# Réduction des endomorphismes/Exercices/Réductions de Dunford, Jordan et Frobenius
## Exercice 3-1

Montrer qu'un endomorphisme de rang 1 est nilpotent ou diagonalisable.
Soit $u$ un endomorphisme de rang $1$ (d'un espace vectoriel de dimension non nécessairement finie).
Son image est une droite $D$, engendrée par un vecteur $x$, et son noyau est un hyperplan $H$.
Si $x\in H$ alors $u^{2}=0$. Si $x\notin H$ alors $u$ a deux sous-espaces propres supplémentaires : $H$ et $D$.

## Exercice 3-2

Soient $P,Q\in K[X]$ tels que $P\mid Q-1$ et $A\in \operatorname {M} _{n}(K)$ telle que $(PQ)(A)=0$. Démontrer que
    $\dim \ker {P(A)}=\operatorname {tr} {Q(A)}$.
$PQ$ annule $A$ et divise $Q^{2}-Q$ donc $Q(A)$ est une matrice de projecteur dont l'image est incluse dans le noyau de $P(A)$.
Réciproquement, $\ker P(A)\subset \ker \left(Q(A)-\mathrm {I} _{n}\right)\subset \operatorname {im} Q(A)$.
Par conséquent, $\dim \ker {P(A)}=\dim \operatorname {im} {Q(A)}=\operatorname {tr} {Q(A)}$.

## Exercice 3-3

Soit $N\in \operatorname {M} _{n}(\mathbb {R} )$ nilpotente qui commute avec sa transposée. Montrer que $N=0$.
$NN^{t}$ est symétrique réelle donc diagonalisable. Or elle est nilpotente car $(NN^{t})^{n}=N^{n}(N^{n})^{t}$.
Par conséquent, elle est nulle donc $0=\operatorname {tr} \left(NN^{t}\right)=\sum _{1\leq i,j\leq n}N_{i,j}^{2}$, autrement dit : $N=0$.

## Exercice 3-4

Montrer que deux matrices réelles semblables dans $\operatorname {M} _{n}(\mathbb {C} )$ le sont également dans $\operatorname {M} _{n}(\mathbb {R} )$.
Voir Décomposition de Frobenius.

## Exercice 3-5

Soit $A\in \operatorname {M} _{n}(\mathbb {R} )$. Montrer que $A$ et $A^{t}$ sont semblables et que $AA^{t}$ et $A^{t}A$ sont semblables.
Dans les deux cas, d'après l'exercice précédent, il suffit de démontrer l'énoncé analogue pour les matrices complexes. On peut alors se ramener au cas où $A$ est un bloc de Jordan et conclure par le calcul.

## Exercice 3-6

Soit
$A={\begin{pmatrix}322&-323&-323&322\\325&-326&-325&326\\-259&261&261&-260\\-237&237&238&-237\end{pmatrix}}$
Déterminer sa forme de Jordan et une matrice de passage.
5 est valeur propre et le premier vecteur — que nous noterons $v$ — de la base de définition de la matrice possède pour polynôme conducteur $(X-5)^{4}$. La famille suivante forme donc une base de Jordan :
$((A-5I)^{3}v,(A-5I)^{2}v,(A-5I)v,v)=\left({\begin{pmatrix}5922\\4230\\-3572\\-5170\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2857\\2363\\-1962\\-2392\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}317\\325\\-259\\-237\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}\right)$
Nous avons ainsi choisi une matrice de passage :
$P={\begin{pmatrix}5922&2857&317&1\\4230&2363&325&0\\-3572&-1962&-259&0\\-5170&-2392&-237&0\\\end{pmatrix}}$
et la matrice de Jordan est :
$J=J_{4}(5)={\begin{pmatrix}5&1&0&0\\0&5&1&0\\0&0&5&1\\0&0&0&5\end{pmatrix}}$

