# Mécanique 2 (PCSI)/Exercices/Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités
## Détermination d'une loi de force d'un point matériel à mouvement à force centrale par donnée de trajectoire

On considère le mouvement à force centrale d’un point matériel $\;M$, de masse $\;m$, dont la trajectoire est plane d’équation polaire «$\;r=a\;\cos(\theta )\;$»,
préciser la nature de la trajectoire puis
déterminer « la loi de force s’appliquant à $\;M\;$» $\;{\big \$c'est-à-dire exprimer $\;F(r)={\vec {F}}(M)\cdot {\vec {u}}_{r}\;$ en fonction de $\;r$, ainsi que des grandeurs $\;m\;$ et $\;a\;$ entre autres caractérisant le point, sa trajectoire et le mouvement sur celle-ci${\big \}$ $\;{\big$penser à utiliser la « 2ème formule de Binet $\;{\big$ou formule de Binet relative à l'accélération radiale${\big )}\;$» introduisant les « variables de Binet »${\big ]}$.
$\;xOy\;$
$\;r=a\;\cos(\theta )\;$
$\;\left(r\,,\,\theta \right)\;$
$\;\left(x\,,\,y\right)$
$\;r\;$
$\;{\big \$
$\;x=r\;\cos(\theta ){\big \}$
$\Rightarrow$
$\;r^{2}=a\;r\;\cos(\theta )\;$
$\;x^{2}+y^{2}=a\;x\;$
$\;\left(x-{\dfrac {a}{2}}\right)^{\!2}+y^{2}=\left({\dfrac {a}{2}}\right)^{\!2}\;$
$\;r=a\;\cos(\theta )\;$
$\;C\,\left(x_{C}={\dfrac {a}{2}}\,,\,y_{C}=0\right)\;$
$\;{\dfrac {a}{2}}$
$\;O$
$\;{\big$
$\;OA$
$\;A\;$
$\;{\overrightarrow {Ox}}\;$
$\;x_{A}=a{\big ]}$
La loi de force exercée sur $\;M\;$ pour que ce dernier suive la trajectoire ci-contre peut être obtenue en lui « appliquant la r.f.d.n. » simultanément à l'« utilisation de la 2ème formule de Binet $\;{\big$ou formule de Binet relative à l'accélération radiale${\big )}\;$ introduisant la 1re et 3ème variables de Binet respectivement $\;u={\dfrac {1}{r}}\;$ et $\;u''=$ ${\dfrac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}\;$ toutes deux fonctions de $\;\theta \;$» et explicitant l'accélération radiale du point «$\;a_{r}(t)={\ddot {r}}(t)-r(t)\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;$ selon $\;a_{r}(t)=-C^{2}\;u^{2}\left(u''+u\right)\;$ fonction de $\;\theta$, avec $\;C\;$ la constante des aires du mouvement à force centrale du point » ;
de «$\;r=a\;\cos(\theta )\;$» on déduit «$\;u={\dfrac {1}{a\;\cos(\theta )}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;u'={\dfrac {d\!\left[{\dfrac {1}{a\;\cos(\theta )}}\right]}{d\theta }}={\dfrac {\sin(\theta )}{a\;\cos ^{2}(\theta )}}\;$» soit, en dérivant une nouvelle fois, «$\;u''={\dfrac {d\!\left[{\dfrac {\sin(\theta )}{a\;\cos ^{2}(\theta )}}\right]}{d\theta }}$ $={\dfrac {\cos ^{3}(\theta )+2\;\cos(\theta )\;\sin ^{2}(\theta )}{a\;\cos ^{4}(\theta )}}={\dfrac {\cos ^{2}(\theta )+2\;\sin ^{2}(\theta )}{a\;\cos ^{3}(\theta )}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;u''+u={\dfrac {\cos ^{2}(\theta )+2\;\sin ^{2}(\theta )}{a\;\cos ^{3}(\theta )}}+{\dfrac {1}{a\;\cos(\theta )}}=2\;{\dfrac {\cos ^{2}(\theta )+\sin ^{2}(\theta )}{a\;\cos ^{3}(\theta )}}={\dfrac {2}{a\;\cos ^{3}(\theta )}}\;$» d'où «$\;a_{r}(t)=-C^{2}\;u^{2}\left(u''+u\right)=$ $-{\dfrac {2\;C^{2}}{a^{3}\;\cos ^{5}(\theta )}}\;$» ou encore, en éliminant $\;\theta \;$ au profit de $\;r$, «$\;a_{r}(t)=-{\dfrac {2\;C^{2}\;a^{2}}{r^{5}}}\;$» ;
