# Introduction à l'élasticité/Quelques déformations simples
## Introduction

Nous avons jusqu'ici détaillé les outils qui permettaient de décrire les déformations subies par un solide. Nous allons maintenant voir différentes grandes catégories de déformations, qui nous permettront d’établir des repères (des modèles et des critères) pour mieux analyser les cas réels.

## Champs de déplacement homogènes

Un champ de déplacement $\textstyle \mathbf {u} (\mathbf {X} )$ est dit homogène lorsqu'on peut trouver un vecteur u$_0$ et un tenseur R tels que :
    $\mathbf {u} (\mathbf {X} )=\mathbf {u} _{0}+\mathbf {R} \cdot \left(\mathbf {X} -\mathbf {X} _{0}\right)$
pour tout point X du solide. Dans ce cas, u$_0$ est appelé vecteur translation et X$_0$ est le point d'origine de la déformation. Le tenseur R est a priori quelconque.
On notera p$_0$ la distance à l'origine :
    $\mathbf {p} _{0}=\mathbf {X} -\mathbf {X} _{0}$
Tout champ de déplacement qui n’est pas homogène est dit inhomogène.

### Déformation pure

Un solide subit une déformation pure lorsque :
* $\mathbf {u} _{0}=0$
* $\mathbf {R} ={\boldsymbol {\varepsilon }}$
on a donc :
    $\mathbf {u} (\mathbf {X} )={\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \left(\mathbf {X} -\mathbf {X} _{0}\right)$
Toute déformation pure peut être décomposée comme la somme de trois simples extensions selon trois coordonnées perpendiculaires : $\textstyle \mathbf {u} =\mathbf {u} _{1}+\mathbf {u} _{2}+\mathbf {u} _{3}$.
Toute déformation pure isochore est une somme de cisaillement simples.

### Simple extension

Une simple extension e dans la direction n est caractérisée par un champ de déplacement de la forme :
    $\mathbf {u} =e\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {p_{0}} \right)\mathbf {n}$
Alors
    ${\boldsymbol {\varepsilon }}=e\left(\mathbf {n} \otimes \mathbf {n} \right)$
La variation de volume est donnée par $\textstyle {\text{Tr}}({\boldsymbol {\varepsilon }})=e$.
Dans le cas particulier où $\textstyle \mathbf {n} =\mathbf {e} _{1}$, dans le repère orthonormé (O, e$_1$, e$_2$, e$_3$) le champ de déplacement s'écrit :
    $\mathbf {u} =x_{1}\mathbf {e} _{1}$

### Dilatation uniforme

Pour une dilatation uniforme $\textstyle e$,
    $\mathbf {u} =e\mathbf {p} _{0}$
Alors
    ${\boldsymbol {\varepsilon }}=e\mathbf {1}$
La variation de volume est donnée par $\textstyle {\text{Tr}}({\boldsymbol {\varepsilon }})=3e$.

### Cisaillement simple

Un cisaillement simple $\theta$ par rapport aux vecteurs unitaires perpendiculaires $\textstyle \mathbf {m}$ et $\textstyle \mathbf {n}$ est caractérisé par un champ de déplacement de la forme :
    $\mathbf {u} =\theta \left[\left({\mathbf {m} }\cdot {\mathbf {p} _{0}}\right)\mathbf {n} +\left({\mathbf {n} }\cdot {\mathbf {p} _{0}}\right)\mathbf {m} \right]$
Alors :
    ${\boldsymbol {\varepsilon }}=\theta \left({\mathbf {m} }\otimes {\mathbf {n} }+{\mathbf {n} }\otimes {\mathbf {m} }\right)$
La variation de volume est donnée par $\textstyle {\text{Tr}}({\boldsymbol {\varepsilon }})=0$ : tout cisaillement simple est isochore.
Il est intéressant d'observer comment se traduit le cisaillement sur le tenseur de Green-Lagrange infinitésimal, dans un cas particulier : $\textstyle \mathbf {m} =\mathbf {e} _{1}$, $\textstyle \mathbf {n} =\mathbf {e} _{2}$, $\textstyle \mathbf {X} _{0}=0$. Dans la base cartésienne :
    ${\boldsymbol {\varepsilon }}={\begin{pmatrix}0&\theta &0\\\theta &0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$
Tout cisaillement simple d'un facteur $\textstyle \theta$ par rapport au doublet ($\textstyle \mathbf {m} ,\mathbf {n}$) peut être décomposée comme somme de deux extensions simples d'un facteur $\textstyle \pm \theta$ selon $\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\mathbf {m} \pm \mathbf {n} )$.

