# Équations et fonctions du second degré/Fonctions trinôme et complexes
## Trinômes à coefficients réels

Soit la fonction polynomiale du second degré ƒ définie pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f(x)=ax^{2}+bx+c$, avec
* a, b et c trois coefficients réels
* a non nul.
Lors de la mise sous forme canonique de ƒ, on a vu que $(E)~:~f(x)=0\Leftrightarrow \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {\Delta }{4a^{2}}}$
Si $\Delta <0,~(E)\Leftrightarrow x+{\frac {b}{2a}}=i{\sqrt {-{\frac {\Delta }{4a^{2}}}}}{\textrm {~ou~}}x+{\frac {b}{2a}}=-i{\sqrt {-{\frac {\Delta }{4a^{2}}}}}$
Finalement, le théorème de niveau 11 se généralise de la façon suivante :
Le nombre de racines d'un trinôme dépend de son discriminant : $\Delta =b^{2}-4ac$
* Si $\Delta >0$ alors le trinôme a deux racines réelles distinctes:
$x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}$ et $x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}$
* Si $\Delta =0$ alors le trinôme a une racine réelle double:
$x_{0}=-{\frac {b}{2a}}$
* Si $\Delta <0$ alors le trinôme a deux racines complexes conjuguées:
$x_{1}={\frac {-b+i{\sqrt {|\Delta |}}}{2a}}$ et $x_{2}={\frac {-b-i{\sqrt {|\Delta |}}}{2a}}$ où $i^{2}=-1$
Trouver les racines de la fonction polynomiale $f:x\mapsto x^{2}-2x+2$.
Le discriminant de ƒ est strictement négatif : $\Delta =-4$, donc ƒ n'admet aucune racine réelle. En revanche, il existe deux racines complexes de ƒ, définies par : ${\begin{aligned}x_{1}&={\frac {-(-2)-i{\sqrt {|\Delta |}}}{2\times 1}}\\&={\frac {2-2i}{2}}\\&=1-i\end{aligned}}$
et ${\begin{aligned}x_{2}&={\frac {-(-2)+i{\sqrt {|\Delta |}}}{2\times 1}}\\&={\frac {2+2i}{2}}\\&=1+i\end{aligned}}$
On peut factoriser ƒ dans $\mathbb {C}$ :
${\begin{aligned}f_{2}(x)&=(x-x_{1})(x-x_{2})\\&=(x-1+i)(x-1-i)\\&=\left(x-{\sqrt {2}}e^{\frac {3i\pi }{4}}\right)\left(x-{\sqrt {2}}e^{\frac {-3i\pi }{4}}\right)\end{aligned}}$

## Trinôme complexe

Toutes les notions que l’on a vues se généralisent dans $\mathbb {C}$.
Soit la fonction polynomiale du second degré ƒ définie pour tout $z\in \mathbb {C} ,~f(z)=az^{2}+bz+c$, avec
* a, b et c trois coefficients complexes
* a non nul.
Le discriminant de ƒ est défini par $\Delta =b^{2}-4ac$.
Si $\Delta \not =0$, Δ admet deux racines carrées complexes distinctes $\delta$ et $-\delta$.
* Voir le cours sur les complexes pour le rappel de la méthode de calcul des racines carrées d'un complexe.
Le nombre de racines d'un trinôme dépend de son discriminant : $\Delta =b^{2}-4ac$
* Si $\Delta \not =0$ alors le trinôme a deux racines :
$z_{1}={\frac {-b+\delta }{2a}}$ et $z_{2}={\frac {-b-\delta }{2a}}$
* Si $\Delta =0$ alors le trinôme a une racine complexe avec une partie réelle double :
$z_{0}=-{\frac {b}{2a}}$
Factoriser la fonction trinôme définie sur $\mathbb {C}$ par $f:z\mapsto z^{2}-4z+4+2i$.
* Son discriminant vaut :
${\begin{aligned}\Delta &=b^{2}-4ac\\&=(-4)^{2}-4\times 1\times (4+2i)\\&=-8i\end{aligned}}$
* $\Delta \not =0$ donc Δ admet deux racines carrées distinctes : $\delta =2(1-i)$ et $-\delta =-2(1-i)$
* Les racines de f sont alors :
${\begin{aligned}z_{1}&={\frac {-b+\delta }{2a}}\\&={\frac {4+2(1-i)}{2}}\\&=3-i\\\end{aligned}}$ et ${\begin{aligned}z_{2}&={\frac {-b-\delta }{2a}}\\&={\frac {4-2(1-i)}{2}}\\&=1+i\\\end{aligned}}$
Donc $\forall z\in \mathbb {C} ,~f(z)=(z-(1+i))(z-(3-i))$
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