# Mécanique 2 (PCSI)/Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un point matériel
## Aspect de la cinétique du point matériel M dans le référentiel d'étude relativement à un autre point A : définition dans le référentiel d’étude du « moment cinétique de M par rapport au point A » (ou « moment cinétique vectoriel de M »)
### Introduction

Il s'agit d’une part, de décrire le mouvement du point matériel $\;M\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ relativement à un point privilégié $\;A\;$ et Il s'agit d'autre part, de tenir compte de l'inertie du point matériel $\;M$ $\;{\big$c'est-à-dire de sa masse${\big )}$.

### Définition du vecteur « moment cinétique du point matériel M dans le référentiel d’étude par rapport à un point A »

$\;M\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;A\;$
$\;t$
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M,\,t)={\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\vec {p}}_{M}(t)\;$
$\;{\vec {p}}_{M}(t)\;$
$\;M\;$
$\;({\mathcal {R}})\;$
$\;t\;$
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M,\,t)={\overrightarrow {AM}}(t)\wedge m\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$
$\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$
$\;M\;$
$\;({\mathcal {R}})\;$
$\;t\;$
$\;m\;$
$\;M\;$
Commentaires : cette grandeur traduit la réserve de « mouvement inertiel » du point matériel $\;M\;$ par rapport au point $\;A$, elle tient compte de l'inertie d'une part et de la vitesse en norme, direction et sens d'autre part, le tout relativement au point $\;A$, la grandeur dépend donc du référentiel $\;({\mathcal {R}})$ ;
Commentaires : le point $\;A\;$ est le point par rapport auquel on calcule le moment cinétique $\;{\big$vectoriel${\big )}\;$ ${\big$encore appelé point origine de calcul${\big ]}$, le moment cinétique $\;{\big$vectoriel${\big )}\;$ «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M,\,t)\;$» est représenté au point $\;A$ $\;{\big$voir ci-contre dans le cas d'un espace orienté à droite${\big )}$ ;
Commentaires : le moment cinétique du point matériel $\;M\;$ par rapport à $\;A\;$ est un vecteur axial $\;{\big$ou pseudo-vecteur${\big )}\;$ comme produit vectoriel de deux vecteurs polaires $\;{\big$ou vrais vecteurs${\big )}\;$ $\;{\big$voir le paragraphe « propriété du produit vectoriel de deux vrais vecteurs, de deux pseudo-vecteurs ou d'un vrai vecteur et d'un pseudo-vecteur » du chap.$20$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »${\big ]}$, son sens dépend donc de l'orientation de l'espace $\;{\big$si l'espace est orienté à gauche $\;{\big$ce qui est excessivement rare${\big )}\;$ le sens de $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M,\,t)\;$ est inversé par rapport à celui représenté sur le schéma ci-contre${\big ]}$.
Remarque : avec la notion $\;{\big$hors programme de physique de P.C.S.I.${\big )}\;$ de « torseur » introduite dans le chap.$1$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », on remarque que le moment cinétique $\;{\big$vectoriel${\big )}\;$ du point matériel $\;M\;$ par rapport à $\;A\;$ c'est-à-dire $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M,\,t)\;$ est le moment du torseur cinétique du point matériel $\;M\;$ à savoir $\;{\mathcal {T}}_{{\text{cinét. de}}\,M}\;$ dont les éléments de réduction sont évalués en $\;A\;$ soit $\;{\mathcal {T}}_{{\text{cinét. de}}\,M}=$ $\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {p}}_{M}(t)=m\;{\vec {V}}_{M}(t)\\{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M,\,t)={\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\vec {p}}_{M}(t)\end{array}}\right\rbrace _{A}$.

### Propriétés du « moment cinétique (vectoriel) de M dans le référentiel d’étude par rapport au point origine A »

Les propriétés du « moment cinétique $\;{\big$vectoriel${\big )}\;$ du point matériel $\;M\;$ dans le référentiel d’étude $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport au point origine $\;A\;$» $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M,\,t)=$ ${\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\vec {p}}_{M}(t)\;$ se déduisent de la définition d’un produit vectoriel à savoir :
* produit vectoriel $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}={\vec {0}}\;{\text{si}}\;A\;\in \;{\text{au support de}}\;{\vec {p}}_{M}(t)\\\neq {\vec {0}}\;{\text{sinon }}{\big{\text{voir figure ci-dessus}}{\big )}\end{array}}\right\rbrace$ et
* dans le cas où $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M,\,t)\neq {\overrightarrow {0}}$, les direction, sens et norme sont $\;\succ \;$direction $\;\perp \;$ au plan $\;\left\lbrace A\,,\,{\vec {p}}_{M}(t)\right\rbrace$, $\;\succ \;$sens tel que le trièdre $\;\left\lbrace {\overrightarrow {AM}}(t)\,,\,{\vec {p}}_{M}(t)\,,\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M,\,t)\right\rbrace \;$ soit direct dans le cas présent où l'espace est orienté à droite et $\;\succ \;$norme $\;\Vert {\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M,\,t)\Vert ={\Big \Vert }{\overrightarrow {AM}}(t){\Big \Vert }\;\Vert {\vec {p}}_{M}(t)\Vert \;{\Bigg \vert }\sin \!\left\lbrace {\widehat {\left[{\overrightarrow {AM}}(t)\,,\,{\vec {p}}_{M}(t)\right]}}\right\rbrace {\Bigg \vert }\;$ en $\;kg\cdot m^{2}\cdot s^{-1}$ ;
remarque : si le mouvement de $\;M\;$ est plan et si $\;A\;$ est choisi dans le plan de la trajectoire de $\;M$, $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M,\,t)\;$ est $\;\perp \;$ au plan $\;{\big$dans la mesure où il n’est pas nul${\big )}\;$ et « son sens » précise le sens de « rotation » relativement à $\;A\;$ dans le plan.

### « Vecteur moment cinétique de M par rapport au point origine A », cas particulier de « vecteur moment d’un champ vectoriel défini en M par rapport au point origine A »

De façon générale, le « vecteur moment d’un champ vectoriel $\;{\vec {C}}(M)\;$$^,$ par rapport à $\;A$ $\;{\big$point origine de calcul du moment${\big )}\;$» étant défini selon $\;{\overrightarrow {AM}}\wedge {\vec {C}}(M)\;$, on en déduit que De façon générale, le « vecteur moment cinétique du point matériel $\;M\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport à $\;A$ $\;{\big$point origine de calcul du moment cinétique${\big )}\;$» est le « vecteur moment de la quantité de mouvement $\;{\vec {p}}_{M}\;$ du point matériel $\;M\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport à $\;A$ $\;{\big$point origine de calcul du moment${\big )}\;$».

