# Signaux physiques (PCSI)/Circuits linéaires du premier ordre : stockage et dissipation d'énergie
## Puissance électrique instantanée reçue par une association série ou parallèle de dipôles
### Rappel : puissance électrique instantanée reçue par un dipôle

Considérant un dipôle en convention récepteur traversé par un courant d'intensité instantanée $\;i(t)\;$ et aux bornes duquel la tension instantanée vaut $\;u(t)$,
$\;{\mathcal {P}}_{e,\,r}(t)=u(t)\;i(t)\;$

### Puissance électrique instantanée reçue par une association série de dipôles

« La puissance électrique instantanée reçue par une association série de dipôles est égale à la somme des puissances électriques instantanées reçues individuellement par chaque dipôle », en effet, chaque dipôle étant traversé par un courant de même intensité $\;i(t)\;$ et la tension $\;u(t)\;$ aux bornes de l'association série de dipôles étant la somme des tensions aux bornes de chaque dipôle $\;u_{k}(t)\;$ c.-à-d. $\;u(t)=$ $\sum \limits _{k}u_{k}(t)$, la puissance électrique instantanée reçue par l'association en convention récepteur s'écrit $\;{\mathcal {P}}_{e,\,r}(t)=u(t)\;i(t)=\left[\sum \limits _{k}u_{k}(t)\right]i(t)=\left[\sum \limits _{k}u_{k}(t)\;i(t)\right]\;$ soit finalement
$\;{\mathcal {P}}_{e,\,r}(t)=\left[\sum \limits _{k}{\mathcal {P}}_{e,\,r,\,k}(t)\right]\;$

### Puissance électrique instantanée reçue par une association parallèle de dipôles

« La puissance électrique instantanée reçue par une association parallèle de dipôles est égale à la somme des puissances électriques instantanées reçues individuellement par chaque dipôle », en effet, chaque dipôle étant soumis à la même tension $\;u(t)\;$ et l'intensité $\;i(t)\;$ du courant traversant l'association parallèle de dipôles étant la somme des intensités des courants traversant dipôle individuellement $\;i_{k}(t)\;$ c.-à-d. $\;i(t)=\sum \limits _{k}i_{k}(t)$, la puissance électrique instantanée reçue par l'association en convention récepteur s'écrit $\;{\mathcal {P}}_{e,\,r}(t)=u(t)\;i(t)=u(t)\left[\sum \limits _{k}i_{k}(t)\right]=\left[\sum \limits _{k}u(t)\;i_{k}(t)\right]\;$ soit finalement
$\;{\mathcal {P}}_{e,\,r}(t)=\left[\sum \limits _{k}{\mathcal {P}}_{e,\,r,\,k}(t)\right]\;$

## Puissance électrique instantanée fournie par un échelon de tension d'amplitude E délivrant un courant d'intensité i(t)

« L'échelon de tension » d'amplitude $\;E$, de f.e.m. instantanée $\;e(t)=E\;Y(t)$, étant en convention générateur, la puissance électrique instantanée qu'il délivre s'écrit
$\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)=e(t)\;i(t)=E\;Y(t)\;i(t)\;$

## Bilan de puissance d'un « R C série » soumis à un échelon de tension et conséquences
### Bilan de puissance d'un « R C série » soumis à un échelon de tension d'amplitude E délivrant un courant d'intensité i(t)

La puissance électrique instantanée $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)\;$ fournie par « l'échelon de tension » d'amplitude $\;E$, se retrouve en gain horaire d'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{C}}{dt}}(t)\;$ et en puissance calorifique $\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)\;$ dissipée dans le conducteur ohmique soit
$\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)={\dfrac {d{\mathcal {E}}_{C}}{dt}}(t)+{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)\;$
* «$\;{\mathcal {E}}_{C}(t)={\dfrac {1}{2}}\;C\;\left[u_{C}(t)\right]^{2}={\dfrac {\left[q(t)\right]^{2}}{2\;C}}\;$», $\;u_{C}(t)\;$ étant la tension instantanée aux bornes du condensateur $\;{\big$en convention récepteur${\big )}\;$ et $\;q(t)\;$ sa charge instantanée et
* «$\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)=R\;\left[i(t)\right]^{2}={\dfrac {\left[u_{R}(t)\right]^{2}}{R}}\;$», $\;i(t)\;$ étant l'intensité instantanée du courant fournie par la source et $\;u_{R}(t)\;$ la tension instantanée aux bornes du conducteur ohmique $\;{\big$en convention récepteur${\big )}$.

### Étude des discontinuités éventuelles des grandeurs du bilan de puissance d'un « R C série » soumis à un échelon de tension

Nous avons vu dans le chap.$26$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » que « l'intensité du courant de charge du condensateur d'un$\;R\,C\;$série soumis à un échelon de tension était discontinue de 1ère espèce en$\;t=0\;$»$^,$, cela entraîne une discontinuité de 1ère espèce de
* la puissance calorifique $\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)=R\;\left[i(t)\right]^{2}\;$ dissipée dans le conducteur ohmique en $\;t=0\;$ ainsi que de
* la puissance électrique instantanée $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)=e(t)\;i(t)\;$ fournie par l'échelon de tension en $\;t=0$ ;
le bilan de puissance $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)={\dfrac {d{\mathcal {E}}_{C}}{dt}}(t)+{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)\;$ permet alors d'affirmer que « le gain horaire d'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{C}}{dt}}(t)\;$» a « une discontinuité de 1ère espèce ou une continuité en $\;t=0\;$» ;
on peut vérifier que « le gain horaire d'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{C}}{dt}}(t)\;$» est
* « continu si le condensateur est initialement déchargé » ou
* « discontinu de 1ère espèce s'il est initialement chargé »
en effet explicitant la « dérivée temporelle », on obtient $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{C}}{dt}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;C\;2\;u_{C}(t)\;{\dot {u_{C}}}(t)=u_{C}(t)\;C\;{\dot {u_{C}}}(t)\;$ soit encore «$\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{C}}{dt}}(t)=$ $u_{C}(t)\;i(t)\;$» en utilisant la définition de l'intensité du courant de décharge du condensateur ; l'expression obtenue étant le produit, en $\;t=0$, d'une grandeur continue $\;u_{C}(t)\;$ et d'une autre discontinue de 1ère espèce $\;i(t)$, est discontinue de 1ère espèce dans la mesure où $\;u_{C}(0)\neq 0\;$ ${\big$ce qui nécessite que le condensateur soit chargé initialement${\big )}$ ;
dans les deux cas, le fait que le gain horaire d'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{C}}{dt}}(t)\;$ soit continu ou discontinu de 1ère espèce est conforme au caractère continu de l'énergie stockée par le condensateur $\;{\mathcal {E}}_{C}(t)\;$ sous forme électrostatique.

