OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Mathématiques en terminale générale/Devoir/Fonctions irrationnelles, formule du binôme et complexes

1° On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb {R}$ par :
    $f(x)=x+{\sqrt {1+x^{2}}}$
    a) Montrez que pour tout réel $x$,
       ${\sqrt {1+x^{2}}}>|x|$
       et déduisez-en le signe de $f(x)$.
    b) Étudiez cette fonction et tracez sa courbe représentative dans un repère orthonormal $(0;\,{\vec {i}},\,{\vec {j}})$.
2° On considère la fonction $g$ définie sur $]0;\,+\infty [$ par :
    $g(x)={\frac {x^{2}-1}{2x}}$.
    Vérifiez que pour tout réel $x,\,g\left(f(x)\right)=x$, et que pour tout réel $x>0,\,f\left(g(x)\right)=x$.
3° On considère la fonction $h$ définie par :
    $h(u)={\frac {1}{2}}\left(u+{\frac {1}{u}}\right)$
    Dressez le tableau de variation de $h$, précisez les limites aux bornes de son ensemble de définition.
4° $n$ est un naturel.
    On considère la fonction $P_{n}$ definie sur $\mathbb {R}$ par :
    $P_{n}(x)={\frac {1}{2}}\left(\left(x+{\sqrt {1+x^{2}}}\right)^{n}+\left(x-{\sqrt {1+x^{2}}}\right)^{n}\right)$
    a) Montrez que $P_{n}$ est un polynôme.
       Précisez son degré.
    b) Comparez, pour tout réel $x,\,P_{n}(x)$ et $P_{n}(-x)$.
5° On note $\varphi$ le polynôme $x\mapsto x^{n}$.
    Montrez que suivant la parité de $n$,
    $P_{n}=h\circ \varphi \circ f\qquad$ ou $\qquad P_{n}=g\circ \varphi \circ f$
    Déduisez-en le tableau de variation de $P_{n}$.
6° On suppose dans cette question que $n$ est un naturel pair non nul.
    a) $m$ est un réel donné.
       Discutez, suivant le choix de $m$, le nombre de racines réelles de l'équation $P_{n}(x)=m$.
    b) $\lambda$ est un réel donné strictement compris entre $0$ et ${\frac {\pi }{2}}$.
       Résolvez dans $\mathbb {C}$ l'équation :
       ${\frac {1}{2}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right)=\cos \lambda$.
       Déduisez-en les solutions complexes de l'équation :
       ${\frac {1}{2}}\left(z^{n}+{\frac {1}{z^{n}}}\right)=\cos \lambda \qquad$(E).
       Pour chacune des racines $z$ de l'équation (E), calculez $x={\frac {1}{2}}\left(z-{\frac {1}{z}}\right)$, puis calculez $P_{n}(x)$
       (On note encore $P_{n}$ le prolongement à $\mathbb {C}$ du polynôme défini à la question 4°).
Le corrigé de ce devoir n'a pas été rédigé. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle.
| Logarithme, fonctions puissances, suites et intégrales | Polynômes, logarithmes, intégrales et suites |
# Mathématiques en terminale générale/Devoir/Intégrales, exponentielles et produit scalaire

