OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Intégrales en physique/Découpages classiques
## Intégration sur un disque

Du fait de la symétrie du disque, les coordonnées polaires sont les plus adaptées. On considère une grandeur f(r,θ) dont on veut calculer l'influence F sur la totalité de la surface Σ du disque.

### Secteur angulaire

La surface élémentaire d'ordre 2 d²S la plus simple à exprimer est celle située en un point de coordonnées (r,θ) :
* qui s'étend radialement sur une longueur dr
* qui balaie un angle dθ
Si, du fait des très petites dimensions de la surface, on peut assimiler d²S à un rectangle de dimensions dr et r dθ, on obtient $\mathrm {d} ^{2}S=\mathrm {d} r~r\mathrm {d} \theta$.
On peut vérifier qu'on retombe bien sur l'aire de Σ en sommant les surfaces élémentaires :
    ${\begin{aligned}\int _{r=0}^{r=R}\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }\mathrm {d} ^{2}S&=\int _{r=0}^{r=R}\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \\&=\int _{r=0}^{r=R}r\,\mathrm {d} r\,\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }\mathrm {d} \theta \\&=\left[{\frac {r^{2}}{2}}\right]_{r=0}^{r=R}\times 2\pi \\&=\pi R^{2}={\mathcal {A}}_{\Sigma }\end{aligned}}$
F vaut alors $F=\int _{r=0}^{r=R}\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }f(r,\theta )\,r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta$

### Couronne élémentaire

Si de plus, f ne dépend pas de θ : $F=\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }\mathrm {d} \theta \int _{r=0}^{r=R}f(r)\,r\,\mathrm {d} r=2\pi \int _{r=0}^{r=R}f(r)\,r\,\mathrm {d} r$
Cela revient à choisir une surface élémentaire en forme de couronne située à une distance r du centre, de largeur infinitésimale dr.
Si on « coupe » cette couronne et qu'on la « déroule » par la pensée, on peut supposer que son aire est assimilable à celle d'un rectangle de longueur 2πr (la circonférence d'un cercle de rayon r) et de largeur dr.
On obtient alors une couronne infinitésimale d'ordre 1 d'aire $\mathrm {d} S=2\pi r~\mathrm {d} r$.
On peut vérifier qu'on retombe bien sur l'aire de Σ en sommant les couronnes élémentaires :
    ${\begin{aligned}\int _{r=0}^{r=R}\mathrm {d} S&=\int _{r=0}^{r=R}2\pi r\,\mathrm {d} r\\&=\left[{\frac {r^{2}}{2}}\right]_{r=0}^{r=R}\times 2\pi \\&=\pi R^{2}={\mathcal {A}}_{\Sigma }\end{aligned}}$
F vaut alors $F=2\pi \int _{r=0}^{r=R}r\,f(r)\mathrm {d} r$

## Intégration dans le cas d'un cylindre

* $\mathrm {d} S=2\pi R\,\mathrm {d} z$
* $\mathrm {d} V=2\pi rh\,\mathrm {d} r$

## Intégration sur une sphère
### Élément infinitésimal d'ordre 2

$\mathrm {d} ^{2}S=R^{2}\sin(\varphi )\,{\rm {d\theta {\rm {d\varphi }}}}$

### Intégration sur des couronnes

$\mathrm {d} S=2\pi R^{2}\sin(\theta )\,\mathrm {d} \theta$

## Intégration sur une boule

* $\mathrm {d} V=4\pi r^{2}\,\mathrm {d} r$
* Intégrales multiples
# Intégrales en physique/Prérequis conseillés

* Maîtriser l’initiation au calcul intégral (12) et les intégrales doubles
* Avoir des notions sur les différentielles (13)
# Intégrale double/Présentation de la leçon

L'intégrale double généralise la notion d'intégrale simple dans le cas des fonctions de deux variables. Plusieurs théorèmes importants en calcul intégral comme le théorème de Fubini seront mis en place dans cette leçon.
# Intégrales en physique/Présentation de la leçon

