# Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Les tenseurs, 1ères définitions et divers types de tenseurs d'ordre inférieur à 3
## Introduction des « tenseurs » en mathématiques

$\succ \;$La notion de tenseur prolonge celle de scalaire, de vecteur ou de famille finie de vecteurs en dimension finie ;
$\color {transparent}{\succ }\;$tous ces éléments pris individuellement forment un espace vectoriel de dimension finie et, avec pour corps de construction $\;\mathbb {R}$, les 1$^{ers}$ exemples sont :
      * l'ensemble des scalaires formant le $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;\mathbb {R} \;$ lui-même de dimension $\;1$, un scalaire étant un tenseur d'ordre zéro,
      * l'ensemble des vecteurs formant le $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel isomorphe à $\;\mathbb {R} ^{n}\;$ de dimension $\;n$, chaque vecteur étant représentable, avec choix d'une base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1}\,,\,\cdots \,,\,b_{i}\,,\,\cdots \,,\,b_{n}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,n}$, par une matrice colonne $\;\left[{\begin{array}{c}x_{1}\\\vdots \\x_{j}\\\vdots \\x_{n}\end{array}}\right]\in M_{n,\,1}\!\left(\mathbb {R} \right)$, un vecteur d'un $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel de dimension $\;n\;$ étant un tenseur d'ordre un,
      * l'ensemble des familles ordonnées de $\;p\;$ vecteurs du même $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel isomorphe à $\;\mathbb {R} ^{n}\;$ formant le $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel isomorphe à $\;\left\lbrace \mathbb {R} ^{n}\right\rbrace ^{p}$, chaque famille ordonnée de $\;p\;$ vecteurs étant représentable, avec choix d'une base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1}\,,\,\cdots \,,\,b_{i}\,,\,\cdots \,,\,b_{n}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,n}$, par une matrice $\;\left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}&\cdots &x_{1,\,j}&\cdots &x_{1,\,p}\\&&\vdots &&\\x_{i,\,1}&\cdots &x_{i,\,j}&\cdots &x_{i,\,p}\\&&\vdots &&\\x_{n,\,1}&\cdots &x_{n,\,j}&\cdots &x_{n,\,p}\end{array}}\right]\in M_{n,\,p}\!\left(\mathbb {R} \right)$ ${\Bigg \$en particulier l'ensemble des familles ordonnées de $\;n\;$ vecteurs du même $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel isomorphe à $\;\mathbb {R} ^{n}\;$ est le $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel isomorphe à $\;\left\lbrace \mathbb {R} ^{n}\right\rbrace ^{n}$, chaque famille ordonnée de $\;n\;$ vecteurs étant représentable, avec choix d'une base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =$ $\left\lbrace b_{1}\,,\,\cdots \,,\,b_{i}\,,\,\cdots \,,\,b_{n}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,n}$, par une matrice carrée $\;\left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}&\cdots &x_{1,\,j}&\cdots &x_{1,\,n}\\&&\vdots &&\\x_{i,\,1}&\cdots &x_{i,\,j}&\cdots &x_{i,\,n}\\&&\vdots &&\\x_{n,\,1}&\cdots &x_{n,\,j}&\cdots &x_{n,\,n}\end{array}}\right]\in M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right){\Bigg \}$, une famille ordonnée de $\;p\;$ vecteurs du même $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel de dimension $\;n\;$ étant un tenseur d'ordre deux $\;{\big$avec $\;p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \,\left\lbrace 1\right\rbrace \!{\big )}\;$ et
      * l'ensemble constitué de collections ordonnées comprenant chacune $\;q\;$ familles ordonnées de $\;p\;$ vecteurs du même $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel isomorphe à $\;\mathbb {R} ^{n}\;$ formant le $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel isomorphe à $\;\left\lbrace \left\lbrace \mathbb {R} ^{n}\right\rbrace ^{p}\right\rbrace ^{q}$, chaque collection ordonnée de $\;q\;$ familles ordonnées de $\;p\;$ vecteurs étant représentable, avec choix d'une base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1}\,,\,\cdots \,,\,b_{i}\,,\,\cdots \,,\,b_{n}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,n}$, par un tableau parallélépipédique constitué de $\;q\;$ matrices placées en « couches » successives, de même dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;\left(n\,,\,p\right)$, une famille ordonnée de $\;q\;$ familles ordonnées de $\;p\;$ vecteurs du même $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel de dimension $\;n\;$ étant un tenseur d'ordre trois $\;{\Big$à condition que $\;\left(p\,,\,q\right)\,\in \,{\big \\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \,\left\lbrace 1\right\rbrace \!{\big \}}^{2}{\Big ]}\;$,
      * $\;\ldots \;$
$\succ \;$Les tenseurs d'ordre $\;p\;\in \mathbb {N} \;$ de l'espace physique $\;{\mathcal {E}}_{3}\;$ construit sur $\;\mathbb {R} \;$ forment donc un $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel de dimension $\;3^{\,p}$ $\color {transparent}{\succ }\;$Les tenseurs d'ordre $\;\color {transparent}{p\;\in \mathbb {N} }\;$ on définit en effet $\bullet \;$l'addition de deux tenseurs de même ordre $\;p$ $\;{\Big$par loi de composition interne $\;T_{p}\times T_{p}\;{\overset {+}{\rightarrow }}\;T_{p}\;$ où $\;T_{p}\;$ est l'ensemble des tenseurs d'ordre $\;p\;$${\Big )}\;$ et $\color {transparent}{\succ }\;$Les tenseurs d'ordre $\;\color {transparent}{p\;\in \mathbb {N} }\;$ on définit en effet $\bullet \;$la multiplication d'un tenseur d'ordre $\;p\;$ par un scalaire $\;{\Big$loi de composition externe $\;\mathbb {R} \times T_{p}\;{\overset {\cdot }{\rightarrow }}\;T_{p}\;$${\Big )}$, $\color {transparent}{\succ }\;$Les tenseurs d'ordre $\;\color {transparent}{p\;\in \mathbb {N} }\;$ on définit en effet $\bullet \;$ces deux lois ayant les propriétés nécessaires pour assurer à l'ensemble $\;T_{p}\;$ des tenseurs d'ordre $\;p\;$ d'être un espace vectoriel ; $\color {transparent}{\succ }\;$ils sont indépendants d'un choix de bases, seules leurs représentations en dépendent : $\bullet \;$s'ils sont d'ordre un, leurs représentations en matrices colonnes dépendent de la base, $\color {transparent}{\succ }\;$ils sont indépendants d'un choix de bases, seules leurs représentations en dépendent : $\bullet \;$s'ils sont d'ordre deux, leurs représentations en matrices rectangulaires dépendent de la base, $\color {transparent}{\succ }\;$ils sont indépendants d'un choix de bases, seules leurs représentations en dépendent : $\bullet \;$s'ils sont d'ordre trois, leurs représentations en tableaux parallélépipédiques dépendent de la base ou $\color {transparent}{\succ }\;$ils sont indépendants d'un choix de bases, seules leurs représentations en dépendent : $\bullet \;$s'ils sont d'ordre $\;>\;$ à trois, leurs représentations en tableaux hyperparallélépipédiques dépendent de la base.

