# Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Propagation d'un signal : Diffraction à l'infini
## Le laser - Lune

Pour mesurer la distance Terre - Lune avec une précision de quelques millimètres, on envoie un faisceau laser en direction de la Lune.
Une partie de la lumière du laser est réfléchie par un « rétroréflecteur », dispositif qui a la propriété de renvoyer la lumière dans la direction d'où elle arrive et qui a été déposé sur le sol lunaire par les astronautes de la mission $\;{\text{Apollo}}\;11\;$ en $\;1969$.
Un télescope terrestre recueille ensuite une partie de la lumière renvoyée par le « rétroréflecteur ».
La mesure précise de la durée $\;\tau \;$ de l'aller - retour de la lumière entre la surface terrestre et la surface lunaire permet de déduire la distance $\;D\;$ entre ces surfaces.

### Évaluation de la durée de l'aller - retour de la lumière entre la Terre et la Lune connaissant la distance les séparant

Sachant que $\;D\simeq 3,76\;10^{8}\;m$, évaluer $\;\tau$.
La précision de l'horloge atomique utilisée étant de $\;50\;ps$, calculer la précision relative sur la valeur de $\;\tau$.
$\;\tau ={\dfrac {2\;D}{c}}={\dfrac {2\times 3,76\;10^{8}}{3,00\;10^{8}}}\;$
$\;s\;$
$\;\tau \simeq 2,51\;s\;$
$\;D$
$\;50\;ps$
$\;{\dfrac {\Delta \tau }{\tau }}={\dfrac {50\;10^{-12}}{2,51}}\simeq 1,99\;10^{-11}$
$\;{\dfrac {\Delta \tau }{\tau }}\simeq 2\,10^{-11}\;$

### Connaissant le diamètre du faisceau au départ de la Terre, détermination du diamètre de la tache sur le sol lunaire

Le faisceau au départ de la Terre a un diamètre $\;a=1,50\;m\;$ et sa longueur d'onde dans le vide est $\;\lambda _{0}=532\;nm$. Calculer son rayon angulaire $\;{\big$ou demi-angle d'ouverture${\big )}\;$ dû à la diffraction du faisceau théoriquement cylindrique par la pupille de sortie du laser.
En déduire le diamètre de la tache que fait le faisceau sur le sol lunaire.
$\;a=1,50\;m\;$
$\;\lambda _{0}=532\;nm$
$\;{\big$
${\big )}$
$\;\theta \;$
$\;\sin(\theta )=1,22\;{\dfrac {\lambda _{0}}{a}}=1,22\times {\dfrac {532\;10^{-9}}{1,50}}\simeq$
$4,327\;10^{-7}\ll 1\;$
$\;\theta \simeq 4,327\;10^{-7}\;rad\simeq 0,089\;{\text{'' d'angle}}\;$
$\;r\;$
$\;\tan(\theta )={\dfrac {r}{D}}\;$
$\;r=D\;\tan(\theta )\;$
$\;\theta \ll 1$
$\;r\simeq D\;\theta \;$
$\;d\simeq 2\;D\;\theta \simeq 2,44\;{\dfrac {D\;\lambda _{0}}{a}}$
numériquement on trouve $\;d\simeq 2\times 3,76\;10^{8}\times 4,327\;10^{-7}\;$ en $\;m\;$ soit «$\;d\simeq 325\;m\;$».

### Détermination de la fraction de la puissance lumineuse émise par la Terre et reçue par le « rétroréflecteur » de la Lune

Le « rétroréflecteur » étant un carré de côté $\;l=1\;m$, calculer la fraction $\;\rho \;$ de la puissance lumineuse émise par la Terre qui est reçue par le « rétroréflecteur ».
$\;{\mathcal {E}}_{0}\;$
$\;\rho ={\dfrac {{\mathcal {E}}_{0}\;l^{2}}{{\mathcal {E}}_{0}\;\pi \;{\dfrac {d^{2}}{4}}}}\;$
$\;\rho ={\dfrac {4\;l^{2}}{\pi \;d^{2}}}\simeq {\dfrac {4\times 1^{2}}{\pi \times 325^{2}}}\simeq 1,21\ 10^{-5}\;$
$\;\rho \simeq 10^{-5}\;$

