# Statique des fluides (PCSI)/Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen : Statique dans le champ de pesanteur uniforme

$\;{\big$
${\big )}\;$

## Établissement de la forme différentielle de la relation fondamentale de la statique des fluides (r.f.s.f.) dans un référentiel galiléen, la seule force volumique étant la force de pesanteur
### But recherché

Considérant un fluide soumis à un champ de pesanteur uniforme en équilibre dans un référentiel galiléen, la seule force volumique s’exerçant sur le fluide étant la force de pesanteur et les seules forces surfaciques les « forces pressantes exercées sur chaque particule de fluide de la part du reste de fluide », nous nous proposons de déterminer le lien existant entre la force volumique de pesanteur et la variation de la pression à l'intérieur du fluide en équilibre dans le référentiel d'étude galiléen.

### Établissement de la forme différentielle de la relation fondamentale de la statique des fluides (r.f.s.f.) dans un référentiel galiléen pour un fluide en équilibre dans un champ de pesanteur uniforme, l’axe Oz étant vertical ascendant

Soit une particule de fluide centrée en $\;M$, de forme cylindrique dont la section droite est horizontale d’aire élémentaire $\;d^{2}S\;$ et dont les bases sont respectivement situées aux « altitudes $\;z\;$ et $\;z+dz\;$» $\;{\bigdz\;$ étant une variation élémentaire${\big )}\;$ en équilibre dans un champ de pesanteur uniforme «$\;{\vec {g}}=-g\;{\vec {u}}_{z}\;$» $\;{\Big \g=\Vert {\vec {g}}\Vert \;$ étant l'intensité de la pesanteur${\Big \}$, la « masse volumique de fluide $\;{\big$non nécessairement constante${\big )}\;$» étant notée «$\;\mu (M)\;$» et le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport auquel nous nous proposons d'étudier l'équilibre du fluide est galiléen $\;{\big \$voir le schéma ci-contre $\;{\big$le cylindre a été représenté de révolution d’axe $\;\parallel \;$ à $\;Oz\;$ mais la base n’est pas nécessairement un disque${\big )}{\big \}$ ;
les forces extérieures s'exerçant sur la particule de fluide «$\;M\,\left(d^{3}{\mathcal {V}}=d^{2}S\;dz\right)\;$» étant :
* son poids «$\;dm\;{\vec {g}}=\mu (M)\;d^{3}{\mathcal {V}}\;{\vec {g}}=-\mu (M)\;d^{2}S\;dz\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$» $\;{\big$seule force volumique${\big )}$,
* les forces pressantes $\;{\big$forces surfaciques${\big )}\;$ $\;\succ \;$sur la base supérieure «$\;{\overrightarrow {d^{2}F}}_{S,\,{\text{sup}}}=-p(M_{\text{sup}})\;d^{2}S\;{\vec {u}}z\;$», $\;\succ \;$sur la base inférieure «$\;{\overrightarrow {d^{2}F}}_{S,\,{\text{inf}}}=p(M_{\text{inf}})\;d^{2}S\;{\vec {u}}z\;$» et $\;\succ \;$sur la surface latérale «$\;{\overrightarrow {d^{3}F}}_{S,\,{\text{lat}}}(M_{\text{lat}})=-p(M_{\text{lat}})\;{\overrightarrow {d^{3}S}}_{\text{lat}}(M_{\text{lat}})\;$»$^,$,
nous en déduisons la « C.N. d’équilibre de la particule dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen » à savoir « la somme des forces extérieures appliquées à la particule en équilibre est égale à $\;{\vec {0}}\;$» $\;{\big \$cette C.N. est une C.S. si la particule de fluide est initialement au repos $\;{\big$ce qui doit évidemment être envisagé pour un équilibre${\big )}$, sinon la C.N. correspondant à une absence d’accélération, la particule de fluide aurait un mouvement rectiligne uniforme dans le référentiel d'étude galiléen${\big \}$.
* La seule force « active » étant le poids vertical, les forces « réactives » $\;{\big$c'est-à-dire les forces de pression${\big )}\;$ se compensent horizontalement et, si on considère un cylindre à bases adaptées au système de coordonnées cartésiennes c'est-à-dire « rectangulaires de côtés $\;\parallel \;$ à $\;Ox\;$ et à $\;Oy\;$» $\;{\Big$par exemple $\;{\overrightarrow {Ox}}\;\perp \;$ au plan de la figure ci-dessus et venant vers le lecteur, $\;{\overrightarrow {Oy}}\;$ dans le plan de la figure $\;\perp \;$ à $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ et orienté vers la droite tel que le trièdre $\;\left\lbrace {\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {Oy}}\,,\,{\overrightarrow {Oz}}\right\rbrace \;$ soit orthogonal direct $\;{\big$l'espace physique étant orienté à droite${\big ]}\;$${\Big )}$, nous en déduisons que $\;\succ \;$les forces pressantes s’exerçant sur les surfaces latérales $\;\parallel \;$ à $\;Oyz$, de direction $\;Ox$ $\;{\big\perp \;$ au plan de la figure ci-dessus${\big )}\;$ se compensent d'où «$\;p(M_{\text{lat, arrière}})\;dy\;dz\;{\vec {u}}_{x}-p(M_{\text{lat, avant}})\;dy\;dz\;{\vec {u}}_{x}={\vec {0}}\;$» dont nous tirons, en projetant sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ et en simplifiant par $\;dy\;dz$, «$\;p(M_{\text{lat, arrière}})=p(M_{\text{lat, avant}})\;$» correspondant à l’« indépendance de la pression relativement à $\;x\;$» et que $\;\succ \;$les forces pressantes s’exerçant sur les surfaces latérales $\;\parallel \;$ à $\;Oxz$, de direction $\;Oy$ $\;{\big$dans le plan de la figure ci-dessus $\;\perp \;$ à $\;Oz{\big )}\;$ se compensent d'où «$\;p(M_{\text{lat, gauche}})\;dx\;dz\;{\vec {u}}_{y}-p(M_{\text{lat, droite}})\;dx\;dz\;{\vec {u}}_{y}={\vec {0}}\;$» dont nous tirons, en projetant sur $\;{\vec {u}}_{y}\;$ et en simplifiant par $\;dx\;dz$, «$\;p(M_{\text{lat, gauche}})=p(M_{\text{lat, droite}})\;$» correspondant à l’« indépendance de la pression relativement à $\;y\;$» d'où $\;\succ \;$une 1ère conséquence sur la variation de la pression avec les coordonnées du centre $\;M\;$ de la particule de fluide en équilibre dans le champ de pesanteur uniforme « la pression en un point $\;M\;$ d'un fluide en équilibre dans un champ de pesanteur uniforme ne dépend que de l'altitude${\underline {\;z}}\;$ de $\;M\;$».
* La force « active » c'est-à-dire le poids « étant verticale descendante », la somme des forces « réactives » c'est-à-dire la somme des forces pressantes sur les bases inférieure et supérieure $\;{\big$puisque les forces pressantes sur la surface latérale se compensent${\big )}\;$ « doit être verticale ascendante » $\Rightarrow$ la force pressante sur la base inférieure est de norme plus grande que celle sur la base supérieure d'où « la pression est d’autant plus petite que l’altitude est grande » c'est-à-dire «$\;p(z)\;$ est une fonction $\;\searrow \;$ de $\;z\;$» ; la projection sur $\;{\vec {u}}_{z}\;$ de la C.N. d'équilibre du fluide soumis à un champ de pesanteur uniforme dans $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen nous conduisant à «$\;-p(M_{\text{sup}})\;d^{2}S+p(M_{\text{inf}})\;d^{2}S-\mu (M)\;d^{2}S\;dz\;g=0\;$» se réécrit «$\;-p\!\left(z+{\dfrac {dz}{2}}\right)\,d^{2}S+p\!\left(z-{\dfrac {dz}{2}}\right)\,d^{2}S-\mu (M)\;d^{2}S\;dz\;g=0\;$» soit, en effectuant le « D.L. de $\;p\!\left(z+{\dfrac {dz}{2}}\right)\,$ et de $\;p\!\left(z-{\dfrac {dz}{2}}\right)\,$ à l'ordre un en $\;dz\;$ au voisinage de $\;z\;$» $\Rightarrow$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}p\!\left(z+{\dfrac {dz}{2}}\right)\simeq p(z)+{\dfrac {dp}{dz}}(z)\;{\dfrac {dz}{2}}\\p\!\left(z-{\dfrac {dz}{2}}\right)\simeq p(z)-{\dfrac {dp}{dz}}(z)\;{\dfrac {dz}{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ «$\;-p\!\left(z+{\dfrac {dz}{2}}\right)+p\!\left(z-{\dfrac {dz}{2}}\right)\simeq -{\dfrac {dp}{dz}}(z)\;dz\;$ qui s'identifie à l'opposé de la différentielle de la pression soit $\;-dp\;$» d'où en multipliant par $\;-1\;$ et en simplifiant par $\;d^{2}S\;$ la réécriture de la C.N. d'équilibre du fluide soumis à un champ de pesanteur uniforme dans $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen «$\;dp(M)+\mu (M)\;g\;dz=0\;$» $\;{\big$quand $\;z\,\nearrow$, $\;dz\;$ est $\;>0\;$ $\Rightarrow$ $\;dp\;$ est $\;<0$, donc $\;p\,\searrow {\big )}\;$ avec $\;Oz\;$ axe vertical ascendant $\;{\bigz\;$ étant l'altitude de $\;M{\big )}$, la relation «$\;dp(M)+\mu (M)\;g\;dz=0\;$» étant la « forme différentielle de la r.f.s.f. dans un référentiel galiléen pour un fluide en équilibre dans un champ de pesanteur uniforme ».

### Remarque, forme différentielle de la relation fondamentale de la statique des fluides (r.f.s.f.) dans un référentiel galiléen pour un fluide en équilibre dans un champ de pesanteur uniforme, l’axe Oz étant vertical descendant

La forme différentielle de la r.f.s.f. dans un référentiel galiléen pour un fluide en équilibre dans un champ de pesanteur uniforme avec l'axe vertical $\;Oz\;$ orienté dans le sens descendant $\;{\bigz\;$ représentant alors la profondeur du point $\;M{\big )}\;$ s'obtient à partir de la forme différentielle de la r.f.s.f. avec $\;Oz\;$ orienté dans le sens ascendant en changeant $\;z\;$ en $\;-z\;$ soit
$\;dp(M)-\mu (M)\;g\;dz=0\;$
$\;{\big$
$\;z\,\nearrow$
$\;dz\;$
$\;>0\;$
$\Rightarrow$
$\;dp\;$
$\;>0$
$\;p\,\nearrow {\big )}\;$
$\;Oz\;$
$\;{\bigz\;$
$\;M{\big )}$

## Forme locale de la relation fondamentale de la statique des fluides (r.f.s.f.) dans un référentiel galiléen, la seule force volumique s'exerçant sur le fluide étant la force de pesanteur

Sachant que le « gradient d'un champ scalaire de l'espace $\;s(M)\;$» noté $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[s\right](M)\;$ est « le champ vectoriel tel que sa circulation élémentaire est égale à la différentielle de la fonction scalaire $\;s(M)\;$» dont il « dérive » c'est-à-dire «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[s\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=ds(M)\;$»,
la forme différentielle de la r.f.s.f. pour un fluide en équilibre soumis à un champ de pesanteur uniforme dans un référentiel galiléen «$\;dp(M)+\mu (M)\;g\;dz=0\;$ avec $\;Oz\;$ axe vertical ascendant » peut être réécrite selon «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[p\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}+\mu (M)\;g\;dz=0\;$» où «$\,{\overrightarrow {dM}}\;$» est un vecteur déplacement élémentaire « quelconque » de composante verticale «$\;dz\;$» correspondant à la hauteur de la particule de fluide cylindrique précédemment utilisée centrée au point $\;M$ ;
injectant «$\;dz={\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {u}}_{z}\;$» dans «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[p\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}+\mu (M)\;g\;dz=0\;$» nous obtenons «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[p\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}+\mu (M)\;g\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {u}}_{z}=0\;$» ou, en utilisant la commutativité de la multiplication scalaire puis en factorisant scalairement par $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ dans le 1er membre, «$\;\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[p\right](M)+\mu (M)\;g\;{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \cdot {\overrightarrow {dM}}=0\;$» soit encore, l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ étant ascendant $\Rightarrow$ $\;g\;{\vec {u}}_{z}=-{\vec {g}}$, la réécriture de la forme différentielle de la r.f.s.f. pour un fluide en équilibre soumis à un champ de pesanteur uniforme dans un référentiel galiléen «$\;\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[p\right](M)-\mu (M)\;{\vec {g}}\right\rbrace \cdot {\overrightarrow {dM}}=0\;$» ;
cette dernière relation «$\;\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[p\right](M)-\mu (M)\;{\vec {g}}\right\rbrace \cdot {\overrightarrow {dM}}=0\;$» étant vérifiée quel que soit le vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ nous en déduisons «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[p\right](M)-\mu (M)\;{\vec {g}}={\vec {0}}\;$» ou encore
$\;\mu (M)\;{\vec {g}}-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[p\right](M)={\vec {0}}\;\;\forall \;M\;$
$\;{\vec {g}}\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;{\big$
${\big )}$

## Conséquence de la forme différentielle ou locale de la relation fondamentale de la statique des fluides (r.f.s.f.) dans un référentiel galiléen sur la forme des isobares du fluide, ce dernier n’étant soumis qu’au champ de pesanteur
### Conséquence de la forme différentielle de la relation fondamentale de la statique des fluides (r.f.s.f.) dans un référentiel galiléen, pour un fluide en équilibre dans un champ de pesanteur uniforme, sur la forme des isobares

Que l'axe vertical $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ soit orienté dans le sens ascendant ou descendant, un déplacement élémentaire sur une isobare entraîne «$\;dp(M)=0\;$» dont nous déduisons
«$\;dz=0\;$» par utilisation de l'une ou l'autre de la forme différentielle de la r.f.s.f. pour le fluide en équilibre soumis au champ de pesanteur uniforme $\;{\vec {g}}\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen à savoir $\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c}dp(M)+\mu (M)\;g\;dz=0&\!\!{\text{si }}\!\!&\!\!{\overrightarrow {Oz}}\;{\text{est ascendant}}\\&\!\!{\text{ou }}\!\!&\\dp(M)-\mu (M)\;g\;dz=0&\!\!{\text{si }}\!\!&\!\!{\overrightarrow {Oz}}\;{\text{est descendant}}\end{array}}\right\rbrace \;$ c'est-à-dire que
$\;{\vec {g}}\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
Nous pouvons aussi déduire de la forme différentielle de la r.f.s.f. pour un fluide en équilibre soumis à un champ de pesanteur uniforme $\;{\vec {g}}\;$ dans un référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen avec $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ vertical ascendant «$\;dp(M)+\mu (M)\;g\;dz=0\;$» que « la pression diminue quand l’altitude augmente » car «$\;dz>0\;$ $\Rightarrow$ $\;dp<0\;$» ainsi que
Nous pouvons aussi déduire de la forme différentielle de la r.f.s.f. pour un fluide en équilibre soumis à un champ de pesanteur uniforme $\;{\vec {g}}\;$ dans un référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen avec $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ vertical descendant «$\;dp(M)-\mu (M)\;g\;dz=0\;$» que « la pression augmente quand la profondeur augmente » car «$\;dz>0\;$ $\Rightarrow$ $\;dp>0\;$».

### Conséquence de la forme locale de la relation fondamentale de la statique des fluides (r.f.s.f.) dans un référentiel galiléen, pour un fluide en équilibre dans un champ de pesanteur uniforme, sur la forme des isobares

Par utilisation de la forme locale de la r.f.s.f. pour le fluide en équilibre soumis au champ de pesanteur uniforme $\;{\vec {g}}\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen «$\;\mu (M)\;{\vec {g}}-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[p\right](M)={\vec {0}}\;$» laquelle peut être réécrite «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[p\right](M)=\mu (M)\;{\vec {g}}\;$», nous en déduisons que «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[p\right](M)\;$ est vertical descendant » et par suite
sachant que « la surface iso-U passant par $\;M\;$ est $\;\perp \;$ à $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$», la surface isobare passant par $\;M\;$ étant $\;\perp \;$ à $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[p\right](M)\;$ vertical est horizontal d'où
$\;{\vec {g}}\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
sachant que «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$ est orienté dans le sens des $\;U\;\nearrow \;$», le caractère vertical descendant de $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[p\right](M)\;$ $\Rightarrow$ la pression $\;\nearrow \;$ dans le sens vertical descendant c'est-à-dire sachant $\succ \;$avec un axe vertical $\;Oz\;$ orienté dans le sens ascendant $\;{\bigz\;$ repérant alors l'altitude du point${\big )}\;$ « la pression augmente quand l'altitude diminue », sachant $\succ \;$avec un axe vertical $\;Oz\;$ orienté dans le sens descendant $\;{\bigz\;$ repérant alors la profondeur du point${\big )}\;$ « la pression augmente quand la profondeur augmente ».

## Rappel de thermodynamique, notion de gaz parfait (G.P.)

La notion de gaz parfait (G.P.) a été entrevue dans le cours de physique du secondaire, elle sera revue plus en détail dans le paragraphe « équation d'état sous forme intégrale d'une quantité n fixée d'un G.P. » du chap.$5$ de la leçon « Thermodynamique (PCSI) ».

### « Définition » d’un gaz parfait (G.P.), formes locales de son équation d’état à l’équilibre thermodynamique

Préliminaire : La définition d'un G.P. donnée ci-après est volontairement incomplète car n'est fournie que la partie nécessaire à l'introduction du « modèle du G.P. » de l'atmosphère terrestre $\;{\big$voir le paragraphe « modèle de l'atmosphère isotherme dans le champ de pesanteur terrestre uniforme » plus loin dans le chapitre${\big )}$, il y manque l’aspect énergétique du G.P. qui n'y sera pas utilisé $\;\ldots$
$\;p\;{\mathcal {V}}_{\text{mol}}=R\;T\;$
$\;p\;$
$\;Pa\;$
$\;T\;$
$\;K\;$
$\;{\mathcal {V}}_{\text{mol}}\;$
$\;m^{3}\cdot mol^{-1}\;$
$\;{\mathcal {V}}_{\text{mol}}=$
${\dfrac {d{\mathcal {V}}}{dn}}\;$
$\;dn\;$
$\;d{\mathcal {V}}\;$
$\;R\;$
$\;R\simeq 8,314\;J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}\;$
Remarque : La forme locale de l’équation d’état du G.P. en équilibre thermodynamique peut également s'écrire, en introduisant la « densité volumique molaire du gaz $\;n_{V}={\dfrac {dn}{d{\mathcal {V}}}}={\dfrac {1}{{\mathcal {V}}_{\text{mol}}}}\;$ en $\;mol\cdot m^{-3}\;$ avec $\;d{\mathcal {V}}\;$ le volume occupé par la quantité mésoscopique de gaz $\;dn\;$», sous la forme
$\;p=n_{V}\;R\;T\;$
Remarque : «$\;p\;$ est la pression du gaz en $\;Pa\;$», «$\;T\;$ la température en $\;K\;$ et «$\;R\;$ la constante molaire des G.P. caractérisant ces derniers indépendamment de leur nature et approximativement égale à $\;R\simeq 8,314\;J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}\;$».

### Forme « globale » de l’équation d’état d’un gaz parfait (G.P.) à l’équilibre thermodynamique

Dans la mesure où un G.P. est nécessairement monophasé, il est « homogène », c'est-à-dire que « sa densité volumique molaire $\;n_{V}={\dfrac {dn}{d{\mathcal {V}}}}\;$ est constante » ou, ce qui est équivalent, « son volume molaire $\;{\mathcal {V}}_{\text{mol}}={\dfrac {d{\mathcal {V}}}{dn}}\;$ est constant » $\;{\bigdn\;$ étant la quantité d'entités contenue dans l'échantillon mésoscopique de volume $\;d{\mathcal {V}}\;$ centrée en $\;M{\big )}$ ;
le caractère constant du volume molaire $\;{\mathcal {V}}_{\text{mol}}\;$ d'un G.P. en équilibre thermodynamique permet de déduire le « volume $\;{\mathcal {V}}\;$» occupé par une « quantité finie $\;n\;$ d'entités » de ce G.P. en équilibre thermodynamique selon «$\;{\mathcal {V}}=n\;{\mathcal {V}}_{\text{mol}}\;$» ;
partant de la forme locale de l’équation d’état d’un G.P. à l’équilibre thermodynamique «$\;p\;{\mathcal {V}}_{\text{mol}}=R\;T\;$» et multipliant chaque membre de cette forme locale par la quantité d'entités $\;n\;$ présente dans ce G.P. étudié, nous obtenons «$\;n\,\left[p\;{\mathcal {V}}_{\text{mol}}\right]=n\,\left[R\;T\right]\;$» ou «$\;p\,\left[n\;{\mathcal {V}}_{\text{mol}}\right]=n\;R\;T\;$» soit enfin, avec «$\;{\mathcal {V}}=n\;{\mathcal {V}}_{\text{mol}}\;$»,
$\;n\;$
$\;p\;{\mathcal {V}}=n\;R\;T\;$
$\;p\;$
$\;Pa\;$
$\;T\;$
$\;K\;$
$\;{\mathcal {V}}\;$
$\;m^{3}\;$
$\;n\;$
$\;mol\;$
$\;R\;$
$\;R\simeq 8,314\;J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}\;$

