# Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Différentielle d'une fonction d'une variable

$\;{\big$
${\big )}\;$

## Élément différentiel d'une variable

Considérons une variable $\;x\;$ et une petite variation de cette variable notée $\;\delta x\;$ ; Considérons une variable rendant cette petite variation aussi petite que possible $\;{\big$c.-à-d. la faisant tendre vers $0{\big )}$, on obtient l'élément différentiel Considérons une variable rendant cette petite variation aussi petite que possible $\;\color {transparent}{\big$c.-à-d. la faisant tendre vers $\color {transparent}{0{\big )}}$, on obtient utilisé en physique et noté $\;dx$ ; Considérons une variable rendant cette petite variation aussi petite que possible $\;\color {transparent}{\big$c.-à-d. la faisant tendre vers $\color {transparent}{0{\big )}}$, cet élément différentiel est un infiniment petit.

## Différentielle d'une fonction scalaire d'une variable

Soit la fonction scalaire $\;f\;$ de la variable $\;x$ ;
considérons la petite variation de cette fonction $\;f(x)\;$ sur l'intervalle $\;\left[x,x+\delta x\right]\;$ notée $\;\delta f(x)\;$ et définie selon «$\;\delta f(x)=f(x+\delta x)-f(x)\;$» ;
cette petite variation peut être évaluée en utilisant l'approximation linéaire suivante «$\;\delta f(x)=f'(x)\,\delta x+\varphi (\delta x)\,\delta x\;$ avec $\;\lim \limits _{\delta x\rightarrow 0}\left[\varphi (\delta x)\right]=0\;$».
$\;f\;$
$\;x_{0}$
La différentielle de $\;f\;$ pour la valeur $\;x_{0}\;$ de la variable $\;x\;$ est définie selon «$\;df=f'(x_{0})\,dx\;$».
Remarque : On en déduit la notation différentielle de la dérivée en divisant les deux membres par l'élément différentiel $\;dx\;$ soit «$\;{\dfrac {df}{dx}}=f'(x_{0})\;$».
En conclusion pour exprimer la différentielle de $\;f\;$ pour la valeur $\;x_{0}\;$ de la variable $\;x$, on multiplie la dérivée$\;f'(x_{0})\;$par l'élément différentiel$\;dx$.

## Propriété de la différentielle d'une fonction scalaire d'une variable quand l'élément différentiel de la variable est un infiniment petit

Remarque préliminaire : propriété non valable si l'élément différentiel $\;dx\;$ est quelconque, ce n'est donc pas une propriété à utiliser en mathématique mais uniquement en physique.
Exposé : La petite variation $\;\delta f\;$ de $\;f\;$ sur l'intervalle $\;\left[x,x+\delta x\right]\;$ a été définie par «$\;\delta f=f(x+\delta x)-f(x)\;$» et, Exposé : La petite variation $\;\color {transparent}{\delta f}\;$ de $\;\color {transparent}{f}\;$ sur l'intervalle $\;\color {transparent}{\left[x,x+\delta x\right]}\;$ a été définie par approximation linéaire nous avons pu écrire «$\;\delta f=f'(x)\,\delta x+\varphi (\delta x)\,\delta x\;$» avec «$\;\lim \limits _{\delta x\rightarrow 0}\left[\varphi (\delta x)\right]=0\;$» ;
Exposé : en physique, $\;dx\;$ étant l'infiniment petit associé à $\;\delta x\;$ quand ce dernier tend vers $\;0$, on peut traduire ceci par «$\;\delta x=dx+\psi (\delta x)\,\delta x\;$» avec «$\;\lim \limits _{\delta x\rightarrow 0}\psi (\delta x)=0\;$» ;
Exposé : en physique, son report dans l'approximation linéaire nous conduit alors à «$\;\delta f=f'(x)\left[dx+\psi (\delta x)\,\delta x\right]+\varphi (\delta x)\,\delta x=f'(x)\,dx+\left[f'(x)\,\psi (\delta x)+\varphi (\delta x)\right]\delta x\;$» ou encore, Exposé : en physique, son report dans l'approximation linéaire en définissant «$\;\alpha (\delta x)=f'(x)\,\psi (\delta x)+\varphi (\delta x)\;$» qui est telle que «$\;\lim \limits _{\delta x\rightarrow 0}\left[\alpha (\delta x)\right]=0\;$» et, Exposé : en physique, son report dans l'approximation linéaire compte-tenu de la définition de la différentielle de $\;f\;$ pour la valeur $\;x\;$ de la variable, «$\;df=f'(x)\,dx\;$», on peut écrire Exposé : en physique, son report dans l'approximation linéaire nous conduit alors à «$\;\delta f=df+\alpha (\delta x)\,\delta x\;$» avec «$\;\lim \limits _{\delta x\rightarrow 0}\left[\alpha (\delta x)\right]=0\;$» ;
Exposé : ainsi, dans la mesure où l'élément différentiel $\;dx\;$ est un infiniment petit, la petite variation $\;\delta f\;$ peut être confondue avec la différentielle $\;df\;$ quand $\;\delta x\;$ tend vers $\;0$, Exposé : ainsi, dans la mesure où l'élément différentiel $\;\color {transparent}{dx}\;$ est un infiniment petit, la différence entre les deux «$\;\delta f-df=\alpha (\delta x)\,\delta x\;$ étant un infiniment petit d'ordre supérieur » ; Exposé : en physique nous noterons $\;\delta f\simeq df\;$ pour traduire la confusion à un ordre supérieur près.
$\;df\;$
$\;dx\;$
Nous pouvons donc écrire «$\;df\simeq f(x+dx)-f(x)\;$» par propriété quand l'élément différentiel $\;dx\;$ est un infiniment petit et Nous pouvons donc écrire «$\;df=f'(x)\,dx\;$» par définition.