$\;{\vec {u}}_{r}\;$
$\;M\;$
$\;F(r)={\vec {F}}(M)\cdot {\vec {u}}_{r}=m\;a_{r}=-{\dfrac {2\;m\;C^{2}\;a^{2}}{r^{5}}}\;$
$\;{\dfrac {1}{r^{5}}}\;$
$\;F(r)={\dfrac {k}{r^{5}}}\;$
$\;k<0$
$\;{\big$
$\;k=-2\;m\;C^{2}\;a^{2}{\big )}$
Commentaire : Savoir que la trajectoire d'un point matériel $\;M\,\left(m\right)\;$ à mouvement à force centrale de centre $\;O\;$ est un cercle passant par $\;O\;$ de rayon $\;a\;$ connu, permet de déterminer la forme de la loi de force à savoir «$\;F(r)={\dfrac {k}{r^{5}}}\;$ avec $\;k<0\;$» mais il s'avère que connaître la trajectoire est insuffisant pour déterminer $\;k$, en effet Commentaire : nous avons établi que «$\;k=-2\;m\;C^{2}\;a^{2}\;$» nécessite aussi de connaître la constante des aires $\;C\;$ laquelle vaut, dans le cas d'un mouvement circulaire lancé de $\;A\,\left(x_{A}=a\,,\,y_{A}=0\right)\;$ avec un vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}\,\perp \,{\overrightarrow {OA}}\;$ de norme $\;V_{0}$, «$\;C=\pm V_{0}\;a\;$» $\Rightarrow$ «$\;k=-2\;m\;V_{0}^{2}\;a^{4}\;$» ; Commentaire : en conclusion si, en plus de la trajectoire, le mouvement de $\;M\;$ sur celle-ci nous est fourni par l'intermédiaire de C.I. «$\;\left\lbrace r(0)=a\,,\,{\vec {V}}_{0}\left[V_{r}(0)=0\,,\,V_{\theta }(0)=\pm V_{0}\right]\right\rbrace \;$» permettant d'évaluer la constante des aires «$\;C=\pm V_{0}\;a\;$», la loi de force est parfaitement déterminée «$\;F(r)={\dfrac {k}{r^{5}}}\;$ avec $\;k=-2\;m\;V_{0}^{2}\;a^{4}\;$».
Remarque : Réciproquement la trajectoire d'un point matériel $\;M\,\left(m\right)\;$ soumis à « une seule force centrale $\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{5}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;k<0\;$» $\;{\big$donc attractive${\big )}\;$ n'est en général pas circulaire, Remarque : pour que ce soit un cercle passant par le centre de force $\;O$, le point $\;M\;$ doit être « lancé d'un point $\;A\;$ distant de $\;a\;$ du centre de force $\;O\;$ avec un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{0}\,\perp \,{\overrightarrow {OA}}\;$ de norme $\;V_{0}=$ ${\sqrt {\dfrac {-k}{2\;m}}}\;{\dfrac {1}{a^{2}}}\;$», dans ces C.I. la trajectoire de $\;M\;$ est le cercle de diamètre $\;OA$.

## Détermination d'une loi de force d'un point matériel à mouvement à force centrale par donnée de variation d'énergie cinétique en fonction de la cordonnée radiale du point

Un point matériel $\;M$, de masse $\;m$, est soumis de la part de $\;O\;$ à une force centrale telle que son énergie cinétique $\;K_{M}\;$ soit inversement proportionnelle au carré de la distance $\;r\;$ du point $\;O$ $\;{\bigg \$on écrira «$\;K_{M}={\dfrac {A^{2}\;m}{r^{2}}}\;$», le cœfficient de $\;{\dfrac {1}{r^{2}}}\;$ devant être $\;\propto \;$ à $\;m\;$ et $\;>0\;$ étant noté «$\;A^{2}\;m\;$» pour simplifier l'exposé avec «$\;A>0\;$ exprimé en $\;m^{2}\cdot s^{-1}\;$»${\bigg \}$.