## Modèle de l’atmosphère isotherme dans le champ de pesanteur terrestre uniforme

Nous considérons que l'atmosphère terrestre est en « équilibre thermodynamique » $\;{\big$c'est-à-dire sans vents dans l'atmosphère${\big )}\;$ dans un « champ de pesanteur uniforme » $\;{\big$l'atmosphère terrestre n'est donc pas étudiée dans sa globalité mais sur une portion d'atmosphère limitée dans l'espace de façon à ce que $\;{\vec {g}}\;$ y soit uniforme${\big )}\;$ du « référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{♁}}\;$ supposé galiléen », de plus
Nous considérons que l'atmosphère terrestre est supposée « isotherme » $\;{\big$c'est-à-dire que la température de l'atmosphère est supposée « constante » sur toute portion d'atmosphère étudiée${\big )}\;$ sa température étant notée $\;T_{0}\;$ par la suite, et enfin
Nous considérons que toute « particule d'atmosphère $\;Q\,\left(d{\mathcal {V}}_{Q}\right)\;$ » $\;{\big$au sens de particule de fluide${\big )}\;$ est « monophasée » constituant une phase élémentaire dont l’équation d’état est celle d’un « G.P. en équilibre thermodynamique » $\;{\big$pour cela il est nécessaire de remplacer les différentes sortes de molécules présentes dans la particule d'atmosphère par un seul type de molécule « moyenne » dont la masse molaire moléculaire est «$\;M_{\text{air}}\simeq 29\;g\cdot mol^{-1}\simeq 29\;10^{-3}\;kg\cdot mol^{-1}\;$»${\big )}\;$ s’écrivant sous forme intégrée
$\;p(Q)\;d{\mathcal {V}}_{Q}=dn_{Q}\;R\;T(Q)\;$
Nous considérons que toute « particule d'atmosphère «$\;p(Q)\;$ et $\;T(Q)\;$ sont respectivement la pression et la température locales », «$\;R\;$ la constante molaire des G.P. approximativement égale à $\;8,314\;J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}\;$» et «$\;dn_{Q}\;$ la quantité de molécules « moyennes » de la particule d'atmosphère de volume $\;d{\mathcal {V}}_{Q}\;$ liée à la masse $\;dm_{Q}\;$ de celle-ci par $\;dn_{Q}={\dfrac {dm_{Q}}{M_{\text{air}}}}\;$» ;
 Nous considérons que toute « particule d'atmosphère reportant «$\;dn_{Q}={\dfrac {dm_{Q}}{M_{\text{air}}}}\;$» dans la forme intégrée de l'équation d'état de la « particule d'atmosphère $\;Q\,\left(d{\mathcal {V}}_{Q}\right)\;$ » en équilibre thermodynamique, nous obtenons pour nouvelle forme intégrée de cette particule d'atmosphère «$\;p(Q)\;d{\mathcal {V}}_{Q}={\dfrac {dm_{Q}}{M_{\text{air}}}}\;R\;T(Q)\;$» se réécrivant
$\;p(Q)\;d{\mathcal {V}}_{Q}=dm_{Q}\;{\dfrac {R}{M_{\text{air}}}}\;T(Q)\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$
Nous considérons que toute « particule d'atmosphère de la forme intégrée $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ de l'équation d'état de la « particule d'atmosphère $\;Q\,\left(d{\mathcal {V}}_{Q}\right)\;$ » en équilibre thermodynamique, nous obtenons, en divisant chacun de ses membres par $\;d{\mathcal {V}}_{Q}\;$ et en introduisant la « masse volumique de la particule d'atmosphère $\;\mu (Q)={\dfrac {dm_{Q}}{d{\mathcal {V}}_{Q}}}\;$» la forme locale $\;\left({\mathfrak {a}}'\right)\;$ associée à la forme intégrée $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ de l'équation d'état de la « particule d'atmosphère $\;Q\,\left(d{\mathcal {V}}_{Q}\right)\;$ » en équilibre thermodynamique,
$\;p(Q)=\mu (Q)\;{\dfrac {R}{M_{\text{air}}}}\;T(Q)\;\;\left({\mathfrak {a}}'\right)\;$
En conclusion la « particule d'atmosphère isotherme à la température $\;T_{0}\;$ centrée en $\;Q\;$ en équilibre thermodynamique » prend pour forme locale de son équation d'état faisant intervenir les deux paramètres locaux dépendant de $\;Q\;$ à savoir « la pression $\;p(Q)\;$ et la masse volumique $\;\mu (Q)\;$»
$\;p(Q)={\dfrac {R\;T_{0}}{M_{\text{air}}}}\;\mu (Q)\;\;\left({\mathfrak {a}}''\right)\;$
$\;{\big \p(Q)\;$
$\;\propto \;$
$\;\mu (Q)\;$
${\big \}$

## Détermination du champ de pression dans l’atmosphère isotherme en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme

Dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{♁}}\;$ galiléen, la forme différentielle de la r.f.s.f. d’une atmosphère en équilibre thermodynamique dans le champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}$ $\;{\big$le seul champ de force pris en compte${\big )}\;$ uniforme $\;{\big$pour cela l'atmosphère terrestre n'est pas étudiée dans sa globalité mais sur une portion limitée dans l'espace d'« étendue horizontale maximale $\;400\;km\;{\mathtt {x}}\;400\;km\;$» et de « variation maximale d'altitude $\;\left[0\,,\,30\;km\right]\;$»${\big )}$, écrite au point $\;Q\;$ d'altitude $\;z$ $\;{\Big$l'axe vertical $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ étant ascendant et $\;O\;$ le point de la surface du globe situé à la verticale du point $\;Q{\Big )}\;$ étant
$\;dp(z)+\mu (z)\;g\;dz=0\;$
$\;p(z)\;$
$\;\mu (z)\;$
$\;Q\;$
$\;g\;$
le choix du « modèle de l’atmosphère isotherme à la température $\;T_{0}\;$» permet, en utilisant la relation $\;\left({\mathfrak {a}}''\right)$, de « remplacer $\;\mu (z)\;$ par $\;{\dfrac {M_{\text{air}}}{R\;T_{0}}}\;p(z)\;$ » d'où «$\;dp(z)+{\dfrac {M_{\text{air}}}{R\;T_{0}}}\;p(z)\;g\;dz=0\;$» et finalement la pression de l'atmosphère au point $\;Q\;$ se détermine en résolvant l’équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre en $\;p(z)\;$ homogène
$\;{\dfrac {dp}{dz}}(z)+{\dfrac {M_{\text{air}}\;g}{R\;T_{0}}}\;p(z)=0\;$
la résolution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre en $\;p(z)\;$ homogène nous conduit à «$\;p(z)=A\;\exp \!\left(-{\dfrac {M_{\text{air}}\;g}{R\;T_{0}}}\;z\right)\;$» avec «$\;A\;$ constante à déterminer par utilisation de la C.A.L. $\;p(z=0)=p_{0}\;$» $\Rightarrow$ «$\;p_{0}=p(0)=A\;$» soit finalement l'expression du champ de pression dans le modèle de l’atmosphère terrestre isotherme soumis à un champ de pesanteur uniforme en équilibre thermodynamique dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{♁}}\;$ galiléen
$\;p(z)=p_{0}\;\exp \!\left(-{\dfrac {M_{\text{air}}\;g}{R\;T_{0}}}\;z\right)\;$

## Ordre de grandeur du champ de pression dans l’atmosphère réelle en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme et comparaison à celui du modèle de l’atmosphère isotherme
### Constante d'altitude « d » du modèle de l'atmosphère isotherme à la température T$_0$ en équilibre thermodynamique dans le champ de pesanteur terrestre uniforme et réécriture de son champ de pression en fonction de « d »

La pression $\;p(z)\;$ du modèle de l'atmosphère isotherme à la température $\;T_{0}\;$ en équilibre thermodynamique dans le champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}\;$ uniforme, décroissant exponentiellement avec l'altitude $\;z\;$ du lieu de sa mesure dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{♁}}\;$ galiléen selon «$\;p(z)=p_{0}\;\exp \!\left(-{\dfrac {M_{\text{air}}\;g}{R\;T_{0}}}\;z\right)\;$» avec $\;p_{0}\;$ la pression au niveau du sol, nous définissons
une constante d'altitude du modèle de l'atmosphère terrestre isotherme à la température${\underline {\;T_{0}}}$ «$\;d={\dfrac {R\;T_{0}}{M_{\text{air}}\;g}}\;$ en $\;m\;$» permettant de réécrire la « variation de la pression avec l'altitude $\;z\;$» selon
$\;p(z)=p_{0}\;\exp \!\left(-{\dfrac {z}{d}}\right)\;$
$\;z\;$
$\;m\;$
${\Big \p(z)\;$
$\;p_{0}\;$
$\;Pa\;$
$\;{\big$
$\;bar=10^{5}\;Pa\;$
${\big )}{\Big \}$
$\;\succ \;$ à l'altitude $\;z=d$, la pression vaut «$\;p(d)=p_{0}\;\exp(-1)\simeq 37\;\%\;{\text{de}}\;p_{0}\;$»,
$\;\succ \;$ à l'altitude $\;z=3\;d$, la pression vaut «$\;p(d)=p_{0}\;\exp(-3)\simeq 5,0\;\%\;{\text{de}}\;p_{0}\;$» et
$\;\succ \;$ à l'altitude $\;z=5\;d$, la pression vaut «$\;p(d)=p_{0}\;\exp(-5)\simeq 0,67\;\%\;{\text{de}}\;p_{0}\;$» $\;{\big\ll \;$ par rapport à $\;p_{0}$, correspondant donc à un milieu très dilué assimilable au vide $\Rightarrow$ $\;H=5\;d\;$ peut être considéré comme la hauteur pratique du modèle de l'atmosphère isotherme c'est-à-dire que le « plafond de celui-ci, théoriquement situé à l'infini, est, dans la pratique, ramené à l'altitude $\;5\;d\;$»${\big )}$.
A.N. : Considérant une température centésimale d’atmosphère égale à «$\;\theta _{0}\simeq 15\;{\text{°C}}\;$» soit une température absolue «$\;T_{0}\simeq 288\;K\;$», la constante d'altitude du modèle de l'atmosphère terrestre isotherme à cette température $\;T_{0}\;$ vaut «$\;d={\dfrac {R\;T_{0}}{M_{\text{air}}\;g}}\simeq {\dfrac {8,314\times 288}{29\;10^{-3}\times 9,81}}\;$ en $\;m\;$ soit $\;d\simeq 8415\;m\;$» que nous arrondissons à «$\;d\simeq 8,4\;km\;$» $\;{\big$à comparer au « point culminant de l'Everest d’altitude $\;8848\;m\;$» voir ci-contre${\big )}$ ;
A.N. : pour une pression au niveau du sol «$\;p_{0}\simeq 1,013\;bar=1,013\;10^{5}\;Pa\;$», la pression du modèle de l'atmosphère isotherme à la température $\;T_{0}\simeq 288K\;$ en équilibre thermodynamique dans le champ de pesanteur terrestre uniforme ne vaut plus que
A.N. : $\;\succ \;$à l'« altitude $\;d\simeq 8400\;m\;$» «$\;p(d)\simeq 1,013\times \exp(-1)\;$ en $\;bar\;$ soit $\;p(d)\simeq 0,373\;bar\;$»,
A.N. : $\;\succ \;$à l'« altitude $\;2\;d\simeq 16800\;m\;$» «$\;p(2\;d)\simeq 1,013\times \exp(-2)\;$ en $\;bar\;$ soit $\;p(2\;d)\simeq 0,137\;bar\;$»,
A.N. : $\;\succ \;$à l'« altitude $\;3\;d\simeq 25200\;m\;$» «$\;p(3\;d)\simeq 1,013\times \exp(-3)\;$ en $\;bar\;$ soit $\;p(3\;d)\simeq 0,0504\;bar\;$»,
A.N. : $\;\succ \;$à l'« altitude $\;4\;d\simeq 33600\;m\;$» «$\;p(4\;d)\simeq 1,013\times \exp(-4)\;$ en $\;bar\;$ soit $\;p(4\;d)\simeq 0,0186\;bar\;$» et
A.N. : $\;\succ \;$à l'« altitude $\;5\;d\simeq 42000\;m\;$» «$\;p(5\;d)\simeq 1,013\times \exp(-5)\;$ en $\;bar\;$ soit $\;p(5\;d)\simeq 0,00683\;bar\;$» soit moins de $\;1\;\%\;$ de la pression au niveau du sol $\;\ldots \;$ Pouvant estimer qu'à cette altitude le modèle de l’atmosphère isotherme est suffisamment raréfié pour être assimilée à un « vide relatif » nous en déduisons le niveau pratique du plafond du modèle de l'atmosphère isotherme situé à l'altitude de $\;40000\;m$.

### Comparaison à l’atmosphère réelle

Avec une température centésimale d’atmosphère au niveau du sol égale à «$\;\theta _{0}\simeq 15\;{\text{°C}}\;$» soit une température absolue à l'altitude nulle «$\;T_{0}\simeq 288\;K\;$», la pression réelle de l'atmosphère en équilibre thermodynamique dans le champ de pesanteur terrestre uniforme pour une pression au niveau du sol «$\;p_{0}\simeq 1,013\;bar=1,013\;10^{5}\;Pa\;$» est,
$\;\succ \;$à l'« altitude $\;d\simeq 8400\;m\;$» «$\;p_{\text{réelle}}(d)\simeq 0,336\;bar\;$» $\Rightarrow$ la « pression du modèle de l'atmosphère isotherme y est supérieure de $\;{\dfrac {0,373-0,336}{0,336}}\simeq 11\;\%\;$ de $\;p_{\text{réelle}}(d)\;$» $\;{\big$l'erreur de l'ordre de $\;10\;\%\;$ restant dans le domaine du raisonnable${\big )}$,
$\;\succ \;$à l'« altitude $\;2\;d\simeq 16800\;m\;$» «$\;p_{\text{réelle}}(2\;d)\simeq 0,0901\;bar\;$» $\Rightarrow$ la « pression du modèle de l'atmosphère isotherme y est supérieure de $\;{\dfrac {0,137-0,0901}{0,0901}}\simeq 52\;\%\;$ de $\;p_{\text{réelle}}(2\;d)\;$» $\;{\big \$mesurant une pression de $\;0,0901\;bar\;$ et utilisant le modèle de l'atmosphère isotherme à la température $\;288\;K\;$ pour déterminer l'altitude $\;{\big$principe des altimètres${\big )}\;$ nous trouverions une altitude de $\;20300\;m\;$ !${\big \}$,
$\;\succ \;$à l'« altitude $\;3\;d\simeq 25200\;m\;$» «$\;p_{\text{réelle}}(3\;d)\simeq 0,0241\;bar\;$» $\Rightarrow$ la « pression du modèle de l'atmosphère isotherme y est supérieure de $\;{\dfrac {0,0504-0,0241}{0,0241}}\simeq 1,09\times p_{\text{réelle}}(3\;d)\;$» $\;{\big \$mesurant une pression de $\;0,0241\;bar\;$ et utilisant le modèle de l'atmosphère isotherme à la température $\;288\;K\;$ pour déterminer l'altitude $\;{\big$principe des altimètres${\big )}\;$ nous trouverions une altitude de $\;31400\;m\;$ ! !${\big \}$,
$\;\succ \;$à l'« altitude $\;4\;d\simeq 33600\;m\;$» «$\;p_{\text{réelle}}(4\;d)\simeq 0,00300\;bar\;$» $\Rightarrow$ la « pression du modèle de l'atmosphère isotherme y est supérieure de $\;{\dfrac {0,0186-0,00300}{0,00300}}\simeq 5,2\times p_{\text{réelle}}(4\;d)\;$» $\;{\big \$mesurant une pression de $\;3,00\;mbar\;$ et utilisant le modèle de l'atmosphère isotherme à la température $\;288\;K\;$ pour déterminer l'altitude $\;{\big$principe des altimètres${\big )}\;$ nous trouverions une altitude de $\;48900\;m\;$ ! ! !${\big \}$ et
$\;\succ \;$à l'« altitude $\;5\;d\simeq 42000\;m\;$» «$\;p_{\text{réelle}}(5\;d)\simeq 0,000928\;bar\;$» $\Rightarrow$ la « pression du modèle de l'atmosphère isotherme y est supérieure de $\;{\dfrac {6,83\;10^{-3}-0,928\;10^{-3}}{0,928\;10^{-3}}}\simeq 6,36\times p_{\text{réelle}}(5\;d)\;$» $\;{\big \$mesurant une pression de $\;0,928\;mbar\;$ et utilisant le modèle de l'atmosphère isotherme à la température $\;288\;K\;$ pour déterminer l'altitude $\;{\big$principe des altimètres${\big )}\;$ nous trouverions une altitude de $\;58800\;m\;$ ! ! ! !${\big \}$.
Remarque : Avec l'hypothèse qu'une mesure de pression réelle de moins de $\;1\;\%\;$ de la pression au niveau du sol permet de considérer l'atmosphère suffisamment raréfiée pour être assimilée à un « vide relatif » le niveau pratique du plafond de l'atmosphère réelle est situé à l'altitude de $\;\simeq 31000\;m\;$ au lieu de $\;40000\;m\;$ pour le modèle de l'atmosphère isotherme à la température $\;288\;K\;$.

### Interprétation des écarts de pression entre celle de l’atmosphère réelle et celle du modèle de l’atmosphère isotherme

Modélisation plus fine de l'atmosphère réelle : pour modéliser plus finement l’atmosphère terrestre réelle, nous la considérerons comme constituée de couches sphériques se superposant à partir de la surface du globe selon les variations d'altitude suivantes :
* nous trouvons sur «$\;\left[\,0\;km\;,\,11\;km\,\right]\;$» la « troposphère » dans laquelle la température $\;\searrow \;$ linéairement de «$\;6,5\;K\cdot km^{-1}\;$»,
* nous trouvons sur «$\;\left[\,11\;km\;,\,20\;km\,\right]\;$» la « tropopause suivie de la basse stratosphère » dans laquelle la température reste constante $\;{\Bigg \$si la température centésimale du sol est «$\;\theta _{\text{sol}}=15\;{\text{°C}}\;$» celle de cette couche est «$\;\theta _{{\Big \vert }{\begin{array}{l}{\text{tropopause et}}\\{\text{basse stratosphère}}\end{array}}}\simeq \theta _{\text{haut de troposphère}}\simeq \theta _{\text{sol}}-6,5\times 11\simeq -56,5\;{\text{°C}}\;$» soit une température absolue «$\;T_{{\Big \vert }{\begin{array}{l}{\text{tropopause et}}\\{\text{basse stratosphère}}\end{array}}}\simeq -56,5+273,15\simeq 216,5\;K\;$»${\Bigg \}$,
* nous trouvons sur «$\;\left[\,20\;km\;,\,32\;km\,\right]\;$» la « moyenne stratosphère » dans laquelle la température $\;\nearrow \;$ linéairement de «$\;1\;K\cdot km^{-1}\;$» $\;{\Bigg \$si la température centésimale du sol est «$\;\theta _{\text{sol}}=15\;{\text{°C}}\;$» celle de cette couche varie de «$\;\theta _{{\Big \vert }{\begin{array}{l}{\text{tropopause et}}\\{\text{basse stratosphère}}\end{array}}}\simeq -56,5\;{\text{°C}}\;$» à «$\;\theta _{{\Big \vert }{\begin{array}{l}{\text{interface moyenne et}}\\{\text{haute stratosphères}}\end{array}}}\simeq \theta _{{\Big \vert }{\begin{array}{l}{\text{tropopause et}}\\{\text{basse stratosphère}}\end{array}}}+1\times 12\simeq -44,5\;{\text{°C}}\;$» soit une température absolue variant de «$\;T_{{\Big \vert }{\begin{array}{l}{\text{tropopause et}}\\{\text{basse stratosphère}}\end{array}}}$ $\simeq 216,5\;K\;$» à «$\;T_{{\Big \vert }{\begin{array}{l}{\text{interface moyenne et}}\\{\text{haute stratosphères}}\end{array}}}\simeq 228,5\;K\;$»${\Bigg \}$,
* nous trouvons sur «$\;\left[\,32\;km\;,\,47\;km\,\right]\;$» la « haute stratosphère » dans laquelle la température $\;\nearrow \;$ linéairement de «$\;2,8\;K\cdot km^{-1}\;$» $\;{\Bigg \$si la température centésimale du sol est «$\;\theta _{\text{sol}}=15\;{\text{°C}}\;$» celle de cette couche varie de «$\;\theta _{{\Big \vert }{\begin{array}{l}{\text{interface moyenne et}}\\{\text{haute stratosphères}}\end{array}}}\simeq -44,5\;{\text{°C}}\;$» à «$\;\theta _{{\Big \vert }{\begin{array}{l}{\text{limite sup. de la}}\\{\text{haute stratosphère}}\end{array}}}\simeq \theta _{{\Big \vert }{\begin{array}{l}{\text{interface moyenne et}}\\{\text{haute stratosphères}}\end{array}}}+2,8\times 15\simeq -2,5\;{\text{°C}}\;$» soit une température absolue $\;\nearrow \;$ de «$\;T_{{\Big \vert }{\begin{array}{l}{\text{tropopause et}}\\{\text{basse stratosphère}}\end{array}}}$ $\simeq 216,5\;K\;$» à «$\;T_{{\Big \vert }{\begin{array}{l}{\text{limite sup. de la}}\\{\text{haute stratosphère}}\end{array}}}\simeq 270,5\;K\;$»${\Bigg \}$,
* nous trouvons sur «$\;\left[\,47\;km\;,\,51\;km\,\right]\;$» la « stratopause » dans laquelle la température reste constante $\;{\Bigg \$si la température centésimale du sol est «$\;\theta _{\text{sol}}=15\;{\text{°C}}\;$» celle de cette couche est «$\;\theta _{\text{stratopause}}$ $\simeq \theta _{{\Big \vert }{\begin{array}{l}{\text{limite de la}}\\{\text{haute stratosphère}}\end{array}}}\simeq -2,5\;{\text{°C}}\;$» soit une température absolue «$\;T_{\text{stratopause}}\simeq 270,5\;K\;$»${\Bigg \}$ ensuite
* nous trouvons sur «$\;\left[\,51\;km\;,\,85\;km\,\right]\;$» la « mésosphère »$^,$ se composant $\;\succ \;$d'une « 1ère couche sur $\;\left[\,51\;km\;,\,71\;km\,\right]\;$» dans laquelle la température $\;\searrow \;$ linéairement de «$\;2,8\;K\cdot km^{-1}\;$» $\;{\Bigg \$si la température centésimale du sol est «$\;\theta _{\text{sol}}=15\;{\text{°C}}\;$» celle de cette couche varie de «$\;\theta _{\text{stratopause}}\simeq -2,5\;{\text{°C}}\;$» à «$\;\theta _{{\Big \vert }{\begin{array}{l}{\text{interface basse et}}\\{\text{haute mésosphères}}\end{array}}}\simeq \theta _{\text{stratopause}}-2,8\times 20\simeq -58,5\;{\text{°C}}\;$» soit une température absolue $\;\searrow \;$ de «$\;T_{\text{stratopause}}\simeq 270,5\;K\;$» à «$\;T_{{\Big \vert }{\begin{array}{l}{\text{interface basse et}}\\{\text{haute mésosphères}}\end{array}}}$ $\simeq 214,5\;K\;$»${\Bigg \}$ et
    $\;\succ \;$d'une « 2ème couche sur $\;\left[\,71\;km\;,\,85\;km\,\right]\;$» dans laquelle la température $\;\searrow \;$ linéairement de «$\;2,0\;K\cdot km^{-1}\;$» $\;{\Bigg \$si la température centésimale du sol est «$\;\theta _{\text{sol}}=15\;{\text{°C}}\;$» celle de cette couche varie de «$\;\theta _{{\Big \vert }{\begin{array}{l}{\text{interface basse et}}\\{\text{haute mésosphères}}\end{array}}}\simeq -58,5\;{\text{°C}}\;$» à «$\;\theta _{{\Big \vert }{\begin{array}{l}{\text{limite sup. de}}\\{\text{la mésosphère}}\end{array}}}\simeq$ $\theta _{{\Big \vert }{\begin{array}{l}{\text{interface basse et}}\\{\text{haute mésosphères}}\end{array}}}-2,0\times 14\simeq -86,5\;{\text{°C}}\;$» soit une température absolue $\;\searrow \;$ de «$\;T_{{\Big \vert }{\begin{array}{l}{\text{interface basse et}}\\{\text{haute mésosphères}}\end{array}}}\simeq 214,5\;K\;$» à «$\;T_{{\Big \vert }{\begin{array}{l}{\text{limite sup. de}}\\{\text{la mésosphère}}\end{array}}}$ $\simeq 186,5\;K\;$»${\Bigg \}$ puis
* nous trouvons sur «$\;\left[\,85\;km\;,\,640\;km\,\right]\;$» la « thermosphère »$^,$ dans laquelle la température reste constante sur «$\;\left[\,85\;km\;,\,100\;km\,\right]\;$» puis $\;\nearrow \;$ avec l'altitude jusqu'à une température oscillant entre $\;300\;{\text{°C}}\;$ et $\;1600\;{\text{°C}}\;$ suivant l'activité solaire $\;{\Big \$sur «$\;\left[\,100\;km\;,\,150\;km\,\right]\;$», le dioxygène moléculaire $\;O_{2}\;$ absorbe les très courtes longueurs d'onde $\;{\big$entre $\;100\;$ et $\;200\;nm{\big )}\;$ de l'ultraviolet solaire ce qui a pour effet une $\;\nearrow \;$ de la température en rapport avec la quantité d'ultraviolet absorbée${\Big \}$ et enfin
* nous trouvons sur «$\;\left[\,640\;km\;,\,50000\;km\,\right]\;$» l'« exosphère »$^,$ dans laquelle la température n'a plus de signification $\;{\big \$en effet la température absolue en un point $\;Q\;$ étant, par définition, $\;\propto \;$ à l’énergie cinétique moyenne d’agitation des molécules présentes à un instant donné dans un échantillon de petit volume à l'échelle macroscopique $\;d{\mathcal {V}}_{Q}\;$ centré en $\;Q\;$ et cette moyenne ne pouvant être faite que si l'échantillon considéré est mésoscopique $\;{\big$c'est-à-dire s'il y a suffisamment de molécules pour faire de la statistique${\big )}$, ce qui n’est plus le cas dans l’exosphère${\big \}$ ;
* au-delà, le milieu étant beaucoup trop dilué $\;{\big$et inhomogène${\big )}$, la notion d'atmosphère n'a plus de signification, nous y trouvons des particules circulant librement provenant de la « magnétosphère terrestre » $\;{\big \$ensemble des lignes de champs magnétiques terrestres entourant la Terre $\;{\text{♁}}$, située au-delà de l'ionosphère $\;{\big$voir la localisation de celle-ci dans la note « $^{54}$ » plus haut dans ce chapitre${\big )}$, plus précisément au-dessus de $\;800\;$ à $\;1000\;km\;$ d'altitude, lignes déformées par l’action du vent solaire et à l'intérieur desquelles est piégé un plasma $\;{\big$c'est-à-dire des particules chargées libres sous forme d’électrons et d’ions${\big )}{\big \}$ ainsi que du « vent solaire » $\;{\big \$flux de plasma éjecté de la haute atmosphère du Soleil $\;{\text{☉}}$, essentiellement composé d’électrons et d’ions pouvant être très énergétiques${\big \}$, voir schéma ci-dessous à droite.
Analyse des écarts de pression entre l'atmosphère réelle et le modèle de l'atmosphère isotherme : La principale cause d’écart, sur l'intervalle «$\;\left[\,0\;km\;,\,11\;km\,\right]\;$ d'altitude c'est-à-dire la troposphère », du champ de pression du modèle de l'atmosphère isotherme en équilibre thermodynamique dans le champ de pesanteur uniforme du référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{♁}}\;$ galiléen par rapport au champ de pression de l'atmosphère réelle dans la même C.A.L. prise au niveau du sol est le caractère « non isotherme » de l’atmosphère $\;{\big \$voir un modèle mieux adapté traité « en exercice, détermination du champ de pression dans le modèle G.P. de l'atmosphère à gradient de température uniforme en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme » dans le paragraphe suivant${\big \}$ ;
Analyse des écarts de pression entre l'atmosphère réelle et le modèle de l'atmosphère isotherme : sur l'intervalle «$\;\left[\,11\;km\;,\,20\;km\,\right]\;$ d'altitude c'est-à-dire la tropopause » l'écart du champ de pression du modèle de l'atmosphère isotherme par rapport à celui de l'atmosphère réelle est principalement dû à la température de l'atmosphère isotherme qui doit être choisie $\;71,5\;{\text{°C}}\;$ plus basse et très légèrement aussi à l'intensité de la pesanteur terrestre qui est un peu plus faible, la C.A.L. devant bien sûr être choisie à la base de la tropopause ;
Analyse des écarts de pression entre l'atmosphère réelle et le modèle de l'atmosphère isotherme : sur l'intervalle «$\;\left[\,20\;km\;,\,32\;km\,\right]\;$ d'altitude c'est-à-dire la moyenne stratosphère » l'écart du champ de pression du modèle de l'atmosphère isotherme par rapport à celui de l'atmosphère réelle dans la même C.A.L. prise à la base de la moyenne stratosphère est principalement le caractère « non isotherme » de l’atmosphère et légèrement aussi la valeur de l'intensité de la pesanteur terrestre qui est un plus faible $\;{\big \$voir un modèle mieux adapté traité « en exercice, détermination du champ de pression dans le modèle G.P. de l'atmosphère à gradient de température uniforme en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme » dans le paragraphe suivant${\big \}$ ;
Analyse des écarts de pression entre l'atmosphère réelle et le modèle de l'atmosphère isotherme : sur l'intervalle «$\;\left[\,32\;km\;,\,47\;km\,\right]\;$ d'altitude c'est-à-dire la haute stratosphère » l'écart du champ de pression du modèle de l'atmosphère isotherme par rapport à celui de l'atmosphère réelle dans la même C.A.L. prise à la base de la haute stratosphère est là encore principalement le caractère « non isotherme » de l’atmosphère et aussi la valeur de l'intensité de la pesanteur terrestre qui est plus faible $\;{\big \$voir un modèle mieux adapté traité « en exercice, détermination du champ de pression dans le modèle G.P. de l'atmosphère à gradient de température uniforme en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme » dans le paragraphe suivant${\big \}$ ;
Analyse des écarts de pression entre l'atmosphère réelle et le modèle de l'atmosphère isotherme : sur l'intervalle «$\;\left[\,47\;km\;,\,51\;km\,\right]\;$ d'altitude c'est-à-dire la stratopause » l'écart du champ de pression du modèle de l'atmosphère isotherme par rapport à celui de l'atmosphère réelle dans la même C.A.L. prise à la base de la stratopause est principalement dû à la température de l'atmosphère isotherme qui doit être choisie $\;17,5\;{\text{°C}}\;$ plus basse et aussi à la valeur de l'intensité de la pesanteur terrestre qui est plus faible $\;\ldots$

