OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Mathématiques en terminale générale/Devoir/Logarithmes, exponentielles et fonctions puissances

1° On note $c$ et $s$ les fonctions définies sur $\mathbb {R}$ par :
$\qquad \qquad c(x)={\frac {1}{2}}(\mathrm {e} ^{x}+\mathrm {e} ^{-x})\qquad s(x)={\frac {1}{2}}(\mathrm {e} ^{x}-\mathrm {e} ^{-x})$
    a) Démontrez que $c$ est paire, que $s$ est impaire, puis que :
       $c^{2}(x)-s^{2}(x)=1$.
    b) Étudiez chacune de ce fonctions et tracez leurs courbes représentatives dans un repère orthonormal.
       De cette étude, déduisez que :
       - pour tout $x>0$, $c(x)>1$ et $c(0)=1$ ;
       - pour tout $x>0$, $s(x)>0$ et $s(0)=0$ ;
       - pour tout réel $x$, $c'(x)=s(x)$ et $s'(x)=c(x)$.
       Précisez les tangentes aux points d'abscisse zéro.
    c) On note $t$ la fonction définie par :
       $t(x)={\frac {s(x)}{c(x)}}$.
       Étudiez cette fonction et tracez sa courbe représentative dans un repère orthonormal.
       Déduisez de cette étude que :
       - pour tout réel $x$, $-1<t(x)<1$ ;
       - pour tout réel $x>0$, $t(x)>0$ et $t(0)=0$.
2° On note $u$ la fonction définie par :
$\qquad \qquad \qquad u(x)={\frac {\ln c(x)}{x}}$
    a) Quel est l'ensemble de définition de $u$ ? Démontrer que $u$ est impaire.
    b) Démontrer que pour tout $x>0$, $u(x)>0$ ; déduisez-en que pour tout $x<0$, $u(x)<0$.
    c) On étudie la limite en zéro de la fonction $u$ ; observez que pour tout $x$ non nul, on peut écrire $u(x)={\frac {v(x)-v(0)}{x-0}}$, $v$ étant une fonction à préciser.
       Expliquez alors pourquoi $u$ a une limite en zéro. Quelle est-elle ?
On pose alors $u(0)=0$. Dans toute la suite, $u$ désignera la fonction ainsi prolongée sur tout $\mathbb {R}$.
    d) $x$ est un réel strictement positif.
       Appliquez l'inégalité des accroissements finis à la fonction $v$ entre les réels $0$ et $x$ (la fonction $v$ a été définie en c)).
       Démontrez que pour tout réel $x>0$, $0<u(x)<1$.
       Déduisez-en que pour tout réel $x<0$, $-1<u(x)<0$.
3° On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb {R}$ par :
    ${\begin{cases}f(x)=x\left[c(x)\right]^{\frac {1}{x}},&{\mbox{pour }}x\neq 0\\f(0)=0\end{cases}}$
    a) Vérifier que pour tout réel $x,\,f(x)=xe^{u(x)}$
       Démontrez que :
       - pour tout réel $x>0$, $f(x)>0$ et $f(x)>x$ ;
       - pour tout réel $x<0$, $f(x)<0$.
       Calculez $f(1)$ et $f(-1)$, et démontrez que la fonction $f$ n'est ni paire, ni impaire.
    b) Démontrez que :
       - pour tout réel $x>0$, $x<f(x)<\mathrm {e} x$ ;
       - pour tout réel $x<0$, $x<f(x)<{\frac {x}{\mathrm {e} }}$.
    c) Déduisez de ces inégalités que :
$\qquad \qquad \qquad \lim _{+\infty }f=+\infty$ et $\lim _{-\infty }f=-\infty$.
4° En utilisant la définition d'un nombre dérivé, montrez que $f$ est dérivable en zéro et que $f'(0)=1$.
    Montrez que pour $x$ non nul, $f'(x)=\mathrm {e} ^{u(x)}\left(1+t(x)-u(x)\right)$.
Le corrigé de ce devoir n'a pas été rédigé. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle.
| Logarithmes, suites et intégrales | Logarithmes, exponentielles et suites définies par récurrence |
# Mathématiques en terminale générale/Devoir/Logarithmes, suites et intégrales

