# Moment cinétique en mécanique quantique/Composition de deux moments cinétiques

Lorsqu'on étudie un système constitué de plusieurs particules, auxquelles sont associés des opérateurs moment cinétique $\mathbf {J} _{i}$, il peut être intéressant de considérer le moment cinétique total $\mathbf {J} =\sum \mathbf {J} _{i}$.
Le but de ce chapitre est de faire le lien entre les éléments propres des différents moments cinétiques et ceux du moment cinétique total, dans le cas de l'addition de deux moments cinétique, en traitant d’abord le cas simple de deux spins 1/2. Nous verrons enfin les applications de cette opération.

## Un cas simple : composition de deux spins ½

On s'intéresse ici à la diagonalisation de l'opérateur $\mathbf {S} =\mathbf {S} _{1}+\mathbf {S} _{2}$ où $\mathbf {S} _{1}$ et $\mathbf {S} _{2}$ sont des moments cinétiques vérifiant $j_{1}=j_{2}=1/2~$, et donc $m_{i}=\pm 1/2~$.

### Notations

Pour alléger les notations, on pose pour les kets de $E=E_{1}\otimes E_{2}$ :
$|\varepsilon _{1}\rangle _{1}\otimes |\varepsilon _{2}\rangle _{2}=|\varepsilon _{1}\varepsilon _{2}\rangle$, par exemple $|+\rangle _{1}\otimes |-\rangle _{2}=|+-\rangle$.
On veut trouver une nouvelle base de $E~$ qui diagonalise $\mathbf {S} ^{2}$ et $S_{z}~$, on utilise les notations :
$\mathbf {S} ^{2}~|S,M\rangle =S(S+1)\hbar ^{2}~|S,M\rangle$
$S_{z}~|S,M\rangle =M\hbar ~|S,M\rangle$
$S_{+}=S_{x}+iS_{y}~~;~~S_{-}=S_{x}-iS_{y}$
La base constituée des kets $|\pm \pm \rangle$ est appelée base découplée, celle constituée des kets ${|S,M\rangle }$ base couplée.

### Calcul

L'action de $\mathbf {S} ^{2}$ et de $S_{z}~$ sur les kets de la base découplée se fait selon les règles de calcul dans un espace produit tensoriel, par exemple, on a
${\begin{aligned}\mathbf {S} ^{2}~|+-\rangle &=(\mathbf {S} _{1}^{2}+\mathbf {S} _{2}^{2}+2S_{1x}\cdot S_{2x}+2S_{1y}\cdot S_{2y}+2S_{1z}\cdot S_{2z})~|+-\rangle \\\ &=(\mathbf {S} _{1}^{2}+\mathbf {S} _{2}^{2}+2S_{1z}\cdot S_{2z}+S_{1+}\cdot S_{2-}+S_{1-}\cdot S_{2+})~|+-\rangle \\\ &=(3\hbar ^{2}/4+3\hbar ^{2}/4+2\cdot \hbar /2\cdot (-\hbar /2)+S_{1+}\cdot S_{2-}+S_{1-}\cdot S_{2+})~|+-\rangle \\\ &=(\hbar ^{2}+S_{1+}\cdot S_{2-}+S_{1-}\cdot S_{2+})~|+-\rangle \end{aligned}}$
Or
$S_{1+}\cdot S_{2-}~|+-\rangle =S_{1+}~|+\rangle _{1}\otimes S_{2-}~|-\rangle _{2}=0$
et de même
$S_{1-}\cdot S_{2+}~|+-\rangle =\hbar {\sqrt {1/2(1/2+1)-1/2(1/2-1)}}~|-\rangle _{1}\otimes \hbar {\sqrt {1/2(1/2+1)-(-1/2)(-1/2+1)}}~|+\rangle _{2}=\hbar ^{2}~|-+\rangle$
d'où finalement :
$\mathbf {S} ^{2}~|+-\rangle =\hbar ^{2}(|+-\rangle +|-+\rangle )$
Tous calculs effectués, on obtient les matrices suivantes (en rangeant les kets de la base découplée selon $\lbrace |++\rangle ,~|+-\rangle ,~|-+\rangle ,~|--\rangle \rbrace$) :
$\mathbf {S} ^{2}=\hbar ^{2}{\begin{pmatrix}2&0&0&0\\0&1&1&0\\0&1&1&0\\0&0&0&2\\\end{pmatrix}}~~~~S_{z}=\hbar {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\\\end{pmatrix}}$
On voit directement les valeurs propres de $S_{z}~$ : $M\in \lbrace -1,0,1\rbrace$ et une valeur propre de $\mathbf {S} ^{2}$ : $S(S+1)=2~$ soit $S=1~$. Il reste a diagonaliser la sous-matrice 2x2 suivante :
$A={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\\\end{pmatrix}}$.
Ce calcul ne pose pas de problème, on trouve les valeurs propres $S=1~$ associée au ket propre normalisé $1/{\sqrt {2}}(|+-\rangle +|-+\rangle )$ et $S=0~$ associé au ket propre $1/{\sqrt {2}}(|+-\rangle -|-+\rangle )$.

