# Rayonnement du corps noir/Angles solides

Les angles solides constituent une généralisation des angles plan aux situations dans l'espace. Cette notion est particulièrement utile dans l'étude du rayonnement, ce chapitre est consacré à la définition et aux exemples en rapport. Il peut être considéré optionnel si la notion est déjà connue.

## Définition
### L'angle plan

Pour définir un angle solide, nous allons devoir définir ce qu'est un angle usuel dans le plan. Soit un cercle de rayon R et un arc de ce cercle délimité par un angle θ (mesuré en radians). Alors la longueur de l'arc est :
$L=R\theta$
On retrouve d'ailleurs le résultat célèbre donnant le périmètre d'un cercle pour un angle de 2π. La formule ci-dessus peut encore être écrite :
$\theta ={\frac {L}{R}}$
Ainsi, étant donné une mesure :
* de la longueur de l'arc ;
* du rayon du cercle ;
on peut en déduire une mesure de l'angle.
On définit l'angle plan θ formé entre deux points d'un cercle de rayon R par : $\theta ={\frac {L}{R}}$
où L est la longueur de l'arc entre les deux points.

### Angle solide

Nous allons définir l'angle en trois dimensions — appelé angle « solide » — de manière analogue. On voudrait disposer d'une formule de la forme
$<\!\!\!<L=R\theta \,>\!\!\!>$
sauf que, dans notre cas précis :
* L serait une surface, et non plus une longueur ;
* θ serait un angle solide, et non plus un angle plan ;
* il faudrait prendre le carré de R, pour des raisons d'homogénéité.
Pour plus de clarté, on note S la surface et Ω l'angle solide. On cherche ainsi :
$S=R^{2}\Omega$
Ainsi, par analogie avec la définition de l'angle plan :
On définit l'angle solide Ω sur une sphère de rayon R par : $\Omega ={\frac {S}{R^{2}}}$
où S est la surface formée sur la sphère. Un angle solide se mesure en unités SI en stéradians (sr).
De même, pour un angle infinitésimal, on a : $\mathrm {d} ^{2}\Omega ={\frac {\mathrm {d} ^{2}S}{R^{2}}}$
C'est-à-dire, puisque d²S = R² sin θ dθ dφ :
$\mathrm {d} ^{2}\Omega =\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi$
avec dθ et dφ les angles balayés par la surface (voir schéma). Cette expression est parfois intéressante.
Remarques :
* Le plus grand angle solide mesurable, qui correspond à un objet couvrant toute la sphère, est de 4π stéradians.
* Chaque face d'un cube est vue depuis le centre du cube avec un angle solide 2π/3 stéradians.
* Dans le cas général, un polyèdre régulier pouvant être inscrit dans une sphère, chacune de ses faces est vue avec un angle solide 4π/n.

## Cas particuliers
### Surface plane

Soit une surface élémentaire plane dS, soit n un vecteur normal à dS. On note R la distance d'un point O à cette surface.
Alors l'angle sous lequel est vu dS depuis O est :
$\mathrm {d} \Omega ={\frac {1}{R^{2}}}\mathrm {d} S\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{r}\right)$
avec e$_r$ le vecteur unitaire des coordonnées sphériques.

### Objet sphérique

Un objet sphérique de rayon R est vu sous le même angle solide qu'un cercle de rayon R à la même distance.

## Exemple

On dispose des informations suivantes :
* Rayon de la Lune : 1 740 km ;
* Distance Terre-Lune : 384 500 km ;
* Rayon du Soleil : 7.10⁵ km ;
* Distance Terre-Soleil : 150.10⁶ km.
Comparer l'angle solide sous lequel le Soleil et la Lune sont vus et commenter.
La surface occupée par la Lune est : $S_{L}=\pi R_{L}^{2}$ L'angle solide sous lequel la Lune est vue est donc : $\Omega _{L}={\frac {S_{L}}{D_{T-L}^{2}}}={\frac {\pi R_{L}^{2}}{D_{T-L}^{2}}}=6,434.10^{-5}\;\mathrm {sr}$
La surface occupée par le Soleil est : $S_{S}=\pi R_{S}^{2}$ L'angle solide sous lequel le Soleil est vu est donc : $\Omega _{S}={\frac {S_{S}}{D_{T-S}^{2}}}={\frac {\pi R_{S}^{2}}{D_{T-S}^{2}}}=6,842.10^{-5}\;\mathrm {sr}$
On remarque que ces deux valeurs sont proches — en fait, les données fournies étant approximatives, elles sont plus ou moins proches — ce qui explique notamment les éclipses « annulaires » lors desquelles la Lune occulte tout juste le Soleil.
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