La suite $(u_{n})$ est définie pour tout entier $n\geqslant 1$, par :
$u_{n}=\sum _{k=0}^{2n-1}{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}=1-{\frac {1}{2}}+\cdots +{\frac {1}{2n-1}}-{\frac {1}{2n}}$.
$f$ est la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par :
$f(x)=\sum _{k=0}^{2n-1}(-1)^{k}x^{k}=1-x+\cdots +x^{2n-2}-x^{2n-1}$.
1° Montrez que $\int _{0}^{1}f(x)\,\mathrm {d} x=u_{n}$.
2° Vérifiez que lorsque $x\neq -1,\,f(x)+{\frac {x^{2n}}{1+x}}={\frac {1}{1+x}}$.
3° Déduisez-en que $u_{n}+\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n}}{1+x}}\,\mathrm {d} x=\ln 2$.
4° Montrez que $0\leqslant \int _{0}^{1}{\frac {x^{2n}}{1+x}}\,\mathrm {d} x\leqslant {\frac {1}{2n+1}}$.
    et déduisez-en $\lim _{n\to +\infty }\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n}}{1+x}}\,\mathrm {d} x$.
5° Calculez la limite de $(u_{n})$.
$F,\,G,\,H,$ sont les fonctions définies sur $[0;\,1]$ par :
$F(x)=\ln(1+x),\qquad G(x)=x-F(x),\qquad H(x)=F(x)-x+x^{2}$.
1° Montrez que pour tout $x$ de $[0;\,1],\,x-x^{2}\leqslant F(x)\leqslant x$.
2° Montrez que pour tout $k\geqslant 0$, tout entier $n\geqslant 1$,
    ${\frac {1}{n+k}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\leqslant F\left({\frac {1}{n+k}}\right)\leqslant {\frac {1}{n+k}}$
3° $(v_{n})$ et $(a_{n})$ sont les suites définies par :
    $v_{n}=F\left({\frac {1}{n}}\right)+F\left({\frac {1}{n+1}}\right)+\cdots +F\left({\frac {1}{2n}}\right)$ pour tout entier.
    $n\geqslant 1$ et $a_{n}={\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n+1}}+\cdots +{\frac {1}{2n}}$ pour tout entier $n\geqslant 1$.
    Montrez que pour tout entier $n\geqslant 1,\,\left(1-{\frac {1}{n}}\right)a_{n}\leqslant v_{n}\leqslant a_{n}$.
4° $(b_{n})$ est la suite définie pour tout entier $n\geqslant 1$ par :
    $b_{n}=a_{n}-{\frac {1}{n}}$.
    Calculer $b_{n}-b_{n-1}$ lorsque $n\geqslant 2$, puis comparez $b_{n}$ et $u_{n}$ lorsque $n\geqslant 1$.
5° Calculez la limite de la suite $(v_{n})$
Dans cette partie, on admettra que pour tout $x\geqslant 0$, on a :
$x-{\frac {x^{3}}{6}}\leqslant \sin x\leqslant x$.
$(w_{n})$ est la suite définie pour tout entier $n\geqslant 1$ par :
$w_{n}=\sin {\frac {1}{n}}+\sin {\frac {1}{1+n}}+\cdots +\sin {\frac {1}{2n}}$.
En utilisant un encadrement de la fonction sinus par des fonctions polynômes, calculez la limite de la suite $(w_{n})$.
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| Intégrales et bijections | Logarithmes, exponentielles et fonctions puissances |
# Mathématiques en terminale générale/Devoir/Suites, barycentre et produit scalaire

