# Équation du troisième degré/Exercices/Sur la résolution trigonométrique
## Exercice 6-1

Soit une suite arithmétique (u$_n$)$_n$ à termes positifs de premier terme u$_0$ et de raison 1. Sachant qu'elle contient trois termes consécutifs de produit 1/3, en déduire u$_0$.
Soit z le terme médian des trois termes consécutifs de produit 1/3. Les trois termes consécutifs en question seront donc :
    $z-1,\quad z,\quad z+1$.
Le produit de ces trois nombres étant 1/3, nous sommes ramenés à résoudre l'équation :
    $z(z+1)(z-1)={\frac {1}{3}}$
En développant et en regroupant dans le premier membre, nous obtenons :
    $z^{3}-z-{\frac {1}{3}}=0$.
Nous avons alors avec les notations de cours :
    $p=-1,\quad q=-{\frac {1}{3}}$.
Nous ferons donc le changement de variable suivant :
    $z={\sqrt {-{\frac {4p}{3}}}}\cos \theta ={\frac {2}{\sqrt {3}}}\cos \theta$.
Nous obtenons :
    ${\frac {8}{3{\sqrt {3}}}}\cos ^{3}\theta -{\frac {2}{\sqrt {3}}}\cos \theta -{\frac {1}{3}}=0$,
qui se simplifie en :
    $4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta ={\frac {\sqrt {3}}{2}}$.
La linéarisation du premier membre donne :
    $\cos 3\theta ={\frac {\sqrt {3}}{2}}=\cos {\frac {\pi }{6}}$.
Nous en déduisons :
    $z_{k}={\frac {2}{\sqrt {3}}}\cos \theta _{k}$
avec
    $\theta _{k}={\frac {\pi }{18}}+{\frac {2k}{3}}\pi ,\quad k\in \{0,1,2\}$,
soit
    ${\begin{cases}z_{1}={\frac {2}{\sqrt {3}}}\cos {\frac {\pi }{18}}\\z_{2}={\frac {2}{\sqrt {3}}}\cos {\frac {11\pi }{18}}\\z_{3}={\frac {2}{\sqrt {3}}}\cos {\frac {13\pi }{18}},\end{cases}}$
qui sont les trois racines de l'équation à résoudre.
Comme l'énoncé nous précisait que les termes recherchés de la suite doivent être positifs, nous voyons que la seule possibilité pour les trois termes consécutifs de produit 1/3 est :
    ${\frac {2}{\sqrt {3}}}\cos {\frac {\pi }{18}}-1,\qquad {\frac {2}{\sqrt {3}}}\cos {\frac {\pi }{18}},\qquad {\frac {2}{\sqrt {3}}}\cos {\frac {\pi }{18}}+1$
(on peut vérifier que le produit de ces trois termes est bien 1/3).
Comme le premier de ces trois termes est compris entre 0 et 1, le précédent serait négatif, ce qui n’est pas possible. On peut en déduire que le premier des trois termes trouvés est u$_0$. On a donc :
    $u_{0}={\frac {2}{\sqrt {3}}}\cos {\frac {\pi }{18}}-1$.

## Exercice 6-2

Résoudre l'équation :
    $\left(2+{\sqrt {2}}\right)z^{3}=3z+1$.
L'équation peut s'écrire :
    $z^{3}+pz+q=0$
avec :
    $p=-{\frac {3}{2+{\sqrt {2}}}},\quad q=-{\frac {1}{2+{\sqrt {2}}}}$.
Nous ferons donc le changement de variable suivant :
    $z={\sqrt {-{\frac {4p}{3}}}}\cos \theta ={\frac {2}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}\cos \theta$.
L'équation de départ devient alors :
    ${\frac {8}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}\cos ^{3}\theta ={\frac {6}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}\cos \theta +1$,
qui se simplifie en :
    $4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta ={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}$,
qui s'écrit aussi :
    $\cos(3\theta )=\cos {\frac {\pi }{8}}$.
Nous en déduisons :
    $z_{k}={\frac {2}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}\cos \theta _{k}={\sqrt {2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\cos \theta _{k}$
avec
    $\theta _{k}={\frac {{\frac {\pi }{8}}+2k\pi }{3}}={\frac {(1+16k)\pi }{24}}={\frac {k\pi }{2}}+{\frac {(1+4k)\pi }{24}},\quad k\in \{-1,0,1\}$,
soit :
    ${\begin{cases}z_{-1}={\sqrt {2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\sin {\frac {-3\pi }{24}}=-{\sqrt {2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\sin {\frac {\pi }{8}}\\z_{0}={\sqrt {2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\cos {\frac {\pi }{24}}\\z_{1}=-{\sqrt {2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\sin {\frac {5\pi }{24}}.\end{cases}}$

