# Mécanique 1 (PCSI)/Loi de la quantité de mouvement : Principe de l'inertie et référentiels galiléens
## Système (fermé) de points matériels isolé, système (fermé) de points matériels pseudo-isolé
### Définition d'un système (fermé) de points matériels « isolé »

Préliminaire : Un système de points matériels sur lequel aucune action extérieure ne s'exerce sur lui à tout instant est dit « isolé ».
Remarque : en réalité seul un système « fermé » peut être « isolé » car
Remarque : en réalité seul un système « ouvert » $\;{\big$défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle $\;(\Sigma )\;$ fixe${\big ]}\;$ « isolé » devant être tel qu'il n'y ait aucun point matériel à l'extérieur de $\;(\Sigma )\;$ qui puisse être en interaction avec les points situés à l'intérieur de $\;(\Sigma )$ ${\big \$en effet un point extérieur étant nécessairement en interaction gravitationnelle avec n'importe quel point intérieur et cette interaction étant de portée infinie la présence d'au moins un point matériel à l'extérieur de $\;(\Sigma )\;$ aurait pour conséquence le caractère non isolé du système ouvert${\big \}$ ; Remarque : en réalité seul une 1ère conséquence du caractère « isolé » d'un système « ouvert » est donc le fait qu'il n'y a aucun point matériel à l'extérieur de $\;(\Sigma )$ $\;{\big$mais a priori il serait encore possible, pour un système ouvert, d'envisager une fuite de points matériels à travers $\;(\Sigma )\;$ mais $\;\ldots {\big ]}$,
Remarque : en réalité seul un système « ouvert » « isolé » doit aussi être tel qu'aucun point matériel intérieur à $\;(\Sigma )\;$ ne puisse se retrouver à l'extérieur puisqu'alors, ce point passé à l'extérieur étant nécessairement en interaction gravitationnelle avec n'importe quel autre point intérieur et cette interaction étant de portée infinie le caractère « isolé » du système « ouvert » serait mis en défaut à partir de l'instant de sortie de ce point matériel $\;{\big$ce qui est interdit dans la mesure où le système doit être isolé à tout instant${\big )}$ ; Remarque : en réalité seul une 2ème conséquence du caractère « isolé » d'un système « ouvert » est donc le fait qu'aucun point matériel ne doit traverser $\;(\Sigma )\;$ pour se retrouver à l'extérieur ;
Remarque : en réalité seul en conclusion un tel système « ouvert » « isolé » serait en fait « fermé ».
Un système de points matériels est dit « isolé » si aucune action extérieure ne s'exerce sur ce système à tout instant ; le système de points matériels « isolé » est alors nécessairement fermé.

### Définition d'un système (fermé) de points matériels « pseudo-isolé »

Préliminaire : Un système de points matériels tel que la résultante dynamique $\;{\vec {F}}_{\text{ext}}\;$ qui s'exerce sur lui est nulle quel que soit le mouvement individuel de ses points est dit « pseudo-isolé ».
Remarque : pratiquement seul un système « fermé » peut être « pseudo-isolé » car
Remarque : pratiquement seul un système « ouvert » $\;{\big$défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle $\;(\Sigma )\;$ fixe${\big ]}\;$ « pseudo-isolé » pour lequel un point matériel à l'extérieur de $\;(\Sigma )\;$ traverserait cette dernière pour se retrouver à l'intérieur supprimerait, dans la résultante dynamique s'exerçant sur le système, la somme des forces d'interaction du point entrant avec tous les points initialement présents dans le système, somme qui a fort peu de chance d'être nulle quelles que soient les positions des points intérieurs à l'instant de l'entrée, ceci rendant alors la résultante dynamique restante non nulle et mettant en défaut le caractère « pseudo-isolé » du système ouvert ; Remarque : pratiquement seul une 1ère conséquence pratique du caractère « pseudo-isolé » d'un système « ouvert » est qu'il ne doit y avoir pratiquement aucun point matériel à l'extérieur de $\;(\Sigma )\;$ pouvant y entrer durant la durée de l'observation $\;{\big$mais a priori il serait encore possible, pour un système ouvert, d'envisager une fuite de points matériels à travers $\;(\Sigma )\;$ mais $\;\ldots {\big ]}$,
Remarque : pratiquement seul un système « ouvert » « pseudo-isolé » doit aussi être tel qu'un point matériel intérieur à $\;(\Sigma )\;$ passant à l'extérieur ne modifie pas la résultante dynamique s'exerçant sur le système, or l'ajout de la somme des forces d'interaction du point sortant avec tous les points restant présents dans le système, somme ayant fort peu de chance d'être nulle quelles que soient les positions des points intérieurs à l'instant de sortie, conduit à une résultante dynamique obtenue non nulle et met en défaut le caractère « pseudo-isolé » du système ouvert ; Remarque : pratiquement seul une 2ème conséquence pratique du caractère « pseudo-isolé » d'un système « ouvert » est donc la nécessité pratique qu'aucun point matériel ne traverse $\;(\Sigma )\;$ pour se retrouver à l'extérieur ;
Remarque : pratiquement seul en conclusion un tel système « ouvert » « pseudo-isolé » serait, en pratique, « fermé ».
Un système de points matériels est dit « pseudo-isolé » si la résultante dynamique $\;{\vec {F}}_{\text{ext}}\;$ qui s'exerce sur lui est nulle quel que soit le mouvement individuel de ses points c.-à-d. $\;{\vec {F}}_{\text{ext}}={\vec {0}}\;\;\forall \;t$ ; le système de points matériels « pseudo isolé » est alors, dans la pratique, fermé.
Commentaire : Il faut distinguer « système $\;{\big$fermé${\big )}\;$ pseudo-isolé » et « système $\;{\big$fermé${\big )}\;$ en équilibre », la résultante dynamique du 1er est nulle dans toutes circonstances alors que Commentaire : Il faut distinguer « système $\;\color {transparent}{\big$fermé$\color {transparent}{\big )}\;$ pseudo-isolé » et « système $\;\color {transparent}{\big$fermé$\color {transparent}{\big )}\;$ en équilibre », la résultante dyna celle du 2nd l'est uniquement dans une position particulière du système.