### Déduire du bilan de puissance d'un « R C série » soumis à un échelon de tension l'équation différentielle en tension de charge du condensateur, puis en son intensité de courant de charge
#### Déduire du bilan de puissance d'un « R C série » soumis à un échelon de tension d'amplitude E l'équation différentielle en tension de charge u$_C$(t) du condensateur

Il suffit d'expliciter le calcul de la dérivée temporelle de l'énergie stockée par le condensateur sous forme électrostatique en fonction de sa tension de charge $\;u_{C}(t)\;$ soit «$\;{\mathcal {E}}_{C}(t)={\dfrac {1}{2}}\;C\;\left[u_{C}(t)\right]^{2}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{C}}{dt}}(t)$ $={\dfrac {1}{2}}\;C\;2\;u_{C}(t)\;{\dot {u_{C}}}(t)=u_{C}(t)\;C\;{\dot {u_{C}}}(t)=u_{C}(t)\;i(t)\;$» ;
son report dans le bilan de puissance ainsi que celui de la puissance électrique instantanée fournie par l'échelon de tension et de la puissance calorifique dissipée dans le conducteur ohmique, toutes deux exprimées en fonction de l'intensité, conduit à «$\;e(t)\;i(t)=u_{C}(t)\;i(t)+R\;\left[i(t)\right]^{2}\;$» ou, après simplification par $\;i(t)\;$ et remplacement de l'expression de $\;i(t)\;$ restante par $\;C\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)$, on obtient $\;e(t)$ $=u_{C}(t)+R\;C\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)\;$ soit en normalisant
$\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{R\;C}}\;u_{C}(t)={\dfrac {e(t)}{R\;C}}\;$
$\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{R\;C}}\;u_{C}(t)={\dfrac {E}{R\;C}}\;Y(t)\;\;\forall t\;$

#### Déduire du bilan de puissance d'un « R C série » soumis à un échelon de tension d'amplitude E l'équation différentielle en intensité du courant de charge i(t) du condensateur

Ayant déterminé l'équation différentielle en tension de charge du condensateur, il suffit de dériver une nouvelle fois par rapport à $\;t\;$ et multiplier par $\;C\;$ dans le but d'utiliser $\;i(t)=C\;{\dfrac {du_{C}}{dt}}(t)$ d'où l'équation différentielle cherchée
$\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{R\;C}}\;i(t)={\dfrac {{\dot {e}}(t)}{R}}\;$
$\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{R\;C}}\;i(t)={\dfrac {E}{R}}\;\delta (t)\;\;\forall t\;$

### Bilan d'énergie d'un « R C série » soumis à un échelon de tension, dissipation d'énergie dans le conducteur ohmique

Multipliant le « bilan de puissance exprimé à l'instant $\;t\;$» $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)={\dfrac {d{\mathcal {E}}_{C}}{dt}}(t)+{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)\;$ par $\;dt$, on obtient le bilan d'énergie sur l'intervalle $\;\left[t\;,\;t+dt\right]\;$ soit
$\;\delta W_{e,\,f,\,{\text{source}}}=d{\mathcal {E}}_{C}+\delta Q_{{\text{cal}},\,R}\;$
c.-à-d. « le travail électrique élémentaire fourni par la source » se retrouvant en « gain d'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique » et en « énergie calorifique élémentaire dissipée dans le conducteur ohmique » ou, en explicitant les différents termes
$\;E\;Y(t)\;i(t)\;dt=d\!\left\lbrace {\dfrac {1}{2}}\;C\left[u_{C}(t)\right]^{2}\right\rbrace +R\;\left[i(t)\right]^{2}\;dt\;$
écrivons maintenant le bilan d'énergie pour la durée totale de la charge du condensateur c.-à-d. sur l'intervalle théorique $\;\left[0\;;\;+\infty \right[\;$ on obtient
$\;W_{e,\,f,\,{\text{source}}}=\Delta {\mathcal {E}}_{C}+Q_{{\text{cal}},\,R}\;$
où «$\;W_{e,\,f,\,{\text{source}}}\;$ est le travail électrique fourni par la source pendant la durée de la charge » soit «$\;W_{e,\,f,\,{\text{source}}}=\displaystyle \int _{0}^{+\infty }E\;Y(t)\;i(t)\;dt\;$», où «$\;\Delta {\mathcal {E}}_{C}={\mathcal {E}}_{C}(+\infty )-{\mathcal {E}}_{C}(0^{+})\;$ le gain d'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique » soit encore «$\;\Delta {\mathcal {E}}_{C}={\dfrac {1}{2}}\;C\;E^{\,2}-0=$ ${\dfrac {1}{2}}\;C\;E^{\,2}\;$» et où «$\;Q_{{\text{cal}},\,R}\;$ la chaleur dissipée dans le conducteur ohmique » soit encore «$\;Q_{{\text{cal}},\,R}=\displaystyle \int _{0^{+}}^{+\infty }R\;\left[i(t)\right]^{2}\;dt\;$» ;
explicitons le travail électrique fourni par la source pendant la durée complète de la charge en remarquant que $\;i(t)={\dfrac {dq}{dt}}(t)\;$ $\Rightarrow$ $\;i(t)\;dt=dq\;$ on trouve «$\;W_{e,\,f,\,{\text{source}}}=\displaystyle \int _{0}^{+\infty }E\;Y(t)\;i(t)\;dt=$ $E\;\displaystyle \int _{0}^{+\infty }dq=E\;\left[q(+\infty )-q(0^{+})\right]\;$» soit, avec $\;q(+\infty )=C\;E$, l'expression finale du travail électrique fourni par la source pendant la durée complète de la charge
$\;W_{e,\,f,\,{\text{source}}}=C\;E^{\,2}\;$
du bilan d'énergie pendant la durée complète de la charge du condensateur, on en déduit la chaleur dissipée dans le conducteur ohmique $\;Q_{{\text{cal}},\,R}=$ $W_{e,\,f,\,{\text{source}}}-\Delta {\mathcal {E}}_{C}=C\;E^{\,2}-{\dfrac {1}{2}}\;C\;E^{\,2}\;$ soit
$\;Q_{{\text{cal}},\,R}={\dfrac {1}{2}}\;C\;E^{\,2}\;$
Remarque : le but étant de charger le condensateur, nous pouvons définir le rendement de cette charge comme le rapport de l'énergie stockée par le condensateur sous forme électrostatique sur l'énergie fournie par la source, nous trouvons alors «$\;\rho ={\dfrac {\Delta {\mathcal {E}}_{C}}{W_{e,\,f,\,{\text{source}}}}}={\dfrac {1}{2}}\;$», l'énergie dissipée sous forme calorifique dans le conducteur ohmique représentant donc $\;50\,\%$.

## Bilan de puissance d'un « R L série » soumis à un échelon de tension et conséquences
### Bilan de puissance d'un « R L série » soumis à un échelon de tension d'amplitude E délivrant un courant d'intensité i(t)

La puissance électrique instantanée $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)\;$ fournie par « l'échelon de tension » d'amplitude $\;E$, se retrouve en gain horaire d'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{L}}{dt}}(t)\;$ et en puissance calorifique $\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)\;$ dissipée dans le conducteur ohmique soit
$\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)={\dfrac {d{\mathcal {E}}_{L}}{dt}}(t)+{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)\;$
* «$\;{\mathcal {E}}_{L}(t)={\dfrac {1}{2}}\;L\;\left[i(t)\right]^{2}\;$», $\;i(t)\;$ étant l'intensité instantanée du courant traversant la bobine $\;{\big$en convention récepteur${\big )}\;$ et
* «$\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)=R\;\left[i(t)\right]^{2}={\dfrac {\left[u_{R}(t)\right]^{2}}{R}}\;$», $\;i(t)\;$ étant aussi l'intensité instantanée du courant fournie par la source et $\;u_{R}(t)\;$ la tension instantanée aux bornes du conducteur ohmique $\;{\big$en convention récepteur${\big )}$.

