# Mécanique pour l'enseignement technique industriel/Exercices/Poids et centre de gravité
## Élévateur à bande

L'élévateur à bande représenté ci-contre fait partie d'une chaîne de tri du raisin qui permet d'obtenir à la sortie des grains prêts à être pressés (voir le Dossier de travail). Il sert à monter le raisins récolté dans un égrappoir. La bande transporteuse peut être inclinée pour s'adapter à la hauteur de l'égrappoir.

### Question

On estime que l’ensemble élévateur à bande + raisin a une masse M = 250 kg. Calculer l'intensité $\|{\vec {\mathrm {P} }}\|$ du poids. Intensité de la pesanteur g = 9,81 m/s$^2$.
$\|{\vec {\mathrm {P} }}\|=\mathrm {M} \mathrm {g} =250\times 9,81=2\,453\ \mathrm {N}$.

## Étude d'un tube de cuivre

La photo 1 ci-contre représente un tube de cuivre posé sur une balance.
* Balance :
** Nommer la grandeur physique mesurée par la balance.
** Donner l’indication de la balance, puis la convertir en kg.
* Calculer la valeur du poids P du poids du tube, en prenant g = 9,81 N/kg.
* Indiquer, parmi les vecteurs dessinés sur la figure 2, celui qui représente le poids du tube.
* On suspend le tube par un fil. Le tube est alors en équilibre dans la position représentée sur la figure 2. Indiquer, parmi les fils 1, 2, 3 ou 4, celui qui correspond à cette expérience, en justifiant le choix.
* La masse d’un mètre de ce tube de cuivre pèse 363 g (on dit alors que sa masse linéaire est égale à 363 g/m). Calculer la longueur L du tube avant cintrage.
* Balance :
** La grandeur physique est la masse.
** La balance indique m = 64,3 g, soit m = 0,0643 kg.
* P = mg = 0,064,3 × 9,81 = 0,631 N.
* Le poids est représenté par un vecteur vertical dirigé vers le bas, dont la longueur est 0,631/0,1 = 6,3 cm. C'est donc le vecteur ${\vec {\mathrm {P} }}_{2}$ qui convient.
* Le point d'accroche du fil doit être à l'aplomb du centre de gravité. C'est donc le fil 3 qui convient.
* On a une loi proportionnelle
    1 m → 363 g
    L → 64,3 g
    donc L = 64,3 × 1/363 = 0,177 m = 17,7 cm.

## Porte d'une cuve à vin

La cuve à vin sert à conserver le vin pendant sa fermentation. Le bras de manutention est en option. Il est amovible et est donc utilisable pour plusieurs cuves ; il facilite, grâce à un montage simple, l'ouverture et surtout le maintien de la porte de visite.
| B1 | 1 | Porte | X2CrNi19-11 | tôle ép. 6 |
| D8 | 1 | Boulon | 36NiCrMo16 | HM10 × 55 |
| D7 | 2 | Goupilles élastiques | X30Cr13 | ISO 8752 4 × 15 |
| D6 | 2 | Rondelles plates, normales | X2CrNi19-11 | diamètre nominal ∅16 |
| D5 | 2 | Axe | X2CrNi19-11 | usiné |
| D4 | 1 | Chape cuve | X2CrNi19-11 | tôle ép. 6 |
| D3 | 1 | Chape porte | X2CrNi19-11 | tôle ép. 6 |
| D2 | 1 | Tube extérieur | X2CrNi19-11 | tube 80 × 40 ép. 5 |
| D1 | 1 | Tube intérieur | X2CrNi19-11 | tube 60 × 30 ép. 3 mm |
| Rep. | Nb. | Désignation | Matière | Observations |

### Question 1

Déterminer la masse (en kg) de la porte rep. B1. Vous négligerez :
* tous les perçages ;
* la semelle de fixation du bras rep. D ;
* les quatre arrondis.
Vous prendrez la valeur de 7,8 kg/dm$^3$ pour la matière X2CrNi19-11.

