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## Présentation

Vikidia utilise, comme Wikipédia, le logiciel MediaWiki et donc la technique du wiki : le contenu de toutes les pages Web est accessible et instantanément modifiable par chaque utilisateur qui passe du mode lecteur au mode rédacteur.
C'est une grande responsabilité : avant de modifier un texte ou d'en écrire un nouveau, il faut toujours se poser la question de l'utilité et de la pertinence de cette modification. D'ailleurs, si ce n'est pas le cas, elle sera presque immédiatement supprimée de l’espace visible de Vikidia, mais quelle perte de temps et d'énergie pour les autres utilisateurs, dont la vigilance serait plus utile ailleurs !
Vikidia est également une encyclopédie, certes beaucoup plus modeste que Wikipédia.
    De plus elle s'adresse à un lectorat jeune, ou bien débutant dans un domaine précis, ou bien à des apprentis-lecteurs en français en somme à tous ceux qui ont envie d'apprendre ou réapprendre en partant de 0.
    Les articles sont plus courts et plus illustrés, le langage (lexique et syntaxe simplifiés) est adapté à ce lectorat.
    Mais les principes fondateurs sont les mêmes.

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* au mot, via le Wiktionnaire, soit
* à un article plus détaillé sur Vikidia.
* Acquérir et utiliser un vocabulaire précis, dans ce domaine peu pratiqué à l'oral, est un des objectifs de cette leçon d'informatique pratique.

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# Logique des propositions/Introduction
## Introduction à la logique des propositions

La logique est utilisée dans de nombreux domaines comme la recherche sur les fondements des mathématiques, raisonnement et philosophie, sciences du langage, et informatique.
La logique des propositions est une sous-partie de la Logique :
Cependant elle est nécessaire aux autres types de logiques, c’est en quelque sorte la base de la logique.
La logique des propositions est un système formel, qui comporte :
* une syntaxe pour produire une e.b.f. (expression bien formée) ou reconnaître si une expression est une e.b.f..
* une sémantique pour interpréter les e.b.f.; c’est donc un calcul.
La logique des propositions est dite vérifonctionnelle, ce qui signifie qu'une proposition ne peut avoir que deux valeurs de vérité : VRAI ou FAUX.
Le principe est le suivant : On va calculer la valeur de vérité d'un énoncé complexe à partir de la valeur de vérité de ses composants.
| Sommaire | Définitions |
# Logique formelle/Calcul des prédicats

Le calcul des prédicats est aussi appelé logique du premier ordre et permet de faire de la logique sur des fonctions, des relations et de quantifier des relations sur les variables. Plus formellement, on commence par définir le langage sur lequel porte cette logique, c'est-à-dire :
* un ensemble de connecteurs, qui sont ceux de la logique des propositions auquel on ajoute "quel que soit" et "il existe"
* un ensemble au plus dénombrable de variables V
* un ensemble de constantes C
* un ensemble de relations R. Chaque relation aura pour vocation d’être vraie ou fausse (suivant les valeurs de ses arguments). Elle a une arité, soit un nombre d'arguments.
* un ensemble de fonctions F, chaque fonction a également une arité.
Par exemple, le langage associé à la logique sur les nombres entiers est constitué:
* d'un ensemble de variables, disons x,...,x_n,....
* d'un ensemble de variables, C est composé de 0,
* F sera l’ensemble dont la seule fonction est la fonction successeur d'arité 1, c'est-à-dire que si x est une variable ou une constante, on peut former s(x)
* R comprendra l'égalité, d'arité 2. Au lieu de noter =(x,y), on prend souvent x = y
Pour l'instant, il n'y a pas de notion de modèle ou d'entier, on définit juste les constituants du langage. Pour le définir, il faudra parler de terme, qui illustre ce qu'on peut faire avec les fonctions, les constantes et les variables. Ensuite seulement, nous construirons le langage.
* Une variable ou une constante est un terme
* Si f est une fonction d'arité k et si a$_1$, ... a$_k$ sont des termes, alors f(a$_1$, ..., a$_k$) est un terme
* Un terme clos est un terme sans variable
* Un terme est un élément du langage
* Si R est une relation d'arité k et si a$_1$, ..., a$_k$ sont des termes, alors R(a$_1$,...a$_k$) est un élément du langage
* Si A est un élément du langage, "non A" aussi
* Si A et B sont des éléments du langage, il en est de même de "A et B", "A ou B", "A implique B", "A équivaut à B"
* Si A est un élément du langage et x une variable, alors "il existe x tel qu'A" et "pour tout x on a A" aussi
| Calcul des propositions | Sommaire |
# Logique formelle/Exercices/Quantificateurs et connecteurs logiques
## Exercice 1-1

