# Théorie des groupes/Groupes commutatifs finis, 1

Dans tout ce chapitre, les groupes commutatifs seront notés additivement. L'élément neutre sera donc noté 0; le symétrique d'un élément x sera noté - x et appelé l'opposé de x; enfin, n étant un entier rationnel, on écrira nx au lieu de x$^n$.

## Ordre d'un composé d'éléments et ordre d'un composé de sous-groupes dans un groupe commutatif fini

Soient G un groupe et x$_1$, ..., x$_n$ des éléments d'ordres finis de G qui commutent entre eux. L'ordre du composé x$_1$ ... x$_n$ divise le ppcm des ordres de x$_1$, ..., x$_n$ (et donc aussi le produit de ces ordres).
Démonstration. Vu l'associativité du ppcm, il suffit de le démontrer dans le cas n = 2, le cas général s'en déduisant par récurrence sur n. Pour le cas n = 2, voir un problème de la série Groupes monogènes, ordre d'un élément.
Soit G un groupe. Le sous-groupe de G engendré par une famille de sous-groupes de G est parfois appelé le composé de ces sous-groupes. Nous adopterons cette expression, qui rend les expressions un peu moins lourdes.
Soient G un groupe commutatif fini et H$_1$, ..., H$_n$ des sous-groupes de G. Le composé de H$_1$, ..., H$_n$ est l’ensemble H$_1$ .H$_2$ ... H$_n$.
Démonstration. Comme tout sous-groupe d'un groupe commutatif est distingué, c’est un cas particulier d'un théorème démontré pour les sous-groupes distingués. On peut évidemment le démontrer sans utiliser la notion de sous-groupe distingué. (Laissé au lecteur.)
Soient G un groupe commutatif fini et H$_1$, ..., H$_n$ des sous-groupes de G. L'ordre du composé de H$_1$, ..., H$_n$ divise le produit des ordres de H$_1$, ..., H$_n$.
Démonstration. Ici encore, c’est un cas particulier d'un théorème relatif aux sous-groupes distingués, mais nous allons le démontrer sans utiliser la notion de sous-groupe distingué. Il suffit de démontrer l'énoncé dans le cas n = 2, le cas général s'en déduisant par récurrence sur n. Soient donc H$_1$ et H$_2$ deux sous-groupes de G; il s'agit de prouver que l’ordre du composé de H$_1$ et H$_2$ divise $\vert H_{1}\vert \cdot \vert H_{2}\vert$. D'après le précédent lemme, le composé de H$_1$ et H$_2$ est l’ensemble H$_1$ H$_2$ et d’après la formule du produit (démontrée au chapitre Produit de groupes), le cardinal de cet ensemble divise $\vert H_{1}\vert \cdot \vert H_{2}\vert$.

## Théorème de Cauchy

Pour rendre ce chapitre aussi autonome que possible, on va démontrer le théorème de Cauchy pour les groupes commutatifs par une méthode qui ne fait intervenir ni les théorèmes de Sylow ni les opérations d'un groupe sur un ensemble.
Soient G un groupe commutatif fini et p un nombre premier divisant l’ordre de G. Il existe au moins un élément de G qui est d'ordre p.
Démonstration. Soient x$_1$, ..., x$_n$ les éléments de G. Pour chaque i, désignons par <x$_i$> le sous-groupe de G engendré par x$_i$. Il est clair que G est égal à l’ensemble <x$_1$> ... <x$_n$>. D'après le lemme précédent, il en résulte que l’ordre de G divise $\ \vert <x_{1}>\vert \ldots \vert <x_{n}>\vert$. Puisque p divise l’ordre de G, p divise donc l’ordre d'au moins un <x$_i$>, ce qui revient à dire que p divise l’ordre d'un élément x de G. Soit rp l’ordre de x, avec r naturel. Alors rx est d'ordre p, ce qui prouve l'énoncé.

## Composantes primaires d'un groupe commutatif fini

Soient G un groupe commutatif fini et p un nombre premier. Il résulte du théorème de Cauchy que les deux conditions suivantes sont équivalentes : 1° l’ordre de G est une puissance de p; 2° tout élément de G a pour ordre une puissance de p.
Soit p un nombre premier. Un groupe commutatif fini dont l’ordre est une puissance de p, ou, ce qui revient au même, un groupe commutatif fini dont tout élément a pour ordre une puissance de p, est appelé un groupe p-primaire. Nous dirons qu'un groupe G est primaire s'il existe un nombre premier p tel que G soit p-primaire.
