# Applications techniques des nombres complexes/Exercices/Exercices sur la forme algébrique

Pour le cours correspondant à ces exercices, voir les chapitres 1, 2, 4 et 5 de la leçon Calcul avec les nombres complexes.
* Pour répondre 0 (zéro) à une question , merci de remplir le champ par un O (lettre O) et non pas par un chiffre 0.

## Parties réelles et imaginaires

Donner les parties réelles et imaginaires de ces nombres complexes sous forme algébrique.

## Addition sous forme algébrique

Additionner les nombres complexes z₁ et z₂ donnés sous forme algébrique pour obtenir leur somme z₁ + z₂ sous forme algébrique.
Indication : rassembler les termes qui contiennent des i, mettre i en facteur et simplifier.

## Soustraction sous forme algébrique

La soustraction se fait de la même manière que l'addition.
Attention quand même car le "moins" se distribue à l’ensemble du nombre complexe que l’on soustrait.

## Multiplication

Soit les nombres complexes $z=2-3i$ et $z'=-4+i$.
Écrire les nombres complexes suivants sous forme algébrique.

## Division de nombres complexes
### Exercice

Nous allons décomposer $z_{1}$ et $z_{2}$ pour les mettre sous forme algébrique.
Mettre les nombres $z_{1}$ et $z_{2}$ sous forme algébrique :
$z_{1}={\frac {-1+2i}{5}}=...$ ​$z_{2}={\frac {-1-2i}{5}}=...$.
Décomposition d'un nombre complexe : Décomposition de $z_{1}$ et $z_{2}$.
$z_{1}={\frac {-1+2i}{5}}={\frac {-1}{5}}+i{\frac {2}{5}}$ où $x={\frac {-1}{5}}\in \mathbb {R}$ et $y={\frac {2}{5}}\in \mathbb {R}$ et $z_{2}={\frac {-1-2i}{5}}={\frac {-1}{5}}+i{\frac {-2}{5}}$ où $x={\frac {-1}{5}}\in \mathbb {R}$ et $y={\frac {-2}{5}}\in \mathbb {R}$ Notons bien que ces deux décompositions sont uniques, comme le dit la définition.

### Exercice : Valeurs prises par un polynôme, représentation géométrique

2. Dans le plan complexe d'unité graphique 1 cm, placer les images des nombres précédents.

### Exercice

Soit $z={\frac {3-2i}{5+i}}$ et $z'={\frac {3+2i}{5-i}}$ deux nombres complexes.
1. Vérifier que $z'={\bar {z}}$
Faisons le calcul de ${\bar {z}}$ :
${\begin{aligned}{\bar {z}}&={\overline {\left({\frac {3-2i}{5+i}}\right)}}\\&={\frac {\overline {3-2i}}{\overline {5+i}}}\\&={\frac {3+2i}{5-i}}=z'\end{aligned}}$
2. Démontrer que $z+z'$ est un nombre réel et que $z-z'$ est un imaginaire pur.
* $\Re (z)={\frac {z+{\bar {z}}}{2}}$ donc $z+z'=z+{\bar {z}}=2\Re (z)$ donc $z+z'$ est un nombre réel
* $\Im (z)={\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}$ donc $z-z'=z-{\bar {z}}=2i\Im (z)$ donc $z-z'$ est un nombre imaginaire pur
3. Dans le plan complexe d'unité graphique 1 cm, placer les images des nombres précédents.

### Exercice

On donne $z_{1}=-2+3i$ et $z_{2}=3+i$
* Les fractions doivent être entrées complètement simplifiées à l'aide du slash /.

### Exercice

On donne $z_{1}=-3+2i$ et $z_{2}=3-i$
* Les fractions doivent être entrées complètement simplifiées à l'aide du slash /.