Pour quels ensembles $E$ l'implication suivante est-elle vraie quels que soient les prédicats $P$ et $Q$ ?
    $\left[\forall x\in E\quad (P(x)\lor Q(x))\right]\Rightarrow \left[(\forall x\in E\quad P(x))\lor (\forall x\in E\quad Q(x))\right]$
Si $E=\varnothing$, l'implication est trivialement vraie car $\forall x\in \varnothing \quad \dots$ est toujours vrai et $\mathrm {VRAI} \Rightarrow \left[\mathrm {VRAI} \lor \mathrm {VRAI} \right]$ aussi.
Si $E=\{a\}$, l'implication est encore vraie, car elle se traduit par $\left[P(a)\lor Q(a)\right]\Rightarrow \left[P(a)\lor Q(a)\right]$.
Si $E$ a au moins deux éléments $a\neq b$, l'implication est fausse par exemple pour $P(x)\equiv (x=a)$ et $Q(x)\equiv (x\neq a)$.
Remarque : en revanche, l'implication réciproque, elle, est toujours vraie.
Moralité : $\forall$ et $\lor$ ne commutent pas. Cela n'a rien d'étonnant car $\forall$ est en quelque sorte un $\land$ infini, or le $\land$ usuel lui-même ne commute pas avec $\lor$.

## Exercice 1-2

Soient $(E,\leq )$ et $(F,\preceq )$ deux ensembles ordonnés et $f:E\to F$ une application.
* Traduire formellement : « $f$ n'est pas strictement croissante ». (Attention : on ne suppose pas que les ordres $\leq$ et $\preceq$ sont totaux.)
* Traduire formellement : « $f$ est croissante ».
* En déduire (formellement) que si $f$ est croissante et non strictement croissante, alors il existe $a,b\in E$ tels que $a<b$ et $f$ est constante sur l'ensemble $[a,b]:=\{x\in E\mid a\leq x\leq b\}$.
* $\exists a,b\in E\quad \left(a<b\land f(a)\nprec f(b)\right)$.
* $\forall x,y\in E\quad \left(x\leq y\Rightarrow f(x)\preceq f(y)\right)$.
* Comme $f$ n'est pas strictement croissante, il existe $a,b\in E$ tels que $a<b$ et $f(a)\nprec f(b)$. Comme $f$ est croissante, $f(a)\preceq f(b)$. Donc $f(a)=f(b)$. Par croissance de $f$, on en déduit : $\forall x\in \left[a,b\right]\quad f(a)\preceq f(x)\preceq f(b)=f(a)$ donc (par antisymétrie de $\preceq$) $\forall x\in \left[a,b\right]\quad f(x)=f(a)$.
# Logique des propositions/Substitution
## Notion de substitution
### Définition

Étant données deux formules A et B, substituer dans la formule A la formule B à l'atome 'a' consiste à remplacer dans la formule A chaque occurrence de 'a' par la formule B.
On note cette nouvelle formule '$A[a/B]$'

### Mise en pratique

Soit la formule $a\to (b\to \lnot a)$. On substitue à l'atome $a$ la formule $(b\land \lnot c)$ c'est-à-dire qu'on remplace chaque $a$ par cette formule, ce qui va donner : $(b\land \lnot c)\to (b\to \lnot (b\land \lnot c))$