### Complément, expression « relativiste » du « vecteur moment cinétique de M dans le référentiel d’étude par rapport au point origine A »

La notion de « vecteur moment d’un champ vectoriel $\;{\vec {C}}(M)\;$$^,$ par rapport à un point origine $\;A\;$» étant $\;{\overrightarrow {AM}}\wedge {\vec {C}}(M)\;$ et ceci indépendamment de toute cinétique, le « vecteur moment cinétique du point matériel $\;M\;$ par rapport au point origine $\;A\;$ dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$» $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M,\,t)\;$ est défini comme le « vecteur moment de la quantité de mouvement $\;{\vec {p}}_{M}\;$ du point matériel $\;M\;$ par rapport au point origine $\;A\;$», que le mouvement de $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ soit classique ou relativiste soit,
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M,\,t)={\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\vec {p}}_{M}(t)\;$
l'expression relativiste, dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$, de la quantité de mouvement $\;{\vec {p}}_{M}\;$ du point matériel $\;M\;$ en fonction de sa masse $\;m\;$ et de sa vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$, a été introduite dans le paragraphe « définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique relativiste » du chap.$7$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »,
* elle nécessite de définir le « facteur de Lorentz du point $\;M\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ par $\;\gamma _{M}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-\left[{\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert }{c}}\right]^{\!2}}}}\;$» et
* la quantité de mouvement de $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ s'écrit alors «$\;{\vec {p}}_{M}(t)=\gamma _{M}(t)\;m\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$» ou encore, «$\;{\vec {p}}_{M}(t)=m_{\text{app}}(t)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$» en définissant la « masse apparente de $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ par $\;m_{\text{app}}(t)=\gamma _{M}(t)\;m={\dfrac {m}{\sqrt {1-\left[{\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert }{c}}\right]^{\!2}}}}\;$» ;
par cette expression on en déduit l'expression relativiste, dans $\;{\mathcal {R}}$, du vecteur moment cinétique du point matériel $\;M\;$ par rapport au point origine $\;A\;$ en fonction, entre autres, de la vitesse de $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{A,\,{\text{relativ}}}(M,\,t)={\overrightarrow {AM}}(t)\wedge \gamma _{M}(t)\;m\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$
$\;\gamma _{M}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-\left[{\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert }{c}}\right]^{\!2}}}}\;$
$\;M\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{A,\,{\text{relativ}}}(M,\,t)=\gamma _{M}(t)\;{\overrightarrow {\sigma }}_{A,\,{\text{newton}}}(M,\,t)\;$
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{A,\,{\text{newton}}}(M,\,t)={\overrightarrow {AM}}(t)\wedge m\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$
$\;M\;$
$\;A\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
Remarques : Conformément à ce qui est introduit dans le paragraphe « torseur cinétique » du chap.$1$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », les éléments de réduction du torseur cinétique du point matériel $\;M\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ au point de réduction $\;A\;$ sont définis selon $\;{\mathcal {T}}_{{\text{cinét. de }}\,M}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {p}}_{M}(t)\\{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M,\,t)={\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\vec {p}}_{M}(t)\end{array}}\right\rbrace _{A}\!$, expression applicable en cinétique classique ou relativiste et Remarques : suivant le caractère classique ou relativiste du mouvement du point matériel $\;M\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$ : Remarques : $\;\succ \;$en cinétique classique $\;{\mathcal {T}}_{{\text{cinét. newton. de }}\,M}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {p}}_{M}(t)=m\;{\vec {V}}_{M}(t)\\{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M,\,t)={\overrightarrow {AM}}(t)\wedge m\;{\vec {V}}_{M}(t)\end{array}}\right\rbrace _{A}\!$, Remarques : $\;\succ \;$en cinétique relativiste $\;{\mathcal {T}}_{{\text{cinét. relativ. de }}\,M}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {p}}_{M}(t)=\gamma _{M}(t)\;m\;{\vec {V}}_{M}(t)\\{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M,\,t)={\overrightarrow {AM}}(t)\wedge \gamma _{M}(t)\;m\;{\vec {V}}_{M}(t)\end{array}}\right\rbrace _{A}=\gamma _{M}(t)\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {p}}_{M}(t)=m\;{\vec {V}}_{M}(t)\\{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M,\,t)={\overrightarrow {AM}}(t)\wedge m\;{\vec {V}}_{M}(t)\end{array}}\right\rbrace _{A}=\gamma _{M}(t)\;{\mathcal {T}}_{{\text{cinét. newton. de }}\,M}(t)\;$ établissant l'importance de «$\;\gamma _{M}(t)=$ ${\dfrac {1}{\sqrt {1-\left[{\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert }{c}}\right]^{\!2}}}}\;$» facteur de Lorentz du point matériel $\;M\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$ aussi bien dans la cinétique utilisant la résultante que dans celle utilisant le moment vectoriel en $\;A$ ;
Remarques : on remarque aussi que « les éléments de réduction du torseur cinétique relativiste du point matériel $\;M\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ au point de réduction $\;A\;$ se déduisent de ceux du torseur cinétique classique du point matériel $\;M\;$ dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ au même point de réduction $\;A\;$» en y « substituant la masse $\;m\;$ du point matériel $\;M\;$ par la masse apparente de ce dernier à l'instant $\;t$, $\;m_{\text{app}}(t)$ $=\gamma _{M}(t)\;m={\dfrac {m}{\sqrt {1-\left[{\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert }{c}}\right]^{\!2}}}}\;$» soit «$\;{\mathcal {T}}_{{\text{cinét. relativ. de }}\,M}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {p}}_{M}(t)=m_{\text{app}}(t)\;{\vec {V}}_{M}(t)\\{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M,\,t)={\overrightarrow {AM}}(t)\wedge m_{\text{app}}(t)\;{\vec {V}}_{M}(t)\end{array}}\right\rbrace _{A}\;$».

