# Mécanique 1 (PCSI)/Description et paramétrage du mouvement d'un point : Généralités
## Espace et temps classiques en cinématique newtonienne
### Caractère « absolu » de l'espace et du temps en cinématique newtonienne

Newton postule $\;{\big$de façon implicite${\big )}\;$ le caractère absolu de l'espace : Newton postule « l'espace existerait indépendamment de la matière et de l'énergie et servirait de cadre dans lequel se positionneraient ces derniers » ;
Newton il postule $\;{\big$également de façon implicite${\big )}\;$ le caractère absolu du temps : Newton il postule « selon lui, le temps préexiste à l'Univers, il " s'écoule " toujours dans le même sens et Newton il postule « selon lui, le temps préexiste à l'Univers, cet " écoulement " est indépendant de l'espace et du contenu de ce dernier ».

### Référentiel d'espace

Un référentiel d'espace est un « solide » de référence par rapport auquel on repère le point ;
Un référentiel d'espace pour quantifier le repérage du point il faudra attacher au référentiel d'espace un repère d'espace Un référentiel d'espace pour quantifier le repérage du point il faudra attacher au référentiel d'espace ${\big$c.-à-d. une origine et trois vecteurs de base${\big )}$.

### Référentiel de temps

Un référentiel de temps est une « horloge » de référence utilisée pour repérer l’événement ;
Un référentiel de temps pour quantifier le repérage de l’événement il faudra attacher au référentiel de temps un repère de temps $\;{\big$c.-à-d. une origine des temps et une unité${\big )}$.

### Référentiel d'espace-temps

Le choix simultané des deux référentiels définit un « référentiel d'espace - temps ».

## Référentiel d'observation, caractère relatif du mouvement
### Choix d'un référentiel d'observation (ou d'étude) pour définir le mouvement d'un point

Décrire le mouvement d'un point c'est donner sa position relativement à son environnement aux différents instants successifs de son évolution ;
il faut donc préciser le référentiel d'espace relativement auquel la position du point est décrite et
il faut donc préciser le référentiel de temps relativement auquel les événements sont repérés, c.-à-d.
il faut donc préciser choisir un référentiel d'espace-temps appelé « référentiel d'étude $\;{\big$ou d'observation${\big )}\;$».

### Choix d'un repère d'espace-temps lié au référentiel d'étude (ou d'observation) pour quantifier le mouvement du point

Pour décrire quantitativement le mouvement d'un point, on choisit
* un repère d'espace $\;{\big \$c.-à-d. une origine d'espace et une base orthonormée $\;{\big$usuellement directe, l'espace étant supposé orienté à droite${\big )}{\big \}$ lié à la composante d'espace du référentiel d'étude et
* un repère de temps $\;{\big$encore appelé « chronologie »${\big )}\;{\big \$c.-à-d. une origine de temps et « unité de temps »${\big \}$ lié à la composante de temps du référentiel d'étude.

### Repérage d'un événement ponctuel dans un repère d'espace-temps lié au référentiel d'étude (ou d'observation)

Le repérage d'un événement ponctuel dans un repère d'espace-temps lié au référentiel d'étude $\;{\big$ou d'observation${\big )}\;$ nécessite le repérage
* dans l'espace qui se fait par $\succ \;$un vecteur $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ appelé « vecteur position du lieu » où $\;O\;$ est en général l'origine du repère d'espace et $\;M\;$ le lieu où se produit l'événement ponctuel dans l'espace qui se fait par $\color {transparent}{\succ }\;$${\big$on parle de repérage intrinsèque${\big )}\;$ ou dans l'espace qui se fait par $\succ \;$trois scalaires appelés « coordonnées du lieu » $\;{\big$le repérage utilisant la base choisie${\big )}\;$ et
* dans le temps qui se fait par un scalaire $\;t\;$ appelé « date de l'événement ».

### Définition de l'unité légale de temps « la seconde » (symbole « s »)

L'unité légale de mesure du temps est « la seconde » $\;{\big$symbole $\;s{\big )}\;$ dont la définition est donnée ci-dessous :
La seconde est la « durée de $\;9\,192\,631\,770\;$ périodes » de la radiation correspondant à la transition entre les deux niveaux « hyperfins » de l'état fondamental de l'atome de Césium 133 «$\;^{133}Cs\;$».