### 1ère propriété des systèmes (fermés) de points matériels « isolé » ou « pseudo-isolé » en dynamique newtonienne

En dynamique newtonienne, les forces étant invariantes par changement de référentiel, le caractère « isolé » ou « pseudo-isolé » d'un système $\;{\big$fermé${\big )}\;$ de points matériels reste valable dans n'importe quel référentiel.

### Exemples de système (fermé) de points matériels « isolé » ou « pseudo-isolé »

Exemple de système $\;{\big$fermé${\big )}\;$ de points matériels « isolé » : un astre loin de tout autre astre.
Exemples de système $\;{\big$fermé${\big )}\;$ de points matériels « pseudo-isolé » : un système binaire d’étoiles loin de tout autre astre,
Exemples de système (fermé) de points matériels « pseudo-isolé » : un objet sur une table horizontale à coussin d'air.

## Principe de l'inertie, théorèmes de l'inertie
### Principe de l'inertie

$\;1630$
Commentaire préliminaire : si nous construisons la dynamique newtonienne des systèmes $\;{\big$fermés${\big )}\;$ de points matériels Commentaire préliminaire : si nous construisons à partir de celle du point matériel, il suffit de trois principes de dynamique du point matériel pour démontrer celle des systèmes de points, Commentaire préliminaire : si nous construisons à partir de celle du point matériel, il suffit les trois principes représentant pour les anglo-saxons les trois lois de Newton c.-à-d. Commentaire préliminaire : si nous construisons à partir de celle du point matériel, il suffit $\succ \;$la 3ème $\;{\big$vue dans un chapitre précédent${\big )}\;$ encore nommée « principe des actions réciproques », Commentaire préliminaire : si nous construisons à partir de celle du point matériel, il suffit $\succ \;$la 1ère $\;{\big$énoncée dans ce paragraphe${\big )}\;$ encore appelée « principe de l'inertie » et Commentaire préliminaire : si nous construisons à partir de celle du point matériel, il suffit $\succ \;$la 2nde $\;{\big$voir chapitre suivant${\big )}\;$ encore appelée « principe fondamental de la dynamique (p.f.d.) » ;
Commentaire préliminaire : cette construction peut être qualifiée de « minimaliste » dans la mesure où on admet un minimum de propriétés $\;{\big$celles de la dynamique du point matériel${\big ]}\;$ et Commentaire préliminaire : cette construction peut être qualifiée de « minimaliste » dans la mesure où on démontre les autres $\;{\big$celles des systèmes $\;{\big$fermés${\big )}\;$ de points matériels${\big ]}$, Commentaire préliminaire : cette construction peut être qualifiée de « minimaliste » c'est cette construction que nous adoptons.
« Il existe au moins un référentiel$\;{\mathcal {R}}\;$ dans lequel un point matériel isolé est animé d'un mouvement rectiligne uniforme ».
Conséquence : le vecteur quantité de mouvement d'un point matériel isolé dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ où le principe de l'inertie s'applique est conservé que ce soit en dynamique newtonienne ou Conséquence : le vecteur quantité de mouvement d'un point matériel isolé dans le référentiel $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ où le principe de l'inertie s'applique est conservé que ce soit en dynamique relativiste, en effet, Conséquence : le vecteur quantité de mouvement d'un point matériel isolé le principe de l'inertie y étant applicable, le mouvement du point matériel est rectiligne uniforme, Conséquence : le vecteur quantité de mouvement d'un point matériel isolé le principe de l'inertie y étant applicable, son vecteur vitesse est constant et par suite Conséquence : le vecteur quantité de mouvement d'un point matériel isolé le principe de l'inertie y étant applicable, son vecteur quantité de mouvement aussi car Conséquence : le vecteur quantité de mouvement d'un point matériel isolé le principe de l'inertie y étant applicable, $\succ \;$en cinétique newtonienne «$\;{\vec {p}}_{M}=m\;{\vec {V}}_{M}\;$» avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}m=cste\\{\vec {V}}_{M}={\overrightarrow {\text{cste}}}\end{array}}\right\rbrace \;$ et Conséquence : le vecteur quantité de mouvement d'un point matériel isolé le principe de l'inertie y étant applicable, $\succ \;$en cinétique relativiste «$\;{\vec {p}}_{M}=m\;\gamma _{M}\;{\vec {V}}_{M}\;$» avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}m=cste\\{\vec {V}}_{M}={\overrightarrow {\text{cste}}}\end{array}}\right\rbrace \;$ et Conséquence : le vecteur quantité de mouvement d'un point matériel isolé le principe de l'inertie y étant applicable, $\color {transparent}{\succ }\;$en cinétique relativiste le facteur de Lorentz $\;\gamma _{M}={\dfrac {1}{\sqrt {1-\left({\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{M}\Vert }{c}}\right)^{\!\!2}}}}=cste$.