Remarque. Il est clair qu'un groupe fini est p-primaire si et seulement si c’est un p-groupe commutatif. Quand on traite de groupes commutatifs, on préfère parler de groupes p-primaires plutôt que de p-groupes.
Soient G un groupe commutatif fini et p un nombre premier. Puisque G est commutatif, tous ses sous-groupes sont distingués. Il en résulte que G admet un seul p-sous-groupe de Sylow, soit P. Puisque tout p-sous-groupe de G est contenu dans un p-sous-groupe de Sylow de G, il est clair que P est l’ensemble des éléments de G dont l’ordre est une puissance de p. Donc, si G est un groupe commutatif fini et p un nombre premier, l’ensemble des éléments de G dont l’ordre est puissance de p est un sous-groupe de G. On rendra cependant le présent chapitre indépendant de la théorie des sous-groupes de Sylow, car on peut le faire à très peu de frais et les théorèmes sur la structure des groupes commutatifs finis (ainsi que certaines de leurs généralisations immédiates) sont utilisés dans des domaines où la notion de sous-groupe de Sylow n'intervient pas.
Soient G un groupe commutatif (non forcément fini) et p un nombre premier. Les éléments de G dont l’ordre est une puissance de p forment un sous-groupe de G.
Démonstration (indépendante de la théorie des sous-groupes de Sylow) : voir exercices.
Si G est un groupe commutatif fini et p un nombre premier, le sous-groupe de G formé par les éléments ayant pour ordre une puissance de p est évidemment p-primaire.
Soient G un groupe commutatif fini et p un nombre premier. Le sous-groupe de G formé par les éléments dont l’ordre est une puissance de p est appelé la composante p-primaire de G. Nous dirons qu'un sous-groupe H de G est une composante primaire de G s'il existe un nombre premier p divisant l’ordre de G tel que H soit la composante p-primaire de G.
Le théorème qui suit explique cette dénomination.
Tout groupe commutatif fini est somme directe de ses composantes primaires.
Démonstration. C'est un cas particulier d'un théorème que nous avons démontré pour les groupes nilpotents finis, mais, pour rendre ce chapitre aussi autonome que possible, nous allons donner une démonstration indépendante de la théorie des groupes nilpotents. Soit G un groupe commutatif fini, soit n son ordre, soient p$_1$, ..., p$_r$ les différents facteurs premiers de n. Pour chaque i ( 1 ≤ i ≤ n ), désignons par
    $G_{p_{i}}$
la composante p$_i$-primaire de G. Il s'agit de prouver que G est la somme directe
    $G_{p_{1}}\oplus \ldots \oplus G_{p_{r}}.$
C'est banal si G est réduit à l'élément neutre. Nous supposerons donc qu’il ne l'est pas, d'où r ≥ 1. Commençons par prouver que tout élément x de G peut s'écrire
    $(1)\qquad x=x_{1}+\ldots +x_{r},$
avec
    $x_{i}\in G_{p_{i}}$
pour tout i. Soit
    $n=p_{1}^{e_{1}}\ldots p_{r}^{e_{r}}$
la décomposition de n en facteurs premiers. Pour chaque i, posons
    $n_{i}=n/p_{i}^{e_{i}}.$
Les n$_i$ sont premiers entre eux dans leur ensemble. En effet, puisque nous supposons r ≥ 1, un facteur premier commun à tous les n$_i$ diviserait au moins un n$_i$, donc diviserait n, donc serait égal à un p$_j$. Mais p$_j$ ne divise pas n$_j$, donc les n$_i$ sont premiers entre eux dans leur ensemble comme annoncé. D'après le théorème de Bézout, il existe donc des entiers rationnels c$_1$, ... , c$_r$ tels que
    $c_{1}n_{1}+\ldots +c_{r}n_{r}=1$
d'où
    $(2)\qquad c_{1}n_{1}x+\ldots +c_{r}n_{r}x=x.$
Pour chaque i, c$_i$ n$_i$ x appartient à $G_{p_{i}}$, car :$p_{i}^{e^{i}}(c_{i}n_{i}x)=c_{i}nx=0.$ La relation (2) prouve donc notre thèse (1). Prouvons maintenant que la décomposition (1) de x en somme d'éléments des composantes primaires de G est unique. Il revient au même de prouver que si
    $(3)\qquad x_{1}+\ldots +x_{r}=0$
avec
    $x_{i}\in G_{p_{i}}$
pour tout i, alors
    $(4)\qquad x_{1}=...=x_{r}=0.$
Pour tout indice j, la relation (3) peut s'écrire
    $x_{j}=\sum _{i\not =j}(-x_{i})$.
