# Espaces de Banach/Exercices/Topologie
## Exercice 4-1

Soient $X$ un espace métrique, $E$ un espace de Banach et $\mu \in \left]0,1\right]$ un nombre réel. Notons $\operatorname {Hold} ^{0,\mu }(X,E)$ l'espace vectoriel des fonctions $\mu$-höldériennes de $X$ dans $E$.
* Pour $a\in X$, on pose $\|f\|_{a}=\|f(a)\|+\sup _{x\neq y}{\frac {\|f(x)-f(y)\|}{d(x,y)^{\mu }}}$. Montrer que les normes $\|~\|_{a}$ sur $\operatorname {Hold} ^{0,\mu }(X,E)$ sont équivalentes lorsque a décrit $X$, et que $\operatorname {Hold} ^{0,\mu }(X,E)$ est complet pour elles.
* En déduire que l'espace ${\mathcal {C}}^{0,\mu }(X,E)$ des fonctions $\mu$-höldériennes bornées de $X$ dans $E$ est complet pour la norme $\|f\|:=\|f\|_{\infty }+\sup _{x\neq y}{\frac {\|f(x)-f(y)\|}{d(x,y)^{\mu }}}$.
* Si $X$ est borné, montrer que $\operatorname {Hold} ^{0,\mu }(X,E)\subset {\mathcal {C}}_{b}(X,E)$ (l'espace des fonctions continues bornées) et que l'injection linéaire canonique est continue lorsqu'on munit ${\mathcal {C}}_{b}(X,E)$ de la topologie de la convergence uniforme.
* Soit $\Omega$ un ouvert non vide de $\mathbb {R}$. En considérant les fonctions $f_{a}(x)=|x-a|^{\mu }$ pour tout $a\in \Omega$, montrer que $\operatorname {Hold} ^{0,\mu }(\Omega ,\mathbb {R} )$ n'est pas séparable.
** $\|f(b)\|\leq \|f(a)\|+d(a,b)^{\mu }\sup _{x\neq y}{\frac {\|f(x)-f(y)\|}{d(x,y)^{\mu }}}$ donc $\|f\|_{b}\leq \|f(a)\|+(d(a,b)^{\mu }+1)\sup _{x\neq y}{\frac {\|f(x)-f(y)\|}{d(x,y)^{\mu }}}\leq (d(a,b)^{\mu }+1)\|f\|_{a}$, donc les normes $\|~\|_{a}$ sont équivalentes.
** Soit $(f_{n})$ une suite de Cauchy dans $\left(\operatorname {Hold} ^{0,\mu }(X,E),\|~\|_{a}\right)$. D'après le point précédent, pour tout $b\in X$, $(f_{n}(b))$ est de Cauchy. Notons $f(b)\in E$ sa limite. Soit $\varepsilon >0$. Il existe $N$ tel que $\forall p,q\geq N\quad \|f_{p}-f_{q}\|_{a}\leq \varepsilon$. Pour tous $x,y\in X$ distincts, on a alors : $\forall p,q\geq N\quad \|(f_{p}-f_{q})(a)\|+{\frac {\|(f_{p}-f_{q})(x)-(f_{p}-f_{q})(y)\|}{d(x,y)^{\mu }}}\leq \varepsilon$. Par passage à la limite quand $q\to \infty$ puis au sup sur $x,y$, on en déduit : $\forall p\geq N\quad \|f_{p}-f\|_{a}\leq \varepsilon$. Ainsi, $\|f_{p}-f\|_{a}\to 0$ (ce qui prouve au passage que $\|f\|_{a}<\infty$ donc $f\in \operatorname {Hold} ^{0,\mu }(X,E)$), si bien que $(f_{n})$ converge dans $\left(\operatorname {Hold} ^{0,\mu }(X,E),\|~\|_{a}\right)$.
* Soit $(f_{n})$ une suite de Cauchy dans $\left({\mathcal {C}}^{0,\mu }(X,E),\|~\|\right)$. Elle est alors de Cauchy à la fois pour la norme $\|~\|_{\infty }$ de la convergence uniforme et pour les normes de Hölder $\|~\|_{a}$, donc elle admet une limite $f$ pour toutes ces normes (la limite est la même, par unicité de la limite simple). Ainsi, $\|f_{n}-f\|\to 0$ (ce qui prouve au passage que $\|f\|<\infty$ donc $f\in {\mathcal {C}}^{0,\mu }(X,E)$), si bien que $(f_{n})$ converge dans $\left({\mathcal {C}}^{0,\mu }(X,E),\|~\|\right)$.
* Soit $D$ le diamètre de $X$. $\forall b\in X\quad \|f(b)\|\leq \|f(a)\|+D^{\mu }\sup _{x\neq y}{\frac {\|f(x)-f(y)\|}{d(x,y)^{\mu }}}$ donc $\|f\|_{\infty }\leq \max(1,D^{\mu })\|f\|_{a}$.
* La fonction puissance d'exposant $\mu$ est $\mu$-höldérienne donc les fonctions $f_{a}$ appartiennent bien à $\operatorname {Hold} ^{0,\mu }(\Omega ,\mathbb {R} )$. Pour tous $b,c\in \Omega$, distincts, $\|f_{b}-f_{c}\|_{a}\geq {\frac {|(f_{b}-f_{c})(b)-(f_{b}-f_{c})(c)\|}{|b-c|^{\mu }}}=2$. Comme $\Omega$ n'est pas dénombrable, cela prouve que $\left(\operatorname {Hold} ^{0,\mu }(X,E),\|~\|_{a}\right)$ n'est pas séparable.

## Exercice 4-2

Soit $E=C^{1}([-1,1])$ l'espace vectoriel des fonctions de classe C$^1$ sur $[-1,1]$.
* On munit $E$ de la norme $\|\cdot \|_{\infty }$. Montrer que pour cette norme, la suite $(f_{n})_{n\geq 1}$ définie par $f_{n}(x)={\sqrt {x^{2}+{\frac {1}{n^{2}}}}}$ converge vers $f:x\mapsto |x|$, et en déduire que $(E,\|\cdot \|_{\infty })$ n'est pas un espace de Banach.
* On munit $E$ de la norme $\|f\|=\|f\|_{\infty }+\|f'\|_{\infty }$. Montrer que $(E,\|\cdot \|)$ est un espace de Banach.
* $\forall x>0\quad \left({\sqrt {x^{2}+{\frac {1}{n^{2}}}}}-|x|\right)'={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+{\frac {1}{n^{2}}}}}}-1<0$ donc le maximum de la fonction (positive) $f_{n}-f$ est atteint en $x=0$ et vaut ${\frac {1}{n}}$. Cela prouve que dans $(E,\|\cdot \|_{\infty })$, $(f_{n})_{n\geq 1}$ est de Cauchy mais pas convergente (puisque $f\notin E$).
* Si $(f_{n})$ et $(f'_{n})$ sont de Cauchy pour la norme $\|\cdot \|_{\infty }$, alors $f_{n}\to f$ et $f'_{n}\to g$, uniformément sur $[-1,1]$, et $f'=g$ car $\int _{0}^{x}g=f(x)$, par passage à la limite de $\int _{0}^{x}f'_{n}=f_{n}(x)$.
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