### Exercice

On donne $z_{1}=-5+2i$ et $z_{2}={\frac {3}{7}}-i$
On donnera les nombres complexes sous forme algébrique, les fractions devant être simplifiées.
a) $z_{1}-z_{2}$
${\begin{aligned}z_{1}-z_{2}&=-5+2i-({\frac {3}{7}}-i)\\&=-5+2i-{\frac {3}{7}}+i\\&=-{\frac {38}{7}}+3i\end{aligned}}$
b) $z_{1}\times z_{2}$
${\begin{aligned}z_{1}\times z_{2}&=(-5+2i)\times ({\frac {3}{7}}-i)\\&=-{\frac {15}{7}}+5i+{\frac {6}{7}}i+2\\&=-{\frac {15}{7}}+{\frac {14}{7}}+{\frac {35}{7}}i+{\frac {6}{7}}i\\&=-{\frac {1}{7}}+{\frac {41}{7}}i\end{aligned}}$
c) $|z_{1}|$
${\begin{aligned}|z_{1}|&=|-5+2i|\\&={\sqrt {(-5)^{2}+2^{2}}}\\&={\sqrt {25+4}}\\&={\sqrt {29}}\end{aligned}}$
d) ${\frac {z_{1}}{z_{2}}}$
${\begin{aligned}{\frac {z_{1}}{z_{2}}}&={\frac {-5+2i}{{\frac {3}{7}}-i}}\\&={\frac {(-5+2i)({\frac {3}{7}}+i)}{({\frac {3}{7}}-i)({\frac {3}{7}}+i)}}\\&={\frac {-{\frac {15}{7}}-5i+{\frac {6}{7}}i-2}{{\frac {9}{49}}+1}}\\&={\frac {-{\frac {29}{7}}-{\frac {29}{7}}i}{\frac {58}{49}}}\\&=-{\frac {29}{7}}\times {\frac {49}{58}}-{\frac {29}{7}}i\times {\frac {49}{58}}\\&=-{\frac {7}{2}}-{\frac {7}{2}}i\end{aligned}}$
e) $z_{1}^{3}$
${\begin{aligned}z_{1}^{3}&=(-5+2i)^{3}\\&=(-5)^{3}+3\times (-5)^{2}\times 2i+3\times -5\times (2i)^{2}+(2i)^{3}\\&=-125+150i+60-8i\\&=-65+142i\end{aligned}}$
$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$

## Simplification

Mettre sous la forme $a+i.b(a,b\in \mathbb {R} )$ les nombres :
a) ${\frac {3+6i}{3-4i}}$
${\begin{aligned}{\frac {3+6i}{3-4i}}&={\frac {(3+6i)(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)}}\\&={\frac {9+12i+18i-24}{9+16}}\\&={\frac {-15+30i}{25}}\\&=-{\frac {3}{5}}+{\frac {6}{5}}i\end{aligned}}$
b) $\left({\frac {1+i}{2-i}}\right)^{2}+{\frac {3+6i}{3-4i}}$
${\begin{aligned}\left({\frac {1+i}{2-i}}\right)^{2}+{\frac {3+6i}{3-4i}}&=\left({\frac {(1+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}}\right)^{2}+{\frac {3+6i}{3-4i}}\\&=\left({\frac {2+i+2i-1}{4+1}}\right)^{2}+{\frac {3+6i}{3-4i}}\\&=\left({\frac {1+3i}{5}}\right)^{2}+{\frac {3+6i}{3-4i}}\\&={\frac {1}{25}}+{\frac {6}{25}}i-{\frac {9}{25}}-{\frac {3}{5}}+{\frac {6}{5}}i\\&=-{\frac {8}{25}}+{\frac {6}{25}}i-{\frac {15}{25}}+{\frac {30}{25}}i\\&=-{\frac {23}{25}}+{\frac {36}{25}}i\end{aligned}}$
c) ${\frac {2+5i}{1-i}}+{\frac {2-5i}{1+i}}$
${\frac {2+5i}{1-i}}+{\frac {2-5i}{1+i}}=2\times Re({\frac {2+5i}{1-i}})$
$z+{\bar {z}}=2\times Re(z)$
${\begin{aligned}{\frac {2+5i}{1-i}}&={\frac {(2+5i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}}\\&=-{\frac {3}{2}}+{\frac {7}{2}}i\end{aligned}}$ Donc : ${\frac {2+5i}{1-i}}+{\frac {2-5i}{1+i}}=2\times -{\frac {3}{2}}=-3$
d) ${\frac {5+2i}{1-2i}}$
${\begin{aligned}{\frac {5+2i}{1-2i}}&={\frac {(5+2i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}}\\&={\frac {5+10i+2i-4}{1+4}}\\&={\frac {1}{5}}+{\frac {12}{5}}i\end{aligned}}$
e) $\left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)^{3}$
${\begin{aligned}\left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)^{3}&=\left(-{\frac {1}{2}}\right)^{3}+3\times \left(-{\frac {1}{2}}\right)^{2}\times {\frac {i{\sqrt {3}}}{2}}+3\times -{\frac {1}{2}}\times \left({\frac {i{\sqrt {3}}}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {i{\sqrt {3}}}{2}}\right)^{3}\\&=-{\frac {1}{8}}+{\frac {3i{\sqrt {3}}}{8}}+{\frac {9}{8}}-{\frac {3i{\sqrt {3}}}{8}}\\&=1\end{aligned}}$
f) ${\frac {(1+i)^{9}}{(1-i)^{7}}}$
${\begin{aligned}{\frac {(1+i)^{9}}{(1-i)^{7}}}&={\frac {1+i}{1-i}}\times {\frac {(1+i)^{8}}{(1-i)^{6}}}\\&=i\times {\frac {(1+i)^{8}}{(1-i)^{6}}}\\&=i^{7}\times (1+i)^{2}\\&=i^{7}\times 2i\\&=2\end{aligned}}$
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