# Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Optique géométrique : conditions de Gauss
## Stigmatisme et aplanétisme approchés d'un miroir sphérique sous conditions de Gauss

Pour être défini, un miroir sphérique nécessite la connaissance de :
* sa nature « concave » ou « convexe »,
* son centre $\;C\;$ ${\big$centre de courbure de la surface sphérique réfléchissante${\big )}$,
* son rayon de courbure $\;{\big$non algébrisé${\big )}$ $\;R\;$ ${\big$rayon de courbure de la surface sphérique réfléchissante${\big )}$,
* l'axe optique principal dont la partie incidente $\;{\big$ou son prolongement${\big )}\;$ passe par $\;C\;$ et le point objet $\;A_{o}\;$ ${\big$point objet dont on étudiera l'image éventuelle${\big )}\;$ et
* son sommet $\;S\;$ ${\big$intersection de l'axe optique principal et de la surface réfléchissante${\big )}$.
Nous adoptons l'algébrisation physique de l'axe optique principal et, pour unifier l'étude des miroirs sphériques, algébrisons le rayon de courbure du miroir selon $\;{\overline {R}}={\overline {SC}}_{\rightarrow }\;$ avec pour conséquence la nature « concave » ou « convexe » du miroir caractérisé par le signe du rayon de courbure algébrisé :
* si $\;{\overline {R}}={\overline {SC}}_{\rightarrow }>0\;$, $\;C\;$ étant à droite de $\;S\;$ est virtuel, correspondant à un miroir « convexe »,
* si $\;{\overline {R}}={\overline {SC}}_{\rightarrow }<0\;$, $\;C\;$ étant à gauche de $\;S\;$ est réel, correspondant à un miroir « concave ».
* Miroir sphérique convexe : algébrisation de l'axe optique principal, définitions du centre, du sommet et du rayon de courbure algébrisé
* Miroir sphérique concave : algébrisation de l'axe optique principal, définitions du centre, du sommet et du rayon de courbure algébrisé
Dans la suite nous supposerons le miroir sphérique concave et Dans la suite nous admettrons qu'il n'y a pas stigmatisme rigoureux du miroir sphérique pour tous les points objet autres que $\;C\;$ et tous les points du miroir.

### Démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss

Considérant un point objet réel $\;A_{o}\neq C\;$ et l'axe optique principal correspondant de support $\;(A_{o}C)\;$, nous envisageons des rayons incidents issus de $\;A_{o}$, peu inclinés par rapport à l'axe optique principal, d'angle d'inclinaison $\;\theta _{o}\;$ tel que $\;\vert \theta _{o}\vert \ll 1\;$ et dont le point d'incidence $\;I\;$ reste proche du sommet $\;S\;$ c'est-à-dire tel que l'angle que fait la normale au miroir en $\;I\;$ dans le sens incident avec la partie incidente de l'axe optique principal $\;{\widehat {({\overrightarrow {CS}}\,;\,{\vec {N}})}}=$ $\omega \;$ est tel que $\;\vert \omega \vert \ll 1\;$.
Le rayon incident $\;A_{o}I\;$ donnant, par utilisation des lois de Snell - Descartes de la réflexion$^,$, le rayon réfléchi $\;IA_{i}\;$ ${\bigA_{i}\in$ à l'axe optique principal${\big )}$, appelons $\;\theta _{i}\;$ l'angle d'inclinaison du rayon réfléchi par rapport à la partie réfléchie de l'axe optique principal ; nous nous proposons de démontrer que $\;A_{i}\;$ est indépendant du rayon incident considéré ${\big$c'est-à-dire indépendant de $\;\theta _{o}\;$ et de $\;\omega {\big )}\;$ dans la mesure où les conditions de Gauss de stigmatisme approché ${\big\vert \theta _{o}\vert \ll 1\;$ et $\;\vert \omega \vert \ll 1{\big )}\;$ sont réalisées.

#### Établissement de la relation liant θ$_o$, θ$_i$ et ω

* En travaillant dans le triangle $\;A_{o}IC\;$ établir une 1ère relation entre $\;\theta _{o}$, $\;i\;{\big$angle d'incidence du rayon incident en $\;I{\big )}\;$ et $\;\omega$,
* en travaillant dans le triangle $\;A_{i}IC\;$ établir une 2ème relation entre $\;\theta _{i}$, $\;i'\;{\big$angle de réflexion du rayon réfléchi en $\;I{\big )}\;$ et $\;\omega$,
* en utilisant la 2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion et les deux relations précédentes, déduire la relation suivante entre $\;\theta _{o}$, $\;\theta _{i}\;$ et $\;\omega$ : «$\;\omega ={\dfrac {\theta _{o}+\theta _{i}}{2}}\;\;({\mathfrak {a}})\;$».
Dans le triangle $\;A_{o}IC$, «$\;\omega =\theta _{o}+(-i)\;$»$^,$ et
dans le triangle $\;A_{i}IC$, «$\;\theta _{i}=\omega +i'\;$»$^,$ ; en utilisant la 2ème relation de Snell - Descartes pour la réflexion «$\;i'=-i\;$» $\Rightarrow$ la relation ci-dessus se réécrit dans le triangle $\;\color {transparent}{A_{i}IC}$, «$\;\theta _{i}=\omega -i\;$» ;
dans le triangle $\;\color {transparent}{A_{i}IC}$, on élimine alors $\;i\;$ entre ces deux relations en faisant la différence soit : $\;\omega -\theta _{i}=\theta _{o}-\omega \;$ ou $\;2\,\omega =\theta _{o}+\theta _{i}\;$ soit enfin «$\;\omega ={\dfrac {\theta _{o}+\theta _{i}}{2}}\;\;({\mathfrak {a}})\;$».

#### Évaluation des angles θ$_o$, θ$_i$ et ω en fonction des abscisses de A$_o$, A$_i$ et C repérées relativement à H

De la relation $\;({\mathfrak {a}})\;$ et des conditions de Gauss de stigmatisme approché, montrer que le rayon réfléchi est peu incliné relativement à la partie réfléchie de l'axe optique principal c'est-à-dire $\;\vert \theta _{i}\vert \ll 1$.
* En travaillant dans le triangle $\;A_{o}IH\;$ évaluer $\;\tan(\theta _{o})\;$ en fonction, entre autres, de $\;{\overline {HA_{o}}}_{\rightarrow }\;$ puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle $\;\theta _{o}$,
* en travaillant dans le triangle $\;A_{i}IH\;$ évaluer $\;\tan(\theta _{i})\;$ en fonction, entre autres, de $\;{\overline {HA_{i}}}_{\leftarrow }\;$ puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle $\;\theta _{i}$,
* en travaillant dans le triangle $\;CIH\;$ évaluer $\;\tan(\omega )\;$ en fonction, entre autres, de $\;{\overline {HC}}_{\rightarrow }\;$ puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle $\;\omega$,
* déduire des trois évaluations précédentes et de la relation $\;({\mathfrak {a}})$, un lien entre «$\;{\overline {HA_{o}}}_{\rightarrow }$, $\;{\overline {HA_{i}}}_{\leftarrow }\;$ et $\;{\overline {HC}}_{\rightarrow }\;$» $\;{\big$relation $\,({\mathfrak {b}}){\big ]}$.
$\;({\mathfrak {a}})\;$
$\;\theta _{i}=2\,\omega -\theta _{o}\;$
$\Rightarrow$
$\;\vert \theta _{i}\vert \leqslant 2\,\vert \omega \vert +\vert \theta _{o}\vert \;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\vert \theta _{o}\vert \ll 1\\\vert \omega \vert \ll 1\end{array}}\right\rbrace \;$
$\Rightarrow$
$\;2\,\vert \omega \vert +\vert \theta _{o}\vert \ll 1\;$
$\;\vert \theta _{i}\vert \leqslant 2\,\vert \omega \vert +\vert \theta _{o}\vert \ll 1\;$
* En travaillant dans le triangle $\;A_{o}IH$, «$\;\tan(\theta _{o})={\dfrac {\overline {HI}}{-{\overline {HA_{o}}}_{\rightarrow }}}\;$» car sur le schéma $\;\theta _{o}>0\;$ d'où $\;\tan(\theta _{o})>0$, $\;{\overline {HI}}>0\;$ et $\;{\overline {HA_{o}}}_{\rightarrow }<0\;$ ; En travaillant dans le triangle $\;\color {transparent}{A_{o}IH}$, «$\;\vert \theta _{o}\vert \ll 1\;$ $\Rightarrow$ $\;\tan(\theta _{o})\simeq \theta _{o}\;$» on en déduit $\;\theta _{o}\simeq -{\dfrac {\overline {HI}}{{\overline {HA_{o}}}_{\rightarrow }}}\;$ ;
* en travaillant dans le triangle $\;A_{i}IH$, «$\;\tan(\theta _{i})={\dfrac {\overline {HI}}{{\overline {HA_{i}}}_{\leftarrow }}}\;$» car sur le schéma $\;\theta _{i}>0\;$ d'où $\;\tan(\theta _{i})>0$, $\;{\overline {HI}}>0\;$ et $\;{\overline {HA_{i}}}_{\leftarrow }>0\;$ ; en travaillant dans le triangle $\;\color {transparent}{A_{i}IH}$, «$\;\vert \theta _{i}\vert \ll 1\;$ $\Rightarrow$ $\;\tan(\theta _{i})\simeq \theta _{i}\;$» on en déduit $\;\theta _{i}\simeq {\dfrac {\overline {HI}}{{\overline {HA_{i}}}_{\leftarrow }}}\;$ ;
* en travaillant dans le triangle $\;CIH$, «$\;\tan(\omega )={\dfrac {\overline {HI}}{-{\overline {HC}}_{\rightarrow }}}\;$» car sur le schéma $\;\omega >0\;$ d'où $\;\tan(\omega )>0$, $\;{\overline {HI}}>0\;$ et $\;{\overline {HC}}_{\rightarrow }<0\;$ ; en travaillant dans le triangle $\;\color {transparent}{CIH}$, «$\;\vert \omega \vert \ll 1\;$ $\Rightarrow$ $\;\tan(\omega )\simeq \omega \;$» on en déduit $\;\omega \simeq -{\dfrac {\overline {HI}}{\overline {HC_{\rightarrow }}}}\;$ ;
* des trois évaluations précédentes et de la relation $\;({\mathfrak {a}})\;$ réécrite selon $\;2\,\omega =\theta _{i}+\theta _{o}$, on en déduit «$\;{\dfrac {-2\,{\overline {HI}}}{\overline {HC_{\rightarrow }}}}={\dfrac {\overline {HI}}{{\overline {HA_{i}}}_{\leftarrow }}}-{\dfrac {\overline {HI}}{{\overline {HA_{o}}}_{\rightarrow }}}\;$» ou, après simplifiant par $\;{\overline {HI}}$, des trois évaluations précédentes et de la relation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {a}})}\;$ réécrite selon $\;\color {transparent}{2\,\omega =\theta _{i}+\theta _{o}}$, on en déduit «$\;{\dfrac {-2}{\overline {HC_{\rightarrow }}}}={\dfrac {1}{\overline {{\mathrm {HA} _{i}}_{\leftarrow }}}}-{\dfrac {1}{{\overline {HA_{o}}}_{\rightarrow }}}\;\;({\mathfrak {b}})\;$».

#### Établissement de la confusion de H et de S à l'ordre un en ω

Établir que $\;H\;$ peut être confondu avec le sommet $\;S\;$ du miroir à l'ordre un en $\;\omega \;$ et
réécrire que la relation $\;({\mathfrak {b}})\;$ en tenant compte de cette confusion.
Montrons que $\;H\;$ peut être confondu avec $\;S\;$ à l'ordre un en $\;\omega \;$, en évaluant $\;[CH]\;$ puis $\;[HS]=[CS]-[CH]\;$ à l'ordre deux en $\;\omega$, on obtient Montrons que $\;\color {transparent}{H}\;$ peut être confondu avec $\;\color {transparent}{S}\;$ à l'ordre un en $\;\color {transparent}{\omega }\;$«$\;[CH]=[CI]\,\cos(\omega )=R\,\cos(\omega )\simeq R\left(1-{\dfrac {\omega ^{2}}{2}}\right)\;$ à l'ordre deux en $\;\omega \;$»$^,$ d'où Montrons que $\;\color {transparent}{H}\;$ peut être confondu avec $\;\color {transparent}{S}\;$ à l'ordre un en $\;\color {transparent}{\omega }\;$«$\;[HS]=[CS]-[CH]\simeq R-R\left(1-{\dfrac {\omega ^{2}}{2}}\right)\;$ à l'ordre deux en $\;\omega \;$», soit «$\;[HS]\simeq R{\dfrac {\omega ^{2}}{2}}\;$ à l'ordre deux en $\;\omega \;$» ou finalement Montrons que $\;\color {transparent}{H}\;$ peut être confondu avec $\;\color {transparent}{S}\;$ à l'ordre un en $\;\color {transparent}{\omega }\;$«$\;[HS]\simeq 0\;$ à l'ordre un en $\;\omega \;$» ;
$\;H\;$
$\;S\;$
$\;\omega \;$
$\;({\mathfrak {b}})$
$\;{\dfrac {-2}{{\overline {SC}}_{\rightarrow }}}={\dfrac {1}{{\overline {SA_{i}}}_{\leftarrow }}}-{\dfrac {1}{{\overline {SA_{o}}}_{\rightarrow }}}\;\;({\mathfrak {b}})\;$

#### Conclusion : stigmatisme approché du miroir sphérique (concave) pour le point objet A$_o$ et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet)

Vérifier que la relation $\;({\mathfrak {b}})\;$ définit, pour un point objet $\;A_{o}\;$ quelconque, un point image unique $\;A_{i}\;$ et en déduire Vérifier le stigmatisme approché du miroir sphérique pour le point objet $\;A_{o}$ ;
Vérifier que la relation $\;({\mathfrak {b}})\;$ pouvant être écrite selon «$\;{\dfrac {1}{{\overline {SA_{i}}}_{\leftarrow }}}-{\dfrac {1}{{\overline {SA_{o}}}_{\rightarrow }}}=V\;$»$^,$ où $\;V\;$ est une constante appelée « vergence » du miroir sphérique exprimée en dioptries $\;{\big$de symbole $\;\delta {\big )}\;$, Vérifier que la relation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {b}})}\;$ pouvant être écrite selon «$\;\color {transparent}{{\dfrac {1}{{\overline {SA_{i}}}_{\leftarrow }}}-{\dfrac {1}{{\overline {SA_{o}}}_{\rightarrow }}}=V}\;$» exprimer $\;V\;$ en fonction de $\;{\overline {R}}={\overline {SC}}_{\rightarrow }\;$.
Par la suite notant l'abscisse de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}\;$ du point objet $\;p_{o}={\overline {SA_{o}}}_{\rightarrow }\;$ et Par la suite notant l'abscisse de Descartes $\;\color {transparent}{\big$avec origine au sommet$\color {transparent}{\big )}\;$ celle du point image $\;p_{i}={\overline {SA_{i}}}_{\leftarrow }\;$, la relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ de position $\;{\big$ou 1ère relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}{\big ]}\;$ de Descartes d'un miroir sphérique se réécrit
$\;{\dfrac {1}{p_{i}}}-{\dfrac {1}{p_{o}}}=V\;$
La relation $\;({\mathfrak {b}})\;$ établit le stigmatisme approché du miroir sphérique « pour tout point objet $\;A_{o}\;$ autre que $\;C\;$ et $\;S\;$» puisque, La relation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {b}})}\;$ établit le stigmatisme approché du miroir sphérique « pour un point objet $\;A_{o}\;$ fixé, le point image $\;A_{i}\;$ est déterminé de façon unique $\;{\big$indépendamment des variations des petits angles $\;\theta _{o}\;$ et $\;\omega {\big )}$.
$\;({\mathfrak {b}})\;$
$\;{\dfrac {1}{{\overline {SA_{i}}}_{\leftarrow }}}-{\dfrac {1}{{\overline {SA_{o}}}_{\rightarrow }}}=V\;$
$\;V\;$
$\;V={\dfrac {-2}{{\overline {SC}}_{\rightarrow }}}={\dfrac {-2}{\overline {R}}}\;$
$\;{\overline {R}}={\overline {SC}}_{\rightarrow }\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;p_{o}={\overline {SA_{o}}}_{\rightarrow }\;$
$\;p_{i}={\overline {SA_{i}}}_{\leftarrow }\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\big$
$\;{\big$
${\big )}{\big ]}\;$
$\;{\dfrac {1}{p_{i}}}-{\dfrac {1}{p_{o}}}=V\;$

### Points pour lesquels la conjugaison du miroir sphérique est rigoureuse et points doubles

Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que le centre $\;C\;$ et le sommet $\;S\;$ du miroir sont des points  Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que pour lesquels le miroir est stigmatique rigoureux et  Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que dont l'image est confondue avec l'objet $\;{\big$c'est-à-dire des points doubles${\big )}$.
Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ de position de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}\;$ est applicable à $\;C$, centre du miroir, Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison $\;\color {transparent}{\big$approchée$\color {transparent}{\big )}\;$ de position de Descartes $\;\color {transparent}{\big$avec origine au sommet$\color {transparent}{\big )}\;$ est applicable à $\;\color {transparent}{C}$, bien que la conjugaison soit rigoureuse ;
vérifier, en utilisant cette relation, que $\;C\;$ est effectivement un point double.
Admettant que la relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ de position de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}\;$ reste applicable à $\;S$, sommet du miroir, pour lequel il y a conjugaison rigoureuse, Admettant que la relation de conjugaison $\;\color {transparent}{\big$approchée$\color {transparent}{\big )}\;$ de position de Descartes $\;\color {transparent}{\big$avec origine au sommet$\color {transparent}{\big )}\;$ reste applicable à $\;\color {transparent}{S}$, évaluer $\;p_{i}\;$ en fonction de $\;p_{o}\;$ et de $\;V\;$ puis Admettant que la relation de conjugaison $\;\color {transparent}{\big$approchée$\color {transparent}{\big )}\;$ de position de Descartes $\;\color {transparent}{\big$avec origine au sommet$\color {transparent}{\big )}\;$ reste applicable à $\;\color {transparent}{S}$, vérifier, sur cette dernière forme, que  Admettant que la relation de conjugaison $\;\color {transparent}{\big$approchée$\color {transparent}{\big )}\;$ de position de Descartes $\;\color {transparent}{\big$avec origine au sommet$\color {transparent}{\big )}\;$ reste applicable à $\;\color {transparent}{S}$, vérifier, $\succ \;$«$\;S\;$ est effectivement un point double » et  Admettant que la relation de conjugaison $\;\color {transparent}{\big$approchée$\color {transparent}{\big )}\;$ de position de Descartes $\;\color {transparent}{\big$avec origine au sommet$\color {transparent}{\big )}\;$ reste applicable à $\;\color {transparent}{S}$, vérifier, $\succ \;$« il n'y a pas d'autres points doubles que $\;S\;$ et $\;C\;$».
Voir ci-contre les propriétés particulières d'un point objet en $\;C\;$ ou $\;S\;$ d'un miroir sphérique concave :
* à gauche tout rayon d'un faisceau incident issu du centre $\;C\;$ d'un miroir sphérique concave étant normal au miroir se réfléchit sur lui-même, donnant un ensemble de rayons réfléchis convergeant en un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, c'est-à-dire prouvant que le miroir sphérique est stigmatique rigoureux pour son centre ; de plus le point image de $\;C\;$ étant $\;C\;$ lui-même, ce dernier est un point double ;
* à droite tout rayon d'un faisceau incident convergeant sur le sommet $\;S\;$ d'un miroir sphérique concave se réfléchissant en suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal et l'ensemble des rayons réfléchis divergeant à partir d'un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, cela prouve le stigmatisme rigoureux du miroir sphérique pour son sommet ; de plus le point image de $\;S\;$ étant $\;S\;$ lui-même, ce dernier est un point double.
Pour appliquer la relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ de position de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}\;$ à $\;C$, centre du miroir, bien que la conjugaison soit rigoureuse, il suffit de ne considérer que les rayons paraxiaux du faisceau incident issu de $\;C\;$ et d'ouverture quelconque, condition d'applicabilité de la relation de conjugaison de position de Descartes ;
dans ce cas, si on appelle $\;C_{i}\;$ l'image du point objet $\;C$, ce dernier étant d'abscisse objet de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}\;$ «$\;p_{o}(C)={\overline {SC}}_{\rightarrow }={\overline {R}}\;$» et dans ce cas, si on appelle $\;\color {transparent}{C_{i}}\;$ l'image du point objet $\;\color {transparent}{C}$, ce dernier $\;C_{i}\;$ d'abscisse image de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}\;$ «$\;p_{i}(C_{i})={\overline {SC_{i}}}_{\leftarrow }\;$», nous obtenons, dans ce cas, en remplaçant $\;V\;$ par $\;{\dfrac {-2}{\overline {R}}}$, «$\;{\dfrac {1}{p_{i}(C_{i})}}-{\dfrac {1}{\overline {R}}}={\dfrac {-2}{\overline {R}}}\;$» d'où $\;p_{i}(C_{i})={\overline {SC_{i}}}_{\leftarrow }=-{\overline {R}}\;$ soit «$\;{\overline {SC_{i}}}_{\leftarrow }=-{\overline {SC}}_{\rightarrow }\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;{\overline {SC_{i}}}_{\rightarrow }={\overline {SC}}_{\rightarrow }\;$» prouvant que dans ce cas, en remplaçant $\;\color {transparent}{V}\;$ par $\;\color {transparent}{\dfrac {-2}{\overline {R}}}$, «$\;\color {transparent}{{\dfrac {1}{p_{i}(C_{i})}}-{\dfrac {1}{\overline {R}}}={\dfrac {-2}{\overline {R}}}}\;$» d'où $\;\color {transparent}{p_{i}(C_{i})={\overline {SC_{i}}}_{\leftarrow }=-{\overline {R}}}\;$ soit «$\;\color {transparent}{{\overline {SC_{i}}}_{\leftarrow }=-{\overline {SC}}_{\rightarrow }}\;$» $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ $\;C_{i}\;$ se confond avec $\;C\;$ et par suite que «$\;C\;$ est un point double ».
De $\;{\dfrac {1}{p_{i}}}-{\dfrac {1}{p_{o}}}=V\;$ on tire $\;{\dfrac {1}{p_{i}}}={\dfrac {1}{p_{o}}}+V={\dfrac {1+V\,p_{o}}{p_{o}}}\;$ soit «$\;p_{i}={\dfrac {p_{o}}{1+V\,p_{o}}}\;$» $\;{\big$forme permettant à l'abscisse objet d'être nulle${\big )}$ ; sous cette forme on vérifie que
De $\;\color {transparent}{{\dfrac {1}{p_{i}}}-{\dfrac {1}{p_{o}}}=V}\;$ on tire $\;\color {transparent}{{\dfrac {1}{p_{i}}}={\dfrac {1}{p_{o}}}+V={\dfrac {1+V\,p_{o}}{p_{o}}}}\;$ soit «$\;\color {transparent}{p_{i}={\dfrac {p_{o}}{1+V\,p_{o}}}}\;$» le point objet en $\;S$, d'abscisse objet de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}$ $\;p_{o}(S)=0\;$ De $\;\color {transparent}{{\dfrac {1}{p_{i}}}-{\dfrac {1}{p_{o}}}=V}\;$ on tire $\;\color {transparent}{{\dfrac {1}{p_{i}}}={\dfrac {1}{p_{o}}}+V={\dfrac {1+V\,p_{o}}{p_{o}}}}\;$ soit «$\;\color {transparent}{p_{i}={\dfrac {p_{o}}{1+V\,p_{o}}}}\;$» le point objet en $\;\color {transparent}{S}$, a une image d'abscisse image de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}$ $\;p_{i}=0$, c'est-à-dire De $\;\color {transparent}{{\dfrac {1}{p_{i}}}-{\dfrac {1}{p_{o}}}=V}\;$ on tire $\;\color {transparent}{{\dfrac {1}{p_{i}}}={\dfrac {1}{p_{o}}}+V={\dfrac {1+V\,p_{o}}{p_{o}}}}\;$ soit «$\;\color {transparent}{p_{i}={\dfrac {p_{o}}{1+V\,p_{o}}}}\;$» le point objet en $\;\color {transparent}{S}$, a une image confondue avec $\;S$, prouvant que «$\;S\;$ est bien un point double » ;
$\;A_{d}\;$
$\;{\big$
${\big )}$
$\;p_{d}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;p_{i}(A_{d})={\overline {SA_{d}}}_{\leftarrow }=$
$-{\overline {SA_{d}}}_{\rightarrow }=-p_{d}\;$
$\;p_{i}(A_{d})={\dfrac {p_{d}}{1+V\,p_{d}}}\;$
$\;-p_{d}={\dfrac {p_{d}}{1+V\,p_{d}}}\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}p_{d}=0\;\;\;{\text{ou}}\\1+V\,p_{d}=-1\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;\color {transparent}{A_{d}}\;$
$\;S\;$
$\;\color {transparent}{A_{d}}\;$
$\;p_{d}={\dfrac {-2}{V}}={\overline {R}}\;$
$\;C\;$

### Caractère focal d'un miroir sphérique, position des foyers principaux objet et image, lien de la vergence et des distances focales objet et image

