# Thermodynamique (PCSI)/Descriptions microscopique et macroscopique d'un système à l'équilibre : Caractères généraux de la distribution des vitesses moléculaires d'un gaz
## Répartition statistique des vecteurs vitesse des molécules d’un gaz « parfait » : isotropie et homogénéité, cas d’un gaz « parfait » en équilibre thermodynamique

Préliminaire : La répartition statistique des vecteurs vitesse présentée ci-après peut être étendue à d’autre gaz qu’un G.P., mais Préliminaire : l'exposé explicitant la pression $\;{\big$entre les paragraphes $\;{\big$inclus${\big )}\;$ « gain de résultante cinétique de l'élément de paroi par adsorption et désormption du gaz pendant une durée mésoscopique δt » et « généralisation, pression cinétique en tout point intérieur au G.P. en équilibre thermodynamique » plus loin dans ce chapitre${\big ]}\;$ n’est applicable $\;{\big$sans modification${\big )}\;$ qu’à un G.P..

### Introduction

Le gaz considéré est composé de molécules identiques « quasi ponctuelles », « sans interaction entre elles » $\;{\big$en absence d'interactions intermoléculaires, les seules interactions qu’une molécule peut avoir ce sont celles avec les parois limitant leur déplacement${\big ]}$ ;
un gaz de molécules « quasi-ponctuelles », « sans interaction intermoléculaire » est qualifié de « parfait » $\;\ldots$

### Répartition statistique des vecteurs vitesse des molécules d’un gaz « parfait »

Préliminaires : La répartition statistique des vecteurs vitesse des molécules du G.P. explicitée ci-après est définie dans le référentiel d’étude où le gaz est globalement immobile, référentiel supposé galiléen.
Préliminaires : Dans la suite de ce paragraphe, nous considérons un échantillon mésoscopique de $\;\delta N\;$ molécules de G.P. s'étendant sur une expansion tridimensionnelle de volume $\;\delta {\mathcal {V}}\;$ et Préliminaires : Dans la suite de ce paragraphe, nous notons $\;{\vec {V}}_{i}(t)\;$ le vecteur vitesse, à l'instant $\;t$, de la molécule $\;M_{i}\;$ pour $\;i\,\in \,\left[\left[1\,,\,\delta N\right]\right]$.
Préliminaires : La répartition statistique des vecteurs vitesse des molécules de l'échantillon mésoscopique de G.P. se caractérise par la donnée de « la densité volumique de molécules situées, à l'instant $\;t$, dans l'échantillon mésoscopique de G.P. et y ayant un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}$ $\;{\bigg\!$c'est-à-dire $\;N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}}={\dfrac {\delta N_{\vec {V}}}{d{\mathcal {V}}}}\;$ dans laquelle $\;\delta N_{\vec {V}}\;$ est le nombre de molécules de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ de l'échantillon mésoscopique de volume $\;d{\mathcal {V}}\!{\bigg )}$, en fonction de $\;{\vec {V}}$, de $\;t\;$ et de $\;M\;$ le centre de l'échantillon mésoscopique » soit par la connaissance de «$\;N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}}=N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}}\!\left({\vec {V}}\,,\,t\,,\,M\right)\;$».
Propriétés : La répartition statistique des vecteurs vitesse des molécules du G.P. est isotrope $\;{\big \$c'est-à-dire qu'elle est indépendante de la direction du vecteur vitesse de norme fixée $\Leftrightarrow$ « les directions du vecteur vitesse d'une molécule quelconque sont équiprobables »${\big \}$ $\Rightarrow$ « la moyenne, à un instant $\;t\;$ quelconque, des vecteurs vitesse $\;{\vec {V}}_{j}(t)\;$ des molécules $\;M_{j}\;$ dont le vecteur vitesse est de norme $\;V(t)\;$ fixée $\;{\Big$le nombre de molécules de ce type étant noté $\;\delta N\!\left\lbrace V(t)\right\rbrace \;$ et la moyenne étant faite sur toutes les directions de l'espace${\Big ]}\;$ est nulle » «$\;{\Big \langle }{\vec {V}}_{j}(t){\Big \rangle }_{\,{\begin{array}{|c}\;\Vert {\vec {V}}_{j}(t)\Vert \,=\,V(t)\\\;j\,\in \,\left[\left[1\,,\,\delta N\left\lbrace V(t)\right\rbrace \right]\right]\end{array}}}={\dfrac {\sum \limits _{j\,=\,1}^{\delta N\left\lbrace V(t)\right\rbrace }{\vec {V}}_{j}(t)}{\delta N\!\left\lbrace V(t)\right\rbrace }}={\vec {0}},\;\;\forall \;V(t)\;$» ; Propriétés : La répartition statistique des vecteurs vitesse des molécules du G.P. est isotrope cela se traduit par « la densité volumique de molécules situées, à l'instant $\;t$, dans l'échantillon mésoscopique de G.P. et y ayant un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ c'est-à-dire $\;N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}}={\dfrac {\delta N_{\vec {V}}}{d{\mathcal {V}}}}$ ${\big$dans laquelle $\;\delta N_{\vec {V}}\;$ est le nombre de molécules de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ de l'échantillon mésoscopique de volume $\;d{\mathcal {V}}{\big )}\;$ est indépendante des abscisses angulaires repérant le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ dans l'espace » soit «$\;N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}}=N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}}\!\left(\Vert {\vec {V}}\Vert \,,\,t\,,\,M\right),\;\;\forall \,\left(\theta _{\vec {V}}\,,\,\varphi _{\vec {V}}\right)\;$ repérant la direction de $\;{\vec {V}}\;$ dans l'espace » ;
Propriétés : la répartition statistique des vecteurs vitesse des molécules du G.P. est homogène $\;{\big \$c'est-à-dire qu'elle est indépendante du centre${\underline {\;M\;}}$de l'échantillon mésoscopique${\big \}$, Propriétés : La répartition statistique des vecteurs vitesse des molécules du G.P. est homogène cela se traduit par « la densité volumique de molécules situées, à l'instant $\;t$, dans l'échantillon mésoscopique de G.P. centré en $\;M\;$ et y ayant un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ c'est-à-dire $\;N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}}={\dfrac {\delta N_{\vec {V}}}{d{\mathcal {V}}}}$ ${\big$dans laquelle $\;\delta N_{\vec {V}}\;$ est le nombre de molécules de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ de l'échantillon mésoscopique de volume $\;d{\mathcal {V}}\;$ centré en $\;M{\big )}\;$ est indépendante de la position du centre $\;M\;$ de l'échantillon mésoscopique dans l'espace » soit «$\;N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}}=N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}}\!\left({\vec {V}}\,,\,t\right),\;\;\forall \;M\;$» ou encore, en tenant compte simultanément de l'homogénéité et de l'isotropie de la répartition statistique des vecteurs vitesse des molécules du G.P., «$\;N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}}=N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}}\!\left(\Vert {\vec {V}}\Vert \,,\,t\right)\;$» ne dépendant que de $\;\Vert {\vec {V}}\Vert \;$ et de $\;t$.

### Propriété supplémentaire de la répartition statistique des vecteurs vitesse des molécules d’un gaz « parfait » en « équilibre thermodynamique »

La répartition statistique des vecteurs vitesse des molécules du G.P. en équilibre thermodynamique est stationnaire $\;{\big \$c'est-à-dire qu'elle est indépendante de l'instant${\underline {\;t\;}}$d'observation de l'échantillon mésoscopique${\big \}$, cela se traduit par « la densité volumique de molécules situées, à l'instant $\;t$, dans l'échantillon mésoscopique de G.P. centré en $\;M\;$ et y ayant un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ c'est-à-dire $\;N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}}={\dfrac {\delta N_{\vec {V}}}{d{\mathcal {V}}}}$ ${\big$dans laquelle $\;\delta N_{\vec {V}}\;$ est le nombre, à l'instant $\;t$, de molécules de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ de l'échantillon mésoscopique de volume $\;d{\mathcal {V}}\;$ centré en $\;M{\big )}\;$ est indépendante de l'instant $\;t\;$ d'observation de l'échantillon mésoscopique dans l'espace » soit «$\;N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}}=N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}}\!\left({\vec {V}}\,,\,M\right),\;\;\forall \;t\;$» ou encore, en tenant compte simultanément de la stationnarité, de l'homogénéité et de l'isotropie de la répartition statistique des vecteurs vitesse des molécules du G.P., «$\;N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}}=N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}}\!\left(\Vert {\vec {V}}\Vert \right)\;$» ne dépendant que de $\;\Vert {\vec {V}}\Vert$.

## Notion de vitesse quadratique moyenne des molécules d’un gaz

La « vitesse quadratique moyenne $\;{\big$à l'instant $\;t{\big )}\;$ des $\;\delta N\;$ molécules d'un échantillon mésoscopique de G.P.$^,$ » notée «$\;V^{*}\!(t)\;$» est la « moyenne quadratique de la norme des vecteurs vitesse des molécules de l'échantillon $\;{\big$considérées à l'instant $\;t{\big )}\;$» c'est-à-dire encore telle que « son carré est la moyenne des carrés scalaires des vecteurs vitesse $\;{\big$à l'instant $\;t{\big )}\;$ de toutes les molécules de l'échantillon » ; notant $\;{\vec {V}}_{i}(t)\;$ le vecteur vitesse, à l'instant $\;t$, de la molécule $\;M_{i}\;$ pour $\;i\,\in \,\left[\left[1\,,\,\delta N\right]\right]$, la « vitesse quadratique moyenne $\;{\big$à l'instant $\;t{\big )}\;$ des molécules d'un échantillon mésoscopique de G.P.$^,$ » se définit selon «$\;V^{*}\!(t)={\sqrt {{\Big \langle }{\vec {V}}_{\!i}^{2}\!(t){\Big \rangle }_{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,\delta N\right]\right]}}}={\sqrt {\dfrac {\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,\delta N}{\vec {V}}_{\!i}^{2}\!(t)}{\delta N}}}\;$» ou, en notant $\;\delta N({\vec {V}})\;$ la fréquence statistique du vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ dans l'échantillon mésoscopique, «$\;V^{*}\!(t)={\sqrt {{\Big \langle }{\vec {V}}^{2}\!(t){\Big \rangle }}}={\sqrt {\dfrac {\sum \limits _{{\vec {V}}_{\!j}\,{\text{possibles}}}^{\text{tous les}}\left\lbrace \delta N({\vec {V}}_{\!j})\right\rbrace \!(t)\;{\vec {V}}_{\!j}^{2}\!(t)}{\sum \limits _{{\vec {V}}_{\!j}\,{\text{possibles}}}^{\text{tous les}}\left\lbrace \delta N({\vec {V}}_{\!j})\right\rbrace \!(t)}}}\;$» ou encore, avec $\;N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}}={\dfrac {\delta N({\vec {V}})}{\delta {\mathcal {V}}}}\;$ la densité volumique de fréquence statistique du vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ dans l'échantillon mésoscopique d'expansion tridimensionnelle de volume $\;\delta {\mathcal {V}}$, la réécriture de la « vitesse quadratique moyenne $\;{\big$à l'instant $\;t{\big )}\;$ des molécules d'un échantillon mésoscopique de G.P.$^,$ »
$\;V^{*}\!(t)={\sqrt {{\Big \langle }{\vec {V}}^{2}\!(t){\Big \rangle }}}={\sqrt {\dfrac {\sum \limits _{{\vec {V}}_{\!j}\,{\text{possibles}}}^{\text{tous les}}N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}_{\!j}}(t)\;{\vec {V}}_{\!j}^{2}\!(t)}{\sum \limits _{{\vec {V}}_{\!j}\,{\text{possibles}}}^{\text{tous les}}N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}_{\!j}}(t)}}}\;$
Remarque : Compte-tenu du nombre excessivement grand des valeurs de vecteurs vitesse des molécules contenues dans tout échantillon mésoscopique, nous faisons usuellement une approximation des milieux continus consistant à remplacer les « valeurs discrètes de vecteurs vitesse $\;\left\lbrace {\vec {V}}_{\!j}\,\left[\delta N({\vec {V}}_{\!j})\right]\right\rbrace \;$ où $\;\delta N({\vec {V}}_{\!j})\;$ est la fréquence statistique de $\;{\vec {V}}_{\!j}\;$» par des « valeurs continues de vecteurs vitesse $\;\left\lbrace {\vec {V}}\,\left[\delta N({\vec {V}}_{{\text{à }}d{\vec {V}}{\text{ près}}})\right]\right\rbrace \;$ dans laquelle $\;\delta N({\vec {V}}_{{\text{à }}d{\vec {V}}{\text{ près}}})$ $\;{\big$fréquence statistique de $\;{\vec {V}}\;$ à $\;d{\vec {V}}\;$ près${\big )}\;$ est une fonction continue de $\;{\vec {V}}\;$» soit, Remarque : en notant $\;\left(\Upsilon \right)\;$ le domaine vectoriel de l'espace des vitesses des molécules de l'échantillon mésoscopique «$\;V^{*}\!(t)={\sqrt {{\Big \langle }{\vec {V}}^{2}\!(t){\Big \rangle }}}={\sqrt {\dfrac {\displaystyle \iiint \limits _{{\vec {V}}\,\in (\Upsilon )}\left\lbrace \delta N({\vec {V}}_{{\text{à }}d{\vec {V}}{\text{ près}}})\right\rbrace \!(t)\;{\vec {V}}^{2}\!(t)}{\displaystyle \iiint \limits _{{\vec {V}}\,\in (\Upsilon )}\left\lbrace \delta N({\vec {V}}_{{\text{à }}d{\vec {V}}{\text{ près}}})\right\rbrace \!(t)}}}\;$»$^,$ ou,
Remarque : en introduisant la densité volumique de fréquence statistique du vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ dans l'échantillon mésoscopique d'expansion tridimensionnelle de volume $\;\delta {\mathcal {V}}\;$ dans l'approximation des milieux continus c'est-à-dire «$\;N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}\,{\text{à }}d{\vec {V}}{\text{ près}}}={\dfrac {\delta N({\vec {V}}_{{\text{à }}d{\vec {V}}{\text{ près}}})}{\delta {\mathcal {V}}}}\;$», «$\;V^{*}\!(t)={\sqrt {{\Big \langle }{\vec {V}}^{2}\!(t){\Big \rangle }}}={\sqrt {\dfrac {\displaystyle \iiint \limits _{{\vec {V}}\,\in (\Upsilon )}\left\lbrace N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}\,{\text{à }}d{\vec {V}}{\text{ près}}}\right\rbrace \!(t)\;d{\mathcal {V}}\;{\vec {V}}^{2}\!(t)}{\displaystyle \iiint \limits _{{\vec {V}}\,\in (\Upsilon )}\left\lbrace N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}\,{\text{à }}d{\vec {V}}{\text{ près}}}\right\rbrace \!(t)\;d{\mathcal {V}}}}}={\sqrt {\dfrac {\displaystyle \iiint \limits _{{\vec {V}}\,\in (\Upsilon )}\left\lbrace N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}\,{\text{à }}d{\vec {V}}{\text{ près}}}\right\rbrace \!(t)\;{\vec {V}}^{2}\!(t)}{\displaystyle \iiint \limits _{{\vec {V}}\,\in (\Upsilon )}\left\lbrace N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}\,{\text{à }}d{\vec {V}}{\text{ près}}}\right\rbrace \!(t)}}}\;$»$^,$ ou encore, Remarque : en adoptant le repérage sphérique de l'espace des vitesses c'est-à-dire en notant «$\;\left(V\,,\,\theta _{V}\,,\,\varphi _{V}\right)\;$ les composantes sphériques de $\;{\vec {V}}\;$» et «$\;\left({\vec {u}}_{r_{V}}\,,\,{\vec {u}}_{\theta _{V}}\,,\,{\vec {u}}_{\varphi _{V}}\right)\;$ les vecteurs de la base sphérique de l'espace des vitesses » $\Rightarrow$ «$\;d{\vec {V}}=dV\;{\vec {u}}_{r_{V}}+V\;d\theta _{V}\;{\vec {u}}_{\theta _{V}}+V\;\sin(\theta _{V})\;d\varphi _{V}\;{\vec {u}}_{\varphi _{V}}\;$» ainsi que l'« élément de volume de l'espace des vitesses $\;d{\mathcal {V}}_{\vec {V}}=V^{2}\;\sin(\theta _{V})\;d\theta _{V}\;d\varphi _{V}\;dV\;$» dont nous pouvons déduire la densité volumique de fréquence statistique du vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ par unité de volume de l'espace des vitesses dans l'échantillon mésoscopique c'est-à-dire «$\;N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}}^{\text{vol de l'esp. des vit.}}={\dfrac {N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}\,{\text{à }}d{\vec {V}}{\text{ près}}}}{d{\mathcal {V}}_{\vec {V}}}}\;$» s'exprimant en $\;m^{-3}\cdot \left(m\cdot s^{-1}\right)^{-3}\;$ et fonction de $\;\left(V\,,\,\theta _{V}\,,\,\varphi _{V}\right)\;$ ${\big$ainsi que de $\;t\;$ et de $\;M{\big )}\;$ $\Rightarrow$ «$\;V^{*}\!(t)={\sqrt {{\Big \langle }{\vec {V}}^{2}\!(t){\Big \rangle }}}={\sqrt {\dfrac {\displaystyle \iiint \limits _{{\vec {V}}\,\in (\Upsilon )}\left\lbrace N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}}^{\text{vol de l'esp. des vit.}}\right\rbrace \!(t)\;d{\mathcal {V}}_{\vec {V}}\;{\vec {V}}^{2}\!(t)}{\displaystyle \iiint \limits _{{\vec {V}}\,\in (\Upsilon )}\left\lbrace N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}}^{\text{vol de l'esp. des vit.}}\right\rbrace \!(t)\;d{\mathcal {V}}_{\vec {V}}}}}\;$»$^,$ ce qui se réécrit selon «$\;V^{*}\!(t)={\sqrt {{\Big \langle }{\vec {V}}^{2}\!(t){\Big \rangle }}}={\sqrt {\dfrac {\displaystyle \iiint \limits _{{\vec {V}}\,\in (\Upsilon )}\left\lbrace N_{{\text{vol}},\,\left(V\,,\,\theta _{V}\,,\,\varphi _{V}\right)}^{\text{vol de l'esp. des vit.}}\right\rbrace \!(t)\;V^{4}\;\sin(\theta _{V})\;d\theta _{V}\;d\varphi _{V}\;dV}{\displaystyle \iiint \limits _{{\vec {V}}\,\in (\Upsilon )}\left\lbrace N_{{\text{vol}},\,\left(V\,,\,\theta _{V}\,,\,\varphi _{V}\right)}^{\text{vol de l'esp. des vit.}}\right\rbrace \!(t)\;V^{2}\;\sin(\theta _{V})\;d\theta _{V}\;d\varphi _{V}\;dV}}}={\sqrt {\dfrac {\displaystyle \iiint \limits _{{\vec {V}}\,\in (\Upsilon )}\left\lbrace N_{{\text{vol}},\,\left(V\,,\,\theta _{V}\,,\,\varphi _{V}\right)}^{\text{vol de l'esp. des vit.}}\right\rbrace \!(t)\;V^{4}\;dV\;d\Omega _{V}}{\displaystyle \iiint \limits _{{\vec {V}}\,\in (\Upsilon )}\left\lbrace N_{{\text{vol}},\,\left(V\,,\,\theta _{V}\,,\,\varphi _{V}\right)}^{\text{vol de l'esp. des vit.}}\right\rbrace \!(t)\;V^{2}\;dV\;d\Omega _{V}}}}\;$»$^,$ dans laquelle «$\;d\Omega _{V}=\sin(\theta _{V})\;d\theta _{V}\;d\varphi _{V}\;$ est l'angle solide $\;{\big$algébrique${\big )}\;$ mesurant, dans l'espace des vitesses, l'intérieur du cône élémentaire d'axe repéré par $\;\left(\theta _{V}\,,\,\varphi _{V}\right)\;$ à $\;d\theta _{V}\;$ et $\;d\varphi _{V}\;$ près » ;
Remarque : $\succ \;$si la répartition statistique des vecteurs vitesse des molécules de l'échantillon mésoscopique est isotrope, la densité volumique de fréquence statistique du vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ par unité de volume de l'espace des vitesses «$\;N_{{\text{vol}},\,{\vec {V}}}^{\text{vol de l'esp. des vit.}}\;$» étant, en repérage sphérique de l'espace des vitesses, « indépendante de $\;\left(\theta _{V}\,,\,\varphi _{V}\right)\;$», la « vitesse quadratique moyenne des molécules de l'échantillon mésoscopique » se réécrit selon «$\;V^{*}\!(t)={\sqrt {{\Big \langle }{\vec {V}}^{2}\!(t){\Big \rangle }}}={\sqrt {\dfrac {\displaystyle \iiint \limits _{{\vec {V}}\,\in (\Upsilon )}\left\lbrace N_{{\text{vol}},\,\left(V{\cancel {,\,\theta _{V}\,,\,\varphi _{V}}}\right)}^{\text{vol de l'esp. des vit.}}\right\rbrace \!(t)\;V^{4}\;dV\;d\Omega _{V}}{\displaystyle \iiint \limits _{{\vec {V}}\,\in (\Upsilon )}\left\lbrace N_{{\text{vol}},\,\left(V{\cancel {,\,\theta _{V}\,,\,\varphi _{V}}}\right)}^{\text{vol de l'esp. des vit.}}\right\rbrace \!(t)\;V^{2}\;dV\;d\Omega _{V}}}}\;$$^,$ $={\sqrt {\dfrac {\displaystyle \int \limits _{V\,\in (\Upsilon _{V})}\left\lbrace N_{{\text{vol}}\,,\,V}^{\text{vol de l'esp. des vit.}}\right\rbrace \!(t)\;V^{4}\,\left[\displaystyle \oiint \limits _{\text{espace entier}}d\Omega _{V}\right]\,dV}{\displaystyle \int \limits _{V\,\in (\Upsilon _{V})}\left\lbrace N_{{\text{vol}}\,,\,V}^{\text{vol de l'esp. des vit.}}\right\rbrace \!(t)\;V^{2}\,\left[\displaystyle \oiint \limits _{\text{espace entier}}d\Omega _{V}\right]\,dV}}}\;$» $\;{\big(\Upsilon _{V})\;$ étant le domaine de valeurs de la norme du vecteur vitesse${\big ]}\;$ soit encore «$\;V^{*}\!(t)={\sqrt {{\Big \langle }{\vec {V}}^{2}\!(t){\Big \rangle }}}={\sqrt {\dfrac {\displaystyle \int \limits _{V\,\in (\Upsilon _{V})}\left\lbrace N_{{\text{vol}}\,,\,V}^{\text{vol de l'esp. des vit.}}\right\rbrace \!(t)\;V^{4}\;dV}{\displaystyle \int \limits _{V\,\in (\Upsilon _{V})}\left\lbrace N_{{\text{vol}}\,,\,V}^{\text{vol de l'esp. des vit.}}\right\rbrace \!(t)\;V^{2}\;dV}}}\;$» car «$\;{\begin{array}{c}\\\displaystyle \oiint \limits _{\text{espace entier}}d\Omega _{V}\\\end{array}}=4\;\pi \;sr\;$» ;
Remarque : $\succ \;$si la répartition statistique des vecteurs vitesse des molécules de l'échantillon mésoscopique est homogène en plus d'être isotrope, la densité volumique de fréquence statistique du vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ par unité de volume de l'espace des vitesses «$\;N_{{\text{vol}},\,V}^{\text{vol de l'esp. des vit.}}\;$» étant « indépendante du point $\;M$, centre de l'échantillon », il en est de même de la « vitesse quadratique moyenne des molécules de l'échantillon mésoscopique » c'est-à-dire «$\;V^{*}\!(t)={\sqrt {{\Big \langle }{\vec {V}}^{2}\!(t){\Big \rangle }}}={\sqrt {\dfrac {\displaystyle \int \limits _{V\,\in (\Upsilon _{V})}\left\lbrace N_{{\text{vol}}\,,\,V}^{\text{vol de l'esp. des vit.}}\right\rbrace \!(t)\;V^{4}\;dV}{\displaystyle \int \limits _{V\,\in (\Upsilon _{V})}\left\lbrace N_{{\text{vol}}\,,\,V}^{\text{vol de l'esp. des vit.}}\right\rbrace \!(t)\;V^{2}\;dV}}}\;$ indépendante de $\;M\;$» ;
Remarque : $\succ \;$si la répartition statistique des vecteurs vitesse des molécules de l'échantillon mésoscopique est stationnaire en plus d'être homogène et isotrope, la densité volumique de fréquence statistique du vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ par unité de volume de l'espace des vitesses «$\;N_{{\text{vol}},\,V}^{\text{vol de l'esp. des vit.}}\;$» étant « indépendante de l'instant $\;t\;$ d'observation », il en est de même de la « vitesse quadratique moyenne des molécules de l'échantillon mésoscopique » c'est-à-dire «$\;V^{*}={\sqrt {{\Big \langle }{\vec {V}}^{2}{\Big \rangle }}}={\sqrt {\dfrac {\displaystyle \int \limits _{V\,\in (\Upsilon _{V})}N_{{\text{vol}}\,,\,V}^{\text{vol de l'esp. des vit.}}\;V^{4}\;dV}{\displaystyle \int \limits _{V\,\in (\Upsilon _{V})}N_{{\text{vol}}\,,\,V}^{\text{vol de l'esp. des vit.}}\;V^{2}\;dV}}}\;$ indépendante de $\;t\;$».

