# Champ magnétique, magnétostatique/Champ magnétique
## Description des phénomènes
### Aimants

Un aimant est un matériau capable d'attirer certains objets métalliques.
Un cristal de magnétite présente les propriétés d'un aimant.
Deux aimants peuvent s'attirer ou se repousser selon leur orientation. On dit qu'un aimant possède deux pôles : un pôle Nord (N) et un pôle Sud (S).
* Deux pôles identiques se repoussent.
* Deux pôles opposés s'attirent.
Un aimant exerce une influence sur son environnement. On représente cette influence par un champ de vecteurs appelé champ magnétique.
Le champ magnétique a un effet d'orientation sur son environnement.

### Aimants et courants électriques

Un fil parcouru par un courant électrique crée un champ magnétique.
Une spire de courant crée un champ magnétique ayant une topologie voisine de celle d'un aimant. on peut ainsi pour une boucle de courant définir un pôle Nord et un pôle Sud.

## Champ magnétique
### Force de Lorentz, Force de Laplace

En l'absence de champ électrostatique, une charge q de vitesse ${\vec {v}}$ en mouvement dans un champ magnétique ${\vec {B}}$ est soumise à une force : la force de Lorentz qui vaut ${\vec {F}}=q{\vec {v}}\wedge {\vec {B}}$
Cette expression définit le champ magnétique ${\vec {B}}$.
La puissance de la force de Lorentz en l'absence de champ électrostatique est nulle. Cela implique qu'on ne peut pas augmenter la vitesse d'une particule chargée avec une force d'origine seulement magnétique.
Le travail élémentaire $\mathrm {d} W$ d'une force ${\vec {F}}$ lors du déplacement $\mathrm {d} {\vec {l}}$ vaut: $dW={\vec {F}}.\mathrm {d} {\vec {l}}$; et la puissance ${\mathcal {P}}$ développée vaut ${\mathcal {P}}={\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {d} t}}$.
Ici ${\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {d} t}}={\frac {(q{\vec {v}}\wedge {\vec {B}}).\mathrm {d} {\vec {l}}}{\mathrm {d} t}}$ or ${\frac {\mathrm {d} {\vec {l}}}{\mathrm {d} t}}={\vec {v}}$
d'où: ${\mathcal {P}}=q({\vec {v}}\wedge {\vec {B}}).{\vec {v}}$.
On a $({\vec {v}}\wedge {\vec {B}}).{\vec {v}}=({\vec {v}}\wedge {\vec {v}}).{\vec {B}}=0$ (voir analyse vectorielle) et donc ${\mathcal {P}}=0$
Une portion infinitésimale de fil $\mathrm {d} {\vec {l}}$, parcourue par un courant i, orientée dans le même sens que i, plongée dans un champ magnétique ${\vec {B}}$ est soumis à une force : la force de Laplace qui vaut $\mathrm {d} {\vec {F}}=i\mathrm {d} {\vec {l}}\wedge {\vec {B}}$

### Loi de Biot et Savart dans le vide

Le champ magnétique créé en un point M fixe de l'espace par une charge q placée en un point P en mouvement à la vitesse ${\vec {v}}$ vaut :
${\vec {B}}(M)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {q{\vec {v}}\wedge {\vec {u}}_{PM}}{r^{2}}}$
$\mu _{0}=~4\pi 10^{-7}{\textrm {N.A}}^{-2}$ s’appelle la perméabilité magnétique du vide. C’est une constante fondamentale de la physique.
Le champ magnétique créé en un point M fixe de l'espace par une portion infinitésimale de fil $\mathrm {d} {\vec {l}}$, parcourue par un courant i, orientée dans le même sens que i vaut :
$\mathrm {d} {\vec {B}}(M)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {i~\mathrm {d} {\vec {l}}\wedge {\vec {u}}_{PM}}{r^{2}}}$
En particulier, le champ créé par un circuit électrique plat, le cas d'une spire d'une bobine, est un vecteur perpendiculaire à ce circuit

### Détermination rapide

Dans certains cas simples, on peut déterminer le sens du champ magnétique ou de la force de Lorentz « avec les mains ».
* On place l'index dans la direction et le sens de ${\vec {v}}$
* On place le majeur dans la direction et le sens de ${\vec {B}}$
* Le pouce donne alors le sens et la direction de la force de Lorentz ${\vec {F}}$. Cette règle découle de la règle de la main droite pour le calcul du produit vectoriel.
* On enroule les doigts autour de la spire de courant dans le même sens de parcours que le courant.
* Le sens du pouce donne alors le sens du champ magnétique ${\vec {B}}$ induit par la spire de courant.
Il est tout à fait possible d’utiliser le même résultat « dans l'autre sens » :
* On place le pouce dans le sens et la direction du courant.
* Les autres doigts donnent le sens du champ magnétique orthoradial induit par cette ligne de courant.

## Champ magnétique dans un milieu autre que le vide

Tous les matériaux ne canalisent pas le champ magnétique de la même façon :
C'est ainsi qu'on définit la perméabilité magnétique d'un matériau : c’est une grandeur qui caractérise cette « canalisation ». Elle est notée $~\mu$.
On rencontre plus souvent la perméabilité magnétique relative $~\mu _{r}$ qui est définie par $\mu _{r}={\frac {\mu }{\mu _{0}}}$.
Toutes les équations de la magnétostatique du vide sont valables au sein d'un milieu linéaire homogène isotrope de perméabilité magnétique $~\mu$, à condition de remplacer dans toutes les équations $~\mu _{0}$ par $~\mu$.
Dans toute la suite du cours, on ne traitera que la magnétostatique du vide.
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