# Signaux physiques (PCSI)/Introduction au monde quantique : particule libre confinée 1D
## Analogie « particule libre confinée 1D », « corde vibrante fixée à ses extrémités »
### Définition d'une « particule libre confinée 1D »

Une « particule libre confinée 1D » est une particule $\;{\big$classique ou quantique${\big )}\;$ susceptible de se déplacer uniquement sur un axe $\;x'x\;$ ${\big$donc d'unique paramètre de position $\;x{\big ]}\;$ Une « particule libre confinée 1D » est une particule $\;\color {transparent}{\big$classique ou quantique$\color {transparent}{\big )}\;$ libre sur un intervalle borné de positions $\;{\big$c.-à-d. sans action extérieure sur cet intervalle et ne pouvant pas en sortie${\big ]}$.

### Traduction énergétique d'une « particule libre confinée 1D »

La notion de confinement spatial d'une particule a déjà été vue dans le paragraphe « utilisation du confinement spatial d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique » au chap.$19$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la particule étant confinée dans un puits d'énergie potentielle parabolique : La notionil y a confinement spatial s'il y a deux « murs d'énergie potentielle » en regard, l'espace entre ces deux murs définissant un « puits d'énergie potentielle », La notion il y a confinement spatial s'il y a deux « murs d'énergie potentielle » en regard, empêche une particule « classique » de sortir de cet espace mais La notion il y a confinement spatial s'il y a deux « murs d'énergie potentielle » en regard, n'interdit pas à une particule « quantique » de pénétrer sous conditions ;
une « particule libre confinée 1D » ne devant pas sortir $\;{\big$qu'elle soit classique ou quantique${\big )}\;$ de l'intervalle borné de positions, on suppose une « particule libre confinée 1D » que chaque borne correspond à l'existence d'un « mur d'énergie potentielle infinie » $\;{\big$ainsi la densité linéique de probabilité de présence de la particule quantique au-delà du mur est nulle car l'écart $\;U-E\;$ est infini quelle que soit $\;E\;$$^,$${\big )}$ ;
une « particule libre confinée 1D » est donc une particule susceptible de se déplacer uniquement sur un axe $\;x'x\;$ une « particule libre confinée 1D » est donc une particule dans un « puits d'énergie potentielle infinie » de largeur finie $\;{\big$schéma ci-contre${\big )}$ :
l'équation du puits d'énergie potentielle infinie est $\;U(x)=\left\lbrace {\begin{array}{l}\infty \;\;{\text{si }}x\geqslant {\mathit {l}}\\0\;\;\;\,{\text{si }}0<x<{\mathit {l}}\\\infty \;\;{\text{si }}x\leqslant 0\end{array}}\right.$ l'équation du puits d'énergie potentielle infinie et les murs d'énergie potentielle sont d'équation $\;x=0\;$ à gauche et $\;x={\mathit {l}}\;$ à droite.

### Analogie d'une « particule libre confinée 1D » avec une « corde vibrante à extrémités fixées »

Préliminaire : la partie spatiale de fonction d'onde d'une « particule quantique libre confinée 1D sur l'intervalle $\;\left[0\,;\;{\mathit {l}}\,\right]\;$» en état stationnaire $\;{\big$c.-à-d. d'énergie $\;E\;$ fixée${\big )}\;$ «$\;{\underline {\Psi }}_{E}(x)\;$» étant solution de «$\;{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;{\dfrac {d^{2}{\underline {\Psi }}_{n}}{dx^{2}}}(x)+E_{n}\;{\underline {\Psi }}_{n}(x)=0\;$» Préliminaire : la partie spatiale de fonction d'onde d'une « particule quantique libre confinée 1D est continue en tout point et par suite Préliminaire : la densité linéique de probabilité de présence «$\;{\mathcal {P}}_{l,\,n}(x)=\vert {\underline {\Psi }}_{n}(x)\vert ^{2}\;$» est aussi continue en tout point.
Exposé : la partie spatiale de la fonction d'onde d'une « particule quantique libre confinée 1D sur l'intervalle $\;\left[0\,;\;{\mathit {l}}\,\right]\;$» en état stationnaire $\;{\big$c.-à-d. d'énergie $\;E\;$ fixée${\big )}\;$ «$\;{\underline {\Psi }}_{E}(x)\;$» Exposé : la partie spatiale de la fonction d'onde étant « nulle sur les deux murs d'énergie potentielle infinie » $\;{\big$par nullité hors intervalle de confinement, et continuité sur les frontières${\big )}$, Exposé : la partie spatiale de la fonction d'onde étant « nulle sur ces murs d'énergie potentielle infinie doivent être des nœuds de $\;{\underline {\Psi }}_{E}(x)\;$ ${\big \$tout comme les extrémités fixées d'une corde vibrante sont les nœuds de l'onde stationnaire qui peut s'y créer${\big \}$ ; Exposé : nous pouvons donc affirmer l'analogie d'une « particule libre confinée 1D » avec une « corde vibrante à extrémités fixées ».

### Longueurs d'onde de de Broglie possibles pour la « particule libre confinée 1D »

Sachant que la distance séparant deux nœuds successifs d'une onde stationnaire est $\;{\dfrac {\lambda }{2}}\;$, par analogie, nous en déduisons Sachant que les longueurs d'onde de de Broglie possibles «$\;\lambda _{d.B.,\;n}\;$» de la « particule quantique libre confinée 1D sur l'intervalle $\;\left[0\,;\;{\mathit {l}}\,\right]\;$» en état stationnaire comme les seules valeurs Sachant que les longueurs d'onde de de Broglie possibles «$\;\color {transparent}{\lambda _{d.B.,\;n}}\;$» vérifiant la relation «$\;{\mathit {l}}=n\;{\dfrac {\lambda _{d.B.,\;n}}{2}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$» $\Rightarrow$ «$\;\lambda _{d.B.,\;n}={\dfrac {2\;{\mathit {l}}}{n}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$» soit Sachant que les longueurs d'onde de de Broglie possibles «$\;\color {transparent}{\lambda _{d.B.,\;n}}\;$» vérifiant la relation «$\;\color {transparent}{{\mathit {l}}=n\;{\dfrac {\lambda _{d.B.,\;n}}{2}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ une série discrète de valeurs de longueurs d'onde de de Broglie.