### Question 2

En déduire le poids (en N) de la porte rep. B1. Vous prendrez l'intensité de la pesanteur g = 9,81 m/s$^2$.

### Question 3

Remplir le tableau des caractéristiques de l'action mécanique ci-dessous, et modéliser le poids sur la figure ci-contre.
    « Modéliser » signifie représenter le vecteur force ; en absence d'échelle, la longueur est choisie arbitrairement, seuls la direction, le sens et le point d'application importent.
Caractéristiques de l'action mécanique :
| Action mécanique | Point d'application | Direction | Sens | Intensité |

### Question 1

La porte est donc assimilable à un parallélépipède rectangle. Le plan et la nomenclature nous donnent les dimensions en mm 600 × 500 × 6. Comme la masse volumique est en kg/dm$^3$, on a intérêt à faire les calculs en dm. On a donc :
    le volume : V = L × ℓ × e = 6 × 5 × 0,06 = 1,8 dm$^3$ ;
    la masse : m = ρ × V = 7,8 × 1,8 = 14,0 kg.
Dans les ateliers de chaudronnerie, on calcule souvent le volume en mm$^3$, puis on divise par un million :
    V = L × ℓ × e = 600 × 500 × 6 = 1 800 000 mm$^3$ ;
    m = ρ × V/1 000 000 = 7,8 × 1 800 000/1 000 000 = 14,0 kg.
Cette méthode permet d’utiliser les unités usuelles (mm pour les cotes, kg/dm$^3$ pour la masse volumique — densité) mais augmente le risque d'erreur de recopiage d'un calcul à l'autre. Il n’est pas forcément pertinent de l'enseigner, mais l'enseignant doit la connaître afin de s'adapter à un public ayant une expérience professionnelle en chaudronnerie.

### Question 2

On a
    le poids : P = m × g = 14,0 × 9,81 = 137 N.

### Question 3

Caractéristiques de l'action mécanique :
| Action mécanique | Point d'application | Direction | Sens | Intensité |
| ${\vec {\mathrm {P} }}$ | G | | | ↓ | 137 N |
Le vecteur doit être vertical, partir de G et dirigé vers le bas ; il faut indiquer ${\vec {\mathrm {P} }}$ à côté.

## Support d'un filtre à vin
### Mise en situation

Le filtre à vin étudié est utilisé dans une entreprise de stockage et de distribution de vin en gros. L’entreprise dispose de nombreuses cuves d'une contenance variable entre 10,000 et 50,000 hℓ de vin. Le filtre est utilisé pour filtrer le vin entre deux cuves et stopper ainsi sa fermentation ; il supprime les impuretés contenues dans le vin en le faisant traverser sous pression une couche de terre calibrée. Il est donc nécessaire de pouvoir déplacer facilement l’ensemble filtre au pied de chaque cuve.
Il nous faut calculer le poids de l’ensemble afin de choisir le type de roulette et de vérifier la résistance des pieds le supportant.
Le système comporte quatre grands sous-ensembles :
* sous-ensemble A (en bleu) : accessoires
** A1 : pompe principale, 118 kg,
** A2 : pompe doseuse, 68 kg,
** A3 : mélangeur, 70 kg,
** A4 : entraînement nettoyage : 68 kg,
** ensemble tuyauterie, 55 kg ;
* sous-ensemble C (en violet) : cuve de mélange, 90 kg ; contenance de la cuve : 130 ℓ maxi (masse volumique du mélange ρ$_{vin+terre+cellulose}$ = 1 kg/dm$^3$) ;
* sous-ensemble F (en vert) : filtre et brides,
** filtre : 250 kg, contenance du filtre : 900 ℓ maxi,
** bride de filtre : voir figure ci-dessous, ρ$_{acier}$ = 7,8 kg/dm$^3$, il y a deux brides (une supérieure et une inférieure) ;
* sous-ensemble S (en noir) : support et pieds.