## Exercice 6-3

Résoudre, dans l’ensemble des nombres réels, l'équation :
    $2z^{3}-3z-2=0$.
L'équation peut s'écrire :
    $z^{3}+pz+q=0$
avec :
    $p=-{\frac {3}{2}},\quad q=-1$.
$p$ est négatif et Δ < 0.
Nous ferons donc le changement de variable suivant :
    $z={\sqrt {-{\frac {4p}{3}}}}\cosh \theta ={\sqrt {2}}\cosh \theta$.
Nous obtenons :
    $4{\sqrt {2}}\cosh ^{3}\theta -3{\sqrt {2}}\cosh \theta -2=0$,
qui se simplifie en :
    $4\cosh ^{3}\theta -3\cosh \theta ={\sqrt {2}}$.
La linéarisation du premier membre donne :
    $\cosh(3\theta )={\sqrt {2}}$.
On en déduit :
    $3\theta =\operatorname {arcosh} {\sqrt {2}}$,
qui s'écrit aussi :
    $3\theta =\ln(1+{\sqrt {2}})$,
soit :
    $\theta ={\frac {\ln(1+{\sqrt {2}})}{3}}$.
En reportant dans :
    $z={\sqrt {2}}\cosh \theta$,
on obtient la solution réelle de l'équation à résoudre :
    $z={\sqrt {2}}\cosh {\frac {\ln(1+{\sqrt {2}})}{3}}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{1/3}+(1+{\sqrt {2}})^{-1/3}}{\sqrt {2}}}$
(Cette méthode, étendue à la trigonométrie complexe, donne aussi les deux solutions non réelles :
    ${\frac {(1+{\sqrt {2}})^{1/3}\mathrm {j} +(1+{\sqrt {2}})^{-1/3}\mathrm {j} ^{-1}}{\sqrt {2}}}$ et son conjugué.)

## Exercice 6-4

Résoudre, dans l’ensemble des nombres réels, l'équation :
    $3z^{3}+3z-2=0$.
L'équation peut s'écrire :
    $z^{3}+pz+q=0~$
avec :
    $p=1,\quad q=-{\frac {2}{3}}$.
$p$ est positif et Δ < 0.
Nous ferons donc le changement de variable suivant :
    $z={\sqrt {\frac {4p}{3}}}\sinh \theta ={\frac {2}{\sqrt {3}}}\sinh \theta$.
Nous obtenons :
    ${\frac {8}{\sqrt {3}}}\sinh ^{3}\theta +2{\sqrt {3}}\sinh \theta -2=0$,
qui se simplifie en :
    $4\sinh ^{3}\theta +3\sinh \theta ={\sqrt {3}}$.
La linéarisation du premier membre donne :
    $\sinh(3\theta )={\sqrt {3}}$.
On en déduit :
    $3\theta =\operatorname {arsinh} {\sqrt {3}}$,
qui s'écrit aussi :
    $3\theta =\ln(2+{\sqrt {3}})$,
soit :
    $\theta ={\frac {\ln(2+{\sqrt {3}})}{3}}$.
En reportant dans :
    $z={\frac {2}{\sqrt {3}}}\sinh \theta$,
on obtient :
    $z={\frac {2}{\sqrt {3}}}\sinh {\frac {\ln(2+{\sqrt {3}})}{3}}={\frac {(2+{\sqrt {3}})^{1/3}-(2+{\sqrt {3}})^{-1/3}}{\sqrt {3}}}$,
qui est la solution réelle de l'équation à résoudre.
(Cette méthode, étendue à la trigonométrie complexe, donne aussi les deux solutions non réelles :
    ${\frac {(2+{\sqrt {3}})^{1/3}\mathrm {j} -(2+{\sqrt {3}})^{-1/3}\mathrm {j} ^{-1}}{\sqrt {3}}}$ et son conjugué.)