1° $g$ est la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par $g(x)=x(x+2-e)e^{x}$.
    Montrez que $\int _{0}^{1}g(x)\,\mathrm {d} x=0$
2° Pour tout réel $t$, on considère la fonction $f_{t}$, définie sur $\mathbb {R}$ par :
    $f_{t}(x)=(x-t)e^{\frac {x}{2}}$.
    E est l'ensemble des couples $(t_{1};\,t_{2})$ de réels tels que :
    $\int _{0}^{1}f_{t_{1}}(x)f_{t_{2}}(x)\,\mathrm {d} x=0$.
    a) Prouvez que E n'est pas vide.
    b) Démontrez qu'un couple $(t_{1};\,t_{2})$ appartient à E si et seulement si $(e-1)t_{1}t_{2}-(t_{1}+t_{2})+e-2=0$
       Écrivez cette condition sous la forme :
       $(t_{1}-\alpha )(t_{2}-\alpha )=-k^{2}\qquad$[1]
       $\alpha$ et $k$ étant des réels que vous calculerez. (On rappelle que $2,7<e<2,8$.)
    c) Par des considérations sur les aires, montrez que lorsque $(t_{1};\,t_{2})$ appartient à E, la fonction $x\mapsto f_{t_{1}}(x)f_{t_{2}}(x)$ ne garde pas un signe constant;
       déduisez-en que l’un au moins des deux réels $t_{1}$ ou $t_{2}$ appartient à $[0;\,1]$.
3° On considère un repère orthonormal $(O;\,{\vec {i}},\,{\vec {j}})$ et on désigne par $A_{t}$ le point de coordonnées $(t;\,0)$. Il est conseillé de faire des figures pour traiter cette question.
    a) Démontrez, en utilisant l'égalité [1], qu'il existe deux points du plan, $I$ et $J$, tels que : $(t_{1};\,t_{2})$ appartient à E si et seulement si ${\vec {IA_{t_{1}}}}.{\vec {IA_{t_{2}}}}={\vec {JA_{t_{1}}}}.{\vec {JA_{t_{2}}}}=0$.
    b) Vérifier que $(t_{1};\,t_{2})$ appartient à E si et seulement si le cercle de diamètre $[A_{t_{1}}A_{t_{2}}]$ passe par $I$ et $J$.
    c) Calculez, à l'aide d'une remarque géométrique simple, le minimum de $|t_{2}-t_{1}|$ quand $(t_{1};\,t_{2})$ décrit E.
    d) Déduisez du 3°b), par une interprétation géométrique de 2°c), que $I$ et $J$ appartiennent au disque de diamètre $[A_{0}A_{1}]$.
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| Complexes, fonctions racines, bijections et intégrales | Exponentielles, approximations et intégrales |
# Mathématiques en terminale générale/Devoir/Logarithme et fonction définie par une intégrale

$f$ est la fonction définie par : $f(x)={\begin{cases}{\frac {x}{x-\ln x}},&{\mbox{si }}x\neq 0\\0,&{\mbox{si }}x=0\end{cases}}$.
1° Montrez que $f$ est définie sur l'intervalle $[0;\,+\infty [$ et que $\lim _{x\to 0}f(x)=f(0)=0$.
2° Étudiez la fonction $f$, tracez la courbe représentant $f$ dans un repère orthonormal. Précisez la tangente à la courbe au point O, origine du repère.
Le but de cette partie est d'étudier la primitive de $f$ sur $[0;\,+\infty [$ qui s'annule en 1. On note $F$ cette primitive.
1° Écrivez $F(x)$ sous forme d'une intégrale.
2° Déterminez le signe de $F(x)$ selon les valeurs de $x$.
3° Étudiez le sens de variation de $F$.
4° Étudiez la limite de $F$ en zéro.
    a) Justifiez que $\lim _{x\to 0}F(x)=F(0)$
    b) Justifiez le résultat suivant : pour tout $t$ de $]0;\,1],\,f(t)\leqslant t$.
    c) Déduisez-en un encadrement de $F$ sur $]0;\,1]$.
    d) Montrez alors que $F(0)$ est compris entre $-{\frac {1}{2}}$ et $0$.
5° Étude de la limite de $F$ en $+\infty$.
    Montrez que pour tout $x\geqslant 1,\,F(x)\geqslant x$, et déduisez-en la limite de $F$ en $+\infty$.
6° Le bur de cette question est d'encadrer la fonction $F$ par deux fonctions usuelles sur $[1;\,1]$
    a) Calculez $\int _{1}^{x}(\ln t+1)\,\mathrm {d} t$ lorsque $x>0$.
       Montrez que pour tout $t>1,\,{\frac {t}{t-\ln t}}\leqslant 1+\ln t$.
       Déduisez-en que pour tout $x\geqslant 1,\,F(x)\leqslant x\ln x$.
    b) Calculez $\int _{1}^{x}\left(1+{\frac {\ln t}{t}}\right)\,\mathrm {d} t$ lorsque $x>0$.
       Montrez que pour tout $x\geqslant 1,\,x+{\frac {1}{2}}(\ln x)^{2}-1\leqslant F(x)$.
    c) On note $a(x)$ l'amplitude de cet encadrement de $F(x)$.
       Étudiez les variations de $a(x)$ et commentez.
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| Équations fonctionnelles, dérivation et suites | Logarithmes, exponentielles, suites et intégrales |
# Mathématiques en terminale générale/Devoir/Exponentielles, intégrales et suites

