# U2 CQP Chargé de clientèle Assurance/La théorie du calcul de la prime
## Introduction, terminologie

Nous avons vu qu’il fallait estimer un risque pour en déduire :
* et la définition d’une garantie : obligation de prestation pour l’assureur,
* et le calcul de la prime d’assurance : obligation de paiement pour l’assuré.
La fixation de la prime est librement effectuée par les parties au contrat. Soit !… Mais comment fait-on ? …
L’assurance est fondée sur des bases mathématiques et sur des règles de bonne gestion économique. C’est ce qui va permettre de définir les composantes de la prime totale :
* Prime : pure, nette, totale,
* Chargements : coûts, frais, marge,
* Taxes et frais accessoires,
La bonne gestion économique est importante sur 2 axes :
* tant au point de vue de l’équilibre comptable (les flux entrants équilibrent les flux sortants à date),
* qu’en termes de calculs actuariels : Les flux entrants et sortants à des dates différentes sont tous revalorisés 1 à 1 à une seule date pour tenir compte du « coût du temps » ! Ce processus s’appelle génériquement l’actualisation des flux (en fait, il existe 2 processus : l’actualisation et la capitalisation : voir ci-après).
L’assiette d’un calcul est la chose sur laquelle le calcul portera. Exemple : l’assiette fiscale du calcul de l’impôt sur le revenu est… Suspense éprouvant :… tous les revenus du contribuable…
La règle de trois est l’outil préféré des assureurs… Sa maîtrise est indispensable !!! Le calcul mental sans stress est absolument nécessaire…
Exemple : Couvrir un risque de 3 M€ coûte 180 € par an, le client dispose d’un budget de 150 € : quelle est la valeur du risque couvert par le budget si la règle est linéaire ?
Proportionnalité Risque Prime
Base a = 3 M€ b = 180 € par an
Pratique x en M€ c = 150 € par an
1ère méthode : le ‘coût unitaire’ ou ‘la proportionnalité’ puis que la règle est linéaire.
a/b = x/c
Donc x = (a * c)/ b ==> x = 2.5 M€
2ème méthode : ‘le produit en croix’
a*c = b*x
Donc x = (a * c)/ b ==> x = 2.5 M€

## La science actuarielle
### Définitions et terminologie

La science actuarielle concerne l’application des méthodes mathématiques et statistiques à la finance et aux assurances, particulièrement dès lors que l'évaluation des risques à terme est primordiale.
Les actuaires sont les professionnels qui sont qualifiés dans ce domaine.
La science actuarielle traditionnelle a démarré par l'analyse de la mortalité, la production de tables de survie ainsi que par le calcul financier des intérêts composés. À ce jour, les idées de l'économie financière deviennent de plus en plus influentes dans la pensée actuarielle et dans la modélisation des risques et des couvertures de risques.

### L’actuariat

Selon Wikipédia :
   « Un actuaire est un professionnel spécialiste de l’application du calcul des probabilités et de la statistique aux questions d'assurances, de finance et de prévoyance sociale. À ce titre, il analyse l'impact financier du risque et estime les flux futurs qui y sont associés. L'actuaire utilise des techniques mathématiques et statistiques pour décrire et modéliser de façon prédictive certains évènements futurs tels que par exemple la durée de la vie humaine, la fréquence des sinistres et l'ampleur des pertes pécuniaires associées. ».

### Calculs financiers de l’assurance

Rappel : La règle de trois est l’alpha et l’oméga du métier d’agent général… Qu’on se le dise !…

#### La proratisation

Veiller à préciser les hypothèses… car souvent une année financière est de 360 jours, ou de 12 mois de 30 jours, ou 4 trimestres de 90 jours, ou 2 semestres de 180 jours.
Attention si on parle en semaines certains calculent avec 52 semaines de 7 jours = 364 jours dans une année…
Exercices :
* Proratiser 3 mois en année = 0,25 année.
* Proratiser 8 mois en année = 0,66667 année,
* Proratiser 1 semestre, 1 trimestre, 2 mois, et 5 jours = 0,93055555 année
* Proratiser 5 ans et 289 jours : si 365 jours par an le calcul donne = 5,7918 années… avec 360 jours par an le calcul donne = 5,8028 années soit un écart de 0,19 %

