# Série et transformée de Fourier en physique/Propriétés de la transformée de Fourier
## Expressions en fonction de la fréquence $f$

| | Fonction | Transformée de Fourier |
| Linéarité | $a\cdot s_{1}(t)+b\cdot s_{2}(t)$ | $a\cdot {\hat {s}}_{1}(f)+b\cdot {\hat {s}}_{2}(f)$ |
| Contraction du domaine | $s(a\cdot t)$ | ${\frac {1}{|a|}}\cdot {\hat {s}}(f/a)$ |
| Translation temporelle | $s(t+t_{0})$ | ${\hat {s}}(f)\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} .2\pi .f.t_{0}}$ |
| Modulation dans le domaine temporel | $s(t)\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} .2\pi .f_{0}.t}$ | ${\hat {s}}(f-f_{0})$ |
| Produit de convolution | $s_{1}*s_{2}(t)\$ | ${\hat {s}}_{1}(f)\cdot {\hat {s}}_{2}(f)$ |
| Produit de corrélation | $s_{1}(t)\cdot s_{2}(t)$ | ${\hat {s}}_{1}*{\hat {s}}_{2}(f)$ |
| Dérivation | $s'(t)\$ (sous conditions) | $\mathrm {j} \cdot 2\pi \cdot f\cdot {\hat {s}}(f)$ |
| Symétrie | réelle et paire | réelle et paire |
| Symétrie | réelle et impaire | imaginaire pure et impaire |
| Symétrie | imaginaire pure et paire | imaginaire pure et paire |
| Symétrie | imaginaire pure et impaire | réelle et impaire |
| Symétrie | gaussienne | gaussienne |

### Égalité de Parseval

L'énergie totale d'un signal ne dépend pas de la représentation choisie : fréquentielle ou temporelle.
* $E=\int _{-\infty }^{+\infty }|x(t)|^{2}~\mathrm {d} t=\int _{-\infty }^{+\infty }|{\hat {x}}(f)|^{2}~\mathrm {d} f.$
    $E=\int _{-\infty }^{+\infty }x(t)\cdot x(t)^{*}\cdot \mathrm {d} t$
    $E=\int _{-\infty }^{+\infty }\underbrace {\left(\int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {x}}(f)\mathrm {e} ^{\mathrm {j} 2\pi ft}\cdot \mathrm {d} f\right)} _{x(t)={\mathcal {F}}^{-1}({\hat {x}}(f))}\cdot \underbrace {\left(\int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {x}}(f')\mathrm {e} ^{\mathrm {j} 2\pi f't}\cdot \mathrm {d} f'\right)^{*}} _{x(t)^{*}}\cdot \mathrm {d} t$
    $E=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {x}}(f)\cdot {\hat {x}}^{*}(f')\cdot \left(\int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {e} ^{\mathrm {j} 2\pi (f-f')t}\cdot \mathrm {d} t\right)\cdot \mathrm {d} f\cdot \mathrm {d} f'$
L’expression entre parenthèses est égale à la TF de la fonction unité, calculée à la fréquence $f'-f$ soit un pic de Dirac à la fréquence $f'$ : $\delta (f-f')$.
    $E=\int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {x}}(f)\cdot \underbrace {\left(\int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {x}}^{*}(f')\cdot \delta (f-f')\cdot \mathrm {d} f'\right)} _{{\hat {x}}^{*}(f)}\cdot \mathrm {d} f$
    $E=\int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {x}}(f)\cdot {\hat {x}}^{*}(f)\cdot \mathrm {d} f$

## Expressions en fonction de la pulsation $\omega$

| | Fonction | Transformée de Fourier |
| Linéarité | $a\cdot s_{1}(t)+b\cdot s_{2}(t)\$ | $a\cdot {\hat {s}}_{1}(\omega )+b\cdot {\hat {s}}_{2}(\omega )\$ |
| Contraction du domaine | $s(a\cdot t)\$ | ${\frac {1}{|a|}}\cdot {\hat {s}}(\omega /a)\$ |
| Translation temporelle | $s(t+t_{0})\$ | ${\hat {s}}(\omega )\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} .\omega .t_{0}}\$ |
| Modulation dans le domaine temporel | $s(t)\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} t\omega _{0}}$ | ${\hat {s}}(\omega -\omega _{0})$ |
| Produit de convolution | $s_{1}*s_{2}(t)\$ | ${\hat {s}}_{1}(\omega )\cdot {\hat {s}}_{2}(\omega )\$ |
| Produit de corrélation | $s_{1}(t)\cdot s_{2}(t)$ | ${\frac {1}{2\pi }}{\hat {s}}_{1}*{\hat {s}}_{2}(\omega )\$ |
| Dérivation | $s'(t)\$ (sous conditions) | $\mathrm {j} \cdot \omega \cdot {\hat {s}}(\omega )$ |
| Symétrie | réelle et paire | réelle et paire |
| Symétrie | réelle et impaire | imaginaire pure et impaire |
| Symétrie | imaginaire pure et paire | imaginaire pure et paire |
| Symétrie | imaginaire pure et impaire | réelle et impaire |
| Symétrie | gaussienne | gaussienne |
| Transformée de Fourier | Fonctions utiles |