Le calcul intégral joue un rôle fondamental en physique pour faire des calculs sur des grandeurs continues (aires, volumes, flux) dans de nombreux domaines : électrostatique, mécanique, thermodynamique...
# L'incomplétude mathématique

| Chap. 1 : | Le paradoxe du menteur (16) |
| Chap. 2 : | Les prédicats de vérité et le théorème d’incomplétude de Tarski (16) |
| Chap. 3 : | Les prédicats de prouvabilité et le premier théorème d’incomplétude de Gödel (16) |
| Chap. 4 : | Les ensembles indicibles sont indéfinis (16) |
| Chap. 5 : | Les ensembles décidables et énumérables (16) |
| Chap. 6 : | Le théorème fondamental de l’indécidabilité et le problème de Turing (16) |
| Chap. 7 : | Où sont les axiomes manquants ? (16) |
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## Présentation [Modifier]

L’existence des ensembles indicibles montre le caractère essentiellement incomplet de toute théorie mathématique. Cette incomplétude ontologique n’était pas considérée comme une restriction trop sévère avant que Gödel ait prouvé ses théorèmes d’incomplétude. Les mathématiciens pouvaient espérer que les éléments sans noms des ensembles indicibles n’étaient pas importants, que tous les ensembles « intéressants » pouvaient être définis à l’intérieur des théories existantes. La pratique confirmait cet espoir, parce que les outils connus de construction des ensembles étaient suffisants pour couvrir tous les besoins courants.
Les théorèmes de Gödel ont montré que l’incomplétude mathématique n’est pas seulement ontologique. Toutes les théories mathématiques générales sont incomplètes au sens où elles ne sont jamais capables de prouver toutes leurs vérités. Elles ne peuvent pas apporter de réponses à toutes les questions qu’elles permettent pourtant de poser. Elles ne contiennent jamais assez d’axiomes pour cela.
Le chapitre 6 prouvera que l’incomplétude de la prouvabilité axiomatique est étroitement liée à l’incomplétude ontologique, ce qui n’est pas étonnant, puisqu’une ontologie est fixée par des axiomes. Mais c’est très important pour comprendre que les théorèmes d’incomplétude sont des manifestations de la puissance de l’imagination et de la raison. Ils ne sont pas des preuves d’une insuffisance de la logique, comme cela est admis couramment, d’une façon incohérente, parmi de nombreux autres préjugés, ésotériques ou pseudo-mystiques, qui circulent sur ce sujet.

## Objectifs

Les objectifs de cette leçon n'ont pas encore été fixés. Pour le faire, cliquez ici.

## Niveau et prérequis conseillés

Leçon de niveau 16. Les prérequis pour cette leçon n'ont pas encore été précisés. Pour le faire, cliquez ici.

## Référents [Modifier]

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* Loïc Fabiou (discuter)
# L'homme est le premier maillon de l'évolution mentale

* Chap. 1 :

## Présentation [Modifier]
### Problématique

Aucun n'est sans remarquer que l'espèce humaine présente quelque chose de spécial inconnu chez les autres espèces, et certains ont pu croire à une intervention divine. Non, l'homme est toujours un animal. Ce qui a changé, c'est un basculement dans son architecture mentale. L'évolution biologique étant achevée, parce qu'anatomiquement et grâce à des outils son potentiel physique n'a plus de limite, en l'état de veille, la fonction volontaire est devenu dominante à la place de la fonction pathologique, source des émotions. Avec pour première conséquence que la reproduction génétique n'est plus l'objectif fondamental de l'espèce, la sexualité humaine est devenue volontaire et non plus déterminée par des structures réactives pulsionnelles, comme précédemment.

### Implications structurelles

Deuxièmement, la nouvelle interaction forte entre les fonctions analytique, conscience et volontaire dominante, fait que l'homme est, pour la première fois dans l'évolution du vivant, conscient de son ignorance. Sa soif de la combler est donc devenue obsessionnelle. Seulement, comme il est le premier maillon d'une nouvelle forme d'évolution, il naît dans une confusion totale face à une marche immense. En l'absence de la maîtrise des bases qui lui permettraient d'y parvenir, son imaginaire ne peut répondre que maladroitement aux questionnements de sa fonction volontaire. Cependant, les activités inconscientes de ses fonctions mentales ne sont pas en reste : elles vont s'obstiner à lui créer des problématiques insolubles en son état, pour le pousser à évoluer mentalement. Avec pour conséquence, des désordres psychiques et mentaux multiples, d'où des souffrances de tous ordres, des tumultes sociaux et des guerres, qu'aucun progrès technologique n'est capable de résoudre. L'équation est ainsi posée sur le plan mental.