### Théorème de l'inertie (en dynamique newtonienne)

Commentaire préliminaire : ayant adopté la construction « minimaliste » de la dynamique newtonienne des systèmes $\;{\big$fermés${\big )}\;$ de points matériels, Commentaire préliminaire : ayant adopté la construction « minimaliste » la loi énoncée ci-dessous appliquée à un système $\;{\big$fermé${\big )}\;$ de points matériels isolé est appelée « théorème de l'inertie » Commentaire préliminaire : ayant adopté la construction « minimaliste » en effet elle découle de l'application du « principe fondamental de la dynamique (p.f.d.) » à chaque point matériel du système et Commentaire préliminaire : ayant adopté la construction « minimaliste » en effet elle découle de celle du « principe des actions réciproques » ;
Commentaire préliminaire : il existe une autre construction que l'on pourrait qualifier de « maximaliste » consistant à admettre les lois appliquées à un système $\;{\big$fermé${\big )}\;$ de points matériels, Commentaire préliminaire : il existe une autre construction que l'on pourrait qualifier de « maximaliste » la loi énoncée ci-dessous appliquée à un système $\;{\big$fermé${\big )}\;$ de points matériels isolé Commentaire préliminaire : il existe une autre construction que l'on pourrait qualifier de « maximaliste » la loi énoncée ci-dessous devant alors être appelée « principe de l'inertie ».
« Il existe au moins un référentiel$\;{\mathcal {R}}\;$ dans lequel le C.D.I. d'un système$\;{\big$fermé${\big )}\;$de points matériels isolé est animé d'un mouvement rectiligne uniforme ».
Conséquence : la résultante cinétique d'un système$\;{\big$fermé${\big )}\;$de points matériels isolé dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ où le théorème de l'inertie s'applique Conséquence : la résultante cinétique d'un système$\;\color {transparent}{\big$fermé$\color {transparent}{\big )}\;$de points matériels isolé est conservée en dynamique newtonienne Conséquence : la résultante cinétique d'un système$\;\color {transparent}{\big$fermé$\color {transparent}{\big )}\;$de points matériels isolé en effet, le théorème de l'inertie étant applicable dans cette dynamique, Conséquence : la résultante cinétique d'un système$\;\color {transparent}{\big$fermé$\color {transparent}{\big )}\;$de points matériels isolé en effet, le mouvement du C.D.I. $\;G\;$ du système $\;{\big$fermé${\big )}\;$ de points matériels isolé est rectiligne uniforme, Conséquence : la résultante cinétique d'un système$\;\color {transparent}{\big$fermé$\color {transparent}{\big )}\;$de points matériels isolé en effet, son vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{G}\;$ est donc constant et Conséquence : la résultante cinétique d'un système$\;\color {transparent}{\big$fermé$\color {transparent}{\big )}\;$de points matériels isolé en effet, d'après le lien entre résultante cinétique et vecteur vitesse de $\;G\;$ en dynamique newtonienne, Conséquence : la résultante cinétique d'un système$\;\color {transparent}{\big$fermé$\color {transparent}{\big )}\;$de points matériels isolé en effet, sa résultante cinétique aussi car $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}\;$ avec $\;m_{\text{syst}}=cste\;$ et $\;{\vec {V}}_{G}={\overrightarrow {\text{cste}}}$.