### Question 1

Calculer le poids des éléments ci-dessus ; déterminer le poids des différents sous-ensembles et de l'ensemble. On donne g = 10 m/s$^2$.
Calcul des poids :
| sous-ensemble A |||
| pompe principale A1 | …………………………………………………… | P$_{A1}$ = ………………………… |
| pompe doseuse A2 | …………………………………………………… | P$_{A2}$ = ………………………… |
| mélangeur A3 | …………………………………………………… | P$_{A3}$ = ………………………… |
| entraînement nettoyage A4 | …………………………………………………… | P$_{A4}$ = ………………………… |
| ensemble tuyauterie | …………………………………………………… | P$_{tuy}$ = ………………………… |
| total | | P$_A$ = ………………………… |
| sous-ensemble C |||
| cuve de mélange | …………………………………………………… | P$_{cuve}$ = ………………………… |
| contenance de la cuve | …………………………………………………… …………………………………………………… | P$_{cont.cuve}$ = ………………………… |
| total | | P$_C$ = ………………………… |
| sous-ensemble F |||
| filtre | …………………………………………………… | P$_{filtre}$ = ………………………… |
| contenance du filtre | …………………………………………………… …………………………………………………… | P$_{cont.filtre}$ = ………………………… |
| une bride | …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… | P$_{bride}$ = ………………………… |
| total | | P$_F$ = ………………………… |
Poids total : ……………………………………………………

### Question 2

Les positions des centres de gravité des sous-ensembles A, C et F sont données sur la figure ci-contre.
Modéliser les poids sur cette figure. Remplir le tableau des caractéristiques des actions mécaniques.
Caractéristiques des actions mécaniques :
| Action mécanique | Point d'application | Direction | Sens | Intensité |
| ${\vec {\mathrm {P} }}_{\mathrm {C} }$ | … | … | … | … |
| ${\vec {\mathrm {P} }}_{\mathrm {A} }$ | … | … | … | … |
| ${\vec {\mathrm {P} }}_{\mathrm {F} }$ | … | … | … | … |

### Question 3

Déterminer la position du centre de gravité G de l’ensemble ; placez-le sur le dessin et donnez la cote par rapport au point G$_C$.

### Question 4

La stabilité est-elle assurée ? Justifiez votre réponse.

### Question 1

Calcul des poids :
| sous-ensemble A |||
| pompe principale A1 | P$_{A1}$ = m$_{A1}$g = 118 × 10 | P$_{A1}$ = 1 180 N |
| pompe doseuse A2 | P$_{A2}$ = m$_{A2}$g = 68 × 10 | P$_{A2}$ = 680 N |
| mélangeur A3 | P$_{A3}$ = m$_{A3}$g = 70 × 10 | P$_{A3}$ = 700 N |
| entraînement nettoyage A4 | P$_{A4}$ = m$_{A4}$g = 68 × 10 | P$_{A4}$ = 680 N |
| ensemble tuyauterie | P$_{tuy}$ = m$_{tuy}$g = 55 × 10 | P$_{tuy}$ = 550 N |
| total | | P$_A$ = 1 180 + 680 + 700 + 680 + 550 = 3 790 N |
| sous-ensemble C |||
| cuve de mélange | P$_{cuve}$ = m$_{cuve}$g = 90 × 10 | P$_{cuve}$ = 900 N |
| contenance de la cuve | m$_{cont.cuve}$ = ρ$_{mélange}$V$_{cuve}$ = 1 × 130 = 130 kg P$_{cont.cuve}$ = m$_{cont.cuve}$g = 130 × 10 | P$_{cont.cuve}$ = 1 300 N |
| total | | P$_C$ = 900 + 1 300 = 2 200 N |
| sous-ensemble F |||
| filtre | P$_{filtre}$ = m$_{filtre}$g = 250 × 10 | P$_{filtre}$ = 2 500 N |
| contenance du filtre | m$_{cont.filtre}$ = ρ$_{mélange}$V$_{filtre}$ = 1 × 900 = 900 kg P$_{cont.filtre}$ = m$_{cont.filtre}$g = 900 × 10 | P$_{cont.filtre}$ = 9 000 N |
| une bride | V$_{bride}$ = S × e = π(R$_{extcorps}$$^2$ - r$_{intcorps}$$^2$ + 9 × r$_{tenon}$$^2$) × e = π(5$^2$ - 4,5$^2$ + 9 × 0,2$^2$) × 0,96 = 15,4 dm$^3$ m$_{bride}$ = ρ$_{acier}$V$_{bride}$ = 7,8 × 15,4 = 120 kg P$_{bride}$ = m$_{bride}$g = 120 × 10 | P$_{bride}$ = 1,200 N |
| total | | P$_F$ = 2 500 + 9 000 + 2 × 1 200 = 13 900 N |
Poids total : 3 790 + 2 200 + 13 900 = 198 900 N