$(u_{n})$ est la suite définie par :
${\begin{cases}u_{0}=0\\u_{n}=u_{n-1}+n(-1)^{n+1}\end{cases}}$
pour tout naturel n non nul.
On définit alors les suites $(v_{n})$ et $(w_{n})$ respectivement par :
${\begin{cases}v_{n}=u_{2n}\\w_{n}=u_{2n+1}\end{cases}}$
pour tout naturel n.
1° Prouvez que $(v_{n})$ et $(w_{n})$ sont des suites arithmétiques et que $(u_{n})$ n'est pas arithmétique.
    Exprimez $(v_{n})$ et $(w_{n})$ en fonction de n.
2° Exprimez $(u_{2n-1})$ en fonction de $(u_{2n})$
3° On note (E) l'ensemble des points $A_{n}$ dont les coordonnées dans un repère orthonormal choisi sont $(n;\,u_{n}),\,n\in \mathbb {N}$.
    a) Montrez que (E) est inclus dans la réunion de deux droites d et d'.
       Donnez les équations de d et d'.
    b) Déterminez l’ensemble ${\mathcal {C}}$ des points $M$ du plan tels que :
       $({\vec {MA_{0}}}+{\vec {MA_{1}}}+{\vec {MA_{2}}}).({\vec {MA_{3}}}+{\vec {MA_{4}}}+{\vec {MA_{5}}})=0$.
$f$ est la fonction définie par :
$f(x)={\frac {1}{4}}(1-(2x+1)\cos \pi x)$
et ${\mathcal {C}}'$ est sa courbe représentative dans le repère orthonormal choisi au 3° de la première partie.
1° Montrez que l’ensemble (E) est inclus dans ${\mathcal {C}}'$.
    Quel est, en tout point $A_{n}$ de (E), la tangente à ${\mathcal {C}}'$ ?
2° Montrez que pour tout réel $x\geqslant 0,\,-{\frac {1}{2}}x\leqslant f(x)\leqslant {\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{2}}$.
    Interprétez graphiquement ce résultat.
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| Suites récurrentes d'ordre 2 | Complexes, fonctions racines, bijections et intégrales |
# Mathématiques en terminale générale/Devoir/Logarithmes, exponentielles et suites définies par récurrence

$f$ est la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par :
$f(x)=e^{x}-x-3$
On note ${\mathcal {C}}$ sa courbe représentative.
1° Étudiez la fonction $f$. Précisez, s'il en existe, les asymptotes à ${\mathcal {C}}$ et la position de ${\mathcal {C}}$ par rapport à ses asymptotes.
2° Montrez que l'équation $f(x)=0$ a une solution et une seule dans l'intervalle $[0;\,+\infty [$. On désigne par $l$ cette solution.
    Encadrez $l$ par deux entiers.
$g$ est la fonction définie par :
$g(x)=\ln(x+3)$
1° Étudiez la fonction $g$ et tracez sa courbe représentative $\Gamma$.
2° a) Montrez que l'équation $g(x)=x$ admet deux solutions, l'une $\alpha$ dans $]-3;\,-2[$, l'autre $\beta$ dans $]0;\,+\infty [$.
    b) Comparez $\beta$ et $l$.
    c) Comparez $g(x)$ et $x$; discutez.
3° $x_{1}$ et $x_{2}$ sont deux réels tels que $\alpha <x_{1}<\beta <x_{2}$.
    Démontrez que $\alpha <g(x_{1})<\beta <g(x_{2})$.
4° a) Vérifiez qu'il existe bien une suite $(u_{n})$ telle que :
       ${\begin{cases}u_{0}=1\\u_{n+1}=\ln(u_{n}+3)\end{cases}}$
       pour tout naturel $n$.
       Étudiez le sens de variation de cette suite.
    b) Vérifiez qu'il existe bien une suite $v_{n}$ telle que :
       ${\begin{cases}v_{0}=2\\v_{n+1}=\ln(v_{n}+3)\end{cases}}$
       pour tout naturel $n$.
       Étudiez le sens de variation de cette suite.
    c) Démontrez que pout tout naturel $n,\,1\leqslant u_{n}<\beta <v_{n}\leqslant 2$.
    d) Démontrez que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[1;\,2]$,
       ${\frac {1}{5}}\leqslant g'(x)\leqslant {\frac {1}{4}}$
       Déduisez-en que pour tout naturel $n$,
       $0<g(v_{n})-g(u_{n})\leqslant {\frac {1}{4}}(v_{n}-u_{n})$,
       puis que $0<v_{n}-u_{n}\leqslant \left({\frac {1}{4}}\right)^{n}$
    e) Trouvez un entier $n$ tel que $u_{n}$ soit une valeur approchée de $l$ à $10^{-2}$ près.
       Calculez alors $u_{n}$ et une valeur approchée de $l$.
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| Logarithmes, exponentielles et fonctions puissances | Suites récurrentes d'ordre 2 |
# Mathématiques en terminale générale/Devoir/Logarithmes, intégrales et suites

