# Théorie des groupes/Exercices/Sous-groupes caractéristiques
## Problème 1

Soient H un groupe non commutatif et K un sous-groupe commutatif de H non contenu dans le centre de H. Puisque K est sous-groupe de H, il est clair que pour tout élément (x, y) de $K\times H$, (1,x) appartient lui aussi à $K\times H$. Il est clair aussi que l’application f : $(x,y)\mapsto (1,x)$ est un endomorphisme de $K\times H$. Montrer que le centre $Z(K\times H)$ de $K\times H$ n’est pas stable pour cet endomorphisme, c’est -à-dire que
    $f(Z(K\times H))\not \subseteq Z(K\times H)$.
En déduire que le centre d'un groupe n’est pas forcément stable pour tout endomorphisme de ce groupe, ce qui montre qu'un sous-groupe caractéristique n’est pas forcément stable pour tout endomorphisme.
Comme vu dans un exercice, le centre de $K\times H$ est $Z(K)\times Z(H)$. Puisque K est commutatif, Z(K) = K, donc le centre de $K\times H$ est $Z(K\times H)=K\times Z(H)$. Donc
    $f(Z(K\times H))=\{1\}\times K$.
Puisque, par hypothèse, K n’est pas contenu dans le centre de H, il en résulte que $f(Z(K\times H))$ n’est pas contenu dans $K\times Z(H)$, autrement dit dans $Z(K\times H)$, ce qui démontre la première partie de l'énoncé. Montrons maintenant qu’il existe des H et des K tels que dans l'énoncé. Choisissons un groupe non commutatif H (par exemple le groupe symétrique d'un ensemble d'au moins trois éléments). Puisque H n’est pas commutatif, son centre n’est pas égal à H tout entier. Choisissons un élément a de H qui n'appartient pas au centre de H. Le sous-groupe <a> de H engendré par a est commutatif et n’est pas contenu dans le centre de H, donc il convient pour K. Compte tenu de la première partie de la solution, nous avons prouvé que le centre d'un groupe G n’est pas forcément stable par tout endomorphisme de G.

## Problème 2

Soient G un groupe fini et p un nombre premier. On a vu dans les exercices de la série Théorèmes de Sylow que l'intersection des p-sous-groupes de Sylow de G et l'intersection des normalisateurs de ces sous-groupes dans G sont des sous-groupes normaux de G. Prouver que ce sont des sous-groupes caractéristiques de G.
Soit $\sigma$ un automorphisme de G. L'image par $\sigma$ de l'intersection des p-sous-groupes de Sylow de G est l'intersection des images de ces sous-groupes par $\sigma$ :
    (1) $\qquad \sigma (\bigcap _{P}P)=\bigcap _{P}\sigma (P),$
où P parcourt les p-sous-groupes de Sylow de G. Puisque les p-sous-groupes de Sylow de G sont les sous-groupes de G d'un certain ordre, les images de ces sous-groupes par $\sigma$ sont ces mêmes sous-groupes, donc (1) peut s'écrire
    $\qquad \sigma (\bigcap _{P}P)=\bigcap _{P}P,$
ce qui montre que $\bigcap _{P}P$ est un sous-groupe caractéristique de G. D'après un exercice de la série Conjugaison, centralisateur, normalisateur, $\sigma (N_{G}(P))=N_{G}(\sigma (P))$. On vient de voir que les images des p-sous-groupes de Sylow de G par $\sigma$ sont ces mêmes sous-groupes de Sylow, donc, si on fait parcourir à P les p-sous-groupes de Sylow de G,
    $\sigma (\bigcap _{P}N_{G}(P))=\bigcap _{P}\sigma (N_{G}(P))=\bigcap _{P}N_{G}(\sigma (P))=\bigcap _{P}N_{G}(P),$
ce qui montre que $\bigcap _{P}N_{G}(P)$ est un sous-groupe caractéristique de G.

