# Réduction des endomorphismes/Réductions de Jordan et de Dunford

Dans ce chapitre, $E$ est un $K$-espace vectoriel et $\varphi$ est un endomorphisme de $E$. On suppose que $\varphi$ possède un polynôme minimal (ce qui est assuré si $E$ est de dimension finie).

## Décomposition de Dunford

Un endomorphisme $\nu$ de $E$ est dit nilpotent s'il existe un entier $p>0$ tel que $\nu ^{p}=0$.
Le polynôme minimal de $\varphi$ est scindé sur $K$ si et seulement si $\varphi =\delta +\nu$ avec $\delta$ diagonalisable et $\nu$ nilpotent, tels que $\delta$ et $\nu$ commutent (c'est-à-dire $\delta \circ \nu =\nu \circ \delta$).
De plus, $\delta$ et $\nu$ sont alors des polynômes en $\varphi$ et sont uniques.
Procédons par analyse-synthèse.
* Unicité de $\delta$ et $\nu$ et condition suffisante
Soient $\delta$ diagonalisable et $\nu$ nilpotent, qui commutent et tels que $\varphi =\delta +\nu$. Montrons que $\delta$ et $\nu$ sont entièrement déterminés par φ. Il suffit de montrer que $\delta$ l'est (puisque $\nu =\varphi -\delta$), c'est-à-dire simplement, puisque $\delta$ est diagonalisable, de retrouver ses valeurs propres λ$_i$ et ses sous-espaces propres associés E$_i$ (dont l'espace total E est la somme directe) à partir de φ.
Comme $\nu$ commute à $\delta$, les E$_i$ sont stables par $\nu$ donc aussi par φ. Notons (pour chaque i) φ$_i$ la restriction de $\varphi$ à E$_i$, d$_i$ la dimension de E$_i$, et n$_i$ (≤ d$_i$) l'indice de nilpotence de la restriction de $\nu$ à E$_i$, c'est-à-dire de φ$_i$ – λ$_i$Id.
Alors, le polynôme caractéristique, le polynôme minimal et l'ensemble des valeurs propres sont respectivement :
* pour φ$_i$ – λ$_i$Id : X$^{di}$, X$^{ni}$ et {0},
* donc pour φ$_i$ : (X – λ$_i$)$^{di}$, (X – λ$_i$)$^{ni}$ et {λ$_i$},
* donc pour φ : le produit des (X – λ$_i$)$^{di}$, le PPCM des (X – λ$_i$)$^{ni}$ (égal à leur produit) et l'ensemble des λ$_i$.
Ceci fournit trois manières de retrouver les λ$_i$ à partir de φ, comme ses valeurs propres ou les racines de son polynôme caractéristique ou de son polynôme minimal. On constate de plus que ces deux polynômes sont scindés. (Plus accessoirement, on peut remarquer que le déterminant de φ est le produit des λ$_i$$^{di}$ et que la trace de φ est la somme des d$_i$λ$_i$.)
Quant aux E$_i$, ils se déduisent aussi de φ car ce sont les noyaux des (φ – λ$_i$Id)$^{ni}$ (ou des (φ – λ$_i$Id)$^{ki}$ pour n'importe quels k$_i$ ≥ n$_i$, par exemple k$_i$ = d$_i$ ou k$_i$ = dim(E)).
En effet, (φ$_i$ – λ$_i$Id)$^{ni}$ = 0 et pour j ≠ i, φ$_j$ – λ$_i$Id est injectif (sa seule valeur propre étant λ$_j$ – λ$_i$ ≠ 0) donc ses puissances aussi.
* Condition nécessaire : existence de $\delta$ et $\nu$
Supposons que le polynôme minimal de φ est scindé :
$\mu _{\varphi }(X)=\prod _{i}(X-\lambda _{i})^{n_{i}}.$
La preuve d'unicité ci-dessus pour $\delta$ et $\nu$ fournit le candidat pour la preuve de leur existence. On note donc E$_i$ les noyaux des (φ – λ$_i$Id)$^{ni}$, que l'on appelle les sous-espaces caractéristiques de φ (on peut remarquer au passage que E$_i$ contient le noyau de φ – λ$_i$Id). Ils sont stables par φ et d'après le lemme des noyaux (appliqué à la famille des polynômes (X – λ$_i$)$^{ni}$, qui sont deux à deux premiers entre eux), E est leur somme directe. Ceci permet de définir $\delta$ comme l'endomorphisme de E dont la restriction à chaque E$_i$ est l'homothétie de rapport λ$_i$, et $\nu$ comme la différence $\varphi -\delta$ (qui laisse aussi stables les E$_i$). Par construction, $\delta$ est diagonalisable et commute à $\nu$, et $\nu$ est nilpotent puisque ses restrictions aux E$_i$ le sont.
* Caractère polynomial
Le lemme des noyaux, utilisé au point précédent, assure de plus que la projection $\pi _{i}$ sur chaque E$_i$ parallèlement à la somme des autres est un polynôme en φ ; notons-le P$_i$(φ). On en déduit aussitôt que $\delta$ et $\nu$ sont aussi des polynômes en φ, puisque
$\delta =\sum \lambda _{i}\pi _{i}=\left(\sum \lambda _{i}P_{i}\right)(\varphi )\quad {\text{et}}\quad \nu =\varphi -\delta =\left(X-\sum \lambda _{i}P_{i}\right)(\varphi )$