## 1$^{ères}$ définitions de tenseurs

Préliminaires : Comme nous l'avons vu au paragraphe « introduction des tenseurs en mathématiques » plus haut dans ce chapitre, un tenseur nécessite de préciser l'espace vectoriel de travail, Préliminaires : Comme nous l'avons vu au paragraphe « introduction des tenseurs en mathématiques » plus haut dans ce chapitre, il s'agit d'un $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel de dimension $\;3^{\,p}$, $\;p\;\in \mathbb {N}$, d'où Préliminaires : Comme nous l'avons vu au paragraphe « introduction des tenseurs en mathématiques » plus haut dans ce chapitre, $\bullet \;$si $\;p=0$, l'espace vectoriel est $\;\mathbb {R} \;$ de dimension $\;1$, Préliminaires : Comme nous l'avons vu au paragraphe « introduction des tenseurs en mathématiques » plus haut dans ce chapitre, $\bullet \;$si $\;p=1$, l'espace vectoriel de dimension $\;3\;$ est, quand c'est utile, Préliminaires : Comme nous l'avons vu au paragraphe « introduction des tenseurs en mathématiques » plus haut dans ce chapitre, $\color {transparent}{\bullet }\;$si $\;\color {transparent}{p=1}$, l'espace vectoriel choisi euclidien et dans ce cas, Préliminaires : Comme nous l'avons vu au paragraphe « introduction des tenseurs en mathématiques » plus haut dans ce chapitre, $\color {transparent}{\bullet }\;$si $\;\color {transparent}{p=1}$, l'espace vectoriel est la direction de l'espace affine Préliminaires : Comme nous l'avons vu au paragraphe « introduction des tenseurs en mathématiques » plus haut dans ce chapitre, $\color {transparent}{\bullet }\;$si $\;\color {transparent}{p=1}$, l'espace vectoriel est la direction de l'tridimensionnel, Préliminaires : Comme nous l'avons vu au paragraphe « introduction des tenseurs en mathématiques » plus haut dans ce chapitre, $\bullet \;$si $\;p=2$, l'espace vectoriel est de dimension $\;9$, par exemple, Préliminaires : Comme nous l'avons vu au paragraphe « introduction des tenseurs en mathématiques » plus haut dans ce chapitre, $\color {transparent}{\bullet }\;$si $\;\color {transparent}{p=2}$, l'ensemble des familles de $\;3\;$ vecteurs de l'espace vectoriel Préliminaires : Comme nous l'avons vu au paragraphe « introduction des tenseurs en mathématiques » plus haut dans ce chapitre, $\color {transparent}{\bullet }\;$si $\;\color {transparent}{p=2}$, l'ensemble des familles de $\;\color {transparent}{3}\;$ vecteurs de l’tridimensionnel, Préliminaires : Comme nous l'avons vu au paragraphe « introduction des tenseurs en mathématiques » plus haut dans ce chapitre, $\bullet \;$$\ldots$
Préliminaires : Une grandeur est qualifiée de « covariante » lorsqu'elle varie comme les vecteurs de base du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel d'étude et Préliminaires : Une grandeur est qualifiée de « contravariante » lorsqu'elle varie de façon contraire à celle des vecteurs de base du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel d'étude.

### Définition et propriété d'un tenseur d'ordre zéro

$\;{\big$
$\;\mathbb {R} {\big )}\;$
$\;0\;$
Remarque : Un scalaire ne dépendant d'aucune base, un tenseur d'ordre $\;0\;$ est évidemment indépendant du choix d'une telle base.
Propriété : Comme un scalaire ne dépend d'aucune base, « un tenseur d'ordre $\;0\;$ est dit invariant », il n'est ni contravariant ni covariant $\;\ldots$

## Divers types de tenseurs d'ordre un, définitions et propriétés
### Définition et propriété d'un 1er type de tenseur d'ordre un

$\;\mathbb {R}$
$\;3$
$\;{\big$
${\big )}$
$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$
$\;\color {transparent}{3}\;$
$\;1\;$
Remarque : Un tenseur d'ordre $\;1\;$ de ce type est indépendant du choix d'une base dans l'espace affine euclidien tridimensionnel, mais ses composantes dans la base dépendent du choix de celle-ci$\;\ldots$
Propriété : Vérifiant que « les composantes de ce 1er type de tenseur d'ordre $\;1\;$ sont contravariantes »$^,$, on affirmera que Propriété : Vérifiant que « tout vecteur de l'espace vectoriel tridimensionnel $\;{\big$c.-à-d. tout vecteur de la direction de l'espace affine physique${\big )}\;$» est un « tenseur d'ordre $\;1\;$ contravariant$^,$ ».

### Définition et propriété d'un 2ème type de tenseur d'ordre un

$\;\mathbb {R}$
$\;W^{*}\;$
$\;3$
$\;{\bigW^{*}\;$
$\;W\;$
${\big )}$
$\;{\big$
$\;\mathbb {R}$
$\;W{\big ]}$
$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$
$\;\color {transparent}{W^{*}}\;$
$\;\color {transparent}{3}\;$
$\;1\;$
Remarques : Un exemple de tenseur d'ordre $\;1\;$ de ce type associé au vecteur $\;{\vec {a}}\;\in \;W\;$ est la forme linéaire de $\;W\;$ «$\;f:={\vec {a}}\cdot \;$» telle que $\;\forall \;{\vec {x}}\;\in \;W$, $\;f({\vec {x}})={\vec {a}}\cdot {\vec {x}}$, $\;{\big$la forme linéaire de $\;W\;$ est un élément de $\;W^{*}\;$, chaque élément de $\;W^{*}\;$ étant encore appelé « covecteur »${\big ]}\;\ldots$
Remarques : un tenseur d'ordre $\;1\;$ de ce type est indépendant du choix d'une base dans l'espace affine euclidien tridimensionnel, mais ses composantes dans la base dépendent du choix de celle-ci $\;\ldots$
Propriété : Vérifiant que « les composantes de ce 2ème type de tenseur d'ordre $\;1\;$ sont covariantes »$^,$, on affirmera que Propriété : Vérifiant que « toute forme linéaire de l'espace vectoriel tridimensionnel c.-à-d. de la direction de l'espace affine physique » est un « tenseur d'ordre $\;1\;$ covariant$^,$ » ou Propriété : Vérifiant que « tout covecteur de l'espace dual de la direction de l'espace affine physique » est un « tenseur d'ordre $\;1\;$ covariant$^,$ ».