### Perte de puissance lumineuse captée par le télescope récepteur de la Terre

Expliquer pourquoi le télescope récepteur à la surface de la Terre ne capte qu'une très faible fraction $\;\rho '\;$ de la lumière réfléchie par le « rétroréflecteur ».
Au total la puissance lumineuse reçue à l'arrivée étant environ $\;10^{-17}\;$ fois la puissance lumineuse émise au départ, estimez-vous que la diffraction soit la seule cause des pertes ?
$\;l=1,00\;m\;$
$\;\lambda _{0}=$
$532\;nm$
$\;{\big$
${\big )}$
$\;\theta '\;$
$\;\sin(\theta ')={\dfrac {\lambda _{0}}{l}}={\dfrac {532\;10^{-9}}{1,00}}$
$\simeq 5,32\;10^{-7}\ll 1\;$
$\;\theta '\simeq 5,32\;10^{-7}\;rad\simeq 0,110\;{\text{'' d'angle}}\;$
$\;{\dfrac {l'}{2}}\;$
$\;\tan(\theta ')=$
${\dfrac {\dfrac {l'}{2}}{D}}\;$
$\;{\dfrac {l'}{2}}=$
$D\;\tan(\theta ')\;$
$\;\theta '\ll 1$
$\;{\dfrac {l'}{2}}\simeq D\;\theta '\;$
$\;l'\simeq 2\;D\;\theta '\simeq 2\;{\dfrac {D\;\lambda _{0}}{l}}$
numériquement on trouve $\;l'\simeq 2\times 3,76\;10^{8}\times 5,32\;10^{-7}\;$ en $\;m\;$ soit «$\;l'\simeq 400\;m\;$».
$\;{\mathcal {E}}'_{0}\;$
$\;\rho '={\dfrac {{\mathcal {E}}'_{0}\;l^{2}}{{\mathcal {E}}'_{0}\;l'^{2}}}\;$
$\;\rho '={\dfrac {l^{2}}{l'^{2}}}\simeq {\dfrac {1^{2}}{400^{2}}}\simeq 6,25\;10^{-6}\;$
$\;\rho '\simeq 0,5\,10^{-5}\;$
Si on ne tenait compte que de la diffraction la puissance lumineuse reçue à l'arrivée serait approximativement égale à la fraction $\;\rho \;\rho '\simeq 5\;10^{-11}\;$ de la puissance lumineuse émise au départ et non à la fraction de $\;10^{-17}$ ; la diffraction n'est donc pas la seule cause de perte de puissance, citons notamment les perturbations de l'atmosphère terrestre avec en particulier les phénomènes d'absorption $\;\ldots$

## Mesure du diamètre d'un cheveu

Comment s'y prendre pour mesurer le diamètre d'un cheveu $\;{\big$de l'ordre de «$\;100\,\mu m\;$»${\big )}\;$ en utilisant un laser de longueur d'onde dans le vide «$\;\lambda _{0}=633\,nm\;$», un écran, une règle de «$\;20\,cm\;$» graduée et un mètre ruban de «$\;2\,m\;$» ?
Quelle précision maximum peut-on atteindre sachant que la règle et le mètre sont gradués en millimètres ?
On peut mesurer le diamètre d'un cheveu en faisant diffracter la lumière d'un faisceau laser par le cheveu, le phénomène de diffraction par un obstacle de largeur «$\;d\;$» étant « identique à celui d'une fente de même largeur » ;
voir la figure ci-contre pour la définition de la largeur de la tache principale de diffraction ;
$\;d\;$
$\;D\;$
$\;{\big$
$\;D\simeq qq\,m\;$
$\;2\,m\;$
${\big )}$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;L\;$
$\;20\,cm\;$
$\;\theta \ll 1\;$
$\;\tan(\theta )={\dfrac {L}{2\,D}}\;$
$\Rightarrow$
$\;L=2\,D\,\tan(\theta )\simeq 2\,D\;\theta \;$
le rayon angulaire d'ouverture du faisceau central de diffraction est lié à la largeur de l'obstacle «$\;d\;$» et à la longueur d'onde «$\;\lambda _{0}\;$», par «$\;\sin(\theta )={\dfrac {\lambda _{0}}{d}}\;$» ou, avec «$\;\theta \ll 1\;$», «$\;\theta \simeq {\dfrac {\lambda _{0}}{d}}\;$», d'où l'expression de la largeur de la tache centrale «$\;L\simeq {\dfrac {2\,D\,\lambda _{0}}{d}}\;$» dont on déduit la largeur de l'obstacle «$\;d\simeq {\dfrac {2\,D\,\lambda _{0}}{L}}\;$».
Si on impose «$\;D=2,000\,m\;$», avec une incertitude estimée pouvant être de «$\;\Delta D=1\,cm\;$» soit une précision de «$\;{\dfrac {\Delta D}{D}}=0,5\,\%\;$» et si l'ordre de grandeur de «$\;d\;$» est de «$\;100\,\mu m\;$», pour une longueur d'onde dans le vide égale à «$\;\lambda _{0}=633\,nm\;$», on obtiendrait une largeur de tache centrale «$\;L\simeq {\dfrac {2\times 2,000\times 633\,10^{-9}}{100\,10^{-6}}}\simeq 2,5\ 10^{-2}\,m\;$» soit «$\;L\simeq 2,5\,cm\;$» mesurable avec une incertitude estimée de «$\;\Delta L=1\,mm\;$» soit une précision de «$\;{\dfrac {\Delta L}{L}}=4\,\%\;$».
$\;d\simeq {\dfrac {2\,D\,\lambda _{0}}{L}}\;$
$\;\lambda _{0}\;$
$\;{\dfrac {\Delta d}{d}}={\dfrac {\Delta D}{D}}+{\dfrac {\Delta L}{L}}\simeq 0,5\,\%+4,0\,\%\;$
$\;{\dfrac {\Delta d}{d}}\simeq 4,5\,\%\;$
$\;d=101,5\,\mu m\pm 4,5\,\mu m\;$
$\;97\,\mu m\;$
$\;106\,\mu m\;$