# Complexes et géométrie/Devoir/Un problème de géométrie

Soient $A,B,D$ les points d'affixes respectives :
* $z_{A}=1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}$ ;
* $z_{B}=1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}$ ;
* $z_{D}=2\mathrm {i}$.
1° Calculer l'affixe du point $C$ image de $D$ par la rotation de centre $O$ (d'affixe $z_{O}=0$) et d'angle ${\frac {\pi }{2}}$.
2° Représenter les points dans le plan complexe dont un repère orthonormé direct est $(O,{\vec {u}},{\vec {v}})$. Faire le dessin.
3° Soit le triangle $(ABC)$.
    a) Calculer l'angle défini par le couple de vecteurs $({\overrightarrow {CA}},{\overrightarrow {CB}})$.
    b) Déterminer la nature du triangle $(ABC)$.
    c) Déterminer le centre et le rayon du cercle $\Gamma$ circonscrit au triangle.
4. Soit $r$ la rotation de centre $B$ et d'angle ${\frac {\pi }{3}}$.
    a) Quelles sont les images $A',B',C'$ des points $A,B,C$ par $r$ ?
    b) Quelle est l’image directe de $\Gamma$ par $r$ ?
    c) Déterminer l'image réciproque de $\Gamma$ par $r$.
1° On a $z_{C}=\operatorname {e} ^{\frac {\mathrm {i} \pi }{2}}z_{D}=\mathrm {i} \times 2\mathrm {i} =-2$.
2° (En attente de graphique)
3° :a) ${\frac {z_{B}-z_{C}}{z_{A}-z_{C}}}={\frac {1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}+2}{1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}+2}}={\frac {(3-\mathrm {i} {\sqrt {3}})^{2}}{(3+\mathrm {i} {\sqrt {3}})(3-\mathrm {i} {\sqrt {3}})}}={\frac {6-6\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{12}}={\frac {1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}=\operatorname {e} ^{-{\frac {\mathrm {i} \pi }{3}}}$,
       c'est-à-dire que l'angle défini par le couple de vecteurs $({\overrightarrow {CA}},{\overrightarrow {CB}})$ est $-{\frac {\pi }{3}}$ et que $CA=CB$.
    b) Le triangle est donc équilatéral.
    c) Par conséquent, le centre de son cercle circonscrit est son centre de gravité $G$ (on rappelle que les droites remarquables (médianes, médiatrices…) sont confondues).
       L'affixe de $G$ est ${\frac {z_{A}+z_{B}+z_{C}}{3}}={\frac {1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}+1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}-2}{3}}=0$ donc $G=O$.
       Le rayon du cercle circonscrit est $OC=|z_{C}|=2$.
4° a) $r$ fixe son centre $B$ et (d'après les questions 3.a et 3.b) envoie $A$ sur $C$, donc $z_{B'}=z_{B}$ et $z_{A'}=z_{C}$.
       ${\begin{aligned}z_{C'}&=\operatorname {e} ^{\frac {\mathrm {i} \pi }{3}}(z_{C}-z_{B})+z_{B}\\&={\frac {1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}(-2-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}})+1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}\\&=-3-\mathrm {i} {\sqrt {3}}+1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}\\&=-2-2\mathrm {i} {\sqrt {3}}.\end{aligned}}$
       On peut remarquer que l’image $(A'B'C')=(CBC')$ du triangle équilatéral $(ABC)$ par la rotation $r$ reste un triangle équilatéral.
    b) L'image d’un cercle par une rotation est un cercle de même rayon. L’image de $\Gamma$ par la rotation $r$ est donc le cercle de rayon $2$ et de centre le point d'affixe
       $\operatorname {e} ^{\frac {\mathrm {i} \pi }{3}}(z_{O}-z_{B})+z_{B}=\dots$, ou plus simplement : ${\frac {z_{A'}+z_{B'}+z_{C'}}{3}}={\frac {-2+1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}-2-2\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{3}}=-1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}$.
    c) L’image réciproque de $\Gamma$ par $r$ est égale à son image directe par $r^{-1}$, c'est-à-dire le cercle de rayon $2$ et de centre le point d'affixe
       $\operatorname {e} ^{-{\frac {\mathrm {i} \pi }{3}}}(z_{O}-z_{B})+z_{B}=\left({\frac {1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}-1\right)(-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}})={\frac {\left(-1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)\left(-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)}{2}}=2$.
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