### Résultats

La base couplée s'écrit $\lbrace |1,1\rangle ,~|1,0\rangle ,~|1,-1\rangle ,~|0,0\rangle \rbrace$, et les relations avec la base découplée sont :
$|1,1\rangle =|++\rangle$
$|1,0\rangle =1/{\sqrt {2}}(|+-\rangle +|-+\rangle )$
$|1,-1\rangle =|--\rangle$
$|0,0\rangle =1/{\sqrt {2}}(|+-\rangle -|-+\rangle )$
Pour $S=1~$, on a 3 kets propres différents, on parle d'état triplet, alors que pour $S=0~$, on a un seul ket propre, on parle d'état singulet.

## Cas général

Dans le cas général, l'espace des états associé à une particule n’est pas forcément de dimension 2, et donc le problème est beaucoup plus complexe. On ne pourra pas avoir une expression des nouveaux kets propres (de la base couplée) en fonction de ceux de la base découplée comme dans le paragraphe précédent, mais on peut toujours avoir accès aux valeurs propres, et caractériser les kets propres.

### Notations

On note $|j_{i},m_{i}\rangle _{i}$ les kets de $E_{i}~$. On se place à $j_{1},j_{2}~$ fixés, il n'est donc pas nécessaire de tenir compte de ces nombres dans les notations : on pose $|m_{1},m_{2}\rangle =|j_{1},m_{1}\rangle _{1}\otimes |j_{2},m_{2}\rangle _{2}$ pour les kets de la base découplée de $E=E_{1}\otimes E_{2}$, et $|J,M\rangle$ pour ceux de la base couplée.
$J_{iz}~|m_{1},m_{2}\rangle =m_{i}\hbar ~|m_{1},m_{2}\rangle$
$\mathbf {J} _{i}^{2}~|m_{1},m_{2}\rangle =j_{i}(j_{i}+1)\hbar ^{2}~|m_{1},m_{2}\rangle$
$J_{z}~|J,M\rangle =M\hbar ~|J,M\rangle$
$\mathbf {J} ^{2}~|J,M\rangle =J(J+1)\hbar ^{2}~|J,M\rangle$
Dans le paragraphe suivant, on va chercher à déterminer les valeurs possibles de $J~$ et de $M~$.

### Détermination des valeurs propres

On remarque que l’on a simplement $J_{z}~|m_{1},m_{2}\rangle =J_{1z}~|m_{1},m_{2}\rangle +J_{2z}~|m_{1},m_{2}\rangle =\hbar (m_{1}+m_{2})~|m_{1},m_{2}\rangle$, donc les valeurs propres $M\hbar$ de $J_{z}~$ sont nécessairement de la forme $M=m_{1}+m_{2}~$.
Or on a la condition $-j_{i}\leq m_{i}\leq j_{i}~$, on en déduit les valeurs possibles pour $M~$ : $-j_{1}-j_{2}\leq M\leq j_{1}+j_{2}~$. On a vu que $M~$ prenait toutes les valeurs (entières ou demi entières, par saut d'une unité) entre $-J_{max}~$ et $J_{max}~$, donc réciproquement $J_{max}~$ est la plus grande valeur de $M~$, c'est-à-dire $J_{max}=j_{1}+j_{2}~$.
D'autre part, le calcul (dont un exemple est brièvement présenté au paragraphe suivant) donne $J_{min}=|j_{1}-j_{2}|~$.
On retient :
$M=m_{1}+m_{2}~$
$J_{min}\leq J\leq J_{max}~$ avec $J_{min}=|j_{1}-j_{2}|~$ et $J_{max}=j_{1}+j_{2}~$