### Lien entre tenseurs d'ordre un contravariant et covariant associés

$\blacktriangleright \;$Un tenseur d'ordre $\;1\;$ contravariant$^,$ étant un vecteur $\;{\vec {a}}\;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;W$, ses composantes $\;{\big$contravariantes${\big )}\;$ $\left(a_{1}\,,\,a_{2}\,,\,a_{3}\right)\;$ dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Un tenseur d'ordre $\;\color {transparent}{1}\;$ contravariant étant un vecteur $\;\color {transparent}{\vec {a}}\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{W}$, ses composantes ont pour représentation matricielle dans cette base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ la « matrice colonne $\;\left[{\begin{array}{c}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{array}}\right]\;$» ; $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$le changement de base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b'}}_{\!1}\,,\,{\vec {b'}}_{\!2}\,,\,{\vec {b'}}_{\!3}\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ étant caractérisé par la matrice de passage $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\in M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$, $\;{\Big \$«$\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }^{\,-1}\;$ étant sa matrice inverse »${\Big \}$, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$le changement de base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }$ les composantes $\;{\big$contravariantes${\big )}\;$ du vecteur $\;{\vec {a}}\;\in \;W\;$ dans la base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ ont pour représentation matricielle dans cette base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$le changement de base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }$ les composantes $\;\color {transparent}{\big$contravariantes$\color {transparent}{\big )}\;$ du vecteur $\;\color {transparent}{{\vec {a}}\;\in \;W}\;$ dans la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B'\right\rbrace }\;$ de $\;\color {transparent}{W}\;$ ont la « matrice colonne $\;\left[{\begin{array}{c}{a'}_{\!1}\\{a'}_{\!2}\\{a'}_{\!3}\end{array}}\right]=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[{\begin{array}{c}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{array}}\right]\;$».
$\blacktriangleright \;$Le tenseur d'ordre $\;1\;$ covariant$^,$ associé au vecteur $\;{\vec {a}}\;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;W\;$ étant la forme linéaire de $\;W\;$ «$\;f:=a\cdot \;$» telle que $\;\forall \;x\;\in \;W$ $\;f(x)=a\cdot x$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Le tenseur d'ordre $\;\color {transparent}{1}\;$ covariant associé au vecteur $\;\color {transparent}{\vec {a}}\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{W}\;$ étant la forme linéaire de $\;W$ $\;{\big$encore appelé « covecteur » de $\;W^{*}{\big )}\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Le tenseur d'ordre $\;\color {transparent}{1}\;$ covariant associé au vecteur $\;\color {transparent}{\vec {a}}\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{W}\;$ étant la forme linéaire de $\;\color {transparent}{W}$ «$\;f:=a\cdot \;$» étant un élément de $\;W^{*}\;$ l'espace dual de $\;W$, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Le tenseur d'ordre $\;\color {transparent}{1}\;$ covariant ses composantes dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ ont pour représentation opérationnelle dans cette base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Le tenseur d'ordre $\;\color {transparent}{1}\;$ covariant ses composantes dans la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace }\;$ de $\;\color {transparent}{W}\;$ ont la « multiplication matricielle à droite de la matrice ligne $\;\left[a_{1}\;\;a_{2}\;\;a_{3}\right]\times \;$» ; $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$le changement de base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b'}}_{\!1}\,,\,{\vec {b'}}_{\!2}\,,\,{\vec {b'}}_{\!3}\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ étant caractérisé par la matrice de passage $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\in M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)$, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$le changement de base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }$ les composantes de $\;\left\lbrace {\vec {a}}\;\cdot \right\rbrace \in \;W^{*}\;$ dans la base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ ont pour représentation opérationnelle dans cette base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$le changement de base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }$ les composantes de $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {a}}\;\cdot \right\rbrace \in \;W^{*}}\;$ dans la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B'\right\rbrace }\;$ de $\;\color {transparent}{W}\;$ ont la « multiplication matricielle à droite de la matrice ligne $\left[{a'}_{\!1}\;\;{a'}_{2}\;\;{a'}_{3}\right]\times =$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$le changement de base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }$ les composantes de $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {a}}\;\cdot \right\rbrace \in \;W^{*}}\;$ dans la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B'\right\rbrace }\;$ de $\;\color {transparent}{W}\;$ ont la « multiplication matricielle à droite de la matrice ligne $\left[a_{1}\;\;a_{2}\;\;a_{3}\right]\times \;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace C\right\rbrace }\times \;$».
$\blacktriangleright \;$Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs $\;\left({\vec {a}}\,,\,{\vec {x}}\right)\;\in \;W^{2}\;$» s'identifiant à « l'image de $\;{\vec {x}}\;\in \;W\;$ par la forme linéaire “$\;f:={\vec {a}}\;\cdot \;$” $\;\in \;W^{*}\;$» à savoir «$\;{\vec {a}}\cdot {\vec {x}}=f({\vec {x}})\;\in \;\mathbb {R} \;$» $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$>Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs $\;\color {transparent}{\left({\vec {a}}\,,\,{\vec {x}}\right)\;\in \;W^{2}}\;$» est invariant par changement de base choisie dans $\;W\;$ en effet $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$>Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs $\;\color {transparent}{\left({\vec {a}}\,,\,{\vec {x}}\right)\;\in \;W^{2}}\;$» est invariant évalué, dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace \;$ de $\;W$, par «$\;{\vec {a}}\cdot {\vec {x}}=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,3}a_{k}\;x_{k}\;$ $=\left[a_{1}\;\;a_{2}\;\;a_{3}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}}\right]\;$ », $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$>Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs $\;\color {transparent}{\left({\vec {a}}\,,\,{\vec {x}}\right)\;\in \;W^{2}}\;$» est invariant on vérifie que le changement de base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ caractérisé par la matrice de passage $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$>Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs $\;\color {transparent}{\left({\vec {a}}\,,\,{\vec {x}}\right)\;\in \;W^{2}}\;$» est invariant on vérifie que conduit à l'évaluation dans la nouvelle base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b'}}_{\!1}\,,\,{\vec {b'}}_{\!2}\,,\,{\vec {b'}}_{\!3}\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ selon $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$>Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs $\;\color {transparent}{\left({\vec {a}}\,,\,{\vec {x}}\right)\;\in \;W^{2}}\;$» est invariant on vérifie que «$\;{\vec {a}}\cdot {\vec {x}}=\left[{a'}_{1}\;\;{a'}_{2}\;\;{a'}_{3}\right]\times \left[{\begin{array}{c}{x'}_{1}\\{x'}_{2}\\{x'}_{3}\end{array}}\right]\;$» où «$\;\left[{a'}_{1}\;\;{a'}_{2}\;\;{a'}_{3}\right]\times$ $=\left[a_{1}\;\;a_{2}\;\;a_{3}\right]\times \;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\times \;$» $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$>Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs $\;\color {transparent}{\left({\vec {a}}\,,\,{\vec {x}}\right)\;\in \;W^{2}}\;$» est invariant on vérifie que «$\;\color {transparent}{{\vec {a}}\cdot {\vec {x}}=\left[{a'}_{1}\;\;{a'}_{2}\;\;{a'}_{3}\right]\times \left[{\begin{array}{c}{x'}_{1}\end{array}}\right]}\;$» où « ${\big \$caractère « covariant » de “$\;f:={\vec {a}}\;\cdot \;$” $\;\in \;W^{*}{\big \}$ et $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$>Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs $\;\color {transparent}{\left({\vec {a}}\,,\,{\vec {x}}\right)\;\in \;W^{2}}\;$» est invariant on vérifie que «$\;\color {transparent}{{\vec {a}}\cdot {\vec {x}}=\left[{a'}_{1}\;\;{a'}_{2}\;\;{a'}_{3}\right]\times \left[{\begin{array}{c}{x'}_{1}\end{array}}\right]}\;$» où «$\;\left[{\begin{array}{c}{x'}_{1}\\{x'}_{2}\\{x'}_{3}\end{array}}\right]=$ $\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}}\right]\;$» $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$>Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs $\;\color {transparent}{\left({\vec {a}}\,,\,{\vec {x}}\right)\;\in \;W^{2}}\;$» est invariant on vérifie que «$\;\color {transparent}{{\vec {a}}\cdot {\vec {x}}=\left[{a'}_{1}\;\;{a'}_{2}\;\;{a'}_{3}\right]\times \left[{\begin{array}{c}{x'}_{1}\end{array}}\right]}\;$» où « ${\big \$caractère « contravariant » de “$\;{\vec {x}}\;$” $\;\in \;W{\big \}$ $\Rightarrow$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$>Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs $\;\color {transparent}{\left({\vec {a}}\,,\,{\vec {x}}\right)\;\in \;W^{2}}\;$» est invariant on vérifie que «$\;{\vec {a}}\cdot {\vec {x}}=\left[{a'}_{1}\;\;{a'}_{2}\;\;{a'}_{3}\right]\times \left[{\begin{array}{c}{x'}_{1}\\{x'}_{2}\\{x'}_{3}\end{array}}\right]\;$ $=\left\lbrace \left[a_{1}\;\;a_{2}\;\;a_{3}\right]\times \;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\times \right\rbrace \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}}\right]$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$>Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs $\;\color {transparent}{\left({\vec {a}}\,,\,{\vec {x}}\right)\;\in \;W^{2}}\;$» est invariant on vérifie que «$\;\color {transparent}{{\vec {a}}\cdot {\vec {x}}}$ $=\left[a_{1}\;\;a_{2}\;\;a_{3}\right]\times {\cancel {{\bigg \\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }^{\,-1}{\bigg \}}}}\times \left[{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}}\right]\;$$^,$ » soit $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$>Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs $\;\color {transparent}{\left({\vec {a}}\,,\,{\vec {x}}\right)\;\in \;W^{2}}\;$» est invariant on vérifie que « l'invariance de $\;{\vec {a}}\cdot {\vec {x}}\;$ par changement de bases » C.Q.F.V. ; $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$>Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs $\;\color {transparent}{\left({\vec {a}}\,,\,{\vec {x}}\right)\;\in \;W^{2}}\;$» est invariant on vérifie que «$\;{\vec {a}}\cdot {\vec {x}}\;$ étant un scalaire est un tenseur d'ordre $\;0\;$ d'où son invariance par changement de bases ».