### Détermination de la loi de force

Déterminer « la loi de force s’appliquant à $\;M\;$» $\;{\big \$c'est-à-dire exprimer $\;F(r)={\vec {F}}(M)\cdot {\vec {u}}_{r}\;$ en fonction de $\;r$, et bien sûr des grandeurs $\;m\;$ et $\;A\;$ caractérisant le point et la variation de sa vitesse${\big \}$ $\;{\big$penser à utiliser la « 1re formule de Binet $\;{\big$ou formule de Binet relative au carré de la vitesse${\big )}\;$» puis la « 2ème $\;{\big$ou formule de Binet relative à l'accélération radiale${\big )}\;$» introduisant les « variables de Binet »${\big ]}$.
Par « utilisation de la 1re formule de Binet $\;{\big$ou formule de Binet relative au carré de la vitesse${\big )}\;$ introduisant la 1re et 2ème variables de Binet respectivement $\;u={\dfrac {1}{r}}\;$ et $\;u'=$ ${\dfrac {du}{d\theta }}\;$ toutes deux fonctions de $\;\theta \;$» à savoir «$\;V_{M}^{\,2}(t)=C^{2}\left({u'}^{2}+u^{2}\right)\;$» dans laquelle $\;C\;$ est la constante des aires du mouvement, nous pouvons expliciter la forme générale de l'énergie cinétique du point matériel $\;M\,\left(m\right)\;$ à mouvement à force centrale de centre de force $\;O\;$ «$\;K_{M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{M}^{\,2}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;C^{2}\left({u'}^{2}+u^{2}\right)\;$» ;
$\;M\;$
$\;r\;$
$\;K_{M}={\dfrac {A^{2}\;m}{r^{2}}}\;$
$\;A>0\;$
$\;u={\dfrac {1}{r}}\;$
$\;K_{M}=A^{2}\;m\;u^{2}\;$
$\;A>0\;$
$\;A^{2}\;m\;u^{2}={\dfrac {1}{2}}\;m\;C^{2}\left({u'}^{2}+u^{2}\right)\;$
$\;u(\theta )\;$
$\;{u'}^{2}=\left({\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1\right)\,u^{2}\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$
$\;{\Big \$
$\;C\;$
$\;\vert C\vert \leqslant A\;{\sqrt {2}}\;$
${\Big \}$
$\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;{\text{:}}\;\;{u'}^{2}=\left({\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1\right)\,u^{2}\;$
$\;\theta \;$
$\;2\;u'\;u''=\left({\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1\right)\,2\;u\;u'\;$
$\;u'\;$
$\;{\bigg \u'=0\;\;\forall \;\theta \;$
$\Rightarrow$
$\;u=$
$cste$
$\;{\big$
$\;\neq 0\;$
${\big )}\;$
$\;r=cste'$
$\;{\big$
$\;O{\big )}$
$\;u'=0\;$
$\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$
$\Rightarrow$
$\;{\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1=0\;$
$\;\vert C\vert =A\;{\sqrt {2}}{\bigg \}$
$\;u(\theta )\;$
$\;u''=\left({\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1\right)\,u\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$
$\;u'=0\;\;\forall \;\theta \;$
$\;\vert C\vert =A\;{\sqrt {2}}\;$