### Définition de l'unité légale de longueur « le mètre » (symbole « m »)

L'unité légale de mesure du longueur est « le mètre » $\;{\big$symbole $\;m{\big )}\;$ dont la définition est donnée ci-dessous :
Le mètre est la « longueur du trajet parcouru par lumière dans le vide pendant une durée $\;{\dfrac {1}{299\,792\,458}}\;s\;$».

### Caractère relatif du mouvement du point

Si on considère deux référentiels dont les repères d'espace sont en mouvement l'un par rapport à l'autre et un point $\;M\;$ immobile relativement au 1er, ce point $\;M\;$ étant un point lié au 1er repère d'espace se déplace relativement au 2ème comme tout point lié au 1er repère ;
le point $\;M\;$ n'a donc pas le même mouvement relativement aux deux repères d'espace, son mouvement est donc relatif.
Exemple : vous êtes assis dans un train $\;{\big$définissant le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{1}{\big )}\;$ lequel se déplace sur Terre $\;{\big$définissant le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{2}{\big )}$, vous êtes immobile dans $\;{\mathcal {R}}_{1}\;$ et mobile dans $\;{\mathcal {R}}_{2}$.
Autre exemple : Un train s'apprête à sortir de gare : il avance à une vitesse de $\;3\,km\cdot h^{-1}\;$ par rapport au sol.
Autre exemple : Un passager, noté $\;A$, avance vers l'arrière du train à une vitesse de $\;3\,km\cdot h^{-1}\;$ par rapport au train.
Autre exemple : À l'arrière du train se trouve un autre passager, noté $\;C$, qui fait signe à son ami, noté $\;B$, resté sur le quai.
Autre exemple : Pour $\;C$, $\;A\;$ avance à $\;3\,km\cdot h^{-1}\;$ alors que pour $\;B$, $\;A\;$ est immobile !
Autre exemple : Le mouvement de $\;A\;$ dépend donc de l'observateur : c'est ce qu'on appelle la relativité du mouvement.

## Description « intrinsèque » du mouvement d'un point, loi horaire vectorielle
### Repérage intrinsèque du point M dans le référentiel d'espace, vecteur position de M

Le repérage intrinsèque du point $\;M\;$ dans le référentiel d'espace se fait par un vecteur $\;{\overrightarrow {OM}}$ appelé « vecteur position du point $\;M\;$ dans le référentiel d'espace », $\;O\;$ étant un point fixe du référentiel d'espace choisi en général à l'origine du repère d'espace associé au référentiel.

### Repérage d'un événement lié à M dans le référentiel de temps, date de l'événement

Le repérage d'un évènement lié au point $\;M\;$ dans le référentiel de temps se fait par un scalaire $\;t\;$ appelé « date de l'événement », l'origine des temps étant a priori arbitraire $\;{\big$souvent choisie au début du mouvement du point $\;M\;{\big$l'événement origine étant alors l'occupation par le point $\;M\;$ de sa position de départ${\big )}\;$ $\Rightarrow$ $\;t\geqslant 0\;$ mais ce n'est pas une nécessité${\big ]}\;$ dans le cas où le choix de l'origine des temps est arbitraire, $\;t\;$ est un réel de signe quelconque,
* $\;t<0\;$ correspondant à la date d'un événement « antérieur » à l'événement origine et
* $\;t>0\;$ correspondant à la date d'un événement « postérieur » à l'événement origine.

### Loi horaire vectorielle décrivant le mouvement de M relativement au référentiel d'étude

Le mouvement de $\;M\;$ dans le référentiel d'étude est caractérisé par la donnée de la fonction «$\;t\;{\overset {\overrightarrow {OM}}{\longmapsto }}\;{\overrightarrow {OM}}={\overrightarrow {OM}}(t)\;$», fonction vectorielle de la variable scalaire $\;t\;$ définissant la loi horaire vectorielle du mouvement du point $\;M\;$ dans le référentiel d'étude.

### Trajectoire du mouvement de M dans le référentiel d'étude

La trajectoire $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ du mouvement du point $\;M\;$ dans le référentiel d'espace est l'ensemble des points du référentiel d'espace représentant les positions successives de$\;M\;$au cours du temps ;
«$\;{\overrightarrow {OM}}={\overrightarrow {OM}}(t)\;$» est aussi l'« équation paramétrique vectorielle de la trajectoire$\;\left({\mathcal {T}}\right)$ ».