## Divers types de tenseurs d'ordre deux, définitions et propriétés

Parmi les tenseurs d'ordre deux nous nous limiterons à ceux dont la représentation matricielle ou opérationnelle fait intervenir des matrices carrées de même dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;3$, Parmi les tenseurs d'ordre deux nous écartons tout tenseur d'ordre $\;2\;$ à représentation matricielle ou opérationnelle avec au moins une matrice rectangulaire dont une dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ est $\;3$, Parmi les tenseurs d'ordre deux nous écartons tout tenseur d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ à représentation matricielle ou opérationnelle avec au moins une matrice rectangulaire dont l'autre étant un entier $\;p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\,,\,3\right\rbrace$.

### Définition et propriété d'un 1er type de tenseur d'ordre deux

$\;\mathbb {R}$
$\;3^{2}=9\;$
${\big$
$\;3\;$
${\big )}$
$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$
$\;\color {transparent}{3^{2}=9}\;$
$\;2\;$
Remarque 1 : Un tenseur d'ordre $\;2\;$ de ce type est indépendant du choix d'une base dans l'espace affine euclidien tridimensionnel, mais ses composantes dans la base dépendent du choix de celle-ci.
Propriété : Vérifiant que « les composantes de ce 1er type de tenseur d'ordre $\;2\;$ sont contravariantes »$^,$, on affirmera que Propriété : Vérifiant que « toute famille de$\;3\;$vecteurs de l'espace vectoriel tridimensionnel $\;{\big$c.-à-d. toute famille de $\;3\;$ vecteurs de la direction de l'espace affine physique${\big )}\;$» Propriété : Vérifiant que « toute famille de$\;\color {transparent}{3}\;$vecteurs de l'espace vectoriel tridimensionnel est un « tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant$^,$ ».
Remarque 2 : Les tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants n'apportent guère plus que les tenseurs d'ordre $\;1\;$ contravariants, mis à part le regroupement de $\;3\;$ vecteurs dans une même famille c.-à-d. Remarque 2 : Les tenseurs d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ contravariants n'apportent guère plus que les tenseurs d'ordre $\;\color {transparent}{1}\;$ contravariants, mis à part le regroupement de $\;3\;$ tenseurs d'ordre $\;1\;$ contravariants Remarque 2 : Les tenseurs d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ contravariants n'apportent guère plus que les tenseurs d'ordre $\;\color {transparent}{1}\;$ contravariants, mis à part le regroupement en un seul tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant.

