# Interférence/Interférences lumineuses
## Hypothèses et conditions d'interférences

Désormais, on ne va s'intéresser qu'au cas des ondes lumineuses. Notre œil n'étant sensible qu'au champ électrique de l'onde électromagnétique (à une certaine fréquence), on ne traitera pas la partie magnétique de l'onde.
La forme générale du champ électrique est la suivante : ${\vec {E}}={\vec {E_{0}}}\cos(\omega t-\varphi )$
avec
* ${\vec {E_{0}}}$ l'amplitude du champ électrique
* ω la pulsation (liée à la fréquence)
* $\varphi$ la phase à l'origine
Afin que les sources lumineuses puissent interférer, elles doivent obéir à certaines conditions. Il faut :
* qu’elles aient la même longueur d’onde (monochromatique) ;
* qu’elles aient la même direction de propagation ;
* qu’elles aient la même direction de vibration (polarisation) ,
* qu’elles soient cohérentes.

## Notion de cohérence

Il existe en fait deux types de cohérences : la cohérence temporelle et la cohérence spatiale.

### Cohérence temporelle

Dans un atome, lorsqu’un électron excité passe d’une orbite de haute énergie, à une énergie de plus faible énergie (les niveaux d’énergie sont quantifiés), il y a alors émission d’une onde électromagnétique. Bien entendu, cette émission est de durée finie : on parle de l'émission d'un train d’ondes car son étendue spatiale et temporelle est finie. La durée de cette transition électronique est de l’ordre de τ= 10$^{-9}$s.
Lorsqu'on veut faire interférer deux sources, il faut que la différence de phase entre ces 2 sources soit indépendante du temps pour pouvoir observer des interférences. Or, en pratique, lorsqu'on utilise par exemple une lampe à sodium, chaque onde émise possède sa phase propre qui varie à chaque émission de train d’onde (les atomes se « désexcitent » de façon aléatoire) !
De plus, il faut que les trains d'ondes qu'on veut faire interférer aient été émis en même temps.
Toutes ces conditions caractérisent la cohérence temporelle du système.
En pratique, pour être sûr de réaliser la cohérence temporelle, on utilise la même source et on fait interférer 2 ondes provenant de cette même source en procédant à une division de l’onde initiale en deux soit par division du front d’onde, soit par division d'amplitude.
La seule source lumineuse qui satisfait toutes ces conditions est le LASER. Toutes les autres sources (soleil, ampoule électrique…) sont incohérentes.

### Cohérence spatiale

La cohérence spatiale fait intervenir l’étendue de la source elle-même. Si la source lumineuse est réduite à la dimension d’une particule, on obtiendrait une figure interférentielle, mais on ne pourrait la voir car son intensité lumineuse serait trop faible. De même, si la dimension de la source devient trop grande, on obtient un brouillage des franges. Ceci s’explique par le fait que l’on peut considérer l’étendue de la source comme plusieurs sources ponctuelles qui donneraient chacune leur propre figure d’interférence.
Il faut donc que la dimension de la source soit assez grande pour avoir une intensité lumineuse suffisante, mais pas trop grande afin d’éviter de diminuer le contraste jusqu’à un éclairement uniforme.

## Expression de l'intensité lumineuse

Soit les champs électriques ${\vec {E_{1}}}$ et ${\vec {E_{2}}}$ issus des 2 sources $S_{1}$ et $S_{2}$ cohérentes. Les champs électriques étant dans le même état de polarisation, on peut travailler avec des grandeurs scalaires.
Ainsi on a $E_{1}=E_{1,0}\cos(\omega t-\varphi _{1})$ et $E_{2}=E_{2,0}\cos(\omega t-\varphi _{2})$.
En notation complexe, ${\underline {E}}_{1}=E_{1,0}e^{j(\omega t-\varphi _{1})}$ et ${\underline {E}}_{2}=E_{2,0}e^{j(\omega t-\varphi _{2})}$
Le champ électrique en M, est la somme des champs électriques des 2 sources. Ainsi,
    ${\begin{aligned}{\underline {E}}_{M}&={\underline {E}}_{1}+{\underline {E}}_{2}\\&=E_{1,0}e^{j(\omega t-\varphi _{1})}+E_{2,0}e^{j(\omega t-\varphi _{2})}\\&=e^{j(\omega t-\varphi _{1})}[E_{1,0}+E_{2,0}e^{j(\varphi _{1}-\varphi _{2})}]\end{aligned}}$
Le conjugué vaut ${\underline {E}}_{M}^{*}=e^{-j(\omega t-\varphi _{1})}[E_{1,0}+E_{2,0}e^{-j(\varphi _{1}-\varphi _{2})}]$
L'œil est sensible à l'intensité lumineuse, qui elle, est proportionnelle à la valeur moyenne du champ électrique.
$I\propto \langle {\underline {E}}_{M}\cdot {\underline {E}}_{M}^{*}\rangle$
On pose $\varphi =\varphi _{1}-\varphi _{2}$ d'où
${\begin{aligned}I&=E_{1,0}^{2}+E_{2,0}^{2}+E_{1,0}E_{2,0}e^{j\varphi }+E_{1,0}E_{2,0}e^{-j\varphi }\\&=E_{1,0}^{2}+E_{2,0}^{2}+2E_{1,0}E_{2,0}\cos(\varphi )\end{aligned}}$
En utilisant les intensités des ondes qui interfèrent ($I_{1}\propto E_{1,0}^{2}$ et $I_{2}\propto E_{2,0}^{2}$), on obtient finalement :
Dans le cas particulier où $I_{1}=I_{2}=I_{0}$, on a $I=2I_{0}(1+\cos(\varphi ))$, soit, comme $1+\cos(\varphi )=2\cos ^{2}{\frac {\varphi }{2}}$ :
On retrouve une expression du même type que celle établie au chapitre précédent avec $\varphi =2\pi \sigma _{0}\delta$.
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