# Signaux physiques (PCSI)/Circuits électriques dans l'ARQS : associations de conducteurs ohmiques

$\;{\big$
${\big )}\;$

## Résistance équivalente de l'association série de deux conducteurs ohmiques, généralisation à l'association série de plus de deux conducteurs ohmiques
### Association série de deux conducteurs ohmiques

Une association série de deux conducteurs ohmiques de résistances respectives $\;R_{1}\;$ et $\;R_{2}\;$ est équivalente à un conducteur ohmique de résistance «$\;R_{\text{éq série}}=R_{1}+R_{2}\;$».
Démonstration : les conducteurs ohmiques étant en série sont traversés par la « même intensité de courant $\;I\;$» et Démonstration : la tension aux bornes de l'association série des deux dipôles $\;U_{\text{assoc. série}}\;$ est égale à la somme des tensions $\;U_{1}\;$ et $\;U_{2}\;$ aux bornes de chaque dipôle, soit «$\;U_{\text{assoc. série}}=U_{1}+U_{2}\;$» ;
Démonstration : il reste à écrire que chaque dipôle est un conducteur ohmique par loi d'Ohm en convention récepteur «$\;U_{1}=R_{1}\;I\;$ et $\;U_{2}=$ $R_{2}\;I\;$» puis Démonstration : il reste à reporter ces expressions dans $\;U_{\text{assoc. série}}\;$ soit «$\;U_{\text{assoc. série}}=R_{1}\;I+R_{2}\;I\;$» ;
Démonstration : pour démontrer que l'association est équivalente à un conducteur ohmique « il faut observer que $\;U_{\text{assoc. série}}\;$ est $\;\propto \;$ à $\;I\;$» et Démonstration : pour démontrer que l'association est équivalente à un conducteur ohmique ceci se vérifie en factorisant par $\;I\;$ dans l'expression de $\;U_{\text{assoc. série}}\;$ soit «$\;U_{\text{assoc. série}}=(R_{1}+R_{2})\;I\;$», Démonstration : pour démontrer que l'association est équivalente à un conducteur ohmique « le cœfficient de proportionnalité $\;(R_{1}+R_{2})\;$ étant alors la résistance équivalente ».
Cas particulier : « l'association série de deux conducteurs ohmiques de même résistance $\;R\;$ est un conducteur ohmique de résistance $\;2\;R\;$».

### Généralisation : association série de plus de deux conducteurs ohmiques

Une association série de n conducteurs ohmiques de résistances respectives $\;R_{1}$, $\;\ldots$, $\;R_{k}$, $\;\ldots$, $\;R_{n}\;$ est équivalente à un conducteur ohmique de résistance «$\;R_{\text{éq série}}=\sum \limits _{k=1}^{n}R_{k}\;$».
Démonstration : les conducteurs ohmiques étant en série sont traversés par la « même intensité de courant $\;I\;$» et Démonstration : la tension aux bornes de l'association série des n dipôles $\;U_{\text{assoc. série}}\;$ est égale à la somme des n tensions $\;U_{1}$, $\;\ldots$, $\;U_{k}$, $\;\ldots$, $U_{n}\;$ aux bornes de chaque dipôle, soit Démonstration : la tension aux bornes de l'association série des n dipôles $\;\color {transparent}{U_{\text{assoc. série}}}\;$ est «$\;U_{\text{assoc. série}}=\sum \limits _{k=1}^{n}U_{k}\;$» ;
Démonstration : il reste à écrire que chaque dipôle est un conducteur ohmique par loi d'Ohm en convention récepteur «$\;U_{1}=R_{1}\;I$, $\;\ldots$, $\;U_{k}=R_{k}\;I$, $\;\ldots$, $\;U_{n}=R_{n}\;I\;$» puis Démonstration : il reste à reporter ces expressions dans $\;U_{\text{assoc. série}}\;$ soit «$\;U_{\text{assoc. série}}=\sum \limits _{k=1}^{n}R_{k}\;I\;$» ;
Démonstration : pour démontrer que l'association est équivalente à un conducteur ohmique « il faut observer que $\;U_{\text{assoc. série}}\;$ est $\;\propto \;$ à $\;I\;$» et Démonstration : pour démontrer que l'association est équivalente à un conducteur ohmique ceci se vérifie en factorisant par $\;I\;$ dans l'expression de $\;U_{\text{assoc. série}}\;$ soit «$\;U_{\text{assoc. série}}=\left(\sum \limits _{k=1}^{n}R_{k}\right)I\;$», Démonstration : pour démontrer que l'association est équivalente à un conducteur ohmique « le cœfficient de proportionnalité $\;\sum \limits _{k=1}^{n}R_{k}\;$ étant alors la résistance équivalente ».
Cas particulier : « l'association série de n conducteurs ohmiques de résistances identiques $\;R\;$ est un conducteur ohmique de résistance $\;n\;R\;$».

## Conductance équivalente de l'association parallèle de deux conducteurs ohmiques, résistance équivalente
### Association parallèle de deux conducteurs ohmiques, conductance équivalente

Une association parallèle de deux conducteurs ohmiques de conductances respectives $\;G_{1}\;$ et $\;G_{2}\;$ est équivalente à un conducteur ohmique de conductance «$\;G_{{\text{éq}},\,\parallel }=G_{1}+G_{2}\;$».
Démonstration : les conducteurs ohmiques étant en $\;\parallel \;$ sont soumis à la « même tension $\;U\;$» et Démonstration : l'intensité du courant traversant l'association parallèle des deux dipôles $\;I_{{\text{assoc. }}\parallel }\;$ est égale à la somme des intensités $\;I_{1}\;$ et $\;I_{2}\;$ des courants traversant chaque dipôle, soit Démonstration : l'intensité du courant traversant l'association parallèle des deux dipôles $\;\color {transparent}{I_{{\text{assoc. }}\parallel }}\;$ est «$\;I_{{\text{assoc. }}\parallel }=I_{1}+I_{2}\;$» ;
Démonstration : il reste à écrire que chaque dipôle est un conducteur ohmique par la 2ème forme de la loi d'Ohm en convention récepteur «$\;I_{1}=$ $G_{1}\;U\;$ et $\;I_{2}=G_{2}\;U\;$» puis Démonstration : il reste à reporter ces expressions dans $\;I_{{\text{assoc. }}\parallel }\;$ soit «$\;I_{{\text{assoc. }}\parallel }=G_{1}\;U+G_{2}\;U\;$» ;
Démonstration : pour démontrer que l'association est équivalente à un conducteur ohmique « il faut observer que $\;I_{{\text{assoc. }}\parallel }\;$ est $\;\propto \;$ à $\;U\;$» et Démonstration : pour démontrer que l'association est équivalente à un conducteur ohmique ceci se vérifie en factorisant par $\;U\;$ dans l'expression de $\;I_{{\text{assoc. }}\parallel }\;$ soit «$\;I_{{\text{assoc. }}\parallel }=(G_{1}+G_{2})\;U\;$», Démonstration : pour démontrer que l'association est équivalente à un conducteur ohmique « le cœfficient de proportionnalité $\;(G_{1}+G_{2})\;$ étant alors la conductance équivalente ».

### Association parallèle de deux conducteurs ohmiques, résistance équivalente

Une association parallèle de deux conducteurs ohmiques de résistances respectives $\;R_{1}\;$ et $\;R_{2}\;$ est équivalente à un conducteur ohmique de résistance «$\;R_{{\text{éq}},\,\parallel }={\dfrac {R_{1}\;R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}\;$».
Démonstration : nous savons déjà que l'association parallèle de deux conducteurs ohmiques est un conducteur ohmique de conductance équivalente égale à la somme des conductances individuelles Démonstration : nous savons déjà que «$\;G_{{\text{éq}},\,\parallel }=G_{1}+G_{2}\;$» soit, Démonstration : en remplaçant les conductances individuelles par leurs valeurs de résistances associées, «$\;G_{{\text{éq}},\,\parallel }={\dfrac {1}{R_{1}}}+{\dfrac {1}{R_{2}}}\;$» égale à «$\;G_{{\text{éq}},\,\parallel }=$ ${\dfrac {R_{2}+R_{1}}{R_{1}\;R_{2}}}\;$» d'où, Démonstration : en inversant, l'expression de «$\;R_{{\text{éq}},\,\parallel }={\dfrac {1}{G_{{\text{éq}},\,\parallel }}}={\dfrac {R_{1}\;R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}\;\;$».
Cas particulier : « l'association $\;\parallel \;$ de deux conducteurs ohmiques de même résistance $\;R\;$ est un conducteur ohmique de résistance $\;{\dfrac {R}{2}}\;$».

## Conductance équivalente de l'association parallèle de plus de deux conducteurs ohmiques

Une association parallèle de n conducteurs ohmiques de conductances respectives $\;G_{1}$, $\;\ldots$, $\;G_{k}$, $\;\ldots$, $\;G_{n}\;$ est équivalente à un conducteur ohmique de conductance «$\;G_{{\text{éq}},\,\parallel }=\sum \limits _{k=1}^{n}G_{k}\;$».
Démonstration : les conducteurs ohmiques étant en $\;\parallel \;$ sont soumis à la même tension $\;U\;$ et Démonstration : l'intensité du courant traversant l'association parallèle des n dipôles $\;I_{{\text{assoc. }}\parallel }\;$ est égale à la somme des intensités $\;I_{1}$, $\;\ldots$, $\;I_{k}$, $\;\ldots$, $I_{n}\;$ des courants traversant chaque dipôle, soit Démonstration : l'intensité du courant traversant l'association parallèle des n dipôles $\;\color {transparent}{I_{{\text{assoc. }}\parallel }}\;$ est «$\;I_{{\text{assoc. }}\parallel }=\sum \limits _{k=1}^{n}I_{k}\;$» ;
Démonstration : il reste à écrire que chaque dipôle est un conducteur ohmique par la 2ème forme de la loi d'Ohm en convention récepteur $\;I_{1}=$ $G_{1}\;U$, $\;\ldots$, $\;I_{k}=G_{k}\;U$, $\;\ldots$, $\;I_{n}=G_{n}\;U\;$ puis Démonstration : il reste à reporter ces expressions dans $\;I_{{\text{assoc. }}\parallel }\;$ soit «$\;I_{{\text{assoc. }}\parallel }=\sum \limits _{k=1}^{n}G_{k}\;U\;$» ;
Démonstration : pour démontrer que l'association est équivalente à un conducteur ohmique « il faut observer que $\;I_{{\text{assoc. }}\parallel }\;$ est $\;\propto \;$ à $\;U\;$» et Démonstration : pour démontrer que l'association est équivalente à un conducteur ohmique ceci se vérifie en factorisant par $\;U\;$ dans l'expression de $\;I_{{\text{assoc. }}\parallel }\;$ soit «$\;I_{{\text{assoc. }}\parallel }=\left(\sum \limits _{k=1}^{n}G_{k}\right)U\;$», Démonstration : pour démontrer que l'association est équivalente à un conducteur ohmique « le cœfficient de proportionnalité $\;\sum \limits _{k=1}^{n}G_{k}\;$ étant alors la conductance équivalente ».
Remarque : il n'y a aucune relation simple sur la résistance équivalente d'une association parallèle de plus de deux conducteurs ohmiques, on procède :
* par calcul de conductance équivalente et on inverse le résultat pour obtenir la résistance équivalente ou
* par itération « on associe d'abord deux conducteurs ohmiques pour déterminer la résistance équivalente » puis « on associe cette dernière avec un 3ème conducteur ohmique pour déterminer la nouvelle résistance équivalente » et « ainsi de suite jusqu'à épuisement des conducteurs montés en parallèle ».
Conseil : il est impératif de vérifier l'homogénéité des formules même si vous croyez faire des calculs sans erreurs $\;\ldots \;$
* un résultat du type $\;R_{{\text{assoc.}},\,\parallel }={\cancel {\dfrac {R_{1}\;R_{2}\;R_{3}}{R_{1}+R_{2}+R_{3}}}}\;$ pour la résistance équivalente de l'association parallèle de trois conducteurs ohmiques de résistance respective $\;R_{1}$, $\;R_{2}\;$ et $\;R_{3}\;$ qui serait induit par ${\big$fausse${\big )}\;$ intuition à partir de celui de deux conducteurs ohmiques montés en parallèle
* ou encore du type $\;R_{\text{éq}}={\cancel {R_{1}+R_{2}\;R_{3}}}\;$
* ou du type $\;R_{\text{éq}}={\cancel {R+1}}\;$ $\ldots \;$
Conseil : « sont évidemment faux » puisque « non homogènes ».

