# Théorie des groupes/Groupes commutatifs finis, 2

Comme annoncé, nous allons démontrer, dans cette seconde partie du chapitre, des théorèmes d'unicité relatifs aux décompositions dont l’existence a été démontrée dans la première partie du chapitre.
Soient p un nombre premier et G un groupe fini commutatif p-primaire. Soient c$_1$, ... , c$_s$ des éléments non nuls de G tels que
    $G=<c_{1}>\oplus \ldots \oplus <c_{s}>.$
Si, pour chaque élément x de G, nous désignons par [x] la classe de x modulo pG, alors [c$_1$], ... , [c$_s$] forment une base du $\mathbb {F} _{p}$-espace vectoriel G/pG.
Démonstration. Prouvons tout d’abord que [c$_1$], ... , [c$_s$] forment une famille génératrice du $\mathbb {F} _{p}$-espace vectoriel G/pG. Tout élément de G/pG étant de la forme [x] avec x dans G, il s'agit de prouver que pour tout élément x de G, il existe des éléments f$_1$, ... , f$_s$ de $\mathbb {F} _{p}$ tels que
    $(1)\qquad [x]=f_{1}[c_{1}]+...+f_{s}[c_{s}].$
D'après les hypothèses de l'énoncé, il existe des entiers rationnels a$_1$, ... , a$_s$ tels que x = a$_1$ c$_1$ + a$_s$ c$_s$, d'où
    $(2)\qquad [x]=a_{1}[c_{1}]+a_{s}[c_{s}].$
Pour tout i, désignons par f$_i$ la classe résiduelle de a$_i$ modulo p. D'après la définition de la structure de $\mathbb {F} _{p}$-espace vectoriel de G/pG, la relation (2) donne [x] = f$_1$ [c$_1$] + f$_s$ [c$_s$], ce qui est notre thèse (1). Prouvons maintenant que [c$_1$], ... , [c$_s$] forment une famille libre d'éléments du $\mathbb {F} _{p}$-espace vectoriel G/pG. Soient f$_1$, ... , f$_s$ des éléments de $\mathbb {F} _{p}$ tels que
    $(3)\qquad f_{1}[c_{1}]+f_{s}[c_{s}]=0$ dans G/pG.
Il s'agit de prouver que tous les f$_i$ sont nuls dans $\mathbb {F} _{p}$. Pour chaque i, choisissons un entier rationnel a$_i$ dont la classe modulo p soit f$_i$. L'hypothèse (3) revient à dire qu'a$_1$ c$_1$ + ... a$_s$ c$_s$ appartient à pG. Il existe donc un élément x de G tel qu'a$_1$ c$_1$ + ... a$_s$ c$_s$ = px. D'après les hypothèses de l'énoncé, x est de la forme b$_1$ c$_1$ + ... b$_s$ c$_s$, où les b$_i$ sont des entiers rationnels. On a donc
    a$_1$ c$_1$ + ... a$_s$ c$_s$ = pb$_1$ c$_1$ + ... pb$_s$, d'où, toujours d’après les hypothèses de l'énoncé,
    $(4)\qquad a_{i}c_{i}=pb_{i}c_{i}$ pour tout i.
Puisque c$_i$ est un élément non nul d'un groupe p-primaire, son ordre est divisible par p, donc, d’après (4), a$_i$ - p b$_i$ est divisible par p, donc a$_i$ est divisible par p, donc f$_i$ est nul, ce qui démontre notre thèse.
Soient p un nombre premier et G un groupe fini commutatif p-primaire. Si G admet une décomposition comme somme directe de s facteurs cycliques non nuls, s est égal à la dimension de G/pG comme $\mathbb {F}$-espace vectoriel et est égal aussi au plus petit cardinal de partie génératrice de G.