## Formule de changement d’origine du calcul des moments (cinétiques) vectoriels
### Formule de changement d’origine du calcul de vecteur moment d’un champ vectoriel

Cette formule a été introduite dans le paragraphe « notion de résultante d'un torseur » du chap.$1$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » sous le nom de « relation de Varignon $\;{\big$ou règle de transport des moments${\big )}\;$», un champ de moments étant effectivement un torseur en tant que champ de vecteurs équiprojectif, elle s'écrit selon
$\;\forall \;\left(O\,,\,O'\right)\in {\mathcal {E}}^{2},\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O'}\!\left[{\vec {C}}(M)\right]={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {C}}(M)\right]+{\overrightarrow {O'O}}\wedge {\vec {C}}(M)\;$
ici la démonstration s'effectue simplement en partant de la définition du vecteur moment du champ $\;{\vec {C}}(M)\;$ par rapport au point origine $\;O'\;$ soit «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O'}\!\left[{\vec {C}}(M)\right]$ $={\overrightarrow {O'M}}\wedge {\vec {C}}(M)\;$», ici la démonstration s'effectue simplement en utilisant la relation de Chasles «$\;{\overrightarrow {O'M}}={\overrightarrow {O'O}}+{\overrightarrow {OM}}\;$» puis ici la démonstration s'effectue simplement en utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle soit «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O'}\!\left[{\vec {C}}(M)\right]={\overrightarrow {O'O}}\wedge {\vec {C}}(M)+{\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {C}}(M)\;$», expression dans laquelle « le 2nd terme du 2ème membre étant $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {C}}(M)\right]\;$ par définition », nous permet de conclure la démonstration.

### Formule de changement d’origine du calcul du vecteur moment cinétique d’un point matériel dans le référentiel d’étude

Le « vecteur moment cinétique du point matériel $\;M\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport à $\;A$ $\;{\big$point origine de calcul du moment cinétique${\big )}\;$» étant le « vecteur moment de la quantité de mouvement $\;{\vec {p}}_{M}\;$ du point matériel $\;M\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport à $\;A$ $\;{\big$point origine de calcul du moment${\big )}\;$», on peut lui appliquer la formule de changement d'origine du calcul du vecteur moment d'un champ vectoriel et on obtient
$\;\forall \;\left(O\,,\,O'\right)\in {\mathcal {E}}^{2},\;{\overrightarrow {\sigma }}_{O'}\!\left(M,\,t\right)={\overrightarrow {\sigma }}_{O}\!\left(M,\,t\right)+{\overrightarrow {O'O}}\wedge {\vec {p}}_{M}(t)\;$

## Cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée fixé
### Évaluation du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d’étude par rapport au centre C du cercle

Considérant un point matériel $\;M$, de masse $\;m$, en mouvement circulaire de centre $\;C$, de vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ orienté à droite, le vecteur moment cinétique de ce point matériel $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport au centre $\;C\;$ de sa trajectoire circulaire, noté $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{C}(M,\,t)\;$ est défini par
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{C}(M,\,t)={\overrightarrow {CM}}(t)\wedge {\vec {p}}_{M}(t)\;$
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{C}(M,\,t)={\overrightarrow {CM}}(t)\wedge m\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$
injectant dans cette dernière expression de $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{C}(M,\,t)\;$ du cadre de la cinétique classique, l'expression intrinsèque du vecteur vitesse d'un point en mouvement circulaire de centre $\;C\;$ et de vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$, à savoir «$\;{\vec {V}}_{M}(t)=$ ${\overrightarrow {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {CM}}(t)\;$», on obtient «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{C}(M,\,t)=$ ${\overrightarrow {CM}}(t)\wedge m\,\left[{\overrightarrow {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {CM}}(t)\right]\;$» nécessitant d'utiliser une des deux formules du double produit vectoriel soit «$\;{\dfrac {{\overrightarrow {\sigma }}_{C}(M,\,t)}{m}}$ $={\overrightarrow {CM}}^{\,2}\!\!(t)\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;{\cancel {-\;\left[{\overrightarrow {CM}}(t)\cdot {\overrightarrow {\Omega }}(t)\right]{\overrightarrow {CM}}(t)}}\;$» car, de par la nature du mouvement de $\;M\;$ « le rayon vecteur $\;{\overrightarrow {CM}}(t)\;$ est $\;\perp \;$ à $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$ à tout instant », soit encore, en notant $\;R\;$ le rayon du cercle $\Rightarrow$ $\;{\overrightarrow {CM}}^{\,2}\!\!(t)=R^{2}\;\;\forall \;t$, l'expression finale du vecteur moment cinétique du point matériel $\;M\;$en mouvement circulaire de centre $\;C$, de rayon $\;R\;$ et de vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$ quand l'origine de calcul du moment cinétique est le centre $\;C\;$ du cercle
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{C}(M,\,t)=m\;R^{2}\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$

### Notion de moment d'inertie de M relativement à un axe Δ

Le moment d'inertie d'un point matériel $\;M$, de masse $\;m$, relativement à un axe $\;\Delta \;$ est introduit quand le point $\;M\;$ « tourne » autour de l'axe $\;\Delta$, il est noté «$\;J_{\Delta }(M)\;$» et représente une « grandeur scalaire inertielle de rotation », il est défini par la relation
$\;J_{\Delta }(M)=m\;r^{2}\;$
$\;kg\cdot m^{2}\;$
$\;m\;$
$\;r\;$
$\;M\;$
$\;\Delta \;$

### Réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d’étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée

Le vecteur moment cinétique du point matériel $\;M\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport au centre $\;C\;$ du cercle $\;{\big$« support de la trajectoire de $\;M\;$»${\big )}\;$ s'écrit
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{C}(M,\,t)=J_{\Delta }(M)\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$
$\;J_{\Delta }(M)=m\;R^{2}\;$
$\;M\;$
$\;\Delta \;$
$\;m\;$
$\;R\;$
$\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$
$\;M\;$

### Évaluation du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d’étude par rapport à un point A de l’axe de rotation, différent du centre C du cercle