## Exercice 6-5

Résoudre l'équation :
    $x^{3}-48x-32\left(1-{\sqrt {5}}\right)=0$.
Cette équation est de la forme :
    $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$
avec :
    $a=1,\quad b=0,\quad c=-48,\quad d=-32\left(1-{\sqrt {5}}\right)$.
Commençons par faire le changement de variable :
    $x=z-{\frac {bc-9ad}{2(b^{2}-3ac)}}=z+{\sqrt {5}}-1$.
On obtient :
    $z^{3}+3({\sqrt {5}}-1)z^{2}-6(5+{\sqrt {5}})z-8{\sqrt {5}}=0$,
qui est une équation de la forme :
    $rz^{3}+sz^{2}+pz+q=0$
avec :
    $r=1,\quad s=3({\sqrt {5}}-1),\quad p=-6(5+{\sqrt {5}}),\quad q=-8{\sqrt {5}}$.
On peut vérifier que l’on a bien $sp-9rq=0$.
Posons ensuite :
    $z={\sqrt {-{\frac {p}{3r}}}}\tan \theta ={\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\tan \theta$.
On obtient :
    $2(5+{\sqrt {5}}){\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\tan ^{3}\theta +24{\sqrt {5}}\tan ^{2}\theta -6(5+{\sqrt {5}}){\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\tan \theta -8{\sqrt {5}}=0$,
que l’on peut écrire :
    $2(5+{\sqrt {5}}){\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}(\tan ^{3}\theta -3\tan \theta )=-8{\sqrt {5}}(3\tan ^{2}\theta -1)$,
que l’on peut mettre sous la forme :
    ${\frac {\tan ^{3}\theta -3\tan \theta }{3\tan ^{2}\theta -1}}={\frac {-8{\sqrt {5}}}{2(5+{\sqrt {5}}){\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}}}$,
qui se simplifie en :
    $\tan(3\theta )=-{\sqrt {1-{\frac {2}{5}}{\sqrt {5}}}}$,
qui peut encore s'écrire :
    $\tan(3\theta )=\tan {\frac {-\pi }{10}}$.
Nous en déduisons :
    $z_{k}={\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\tan \theta _{k},\qquad k\in \{-1,0,1\}$
avec
    $\theta _{k}={\frac {{\frac {-\pi }{10}}+k\pi }{3}}={\frac {(10k-1)\pi }{30}}={\frac {k\pi }{2}}-{\frac {(5k+1)\pi }{30}}$,
soit :
    ${\begin{cases}z_{-1}=-{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\cot {\frac {2\pi }{15}}\\z_{0}=-{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\tan {\frac {\pi }{30}}\\z_{1}={\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\cot {\frac {\pi }{5}}.\end{cases}}$
En reportant finalement ces valeurs dans :
    $x=z+{\sqrt {5}}-1$,
on obtient les trois racines de l'équation que l’on devait résoudre :
    ${\begin{cases}x_{-1}=-{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\cot {\frac {2\pi }{15}}+{\sqrt {5}}-1\\x_{0}=-{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\tan {\frac {\pi }{30}}+{\sqrt {5}}-1\\x_{1}={\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\cot {\frac {\pi }{5}}+{\sqrt {5}}-1.\end{cases}}$

## Exercice 6-6

Résoudre l'équation :
    $6x^{3}-3x^{2}+3x-1=0$.
Cette équation est de la forme :
    $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0~$
avec :
    $a=6,\quad b=-3,\quad c=3,\quad d=-1$.
Nous commencerons par faire le changement de variable :
    $x=z-{\frac {bc-9ad}{2(b^{2}-3ac)}}=z+{\frac {1}{2}}$.
On obtient :
    $12z^{3}+12z^{2}+9z+1=0$,
qui est une équation de la forme :
    $rz^{3}+sz^{2}+pz+q=0$
avec :
    $r=s=12,\quad p=9,\quad q=1$.
On peut vérifier que l’on a bien $sp-9rq=0$.
Posons ensuite :
    $z={\sqrt {\frac {p}{3r}}}\tanh \theta ={\frac {\tanh \theta }{2}}$.
On obtient :
    $3\tanh ^{3}\theta +6\tanh ^{2}\theta +9\tanh \theta +2=0$,
que l’on peut écrire :
    $3(\tanh ^{3}\theta +3\tanh \theta )=-2(3\tanh ^{3}\theta +1)$,
que l’on peut mettre sous la forme :
    ${\frac {\tanh ^{3}\theta +3\tanh \theta }{3\tanh ^{3}\theta +1}}=-{\frac {2}{3}}$,
qui se simplifie en :
    $\tanh(3\theta )=-{\frac {2}{3}}$.
Nous en déduisons :
    $3\theta =\operatorname {artanh} \left(-{\frac {2}{3}}\right)$,
que nous pouvons écrire sous la forme :
    $3\theta ={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1-{\frac {2}{3}}}{1+{\frac {2}{3}}}}$,
qui se simplifie en :
    $\theta =-{\frac {\ln 5}{6}}$.
En reportant dans :
    $z={\frac {\tanh \theta }{2}}$,
on obtient :
    $z=-{\frac {1}{2}}\tanh {\frac {\ln 5}{6}}$.
Il ne nous reste plus qu'à reporter dans :
    $x=z+{\frac {1}{2}}$.
On obtient :
    $x={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\tanh {\frac {\ln 5}{6}}={\frac {1}{2}}\left(1-\tanh {\frac {\ln 5}{6}}\right)={\frac {1}{{\sqrt[{3}]{5}}+1}}$,
qui est la racine réelle de l'équation que l’on devait résoudre.
En utilisant la trigonométrie complexe, on trouve de même les deux autres racines :
    ${\frac {1}{\mathrm {j} {\sqrt[{3}]{5}}+1}}$ et son conjugué.
Mais, bien plus rapidement et moins savamment : il saute aux yeux que l'équation se met sous la forme
    $5x^{3}+(x-1)^{3}=0$
donc équivaut à
    $x\mathrm {j} ^{n}{\sqrt[{3}]{5}}=1-x,\quad n\in \{-1,0,1\}$,
soit
    $x={\frac {1}{\mathrm {j} ^{n}{\sqrt[{3}]{5}}+1}},\quad n\in \{-1,0,1\}$.

