OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Address Resolution Protocol/Présentation de la leçon

L'Address resolution protocol (ARP, protocole de résolution d'adresse) est un protocole effectuant la traduction d'une adresse de protocole de couche réseau (typiquement une adresse IPv4) en une adresse ethernet (typiquement une adresse MAC), ou même de tout matériel de couche de liaison.
Il a été défini dans la RFC 826 : An Ethernet Address Resolution Protocol.
Il est nécessaire au fonctionnement d'IPv4 sur un segment ethernet. En IPv6, les fonctions d'ARP sont assurées par le Neighbor Discovery Protocol (ND).
# Adjectifs français/Adjectif qualificatif

La plupart des adjectifs s'adaptent aux genre et nombre du substantif (ou des substantifs) qu'ils accompagnent.
Quelques adjectifs ont même 5 formes:
un beau garçon - de beaux garçons
un bel hôpital - de beaux hôpitaux
une belle femme - de belles femmes
La forme bel au masculin singulier apparaît uniquement devant voyelle et h non-aspiré.
Les autres adjectifs dans ce cas sont :
nouveau, nouvel, nouvelle, nouveaux, nouvelles
vieux, vieil, vieille, vieux, vieilles
mou, mol, molle, mous, molles
fou, fol, folle, fous, folles
mou surtout dans 'un mol oreiller'
fou surtout dans 'un fol espoir'
Tandis que la plupart des adjectifs qui se finissent par un -e muet, ne connaissent que deux formes graphiques :
un dictionnaire énorme - des dictionnaires énormes
une erreur énorme - des erreurs énormes
| Généralités | Adjectif épithète |
# Adjectifs français/Adjectif numéral

L'adjectif numéral marque la quantité (adjectifs numéraux cardinaux) ou le rang (adjectifs numéraux ordinaux).
          il y a vingt et une maisons (cardinal).
          c'est le cinquième jour (ordinal).
On a aussi les adjectifs multiplicateurs et fractionnaires.
          le cinquième d'un litre
* Le manteau coûte quatre-vingts euros, mais il est soldé à soixante-seize euros.
* En l'an dix-huit-cent, il n'y avait pas d'avions ou En mille-huit-cent, il n'y avait pas d'avions
* Ma voiture pèse huit cents kilogrammes ou Ma voiture pèse huit-cents kilogrammes.
* soixante-et-un tiers (61 × 1/3)
* soixante et un tiers (60 + 1/3)

## Les règles

* Les adjectifs numéraux sont invariables.
* Seuls vingt et cent s'accordent s’ils sont dernier du nombre et qu’ils ne désignent pas une date.
* Le conseil des Trente
* l’hôpital des Quinze-Vingts
* quatre-vingt-sept pages
On met un trait d'union entre deux mots inférieurs à cent mais on unit un aux dizaines par et.
* 34 : trente-quatre
* 78 : soixante-dix-huit
* 237 : deux cent trente-sept
* 31 : trente et un
* 81 : nonante et une leçons mais quatre-vingt-une leçons
Le trait d'union peut désormais être utilisé dans l’orthographe des nombres complexes supérieurs ou inférieurs à « cent »,
* 300 564 : Trois-cent-mille-cinq-cent-soixante-quatre.
* 300 564 : Trois cent mille cinq cent soixante-quatre.
* 2 371 : Deux-mille-trois-cent-soixante-et-onze.
* 2 371 : Deux mille trois cent soixante et onze.
* Mille est invariable cependant dans mille marin c’est un nom qui prend donc la marque du pluriel.
* Pour les dates de l'ère chrétienne jusqu'à 1999, on peut écrire mil si mil est suivi d'un autre nombre.
* Deux mille poissons.
* Ce poisson a parcouru dix milles marins.
* Le navire a parcouru mille milles.
* Le quatorze janvier mil neuf cent soixante-dix-neuf.
* Le quatorze janvier mille neuf cent soixante-dix-neuf.
* Le quatorze janvier mille-neuf-cent-soixante-dix-neuf.
* L'an mille
Millier, million, milliard, trillion, … sont des noms. Ils prennent donc la marque du pluriel et ne sont pas liés par des traits d'union
* 1 000 000 : Un million.
* 2 000 000 : Deux millions.
* 200 000 000 000 : Deux-cents milliards.
* 3 000 564 : Trois millions cinq-cent-soixante-quatre

## Les adjectifs multiplicateurs et fractionnaires

On distingue en outre, les adjectifs numéraux multiplicateurs (simple, double, triple, etc.) et les adjectifs numéraux fractionnaires (demi, tiers, quart, cinquième, sixième, etc.).
* Un triple saut. Coup double. ( ici, on a des adjectifs qualificatifs )
* Un quart de vin. ( ici, c’est un comme un quantificateur )
* Une demi-heure, Une demi-portion ( ici, c’est le constituant d'un mot composé avec trait d'union )
# Adjectifs français/Généralités
## Flexions

Les adjectifs s'accordent en genre (masculin / féminin) et en nombre (singulier / pluriel) avec le nom ou le pronom qu’ils qualifient.