## Exercice 3-7

Pour la matrice
$A:={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\2\mu &-3\mu -2&\mu +3\end{pmatrix}}$
déterminer une forme de Jordan et une matrice de passage.
En déduire les solutions de la récurrence linéaire
$u_{n+3}=(\mu +3)u_{n+2}-(3\mu +2)u_{n+1}+2\mu u_{n}$
et celles de l'équation différentielle linéaire
$x'''(t)=(\mu +3)x''(t)-(3\mu +2)x'(t)+2\mu x(t)$
Les valeurs propres de $A$ sont 1, 2 et μ.
Si μ est différent de 1 et de 2, la matrice de Jordan est (à permutation près des trois valeurs propres) de la forme :
$J=\operatorname {diag} (1,2,\mu )$
avec comme matrice de passage :
$P:={\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&\mu \\1&4&\mu ^{2}\end{pmatrix}}$
Si μ = 1, la matrice de Jordan est (à permutation près des deux blocs) de la forme :
$J={\begin{pmatrix}J_{2}(1)&\\&J_{1}(2)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&2\end{pmatrix}}$
avec comme matrice de passage :
$P:={\begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&2\\1&2&4\end{pmatrix}}$
Si μ = 2, la matrice de Jordan est (à permutation près des deux blocs) de la forme :
$J={\begin{pmatrix}J_{1}(1)&\\&J_{2}(2)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}}$
avec comme matrice de passage :
$P:={\begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&1\\1&4&4\end{pmatrix}}$
La solution générale de la récurrence linéaire est :
* si μ est différent de 1 et de 2 : $u_{n}=a+2^{n}b+\mu ^{n}c$ ;
* si μ = 1 : $u_{n}=a+bn+2^{n}c$ ;
* si μ = 2 : $u_{n}=a+(b+cn)2^{n}$.
La solution générale de l'équation différentielle est :
* si μ est différent de 1 et de 2 : $x(t)=a\operatorname {e} ^{t}+b\operatorname {e} ^{2t}+c\operatorname {e} ^{\mu t}$ ;
* si μ = 1 : $x(t)=(a+bt)\operatorname {e} ^{t}+c\operatorname {e} ^{2t}$ ;
* si μ = 2 : $x(t)=a\operatorname {e} ^{t}+(b+ct)\operatorname {e} ^{2t}$.
Pour la matrice
$B:={\begin{pmatrix}5&4&2&1\\0&1&-1&-1\\-1&-1&3&0\\1&1&-1&2\\\end{pmatrix}}$
déterminer une forme de Jordan et une matrice de passage.
Les valeurs propres de $B$ sont 4, 4, 2 et 1. De plus, on remarque que :
$\dim \ker {(B-I)}=1,~\dim \ker {(B-2I)}=1,~\dim \ker {(B-4I)}=1,~\dim \ker({B-4I})^{2}=2.$
Nous en déduisons que la matrice de Jordan sera (à permutation près des trois blocs) de la forme :
$J={\begin{pmatrix}J_{2}(4)&&\\&J_{1}(2)&\\&&J_{1}(1)\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4&1&0&0\\0&4&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$
Nous remarquons que le vecteur ${\begin{pmatrix}0\\0\\-1\\1\end{pmatrix}}$ a pour image par la matrice $B-4I$ : ${\begin{pmatrix}-1\\0\\1\\-1\end{pmatrix}}$. Ces deux vecteurs colonnes engendrent l'espace caractéristique de valeur propre 4.
On en déduit
$\ker {(B-4I)}^{2}=\operatorname {Vect} \ \left({\begin{pmatrix}0\\0\\-1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\0\\1\\-1\end{pmatrix}}\right).$
Nous en déduisons une matrice de passage $P$ telle que $P^{-1}BP=J$ :
$P=\left((B-4I)\mathbf {v} \left|\mathbf {v} \left|\mathbf {w} \left|\mathbf {x} \right)\right.\right.\right.={\begin{pmatrix}-1&0&1&-1\\0&0&-1&1\\1&-1&0&0\\-1&1&1&0\end{pmatrix}}.$

## Exercice 3-8

Soit $N\in \operatorname {M} _{n}(\mathbb {C} )$ une matrice nilpotente. Démontrer que pour tout complexe $\lambda$ non nul, $\lambda N$ est semblable à $N$.
On se ramène facilement (par similarité et somme directe) au cas où la matrice nilpotente $N$ est un bloc de Jordan $J_{n}(0)$. On a alors, en notant $(e_{1},\dots ,e_{n})$ la base canonique de $\mathbb {C} ^{n}$ :
    $N(e_{1})=0,N(e_{2})=e_{1},\dots ,N(e_{n})=e_{n-1}$
donc, en posant $e'_{k}=\lambda ^{n-k}e_{k}$ pour tout $k$ de $1$ à $n$ :
    $\lambda N(e'_{1})=0,\lambda N(e'_{2})=e'_{1},\dots ,\lambda N(e'_{n})=e'_{n-1}$.