#### La capitalisation

La capitalisation représente la projection dans le temps à venir. On parle aussi de méthode par « intérêts composés »…
Ex : calculer le capital de sortie d’un investissement de 100 k€ versé aujourd’hui au terme du contrat d’épargne.
a) A court terme (moins d’une année) : pour un investissement K0 au taux d’intérêt annuel i, et une durée en jours d, le montant capitalisé est : K(au terme de d jours) = K0 * (1 + (i * d/365))
Exercice : Monter un tableau Excel avec K0 = 100 k€, i = 3% et d = 200 jours…… K = 101.643,84 €
b) Avec un terme de plus d’une année : pour un investissement K0 au taux d’intérêt annuel i, et une durée de n années entières et de p année proratisée (p compris entre 0 et 1), le montant capitalisé est : K(au terme de (n+p) années) = K0 * (1 + i) (n+p)
Exercice : Monter un tableau Excel avec K0 = 100 k€, i = 3% et d = 5,4 années…… K = 117.306,21 €

#### L’actualisation

L’actualisation représente le retour dans le temps antérieur.
Ex : calculer l’investissement initial à verser aujourd’hui pour obtenir un capital de 100 k€ au terme du contrat d’épargne.
a) A court terme (moins d’une année) : pour un investissement K0 au taux d’intérêt annuel i, et une durée en jours d, le montant capitalisé est : K(au terme de d jours) = K0 / (1 + (i * d/365))
Exercice : Monter un tableau Excel avec K = 100 k€, i = 3% et d = 200 jours…… K0 = 98.382,75 €
b) Avec un terme de plus d’une année : pour un investissement K0 au taux d’intérêt annuel i, et une durée de n années entières et de p année proratisée (p compris entre 0 et 1), le montant capitalisé est : K(au terme de (n+p) années) = K0 / (1 + i) (n+p)
Exercice : Monter un tableau Excel avec K = 100 k€, i = 3% et d = 5,4 années…… K0 = 85.246,98 €

#### Les comparaisons de solutions

L’inconnue est le taux ou la durée…
« Très cher Chargé de clientèle, je voudrais que vous m’aidiez à choisir entre les 2 solutions suivantes :
* Investir 100 k€ sur 15 ans au taux de 4.5 % (profil équilibré),
* Ou investir plus longtemps avec un taux plus petit : 100 k€ sur 20 ans au taux de 3.5 % (Fond euro en année 2007 !) ? »
Votre réponse grâce à un tableau Excel ?
Si la 2ème solution est inférieure à la 1ère : 2 questions a) Quelle durée d’investissement au taux de 4.5 % ? et b) Quel taux obtenir sur 15 ans ?
Vos réponses grâce à un tableau Excel ? a) 15 ans et 231 jours (an = 365 jours) et b) > à 4, 7% sur 15 ans…

## La théorie de la tarification

Techniquement les risques sont appréciés par des critères statistiques :
* d’occurrence : la probabilité ou la fréquence,
* d’intensité : la moyenne des coûts enregistrés.

### Terminologie (probabilités et statistiques)
#### Probabilités et statistiques :

Probabilités : les probabilistes (les gens dont le métier est de calculer des probabilités) s'intéressent aux conséquences théoriques d'une expérience régie par de l’aléatoire (hasard). Cet aspect aléatoire est modélisé par des lois adéquates, des lois qu'on estime correspondre à la réalité observable. On peut parler d'une « connaissance a priori » puisque l'étude se fait sans recueil de données.
Statistiques : les statisticiens étudient des données empiriques (c'est-à-dire des données issues de situations concrètes). Ils les recueillent les réponses fournies lors d'un sondage par exemple, puis les analysent qualitativement et/ou quantitativement en synthétisant des tableaux de données, puis les interprètent pour leur trouver des propriétés, enfin ils les extrapolent pour émettre des hypothèses sur les données futures.
Les probabilités et la statistique sont deux domaines des sciences de l’aléatoire qui sont en interaction l'une avec l'autre.

#### Définition axiomatique de la probabilité

Pour faire simple, sachant que vous avez toujours la possibilité d’approfondir ce thème dans lequel les mathématiques sont naturellement « très présentes »… et aussi la théorie des jeux… très mathématisée elle aussi…
Une probabilité se définit par les axiomes suivants :
* la probabilité d'un événement est représentée par un nombre réel compris entre 0 et 1. 0 (zéro) si cet événement n’a aucune chance d’arriver. 1 (un) si cet événement est certain. 0,33333 (1/3) si l’occurrence de l’événement est d’une chance sur 3.
* la probabilité d'un événement qui est la réunion dénombrable de sous-événements disjoints 2 à 2 est égale à la somme des probabilités de chacun de ces sous-événements.
Ex : quelle est la probabilité de recevoir une petite météorite sur la tête le jour de son anniversaire… 1/10.000 (Pourquoi ? : parce que !) + 1/365 (les années normales) = 0.002839 = 2.84x10-3…
Toujours en bref et simple : La probabilité est égale au ratio du nombre de cas favorables (respectant le critère) que le nombre de cas possibles.
Ex : probabilité de tirer un chiffre pair avec un dé : 3/6 = 0,5

