OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Suites et récurrence/Exercices/Suite récurrente
## Une fonction tangente à la première bissectrice

On considère la suite $(u_{n})$ définie pour tout entier naturel n par :
$u_{0}=3$ et $u_{n+1}={\frac {5u_{n}-1}{u_{n}+3}}$

### Partie A : Étude de la fonction

1. Donner une fonction $f$ définie sur $\mathbb {R} \setminus \{-3\}$ telle que $u_{n+1}=f(u_{n})$.
2. Étudier les variations de $f$.
3. Démontrer que $f(x)\leq x$ pour tout $x>-3$.
4. Donner l'équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ en $x=1$.
1. $f(x)={\frac {5x-1}{x+3}}$.
2. $f(x)={\frac {5(x+3)-5\times 3-1}{x+3}}=5-{\frac {16}{x+3}}$ donc quand $x$ croît de $-\infty$ à $-3$, $f(x)$ croît de $5$ à $+\infty$ puis, quand $x$ croît de $-3$ à$+\infty$, $f(x)$ croît de $-\infty$ à $5$.
3. $x-f(x)={\frac {x(x+3)-(5x-1)}{x+3}}={\frac {x^{2}-2x+1}{x+3}}={\frac {(x-1)^{2}}{x+3}}$ est du signe de $x+3$.
4. $f(1)=1$ et $f'(1)={\frac {16}{(1+3)^{2}}}=1$ donc la tangente au point $(1,f(1))$ a pour équation $y=x$.

### Partie B : Étude de la suite

1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n : $u_{n}\geq 1$.
2. Démontrer que $(u_{n})$ est décroissante.
3. En déduire que $(u_{n})$ converge et déterminer sa limite.
1. $\left[1,+\infty \right[$ contient $u_{0}$ (initialisation) et, d'après la question A2, est stable par $f$ (hérédité).
2. $u_{n+1}-u_{n}=f(u_{n})-u_{n}\leq 0$ d'après la question précédente et la question A3.
3. $(u_{n})$ est décroissante et minorée par 1 donc converge vers une limite $\ell \geq 1$. Par continuité de $f$, $f(\ell )=\ell$ c'est-à-dire (cf. calcul de la question A3) $\ell =1$.
| Limites | Sujet de bac S |
# Suites et récurrence/Comparaison de suites
## Suites bornées

* Une suite $(u_{n})$ est majorée s'il existe (au moins) un réel M supérieur à tous les termes de la suite : pour tout indice $n$, $u_{n}\leq M$.
* Une suite $(u_{n})$ est minorée s'il existe (au moins) un réel m inférieur à tous les termes de la suite : pour tout indice $n$, $u_{n}\geq m$.
* Une suite $(u_{n})$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée, c'est-à-dire si la suite $(\left|u_{n}\right|)$ est majorée.
La suite $(u_{n})$ définie pour $n>0$ par $u_{n}=2+{\frac {1}{n}}$ est bornée, et même convergente.
Les suites $(\cos n)$ et $(\sin n)$ sont bornées et non convergentes.
Soit $u$ la suite définie par $u_{0}=10$ et la relation de récurrence $u_{n+1}=0,6u_{n}+5$. Montrer que cette suite est majorée.
À l'aide d'un algorithme, on conjecture que la suite est bien majorée par exemple par 15.
Montrons la propriété $P$ : pour tout $n\in \mathbb {N}$, $u_{n}\leq 15$.
On a $u_{0}=10\leq 15$, la propriété $P$ est donc vraie au rang $n=0$.
Supposons la propriété vraie au rang $n$ fixé. On a $u_{n}\leq 15$ d'où $0,6\times u_{n}\leq 9$ soit $0,6\times u_{n}+5\leq 14\leq 15$ donc on a $u_{n+1}\leq 15$. La propriété est donc héréditaire.
La propriété $P$ est vraie au rang 0 et est héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier $n$. La suite est donc bien majorée.
Remarque : En fait, on peut montrer que la suite est majorée par $12,5$.

## Deux théorèmes de convergence

Les deux théorèmes ci-dessous sont admis. Ils seront démontrés au niveau 14.