La loi de force exercée sur le point matériel $\;M\,\left(m\right)\;$ à mouvement à force centrale de centre de force $\;O\;$ pour que ce dernier ait une énergie cinétique variant avec $\;r\;$ selon «$\;K_{M}={\dfrac {A^{2}\;m}{r^{2}}}\;$ avec $\;A>0\;$» peut être obtenue en lui « appliquant la r.f.d.n. » simultanément à l'« utilisation de la 2ème formule de Binet $\;{\big$ou formule de Binet relative à l'accélération radiale${\big )}\;$ explicitant l'accélération radiale «$\;a_{r}(t)={\ddot {r}}(t)-r(t)\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;$ selon $\;a_{r}(t)=-C^{2}\;u^{2}\left(u''+u\right)\;$ fonction de $\;\theta \;$» soit, avec l'« équation $\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;{\text{:}}\;\;u''=\left({\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1\right)\,u\;$ $\Rightarrow$ $\;u''+u={\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}\;u\;$» et par suite «$\;a_{r}(t)=-2\;A^{2}\;u^{3}\;$» ;
$\;{\vec {u}}_{r}\;$
$\;M\;$
$\;F(r)={\vec {F}}(M)\cdot {\vec {u}}_{r}=m\;a_{r}=-{\dfrac {2\;m\;A^{2}}{r^{3}}}\;$
$\;{\dfrac {1}{r^{3}}}\;$
$\;F(r)={\dfrac {k}{r^{3}}}\;$
$\;k<0$
$\;{\bigg$
$\;k=-2\;m\;A^{2}$
$\;K_{M}={\dfrac {-k}{2\;r^{2}}}\;$
${\bigg )}$
Remarques : Nous avons établi que l'énergie cinétique du point matériel $\;M\,\left(m\right)\;$ à mouvement à force centrale de centre de force $\;O\;$ de la forme «$\;K_{M}={\dfrac {A^{2}\;m}{r^{2}}}\;$ avec $\;A>0\;$» nécessite que « la constante des aires $\;C\;$ vérifie $\;\vert C\vert \leqslant A\;{\sqrt {2}}\;$» et la « loi de force est alors $\;F(r)=-{\dfrac {2\;m\;A^{2}}{r^{3}}}\;$» $\;{\bigg \$ou «$\;K_{M}={\dfrac {-k}{2\;r^{2}}}\;$ avec $\;k<0\;$» nécessite que « la constante des aires $\;C\;$ vérifie $\;\vert C\vert \leqslant {\dfrac {-k}{m\;{\sqrt {2}}}}\;$», la « loi de force étant alors $\;F(r)={\dfrac {k}{r^{3}}}\;$ avec $\;k<0\;$»${\bigg \}$, à défaut l'énergie cinétique ne peut pas varier en $\;{\dfrac {1}{r^{2}}}\;$ même pour un mouvement à force centrale attractive de « loi de force $\;F(r)={\dfrac {k}{r^{3}}}\;$ avec $\;k<0\;$» $\;\ldots$
Remarques : La justification de la nécessité que « la constante des aires $\;C\;$ vérifie $\;\vert C\vert \leqslant A\;{\sqrt {2}}\;$» tient au fait que la partie d'énergie cinétique du point matériel $\;M\,\left(m\right)\;$ à mouvement à force centrale correspondant au mouvement orthoradial de $\;M\;$ c'est-à-dire «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{\theta }^{\,2}={\dfrac {1}{2}}\;m\;r^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dfrac {C^{2}}{r^{2}}}\;$» $\;{\bigg \$en effet la « loi des aires $\;r^{2}\;{\dot {\theta }}=C\;$» $\Rightarrow$ $\;{\dot {\theta }}={\dfrac {C}{r^{2}}}\;$ soit $\;r^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}=r^{2}\,\left({\dfrac {C}{r^{2}}}\right)^{\!2}={\dfrac {C^{2}}{r^{2}}}{\bigg \}$ doit nécessairement être inférieure ou égale à l'énergie cinétique totale «$\;K_{M}={\dfrac {A^{2}\;m}{r^{2}}}\;$» c'est-à-dire «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;C^{2}\leqslant m\;A^{2}\;$ $\Rightarrow$ $\;\vert C\vert \leqslant A\;{\sqrt {2}}\;$» $\;\ldots$

### Détermination de la trajectoire

Déduire, de la loi de force précédemment déterminée, l’équation polaire de la trajectoire du point $\;M$ $\;{\big \$donner son allure et préciser sa nature${\big \}$.