$f$ est la fonction définie par :
$f(x)={\frac {1}{x}}+\ln \left({\frac {x}{x+1}}\right)$
1° a) Prouvez que $f$ est définie sur l'intervalle $]0;\,+\infty [$.
    b) Étudiez la limite de $f$ en 0.
    c) Étudiez la limite de $f$ en $+\infty$.
2° Étudiez le sens de variation de $f$, puis tracez sa courbe dans un repère orthonormal (unité graphique : 3 cm).
3° $k$ est un réel strictement positif.
    Calculez $\int _{1}^{k}\ln \left({\frac {x}{x+1}}\right)\,\mathrm {d} x$, puis $\int _{1}^{k}f(x)\,\mathrm {d} x$.
Dans cette partie, $m$ est un réel strictement positif.
1° Montrez que :
    ${\frac {1}{m+1}}\leqslant \int _{m}^{m+1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}\leqslant {\frac {1}{m}}$
2° Montrez que :
    $\int _{m}^{m+1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}={\frac {1}{m}}-f(m)$,
    et déduisez-en que :
    $0\leqslant f(m)\leqslant {\frac {1}{m(m+1)}}$.
1° Montrez qu'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que pour tout réel $x$ :
    $x\neq 0,\,x\neq -1,\,{\frac {1}{x(x+1)}}={\frac {a}{x}}+{\frac {b}{x+1}}$.
2° Pour tout naturel $n\geqslant 1$, on pose :
    $S_{n}={\frac {1}{n(n+1)}}+{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}+\cdots +{\frac {1}{2n(2n+1)}}$.
    a) En utilisant la question 1°, simplifiez l'expression de $S_{n}$.
    b) Montrez que la suite $(S_{n})$ est convergente et précisez sa limite.
3° a) Montrer que :
       $0\leqslant f(n)+f(n+1)+\cdots +f(2n)\leqslant S_{n}$
    b) Trouvez la limite de la suite $(u_{n})$ définie par :
       $u_{n}=f(n)+f(n+1)+\cdots +f(2n)$
4° $v_{n}$ est la suite définie par :
    $v_{n}={\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n+1}}+\cdots +{\frac {1}{2n}}$.
    a) Vérifier que :
       $f(n)+f(n+1)+\cdots +f(2n)=v_{n}-\ln 2-\ln \left(1+{\frac {1}{2n}}\right)$
    b) Déduisez-en que $(v_{n})$ est convergente et précisez sa limite.
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| Fonctions puissances, exponentielles, intégrales et suites | Équations fonctionnelles, dérivation et suites |
# Mathématiques en terminale générale/Devoir/Trigonométrie et dérivation