On note $f_{0}$ la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par $f_{0}(x)=e^{-x^{2}}$, et $f_{n}$ la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par :
$f_{n}(x)=x^{n}e^{-x^{2}},\,n\in \mathbb {N} ^{*}$.
1° Pour tout naturel $n$, on pose :
    $I_{n}=\int _{0}^{1}f_{n}(x)\,\mathrm {d} x$.
    Montrez que la suite $(I_{n})$ est décroissante et positive.
    On admettra que toute suite décroissante et positive est convergente.
    On notera $l$ la limite de la suite $(u_{n})$.
2° Trouvez une relation de récurrence entre $I_{n}$ et $I_{n+2}$.
    Déduisez-en la valeur de $l$.
1° Étudiez les variations de $f_{n}$ selon les valeurs de $n$.
    Précisez, en particulier, les cas $n=0,\,n=1,\,n=2,\,n=3$.
2° Le plan est muni d'un repère orthonormal $(O;\;{\vec {i}},\,{\vec {j}})$. On note ${\mathcal {C}}_{n}$ la courbe représentant $f_{n}$ dans ce repère.
    a) En quels points la courbe ${\mathcal {C}}_{n}$ a-t-elle une tangente parallèle à l'axe des abscisses ?
    b) Déterminez, pour les valeurs $0,\,1,\,2,\,3,$ de $n$, les abscisses des points en lesquels la dérivée seconde $f_{n}^{''}$ s'annule et change de signe.
    c) Montrez que toutes les courbes ${\mathcal {C}}_{n}(n\geqslant 0)$ ont un point commun et un seul, que l’on notera A,
       que toutes les courbes ${\mathcal {C}}_{2p}(p\geqslant 0)$, ont exactement deux points communs, A et un autre que l’on notera B,
       et montrez que toutes les courbes ${\mathcal {C}}_{2p+1}(p\geqslant 0)$, ont exactement trois points communs A, O, et un autre que l'on notera C.
    d) Précisez la position relative de deux courbes ${\mathcal {C}}_{n}$ et ${\mathcal {C}}_{m}$ restreintes à $[0;\,+\infty [$.
    e) Tracez sur un même dessin les courbes ${\mathcal {C}}_{0}$, ${\mathcal {C}}_{1}$, ${\mathcal {C}}_{2}$.
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| Exponentielles, approximations et intégrales | Logarithmes, calcul d'aire et complexes |
# Fonctions d'une variable complexe/Prérequis conseillés

* Analyse réelle : Calcul différentiel et intégral (une et plusieurs variables) (ie: maitriser l'analyse de niveau 13)
* Algèbre : nombres complexes
* Un peu de topologie (ouverts, fermés, compacts, connexes, boules, adhérence, frontière, ...)
* Série entière
# Fonctions d'une variable complexe/Présentation de la leçon

L’analyse complexe est la branche de l'analyse qui étudie les suites, séries et fonctions de variable complexe. Elle permet la généralisation de nombreux concepts de l'analyse réelle aux fonctions de variables complexes. Cette branche de l'analyse trouve de nombreuses applications en mathématiques et physique. Cette leçon constitue une introduction aux fonctions holomorphes d'une variable.
# Fonctions d'une variable complexe/Théorèmes de Liouville et de Weierstrass
## Fonctions entières

Les fonctions entières sont les fonctions qui sont holomorphes sur $\mathbb {C}$ telles que l'exponentielle complexe, les fonctions polynômes, les fonctions sinus et cosinus ainsi que les fonctions hyperboliques. Comme nous le verrons au prochain chapitre, ces fonctions sont des cas particuliers des fonctions analytiques, c'est-à-dire des fonctions développables en série au voisinage d'un point de $\mathbb {C}$.