#### La statistique

La statistique est d'un point de vue théorique une science, une méthode et une technique.
La statistique est l’activité qui consiste à recueillir, traiter, et interpréter un ensemble de données de l’observation.
La statistique d’une grandeur, d’une qualité, d’une propriété ou d’une caractéristique est calculée à partir des observations effectuées : Elle peut correspondre à la valeur maximale ou minimale de la série d’observations, à l’écart entre ces valeurs max et min, à la moyenne de la série, à sa médiane, à sa variance, ou à son écart-type,…
Voir initiation à la statistique
Schéma

### La fréquence des sinistres

Le calcul de la fréquence, issu du recensement statistique des événements passés, groupés en risques homogènes de même nature consiste à estimer la probabilité de réalisation (l’occurrence) d’un risque, probabilité exprimée par un rapport.
Exemple : Il y a eu 13 vols de ‘cyclomoteurs’ sur une année pour un parc de 9.000 : 13/9.000 ==> 14.44/10.000…
Jeu : lancer de 2 dés
Examinons l’épreuve du jet de deux dés à six faces.
Un dé de 6 faces étant parfaitement symétrique, il y a 1 chance sur 6 (probabilité de 1/6) que le lancer du dé donne une face précisée au départ (6 cas possibles) ou 3 chances sur 6 (1/3) que cette face soit un chiffre pair.
Définissons : f( i; j) où i désigne la valeur de la face supérieure du premier dé et j désigne la valeur de la face supérieure de celle du second dé. Pour des raisons de symétrie (si les dés ne sont pas pipés !!!) : on a la pondération 1/36 pour chaque couple (i ; j).
a) Soit A l‘évènement : les valeurs des deux dés sont identiques. Soit A = {(1; 1); (2; 2); . . . ; (6; 6)} alors P(A)=6/36=1/6
b) Examinons maintenant S la somme des deux dés jetés 1 par un.
On a : S(i;j) = S = i + j. Voyons les probabilités de chacun des S possibles …
{S= 2} = {(1 ; 1)} P(S = 2) = 1/36
{S= 3} = {(1 ; 2), (2 ; 1)} P(S = 3) = 2/36 = 1/18
{S= 4} = {(1 ; 3), (2 ; 2), (3 ; 1)} P(S = 4) = 3/36 = 1/12
{S= 5} = {(1 ; 4), (2 ; 3), (3 ; 2), (4 ; 1)} P(S = 5) = 4/36 = 1/9
{S= 6} = {(1 ; 5), (2 ; 4), (3 ; 3), (4 ; 2), (5 ; 1)} P(S = 6) = 5/36
{S= 7} = {(1 ; 6), (2 ; 5), (3 ; 4), (4 ; 3), (5 ; 2), (6 ; 1)} P(S = 7) = 6/36 = 1/6
{S= 8} = {(2 ; 6), (3 ; 5), (4 ; 4), (5 ; 3), (6 ; 2)} P(S = 8) = 5/36
{S= 9} = {(3 ; 6), (4 ; 5), (5 ; 4), (6 ; 3)} P(S = 9) = 4/36 = 1/9
S= 10} = {(4 ; 6), (5 ; 5), (6 ; 4)} P(S = 10) = 3/36 = 1/12
{S= 11} = {(5 ; 6), (6 ; 5)} P(S = 11) = 2/36 = 1/18
{S= 12} = {(6 ; 6)} P(S = 12) = 1/36
Comment lire ce tableau : L’ensemble des couples de lancer de 2 dés, qui a pour somme la valeur 7, est composé de 6 couples. Comme il y a 36 couples différents la probabilité d’obtenir une somme de 7 est de 6 chances sur 36, soit 6/36, soit après réduction de la fraction 1 chance sur 6.

### Le coût moyen des sinistres

Le calcul du coût moyen, issu du recensement statistique des événements passés, groupés en risques homogènes de même nature consiste à estimer la moyenne des coûts enregistrés lors de la survenue du risque considéré.
Exemple : Les dommages aux automobiles (dommage matériel exclusivement : pas de blessés !) enregistrés lors des 4528 accidents répertoriés sur une année ont représentés un montant total de 8.150.400 € soit un coût moyen de 1.800 € par accident matériel.