### Remarque

    D'après l'unicité de la décomposition, si $\nu \neq 0$ alors $\varphi$ n'est pas diagonalisable.
    En particulier, la somme d'une matrice scalaire et d'une matrice nilpotente non nulle n'est pas diagonalisable. Exemple : un bloc de Jordan de dimension > 1.

## Réduction d'un endomorphisme nilpotent

Soit $u$ un endomorphisme nilpotent de $E$. Les définitions et propriétés suivantes seront étendues, dans le prochain chapitre, à un endomorphisme non nécessairement nilpotent.
* Le plus petit entier $p>0$ tel que $u^{p}=0$ est appelé l'indice de l'endomorphisme $u$.
* L'indice d'un vecteur $x$ de $E$ est le plus petit entier naturel $n$ tel que $u^{n}(x)=0$.
* Le sous-espace $S_{x}:=\operatorname {Vect} \left(x,u(x),u^{2}(x),\dots \right)$ est appelé le sous-espace cyclique engendré par $x$.

### Remarques

   * Si $u$ est nilpotent d'indice $p$, son polynôme minimal est $X^{p}$.
   * L'indice d'un vecteur $x$ est l'indice de la restriction de $u$ à $S_{x}$.
   * Si $x$ est d'indice $p_{x}$, la famille $\left(x,u(x),u^{2}(x),\dots ,u^{p_{x}-1}(x)\right)$ est une base de $S_{x}$.
$E$ est somme directe de sous-espaces non nuls cycliques pour $u$.
À isomorphisme près, une telle décomposition est unique donc raffine toute décomposition de $E$ en somme directe de sous-espaces non nuls stables par $u$.
Montrons que E est somme directe de sous-espaces cycliques (que l'on peut alors supposer tous non nuls, quitte à supprimer de cette somme les sous-espaces nuls), par récurrence sur l'indice p de u.
Si p est égal à 1, l'endomorphisme est nul et le résultat est trivial.
Supposons le résultat vrai pour p et démontrons-le pour p + 1. Soit u un endomorphisme nilpotent d'indice p + 1. Considérons alors l'endomorphisme de u(E) induit par u. C'est un endomorphisme nilpotent d'indice p. Par hypothèse de récurrence, u(E) est somme directe de sous-espaces cycliques F$_i$ pour i appartenant à un certain ensemble I d'indices. Chaque F$_i$ admet une base de la forme (y$_i$, u(y$_i$), u$^2$(y$_i$), … , u$^{pi–1}$(y$_i$)), où y$_i$ est un vecteur de u(E) d'indice p$_i$, donc y$_i$ = u(x$_i$) pour un vecteur x$_i$ de E d'indice p$_i$ + 1.
La famille $(u^{k}(x_{i}))_{i\in I,1\leq k\leq p_{i}}=(u^{j+1}(x_{i}))_{i\in I,0\leq j<p_{i}}=(u^{j}(y_{i}))_{i\in I,0\leq j<p_{i}}$ étant une base de u(E), la sous-famille $(u^{p_{i}}(x_{i}))_{i\in I}$ est libre. Comme les vecteurs de cette sous-famille libre appartiennent au noyau de u, on peut compléter celle-ci en une base de ce noyau, en rajoutant des vecteurs que l'on notera $(x_{i})_{i\in J}$ (pour un ensemble J d'indices supplémentaires). Puisque ces nouveaux vecteurs sont des vecteurs non nuls du noyau, ils sont d'indice 1. Posons (pour uniformiser les notations) $p_{i}=0$ pour $i\in J$ : ainsi, pour tout indice $i\in L:=I\cup J$, $x_{i}$ est d'indice p$_i$ + 1.
Montrons que E est la somme directe des sous-espaces cycliques associés à tous ces $x_{i}$, c'est-à-dire montrons que $(u^{j}(x_{i}))_{i\in L,0\leq j\leq p_{i}}$ est une base de E. Cette famille est constituée de $(u^{j}(x_{i}))_{i\in I,0\leq j<p_{i}}$, dont l'image par u est une base de u(E), et de $(u^{p_{i}}(x_{i}))_{i\in L}$, qui est une base du noyau. La conclusion souhaitée en résulte (voir le théorème fondamental du chapitre sur le rang d'une application linéaire).
On a donc trouvé, pour tout endomorphisme nilpotent u d'indice p, une décomposition de E de la forme
$E=\oplus _{k=1}^{p}E_{k}{\text{ avec }}E_{k}=\oplus _{x\in I_{k}}K[u](x)$
où chaque $I_{k}$ est un ensemble de vecteurs d'indice $k$. Puisque
$\operatorname {card} (I_{k})=\dim \left[(\ker u\cap \operatorname {im} u^{k-1})/(\ker u\cap \operatorname {im} u^{k})\right]$
les cardinaux des $I_{k}$ sont indépendants de la décomposition, ce qui prouve son unicité à isomorphisme près.