## Exercice 3-9

Soit $A\in \mathrm {M} _{n}(\mathbb {C} )$.
* On suppose qu'il existe un polynôme $B$ à coefficients dans $\mathrm {M} _{n}(\mathbb {C} )$ et un entier naturel $k_{0}$ tels que pour tout $k>k_{0}$, $A^{k}=B(k)$. Montrer qu'alors, les seules valeurs propres possibles pour $A$ sont $0$ et $1$.
* Montrer que réciproquement, si $A$ n'a pas d'autres valeurs propres que $0$ et $1$, alors $A^{k}$ est polynomiale en $k$ pour $k\geq n$.
* Soient $B_{1},\dots ,B_{r}$ des polynômes à coefficients dans $\mathrm {M} _{n}(\mathbb {C} )$, $k_{0}$ un entier naturel et $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{r}$ des complexes non nuls tels que pour tout $k>k_{0}$, $A^{k}=\sum _{i=1}^{r}\lambda _{i}^{k}B_{i}(k)$. Montrer que si $A$ est inversible, cette égalité se généralise à tout entier relatif $k$.
* Soient $\lambda$ une valeur propre de $A$ et $u\neq 0$ un vecteur propre associé. Pour $k>k_{0}$, $\lambda ^{k}u=A^{k}u=B(k)u$ donc $\lambda ^{k}$ coïncide avec un polynôme en $k$, ce qui n'est possible que si $\lambda =0$ ou $1$ (cf. Polynôme/Exercices/Arithmétique des polynômes#Exercice 3-19).
* On se ramène facilement au cas où $A$ est un bloc de Jordan ${\mathcal {J}}_{\lambda }=\lambda \mathrm {I} _{n}+{\mathcal {J}}_{0}$. Pour tout $k\geq n$, ${\mathcal {J}}_{0}^{k}=0$ et pour tout $k\geq 0$, ${\mathcal {J}}_{\lambda }^{k}=\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {k(k-1)\dots (k-i+1)}{i!}}\lambda ^{k-i}{\mathcal {J}}_{0}^{i}$, en particulier ${\mathcal {J}}_{1}^{k}=\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {k(k-1)\dots (k-i+1)}{i!}}{\mathcal {J}}_{0}^{i}$.
* Sans perte de généralité, les $\lambda _{i}$ sont distincts. Pour tout $k>k_{0}$, $\sum _{i=1}^{r}\lambda _{i}^{k}\left(\lambda _{i}B_{i}(k+1)-AB_{i}(k)\right)=0$. On en déduit alors que pour tout $i$ de $1$ à $r$, $\lambda _{i}B_{i}(X+1)=AB_{i}(X)$ (cf. à nouveau Polynôme/Exercices/Arithmétique des polynômes#Exercice 3-19). Par conséquent, pour tout $k\in \mathbb {Z}$, si $A^{k+1}=\sum _{i=1}^{r}\lambda _{i}^{k+1}B_{i}(k+1)$ alors $A^{k+1}=A\sum _{i=1}^{r}\lambda _{i}^{k}B_{i}(k)$ donc (en multipliant à gauche par $A^{-1}$) $A^{k}=\sum _{i=1}^{r}\lambda _{i}^{k}B_{i}(k)$. On conclut par récurrence descendante.