### Conclusion

En conclusion, l'objectif fondamental de l'espèce humaine n'est pas de résoudre ses problématiques, mais d'évoluer mentalement afin d'y parvenir.

## Objectifs

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## Niveau et prérequis conseillés

Leçon de niveau 18. Les prérequis pour cette leçon n'ont pas encore été précisés. Pour le faire, cliquez ici.

## Référents

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# L'art/Référents

* HexaGône
* Hérisson grognon (discuter)
# L'habitat et les ouvrages de notre environnement

| Chap. 1 : | Pourquoi les bâtiments et les ouvrages d'arts construits par les hommes ne sont pas tous semblables? |
| Chap. 2 : | En matière d'habitat et d'ouvrages, les besoins de l'homme ont ils évolué? |

## Présentation

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## Objectifs

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## Niveau et prérequis conseillés

Leçon de niveau 8. Les prérequis pour cette leçon n'ont pas encore été précisés. Pour le faire, cliquez ici.

## Référents

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# L'incomplétude mathématique/Le paradoxe du menteur

Les théorèmes d’incomplétude mettent à profit un très ancien paradoxe. Si quelqu’un dit « je mens », est-ce qu’il ment ? S’il ment c’est qu’il ne ment pas. S’il ne ment pas c’est qu’il ment. Ce qu’il dit affirme sa propre fausseté. Le même paradoxe peut être présenté sous de nombreuses formes, parfois plus rigoureuses. La présente phrase qui commence par « la présente phrase » et finit par « est fausse » est fausse. Ou plus simplement : « cette phrase est fausse ».
Une théorie est un ensemble de phrases. On peut la considérer comme une sorte de diseur de vérités. La théorie dit que toutes ses phrases sont vraies. Le paradoxe du menteur prouve qu’il y a des restrictions sur les capacités des diseurs de vérité quand ceux-ci sont capables de formuler des énoncés à propos de ce qu’ils disent. Supposons qu’un diseur de vérité soit capable de répondre par avance à toutes les questions sur ce qu’il va répondre. Posons-lui alors la question « à cette question vas-tu répondre non ? ». Qu’il réponde oui ou non, dans les deux cas il dit faux. Il ne peut donc pas répondre sans se tromper.
Il s’agit d’une incomplétude essentielle pour les théories et les diseurs de vérité. Ils ne peuvent pas dire toute la vérité sur tout ce qu’ils disent à partir du moment où leurs moyens d’expression sont suffisamment riches pour permettre de poser des questions telles que celle qui vient d’être citée. En résumé, dès qu’on peut poser à un diseur de vérité des questions telles que « à cette question vas-tu répondre non ? » il ne peut pas à la fois toujours répondre et toujours dire la vérité. Une théorie à la fois riche et vraie est forcément incomplète. Le paradoxe du menteur permet de prouver l’incomplétude des théories mathématiques dès que leurs moyens d’expression sont suffisamment riches. Gödel, Tarski, Church, Post, Türing et beaucoup d’autres ont montré que de très nombreuses théories permettent d’énoncer des formules paradoxales semblables à celle du menteur. En particulier, toutes les théories destinées à fonder les mathématiques, même l’arithmétique formelle, permettent d’énoncer de telles formules.
| Sommaire | Les prédicats de vérité et le théorème d’incomplétude de Tarski |
# L'art/Présentation de la leçon

Qu'est-ce que l'art ? Quelle est la raison d’être de l'art ? Comment produit-on la beauté ? Qu'est-ce qui est à l'origine du sentiment esthétique ?
# L'homme est le premier maillon de l'évolution mentale/Présentation de la leçon
### Problématique