## En exercice, détermination du champ de pression dans le modèle G.P. de l’atmosphère à gradient de température uniforme en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme
### Modèle de l’atmosphère à gradient de température uniforme dans un champ de pesanteur uniforme

Nous considérons l'atmosphère terrestre en « équilibre thermodynamique » $\;{\big$c'est-à-dire sans vents dans l'atmosphère${\big )}\;$ dans un « champ de pesanteur uniforme » $\;{\big$l'atmosphère terrestre n'est donc pas étudiée dans sa globalité mais sur une portion d'atmosphère limitée dans l'espace de façon à ce que $\;{\vec {g}}\;$ y soit uniforme${\big )}\;$ du « référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{♁}}\;$ supposé galiléen », mais dans ce modèle
Nous considérons la « température de l'atmosphère terrestre est supposée varier linéairement avec l'altitude » $\;{\Big$c'est-à-dire que la température de l'atmosphère à l'altitude $\;z\;$ s'écrit «$\;T(z)=T_{0}-a\,\left(z-z_{0}\right)\;$ avec $\;a=cste\;$» sur toute portion d'atmosphère étudiée, $\;T_{0}\;$ étant la température du point de cette portion à l'altitude $\;z_{0}\;$ avec $\;a>0\;$ si $\;T(z)\;\searrow \;$ avec l'altitude $\;{\Big \$cas de l'atmosphère terrestre à partir de l'altitude nulle jusqu'à $\;11\;km\;$ d'altitude $\;{\big$c'est-à-dire la troposphère${\big )}{\Big \}$ et $\;a<0\;$ si $\;T(z)\;\nearrow \;$ avec l'altitude $\;{\Big \$cas de l'atmosphère terrestre à partir de $\;20\;km\;$ jusqu'à $\;32\;km\;$ d'altitude $\;{\big$c'est-à-dire la moyenne stratosphère${\big )}\;$ et celui de l'atmosphère terrestre à partir de $\;32\;km\;$ jusqu'à $\;47\;km\;$ d'altitude $\;{\big$c'est-à-dire la haute stratosphère${\big )}{\Big \}$, la variation linéaire de la température avec l'altitude correspondant à un « gradient de température $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[T\right](Q)\;$ vertical uniforme » plus exactement «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[T\right](Q)=-a\;{\vec {u}}_{z}\;$ avec $\;a=cste\;$» $\;{\Big \$avec $\;a\simeq 6,5\;K\cdot km^{-1}\;$ dans la troposphère, $\;a\simeq -1,0\;K\cdot km^{-1}\;$ dans la moyenne stratosphère, $\;a\simeq -2,8\;K\cdot km^{-1}\;$ dans la haute stratosphère${\Big \}$ et enfin
Nous considérons toute « particule d'atmosphère $\;Q\,\left(d{\mathcal {V}}_{Q}\right)\;$ » $\;{\big$au sens de particule de fluide${\big )}\;$ est « monophasée » constituant une phase élémentaire dont l’équation d’état est celle d’un « G.P. en équilibre thermodynamique » $\;{\big$pour cela il est nécessaire de remplacer les différentes sortes de molécules présentes dans la particule d'atmosphère par un seul type de molécule « moyenne » dont la masse molaire moléculaire est «$\;M_{\text{air}}\simeq 29\;g\cdot mol^{-1}\simeq 29\;10^{-3}\;kg\cdot mol^{-1}\;$»${\big )}\;$ s’écrivant sous forme intégrée
$\;p(Q)\;d{\mathcal {V}}_{Q}=dn_{Q}\;R\;T(Q)\;$
Nous considérons toute « particule d'atmosphère «$\;p(Q)\;$ et $\;T(Q)\;$ sont respectivement la pression et la température locales », «$\;R\;$ la constante molaire des G.P. approximativement égale à $\;8,314\;J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}\;$» et «$\;dn_{Q}\;$ la quantité de molécules « moyennes » de la particule d'atmosphère de volume $\;d{\mathcal {V}}_{Q}\;$ liée à la masse $\;dm_{Q}\;$ de celle-ci par $\;dn_{Q}={\dfrac {dm_{Q}}{M_{\text{air}}}}\;$» ;
 Nous considérons toute « particule d'atmosphère reportant «$\;dn_{Q}={\dfrac {dm_{Q}}{M_{\text{air}}}}\;$» dans la forme intégrée de l'équation d'état de la « particule d'atmosphère $\;Q\,\left(d{\mathcal {V}}_{Q}\right)\;$ » en équilibre thermodynamique, nous obtenons pour nouvelle forme intégrée de cette particule d'atmosphère «$\;p(Q)\;d{\mathcal {V}}_{Q}={\dfrac {dm_{Q}}{M_{\text{air}}}}\;R\;T(Q)\;$» se réécrivant
$\;p(Q)\;d{\mathcal {V}}_{Q}=dm_{Q}\;{\dfrac {R}{M_{\text{air}}}}\;T(Q)\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$
Nous considérons toute « particule d'atmosphère de la forme intégrée $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ de l'équation d'état de la « particule d'atmosphère $\;Q\,\left(d{\mathcal {V}}_{Q}\right)\;$ » en équilibre thermodynamique, nous obtenons, en divisant chacun de ses membres par $\;d{\mathcal {V}}_{Q}\;$ et en introduisant la « masse volumique de la particule d'atmosphère $\;\mu (Q)={\dfrac {dm_{Q}}{d{\mathcal {V}}_{Q}}}\;$» la forme locale $\;\left({\mathfrak {a}}'\right)\;$ associée à la forme intégrée $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ de l'équation d'état de la « particule d'atmosphère $\;Q\,\left(d{\mathcal {V}}_{Q}\right)\;$ » en équilibre thermodynamique,
$\;p(Q)=\mu (Q)\;{\dfrac {R}{M_{\text{air}}}}\;T(Q)\;\;\left({\mathfrak {a}}'\right)\;$
En conclusion la « particule d'atmosphère à gradient de température uniforme $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[T\right](Q)=-a\;{\vec {u}}_{z}\;$ à partir de l'altitude $\;z_{0}\;$ de température $\;T(z_{0})\;$ centrée en $\;Q\;$ en équilibre thermodynamique » prend pour forme locale de son équation d'état faisant intervenir les trois paramètres locaux dépendant de $\;Q\;$ à savoir « la pression $\;p(Q)$, la température $\;T(Q)\;$ et la masse volumique $\;\mu (Q)\;$»
$\;p(Q)={\dfrac {R}{M_{\text{air}}}}\;T(Q)\;\mu (Q)\;\;\left({\mathfrak {a}}'''\right)\;$
$\;{\big \p(Q)\;$
$\;\propto \;$
$\;T(Q)\;$
$\;\mu (Q)\;$
${\big \}$

### Équation différentielle en champ de pression « p(z) »

Dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{♁}}\;$ galiléen, la forme différentielle de la r.f.s.f. d’une atmosphère en équilibre thermodynamique dans le champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}$ $\;{\big$le seul champ de force pris en compte${\big )}\;$ uniforme $\;{\big$pour cela l'atmosphère terrestre n'est pas étudiée dans sa globalité mais sur une portion limitée dans l'espace d'« étendue horizontale maximale $\;400\;km\;{\mathtt {x}}\;400\;km\;$» et de « variation maximale d'altitude $\;\left[0\,,\,30\;km\right]\;$»${\big )}$, écrite au point $\;Q\;$ d'altitude $\;z$ $\;{\Big$l'axe vertical $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ étant ascendant et $\;O\;$ le point de la surface du globe situé à la verticale du point $\;Q{\Big )}\;$ étant
$\;dp(z)+\mu (z)\;g\;dz=0\;$
$\;p(z)$
$\;T(z)\;$
$\;\mu (z)\;$
$\;Q\;$
$\;g\;$
le choix du « modèle de l’atmosphère à gradient de température uniforme » permet, en utilisant la relation $\;\left({\mathfrak {a}}'''\right)$, de « remplacer $\;\mu (z)\;$ par $\;{\dfrac {M_{\text{air}}}{R\;T(z)}}\;p(z)\;$ » d'où «$\;dp(z)+{\dfrac {M_{\text{air}}}{R\;T(z)}}\;p(z)\;g\;dz=0\;$» et finalement la pression de l'atmosphère au point $\;Q\;$ se détermine en résolvant l’équation différentielle linéaire du 1er ordre en $\;p(z)\;$ homogène
$\;{\dfrac {dp}{dz}}(z)+{\dfrac {M_{\text{air}}\;g}{R\;T(z)}}\;p(z)=0\;\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$

### Évaluation du champ de pression

La « température absolue $\;T\;$ de l'atmosphère terrestre variant linéairement avec l'altitude $\;z\;$» selon «$\;T(z)=T_{0}-a\,\left(z-z_{0}\right)\;$ avec $\;a=cste\;$ sur toute la portion d'atmosphère étudiée, $\;T_{0}\;$ étant la température absolue du point de cette portion à l'altitude $\;z_{0}\;$» $\;{\Big \$cette variation linéaire de température avec l'altitude correspond à un « gradient de température $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[T\right](Q)\;$ vertical uniforme » plus exactement «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[T\right](Q)=-a\;{\vec {u}}_{z}\;$ avec $\;a=cste>0\;$ si la température $\;\searrow \;$ quand $\;z\nearrow \;$ et $\;a=cste<0\;$ si la température $\;\nearrow \;$ quand $\;z\nearrow \;$»${\Big \}$ son report dans l'équation différentielle linéaire du 1er ordre en $\;p(z)\;$ homogène précédemment établie nous conduit, après avoir fait un changement d'origine d'altitude en choisissant le point d'altitude $\;z_{0}\;$ comme nouvelle origine $\Rightarrow$ «$\;\zeta =z-z_{0}\;$», à
$\;{\dfrac {dp}{d\zeta }}(\zeta )+{\dfrac {M_{\text{air}}\;g}{R\left[T_{0}-a\;\zeta \right]}}\;p(\zeta )=0\;\;\left({\mathfrak {b}}'\right)\;$
L'équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 1er ordre en $\;p(\zeta )\;$ homogène «$\;\left({\mathfrak {b}}'\right)\;$» étant de la forme «$\;p'(\zeta )+a_{0}(\zeta )\;p(\zeta )=0\;$ avec $\;a_{0}(\zeta )={\dfrac {M_{\text{air}}\;g}{R\left[T_{0}-a\;\zeta \right]}}\;$» a pour solution générale «$\;p(\zeta )=$ $\lambda \;\exp \!\left[-A_{0}(\zeta )\right]\;$» dans laquelle «$\;A_{0}(\zeta )\;$ est une primitive de $\;a_{0}(\zeta )={\dfrac {M_{\text{air}}\;g}{R\left[T_{0}-a\;\zeta \right]}}\;$ c'est-à-dire $\;A_{0}(\zeta )=\displaystyle \int ^{\zeta }{\dfrac {M_{\text{air}}\;g\;d\zeta '}{R\left[T_{0}-a\;\zeta '\right]}}=-{\dfrac {M_{\text{air}}\;g}{R\;a}}\;\displaystyle \int ^{\zeta }{\dfrac {d\left[T_{0}-a\;\zeta '\right]}{T_{0}-a\;\zeta '}}\;$ $=-{\dfrac {M_{\text{air}}\;g}{R\;a}}\;\ln \!\left[T_{0}-a\;\zeta \right]\;$» et «$\;\lambda \;$ constante d'intégration » d'où «$\;p(\zeta )=\lambda \;\exp \!\left\lbrace {\dfrac {M_{\text{air}}\;g}{R\;a}}\;\ln \!\left[T_{0}-a\;\zeta \right]\right\rbrace =\lambda \;\exp \left\lbrace \left[\ln \!\left(T_{0}-a\;\zeta \right)\right]^{\,{\frac {M_{\text{air}}\;g}{R\;a}}}\right\rbrace =\lambda \;\left\lbrace \exp \,\left[\ln \!\left(T_{0}-a\;\zeta \right)\right]\right\rbrace ^{\,{\frac {M_{\text{air}}\;g}{R\;a}}}\;$» soit finalement
$\;p(\zeta )=\lambda \;\left[T_{0}-a\;\zeta \right]^{\,{\frac {M_{\text{air}}\;g}{R\;a}}}\;$
$\;\lambda \,\in \,\mathbb {R} ^{*}$
utilisant la « C.A.L. étant $\;p(\zeta =0)=p(z_{0})\;$ notée $\;p_{0}\;$» pour laquelle la « température absolue est $\;T(\zeta =0)=T(z_{0})\;$ notée $\;T_{0}\;$», nous en déduisons «$\;p_{0}=\lambda \;T_{0}^{\frac {M_{\text{air}}\;g}{R\;a}}\;$ $\Rightarrow$ $\;\lambda ={\dfrac {p_{0}}{T_{0}^{\frac {M_{\text{air}}\;g}{R\;a}}}}\;$» soit finalement l'expression du champ de pression du modèle de l’atmosphère à « gradient de température uniforme $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[T\right](z)=-a\;{\vec {u}}_{z}\;$» dans un « champ de pesanteur uniforme $\;{\vec {g}}=-g\;{\vec {u}}_{z}\;$»
$\;p(\zeta )=p_{0}\,\left[{\dfrac {T_{0}-a\;\zeta }{T_{0}}}\right]^{\,{\frac {M_{\text{air}}\;g}{R\;a}}}=p_{0}\,\left[{\dfrac {T(\zeta )}{T_{0}}}\right]^{\,{\frac {M_{\text{air}}\;g}{R\;a}}}\;$
$\;\zeta =z-z_{0}\;$
$\;\left[z_{0}\,,\,z_{1}\right]\;$
$\;p(z_{0})=p_{0}\;$
$\;T(z_{0})=T_{0}\;$
A.N. du modèle appliqué à la « troposphère${\underline {\;z\,\in \,\left[\,0\;,\,11\;km\,\right]\;}}$» : le taux de décroissance linéaire de la température étant «$\;a\simeq 6,5\;K\cdot km^{-1}\;$ ${\big$la température $\;\searrow \;$ de $\;6,5\;{\text{°C}}\;$ ${\big$ou de $\;6,5\;K\;$${\big )}\;$ par $\;km\;$ d'ascension${\big ]}\;$», l'« intensité de la pesanteur au sol valant $\;g\simeq 9,81\;m\cdot s^{-2}\;$» et les C.A.L. étant «$\;\theta _{0}\simeq 15\;{\text{°C}}\;$ $\Rightarrow$ $\;T_{0}\simeq 288\;K\;$ ainsi que $\;p_{0}\simeq 1,013\;bar=1,013\;10^{5}\;Pa\;$», le champ de pression du modèle dans la troposphère se réécrit «$\;p(z)=p_{0}\,\left[1-{\dfrac {a\;z}{T_{0}}}\right]^{\alpha }\;$» avec «$\;\alpha ={\dfrac {M_{\text{air}}\;g}{R\;a}}\simeq {\dfrac {29\;10^{-3}\times 9,81}{8,314\times 6,5\;10^{-3}}}\;$ soit $\;\alpha \simeq 5,26\;$» d'où A.N. du modèle appliqué à la « troposphère » : la pression du modèle à l'« altitude $\;d\simeq 8400\;m\;$» s'évalue selon $\;p(d)\simeq 1,013\times \left[1-{\dfrac {6,5\times 8,4}{288}}\right]^{\,5,26}\;$ en $\;bar\;$ soit
$\;p(d)\simeq 0,335\;bar\;$
$\;{\big \$
$\;\theta (d)\simeq 15-6,5\times 8,4\;$
$\;{\text{°C}}\;$
$\;\theta (d)\simeq -39,6\;{\text{°C}}\;$
$\;T(d)\simeq 233,4\;K\;$
${\big \}$
A.N. du modèle appliqué à la « troposphère » : la pression du modèle à l'« altitude $\;11\;km\;$» $\;{\big$limite « troposphère - tropopause »${\big )}\;$ selon $\;p_{11\,km}\simeq 1,013\times \left[1-{\dfrac {6,5\times 11}{288}}\right]^{\,5,26}\;$ en $\;bar\;$ soit
$\;p_{11\,km}\simeq 0,226\;bar\;$
$\;{\big \$
$\;\theta _{11\,km}\simeq 15-6,5\times 11\;$
$\;{\text{°C}}\;$
$\;\theta _{11\,km}\simeq -56,5\;{\text{°C}}\;$
$\;T_{11\,km}\simeq 216,5\;K\;$
${\big \}$
A.N. du modèle d'atmosphère isotherme appliqué à la « tropopause - basse stratosphère${\underline {\;z\,\in \,\left[\,11\;km\;,\,20\;km\,\right]\;}}$» : les C.A.L. adaptées étant choisies à l'altitude $\;z=11\;km\;$ la « température reste constante à la valeur $\;\theta _{11\,km}\simeq -56,5\;{\text{°C}}\;$ $\Rightarrow$ $\;T_{11\,km}\simeq 216,5\;K\;$ et la pression à la limite troposphère - tropopause vaut $\;p_{11\,km}\simeq 0,226\;bar=0,226\;10^{5}\;Pa\;$», de plus l'intensité de la pesanteur terrestre, toujours considérée comme uniforme, étant légèrement plus faible à l'altitude $\;11\;km\;$ qu'au niveau du sol est choisie à $\;g_{11\,km}\simeq 9,77\;m\cdot s^{-2}$, nous en déduisons le champ de pression du modèle d'atmosphère isotherme dans la tropopause - basse stratosphère «$\;p(z)=p_{11\,km}\;\exp \!\left(-{\dfrac {\zeta }{d_{\left[11\,km\,,\,20\,km\right]}}}\right)\;$» avec «$\;\zeta =z-11000\;$ en $\;m\;$» et «$\;d_{\left[11\,km\,,\,20\,km\right]}={\dfrac {R\;T_{11\,km}}{M_{\text{air}}\;g_{11\,km}}}\simeq {\dfrac {8,314\times 216,5}{29\;10^{-3}\times 9,77}}\simeq$ $6353\;m\;$» soit encore «$\;d_{\left[11\,km\,,\,20\,km\right]}\simeq 6350\;m\simeq 6,4\;km\;$» d'où A.N. du modèle d'atmosphère isotherme appliqué à la « tropopause - basse stratosphère » : la pression du modèle d'atmosphère isotherme à l'« altitude $\;2\;d\simeq 16,8\;km\;$» s'évalue selon $\;p(2\;d)\simeq 0,226\times \exp \!\left(-{\dfrac {16800-11000}{6400}}\right)\;$ en $\;bar\;$ soit
$\;p(2\;d)\simeq 0,0907\;bar\;$
A.N. du modèle d'atmosphère isotherme appliqué à la « tropopause - basse stratosphère » : la pression du modèle d'atmosphère isotherme à l'« altitude $\;20\;km\;$» $\;{\big$limite « basse stratosphère - moyenne stratosphère »${\big )}\;$ selon $\;p_{20\,km}\simeq 0,226\times \exp \!\left(-{\dfrac {20000-11000}{6400}}\right)\;$ en $\;bar\;$ soit
$\;p_{20\,km}\simeq 0,0548\;bar\;$
A.N. du modèle appliqué à la « moyenne stratosphère${\underline {\;z\,\in \,\left[\,20\;km\;,\,32\;km\,\right]\;}}$» : le taux de décroissance linéaire de la température étant «$\;a_{\left[20\,km\,,\,32\,km\right]}\simeq -1,0\;K\cdot km^{-1}\;$ ${\big$la température $\;\nearrow \;$ de $\;1,0\;{\text{°C}}\;$ ${\big$ou de $\;1,0\;K\;$${\big )}\;$ par $\;km\;$ d'ascension${\big ]}\;$» et les C.A.L. adaptées choisies à l'altitude $\;z=20\;km\;$ c'est-à-dire «$\;\theta _{20\,km}\simeq -56,5\;{\text{°C}}\;$ $\Rightarrow$ $\;T_{20\,km}\simeq 216,5\;K\;$ ainsi que $\;p_{20\,km}\simeq$ $0,0548\;bar=5,48\;kPa\;$», de plus l'« intensité de la pesanteur terrestre, toujours considérée comme uniforme, étant légèrement plus faible à l'altitude $\;20\;km\;$ qu'à celle de $\;11\;km\;$ est choisie à $\;g_{20\,km}\simeq$ $9,75\;m\cdot s^{-2}$, le champ de pression du modèle dans la moyenne stratosphère se réécrit «$\;p(z)=p_{20\,km}\,\left[1-{\dfrac {a_{\left[20\,km\,,\,32\,km\right]}\;\zeta }{T_{20\,km}}}\right]^{\alpha _{\left[20\,km\,,\,32\,km\right]}}\;$» avec «$\;\zeta =z-20000\;$ en $\;m\;$» et «$\;\alpha _{\left[20\,km\,,\,32km\,\right]}=$ ${\dfrac {M_{\text{air}}\;g}{R\;a_{\left[20\,km\,,\,32\,km\right]}}}\simeq {\dfrac {29\;10^{-3}\times 9,75}{8,314\times (-1,0\;10^{-3})}}\;$ soit $\;\alpha _{\left[20\,km\,,\,32\,km\right]}\simeq -34,0\;$» d'où A.N. du modèle appliqué à la « moyenne stratosphère » : la pression du modèle à l'« altitude $\;3\;d\simeq 25,2\;km\;$» s'évalue $\;p(3\;d)\simeq$ $0,0548\times \left[1-{\dfrac {-1,0\times 5,2}{216,5}}\right]^{\,-34,0}\;$ en $\;bar\;$ soit
$\;p(3\;d)\simeq 0,0245\;bar=2,45\;kPa\;$
$\;{\big \$
$\;\theta (3\;d)\simeq -56,5+1,0\times 5,2\;$
$\;{\text{°C}}\;$
$\;\theta (3\;d)\simeq -51,3\;{\text{°C}}\;$
$\;T(3\;d)\simeq 221,7\;K\;$
${\big \}$
A.N. du modèle appliqué à la « moyenne stratosphère » : la pression du modèle à l'« altitude $\;32\;km\;$» $\;{\big$limite « moyenne stratosphère - haute stratosphère »${\big )}\;$ selon $\;p_{32\,km}\simeq 0,0245\times \left[1-{\dfrac {-1,0\times 12}{216,5}}\right]^{\,-34,0}\;$ en $\;bar\;$ soit
$\;p_{32\,km}\simeq 0,00391\;bar=0,391\;kPa\;$
$\;{\big \$
$\;\theta _{32\,km}\simeq -56,5+1,0\times 12\;$
$\;{\text{°C}}\;$
$\;\theta _{32\,km}\simeq -44,5\;{\text{°C}}\;$
$\;T_{32\,km}\simeq 228,5\;K\;$
${\big \}$
A.N. du modèle appliqué à la « haute stratosphère${\underline {\;z\,\in \,\left[\,32\;km\;,\,47\;km\,\right]\;}}$» : le taux de décroissance linéaire de la température étant «$\;a_{\left[32\,km\,,\,47\,km\right]}\simeq -2,8\;K\cdot km^{-1}\;$ ${\big$la température $\;\nearrow \;$ de $\;2,8\;{\text{°C}}\;$ ${\big$ou de $\;2,8\;K\;$${\big )}\;$ par $\;km\;$ d'ascension${\big ]}\;$» et les C.A.L. adaptées choisies à l'altitude $\;z=32\;km\;$ c'est-à-dire «$\;\theta _{32\,km}\simeq -44,5\;{\text{°C}}\;$ $\Rightarrow$ $\;T_{32\,km}\simeq 228,5\;K\;$ ainsi que $\;p_{32\,km}\simeq$ $0,00391\;bar=0,391\;kPa\;$», de plus l'« intensité de la pesanteur terrestre, toujours considérée comme uniforme, étant légèrement plus faible à l'altitude $\;32\;km\;$ qu'à celle de $\;20\;km\;$ est choisie à $\;g_{32\,km}\simeq$ $9,71\;m\cdot s^{-2}$, le champ de pression du modèle dans la haute stratosphère se réécrit «$\;p(z)=p_{32\,km}\,\left[1-{\dfrac {a_{\left[32\,km\,,\,47km\,\right]}\;\zeta }{T_{32\,km}}}\right]^{\alpha _{\left[32\,km\,,\,47\,km\right]}}\;$» avec «$\;\zeta =z-32000\;$ en $\;m\;$» et «$\;\alpha _{\left[32\,km\,,\,47\,km\right]}=$ ${\dfrac {M_{\text{air}}\;g}{R\;a_{\left[32\,km\,,\,47km\,\right]}}}\simeq {\dfrac {29\;10^{-3}\times 9,71}{8,314\times (-2,8\;10^{-3})}}\;$ soit $\;\alpha _{\left[32\,km\,,\,47\,km\right]}\simeq -12,1\;$» d'où A.N. du modèle appliqué à la « haute stratosphère » : la pression du modèle à l'« altitude $\;4\;d\simeq 33,6\;km\;$» s'évalue $\;p(4\;d)\simeq$ $0,00391\times \left[1-{\dfrac {-2,8\times 1,6}{228,5}}\right]^{\,-12,1}\;$ en $\;bar\;$ soit
$\;p(4\;d)\simeq 0,00309\;bar=0,309\;kPa\;$
$\;{\big \$
$\;\theta (4\;d)\simeq -44,5+2,8\times 1,6\;$
$\;{\text{°C}}\;$
$\;\theta (4\;d)\simeq -40,0\;{\text{°C}}\;$
$\;T(4\;d)\simeq 233,0\;K\;$
${\big \}$
A.N. du modèle appliqué à la « haute stratosphère » : la pression du modèle à l'« altitude $\;5\;d\simeq 42,0\;km\;$» s'évalue $\;p(5\;d)\simeq$ $0,00391\times \left[1-{\dfrac {-2,8\times 10,0}{228,5}}\right]^{\,-12,1}\;$ en $\;bar\;$ soit
$\;p(5\;d)\simeq 9,65\;10^{-4}\;bar=96,5\;Pa\;$
$\;{\big \$
$\;\theta (5\;d)\simeq -44,5+2,8\times 10,0\;$
$\;{\text{°C}}\;$
$\;\theta (5\;d)\simeq -16,5\;{\text{°C}}\;$
$\;T(5\;d)\simeq 256,5\;K\;$
${\big \}$
A.N. du modèle appliqué à la « haute stratosphère » : la pression du modèle à l'« altitude $\;47\;km\;$» $\;{\big$limite « haute stratosphère - stratopause »${\big )}\;$ selon $\;p_{47\,km}\simeq$ $0,00391\times \left[1-{\dfrac {-2,8\times 15}{228,5}}\right]^{\,-12,1}\;$ en $\;bar\;$ soit
$\;p_{47\,km}\simeq 5,08\;10^{-4}\;bar=50,8\;Pa\;$
$\;{\big \$
$\;\theta _{47\,km}\simeq -44,5+2,8\times 15\;$
$\;{\text{°C}}\;$
$\;\theta _{47\,km}\simeq -2,5\;{\text{°C}}\;$
$\;T_{47\,km}\simeq 270,5\;K\;$
${\big \}$