Chaque terme - x$_i$ du second membre a pour ordre une puissance de p$_i$ et est donc d'ordre premier avec p$_j$. D'après un précédent lemme, il en résulte que l’ordre du second membre, et donc aussi l’ordre du premier membre, est premier avec p$_j$. Puisque le premier membre est égal à x$_j$ et a donc pour ordre une puissance de p$_j$, l’ordre de x$_j$ est à la fois puissance de p$_j$ et premier avec p$_j$, donc est égal à 1, donc x$_j$ = 0. Ceci étant démontré pour tout indice j, notre thèse (4) est démontrée.
Soient G un groupe commutatif fini et p un nombre premier. L'ordre de la composante p-primaire de G est la plus grande puissance de p qui divise l’ordre de G.
Démonstration. C'est banal si p ne divise pas l’ordre de G, donc nous supposerons qu’il le divise. Soient n l’ordre de G, soient p$_1$, ... , p$_s$ les différents facteurs premiers de n et, pour chaque i, soit $p_{i}^{e_{i}}$ la plus grande puissance de p$_i$ qui divise n. Donc
    $(1)\qquad n=\prod _{i}p_{i}^{e_{i}}$.
D'autre part, l’ordre de la composante p$_i$-primaire de G est de la forme $p_{i}^{f_{i}}$, d'où, d’après le théorème précédent,
    $(2)\qquad n=\prod _{i}p_{i}^{f_{i}}$.
La comparaison de (1) et (2) montre que f$_i$ = e$_i$ pour tout i. Comme p est un des p$_i$, ceci démontre l'énoncé.
Soit G un groupe commutatif fini d'ordre ab, où a et b sont des nombres naturels premiers entre eux; G est somme directe d'un sous-groupe d'ordre a et d'un sous-groupe d'ordre b.
Démonstration. Soit $\ a=p_{1}^{e_{1}}\ldots p_{r}^{e_{r}}$ la décomposition de a en facteurs premiers, soit $\ b=q_{1}^{f_{1}}\ldots q_{s}^{f_{s}}$ celle de b. Puisque a et b sont premiers entre eux, la décomposition de ab en facteurs premiers est $\ ab=p_{1}^{e_{1}}\ldots p_{r}^{e_{r}}q_{1}^{f_{1}}\ldots q_{s}^{f_{s}}$. Donc G est somme directe $H_{1}\oplus \ldots \oplus H_{r}\oplus K_{1}\oplus \ldots \oplus K_{s}$, où, pour chaque i, H$_i$ est d'ordre $\ p_{i}^{e_{i}}$ et où, pour chaque j, K$_j$ est d'ordre $\ q_{j}^{f_{j}}$. Posons $\ A=H_{1}\oplus \ldots \oplus H_{r}$ et $\ B=K_{1}\oplus \ldots \oplus K_{s}$. Alors A est d'ordre a, B est d'ordre b et G est somme directe de A et de B, ce qui prouve l'énoncé. Remarque. Sous les hypothèses du corollaire 2, G admet un et un seul sous-groupe d'ordre a, qui est l’ensemble des x tels que ax = 0. Voir les exercices.

## Les groupes commutatifs d'exposant premier comme espaces vectoriels

Dans cette section, on va utiliser, en les supposant connues du lecteur, les notions les plus classiques sur les espaces vectoriels (bases, dimension). Ces notions et propriétés interviendront encore dans la suite du chapitre.
Soient G un groupe et n un nombre naturel. Si pour tout élément x de G, x$^n$ = 1, on dit que G est d'exposant n.
S'il existe un nombre naturel non nul n tel que le groupe G soit d'exposant n (ce qui est forcément le cas si G est fini, car alors l'ordre de G convient comme nombre n), il existe un plus petit nombre naturel non nul, soit n$_0$, possédant cette propriété. On montre facilement que n$_0$ divise tout nombre naturel n tel que G soit d'exposant n.
Soient G un groupe fini. Le plus petit nombre naturel n tel que x$^n$ = 1 pour tout élément x de G (autrement dit tel que G soit d'exposant n) est appelé l'exposant minimal de G, ou encore l'exposant de G.