Démonstration. La première partie de l'énoncé résulte immédiatement du précédent lemme. Pour démontrer la seconde partie, désignons par s la dimension de G/pG comme $\mathbb {F} _{p}$-espace vectoriel et par t le plus petit cardinal de partie génératrice de G. Il s'agit de prouver que s = t. D'après la première partie de l'énoncé, G/pG admet une partie génératrice à s éléments, donc, par minimalité de t, t ≤ s. Prouvons l'inégalité opposée. Il existe une partie génératrice {x$_1$, ... , x$_t$} de G. Il en résulte clairement que les images de x$_1$, ... , x$_t$ dans G/pG forment une partie génératrice du $\mathbb {Z}$-espace vectoriel G/pG (voir la première partie de la démonstration du lemme précédent), donc t est supérieur ou égal à la dimension de cet espace vectoriel, c'est-à-dire à s.
Remarques :
* La partie de l'énoncé relative au plus petit cardinal de partie génératrice ne sera pas utilisée dans la suite.
* Le lemme qui précède montre que si G est un groupe commutatif p-primaire, le nombre de sous-groupes dans une décomposition de G en somme directe de sous-groupes cycliques non nuls ne dépend que de G et non d'une décomposition particulière. Nous nous acheminons ainsi vers un théorème d'unicité.
Notation. Si G est un groupe commutatif fini p-primaire, nous désignerons par d(G) la dimension de G/pG comme $\mathbb {F} _{p}$-espace vectoriel. D'après ce qui précède, d(G) est le plus petit cardinal de partie génératrice de G. Si G est d'exposant p, pG est nul, donc G/pG est isomorphe à G, donc, dans ce cas, d(G) est la dimension de G comme $\mathbb {F} _{p}$-espace vectoriel.
Dans le cas particulier où G est d'exposant premier p, le lemme précédent donne :
Si G est un groupe commutatif fini d'exposant premier p (autrement dit un p-groupe abélien élémentaire), si G est somme directe de s sous-groupes cycliques d'ordre p, la dimension de G comme $\mathbb {F} _{p}$-espace vectoriel est égale à s.
On pourrait évidemment le démontrer plus directement, en notant que (si G est d'exposant p), le sous-groupe de G engendré par un élément x de G est aussi le sous-$\mathbb {F} _{p}$-espace vectoriel de G engendré par x.
Soient p un nombre premier, m un nombre naturel non nul et G un groupe somme directe de s sous-groupes cycliques d'ordre p$^m$. Pour tout nombre naturel n < m, s = d(p$^n$G/p$^{n+1}$G).
Démonstration. Par hypothèse, il existe des sous-groupes cycliques G$_1$, ... , G$_s$ de G, tous d'ordre p$^m$, tels que
    $G=G_{1}\oplus \ldots \oplus G_{s}.$
Il en résulte clairement que
    $(1)\qquad p^{n}G=p^{n}G_{1}\oplus \ldots \oplus p^{n}G_{s}.$
et, de même,
    $(2)\qquad p^{n+1}G=p^{n+1}G_{1}\oplus \ldots \oplus p^{n+1}G_{s}.$
On montre facilement que, de façon générale, si S est un groupe commutatif somme directe de sous-groupes S$_1$, ... , S$_r$, si, pour chaque i, T$_i$ est un sous-groupe de S$_i$, alors
    $S/(T_{1}\oplus \ldots \oplus T_{r})\cong (S_{1}/T_{1})\oplus \ldots \oplus (S_{r}/T_{r})$
(où le second membre est une somme directe externe). Les relations (1) et (2) donnent donc
    $p^{n}G/p^{n+1}G\cong (p^{n}G_{1}/p^{n+1}G_{1})\oplus \ldots (p^{n}G_{s}/p^{n+1}G_{s}),$
autrement dit, si nous posons H$_i$ = p$^n$G$_i$,
    $(3)\qquad p^{n}G/p^{n+1}G\cong (H_{1}/pH_{1})\oplus \ldots \oplus (H_{s}/pH_{s}).$
Puisque n < m, H$_i$ est un groupe cyclique d'ordre p$^{m-n}$ et pH$_i$ un groupe cyclique d'ordre p$^{m-n-1}$, donc H$_i$/pH$_i$ est un groupe cyclique d'ordre p. La relation (3) montre donc que le groupe $p^{n}G/p^{n+1}G$, qui est évidemment d'exposant p, est somme directe de s groupes cycliques d'ordre p. D'après le « cas particulier » ci-dessus, s est la dimension de $p^{n}G/p^{n+1}G$ comme $\mathbb {F} _{p}$-espace vectoriel, autrement dit s = d(p$^n$G/p$^{n+1}$G).
