# Fonction dérivée/Dérivée d'une fonction composée

* Ce chapitre est d'un niveau strictement supérieur à celui de cette leçon.

## Dérivée d'une fonction composée
### Théorème

Si $f$ est dérivable sur $I$ et $g$ est dérivable sur $f(I)$
alors la composée $g\circ f$ est dérivable sur $I$ et :
$(g\circ f)'=(g'\circ f)\times f'$.
Ce théorème sera démontré dans le chapitre « Dérivabilité » de la leçon sur les fonctions d'une variable réelle.
* Lorsqu'on utilise ce genre de théorème, il faut être particulièrement vigilant aux domaines de définition et de dérivabilité. Nous allons le voir sur quelques exemples.

### Exemple 1

Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par $h:x\mapsto \sin(3x^{2}+2)$. Dériver $h$.
* Faire le schéma décomposant $h$ en deux étapes.
* Identifier $f$ et $g$.
* Vérifier les domaines de définition et de dérivabilité de $f$ et calculer sa dérivée $f'$.
* Vérifier les domaines de définition et de dérivabilité de $g$ et calculer sa dérivée $g'$.
* Exprimer $h$ à l'aide du théorème.
Le schéma est
    ${\begin{array}{ccccl}\color {magenta}\mathbb {R} &\to &\color {green}\mathbb {R} &\to &\mathbb {R} \\x&{\underset {\color {blue}f}{\mapsto }}&\color {blue}3x^{2}+2&{\underset {\color {red}g}{\mapsto }}&\color {red}\sin(\color {blue}3x^{2}+2\color {red})\end{array}}$
et se ramène à
    ${\begin{array}{ccl}\color {magenta}\mathbb {R} &\to &\mathbb {R} \\x&{\underset {g\circ f}{\mapsto }}&\color {red}\sin(\color {blue}3x^{2}+2\color {red}).\end{array}}$
Les deux fonctions mises en jeu sont alors :
* $f:x\mapsto 3x^{2}+2$ ;
* $g:x\mapsto \sin(x)$.
On a bien $h=g\circ f$.
* $f$ est définie et dérivable sur $I=\color {magenta}\mathbb {R}$ et, pour tout $x\in \mathbb {R}$, $f'(x)=6x$.
* $g$ est définie et dérivable sur $\color {green}\mathbb {R}$ et $f(I)\subset \color {green}\mathbb {R}$ et, pour tout $X\in \color {green}\mathbb {R} \color {black}$, $g'(X)=\cos(X)$.
* On applique la formule du théorème :
    Pour tout $x\in \color {magenta}\mathbb {R}$ :
${\begin{aligned}h'(x)&=\color {red}g'\color {black}\circ \color {blue}f(x)\color {black}\times f'(x)\\&=\color {red}\cos(\color {blue}3x^{2}+2\color {red})\color {black}\times 6x.\end{aligned}}$

### Exemple 2

Soit $h$ la fonction définie par $h:x\mapsto {\sqrt {x^{2}-3x+2}}$.
* Déterminer les domaines de définition et de dérivabilité ${\mathcal {D}}$ et ${\mathcal {D}}'$ de $h$.
* Dériver $h$.
Domaine de définition
Une racine carrée est définie si et seulement si son contenu est positif.
Une étude de la fonction du second degré $x\mapsto x^{2}-3x+2$ donne le tableau de signes suivant :
    ${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&1&&2&&+\infty \\\hline {\text{Signe de }}x^{2}-3x+2&&+&0&-&0&+&\\\hline \end{array}}$
Pour des rappels sur la résolution des inéquations du second degré, se reporter au cours sur les fonctions et équations du second degré.
Étude de la dérivabilité
Le schéma est
    ${\begin{array}{ccccl}{\mathcal {D}}&\to &\color {magenta}\mathbb {R} _{+}&\to &\mathbb {R} \\x&{\underset {\color {blue}f}{\mapsto }}&\color {blue}x^{2}-3x+2&{\underset {\color {red}g}{\mapsto }}&\color {red}{\sqrt {\color {blue}x^{2}-3x+2}}\\\end{array}}$
et se ramène à
    ${\begin{array}{ccl}{\mathcal {D}}&\to &\mathbb {R} \\x&{\underset {g\circ f}{\mapsto }}&\color {red}{\sqrt {\color {blue}x^{2}-3x+2}}.\end{array}}$
Les deux fonctions mises en jeu sont alors : $f:x\mapsto x^{2}-3x+2$ et $g:x\mapsto {\sqrt {x}}$.
On a bien $h=g\circ f$
* $f$ est définie et dérivable sur ${\mathcal {D}}$ et, pour tout $x\in {\mathcal {D}}$, $f'(x)=2x-3$.
* $g$ est définie sur $\color {magenta}\mathbb {R} _{+}$, mais n'est dérivable que sur $\mathbb {R} _{+}^{*}$.
    Pour avoir la dérivabilité de $g\circ f$, il faut donc retirer tous les points pour lesquels $x^{2}-3x+2=0$, c'est-à-dire 1 et 2.
* On applique la formule du théorème :
    Pour tout $x\in {\mathcal {D}}'$ :
    ${\begin{aligned}h'(x)&=\color {red}g'\color {black}\circ \color {blue}f(x)\color {black}\times f'(x)\\&=\color {red}{\frac {1}{2{\sqrt {\color {blue}x^{2}-3x+2}}}}\color {black}\times (2x-3).\end{aligned}}$

