# Électromagnétisme dépendant du temps/Équations de Maxwell

Nous introduisons ici les quatre équations fondamentales, appelées équations de Maxwell, qui décrivent complètement les champs électriques et magnétiques et leurs interdépendances dans le cadre de la physique classique. Elles sont postulées. On en déduit les relations de l'électromagnétisme comme comme la loi de Faraday, le théorème de Gauss (pour le champ électrique) et autres.

## Équations de Maxwell

Voici les quatre équations de Maxwell :
* $\mathrm {div} \;\mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$
* $\mathrm {div} \;\mathbf {B} =0$
* $\mathbf {rot} \;\mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$
* $\mathbf {rot} \;\mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$
Dans l'ordre, elles sont appelées :
* équation de Maxwell-Gauss ;
* équation de Maxwell-Φ, Maxwell-flux ou Maxwell-Thomson;
* équation de Maxwell-Faraday ;
* équation de Maxwell-Ampère.

## Vérification

Même s'il s'agit ici d'équations postulées, il peut être intéressant de vérifier leur validité là où les précédentes échouaient.

### Équation de Maxwell-Gauss

Cette équation n'a subi aucune modification : elle était vraie en statique et le reste dans le cas général. On peut l'interpréter, par exemple, comme l’expression que
    « E est généré par des charges, il « diverge » si elles sont positives (div E > 0) et « converge » si elles sont négatives (div E < 0). »
On observe clairement cela en étudiant les lignes de champ électrique.

### Équation de Maxwell-Φ

Cette équation n'a subi aucune modification : elle était vraie en statique et le reste dans le cas général. On peut l'interpréter, par exemple, comme l’expression que
    « B n’est pas généré par des « charges magnétiques » (des monopôles). »

### Équation de Maxwell-Faraday

L'équation de Maxwell-Faraday traduit les effets de l'induction. Montrons que cela est cohérent avec la loi de Faraday :
${\begin{aligned}e&=-{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} t}}\\\ &=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\iint _{S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} \\\ &=-\iint _{S}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} \end{aligned}}$
or en applicant le théorème de STOKES , $e=\oint _{C}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\iint _{S}\mathbf {rot} \;\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S}$
d'où, par continuité des champs,
$\mathbf {rot} \;\mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$
Ce qui n'est autre que l'équation de Maxwell-Faraday.

### Équation de Maxwell-Ampère

En utilisant les réciproques des théorèmes d'analyse vectorielle, on montre qu'elle s'écrit globalement :
$\oint _{\partial S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\mu _{0}I_{enl}+\mu _{0}\underbrace {\varepsilon _{0}\iint _{S}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} } _{I_{D}}$
La quantité I$_D$, homogène à un courant, est appelée « courant de déplacement ». Ce courant est généralement très faible, mais fait la différence entre une circulation nulle (qui, dans le chapitre précédent, montrait que le théorème d'Ampère était violé) et une circulation non-nulle.

### Conservation de la charge

On peut retrouver l'équation de conservation de la charge $\mathrm {div} \;\mathbf {j} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0$ à partir des équations de Maxwell :
on applique la divergence à l'équation de Maxwell - Ampère, avec la relation $\mathrm {div} \left(\mathbf {rot} \right)=0$ on a :
$\ 0=\mu _{0}\mathrm {div} \;\mathbf {j} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\mathrm {div} \;\mathbf {E} \$
et, avec l'équation de Maxwell - Gauss,
$\ 0=\mu _{0}\mathrm {div} \;\mathbf {j} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$
$\ 0=\mathrm {div} \;\mathbf {j} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}$
Le terme ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}$ dans cette équation est donc lié à la présence du terme de courant de déplacement $\ \mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$ dans l'équation de Maxwell - Ampère.

### Conservation de l'énergie, théorème de Poynting

Les équations de Maxwell contiennent aussi la relation de conservation de l'énergie électromagnétique, ou théorème de Poynting : $-{\frac {\partial u}{\partial t}}=\mathrm {div} \;\mathbf {\Pi } +\mathbf {j} \cdot \mathbf {E}$
où : $\mathbf {\Pi } ={\frac {\mathbf {E} \times \mathbf {B} }{\mu _{0}}}$ est le vecteur de Poynting. et $u={\frac {\varepsilon _{0}\mathbf {E} ^{2}}{2}}+{\frac {\mathbf {B} ^{2}}{2\mu _{0}}}$ est la densité volumique d'énergie électromagnétique.
$\mathrm {div} \;\mathbf {\Pi } =-{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \cdot \mathbf {rot} \;\mathbf {B} +{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {rot} \;\mathbf {E}$ en utilisant la formule d'analyse vectorielle.
$\mathrm {div} \;\mathbf {\Pi } =-{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \cdot \left(\mu _{0}\mathbf {j} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} \cdot \left(-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right)$ en utilisant les équations de Maxwell - Ampère et Maxwell - Faraday.
$\mathrm {div} \;\mathbf {\Pi } =-\;\mathbf {j} \cdot \mathbf {E} -\varepsilon _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}-{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$
$\mathrm {div} \;\mathbf {\Pi } =-\;\mathbf {j} \cdot \mathbf {E} -{\frac {\partial u}{\partial t}}$
Le terme ${\frac {\varepsilon _{0}\mathbf {E} ^{2}}{2}}$ dans l’expression de l'énergie élecromagnétique est donc lié à la présence du terme de courant de déplacement $\ \mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$ dans l'équation de Maxwell - Ampère.

## Remarques
### Forme intégrale des équations de Maxwell

En utilisant à reculons les théorèmes d'analyse vectorielle, on peut donner un équivalent intégral aux équations de Maxwell. Bien que strictement équivalentes dans le fond à leur équivalent local, elles s'avèrent parfois plus facile à utiliser dans des problèmes à symétrie cylindrique ou sphérique (où divergence et rotationnel ont des expressions complexes).
On note :
* V un volume délimité par une surface S fermée ;
* Σ une surface non fermée, délimitée par un contour ∂Σ ;
* Q$_{int}$ la charge électrique contenue dans V ;
* I$_{enl}$ l'intensité traversant algébriquement Σ ;
* I$_D$ le courant de déplacement à travers Σ (le flux de la dérivée de E) ;
Les relations suivantes se déduisent alors des équations de Maxwell à partir du théorème de Green-Ostrogradski ou du théorème de Stokes :
* $\iint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ={\frac {Q_{int}}{\varepsilon _{0}}}$ ;
* $\iint _{S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0$ ;
* $\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\iint _{\Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S}$ ;
* $\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\mu _{0}I_{enl}+\mu _{0}I_{D}$ ;
Elles sont appelées, dans l’ordre :
* Théorème de Gauss ;
* Conservation du flux magnétique ;
* Loi de Faraday ;
* Théorème d'Ampère généralisé.

### Couplage électromagnétique

On peut remarquer qu'une variation de B entraîne une variation de E (Maxwell-Faraday), et qu'une variation de E entraîne une variation de B (Maxwell-Ampère). Cela a plusieurs conséquences. La première, est qu'on ne peut plus étudier séparément les champs électrique et magnétique : on parle de champ électromagnétique comme d'un seul objet.
La seconde est qu'une perturbation de l'un des champs peut entraîner une perturbation de l'autre, et ainsi de suite… donnant naissance à des ondes, qui seront étudiées dans un autre chapitre, appelées ondes électromagnétiques.
Il est intéressant de remarquer que ce couplage disparaît quand les champs deviennent statiques (les dérivées tendent vers 0).
* Nécessité de nouvelles équations