## À titre « informatif », modèle « unidirectionnel à distribution discrète de vitesse »

Préliminaire : À titre « informatif » car nous n'utiliserons pas le modèle « unidirectionnel à distribution discrète de vitesse » bien que ce soit ce dernier qui est explicité dans le programme de physique de P.C.S.I., mais l'employer nous éloignerait trop de la réalité alors que le modèle dont nous nous servirons reste abordable $\;{\big$même s'il est légèrement plus complexe${\big )}$ ; toutefois nous évoquerons, dans le paragraphe « établissement du gain de résultante cinétique de l'élément de paroi par adsorption et désorption pendant une durée mésoscopique δt du G.P. en équilibre thermodynamique avec modélisation unidirectionnelle à distribution discrète de vitesse » plus loin dans ce chapitre, comment le modèle « unidirectionnel à distribution discrète de vitesse » peut conduire, de façon nettement moins convaincante, aux mêmes résultats.
Présentation : Le modèle « unidirectionnel à distribution discrète de vitesse » suppose que le mouvement d'une molécule d'un échantillon mésoscopique se fait uniquement Présentation : Le modèle « unidirectionnel à distribution discrète de vitesse » suivant l'une des trois directions orthogonales «$\;x'x\,,\,y'y\,,\,z'z\;$» dans un sens ou le sens opposé, Présentation : Le modèle « unidirectionnel à distribution discrète de vitesse » à vitesse unique égale à la vitesse quadratique moyenne «$\;V^{*}\;$» Présentation : Le modèle « unidirectionnel à distribution discrète de vitesse » c'est-à-dire que le vecteur vitesse est nécessairement de la forme «$\;{\vec {V}}=\pm V^{*}\;{\vec {u}}_{x}\;$», «$\;{\vec {V}}=\pm V^{*}\;{\vec {u}}_{y}\;$» ou «$\;{\vec {V}}=\pm V^{*}\;{\vec {u}}_{z}\;$».
Remarque : Le nom donné à ce modèle est incorrect car « unidirectionnel » devrait être remplacé par « tridirectionnel » puisque trois directions sont admises et Remarque : Le nom donné à ce modèle est incorrect car « à distribution discrète de vitesse » par « à vitesse unique » puisque la norme de vecteur vitesse est choisie égale à la vitesse quadratique moyenne.

## Notion d’adsorption et de désorption d’une particule de gaz par la paroi
### Définition de l’adsorption (ou de la désorption) d’une molécule par une paroi

Une « molécule $\;P\;$ est adsorbée par une paroi $\;\left(dS\right)\;$ à un instant $\;t_{0}\;$» si, à $\;t_{0}^{-}$, elle heurte la paroi avec une vitesse relative non nulle «$\;{\vec {V}}_{P\,/\,(dS)}\!(t_{0}^{-})\neq {\vec {0}}\;$» et Une « molécule $\;\color {transparent}{P}\;$ est adsorbée par une paroi $\;\color {transparent}{\left(dS\right)}\;$ à un instant $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$» si elle y reste collée, c'est-à-dire si sa vitesse relative, à l'instant $\;t_{0}^{+}$, y est nulle «$\;{\vec {V}}_{P\,/\,(dS)}(t_{0}^{+})={\vec {0}}\;$».
Une « molécule $\;P\;$ est désorbée par une paroi $\;\left(dS\right)\;$ à un instant $\;t_{0}\;$» si, à $\;t_{0}^{-}$, elle est collée à la paroi, sa vitesse relative y étant nulle «$\;{\vec {V}}_{P\,/\,(dS)}\!(t_{0}^{-})={\vec {0}}\;$» et Une « molécule $\;\color {transparent}{P}\;$ est désorbée par une paroi $\;\color {transparent}{\left(dS\right)}\;$ à un instant $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$» si, à $\;t_{0}^{+}$, elle en est éjectée avec une vitesse relative non nulle «$\;{\vec {V}}_{P\,/\,(dS)}(t_{0}^{+})\neq {\vec {0}}\;$».

### « En complément », théorème de la résultante cinétique sous sa forme intégrée appliqué à un système de matière

Préliminaire : Nous avons vu, en complément, le théorème de l'impulsion sous forme élémentaire appliqué à un point matériel $\;M\;$ dans un référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$ $\;{\big \$forme intégrée de la dynamique des points matériels associée à la forme locale r.f.d.$^,$$^,$${\big \}$ dans le paragraphe « théorème de l'impulsion sous forme élémentaire » du chap.$15$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »
$\;\sum \limits _{k}\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]=d{\vec {p}}_{M}\;$
$\;d{\vec {p}}_{M}\;$
$\;M\;$
$\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$
$\;{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\;$
$\;(\Sigma _{k})\;$
$\;M\;$
$\;\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]={\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\;dt\;$
$\;{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\;$
$\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$
Préliminaire : Nous avons vu, en compl ainsi que le théorème de l'impulsion sur une durée finie appliqué au même point matériel $\;M\;$ dans le même référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$ $\;{\big \$forme intégrée de la dynamique des points matériels associée à la forme locale r.f.d.$^,$${\big \}$ dans le paragraphe « théorème de l'impulsion sur une durée finie » du chap.$15$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »
$\;\sum \limits _{k}{\vec {I}}_{{\text{sur}}\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]=\Delta {\vec {p}}_{M}\;$
$\;\Delta {\vec {p}}_{M}={\vec {p}}_{M}(t_{2})-{\vec {p}}_{M}(t_{1})\;$
$\;M\;$
$\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]\;$
$\;{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\;$
$\;(\Sigma _{k})\;$
$\;M\;$
$\;t\,\in \,\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]\;$
$\;{\vec {I}}_{{\text{sur}}\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]=\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\;dt\;$
$\;{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\;$
$\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]\;$
Application à un système de points matériels : Bien que non traité dans le chap.$15$ intitulé « Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Lois de la puissance et de l'énergie cinétiques » de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », il existe une forme intégrée de la dynamique des systèmes fermés de points matériels associée à la forme locale “théorème de la résultante cinétique” applicable dans un référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$$^,$, forme intégrée appelée “théorème de l'impulsion appliqué à un système fermé de points matériels” $\;{\big$ou simplement “forme intégrée du théorème de la résultante cinétique”${\big )}$ ;
Application à un système de points matériels : $\succ \;$la forme intégrée du théorème de la résultante cinétique appliquée à un système fermé de points matériels $\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\right\rbrace _{i\,\in \,\left|\left[1\,,\,N\right]\right]}\;$ sur l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$ dans un référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ s'établit en partant du théorème de la résultante cinétique appliqué à l'instant $\;t\;$ et en multipliant chaque membre par $\;dt\;$ d'où son énoncé Application à un système de points matériels : $\color {transparent}{\succ }\;$« dans un référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$, l'impulsion élémentaire de toutes les forces extérieures reçue par le système fermé de points matériels $\;\left({\mathcal {S}}\right)=$ $\left\lbrace M_{i}\right\rbrace _{i\,\in \,\left|\left[1\,,\,N\right]\right]}\;$ à savoir “$\;\delta {\vec {I}}_{\text{ext}}=\sum _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(t)\;dt\;$” est égale à la variation élémentaire de sa résultante cinétique “$\;d{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}={\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}(t+dt)-{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}(t)\;$” » soit mathématiquement
$\;\delta {\vec {I}}_{\text{ext}}=d{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}\;$
Application à un système de points matériels : $\succ \;$la forme intégrée du théorème de la résultante cinétique appliquée à un système fermé de points matériels $\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\right\rbrace _{i\,\in \,\left|\left[1\,,\,N\right]\right]}\;$ sur l'intervalle de temps $\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]\;$ dans un référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ s'établit en partant de la forme intégrée du théorème de la résultante cinétique appliquée sur l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$ et en intégrant chaque membre sur $\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]\;$ d'où son énoncé Application à un système de points matériels : $\color {transparent}{\succ }\;$« dans un référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$, l'impulsion, sur l'intervalle de temps $\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]$, de toutes les forces extérieures reçue par le système fermé de points matériels $\;\left({\mathcal {S}}\right)=$ $\left\lbrace M_{i}\right\rbrace _{i\,\in \,\left|\left[1\,,\,N\right]\right]}\;$ à savoir “$\;{\vec {I}}_{{\text{ext sur }}\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}=\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\sum _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(t)\;dt\right]\;$” est égale à la variation de sa résultante cinétique pendant la même durée “$\;\Delta {\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}={\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}(t_{2})-{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}(t_{1})\;$” » soit mathématiquement
$\;{\vec {I}}_{{\text{ext sur }}\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}=\Delta {\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}\;$
Application à un système de points matériels : $\succ \;$La forme intégrée du théorème de la résultante cinétique écrite sur un intervalle de temps élémentaire ou de durée finie dans un référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ s'applique encore à un système continu fermé de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ d'expansion volumique, surfacique ou linéique ; Application à un système de points matériels : $\color {transparent}{\succ }\;$appliqué au système continu fermé de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ sur l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+dt\right]$, la forme intégrée du théorème de la résultante cinétique s'écrit, dans le référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$, selon «$\;\delta {\vec {I}}_{\text{ext}}=d{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}\;$» dans laquelle «$\;\delta {\vec {I}}_{\text{ext}}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\vec {f}}_{V,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,dt\;$$^,$ est l'impulsion élémentaire du système des forces extérieures de densité volumique de force $\;{\vec {f}}_{V,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}$, impulsion reçue par $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$» et «$\;d{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}={\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}\!\left(t+dt\right)-{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}\!\left(t\right)\;$ la variation élémentaire de $\;{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}\;$ c'est-à-dire de la résultante cinétique de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ définie selon $\;{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\vec {P}}_{{\text{vol}},\,M}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ avec $\;{\vec {P}}_{{\text{vol}},\,M}\;$ la densité volumique de quantité de mouvement » ; Application à un système de points matériels : $\color {transparent}{\succ }\;$appliqué au système continu fermé de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ sur l'intervalle de temps $\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]$, la forme intégrée du théorème de la résultante cinétique s'écrit, dans le référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$, selon «$\;{\vec {I}}_{{\text{ext sur }}\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}=\Delta {\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}\;$» dans laquelle «$\;{\vec {I}}_{{\text{ext sur }}\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}=\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\vec {f}}_{V,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,dt\right\rbrace \;$$^,$ est l'impulsion sur l'intervalle de temps $\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]\;$ du système des forces extérieures de densité volumique de force $\;{\vec {f}}_{V,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}$, impulsion reçue par $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$» et «$\;\Delta {\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}={\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}\!\left(t_{2}\right)-{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}\!\left(t_{1}\right)\;$ la variation de $\;{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}\;$ sur le même intervalle de temps c'est-à-dire de la résultante cinétique de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ définie selon $\;{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\vec {P}}_{{\text{vol}},\,M}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ avec $\;{\vec {P}}_{{\text{vol}},\,M}\;$ la densité volumique de quantité de mouvement ».
Remarques : Nous avons vu au paragraphe « impulsion élémentaire de force exercée par un système sur un point matériell (propriété) » du chap.$15$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » que Remarques : Nous avons vu « toute force $\;{\vec {F}}_{M\leftarrow (\Sigma )}(t)\;$ de norme finie » a une « impulsion élémentaire $\;\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {F}}_{M\leftarrow (\Sigma )}(t)\right]\rightarrow {\vec {0}}\;$ quand $\;dt\rightarrow 0\;$» d'où Remarques : Nous avons vu « à l'ordre $\;0\;$ en $\;dt$, les impulsions élémentaires des forces de norme finie sont nulles »,
Remarques : ainsi qu'au paragraphe « modélisation d'une force de collision et conséquence sur son impulsion élémentaire » du même chap.$15$ de la même leçon « Mécanique 1 (PCSI) » que Remarques : ainsi qu'« toute force $\;{\vec {F}}_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)=F_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\;{\vec {u}}\;$ modélisable en utilisant un pic de Dirac d'impulsion unité étant discontinue de 2ème espèce$^,$ c'est-à-dire telle que $\;F_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\propto \delta (t-t_{0})\;$ ${\bigt_{0}\;$ étant l'instant de la collision${\big )}\;$» a une « impulsion $\;{\vec {I}}_{{\text{sur }}\left[t_{0}^{-}\,,\,t_{0}^{+}\right]}\!\left[{\vec {F}}_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\right]\;$ de norme $\;\not \rightarrow 0\;$ quand $\;t_{0}^{+}-t_{0}^{-}\rightarrow 0\;$» $\;{\bigg \$plus précisément «$\;{\vec {I}}_{{\text{sur }}\left[t_{0}^{-}\,,\,t_{0}^{+}\right]}\!\left[F_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\;{\vec {u}}\right]$ $=I_{{\text{sur }}\left[t_{0}^{-}\,,\,t_{0}^{+}\right]}\!\left[{\vec {F}}_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\right]\,{\vec {u}}\;$» dont $\;I_{{\text{sur }}\left[t_{0}^{-}\,,\,t_{0}^{+}\right]}\!\left[{\vec {F}}_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\right]\;$ s'évalue en utilisant $\;F_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)=A\;\delta (t-t_{0})\;$ ${\bigA\;$ à déterminer${\big )}$, selon $\;I_{{\text{sur }}\left[t_{0}^{-}\,,\,t_{0}^{+}\right]}\!\left[{\vec {F}}_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\right]=\displaystyle \int _{t_{0}^{-}}^{t_{0}^{+}}F_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\;dt=\displaystyle \int _{t_{0}^{-}}^{t_{0}^{+}}A\;\delta (t-t_{0})\;dt=A\;$ $\Rightarrow$ la « réécriture de $\;F_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\;$ en fonction de $\;I_{{\text{sur }}\left[t_{0}^{-}\,,\,t_{0}^{+}\right]}\!\left[{\vec {F}}_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\right]\;$ et du pic de Dirac d'impulsion unité centré en l'instant de collision $\;t_{0}\;$» selon «$\;F_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)=I_{{\text{sur }}\left[t_{0}^{-}\,,\,t_{0}^{+}\right]}\!\left[{\vec {F}}_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\right]\,\delta (t-t_{0})\;$»${\bigg \}$ d'où Remarques : ainsi qu'« à l'ordre $\;0\;$ en $\;dt=t_{0}^{+}-t_{0}^{-}$, les impulsions des forces de collision sur $\;\left[t_{0}^{-}\,,\,t_{0}^{+}\right]\;$ sont de norme non nulle ».