### Comparaison du champ de pression du modèle à celui de l’atmosphère réelle

À condition d'appliquer les C.A.L. de température et de pression adaptées au modèle d'atmosphère à gradient de température uniforme dans un champ de pesanteur uniforme $\;{\big$la modification de la valeur de l'intensité de la pesanteur terrestre n'étant que secondaire${\big )}$, nous constatons un très accord entre les valeurs expérimentales et les valeurs obtenues par modélisation ainsi, avec une « température de l'atmosphère au niveau du sol $\;\theta _{0}\simeq 15\;{\text{°C}}\;$ $\Rightarrow$ $\;T_{0}\simeq 288\;K\;$» et une « pression au sol $\;p_{0}\simeq 1,013\;bar\;$», la pression à l'altitude $\;z\;$ peut être évaluée par
* «$\;p(z)\simeq p_{0}\left[1-{\dfrac {6,5\;z_{\,km}}{288}}\right]^{\,5,26}$» dans la troposphère c'est-à-dire « pour $\;z\;\in \left[\,0\,,\,11\;km\,\right]\;$» $\;{\big$modèle d'atmosphère à gradient de température uniforme${\big )}$,
* «$\;p(z)\simeq p_{11\,km}\exp \!\left(-{\dfrac {z_{\,km}-11}{6,4}}\right)\;$» dans la tropopause - basse stratosphère c'est-à-dire « pour $\;z\;\in \left[\,11\;km\,,\,20\;km\,\right]\;$» $\;{\big$modèle d'atmosphère isotherme à $\;-56,5\;{\text{°C}}\;$ ou $\;216,5\;K\;$${\big )}$,
* «$\;p(z)\simeq p_{20\,km}\left[1+{\dfrac {1,0\left(z_{\,km}-20\right)}{216,5}}\right]^{\,-34,0}$» dans la moyenne stratosphère c'est-à-dire « pour $\;z\;\in \left[\,20\;km\,,\,32\;km\,\right]\;$» $\;{\big$modèle d'atmosphère à gradient de température uniforme${\big )}\;$ et
* «$\;p(z)\simeq p_{32\,km}\left[1+{\dfrac {2,8\left(z_{\,km}-32\right)}{228,5}}\right]^{\,-12,1}$» dans la haute stratosphère c'est-à-dire « pour $\;z\;\in \left[\,32\;km\,,\,47\;km\,\right]\;$» $\;{\big$modèle d'atmosphère à gradient de température uniforme${\big )}$.
Si nous définissons le niveau pratique du plafond de l'atmosphère comme l'endroit d'altitude telle que la pression de l'atmosphère y soit égale à $\;1\;\%\;$ de celle au niveau du sol $\;{\big$l'atmosphère y étant suffisamment raréfiée pour être assimilée à un « vide relatif »${\big )}$, nous trouvons ce « plafond pratique dans la moyenne stratosphère à l'altitude $\;31\;km\;$» $\;{\Bigg \$en effet, faisant l'hypothèse qu'il se situe dans la moyenne stratosphère, nous obtenons l'équation $\;0,01013=0,0548\;\left[1+{\dfrac {1,0\left(z_{\,km,\,{\text{plafond}}}-20\right)}{216,5}}\right]^{\,-34,0}$ $\Rightarrow$ $\;1+{\dfrac {1,0\left(z_{\,km,\,{\text{plafond}}}-20\right)}{216,5}}=\exp \!\left[{\dfrac {1}{-34,0}}\;\ln \!\left({\dfrac {1,013}{5,48}}\right)\right]\simeq 1,0509\;$ $\Rightarrow$ $\;z_{\,km,\,{\text{plafond}}}$ $\simeq 31\;$ ce qui valide effectivement l'appartenance au domaine de la moyenne stratosphère${\Bigg \}$.

## Modèle de fluide incompressible et homogène à évolution isotherme dans le champ de pesanteur terrestre uniforme
### Compressibilité d’un fluide, modèle « incompressible »

La « compressibilité » d’un fluide est définie en précisant la façon dont le volume d’une quantité fixée de fluide varie avec la pression et dans le cas présent, considérant une « compression isotherme », nous définissons le « cœfficient de compressibilité isotherme du fluide » selon
$\;\chi _{T}\!\left(p\,,\,T\right)=-{\dfrac {1}{\mathcal {V}}}\,\left({\dfrac {\partial {\mathcal {V}}}{\partial p}}\right)_{\!T}\!\left(p\,,\,T\right)\;$
$\;Pa^{-1}\;$
il est possible de transformer ce cœfficient de compressibilité isotherme de façon à le relier à la masse volumique du fluide $\;\mu \!\left(p\,,\,T\right)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}\!\left(p\,,\,T\right)}}$ $\;{\Big \d{\mathcal {V}}\!\left(p\,,\,T\right)\;$ étant le volume occupé par l'échantillon mésoscopique de masse $\;dm\;$ à la pression $\;p\;$ et la température $\;T{\Big \}$, selon «$\;\chi _{T}\!\left(p\,,\,T\right)=-{\dfrac {1}{\mathcal {V}}}\,\left({\dfrac {\partial {\mathcal {V}}}{\partial p}}\right)_{\!T}\!\left(p\,,\,T\right)=-\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\ln \left({\mathcal {V}}\right)\right]}{\partial p}}\right\rbrace _{\!T}\!\left(p\,,\,T\right)\;$» ou «$\;\chi _{T}\!\left(p\,,\,T\right)=-\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\ln \left({\mathcal {v}}\right)\right]}{\partial p}}\right\rbrace _{\!T}\!\left(p\,,\,T\right)\;$» $\;{\Bigg \langle }\!$avec $\;{\mathcal {v}}\!\left(p\,,\,T\right)={\dfrac {d{\mathcal {V}}\!\left(p\,,\,T\right)}{dm}}\;$ le volume massique du fluide à la pression $\;p\;$ et la température $\;T\;$ $\Rightarrow$ $\;\ln \!\left[{\mathcal {v}}\!\left(p\,,\,T\right)\right]=\ln \!\left[d{\mathcal {V}}\!\left(p\,,\,T\right)\right]-\ln(dm)\;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\ln \left({\mathcal {v}}\right)\right]}{\partial p}}\right\rbrace _{\!T}\!\left(p\,,\,T\right)=$ $\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\ln \left(d{\mathcal {V}}\right)\right]}{\partial p}}\right\rbrace _{\!T}\!\left(p\,,\,T\right)\;$ car $\;dm\;$ est une constante$\!{\Bigg \rangle }$ soit enfin le volume massique «$\;{\mathcal {v}}\!\left(p\,,\,T\right)={\dfrac {d{\mathcal {V}}\!\left(p\,,\,T\right)}{dm}}\;$» étant l’inverse de la masse volumique «$\;\mu \!\left(p\,,\,T\right)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}\!\left(p\,,\,T\right)}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;\ln \!\left[{\mathcal {v}}\!\left(p\,,\,T\right)\right]$ $=-\ln \!\left[\mu \!\left(p\,,\,T\right)\right]\;$» et par suite «$\;\chi _{T}\!\left(p\,,\,T\right)=$ $\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\ln \left(\mu \right)\right]}{\partial p}}\right\rbrace _{\!T}\!\left(p\,,\,T\right)\;$» ou encore
$\;\chi _{T}\!\left(p\,,\,T\right)={\dfrac {1}{\mu }}\,\left({\dfrac {\partial \mu }{\partial p}}\right)_{\!T}\!\left(p\,,\,T\right)\;$
$\;Pa^{-1}\;$
Un fluide « incompressible » est un fluide dont le cœfficient de compressibilité isotherme «$\;\chi _{T}\!\left(p\,,\,T\right)=0,\;\;\forall \;M\;$» ou, avec «$\;\chi _{T}\!\left(p\,,\,T\right)={\dfrac {1}{\mu }}\,\left({\dfrac {\partial \mu }{\partial p}}\right)_{\!T}\!\left(p\,,\,T\right)\;$»,
Un fluide « incompressible » est un fluide tel que « sa masse volumique $\;\mu \;$ est indépendante de la pression $\;p\;$ en chaque point $\;M\;$», soit finalement «$\;\mu =\mu (M\,,\,T),\;\;\forall \;M\;$».

### Modèle « homogène » d’un fluide incompressible

Un fluide incompressible est « homogène » si ses propriétés sont indépendantes du point $\;M\;$ de l'espace, en particulier
Un fluide incompressible est « homogène » si « sa masse volumique $\;\mu$ $\;{\big$ne dépendant pas de $\;p{\big )}\;$ est indépendante du point $\;M\;$», soit finalement si «$\;\mu =\mu (T),\;\;\forall \;M\;$».

### Modèle de fluide incompressible et homogène à évolution isotherme

Un fluide incompressible et homogène subissant une « évolution isotherme » reste, lors de cette évolution, de « masse volumique $\;\mu \;$ constante » $\;{\Big$en effet sa masse volumique $\;\mu$ $\;{\big$ne dépendant ni de $\;p$, ni du point $\;M{\big )}\;$ n'est fonction que de la température $\;T\;$ laquelle, restant constante lors d'une évolution isotherme, $\Rightarrow$ $\;\mu =cste{\Big ]}$.

#### Dilatation d’un fluide, modèle « indilatable »

La « dilatation » d’un fluide est définie en précisant la façon dont le volume d’une quantité fixée de fluide varie avec la température et dans le cas présent, considérant une « dilatation isobare », nous définissons le « cœfficient de dilatation isobare du fluide » selon
$\;\alpha \!\left(T\,,\,p\right)={\dfrac {1}{\mathcal {V}}}\,\left({\dfrac {\partial {\mathcal {V}}}{\partial T}}\right)_{\!p}\!\left(T\,,\,p\right)\;$
$\;K^{-1}\;$
il est possible de transformer ce cœfficient de dilatation isobare de façon à le relier à la masse volumique du fluide $\;\mu \!\left(T\,,\,p\right)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}\!\left(T\,,\,p\right)}}$ $\;{\Big \d{\mathcal {V}}\!\left(T\,,\,p\right)\;$ étant le volume occupé par l'échantillon mésoscopique de masse $\;dm\;$ à la température $\;T\;$ et la pression $\;p{\Big \}$, selon «$\;\alpha \!\left(T\,,\,p\right)={\dfrac {1}{\mathcal {V}}}\,\left({\dfrac {\partial {\mathcal {V}}}{\partial T}}\right)_{\!p}\!\left(T\,,\,p\right)=\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\ln \left({\mathcal {V}}\right)\right]}{\partial T}}\right\rbrace _{\!p}\!\left(T\,,\,p\right)\;$» ou «$\;\alpha \!\left(T\,,\,p\right)=\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\ln \left({\mathcal {v}}\right)\right]}{\partial T}}\right\rbrace _{\!p}\!\left(T\,,\,p\right)\;$» $\;{\Bigg \langle }\!$avec $\;{\mathcal {v}}\!\left(T\,,\,p\right)={\dfrac {d{\mathcal {V}}\!\left(T\,,\,p\right)}{dm}}\;$ le volume massique du fluide à la température $\;T\;$ et la pression $\;p\;$ $\Rightarrow$ $\;\ln \!\left[{\mathcal {v}}\!\left(T\,,\,p\right)\right]=\ln \!\left[d{\mathcal {V}}\!\left(T\,,\,p\right)\right]-\ln(dm)\;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\ln \left({\mathcal {v}}\right)\right]}{\partial T}}\right\rbrace _{\!p}\!\left(T\,,\,p\right)=$ $\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\ln \left(d{\mathcal {V}}\right)\right]}{\partial T}}\right\rbrace _{\!p}\!\left(T\,,\,p\right)\;$ car $\;dm\;$ est une constante$\!{\Bigg \rangle }$ soit enfin le volume massique «$\;{\mathcal {v}}\!\left(T\,,\,p\right)={\dfrac {d{\mathcal {V}}\!\left(T\,,\,p\right)}{dm}}\;$» étant l’inverse de la masse volumique «$\;\mu \!\left(T\,,\,p\right)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}\!\left(T\,,\,p\right)}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;\ln \!\left[{\mathcal {v}}\!\left(T\,,\,p\right)\right]$ $=-\ln \!\left[\mu \!\left(T\,,\,p\right)\right]\;$» et par suite «$\;\alpha \!\left(T\,,\,p\right)=$ $-\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\ln \left(\mu \right)\right]}{\partial T}}\right\rbrace _{\!p}\!\left(T\,,\,p\right)\;$» ou encore
$\;\alpha \!\left(T\,,\,p\right)=-{\dfrac {1}{\mu }}\,\left({\dfrac {\partial \mu }{\partial T}}\right)_{\!p}\!\left(T\,,\,p\right)\;$
$\;K^{-1}\;$
Un fluide « indilatable » est un fluide dont le cœfficient de dilatation isobare «$\;\alpha \!\left(T\,,\,p\right)=0,\;\;\forall \;M\;$» ou, avec «$\;\alpha \!\left(T\,,\,p\right)=-{\dfrac {1}{\mu }}\,\left({\dfrac {\partial \mu }{\partial T}}\right)_{\!p}\!\left(T\,,\,p\right)\;$»,
Un fluide « indilatable » est un fluide tel que « sa masse volumique $\;\mu \;$ est indépendante de la température $\;T\;$ en chaque point $\;M\;$», soit finalement «$\;\mu =\mu (M\,,\,p),\;\;\forall \;M\;$».

#### Modèle de fluide incompressible, homogène et indilatable

Un fluide incompressible, homogène et « indilatable » est de « masse volumique $\;\mu \;$ constante » c'est-à-dire «$\;\mu =cste,\;\;\forall \,\left(M\,,\,p\,,\,T\right)\;$».