Soit G un groupe commutatif p-primaire admettant une décomposition
    $G=C_{1}\oplus \ldots \oplus C_{s}$
en somme directe de sous-groupes cycliques non nuls. Pour tout nombre naturel n > 0, le nombre des i tels que C$_i$ soit d'ordre au moins p$^n$ est d(p$^{n-1}$G/p$^n$G).
Démonstration. Pour tout nombre naturel j, désignons par A$_j$ la somme directe des C$_i$ d'ordre p$^j$. (Si aucun C$_i$ n'est d'ordre p$^j$, A$_j$ est le sous-groupe nul.) Nous avons donc
    $G=A_{1}\oplus \ldots \oplus A_{t}$
pour un certain t. Alors
    $(1)\qquad p^{n-1}G=p^{n-1}A_{1}\oplus \ldots \oplus p^{n-1}A_{t}$.
et
    $(2)\qquad p^{n}G=p^{n}A_{1}\oplus \ldots \oplus p^{n}A_{t}$.
Pour j ≤ n - 1, p$^{n-1}$A$_j$ est nul (car A$_j$, étant une somme de sous-groupes d'ordre p$^j$, admet l'exposant p$^j$ et donc aussi l'exposant p$^{n-1}$). Donc (1) peut s'écrire
    $(3)\qquad p^{n-1}G=p^{n-1}A_{n}\oplus \ldots \oplus p^{n-1}A_{t}$.
De même, pour k ≤ n, p$^n$A$_k$ est nul, de sorte que nous pouvons éliminer de (2) les sous-groupes p$^n$A$_1$, ... , p$^n$A$_n$. Nous garderons toutefois p$^n$A$_n$, pour obtenir une relation analogue à (3) :
    $(4)\qquad p^{n}G=p^{n}A_{n}\oplus \ldots \oplus p^{n}A_{t}$.
De (3) et (4) résulte
    $(5)\qquad p^{n-1}G/p^{n}G\cong p^{n-1}A_{n}/p^{n}A_{n}\oplus \ldots \oplus p^{n-1}A_{t}/p^{n}A_{t},$
où le second membre est une somme directe externe (et où le terme $p^{n-1}A_{n}/p^{n}A_{n}$ est évidemment isomorphe à p$^{n-1}$A$_n$) Tous les quotients apparaissant dans (5) sont des groupes d'exposant p et donc des $\mathbb {F} _{p}$-espaces vectoriels. En passant aux dimensions, nous trouvons (compte tenu que, comme nous l'avons vu, d coïncide avec la dimension dans le cas des groupes commutatifs d'exposant p)
    $(6)\qquad d(p^{n-1}G/p^{n}G)=d(p^{n-1}A_{n}/p^{n}A_{n})+\ldots +d(p^{n-1}A_{t}/p^{n}A_{t}).$
Par définition, A$_j$ est la somme directe des C$_i$ d'ordre p$^j$. Soit a$_j$ le nombre de ces C$_i$ d'ordre p$^j$. Pour chaque j tel que n ≤ j ≤ t, il résulte d'un lemme précédent que $d(p^{n-1}A_{j}/p^{n}A_{j})$ est égal à a$_j$. La relation (6) peut donc s'écrire
    $d(p^{n-1}G/p^{n}G)=a_{n}+\ldots +a_{t}.$
Le second membre est le nombre des i tels que C$_i$ soit d'ordre au moins p$^n$, donc l'énoncé est démontré.
Soient p un nombre premier, G un groupe commutatif fini p-primaire et n un nombre naturel ≥ 1. Dans toute décomposition de G en somme directe de sous-groupes cycliques non nuls, le nombre des sous-groupes cycliques d'ordre p$^n$ est d(p$^{n-1}$G / p$^n$G) - d(p$^n$G / p$^{n+1}$G).
