# Fonction génératrice/Fonction génératrice d'une famille de polynômes
## Définition de la fonction génératrice des polynômes.

On peut définir des fonctions génératrices pour les familles de polynômes.
$F_{p}(t)=\sum _{k=0}^{\infty }P_{k}(x)t^{k}$
ou :
$F_{p}(t)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {P_{k}(x)}{k!}}t^{k}$
Dans les paragraphes suivants, nous allons étudier quelques exemples.

## Polynôme de Tchebytchev de première espèce.

Ils sont définis par :
${\begin{cases}T_{0}=1\\T_{1}=x\\\forall n\in \mathbb {N} \qquad T_{n+2}=2xT_{n+1}-T_{n}\end{cases}}$
On a alors :
$F_{T}(t)=\sum _{k=0}^{\infty }T_{k}(x)t^{k}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}$

## Polynôme de Tchebytchev de seconde espèce.

Ils sont définis par :
${\begin{cases}U_{0}=1\\U_{1}=2x\\\forall n\in \mathbb {N} \qquad U_{n+2}=2xU_{n+1}-U_{n}\end{cases}}$
On a alors :
$F_{U}(t)=\sum _{k=0}^{\infty }U_{k}(x)t^{k}={\frac {1}{1-2tx+t^{2}}}$

## Polynôme de Laguerre.

Ils sont définis par :
${\begin{cases}L_{0}=1\\L_{1}=1-x\\\forall n\in \mathbb {N} \qquad L_{n+1}=(2n+1-x)L_{n}-n^{2}L_{n-1}\end{cases}}$
Ou plus simplement par :
$L_{n}(x)=e^{x}.\left(x^{n}e^{-x}\right)^{(n)}$
On a alors :
$F_{L}(t)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {L_{k}(x)}{k!}}t^{k}={\frac {e^{-{\frac {xt}{1-t}}}}{1-t}}$

## Polynôme d’Hermite.

Ils sont définis par : ${\begin{cases}H_{0}=1\\H_{1}=2x\\\forall n\in \mathbb {N} \qquad H_{n+1}=2xH_{n}-2nH_{n-1}{\text{ ou }}H_{n}'(x)=2nH_{n-1}(x)\end{cases}}$
Ou plus simplement par :
$H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}\left(e^{-x^{2}}\right)^{(n)}$
On a alors :
$F_{H}(t)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {H_{k}(x)}{k!}}t^{k}=e^{2tx-t^{2}}$

## Polynôme de Legendre.

Ils sont définis par :
${\begin{cases}P_{0}=1\\P_{1}=x\\\forall n\in \mathbb {N} \qquad (n+1)P_{n+1}=x(2n+1)P_{n}-nP_{n-1}\end{cases}}$
Ou plus simplement par :
$P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}\left((x^{2}-1)^{n}\right)^{(n)}$
On a alors :
$F_{P}(t)=\sum _{k=0}^{\infty }P_{k}(x)t^{k}={\frac {1}{\sqrt {1-2tx+t^{2}}}}$