## Méthode générale de la détermination de la résistance équivalente d'un réseau dipolaire résistif, étude d'un exemple
### Méthode à utiliser avant toute chose

Remplacer les associations en série ou en parallèle de conducteurs ohmiques par le conducteur ohmique équivalent $\;\ldots \;$ Le plus souvent ce sera la seule chose à faire car le réseau dipolaire purement résistif étudié sera une association de réseaux dipolaires rassemblant des conducteurs ohmiques uniquement montés en série ou en parallèle $\;\ldots \;$
Attention : ne jamais perdre de vue les bornes entre lesquelles on cherche l'équivalence du réseau, toutes les erreurs que l'on peut rencontrer résultent de cet oubli.

### Méthode à utiliser dans le cas où la résolution de la résistance équivalente par « association de conducteurs ohmiques en série ou en parallèle » n'aboutit pas

Il convient avant toute chose de simplifier le réseau en remplaçant les associations en série ou $\;{\big$et${\big )}\;$ en parallèle de conducteurs ohmiques par le conducteur ohmique équivalent ; nous supposons que, malgré tout, il existe d'autres associations de conducteurs ohmiques que les associations en série ou en parallèle précédentes qui empêchent d'obtenir un conducteur ohmique équivalent au réseau dipolaire initial.
Dans la mesure où le réseau dipolaire est purement résistif, on admet qu'il est équivalent à un conducteur ohmique $\;{\big$c.-à-d. que la tension aux bornes du réseau et l'intensité du courant le traversant sont proportionnelles${\big )}$ ;
on détermine la résistance $\;R_{\text{éq}}\;$du conducteur ohmique équivalent au réseau dipolaire « en imposant un courant d'intensité$\;I\;$» et « en établissant, par utilisation des lois de Kirchhoff, l'expression de la tension aux bornes du réseau$\;U\;$ ${\big$en convention récepteur${\big )}\;$ en fonction de $\;I\;$ et des résistances des composants du réseau », la résistance cherchée étant alors $\;R_{\text{éq}}={\dfrac {U}{I}}\;$ indépendante de $\;I\;$ car le réseau est effectivement équivalent à un conducteur ohmique.

### Étude d'un exemple : Pont résistif de Wheatstone

On se propose de déterminer la résistance équivalente du réseau dipolaire résistif entre les bornes $\;A\;$ et $\;B$, ce réseau ne peut pas être simplifié en reconnaissant des associations en série ou en parallèle car il n'y en a pas $\;{\big$on reconnaît une association triangle entre les nœuds $\;A$, $\;C\;$ et $\;D$, ces nœuds étant reliés directement par les résistances $\;R_{1}$, $\;R_{5}\;$ et $\;R_{4}\;$, ou une association étoile entre les nœuds $\;A$, $\;D\;$ et $\;B$, de nœud central $\;C$, ce dernier étant relié directement aux trois autres par les résistances $\;R_{1}$, $\;R_{5}\;$ et $\;R_{2}\;$${\big ]}$ $\;{\big$voir ci-contre${\big )}$ ;
on impose donc un courant d'intensité $\;I\;$ traversant le réseau dipolaire $\;{\big$entrant par $\;A\;$ et sortant par $\;B{\big )}\;$ et on cherche à exprimer la tension $\;U\;$ entre les bornes $\;A\;$ et $\;B\;$ ${\big$convention récepteur${\big )}\;$ en fonction de $\;I\;$ et des cinq résistances du réseau à l'exclusion de toutes autres grandeurs ;
remarquant que $\;U=U_{1}+U_{2}\;$ et introduisant les courants inconnus traversant les cinq branches $\;{\big$il y a donc cinq inconnues car les tensions aux bornes des branches se déterminent en fonction de ces courants par loi d'Ohm${\big )}\;$ nous en déduisons $\;U=R_{1}\;i_{1}+R_{2}\;i_{2}$ ;
il reste à déterminer $\;i_{1}\;$ et $\;i_{2}\;$ en fonction de $\;I\;$ et des cinq résistances du réseau par utilisation de la loi des nœuds $\;{\big3\;$ équations indépendantes${\big )}\;$ et de la loi des mailles $\;{\big2\;$ équations indépendantes${\big )}\;$ soit :
* nœud $\;A$ : $\;I=i_{1}+i_{4}\;$ on garde $\;i_{1}\;$ et $\;I\;$, on élimine $\;i_{4}=I-i_{1}\;\;({\mathfrak {a}})$,
* nœud $\;B$ : $\;I=i_{2}+i_{3}\;$ on garde $\;i_{2}\;$ et $\;I\;$, on élimine $\;i_{3}=I-i_{2}\;\;({\mathfrak {b}})$,
* nœud $\;C$ : $\;i_{1}=i_{2}+i_{5}\;$ on garde $\;i_{1}\;$ et $\;i_{2}\;$, on élimine $\;i_{5}=i_{1}-i_{2}\;\;({\mathfrak {c}})$,
* maille $\;(I)$ : $\;-R_{1}\;i_{1}-R_{5}\;i_{5}+R_{4}\;i_{4}=0\;$ dans laquelle on reporte $\;({\mathfrak {c}})\;$ et $\;({\mathfrak {a}})\;$ $\Rightarrow$ l'équation linéaire aux deux inconnues $\;i_{1}\;$ et $\;i_{2}\;$ suivante $\;-R_{1}\;i_{1}-R_{5}\left(i_{1}-i_{2}\right)+R_{4}\left(I-i_{1}\right)=0\;$ ou $\;-\left(R_{1}+R_{5}+R_{4}\right)i_{1}+R_{5}\;i_{2}=-R_{4}\;I\;$ soit au final, en prenant l'opposé des deux membres, $\;\left(R_{1}+R_{5}+R_{4}\right)i_{1}-R_{5}\;i_{2}=R_{4}\;I\;\;({\mathfrak {m}}_{1})\;$ et
* maille $\;(II)$ : $\;-R_{2}\;i_{2}+R_{3}\;i_{3}+R_{5}\;i_{5}=0\;$ dans laquelle on reporte $\;({\mathfrak {b}})\;$ et $\;({\mathfrak {c}})\;$ $\Rightarrow$ l'équation linéaire aux deux inconnues $\;i_{1}\;$ et $\;i_{2}\;$ suivante $\;-R_{2}\;i_{2}+R_{3}\left(I-i_{2}\right)+R_{5}\left(i_{1}-i_{2}\right)=0\;$ ou $\;R_{5}\;i_{1}-\left(R_{2}+R_{3}+R_{5}\right)i_{2}=-R_{3}\;I\;$ soit finalement, en prenant l'opposé des deux membres, $\;-R_{5}\;i_{1}+\left(R_{2}+R_{3}+R_{5}\right)i_{2}=R_{3}\;I\;\;({\mathfrak {m}}_{2})$ ;
il reste à résoudre le système des deux équations linéaires aux deux inconnues $\;i_{1}\;$ et $\;i_{2}\;$ par « méthode de combinaison linéaire »
$\;\succ \;$ en remplaçant $\;({\mathfrak {m}}_{2})\;$ par $\;(R_{2}+R_{3}+R_{5})\times ({\mathfrak {m}}_{1})+R_{5}\times ({\mathfrak {m}}_{2})\;$ de façon à éliminer $\;i_{2}\;$ on obtient $\;i_{1}=$ ${\dfrac {R_{4}\left(R_{2}+R_{3}+R_{5}\right)+R_{3}\;R_{5}}{\left(R_{1}+R_{4}+R_{5}\right)\left(R_{2}+R_{3}+R_{5}\right)-R_{5}^{2}}}\;I\;$ ou, après réorganisation du dénominateur, $\;i_{1}=$ ${\dfrac {R_{4}\left(R_{2}+R_{3}+R_{5}\right)+R_{3}\;R_{5}}{\left(R_{1}+R_{4}\right)\left(R_{2}+R_{3}\right)+R_{5}\left(\sum \limits _{k\,=\,1}^{4}R_{k}\right)}}\;I\;$ puis
$\;\succ \;$ en remplaçant $\;({\mathfrak {m}}_{1})\;$ par $\;R_{5}\times ({\mathfrak {m}}_{1})+\left(R_{1}+R_{4}+R_{5}\right)\times ({\mathfrak {m}}_{2})\;$ de façon à éliminer $\;i_{1}\;$, on obtient $\;i_{2}=$ ${\dfrac {R_{4}\;R_{5}+R_{3}\left(R_{1}+R_{4}+R_{5}\right)}{-R_{5}^{2}+\left(R_{1}+R_{4}+R_{5}\right)\left(R_{2}+R_{3}+R_{5}\right)}}\;I\;$ ou, après réorganisation du dénominateur, $\;i_{2}={\dfrac {R_{3}\left(R_{1}+R_{4}+R_{5}\right)+R_{4}\;R_{5}}{\left(R_{1}+R_{4}\right)\left(R_{2}+R_{3}\right)+R_{5}\left(\sum \limits _{k\,=\,1}^{4}R_{k}\right)}}\;I$ ;
on forme alors $\;U=R_{1}\;i_{1}+R_{2}\;i_{2}=R_{1}\;{\dfrac {R_{4}\left(R_{2}+R_{3}+R_{5}\right)+R_{3}\;R_{5}}{\left(R_{1}+R_{4}\right)\left(R_{2}+R_{3}\right)+R_{5}\left(\sum \limits _{k\,=\,1}^{4}R_{k}\right)}}\;I+R_{2}\;{\dfrac {R_{3}\left(R_{1}+R_{4}+R_{5}\right)+R_{4}\;R_{5}}{\left(R_{1}+R_{4}\right)\left(R_{2}+R_{3}\right)+R_{5}\left(\sum \limits _{k\,=\,1}^{4}R_{k}\right)}}\;I\;$ d'où, en réécrivant sous la forme d'une fraction, $\;U=$ ${\dfrac {R_{1}\left[R_{4}\left(R_{2}+R_{3}+R_{5}\right)+R_{3}\;R_{5}\right]+R_{2}\left[R_{3}\left(R_{1}+R_{4}+R_{5}\right)+R_{4}\;R_{5}\right]}{\left(R_{1}+R_{4}\right)\left(R_{2}+R_{3}\right)+R_{5}\left(\sum \limits _{k\,=\,1}^{4}R_{k}\right)}}\;I\propto I\;$ dont on déduit l'expression de la résistance équivalente du réseau dipolaire résitif
$\;R_{\text{éq}}={\dfrac {U}{I}}={\dfrac {R_{1}\left[R_{4}\left(R_{2}+R_{3}+R_{5}\right)+R_{3}\;R_{5}\right]+R_{2}\left[R_{3}\left(R_{1}+R_{4}+R_{5}\right)+R_{4}\;R_{5}\right]}{\left(R_{1}+R_{4}\right)\left(R_{2}+R_{3}\right)+R_{5}\left(\sum \limits _{k\,=\,1}^{4}R_{k}\right)}}\;$
1er exemple : $\;R_{1}=R_{4}=100\;\Omega$, $\;R_{2}=R_{3}=50\;\Omega \;$ et $\;R_{5}=30\;\Omega$, on trouve «$\;R_{\text{éq}}\simeq 75\;\Omega \;$».
2ème exemple : $\;R_{1}=R_{2}=100\;\Omega$, $\;R_{3}=R_{4}=50\;\Omega \;$ et $\;R_{5}=30\;\Omega$, on trouve «$\;R_{\text{éq}}\simeq 66,7\;\Omega \;$».