### Suites monotones

* Toute suite croissante et majorée est convergente.
* Toute suite décroissante et minorée est convergente.
C'est un cas particulier du théorème de la limite monotone pour les fonctions, puisqu'une suite numérique monotone n'est autre qu'une fonction monotone de $\mathbb {N}$ dans $\mathbb {R}$.
Toute suite monotone non bornée est divergente. Plus précisément :
* Toute suite croissante et non majorée tend vers $+\infty$
* Toute suite décroissante et non minorée tend vers $-\infty$
La suite $(u_{n})$ est non majorée si et seulement si aucun réel $A$ ne majore tous les termes de la suite, autrement dit, si : pour tout réel $A$ , il existe un entier naturel N tel que $u_{N}>A$.
Or, la suite $u$ est croissante donc pour tout entier naturel $n\geq N$, $u_{n}\geq u_{N}$. Comme $u_{N}>A$, on a donc : pour tout réel $A$ ,$u_{n}>u_{N}>A$ à partir d'un certain rang $N$ .
Par définition :
Une suite $(u_{n})$ a pour limite $+\infty$ si pour tout réel $A$ , $u_{n}>A$ à partir d'un certain rang.
Donc, la suite $(u_{n})$ croissante non majorée admet $+\infty$ comme limite.
La deuxième propriété se démontre de façon analogue.

### Théorème des gendarmes

Soient $(u_{n})$, $(v_{n})$ et $(w_{n})$ trois suites réelles. On suppose qu'à partir d'un certain rang :
$v_{n}\leq u_{n}\leq w_{n}$
Si les suites $(v_{n})$ et $(w_{n})$ convergent vers $\ell \in \mathbb {R}$, alors $u_{n}\longrightarrow \ell$.
C'est un cas particulier du théorème des gendarmes pour les fonctions, puisque $u,v,w$ sont trois applications de $\mathbb {N}$ dans $\mathbb {R}$.
| Limite d'une suite | Opérations sur les limites |
# Suites et récurrence/Limite d'une suite
## Limite infinie

Dire qu'une suite $u$ a pour limite $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$ signifie que tout intervalle de la forme $]A,+\infty [$ (avec $A$ réel) contient tous les termes $u_{n}$ à partir d'un certain rang, autrement dit : si pour tout réel A, $u_{n}>A$ à partir d'un certain rang. On note alors :
$\lim \limits _{x\to +\infty }u_{n}=+\infty$
On dira aussi que la suite diverge vers $+\infty$
Montrer que la suite $(n^{2})$ diverge vers $+\infty$.
Soit $A$ un réel, on cherche à résoudre $u_{n}>A$, c’est-à-dire $n^{2}>A$. Si $A<0$, il suffit de prendre $n$ quelconque. Sinon on pose : $n_{0}={\sqrt {A}}$ et l'on a $n>n_{0}\Rightarrow n^{2}>A$.
La suite est donc bien divergente.
De même :
Dire qu'une suite $u$ a pour limite $-\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$ signifie que tout intervalle de la forme $]-\infty ,A[$ (avec $A$ réel) contient tous les termes $u_{n}$ à partir d'un certain rang, autrement dit : si pour tout réel A, $u_{n}<A$ à partir d'un certain rang.
$\lim \limits _{x\to +\infty }u_{n}=-\infty$
On dira aussi que la suite diverge vers $-\infty$.

## Limite finie

Soit $l$ un réel. Dire qu'une suite $u$ a pour limite $l$ ou converge vers $l$ ou tend vers $l$ quand $n$ tend vers $+\infty$ signifie que tout intervalle ouvert contenant $l$ contient toutes les valeurs $u_{n}$ à partir d'un certain rang.
$\lim \limits _{x\rightarrow +\infty }u_{n}=l$
Montrer que la suite $({\dfrac {1}{\sqrt {n}}})_{n\geq 1}$ converge vers 0.
On se donne un intervalle $I=]-\alpha ;+\beta [$ où $\alpha >0$ et $\beta >0$. Il s'agit de résoudre $-\alpha <{\dfrac {1}{\sqrt {n}}}<\beta$.
L'inégalité de gauche est évidente.
Pour celle de droite, on a alors : ${\sqrt {n}}>{\dfrac {1}{\beta }}$ soit $n>{\dfrac {1}{\beta ^{2}}}$.
Donc, dès que $n>{\dfrac {1}{\beta ^{2}}}$ on a ${\dfrac {1}{\sqrt {n}}}\in I$. La suite et donc convergente vers 0.