## Problème 3

Soient G un groupe et K un sous-groupe caractéristique de G. a) Prouver que pour tout automorphisme $\sigma$ de G, il existe un et un seul automorphisme de G/K qui, pour tout élément $g$ de G, applique l'élément gK de G/K sur l'élément $(\sigma (g))K$ de G/K.
Soit donc $\sigma$ un automorphisme de G. Si $g$ et $h$ sont deux éléments de G qui appartiennent à la même classe modulo K, alors $gh^{-1}$ appartient à K, donc $\sigma (gh^{-1})$, autrement dit $\sigma (g)\sigma (h^{-1})$, appartient à $\sigma (K).$ Puisque K est supposé caractéristique dans G, $\sigma (K)$ est égal à $K$, donc notre résultat signifie que
    $\sigma (g)\sigma (h^{-1})$ appartient à K,
ce qui revient à dire que $\sigma (g)$ et $\sigma (h)$ appartiennent à la même classe modulo K. Nous avons donc prouvé que si $g$ et $h$ sont des éléments de G tels que la classe modulo K de $g$ soit égale à la classe modulo K de $h$, alors la classe modulo K de $\sigma (g)$ est égale à la classe modulo K de $\sigma (h)$. Il en résulte (théorie des ensembles) qu'il existe une et une seule application ${\bar {\sigma }}$ de G/K dans lui-même telle que, pour tout élément $g$ de G, ${\bar {\sigma }}$ applique l'élément $gK$ de G/K sur l'élément $(\sigma (g))K$ de G/K. Il reste à prouver que ${\bar {\sigma }}$ est un automorphisme de G/K. Soient A et B deux éléments de G/K. Nous pouvons choisir un élément $a$ de A et un élément $b$ de B. Alors A = aK, B = bK et le produit AB des éléments A et B de G/K est égal à abK. Donc, par définition de ${\bar {\sigma }}$, ${\bar {\sigma }}$ applique AB sur $(\sigma (ab))K$, autrement dit sur $((\sigma (a)\sigma (b)))K$, autrement dit (d'après la définition de la loi de composition dans G/K) sur le produit des éléments $(\sigma (a))K$ et $(\sigma (b))K$, autrement dit sur ${\bar {\sigma }}(A){\bar {\sigma }}(B)$. Ceci prouve que ${\bar {\sigma }}$ est un endomorphisme de G/K. Il reste à prouver que cet endomorphisme est un automorphisme. Prouvons d'abord qu'il est surjectif. Tout élément A de G/K est de la forme $gK$ avec $g$ dans G; alors A est l'image par ${\bar {\sigma }}$ de l'élément $(\sigma ^{-1}(g))K$ de G/K, ce qui prouve que ${\bar {\sigma }}$ est surjectif. Prouvons enfin qu'il est injectif. Il suffit pour cela de prouver que son noyau est trivial. Soit A = gK, avec $g$ dans G, un élément de G/K appartenant à ce noyau. Alors $(\sigma (g))K$ est l'élément neutre de G/K, ce qui revient à dire que $\sigma (g)$ appartient à K. Puisque K est caractéristique dans G, il en résulte que $g$ appartient à K, donc A (égal à gK) est l'élément neutre de G/K, ce qui prouve que le noyau de ${\bar {\sigma }}$ est trivial, donc ${\bar {\sigma }}$ est injectif.
b) Pour tout automorphisme $\sigma$ de G, on désigne, comme dans la solution du point a), par ${\bar {\sigma }}$ l'unique automorphisme de G/K qui, pour tout élément $g$ de G, applique l'élément gK de G/K sur l'élément $(\sigma (g))K$ de G/K. Prouver que l'application
    $\sigma \mapsto {\bar {\sigma }}$
est un homomorphisme de Aut(G) dans Aut(G/K).
Soient $\sigma$ et $\tau$ des automorphismes de G; il s'agit de prouver que
    (thèse 1)$\qquad {\overline {\sigma \tau }}={\overline {\sigma }}{\overline {\tau }}.$
Soit A un élément de G/K; alors A est de la forme gK, avec g dans G. Le premier membre de notre thèse (1) applique A sur $((\sigma \tau )(g))K$, c'est-à-dire sur $(\sigma (\tau (g))K$, autrement dit sur ${\overline {\sigma }}(\tau (g)K)$, autrement dit sur ${\overline {\sigma }}({\overline {\tau }}(gK))$, autrement dit sur $({\overline {\sigma }}{\overline {\tau }})(gK)=({\overline {\sigma }}{\overline {\tau }})(A).$ Cela prouve que le premier et le second membre de notre thèse (1) appliquent A sur le même élément de G/K, donc cette thèse est vraie.
Remarque. Cet exercice nous servira dans le chapitre Sous-groupe de Frattini.