## Notion de schéma
### Définition

Un schéma désigne n’importe quelle formule obtenue par substitution à partir d'une formule originelle

### Mise en pratique

Soit la formule $\lnot (a\land \lnot a)$. $\lnot (A\land \lnot A)$ désigne n’importe quelle formule obtenue à partir de $\lnot (a\land \lnot a)$ par substitution telle que :
* $\lnot (b\land \lnot b)$.
* $\lnot ((a\lor b)\land \lnot (a\lor b))$.
On parle alors de schéma.
Si on opère une substitution dans une formule valide alors on obtient une formule valide => Les substitutions conservent la validité.
Si un schéma est obtenu à partir d'une formule valide alors il est valide.
$(a\leftrightarrow b)\leftrightarrow ((a\to b)\land (b\to a))$ est valide.
On opère les substitutions $a/(a\lor b)$ et $b/(c\land d)$.
$((a\lor b)\leftrightarrow (c\land d))\leftrightarrow (((a\lor b)\to (c\land d))\land ((c\land d)\to (a\lor b)))$ est valide.

## Conclusion

Il est important de constater que ce qui fait la validité ou non d'une formule, ce n’est pas la valeur de vérité qu'on distribue aux atomes, ou même l'agencement des atomes les uns par rapport aux autres, mais la construction de la formule : son schéma.
| Équivalence | Sommaire |
# Logique formelle

| Chap. 1 : | Systèmes logiques (14) |
| Chap. 2 : | Calcul des propositions (14) |
| Chap. 3 : | Calcul des prédicats (14) |
| Exercice : | Quantificateurs et connecteurs logiques (14) |
Sur les autres projets Wikimedia :

## Présentation [Modifier]

La logique est le domaine des mathématiques qui se rapproche le plus de la philosophie, elle est donc très sujette à controverses. Ce cours a pour but d'exposer tout d’abord la logique sous son jour le plus précis et le plus formel, pour expliquer ensuite comment rattacher cette théorie à celle de la vérité mathématique.

## Objectifs [Modifier]

d'améliorer le raisonnement, l'écrit et le parler d'un individu.

## Niveau et prérequis conseillés

Leçon de niveau 14. Les prérequis pour cette leçon n'ont pas encore été précisés. Pour le faire, cliquez ici.

## Référents [Modifier]

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
* Loïc Fabiou (discuter)
# Logique formelle/Calcul des propositions

Un système de calcul propositionnel est un système formel logique ${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}\ (\mathrm {A} ,\ \Omega ,\ \mathrm {Z} ,\ \mathrm {I} )$ constitué de :
* Un alphabet Α qui est un ensemble fini dont les éléments sont appelés variables propositionnelles. On les notera en général p, q, r, s,...
* Un ensemble fini de connecteurs logiques Ω qui peut être partitionné en $\Omega =\sqcup _{i=0}^{n}\Omega _{i}$ où $\Omega _{i}$ désigne l’ensemble des symboles d'arité j.
L'arité correspond au nombre de variables du connecteur logique. Par exemple, en logique mathématique, on a en général $\Omega =\Omega _{0}\cup \Omega _{1}\cup \Omega _{2}$ où $\Omega _{0}=\{\top ,\bot \}$, $\Omega _{1}=\{\lnot \}$ et $\Omega _{2}=\{\land ,\lor ,\Longrightarrow ,\Longleftrightarrow \}$
Le langage est alors défini récursivement de la façon suivante :
* Tout élément de $\mathrm {A} \cup \Omega _{0}$ est une formule.
* Si $f\in \Omega _{i}$ et que $p_{1},p_{2},...,p_{i}$ sont des formules, alors $f(p_{1},p_{2},...,p_{i})$ également.
* Aucune autre formule qu'une obtenue à l'aide de ces règles n'est une formule.
Remarque : la notation $f(p_{1},p_{2},...,p_{i})$ est juste une question de convention ; suivant le système formel étudié, n’importe quelle notation (préfixée, infixée, postfixée, ...) pourra être utilisée.
On peut également remarquer que pour, une suite finie de symboles, le fait d’être ou non une formule est décidable : il est possible d'expliciter un algorithme qui décidera en un temps fini si la suite de symboles est ou non une formule.
| Systèmes logiques | Calcul des prédicats |
# Logique des propositions/Validité
## Validité d'une proposition
### Définitions