## Déviateur des déformations

Toute déformation pure peut être décomposée comme l'association d'une dilatation uniforme et d'une déformation pure isochore :
    $\textstyle \mathbf {u} =\mathbf {u} ^{U}+\mathbf {u} ^{D}$
Avec :
    $\mathbf {u} ^{U}={\frac {1}{3}}{\text{Tr}}({\boldsymbol {\varepsilon }})\mathbf {p} _{0}$
    $\mathbf {u} ^{D}=\left({\boldsymbol {\varepsilon }}-{\frac {1}{3}}{\text{Tr}}({\boldsymbol {\varepsilon }})\mathbf {1} \right)\cdot \mathbf {p} _{0}$

## Déformation moyenne

La déformation moyenne $\textstyle {\overline {\boldsymbol {\varepsilon }}}$ est définie par :
    ${\overline {\boldsymbol {\varepsilon }}}={\frac {1}{V}}\int _{B}{\boldsymbol {\varepsilon }}\,\mathrm {d} V={\frac {1}{V}}\int _{\partial B}({\mathbf {u} }\otimes {\mathbf {n} }+{\mathbf {n} }\otimes {\mathbf {u} })\,\mathrm {d} ^{2}S$
avec $\textstyle \mathbf {n}$ le vecteur unitaire normal à la surface infinitésimale d²S.

## Champs inhomogènes

    TODO : détailler des exemples de champs inhomogènes.

## Introduction

Un cas particulier, mais instructif, est celui d'un solide indéformable. Sans changer le formalisme, cette hypothèse permet de simplifier certaines expressions et de mieux comprendre les déformations dans le cadre général.

## Rotation et translation

Pour un solide indéformable, toute opération peut se ramener à la composition d'une translation et d'une rotation. Ainsi, une « déformation » du solide indéformable prend la forme suivante :
    ${\boldsymbol {\varphi }}(\mathbf {X} )=\mathbf {X} _{1}+\mathbf {Q} \cdot \left(\mathbf {X} -\mathbf {X} _{0}\right)$
où $\textstyle \mathbf {Q}$ est un tenseur orthogonal (une rotation) et où X$_1$ décrit la translation.
Dans ce cas,
    $\mathbf {F} =\mathbf {Q}$
    $\mathbf {D} _{\mathbf {X} }\mathbf {u} =\mathbf {Q} -\mathbf {1}$.
Le tenseur de déformation est ainsi nul :
    $\mathbf {E} =0$
* Cependant, le tenseur infinitésimal ne l'est pas nécessairement :
* ${\boldsymbol {\epsilon }}={\frac {1}{2}}(\mathbf {Q} +\mathbf {Q} ^{\mathrm {T} })-\mathbf {1}$.
* D'où cette remarque importante : le tenseur de déformation infinitésimal ne prend pas toujours en compte la déformations réelle lorsqu'elle est importante, alors que le tenseur fini le fait.

## Déplacement rigide

Nous prenons la caractérisation suivante comme définition :
Si $\textstyle \mathbf {u}$ est un champ de déplacement rigide, alors le tenseur de déformation de Green-Lagrange est nul.
Lorsque le déplacement est fini, nous avons :
    ${\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {X} )&=\mathbf {X} _{1}+\mathbf {D_{X}} \mathbf {u} \cdot \left(\mathbf {X} -\mathbf {X} _{0}\right)+\mathbf {1} \cdot \left(\mathbf {X} -\mathbf {X} _{0}\right)-\mathbf {X} \\&=\left(\mathbf {X} _{1}-\mathbf {X} _{0}\right)+\mathbf {D_{X}} \mathbf {u} \cdot \left(\mathbf {X} -\mathbf {X} _{0}\right)\\&=\mathbf {u} _{0}+\mathbf {D_{X}} \mathbf {u} \cdot \left(\mathbf {X} -\mathbf {X} _{0}\right)\end{aligned}}$
Un déplacement rigide infinitésimal est donné par :
    $\mathbf {u} (\mathbf {X} )=\mathbf {u} _{0}+\mathbf {W} \cdot \left(\mathbf {X} -\mathbf {X} _{0}\right)$
avec $\textstyle \mathbf {W}$ un tenseur asymétrique, auquel on peut donc associer un produit vectoriel.

## Décomposition du tenseur des déformations

Tout tenseur d'ordre deux peut se décomposer (voir Chapitre 2, « décomposition polaire ») comme produit d'un tenseur orthogonal et d'un tenseur symétrique défini positif, c'est-à-dire :
* une rotation (R) ;
* suivie d'une élongation simple dans chaque direction (U ou V).
On a ainsi :
    $\mathbf {F} =\mathbf {U} \cdot \mathbf {R} =\mathbf {R} \cdot \mathbf {V}$
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