# Espaces de Banach/Exercices/Algèbres de Banach
## Exercice 2-1

Toutes les algèbres considérées dans cet exercice seront supposées sur $\mathbb {C}$, commutatives, et possédant un élément unité $e\neq 0$.
* Si $E$ est une algèbre de Banach, montrer que tout morphisme d'algèbres $T:E\to \mathbb {C}$ est continu, de norme $\leq 1$ (remarquer que $T(x)e-x$ n'est pas inversible)
* Rappelons que d'après le théorème de Krull, tout élément non inversible d'une algèbre $E$ est contenu dans un idéal maximal de $E$ (donc dans le noyau d'un morphisme d'algèbres $T:E\to \mathbb {C}$). Soit $E$ une algèbre de Banach telle que pour tout $x\in E$, $x\neq 0$, il existe $\lambda \neq 0$ tel que $\lambda e-x$ ne soit pas inversible. Montrer que pour tout $x\in E$, $x\neq 0$, il existe un morphisme d'algèbres $T:E\to \mathbb {C}$ tel que $Tx\neq 0$.
* Soient $E$ et $F$ des algèbres de Banach et $f:E\to F$ un morphisme d'algèbres.
** Soit $(x_{n})$ une suite de $E$ convergeant vers $0$ telle que la suite $\left(f(x_{n})\right)$ converge vers $y$. Montrer que pour tout morphisme d'algèbres $T:F\to \mathbb {C}$, $Ty=0$ (utiliser la question 1 pour $T$ et $T\circ f$).
** Si l'algèbre $F$ vérifie l'hypothèse de la question 2, en déduire que $f$ est continu.
* Déduire de ce qui précède que sur une algèbre vérifiant l'hypothèse de la question 2, deux normes d'algèbre de Banach sont nécessairement équivalentes.
* Soit ${\mathcal {C}}^{k}:={\mathcal {C}}^{k}([0,1])$ ($k\in \mathbb {N}$) l'algèbre des fonctions $f:[0,1]\to \mathbb {C}$ de classe ${\mathcal {C}}^{k}$. On sait que c'est une algèbre de Banach pour la norme
    $\|f\|:=\sum _{j=0}^{k}{\frac {1}{j!}}\sup _{0\leq t\leq 1}|\mathrm {D} ^{j}f(t)|$.
** Montrer que cette algèbre vérifie l'hypothèse de la question 2.
** On considère une sous-algèbre $E$ de l'algèbre ${\mathcal {C}}^{\infty }([0,1])$ des fonctions $f:[0,1]\to \mathbb {C}$ de classe ${\mathcal {C}}^{\infty }$ et l'on suppose que sur $E$, il existe une norme d'algèbre de Banach. Montrer qu'alors, il existe une suite $(M_{j})$ de réels telle que
    $\forall f\in E\quad \exists c\geq 0\quad \forall j\in \mathbb {N} \quad \sup _{0\leq t\leq 1}|\mathrm {D} ^{j}f(t)|\leq cM_{j}$
    (appliquer la question 3.2 à l'injection canonique de $E$ dans ${\mathcal {C}}^{k}$).
* Pour tout $x\in E$, $T(T(x)e-x)=0$ donc $T(x)e-x$ n'est pas inversible donc $|T(x)|\leq \|x\|$.
* Soit (d'après le rappel) un morphisme d'algèbres $T:E\to \mathbb {C}$ tel que $T(\lambda e-x)=0$. Alors, $T(x)=\lambda \neq 0$.
** $T(f(x_{n}))\to T(y)$ et $T\circ f(x_{n})\to T\circ f(0)=0$, donc $T(y)=0$.
** Si l'algèbre $F$ vérifie l'hypothèse de la question 2, on en déduit que $y=0$. Donc si $x_{n}\to 0$ et si $(f(x_{n}))$ converge alors elle converge vers $0$. D'après le théorème du graphe fermé, cela suffit à prouver que $f$ est continu.
* Sur une algèbre $E$ vérifiant l'hypothèse de la question 2, soient $N_{1}$ et $N_{2}$ deux normes d'algèbre de Banach. D'après ce qui précède, $\mathrm {id} _{E}:(E,N_{1})\to (E,N_{2})$ et $\mathrm {id} _{E}:(E,N_{2})\to (E,N_{1})$ sont continues, ce qui revient à dire que $N_{1}$ et $N_{2}$ sont équivalentes.
** Soit $f\in {\mathcal {C}}^{k}$ non nulle. Soit $t\in [0,1]$ tel que $\lambda :=f(t)\neq 0$. Alors, $\lambda e-f$ n'est pas inversible.
** Soit $N$ la norme sur $E$. Pour tout entier $k$, par continuité de l'injection canonique de $E$ dans ${\mathcal {C}}^{k}$, il existe un réel $A_{k}$ tel que $\forall f\in E\quad {\frac {1}{k!}}\sup _{0\leq t\leq 1}|\mathrm {D} ^{k}f(t)|\leq \sum _{j=0}^{k}{\frac {1}{j!}}\sup _{0\leq t\leq 1}|\mathrm {D} ^{j}f(t)|\leq A_{k}N(f)$, d'où le résultat, en posant $M_{k}=k!A_{k}$ et $c=N(f)$.
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