## Niveaux d'énergie d'une « particule libre confinée 1D », fonction d'onde stationnaire associée
### Niveaux d'énergie possibles d'une « particule libre confinée 1D »

À chaque longueur d'onde de de Broglie, on associe la quantité de mouvement de la particule «$\;p_{n}={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.,\;n}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$» soit, avec «$\;\lambda _{d.B.,\;n}={\dfrac {2\;{\mathit {l}}}{n}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$», À chaque longueur d'onde de de Broglie, on associe la quantité de mouvement de la particule «$\;p_{n}=n\;{\dfrac {h}{2\;{\mathit {l}}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$» c.-à-d. À chaque longueur d'onde de de Broglie, on associe la quantité de mouvement de la particule une série discrète de valeurs dont le quantum est $\;{\dfrac {h}{2\;{\mathit {l}}}}\;$ À chaque longueur d'onde de de Broglie, on associe la quantité de mouvement de la particule ${\big$les autres valeurs en étant tous les multiples${\big )}\;$ et
À chaque longueur d'onde de de Broglie, on associe l'énergie, purement cinétique, de cette particule «$\;E_{n}=K_{n}={\dfrac {p_{n}^{2}}{2\;m}}\;$» soit, avec «$\;\lambda _{d.B.,\;n}={\dfrac {2\;{\mathit {l}}}{n}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$», À chaque longueur d'onde de de Broglie, on associe l'énergie, purement cinétique, de cette particule «$\;E_{n}=K_{n}=n^{2}\,{\dfrac {h^{2}}{8\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}}}\;$» c.-à-d. encore À chaque longueur d'onde de de Broglie, on associe l'énergie, purement cinétique, de cette particule une série discrète de valeurs dont le quantum est $\;{\dfrac {h^{2}}{8\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}}}\;$ À chaque longueur d'onde de de Broglie, on associe l'énergie, purement cinétique, de cette particule sans que les autres valeurs soient tous ses multiples ;
l'énergie est donc quantifiée, elle prend une série de valeurs discrètes variant comme le carré d'un entier naturel l'énergie est donc quantifiée, elle prend une série de valeurs discrètes avec un niveau fondamental d'énergie «$\;E_{1}={\dfrac {h^{2}}{8\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}}}\;$» non nulle et l'énergie est donc quantifiée, elle prend une série de valeurs discrètes avec des niveaux excités d'énergie d'autant plus écartés du précédent que $\;n\;$ est grand «$\;E_{n+1}-E_{n}=(2\;n+1)\;{\dfrac {h^{2}}{8\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}}}\;$».
Remarque : Nous avons défini le lien entre énergie et fréquence de de Broglie pour une onde de matière dans le paragraphe « relation de de Broglie et conséquences » du chap.$16$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » par $\;E_{\text{tot}}=h\;\nu _{d.B.}\;$ où $\;E_{\text{tot}}\;$ est l'énergie totale égale, dans le cas d'une particule libre, à la somme de l'énergie de masse $\;E^{\,0}=m\;c^{2}\;$ ${\big$à compter dans l'énergie totale pour définir la fréquence de de Broglie, que la particule soit relativiste ou non${\big )}\;$ et de l'énergie cinétique $\;K$ ; Remarque : ici la fréquence de de Broglie de la particule libre est «$\;\nu _{d.B.,\;n}={\dfrac {m\;c^{2}}{h}}+n^{2}\,{\dfrac {h}{8\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}}}\;$» soit encore «$\;\nu _{d.B.,\;{\cancel {n}}}\simeq {\dfrac {m\;c^{2}}{h}}\;$» compte-tenu du 1er terme largement prépondérant pour des particules non relativistes ; Remarque : on peut déterminer, de la fréquence de de Broglie, la célérité de l'onde de matière pour le niveau $\;n\;$ par «$\;v_{{\text{onde}},\;n}=\lambda _{d.B.,\;n}\times \nu _{d.B.,\;n}\simeq {\dfrac {2\;{\mathit {l}}}{n}}\;{\dfrac {m\;c^{2}}{h}}=c^{2}\;{\dfrac {2\;m\;{\mathit {l}}}{n\;h}}\;$» et Remarque : on peut déterminer, de la quantification de la quantité de mouvement, la vitesse de la particule classique associée par «$\;v_{{\text{part}},\;n}={\dfrac {p_{n}}{m}}=n\;{\dfrac {h}{2\;m\;{\mathit {l}}}}\;$», Remarque : on vérifie ainsi le lien déjà évoqué au paragraphe « relation de de Broglie et conséquences » du chap.$16$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » «$\;v_{{\text{part}},\;n}\times v_{{\text{onde}},\;n}=c^{2}\;$».

### Détermination d'un minorant de l'énergie d'une « particule libre confinée 1D » par utilisation de l'inégalité de Heisenberg spatiale