Soit G un groupe. S'il n'existe pas de nombre naturel non nul n tel que le groupe G soit d'exposant n (ce qui entraîne que G est infini), on définit l'exposant de G comme égal à ∞ (l'infini). (Cela n'importe guère dans le présent chapitre, où tous les groupes considérés sont finis.)
Remarque. Certains auteurs usent d'une autre terminologie. Pour eux, dire que G est d'exposant n revient à dire que n est l'exposant de G.
Soit G un groupe commutatif (noté additivement) d'exposant p premier. G est somme directe d'une famille de sous-groupes d'ordre p.
Démonstration. Par hypothèse, nous avons p x = 0 pour tout élément x de G. Si r et s sont deux entiers rationnels congrus entre eux modulo p, il est clair que r x = s x. On en tire facilement qu’il existe une (et une seule) application de Z/pZ × G dans G qui, pour tout entier rationnel r et tout élément x de G, applique (r + pZ, x) sur r x. Comme on le vérifie, on munit ainsi G d'une structure d'espace vectoriel sur le corps F$_p$ = Z/pZ, pour laquelle l'addition des vecteurs est la loi de groupe de G. (Pour la structure de corps de Z/pZ, voir le chapitre Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z.) Cette structure est unique car si * est la loi externe d'une telle structure d'espace vectoriel et si, de façon générale, [n] désigne la classe résiduelle de n modulo p, on doit avoir [1] * x = x pour tout x dans G, d'où, par récurrence sur n,
    [n] * x = n x pour tout x dans G.
Comme tout espace vectoriel, l'espace vectoriel G ainsi défini admet une base, ce qui entraîne que le groupe additif de cet espace vectoriel, autrement dit le groupe additif G, est somme directe d'une famille de groupes isomorphes au groupe additif du corps F$_p$, autrement dit au groupe $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$, ce qui achève la démonstration.
Remarques. 1° De façon générale, soit $G$ un groupe, soit $x$ un élément de $G$; notons $f_{x}$ l'homomorphisme $n\mapsto nx$ de $\mathbb {Z}$ dans $G.$ Si $G$ satisfait aux hypothèses du théorème qui précède, le sous-groupe $p\mathbb {Z}$ de $\mathbb {Z}$ est contenu dans le noyau de $f_{x}$, donc, d'après un énoncé que nous avons appelé « variante du premier théorème d'isomorphisme » (chapitre Sous-groupe distingué et groupe quotient), il existe un et un seul homomorphisme $h_{x}$ du groupe $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ dans $G$ tel que, pour tout $n$ dans $\mathbb {Z}$, $h_{x}(n+p\mathbb {Z} )=f_{x}(n)=nx.$ Alors la loi externe $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \times G\to G:(u,x)\mapsto h_{x}(u)$ et l'addition dans $G$ font de $G$ un espace vectoriel sur le corps $\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$. C'est une rédaction un peu plus « professionnelle » du début de la démonstration du théorème qui précède.
2° Le fait qu'un groupe abélien d'exposant premier p soit un espace vectoriel sur le corps à p éléments peut se mettre en rapport avec un fait plus général concernant les modules. On a vu au chapitre Groupes, premières notions qu'un groupe abélien G est (d'une et une seule manière) un ℤ-module. De façon générale, si A est un anneau et M un A-module à gauche, l'ensemble des éléments a de A tels que ax = 0 pour tout élément x de M est un idéal bilatère de A, appelé l'annulateur de M. Pour tout idéal bilatère J de A contenu dans l'annulateur de M, M se munit de façon évidente d'une structure de (A/J)-module. Si on prend pour A l'anneau ℤ et pour M le ℤ-module G, le fait que G soit d'exposant p revient à dire que l'idéal pℤ de ℤ est contenu dans l'annulateur du ℤ-module G, donc G se munit d'une structure de (ℤ/pℤ)-module, autrement dit d'une structure de $\mathbb {F} _{p}$-espace vectoriel.
3° On peut ajouter que dans l'espace vectoriel G, comme dans tout espace vectoriel, toute famille libre peut être complétée en une base et deux bases ont toujours le même cardinal. On vérifie facilement que les sous-groupes de G sont exactement ses sous-F$_p$-espaces vectoriels.
Un groupe commutatif d'exposant premier p, autrement dit une somme directe de groupes d'ordre p, est appelé un p-groupe abélien élémentaire. Si le groupe est non nul, le nombre premier p est défini de façon unique.
Chez certains auteurs, un groupe G est dit abélien élémentaire s'il existe un nombre premier p tel que G soit un p-groupe abélien élémentaire. Si G est non nul, ce nombre premier est défini de façon unique.