## Réduction de Jordan

L'objectif de ce paragraphe est d'énoncer et de démontrer le théorème de Jordan, en dimension finie. La démonstration fournira une méthode pratique de réduction de Jordan (ou « jordanisation ») d'une matrice, qu'on illustrera sur un exemple.
On appelle bloc de Jordan une matrice de la forme ${\mathcal {J}}_{\lambda }={\begin{pmatrix}\lambda &1&&&&\\&\lambda &1&&(0)&\\&&\ddots &\ddots &&\\&&&\ddots &\ddots &\\&(0)&&&\lambda &1\\&&&&&\lambda \\\end{pmatrix}}$.
Si le polynôme minimal de $\varphi$ est scindé sur $K$ (c’est toujours le cas sur un corps algébriquement clos comme $\mathbb {C}$), alors il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $\varphi$ est de la forme :
    ${\begin{pmatrix}{\mathcal {J}}_{\lambda _{1}}&&&&\\&{\mathcal {J}}_{\lambda _{2}}&&&\\&&\ddots &&\\&&&\ddots &\\&&&&{\mathcal {J}}_{\lambda _{r}}\\\end{pmatrix}}$
où les scalaires $\lambda _{i}$ sont les valeurs propres (non nécessairement distinctes) de l'endomorphisme considéré.
En se restreignant à chacun des sous-espaces caractéristiques de $\varphi$ (dont $E$ est la somme directe), on se ramène au cas où $\varphi$ est la somme d'une homothétie, de rapport $\lambda$, et d'un endomorphisme nilpotent $u$. D'après le théorème précédent sur la décomposition de Frobenius d'un endomorphisme nilpotent, $E$ est alors somme directe de sous-espaces cycliques pour $u$, c'est-à-dire qu'il existe une base de $E$ de la forme $\left(u^{j}(x_{i})\right)_{1\leq i\leq r,0\leq j\leq p_{i}}$, où $x_{i}$ est d'indice $p_{i}+1$ — la preuve du théorème fournit un algorithme pour construire une telle base — et la matrice de Jordan annoncée (avec, ici, $\lambda _{1}=\dots =\lambda _{r}=\lambda$) est la matrice de $\varphi$ dans cette base, ordonnée comme suit :
    $u^{p_{1}}(x_{1}),u^{p_{1}-1}(x_{1}),\dots ,u(x_{1}),x_{1},u^{p_{2}}(x_{2}),u^{p_{2}-1}(x_{2}),\dots ,u(x_{2}),x_{2},\dots ,u^{p_{r}}(x_{r}),u^{p_{r}-1}(x_{r}),\dots ,u(x_{r}),x_{r}$.