$f_{1}$ est la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par :
$f_{1}(x)={\begin{cases}x\sin {\frac {1}{x}},&{\mbox{si }}x\neq 0\\0,&{\mbox{si }}x=0\end{cases}}$.
${\mathcal {C}}_{1}$ est sa courbe représentative dans un repère $(O;\,{\vec {i}},\,{\vec {j}})$
1° Vérifiez que $f_{1}$ est paire.
2° Montrez que $\lim _{x\to 0}f_{1}(x)=f_{1}(0)$.
3° Montrez que $f_{1}$ est dérivable sur $]0;\,+\infty [$ mais que $f_{1}$ n'est pas dérivable en 0.
4° Trouvez les points de ${\mathcal {C}}_{1}$ situés sur les droites d'équations $y=x$ et $y=-x$. Déterminez les tangentes à ${\mathcal {C}}_{1}$ en ces points.
5° Trouvez graphiquement les solutions de l'équation $\tan u=u$. Déduisez-en les points en lesquels $f_{1}$ admet un extremum local.
6° Donnez l'allure de ${\mathcal {C}}_{1}$.
$f_{2}$ est la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par :
$f_{2}(x)={\begin{cases}x^{2}\sin {\frac {1}{x}},&{\mbox{si }}x\neq 0\\0,&{\mbox{si }}x=0\end{cases}}$.
${\mathcal {C}}_{2}$ est sa courbe représentative dans un repère $(O;\,{\vec {i}},\,{\vec {j}})$
1° Vérifiez que $f_{2}$ est impaire.
2° Montrez que $f_{2}$ est dérivable en tout point $x\neq 0$, calculez alors $f_{2}'(x)$, puis montrez que $f_{2}$ est dérivable en 0.
3° Trouvez les points de ${\mathcal {C}}_{2}$ situés sur les paraboles d'équations $y=x^{2}$ et $y=-x^{2}$, et déterminez les tangentes à ${\mathcal {C}}_{2}$ en ces points.
Le but de cette question est d'exhiber une fonction $f$ dérivable dont le nombre dérivé en zéro est strictement positif, et telle qu'il n'existe pas d'intervalle contenant zéro sur lequel elle est croissante.
1° $f$ est la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par :
    $f(x)={\begin{cases}{\frac {x}{2}}+x^{2}\sin {\frac {1}{x}},&{\mbox{si }}x\neq 0\\0,&{\mbox{si }}x=0\end{cases}}$.
    Calculez $f'(x)$ lorsque $x\neq 0$, et montrez que $f$ est dérivable en zéro; calculez $f'(0)$.
2° Calculez $f'({\frac {1}{n\pi }})$ pour tout naturel $n\geqslant 1$.
    Déduisez-en qu'il n'existe pas d'intervalle contenant zéro sur lequel $f$ est croissante.
Le corrigé de ce devoir n'a pas été rédigé. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle.
| Sommaire | Fonctions puissances, exponentielles, intégrales et suites |
# Joomla/Objectifs

Dans cette leçon, vous allez apprendre à connaître et à utiliser Joomla.
# Joomla/Prérequis conseillés

Facultatif :
* PHP
* mysql
* XHTML
* CSS
# Joomla/Présentation de la leçon

Joomla est un système de gestion de contenu (C.M.D.B., alias Content Management System en anglais) permettant la diffusion de contenus numériques accessibles depuis un navigateur Web.
Joomla est un mot dérivé du Swahili et signifie tous ensemble En Arabe Joomla veut dire littéralement « Phrase » ou « Tous ».
# Jugement arbitraire 7j/Conséquences
## Utilisation et conséquences des p7j