## Décomposition d'un groupe commutatif fini en somme directe de groupes cycliques

Voir aussi « Module sur un anneau/Module sur un anneau principal » (appliqué à l'anneau $\mathbb {Z}$), qui offre même une décomposition de tout groupe abélien de type fini.
Nous allons démontrer le théorème de Kronecker, selon lequel tout groupe commutatif fini est somme directe de sous-groupes cycliques. Puisque nous avons démontré que tout groupe commutatif fini est somme directe de ses composantes primaires, il suffira de prouver que si p est un nombre premier, tout groupe (commutatif) p-primaire est somme directe de sous-groupes cycliques.
Soit G un groupe commutatif. Convenons de dire qu' une famille (x$_1$, ..., x$_r$) d'éléments de G est indépendante si les x$_i$ sont tous non nuls et si, pour tous entiers rationnels a$_1$, ..., a$_r$, la relation a$_1$ x$_1$ +...+ a$_r$ x$_r$=0 entraîne a$_1$ x$_1$ = ... = a$_r$ x$_r$ = 0. Il revient au même de dire que les x$_i$ sont tous non nuls et que le sous-groupe de G engendré par les x$_i$ est somme directe de la famille (<x$_i$>).
Remarque. À l'intention du lecteur qui connaît la notion de module sur un anneau, notons que la condition a$_i$ x$_i$ = 0 n'entraîne pas forcément a$_i$ = 0, de sorte que l'indépendance qu'on vient de définir n’est pas équivalente à l'indépendance linéaire dans le Z-module G.
Soient p un nombre premier et G un groupe commutatif d'exposant p. Une famille (x$_1$, ..., x$_r$) d'éléments de G est indépendante si et seulement si c’est une famille linéairement indépendante (autrement dit libre) dans le $\mathbb {F} _{p}$-espace vectoriel G.
Démonstration. Voir les exercices.
Soient p un nombre premier et G un groupe commutatif fini d'exposant p (autrement dit un p-groupe abélien élémentaire). Toute famille indépendante x$_1$, ... , x$_n$ d'éléments de G peut être étendue en une famille indépendante x$_1$, ... , x$_n$, y$_1$, ... , y$_r$ telle que
    $G=<x_{1}>\oplus \ldots \oplus <x_{n}>\oplus <y_{1}>\oplus \ldots <y_{r}>.$
Première démonstration. D'après le lemme qui précède, x$_1$, ... , x$_n$ d'éléments de G est une famille linéairement indépendante dans le $\mathbb {F} _{p}$-espace vectoriel G. D'après la théorie des espaces vectoriels, cette famille peut être étendue en une base du $\mathbb {F} _{p}$-espace vectoriel G. Puisque G est fini, cette base est évidemment finie et convient pour la famille x$_1$, ... , x$_n$, y$_1$, ... , y$_r$ de l'énoncé. (La possibilité d'étendre une partie libre d'un espace vectoriel en une base n'étant pas limitée aux espaces de dimension finie, on voit que l'énoncé reste vrai, mutatis mutandis, si on supprime l'hypothèse selon laquelle G est fini.)
Seconde démonstration. Voici une démonstration qui évite le langage des espaces vectoriels. Il y a au moins une famille indépendante d'éléments de G qui prolonge x$_1$, ... , x$_n$, à savoir cette famille elle-même. Nous pouvons donc considérer, parmi les familles indépendantes qui prolongent x$_1$, ... , x$_n$, une famille x$_1$, ... , x$_n$, ... , x$_t$ pour laquelle t est maximal. Prouvons que
    $G=<x_{1}>\oplus \ldots <x_{t}>.$
Désignons par H le second membre et supposons que, par absurde, H ne soit pas G tout entier. Il existe donc un élément y de G qui n'appartient pas au sous-groupe H. Prouvons que $H\cap <y>=0$. Il est clair que y n’est pas nul, donc, puisque G est d'exposant p, y est d'ordre p. Donc l'image de y dans G/H a pour ordre un diviseur de p (voir un problème de la série Groupes monogènes, ordre d'un élément). Puisque y n'appartient pas à H, l’ordre de son image dans G/H n’est pas égal à 1 et est donc égal à p. Il en résulte que si s est un entier rationnel tel que s y appartienne à H, alors s est divisible par p, donc s y = 0, ce qui montre que $H\cap <y>=0$ comme annoncé. Donc H <y> est somme directe de H et de <y>, donc <x$_1$> ... <x$_t$ <y> est somme directe
    $<x_{1}>\oplus \ldots <x_{t}>\oplus <y>,$
autrement dit (puisque y n’est pas nul) la famille x$_1$, ... , x$_t$, y est indépendante, ce qui contredit la maximalité de t. Cette contradiction démontre l'énoncé.
