# Dynamique/Deuxième Loi de Newton
## Introduction

Le but de ce chapitre est d'apprendre à appliquer la deuxième loi de Newton pour caractériser un mouvement. Ce chapitre se construit en étudiant plusieurs situations types, à la difficulté croissante. Afin de bien se préparer à ce chapitre, on donne ici quelques définitions :
* On appelle équation différentielle du mouvement une équation différentielle liant l'accélération, la vitesse et la position d'un objet.
* On appelle équation horaire du mouvement la connaissance du vecteur position en fonction du temps, c'est-à-dire la connaissance d'une relation du type $\mathbf {OM} (t)=f(t)$, où $f$ est une fonction quelconque
* On appelle équation de la trajectoire la connaissance d'une grandeur de repérage en fonction d'une autre. Par exemple, en coordonnées cartésiennes, une relation du type $z=f(x,y)$ où $f$ est une fonction quelconque, est une équation de la trajectoire.
L'utilisation de la deuxième loi de Newton permet de déterminer, a minima, l'équation différentielle du mouvement. Lorsque celle-ci est simple (linéaire, etc), on peut la résoudre et ainsi obtenir l'équation horaire du mouvement. Il n'est en revanche pas toujours possible d'obtenir l'équation de la trajectoire.

## Méthode de résolution d'un problème mécanique

Pour résoudre un problème de mécanique, on doit fonctionner comme suit :
* Déterminer le système à étudier
* Déterminer le référentiel d'étude et discuter de son caractère galiléen ou non galiléen. Au début du cours, on s'arrangera pour toujours trouver un référentiel galiléen, mais cela ne sera plus nécessaire quand on aura étudié les effets du caractère non galiléen d'un référentiel.
* Déterminer un système de repérage.
* Faire le bilan des forces s'appliquant sur le système
* Choisir quel résultat physique utiliser (le seul connu pour l'instant est la Deuxième Loi de Newton, mais on en verra d'autres plus tard)
* Obtenir par cette loi physique l'équation différentielle du mouvement

## Détermination d'un équilibre

Ce problème est un problème un peu à part mais suffisamment important pour être traité. On parle d'équilibre d'un système quand ce système considéré ne bouge pas. L'étude des équilibres s'appelle la statique.
Pour étudier si un système est en équilibre, on va plutôt utiliser la première loi de Newton. Voilà comment procéder :
* Déterminer le système à étudier
* Déterminer le référentiel d'étude. Il doit être galiléen, car l'on va utiliser la propriété fondamentale des référentiels galiléens selon laquelle tout corps isolé suit un mouvement rectiligne uniforme.
* Faire le bilan des forces s'appliquant sur le système
* Si la somme des forces s'appliquant sur le système n'est pas nul, le système ne peut pas être en équilibre. Sinon, il suit un mouvement rectiligne uniforme
* Dans le cas où la somme des forces s'appliquant sur le système est nul, le mouvement est donc rectiligne uniforme. On détermine ensuite, à partir des conditions initiales, la vitesse du système. Si elle est nulle, on a l'équilibre.
Cependant, il sera également souvent intéressant d'utiliser cette propriété à l'envers, c'est-à-dire, en sachant que le système étudié est à l'équilibre, d'utiliser la relation $\sum {\mathbf {F} }=\mathbf {0}$ (cela pourra être intéressant, par exemple, pour déterminer la valeur d'une force inconnue)

## Chute libre sans frottements
### Équation différentielle du mouvement, équation horaire du mouvement et équation de la trajectoire dans le cas le plus général