### Étude des discontinuités éventuelles des grandeurs du bilan de puissance d'un « R L série » soumis à un échelon de tension

Nous avons vu dans le chap.$26$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » que « l'intensité du courant traversant la bobine d'un$\;R\,L\;$série soumis à un échelon de tension était continue en$\;t=0\;$», cela entraîne, dans la mesure où la bobine n'est traversée par aucun courant initialement, une continuité, en$\;t=0\;$, de
* la puissance calorifique $\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)=R\;\left[i(t)\right]^{2}\;$ dissipée dans le conducteur ohmique ainsi que de
* la puissance électrique instantanée $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)=e(t)\;i(t)\;$ fournie par l'échelon de tension ;
le bilan de puissance $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)={\dfrac {d{\mathcal {E}}_{L}}{dt}}(t)+{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)\;$ permet alors d'affirmer que « le gain horaire d'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{L}}{dt}}(t)\;$» est « continue en $\;t=0\;$».
Remarque : si la bobine était initialement traversée par un courant d'intensité non nulle, « l'intensité du courant traversant la bobine d'un$\;R\,L\;$série soumis à un échelon de tension étant continue en$\;t$ $=0\;$», cela entraînerait,  Remarque : $\centerdot \;$une continuité de la puissance calorifique $\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)=R\;\left[i(t)\right]^{2}\;$ dissipée dans le conducteur ohmique en $\;t=0\;$ mais  Remarque : $\centerdot \;$une discontinuité de 1ère espèce en ce même instant de la puissance électrique instantanée $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)=e(t)\;i(t)\;$ fournie par l'échelon de tension ;
Remarque : le bilan de puissance $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)={\dfrac {d{\mathcal {E}}_{L}}{dt}}(t)+{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)\;$ permettrait alors d'affirmer que « le gain horaire d'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{L}}{dt}}(t)\;$» a « une discontinuité de 1ère espèce en $\;t=0\;$»$^,$.
on peut vérifier que « le gain horaire d'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{L}}{dt}}(t)\;$» est
* « continu si la bobine n'est initialement traversée par aucun courant » $\;{\big$ce qui est le cas usuel${\big )}\;$ ou
* « discontinu de 1ère espèce si elle est initialement traversée par un courant »
en effet explicitant la « dérivée temporelle », on obtient $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{L}}{dt}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;L\;2\;i(t)\;{\dfrac {di}{dt}}(t)=i(t)\;L\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$ soit encore «$\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{L}}{dt}}(t)=$ $i(t)\;u_{L}(t)\;$» en utilisant la définition de la tension aux bornes de la bobine parfaite ; l'expression obtenue étant le produit, en $\;t=0$, d'une grandeur continue $\;i(t)\;$ et d'une autre discontinue de 1ère espèce $\;u_{L}(t)$, est discontinue de 1ère espèce dans la mesure où $\;i(0)\neq 0\;$ ${\big$ce qui nécessite que la bobine soit initialement traversée par un courant${\big )}$ ;
dans les deux cas, le fait que le gain horaire d'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{L}}{dt}}(t)\;$ soit continu ou discontinu de 1ère espèce est conforme au caractère continu de l'énergie stockée par la bobine $\;{\mathcal {E}}_{L}(t)\;$ sous forme électromagnétique.

### Déduire du bilan de puissance d'un « R L série » soumis à un échelon de tension l'équation différentielle en intensité de courant traversant la bobine, puis en la tension entre ses bornes
#### Déduire du bilan de puissance d'un « R L série » soumis à un échelon de tension d'amplitude E l'équation différentielle en intensité de courant i(t) traversant la bobine

Il suffit d'expliciter le calcul de la dérivée temporelle de l'énergie stockée par la bobine sous forme électromagnétique en fonction de l'intensité du courant $\;i(t)\;$ la traversant soit «$\;{\mathcal {E}}_{L}(t)={\dfrac {1}{2}}\;L\;\left[i_{L}(t)\right]^{2}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{L}}{dt}}(t)$ $={\dfrac {1}{2}}\;L\;2\;i(t)\;{\dfrac {di}{dt}}(t)=i(t)\;L\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;$» ;
son report dans le bilan de puissance ainsi que celui de la puissance électrique instantanée fournie par l'échelon de tension et de la puissance calorifique dissipée dans le conducteur ohmique, toutes deux exprimées en fonction de l'intensité, conduit à «$\;e(t)\;i(t)=L\;{\dfrac {di}{dt}}(t)\;i(t)+R\;\left[i(t)\right]^{2}\;$» ou, après simplification par $\;i(t)\;$, on obtient $\;e(t)=L\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+R\;i(t)\;$ soit en normalisant
$\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+{\dfrac {R}{L}}\;i(t)={\dfrac {e(t)}{L}}\;$
$\;{\dfrac {di}{dt}}(t)+{\dfrac {R}{L}}\;i(t)={\dfrac {E}{L}}\;Y(t)\;\;\forall t\;$

#### Déduire du bilan de puissance d'un « R L série » soumis à un échelon de tension d'amplitude E l'équation différentielle en tension u$_L$(t) aux bornes de la bobine parfaite

Ayant déterminé l'équation différentielle en intensité de courant traversant la bobine, il suffit de dériver une nouvelle fois par rapport à $\;t\;$ et multiplier par $\;L\;$ dans le but d'utiliser $\;u_{L}(t)=L\;{\dfrac {di}{dt}}(t)$ d'où l'équation différentielle cherchée
$\;{\dfrac {du_{L}}{dt}}(t)+{\dfrac {R}{L}}\;u_{L}(t)={\dot {e}}(t)\;$
$\;{\dfrac {du_{L}}{dt}}(t)+{\dfrac {R}{L}}\;u_{L}(t)=E\;\delta (t)\;\;\forall t\;$