### La prime pure ou prime technique

Le montant de la prime correspond au coût statistique du risque garanti.
Le taux de prime est le taux applicable à une unité du risque considéré,
L’assiette de la prime est le montant du risque considéré. L’assiette peut représenter des notions diverses suivant le type d’assurances :
* En assurances de choses : la valeur d’un bien (fixe ou fluctuante (si périssable !) selon les cas),
* En assurances de personnes : la valeur des capitaux assurés,
* En assurances de responsabilité : c’est plus délicat, et on examinera cela, plus tard, au cas par cas.
La formule est par définition :
La règle de proportionnalité s’applique tant sur le taux de prime que sur l’assiette…
À ces 2 paramètres principaux, il faudra ajouter des paramètres plus techniques : Notamment la durée de la garantie et les taux d’intérêt…

### Le taux de prime

La formule de calcul est :
Les assureurs n’ont aucun pouvoir sur les 2 termes de la multiplication.

### Règle proportionnelle de taux de prime

Article L.113-9 alinéa 3 du code des assurances
Alinéa 1 : L'omission ou la déclaration inexacte de la part de l’assuré dont la mauvaise foi n’est pas établie n'entraîne pas la nullité de l’assurance.
Alinéa 2 : Si elle est constatée avant tout sinistre, l'assureur a le droit soit de maintenir le contrat, moyennant une augmentation de prime acceptée par l’assuré, soit de résilier le contrat dix jours après notification adressée à l’assuré par lettre recommandée, en restituant la portion de la prime payée pour le temps où l’assurance ne court plus.
Alinéa 3 : Dans le cas où la constatation n'a lieu qu'après un sinistre, l'indemnité est réduite en proportion du taux des primes payées par rapport au taux des primes qui auraient été dues, si les risques avaient été complètement et exactement déclarés.
Comme sanction de la sous-tarification du risque, la formule de calcul est :

### Règle proportionnelle de l’assiette de prime en assurance de biens

Nous avons déjà indiqué :
* qu’en assurance de personnes les engagements de l’assureur sont forfaitaires et fixés au contrat sous la forme de capitaux assurés. Ce sont ces capitaux qui forment l’assiette de la prime.
* et la difficulté de statuer sur cette valeur d’assiette en assurance de responsabilité.
Donc il reste à analyser l’assurance de choses…
La détermination de la valeur d’assurance fait appel à plusieurs notions (à mettre en lien avec d’autres unités de valeur).

#### La vétusté

La vétusté est un élément de dépréciation d’un bien en fonction de son état ou de son âge.

#### La valeur vénale

C’est la valeur du bien à vendre :
* Somme de la valeur d’achat+ taxes + frais de transport pour un commerçant (négoce),
* Coût de revient pour un fabricant,
* Valeur de marché,
* Valeur des récoltes escomptées pour un agriculteur...

#### La valeur d’usage

Pour le propriétaire utilisateur : C’est la valeur du bien à remplacer. La valeur de remplacement par un bien semblable ou la valeur de reconstruction moins une dépréciation pour vétusté.

#### La VRAD

La valeur de remplacement à dire d’expert (VRAD) est la valeur déterminée par un expert.

#### La valeur à neuf

C’est la valeur de remplacement neuf sans déduire de vétusté.

#### La valeur déclarée

Valeur souscrite unilatéralement par l’assuré sans aucun contrôle de l’assureur… C’est à la fois l’assiette de calcul de la prime et la limite de l’engagement de l’assureur.

#### La valeur agréée

Valeur établie de manière contradictoire entre l’assuré et l’assureur au moment de la souscription du contrat.

#### Règle proportionnelle de capitaux

Pour les assurances de biens. Au jour du sinistre.
Article L. 121-5 du code des assurances
S'il résulte des estimations que la valeur de la chose assurée excède au jour du sinistre la somme garantie, l’assuré est considéré comme restant son propre assureur pour l'excédent, et supporte, en conséquence, une part proportionnelle du dommage, sauf convention contraire.
En conséquence de la sous assurance, la formule de calcul est :

### Durée de la garantie

Nous avons vu que le terme de la garantie pouvait être une date (contrat annuel avec tacite reconduction, contrat avec une date de fin définie) ou un événement ( contrat pluriannuel ou viager).
Le calcul statistique des risques est établi en fonction d’une unité de durée de contrat qui est généralement l’année.
Généralement, durant une année le risque est considéré comme constant :
* évolution discontinue (annuelle) du risque sur la durée du contrat,
* pas d’effet ‘tapis contre un mur !’ au cours d’une année.
Pour certains risques la probabilité de survenance croit d’une année sur l’autre : le risque de décès croit avec le vieillissement… Dans ces cas l’assureur peut niveler tout de même la prime sur toute la durée du contrat (assurance emprunteur).
Les assurances pour des risques non annualisables sont estimées spécifiquement :
* L’assurance moto est plus chère les 3 mois d’été,
* L’assurance transport de marchandise est plus chère l’hiver (neige, verglas,…)
* L’assurance d’un événement festif, sportif, culturel,… dépend de l’activité pratiquée.