* Jugement
# Joomla/Installation

Le site s'installe comme un Mediawiki :
* En partant de zéro, installer des services Web (HTTP + mysql) qui permettront d'afficher un site Internet sur votre ordinateur via un navigateur. Par exemple WAMP pour Windows ou LAMP pour Linux.
    Si vous souhaitez le publier chez un hébergeur cette installation n’est pas nécessaire.
* Télécharger les fichiers de Joomla sur le site officiel, puis les copier dans le répertoire HTTP (par défaut C:\Program Files\Wamp5\www sous Windows, ou /var/www sous Linux).
    Si vous souhaitez le publier chez un hébergeur, ce sera dans le répertoire par défaut en FTP.
* Dans un navigateur, en se connectant à mysql (http://URL ou IP/phpmyadmin), créer une base de données nommée par exemple "Joomla".
* Toujours dans un navigateur, accéder aux fichiers d'installation du site (http://URL ou IP/), et suivre les indications en renseignant le nom de la base de donnée créée à l'étape précédente.
Une fois l'installation terminée, les personnes de votre réseau pourront accéder au site dans leurs navigateurs (http://URL ou IP/).
| Sommaire | Extensions |
# Judo

| Chap. 1 : | Histoire |
| Chap. 2 : | Règles |
| Chap. 3 : | Techniques |
Sur les autres projets Wikimedia :
* « Judo » sur Commons
* « Judo » sur Wikipédia
* « judo » sur le Wiktionnaire
* « Jūdō » sur Wikibooks
* « Catégorie:Judo » sur Wikinews

## Présentation [Modifier]

Le judo (柔道 ou voie de la souplesse) est un art martial et un sport de combat d'origine japonaise (budo), fondé par Jigoro Kano en 1882. Il se compose pour l'essentiel de techniques de projection, d'immobilisations au sol, d'étranglements et de clefs de bras au niveau du coude exclusivement .

## Objectifs

Les objectifs de cette leçon n'ont pas encore été fixés. Pour le faire, cliquez ici.

## Niveau et prérequis conseillés

Leçon de niveau débutant. Les prérequis pour cette leçon n'ont pas encore été précisés. Pour le faire, cliquez ici.

## Référents

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# Jugement arbitraire 7j

| Chap. 1 : | Opératif |
| Chap. 2 : | Qualifications |
| Chap. 3 : | Développement |
| Chap. 4 : | Nature |
| Chap. 5 : | Jugement |
| Chap. 6 : | Conséquences |

## Présentation [Modifier]

Cette leçon présente d'une façon détaillée les caractéristiques de la sous-fonction mentale jugement arbitraire 7j

## Objectifs [Modifier]

D'approfondir la connaissance de cette fonction mentale

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 18.
De lire au préalable la leçon Fonctions mentales

## Référents

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# Judo/Présentation de la leçon

Le judo (柔道 ou voie de la souplesse) est un art martial et un sport de combat d'origine japonaise (budo), fondé par Jigoro Kano en 1882. Il se compose pour l'essentiel de techniques de projection, d'immobilisations au sol, d'étranglements et de clefs de bras au niveau du coude exclusivement .
# Mécanique du point/Prérequis conseillés

Prérequis mathématiques
Dérivation, puis intégration et résolution des équations différentielles du premier et second ordre.
Utilisation des complexes.
# Mécanique du point

| Chap. 1 : | Bases de la mécanique (14) |
| Chap. 2 : | Cinématique (14) |
| Chap. 3 : | Dynamique (14) |
| Chap. 4 : | Travail et Énergie (14) |
| Chap. 5 : | Oscillateurs (14) |
| Chap. 6 : | Collisions (14) |
| Chap. 7 : | Forces centrales (14) |
| Chap. 8 : | Référentiels non galiléens (14) |
| Chap. 9 : | Vers la mécanique du solide : problème à deux corps (14) |
| Chap. 10 : | Mouvement d'une particule chargée dans un champ électromagnétique (14) |
Sur les autres projets Wikimedia :

## Présentation [Modifier]

La mécanique du point est l'étude du mouvement d'un système modélisé par un point pesant soumis à un ensemble de forces extérieures. L'étude des caractéristiques des mouvements constitue la cinématique, alors que la corrélation entre le mouvement et ses causes physiques s’appelle la dynamique.

## Objectifs [Modifier]

Cette leçon a pour but de présenter la mécanique du point, des bases jusqu'aux systèmes plus compliqués. Le niveau initial requis est un niveau 11, mais un niveau 12 voire un niveau 13 devient vite nécessaire.