La « particule libre 1D » étant confinée sur l'intervalle $\;\left[0\,,\,{\mathit {l}}\,\right]$, l'incertitude « quantique » sur sa position «$\;\Delta x\;$» est majorée selon «$\;\Delta x\leqslant {\dfrac {\mathit {l}}{2}}\;$» et
La « particule libre 1D » étant confinée sur l'intervalle $\;\color {transparent}{\left[0\,,\,{\mathit {l}}\,\right]}$, l'incertitude « quantique » celle sur sa quantité de mouvement «$\;\Delta p\;$» se déduisant de l'inégalité de Heisenberg spatiale La « particule libre 1D » étant confinée sur l'intervalle $\;\color {transparent}{\left[0\,,\,{\mathit {l}}\,\right]}$, l'incertitude « quantique » sur sa quantité de mouvement «$\;\color {transparent}{\Delta p}\;$» se déduisant de «$\;\Delta p\;\Delta x\geqslant {\dfrac {\hbar }{2}}\;$» selon «$\;\Delta p\geqslant {\dfrac {\hbar }{2\;\Delta x}}\;$»
La « particule libre 1D » étant confinée sur l'intervalle $\;\color {transparent}{\left[0\,,\,{\mathit {l}}\,\right]}$, on obtient, en utilisant le majorant précédemment déterminé de l'incertitude « quantique » sur la position «$\;\Delta x\leqslant {\dfrac {\mathit {l}}{2}}\;$», que La « particule libre 1D » étant confinée sur l'intervalle $\;\color {transparent}{\left[0\,,\,{\mathit {l}}\,\right]}$, on obtient, l'incertitude « quantique » sur la quantité de mouvement «$\;\Delta p\;$» est minorée selon «$\;\Delta p\geqslant {\dfrac {\hbar }{\mathit {l}}}\;$» ;
La « particule libre 1D » étant confinée sur l'intervalle $\;\color {transparent}{\left[0\,,\,{\mathit {l}}\,\right]}$, la définition de cette dernière étant «$\;\Delta p={\sqrt {\left\langle (p-{\overline {p}})^{2}\right\rangle }}={\sqrt {\left\langle p^{2}\right\rangle }}\;$», la valeur moyenne de sa quantité de mouvement étant $\;{\overline {p}}=0\;$, La « particule libre 1D » étant confinée sur l'intervalle $\;\color {transparent}{\left[0\,,\,{\mathit {l}}\,\right]}$, la définition de cette dernière étant «$\;\color {transparent}{\Delta p={\sqrt {\left\langle (p-{\overline {p}})^{2}\right\rangle }}={\sqrt {\left\langle p^{2}\right\rangle }}}\;$», nous en déduisons «$\;\left\langle p^{2}\right\rangle =(\Delta p)^{2}\;$» ;
La « particule libre 1D » étant confinée si la « particule libre confinée 1D » est dans un état stationnaire, son énergie a une valeur fixée $\;E\;$ $=\;$ à sa valeur moyenne soit «$\;E=\left\langle E\right\rangle =\left\langle K\right\rangle ={\dfrac {\left\langle p^{2}\right\rangle }{2\;m}}\;$» et, La « particule libre 1D » étant confinée si la « particule libre confinée 1D » est dans un état stationnaire, en utilisant le résultat établi précédemment «$\;\left\langle p^{2}\right\rangle =(\Delta p)^{2}\;$» ainsi que La « particule libre 1D » étant confinée si la « particule libre confinée 1D » est dans un état stationnaire, en utilisant le minorant de l'incertitude « quantique » sur la quantité de mouvement $\;\Delta p$, La « particule libre 1D » étant confinée si la « particule libre confinée 1D » est dans un état stationnaire, en utilisant le minorant «$\;\Delta p\geqslant {\dfrac {\hbar }{\mathit {l}}}\;$», nous obtenons que La « particule libre 1D » étant confinée si la « particule libre confinée 1D » est dans un état stationnaire, l'énergie de la « particule libre 1D » confinée sur l'intervalle $\;\left[0\,,\,{\mathit {l}}\,\right]\;$ dans un état stationnaire La « particule libre 1D » étant confinée si la « particule libre confinée 1D » est dans un état stationnaire, l'énergie de la « particule libre 1D » est minorée selon «$\;E\geqslant {\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}}}={\dfrac {h^{2}}{8\;\pi ^{2}\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}}}\;$», La « particule libre 1D » étant confinée si la « particule libre confinée 1D » est dans un état stationnaire, évidemment vérifié par tout niveau d'énergie, donc par le niveau fondamental, ce qui est le cas car La « particule libre 1D » étant confinée si la « particule libre confinée 1D » est dans un état stationnaire, l'énergie de la « particule libre 1D » est minorée selon «$\;E_{1}={\dfrac {h^{2}}{8\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}}}>{\dfrac {h^{2}}{8\;\pi ^{2}\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}}}\;$».

### Expression de la partie spatiale de la fonction d'onde stationnaire correspondant au niveau n d'énergie de la « particule libre confinée 1D »