## Théorème de Liouville

Ce théorème permet de déterminer les fonctions holomorphes sur $\mathbb {C}$ qui sont polynomiales, il permet aussi de montrer le théorème fondamental de l'algèbre avec une remarquable simplicité.
Si $f$ est holomorphe dans $\mathbb {C}$ et s'il existe $N\in \mathbb {N}$ et $C>0$ tels que: $|f(z)|\leq C(1+|z|)^{N}\;\;\forall z\in \mathbb {C}$,
alors $f$ est un polynôme de degré inférieur ou égal à $N$.

## Principe du (module) maximum

Ce théorème énonce qu'une fonction holomorphe sur un ouvert connexe de $\mathbb {C}$ dont le module admet un maximum local dans cet ouvert est constante.
Il indique aussi que le module d'une fonction holomorphe sur un ouvert connexe réalise sa borne supérieure sur la frontière de l'adhérence de cet ouvert connexe.
* Si $f$ est holomorphe sur l'ouvert $\Omega \subset \mathbb {C}$ connexe et s'il existe $z_{0}\in \Omega$ tel que $|f(z_{0})|\geq |f(z)|\;\;\forall z$ dans un voisinage de $z_{0}$ ($|f|$ admet un maximum local dans $\Omega$) alors $f$ est constante dans $\Omega$.
* Si l'ouvert $\Omega$ est borné et $f$ dans $\Omega$ et continue dans ${\overline {\Omega }}$ (${\overline {\Omega }}$ désignant l'adhérence de $\Omega$) alors $\sup _{\overline {\Omega }}|f|=\sup _{\partial \Omega }|f|$.
| Formule intégrale de Cauchy | Développement en séries entières |
# Fonctions d'une variable réelle

| Chap. 1 : | Définitions (14) |
| Chap. 2 : | Limites (14) |
| Chap. 3 : | Continuité (14) |
| Chap. 4 : | Dérivabilité (14) |
| Chap. 5 : | Relations de comparaison (14) |
| Chap. 6 : | Développements limités (14) |
| Chap. 7 : | Convexité (14) |
| Chap. 8 : | Continuité uniforme (14) |
| Chap. 9 : | Courbes asymptotes (14) |
| Fiche 1 : | Développements limités |
| Fiche 2 : | Dérivées usuelles |
| Exos. 1 : | Continuité (14) |
| Exos. 2 : | Inégalités (14) |
| Exos. 3 : | Dérivabilité (14) |
| Exos. 4 : | Formule de Simpson (14) |
| Exos. 5 : | Théorème de Darboux (15) |
| Exos. 6 : | Inégalité des accroissements finis généralisée (16) |
| Exos. 7 : | Calcul de limites (14) |
| Exos. 8 : | Développements limités (14) |
| Exos. 9 : | Convexité (14) |
| Devoir : | Composition avec une fonction trigonométrique (14) |
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## Présentation [Modifier]

L'étude des fonctions est un pilier fondamental de l'analyse. Elle peut se faire à deux niveaux : local et global. Cette leçon posera, pour les fonctions d'une variable réelle, de nombreuses définitions avant de présenter tous les outils nécessaires à l'étude des fonctions tant au niveau local qu'au niveau global.
La compréhension et la maîtrise de ce chapitre phare est absolument nécessaire pour aborder le calcul différentiel, qui est une généralisation aux fonctions de plusieurs variables.

## Objectifs [Modifier]

Approfondir la notion de fonction abordées dans les classes précédentes.