La chute libre est le mouvement d'un corps quand celui-ci n'est soumis qu'à son poids. On a alors $\sum _{i}{\mathbf {F_{i}} }=\mathbf {P} =m\mathbf {g}$
Le système à étudier est le point matériel $M$ de masse $m$.
On choisit comme référentiel le référentiel terrestre, que l'on peut considérer comme galiléen au vu de la durée très courte de l'expérience face à la durée de rotation de la Terre sur son axe. On choisit comme repère le repère cartésien de centre $O$ égal à la position du point $M$ au début de l'expérience.
Le bilan des forces a été effectué ci-dessus, et on peut donc directement appliquer la deuxième loi de Newton, qui donne ici $m\mathbf {g} =m\mathbf {a}$, soit $\mathbf {g} =\mathbf {a}$
L'accélération d'un corps en chute libre sans frottements est donc constante et indépendante de sa masse. En projetant sur chacun des axes (Oz axe vertical ascendant), on trouve
${\begin{cases}a_{x}=0\\a_{y}=0\\a_{z}=-g\end{cases}}$
Un simple calcul de primitive permet de trouver
${\begin{cases}v_{x}=cste=v_{0x}\\v_{y}=cste'=v_{0y}\\v_{z}=-gt+cste''=-gt+v_{0z}\end{cases}}$
La détermination des constantes se fait grâce aux conditions initiales, c'est-à-dire grâce à la connaissance de la vitesse et de la position du point $M$ à $t=0$
Un nouveau calcul de primitive permet de trouver que
${\begin{cases}x(t)=v_{0x}t+cste=v_{0x}t\\y(t)=v_{0y}t+cste'=v_{0y}t\\z(t)=-{\frac {1}{2}}gt^{2}+v_{0z}t+cste''=-{\frac {1}{2}}gt^{2}+v_{0z}t\end{cases}}$
Une fois de plus, la détermination des constantes se fait grâce aux conditions initiales.
Le calcul effectué ici a été fait dans le cas le plus général possible, mais, en vérité, il y a toujours une des deux grandeurs $v_{0x}$ ou $v_{0y}$ qui est nul. L'une des deux premières équations horaires du système ci-dessus devient alors constamment nul, et, ainsi, le mouvement ne dépend plus que de deux coordonnées : le mouvement est donc plan. Supposons par exemple que $x(t)$ soit constamment nul, et pas $y(t)$. On a alors $t={\frac {y}{v_{0y}}}$. En remplaçant le facteur $t$ par le facteur ${\frac {y}{v_{0y}}}$, on peut obtenir l'équation de la trajectoire.

### Cas où le vecteur vitesse initial est nul

On a alors $v_{0x}=v_{0y}=v_{0z}=0$. Toutes les équations du dessus deviennent donc nulles, à l'exception de la troisième qui devient $z(t)=-{\frac {1}{2}}gt^{2}$.
Le mouvement ne dépend que d'un seul paramètre d'espace et est donc rectiligne. Son accélération étant constante, il est donc uniformément varié.

## Chute libre avec frottements

En plus du poids, on ajoute également la force de frottement (le terme "chute libre" est donc un peu abusif ici, mais est globalement accepté)
Le système à étudier est le point matériel $M$ de masse $m$.
On choisit comme référentiel le référentiel terrestre, que l'on peut considérer comme galiléen au vu de la durée très courte de l'expérience face à la durée de rotation de la Terre sur son axe. On choisit comme repère le repère cartésien de centre $O$ égal à la position du point $M$ au début de l'expérience.

### Frottements proportionnels à la vitesse

Le bilan des forces donne ici $\sum \mathbf {F} =m\mathbf {g} -\alpha \mathbf {v}$
On applique donc la deuxième Loi de Newton, et on trouve donc $m\mathbf {a} =m{\dfrac {{\text{d}}^{2}\mathbf {OM} }{{\text{d}}t^{2}}}=-\alpha {\dfrac {{\text{d}}\mathbf {OM} }{{\text{d}}t}}+m\mathbf {g}$
On trouve donc une équation différentielle vectorielle du second ordre. Les équations différentielles du second ordre sont lourdes et fastidieuses à résoudre, aussi préfère-t-on autant que faire se peut se ramener à une équation du premier ordre. C'est ici parfaitement faisable, puisque l'équation est en vérité absolument équivalente à
$m{\dfrac {{\text{d}}\mathbf {v} }{{\text{d}}t}}=-\alpha \mathbf {v} +m\mathbf {g}$
soit
${\frac {m}{\alpha }}{\dfrac {{\text{d}}\mathbf {v} }{{\text{d}}t}}+\mathbf {v} =m\mathbf {g}$
On peut, à partir de là, projeter le vecteur vitesse sur chacune des composantes. On aboutit alors à trois équations différentielles du premier ordre, que l'on peut résoudre grâce au cours de maths sur les équations différentielles.

### Frottements proportionnels au carré de la vitesse

Le bilan des forces donne ici $\sum \mathbf {F} =m\mathbf {g} -\beta v\mathbf {v}$
On applique alors la Deuxième Loi de Newton, et il vient alors
$m{\dfrac {{\text{d}}\mathbf {v} }{{\text{d}}t}}+\beta v\mathbf {v} =m\mathbf {g}$
Cette équation différentielle vectorielle n'est pas linéaire, et, même si on la projette sur les axes cartésiens, on trouve (on prend un axe $z$ descendante cette fois)
${\begin{cases}m{\dfrac {{\text{d}}v_{x}}{{\text{d}}t}}+\beta {\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}v_{x}=0\\m{\dfrac {{\text{d}}v_{y}}{{\text{d}}t}}+\beta {\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}v_{y}=0\\m{\dfrac {{\text{d}}v_{z}}{{\text{d}}t}}+\beta {\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}v_{z}=mg\end{cases}}$
ce qui n'est toujours pas linéaire. On obtient même un couplage entre les différentes coordonnées, puisque plusieurs coordonnées apparaissent dans une seule équation, les coordonnées du vecteur vitesse ne sont donc pas indépendantes les unes des autres.