## Quelques règles de calcul de différentielle d'une fonction scalaire d'une variable

Les règles énoncées découlent des règles connues sur la dérivation de somme, produit ou quotient de fonctions d'une même variable ainsi que celle de la dérivation de la fonction constante, et Les règles énoncées découlent du fait que la différenciation s'obtient par dérivation suivie de la multiplication par l'élément différentiel de la variable ; les règles utilisables sont donc les suivantes $\bullet \;$«$\;d\!\left(u+v\right)=du+dv\;$», les règles utilisables sont donc les suivantes $\bullet \;$«$\;d\!\left(cste\right)=0\;$», les règles utilisables sont donc les suivantes $\bullet \;$«$\;d\!\left(u\,v\right)=(du)\,v+u\,(dv)\;$», les règles utilisables sont donc les suivantes $\bullet \;$«$\;d\!\left({\dfrac {u}{v}}\right)={\dfrac {(du)\,v-u\,(dv)}{v^{2}}}\;$».

## Utilisation de la différenciation pour justifier la dérivée d'une fonction composée

Soit à calculer la dérivée par rapport à $\;x\;$ de la fonction composée $\;f(x)=\ln \!{\big |}\sin \!\left[\exp \!\left(x^{2}\right)\right]{\big |}$, pour cela on introduit les fonctions intermédiaires $\succ \;$«$\;w(x)=x^{2}\;$», Soit à calculer la dérivée par rapport à $\;\color {transparent}{x}\;$ de la fonction composée $\;\color {transparent}{f(x)=\ln \!{\big |}\sin \!\left[\exp \!\left(x^{2}\right)\right]{\big |}}$, pour cela on introduit les fonctions intermédiaires $\succ \;$«$\;v(w)=\exp \!\left(w\right)\;$», Soit à calculer la dérivée par rapport à $\;\color {transparent}{x}\;$ de la fonction composée $\;\color {transparent}{f(x)=\ln \!{\big |}\sin \!\left[\exp \!\left(x^{2}\right)\right]{\big |}}$, pour cela on introduit les fonctions intermédiaires $\succ \;$«$\;u(v)=\sin \!\left[v\right]\;$» et Soit à calculer la dérivée par rapport à $\;\color {transparent}{x}\;$ de la fonction composée $\;\color {transparent}{f(x)=\ln \!{\big |}\sin \!\left[\exp \!\left(x^{2}\right)\right]{\big |}}$, pour cela on introduit les fonctions intermédiaires $\succ \;$«$\;f(u)=\ln \!{\big |}u{\big |}\;$» Soit à calculer la dérivée par rapport à $\;\color {transparent}{x}\;$ de la fonction composée $\;\color {transparent}{f(x)=\ln \!{\big |}\sin \!\left[\exp \!\left(x^{2}\right)\right]{\big |}}$, dont on déduit la composition suivante «$\;f(x)=f\left[u\left\lbrace v\left[w(x)\right]\right\rbrace \right]\;$» ;
on évalue alors successivement $\bullet \;$la différentielle de $\;f\;$ en fonction de $\;du\;$ soit «$\;df={\dfrac {df}{du}}\;du={\dfrac {1}{u}}\;du\;$», on évalue alors successivement $\bullet \;$la différentielle de $\;u\;$ en fonction de $\;dv\;$ soit «$\;du={\dfrac {du}{dv}}\;dv=\cos \!\left[v\right]\;dv\;$», on évalue alors successivement $\bullet \;$la différentielle de $\;v\;$ en fonction de $\;dw\;$ soit «$\;dv={\dfrac {dv}{dw}}\;dw=\exp \!\left(w\right)\;dw\;$» et on évalue alors successivement $\bullet \;$la différentielle de $\;w\;$ en fonction de $\;dx\;$ soit «$\;dw={\dfrac {dw}{dx}}\;dx=2\,x\;dx\;$» ;