## Utilisation de l'invariance par symétrie ou antisymétrie axiale de la répartition des courants circulant dans le réseau dipolaire résistif pour évaluer sa résistance équivalente
### Préliminaire avant toute utilisation des lois de Kirchhoff pour déterminer le conducteur ohmique équivalent à un réseau dipolaire purement résistif

Vérifier qu'il n'y a pas d'invariance de la répartition des courants par symétrie ou antisymétrie axiale sachant que l'éventuel axe de symétrie doit passer par les bornes de connexion du réseau dipolaire et que l'éventuel axe d'antisymétrie est la « médiatrice électrique » du segment limité par les bornes de connexion du réseau dipolaire.
Retour sur le pont résistif de Wheatstone dans son 1er exemple : ayant $\;R_{1}=R_{4}\;$ ainsi que $\;R_{2}=R_{3}\;$ on en déduit que $\;i_{1}=i_{4}\;$ ainsi que $\;i_{2}=i_{3}\;$ c.-à-d. que l'ensemble des courants d'intensités $\;\left(i_{1},\,i_{4},\,i_{2},\,i_{4}\right)\;$ est invariant par symétrie axiale relativement à l'axe $\;\left(AB\right)\;$ et comme le courant d'intensité $\;I\;$ est son « propre symétrique », on en déduit que
$\;\left(AB\right)$
Retour sur le pont résistif de Wheatstone dans son 2ème exemple : ayant $\;R_{1}=R_{2}\;$ ainsi que $\;R_{4}=R_{3}\;$ on en déduit que $\;i_{1}=i_{2}\;$ ainsi que $\;i_{4}=i_{3}\;$ c.-à-d. que l'ensemble des courants d'intensités $\;\left(i_{1},\,i_{4},\,i_{2},\,i_{4}\right)\;$ est invariant par antisymétrie axiale par rapport à l'axe $\;\left(CD\right)\;$ et comme les courants d'intensité $\;I\;$ en $\;A\;$ et $\;B\;$ ${\big$points symétriques par rapport à $\;\left(CD\right){\big ]}\;$ sont « antisymétriques », on en déduit que
$\;\left(CD\right)$

### Retour sur un 1er exemple particulier de pont résistif de Wheatstone dans lequel il y a invariance par symétrie axiale de la répartition des courants

La « répartition des courants » dans le pont résistif de Wheatstone ci-contre étant symétrique relativement à l'axe $\;\left(AB\right)\;$ on en déduit que
* les points $\;C\;$ et $\;D$, symétriques l'un de l'autre par rapport à l'axe de symétrie de répartition des courants $\;\left(AB\right)$, sont au même potentiel, il est donc possible de les court-circuiter sans modifier la répartition des courants et par suite le réseau dipolaire entre $\;A\;$ et $\;B\;$ devient une association série des deux associations parallèles $\;R_{1}\parallel R_{4}=R_{1}\;$ d'une part et $\;R_{2}\parallel R_{3}=R_{2}\;$ d'autre part$^,$ d'où «$\;R_{\text{éq}}={\dfrac {R_{4}\;R_{1}}{R_{4}+R_{1}}}+{\dfrac {R_{3}\;R_{2}}{R_{3}+R_{2}}}={\dfrac {R_{1}}{2}}+{\dfrac {R_{2}}{2}}=$ ${\dfrac {R_{1}+R_{2}}{2}}\;$» soit, avec $\;R_{1}=R_{4}=100\;\Omega \;$ et $\;R_{2}=R_{3}=50\;\Omega$, le résultat numérique suivant «$\;R_{\text{éq}}=$ ${\dfrac {100+50}{2}}=75\;\Omega \;$» ou,
* la branche $\;(5)\;$ étant perpendiculaire à l'axe de symétrie de répartition des courants $\;\left(AB\right)$, au point d'intersection de cette branche $\;(5)\;$ et de l'axe $\;\left(AB\right)$, le courant devant être d'une part perpendiculaire à l'axe et d'autre part le long de cet axe $\;{\big$on rappelle qu'en tout point de l'axe de symétrie de répartition des courants le courant doit circuler le long de cet axe${\big ]}$, est d'intensité nulle soit $\;i_{5}=0$, on peut donc « supprimer cette branche sans modifier la répartition des courants » et par suite le réseau dipolaire entre $\;A\;$ et $\;B\;$ devient une association parallèle des deux associations série “$\;R_{1}\;{\text{et}}\;R_{2}\;$” d'une part et “$\;R_{4}\;{\text{et}}\;R_{3}\;$” d'autre part$^,$ d'où «$\;R_{\text{éq}}={\dfrac {(R_{1}+R_{2})\;(R_{4}+R_{3})}{(R_{1}+R_{2})+(R_{4}+R_{3})}}\;$» ou, avec $\;R_{1}=R_{4}\;$ et $\;R_{2}=R_{3}$, «$\;R_{\text{éq}}={\dfrac {\left(R_{1}+R_{2}\right)^{2}}{2\left(R_{1}+R_{2}\right)}}={\dfrac {R_{1}+R_{2}}{2}}\;$» soit, avec $\;R_{1}=R_{4}$ $=100\;\Omega \;$ et $\;R_{2}$ $=R_{3}=50\;\Omega$, le même résultat numérique «$\;R_{\text{éq}}={\dfrac {100+50}{2}}=75\;\Omega \;$».

### Retour sur un 2ème exemple particulier de pont résistif de Wheatstone dans lequel il y a invariance par antisymétrie axiale de la répartition des courants

La « répartition des courants » dans le pont résistif de Wheatstone ci-contre étant antisymétrique relativement à l'axe $\;\left(CD\right)\;$ on en déduit que
* les points $\;C\;$ et $\;D$, de l'axe d'antisymétrie de répartition des courants $\;\left(CD\right)$, sont au même potentiel, demi-somme des potentiels extrêmes $\;{\dfrac {V_{A}+V_{B}}{2}}\;$, il est donc possible de les court-circuiter sans modifier la répartition des courants et par suite le réseau dipolaire entre $\;A\;$ et $\;B\;$ devient une association série des deux associations parallèles $\;R_{1}\parallel R_{4}\;$ d'une part et $\;R_{2}\parallel R_{3}\;$ d'autre part$^,$ d'où «$\;R_{\text{éq}}=$ ${\dfrac {R_{4}\;R_{1}}{R_{4}+R_{1}}}+{\dfrac {R_{3}\;R_{2}}{R_{3}+R_{2}}}\;$» ou, avec $\;R_{1}=R_{2}\;$ et $\;R_{4}=$ $R_{3}$, «$\;R_{\text{éq}}=2\;{\dfrac {R_{4}\;R_{1}}{R_{4}+R_{1}}}\;$» soit, avec $\;R_{1}=R_{2}=100\;\Omega \;$ et $\;R_{4}=R_{3}$ $=50\;\Omega$, le résultat numérique suivant «$\;R_{\text{éq}}=2\times {\dfrac {50\times 100}{50+100}}=66,7\;\Omega \;$» ou,
* la branche $\;(5)\;$ étant le long de l'axe d'antisymétrie de répartition des courants $\;\left(CD\right)$, au point d'intersection de cette branche $\;(5)\;$ et de l'axe $\;\left(CD\right)$, le courant devant être d'une part le long de cet axe et d'autre part perpendiculaire à l'axe $\;{\big$on rappelle qu'en tout point de l'axe d'antisymétrie de répartition des courants le courant doit circuler perpendiculairement à cet axe${\big ]}$, est d'intensité nulle soit $\;i_{5}=0$, on peut donc « supprimer cette branche sans modifier la répartition des courants » et par suite le réseau dipolaire entre $\;A\;$ et $\;B\;$ devient une association parallèle des deux associations série “$\;R_{1}\;{\text{série}}\;R_{2}\;$” et “$\;R_{4}\;{\text{série}}\;R_{3}\;$”$^,$ d'où «$\;R_{\text{éq}}=$ ${\dfrac {(R_{1}+R_{2})\;(R_{4}+R_{3})}{(R_{1}+R_{2})+(R_{4}+R_{3})}}\;$» ou, avec $\;R_{1}=R_{2}\;$ et $\;R_{4}=R_{3}$, «$\;R_{\text{éq}}={\dfrac {4\;R_{1}\;R_{4}}{2\left(R_{1}+R_{4}\right)}}=2\;{\dfrac {R_{4}\;R_{1}}{R_{4}+R_{1}}}\;$» soit, avec $\;R_{1}=$ $R_{2}=100\;\Omega \;$ et $\;R_{4}=R_{3}=50\;\Omega$, le même résultat numérique «$\;R_{\text{éq}}=2\times {\dfrac {50\times 100}{50+100}}=66,7\;\Omega \;$».

### Autre exemple : détermination de la résistance équivalente d'un réseau métallique

Voir exemple ci-contre, chaque portion de fil rectiligne étant de même longueur, de même section et de même matière donc de même résistance notée $\;r\;$, on cherche à déterminer la résistance équivalente entre $\;A\;$ et $\;B\;$ dans cet exemple où, observant d'autres associations que les associations série et parallèle comme des associations triangle ou étoile, il serait nécessaire d'imposer un courant d'intensité $\;I\;$ traversant le réseau et de déterminer la tension $\;U\;$ entre ses bornes par application des lois de Kirchhoff$^,$ $\;\ldots \;$ s'il n'y avait pas une invariance de la répartition des courants par symétrie ou antisymétrie axiales permettant un traitement beaucoup plus rapide.
Remarques : On a indiqué le sens du courant traversant le réseau dipolaire pour pouvoir préciser que la répartition des courants dans le réseau est symétrique par rapport à l'axe $\;\left(ACB\right)\;$ et antisymétrique par rapport à l'axe $\;\left(DCE\right)\;$ mais le résultat est indépendant de ce sens.
Remarques : tous les points sont des nœuds sauf les points $\;D\;$ et $\;E$, on pourrait remplacer les brins $\;FD\;$ et $\;DL\;$ par un seul brin $\;FL\;$ de résistance $\;2\;r$, de même remplacer les brins $\;GE\;$ et $\;EM\;$ par un seul brin $\;GM\;$ de résistance $\;2\;r$, mais cela réduisant les apparentes symétrie et antisymétrie n'aurait pas été une bonne transformation.