### Les provisions techniques et les produits financiers

Les activités économiques et financières de l’industrie de l’assurance sont considérables grâce aux provisions techniques qu’elle gère pour le compte de ses assurés.
Les provisions techniques naissent par l’écart de date existant entre :
* la signature du contrat qui représente le début du paiement des primes par le souscripteur,
* et la survenance du sinistre qui représente le versement de la prestation par l’assureur à l’assuré.
L’assureur accumule durant cette période des capitaux qui ne lui sont pas tous acquis mais qui représentent son engagement envers son assuré qu’il devra éventuellement honorer. L’assureur fait fructifier ces provisions techniques par des placements réglementés.
Les provisions techniques figurent au passif du bilan des entreprises d’assurances (articles R.331-3 et suivants du code des assurances)
Les placements financiers sont inscrits à l’actif du bilan (article R332-1 et suivants du code des assurances).
Voir le tableau de bord de l’industrie de l’assurance sur le site de la fédération française des sociétés d’assurances FFSA.
Dans le livre en bibliographie ‘Droit des assurances’, p 347, les auteurs précisent :
   « L'importance de l'activité financière des compagnies d'assurance, « investisseurs institutionnels », explique que le caractère financier éclipse souvent le caractère juridique de l’industrie des assurances. Il y a là un danger, car les assurés, acheteurs de sécurité, souscrivent un « contrat », c'est-à-dire un« produit juridique ».
Aussi est-il malsain que la stratégie des compagnies d'assurance élude totalement le juridique au profit du financier qu’il induit. Les baisses sensibles de ces revenus au cours des années 2001 et 2002 et l'effondrement de 2008 les ont conduites à revenir vers le cœur de leur métier, qui est de vendre de la sécurité à son coût, et non de tirer profit de placements.

### Les chargements commerciaux et le chargement fiscal

Rappel :
Prime pure = Taux de prime x assiette et Taux de prime = fréquence x coût moyen des sinistres
Donc
Prime pure = fréquence x coût moyen (sinistres) x assiette.
La prime pure : C’est le coût technique du risque
La prime nette ou prime commerciale c’est la prime pure augmentée du chargement commercial. En bref on fait payer au client souscripteur la rémunération de l’intermédiaire qui assure la fonction de distribution.
La prime totale quant à elle représente la prime nette à laquelle on a ajouté les taxes que l’assureur perçoit pour le compte de l’État.

#### Les chargements commerciaux

Il y a les frais généraux, la marge et les commissions.
Au titre des frais généraux :
On trouve tout ce qui a trait à l’organisation de l’entreprise et à ses coûts opérationnels : m² (loyers ou amortissements), salaires, prévention, actuaires, expertises, impôts de l’entreprise.
Au titre de la rémunération du capital :
C’est la marge que s’octroie budgétairement l’entreprise et qui sera confirmée ou infirmée en fin d’exercice.
Au titre des commissions :
On trouve ici les frais liés à la gestion de chaque contrat : commissions versées aux différents réseaux d’intermédiaires de distribution et/ou de commercialisation : agents d’assurances, courtiers…comme rémunération de la démarche de vente.
Et :

#### Le chargement fiscal

La taxe annuelle est fonction de la branche d’assurance concernée. Elle est prévue par l’article 1001 du CGI.
Une harmonisation dans le cadre de l’Union Européenne, afin d’éviter les distorsions de concurrence, a été freinée en France car les diminutions nécessaires sont contraires aux intérêts budgétaires actuels (Remboursement du cumul des déficits structurels passés !).

### Équation de la prime totale

Donc en final :

### Le fractionnement de la prime

La prime peut être payée périodiquement :
* Annuellement,
* Semestriellement,
* Trimestriellement,
* Mensuellement.
Certaines compagnies ajoutent des frais de chargement pour les paiements non annuels
| Le besoin de connaissances des données du client | Les principes d'établissement des grilles tarifaires |
* ↑ Note du rédacteur : appelés zinzin dans le jargon économique !