### Bilan d'énergie d'un « R L série » soumis à un échelon de tension, dissipation d'énergie dans le conducteur ohmique

Multipliant le « bilan de puissance exprimé à l'instant $\;t\;$» $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)={\dfrac {d{\mathcal {E}}_{L}}{dt}}(t)+{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)\;$ par $\;dt$, on obtient le bilan d'énergie sur l'intervalle $\;\left[t\;,\;t+dt\right]\;$ soit
$\;\delta W_{e,\,f,\,{\text{source}}}=d{\mathcal {E}}_{L}+\delta Q_{{\text{cal}},\,R}\;$
c.-à-d. « le travail électrique élémentaire fourni par la source » se retrouvant en « gain d'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique » et en « énergie calorifique élémentaire dissipée dans le conducteur ohmique » ou, en explicitant les différents termes
$\;E\;Y(t)\;i(t)\;dt=d\!\left\lbrace {\dfrac {1}{2}}\;L\left[i(t)\right]^{2}\right\rbrace +R\;\left[i(t)\right]^{2}\;dt\;$
si nous écrivions maintenant le bilan d'énergie pour la durée totale de l'établissement du courant dans la bobine c.-à-d. sur l'intervalle théorique $\;\left[0\;;\;+\infty \right[\;$ nous obtiendrions
$\;W_{e,\,f,\,{\text{source}}}=\Delta {\mathcal {E}}_{L}+Q_{{\text{cal}},\,R}\;$
«$\;W_{e,\,f,\,{\text{source}}}\;$ le travail électrique fourni par la source pendant la durée de l'établissement du courant » qui s'écrirait encore «$\;W_{e,\,f,\,{\text{source}}}=\displaystyle \int _{0}^{+\infty }E\;Y(t)\;i(t)\;dt\;$ ${\big$sous réserve de convergence${\big )}\;$», «$\;\Delta {\mathcal {E}}_{L}={\mathcal {E}}_{L}(+\infty )-{\mathcal {E}}_{L}(0^{+})\;$ le gain d'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique » soit encore «$\;\Delta {\mathcal {E}}_{L}={\dfrac {1}{2}}\;L\;\left({\dfrac {E}{R}}\right)^{\!2}-0$ $={\dfrac {1}{2}}\;L\;\left({\dfrac {E}{R}}\right)^{\!2}\;$» et «$\;Q_{{\text{cal}},\,R}\;$ la chaleur dissipée dans le conducteur ohmique » qui s'écrirait encore «$\;Q_{{\text{cal}},\,R}$ $=\displaystyle \int _{0^{+}}^{+\infty }R\;\left[i(t)\right]^{2}\;dt\;$ ${\big$sous réserve de convergence${\big )}\;$», mais $\;\ldots \;$ si nous écrivions les deux grandeurs «$\;\displaystyle \int _{0}^{+\infty }E\;Y(t)\;i(t)\;dt\;$» et «$\;\displaystyle \int _{0^{+}}^{+\infty }R\;\left[i(t)\right]^{2}\;dt\;$» étant infinies, il y a donc divergence des intégrales généralisées et il est nécessaire de restreindre la durée de l'établissement du courant dans la bobine pour travailler avec des grandeurs finies aussi si nous écrivions considérons un instant $\;t_{1}\;$ à partir duquel nous pouvons estimer que le courant est « quasiment » établi et si nous écrivions décomposons la 1ère intégrale selon «$\;\displaystyle \int _{0}^{\Delta t}E\;Y(t)\;i(t)\;dt=\displaystyle \int _{0}^{t_{1}}E\;i(t)\;dt+\displaystyle \int _{t_{1}}^{\Delta t}E\;i(t)\;dt\;\simeq$ $\displaystyle \int _{0}^{t_{1}}E\;i(t)\;dt+\displaystyle \int _{t_{1}}^{\Delta t}E\;{\dfrac {E}{R}}\;dt=\displaystyle \int _{0}^{t_{1}}E\;i(t)\;dt+{\dfrac {E^{\,2}}{R}}\;\left[\Delta t-t_{1}\right]\;$» soit, en faisant tendre $\;\Delta t\;$ vers $\;+\infty$, « une divergence » à cause du « dernier terme $\;{\dfrac {E^{\,2}}{R}}\;\left[\Delta t-t_{1}\right]\;$», le « 1er terme $\;\displaystyle \int _{0}^{t_{1}}E\;i(t)\;dt\;$» étant, quant à lui, fini et si nous écrivions décomposons la 2ème intégrale selon «$\;\displaystyle \int _{0^{+}}^{\Delta t}\!R\,\left[i(t)\right]^{2}\;dt=\displaystyle \int _{0}^{t_{1}}\!R\,\left[i(t)\right]^{2}\;dt+\displaystyle \int _{t_{1}}^{\Delta t}\!R\,\left[i(t)\right]^{2}\;dt\;\simeq$ $\displaystyle \int _{0}^{t_{1}}\!R\,\left[i(t)\right]^{2}\;dt+\displaystyle \int _{t_{1}}^{\Delta t}\!R\,\left[{\dfrac {E}{R}}\right]^{2}\;dt=\displaystyle \int _{0}^{t_{1}}\!R\,\left[i(t)\right]^{2}\;dt+{\dfrac {E^{\,2}}{R}}\,\left[\Delta t-t_{1}\right]\;$» soit, en faisant tendre $\;\Delta t\;$ vers $\;+\infty$, « une divergence » à cause du « dernier terme $\;{\dfrac {E^{\,2}}{R}}\;\left[\Delta t-t_{1}\right]\;$», le « 1er terme $\;\displaystyle \int _{0}^{t_{1}}R\;\left[i(t)\right]^{2}\;dt\;$» étant, quant à lui, fini.
Nous allons écrire le bilan d'énergie sur un intervalle $\;\left[0\,;\,T_{x\,\%}\right]\;$ où $\;T_{x\,\%}\;$ est l'instant au-delà duquel la réponse forcée est établie à moins de $\;x\,\%\;$ près, Nous allons écrire le bilan d'énergie sur un intervalle $\;\color {transparent}{\left[0\,;\,T_{x\,\%}\right]}\;$ en choisissant $\;x=10\;$ par exemple $\;{\big$sachant que $\;T_{10\,\%}\simeq 2,3\;\tau \;$${\big )}\;$ d'où
$\;W_{e,\,f,\,{\text{source}},\,{\text{sur}}\,\left[0\,;\,T_{10\,\%}\right]}\simeq \Delta {\mathcal {E}}_{L}+Q_{{\text{cal}},\,R,\,{\text{sur}}\,\left[0\,;\,T_{10\,\%}\right]}\;$
Nous allons écrire le bilan d'énergie sur un intervalle $\;\color {transparent}{\left[0\,;\,T_{x\,\%}\right]}\;$ où «$\;W_{e,\,f,\,{\text{source}},\,{\text{sur}}\,\left[0\,;\,T_{10\,\%}\right]}\;$ est le travail électrique fourni par la source pendant la durée de l'établissement du courant à $\;10\,\%\;$ près », soit «$\;W_{e,\,f,\,{\text{source}},\,{\text{sur}}\,\left[0\,;\,T_{10\,\%}\right]}$ $=\displaystyle \int _{0}^{T_{10\,\%}}E\;Y(t)\;i(t)\;dt\simeq$ $\displaystyle \int _{0}^{2,3\,\tau }E\;i(t)\;dt\;$»,