#### Par utilisation de l'invariance de la répartition des courants par symétrie axiale

Une 1ère façon d'utiliser l'axe de symétrie de répartition des courants $\;\left(ACB\right)\;$ est de dire que les points symétriques par rapport à $\;\left(ACB\right)\;$ sont deux à deux au même potentiel soit $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}V_{F}=V_{G}\\V_{D}=V_{E}\\V_{L}=V_{M}\end{array}}\right\rbrace \;$ et par suite qu'on peut les relier deux à deux par un court-circuit sans changer la répartition des courants ;
en pratique cela revient à rabattre la partie supérieure du réseau sur la partie inférieure de ce réseau, voir ci-contre :
* entre $\;F=G\;$ et $\;L=M\;$ passant par $\;C\;$ on a une association série de deux résistances $\;{\dfrac {r}{2}}\;$ soit $\;R_{{\text{éq}},\,F=G,\,C,\,L=M}={\dfrac {r}{2}}+{\dfrac {r}{2}}=r\;$,
* entre $\;F=G\;$ et $\;L=M\;$ passant par $\;D=E\;$ on a une association série de deux résistances $\;{\dfrac {r}{2}}\;$ soit $\;R_{{\text{éq}},\,F=G,\,D=E,\,L=M}={\dfrac {r}{2}}+{\dfrac {r}{2}}=r\;$,
* $\;R_{{\text{éq}},\,F=G,\,C,\,L=M}\;$ et $\;R_{{\text{éq}},\,F=G,\,D=E,\,L=M}\;$ étant montées en parallèle, entre $\;F=G\;$ et $\;L=M\;$ on a une association parallèle de deux résistances $\;r\;$ soit $\;R_{{\text{éq}},\,F=G,\,L=M}={\dfrac {r}{2}}\;$ et
* entre $\;A\;$ et $\;B\;$ on a une association série de trois résistances $\;{\dfrac {r}{2}}\;$ soit $\;R_{{\text{éq}},\,A,\,B}={\dfrac {r}{2}}+{\dfrac {r}{2}}+{\dfrac {r}{2}}\;$ et finalement «$\;R_{{\text{éq}},\,A,\,B}={\dfrac {3\;r}{2}}\;$».
Une 2ème façon d'utiliser l'axe de symétrie de répartition des courants $\;\left(ACB\right)\;$ est de dire qu'en un point de l'axe de symétrie, la direction du courant doit être le long de cet axe et pour mieux appliquer cette propriété, on sépare le point$\;C\;$de cet axe en deux points $\;C_{\text{sup}}\;$ et $\;C_{\text{inf}}\;$ reliés par un court-circuit perpendiculaire à l'axe $\;{\big$voir ci-contre à gauche${\big )}$ ;
comme au point d'intersection de l'axe de symétrie et du court-circuit perpendiculaire à l'axe, le courant doit être simultanément le long des deux, on en déduit que l'intensité du courant à travers le court-circuit est nulle et par suite ce court-circuit n'étant traversé par aucun courant peut être supprimé sans modifier la répartition des courants $\;{\big$voir ci-contre à droite${\big )}$ ;
* entre $\;F\;$ et $\;L\;$ passant par $\;D\;$ on a une association série de deux résistances $\;r\;$ soit $\;R_{{\text{éq}},\,F,\,D,\,L}=r+r=$ $2\;r\;$,
* entre $\;F\;$ et $\;L\;$ passant par $\;C_{\text{sup}}\;$ on a une association série de deux résistances $\;r\;$ soit $\;R_{{\text{éq}},\,F,\,C_{\text{sup}},\,L}=$ $r+r=$ $2\;r\;$,
* $\;R_{{\text{éq}},\,F,\,D,\,L}\;$ et $\;R_{{\text{éq}},\,F,\,C_{\text{sup}},\,L}\;$ montées en parallèle, entre $\;F\;$ et $\;L\;$ on a une association parallèle de deux résistances $\;2\;r\;$ soit $\;R_{{\text{éq}},\,F,\,L}={\dfrac {2\;r}{2}}=r\;$,
* entre $\;A\;$ et $\;B\;$ passant par $\;F\;$ et $\;L\;$ on a une association série de trois résistances $\;r\;$ soit $\;R_{{\text{éq}},\,A,\,F,\,L,\,B}=$ $r+r+r=3\;r\;$,
* entre $\;A\;$ et $\;B\;$ passant par $\;G\;$ et $\;M$, comme on a la même disposition des mêmes conducteurs ohmiques que dans la partie supérieure, on en déduit $\;R_{{\text{éq}},\,A,\,G,\,M,\,B}=3\;r\;$ et
* entre $\;A\;$ et $\;B\;$ on a une association parallèle de deux résistances $\;3\;r\;$ soit finalement «$\;R_{{\text{éq}},\,A,\,B}={\dfrac {3\;r}{2}}\;$».

#### Par utilisation de l'invariance de la répartition des courants par antisymétrie axiale

Une 1ère façon d'utiliser l'axe d'antisymétrie de répartition des courants $\;\left(DCE\right)\;$ est de dire que tous les points de l'axe d'antisymétrie sont au même potentiel moitié des potentiels extrêmes soit $\;V_{D}=V_{C}=V_{E}=$ ${\dfrac {V_{A}+V_{B}}{2}}\;$ et par suite qu'on peut relier tous les points de l'axe d'antisymétrie par un court-circuit sans changer la répartition des courants ;
on obtient ainsi des associations série et parallèle de conducteurs ohmiques :
* entre $\;F\;$ et $\;D=C=E\;$ on a une association parallèle de deux résistances $\;r\;$ soit $\;R_{{\text{éq}},\,F,\,D=C=E}={\dfrac {r}{2}}\;$,
* entre $\;A\;$ et $\;D=C=E\;$ passant par $\;F\;$ on a une association série d'une résistance $\;r\;$ et d'une résistance $\;{\dfrac {r}{2}}\;$ soit $\;R_{{\text{éq}},\,A,\,F,\,D=C=E}=r+{\dfrac {r}{2}}=$ ${\dfrac {3\;r}{2}}\;$,
* de même entre $\;A\;$ et $\;D=C=E\;$ passant par $\;G\;$ on a la même disposition de conducteurs ohmiques qu'entre $\;A\;$ et $\;D=C=E\;$ passant par $\;F\;$ d'où $\;R_{{\text{éq}},\,A,\,G,\,D=C=E}={\dfrac {3\;r}{2}}$,
* $\;R_{{\text{éq}},\,A,\,F,\,D=C=E}\;$ et $\;R_{{\text{éq}},\,A,\,G,\,D=C=E}\;$ étant montées en parallèle, entre $\;A\;$ et $\;D=C=E\;$ on a une association parallèle de deux résistances $\;{\dfrac {3\;r}{2}}\;$ soit $\;R_{{\text{éq}},\,A,\,D=C=E}={\dfrac {3\;r}{4}}\;$,
* de même entre $\;D=C=E\;$ et $\;B\;$ on a la même disposition de conducteurs ohmiques qu'entre $\;A\;$ et $\;D=C=E\;$ d'où $\;R_{{\text{éq}},\,D=C=E,\,B}={\dfrac {3\;r}{4}}\;$ et
* enfin entre $\;A\;$ et $\;B\;$ on a une association série de deux résistances $\;{\dfrac {3\;r}{4}}\;$ soit $\;R_{{\text{éq}},\,A,\,B}={\dfrac {3\;r}{4}}+{\dfrac {3\;r}{4}}\;$ et finalement
$\;R_{{\text{éq}},\,A,\,B}={\dfrac {3\;r}{2}}\;$
Une 2ème façon d'utiliser l'axe d'antisymétrie de répartition des courants $\;\left(DCE\right)\;$ est de dire qu'en un point de l'axe d'antisymétrie, la direction du courant doit être perpendiculaire à cet axe et pour mieux appliquer cette propriété, on sépare le point$\;C\;$de cet axe en deux points $\;C_{\text{sup}}\;$ et $\;C_{\text{inf}}\;$ reliés par un court-circuit parallèle à l'axe $\;{\big$voir ci-contre à gauche${\big )}$ ;
comme en tout point commun de l'axe d'antisymétrie et du court-circuit parallèle à l'axe, le courant doit être simultanément perpendiculaire et parallèle à l'axe, on en déduit que l'intensité du courant à travers le court-circuit est nulle et par suite ce court-circuit n'étant traversé par aucun courant peut être supprimé sans modifier la répartition des courants $\;{\big$voir ci-contre à droite${\big )}$ ;
le schéma obtenu étant le même que le 2ème établi par utilisation de l'axe de symétrie de répartition des courants, l'évaluation se fait donc exactement de la même façon que celle faite dans le paragraphe « par utilisation de l'invariance de la répartition des courants par symétrie axiale (2ème façon) » plus haut de ce chapitre d'où le même résultat
$\;R_{{\text{éq}},\,A,\,B}={\dfrac {3\;r}{2}}\;$

## Notion de réseau quadripolaire et conventions d'entrée et de sortie

Un réseau quadripolaire $\;{\big$R.Q.${\big )}\;$ est un système électrique relié à l'extérieur par quatre bornes,
* deux bornes situées à gauche et appelées « bornes d'entrée » entre lesquelles on branche usuellement une « source » et
* deux bornes situées à droite et appelées « bornes de sortie » entre lesquelles on connecte habituellement un récepteur appelé « charge » $\;{\big$voir ci-contre${\big )}$ :
le réseau quadripolaire $\;{\big$R.Q.${\big )}\;$ est dit
* passif s'il n'y a pas de sources internes, et
* linéaire s'il n'est constitué que de dipôles linéaires au sens de l'A.R.Q.S. ;
$\;\succ \;$vu des bornes d'entrée le R.Q. fermé sur le récepteur de sortie$\;{\big$ou charge${\big )}\;$est un réseau dipolaire passif, on adopte la convention récepteur pour les grandeurs électriques d'entrée de ce R.D.P. $\;u_{E}(t)\;$ tension d'entrée et $\;i_{E}(t)\;$ intensité du courant d'entrée, $\;{\big$en conséquence la source située aux bornes de ce R.D.P. est en convention générateur${\big ]}$ ;
$\;\succ \;$vu des bornes de sortie le R.Q. fermé sur la source d'entrée est un réseau dipolaire actif, on adopte la convention générateur pour les grandeurs électriques de sortie de ce R.D.A. $\;u_{S}(t)\;$ tension de sortie et $\;i_{S}(t)\;$ intensité du courant de sortie, $\;{\big$en conséquence la charge située aux bornes de ce R.D.A. est en convention récepteur${\big ]}$.
Remarque : on « adoptera » les conventions d'écriture suivantes :
* lettres majuscules pour tension et intensité restant constantes et
* lettres minuscules pour tension et intensité variant avec le temps,
* les indices pour l'entrée et la sortie étant a priori en majuscules.

