# Théorie physique des distributions/Transformée de Laplace

L'objet de ce chapitre est de généraliser la transformée de Laplace, définie sur les fonctions, aux distributions. Tout au long de ce chapitre et pour bien fixer les idées, la variable relative à une fonction physique sera désignée par t (référence au temps). La variable relative à la transformé de Laplace sera notée p (Notation largement répandue chez les physiciens).

## Définition de la transformée de Laplace d'une distribution

Rappelons que le support d’une distribution T est le plus petit ensemble fermé F vérifiant :
$\forall \varphi \in {\mathcal {D}}\quad {\text{supp}}(\varphi )\cap F=\varnothing \quad \Rightarrow \quad <T,\varphi >\,=0$
Dans ce chapitre, on notera D+$^′${\textstyle {\mathcal {D}}_{+}'}, l’ensemble des distribution de D$^′${\textstyle {\mathcal {D}}'} dont le support est inclus dans [0;+∞[.
De même, on notera S+$^′${\textstyle {\mathcal {S}}_{+}'}, l’ensemble des distribution de S$^′${\textstyle {\mathcal {S}}'} dont le support est inclus dans [0;+∞[.
On a alors :
Soit T, une distribution de S+$^′${\textstyle {\mathcal {S}}_{+}'}, on appellera Transformée de Laplace de T, que l’on notera Ꮭ.T, la fonction définie par :
${\mathcal {L}}.T(p)=\,<T,t\mapsto e^{-p.t}>$
p étant un nombre complexe tel que :
$|<T,t\mapsto e^{-p.t}>|<+\infty$
* Commentaire
* Cette définition peut susciter une interrogation :
* La fonction :
* $t\mapsto e^{-p.t}$
* n'est visiblement pas une fonction-test de S{\textstyle {\mathcal {S}}} ?
* Mais n'oublions pas que T appartient à S+$^′${\textstyle {\mathcal {S}}_{+}'} qui est un sous-espace de S$^′${\textstyle {\mathcal {S}}'}, ce qui signifie par dualité que l'espace des fonctions-tests S+{\textstyle {\mathcal {S}}_{+}} auquel s'applique T est plus grand que S{\textstyle {\mathcal {S}}} et le contient. L'espace S+{\textstyle {\mathcal {S}}_{+}} est en fait l’ensemble des fonctions-tests indéfiniment dérivables et à décroissance rapide lorsque la variable t croît vers + ∞ (et pas forcément lorsque la variable t décroît vers -∞). Nous voyons que c’est le cas pour notre fonction si la partie réelle de p est strictement positive.
* C'est pour cela que, pour les distributions régulières, la transformée de Laplace ne peut s'appliquer qu’à des fonctions nulles sur [-∞;0[ pour que l'intégrale, apparaissant dans ce cas, soit malgré tout convergente.

## Transformée de Laplace des Distributions régulières

En général, un phénomène physique commence à un instant donné. Lorsqu'on étudie un phénomène physique chronométré, on ne déclenche généralement pas le chronomètre après que le phénomène ait commencé. Par conséquent, nous obtenons généralement des fonctions qui sont nulles avant que l’on ne déclenche le chronomètre. Nous accorderons donc un intérêt particulier aux fonctions nulle sur ]-∞;0[.
On appelle fonction causale, une fonction d'une variable réelle, nulle sur ]-∞;0[
Soit f une fonction physique causale. Calculons la transformée de Laplace de la distribution régulière T$_f$ associée à f. Nous avons :
${\mathcal {L}}.T_{f}(p)=\,<T_{f},t\mapsto e^{-p.t}>=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-p.t}f(t)\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\infty }e^{-p.t}f(t)\,\mathrm {d} t$
Et nous voyons que nous retrouvons la définition classique de la transformée de Laplace des fonctions.
Si la fonction n’est pas causale, nous conviendrons de la rendre causale en la multipliant par la fonction de Heaviside. Sa transformée de Laplace s'écrira malgré tout :
${\mathcal {L}}.T_{f}(p)=\int _{0}^{\infty }e^{-p.t}f(t)\,\mathrm {d} t$
Dans la majorité des cas que nous rencontrerons en pratique, le domaine de définition de la transformée de Laplace des distributions régulières est le demie-plan complexe défini par une partie réelle strictement positive.
* Remarque
* Si l’on écrit p sous la forme :
* $p=x+2i\pi y$
* nous voyons que l’on peut exprimer la transformée de Laplace d'une distribution régulière en fonction de la transformée de Fourier. En effet :
* ${\mathcal {L}}.T_{f}(p)=\int _{0}^{\infty }e^{-p.t}f(t)\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\infty }e^{-(x+2i\pi y).t}.H(t).f(t)\,\mathrm {d} t=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x.t}.e^{-2i\pi y.t}.H(t).f(t)\,\mathrm {d} t={\mathcal {F}}.(t\mapsto H(t).e^{-x.t}.f(t))(y)$
* Nous retiendrons :
* ${\mathcal {L}}.T_{f}={\mathcal {F}}.(t\mapsto H(t).e^{-x.t}.f(t))$
* Cette formule peut permettre de déduire simplement des propriétés de la transformée de Laplace à partir des propriétés de la transformée de Fourier.