### Détermination des kets propres

Pour éviter les confusions, on note ici $|m_{1},m_{2}\rangle _{d}$ les kets de la base découplée, et $|m_{1},m_{2}\rangle _{c}$ ceux de la base couplée.
On cherche à caractériser les espaces $E(J)=Vect(|J,M\rangle _{c},M=-J..J)$.
On peut dénombrer les kets de la base découplée qui vérifient les conditions précédentes, c'est-à-dire dénombrer les couples $(m_{1},m_{2})~$ qui vérifient $m_{1}+m_{2}=M~$, pour une valeur de $M~$ fixée entre $-J_{max}~$ et $J_{max}~$ :
* $M=J_{max}~$ est réalisée 1 fois, pour $(m_{1},m_{2})=(j_{1},j_{2})~$, soit pour le ket $|J_{max},J_{max}\rangle _{c}=|j_{1},j_{2}\rangle _{d}$.
* $M=J_{max}-1~$ est réalisée 2 fois, pour $(m_{1},m_{2})=(j_{1},j_{2}-1)~$ et $(m_{1},m_{2})=(j_{1}-1,j_{2})~$. Pour trouver les kets couplés correspondants (c'est-à-dire trouver $J~$, puisqu'on sait déjà que $M=J_{max}-1~$), il faut calculer l'image des kets découplés correspondants par l'opérateur $\mathbf {J} ^{2}$ :
$\mathbf {J} ^{2}~|j_{1},j_{2}-1\rangle _{d}=a_{1}~|j_{1},j_{2}-1\rangle _{d}+b_{1}~|j_{1}-1,j_{2}\rangle _{d}$
$\mathbf {J} ^{2}~|j_{1}-1,j_{2}\rangle _{d}=a_{2}~|j_{1},j_{2}-1\rangle _{d}+b_{2}~|j_{1}-1,j_{2}\rangle _{d}$
On cherche ensuite $|J,J_{max}-1\rangle _{c}=\alpha ~|j_{1},j_{2}-1\rangle _{d}+\beta ~|j_{1}-1,j_{2}\rangle _{d}$ tel que $\mathbf {J} ^{2}~|J,J_{max}-1\rangle _{c}=J(J+1)~|J,J_{max}-1\rangle _{c}$, et on trouve les deux solutions $J=J_{max}~$ et $J=J_{max}-1~$.
Pour $M=J_{max}-1~$, on a donc un ket de $E(J_{max})~$ et un ket de $E(J_{max}-1)~$.
* En raisonnant de même pour tout $M\in \lbrace -J_{max},..,J_{max}\rbrace$, on montre qu’il y a un unique ket $|J_{max},M\rangle _{c}\in E(J_{max})$, un unique $|J_{max}-1,M\rangle _{c}\in E(J_{max}-1)$, jusqu'à $|M,M\rangle _{c}\in E(M)$.
Ainsi, $J~$ prend toutes les valeurs entre $J_{min}=|j_{1}-j_{2}|~$ et $J_{max}=j_{1}+j_{2}~$, par saut d'une unité, et pour chacune de ces valeurs, il y a un espace $E(J)=Vect(|J,M\rangle _{c},M=-J..J)$.
On peut résumer cette propriété dans la tableau suivant :
${\begin{array}{|c|c|c|c|c|}E(J_{max})&&E(J_{max}-1)&...&E(J_{min})\\\hline |J_{max},J_{max}\rangle =|j_{1},j_{2}\rangle _{d}&&&&\\\downarrow J_{-}&&&&\\|J_{max},J_{max}-1\rangle ~~&\rightarrow \bot &|J_{max}-1,J_{max}-1\rangle ~~&&\\\downarrow J_{-}&&\downarrow J_{-}&&\\|J_{max},J_{max}-2\rangle ~~&\rightarrow \bot &|J_{max}-1,J_{max}-2\rangle ~~&...&\\...&&...&&|J_{min},J_{min}\rangle ~~\\...&&...&&...\\...&&...&&|J_{min},-J_{min}\rangle \\|J_{max},-J_{max}+2\rangle &\rightarrow \bot &|J_{max}-1,-J_{max}+2\rangle &...&\\|J_{max},-J_{max}+1\rangle &\rightarrow \bot &|J_{max}-1,-J_{max}+1\rangle &&\\|J_{max},-J_{max}\rangle ~~~~~&&&&\\\end{array}}$

## Applications

* Le spin ½