Une proposition est dite valide ou tautologique si et seulement si elle est vraie en toutes circonstances.
* $a\lor \lnot a$
* $a\leftrightarrow \lnot \lnot a$
* $a\to a$
Pour vérifier qu'une proposition est valide,
* on effectue une analyse sémantique (arbre de vérité, arbre de Quine)
* si l’on obtient :
   * que des V à la fin du processus, la formule est valide; c’est une tautologie.
   * un F (au moins), la formule n’est pas valide; ce n’est pas une tautologie.
Une proposition est dite antinomique si et seulement si elle est fausse en toutes circonstances.
C'est le cas lorsque l’on obtient que des F sur un arbre de vérité Une antinomie est la négation d'une tautologie, et réciproquement.
* $a\land \lnot a$
Les propositions qui sont parfois vraies, parfois fausses sont appelées propositions contingentes
C'est le cas pour la plupart des propositions logiques.
La valeur de vérité d'une formule valide ou antinomique ne dépend pas de la valeur de vérité des atomes qui les constituent.

### Propriétés

Une antinomie implique n’importe quelle autre propriété
Soit A une antinomie, B une proposition quelconque, on peut dire que $A\to B$ est valide : Son antécédent est toujours faux.
Donc on peut aussi dire qu'A implique B. (voir chapitre sur l’Implication)
Une antinomie n'est impliquée que par des antinomies
Une tautologie n'implique que des tautologies
Une tautologie est impliquée par n’importe quelle proposition

### Liste non exhaustive de propositions valides

* $a\lor \lnot a$ ⇒ (principe du tiers-exclu)
* $\lnot (a\land \lnot a)$ ⇒ (principe de non-contradiction)
* $(\lnot a\land (a\lor b))\to b$ ⇒ (modus tollens)
* $(a\land (a\to b))\to b$ ⇒ (modus ponens)
* $(a\to (b\to c))\leftrightarrow ((a\land b)\to c)$ ⇒ (principe de détachement)
* $((a\to b)\land (b\to c))\to (a\to c)$ ⇒ (transitivité de la conditionnalité)
* $\lnot (a\lor b)\leftrightarrow (\lnot a\land \lnot b)$ ⇒ (Lois de De Morgan 1)
* $\lnot (a\land b)\leftrightarrow (\lnot a\lor \lnot b)$ ⇒ (Lois de De Morgan 2)
* $(a\to b)\leftrightarrow (\lnot b\to \lnot a)$ ⇒ (Loi de contraposition)
* $(a\to b)\leftrightarrow (\lnot a\lor b)$
* $(a\to b)\lor (b\to a)$
* $(a\leftrightarrow b)\leftrightarrow ((a\to b)\land (b\to a))$
* $(a\leftrightarrow b)\leftrightarrow ((a\land b)\lor (\lnot a\land \lnot b))$
| Arbres de Quine | Implication |
# Logique des propositions/Équivalence
## Notion d'équivalence logique
### Définitions

Deux propositions A et B sont équivalentes si et seulement si A et B ont toujours la même valeur de vérité, c'est-à-dire si lorsque A est vrai, B est vrai et lorsque B est vrai, A est vrai également.