### Théorème de l'inertie (en dynamique relativiste)

Commentaire préliminaire : ayant adopté la construction « minimaliste » de la dynamique relativiste des systèmes $\;{\big$fermés${\big )}\;$ de points matériels, Commentaire préliminaire : ayant adopté la construction « minimaliste » la loi énoncée ci-dessous appliquée à un système $\;{\big$fermé${\big )}\;$ de points matériels isolé est appelée « théorème de l'inertie » Commentaire préliminaire : ayant adopté la construction « minimaliste » en effet elle découle de l'application du « principe fondamental de la dynamique (p.f.d.) » à chaque point matériel du système et Commentaire préliminaire : ayant adopté la construction « minimaliste » en effet elle découle de celle du « principe des actions réciproques »$^,$ ;
Commentaire préliminaire : il existe une autre construction que l'on pourrait qualifier de « maximaliste » consistant à admettre les lois appliquées à un système $\;{\big$fermé${\big )}\;$ de points matériels, Commentaire préliminaire : il existe une autre construction que l'on pourrait qualifier de « maximaliste » la loi énoncée ci-dessous appliquée à un système $\;{\big$fermé${\big )}\;$ de points matériels isolé Commentaire préliminaire : il existe une autre construction que l'on pourrait qualifier de « maximaliste » la loi énoncée ci-dessous devant alors être appelée « principe de l'inertie ».
« Il existe au moins un référentiel d'espace-temps$\;{\mathcal {R}}\;$ dans lequel la résultante cinétique$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}\;$d'un système$\;{\big$fermé${\big )}\;$de points matériels isolé est conservée au cours du temps du référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$».
Conséquence : la conservation de la résultante cinétique d'un système $\;{\big$fermé${\big )}\;$ de points matériels isolé dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ impliquant $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\vec {p}}_{M_{i}}={\overrightarrow {\text{cste}}}\;$ ou, Conséquence : la conservation de la résultante cinétique en utilisant la définition de la quantité de mouvement d'un point matériel en cinétique relativiste $\;{\vec {p}}_{M_{i}}(t)=\gamma _{i}(t)\;m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;$ avec Conséquence : la conservation de la résultante cinétique $\;m_{i}\;$ masse $\;{\big$inerte${\big )}\;$ de $\;M_{i}$, $\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;$ son vecteur vitesse et $\;\gamma _{i}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-\left({\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{M_{i}}(t)\Vert }{c}}\right)^{\!\!2}}}}\;$ son facteur de Lorentz à l'instant $\;t$, Conséquence : la conservation de la résultante cinétique mais «$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\gamma _{i}(t)\;m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)={\overrightarrow {\text{cste}}}\;$» $\Rightarrow$ a priori que le C.D.I. $\;G\;$ du système $\;{\big$fermé${\big )}\;$ de points matériels isolé Conséquence : la conservation de la résultante cinétique mais «$\;\color {transparent}{{\vec {P}}_{\text{syst}}=i\,=\,1\,..\,N\gamma _{i}(t)\;m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)={\overrightarrow {\text{cste}}}}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ a priori que le C.D.I. n'est pas animé d'un M.R.U. en dynamique relativiste, Conséquence : la conservation de la résultante cinétique en effet $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$ étant a priori $\;\neq \gamma _{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ $\;{\big \$sauf si le système $\;{\big$fermé${\big )}\;$ de points matériels isolé est en translation${\big \}$ d'où, Conséquence : la conservation de la résultante cinétique dans le cas le plus fréquent de système$\;{\big$fermé${\big )}\;$de points matériels isolé non en translation on a $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\gamma _{i}(t)\;m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)={\overrightarrow {\text{cste}}}\;$ Conséquence : la conservation de la résultante cinétique dans le cas le plus fréquent de système$\;\color {transparent}{\big$fermé$\color {transparent}{\big )}\;$de points matériels isolé non en translation mais $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\neq \gamma _{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ et par suite Conséquence : la conservation de la résultante cinétique dans le cas le plus fréquent de système$\;\color {transparent}{\big$fermé$\color {transparent}{\big )}\;$de points matériels isolé non en translation «$\;{\overrightarrow {\text{cste}}}\neq \gamma _{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t),\;\;\forall \;t\;$ » ou encore, Conséquence : la conservation de la résultante cinétique dans le cas le plus fréquent de système$\;\color {transparent}{\big$fermé$\color {transparent}{\big )}\;$de points matériels isolé non en translation «$\;{\overrightarrow {\text{cste}}}\neq {\dfrac {m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)}{\sqrt {1-\left({\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{G}(t)\Vert }{c}}\right)^{\!\!2}}}},\;\;\forall \;t\;$ » d'où Conséquence : la conservation de la résultante cinétique dans le cas le plus fréquent de système$\;\color {transparent}{\big$fermé$\color {transparent}{\big )}\;$de points matériels isolé non en translation a priori «$\;{\vec {V}}_{G}(t)\neq {\overrightarrow {{\text{cste}}'}}\;$» C.Q.F.V. Conséquence : la conservation de la résultante cinétique dans le cas particulier de système$\;{\big$fermé${\big )}\;$de points matériels isolé en translation on a $\;{\vec {P}}_{\text{syst en transl}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\gamma _{i}(t)\;m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)={\overrightarrow {\text{cste}}}\;$ et Conséquence : la conservation de la résultante cinétique dans le cas particulier de système$\;\color {transparent}{\big$fermé$\color {transparent}{\big )}\;$de points matériels isolé en translation on a $\;{\vec {P}}_{\text{syst en transl}}(t)=\gamma _{G}(t)\;m_{\text{syst en transl}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ d'où Conséquence : la conservation de la résultante cinétique dans le cas particulier de système$\;\color {transparent}{\big$fermé$\color {transparent}{\big )}\;$de points matériels isolé en translation «$\;{\overrightarrow {\text{cste}}}=\gamma _{G}(t)\;m_{\text{syst en transl}}\;{\vec {V}}_{G}(t),\;\;\forall \;t\;$» ou encore Conséquence : la conservation de la résultante cinétique dans le cas particulier de système$\;\color {transparent}{\big$fermé$\color {transparent}{\big )}\;$de points matériels isolé en translation «$\;{\overrightarrow {\text{cste}}}={\dfrac {m_{\text{syst en transl}}\;{\vec {V}}_{G}(t)}{\sqrt {1-\left({\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{G}(t)\Vert }{c}}\right)^{\!\!2}}}},\;\;\forall \;t\;$» dont on déduit Conséquence : la conservation de la résultante cinétique dans le cas particulier de système$\;\color {transparent}{\big$fermé$\color {transparent}{\big )}\;$de points matériels isolé en translation «$\;{\vec {V}}_{G_{\text{syst en transl}}}(t)={\overrightarrow {{\text{cste}}'}}\;$» c.-à-d. un M.R.U. de $\;G$, Conséquence : la conservation de la résultante cinétique dans le cas particulier de système$\;\color {transparent}{\big$fermé$\color {transparent}{\big )}\;$de points matériels isolé en translation « C.D.I. du système $\;{\big$fermé${\big )}\;$ de points matériels Conséquence : la conservation de la résultante cinétique dans le cas particulier de système$\;\color {transparent}{\big$fermé$\color {transparent}{\big )}\;$de points matériels isolé en translation « C.D.I. du système $\;\color {transparent}{\big$fermé$\color {transparent}{\big )}\;$ isolé en translation.