## Définition du vecteur vitesse du point, évaluation à partir d'un enregistrement régulier des positions et notion d'hodographe de pôle O du mouvement du point

On utilise ici la notion de dérivée d'une fonction vectorielle de la variable $\;t\;$ introduite dans le paragraphe « définition intrinsèque de la dérivée d'une fonction vectorielle d'une variable réelle » du chap.$4$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
La notion d'hodographe de pôle $\;O\;$ du mouvement d'un point n'est pas explicite dans le programme de physique de P.C.S.I., elle est à considérer comme un complément.

### Définition (intrinsèque) du vecteur vitesse du point M dans le référentiel d'étude

Le vecteur vitesse du point $\;M\;$ relativement au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, noté $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ est la dérivée temporelle du vecteur position soit «$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dot {\overrightarrow {OM}}}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}(t)\;$» ; Le vecteur vitesse du point $\;\color {transparent}{M}\;$ relativement au référentiel d'étude $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}$, la norme du vecteur vitesse $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert \;$ s'exprime en $\;m\cdot s^{-1}$.

### Évaluation du vecteur vitesse du point M à des instants d'un enregistrement régulier des positions du point

Si on suit la position de $\;M\;$ sur sa trajectoire $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ aux instants successifs espacés de $\;\delta t\;$ ${\big$voir enregistrement ci-contre${\big )}$, on évaluera le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t_{0})\;$ du point $\;M\;$ à un instant $\;t_{0}\;$ quasi-quelconque de l'enregistrement par
$\;{\vec {V}}_{M}(t_{0})\simeq {\dfrac {{\overrightarrow {OM}}(t_{0}+\delta t)-{\overrightarrow {OM}}(t_{0}-\delta t)}{2\;\delta t}}={\dfrac {\overrightarrow {M_{t_{0}-\delta t}M_{t_{0}+\delta t}}}{2\;\delta t}}\;$
avec l'échelle des vitesses «$\;1\,cm\cdot \left(2\,\delta t\right)^{-1}\;{\widehat {=}}\;1\,cm\;$», avec l'échelle des vitesses «$\;{\vec {V}}_{M}(t_{0})\;$ est obtenu en reportant $\;{\overrightarrow {M_{t_{0}-\delta t}M_{t_{0}+\delta t}}}\;$ à partir de $\;M(t_{0})\;$» voir figure ci-contre $\;\ldots$
Tous les vecteurs vitesse ont été représentés par utilisation de la méthode expliquée précédemment et Tous les vecteurs vitesse ont été représentés par utilisation de la méthode explicitée ci-contre en $\;M_{6}\;$ ${\big$en $\;M_{6}\;$ on a reporté $\;M_{5}M_{7}{\big )}$ ;
il n'est pas possible de déterminer les vecteurs vitesse en $\;M_{0}\;$ et en $\;M_{7}\;$ par cette méthode $\;\ldots$

### Définition de l'hodographe de pôle O du mouvement de M

$\;\left({\mathcal {H}}\right)\;$
$\;O\;$
$\;M\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;P\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;{\overrightarrow {OP}}(t)\;{\widehat {=}}\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$

### Construction de l'hodographe de pôle O du mouvement de M à partir d'un enregistrement régulier des positions du point

Il suffit $\;{\big$à partir d'un même pôle $\;O\;$${\big )}\;$ de reporter les vecteurs vitesse de $\;M\;$ obtenus aux différents instants de l'enregistrement régulier Il suffit $\;\color {transparent}{\big$à partir d'un même pôle $\;\color {transparent}{O\;{\big )}}\;$ de reporter les vecteurs vitesse de $\;\color {transparent}{M}\;$ ${\big$obtenus sur le schéma ci-dessus à droite${\big )}$, et on obtient alors une succession régulière de positions $\;P\;$ permettant d'en déduire « l'hodographe de pôle $\;O\;$ du mouvement de $\;M\;$» on obtient alors une succession régulière de positions $\;\color {transparent}{P}\;$ permettant d'en déduire ${\big$voir ci-contre à gauche${\big )}$.
Les positions $\;P\;$ ne peuvent être obtenues aux instants extrêmes de l'enregistrement des positions de $\;M$.