## Transformée de Laplace d'un produit de convolution

Nous admettrons le théorème suivant, similaire à celui que nous avions pour la transformée de Fourier :
Sur l’ensemble des distributions S+$^′${\textstyle {\mathcal {S}}_{+}'}, la transformée de Laplace d'un produit de convolution de deux distributions S et T est égal au produit des transformées de Laplace de chaque distribution.
$\forall S\in {\mathcal {S}}_{+}'\quad \forall T\in {\mathcal {S}}_{+}'\quad {\mathcal {L}}.(S\star T)={\mathcal {L}}.S\times {\mathcal {L}}.T$

## Transformée de Laplace de la dérivée d'une distribution

Nous avons :
${\begin{aligned}\forall T\in {\mathcal {S}}_{+}'\quad {\mathcal {L}}.T'(p)&=-<T,\left(t\mapsto e^{-p.t}\right)'>\\&=-<T,t\mapsto -pe^{-p.t}>\\&=p<T,t\mapsto e^{-p.t}>\\&=p.{\mathcal {L}}.T(p)\end{aligned}}$
nous retiendrons :
$\forall T\in {\mathcal {S}}_{+}'\quad {\mathcal {L}}.T'=p.{\mathcal {L}}.T$
Calculons, à titre d'exemple la transformée de Laplace de la distribution régulière T$_{f′}${\textstyle T_{f'}} associée à la dérivée physique d'une fonction physique causale f.
En remarquant que la dérivée physique d'une fonction physique causale est aussi une fonction physique causale, on obtient :
$f'(x)=H(x).f'(x)=(H.f)'(x)-H'(x).f(x)=(H.f)'(x)-\delta (x).f(x)=(H.f)'(x)-\delta (x).f(0)$
et par conséquent :
${\mathcal {L}}.T_{f'}={\mathcal {L}}.T_{H.f'}={\mathcal {L}}.T_{(H.f)}'-f(0).{\mathcal {L}}.\delta (x)=p.{\mathcal {L}}.T_{H.f}-f(0)\times 1=p.{\mathcal {L}}.T_{f}-f(0)$
Nous retrouvons bien la formule classique que nous connaissions pour la transformée de Laplace de la dérivée d'une fonction.
${\mathcal {L}}.f'(p)=p.{\mathcal {L}}.f(p)-f(0^{+})$
(à remarquer que f(0$^+$) = f(0) pour les fonctions physiques à cause de la continuité à droite)

## Transformée de Laplace de la distribution de Dirac et de ses dérivées

Calculons la transformée de Laplace de la distribution de Dirac :
$\forall p\in \mathbb {C} \quad {\mathcal {L}}.\delta (p)=\,<\delta ,t\mapsto e^{-p.t}>=e^{-p\times 0}=1$
Nous voyons que la transformée de Laplace de la distribution de Dirac est la fonction constante égale à 1. Son domaine de définition est la totalité des nombres complexes.
Nous retiendrons :
$\forall p\in \mathbb {C} \quad {\mathcal {L}}.\delta (p)=1$
Nous avons vu, au paragraphe précédent, que dérivée une distribution revient à multiplier sa transformée de Laplace par la variable p. Nous avons donc de façon immédiate :
$\forall p\in \mathbb {C} \quad {\mathcal {L}}.\delta '(p)=p$
Et par récurrence, on obtient :
$\forall p\in \mathbb {C} \quad {\mathcal {L}}.\delta ^{(n)}(p)=p^{n}$

## Transformée de Laplace de la primitive d'une distribution

Calculons le produit de convolution de la fonction de Heaviside avec une fonction causale f. Nous obtenons :
$\forall t\in \mathbb {R} \quad H\star f(t)=\int _{-\infty }^{\infty }H(x)f(t-x)\,\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }H(t-x)f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{t}f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{t}f(x)\,\mathrm {d} x$
Nous voyons que le produit de convolution de la fonction de Heaviside avec une fonction causale f donne la primitive de f qui s'annule en 0.
Nous retiendrons :
$\forall t\in \mathbb {R} \quad H\star f(t)=\int _{0}^{t}f(x)\,\mathrm {d} x$
Plus généralement, nous voyons que si l’on dérive le produit de convolution de H avec une distribution T, on obtient :
$(H\star T)'=H'\star T=\delta \star T=T$
On peut considérer que H⋆T est une des primitives de T. Comme nous avons :
$\forall T\in {\mathcal {S}}_{+}'\quad {\mathcal {L}}.(H\star T)={\mathcal {L}}.H\times {\mathcal {L}}.T={\frac {1}{p}}{\mathcal {L}}.T$
On voit que l’on obtient la transformée de Laplace d'une primitive d'une distribution T en multipliant la transformée de Laplace de T par 1/p.
Nous retiendrons :
$\forall T\in {\mathcal {S}}_{+}'\quad {\mathcal {L}}.(H\star T)={\frac {1}{p}}{\mathcal {L}}.T$
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