## En complément : le principe (ou théorèmes) de l'inertie, cas particulier du théorème d'Emmy Nœther

$7$
« À toute invariance $\;{\big$de l'espace temps ainsi que des lois physiques utilisées${\big )}\;$ selon un groupe de symétries $\;{\big$continues et globales${\big )}\;$ est nécessairement associée une grandeur physique conservée en toutes circonstances ».
Quel que soit l'endroit où le point matériel isolé se trouve dans l'espace, les lois de la physique auxquelles ce point obéit doivent être « invariantes par translation d'espace » ;
d'après le théorème d'Emmy Nœther, il y a « conservation d'une grandeur $\;{\big$cinétique${\big )}\;$ du point » traduisant l'« invariance des lois physiques selon le groupe des translations d'espace » et le principe de l'inertie nous dit que « cette grandeur$\;{\big$cinétique${\big )}\;$conservée est le vecteur quantité de mouvement du point $\;{\big$ou résultante cinétique du système fermé${\big )}\;$».
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;\Downarrow \;$
$\;{\big$
${\big )}$

## Référentiels galiléens

Le principe de l'inertie postulant l'existence d'au moins un référentiel dans lequel le mouvement d'un point matériel isolé est rectiligne uniforme, Le principe de l'inertie postulant l'existence d'au moins un référentiel on qualifie de « galiléen »$^,$ ce$\;{\big$ou ces${\big )}\;$référentiel${\big$s${\big )}\;$dans lequel le principe de l'inertie est applicable.