### Remarque

    La notation $\lim _{n\to +\infty }u_{n}=$ introduite dans les trois définitions ci-dessus est légitimée par le fait que la limite (finie ou infinie) d'une suite est unique (ou n'existe pas).

## Suites divergentes

Une suite non convergente (c'est-à-dire sans limite finie) est dite divergente. Cela peut signifier :
* soit que $u_{n}$ tend vers + ou - $\infty$
* Soit que $u_{n}$ n'a pas de limite, par exemple $u_{n}=(-1)^{n}$.

## Limite d'une suite géométrique

Soit $(u_{n})$ une suite géométrique, de raison $q$ et de premier terme $u_{0}\neq 0$.
* Si $q>1$, alors $u_{n}$ diverge vers $+\infty$ (respectivement $-\infty$) si $u_{0}>0$ (respectivement si $u_{0}<0$) .
* Si $q=1$, alors $u_{n}$ est constante donc converge vers $u_{0}$.
* Si $-1<q<1$, alors $u_{n}$ converge vers $0$.
* Si $q\leq -1$, alors $u_{n}$ diverge (pas de limite).
| Sommaire | Comparaison de suites |
# Série numérique/Objectifs

* Définir la notion de somme infinie
* Pouvoir démontrer qu'une série numérique est convergente
# Série numérique/Propriétés
## Critère d'Abel

Soient $(a_{n})$, $(b_{n})$ et $(c_{n})$ trois suites numériques et $(A_{n})$, $(B_{n})$ et $(C_{n})$ les sommes partielles des séries associées. Si (pour tout $n\in \mathbb {N}$)
    $c_{n}=A_{n}b_{n}$
alors
    $C_{n}=A_{n}B_{n}-\sum _{k<n}a_{k+1}B_{k}$.
${\begin{aligned}C_{n}&=\sum _{j=0}^{n}A_{j}b_{j}\\&=A_{0}B_{0}+\sum _{j=1}^{n}A_{j}(B_{j}-B_{j-1})\\&=\sum _{k=0}^{n}A_{k}B_{k}-\sum _{k<n}A_{k+1}B_{k}\\&=A_{n}B_{n}-\sum _{k<n}(A_{k+1}-A_{k})B_{k}\\&=A_{n}B_{n}-\sum _{k<n}a_{k+1}B_{k}.\end{aligned}}$
Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites numériques telles que
* la suite des sommes partielles de la série $\sum v_{n}$ est bornée ;
* $u_{n}\to 0$ ;
* la série $\sum (u_{n+1}-u_{n})$ est absolument convergente.
Alors, la série $\sum u_{n}v_{n}$ est convergente.
On applique le lemme à $A_{n}=u_{n}$ et $b_{n}=v_{n}$. Par hypothèse, $(B_{n})$ est bornée, $A_{n}\to 0$ et $\sum a_{n}$ est absolument convergente, donc
    $\sum _{k\leq n}u_{n}v_{n}=C_{n}=A_{n}B_{n}-\sum _{k<n}a_{k+1}B_{k}\to \sum a_{k+1}B_{k}$,
cette dernière série étant absolument convergente.
On peut de plus remarquer que pour tout $M\geq \sup \left|B_{n}\right|$ (c'est-à-dire tout majorant $M$ des valeurs absolues des sommes partielles de $\sum v_{n}$),
    $\left|\sum u_{n}v_{n}\right|\leq M\sum \left|a_{k+1}\right|=M\sum \left|u_{k+1}-u_{k}\right|$.

### Remarques

   * Ce théorème s'étend (et se démontre de même) au cas où $(v_{n})$ est à valeurs dans un espace de Banach $E$ (par exemple $E=\mathbb {R} ^{n}$).
   * En particulier (test de Dirichlet), si $(u_{n})$ est monotone et de limite nulle alors, pour toute série $\sum v_{n}$ de sommes partielles bornées, la série $\sum u_{n}v_{n}$ converge dans $E$. Le cas $E=\mathbb {R}$ et $v_{n}=(-1)^{n}$ est utile pour les séries alternées :
Pour toute suite numérique $(u_{n})$ décroissante et de limite nulle, la série $\sum (-1)^{n}u_{n}$ converge.
Ce corollaire immédiat du critère d'Abel peut aussi se démontrer directement : les deux sous-suites $(S_{2n})$ et $(S_{2n+1})$ de la suite $(S_{n})$ des sommes partielles de la série $\sum (-1)^{n}u_{n}$ sont en effet adjacentes.

