# Limites d'une fonction/Droites asymptotes
## Définition qualitative

Soit ƒ une fonction dont la courbe représentative dans un repère est notée ${\mathcal {C}}$.
Une droite ${\mathcal {D}}$ est dite asymptote à ${\mathcal {C}}$ lorsque ${\mathcal {C}}$ se rapproche infiniment de ${\mathcal {D}}$.
On peut classer les asymptotes en trois « catégories » :
* Les asymptotes horizontales
* Les asymptotes verticales
* Les asymptotes obliques

## Asymptote horizontale

Prenons la fonction inverse. On sait que $\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x}}=0$
Ceci montre que la courbe de la fonction inverse se rapproche de plus en plus de l’axe des abscisses, qui est la droite d'équation $y=0$.
On dit alors que l'axe des abscisses est asymptote à la courbe de la fonction inverse en +∞.
De même, on a $\lim _{x\to -\infty }{\frac {1}{x}}=0$, donc l’axe des abscisses est asymptote à la courbe de la fonction inverse en -∞.
Soit ƒ une fonction dont la courbe représentative dans un repère est notée ${\mathcal {C}}$.
${\mathcal {C}}$ admet une asymptote horizontale d'équation y = L
* en +∞ si $\lim _{x\to +\infty }f(x)=L$
* en -∞ si $\lim _{x\to -\infty }f(x)=L$

## Asymptote verticale

Prenons à présent la fonction $x\mapsto {\frac {1}{x-x_{1}}}$, dont la courbe ${\mathcal {C}}$ est représentée ci-contre.
On a $\lim _{x\to x_{1}^{+}}{\frac {1}{x-x_{1}}}=+\infty$ et $\lim _{x\to x_{1}^{-}}{\frac {1}{x-x_{1}}}=-\infty$.
On voit donc bien que ${\mathcal {C}}$ se rapproche de plus en plus de la droite verticale tracée en bleu lorsque x tend vers x₁. La droite en bleu a pour équation $x=x_{1}$
On dit que ${\mathcal {C}}$ a pour asymptote verticale la droite d'équation $x=x_{1}$ en x₁.
Soit ƒ une fonction dont la courbe représentative dans un repère est notée ${\mathcal {C}}$.
${\mathcal {C}}$ admet une asymptote verticale d'équation x = a si la limite de ƒ en a est infinie.

## Asymptote oblique
### Exemple 1

Soit ƒ la fonction définie sur $[0;+\infty [$ par : $f:x\mapsto {\frac {x^{2}+3}{x+1}}$
* Déterminer le comportement de ƒ en $+\infty$
* On note $E:x\mapsto f(x)-(x-1)$. Pour tout $x\in \mathbb {R} ^{+}$, donner l’expression de E(x).
* Déterminer la limite de E(x) quand x tend vers plus l’infini.
* Sur la calculatrice, tracer la courbe de ƒ et la droite d’équation y = x - 1. Que remarque-t-on ?

#### 1. Déterminer le comportement de ƒ en $+\infty$

       On factorise les termes de plus haut degré et on simplifie :
       Pour tout $x\in [0;+\infty [,~f(x)=...$
       Or $\lim _{x\to +\infty }\cdots =\cdots$ et $\lim _{x\to +\infty }\cdots =\cdots$
       Donc $\lim _{x\to +\infty }f(x)=...$

#### 1. Déterminer le comportement de ƒ en $+\infty$

       On factorise les termes de plus haut degré et on simplifie :
       Pour tout $x\in [0;+\infty [,~f(x)={\frac {x^{2}+3}{x+1}}={\frac {x^{2}\left(1+{\frac {3}{x^{2}}}\right)}{x\left(1+{\frac {1}{x}}\right)}}=x\cdot {\frac {1+{\frac {3}{x^{2}}}}{1+{\frac {1}{x}}}}$
       Or $\lim _{x\to +\infty }1+{\frac {3}{x^{2}}}=1$ et $\lim _{x\to +\infty }1+{\frac {1}{x}}=1$