## Mouvement relatif de deux référentiels galiléens
### Question : Existe-t-il d'autres référentiels galiléens ?

Le principe de l'inertie admettant l'existence d'un référentiel galiléen, est-il unique ou en existe-t-il d'autres ? À cette question nous répondrons ci-après avec justification à l'appui :
$\;{\big$
${\big )}$

### Propriété liant deux référentiels galiléens

$\;{\mathcal {R}}$
$\;{\mathcal {R}}_{g}\;$

### Démonstration de la propriété énoncée au paragraphe précédent

Démonstration : pour définir la translation de $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport à $\;{\mathcal {R}}_{g}$, il suffit de se donner le mouvement de $\;O\;$ ${\big$origine du repère associé à $\;{\mathcal {R}}{\big )}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ en précisant Démonstration : pour définir la translation de $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ par rapport à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{g}}$, il suffit de se donner son vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{O\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}(t)\;$ que l'on écrira encore $\;{\vec {V}}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}(t)$, ainsi que Démonstration : pour définir la translation de $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ par rapport à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{g}}$, il suffit de se donner son vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{O\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}(t)\;$ écrit encore $\;{\vec {a}}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}(t)$ ; Démonstration : dans la mesure où $\;{\mathcal {R}}\;$ est en translation rectiligne uniforme relativement à $\;{\mathcal {R}}_{g}$, le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}(t)={\overrightarrow {\text{cste}}}\;$ et le vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}(t)={\vec {0}}$ ;
Démonstration : la loi de composition des vecteurs vitesses d'un point $\;M\;$ par changement de référentiel s'écrit $\;{\big$si les référentiels sont en translation${\big )}$ $\;{\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}(t)={\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}}(t)+{\vec {V}}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}(t)\;$
Démonstration : la loi de composition des vecteurs accélérations d'un point $\;M\;$ par changement de référentiel s'écrit $\;{\big$les référentiels étant en translation${\big )}$ $\;{\vec {a}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}(t)={\vec {a}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}}(t)+{\vec {a}}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}(t)\;$
Démonstration : si $\;{\mathcal {R}}\;$ est en translation rectiligne uniforme relativement à $\;{\mathcal {R}}_{g}$, la loi de composition des vecteurs accélérations du point $\;M\;$ devient $\;{\vec {a}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}(t)=$ ${\vec {a}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}}(t)\;{\cancel {+{\vec {a}}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}(t)}}\;$ soit finalement «$\;{\vec {a}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}(t)={\vec {a}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}}(t),\;\;({\mathfrak {a}})\;$» ${\big$dans ce qui précède le caractère galiléen de $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ n'intervient pas, cela reste donc valable pour un référentiel $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ qui ne serait pas galiléen${\big ]}$ ;
Démonstration : considérant un point matériel $\;M\;$ isolé, on en déduit, par application du principe de l'inertie dans $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ galiléen, que le vecteur vitesse de $\;M\;$ défini dans $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ est constant $\;{\bigM\;$ y ayant un M.R.U.${\big ]}\;$ et donc que son vecteur accélération défini dans $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ est nul soit au final «$\;{\vec {a}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}(t)={\vec {0}}\;$» ;
Démonstration : utilisant la relation $\;({\mathfrak {a}})\;$ pour en déduire le vecteur accélération de $\;M\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ lequel est en translation rectiligne uniforme relativement au référentiel $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ galiléen ${\big$ce qui est caractérisé par $\;{\vec {a}}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}(t)={\vec {0}}{\big ]}\;$ on en déduit «$\;{\vec {a}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{g}}(t)={\vec {a}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}}(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» ce qui donne, par intégration, «$\;{\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}}(t)={\overrightarrow {\text{cste}}},\;\;\forall \;t\;$» c.-à-d. le vecteur vitesse de $\;M\;$ défini dans $\;{\mathcal {R}}\;$ constant, établissant que le point matériel $\;M\;$ isolé a un M.R.U. dans $\;{\mathcal {R}}\;$ d'où l'assurance du caractère galiléen de $\;{\mathcal {R}}\;$ puisque le principe de l'inertie s'applique à $\;M\;$ isolé dans $\;{\mathcal {R}}\;$ C.Q.F.D..

## 1er exemple de référentiel galiléen « le référentiel de Copernic »
### Limites de l'étude

Nous limitons les études dynamiques au contenu du Système solaire, dans ces conditions l'utilisation de la « relativité générale » est, en 1ère approximation, inutile, ce qui revient à considérer
* la dynamique newtonienne pour des points se déplaçant à une vitesse petite par rapport à $\;c\;$ $\;{\big$célérité de la lumière${\big )}\;$ et
* la dynamique relativiste $\;{\big$restreinte${\big )}\;$ pour des points se déplaçant à une vitesse plus grande que $\;0,14\;c\;$.

