# Théorie des groupes/Le théorème p-q de Burnside

Dans ce chapitre, on va démontrer le théorème p-q de Burnside, ou théorème p$^a$ q$^b$ de Burnside, selon lequel tout groupe fini dont l'ordre compte au plus deux facteurs premiers distincts est résoluble. La démonstration est celle que Burnside lui-même a donnée en 1904 à l'aide de la théorie des $\mathbb {C}$-caractères des groupes finis.
On resta environ soixante-cinq ans sans connaître de démonstration indépendante de la théorie des caractères. En suivant une indication de J. G. Thompson, D. Goldschmidt donna en 1970 une telle démonstration limitée aux groupes d'ordre p$^a$ q$^b$ impair et H. Bender compléta la démonstration en 1972.
La numérotation des énoncés fait suite à celle du chapitre précédent.
Soient $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{d}$ des nombres complexes de module 1, non tous égaux entre eux. Alors, $|\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{d}|<d$.
Signalons d'abord qu'il est possible de démontrer un énoncé plus général d'une façon qu'on peut trouver plus satisfaisante que la méthode utilisée ici.
On peut supposer, sans perte de généralité, que $\lambda _{1}=1$ et $\lambda _{2}\neq 1$. Alors, en notant respectivement $a$ et $b$ les parties réelle et imaginaire de $\lambda _{2}$ :
    $|\lambda _{1}+\lambda _{2}|^{2}=(1+a)^{2}+b^{2}=2+2a<4$.
Par conséquent,
    $|\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{d}|\leq |\lambda _{1}+\lambda _{2}|+\sum _{j=3}^{d}|\lambda _{j}|<2+d-2=d$.
Soit d un nombre naturel non nul, soient $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{d}$ des racines de l'unité dans $\mathbb {C}$, non toutes égales entre elles.
On suppose que $(\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{d})/d$ est un entier algébrique.
Alors, $\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{d}=0$.
Démonstration. On va utiliser le point 9° des rappels sur les nombres algébriques (chapitre Caractères complexes des groupes finis, 1).
Soit L l'extension de $\mathbb {Q}$ engendrée par $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{d}.$ Cette extension est de degré fini.
Soit $\sigma$ un « isomorphisme » de L dans $\mathbb {C}$. Il résulte des hypothèses de l'énoncé que $\sigma (\lambda _{1}),\ldots ,\sigma (\lambda _{d})$ sont des racines de l'unité non toutes égales entre elles donc, d'après le lemme précédent,
    $|\sigma (\lambda _{1})+\cdots +\sigma (\lambda _{d})|<d$, soit $\left|\sigma \left({\frac {\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{d}}{d}}\right)\right|<1$.
En prenant le produit sur les « isomorphismes » $\sigma$ de L dans $\mathbb {C}$, on trouve
    (1) $\qquad \left|N_{\mathbb {Q} }^{L}\left({\frac {\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{d}}{d}}\right)\right|<1$.
D'autre part, puisque, par hypothèse $(\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{d})/d$ est un entier algébrique, son image par $N_{\mathbb {Q} }^{L}$ est un entier rationnel. D'après (1), la valeur absolue de cet entier rationnel est < 1, donc elle est nulle, ce qui prouve l'énoncé.
Soit d un nombre naturel non nul, soit M une matrice appartenant à $\mathrm {GL} (d,\mathbb {C} ).$ On suppose que M est un élément d'ordre fini du groupe $\mathrm {GL} (d,\mathbb {C} )$ et que ${\frac {\operatorname {Tr} (M)}{d}}$ est un entier algébrique.
Alors M est scalaire ou Tr(M) = 0.
Par hypothèse, il existe un nombre naturel non nul tel que $M^{n}=1$. Le polynôme minimal de $M$ est alors un diviseur de $X^{n}-1$ donc ses racines sont distinctes et racines de l'unité. Par conséquent, $M$ est semblable à une matrice diagonale dont les termes diagonaux $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{d}$ sont des racines de l'unité. Si $M$ n'est pas scalaire, les nombres $\lambda _{i}$ ne sont pas tous égaux entre eux. L'énoncé résulte alors du lemme précédent.
Soient G un groupe fini et T une $\mathbb {C}$-représentation matricielle irréductible de degré d de G ; désignons par $\chi$ le caractère de T.
Soit g un élément de G ; désignons par $\mathrm {Cl} (g)$ la classe de conjugaison de g dans G.
On suppose que d et $|\mathrm {Cl} (g)|$ sont premiers entre eux.
Alors la matrice T(g) est scalaire ou $\chi (g)=0$.
Démonstration$^,$$^,$. Par définition, $\chi (g)$ est la trace de la matrice T(g). Puisque G est un groupe fini, cette matrice est un élément d'ordre fini du groupe $\mathrm {GL} (d,\mathbb {C} )$. D'après le lemme précédent, l'énoncé sera donc démontré si nous prouvons que ${\frac {\chi (g)}{d}}$ est un entier algébrique.
Puisque d et $|\operatorname {Cl} (g)|$ sont supposés premiers entre eux, il existe des entiers rationnels $a$ et $b$ tels que
    $a\left|\operatorname {Cl} (g)\right|+bd=1$.
En multipliant par $\chi (g)/d$, on obtient
    (1) $\qquad {\frac {\chi (g)}{d}}=a\,{\frac {\left|\operatorname {Cl} (g)\right|\chi (g)}{d}}+b\chi (g)$.