on en déduit, par reports successifs, «$\;df={\dfrac {df}{du}}\;du={\dfrac {df}{du}}\;{\dfrac {du}{dv}}\;dv={\dfrac {df}{du}}\;{\dfrac {du}{dv}}\;{\dfrac {dv}{dw}}\;dw={\dfrac {df}{du}}\;{\dfrac {du}{dv}}\;{\dfrac {dv}{dw}}\;{\dfrac {dw}{dx}}\;dx\;$» c.-à-d. on en déduit, la formule de dérivation de la fonction composée $\;f(x)=f\left[u\left\lbrace v\left[w(x)\right]\right\rbrace \right]\;$ écrite en notation différentielle «$\;{\dfrac {df}{dx}}={\dfrac {df}{du}}\times {\dfrac {du}{dv}}\times {\dfrac {dv}{dw}}\times {\dfrac {dw}{dx}}\;$» $\;{\big$formule à utiliser directement${\big )}$ d'où :
on en déduit «$\;{\dfrac {df}{dx}}={\dfrac {1}{u}}\;\cos \!\left[v\right]\;\exp \!\left(w\right)\;2\,x\;$» ou, en éliminant les fonctions intermédiaires, «$\;{\dfrac {df}{dx}}={\dfrac {1}{\sin \!\left[\exp \!\left(x^{2}\right)\right]}}\;\cos \!\left[\exp \!\left(x^{2}\right)\right]\;\exp \!\left(x^{2}\right)\;2\,x\;$» soit finalement on en déduit «$\;\color {transparent}{{\dfrac {df}{dx}}={\dfrac {1}{u}}\;\cos \!\left[v\right]\;\exp \!\left(w\right)\;2\,x}\;$» ou, en éliminant les fonctions intermédiaires, «$\;{\dfrac {df}{dx}}=\mathrm {cotan} \!\left[\exp \!\left(x^{2}\right)\right]\;\exp \!\left(x^{2}\right)\;2\,x\;$».
Commentaires : En physique il est fréquent que l'on ait une fonction composée de deux fonctions, dans ce cas retenir la formule de dérivation de la fonction «$\;f\left[g\left(x\right)\right]\;$» sous la forme Commentaires : En physique il est fréquent que l'on ait une fonction composée de deux fonctions, dans ce cas retenir la formule de dérivation de la fonction «$\;{\dfrac {df}{dx}}={\dfrac {df}{dg}}\times {\dfrac {dg}{dx}}\;$».

## Différentielle logarithmique d'une fonction scalaire d'une variable

Pour une « fonction scalaire $\;f\;$ dérivable en tout $\;x_{0}\;$ de son domaine $\;I\;$ de dérivabilité telle que $\;f(x_{0})\neq 0\;$ pour toute valeur $\;x_{0}\in I\;$», on définit Pour la « fonction dérivée logarithmique de $\;f\;$ en $\;x\;\in I\;$» notée $\;h\;$ selon «$\;\forall \;x\in I,\;\;x\;{\overset {h}{\rightarrow }}\;h(x)={\dfrac {f'(x)}{f(x)}}\;$»$^,$ Pour la « fonction dérivée logarithmique de $\;\color {transparent}{f}\;$ en $\;\color {transparent}{x\;\in I}\;$» ${\big \$c'est aussi la « dérivée de la fonction composée $\;\left[\ln \,\circ \;{\big \vert }\;{\big \vert }\right]\circ f=\ln \left[{\big \vert }\,f\,{\big \vert }\right]\;$»${\big \}$.
$\;f\;$
$\;x_{0}$
$\;f\;$
$\;x_{0}\;$
$\;x\;$
$\;I'\;$
$\;f$
$\;h\;$
$\;\forall \;x\in I',\;\;x\;{\overset {h}{\rightarrow }}\;h(x)={\dfrac {f'(x)}{f(x)}}\;$
$\;h(x_{0})\,dx={\dfrac {f'(x_{0})}{f(x_{0})}}\;dx={\dfrac {f'(x_{0})\;dx}{f(x_{0})}}={\dfrac {df}{f(x_{0})}}\;$
$\;df=f'(x_{0})\;dx\;$
$\;f\;$
$\;x_{0}\;$
Remarque : De même que pour la dérivée logarithmique de la fonction scalaire $\;f\;$ il n'y a pas de notation réglementée pour la différentielle logarithmique de cette même fonction $\;f$, Remarque : De même que pour la dérivée logarithmique de la fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ toutefois on trouve parfois la notation «$\;d\left[\ln {\big \vert }\,f\,{\big \vert }\right]\;$» soit «$\;d\left[\ln {\big \vert }\,f\,{\big \vert }\right]={\dfrac {df}{f(x_{0})}}\;$».

## Différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable
### Définition d'une fonction vectorielle d'une variable

$\;{\vec {f}}(t)\;$
$\;t\in \mathbb {D} \subset \mathbb {R}$
$\;{\vec {f}}\;$
$\;\mathbb {D} \;$
$\;t\;{\overset {\vec {f}}{\rightarrow }}\;{\vec {f}}(t)\in E,\;\forall \;t\in \mathbb {D} \;$
$\;E\;$

### Définition intrinsèque de la dérivée d'une fonction vectorielle d'une variable

La fonction vectorielle est dite dérivable en $\;t_{0}\;$ si $\;\lim \limits _{t\rightarrow x_{0}}{\dfrac {{\vec {f}}(t)-{\vec {f}}(t_{0})}{t-t_{0}}}\;$ existe, sa valeur définissant $\;{\vec {f}}'(t_{0})\;$ soit «$\;\lim \limits _{t\rightarrow t_{0}}{\dfrac {{\vec {f}}(t)-{\vec {f}}(t_{0})}{t-t_{0}}}={\vec {f}}'(t_{0})\;$» ;
la fonction est dite dérivable sur un domaine de dérivabilité si $\;{\vec {f}}'(t_{0})\;$ existe pour toutes les valeurs du domaine.

### Définition intrinsèque de la différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable

Soit la fonction vectorielle $\;{\vec {f}}\;$ de la variable $\;t$ ;
considérons la petite variation de cette fonction $\;{\vec {f}}(t)\;$ sur l'intervalle $\;\left[t,t+\delta t\right]\;$ notée $\;\delta {\vec {f}}(t)\;$ et définie selon «$\;\delta {\vec {f}}(t)={\vec {f}}(t+\delta t)-{\vec {f}}(t)\;$» ;
cette petite variation peut être évaluée en utilisant l'approximation linéaire suivante «$\;\delta {\vec {f}}(t)={\vec {f}}'(t)\,\delta t+{\vec {\varphi }}(\delta t)\,\delta t\;$ avec $\;\lim \limits _{\delta t\rightarrow 0}\left[{\vec {\varphi }}(\delta t)\right]={\vec {0}}\;$».
$\;{\vec {f}}\;$
$\;t_{0}$
La différentielle de $\;{\vec {f}}\;$ pour la valeur $\;t_{0}\;$ de la variable $\;t\;$ est définie selon «$\;{\overrightarrow {df}}={\vec {f}}'(t_{0})\,dt\;$».
Remarque : On en déduit la notation différentielle de la dérivée en divisant les deux membres par l'élément différentiel $\;dt\;$ soit «$\;{\dfrac {\overrightarrow {df}}{dt}}={\vec {f}}'(t_{0})\;$».
En conclusion pour exprimer la différentielle de $\;{\vec {f}}\;$ pour la valeur $\;t_{0}\;$ de la variable $\;t$, on multiplie la dérivée$\;{\vec {f}}'(t_{0})\;$par l'élément différentiel$\;dt$.

### Explicitation d'une fonction vectorielle d'une variable par choix d'une base dans l'espace physique incluant l'espace image de la fonction vectorielle

Considérant la fonction vectorielle $\;{\vec {f}}\;$ de la variable réelle $\;t$, de domaine de définition $\;\mathbb {D} \;$ et choisissant une base « fixe » de l'espace physique $\;E\supset {\vec {f}}(\mathbb {D} )\;$, base appelée « cartésienne » et notée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x},\;{\vec {u}}_{y},\;{\vec {u}}_{z}\right\rbrace$ ;
décomposant $\;{\vec {f}}(t)\;$ sur la base cartésienne selon «$\;{\vec {f}}(t)=f_{x}(t)\,{\vec {u}}_{x}+f_{y}(t)\,{\vec {u}}_{y}+f_{z}(t)\,{\vec {u}}_{z}\;$» $\Rightarrow$ il est possible de définir la fonction vectorielle$\;{\vec {f}}\;$à l'aide de trois fonctions scalaires$\;\left\lbrace f_{x},\;f_{y},\;f_{z}\right\rbrace$.