Vérifier, sur la 1ère relation de conjugaison de Descartes d'un miroir sphérique, que ce dernier est nécessairement « focal » puis
déterminer $\;\succ \;$la position du foyer principal objet $\;F_{o}\;$ c'est-à-dire le point objet de l'axe optique principal ayant pour image le point à l'infini de cet axe optique principal $\;{\big$ou $\;F_{o}\;{\stackrel {\mathcal {M}}{\longrightarrow }}\;A_{i,\,\infty }{\big ]}\;$ et déterminer $\;\succ \;$la position du foyer principal image $\;F_{i}\;$ c'est-à-dire le point image de l'axe optique principal ayant pour antécédent le point à l'infini de cet axe optique principal $\;{\big$ou $\;A_{o,\,\infty }\;{\stackrel {\mathcal {M}}{\longrightarrow }}\;F_{i}{\big ]}$ ;
quelle particularité ces deux points possèdent-ils en ce qui concerne leurs positions absolues d'une part et leur position relative d'autre part ?
Définissant $\;\succ \;$la distance focale objet comme l'abscisse objet de Descartes du foyer principal objet $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}\;$ soit «$\;f_{o}={\overline {SF_{o}}}_{\rightarrow }\;\;$» et Définissant $\;\succ \;$la distance focale image comme l'abscisse image de Descartes du foyer principal image $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}\;$ soit «$\;f_{i}={\overline {SF_{i}}}_{\leftarrow }\;$»,
déterminer le lien entre vergence $\;V$, distance focale objet $\;f_{o}\;$ et distance focale image $\;f_{i}$.
Un miroir sphérique est un « système focal » car le point à l'infini de l'axe optique principal n'est pas un point double.
* Le foyer principal image $\;F_{i}$, repéré par l'abscisse image de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}$ $\;p_{i}(F_{i})={\overline {SF_{i}}}_{\leftarrow }\;$ Le foyer principal image $\;\color {transparent}{F_{i}}$, étant l'image du point à l'infini $\;A_{o,\,\infty }\;$ de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse objet de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}$ $\;p_{o}(A_{o,\,\infty })=\infty \;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {1}{p_{o}(A_{o,\,\infty })}}=0$, Le foyer principal image $\;\color {transparent}{F_{i}}$, étant l'image du point à l'infini $\;\color {transparent}{A_{o,\,\infty }}\;$ de l'axe optique principal, on en déduit $\;{\dfrac {1}{p_{i}(F_{i})}}-0=V\;$ soit «$\;{\overline {SF_{i}}}_{\leftarrow }={\dfrac {1}{V}}=-{\dfrac {\overline {R}}{2}}\;$».
* Le foyer principal objet $\;F_{o}$, repéré par l'abscisse objet de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}$ $\;p_{o}(F_{o})={\overline {SF_{o}}}_{\rightarrow }\;$ Le foyer principal objet $\;\color {transparent}{F_{o}}$, étant l'antécédent du point à l'infini $\;A_{i,\,\infty }\;$ de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse image de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}$ $\;p_{i}(A_{i,\,\infty })=\infty \;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {1}{p_{i}(A_{i,\,\infty })}}=0$, Le foyer principal objet $\;\color {transparent}{F_{o}}$, étant l'antécédent du point à l'infini $\;\color {transparent}{A_{i,\,\infty }}\;$ de l'axe optique principal, on en déduit $\;0-{\dfrac {1}{p_{o}(F_{o})}}=V\;$ soit «$\;{\overline {SF_{o}}}_{\rightarrow }=-{\dfrac {1}{V}}={\dfrac {\overline {R}}{2}}\;$».
* Les positions géométriques respectives des foyers principaux objet et image étant telles que «$\;{\overline {SF_{i}}}_{\leftarrow }=-{\overline {SF_{o}}}_{\rightarrow }\;$» et le changement de sens d'algébrisation conduisant à $\;{\overline {SF_{i}}}_{\rightarrow }=-{\overline {SF_{i}}}_{\leftarrow }\;$$^,$, on en déduit «$\;{\overline {SF_{i}}}_{\rightarrow }={\overline {SF_{o}}}_{\rightarrow }\;$» c'est-à-dire la coïncidence des positions géométriques des foyers principaux objet et image ;
* leur position géométrique commune étant telle que «$\;{\overline {SF_{o}}}_{\rightarrow }={\dfrac {\overline {R}}{2}}={\dfrac {{\overline {SC}}_{\rightarrow }}{2}}\;$» on vérifie qu'elle coïncide avec le milieu du segment joignant le sommet et le centre du miroir.
Notion de distances focales objet et image :
* la distance focale image $\;f_{i}\;$ étant définie par «$\;f_{i}={\overline {SF_{i}}}_{\leftarrow }\;$» est liée à la vergence par «$\;f_{i}={\dfrac {1}{V}}=-{\dfrac {\overline {R}}{2}}\;$» ;
* la distance focale objet $\;f_{o}\;$ étant définie par «$\;f_{o}={\overline {SF_{o}}}_{\rightarrow }\;$» est liée à la vergence par «$\;f_{o}=-{\dfrac {1}{V}}={\dfrac {\overline {R}}{2}}\;$» ;
$\;V={\dfrac {1}{f_{i}}}=-{\dfrac {1}{f_{o}}}\;$

### Quelques propriétés découlant du caractère focal d'un miroir sphérique
#### Signe de la vergence suivant la nature concave ou convexe du miroir sphérique, caractère convergent ou divergent du miroir et nature réelle ou virtuelle des foyers principaux

Déterminer le signe de la vergence suivant la nature « concave » ou « convexe » du miroir sphérique puis
Déterminer son caractère « convergent » ou « divergent » sachant qu'un système focal à « vergence positive » $\;{\big$respectivement « négative »${\big )}\;$ est dit « convergent » $\;{\big$respectivement « divergent »${\big )}\;$ et
Déterminer la nature « réelle » ou « virtuelle » des foyers principaux.
De $\;V={\dfrac {-2}{\overline {R}}}\;$ on en déduit que la vergence est de signe contraire au rayon de courbure algébrisé du miroir sphérique, ainsi :
* un miroir concave a un rayon de courbure algébrisé $\;{\overline {R}}={\overline {SC}}_{\rightarrow }<0\;$$^,$, donc une vergence $\;V>0$, c'est un système « convergent »,
* un miroir convexe a un rayon de courbure algébrisé $\;{\overline {R}}={\overline {SC}}_{\rightarrow }>0\;$$^,$, donc une vergence $\;V<0$, c'est un système « divergent ».
De $\;V={\dfrac {1}{f_{i}}}=-{\dfrac {1}{f_{o}}}\;$ on en déduit la nature $\;{\big$réelle ou virtuelle${\big )}\;$ des foyers principaux objet et image suivant la nature $\;{\big$convergente ou divergente${\big )}\;$ du miroir sphérique :
* un miroir concave étant convergent, la distance focale image $\;f_{i}={\overline {SF_{i}}}_{\leftarrow }\;$ est $\;>0\;$ entraînant le caractère réel du foyer principal image $\;F_{i}\;$ et un miroir concave étant convergent, la distance focale objet $\;f_{o}={\overline {SF_{o}}}_{\rightarrow }\;$ étant $\;<0$, le foyer principal objet $\;F_{o}\;$ est également réel,
* un miroir convexe étant divergent, la distance focale image $\;f_{i}={\overline {SF_{i}}}_{\leftarrow }\;$ est $\;<0\;$ entraînant le caractère virtuel du foyer principal image $\;F_{i}\;$ et un miroir convexe étant divergent, la distance focale objet $\;f_{o}={\overline {SF_{o}}}_{\rightarrow }\;$ étant $\;>0$, le foyer principal objet $\;F_{o}\;$ est également virtuel.

#### Démonstration de l'absence de conjugaison non rigoureuse du miroir sphérique (concave) pour le point objet à l'infini sur l'axe optique principal

En reprenant la démonstration faite dans la solution de la question « démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss » plus haut dans cet exercice mais En reprenant la démonstration avec $\;A_{o}\;$ situé à l'infini $\;{\big$ce qui correspond à $\;\theta _{o}=0{\big )}\;$ et En reprenant la démonstration en conservant les notations introduites dans « cette question » $\;{\big$à l'exception de $\;A_{i}\;$ qui sera noté $\;F_{i}(\omega )\;$ et de $\;H\;$ qui sera noté $\;H(\omega )\;$${\big ]}$,
déterminer la position de $\;F_{i}(\omega )\;$ ${\big$point de l'axe optique principal par lequel passe le rayon réfléchi correspondant au rayon incident $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal, de point d'incidence $\;I(\omega )\;$${\big ]}\;$ et
vérifier que $\;F_{i}(\omega )\;$ dépendant effectivement de $\;\omega \;$ et par suite vérifier qu'il n'y a pas conjugaison rigoureuse du miroir sphérique $\;{\big$concave${\big )}\;$ pour le point situé à l'infini de l'axe optique principal.
* Schéma de démonstration de l'absence de stigmatisme rigoureux d'un miroir sphérique concave pour le point objet à l'infini sur l'axe optique principal
Montrons algébriquement qu'un miroir sphérique concave n'est pas rigoureusement stigmatique pour le point à l'infini $\;A_{o,\,\infty }\;$ de l'axe optique principal et pour cela il suffit de montrer Montrons algébriquement qu'un rayon incident $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal, de point d'incidence $\;I(\omega )\;$, repéré par l'angle $\;\omega \;$ que fait le rayon incident avec $\;{\overrightarrow {CI}}(\omega )\;$ tel que $\;\vert \omega \vert \;{\cancel {\ll }}\;1\;$, Montrons algébriquement qu'un rayon incident $\;\color {transparent}{\parallel }\;$ à l'axe optique principal, donne un réfléchi qui recoupe l'axe optique principal en $\;F_{i}(\omega )\;$ dépendant effectivement de $\;\omega \;$ d'où Montrons algébriquement l'absence de stigmatisme rigoureux du miroir pour $\;A_{o,\,\infty }\;$ ;
l'angle d'incidence étant $\;i=-\omega \;$, l'angle de réflexion est donc $\;i'=-i=\omega \;$ d'après la 2ème relation de Snell - Descartes de la réflexion ; on en déduit alors «$\;{\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {H(\omega )S}},{\overrightarrow {F_{i}(\omega )I(\omega )}}\right\rbrace }}=2\;\omega \;$» et $\;{\overline {F_{i}(\omega )H(\omega )}}_{\rightarrow }\;$ se détermine par $\;\tan(2\;\omega )={\dfrac {\overline {H(\omega )I(\omega )}}{{\overline {F_{i}(\omega )H(\omega )}}_{\rightarrow }}}\;$$^,$ $\Rightarrow$ «$\;{\overline {F_{i}(\omega )H(\omega )}}_{\rightarrow }={\dfrac {{\overline {H(\omega )I(\omega )}}\,\cos(2\;\omega )}{\sin(2\;\omega )}}\;$» ou, avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overline {H(\omega )I(\omega )}}=CI(\omega )\;\sin(\omega )=R\;\sin(\omega )\\\sin(2\;\omega )=2\;\sin(\omega )\;\cos(\omega )\end{array}}\right\rbrace \;$ et simplification par $\;\sin(\omega )$, $\;\color {transparent}{{\overline {F_{i}(\omega )H(\omega )}}_{\rightarrow }}\;$ se détermine par $\;\color {transparent}{\tan(2\;\omega )={\dfrac {\overline {H(\omega )I(\omega )}}{{\overline {F_{i}(\omega )H(\omega )}}_{\rightarrow }}}}\;$$^,$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;{\overline {F_{i}(\omega )H(\omega )}}_{\rightarrow }={\dfrac {R\,\cos(2\;\omega )}{2\;\cos(\omega )}}\;$» ;
$\;{\overline {CF_{i}(\omega )}}_{\rightarrow }={\overline {CH(\omega )}}_{\rightarrow }-{\overline {F_{i}(\omega )H(\omega )}}_{\rightarrow }\;$
$\;{\overline {CH(\omega )}}_{\rightarrow }=R\;\cos(\omega )\;$
$\;{\overline {CF_{i}(\omega )}}_{\rightarrow }=R\;\cos(\omega )-{\dfrac {R\,\cos(2\;\omega )}{2\;\cos(\omega )}}=R\;{\dfrac {2\;\cos ^{2}(\omega )-\cos(2\;\omega )}{2\;\cos(\omega )}}\;$
$\;\cos(2\;\omega )=2\;\cos ^{2}(\omega )-1$
$\;{\overline {CF_{i}(\omega )}}_{\rightarrow }={\dfrac {R}{2\;\cos(\omega )}}\;$
$\Downarrow$
$\;F_{i}\;$
$\;\omega \;$
$\;A_{o,\,\infty }\;$

### Aplanétisme approché d'un miroir sphérique sous conditions de Gauss

On considère le miroir sphérique concave introduit à la question « démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss » plus haut dans cet exercice et On considère un objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ de pied $\;A_{o}\neq C\;$ tel qu'il y ait stigmatisme approché du miroir pour tous les points $\;M_{o}\;$ de $\;A_{o}B_{o}\;$ $\Rightarrow$
On considère un objet linéique transverse $\;\color {transparent}{A_{o}B_{o}}\;$ de pied $\;\color {transparent}{A_{o}\neq C}\;$ tel qu'il y ait stigmatisme approché l'objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ admet une image « nette » $\;A_{i}B_{i}\;$ mais a priori On considère un objet linéique transverse $\;\color {transparent}{A_{o}B_{o}}\;$ de pied $\;\color {transparent}{A_{o}\neq C}\;$ tel qu'il y ait stigmatisme approché l'objet linéique transverse $\;\color {transparent}{A_{o}B_{o}}\;$ admet une image ni « linéique » ni « transverse ».
On suppose que l'objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ est, quand l'objet n'est pas proche du miroir, vu du sommet $\;S\;$ du miroir sous un angle non algébrisé $\;\beta \;$ petit ${\big$c'est-à-dire $\;\beta \ll 1\;$ si $\;A_{o}\;{\cancel {\simeq }}S{\big )}\;$ et On suppose que l'objet linéique transverse $\;\color {transparent}{A_{o}B_{o}}\;$ est, quand l'objet est proche du miroir, vu du centre $\;C\;$ du miroir sous un angle non algébrisé $\;\alpha \;$ petit ${\big$c'est-à-dire $\;\alpha \ll 1\;$ si $\;A_{o}\;\simeq S{\big )}$, On suppose que l'objet linéique transverse $\;\color {transparent}{A_{o}B_{o}}\;$ est, ces deux exigences constituant les conditions de Gauss d'aplanétisme approché pour un objet linéique transverse quelconque.
Remarque : Il existe deux exigences équivalentes pour définir les conditions de Gauss d'aplanétisme approché d'un objet linéique transverse quelconque $\;A_{o}B_{o}\;$ :  Remarque : $\succ \;$si un objet $\;A_{o}B_{o}\;$ est tel que son pied $\;A_{o}\;$ n'est pas proche du centre $\;C\;$ du miroir, il doit être vu du centre $\;C\;$ sous un angle non algébrisé $\;\alpha \;$ petit $\;{\big$c'est-à-dire $\;\alpha \ll 1\;$ si $\;A_{o}\;{\cancel {\simeq }}C{\big )}\;$ et  Remarque : $\succ \;$si un objet $\;A_{o}B_{o}\;$ est tel que son pied $\;A_{o}\;$ est proche de $\;C$, il doit être vu du sommet $\;S\;$ du miroir sous un angle non algébrisé $\;\beta \;$ petit $\;{\big$c'est-à-dire $\;\beta \ll 1\;$ si $\;A_{o}\;\simeq C{\big )}$.

#### Démonstration de l'aplanétisme approché d'un miroir sphérique concave pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du miroir et vu de ce centre sous un petit angle

L'objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ étant d'abord supposé de pied $\;A_{o}\;$ non proche du centre $\;C\;$ du miroir $\;{\big$c'est-à-dire $\;A_{o}\;{\cancel {\simeq }}C{\big )}$, nous considérons l'angle $\;\alpha$, sous lequel il est vu du centre $\;C$, petit $\;{\big$c'est-à-dire $\;\alpha \ll 1{\big )}$, nous considérons l'angle $\;\beta \;$ sous lequel il est vu du sommet $\;S$, n'étant pas nécessairement petit, la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet est rendue plus aisée si on utilise la « relation de conjugaison de position $\;{\big$ou 1ère relation de conjugaison${\big )}\;$ de Descartes $\;{\big$avec origine au centre${\big )}\;$ établie dans la solution de la question plus bas dans cet exercice » à savoir «$\;{\dfrac {1}{{\overline {CA_{i}}}_{\leftarrow }}}-{\dfrac {1}{{\overline {CA_{o}}}_{\rightarrow }}}=-V\;$» où $\;V\;$ est la vergence précédemment introduite ;
la démarche peut alors être décomposée en les étapes suivantes :
* montrer qu'à l'ordre un en $\;\alpha$, l'objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ peut être confondu avec un arc de cercle de centre $\;C$, d'angle au centre associé $\;\alpha$,
* en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes $\;{\big$avec origine au centre${\big )}\;$dd"> Voir la solution de la question « relation de conjugaison de position (ou 1ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) » plus bas dans cet exercice.</ref>, montrer alors que l'image $\;A_{i}B_{i}\;$ est un arc de cercle de centre $\;C\;$ et en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes $\;\color {transparent}{\big$avec origine au centre$\color {transparent}{\big )}\;$, vérifier que l'angle au centre associé est encore $\;\alpha$,
* conclure qu'à l'ordre un en $\;\alpha$, l'image $\;A_{i}B_{i}\;$ peut être confondue avec un segment $\;\perp \;$ à l'axe optique principal c'est-à-dire qu'elle est linéique transverse.
L'objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ étant supposé de pied $\;A_{o}\;$ non proche du centre $\;C\;$ du miroir $\;{\big$c'est-à-dire $\;A_{o}\;{\cancel {\simeq }}\;C{\big )}$, avec l'angle non algébrisé $\;\alpha \;$ sous lequel il est vu du centre $\;C$, petit $\;{\big$c'est-à-dire $\;\alpha \ll 1{\big )}$,
* le caractère transverse de l'objet linéique $\Rightarrow$ la longueur $\;[CB_{o}]\;$ est plus grande que la longueur $\;[CA_{o}]\;$, soit plus précisément «$\;[CA_{o}]=[CB_{o}]\,\cos(\alpha )\simeq [CB_{o}]\left(1-{\dfrac {\alpha ^{2}}{2}}\right)\;$ à l'ordre deux en $\;\alpha \;$» ou finalement «$\;[CA_{o}]\simeq [CB_{o}]\;$ à l'ordre un en $\;\alpha \;$» prouvant, qu'à cet ordre, l'objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ peut être confondu avec un arc de cercle de centre $\;C$, d'angle au centre associé $\;\alpha$,
* tous les points objet $\;M_{o}\;$ de l'arc de cercle $\;A_{o}B_{o}\;$ de centre $\;C\;$ ayant une abscisse objet de Descartes $\;{\big$avec origine au centre${\big )}\;$ indépendante de $\;M_{o}\;$ sur l'axe optique secondaire associé de support $\;(CM_{o})\;$, l'application de la 1ère relation de conjugaison de Descartes $\;{\big$avec origine au centre${\big )}\;$ donne donc des points image $\;M_{i}\;$ à abscisse image de Descartes $\;{\big$avec origine au centre${\big )}\;$ indépendante de $\;M_{o}\;$ sur l'axe optique secondaire associé de support $\;(CM_{o})$, c'est-à-dire que l'image $\;A_{i}B_{i}\;$ est assimilable, à l'ordre un en $\;\alpha$, à un arc de cercle de centre $\;C$,
* l'angle non algébrisé $\;\alpha \;$ sous lequel l'arc de cercle $\;A_{i}B_{i}\;$ est vu du centre $\;C\;$ étant petit, on peut faire l'opération inverse de celle faite précédemment pour l'objet $\;A_{o}B_{o}$, c'est-à-dire assimiler l'arc de cercle de centre $\;C\;$ à un segment choisi $\;\perp \;$ à l'axe optique principal de support $\,(CA_{i})\,$, c'est-à-dire que l'image $\;A_{i}B_{i}\;$ est, à l'ordre un en $\;\alpha$, linéique transverse ; nous avons donc établi l'aplanétisme approché du miroir sphérique $\;{\big$concave${\big )}\;$ pour tout objet linéique de pied non proche du centre du miroir.

#### Démonstration de l'aplanétisme approché d'un miroir sphérique concave pour un objet linéique transverse de pied proche du centre du miroir et vu du sommet de ce dernier sous un petit angle

L'objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ de pied $\;A_{o}\;$ étant maintenant supposé proche du centre $\;C\;$ du miroir $\;{\big$c'est-à-dire $\;A_{o}\simeq C{\big )}$, L'objet linéique transverse $\;\color {transparent}{A_{o}B_{o}}\;$ de pied $\;\color {transparent}{A_{o}}\;$ nous considérons l'angle $\;\beta$, sous lequel il est vu du sommet $\;S$, petit $\;{\big$c'est-à-dire $\;\beta \ll 1{\big )}$ ; la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite l'utilisation de deux rayons paraxiaux issus de $\;M_{o}$, point objet quelconque de $\;A_{o}B_{o}\;$ et la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite de montrer que le point image $\;M_{i}$, défini comme l'intersection des deux rayons réfléchis, la démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite de montrer que le point image $\;\color {transparent}{M_{i}}$, a pour projeté, sur l'axe optique principal, le point image $\;A_{i}$, pour cela :
* déterminer l'abscisse image de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}$ $\;p_{i}\;$ de $\;A_{i}\;$ en fonction de la distance focale image $\;f_{i}\;$ et déterminer l'abscisse image de Descartes $\;\color {transparent}{\big$avec origine au sommet$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{p_{i}}\;$ de $\;\color {transparent}{A_{i}}\;$ en fonction de l'abscisse objet de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}$ $\;p_{o}\;$ de $\;A_{o}$,
* déterminer la longueur algébrique $\;{\overline {A_{o}B_{o}}}\;$ en fonction de $\;\beta \;$ et de l'abscisse objet de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}$ $\;p_{o}\;$ de $\;A_{o}$,
* travaillant dans le repère orthonormé $\;(S,\,{\overrightarrow {Sx}},\,{\overrightarrow {Sy}})\;$ déterminer l'équation des rayons incidents $\;M_{o}S\;$ et $\;M_{o}F_{o}\;$,
* travaillant dans le repère orthonormé $\;(S,\,{\overrightarrow {Sx'}},\,{\overrightarrow {Sy}})\;$ déterminer les équations des rayons réfléchis, puis leur intersection $\;M_{i}$ ;
* vérifier que l'abscisse image de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}\;$ du projeté de $\;M_{i}\;$ sur l'axe optique principal est égale à l'abscisse image de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}\;$ de $\;A_{i}$,
* conclure à l'aplanétisme approché du miroir sphérique pour l'objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ de pied proche du centre du miroir.
Soit $\;A_{o}B_{o}\;$ un objet linéique transverse de pied $\;A_{o}$, proche du centre $\;C\;$ du miroir sphérique concave $\;{\big$c'est-à-dire $\;A_{o}\simeq C{\big )}$, vu du sommet $\;S\;$ de ce dernier sous un angle $\;\beta \;$ petit $\;{\big$c'est-à-dire $\;\beta \ll 1{\big )}\;$ correspondant à la condition de Gauss d'aplanétisme approché précitée ;
* on détermine d'abord l'abscisse image de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}$ $\;p_{i}={\overline {SA_{i}}}_{\leftarrow }\;$ de $\;A_{i}$, image du point objet $\;A_{o}\;$ d'abscisse objet de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}$ $\;p_{o}={\overline {SA_{o}}}_{\rightarrow }\;$, par utilisation de la 1ère relation de conjugaison de Descartes du miroir sphérique $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}\;$ de vergence $\;V={\dfrac {1}{f_{i}}}$, $\;f_{i}={\overline {SF_{i}}}_{\leftarrow }\;$ étant la distance focale image du miroir d'où : $\;{\dfrac {1}{p_{i}}}-{\dfrac {1}{p_{o}}}={\dfrac {1}{f_{i}}}\Rightarrow {\dfrac {1}{p_{i}}}={\dfrac {1}{p_{o}}}+{\dfrac {1}{f_{i}}}={\dfrac {f_{i}+p_{o}}{p_{o}\,f_{i}}}\;$ soit finalement «$\;p_{i}=p_{o}\,{\dfrac {f_{i}}{p_{o}+f_{i}}}\;$» ;
* «$\;p_{o}={\overline {SA_{o}}}_{\rightarrow }\;$ étant $\;<0\;$» et «$\;{\overline {A_{o}B_{o}}}>0\;$» avec «$\;\beta \;$ non algébrisé $\;\ll 1\;$», on en déduit $\;\tan(\beta )=$ $-{\dfrac {\overline {A_{o}B_{o}}}{p_{o}}}\;$ d'où, avec $\;\tan(\beta )\simeq \beta \;$, «$\;{\overline {A_{o}B_{o}}}\simeq -\beta \;p_{o}\;$» ;
* dans le repère orthonormé $\;(S,\,{\overrightarrow {Sx}},\,{\overrightarrow {Sy}})\;$, le rayon incident $\;M_{o}S\;$ issu de $\;M_{o}\;$ de coordonnées $\;(x_{M_{o}}=p_{o}\,,\,y_{M_{o}}=\varepsilon \,{\overline {A_{o}B_{o}}}=-\varepsilon \,\beta \,p_{o})\;$ étant de pente $\;{\dfrac {y_{M_{o}}-y_{S}}{x_{M_{o}}-x_{S}}}={\dfrac {-\varepsilon \,\beta \,p_{o}}{p_{o}}}=-\varepsilon \,\beta \;$ a pour équation $\;y-y_{S}=-\varepsilon \,\beta \left(x-x_{S}\right)\;$ soit finalement «$\;y=-\varepsilon \,\beta \,x\;$», dans le repère orthonormé $\;\color {transparent}{(S,\,{\overrightarrow {Sx}},\,{\overrightarrow {Sy}})}\;$, le rayon incident $\;M_{o}F_{o}\;$ issu de $\;M_{o}\;$ de coordonnées $\;(x_{M_{o}}=p_{o}\,,\,y_{M_{o}}=-\varepsilon \,\beta \,p_{o})\;$ et passant par le foyer principal objet du miroir sphérique $\;F_{o}\;$ de coordonnées $\;(x_{F_{o}}=f_{o}=-f_{i}\,,\,y_{F_{o}}=0)\;$ étant de pente $\;{\dfrac {y_{M_{o}}-y_{F_{o}}}{x_{M_{o}}-x_{F_{o}}}}={\dfrac {-\varepsilon \,\beta \,p_{o}}{p_{o}+f_{i}}}\;$ a pour équation $\;y-y_{F_{o}}={\dfrac {-\varepsilon \,\beta \,p_{o}}{p_{o}+f_{i}}}\left(x-x_{F_{o}}\right)\;$ soit finalement «$\;y={\dfrac {-\varepsilon \,\beta \,p_{o}}{p_{o}+f_{i}}}\left(x+f_{i}\right)\;$»
* dans le repère orthonormé $\;(S,\,{\overrightarrow {Sx'}},\,{\overrightarrow {Sy}})\;$ le rayon réfléchi sur le miroir du rayon incident $\;M_{o}S\;$ étant de direction symétrique de celle de ce dernier relativement à l'axe optique principal est de même pente $\;-\varepsilon \,\beta \;$ d'où l'équation du rayon réfléchi correspondant au rayon incident $\;M_{o}S\;$ «$\;y=-\varepsilon \,\beta \,x'\;$», dans le repère orthonormé $\;\color {transparent}{(S,\,{\overrightarrow {Sx'}},\,{\overrightarrow {Sy}})}\;$, le rayon réfléchi sur le miroir du rayon incident $\;M_{o}F_{o}\;$ étant, à partir du point d'incidence $\;I\;$ sur le miroir, $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal, son équation nécessite de déterminer au préalable l'ordonnée de $\;I\;$ par $\;x_{I}=0\;$ dans l'équation du rayon incident $\;M_{o}F_{o}\;$ établie plus haut soit $\;y(I)={\dfrac {-\varepsilon \,\beta \,p_{o}}{p_{o}+f_{i}}}\left[x(I)+f_{i}\right]={\dfrac {-\varepsilon \,\beta \,p_{o}\,f_{i}}{p_{o}+f_{i}}}\;$ d'où l'équation du rayon réfléchi correspondant au rayon incident $\;M_{o}F_{o}\;$ «$\;y={\dfrac {-\varepsilon \,\beta \,p_{o}\,f_{i}}{p_{o}+f_{i}}}\;$» ; dans le repère orthonormé $\;\color {transparent}{(S,\,{\overrightarrow {Sx'}},\,{\overrightarrow {Sy}})}\;$, l'intersection $\;M_{i}\;$ de ces deux rayons réfléchis a pour abscisse image de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}$ $\;{\dfrac {-\varepsilon \,\beta \,p_{o}\,f_{i}}{p_{o}+f_{i}}}=-\varepsilon \,\beta \,{x'}_{\!M_{i}}\;$ soit «$\;{x'}_{\!M_{i}}={\dfrac {p_{o}\,f_{i}}{p_{o}+f_{i}}}\;$» ;
* l'abscisse «$\;{x'}_{\!M_{i}}={\dfrac {p_{o}\,f_{i}}{p_{o}+f_{i}}}\;$» de l'intersection $\;M_{i}\;$ de ces deux rayons réfléchis est identique à l'abscisse image de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}\;$ «$\;p_{i}=p_{o}\,{\dfrac {f_{i}}{p_{o}+f_{i}}}\;$» du point image $\;A_{i}$ ;
* le projeté de $\;M_{i}\;$ sur l'axe optique principal se superposant à $\;A_{i}$, on conclut à l'aplanétisme approché du miroir sphérique $\;{\big$concave${\big )}\;$ pour tout objet linéique$\;A_{o}B_{o}\;$de pied proche du centre du miroir.

#### Relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)

Dès lors qu'un miroir sphérique est utilisée sous conditions de Gauss de stigmatisme et d'aplanétisme approchés$^,$, l'usage est de représenter ce miroir sous une forme symbolique dans laquelle figurent
* l'axe optique principal,
* le centre $\;C$,
* les foyers principaux objet $\;F_{o}\;$ et image $\;F_{i}$ $\;{\big$non représentés ci-contre${\big )}$,
* le sommet $\;S\;$ et
* la partie de miroir $\;\perp \;$ en $\;S\;$ à l'axe optique principal, partie de miroir sur laquelle est rappelée l'algébrisation physique de l'axe optique principal.
Sur le schéma ci-contre on a construit l'image linéique transverse $\;A_{i}B_{i}\;$ d'un objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ de pied $\;A_{o}\;$ $\neq S\;$ et $\;\neq C\;$ en considérant deux rayons incidents issus de $\;B_{o}$,  $\succ \;$l'un passant que le centre $\;C\;$ du miroir et qui se réfléchit sur lui-même,  $\succ \;$l'autre passant par le sommet $\;S\;$ du miroir et qui se réfléchit en obéissant à la 2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion$^,$, le point d'intersection de ces deux rayons réfléchis étant le point de convergence $\;B_{i}\;$ de tous les rayons réfléchis correspondant à tous les rayons incidents issus de $\;B_{o}\;$ sous conditions de Gauss$^,$, il suffit de projeter orthogonalement $\;B_{i}\;$ sur l'axe optique principal pour obtenir le point image $\;A_{i}\;$ du point objet $\;A_{o}\;$.
En comparant les triangles rectangles $\;A_{i}B_{i}S\;$ et $\;A_{o}B_{o}S$, déterminer le grandissement transverse par le miroir sphérique concave de l'objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ défini par «$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{\overline {A_{o}B_{o}}}}\;$» en fonction des abscisses objet et image de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}p_{o}={\overline {SA_{o}}}_{\rightarrow }\\p_{i}={\overline {SA_{i}}}_{\leftarrow }\end{array}}\right\rbrace \;$ ;
la relation établie ci-dessus définit la relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ de grandissement transverse $\;{\big$ou 2ème relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}{\big ]}\;$ de Descartes ${\big$avec origine au sommet${\big )}\;$ pour tout objet linéique transverse de pied $\;A_{o}\neq S\;$$^,$, elle caractérise quantitativement la propriété d'aplanétisme approché du miroir sphérique pour l'objet linéique transverse de pied $\;A_{o}\;$.
Ayant exposé la construction de l'image $\;A_{i}B_{i}\;$ de l'objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ dans l'énoncé de la question $\;{\big \$pour rappel on positionne $\;B_{i}\;$ comme intersection des rayons réfléchis correspondant à deux rayons incidents issus de $\;B_{o}$, le 1er passant par $\;C\;$ qui se réfléchit sur lui-même et le 2ème de point d'incidence $\;S\;$ qui se réfléchit en $\;S\;$ suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal$^,$, puis on projette orthogonalement $\;B_{i}\;$ sur l'axe optique principal pour obtenir $\;A_{i}\;$${\big \}$ ;
le grandissement transverse étant défini par «$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{\overline {A_{o}B_{o}}}}\;$», on le détermine en exprimant $\;\tan(i)\;$ et $\;\tan(-i)\;$ respectivement dans les triangles rectangles $\;A_{o}B_{o}S\;$ et $\;A_{i}B_{i}S\;$ soit :
* «$\;\tan(i)={\dfrac {\overline {A_{o}B_{o}}}{{\overline {SA_{o}}}_{\rightarrow }}}\;$», $\;i\;$ étant $\;<0$, $\;{\overline {A_{o}B_{o}}}>0\;$ et $\;{\overline {SA_{o}}}_{\rightarrow }<0\;$$^,$, $\;{\Bigg$comme $\;\vert i\vert \;$ est $\;\ll 1\;$ $\Rightarrow$ $\;\tan(i)\simeq i\;$ on en déduit $\;i\simeq {\dfrac {\overline {A_{o}B_{o}}}{{\overline {SA_{o}}}_{\rightarrow }}}\;$${\Bigg ]}$,
* «$\;\tan(-i)=-{\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{{\overline {SA_{i}}}_{\leftarrow }}}\;$», $\;(-i)\;$ étant $\;>0$, $\;{\overline {A_{i}B_{i}}}<0\;$ et $\;{\overline {SA_{i}}}_{\leftarrow }>0\;$$^,$, $\;{\Bigg$comme $\;\vert i\vert \;$ est $\;\ll 1\;$ $\Rightarrow$ $\;\tan(-i)\simeq -i\;$ on en déduit $\;-i\simeq -{\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{{\overline {SA_{i}}}_{\leftarrow }}}\;$ $\Rightarrow$ $\;i\simeq {\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{{\overline {SA_{i}}}_{\leftarrow }}}\;$${\Bigg ]}$ ;
$\;i$
$\;{\dfrac {\overline {A_{o}B_{o}}}{{\overline {SA_{o}}}_{\rightarrow }}}\simeq {\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{{\overline {SA_{i}}}_{\leftarrow }}}\;$
$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{\overline {A_{o}B_{o}}}}\simeq {\dfrac {{\overline {SA_{i}}}_{\leftarrow }}{{\overline {SA_{o}}}_{\rightarrow }}}\;$
$\;{\big$
${\big )}$
$\;{\big$
$\;{\big$
${\big )}\;$
${\big ]}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {{\overline {SA_{i}}}_{\leftarrow }}{{\overline {SA_{o}}}_{\rightarrow }}}\;$
$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {p_{i}}{p_{o}}}\;$
$\;{\big$
$\;A_{o}\neq S{\big )}\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}p_{o}={\overline {SA_{o}}}_{\rightarrow }\\p_{i}={\overline {SA_{i}}}_{\leftarrow }\end{array}}\right\rbrace \;$
Remarques : si $\;A_{o}\;$ est le point à l'infini de l'axe optique principal, $\;p_{o}\;$ vaut $\;\infty \;$ et $\;p_{i}=f_{i}$ $\;{\big$l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image $\;F_{i}{\big )}\;$ donnant $\;G_{t}(A_{o,\,\infty })=0$,
Remarques : si $\;A_{o}\;$ est le foyer principal objet, $\;p_{o}=f_{o}\;$ et $\;p_{i}\;$ vaut $\;\infty$ $\;{\big$l'image du foyer principal objet $\;F_{o}\;$ étant le point à l'infini de l'axe optique principal${\big )}\;$ donnant $\;G_{t}(F_{o})\;$ infini.
Considérant un objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ de pied $\;A_{o}=C\;$ et Considérant la condition d'aplanétisme approché du miroir pour cet objet c'est-à-dire l'angle non algébrisé $\;\beta \;$ sous lequel l'objet est vu du sommet $\;S$, petit $\;{\big\beta \ll 1{\big )}$,
* vérifier, par construction de l'image $\;A_{i}B_{i}$, qu'elle est symétrique de $\;A_{o}B_{o}\;$ par rapport à l'axe optique principal et
* comparer au résultat donné par l'application de la relation de conjugaison de grandissement transverse $\;{\big$ou 2ème relation de conjugaison${\big ]}\;$ de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}\;$ établie dans la solution de la 1ère sous question précédente pour un objet linéique transverse de pied $\;A_{o}\neq S\;$$^,$ en considérant $\;A_{o}=C$.
Considérant maintenant un objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ de pied $\;A_{o}=S\;$ et Considérant la condition d'aplanétisme approché du miroir pour cet objet c'est-à-dire l'angle non algébrisé $\;\alpha \;$ sous lequel l'objet est vu du centre $\;C$, petit $\;{\big\alpha \ll 1{\big )}\;$,
* vérifier que l'image $\;A_{i}B_{i}\;$ se superpose à $\;A_{o}B_{o}$, le caractère linéique transverse de l'objet entraînant celui de l'image et
* en déduire la valeur du grandissement transverse $\;G_{t}(S)\;$ pour un objet linéique transverse de pied $\;A_{o}=S$.
$\;C\;$
$\;CB_{o}\;$
$\;C$
$\;A_{o}\;$
$\;CB_{o}$
$\;CB_{i}$
$\;B_{o}$
$\;S\;$
$\;C\;$
$\;B_{i}$
$\;B_{o}\;$
$\;{\overline {CB_{i}}}=-{\overline {CB_{o}}}\;$
$\;G_{t}(C)=-1\;$
$\;{\big$
${\big ]}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;A_{o}\neq S\;$
$\;A_{o}=C$
$\;G_{t}(C)={\dfrac {{\overline {SC}}_{\leftarrow }}{{\overline {SC}}_{\rightarrow }}}\;$
$\;{\overline {SC}}_{\leftarrow }=-{\overline {SC}}_{\rightarrow }\;$
$\;G_{t}(C)=-1\;$
$\;{\overline {SA_{i}}}={\overline {SA_{o}}}\;$
$\;G_{t}(S)=+1\;$

#### Construction de l'image par un miroir sphérique d'un objet linéique transverse

Définitions préliminaires : On appelle plan focal objet le plan transverse passant par le foyer principal objet $\;F_{o}\;$ et
Définitions préliminaires : On appelle plan focal image le plan transverse passant par le foyer principal image $\;F_{i}$ ;
Définitions préliminaires : on appelle axe optique secondaire tout axe passant par le centre $\;C$ du miroir, il possède une partie incidence contenue dans l'espace objet réel se réfléchissant sur elle-même pour donner sa partie émergente contenue dans l'espace image réelle ;
Définitions préliminaires : on appelle foyer secondaire objet $\;\varphi _{o}\;$ associé à un axe optique secondaire de support $\;(\delta )\;$ l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal objet et
Définitions préliminaires : On appelle foyer secondaire image $\;\varphi _{i}\;$ associé à un axe optique secondaire de support $\;(\delta )\;$ l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal image.
Propriétés : Justifier les propriétés des foyers secondaires objet et image associés à un axe optique secondaire de support $\;(\delta )$ :
* le foyer secondaire objet $\;\varphi _{o}(\delta )\;$ associé à l'axe optique secondaire de support $\;(\delta )\;$ admet pour image le point à l'infini de l'axe optique secondaire $\;{\big$soit $\;\varphi _{o}(\delta )\;{\stackrel {\mathcal {M}}{\longrightarrow }}\;B_{i,\,\infty }(\delta ){\big ]}$,
* le foyer secondaire image $\;\varphi _{i}(\delta )\;$ associé à l'axe optique secondaire de support $\;(\delta )\;$ admet pour antécédent le point à l'infini de l'axe optique secondaire $\;{\big$soit $\;B_{i,\,\infty }(\delta )\;{\stackrel {\mathcal {M}}{\longrightarrow }}\;\varphi _{i}(\delta ){\big ]}$.
Propriétés des foyers secondaires associés à un axe optique secondaire :
* propriété du foyer secondaire objet $\;\varphi _{o}(\delta )\;$ associé à l'axe optique secondaire de support $\;(\delta )$ : considérons un objet linéique transverse contenu dans le plan focal objet et de pied $\;F_{o}$, objet noté $\;F_{o}\varphi _{o}(\delta )$, $\;F_{o}\;$ ayant pour image le point à l'infini $\;A_{i,\,\infty }\;$ de l'axe optique principal et l'image étant linéique transverse, le point $\;\varphi _{o}(\delta )\;$ a une image également située à l'infini sur la partie réfléchie de l'axe optique secondaire de support $\;(\delta )\;$, soit effectivement «$\;\varphi _{o}(\delta )\;{\stackrel {\mathcal {M}}{\longrightarrow }}\;B_{i,\,\infty }(\delta )\;$»
* propriété du foyer secondaire image $\;\varphi _{i}(\delta )\;$ associé à l'axe optique secondaire de support $\;(\delta )$ : considérons un objet dont l'image associée est contenue dans le plan focal image et de pied $\;F_{i}$, image notée $\;F_{i}\varphi _{i}(\delta )$, $\;F_{i}\;$ ayant pour antécédent le point à l'infini $\;A_{o,\,\infty }\;$ de l'axe optique principal et le miroir étant aplanétique, le point $\;\varphi _{i}(\delta )\;$ a un antécédent également situé à l'infini sur la partie incidente de l'axe optique secondaire de support $\;(\delta )\;$, soit effectivement «$\;B_{i,\,\infty }(\delta )\;{\stackrel {\mathcal {M}}{\longrightarrow }}\;\varphi _{i}(\delta )\;$».
Considérant un objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ réel, de pied $\;A_{o}\;$ séparé du sommet $\;S\;$ d'un miroir sphérique concave d'une distance supérieure au rayon non algébrisé du miroir, construire son image $\;A_{i}B_{i}\;$ par le miroir de deux façons différentes :
* en considérant deux rayons incidents issus de $\;B_{o}\;$ ${\big$choisis parmi les trois suivants : passant par $\;C$, passant par $\;F_{o}\;$ ou $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal${\big ]}$,
* en considérant un rayon incident issu de $\;A_{o}\;$ $\;{\big$choisi parmi les deux suivants : passant par $\;\varphi _{o}(\delta )\;$ ou $\;\parallel \;$ à l'axe optique secondaire $\;(\delta ){\big ]}$.
Refaire les constructions précédentes avec un miroir convexe.
$\;1.\;$En considérant deux rayons incidents issus de $\;B_{o}\;$ choisis parmi les trois suivants $\;{\big$voir schéma ci-contre à droite${\big )}$ : $\;\succ \;$passant par $\;C\;$ et se réfléchissant sur lui-même, $\;\succ \;$passant par $\;F_{o}\;$ foyer principal objet et se réfléchissant parallèlement à l'axe optique principal, $\;\succ \;$$\parallel \;$ à l'axe optique principal et se réfléchissant en passant par le foyer principal image $\;F_{i}\;$, $\;\color {transparent}{1.}\;$En considérant deux rayons incidents issus de $\;\color {transparent}{B_{o}}\;$ l'image $\;B_{i}\;$ étant à l'intersection des deux rayons réfléchis correspondant aux deux rayons incidents choisis, $\;A_{i}\;$ s'obtient en projetant orthogonalement $\;B_{i}\;$ sur l'axe optique principal.
$\;2.\;$En considérant un rayon incident issu de $\;A_{o}\;$ choisis parmi les deux suivants $\;{\big$voir schéma ci-contre à gauche${\big )}$ : $\;\succ \;$passant par un foyer secondaire objet $\;\varphi _{o}(\delta )\;$ ${\big$point d'intersection du rayon incident et du plan focal objet${\big ]}\;$ et se réfléchissant parallèlement à l'axe optique secondaire $\;(\delta )\;$ ${\big$c'est-à-dire, pour la partie incidente $\;C\varphi _{o}(\delta )$, la partie réfléchie se superposant à la partie incidente mais orientée en sens contraire${\big ]}$, $\;\succ \;$$\parallel \;$ à un axe optique secondaire a priori quelconque $\;(\delta )\;$ et se réfléchissant en passant par le foyer secondaire image $\;\varphi _{i}(\delta )\;$ ${\big$point d'intersection de l'axe optique secondaire $\;(\delta )\;$ et du plan focal image${\big ]}$, $\;\color {transparent}{2.}\;$En considérant un rayon incident issu de $\;\color {transparent}{A_{o}}\;$ l'image $\;A_{i}\;$ étant à l'intersection d'un des rayons réfléchis correspondant au rayon incident choisi et de l'axe optique principal, $\;B_{i}\;$ s'obtient comme intersection de l'axe optique secondaire passant par $\;B_{o}\;$ et du plan transverse passant par $\;A_{i}$.
Ci-dessous les constructions refaites sur un miroir sphérique convexe, en considérant deux rayons incidents issus de $\;B_{o}\;$ à gauche, Ci-dessous les constructions refaites sur un miroir sphérique convexe, en utilisant un rayon incident issu de $\;A_{o}\;$ et la notion de foyers secondaires objet ou image à droite :
* Construction de l'image par un miroir sphérique convexe d'un objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ utilisant deux des trois rayons incidents issus de $\;B_{o}$ : passant par $\;C$, passant par $\;F_{o}\;$ ou $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal
* Construction de l'image par un miroir sphérique convexe d'un objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ utilisant un des deux incidents issus de $\;A_{o}$ : passant par un foyer secondaire objet ou $\;\parallel \;$ à un axe optique secondaire

### Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) sous conditions de Gauss
#### Relation de conjugaison de position (ou 1ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)

On repère maintenant les points objet $\;A_{o}\;$ et image $\;A_{i}\;$ relativement au centre $\;C\;$ du miroir sphérique en définissant
* l'abscisse objet de Descartes $\;{\big$avec origine au centre${\big )}\;$ de $\;A_{o}\;$ par $\;\pi _{o}={\overline {CA_{o}}}_{\rightarrow }\;$ et
* l'abscisse image de Descartes $\;{\big$avec origine au centre${\big )}\;$ de $\;A_{i}\;$ par $\;\pi _{i}={\overline {CA_{i}}}_{\leftarrow }\;$ ;
à partir de la relation de conjugaison de position $\;{\big$ou 1ère relation de conjugaison${\big ]}\;$ de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}\;$ et par changement d'origine, établir que la relation de conjugaison de position $\;{\big$ou 1ère relation de conjugaison${\big ]}\;$ de Descartes $\;{\big$avec origine au centre${\big )}\;$ s'écrit
$\;{\dfrac {1}{{\overline {CA_{i}}}_{\leftarrow }}}-{\dfrac {1}{{\overline {CA_{o}}}_{\rightarrow }}}=-V\;$
$\;{\dfrac {1}{\pi _{i}}}-{\dfrac {1}{\pi _{o}}}=-V\;$
$\;V\;$
Les relations de conjugaison de Descartes $\;{\big$avec origine au centre${\big )}\;$ utilisent $\;C\;$ comme origine pour repérer un point objet $\;A_{o}\;$ ou un point image $\;A_{i}\;$ sur l'axe optique principal :
* l'abscisse objet de Descartes $\;{\big$avec origine au centre${\big )}\;$ du point objet $\;A_{o}\;$ notée $\;\pi _{o}={\overline {CA_{o}}}_{\rightarrow }\;$ est liée à son abscisse objet de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}$ $\;p_{o}={\overline {SA_{o}}}_{\rightarrow }\;$ par $\;{\overline {SA_{o}}}_{\rightarrow }=$ ${\overline {SC}}_{\rightarrow }+{\overline {CA_{o}}}_{\rightarrow }\;$ ou «$\;p_{o}={\overline {R}}+\pi _{o}\;$» et
* l'abscisse image de Descartes $\;{\big$avec origine au centre${\big )}\;$ du point image $\;A_{i}\;$ notée $\;\pi _{i}={\overline {CA_{i}}}_{\leftarrow }\;$ est liée à son abscisse image de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}$ $\;p_{i}={\overline {SA_{i}}}_{\leftarrow }\;$ par $\;{\overline {SA_{i}}}_{\leftarrow }=$ ${\overline {SC}}_{\leftarrow }+{\overline {CA_{i}}}_{\leftarrow }\;$ ou «$\;p_{i}=-{\overline {R}}+\pi _{i}\;$» ;
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\dfrac {1}{p_{i}}}-{\dfrac {1}{p_{o}}}={\dfrac {-2}{\overline {R}}}\;$
$\;{\dfrac {1}{\pi _{i}-{\overline {R}}}}-{\dfrac {1}{\pi _{o}+{\overline {R}}}}={\dfrac {-2}{\overline {R}}}\;$
$\;{\dfrac {(\pi _{o}+{\overline {R}})-(\pi _{i}-{\overline {R}})}{(\pi _{i}-{\overline {R}})\,(\pi _{o}+{\overline {R}})}}=$
${\dfrac {-2}{\overline {R}}}\;$
$\;-2\,(\pi _{i}-{\overline {R}})\,(\pi _{o}+{\overline {R}})=(\pi _{o}-\pi _{i}+2\,{\overline {R}})\,{\overline {R}}\;$
$\Leftrightarrow$
$\;-2\,\pi _{o}\,\pi _{i}+2\,{\overline {R}}\,\pi _{o}-2\,{\overline {R}}\,\pi _{i}+2\,{\overline {R}}^{2}=$
$\pi _{o}\,{\overline {R}}-\pi _{i}\,{\overline {R}}+2\,{\overline {R}}^{2}\;$
$\;-2\,\pi _{o}\,\pi _{i}+{\overline {R}}\,\pi _{o}-{\overline {R}}\,\pi _{i}=0\;$
$\;{\overline {R}}\,\pi _{o}-{\overline {R}}\,\pi _{i}=2\,\pi _{o}\,\pi _{i}\;$
$\;\pi _{o}\,\pi _{i}\,{\overline {R}}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\dfrac {1}{\pi _{i}}}-{\dfrac {1}{\pi _{o}}}={\dfrac {2}{\overline {R}}}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\dfrac {1}{\pi _{i}}}-{\dfrac {1}{\pi _{o}}}=-V\;$
$\;V={\dfrac {-2}{\overline {R}}}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\pi _{o}={\overline {CA_{o}}}_{\rightarrow }\\\pi _{i}={\overline {CA_{i}}}_{\leftarrow }\end{array}}\right\rbrace \;$

#### Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)

