# Fondements des mathématiques/Que sont les mathématiques ?

Ce chapitre expose et discute diverses réponses aux questions sur la nature des mathématiques.

## La science des nombres et de l’espace

Depuis l’Antiquité, l’arithmétique et la géométrie sont considérées comme les sciences mathématiques par excellence. Euclide fait figure de père fondateur. La méthode axiomatique utilisée par Euclide était considérée comme un idéal de perfection du raisonnement, à tel point que pour désigner la logique, Pascal disait « l’esprit de géométrie ».
Les développements modernes des mathématiques ont cependant rendu obsolète cette définition traditionnelle des objets mathématiques, parce que de nouveaux types de nombres et d’espaces abstraits sont apparus.

## La science des formes de déduction

Une déduction consiste à partir de prémisses pour arriver à une conclusion en procédant par des étapes logiques. On peut dire que toutes les sciences sont mathématiques, même l’histoire, au sens où elles font toutes des déductions, et parce qu’une déduction a toujours quelque chose de mathématique, pourvu qu’elle soit juste.
Cependant, en mathématiques, l’étude de la forme du raisonnement, indépendamment de ses objets, a une importance cruciale. Montrons-le sur un exemple.
Les mêmes axiomes, ceux des espaces vectoriels, peuvent être utilisés à la fois pour étudier des espaces géométriques — l’espace euclidien par exemple —, et pour étudier l’ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire. Les théorèmes sur les espaces vectoriels sont donc valables pour de nombreux objets différents. On peut considérer que la théorie abstraite des espaces vectoriels consiste à étudier toutes les déductions qui partent des mêmes axiomes, indépendamment des objets auxquels ils sont appliqués. On étudie alors les formes de déduction et non les objets auxquels ces formes sont appliquées.
Cette définition convient bien aux mathématiques appliquées, parce qu’il s'agit de théories abstraites (les nombres entiers et réels, les fonctions réelles de variable(s) réelle(s) et les équations différentielles, les espaces vectoriels, les groupes, la théorie des probabilités…) qui ont une utilité générale pour toutes les sciences. Elles peuvent être appliquées à de nombreux objets. Le travail des mathématiques appliquées consiste à développer ces théories, dont la valeur est universelle, en vue d’aider les autres sciences dans leurs recherches des conséquences.

## La science de tous les mondes possibles

Pour un mathématicien, rien n’est impossible sauf ce qui est contradictoire. Par là on veut dire qu’un discours non contradictoire est à propos d’un monde concevable, imaginable, idéal.
De ce point de vue, la mathématique est la théorie de tout ce qu’on peut imaginer.
On croit souvent à tort que la connaissance de tous les possibles est une ambition démesurée et irréalisable mais elle ne l’est pas. Elle est à notre portée. Il est même très facile de connaître des vérités universelles, valables pour tous les possibles, le principe du tiers-exclu par exemple. Tout énoncé sur un monde possible y est ou bien vrai, ou bien faux. Ce n’est pas forcément très intéressant mais c’est un début (bien qu'il y ait des courants de pensée qui remettent en cause ce principe logique : l'intuitionnisme par exemple).
Le travail des mathématiques pures consiste à augmenter notre capacité à connaître tous les possibles. Il se trouve qu’il y a des théories particulières (les nombres, les groupes…) qui jouent un rôle privilégié dans cette connaissance, et qu’elles sont souvent, mais pas toujours, les mêmes que celles qui intéressent les mathématiques appliquées.
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