Soit «$\;A\;$ un point quelconque de l'axe $\;\Delta \;$ de rotation du point matériel $\;M\;$» avec «$\;A\neq C\;$ centre du cercle décrit par $\;M\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ ${\big$orienté à droite${\big )}\;$ avec pour vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$», « le vecteur moment cinétique du point matériel $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport au point $\;A\neq C\;$ de son axe de rotation, noté $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M,\,t)\;$» est défini par
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M,\,t)={\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\vec {p}}_{M}(t)\;$
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M,\,t)={\overrightarrow {AM}}(t)\wedge m\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$
injectant dans cette dernière expression de $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{C}(M,\,t)\;$ du cadre de la cinétique classique, l'expression intrinsèque du vecteur vitesse d'un point en mouvement circulaire de centre $\;C\;$ et de vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$, à savoir «$\;{\vec {V}}_{M}(t)=$ ${\overrightarrow {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {CM}}(t)\;$»$^,$, on obtient «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M,\,t)=$ ${\overrightarrow {AM}}(t)\wedge m\,\left[{\overrightarrow {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {CM}}(t)\right]\;$» nécessitant d'utiliser une des deux formules du double produit vectoriel soit «$\;{\dfrac {{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M,\,t)}{m}}$ $=\left[{\overrightarrow {AM}}(t)\cdot {\overrightarrow {CM}}(t)\right]{\overrightarrow {\Omega }}(t)-\left[{\overrightarrow {AM}}(t)\cdot {\overrightarrow {\Omega }}(t)\right]{\overrightarrow {CM}}(t)\;$» avec «$\;{\overrightarrow {AM}}(t)={\overrightarrow {AC}}(t)+{\overrightarrow {CM}}(t)\;$» utilisant la relation de Chasles ou, en notant $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ le vecteur unitaire de $\;\Delta \;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\overrightarrow {\Omega }}(t)={\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }\quad {\text{ainsi que}}\\{\overrightarrow {AM}}(t)={\overline {AC}}\;{\vec {u}}_{\Delta }+{\overrightarrow {CM}}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\overrightarrow {AM}}(t)\cdot {\overrightarrow {\Omega }}(t)={\overline {AC}}\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\cancel {+\;{\overrightarrow {CM}}(t)\cdot {\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }}}\\{\overrightarrow {AM}}(t)\cdot {\overrightarrow {CM}}(t)=\;{\cancel {{\overline {AC}}\;{\vec {u}}_{\Delta }\cdot {\overrightarrow {CM}}(t)\;+}}\;{\overrightarrow {CM}}^{\,2}\!\!(t)\end{array}}\right\rbrace$ $\;{\big{\overrightarrow {CM}}(t)\;$ étant $\;\perp \;$ à $\;{\vec {u}}_{\Delta }{\big ]}\;$ d'où «$\;{\dfrac {{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M,\,t)}{m}}={\overrightarrow {CM}}^{\,2}\!\!(t)\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {AC}}\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\overrightarrow {CM}}(t)\;$», soit encore, en notant $\;R\;$ le rayon du cercle $\Rightarrow$ $\;{\overrightarrow {CM}}^{\,2}\!\!(t)=R^{2}\;\;\forall \;t$, l'expression finale du vecteur moment cinétique du point matériel $\;M\;$en mouvement circulaire de centre $\;C$, de rayon $\;R\;$ et de vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$ quand l'origine de calcul du moment cinétique est un point $\;A\;$ de l'axe de rotation $\;\neq \;$ du centre $\;C\;$ du cercle
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M,\,t)=m\;R^{2}\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-m\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\overline {AC}}\;{\overrightarrow {CM}}(t)\;$
soit une somme de deux termes dont
* le 1er «$\;m\;R^{2}\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)={\overrightarrow {\sigma }}_{C}(M,\,t)=J_{\Delta }(M)\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$» est colinéaire à l'axe de rotation et
* le 2nd «$\;-m\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\overline {AC}}\;{\overrightarrow {CM}}(t)={\overrightarrow {\sigma }}_{A,\,\perp \,{\text{à}}\;\Delta }(M,\,t)\;$» est $\;\perp \;$ à l'axe de rotation dans le « plan méridien de $\;M\;$»,
ce qu'on peut encore écrire
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M,\,t)={\overrightarrow {\sigma }}_{C}(M,\,t)+{\overrightarrow {\sigma }}_{A,\,\perp \,{\text{à}}\;\Delta }(M,\,t)\;$
Remarque : « la relation de proportionnalité entre $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M,\,t)\;$ et $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$ n'est réalisée qu'en choisissant pour origine de calcul du moment cinétique le centre $\;C\;$ du cercle », et qu'« en dehors de ce point $\;C$, il n'y a pas proportionnalité entre $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M,\,t)\;$ et $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$» car « pour $\;A\neq C$, $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M,\,t)\;$ n’est pas porté par l'axe $\;\Delta \;$».

### Analogie entre la cinétique d’un point matériel en mouvement quelconque et celle d’un point matériel en mouvement de rotation autour d’un axe Δ

En cinétique classique d'un point matériel en mouvement quelconque, il existe un facteur de proportionnalité entre la « grandeur cinétique $\;{\vec {p}}_{M}(t)\;$» et la « grandeur cinématique $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$», ce facteur égal à la masse du point matériel «$\;m\;$ représentant la grandeur d'inertie » soit
$\;{\begin{array}{c}{\vec {p}}_{M}(t)&=&m&\times &{\vec {V}}_{M}(t)\\{\text{« grandeur cinétique}}&=&{\text{grandeur d'inertie}}&\times &{\text{grandeur cinématique » ;}}\end{array}}$
en cinétique classique d'un point matériel de masse $\;m\;$ en mouvement circulaire d'axe $\;\Delta$, de centre $\;C\;$ et de rayon $\;R$, on trouve une relation de proportionnalité analogue entre la « grandeur cinétique $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{C}(M,\,t)\;$» et la « grandeur cinématique $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$», le facteur de proportionnalité égal au moment d'inertie du point matériel relativement à l'axe de rotation «$\;J_{\Delta }(M)=m\;R^{2}\;$ représentant la grandeur d'inertie » soit
$\;{\begin{array}{c}{\overrightarrow {\sigma }}_{C}(M,\,t)&=&J_{\Delta }(M)&\times &{\overrightarrow {\Omega }}(t)\\{\text{« grandeur cinétique}}&=&{\text{grandeur d'inertie}}&\times &{\text{grandeur cinématique » ;}}\end{array}}$
on vérifie ainsi l'analogie de cinétique classique entre mouvements de translation et de rotation suivant les correspondances suivantes
$\;{\begin{array}{c}{\text{translation}}&{\vec {p}}_{M}(t)&=&m&\times &{\vec {V}}_{M}(t)\\&\updownarrow &&\updownarrow &&\updownarrow \\{\text{rotation}}&{\overrightarrow {\sigma }}_{C}(M,\,t)&=&J_{\Delta }(M)&\times &{\overrightarrow {\Omega }}(t)\end{array}}\;$