Nous allons écrire le bilan d'énergie sur un intervalle $\;\color {transparent}{\left[0\,;\,T_{x\,\%}\right]}\;$ où «$\;\Delta {\mathcal {E}}_{L}\simeq {\mathcal {E}}_{L}(+\infty )-{\mathcal {E}}_{L}(0^{+})\;$ le gain d'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique à moins de $\;1\,\%\;$ près », soit «$\;\Delta {\mathcal {E}}_{L}\simeq$ ${\dfrac {1}{2}}\;L\;\left({\dfrac {E}{R}}\right)^{\!2}-0$ $={\dfrac {1}{2}}\;L\;\left({\dfrac {E}{R}}\right)^{\!2}\;$» et
Nous allons écrire le bilan d'énergie sur un intervalle $\;\color {transparent}{\left[0\,;\,T_{x\,\%}\right]}\;$ où «$\;Q_{{\text{cal}},\,R,\,{\text{sur}}\,\left[0\,;\,T_{10\,\%}\right]}\;$ la chaleur dissipée dans le conducteur ohmique pendant la durée de $\;T_{10\,\%}\simeq 2,3\,\tau \;$» soit «$\;Q_{{\text{cal}},\,R,\,{\text{sur}}\,\left[0\,;\,T_{10\,\%}\right]}$ $=\displaystyle \int _{0}^{T_{10\,\%}}R\;\left[i(t)\right]^{2}\;dt\simeq \displaystyle \int _{0}^{2,3\,\tau }R\;\left[i(t)\right]^{2}\;dt\;$» ;
Nous allons écrire le bilan d'énergie sur un intervalle $\;\color {transparent}{\left[0\,;\,T_{x\,\%}\right]}\;$ à partir de l'expression de l'intensité du courant traversant la bobine «$\;i(t)={\dfrac {E}{R}}\left[1-\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\right]\;$» nous pouvons évaluer
* le travail électrique fourni par la source pendant la durée de $\;T_{10\,\%}\simeq 2,3\,\tau \;$ selon «$\;W_{e,\,f,\,{\text{source}},\,{\text{sur}}\,\left[0\,;\,T_{10\,\%}\right]}\simeq \displaystyle \int _{0}^{2,3\,\tau }{\dfrac {E^{\,2}}{R}}\left[1-\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\right]dt={\dfrac {E^{\,2}}{R}}\left[t+\tau \;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\right]_{0}^{2,3\,\tau }=$ ${\dfrac {E^{\,2}}{R}}\left[2,3\;\tau +\tau \;\exp \!\left(-2,3\right)-\tau \right]\simeq {\dfrac {E^{\,2}}{R}}\;1,4\;\tau \;$» ou encore, avec $\;\tau ={\dfrac {L}{R}}\;$ et $\;i(+\infty )={\dfrac {E}{R}}\;$, «$\;W_{e,\,f,\,{\text{source}},\,{\text{sur}}\,\left[0\,;\,T_{10\,\%}\right]}\simeq 1,4\;L\;\left[i(+\infty )\right]^{\,2}\;$» ; du bilan d'énergie «$\;W_{e,\,f,\,{\text{source}},\,{\text{sur}}\,\left[0\,;\,T_{10\,\%}\right]}\simeq Q_{{\text{cal}},\,R,\,{\text{sur}}\,\left[0\,;\,T_{10\,\%}\right]}+\Delta {\mathcal {E}}_{L}\;$» nous déduisons la chaleur dissipée dans le conducteur ohmique pendant la même durée $\;Q_{{\text{cal}},\,R,\,{\text{sur}}\,\left[0\,;\,T_{10\,\%}\right]}=$ $W_{e,\,f,\,{\text{source}},\,{\text{sur}}\,\left[0\,;\,T_{10\,\%}\right]}-\Delta {\mathcal {E}}_{L}\simeq 1,4\;L\;\left[i(+\infty )\right]^{\,2}-0,5\;L\;\left[i(+\infty )\right]^{\,2}\;$ soit «$\;Q_{{\text{cal}},\,R,\,{\text{sur}}\,\left[0\,;\,T_{10\,\%}\right]}\simeq 0,9\;L\;\left[i(+\infty )\right]^{\,2}\;$» ;
* la chaleur dissipée dans le conducteur ohmique pendant la même durée de $\;T_{10\,\%}\simeq 2,3\,\tau \;$ par calcul direct soit $\;Q_{{\text{cal}},\,R,\,{\text{sur}}\,\left[0\,;\,T_{10\,\%}\right]}\simeq \displaystyle \int _{0^{+}}^{2,3\,\tau }R\;\left\lbrace {\dfrac {E}{R}}\left[1-\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\right]\right\rbrace ^{2}\;dt=$ ${\dfrac {E^{\,2}}{R}}\;\displaystyle \int _{0^{+}}^{2,3\,\tau }\left[1-2\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)+\exp \!\left(-{\dfrac {2\;t}{\tau }}\right)\right]\;dt\;$ que l'on intègre selon $\;{\dfrac {E^{\,2}}{R}}\;\left[t+2\;\tau \;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)-{\dfrac {\tau }{2}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {2\;t}{\tau }}\right)\right]_{0^{+}}^{2,3\,\tau }={\dfrac {E^{\,2}}{R}}\;\tau \;\left[2,3+2\;\exp \!\left(-2,3\right)-2-{\dfrac {1}{2}}\;\exp \!\left(-5,6\right)+{\dfrac {1}{2}}\right]$ $\simeq {\dfrac {E^{\,2}}{R}}\;\tau \;$ ou encore, avec $\;\tau ={\dfrac {L}{R}}\;$ et $\;i(+\infty )={\dfrac {E}{R}}\;$, «$\;Q_{{\text{cal}},\,R,\,{\text{sur}}\,\left[0\,;\,T_{10\,\%}\right]}\simeq L\;\left[i(+\infty )\right]^{\,2}\;$».
Remarque : le but étant d'établir un courant dans la bobine à un pourcentage près $\;{\big$nous choisirons à $\;10\,\%\;$ près${\big )}$, nous pouvons définir le rendement de cet établissement comme le rapport de l'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique pendant la durée $\;T_{10\,\%}\;$ sur l'énergie fournie par la source pendant la même durée $\Rightarrow$ «$\;\rho _{10\,\%}={\dfrac {\Delta {\mathcal {E}}_{L,\,{\text{à }}1\,\%\,{\text{près}}}}{W_{e,\,f,\,{\text{source}},\,{\text{sur}}\,\left[0\,;\,T_{10\,\%}\right]}}}\simeq {\dfrac {0,5}{1,4}}\simeq$ $36\,\%\simeq {\dfrac {1}{3}}\;$», l'énergie dissipée sous forme calorifique dans le conducteur ohmique pendant la durée $\;T_{10\,\%}\;$ représentant donc approximativement $\;64\,\%\simeq {\dfrac {2}{3}}$.

