# Signaux physiques (PCSI)/Circuits électriques dans l'ARQS : résistance de sortie, résistance d'entrée
## Résistance de sortie d'un dipôle actif linéaire (D.A.L.)
### Résistance de sortie d'un D.A.L. au sens du régime permanent

Un D.A.L. en régime permanent ayant pour modélisation de Thévenin l'« association série d'une source de tension parfaite et d'un conducteur ohmique », on appelle résistance de sortie du D.A.L.$\;{\big$en régime permanent${\big )}\;$ et on la note $\;{\big$usuellement${\big )}$ $\;R_{S}$, la « résistance du modèle générateur de Thévenin » ;
du point de vue théorique c'est aussi la « résistance du D.L. quand ce dipôle est rendu passif c.-à-d. quand la source de tension parfaite est remplacée par un court-circuit ».

### Résistance de sortie d'un D.A.L. au sens de l'A.R.Q.S.

Un D.A.L. en A.R.Q.S. a pour modélisation de Thévenin l'« association série d'une source de tension parfaite de f.e.m. variant avec le temps et d'un dipôle passif linéaire $\;{\big$D.P.L.${\big )}\;$» ; dans la mesure où la composante passive du modèle de Thévenin est purement résistive, on appelle résistance de sortie du D.A.L. en A.R.Q.S. et on la note $\;{\big$usuellement${\big )}$ $\;r_{S}$, la « résistance du D.P.L. du modèle générateur de Thévenin » ;
du point de vue théorique, c'est encore la « résistance du D.L. quand ce dipôle est rendu passif c.-à-d. quand la source de tension parfaite est remplacée par un court-circuit $\;{\big$dans la mesure où le dipôle obtenu est purement résistif${\big )}\;$».

### Exemple d'un générateur de fonctions - ou générateur basse fréquence (G.B.F.)

C'est un cas particulier du paragraphe précédent, la f.e.m. étant alternative $\;{\big$sinusoïdale, créneau ou triangulaire${\big )}$ ;
la valeur usuelle de $\;50\;\Omega \;$ pour les générateurs de fonctions utilisés au laboratoire est indiquée à côté de la borne de sortie à baïonnettes du générateur, borne notée « output »$^,$.

## Influence de la résistance de sortie sur la tension délivrée par un G.B.F.

Ayant, aux bornes du G.B.F. en convention générateur, «$\;u(t)$ $=e(t)-r_{S}\,i(t)\;$», la forme choisie pour $\;e(t)\;$ « sinusoïdale, créneau ou triangulaire » $\;-\;$ ainsi que l'amplitude $\;-\;$ ne se retrouve pas nécessairement sans déformation au niveau de $\;u(t)\;$ car il y a « une chute ohmique » dépendant de l'intensité du courant délivré et par suite du reste du circuit ;
* si l'intensité $\;i(t)\;$ reste faible et de même forme que $\;e(t)$, alors «$\;u(t)\simeq e(t)\;$» $\;{\big \$voir schéma ci-contre à gauche avec une f.e.m. $\;e(t)\;$ « créneau » d'amplitude notable $\;U_{0}=10\;V\;$ dans lequel on reconnaît une forme « quasi-créneau » pour la tension $\;u(t)\;$ due au fait que la résistance $\;R\;$ du circuit extérieur $\;\simeq 20\;r_{S}\;$ $\Rightarrow$ $\;r_{S}\;i(0^{+})$ $\simeq 1\;V\;$ faible devant $\;U_{0}=10\;V{\big \}$ mais
* si l'intensité $\;i(t)\;$ $\;-\;$ même si elle reste de même forme que $\;e(t)\;$ $\;-\;$ a une amplitude variable pouvant être grande, alors $\;u(t)\;$ diffère notablement de $\;e(t)\;$ en forme et en amplitude $\;{\big \$voir schéma ci-contre à droite avec une f.e.m. $\;e(t)\;$ « créneau » d'amplitude notable $\;U_{0}=10\;V\;$ dans lequel on est relativement éloigné d'une forme « quasi-créneau » pour la tension $\;u(t)\;$ due au fait que la résistance $\;R\;$ du circuit extérieur $\;\simeq r_{S}\;$ $\Rightarrow$ $\;r_{S}\;i(0^{+})$ $\simeq 10\;V\;$ de même ordre de grandeur que $\;U_{0}=10\;V{\big \}$.