Démonstration. C'est une conséquence immédiate du lemme précédent.
Soient G un groupe commutatif fini (non forcément primaire), p un nombre premier divisant l’ordre de G et n un nombre naturel ≥ 1. Le nombre des sous-groupes cycliques d'ordre p$^n$ dans une décomposition de G en somme directe de sous-groupes cycliques primaires non nuls ne dépend que de G et non de la décomposition.
Démonstration. Si G est primaire, cela résulte clairement du lemme précédent. Cessons de supposer G primaire. Soient
    $(1)\qquad G=C_{1}\oplus \ldots \oplus C_{s}$
et
    $(2)\qquad G=D_{1}\oplus \ldots \oplus D_{t}$
deux décompositions de G en sommes directes de sous-groupes cycliques primaires non nuls. Quiite à changer la numérotation, nous pouvons supposer que dans la première décomposition, les sous-groupes p-primaires sont C$_1$, ... , C$_u$. Posons
    $A=C_{1}\oplus \ldots \oplus C_{u}$
et
    $B=C_{u+1}\oplus \ldots \oplus C_{s}.$
Alors
    $(3)\qquad G=A\oplus B,$
où A est un groupe p-primaire et où l’ordre de B est premier avec p. Montrons qu'A est la composante p-primaire de G. Puisque A est p-primaire, il est contenu dans la composante p-primaire de G. Réciproquement, soit x un élément de la composante p-primaire de G. Il s'agit de prouver que x appartient à A. D'après (3), nous avons x = a + b, avec a dans A et b dans B. Alors x et a appartiennent tous deux à la composante p-primaire de G, donc b appartient à la composante p-primaire de G, donc l’ordre de b est une puissance de p. D'autre part, puisque b appartient à B, l’ordre de b est premier avec p. Ainsi, l’ordre de b est une puissance de 'p et n’est pas divisible par p, donc cet ordre est égal à 1, donc b = 0, donc x = a, donc x appartient à A, ce qui achève de prouver qu'A est la composante p-primaire de G. Il en résulte que le nombre des sous-groupes cycliques d'ordre p$^n$ dans la décomposition (1) de G est égal au nombre des sous-groupes cycliques d'ordre p$^n$ dans une certaine décomposition de la composante p-primaire de G en somme directe de sous-groupes primaires. De même, le nombre des sous-groupes cycliques d'ordre p$^n$ dans la décomposition (2) de G est égal au nombre des sous-groupes cycliques d'ordre p$^n$ dans une certaine décomposition de la composante p-primaire de G en somme directe de sous-groupes primaires. Comme nous avons démontré le théorème dans le cas particulier où G est p-primaire, le cas général en résulte.
Soit G un groupe commutatif fini. Si $G=C_{1}\oplus \ldots \oplus C_{s}$ et $G=D_{1}\oplus \ldots \oplus D_{t}$ sont deux décompositions de G en sommes directes de sous-groupes cycliques primaires non nuls, alors s = t et il existe une permutation $\ \sigma$ de l’ensemble {1, 2, ... , s} telle que, pour tout i dans {1, 2, ... , s}, l’ordre de $\ C_{i}$ soit égal à l’ordre de $\ D_{\sigma (i)}.$
Démonstration. Cela résulte clairement de l'énoncé précédent.
Si G est un groupe commutatif fini, on appelle suite des diviseurs élémentaires de G la suite des ordres des sous-groupes apparaissant dans une décomposition de G en somme directe de sous-groupes cycliques primaires non nuls.
D'après le théorème qui précède, cette suite est définie de manière unique à l’ordre près (et de manière rigoureusement unique si on fait une convention ad hoc sur l’ordre d'énumération). Par exemple, la suite des diviseurs élémentaires de Z/9Z est (9), celle de Z/3Z × Z/3Z est (3, 3) et celle de Z/6Z est (2, 3). Au lieu de dire que la suite des diviseurs élémentaires de G est (d$_1$, ..., d$_n$) on dit aussi que les diviseurs élémentaires de G sont d$_1$, ..., d$_n$, en respectant les multiplicités. Par exemple, on dira que les diviseurs élémentaires d'un groupe de Klein sont 2 et 2.