## Système masse-ressort sans frottements

Un dispositif est constitué d'un ressort, de masse négligeable, fixé à l'une de ses extrémités à un bâti fixe, et, où à l'autre extrémité est attaché une masse ponctuelle $M$ de masse $m$. On considère de plus que le ressort ne décolle pas, c'est-à-dire que le mouvement est entièrement horizontal, et donc que le poids ne se fait pas ressentir (ce qui est vrai si le ressort est posé à l'horizontal sur un support fixe, une table par exemple).
On décide ici de négliger les frottements.
Le système étudié est la masse ponctuelle $M$ de masse $m$. On se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen, et on utilise un repère cartésien (à une seule coordonnée, le mouvement étant supposé horizontal). On place l'origine du système cartésien à la position qu'a le point matériel $M$ quand le ressort est dans sa position d'équilibre.
Le bilan des forces donne $\sum _{i}{\mathbf {F_{i}} }=-k\mathbf {OM}$
soit, en appliquant la Deuxième Loi de Newton et en projetant sur l'unique axe du problème :$a+{\dfrac {k}{m}}x={\dfrac {{\text{d}}^{2}x}{{\text{d}}t^{2}}}+{\dfrac {k}{m}}x=0$On peut à partir de là déterminer l'équation horaire du mouvement. On évite ici de trop s'y attarder car on y reviendra plus en détail lors de l'étude des oscillateurs, où l'on verra que cette équation joue un rôle fondamental.

## Pendule simple

Un pendule simple consiste en un point matériel $M$ de masse $m$ fixé à une extrémité d'un fil supposé raide et donc absolument indéformable, l'autre extrémité du fil étant supposé immobile (clouée à un mur, par exemple). Le fil est, de plus, supposé parfait, c'est-à-dire que la force rappel du fil est la même en tout point de ce fil. On suppose, enfin, la masse du fil négligeable (devant la masse $m$).
Le système étudié est le point matériel $M$ de masse $m$, dans le référentiel terrestre que l'on peut supposer galiléen. On se place en coordonnées polaires, avec pour origine le centre de rotation du point $M$
Le bilan de force donne $\sum _{i}{\mathbf {F_{i}} }=m\mathbf {g} +\mathbf {T}$
La deuxième loi de Newton donne alors $m{\overrightarrow {a}}=m{\overrightarrow {g}}+{\overrightarrow {T}}$
Or, le fil étant supposé raide, la distance entre le point $M$ et le centre de rotation est constante. Le mouvement est donc circulaire. En se souvenant de ce qui a été vu sur le mouvement circulaire en cinématique, et en projetant, on trouve
${\begin{cases}m{\dfrac {v^{2}}{R}}=mg\cos \theta +\|\mathbf {T} \|\\mR{\ddot {\theta }}=mg\sin \theta \end{cases}}$
La deuxième équation prise seule donne ${\ddot {\theta }}+{\frac {g}{R}}\sin \theta =0$, ce qui est l'équation différentielle du mouvement (la seconde équation serait intéressante si nous avions résolu l'équation différentielle du mouvement et souhaitions déterminer $\mathbf {T}$). Elle n'est hélas pas linéaire, et donc à priori insoluble (en vérité les mathématiciens savent la résoudre, mais ce n'est pas de votre âge). On peut donc utiliser la méthode d'Euler pour y déterminer une solution approchée. Cependant, si $\theta \ll 1{\text{ rad}}$ (approximation des petits angles), on a, par développement limité, $\sin \theta \approx \theta$, et l'équation devient ${\ddot {\theta }}+{\dfrac {g}{R}}\theta =0$, qui est une équation absolument analogue à celle obtenue pour le système masse-ressort sans frottements.

## Système masse-ressort avec frottements linéaires

On reprend ici l'étude du système masse-ressort, mais on décide ici de prendre en compte des frottements linéaires. La démarche est absolument analogue.
Le système étudié est la masse ponctuelle $M$ de masse $m$. On se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen, et on utilise un sytème cartésien (à une seule coordonnée, le mouvement étant supposé horizontal). On place l'origine du système cartésien à la position qu'a le point matériel $M$ quand le ressort est dans sa position d'équilibre.
Le bilan des forces donne $\sum _{i}{\mathbf {F_{i}} }=-k\mathbf {OM} -\alpha \mathbf {v}$
Il vient, par application de la Deuxième Loi de Newton et par projection sur l'unique axe du problème : $m{\dfrac {{\text{d}}^{2}x}{{\text{d}}t^{2}}}+\alpha {\dfrac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}+kx=0$Une fois de plus, on peut à partir de là déterminer l'équation horaire du mouvement, mais on évite ici de s'y attarder car on reviendra plus en détail lors de l'étude des oscillateurs.
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