### « Gain de résultante cinétique » d’une portion de paroi élémentaire lors de l’adsorption d’une molécule de vecteur vitesse fixé

Préliminaire : L'étude de l'adsorption, à l'instant $\;t$, par une portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)$, d'une molécule de vecteur vitesse d'agitation thermique $\;{\vec {V}}\;$ est faite dans le référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ dans lequel le gaz est macroscopiquement immobile.
Exposé : Soient «$\;m_{p}\;{\vec {V}}\;$ le vecteur quantité de mouvement de la molécule $\;M_{a}\;$» et «$\;{\vec {P}}_{dS}\;$ le vecteur résultante cinétique de la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$» considérés tous deux à l'instant $\;t^{-}\;$ c'est-à-dire juste avant l'adsorption de la molécule $\;M_{a}\;$ par la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ à l'instant $\;t$ $\;{\big$voir le schéma de gauche ci-contre${\big )}$ ;
Exposé : considérons une durée microscopique $\;\tau \;$ englobant l'instant $\;t\;$ d'adsorption de $\;M_{a}\;$ par $\;\left(dS\right)\;$ ${\big\tau \;$ pouvant être choisie aussi petite que possible${\big )}\;$ et notons «$\;{\vec {P}}_{dS}+\delta {\vec {P}}_{a,\,dS}\;$ le vecteur résultante cinétique de la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ à l'instant $\;t^{+}\;$» c'est-à-dire juste après l'adsorption, à l'instant $\;t$, de $\;M_{a}\;$ par $\;\left(dS\right)\;$ ${\big\tau \;$ étant égale à $\;t^{+}-t^{-}{\big )}$ $\;{\big \\delta {\vec {P}}_{a,\,dS}\;$ représente donc le gain de résultante cinétique de $\;\left(dS\right)\;$ par adsorption de la molécule $\;M_{a}\;$ à l'instant $\;t{\big \}$ ;
Exposé : étudiant l'ensemble «$\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ constitué de la molécule $\;M_{a}\;$ et de la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$» sur l'intervalle de temps $\;\left[t^{-}\,,\,t^{+}\right]\;$ ${\big \$la durée microscopique $\;\tau =t^{+}-t^{-}\;$ englobant l'instant $\;t\;$ d'adsorption de $\;M_{a}\;$ par $\;(dS)\;$ est choisie suffisamment petite pour que seule $\;M_{a}\;$ soit adsorbée${\big \}$ et Exposé : constatant que les forces extérieures appliquées à $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ sont toutes de norme finie nous en déduisons la nullité à l'ordre $\;0\;$ en $\;\tau \;$ de l'impulsion élémentaire de la résultante dynamique exercée sur $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ soit «$\;\delta {\vec {I}}_{({\mathcal {E}})\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\simeq {\vec {0}}\;$» $\Rightarrow$ l'obtention de la variation élémentaire de la résultante cinétique de l'ensemble $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ sur l'intervalle de temps $\;\left[t^{-}\,,\,t^{+}\right]\;$ c'est-à-dire $\;d{\vec {P}}_{({\mathcal {E}})}\;$ en appliquant, à l'ensemble $\;\left({\mathcal {E}}\right)$, la forme intégrée du théorème de la résultante cinétique sur $\;\left[t^{-}\,,\,t^{+}\right]\;$ «$\;\delta {\vec {I}}_{({\mathcal {E}})\,\leftarrow \,{\text{ext}}}=d{\vec {P}}_{({\mathcal {E}})}\;$» d'où finalement «$\;d{\vec {P}}_{({\mathcal {E}})}\simeq {\vec {0}}\;$» ou «$\;{\vec {P}}_{({\mathcal {E}})}(t^{+})-{\vec {P}}_{({\mathcal {E}})}(t^{-})\simeq {\vec {0}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\vec {P}}_{({\mathcal {E}})}(t^{+})\simeq {\vec {P}}_{({\mathcal {E}})}(t^{-})\;$» se réécrivant avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}{\vec {P}}_{({\mathcal {E}})}(t^{-})\!\!&=&\!\!{\vec {P}}_{dS}(t^{-})+m_{p}\;{\vec {V}}(t^{-})\\{\vec {P}}_{({\mathcal {E}})}(t^{+})\!\!&=&\!\!{\vec {P}}_{dS}(t^{-})+\delta {\vec {P}}_{a,\,dS}\end{array}}\right\rbrace \;$ «$\;{\vec {P}}_{dS}(t^{-})+\delta {\vec {P}}_{a,\,dS}\simeq {\vec {P}}_{dS}(t^{-})+m_{p}\;{\vec {V}}(t^{-})\;$» soit, après simplification évidente, le « gain de résultante cinétique » de la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ lors de l'adsorption de la molécule $\;M_{a}\;$ de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}(t^{-})\;$ ${\big$dernier vecteur vitesse avant l'adsorption à l'instant $\;t{\big ]}\;$
$\;\delta {\vec {P}}_{a,\,dS}\simeq m_{p}\;{\vec {V}}(t^{-})\;$

### « Gain de résultante cinétique » d’une portion de paroi élémentaire lors de la désorption d’une molécule de vecteur vitesse fixé

Préliminaire : L'étude de la désorption, à l'instant $\;t$, par une portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)$, d'une molécule de vecteur vitesse d'agitation thermique d'éjection $\;{\vec {V}}'\;$ est faite dans le référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ dans lequel le gaz est macroscopiquement immobile.
Exposé : Soit «$\;{{\vec {P}}'}_{\!\!dS}\;$ le vecteur résultante cinétique de la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$» à l'instant $\;t^{-}\;$ c'est-à-dire juste avant la désorption de la molécule $\;M_{d}\;$ par la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ à l'instant $\;t$ $\;{\big$voir le schéma de gauche ci-contre${\big )}$ ;
Exposé : considérons une durée microscopique $\;\tau \;$ englobant l'instant $\;t\;$ de désorption de $\;M_{d}\;$ par $\;\left(dS\right)\;$ ${\big\tau \;$ pouvant être choisie aussi petite que possible${\big )}$, « le vecteur quantité de mouvement de $\;M_{d}\;$ juste après désorption étant $\;m_{p}\;{\vec {V}}'\;$» et « le vecteur résultante cinétique de la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ juste après désorption noté $\;{{\vec {P}}'}_{\!\!dS}+\delta {\vec {P}}_{d,\,dS}\;$» $\;{\big \$vecteurs quantité de mouvement de $\;M_{d}\;$ et résultante cinétique de $\;(dS)\;$ étant tous deux considérés à l'instant $\;t^{+}\;$ juste après la désorption, à l'instant $\;t$, de $\;M_{d}\;$ par $\;\left(dS\right){\big \}$ ${\big\tau \;$ étant égale à $\;t^{+}-t^{-}{\big )}$ $\;{\big \\delta {\vec {P}}_{d,\,dS}\;$ représente donc le gain $\;{\big$au sens algébrique${\big )}\;$ de résultante cinétique de $\;\left(dS\right)\;$ par désorption de la molécule $\;M_{d}\;$ à l'instant $\;t{\big \}$ ;
Exposé : étudiant l'ensemble «$\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ constitué de la molécule $\;M_{d}\;$ et de la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$» sur l'intervalle de temps $\;\left[t^{-}\,,\,t^{+}\right]\;$ ${\big \$la durée microscopique $\;\tau =t^{+}-t^{-}\;$ englobant l'instant $\;t\;$ de désorption de $\;M_{d}\;$ par $\;(dS)\;$ est choisie suffisamment petite pour que seule $\;M_{d}\;$ soit désorbée${\big \}$ et Exposé : constatant que les forces extérieures appliquées à $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ sont toutes de norme finie nous en déduisons la nullité à l'ordre $\;0\;$ en $\;\tau \;$ de l'impulsion élémentaire de la résultante dynamique exercée sur $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ soit «$\;\delta {\vec {I}}_{({\mathcal {E}})\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\simeq {\vec {0}}\;$» $\Rightarrow$ l'obtention de la variation élémentaire de la résultante cinétique de l'ensemble $\;\left({\mathcal {E}}\right)\;$ sur l'intervalle de temps $\;\left[t^{-}\,,\,t^{+}\right]\;$ c'est-à-dire $\;d{\vec {P}}_{({\mathcal {E}})}\;$ en appliquant, à l'ensemble $\;\left({\mathcal {E}}\right)$, la forme intégrée du théorème de la résultante cinétique sur $\;\left[t^{-}\,,\,t^{+}\right]\;$ «$\;\delta {\vec {I}}_{({\mathcal {E}})\,\leftarrow \,{\text{ext}}}=d{\vec {P}}_{({\mathcal {E}})}\;$» d'où finalement «$\;d{\vec {P}}_{({\mathcal {E}})}\simeq {\vec {0}}\;$» ou «$\;{\vec {P}}_{({\mathcal {E}})}(t^{+})-{\vec {P}}_{({\mathcal {E}})}(t^{-})\simeq {\vec {0}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\vec {P}}_{({\mathcal {E}})}(t^{+})\simeq {\vec {P}}_{({\mathcal {E}})}(t^{-})\;$» se réécrivant avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}{\vec {P}}_{({\mathcal {E}})}(t^{-})\!\!&=&\!\!{{\vec {P}}'}_{\!\!dS}(t^{-})\\{\vec {P}}_{({\mathcal {E}})}(t^{+})\!\!&=&\!\!{{\vec {P}}'}_{\!\!dS}(t^{-})+\delta {\vec {P}}_{d,\,dS}+m_{p}\;{{\vec {V}}'}\!(t^{+})\end{array}}\right\rbrace \;$ «$\;{{\vec {P}}'}_{\!\!dS}(t^{-})\simeq {{\vec {P}}'}_{\!\!dS}(t^{-})+\delta {\vec {P}}_{d,\,dS}+m_{p}\;{{\vec {V}}'}\!(t^{+})\;$» soit, après simplification évidente, le « gain $\;{\big$au sens algébrique${\big )}\;$ de résultante cinétique » de la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ lors de la désorption de la molécule $\;M_{d}\;$ avec un vecteur vitesse $\;{{\vec {V}}'}\!(t^{+})\;$ ${\big$premier vecteur vitesse après l'désorption à l'instant $\;t{\big ]}\;$
$\;\delta {\vec {P}}_{d,\,dS}\simeq -m_{p}\;{{\vec {V}}'}\!(t^{+})\;$

## Gain de résultante cinétique de l’élément de paroi par adsorption et désorption du gaz pendant une durée mésoscopique « δt »
### Gain de résultante cinétique de l’élément de paroi par adsorption des molécules de vecteur vitesse fixé « adsorbables entre t et t + δt »

Préliminaire : Nous supposerons que toutes les molécules de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ adsorbables entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t\;$ par la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ sont effectivement adsorbées.
Exposé : Nous nous proposons de déterminer le gain de résultante cinétique de la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ dû à l'adsorption de toutes les molécules ayant, à l'instant $\;t$, un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ fixé et adsorbables par $\;\left(dS\right)\;$ entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t\;$ ${\big \\delta t\;$ étant une durée d'échelle mésoscopique${\big \}$ $\;{\big$dans ce paragraphe nous ne considérerons aucune adsorption de molécules ayant, à l'instant $\;t$, un vecteur vitesse $\;\neq {\vec {V}}\;$ ainsi que aucune désorption${\big ]}$ ;
Exposé : nous supposons connue la densité volumique de molécules de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}$, localisées dans le voisinage de $\;\left(dS\right)\;$ à l’instant $\;t$, «$\;N_{\text{vol}}\!\left({\vec {V}}\,,\,t\right)\;$» $\;{\big \$dans le cas d'un G.P., cette densité volumique est « isotrope » $\;{\big$elle est indépendante de la direction de $\;{\vec {V}}{\big ]}$, « homogène » $\;{\big$elle est indépendante de l'élément de paroi $\;(dS){\big ]}\;$ et « stationnaire » si le G.P. est en équilibre thermodynamique $\;{\big$elle est indépendante de l'instant $\;t{\big ]}{\big \}$ ;
Exposé : notons «$\;{\overrightarrow {dS}}=dS\;{\vec {n}}\;$» le vecteur surface de la portion de paroi élémentaire orienté vers l’extérieur du récipient $\;{\big \dS\;$ étant l'aire de la surface et $\;{\vec {n}}\;$ le vecteur unitaire normal à la portion de paroi orienté du gaz vers l'extérieur${\big \}$, le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ faisant avec le vecteur surface $\;{\overrightarrow {dS}}\;$ l'angle $\;{\big$non algébrique${\big )}$ «$\;\alpha$ $={\widehat {\left({\vec {n}}\,,\,{\vec {V}}\right)}}\;$» aigu ;
Exposé : les molécules de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ qui sont adsorbées par $\;\left(dS\right)\;$ entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t\;$ se trouvaient, à l’instant $\;t$, dans le cylindre $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ oblique, de « base $\;(dS)\;$», de « génératrices $\;\parallel \;$ à $\;{\vec {V}}\;\delta t\;$ et aboutissant aux points du contour de $\;\left(dS\right)\;$» $\;{\big$voir schéma explicatif ci-dessus à droite${\big )}$, le volume de ce cylindre oblique $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ étant «$\;d{\mathcal {V}}_{({\mathcal {C}})}({\vec {V}}\,,\,t)=dS\;dh\;$» dans lequel $\;dh\;$ est la hauteur du cylindre égale à $\;V\;\delta t\;\cos(\alpha )\;$ d'où «$\;d{\mathcal {V}}_{({\mathcal {C}})}({\vec {V}}\,,\,t)=dS\;V\;\delta t\;\cos(\alpha )={\vec {V}}\cdot {\overrightarrow {dS}}\;\delta t\;$» ;
Exposé : nous en déduisons le nombre de molécules de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ à l'instant $\;t\;$ adsorbées par $\;\left(dS\right)\;$ entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t\;$ «$\;\delta N_{{\text{ads par}}\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left({\vec {V}}\,,\,t\right)=N_{\text{vol}}\!\left({\vec {V}}\,,\,t\right)\;d{\mathcal {V}}_{({\mathcal {C}})}({\vec {V}}\,,\,t)\;$» soit finalement «$\;\delta N_{{\text{ads par}}\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left({\vec {V}}\,,\,t\right)=N_{\text{vol}}\!\left({\vec {V}}\,,\,t\right)\;{\vec {V}}\cdot {\overrightarrow {dS}}\;\delta t\;$» puis Exposé : nous en déduisons le « gain de résultante cinétique de l'élément de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ dû à l'adsorption de toutes les molécules ayant, à l'instant $\;t$, un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ et adsorbées par $\;\left(dS\right)\;$ entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t\;$» «$\;\delta {\vec {P}}_{a,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left({\vec {V}}\,,\,t\right)=\delta {\vec {P}}_{a,\,dS}\;\delta N_{{\text{ads par}}\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left({\vec {V}}\,,\,t\right)\;$» dans lequel «$\;\delta {\vec {P}}_{a,\,dS}\;$ est le gain de résultante cinétique de la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ lors de l'adsorption d'une molécule de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ ${\big$dernier vecteur vitesse avant l'adsorption${\big ]}\;$ c'est-à-dire $\;\delta {\vec {P}}_{a,\,dS}\simeq m_{p}\;{\vec {V}}\;$» d'où l'expression finale du « gain de résultante cinétique de l'élément de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ dû à l'adsorption de toutes les molécules ayant, à l'instant $\;t$, un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ et adsorbées par $\;\left(dS\right)\;$ entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t\;$»
$\;\delta {\vec {P}}_{a,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left({\vec {V}}\,,\,t\right)\simeq N_{\text{vol}}\!\left({\vec {V}}\,,\,t\right)\;m_{p}\;{\vec {V}}\,\left[{\vec {V}}\cdot {\overrightarrow {dS}}\right]\,\delta t\;$

### Gain de résultante cinétique de l’élément de paroi par adsorption de toutes les molécules « adsorbables entre t et t + δt »

Pour déterminer le « gain de résultante cinétique de la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ dû à l'adsorption de toutes les molécules adsorbables par $\;\left(dS\right)\;$ entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t\;$», il faut « ajouter les contributions des molécules ayant, à l'instant $\;t$, un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ fixé, adsorbées pendant $\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]$, en faisant la somme sur tous les vecteurs vitesse possibles » $\;{\big \$c'est-à-dire faire la somme sur toutes les « directions correspondant à une molécule adsorbable » et toutes les « normes possibles »${\big \}$, d’où Pour déterminer le « gain de résultante cinétique de la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ dû à l'adsorption de toutes les molécules adsorbables par $\;\left(dS\right)\;$ entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t\;$» «$\;\delta {\vec {P}}_{a,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}=$ $\sum \limits _{{\vec {V}}\,\cdot \,{\overrightarrow {dS}}\,>\,0}^{{\vec {V}}\,{\text{possible}}}\delta {\vec {P}}_{a,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left({\vec {V}}\,,\,t\right)\;$» soit finalement
$\;\delta {\vec {P}}_{a,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\simeq \sum \limits _{{\vec {V}}\,\cdot \,{\overrightarrow {dS}}\,>\,0}^{{\vec {V}}\,{\text{possible}}}N_{\text{vol}}\!\left({\vec {V}}\,,\,t\right)\;m_{p}\;{\vec {V}}\,\left[{\vec {V}}\cdot {\overrightarrow {dS}}\right]\,\delta t\;$
$\;N_{\text{vol}}\!\left({\vec {V}}\,,\,t\right)\;$
$\;{\vec {V}}$
$\;\left(dS\right)\;$
$\;t\;$

### Gain de résultante cinétique de l’élément de paroi par désorption des molécules de vecteur vitesse fixé « désorbables entre t et t + δt »

Préliminaire : Nous supposerons que toutes les molécules de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}'\;$ à l'instant $\;t+\delta t\;$ s'éloignant de la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ à une distance de celle-ci telle qu'elles aient été désorbables par $\;\left(dS\right)\;$ entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t\;$ ont effectivement été désorbées.
Exposé : Nous nous proposons de déterminer le gain de résultante cinétique de la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ dû à la désorption de toutes les molécules ayant, à l'instant $\;t+\delta t$, un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}'\;$ fixé et désorbables par $\;\left(dS\right)\;$ entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t\;$ ${\big \\delta t\;$ étant une durée d'échelle mésoscopique${\big \}$ $\;{\big$dans ce paragraphe nous ne considérerons aucune désorption de molécules ayant, à l'instant $\;t+\delta t$, un vecteur vitesse $\;\neq {\vec {V}}'\;$ ainsi que aucune adsorption${\big ]}$ ;
Exposé : nous supposons connue la densité volumique de molécules de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}'$, localisées dans le voisinage de $\;\left(dS\right)\;$ à l’instant $\;t+\delta t$, c'est-à-dire «$\;N_{\text{vol}}\!\left({\vec {V}}'\,,\,t+\delta t\right)\;$» $\;{\big \$dans le cas d'un G.P., cette densité volumique est « isotrope » $\;{\big$elle est indépendante de la direction de $\;{\vec {V}}'{\big ]}$, « homogène » $\;{\big$elle est indépendante de l'élément de paroi $\;(dS){\big ]}\;$ et « stationnaire » si le G.P. est en équilibre thermodynamique $\;{\big$elle est indépendante de l'instant $\;t+\delta t{\big ]}{\big \}$ ;
Exposé : notons «$\;{\overrightarrow {dS}}=dS\;{\vec {n}}\;$» le vecteur surface de la portion de paroi élémentaire orienté vers l’extérieur du récipient $\;{\big \dS\;$ étant l'aire de la surface et $\;{\vec {n}}\;$ le vecteur unitaire normal à la portion de paroi orienté du gaz vers l'extérieur${\big \}$, le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}'\;$ faisant avec le vecteur surface $\;{\overrightarrow {dS}}\;$ l'angle $\;{\big$non algébrique${\big )}$ «$\;\alpha '$ $={\widehat {\left({\vec {n}}\,,\,{\vec {V}}'\right)}}\;$» obtus ;
Exposé : les molécules de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}'\;$ ayant été désorbées par $\;\left(dS\right)\;$ entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t\;$ se trouvent, à l’instant $\;t+\delta t$, dans le cylindre $\;\left({\mathcal {C}}'\right)\;$ oblique, de « base $\;(dS)\;$», de « génératrices $\;\parallel \;$ à $\;{\vec {V}}'\;\delta t\;$ et issues des points du contour de $\;\left(dS\right)\;$» $\;{\big$voir schéma explicatif ci-dessus à droite${\big )}$, le volume de ce cylindre oblique $\;\left({\mathcal {C}}'\right)\;$ étant «$\;d{\mathcal {V}}_{({\mathcal {C}}')}({\vec {V}}'\,,\,t+\delta t)=dS\;dh'\;$» dans lequel $\;dh'\;$ est la hauteur du cylindre égale à $\;-V'\;\delta t\;\cos(\alpha )\;$ d'où «$\;d{\mathcal {V}}_{({\mathcal {C}}')}({\vec {V}}'\,,\,t+\delta t)=-dS\;V'\;\delta t\;\cos(\alpha )=-{\vec {V}}'\cdot {\overrightarrow {dS}}\;\delta t\;$», d'où
Exposé : le nombre de molécules de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}'\;$ à l'instant $\;t+\delta t\;$ désorbées par $\;\left(dS\right)\;$ entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t\;$ «$\;\delta N_{{\text{dés. par}}\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left({\vec {V}}'\,,\,t+\delta t\right)=N_{\text{vol}}\!\left({\vec {V}}'\,,\,t+\delta t\right)\;d{\mathcal {V}}_{({\mathcal {C}}')}({\vec {V}}'\,,\,t+\delta t)\;$» soit finalement «$\;\delta N_{{\text{dés. par}}\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left({\vec {V}}'\,,\,t+\delta t\right)=-N_{\text{vol}}\!\left({\vec {V}}'\,,\,t+\delta t\right)\;{\vec {V}}'\cdot {\overrightarrow {dS}}\;\delta t\;$» puis Exposé : le « gain de résultante cinétique de l'élément de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ dû à la désorption de toutes les molécules ayant, à l'instant $\;t+\delta t$, un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}'\;$ et désorbées par $\;\left(dS\right)\;$ entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t\;$» «$\;\delta {\vec {P}}_{d,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left({\vec {V}}'\,,\,t+\delta t\right)=\delta {\vec {P}}_{d,\,dS}\;\delta N_{{\text{dés. par}}\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left({\vec {V}}'\,,\,t+\delta t\right)\;$» dans lequel «$\;\delta {\vec {P}}_{d,\,dS}\;$ est le gain de résultante cinétique de la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ lors de la désorption d'une molécule de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}'\;$ ${\big$premier vecteur vitesse après la désorption${\big ]}\;$ c'est-à-dire $\;\delta {\vec {P}}_{d,\,dS}\simeq -m_{p}\;{\vec {V}}'\;$» d'où l'expression finale du « gain de résultante cinétique de l'élément de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ dû à la désorption de toutes les molécules ayant, à l'instant $\;t+\delta t$, un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}'\;$ et désorbées par $\;\left(dS\right)\;$ entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t\;$»
$\;\delta {\vec {P}}_{d,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left({\vec {V}}'\,,\,t+\delta t\right)\simeq N_{\text{vol}}\!\left({\vec {V}}'\,,\,t+\delta t\right)\;m_{p}\;{\vec {V}}'\,\left[{\vec {V}}'\cdot {\overrightarrow {dS}}\right]\,\delta t\;$

### Gain de résultante cinétique de l’élément de paroi par désorption de toutes les molécules « désorbables entre t et t + δt »

Pour déterminer le « gain de résultante cinétique de la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ dû à la désorption de toutes les molécules désorbables par $\;\left(dS\right)\;$ entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t\;$», il faut « ajouter les contributions des molécules ayant, à l'instant $\;t+\delta t$, un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}'\;$ fixé, désorbées pendant $\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]$, en faisant la somme sur tous les vecteurs vitesse possibles » $\;{\big \$c'est-à-dire faire la somme sur toutes les « directions correspondant à une molécule ayant pu être désorbée » et toutes les « normes possibles »${\big \}$, d’où Pour déterminer le « gain de résultante cinétique de la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ dû à la désorption de toutes les molécules désorbables par $\;\left(dS\right)\;$ entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t\;$» «$\;\delta {\vec {P}}_{d,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}=$ $\sum \limits _{{\vec {V}}'\,\cdot \,{\overrightarrow {dS}}\,<\,0}^{{\vec {V}}'\,{\text{possible}}}\delta {\vec {P}}_{d,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left({\vec {V}}'\,,\,t+\delta t\right)\;$» soit finalement
$\;\delta {\vec {P}}_{d,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\simeq \sum \limits _{{\vec {V}}'\,\cdot \,{\overrightarrow {dS}}\,<\,0}^{{\vec {V}}'\,{\text{possible}}}N_{\text{vol}}\!\left({\vec {V}}'\,,\,t+\delta t\right)\;m_{p}\;{\vec {V}}'\,\left[{\vec {V}}'\cdot {\overrightarrow {dS}}\right]\,\delta t\;$
$\;N_{\text{vol}}\!\left({\vec {V}}'\,,\,t+\delta t\right)\;$
$\;{\vec {V}}'$
$\;\left(dS\right)\;$
$\;t+\delta t\;$