## Puissance électrique instantanée fournie par un échelon de courant d'amplitude I$_0$ imposant une tension u(t)

« L'échelon de courant » d'amplitude $\;I_{0}$, de c.e.m. instantané $\;\eta (t)=I_{0}\;Y(t)$, étant en convention générateur, la puissance électrique instantanée qu'il délivre s'écrit
$\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)=\eta (t)\;u(t)=I_{0}\;Y(t)\;u(t)\;$

## Bilan dual du bilan de puissance d'un « R C ou R L série » soumis à un échelon de tension

| association série | association parallèle |
| circuit $\;R\;C\;$ série soumis à un « échelon de tension » d'amplitude $\;E\;$ | circuit $\;R'\;L\;$ parallèle soumis à un « échelon de courant » d'amplitude $\;I_{0}\;$ |
| énergie électrostatique stockée dans un condensateur parfait de capacité $\;C\;$ soumis à une tension $\;u_{C}$ : $\;{\mathcal {E}}_{{\text{électrostat. stockée dans }}C}={\dfrac {1}{2}}\;C\;u_{C}^{2}$ | énergie électromagnétique stockée dans une bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$ traversée par un courant d'intensité $\;i_{L}$ : $\;{\mathcal {E}}_{{\text{électromagn. stockée dans }}L}={\dfrac {1}{2}}\;L\;i_{L}^{2}$ |
| puissance calorifique dissipée dans un conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ traversé par un courant d'intensité $\;i$ : $\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal. dissipée dans }}R}=R\;i^{2}$ | puissance calorifique dissipée dans un conducteur ohmique de conductance $\;G'\;$ soumis à une tension $\;u$ : $\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal. dissipée dans }}G'}=G'\;u^{2}$ |
| puissance instantanée électrique fournie par un échelon de tension d'amplitude $\;E\;$ délivrant un courant d'intensité $\;i(t)$ : $\;{\mathcal {P}}_{\text{élect. fournie par l'échelon de tension}}=E\;Y(t)\;i(t)$ | puissance instantanée électrique fournie par une échelon de courant d'amplitude $\;I_{0}\;$ imposant une tension $\;u(t)$ : $\;{\mathcal {P}}_{\text{élect. fournie par l'échelon de courant}}=I_{0}\;Y(t)\;u(t)$ |
| circuit $\;R\;L\;$ série soumis à un « échelon de tension » d'amplitude $\;E\;$ | circuit $\;R'\;C\;$ parallèle soumis à un « échelon de courant » d'amplitude $\;I_{0}\;$ |
| énergie électromagnétique stockée dans une bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$ traversée par un courant d'intensité $\;i$ : $\;{\mathcal {E}}_{{\text{électromagn. stockée dans }}L}={\dfrac {1}{2}}\;L\;i^{2}$ | énergie électrostatique stockée dans un condensateur parfait de capacité $\;C\;$ soumis à une tension $\;u$ : $\;{\mathcal {E}}_{{\text{électrostat. stockée dans }}C}={\dfrac {1}{2}}\;C\;u^{2}$ |

### Dual du bilan de puissance d'un « R L série » soumis à un échelon de tension : bilan de puissance d'un « R' C parallèle » soumis à un échelon de courant

Bilan de puissance d'un$\;R\,L\;$série soumis à un échelon de tension : La puissance électrique instantanée $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)\;$ fournie par « l'échelon de tension » d'amplitude $\;E$, se retrouve en gain horaire d'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{L}}{dt}}(t)\;$ et en puissance calorifique $\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)\;$ dissipée dans le conducteur ohmique soit
$\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)={\dfrac {d{\mathcal {E}}_{L}}{dt}}(t)+{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)\;$
* «$\;{\mathcal {E}}_{L}(t)={\dfrac {1}{2}}\;L\;\left[i(t)\right]^{2}\;$», $\;i(t)\;$ étant l'intensité instantanée du courant traversant la bobine $\;{\big$en convention récepteur${\big )}\;$ et
* «$\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)=R\;\left[i(t)\right]^{2}={\dfrac {\left[u_{R}(t)\right]^{2}}{R}}\;$», $\;i(t)\;$ étant aussi l'intensité instantanée du courant fournie par la source et $\;u_{R}(t)\;$ la tension instantanée aux bornes du conducteur ohmique $\;{\big$en convention récepteur${\big )}$.
Bilan de puissance d'un$\;R'\,C\;$parallèle soumis à un échelon de courant $\;{\big$déterminé par dualité${\big )}$ : La puissance électrique instantanée $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)\;$ fournie par « l'échelon de courant » d'amplitude $\;I_{0}$, se retrouve en gain horaire d'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{C}}{dt}}(t)\;$ et en puissance calorifique $\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R'}(t)\;$ dissipée dans le conducteur ohmique soit
$\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)={\dfrac {d{\mathcal {E}}_{C}}{dt}}(t)+{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R'}(t)\;$
* «$\;{\mathcal {E}}_{C}(t)={\dfrac {1}{2}}\;C\;\left[u(t)\right]^{2}\;$», $\;u(t)\;$ étant la tension instantanée aux bornes du condensateur $\;{\big$en convention récepteur${\big )}\;$ et
* «$\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R'}(t)=G'\;\left[u(t)\right]^{2}\left\lbrace ={\dfrac {\left[u(t)\right]^{2}}{R'}}\right\rbrace ={\dfrac {\left[i_{R'}(t)\right]^{2}}{G'}}\left\lbrace =R'\;\left[i_{R'}(t)\right]^{2}\right\rbrace \;$», $\;u(t)\;$ étant aussi la tension instantanée aux bornes du conducteur ohmique et $\;i_{R'}(t)\;$ l'intensité instantanée du courant traversant ce dernier $\;{\big$en convention récepteur${\big )}$.

### Dual du bilan de puissance d'un « R C série » soumis à un échelon de tension : bilan de puissance d'un « R' L parallèle » soumis à un échelon de courant

Bilan de puissance d'un$\;R\,C\;$soumis à un échelon de tension : La puissance électrique instantanée $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)\;$ fournie par « l'échelon de tension » d'amplitude $\;E$, se retrouve en gain horaire d'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{C}}{dt}}(t)\;$ et en puissance calorifique $\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)\;$ dissipée dans le conducteur ohmique soit
$\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)={\dfrac {d{\mathcal {E}}_{C}}{dt}}(t)+{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)\;$
* «$\;{\mathcal {E}}_{C}(t)={\dfrac {1}{2}}\;C\;\left[u_{C}(t)\right]^{2}\;$», $\;u_{C}(t)\;$ étant la tension instantanée aux bornes du condensateur $\;{\big$en convention récepteur${\big )}\;$ et
* «$\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)=R\;\left[i(t)\right]^{2}={\dfrac {\left[u_{R}(t)\right]^{2}}{R}}\;$», $\;i(t)\;$ étant aussi l'intensité instantanée du courant fournie par la source et $\;u_{R}(t)\;$ la tension instantanée aux bornes du conducteur ohmique $\;{\big$en convention récepteur${\big )}$.
Bilan de puissance d'un$\;R'\,L\;$soumis à un échelon de courant $\;{\big$déterminé par dualité${\big )}$ : La puissance électrique instantanée $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)\;$ fournie par « l'échelon de courant » d'amplitude $\;I_{0}$, se retrouve en gain horaire d'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{L}}{dt}}(t)\;$ et en puissance calorifique $\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R'}(t)\;$ dissipée dans le conducteur ohmique soit
$\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)={\dfrac {d{\mathcal {E}}_{L}}{dt}}(t)+{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R'}(t)\;$
* «$\;{\mathcal {E}}_{L}(t)={\dfrac {1}{2}}\;L\;\left[i_{L}(t)\right]^{2}\;$», $\;i_{L}(t)\;$ étant l'intensité instantanée du courant traversant la bobine $\;{\big$en convention récepteur${\big )}\;$ et
* «$\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R'}(t)=G'\;\left[u(t)\right]^{2}={\dfrac {\left[u(t)\right]^{2}}{R'}}=R'\;\left[i_{R'}(t)\right]^{2}\;$», $\;u(t)\;$ étant aussi la tension instantanée aux bornes du conducteur ohmique et $\;i_{R'}(t)\;$ l'intensité instantanée du courant traversant ce dernier $\;{\big$en convention récepteur${\big )}$.