Deux groupes commutatifs finis sont isomorphes si et seulement s'ils ont la même suite de diviseurs élémentaires.
Démonstration. Soient G et H deux groupes commutatifs finis. Supposons d’abord que G et H sont isomorphes et prouvons qu’ils ont la même suite de diviseurs élémentaires. Choisissons un isomorphisme f de G sur H et une décomposition $G=C_{1}\oplus \ldots \oplus C_{s}$ de G en sommes directes de sous-groupes cycliques primaires non nuls. On vérifie facilement que $H=f(C_{1})\oplus \ldots \oplus f(C_{s})$ est une décomposition de H en sommes directes de sous-groupes cycliques primaires non nuls. Comme les ordres des C$_i$ (resp. des f(C$_i$) ) sont les diviseurs élémentaires de G (resp. de H) et que, pour tout i, l’ordre de f(C$_i$) est égal à celui de C$_i$, G et H ont les mêmes diviseurs élémentaires, comme annoncé. Réciproquement, supposons que G et H ont la même suite de diviseurs élémentaires. Alors $G=C_{1}\oplus \ldots \oplus C_{s}$ et $G=D_{1}\oplus \ldots \oplus D_{s}$, où, pour tout i, C$_i$ et D$_i$ sont deux groupes cycliques de même ordre et donc isomorphes. Par exemple d’après la propriété universelle de la somme restreinte externe (chapitre Produit de groupes), il en résulte que G et H sont isomorphes.
Si $(a_{i})_{i\in I}$ et $(b_{j})_{j\in J}$ sont deux familles finies, nous appellerons (abusivement) « réunion » de ces familles une famille $(c_{k})_{k\in K}$ telle que l’ensemble des c$_k$ soit la réunion R de l’ensemble des a$_i$ et de l’ensemble des b$_j$ et que, pour chaque élément x de R, la multiplicité de x dans la famille $(c_{k})_{k\in K}$ soit égale à la somme des multiplicités de x dans la famille $(a_{i})_{i\in I}$ et dans la famille $(b_{j})_{j\in J}$. (Le cardinal de K est donc égal à la somme de ceux de I et de J.) Il est clair que deux familles finies ont toujours une telle « réunion » et que cette réunion est définie de manière unique à l’ordre près.
Soient A et B deux groupes commutatifs finis. La suite des diviseurs élémentaires de $A\oplus B$ (somme directe interne ou externe) est la « réunion » des suites des diviseurs élémentaires de A et de B.
Démonstration. Puisque la somme directe externe de deux groupes commutatifs est la somme directe interne de deux groupes isomorphes respectivement à A et à B, nous pouvons supposer que les sommes directes considérées sont internes. L'énoncé résulte alors clairement de la définition de la suite des diviseurs élémentaires.
Soient A, B, C et D des groupes commutatifs finis. Si $C\cong D$, si $A\oplus C\cong B\oplus D$ (les sommes directes étant internes ou externes), alors $A\cong B$.
Démonstration. Puisqu'une somme directe interne de deux sous-groupes est isomorphe à leur somme directe externe, nous pouvons supposer qu’il s'agit de sommes directes externes. Puisque, par hypothèse, $A\oplus C\cong B\oplus D$, il résulte d'un théorème ci-dessus que :
    $(1)\qquad A\oplus C$ et $B\oplus D$ ont la même suite de diviseurs élémentaires. De même,
    $(2)\qquad C$ et $\ D$ ont la même suite de diviseurs élémentaires.
D'autre part, d’après le lemme précédent, la suite des diviseurs élémentaires de A s'obtient en retranchant celle de C de celle de $A\oplus C$ et, de même, la suite des diviseurs élémentaires de B s'obtient en retranchant celle de D de celle de $B\oplus D$. Compte tenu de (1) et (2), il en résulte qu'A et B ont la même suite de diviseurs élémentaires. D'après un théorème ci-dessus, A et B sont donc isomorphes.