### Vecteur déplacement élémentaire du point M, autre définition de son vecteur vitesse

Voir le paragraphe « définition intrinsèque du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue » du chap.$15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », l'introduction y étant faite en repérant le point $\;M\;$ par son abscisse curviligne $\;s_{M}\;$ ; nous la reproduisons en repérant la position du point $\;M\;$ sur sa trajectoire par l'instant d'occupation $\;t\;$ :
Si le point mobile se déplace sur la courbe $\;(\Gamma )\;$ avec un paramétrage cinématique,
* $\;M\;$ étant la position $\;{\big$supposée non anguleuse${\big )}\;$ du point à l'instant $\;t\;$ et
* $\;M'\;$ celle $\;{\big$supposée également non anguleuse${\big )}\;$ à l'instant infiniment proche $\;t+dt$,
« le vecteur déplacement élémentaire du point mobile le long de la courbe $\;(\Gamma )\;$ à partir de la date $\;t\;$» s'écrit «$\;{\overrightarrow {MM'}}={\overrightarrow {OM'}}-{\overrightarrow {OM}}\;$» ou encore « le vecteur déplacement élémentaire du point mobile le long de la courbe $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ à partir de la date $\;\color {transparent}{t}\;$» s'écrit «$\;{\overrightarrow {MM'}}={\overrightarrow {OM}}(t+dt)-{\overrightarrow {OM}}(t)\;$» « le vecteur déplacement élémentaire du point mobile le long de la courbe $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ à partir de la date $\;\color {transparent}{t}\;$» s'écrit ce qui peut être traduit par « le vecteur déplacement élémentaire du point mobile le long de la courbe $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ à partir de la date $\;\color {transparent}{t}\;$» s'écrit « la différentielle de $\;{\overrightarrow {OM}}\;$» soit « le vecteur déplacement élémentaire du point mobile le long de la courbe $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ à partir de la date $\;\color {transparent}{t}\;$» s'écrit «$\;{\overrightarrow {MM'}}=d\!\left[{\overrightarrow {OM}}\right]\;$» usuellement noté « le vecteur déplacement élémentaire du point mobile le long de la courbe $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ à partir de la date $\;\color {transparent}{t}\;$» s'écrit «$\;{\overrightarrow {MM'}}={\overrightarrow {dM}}\;$».
Propriété géométrique du vecteur déplacement élémentaire : « si $\;{\overrightarrow {dM}}\neq {\vec {0}}\;$» il est « tangent à la courbe $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$».
Évaluation du vecteur déplacement élémentaire par utilisation du paramétrage cinématique : on différencie le vecteur position considéré comme fonction de $\;t\;$ et on obtient Évaluation du vecteur déplacement élémentaire par utilisation du paramétrage cinématique : on différencie «$\;d{\overrightarrow {OM}}={\dot {\overrightarrow {OM}}}(t)\;dt={\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}(t)\;dt\;$» soit «$\;{\overrightarrow {dM}}={\vec {V}}_{M}(t)\;dt\;$» et par suite Évaluation du vecteur déplacement élémentaire par utilisation du paramétrage cinématique : le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ ${\big$quand il n'est pas nul${\big )}\;$ est tangent à la trajectoire en${\underline {\;M}}$.
Autre définition du vecteur vitesse du point${\underline {\;M}}$ : «$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dfrac {{\overrightarrow {dM}}(t)}{dt}}\;$» c.-à-d. « le taux de variation horaire du vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}(t)$ » obtenu en divisant ce dernier par $\;dt$.

## Définition du vecteur accélération du point, évaluation à partir de la détermination régulière des points de l'hodographe du mouvement de pôle O (ou directement sur la trajectoire)

On prolonge la notion de dérivée 2nde d'une fonction scalaire de la variable $\;t\;$ introduite dans le paragraphe « définition (de la dérivée 2nde d'une fonction scalaire) » du chap.$1$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » à celle de dérivée 2nde d'une fonction vectorielle de la variable $\;t$, la dérivée 1ère ayant été introduite dans le paragraphe « définition intrinsèque de la dérivée d'une fonction vectorielle d'une variable réelle » du chap.$4$ de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
On rappelle que la notion d'hodographe de pôle $\;O\;$ du mouvement d'un point n'étant pas explicite dans le programme de physique de P.C.S.I. On rappelle que la notion d'hodographe de pôle $\;\color {transparent}{O}\;$ du mouvement d'un point doit être introduite pour être utilisée, c'est en effet un complément.

### Définition (intrinsèque) du vecteur accélération du point M dans le référentiel d'étude

Le vecteur accélération du point $\;M\;$ relativement au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, noté $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ est la dérivée temporelle du vecteur vitesse soit «$\;{\vec {a}}_{M}(t)={\dot {\vec {V}}}_{M}(t)={\dfrac {d{\vec {V}}_{M}}{dt}}(t)\;$» ;
Le vecteur accélération du point $\;\color {transparent}{M}\;$ relativement au référentiel d'étude $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ c'est aussi la dérivée temporelle 2nde du vecteur position soit «$\;{\vec {a}}_{M}(t)={\ddot {\overrightarrow {OM}}}(t)={\dfrac {d^{2}{\overrightarrow {OM}}}{dt^{2}}}(t)\;$» ; Le vecteur accélération du point $\;\color {transparent}{M}\;$ relativement au référentiel d'étude $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ la norme du vecteur accélération $\;\Vert {\vec {a}}_{M}(t)\Vert \;$ s'exprime en $\;m\cdot s^{-2}$.