## Notion de grandeur efficace associée à une grandeur instantanée alternative, mesure des tensions et intensités efficaces
### Définition de la grandeur efficace associée à une grandeur instantanée alternative

$\;Y\;$
$\;T$
$\;y(t)\;$
$\;y(t)\;$
$\;Y\;$
$\;>0\;$
$\;Y^{2}=\left\langle y^{2}(t)\right\rangle ={\dfrac {1}{T}}\,\displaystyle \int _{0}^{T}y^{2}(t)\,dt\;$
Remarque : L'intervalle sur lequel est calculée la moyenne, de largeur $\;T$, peut être choisi à partir de n'importe quel instant $\;t_{0}$, la moyenne en étant indépendante ;
Remarque : sans raison d'un choix particulier simplifiant le calcul de l'intégrale, on choisit usuellement l'instant $\;0$.

### Évaluation dans le cas d'une grandeur sinusoïdale

$\;y(t)=Y_{m}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{y})\;$
$\;T={\dfrac {2\,\pi }{\omega }}\;$
$\;Y_{m}>0$
$\;Y={\dfrac {Y_{m}}{\sqrt {2}}}\;$
$\;y(t)=Y_{m}\,\cos(\omega \,t+\varphi )\;$
$\;Y_{m}\;$
$\;Y\,{\sqrt {2}}\;$
$\;y(t)=Y\,{\sqrt {2}}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{y})\;$
$\;Y\;$
Démonstration : elle consiste à calculer $\;Y^{2}={\dfrac {1}{T}}\,\displaystyle \int _{0}^{T}Y_{m}^{2}\,\cos ^{2}(\omega \,t+\varphi _{y})\,dt$, ce qui se fait Démonstration : en linéarisant $\;\cos ^{2}(\omega \,t+\varphi _{y})\;$ selon $\;\cos ^{2}(\omega \,t+\varphi _{y})=$ ${\dfrac {1+\cos(2\,\omega \,t+2\,\varphi _{y})}{2}}\;$ et Démonstration : en remarquant qu'une primitive de $\;{\dfrac {\cos(2\,\omega \,t+2\,\varphi _{y})}{2}}\;$ étant $\;{\dfrac {\sin(2\,\omega \,t+2\,\varphi _{y})}{4\,\omega }}\;$ avec les mêmes valeurs pour $\;0\;$ et $\;T\;$, donne une contribution nulle à l'intégrale correspondante $\;\displaystyle \int _{0}^{T}{\dfrac {\cos(2\,\omega \,t+2\,\varphi _{y})}{2}}\,dt={\cancel {\left[{\dfrac {\sin(2\,\omega \,t+2\,\varphi _{y})}{4\,\omega }}\right]_{0}^{T}}}=0\;$ dont Démonstration : on déduit $\;Y^{2}=$ ${\dfrac {Y_{m}^{2}}{T}}\,\displaystyle \int _{0}^{T}{\dfrac {1+\cos(2\,\omega \,t+2\,\varphi _{y})}{2}}\,dt={\dfrac {Y_{m}^{2}}{T}}\,\left[{\dfrac {t}{2}}\right]_{0}^{T}={\dfrac {Y_{m}^{2}}{\cancel {T}}}\,{\dfrac {\cancel {T}}{2}}={\dfrac {Y_{m}^{2}}{2}}\;$ Démonstration : soit, comme la valeur efficace doit être positive et que l'amplitude l'est aussi, $\;Y={\dfrac {Y_{m}}{\sqrt {2}}}\;$ C.Q.F.D..

### En exercice, évaluation dans le cas de grandeurs « créneau » ou « triangulaire » symétriques

$\;>0\;$
$\;<0\;$

#### Valeur efficace d'une grandeur « créneau (symétrique) »

Soit le signal créneau $\;T$-périodique symétrique «$\;y(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}Y_{m}\quad {\text{ pour }}\;t\in \left]{\dfrac {T}{2}}\,,\,T\right[\\-Y_{m}\;{\text{ pour }}\;t\in \left]0\,,\,{\dfrac {T}{2}}\right[\end{array}}\right.\;$», on obtient, sans aucune difficulté, la valeur efficace de ce signal créneau $\;{\big$symétrique${\big )}\;$
$\;Y=Y_{m}\;$