### Complément, expression relativiste du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d’étude par rapport au centre C du cercle

Comme cela a été établi dans le paragraphe « complément, expression relativiste du vecteur moment cinétique de M dans le référentiel d'étude par rapport au point origine A » plus haut dans ce chapitre, le vecteur moment cinétique $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{A,\,{\text{relativ}}}(M,\,t)\;$ du point matériel $\;M\;$ en mouvement relativiste dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ orienté à droite par rapport à un point origine $\;A\;$ est lié à l'expression que le vecteur moment cinétique $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{A,\,{\text{newton}}}(M,\,t)\;$ du point matériel $\;M\;$ prendrait si le mouvement de ce dernier était classique dans le même référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport au même point origine $\;A\;$ selon
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{A,\,{\text{relativ}}}(M,\,t)=\gamma _{M}(t)\;{\overrightarrow {\sigma }}_{A,\,{\text{newton}}}(M,\,t)\;$
$\;\gamma _{M}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-\left[{\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert }{c}}\right]^{\!2}}}}\;$
$\;M\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, le vecteur moment cinétique du point matériel $\;M\;$ en mouvement circulaire classique autour de l'axe $\;\Delta \;$ de rotation, de centre $\;C$, de rayon $\;R\;$ et de vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$, avec, pour point origine de calcul du moment, le centre $\;C\;$ du cercle, ayant pour expression établie précédemment «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{C,\,{\text{newton}}}(M,\,t)=$ $J_{\Delta }(M)\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$» dans laquelle «$\;J_{\Delta }(M)=$ $m\;R^{2}\;$ est le moment d'inertie du point $\;M\;$ autour de son axe de rotation $\;\Delta \;$» et
dans le référentiel d'étude $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}$, la définition du vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$ ainsi que son lien avec le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ dans un mouvement circulaire de centre $\;C\;$ à savoir $\;{\vec {V}}_{M}(t)=$ ${\overrightarrow {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {CM}}(t)\;$ restant les mêmes en relativiste, on en déduit l'expression du facteur de Lorentz du point $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ en fonction de la vitesse angulaire non algébrisée $\;{\Big \Vert }{\overrightarrow {\Omega }}(t){\Big \Vert }\;$ et du rayon $\;R\;$ du cercle soit «$\;\gamma _{M}(t)=$ ${\dfrac {1}{\sqrt {1-\left[{\dfrac {R\;{\Big \Vert }{\overrightarrow {\Omega }}(t){\Big \Vert }}{c}}\right]^{\!2}}}}\;$» d'où
dans le référentiel d'étude $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}$, l'expression du vecteur moment cinétique du point matériel $\;M\;$ en mouvement circulaire relativiste autour de l'axe $\;\Delta \;$ de rotation, de centre $\;C$, de rayon $\;R\;$ et de vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$, avec, pour point origine de calcul du moment, le centre $\;C\;$ du cercle,
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{C,\,{\text{relativ}}}(M,\,t)=\gamma _{M}(t)\;{\overrightarrow {\sigma }}_{C,\,{\text{newton}}}(M,\,t)=\gamma _{M}(t)\;J_{\Delta }(M)\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$
$\;J_{\Delta }(M)=m\;R^{2}\;$
$\;M\;$
$\;\Delta \;$
$\;\gamma _{M}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-\left[{\dfrac {R\;{\Big \Vert }{\overrightarrow {\Omega }}(t){\Big \Vert }}{c}}\right]^{\!2}}}}\;$
$\;M\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
Remarque 1 : en cinétique relativiste d'un point matériel de masse $\;m\;$ en mouvement quelconque, il existe un facteur de proportionnalité entre la « grandeur cinétique $\;{\vec {p}}_{M}(t)\;$» et la « grandeur cinématique $\;\gamma _{M}(t)\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dfrac {{\vec {V}}_{M}(t)}{\sqrt {1-\left[{\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert }{c}}\right]^{\!2}}}}\;$», ce facteur égal à la masse du point matériel «$\;m\;$ représentant la grandeur d'inertie » soit
$\;{\begin{array}{c}{\vec {p}}_{M}(t)&=&m&\times &\gamma _{M}(t)\;{\vec {V}}_{M}(t)\\&&{\text{ou}}&&\\{\vec {p}}_{M}(t)&=&m&\times &{\dfrac {{\vec {V}}_{M}(t)}{\sqrt {1-\left[{\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert }{c}}\right]^{\!2}}}}\\{\text{grandeur cinétique}}&=&{\text{grandeur d'inertie}}&\times &{\text{grandeur cinématique}}\end{array}}\;$
Remarque 1 : en cinétique relativiste d'un point matériel de masse $\;m\;$ en mouvement circulaire d'axe $\;\Delta$, de centre $\;C\;$ et de rayon $\;R$, on trouve une relation de proportionnalité analogue entre la « grandeur cinétique $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{C,\,{\text{relativ}}}(M,\,t)\;$» et la « grandeur cinématique $\;\gamma _{M}(t)\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)=$ ${\dfrac {{\overrightarrow {\Omega }}(t)}{\sqrt {1-\left[{\dfrac {R\;{\Big \Vert }{\overrightarrow {\Omega }}(t){\Big \Vert }}{c}}\right]^{\!2}}}}\;$», le facteur de proportionnalité égal au moment d'inertie du point matériel relativement à l'axe de rotation «$\;J_{\Delta }(M)=m\;R^{2}\;$ représentant la grandeur d'inertie » soit
$\;{\begin{array}{c}{\overrightarrow {\sigma }}_{C,\,{\text{relativ}}}(M,\,t)&=&J_{\Delta }(M)&\times &\gamma _{M}(t)\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\\&&{\text{ou}}&&\\{\overrightarrow {\sigma }}_{C,\,{\text{relativ}}}(M,\,t)&=&J_{\Delta }(M)&\times &{\dfrac {{\overrightarrow {\Omega }}(t)}{\sqrt {1-\left[{\dfrac {R\;{\Big \Vert }{\overrightarrow {\Omega }}(t){\Big \Vert }}{c}}\right]^{\!2}}}}\\{\text{grandeur cinétique}}&=&{\text{grandeur d'inertie}}&\times &{\text{grandeur cinématique}}\end{array}}\;$
Remarque 2 : dans le but de garder les mêmes grandeurs cinématiques en cinétiques classique et relativiste, on peut introduire des « grandeurs d'inertie apparentes » c'est-à-dire Remarque 2 : $\;\succ \;$la « masse apparente $\;m_{\text{app}}=\gamma _{M}(t)\;m={\dfrac {m}{\sqrt {1-\left[{\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert }{c}}\right]^{\!2}}}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\vec {p}}_{M}(t)=m_{\text{app}}\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ en translation relativiste » et Remarque 2 : $\;\succ \;$le « moment d'inertie apparent $\;J_{\Delta ,\,{\text{app}}}(M)=\gamma _{M}(t)\;J_{\Delta }(M)={\dfrac {J_{\Delta }(M)}{\sqrt {1-\left[{\dfrac {R\;{\Big \Vert }{\overrightarrow {\Omega }}(t){\Big \Vert }}{c}}\right]^{\!2}}}}\;$ ${\big$ou $\;J_{\Delta ,\,{\text{app}}}(M)=m_{\text{app}}\;R^{2}{\big ]}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{C,\,{\text{relativ}}}(M,\,t)=$ $J_{\Delta ,\,{\text{app}}}(M)\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$ en rotation relativiste ».