## Comparaison série-intégrale

| Convergence absolue | Produit de Cauchy |
# Série numérique/Prérequis conseillés

* Suites numériques
* Intégrales
* Manipulation des sommes Σ, Sommation
* Valeur absolue
# Série numérique/Post-notions

Série entière
# Série numérique/Introduction
## Introduction

Soit $(u_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ une suite de nombres réels.
* On appelle sommes partielles de la série de terme général $u_{n}$ les réels $S_{n}:=\sum _{k=0}^{n}u_{k}$.
* On dit que la série converge si la suite $(S_{n})$ admet une limite finie. Dans ce cas la somme de la série est la limite de la suite des sommes partielles :
       $\sum _{k=0}^{+\infty }u_{k}=\lim _{n\to +\infty }S_{n}$
    et la suite $(R_{n})$ des restes est définie par
       $R_{n}=\sum _{k=0}^{+\infty }u_{k}-S_{n}=\sum _{k=n+1}^{+\infty }u_{k}$.
* Si une série ne converge pas, on dit qu'elle est divergente.

## Exemple : série géométrique

La somme $S_{n}$ des $n+1$ premiers termes d'une suite géométrique $u_{n}=q^{n}$ de premier terme $u_{0}=1$ et de raison $q\neq 1$ est :
$S_{n}=u_{0}+u_{1}+\cdots +u_{n}={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}.$
* Si $|q|<1$ alors $q^{n+1}$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers l'infini. La suite $(S_{n})$ admet une limite finie :
       $\lim _{n\to +\infty }S_{n}={\frac {1}{1-q}}$.
    La série de terme général $q^{n}$ converge et l'on écrit :
       $\sum _{k=0}^{+\infty }u_{k}={\frac {1}{1-q}}$
* Si $|q|>1$ alors $|q^{n+1}|$ tend vers $+\infty$ quand $n$ tend vers l'infini donc $|S_{n}|$ aussi. Donc la suite $(S_{n})$ n'admet pas de limite finie (si $q>1$, $\lim _{n\to +\infty }S_{n}=+\infty$ ; si $q<-1$, $(S_{n})$ n'a aucune limite, finie ou infinie).
    La série de terme général $q^{n}$ diverge.
* Si $q=-1$, $S_{n}$ vaut alternativement 1 et 0 donc n'a pas de limite.
    La série $\Sigma (-1)^{n}$ est donc divergente.

## Condition nécessaire de convergence

Pour qu'une série converge, il faut que son terme général $u_{n}$ tende vers $0$ lorsque $n$ tend vers l'infini.
En effet, si la série $\sum u_{n}$ est convergente, alors la suite $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ converge vers $0$ puisque $\forall n\geq 1,\qquad u_{n}=S_{n}-S_{n-1}$.
* La réciproque est fausse (contrairement à ce que pourrait laisser croire l'exemple ci-dessus). Un exemple classique de série dont le terme général tend vers 0 et qui, pourtant, diverge, est la série harmonique $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ (cf. page d'exercice liée).
* C'est donc une condition nécessaire mais non suffisante.
Lorsque le terme général d’une série ne tend pas vers 0, celle-ci est dite « trivialement » ou « grossièrement » divergente.
Nature de la série $\sum {\frac {n-3}{n+4}}$ ?
Le terme général tend vers $1$. La série est donc grossièrement divergente. Comme elle est à termes positifs, on peut même préciser : $\lim S_{n}=+\infty$.
Nature de la série $\sum {\frac {4^{n}(n!)^{2}}{(2n)!}}$ ?
Le terme général est supérieur à $1$ car ${\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}={\binom {2n}{n}}\leq \sum _{k=0}^{2n}{\binom {2n}{k}}=2^{2n}$. La série est donc grossièrement divergente. Comme elle est à termes positifs, on peut même préciser : $\lim S_{n}=+\infty$.
| Sommaire | Rappels |
# Série numérique/Exercices/Série harmonique
## Question 1

On pose $H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}$ pour $n\in \mathbb {N} ^{*}$. Montrer que $\lim H_{n}=+\infty$.
Montrer que pour tout entier $n\geq 1\quad H_{2n}-H_{n}\geq {\tfrac {1}{2}}$.
$H_{2n}-H_{n}={\frac {1}{n+1}}+\dots +{\frac {1}{2n}}\geq {\frac {n}{2n}}={\frac {1}{2}}$ donc $H_{2^{k}}\geq {\frac {k}{2}}H_{1}={\frac {k}{2}}$ donc $H_{n}\geq {\frac {\lfloor \ln _{2}n\rfloor }{2}}$.