### Propriétés

Pour toute distribution de valeurs de vérité aux atomes, A et B auront même valeur de vérité
A est équivalent à B si et seulement si A implique B et B implique A
Deux formules valides sont équivalentes
Une formule équivalente à une formule valide ne peut être que valide

### Notation

L'équivalence logique se note : "$\Leftrightarrow$" ou parfois "$\approx$"
Une formule A équivalente à une formule B sera donc notée : "$A\Leftrightarrow B$

### Point important

Biconditionnel : niveau du langage sur le système formel
Équivalence : niveau du META-LANGAGE (discours sur le discours)

### Méthode

Pour démontrer qu'une formule A est équivalente à une formule B, il faut former le biconditionnel entre ces deux formules et prouver que la formule qui en résulte est valide, c'est-à-dire faire un arbre de Quine et ne trouver que du vrai.
Soit une formule A correspondant à $a\lor \lnot a$ et une formule B correspondant à $a\to a$.
* On forme le biconditionnel $(a\lor \lnot a)\leftrightarrow (a\to a)$
* On procède à une analyse sémantique :

### Intérprétation

* On a que du V : Cela signifie que $\models A\leftrightarrow B$ (le biconditionnel entre A et B est valide) et donc qu'on a bien $A\Leftrightarrow B$ (A est équivalent à B)
* On a un ou plusieurs F : le biconditionnel n’est pas valide donc il n'y a pas équivalence : On ne peut rien en déduire.
| Implication | Substitution |
# L'élément chimique/Exercices/Les isotopes

Donner le nombre de protons et de neutrons contenus dans chacun des noyaux des éléments suivants :
* 65 29Cu
* 37 17Cl
* 57 26Fe
* 64 29Cu
* 35 17Cl
Préciser quels sont les isotopes.
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle.
# L'élément chimique/Exercices/Médicament à base de fer

   « Le Fero Grad est un médicament qui contient du fer et de la vitamine C. Le fer est nécessaire à la formation de l’hémoglobine, contenue dans les globules rouges, qui assure le transport de l'oxygène dans le sang.
   Ce médicament est utilisé dans le traitement des carences en fer. Il est également utilisé pour prévenir cette carence chez la femme enceinte lorsque les apports alimentaires sont insuffisants. » — Vidal
Le médicament ci-dessus contient du sulfate ferreux, constitué d'ions sulfate, de formule SO2− 4 et d'ions fer, de formule Fe$^{2+}$.
* Qu'est-ce qu'un anion ?
* Donner la formule de l'anion présent dans ce médicament.
* Combien d'électrons y a-t-il dans un atome de fer ? Justifier la réponse.
* Combien d'électrons y a-t-il dans l'ion Fe$^{2+}$ ? Justifier la réponse.
* Un comprimé de 1 g contient 105 mg de fer. Quel est le pourcentage de fer contenu dans ce comprimé ?
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle.
# L'élément chimique/Exercices/Les ions
## Nombre d'électrons

Donner le nombre d'électrons contenu dans chacun des ions suivants : Cu$^{2+}$, Fe$^{3+}$, O$^{2−}$.
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle.

## Fer II

On considère l'ion Fe$^{2+}$. Le noyau de cet ion comporte 31 neutrons. Comparer la masse d'un atome de fer à celle de l'ion Fe$^{2+}$. Le résultat était-il prévisible ?
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle.
# L'élément chimique/Les corps simples et composés
## Les corps simples

Un corps simple n’est constitué que d’un seul élément chimique.
Exemples :
* Cuivre (Cu)
* Carbone (C)
* Dioxygène (O$_2$)
* Dihydrogène (H$_2$)

## Les corps composés

Un corps composé contient au moins deux éléments.
Exemple :
* Eau (H$_2$O)
* Dioxyde de carbone (CO$_2$)
| Dans la croûte terrestre | Les ions |
# L'élément chimique/Exercices/Quelques polluants

Les oxydes d'azotes NO et NO$_2$ ont pour origine les combustions à haute température (chaudières, voiture…). Ils contribuent aux pluies acides et augmentent la fréquence et la gravité des crises chez les asthmatiques. Ils favorisent les infections pulmonaires infantiles.
L'ozone O$_3$ est produit dans l’atmosphère sous l'effet du rayonnement solaire par des réactions chimiques entre d'autres polluants. Il perturbe la photosynthèse et conduit à une baisse de rendement des cultures de 5 à 10 %. Ce gaz est associé à une augmentation de la mortalité au moment des épisodes de pollution.
Parmi les composés cités ci-dessus, préciser si ce sont des corps simples ou composés. Pour le cas des corps composés, dire le nombre d'éléments chimiques qui les compose.
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle.
# L'élément chimique/Exercices/Source du plan de Phasy