## Aspect de la cinétique de M dans le référentiel d’étude relativement à un axe Δ, définition dans ce référentiel du moment cinétique de M par rapport à l’axe Δ (ou « moment cinétique scalaire de M »)
### Notion d’« équiprojectivité » du « champ de vecteurs moment d’un champ vectoriel »

Cette notion introduite pour un champ de vecteurs $\;{\vec {f}}(M)\;$ dans le paragraphe « définition de l'équiprojectivité d'un champ de vecteurs d'un espace affine euclidien tridimensionnel$\;{\mathcal {E}}\;$» du chap.$1$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » à savoir
$\;\forall \;\left(M\,,\,N\right)\in {\mathcal {E}}^{2},\;{\vec {f}}(M)\cdot {\overrightarrow {MN}}={\vec {f}}(N)\cdot {\overrightarrow {MN}}\;$
n'est pas vérifiée pour n'importe quel champ de vecteurs mais $\;\ldots$
cette propriété d’« équiprojectivité » est « applicable au champ de vecteurs moment d'un champ vectoriel quelconque $\;{\vec {C}}(M)\;$ défini par $\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}$, $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\!\left[{\vec {C}}(M)\right]={\overrightarrow {PM}}\wedge {\vec {C}}(M)\;$», en effet «$\;\forall \;\left(P\,,\,Q\right)\in {\mathcal {E}}^{2},$ ${\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\!\left[{\vec {C}}(M)\right]\cdot {\overrightarrow {PQ}}\;{\overset {\text{?}}{=}}\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\!\left[{\vec {C}}(M)\right]\cdot {\overrightarrow {PQ}}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;\left[{\overrightarrow {PM}}\wedge {\vec {C}}(M)\right]\cdot {\overrightarrow {PQ}}\;{\overset {\text{?}}{=}}$ $\left[{\overrightarrow {QM}}\wedge {\vec {C}}(M)\right]\cdot {\overrightarrow {PQ}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left\lbrace \left[{\overrightarrow {PQ}}+{\overrightarrow {QM}}\right]\wedge {\vec {C}}(M)\right\rbrace \cdot {\overrightarrow {PQ}}\;{\overset {\text{?}}{=}}\;$ $\left[{\overrightarrow {QM}}\wedge {\vec {C}}(M)\right]\cdot {\overrightarrow {PQ}}\;$» par utilisation de la relation de Chasles soit enfin, en utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle dans le 1er membre de cette équation que l'on cherche à vérifier «$\;{\cancel {\left[{\overrightarrow {PQ}}\wedge {\vec {C}}(M)\right]\cdot {\overrightarrow {PQ}}\;+}}\;\left[{\overrightarrow {QM}}\wedge {\vec {C}}(M)\right]\cdot {\overrightarrow {PQ}}$ ${\overset {\cancel {\text{?}}}{=}}\;\left[{\overrightarrow {QM}}\wedge {\vec {C}}(M)\right]\cdot {\overrightarrow {PQ}}\;$» ce qui établit la propriété d’« équiprojectivité » compte-tenu de la nullité du 1er produit mixte du 1er membre ;
$\;\forall \;\left(P\,,\,Q\right)\in {\mathcal {E}}^{2},\quad {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\!\left[{\vec {C}}(M)\right]\cdot {\overrightarrow {PQ}}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\!\left[{\vec {C}}(M)\right]\cdot {\overrightarrow {PQ}}\qquad \forall \;{\vec {C}}(M)\;$

### Équiprojectivité du « vecteur champ moment cinétique de M » dans le référentiel d’étude et conséquence, notion de « moment cinétique de M dans le référentiel d'étude par rapport à un axe Δ »