## Pont diviseur de tension, représentation de Thévenin équivalente vue de la sortie du pont diviseur de tension alimenté en entrée
### Définition d'un pont diviseur de tension

Un pont diviseur de tension $\;{\big$P.D.T.${\big )}\;$ est un quadripôle linéaire passif, alimenté en entrée par une tension $\;u_{E}(t)\;$ entre les bornes de laquelle deux conducteurs ohmiques de résistances $\;R_{1}\;$ et $\;R_{2}\;$ sont montés en série quand la sortie définie aux bornes de $\;R_{1}\;$ est ouverte $\;{\big$le pont diviseur de tension étant dit « en sortie ouverte »${\big )}\;$ mais si cette sortie est fermée sur une « charge », le conducteur ohmique de résistance $\;R_{2}\;$ est en série avec l'association parallèle « conducteur ohmique de résistance $\;R_{1}\;$ et charge de sortie ».
Les grandeurs électriques d'entrée sont définies en convention récepteur pour l'entrée du P.D.T. et simultanément en convention générateur pour la source qui l'alimente soit :
* tension d'entrée $\;u_{E}(t)\;$ et
* intensité du courant d'entrée $\;i_{E}(t)$ ;
les grandeurs électriques de sortie sont définies en convention générateur pour la sortie du P.D.T. et simultanément en convention récepteur pour la charge aux bornes de laquelle le P.D.T. est branché soit :
* tension de sortie $\;u_{S}(t)\;$ et
* intensité du courant de sortie $\;i_{S}(t)\;$.

### Cas particulier très important du réseau dipolaire « pont diviseur de tension alimenté en entrée par u$_E$(t) et en sortie ouverte »

$\;u_{S,\,0}(t)={\dfrac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}}}\;u_{E}(t)\;$
Démonstration : La sortie étant ouverte $\;i_{S}(t)=0$,
Démonstration : les conducteurs ohmiques de résistance $\;R_{2}\;$ et $\;R_{1}\;$ étant montés en série sont traversés par le même courant d'intensité $\;i_{E}(t)$,
Démonstration : la loi d'Ohm appliquée au conducteur ohmique de résistance $\;R_{1}\;$ conduit à $\;u_{S,\,0}(t)=R_{1}\;i_{E}(t)\;$ et
Démonstration : celle appliquée à l'association série des conducteurs ohmiques de résistance $\;R_{2}\;$ et $\;R_{1}\;$ à $\;u_{E}(t)=(R_{1}+R_{2})\;i_{E}(t)\;$ d'où
Démonstration : en éliminant $\;i_{E}(t)\;$ par $\;i_{E}(t)={\dfrac {u_{E}(t)}{R_{1}+R_{2}}}$, l'expression de la tension de sortie ouverte $\;u_{S,\,0}(t)={\dfrac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}}}\;u_{E}(t)$.
Commentaires : C'est de cette expression $\;u_{S,\,0}(t)={\dfrac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}}}\;u_{E}(t)\;$ que l'on tire le nom « pont diviseur de tension » $\;{\big$en sortie ouverte${\big )}\;$ car $\;u_{E}(t)\;$ est la tension aux bornes de $\;R_{2}\;$ et $\;R_{1}\;$ montées en série et $\;u_{S,\,0}(t)\;$ celle aux bornes de $\;R_{1}\;$, tension ne représentant que la fraction $\;{\dfrac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}}}\;$ de $\;u_{E}(t)$ ;
Commentaires : si on s'intéressait à la tension $\;u_{2}(t)\;$ aux bornes de $\;R_{2}\;$ au lieu de $\;u_{1}(t)\;$ celle aux bornes de $\;R_{1}$, on reconnaîtrait de même un pont diviseur de tension alimenté en entrée par $\;u_{E}(t)\;$ et en sortie aux bornes de $\;R_{2}\;$ ouverte d'où $\;u_{2}(t)={\dfrac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}\;u_{E}(t)\;$.

### Générateur de Thévenin équivalent au réseau dipolaire « pont diviseur de tension alimenté en entrée par u$_E$(t) et vu des bornes de sortie »

$\;u_{E}(t)\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;e_{\text{Th}}(t)={\dfrac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}}}\;u_{E}(t)\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;r_{\text{Th}}={\dfrac {R_{1}\;R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}\;$
Démonstration : le but recherché est la détermination de l'expression de $\;u_{S}(t)\;$ en fonction de $\;u_{E}(t)$, $\;i_{S}(t)\;$ et les composants résistifs du P.D.T. et pour cela on utilise :
* la loi de maille soit $\;u_{S}(t)+R_{2}\;i_{E}(t)-u_{E}(t)=0\;\;\left({\mathfrak {m}}\right)\;$ dans laquelle on élimine $\;i_{E}(t)\;$ par
* la loi de nœud $\;i_{E}(t)=i_{1}(t)+i_{S}(t)\;\;\left({\mathfrak {n}}\right)\;$ ou, en explicitant $\;i_{1}(t)\;$ en fonction de $\;u_{S}(t)\;$ par loi d'Ohm $\;i_{1}(t)={\dfrac {u_{S}(t)}{R_{1}}}$, la nouvelle expression de loi de nœud $\;i_{E}(t)={\dfrac {u_{S}(t)}{R_{1}}}+i_{S}(t)\;\;\left({\mathfrak {n}}\right)\;$
Démonstration : soit, en reportant dans l'équation de maille $\;\left({\mathfrak {m}}\right)\;$ $\Rightarrow$ $\;u_{S}(t)+R_{2}\left[{\dfrac {u_{S}(t)}{R_{1}}}+i_{S}(t)\right]-u_{E}(t)=0\;$ ou $\;u_{S}(t)\left[1+{\dfrac {R_{2}}{R_{1}}}\right]=$ $u_{E}(t)-R_{2}\;i_{S}(t)\;$ ou encore $\;{\dfrac {R_{1}+R_{2}}{R_{1}}}\;u_{S}(t)=$ $u_{E}(t)-R_{2}\;i_{S}(t)\;$ soit finalement $\;u_{S}(t)={\dfrac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}}}\;u_{E}(t)-{\dfrac {R_{1}\;R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}\;i_{S}(t)\;$ dans laquelle on reconnaît le générateur de Thévenin équivalent au R.D. en convention générateur à savoir
* de f.e.m. $\;{\big$de Thévenin${\big )}\;$ «$\;e_{\text{Th}}(t)=u_{S,\,0}(t)={\dfrac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}}}\;u_{E}(t)\;$» et
* de résistance $\;{\big$de Thévenin${\big )}\;$ «$\;r_{\text{Th}}={\dfrac {R_{1}\;R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}\;$».
Commentaires : Il est relativement facile de retrouver les caractéristiques du générateur de Thévenin équivalent au R.D. « P.D.T. alimenté en entrée par $\;u_{E}(t)\;$ et vu des bornes de sortie » si on les a oubliées en effet :
* d'une part la f.e.m. de Thévenin étant la tension de sortie ouverte, elle représente la fraction $\;{\dfrac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}}}\;$ de la tension d'entrée,
* d'autre part la résistance de Thévenin étant la résistance du R.D. vue des bornes de sortie quand ce dernier est rendu passif c.-à-d. quand on a remplacé la tension d'entrée par un court-circuit, le R.D.P. « P.D.T. court-circuité en entrée et vu des bornes de sortie » est l'association parallèle des conducteurs ohmiques de résistance $\;R_{2}\;$ et $\;R_{1}\;$ soit $\;r_{\text{Th}}=R_{1}\parallel R_{2}={\dfrac {R_{1}\;R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}\;$.

## Simplification de circuits par reconnaissance de pont(s) diviseur(s) de tension en sortie ouverte ou par utilisation du modèle de Thévenin de réseau dipolaire « pont(s) diviseur(s) de tension alimenté(s) en entrée et vu(s) des bornes de sortie »
### Pont diviseur de tension alimenté en entrée par u$_E$(t) et fermé sur une charge de résistance R$_u$

On souhaite déterminer la tension de sortie $\;u_{S}(t)\;$ d'un « P.D.T. alimenté en entrée par $\;u_{E}(t)\;$ et fermé sur une charge de résistance $\;R_{u}\;$» en fonction de $\;u_{E}(t)$, des résistances du pont et de la résistance d'utilisation ; il y a deux façons de procéder :
* Remarquer que $\;R_{u}\;$ est en $\;\parallel \;$ sur $\;R_{1}$, remplacer cette association parallèle par sa résistance équivalente et reconnaître un R.D. en sortie ouverte « P.D.T. alimenté en entrée par $\;u_{E}(t)\;$ et en sortie ouverte aux bornes de $\;R_{1}\parallel R_{u}\;$» $\;\ldots$
* Remplacer le R.D. « P.D.T. alimenté en entrée par $\;u_{E}(t)\;$ et vu des bornes de sortie » par son générateur de Thévenin équivalent et reconnaître dans le nouveau circuit un R.D. en sortie ouverte « P.D.T. alimenté en entrée par $\;e_{\text{Th}}(t)$, de résistance d'attaque $\;r_{\text{Th}}\;$ et en sortie ouverte aux bornes de $\;R_{u}\;$» $\;\ldots$

### 1ère résolution : utiliser la résistance équivalente de « R$_u$ en parallèle sur R$_1$ »

Voir schéma de situation ci-contre :
On utilise que « la résistance de la charge $\;R_{u}\;$ est montée en $\;\parallel \;$ sur $\;R_{1}\;$» et on remplace la résistance de l'association parallèle par sa résistance équivalente «$\;R_{\text{éq}}={\dfrac {R_{1}\;R_{u}}{R_{1}+R_{u}}}\;$» puis, on considère le nouveau P.D.T. alimenté en entrée par $\;u_{E}(t)\;$ et en sortie ouverte aux bornes de $\;R_{\text{éq}}={\dfrac {R_{1}\;R_{u}}{R_{1}+R_{u}}}\;$ soit
$\;u_{S}(t)={\dfrac {R_{\text{éq}}}{R_{2}+R_{\text{éq}}}}\;u_{E}(t)={\dfrac {\dfrac {R_{1}\;R_{u}}{R_{1}+R_{u}}}{R_{2}+{\dfrac {R_{1}\;R_{u}}{R_{1}+R_{u}}}}}\;u_{E}(t)\;$ ou, en multipliant haut et bas par $\;R_{1}+R_{u}$,
$\;u_{S}(t)={\dfrac {R_{1}\;R_{u}}{R_{2}\left(R_{1}+R_{u}\right)+R_{1}\;R_{u}}}\;u_{E}(t)\;$

### 2ème résolution : utiliser le générateur de Thévenin équivalent du réseau dipolaire « pont diviseur de tension alimenté en entrée et vu des bornes de sortie »

On remplace le R.D.L. « pont diviseur de tension alimenté en entrée par $\;u_{E}(t)\;$ et vu des bornes de sortie » par le générateur de Thévenin équivalent
* de f.e.m. de Thévenin «$\;e_{\text{Th}}(t)={\dfrac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}}}\;u_{E}(t)\;$» et
* de résistance de Thévenin «$\;r_{\text{Th}}={\dfrac {R_{1}\;R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}\;$» et
on obtient alors le schéma ci-contre à gauche :
on reconnaît alors un P.D.T. alimenté en entrée par $\;e_{\text{Th}}(t)\;$ et en sortie ouverte aux bornes de $\;R_{u}$, $\;r_{\text{Th}}\;$ étant la résistance d'attaque de ce nouveau P.D.T. soit :
$\;u_{S}(t)=$
${\dfrac {R_{u}}{r_{\text{Th}}+R_{u}}}\;e_{\text{Th}}(t)={\dfrac {R_{u}}{{\dfrac {R_{1}\;R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}+R_{u}}}\;{\dfrac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}}}\;u_{E}(t)\;$
$\;u_{S}(t)={\dfrac {R_{1}\;R_{u}}{R_{1}\;R_{2}+R_{u}\left(R_{1}+R_{2}\right)}}\;u_{E}(t)\;$

### Autres exemples

Ils sont nombreux et pourront être vus en exercices.
Remarques : Avant d'appliquer le résultat du R.D. « pont diviseur de tension alimenté en entrée et en sortie ouverte » vérifier que le pont diviseur de tension est effectivement en sortie ouverte ;
Remarques : reconnaître un pont diviseur de tension permet de résoudre beaucoup plus rapidement ce qu'on cherche, utiliser les lois de Kirchhoff alors qu'un pont diviseur de tension existe doit être considéré comme une erreur tactique $\;{\big$même si l'utilisation des lois de Kirchhoff permet d'aboutir au résultat${\big )}\;$ et cette dernière n'est à envisager que s'il n'y a pas de méthode plus simple.