#### Valeur efficace d'une grandeur « triangulaire symétrique »

Soit le signal triangulaire $\;T$-périodique symétrique connu par son graphe « une alternance $\;\searrow \;$ linéairement de $\;Y_{m}\;$ à $\;-Y_{m}\;$ sur l'intervalle $\;\left[-{\dfrac {T}{2}}\,,\,0\right]\;$» suivie Soit le signal triangulaire $\;\color {transparent}{T}$-périodique symétrique connu par son graphe d'« une alternance $\;\nearrow \;$ linéairement de $\;-Y_{m}\;$ à $\;Y_{m}\;$ sur l'intervalle $\;\left[0\,,\,{\dfrac {T}{2}}\right]\;$» Soit le signal triangulaire $\;\color {transparent}{T}$-périodique symétrique dont on déduit la définition mathématique du signal triangulaire symétrique suivante «$\;y(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {4\,Y_{m}}{T}}\,\left(t-{\dfrac {T}{4}}\right)\quad {\text{ pour }}\;t\in \left[0\,,\,T\right]\\-{\dfrac {4\,Y_{m}}{T}}\,\left(t+{\dfrac {T}{4}}\right)\;{\text{ pour }}\;t\in \left[-{\dfrac {T}{2}}\,,\,0\right]\end{array}}\right.\;$», Soit le signal triangulaire $\;\color {transparent}{T}$-périodique symétrique on détermine $\;-\;$ sans difficultés majeures $\;-\;$ la valeur efficace de ce signal triangulaire symétrique
$\;Y={\dfrac {Y_{m}}{\sqrt {3}}}\;$
Démonstration : La définition de la grandeur efficace $\;Y\;$ nous conduit à calculer son carré égal à la moyenne du carré du signal c.-à-d. Démonstration : $\;Y^{2}=$ ${\dfrac {1}{T}}\,\displaystyle \int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}y^{2}(t)\,dt={\dfrac {1}{T}}\,\displaystyle \int _{-{\frac {T}{2}}}^{0}\left[-{\dfrac {4\,Y_{m}}{T}}\right]^{2}\,\left(t+{\dfrac {T}{4}}\right)^{2}\,dt+{\dfrac {1}{T}}\,\displaystyle \int _{0}^{\frac {T}{2}}\left[{\dfrac {4\,Y_{m}}{T}}\right]^{2}\,\left(t-{\dfrac {T}{4}}\right)^{2}\,dt\;$ dans laquelle Démonstration : on remarque que si on fait le changement de variable $\;t'=t+{\dfrac {T}{2}}\;$ dans la 1ère intégrale on retrouve la 2ème intégrale ;
Démonstration : on remarque que en effet en faisant le changement de variable $\;t'=t+{\dfrac {T}{2}}\;$ dans la 1ère intégrale $\Rightarrow$ $\;\left(t+{\dfrac {T}{4}}\right)^{2}\;$ devient $\;\left(t'-{\dfrac {T}{4}}\right)^{2}\;$ et les bornes $\;-{\dfrac {T}{2}}\;$ et $\;0\;$ pour la variable $\;t\;$ deviennent respectivement $\;0\;$ et $\;{\dfrac {T}{2}}\;$ de la variable $\;t'$, d'où la 1ère intégrale s'identifie bien à la 2ème ;
Démonstration : on en déduit $\;Y^{2}={\dfrac {2}{T}}\,\displaystyle \int _{0}^{\frac {T}{2}}{\dfrac {16\,Y_{m}^{2}}{T^{2}}}\,\left(t-{\dfrac {T}{4}}\right)^{2}\,d\!\left(t-{\dfrac {T}{4}}\right)\;$ s'intégrant en $\;Y^{2}={\dfrac {32\,Y_{m}^{2}}{T^{3}}}\,\left[{\dfrac {\left(t-{\dfrac {T}{4}}\right)^{3}}{3}}\right]_{0}^{\frac {T}{2}}=$ ${\dfrac {32\,Y_{m}^{2}}{3\,T^{3}}}\,\left[\left({\dfrac {T}{4}}\right)^{3}-\left(-{\dfrac {T}{4}}\right)^{3}\right]={\dfrac {Y_{m}^{2}}{3}}\;$ d'où Démonstration : la valeur efficace $\;Y\;$ étant positive ainsi que la valeur de crête supérieure $\;Y_{m}$, on en déduit $\;Y={\dfrac {Y_{m}}{\sqrt {3}}}\;$ C.Q.F.D..

