# Géométrie affine/Applications affines

Dans ce chapitre, ${\mathcal {E}}$ et ${\mathcal {F}}$ sont deux espaces affines, de directions respectives $E$ et $F$.

## Définition

Une application $f:{\mathcal {E}}\to {\mathcal {F}}$ est dite affine s'il existe une application linéaire ${\vec {f}}:E\to F$ telle que
    $\forall A,B\in {\mathcal {E}}\quad {\overrightarrow {f(A)f(B)}}={\vec {f}}({\overrightarrow {AB}})$.
${\vec {f}}$ est alors appelée la partie linéaire de $f$.
Soit $O\in {\mathcal {E}}$ fixé. Une application $f:{\mathcal {E}}\to {\mathcal {F}}$ est affine si et seulement s'il existe un point $O'\in {\mathcal {F}}$ et une application linéaire ${\vec {f}}:E\to F$ tels que
    $\forall M\in {\mathcal {E}}\quad f(M)=O'+{\vec {f}}({\overrightarrow {OM}})$.
Si $f$ est affine, de partie linéaire ${\vec {f}}$, alors en posant $O'=f(O)$ on a bien l'égalité voulue.
Réciproquement si, pour un certain un point $O'\in {\mathcal {F}}$ et une certaine application linéaire ${\vec {f}}:E\to F$, on a
    $\forall M\in {\mathcal {E}}\quad f(M)=O'+{\vec {f}}({\overrightarrow {OM}})$,
alors
    $\forall A,B\in {\mathcal {E}}\quad {\overrightarrow {f(A)f(B)}}={\vec {f}}({\overrightarrow {OB}})-{\vec {f}}({\overrightarrow {OA}})={\vec {f}}({\overrightarrow {OB}}-{\overrightarrow {OA}})={\vec {f}}({\overrightarrow {AB}})$.

## Exemples

* Une translation est une application affine $f:{\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}$ dont la partie linéaire ${\vec {f}}$ est $\mathrm {id} _{E}$. Le vecteur ${\overrightarrow {Mf(M)}}$ est alors indépendant du point $M\in {\mathcal {E}}$ et est appelé le vecteur de la translation $f$.
* Une homothétie (affine) de rapport $\lambda \notin \{0,1\}$ est une application affine $f:{\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}$ dont la partie linéaire ${\vec {f}}$ est l'homothétie (vectorielle) $\lambda \mathrm {id} _{E}$. Elle admet un unique point fixe, appelé le centre de l'homothétie.
* Les symétries centrales sont les homothéties de rapport $-1$.
Soient ${\mathcal {F}}$ un sous-espace affine de ${\mathcal {E}}$, $F$ sa direction, et $G$ un supplémentaire de $F$ dans $E$.
* La projection sur ${\mathcal {F}}$ parallèlement à $G$ est l'application $p:{\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}$ définie par : pour tout $M\in {\mathcal {E}}$,
    $p(M)\in {\mathcal {F}}\cap (M+G)$.
* La symétrie par rapport à ${\mathcal {F}}$ parallèlement à $G$ est alors l'application $s:{\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}$ définie par : pour tout $M\in {\mathcal {E}}$,
    $s(M)$ est le symétrique de $M$ par rapport à $p(M)$.
* L'affinité de base ${\mathcal {F}}$, de direction $G$ et de rapport $\lambda$ est l'application $f:{\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}$ définie par : pour tout $M\in {\mathcal {E}}$,
    ${\overrightarrow {p(M)f(M)}}=\lambda {\overrightarrow {p(M)M}}$.

### Remarques

   * Si ${\mathcal {F}}=\{O\}$ alors $G=E$, $p$ est l'application constante $M\mapsto O$, et $f$ est l'homothétie de centre $O$ et de rapport $\lambda$.
   * Les symétries sont les affinités de rapport $-1$ et les projections sont les affinités de rapport $0$.
* Toutes les affinités sont des applications affines.
* ${\mathcal {F}}$ est à la fois l'image de $p$ et l'ensemble des points fixes de $p$ et de $s$.
* ${\vec {p}}$ est la projection (vectorielle) sur $F$ parallèlement à $G$, et ${\vec {s}}$ est la symétrie (vectorielle) par rapport à $F$, parallèlement à $G$.
* Les projections affines sont les applications affines idempotentes.
* Les symétries affines sont les applications affines involutives.
Seule la réciproque des deux derniers points nécessite une preuve.
* Soit $p:{\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}$ une application affine idempotente. Alors, l'application linéaire ${\vec {p}}$ est idempotente donc c'est une projection, sur un sous-espace vectoriel $F\subset E$, parallèlement à un supplémentaire $G\subset E$. Puisque $p\circ p=p$, tous les points de $\operatorname {im} (p)$ sont fixes par $p$. Fixons-en un, $O$. Alors, pour tout $M\in {\mathcal {E}}$, ${\overrightarrow {Op(M)}}={\vec {p}}({\overrightarrow {OM}})\in F$ et ${\overrightarrow {Mp(M)}}={\vec {p}}({\overrightarrow {OM}})-{\overrightarrow {OM}}\in G$ donc $p(M)\in (O+F)\cap (M+G)$, ce qui prouve que $p$ est la projection sur $O+F$ parallèlement à $G$.
* Soit $s:{\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}$ une application affine involutive. Alors, l'application affine $p:={\frac {s+\mathrm {id} _{\mathcal {E}}}{2}}$ (qui à tout point $M\in {\mathcal {E}}$ associe le milieu de $[M,s(M)]$) est idempotente donc est une projection, si bien que s est une symétrie.