## Pont diviseur de courant, représentation de Norton équivalente vue de la sortie du pont diviseur de courant alimenté en entrée
### Définition d'un pont diviseur de courant

Un pont diviseur de courant $\;{\big$P.D.C.${\big )}\;$ est un quadripôle linéaire passif, alimenté en entrée par un courant d'intensité $\;i_{E}(t)\;$ traversant deux conducteurs ohmiques de résistances $\;R_{1}\;$ et $\;R_{2}\;$ lesquels sont montés en parallèle quand la sortie en série avec $\;R_{1}\;$ est court-circuitée $\;{\big$le pont diviseur de courant étant dit « en sortie court-circuitée »${\big )}\;$ mais si cette sortie est fermée sur une « charge », le conducteur ohmique de résistance $\;R_{2}\;$ est en parallèle avec l'association série « conducteur ohmique de résistance $\;R_{1}\;$ et charge de sortie ».
Les grandeurs électriques d'entrée sont définies en convention récepteur pour l'entrée du P.D.C. et simultanément en convention générateur pour la source qui l'alimente soit :
* intensité du courant d'entrée $\;i_{E}(t)\;$ et
* tension d'entrée $\;u_{E}(t)$ ;
les grandeurs électriques de sortie sont définies en convention générateur pour la sortie du P.D.C. et simultanément en convention récepteur pour la charge aux bornes de laquelle le P.D.C. est branché soit :
* intensité du courant de sortie $\;i_{S}(t)\;$ et
* tension de sortie $\;u_{S}(t)\;$.

### Cas particulier très important du réseau dipolaire « pont diviseur de courant alimenté en entrée par i$_E$(t) et en sortie court-circuitée »

$\;i_{S,\,c.c.}(t)={\dfrac {G_{1}}{G_{1}+G_{2}}}\;i_{E}(t)={\dfrac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}\;i_{E}(t)\;$
Démonstration : La sortie étant court-circuitée $\;u_{S}(t)=0$,
Démonstration : les conducteurs ohmiques de résistance $\;R_{2}\;$ et $\;R_{1}\;$ montés en parallèle sont soumis à la même tension $\;u_{E}(t)$,
Démonstration : la 2ème forme de loi d'Ohm appliquée au conducteur ohmique de résistance $\;R_{1}\;$ $\Rightarrow$ $\;i_{S,\,c.c.}(t)=$ $G_{1}\;u_{E}(t)\;$ et
Démonstration : la même forme de loi d'Ohm appliquée à l'association parallèle des conducteurs ohmiques de résistance $\;R_{2}\;$ et $\;R_{1}\;$ $\Rightarrow$ $\;i_{E}(t)=(G_{1}+G_{2})\;u_{E}(t)\;$ d'où
Démonstration : en éliminant $\;u_{E}(t)\;$ par $\;u_{E}(t)={\dfrac {i_{E}(t)}{G_{1}+G_{2}}}$, l'expression de l'intensité de courant de sortie court-circuitée $\;i_{S,\,c.c.}(t)$ $={\dfrac {G_{1}}{G_{1}+G_{2}}}\;i_{E}(t)$ ;
Démonstration : la 2ème expression de $\;i_{S,\,c.c.}(t)\;$ en fonction des résistances s'obtient en remplaçant chaque conductance $\;G_{k}\;$ par l'inverse de la résistance correspondante $\;{\dfrac {1}{R_{k}}}\;$ soit $\;i_{S,\,c.c.}(t)=$ ${\dfrac {\dfrac {1}{R_{1}}}{{\dfrac {1}{R_{1}}}+{\dfrac {1}{R_{2}}}}}\;i_{E}(t)={\dfrac {\dfrac {1}{R_{1}}}{\dfrac {R_{2}+R_{1}}{R_{1}\;R_{2}}}}\;i_{E}(t)={\dfrac {R_{2}}{R_{2}+R_{1}}}\;i_{E}(t)$.
Commentaires : C'est de l'une ou l'autre expression $\;i_{S,\,c.c.}(t)={\dfrac {G_{1}}{G_{1}+G_{2}}}\;i_{E}(t)={\dfrac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}\;i_{E}(t)\;$ que l'on tire le nom « pont diviseur de courant » $\;{\big$en sortie court-circuitée${\big )}\;$ car $\;i_{E}(t)\;$ est l'intensité du courant traversant $\;R_{2}\;$ et $\;R_{1}\;$ montées en parallèle et $\;i_{S,\,c.c.}(t)\;$ l'intensité du courant traversant $\;R_{1}\;$, intensité ne représentant que la fraction $\;{\dfrac {G_{1}}{G_{1}+G_{2}}}={\dfrac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}\;$ de $\;i_{E}(t)$ ;
Commentaires : si on s'intéressait à l'intensité du courant $\;i_{2}(t)\;$ traversant $\;R_{2}\;$ au lieu de $\;i_{1}(t)\;$ celle traversant $\;R_{1}$, on reconnaîtrait de même un pont diviseur de courant alimenté en entrée par $\;i_{E}(t)\;$ et en sortie en série avec $\;R_{2}\;$ court-circuitée d'où $\;i_{2}(t)={\dfrac {G_{2}}{G_{1}+G_{2}}}\;i_{E}(t)=$ ${\dfrac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}}}\;i_{E}(t)\;$.

### Générateur de Norton équivalent au réseau dipolaire « pont diviseur de courant alimenté en entrée par i$_E$(t) et vu des bornes de sortie »

$\;i_{E}(t)\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;\eta _{\text{N}}(t)={\dfrac {G_{1}}{G_{1}+G_{2}}}\;i_{E}(t)={\dfrac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}\;i_{E}(t)\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;r_{\text{N}}=R_{1}+R_{2}\;$
Démonstration : le but recherché est la détermination de l'expression de $\;i_{S}(t)\;$ en fonction de $\;i_{E}(t)$, $\;u_{S}(t)\;$ et des composants résistifs du P.D.C. et pour cela on utilise :
* la loi de nœud $\;i_{E}(t)=i_{2}(t)+i_{S}(t)\;\;\left({\mathfrak {n}}\right)\;$ dans laquelle on élimine $\;i_{2}(t)\;$ par
* la loi de maille soit $\;u_{S}(t)+R_{1}\;i_{S}(t)-u_{E}(t)=0\;\;\left({\mathfrak {m}}\right)\;$ ou, en explicitant $\;u_{E}(t)\;$ en fonction de $\;i_{2}(t)\;$ par loi d'Ohm $\;u_{E}(t)=R_{2}\;i_{2}(t)$, la nouvelle expression de loi de maille $\;u_{S}(t)+R_{1}\;i_{S}(t)-R_{2}\;i_{2}(t)=0\;\;\left({\mathfrak {m}}\right)\;$ dont on tire $\;i_{2}(t)={\dfrac {u_{S}(t)}{R_{2}}}+{\dfrac {R_{1}}{R_{2}}}\;i_{S}(t)\;$ soit
Démonstration : en reportant dans l'équation de nœud $\;\left({\mathfrak {n}}\right)\;$ $\Rightarrow$ $\;i_{E}(t)={\dfrac {u_{S}(t)}{R_{2}}}+{\dfrac {R_{1}}{R_{2}}}\;i_{S}(t)+i_{S}(t)\;$ ou $\;i_{S}(t)\left[1+{\dfrac {R_{1}}{R_{2}}}\right]=$ $i_{E}(t)-{\dfrac {u_{S}(t)}{R_{2}}}\;$ ou encore $\;{\dfrac {R_{2}+R_{1}}{R_{2}}}\;i_{S}(t)=i_{E}(t)-{\dfrac {u_{S}(t)}{R_{2}}}\;$ soit finalement $\;i_{S}(t)={\dfrac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}\;i_{E}(t)-{\dfrac {u_{S}(t)}{R_{1}+R_{2}}}\;$ dans laquelle on reconnaît le générateur de Norton équivalent au R.D. en convention générateur à savoir
* de c.e.m. $\;{\big$de Norton${\big )}\;$ «$\;\eta _{\text{N}}(t)=i_{S,\,c.c.}(t)={\dfrac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}\;i_{E}(t)\;$» et
* de résistance $\;{\big$de Norton${\big )}\;$ «$\;r_{\text{N}}=R_{1}+R_{2}\;$».
Commentaires : Il est relativement facile de retrouver les caractéristiques du générateur de Norton équivalent au R.D. « P.D.C. alimenté en entrée par $\;i_{E}(t)\;$ et vu des bornes de sortie » si on les a oubliées en effet :
* d'une part le c.e.m. de Norton étant l'intensité du courant de sortie court-circuitée, elle représente la fraction $\;{\dfrac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}\;$ de l'intensité du courant d'entrée,
* d'autre part la résistance de Norton étant la résistance du R.D. vue des bornes de sortie quand ce dernier est rendu passif c.-à-d. quand on a remplacé le courant d'entrée par un interrupteur ouvert, le R.D.P. « P.D.C. ouvert en entrée et vu des bornes de sortie » est alors l'association série des conducteurs ohmiques de résistance $\;R_{2}\;$ et $\;R_{1}\;$ soit $\;r_{\text{N}}=R_{1}\;{\text{série}}\;R_{2}=$ $R_{1}+R_{2}\;$.