À l'énergie «$\;E_{n}=K_{n}={\dfrac {p_{n}^{2}}{2\;m}}=n^{2}\,{\dfrac {h^{2}}{8\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$» d'une « particule libre 1D » confinée sur l'intervalle $\;\left[0\,,\,{\mathit {l}}\,\right]\;$ dans un état stationnaire, correspondant à la quantité de mouvement «$\;p_{n}={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.,\,n}}}=n\;{\dfrac {h}{2\;{\mathit {l}}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$» de cette « particule libre 1D » confinée sur l'intervalle $\;\left[0\,,\,{\mathit {l}}\,\right]\;$ dans un état stationnaire, à la quantité de mouvement «$\;\color {transparent}{p_{n}={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.,\,n}}}=n\;{\dfrac {h}{2\;{\mathit {l}}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}}\;$» la partie spatiale de la fonction d'onde stationnaire de cette « particule libre 1D » confinée sur l'intervalle $\;\left[0\,,\,{\mathit {l}}\,\right]\;$ s'écrit, à la quantité de mouvement «$\;\color {transparent}{p_{n}={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.,\,n}}}=n\;{\dfrac {h}{2\;{\mathit {l}}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}}\;$» par analogie aux ondes sinusoïdales stationnaires sur une corde à extrémités fixes, «$\;\Psi _{n}(x)=A_{n}\;\sin \!\left({\dfrac {2\;\pi }{\lambda _{d.B.,\,n}}}\;x+\varphi _{n}\right)\;$» à la quantité de mouvement «$\;\color {transparent}{p_{n}={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.,\,n}}}=n\;{\dfrac {h}{2\;{\mathit {l}}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}}\;$» dans laquelle il faut écrire que les murs d'énergie potentielle infinie sont des nœuds de fonction d'onde soit : à la quantité de mouvement «$\;\color {transparent}{p_{n}={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.,\,n}}}=n\;{\dfrac {h}{2\;{\mathit {l}}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}}\;$» dans laquelle il faut écrire $\succ \;$«$\;\Psi _{n}(0)=0\;$» impliquant «$\;\varphi _{n}\equiv 0\!\!{\pmod {\pi }}\;$» par exemple «$\;\varphi _{n}=0\;$» et à la quantité de mouvement «$\;\color {transparent}{p_{n}={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.,\,n}}}=n\;{\dfrac {h}{2\;{\mathit {l}}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}}\;$» dans laquelle il faut écrire $\succ \;$«$\;\Psi _{n}({\mathit {l}})=0\;$» entraînant «$\;\sin \!\left({\dfrac {2\;\pi }{\lambda _{d.B.,\,n}}}\;{\mathit {l}}\right)=0\;$» c.-à-d. «$\;{\dfrac {2\;\pi }{\lambda _{d.B.,\,n}}}\;{\mathit {l}}=q\;\pi ,\;q\in \mathbb {N} ^{*}\;$» ou à la quantité de mouvement «$\;\color {transparent}{p_{n}={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.,\,n}}}=n\;{\dfrac {h}{2\;{\mathit {l}}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}}\;$» dans laquelle il faut écrire $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{\Psi _{n}({\mathit {l}})=0}\;$» entraînant «$\;\lambda _{d.B.,\,n}={\dfrac {2\;{\mathit {l}}}{q}},\;q\in \mathbb {N} ^{*}\;$» ou encore, en choisissant $\;q=n$, à la quantité de mouvement «$\;\color {transparent}{p_{n}={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.,\,n}}}=n\;{\dfrac {h}{2\;{\mathit {l}}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}}\;$» dans laquelle il faut écrire $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{\Psi _{n}({\mathit {l}})=0}\;$» entraînant «$\;\lambda _{d.B.,\,n}={\dfrac {2\;{\mathit {l}}}{n}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$» à la quantité de mouvement «$\;\color {transparent}{p_{n}={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.,\,n}}}=n\;{\dfrac {h}{2\;{\mathit {l}}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}}\;$» dans laquelle il faut écrire $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{\Psi _{n}({\mathit {l}})=0}\;$» entraînant c.-à-d. la condition de quantification trouvée précédemment $\Rightarrow$
à la quantité de mouvement «$\;\color {transparent}{p_{n}={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.,\,n}}}=n\;{\dfrac {h}{2\;{\mathit {l}}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}}\;$» la partie spatiale de la fonction d'onde stationnaire pour le mode $\;n\;$ de vibration de cette « particule libre 1D » confinée s'écrit à la quantité de mouvement «$\;\color {transparent}{p_{n}={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.,\,n}}}=n\;{\dfrac {h}{2\;{\mathit {l}}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}}\;$» la partie spatiale «$\;\Psi _{n}(x)=A_{n}\;\sin \!\left(n\;\pi \;{\dfrac {x}{\mathit {l}}}\right)\;$», $\;A_{n}\;$ se déterminant en normalisant la densité linéique de probabilité à la quantité de mouvement «$\;\color {transparent}{p_{n}={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.,\,n}}}=n\;{\dfrac {h}{2\;{\mathit {l}}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}}\;$» la partie spatiale «$\;\color {transparent}{\Psi _{n}(x)=A_{n}\;\sin \!\left(n\;\pi \;x\right)}\;$», $\;\color {transparent}{A_{n}}\;$ se déterminant en normalisant de présence «$\;{\mathcal {P}}_{{\text{lin}},\;n}(x)=\Psi _{n}^{2}(x)\;$» à la quantité de mouvement «$\;\color {transparent}{p_{n}={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.,\,n}}}=n\;{\dfrac {h}{2\;{\mathit {l}}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}}\;$» la partie spatiale «$\;\color {transparent}{\Psi _{n}(x)=A_{n}\;\sin \!\left(n\;\pi \;x\right)}\;$», «$\;{\mathcal {P}}_{{\text{lin}},\;n}(x)=A_{n}^{2}\;\sin ^{2}\!\left(n\;\pi \;{\dfrac {x}{\mathit {l}}}\right)\;$» par «$\;\displaystyle \int _{0}^{\mathit {l}}{\mathcal {P}}_{{\text{lin}},\;n}(x)\;dx=1\;$» soit à la quantité de mouvement «$\;\color {transparent}{p_{n}={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.,\,n}}}=n\;{\dfrac {h}{2\;{\mathit {l}}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}}\;$» la partie spatiale $\;A_{n}^{2}\;\displaystyle \int _{0}^{\mathit {l}}\sin ^{2}\!\left(n\;\pi \;{\dfrac {x}{\mathit {l}}}\right)dx=1\;$ ou, en linéarisant $\;{\dfrac {A_{n}^{2}}{2}}\;\displaystyle \int _{0}^{\mathit {l}}\left[1-\cos \!\left(2\;n\;\pi \;{\dfrac {x}{\mathit {l}}}\right)\right]dx=1\;$ et, après une intégration sans souci, $\;{\dfrac {A_{n}^{2}}{2}}\;\left[x-{\dfrac {\mathit {l}}{2\;n\;\pi }}\;\sin \!\left(2\;n\;\pi \;{\dfrac {x}{\mathit {l}}}\right)\right]_{0}^{\mathit {l}}=1\;$ ou $\;{\dfrac {A_{n}^{2}}{2}}\;\left[{\mathit {l}}-{\cancel {{\dfrac {\mathit {l}}{2\;n\;\pi }}\;\sin \!\left(2\;n\;\pi \right)}}\right]=1$, finalement on choisit «$\;A_{n}={\sqrt {\dfrac {2}{\mathit {l}}}}\;$» d'où l'expression de à la quantité de mouvement «$\;\color {transparent}{p_{n}={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.,\,n}}}=n\;{\dfrac {h}{2\;{\mathit {l}}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}}\;$» la partie spatiale de la fonction d'onde stationnaire pour le mode $\;n\;$ de vibration de cette « particule libre 1D » confinée à la quantité de mouvement «$\;\color {transparent}{p_{n}={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.,\,n}}}=n\;{\dfrac {h}{2\;{\mathit {l}}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}}\;$» la partie spatiale «$\;\Psi _{n}(x)={\sqrt {\dfrac {2}{\mathit {l}}}}\;\sin \!\left(n\;\pi \;{\dfrac {x}{\mathit {l}}}\right)\;$» $\Rightarrow$ à la quantité de mouvement «$\;\color {transparent}{p_{n}={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.,\,n}}}=n\;{\dfrac {h}{2\;{\mathit {l}}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}}\;$» une densité linéique de probabilité de présence pour le mode $\;n\;$ de vibration de cette « particule libre 1D » confinée à la quantité de mouvement «$\;\color {transparent}{p_{n}={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.,\,n}}}=n\;{\dfrac {h}{2\;{\mathit {l}}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}}\;$» une densité linéique de probabilité de présence «$\;{\mathcal {P}}_{{\text{lin}},\;n}(x)={\dfrac {2}{\mathit {l}}}\;\sin ^{2}\!\left(n\;\pi \;{\dfrac {x}{\mathit {l}}}\right)\;$».
à la quantité de mouvement «$\;\color {transparent}{p_{n}={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.,\,n}}}=n\;{\dfrac {h}{2\;{\mathit {l}}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}}\;$» Remarque : en les positions des ventres de vibration «$\;x_{{\text{ventre}},\;n}=\left(p+{\dfrac {1}{2}}\right){\dfrac {\lambda _{d.B.,\,n}}{2}},\;p\in \left[\left[0\,,\,n-1\right]\right]\;$», à la quantité de mouvement «$\;\color {transparent}{p_{n}={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.,\,n}}}=n\;{\dfrac {h}{2\;{\mathit {l}}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}}\;$» Remarque : en les positions des ventres de vibration la « densité linéique de probabilité de présence est $\;{\dfrac {2}{\mathit {l}}}\;$», à la quantité de mouvement «$\;\color {transparent}{p_{n}={\dfrac {h}{\lambda _{d.B.,\,n}}}=n\;{\dfrac {h}{2\;{\mathit {l}}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}}\;$» Remarque : en les positions des ventres de vibration valeur indépendante du nombre de « fuseaux » $\;\ldots$