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 14.
Prérequis mathématiques
Dérivation, puis intégration et résolution des équations différentielles du premier et second ordre.
Utilisation des complexes.

## Référents

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
    Personne ne s'est déclaré prêt à aider pour cette leçon. Pour vous ajouter, cliquez ici.
# Mécanique du point/Cinématique
## Introduction

La cinématique est la partie de la physique qui s'intéresse aux mouvements en eux-mêmes, alors que la dynamique s'intéresse aux forces, c'est-à-dire aux causes de ce mouvement. Bien que ces deux domaines soient indéfectiblement liés, il est nécessaire en premier lieu de les différencier.

## Mouvements à accélération constante

On a: $a=cste$ De fait, puisque $a={\frac {dv}{dt}}$,alors $v=v_{0}+at$
| Bases de la mécanique | Dynamique |
# Mécanique du point/Dynamique
## Application : Étude de la trajectoire d'un projectile en chute libre

Le mouvement d'un objet soumis à un champ de pesanteur uniforme (en l'absence de frottements) est une trajectoire parabolique.
Soit un corps supposé ponctuel de masse m, étudié dans un repère (O, x, y, z), supposé galiléen z étant la verticale, dirigée vers le haut. Ce corps est placé dans un champ de pesanteur, l'accélération de la pesanteur est g. Le corps est lancé depuis le point M$_0$(x$_0$, y$_0$, z$_0$) avec une vitesse initiale ${\vec {V}}_{0}$ faisant un angle α avec l'axe (Ox) ${\vec {V}}_{0}={\begin{pmatrix}V_{0}\,cos\alpha \\0\\V_{0}\,sin\alpha \end{pmatrix}}$
On suppose ici qu’il n'y a pas de composante de vitesse suivant l'axe ${\vec {y}}$, tout le mouvement a donc lieu dans un plan parallèle au plan (xOz). On note t le temps.
# Mécanique du point/Objectifs

Cette leçon a pour but de présenter la mécanique du point, des bases jusqu'aux systèmes plus compliqués. Le niveau initial requis est un niveau 11, mais un niveau 12 voire un niveau 13 devient vite nécessaire.
# Mécanique des systèmes de points/Présentation de la leçon

Chaque chapitre de la leçon dépend a priori des précédents (sauf bien sûr le 1er), les deux 1$^{ers}$ chapitres ciblent les systèmes de deux points matériels et les deux derniers prolongent le 1$^{es}$ en direction des systèmes discrets ou continus de matière :
* Cinétique et dynamique d'un système de deux points matériels [exclusivement en référentiel galiléen, principalement dans le cadre newtonien avec des parenthèses dans le cadre relativiste],
* Problème à deux corps, réduction canonique [le but ici étant d'introduire une méthode de résolution en référentiel galiléen],
* Cinétique et dynamique d'un système discret de points matériels [prolongement du 1er chapitre dans le cas où le nombre de points matériels est au moins trois],
* Cinétique et dynamique d'un système continu de matière [prolongement du 1er chapitre dans le cadre de l'approximation continu de la matière].
# Mécanique des systèmes de points/Présentation du cours

Chaque élément de cette leçon dépend a priori des précédents (sauf bien sûr le 1er), l'ordre des chapitres correspondant à une augmentation croissante (au sens large) du nombre de points à savoir :
* Cinétique et dynamique d'un système de deux points matériels,
* Problème à deux corps, réduction canonique [le but ici étant d'introduire la notion de mobile réduit associé à un système de deux points, ce qui permet de simplifier grandement l'étude dynamique quand le système des deux points est isolé],
* Cinétique et dynamique d'un système discret de points matériels [généralisation du 1er chapitre],
* Cinétique et dynamique d'un système continu de points matériels [généralisation du chapitre précédent en remplaçant la somme discrète par une intégrale volumique, surfacique ou linéique suivant que le système est à trois, deux ou une dimension(s)].