## Simplification de circuits par reconnaissance de pont(s) diviseur(s) de courant en sortie court-circuitée ou par utilisation du modèle de Norton de réseau dipolaire « pont(s) diviseur(s) de courant alimenté(s) en entrée et vu(s) des bornes de sortie »
### Pont diviseur de courant alimenté en entrée par i$_E$(t) et fermé sur une charge de résistance R$_u$

On souhaite déterminer l'intensité du courant de sortie $\;i_{S}(t)\;$ d'un « P.D.C. alimenté en entrée par $\;i_{E}(t)\;$ et fermé sur une charge de résistance $\;R_{u}\;$» en fonction de $\;i_{E}(t)$, des résistances du pont et de la résistance d'utilisation ; il y a deux façons de procéder :
* Remarquer que $\;R_{u}\;$ est en série avec $\;R_{1}$, remplacer cette association série par sa résistance équivalente et reconnaître un R.D. en sortie court-circuitée « P.D.C. alimenté en entrée par $\;i_{E}(t)\;$ et en sortie court-circuitée en série avec $\;R_{1}\;{\text{série}}\;R_{u}\;$» $\;\ldots$
* Remplacer le R.D. « P.D.C. alimenté en entrée par $\;i_{E}(t)\;$ et vu des bornes de sortie » par son générateur de Norton équivalent et reconnaître dans le nouveau circuit un R.D. en sortie court-circuitée « P.D.C. alimenté en entrée par $\;\eta _{\text{N}}(t)$, de résistance d'attaque $\;r_{\text{N}}\;$ et en sortie court-circuitée en série avec $\;R_{u}\;$» $\;\ldots$

### 1ère résolution : utiliser la résistance équivalente de « R$_u$ en série avec R$_1$ »

Voir schéma de situation ci-contre :
On utilise que « la résistance de la charge $\;R_{u}\;$ est montée en série avec $\;R_{1}\;$» et on remplace la résistance de l'association série par sa résistance équivalente «$\;R_{\text{éq}}=R_{1}+R_{u}\;$» puis, on considère le nouveau P.D.C. alimenté en entrée par $\;i_{E}(t)\;$ et en sortie court-circuitée en série avec $\;R_{\text{éq}}=R_{1}+R_{u}\;$ soit
$\;i_{S}(t)={\dfrac {R_{2}}{R_{2}+R_{\text{éq}}}}\;i_{E}(t)={\dfrac {R_{2}}{R_{2}+(R_{1}+R_{u})}}\;i_{E}(t)\;$ que l'on peut réécrire selon
$\;i_{S}(t)={\dfrac {R_{2}}{R_{2}+R_{1}+R_{u}}}\;i_{E}(t)\;$

### 2ème résolution : utiliser le générateur de Norton équivalent du réseau dipolaire « pont diviseur de courant alimenté en entrée et vu des bornes de sortie »

On remplace le R.D.L. « pont diviseur de courant alimenté en entrée par $\;i_{E}(t)\;$ et vu des bornes de sortie » par le générateur de Norton équivalent
* de c.e.m. de Norton «$\;\eta _{\text{N}}(t)={\dfrac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}\;i_{E}(t)\;$» et
* de résistance de Norton «$\;r_{\text{N}}=$ $R_{1}+R_{2}\;$» et
on obtient alors le schéma ci-contre à gauche :
on reconnaît alors un P.D.C. alimenté en entrée par $\;\eta _{\text{N}}(t)\;$ et en sortie court-circuitée en série avec $\;R_{u}$, $\;r_{N}\;$ étant la résistance d'attaque de ce nouveau P.D.C. soit :
$\;i_{S}(t)$
$={\dfrac {r_{\text{N}}}{r_{\text{N}}+R_{u}}}\;\eta _{\text{N}}(t)={\dfrac {R_{1}+R_{2}}{(R_{1}+R_{2})+R_{u}}}\;{\dfrac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}\;i_{E}(t)\;$
$\;i_{S}(t)={\dfrac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}+R_{u}}}\;i_{E}(t)\;$

### Autres exemples

Ils sont beaucoup moins nombreux que ceux utilisant les P.D.T. et pourront être vus en exercices.
Remarques : Avant d'appliquer le résultat du R.D. « pont diviseur de courant alimenté en entrée et en sortie court-circuitée » Remarques : Avant d'appliquer le résultat du R.D. vérifier que le pont diviseur de courant est effectivement en sortie court-circuitée ;
Remarques : reconnaître un pont diviseur de courant permet de résoudre plus rapidement ce qu'on cherche, utiliser les lois de Kirchhoff alors qu'un pont diviseur de courant existe doit être considéré comme maladroit et cette utilisation n'est à envisager que s'il n'y a pas de méthode plus simple.

## Association parallèle de deux sources linéaires non idéales de tension, représentation de Thévenin équivalente à l'association, théorème de Millman appliqué au cas de deux branches du type « R, V » délivrant un courant d'intensité connue (ou à connaître)
### Association parallèle de deux sources linéaires non idéales de tension et générateur de Thévenin équivalent à l'association

Considérons le montage ci-contre dans lequel on a représenté les sources linéaires non idéales de tension par leur modèle générateur de Thévenin ; vu des bornes de sortie ce R.D. « association parallèle de sources non idéales de tension » est équivalente à un générateur de Thévenin dont nous cherchons la f.e.m. $\;{\big$de Thévenin${\big )}\;$ $\;e_{\text{Th}}(t)\;$ et la résistance $\;{\big$de Thévenin${\big )}\;$ $\;r_{\text{Th}}$ :
le plus simple pour l'obtenir est de transformer chaque source réelle de tension en son modèle générateur de Norton$^,$ à savoir une « association parallèle d'une source de courant parfaite de c.e.m. $\;\eta _{k}(t)={\dfrac {e_{k}(t)}{r_{k}}}\;$ et d'un conducteur ohmique de résistance $\;r_{k}\;$» puis de remplacer
* les deux conducteurs ohmiques en parallèle par leur conducteur ohmique équivalent de résistance $\;r_{\text{éq}}=$ ${\dfrac {r_{1}\;r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}\;$ ainsi que
* les deux sources de courant parfaites en parallèle par leur source de courant parfaite équivalente de c.e.m. «$\;\eta _{\text{éq}}(t)=$ $\eta _{1}(t)+\eta _{2}(t)={\dfrac {e_{1}(t)}{r_{1}}}+{\dfrac {e_{2}(t)}{r_{2}}}$ $={\dfrac {r_{2}\;e_{1}(t)+r_{1}\;e_{2}(t)}{r_{1}\;r_{2}}}\;$» ;
on obtient alors le modèle générateur de Norton du R.D. « association parallèle de sources non idéales de tension » $\;{\Big$c.-à-d. l'association $\;\parallel \;$ d'une source de courant parfaite de c.e.m. $\;\eta _{N}(t)=$ ${\dfrac {r_{2}\;e_{1}(t)+r_{1}\;e_{2}(t)}{r_{1}\;r_{2}}}\;$ et d'un conducteur ohmique de résistance $\;r_{N}={\dfrac {r_{1}\;r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}\;$${\Big ]}\;$ et
il reste transformer ce générateur de Norton en un générateur de Thévenin équivalent pour établir le générateur de Thévenin équivalent au R.D. initial « association parallèle de sources non idéales de tension » $\;{\Big$c.-à-d. l'association série d'une source de tension parfaite de f.e.m. «$\;e_{\text{Th}}(t)=r_{N}\;\eta _{N}(t)=$ ${\dfrac {r_{1}\;r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}\;{\dfrac {r_{2}\;e_{1}(t)+r_{1}\;e_{2}(t)}{r_{1}\;r_{2}}}={\dfrac {r_{2}\;e_{1}(t)+r_{1}\;e_{2}(t)}{r_{1}+r_{2}}}\;$» et d'un conducteur ohmique de résistance «$\;r_{\text{Th}}=r_{N}={\dfrac {r_{1}\;r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}\;$»${\Big ]}$.
Conclusion : le générateur de Thévenin équivalent au R.D. « association parallèle de sources non idéales de tension » a pour
* f.e.m. $\;{\big$de Thévenin${\big )}\;$ «$\;e_{\text{Th}}(t)={\dfrac {r_{2}\;e_{1}(t)+r_{1}\;e_{2}(t)}{r_{1}+r_{2}}}\;$» $\;{\bigg$C.L. des f.e.m. des sources, les cœfficients des f.e.m. étant croisés «$\;{\dfrac {r_{1}}{r_{1}+r_{2}}}\;$ pour $\;e_{2}(t)\;$ et $\;{\dfrac {r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}\;$ pour $\;e_{1}(t)\;$»${\bigg ]}\;$ et
* résistance $\;{\big$de Thévenin${\big )}\;$ «$\;r_{\text{Th}}={\dfrac {r_{1}\;r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}\;$» $\;{\big$résistance équivalente entre $\;A\;$ et $\;B\;$ du R.D. rendu passif en remplaçant les sources idéales de tension par des courts-circuits${\big ]}$ ;
Conclusion : la loi d'Ohm généralisée du générateur de Thévenin équivalent au R.D. « association parallèle de sources non idéales de tension » s'écrit donc, en convention générateur :
$\;u_{S}(t)=e_{\text{Th}}(t)-r_{\text{Th}}\;i_{S}(t)={\dfrac {r_{2}\;e_{1}(t)+r_{1}\;e_{2}(t)}{r_{1}+r_{2}}}-{\dfrac {r_{1}\;r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}\;i_{S}(t)\;$
Commentaires : Le R.D. « pont diviseur de tension alimenté en entrée par $\;e_{1}(t)\;$ avec sortie aux bornes du conducteur ohmique de résistance $\;r_{2}\;$» est un cas particulier de ce R.D. « association parallèle de sources non idéales de tension » avec $\;e_{2}(t)=0$, le générateur de Thévenin équivalent a donc la même résistance$\;{\big$de Thévenin${\big )}\;$ «$\;r_{\text{Th}}={\dfrac {r_{1}\;r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}\;$» et sa f.e.m. qui, dans le R.D. « association parallèle de sources non idéales de tension » était une C.L. des f.e.m. des sources, les cœfficients des f.e.m. étant croisés «$\;{\dfrac {r_{1}}{r_{1}+r_{2}}}\;$ pour $\;e_{2}(t)\;$ et $\;{\dfrac {r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}\;$ pour $\;e_{1}(t)\;$» devient, en imposant$\;e_{2}(t)=0$, «$\;e_{\text{Th}}(t)=$ ${\dfrac {r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}\;e_{1}(t)\;$».

### Complément : théorème de Millman appliqué au nœud d'où partent deux branches de type « R, V » lesquelles délivrent un courant d'intensité « i$_S$ » connue (ou à connaître)

Il s'agit du résultat du paragraphe précédent réécrit en termes de potentiel du nœud où on applique le théorème de Millman $\;{\big$voir schéma ci-contre${\big )}$ :
on pourra appliquer le théorème de Millman en un nœud $\;S\;$ si, arrivent à ce nœud deux branches internes du type $\;\left(R,\,V\right)\;$$^,$, la branche externe permettant le départ d'un courant d'intensité $\;i_{S}(t)$ ; le théorème de Millman appliqué au nœud $\;S\;$ permet de déterminer le potentiel du nœud considéré en fonction des deux potentiels et des deux résistances définis sur chaque branche interne ainsi que de l'intensité du courant délivré ;
l'« association parallèle de deux sources non idéales de tension » délivrant un courant d'intensité $\;i_{S}(t)\;$ satisfait aux conditions d'« utilisation du théorème de Millman au nœud $\;A\;$» si « on choisit la masse en $\;B\;$» $\;{\big$voir schéma du paragraphe précédent${\big )}\;$ ;
or ayant établi «$\;u_{S}(t)={\dfrac {r_{2}\;e_{1}(t)+r_{1}\;e_{2}(t)}{r_{1}+r_{2}}}-{\dfrac {r_{1}\;r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}\;i_{S}(t)\;$» on peut réécrire cette relation en termes de potentiels car «$\;u_{S}(t)=$ $V_{A}(t)-V_{B}(t)=V_{A}(t)\;$» soit «$\;V_{A}(t)={\dfrac {r_{2}\;V_{C}(t)+r_{1}\;V_{D}(t)}{r_{1}+r_{2}}}-{\dfrac {r_{1}\;r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}\;i_{S}(t)$ $={\dfrac {r_{2}\;V_{C}(t)+r_{1}\;V_{D}(t)-r_{1}\;r_{2}\;i_{S}(t)}{r_{1}+r_{2}}}\;$» ou, en divisant haut et bas par $\;r_{1}\;r_{2}\;$, l'expression suivante
$\;V_{A}(t)={\dfrac {{\dfrac {V_{C}(t)}{r_{1}}}+{\dfrac {V_{D}(t)}{r_{2}}}-i_{S}(t)}{{\dfrac {1}{r_{1}}}+{\dfrac {1}{r_{2}}}}}\;$
$\;S\;$
$\;\left(R,\,V\right)\;$
$\;i_{S}(t)\;$
$\;S\;$
$\;V_{S}(t)={\dfrac {{\dfrac {V_{1}(t)}{R_{1}}}+{\dfrac {V_{2}(t)}{R_{2}}}-i_{S}(t)}{{\dfrac {1}{R_{1}}}+{\dfrac {1}{R_{2}}}}}\;$
Commentaires : Pour appliquer le théorème de Millman en un nœud, vérifier que les deux branches internes sont de type $\;\left(R,\,V\right)\;$ ${\big$choisir la « masse » pour que les potentiels soient les plus simples possibles${\big )}\;$ et définir le courant délivré dans la branche externe ;  Commentaires : le potentiel du nœud choisi est exprimé sous la forme d'un quotient d'une somme de trois intensités sur une somme de deux conductances, chaque branche interne ayant pour terme dans la somme du numérateur $\;{\dfrac {V_{k}(t)}{R_{k}}}\;$ et pour terme dans la somme du dénominateur $\;{\dfrac {1}{R_{k}}}$, la branche externe n'ayant que le terme $\;-i_{S}(t)\;$ dans la somme du numérateur.