### Féminin

Pour accorder l'adjectif au féminin :
* on ajoute un « -e » (petit → petite) ;
* dans certains cas, on double la dernière consonne (bel → belle).

### Pluriel

Pour accorder l'adjectif au pluriel :
* on ajoute un « -s » pour le pluriel (grand → grands) dans la majorité des cas ;
* ou un « -x » pour le pluriel si l'adjectif se finit par -eu / -eau / -au (ex : beau → beaux).

## Placement

La plupart des adjectifs sont placés après le nom (comme en arabe) mais peuvent aussi l'être avant (comme en anglais) selon l'adjectif.
une grande maison bleue (on ne dit jamais une bleue maison grande).

## Différence avec les participes passés

On peut aisément distinguer un adjectif d'un participe passé en les plaçant après le verbe "devenir". En effet, seul l’adjectif convient alors.
| Sommaire | Adjectif qualificatif |
# Adjectifs français

| Chap. 1 : | Généralités |
| Chap. 2 : | Adjectif qualificatif |
| Chap. 3 : | Adjectif épithète |
| Chap. 4 : | Adjectif verbal |
| Chap. 5 : | Adjectif démonstratif |
| Chap. 6 : | Adjectif déterminant |
| Chap. 7 : | Adjectif possessif |
| Chap. 8 : | Adjectif numéral |
| Fiche : | Résumé de la leçon |
| Exercice : | Adjectif numéral |
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## Présentation [Modifier]

Les grammairiens utilisent les dénominations « groupe » et « syntagme » de manière assez semblable. Ces deux termes désignent un ensemble de mots qui sont tous en relation avec un élément central appelé « noyau ». Le groupe adjectival est un groupe dont le noyau est un adjectif. La plupart du temps, un groupe adjectival est formé d'un adjectif et d'un ou plusieurs compléments.
Employé seul, en fonction de pronom, l'adjectif numéral peut avoir un complément (Le second de ses fils vit en Espagne. Deux de mes voisins se sont disputés).
L'adjectif qualificatif quelle que soit sa fonction peut lui aussi recevoir un complément :
* Cette bouteille est pleine de vin.
* Cet élève est doué en langues étrangères.
* Michel, absent du travail, est introuvable.
Un tel groupe peut occuper quatre fonctions :
* épithète (Il échange des informations avec un homme issu de la même école) ;
* attribut du sujet (Cet homme est plein de morgue) ;
* attribut du complément d'objet (Il le pense bon pour les faibles) ;
* apposition (Michel, absent du travail, est introuvable).

## Objectifs

Les objectifs de cette leçon n'ont pas encore été fixés. Pour le faire, cliquez ici.

## Niveau et prérequis conseillés

Leçon de niveau 2. Les prérequis pour cette leçon n'ont pas encore été précisés. Pour le faire, cliquez ici.

## Référents [Modifier]

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
* JackPotte ($♠)
* Fourmidable (discuter)
# Adjectifs français/Fiche/Résumé de la leçon
## Généralités

L'adjectif est un mot qui qualifie ou détermine un nom et qui est toujours associé à un nom. Les adjectifs s'accordent en genre et en nombre avec le nom dont ils dépendent.

## Types

Il existe deux types d’adjectifs : l'adjectif non qualificatif et l'adjectif qualificatif.

### Adjectif non qualificatif

Les adjectifs possessifs, démonstratifs, indéfinis, numéraux, interrogatifs ou exclamatifs sont des déterminants du nom.

### Adjectif qualificatif
#### Rôle

L'adjectif qualificatif sert à décrire ou à établir une relation : l'adjectif de description indique l'aspect, la dimension, la qualité (exemple : une chemise bleue / une grande maison / un style agréable).
L'adjectif de relation indique un simple rapport au nom ; il est le plus souvent formé à partir de ce nom (exemple : la voiture présidentielle ; sous-entendu : du président / ma grand-mère paternelle ; sous-entendu : du côté de mon père).