#### 2. On note $E:x\mapsto f(x)-(x-1)$. Pour tout $x\in \mathbb {R} ^{+}$, donner l’expression de E(x).

       Soit $x\in \mathbb {R} ^{+}$
$E(x)=\cdots$

#### 2. On note $E:x\mapsto f(x)-(x-1)$. Pour tout $x\in \mathbb {R} ^{+}$, donner l’expression de E(x).

       Soit $x\in \mathbb {R} ^{+}$
${\begin{aligned}E(x)&={\frac {x^{2}+3}{x+1}}-(x-1)\\&={\frac {x^{2}+3}{x+1}}-{\frac {(x+1)(x-1)}{x+1}}\\&={\frac {x^{2}+3-(x^{2}-1)}{x+1}}\\&={\frac {4}{x+1}}\\\end{aligned}}$

#### 3. Déterminer la limite de E(x) quand x tend vers plus l’infini.

$\lim _{x\to +\infty }\cdots =\cdots$
       Donc $\lim _{x\to +\infty }E(x)=\cdots$

#### 3. Déterminer la limite de E(x) quand x tend vers plus l’infini.

$\lim _{x\to +\infty }x+1=+\infty$

#### 4. Sur la calculatrice, tracer la courbe de ƒ et la droite d’équation y = x - 1. Que remarque-t-on ?

On remarque que l'écart entre la courbe de ƒ et la droite d'équation y = x - 1 se réduit quand x augmente. La courbe de ƒ semble ainsi se rapprocher de la droite sans jamais l'atteindre.

### Théorème général sur les asymptotes obliques

On pose pour tout $x,~E(x)=f(x)-(a.x+b)$
* Si $\lim _{x\to +\infty }E(x)=0$, alors la droite d’équation $y=a.x+b$ est asymptote à la courbe de ƒ.
* Si de plus $a\neq 0$, la droite d’équation $y=ax+b$ n’est pas horizontale et on parle d’asymptote oblique.
Dans l'exemple précédent, $E(x)=...$ et l'asymptote est ...
La quantité $E(x)=f(x)-(a.x+b)$ est appelée écart vertical algébrique entre la courbe et la droite.
Dans l'exemple précédent, $E(x)=...$.
Si $E(x)>0$ : la courbe est au-dessus de son asymptote.
Si $E(x)<0$ : la courbe est en dessous de son asymptote.
Dans l'exemple précédent :
${\begin{array}{c|ccc|}x&0&&+\infty \\\hline {\textrm {Signe~de}}~E(x)&&&\\\hline {\textrm {Position}}&&&\\\hline \end{array}}$
Notons ${\mathcal {C}}$ la courbe de ƒ et ${\mathcal {D}}$ la droite d'équation y = x - 1
Pour tout $x\in \mathbb {R} ^{+},~E(x)={\frac {4}{x+1}}$
${\begin{array}{c|ccccccc|}x&0&&+\infty \\\hline {\textrm {Signe~de}}~E(x)&&+&\\\hline {\textrm {Position}}&&{\mathcal {C}}{\textrm {~au-dessus~de~}}{\mathcal {D}}&\\\hline \end{array}}$

### Exemple 2

Soit g la fonction définie sur $I=[3;+\infty [$ par :
    pour tout $x\in I,~g(x)={\frac {-2x^{2}+5x-3}{x-2}}$
* Déterminer le comportement de g en +∞
* Trouver a et b tels que pour tout $x\in I,~g(x)=ax+b-{\frac {1}{x-2}}$
* On pose pour tout $x\in I,~E(x)=g(x)-(ax+b)$. Étudier le signe de E(x) et sa limite quand x tend vers plus l’infini.