## Question 2

Montrer que plus précisément, la suite $(H_{n}-\ln n)_{n\geq 1}$ converge (donc $H_{n}\sim \ln n$). Pour cela, poser $v_{n}=H_{n}-\ln n$ et considérer la série de terme général $a_{n}:=v_{n}-v_{n-1}$ pour $n\geq 2$, et $a_{1}=v_{1}$.
Pour $n\geq 2$, $a_{n}={\frac {1}{n}}+\ln \left(1-{\frac {1}{n}}\right)=O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)$ donc la série $\sum _{n\geq 1}a_{n}$ converge.
Variante : $-a_{n}=\int _{n-1}^{n}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}-{\frac {1}{n}}$ est positif et majoré par ${\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n}}$, terme général d'une série télescopique convergente.
    $\sum _{k=1}^{n}a_{k}=v_{n}$ donc $v_{n}\to \sum _{n\geq 1}a_{n}$.
La limite de $(H_{n}-\ln n)$ est la constante d'Euler, notée $\gamma$. On a donc démontré la
    $H_{n}=\ln n+\gamma +\varepsilon _{n}$ avec $\lim _{n\to +\infty }\varepsilon _{n}=0$.

## Question 3

Retrouver le résultat de la question 2 en montrant que les suites $u_{n}=H_{n-1}-\ln n$ et $v_{n}=H_{n}-\ln n$ (définies pour $n\geq 1$) sont adjacentes.
* $v_{n}-u_{n}={\frac {1}{n}}\to 0$.
* $(u_{n})$ est croissante car $u_{n+1}-u_{n}={\frac {1}{n}}-\left[\ln t\right]_{n}^{n+1}=\int _{n}^{n+1}\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{t}}\right)\;\mathrm {d} t>0$.
* $(v_{n})$ est décroissante car $v_{n+1}-v_{n}={\frac {1}{n+1}}-\left[\ln t\right]_{n}^{n+1}=\int _{n}^{n+1}\left({\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{t}}\right)\;\mathrm {d} t<0$.
Voir aussi Équivalents et développements de suites/Exercices/Équivalent d'une suite définie par une somme#Exercice 2-1 ou Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Inégalités, point 4.

## Question 4

Déduire de la formule d'Euler (question 2), en exprimant $P_{n}:=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{2k}}$ et $I_{n}:=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{2k-1}}$ en fonction de $H_{n}$ et $H_{2n}$, la convergence et la somme de la série harmonique alternée :
    $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n}}=-\ln 2$.
$P_{n}={\frac {1}{2}}H_{n}$ et $I_{n}+P_{n}=H_{2n}$ donc $I_{n}=H_{2n}-{\frac {1}{2}}H_{n}$. Par conséquent,
    ${\begin{aligned}\sum _{n=1}^{2N}{\frac {(-1)^{n}}{n}}&=P_{N}-I_{N}\\&=H_{N}-H_{2N}\\&=\ln N+\gamma +\varepsilon _{N}-\left(\ln(2N)+\gamma +\varepsilon _{2N}\right)\\&=-\ln 2+\varepsilon _{N}-\varepsilon _{2N}\\&\to -\ln 2\end{aligned}}$
et puisque ${\frac {(-1)^{n}}{n}}\to 0$, on a aussi $\sum _{n=1}^{2N+1}{\frac {(-1)^{n}}{n}}\to -\ln 2$.
Pour une généralisation de ce résultat, voir Série entière/Exercices/Calcul de sommes#Exercice 2.
| Exemple de télescopage | Fraction rationnelle |
# Calcul de valeurs/Temps
## La période

La période d’une onde est la durée au bout de laquelle la situation d’un point quelconque sur la courbe redevient la même
Si l’on observe le signal, on constat que la situation est identique pour un temps égale à 0 qu'a un temps égale à 360. Si on dit que l'échelle est gradué en ms (milliseconde) :
La période est donc de 360 ms
On constate que l’on peut faire le même calcul en prenant le point où la courbe est à son maximum, ou a son minimum.