### Meilleur référentiel d'application du principe de l'inertie pour un point matériel isolé dans le Système solaire

Le meilleur référentiel d'application du principe de l'inertie sur la durée de l'Humanité $\;{\big$c.-à-d. le meilleur référentiel galiléen sur la durée de l'Humanité${\big ]}\;$ est le « référentiel de Copernic » c.-à-d. le « référentiel lié au C.D.I. du Système solaire par rapport auquel les étoiles infiniment éloignées sont fixes » en effet,
Le meilleur référentiel d'application du principe de l'inertie sur la durée de l'Humanité le Soleil effectuant une rotation autour du centre de la Voie Lactée en approximativement $\;300\;10^{6}\;ans=$ $300\;Ma$ en restant à une distance moyenne $\;27\;10^{3}\;$ années-lumière du centre de la Voie Lactée, si on considère le référentiel lactocentrique $\;{\big$c.-à-d. lié à la Voie Lactée tel que le référentiel de Copernic soit en translation relativement à lui${\big ]}\;$ comme le meilleur référentiel galiléen pour toute expérience s'effectuant exclusivement dans la Voie Lactée en restant suffisamment éloignée du centre de celle-ci, le référentiel de Copernic est alors en translation quasi circulaire relativement au référentiel lactocentrique mais Le meilleur référentiel d'application du principe de l'inertie sur la durée de l'Humanité le Soleil sur une durée de $\;3\;Ma\;$ ${\big$que l'on peut définir comme l'échelle de temps de l'Humanité${\big )}\;$ représentant un centième de tour, on peut confondre l'arc de cercle décrit avec la corde correspondante et affirmer que le référentiel de Copernic est, pendant cette durée, en translation rectiligne uniforme relativement au référentiel lactocentrique galiléen et par suite qu'il est lui-même galiléen.
Repère de Copernic associé : Repère cartésien associé au référentiel de Copernic ayant pour « origine » « le C.D.I. du Système solaire » et pour « axes » « trois directions fixes » deux à deux orthogonales ; c'est donc le meilleur repère galiléen pour les expériences liées au Système solaire à une échelle de temps inférieure à celle de l'Humanité$^,$.
Remarque : le « référentiel de Copernic » est à distinguer du « référentiel de Kepler » lequel est le « référentiel barycentrique du Soleil »$^,$, mais $\;\ldots$ Remarque : pratiquement ils sont quasiment confondus, la masse du Système solaire étant à $\;99,86\,\%\;$ dans le Soleil, on peut estimer la distance séparant le C.D.I. du Soleil à celui du Système solaire à $\;10^{6}\;km\;$, le rayon solaire étant égal à $\;0,7\;10^{6}\;km\;$ le C.D.I. du Système solaire peut être situé très grossièrement au niveau de la surface du Soleil ; Remarque : le repère associé au référentiel de Kepler ayant pour origine le C.D.I. du Soleil et étant en translation par rapport au repère de Copernic qui a pour origine le C.D.I. du Système solaire, le 1er est théoriquement en translation quasi circulaire par rapport au 2nd mais pratiquement la distance séparant les deux C.D.I. restant petite par rapport à la dimension du Système solaire $\;{\big$laquelle reste très difficile à définir mais de l'ordre de $\;7,5\;10^{9}\;km{\big )}$, le mouvement du repère de Kepler peut être, en 1ère approximation, négligé par rapport à celui du repère de Copernic et par suite on peut aussi estimer le repère de Kepler comme galiléen.
Remarque : Pour information le symbole astronomique du Soleil est « ☉ » et celui de Jupiter « ♃ ».

## Caractère quasi galiléen du « référentiel géocentrique » si la durée de l’expérience n'excède pas trois jours (terrestres)
### Définition du référentiel géocentrique

Le référentiel géocentrique est le « référentiel lié au C.D.I. de la Terre par rapport auquel les étoiles infiniment éloignées sont fixes », Le référentiel géocentrique il est donc en mouvement de translation relativement au référentiel de Copernic ;
on peut aussi définir le référentiel géocentrique comme le référentiel barycentrique de la Terre relativement au référentiel de Copernic choisi comme référentiel d'étude.

### Caractère « théoriquement non galiléen » du référentiel géocentrique

Le référentiel géocentrique est « théoriquement non galiléen » car il est en translation « quasi circulaire » uniforme par rapport au référentiel de Copernic, le galiléen de référence, or Le référentiel géocentrique pour être galiléen il devrait être en translation rectiligne uniforme par rapport à ce dernier.

### Caractère « quasi galiléen » du référentiel géocentrique pour une durée d'expérience n'excédant pas trois jours (terrestres)

Pour considérer le référentiel géocentrique comme « quasi galiléen » il faut pouvoir confondre son mouvement de translation quasi circulaire uniforme relativement au référentiel de Copernic avec Pour considérer le référentiel géocentrique comme « quasi galiléen » il faut pouvoir confondre un mouvement de translation quasi rectiligne uniforme, ceci est réalisé à moins de $\;1\,\%\;$ près Pour considérer le référentiel géocentrique comme « quasi galiléen » il faut pouvoir confondre si le C.D.I. de la Terre décrit un arc de cercle de longueur $\;\lesssim \;$ à $\;1\,\%\;$ du périmètre de l'orbite quasi circulaire Pour considérer le référentiel géocentrique comme « quasi galiléen » il faut pouvoir confondre si le C.D.I. de la Terre décrit ou pendant une durée $\;\lesssim \;$ à $\;1\,\%\;$ de la période orbitale de la Terre autour du Soleil Pour considérer le référentiel géocentrique comme « quasi galiléen » il faut pouvoir confondre si le C.D.I. de la Terre soit pendant une durée «$\;\Delta t\lesssim {\dfrac {T_{\text{orbitale}}({\text{♁}})}{100}}\simeq 3,6\;jours\;$»$^,$ Pour considérer le référentiel géocentrique comme « quasi galiléen » il faut pouvoir confondre si le C.D.I. de la Terre soit pendant une durée valeur maximale arrondie à « $3\;jours\;$».