### Détails sur le calcul du poids de la bride

La bride est composée d'un corps de volume V$_1$ et de 9 tenons de volume V$_2$. Les tenons sont des cylindres de ∅40 mm (soit 0,4 dm) et de hauteur 96 mm = 0,96 dm, soit
    V$_2$ = (πr$_{tenon}$$^2$) × e = π × 0,2$^2$ × 0,96 = 0,121 dm$^3$.
Pour connaître le diamètre extérieur de la bride, il faut s'intéresser aux cotes encadrées : il s'agit de cotation géométrique, ou cotation GPS. La cible « ⊕ » indique qu’il s'agit d'une tolérance de positionnement : l'axe du tenon doit être à ± 1 mm par rapport au cercle en trait mixte de diamètre 1,040 mm, le repère étant construit à partir des éléments géométriques A et B. Donc, le cercle extérieur du corps de la bride est tangent au cercle du tenon de rayon 20 mm, dont le centre est situé à 1 040 mm du centre du corps. Le diamètre extérieur du corps est donc 1 040 - 2 × 20 = 1 000 mm = 10 dm.
On peut calculer le volume V$_1$ de deux manières :
    V$_1$ = π(R$_{extcorps}$$^2$ - πr$_{intcorps}$$^2$) × h = π(5$^2$ - 4,5$^2$) × 0,96 = 14,3 dm$^3$
ou bien
    V$_1$ = π × D$_{fn}$ × e × h = π × 9,5 × 0,5 × 0,96 = 14,3 dm$^3$
donc le volume total vaut
    V = V$_1$ + 9 × V$_2$ = 14,3 + 9 × 0,121 = 15,4 dm$^3$.
Donc
    m = ρV = 7,8 × 15,4 = 120 kg
et
    P = mg = 120 × 10 = 1,200 N.

### Question 2

Caractéristiques des actions mécaniques :
| Action mécanique | Point d'application | Direction | Sens | Intensité |
| ${\vec {\mathrm {P} }}_{\mathrm {C} }$ | G$_C$ | | | ↓ | 2 200 N |
| ${\vec {\mathrm {P} }}_{\mathrm {A} }$ | G$_A$ | | | ↓ | 3 790 N |
| ${\vec {\mathrm {P} }}_{\mathrm {F} }$ | G$_F$ | | | ↓ | 13 900 N |

### Question 3

On repère les positions x par rapport à G$_C$.
Centre de gravité :
| Sous-ensemble | P (N) | x (m) | Px (Nm) |
| C | 2 200 | 0 | 0 |
| A | 3 790 | 0,1 | 379 |
| F | 13 900 | 1,45 | 20 155 |
| Somme | 19 890 | — | 20 534 |
    $x_{\mathrm {G} }={\frac {20\,534}{19\,890}}=1,032\ \mathrm {m} =1\,032\ \mathrm {mm}$.

### Question 4

On a
    170 mm < x$_G$ < 2 244 mm,
le centre de gravité G est situé entre les appuis C et E. La stabilité est donc assurée.