## La fréquence

La fréquence d'un signal est son nombre de répétition en 1 seconde. C’est donc l'inverse de la période
$f={\frac {1}{T}}$
Son unité est toujours le Hertz [Hz], c’est aussi l'inverse de seconde $[s^{-1}]$
Dans notre cas, la fréquence est de :
$f={\frac {1}{T}}={\frac {1}{360.10^{-3}}}=2,77$
f = 2,77 Hz

## La valeur max

La valeur max est la valeur la plus grande que peut atteindre le signal, dans le cas ci-dessus, il est de :
$V_{max}=325V$

## la valeur min

La valeur min est la valeur la plus petite que peut atteindre le signal, dans le cas ci-dessus, il est de :
$V_{min}=-325V$

## la valeur crête-à-crête

c'est la différence entre la valeur max et la valeur min
$V_{C-C}=V_{max}-V_{min}$
Dans notre exemple
$V_{C-C}=V_{max}-V_{min}=325-(-325)=650$
$V_{C-C}=650V$
| Sommaire | Valeur moyenne |
# Calcul de valeurs/Valeur moyenne

La définition de la valeur moyenne provient directement de la définition mathématique :
Sur un intervalle [a,b], la valeur moyenne, notée <y>, d'une fonction y(x) de variable x est donnée par
$<y>={\frac {1}{b-a}}\int \limits _{a}^{b}y(x)\,dx$
Dans le cas particulier d'une fonction périodique et de période T, le résultat de la valeur moyenne est indépendante de l'intervalle d'intégration à condition que celle-ci soit égale à T ou a un multiple de T
$<y>={\frac {1}{T}}\int \limits _{a}^{a+T}y(t)\,dt={\frac {1}{kT}}\int \limits _{a}^{a+kT}y(t)\,dt$
Bien souvent ce n’est pas la variable temps qui est prise en compte, mais la variable angle par l'intermédiaire d’un changement de variable définit par : ωt = θ et ωT=2π, ce qui donne :
$<y>={\frac {1}{T}}\int \limits _{t_{0}}^{t_{0}+T}y(t)\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{\theta }^{\theta +2\pi }y(\theta )\,d\theta$
| Temps | Valeur efficace |
# Calcul de valeurs/Valeur efficace

La valeur efficace, appelée valeur RMS (Root Mean Square), est définie par la valeur Y de la fonction y en étant la racine carrée de la valeur moyenne du carré de la fonction y(x) :
$Y^{2}={\frac {1}{T}}\int \limits _{a}^{a+T}\left[y(t)\right]^{2}\,dt$
ou
$Y={\sqrt {{\frac {1}{T}}\int \limits _{a}^{a+T}\left[y(t)\right]^{2}\,dt}}$
si l’on passe dans le domaine des angles, on aura alors l'équivalence suivante :
$Y={\sqrt {{\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{a}^{a+2\pi }\left[y(\theta )\right]^{2}\,d\theta }}$.
| Valeur moyenne | Facteur de forme |
# Calcul différentiel

| Chap. 1 : | Limites et continuité |
| Chap. 2 : | Différentiabilité |
| Chap. 3 : | Jacobien |
| Chap. 4 : | Théorèmes utiles |
| Chap. 5 : | Recherches d'extrema |
| Chap. 6 : | Équations différentielles |
| Chap. 7 : | Sous-variétés de ℝ$^n$ |
| Exos. 1 : | Différentiabilité |
| Exos. 2 : | Inversion locale, fonctions implicites |
| Exos. 3 : | Recherches d'extrema |
| Exos. 4 : | Équations différentielles linéaires |
| Exos. 5 : | Équations différentielles non linéaires |
| Exos. 6 : | Examen |
| Exos. 7 : | Courbes paramétrées |
| Exos. 8 : | Courbes et surfaces dans ℝ$^3$ |
| Exos. 9 : | Continuité et différentiabilité de fonctions de ℝ$^p$ dans ℝ$^q$ |
| Devoir : | Intégrales premières |
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## Présentation [Modifier]

Le calcul différentiel généralise les outils de l'analyse « élémentaire » à des espaces vectoriels, à des fonctions de plusieurs variables. C’est donc l'outil préférentiel d'étude des surfaces, des espaces...
L’analyse des fonctions de $\mathbb {R}$ sert de base au développement des théorèmes, sans toutefois être systématiquement généralisable.

## Objectifs

Les objectifs de cette leçon n'ont pas encore été fixés. Pour le faire, cliquez ici.

