# Calcul différentiel/Limites et continuité
## Introduction

Une façon pour calculer l'aire d'un cercle est de dessiner un polygone régulier ayant le plus grand nombre de côtés dans le cercle. Donc, plus le nombre de côtés du polygone est grand, plus l'aire du polygone se rapproche de l'aire du cercle. Ainsi, l'aire d'un octogone est plus proche de l'aire du cercle que l'aire d'un carré, mais l'aire d'un polygone régulier à seize côtés serait encore plus proche de celle du cercle, etc.
Un autre problème évident est celui de la recherche de la pente d'une droite tangente à une courbe. Nous pourrions estimer la pente de cette tangente en calculant la pente d'une sécante de la courbe. Mais, si nous rapprochons la sécante un peu plus près de la tangente, nous aurions une pente encore plus précise, mais moins qu'une sécante encore plus près…
Dans ces deux problèmes, le concept de limite nous permettra de résoudre ces problèmes en nous rapprochant le plus possible du point intéressant.

## Continuité
### Introduction

La continuité est une propriété « sympathique » des fonctions d'une variable. La plupart des fonctions « usuelles » sont continues (même si la plupart des fonctions tout court ne l'est pas) et l'extension de cette notion à des fonctions de plusieurs variables est intéressante.

### Notations et définitions

Dans toute cette leçon, $E$ et $F$ désignent des espaces vectoriels normés, sur $K=\mathbb {R}$ ou $\mathbb {C}$. Leurs vecteurs nuls respectifs seront tous deux notés $0$, et leurs normes respectives seront toutes deux notées $\|\cdot \|$.
Rappelons que sur un espace vectoriel réel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.
Pour étendre aux espaces vectoriels normés les notions de limite et de continuité d'une fonction, il suffit de repartir de la définition de limite finie en un point pour une fonction de $\mathbb {R}$ dans $\mathbb {R}$, et de celle de continuité qui en résulte, et de remplacer les valeurs absolues par des normes :
Une fonction $f:E\to F$ est dite continue en un point $a\in E$ si :
    $\forall \varepsilon >0\quad \exists \eta >0\quad \forall x\in E\quad \|x-a\|\leq \eta \Rightarrow \|f(x)-f(a)\|\leq \varepsilon$.

### Cas particuliers
#### F est un espace réel

Un produit $F_{1}\times \dots \times F_{q}$ d'espaces vectoriels normés est classiquement muni de la norme définie par $\|(x_{1},\dots ,x_{q})\|=\max(\|x_{1}\|,\dots ,\|x_{q}\|)$. On démontre alors facilement :
Une application $f:E\to F_{1}\times \dots \times F_{q},\ x\mapsto f(x)=(f_{1}(x),\dots ,f_{q}(x))$ est continue en un point $a\in E$ si et seulement si ses $q$ composantes $f_{i}:E\to F_{i}$ (pour $i$ de $1$ à $q$) le sont.
En particulier (cas $F_{1}=\dots =F_{q}=\mathbb {R}$), si $F$ est un espace vectoriel normé de dimension $q$ et de base $B$, une fonction $f:E\to F$ est continue si et seulement si ses $q$ applications coordonnées dans $B$ sont continues.
Rappelons de quoi il s'agit :
Soit $f$ une application de E dans F. Soit $B=\left(e_{1},\dots ,e_{q}\right)$ une base de F. Les $q$ applications coordonnées de $f$ dans $B$ sont les fonctions $f_{i}:E\to \mathbb {R}$ (pour $i$ de $1$ à $q$) telles que : $\forall x\in E\quad f(x)=\sum _{i=1}^{q}f_{i}(x)e_{i}$.
* Il s'agit bien d’applications coordonnées, et non pas d’applications partielles, la continuité de ces dernières étant une condition nécessaire (cf. lemme ci-dessous) mais non suffisante de continuité de $f$.
Pour qu'une application $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ soit continue au point $(0,0)$, il ne suffit pas que ses applications partielles en ce point, $t\mapsto f\left(t,0\right)$ et $t\mapsto f\left(0,t\right)$, soient continues en $0$. Par exemple, l'application :
    $f:(x,y)\mapsto {\begin{cases}0&{\text{si }}|y|>x^{2}{\text{ ou }}y=0\\1&{\text{sinon.}}\end{cases}}$
a ses applications partielles (et même ses applications dans toutes les directions : $t\mapsto f\left(\lambda t,\mu t\right)$ pour tout $(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$) continues en $0$. Pourtant, l’application du critère de non-continuité ci-dessous montre que $f$ n’est pas continue au point $(0,0)$ : pour tout $t\neq 0$, $f(t,t^{2})=1$, alors que $f(0,0)=0$.
Remarque : $\lim _{x\to 0 \atop x\neq 0}\lim _{y\to 0 \atop y\neq 0}f(x,y)=\lim _{x\to 0 \atop x\neq 0}1=1$ et $\lim _{y\to 0}\lim _{x\to 0}f(x,y)=\lim _{y\to 0}0=0$.

#### E est un espace réel
##### Continuité

Ce cas est généralement trivial : il s'agit uniquement des théorèmes usuels (opérations algébriques, composition, fonctions usuelles…). Par exemple : toute fraction rationnelle est continue sur son domaine de définition, comme quotient de deux fonctions (polynômes) continues, dont le dénominateur ne s'annule pas.

##### Non-continuité

Pour démontrer la non-continuité d'une fonction définie sur $E$ en se ramenant à celle d'une fonction d'une variable réelle, il suffit d'utiliser la contraposée du résultat élémentaire suivant, pour une application $\varphi$ judicieusement choisie.
Si $f$ est continue en $a\in E$ et si $\varphi :\mathbb {R} \to E$ est une application continue telle que $\varphi (0)=a$, alors $f\circ \varphi$ est continue en $0$.
* Soit la fonction $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ définie par : $f(x,y)={\begin{cases}{\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}&{\text{si }}(x,y)\neq (0,0),\\0&{\text{si }}(x,y)=(0,0).\end{cases}}$ Si l'on choisit $\varphi (t)=(t,t^{2})$ (continue), alors $f(\varphi (t))={\begin{cases}{\frac {1}{2}}&{\text{si }}t\neq 0,\\0&{\text{si }}t=0\end{cases}}$ (non continue en $0$) donc $f$ n'est pas continue en $\varphi (0)=(0,0)$. Remarque : pourtant,
** $\lim _{x\to 0}\left(\lim _{y\to 0}f(x,y)\right)=\lim _{y\to 0}\left(\lim _{x\to 0}f(x,y)\right)=f(0,0)$ ;
** pour tout $v\in \mathbb {R} ^{2}$, $\lim _{t\to 0}f(tv)=0$.
* De même, la fonction $g:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,\;(x,y)\mapsto {\begin{cases}{\frac {\sin(x^{2}y)}{x^{4}+y^{2}}}&{\text{si }}(x,y)\neq (0,0),\\0&{\text{si }}(x,y)=(0,0)\end{cases}}$ n'est pas continue en $(0,0)$ car $g\circ \varphi :t\mapsto {\begin{cases}{\frac {\sin(t^{4})}{2t^{4}}}&{\text{si }}t\neq 0,\\0&{\text{si }}t=0\end{cases}}$ n'est pas continue en 0 (ou simplement : car $g\sim _{(0,0)}f$).
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