### Définition et propriété d'un 2ème type de tenseur d'ordre deux

$\;3\;$
$\;\mathbb {R}$
$\;W\;$
${\big$
${\big )}$
$\;3\;$
$\;\mathbb {R}$
$\;W^{*}$
$\;{\big$
$\;W\;$
${\big )}\;$
$\;{\big \$
$\;3\;$
$\;W^{*}{\big \}$
$\;\color {transparent}{3}\;$
$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$
$\;\color {transparent}{W}\;$
$\;2\;$
Remarques 1 : Un exemple de tenseur d'ordre $\;2\;$ de ce type associé au triplet de vecteurs $\;\left({\vec {a}}\,,\,{\vec {a'}}\,,\,{\vec {a''}}\right)\;\in \;W^{3}\;$ est la famille des $\;3\;$ formes linéaires de $\;W\;$ «$\;\left(f:={\vec {a}}\,\cdot \,,\,f':={\vec {a'}}\cdot \,,\,f'':={\vec {a''}}\cdot \right)\;$» telle que $\;\forall \;{\vec {x}}\;\in \;W$, $\;\left\lbrace f({\vec {x}})={\vec {a}}\cdot {\vec {x}}\,,\,f'({\vec {x}})={\vec {a'}}\cdot {\vec {x}}\,,\,f''({\vec {x}})={\vec {a''}}\cdot {\vec {x}}\right\rbrace$, $\;{\big$les formes linéaires de $\;W\;$ sont des éléments de $\;W^{*}\;$ dont chaque élément étant encore appelé « covecteur »${\big ]}\;\ldots$
Remarques 1 : un tenseur d'ordre $\;2\;$ de ce type est indépendant du choix d'une base dans l'espace affine euclidien tridimensionnel, mais ses composantes dans la base dépendent du choix de celle-ci.
Propriété : Vérifiant que « les composantes de ce 2nd type de tenseur d'ordre $\;2\;$ sont covariantes »$^,$, on affirmera que Propriété : Vérifiant que « toute famille de${\underline {\;3\;}}$formes linéaires de l'espace vectoriel tridimensionnel $\;{\big$direction de l'espace affine physique${\big )}\;$» est un « tenseur d'ordre $\;2\;$ covariant$^,$ ».
Remarque 2 : Les tenseurs d'ordre $\;2\;$ covariants n'apportent guère plus que les tenseurs d'ordre $\;1\;$ covariants mis à part le regroupement de $\;3\;$ covecteurs dans une même famille c.-à-d. Remarque 2 : Les tenseurs d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ covariants n'apportent guère plus que les tenseurs d'ordre $\;\color {transparent}{1}\;$ covariants mis à part le regroupement de $\;3\;$ tenseurs d'ordre $\;1\;$ covariants Remarque 2 : Les tenseurs d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ covariants n'apportent guère plus que les tenseurs d'ordre $\;\color {transparent}{1}\;$ covariants mis à part le regroupement en un seul tenseur d'ordre $\;2\;$ covariant.

### Définition et propriété d'un 3ème type de tenseur d'ordre deux

$\;\mathbb {R}$
$\;W\;$
$\;{\Big \$
$\;\left({\text{?}}\,\vert \,{\text{?}}\right)\;$
$\;W^{2}\;$
$\;\mathbb {R} \;$
$\;\forall \;\left({\vec {x}}\,,\,{\vec {y}}\right)\;\in \;W^{2}$
$\;\left({\vec {x}}\,,\,{\vec {y}}\right)\;{\overset {\left({\text{?}}\,\vert \,{\text{?}}\right)}{\rightarrow }}\;\left({\vec {x}}\,\vert \,{\vec {y}}\right)\;\in \;\mathbb {R} \;$
$\;\color {transparent}{\left({\text{?}}\,\vert \,{\text{?}}\right)}\;$
$\;\color {transparent}{W^{2}}\;$
$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;$
$\;\color {transparent}{\forall \;\left({\vec {x}}\,,\,{\vec {y}}\right)\;\in \;W^{2}}$
$\;\left({\text{?}}\,\vert \,{\text{?}}\right)\;$
$\;{\vec {x}}\;$
$\;{\vec {y}}\;$
${\Big \}$
$\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$
$\;\color {transparent}{W}\;$
$\;2\;$
Remarques 1 : Un exemple de tenseur d'ordre $\;2\;$ de ce type associé à la multiplication scalaire de $\;W\;$ et à l'endomorphisme $\;\varphi \;\in \;L(W)\;$ est l'application composée «$\;\left({\text{?}}\,\vert \,{\text{?}}\right)={\text{?}}\cdot \,\varphi ({\text{?}})\;$» définie sur $\;W^{2}\;$ telle que $\;\forall \;\left({\vec {x}}\,,\,{\vec {y}}\right)\;\in \;W^{2}$, $\;\left({\vec {x}}\,\vert \,{\vec {y}}\right)={\vec {x}}\cdot \varphi ({\vec {y}})$ $\;{\Big$les formes bilinéaires de $\;W\;$ sont des éléments de «$\;W^{*}\!\times L(W)\;$»$^,$${\Big ]}\;\ldots$
Remarques 1 : un tenseur d'ordre $\;2\;$ de ce type est indépendant du choix d'une base dans l'espace affine euclidien tridimensionnel mais ses composantes dans la base dépendent du choix de celle-ci.
Propriété : Vérifiant que « les composantes de ce 3ème type de tenseur d'ordre $\;2\;$ sont partiellement covariante et contravariante »$^,$, on affirmera que Propriété : Vérifiant que « toute forme bilinéaire de l'espace vectoriel tridimensionnel $\;{\big$c.-à-d. tout élément de $\;W^{*}\!\times L(W)\;$$^,$${\big ]}\;$» est un « tenseur d'ordre $\;2\;$ “mixte”$^,$$^,$ ».
Remarque 2 : Les tenseurs d'ordre $\;2\;$ « mixtes »$^,$$^,$ apportent quelque chose de nouveau par rapport aux tenseurs d'ordre $\;1\;$ covariants ou contravariants car Remarque 2 : Les tenseurs d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ « mixtes » ils ne peuvent pas se réduire à une famille de $\;3\;$ tenseurs d'ordre $\;1$ $\;\ldots$