### Transitions entre niveaux d'énergie

La « particule libre 1D » confinée sur l'intervalle $\;\left[0\,,\,{\mathit {l}}\,\right]\;$ dans un état stationnaire, doit être dans l'un des niveaux $\;n\;$ précédemment déterminés,
* elle peut passer dans un niveau plus faible $\;n'<n\;$ en émettant un photon d'énergie «$\;h\;\nu _{n'\,\leftarrow \,n}=E_{n}-E_{n'}=\left(n^{2}-{n'}^{2}\right){\dfrac {h^{2}}{8\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}}}\;$» ou
* elle peut passer dans un niveau plus élevé $\;n''>n\;$ en absorbant un photon d'énergie «$\;h\;\nu _{n\,\rightarrow \,n''}=E_{n''}-E_{n}=\left({n''}^{2}-n^{2}\right){\dfrac {h^{2}}{8\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}}}\;$» ;
la plus petite fréquence de photon pouvant être émis ou absorbé par la « particule libre 1D » confinée sur l'intervalle $\;\left[0\,,\,{\mathit {l}}\,\right]\;$ dans un état stationnaire est «$\;\nu _{\text{min}}={\dfrac {E_{2}-E_{1}}{h}}={\dfrac {3\;h}{8\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}}}\;$».
Exemple : on peut réaliser un puits d'énergie potentielle infinie en mettant une couche semi-conductrice d'arséniure de gallium $\;GaAs\;$ Exemple : on peut réaliser un puits d'énergie potentielle infinie en sandwich entre deux couches d'arséniure d'aluminium-gallium $\;GaAlAs\;$, Exemple : on peut réaliser un puits d'énergie potentielle infinie les porteurs de charge mobile de la couche semi-conductrice centrale restant confinés entre les deux couches latérales Exemple : on peut réaliser un puits d'énergie potentielle infinie les porteurs de charge mobile de la couche semi-conductrice centrale restant confinés avec un espace de confinement de quelques $\;nm$ ;
Exemple : on peut réaliser un puits d'énergie potentielle infinie en prenant «$\;{\mathit {l}}=3\;nm\;$» et en considérant la conductivité électrique des électrons de la couche semi-conductrice centrale avec leur « masse effective $\;m_{{\text{eff}},\,e}\simeq 0,067\;m_{e}\simeq 0,067\times 0,91\;10^{-30}\;kg\simeq 6,1\;10^{-32}\;kg\;$», on trouve une fréquence minimale de photon échangeable $\;\nu _{\text{min}}={\dfrac {3\;h}{8\;m_{{\text{eff}},\,e}\;{\mathit {l}}^{\,2}}}\simeq$ ${\dfrac {3\times 6,626\;10^{-34}}{8\times 6,1\;10^{-32}\times \left(3\;10^{-9}\right)^{2}}}\;$ $\simeq 4,52\;10^{14}\;Hz\;$ correspondant à une longueur d'onde maximale dans le vide $\;\lambda _{0,\,{\text{max}}}={\dfrac {c}{\nu _{\text{min}}}}\simeq {\dfrac {3\;10^{8}}{4,52\;10^{14}}}\simeq 6,63\;10^{-7}\;m\;$ soit «$\;\lambda _{0,\,{\text{max}}}\simeq 0,663\;\mu m\;$» caractéristique de la lumière émise par les diodes électroluminescentes émettant dans le rouge.