### Gain de résultante cinétique de l’élément de paroi par adsorption et désorption de toutes les molécules « adsorbables et désorbables entre t et t + δt »

Préliminaire : Nous supposerons que toutes les molécules adsorbables par la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t\;$ sont effectivement adsorbées ainsi que toutes celles désorbables par cette même portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ pendant la même durée ont été effectivement désorbées.
Exposé : Le « gain de résultante cinétique de l'élément de paroi $\;\left(dS\right)\;$ par adsorption et désorption de toutes les molécules respectivement adsorbables et désorbables entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t$, $\;\delta {\vec {P}}_{(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\;$» est la somme du « gain de résultante cinétique de la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ dû à l'adsorption de toutes les molécules adsorbables par $\;\left(dS\right)\;$ entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t$, $\;\delta {\vec {P}}_{a,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\;$» et du « gain de résultante cinétique de cette portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ dû à la désorption de toutes les molécules désorbables par $\;\left(dS\right)\;$ entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t$, $\;\delta {\vec {P}}_{d,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\;$» soit
$\;\delta {\vec {P}}_{(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}=\delta {\vec {P}}_{a,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}+\delta {\vec {P}}_{d,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\;$
$\;\delta {\vec {P}}_{(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\simeq \sum \limits _{{\vec {V}}\,\cdot \,{\overrightarrow {dS}}\,>\,0}^{{\vec {V}}\,{\text{possible}}}N_{\text{vol}}\!\left({\vec {V}}\,,\,t\right)\;m_{p}\;{\vec {V}}\,\left[{\vec {V}}\cdot {\overrightarrow {dS}}\right]\,\delta t+\sum \limits _{{\vec {V}}'\,\cdot \,{\overrightarrow {dS}}\,<\,0}^{{\vec {V}}'\,{\text{possible}}}N_{\text{vol}}\!\left({\vec {V}}'\,,\,t+\delta t\right)\;m_{p}\;{\vec {V}}'\,\left[{\vec {V}}'\cdot {\overrightarrow {dS}}\right]\,\delta t\;$

## Expression « statistique » du gain de résultante cinétique de l’élément de paroi par adsorption et désorption pendant une durée mésoscopique « δt » du G.P. en équilibre thermodynamique

Préliminaire : L'« expression statistique » d'une « somme de grandeurs $\;g_{i},\,i\,\in \,\left[\left[1\,,\,\delta N\right]\right]\;$ caractéristiques de chaque élément $\;M_{i},\,i\,\in \,\left[\left[1\,,\,\delta N\right]\right]\;$ d'un échantillon mésoscopique de $\;\delta N\;$ éléments » consiste à « formuler cette somme, à l'aide de la loi des grands nombres, en fonction de la moyenne $\;\langle \,g\,\rangle \;$ des grandeurs $\;g_{i}\;$ et du nombre $\;\delta N\;$ d'éléments de l'échantillon ».

### Définition de la moyenne d’une grandeur g caractérisant chaque élément d’un échantillon de δN éléments et « loi des grands nombres »
#### Moyenne d’une grandeur g caractérisant chaque élément d’un échantillon de δN éléments

$\;g\;$
$\;M_{i},\,i\,\in \,\left[\left[1\,,\,\delta N\right]\right]\;$
$\;\delta N\;$
$\;\langle \,g\,\rangle _{\delta N}\;$
${\big$
$\;g\;$
${\big )}\;$
$\;\langle \,g\,\rangle _{\delta N}={\dfrac {\sum \limits _{j\,\in \,\left[\left[1\,,\,\delta N_{g}\right]\right]}\delta N_{j}\;g_{j}}{\sum \limits _{j\,\in \,\left[\left[1\,,\,\delta N_{g}\right]\right]}\delta N_{j}}}\;$
$\;\delta N_{j}\;$
$\;g_{j}\;$
$\;{\big\delta N_{g}\;$
$\;g_{j}\;$
${\big )}\;$
$\;\sum \limits _{j\,\in \,\left[\left[1\,,\,\delta N_{g}\right]\right]}\delta N_{j}=\delta N\;$
Remarque : En théorie la « moyenne d'une grandeur $\;g\;$ caractérisant chaque élément $\;M_{i},\,i\,\in \,\left[\left[1\,,\,\delta N\right]\right]\;$ d'un échantillon de $\;\delta N\;$ éléments » dépend du nombre d'éléments $\;\delta N\;$ d'où la notation rappelant cette dépendance «$\;\langle \,g\,\rangle _{\delta N}\;$».

#### Loi des grands nombres et conséquence

$\;g\;$
$\;M_{i},\,i\,\in \,\left[\left[1\,,\,\delta N\right]\right]\;$
$\;\delta N\;$
$\;\langle \,g\,\rangle _{\delta N}={\dfrac {\sum \limits _{j\,\in \,\left[\left[1\,,\,\delta N_{g}\right]\right]}\delta N_{j}\;g_{j}}{\sum \limits _{j\,\in \,\left[\left[1\,,\,\delta N_{g}\right]\right]}\delta N_{j}}}\;$
$\;\delta N=\sum \limits _{j\,\in \,\left[\left[1\,,\,\delta N_{g}\right]\right]}\delta N_{j}\;$
$\;\delta N_{j}\;$
$\;g_{j}\;$
$\;\delta N_{g}\;$
$\;g_{j}\;$
$\;\langle \,g\,\rangle _{\delta N}\;$
$\;\delta N\;$
$\Rightarrow$
$\;\langle \,g\,\rangle _{\delta N}\;$
$\;\langle \,g\,\rangle \;$
Conséquence de l'applicabilité de la loi des grands nombres : Dès lors qu'un échantillon de $\;\delta N\;$ éléments est mésoscopique, $\;\delta N\;$ est très grand et nous pouvons appliquer la loi des grands nombres à la définition de la « moyenne d'une grandeur $\;g\;$ caractérisant chaque élément $\;M_{i},\,i\,\in \,\left[\left[1\,,\,\delta N\right]\right]\;$ de cet échantillon mésoscopique » d'où «$\;{\dfrac {\sum \limits _{j\,\in \,\left[\left[1\,,\,\delta N_{g}\right]\right]}\delta N_{j}\;g_{j}}{\sum \limits _{j\,\in \,\left[\left[1\,,\,\delta N_{g}\right]\right]}\delta N_{j}}}=\langle \,g\,\rangle \;$ indépendant de $\;\delta N\;$» $\;{\Big \\delta N_{j}\;$ étant la fréquence statistique de la valeur $\;g_{j}\;$ dans l'échantillon et $\;\delta N_{g}\;$ le nombre de valeurs $\;g_{j}\;$ distinctes $\Rightarrow$ $\;\sum \limits _{j\,\in \,\left[\left[1\,,\,\delta N_{g}\right]\right]}\delta N_{j}=\delta N{\Big \}$ ou «$\;{\dfrac {\sum \limits _{j\,\in \,\left[\left[1\,,\,\delta N_{g}\right]\right]}\delta N_{j}\;g_{j}}{\delta N}}=\langle \,g\,\rangle \;$ indépendant de $\;\delta N\;$» et par suite Conséquence de l'applicabilité de la loi des grands nombres : l'« expression statistique » de la somme des valeurs $\;g_{j}\;$ des $\;\delta N\;$ éléments de l'échantillon mésoscopique «$\;\sum \limits _{j\,\in \,\left[\left[1\,,\,\delta N_{g}\right]\right]}\delta N_{j}\;g_{j}=\delta N\;\langle \,g\,\rangle \;$».

### Expression « statistique » du gain de résultante cinétique de l'élément de paroi par adsorption et désorption entre t et t + δt du G.P. en équilibre thermodynamique
#### Expression « statistique » du gain de résultante cinétique de l’élément de paroi par adsorption entre t et t + δt du G.P. en équilibre thermodynamique

Nous cherchons à déterminer l'« expression statistique » du « gain de résultante cinétique de la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ dû à l'adsorption de toutes les molécules adsorbables par $\;\left(dS\right)\;$ entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t\;$» c'est-à-dire de «$\;\delta {\vec {P}}_{a,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\simeq \sum \limits _{{\vec {V}}\,\cdot \,{\overrightarrow {dS}}\,>\,0}^{{\vec {V}}\,{\text{possible}}}N_{\text{vol}}\!\left({\vec {V}}\,,\,t\right)\;m_{p}\;{\vec {V}}\,\left[{\vec {V}}\cdot {\overrightarrow {dS}}\right]\,\delta t\;$» dans lequel «$\;N_{\text{vol}}\!\left({\vec {V}}\,,\,t\right)\;$ est la densité volumique de molécules de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}$, localisées dans le voisinage de $\;\left(dS\right)\;$ à l’instant $\;t\;$» en utilisant la conséquence de l'applicabilité de la loi des grands nombres, Nous cherchons à déterminer la grandeur caractérisant chaque molécule adsorbable de l'échantillon mésoscopique de G.P. au voisinage de $\;\left(dS\right)\;$ à l'instant $\;t\;$ étant «$\;g\!\left({\vec {V}}\,,\,t\right)=$ $m_{p}\;{\vec {V}}\,\left[{\vec {V}}\cdot {\overrightarrow {dS}}\right]\,\delta t\;$» et la fréquence statistique $\;{\big$volumique${\big )}\;$ de la valeur de $\;g\;$ associée au vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ à l'instant $\;t\;$ au voisinage de $\;\left(dS\right)\;$ «$\;N_{\text{vol}}\!\left({\vec {V}}\,,\,t\right)\;$» soit, Nous cherchons à déterminer en notant «$\;N_{\text{vol}}^{{\text{vers }}(dS)}(t)=\sum \limits _{{\vec {V}}\,\cdot \,{\overrightarrow {dS}}\,>\,0}^{{\vec {V}}\,{\text{possible}}}N_{\text{vol}}\!\left({\vec {V}}\,,\,t\right)\;$ la densité volumique de molécules de l'échantillon mésoscopique se dirigeant à l’instant $\;t\;$ vers $\;\left(dS\right)\;$» et Nous cherchons à déterminer en notant «$\;{\bigg \langle }m_{p}\;{\vec {V}}\,\left[{\vec {V}}\cdot {\overrightarrow {dS}}\right]\,\delta t{\bigg \rangle }_{\!t}^{\!{\text{vers }}(dS)}\;$ la moyenne de la grandeur $\;g\;$ associée aux molécules de l'échantillon mésoscopique se dirigeant vers $\;(dS)\;$ à l'instant $\;t\;$», Nous cherchons à déterminer l'« expression statistique » du « gain de résultante cinétique de la portion de paroi $\;\left(dS\right)\;$ dû à l'adsorption de toutes les molécules adsorbables par $\;\left(dS\right)\;$ entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t\;$»
$\;\delta {\vec {P}}_{a,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\simeq \sum \limits _{{\vec {V}}\,\cdot \,{\overrightarrow {dS}}\,>\,0}^{{\vec {V}}\,{\text{possible}}}N_{\text{vol}}\!\left({\vec {V}}\,,\,t\right)\;m_{p}\;{\vec {V}}\,\left[{\vec {V}}\cdot {\overrightarrow {dS}}\right]\,\delta t\;$
$\simeq N_{\text{vol}}^{{\text{vers }}(dS)}(t)\;{\bigg \langle }m_{p}\;{\vec {V}}\,\left[{\vec {V}}\cdot {\overrightarrow {dS}}\right]\,\delta t{\bigg \rangle }_{\!t}^{\!{\text{vers }}(dS)}\;$

#### Expression « statistique » du gain de résultante cinétique de l’élément de paroi par désorption entre t et t + δt du G.P. en équilibre thermodynamique

Nous cherchons à déterminer l'« expression statistique » du « gain de résultante cinétique de la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ dû à la désorption de toutes les molécules désorbables par $\;\left(dS\right)\;$ entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t\;$» c'est-à-dire de «$\;\delta {\vec {P}}_{d,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\simeq \sum \limits _{{\vec {V}}'\,\cdot \,{\overrightarrow {dS}}\,<\,0}^{{\vec {V}}'\,{\text{possible}}}N_{\text{vol}}\!\left({\vec {V}}'\,,\,t+\delta t\right)\;m_{p}\;{\vec {V}}'\,\left[{\vec {V}}'\cdot {\overrightarrow {dS}}\right]\,\delta t\;$» dans lequel «$\;N_{\text{vol}}\!\left({\vec {V}}'\,,\,t+\delta t\right)\;$ est la densité volumique de molécules de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}'$, localisées dans le voisinage de $\;\left(dS\right)\;$ à l’instant $\;t+\delta t\;$» en utilisant la conséquence de l'applicabilité de la loi des grands nombres, Nous cherchons à déterminer la grandeur caractérisant chaque molécule désorbable de l'échantillon mésoscopique de G.P. au voisinage de $\;\left(dS\right)\;$ à l'instant $\;t+\delta t\;$ étant «$\;g\!\left({\vec {V}}'\,,\,t+\delta t\right)=$ $m_{p}\;{\vec {V}}'\,\left[{\vec {V}}'\cdot {\overrightarrow {dS}}\right]\,\delta t\;$» et la fréquence statistique $\;{\big$volumique${\big )}\;$ de la valeur de $\;g\;$ associée au vecteur vitesse $\;{\vec {V}}'\;$ à l'instant $\;t+\delta t\;$ au voisinage de $\;\left(dS\right)\;$ «$\;N_{\text{vol}}\!\left({\vec {V}}'\,,\,t+\delta t\right)\;$» soit, Nous cherchons à déterminer en notant «$\;N_{\text{vol}}^{{\text{de }}(dS)}(t+\delta t)=\sum \limits _{{\vec {V}}'\,\cdot \,{\overrightarrow {dS}}\,<\,0}^{{\vec {V}}'\,{\text{possible}}}N_{\text{vol}}\!\left({\vec {V}}'\,,\,t+\delta t\right)\;$ la densité volumique de molécules de l'échantillon mésoscopique s'éloignant à l’instant $\;t+\delta t\;$ de $\;\left(dS\right)\;$» et Nous cherchons à déterminer en notant «$\;{\bigg \langle }m_{p}\;{\vec {V}}'\,\left[{\vec {V}}'\cdot {\overrightarrow {dS}}\right]\,\delta t{\bigg \rangle }_{\!t+\delta t}^{\!{\text{de }}(dS)}\;$ la moyenne de la grandeur $\;g\;$ associée aux molécules de l'échantillon mésoscopique s'éloignant de $\;(dS)\;$ à l'instant $\;t+\delta t\;$», Nous cherchons à déterminer l'« expression statistique » du « gain de résultante cinétique de la portion de paroi $\;\left(dS\right)\;$ dû à la désorption de toutes les molécules désorbables par $\;\left(dS\right)\;$ entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t\;$»
$\;\delta {\vec {P}}_{d,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\simeq \sum \limits _{{\vec {V}}'\,\cdot \,{\overrightarrow {dS}}\,<\,0}^{{\vec {V}}'\,{\text{possible}}}N_{\text{vol}}\!\left({\vec {V}}'\,,\,t+\delta t\right)\;m_{p}\;{\vec {V}}'\,\left[{\vec {V}}'\cdot {\overrightarrow {dS}}\right]\,\delta t\;$
$\simeq N_{\text{vol}}^{{\text{de }}(dS)}(t+\delta t)\;{\bigg \langle }m_{p}\;{\vec {V}}'\,\left[{\vec {V}}'\cdot {\overrightarrow {dS}}\right]\,\delta t{\bigg \rangle }_{\!t+\delta t}^{\!{\text{de }}(dS)}\;$

#### Expression « statistique » du gain de résultante cinétique de l’élément de paroi par adsorption et désorption entre t et t + δt du G.P. en équilibre thermodynamique

En ajoutant l'« expression statistique » du gain de résultante cinétique de la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ par adsorption entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t\;$ à celle du gain de résultante cinétique de la même portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ par désorption pendant le même intervalle de temps, nous obtenons En ajoutant l'« expression statistique » du gain de résultante cinétique de la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ par adsorption et désorption sur l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]\;$ soit
$\;\delta {\vec {P}}_{(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}=\delta {\vec {P}}_{a,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}+\delta {\vec {P}}_{d,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\;$
$\simeq N_{\text{vol}}^{{\text{vers }}(dS)}(t)\;{\bigg \langle }m_{p}\;{\vec {V}}\,\left[{\vec {V}}\cdot {\overrightarrow {dS}}\right]\,\delta t{\bigg \rangle }_{\!t}^{\!{\text{vers }}(dS)}+N_{\text{vol}}^{{\text{de }}(dS)}(t+\delta t)\;{\bigg \langle }m_{p}\;{\vec {V}}'\,\left[{\vec {V}}'\cdot {\overrightarrow {dS}}\right]\,\delta t{\bigg \rangle }_{\!t+\delta t}^{\!{\text{de }}(dS)}\;$

### Expression « statistique » du gain de résultante cinétique de l’élément de paroi par adsorption et désorption entre t et t + δt du G.P. en équilibre thermodynamique après « utilisation de la stationnarité de la répartition des vecteurs vitesse du G.P. en équilibre thermodynamique »

L'échantillon mésoscopique de G.P. au contact de la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ étant maintenant supposé en équilibre thermodynamique, nous en déduisons que la répartition des vecteurs vitesse de cet échantillon est stationnaire $\;{\big \$c'est-à-dire qu'elle est indépendante de l'instant d'observation de l'échantillon mésoscopique${\big \}$ d'où l'« expression statistique » du « gain de résultante cinétique de la portion de paroi $\;\left(dS\right)\;$ dû à la désorption de toutes les molécules désorbables par $\;\left(dS\right)\;$ entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t\;$» à savoir «$\;\delta {\vec {P}}_{d,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\simeq N_{\text{vol}}^{{\text{de }}(dS)}(t+\delta t)\;{\bigg \langle }m_{p}\;{\vec {V}}'\,\left[{\vec {V}}'\cdot {\overrightarrow {dS}}\right]\,\delta t{\bigg \rangle }_{\!t+\delta t}^{\!{\text{de }}(dS)}\;$» se réécrit selon «$\;\delta {\vec {P}}_{d,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}$ $\simeq N_{\text{vol}}^{{\text{de }}(dS)}\!{\cancel {(t+\delta t)}}\;{\bigg \langle }m_{p}\;{\vec {V}}\,\left[{\vec {V}}\cdot {\overrightarrow {dS}}\right]\,\delta t{\bigg \rangle }_{\!{\cancel {t+\delta t}}}^{\!{\text{de }}(dS)}\;$» et par suite l'« expression statistique » du « gain de résultante cinétique de la portion de paroi $\;\left(dS\right)\;$ par adsorption et désorption sur l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]\;$» se simplifie en
$\;\delta {\vec {P}}_{(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}=\delta {\vec {P}}_{a,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}+\delta {\vec {P}}_{d,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\;$
$\simeq N_{\text{vol}}^{{\text{vers }}(dS)}\;{\bigg \langle }m_{p}\;{\vec {V}}\,\left[{\vec {V}}\cdot {\overrightarrow {dS}}\right]\,\delta t{\bigg \rangle }_{\!{\text{vers }}(dS)}+N_{\text{vol}}^{{\text{de }}(dS)}\;{\bigg \langle }m_{p}\;{\vec {V}}\,\left[{\vec {V}}\cdot {\overrightarrow {dS}}\right]\,\delta t{\bigg \rangle }_{\!{\text{de }}(dS)}\;$

### Expression « statistique » du gain de résultante cinétique de l’élément de paroi par adsorption et désorption entre t et t + δt du G.P. en équilibre thermodynamique après « utilisation de l'isotropie de la répartition des vecteurs vitesse du G.P. »