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 14.
* La bonne maîtrise de toute l'analyse des niveaux 12 et 13 et des précédents également, en particulier :
** Limites d'une fonction
** Fonction dérivée
** Étude de fonctions
** Étude et tracé d'une fonction
** Initiation au calcul intégral

## Référents [Modifier]

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
* Loïc Fabiou (discuter)
# Fonctions d'une variable complexe/Objectifs

Comprendre comment on peut généraliser les fonctions d'une variable réelle aux fonctions d'une variable complexe et pouvoir ainsi aborder l'étude de fonctions particulières d'une variable complexe.
# Fonctions d'une variable complexe/Référents

* Biajojo (absent depuis 2010)
* RvH (absent depuis 2010)
* Loïc Fabiou (discuter)
# Français en MP

Faculté de Français
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Les objectifs de ce cours sont :
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Cours de niveau 15. Les prérequis conseillés sont :
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# Français en MPSI

Faculté de Français
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Cours de niveau 14. Les prérequis conseillés sont :
* Français en première générale et technologique
* Philosophie en terminale S
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# Français en PC

Faculté de Français
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Les objectifs de ce cours sont :
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Cours de niveau 15. Les prérequis conseillés sont :
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Référents
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# Français en TSI1

Faculté de Français
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Les objectifs de ce cours sont :
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Cours de niveau 14. Les prérequis conseillés sont :
* Français en première générale et technologique
* Philosophie en terminale S
Référents
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# Français en TSI2

Faculté de Français
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Les objectifs de ce cours sont :
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Cours de niveau 15. Les prérequis conseillés sont :
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# Français en TSI1/Prérequis conseillés

* Français en première générale et technologique
* Philosophie en terminale S
# Français en MPSI/Prérequis conseillés

* Français en première générale et technologique
* Philosophie en terminale S
# Français en cinquième

Faculté de Français
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* Le français en classe de cinquième
* Sylvanus à Burdigala et chez les boiates
* Paul Arène, La cage dorée
* Vingt-trois contes traditionnels
Les objectifs de ce cours sont :
Cours de niveau 8. Les prérequis conseillés sont :
Référents
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# Modèle du mental humain/Leçons

* Prolégomènes
* Science de la vie mentale
* Méthode mentaliste
* Sémantique
* Fonctions mentales
* Conscience 5
* Analytique 2
* Remémoration 1
* Pathologique 3
* Energie 8
* Direction volontaire 7d
* Jugement arbitraire 7j
* Motrice 4
* Concentration 6
* Joker 9
* Logique analytique
* Métaphysique
# Modèle du mental humain/Objectifs

Découvrir les structures, les émergences, les produits, les contraintes et les interactions des fonctions du mental humain
# Modèle utilisant les modules Lua

    Documentation de Modèle utilisant les modules Lua. [rafraichir] • [créer] • [historique] • [préproduction] • [tests unitaires]
# Modèle du mental humain/Prérequis conseillés

De distinguer ces fonctions mentales des fonctions cérébrales étudiées par les sciences cognitives, et de s'écarter des présupposés non avérés de la philosophie et des sciences humaines concernant la nature, les structures et le fonctionnement de notre esprit, notre psyché ou notre mental. De lire en premier les 5 chapitres de la leçon Prolégomènes
# Modèle du mental humain/Présentation du cours

Les sciences de la nature dépendent de notre perception physique du monde extérieur spatiotemporel, les sciences abstraites dépendent de notre conceptualisation, le mentalisme dépend de notre perception mentale de notre monde intérieur sémantique. La science de la vie mentale est l'étude des phénomènes, des structures et des propriétés de notre être mental intime dans une démarche exclusivement introspective de cet être. Ce cours présente la base de connaissances théoriques sur lesquelles s'appuient des applications pratiques qui la valident dans les domaines de l'éducation, de la santé et du développement personnel.
# Modèle du mental humain/Voir aussi

Les symboles utilisés dans ce cours sont présentés dans la page : Tableau des symboles
# Modèle hydrogéologique