## Centre de gravité d'une plateforme

On veut connaître le centre de gravité d’une plateforme de caillebotis. Cette plateforme est rectangulaire (1), mais elle est percée de deux ouvertures pour permettre le passage d’une canalisation (2) et l’arrivée d’un escalier (3) (cf. figure ci-contre).
Déterminer les coordonnées (x$_G$ ; y$_G$) de son centre de gravité en supposant qu’il s’agit d’une tôle. Les ouvertures (2) et (3) seront considérées comme des pièces de masse négative.
Forme de base rep. 1 : rectangle de 4 m × 3 m, d'aire S$_1$ = 4 × 3 = 12 m$^2$. Le centre se trouve au milieu, en x$_1$ = 4/2 = 2 m, y$_1$ = 3/2 = 1,5 m.
Ouverture circulaire rep. 2 de diamètre 0,8 m : aire S$_2$ = -π × 0,4$^2$ = −0,5027 m$^2$. Le centre se trouve en x$_2$ = 1 m, y$_2$ = 3 - 1 = 2 m.
Ouverture rectangulaire rep. 3 de 1,6 m × 1 m, d'aire S$_3$ = -1,6 × 1 = −1,6 m$^2$. Le centre se trouve en x$_3$ = 4 - 0,4 - 1,6/2 = 2,8 m, y$_3$ = 0,4 + 1/2 = 0,9 m.
| Pièce | S (m$^2$) | x (m) | y (m) | Sx (m$^3$) | Sy (m$^3$) |
| 1 | 12 | 2 | 1,5 | 24 | 18 |
| 2 | −0,502,7 | 1 | 2 | −0,502,7 | -1,005 |
| 3 | -1,6 | 2,8 | 0,9 | -4,48 | -1,44 |
| Somme | 9,897 | — | — | 19,02 | 15,55 |
soit
    $\left\{{\begin{matrix}x_{\mathrm {G} }=\ &{\frac {19,02}{9,897}}=1,922\ \mathrm {m} =1\,922\ \mathrm {mm} \\y_{\mathrm {G} }=\ &{\frac {15,55}{9,897}}=1,571\ \mathrm {m} =1\,571\ \mathrm {mm} \\\end{matrix}}\right.$

## Poids et centre de gravité d'une tôle

Un carter comporte une tôle trapézoïdale rectangle représentée ci-contre. La tôle est en acier, de masse volumique ρ = 7 800 kg/m$^3$, et d'épaisseur 0,5 mm.

### Question 1

Déterminer la position du centre de gravité de la tôle.

### Question 2

Calculer le poids de la tôle. On prendra g = 9,81 m/s$^2$.

### Question 1

On peut décomposer la tôle en
* un rectangle rep. 1 de 300 mm × 400 mm (0,3 m × 0,4 m) : son aire vaut 0,12 m$^2$ et son centre de gravité se situé en G$_1$(0,15 ; 0,2) ;
* et un triangle rectangle rep. 2 dont les côtés de l'angle droit font 200 mm et 400 mm (0,2 m × 0,4 m) : son aire vaut ½ × 0,2 × 0,40,04 m$^2$, et son centre de gravité se situé en
** x$_2$ = 0,3 + ⅓ × 0,2 = 0,367,
** y$_2$ = ⅓ × 0,4 = 0,133.
| Pièce | S (m$^2$) | x (m) | y (m) | Sx (m$^3$) | Sy (m$^3$) |
| 1 | 0,12 | 0,15 | 0,2 | 0,018 | 0,024 |
| 2 | 0,04 | 0,367 | 0,133 | 0,014,7 | 0,005,32 |
| Somme | 0,16 | — | — | 0,032,7 | 0,029,3 |
soit
    $\left\{{\begin{matrix}x_{\mathrm {G} }=\ &{\frac {0,032\,7}{0,16}}=0,204\ \mathrm {m} =204\ \mathrm {mm} \\x_{\mathrm {G} }=\ &{\frac {0,029\,3}{0,16}}=0,183\ \mathrm {m} =183\ \mathrm {mm} \\\end{matrix}}\right.$

### Question 2

* V = S × e = 0,16 × 0,000,5 = 8⋅10$^{−5}$ m$^3$ = 0,000 08 m$^3$ ;
* m = ρ × V = 7,800 × 0,000,08 = 0,624 kg = 624 g ;
* P = mg = 0,624 × 9,81 = 6,12 N.