## Exercice 6-7

Résoudre l'équation :
    $(m-1)x^{3}-3k(m+1)x^{2}+3k^{2}(m-1)x-k^{3}(m+1)=0$.
L'inconnue est $x$.
$m$ est un paramètre strictement positif et différent de 1.
$k$ est un paramètre strictement positif.
L'équation est de la forme :
    $rz^{3}+sz^{2}+pz+q=0$
avec :
    $r=m-1,\quad s=-3k(m+1),\quad p=3k^{2}(m-1),\quad q=-k^{3}(m+1)$.
Cette équation vérifie déjà $sp-9rq=0$. Il est donc inutile de faire le changement de variable indiqué dans le cours.
De plus, nous avons :
    $p^{2}-3sq=-36km^{4}<0$.
Nous ferons donc le changement de variable :
    $x={\sqrt {\frac {p}{3r}}}\coth \theta =k\coth \theta$.
On obtient :
    $k^{3}(m-1)\coth ^{3}\theta -3k^{3}(m+1)\coth ^{2}\theta +3k^{3}(m-1)\coth \theta -k^{3}(m+1)=0$.
Comme $k$ est strictement positif, on peut simplifier par $k^{3}$ :
    $(m-1)\coth ^{3}\theta -3(m+1)\coth ^{2}\theta +3(m-1)\coth \theta -(m+1)=0$,
que l’on peut écrire :
    $(m-1)(\coth ^{3}\theta +3\coth \theta )=(m+1)(3\coth ^{2}\theta +1)$,
que l’on peut mettre sous la forme :
    ${\frac {\coth ^{3}\theta +3\coth \theta }{3\coth ^{2}\theta +1}}={\frac {m+1}{m-1}}$,
qui se simplifie sous la forme :
    $\coth(3\theta )={\frac {m+1}{m-1}}$.
Nous en déduisons :
    $3\theta =\operatorname {arcoth} {\frac {m+1}{m-1}}$,
que nous pouvons écrire sous la forme :
    $3\theta ={\frac {1}{2}}\ln {\frac {{\frac {m+1}{m-1}}+1}{{\frac {m+1}{m-1}}-1}}$,
qui se simplifie sous la forme :
    $\theta ={\frac {\ln m}{6}}$.
En reportant dans :
    $x=k\coth \theta$,
on obtient :
    $x=k\coth {\frac {\ln m}{6}}=k{\frac {{\sqrt[{3}]{m}}+1}{{\sqrt[{3}]{m}}-1}}$,
qui est la racine réelle de l'équation que l’on devait résoudre.
Remarque : plus simplement, et sans $m$ et $k$ soient nécessairement positifs ni même réels, l'équation est de la forme
    $m(x-k)^{3}-(x+k)^{3}=0$
donc ses trois solutions complexes sont :
    $x_{n}=k{\frac {\mathrm {j} ^{n}{\sqrt[{3}]{m}}+1}{\mathrm {j} ^{n}{\sqrt[{3}]{m}}-1}},\quad n\in \{-1,0,1\}$.
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