### Lien avec l'hodographe de pôle O du mouvement de M

De la définition de « l’hodographe $\;\left({\mathcal {H}}\right)\;$ de pôle $\;O\;$ du mouvement de $\;M\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$» à savoir « ensemble des positions $\;P\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ tel que $\;{\overrightarrow {OP}}(t)\;{\widehat {=}}\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$$^,$ », on déduit, en effectuant la dérivation temporelle de chaque membre, «$\;{\dfrac {d{\overrightarrow {OP}}}{dt}}(t)\;{\widehat {=}}\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$» soit, en remarquant que «$\;{\dfrac {d{\overrightarrow {OP}}}{dt}}(t)\;$ est le vecteur vitesse du point $\;P\;$ de l'hodographe $\;\left({\mathcal {H}}\right)\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$»,
$\;{\vec {V}}_{P}(t)\;{\widehat {=}}\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$
$\Downarrow$
$\;t$
$\;P\;$
$\;\left({\mathcal {H}}\right)\;$
$\;M\;$
$\;\left({\mathcal {T}}\right)$
Suivant la position de $\;M\;$ sur sa trajectoire tous les $\;\delta t$, on a pu tracer les vecteurs vitesse aux différents instants, puis Suivant la position de $\;\color {transparent}{M}\;$ sur sa trajectoire tous les $\;\color {transparent}{\delta t}$, on a pu tracer l'hodographe $\;\left({\mathcal {H}}\right)\;$ de pôle $\;O\;$ correspondant $\;{\big$voir ci-contre${\big )}$ ;
on transpose aux points $\;P\;$ de $\;\left({\mathcal {H}}\right)\;$ l'opération d'évaluation des vecteurs vitesse des points $\;M\;$ de $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ on transpose aux points $\;\color {transparent}{P}\;$ de $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {H}}\right)}\;$ pour déterminer le vecteur vitesse d'un point $\;P\;$ de $\;\left({\mathcal {H}}\right)\;$ à un instant $\;t_{0}\;$ quasi-quelconque selon on transpose aux points $\;\color {transparent}{P}\;$ de $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {H}}\right)}\;$ «$\;{\vec {V}}_{P}(t_{0})\simeq {\dfrac {{\overrightarrow {OP}}(t_{0}+\delta t)-{\overrightarrow {OP}}(t_{0}-\delta t)}{2\;\delta t}}={\dfrac {\overrightarrow {P_{t_{0}-\delta t}P_{t_{0}+\delta t}}}{2\;\delta t}}\;$» soit,
avec l'échelle des vitesses sur l'hodographe «$\;1\,cm\cdot \left(2\,\delta t\right)^{-1}\;{\widehat {=}}\;1\,cm\;$», avec l'échelle des vitesses «$\;{\vec {V}}_{P}(t_{0})\;$ est obtenu en reportant $\;{\overrightarrow {P_{t_{0}-\delta t}P_{t_{0}+\delta t}}}\;$ à partir de $\;P(t_{0})\;$» voir figure ci-contre $\;\ldots$
Tous les vecteurs vitesse ont été représentés par utilisation de la méthode expliquée précédemment et Tous les vecteurs vitesse ont été représentés par utilisation de la méthode explicitée ci-contre en $\;P_{5}\;$ ${\big$ainsi en $\;P_{5}\;$ on a reporté $\;P_{4}P_{6}{\big )}$ ;
il n'est pas possible de déterminer les vecteurs vitesse en $\;P_{1}\;$ et en $\;P_{6}\;$ par cette méthode $\;\ldots$