### Définition de la dérivée et de la différentielle d'une fonction vectorielle par choix d'une base dans l'espace physique incluant l'espace image de la fonction vectorielle

La base choisie étant indépendante de la variable $\;t$, on peut dériver $\;{\big$ou différencier${\big )}\;$ la relation $\;{\vec {f}}(t)=f_{x}(t)\,{\vec {u}}_{x}+f_{y}(t)\,{\vec {u}}_{y}+f_{z}(t)\,{\vec {u}}_{z}\;$ et on obtient :
* «$\;{\vec {f}}'(t)={f'}_{x}(t)\,{\vec {u}}_{x}+{f'}_{y}(t)\,{\vec {u}}_{y}+{f'}_{z}(t)\,{\vec {u}}_{z}\;$» c.-à-d. que la dérivée de la fonction vectorielle a pour composantes la dérivée de ses composantes,
* «$\;{\overrightarrow {df}}=df_{x}\,{\vec {u}}_{x}+df_{y}(t)\,{\vec {u}}_{y}+df_{z}(t)\,{\vec {u}}_{z}\;$» c.-à-d. que la différentielle de la fonction vectorielle a pour composantes la différentielle de ses composantes.

### Quelques règles de calcul de la différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable

Ces règles prolongent celles énoncées au paragraphe « quelques règles de calcul de différentielle d'une fonction scalaire d'une variable » plus haut dans ce chapitre, elles peuvent être justifiées par la décomposition des fonctions vectorielles dans la base cartésienne $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x},\,{\vec {u}}_{y},\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ en leurs composantes scalaires sur lesquelles les règles de calcul de différentielle d'une fonction scalaire d'une variable s'appliquent ; ces règles sont donc les suivantes $\bullet \;$«$\;d\!\left({\vec {u}}+{\vec {v}}\right)={\overrightarrow {du}}+{\overrightarrow {dv}}\;$», ces règles sont donc les suivantes $\bullet \;$«$\;d\!\left({\overrightarrow {cste}}\right)={\vec {0}}\;$», ces règles sont donc les suivantes $\bullet \;$«$\;d\!\left(f\,{\vec {v}}\right)=(df)\,{\overrightarrow {v}}+f\,({\overrightarrow {dv}})\;$», ces règles sont donc les suivantes $\bullet \;$«$\;d\!\left({\dfrac {\vec {u}}{g}}\right)={\dfrac {(dg)\,{\overrightarrow {u}}-g\,({\overrightarrow {du}})}{g^{2}}}\;$», ces règles sont donc les suivantes $\bullet \;$«$\;d\!\left({\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\right)={\overrightarrow {du}}\wedge {\vec {v}}+{\vec {u}}\wedge {\overrightarrow {dv}}\;$».

### Quelques règles de calcul de la différentielle d'une fonction scalaire formée à partir de fonctions vectorielles d'une variable

Ces règles prolongent celles énoncées au paragraphe « quelques règles de calcul de différentielle d'une fonction scalaire d'une variable » plus haut dans ce chapitre, elles utilisent aussi les « quelques règles de calcul de la différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable » du paragraphe ci-dessus et se justifient en combinant les deux ; ces règles sont donc les suivantes $\bullet \;$«$\;d\!\left({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right)={\overrightarrow {du}}\cdot {\overrightarrow {v}}+{\overrightarrow {u}}\cdot {\overrightarrow {dv}}\;$», ces règles sont donc les suivantes $\bullet \;$«$\;d\!\left[\left({\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\right)\cdot {\vec {w}}\right]=d\!\left({\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\right)\cdot {\vec {w}}+\left({\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\right)\cdot {\overrightarrow {dw}}=\left({\overrightarrow {du}}\wedge {\vec {v}}+{\vec {u}}\wedge {\overrightarrow {dv}}\right)\cdot {\vec {w}}+\left({\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\right)\cdot {\overrightarrow {dw}}\;$» soit ces règles sont donc les suivantes $\color {transparent}{\bullet }\;$en utilisant la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle ces règles sont donc les suivantes $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;d\!\left[\left({\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\right)\cdot {\vec {w}}\right]=\left({\overrightarrow {du}}\wedge {\vec {v}}\right)\cdot {\vec {w}}+\left({\vec {u}}\wedge {\overrightarrow {dv}}\right)\cdot {\vec {w}}+\left({\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\right)\cdot {\overrightarrow {dw}}\;$».