### Différence de représentativités entre les tenseurs d'ordre deux

$\;{\big$
${\big )}$
$\;3$
$\;2\;$
$\;{\big$
${\big )}$
$\;3$
$\;\color {transparent}{2}\;$
$\;p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\,,\,3\right\rbrace$
* « Un tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant »$^,$ étant une « famille de $\;3\;$ vecteurs $\;\left({\vec {x}}\,,\,{\vec {v}}\,,\,{\vec {w}}\right)\;\in \;W^{3}\;$ où $\;W\;$ est un $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel », ses composantes dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ à savoir $\;\left\lbrace {\vec {x}}\;\left(x_{1}\,,\,x_{2}\,,\,x_{3}\right)\,;\,{\vec {v}}\;\left(v_{1}\,,\,v_{2}\,,\,v_{3}\right)\,;\,{\vec {w}}\;\left(w_{1}\,,\,w_{2}\,,\,w_{3}\right)\right\rbrace \;$ ont pour représentation matricielle dans cette base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ la « matrice carrée $\;\left[{\begin{array}{c}x_{1}&v_{1}&w_{1}\\x_{2}&v_{2}&w_{2}\\x_{3}&v_{3}&w_{3}\end{array}}\right]\in M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» résultant de la juxtaposition des matrices colonnes représentant chaque vecteur $\;{\big$ou tenseur d'ordre $\;1\;$ contravariant$^,$${\big )}$ ; « le changement de base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b'}}_{\!1}\,,\,{\vec {b'}}_{\!2}\,,\,{\vec {b'}}_{\!3}\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ étant caractérisé par la matrice de passage correspondante $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\in M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$, les composantes de la famille des $\;3\;$ vecteurs $\;\left({\vec {x}}\,,\,{\vec {v}}\,,\,{\vec {w}}\right)\;\in \;W^{3}\;$ dans la base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ ont pour représentation matricielle dans la base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ la « matrice carrée $\;\left[{\begin{array}{c}{x'}_{\!1}&{v'}_{\!1}&{w'}_{\!1}\\{x'}_{\!2}&{v'}_{\!2}&{w'}_{\!2}\\{x'}_{\!3}&{v'}_{\!3}&{w'}_{\!3}\end{array}}\right]=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[{\begin{array}{c}x_{1}&v_{1}&w_{1}\\x_{2}&v_{2}&w_{2}\\x_{3}&v_{3}&w_{3}\end{array}}\right]\;$» ${\big \$les composantes des $\;3\;$ vecteurs dans la base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ étant $\;{\vec {x}}\,:\,\left({x'}_{\!1}\,,\,{x'}_{\!2}\,,\,{x'}_{\!3}\right)\,;\,{\vec {v}}\,:\,\left({v'}_{\!1}\,,\,{v'}_{\!2}\,,\,{v'}_{\!3}\right)\,;\,{\vec {w}}\,:\,\left({w'}_{\!1}\,,\,{w'}_{\!2}\,,\,{w'}_{\!3}\right){\big \}$.
* « Le tenseur d'ordre $\;2\;$ covariant »$^,$ associé à la famille des $\;3\;$ vecteurs $\;\left({\vec {a}}\,,\,{\vec {r}}\,,\,{\vec {s}}\right)\;\in \;W^{3}\;$ étant la « famille des $\;3\;$ formes linéaires de $\;W\;$ définie selon $\;\left(f:={\vec {a}}\,\cdot \,,\,g:={\vec {r}}\cdot \,,\,h:={\vec {s}}\cdot \right)\;$» telle que $\;\forall \;{\vec {x}}\;\in \;W$, $\;\left\lbrace f({\vec {x}})={\vec {a}}\cdot {\vec {x}}\,,\,g({\vec {x}})={\vec {r}}\cdot {\vec {x}}\,,\,h({\vec {x}})={\vec {s}}\cdot {\vec {x}}\right\rbrace$, $\;{\big$les formes linéaires de $\;W\;$ étant des éléments de $\;W^{*}\;$ espace dual de $\;W$, c.-à-d. des « covecteurs » de $\;W^{*}\;$${\big ]}\;$, ses composantes dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ ont pour représentation opérationnelle la « multiplication matricielle à droite de la matrice carrée $\;\left[{\begin{array}{c}\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}_{1}\right)&\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}_{2}\right)&\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}_{3}\right)\\\left({\vec {r}}\cdot {\vec {b}}_{1}\right)&\left({\vec {r}}\cdot {\vec {b}}_{2}\right)&\left({\vec {r}}\cdot {\vec {b}}_{3}\right)\\\left({\vec {s}}\cdot {\vec {b}}_{1}\right)&\left({\vec {s}}\cdot {\vec {b}}_{2}\right)&\left({\vec {s}}\cdot {\vec {b}}_{3}\right)\end{array}}\right]\;\times \;$» ; « le changement de base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b'}}_{\!1}\,,\,{\vec {b'}}_{\!2}\,,\,{\vec {b'}}_{\!3}\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ étant caractérisé par la matrice de passage correspondante $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\in M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)$, les composantes de la famille des $\;3\;$ covecteurs $\;\left({\vec {a}}\,\cdot \,,\,{\vec {r}}\,\cdot \,,\,{\vec {s}}\,\cdot \right)\in \;\left\lbrace W^{*}\right\rbrace ^{3}\;$ dans la base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ ont pour représentation opérationnelle la « multiplication matricielle à droite de la matrice $\left[{\begin{array}{c}\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b'}}_{\!1}\right)&\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b'}}_{\!2}\right)&\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b'}}_{\!3}\right)\\\left({\vec {r}}\cdot {\vec {b'}}_{\!1}\right)&\left({\vec {r}}\cdot {\vec {b'}}_{\!2}\right)&\left({\vec {r}}\cdot {\vec {b'}}_{\!3}\right)\\\left({\vec {s}}\cdot {\vec {b'}}_{\!1}\right)&\left({\vec {s}}\cdot {\vec {b'}}_{\!2}\right)&\left({\vec {s}}\cdot {\vec {b'}}_{\!3}\right)\end{array}}\right]\times$ $=\left[{\begin{array}{c}\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}_{1}\right)&\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}_{2}\right)&\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}_{3}\right)\\\left({\vec {r}}\cdot {\vec {b}}_{1}\right)&\left({\vec {r}}\cdot {\vec {b}}_{2}\right)&\left({\vec {r}}\cdot {\vec {b}}_{3}\right)\\\left({\vec {s}}\cdot {\vec {b}}_{1}\right)&\left({\vec {s}}\cdot {\vec {b}}_{2}\right)&\left({\vec {s}}\cdot {\vec {b}}_{3}\right)\end{array}}\right]\!\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\times \;$» dans cette base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace$ $\;{\Bigg \langle }$les composantes des $\;3\;$ vecteurs dans la base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ étant $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {a}}\,:\,\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b'}}_{\!1}\,,\,{\vec {a}}\cdot {\vec {b'}}_{\!2}\,,\,{\vec {a}}\cdot {\vec {b'}}_{\!3}\right)\\{\vec {r}}\,:\,\left({\vec {r}}\cdot {\vec {b'}}_{\!1}\,,\,{\vec {r}}\cdot {\vec {b'}}_{\!2}\,,\,{\vec {r}}\cdot {\vec {b'}}_{\!3}\right)\\{\vec {s}}\,:\,\left({\vec {s}}\cdot {\vec {b'}}_{\!1}\,,\,{\vec {s}}\cdot {\vec {b'}}_{\!2}\,,\,{\vec {s}}\cdot {\vec {b'}}_{\!3}\right)\end{array}}\right\rbrace {\Bigg \rangle }$.