Aucun n'est sans remarquer que l'espèce humaine présente quelque chose de spécial inconnu chez les autres espèces, et certains ont pu croire à une intervention divine. Non, l'homme est toujours un animal. Ce qui a changé, c'est un basculement dans son architecture mentale. L'évolution biologique étant achevée, parce qu'anatomiquement et grâce à des outils son potentiel physique n'a plus de limite, en l'état de veille, la fonction volontaire est devenu dominante à la place de la fonction pathologique, source des émotions. Avec pour première conséquence que la reproduction génétique n'est plus l'objectif fondamental de l'espèce, la sexualité humaine est devenue volontaire et non plus déterminée par des structures réactives pulsionnelles, comme précédemment.

### Implications structurelles

Deuxièmement, la nouvelle interaction forte entre les fonctions analytique, conscience et volontaire dominante, fait que l'homme est, pour la première fois dans l'évolution du vivant, conscient de son ignorance. Sa soif de la combler est donc devenue obsessionnelle. Seulement, comme il est le premier maillon d'une nouvelle forme d'évolution, il naît dans une confusion totale face à une marche immense. En l'absence de la maîtrise des bases qui lui permettraient d'y parvenir, son imaginaire ne peut répondre que maladroitement aux questionnements de sa fonction volontaire. Cependant, les activités inconscientes de ses fonctions mentales ne sont pas en reste : elles vont s'obstiner à lui créer des problématiques insolubles en son état, pour le pousser à évoluer mentalement. Avec pour conséquence, des désordres psychiques et mentaux multiples, d'où des souffrances de tous ordres, des tumultes sociaux et des guerres, qu'aucun progrès technologique n'est capable de résoudre. L'équation est ainsi posée sur le plan mental.

### Conclusion

En conclusion, l'objectif fondamental de l'espèce humaine n'est pas de résoudre ses problématiques, mais d'évoluer mentalement afin d'y parvenir.
# Photométrie/Objectifs

* connaître les formulations élémentaires des différentes grandeurs photométriques ;
* retrouver les relations utilisées de façon courante en photométrie ;
* mettre en relation les différentes grandeurs photométriques.
# Photosynthèse/Annexe/Liens

* Sommaire
# Photosynthèse/Introduction

La photosynthèse est le processus bioénergétique qui permet aux plantes de synthétiser leur matière organique en exploitant l’énergie solaire. C'est la fabrication de matière carbonée organique à partir d'eau et de carbone minéral (CO$_2$) en présence de lumière. Les besoins nutritifs de la plante sont le dioxyde de carbone de l'air, l'eau et les minéraux du sol. Les végétaux chlorophylliens sont dits autotrophes pour le carbone. Une conséquence importante est la libération de molécules de dioxygène.
La nuit, la photosynthèse est suspendue, mais la plante respire de manière continue le jour et la nuit. Sur 24 h, la production de dioxyde de carbone issue de la respiration est moins importante que celle en dioxygène issue de la photosynthèse, durant la journée. C'est ainsi que l’on peut dire que la plante produit du dioxygène. C'est normal, car tel est le bilan durant toute sa croissance, produisant sa propre substance en rejetant de l'oxygène. La photosynthèse peut se faire dans les plantes, les algues et les bactéries (chez les cyanobactéries), et certains protistes.
La photosynthèse utilise donc l'énergie lumineuse (d'origine solaire ou artificielle), pour fabriquer du sucre (glucose). Ce processus est représenté par l'équation suivante :
On rencontre également souvent, cette équation sous la forme d'un simple bilan de matière, ce qui masque le fait que les atomes du dioxygène produit ne proviennent que de l'eau :
L'ensemble des phases de la photosynthèse se situe dans un organite spécifique : le chloroplaste. Cet organite présente de très riches structures membranaires dans lesquelles se trouvent plusieurs types de protéines. Parmi celles-ci, les antennes fixent une grande quantité de pigments dont les plus connus sont les chlorophylles. Ces antennes augmentent la section efficace de capture de l'énergie lumineuse et permettent d'alimenter le flux d'énergie transitant jusqu'à d'autres protéines membranaires : les centres réactionnels qui transforment l'énergie lumineuse en énergie chimique. L'ensemble des antennes collectrices et des centres réactionnels est appelé « photosystème ». Les photosystèmes interviennent dans la première phase de la photosynthèse en capturant les premiers électrons initiant la réaction photochimique. Les pigments (par exemple : chlorophylle a, b et caroténoïdes) contenus dans les antennes présentent différents spectres d'absorption.
Si la photosynthèse peut s'étudier de manière globale avec :
Ce processus se déroule en réalité en deux phases bien distinctes :
ce qui est noté « énergie chimique » correspond à 12 molécules de NADPH + H$^+$ et de l'ATP. On aura remarqué que la 2e phase utilise l'énergie chimique fournie par la 1re phase photochimique. La 2e phase dépend aussi de la lumière, mais indirectement. C'est pourquoi l’expression « phase sombre » souvent utilisée dans le passé, est en fait inappropriée.
| Sommaire | Réactions photochimiques |
# Photométrie/Prérequis conseillés