### Intérêt énergétique de la valeur efficace

La puissance électrique instantanée reçue par un conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ s'écrivant selon «$\;{\mathcal {P}}_{e,\,r,\,R}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}R\,\left[i(t)\right]^{2}\\{\dfrac {\left[u(t)\right]^{2}}{R}}\end{array}}\right\rbrace \;$» avec $\;\left\lbrace i(t)\,,\,u(t)\right\rbrace \;$ « l'intensité du courant le traversant ainsi que la tension entre ses bornes » et
la puissance électrique moyenne, en régime périodique, se définissant par «$\;P_{{\text{moy}},\,e,\,r,\,R}=\left\langle {\mathcal {P}}_{e,\,r,\,R}(t)\right\rangle ={\dfrac {1}{T}}\,\displaystyle \int _{0}^{T}{\mathcal {P}}_{e,\,r,\,R}(t)\,dt\;$», on obtient, suivant que la puissance électrique instantanée est exprimée en fonction de l'intensité du courant traversant le conducteur ou la tension aux bornes de ce dernier :
* $\;P_{{\text{moy}},\,e,\,r,\,R}=\left\langle {\mathcal {P}}_{e,\,r,\,R}(t)\right\rangle =R\;\left\langle i^{2}(t)\right\rangle =R\;\left\lbrace {\dfrac {1}{T}}\,\displaystyle \int _{0}^{T}i^{2}(t)\,dt\right\rbrace \;$ c.-à-d. encore «$\;P_{{\text{moy}},\,e,\,r,\,R}=R\;I^{2}\;$» dans laquelle «$\;I\;$ est l'intensité efficace du courant traversant le conducteur » ou
* $\;P_{{\text{moy}},\,e,\,r,\,R}=\left\langle {\mathcal {P}}_{e,\,r,\,R}(t)\right\rangle ={\dfrac {1}{R}}\;\left\langle u^{2}(t)\right\rangle ={\dfrac {1}{R}}\;\left\lbrace {\dfrac {1}{T}}\,\displaystyle \int _{0}^{T}u^{2}(t)\,dt\right\rbrace \;$ c.-à-d. encore «$\;P_{{\text{moy}},\,e,\,r,\,R}={\dfrac {U^{2}}{R}}\;$» dans laquelle «$\;U\;$ est la tension efficace aux bornes du conducteur » ;
on obtient donc une expression de la puissance électrique moyenne reçue par un conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ s'écrivant de façon unique en fonction des valeurs efficaces de l'intensité du courant traversant le conducteur ou de la tension aux bornes de ce dernier, quelle que soit la forme du régime « créneau, triangulaire symétrique ou sinusoïdal » selon
$\;P_{{\text{moy}},\,e,\,r,\,R}=R\;I^{2}\;$
$\;P_{{\text{moy}},\,e,\,r,\,R}={\dfrac {U^{2}}{R}}\;$
$\;\left\lbrace I\,,\,U\right\rbrace \;$
$\;\left\lbrace i(t)\,,\,u(t)\right\rbrace \;$
Commentaire : Si on écrivait la puissance électrique moyenne reçue par un conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ en fonction de la valeur de crête positive $\;I_{m}\;$ de l'intensité du courant le traversant ou en fonction de la valeur de crête positive $\;U_{m}\;$ de la tension entre ses bornes, on obtiendrait, en utilisant le lien entre valeur efficace et valeur de crête positive, une expression différente suivant la forme du régime :
* régime créneau $\;P_{{\text{moy}},\,e,\,r,\,R}=R\;I_{m}^{2}\;$ ou $\;P_{{\text{moy}},\,e,\,r,\,R}={\dfrac {U_{m}^{2}}{R}}$,
* régime triangulaire symétrique $\;P_{{\text{moy}},\,e,\,r,\,R}=R\;{\dfrac {I_{m}^{2}}{3}}\;$ ou $\;P_{{\text{moy}},\,e,\,r,\,R}={\dfrac {U_{m}^{2}}{3\;R}}\;$ et
* régime sinusoïdal $\;P_{{\text{moy}},\,e,\,r,\,R}=R\;{\dfrac {I_{m}^{2}}{2}}\;$ ou $\;P_{{\text{moy}},\,e,\,r,\,R}={\dfrac {U_{m}^{2}}{2\;R}}$.
Commentaire : l'unicité de la forme de la puissance électrique moyenne reçue par un conducteur ohmique $\;P_{{\text{moy}},\,e,\,r,\,R}\;$ en fonction de la valeur efficace adaptée justifie, à elle seule, son introduction.