La répartition des vecteurs vitesse des molécules de l'échantillon mésoscopique de G.P. au contact de la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ étant isotrope $\;{\big \$c'est-à-dire indépendante de la direction des vecteurs vitesse de norme fixée $\Leftrightarrow$ « les directions du vecteur vitesse d'une molécule quelconque sont équiprobables »${\big \}$, nous en déduisons que
* la densité volumique des molécules de l'échantillon s'éloignant de $\;\left(dS\right)\;$ «$\;N_{\text{vol}}^{{\text{de }}(dS)}\;$» est égale à celle des molécules de l'échantillon se rapprochant de $\;\left(dS\right)\;$ «$\;N_{\text{vol}}^{{\text{vers }}(dS)}\;$» de valeur commune égale à la moitié de la densité volumique des molécules de l'échantillon au voisinage de $\;\left(dS\right)\;$ «$\;N_{\text{vol}}^{(dS)}\;$» soit «$\;N_{\text{vol}}^{{\text{vers }}(dS)}=N_{\text{vol}}^{{\text{de }}(dS)}={\dfrac {N_{\text{vol}}^{(dS)}}{2}}\;$» et
* la densité volumique des molécules de l'échantillon se rapprochant de $\;\left(dS\right)\;$ avec un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ «$\;N_{\text{vol}}\!\left({\vec {V}}\right)\;$» étant égale à celle des molécules de l'échantillon s'éloignant de $\;\left(dS\right)\;$ avec le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}'=-{\vec {V}}\;$ ${\big \$symétrique de $\;{\vec {V}}\;$ par rapport au centre de la portion de paroi $\;\left(dS\right){\big \}$ «$\;N_{\text{vol}}\!\left({\vec {V}}'\right)\;$», nous en déduisons «$\;N_{\text{vol}}\!\left({\vec {V}}\right)\,\left[{\vec {V}}\cdot {\overrightarrow {dS}}\right]\,\delta t=-\left\lbrace N_{\text{vol}}\!\left({\vec {V}}'\right)\,\left[{\vec {V}}'\cdot {\overrightarrow {dS}}\right]\,\delta t\right\rbrace \;$» et par suite «$\;N_{\text{vol}}\!\left({\vec {V}}\right)\,m_{p}\;{\vec {V}}\,\left[{\vec {V}}\cdot {\overrightarrow {dS}}\right]\,\delta t=N_{\text{vol}}\!\left({\vec {V}}'\right)\,m_{p}\;{\vec {V}}'\,\left[{\vec {V}}'\cdot {\overrightarrow {dS}}\right]\,\delta t\;$» c'est-à-dire «$\;\sum \limits _{{\vec {V}}\,\cdot \,{\overrightarrow {dS}}\,>\,0}^{{\vec {V}}\,{\text{possible}}}N_{\text{vol}}\!\left({\vec {V}}\right)\,m_{p}\;{\vec {V}}\,\left[{\vec {V}}\cdot {\overrightarrow {dS}}\right]\,\delta t=\sum \limits _{{\vec {V}}'\,\cdot \,{\overrightarrow {dS}}\,<\,0}^{{\vec {V}}\,{\text{possible}}}N_{\text{vol}}\!\left({\vec {V}}'\right)\,m_{p}\;{\vec {V}}'\,\left[{\vec {V}}'\cdot {\overrightarrow {dS}}\right]\,\delta t\;$» ou, en divisant le 1er membre par $\;N_{\text{vol}}^{{\text{vers }}(dS)}\;$ et le 2nd par $\;N_{\text{vol}}^{{\text{de }}(dS)}\;{\Big \\!=N_{\text{vol}}^{{\text{vers }}(dS)}{\Big \}}\;$ «$\;{\dfrac {\sum \limits _{{\vec {V}}\,\cdot \,{\overrightarrow {dS}}\,>\,0}^{{\vec {V}}\,{\text{possible}}}N_{\text{vol}}\!\left({\vec {V}}\right)\,m_{p}\;{\vec {V}}\,\left[{\vec {V}}\cdot {\overrightarrow {dS}}\right]\,\delta t}{N_{\text{vol}}^{{\text{vers }}(dS)}}}={\dfrac {\sum \limits _{{\vec {V}}'\,\cdot \,{\overrightarrow {dS}}\,<\,0}^{{\vec {V}}\,{\text{possible}}}N_{\text{vol}}\!\left({\vec {V}}'\right)\,m_{p}\;{\vec {V}}'\,\left[{\vec {V}}'\cdot {\overrightarrow {dS}}\right]\,\delta t}{N_{\text{vol}}^{{\text{de }}(dS)}}}\;$» c'est-à-dire finalement l'égalité des valeurs moyennes «$\;{\bigg \langle }m_{p}\;{\vec {V}}\,\left[{\vec {V}}\cdot {\overrightarrow {dS}}\right]\,\delta t{\bigg \rangle }_{\!{\text{vers }}(dS)}={\bigg \langle }m_{p}\;{\vec {V}}'\,\left[{\vec {V}}'\cdot {\overrightarrow {dS}}\right]\,\delta t{\bigg \rangle }_{\!{\text{de }}(dS)}\;$ valeur commune notée $\;{\bigg \langle }m_{p}\;{\vec {V}}'\,\left[{\vec {V}}'\cdot {\overrightarrow {dS}}\right]\,\delta t{\bigg \rangle }_{\!(dS)}\;$».
Après utilisation de la stationnarité et de l'isotropie de la répartition des vecteurs vitesse des molécules de l'échantillon mésoscopique de G.P. en équilibre thermodynamique au voisinage de la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)$, l'« expression statistique » du « gain de résultante cinétique de la portion de paroi $\;\left(dS\right)\;$ par adsorption et désorption sur l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]\;$» se simplifie en
$\;\delta {\vec {P}}_{(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}=\delta {\vec {P}}_{a,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}+\delta {\vec {P}}_{d,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\;$
$\simeq N_{\text{vol}}^{{\text{vers }}(dS)}\;{\bigg \langle }m_{p}\;{\vec {V}}\,\left[{\vec {V}}\cdot {\overrightarrow {dS}}\right]\,\delta t{\bigg \rangle }_{\!{\text{vers }}(dS)}+N_{\text{vol}}^{{\text{de }}(dS)}\;{\bigg \langle }m_{p}\;{\vec {V}}\,\left[{\vec {V}}\cdot {\overrightarrow {dS}}\right]\,\delta t{\bigg \rangle }_{\!{\text{de }}(dS)}\;$
$\simeq {\dfrac {N_{\text{vol}}^{(dS)}}{2}}\;{\bigg \langle }m_{p}\;{\vec {V}}\,\left[{\vec {V}}\cdot {\overrightarrow {dS}}\right]\,\delta t{\bigg \rangle }_{\!(dS)}+{\dfrac {N_{\text{vol}}^{(dS)}}{2}}\;{\bigg \langle }m_{p}\;{\vec {V}}\,\left[{\vec {V}}\cdot {\overrightarrow {dS}}\right]\,\delta t{\bigg \rangle }_{\!(dS)}\;$
$\;\delta {\vec {P}}_{(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\simeq N_{\text{vol}}^{(dS)}\;m_{p}\;dS\;\delta t\;{\bigg \langle }{\vec {V}}\,\left[{\vec {V}}\cdot {\vec {n}}\right]{\bigg \rangle }_{\!(dS)}\;$
$\;{\vec {n}}\;$
$\;\perp \;$
$\;\left(dS\right)\;$

### Évaluation de « la moyenne du produit “vitesse normale à la paroi fois vecteur vitesse” » par utilisation de l'isotropie de la répartition des vecteurs vitesse du G.P.

Nous nous proposons d'évaluer la moyenne «$\;{\bigg \langle }{\vec {V}}\,\left[{\vec {V}}\cdot {\vec {n}}\right]{\bigg \rangle }_{\!(dS)}\;$» dans laquelle $\;{\vec {V}}\;$ est le vecteur vitesse d'une molécule quelconque de l'échantillon mésoscopique de G.P. en équilibre thermodynamique au voisinage de la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ en un instant $\;t\;$ quelconque, Nous nous proposons d'évaluer la moyenne «$\;\color {transparent}{{\bigg \langle }{\vec {V}}\,\left[{\vec {V}}\cdot {\vec {n}}\right]{\bigg \rangle }_{\!(dS)}}\;$» dans laquelle $\;{\vec {n}}\;$ étant le vecteur unitaire normal à $\;\left(dS\right)\;$ orienté du G.P. vers l'extérieur, Nous nous proposons d'évaluer la moyenne en utilisant de nouveau l’isotropie de la répartition des vecteurs vitesse du G.P. et pour cela,
Nous choisissons une base cartésienne où «$\;{\vec {u}}_{z}\;$ s’identifie à $\;{\vec {n}}\;$», «$\;{\vec {u}}_{x}\;$ et $\;{\vec {u}}_{y}\;$ étant $\;\perp \;$ entre eux dans le plan de $\;(dS)\;$» et Nous décomposons $\;{\vec {V}}\;$ suivant cette base $\Rightarrow$ «$\;{\vec {V}}\,\left[{\vec {V}}\cdot {\vec {n}}\right]={\vec {V}}\;V_{z}=\left[V_{x}\;{\vec {u}}_{x}+V_{y}\;{\vec {u}}_{y}+V_{z}\;{\vec {u}}_{z}\right]\,V_{z}=V_{x}\;V_{z}\;{\vec {u}}_{x}+V_{y}\;V_{z}\;{\vec {u}}_{y}+V_{z}^{2}\;{\vec {u}}_{z}\;$» soit, sachant que la moyenne d'une somme de termes est la somme de la moyenne de chaque terme et que les vecteurs de base sont indépendants des molécules,
$\;{\bigg \langle }{\vec {V}}\,\left[{\vec {V}}\cdot {\vec {n}}\right]{\bigg \rangle }_{\!(dS)}={\bigg \langle }V_{x}\;V_{z}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}\,{\vec {u}}_{x}+{\bigg \langle }V_{y}\;V_{z}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}\,{\vec {u}}_{y}+{\bigg \langle }V_{z}^{2}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}\,{\vec {u}}_{z}\;$

#### Établissement de la nullité de la « moyenne du produit “vitesse tangentielle à la paroi fois vitesse normale à cette paroi” » par utilisation de l’isotropie de la répartition des vecteurs vitesse du G.P.

Nous nous proposons d'évaluer les moyennes «$\;{\bigg \langle }V_{x}\;V_{z}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}\;$ ainsi que $\;{\bigg \langle }V_{y}\;V_{z}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}\;$» dans lesquelles $\;V_{x}\;$ et $\;V_{y}\;$ sont les composantes tangentielles du vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ d'une molécule quelconque de l'échantillon mésoscopique de G.P. en équilibre thermodynamique au voisinage de la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ en un instant $\;t\;$ quelconque et $\;V_{z}\;$ la composante normale du vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ de la même molécule au même instant.
Évaluation de $\;{\bigg \langle }V_{x}\;V_{z}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}$ définie selon «$\;{\bigg \langle }V_{x}\;V_{z}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}={\dfrac {\sum \limits _{{\vec {V}}\,{\text{possible}}}\left\lbrace N_{{\text{vol}},\,(dS)}\!\left(V_{x}\,,\,V_{y}\,,\,V_{z}\right)\right\rbrace \;\;V_{x}\;V_{z}}{N_{{\text{vol}},\,(dS)}}}\;$» dans laquelle à tout vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\,\left(V_{x}\,,\,V_{y}\,,\,V_{z}\right)\;$ nous pouvons associer le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}'\,\left(V_{x}\,,\,V_{y}\,,\,-V_{z}\right)\;$ ${\big \$symétrique de $\;{\vec {V}}\;$ par rapport au plan de $\;\left(dS\right){\big \}$ ne différant de $\;{\vec {V}}\;$ que par sa direction donc de même densité volumique de fréquence statistique compte-tenu de l'isotropie de la répartition des vecteurs vitesse des molécules de l'échantillon mésoscopique c'est-à-dire «$\;N_{{\text{vol}},\,(dS)}\!\left(V_{x}\,,\,V_{y}\,,\,-V_{z}\right)=N_{{\text{vol}},\,(dS)}\!\left(V_{x}\,,\,V_{y}\,,\,V_{z}\right)\;$» et par suite, réécrivant la moyenne selon Évaluation de $\;\color {transparent}{{\bigg \langle }V_{x}\;V_{z}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}}$ définie selon «$\;{\bigg \langle }V_{x}\;V_{z}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}={\dfrac {\sum \limits _{V_{z}\,>\,0}^{{\vec {V}}\,{\text{possible}}}\left[\left\lbrace N_{{\text{vol}},\,(dS)}\!\left(V_{x}\,,\,V_{y}\,,\,V_{z}\right)\right\rbrace \;\;V_{x}\;V_{z}+\left\lbrace N_{{\text{vol}},\,(dS)}\!\left(V_{x}\,,\,V_{y}\,,\,-V_{z}\right)\right\rbrace \;\;V_{x}\;(-V_{z})\right]}{N_{{\text{vol}},\,(dS)}}}\;$» soit finalement «$\;{\bigg \langle }V_{x}\;V_{z}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}=0\;$».
Évaluation de $\;{\bigg \langle }V_{y}\;V_{z}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}$ définie selon «$\;{\bigg \langle }V_{y}\;V_{z}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}={\dfrac {\sum \limits _{{\vec {V}}\,{\text{possible}}}\left\lbrace N_{{\text{vol}},\,(dS)}\!\left(V_{x}\,,\,V_{y}\,,\,V_{z}\right)\right\rbrace \;\;V_{y}\;V_{z}}{N_{{\text{vol}},\,(dS)}}}\;$» dans laquelle à tout vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\,\left(V_{x}\,,\,V_{y}\,,\,V_{z}\right)\;$ nous pouvons associer le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}'\,\left(V_{x}\,,\,V_{y}\,,\,-V_{z}\right)\;$ ${\big \$symétrique de $\;{\vec {V}}\;$ par rapport au plan de $\;\left(dS\right){\big \}$ ne différant de $\;{\vec {V}}\;$ que par sa direction donc de même densité volumique de fréquence statistique compte-tenu de l'isotropie de la répartition des vecteurs vitesse des molécules de l'échantillon mésoscopique c'est-à-dire «$\;N_{{\text{vol}},\,(dS)}\!\left(V_{x}\,,\,V_{y}\,,\,-V_{z}\right)=N_{{\text{vol}},\,(dS)}\!\left(V_{x}\,,\,V_{y}\,,\,V_{z}\right)\;$» et par suite, réécrivant la moyenne selon Évaluation de $\;\color {transparent}{{\bigg \langle }V_{y}\;V_{z}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}}$ définie selon «$\;{\bigg \langle }V_{y}\;V_{z}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}={\dfrac {\sum \limits _{V_{z}\,>\,0}^{{\vec {V}}\,{\text{possible}}}\left[\left\lbrace N_{{\text{vol}},\,(dS)}\!\left(V_{x}\,,\,V_{y}\,,\,V_{z}\right)\right\rbrace \;\;V_{y}\;V_{z}+\left\lbrace N_{{\text{vol}},\,(dS)}\!\left(V_{x}\,,\,V_{y}\,,\,-V_{z}\right)\right\rbrace \;\;V_{y}\;(-V_{z})\right]}{N_{{\text{vol}},\,(dS)}}}\;$» soit finalement «$\;{\bigg \langle }V_{y}\;V_{z}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}=0\;$».

#### Établissement de l'égalité entre la « moyenne du carré de “vitesse tangentielle à la paroi” et celle du carré de “vitesse normale à cette paroi” » par utilisation de l’isotropie de la répartition des vecteurs vitesse du G.P.

Nous nous proposons de comparer les moyennes «$\;{\bigg \langle }V_{x}^{2}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}\;$ à $\;{\bigg \langle }V_{y}^{2}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}\;$ ainsi qu'à $\;{\bigg \langle }V_{z}^{2}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}\;$» dans lesquelles $\;V_{x}\;$ et $\;V_{y}\;$ sont les composantes tangentielles du vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ d'une molécule quelconque de l'échantillon mésoscopique de G.P. en équilibre thermodynamique au voisinage de la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ en un instant $\;t\;$ quelconque et $\;V_{z}\;$ la composante normale du vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ de la même molécule au même instant.
Comparaison de $\;{\bigg \langle }V_{x}^{2}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}$ à $\;{\bigg \langle }V_{y}^{2}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}$ respectivement définies selon «$\;{\bigg \langle }V_{x}^{2}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}={\dfrac {\sum \limits _{{\vec {V}}\,{\text{possible}}}\left\lbrace N_{{\text{vol}},\,(dS)}\!\left(V_{x}\,,\,V_{y}\,,\,V_{z}\right)\right\rbrace \;\;V_{x}^{2}}{N_{{\text{vol}},\,(dS)}}}\;$ et $\;{\bigg \langle }V_{y}^{2}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}={\dfrac {\sum \limits _{{\vec {V}}\,{\text{possible}}}\left\lbrace N_{{\text{vol}},\,(dS)}\!\left(V_{x}\,,\,V_{y}\,,\,V_{z}\right)\right\rbrace \;\;V_{y}^{2}}{N_{{\text{vol}},\,(dS)}}}\;$ » dans lesquelles à tout vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\,\left(V_{x}\,,\,V_{y}\,,\,V_{z}\right)\;$ nous pouvons associer le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}'\,\left(V_{y}\,,\,V_{x}\,,\,V_{z}\right)\;$ ne différant de $\;{\vec {V}}\;$ que par sa direction donc de même densité volumique de fréquence statistique compte-tenu de l'isotropie de la répartition des vecteurs vitesse des molécules de l'échantillon mésoscopique c'est-à-dire «$\;N_{{\text{vol}},\,(dS)}\!\left(V_{x}\,,\,V_{y}\,,\,V_{z}\right)=N_{{\text{vol}},\,(dS)}\!\left(V_{y}\,,\,V_{x}\,,\,V_{z}\right)\;$» et par suite, réécrivant Comparaison de « » respectivement définies selon «$\;{\bigg \langle }V_{x}^{2}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}={\dfrac {\sum \limits _{{\vec {V}}\,{\text{possible}}}\left\lbrace N_{{\text{vol}},\,(dS)}\!\left(V_{y}\,,\,V_{x}\,,\,V_{z}\right)\right\rbrace \;\;V_{x}^{2}}{N_{{\text{vol}},\,(dS)}}}\;$» $\;{\big \$la densité de fréquence statistique «$\;N_{{\text{vol}},\,(dS)}\!\left(V_{x}\,,\,V_{y}\,,\,V_{z}\right)\;$» étant égale à celle «$\;N_{{\text{vol}},\,(dS)}\!\left(V_{y}\,,\,V_{x}\,,\,V_{z}\right)\;$»${\big \}$ puis, réécrivant cette moyenne en fonction de $\;{\vec {V}}'\,\left({V'}_{\!x}=V_{y}\,,\,{V'}_{\!y}=V_{x}\,,\,{V'}_{\!z}=V_{z}\right)$, Comparaison de « » respectivement définies selon «$\;{\bigg \langle }V_{x}^{2}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}={\dfrac {\sum \limits _{{\vec {V}}'\,{\text{possible}}}\left\lbrace N_{{\text{vol}},\,(dS)}\!\left({V'}_{\!x}\,,\,{V'}_{\!y}\,,\,{V'}_{\!z}\right)\right\rbrace \;\;{V'}_{\!y}^{2}}{N_{{\text{vol}},\,(dS)}}}\;$ c.-à-d.$\;{\dfrac {\sum \limits _{{\vec {V}}\,{\text{possible}}}\left\lbrace N_{{\text{vol}},\,(dS)}\!\left(V_{x}\,,\,V_{y}\,,\,V_{z}\right)\right\rbrace \;\;V_{y}^{2}}{N_{{\text{vol}},\,(dS)}}}=$ ${\bigg \langle }V_{y}^{2}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}\;$» $\;{\big \$les variables $\;{\vec {V}}\;$ et $\;{\vec {V}}'\;$ étant muettes peuvent être interchangées sans modification du résultat${\big \}$ soit finalement «$\;{\bigg \langle }V_{x}^{2}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}={\bigg \langle }V_{y}^{2}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}\;$».
Comparaison de $\;{\bigg \langle }V_{x}^{2}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}$ à $\;{\bigg \langle }V_{z}^{2}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}$ respectivement définies selon «$\;{\bigg \langle }V_{x}^{2}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}={\dfrac {\sum \limits _{{\vec {V}}\,{\text{possible}}}\left\lbrace N_{{\text{vol}},\,(dS)}\!\left(V_{x}\,,\,V_{y}\,,\,V_{z}\right)\right\rbrace \;\;V_{x}^{2}}{N_{{\text{vol}},\,(dS)}}}\;$ et $\;{\bigg \langle }V_{z}^{2}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}={\dfrac {\sum \limits _{{\vec {V}}\,{\text{possible}}}\left\lbrace N_{{\text{vol}},\,(dS)}\!\left(V_{x}\,,\,V_{y}\,,\,V_{z}\right)\right\rbrace \;\;V_{z}^{2}}{N_{{\text{vol}},\,(dS)}}}\;$ » dans lesquelles à tout vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\,\left(V_{x}\,,\,V_{y}\,,\,V_{z}\right)\;$ nous pouvons associer le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}'\,\left(V_{z}\,,\,V_{y}\,,\,V_{x}\right)\;$ ne différant de $\;{\vec {V}}\;$ que par sa direction donc de même densité volumique de fréquence statistique compte-tenu de l'isotropie de la répartition des vecteurs vitesse des molécules de l'échantillon mésoscopique c'est-à-dire «$\;N_{{\text{vol}},\,(dS)}\!\left(V_{x}\,,\,V_{y}\,,\,V_{z}\right)=N_{{\text{vol}},\,(dS)}\!\left(V_{z}\,,\,V_{y}\,,\,V_{x}\right)\;$» et par suite, réécrivant Comparaison de « » respectivement définies selon «$\;{\bigg \langle }V_{x}^{2}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}={\dfrac {\sum \limits _{{\vec {V}}\,{\text{possible}}}\left\lbrace N_{{\text{vol}},\,(dS)}\!\left(V_{z}\,,\,V_{y}\,,\,V_{x}\right)\right\rbrace \;\;V_{x}^{2}}{N_{{\text{vol}},\,(dS)}}}\;$» $\;{\big \$la densité de fréquence statistique «$\;N_{{\text{vol}},\,(dS)}\!\left(V_{x}\,,\,V_{y}\,,\,V_{z}\right)\;$» étant égale à celle «$\;N_{{\text{vol}},\,(dS)}\!\left(V_{z}\,,\,V_{y}\,,\,V_{x}\right)\;$»${\big \}$ puis, réécrivant cette moyenne en fonction de $\;{\vec {V}}'\,\left({V'}_{\!z}=V_{x}\,,\,{V'}_{\!y}=V_{y}\,,\,{V'}_{\!x}=V_{z}\right)$, Comparaison de « » respectivement définies selon «$\;{\bigg \langle }V_{x}^{2}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}={\dfrac {\sum \limits _{{\vec {V}}'\,{\text{possible}}}\left\lbrace N_{{\text{vol}},\,(dS)}\!\left({V'}_{\!x}\,,\,{V'}_{\!y}\,,\,{V'}_{\!z}\right)\right\rbrace \;\;{V'}_{\!z}^{2}}{N_{{\text{vol}},\,(dS)}}}\;$ c.-à-d.$\;{\dfrac {\sum \limits _{{\vec {V}}\,{\text{possible}}}\left\lbrace N_{{\text{vol}},\,(dS)}\!\left(V_{x}\,,\,V_{y}\,,\,V_{z}\right)\right\rbrace \;\;V_{z}^{2}}{N_{{\text{vol}},\,(dS)}}}=$ ${\bigg \langle }V_{z}^{2}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}\;$» $\;{\big \$les variables $\;{\vec {V}}\;$ et $\;{\vec {V}}'\;$ étant muettes peuvent être interchangées sans modification du résultat${\big \}$ soit finalement «$\;{\bigg \langle }V_{x}^{2}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}={\bigg \langle }V_{z}^{2}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}\;$».
En conclusion, de l'isotropie de la répartition des vecteurs vitesse des molécules de l'échantillon mésoscopique de G.P. en équilibre thermodynamique au voisinage de la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ en un instant $\;t\;$ quelconque, nous en déduisons
$\;{\bigg \langle }V_{x}^{2}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}={\bigg \langle }V_{y}^{2}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}={\bigg \langle }V_{z}^{2}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$

#### Établissement de la relation entre la « moyenne du carré de “vitesse normale à la paroi” et celle du carré scalaire de “vecteur vitesse” » par utilisation de l’isotropie de la répartition des vecteurs vitesse du G.P.