Le « vecteur moment cinétique du point matériel $\;M\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport à $\;A$ $\;{\big$point origine de calcul du moment cinétique${\big )}\;$» étant le « vecteur moment du champ vectoriel quantité de mouvement $\;{\vec {p}}_{M}\;$ du point matériel $\;M\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport à $\;A$ $\;{\big$point origine de calcul du moment${\big )}\;$», nous en déduisons l'« équiprojectivité du vecteur champ moment cinétique du point matériel $\;M\;$» dans le référentiel d’étude soit
$\;\forall \;\left(A\,,\,A'\right)\in {\mathcal {E}}^{2},\quad {\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M,\,t)\cdot {\overrightarrow {AA'}}={\overrightarrow {\sigma }}_{A'}(M,\,t)\cdot {\overrightarrow {AA'}}\;$
Remarque : avec la notion $\;{\big$hors programme de physique de P.C.S.I.${\big )}\;$ de « torseur » introduite dans le chap.$1$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », le vecteur moment cinétique du point matériel $\;M\;$ par rapport à $\;A\;$ «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M,\,t)\;$» étant le moment du torseur cinétique de $\;M\;$ «$\;{\mathcal {T}}_{{\text{cinét. de}}\,M}\;$» d'éléments de réduction en $\;A\;$ «$\;{\mathcal {T}}_{{\text{cinét. de}}\,M}=$ $\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {p}}_{M}(t)=m\;{\vec {V}}_{M}(t)\\{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M,\,t)={\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\vec {p}}_{M}(t)\end{array}}\right\rbrace _{A}$» et Remarque : le « moment d'un torseur au point $\;A\;$» étant par définition un « champ de vecteurs équiprojectif » nous en déduisons, sans autre développement, le caractère « équiprojectif » du « vecteur moment cinétique du point matériel $\;M\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport à $\;A\;$».
Conséquence : considérant un axe $\;\Delta \;$ quelconque et deux points quelconques $\;{\big$distincts${\big )}\;$ de cet axe $\;\left(A\,,\,A'\neq A\right)\in \Delta ^{2}$, nous déduisons de l'équiprojectivité du vecteur moment cinétique du point matériel $\;M\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ la relation «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M,\,t)\cdot {\overrightarrow {AA'}}={\overrightarrow {\sigma }}_{A'}(M,\,t)\cdot {\overrightarrow {AA'}}\;$» ou, Conséquence : en orientant l'axe $\;\Delta \;$ par $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\overrightarrow {AA'}}={\overline {AA'}}\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$» et en simplifiant par $\;{\overline {AA'}}\neq 0$, «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M,\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }={\overrightarrow {\sigma }}_{A'}(M,\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$» cette valeur constante sur $\;\Delta \;$ définissant le moment cinétique $\;{\big$scalaire${\big )}\;$ du point matériel $\;M\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport à l'axe $\;\Delta$.
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;M\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;\Delta \;$
$\;t$
$\;\sigma _{\Delta }(M,\,t)={\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M,\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;\;\forall \;A\in \Delta \;$
$\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$
$\;\Delta \;$
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M,\,t)\;$
$\;M\;$
$\;({\mathcal {R}})\;$
$\;A\;$
$\;\Delta \;$
$\;t\;$
$\;\sigma _{\Delta }(M,\,t)=\left[{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\vec {p}}_{M}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;\;\forall \;A\in \Delta \;$
$\;{\vec {p}}_{M}(t)\;$
$\;M\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;t\;$
Commentaire : cette grandeur traduit la réserve de « mouvement inertiel » du point matériel $\;M\;$ par rapport à l'axe $\;\Delta$, elle tient compte de l'inertie d'une part et de la composante de la vitesse dans un plan $\;\perp \;$ à $\;\Delta \;$ ainsi que de la disposition du point $\;M\;$ par rapport à cet axe d'autre part, la grandeur dépend donc du référentiel $\;({\mathcal {R}})$.

## Retour sur le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée fixé
### Évaluation du moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d’étude par rapport à l’axe Δ du cercle

Le vecteur moment cinétique du point matériel $\;M$, de masse $\;m$, par rapport au centre $\;C\;$ du cercle $\;{\big$« support de la trajectoire de $\;M\;$»${\big )}\;$ de rayon $\;R\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ s'écrivant «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{C}(M,\,t)=J_{\Delta }(M)\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$» avec «$\;J_{\Delta }(M)=m\;R^{2}\;$ le moment d'inertie du point $\;M\;$ relativement à l'axe $\;\Delta \;$» et «$\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$ le vecteur rotation instantanée du mouvement du point », nous en déduisons
après orientation de l'axe $\;\Delta \;$ par $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)={\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$» dans laquelle «$\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ est la vitesse angulaire de rotation du point $\;M\;$ sur le cercle »,
l'expression du moment cinétique $\;{\big$scalaire${\big )}\;$ du point matériel $\;M$ par rapport à l'axe $\;\Delta \;$ du cercle, à l'instant $\;t$, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, «$\;\sigma _{\Delta }(M,\,t)={\overrightarrow {\sigma }}_{\!C}(M,\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=J_{\Delta }(M)\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$» soit finalement
$\;\sigma _{\Delta }(M,\,t)=J_{\Delta }(M)\;{\overline {\Omega }}(t)\;$
Remarque : Le moment cinétique $\;{\big$scalaire${\big )}\;$ de $\;M\;$ par rapport à l'axe $\;\Delta \;$ de rotation de son mouvement circulaire étant la projection sur $\;\Delta \;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ du moment cinétique $\;{\big$vectoriel${\big )}\;$ de $\;M\;$ par rapport à n'importe quel point de $\;\Delta$, on vérifie qu'en prenant un point origine $\;A\in \Delta$ $\;{\big$avec $\;A\neq$ $C\;$ centre du cercle${\big )}\;$ on trouve le même résultat, en effet Remarque : ayant établi précédemment «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M,\,t)={\overrightarrow {\sigma }}_{C}(M,\,t)+{\overrightarrow {\sigma }}_{A,\,\perp \,{\text{à}}\;\Delta }(M,\,t)\;$» et multipliant scalairement par $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ on obtient, après utilisation de la distributivité du produit scalaire relativement à l’addition vectorielle, «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M,\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }={\overrightarrow {\sigma }}_{C}(M,\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;{\cancel {+\;{\overrightarrow {\sigma }}_{A,\,\perp \,{\text{à}}\;\Delta }(M,\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }}}\;$», « le 2ème terme du 2ème membre étant nul car $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{A,\,\perp \,{\text{à}}\;\Delta }(M,\,t)\;$ est $\;\perp \;$ à $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$» et « le 1er terme restant du 2ème membre étant égal à $\;J_{\Delta }(M)\;{\overline {\Omega }}(t)\;$».

### Expression symbolique reliant la cinétique et la cinématique dans le cas d’un mouvement circulaire autour d’un axe Δ

En cinétique classique d'un point matériel de masse $\;m\;$ en mouvement circulaire d'axe $\;\Delta \;$ et de rayon $\;R$, on trouve une relation de proportionnalité analogue à celles exposées au paragraphe « analogie entre la cinétique d'un point matériel en mouvement quelconque et celle d'un point matériel en mouvement de rotation autour d'un axe Δ » plus haut dans ce chapitre entre la « grandeur cinétique “moment cinétique scalaire” $\;\sigma _{\Delta }(M,\,t)\;$ du point » et la « grandeur cinématique “vitesse angulaire de rotation” $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ du point », le facteur de proportionnalité égal au moment d'inertie du point matériel relativement à l'axe de rotation «$\;J_{\Delta }(M)=m\;R^{2}\;$ représentant la grandeur d'inertie » soit
$\;{\begin{array}{c}\sigma _{\Delta }(M,\,t)&=&J_{\Delta }(M)&\times &{\overline {\Omega }}(t)\\{\text{« grandeur cinétique}}&=&{\text{grandeur d'inertie}}&\times &{\text{grandeur cinématique » ;}}\end{array}}$
on vérifie ainsi l'analogie de cinétique classique entre mouvements de translation et de rotation suivant les correspondances suivantes
$\;{\begin{array}{c}{\text{translation}}&{\vec {p}}_{M}(t)&=&m&\times &{\vec {V}}_{M}(t)\\&\updownarrow &&\updownarrow &&\updownarrow \\{\text{rotation}}&\sigma _{\Delta }(M,\,t)&=&J_{\Delta }(M)&\times &{\overline {\Omega }}(t)\end{array}}\;$

### Complément, expression relativiste du moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d’étude par rapport à l’axe Δ du cercle

Ayant établi, plus haut dans ce chapitre, au paragraphe « complément, expression relativiste du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle », l'expression du vecteur moment cinétique du point matériel $\;M\;$ en mouvement circulaire relativiste autour de l'axe $\;\Delta \;$ de rotation dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, le point origine de calcul du vecteur moment cinétique étant le centre $\;C\;$ du cercle,
$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{C,\,{\text{relativ}}}(M,\,t)=\gamma _{M}(t)\;{\overrightarrow {\sigma }}_{C,\,{\text{newton}}}(M,\,t)=\gamma _{M}(t)\;J_{\Delta }(M)\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$
dans laquelle «$\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$ est le vecteur rotation instantanée », «$\;J_{\Delta }(M)\;$ le moment d'inertie du point $\;M\;$ autour de son axe de rotation $\;\Delta \;$» et «$\;\gamma _{M}(t)=$ ${\dfrac {1}{\sqrt {1-\left[{\dfrac {R\;{\Big \Vert }{\overrightarrow {\Omega }}(t){\Big \Vert }}{c}}\right]^{\!2}}}}\;$ le facteur de Lorentz du point $\;M\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$», il suffit, pour établir l'expression relativiste du moment cinétique scalaire $\;\sigma _{\Delta ,\,{\text{relativ}}}(M,\,t)\;$ du point matériel $\;M\;$ en mouvement circulaire d'axe $\;\Delta$, ce dernier étant l'axe par rapport auquel le moment cinétique scalaire est évalué, de projeter $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{C,\,{\text{relativ}}}(M,\,t)\;$ sur le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ orientant l'axe $\;\Delta$, d'où
«$\;\sigma _{\Delta ,\,{\text{relativ}}}(M,\,t)={\overrightarrow {\sigma }}_{C,\,{\text{relativ}}}(M,\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=\left[\gamma _{M}(t)\;{\overrightarrow {\sigma }}_{C,\,{\text{newton}}}(M,\,t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=\gamma _{M}(t)\left[{\overrightarrow {\sigma }}_{C,\,{\text{newton}}}(M,\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right]\;$» soit encore, en reconnaissant dans l'expression entre crochets le moment cinétique scalaire $\;\sigma _{\Delta ,\,{\text{newton}}}(M,\,t)\;$ que le point matériel en mouvement circulaire d'axe $\;\Delta \;$ aurait en cinétique classique, la relation suivante, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$,
$\;\sigma _{\Delta ,\,{\text{relativ}}}(M,\,t)=\gamma _{M}(t)\;\sigma _{\Delta ,\,{\text{newton}}}(M,\,t)=\gamma _{M}(t)\;J_{\Delta }(M)\;{\overline {\Omega }}(t)\;$
$\;\gamma _{M}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-\left[{\dfrac {R\;{\overline {\Omega }}(t)}{c}}\right]^{\!2}}}}\;$
$\;M\;$
$\;J_{\Delta }(M)\;$
$\;M\;$
$\;\Delta \;$
$\;{\overline {\Omega }}(t)\;$
$\;M\;$
Remarque 1 : en cinétique relativiste d'un point matériel de masse $\;m\;$ en mouvement circulaire d'axe $\;\Delta$, de centre $\;C\;$ et de rayon $\;R$, on trouve une relation de proportionnalité analogue à celles exposées dans le paragraphe plus haut dans ce chapitre, entre la « grandeur cinétique $\;\sigma _{\Delta ,\,{\text{relativ}}}(M,\,t)\;$» et la « grandeur cinématique $\;\gamma _{M}(t)\;{\overline {\Omega }}(t)=$ ${\dfrac {{\overline {\Omega }}(t)}{\sqrt {1-\left[{\dfrac {R\;{\overline {\Omega }}(t)}{c}}\right]^{\!2}}}}\;$», le facteur de proportionnalité égal au moment d'inertie du point matériel relativement à l'axe de rotation «$\;J_{\Delta }(M)=m\;R^{2}\;$ représentant la grandeur d'inertie » soit
$\;{\begin{array}{c}\sigma _{\Delta ,\,{\text{relativ}}}(M,\,t)&=&J_{\Delta }(M)&\times &\gamma _{M}(t)\;{\overline {\Omega }}(t)\\&&{\text{ou}}&&\\\sigma _{\Delta ,\,{\text{relativ}}}(M,\,t)&=&J_{\Delta }(M)&\times &{\dfrac {{\overline {\Omega }}(t)}{\sqrt {1-\left[{\dfrac {R\;{\overline {\Omega }}(t)}{c}}\right]^{\!2}}}}\\{\text{grandeur cinétique}}&=&{\text{grandeur d'inertie}}&\times &{\text{grandeur cinématique}}\end{array}}\;$
Remarque 2 : là encore, dans le but de garder les mêmes grandeurs cinématiques en cinétiques classique et relativiste, on peut introduire des « grandeurs d'inertie apparentes » c'est-à-dire Remarque 2 : $\;\succ \;$la « masse apparente $\;m_{\text{app}}=\gamma _{M}(t)\;m={\dfrac {m}{\sqrt {1-\left[{\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert }{c}}\right]^{\!2}}}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\vec {p}}_{M}(t)=m_{\text{app}}\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ en translation relativiste » et Remarque 2 : $\;\succ \;$le « moment d'inertie apparent $\;J_{\Delta ,\,{\text{app}}}(M)=\gamma _{M}(t)\;J_{\Delta }(M)={\dfrac {J_{\Delta }(M)}{\sqrt {1-\left[{\dfrac {R\;{\overline {\Omega }}(t)}{c}}\right]^{\!2}}}}\;$ $\;{\big$ou $\;J_{\Delta ,\,{\text{app}}}(M)=m_{\text{app}}\;R^{2}{\big ]}\;$» $\Rightarrow$ «$\;\sigma _{\Delta ,\,{\text{relativ}}}(M,\,t)=$ $J_{\Delta ,\,{\text{app}}}(M)\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ en rotation relativiste ».