À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse $\;{\big$ou 2ème relation de conjugaison${\big ]}\;$ de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}\;$ et par changement d'origine, établir la relation de conjugaison de grandissement transverse $\;{\big$ou 2ème relation de conjugaison${\big ]}\;$ de Descartes $\;{\big$avec origine au centre${\big )}\;$.
En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement cette relation.
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {p_{i}}{p_{o}}}\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}p_{o}=\pi _{o}+{\overline {R}}\\p_{i}=\pi _{i}-{\overline {R}}\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {\pi _{i}-{\overline {R}}}{\pi _{o}+{\overline {R}}}}={\dfrac {{\dfrac {\pi _{i}}{\overline {R}}}-1}{{\dfrac {\pi _{o}}{\overline {R}}}+1}}={\dfrac {{\dfrac {\pi _{i}}{\overline {R}}}\left[1-{\dfrac {\overline {R}}{\pi _{i}}}\right]}{{\dfrac {\pi _{o}}{\overline {R}}}\left[1+{\dfrac {\overline {R}}{\pi _{o}}}\right]}}={\dfrac {{\dfrac {\pi _{i}}{\overline {R}}}\left[{\dfrac {1}{\overline {R}}}-{\dfrac {1}{\pi _{i}}}\right]}{{\dfrac {\pi _{o}}{\overline {R}}}\left[{\dfrac {1}{\overline {R}}}+{\dfrac {1}{\pi _{o}}}\right]}}=-{\dfrac {\dfrac {\pi _{i}}{\overline {R}}}{\dfrac {\pi _{o}}{\overline {R}}}}\;$
${\Bigg$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\dfrac {1}{\pi _{i}}}-{\dfrac {1}{\pi _{o}}}={\dfrac {2}{\overline {R}}}\;$
$\;{\dfrac {1}{\pi _{i}}}-{\dfrac {1}{\overline {R}}}={\dfrac {1}{\pi _{o}}}+{\dfrac {1}{\overline {R}}}\;$
${\Bigg ]}$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;G_{t}(A_{o})=-{\dfrac {\pi _{i}}{\pi _{o}}}\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\pi _{o}={\overline {CA_{o}}}_{\rightarrow }\\\pi _{i}={\overline {CA_{i}}}_{\leftarrow }\end{array}}\right\rbrace \;$
Ayant construit l'image $\;A_{i}B_{i}\;$ de l'objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ en positionnant $\;B_{i}\;$ comme intersection des rayons réfléchis correspondants à deux rayons incidents issus de $\;B_{o}$,  $\succ \;$le 1er passant par $\;C\;$ qui se réfléchit sur lui-même et  $\succ \;$le 2ème de point d'incidence $\;S\;$ qui se réfléchit en $\;S\;$ suivant une direction symétrique par rapport à l'axe optique principal, le point $\;A_{i}\;$ étant le projeté orthogonal du point $\;B_{i}\;$ sur l'axe optique principal ;
le grandissement transverse étant défini par «$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{\overline {A_{o}B_{o}}}}\;$», on le détermine en exprimant $\;\tan({\widehat {B_{o}CA_{o}}})\;$ et $\;\tan({\widehat {B_{i}CA_{i}}})\;$ respectivement dans les triangles rectangles $\;A_{o}B_{o}C\;$ et $\;A_{i}B_{i}C\;$ soit :
* «$\;\tan({\widehat {B_{o}CA_{o}}})=-{\dfrac {\overline {A_{o}B_{o}}}{{\overline {CA_{o}}}_{\rightarrow }}}\;$», $\;{\overline {A_{o}B_{o}}}\;$ étant $\;>0\;$ et $\;{\overline {CA_{o}}}_{\rightarrow }<0\;$$^,$,
* «$\;\tan({\widehat {B_{i}CA_{i}}})={\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{{\overline {CA_{i}}}_{\leftarrow }}}\;$», $\;{\overline {A_{i}B_{i}}}\;$ étant $\;<0\;$ et $\;{\overline {CA_{i}}}_{\leftarrow }<0\;$$^,$ ;
$\;\tan({\widehat {B_{o}CA_{o}}})\;$
$\;\tan({\widehat {B_{i}CA_{i}}})$
$\;-{\dfrac {\overline {A_{o}B_{o}}}{{\overline {CA_{o}}}_{\rightarrow }}}={\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{{\overline {CA_{i}}}_{\leftarrow }}}\;$
$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{\overline {A_{o}B_{o}}}}=-{\dfrac {{\overline {CA_{i}}}_{\leftarrow }}{{\overline {CA_{o}}}_{\rightarrow }}}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
${\big$
$\;{\big$
${\big )}\;$
${\big ]}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;G_{t}(A_{o})=-{\dfrac {{\overline {CA_{i}}}_{\leftarrow }}{{\overline {CA_{o}}}_{\rightarrow }}}\;$
$\;G_{t}(A_{o})=-{\dfrac {\pi _{i}}{\pi _{o}}}\;$
${\big$
$\;A_{o}\neq C{\big )}\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\pi _{o}={\overline {CA_{o}}}_{\rightarrow }\\\pi _{i}={\overline {CA_{i}}}_{\leftarrow }\end{array}}\right\rbrace \;$
Remarques : si $\;A_{o}\;$ est le point à l'infini de l'axe optique principal, $\;\pi _{o}\;$ vaut $\;\infty \;$ et $\;\pi _{i}=f_{i}+{\overline {R}}\;$ ${\big$l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image $\;F_{i}{\big )}\;$ donnant $\;G_{t}(A_{o,\,\infty })=0$,
Remarques : si $\;A_{o}\;$ est le foyer principal objet, $\;\pi _{o}=f_{o}-{\overline {R}}\;$ et $\;p_{i}\;$ vaut $\;\infty \;$ ${\big$l'image du foyer principal objet $\;F_{o}\;$ étant le point à l'infini de l'axe optique principal${\big )}\;$ donnant $\;G_{t}(F_{o})\;$ infini.

### Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Newton sous conditions de Gauss

On repère maintenant le point objet $\;A_{o}\;$ relativement au foyer principal objet $\;F_{o}\;$ du miroir sphérique et On repère maintenant le point image $\;A_{i}\;$ relativement au foyer principal image $\;F_{i}\;$ du même miroir sphérique en définissant
* l'abscisse objet de Newton de $\;A_{o}\;$ par «$\;\sigma _{o}={\overline {F_{o}A_{o}}}_{\rightarrow }\;$» et
* l'abscisse image de Newton de $\;A_{i}\;$ par «$\;\sigma _{i}={\overline {F_{i}A_{i}}}_{\leftarrow }\;$».

#### Relation de conjugaison de position (ou 1ère relation de conjugaison) de Newton

À partir de la relation de conjugaison de position $\;{\big$ou 1ère relation de conjugaison${\big ]}\;$ de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}\;$ et par changement d'origine, établir que la relation de conjugaison de position $\;{\big$ou 1ère relation de conjugaison${\big ]}\;$ de Newton s'écrit
$\;{\overline {F_{i}A_{i}}}_{\leftarrow }\;{\overline {F_{o}A_{o}}}_{\rightarrow }={\overline {SF_{i}}}_{\leftarrow }\;{\overline {SF_{o}}}_{\rightarrow }\;$
$\;\sigma _{i}\;\sigma _{o}=f_{i}\;f_{o}\;$
$\;f_{i}\;$
$\;f_{o}\;$
Les relations de conjugaison de Newton utilisent $\;F_{o}\;$ comme origine pour repérer un point objet $\;A_{o}\;$ et $\;F_{i}\;$ comme origine pour repérer un point image $\;A_{i}\;$ sur l'axe optique principal :
* l'abscisse objet de Newton du point objet $\;A_{o}\;$ notée $\;\sigma _{o}={\overline {F_{o}A_{o}}}_{\rightarrow }\;$ est liée à son abscisse objet de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}$ $\;p_{o}={\overline {SA_{o}}}_{\rightarrow }\;$ par $\;{\overline {SA_{o}}}_{\rightarrow }={\overline {SF_{o}}}_{\rightarrow }+{\overline {F_{o}A_{o}}}_{\rightarrow }\;$ ou «$\;p_{o}=$ $f_{o}+\sigma _{o}=-f_{i}+\sigma _{o}\;$» et
* l'abscisse image de Newton du point image $\;A_{i}\;$ notée $\;\sigma _{i}={\overline {F_{i}A_{i}}}_{\leftarrow }\;$ est liée à son abscisse image de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}$ $\;p_{o}={\overline {SA_{o}}}_{\rightarrow }\;$ par $\;{\overline {SA_{i}}}_{\leftarrow }={\overline {SF_{i}}}_{\leftarrow }+{\overline {F_{i}A_{i}}}_{\leftarrow }\;$ ou «$\;p_{i}=$ $f_{i}+\sigma _{i}\;$» ;
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\dfrac {1}{p_{i}}}-{\dfrac {1}{p_{o}}}=V\;$
$\;{\dfrac {1}{p_{i}}}-{\dfrac {1}{p_{o}}}={\dfrac {1}{f_{i}}}\;$
$\;{\bigg \$
$\;V\;$
$\;{\dfrac {1}{f_{i}}}=-{\dfrac {1}{f_{o}}}{\bigg \}$
$\;{\dfrac {1}{\sigma _{i}+f_{i}}}-{\dfrac {1}{\sigma _{o}-f_{i}}}={\dfrac {1}{f_{i}}}\;$
$\;{\dfrac {(\sigma _{o}-f_{i})-(\sigma _{i}+f_{i})}{(\sigma _{i}+f_{i})\,(\sigma _{o}-f_{i})}}={\dfrac {1}{f_{i}}}\;$
$\;(\sigma _{i}+f_{i})\,(\sigma _{o}-f_{i})$
$=(\sigma _{o}-\sigma _{i}-2\,f_{i})\,f_{i}\;$
$\Leftrightarrow$
$\;\sigma _{o}\,\sigma _{i}+f_{i}\,\sigma _{o}-f_{i}\,\sigma _{i}-f_{i}^{2}=$
$\sigma _{o}\,f_{i}-\sigma _{i}\,f_{i}-2\,f_{i}^{2}\;$
$\;\sigma _{o}\,\sigma _{i}=-f_{i}^{2}\;$
$\;f_{o}=-f_{i}\;$
$\;\sigma _{o}\,\sigma _{i}=f_{o}\,f_{i}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;\sigma _{o}\,\sigma _{i}=f_{o}\,f_{i}\;$
$\;f_{i}=-f_{o}=-{\dfrac {\overline {R}}{2}}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\sigma _{o}={\overline {F_{o}A_{o}}}_{\rightarrow }\\\sigma _{i}={\overline {F_{i}A_{i}}}_{\leftarrow }\end{array}}\right\rbrace \;$

#### Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2ème relation de conjugaison) de Newton

À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse $\;{\big$ou 2ème relation de conjugaison${\big ]}\;$ de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}\;$ et par changement d'origine, établir la relation de conjugaison de grandissement transverse $\;{\big$ou 2ème relation de conjugaison${\big ]}\;$ de Newton$^,$$^,$.
En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement les deux formes de cette relation.
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {p_{i}}{p_{o}}}\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}p_{o}=\sigma _{o}-f_{i}\\p_{i}=\sigma _{i}+f_{i}\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {\sigma _{i}+f_{i}}{\sigma _{o}-f_{i}}}\;$
$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {\sigma _{i}\left(1+{\dfrac {f_{i}}{\sigma _{i}}}\right)}{f_{i}\left({\dfrac {\sigma _{o}}{f_{i}}}-1\right)}}=-{\dfrac {\sigma _{i}}{f_{i}}}\;$
${\Bigg$
$\;\sigma _{o}\,\sigma _{i}=f_{i}\,f_{o}=-f_{i}^{2}\;$
$\Leftrightarrow$
$\;{\dfrac {\sigma _{o}}{f_{i}}}=-{\dfrac {f_{i}}{\sigma _{i}}}\;$
$\Rightarrow$
$\;{\dfrac {\sigma _{o}}{f_{i}}}-1=-\left(1+{\dfrac {f_{i}}{\sigma _{i}}}\right)\;$
${\Bigg ]}$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;G_{t}(A_{o})=-{\dfrac {\sigma _{i}}{f_{i}}}={\dfrac {\sigma _{i}}{f_{o}}}\;$
$\;\sigma _{i}={\overline {F_{i}A_{i}}}_{\leftarrow }\;$
$\;\sigma _{i}\,\sigma _{o}=f_{i}\,f_{o}\;$
$\;{\dfrac {\sigma _{i}}{f_{o}}}={\dfrac {f_{i}}{\sigma _{o}}}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;G_{t}(A_{o})=-{\dfrac {f_{o}}{\sigma _{o}}}={\dfrac {f_{i}}{\sigma _{o}}}\;$
$\;\sigma _{o}={\overline {F_{o}A_{o}}}_{\rightarrow }\;$
Ayant construit l'image $\;A_{i}B_{i}\;$ de l'objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ en positionnant $\;B_{i}\;$ comme intersection des rayons réfléchis correspondants à deux rayons incidents issus de $\;B_{o}$,  $\succ \;$le 1er passant par $\;F_{o}\;$ qui se réfléchit parallèlement à l'axe optique principal et  $\succ \;$le 2ème $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal qui se réfléchit en passant par $\;F_{i}$, le point $\;A_{i}\;$ étant le projeté orthogonal du point $\;B_{i}\;$ sur l'axe optique principal ;
le grandissement transverse étant défini par «$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{\overline {A_{o}B_{o}}}}\;$», on le détermine en exprimant $\;\tan({\widehat {B_{i}F_{i}A_{i}}})\;$ et $\;\tan({\widehat {KF_{i}S}})\;$$^,$ respectivement dans les triangles rectangles $\;A_{i}B_{i}F_{i}\;$ et $\;KF_{i}S\;$ soit :
* «$\;\tan({\widehat {B_{i}F_{i}A_{i}}})=-{\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{{\overline {F_{i}A_{i}}}_{\leftarrow }}}\;$», $\;{\overline {A_{i}B_{i}}}\;$ étant $\;<0\;$ et $\;{\overline {F_{i}A_{i}}}_{\leftarrow }>0\;$$^,$,
* «$\;\tan({\widehat {KF_{i}S}})={\dfrac {\overline {SK}}{{\overline {SF_{i}}}_{\leftarrow }}}\;$», $\;{\overline {SK}}\;$ étant $\;>0\;$ et $\;{\overline {SF_{i}}}_{\leftarrow }>0\;$ ou, comme $\;{\overline {SK}}={\overline {A_{o}B_{o}}}\;$ on en déduit «$\;\tan({\widehat {KF_{i}S}})={\dfrac {\overline {A_{o}B_{o}}}{{\overline {SF_{i}}}_{\leftarrow }}}\;$» ;
$\;\tan({\widehat {B_{i}F_{i}A_{i}}})\;$
$\;\tan({\widehat {KF_{i}S}})$
$\;-{\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{{\overline {F_{i}A_{i}}}_{\leftarrow }}}={\dfrac {\overline {A_{o}B_{o}}}{{\overline {SF_{i}}}_{\leftarrow }}}\;$
$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{\overline {A_{o}B_{o}}}}=-{\dfrac {{\overline {F_{i}A_{i}}}_{\leftarrow }}{{\overline {SF_{i}}}_{\leftarrow }}}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
${\big$
$\;{\big$
${\big )}\;$
${\big ]}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {{\overline {F_{i}A_{i}}}_{\leftarrow }}{{\overline {SF_{o}}}_{\rightarrow }}}\;$
$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {\sigma _{i}}{f_{o}}}\;$
$\;{\big$
$\;A_{o}\neq A_{o,\,\infty }{\big )}\;$
$\;\sigma _{i}={\overline {F_{i}A_{i}}}_{\leftarrow }\;$
le grandissement transverse «$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{\overline {A_{o}B_{o}}}}\;$» peut aussi être déterminé en exprimant $\;\tan({\widehat {B_{o}F_{o}A_{o}}})\;$ et $\;\tan({\widehat {HF_{o}S}})\;$$^,$ respectivement dans les triangles rectangles $\;A_{o}B_{o}F_{o}\;$ et $\;HF_{o}S\;$ soit :
* «$\;\tan({\widehat {B_{o}F_{o}A_{o}}})=-{\dfrac {\overline {A_{o}B_{o}}}{{\overline {F_{o}A_{o}}}_{\rightarrow }}}\;$», $\;{\overline {A_{o}B_{o}}}\;$ étant $\;>0\;$ et $\;{\overline {F_{o}A_{o}}}_{\rightarrow }<0\;$$^,$,
* «$\;\tan({\widehat {HF_{o}S}})={\dfrac {\overline {SH}}{{\overline {SF_{o}}}_{\rightarrow }}}\;$», $\;{\overline {SH}}\;$ étant $\;<0\;$ et $\;{\overline {SF_{o}}}_{\rightarrow }<0\;$ ou, comme $\;{\overline {SH}}={\overline {A_{i}B_{i}}}\;$ on en déduit «$\;\tan({\widehat {HF_{o}S}})={\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{{\overline {SF_{o}}}_{\rightarrow }}}\;$» ;
$\;\tan({\widehat {B_{o}F_{o}A_{o}}})\;$
$\;\tan({\widehat {HF_{o}S}})$
$\;-{\dfrac {\overline {A_{o}B_{o}}}{{\overline {F_{o}A_{o}}}_{\rightarrow }}}={\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{{\overline {SF_{o}}}_{\rightarrow }}}\;$
$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{\overline {A_{o}B_{o}}}}=-{\dfrac {{\overline {SF_{o}}}_{\rightarrow }}{{\overline {F_{o}A_{o}}}_{\rightarrow }}}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
${\big$
$\;{\big$
${\big )}\;$
${\big ]}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {{\overline {SF_{i}}}_{\leftarrow }}{{\overline {F_{o}A_{o}}}_{\rightarrow }}}\;$
$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {f_{i}}{\sigma _{o}}}\;$
$\;{\big$
$\;A_{o}\neq F_{o}{\big )}\;$
$\;\sigma _{o}={\overline {F_{o}A_{o}}}_{\rightarrow }\;$
Remarques : si $\;A_{o}\;$ est le point à l'infini de l'axe optique principal, $\;\sigma _{o}\;$ vaut $\;\infty \;$ et $\;\sigma _{i}=0\;$ ${\big$l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image $\;F_{i}{\big )}\;$ donnant $\;G_{t}(A_{o,\,\infty })=0$,
Remarques : si $\;A_{o}\;$ est le foyer principal objet, $\;\sigma _{o}=0\;$ et $\;\sigma _{i}\;$ vaut $\;\infty \;$ ${\big$l'image du foyer principal objet $\;F_{o}\;$ étant le point à l'infini de l'axe optique principal${\big )}\;$ donnant $\;G_{t}(F_{o})\;$ infini.

### Relations de Lagrange - Helmholtz sous conditions de Gauss
#### Expression de Descartes (avec origine au sommet) du grandissement angulaire d'un pinceau incident issu d'un point objet

Le grandissement angulaire d'un pinceau lumineux incident issu d'un point objet $\;A_{o}\;$, de direction faisant un angle $\;\theta _{o}\;$ avec la partie incidente de l'axe optique principal, le pinceau se réfléchissant sur le miroir en convergeant vers le point image $\;A_{i}\;$, avec une direction faisant un angle $\;\theta _{i}\;$ avec la partie réfléchie de l'axe optique principal, est défini selon
$\;G_{a}(A_{o})={\dfrac {\theta _{i}}{\theta _{o}}}\;$
en utilisant le schéma ci-contre, établir l'expression du grandissement angulaire «$\;G_{a}(A_{o})={\dfrac {\theta _{i}}{\theta _{o}}}\;$»$^,$ en fonction des abscisses objet et image de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}$, respectivement «$\;p_{o}={\overline {SA_{o}}}_{\rightarrow }\;$ et $\;p_{i}={\overline {SA_{i}}}_{\leftarrow }\;$»$^,$.
On détermine le grandissement angulaire «$\;G_{a}(A_{o})={\dfrac {\theta _{i}}{\theta _{o}}}\;$»$^,$ par évaluation de $\;\tan(\theta _{o})\;$ et $\;\tan(\theta _{i})$ $\;{\big$tous deux $\;>0\;$ sur la figure ci-dessus${\big )}\;$ On détermine le grandissement angulaire «$\;\color {transparent}{G_{a}(A_{o})={\dfrac {\theta _{i}}{\theta _{o}}}}\;$» respectivement dans les triangles $\;A_{o}IS\;$ et $\;A_{i}IS\;$ ${\big$l'angle $\;{\widehat {SA_{i}I}}\;$ étant égal à $\;\theta _{i}{\big ]}\;$ soit :
* dans le triangle $\;A_{o}IS$, «$\;\tan(\theta _{o})=-{\dfrac {\overline {SI}}{{\overline {SA_{o}}}_{\rightarrow }}}\;$» $\;{\big{\overline {SI}}\;$ étant $\;>0\;$ et $\;{\overline {SA_{o}}}_{\rightarrow }<0\;$${\big ]}\;$ ou «$\;\tan(\theta _{o})=-{\dfrac {\overline {SI}}{p_{o}}}\;$» soit, avec $\;\vert \theta _{o}\vert \ll 1\;$ $\Rightarrow$ $\;\tan(\theta _{o})\simeq \theta _{o}\;$, «$\;\theta _{o}\simeq -{\dfrac {\overline {SI}}{p_{o}}}\;$» ;
* dans le triangle $\;A_{i}IS$, «$\;\tan(\theta _{i})={\dfrac {\overline {SI}}{{\overline {SA_{i}}}_{\leftarrow }}}\;$» $\;{\big{\overline {SI}}\;$ étant $\;>0\;$ et $\;{\overline {SA_{i}}}_{\leftarrow }>0\;$${\big ]}\;$ ou «$\;\tan(\theta _{i})={\dfrac {\overline {SI}}{p_{i}}}\;$» soit, avec $\;\vert \theta _{i}\vert \ll 1\;$ $\Rightarrow$ $\;\tan(\theta _{i})\simeq \theta _{i}\;$, «$\;\theta _{i}\simeq {\dfrac {\overline {SI}}{p_{i}}}\;$» ;
$\;G_{a}(A_{o})={\dfrac {\theta _{i}}{\theta _{o}}}\simeq {\dfrac {\dfrac {\overline {SI}}{p_{i}}}{-{\dfrac {\overline {SI}}{p_{o}}}}}\;$
$\;{\overline {SI}}$
$\;G_{a}(A_{o})={\dfrac {\theta _{i}}{\theta _{o}}}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;\left(A_{o}\,,\,A_{i}\right)$
$\;G_{a}(A_{o})={\dfrac {\theta _{i}}{\theta _{o}}}\simeq -{\dfrac {p_{o}}{p_{i}}}\;$

#### Établissement de la relation de Lagrange - Helmholtz

Á l'aide de la relation de conjugaison de grandissement transverse $\;{\big$ou 2ème relation de conjugaison${\big ]}\;$ de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}\;$ et Á l'aide de l'expression du grandissement angulaire dans le même repérage,
$\;G_{t}(A_{o})\;G_{a}(A_{o})=-1\;$
$\;{\big$
${\big ]}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;G_{t}(A_{o})\simeq {\dfrac {p_{i}}{p_{o}}}\;$
$\;G_{a}(A_{o})\simeq -{\dfrac {p_{o}}{p_{i}}}\;$
$\;A_{o}$
$\;G_{a}(A_{o})\;G_{t}(A_{o})\simeq -{\dfrac {p_{o}}{p_{i}}}\;{\dfrac {p_{i}}{p_{o}}}=-1\;$

## Stigmatisme et aplanétisme approchés d'un dioptre sphérique sous conditions de Gauss

Pour être défini, un dioptre sphérique nécessite la connaissance de :
* sa nature « concave » ou « convexe »,
* son centre $\;C\;$ ${\big$centre de courbure de la surface sphérique dioptrique${\big ]}$,
* son rayon de courbure $\;{\big$non algébrisé${\big )}$ $\;R\;$ ${\big$rayon de courbure de la surface sphérique dioptrique${\big ]}$,
* l'axe optique principal dont la partie incidente $\;{\big$ou son prolongement${\big )}\;$ passe par $\;C\;$ et le point objet $\;A_{o}\;$ ${\big$point objet dont on étudiera l'image éventuelle${\big )}$,
* son sommet $\;S\;$ ${\big$intersection de l'axe optique principal et de la surface dioptrique${\big ]}\;$ et
* l'indice de l'espace objet réel $\;n_{o}\;$ ainsi que celui de l'espace image réelle $\;n_{i}$.
Nous adoptons l'algébrisation physique de l'axe optique principal et, pour unifier l'étude des dioptres sphériques, algébrisons le rayon de courbure du dioptre selon $\;{\overline {R}}={\overline {SC}}\;$ avec pour conséquence la nature « concave » ou « convexe » du dioptre caractérisé par le signe du rayon de courbure algébrisé :
* si $\;{\overline {R}}={\overline {SC}}>0$, $\;C\;$ étant à droite de $\;S\;$ est un point de l'espace objet virtuel, correspondant à un dioptre « convexe »,
* si $\;{\overline {R}}={\overline {SC}}<0$, $\;C\;$ étant à gauche de $\;S\;$ est un point de l'espace objet réel, correspondant à un dioptre « concave ».
* Justification du caractère convergent d'un dioptre sphérique concave faisant passer d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent
* Justification du caractère divergent d'un dioptre sphérique concave faisant passer d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent
* Justification du caractère divergent d'un dioptre sphérique convexe faisant passer d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent
* Justification du caractère convergent d'un dioptre sphérique convexe faisant passer d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent
Dans la suite nous supposerons le dioptre sphérique concave faisant passer d'un espace plus réfringent à un espace moins réfringent $\;{\big$figure de gauche de la 1ère ligne de la galerie ci-dessus${\big )}\;$ et Dans la suite nous admettrons qu'il n'y a pas stigmatisme rigoureux du dioptre sphérique pour tous les points objet autres que $\;C\;$ et tous les points du dioptre.

### Démonstration du stigmatisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent sous conditions de Gauss

Considérant un point objet réel $\;A_{o}\neq C\;$ et l'axe optique principal correspondant de support $\;(A_{o}C)\;$, nous envisageons des rayons incidents issus de $\;A_{o}$, peu inclinés par rapport à l'axe optique principal, d'angle d'inclinaison $\;\theta _{o}\;$ tel que $\;\vert \theta _{o}\vert \ll 1\;$ et dont le point d'incidence $\;I\;$ reste proche du sommet $\;S\;$ ${\Big$l'angle que fait la normale au dioptre en $\;I\;$ avec l'axe optique principal $\;{\widehat {({\overrightarrow {CS}}\,;\,{\vec {N}})}}$ $=\omega \;$ est donc petit en valeur absolue $\;{\big\vert \omega \vert \ll 1{\big )}\;$${\Big ]}$.
Le rayon incident $\;A_{o}I\;$ donnant, par utilisation des lois de Snell - Descartes de la réfraction, le rayon émergent $\;IA_{i}\;$ ${\bigA_{i}\in$ à l'axe optique principal${\big )}$, appelons $\;\theta _{i}\;$ l'angle d'inclinaison du rayon réfracté par rapport à l'axe optique principal ; nous nous proposons de démontrer que $\;A_{i}\;$ est indépendant du rayon incident considéré $\;{\big$c'est-à-dire indépendant de $\;\theta _{o}\;$ et de $\;\omega {\big )}\;$ dans la mesure où les conditions de Gauss de stigmatisme approché $\;{\big\vert \theta _{o}\vert \ll 1\;$ et $\;\vert \omega \vert \ll 1{\big )}\;$ sont réalisées.