* « Un tenseur d'ordre $\;2\;$ “ mixte ”$^,$$^,$ » étant une « forme bilinéaire du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;W\;$», c.-à-d. une « application linéaire $\;\left({\text{?}}\,\vert \,{\text{?}}\right)\;$ de $\;W^{2}\;$ dans $\;\mathbb {R} \;$» $\;{\Big \$l'image d'un élément $\;\left({\vec {x}}\,,\,{\vec {y}}\right)\;$ de $\;W^{2}\;$ par $\;\left({\text{?}}\,\vert \,{\text{?}}\right)\;$ est donc un scalaire${\Big \}$, sa représentation opérationnelle $\;{\big$matricielle${\big )}$, après choix d'une base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =$ $\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace \;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;W$, doit contenir $\;3^{2}=9\;$ cœfficients avec, comme exigence finale, un scalaire pour $\;\left({\vec {x}}\,\vert \,{\vec {y}}\right)\;$ c.-à-d. une matrice de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;\left(1\,,\,1\right)$, ce qui nécessite « $\succ \;$une représentation matricielle de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;\left(1\,,\,3\right)\;$ ${\big$c.-à-d. une matrice ligne${\big )}\;$ pour le 1er vecteur $\;{\vec {x}}\;$ et « $\succ \;$une représentation matricielle de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;\left(3\,,\,1\right)\;$${\big$c.-à-d. une matrice colonne${\big )}\;$ pour le 2ème vecteur $\;{\vec {y}}\;$ soit la représentation opérationnelle $\;{\big$matricielle${\big )}\;$ de la forme bilinéaire $\;\left({\text{?}}\,\vert \,{\text{?}}\right)\;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;W\;$ par «$\;\times \left[A\right]\times \;$» dans laquelle $\;\left[A\right]\;\in \;M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ est une matrice carrée de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;\left(3\,,\,3\right)\;$ et «$\;\times \;$» la multiplication matricielle $\;{\Big \$on vérifie que la forme bilinéaire $\;\left({\text{?}}\,\vert \,{\text{?}}\right)$, tenseur d'ordre $\;2\;$ de représentation opérationnelle « une multiplication matricielle à gauche et à droite d'une matrice carrée de dimension $\;{\big$ou taille${\big )}$ $\;3\;$» est covariante à gauche et covariante à droite${\Big \}$ ; « $\left({\vec {x}}\,\vert \,{\vec {y}}\right)\;$ étant un scalaire, est invariant par changement de bases de $\;W\;$ et se calcule, en utilisant la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace$, par évaluation du produit matriciel «$\;\left[x_{1}\;\;x_{2}\;\;x_{3}\right]\times \left[A\right]\times \left[{\begin{array}{c}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{array}}\right]\;$» dans laquelle $\;\left[x_{1}\;\;x_{2}\;\;x_{3}\right]\;$ et $\;\left[{\begin{array}{c}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{array}}\right]\;$ sont la matrice ligne représentant $\;{\vec {x}}\;$ et la matrice colonne représentant $\;{\vec {y}}\;$ et $\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c c c}\left({\vec {b}}_{1}\,\vert \,{\vec {b}}_{1}\right)\!&\left({\vec {b}}_{1}\,\vert \,{\vec {b}}_{2}\right)\!&\left({\vec {b}}_{1}\,\vert \,{\vec {b}}_{3}\right)\\\left({\vec {b}}_{2}\,\vert \,{\vec {b}}_{1}\right)\!&\left({\vec {b}}_{2}\,\vert \,{\vec {b_{2}}}\right)\!&\left({\vec {b}}_{2}\,\vert \,{\vec {b}}_{3}\right)\\\left({\vec {b}}_{3}\,\vert \,{\vec {b}}_{1}\right)\!&\left({\vec {b}}_{3}\,\vert \,{\vec {b}}_{2}\right)\!&\left({\vec {b}}_{3}\,\vert \,{\vec {b}}_{3}\right)\end{array}}\right]\;$ dans la même base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$$^,$ ; « le changement de base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b'}}_{\!1}\,,\,{\vec {b'}}_{\!2}\,,\,{\vec {b'}}_{\!3}\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ étant caractérisé par la matrice de passage $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\in M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)$, la représentation opérationnelle de la forme bilinéaire $\;\left({\text{?}}\,\vert \,{\text{?}}\right)\;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;W\;$ dans la base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ est la « multiplication matricielle à droite et à gauche de la matrice $\;\left[A\right]\;$ exprimée dans la base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$» soit
$\;\times \;\left[{\begin{array}{c c c}\left({\vec {b'}}_{\!1}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!1}\right)\!&\left({\vec {b'}}_{\!1}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!2}\right)\!&\left({\vec {b'}}_{\!1}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!3}\right)\\\left({\vec {b'}}_{\!2}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!1}\right)\!&\left({\vec {b'}}_{\!2}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!2}\right)\!&\left({\vec {b'}}_{\!2}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!3}\right)\\\left({\vec {b'}}_{\!3}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!1}\right)\!&\left({\vec {b'}}_{\!3}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!2}\right)\!&\left({\vec {b'}}_{\!3}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!3}\right)\end{array}}\right]\times \;=\;\times \left[{\begin{array}{c}{\vec {b'}}_{\!1}\cdot \varphi ({\vec {b'}}_{\!1})\!&\!{\vec {b'}}_{\!1}\cdot \varphi ({\vec {b'}}_{\!2})\!&\!{\vec {b'}}_{\!1}\cdot \varphi ({\vec {b'}}_{\!3})\\{\vec {b'}}_{\!2}\cdot \varphi ({\vec {b'}}_{\!1})\!&\!{\vec {b'}}_{\!2}\cdot \varphi ({\vec {b'}}_{\!2})\!&\!{\vec {b'}}_{\!2}\cdot \varphi ({\vec {b'}}_{\!3})\\{\vec {b'}}_{\!3}\cdot \varphi ({\vec {b'}}_{\!1})\!&\!{\vec {b'}}_{\!3}\cdot \varphi ({\vec {b'}}_{\!2})\!&\!{\vec {b'}}_{\!3}\cdot \varphi ({\vec {b'}}_{\!3})\end{array}}\right]\times \;$