### Liquide réel et modèle à « masse volumique constante »

Rappel : Le modèle à « masse volumique constante » étant soit un modèle incompressible et homogène « à évolution isotherme » ou soit un modèle incompressible, homogène et « indilatable ».
Exemple de liquide réel « l'eau liquide » : $\succ \;$son cœfficient de compressibilité isotherme à température ordinaire valant «$\;\chi _{T_{0}}\simeq 5\;10^{-10}\;Pa^{-1}\;$ ${\big$pratiquement indépendant de la pression $\;p{\big )}\;$» permet de déterminer la variation de la masse volumique $\;\mu \;$ de l'eau liquide en fonction de la pression $\;p\;$ par «$\;\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\ln \left(\mu \right)\right]}{\partial p}}\right\rbrace _{\!T_{0}}\!\left(p\,,\,T_{0}\right)=\chi _{T_{0}}\simeq 5\;10^{-10}\;Pa^{-1}\;$» en l'intégrant « à température constante » entre «$\;p_{0}\;$ pression au niveau de la surface libre » et «$\;p\;$ pression à une certaine profondeur » $\Rightarrow$ «$\;\ln \!\left[{\dfrac {\mu (p)}{\mu (p_{0})}}\right]=\chi _{T_{0}}\left(p-p_{0}\right)\;$» ou encore «$\;\mu (p)=\mu (p_{0})\;\exp \left[\chi _{T_{0}}\left(p-p_{0}\right)\right]\;$ à $\;T\;$ constante » ; Exemple de liquide réel « l'eau liquide » : $\color {transparent}{\succ \;}$«$\;\mu (p)\simeq \mu (p_{0})\;$ à température maintenue constante » si «$\;\chi _{T_{0}}\left(p-p_{0}\right)\ll 1\;$», «$\;\mu (p)\simeq \mu (p_{0})\;$ à $\;1\;\%\;$ près pour une profondeur $\;\lesssim 2000\;m\;$» $\;{\bigg$plus précisément «$\;\chi _{T_{0}}\left(p-p_{0}\right)\;$ étant considéré comme un infiniment petit d'ordre un » et le « D.L. à l'ordre un de $\;\exp \left[\chi _{T_{0}}\left(p-p_{0}\right)\right]\;$ étant $\;\simeq 1+\chi _{T_{0}}\left(p-p_{0}\right)\;$», nous en déduisons que « la masse volumique pourra être considérée comme constante à $\;1\;\%\;$» près si «$\;1+\chi _{T_{0}}\left(p-p_{0}\right)<1,01\;$» ou «$\;\chi _{T_{0}}\left(p-p_{0}\right)<10^{-2}\;$» c'est-à-dire «$\;p-p_{0}<{\dfrac {10^{-2}}{5\;10^{-10}}}=2\;10^{7}\;Pa=200\;bar\;$» condition usuellement réalisée $\;{\big$nous verrons au paragraphe « océan réel en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme » plus bas dans ce chapitre qu'une telle différence de pression correspond à une profondeur voisine de $\;2000\;m{\big )}{\bigg ]}$ ; une étendue d'eau liquide profonde de $\;2000\;m\;$ conduisant à une augmentation de pression entre la surface libre et le fond de l'étendue de $\;200\;bar\;$ simultanément à une augmentation relative de masse volumique $\;\lesssim \;1\;\%$, il est donc légitime Exemple de liquide réel « l'eau liquide » : $\color {transparent}{\succ \;}$de considérer l’eau liquide sur une profondeur de $\;2000\;m\;$ comme un fluide « incompressible » et Exemple de liquide réel « l'eau liquide » : $\color {transparent}{\succ \;}$d'y appliquer le modèle « fluide à masse volumique constante » si la température ne varie pas $\;{\big$c'est-à-dire lors d'une évolution isotherme${\big )}$ ;
Exemple de liquide réel « l'eau liquide » : $\succ \;$son cœfficient de dilatation isobare à pression ordinaire valant «$\;\alpha \simeq 3\;10^{-4}\;K^{-1}\;$ ${\big$pratiquement indépendant de la température $\;T{\big )}\;$» permet de déterminer la variation de la masse volumique $\;\mu \;$ de l'eau liquide en fonction de la température $\;T\;$ par «$\;-\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\ln \left(\mu \right)\right]}{\partial T}}\right\rbrace _{\!p_{0}}\!\left(T\,,\,p_{0}\right)=\alpha \simeq 3\;10^{-4}\;K^{-1}\;$» en l'intégrant « à pression constante » entre «$\;T_{0}\;$ température au niveau de la surface libre » et «$\;T\;$ température à une certaine profondeur » $\Rightarrow$ «$\;\ln \!\left[{\dfrac {\mu (T)}{\mu (T_{0})}}\right]=-\alpha \left(T-T_{0}\right)\;$» ou encore «$\;\mu (T)=\mu (T_{0})\;\exp \left[-\alpha \left(T-T_{0}\right)\right]\;$ à $\;p\;$ constante » ; Exemple de liquide réel « l'eau liquide » : $\color {transparent}{\succ \;}$ «$\;\mu (T)\simeq \mu (T_{0})\;$ à pression maintenue constante » si «$\;{\big \vert }\,\alpha \left(T-T_{0}\right){\big \vert }\ll 1\;$», «$\;\mu (T)\simeq \mu (T_{0})\;$ à $\;1\;\%\;$ quelle que soit la profondeur considérée » $\;{\bigg$plus précisément «$\;\alpha \left(T-T_{0}\right)\;$ étant considéré comme un infiniment petit d'ordre un » et le « D.L. à l'ordre un de $\;\exp \left[-\alpha \left(T-T_{0}\right)\right]\;$ étant $\;\simeq 1-\alpha \left(T-T_{0}\right)\;$», nous en déduisons que « la masse volumique pourra être considérée comme constante à $\;1\;\%\;$» près si «$\;\alpha \;\vert T-T_{0}\vert <10^{-2}\;$» c'est-à-dire «$\;\vert T-T_{0}\vert <{\dfrac {10^{-2}}{3\;10^{-4}}}\simeq 33\;K\;$» condition usuellement réalisée dans l'eau liquide des étendues naturelles $\;{\big$la température de l'eau liquide des océans reste à peu près constante sur les 1$^{ères}$ dizaines de $\;m\;$ de profondeur puis $\;\searrow \;$ rapidement de $\;\simeq 20\;{\text{°C}}\;$ dans une couche de transition thermique appelée thermocline de $\;\simeq 1\;km\;$ de profondeur, pour ensuite continuer à $\;\searrow \;$ de manière beaucoup moins prononcée $\;{\big$la température restant comprise entre $\;0\;$ et $\;3\;{\text{°C}}\;$ dans les eaux au-dessous de la thermocline${\big )}{\bigg ]}$ ; une étendue naturelle d'eau liquide de profondeur quelconque conduisant à une diminution de température entre la surface libre et le fond de l'étendue de $\;\lesssim 30\;{\text{°C}}\;$ simultanément à une augmentation relative de masse volumique $\;\lesssim \;1\;\%$, il est donc légitime Exemple de liquide réel « l'eau liquide » : $\color {transparent}{\succ \;}$de considérer l’eau liquide des étendues naturelles sur une profondeur quelconque comme un fluide « indilatable » et Exemple de liquide réel « l'eau liquide » : $\color {transparent}{\succ \;}$d'y appliquer le modèle « fluide à masse volumique constante » si la pression ne varie pas $\;{\big$ce qui est une situation tout à fait hypothétique, la pression à $\;10\;m\;$ de profondeur étant $\;2\;$ fois la pression au niveau de la surface libre${\big )}$ ;
Exemple de liquide réel « l'eau liquide » : $\succ \;$tenant compte simultanément du cœfficient de compressibilité isotherme à température ordinaire valant «$\;\chi _{T_{0}}\simeq 5\;10^{-10}\;Pa^{-1}\;$ ${\big$pratiquement indépendant de la pression $\;p{\big )}\;$» et du cœfficient de dilatation isobare à pression ordinaire valant «$\;\alpha \simeq 3\;10^{-4}\;K^{-1}\;$ ${\big$pratiquement indépendant de la température $\;T{\big )}\;$», une 1ère intégration à température constante de «$\;\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\ln \left(\mu \right)\right]}{\partial p}}\right\rbrace _{\!T}\!\left(p\,,\,T\right)$ $=\chi _{T_{0}}\simeq 5\;10^{-10}\;Pa^{-1}\;$» $\Rightarrow$ «$\;\ln \!\left(\mu \right)=\chi _{T_{0}}\;p+\varphi (T)\;$» avec «$\;\varphi (T)\;$ une fonction arbitraire de $\;T\;$ à déterminer » $\Rightarrow$ «$\;\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\ln \left(\mu \right)\right]}{\partial T}}\right\rbrace _{\!p}\!\left(T\,,\,p\right)=\varphi '(T)\;$», une 2ème intégration à pression constante de «$\;-\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\ln \left(\mu \right)\right]}{\partial T}}\right\rbrace _{\!p}\!\left(p\,,\,T\right)=\alpha \simeq 3\;10^{-4}\;K^{-1}\;$» se réécrivant «$\;-\varphi '(T)=\alpha \;$» $\Rightarrow$ $\;\varphi (T)=-\alpha \;T+cste\;$ d'où «$\;\ln \!\left(\mu \right)=\chi _{T_{0}}\;p-\alpha \;T+cste\;$», $\;cste\;$ se déterminant à l'aide des « C.A.L. $\;\mu (p_{0}\,,\,T_{0})=\mu _{0}\;$» $\Rightarrow$ «$\;\ln \!\left[{\dfrac {\mu (p\,,\,T)}{\mu _{0}}}\right]=\chi _{T_{0}}\left(p-p_{0}\right)-\alpha \left(T-T_{0}\right)\;$» ou encore «$\;\mu (p\,,\,T)=\mu _{0}\;\exp \left[\chi _{T_{0}}\left(p-p_{0}\right)-\alpha \left(T-T_{0}\right)\right]\;$» ; Exemple de liquide réel « l'eau liquide » : $\color {transparent}{\succ \;}$dans la mesure où «$\;{\big \vert }\,\chi _{T_{0}}\left(p-p_{0}\right)-\alpha \left(T-T_{0}\right){\big \vert }\;$ est $\;\ll 1\;$» c'est-à-dire considéré comme infiniment petit d'ordre un, le « D.L. à l'ordre un de $\;\mu (p\,,\,T)=$ $\mu _{0}\;\exp \left[\chi _{T_{0}}\left(p-p_{0}\right)-\alpha \left(T-T_{0}\right)\right]\;$» nous donnant «$\;\mu (p\,,\,T)\simeq \mu _{0}\,\left[1+\chi _{T_{0}}\left(p-p_{0}\right)-\alpha \left(T-T_{0}\right)\right]\;$», nous en déduisons que «$\;\mu (p\,,\,T)\simeq \mu _{0}\;$ à $\;1\;\%\;$ près si «$\;{\big \vert }\,\chi _{T_{0}}\left(p-p_{0}\right)-\alpha \left(T-T_{0}\right){\big \vert }\;$ est $\;\lesssim 10^{-2}\;$» ce qui est réalisé pour l'eau liquide des étendues naturelles sur une profondeur de $\;\simeq 500\;m\;$ $\;{\big \$à raison de $\;\simeq 0,6\;\%\;$ d'augmentation relative de $\;\mu \;$ due à une diminution de température de $\;\simeq 20\;{\text{°C}}\;$ et $\;0,25\;\%\;$ d'augmentation relative de $\;\mu \;$ due à une augmentation de pression de $\;50\;bar\;$${\big \}$ ; il est donc légitime Exemple de liquide réel « l'eau liquide » : $\color {transparent}{\succ \;}$de considérer l'eau liquide des étendues naturelles sur une profondeur de${\underline {\;\simeq 500\;m}}$ comme un fluide « indilatable », « incompressible » et Exemple de liquide réel « l'eau liquide » : $\color {transparent}{\succ \;}$d'y appliquer le modèle « fluide à masse volumique constante » $\;{\big$en supposant bien entendu le caractère « homogène » de cette eau${\big )}$.
Exemple de liquide réel « l'eau liquide » : $\succ \;$Si nous considérons une étendue d'eau non naturelle, nous pouvons, sans restriction, considérer l'eau liquide de cette étendue comme étant « incompressible » mais par contre comme étant vraisemblablement « dilatable », ainsi pour appliquer, sans restriction, le modèle « fluide à masse volumique constante » à l'eau liquide d'une étendue d'eau non naturelle $\;{\big$dont le caractère « homogène » est supposé réalisé${\big )}\;$ il est nécessaire de considérer une « évolution isotherme » de cette eau avec la profondeur.

## Détermination du champ de pression d’un fluide incompressible et homogène à évolution isotherme en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme, intégrale 1ère spatiale ou formule du nivellement barométrique
### Rappel de la forme différentielle de la relation fondamentale de la statique des fluides (r.f.s.f.) d’un fluide en équilibre dans le champ de pesanteur uniforme, le référentiel terrestre étant supposé galiléen

La forme différentielle de la r.f.s.f. d'un fluide de masse volumique $\;\mu (M)\;$ en équilibre thermodynamique dans un champ de pesanteur uniforme d'intensité $\;g\;$ d'un référentiel galiléen quand l'axe vertical $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ est orienté dans le sens descendant $\;{\big\!\Rightarrow$ $\;z_{M}\;$ représente la profondeur localisant le point $\;M\;$ dans la mesure où l'origine $\;O\;$ est choisie en la position la plus élevée du centre des éléments mésoscopiques du fluide${\big )}$, est, avec $\;p_{M}\;$ la pression du point $\;M$,
$\;dp_{M}-\mu (M)\;g\;dz_{M}=0\;$
$\;{\big$voir le paragraphe « remarque, forme différentielle de la relation fondamentale de la statique des fluides (r.f.s.f.) dans un référentiel galiléen pour un fluide en équilibre dans un champ de pesanteur uniforme, l'axe Oz étant vertical descendant » plus haut dans ce chapitre${\big )}$.

### Application au modèle de fluide à « masse volumique constante », intégrale 1ère spatiale

La forme différentielle de la r.f.s.f. appliquée à un fluide de « masse volumique $\;\mu \;$ constante » en équilibre thermodynamique dans un champ de pesanteur uniforme d'intensité $\;g\;$ d'un référentiel galiléen quand l'axe vertical $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ est orienté dans le sens descendant $\;{\big\!\Rightarrow$ $\;z_{M}\;$ représente la profondeur localisant le point $\;M\;$ dans la mesure où l'origine $\;O\;$ est choisie en la position la plus élevée du centre des éléments mésoscopiques du fluide${\big )}$, se réécrivant, avec $\;p_{M}\;$ la pression du point $\;M$, «$\;dp_{M}-\mu \;g\;dz_{M}=0\;$» ou, $\;\mu \;g\;$ étant une constante, selon «$\;d\!\left[p_{M}-\mu \;g\;z_{M}\right]=0\;$» qui s'intègre facilement relativement à l'espace pour donner l'« intégrale 1ère spatiale » du modèle fluide à « masse volumique constante »
$\;p_{M}-\mu \;g\;z_{M}=cste\;$
$\;{\overrightarrow {Oz}}\;$
$\;{\bigcste\;$
$\;p_{O}=p_{0}\;$
$\Rightarrow$
$\;cste=p_{0}\;$
${\big )}$
Commentaire : retenir le signe «$\;-\;$» devant le 2ème terme du 1er membre de l'intégrale 1ère spatiale du modèle fluide à « masse volumique constante » ne doit demander aucun effort si nous nous souvenons que la pression $\;\nearrow \;$ quand la profondeur $\;\nearrow \;$ et que le 2ème membre de l'intégrale 1ère spatiale est constant.
Remarque : Nous pouvons être amené à choisir un axe vertical $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ ascendant $\;{\big$par exemple en plaçant l'origine de l'axe au fond du récipient contenant le fluide à « masse volumique constante » et en repérant le point courant $\;M\;$ de ce dernier par son écart $\;z_{M}\;$ relativement au fond${\big )}$, avec ce choix l'« intégrale 1ère spatiale » du modèle fluide à « masse volumique constante » s'écrit
$\;p_{M}+\mu \;g\;z_{M}=cste\;$
$\;{\overrightarrow {Oz}}\;$
$\;{\bigcste\;$
$\;p_{O}=p_{\text{fond}}\;$
$\Rightarrow$
$\;cste=p_{\text{fond}}\;$
${\big )}$
Remarque : Commentaire : retenir le signe «$\;+\;$» devant le 2ème terme du 1er membre de l'intégrale 1ère spatiale du modèle fluide à « masse volumique constante » ne doit demander aucun effort si nous nous souvenons que la pression $\;\searrow \;$ quand l'écart avec le fond $\;\nearrow$ $\;{\big$correspondant à une remontée vers la surface${\big )}\;$ et que le 2ème membre de l'intégrale 1ère spatiale est constant.

### Application au modèle de fluide à « masse volumique constante », formule du nivellement barométrique

La « formule du nivellement barométrique » du modèle fluide à « masse volumique $\;\mu \;$ constante » n'est qu'une autre formulation de l'« intégrale 1ère spatiale » du même modèle fluide à « masse volumique $\;\mu \;$ constante » obtenue en écrivant l'égalité entre deux niveaux «$\;\left(1\right)\;$» et «$\;\left(2\right)\;$» de la grandeur maintenue constante dans l'intégrale 1ère spatiale soit :
* pour un axe vertical $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ orienté dans le sens descendant $\;{\big\!\Rightarrow$ $\;z_{M}\;$ représente la profondeur localisant le point $\;M\;$ dans la mesure où l'origine $\;O\;$ est choisie en la position la plus élevée du centre des éléments mésoscopiques du fluide${\big )}$, «$\;p_{2}-\mu \;g\;z_{2}=p_{1}-\mu \;g\;z_{1}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;p_{2}-p_{1}=\mu \;g\,\left(z_{2}-z_{1}\right)\;$» c'est-à-dire la « formule du nivellement barométrique » «$\;\Delta p=\mu \;g\;\Delta z\;$», avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\Delta p=p_{2}-p_{1}\\\Delta z=z_{2}-z_{1}\end{array}}\right\rbrace \;$ traduisant qu'une augmentation de profondeur «$\;\Delta z>0\;$» est accompagnée d'une augmentation de pression «$\;\Delta p>0\;$» « celle-ci s'obtenant en multipliant $\;\Delta z\;$ par $\;\mu \;g\;$ ${\big$grandeur caractérisant le fluide $\;{\big$et la pesanteur${\big )}{\big ]}\;$»,
* pour un axe vertical $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ orienté dans le sens ascendant $\;{\big$par exemple en plaçant l'origine de l'axe au fond du récipient contenant le fluide à « masse volumique constante » et en repérant le point courant $\;M\;$ de ce dernier par son écart $\;z_{M}\;$ relativement au fond${\big )}$, «$\;p_{2}+\mu \;g\;z_{2}=p_{1}+\mu \;g\;z_{1}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;p_{2}-p_{1}=-\mu \;g\,\left(z_{2}-z_{1}\right)\;$» c'est-à-dire la « formule du nivellement barométrique » «$\;\Delta p=-\mu \;g\;\Delta z\;$», avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\Delta p=p_{2}-p_{1}\\\Delta z=z_{2}-z_{1}\end{array}}\right\rbrace \;$ traduisant qu'une augmentation d'écart avec le fond du récipient «$\;\Delta z>0\;$» $\;{\big$c'est-à-dire, dans le cas d'un liquide, une remontée vers la surface libre${\big )}\;$ est accompagnée d'une diminution de pression correspondant à «$\;\Delta p<0\;$» «$\;\Delta p\;$ s'obtenant en multipliant $\;\Delta z\;$ par $\;-\mu \;g\;$ ${\big$grandeur caractérisant le fluide, le sens de l'axe vertical $\;{\big$et la pesanteur${\big )}{\big ]}\;$».