* notions sur les différentielles ;
* intégrales en physique ;
* Intégration de Riemann ;
* intégrale double.
Vous pouvez également consulter la leçon rudiments de photométrie qui ne necessite pas la connaissance des formulations différentielles et intégrales.
# Photosynthèse

| Chap. 1 : | Introduction (15) |
| Chap. 2 : | Réactions photochimiques (15) |
| Chap. 3 : | Cycle de Calvin (15) |
| Annexe : | Liens (15) |
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## Présentation

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## Objectifs

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## Niveau et prérequis conseillés

Leçon de niveau 15. Les prérequis pour cette leçon n'ont pas encore été précisés. Pour le faire, cliquez ici.

## Référents

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# Photométrie/Émittance

L'émittance, parfois nommée exitance, est la grandeur photométrique caractérisant le flux émis par unité de surface d'une source étendue. Son unité est le lumen par mètre carré (lm.m$^{-2}$).

## Émittance élémentaire

L'émittance est le rapport du flux émis par la surface élémentaire $\scriptstyle \mathrm {d^{2}} S'$ dans l'angle solide élémentaire $\scriptstyle \mathrm {d^{2}} \Omega$ par cette même surface :
$\mathrm {d^{2}} M={\frac {\mathrm {d^{4}} \Phi }{\mathrm {d^{2}} S'}}=L\cdot \cos \theta '\cdot \mathrm {d^{2}} \Omega .$
Aussi, l'émittance en un point donné et dans l'angle solide $\scriptstyle \Omega$ s'exprime :
$M=\iint _{\Omega }\mathrm {d^{2}} M=\iint _{\Omega }L\cdot \cos \theta '\cdot \mathrm {d^{2}} \Omega .$

## Loi de Lambert

Si la luminance de la source est la même dans toutes les directions, c’est que la lumière émise est diffuse, on parle d'une source orthotrope ou lambertienne, et sachant que
$\mathrm {d^{2}} \Omega =\sin \theta '.\mathrm {d} \theta '.\mathrm {d} \phi ,$
l'intégration sur le demi-espace mène à :
$M=L\cdot \int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \phi \int _{0}^{\pi /2}\cos \theta '\cdot \sin \theta '\cdot \mathrm {d} \theta '=L\cdot 2\cdot \pi \left[{\frac {\sin ^{2}\theta '}{2}}\right]_{0}^{\pi /2}=\pi \cdot L.$
Dans le cas d'une source orthotrope, l'émittance et la luminance sont liées par la relation :
$M=\pi \cdot L.$
| Flux lumineux | Éclairement |
# Photométrie/Présentation de la leçon

Cette leçon doit pouvoir permettre d'approfondir les notions de photométrie, dans la mesure où sont acquises quelques bases mathématiques dans le domaine de l'analyse linéaire de niveau 14 ou 15.
# Photométrie/Éclairement

L'éclairement est la grandeur photométrique qui quantifie le flux atteignant un récepteur par unité de surface. Son unité est le lux.
Le lux (lx) est l'éclairement d'une surface qui reçoit normalement, d'une manière uniformément répartie, un flux lumineux de 1 lumen par mètre carré.
On peut en déduire la relation suivante :
$E={\frac {\Phi }{S}}.$
Mais cette formule n'est valable que dans le cas particulier d'un flux uniformément réparti sur la surface et d'incidence normale.