## Exercice 3-10

Pour tout $A\in \mathrm {M} _{n}(\mathbb {C} )$, soit $\varphi _{A}$ l'endomorphisme de $\mathrm {M} _{n}(\mathbb {C} )$ défini par
    $\varphi _{A}(M)=AM-MA$.
* Montrer que si $A$ est diagonalisable alors $\varphi _{A}$ aussi. On pourra commencer par le cas où $A$ est diagonale.
* Soient $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ sur $\mathbb {C}$ et $(M_{1},\ldots ,M_{m})$ une base de $\mathrm {L} (E)$ (donc $m=n^{2}$). Montrer que pour tout vecteur $v$ non nul, $(M_{1}(v),\ldots ,M_{m}(v))$ engendre $E$. En déduire la réciproque de 1.
* Montrer que si $A$ est nilpotente alors $\varphi _{A}$ aussi (pour un exemple, voir 5).
* Quelle est la décomposition de Dunford de $\varphi _{A}$ en fonction de celle de $A$ ?
* Soit $A={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$. Étudier les éléments propres de $\varphi _{A}$. Trouver une base de $\mathrm {M} _{2}(\mathbb {C} )$ dans laquelle la matrice de $\varphi _{A}$ est ${\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$.
* Soit $D$ une matrice diagonale de valeurs propres (non nécessairement distinctes) $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}$, alors la base canonique de $M_{n}(\mathbb {C} )$ est propre pour $\varphi _{D}$ : $\varphi _{D}(E_{i,j})=(\lambda _{j}-\lambda _{i})E_{i,j}$. Si $D=P^{-1}AP$ alors $\varphi _{A}(PMP^{-1})=P\varphi _{D}(M)P^{-1}$ donc les $PE_{i,j}P^{-1}$ forment une base propre pour $\varphi _{A}$ (pour les mêmes valeurs propres).
* Pour tout $u\in E$, soient $\varphi$ l'un des (nombreux) éléments de $\mathrm {L} (E)$ tels que $\varphi (v)=u$, et $a_{1},\ldots ,a_{m}$ tels que $\varphi =\sum a_{k}M_{k}$, alors $u=\sum a_{k}M_{k}(v)$. Donc les $M_{k}(v)$ engendrent $E$. Si $\varphi _{A}$ est diagonalisable, appliquons ceci à $(M_{1},\dots ,M_{m})$ une base propre pour $\varphi _{A}$ (de valeurs propres associées $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{m}$) et $v$ un vecteur propre pour $A$, pour une valeur propre $\lambda \in \mathbb {C}$ (il en existe toujours). $A$ est diagonalisable car les vecteurs $M_{k}(v)$, qui engendrent $E$, sont tous propres pour $A$ : $AM_{k}-M_{k}A=\lambda _{k}M_{k},A(v)=\lambda v\Rightarrow A(M_{k}(v))=(\lambda +\lambda _{k})M_{k}(v)$. Remarque : sur $\mathbb {R}$ le résultat reste vrai car si $\varphi _{A}$ est diagonalisable sur $\mathbb {R}$ donc sur $\mathbb {C}$, donc (d'après ce qui précède) $A$ est diagonalisable sur $\mathbb {C}$, et ses valeurs propres vérifient $\lambda _{i}-\lambda _{j}\in \mathbb {R} (\forall i,j)$ donc $\lambda _{i}=\alpha +\mu _{i}$ avec $\mu _{i}\in \mathbb {R}$, d'où $n\alpha +\sum \mu _{i}=Tr(A)\in \mathbb {R}$ donc $\alpha \in \mathbb {R}$ donc $\lambda _{i}\in \mathbb {R}$, en particulier $A$ admet au moins une valeur propre réelle, ce qui suffit pour refaire le raisonnement ci-desus. Par contre on trouve facilement des contre-exemples en caractéristique $\neq 0$, le plus simple étant $A={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}$, $K=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$.
* $(\varphi _{A})^{k}(M)=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{\binom {k}{i}}A^{k-i}MA^{i}$ (par récurrence) donc si $A^{r}=0$ alors $\varphi _{A}^{2r-1}=0$.
* On vérifie facilement que $\varphi _{B+C}=\varphi _{B}+\varphi _{C}$, et que si $B,C$ commutent alors $\varphi _{B},\varphi _{C}$ aussi. D'après 1 et 3, si $D+N$ est la décomposition de Dunford de $A$, celle de $\varphi _{A}$ (unique) est donc $\varphi _{D}+\varphi _{N}$.
* $A^{2}=0$ donc (cf. 3) $\varphi _{A}^{3}=0$, donc $0$ est la seule valeur propre de $\varphi _{A}$. $\varphi _{A}{\begin{pmatrix}x&y\\z&t\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}z&t-x\\0&-z\end{pmatrix}}$ donc le noyau $\ker(\varphi _{A})$ a pour équations $z=0$ et $t=x$ et $\ker(\varphi _{A}^{2})$ a pour équation $z=0$. Soient $E_{4}\notin \ker(\varphi _{A}^{2})$, $E_{3}=\varphi _{A}(E_{4})$, $E_{2}=\varphi _{A}(E_{3})$ (donc $E_{2}$ est un vecteur non nul de $\ker(\varphi _{A})$), et $E_{1}$ tel que $(E_{1},E_{2})$ forme une base de $\ker(\varphi _{A})$. Alors $(E_{1},\ldots ,E_{4})$ répond à la question. Par exemple $E_{4}:={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}$, d'où $E_{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$, d'où $E_{2}={\begin{pmatrix}0&-2\\0&0\end{pmatrix}}$, et $E_{1}:=\mathrm {I}$.