## Propriétés

Soient $f:{\mathcal {E}}\to {\mathcal {F}}$ et $g:{\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}$ deux applications affines. Alors la composée $g\circ f:{\mathcal {E}}\to {\mathcal {G}}$ est une application affine et ${\overrightarrow {g\circ f}}={\vec {g}}\circ {\vec {f}}$.
$\forall A,B\in {\mathcal {E}}\quad {\overrightarrow {(g\circ f)(A)(g\circ f)(B)}}={\vec {g}}({\overrightarrow {f(A)f(B)}})=({\vec {g}}\circ {\vec {f}})({\overrightarrow {AB}})$.
Une application affine $f:{\mathcal {E}}\to {\mathcal {F}}$ est bijective si et seulement si ${\vec {f}}:E\to F$ l'est. Dans ce cas, $f^{-1}:{\mathcal {F}}\to {\mathcal {E}}$ est affine et ${\overrightarrow {f^{-1}}}={\vec {f}}^{-1}$.
Soient $O\in {\mathcal {E}}$ et $O'=f(O)$.
* Si ${\vec {f}}$ est bijective alors $f$ aussi et $f^{-1}$ est affine, car
    $\forall N\in {\mathcal {F}}\quad \forall M\in {\mathcal {E}}\quad N=f(M)\Leftrightarrow {\overrightarrow {O'N}}={\vec {f}}({\overrightarrow {OM}})\Leftrightarrow M=O+{\vec {f}}^{-1}({\overrightarrow {O'N}})$.
* Réciproquement, si $f$ est bijective alors ${\vec {f}}$ aussi car
    $\forall v\in F\quad \forall u\in E\quad v={\vec {f}}(u)\Leftrightarrow O'+v=f(O+u)\Leftrightarrow u={\overrightarrow {Of^{-1}(O'+v)}}$.
* L'ensemble des bijections affines de ${\mathcal {E}}$ dans ${\mathcal {E}}$ est un sous-groupe du groupe $(S({\mathcal {E}}),\circ )$ des bijections de ${\mathcal {E}}$ dans ${\mathcal {E}}$. On l'appelle le groupe affine de ${\mathcal {E}}$ et on le note $\operatorname {GA} ({\mathcal {E}})$.
* Le sous-ensemble des applications affines de ${\mathcal {E}}$ dans ${\mathcal {E}}$ qui sont des homothéties ou des translations ou l'identité, est un sous-groupe du précédent. On l'appelle le groupe des homothéties-translations de ${\mathcal {E}}$ et on le note $\operatorname {HT} ({\mathcal {E}})$.
Soient $f:{\mathcal {E}}\to {\mathcal {F}}$ une application affine et ${\mathcal {G}}\subset {\mathcal {E}}$ un sous-espace affine de ${\mathcal {E}}$, de direction $G\subset E$. Alors, $f({\mathcal {G}})$ est un sous-espace affine de ${\mathcal {F}}$, de direction ${\vec {f}}(G)\subset F$.
Soit $A\in {\mathcal {G}}$. Alors, $f({\mathcal {G}})=f(A+G)=f(A)+{\vec {f}}(G)$.
Soit $f:{\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}$ une application affine. Si l'ensemble $\operatorname {Fix} (f)$ des points fixes de $f$ n'est pas vide, alors c'est un sous-espace affine de ${\mathcal {E}}$, de direction le sous-espace vectoriel $\ker({\vec {f}}-\mathrm {id} _{E})$ de $E$.
Soit $O\in \operatorname {Fix} (f)$. Alors, $M\in \operatorname {Fix} (f)\Leftrightarrow O+{\vec {f}}({\overrightarrow {OM}})=M\Leftrightarrow {\overrightarrow {OM}}\in \operatorname {Fix} ({\vec {f}})=\ker({\vec {f}}-\mathrm {id} _{E})$.
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