Évaluation de «$\;{\bigg \langle }V_{z}^{2}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}\;$» : En prenant la moyenne des deux membres de $\;{\vec {V}}^{2}=V_{x}^{2}+V_{y}^{2}+V_{z}^{2}\;$ dans lequel $\;V_{x}\;$ et $\;V_{y}\;$ sont les composantes tangentielles du vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ d'une molécule quelconque de l'échantillon mésoscopique de G.P. en équilibre thermodynamique au voisinage de la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ en un instant $\;t\;$ quelconque et $\;V_{z}\;$ la composante normale du vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ de la même molécule au même instant et Évaluation de «$\;\color {transparent}{{\Big \langle }V_{z}^{2}{\Big \rangle }_{\!(dS)}}\;$» : En sachant que la moyenne d'une somme est la somme de la moyenne de chaque terme, nous obtenons «$\;{\bigg \langle }{\vec {V}}^{2}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}={\bigg \langle }V_{x}^{2}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}+{\bigg \langle }V_{y}^{2}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}+{\bigg \langle }V_{z}^{2}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}\;$» puis Évaluation de «$\;\color {transparent}{{\Big \langle }V_{z}^{2}{\Big \rangle }_{\!(dS)}}\;$» : en utilisant la relation $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ déduite de l’isotropie de la répartition des vecteurs vitesse des molécules de l'échantillon mésoscopique de G.P. en équilibre thermodynamique au voisinage de la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ nous en déduisons «$\;{\bigg \langle }{\vec {V}}^{2}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}=3\;{\bigg \langle }V_{z}^{2}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\bigg \langle }V_{z}^{2}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}={\dfrac {{\bigg \langle }{\vec {V}}^{2}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}}{3}}\;$».
En conclusion, d'après la définition de la vitesse quadratique moyenne $\;V_{(dS)}^{*}\;$ des molécules de l'échantillon mésoscopique de G.P. en équilibre thermodynamique au voisinage de la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ à savoir «$\;V_{(dS)}^{*}={\sqrt {{\Big \langle }{\vec {V}}^{2}{\Big \rangle }_{\!(dS)}}}={\sqrt {\dfrac {\sum \limits _{{\vec {V}}\,{\text{possible}}}\left\lbrace N_{{\text{vol}},\,(dS)}\!\left({\vec {V}}\right)\right\rbrace \;\;{\vec {V}}^{2}}{N_{{\text{vol}},\,(dS)}}}}\;$»$^,$, nous en déduisons «$\;{\bigg \langle }V_{z}^{2}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}={\dfrac {1}{3}}\,\left[V_{(dS)}^{*}\right]^{2}\;$».

#### Conclusion

L'isotropie de la répartition des vecteurs vitesse des molécules de l'échantillon mésoscopique de G.P. en équilibre thermodynamique au voisinage de la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ nous conduit à l'évaluation de « la moyenne du produit “vitesse normale à $\;\left(dS\right)\;$ multiplié par le vecteur vitesse” » c'est-à-dire «$\;{\bigg \langle }{\vec {V}}\,\left[{\vec {V}}\cdot {\vec {n}}\right]{\bigg \rangle }_{\!(dS)}={\bigg \langle }V_{x}\;V_{z}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}\,{\vec {u}}_{x}+{\bigg \langle }V_{y}\;V_{z}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}\,{\vec {u}}_{y}+{\bigg \langle }V_{z}^{2}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}\,{\vec {u}}_{z}\;$» dans laquelle «$\;{\bigg \langle }V_{x}\;V_{z}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}$ $=0\;$ ainsi que $\;{\bigg \langle }V_{y}\;V_{z}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}=0\;$» et «$\;{\bigg \langle }V_{z}^{2}{\bigg \rangle }_{\!(dS)}={\dfrac {1}{3}}\,\left[V_{(dS)}^{*}\right]^{2}\;$ avec $\;V_{(dS)}^{*}\;$ la vitesse quadratique moyenne des molécules de l'échantillon mésoscopique de G.P. en équilibre thermodynamique au voisinage de la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$» d'où
$\;{\bigg \langle }{\vec {V}}\,\left[{\vec {V}}\cdot {\vec {n}}\right]{\bigg \rangle }_{\!(dS)}={\dfrac {1}{3}}\,\left[V_{(dS)}^{*}\right]^{2}\;{\vec {n}},\;\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$

### Expression « statistique » finale du gain de résultante cinétique de l’élément de paroi par adsorption et désorption entre t et t + δt du G.P. en équilibre thermodynamique

Reportant la relation $\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$ dans l'expression « statistique » du gain de résultante cinétique de l’élément de paroi par adsorption et désorption entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t\;$ du G.P. en équilibre thermodynamique après utilisation de l'isotropie de la répartition des vecteurs vitesse des molécules de l'échantillon mésoscopique de G.P. «$\;\delta {\vec {P}}_{(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\simeq N_{\text{vol}}^{(dS)}\;m_{p}\;dS\;\delta t\;{\bigg \langle }{\vec {V}}\,\left[{\vec {V}}\cdot {\vec {n}}\right]{\bigg \rangle }_{\!(dS)}\;$», nous obtenons
$\;\delta {\vec {P}}_{(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\simeq N_{\text{vol}}^{(dS)}\;m_{p}\;dS\;\delta t\;{\dfrac {1}{3}}\,\left[V_{(dS)}^{*}\right]^{2}\;{\vec {n}}=\;N_{\text{vol}}^{(dS)}\,\left\lbrace {\dfrac {1}{3}}\;m_{p}\,\left[V_{(dS)}^{*}\right]^{2}\right\rbrace \,{\overrightarrow {dS}}\;\delta t,\;\;\left({\mathfrak {c}}\right)\;$

## « Établissement » du gain de résultante cinétique de l’élément de paroi par adsorption et désorption pendant une durée mésoscopique « δt » du G.P. en équilibre thermodynamique avec modélisation « unidirectionnelle à distribution discrète de vitesse »

Préliminaire : La modélisation « unidirectionnelle à distribution discrète de vitesse » des molécules de l'échantillon mésoscopique du G.P. en équilibre thermodynamique au contact de la portion élémentaire de paroi $\;\left(dS\right)\;$ étant celle qui est explicite dans le programme de physique de P.C.S.I., nous devons l'évoquer même si son emploi nous éloigne un peu trop de la réalité et que la modélisation utilisée précédemment $\;{\big$bien que plus complexe${\big )}\;$ est tout à fait abordable au niveau « BAC + 1 ».
Préliminaire : Remarque : Le nom donné à ce modèle est incorrect car « unidirectionnel » devrait être remplacé par « tridirectionnel » puisque trois directions sont admises et Préliminaire : Remarque : Le nom donné à ce modèle est incorrect car « à distribution discrète de vitesse » par « à vitesse unique » puisque la norme de vecteur vitesse est choisie égale à la vitesse quadratique moyenne.

### « Rappel » du modèle « unidirectionnel à distribution discrète de vitesse » d’un G.P. en équilibre thermodynamique

Le modèle « unidirectionnel à distribution discrète de vitesse » des molécules de l'échantillon mésoscopique du G.P. en équilibre thermodynamique au contact de la portion élémentaire de paroi $\;\left(dS\right)\;$ suppose que le mouvement d'une molécule quelconque de l'échantillon mésoscopique se fait uniquement Le modèle « unidirectionnel à distribution discrète de vitesse » suivant l'une des trois directions orthogonales «$\;x'x\,,\,y'y\,,\,z'z\;$» dans un sens ou le sens opposé, Le modèle « unidirectionnel à distribution discrète de vitesse » à vitesse unique égale à la vitesse quadratique moyenne «$\;V^{*}\;$» Le modèle « unidirectionnel à distribution discrète de vitesse » c'est-à-dire que le vecteur vitesse est nécessairement de la forme «$\;{\vec {V}}=\pm V^{*}\;{\vec {u}}_{x}\;$», «$\;{\vec {V}}=\pm V^{*}\;{\vec {u}}_{y}\;$» ou «$\;{\vec {V}}=\pm V^{*}\;{\vec {u}}_{z}\;$».
De plus, la répartition des vecteurs vitesse des molécules de l'échantillon mésoscopique du G.P. en équilibre thermodynamique au contact de la portion élémentaire de paroi $\;\left(dS\right)\;$ est toujours supposée De plus, la répartition des vecteurs vitesse « homogène » $\;{\big \$c'est-à-dire indépendante de l'élément de paroi $\;(dS){\big \}$, De plus, la répartition des vecteurs vitesse « isotrope » $\;{\big \$c'est-à-dire indépendante de la direction des vecteurs vitesse de norme fixée $\Leftrightarrow$ « les directions $\;\left(x'x\,,\,y'y\,,\,z'z\right)\;$ du vecteur vitesse d'une molécule quelconque sont équiprobables »${\big \}$ et De plus, la répartition des vecteurs vitesse « stationnaire $\;{\big$le G.P. étant en équilibre thermodynamique${\big )}\;$» $\;{\big \$c'est-à-dire indépendante de l'instant d'observation de l'échantillon mésoscopique${\big \}$ ; De plus, avec «$\;N_{\text{vol}}\;$ la densité volumique de molécules du G.P. en équilibre thermodynamique au contact de la paroi du récipient le contenant » $\;{\big \$indépendante du point $\;M\;$ de localisation $\;{\big$par homogénéité${\big )}\;$ et de l'instant $\;t\;$ d'observation $\;{\big$par stationnarité${\big )}{\big \}$, nous déduisons, en utilisant l'isotropie de la répartition des vecteurs vitesse, que De plus, avec «$\;\color {transparent}{N_{\text{vol}}}\;$ la densité volumique de molécules du G.P. chacun des six vecteurs vitesse possibles «$\;{\vec {V}}=\pm V^{*}\;{\vec {u}}_{x}\;$», «$\;{\vec {V}}=\pm V^{*}\;{\vec {u}}_{y}\;$» et «$\;{\vec {V}}=\pm V^{*}\;{\vec {u}}_{z}\;$» a pour « densité volumique de fréquence statistique $\;{\dfrac {N_{\text{vol}}}{6}}\;$».

### Gain de résultante cinétique de l’élément de paroi de vecteur unitaire normal orienté vers l’extérieur par adsorption et désorption des molécules pendant la durée mésoscopique élémentaire « δt »

Les molécules de l'échantillon mésoscopique du G.P. en équilibre thermodynamique au voisinage de la portion élémentaire de paroi $\;\left(dS\right)\;$ ayant pour vecteur vitesse «$\;{\vec {V}}=\pm V^{*}\;{\vec {u}}_{x}\;$» ou «$\;{\vec {V}}=$ $\pm V^{*}\;{\vec {u}}_{y}\;$» ne pouvant pas être adsorbées ou désorbées par $\;\left(dS\right)\;$ ne participent pas au gain de résultante cinétique de l’élément de paroi $\;\left(dS\right)\;$ par adsorption et désorption entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t$, seules les molécules de vecteur vitesse «$\;{\vec {V}}=\pm V^{*}\;{\vec {u}}_{z}\;$» jouent un rôle dans l'évaluation de ce gain, plus précisément :
* les molécules ayant un vecteur vitesse «$\;{\vec {V}}=+V^{*}\;{\vec {u}}_{z}\;$» et situées, à l'instant $\;t$, dans le cylindre $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ droit, de « base $\;(dS)\;$», de « génératrices $\;\parallel \;$ à $\;{\vec {V}}\;\delta t\;$ et aboutissant aux points du contour de $\;\left(dS\right)\;$» sont adsorbées par $\;\left(dS\right)\;$ entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t$, le volume de ce cylindre droit $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ étant «$\;d{\mathcal {V}}_{({\mathcal {C}})}(V^{*}\;{\vec {u}}_{z}\,,\,t)=dS\;dh\;$» avec $\;dh\;$ la hauteur du cylindre égale à $\;V^{*}\;\delta t\;$ d'où «$\;d{\mathcal {V}}_{({\mathcal {C}})}(V^{*}\;{\vec {u}}_{z}\,,\,t)=$ $dS\;V^{*}\;\delta t\;$» et la densité volumique des molécules de vecteur vitesse «$\;{\vec {V}}=+V^{*}\;{\vec {u}}_{z}\;$» «$\;{\dfrac {N_{\text{vol}}}{6}}\;$», nous en déduisons le nombre de molécules de vecteur vitesse «$\;{\vec {V}}=+V^{*}\;{\vec {u}}_{z}\;$» adsorbées par $\;\left(dS\right)\;$ entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t$, «$\;\delta N_{{\text{ads par}}\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left(t\right)={\dfrac {N_{\text{vol}}}{6}}\;d{\mathcal {V}}_{({\mathcal {C}})}(V^{*}\;{\vec {u}}_{z}\,,\,t)={\dfrac {N_{\text{vol}}}{6}}\;dS\;V^{*}\;\delta t\;$» ainsi que le gain de résultante cinétique de l'élément de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ dû à l'adsorption de ces molécules entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t\;$» «$\;\delta {\vec {P}}_{a,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left(t\right)=\delta {\vec {P}}_{a,\,dS}\;\delta N_{{\text{ads par}}\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left(t\right)\;$» dans lequel «$\;\delta {\vec {P}}_{a,\,dS}\;$ est le gain de résultante cinétique de la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ lors de l'adsorption d'une molécule de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}=+V^{*}\;{\vec {u}}_{z}\;$ c'est-à-dire $\;\delta {\vec {P}}_{a,\,dS}\simeq m_{p}\;{\vec {V}}=m_{p}\;V^{*}\;{\vec {u}}_{z}\;$» d'où l'expression finale du « gain de résultante cinétique de l'élément de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ dû à l'adsorption de ces molécules entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t\;$» «$\;\delta {\vec {P}}_{a,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left(t\right)\simeq \left[m_{p}\;V^{*}\;{\vec {u}}_{z}\right]\,{\dfrac {N_{\text{vol}}}{6}}\;dS\;V^{*}\;\delta t={\dfrac {N_{\text{vol}}}{6}}\;m_{p}\,\left[V^{*}\right]^{2}\;dS\;\delta t\;{\vec {u}}_{z}\;$» ;
* les molécules ayant un vecteur vitesse «$\;{\vec {V}}'=-V^{*}\;{\vec {u}}_{z}\;$» et situées, à l'instant $\;t+\delta t$, dans le cylindre $\;\left({\mathcal {C}}'\right)\;$ droit, de « base $\;(dS)\;$», de « génératrices $\;\parallel \;$ à $\;{\vec {V}}'\;\delta t\;$ et issues des points du contour de $\;\left(dS\right)\;$» sont désorbées par $\;\left(dS\right)\;$ entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t$, le volume de ce cylindre droit étant «$\;d{\mathcal {V}}_{({\mathcal {C}}')}(-V^{*}\;{\vec {u}}_{z}\,,\,t)=dS\;dh'\;$» avec $\;dh'\;$ la hauteur de $\;\left({\mathcal {C}}'\right)\;$ égale à $\;V^{*}\;\delta t\;$ d'où «$\;d{\mathcal {V}}_{({\mathcal {C}})}(-V^{*}\;{\vec {u}}_{z}\,,\,t)=$ $dS\;V^{*}\;\delta t\;$» et la densité volumique des molécules de vecteur vitesse «$\;{\vec {V}}'=-V^{*}\;{\vec {u}}_{z}\;$» «$\;{\dfrac {N_{\text{vol}}}{6}}\;$», nous en déduisons le nombre de molécules de vecteur vitesse «$\;{\vec {V}}'=-V^{*}\;{\vec {u}}_{z}\;$» désorbées par $\;\left(dS\right)\;$ entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t$, «$\;\delta N_{{\text{dés par}}\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left(t\right)={\dfrac {N_{\text{vol}}}{6}}\;d{\mathcal {V}}_{({\mathcal {C}}')}(-V^{*}\;{\vec {u}}_{z}\,,\,t)={\dfrac {N_{\text{vol}}}{6}}\;dS\;V^{*}\;\delta t\;$» ainsi que le gain de résultante cinétique de l'élément de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ dû à la désorption de ces molécules entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t\;$» «$\;\delta {\vec {P}}_{d,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left(t\right)=\delta {\vec {P}}_{d,\,dS}\;\delta N_{{\text{dés par}}\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left(t\right)\;$» dans lequel «$\;\delta {\vec {P}}_{d,\,dS}\;$ est le gain de résultante cinétique de la portion de paroi $\;\left(dS\right)\;$ lors de la désorption d'une molécule de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}'=-V^{*}\;{\vec {u}}_{z}\;$ c'est-à-dire $\;\delta {\vec {P}}_{d,\,dS}\simeq -m_{p}\;{\vec {V}}'=m_{p}\;V^{*}\;{\vec {u}}_{z}\;$» d'où l'expression finale du « gain de résultante cinétique de l'élément de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ dû à la désorption de ces molécules entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t\;$» «$\;\delta {\vec {P}}_{d,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\!\left(t\right)\simeq \left[m_{p}\;V^{*}\;{\vec {u}}_{z}\right]\,{\dfrac {N_{\text{vol}}}{6}}\;dS\;V^{*}\;\delta t={\dfrac {N_{\text{vol}}}{6}}\;m_{p}\,\left[V^{*}\right]^{2}\;dS\;\delta t\;{\vec {u}}_{z}\;$» ;
* en conclusion, le « gain de résultante cinétique de l'élément de paroi $\;\left(dS\right)\;$ par adsorption et désorption de toutes les molécules respectivement adsorbables et désorbables entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t$, noté $\;\delta {\vec {P}}_{(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\;$» étant la somme du « gain de résultante cinétique de $\;\left(dS\right)\;$ dû à l'adsorption de toutes les molécules adsorbables par $\;\left(dS\right)\;$ entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t$, $\;\delta {\vec {P}}_{a,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\;$» et du « gain de résultante cinétique de cette même $\;\left(dS\right)\;$ dû à la désorption de toutes les molécules désorbables par $\;\left(dS\right)\;$ entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t$, $\;\delta {\vec {P}}_{d,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\;$» nous en déduisons «$\;\delta {\vec {P}}_{(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}=\delta {\vec {P}}_{a,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}+\delta {\vec {P}}_{d,\,(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\;$ ou encore $\;\simeq {\dfrac {N_{\text{vol}}}{6}}\;m_{p}\,\left[V^{*}\right]^{2}\;dS\;\delta t\;{\vec {u}}_{z}+{\dfrac {N_{\text{vol}}}{6}}\;m_{p}\,\left[V^{*}\right]^{2}\;dS\;\delta t\;{\vec {u}}_{z}\;$» soit finalement, avec $\;{\overrightarrow {dS}}=dS\;{\vec {u}}_{z}$, «$\;\delta {\vec {P}}_{(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\simeq N_{\text{vol}}\,\left\lbrace {\dfrac {1}{3}}\;m_{p}\,\left[V^{*}\right]^{2}\right\rbrace \,{\overrightarrow {dS}}\;\delta t\;$».

