# Approfondissement sur les suites numériques/Récurrence affine d'ordre 2

On étudie les suites récurrentes affines d'ordre 2 à valeurs dans un corps commutatif K, en s'intéressant en particulier aux cas où le corps est celui des réels ou des complexes.

## Définitions

Soient $a,b,c\in K$. On appelle suite récurrente affine d'ordre 2 (à valeurs dans K) toute suite définie par une relation de récurrence de la forme : $\forall n\in N\quad u_{n+2}=au_{n+1}+bu_{n}+c$ et par les valeurs de $u_{0}$ et $u_{1}$, éléments de K.
On appelle suites récurrentes linéaires associées à la relation de récurrence précédente les suites vérifiant la relation : $u_{n+2}=au_{n+1}+bu_{n}.$

## Cas linéaire

On cherche l’ensemble ${\mathcal {S}}_{0}$ des suites vérifiant la relation de récurrence linéaire $u_{n+2}=au_{n+1}+bu_{n}$.
L'ensemble ${\mathcal {S}}_{0}$ est un $K$-espace vectoriel de dimension 2.
Il est immédiat que ${\mathcal {S}}_{0}$ est un sous-espace vectoriel (sur $K$) de l’espace des suites à valeurs dans $K$. Une telle suite est entièrement définie par la donnée de $u_{0}$ et $u_{1}$. L'application linéaire ${\mathcal {S}}_{0}\to K^{2},\left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }\mapsto \left(u_{0},u_{1}\right)$ est ainsi une bijection, donc ${\mathcal {S}}_{0}$ est de dimension 2.
On considère le polynôme du second degré :
    $P\left(X\right)=X^{2}-aX-b$.
Supposons que ce polynôme admet deux racines $r_{1},r_{2}\in K$ — si $K=\mathbb {C}$, c'est toujours le cas. On peut donc écrire :
    $P\left(X\right)=\left(X-r_{1}\right)\left(X-r_{2}\right)$.
Le cas $r_{1}=r_{2}$ est celui où P admet une racine double, c'est-à-dire où $r_{1}$ est également racine de la dérivée de P :
    $P'\left(X\right)=2X-a$.
* Si $r_{1}\neq r_{2}$, alors $\left(\left(r_{1}^{n}\right)_{n\in \mathbb {N} },\left(r_{2}^{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }\right)$ est une base de ${\mathcal {S}}_{0}$.
* Si $r_{1}=r_{2}$, alors $\left(\left(r_{1}^{n}\right)_{n\in \mathbb {N} },\left(nr_{1}^{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }\right)$ est une base de ${\mathcal {S}}_{0}$.
Vérifions d'abord que (dans les deux cas) les deux suites mentionnées appartiennent bien à ${\mathcal {S}}_{0}$. Soit $r\in K$. Pour tout $n\in \mathbb {N}$ :
* $r^{n+2}-ar^{n+1}-br^{n}=r^{n}\left(r^{2}-ar-b\right)=r^{n}P\left(r\right)$ (y compris pour $n=0$, avec la convention $r^{0}=1$ même si $r=0$) donc la suite $\left(r^{n}\right)$ appartient à ${\mathcal {S}}_{0}$ si et seulement si $P(r)=0$.
* $\left(n+2\right)r^{n+2}-a\left(n+1\right)r^{n+1}-bnr^{n}=nr^{n}\left(r^{2}-ar-b\right)+r^{n+1}\left(2r-a\right)=nr^{n}P\left(r\right)+r^{n+1}P'\left(r\right)$ donc si $P(r)=0$, la suite $\left(nr^{n}\right)$ appartient aussi à ${\mathcal {S}}_{0}$ si et seulement si $P'(r)=0$.
Puisque ${\mathcal {S}}_{0}$ est de dimension 2, pour montrer que les deux suites mentionnées forment une base de ${\mathcal {S}}_{0}$, il suffit de vérifier (dans les deux cas) qu'elles sont linéairement indépendantes.
Si $r_{1}\neq r_{2}$, les deux suites $\left(r_{1}^{n}\right)_{n}$ et $\left(r_{2}^{n}\right)_{n}$ sont linéairement indépendantes : soient $\alpha ,\beta \in K$ tels que $\alpha \left(r_{1}^{n}\right)_{n}+\beta \left(r_{2}^{n}\right)_{n}=0$. Alors :
* pour n = 0, $\alpha +\beta =0$, donc $\beta =-\alpha$ ;
* pour n = 1, $\alpha r_{1}+\beta r_{2}=0$, donc $\alpha \left(r_{1}-r_{2}\right)=0$.
Or les deux racines sont distinctes par hypothèse, donc $\alpha =\beta =0$.
On vérifie de même (exercice) que pour tout $r\in K$, les deux suites $\left(r^{n}\right)_{n}$ et $\left(nr^{n}\right)_{n}$ sont linéairement indépendantes.

