposé, nous noterons $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \right\rbrace \;$ la transformation bilatérale et $\;{\mathcal {L}}_{+}\!\left\lbrace \right\rbrace \;$ la transformation monolatérale.
Exemple : Soit la fonction réelle $\;g\;$ « non causale » de la variable réelle $\;t\;$ définie sur $\;\left[-\infty \,,\,0\right[\;$ telle que «$\;g(t)=Y(-t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\;\;{\text{pour }}t>0\\1\;\;{\text{pour }}t>0\end{array}}\right\rbrace \;$ où $\;Y\;$ est la fonction de Heaviside Exemple : Soit la fonction réelle $\;\color {transparent}{g}\;$ « non causale » de la variable réelle $\;\color {transparent}{t}\;$ définie sur $\;\color {transparent}{\left[-\infty \,,\,0\right\;$ telle que «$\;\color {transparent}{g(t)=Y(-t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\;\;{\text{pour }}t>0\end{array}}\right\rbrace }\;$ où $\;\color {transparent}{Y}\;$ est la $\;{\big$ou échelon unité${\big )}\,$», Exemple : Soit la fonction réelle $\;\color {transparent}{g}\;$ « non causale » la transformée bilatérale de Laplace de la fonction $\;g(t)=Y(-t)\;$ vaut «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace g(t)\right\rbrace =-{\dfrac {1}{p}}\;$ pour $\;\Re (p)<0\;$» en effet Exemple : Soit la fonction réelle $\;\color {transparent}{g}\;$ « non causale » «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace g(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\exp(-p\,t)\;g(t)\;dt=\displaystyle \int _{-\infty }^{0^{-}}\exp(-p\,t)\;g(t)\;dt=\displaystyle \int _{-\infty }^{0^{-}}\exp(-p\,t)\;dt\;$ $=\left[{\dfrac {\exp(-p\,t)}{-p}}\right]_{-\infty }^{0^{-}}=-{\dfrac {1}{p}}\;$ si $\;\Re (p)<0\;$».

### Rappel de la transformée (monolatérale) de Laplace d'une fonction « causale » f(t) (sous condition d'existence)

La notion de transformée monolatérale de Laplace d'une fonction réelle $\;f\;$ de la variable réelle $\;t$, fonction de propriétés nécessaires rappelées ci-dessous, La notion de transformée monolatérale de Laplace a été introduite dans le paragraphe « définition de la transformée (monolatérale) de Laplace de la fonction f(t) » La notion de transformée monolatérale de Laplace a été introduite dans le paragraphe du chap.$23$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » :
* « les valeurs de la fonction sont nulles pour $\;t<0\;$» ${\big$la fonction est alors qualifiée de « causale »${\big )}$,
* « la fonction est continue par morceaux sur tout intervalle $\;\left]0\,;\,t_{0}\right]\;$»$^,$,
* « au voisinage de $\;t=0$, $\;\exists \;\gamma \in \left]0\,;1\right[\;$ tels que $\;\lim \limits _{t\,\rightarrow \,0}\left[t^{\gamma }\;\vert f(t)\vert \right]=0\;$» et
* « la fonction est “ d'ordre exponentiel $\;\alpha \;$” avec $\;\alpha \,\in \,\mathbb {R} \cup \left\lbrace -\infty \right\rbrace \;$», $\Leftrightarrow$ «$\;\exists \;M>0\;$ tels que $\;\forall \,\beta \,\geqslant \,\alpha ,\;\;\vert \exp \!\left(-\beta \;t\right)\;f(t)\vert <M,\;\;\forall \,t>\tau \;$ et $\;\forall \,\tau >0\;$».
$\;f(t)$
$\;\color {transparent}{f(t)}$
$\;\left]0\,;\,t_{0}\right]\;$
$\;\color {transparent}{f(t)}$
$\;{\mathcal {V}}(0)\;$
$\;\color {transparent}{f(t)}$
$\;\alpha \;$
$\;\color {transparent}{f(t)}$
$\;F\;$
$\;p\;$
$\;F(p)={\mathcal {L}}\!\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$
$\;p\in \mathbb {C} \;$
$\;\Re (p)>\alpha \;$
$\;\alpha \;$
$\;F(p)\;$
$\;f(t)\;$
Remarques : On prolonge la définition de la transformée monolatérale de Laplace d'une fonction à support positif à celles Remarques : On prolonge la définition de la transformée monolatérale de Laplace d'une fonction à support positif étendu à gauche de $\;0\;$ c.-à-d. de support $\;\left[0\,,\,+\infty \right[\;\cup \;{\mathcal {V}}(0^{-})\;$ où $\;{\mathcal {V}}(0^{-})\;$ est un voisinage ouvert à gauche de $\;0$, borné inférieurement, et tel que la restriction de la fonction au complémentaire de $\;\left[0\,,\,+\infty \right[\;$ dans ce voisinage est une fonction indéfiniment dérivable et Remarques : On prolonge la définition de la transformée monolatérale de Laplace d'une distribution $\;{\big$sous condition que l'intégrale de définition de sa transformée de Laplace converge${\big )}$.