$\;M\,\left(m\right)\;$
$\;{\vec {F}}(M)=F(r)\;{\vec {u}}_{r}=-{\dfrac {2\;m\;A^{2}}{r^{3}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;{\vec {F}}(M)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$
$\;{\vec {u}}_{r}\;$
$\;u={\dfrac {1}{r}}\;$
$\;\theta \;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;u''={\dfrac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}\;$
$\;\theta \;$
$\;C\;$
$\;M\;$
$\;a_{r}(t)=-C^{2}\;u^{2}\left(u''+u\right)\;$
$\;-2\;m\;A^{2}\;u^{3}=$
$-m\;C^{2}\;u^{2}\left(u''+u\right)\;$
$\;{\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}\;u=u''+u\;$
$\Rightarrow$
$\;u(\theta )\;$
$\;u''=\left({\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1\right)\,u\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$
$\Leftrightarrow$
$\;u''-\left({\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1\right)\,u=0\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {b}}'\right)\;$
$\;\vert C\vert \leqslant A\;{\sqrt {2}}\;$
$\Rightarrow$
$\;{\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1\geqslant 0\;$
L'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2ème ordre en $\;u(\theta )\;$ sans terme du 1er ordre homogène $\;\left({\mathfrak {b}}'\right)\;$ nécessitant la résolution de l'équation caractéristique «$\;s^{2}-\left({\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1\right)=0\;$» dans laquelle «$\;{\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1\geqslant 0\;$», deux cas sont à envisager :
* «$\;{\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\vert C\vert =A\;{\sqrt {2}}\;$», telle que l'équation caractéristique a une racine double $\;s=0\;$ $\Rightarrow$ «$\;u(\theta )=A+B\;\theta \;$», $\;A\;$ et $\;B\;$ se déterminant à l'aide des C.A.L. s'identifiant aux C.I. si l'abscisse angulaire initiale de $\;M\;$ est choisie nulle c'est-à-dire «$\;\theta (t=0)=0\;$», les C.I. concernant $\;r(t)\;$ étant «$\;\left\lbrace r(0)=r_{0}\,,\,{\dot {r}}(0)=0\right\rbrace \;$» $\;{\bigg \$en effet la partie d'énergie cinétique de $\;M\;$ correspondant à son mouvement orthoradial c'est-à-dire «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{\theta }^{\,2}={\dfrac {1}{2}}\;m\;r^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dfrac {C^{2}}{r^{2}}}\;$» étant égale à l'énergie cinétique totale de $\;M\;$ c'est-à-dire «$\;K_{M}={\dfrac {A^{2}\;m}{r^{2}}}\;$» car $\;\vert C\vert =A\;{\sqrt {2}}$, nous en déduisons que la partie d'énergie cinétique de $\;M\;$ correspondant à son mouvement radial c'est-à-dire «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{r}^{\,2}={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {r}}^{2}\;$» est identiquement nulle d'où $\;{\dot {r}}(t)=0\;\;\forall \;t$ $\;{\big$dont une conséquence étant $\;r(t)=cste\;\;\forall \;t\;$ $\Rightarrow$ la nature circulaire de la trajectoire de $\;M{\big ]}\;$ et en particulier «$\;{\dot {r}}(t=0)=0\;$»${\bigg \}$ $\Rightarrow$ les C.A.L. pour $\;u(\theta )\;$ sont «$\;\left\lbrace u(\theta =0)={\dfrac {1}{r_{0}}}\,,\,u'(\theta =0)=-{\dfrac {V_{r}(t=0)}{C}}=0\right\rbrace \;$» d'où, avec $\;u'(\theta )=B$, la 2ème C.A.L. $\;u'(\theta =0)=0\;$ $\Rightarrow$ «$\;B=0\;$» permettant de réécrire «$\;u(\theta )=A\;$» soit, avec la 1re C.A.L. $\;u(\theta =0)={\dfrac {1}{r_{0}}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;A={\dfrac {1}{r_{0}}}\;$» et par suite «$\;u(\theta )={\dfrac {1}{r_{0}}}\;\;\forall \;\theta \;$» soit finalement «$\;r={\dfrac {1}{u(\theta )}}=r_{0}\;\;\forall \;\theta \;$» équation du « cercle de centre $\;O\;$ et de rayon $\;r_{0}\;$» ;