#### 1. Déterminer le comportement de g en +∞

On factorise par les termes de plus haut degré et on simplifie :
    Pour tout $x\in I,~g(x)=\cdots$
    Or, $\lim _{x\to +\infty }\cdots =\cdots$ et $\lim _{x\to +\infty }\cdots =\cdots$
    Donc $\lim _{x\to +\infty }f(x)=\cdots$

#### 2. Trouver a et b tels que pour tout $x\in I,~g(x)=ax+b-{\frac {1}{x-2}}$

${\begin{cases}a=\cdots \\b=\cdots \end{cases}}$

#### 3. On pose pour tout $x\in I,~E(x)=g(x)-(ax+b)$. Étudier le signe de E(x) et sa limite quand x tend vers plus l’infini.

    Pour tout $x\in I,~E(x)=\cdots$
    Or $\lim _{x\to +\infty }\cdots =\cdots$
    Donc $\lim _{x\to +\infty }E(x)=\cdots$
On a les positions relatives :
${\begin{array}{c|ccc|}x&0&&+\infty \\\hline {\textrm {Signe~de}}~E(x)&&&\\\hline {\textrm {Position}}&&&\\\hline \end{array}}$

#### 1. Déterminer le comportement de g en +∞

On factorise par les termes de plus haut degré et on simplifie :
    Pour tout $x\in I,~g(x)={\frac {-2x^{2}+5x-3}{x-2}}={\frac {x^{2}\left(-2+{\frac {5}{x}}-{\frac {3}{x^{2}}}\right)}{x\left(1-{\frac {2}{x}}\right)}}=x\cdot {\frac {-2+{\frac {5}{x}}-{\frac {3}{x^{2}}}}{1-{\frac {2}{x}}}}$
    Or, $\lim _{x\to +\infty }-2+{\frac {5}{x}}-{\frac {3}{x^{2}}}=-2$ et $\lim _{x\to +\infty }1-{\frac {2}{x}}=1$

#### 2. Trouver a et b tels que pour tout $x\in I,~g(x)=ax+b-{\frac {1}{x-2}}$

Soit $x\in I$ ${\begin{aligned}ax+b-{\frac {1}{x-2}}&={\frac {(ax+b)(x-2)}{x-2}}-{\frac {1}{x-2}}\\&={\frac {ax^{2}-2ax+bx-2b}{x-2}}-{\frac {1}{x-2}}\\&={\frac {ax^{2}+(b-2a)x-2b-1}{x-2}}\\\end{aligned}}$
On veut que, pour tout $x\in I,{\frac {-2x^{2}+5x-3}{x-2}}={\frac {ax^{2}+(b-2a)x-2b-1}{x-2}}$, c'est-à-dire pour tout $x\in I,-2x^{2}+5x-3=ax^{2}+(b-2a)x-2b-1$
Deux fonctions polynomiales sont identiques en tout point si et seulement si leurs coefficients de même degré sont égaux. On aboutit alors au système suivant : ${\begin{cases}-2=a\\5=b-2a\\-3=-2b-1\end{cases}}$
* Finalement
* ${\begin{cases}a=-2\\b=1\end{cases}}$

#### 3. On pose pour tout $x\in I,~E(x)=g(x)-(ax+b)$. Étudier le signe de E(x) et sa limite quand x tend vers plus l’infini.

    Pour tout $x\in I,~E(x)=-{\frac {1}{x-2}}$
    Or $\lim _{x\to +\infty }x-2=+\infty$
    Donc $\lim _{x\to +\infty }E(x)=0$
On en déduit que la droite ${\mathcal {D}}:y=-2x+1$ est asymptote à la courbe ${\mathcal {C}}_{g}$ de la fonction g.
L'étude du signe de E donne les positions relatives de ${\mathcal {C}}_{g}$ et ${\mathcal {D}}$ :
${\begin{array}{c|cccc|}x&3&&&+\infty \\\hline {\textrm {Signe~de}}~E(x)&&-&&\\\hline {\textrm {Position}}&&{\mathcal {C}}_{g}{\textrm {~en-dessous~de~}}{\mathcal {D}}&&\\\hline \end{array}}$
| Limite des polynômes et fractions rationnelles à l'infini | Exemple corrigé |