## Exercice 3-11

Soit $u$ l'endomorphisme de $\mathbb {R} ^{5}$ dont la matrice dans la base canonique est
    $A={\begin{pmatrix}9/2&-7/4&-7/4&-3&-1/2\\1&1/2&-1/2&0&0\\6&-3&-2&-6&-1\\2&-1&-1&-1&-1/3\\6&-3&-3&3&-3\end{pmatrix}}$.
On pose $f_{1}=e_{2}-e_{3}$, $f_{3}={1 \over 2}e_{1}+{1 \over 3}e_{4}+e_{5}$, $f_{2}=(u-\mathrm {id} )(f_{3})$.
* Calculer $f_{2}$ puis $(u-\mathrm {id} )(f_{2})$. En déduire que $f_{3}\in \ker(u-\mathrm {id} )^{2}$ et $f_{2}\in \ker(u-\mathrm {id} )$.
* Vérifier que $f_{1}\in \ker(u-\mathrm {id} )$ et que $(f_{1},f_{2})$ est libre.
* Déterminer $\ker(u+2\mathrm {id} )$ et un vecteur $f_{4}$ propre pour la valeur propre $-2$.
* Déterminer $f_{5}$ tel que $(u+2\mathrm {id} )(f_{5})=f_{4}$.
* En déduire (sans calculs) que $(f_{1},\dots ,f_{5})$ est une base de $\mathbb {R} ^{5}$, puis déterminer la matrice $B$ de $u$ dans cette base. Effectuer une décomposition de Dunford de $B$. En déduire $B^{k}$ pour $k\in \mathbb {N} ^{*}$, et $B^{-1}$.
* Préciser le polynôme caractéristique et le polynôme minimal et retrouver ainsi $B^{-1}$.
* Préciser les sous-espaces $\ker(u-\mathrm {id} ),\ker(u-\mathrm {id} )^{2},\ker(u-\mathrm {id} )^{3},\ker(u+2\mathrm {id} )^{2}$.
* $f_{2}=(1/4,1/2,0,0,0)$, $(u-\mathrm {id} )(f_{2})=0$, d'où $f_{2}\in \ker(u-\mathrm {id} )$ et $(u-\mathrm {id} )^{2}(f_{3})=(u-\mathrm {id} )(f_{2})=0$ donc $f_{3}\in \ker(u-\mathrm {id} )^{2}$.
* $(u-\mathrm {id} )(f_{1})=0$. $\lambda f_{1}+\mu f_{2}=(\mu /4,\lambda +\mu /2,-\lambda ,0,0)$ est nul si et seulement si $\lambda =\mu =0$ donc $(f_{1},f_{2})$ est libre.
* $\ker(u+2\mathrm {id} )=\mathbb {R} f_{4}$ avec $f_{4}=(1/2,0,1,1/3,1)$.
* Une solution évidente est $f_{5}:=-e_{5}$.