## Lien qualitatif entre « confinement spatial » et « quantification de l'énergie »

Nous avons vu $\;2\;$ exemples où le confinement spatial d'une particule à un seul paramètre de position sur un intervalle borné $\;{\big \$le 1er sur les « oscillateurs harmoniques unidimensionnels quantiques » $\;{\big$voir le paragraphe « spectre des niveaux d'énergie d'un oscillateur harmonique unidimensionnel quantique » du chap.$19$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »${\big ]}\;$ et le 2ème sur les « particules libres confinées 1D » en état stationnaire $\;{\big$voir le paragraphe « niveaux d'énergie possibles d'une particule libre confinée 1D » plus haut dans ce chapitre${\big ]}{\big \}$ Nous avons vu $\;\color {transparent}{2}\;$ exemples où le confinement spatial d'une particule à un seul paramètre de position sur un intervalle borné se traduit par la « quantification de son énergie » ;
Nous avons vu $\;\color {transparent}{2}\;$ exemples ceci est généralisable : « une particule quantique confinée dans une région de l'espace de taille finie a son énergie quantifiée ».
En appliquant le modèle du puits d'énergie potentielle infinie, nous déterminons l'« ordre de grandeur des écarts entre niveaux d'énergie » pour une « particule confinée 1D sur un intervalle $\;\left[0\,,\,{\mathit {l}}\,\right]\;$», En appliquant le modèle du puits d'énergie potentielle infinie, nous déterminons l'« ordre de grandeur des écarts entre niveaux d'énergie » suivant la nature de la particule :
En appliquant le modèle du puits d'énergie potentielle infinie, $\succ \;$pour un électron dans un puits d'énergie potentielle infinie de la taille d'un atome $\;{\mathit {l}}\sim 1\;{\text{Ǻ}}=10^{-10}\;m\;$ et $\;m_{e}=0,91\;10^{-30}\;kg\;$ En appliquant le modèle du puits d'énergie potentielle infinie, $\color {transparent}{\succ }\;$pour un électron on trouve $\;E_{2}-E_{1}={\dfrac {3\;h^{2}}{8\;m_{e}\;{\mathit {l}}^{\,2}}}\;$ c.-à-d. $\;E_{2}-E_{1}={\dfrac {3\times \left(6,626\;10^{-34}\right)^{2}}{8\times 0,91\;10^{-30}\times \left(10^{-10}\right)^{2}}}\;$ $\simeq 1,81\;10^{-17}\;J\;$ soit En appliquant le modèle du puits d'énergie potentielle infinie, $\color {transparent}{\succ }\;$pour un électron on trouve $\;E_{2}-E_{1}\simeq {\dfrac {1,81\;10^{-17}}{1,6\;10^{-19}}}\simeq 110\;eV\;$ c.-à-d. un « ordre de grandeur de $\;100\;eV\;$ » ;
En appliquant le modèle du puits d'énergie potentielle infinie, $\succ \;$pour un nucléon dans un puits d'énergie potentielle infinie de la taille d'un noyau $\;{\mathit {l}}\sim 3\;fm=3\;10^{-15}\;m\;$$^,$ et En appliquant le modèle du puits d'énergie potentielle infinie, $\color {transparent}{\succ }\;$pour un nucléon dans un puits d'énergie potentielle infinie de la taille d'un noyau $\;m_{\text{nucl}}=1,67\;10^{-27}\;kg=1\;u\;$ En appliquant le modèle du puits d'énergie potentielle infinie, $\color {transparent}{\succ }\;$pour un nucléon on trouve $\;E_{2}-E_{1}={\dfrac {3\;h^{2}}{8\;m_{e}\;{\mathit {l}}^{\,2}}}\;$ c.-à-d. $\;E_{2}-E_{1}={\dfrac {3\times \left(6,626\;10^{-34}\right)^{2}}{8\times 1,67\;10^{-27}\times \left(3\;10^{-15}\right)^{2}}}\;$ $\simeq 1,1\;10^{-11}\;J\;$ soit En appliquant le modèle du puits d'énergie potentielle infinie, $\color {transparent}{\succ }\;$pour un nucléon on trouve $\;E_{2}-E_{1}\simeq {\dfrac {1,1\;10^{-11}}{1,6\;10^{-13}}}\simeq 70\;MeV\;$ c.-à-d. un « ordre de grandeur de $\;100\;MeV\;$ » ;
En appliquant le modèle du puits d'énergie potentielle infinie, $\succ \;$l'ordre de grandeur des écarts entre niveaux d'énergie $\Rightarrow$ les valeurs nucléaires sont $\;\simeq 10^{6}\;$ fois plus grandes que les valeurs atomiques.

## En complément : résolution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps d'une « particule libre confinée 1D »
### Équation de Schrödinger indépendante du temps d'une « particule libre confinée 1D »

L'équation de Schrödinger indépendante du temps d'une « particule libre confinée 1D » à savoir $\;-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;{\dfrac {d^{2}{\underline {\Psi }}_{n}}{dx^{2}}}(x)=E_{n}\;{\underline {\Psi }}_{n}(x)\;$ se réécrivant «$\;{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;{\dfrac {d^{2}{\underline {\Psi }}_{n}}{dx^{2}}}(x)+E_{n}\;{\underline {\Psi }}_{n}(x)=0\;$»
L'équation de Schrödinger indépendante du temps est une équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène du 2ème ordre en $\;{\underline {\Psi }}_{n}(x)\;$ sans terme du 1er ordre, L'équation de Schrödinger indépendante du temps est une équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène dont la résolution passe par celle de l'équation caractéristique $\;\ldots$