##### Adjectif épithète

L'adjectif épithète est un constituant du groupe du nom ; il se rapporte directement au nom, qu’il soit placé avant ou après ce nom (exemple : une gentille fille / une fille gentille).

##### Adjectif attribut et apposé

L'adjectif attribut est un constituant du groupe du verbe. Il en existe plusieurs :
* L'attribut du sujet se rapporte au nom par l'intermédiaire de certains verbes d'état comme être, paraître, sembler, devenir, etc. (exemple: le ciel est bleu).
* L'attribut du complément d'objet direct se rapporte au nom par l'intermédiaire de certains verbes comme trouver, croire, rendre, penser, juger, etc.
* L'adjectif apposé fait partie du groupe du nom ; il est séparé du nom par une virgule à l'écrit ou une pause à l'oral (exemple : Julie, gentille, a accepté de venir).

## Accord de l'adjectif

Quelle que soit sa fonction (attribut,épithète ou apposé), l'adjectif s'accorde en genre et en nombre avec le nom auquel il se rapporte (exemple : un beau tableau / de beaux tableaux ; une belle peinture / de belles peintures).
Dans le cas où l'adjectif se rapporte à plusieurs noms :
* si les noms sont du même genre : l'adjectif se met au pluriel et au genre de ces noms (exemple: du chocolat et un gâteau délicieux) ;
* si les noms sont de genres différents : l'adjectif se met au masculin pluriel (exemple : une tarte et un gâteau délicieux).
# Adjectifs français/Référents

* JackPotte ($♠)
* Fourmidable (discuter)
# Apprendre à lire les expressions mathématiques/Prérequis conseillés

Les prérequis pour le niveau 13 sont la compréhension de la théorie des ensembles en mathématiques : Ensemble (mathématiques).
# Apprendre à lire les expressions mathématiques/Présentation de la leçon

Apprendre à lire les expressions mathématiques aux différents niveaux de leur apprentissage (correspondance de chaque signe mathématique au terme et concept précis qui lui correspond).
# Apprentissage artificiel/Objectifs

* Faire découvrir à l'étudiant les différentes techniques d'apprentissage automatique ;
* Apprendre à les utiliser aux travers de TPs.
Bien que les méthodes exposées ici aient une forte base mathématique, l'objectif n'est pas de perdre l'étudiant dans une soupe cryptique d'équations mathématiques. Toutefois, pour les personnes souhaitant approfondir les notions présentées, des ressources seront mises à disposition.
# Apprentissage artificiel

Faculté d'Informatique
L'apprentissage artificiel est domaine de l'intelligence artificielle qui vise à faire « apprendre » à l'ordinateur à partir de données des compétences pour résoudre des problèmes sans qu'il ne soit explicitement programmé pour les résoudre.
Les objectifs de ce cours sont :
* Faire découvrir à l'étudiant les différentes techniques d'apprentissage automatique ;
* Apprendre à les utiliser aux travers de TPs.
Bien que les méthodes exposées ici aient une forte base mathématique, l'objectif n'est pas de perdre l'étudiant dans une soupe cryptique d'équations mathématiques. Toutefois, pour les personnes souhaitant approfondir les notions présentées, des ressources seront mises à disposition.
Cours de niveau intermédiaire. Les prérequis conseillés sont :
    Les prérequis pour ce cours n'ont pas encore été précisés. Pour le faire, cliquez ici.
Référents
Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant ce cours :
    Personne ne s'est déclaré prêt à aider pour ce cours. Pour vous ajouter, cliquez ici.
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# Apprentissage artificiel/Présentation du cours

L'apprentissage artificiel est domaine de l'intelligence artificielle qui vise à faire « apprendre » à l'ordinateur à partir de données des compétences pour résoudre des problèmes sans qu'il ne soit explicitement programmé pour les résoudre.
# La poésie du XIXe au XXe siècle : du romantisme au surréalisme

| Chap. 1 : | La tristesse en poésie dans une question sur corpus (11) |
| Chap. 2 : | Rimbaud, Ma Bohême, commentaire guidé et détaillé (11) |
| Chap. 3 : | Initiation à la dissertation (11) |
| Chap. 4 : | Les formes poétiques (11) |
| Annexe 1 : | Introduction à Rimbaud (11) |
| Annexe 2 : | Le romantisme (11) |
| Annexe 3 : | Le surréalisme (11) |
| Annexe 4 : | Qu'est-ce qu'un poème en prose ? (11) |

## Présentation

La présentation de cette leçon n'a pas été rédigée. Pour le faire, cliquez ici.