## Expression de la force exercée sur l’élément de paroi par le G.P. en équilibre thermodynamique

Préliminaire : Dans le cas où cet élément de paroi $\;\left(dS\right)\;$ est libre de se déplacer, ${\big \$c'est-à-dire s’il n’est pas, entre autres, relié au reste du récipient, et s’il n’est pas soumis à l’action de la pesanteur${\big \}$, les phénomènes d'adsorption et de désorption entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t\;$ des molécules de l'échantillon mésoscopique de G.P. situé d'un seul côté de $\;\left(dS\right)\;$ communiquant, à $\;\left(dS\right)$, un gain de résultante cinétique pendant la durée d'échelle mésoscopique $\;\delta t$, l'élément de paroi est mis en mouvement dans le référentiel où le G.P. est macroscopiquement au repos, Préliminaire : Dans le cas où cet élément de paroi $\;\color {transparent}{\left(dS\right)}\;$ est libre de se déplacer, ce « gain de résultante cinétique $\;\delta {\vec {P}}_{(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\;$» résulte alors de l'« impulsion élémentaire de la résultante des forces exercées sur $\;\left(dS\right)\;$ par les molécules de l'échantillon mésoscopique de G.P. adsorbées et désorbées par $\;\left(dS\right)\;$» «$\;\delta {\vec {I}}_{(dS)\,\leftarrow \,{\text{molécules}},\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\;$» soit Préliminaire : Dans le cas où cet élément de paroi $\;\color {transparent}{\left(dS\right)}\;$ est libre de se déplacer, «$\;\delta {\vec {I}}_{(dS)\,\leftarrow \,{\text{molécules}},\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}=\delta {\vec {P}}_{(dS)_{\,{\text{libre}}}\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\;$» par « forme intégrée du théorème de la résultante cinétique appliquée à $\;\left(dS\right)\;$ libre sur un intervalle de temps élémentaire » $\;{\Big \$dans le cas où $\;\left(dS\right)\;$ n'est pas libre de se déplacer $\;{\big$car il est relié au reste du récipient entre autres, et est soumis à l’action de la pesanteur${\big )}$, la résultante cinétique de $\;\left(dS\right)$, dans le référentiel où le G.P. est macroscopiquement au repos, reste nulle et la forme intégrée du théorème de la résultante cinétique appliquée à $\;\left(dS\right)\;$ sur l'intervalle de temps élémentaire $\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]\;$ devient «$\;\delta {\vec {I}}_{(dS)\,\leftarrow \,{\text{molécules}},\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}+{\vec {R}}_{(dS)\,\leftarrow \,{\text{reste du récip}}}\;\delta t+m_{(dS)}\;{\vec {g}}\;\delta t+{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\;\delta t={\vec {0}}\;$» avec «$\;{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\;\delta t\;$ l'impulsion élémentaire des forces exercées par l'éventuelle matière située à l'extérieur du récipient »${\Big \}$.

### Définition de la force pressante exercée sur l’élément de paroi par le G.P. en équilibre thermodynamique

Ayant déterminé l'« impulsion élémentaire de la résultante des forces exercées sur l'élément de paroi $\;\left(dS\right)\;$ par les molécules de l'échantillon mésoscopique de G.P. adsorbées et désorbées par $\;\left(dS\right)\;$ quand cet élément de paroi est libre » par application de la « forme intégrée du théorème de la résultante cinétique appliquée à $\;\left(dS\right)\;$ libre sur l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]\;$»$^,$ selon
$\;\delta {\vec {I}}_{(dS)\,\leftarrow \,{\text{molécules}},\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}=\delta {\vec {P}}_{(dS)_{\,{\text{libre}}}\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\;$
$\;{\big \$
$\;\left(dS\right)\;$
${\big \}$
$\;\left(dS\right)\;$
$\;\left(dS\right)\;$
$\;{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.P.}\;$
$\;\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.P.}\right]={\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.P.}\;\delta t\;$
$\;\left(dS\right)$
$\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]\;$
$\;\left(dS\right)\;$
$\;\delta {\vec {P}}_{(dS)_{\,{\text{libre}}}\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\;$
$\;\left(dS\right)\;$
$\;\delta t\;$
$\;\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.P.}\right]=\delta {\vec {P}}_{(dS)_{\,{\text{libre}}}\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\;$
$\Updownarrow$
$\;{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.P.}={\dfrac {\delta {\vec {P}}_{(dS)_{\,{\text{libre}}}\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}}{\delta t}},\;\;\left({\mathfrak {c}}\right)\;$

### Expression « statistique » de la force pressante exercée sur l’élément de paroi par le G.P. en équilibre thermodynamique

Ayant établi l'« expression statistique finale du gain de résultante cinétique de l'élément de paroi $\;\left(dS\right)\;$ par adsorption et désorption entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t\;$ des molécules de l'échantillon mésoscopique de G.P. au voisinage de $\;\left(dS\right)\;$ et en équilibre thermodynamique avec ce dernier » «$\;\delta {\vec {P}}_{(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\simeq N_{\text{vol}}^{(dS)}\,\left\lbrace {\dfrac {1}{3}}\;m_{p}\,\left[V_{(dS)}^{*}\right]^{2}\right\rbrace \,{\overrightarrow {dS}}\;\delta t\;$», nous en déduisons, par report dans la relation $\;\left({\mathfrak {c}}\right)\;$ applicable dès lors que l'élément de paroi est libre, l'« expression statistique de la force pressante exercée sur la portion de paroi $\;\left(dS\right)\;$ par l'échantillon mésoscopique de G.P. au contact de $\;\left(dS\right)\;$ et en équilibre thermodynamique avec ce dernier »
$\;{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.P.}={\dfrac {\delta {\vec {P}}_{(dS)_{\,{\text{libre}}}\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}}{\delta t}}\simeq N_{\text{vol}}^{(dS)}\,\left\lbrace {\dfrac {1}{3}}\;m_{p}\,\left[V_{(dS)}^{*}\right]^{2}\right\rbrace \,{\overrightarrow {dS}}\;$
$\;N_{\text{vol}}^{(dS)}\;$
$\;\left(dS\right)\;$
$\;V_{(dS)}^{*}\;$
$\;{\big$
$\;m_{p}{\big )}\;$
$\;\left(dS\right)\;$
$\;{\overrightarrow {dS}}=dS\;{\vec {n}}\;$
$\;\left(dS\right)\;$
Cette force pressante, notée par la suite «$\;d{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.P.}\;$» a les caractéristiques $\;{\big \$indépendantes du caractère libre ou lié de l'élément de paroi $\;\left(dS\right)\!{\big \}$ suivantes : Cette force pressante, notée par la suite «$\;\color {transparent}{d{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.P.}}\;$» « normale à la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$», Cette force pressante, notée par la suite «$\;\color {transparent}{d{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.P.}}\;$» « dirigée du G.P. vers l'extérieur du récipient contenant ce dernier », Cette force pressante, notée par la suite «$\;\color {transparent}{d{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.P.}}\;$» « de norme “$\;N_{\text{vol}}^{\cancel {(dS)}}\,\left\lbrace {\dfrac {1}{3}}\;m_{p}\,\left[V_{\cancel {(dS)}}^{*}\right]^{2}\right\rbrace \,dS\;$” indépendante de la position de $\;\left(dS\right)\;$ ${\big$par homogénéité du G.P.$^,$${\big )}\;$ et Cette force pressante, notée par la suite «$\;\color {transparent}{d{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.P.}}\;$» « de norme “ ” $\;\propto \;$ à l'aire $\;dS\;$ de la portion de paroi élémentaire ».

### Remarque sur les cas où l'élément de paroi est lié

Dans le cas où la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ n'est pas libre de se déplacer, la résultante cinétique de cette dernière, dans le référentiel où le G.P. est macroscopiquement au repos, reste nulle et Dans le cas où la portion de paroi élémentaire $\;\color {transparent}{\left(dS\right)}\;$ n'est pas libre de se déplacer, la forme intégrée du théorème de la résultante cinétique appliquée à $\;\left(dS\right)\;$ sur l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]\;$ s'écrit
$\;\delta {\vec {I}}\!\left[d{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.P.}\right]+{\vec {R}}_{(dS)\,\leftarrow \,{\text{reste du récip}}}\;\delta t+m_{(dS)}\;{\vec {g}}\;\delta t+{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\;\delta t=\delta {\vec {P}}_{(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}={\vec {0}}\;$
$\;\delta {\vec {I}}\!\left[d{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.P.}\right]=d{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.P.}\;\delta t\;{\overset {\text{déf}}{=}}\;\delta {\vec {P}}_{(dS)_{\,{\text{libre}}}\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\simeq N_{\text{vol}}^{(dS)}\,\left\lbrace {\dfrac {1}{3}}\;m_{p}\,\left[V_{(dS)}^{*}\right]^{2}\right\rbrace \,{\overrightarrow {dS}}\;\delta t\;$
$\;\left(dS\right)\;$
$\;{\vec {R}}_{(dS)\,\leftarrow \,{\text{reste du récip}}}\;$
$\;m_{(dS)}\;{\vec {g}}\;$
$\;\left(dS\right)\;$
$\;{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\;$
$\;\left(dS\right)\;$
* s'il y a le vide à l'extérieur du récipient «$\;{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,{\text{ext}}}={\vec {0}}\;$» et la forme intégrée du théorème de la résultante cinétique appliquée à $\;\left(dS\right)\;$ sur l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]\;$ se simplifie en «$\;d{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.P.}+{\vec {R}}_{(dS)\,\leftarrow \,{\text{reste du récip}}}+m_{(dS)}\;{\vec {g}}={\dfrac {\delta {\vec {P}}_{(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}}{\delta t}}={\vec {0}}\;$»,
* s'il y a un gaz à l'extérieur du récipient «$\;{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,{\text{ext}}}={\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,gaz_{\,{\text{ext}}}}\;$ colinéaire à $\;{\overrightarrow {dS}}\;$ et de sens contraire $\;{\big \$par la suite elle est notée $\;d{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,gaz_{\,{\text{ext}}}}\;$${\big \}$» et la forme intégrée du théorème de la résultante cinétique appliquée à $\;\left(dS\right)\;$ sur l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]\;$ se simplifie en «$\;d{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.P.}+{\vec {R}}_{(dS)\,\leftarrow \,{\text{reste du récip}}}+m_{(dS)}\;{\vec {g}}+d{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,gaz_{\,{\text{ext}}}}={\dfrac {\delta {\vec {P}}_{(dS)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}}{\delta t}}$ $\;\color {transparent}{d{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.P.}+{\vec {R}}_{(dS)\,\leftarrow \,{\text{reste du récip}}}+m_{(dS)}\;{\vec {g}}+d{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,gaz_{\,{\text{ext}}}}}$ $\;={\vec {0}}\;$» pour un récipient suffisamment résistant, ou, avec «$\;{\vec {n}}\;$ unitaire normal à $\;\left(dS\right)\;$ dirigé vers l'extérieur » et si la cohésion du récipient est suffisante, «$\;\left\lbrace {\big \Vert }d{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.P.}{\big \Vert }-{\big \Vert }d{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,gaz_{\,{\text{ext}}}}{\big \Vert }\right\rbrace \,{\vec {n}}+{\vec {R}}_{(dS)\,\leftarrow \,{\text{reste du récip}}}+m_{(dS)}\;{\vec {g}}={\vec {0}}\;$», $\Updownarrow$ «$\;{\vec {R}}_{(dS)\,\leftarrow \,{\text{reste du récip}}}\;$ s'adapte pour compenser $\;\left\lbrace {\big \Vert }d{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.P.}{\big \Vert }-{\big \Vert }d{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,gaz_{\,{\text{ext}}}}{\big \Vert }\right\rbrace \,{\vec {n}}+m_{(dS)}\;{\vec {g}}\;$» ; $\;\succ \;$« si $\;{\big \Vert }d{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.P.}{\big \Vert }\;$ est $\;>\;$ à $\;{\big \Vert }d{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,gaz_{\,{\text{ext}}}}{\big \Vert }\;$», la composante normale de $\;{\vec {R}}_{(dS)\,\leftarrow \,{\text{reste du récip}}}\;$ «$\;{\vec {R}}_{(dS)\,\leftarrow \,{\text{reste du récip}}}\cdot {\vec {n}}=-\left\lbrace {\big \Vert }d{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.P.}{\big \Vert }-{\big \Vert }d{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,gaz_{\,{\text{ext}}}}{\big \Vert }\right\rbrace -m_{(dS)}\;{\vec {g}}\cdot {\vec {n}}$ $\simeq -\left\lbrace {\big \Vert }d{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.P.}{\big \Vert }-{\big \Vert }d{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,gaz_{\,{\text{ext}}}}{\big \Vert }\right\rbrace \;$» étant négative, il y a risque d'explosion du récipient si $\;{\big \vert }{\vec {R}}_{(dS)\,\leftarrow \,{\text{reste du récip}}}\cdot {\vec {n}}{\big \vert }\;$ atteint à la limite de cohésion du matériau composant le récipient ; $\;\succ \;$« si $\;{\big \Vert }d{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.P.}{\big \Vert }\;$ est $\;<\;$ à $\;{\big \Vert }d{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,gaz_{\,{\text{ext}}}}{\big \Vert }\;$», la composante normale de $\;{\vec {R}}_{(dS)\,\leftarrow \,{\text{reste du récip}}}\;$ «$\;{\vec {R}}_{(dS)\,\leftarrow \,{\text{reste du récip}}}\cdot {\vec {n}}=-\left\lbrace {\big \Vert }d{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.P.}{\big \Vert }-{\big \Vert }d{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,gaz_{\,{\text{ext}}}}{\big \Vert }\right\rbrace -m_{(dS)}\;{\vec {g}}\cdot {\vec {n}}$ $\simeq -\left\lbrace {\big \Vert }d{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.P.}{\big \Vert }-{\big \Vert }d{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,gaz_{\,{\text{ext}}}}{\big \Vert }\right\rbrace \;$» étant positive, il y a risque d'implosion du récipient si $\;{\big \vert }{\vec {R}}_{(dS)\,\leftarrow \,{\text{reste du récip}}}\cdot {\vec {n}}{\big \vert }\;$ atteint à la limite de cohésion du matériau composant le récipient.

## Pression « cinétique » p exercée sur l’élément de paroi par le G.P. en équilibre thermodynamique
### Définition de la pression « cinétique » p exercée sur l’élément de paroi par le G.P. en équilibre thermodynamique

$\;\left(dS\right)\;$
$\;\left(dS\right)\;$
$\;p_{(dS)}\;$
$\;d{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.P.}\;$
$\;\left(dS\right)\;$
$\;d{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.P.}=p_{(dS)}\;dS\;{\vec {n}}\;$
$\Rightarrow$
$\;p_{(dS)}={\dfrac {d{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.P.}\cdot {\vec {n}}}{dS}}\;$
$\;dS\;$
$\;\left(dS\right)\;$
$\;{\vec {n}}\;$
$\;\perp \;$
$\;\left(dS\right)\;$
Remarques : La pression définie ci-dessus est qualifiée de « cinétique » car la force pressante y intervenant résulte du « gain de résultante cinétique » de l'élément de paroi supposé libre.
Remarques : « La force pressante $\;d{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.P.}\;$ exercée sur la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ par le G.P. en équilibre thermodynamique avec $\;\left(dS\right)\;$ étant de même sens que $\;{\vec {n}}\;$» nous en déduisons que « la pression cinétique $\;p_{(dS)}\;$ exercée sur $\;\left(dS\right)\;$ par le G.P. en équilibre thermodynamique avec $\;\left(dS\right)\;$ est positive » c'est-à-dire «$\;p_{(dS)}>0\;$», d'où une nouvelle relation de définition de $\;p_{(dS)}\;$ selon «$\;p_{(dS)}={\dfrac {{\big \Vert }d{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.P.}{\big \Vert }}{dS}}\;$».
Remarques : Dans le cas où la portion de paroi $\;\left(dS\right)\;$ serait « orientée par le vecteur unitaire $\;{\vec {n}}'(=-{\vec {n}})\;$ $\perp \;$ à $\;\left(dS\right)\;$ et dirigé de l'extérieur vers le G.P. en équilibre thermodynamique avec $\;\left(dS\right)\;$», les définitions $\;{\big$équivalentes${\big )}\;$ de la pression cinétique $\;p_{(dS)}\;$ exercée sur $\;\left(dS\right)\;$ par le G.P. en équilibre thermodynamique avec $\;\left(dS\right)\;$ seraient telles que la force pressante exercée sur $\;\left(dS\right)\;$ par le G.P. en équilibre thermodynamique avec $\;\left(dS\right)\;$ vérifie «$\;d{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.P.}=-p_{(dS)}\;dS\;{\vec {n}}'\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}p_{(dS)}=-{\dfrac {d{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.P.}\cdot {\vec {n}}'}{dS}}\;{\text{avec}}\\d{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.P.}\;{\text{colinéaire à }}\;{\vec {n}}'\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Leftrightarrow$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}p_{(dS)}={\dfrac {{\big \Vert }d{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.P.}{\big \Vert }}{dS}}\;{\text{avec}}\\d{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.P.}\;{\text{colinéaire à }}\;{\vec {n}}'\;{\text{et}}\\\qquad \qquad \quad {\text{de sens contraire}}\end{array}}\right\rbrace \;$».

### Expression (statistique) de la pression cinétique exercée sur un élément de paroi d’aire dS par le G.P. en équilibre thermodynamique

De l'expression $\;{\big$statistique${\big )}\;$ de la force pressante $\;d{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.P.}\;$ exercée sur la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ par le G.P. en équilibre thermodynamique avec $\;\left(dS\right)\;$ à savoir «$\;d{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.P.}\simeq$ $N_{\text{vol}}^{(dS)}\,\left\lbrace {\dfrac {1}{3}}\;m_{p}\,\left[V_{(dS)}^{*}\right]^{2}\right\rbrace \,dS\;{\vec {n}}\;$» et de l'une des définitions $\;{\big$équivalentes${\big )}\;$ de la pression « cinétique » $\;p_{(dS)}\;$ exercée sur l'élément de paroi $\;\left(dS\right)\;$ par le G.P. en équilibre thermodynamique avec $\;\left(dS\right)\;$ à savoir «$\;p_{(dS)}={\dfrac {d{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.P.}\cdot {\vec {n}}}{dS}}\;$», nous en déduisons l'expression $\;{\big$statistique${\big )}\;$ de la pression « cinétique » $\;p_{(dS)}\;$ exercée sur la portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)\;$ par le G.P. en équilibre thermodynamique avec $\;\left(dS\right)\;$ selon
$\;p_{(dS)}\simeq N_{\text{vol}}^{(dS)}\,\left\lbrace {\dfrac {1}{3}}\;m_{p}\,\left[V_{(dS)}^{*}\right]^{2}\right\rbrace \;$
$\;N_{\text{vol}}^{(dS)}\;$
$\;\left(dS\right)\;$
$\;V_{(dS)}^{*}\;$
$\;{\big$
$\;m_{p}{\big )}\;$
$\;\left(dS\right)\;$
Propriété : De l'homogénéité de la répartition des vecteurs vitesse des molécules du G.P. au voisinage de toutes les portions de paroi élémentaires $\;\left(dS\right)$, nous déduisons que Propriété : De l'homogénéité la pression « cinétique » $\;p_{(dS)}\simeq N_{\text{vol}}^{(dS)}\,\left\lbrace {\dfrac {1}{3}}\;m_{p}\,\left[V_{(dS)}^{*}\right]^{2}\right\rbrace \;$ exercée sur chaque élément de paroi $\;\left(dS\right)\;$ par le G.P. en équilibre thermodynamique avec $\;\left(dS\right)\;$ est indépendante de la position et de l'orientation de la portion de paroi considérée $\;\left(dS\right)\;$ ${\Big \$la densité volumique $\;N_{\text{vol}}^{(dS)}\;$ de molécules de l'échantillon mésoscopique de G.P. au contact de $\;\left(dS\right)\;$ n'en dépendant pas ainsi que la vitesse quadratique moyenne $\;V_{(dS)}^{*}\;$ des molécules situées au voisinage de $\;\left(dS\right)\!{\Big \}$ soit «$\;p_{(dS)}\simeq N_{\text{vol}}^{\cancel {(dS)}}\,\left\lbrace {\dfrac {1}{3}}\;m_{p}\,\left[V_{\cancel {(dS)}}^{*}\right]^{2}\right\rbrace \;\;\forall \,\left(dS\right)\;$».

### Unités de pression

L’unité de pression du S.I. est le « pascal » $\;{\big$symbole «$\;Pa\;$»${\big )}\;$ «$\;1\;Pa=1\;N\cdot m^{-2}\;$» unité très petite $\;{\big$correspondant à la pression exercée par un corps de masse $\;100\;g$ $\;{\big$dont le poids terrestre au niveau du sol est $\;\simeq 1\;N{\big )}\;$ réparti uniformément sur $\;1\;m^{2}{\big ]}$ ;
on utilise également une unité dérivée $\;{\big$plus particulièrement pour la pression de l'atmosphère terrestre${\big )}$, le «$\;bar\;$», «$\;1\;bar=10^{5}\;Pa\;$».

## « Généralisation », pression « cinétique » en tout point intérieur à un G.P. en équilibre thermodynamique
### Préliminaire

Dans le but de définir la pression « cinétique » en un point $\;M\;$ quelconque d'un G.P. en équilibre thermodynamique quand $\;M\;$ est strictement intérieur au récipient contenant le G.P. $\;{\big$c'est-à-dire hors parois du récipient${\big )}$, on positionne $\;{\big$par la pensée${\big )}\;$ un élément de paroi fictif $\;\left(dS\right)$ $\;{\big$en tiretés sur le schéma ci-contre${\big ]}$, d'aire $\;dS$, centré en $\;M\;$ et de vecteur surface élémentaire $\;{\overrightarrow {dS}}\;$ ${\big$la direction étant quelconque${\big )}$ ;
cet élément de surface sépare fictivement le G.P. contenu dans le récipient en deux sous systèmes ouverts «$\;\left(\Sigma _{+}\right)\;$ situé du côté où pointe $\;{\overrightarrow {dS}}\;$» et «$\;\left(\Sigma _{-}\right)\;$ situé du côté inverse »,
toute molécule de G.P. sortant de $\;\left(\Sigma _{-}\right)\;$ par $\;\left(dS\right)$, avec un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}\;$ à l'instant $\;t$, entre, au même instant, dans $\;\left(\Sigma _{+}\right)\;$ par le même $\;\left(dS\right)$, avec le même vecteur vitesse et inversement.