## Cas affine

On note ${\mathcal {S}}$ l’ensemble des suites vérifiant la relation de récurrence affine $u_{n+2}=au_{n+1}+bu_{n}+c$.
Les suites vérifiant la récurrence affine sont exactement les sommes de l'une d'entre elles et d'une suite vérifiant la récurrence linéaire.
Soit $v\in {\mathcal {S}}$. Alors, une suite $w$ appartient à ${\mathcal {S}}$ si et seulement si $w-v$ vérifie : $\left(w_{n+2}-v_{n+2}\right)-a\left(w_{n+1}-v_{n+1}\right)-b\left(w_{n}-v_{n}\right)=0$, c'est-à-dire si $w-v\in {\mathcal {S}}_{0}$.
Pour pouvoir affirmer que ${\mathcal {S}}$ est un espace affine de direction ${\mathcal {S}}_{0}$, il reste donc à trouver, en fonction de $c$ (supposé non nul), un élément particulier de ${\mathcal {S}}$.

### Premier cas : P(1) ≠ 0

On suppose que $P\left(1\right)=1-a-b\neq 0$. Cherchons un scalaire $\alpha$ tel que la suite (constante) de terme général : $v_{n}=\alpha$ soit une solution particulière de la récurrence affine.
$v_{n+2}-av_{n+1}-bv_{n}-c=(1-a-b)\alpha -c$ est nul pour tout n si et seulement si $(1-a-b)\alpha =c$.
La solution est donc : $v_{n}={\frac {c}{1-a-b}}$.

### Second cas : P(1) = 0

On suppose maintenant que : $P\left(1\right)=1-a-b=0$.

#### Second cas, premier sous-cas : P'(1) ≠ 0

On suppose que $P'(1)=2-a\neq 0$. Cherchons un scalaire $\alpha$ tel que la suite $v_{n}=\alpha n$ soit une solution particulière de la récurrence affine.
${\begin{aligned}v_{n+2}-av_{n+1}-bv_{n}-c&=\alpha \left(n+2\right)-a\alpha \left(n+1\right)-b\alpha n-c\\\ &=n\alpha \left(1-a-b\right)+\alpha \left(2-a\right)-c\\\ &=\alpha \left(2-a\right)-c\end{aligned}}$
est nul pour tout n si et seulement si $\alpha (2-a)=c$.
La solution est donc : $v_{n}={\frac {cn}{2-a}}$.

#### Second cas, second sous-cas : P'(1) = 0

On suppose que P'(1) = 0. Cherchons un scalaire $\alpha$ tel que la suite $v_{n}=\alpha n^{2}$ soit une solution particulière de la récurrence affine.
On trouve par les mêmes méthodes que précédemment que la solution est : $v_{n}={\frac {cn^{2}}{2}}$.

## Cas des suites réelles

Si $K=\mathbb {R}$ et si le discriminant $a^{2}+4b$ du polynôme caractéristique P est strictement négatif, les racines complexes $r_{1}$ et $r_{2}$ de P sont distinctes mais non réelles. Elles sont conjuguées l'une de l'autre : $r_{1}=\rho \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }$ et $r_{2}={\overline {r_{1}}}=\rho \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \theta }$.
Les suites complexes solutions sont donc, dans le cas général, toutes les suites de la forme :
    $u_{n}=\lambda \rho ^{n}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\theta }+\mu \rho ^{n}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} n\theta }$ avec $\lambda ,\mu$ paramètres complexes.
Par le changement de paramètres $A=\lambda +\mu ,\;B=\mathrm {i} (\lambda -\mu )$, ce sont aussi les suites de la forme
    $u_{n}=\rho ^{n}(A\cos(n\theta )+B\sin(n\theta ))$ avec $A,B$ paramètres complexes.
Les suites réelles solutions sont donc les suites de la forme
    $u_{n}=\rho ^{n}(A\cos(n\theta )+B\sin(n\theta ))$ avec $A,B$ paramètres réels.
En effet, la condition sur les paramètres A, B (complexes a priori) pour que cette suite soit à valeurs réelles est que A et B soient réels : c'est immédiat dans un sens (si A, B sont réels alors la suite est réelle), et pour la réciproque il suffit de remarquer que $u_{0}=A,u_{1}=A\rho \cos \theta +B\rho \sin \theta$ et $\rho \sin \theta$ non nul (donc si $u_{0},u_{1}$ sont réels alors A et B aussi).

## Cas des suites entières

Lorsque les trois coefficients $a,b,c$ de la récurrence et les deux valeurs initiales $u_{0},u_{1}$ de la suite sont des entiers (relatifs), la suite est évidemment à valeurs entières. Si ces cinq entiers sont positifs ou nuls, elle est même à valeurs dans $\mathbb {N}$, comme la suite de Fibonacci.

## Résumé et conclusion

L'étude des suites récurrentes affines d'ordre deux se résume à l'étude de leur polynôme caractéristique. La solution générale est la somme de la solution de l'équation linéaire et d'une solution particulière.
Ces suites peuvent toujours être « résolues » complètement. La connaissance des racines d'un polynôme de degré 2 suffit.
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