#### Établissement de la relation liant θ$_o$, θ$_i$, ω, n$_o$ et n$_i$

* En travaillant dans le triangle $\;A_{o}IC\;$ établir une 1ère relation entre $\;\theta _{o}$, $\;i_{o}\;{\big$angle d'incidence du rayon incident en $\;I{\big )}\;$ et $\;\omega$,
* en travaillant dans le triangle $\;A_{i}IC\;$ établir une 2ème relation entre $\;\theta _{i}$, $\;i_{i}\;{\big$angle de réfraction du rayon émergent en $\;I{\big )}\;$ et $\;\omega$,
* en utilisant la 2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction sous conditions de Gauss et les deux relations précédentes, déduire la relation suivante entre $\;\theta _{o}$, $\;\theta _{i}$, $\;\omega$, $\;n_{o}\;$ et $\;n_{i}\;$ «$\;\omega ={\dfrac {n_{o}\;\theta _{o}-n_{i}\;\theta _{i}}{n_{o}-n_{i}}}\;\;({\mathfrak {a}})\;$».
Dans le triangle $\;A_{o}IC$, «$\;\omega =\theta _{o}+(-i_{o})\;\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$»$^,$ et
 dans le triangle $\;A_{i}IC$, «$\;-i_{i}=\omega -\theta _{i}\;$»$^,$ ou, en utilisant la 2ème relation de Snell - Descartes pour la réfraction et, dans le triangle $\;\color {transparent}{A_{i}IC}$, «$\;\color {transparent}{-i_{i}=\omega -\theta _{i}}\;$» ou, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle d'incidence $\;{\big\Rightarrow$la petitesse de la valeur absolue de l'angle de réfraction${\big )}$ dans le triangle $\;\color {transparent}{A_{i}IC}$, «$\;\color {transparent}{-i_{i}=\omega -\theta _{i}}\;$» ou, en utilisant la 2ème relation de Snell - Descartes pour la réfraction $\;n_{o}\,i_{0}=n_{i}\,i_{i}\;$ $\Rightarrow$ $\;i_{i}={\dfrac {n_{o}}{n_{i}}}\,i_{o}$, la relation ci-dessus se réécrit dans le triangle $\;\color {transparent}{A_{i}IC}$, «$\;-{\dfrac {n_{o}}{n_{i}}}\,i_{o}=\omega -\theta _{i}\;\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$» ;
$\;\color {transparent}{A_{i}IC}$
$\;i_{o}\;$
$\;{\dfrac {n_{o}}{n_{i}}}\;({\mathfrak {1}})+({\mathfrak {2}})\;$
$\;{\dfrac {n_{o}}{n_{i}}}\;\omega ={\dfrac {n_{o}}{n_{i}}}\;\theta _{o}+\omega -\theta _{i}\;$
$\;n_{o}\,\omega =n_{o}\,\theta _{o}+n_{i}\,\omega -n_{i}\,\theta _{i}\;$
$\;\omega ={\dfrac {n_{o}\,\theta _{o}-n_{i}\,\theta _{i}}{n_{o}-n_{i}}}\;\;({\mathfrak {a}})\;$

#### Évaluation des angles θ$_o$, θ$_i$ et ω en fonction des abscisses de A$_o$, A$_i$ et C repérées relativement à H

De la relation $\;({\mathfrak {a}})\;$ et des conditions de Gauss de stigmatisme approché, montrer que le rayon réfracté est aussi peu incliné relativement à l'axe optique principal c'est-à-dire $\;\vert \theta _{i}\vert \ll 1$.
* En travaillant dans le triangle $\;A_{o}IH\;$ évaluer $\;\tan(\theta _{o})\;$ en fonction, entre autres, de $\;{\overline {HA_{o}}}\;$ puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, $\;\theta _{o}$,
* en travaillant dans le triangle $\;A_{i}IH\;$ évaluer $\;\tan(\theta _{i})\;$ en fonction, entre autres, de $\;{\overline {HA_{i}}}\;$ puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, $\;\theta _{i}$,
* en travaillant dans le triangle $\;CIH\;$ évaluer $\;\tan(\omega )\;$ en fonction, entre autres, de $\;{\overline {HC}}\;$ puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, $\;\omega$,
* déduire des trois évaluations précédentes et de la relation $\;({\mathfrak {a}})$, un lien entre $\;{\overline {HA_{o}}}$, $\;{\overline {HA_{i}}}\;$ et $\;{\overline {HC}}\;$ ${\big$relation $\;({\mathfrak {b}}){\big ]}$.
$\;({\mathfrak {a}})\;$
$\;\theta _{i}={\dfrac {n_{o}}{n_{i}}}\,\theta _{o}-{\dfrac {n_{o}-n_{i}}{n_{i}}}\,\omega \;$
$\Rightarrow$
$\;\vert \theta _{i}\vert \leqslant {\dfrac {n_{o}}{n_{i}}}\,\vert \theta _{o}\vert +{\dfrac {n_{o}-n_{i}}{n_{i}}}\,\vert \omega \vert \;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\vert \theta _{o}\vert \ll 1\\\vert \omega \vert \ll 1\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;{\dfrac {n_{o}}{n_{i}}}\,\vert \theta _{o}\vert +{\dfrac {n_{o}-n_{i}}{n_{i}}}\,\vert \omega \vert \ll 1\;$
$\;\vert \theta _{i}\vert \leqslant {\dfrac {n_{o}}{n_{i}}}\,\vert \theta _{o}\vert +{\dfrac {n_{o}-n_{i}}{n_{i}}}\,\vert \omega \vert \ll 1\;$
* En travaillant dans le triangle $\;A_{o}IH$, «$\;\tan(\theta _{o})={\dfrac {\overline {HI}}{-{\overline {HA_{o}}}}}\;$» car sur le schéma $\;\theta _{o}>0\;$ d'où $\;\tan(\theta _{o})>0$, $\;{\overline {HI}}>0\;$ et $\;{\overline {HA_{o}}}<0$ ; En travaillant dans le triangle $\;\color {transparent}{A_{o}IH}$, «$\;\vert \theta _{o}\vert \ll 1\;$ $\Rightarrow$ $\;\tan(\theta _{o})\simeq \theta _{o}\;$» on en déduit $\;\theta _{o}\simeq -{\dfrac {\overline {HI}}{\overline {HA_{o}}}}$ ;
* en travaillant dans le triangle $\;A_{i}IH$, $\;\tan(\theta _{i})=-{\dfrac {\overline {HI}}{\overline {HA_{i}}}}\;$ car sur le schéma $\;\theta _{i}<0\;$ d'où $\;\tan(\theta _{i})<0$, $\;{\overline {HI}}>0\;$ et $\;{\overline {HA_{i}}}>0$ en travaillant dans le triangle $\;\color {transparent}{A_{i}IH}$, «$\;\vert \theta _{i}\vert \ll 1\;$ $\Rightarrow$ $\;\tan(\theta _{i})\simeq \theta _{i}\;$» on en déduit $\;\theta _{i}\simeq -{\dfrac {\overline {HI}}{\overline {HA_{i}}}}$ ;
* en travaillant dans le triangle $\;CIH$, $\;\tan(\omega )={\dfrac {\overline {HI}}{-{\overline {HC}}_{\rightarrow }}}\;$ car sur le schéma $\;\omega >0\;$ d'où $\;\tan(\omega )>0$, $\;{\overline {HI}}>0\;$ et $\;{\overline {HC}}<0$ ; en travaillant dans le triangle $\;\color {transparent}{CIH}$, «$\;\vert \omega \vert \ll 1\;$ $\Rightarrow$ $\;\tan(\omega )\simeq \omega \;$» on en déduit $\;\omega \simeq -{\dfrac {\overline {HI}}{\overline {HC}}}$ ;
* des trois évaluations précédentes et de la relation $\;({\mathfrak {a}})\;$ réécrite selon $\;(n_{o}-n_{i})\,\omega =n_{o}\,\theta _{o}-n_{i}\,\theta _{i}$, on en déduit «$\;{\dfrac {-(n_{o}-n_{i})\,{\overline {HI}}}{\overline {HC}}}={\dfrac {n_{i}\,{\overline {HI}}}{\overline {HA_{i}}}}-{\dfrac {n_{o}\,{\overline {HI}}}{\overline {HA_{o}}}}\;$» ou, en simplifiant par $\;{\overline {HI}}$, des trois évaluations précédentes et de la relation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {a}})}\;$ réécrite selon $\;\color {transparent}{(n_{o}-n_{i})\,\omega =n_{o}\,\theta _{o}-n_{i}\,\theta _{i}}$, on en déduit «$\;{\dfrac {-(n_{o}-n_{i})}{\overline {HC}}}={\dfrac {n_{i}}{\overline {HA_{i}}}}-{\dfrac {n_{o}}{\overline {HA_{o}}}}\;\;({\mathfrak {b}})\;$».

#### Établissement de la confusion de H et de S à l'ordre un en ω

Établir que $\;H\;$ peut être confondu avec le sommet $\;S\;$ du dioptre à l'ordre un en $\;\omega \;$ et
réécrire que la relation $\;({\mathfrak {b}})\;$ en tenant compte de cette confusion.
Montrons que $\;H\;$ peut être confondu avec $\;S\;$ à l'ordre un en $\;\omega \;$, en évaluant $\;[CH]\;$ puis $\;[HS]=[CS]-[CH]\;$ à l'ordre deux en $\;\omega$, on obtient Montrons que $\;\color {transparent}{H}\;$ peut être confondu avec $\;\color {transparent}{S}\;$ à l'ordre un en $\;\color {transparent}{\omega }\;$«$\;[CH]=[CI]\,\cos(\omega )=R\,\cos(\omega )\simeq R\left(1-{\dfrac {\omega ^{2}}{2}}\right)\;$ à l'ordre deux en $\;\omega \;$» d'où Montrons que $\;\color {transparent}{H}\;$ peut être confondu avec $\;\color {transparent}{S}\;$ à l'ordre un en $\;\color {transparent}{\omega }\;$«$\;[HS]=[CS]-[CH]\simeq R-R\left(1-{\dfrac {\omega ^{2}}{2}}\right)\;$ à l'ordre deux en $\;\omega \;$», soit «$\;[HS]\simeq R{\dfrac {\omega ^{2}}{2}}\;$ à l'ordre deux en $\;\omega \;$» ou finalement Montrons que $\;\color {transparent}{H}\;$ peut être confondu avec $\;\color {transparent}{S}\;$ à l'ordre un en $\;\color {transparent}{\omega }\;$«$\;[HS]\simeq 0\;$ à l'ordre un en $\;\omega \;$» ;
$\;H\;$
$\;S\;$
$\;\omega \;$
$\;({\mathfrak {b}})$
$\;{\dfrac {-(n_{o}-n_{i})}{\overline {SC}}}={\dfrac {n_{i}}{\overline {SA_{i}}}}-{\dfrac {n_{o}}{\overline {SA_{o}}}}\;\;({\mathfrak {b}})\;$

#### Conclusion : stigmatisme approché du dioptre sphérique (concave convergent) pour le point objet A$_o$ et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet)

Vérifier que la relation $\;({\mathfrak {b}})\;$ définit, pour un point objet $\;A_{o}\;$ quelconque, un point image unique $\;A_{i}\;$ et en déduire Vérifier le stigmatisme approché du dioptre sphérique pour le point objet $\;A_{o}$ ;
Vérifier que la relation $\;({\mathfrak {b}})\;$ pouvant être écrite selon «$\;{\dfrac {n_{i}}{\overline {SA_{i}}}}-{\dfrac {n_{o}}{\overline {SA_{o}}}}=V\;$» où $\;V\;$ est une constante appelée « vergence » du dioptre sphérique exprimée en dioptries $\;{\big$de symbole $\;\delta {\big )}\;$, Vérifier que la relation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {b}})}\;$ pouvant être écrite selon «$\;\color {transparent}{{\dfrac {n_{i}}{\overline {SA_{i}}}}-{\dfrac {n_{o}}{\overline {SA_{o}}}}=V}\;$» exprimer $\;V\;$ en fonction de $\;{\overline {R}}={\overline {SC}}$, $\;n_{o}\;$ et $\;n_{i}$.
Par la suite notant l'abscisse de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}\;$ du point objet $\;p_{o}={\overline {SA_{o}}}\;$ et Par la suite notant l'abscisse de Descartes $\;\color {transparent}{\big$avec origine au sommet$\color {transparent}{\big )}\;$ celle du point image $\;p_{i}={\overline {SA_{i}}}$, la relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ de position $\;{\big$ou 1ère relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}{\big ]}\;$ de Descartes d'un dioptre sphérique se réécrit
$\;{\dfrac {n_{i}}{p_{i}}}-{\dfrac {n_{o}}{p_{o}}}=V\;$
La relation $\;({\mathfrak {b}})\;$ établit le stigmatisme approché du dioptre sphérique « pour tout point objet $\;A_{o}\;$ autre que $\;C\;$ et $\;S\;$» puisque, La relation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {b}})}\;$ établit le stigmatisme approché du dioptre sphérique « pour un point objet $\;A_{o}\;$ fixé, le point image $\;A_{i}\;$ est déterminé de façon unique $\;{\big$indépendamment des variations des petits angles $\;\theta _{o}\;$ et $\;\omega {\big )}$.
$\;({\mathfrak {b}})\;$
$\;{\dfrac {n_{i}}{\overline {SA_{i}}}}-{\dfrac {n_{o}}{\overline {SA_{o}}}}=V\;$
$\;V\;$
$\;V={\dfrac {-(n_{o}-n_{i})}{\overline {SC}}}={\dfrac {-(n_{o}-n_{i})}{\overline {R}}}\;$
$\;{\overline {R}}={\overline {SC}}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;p_{o}={\overline {SA_{o}}}\;$
$\;p_{i}={\overline {SA_{i}}}_{\leftarrow }\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\big$
$\;{\big$
${\big )}{\big ]}\;$
$\;{\dfrac {n_{i}}{p_{i}}}-{\dfrac {n_{o}}{p_{o}}}=V\;$

### Points pour lesquels la conjugaison du dioptre sphérique est rigoureuse et points doubles

Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que le centre $\;C\;$ et le sommet $\;S\;$ du dioptre sont des points  Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que pour lesquels le dioptre est stigmatique rigoureux et  Vérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que dont l'image est confondue avec l'objet $\;{\big$c'est-à-dire des points doubles${\big )}$.
Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ de position de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}\;$ est applicable à $\;C$, centre du dioptre, Justifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison $\;\color {transparent}{\big$approchée$\color {transparent}{\big )}\;$ de position de Descartes $\;\color {transparent}{\big$avec origine au sommet$\color {transparent}{\big )}\;$ est applicable à $\;\color {transparent}{C}$, bien que la conjugaison soit rigoureuse ;
vérifier, en utilisant cette relation, que $\;C\;$ est effectivement un point double.
Admettant que la relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ de position de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}\;$ reste applicable à $\;S$, sommet du dioptre, pour lequel il y a conjugaison rigoureuse, Admettant que la relation de conjugaison $\;\color {transparent}{\big$approchée$\color {transparent}{\big )}\;$ de position de Descartes $\;\color {transparent}{\big$avec origine au sommet$\color {transparent}{\big )}\;$ reste applicable à $\;\color {transparent}{S}$, évaluer $\;p_{i}\;$ en fonction de $\;p_{o}\;$ et de $\;V\;$ puis Admettant que la relation de conjugaison $\;\color {transparent}{\big$approchée$\color {transparent}{\big )}\;$ de position de Descartes $\;\color {transparent}{\big$avec origine au sommet$\color {transparent}{\big )}\;$ reste applicable à $\;\color {transparent}{S}$, vérifier, sur cette dernière forme, que Admettant que la relation de conjugaison $\;\color {transparent}{\big$approchée$\color {transparent}{\big )}\;$ de position de Descartes $\;\color {transparent}{\big$avec origine au sommet$\color {transparent}{\big )}\;$ reste applicable à $\;\color {transparent}{S}$, vérifier, $\succ \;$«$\;S\;$ est effectivement un point double » et Admettant que la relation de conjugaison $\;\color {transparent}{\big$approchée$\color {transparent}{\big )}\;$ de position de Descartes $\;\color {transparent}{\big$avec origine au sommet$\color {transparent}{\big )}\;$ reste applicable à $\;\color {transparent}{S}$, vérifier, $\succ \;$« il n'y a pas d'autres points doubles que $\;S\;$ et $\;C\;$».
Voir ci-contre les propriétés particulières d'un point objet en $\;C\;$ ou $\;S\;$ d'un dioptre sphérique concave convergent :
* à gauche tout rayon d'un faisceau incident issu du centre $\;C\;$ d'un dioptre sphérique concave convergent étant normal au dioptre poursuit son chemin sans changer de direction, donnant un ensemble de rayons transmis divergeant à partir d'un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, c'est-à-dire prouvant que le dioptre sphérique est stigmatique rigoureux pour son centre ; de plus le point image de $\;C\;$ étant $\;C\;$ lui-même, ce dernier est un point double ;
* à droite tout rayon d'un faisceau incident convergeant sur le sommet $\;S\;$ d'un dioptre sphérique concave convergent se réfractant à partir du point d'incidence $\;S\;$ lui-même et l'ensemble des rayons réfractés divergeant à partir d'un point unique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident, cela prouve le stigmatisme rigoureux du dioptre sphérique pour son sommet ; de plus le point image de $\;S\;$ étant $\;S\;$ lui-même, ce dernier est un point double.
Pour appliquer la relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ de position de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}\;$ à $\;C$, centre du dioptre, bien que la conjugaison soit rigoureuse, il suffit de ne considérer que les rayons paraxiaux du faisceau incident issu de $\;C\;$ et d'ouverture quelconque, condition d'applicabilité de la relation de conjugaison de position de Descartes ;
dans ce cas, si on appelle $\;C_{i}$, l'image du point objet $\;C$, ce dernier étant d'abscisse objet de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}\;$ «$\;p_{o}(C)={\overline {SC}}={\overline {R}}\;$» et dans ce cas, si on appelle $\;\color {transparent}{C_{i}}\;$ l'image du point objet $\;\color {transparent}{C}$, ce dernier $\;C_{i}\;$ d'abscisse image de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}\;$ «$\;p_{i}(C_{i})={\overline {SC_{i}}}\;$», nous obtenons, dans ce cas, en remplaçant $\;V\;$ par $\;{\dfrac {-(n_{o}-n_{i})}{\overline {R}}}$, «$\;{\dfrac {n_{i}}{p_{i}(C_{i})}}-{\dfrac {n_{o}}{\overline {R}}}={\dfrac {-(n_{o}-n_{i})}{\overline {R}}}\;$» d'où $\;{\dfrac {n_{i}}{p_{i}(C_{i})}}={\dfrac {n_{i}}{\overline {R}}}\;$ soit $\;p_{i}(C_{i})={\overline {R}}\;$ ou $\;{\overline {SC_{i}}}={\overline {R}}={\overline {SC}}\;$ prouvant que dans ce cas, en remplaçant $\;\color {transparent}{V}\;$ par $\;\color {transparent}{\dfrac {-(n_{o}-n_{i})}{\overline {R}}}$, «$\;\color {transparent}{{\dfrac {n_{i}}{p_{i}(C_{i})}}-{\dfrac {n_{o}}{\overline {R}}}={\dfrac {-(n_{o}-n_{i})}{\overline {R}}}}\;$» soit $\;\color {transparent}{p_{i}(C_{i})={\overline {R}}}\;$ ou «$\;\color {transparent}{{\overline {SC_{i}}}={\overline {R}}={\overline {SC}}}\;$» $\;C_{i}\;$ se confond avec $\;C\;$ et par suite que «$\;C\;$ est un point double ».
De $\;{\dfrac {n_{i}}{p_{i}}}-{\dfrac {n_{o}}{p_{o}}}=V\;$ on tire $\;{\dfrac {n_{i}}{p_{i}}}={\dfrac {n_{o}}{p_{o}}}+V={\dfrac {n_{o}+V\,p_{o}}{p_{o}}}\;$ soit «$\;p_{i}=n_{i}\,{\dfrac {p_{o}}{n_{o}+V\,p_{o}}}\;$» ;
De $\;\color {transparent}{{\dfrac {n_{i}}{p_{i}}}-{\dfrac {n_{o}}{p_{o}}}=V}\;$ on tire $\;\color {transparent}{{\dfrac {n_{i}}{p_{i}}}={\dfrac {n_{o}}{p_{o}}}+V={\dfrac {n_{o}+V\,p_{o}}{p_{o}}}}\;$ soit «$\;\color {transparent}{p_{i}=n_{i}\,{\dfrac {p_{o}}{n_{o}+V\,p_{o}}}}\;$» le point objet en $\;S$, d'abscisse objet de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}$ $\;p_{o}(S)=0\;$ De $\;\color {transparent}{{\dfrac {n_{i}}{p_{i}}}-{\dfrac {n_{o}}{p_{o}}}=V}\;$ on tire $\;\color {transparent}{{\dfrac {n_{i}}{p_{i}}}={\dfrac {n_{o}}{p_{o}}}+V={\dfrac {n_{o}+V\,p_{o}}{p_{o}}}}\;$ soit «$\;\color {transparent}{p_{i}=n_{i}\,{\dfrac {p_{o}}{n_{o}+V\,p_{o}}}}\;$» le point objet en $\;\color {transparent}{S}$, a une image d'abscisse image de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}$ $\;p_{i}=0$, c'est-à-dire De $\;\color {transparent}{{\dfrac {n_{i}}{p_{i}}}-{\dfrac {n_{o}}{p_{o}}}=V}\;$ on tire $\;\color {transparent}{{\dfrac {n_{i}}{p_{i}}}={\dfrac {n_{o}}{p_{o}}}+V={\dfrac {n_{o}+V\,p_{o}}{p_{o}}}}\;$ soit «$\;\color {transparent}{p_{i}=n_{i}\,{\dfrac {p_{o}}{n_{o}+V\,p_{o}}}}\;$» le point objet en $\;\color {transparent}{S}$, a une image confondue avec $\;S$, prouvant que «$\;S\;$ est bien un point double » ;
$\;A_{d}\;$
$\;{\big$
${\big )}$
$\;p_{d}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;p_{i}(A_{d})={\overline {SA_{d}}}=p_{d}\;$
$\;p_{i}(A_{d})=n_{i}\,{\dfrac {p_{d}}{n_{o}+V\,p_{d}}}\;$
$\;p_{d}=n_{i}\,{\dfrac {p_{d}}{n_{o}+V\,p_{d}}}\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}p_{d}=0\;\;\;{\text{ou}}\\n_{o}+V\,p_{d}=n_{i}\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;\color {transparent}{A_{d}}\;$
$\;S\;$
$\;\color {transparent}{A_{d}}\;$
$\;p_{d}={\dfrac {n_{i}-n_{o}}{V}}={\overline {R}}\;$
$\;C\;$

### Caractère focal d'un dioptre sphérique, position des foyers principaux objet et image, lien de la vergence et des distances focales objet et image, signe de la vergence
#### Caractère focal d'un dioptre sphérique, définition des foyers principaux objet et image, lien de la vergence avec les distances focales objet et image

Vérifier, sur la 1ère relation de conjugaison de Descartes d'un dioptre sphérique, que ce dernier est nécessairement « focal » puis déterminer
déterminer $\;\succ \;$la position du foyer principal objet $\;F_{o}\;$ c'est-à-dire le point objet de l'axe optique principal ayant pour image le point à l'infini de cet axe optique principal $\;{\big$ou $\;F_{o}\;{\stackrel {\mathcal {D}}{\longrightarrow }}\;A_{i,\,\infty }{\big ]}\;$ et déterminer $\;\succ \;$la position du foyer principal image $\;F_{i}\;$ c'est-à-dire le point image de l'axe optique principal ayant pour antécédent le point à l'infini de cet axe optique principal $\;{\big$ou $\;A_{o,\,\infty }\;{\stackrel {\mathcal {D}}{\longrightarrow }}\;F_{i}{\big ]}$.
Définissant $\;\succ \;$la distance focale objet comme l'abscisse objet de Descartes du foyer principal objet $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}\;$ soit «$\;f_{o}={\overline {SF_{o}}}\;$» et Définissant $\;\succ \;$la distance focale image comme l'abscisse image de Descartes du foyer principal image $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}\;$ soit «$\;f_{i}={\overline {SF_{i}}}\;$»,
déterminer le lien entre vergence $\;V$, distance focale objet $\;f_{o}$, distance focale image $\;f_{i}$, indice espace objet $\;n_{o}\;$ et indice espace image $\,n_{i}$.
Un dioptre sphérique est un « système focal » car le point à l'infini de l'axe optique principal n'est pas un point double.
* Le foyer principal image $\;F_{i}$, repéré par l'abscisse image de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}$ $\;p_{i}(F_{i})={\overline {SF_{i}}}\;$ Le foyer principal image $\;\color {transparent}{F_{i}}$, étant l'image du point à l'infini $\;A_{o,\,\infty }\;$ de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse objet de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}$ $\;p_{o}(A_{o,\,\infty })=\infty \;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {n_{o}}{p_{o}(A_{o,\,\infty })}}=0$, Le foyer principal image $\;\color {transparent}{F_{i}}$, étant l'image du point à l'infini $\;\color {transparent}{A_{o,\,\infty }}\;$ de l'axe optique principal, on en déduit $\;{\dfrac {n_{i}}{p_{i}(F_{i})}}-0=V\;$ soit «$\;{\overline {SF_{i}}}={\dfrac {n_{i}}{V}}=-{\dfrac {n_{i}}{n_{o}-n_{i}}}\,{\overline {R}}\;$».
* Le foyer principal objet $\;F_{o}$, repéré par l'abscisse objet de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}$ $\;p_{o}(F_{o})={\overline {SF_{o}}}\;$ Le foyer principal objet $\;\color {transparent}{F_{o}}$, étant l'antécédent du point à l'infini $\;A_{i,\,\infty }\;$ de l'axe optique principal, repéré par l'abscisse image de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}$ $\;p_{i}(A_{i,\,\infty })=\infty \;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {n_{i}}{p_{i}(A_{i,\,\infty })}}=0$, Le foyer principal objet $\;\color {transparent}{F_{o}}$, étant l'antécédent du point à l'infini $\;\color {transparent}{A_{i,\,\infty }}\;$ de l'axe optique principal, on en déduit $\;0-{\dfrac {n_{o}}{p_{o}(F_{o})}}=V\;$ soit «$\;{\overline {SF_{o}}}=-{\dfrac {n_{o}}{V}}={\dfrac {n_{o}}{n_{o}-n_{i}}}\,{\overline {R}}\;$».
Notion de distances focales objet et image :
* la distance focale image $\;f_{i}\;$ étant définie par «$\;f_{i}={\overline {SF_{i}}}\;$» est liée à la vergence par «$\;f_{i}={\dfrac {n_{i}}{V}}=-{\dfrac {n_{i}}{n_{o}-n_{i}}}\,{\overline {R}}\;$» ;
* la distance focale objet $\;f_{o}\;$ étant définie par «$\;f_{o}={\overline {SF_{o}}}\;$» est liée à la vergence par «$\;f_{o}=-{\dfrac {n_{o}}{V}}={\dfrac {n_{o}}{n_{o}-n_{i}}}\,{\overline {R}}\;$» ;
$\;V={\dfrac {n_{i}}{f_{i}}}=-{\dfrac {n_{o}}{f_{o}}}\;$