## Éclairement élémentaire

L'éclairement élémentaire, reçu par une surface élémentaire $\mathrm {d^{2}} S$, du à une source de surface élémentaire $\mathrm {d^{2}} S'$ s'exprime :
$\mathrm {d^{2}} E={\frac {\mathrm {d^{4}} \Phi }{\mathrm {d^{2}} S}}=L\cdot {\frac {\cos \theta '\cdot \cos \theta }{r^{2}}}\cdot \mathrm {d^{2}} S'.$
En intégrant sur la surface source $S'$, on fait la somme de tous les flux élémentaires provenant de cette surface :
$E=\iint _{S'}\mathrm {d^{2}} E=\iint _{S'}{\frac {\mathrm {d^{4}} \Phi }{\mathrm {d^{2}} S}}=\iint _{S'}L\cdot {\frac {\cos \theta '\cdot \cos \theta }{r^{2}}}\cdot \mathrm {d^{2}} S'.$

## Approche simplifiée

Lorsque la surface est de petite dimension, l'angle $\theta '$ et la distance $r$ varient peu. On peut alors simplifier la relation et obtenir :
$E={\frac {\cos \theta }{r^{2}}}\cdot \iint _{S'}L\cdot \cos \theta '\cdot \mathrm {d^{2}} S'=I(\theta )\cdot {\frac {\cos \theta }{r^{2}}}.$
L'éclairement en un point P du à une source ponctuelle située à une distance r et d'intensité lumineuse I dans la direction de P, et formant un angle $\theta$ entre la normale à la surface et le rayon incident en ce point, peut être calculé à l'aide la relation :
$E={\frac {I(\theta )\cdot \cos \theta }{r^{2}}}.$
| Émittance | Sommaire |
# Théorie générale du choix et des préférences/Objectifs

* de présenter la modélisation des préférences des consommateurs ;
* de comprendre le lien entre les préférences, les fonctions d'utilité et les engagements que cela nécessite
* et enfin, d'énoncer les propriétés des fonctions d'utilité.
# Théorie générale du choix et des préférences/Exercices/Esercizi

* Dato $X=\left\{\left(0,0\right),\left(1,0\right),\left(0,1\right),\left(1,1\right)\right\}$, l'insieme di consumo, dove nel generico paniere il primo numéro indica il consumo di bene $x_{1}$ e il secondo il consumo di bene $x_{2}$.
** Date le preferenze $\left(1,1\right)\succcurlyeq \left(0,0\right);\left(1,1\right)\succcurlyeq \left(1,0\right);\left(1,1\right)\succcurlyeq \left(0,1\right);\left(1,0\right)\succcurlyeq \left(0,1\right);\left(1,0\right)\succcurlyeq \left(0,0\right)$, si indichi quali assiomi non vengono rispettati.
** Si scriva un esempio possibile di preferenze che rispetti tutti gli assiomi
* Si dimostri che il saggio marginale di sostituzione è invariante a trasformazioni monotoniche crescenti di $u$
* Si calcoli il saggio marginale di sostituzione delle seguenti funzioni di utilità e si traccino le curve di indifferenze nel caso di due soli beni:
** $u\left(\mathbf {x} \right)=\prod _{i=1}^{N}x_{i}^{\alpha _{i}}$ (Utilità Cobb-Douglas)
** $u\left(\mathbf {x} \right)=\sum _{i=1}^{N}\alpha _{i}x_{i}$ (Beni perfetti sostituti)
** $u\left(\mathbf {x} \right)=\min \left[\left\{x_{i}\right\}_{i=1}^{N}\right]$ (Beni perfetti complementi)
* Sommaire
# Théorie musicale

Faculté de Musique
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Les objectifs de ce cours sont :
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Cours de niveau débutant. Les prérequis conseillés sont :
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Référents
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