### Remarques

   * La forme de Jordan d'une matrice diagonalisable est la matrice diagonale associée.
   * Une démonstration plus globale (donc moins propice aux calculs) consiste à passer par la décomposition de Dunford $\varphi =\delta +\nu$, puis à appliquer à $\nu$ le théorème de décomposition d'un endomorphisme nilpotent.
Soit la matrice $A={\begin{pmatrix}-1&-1&0&0\\0&-1&0&0\\0&2&0&-1\\0&-2&2&3\end{pmatrix}}$.
* Le polynôme caractéristique de $A$ est :
    $p_{A}(X)={\begin{vmatrix}-1-X&-1&0&0\\0&-1-X&0&0\\0&2&-X&-1\\0&-2&2&3-X\end{vmatrix}}=(X+1)^{2}(X-1)(X-2)$ (en développant le déterminant par rapport à la première colonne, puis par rapport à la première ligne).
* Les trois sous-espaces caractéristiques sont :
** la droite propre $\ker(A-I_{4})=\ker {\begin{pmatrix}-2&-1&0&0\\0&-2&0&0\\0&2&-1&-1\\0&-2&2&2\end{pmatrix}}$, engendrée par $f_{1}:={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-1\end{pmatrix}}$.
** la droite propre $\ker(A-2\,I_{4})=\ker {\begin{pmatrix}-3&-1&0&0\\0&-3&0&0\\0&2&-2&-1\\0&-2&2&1\end{pmatrix}}$, engendrée par $f_{2}:={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-2\end{pmatrix}}$.
** le plan $\ker \left((A+I_{4})^{2}\right)$. Mais inutile de calculer directement ce dernier : calculons d'abord le sous-espace propre qu'il contient.
    $\ker(A+I_{4})=\ker {\begin{pmatrix}0&-1&0&0\\0&0&0&0\\0&2&1&-1\\0&-2&2&4\end{pmatrix}}$ est la droite engendrée par $f_{3}:={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}$.
    D'après l'algorithme fourni par la démonstration du théorème, une base de Jordan pour $A$ est alors $(f_{1},f_{2},f_{3},f_{4})$, où $f_{4}$ est n'importe quel antécédent de $f_{3}$ par $A+I_{4}$, par exemple $f_{4}:={\begin{pmatrix}0\\-1\\1\\-1\end{pmatrix}}$.
Ainsi :
    $J={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&-1&1\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}$ est la réduite de Jordan de $A$ et
    $P={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\1&1&0&1\\-1&-2&0&-1\end{pmatrix}}$ est une matrice de passage associée.

## Applications
### Matrices semblables

Les réduites de Jordan caractérisent entièrement les classes de similitude dans $\operatorname {M} _{n}(K)$ :
Soit $K$ un corps algébriquement clos.
Deux matrices de $\operatorname {M} _{n}(K)$ sont semblables si, et seulement si, elles ont même réduite de Jordan, à l'ordre près des blocs.

### Puissances d'une matrice

Si l'on a trouvé la décomposition de Dunford de $A\in \operatorname {M} _{n}(K)$ sous la forme $A=D+N$, alors comme $D$ et $N$ commutent, on peut appliquer la formule du binôme à $A=D+N$ :
$\forall p\in \mathbb {N} \quad A^{p}=(D+N)^{p}=\sum _{k=0}^{p}{p \choose k}D^{p-k}N^{k}$
Comme nous savons déjà calculer les puissances de $D$ (qui est diagonalisable) et comme $N$ est nilpotente d'ordre $r$, on sait que $N^{r}=0$ et il reste à calculer (manuellement !) les puissances $N^{2},N^{3},\dots ,N^{r-1}$. Remarquez que si $p>r$, alors $\forall k\in [r,p]\cap \mathbb {N} \quad D^{p-k}N^{k}=0$.
Dans le cas où la décomposition de Dunford est même une décomposition de Jordan, les puissances sont plus faciles à calculer.
Exemple : On reprend l'exemple ci-dessus. Donc $A=PJP^{-1}$ et $\forall k\in \mathbb {N} \quad A^{k}=PJ^{k}P^{-1}$. Reste à calculer les puissances de $J$ : pour cela, on pose $J=D_{J}+N_{J}$ la décomposition de Dunford de $J$ qui « saute aux yeux » sur $J$ : $D_{J}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}$ et $N_{J}={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$.
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