### Utilisation d'un multimètre en régime alternatif périodique

Un multimètre peut fonctionner en voltmètre ou en ampèremètre, on peut choisir un fonctionnement
* en régime permanent, repéré par $\;=$, de plus, quand les graduations sont colorées, elles sont blanches ou
* en régime périodique, repéré par $\;\sim$, de plus, quand les graduations sont colorées, elles sont rouges ;
il existe deux types de multimètres :
* un multimètre « bas de gamme », donnant la valeur efficace uniquement en régime sinusoïdal $\;{\big$le multimètre détermine l'amplitude et divise par $\;{\sqrt {2}}\;$ pour l'affichage${\big ]}$, dans ce cas les valeurs efficaces affichées sont fausses pour d'autres régimes périodiques « créneau ou triangulaire symétrique »,
* un multimètre « T.R.M.S. », donnant la valeur efficace quel que soit le régime $\;{\big$l'obtention pouvant se faire par réponse du multimètre proportionnellement au carré de la grandeur, avec une inertie du multimètre ne permettant pas un affichage instantané et se matérialisant avec un affichage de la moyenne${\big ]}$.

## Mesure de la résistance de sortie d'un G.B.F. par méthode de la tension moitié
### Générateur de Thévenin équivalent au G.B.F. vu de ses bornes de sortie

En supposant que le D.P.L. de sortie du G.B.F. est purement résistif, le générateur de Thévenin équivalent au G.B.F. vu de ses bornes de sortie est l'« association série d'une source de tension parfaite de f.e.m. $\;e(t)\;$ et d'un conducteur ohmique de résistance $\;r_{S}$ $\;{\big$résistance de sortie${\big )}\;$», la f.e.m. étant de forme « créneau, triangulaire ou sinusoïdal ».

### Impossibilité théorique de mesurer la f.e.m. efficace d'un G.B.F. à l'aide d'un multimètre

En régime alternatif on sélectionne $\;\sim \;$ pour le fonctionnement du multimètre, la mesure donnera alors la « valeur efficace » ;
le principe de fonctionnement d'un multimètre utilisé en voltmètre, donc « placé en dérivation » aux bornes du G.B.F., étant de mesurer l'intensité efficace $\;I_{V}\;$ traversant le multimètre et de la convertir en tension suivant $\;U=R_{V}\;I_{V}$, $\;U\;$ étant alors la tension efficace aux bornes du G.B.F., le multimètre étant en effet équivalent à un conducteur ohmique de très grande résistance $\;R_{V}\;$ ;
il est théoriquement impossible de mesurer la f.e.m. efficace $\;{\big$ou tension à vide efficace${\big )}\;$ d'un G.B.F. à l'aide d'un multimètre car, pour cela, il faudrait que le G.B.F. ne délivre aucun courant alors qu'un courant est nécessaire au fonctionnement du multimètre, courant ne pouvant être délivré que par le G.B.F. ; la tension efficace mesurée par le multimètre étant alors $\;U={\dfrac {R_{V}}{R_{V}+r_{S}}}\;E\;$ où $\;E\;$ est la f.e.m. efficace du G.B.F.$^,$, on constate que $\;U\;$ est donc toujours théoriquement $\;<\;$ à $\;E$, toutefois pratiquement, $\;r_{S}\;$ étant usuellement $\;\ll R_{V}\;$ car $\;R_{V}\;$ est de très grande valeur, on a en pratique «$\;U\simeq E\;$».

### Utilisation d'un montage suiveur interposé entre le multimètre et le G.B.F. pour mesurer la f.e.m. efficace d'un G.B.F.