## Objectifs

Les objectifs de cette leçon n'ont pas encore été fixés. Pour le faire, cliquez ici.

## Niveau et prérequis conseillés

Leçon de niveau 11. Les prérequis pour cette leçon n'ont pas encore été précisés. Pour le faire, cliquez ici.

## Référents [Modifier]

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
* Fourmidable (discuter)
# La poésie du XIXe au XXe siècle : du romantisme au surréalisme/Annexe/Le surréalisme

Le Surréalisme est un mouvement littéraire et artistique qui est né en France au lendemain de la 1ère guerre mondiale et s’est développé sous la direction de son chef de file André Breton. Le poète Guillaume Apollinaire (à gauche), mort en 1918, est considéré comme un précurseur de ce mouvement.

## Définition

En 1924, André Breton (à droite) Le Manifeste du Surréalisme dans lequel il définit le Surréalisme comme la « dictée de la pensée en l’absence de tout contrôle exercé par la raison, en dehors de toute préoccupation esthétique ou morale ».
Autrement dit, le but des écrivains surréalistes est de donner la parole à l’inconscient, d’atteindre une réalité supérieure, une « surréalité », en libérant l’homme de la raison et de toute forme de contrainte (morales, sociales, …) On voit là l’influence exercée par la psychanalyse.

## Méthodes pour donner la parole à l’inconscient

* l’écriture sous hypnose
* les associations libres (à partir d’un mot, d’une image)
* les récits de rêves
* l’écriture automatique (consiste à écrire tout ce qui vient à l’esprit le plus rapidement possible, afin de diminuer le plus possible le contrôle de la raison)

## Caractéristiques

* Thèmes privilégiés : le rêve, l’amour fou (notamment Eluard et Aragon), le désir, la folie…
* Écriture : des associations de mots tout à fait insolites, révélatrices de réalités nouvelles
* ex : « La terre est bleue comme une orange. » (Eluard)
* Genre privilégié : la poésie, particulièrement propice à ce renouvellement du langage

## Figures majeures

* Pour la littérature A. Breton, Paul Eluard, Louis Aragon. Mais aussi : Philippe Soupault, Pierre Reverdy…
* Pour la peinture : Mirò, Magritte, Dali…
* Pour le cinéma : Luis Buñuel
# La poésie du XIXe au XXe siècle : du romantisme au surréalisme/Annexe/Qu'est-ce qu'un poème en prose ?

Expression paradoxale puisqu’elle réunit deux termes qui s’opposent (sorte d’oxymore) : la poésie repose sur l’idée de contrainte (vers, rythme, rime), tandis que la prose repose sur l’idée de liberté.

## Historique

* Jusqu’au XIXe siècle, la poésie se distingue nettement de la prose : tout texte poétique est versifié et comporte des rimes.
* Mais avec le Romantisme apparaît une volonté de liberté par rapport à la tradition classique qui donne naissance à un genre nouveau : le poème en prose.
En 1842, Aloysus Bertrand publie le premier recueil de poèmes en prose : Gaspard de la nuit.
* Ces poèmes nouveaux influencent rapidement des poètes comme Baudelaire (Le Spleen de Paris) et Rimbaud (Illuminations).
* Certains poètes du XXe siècle adoptent ce genre (ex : Char, Ponge…)

## Caractéristiques

* Ni vers, ni rimes.
* Texte assez court qui se suffit à lui-même et qui, souvent, porte un titre.
* Présentation en un ou plusieurs paragraphes souvent séparés par des blancs.
* Texte qui présente une unité de sens ou de thème ; chaque partie est une sorte de variation sur un même thème ; texte qui ne se lit non pas comme une histoire, mais plutôt comme un tableau que l’on peut parcourir en tout sens.
* Jeu de sonorités nombreux : assonances, allitérations, échos sonores, répétitions de phrases comme un refrain, retour des mêmes mots ou expressions (anaphores).
* Importance accordée aux images (comparaisons, métaphores) : ces images donnent une cohésion au poème en prose ; dispersées dans tout le poème, elles en assurent l’unité thématique et poétique.
* Jeu sur le rythme des phrases : rythmes binaires, ternaires, énumérations ou gradations, ruptures grammaticales…