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Un modèle hydrogéologique est une représentation mathématique des écoulements souterrains - par exemple un modèle représentant un aquifère, exploité par un forage, alimenté par la recharge et une eaux de surface. Les différentes influences affectant le modèle (en l’occurrence : le forage, la recharge, l'eau de surface) sont traduites mathématiquement par des conditions aux limites.
Entre les modèles hydrogéologiques et la réalité existent assez souvent de grandes marges de manœuvre risquant de faire basculer le modèle dans l'erreur, l'imprécision, l'incohérence. Le modélisateur doit donc s'attacher a bien comprendre son problème (ou: à bien définir son modèle conceptuel), à choisir le logiciel adéquat (2D, 3D, régime permanent ou transitoire, etc), à définir les moyens de la calibration de son modèle, à effectuer cette calibration et à valider son modèle (vérification de son modèle sur d'autres mesures que celles utilisées pendant la calibration). Le modélisateur doit documenter de manière transparente son modèle et rester honnête et rigoureux dans sa démarche. À ce titre la modélisation est un excellent exercice de synthèse et de réflexion pour les hydrogéologues.
# Modèle du mental humain

Faculté de Sciences cognitives
Les sciences de la nature dépendent de notre perception physique du monde extérieur spatiotemporel, les sciences abstraites dépendent de notre conceptualisation, le mentalisme dépend de notre perception mentale de notre monde intérieur sémantique. La science de la vie mentale est l'étude des phénomènes, des structures et des propriétés de notre être mental intime dans une démarche exclusivement introspective de cet être. Ce cours présente la base de connaissances théoriques sur lesquelles s'appuient des applications pratiques qui la valident dans les domaines de l'éducation, de la santé et du développement personnel.
* Prolégomènes
* Science de la vie mentale
* Méthode mentaliste
* Sémantique
* Fonctions mentales
* Conscience 5
* Analytique 2
* Remémoration 1
* Pathologique 3
* Energie 8
* Direction volontaire 7d
* Jugement arbitraire 7j
* Motrice 4
* Concentration 6
* Joker 9
* Logique analytique
* Métaphysique
Les objectifs de ce cours sont :
Découvrir les structures, les émergences, les produits, les contraintes et les interactions des fonctions du mental humain
Cours de niveau 18. Les prérequis conseillés sont :
De distinguer ces fonctions mentales des fonctions cérébrales étudiées par les sciences cognitives, et de s'écarter des présupposés non avérés de la philosophie et des sciences humaines concernant la nature, les structures et le fonctionnement de notre esprit, notre psyché ou notre mental. De lire en premier les 5 chapitres de la leçon Prolégomènes
Les symboles utilisés dans ce cours sont présentés dans la page : Tableau des symboles
Référents
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# Racine carrée/Objectifs

Savoir manipuler des expressions contenant des racines carrées. Savoir les transformer et les simplifier.
# Racine carrée/Prérequis conseillés

* Puissances
* Identités remarquables
# Radioactivités et réactions nucléaires

| Chap. 1 : | Les réactions nucléaires spontanées (12) |
| Chap. 2 : | Les réactions nucléaires provoquées (12) |
| Chap. 3 : | Masse et énergie (12) |
| Exos. 1 : | Déterminant les valeurs A et Z dans une équation de réaction nucléaire (12) |
| Exos. 2 : | Un tableau représentant le type de radioactivité de certains isotopes (12) |

## Présentation [Modifier]

Les réactions nucléaires sont des réactions au cours desquelles des noyaux atomiques sont transformés. Contrairement aux réactions chimiques, les éléments chimiques ne sont donc pas conservés. Il existe deux types de réactions nucléaires : les spontanées et les provoquées.

## Objectifs

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## Niveau et prérequis conseillés

Leçon de niveau 12. Les prérequis pour cette leçon n'ont pas encore été précisés. Pour le faire, cliquez ici.

## Référents

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# Racine carrée/Présentation de la leçon

Cette leçon rassemble les connaissances sur les racines carrées abordées dans le secondaire, depuis la définition jusqu'à la notion de quantité conjuguée.