# Trigonométrie/Relations trigonométriques

Les relations trigonométriques sont les égalités qui relient les fonctions trigonométriques cosinus, sinus et tangente entre elles.

## La tangente comme quotient

Soit la variable $x$ dont la mesure est différente de ${\frac {\pi }{2}}$ et de $-{\frac {\pi }{2}}$.
La fonction tangente est définie comme le quotient de la fonction sinus par la fonction cosinus : $\tan(x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}$.
Concernant la parité : $\tan(-x)=-\tan(x)$, puisque $\sin(-x)=-\sin(x)$ et $\cos(-x)=\cos(x)$. La fonction tangente est donc impaire.
On a vu que
$\cos({\widehat {A}})={\frac {AB}{AC}}\qquad \sin({\widehat {A}})={\frac {BC}{AC}}\qquad \tan({\widehat {A}})={\frac {BC}{AB}}.$
Ainsi
$\tan({\widehat {A}})={\frac {BC}{AB}}={\frac {\frac {BC}{AC}}{\frac {AB}{AC}}}={\frac {\sin({\widehat {A}})}{\cos({\widehat {A}})}}$
donc pour tout angle $x$ différent de ${\frac {\pi }{2}}$ et de $-{\frac {\pi }{2}}$ (car $\cos(x)\neq 0$), on a : $\tan({x})={\frac {\sin({x})}{\cos({x})}}$.
Sachant que $\cos(x)=0,5$ et $\sin(x)\approx 0{,}866$, calculer une valeur approchée de $\tan(x)$.
$\tan(x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}\approx {\frac {0{,}866}{0{,}5}}\approx 1{,}732$.

## Formule liant les fonctions cosinus et sinus (Formule fondamentale)

On a pour tout réel $x$ : $\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1$
On utilise le théorème de Pythagore, qui stipule que
    « Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. »
Sur le cercle trigonométrique ci-contre, cela se traduit par :
    $AD^{2}+CD^{2}=AC^{2}$.
Or ici :
* $AC=1$ ;
* $AD=\cos {\widehat {CAD}}$ ;
* $CD=\sin {\widehat {CAD}}$.
Ainsi, $\cos ^{2}{\widehat {CAD}}+\sin ^{2}{\widehat {CAD}}=1$.

### Exemple : Calcul du sinus à partir du cosinus

Sachant que $\cos(x)=0{,}5$, calculer une valeur exacte de $\sin(x)$.
$\sin ^{2}(x)=1-\cos ^{2}(x)=1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}=1-{\frac {1}{4}}={\frac {3}{4}}$
donc : $\sin(x)={\sqrt {\frac {3}{4}}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}$ ou $\sin(x)=-{\sqrt {\frac {3}{4}}}=-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$
N.B. : attention, n'oubliez pas la racine négative ; c’est une erreur courante.

## Propriétés des arcs associés

On montre aisément, à l'aide de symétries, les propriétés suivantes.
| ${\begin{aligned}\cos(-a)&=\cos(a)\\\sin(-a)&=-\sin(a)\\\tan(-a)&=-\tan(a)\end{aligned}}$ | ${\begin{aligned}\cos(\pi -a)&=-\cos(a)\\\sin(\pi -a)&=\sin(a)\\\tan(\pi -a)&=-\tan(a)\end{aligned}}$ |
| ${\begin{aligned}\cos \left({\frac {\pi }{2}}-a\right)&=\sin(a)\\\sin \left({\frac {\pi }{2}}-a\right)&=\cos(a)\\\tan \left({\frac {\pi }{2}}-a\right)&={\frac {1}{\tan a}}=\cot(a)\end{aligned}}$ | ${\begin{aligned}\cos(\pi +a)&=-\cos(a)\\\sin(\pi +a)&=-\sin(a)\\\tan(\pi +a)&=\tan(a)\end{aligned}}$ |
| ${\begin{aligned}\cos \left({\frac {\pi }{2}}+a\right)&=-\sin(a)\\\sin \left({\frac {\pi }{2}}+a\right)&=\cos(a)\\\tan \left({\frac {\pi }{2}}+a\right)&=-{\frac {1}{\tan a}}=-\cot(a)\end{aligned}}$ | |

## Formules de trigonométrie

Nous démontrerons au chapitre 11 les formulaires ci-dessous.
Soient $a$ et $b$ deux réels.

### Formulaire 1 : addition

(On en déduit des formules analogues en remplaçant $b$ par $-b$, grâce aux formules de la première section ci-dessus.)

### Formulaire 5 : somme-produit (formules de Simpson)

(On en déduit des formules analogues en remplaçant $b$ par $-b$, grâce aux formules de la première section ci-dessus.)
| Tangente dans un triangle rectangle | Théorème du cosinus |