Si G et H sont deux groupes commutatifs finis isomorphes, si G admet une suite de facteurs invariants (a$_1$, ... , a$_s$) et H une suite de facteurs invariants (b$_1$, ... , b$_t$), ces deux suites sont égales. En particulier, un groupe commutatif fini n'a qu'une suite de facteurs invariants.
Démonstration. Soit G un groupe commutatif fini admettant la suite de facteurs invariants (a$_1$, ... , a$_s$), soit H un groupe commutatif fini isomorphe à H admettant la suite de facteurs invariants (b$_1$, ... , b$_t$). Il s'agit de prouver que s = t et que, pour tout i, a$_i$ = b$_i$. Si s ou t est nul, G et H sont tous deux nuls, donc s et t sont tous deux nuls (rappel : 1 ne figure pas parmi les facteurs invariants), donc la thèse est vraie dans ce cas. Supposons maintenant que s et t sont tous deux non nuls. Par définition d'une suite de facteurs invariants, G est somme directe $(1)\qquad G=A_{1}\oplus \ldots \oplus A_{s}$ d'une famille de sous-groupes cycliques A$_1$, ... , A$_s$, d'ordres respectifs a$_1$, ... , a$_s$ et
    $(2)\quad a_{1}\vert \ldots \vert a_{s-1}\vert a_{s}.$
De même, H est somme directe $(3)\qquad G=B_{1}\oplus \ldots \oplus B_{t}$ d'une famille de sous-groupes cycliques B$_1$, ... , B$_t$, d'ordres respectifs b$_1$, ... , b$_t$ et
    $(4)\qquad b_{1}\vert \ldots \vert b_{t-1}\vert b_{t}.$
On tire facilement de (2) que a$_s$ est l'exposant minimal de G. De même, on tire de (4) que b$_t$ est l'exposant minimal de H. Puisque G et H sont isomorphes, ils ont le même exposant minimal, donc
    $(5)\qquad a_{s}=b_{t},$
donc A$_s$ est isomorphe à B$_t$. Compte tenu du lemme précédent, il résulte dès lors de (1) et (3) que $A_{1}\oplus \ldots \oplus A_{s-1}$ est isomorphe à $B_{1}\oplus \ldots \oplus B_{t-1}$. Par exemple par récurrence sur s, on en tire que les suites (a$_1$, ... , a$_{s-1}$) et (b$_1$, ... , b$_{t-1}$) sont égales. Joint à (5), cela prouve que les suites (a$_1$, ... , a$_s$) et (b$_1$, ... , b$_t$) sont égales, ce qui prouve la première assertion de l'énoncé. La seconde assertion est un cas particulier évident de la première.
Nous pouvons donc parler de la suite des facteurs invariants d'un groupe commutatif fini.
Deux groupes commutatifs finis sont isomorphes si et seulement s'ils ont la même suite de facteurs invariants.
Démonstration. Soient G et H deux groupes commutatifs finis. Si G et H sont isomorphes, ils ont la même suite de facteurs invariants d’après le théorème précédent. Réciproquement, supposons que G et H aient tous deux la suite de facteurs invariants (a$_1$, ... , a$_s$). Alors G est somme directe
    $(1)\qquad G=A_{1}\oplus \ldots \oplus A_{s}$
d'une famille de sous-groupes cycliques A$_1$, ... , A$_s$, d'ordres respectifs a$_1$, ... , a$_s$ et H est somme directe
    $(2)\qquad H=B_{1}\oplus \ldots \oplus B_{s}$
d'une famille de sous-groupes cycliques B$_1$, ... , B$_s$, d'ordres respectifs a$_1$, ... , a$_s$. Deux groupes cycliques de même ordre sont isomorphes, donc, pour chaque i, A$_i$ est isomorphe à B$_i$, donc, d’après un corollaire de la propriété universelle de la somme restreinte (chapitre Produit de groupes), G et H sont isomorphes.
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