### Traversée de l’interface séparant un fluide à masse volumique constante et l’étendue gazeuse située au-dessus de lui

Préliminaire : L'interface séparant un « fluide à masse volumique constante $\;{\big$par exemple un liquide incompressible, homogène, à évolution isotherme${\big )}\;$» de l'« étendue gazeuse au-dessus de lui $\;{\big$par exemple l'atmosphère le surplombant${\big )}\;$» est encore appelée « surface libre du fluide $\;{\big$à masse volumique constante${\big )}\;$» ; Préliminaire : dans la suite de ce chapitre et dans le but de simplifier l'exposé nous appellerons « liquide » tout fluide à masse volumique constante, Préliminaire : dans la suite de ce chapitre et dans le but de simplifier l'exposé nous appellerons « atmosphère » toute étendue gazeuse au-dessus du fluide $\;{\big$même si elle n'est pas composée d'air${\big )}\;$ et Préliminaire : dans la suite de ce chapitre et dans le but de simplifier l'exposé nous appellerons « surface libre du liquide » l'interface séparant le fluide et l'étendue gazeuse le surplombant.
Propriété (admise) de la pression lors de la traversée de la surface libre d'un liquide : la pression lors de la traversée de la surface libre d'un liquide est supposée « continue », ceci nécessitant de négliger les phénomènes de « tension superficielle » $\;{\big$voir commentaires ci-dessous donnés en complément${\big )}$.
Complément sur les phénomènes de « tension superficielle » : l'introduction de cette dernière permet d'expliquer
* la forme d'une goutte de liquide dans un gaz,
* celle d'une bulle de gaz s'échappant d'un liquide et
* la forme de la surface libre d'un liquide dans un tube capillaire ainsi que la dénivellation $\;{\big$algébrique${\big )}\;$ entre la surface libre du liquide dans le tube et celle du même liquide dans le récipient dans lequel le tube plonge, forme et dénivellation $\;{\big$algébrique${\big )}\;$ dépendant de la nature du liquide.
Complément sur les phénomènes de « tension superficielle » : Cas d'une goutte d'eau dans l'air : ci-contre une coupe de goutte d'eau dans l'air avec précision de l'algébrisation du rayon de courbure de l'interface « eau - air » compté positivement de l'intérieur vers l'extérieur $\;{\big$c'est-à-dire de l'eau vers l'air${\big )}$ ; il y a une discontinuité de pression lors de la traversée de l'interface sphérique, la pression de l'eau de la goutte $\;p_{\text{eau}}\;$ étant plus grande que celle de l'air environnant $\;p_{\text{air}}$, la différence de pression de part et d'autre de l'interface sphérique suivant la « loi de Laplace (ou équation de Laplace-Young) $\;\Delta p={\dfrac {2\;A}{\overline {R}}}\;$» dans laquelle «$\;\Delta p=p_{\text{eau}}-p_{\text{air}}>0\;$ est la différence de pression », «$\;{\overline {R}}>0\;$ le rayon de courbure $\;{\big$algébrisé${\big )}\;$ de la goutte » et «$\;A\;$ le cœfficient de tension superficielle des interfaces eau - air », la démonstration de la « loi de Laplace (ou équation de Laplace-Young) $\;\Delta p=$ ${\dfrac {2\;A}{\overline {R}}}\;$» utilisant le résultat de la note « $^{93}$ » à savoir la résultante des forces de cohésion sur une calotte sphérique limitée par un cercle de rayon $\;r=R\;\sin(\alpha )\;$ de la surface de la goutte d'eau de rayon $\;R\;$ est «$\;{\vec {F}}=-2\;\pi \;A\;R\;\sin ^{2}(\alpha )\;{\vec {u}}_{{\text{eau}}\,\rightarrow \,{\text{air}}}\;$» $\Rightarrow$ une pression $\;{\big$algébrique${\big )}\;$ de cohésion de la calotte sphérique «$\;{\overline {p}}_{\text{cohésion}}=$ ${\dfrac {-2\;\pi \;A\;R\;\sin ^{2}(\alpha )}{{\mathcal {A}}_{{\text{int de }}{\mathcal {C}}}}}\;$ avec $\;{\mathcal {A}}_{{\text{int de }}{\mathcal {C}}}=\pi \,\left[R\;\sin(\alpha )\right]^{\,2}\;$ l'aire de la calotte projetée sur un plan $\;\perp \;$ à son axe de révolution » soit finalement «$\;{\overline {p}}_{\text{cohésion}}={\dfrac {-2\;\pi \;A\;R\;\sin ^{2}(\alpha )}{\pi \;R^{2}\;\sin ^{2}(\alpha )}}=$ ${\dfrac {-2\;A}{R}}\;$» d'où, l'épaisseur de la surface de la goutte étant négligeable, il y a équilibre si la pression $\;{\big$algébrique${\big )}\;$ que la goutte exerce sur l'extérieur de sa surface est égale à la pression que l'air exerce sur ce même extérieur c'est-à-dire $\;p_{\text{eau}}+{\overline {p}}_{\text{cohésion}}=p_{\text{air}}\;$ soit «$\;p_{\text{eau}}-p_{\text{air}}={\dfrac {2\;A}{R}}={\dfrac {2\;A}{\overline {R}}}\;$» $\;{\big{\overline {R}}\;$ étant $\;>0{\big )}$, ce « saut de pression de part et d'autre de l'interface étant appelée pression de Laplace » ; Complément sur les phénomènes de « tension superficielle » : Cas d'une goutte d'eau dans l'air : le cœfficient de tension superficielle de l'interface eau - air valant «$\;A_{{\text{eau}}\,-\,{\text{air}}}\simeq 72,8\;10^{-3}\;N\cdot m^{-1}\;$ à $\;20\;{\text{°C}}\;$», nous en déduisons la pression de Laplace pour une goutte d'eau de rayon $\;R\simeq 3\;mm\;$ à $\;20\;{\text{°C}}$, «$\;\Delta p={\dfrac {2\;A}{R}}\simeq {\dfrac {2\times 72,8\;10^{-3}}{3\;10^{-3}}}\;$ en $\;Pa\;$ soit $\;\Delta p\simeq 48,5\;Pa=0,485\;mbar\;$» ${\bigg$dans le cas où $\;p_{\text{air}}\simeq 1,013\;bar=1013\;mbar$, la pression de l'eau dans la goutte de rayon $\;R\simeq 3\;mm\;$ à $\;20\;{\text{°C}}\;$ vaut $\;p_{\text{eau}}\simeq 1013,5\;mbar\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {\Delta p}{p_{\text{air}}}}\simeq 0,05\;\%$ $\;{\big$la valeur relative étant d'autant plus grande que le rayon de la goutte est petit${\big )}{\bigg ]}$.
Complément sur les phénomènes de « tension superficielle » : Cas d'une bulle d'air dans l'eau : ci-contre une coupe de bulle d'air dans l'eau avec précision de l'algébrisation du rayon de courbure de l'interface « air - eau » compté positivement de l'extérieur vers l'intérieur $\;{\big$c'est-à-dire de l'eau vers l'air${\big )}$ ; il y a une discontinuité de pression lors de la traversée de l'interface sphérique, la pression de l'air de la bulle $\;p_{\text{air}}\;$ étant plus grande que celle de l'eau environnante $\;p_{\text{eau}}$, la différence de pression de part et d'autre de l'interface sphérique suivant la « loi de Laplace (ou équation de Laplace-Young) $\;\Delta p={\dfrac {2\;A}{\overline {R}}}\;$» dans laquelle «$\;\Delta p=p_{\text{eau}}-p_{\text{air}}<0\;$ est la différence de pression », «$\;{\overline {R}}<0\;$ le rayon de courbure $\;{\big$algébrisé${\big )}\;$ de la bulle » et «$\;A\;$ le cœfficient de tension superficielle des interfaces eau - air », la démonstration de la « loi de Laplace (ou équation de Laplace-Young) $\;\Delta p=$ ${\dfrac {2\;A}{\overline {R}}}\;$» utilisant le résultat de la note « $^{93}$ » à savoir la résultante des forces de cohésion sur une calotte sphérique limitée par un cercle de rayon $\;r=R\;\sin(\alpha )\;$ de la surface de la bulle d'air de rayon $\;R\;$ est «$\;{\vec {F}}=2\;\pi \;A\;R\;\sin ^{2}(\alpha )\;{\vec {u}}_{{\text{eau}}\,\rightarrow \,{\text{air}}}\;$» $\Rightarrow$ une pression $\;{\big$algébrique${\big )}\;$ de cohésion de la calotte sphérique «$\;{\overline {p}}_{\text{cohésion}}=$ ${\dfrac {2\;\pi \;A\;R\;\sin ^{2}(\alpha )}{{\mathcal {A}}_{{\text{int de }}{\mathcal {C}}}}}\;$ avec $\;{\mathcal {A}}_{{\text{int de }}{\mathcal {C}}}=\pi \,\left[R\;\sin(\alpha )\right]^{\,2}\;$ l'aire de la calotte projetée sur un plan $\;\perp \;$ à son axe de révolution » soit finalement «$\;{\overline {p}}_{\text{cohésion}}={\dfrac {2\;\pi \;A\;R\;\sin ^{2}(\alpha )}{\pi \;R^{2}\;\sin ^{2}(\alpha )}}=$ ${\dfrac {2\;A}{R}}\;$» d'où, l'épaisseur de la surface de la bulle étant négligeable, il y a équilibre si la pression $\;{\big$algébrique${\big )}\;$ que la bulle exerce sur l'intérieur de sa surface est égale à la pression que l'eau exerce sur ce même intérieur c'est-à-dire $\;p_{\text{air}}=p_{\text{eau}}+{\overline {p}}_{\text{cohésion}}\;$ soit «$\;p_{\text{eau}}-p_{\text{air}}=-{\dfrac {2\;A}{R}}={\dfrac {2\;A}{\overline {R}}}\;$» $\;{\big{\overline {R}}\;$ étant $\;<0{\big )}$, ce « saut de pression de part et d'autre de l'interface étant appelée pression de Laplace » ; Complément sur les phénomènes de « tension superficielle » : Cas d'une bulle d'air dans l'eau : le cœfficient de tension superficielle de l'interface eau - air valant «$\;A_{{\text{eau}}\,-\,{\text{air}}}\simeq 72,8\;10^{-3}\;N\cdot m^{-1}\;$ à $\;20\;{\text{°C}}\;$», nous en déduisons la pression de Laplace pour une bulle d'air de rayon $\;R\simeq 1\;mm\;$ à $\;20\;{\text{°C}}$, «$\;\Delta p=-{\dfrac {2\;A}{R}}\simeq -{\dfrac {2\times 72,8\;10^{-3}}{1\;10^{-3}}}\;$ en $\;Pa\;$ soit finalement $\;\Delta p\simeq -145,5\;Pa=$ $-1,455\;mbar\;$» ${\bigg$dans le cas où $\;p_{\text{eau}}\simeq 1,064\;bar=1064\;mbar$ ${\big$c'est-à-dire $\;\simeq 50\;cm\;$ au-dessous de la surface libre du récipient contenant l'eau${\big )}$, la pression de l'air dans la bulle de rayon $\;R\simeq 1\;mm\;$ au fond du récipient vaut $\;p_{\text{air}}\simeq 1065,5\;mbar\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {\vert \Delta p\vert }{p_{\text{eau}}}}\simeq 0,14\;\%$ $\;{\big$la valeur relative étant d'autant plus grande que le rayon de la bulle est petit${\big )}{\bigg ]}$ ; Complément sur les phénomènes de « tension superficielle » : Cas d'une bulle d'air dans l'eau : autre exemple : une « petite » bulle d'air de rayon «$\;R\simeq 0,1\;mm\;$» formée par un plongeur explorant un fond marin à une profondeur de $\;70\;m\;$ $\Rightarrow$ la pression d'eau y est «$\;p_{\text{eau}}\simeq 8\;bar\;$», la pression de Laplace valant «$\;\Delta p=-{\dfrac {2\;A}{R}}\simeq -{\dfrac {2\times 72,8\;10^{-3}}{1\;10^{-4}}}\;$ en $\;Pa\;$ à $\;20\;{\text{°C}}\;$ soit finalement $\;\Delta p\simeq$ $-1455\;Pa=-14,55\;mbar\;$», nous en déduisons la pression d'air à l'intérieur de la bulle «$\;p_{\text{air}}\simeq 8,015\;bar\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {\vert \Delta p\vert }{p_{\text{eau}}}}\simeq 0,19\;\%$» ; quand la bulle remonte, la pression d’eau $\;p_{\text{eau}}\searrow$, celle d'air $\;p_{\text{air}}\searrow \;$ de même $\;{\big$en restant néanmoins légèrement plus grande que $\;p_{\text{eau}}{\big )}\;$ et si sa température reste constante le volume de la bulle $\;\nearrow \;$ entraînant une $\;\nearrow \;$ du rayon $\;R\;$ de la bulle et par suite une $\;\searrow \;$ de la valeur absolue de la pression de Laplace c'est-à-dire de la discontinuité de pression entre l'air intérieur de la bulle et l'eau extérieur $\;{\big \$toutefois, rapportée à la pression de l'eau qui a aussi $\;\searrow$ $\;{\big$mais de façon plus grande${\big )}$, la discontinuité relative de pression entre l'air intérieur de la bulle et l'eau extérieur a $\;\nearrow \;$${\big \}$.
Complément sur les phénomènes de « tension superficielle » : Remarque, cas d'une bulle de savon : une bulle de savon est en fait un film d'eau savonneuse emprisonnant de l'air dans une atmosphère d'air, si la bulle est sphérique de rayon $\;R$ $\;{\big$l'épaisseur de la bulle étant négligeable devant $\;R{\big )}$, il y a alors deux interfaces, l'une séparant l'eau savonneuse de l'air extérieur et l'autre l'eau savonneuse de l'air intérieur, le « cœfficient de tension superficielle de ces deux interfaces eau savonneuse - air étant noté $\;A\;$» et le « rayon de courbure de ces interfaces étant compté positivement de l'intérieur vers l'extérieur $\Rightarrow$ $\;{\overline {R}}>0\;$ c'est-à-dire $\;{\overline {R}}=R\;$», il y a discontinuité de pression lors de la traversée du film d'eau savonneuse, la pression de l'air intérieur $\;p_{\text{air int}}\;$ étant plus grande que celle de l'air environnant $\;p_{\text{air ext}}$, la différence de pression de part et d'autre du film d'eau savonneuse suivant la « loi de Laplace $\;\Delta p={\dfrac {4\;A}{\overline {R}}}\;$» dans laquelle «$\;\Delta p=p_{\text{air int}}-p_{\text{air ext}}>0\;$ est la différence de pression », la démonstration de la « loi de Laplace (ou équation de Laplace-Young) $\;\Delta p=$ ${\dfrac {4\;A}{\overline {R}}}\;$» utilisant les résultats précédents concernant la pression de Laplace entre l'eau savonneuse et l'air extérieur «$\;p_{\text{eau savon}}-p_{\text{air ext}}$ $={\dfrac {2\;A}{\overline {R}}}\;$» $\;{\big$voir « cas d'une goutte d'eau dans l'air » plus haut dans ce paragraphe${\big )}\;$ et celle entre l'air intérieur et l'eau savonneuse «$\;p_{\text{eau savon}}-p_{\text{air int}}={\dfrac {2\;A}{{\overline {R}}_{{\text{eau savon}}\,\rightarrow \,{\text{air int}}}}}\;$» $\;{\big$voir « cas d'une bulle d'air dans l'eau » plus haut dans ce paragraphe${\big )}\;$ ou, avec le choix d'orientation du rayon de courbure imposée ici $\Rightarrow$ «$\;{\overline {R}}_{{\text{eau savon}}\,\rightarrow \,{\text{air int}}}$ $=-{\overline {R}}\;$», «$\;p_{\text{eau savon}}-p_{\text{air int}}=-{\dfrac {2\;A}{\overline {R}}}\;$» soit finalement «$\;\Delta p=p_{\text{air int}}-p_{\text{air ext}}=\left(p_{\text{eau savon}}-p_{\text{air ext}}\right)-\left(p_{\text{eau savon}}-p_{\text{air int}}\right)={\dfrac {4\;A}{\overline {R}}}\;$» $\;{\big{\overline {R}}\;$ étant $\;>0$, $\;\Delta p\;$ l'est aussi${\big )}$.
Complément sur les phénomènes de « tension superficielle » : Cas d'un tube capillaire plongeant dans l'eau : ci-contre la coupe d'un tube capillaire $\;{\big$tube de section droite cylindrique de révolution de faible rayon $\;r\;$${\big )}\;$ plongeant verticalement dans l'eau avec précision de la courbure de la surface libre de l'eau dans le tube ainsi que du sens de la dénivellation $\;h\;$ entre cette dernière et la surface libre de l'eau du récipient dans lequel plonge le tube ; nous constatons d'une part que la surface libre de l'eau dans le tube capillaire n'est pas plane mais forme un « ménisque concave » $\;{\big$la raison étant que l'adhésion de l'eau sur le verre est supérieure à la cohésion propre de l'eau d'où une tendance de l'eau à adhérer le plus possible au verre${\big )}\;$ et d'autre part que le point le plus bas de la surface libre dans le tube est à un niveau plus élevé que celui de la surface libre dans le récipient, la dénivellation $\;h\;$ suivant la « loi de Jurin $\;h={\dfrac {2\;A\;\cos(\theta )}{r\;\mu \;g}}\;$» dans laquelle «$\;\mu \;$ est la masse volumique de l'eau », «$\;g\;$ l'intensité de la pesanteur », «$\;A\;$ le cœfficient de tension superficielle de l'interface eau - air » et «$\;\theta \;$ l'angle de contact entre l'eau et la paroi du tube encore appelé angle de raccordement » ; la démonstration de la « loi de Jurin $\;h={\dfrac {2\;A\;\cos(\theta )}{r\;\mu \;g}}\;$» utilise d'une part Complément sur les phénomènes de « tension superficielle » : Cas d'un tube capillaire plongeant dans l'eau : la « formule du nivellement barométrique appliquée à l'eau contenue dans le récipient et le tube, entre la surface libre de l'eau dans le récipient $\;{\big$ou de l'eau du tube située au même niveau${\big )}\;$ et le point $\;B\;$ de l'eau du tube juste au-dessous du ménisque soit $\;p_{0}-p_{B}=\mu \;g\;h\;$» et d'autre part Complément sur les phénomènes de « tension superficielle » : Cas d'un tube capillaire plongeant dans l'eau : la « loi de Laplace (ou équation de Laplace-Young) appliquée de part et d'autre du ménisque entre le point $\;B\;$ de l'eau du tube juste au-dessous du ménisque et l'air juste au-dessus $\;p_{B}-p_{0}={\dfrac {2\;A}{\overline {R}}}\;$ où $\;{\overline {R}}\;$ est le rayon de courbure du ménisque orienté de l'eau vers l'air c'est-à-dire $\;{\overline {R}}<0\;$ ou, en notant $\;R\;$ le rayon de courbure non algébrisé $\;{\overline {R}}<0\;$» d'où «$\;p_{0}-p_{B}={\dfrac {2\;A}{R}}\;$» et finalement, Complément sur les phénomènes de « tension superficielle » : Cas d'un tube capillaire plongeant dans l'eau : l'identification des deux expressions de $\;p_{0}-p_{B}={\dfrac {2\;A}{R}}\;$ conduit à «$\;h={\dfrac {2\;A}{R\;\mu \;g}}\;$» ; Complément sur les phénomènes de « tension superficielle » : Cas d'un tube capillaire plongeant dans l'eau : il reste maintenant à expliciter le « rayon de courbure $\;R\;$ du ménisque en fonction du rayon $\;r\;$ du tube et de l'angle de contact $\;\theta \;$ entre l'eau et la paroi du tube » d'une part et d'autre part à rechercher « à quelle condition la hauteur $\;\delta \;$ du ménisque dans le tube $\;{\big$voir définition dans le détail de la figure ci-dessus à droite${\big )}\;$ peut être négligée devant la dénivellation $\;h\;$» soit Complément sur les phénomènes de « tension superficielle » : Cas d'un tube capillaire plongeant dans l'eau : d'une part $\;{\big$voir détail de la figure ci-dessus à droite${\big )}$ $\;{\dfrac {r}{R}}=\cos(\theta )\;$ $\Rightarrow$ «$\;R={\dfrac {r}{\cos(\theta )}}\;$» expression reportée dans «$\;h={\dfrac {2\;A}{R\;\mu \;g}}\;$» pour achever la démonstration de la « loi de Jurin $\;h={\dfrac {2\;A\;\cos(\theta )}{r\;\mu \;g}}\;$», Complément sur les phénomènes de « tension superficielle » : Cas d'un tube capillaire plongeant dans l'eau : d'autre part $\;{\big$voir détail de la figure ci-dessus à droite${\big )}$ $\;\delta =R-R\;\sin(\theta )\;$ ou, en factorisant et reportant l'expression précédemment établie de $\;R$, «$\;\delta ={\dfrac {r\,\left[1-\sin(\theta )\right]}{\cos(\theta )}}\;$» d'où la réécriture de «$\;\delta \ll h\;$» selon «$\;{\dfrac {r\,\left[1-\sin(\theta )\right]}{\cos(\theta )}}\ll {\dfrac {2\;A\;\cos(\theta )}{r\;\mu \;g}}\;$» $\Leftrightarrow$ $\;r^{2}\ll {\dfrac {2\;A\;\cos ^{2}(\theta )}{\mu \;g\,\left[1-\sin(\theta )\right]}}\;$» d'où
$\;h={\dfrac {2\;A\;\cos(\theta )}{r\;\mu \;g}}\;$
$\;r\ll {\dfrac {\cos(\theta )}{\sqrt {1-\sin(\theta )}}}\;{\sqrt {\dfrac {2\;A}{\mu \;g}}}\;$
Complément sur les phénomènes de « tension superficielle » : Cas d'un tube capillaire plongeant dans l'eau : exemple : le « cœfficient de tension superficielle de l'interface eau - air valant $\;A\simeq$ $72,8\;10^{-3}\;N\cdot m^{-1}\;$ à $\;20\;{\text{°C}}\;$», l'« angle de contact $\;\theta \;$ entre l'eau et le verre de la paroi du tube étant estimée à $\;\theta \simeq 45\;{\text{°}}\;$», la « masse volumique de l'eau étant $\;\mu \simeq 998\;kg\cdot m^{-3}\;$ à $\;20\;{\text{°C}}\;$» et l'« intensité de la pesanteur $\;g\simeq 9,81\;m\cdot s^{-2}\;$», la condition d'applicabilité de la « loi de Jurin $\;h={\dfrac {2\;A\;\cos(\theta )}{r\;\mu \;g}}\;$» impose que le rayon $\;r\;$ du tube satisfasse «$\;r\ll {\dfrac {\cos(\theta )}{\sqrt {1-\sin(\theta )}}}\;{\sqrt {\dfrac {2\;A}{\mu \;g}}}\simeq$ ${\dfrac {\cos(45\;{\text{°}})}{\sqrt {1-\sin(45\;{\text{°}})}}}\;{\sqrt {\dfrac {2\times 72,8\;10^{-3}}{998\times 9,81}}}\;$ en $\;m\;$» soit «$\;r\ll 5\;mm\;$» ; pour un « tube capillaire de diamètre $\;1\;mm\;$», la « dénivellation $\;h\;$ entre le ménisque de la surface libre de l'eau du tube et la surface libre de l'eau du récipient dans lequel est plongé le tube » vaut «$\;h={\dfrac {2\;A\;\cos(\theta )}{r\;\mu \;g}}\simeq {\dfrac {2\times 72,8\;10^{-3}\times \cos(45\;{\text{°}})}{0,5\;10^{-3}\times 998\times 9,81}}\;$ en $\;m\;$» soit «$\;h\simeq 21\;cm\;$» $\;{\bigg \$remarque : nous pouvons obtenir un ordre de grandeur de la dénivellation en appliquant la loi de Jurin $\;h={\dfrac {2\;A\;\cos(\theta )}{r\;\mu \;g}}\;$ dans un tube de rayon $\;\gtrsim 0,5\;mm\;$ bien que sa condition de validité ne soit pas respectée, par exemple si $\;r\simeq 2\;mm\;$ l'ordre de grandeur de $\;h\;$ trouvé par loi de Jurin à savoir $\;h\simeq 5\;cm\;$ reste du domaine acceptable${\bigg \}$.
Complément sur les phénomènes de « tension superficielle » : Cas d'un tube capillaire plongeant dans le mercure : contrairement aux autres liquides à température ordinaire, d'une part la « surface libre du mercure dans le tube capillaire forme un ménisque convexe » $\;{\big$la raison étant que l'adhésion du mercure sur le verre est inférieure à la cohésion propre du mercure d'où une tendance du mercure à adhérer le moins possible au verre${\big )}\;$ dont une conséquence est que l'« angle de contact $\;\theta \;$ entre le mercure et la paroi du tube est obtus $\Rightarrow$ $\;\cos(\theta )<0\;$», d'autre part la « dénivellation $\;h\;$ entre le ménisque de la surface libre du mercure du tube et la surface libre du mercure du récipient dans lequel est plongé le tube est inversée » ; Complément sur les phénomènes de « tension superficielle » : Cas d'un tube capillaire plongeant dans le mercure : à condition d'algébriser la dénivellation entre les deux surfaces libres du tube et du récipient dans le sens ascendant selon «$\;{\overline {h}}=z_{\text{ménisque}}-z_{\text{surf libre récip}}\;$» $\;{\big$ainsi $\;{\overline {h}}=h\;$ dans le cas de l'eau et des autres liquides ayant le même comportement et $\;{\overline {h}}=-h\;$ dans le cas du mercure${\big )}\;$ nous pouvons appliquer la « loi de Jurin algébrisée $\;{\overline {h}}={\dfrac {2\;A\;\cos(\theta )}{r\;\mu \;g}}\;$» pour déterminer la dénivellation entre les deux surfaces libres du mercure du tube et du récipient, la « condition d'applicabilité étant que le rayon $\;r\;$ du tube satisfasse $\;r\ll {\dfrac {\vert \cos(\theta )\vert }{\sqrt {1-\sin(\theta )}}}\;{\sqrt {\dfrac {2\;A}{\mu \;g}}}\;$» soit, avec le « cœfficient de tension superficielle de l'interface mercure - air valant $\;A\simeq 480\;10^{-3}\;N\cdot m^{-1}\;$ à $\;20\;{\text{°C}}\;$», un « angle de contact $\;\theta \;$ entre le mercure et la paroi du tube $\;\theta \simeq 140\;{\text{°}}\;$», la « masse volumique du mercure $\;\mu \simeq 13,546\;10^{3}\;kg\cdot m^{-3}\;$ à $\;20\;{\text{°C}}\;$» et l'« intensité de la pesanteur $\;g\simeq 9,81\;m\cdot s^{-2}\;$», la condition d'applicabilité de la loi de Jurin algébrisée se réécrit, dans le cas du mercure, $\;r\ll {\dfrac {\vert \cos(140\;{\text{°}})\vert }{\sqrt {1-\sin(140\;{\text{°}})}}}\;{\sqrt {\dfrac {2\times 480\;10^{-3}}{13,546\;10^{3}\times 9,81}}}\;$ en $\;m\;$ soit finalement «$\;r\ll 3,5\;mm\;$» ; Complément sur les phénomènes de « tension superficielle » : Cas d'un tube capillaire plongeant dans le mercure : pour un « tube capillaire de diamètre $\;1\;mm\;$», la « dénivellation algébrique $\;{\overline {h}}\;$ entre le ménisque de la surface libre du mercure du tube et la surface libre du mercure du récipient dans lequel est plongé le tube » vaut «$\;{\overline {h}}={\dfrac {2\;A\;\cos(\theta )}{r\;\mu \;g}}\simeq {\dfrac {2\times 480\;10^{-3}\times \cos(145\;{\text{°}})}{0,5\;10^{-3}\times 13546\times 9,81}}\;$ en $\;m\;$» soit «$\;{\overline {h}}\simeq -1,1\;cm\;$» c'est-à-dire près de $\;20\;$ fois plus faible en valeur absolue que la dénivellation utilisant de l'eau dans les mêmes conditions.