* «$\;{\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1>0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\vert C\vert <A\;{\sqrt {2}}\;$», telle que l'équation caractéristique a deux racines simples opposées $\;s_{(\pm )}=\pm {\sqrt {{\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;u(\theta )=A_{(+)}\;\exp \!\left[s_{(+)}\;\theta \right]+A_{(-)}\;\exp \!\left[s_{(-)}\;\theta \right]\;$», $\;A_{(+)}\;$ et $\;A_{(-)}\;$ se déterminant à l'aide des C.A.L. s'identifiant aux C.I. si l'abscisse angulaire initiale de $\;M\;$ est choisie nulle c'est-à-dire «$\;\theta (t=0)=0\;$», les C.I. concernant $\;r(t)\;$ étant «$\;\left\lbrace r(0)=r_{0}\,,\,{\dot {r}}(0)=V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\right\rbrace \;$» $\;{\bigg \$avec «$\;\alpha _{0}={\widehat {\left({\overrightarrow {OM_{0}}}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)}}\,\in \,\left]0\,,\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\,\cup \,\left]{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,\pi \right[\;$ pour $\;C>0\;$» ou «$\;\alpha _{0}={\widehat {\left({\overrightarrow {OM_{0}}}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)}}\,\in \,\left]-\pi \,,\,-{\dfrac {\pi }{2}}\right[\,\cup \,\left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,0\right[\;$ pour $\;C<0\;$» et «$\;V_{0}=\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert ={\dfrac {A\;{\sqrt {2}}}{r_{0}}}\;$» $\;{\bigg$en effet «$\;K_{M}(0)={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{\,2}$ $={\dfrac {A^{2}\;m}{r_{0}^{\,2}}}\;$»${\bigg ]}{\bigg \}$ $\Rightarrow$ les C.A.L. pour $\;u(\theta )\;$ sont «$\;\left\lbrace u(\theta =0)={\dfrac {1}{r_{0}}}\,,\,u'(\theta =0)=-{\dfrac {V_{r}(t=0)}{C}}=-{\dfrac {V_{0}\;\cos(\alpha _{0}))}{r_{0}\;V_{0}\;\sin(\alpha _{0})}}=-{\dfrac {\cot(\alpha _{0})}{r_{0}}}\right\rbrace \;$»$^,$ dans lesquelles «$\;\cot(\alpha _{0})=\pm {\sqrt {{\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1}}\;$» $\;{\bigg \$en effet la partie d'énergie cinétique de $\;M\;$ correspondant à son mouvement orthoradial c'est-à-dire «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{\theta }^{\,2}={\dfrac {1}{2}}\;m\;r^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dfrac {C^{2}}{r^{2}}}\;$» alors que l'énergie cinétique totale de $\;M\;$ vaut «$\;K_{M}={\dfrac {A^{2}\;m}{r^{2}}}\;$», nous en déduisons la partie d'énergie cinétique de $\;M\;$ correspondant à son mouvement radial c'est-à-dire «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{r}^{\,2}={\dfrac {A^{2}\;m}{r^{2}}}-{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dfrac {C^{2}}{r^{2}}}={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dfrac {C^{2}}{r^{2}}}\,\left({\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1\right)\;$» $\Rightarrow$ «$\;V_{r}^{\,2}={\dfrac {C^{2}}{r^{2}}}\,\left({\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1\right)\;$» soit, pour l'instant $\;t=0$, «$\;V_{r}^{\,2}(0)={\dfrac {C^{2}}{r_{0}^{2}}}\,\left({\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1\right)\;$ s'identifiant à $\;V_{0}^{2}\;\cos ^{2}(\alpha _{0})\;$» $\Rightarrow$ «$\;V_{0}^{2}\;r_{0}^{2}\;\cos ^{2}(\alpha _{0})=C^{2}\,\left({\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1\right)\;$» ou, avec «$\;C^{2}=V_{0}^{2}\;r_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})\;$» «$\;\cos ^{2}(\alpha _{0})=\sin ^{2}(\alpha _{0})\,\left({\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1\right)\;$» et finalement «$\;\cot ^{2}(\alpha _{0})={\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1\;$»${\bigg \}$, d'où la réécriture des C.A.L. pour $\;u(\theta )\;$ «$\;\left\lbrace u(\theta =0)={\dfrac {1}{r_{0}}}\,,\,u'(\theta =0)=\mp {\dfrac {1}{r_{0}}}\;{\sqrt {{\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1}}\right\rbrace \;$» $\;{\bigg \$«$\;-\;$ si $\;C\;$ est $\;>0\;$ et $\;\alpha _{0}\,\in \,\left]0\,,\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$ ou si $\;C\;$ est $\;<0\;$ et $\;\alpha _{0}\,\in \,\left]-\pi \,,\,-{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$», «$\;+\;$ si $\;C\;$ est $\;>0\;$ et $\;\alpha _{0}\,\in \,\left]+{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,+\pi \right[\;$ ou si $\;C\;$ est $\;<0\;$ et $\;\alpha _{0}\,\in \,\left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,0\right[\;$»${\bigg \}$, $\;\succ \;$la 1re C.A.L. «$\;u(\theta =0)={\dfrac {1}{r_{0}}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;A_{(+)}+A_{(-)}={\dfrac {1}{r_{0}}}\;$» et $\;\succ \;$la 2ème C.A.L. «$\;u'(\theta =0)=\mp {\dfrac {1}{r_{0}}}\;{\sqrt {{\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1}}\;$» avec «$\;u'(\theta )=A_{(+)}\;s_{(+)}\;\exp \!\left[s_{(+)}\;\theta \right]+A_{(-)}\;s_{(-)}\;\exp \!\left[s_{(-)}\;\theta \right]={\sqrt {{\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1}}\,\left\lbrace A_{(+)}\;\exp \!\left[s_{(+)}\;\theta \right]-A_{(-)}\;\exp \!\left[s_{(-)}\;\theta \right]\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ «$\;A_{(+)}-A_{(-)}$ $=\mp {\dfrac {1}{r_{0}}}\;$» d'où $\;\succ \;$dans l'hypothèse «$\;C>0\;$ et $\;\alpha _{0}\,\in \,\left]0\,,\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$ ou $\;C<0\;$ et $\;\alpha _{0}\,\in \,\left]-\pi \,,\,-{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$» le système $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A_{(+)}+A_{(-)}={\dfrac {1}{r_{0}}}\\A_{(+)}-A_{(-)}=-{\dfrac {1}{r_{0}}}\end{array}}\right\rbrace \;$ ayant pour solution $\;\left\lbrace A_{(+)}=0\,,\,A_{(-)}={\dfrac {1}{r_{0}}}\right\rbrace$, la solution de l'équation $\;\left({\mathfrak {b}}'\right)\;$ dans ce cas s'écrit «$\;u(\theta )={\dfrac {1}{r_{0}}}\;\exp \!\left[-\left({\sqrt {{\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1}}\right)\,\theta \right]\;$» soit l'équation polaire de la trajectoire «$\;r(\theta )=r_{0}\;\exp \!\left[\left({\sqrt {{\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1}}\right)\,\theta \right]\;$» ou «$\;r(\theta )=r_{0}\;\exp \left[\cot(\alpha _{0})\;\theta \right]\;$ avec $\;\theta \;\nearrow \;$ à partir de $\;0\;$» $\;{\big$voir exemple de tracé ci-dessous à gauche${\big )}$, $\;\succ \;$dans l'hypothèse «$\;C>0\;$ et $\;\alpha _{0}\,\in \,\left]+{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,+\pi \right[\;$ ou $\;C<0\;$ et $\;\alpha _{0}\,\in \,\left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,0\right[\;$» le système $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A_{(+)}+A_{(-)}={\dfrac {1}{r_{0}}}\\A_{(+)}-A_{(-)}=+{\dfrac {1}{r_{0}}}\end{array}}\right\rbrace \;$ ayant pour solution $\;\left\lbrace A_{(+)}={\dfrac {1}{r_{0}}}\,,\,A_{(-)}=0\right\rbrace$, la solution de l'équation $\;\left({\mathfrak {b}}'\right)\;$ dans ce cas s'écrit «$\;u(\theta )={\dfrac {1}{r_{0}}}\;\exp \!\left[\left({\sqrt {{\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1}}\right)\,\theta \right]\;$» soit l'équation polaire de la trajectoire «$\;r(\theta )=r_{0}\;\exp \!\left[-\left({\sqrt {{\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1}}\right)\,\theta \right]\;$» ou «$\;r(\theta )=r_{0}\;\exp \left[\cot(\alpha _{0})\;\theta \right]\;$ avec $\;\theta \;\searrow \;$ à partir de $\;0\;$» $\;{\big$voir exemple de tracé ci-dessous à droite${\big )}$.
$\;\alpha _{0}={\widehat {\left({\overrightarrow {OM_{0}}}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)}}\;$
$\;M\,\left(m\right)\;$
$\;r(\theta )=r_{0}\;\exp \left[\cot(\alpha _{0})\;\theta \right]\;$
est une spirale logarithmique avec
* $\;\cot(\alpha _{0})\simeq 0,158\;$ à gauche faisant $\;\nearrow \;$ lentement $\;r\;$ dans le sens des $\;\theta \nearrow \;$ ou
* $\;\cot(\alpha _{0})\simeq -0,158\;$ à droite faisant $\;\searrow \;$ lentement $\;r\;$ dans le sens des $\;\theta \nearrow$.