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 15.
* une bonne connaissance des propriétés des espaces vectoriels (niv. 14), des espaces vectoriels normés (niv. 15), en particulier les espaces euclidiens (niv. 14) ;
* une bonne connaissance des propriétés des applications linéaires (niv. 14) et matrices (niv. 14) ;
* une bonne connaissance des outils d'analyse des fonctions d'une variable réelle (niv. 14) ;
** Factorisation
** Déterminer les intervalles positifs et négatifs
** Trouver les zéros et l'ordonnée à l'origine
** Connaître les types de fonction
** Équation différentielle (niv. 14)
* des notions élémentaires de topologie générale (niv. 16) (ouverts, fermés).

## Référents [Modifier]

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
* Loïc Fabiou (discuter)
# Territoires de l'innovation

| Chap. 1 : | Introduction (13) |
| Chap. 2 : | Diversité géographique (13) |
| Chap. 3 : | Acteurs et enjeux (13) |
| Fiche : | Plan et arguments (13) |
| Annexe 1 : | Étude de cas (13) |
| Annexe 2 : | Liens externes (13) |
| Quiz : | QCM (13) |
| Exercice : | Sujets d'oral (13) |
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## Présentation [Modifier]

Thème « les territoires de l'innovation dans le monde actuel ».

## Objectifs [Modifier]

* de faire développer le cours par des élèves ;
* de présenter cette notion.

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 13.
* les cours de géographie des niveaux 11 et 12 peuvent servir, mais ne sont pas essentiels.

## Pour aller plus loin [Modifier]

* Question 1, la mondialisation en fonctionnement
** la mondialisation : processus, acteurs et territoires ;
** puis un produit dans la mondialisation, du début du XXe siècle à nos jours ;
** ou sport, mondialisation et géopolitique depuis les années 1930.
* Question 2, enjeux et recompositions géopolitiques du monde
** les chemins de la puissance : les États-Unis et le monde depuis les « 14 points » de Wilson (1918) ;
** puis une approche géostratégique des espaces maritimes d'aujourd'hui ;
** ou le Proche-Orient et le Moyen-Orient, un foyer de conflits depuis la fin de la Première Guerre mondiale.
* Question 3, représenter le monde
** les représentations et cartes du monde depuis l'Antiquité ;
** puis des outils pour la géographie, les images satellites ;
** ou des outils pour la géographie, les systèmes d'informations géographiques ;
** ou les cartes, enjeux politiques : approche critique.
* Question 4, innovation et sociétés
** les territoires de l'innovation dans le monde actuel ;
** puis la lutte contre les maladies infectieuses depuis Pasteur ;
** ou la course à l'espace depuis la Seconde Guerre mondiale.

## Référents [Modifier]

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
* Lvcvlvs
# Territoires de l'innovation/Annexe/Liens externes
## Programme scolaire

* [html] • [licence inconnue] • (fr) • lien vers le document • Programme de l'enseignement facultatif d'histoire-géographie sur http://www.education.gouv.fr/, publié au BO n° 8 du 13 octobre 2011.
* [pdf] • [licence inconnue] • (fr) • lien vers le document • Fiche Éduscol de l'étude « Les territoires de l’innovation dans le monde actuel » sur http://eduscol.education.fr/.

## Cours

* E. Michelangeli, « Les territoires de l'innovation dans le monde actuel », sur http://e.michelangeli.free.fr/, mai 2014.

## Compléments

* Florentin Roy, « Les territoires de l'innovation dans le monde actuel », sur http://www.youtube.com/, 2013.
* Florian Delorme, « De Bangalore à la Silicon Valley : les modèles de technopôles », sur http://www.franceculture.fr/, 2013.
* André Torre, « Géographie de l’innovation », sur http://territoires2040.datar.gouv.fr/.
* Jean-Marc Fontan, « Innovation et société : pour élargir l'analyse des effets territoriaux de l'innovation », Géographie, économie, société, vol. 6, n$^o$ 2, 2004, p. 115-128 [texte intégral]
* Thierry Madiès (dir.), Jean-Claude Prager (dir.), Corinne Autant-Bernard, Nadine Massard et Sylvie Charlot, Innovation et compétitivité des régions, Paris, La Documentation française, 2008 [lire en ligne], « Les déterminants géographiques de l’innovation : diffusion spatiale des connaissances et choix de localisation », p. 227-265 .
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