Si la résistance de sortie du G.B.F. $\;r_{S}\;$ n'est pas petite devant la résistance équivalente $\;R_{V}\;$ du multimètre en fonctionnement de voltmètre c.-à-d. si l'approximation $\;r_{S}\ll R_{V}\;$ conduisant à $\;U\simeq E\;$ n'est pas réalisée, on peut utiliser un « montage suiveur » qui est un quadripôle de « résistance d'entrée » « infinie » et tel que la tension de sortie est toujours égale à la tension d'entrée $\;{\big$voir schéma ci-contre${\big )}$ :
l'absence de courant d'entrée du montage suiveur entraîne que sa tension d'entrée est toujours égale à la f.e.m. du G.B.F. d'une part, et d'autre part la tension de sortie du montage suiveur étant toujours égale à la tension d'entrée elle est donc égale à la f.e.m. du G.B.F. soit $\;u_{S}(t)=u_{E}(t)=e(t)$ ;
remarque : le multimètre ne pouvant indiquer une réponse que s'il est traversé par un courant, ce dernier est fourni par l'A.S. alimentant le circuit intégré du montage suiveur, A.S. apportant ainsi l'énergie nécessaire au fonctionnement de ce montage ;
le courant d'intensité $\;i_{S}(t)\;$ sortant du montage suiveur et traversant le multimètre est adapté à la tension $\;u_{S}(t)\;$ aux bornes de ce dernier par $\;i_{S}(t)=$ ${\dfrac {u_{S}(t)}{R_{V}}}\;{\overset {\cdots }{=}}\;{\dfrac {e(t)}{R_{V}}}$, l'indication du multimètre étant alors la valeur efficace de $\;u_{S}(t)\;{\overset {\cdots }{=}}\;e(t)\;$ c.-à-d. $\;U_{S}\;{\overset {\cdots }{=}}\;E\;$ où $\;E\;$ est la f.e.m. efficace du G.B.F.$^,$.

### Exposé de la « méthode de la tension moitié » pour mesurer la résistance de sortie d'un G.B.F.

Ayant déterminé auparavant la f.e.m. efficace du G.B.F. on réalise le montage ci-contre dans lequel le G.B.F. alimente un conducteur ohmique de résistance variable $\;X\;$ aux bornes duquel on branche un multimètre fonctionnant en voltmètre dans le but de mesurer la tension efficace imposée par le G.B.F. alimentant le conducteur ohmique de résistance variable $\;X$ ;
dans la mesure où «$\;R_{V}\gg X\;$», « la tension efficace mesurée est $\;U={\dfrac {X}{X+r_{S}}}\;E\;$» par sortie ouverte d'un pont diviseur de tension alimenté en entrée par $\;e(t)\;$$^,$ ;
on commence d'abord avec une « grande valeur de $\;X\;$ $\Rightarrow$ $\;U\simeq E\;$» et on diminue $\;X\;$ jusqu'à obtenir «$\;U\simeq {\dfrac {E}{2}}\;$», dans ce cas «$\;X_{\frac {1}{2}}=r_{S}\;$» et « on lit la valeur de $\,r_{S}\;$ sur les boîtes de résistances variables » ;
pour que cette mesure soit correcte il faut donc que «$\;R_{V}\gg X_{\frac {1}{2}}\;$ soit $\;R_{V}\gg r_{S}\;$», pour que cette mesure soit correcte si ceci n'était pas réalisé ou si on ne se contentait pas de cette approximation, on insérerait entre le conducteur ohmique et le voltmètre un montage suiveur.

## Résistance d'entrée d'un réseau dipolaire passif linéaire (R.D.P.L.)
### Résistance d'entrée d'un R.D.P.L. au sens du régime permanent

« La résistance d'entrée d'un R.D.P.L. au sens du régime permanent » est « la résistance $\;R_{E}\;$ du conducteur ohmique équivalent au R.D.P.L. » ;
« La résistance d'entrée d'un R.D.P.L. au sens du régime permanent » c'est aussi le rapport «$\;R_{E}={\dfrac {U_{E}}{I_{E}}}\;$» où «$\;I_{E}\;$ est l'intensité du courant circulant dans le R.D. et $\;U_{E}\;$ la tension à ses bornes » $\;{\big$en convention récepteur${\big )}$.