## Thèmes

* Pas de thème réservé, peut s’adapter à tous les domaines
* Pour Baudelaire, c’est un mode d’expression privilégié pour traduire ce qui relève du rêve et de l’inconscient.
# Espagnol/Grammaire/Conjugaison/Objectifs

Apprendre à utiliser les verbes dans des phrases.
# Espagnol/Grammaire/Conjugaison/Progressif
## Le progressif présent

Exemple : Estamos escuchando la radio.
En français , on pourrait le traduire par être en train de ...
Il est formé du verbe estar au présent suivi du gérondif.
Donc ici: Nous sommes en train d'écouter la radio.
La structure peut paraître lourde en français mais est très utilisée à l'oral en espagnol.
| Gérondif | Subjonctif |
# Espagnol/Grammaire/Conjugaison

| Chap. 1 : | Être (2) |
| Chap. 2 : | Avoir (2) |
| Chap. 3 : | Présent (2) |
| Chap. 4 : | Verbes réguliers (2) |
| Chap. 5 : | Les temps (2) |
| Chap. 6 : | Concordance des temps (2) |
| Chap. 7 : | Gérondif (2) |
| Chap. 8 : | Progressif (2) |
| Chap. 9 : | Subjonctif (2) |
| Exercice : | Subjonctif (2) |
Cette leçon joue aussi le rôle du chapitre 6 de la leçon : Grammaire espagnole Chap. préc. : Accentuation
Sur les autres projets Wikimedia :
* « Conjugaison espagnole » sur Wikipédia
* « Conjugaison:espagnol » sur le Wiktionnaire
* « Enseignement de l'espagnol/Leçon 3 » sur Wikibooks

## Présentation [Modifier]

L'espagnol compte 25 temps, et un seul auxiliaire : haber (alors qu'en français il y a être et avoir).
* ↑ http://www.elconjugador.com/conjugaison/verbe/espagnol/gustar.html

## Objectifs [Modifier]

Apprendre à utiliser les verbes dans des phrases.

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 2.
* Espagnol/Grammaire
** Alphabet/Espagnol
* Espagnol/Vocabulaire

## Référents [Modifier]

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
* JackPotte ($♠) 29 avril 2012 à 13:08 (UTC)
# Espagnol/Grammaire/Conjugaison/Avoir

Avoir/tener :
| français | espagnol |
| j'ai | tengo |
| tu as | tienes |
| il a | tiene |
| nous avons | tenemos |
| vous avez | tenéis |
| ils ont | tienen |
Avoir/haber :
| français | espagnol |
| j'ai | he |
| tu as | has |
| il a | ha |
| nous avons | hemos |
| vous avez | habéis |
| ils ont | han |
Note bien que le verbe espagnol haber corresponde au verbe français "avoir" et se dérive de la même racine latine habere, il ne s'utilise jamais dans le sens de « posséder » sauf qu'en cas idiomatiques. Le verbe tener (correspondant au français "tenir") s'y utilise plutôt.
| Être | Présent |
# Espagnol/Grammaire/Conjugaison/Gérondif
## Le gérondif présent

Le gérondif présent correspond en français à la tournure "en" et "participe présent"
* Exemple: Durmiendo: en dormant.
Le gérondif est invariable.

### Formation

* Pour les verbes en -ar, le gérondif se forme avec le radical + ando.
Exemple : Hablando con mis amigos.
* Pour les verbes en -er et -ir, il se forme avec le radical + iendo.
Exemple : Comiendo el pollo.

### Exceptions

* Si la dernière lettre du radical est une voyelle, le "i" de iendo devient un "y".
Exemple : Leer = leyendo ; Ir = yendo
* Au gérondif, la diphtongue s'exerce aussi.
Exemple : Sentir = sintiendo ; dormir = durmiendo
| Concordance des temps | Progressif |
# Espagnol/Grammaire/Article défini et pronom

En espagnol il existe deux genres de noms : Le masculin et le féminin. Le masculin se caractérise par l’article indéfini uno, l’article défini el et l’article défini pluriel los. Le féminin se caractérise par l’article indéfini una, l’article défini la et l’article défini pluriel las. Exemples :
* élément A Un coche = une voiture, El coche = la voiture, Los coches = Les voitures
* élément B Una casa = une maison, La casa = la maison, Las casas = Les maisons
Il peut arriver que vous soyez confrontés au mot él qui est différent de el. él est un pronom personnel masculin de la 3e personne du singulier, mais on ne voit ce pronom que rarement car en espagnol, grâce à la terminaison d'un verbe conjugué, on peut savoir à quelle personne il est. Par exemple :
* élément A En espagnol vous trouverez rarement él come (il mange)
* élément B Mais vous trouverez plutôt come (il mange)
| Comparatif | Possessifs |
# Espagnol/Grammaire/Conjugaison/Concordance des temps
## La concordance des temps au présent