## Obtention directe du bilan de puissance d'un « R C parallèle » soumis à un échelon de courant et conséquences
### Bilan de puissance d'un « R C parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I$_0$ imposant une tension u(t)

La puissance électrique instantanée $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)\;$ fournie par « l'échelon de courant » d'amplitude $\;I_{0}$, se retrouve en gain horaire d'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{C}}{dt}}(t)\;$ et en puissance calorifique $\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)\;$ dissipée dans le conducteur ohmique soit
$\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)={\dfrac {d{\mathcal {E}}_{C}}{dt}}(t)+{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)\;$
* «$\;{\mathcal {E}}_{C}(t)={\dfrac {1}{2}}\;C\;\left[u(t)\right]^{2}\;$», $\;u(t)\;$ étant la tension instantanée aux bornes du condensateur $\;{\big$en convention récepteur${\big )}\;$ et
* «$\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)={\dfrac {\left[u(t)\right]^{2}}{R}}=R\;\left[i_{R}(t)\right]^{2}\;$», $\;u(t)\;$ étant aussi la tension instantanée aux bornes du conducteur ohmique et $\;i_{R}(t)\;$ l'intensité instantanée du courant traversant ce dernier $\;{\big$en convention récepteur${\big )}$.

### Étude des discontinuités éventuelles des grandeurs du bilan de puissance d'un « R C parallèle » soumis à un échelon de courant

Nous avons vu dans le chap.$26$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » que « la tension aux bornes du condensateur d'un$\;R\,C\;$parallèle soumis à un échelon de courant était continue en$\;t=0\;$», cela entraîne, dans la mesure où le condensateur est initialement déchargé, une continuité, en$\;t=0\;$, de
* la puissance calorifique $\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)={\dfrac {\left[u(t)\right]^{2}}{R}}\;$ dissipée dans le conducteur ohmique ainsi que de
* la puissance électrique instantanée $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)=\eta (t)\;u(t)\;$ fournie par l'échelon de courant ;
le bilan de puissance $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)={\dfrac {d{\mathcal {E}}_{C}}{dt}}(t)+{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)\;$ permet alors d'affirmer que « le gain horaire d'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{C}}{dt}}(t)\;$» est « continue en $\;t=0\;$».
Remarque : si le condensateur était initialement chargé par une tension non nulle, « la tension aux bornes du condensateur d'un$\;R\,C\;$parallèle soumis à un échelon de courant étant continue en$\;t$ $=0\;$», cela entraînerait,  Remarque : $\centerdot \;$une continuité de la puissance calorifique $\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)={\dfrac {\left[u(t)\right]^{2}}{R}}\;$ dissipée dans le conducteur ohmique en $\;t=0\;$ mais  Remarque : $\centerdot \;$une discontinuité de 1ère espèce en ce même instant de la puissance électrique instantanée $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)=\eta (t)\;u(t)\;$ fournie par l'échelon de courant ;
Remarque : le bilan de puissance $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)={\dfrac {d{\mathcal {E}}_{C}}{dt}}(t)+{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)\;$ permettrait alors d'affirmer que « le gain horaire d'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{C}}{dt}}(t)\;$» a « une discontinuité de 1ère espèce en $\;t=0\;$»$^,$.
on peut vérifier que « le gain horaire d'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{C}}{dt}}(t)\;$» est
* « continu si le condensateur est initialement déchargé » $\;{\big$ce qui est le cas usuel${\big )}\;$ ou
* « discontinu de 1ère espèce s'il est initialement chargé »
en effet explicitant la « dérivée temporelle », on obtient $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{C}}{dt}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;C\;2\;u(t)\;{\dfrac {du}{dt}}(t)=u(t)\;C\;{\dfrac {du}{dt}}(t)\;$ soit encore «$\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{C}}{dt}}(t)=$ $u(t)\;i_{C}(t)\;$» en utilisant la définition de l'intensité du courant traversant le condensateur parfait ; l'expression obtenue étant le produit, en $\;t=0$, d'une grandeur continue $\;u(t)\;$ et d'une autre discontinue de 1ère espèce $\;i_{C}(t)$, est discontinue de 1ère espèce dans la mesure où $\;u(0)\neq 0\;$ ${\big$ce qui nécessite que le condensateur soit initialement chargé${\big )}$ ;
dans les deux cas, le fait que le gain horaire d'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{C}}{dt}}(t)\;$ soit continu ou discontinu de 1ère espèce est conforme au caractère continu de l'énergie stockée par le condensateur $\;{\mathcal {E}}_{C}(t)\;$ sous forme électrostatique.

### Équation différentielle en tension aux bornes du condensateur puis en son intensité de courant de charge d'un « R C parallèle » soumis à un échelon de courant déduite du bilan de puissance
#### Déduire du bilan de puissance d'un « R C parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I$_0$ l'équation différentielle en tension u(t) aux bornes du condensateur

Il suffit d'expliciter le calcul de la dérivée temporelle de l'énergie stockée par le condensateur sous forme électrostatique en fonction de la tension $\;u(t)\;$ à ses bornes soit «$\;{\mathcal {E}}_{C}(t)={\dfrac {1}{2}}\;C\;\left[u(t)\right]^{2}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{C}}{dt}}(t)$ $={\dfrac {1}{2}}\;C\;2\;u(t)\;{\dfrac {du}{dt}}(t)=u(t)\;C\;{\dfrac {du}{dt}}(t)\;$» ;
son report dans le bilan de puissance ainsi que celui de la puissance électrique instantanée fournie par l'échelon de courant et de la puissance calorifique dissipée dans le conducteur ohmique, toutes deux exprimées en fonction de la tension, conduit à «$\;\eta (t)\;u(t)=C\;{\dfrac {du}{dt}}(t)\;u(t)+{\dfrac {\left[u(t)\right]^{2}}{R}}\;$» ou, après simplification par $\;u(t)\;$, on obtient $\;\eta (t)=C\;{\dfrac {du}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{R}}\;u(t)\;$ soit en normalisant
$\;{\dfrac {du}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{R\;C}}\;u(t)={\dfrac {\eta (t)}{C}}\;$
$\;{\dfrac {du}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{R\;C}}\;u(t)={\dfrac {I_{0}}{C}}\;Y(t)\;\;\forall t\;$

#### Déduire du bilan de puissance d'un « R C parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I$_0$ l'équation différentielle en intensité i$_C$(t) du courant de charge du condensateur

Ayant déterminé l'équation différentielle en tension aux bornes du condensateur, il suffit de dériver une nouvelle fois par rapport à $\;t\;$ et multiplier par $\;C\;$ dans le but d'utiliser $\;i_{C}(t)=C\;{\dfrac {du}{dt}}(t)$ d'où l'équation différentielle cherchée
$\;{\dfrac {di_{C}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{R\;C}}\;i_{C}(t)={\dot {\eta }}(t)\;$
$\;{\dfrac {di_{C}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{R\;C}}\;i_{C}(t)=I_{0}\;\delta (t)\;\;\forall t\;$

## Obtention directe du bilan de puissance d'un « R L parallèle » soumis à un échelon de courant et conséquences
### Bilan de puissance d'un « R L parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I$_0$ imposant une tension u(t)

La puissance électrique instantanée $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)\;$ fournie par « l'échelon de courant » d'amplitude $\;I_{0}$, se retrouve en gain horaire d'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{L}}{dt}}(t)\;$ et en puissance calorifique $\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)\;$ dissipée dans le conducteur ohmique soit
$\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)={\dfrac {d{\mathcal {E}}_{L}}{dt}}(t)+{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)\;$
* «$\;{\mathcal {E}}_{L}(t)={\dfrac {1}{2}}\;L\;\left[i_{L}(t)\right]^{2}\;$», $\;i_{L}(t)\;$ étant l'intensité instantanée du courant traversant la bobine parfaite $\;{\big$en convention récepteur${\big )}\;$ liée à la tension instantanée $\;u(t)\;$ à ses bornes par $\;u(t)=$ $L\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)\;$ et
* «$\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)={\dfrac {\left[u(t)\right]^{2}}{R}}=R\;\left[i_{R}(t)\right]^{2}\;$», $\;u(t)\;$ étant aussi la tension instantanée aux bornes du conducteur ohmique et $\;i_{R}(t)\;$ l'intensité instantanée du courant traversant ce dernier $\;{\big$en convention récepteur${\big )}$.

### Étude des discontinuités éventuelles des grandeurs du bilan de puissance d'un « R L parallèle » soumis à un échelon de courant

Nous avons vu dans le chap.$26$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » que « la tension aux bornes de la bobine parfaite d'un$\;R\,L\;$parallèle soumis à un échelon de courant était discontinue de 1ère espèce en$\;t=0\;$»$^,$, cela entraîne une discontinuité de 1ère espèce de
* la puissance calorifique $\;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)={\dfrac {\left[u(t)\right]^{2}}{R}}\;$ dissipée dans le conducteur ohmique en $\;t=0\;$ ainsi que de
* la puissance électrique instantanée $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)=\eta (t)\;u(t)\;$ fournie par l'échelon de courant en $\;t=0$ ;
le bilan de puissance $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f,\,{\text{source}}}(t)={\dfrac {d{\mathcal {E}}_{L}}{dt}}(t)+{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,R}(t)\;$ permet alors d'affirmer que « le gain horaire d'énergie stockée dans la bobine parfaite sous forme électromagnétique $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{L}}{dt}}(t)\;$» a « une discontinuité de 1ère espèce ou une continuité en $\;t=0\;$» ;
on peut vérifier que « le gain horaire d'énergie stockée dans la bobine parfaite sous forme électromagnétique $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{L}}{dt}}(t)\;$» est
* « continu si la bobine n'est initialement traversée par aucun courant » ou
* « discontinu de 1ère espèce si elle est initialement traversée par un courant d'intensité non nulle »
en effet explicitant la « dérivée temporelle », on obtient $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{L}}{dt}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;L\;2\;i_{L}(t)\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)=i_{L}(t)\;L\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)\;$ soit encore «$\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{L}}{dt}}(t)=$ $i_{L}(t)\;u(t)\;$» en utilisant la définition de la tension aux bornes de la bobine parfaite ; l'expression obtenue étant le produit, en $\;t=0$, d'une grandeur continue $\;i_{L}(t)\;$ et d'une autre discontinue de 1ère espèce $\;u(t)$, est discontinue de 1ère espèce dans la mesure où $\;i_{L}(0)$ $\neq 0\;$ ${\big$ce qui nécessite que la bobine soit initialement traversée par un courant${\big )}$ ;
dans les deux cas, le fait que le gain horaire d'énergie stockée dans la bobine parfaite sous forme électromagnétique $\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{L}}{dt}}(t)\;$ soit continu ou discontinu de 1ère espèce est conforme au caractère continu de l'énergie stockée par la bobine $\;{\mathcal {E}}_{L}(t)\;$ sous forme électromagnétique.

### Équation différentielle en intensité de courant traversant la bobine puis en la tension à ses bornes d'un « R L parallèle » soumis à un échelon de courant déduite du bilan de puissance
#### Déduire du bilan de puissance d'un « R L parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I$_0$ l'équation différentielle en intensité i$_L$(t) du courant traversant la bobine

Il suffit d'expliciter le calcul de la dérivée temporelle de l'énergie stockée par la bobine sous forme électromagnétique en fonction de l'intensité $\;i_{L}(t)\;$ du courant la traversant soit «$\;{\mathcal {E}}_{L}(t)=$ ${\dfrac {1}{2}}\;L\;\left[i_{L}(t)\right]^{2}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {d{\mathcal {E}}_{L}}{dt}}(t)$ $={\dfrac {1}{2}}\;L\;2\;i_{L}(t)\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)=i_{L}(t)\;L\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)=i_{L}(t)\;u(t)\;$» ;
son report dans le bilan de puissance ainsi que celui de la puissance électrique instantanée fournie par l'échelon de courant et de la puissance calorifique dissipée dans le conducteur ohmique, toutes deux exprimées en fonction de la tension, conduit à «$\;\eta (t)\;u(t)=i_{L}(t)\;u(t)+{\dfrac {\left[u(t)\right]^{2}}{R}}\;$» ou, après simplification par $\;u(t)\;$, on obtient $\;\eta (t)=i_{L}(t)+{\dfrac {1}{R}}\;u(t)\;$ soit, en éliminant $\;u(t)\;$ au profit de $\;i_{L}(t)\;$ par définition de la tension aux bornes d'une bobine parfaite $\;u(t)=L\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)$ on trouve $\;\eta (t)=i_{L}(t)+{\dfrac {L}{R}}\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)\;$ puis en normalisant
$\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)+{\dfrac {R}{L}}\;i_{L}(t)={\dfrac {R}{L}}\;\eta (t)\;$
$\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)+{\dfrac {R}{L}}\;i_{L}(t)={\dfrac {R\;I_{0}}{L}}\;Y(t)\;\;\forall t\;$

#### Déduire du bilan de puissance d'un « R L parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I$_0$ l'équation différentielle en tension u(t) aux bornes de la bobine

Ayant déterminé l'équation différentielle en intensité du courant traversant la bobine parfaite, il suffit de dériver une nouvelle fois par rapport à $\;t\;$ et multiplier par $\;L\;$ dans le but d'utiliser $\;u(t)=$ $L\;{\dfrac {di_{L}}{dt}}(t)$ d'où l'équation différentielle cherchée
$\;{\dfrac {du}{dt}}(t)+{\dfrac {R}{L}}\;u(t)=R\;{\dot {\eta }}(t)\;$
$\;{\dfrac {du}{dt}}(t)+{\dfrac {R}{L}}\;u(t)=R\;I_{0}\;\delta (t)\;\;\forall t\;$