* D'après b, $(f_{1},f_{2})$ est libre. Comme $f_{1},f_{2}\in \ker(u-\mathrm {id} )$ et $(u-\mathrm {id} )(f_{3})=f_{2}\neq 0$, $(f_{1},f_{2},f_{3})$ est donc libre. De même, $(f_{4},f_{5})$ est libre. Enfin, $f_{1},f_{2},f_{3}\in \ker(u-\mathrm {id} )^{2}$ et $f_{4},f_{5}\in \ker(u+2\mathrm {id} )^{2}$ or ces deux sous-espaces sont d'intersection nulle. Donc $(f_{1},\dots ,f_{5})$ est libre, donc est une base de $\mathbb {R} ^{5}$. $B=D+N$ pour $D=\mathrm {diag} (1,1,1,-2,-2)$ et $N={\begin{pmatrix}N_{1}&0\\0&N_{2}\end{pmatrix}}$ avec $N_{1}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}},N_{2}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$, $DN=ND={\begin{pmatrix}N_{1}&0\\0&-2N_{2}\end{pmatrix}}$. $N^{2}={\begin{pmatrix}N_{1}^{2}&0\\0&N_{2}^{2}\end{pmatrix}}=0$ donc $B^{k}=D^{k}+kD^{k-1}N={\begin{pmatrix}\mathrm {I} +kN_{1}&0\\0&(-2)^{k}\mathrm {I} +k(-2)^{k-1}N_{2}\end{pmatrix}}$, et $B^{-1}=D^{-1}(\mathrm {I} +D^{-1}N)^{-1}=D^{-1}(\mathrm {I} -D^{-1}N)={\begin{pmatrix}\mathrm {I} -N_{1}&0\\0&{-\mathrm {I} \over 2}-{N_{2} \over 4}\end{pmatrix}}$.
* Vue la matrice $B$, le polynôme caractéristique est $-(X-1)^{3}(X+2)^{2}$ et le polynôme minimal est $(X-1)^{2}(X+2)^{2}$ et $B$ est inversible. En particulier, $0=(B-\mathrm {I} )^{2}(B+2\mathrm {I} )^{2}=B^{4}+2B^{3}-3B^{2}-4B+4\mathrm {I} =B(B^{3}+2B^{2}-3B-4\mathrm {I} +4B^{-1})$ donc $B^{-1}=-B^{3}/4-B^{2}/2+3B/4+\mathrm {I} =\mathrm {I} -(D^{3}+3D^{2}N)/4-(D^{2}+2DN)/2+3(D+N)/4=P(D)+Q(D)N$ avec $P(X)=-X^{3}/4-X^{2}/2+3X/4+1,Q(X)=-3X^{2}/4-X+3/4$ donc $P(1)=1,Q(1)=-1,P(-2)=-1/2,Q(-2)=-1/4$ donc on retrouve $B^{-1}={\begin{pmatrix}\mathrm {I} -N_{1}&0\\0&-\mathrm {I} /2-N_{2}/4\end{pmatrix}}$.
* Vue la matrice $B$, $\ker(u-\mathrm {id} )=\mathrm {Vect} (f_{1},f_{2})$, $\ker(u-\mathrm {id} )^{2}=\ker(u-\mathrm {id} )^{3}=\mathrm {Vect} (f_{1},f_{2},f_{3})$, $\ker(u+2\mathrm {id} )^{2}=\mathrm {Vect} (f_{4},f_{5})$.