Au cours de leur voyage de géologie, les élèves de terminale S ont eu l'occasion de voir la source du plan de Phasy, située dans le Briançonnais. C'est une eau ferrugineuse, c'est-à-dire qu'elle est chargée en ions fer.
On dispose du tableau suivant indiquant comment on peut identifier certains ions.
| Ion à caractériser | Ion réactif | Produit réactif | Observation |
| Ion sulfate SO2− 4 | Ion baryum Ba$^{2+}$ | Nitrate de baryum | Précipité blanc |
| Ion fer II Fe$^{2+}$ | Ion hydroxyde OH$^−$ | Hydroxyde de sodium | Précipité vert |
| Ion fer III Fe$^{3+}$ | Ion hydroxyde OH$^−$ | Hydroxyde de sodium | Précipité rouille |
Dans deux tubes à essai, un élève verse un peu d'eau de source, puis quelques gouttes d'une solution de nitrate de baryum dans le tube n$^o$ 1 et quelques gouttes d'une solution d'hydroxyde de sodium dans le tube n$^o$ 2.
* Dans le tube n$^o$ 1, il apparait un précipité blanc.
* Dans le tube n$^o$ 2, il apparait un précipité vert.
* Que nous apprennent ces expériences ?
* Écrire les équations des réactions qui ont eu lieu dans chaque tube à essai et donner le nom des précipités obtenus.
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle.
# L'élément chimique/Exercices/À propos de l'ion chlorure

Le chlorure de sodium NaCl est un solide constitué d'ion sodium (Na$^+$) et d'ions chlorure Cl$^−$. Il est le composant principal du sel de mer ; l'eau der mer contient environ 35 g de sels par litre dont 27 g de chlorure de sodium et 5 g d'autres chlorures (magnésium Mg$^{2+}$, calcium Ca$^{2+}$, potassium K$^+$).
En raison de sa capacité à abaisser le point de congélation d'une solution (l'eau der mer ne gèle qu'à −2 °C), le chlorure de sodium est utilisé pour lutter contre le verglas sur les chaussées. Il n'est efficace que pour des température supérieures à −10 °C. En dessous (jusqu'à −20 °C), on utilise de préférence le chlorure de calcium.
Le chlorure de potassium KCl est le composant principal du sel régime utilisé comme substitut au sel de table en cas d'hypertension artérielle.
Le chlorure d'argent AgCl (qui contient des ions argents Ag$^+$), était utilisé vers 1890 dans la fabrication du papier photographique.
La directive européenne 98/83 du 3 nombre 1998 qui est entrée en vigueur le 23 décembre 2003 à 200 mg L$^{−1}$ la teneur maximum en ion chlorure dans l’eau potable.
* Donner le nombre d'électrons contenus dans chacun des ions cités dans le texte.
* Donner en g L$^{−1}$ la teneur maximale en ion chlorure pour une eau potable.
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle.
# L'élément chimique/Exercices/Les corps simples et composés

Préciser parmi les composés suivants, quels sont les corps simples et les corps composés : H$_2$O, H$_2$SO$_4$, N$_2$, HNO$_3$, O$_2$.
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# L'élément chimique/Exercices/La moufette

Les moufettes sont des animaux carnivores de taille petite à moyenne, noirs, avec une double rayure blanche sur leur dos. La moufette est répandue sur tout le continent américain (à l'exception du nord-ouest canadien), avec seulement quelques espèces vivant en Indonésie et aux Philippines. Elle utilise comme moyen de défense un liquide nauséabond secrété par ses glandes anales. Ce composé est le 3-Méthylbutane-1-thiol de formule C$_5$H$_{12}$S.
* Qu'est-ce qu'un corps simple ?
* Le liquide émis par la moufette est-il un corps simple ou composé ? Dans l'affirmative, préciser le nombre d'éléments chimiques qui le compose.
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle.