# Géométrie affine/Exercices/Thalès, Ménélaüs, Ceva et Desargues

Étant donnés trois points alignés $A,B,C$ tels que $A\neq C$, la notation ${{\overline {AB}} \over {\overline {AC}}}$ désigne le scalaire $\lambda$ tel que ${\overrightarrow {AB}}=\lambda {\overrightarrow {AC}}$.

## Exercice 4-1

Dans un espace affine, on se donne deux droites $D$ et $D'$ et trois hyperplans parallèles distincts intersectant $D$ et $D'$ respectivement en $A$ et $A'$, en $B$ et $B'$ et en $C$ et $C'$.
Démontrer que ${{\overline {AB}} \over {\overline {AC}}}={{\overline {A'B'}} \over {\overline {A'C'}}}$ (théorème de Thalès).
Soit $p$ la projection affine sur $D'$ parallèlement aux trois hyperplans, qui envoie $A,B,C$ respectivement sur $A',B',C'$. Si l'on note $\lambda ={{\overline {AB}} \over {\overline {AC}}}$ et $\mu ={{\overline {A'B'}} \over {\overline {A'C'}}}$, alors
    ${\vec {p}}({\overrightarrow {AB}})={\begin{cases}{\vec {p}}(\lambda ~{\overrightarrow {AC}})=\lambda ~{\vec {p}}({\overrightarrow {AC}})=\lambda ~{\overrightarrow {p(A)p(C)}}=\lambda ~{\overrightarrow {A'C'}}\\{\overrightarrow {p(A)p(B)}}={\overrightarrow {A'B'}}=\mu ~{\overrightarrow {A'C'}}\end{cases}}\quad {\text{donc}}\quad \lambda =\mu$.

## Exercice 4-2

Soit dans un plan affine un triangle $(A,B,C)$, et trois points $X,Y,Z$ appartenant respectivement aux droites $(BC),(CA),(AB)$ et distincts des sommets $A,B,C$.
On veut démontrer que $X,Y,Z$ sont alignés si et seulement si
    $(1)\quad {\frac {\overline {XB}}{\overline {XC}}}{\frac {\overline {YC}}{\overline {YA}}}{\frac {\overline {ZA}}{\overline {ZB}}}=1$.
* On suppose $X,Y,Z$ alignés. Soient $h_{1}$ l'homothétie de centre $X$ telle que $h_{1}(B)=C$ et $h_{2}$ l'homothétie de centre $Y$ telle que $h_{2}(C)=A$. On note $\alpha _{k}$ le rapport de $h_{k}$.
** Montrer que les deux droites $(XY)$ et $(AB)$ sont stables par $h_{2}\circ h_{1}$.
** En déduire que $h_{2}\circ h_{1}$ est une homothétie de centre $Z$.
** En explicitant $\alpha _{1}$ et $\alpha _{2}$, en déduire la relation $(1)$.
* Réciproquement, on suppose $(1)$ vérifiée.
** En remarquant que ${\frac {\overline {XB}}{\overline {XC}}}\neq {\frac {\overline {YA}}{\overline {YC}}}$, montrer que $(XY)$ et $(AB)$ sont sécantes.
** En considérant le point $Z'$ d'intersection de $(XY)$ et $(AB)$ et les résultats de la première question, montrer que $Z=Z'$ et en déduire que les points $X,Y,Z$ sont alignés.
** La droite $(XY)$ est stable par $h_{1}$ et $h_{2}$ donc par $h_{2}\circ h_{1}$. D'autre part, $(h_{2}\circ h_{1})(B)=A$ donc l'homothétie-translation $h_{2}\circ h_{1}$ envoie la droite $(AB)$ sur la parallèle à $(AB)$ passant par $A$, c'est-à-dire sur $(AB)$ elle-même.
** L'homothétie-translation $h_{2}\circ h_{1}$ fixe donc $(XY)\cap (AB)=\{Z\}$, ce qui prouve que c'est une homothétie de centre $Z$.
** ${\frac {\overline {ZA}}{\overline {ZB}}}=\alpha _{1}\alpha _{2}={\frac {\overline {XC}}{\overline {XB}}}{\frac {\overline {YA}}{\overline {YC}}}$, d'où la relation $(1)$.
** Puisque $A\neq B$, ${\frac {\overline {ZA}}{\overline {ZB}}}\neq 1$ donc d'après l'hypothèse $(1)$, ${\frac {\overline {XB}}{\overline {XC}}}\neq {\frac {\overline {YA}}{\overline {YC}}}$. Si $(XY)$ et $(AB)$ étaient parallèles, cela contredirait le théorème de Thalès.
** D'après la première question, ${\frac {\overline {XB}}{\overline {XC}}}{\frac {\overline {YC}}{\overline {YA}}}{\frac {\overline {Z'A}}{\overline {Z'B}}}=1$ donc d'après l'hypothèse $(1)$, ${\frac {\overline {Z'A}}{\overline {Z'B}}}={\frac {\overline {ZA}}{\overline {ZB}}}$. Par conséquent, $Z=Z'\in (XY)$.
Soient ${\cal {R=(A_{0},\ldots ,A_{n})}}$ un repère affine de ${\cal {E}}$ et $B_{0},\ldots ,B_{n}$ $n+1$ points quelconques.
* On note $\gamma _{i,j}$$ la $i$-ème coordonnée barycentrique de $B_{j}$ dans ${\cal {R}}$. Montrer que $(B_{0},\ldots ,B_{n})$ est un repère affine de ${\cal {E}}$ si et seulement si $\det \gamma \neq 0$.
* Dans le cas particulier $B_{0}\in (A_{0}A_{1}),B_{0}\neq A_{1},\dots ,B_{n}\in (A_{n}A_{0}),B_{n}\neq A_{0}$, en déduire que $(B_{0},\ldots ,B_{n})$ est un repère affine de ${\cal {E}}$ si et seulement si ${{\overline {B_{0}A_{0}}} \over {\overline {B_{0}A_{1}}}}\times {{\overline {B_{1}A_{1}}} \over {\overline {B_{1}A_{2}}}}\times \ldots \times {{\overline {B_{n}A_{n}}} \over {\overline {B_{n}A_{0}}}}\neq 1$.
* $\det \gamma$ est nul si et seulement si l'une des colonnes de $\gamma$, disons la $k$-ième, est combinaison linéaire des autres, c'est-à-dire (en notant $\gamma _{j}$ la $j$-ème colonne si et seulement s'il existe $(\lambda _{j})_{j\neq k}$ tel que $\gamma _{k}=\sum _{j\neq k}\lambda _{j}\gamma _{j}.$ Puisque chaque colonne est de somme 1, de tels $\lambda _{j}$ vérifient automatiquement $1=\sum _{j\neq k}\lambda _{j}\times 1$. Conclusion : $\det \gamma$ est nul si et seulement si une colonne $\gamma _{k}$ de $\gamma$ est barycentre des autres, c'est-à-dire si et seulement si un $B_{k}$ est barycentre des autres $B_{j}$, c'est-à-dire si et seulement si $(B_{0},\ldots ,B_{n})$ n'est pas un repère affine.
* Soient $s_{j}\neq 0$ tels que $B_{0}=s_{0}A_{0}+(1-s_{0})A_{1},\dots ,B_{n}=s_{n}A_{n}+(1-s_{n})A_{0}$. Alors ${{\overline {B_{0}A_{0}}} \over {\overline {B_{0}A_{1}}}}\times {{\overline {B_{1}A_{1}}} \over {\overline {B_{1}A_{2}}}}\times \ldots \times {{\overline {B_{n}A_{n}}} \over {\overline {B_{n}A_{0}}}}=\prod {s_{j}-1 \over s_{j}}$ et $\det \gamma =(\prod s_{j})+(-1)^{n}\prod _{j=0}^{n}(1-s_{j})=(\prod s_{j})-\prod (s_{j}-1)$, d'où l'équivalence voulue.

## Exercice 4-3

Soit dans un plan affine un triangle $(A,B,C)$, et trois points $A',B',C'$ appartenant respectivement aux droites $(BC),(CA),(AB)$ et distincts des sommets $A,B,C$.
On veut démontrer que les trois droites $(AA')$, $(BB')$ et $(CC')$ sont parallèles $(1)$ ou concourantes $(2)$ si et seulement si
    $(3)\quad {\frac {\overline {A'B}}{\overline {A'C}}}{\frac {\overline {B'C}}{\overline {B'A}}}{\frac {\overline {C'A}}{\overline {C'B}}}=-1$.
* On suppose $(1)$. En appliquant le théorème de Thalès, montrer que ${\frac {\overline {B'C}}{\overline {B'A}}}={\frac {\overline {BC}}{\overline {BA'}}}$ et ${\frac {\overline {C'A}}{\overline {C'B}}}={\frac {\overline {CA'}}{\overline {CB}}}$. En déduire $(3)$.
* On suppose $(2)$ et l'on note $K$ le point commun aux trois droites $(AA')$, $(BB')$ et $(CC')$.
** En appliquant le théorème de Ménélaüs au triangle $(ACA')$ et à la droite $(BB')$, montrer que ${\frac {\overline {BA'}}{\overline {BC}}}{\frac {\overline {B'C}}{\overline {B'A}}}{\frac {\overline {KA}}{\overline {KA'}}}=+1$.
** Montrer qu'on a de même ${\frac {\overline {CA'}}{\overline {CB}}}{\frac {\overline {C'B}}{\overline {C'A}}}{\frac {\overline {KA}}{\overline {KA'}}}=+1$.
** En déduire $(3)$.
* Réciproquement, on suppose $(3)$.
** On suppose $(AA')$ et $(BB')$ sécantes en un point $K'$ et l'on désigne par $C''$ le point de concours de $(CK')$ et $(AB)$. En appliquant la question 2, montrer que ${\frac {\overline {A'B}}{\overline {A'C}}}{\frac {\overline {B'C}}{\overline {B'A}}}{\frac {\overline {C''A}}{\overline {C''B}}}=-1$ et en déduire que ${\frac {\overline {C''A}}{\overline {C''B}}}={\frac {\overline {C'A}}{\overline {C'B}}}$. En déduire que $C''=C'$ et finalement $(2)$.
** En déduire que si $(AA')$ et $(BB')$ sont parallèles alors $(1)$.
* (Variante des questions 2 et 3.1). On pose
    $a={{\overline {A'B}} \over {\overline {A'C}}},\qquad b={{\overline {B'C}} \over {\overline {B'A}}},\qquad c={{\overline {C'A}} \over {\overline {C'B}}}$.
** Soit $I=\alpha A+\beta B+\gamma C$ (avec $\alpha +\beta +\gamma =1$) un point quelconque de ${\cal {E}}$. On veut trouver à quelle condition (sur $\alpha ,\beta ,\gamma$) ce point $I$ appartient à la droite $AA'$.
    a) Déterminer (en fonction de $a$) les coordonnées barycentriques de $A'$ dans le repère affine $(B,C)$ de la droite $BC$.
    b) En déduire que si $I$ est un barycentre de $A$ et $A'$ alors $\gamma =-a\beta$.
    c) Vérifier la réciproque et conclure.
    d) Énoncer (sans démonstration) la condition analogue pour que $I$ appartienne à $BB'$ (resp. $CC'$).
** On suppose dans cette sous-question que les deux droites $AA'$ et $BB'$ sont sécantes en $I=\alpha A+\beta B+\gamma C$ (avec $\alpha +\beta +\gamma =1$). Déduire de la sous-question précédente que $abc=-1$ si et seulement si $I\in CC'$.
* En appliquant le théorème de Thalès à la droite $(AA')$ parallèle au côté $(B'B)$ du triangle $(B'CB)$, on trouve ${\frac {\overline {B'C}}{\overline {B'A}}}={\frac {\overline {BC}}{\overline {BA'}}}$. De même en intervertissant les lettres $B$ et $C$, on trouve ${\frac {\overline {C'A}}{\overline {C'B}}}={\frac {\overline {CA'}}{\overline {CB}}}$. Par conséquent, ${\frac {\overline {A'B}}{\overline {A'C}}}{\frac {\overline {B'C}}{\overline {B'A}}}{\frac {\overline {C'A}}{\overline {C'B}}}={\frac {\overline {A'B}}{\overline {A'C}}}{\frac {\overline {BC}}{\overline {BA'}}}{\frac {\overline {CA'}}{\overline {CB}}}={\frac {\overline {A'B}}{\overline {BA'}}}{\frac {\overline {BC}}{\overline {CB}}}{\frac {\overline {CA'}}{\overline {A'C}}}=(-1)^{3}=-1$.
** Les trois points $B',K,B$ sont alignés et appartiennent respectivement à $(CA),(AA'),(A'C)$ donc d'après le théorème de Ménélaüs, ${\frac {\overline {BA'}}{\overline {BC}}}{\frac {\overline {B'C}}{\overline {B'A}}}{\frac {\overline {KA}}{\overline {KA'}}}=1$.
** De même en intervertissant les lettres $B$ et $C$, on trouve ${\frac {\overline {CA'}}{\overline {CB}}}{\frac {\overline {C'B}}{\overline {C'A}}}{\frac {\overline {KA}}{\overline {KA'}}}=1$.
** On en déduit : ${\frac {\overline {BA'}}{\overline {BC}}}{\frac {\overline {B'C}}{\overline {B'A}}}={\frac {\overline {CA'}}{\overline {CB}}}{\frac {\overline {C'B}}{\overline {C'A}}}$, soit ${\frac {\overline {BA'}}{\overline {CA'}}}{\frac {\overline {B'C}}{\overline {B'A}}}{\frac {\overline {C'A}}{\overline {C'B}}}=-1$, ce qui équivaut à $(3)$.
** D'après les hypothèses et la question 2, ${\frac {\overline {A'B}}{\overline {A'C}}}{\frac {\overline {B'C}}{\overline {B'A}}}{\frac {\overline {C''A}}{\overline {C''B}}}=-1={\frac {\overline {A'B}}{\overline {A'C}}}{\frac {\overline {B'C}}{\overline {B'A}}}{\frac {\overline {C'A}}{\overline {C'B}}}$ donc ${\frac {\overline {C''A}}{\overline {C''B}}}={\frac {\overline {C'A}}{\overline {C'B}}}$. Ceci prouve que $C''=C'$ donc (par définition de $C''$) $(2)$.
** D'après la sous-question précédente, si deux des trois droites $(AA')$, $(BB')$ et $(CC')$ sont sécantes alors les trois droites sont concourantes. Par conséquent, si deux des trois droites sont parallèles alors les trois le sont.
    a) ${\overrightarrow {A'B}}=a{\overrightarrow {A'C}}$ donc $A'={1 \over 1-a}B+{-a \over 1-a}C$.
    b) Si $I=\lambda A'+(1-\lambda )A$ alors ($\alpha =1-\lambda$ et) d'après a), $\beta =\lambda {1 \over 1-a}$ et $\gamma =\lambda {-a \over 1-a}$ donc $\gamma =-a\beta$.
    c) Réciproquement, si $\gamma =-a\beta$ alors $1-\alpha =\beta +\gamma =(1-a)\beta$ et $\alpha A+(1-\alpha )A'=\alpha A+(1-a)\beta ({1 \over 1-a}B+{-a \over 1-a}C)=\alpha A+\beta B-a\beta C=I$. Conclusion : $I$ appartient à la droite $AA'$ (autrement dit $I$ est un barycentre de $A$ et $A'$) si et seulement si $\gamma =-a\beta$.
    d) De même (par permutation circulaire dans les notations) $I\in BB'\Leftrightarrow \alpha =-b\gamma$ et $I\in CC'\Leftrightarrow \beta =-c\alpha$.
** D'après la sous-question précédente, puisque $I\in AA'\cap BB'$, on a $\gamma =-a\beta$ et $\alpha =-b\gamma$, donc $\alpha =ab\beta$. On a donc les équivalences $I\in CC'\Leftrightarrow \beta =-c\alpha \Leftrightarrow \beta =-abc\beta \Leftrightarrow abc=-1$ (car $\beta \neq 0$ puisque $1=\alpha +\beta +\gamma =(ab+1-a)\beta$).

## Exercice 4-4

Soient ${\cal {E}}$ un espace affine, $D_{1},D_{2},D_{3}$ trois droites affines distinctes qui se coupent en un point $O\in {\cal {E}}$.
Soient $A,A'$ (resp. $B,B'$, resp. $C,C'$) deux points distincts de $D_{1}\setminus \{O\}$ (resp. $D_{2}\setminus \{O\}$, resp. $D_{3}\setminus \{O\}$).
On suppose que $BC$ et $B'C'$ se coupent en un point $A''$, $CA$ et $C'A'$ se coupent en un point $B''$, et $AB$ et $A'B'$ se coupent en un point $C''$.
* Montrer qu'il existe un unique $(\alpha ,\beta ,\gamma )\in \mathbb {R} ^{3}$ tel que ${\overrightarrow {OA}}=(\alpha -1){\overrightarrow {AA'}}$, ${\overrightarrow {OB}}=(\beta -1){\overrightarrow {BB'}}$ et ${\overrightarrow {OC}}=(\gamma -1){\overrightarrow {CC'}}$.
* Montrer que $\beta \neq \gamma$, puis $\gamma \neq \alpha$ et $\alpha \neq \beta$. Déterminer (en fonction de $\alpha ,\beta ,\gamma$) les coordonnées barycentriques de $A''$ dans le repère affine $(B,C)$ de la droite affine $BC$, puis celles de $B''$ dans le repère affine $(C,A)$ et celles de $C''$ dans le repère affine $(A,B)$.
* En déduire que $A'',B'',C''$ sont alignés. (Remarque : c'est une version faible du théorème de Desargues qui, sans supposer a priori $D_{1},D_{2},D_{3}$ concourantes, énonce qu'elles le sont si et seulement si $A'',B'',C''$ sont alignés).
* ${\overrightarrow {OA}}=(\alpha -1){\overrightarrow {AA'}}$ est équivalent à $O=\alpha A+(1-\alpha )A'$. Puisque $O\in (AA')$, un tel réel $\alpha$ existe et est unique (et différent de $0$ et $1$ puisque $O\neq A',A$). Idem pour $\beta ,\gamma$.
* $A''=tB+(1-t)C=t\left[{1 \over \beta }O+{\alpha -1 \over \beta }B'\right]+(1-t)\left[{1 \over \gamma }O+{\gamma -1 \over \gamma }C'\right]$ appartient à $(B'C')$ donc (puisque $O,B',C'$ sont non alignés) $0={t \over \beta }+{1-t \over \gamma }$, c'est-à-dire $t(\beta -\gamma )=\beta$ (ce qui prouve au passage que $\beta \neq \gamma$). On en déduit $t$ et $1-t$, d'où $A''={\beta \over \beta -\gamma }B+{\gamma \over \gamma -\beta }C$. De même, ($\gamma \neq \alpha$ et) $B''={\gamma \over \gamma -\alpha }C+{\alpha \over \alpha -\gamma }A$, et ($\alpha \neq \beta$ et) $C''={\alpha \over \alpha -\beta }A+{\beta \over \beta -\alpha }B$.
* On en déduit ${{\overline {A''B}} \over {\overline {A''C}}}\times {{\overline {B''C}} \over {\overline {B''A}}}\times {{\overline {C''A}} \over {\overline {C''B}}}={\gamma \over \beta }{\alpha \over \gamma }{\beta \over \alpha }=1$ donc d'après le théorème de Menelaüs, $A'',B'',C''$ sont alignés.
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