## Exercice 3-12

Soit $u$ un endomorphisme de $\mathbb {C} ^{5}$ non diagonalisable, non nilpotent, de rang 2.
* Montrer que le sous-espace caractéristique associé à la valeur propre 0 est soit $\ker u$, soit $\ker(u^{2})$.
* Montrer que $u$ admet exactement deux sous-espaces caractéristiques.
* Soit $b=(b_{1},\dots ,b_{5})$ une base de Dunford pour $u$ telle que $b_{1},b_{2},b_{3}\in \ker u$. Quelles sont les formes possibles de la matrice de $u$ dans $b$ ?
* Remarquons d'abord que $\dim(\ker u)=5-2=3$ et que (puisque $u$ n'est pas nilpotent) $\forall k\in \mathbb {N} ^{*}\quad \dim(\ker(u^{k}))\leq 4$.
** Premier cas : le sous-espace caractéristique associé à 0 est $\ker u$.
** Second cas : sinon (d'après les deux remarques) $\forall k\geq 2\quad \dim(\ker(u^{k}))=4$ donc le sous-espace caractéristique est $\ker(u^{2})$.
* Dans le second cas, vues les dimensions, il n'y a qu'un autre sous-espace caractéristique (une droite). Dans le premier cas, comme $u$ n'est pas diagonalisable, il n'y a qu'une seule autre valeur propre $\lambda$, avec $\dim(\ker(u-\lambda \mathrm {id} ))=1$ et le sous-espace caractéristique est le plan $\ker(u-\lambda \mathrm {id} )^{2}$.
* $E=N_{0}\oplus N_{\alpha }$.
** Premier cas : $E_{0}=N_{0}$, $\dim(N_{\alpha })=2$, $M={\begin{pmatrix}0&0\\0&M'\end{pmatrix}}$ avec $M'={\begin{pmatrix}\alpha &*\\0&\alpha \end{pmatrix}}$.
** Second cas : $E_{0}\neq N_{0}$, $\dim(N_{\alpha })=1$, $M={\begin{pmatrix}M'&0\\0&\alpha \end{pmatrix}}$ avec $M'={\begin{pmatrix}0&0&0&*\\0&0&0&*\\0&0&0&*\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$.

## Exercice 3-13

Soit $A\in \mathrm {M} _{n}(\mathbb {C} )$.
* On suppose dans cette question que la suite $(A^{k})_{k\in \mathbb {N} ^{*}}$ tend vers $0$. Montrer que les valeurs propres de $A$ sont de module $<1$.
* Si $A$ n'a qu'une valeur propre $\lambda$, montrer que la matrice $N:=A-\lambda \mathrm {I} _{n}$ est nilpotente. Expliciter $(\lambda \mathrm {I} _{n}+N)^{k}$ avec les coefficients du binôme et en déduire que si $|\lambda |<1$ alors la suite $(A^{k})_{k\in \mathbb {N} ^{*}}$ tend vers $0$.
* Si toutes les valeurs propres de $A$ sont de module $<1$, montrer que la suite $(A^{k})_{k\in \mathbb {N} ^{*}}$ tend vers $0$ (méthode : introduire une base de Dunford pour $A$ et appliquer la question précédente).
* Si $\lambda$ est une valeur propre de $A$, soit $X\in \mathbb {C} ^{n}$ un vecteur propre associé. $\lambda ^{k}X=A^{k}X\to 0X=0$ et $X\neq 0$, d'où $\lambda ^{k}\to 0$, ce qui n'est possible que si $|\lambda |<1$.
* Sans perte de généralité, on peut supposer $A$ triangulaire. Alors, $N$ est triangulaire supérieure de diagonale nulle donc $N^{n}=0$, donc $A^{k}=(\lambda \mathrm {I} _{n}+N)^{k}=\sum _{j=0}^{q-1}{\binom {k}{j}}N^{j}\lambda ^{k-j}=\lambda ^{k}\sum _{j=0}^{q-1}k(k-1)\dots (k-j+1)\lambda ^{-j}(N^{j}/j!)=\lambda ^{k}B_{k}$, où les coefficients de la matrice $B_{k}$ sont des polynômes en $k$. Donc si $|\lambda |<1$, $A^{k}\to 0$ (le cas particulier $\lambda =0$ peut être réglé directement à part).
* Sans perte de généralité, $A=\mathrm {diag} (A_{1},\ldots ,A_{p})$, où chaque bloc $A_{i}$ n'a qu'une valeur propre $\lambda _{i}$. D'après la question précédente, si tous les $|\lambda _{i}|$ sont $<1$, tous les $A_{i}^{k}$ tendent vers 0, d'où $A^{k}=\mathrm {diag} (A_{1}^{k},\ldots ,A_{p}^{k})\to 0$.