### Résolution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps d'une « particule libre confinée 1D »

L'équation de Schrödinger indépendante du temps d'une « particule libre confinée 1D » à savoir «$\;{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;{\dfrac {d^{2}{\underline {\Psi }}_{n}}{dx^{2}}}(x)+E_{n}\;{\underline {\Psi }}_{n}(x)=0\;$» L'équation de Schrödinger indépendante du temps étant une équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène du 2ème ordre en $\;{\underline {\Psi }}_{n}(x)\;$ sans terme du 1er ordre L'équation de Schrödinger indépendante du temps admet pour équation caractéristique «$\;{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;{\underline {s}}^{2}+E_{n}=0\;$» dont la résolution nécessite la discussion suivante :
* « si $\;E_{n}\;$ est $\;<0\;$», les « racines de l'équation caractéristique sont réelles $\;{\underline {s_{\pm }}}=\pm {\dfrac {\sqrt {-2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;$» et « si $\;\color {transparent}{E_{n}}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$», la solution de l'équation différentielle s'écrit «$\;{\underline {\Psi }}_{n}={\underline {A_{+}}}\;\exp \!\left({\dfrac {\sqrt {-2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;x\right)+{\underline {A_{-}}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {\sqrt {-2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;x\right)\;$» mais « si $\;\color {transparent}{E_{n}}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$», cette solution est à rejeter car les C.A.L. $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\underline {\Psi }}_{n}(0)=0\\{\underline {\Psi }}_{n}({\mathit {l}})=0\end{array}}\right\rbrace \;$ s'écrivant $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l c l}{\underline {A_{+}}}\!\!&+&\!\!{\underline {A_{-}}}\!\!&=&\!\!0\\{\underline {A_{+}}}\;\exp \!\left({\dfrac {\sqrt {-2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;{\mathit {l}}\right)\!\!&+&\!\!{\underline {A_{-}}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {\sqrt {-2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;{\mathit {l}}\right)\!\!&=&\!\!0\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\underline {A_{+}}}=0\\{\underline {A_{-}}}=0\end{array}}\right\rbrace \;$ « si $\;\color {transparent}{E_{n}}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$», cette solution est à rejeter d'où la nullité de la fonction d'onde ;
* « si $\;E_{n}\;$ est $\;=0\;$», il y a « une racine double de l'équation caractéristique $\;{\underline {s_{d}}}=0\;$» et « si $\;\color {transparent}{E_{n}}\;$ est $\;\color {transparent}{=0}\;$», la solution de l'équation différentielle s'écrit «$\;{\underline {\Psi }}_{n}={\underline {A}}\;x+{\underline {B}}\;$» mais « si $\;\color {transparent}{E_{n}}\;$ est $\;\color {transparent}{=0}\;$», cette solution est à rejeter car les C.A.L. $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\underline {\Psi }}_{n}(0)=0\\{\underline {\Psi }}_{n}({\mathit {l}})=0\end{array}}\right\rbrace \;$ s'écrivant $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l c l}\!\!&&\!\!{\underline {B}}\!\!&=&\!\!0\\{\underline {A}}\;{\mathit {l}}\!\!&+&\!\!{\underline {B}}\!\!&=&\!\!0\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\underline {A}}=0\\{\underline {B}}=0\end{array}}\right\rbrace \;$ « si $\;\color {transparent}{E_{n}}\;$ est $\;\color {transparent}{=0}\;$», cette solution est à rejeter d'où la nullité de la fonction d'onde ;
* « si $\;E_{n}\;$ est $\;>0\;$», les « racines de l'équation caractéristique sont complexes conjuguées $\;{\underline {s_{\pm }}}=\pm i\;{\dfrac {\sqrt {2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;$» et « si $\;\color {transparent}{E_{n}}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$», la solution de l'équation différentielle s'écrit «$\;{\underline {\Psi }}_{n}={\underline {A_{+}}}\;\exp \!\left(i\;{\dfrac {\sqrt {2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;x\right)+{\underline {A_{-}}}\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {\sqrt {2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;x\right)\;$», « si $\;\color {transparent}{E_{n}}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$», les constantes d'intégration $\;\left({\underline {A_{+}}}\,,\,{\underline {A_{-}}}\right)\;$ devant obéir aux C.A.L. $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\underline {\Psi }}_{n}(0)=0\\{\underline {\Psi }}_{n}({\mathit {l}})=0\end{array}}\right\rbrace \;$ soit $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l c l}{\underline {A_{+}}}\!\!&+&\!\!{\underline {A_{-}}}\!\!&=&\!\!0\\{\underline {A_{+}}}\;\exp \!\left(i\;{\dfrac {\sqrt {2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;{\mathit {l}}\right)\!\!&+&\!\!{\underline {A_{-}}}\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {\sqrt {2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;{\mathit {l}}\right)\!\!&=&\!\!0\end{array}}\right\rbrace \;$, « si $\;\color {transparent}{E_{n}}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$», les « solutions de ce système étant non triviales si $\;1\times \exp \!\left(-i\;{\dfrac {\sqrt {2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;{\mathit {l}}\right)=$ $\exp \!\left(i\;{\dfrac {\sqrt {2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;{\mathit {l}}\right)\times 1\;$» ou « si $\;\color {transparent}{E_{n}}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$», les « solutions de ce système étant non triviales si $\;\exp \!\left(i\;{\dfrac {\sqrt {2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;{\mathit {l}}\right)-\exp \!\left(-i\;{\dfrac {\sqrt {2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;{\mathit {l}}\right)=0\;$ $\Leftrightarrow$ «$\;2\;i\;\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;{\mathit {l}}\right)=0\;$» d'où « si $\;\color {transparent}{E_{n}}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$», les « solutions de ce système étant non triviales la condition de quantification de l'énergie «$\;{\dfrac {\sqrt {2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;{\mathit {l}}=n\;\pi ,\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;E_{n}=n^{2}{\dfrac {\pi ^{2}\;\hbar ^{2}}{2\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$» ou encore « si $\;\color {transparent}{E_{n}}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$», les « solutions de ce système étant non triviales la condition de quantification de l'énergie «$\;E_{n}=n^{2}{\dfrac {h^{2}}{8\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$» ; « si $\;\color {transparent}{E_{n}}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$», les « solutions de ce système étant non triviales avec cette condition « les constantes d'intégration sont liées par $\;{\underline {A_{-}}}=-{\underline {A_{+}}}\;$» et la solution de l'équation différentielle se réécrit « si $\;\color {transparent}{E_{n}}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$», les « solutions de ce système étant non triviales avec cette condition «$\;{\underline {\Psi }}_{n}(x)={\underline {A_{+}}}\left[\exp \!\left(i\;{\dfrac {\sqrt {2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;x\right)-\exp \!\left(-i\;{\dfrac {\sqrt {2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;x\right)\right]\;$» ou encore « si $\;\color {transparent}{E_{n}}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$», les « solutions de ce système étant non triviales avec cette condition «$\;{\underline {\Psi }}_{n}(x)=2\;i\;{\underline {A_{+}}}\;\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;x\right)\;$» soit, en posant $\;2\;i\;{\underline {A_{+}}}=A\;\exp(i\;\varphi )\;$ et « si $\;\color {transparent}{E_{n}}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$», les « solutions de ce système étant non triviales avec cette condition «$\;\color {transparent}{{\underline {\Psi }}_{n}(x)=2\;i\;{\underline {A_{+}}}\;\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;x\right)}\;$» soit, en choisissant $\;\varphi =0\;$, « si $\;\color {transparent}{E_{n}}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$», les « solutions de ce système étant non triviales avec cette condition «$\;\Psi _{n}(x)=A\;\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;x\right)\;$» solution de l'équation différentielle « si $\;\color {transparent}{E_{n}}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$», les « solutions de ce système étant non triviales avec cette condition avec $\;A\;$ à déterminer par normalisation de la densité linéique de probabilité de présence.

### Normalisation de la densité linéique de probabilité de présence d'une « particule libre confinée 1D »

La normalisation de la « densité linéique de probabilité de présence $\;{\mathcal {P}}_{{\text{lin}},\;n}(x)=\Psi _{n}^{2}(x)=A^{2}\;\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\sqrt {2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;x\right)\;$» se traite en évaluant $\;A>0\;$ par «$\;\displaystyle \int _{0}^{\mathit {l}}{\mathcal {P}}_{{\text{lin}},\;n}(x)\;dx=1\;$», soit La normalisation «$\;A^{2}\;\displaystyle \int _{0}^{\mathit {l}}\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\sqrt {2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;x\right)dx=1\;$» ou, en linéarisant «$\;{\dfrac {A^{2}}{2}}\;\displaystyle \int _{0}^{\mathit {l}}\left[1-\cos \!\left(2\;{\dfrac {\sqrt {2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;x\right)\right]dx=1\;$» soit, après une intégration sans souci, La normalisation «$\;{\dfrac {A^{2}}{2}}\;\left[x-{\dfrac {\hbar }{2\;{\sqrt {2\;m\;E_{n}}}}}\;\sin \!\left(2\;{\dfrac {\sqrt {2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;x\right)\right]_{0}^{\mathit {l}}=1\;$» ou, avec la condition de quantification «$\;E_{n}=n^{2}{\dfrac {h^{2}}{8\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {\sqrt {8\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}\;E_{n}}}{\hbar }}=n\;2\;\pi \;$», La normalisation «$\;{\dfrac {A^{2}}{2}}\;\left[{\mathit {l}}-{\cancel {{\dfrac {\hbar }{2\;{\sqrt {2\;m\;E_{n}}}}}\;\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {8\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}\;E_{n}}}{\hbar }}\right)}}\right]=1\;$ et finalement en choisissant $\;A>0$, $\;A={\sqrt {\dfrac {2}{\mathit {l}}}}\;$» d'où
$\;\Psi _{n}(x)={\sqrt {\dfrac {2}{\mathit {l}}}}\;\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;x\right)\;$
$\;{\mathcal {P}}_{{\text{lin}},\;n}(x)=\Psi _{n}^{2}(x)={\dfrac {2}{\mathit {l}}}\;\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\sqrt {2\;m\;E_{n}}}{\hbar }}\;x\right)\;$