### Propriété des vases communicants et exemples d'utilisation
#### Surface libre d'un fluide à masse volumique constante, propriété des vases communicants

Ci-contre un schéma d'analyse d'un liquide surmonté d'une atmosphère d'air pour établir que « la surface libre d'un liquide $\;{\big$c'est-à-dire l'interface liquide - atmosphère${\big )}$ en équilibre thermodynamique dans le champ de pesanteur terrestre uniforme est plane et horizontale ».
Démonstration : l'axe vertical $\;{\overrightarrow {z'z}}\;$ étant orienté dans le sens ascendant, nous appliquons l'intégrale 1ère spatiale en un point quelconque $\;M\;$ du liquide soit, avec $\;P_{M}\;$ la pression en $\;M\;$ et $\;z_{M}\;$ sa cote comptée dans le sens ascendant, «$\;p_{M}+\mu \;g\;z_{M}=cste\;$» $\;{\big\mu \;$ étant la masse volumique du liquide et $\;g\;$ l'intensité de la pesanteur terrestre${\big )}$, cette relation est en particulier applicable en $\;M_{\mathit {l}}\;$ de cote $\;z_{\mathit {l}}$, point du liquide juste au-dessous de la surface libre d'où «$\;p_{M_{\mathit {l}}}+\mu \;g\;z_{\mathit {l}}=cste\;$» ;
Démonstration : or, en absence de phénomènes de capillarité, il y a continuité de la pression lors de la traversée de la surface libre et la pression de l’air surmontant cette dernière étant uniforme égale à $\;p_{0}$, nous en déduisons «$\;p_{M_{\mathit {l}}}=p_{0}\;$» en tout point $\;M_{\mathit {l}}\;$ du liquide juste au-dessous de la surface libre d’où, en reportant dans la relation précédente,
Démonstration : «$\;p_{0}+\mu \;g\;z_{\mathit {l}}=cste\;$» et par suite «$\;z_{\mathit {l}}=cste'\;$» $\Rightarrow$ « la surface libre d'un liquide en équilibre thermodynamique dans le champ de pesanteur terrestre uniforme est plane et horizontale » C.Q.F.D.
Remarque : le résultat concernant la forme de la surface libre d'un liquide en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme est applicable quelle que soit la forme du récipient contenant le liquide, récipient qui peut être constitué de plusieurs vases communicants par la base $\;{\big$voir schéma ci-contre${\big )}\;$ d'où le nom donné à cette relation « propriété des vases communicants ».

#### 1er exemple d'utilisation, explication du fonctionnement d'une écluse sur un fleuve

Une écluse sur un fleuve $\;{\big$ou un canal${\big )}\;$ est composée d'un sas limité par deux portes permettant aux bateaux navigant sur le fleuve $\;{\big$ou un canal${\big )}\;$ de franchir des dénivellations ; nous nous proposons d'expliquer son fonctionnement en quatre phases pour un bateau navigant dans le sens du courant, ce sont :
$\;\succ \;$une 1ère phase de fonctionnement, le bateau étant en attente du côté amont du fleuve, la porte amont de l'écluse s'entrouvre $\;{\big$plus exactement c'est la vanne $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ située dans la porte qui est ouverte, ce qui permet le passage de l'eau et non du bateau${\big ]}$, la porte aval restant fermée, la surface libre de l'eau du fleuve amont étant de niveau plus élevé que celui de la surface libre de l'eau du sas, l'eau du fleuve amont entre dans le sas jusqu'à ce que les deux surfaces libres soient de même niveau selon la « propriété des vases communicants » $\;{\big$voir schéma ci-contre à gauche${\big )}$,
$\;\succ \;$une 2ème phase de fonctionnement, la porte amont de l'écluse s'ouvre entièrement $\;{\big$simultanément la vanne $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ est fermée, le fait qu'elle soit ouverte n'ayant plus d'intérêt${\big ]}$, la porte aval restant fermée, comme l'eau du sas est au niveau du fleuve amont, le bateau entre dans le sas $\;{\big$voir schéma ci-contre à droite${\big )}$,
$\;\succ \;$une 3ème phase de fonctionnement, le bateau étant en attente dans le sas, la porte aval de l'écluse s'entrouvre $\;{\big$plus exactement c'est la vanne $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ située dans la porte qui est ouverte, ce qui permet le passage de l'eau et non du bateau${\big ]}$, la porte amont étant fermée $\;{\big$ainsi que la vanne $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ située dans la porte de façon à empêcher l'eau de passer${\big ]}$, la surface libre de l'eau du sas étant de niveau plus élevé que celui de la surface libre de l'eau du fleuve aval, l'eau du sas s'écoule vers le fleuve aval jusqu'à ce que les deux surfaces libres soient de même niveau selon la « propriété des vases communicants » $\;{\big$voir schéma ci-contre à gauche${\big )}$,
$\;\succ \;$une 4ème phase de fonctionnement, la porte aval de l'écluse s'ouvre entièrement $\;{\big$simultanément la vanne $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ est fermée, le fait qu'elle soit ouverte n'ayant plus d'intérêt${\big ]}$, la porte amont restant fermée, comme l'eau du sas est au niveau du fleuve aval, le bateau sort du sas pour poursuivre sa navigation sur le fleuve aval $\;{\big$voir schéma ci-contre à droite${\big )}$.

#### 2$^{èmes}$ exemples d'utilisation, explication de l'utilisation d'un siphon hydraulique, présentation de la méthode de siphonnage

$\;\succ \;$voir ci-contre à gauche le schéma d'un siphon hydraulique dont le but est de bloquer les odeurs provenant des tuyaux d'évacuation, une hauteur de $\;2\;$ à $\;3\;cm\;$ d'eau dans le siphon $\;{\big$c'est-à-dire la partie coudée${\big )}$ est usuellement suffisante $\;{\big$la quantité doit être telle que l'eau occupe la totalité de la section droite du siphon au niveau du coude${\big )}$, de plus la pression des gaz dans le tuyau d'évacuation et de l'air de l'autre côté doit être la même pour que les surfaces libres de l'eau de chaque côté du coude soit au même niveau ;
$\;\succ \;$voir ci-contre à droite un schéma de présentation de la méthode de siphonnage permettant de transférer une partie $\;{\big$ou la totalité${\big )}\;$ du liquide d'un 1er récipient placé en hauteur dans un 2ème récipient placé en contre-bas et contenant le même liquide mais avec une surface libre à un niveau plus bas que celui de la surface libre du 1er récipient, le transfert étant réalisé à l'aide d'un tuyau souple ; le principe du siphonnage consiste à rendre les deux récipients communicants en plongeant une extrémité du tuyau souple dans le liquide du 1er récipient pour aspirer le liquide et, une fois ce dernier circulant dans le tuyau souple, en plongeant l'autre extrémité du tuyau souple dans le liquide du 2ème récipient, nous observons alors le transfert du liquide du 1er récipient vers le 2ème par l'intermédiaire du tuyau souple jusqu'à ce que les surfaces libres des deux récipients communicants par le tuyau souple soient les mêmes ou jusqu'à l'évacuation complète du liquide dans le 1er récipient dans le cas où un même niveau pour les deux surfaces libres seraient impossibles.

### Interface entre deux fluides de densités différentes

Ci-contre un schéma d'analyse d'un liquide $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ surmonté d'un autre liquide $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ moins dense $\;{\big \$la masse volumique $\;\mu _{2}\;$ du liquide $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ étant $\;<\;$ à la masse volumique $\;\mu _{1}\;$ du liquide $\;\left({\mathfrak {1}}\right){\big \}$ pour établir que « l'interface des deux liquides en équilibre thermodynamique dans le champ de pesanteur terrestre uniforme est plane et horizontale » $\;{\big \$la stabilité de cet équilibre thermodynamique étant assurée si le liquide le plus dense est au-dessous du liquide le moins dense${\big \}$.
Démonstration : l'axe vertical $\;{\overrightarrow {z'z}}\;$ étant orienté dans le sens ascendant, nous appliquons l'intégrale 1ère spatiale en deux points quelconques $\;M\;$ et $\;M'\;$ du liquide $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ soit, avec $\;P_{M}\;$ et $\;p_{M'}\;$ la pression en $\;M\;$ et $\;M'\;$ ainsi que $\;z_{M}\;$ et $\;z_{M'}\;$ leur cote comptée dans le sens ascendant, «$\;p_{M}+\mu _{1}\;g\;z_{M}=$ $p_{M'}+\mu _{1}\;g\;z_{M'}\;$» $\;{\bigg\;$ étant l'intensité de la pesanteur terrestre${\big )}$, cette relation est en particulier applicable en $\;M_{\mathit {l}}\;$ de cote $\;z_{\mathit {l}}$ et $\;{M'}_{\!{\mathit {l}}}\;$ de cote $\;{z'}_{\!{\mathit {l}}}$, points du liquide $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ juste au-dessous de l'interface des deux liquides d'où «$\;p_{M_{\mathit {l}}}+\mu _{1}\;g\;z_{\mathit {l}}=p_{{M'}_{\!{\mathit {l}}}}+\mu _{1}\;g\;{z'}_{\!{\mathit {l}}}\;\;\left({\mathfrak {1}}'\right)\;$» ;
Démonstration : reprenant le même raisonnement en se plaçant dans le liquide $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ et notant $\;N_{\mathit {l}}\;$ de cote $\;z_{\mathit {l}}$ et $\;{N'}_{\!{\mathit {l}}}\;$ de cote $\;{z'}_{\!{\mathit {l}}}$ les points du liquide $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ juste au-dessus de l'interface des deux liquides $\;{\big$non représentés sur le schéma${\big )}\;$ et à la verticale des points $\;M_{\mathit {l}}\;$ et $\;{M'}_{\!{\mathit {l}}}\;$ du liquide $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ nous en déduisons «$\;p_{N_{\mathit {l}}}+\mu _{2}\;g\;z_{\mathit {l}}=p_{{N'}_{\!{\mathit {l}}}}+\mu _{2}\;g\;{z'}_{\!{\mathit {l}}}\;\;\left({\mathfrak {2}}'\right)\;$» ;
Démonstration : en absence de phénomènes de capillarité la pression est continue de part et d'autre de l'interface des deux liquides c'est-à-dire les C.A.L. «$\;p_{N_{\mathit {l}}}=p_{M_{\mathit {l}}}\;$» et «$\;p_{{N'}_{\!{\mathit {l}}}}=p_{{M'}_{\!{\mathit {l}}}}\;$» soit,
Démonstration : en reportant les C.A.L. précédentes dans $\;\left({\mathfrak {1}}'\right)-\left({\mathfrak {2}}'\right)\;$ nous en déduisons «$\;{\cancel {\left[p_{M_{\mathit {l}}}-p_{N_{\mathit {l}}}\right]+}}\left[\mu _{1}-\mu _{2}\right]\,g\;z_{\mathit {l}}={\cancel {\left[p_{{M'}_{\!{\mathit {l}}}}-p_{{N'}_{\!{\mathit {l}}}}\right]+}}\left[\mu _{1}-\mu _{2}\right]\,g\;{z'}_{\!{\mathit {l}}}\;$» soit, après simplification par «$\;\left[\mu _{1}-\mu _{2}\right]\,g\neq 0\;$», «$\;z_{\mathit {l}}={z'}_{\!{\mathit {l}}}\;$» d'où la même cote pour tous les points de l'interface des deux liquides $\Rightarrow$ « l'interface entre deux liquides de densités différentes en équilibre thermodynamique dans le champ de pesanteur terrestre uniforme est plane et horizontale » C.Q.F.D.
Remarque : Nous nous proposons de comparer les énergies potentielles de pesanteur du système des deux liquides $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ et $\;\left({\mathfrak {2}}\right)$, non miscibles, de densités différentes $\;{\big \$la masse volumique $\;\mu _{2}\;$ du liquide $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ étant $\;<\;$ à la masse volumique $\;\mu _{1}\;$ du liquide $\;\left({\mathfrak {1}}\right){\big \}$, dans le cas de l'un ou l'autre des équilibres thermodynamiques dans le champ de pesanteur terrestre uniforme du système composé de quantités fixées de chaque liquide telles que «$\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ surmonte $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$» $\;{\big$situation de droite dans la figure ci-contre${\big )}\;$ ou «$\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ surmonte $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$» $\;{\big$situation de gauche dans la figure ci-contre${\big )}\;$ dans le but d'établir laquelle des deux énergies potentielles de pesanteur est la plus faible et par suite de déterminer que l’« équilibre stable correspond au liquide le moins dense $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ surmontant le plus dense $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$» $\;{\big$situation de gauche${\big )}$, $\;{\big \$l'autre équilibre « le liquide le plus dense $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ surmontant le moins dense $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$» $\;{\big$situation de droite${\big )}\;$ étant instable${\big \}$ ;
Remarque : $\succ \;$cas du liquide $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ surmontant le liquide $\;\left({\mathfrak {1}}\right)$ : l'ensemble des deux liquides formant un cylindre de génératrices $\;\parallel \;$ à $\;{\overrightarrow {z'z}}$, de section droite d'aire $\;S\;$ et de hauteur $\;h$ $\;{\big$avec $\;h_{1}\;$ la hauteur de liquide $\;\left({\mathfrak {1}}\right)$, celle de liquide $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ étant $\;h-h_{1}{\big ]}$, son énergie potentielle de pesanteur avec choix de sa référence sur la section la plus basse du cylindre, vaut «$\;U_{{\text{pes}}_{\left({\mathfrak {1}}\right)}^{\left({\mathfrak {2}}\right)}}=\displaystyle \int _{0}^{h_{1}}\mu _{1}\;g\;z\;S\;dz+\displaystyle \int _{h_{1}}^{h}\mu _{2}\;g\;z\;S\;dz\;$» $\;=\mu _{1}\;g\;S\;{\dfrac {h_{1}^{2}}{2}}+\mu _{2}\;g\;S\;{\dfrac {h^{2}-h_{1}^{2}}{2}}\;$» soit finalement «$\;U_{{\text{pes}}_{\left({\mathfrak {1}}\right)}^{\left({\mathfrak {2}}\right)}}=\left(\mu _{1}-\mu _{2}\right)\,g\;S\;{\dfrac {h_{1}^{2}}{2}}+\mu _{2}\;g\;S\;{\dfrac {h^{2}}{2}}\;\;\left(\alpha \right)\;$» ;
Remarque : $\succ \;$cas du liquide $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ surmontant le liquide $\;\left({\mathfrak {2}}\right)$ : se traite comme le cas précédent en permutant $\;_{1}\;$ et $\;_{2}\;$ simultanément au remplacement de $\;h_{1}\;$ par $\;h-h_{1}\;$ d'où l'énergie potentielle de pesanteur de l'ensemble des deux liquides avec choix de sa référence sur la section la plus basse du cylindre «$\;U_{{\text{pes}}_{\left({\mathfrak {2}}\right)}^{\left({\mathfrak {1}}\right)}}=\left(\mu _{2}-\mu _{1}\right)\,g\;S\;{\dfrac {\left(h-h_{1}\right)^{2}}{2}}+\mu _{1}\;g\;S\;{\dfrac {h^{2}}{2}}\;\;\left(\beta \right)\;$» ;
Remarque : $\succ \;$formant $\;\left(\beta \right)-\left(\alpha \right)\;$ nous obtenons $\;U_{{\text{pes}}_{\left({\mathfrak {2}}\right)}^{\left({\mathfrak {1}}\right)}}-U_{{\text{pes}}_{\left({\mathfrak {1}}\right)}^{\left({\mathfrak {2}}\right)}}=\left(\mu _{2}-\mu _{1}\right)\,g\;S\;{\dfrac {\left(h-h_{1}\right)^{2}+h_{1}^{2}}{2}}+\left(\mu _{1}-\mu _{2}\right)\,g\;S\;{\dfrac {h^{2}}{2}}=\left(\mu _{1}-\mu _{2}\right)\,g\;S\;{\dfrac {h^{2}-\left(h-h_{1}\right)^{2}-h_{1}^{2}}{2}}\;$ soit, après simplification évidente, «$\;U_{{\text{pes}}_{\left({\mathfrak {2}}\right)}^{\left({\mathfrak {1}}\right)}}-U_{{\text{pes}}_{\left({\mathfrak {1}}\right)}^{\left({\mathfrak {2}}\right)}}=\left(\mu _{1}-\mu _{2}\right)\,g\;S\;h_{1}\,\left(h-h_{1}\right)>0\;$» d'où la stabilité de l'équilibre correspondant au liquide le moins dense $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ surmontant le plus dense $\;\left({\mathfrak {1}}\right)$ $\;{\big \$l'autre équilibre étant instable${\big \}$ C.Q.F.D.

### Principe des manomètres différentiels

Un manomètre est un instrument servant à mesurer une pression, il est dit hydrostatique si son principe consiste à mesurer une pression $\;p\;$ par rapport à une pression de référence $\;p_{\text{réf}}\;$ grâce à une dénivellation de liquide $\;h\propto \;$ à $\;p-p_{\text{réf}}\;$ et inversement $\;\propto \;$ à la masse volumique $\;\mu \;$ du liquide ;
Un manomètre est un instrument servant à mesurer une de plus il est dit différentiel si son but est de mesurer une différence de pression entre deux gaz $\;{\big$voir le schéma de principe ci-contre${\big )}$ : les extrémités supérieures d'un tube en U contenant un liquide de masse volumique $\;\mu \;$ étant reliées à des récipients remplis de gaz dont nous souhaitons comparer les pressions, par exemple, sur le schéma, $\;\succ \;$l'extrémité supérieure de gauche étant reliée à un récipient rempli du gaz $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ à la pression $\;p_{1}\;$ et $\;\succ \;$l'extrémité supérieure de droite étant reliée à un récipient rempli du gaz $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ à la pression $\;p_{2}$, $\;\succ \;$nous souhaitons savoir lequel des deux gaz a la plus grande pression d'une part et déterminer la différence de pression en valeur absolue $\;\vert p_{1}-p_{2}\vert \;$ d'autre part ;
appliquant la formule du nivellement barométrique au liquide entre $\;A\;$ et $\;B\;$ points respectivement juste au-dessous des interfaces « liquide - gaz $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$» et « liquide - gaz $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$», nous obtenons «$\;p_{B}-p_{A}=\mu \;g\,\left(z_{1}-z_{2}\right)\;$» d'une part et
utilisant la continuité des pressions de part et d'autre des interfaces « liquide - gaz » $\;{\big$hors capillarité${\big )}\;$ $\Rightarrow$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}p_{A}=p_{1}\\p_{B}=p_{2}\end{array}}\right\rbrace \;$» d'autre part, nous obtenons
$\;p_{2}-p_{1}=\mu \;g\,\left(z_{1}-z_{2}\right)\;$
$\;z_{1}>z_{2}$
$\;p_{2}>p_{1}\;$
$\;h\;$
$\;\vert z_{1}-z_{2}\vert \;$
$\;\Delta p=\vert p_{2}-p_{1}\vert \;$
$\;\Delta p=\mu \;g\;h\;$
Exemples : Un manomètre différentiel à colonne de liquide utilisant un tube en U haut de l'ordre du mètre rempli à moitié soit Exemples : $\;\succ \;$d'eau permet de mesurer des différences de pression correspondant à une dénivellation maximale $\;h_{\text{max}}\simeq 1\;m\;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace \Delta p\right\rbrace _{\text{max}}=\mu _{\text{eau}}\;g\;h_{\text{max}}\;$ soit, avec $\;\mu _{\text{eau}}\simeq 10^{3}\;kg\cdot m^{-3}\;$ et $\;g\simeq 10\;m\cdot s^{-2}$, $\;\left\lbrace \Delta p\right\rbrace _{\text{max}}\simeq 10^{3}\times 10\times 1\simeq 10^{4}\;Pa\;$ ou «$\;\left\lbrace \Delta p\right\rbrace _{\text{max}}\simeq 0,1\;bar\;$» $\;{\big$ce qui est faible${\big )}\;$ mais Exemples : d'eau permet de mesurer des différences de pression correspondant à une dénivellation minimale $\;h_{\text{min}}\simeq 0,1\;mm\;$ ${\big$avec utilisation d'un vernier${\big )}\;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace \Delta p\right\rbrace _{\text{min}}=\mu _{\text{eau}}\;g\;h_{\text{min}}\simeq$ $10^{3}\times 10\times 10^{-4}\simeq 1\;Pa\;$ ou «$\;\left\lbrace \Delta p\right\rbrace _{\text{min}}\simeq 10\;\mu bar\;$» $\;{\big$ce qui correspond à une grande sensibilité${\big )}\;$ soit Exemples : $\;\succ \;$de mercure permet de mesurer des différences de pression correspondant à une dénivellation maximale $\;h_{\text{max}}\simeq 1\;m\;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace \Delta p\right\rbrace _{\text{max}}=\mu _{\text{Hg}}\;g\;h_{\text{max}}\;$ soit, avec $\;\mu _{\text{Hg}}\simeq 13,6\;10^{3}\;kg\cdot m^{-3}\;$ et $\;g\simeq 10\;m\cdot s^{-2}$, $\;\left\lbrace \Delta p\right\rbrace _{\text{max}}\simeq 13,6\;10^{3}\times 10\times 1\simeq 13,6\;10^{4}\;Pa\;$ ou «$\;\left\lbrace \Delta p\right\rbrace _{\text{max}}\simeq 1,36\;bar\;$» $\;{\big$ce qui correspond à une étendue de mesure $\;13,6\;$ fois $\;>\;$ à celle d'un manomètre différentiel à colonne d'eau de même dimension${\big )}\;$ mais Exemples : de mercure permet de mesurer des différences de pression correspondant à une dénivellation minimale $\;h_{\text{min}}\simeq 0,1\;mm\;$ ${\big$avec utilisation d'un vernier${\big )}\;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace \Delta p\right\rbrace _{\text{min}}=\mu _{\text{Hg}}\;g\;h_{\text{min}}\simeq$ $13,6\;10^{3}\times 10\times 10^{-4}\simeq 13,6\;Pa\;$ ou «$\;\left\lbrace \Delta p\right\rbrace _{\text{min}}\simeq 136\;\mu bar\;$» $\;{\big$ce qui correspond à une faible sensibilité plus exactement $\;13,6\;$ fois moins bonne que celle d'un manomètre différentiel à colonne d'eau de même dimension${\big )}$.