Puisque $\chi$ est irréductible, il résulte du lemme 36 (chapitre Caractères complexes des groupes finis, 2) que
    (2) $\qquad {\frac {\left|\operatorname {Cl} (g)\right|\chi (g)}{d}}$ est un entier algébrique.
D'autre part, d'après le corollaire 10 (chapitre Caractères complexes des groupes finis, 1),
    (3) $\qquad \chi (g)$ est un entier algébrique.
(1), (2) et (3) montrent que $\chi (g)/d$ est bien un entier algébrique, ce qui achève la preuve.
Soit G un groupe simple. Sur tout corps, la seule représentation matricielle irréductible non fidèle de G est la représentation matricielle triviale de degré 1.
Puisque G est simple, ses représentations non fidèles sont ses représentations triviales. (En effet, tout homomorphisme de groupes partant d'un groupe simple est soit trivial, soit injectif.)
Sur tout corps, la seule représentation matricielle triviale d'un groupe qui soit irréductible est celle de degré 1, ce qui prouve l'énoncé.
La dénomination « Théorème de non-simplicité de Burnside », qu'on donne ici au théorème qui suit, n'est pas standard, mais ce théorème a bien été démontré par Burnside$^,$$^,$ et ajouté à son article, ce qui lui a permis de simplifier sa preuve initiale du théorème p$^a$ q$^b$.
Soit G un groupe fini. On suppose qu'il existe une classe de conjugaison d'éléments de G dont le cardinal est p$^n$ avec p premier et n ≥ 1. Alors G n'est pas simple.
Démonstration. Supposons que, par absurde,
    (hyp. 1) $\qquad$G soit simple.
Désignons par $\chi _{1},\ldots ,\chi _{h}$ les différents $\mathbb {C}$-caractères irréductibles de G, en prenant pour $\chi _{1}$ le caractère constant de valeur 1 (caractère principal). Pour tout i dans {1, ... , h}, désignons par $d_{i}$ le degré de $\chi _{i}$ et choisissons une $\mathbb {C}$-représentation matricielle $T_{i}$ de G ayant $\chi _{i}$ pour caractère. Les $T_{i}$ sont donc irréductibles et deux à deux non équivalentes et $T_{1}$ est la $\mathbb {C}$-représentation matricielle triviale de degré 1 de G.
Il résulte alors du lemme 42 que
    (2) pour tout $i\geq 2$, la représentation $T_{i}$ est fidèle.
Par hypothèse de l'énoncé, nous pouvons choisir un élément g de G tel que
    $\left|\operatorname {Cl} (g)\right|=p^{n}$.
Comme g a plusieurs conjugués, il n'appartient pas au centre de G. Pour tout $i\geq 2$, d'après (2), la matrice $T_{i}(g)$ n'est donc pas scalaire. Par conséquent, d'après le lemme 41 :
    (3) pour tout $i\geq 2$ tel que $d_{i}$ ne soit pas divisible par p, $\chi _{i}(g)=0$.
D'autre part, puisque g a plusieurs conjugués, il est distinct de 1 (nous avons d'ailleurs déjà noté qu'il n'appartient pas au centre de G) donc, d'après la seconde relation d'orthogonalité (Caractères complexes des groupes finis, 1, théorème 31) :
    $\sum _{i=1}^{h}\chi _{i}(1)\chi _{i}(g)=0$
autrement dit, en divisant par p et en tenant compte de (3) :
    (4) $\quad {\frac {1}{p}}=-\sum _{2\leq i\leq h \atop p\mid d_{i}}{\frac {d_{i}}{p}}\chi _{i}(g)$.
Or nous savons (nous l'avons déjà utilisé dans la preuve du lemme 41) que tous les $\chi _{i}(g)$ sont des entiers algébriques donc, d'après (4), 1/p est un entier algébrique, ce qui est faux (chapitre Caractères complexes des groupes finis, 1, rappels sur les nombres algébriques, point 8°).
La contradiction obtenue prouve que notre hypothèse (1) est absurde, donc G n'est pas simple, ce qui démontre l'énoncé.
Soit G un groupe fini d'ordre p$^a$q$^b$, où p et q sont des nombres premiers et a, b des nombres naturels. Le groupe G est résoluble.
Démonstration. Raisonnons par l'absurde, en supposant qu'il existe p et q premiers et un groupe G non résoluble d'ordre p$^a$q$^b$, et choisissons un tel G d'ordre minimum.
Alors G est simple, car s'il avait un sous-groupe normal H différent de 1 et G, les groupes H et G/H, ayant pour ordres des diviseurs stricts de p$^a$q$^b$, seraient résolubles (par minimalité de |G|), ce qui (chapitre Groupes résolubles) contredirait la non-résolubilité de G.
Cette simplicité de G entraîne que :
* puisque G est non abélien (car non résoluble), son centre est réduit à l'élément neutre, autrement dit {1} est la seule classe de conjugaison de G réduite à un élément ;
* d'après le théorème 43, p et q sont distincts et a et b sont non nuls, et le cardinal de toute autre classe de conjugaison (qui a priori divise |G|, cf. chapitre Action de groupe, section Le centralisateur et le normalisateur vus comme stabilisateurs) est divisible par pq.
On déduit de ces deux points que modulo pq, |G| est congru à la fois à 1 et à 0.
Cette contradiction achève la preuve par l'absurde du théorème.