## Additif à l'introduction au monde quantique concernant l'« énergie du vide » de l'Univers en « cosmologie »
### Pourquoi peut-on parler d'« énergie du vide » de l'Univers en « cosmologie » ?

Un espace localement vide ne l'a pas toujours été et ne le sera pas toujours, plus précisément, appelant $\;\Delta t\;$ l'incertitude « quantique » du temps où l'espace est observé vide et Un espace localement vide ne l'a pas toujours été et ne le sera pas toujours, plus précisément, appelant $\;\Delta E\;$ l'incertitude « quantique » de l'énergie $\;E\;$ de cet espace localement vide, Un espace localement vide ne l'a pas toujours été et ne le sera pas toujours, plus précisément, ces incertitudes « quantiques » suivent l'inégalité de Heisenberg temporelle «$\;\Delta E\;\Delta t\geqslant {\dfrac {\hbar }{2}}\;$» d'où Un espace localement vide ne l'a pas toujours été et ne le sera pas toujours, plus précisément, l'incertitude « quantique » de l'énergie $\;E\;$ du vide est minorée selon «$\;\Delta E\geqslant {\dfrac {\hbar }{2\;\Delta t}}\;$», Un espace localement vide ne l'a pas toujours été et ne le sera pas toujours, plus précisément, l'incertitude « quantique » de l'énergie $\;\color {transparent}{E}\;$ du vide est minorant d'autant plus grand que $\;\Delta t\;$ est petite Un espace localement vide ne l'a pas toujours été et ne le sera pas toujours, plus précisément, l'incertitude « quantique » de l'énergie $\;\color {transparent}{E}\;$ du vide est minorant ou d'autant plus petit que $\;\Delta t\;$ est grande ;
l'incertitude « quantique » $\;\Delta E\;$ de l'énergie du vide $\;E\;$ correspond à l'« écart quadratique moyen de cette énergie $\;\Delta E={\sqrt {\left\langle \left(E-{\overline {E}}\right)^{\!2}\right\rangle }}\;$» avec $\;{\overline {E}}\;$ énergie moyenne $\;{\big$nulle${\big )}\;$ du vide d'où l'incertitude « quantique » $\;\color {transparent}{\Delta E}\;$ de l'énergie du vide $\;\color {transparent}{E}\;$ correspond à l'« écart quadratique moyen de cette énergie $\;\Delta E={\sqrt {\left\langle E^{2}\right\rangle }}\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\sqrt {\left\langle E^{2}\right\rangle }}=\Delta E\geqslant {\dfrac {\hbar }{2\;\Delta t}}>0\;$» ;
cette relation «$\;{\sqrt {\left\langle E^{2}\right\rangle }}\geqslant {\dfrac {\hbar }{2\;\Delta t}}>0\;$» nous enseigne que « le vide$\;{\big$qualifié de quantique${\big )}\;$peut contenir de l'énergie à certains instants » avec des valeurs pouvant être d'autant plus élevées que la durée d'observation est petite, ces très grandes valeurs potentielles d'énergie du « vide quantique » pendant des durées très courtes sont appelées « fluctuations du vide$\;{\big$quantique${\big )}\;$» ;
on a observé que « des valeurs très élevées d'énergie peuvent être “empruntées” au vide quantique pour créer des particules virtuelles à durée de vie très courte », l'emprunt étant restitué au vide quantique lors de l'annihilation des particules virtuelles $\;\ldots \;$
La succession de création et d'annihilation des particules virtuelles à partir du vide quantique a-t-elle un intérêt ? Oui car il se trouve que, sous conditions de très fortes valeurs d'énergie $\;{\big$ce qui nécessitent, on le rappelle, des durées d'interaction excessivement petites${\big )}$, les particules virtuelles peuvent devenir « réelles » $\;{\big$ceci ayant été observé dans les accélérateurs de particules et plus particulièrement dans ceux de dernières générations${\big )}$.
En conclusion, l'existence des fluctuations du vide quantique ne sont pas des hypothèses théoriques sans retombées expérimentales : nous avons déjà vu leur apparition dans les accélérateurs de particules, mais elles permettent aussi
* l'explication de l'« effet Casimir » et
* du point de vue théorique, l'explication de la création de l'Univers à partir du vide quantique $\;\ldots$

### Retour sur l'énergie du vide quantique

Un espace localement vide ne l'ayant pas toujours été et ne le restant pas toujours, a contenu ou contiendra des champs fondamentaux comme le champ électromagnétique ou Un espace localement vide ne l'ayant pas toujours été et ne le restant pas toujours, a contenu ou contiendra des champs fondamentaux comme l'un des trois autres champs ou Un espace localement vide ne l'ayant pas toujours été et ne le restant pas toujours, a contenu ou contiendra des champs fondamentaux comme une combinaison de ces quatre champs ;
or en théorie quantique des champs, ces derniers peuvent être vus comme un ensemble de « balles » et de « ressorts vibrants » tous interconnectés c.-à-d. des « oscillateurs harmoniques quantiques », or en théorie quantique des champs, cet ensemble ayant une énergie fondamentale ${\big$c.-à-d. en absence de vibrations${\big )}$ « non nulle » or en théorie quantique des champs, cet ensemble ayant une énergie fondamentale conservée lors de la création du vide par disparition des champs, or en théorie quantique des champs, cet ensemble ayant une énergie fondamentale sa valeur définissant « l'énergie du vide quantique » ou « énergie du point zéro ».