### Principe des baromètres absolus (tube de Torricelli)

Pour réaliser un « tube de Torricelli » $\;{\big$voir ci-contre${\big )}\;$ il faut remplir un tube de $\;\simeq 1\;m\;$ de long « entièrement de mercure » et le retourner sur une cuve à mercure sans faire entrer d'air dans le tube, ceci fait nous constatons que le mercure dans le tube retourné ne reste pas collé au fond du tube ${\big$situation étonnante compte-tenu du fait qu'il n'y a eu aucune entrée d'air${\big )}\;$ mais que le niveau le plus élevé dans le tube stationne à une hauteur $\;h\;$ au-dessus de la surface libre du mercure de la cuve laissant entre la surface du mercure dans le tube retourné et le fond de ce dernier un espace appelé « chambre barométrique » dans lequel il y a un « vide apparent » ;
appliquant la formule du nivellement barométrique au mercure entre les points $\;A\;$ juste au-dessous de la surface libre du mercure de la cuve et $\;B\;$ juste au-dessous du niveau le plus élevé de mercure dans le tube retourné nous obtenons «$\;p_{A}-p_{B}=\mu _{Hg_{\,{\text{liq}}}}\;g\;h\;$» dans laquelle «$\;\mu _{Hg_{\,{\text{liq}}}}\simeq 13,5951\;10^{3}\;kg\cdot m^{-3}\;$ est la masse volumique du mercure liquide à $\;0\;{\text{°C}}\;$» et «$\;g\simeq 9,80665\;m\cdot s^{-2}\;$ l'intensité de la pesanteur terrestre normale » puis
utilisant la continuité de la pression $\;{\big$hors capillarité${\big )}\;$ de part et d'autre de la surface libre du mercure de la cuve soit «$\;p_{A}=p_{0}\;$» $\;{\big \p_{0}\;$ étant la pression atmosphérique à l'altitude du tube de Torricelli et à la température de l'expérience${\big \}$ et
utilisant la continuité de la pression (capillarité) de part et d'autre du niveau le plus élevé de mercure liquide dans le tube retourné soit «$\;p_{B}=p_{{\text{vap sat}},\,Hg}\simeq 0\;$» $\;{\big \p_{{\text{vap sat}},\,Hg}\;$ étant la pression de vapeur saturante de mercure à la température de l'expérience, pression correspondant à un « vide apparent » $\;{\big$par exemple, à $\;0\;{\text{°C}}\;$ elle vaut $\;0,025\;Pa=0,25\;\mu bar{\big )}\;$ et par suite considérée comme nulle${\big \}$ d'où
la réécriture de la formule du nivellement barométrique appliquée au mercure liquide entre les points $\;A\;$ et $\;B$,
$\;p_{0}\simeq \mu _{Hg_{\,{\text{liq}}}}\;g\;h\;$
$\Downarrow$
$\;h\;$
Exemple d'utilisation : « Au niveau de la mer », à la « température de $\;0\;{\text{°C}}\;$», pour une « pression atmosphérique moyenne valant $\;p_{0}=1,01325\;bar=1,01325\;10^{5}\;Pa\;$», la « hauteur de mercure dans le tube renversé vaut $\;h\simeq {\dfrac {p_{0}}{\mu _{Hg_{\,{\text{liq}}}}\;g}}\simeq {\dfrac {1,01325\;10^{5}}{13,5951\;10^{3}\times 9,80665}}\;$ en $\;m\;$» soit «$\;h\simeq 760,0\;mm\;$».
Exemple d'utilisation : De cet exemple, on tire une nouvelle unité de pression $\;{\big$atmosphérique${\big )}\;$ le « torr de symbole $\;Torr\;$» correspondant à une hauteur de mercure de $\;1\;mm\;$ dans le tube renversé d'un baromètre absolu $\Rightarrow$ «$\;1\;Torr={\dfrac {1,01325\;10^{5}}{760}}\;Pa\simeq 133,322\;Pa=1,33322\;mbar\;$» ;
Exemple d'utilisation : la pression exercée au niveau moyen de la mer par une colonne verticale de $\;760\;mm\;$ de mercure à la température de $\;0\;{\text{°C}}\;$ définit la pression atmosphérique normale $\;{\big$ou pression atmosphérique standard${\big )}\;$ sa valeur étant fixée à «$\;760\;Torr=1,01325\;bar=1,01325\;10^{5}\;Pa\;$».

### Théorème de Pascal, principe d'un pont élévateur hydraulique, expérience du crève-tonneau de Pascal
#### Théorème de Pascal

Remarque : pour que le théorème de Pascal s'applique à un liquide en équilibre thermodynamique dans un champ de pesanteur uniforme, il est nécessaire que la variation de pression imposée en un point particulier ne modifie pas l'équilibre du liquide $\;{\big$en particulier il doit s'agir du même équilibre avec la même occupation spatiale du liquide${\big )}$.
Démonstration : appliquons à un liquide de masse volumique $\;\mu \;$ en équilibre thermodynamique dans un champ de pesanteur $\;{\vec {g}}=-g\;{\vec {u}}_{z}\;$ uniforme $\;{\Big$l'axe vertical $\;{\overrightarrow {z'z}}\;$ étant ascendant${\Big )}$, l'« intégrale 1ère spatiale » «$\;p_{M}+\mu \;g\;z_{M}=cste\;$» avec $\;cste\;$ résultant de la C.A.L. « la pression au point $\;M_{1}\;$ de cote $\;z_{1}\;$ est $\;p_{1}\;$» $\Rightarrow$ «$\;cste=p_{1}+\mu \;g\;z_{1}\;$» d'où la relation $\;\left({\mathfrak {c}}\right)\;$ traduisant l'équilibre thermodynamique de ce liquide en chacun de ses points
$\;p_{M}+\mu \;g\;z_{M}=p_{1}+\mu \;g\;z_{1}\;\;\forall \;M\;\;\left({\mathfrak {c}}\right)\;$
Démonstration : une surpression $\;\Delta p_{1}\;$ ayant été créée au point $\;M_{1}\;$ de cote $\;z_{1}\;$ sans changement de la répartition spatiale du liquide, ce dernier gardant le même équilibre dans le champ de pesanteur uniforme et supposant que cela engendre une surpression $\;\Delta p_{M}\;$ au point quelconque $\;M\;$ du liquide, de cote $\;z_{M}$ $\;{\big \$la nouvelle C.A.L. étant « la pression au point $\;M_{1}\;$ de cote $\;z_{1}\;$ est $\;{p'}_{\!1}=p_{1}+\Delta p_{1}\;$» et « la pression au point $\;M\;$ supposée égale à $\;{p'}_{\!M}=p_{M}+\Delta p_{M}\;$»${\big \}$, l'« intégrale 1ère spatiale » correspondant à cet équilibre avec nouvelle C.A.L. «$\;{p'}_{\!M}+\mu \;g\;z_{M}=cste'\;$» avec $\;cste'\;$ résultant de la nouvelle C.A.L. $\Rightarrow$ «$\;cste'={p'}_{\!1}+\mu \;g\;z_{1}\;$» d'où la relation $\;\left({\mathfrak {c}}'\right)\;$ traduisant l'équilibre thermodynamique avec nouvelle C.A.L. de ce liquide en chacun de ses points
$\;{p'}_{\!M}+\mu \;g\;z_{M}={p'}_{\!1}+\mu \;g\;z_{1}\;\;\forall \;M\;\;\left({\mathfrak {c}}'\right)\;$
$\Updownarrow$
$\;p_{M}+\Delta p_{M}+\mu \;g\;z_{M}=p_{1}+\Delta p_{1}+\mu \;g\;z_{1}\;\;\forall \;M\;\;\left({\mathfrak {c}}'\right)\;$
Démonstration : formant la différence entre les deux relations du même équilibre thermodynamique du liquide dans le champ de pesanteur uniforme sous C.A.L. distincte «$\;\left({\mathfrak {c}}'\right)-\left({\mathfrak {c}}\right)\;$» nous obtenons, après simplification évidente,
$\;\left({\mathfrak {c}}'\right)-\left({\mathfrak {c}}\right)\;\;\Delta p_{M}=\Delta p_{1}\;\;\forall \;M\;$
$\;M_{1}\;$
$\;M\;$

#### Principe d'un pont élévateur hydraulique

Sur le schéma de gauche, ci-contre, un liquide est contenu dans deux récipients reliés à leurs bases par un tuyau horizontal tel que, sur la surface de niveau le plus élevé du liquide dans chaque récipient repose un piston occupant toute la section droite du récipient $\;{\big \$pour le récipient de gauche de section droite d'aire $\;S\;$ le piston est de masse $\;M_{S}\;$ et pour le récipient de droite de section droite d'aire $\;s\;$ le piston est de masse $\;m_{s}{\big \}$, ces pistons séparant le liquide de l'« atmosphère de pression $\;p_{0}\;$» ;
Sur le schéma de gauche, le liquide étant en équilibre thermodynamique dans le champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}=-g\;{\vec {u}}_{z}\;$ uniforme $\;{\big{\vec {u}}_{z}\;$ vertical unitaire ascendant${\big )}$, notons $\;A\;$ et $\;B\;$ deux points du liquide juste au-dessous du piston dans le récipient de gauche pour le 1er et de celui dans le récipient de droite pour le 2ème, les pressions $\;p_{A}\;$ et $\;p_{B}\;$ se déterminant en écrivant l'équilibre du piston considéré soit,
Sur le schéma de gauche, $\succ \;$pour le piston de gauche «$\;p_{A}\;{\vec {u}}_{z}-M_{S}\;g\;{\vec {u}}_{z}-p_{0}\;S\;{\vec {u}}_{z}={\vec {0}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;p_{A}=p_{0}+{\dfrac {M_{S}\;g}{S}}\;$» et
Sur le schéma de gauche, $\succ \;$ pour celui de droite «$\;p_{B}\;{\vec {u}}_{z}-m_{s}\;g\;{\vec {u}}_{z}-p_{0}\;s\;{\vec {u}}_{z}={\vec {0}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;p_{B}=p_{0}+{\dfrac {m_{s}\;g}{s}}\;$» ;
Sur le schéma de gauche, l'« intégrale 1ère spatiale » appliquée au liquide en équilibre avec pistons à vide s'écrit «$\;p_{A}+\mu \;g\;z_{A}=p_{B}+\mu \;g\;z_{B}\;$» $\;{\big\mu \;$ étant la masse volumique du liquide${\big )}\;$ ;
sur le schéma de droite, ci-dessus, a été ajoutée une surcharge de masse $\;M\;$ sur le piston du récipient de gauche et, simultanément, une surcharge de masse $\;m\;$ sur le piston du récipient de droite de façon à ce que l'équilibre thermodynamique du liquide dans le champ de pesanteur terrestre uniforme reste inchangé $\;{\big$c'est-à-dire la même répartition spatiale du liquide${\big )}$, l'ajout d'une surcharge sur l'un des pistons engendrant une surpression au point du liquide situé juste au-dessous du piston considéré, les nouvelles pressions $\;{p'}_{\!A}=p_{A}+\Delta p_{A}\;$ et $\;{p'}_{\!B}=p_{B}+\Delta p_{B}\;$ se déterminant en écrivant l'équilibre du piston adequat soit,
Sur le schéma de droite, $\succ \;$pour le piston de gauche «$\;{p'}_{\!A}\;{\vec {u}}_{z}-M_{S}\;g\;{\vec {u}}_{z}-p_{0}\;S\;{\vec {u}}_{z}+{\overline {F}}_{{\text{pist}}\,\leftarrow \,M}\;{\vec {u}}_{z}={\vec {0}}\;$» avec l'équilibre de la surcharge s'écrivant «$\;-{\overline {F}}_{{\text{pist}}\,\leftarrow \,M}\;{\vec {u}}_{z}-M\;g\;{\vec {u}}_{z}={\vec {0}}\;$» dont nous déduisons «$\;{\overline {F}}_{{\text{pist}}\,\leftarrow \,M}=-M\;g\;$» soit, en reportant dans la relation d'équilibre du piston, «$\;{p'}_{\!A}=p_{0}+{\dfrac {M_{S}\;g}{S}}+{\dfrac {M\;g}{S}}=p_{A}+{\dfrac {M\;g}{S}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;\Delta p_{A}={\dfrac {M\;g}{S}}\;$» et
Sur le schéma de droite, $\succ \;$ pour celui de droite «$\;{p'}_{\!B}\;{\vec {u}}_{z}-m_{s}\;g\;{\vec {u}}_{z}-p_{0}\;s\;{\vec {u}}_{z}+{\overline {F}}_{{\text{pist}}\,\leftarrow \,m}\;{\vec {u}}_{z}={\vec {0}}\;$» avec l'équilibre de la surcharge s'écrivant «$\;-{\overline {F}}_{{\text{pist}}\,\leftarrow \,m}\;{\vec {u}}_{z}-m\;g\;{\vec {u}}_{z}={\vec {0}}\;$» dont nous déduisons «$\;{\overline {F}}_{{\text{pist}}\,\leftarrow \,m}=-m\;g\;$» soit, en reportant dans la relation d'équilibre du piston, «$\;{p'}_{\!B}=p_{0}+{\dfrac {m_{s}\;g}{s}}+{\dfrac {m\;g}{s}}=p_{B}+{\dfrac {m\;g}{s}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;\Delta p_{B}={\dfrac {m\;g}{s}}\;$» ;
Sur le schéma de droite, l'« intégrale 1ère spatiale » appliquée au liquide en équilibre avec pistons à charge s'écrivant «$\;{p'}_{\!A}+\mu \;g\;z_{A}={p'}_{\!B}+\mu \;g\;z_{B}\;$» ou encore «$\;p_{A}+\Delta p_{A}+\mu \;g\;z_{A}=$ $p_{B}+\Delta p_{B}+\mu \;g\;z_{B}\;$» soit, en utilisant l'« intégrale 1ère spatiale » appliquée au liquide en équilibre avec pistons à vide «$\;p_{A}+\mu \;g\;z_{A}=p_{B}+\mu \;g\;z_{B}\;$»,
$\;\Delta p_{A}=\Delta p_{B}\;$
$\;{\big$
${\big )}$
l'égalité des surpressions en $\;A\;$ et $\;B\;$ se réécrit «$\;{\dfrac {M\;g}{S}}={\dfrac {m\;g}{s}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;M=m\;{\dfrac {S}{s}}\;$» $\;{\big \$par exemple, si «$\;S=1\;m^{2}\;$ et $\;s=10\;cm^{2}\;$», une charge de masse $\;m=1\;kg\;$ placée sur le piston du récipient de droite permet de maintenir l'équilibre thermodynamique du pont élévateur hydraulique avec une charge de masse $\;M=10^{3}\;kg\;$ placée sur le piston du récipient de gauche $\;{\big$à condition bien sûr que le circuit hydraulique soit parfaitement hermétique${\big )}{\big \}$.

#### Expérience du crève-tonneau de Pascal

L'expérience du crève-tonneau de Pascal a été réalisée par ce dernier en $\;1646$ $\;{\big$voir ci-contre à gauche${\big )}$ : dans cette expérience Pascal insère un tube de $\;10\;m\;$ de long, de faible section, dans un tonneau rempli d'eau ; alors qu'il ajoute de l'eau dans le tube, Pascal observe l'explosion du tonneau, celle-ci résultant de l'augmentation de pression créée par l'eau ajoutée $\;{\big$bien que la quantité ajoutée reste faible compte-tenu de la petitesse de la section du tube${\big )}$ ; L'expérience du crève-tonneau de Pascal pour un tube de $\;10\;m\;$ de long, la « surpression engendrée en tout point de l'eau du tonneau une fois ce tube rempli d’eau est de $\;1\;bar\;$ », cette surpression transmise en bas du tonneau a été suffisante pour le faire éclater $\;{\big$pour un tube d’approximativement $\;1\;cm\;$ de diamètre, le volume ajouté était d’un peu moins de $\;1\;L\;$${\big )}$.
Explication de l'expérience du crève-tonneau de Pascal $\;{\big$voir schémas ci-contre à droite${\big )}$ : soit un tonneau rempli d'eau jusqu'en haut surmonté d’un tube fin vide d'eau $\;{\big$1er schéma à droite${\big )}\;$ dans lequel nous nous intéressons à l'équilibre thermodynamique de l'eau contenue dans le tonneau $\;{\big$encadrée en tiretés bleus${\big )}$ ; Explication de l'expérience du crève-tonneau de Pascal une hauteur $\;h\;$ d’eau est ajoutée dans le tube ce qui crée une surpression en $\;A$ $\;{\big$point de la surface libre de l'eau dans le tonneau avant ajout d'eau dans le tube, voir le 1er schéma à droite${\big )}\;$ de «$\;\Delta p_{A}=\mu _{\text{eau}}\;g\;h\;$» avec «$\;\mu _{\text{eau}}\;$ la masse volumique de l'eau liquide » et «$\;g\;$ l'intensité de la pesanteur terrestre » $\;{\big$voir le 2èmeschéma à droite${\big )}$ ; d’après le théorème de Pascal, le liquide du tonneau restant en équilibre, cette surpression se retrouve en tout point de l'eau du tonneau, en particulier aux points $\;M\;$ de celle-ci proches des parois, surpression transmise aux parois du tonneau d'où
Explication de l'expérience du crève-tonneau de Pascal pour une hauteur $\;h\;$ suffisamment grande, la surpression sur les parois peut être telle que le tonneau explose, ceci étant réalisé avec une faible quantité d’eau dans la mesure où la section du tube est petite $\;\ldots$

## Ordre de grandeur du champ de pression dans un océan réel en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme et comparaison à celui du modèle océan incompressible et homogène à évolution isotherme
### Océan réel en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme

La pression de l'eau liquide des océans $\;\nearrow \;$ approximativement de $\;1\;bar\;$ tous les $\;10\;m\;$ de profondeur avec un léger resserrement des isobares dans les « grands fonds océaniques » dues au fait que l'eau de ces zones a une « masse volumique plus grande ».
La température de l'eau liquide des océans reste à peu près constante sur les 1$^{ères}$ dizaines de $\;m\;$ de profondeur puis $\;\searrow \;$ rapidement de $\;\simeq 20\;{\text{°C}}\;$ dans une couche de transition thermique appelée thermocline de $\;\simeq 1\;km\;$ de profondeur, pour ensuite continuer à $\;\searrow \;$ de manière beaucoup moins prononcée $\;{\big$la température restant comprise entre $\;0\;$ et $\;3\;{\text{°C}}\;$ dans les eaux au-dessous de la thermocline${\big )}\;$ avant de se stabiliser dans les abysses $\;{\big$à partir de $\;2000\;m\;$ de profondeur${\big )}$ $\;{\big$les abysses étant pratiquement isothermes${\big )}$ $\;{\big$voir la note « $^{80}$ » plus haut dans ce chapitre exposant un graphique montrant la variation de la température de l'eau d'un océan tropical avec la profondeur dans la couche de transition thermique appelée thermocline de $\;\simeq 1\;km\;$ de profondeur${\big ]}$.

### Comparaison du champ de pression d’un océan réel en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme et celui du modèle océan à masse volumique constante

Le champ de pression d’un océan réel et celui du modèle océan à masse volumique constante, tous deux en équilibre thermodynamique dans le champ de pesanteur terrestre uniforme, diffèrent
* diffèrent très peu hors « grands fonds océaniques » $\;{\Big \$en effet selon l'application de la formule du nivellement barométrique à l'eau du modèle océanique à masse volumique constante «$\;\Delta p=$ $\mu _{\text{eau}}\;g\;\Delta z\;$» dans laquelle l'axe vertical $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ est descendant avec «$\;\mu _{\text{eau}}\simeq 10^{3}\;kg\cdot m^{-3}\;$ la masse volumique de l'eau liquide » et «$\;g\simeq 10\;m\cdot s^{-2}\;$ l'intensité de la pesanteur terrestre » $\;\Delta p\simeq$ $10^{3}\times 10\times 10\simeq 10^{5}\;Pa=1\;bar\;$ pour $\;\Delta z\simeq 10\;m\;$ ce qui est effectivement ce qui est observé dans un océan réel${\Big \}$,
* la faible différence qui peut être observée en exigeant un accord plus précis étant la variation de la température qui n'est pas prise en compte dans le modèle $\;{\bigg \$d'où une différence très légère dans la thermocline entre $\;100\;$ et $\;200\;m\;$ de profondeur, la température y étant $\;\searrow \;$ quand la profondeur $\;\nearrow \;$ et la masse volumique $\;\mu _{\text{eau}}\;$ légèrement $\;\nearrow \;$ $\Rightarrow$ les plans isobares séparées de $\;1\;bar\;$ sont légèrement resserrés $\;{\bigg\!$pour une même $\;\Delta p$, $\;\mu _{\text{eau}}\;$ étant légèrement plus grande, $\;\Delta z={\dfrac {\Delta p}{\mu _{\text{eau}}\;g}}\;$ est légèrement plus petite$\!{\bigg )}{\bigg \}$, mais
* diffèrent un peu plus dans les « grands fonds océaniques », la différence observable étant due au caractère « compressible » de l'eau des « grands fonds océaniques » qui n'est pas pris en compte dans le modèle $\;{\bigg \$la masse volumique de l'eau $\;\mu _{\text{eau}}\;$ à la profondeur de $\;2000\;m\;$ étant légèrement plus grande qu'à la surface libre $\;{\big$elle représente $\;101\;\%\;$ de $\;\mu _{\text{eau}}\;$ à la surface libre${\big )}\;$ et une fonction $\;\nearrow \;$ quand la profondeur $\;\nearrow \;$ $\;{\big$elle représente, à la profondeur de $\;4000\;m$, $\;102\;\%\;$ de $\;\mu _{\text{eau}}\;$ à la surface libre${\big )}\;$ $\Rightarrow$ les plans isobares séparées de $\;1\;bar\;$ sont légèrement plus resserrés et ceci de façon d'autant plus prononcée que la profondeur est grande $\;{\bigg\!$pour une même $\;\Delta p$, $\;\mu _{\text{eau}}\;$ étant d'autant plus grande que la profondeur l'est, $\;\Delta z={\dfrac {\Delta p}{\mu _{\text{eau}}\;g}}\;$ est d'autant plus petite$\!{\bigg )}{\bigg \}$.

### Complément documentaire sur la plongée

Actuellement le record masculin de plongée en apnée No Limit a été établi par l'apnéiste Herbert Nitsch en Grèce en $\;2012\;$ à la profondeur de «$\;253,2\;m\;$»,
Actuellement le record féminin de plongée en apnée No Limit a été établi par l'apnéiste Audrey Mestre en République dominicaine en $\;2002\;$ à la profondeur de «$\;\simeq 170\;m\;$»,
Actuellement le record de plongée autonome avec bouteille a été établi par l'homme-grenouille Ahmed Gabr en Mer Rouge à Dahab au large de l'Égypte à la profondeur de «$\;332,35\;m\;$».
Commentaires : La variation de pression de l'eau des océans avec la profondeur a des effets dangereux en plongée avec bouteille à air comprimé si le plongeur ne suit pas les conditions de sécurité ; en effet,
Commentaires : à «$\;60\;m\;$ de profondeur », la surpression relativement à la pression atmosphérique étant $\;\simeq 6\;bar\;$ $\Rightarrow$ « la pression de l'eau des océans est $\;\simeq 7\;bar\;$» $\Rightarrow$ « l'air sort de la bouteille sous la même pression à savoir $\;\simeq 7\;bar\;$» et « la fraction molaire d'air dissoute dans le sang du plongeur étant $\;\propto \;$ à la pression » selon la loi de Henry $\;{\bigg \$considérant une « solution liquide » constituée d'un « soluté $\;\sigma \;$» dissout dans un « solvant $\;s\;$», la « fraction molaire $\;x_{\sigma }^{\text{liq}}\;$ du soluté en phase liquide à l'équilibre liquide-vapeur » est $\;\propto \;$ à la « pression partielle $\;p_{\sigma }\;$ de ce soluté en phase gazeuse » selon «$\;x_{\sigma }^{\text{liq}}=$ ${\dfrac {p_{\sigma }}{k_{{\text{H}},\,\sigma ,\,s}}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;p_{\sigma }=x_{\sigma }^{\text{liq}}\;k_{{\text{H}},\,\sigma ,\,s}\;$», «$\;k_{{\text{H}},\,\sigma ,\,s}\;$ étant la constante de Henry du soluté $\;\sigma \;$ dans le solvant $\;s\;$» $\;{\big$elle ne dépend quasiment pas de la pression si celle-ci reste modérée mais dépend de la température du mélange en variant dans le même sens que cette dernière${\big )}\;$ homogène à une pression${\bigg \}$ $\Rightarrow$ « la fraction molaire d'air dissoute dans le sang du plongeur à $\;60\;m\;$ de profondeur est donc $\;\simeq 7\;$ fois plus grande que celle dissoute quand ce dernier est en surface » $\;{\big$ceci n'est pas gênant pour le dioxygène qui est consommé par le corps du plongeur mais ça l'est pour le diazote qui reste stocké dans les tissus${\big )}$ ;
Commentaires : à « 60 m de profondeur », si le plongeur remonte sans palier de décompression, le diazote ne se dégage qu'au retour à la surface d'où, à ce moment, un grand nombre de bulles dans les tissus $\Rightarrow$ possibilité d’embolie gazeuse ;
Commentaires : à « 60 m de profondeur », il est donc nécessaire de prévoir des paliers de décompression lors de la remontée permettant un « dégagement progressif du diazote » ou
Commentaires : à « 60 m de profondeur », il est donc nécessaire d’utiliser des mélanges gazeux adaptés sans diazote $\;\ldots$