### Validation du caractère « quasi galiléen » du référentiel géocentrique sur une durée d’expérience inférieure à trois jours (terrestres)

Un point matériel au voisinage de la Terre étant au moins soumis à la force d'attraction gravitationnelle terrestre ne peut être isolé, toutefois Un point matériel au voisinage de la Terre s'il est suffisamment éloigné de la Terre, cette dernière n'exerce pratiquement plus de force et en absence d'autres forces il est « quasi isolé » ;
« en absence de vitesse initiale, aucun mouvement du point matériel quasi isolé ne serait perceptible pourvu que la durée d’observation reste inférieure à trois jours ».

## Caractère quasi galiléen du « référentiel terrestre » si la durée de l’expérience n'excède pas quinze minutes (terrestres)
### Définition du référentiel terrestre

Le référentiel terrestre est le référentiel lié à la Terre, il est donc en « rotation $\;{\big$uniforme${\big )}\;$ relativement au référentiel géocentrique ».
Repères terrestres associés : il y a autant de repères terrestres associés qu'il y a d'origines d'espace possibles c.-à-d. une « infinité », la base cartésienne étant choisie en respectant la direction locale verticale du 3ème vecteur $\;{\vec {u}}_{z}\;$ ${\big$avec un sens ascendant ou descendant${\big )}$.

### Caractère théoriquement « non galiléen » du référentiel terrestre

Pour une expérience de durée $\;\lesssim \;$ à $\;3\;jours$, le référentiel géocentrique peut être considéré comme galiléen et servir de galiléen de référence ;
le référentiel terrestre est « théoriquement non galiléen » car il est en « rotation » uniforme par rapport au galiléen de référence c.-à-d. le référentiel géocentrique, or le référentiel terrestre pour être galiléen il devrait être en translation rectiligne uniforme par rapport à ce dernier.

### Caractère « quasi galiléen » du référentiel terrestre pour une durée d'expérience n'excédant pas quinze minutes (terrestres)

Pour considérer le référentiel terrestre comme « quasi galiléen » il faut pouvoir confondre son mouvement de rotation uniforme relativement au référentiel géocentrique avec Pour considérer le référentiel terrestre comme « quasi galiléen » il faut pouvoir confondre un mouvement de translation quasi rectiligne uniforme, ceci est réalisé à moins de $\;1\,\%\;$ près Pour considérer le référentiel terrestre comme « quasi galiléen » il faut pouvoir confondre si l'origine du repère décrit un arc de cercle de longueur $\;\lesssim \;$ à $\;1\,\%\;$ du périmètre du parallèle décrit par l'origine Pour considérer le référentiel terrestre comme « quasi galiléen » il faut pouvoir confondre si l'origine du repère décrit ou pendant une durée $\;\lesssim \;$ à $\;1\,\%\;$ de la période de rotation sidérale de la Terre Pour considérer le référentiel terrestre comme « quasi galiléen » il faut pouvoir confondre si l'origine du repère soit pendant une durée «$\;\Delta t\lesssim {\dfrac {T_{\text{sidérale}}({\text{♁}})}{100}}\simeq 861,64\;s\simeq 14\,min\;22\,s\;$»$^,$ Pour considérer le référentiel terrestre comme « quasi galiléen » il faut pouvoir confondre si l'origine du repère soit pendant une durée valeur maximale arrondie à « $15\;min\;$».

### Validation du caractère « quasi galiléen » du référentiel terrestre sur une durée d’expérience inférieure à quinze minutes (terrestres)

Un point matériel sur Terre étant au moins soumis à son poids ne peut être isolé ; la seule façon de tenter de valider le caractère quasi galiléen d'un référentiel terrestre par vérification d'un M.R.U. est de remplacer le caractère isolé d'un corps non réalisable sur Terre par le caractère pseudo-isolé ;
on vérifie qu'« un point matériel pseudo-isolé a un M.R.U. pourvu que la durée d'observation reste inférieure à un quart d'heure »$^,$ et par suite on valide le caractère « quasi galiléen » du référentiel terrestre pour une durée inférieure à $\;15\,min$.