$\;\left[{\begin{array}{c c c}\left({\vec {b'}}_{\!1}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!1}\right)\!&\left({\vec {b'}}_{\!1}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!2}\right)\!&\left({\vec {b'}}_{\!1}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!3}\right)\\\left({\vec {b'}}_{\!2}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!1}\right)\!&\left({\vec {b'}}_{\!2}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!2}\right)\!&\left({\vec {b'}}_{\!2}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!3}\right)\\\left({\vec {b'}}_{\!3}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!1}\right)\!&\left({\vec {b'}}_{\!3}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!2}\right)\!&\left({\vec {b'}}_{\!3}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!3}\right)\end{array}}\right]=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace b'\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[{\begin{array}{c c c}\left({\vec {b}}_{1}\,\vert \,{\vec {b}}_{1}\right)\!&\left({\vec {b}}_{1}\,\vert \,{\vec {b}}_{2}\right)\!&\left({\vec {b}}_{1}\,\vert \,{\vec {b}}_{3}\right)\\\left({\vec {b}}_{2}\,\vert \,{\vec {b}}_{1}\right)\!&\left({\vec {b}}_{2}\,\vert \,{\vec {b_{2}}}\right)\!&\left({\vec {b}}_{2}\,\vert \,{\vec {b}}_{3}\right)\\\left({\vec {b}}_{3}\,\vert \,{\vec {b}}_{1}\right)\!&\left({\vec {b}}_{3}\,\vert \,{\vec {b}}_{2}\right)\!&\left({\vec {b}}_{3}\,\vert \,{\vec {b}}_{3}\right)\end{array}}\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\;$
$\;\left[{\begin{array}{c}{\vec {b'}}_{\!1}\cdot \varphi ({\vec {b'}}_{\!1})\!&\!{\vec {b'}}_{\!1}\cdot \varphi ({\vec {b'}}_{\!2})\!&\!{\vec {b'}}_{\!1}\cdot \varphi ({\vec {b'}}_{\!3})\\{\vec {b'}}_{\!2}\cdot \varphi ({\vec {b'}}_{\!1})\!&\!{\vec {b'}}_{\!2}\cdot \varphi ({\vec {b'}}_{\!2})\!&\!{\vec {b'}}_{\!2}\cdot \varphi ({\vec {b'}}_{\!3})\\{\vec {b'}}_{\!3}\cdot \varphi ({\vec {b'}}_{\!1})\!&\!{\vec {b'}}_{\!3}\cdot \varphi ({\vec {b'}}_{\!2})\!&\!{\vec {b'}}_{\!3}\cdot \varphi ({\vec {b'}}_{\!3})\end{array}}\right]=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace b'\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[{\begin{array}{c}{\vec {b_{1}}}\cdot \varphi ({\vec {b_{1}}})\!&\!{\vec {b_{1}}}\cdot \varphi ({\vec {b_{2}}})\!&\!{\vec {b_{1}}}\cdot \varphi ({\vec {b_{3}}})\\{\vec {b_{2}}}\cdot \varphi ({\vec {b_{1}}})\!&\!{\vec {b_{2}}}\cdot \varphi ({\vec {b_{2}}})\!&\!{\vec {b_{2}}}\cdot \varphi ({\vec {b_{3}}})\\{\vec {b_{3}}}\cdot \varphi ({\vec {b_{1}}})\!&\!{\vec {b_{3}}}\cdot \varphi ({\vec {b_{2}}})\!&\!{\vec {b_{3}}}\cdot \varphi ({\vec {b_{3}}})\end{array}}\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\;$
$\;\times \;\left[{\begin{array}{c c c}\left({\vec {b'}}_{\!1}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!1}\right)\!&\left({\vec {b'}}_{\!1}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!2}\right)\!&\left({\vec {b'}}_{\!1}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!3}\right)\\\left({\vec {b'}}_{\!2}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!1}\right)\!&\left({\vec {b'}}_{\!2}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!2}\right)\!&\left({\vec {b'}}_{\!2}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!3}\right)\\\left({\vec {b'}}_{\!3}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!1}\right)\!&\left({\vec {b'}}_{\!3}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!2}\right)\!&\left({\vec {b'}}_{\!3}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!3}\right)\end{array}}\right]\times \;=\;\times \;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace b'\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[{\begin{array}{c c c}\left({\vec {b}}_{1}\,\vert \,{\vec {b}}_{1}\right)\!&\left({\vec {b}}_{1}\,\vert \,{\vec {b}}_{2}\right)\!&\left({\vec {b}}_{1}\,\vert \,{\vec {b}}_{3}\right)\\\left({\vec {b}}_{2}\,\vert \,{\vec {b}}_{1}\right)\!&\left({\vec {b}}_{2}\,\vert \,{\vec {b_{2}}}\right)\!&\left({\vec {b}}_{2}\,\vert \,{\vec {b}}_{3}\right)\\\left({\vec {b}}_{3}\,\vert \,{\vec {b}}_{1}\right)\!&\left({\vec {b}}_{3}\,\vert \,{\vec {b}}_{2}\right)\!&\left({\vec {b}}_{3}\,\vert \,{\vec {b}}_{3}\right)\end{array}}\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\;\times \;$
$\;\times \;\left[{\begin{array}{c}{\vec {b'}}_{\!1}\cdot \varphi ({\vec {b'}}_{\!1})\!&\!{\vec {b'}}_{\!1}\cdot \varphi ({\vec {b'}}_{\!2})\!&\!{\vec {b'}}_{\!1}\cdot \varphi ({\vec {b'}}_{\!3})\\{\vec {b'}}_{\!2}\cdot \varphi ({\vec {b'}}_{\!1})\!&\!{\vec {b'}}_{\!2}\cdot \varphi ({\vec {b'}}_{\!2})\!&\!{\vec {b'}}_{\!2}\cdot \varphi ({\vec {b'}}_{\!3})\\{\vec {b'}}_{\!3}\cdot \varphi ({\vec {b'}}_{\!1})\!&\!{\vec {b'}}_{\!3}\cdot \varphi ({\vec {b'}}_{\!2})\!&\!{\vec {b'}}_{\!3}\cdot \varphi ({\vec {b'}}_{\!3})\end{array}}\right]\times \;=\;\times \;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace b'\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[{\begin{array}{c}{\vec {b_{1}}}\cdot \varphi ({\vec {b_{1}}})\!&\!{\vec {b_{1}}}\cdot \varphi ({\vec {b_{2}}})\!&\!{\vec {b_{1}}}\cdot \varphi ({\vec {b_{3}}})\\{\vec {b_{2}}}\cdot \varphi ({\vec {b_{1}}})\!&\!{\vec {b_{2}}}\cdot \varphi ({\vec {b_{2}}})\!&\!{\vec {b_{2}}}\cdot \varphi ({\vec {b_{3}}})\\{\vec {b_{3}}}\cdot \varphi ({\vec {b_{1}}})\!&\!{\vec {b_{3}}}\cdot \varphi ({\vec {b_{2}}})\!&\!{\vec {b_{3}}}\cdot \varphi ({\vec {b_{3}}})\end{array}}\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\;\times \;$

## Tenseurs d'ordre strictement supérieur à deux

Nous pourrions poursuivre la construction des tenseurs d'ordre $\;\geqslant \;$ à $\;3\;$ comme celle exposée pour les tenseurs d'ordre $\;\leqslant \;$ à $\;2\;$ mais la difficulté d'exposé grandissant simultanément à la diminution d'intérêts de tel tenseur dans le domaine de la physique, nous nous contenterons d'une définition de tels tenseurs après l'introduction de deux opérations sur les tenseurs :
* la multiplication tensorielle d'une part et
* la contraction tensorielle d'autre part,
leur introduction conduisant à une définition de tenseur nettement plus concise$\;\ldots$