Le présent dans la proposition principale entraîne le subjonctif présent dans la subordonnée.
Verbe de la principale ---> Verbe de la subordonnée
indicatif présent ---> subjonctif présent
indicatif futur ---> subjonctif présent
indicatif passé-composé ---> subjonctif présent
impératif ---> subjonctif présent
NB : L'indicatif passé-composé appartient à la sphère du présent puisque l'auxiliaire est au présent.

## La concordance des temps au passé

Le passé dans la principale entraîne un subjonctif passé dans la subordonnée.
Verbe de la principale => Verbe de la subordonnée
indicatif imparfait => subjonctif imparfait
indicatif passé-simple => subjonctif imparfait
conditionnel présent => subjonctif imparfait
| Les temps | Gérondif |
# Espagnol/Grammaire/Comparatif

En espagnol la comparaison peut porter sur les noms, les adjectifs, les adverbes, les verbes.
On distingue 3 types de comparaison:
| Catégorie | Supériorité | Égalité | Infériorité |
| adjectifs et adverbes | más ... que | tan ... como | menos ... que |
| noms et verbes | más ... que | tanto ... como | menos ... que |
Il existe 4 irrégularités
| Adjectifs/Adverbes | Comparatifs |
| bueno/bien | mejor |
| malo/mal | peor |
| pequeño | menor |
| grande | mayor |
| Alphabet | Article défini et pronom |
# Espagnol/Grammaire/Conjugaison/Prérequis conseillés

* Espagnol/Grammaire
** Alphabet/Espagnol
* Espagnol/Vocabulaire
# Géopolitique mondiale depuis 1945

| Chap. 1 : | La guerre froide (1945-1991) |
| Chap. 2 : | La décolonisation |
| Chap. 3 : | La construction européenne de 1957-2002 et la géographie de l'Union européenne |

## Présentation

La présentation de cette leçon n'a pas été rédigée. Pour le faire, cliquez ici.

## Objectifs

Les objectifs de cette leçon n'ont pas encore été fixés. Pour le faire, cliquez ici.

## Niveau et prérequis conseillés [Modifier]

Leçon de niveau 10.
Afin de s'ancrer davantage dans le contexte de cette leçon, il est conseillé de feuilleter la leçon 1914-1945 : Guerres et totalitarisme.

## Référents [Modifier]

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
* Jade éternelle (discuter)
# Géométrie symplectique/Variété symplectique

* Cette page est une ébauche concernant les mathématiques. Avant de recréer une ressource du même type, essayez d'abord de compléter celle-ci ; si c'est impossible, remplacez son contenu par le vôtre. Si vous êtes l'auteur(e) de cette page et que vous souhaitez la continuer, retirez ce bandeau.

## Forme symplectique

Une variété symplectique est une variété différentielle M munie d'une 2-forme différentielle fermée et non dégénérée ω. Une telle forme s’appelle une forme symplectique.
En un point x, on dispose donc d'une forme bilinéaire antisymétrique non dégénérée sur l'espace tangent $T_{x}M$. Cela implique en particulier que la dimension de M soit paire (voir chapitre 1). De plus, la puissance n-ième $\omega ^{n}$ définit une forme volume, c'est-à-dire une forme de degré maximale de tout point non nulle. De fait, l’existence d'une forme symplectique implique que la variété soit orientable.

### Exemples

* Espace vectoriel symplectique (voir le chapitre 1)
* Tore symplectique

### Sous-variétés

* Sous-variétés lagrangiennes

## Argument de Moser

Soient deux formes volume $\Omega _{1}$ et $\Omega _{2}$ sur une même variété compacte M. Alors il existe un difféomorphisme de M, isotope à l'identité, transformant $\Omega _{1}$ en $\Omega _{2}$.

## Théorème de Darboux

Pour toute variété symplectique $(M,\omega )$ de dimension 2n, et point x de M, il existe un difféomorphisme symplectique d'un voisinage de x sur un ouvert de $\mathbb {R} ^{2n},\omega _{0})$.

### Théorème de Weinstein

| Groupe symplectique | Dynamique hamiltonienne |