### Évaluation du vecteur accélération du point M à des instants d'un enregistrement régulier des positions du point

Après détermination de l'hodographe et du vecteur vitesse d'un point $\;P\;$ à un instant $\;t_{0}\;$ quasi quelconque du repérage sur l'hodographe $\;{\big$voir ci-contre à droite${\big )}$, il suffit alors de reporter «$\;{\vec {V}}_{P_{0}}(t)\;{\widehat {=}}\;{\vec {a}}_{M_{0}}(t)\;$ en $\;M_{0}\;$» sur $\;\left({\mathcal {T}}\right)$, le vecteur accélération étant alors représenté avec l'échelle des accélérations «$\;1\,cm\cdot \left(2\,\delta t\right)^{-2}\;{\widehat {=}}\;1\,cm\;$» $\;{\big$voir figure ci-contre à gauche avec le report en bleu des vecteurs vitesse des points de l'hodographe, lesquels vecteurs vitesse s'identifient aux vecteurs accélérations des points de la trajectoire correspondants${\big )}$.
Contournement de l'utilisation de l'hodographe de pôle$\;O\;$du mouvement de$\;M\;$ : on peut déterminer directement sur l'enregistrement du mouvement de $\;M\;$ à intervalles de temps réguliers, le vecteur accélération en un point $\;M(t_{0})\;$ sans faire le tracé de l'hodographe ; pour cela Contournement de l'utilisation de l'hodographe de pôle$\;\color {transparent}{O}\;$du mouvement de$\;\color {transparent}{M}\;$ : on détermine les vecteurs vitesse dans les deux positions précédant et suivant le point $\;M(t_{0})\;$ soit «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {V}}_{M}(t_{0}-\delta t)\simeq {\dfrac {\overrightarrow {M_{t_{0}-2\,\delta t}M_{t_{0}}}}{2\;\delta t}}\\{\vec {V}}_{M}(t_{0}+\delta t)\simeq {\dfrac {\overrightarrow {M_{t_{0}}M_{t_{0}+2\,\delta t}}}{2\;\delta t}}\end{array}}\right\rbrace \;$» puis on utilise «$\;{\vec {a}}_{M}(t_{0})\simeq {\dfrac {{\vec {V}}_{M}(t_{0}+\delta t)-{\vec {V}}_{M}(t_{0}-\delta t)}{2\;\delta t}}\;$» ou, avec le report des expressions de $\;{\vec {V}}_{M}(t_{0}+\delta t)\;$ et $\;{\vec {V}}_{M}(t_{0}-\delta t)$, «$\;{\vec {a}}_{M}(t_{0})\simeq {\dfrac {{\dfrac {\overrightarrow {M_{t_{0}}M_{t_{0}+2\,\delta t}}}{2\;\delta t}}-{\dfrac {\overrightarrow {M_{t_{0}-2\,\delta t}M_{t_{0}}}}{2\;\delta t}}}{2\;\delta t}}={\dfrac {{\overrightarrow {M_{t_{0}}M_{t_{0}+2\,\delta t}}}-{\overrightarrow {M_{t_{0}-2\,\delta t}M_{t_{0}}}}}{4\left(\delta t\right)^{2}}}\;$» soit,
$\;1\,cm\cdot \left(2\,\delta t\right)^{-2}\;{\widehat {=}}\;1\,cm\;$
$\;{\vec {a}}_{M}(t_{0})\;$
$\;M(t_{0})$
$\;{\overrightarrow {M_{t_{0}}M_{t_{0}+2\,\delta t}}}\;$
$\;{\overrightarrow {M_{t_{0}-2\,\delta t}M_{t_{0}}}}\;$
$\;\ldots$
Sur la figure ci-dessus à gauche, la construction sans référence à l'hodographe de pôle $\;O\;$ de l'enregistrement du mouvement de $\;M\;$ Sur la figure ci-dessus à gauche, la construction a été explicitée en vert, avec l'échelle des accélérations précédemment définie, Sur la figure ci-dessus à gauche, la construction a été explicitée en vert, pour le vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{M_{2}}\;$ en formant, à partir de $\;M_{2}$, la différence entre $\;{\overrightarrow {M_{2}M_{4}}}\;$ et $\;{\overrightarrow {M_{0}M_{2}}}\;\ldots$

## Exploitation d'un enregistrement vidéo pour déterminer quantitativement l'évolution temporelle des vecteurs vitesse et accélération

Il est possible de travailler sur un enregistrement vidéo $\;{\big$fait par vous-même ou téléchargé${\big )}\;$ Il est possible de travailler sur un enregistrement vidéo pour déterminer le vecteur vitesse ainsi que le vecteur accélération du point à un instant quasi quelconque, Il est possible de travailler sur un enregistrement vidéo pour déterminer les échelles des vitesses et des accélérations pouvant être différentes de celles simplificatrices utilisées précédemment $\;\ldots$