#### Démonstration

D'après le théorème des résidus : $\int _{C}{\frac {(z^{2}-1)^{n}}{z-x}}\mathrm {d} z=2i\pi (x^{2}-1)^{n}$ où $C$ est un cercle de centre O et de rayon 1 avec |x|<1
    $\Rightarrow {\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}(x^{2}-1)^{n}={\frac {1}{2i\pi }}\int _{C}(z^{2}-1)^{n}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}(z-x)^{-1}\mathrm {d} z={\frac {1}{2i\pi }}\int _{C}(z^{2}-1)^{n}n!(z-x)^{-(n+1)}\mathrm {d} z$
    donc : $P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}(x^{2}-1)^{n}={\frac {1}{2i\pi }}{\frac {1}{2^{n}}}\int _{C}{\frac {(z^{2}-1)^{n}}{(z-x)^{n+1}}}\mathrm {d} z$
Étudions maintenant les conditions de convergence de $F_{P}(t)=\sum _{k=0}^{\infty }P_{k}(x)t^{k}$
Soit un réel $t$ non nul. Étudions la convergence de $\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)t^{n}={\frac {1}{2i\pi }}\int _{C}{\frac {\mathrm {d} z}{z-x}}\sum _{n}\left({\frac {t}{2}}{\frac {z^{2}-1}{z-x}}\right)^{n}$
    Comme $z\in C:\left|z-x\right|=\left|cos\theta -x+isin\theta \right|={\sqrt {1-2xcos\theta +x^{2}}}>{\sqrt {1-x^{2}}}=\left|1-x\right|>1-\left|x\right|$
    et: $\left|1-z^{2}\right|=\left|1-e^{2i\theta }\right|=\left|1-cos2\theta -isin2\theta \right|={\sqrt {(1-cos2\theta )^{2}+sin^{2}2\theta }}=2\left|sin\theta \right|\leq 2\Rightarrow {\frac {1}{2}}\left|1-z^{2}\right|\leq 1$
    $\Rightarrow \left|{\frac {t}{2}}{\frac {z^{2}-1}{z-x}}\right|<\left|{\frac {t}{z-x}}\right|<\left|{\frac {t}{1-|x|}}\right|<1$ si $|t|<1-|x|$
    Dans ces conditions, nous sommes en présence d'une série géométrique convergente :
    $\sum _{n}\left({\frac {t}{2}}{\frac {z^{2}-1}{z-x}}\right)^{n}=\lim \limits _{n\to \infty }\left[{\frac {1-\left({\frac {t}{2}}{\frac {z^{2}-1}{z-x}}\right)^{n+1}}{1-{\frac {t}{2}}{\frac {z^{2}-1}{z-x}}}}\right]={\frac {1}{1-{\frac {t}{2}}{\frac {z^{2}-1}{z-x}}}}={\frac {-2(z-x)}{tz^{2}-2z+2x+t}}$
    $\Rightarrow \sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)t^{n}={\frac {1}{2i\pi }}\int _{C}{\frac {\mathrm {d} z}{z-x}}\sum _{n}\left({\frac {t}{2}}{\frac {z^{2}-1}{z-x}}\right)^{n}={\frac {1}{2i\pi }}\int _{C}\mathrm {d} z{\frac {1}{-z^{2}{\frac {t}{2}}+z-x+{\frac {t}{2}}}}$
    Déterminons les racines en z du dénominateur :
    $\Delta (x)=1-4\left(-{\frac {t}{2}}\right)\left(-x+{\frac {t}{2}}\right)=-2xt+1+t^{2}\Rightarrow \Delta '(x)=-2t$
    Si $t<0\quad \Delta (x)$ est croissante : $\Delta (-1)=(1+t)^{2}>0\Rightarrow \Delta >0$
    Si $t>0\quad \Delta (x)$ est décroissante : $\Delta (1)=(1-t)^{2}>0\Rightarrow \Delta >0$
    ${\sqrt {\Delta }}$ est donc toujours défini. Le dénominateur est alors :
    $-z^{2}{\frac {t}{2}}+z-x+{\frac {t}{2}}=-{\frac {t}{2}}\left(z-{\frac {1}{t}}(1+{\sqrt {\Delta }})\right)\left(z-{\frac {1}{t}}(1-{\sqrt {\Delta }})\right)$
    en notant: $a={\frac {1}{t}}\left(1+{\sqrt {\Delta (x)}}\right)$ et $b={\frac {1}{t}}\left(1-{\sqrt {\Delta (x)}}\right)$ sans oublier : $|t|\leq 1-|x|<1$
$\sum _{n}P_{n}(x)t^{n}={\frac {1}{2i\pi }}\int _{C}\mathrm {d} z{\frac {1}{-{\frac {t}{2}}(z-a)(z-b)}}$
    Il faut maintenant déterminer si les pôles a et b sont situés à l'intérieur du cercle unité :
    ♦ Étudions: $a(x)={\frac {1}{t}}(1+{\sqrt {\Delta (x)}})\Rightarrow a'(x)={\frac {1}{\sqrt {-2xt+1+t^{2}}}}>0$
    $a(x)$ est donc croissante ainsi que $\Delta (x)$:
    $a(x)<a(1)=-1+{\frac {2}{t}}\quad \quad si\quad t<0\quad alors\quad a(x)<-1$
    $a(x)>a(-1)=1+{\frac {2}{t}}\quad \quad si\quad t>0\quad alors\quad a(x)>1$
a(x) est donc en dehors du cercle unité.
    ♦ Étudions $b(x)={\frac {1}{t}}(1-{\sqrt {\Delta (x)}})\Rightarrow b'(x)={\frac {1}{\sqrt {-2xt+1+t^{2}}}}>0$
b(x) est donc croissante ainsi que $\Delta (x)$:
    $b(x)>b(-1)=-1$
    $b(x)<b(1)=1$
b(x) est donc à l'intérieur du cercle unité. D'après le théorème des résidus, il vient alors :
    $\int _{C}\mathrm {d} z{\frac {1}{-{\frac {t}{2}}(z-a)(z-b)}}=2i\pi {\frac {1}{\sqrt {\Delta (x)}}}\Rightarrow F_{P}(t)=\sum _{n}P_{n}(x)t^{n}={\frac {1}{\sqrt {\Delta (x)}}}={\frac {1}{\sqrt {t^{2}-2tx+1}}}$
| Fonction génératrice d'une suite numérique | Sommaire |