### Traversée de l'élément de paroi fictif par une molécule

$\;\succ \;$quand une molécule $\;Q\;$ de G.P. traverse $\;\left(dS\right)$, à l'instant $\;t$, de $\;\left(\Sigma _{-}\right)\;$ à $\;\left(\Sigma _{+}\right)\;$ avec un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}$, nous ne modifierions pas le phénomène physique en imaginant réel l'élément de paroi $\;\left(dS\right)\;$ et en supposant que la molécule $\;Q\;$ est adsorbée, à l'instant $\;t$, par le côté de $\;\left(dS\right)\;$ au contact de $\;\left(\Sigma _{-}\right)\;$ ${\big \$noté par la suite $\;\left(dS_{-}\right){\big \}$ et quasi instantanément désorbée par le côté de $\;\left(dS\right)\;$ au contact de $\;\left(\Sigma _{+}\right)\;$ ${\big \$noté par la suite $\;\left(dS_{+}\right){\big \}$ avec le même vecteur vitesse ;
$\;\color {transparent}{\succ }\;$de l'adsorption - désorption quasi instantanées de $\;Q\;$ résulterait $\;{\big$dans l'hypothèse où ce double phénomène serait réel${\big )}\;$ un gain de résultante cinétique de $\;\left(dS_{-}\right)\;$ égal à $\;\delta {\vec {P}}_{a,\,dS_{-}}=m_{p}\;{\vec {V}}(t)\;$ quasi instantanément suivi d'un gain de résultante cinétique de $\;\left(dS_{+}\right)\;$ égal à $\;\delta {\vec {P}}_{d,\,dS_{+}}=$ $-m_{p}\;{\vec {V}}(t)\;$, $\;{\big \$en accord avec le fait que la traversée $\;{\big$réelle${\big )}\;$ de $\;\left(dS\right)\;$ par $\;Q\;$ ne peut engendrer aucun gain de résultante cinétique de $\;\left(dS\right)\;$ ce qu'on vérifie par «$\;\delta {\vec {P}}_{a,\,dS_{-}}+\delta {\vec {P}}_{d,\,dS_{+}}={\vec {0}}\;$»${\big \}$ ;
$\;\succ \;$quand une molécule $\;Q'\;$ de G.P. traverse $\;\left(dS\right)$, à l'instant $\;t$, de $\;\left(\Sigma _{+}\right)\;$ à $\;\left(\Sigma _{-}\right)\;$ avec un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}'$, nous ne modifierions pas le phénomène physique en imaginant réel l'élément de paroi $\;\left(dS\right)\;$ et en supposant que la molécule $\;Q'\;$ est adsorbée, à l'instant $\;t$, par le côté de $\;\left(dS\right)\;$ au contact de $\;\left(\Sigma _{+}\right)\;$ ${\big \$c'est-à-dire $\;\left(dS_{+}\right){\big \}$ et quasi instantanément désorbée par le côté de $\;\left(dS\right)\;$ au contact de $\;\left(\Sigma _{-}\right)\;$ ${\big \$c'est-à-dire $\;\left(dS_{-}\right){\big \}$ avec le même vecteur vitesse ;
$\;\color {transparent}{\succ }\;$de l'adsorption - désorption quasi instantanées de $\;Q'\;$ résulterait $\;{\big$dans l'hypothèse où ce double phénomène serait réel${\big )}\;$ un gain de résultante cinétique de $\;\left(dS_{+}\right)\;$ égal à $\;\delta {\vec {P}}_{a,\,dS_{+}}=m_{p}\;{\vec {V}}'(t)\;$ quasi instantanément suivi d’un gain de résultante cinétique de $\;\left(dS_{-}\right)\;$ égal à $\;\delta {\vec {P}}_{d,\,dS_{-}}=$ $-m_{p}\;{\vec {V}}'(t)\;$, $\;{\big \$en accord avec le fait que la traversée $\;{\big$réelle${\big )}\;$ de $\;\left(dS\right)\;$ par $\;Q'\;$ ne peut engendrer aucun gain de résultante cinétique de $\;\left(dS\right)\;$ ce qu'on vérifie par «$\;\delta {\vec {P}}_{a,\,dS_{+}}+\delta {\vec {P}}_{d,\,dS_{-}}={\vec {0}}\;$»${\big \}$.

### Expression statistique du gain de résultante cinétique de chaque côté de l'élément de paroi fictif qui serait dû aux molécules si l'adsorption et la désorption était réelles

Considérant la traversée de l'élément de paroi fictif $\;\left(dS\right)\;$ par des molécules $\;Q\;$ du sous-système $\;\left(\Sigma _{-}\right)\;$ vers le sous-système $\;\left(\Sigma _{+}\right)\;$ sur l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]\;$ et considérant la traversée de l'élément de paroi fictif $\;\color {transparent}{\left(dS\right)}\;$ par des molécules $\;Q'\;$ du sous-système $\;\left(\Sigma _{+}\right)\;$ vers le sous-système $\;\left(\Sigma _{-}\right)\;$ sur le même intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]$, puis utilisant la modélisation de ces traversées par adsorption - désorption quasi instantanées de $\;Q\;$ respectivement adsorbée par $\;\left(dS_{-}\right)\;$ et désorbée par $\;\left(dS_{+}\right)\;$ ainsi que utilisant la modélisation de ces traversées par adsorption - désorption quasi instantanées de $\;Q'\;$ respectivement adsorbée par $\;\left(dS_{+}\right)\;$ et désorbée par $\;\left(dS_{-}\right)$, nous en déduisons, dans l'hypothèse où ce double phénomène d'adsorption - désorption serait réel,
nous en déduisons, un gain de résultante cinétique de $\;\left(dS_{-}\right)\;$ par adsorption de toutes les molécules $\;Q\;$ quittant $\;\left(\Sigma _{-}\right)\;$ dans l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]\;$ et par désorption de toutes les molécules $\;Q'\;$ pénétrant $\;\left(\Sigma _{-}\right)\;$ dans le même intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]\;$ s'écrivant
$\;\delta {\vec {P}}_{\left(dS_{-}\right)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}=\delta {\vec {P}}_{a,\,(dS_{-})\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}+\delta {\vec {P}}_{d,\,(dS_{-})\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\simeq \sum \limits _{{\vec {V}}\,\cdot \,{\overrightarrow {dS}}\,>\,0}^{{\vec {V}}\,{\text{possible}}}N_{\text{vol}}^{(\Sigma _{-})}\!\left({\vec {V}}\,,\,t\right)\;m_{p}\;{\vec {V}}\,\left[{\vec {V}}\cdot {\overrightarrow {dS}}\right]\,\delta t+\sum \limits _{{\vec {V}}'\,\cdot \,{\overrightarrow {dS}}\,<\,0}^{{\vec {V}}'\,{\text{possible}}}N_{\text{vol}}^{(\Sigma _{-})}\!\left({\vec {V}}'\,,\,t+\delta t\right)\;m_{p}\;{\vec {V}}'\,\left[{\vec {V}}'\cdot {\overrightarrow {dS}}\right]\,\delta t\;$
nous en déduisons, un gain de résultante cinétique de $\;\left(dS_{+}\right)\;$ par adsorption de toutes les molécules $\;Q'\;$ quittant $\;\left(\Sigma _{+}\right)\;$ dans l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]\;$ et par désorption de toutes les molécules $\;Q\;$ pénétrant $\;\left(\Sigma _{+}\right)\;$ dans le même intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]\;$ s'écrivant
$\;\delta {\vec {P}}_{\left(dS_{+}\right)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}=\delta {\vec {P}}_{a,\,(dS_{+})\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}+\delta {\vec {P}}_{d,\,(dS_{+})\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\simeq \sum \limits _{{\vec {V}}'\,\cdot \,{\overrightarrow {dS}}\,<\,0}^{{\vec {V}}'\,{\text{possible}}}N_{\text{vol}}^{(\Sigma _{+})}\!\left({\vec {V}}'\,,\,t\right)\;m_{p}\;{\vec {V}}'\,\left[{\vec {V}}'\cdot (-{\overrightarrow {dS}})\right]\,\delta t+\sum \limits _{{\vec {V}}\,\cdot \,{\overrightarrow {dS}}\,>\,0}^{{\vec {V}}\,{\text{possible}}}N_{\text{vol}}^{(\Sigma _{+})}\!\left({\vec {V}}\,,\,t+\delta t\right)\;m_{p}\;{\vec {V}}\,\left[{\vec {V}}\cdot (-{\overrightarrow {dS}})\right]\,\delta t\;$
nous en déduisons, l'« expression statistique du gain de résultante cinétique de $\;\left(dS_{-}\right)\;$ par adsorption de toutes les molécules $\;Q\;$ quittant $\;\left(\Sigma _{-}\right)\;$ et par désorption de toutes les molécules $\;Q'\;$ pénétrant $\;\left(\Sigma _{-}\right)\;$ dans l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]\;$» utilisant la loi des grands nombres ainsi que la stationnarité et l'isotropie de la répartition des vecteurs vitesse du G.P. en équilibre thermodynamique
$\;\delta {\vec {P}}_{\left(dS_{-}\right)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\simeq N_{\text{vol}}^{(dS_{-})}\,\left\lbrace {\dfrac {1}{3}}\;m_{p}\,\left[V_{(dS_{-})}^{*}\right]^{2}\right\rbrace \,{\overrightarrow {dS}}\;\delta t\;$
$\;N_{\text{vol}}^{(dS_{-})}\;$
$\;\left(\Sigma _{-}\right)\;$
$\;\left(dS\right)\;$
$\;V_{(dS_{-})}^{*}\;$
$\;\left(\Sigma _{-}\right)\;$
$\;\left(dS\right)\;$
nous en déduisons, l'« expression statistique du gain de résultante cinétique de $\;\left(dS_{+}\right)\;$ par adsorption de toutes les molécules $\;Q'\;$ quittant $\;\left(\Sigma _{+}\right)\;$ et par désorption de toutes les molécules $\;Q\;$ pénétrant $\;\left(\Sigma _{+}\right)\;$ dans l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]\;$» utilisant la loi des grands nombres ainsi que la stationnarité et l'isotropie de la répartition des vecteurs vitesse du G.P. en équilibre thermodynamique
$\;\delta {\vec {P}}_{\left(dS_{+}\right)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\simeq N_{\text{vol}}^{(dS_{+})}\,\left\lbrace {\dfrac {1}{3}}\;m_{p}\,\left[V_{(dS_{+})}^{*}\right]^{2}\right\rbrace \,(-{\overrightarrow {dS}})\;\delta t\;$
$\;N_{\text{vol}}^{(dS_{+})}\;$
$\;\left(\Sigma _{+}\right)\;$
$\;\left(dS\right)\;$
$\;V_{(dS_{+})}^{*}\;$
$\;\left(\Sigma _{+}\right)\;$
$\;\left(dS\right)$
ensuite l'utilisation de l'homogénéité de la répartition des vecteurs vitesse du G.P. en équilibre thermodynamique nous conduisant à $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}N_{\text{vol}}^{(dS_{-})}=N_{\text{vol}}^{(dS_{+})}\\V_{(dS_{-})}^{*}=V_{(dS_{+})}^{*}\end{array}}\right\rbrace \;$ simplement notés $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}N_{\text{vol}}\\V^{*}\end{array}}\right\rbrace \;$ nous obtenons la réécriture de l'expression statistique des gains de résultante cinétique de $\;\left(dS_{-}\right)\;$ ainsi que de $\;\left(dS_{+}\right)\;$ dans l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]\;$ selon,
$\;\delta {\vec {P}}_{\left(dS_{-}\right)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\simeq N_{\text{vol}}\,\left\lbrace {\dfrac {1}{3}}\;m_{p}\,\left[V^{*}\right]^{2}\right\rbrace \,{\overrightarrow {dS}}\;\delta t\;$
$\;\delta {\vec {P}}_{\left(dS_{+}\right)\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\simeq -N_{\text{vol}}\,\left\lbrace {\dfrac {1}{3}}\;m_{p}\,\left[V^{*}\right]^{2}\right\rbrace \,{\overrightarrow {dS}}\;\delta t\;$
$\;N_{\text{vol}}\;$
$\;V^{*}\;$

### Expression statistique de la force pressante qui s'exercerait sur chaque côté de l'élément de paroi fictif si celui-ci était réel

De la définition de la force pressante exercée sur une portion de paroi $\;\left(dS\right)\;$ par un G.P. en équilibre thermodynamique «$\;d{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.P.}\;$» à partir de l'expression statistique du gain de résultante cinétique de $\;\left(dS\right)\;$ supposée libre sur l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]\;$ «$\;\delta {\vec {P}}_{(dS)_{\,{\text{libre}}}\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\;$» c'est-à-dire depuis la relation «$\;\left({\mathfrak {c}}\right)\,:\,d{\vec {F}}_{(dS)\,\leftarrow \,G.P.}={\dfrac {\delta {\vec {P}}_{(dS)_{\,{\text{libre}}}\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}}{\delta t}}\;$» explicitée en expression statistique de chaque membre nous en déduisons :
* l'expression statistique de la force pressante exercée sur $\;\left(dS_{-}\right)\;$ ${\big$supposée réelle${\big )}\;$ par le sous système $\;\left(\Sigma _{-}\right)\;$ du G.P. en équilibre thermodynamique «$\;d{\vec {F}}_{\left(dS_{-}\right)\,\leftarrow \,G.P.}={\dfrac {\delta {\vec {P}}_{\left(dS_{-}\right)_{\,{\text{libre}}}\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}}{\delta t}}\simeq N_{\text{vol}}\,\left\lbrace {\dfrac {1}{3}}\;m_{p}\,\left[V^{*}\right]^{2}\right\rbrace \,{\overrightarrow {dS}}\;$» et
* l'expression statistique de la force pressante exercée sur $\;\left(dS_{+}\right)\;$ ${\big$supposée réelle${\big )}\;$ par le sous système $\;\left(\Sigma _{+}\right)\;$ du G.P. en équilibre thermodynamique «$\;d{\vec {F}}_{\left(dS_{+}\right)\,\leftarrow \,G.P.}={\dfrac {\delta {\vec {P}}_{\left(dS_{+}\right)_{\,{\text{libre}}}\,,\,\left[t\,,\,t+\delta t\right]}}{\delta t}}\simeq N_{\text{vol}}\,\left\lbrace {\dfrac {1}{3}}\;m_{p}\,\left[V^{*}\right]^{2}\right\rbrace \,(-{\overrightarrow {dS}})\;$».

### Pression « cinétique » en tout point d'un G.P. en équilibre thermodynamique

$\;\succ \;$De l'expression $\;{\big$statistique${\big )}\;$ de la force pressante exercée sur $\;\left(dS_{-}\right)\;$ ${\big$supposée réelle${\big )}\;$ par le sous système $\;\left(\Sigma _{-}\right)\;$ du G.P. en équilibre thermodynamique à savoir «$\;d{\vec {F}}_{\left(dS_{-}\right)\,\leftarrow \,G.P.}\simeq \;$ $N_{\text{vol}}\,\left\lbrace {\dfrac {1}{3}}\;m_{p}\,\left[V^{*}\right]^{2}\right\rbrace \,dS\;{\vec {n}}\;$» et de l'extension d'applicabilité d'une des définitions $\;{\big$équivalentes${\big )}\;$ de la pression « cinétique » $\;p_{\left(dS_{-}\right)}\;$ exercée sur le côté $\;\left(dS_{-}\right)\;$ de l'élément de paroi fictif par le G.P. en équilibre thermodynamique à savoir «$\;p_{\left(dS_{-}\right)}={\dfrac {d{\vec {F}}_{\left(dS_{-}\right)\,\leftarrow \,G.P.}\cdot {\vec {n}}}{dS}}\;$», nous en déduisons l'expression $\;{\big$statistique${\big )}\;$ de la pression « cinétique » $\;p_{\left(dS_{-}\right)}\;$ exercée sur le côté $\;\left(dS_{-}\right)\;$ de la portion de paroi élémentaire fictive $\;\left(dS\right)\;$ par le sous système $\;\left(\Sigma _{-}\right)\;$ du G.P. en équilibre thermodynamique si $\;\left(dS\right)\;$ était réelle selon
$\;p_{\left(dS_{-}\right)}\simeq N_{\text{vol}}\,\left\lbrace {\dfrac {1}{3}}\;m_{p}\,\left[V^{*}\right]^{2}\right\rbrace \;$
$\;\color {transparent}{\succ }\;$«$\;N_{\text{vol}}\;$ est la densité volumique de molécules du G.P. » et «$\;V^{*}\;$ la vitesse quadratique moyenne de ces mêmes molécules $\;{\big$de masse $\;m_{p}{\big )}\;$ du G.P. en équilibre thermodynamique ».
 $\;\succ \;$De l'expression $\;{\big$statistique${\big )}\;$ de la force pressante exercée sur $\;\left(dS_{+}\right)\;$ ${\big$supposée réelle${\big )}\;$ par le sous système $\;\left(\Sigma _{+}\right)\;$ du G.P. en équilibre thermodynamique à savoir «$\;d{\vec {F}}_{\left(dS_{+}\right)\,\leftarrow \,G.P.}\simeq \;$ $N_{\text{vol}}\,\left\lbrace {\dfrac {1}{3}}\;m_{p}\,\left[V^{*}\right]^{2}\right\rbrace \,(-dS\;{\vec {n}})\;$»$^,$ et de l'extension d'applicabilité d'une des définitions $\;{\big$équivalentes${\big )}\;$ de la pression « cinétique » $\;p_{\left(dS_{+}\right)}\;$ exercée sur le côté $\;\left(dS_{+}\right)\;$ de l'élément de paroi fictif par le G.P. en équilibre thermodynamique à savoir «$\;p_{\left(dS_{+}\right)}={\dfrac {d{\vec {F}}_{\left(dS_{+}\right)\,\leftarrow \,G.P.}\cdot (-{\vec {n}})}{dS}}\;$»$^,$, nous en déduisons l'expression $\;{\big$statistique${\big )}\;$ de la pression « cinétique » $\;p_{\left(dS_{+}\right)}\;$ exercée sur le côté $\;\left(dS_{+}\right)\;$ de la portion de paroi élémentaire fictive $\;\left(dS\right)\;$ par le sous système $\;\left(\Sigma _{+}\right)\;$ du G.P. en équilibre thermodynamique si $\;\left(dS\right)\;$ était réelle selon
$\;p_{\left(dS_{+}\right)}\simeq N_{\text{vol}}\,\left\lbrace {\dfrac {1}{3}}\;m_{p}\,\left[V^{*}\right]^{2}\right\rbrace \;$
$\;\color {transparent}{\succ }\;$«$\;N_{\text{vol}}\;$ est la densité volumique de molécules du G.P. » et «$\;V^{*}\;$ la vitesse quadratique moyenne de ces mêmes molécules $\;{\big$de masse $\;m_{p}{\big )}\;$ du G.P. en équilibre thermodynamique ».
La pression « cinétique » $\;p\;$ en un point $\;M\;$ quelconque d'un G.P. en équilibre thermodynamique s'obtient en imaginant une portion de paroi élémentaire $\;\left(dS\right)$, centrée en $\;M$, d'orientation quelconque séparant le G.P. en deux sous systèmes $\;\left(\Sigma _{-}\right)\;$ et $\;\left(\Sigma _{+}\right)\;$ globalement et individuellement en équilibre thermodynamique puis en définissant la pression « cinétique » que chaque sous système $\;\left(\Sigma _{-}\right)\;$ et $\;\left(\Sigma _{+}\right)\;$ exercerait sur le côté $\;\left(dS_{-}\right)\;$ et $\;\left(dS_{+}\right)\;$ de l'élément de paroi $\;\left(dS\right)\;$ respectivement au contact de $\;\left(\Sigma _{-}\right)\;$ et $\;\left(\Sigma _{+}\right)\;$ si $\;\left(dS\right)\;$ était réelle c'est-à-dire «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}p_{\left(dS_{-}\right)}\simeq N_{\text{vol}}\,\left[{\dfrac {1}{3}}\;m_{p}\,\left[V^{*}\right]^{2}\right]\\p_{\left(dS_{+}\right)}\simeq N_{\text{vol}}\,\left[{\dfrac {1}{3}}\;m_{p}\,\left[V^{*}\right]^{2}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» $\;{\big \$avec «$\;N_{\text{vol}}\;$ la densité volumique de molécules du G.P. et $\;V^{*}\;$ la vitesse quadratique moyenne de ces mêmes molécules $\;{\big$de masse $\;m_{p}{\big )}\;$»${\big \}$ ;
$\;p\;$
$\;M\;$
$\;\left(\Sigma _{-}\right)\;$
$\;\left(\Sigma _{+}\right)\;$
$\;\left(dS_{-}\right)\;$
$\;\left(dS_{+}\right)\;$
$\;\left(dS\right)\;$
$\;p=p_{\left(dS_{-}\right)}=p_{\left(dS_{+}\right)}\simeq N_{\text{vol}}\,\left[{\dfrac {1}{3}}\;m_{p}\,\left[V^{*}\right]^{2}\right]\;$
$\;M\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;\left(dS\right)$