#### Signe de la vergence suivant la nature concave ou convexe du dioptre sphérique et la valeur de l'indice de l'espace objet comparé à celle de l'espace image, caractère convergent ou divergent du dioptre et nature réelle ou virtuelle des foyers principaux

Déterminer le signe de la vergence suivant la nature « concave » ou « convexe » du dioptre sphérique et du signe de $\;n_{o}-n_{i}\;$ puis
Déterminer son caractère « convergent » ou « divergent » sachant qu'un système focal à « vergence positive » est dit « convergent » et Déterminer son caractère « convergent » ou « divergent » sachant qu'un système focal à « vergence négative » est dit « divergent » ainsi que
Déterminer la nature « réelle » ou « virtuelle » de ses foyers principaux.
Pour terminer, on précisera, dans chacun des quatre cas possibles, les positions absolues des foyers principaux objet et image relativement au centre et au sommet du dioptre considéré.
De $\;V={\dfrac {-(n_{o}-n_{i})}{\overline {R}}}\;$ on déduit que la vergence $\;V\;$ est $\;\succ \;$de signe contraire au rayon de courbure algébrisé du dioptre si la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent $\;{\bign_{o}>n_{i}{\big )}\;$, De $\;\color {transparent}{V={\dfrac {-(n_{o}-n_{i})}{\overline {R}}}}\;$ on déduit que la vergence $\;\color {transparent}{V}\;$ est $\;\succ \;$de même signe que le rayon de courbure algébrisé du dioptre si la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent $\;{\bign_{o}<n_{i}{\big )}\;$ ;
on en déduit les quatre possibilités suivant la nature du dioptre sphérique et le signe de $\;n_{o}-n_{i}$ :
* un dioptre sphérique concave ayant un rayon de courbure algébrisé $\;{\overline {R}}={\overline {SC}}<0\;$, un dioptre sphérique concave a une vergence $\;V>0\;$ si la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent $\;{\bign_{o}>n_{i}{\big )}\;$, c'est un système « convergent », un dioptre sphérique concave a une vergence $\;V<0\;$ si la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent $\;{\bign_{o}<n_{i}{\big )}\;$, c'est un système « divergent »,
* un dioptre sphérique convexe a un rayon de courbure algébrisé $\;{\overline {R}}={\overline {SC}}>0\;$, un dioptre sphérique convexe a une vergence $\;V<0\;$ si la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent $\;{\bign_{o}>n_{i}{\big )}\;$, c'est un système « divergent », un dioptre sphérique convexe a une vergence $\;V>0\;$ si la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent $\;{\bign_{o}<n_{i}{\big )}\;$, c'est un système « convergent ».
De $\;V={\dfrac {n_{i}}{f_{i}}}=-{\dfrac {n_{o}}{f_{o}}}\;$ on déduit la nature « réelle ou virtuelle » des foyers principaux objet et image suivant le caractère « convergent ou divergent » du dioptre sphérique :
* pour un dioptre sphérique concave convergent $\Rightarrow$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overline {R}}<0\\V>0\end{array}}\right\rbrace \;$», la distance focale image $\;f_{i}={\overline {SF_{i}}}={\dfrac {n_{i}}{V}}=-{\dfrac {n_{i}}{n_{o}-n_{i}}}\,{\overline {R}}\;$ est $\;>0\;$ entraînant le caractère réel du foyer principal image $\;F_{i}\;$ et pour un dioptre sphérique concave convergent $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overline {R}}<0\\V>0\end{array}}\right\rbrace }\;$» , la distance focale objet $\;f_{o}={\overline {SF_{o}}}=-{\dfrac {n_{o}}{V}}={\dfrac {n_{o}}{n_{o}-n_{i}}}\,{\overline {R}}\;$ étant $\;<0$, le foyer principal objet $\;F_{o}\;$ est également réel,
* pour un dioptre sphérique concave divergent $\Rightarrow$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overline {R}}<0\\V<0\end{array}}\right\rbrace \;$», la distance focale image $\;f_{i}={\overline {SF_{i}}}={\dfrac {n_{i}}{V}}=-{\dfrac {n_{i}}{n_{o}-n_{i}}}\,{\overline {R}}\;$ est $\;<0\;$ entraînant le caractère virtuel du foyer principal image $\;F_{i}\;$ et pour un dioptre sphérique concave divergent $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overline {R}}<0\\V<0\end{array}}\right\rbrace }\;$» , la distance focale objet $\;f_{o}={\overline {SF_{o}}}=-{\dfrac {n_{o}}{V}}={\dfrac {n_{o}}{n_{o}-n_{i}}}\,{\overline {R}}\;$ étant $\;>0$, le foyer principal objet $\;F_{o}\;$ est également virtuel,
* pour un dioptre sphérique convexe divergent $\Rightarrow$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overline {R}}>0\\V<0\end{array}}\right\rbrace \;$», la distance focale image $\;f_{i}={\overline {SF_{i}}}={\dfrac {n_{i}}{V}}=-{\dfrac {n_{i}}{n_{o}-n_{i}}}\,{\overline {R}}\;$ est $\;<0\;$ entraînant le caractère virtuel du foyer principal image $\;F_{i}\;$ et pour un dioptre sphérique convexe divergent $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overline {R}}>0\\V<0\end{array}}\right\rbrace }\;$» , la distance focale objet $\;f_{o}={\overline {SF_{o}}}=-{\dfrac {n_{o}}{V}}={\dfrac {n_{o}}{n_{o}-n_{i}}}\,{\overline {R}}\;$ étant $\;>0$, le foyer principal objet $\;F_{o}\;$ est également virtuel,
* pour un dioptre sphérique convexe convergent $\Rightarrow$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overline {R}}>0\\V>0\end{array}}\right\rbrace \;$», la distance focale image $\;f_{i}={\overline {SF_{i}}}={\dfrac {n_{i}}{V}}=-{\dfrac {n_{i}}{n_{o}-n_{i}}}\,{\overline {R}}\;$ est $\;>0\;$ entraînant le caractère réel du foyer principal image $\;F_{i}\;$ et pour un dioptre sphérique convexe convergent $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overline {R}}>0\\V>0\end{array}}\right\rbrace }\;$» , la distance focale objet $\;f_{o}={\overline {SF_{o}}}=-{\dfrac {n_{o}}{V}}={\dfrac {n_{o}}{n_{o}-n_{i}}}\,{\overline {R}}\;$ étant $\;<0$, le foyer principal objet $\;F_{o}\;$ est également réel.
Remarques : Les distances focales objet et image étant, dans les quatre cas possibles, de signe contraire, les foyers principaux objet et image sont situés de part et d'autre de la surface dioptrique, par exemple :
$\succ \;$
$\;{\bign_{o}>n_{i}{\big )}\;$
$\;F_{o}\;$
$\;\vert f_{o}\vert ={\dfrac {n_{o}}{n_{o}-n_{i}}}\,R\;$
$\;S\;$
$\color {transparent}{\succ }\;$
$\;\color {transparent}{{\bign_{o}>n_{i}{\big )}}\;$
$\;F_{i}\;$
$\;\vert f_{i}\vert ={\dfrac {n_{i}}{n_{o}-n_{i}}}\,R\;$
$\;S\;$
$\;\vert f_{i}\vert <\vert f_{o}\vert \;$
$\Rightarrow$
$\;F_{o}\;$
$\;S\;$
$\;F_{i}\;$
$\succ \;$
$\;{\bign_{o}<n_{i}{\big )}\;$
$\;F_{o}\;$
$\;\vert f_{o}\vert ={\dfrac {n_{o}}{n_{o}-n_{i}}}\,R\;$
$\;S\;$
$\color {transparent}{\succ }\;$
$\;\color {transparent}{{\bign_{o}<n_{i}{\big )}}\;$
$\;F_{i}\;$
$\;\vert f_{i}\vert ={\dfrac {n_{i}}{n_{o}-n_{i}}}\,R\;$
$\;S\;$
$\;\vert f_{i}\vert >\vert f_{o}\vert \;$
$\Rightarrow$
$\;F_{o}\;$
$\;S\;$
$\;F_{i}\;$

### Aplanétisme approché d'un dioptre sphérique sous conditions de Gauss

On considère le dioptre sphérique concave convergent introduit à la question « démonstration du stigmatisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent sous conditions de Gauss » plus haut dans cet exercice et On considère un objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ de pied $\;A_{o}\neq C\;$ tel qu'il y ait stigmatisme approché du dioptre pour tous les points $\;M_{o}\;$ de $\;A_{o}B_{o}\;$ $\Rightarrow$
On considère un objet linéique transverse $\;\color {transparent}{A_{o}B_{o}}\;$ de pied $\;\color {transparent}{A_{o}\neq C}\;$ tel qu'il y ait stigmatisme approché l'objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ admet une image « nette » $\;A_{i}B_{i}\;$ mais a priori On considère un objet linéique transverse $\;\color {transparent}{A_{o}B_{o}}\;$ de pied $\;\color {transparent}{A_{o}\neq C}\;$ tel qu'il y ait stigmatisme approché l'objet linéique transverse $\;\color {transparent}{A_{o}B_{o}}\;$ admet une image ni « linéique » ni « transverse ».
On suppose que l'objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ est, quand l'objet n'est pas proche du dioptre, vu du sommet $\;S\;$ du dioptre sous un angle non algébrisé $\;\beta \;$ petit ${\big$c'est-à-dire $\;\beta \ll 1\;$ si $\;A_{o}\;{\cancel {\simeq }}S{\big )}\;$ et On suppose que l'objet linéique transverse $\;\color {transparent}{A_{o}B_{o}}\;$ est, quand l'objet est proche du dioptre, vu du centre $\;C\;$ du dioptre sous un angle non algébrisé $\;\alpha \;$ petit ${\big$c'est-à-dire $\;\alpha \ll 1\;$ si $\;A_{o}\;\simeq S{\big )}$, On suppose que l'objet linéique transverse $\;\color {transparent}{A_{o}B_{o}}\;$ est, ces deux exigences constituant les conditions de Gauss d'aplanétisme approché pour un objet linéique transverse quelconque.
Remarque : Il existe deux exigences équivalentes pour définir les conditions de Gauss d'aplanétisme approché d'un objet linéique transverse quelconque $\;A_{o}B_{o}\;$ :  Remarque : $\succ \;$si un objet $\;A_{o}B_{o}\;$ est tel que son pied $\;A_{o}\;$ n'est pas proche du centre $\;C\;$ du dioptre, il doit être vu du centre $\;C\;$ sous un angle non algébrisé $\;\alpha \;$ petit $\;{\big$c'est-à-dire $\;\alpha \ll 1\;$ si $\;A_{o}\;{\cancel {\simeq }}C{\big )}\;$ et  Remarque : $\succ \;$si un objet $\;A_{o}B_{o}\;$ est tel que son pied $\;A_{o}\;$ est proche de $\;C$, il doit être vu du sommet $\;S\;$ du dioptre sous un angle non algébrisé $\;\beta \;$ petit $\;{\big$c'est-à-dire $\;\beta \ll 1\;$ si $\;A_{o}\;\simeq C{\big )}$.

#### Démonstration de l'aplanétisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du dioptre et vu de ce centre sous un petit angle

L'objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ étant d'abord supposé de pied $\;A_{o}\;$ non proche du centre $\;C\;$ du dioptre $\;{\big$c'est-à-dire $\;A_{o}\;{\cancel {\simeq }}C{\big )}$, nous considérons l'angle $\;\alpha$, sous lequel il est vu du centre $\;C$, petit $\;{\big$c'est-à-dire $\;\alpha \ll 1{\big )}$, nous considérons l'angle $\;\beta \;$ sous lequel il est vu du sommet $\;S$, n'étant pas nécessairement petit, la démarche pour établir l'aplanétisme du dioptre pour un tel objet est rendue plus aisée si on utilise la « relation de conjugaison de position $\;{\big$ou 1ère relation de conjugaison${\big )}\;$ de Descartes $\;{\big$avec origine au centre${\big )}\;$ établie dans la solution de la question plus bas dans cet exercice » à savoir «$\;{\dfrac {n_{o}}{{\overline {CA_{i}}}_{\leftarrow }}}-{\dfrac {n_{i}}{{\overline {CA_{o}}}_{\rightarrow }}}=V\;$» où $\;V\;$ est la vergence précédemment introduite ;
la démarche peut alors être décomposée en les étapes suivantes :
* montrer qu'à l'ordre un en $\;\alpha$, l'objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ peut être confondu avec un arc de cercle de centre $\;C$, d'angle au centre associé $\;\alpha$,
* en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes $\;{\big$avec origine au centre${\big )}\;$, montrer alors que l'image $\;A_{i}B_{i}\;$ est un arc de cercle de centre $\;C\;$ et en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes $\;\color {transparent}{\big$avec origine au centre$\color {transparent}{\big )}\;$, vérifier que l'angle au centre associé est encore $\;\alpha$,
* conclure qu'à l'ordre un en $\;\alpha$, l'image $\;A_{i}B_{i}\;$ peut être confondue avec un segment $\;\perp \;$ à l'axe optique principal c'est-à-dire qu'elle est linéique transverse.
L'objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ étant supposé de pied $\;A_{o}\;$ non proche du centre $\;C\;$ du dioptre $\;{\big$c'est-à-dire $\;A_{o}\;{\cancel {\simeq }}\;C{\big )}$, avec l'angle non algébrisé $\;\alpha \;$ sous lequel il est vu du centre $\;C$, petit $\;{\big$c'est-à-dire $\;\alpha \ll 1{\big )}$,
* le caractère transverse de l'objet linéique $\Rightarrow$ la longueur $\;[CB_{o}]\;$ est plus grande que la longueur $\;[CA_{o}]\;$, soit plus précisément «$\;[CA_{o}]=[CB_{o}]\,\cos(\alpha )\simeq [CB_{o}]\left(1-{\dfrac {\alpha ^{2}}{2}}\right)\;$ à l'ordre deux en $\;\alpha \;$» ou finalement «$\;[CA_{o}]\simeq [CB_{o}]\;$ à l'ordre un en $\;\alpha \;$» prouvant, qu'à cet ordre, l'objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ peut être confondu avec un arc de cercle de centre $\;C$, d'angle au centre associé $\;\alpha$,
* tous les points objet $\;M_{o}\;$ de l'arc de cercle $\;A_{o}B_{o}\;$ de centre $\;C\;$ ayant une abscisse objet de Descartes $\;{\big$avec origine au centre${\big )}\;$ indépendante de $\;M_{o}\;$ sur l'axe optique secondaire associé de support $\;(CM_{o})\;$, l'application de la 1ère relation de conjugaison de Descartes $\;{\big$avec origine au centre${\big )}\;$ donne donc des points image $\;M_{i}\;$ à abscisse image de Descartes $\;{\big$avec origine au centre${\big )}\;$ indépendante de $\;M_{o}\;$ sur l'axe optique secondaire associé de support $\;(CM_{o})$, c'est-à-dire que l'image $\;A_{i}B_{i}\;$ est assimilable, à l'ordre un en $\;\alpha$, à un arc de cercle de centre $\;C$,
* l'angle non algébrisé $\;\alpha \;$ sous lequel l'arc de cercle $\;A_{i}B_{i}\;$ est vu du centre $\;C\;$ étant petit, on peut faire l'opération inverse de celle faite précédemment pour l'objet $\;A_{o}B_{o}$, c'est-à-dire assimiler l'arc de cercle de centre $\;C\;$ à un segment choisi $\;\perp \;$ à l'axe optique principal de support $\,(CA_{i})\,$, c'est-à-dire que l'image $\;A_{i}B_{i}\;$ est, à l'ordre un en $\;\alpha$, linéique transverse ; nous avons donc établi l'aplanétisme approché du dioptre sphérique $\;{\big$concave convergent${\big )}\;$ pour tout objet linéique de pied non proche du centre du dioptre.

#### Démonstration de l'aplanétisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent pour un objet linéique transverse de pied proche du centre du dioptre et vu du sommet de ce dernier sous un petit angle

L'objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ de pied $\;A_{o}\;$ étant maintenant supposé proche du centre $\;C\;$ du dioptre $\;{\big$c'est-à-dire $\;A_{o}\simeq C{\big )}$, L'objet linéique transverse $\;\color {transparent}{A_{o}B_{o}}\;$ de pied $\;\color {transparent}{A_{o}}\;$ nous considérons l'angle $\;\beta$, sous lequel il est vu du sommet $\;S$, petit $\;{\big$c'est-à-dire $\;\beta \ll 1{\big )}$ ; la démarche pour établir l'aplanétisme du dioptre pour un tel objet nécessite l'utilisation de deux rayons paraxiaux issus de $\;M_{o}$, point objet quelconque de $\;A_{o}B_{o}\;$ et la démarche pour établir l'aplanétisme du dioptre pour un tel objet nécessite de montrer que le point image $\;M_{i}$, défini comme l'intersection des deux rayons réfléchis, la démarche pour établir l'aplanétisme du dioptre pour un tel objet nécessite de montrer que le point image $\;\color {transparent}{M_{i}}$, a pour projeté, sur l'axe optique principal, le point image $\;A_{i}$, pour cela :
* déterminer l'abscisse image de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}$ $\;p_{i}\;$ de $\;A_{i}\;$ en fonction de la distance focale image $\;f_{i}\;$ et déterminer l'abscisse image de Descartes $\;\color {transparent}{\big$avec origine au sommet$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{p_{i}}\;$ de $\;\color {transparent}{A_{i}}\;$ en fonction de l'abscisse objet de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}$ $\;p_{o}\;$ de $\;A_{o}$,
* déterminer la longueur algébrique $\;{\overline {A_{o}B_{o}}}\;$ en fonction de $\;\beta \;$ et de l'abscisse objet de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}$ $\;p_{o}\;$ de $\;A_{o}$,
* travaillant dans le repère orthonormé $\;(S,\,{\overrightarrow {Sx}},\,{\overrightarrow {Sy}})\;$ déterminer l'équation des rayons incidents $\;M_{o}S\;$ et $\;M_{o}F_{o}\;$,
* travaillant dans le repère orthonormé $\;(S,\,{\overrightarrow {Sx}},\,{\overrightarrow {Sy}})\;$ déterminer les équations des rayons réfractés, puis leur intersection $\;M_{i}$ ;
* vérifier que l'abscisse image de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}\;$ du projeté de $\;M_{i}\;$ sur l'axe optique principal est égale à l'abscisse image de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}\;$ de $\;A_{i}$,
* conclure à l'aplanétisme approché du dioptre sphérique $\;{\big$concave convergent${\big )}\;$ pour l'objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ de pied proche du centre du dioptre.
Soit $\;A_{o}B_{o}\;$ un objet linéique transverse de pied $\;A_{o}$, proche du centre $\;C\;$ du dioptre sphérique concave convergent $\;{\big$c'est-à-dire $\;A_{o}\simeq C{\big )}$, vu du sommet $\;S\;$ de ce dernier sous un angle $\;\beta \;$ petit $\;{\big$c'est-à-dire $\;\beta \ll 1{\big )}\;$ correspondant à la condition de Gauss d'aplanétisme approché précitée ;
* on détermine d'abord l'abscisse image de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}$ $\;p_{i}={\overline {SA_{i}}}\;$ de $\;A_{i}$, image du point objet $\;A_{o}\;$ d'abscisse objet de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}$ $\;p_{o}={\overline {SA_{o}}}$, par utilisation de la 1ère relation de conjugaison de Descartes du dioptre sphérique $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}\;$ de vergence $\;V={\dfrac {n_{i}}{f_{i}}}$, $\;f_{i}={\overline {SF_{i}}}\;$ étant la distance focale image du dioptre d'où : $\;{\dfrac {n_{i}}{p_{i}}}-{\dfrac {n_{o}}{p_{o}}}={\dfrac {n_{i}}{f_{i}}}\Rightarrow {\dfrac {1}{p_{i}}}={\dfrac {n_{o}}{n_{i}\,p_{o}}}+{\dfrac {1}{f_{i}}}={\dfrac {n_{o}\,f_{i}+n_{i}\,p_{o}}{n_{i}\,p_{o}\,f_{i}}}\;$ soit finalement «$\;p_{i}=p_{o}\,{\dfrac {n_{i}\,f_{i}}{n_{i}\,p_{o}+n_{o}\,f_{i}}}\;$».
* «$\;p_{o}={\overline {SA_{o}}}\;$ étant $\;<0\;$» et «$\;{\overline {A_{o}B_{o}}}\;$ $\;>0\;$» avec «$\;\beta \;$ non algébrisé $\;\ll 1\;$», on en déduit $\;\tan(\beta )=$ $-{\dfrac {\overline {A_{o}B_{o}}}{p_{o}}}\;$ d'où, avec $\;\tan(\beta )\simeq \beta \;$, «$\;{\overline {A_{o}B_{o}}}\simeq -\beta \;p_{o}\;$» ;
* dans le repère orthonormé $\;(S,\,{\overrightarrow {Sx}},\,{\overrightarrow {Sy}})\;$, le rayon incident $\;M_{o}S\;$ issu de $\;M_{o}\;$ de coordonnées $\;(x_{M_{o}}=p_{o}\,,\,y_{M_{o}}=\varepsilon \,{\overline {A_{o}B_{o}}}=-\varepsilon \,\beta \,p_{o})\;$ étant de pente $\;{\dfrac {y_{M_{o}}-y_{S}}{x_{M_{o}}-x_{S}}}={\dfrac {-\varepsilon \,\beta \,p_{o}}{p_{o}}}=-\varepsilon \,\beta \;$ a pour équation $\;y-y_{S}=-\varepsilon \,\beta \left(x-x_{S}\right)\;$ soit finalement «$\;y=-\varepsilon \,\beta \,x\;$», dans le repère orthonormé $\;\color {transparent}{(S,\,{\overrightarrow {Sx}},\,{\overrightarrow {Sy}})}$, le rayon incident $\;M_{o}F_{o}\;$ issu de $\;M_{o}\;$ de coordonnées $\;(x_{M_{o}}=p_{o}\,,\,y_{M_{o}}=-\varepsilon \,\beta \,p_{o})\;$ et passant par le foyer principal objet du dioptre sphérique $\;F_{o}\;$ de coordonnées $\;\left(x_{F_{o}}=f_{o}=-{\dfrac {n_{o}}{n_{i}}}\,f_{i}\,,\,y_{F_{o}}=0\right)\;$ étant de pente $\;{\dfrac {y_{M_{o}}-y_{F_{o}}}{x_{M_{o}}-x_{F_{o}}}}=$ ${\dfrac {-\varepsilon \,\beta \,p_{o}}{p_{o}+{\dfrac {n_{o}}{n_{i}}}\,f_{i}}}={\dfrac {-\varepsilon \,\beta \,n_{i}\,p_{o}}{n_{i}\,p_{o}+n_{o}\,f_{i}}}\;$ a pour équation $\;y-y_{F_{o}}={\dfrac {-\varepsilon \,\beta \,n_{i}\,p_{o}}{n_{i}\,p_{o}+n_{o}\,f_{i}}}\left(x-x_{F_{o}}\right)\;$ soit finalement «$\;y=$ ${\dfrac {-\varepsilon \,\beta \,n_{i}\,p_{o}}{n_{i}\,p_{o}+n_{o}\,f_{i}}}\left(x+{\dfrac {n_{o}}{n_{i}}}\,f_{i}\right)\;$» ;
* dans le même repère orthonormé $\;(S,\,{\overrightarrow {Sx}},\,{\overrightarrow {Sy}})\;$ le rayon réfracté sur le dioptre du rayon incident $\;M_{o}S\;$ étant de direction déterminée par la 2ème relation de Snell - Descartes de la réfraction $\;{\big$écrite pour de petits angles${\big )}\;$ est de pente $\;-{\dfrac {n_{o}}{n_{i}}}\,\varepsilon \,\beta \;$ d'où l'équation du rayon réfracté correspondant au rayon incident $\;M_{o}S\;$ «$\;y=-{\dfrac {n_{o}}{n_{i}}}\,\varepsilon \,\beta \,x\;$», dans le même repère orthonormé $\;\color {transparent}{(S,\,{\overrightarrow {Sx}},\,{\overrightarrow {Sy}})}$, le rayon réfracté sur le dioptre du rayon incident $\;M_{o}F_{o}\;$ étant, à partir du point d'incidence $\;I\;$ sur le dioptre, $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal, son équation nécessite de déterminer au préalable l'ordonnée de $\;I\;$ par $\;x_{I}=0\;$ dans l'équation du rayon incident $\;M_{o}F_{o}\;$ établie plus haut soit $\;y(I)={\dfrac {-\varepsilon \,\beta \,n_{i}\,p_{o}}{n_{i}\,p_{o}+n_{o}\,f_{i}}}\left[x_{I}+{\dfrac {n_{o}}{n_{i}}}\,f_{i}\right)={\dfrac {-\varepsilon \,\beta \,n_{o}\,p_{o}\,f_{i}}{n_{i}\,p_{o}+n_{o}\,f_{i}}}\;$ d'où l'équation du rayon réfracté correspondant au rayon incident $\;M_{o}F_{o}\;$ «$\;y={\dfrac {-\varepsilon \,\beta \,n_{o}\,p_{o}\,f_{i}}{n_{i}\,p_{o}+n_{o}\,f_{i}}}$» ; dans le même repère orthonormé $\;\color {transparent}{(S,\,{\overrightarrow {Sx}},\,{\overrightarrow {Sy}})}\;$, l'intersection $\;M_{i}\;$ de ces deux rayons réfractés a pour abscisse image de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}$ $\;{\dfrac {-\varepsilon \,\beta \,n_{o}\,p_{o}\,f_{i}}{n_{i}\,p_{o}+n_{o}\,f_{i}}}=-{\dfrac {n_{o}}{n_{i}}}\,\varepsilon \,\beta \,x_{M_{i}}\;$ soit «$\;x_{M_{i}}={\dfrac {n_{i}\,p_{o}\,f_{i}}{n_{i}\,p_{o}+n_{o}\,f_{i}}}\;$» ;
* l'abscisse «$\;x_{M_{i}}={\dfrac {n_{i}\,p_{o}\,f_{i}}{n_{i}\,p_{o}+n_{o}\,f_{i}}}\;$» de l'intersection $\;M_{i}\;$ de ces deux rayons réfractés est identique à l'abscisse image de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}\;$ «$\;p_{i}=p_{o}\,{\dfrac {n_{i}\,f_{i}}{n_{i}\,p_{o}+n_{o}\,f_{i}}}\;$» de $\;A_{i}$ ;
* le projeté de $\;M_{i}\;$ sur l'axe optique principal se superposant à $\;A_{i}$, $\Rightarrow$ l'aplanétisme approché du dioptre sphérique $\;{\big$concave convergent${\big )}\;$ pour tout objet linéique$\;A_{o}B_{o}\;$de pied proche du centre du dioptre.

#### Relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)

Dès lors qu'un dioptre sphérique est utilisée sous conditions de Gauss de stigmatisme et d'aplanétisme approchés$^,$, l'usage est de représenter ce dioptre sous une forme symbolique dans laquelle figurent l'axe optique principal, le centre $\;C$, les foyers principaux objet $\;F_{o}\;$ et image $\;F_{i}$, le sommet $\;S\;$ et la partie de dioptre $\;\perp \;$ en $\;S\;$ à l'axe optique principal
* Dioptre sphérique concave convergent $\;{\big$passage d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent${\big )}$
* Représentation symbolique d'un dioptre sphérique concave convergent
* Dioptre sphérique concave divergent $\;{\big$passage d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent${\big )}$
* Représentation symbolique d'un dioptre sphérique concave divergent
* Dioptre sphérique convexe divergent $\;{\big$passage d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent${\big )}$
* Représentation symbolique d'un dioptre sphérique convexe divergent
* Dioptre sphérique convexe convergent $\;{\big$passage d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent${\big )}$
* Représentation symbolique d'un dioptre sphérique convexe convergent
Sur le schéma ci-contre on a construit l'image linéique transverse $\;A_{i}B_{i}\;$ d'un objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ de pied $\;A_{o}\;$ $\;\neq S\;$ et $\;\neq C\;$ en considérant deux rayons incidents issus de $\;B_{o}$, $\succ \;$l'un passant que le centre $\;C\;$ du dioptre et qui poursuit dans l'espace image réel sans être dévié, $\succ \;$l'autre passant par le sommet $\;S\;$ du dioptre et qui se réfracte en obéissant à la 2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction$^,$, le point d'intersection de ces deux rayons émergents étant le point de convergence $\;B_{i}\;$ de tous les rayons réfractés correspondant à tous les rayons incidents issus de $\;B_{o}\;$ sous conditions de Gauss$^,$ il suffit de projeter orthogonalement $\;B_{i}\;$ sur l'axe optique principal pour obtenir le point image $\;A_{i}\;$ du point objet $\;A_{o}\;$
En comparant les triangles rectangles $\;A_{i}B_{i}S\;$ et $\;A_{o}B_{o}S$, déterminer le grandissement transverse par le dioptre de l'objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ défini par «$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{\overline {A_{o}B_{o}}}}\;$» en fonction des abscisses objet et image de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}p_{o}={\overline {SA_{o}}}\\p_{i}={\overline {SA_{i}}}\end{array}}\right\rbrace$ ;
la relation établie ci-dessus définit la relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}\;$ de grandissement transverse $\;{\big$ou 2ème relation de conjugaison $\;{\big$approchée${\big )}{\big ]}\;$ de Descartes ${\big$avec origine au sommet${\big )}\;$ pour tout objet linéique transverse de pied $\;A_{o}\neq S\;$, elle caractérise quantitativement la propriété d'aplanétisme approché du dioptre sphérique pour l'objet linéique transverse de pied $\;A_{o}\;$.
Ayant exposé la construction de l'image $\;A_{i}B_{i}\;$ de l'objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ dans l'énoncé de la question $\;{\big \$pour rappel on positionne $\;B_{i}\;$ comme intersection des rayons réfractés correspondant à deux rayons incidents issus de $\;B_{o}$, le 1er passant par $\;C\;$ qui est transmis sans déviation et le 2ème de point d'incidence $\;S\;$ qui se réfracte en $\;S\;$ suivant une direction faisant l'angle $\;i_{i}\;$ par rapport à l'axe optique principal, la direction du rayon incident, quant à elle, faisant l'angle $\;i_{o}\;$ par rapport à l'axe optique principal telle que $\;n_{i}\,i_{i}=n_{o}\,i_{o}\;$$^,$$^,$, puis on projette orthogonalement $\;B_{i}\;$ sur l'axe optique principal pour obtenir $\;A_{i}\;$${\big \}$ ;
le grandissement transverse étant défini par «$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{\overline {A_{o}B_{o}}}}\;$», on le détermine en exprimant $\;\tan(i_{o})\;$ et $\;\tan(i_{i})\;$ respectivement dans les triangles rectangles $\;A_{o}B_{o}S\;$ et $\;A_{i}B_{i}S\;$ soit :
* «$\;\tan(i_{o})={\dfrac {\overline {A_{o}B_{o}}}{\overline {SA_{o}}}}\;$», $\;i_{o}\;$ étant $\;<0$, $\;{\overline {A_{o}B_{o}}}>0\;$ et $\;{\overline {SA_{o}}}<0\;$, $\;{\Bigg$comme $\;\vert i\vert \;$ est $\;\ll 1\;$ $\Rightarrow$ $\;\tan(i)\simeq i\;$ on en déduit $\;i\simeq {\dfrac {\overline {A_{o}B_{o}}}{\overline {SA_{o}}}}{\Bigg ]}$ ;
* «$\;\tan(i_{i})={\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{\overline {SA_{i}}}}\;$», $\;i_{i}\;$ étant $\;<0$, $\;{\overline {A_{i}B_{i}}}<0\;$ et $\;{\overline {SA_{i}}}>0\;$, $\;{\Bigg$comme $\;\vert i_{i}\vert \;$ est $\;\ll 1\;$ $\Rightarrow$ $\;\tan(i_{i})\simeq i_{i}\;$ on en déduit $\;i_{i}\simeq {\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{\overline {SA_{i}}}}{\Bigg ]}$ ;
$\;n_{i}\,i_{i}\simeq n_{o}\,i_{o}\;$
$\;n_{o}\,{\dfrac {\overline {A_{o}B_{o}}}{\overline {SA_{o}}}}\simeq n_{i}\,{\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{\overline {SA_{i}}}}\;$
$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{\overline {A_{o}B_{o}}}}\simeq {\dfrac {n_{o}}{n_{i}}}\,{\dfrac {\overline {SA_{i}}}{\overline {SA_{o}}}}\;$
$\;{\big$
${\big )}$
$\;{\big$
$\;{\big$
${\big )}\;$
${\big ]}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {n_{o}}{n_{i}}}\,{\dfrac {\overline {SA_{i}}}{\overline {SA_{o}}}}\;$
$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {n_{o}}{n_{i}}}\,{\dfrac {p_{i}}{p_{o}}}\;$
$\;{\big$
$\;A_{o}\neq S{\big )}\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}p_{o}={\overline {SA_{o}}}\\p_{i}={\overline {SA_{i}}}\end{array}}\right\rbrace \;$
Remarques : si $\;A_{o}\;$ est le point à l'infini de l'axe optique principal, $\;p_{o}\;$ vaut $\;\infty \;$ et $\;p_{i}=f_{i}\;$ $\;{\big$l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image $\;F_{i}{\big )}\;$ donnant $\;G_{t}(A_{o,\,\infty })=0$,
Remarques : si $\;A_{o}\;$ est le foyer principal objet, $\;p_{o}=f_{o}\;$ et $\;p_{i}\;$ vaut $\;\infty \;$ $\;{\big$l'image du foyer principal objet $\;F_{o}\;$ étant le point à l'infini de l'axe optique principal${\big )}\;$ donnant $\;G_{t}(F_{o})\;$ infini.
Considérant un objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ de pied $\;A_{o}=C\;$ et Considérant la condition d'aplanétisme approché du dioptre pour cet objet c'est-à-dire l'angle non algébrisé $\;\beta \;$ sous lequel l'objet est vu du sommet $\;S$, petit $\;{\big\beta \ll 1{\big )}$,
* vérifier, par construction de l'image $\;A_{i}B_{i}\;$ et utilisation de la 2ème relation de Snell - Descartes de réfraction dans les conditions de Gauss, qu'elle est se superpose à $\;A_{o}B_{o}\;$ avec un cœfficient d'agrandissement dépendant du rapport des indices des espaces objet et image,
* comparer au résultat donné par l'application de la relation de conjugaison de grandissement transverse $\;{\big$ou 2ème relation de conjugaison${\big ]}\;$ de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}\;$ établie dans la solution de la 1ère sous question précédente pour un objet linéique transverse de pied $\;A_{o}\neq S\;$ en considérant $\;A_{o}=C\;$ et
* en déduire l'applicabilité de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2ème relation de conjugaison) de Descartes ${\big$avec origine en $\;S{\big )}$ pour un objet linéique transverse de pied $\;A_{o}=C$.
Considérant maintenant un objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ de pied $\;A_{o}=S\;$ et Considérant la condition d'aplanétisme approché du dioptre pour cet objet c'est-à-dire l'angle non algébrisé $\;\alpha \;$ sous lequel l'objet est vu du centre $\;C$, petit $\;{\big\alpha \ll 1{\big )}\;$,
* vérifier que l'image $\;A_{i}B_{i}\;$ se superpose à $\;A_{o}B_{o}$, le caractère linéique transverse de l'objet entraînant celui de l'image et
* en déduire la valeur du grandissement transverse $\;G_{t}(S)\;$ pour un objet linéique transverse de pied $\;A_{o}=S$ puis
* vérifier que cette valeur est la limite de celle du grandissement transverse $\;G_{t}(A_{o})\;$ pour un objet linéique transverse de pied $\;A_{o}\;$ quand ce dernier tend vers $\;S\;$.
$\;C\;$
$\;CB_{o}\;$
$\;C$
$\;A_{o}\;$
$\;CB_{o}$
$\;CB_{i}$
$\;B_{o}$
$\;F_{o}\;$
$\;B_{i}\;$
$\;C$
$\;{\overline {CB_{i}}}={\dfrac {n_{o}}{n_{i}}}\,{\overline {CB_{o}}}\;$
$\;G_{t}(C)={\dfrac {n_{o}}{n_{i}}}\;$
l'application de la 2ème relation de conjugaison $\;{\big$ou relation de conjugaison de grandissement transverse${\big ]}\;$ de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}\;$ établie dans la solution de la 1ère sous question précédente pour un objet linéique transverse de pied $\;A_{o}\neq S\;$ nous conduit, en considérant $\;A_{o}=C$, à «$\;G_{t}(C)={\dfrac {n_{o}}{n_{i}}}\,{\dfrac {\overline {SC}}{\overline {SC}}}\;$», soit effectivement «$\;G_{t}(C)={\dfrac {n_{o}}{n_{i}}}\;$».
$\;{\overline {SA_{i}}}={\overline {SA_{o}}}\;$
$\;G_{t}(S)=+1\;$
$\;G_{t}(A_{o})\;$
$\;A_{o}B_{o}\;$
$\;A_{o}\neq S\;$
$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {n_{o}}{n_{i}}}\,{\dfrac {p_{i}}{p_{o}}}\;$
$\;p_{i}\;$
$\;p_{o}$
$\;V={\dfrac {n_{o}-n_{i}}{\overline {R}}}\;$
$\;p_{i}=n_{i}\,{\dfrac {p_{o}}{n_{o}+V\,p_{o}}}\;$
$\;{\big$
${\big ]}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;p_{i}=n_{i}\,{\dfrac {p_{o}}{n_{o}+{\dfrac {n_{o}-n_{i}}{\overline {R}}}\,p_{o}}}={\dfrac {n_{i}}{n_{o}}}\,{\dfrac {p_{o}}{1+\left(1-{\dfrac {n_{i}}{n_{o}}}\right)\,{\dfrac {p_{o}}{\overline {R}}}}}\;$
$\Rightarrow$
$\;{\dfrac {p_{i}}{p_{o}}}={\dfrac {n_{i}}{n_{o}}}\,{\dfrac {1}{1+\left(1-{\dfrac {n_{i}}{n_{o}}}\right)\,{\dfrac {p_{o}}{\overline {R}}}}}\;$
$\Rightarrow$
$\;G_{t}(A_{o})$
$={\dfrac {n_{o}}{n_{i}}}\,{\dfrac {p_{i}}{p_{o}}}\;$
$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {1}{1+\left(1-{\dfrac {n_{i}}{n_{o}}}\right)\,{\dfrac {p_{o}}{\overline {R}}}}}\;$
$\;A_{o}B_{o}\;$
$\;A_{o}\neq S\;$
$\;A_{o}\rightarrow S$
$\;p_{o}\rightarrow 0\;$
$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {1}{1+\left(1-{\dfrac {n_{i}}{n_{o}}}\right)\,{\dfrac {p_{o}}{\overline {R}}}}}\rightarrow 1=G_{t}(S)\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;A_{o}B_{o}\;$
$\;A_{o}\neq S\;$
$\;S\;$

#### Construction de l'image par un dioptre sphérique d'un objet linéique transverse

Définitions préliminaires : On appelle plan focal objet le plan transverse passant par le foyer principal objet $\;F_{o}\;$ et
Définitions préliminaires : On appelle plan focal image le plan transverse passant par le foyer principal image $\;F_{i}$ ;
Définitions préliminaires : on appelle axe optique secondaire tout axe passant par le centre $\;C$ du dioptre, il possède une partie incidence contenue dans l'espace objet réel se prolongeant sans être dévié pour donner sa partie émergente contenue dans l'espace image réelle ;
Définitions préliminaires : on appelle foyer secondaire objet $\;\varphi _{o}\;$ associé à un axe optique secondaire de support $\;(\delta )\;$ l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal objet et
Définitions préliminaires : On appelle foyer secondaire image $\;\varphi _{i}\;$ associé à un axe optique secondaire de support $\;(\delta )\;$ l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal image.
Propriétés : Justifier les propriétés des foyers secondaires objet et image associés à un axe optique secondaire de support $\;(\delta )$ :
* le foyer secondaire objet $\;\varphi _{o}(\delta )\;$ associé à l'axe optique secondaire de support $\;(\delta )\;$ admet pour image le point à l'infini de l'axe optique secondaire $\;{\big$soit $\;\varphi _{o}(\delta )\;{\stackrel {\mathcal {D}}{\longrightarrow }}\;B_{i,\,\infty }(\delta ){\big ]}$,
* le foyer secondaire image $\;\varphi _{i}(\delta )\;$ associé à l'axe optique secondaire de support $\;(\delta )\;$ admet pour antécédent le point à l'infini de l'axe optique secondaire $\;{\big$soit $\;B_{i,\,\infty }(\delta )\;{\stackrel {\mathcal {D}}{\longrightarrow }}\;\varphi _{i}(\delta ){\big ]}$.
Propriétés des foyers secondaires associés à un axe optique secondaire :
* propriété du foyer secondaire objet $\;\varphi _{o}(\delta )\;$ associé à l'axe optique secondaire de support $\;(\delta )$ : considérons un objet linéique transverse contenu dans le plan focal objet et de pied $\;F_{o}$, objet noté $\;F_{o}\varphi _{o}(\delta )$, $\;F_{o}\;$ ayant pour image le point à l'infini $\;A_{i,\,\infty }\;$ de l'axe optique principal et l'image étant linéique transverse, le point $\;\varphi _{o}(\delta )\;$ a une image également située à l'infini sur l'axe optique secondaire de support $\;(\delta )\;$, soit effectivement «$\;\varphi _{o}(\delta )\;{\stackrel {\mathcal {D}}{\longrightarrow }}\;B_{i,\,\infty }(\delta )\;$»,
* propriété du foyer secondaire image $\;\varphi _{i}(\delta )\;$ associé à l'axe optique secondaire de support $\;(\delta )$ : considérons un objet dont l'image associée est contenue dans le plan focal image et de pied $\;F_{i}$, image notée $\;F_{i}\varphi _{i}(\delta )$, $\;F_{i}\;$ ayant pour antécédent le point à l'infini $\;A_{o,\,\infty }\;$ de l'axe optique principal et le dioptre étant aplanétique, le point $\;\varphi _{i}(\delta )\;$ a un antécédent également situé à l'infini sur la partie incidente de l'axe optique secondaire de support $\;(\delta )\;$, soit effectivement «$\;B_{i,\,\infty }(\delta )\;{\stackrel {\mathcal {D}}{\longrightarrow }}\;\varphi _{i}(\delta )$».
Considérant un objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ réel, de pied $\;A_{o}\;$ séparé du sommet $\;S\;$ d'un dioptre sphérique concave convergent d'une distance supérieure au rayon non algébrisé du dioptre $\;{\big$pour la construction on prendra $\;n_{o}=1,5\;$ ${\big$indice du verre${\big )}\;$ et $\;n_{i}=1,0\;$ ${\big$indice de l'air${\big )}{\big ]}$, construire son image $\;A_{i}B_{i}\;$ par le dioptre de deux façons différentes :
* en considérant deux rayons incidents issus de $\;B_{o}\;$ ${\big$choisis parmi les trois suivants : passant par $\;C$, passant par $\;F_{o}\;$ ou $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal${\big ]}$,
* en considérant un rayon incident issu de $\;A_{o}\;$ $\;{\big$choisi parmi les deux suivants : passant par $\;\varphi _{o}(\delta )\;$ ou $\;\parallel \;$ à l'axe optique secondaire $\;(\delta ){\big ]}$.
Refaire les constructions précédentes avec un dioptre sphérique concave divergent $\;{\big$obtenu en permutant les espaces objet et image${\big )}$.
$\;1.\;$En considérant deux rayons incidents issus de $\;B_{o}\;$ choisis parmi les trois suivants $\;{\big$voir schéma ci-contre${\big )}$ : $\;\succ \;$passant par $\;C\;$ et se prolongeant sans déviation, $\;\succ \;$passant par $\;F_{o}\;$ foyer principal objet et émergeant dans l'espace image parallèlement à l'axe optique principal, $\;\succ \;$$\parallel \;$ à l'axe optique principal et émergeant dans l'espace image en passant par le foyer principal image $\;F_{i}$, $\;\color {transparent}{1.}\;$En considérant deux rayons incidents issus de $\;\color {transparent}{B_{o}}\;$ l'image $\;B_{i}\;$ étant à l'intersection des deux rayons réfractés correspondant aux deux rayons incidents choisis, $\;A_{i}\;$ s'obtient en projetant orthogonalement $\;B_{i}\;$ sur l'axe optique principal.
$\;2.\;$En considérant un rayon incident issu de $\;A_{o}\;$ choisis parmi les deux suivants $\;{\big$voir schéma ci-contre à gauche${\big )}$ : $\;\succ \;$passant par un foyer secondaire objet $\;\varphi _{o}(\delta )\;$ ${\big$point d'intersection du rayon incident et du plan focal objet${\big ]}\;$ et émergeant parallèlement à l'axe optique secondaire $\;(\delta )\;$ ${\big$c'est-à-dire, pour la partie incidente $\;C\varphi _{o}(\delta )$, la partie réfractée en étant le prolongement sans déviation${\big ]}$, $\;\succ \;$$\parallel \;$ à un axe optique secondaire a priori quelconque $\;(\delta )\;$ et émergeant en passant par le foyer secondaire image $\;\varphi _{i}(\delta )\;$ ${\big$point d'intersection de l'axe optique secondaire $\;(\delta )\;$ et du plan focal image${\big ]}$, $\;\color {transparent}{2.}\;$En considérant un rayon incident issu de $\;\color {transparent}{A_{o}}\;$ l'image $\;A_{i}\;$ étant à l'intersection d'un des rayons réfractés correspondant au rayon incident choisi et de l'axe optique principal, $\;B_{i}\;$ s'obtient comme intersection de l'axe optique secondaire passant par $\;B_{o}\;$ et du plan transverse passant par $\;A_{i}$.
Ci-dessous les constructions refaites sur un dioptre sphérique concave divergent, en considérant deux rayons incidents issus de $\;B_{o}\;$ à gauche puis en utilisant un rayon incident issu de $\;A_{o}\;$ et la notion de foyers secondaires objet ou image à droite :
* Construction de l'image par un dioptre sphérique concave divergent d'un objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ utilisant deux des trois rayons incidents issus de $\;B_{o}$ : passant par $\;C$, passant par $\;F_{o}\;$ ou $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal
* Construction de l'image par un dioptre sphérique concave divergent d'un objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ utilisant un des deux incidents issus de $\;A_{o}$ : passant par un foyer secondaire objet ou $\;\parallel \;$ à un axe optique secondaire

### Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) sous conditions de Gauss
#### Relation de conjugaison de position (ou 1ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)

On repère maintenant les points objet $\;A_{o}\;$ et image $\;A_{i}\;$ relativement au centre $\;C\;$ du dioptre sphérique en définissant
* l'abscisse objet de Descartes $\;{\big$avec origine au centre${\big )}\;$ de $\;A_{o}\;$ par $\;\pi _{o}={\overline {CA_{o}}}\;$ et
* l'abscisse image de Descartes $\;{\big$avec origine au centre${\big )}\;$ de $\;A_{i}\;$ par $\;\pi _{i}={\overline {CA_{i}}}\;$ ;
à partir de la relation de conjugaison de position $\;{\big$ou 1ère relation de conjugaison${\big ]}\;$ de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}\;$ et par changement d'origine, établir que la relation de conjugaison de position $\;{\big$ou 1ère relation de conjugaison${\big ]}\;$ de Descartes $\;{\big$avec origine au centre${\big )}\;$ s'écrit
$\;{\dfrac {n_{o}}{\overline {CA_{i}}}}-{\dfrac {n_{i}}{\overline {CA_{o}}}}=V\;$
$\;{\dfrac {n_{o}}{\pi _{i}}}-{\dfrac {n_{i}}{\pi _{o}}}=V\;$
$\;V\;$
Les relations de conjugaison de Descartes $\;{\big$avec origine au centre${\big )}\;$ utilisent $\;C\;$ comme origine pour repérer un point objet $\;A_{o}\;$ ou un point image $\;A_{i}\;$ sur l'axe optique principal :
* l'abscisse objet de Descartes $\;{\big$avec origine au centre${\big )}\;$ du point objet $\;A_{o}\;$ notée $\;\pi _{o}={\overline {CA_{o}}}\;$ est liée à son abscisse objet de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}$ $\;p_{o}={\overline {SA_{o}}}\;$ par $\;{\overline {SA_{o}}}=$ ${\overline {SC}}+{\overline {CA_{o}}}\;$ ou «$\;p_{o}={\overline {R}}+\pi _{o}\;$» et
* l'abscisse image de Descartes $\;{\big$avec origine au centre${\big )}\;$ du point image $\;A_{i}\;$ notée $\;\pi _{i}={\overline {CA_{i}}}\;$ est liée à son abscisse image de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}$ $\;p_{i}={\overline {SA_{i}}}\;$ par $\;{\overline {SA_{i}}}=$ ${\overline {SC}}+{\overline {CA_{i}}}\;$ ou «$\;p_{i}={\overline {R}}+\pi _{i}\;$» ;
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\dfrac {n_{i}}{p_{i}}}-{\dfrac {n_{o}}{p_{o}}}={\dfrac {-(n_{i}-n_{o})}{\overline {R}}}\;$
$\;{\dfrac {n_{i}}{\pi _{i}+{\overline {R}}}}-{\dfrac {n_{o}}{\pi _{o}+{\overline {R}}}}={\dfrac {-(n_{o}-n_{i})}{\overline {R}}}\;$
$\;{\dfrac {n_{i}\,(\pi _{o}+{\overline {R}})-n_{o}\,(\pi _{i}+{\overline {R}})}{(\pi _{i}+{\overline {R}})\,(\pi _{o}+{\overline {R}})}}={\dfrac {-(n_{o}-n_{i})}{\overline {R}}}\;$
$\;-(n_{o}-n_{i})\,(\pi _{i}+{\overline {R}})\,(\pi _{o}+{\overline {R}})=\left[n_{i}\,\pi _{o}-n_{o}\,\pi _{i}-(n_{o}-n_{i})\,{\overline {R}}\right]\,{\overline {R}}\;$
$\;-(n_{o}-n_{i})\,\pi _{o}\,\pi _{i}-(n_{o}-n_{i})\,{\overline {R}}\,\pi _{o}-(n_{o}-n_{i})\,{\overline {R}}\,\pi _{i}-(n_{o}-n_{i})\,{\overline {R}}^{2}=n_{i}\,\pi _{o}\,{\overline {R}}-n_{o}\,\pi _{i}\,{\overline {R}}-(n_{o}-n_{i})\,{\overline {R}}^{2}\;$
$\;-(n_{o}-n_{i})\,\pi _{o}\,\pi _{i}-n_{o}\,{\overline {R}}\,\pi _{o}+n_{i}\,{\overline {R}}\,\pi _{i}=0\;$
$\;-n_{o}\,{\overline {R}}\,\pi _{o}+n_{i}\,{\overline {R}}\,\pi _{i}=(n_{o}-n_{i})\,\pi _{o}\,\pi _{i}\;$
$\Leftrightarrow$
$\;n_{o}\,{\overline {R}}\,\pi _{o}-n_{i}\,{\overline {R}}\,\pi _{i}=-(n_{o}-n_{i})\,\pi _{o}\,\pi _{i}\;$
$\;\pi _{o}\,\pi _{i}\,{\overline {R}}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\dfrac {n_{o}}{\pi _{i}}}-{\dfrac {n_{i}}{\pi _{o}}}={\dfrac {-(n_{o}-n_{i})}{\overline {R}}}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\dfrac {n_{o}}{\pi _{i}}}-{\dfrac {n_{i}}{\pi _{o}}}=V\;$
$\;V={\dfrac {-(n_{o}-n_{i})}{\overline {R}}}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\pi _{o}={\overline {CA_{o}}}\\\pi _{i}={\overline {CA_{i}}}\end{array}}\right\rbrace \;$

#### Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)

À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse $\;{\big$ou 2ème relation de conjugaison${\big ]}\;$ de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}\;$ et par changement d'origine, établir la relation de conjugaison de grandissement transverse $\;{\big$ou 2ème relation de conjugaison${\big ]}\;$ de Descartes $\;{\big$avec origine au centre${\big )}\;$.
En utilisant le schéma ci-contre vérifier directement cette relation.
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {n_{o}}{n_{i}}}\,{\dfrac {p_{i}}{p_{o}}}\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}p_{o}=\pi _{o}+{\overline {R}}\\p_{i}=\pi _{i}+{\overline {R}}\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {n_{o}}{n_{i}}}\,{\dfrac {\pi _{i}+{\overline {R}}}{\pi _{o}+{\overline {R}}}}={\dfrac {n_{o}}{n_{i}}}\,{\dfrac {{\dfrac {\pi _{i}}{\overline {R}}}\left({\dfrac {1}{\pi _{i}}}+{\dfrac {1}{\overline {R}}}\right)}{{\dfrac {\pi _{o}}{\overline {R}}}\left({\dfrac {1}{\pi _{o}}}+{\dfrac {1}{\overline {R}}}\right)}}\;$
${\Bigg$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\dfrac {n_{o}}{\pi _{i}}}-{\dfrac {n_{i}}{\pi _{o}}}=$
${\dfrac {-(n_{o}-n_{i})}{\overline {R}}}\;$
$\;{\dfrac {n_{o}}{\pi _{i}}}+{\dfrac {n_{o}}{\overline {R}}}={\dfrac {n_{i}}{\pi _{o}}}+{\dfrac {n_{i}}{\overline {R}}}\;$
$\Leftrightarrow$
$\;n_{0}\,\left({\dfrac {1}{\pi _{i}}}+{\dfrac {1}{\overline {R}}}\right)=n_{i}\,\left({\dfrac {1}{\pi _{o}}}+{\dfrac {1}{\overline {R}}}\right)\;$
${\Bigg ]}$
$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {\dfrac {\pi _{i}}{\overline {R}}}{\dfrac {\pi _{o}}{\overline {R}}}}={\dfrac {\pi _{i}}{\pi _{o}}}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {\pi _{i}}{\pi _{o}}}\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\pi _{o}={\overline {CA_{o}}}\\\pi _{i}={\overline {CA_{i}}}\end{array}}\right\rbrace \;$
Ayant construit l'image $\;A_{i}B_{i}\;$ de l'objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ en positionnant $\;B_{i}\;$ comme intersection des rayons émergents correspondants à deux rayons incidents issus de $\;B_{o}$,  $\succ \;$le 1er passant par $\;C\;$ qui est transmis sans déviation et  $\succ \;$le 2ème de point d'incidence $\;S\;$ qui se réfracte en $\;S\;$ suivant une direction faisant l'angle $\;i_{i}\;$ par rapport à l'axe optique principal, la direction du rayon incident, quant à elle, faisant l'angle $\;i_{o}\;$ par rapport à l'axe optique principal telle que $\;n_{i}\,i_{i}=n_{o}\,i_{o}\;$$^,$,, le point $\;A_{i}\;$ étant le projeté orthogonal du point $\;B_{i}\;$ sur l'axe optique principal ;
le grandissement transverse étant défini par «$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{\overline {A_{o}B_{o}}}}\;$», on le détermine en exprimant $\;\tan({\widehat {B_{o}CA_{o}}})\;$ et $\;\tan({\widehat {B_{i}CA_{i}}})\;$ respectivement dans les triangles rectangles $\;A_{o}B_{o}C\;$ et $\;A_{i}B_{i}C\;$ soit :
* «$\;\tan({\widehat {B_{o}CA_{o}}})=-{\dfrac {\overline {A_{o}B_{o}}}{\overline {CA_{o}}}}\;$», $\;{\overline {A_{o}B_{o}}}\;$ étant $\;>0\;$ et $\;{\overline {CA_{o}}}<0\;$,
* «$\;\tan({\widehat {B_{i}CA_{i}}})={\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{\overline {CA_{i}}}}\;$», $\;{\overline {A_{i}B_{i}}}\;$ étant $\;<0\;$ et $\;{\overline {CA_{i}}}<0\;$ ;
$\;\tan({\widehat {B_{o}CA_{o}}})\;$
$\;\tan({\widehat {B_{i}CA_{i}}})$
$\;-{\dfrac {\overline {A_{o}B_{o}}}{\overline {CA_{o}}}}=-{\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{\overline {CA_{i}}}}\;$
$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{\overline {A_{o}B_{o}}}}={\dfrac {\overline {CA_{i}}}{\overline {CA_{o}}}}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
${\big$
$\;{\big$
${\big )}\;$
${\big ]}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {\overline {CA_{i}}}{\overline {CA_{o}}}}\;$
$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {\pi _{i}}{\pi _{o}}}\;$
${\big$
$\;A_{o}\neq C{\big )}\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\pi _{o}={\overline {CA_{o}}}\\\pi _{i}={\overline {CA_{i}}}\end{array}}\right\rbrace \;$
Remarques : si $\;A_{o}\;$ est le point à l'infini de l'axe optique principal, $\;\pi _{o}\;$ vaut $\;\infty \;$ et $\;\pi _{i}=f_{i}-{\overline {R}}\;$ ${\big$l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image $\;F_{i}{\big )}\;$ donnant $\;G_{t}(A_{o,\,\infty })=0$,
Remarques : si $\;A_{o}\;$ est le foyer principal objet, $\;\pi _{o}=f_{o}-{\overline {R}}\;$ et $\;p_{i}\;$ vaut $\;\infty \;$ ${\big$l'image du foyer principal objet $\;F_{o}\;$ étant le point à l'infini de l'axe optique principal${\big )}\;$ donnant $\;G_{t}(F_{o})\;$ infini.

### Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Newton sous conditions de Gauss

On repère maintenant le point objet $\;A_{o}\;$ relativement au foyer principal objet $\;F_{o}\;$ du dioptre sphérique et On repère maintenant le point image $\;A_{i}\;$ relativement au foyer principal image $\;F_{i}\;$ du même dioptre sphérique en définissant
* l'abscisse objet de Newton de $\;A_{o}\;$ par «$\;\sigma _{o}={\overline {F_{o}A_{o}}}\;$» et
* l'abscisse image de Newton de $\;A_{i}\;$ par «$\;\sigma _{i}={\overline {F_{i}A_{i}}}\;$».

#### Relation de conjugaison de position (ou 1ère relation de conjugaison) de Newton

À partir de la relation de conjugaison de position $\;{\big$ou 1ère relation de conjugaison${\big ]}\;$ de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}\;$ et par changement d'origine, établir que la relation de conjugaison de position $\;{\big$ou 1ère relation de conjugaison${\big ]}\;$ de Newton s'écrit
$\;{\overline {F_{i}A_{i}}}\;{\overline {F_{o}A_{o}}}={\overline {SF_{i}}}\;{\overline {SF_{o}}}\;$
$\;\sigma _{i}\;\sigma _{o}=f_{i}\;f_{o}\;$
$\;f_{i}\;$
$\;f_{o}\;$
Les relations de conjugaison de Newton utilisent $\;F_{o}\;$ comme origine pour repérer un point objet $\;A_{o}\;$ et $\;F_{i}\;$ comme origine pour repérer un point image $\;A_{i}\;$ sur l'axe optique principal :
* l'abscisse objet de Newton du point objet $\;A_{o}\;$ notée $\;\sigma _{o}={\overline {F_{o}A_{o}}}\;$ est liée à son abscisse objet de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}$ $\;p_{o}={\overline {SA_{o}}}\;$ par $\;{\overline {SA_{o}}}={\overline {SF_{o}}}+{\overline {F_{o}A_{o}}}\;$ ou «$\;p_{o}=f_{o}+\sigma _{o}=$ $-{\dfrac {n_{o}}{n_{i}}}\,f_{i}+\sigma _{o}\;$» et
* l'abscisse image de Newton du point image $\;A_{i}\;$ notée $\;\sigma _{i}={\overline {F_{i}A_{i}}}\;$ est liée à son abscisse image de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}$ $\;p_{o}={\overline {SA_{o}}}\;$ par $\;{\overline {SA_{i}}}={\overline {SF_{i}}}+{\overline {F_{i}A_{i}}}\;$ ou «$\;p_{i}=f_{i}+\sigma _{i}\;$» ;
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\dfrac {n_{i}}{p_{i}}}-{\dfrac {n_{o}}{p_{o}}}=V\;$
$\;{\dfrac {n_{i}}{p_{i}}}-{\dfrac {n_{o}}{p_{o}}}={\dfrac {n_{i}}{f_{i}}}\;$
$\;{\bigg \$
$\;{\dfrac {n_{i}}{f_{i}}}=-{\dfrac {n_{o}}{f_{o}}}\;$
${\bigg \}$
$\;{\dfrac {n_{i}}{\sigma _{i}+f_{i}}}-{\dfrac {n_{o}}{\sigma _{o}-{\dfrac {n_{o}}{n_{i}}}\,f_{i}}}$
$={\dfrac {n_{i}}{f_{i}}}\;$
$\;{\dfrac {n_{i}\left(\sigma _{o}-{\dfrac {n_{o}}{n_{i}}}\,f_{i}\right)-n_{o}\,(\sigma _{i}+f_{i})}{(\sigma _{i}+f_{i})\left(\sigma _{o}-{\dfrac {n_{o}}{n_{i}}}\,f_{i}\right)}}={\dfrac {n_{i}}{f_{i}}}\;$
$\;n_{i}\,(\sigma _{i}+f_{i})\left(\sigma _{o}-{\dfrac {n_{o}}{n_{i}}}\,f_{i}\right)=(n_{i}\,\sigma _{o}-n_{o}\,\sigma _{i}-2\,n_{o}\,f_{i})\,f_{i}\;$
$\;n_{i}\,\sigma _{o}\,\sigma _{i}+n_{i}\,f_{i}\,\sigma _{o}-n_{o}\,f_{i}\,\sigma _{i}-n_{o}\,f_{i}^{2}=n_{i}\,\sigma _{o}\,f_{i}-n_{o}\,\sigma _{i}\,f_{i}-2\,n_{o}\,f_{i}^{2}\;$
$\;n_{i}\,\sigma _{o}\,\sigma _{i}=-n_{o}\,f_{i}^{2}\;$
$\;f_{o}=-{\dfrac {n_{o}}{n_{i}}}\,f_{i}\;$
$\;\sigma _{o}\,\sigma _{i}=f_{o}\,f_{i}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;\sigma _{o}\,\sigma _{i}=f_{o}\,f_{i}\;$
$\;f_{i}=-{\dfrac {n_{i}}{n_{o}}}\,f_{o}=-{\dfrac {(n_{o}-n_{i})}{n_{i}}}\,{\overline {R}}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\sigma _{o}={\overline {F_{o}A_{o}}}\\\sigma _{i}={\overline {F_{i}A_{i}}}\end{array}}\right\rbrace \;$

#### Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2ème relation de conjugaison) de Newton

À partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse $\;{\big$ou 2ème relation de conjugaison${\big ]}\;$ de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}\;$ et par changement d'origine, établir la relation de conjugaison de grandissement transverse $\;{\big$ou 2ème relation de conjugaison${\big ]}\;$ de Newton$^,$$^,$.
En utilisant le schéma ci-contre $\;{\big$avec $\;n_{o}\simeq 1,50\;$ et $\;n_{i}\simeq 1,00{\big )}\;$ vérifier directement les deux formes de cette relation.
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {n_{o}}{n_{i}}}\,{\dfrac {p_{i}}{p_{o}}}\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}p_{o}=\sigma _{o}+f_{o}\\p_{i}=\sigma _{i}+f_{i}\end{array}}\right\rbrace \;$
$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {n_{o}}{n_{i}}}\,{\dfrac {\sigma _{i}+f_{i}}{\sigma _{o}+f_{o}}}={\dfrac {n_{o}}{n_{i}}}\,{\dfrac {\sigma _{i}\left(1+{\dfrac {f_{i}}{\sigma _{i}}}\right)}{f_{o}\left(1+{\dfrac {\sigma _{o}}{f_{o}}}\right)}}\;$
$\;1+{\dfrac {\sigma _{o}}{f_{o}}}=1+{\dfrac {f_{i}}{\sigma _{i}}}\;$
$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {n_{o}}{n_{i}}}\,{\dfrac {\sigma _{i}}{f_{o}}}=-{\dfrac {\sigma _{i}}{f_{i}}}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;G_{t}(A_{o})=-{\dfrac {\sigma _{i}}{f_{i}}}\;$
$\;\sigma _{i}={\overline {F_{i}A_{i}}}\;$
$\;\sigma _{i}\,\sigma _{o}=f_{i}\,f_{o}\;$
$\;{\dfrac {\sigma _{i}}{f_{i}}}={\dfrac {f_{o}}{\sigma _{o}}}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;G_{t}(A_{o})=-{\dfrac {f_{o}}{\sigma _{o}}}\;$
$\;\sigma _{o}={\overline {F_{o}A_{o}}}\;$
Ayant construit l'image $\;A_{i}B_{i}\;$ de l'objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ en positionnant $\;B_{i}\;$ comme intersection des rayons réfractés correspondants à deux rayons incidents issus de $\;B_{o}$,  $\succ \;$le 1er passant par $\;F_{o}\;$ qui émerge en $\;K\;$ parallèlement à l'axe optique principal et  $\succ \;$le 2ème $\;\parallel \;$ à l'axe optique principal qui se réfracte en $\;H\;$ en passant par $\;F_{i}$, le point $\;A_{i}\;$ étant le projeté orthogonal du point $\;B_{i}\;$ sur l'axe optique principal ;
le grandissement transverse étant défini par «$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{\overline {A_{o}B_{o}}}}\;$», on le détermine en exprimant $\;\tan({\widehat {B_{i}F_{i}A_{i}}})\;$ et $\;\tan({\widehat {HF_{i}S}})\;$ respectivement dans les triangles rectangles $\;A_{i}B_{i}F_{i}\;$ et $\;HF_{i}S\;$ soit :
* «$\;\tan({\widehat {B_{i}F_{i}A_{i}}})=-{\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{\overline {F_{i}A_{i}}}}\;$», $\;{\overline {A_{i}B_{i}}}\;$ étant $\;>0\;$ et $\;{\overline {F_{i}A_{i}}}<0\;$,
* «$\;\tan({\widehat {HF_{i}S}})={\dfrac {\overline {SH}}{\overline {SF_{i}}}}\;$», $\;{\overline {SH}}\;$ étant $\;>0\;$ et $\;{\overline {SF_{i}}}>0\;$ ou, comme $\;{\overline {SH}}={\overline {A_{o}B_{o}}}\;$ on en déduit «$\;\tan({\widehat {HF_{i}S}})={\dfrac {\overline {A_{o}B_{o}}}{\overline {SF_{i}}}}\;$» ;
$\;\tan({\widehat {B_{i}F_{i}A_{i}}})\;$
$\;\tan({\widehat {HF_{i}S}})$
$\;-{\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{\overline {F_{i}A_{i}}}}={\dfrac {\overline {A_{o}B_{o}}}{\overline {SF_{i}}}}\;$
$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{\overline {A_{o}B_{o}}}}=-{\dfrac {\overline {F_{i}A_{i}}}{\overline {SF_{i}}}}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
${\big$
$\;{\big$
${\big )}\;$
${\big ]}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;G_{t}(A_{o})=-{\dfrac {\overline {F_{i}A_{i}}}{\overline {SF_{o}}}}\;$
$\;G_{t}(A_{o})=-{\dfrac {\sigma _{i}}{f_{i}}}\;$
$\;{\big$
$\;A_{o}\neq A_{o,\,\infty }{\big )}\;$
$\;\sigma _{i}={\overline {F_{i}A_{i}}}\;$
le grandissement transverse «$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{\overline {A_{o}B_{o}}}}\;$» peut aussi être déterminé en exprimant $\;\tan({\widehat {B_{o}F_{o}A_{o}}})\;$ et $\;\tan({\widehat {KF_{o}S}})\;$ respectivement dans les triangles rectangles $\;A_{o}B_{o}F_{o}\;$ et $\;KF_{o}S\;$ soit :
* «$\;\tan({\widehat {B_{o}F_{o}A_{o}}})={\dfrac {\overline {A_{o}B_{o}}}{\overline {F_{o}A_{o}}}}\;$», $\;{\overline {A_{o}B_{o}}}\;$ étant $\;>0\;$ et $\;{\overline {F_{o}A_{o}}}>0\;$,
* «$\;\tan({\widehat {KF_{o}S}})=-{\dfrac {\overline {SK}}{\overline {SF_{o}}}}\;$», $\;{\overline {SK}}\;$ étant $\;>0\;$ et $\;{\overline {SF_{o}}}<0\;$ ou, comme $\;{\overline {SK}}={\overline {A_{i}B_{i}}}\;$ on en déduit «$\;\tan({\widehat {KF_{o}S}})=-{\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{\overline {SF_{o}}}}\;$» ;
$\;\tan({\widehat {B_{o}F_{o}A_{o}}})\;$
$\;\tan({\widehat {KF_{o}S}})$
$\;{\dfrac {\overline {A_{o}B_{o}}}{\overline {F_{o}A_{o}}}}=-{\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{\overline {SF_{o}}}}\;$
$\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{\overline {A_{o}B_{o}}}}=-{\dfrac {\overline {SF_{o}}}{\overline {F_{o}A_{o}}}}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
${\big$
$\;{\big$
${\big )}\;$
${\big ]}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;G_{t}(A_{o})=-{\dfrac {\overline {SF_{o}}}{\overline {F_{o}A_{o}}}}\;$
$\;G_{t}(A_{o})=-{\dfrac {f_{o}}{\sigma _{o}}}\;$
$\;{\big$
$\;A_{o}\neq F_{o}{\big )}\;$
$\;\sigma _{o}={\overline {F_{o}A_{o}}}\;$
Remarques : si $\;A_{o}\;$ est le point à l'infini de l'axe optique principal, $\;\sigma _{o}\;$ vaut $\;\infty \;$ et $\;\sigma _{i}=0\;$ $\;{\big$l'image du point à l'infini de l'axe optique principal étant le foyer principal image $\;F_{i}{\big )}\;$ donnant $\;G_{t}(A_{o,\,\infty })=0$,
Remarques : si $\;A_{o}\;$ est le foyer principal objet, $\;\sigma _{o}=0\;$ et $\;\sigma _{i}\;$ vaut $\;\infty \;$ $\;{\big$l'image du foyer principal objet $\;F_{o}\;$ étant le point à l'infini de l'axe optique principal${\big )}\;$ donnant $\;G_{t}(F_{o})\;$ infini.

### Relations de Lagrange - Helmholtz sous conditions de Gauss
#### Expression de Descartes (avec origine au sommet) du grandissement angulaire d'un pinceau incident issu d'un point objet

Le grandissement angulaire d'un pinceau lumineux incident issu d'un point objet $\;A_{o}\;$, de direction faisant un angle $\;\theta _{o}\;$ avec l'axe optique principal, le pinceau se réfractant sur le dioptre en convergeant vers le point image $\;A_{i}\;$, avec une direction faisant un angle $\;\theta _{i}\;$ avec l'axe optique principal, est défini selon
$\;G_{a}(A_{o})={\dfrac {\theta _{i}}{\theta _{o}}}\;$
en utilisant le schéma ci-contre, établir l'expression du grandissement angulaire «$\;G_{a}(A_{o})={\dfrac {\theta _{i}}{\theta _{o}}}\;$» en fonction des abscisses objet et image de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}$, respectivement «$\;p_{o}={\overline {SA_{o}}}\;$ et $\;p_{i}={\overline {SA_{i}}}\;$».
On détermine le grandissement angulaire «$\;G_{a}(A_{o})={\dfrac {\theta _{i}}{\theta _{o}}}\;$» par évaluation de $\;\tan(\theta _{o})\;$ et $\;\tan(\theta _{i})$ $\;{\big$tous deux $\;>0\;$ sur la figure ci-dessus${\big )}\;$ On détermine le grandissement angulaire «$\;\color {transparent}{G_{a}(A_{o})={\dfrac {\theta _{i}}{\theta _{o}}}}\;$» respectivement dans les triangles $\;A_{o}IS\;$ et $\;A_{i}IS\;$ soit :
* dans le triangle $\;A_{o}IS$, «$\;\tan(\theta _{o})=-{\dfrac {\overline {SI}}{\overline {SA_{o}}}}\;$» $\;{\big{\overline {SI}}\;$ étant $\;>0\;$ et $\;{\overline {SA_{o}}}<0{\big ]}\;$ ou «$\;\tan(\theta _{o})=-{\dfrac {\overline {SI}}{p_{o}}}\;$» soit, avec $\;\vert \theta _{o}\vert \ll 1\;$ $\Rightarrow$ $\;\tan(\theta _{o})\simeq \theta _{o}\;$, «$\;\theta _{o}\simeq -{\dfrac {\overline {SI}}{p_{o}}}\;$» ;
* dans le triangle $\;A_{i}IS$, «$\;\tan(\theta _{i})=-{\dfrac {\overline {SI}}{\overline {SA_{i}}}}\;$» $\;{\big{\overline {SI}}\;$ étant $\;>0$, $\;{\overline {SA_{i}}}>0\;$ et $\;\theta _{i}<0{\big ]}\;$ ou «$\;\tan(\theta _{i})=-{\dfrac {\overline {SI}}{p_{i}}}\;$» soit, avec $\;\vert \theta _{i}\vert \ll 1\;$ $\Rightarrow$ $\;\tan(\theta _{i})\simeq \theta _{i}\;$, «$\;\theta _{i}\simeq -{\dfrac {\overline {SI}}{p_{i}}}\;$» ;
$\;G_{a}(A_{o})={\dfrac {\theta _{i}}{\theta _{o}}}\simeq {\dfrac {\dfrac {-{\overline {SI}}}{p_{i}}}{-{\dfrac {\overline {SI}}{p_{o}}}}}\;$
$\;{\overline {SI}}$
$\;G_{a}(A_{o})={\dfrac {\theta _{i}}{\theta _{o}}}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;\left(A_{o}\,,\,A_{i}\right)$
$\;G_{a}(A_{o})={\dfrac {\theta _{i}}{\theta _{o}}}\simeq {\dfrac {p_{o}}{p_{i}}}\;$

#### Établissement de la relation de Lagrange - Helmholtz

Á l'aide de la relation de conjugaison de grandissement transverse $\;{\big$ou 2ème relation de conjugaison${\big ]}\;$ de Descartes $\;{\big$avec origine au sommet${\big )}\;$ et Á l'aide de l'expression du grandissement angulaire dans le même repérage,
$\;{\dfrac {n_{i}}{n_{o}}}\;G_{t}(A_{o})\;G_{a}(A_{o})=1\;$
$\;{\big$
${\big ]}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;G_{t}(A_{o})\simeq {\dfrac {n_{o}}{n_{i}}}\,{\dfrac {p_{i}}{p_{o}}}\;$
$\;G_{a}(A_{o})\simeq {\dfrac {p_{o}}{p_{i}}}\;$
$\;A_{o}$
$\;G_{a}(A_{o})\;G_{t}(A_{o})\simeq {\dfrac {p_{o}}{p_{i}}}\times {\dfrac {n_{o}}{n_{i}}}\;{\dfrac {p_{i}}{p_{o}}}={\dfrac {n_{o}}{n_{i}}}\;$
$\;{\dfrac {n_{i}}{n_{o}}}\;G_{t}(A_{o})\;G_{a}(A_{o})=1\;$