## Compléments : généralisation du théorème de Millman
### Condition d'application du théorème de Millman en un nœud duquel part une branche externe par laquelle le courant est délivré

Il s'agit de la généralisation du théorème de Millman avec modification des branches internes $\;{\big$voir schéma ci-contre${\big )}$ :
on pourra appliquer la généralisation du théorème de Millman en un nœud $\;S\;$ si, arrivent à ce nœud des branches internes du type $\;\left(R,\,V\right)\;$ et (ou) des branches internes de type $\;\left(I'\right)\;$$^,$$^,$, la branche externe permettant le départ d'un courant d'intensité $\;i_{S}(t)$ ; la généralisation du théorème de Millman appliquée au nœud $\;S\;$ permet de déterminer le potentiel du nœud considéré en fonction des potentiels et des résistances définis sur chaque branche interne de type $\;\left(R,\,V\right)\;$ ainsi que des intensités des courants traversant chaque branche interne de type $\;\left(I'\right)\;$ et l'intensité du courant délivré.

### Énoncé du théorème de Millman appliqué au nœud S du réseau par lequel le courant d'intensité i$_S$ en sort

La démonstration consiste
* à transformer les $\;n\;$ branches de type $\;\left(R,\,V\right)\;$ en leur modèle générateur de courant,
* à considérer les courants des $\;m\;$ branches de type $\;I'\;$ comme des courants délivrés par des sources idéales de courant,
* à regrouper les $\;n+m\;$ c.e.m. en parallèle en un seul c.e.m. équivalent $\;\eta _{\text{éq}}\;$
* puis regrouper les $\;n\;$ conducteurs ohmiques en parallèle résultant des modèles générateurs de courant équivalents aux branches de type $\;\left(R,\,V\right)\;$ en un seul conducteur ohmique équivalent de conductance $\;G_{\text{éq}}\;$
* pour terminer en écrivant que ce conducteur ohmique équivalent est traversée par le courant d'intensité $\;\eta _{\text{éq}}-i_{S}\;$ d'où «$\;V_{S}={\dfrac {\eta _{\text{éq}}-i_{S}}{G_{\text{éq}}}}\;$».
$\;S\;$
$\;n\geqslant 1\;$
$\;\left(R,\,V\right)$
$\;m\;$
$\;\left(I'\right)\;$
$\;i_{S}(t)\;$
$\;S\;$
$\;V_{S}(t)={\dfrac {\sum \limits _{k=1}^{n}{\dfrac {V_{k}(t)}{R_{k}}}+\sum \limits _{l=1}^{m}{I'}_{l}(t)-i_{S}(t)}{\sum \limits _{k=1}^{n}{\dfrac {1}{R_{k}}}}}\;$

### Intérêt du théorème de Millman

Si on cherche à déterminer le générateur de Thévenin équivalent à un R.D.A. $\;AB\;$ comportant une ou plusieurs sources, il peut être intéressant $\;-\;$ dans le cas où la notion de pont diviseur de tension « ne serait pas opérationnelle » $\;-\;$ d'appliquer le théorème de Millman en « chaque borne extrême $\;A\;$ et $\;B\;$ du réseau » pour déterminer le potentiel de chaque borne en fonction des grandeurs internes et de l'« intensité du courant traversant le réseau », puis de faire la différence pour obtenir la tension aux bornes du réseau ;
ayant obtenu $\;V_{A}(t)=V_{A,\,0}(t)-r_{A}\;i_{S}(t)\;$ par application du théorème de Millman en $\;A\;$ et ayant obtenu $\;V_{B}(t)=V_{B,\,0}(t)+r_{B}\;i_{S}(t)\;$ par application du théorème de Millman en $\;B$, la différence s'écrit alors «$\;u_{S}(t)=V_{A}(t)-V_{B}(t)=\left[V_{A,\,0}(t)-V_{B,\,0}(t)\right]-\left[r_{A}+r_{B}\right]i_{S}(t)\;$» et on reconnaît la loi d'Ohm généralisée,
* la f.e.m. de Thévenin étant «$\;e_{\text{Th}}(t)=u_{S,\,0}(t)=V_{A,\,0}(t)-V_{B,\,0}(t)\;$» et
* la résistance de Thévenin «$\;r_{\text{Th}}=r_{A}+r_{B}\;$».
Nous pourrons voir des exemples en exercices en plus de celui traité dans le paragraphe suivant.

### Exemple d'utilisation du théorème de Millman : pont résistif de Wheatstone

Soit le pont résistif de Wheatstone représenté ci-contre, alimenté en entrée par une source de tension parfaite de f.e.m. $\;e\;$ constante et délivrant, à travers un ampèremètre de résistance interne $\;r_{A}\;$ branché entre les bornes de sortie, un courant d'intensité $\;i_{S}\;$ ;
souhaitant évaluer l'intensité $\;i_{S}\;$ en fonction de $\;e$, des quatre résistances du pont et de $\;r_{A}$, on détermine au préalable le générateur de Thévenin équivalent au R.D. « pont de Wheatstone alimenté en entrée par $\;e\;$ et vu des bornes de sortie » par utilisation du théorème de Millman successivement à chacune des bornes de sortie ;
on choisit la masse en $\;B\;$ ce qui permet de connaître $\;V_{A}=e\;$ en plus de $\;V_{B}=0$ ;
application du théorème de Millman au nœud$\;C$ : il s'agit du théorème à deux branches internes de type $\;\left(R,\,V\right)\;$ avec une branche externe par laquelle un courant d'intensité $\;i_{S}\;$ s'éloigne de $\;C\;$ soit «$\;V_{C}={\dfrac {{\dfrac {V_{A}}{R_{1}}}+{\dfrac {V_{B}}{R_{2}}}-i_{S}}{{\dfrac {1}{R_{1}}}+{\dfrac {1}{R_{2}}}}}=$ ${\dfrac {{\dfrac {e}{R_{1}}}+{\cancel {\dfrac {0}{R_{2}}}}-i_{S}}{{\dfrac {1}{R_{1}}}+{\dfrac {1}{R_{2}}}}}\;$» ou, en multipliant par $\;R_{1}\;R_{2}\;$ haut et bas, «$\;V_{C}=$ ${\dfrac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}\;e-{\dfrac {R_{1}\;R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}\;i_{S}\;$» ;
application du théorème de Millman au nœud$\;D$ : il s'agit du théorème à deux branches internes de type $\;\left(R,\,V\right)\;$ avec une branche externe par laquelle un courant d'intensité $\;i_{S}\;$ s'approche de $\;D\;$ soit «$\;V_{D}=$ ${\dfrac {{\dfrac {V_{A}}{R_{4}}}+{\dfrac {V_{B}}{R_{3}}}+i_{S}}{{\dfrac {1}{R_{4}}}+{\dfrac {1}{R_{3}}}}}={\dfrac {{\dfrac {e}{R_{4}}}+{\cancel {\dfrac {0}{R_{3}}}}+i_{S}}{{\dfrac {1}{R_{4}}}+{\dfrac {1}{R_{3}}}}}\;$» ou, en multipliant haut et bas par $\;R_{4}\;R_{3}$, on obtient «$\;V_{D}={\dfrac {R_{3}}{R_{3}+R_{4}}}\;e+{\dfrac {R_{3}\;R_{4}}{R_{3}+R_{4}}}\;i_{S}\;$» ;
on termine en faisant la différence pour obtenir la tension aux bornes du R.D. « pont de Wheatstone alimenté en entrée par $\;e\;$ et vu des bornes de sortie » soit
$\;V_{C}-V_{D}=\left[{\dfrac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}-{\dfrac {R_{3}}{R_{3}+R_{4}}}\right]e-\left[{\dfrac {R_{1}\;R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}+{\dfrac {R_{3}\;R_{4}}{R_{3}+R_{4}}}\right]i_{S}\;$
et on en tire le générateur de Thévenin équivalent
* de f.e.m. $\;{\big$de Thévenin${\big )}\;$ «$\;e_{\text{Th}}=\left[{\dfrac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}-{\dfrac {R_{3}}{R_{3}+R_{4}}}\right]e={\dfrac {R_{2}\;(R_{3}+R_{4})-R_{3}\;(R_{1}+R_{2})}{(R_{1}+R_{2})\;(R_{3}+R_{4})}}\;e={\dfrac {R_{2}\;R_{4}-R_{1}\;R_{3}}{(R_{1}+R_{2})\;(R_{3}+R_{4})}}\;e\;$» et
* de résistance $\;{\big$de Thévenin${\big )}\;$ «$\;r_{\text{Th}}={\dfrac {R_{1}\;R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}+{\dfrac {R_{3}\;R_{4}}{R_{3}+R_{4}}}\;$» ;
nous obtenons finalement le schéma de sortie équivalent représenté ci-contre :
on en déduit l'intensité du courant traversant l'ampèremètre par loi de Pouillet$^,$ soit
$\;i_{S}={\dfrac {e_{\text{Th}}}{r_{\text{Th}}+r_{A}}}={\dfrac {{\dfrac {R_{2}\;R_{4}-R_{1}\;R_{3}}{(R_{1}+R_{2})\;(R_{3}+R_{4})}}\;e}{{\dfrac {R_{1}\;R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}+{\dfrac {R_{3}\;R_{4}}{R_{3}+R_{4}}}+r_{A}}}\;$
$\;i_{S}={\dfrac {\left[R_{2}\;R_{4}-R_{1}\;R_{3}\right]e}{R_{1}\;R_{2}\;(R_{3}+R_{4})+R_{3}\;R_{4}\;(R_{1}+R_{2})+r_{A}\;(R_{1}+R_{2})\;(R_{3}+R_{4})}}$
le sens du courant dépendant du signe de $\;e_{\text{Th}}$, on observe l'absence de courant dans l'ampèremètre quand la f.e.m. de Thévenin du générateur de Thévenin équivalent au R.D. « pont de Wheatstone alimenté en entrée par $\;e\;$ et vu des bornes de sortie » est nulle soit
$\;e_{\text{Th}}=0\;$
$\;R_{2}\;R_{4}=R_{1}\;R_{3}\;$