### Écriture de la transformée monolatérale de Laplace de la fonction « causale » f(t) (sous condition d'existence) en transformée bilatérale de Laplace

Soit une fonction « causale » $f(t)\;$ admettant comme « transformée monolatérale de Laplace $\;{\mathcal {L}}_{+}\!\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$» pour «$\;\Re (p)>\alpha$, $\;\alpha \;$ étant l'abscisse de convergence de la transformée monolatérale de Laplace », remarquant que cette dernière s'écrit encore selon «$\;{\mathcal {L}}_{+}\!\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t)\;Y(t)\;dt\;$» dans laquelle $\;Y(t)\;$ est la fonction d'Heaviside, nous en déduisons «$\;{\mathcal {L}}_{+}\!\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t)\;Y(t)\;dt\;$ avec $\;\Re (p)>\alpha \;$» c.-à-d. la « transformée bilatérale de Laplace de $\;f(t)\;Y(t)\;$» soit
$\;{\mathcal {L}}_{+}\!\left\lbrace f(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\,Y(t)\right\rbrace \;$

## Quelques éléments sur la transformation (bilatérale) inverse de Laplace (sous condition d'existence) d'une fonction complexe holomorphe d'une variable complexe

$\;G(p)\;$
$\;p\;$
$\;\color {transparent}{G(p)}\;$
$\;g(t)\;$
$\;t$
$\;\color {transparent}{g(t)}\;$
$\;\color {transparent}{g(t)}\;$
$\left[t_{1}\,;\,0\right[\cup \left]0\,;\,t_{2}\right]\;$
$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace g(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\exp(-p\,t)\;g(t)\;dt=G(p)\;$
$\;p\;$
$\;\alpha _{1}<\Re e(p)<\alpha _{2}$
$\;\left]\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right[\;$
$\;g(t)\;$
$\;G(p)\;$
$\;g(t)={\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace G(p)\right\rbrace \;$
$\;\Re (p)\in \left]\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right[$
Remarques : La transformation bilatérale inverse de Laplace est une application linéaire et Remarques : pour un intervalle fixé $\;\left]\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right[\;$ de définition de $\;G(p)$, la transformée bilatérale inverse $\;g(t)\;$ est unique $\;{\big$admis${\big )}$ ; Remarques : pour un intervalle fixé $\;\color {transparent}{\left]\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right\;$ il est donc essentiel de préciser le domaine sur lequel on cherche l'originale $\;g(t)\;$ de la fonction $\;G(p)\;$ car, Remarques : pour un intervalle fixé $\;\color {transparent}{\left]\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right\;$ il est donc essentiel de préciser le domaine suivant l'intervalle de convergence, la fonction originale diffère, exemple : Remarques : pour un intervalle fixé $\;\color {transparent}{\left]\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right\;$ il est donc essentiel de préciser le domaine $\succ \;$« pour $\;\Re (p)>0$, la fonction $\;G(p)={\dfrac {1}{p}}\;$ admet pour originale $\;g(t)=Y(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}1\;\;{\text{si }}\;t>0\\0\;\;{\text{si }}\;t<0\end{array}}\right\rbrace \;$», Remarques : pour un intervalle fixé $\;\color {transparent}{\left]\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right\;$ il est donc essentiel de préciser le domaine $\color {transparent}{\succ }\;$on note dans ce cas que la transformée bilatérale inverse de Laplace s'identifie à Remarques : pour un intervalle fixé $\;\color {transparent}{\left]\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right\;$ il est donc essentiel de préciser le domaine $\color {transparent}{\succ }\;$on note dans ce cas que la transformée monolatérale inverse de Laplace soit Remarques : pour un intervalle fixé $\;\color {transparent}{\left]\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right\;$ il est donc essentiel de préciser le domaine $\color {transparent}{\succ }\;$on note dans ce cas que «$\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{p}}\right\rbrace _{\Re (p)\,>\,0}=Y(t)={\mathcal {L}}_{+}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{p}}\right\rbrace \;$», Remarques : pour un intervalle fixé $\;\color {transparent}{\left]\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right\;$ il est donc essentiel de préciser le domaine $\succ \;$« pour $\;\Re (p)<0$, la fonction $\;G(p)={\dfrac {1}{p}}\;$ admet pour originale $\;g(t)=-Y(-t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\quad \;{\text{si }}\;t>0\\-1\;\;{\text{si }}\;t<0\end{array}}\right\rbrace \;$», Remarques : pour un intervalle fixé $\;\color {transparent}{\left]\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right\;$ il est donc essentiel de préciser le domaine $\color {transparent}{\succ }\;$on note dans ce cas que la transformée bilatérale inverse de Laplace définie en $\;t\;$ est Remarques : pour un intervalle fixé $\;\color {transparent}{\left]\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right\;$ il est donc essentiel de préciser le domaine $\color {transparent}{\succ }\;$on note dans ce cas que l'opposée de la transformée monolatérale inverse de Laplace définie en $\;-t\;$ soit Remarques : pour un intervalle fixé $\;\color {transparent}{\left]\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right\;$ il est donc essentiel de préciser le domaine $\color {transparent}{\succ }\;$on note dans ce cas que «$\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{p}}\right\rbrace _{\Re (p)\,<\,0}\!(t)=$ $-Y(-t)=-{\mathcal {L}}_{+}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{p}}\right\rbrace (-t)\;$».
Remarques : Il y a d'autres propriétés de la transformée bilatérale inverse de Laplace comme par exemple sa méthode analytique de détermination, mais nous n'en dirons rien car Remarques : Il y a d'autres propriétés de la transformée bilatérale inverse de Laplace comme par exemple sa méthode analytique de détermination, dépassant très largement le cadre de cet exposé $\;\ldots$

## Quelques notions sur la transformation de Fourier, cas particulier de la transformation bilatérale de Laplace, lien avec le développement en série de Fourier de fonctions réelles périodiques
### Définition de la transformée de Fourier d'une fonction réelle d'une variable réelle intégrable

$\;f(t)\;$
$\;t\;$
$\;\mathbb {R} \;$
$\;f(t)\;$
$\;{\mathcal {F}}\!\left\lbrace f\right\rbrace =$
${\widehat {f}}\;$
$\;\omega \;$
$\;{\widehat {f}}(\omega )=\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\;\exp \!\left(-i\;\omega \;t\right)\,dt\;$
Remarque 1 : Pour les électroniciens « la variable $\;t\;$ représente le temps » et « la variable $\;\omega \;$ la pulsation usuellement remplacée par la variable $\;\nu ={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ représentant la fréquence » d'où Remarque 1 : Pour les électroniciens la réécriture de l'expression de la « transformée de Fourier $\;{\mathcal {F}}\!\left\lbrace f\right\rbrace ={\widehat {f}}\;$ en fonction de $\;\nu \;$»
$\;{\widehat {f}}(\nu )=\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\;\exp \!\left(-i\;2\,\pi \;\nu \;t\right)\,dt\;$
Remarque 1 : Pour les électroniciens dans le but d'obtenir une symétrisation entre la transformée de Fourier $\;{\mathcal {F}}\!\left\lbrace f\right\rbrace ={\widehat {f}}\;$ exprimée en fonction de la pulsation et Remarque 1 : Pour les électroniciens dans le but d'obtenir une symétrisation entre sa transformée de Fourier inverse $\;{\mathcal {F}}^{-1}\!\left\lbrace {\widehat {f}}\right\rbrace =f\;$ exprimée en fonction de la pulsation $\;t$, Remarque 1 : Pour les électroniciens dans le but d'obtenir une symétrisation certains électroniciens normalisent $\;{\mathcal {F}}\!\left\lbrace f\right\rbrace ={\widehat {f}}\;$ selon «$\;{\widehat {f}}(\omega )={\dfrac {1}{\sqrt {2\;\pi }}}\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\;\exp \!\left(-i\;\omega \;t\right)\,dt\;$»$^,$.
Remarque 2 : La définition de la transformée de Fourier des fonctions intégrables au sens de Riemann a été d'abord été étendue Remarque 2 : La définition de la transformée de Fourier aux fonctions intégrables au sens de Lebesgue $\;{\big \$pour qu'une fonction réelle soit Lebesgue-intégrable sur l'intervalle $\;\left[a\,,\,b\right]\;$ Remarque 2 : La définition de la transformée de Fourier aux fonctions intégrables au sens de Lebesgue $\;\color {transparent}{\big \$il suffit qu'elle soit bornée sur cet intervalle${\big \}$ et en particulier Remarque 2 : La définition de la transformée de Fourier aux fonctions de carré sommable dont l'intérêt s'est manifesté en physique quantique, extension due à Plancherel puis Remarque 2 : La définition de la transformée de Fourier aux distributions tempérées, théorie de la distribution due à Schwartz.
Remarque 3 : Si la fonction $\;{\big$ou distribution${\big )}$ $\;f\;$ de la variable réelle $\;t\;$ est « causale » et intégrable sur $\;\mathbb {R} _{+}\;$$^,$, la transformée de Fourier se simplifie en
$\;{\widehat {f}}(\omega )=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }f(t)\;\exp \!\left(-i\;\omega \;t\right)\,dt\;$
$\;f(t)\;$

### La transformation de Fourier, un cas particulier de la transformation bilatérale de Laplace

« Une fonction réelle $\;f(t)\;$ de la variable réelle $\;t\;$ qui admet une transformation de Fourier » « Une fonction réelle $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ de la variable réelle $\;\color {transparent}{t}\;$ « étant intégrable sur $\;\mathbb {R} \;$ l'est aussi au $\;{\mathcal {V}}(0)\;$» en étant « d'ordres exponentiels $\;0\,,\,0\;$» et par conséquent « cette fonction admet une transformée bilatérale de Laplace avec un intervalle de convergence se réduisant au singleton $\;\left\lbrace 0\right\rbrace \;$» soit
$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\exp(-p\;t)\;f(t)\;dt\;$
$\;\Re (p)=0\;$
$\Rightarrow$
$\;p\;$
$\;p=i\;\omega \;$
en conclusion la transformée de Fourier «$\;{\mathcal {F}}\!\left\lbrace f\right\rbrace ={\widehat {f}}\;$ avec $\;{\widehat {f}}(\omega )=\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\;\exp \!\left(-i\;\omega \;t\right)\,dt\;$» de la fonction réelle $\;f(t)\;$ de la variable réelle $\;t\;$ s'identifie à en conclusion la transformée bilatérale de Laplace «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f\right\rbrace =F\;$ avec $\;F(p)=\left[\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\exp \!\left(-p\;t\right)\;f(t)\,dt\right]_{\Re (p)\,=\,0}\;$ pour $\;p\,\in \,i\mathbb {R} \;$» de la fonction réelle $\;f(t)\;$ de la variable réelle $\;t\;$ ou
$\;p=i\;\omega \;$
$\;{\widehat {f}}(\omega )=F(i\;\omega )\;$
$\;{\widehat {f}}={\mathcal {F}}\!\left\lbrace f\right\rbrace \;$
$\;F={\mathcal {L}}\!\left\lbrace f\right\rbrace \;$
Remarque 1 : Si on définit la transformée de Fourier «$\;{\widehat {f}}={\mathcal {F}}\!\left\lbrace f\right\rbrace \;$» sous forme normalisée selon «$\;{\widehat {f}}(\omega )={\dfrac {1}{\sqrt {2\;\pi }}}\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\;\exp \!\left(-i\;\omega \;t\right)\,dt\;$», son lien avec Remarque 1 : Si on définit la transformée bilatérale de Laplace «$\;F={\mathcal {L}}\!\left\lbrace f\right\rbrace \;$» s'écrit «$\;{\widehat {f}}(\omega )={\dfrac {F(i\;\omega )}{\sqrt {2\;\pi }}}\;$».
Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier «$\;{\widehat {f}}={\mathcal {F}}\!\left\lbrace f\right\rbrace \;$» de la fonction $\;f\;$ et Remarque 2 : on peut trouver un lien entre les transformées monolatérales de Laplace de fonctions construites à partir de $\;f\;$ en décomposant la transformée de Fourier en deux intégrales selon Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier «$\;{\widehat {f}}(\omega )=\displaystyle \int _{-\infty }^{0}f(t)\;\exp \!\left(-i\;\omega \;t\right)\,dt+\displaystyle \int _{0}^{+\infty }f(t)\;\exp \!\left(-i\;\omega \;t\right)\,dt\;$», Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier $\succ \;$la 2ème intégrale «$\;\displaystyle \int _{0}^{+\infty }f(t)\;\exp \!\left(-i\;\omega \;t\right)\,dt\;$» étant la transformée monolatérale de Laplace $\;{\mathcal {L}}_{+}\!\left\lbrace f^{+}\right\rbrace \;$ de Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier $\color {transparent}{\succ }\;$la 2ème intégrale «$\;\color {transparent}{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }f(t)\;\exp \!\left(-i\;\omega \;t\right)\,dt}\;$» étant la « fonction à support positif $\;f^{+}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}f(t)\;{\text{pour}}\;t\geqslant 0\\0\quad \;\,{\text{pour}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace \;$» soit Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier $\color {transparent}{\succ }\;$la 2ème intégrale «$\;\color {transparent}{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }f(t)\;\exp \!\left(-i\;\omega \;t\right)\,dt}\;$» «$\;{\mathcal {L}}_{+}\!\left\lbrace f^{+}(t)\right\rbrace \left[p\right]=\displaystyle \int _{0}^{+\infty }f^{+}(t)\;\exp \!\left(-p\;t\right)\,dt\;$ pour $\;\Re (p)=0\;$», Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier $\succ \;$la 1ère intégrale «$\;\displaystyle \int _{-\infty }^{0}f(t)\;\exp \!\left(-i\;\omega \;t\right)\,dt\;$» se réécrivant, avec $\;t'=-t$, selon «$\;\displaystyle \int _{0}^{+\infty }f(-t')\;\exp \!\left(i\;\omega \;t'\right)\,dt'\;$» Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier $\color {transparent}{\succ }\;$la 1ère intégrale étant la conjuguée de la transformée monolatérale de Laplace $\;{\mathcal {L}}_{+}^{\,*}\!\left\lbrace f^{-}\right\rbrace \;$ de Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier $\color {transparent}{\succ }\;$la 1ère intégrale étant la conjuguée de la « fonction à support positif $\;f^{-}(t')=\left\lbrace {\begin{array}{l}f(-t')\;{\text{pour}}\;t'\geqslant 0\\0\qquad \;\,{\text{pour}}\;t'<0\end{array}}\right\rbrace \;$» soit Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier $\color {transparent}{\succ }\;$la 1ère intégrale «$\;\left\lbrace {\mathcal {L}}_{+}\!\left[f^{-}(t')\right]\left(p\right)\right\rbrace ^{*}=\displaystyle \int _{0}^{+\infty }f^{-}(t')\;\exp \!\left(-p^{*}\;t'\right)\,dt'\;$$^,$$^,$ pour $\;\Re (p)=0\;$» d'où Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier $\succ \;$la réécriture de la transformée de Fourier «$\;{\widehat {f}}={\mathcal {F}}\!\left\lbrace f\right\rbrace \;$» de la fonction $\;f\;$ selon Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier $\color {transparent}{\succ }\;$la réécriture de la transformée de Fourier «$\;{\mathcal {F}}\!\left\lbrace f(t)\right\rbrace \left[\omega \right]={\mathcal {L}}_{+}\!\left[f^{+}(t)\right]\left(p\right)+\left\lbrace {\mathcal {L}}_{+}\!\left[f^{-}(t)\right]\left(p\right)\right\rbrace ^{*}\;$ pour $\;\Re (p)=0\;$» Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier $\color {transparent}{\succ }\;$la réécriture de la transformée de Fourier avec «$\;f^{+}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}f(t)\;{\text{pour}}\;t\geqslant 0\\0\quad \;\,{\text{pour}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace \;$» et «$\;f^{-}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}f(-t)\;{\text{pour}}\;t\geqslant 0\\0\qquad \;{\text{pour}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace \;$», Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier $\color {transparent}{\succ }\;$la réécriture de la transformée de Fourier ou «$\;{\mathcal {F}}\!\left\lbrace f(t)\right\rbrace \left[\omega \right]={\mathcal {L}}_{+}\!\left\lbrace f^{+}(t)\right\rbrace \left[i\,\omega \right]+{\mathcal {L}}_{+}\!\left\lbrace f^{-}(t)\right\rbrace \left[-i\,\omega \right]\;$» Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier $\color {transparent}{\succ }\;$la réécriture de la transformée de Fourier avec «$\;f^{+}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}f(t)\;{\text{pour}}\;t\geqslant 0\\0\quad \;\,{\text{pour}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace \;$» et «$\;f^{-}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}f(-t)\;{\text{pour}}\;t\geqslant 0\\0\qquad \;{\text{pour}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace \;$».
Remarque 3 : « Si la fonction réelle $\;f(t)\;$ de la variable réelle $\;t\;$ admet une transformée de Fourier $\;{\widehat {f}}={\mathcal {F}}\!\left\lbrace f\right\rbrace$», Remarque 3 : « Si la fonction réelle $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ de la variable réelle $\;\color {transparent}{t}\;$ admet « cette dernière est un cas particulier de transformée bilatérale de Laplace $\;F={\mathcal {L}}\!\left\lbrace f\right\rbrace \;$ de cette même fonction $\;f(t)\;$» Remarque 3 : « Si la fonction réelle $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ de la variable réelle $\;\color {transparent}{t}\;$ admet mais la réciproque est, a priori, fausse en effet Remarque 3 : « une fonction réelle $\;g(t)\;$ de la variable réelle $\;t\;$ admettant une transformée bilatérale de Laplace $\;G={\mathcal {L}}\!\left\lbrace g\right\rbrace \;$ avec un intervalle de convergence $\;\left]\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right[\;{\cancel {\ni }}\;0\;$» Remarque 3 : « une fonction réelle $\;\color {transparent}{g(t)}\;$ de la variable réelle $\;\color {transparent}{t}\;$ n'admet pas de transformée de Fourier car $\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace g(t)\right\rbrace \!\left[p\right]=\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\exp(-p\,t)\;g(t)\;dt\;$ diverge pour $\;\Re (p)=0\;{\cancel {\in }}\;\left]\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right[\;$ $\Rightarrow$ Remarque 3 : « une fonction réelle $\;\color {transparent}{g(t)}\;$ de la variable réelle $\;\color {transparent}{t}\;$ n'admet pas de transformée de Fourier car $\;{\mathcal {F}}\!\left\lbrace g(t)\right\rbrace \!\left[\omega \right]=\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\exp(-i\;\omega \,t)\;g(t)\;dt\;$ diverge également.

### Transformée de Fourier inverse

Préliminaire : Une fonction réelle $\;f\;$ de la variable réelle $\;t\;$ intégrable sur $\;\mathbb {R} \;$ admet pour « transformée de Fourier une fonction complexe $\;{\widehat {f}}\;$ de la variable réelle $\;\omega$, à symétrie hermitienne Préliminaire : Une fonction réelle $\;\color {transparent}{f}\;$ de la variable réelle $\;\color {transparent}{t}\;$ intégrable sur $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;$ admet pour « transformée de Fourier une fonction complexe $\;\color {transparent}{\widehat {f}}\;$ de la variable réelle $\;\color {transparent}{\omega }$, ${\big$au sens des électroniciens${\big )}\;$», Préliminaire : Une fonction réelle $\;\color {transparent}{f}\;$ de la variable réelle $\;\color {transparent}{t}\;$ intégrable sur $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;$ admet pour « transformée de Fourier une fonction complexe «$\;{\widehat {f}}(\omega )=\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\;\exp \!\left(-i\;\omega \;t\right)\,dt\;$», en effet Préliminaire : «$\;{\widehat {f}}(-\omega )=\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\;\exp(i\,\omega \,t)\;dt\;$» se réécrit, en posant $\;t'=-t$, «$\;{\widehat {f}}(-\omega )=\displaystyle \int _{+\infty }^{-\infty }-f(-t')\;\exp(-i\,\omega \,t')\;dt'=\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(-t')\;\exp(-i\,\omega \,t')\;dt'\;$» Préliminaire : «$\;\color {transparent}{{\widehat {f}}(-\omega )=\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\;\exp(i\,\omega \,t)\;dt}\;$» se réécrit, en posant $\;\color {transparent}{t'=-t}$, dont le conjugué est «$\;\left[{\widehat {f}}(-\omega )\right]^{*}\;$ $=\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(-t')\;\exp(i\,\omega \,t')\;dt'\;$» lequel se réécrit, Préliminaire : «$\;\color {transparent}{{\widehat {f}}(-\omega )=\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\;\exp(i\,\omega \,t)\;dt}\;$» se réécrit, en revenant à $\;t=-t'$, «$\;\left[{\widehat {f}}(-\omega )\right]^{*}\;$ $=\displaystyle \int _{+\infty }^{-\infty }f(t)\;\exp(-i\,\omega \,t)\;(-dt)=\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\;\exp(-i\,\omega \,t)\;dt={\widehat {f}}(\omega )\;$» $\Rightarrow$ Préliminaire : la transformée de Fourier d'une fonction réelle est effectivement à symétrie hermitienne $\;{\big$au sens des électroniciens${\big )}\;$.

#### Définition de la transformée de Fourier inverse (sous condition d'existence) d'une fonction complexe à symétrie hermitienne (au sens des électroniciens) d'une variable réelle

$\;{\widehat {f}}(\omega )\;$
$\;\omega$
$\;\color {transparent}{{\widehat {f}}(\omega )}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;\color {transparent}{{\widehat {f}}(\omega )}\;$
$\;f(t)\;$
$\;t$
$\;\color {transparent}{f(t)}\;$
$\;\mathbb {R} \;$
$\;{\mathcal {F}}\!\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\exp(-i\,\omega \,t)\;f(t)\;dt={\widehat {f}}(\omega )\;$
Remarque : La définition de la transformée de Fourier inverse d'une fonction complexe d'une variable réelle à symétrie hermitienne $\;{\big$au sens des électroniciens${\big )}\;$ Remarque : La définition de la transformée de Fourier inverse d'une fonction complexe d'une variable réelle holomorphe sur le domaine de définition de la fonction complexe, Remarque : La définition de la transformée de Fourier inverse correspondant initialement à une fonction réelle intégrable sur $\;\mathbb {R} \;$ est prolongée en tant que Remarque : La définition de la transformée de Fourier inverse correspondant initialement à une distribution tempérée $\;{\big$sous réserve d'existence bien sûr${\big )}$.

#### Expression de la transformée de Fourier inverse d'une fonction complexe à symétrie hermitienne (au sens des électroniciens) d'une variable réelle sous conditions d'existence et d'intégrabilité

« Si la fonction complexe $\;{\widehat {f}}\;$ de la variable réelle $\;\omega \;$ à symétrie hermitienne $\;{\big$au sens des électroniciens${\big )}\;$ et holomorphe sur son domaine de définition » « Si la fonction complexe $\;\color {transparent}{\widehat {f}}\;$ de la variable réelle $\;\color {transparent}{\omega }\;$ est « la transformée de Fourier d'une fonction réelle $\;f\;$ de la variable $\;t\;$ intégrable sur $\;\mathbb {R} \;$» et « si $\;{\widehat {f}}(\omega )\;$ est elle-même une fonction intégrable », on admet la formule de « transformation de Fourier inverse $\;{\mathcal {F}}^{-1}\!\left\lbrace \right\rbrace \;$» appliquée à $\;{\widehat {f}}(\omega )\;$ « si $\;\color {transparent}{{\widehat {f}}(\omega )}\;$ est elle-même une fonction intégrable », on admet la formule permettant $\;{\big$sous conditions appropriées${\big )}\;$ de retrouver l'originale $\;f(t)\;$ à partir de $\;{\widehat {f}}(\omega )$ :
$\;f(t)={\mathcal {F}}^{-1}\!\left\lbrace {\widehat {f}}\right\rbrace ={\dfrac {1}{2\,\pi }}\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\widehat {f}}(\omega )\;\exp(i\;\omega \;t)\;d\omega \;$
$\Leftrightarrow$
$\;{\widehat {f}}(\omega )={\mathcal {F}}\!\left\lbrace f\right\rbrace =\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\;\exp(-i\;\omega \;t)\;dt\;$
Remarque 1 : Pour les électroniciens « la variable $\;t\;$ représente le temps » et « la variable $\;\omega \;$ la pulsation qu'ils préfèrent usuellement remplacer par la fréquence $\;\nu ={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$» d'où Remarque 1 : Pour les électroniciens la réécriture de l'expression de la « transformée de Fourier inverse $\;{\mathcal {F}}^{-1}\!\left\lbrace {\widehat {f}}\right\rbrace =f\;$ en fonction de $\;\nu \;$» Remarque 1 : Pour les électroniciens «$\;f(t)={\mathcal {F}}^{-1}\!\left\lbrace {\widehat {f}}\right\rbrace =\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\widehat {f}}(\nu )\;\exp \!\left(i\;2\,\pi \;\nu \;t\right)\,d\nu \;$»$^,$ $\Leftrightarrow$ «$\;{\widehat {f}}(\nu )={\mathcal {F}}\!\left\lbrace f\right\rbrace =\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\;\exp \!\left(-i\;2\,\pi \;\nu \;t\right)\,dt\;$», Remarque 1 : Pour les électroniciens l'utilisation de la variable $\;\nu \;$ ayant pour conséquence une symétrisation entre transformées de Fourier directe inverse ; Remarque 1 : pour obtenir une symétrisation entre transformées de Fourier directe et inverse en utilisant la variable $\;\omega$, Remarque 1 : pour obtenir une symétrisation certains électroniciens normalisent la 1ère en introduisant un facteur $\;{\dfrac {1}{\sqrt {2\,\pi }}}$, soit «$\;{\widehat {f}}(\omega )={\mathcal {F}}\!\left\lbrace f\right\rbrace ={\dfrac {1}{\sqrt {2\,\pi }}}\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\;\exp \!\left(-i\;\omega \;t\right)\,dt\;$»$^,$, Remarque 1 : pour obtenir une symétrisation on retrouve alors ce même facteur dans l'expression de la transformée de Fourier inverse «$\;f(t)={\mathcal {F}}^{-1}\!\left\lbrace {\widehat {f}}\right\rbrace ={\dfrac {1}{\sqrt {2\,\pi }}}\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\widehat {f}}(\omega )\;\exp \!\left(i\;\omega \;t\right)\,d\omega \;$»
$\;{\widehat {f}}(\omega )={\mathcal {F}}\!\left\lbrace f\right\rbrace ={\dfrac {1}{\sqrt {2\,\pi }}}\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\;\exp \!\left(-i\;\omega \;t\right)\,dt\;$
$\Leftrightarrow$
$\;f(t)={\mathcal {F}}^{-1}\!\left\lbrace {\widehat {f}}\right\rbrace ={\dfrac {1}{\sqrt {2\,\pi }}}\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\widehat {f}}(\omega )\;\exp \!\left(i\;\omega \;t\right)\,d\omega \;$
Remarque 2 : La notion de fréquence $\;\nu <0\;$ n'ayant pas de signification physique alors que la transformée de Fourier d'une fonction $\;{\big$ou distribution${\big )}\;$ réelle $\;f\;$ de la variable réelle $\;t\;$ Remarque 2 : La notion de fréquence $\;\color {transparent}{\nu <0}\;$ n'ayant pas de signification physique alors que la transformée de Fourier est définie pour toute valeur de $\;\nu \,\in \,\mathbb {R} \;$ selon Remarque 2 : La notion de fréquence $\;\color {transparent}{\nu <0}\;$ n'ayant pas de signification physique alors que la transformée de Fourier est définie «$\;{\widehat {f}}(\nu )=\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\;\exp \!\left(-i\;2\,\pi \;\nu \;t\right)\,dt\;$»$^,$, Remarque 2 : La notion de fréquence $\;\color {transparent}{\nu <0}\;$ n'ayant pas de signification physique la propriété de symétrie hermitienne $\;{\big$au sens des électroniciens${\big )}\;$ de $\;{\widehat {f}}(\nu )\;$ soit «$\;{\widehat {f}}(-\nu )=\left[{\widehat {f}}(\nu )\right]^{*}\;$» Remarque 2 : La notion de fréquence $\;\color {transparent}{\nu <0}\;$ n'ayant pas de signification physique la propriété nous permet de réécrire l'expression de la transformée de Fourier inverse $\;f(t)\;$ de $\;{\widehat {f}}(\nu )\;$ Remarque 2 : La notion de fréquence $\;\color {transparent}{\nu <0}\;$ n'ayant pas de signification physique la propriété nous permet de réécrire en utilisant uniquement les fréquences $\;\nu \geqslant 0$, en effet, Remarque 2 : La notion de fréquence $\;\color {transparent}{\nu <0}\;$ n'ayant pas de signification physique l'expression de la transformée de Fourier inverse de $\;{\widehat {f}}(\nu )\;$ s'écrivant «$\;f(t)=\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\widehat {f}}(\nu )\;\exp \!\left(i\;2\,\pi \;\nu \;t\right)\,d\nu \;$» Remarque 2 : La notion de fréquence $\;\color {transparent}{\nu <0}\;$ n'ayant pas de signification physique l'expression de la transformée de Fourier inverse de $\;\color {transparent}{{\widehat {f}}(\nu )}\;$ s'écrivant ${\big$voir remarque 1 ci-dessus${\big )}$ Remarque 2 : La notion de fréquence $\;\color {transparent}{\nu <0}\;$ n'ayant pas de signification physique l'expression se décompose tout d'abord en une somme de deux intégrales généralisées, l'une sur les fréquences $\;\leqslant 0\;$ et Remarque 2 : La notion de fréquence $\;\color {transparent}{\nu <0}\;$ n'ayant pas de signification physique l'expression se décompose tout d'abord en une somme de deux intégrales généralisées, l'autre sur les fréquences $\;\geqslant 0\;$ Remarque 2 : La notion de fréquence $\;\color {transparent}{\nu <0}\;$ n'ayant pas de signification physique l'expression se décompose selon «$\;f(t)=\displaystyle \int _{-\infty }^{0}{\widehat {f}}(\nu ')\;\exp \!\left(i\;2\,\pi \;\nu '\;t\right)\,d\nu '+\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\widehat {f}}(\nu )\;\exp \!\left(i\;2\,\pi \;\nu \;t\right)\,d\nu \;$», Remarque 2 : La notion de fréquence $\;\color {transparent}{\nu <0}\;$ n'ayant pas de signification physique la 1ère intégrale généralisée «$\;\displaystyle \int _{-\infty }^{0}{\widehat {f}}(\nu ')\;\exp \!\left(i\;2\,\pi \;\nu '\;t\right)\,d\nu '\;$» se transformant en posant $\;\nu =-\nu '\;$ suivant Remarque 2 : La notion de fréquence $\;\color {transparent}{\nu <0}\;$ n'ayant pas de signification physique la 1ère intégrale généralisée «$\;-\displaystyle \int _{+\infty }^{0}{\widehat {f}}(-\nu )\;\exp \!\left(-i\;2\,\pi \;\nu \;t\right)\,d\nu =\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\widehat {f}}(-\nu )\;\exp \!\left(-i\;2\,\pi \;\nu \;t\right)\,d\nu \;$» et Remarque 2 : La notion de fréquence $\;\color {transparent}{\nu <0}\;$ n'ayant pas de signification physique la 1ère intégrale généralisée avec la propriété de symétrie hermitienne $\;{\big$au sens des électroniciens${\big )}\;$ de $\;{\widehat {f}}(\nu )\;$ Remarque 2 : La notion de fréquence $\;\color {transparent}{\nu <0}\;$ n'ayant pas de signification physique la 1ère intégrale généralisée avec la propriété «$\;{\widehat {f}}(-\nu )=\left[{\widehat {f}}(\nu )\right]^{*}\;$» cette 1ère intégrale généralisée se réécrit selon Remarque 2 : La notion de fréquence $\;\color {transparent}{\nu <0}\;$ n'ayant pas de signification physique la 1ère intégrale généralisée «$\;\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\left[{\widehat {f}}(\nu )\right]^{*}\,\exp \!\left(-i\;2\,\pi \;\nu \;t\right)\,d\nu =\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\left[{\widehat {f}}(\nu )\;\exp \!\left(i\;2\,\pi \;\nu \;t\right)\right]^{*}\,d\nu \;$»$^,$ Remarque 2 : La notion de fréquence $\;\color {transparent}{\nu <0}\;$ n'ayant pas de signification phys d'où la réécriture de l'expression de la transformée de Fourier inverse $\;f(t)\;$ de $\;{\widehat {f}}(\nu )\;$ selon Remarque 2 : La notion de fréquence $\;\color {transparent}{\nu <0}\;$ n'ayant pas de signification physique «$\;f(t)=\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\left[{\widehat {f}}(\nu )\;\exp \!\left(i\;2\,\pi \;\nu \;t\right)\right]^{*}\,d\nu +\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\widehat {f}}(\nu )\;\exp \!\left(i\;2\,\pi \;\nu \;t\right)\,d\nu \;$$^,$ Remarque 2 : La notion de fréquence $\;\color {transparent}{\nu <0}\;$ n'ayant pas de signification physique «$\;\color {transparent}{f(t)}$ $=\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\left\lbrace \left[{\widehat {f}}(\nu )\;\exp \!\left(i\;2\,\pi \;\nu \;t\right)\right]^{*}+{\widehat {f}}(\nu )\;\exp \!\left(i\;2\,\pi \;\nu \;t\right)\right\rbrace \,d\nu \;$»$^,$ ou encore, Remarque 2 : La notion de fréquence $\;\color {transparent}{\nu <0}\;$ n'ayant pas de signification physique «$\;f(t)=\displaystyle \int _{0}^{+\infty }2\;\Re \!\left[{\widehat {f}}(\nu )\;\exp \!\left(i\;2\,\pi \;\nu \;t\right)\right]\,d\nu \;$»$^,$.

### Lien entre transformée de Fourier d'une fonction réelle et développement en série de Fourier quand cette fonction réelle est périodique

| Expression d'une fonction réelle à l'aide de sa transformée de Fourier et évaluation de la transformée de Fourier relativement à la fonction réelle | 3ème développement en série de Fourier d'une fonction réelle périodique et évaluation des cœfficients du développement à l'aide de la fonction réelle |
| $\;f(t)=\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\widehat {f}}(\nu )\;\exp \!\left(i\,2\,\pi \,\nu \,t\right)d\nu \;$ $\;f(t)\;$ étant une fonction réelle intégrable ainsi que $\;{\widehat {f}}(\nu )$ ; on ajoute les composantes élémentaires $\;{\widehat {f}}(\nu )\,\exp \!\left(i\,2\,\pi \,\nu \,t\right)\,d\nu \,$ en intégrant sur la fréquence généralisée de $\;-\infty \;$ à $\;+\infty$ ; | $\;f(t)=\sum \limits _{n\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left[{\underline {C'}}_{n}\,\exp(i\,2\,\pi \,n\,\nu \,t)\right]\;$ $\;f(t)\;$ étant une fonction réelle $\;T$-périodique ; on ajoute tous les harmoniques généralisés de fréquence généralisée $\;n\,\nu \;$ pour $\;n\;$ entier relatif de $\;-\infty \;$ à $\;+\infty$ ; |
| $\;{\widehat {f}}(\nu )=\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\;\exp \!\left(-i\,2\,\pi \,\nu \,t\right)dt$ ; on ajoute toutes les grandeurs élémentaires $\;f(t)\;\exp \!\left(-i\,2\,\pi \,\nu \,t\right)dt\;$ en intégrant sur $\;t\;$ de $\;-\infty \;$ à $\;+\infty$ ; | $\;{\underline {C'}}_{n}={\dfrac {1}{T}}\displaystyle \int _{0}^{T}f(t)\,\exp(-i\,2\,\pi \,n\,\nu \,t)\,dt$ ; on ajoute toutes les grandeurs élémentaires $\;f(t)\;\exp \!\left(-i\,2\,\pi \,n\,\nu \,t\right)dt\;$ en intégrant sur $\;t\;$ de $\;0\;$ à $\;T\;$ et en divisant par $\;T$ ; |
| $\;\vert {\widehat {f}}(\nu )\vert$ représentée en fonction de $\;\nu \,\in \,\mathbb {R} \;$ définit un spectre d'amplitude du signal et ce spectre est continu ; | $\;\vert {\underline {C'}}_{n}\vert$ représentée en fonction de $\;n\,\nu \;(n\,\in \,\mathbb {Z} )\;$ définit un spectre d'amplitude du signal et ce spectre est discret. |