Tout groupe commutatif fini d'exposant premier p est somme directe de sous-groupes cycliques d'ordre p.
Démonstration. D'après le lemme précédent, la famille vide d'éléments d'un tel groupe, qui est indépendante, peut être prolongée en une famille indépendante x$_1$, ... , x$_n$ telle que
    $G=<x_{1}>\oplus \ldots \oplus <x_{n}>.$
Soient p un nombre premier, G un groupe commutatif p-primaire et (x$_1$, ..., x$_r$) une famille d'éléments de G.
Si la famille (px$_1$, ..., px$_r$) est indépendante, la famille (x$_1$, ..., x$_r$) l'est aussi.
Démonstration. Soient a$_1$, ..., a$_r$ des entiers rationnels tels que
    (1) a$_1$ x$_1$ + ... + a$_r$ x$_r$ = 0.
Il s'agit de prouver que
    (2) a$_i$ x$_i$ = 0 pour tout i.
De la relation (1) résulte
    p(a$_1$ x$_1$+ ... + a$_r$ x$_r$) = 0,
ce qui peut s'écrire
    a$_1$ px$_1$+ ... + a$_r$ px$_r$,
d'où, puisque la famille (px$_1$, ..., px$_r$) est supposée indépendante,
    a$_i$ px$_i$ = 0 pour tout i.
Donc l’ordre de px$_i$ divise a$_i$. Si, pour un i, a$_i$ était non divisible par p, l’ordre de px$_i$ serait donc non divisible par p. Puisque l’ordre de px$_i$ (comme l’ordre de tout élément de G) est une puissance de p, l’ordre de px$_i$ serait donc égal à 1, donc px$_i$ serait nul, ce qui (par définition d'une famille indépendante) contredit l'hypothèse selon laquelle la famille (px$_1$, ..., px$_r$) est indépendante. Nous avons donc prouvé que, dans la relation (1), tous les a$_i$ sont divisibles par p. Posons a$_i$ = p b$_i$, avec b$_i$ entier rationnel. La relation (1) s'écrit
    b$_1$ p x$_1$ + ... + b$_r$ p x$_r$ = 0,
d'où, puisque la famille (px$_1$, ..., px$_r$) est supposée indépendante,
    b$_i$ p x$_i$ = 0 pour tout i,
autrement dit
    (2) a$_i$ x$_i$ = 0 pour tout i,
ce qui est notre thèse (2).
Soient p un nombre premier, G un groupe commutatif p-primaire et (x$_1$, ..., x$_r$) une famille indépendante d'éléments de G. Si c$_1$, ..., c$_r$ sont des entiers rationnels tels que, pour tout i, c$_i$ x$_i$ ≠ 0, alors la famille (c$_1$ x$_1$, ..., c$_r$ x$_r$) est elle aussi une famille indépendante.
Démonstration. Nous savons déjà, par hypothèse, que les c$_i$ x$_i$ sont non nuls. Il reste donc à prouver que si a$_1$, ..., a$_r$ sont des entiers rationnels tels que a$_1$ c$_1$ x$_1$ + ... + a$_r$ c$_r$ x$_r$ = 0, alors a$_i$ c$_i$ x$_i$ = 0 pour tout i. Cela résulte immédiatement du fait que les x$_i$ forment une famille indépendante.
Tout groupe commutatif fini est somme directe de sous-groupes cycliques primaires.
Démonstration. D'après un précédent théorème, tout groupe commutatif fini est somme directe de ses composantes primaires. Il suffit donc de prouver que pour tout nombre premier p, tout groupe p-primaire est somme directe de sous-groupes cycliques. Soit G un groupe p-primaire. Il existe un nombre naturel n tel que G soit d'exposant p$^n$, par exemple le nombre naturel n tel que G soit d'ordre p$^n$. Notre thèse peut s'exprimer comme suit : tout groupe p-primaire d'exposant n est somme directe de sous-groupes cycliques. Nous allons prouver cet énoncé par récurrence sur n. C'est banal si n = 0 car alors G est réduit à l'élément neutre et est par exemple somme directe d'une famille vide de sous-groupes cycliques. Si n = 1, notre thèse est l'énoncé d'un lemme démontré ci-dessus. Supposons que n soit un nombre naturel ≥ 2 tel que notre thèse soit vraie pour tout groupe p-primaire d'exposant p$^{n-1}$ et prouvons qu'elle est vraie pour tout groupe p-primaire d'exposant p$^n$.