### Résistance d'entrée d'un R.D.P.L. au sens de l'A.R.Q.S.

« La résistance d'entrée d'un R.D.P.L. en A.R.Q.S. » est, « dans la mesure où le R.D. est purement résistif, la résistance $\;r_{E}\;$ du conducteur ohmique équivalent au R.D.P.L. » ;
« La résistance d'entrée d'un R.D.P.L. en A.R.Q.S. » c'est aussi, « dans la mesure où le R.D. est purement résistif, le rapport $\;r_{E}={\dfrac {u_{E}(t)}{i_{E}(t)}}\;$» où «$\;i_{E}(t)\;$ est l'intensité du courant circulant dans le R.D. à l'instant $\;t\;$ et $\;u_{E}(t)\;$ la tension à ses bornes au même instant » $\;{\big$en convention récepteur${\big )}$ ;
« La résistance d'entrée d'un R.D.P.L. en régime alternatif c'est aussi, « dans la mesure où le R.D. est purement résistif, le rapport $\;r_{E}={\dfrac {U_{e}}{I_{e}}}\;$» où «$\;I_{e}\;$ est l'intensité efficace du courant circulant dans le R.D. et $\;U_{e}\;$ la tension efficace à ses bornes » $\;{\big$en convention récepteur${\big )}$.

### Exemple d'un pont diviseur de tension fermé sur une charge de résistance R$_u$

Soit un pont diviseur de tension alimenté en entrée par une tension $\;u_{E}(t)\;$ délivrée par une source et Soit un pont diviseur de tension fermé en sortie sur une charge de résistance $\;R_{u}\;$ ${\big$voir ci-contre${\big )}$ ;
entre les bornes d'entrée, on observe l'« association d'un conducteur ohmique de résistance $\;R_{2}\;$ en série avec une association parallèle de l'autre conducteur ohmique de résistance $\;R_{1}\;$ et de la charge de résistance $\;R_{u}\;$» soit entre les bornes d'entrée, la résistance d'entrée du R.D.P. constitué du P.D.T. fermé sur la charge de résistance $\;R_{u}\;$ est
$\;r_{E}=R_{2}+{\dfrac {R_{1}\;R_{u}}{R_{1}+R_{u}}}\;$

## Mesure de la résistance d'entrée d'un pont diviseur de tension par méthode de la tension moitié
### Exposé de la « méthode de la tension moitié » pour déterminer la résistance d'entrée d'un R.D.P.L.

On branche aux bornes du R.D.P.L. dont on veut déterminer la résistance d'entrée, une source de tension en série avec un conducteur ohmique de résistance variable $\;X\;$ et on mesure, simultanément $\;{\big$ou successivement${\big )}\;$ à l'aide de deux multimètres fonctionnant en voltmètre, la tension aux bornes de la source $\;U_{g}\simeq E\;$ et la tension aux bornes du R.D.P.L. $\;U$ ;
commençant par une « faible valeur de $\;X$, on a $\;U\simeq E\;$» et on augmente $\;X\;$ jusqu'à obtenir «$\;U={\dfrac {E}{2}}\;$», dans ce cas «$\;X_{\frac {1}{2}}=R_{e}\;$» et « on lit la valeur de $\;R_{e}\;$ sur les boîtes de résistances variables » ;
justification avec utilisation d'un G.B.F. ; dans la mesure où «$\;R_{V}\gg R_{e}\;$», la tension efficace mesurée est «$\;U={\dfrac {R_{e}}{X+R_{e}}}\,E\;$» par sortie ouverte d'un pont diviseur de tension alimentée en entrée par $\;e(t)\;$ ; justification avec utilisation d'un G.B.F. ; « quand $\;U={\dfrac {E}{2}}\;$ on en déduit effectivement que $\;X_{\frac {1}{2}}=R_{e}\;$».

### Exemple d'application de la « méthode de la tension moitié » à la détermination de la résistance d'entrée du pont diviseur de tension fermé sur une charge de résistance R$_u$

On fait deux expériences :
* la 1ère quand le pont diviseur de tension est en sortie ouverte, on trouve «$\;R_{e}=R_{2}+R_{1}\;$»,
* la 2ème quand le pont diviseur de tension a sa sortie fermée sur une charge de « résistance $\;R_{u}=R_{1}\;$», on trouve «$\;R_{e}=R_{2}+{\dfrac {R_{1}}{2}}\;$» car «$\;R_{1}\parallel R_{u}=$ ${\dfrac {R_{1}}{2}}\;$».