### Autres exemples

Dériver les fonctions suivantes en utilisant la formule de composition en précisant le domaine sur lequel cette dérivation est valable :
* $h_{1}:x\mapsto {\sqrt {x^{2}+x+1}}$ ;
* $h_{2}:x\mapsto {\frac {1}{(5x-4)^{2}}}$.
Étude de $h_{1}$
Une racine carrée est définie dans $\mathbb {R}$ si et seulement si son contenu est positif.
Une étude de la fonction du second degré $x\mapsto x^{2}+x+1$ montre que, pour tout $x\in \mathbb {R}$, $x^{2}+x+1>0$.
* Pour des rappels sur l'étude du signe d'expressions du second degré, se reporter au cours sur les fonctions et équations du second degré.
Le schéma est
    ${\begin{array}{ccccl}\mathbb {R} &\to &\mathbb {R} _{+}^{*}&\to &\mathbb {R} \\x&{\underset {\color {blue}f}{\mapsto }}&\color {blue}x^{2}+x+1&{\underset {\color {red}g}{\mapsto }}&\color {red}{\sqrt {\color {blue}x^{2}+x+1}}\end{array}}$
et se ramène à
    ${\begin{array}{ccl}{\mathcal {D}}&\to &\mathbb {R} \\x&{\underset {g\circ f}{\mapsto }}&\color {red}{\sqrt {\color {blue}x^{2}+x+1}}.\end{array}}$
Les deux fonctions mises en jeu sont alors :
* $f:x\mapsto x^{2}+x+1$ ;
* $g:x\mapsto {\sqrt {x}}$.
On a bien $h_{1}=g\circ f$.
* $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb {R}$ et, pour tout $x\in \mathbb {R}$, $f'(x)=2x+1$.
* $g$ est définie sur $\mathbb {R} _{+}$, mais n'est dérivable que sur $\mathbb {R} _{+}^{*}$.
    Pour avoir la dérivabilité de $g\circ f$, il faut vérifier que $x^{2}+x+1$ ne s'annule pas sur $\mathbb {R}$, ce qui est vrai.
* On applique la formule du théorème :
    Pour tout $x\in \mathbb {R}$ :
${\begin{aligned}h_{1}'(x)&=\color {red}g'\color {black}\circ \color {blue}f(x)\color {black}\times f'(x)\\&=\color {red}{\frac {1}{2{\sqrt {\color {blue}x^{2}+x+1}}}}\color {black}\times 2x+1\\\end{aligned}}$
Étude de $h_{2}$
Soit $x\in \mathbb {R}$.
    ${\begin{aligned}(5x-4)^{2}=0&\Leftrightarrow 5x-4=0\\&\Leftrightarrow x={\frac {4}{5}}.\end{aligned}}$
Le schéma est
    ${\begin{array}{ccccl}{\mathcal {D}}&\to &\mathbb {R} &\to &\mathbb {R} \\x&{\underset {\color {blue}f}{\mapsto }}&\color {blue}(5x-4)^{2}&{\underset {\color {red}g}{\mapsto }}&\displaystyle {\color {red}{\frac {1}{\color {blue}(5x-4)^{2}}}}\end{array}}$
et se ramène à
    ${\begin{array}{ccl}{\mathcal {D}}&\to &\mathbb {R} \\x&{\underset {g\circ f}{\mapsto }}&\displaystyle {\color {red}{\frac {1}{\color {blue}(5x-4)^{2}}}}.\end{array}}$
Les deux fonctions mises en jeu sont alors :
* $f:x\mapsto (5x-4)^{2}$ ;
* $g:x\mapsto {\frac {1}{x}}$.
On a bien $h_{2}=g\circ f$.
* $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb {R}$ et, pour tout $x\in \mathbb {R}$, $f'(x)=10(5x-4)$.
* $g$ est définie et dérivable sur $\mathbb {R} ^{*}$
    Pour avoir la définition et la dérivabilité de $g\circ f$, il faut donc retirer tous les points pour lesquels $(5x-4)^{2}=0$, c'est-à-dire ${\frac {4}{5}}$.
* On applique la formule du théorème :
    Pour tout $x\in {\mathcal {D}}$ :
    ${\begin{aligned}h_{2}'(x)&=\color {red}g'\color {black}\circ \color {blue}f(x)\color {black}\times f'(x)\\&=\color {red}-{\frac {1}{(\color {blue}(5x-4)^{2}\color {red})^{2}}}\color {black}\times 10(5x-4).\end{aligned}}$

## Conséquences : formules de dérivation

Soit $u$ une fonction définie sur un domaine ${\mathcal {D}}$ à valeurs dans $\mathbb {R}$
On obtient les formules de dérivation de composées suivantes :
${\begin{array}{|c|c|c|}{\textrm {Fonction}}&\mathrm {D{\acute {e}}riv{\acute {e}}e} \\\hline u^{n}&nu^{n-1}u'\\\sin u&(\cos u)u'\\\cos u&-(\sin u)u'\\\operatorname {e} ^{u}&\operatorname {e} ^{u}u'\\\end{array}}$
Si de plus, pour tout $x\in {\mathcal {D}}$, $u(x)>0$
${\begin{array}{|c|c|c|}{\textrm {Fonction}}&\mathrm {D{\acute {e}}riv{\acute {e}}e} \\\hline {\sqrt {u}}&{\frac {u'}{2{\sqrt {u}}}}\\\ln u&\displaystyle {\frac {u'}{u}}\\\end{array}}$
Soit $h=u^{n}$, avec $n\in \mathbb {N} ^{*}$.
    $h=v\circ u$ avec $v:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;y\mapsto y^{n}$.
Or
    $v'(y)=ny^{n-1}$
et avec la formule de dérivation d'une fonction composée :
    $(v\circ u)'=(v'\circ u)\times u'$
donc
    $h'=nu^{n-1}\times u'$.
| Dérivée d'une fonction affine suivie d'une autre fonction | Sommaire |