Soit donc G un groupe p-primaire d'exposant p$^n$. Il s'agit de prouver que G est somme directe de sous-groupes cycliques. Désignons par $\ pG$ l’ensemble des éléments de G de la forme p x avec x dans G, et par G$_p$ l’ensemble des éléments x de G tels que p x = 0. Il est clair que p G est un groupe d'exposant n - 1 et G$_p$ un groupe d'exposant p. Par hypothèse de récurrence, p G est somme directe de sous-groupes cycliques, donc il existe des éléments x$_1$, ... , x$_r$ de G tels que
    $(1)\qquad pG=<px_{1}>\oplus \ldots <px_{r}>.$
Nous pouvons évidemment choisir les x$_i$ de sorte que tous les p x$_i$ soient non nuls. La relation (1) montre alors que les p x$_i$ forment une famille indépendante d'éléments de G. D'après un précédent lemme, les x$_i$ forment eux aussi une famille indépendante. Donc le sous-groupe X de G engendré par les x$_i$ est somme directe des <x$_i$> :
    $X=<x_{1}>\oplus \ldots \oplus <x_{r}>.$
Pour chaque i, désignons par c$_i$ l’ordre de p x$_i$. Prouvons que l’ordre de c$_i$ x$_i$ est égal à p. Nous avons
    p c$_i$ x$_i$ = 0,
donc c$_i$ x$_i$ est d'ordre 1 ou p. S'il était d'ordre 1, c'est-à-dire s'il était nul, on aurait
    $(2)\qquad c_{i}x_{i}=0.$
D'autre part, puisque les p x$_i$ ont été choisis non nuls, les c$_i$ sont tous distincts de 1. Puisque tout élément de G a pour ordre une puissance de p, les c$_i$ sont donc tous divisibles par p. Posons c$_i$ = p c'$_i$. La relation (2) peut s'écrire
    $\qquad c'_{i}px_{i}=0$
avec 0 < c'$_i$ < c$_i$, ce qui contredit le fait que p x$_i$ est d'ordre c$_i$. Nous avons donc prouvé que, pour tout i, c$_i$ x$_i$ est d'ordre p, autrement dit que c$_i$ x$_i$ appartient à G$_p$ et est non nul. D'après un précédent lemme, il en résulte que les c$_i$ x$_i$ forment une famille indépendante d'éléments de G$_p$ (et donc une famille libre dans le F$_p$-espace vectoriel G$_p$). D'après un autre lemme démontré plus haut, cette famille peut être étendue en une famille indépendante qui engendre G$_p$ (autrement dit en une base du F$_p$-espace vectoriel G$_p$). Choisissons une telle famille c$_1$ x$_1$, ... , c$_r$ x$_r$, y$_1$, ... , y$_s$. Désignons par Y le sous-groupe de G$_p$ engendré par les y$_j$. Puisque les y$_j$ font partie d'une famille indépendante, ils forment eux-mêmes une famille indépendante, donc Y est somme directe des <y$_j$> :
    $Y=\langle y_{1}\rangle \oplus \ldots \oplus \langle y_{s}\rangle$.
Prouvons que G est somme directe de X et de Y. Prouvons tout d’abord que $X\cap Y=0.$ Soit g un élément de $X\cap Y.$ Il s'agit de prouver que g est nul. Puisque g appartient à la fois à X et à Y, nous avons à la fois
    $(3)\qquad g=\sum a_{i}x_{i}$
et
    $(4)\qquad g=\sum b_{j}y_{j}.$
Puisque g appartient à Y, qui est contenu dans G$_p$, p g = 0, donc
    $\sum a_{i}px_{i}=0,$
donc, puisque les p x$_i$ sont indépendants, a$_i$ p x$_i$ = 0 pour tout i. Puisque l’ordre de p x$_i$ est c$_i$, il en résulte que, pour chaque i, a$_i$ est divisible par c$_i$. Soit a$_i$ = a'$_i$ c$_i$, où a'$_i$ est un nombre naturel. La relation (3) peut s'écrire
    $g=\sum a'_{i}c_{i}x_{i},$
d'où, par comparaison avec (4)
    $\sum a'_{i}c_{i}x_{i}-\sum b_{j}y_{j}=0.$
Puisque la famille c$_1$ x$_1$, ... , c$_r$ x$_r$, y$_1$, ... , y$_s$ a été choisie indépendante, nous avons donc b$_j$ y$_j$ = 0 pour tout j, donc g = 0, ce qui prouve que $X\cap Y=0.$ Prouvons maintenant que X + Y = G. Soit g un élément de G. Il s'agit de prouver que g est somme d'un élément de X et d'un élément de Y. Puisque p g appartient à p G, il résulte de (1) qu’il existe une famille (a$_i$) d'entiers rationnels telle que
    $pg=\sum a_{i}px_{i}.$
On a alors
    (5) $g-\sum a_{i}x_{i}\in G_{p}.$
Puisque la famille famille c$_1$ x$_1$, ... , c$_r$ x$_r$, y$_1$, ... , y$_s$ engendre G$_p$, il résulte clairement de (5) que g appartient à X + Y, comme annoncé.
Tout groupe commutatif fini peut s'écrire comme somme directe
    $G=H_{1}\oplus \ldots \oplus H_{r},$
où les H$_i$ sont cycliques et où, n$_i$ désignant l’ordre de H$_i$,
    $n_{1}\vert n_{2}\vert \ldots \vert \ n_{r}$.
Démonstration. Soient p$_1$, ... , p$_s$ les différents facteurs premiers de l’ordre de G. Pour chaque i, désignons par G$_i$ la composante p$_i$-primaire de G. D'après des résultats précédents,
    (1) $G=G_{1}\oplus \ldots \oplus G_{s}$
et chaque G$_i$ est somme directe de groupes cycliques :
    (2) $G_{i}=C_{i,1}\oplus \ldots C_{i,r_{i}}$
où, pour un i donné, chaque C$_{i,j}$ est un sous-groupe p$_i$-primaire de G. Étant donné un i, nous pouvons évidemment indexer les C$_{i,j}$ de sorte que pour tout j tel que j < r$_i$, l’ordre de C$_{i,j}$ divise l’ordre de C$_{i,j+1}$. De plus, quitte à ajouter des sous-groupes nuls au début de la décomposition de certains G$_i$, nous pouvons évidemment supposer que tous les r$_i$ ont une même valeur r. La relation (2) s'écrit alors
    (3) $G_{i}=C_{i,1}\oplus \ldots \oplus C_{i,r}.$
Pour tout j (1 ≤ j ≤ r), posons
    (4) $H_{j}=C_{1,j}\oplus \ldots \oplus C_{s,j}.$
De (1) et (3) résulte (compte tenu de l' « associativité » et de la « commutativité » de la somme interne)
    (5) $G=H_{1}\oplus \ldots H_{r}.$
D'après (4), chaque H$_j$ est somme directe de groupes cycliques dont les ordres sont premiers entre eux deux à deux, donc chaque H$_j$ est cyclique. De plus
    (6) $\vert H_{j}\vert =\vert C_{1,j}\vert \cdot \ldots \cdot \vert C_{s,j}\vert .$
Nous avons choisi les C$_{i,j}$ de sorte que, si j < r, alors, pour chaque i, l’ordre de C$_{i,j}$ divise l’ordre de C$_{i,j+1}$. Il résulte donc de (6) que, si j < r, l’ordre de H$_j$ divise l’ordre de H$_{j+1}$. L'énoncé est donc démontré.
Si un groupe commutatif fini G peut s'écrire comme somme directe
    $G=H_{1}\oplus \ldots \oplus H_{r},$
où les H$_i$ sont cycliques non nuls et où, n$_i$ désignant l’ordre de H$_i$,
    $n_{1}\vert n_{2}\vert \ldots \vert \ n_{r},$
on dit que G admet la suite de facteurs invariants (n$_1$, ... n$_r$).
D'après le théorème précédent, tout groupe commutatif fini admet au moins une suite de facteurs invariants. Nous verrons plus loin que la suite de facteurs invariants d'un groupe commutatif fini donné est unique. Notons que les facteurs invariants sont les ordres de groupes non nuls, donc 1 ne figure jamais parmi les facteurs invariants.
Dans cette première partie du chapitre sur les groupes commutatifs finis, nous avons démontré des théorèmes d'existence relatifs à certains types de décompositions. Dans la seconde partie, nous démontrerons des théorèmes d'unicité relatifs à ces décompositions.