OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Champs magnétique et notions électromagnétiques/Exercices/Cadre mobile comportant des spires

Un cadre mobile indéformable carré de côtés $a$. Il comporte $N$ spires traversées par un courant d'intensité $i$. Ce cadre est placé dans un champ magnétique uniforme ${\vec {B}}$ dont les lignes de champ font un angle $\alpha _{i}$ avec le plan du cadre mobile.
Quel est le moment des couples $C_{i}$ des forces électromagnétiques par rapport à l'axe de rotation $x\prime Ox$ pour les quatre valeurs de $\alpha$ proposées ? Exprimer les résults en newton-mètres.
Données
* a = 30 cm
* N = 20 spires
* i = 5 A
* B = 0,4 T
* $\alpha _{i}=\{0,{\frac {\pi }{3}},{\frac {\pi }{2}},\pi \}$
D'abord on calcule les intensités de la force de Laplace par chaque valeur $\alpha$.
    $F_{L}(\alpha )=i\cdot a\cdot B\cdot \sin(\alpha )=5\times 0{,}3\times 0{,}4\times \sin(\alpha )=0{,}6\cdot \sin(\alpha )$
$F_{L}$ est à son maximum lorsque $\sin(\alpha )=1$ donc $\alpha ={\frac {\pi }{2}}$ donc
    $F_{L}=0{,}6\ {\text{N}}$
On détermine la normale de la force de Laplace par rapport à l'axe de rotation $x\prime Ox$.
    $\cos(\alpha )={\frac {F_{L_{N}}}{F_{L}}}$ soit $F_{L_{N}}(\alpha )=F_{L}\cdot \cos(\alpha )=0{,}6\cdot \cos(\alpha )$
On détermine aussi la couple $C$ par rapport au vecteur ${\vec {a}}$.
    $C={\frac {a}{2}}\cdot F_{L_{N}}={\frac {a}{2}}\cdot F_{L}\cdot \cos(\alpha )$
On détermine finalement $C_{T}$
    $C_{T}=2\cdot N\cdot C$ car on tire 2 côtés donc
    $C_{T}=2\cdot N\cdot {\frac {a}{2}}\cdot F_{L}\cdot \cos(\alpha )=2\times 20\times {\frac {0{,}3}{2}}\times 0{,}6\times \cos(\alpha )=3{,}6\cdot \cos(\alpha )$ donc
| $\alpha$ (rad) | $C_{T}$ (N⋅m) |
| $0$ | $3{,}6$ |
| ${\frac {\pi }{3}}$ | $1{,}8$ |
| ${\frac {\pi }{2}}$ | $0$ |
| $\pi$ | $-3{,}6$ |
# Conduite d'une observation médicale

| Chap. 1 : | Interrogatoire |
| Chap. 2 : | L'examen clinique |
| Chap. 3 : | Les signes biologiques |
| Chap. 4 : | Les examens complémentaires |
| Chap. 5 : | La conclusion |
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## Présentation [Modifier]

L'observation clinique d'un patient est une succession d'étapes, ordonnées et réfléchies toutes aussi importantes les unes que les autres. Le but d'une consultation va être de recueillir l’ensemble des renseignements que peut fournir la personne aboutissant à ce que l’on appelle l'anamnèse. Chaque examen est propre à une spécialité.

## Objectifs

Les objectifs de cette leçon n'ont pas encore été fixés. Pour le faire, cliquez ici.

## Niveau et prérequis conseillés

Leçon de niveau 15. Les prérequis pour cette leçon n'ont pas encore été précisés. Pour le faire, cliquez ici.

## Référents [Modifier]

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant cette leçon :
* treckdif (Quentin LOBJOIS)
# Conduction thermique/Équation de la chaleur
## Équation de la chaleur

L'équation de la chaleur s'écrit en toute généralité :
où
* T est la température ;
* λ est la conductivité thermique ;
* c$_v$ est la capacité thermique massique à volume constant ;
* ρ est la masse volumique ;
* $\nabla$est nabla et ${\vec {\nabla }}^{2}$est le laplacien ;
* p est la puissance volumique dégagée (par exemple dans le cas d'un résistor, p est la puissance dissipée par effet Joule).

## Démonstration à une dimension

On applique le premier principe à un petit élément de longueur $\operatorname {d} \!x$, en considérant que les échanges thermiques :
$\operatorname {d} \!U=\partial Q+P\operatorname {d} \!t$
$P\operatorname {d} \!t$ est l'énergie dégagée pendant un temps $\operatorname {d} \!t$
Dans le cas d'une phase condensée (on écrit alors que c$_v$ = c = c$_p$) ou un gaz parfait :
$\operatorname {d} \!U=m*c_{v}\operatorname {d} \!T$
Donc par définition de j, densité de flux thermique
$m*c_{v}{\partial T \over \partial t}\operatorname {d} \!t=j(x)S\operatorname {d} \!t-j(x+dx)S\operatorname {d} \!t+P\operatorname {d} \!t$
où S est la surface.
Par définition de la différentielle et par simplification par $\operatorname {d} \!t$
${\partial T \over \partial t}=-{S \over m*c_{v}}{\partial j \over \partial x}\operatorname {d} \!x+{P \over m*c_{v}}$
Par définition de la masse volumique $\rho ={m \over \partial V}$et du petit volume considéré $\partial V=S\operatorname {d} \!x$
De plus la loi de Fourier donne ${\vec {j}}=-\lambda {\vec {\nabla }}T$, où ${\vec {\nabla }}T$est le gradient de la température qui sécrit en une dimension :
${\vec {\nabla }}T={\partial T \over \partial x}$
Finalement, en notant $p\operatorname {d} \!t$ l'énergie volumique dégagée pendant un temps $\operatorname {d} \!t$ :
${\partial T \over \partial t}={\lambda \over \ \rho c_{v}}{\partial ^{2}T \over \partial x^{2}}+{p \over \rho c_{v}}$
On peut alors généraliser de la même façon à trois dimensions.
| Ordres de grandeur | Conduction stationnaire |
# Conduite d'une observation médicale/L'examen clinique

Il correspond au recueil, rigoureux, des différents signes observables sur le patient. Clinique vient du grec "'clinicos'" qui signifie couché. Il est donc important que les signes soit observés en position couchée. Seule certaines manœuvres ou signes doivent être rechercher en position debout, accroupi...etc. De même il est primordial que le patient soit calme détendu et au repos. C'est pour cette raison que l’on réalise l'examen clinique après l'interrogatoire ce qui a permis de calmer le patient d'échanger et de mettre en confiance la personne.
Cet examen se déroule en différentes étapes successives à respecter dans l’ordre dans lesquels elles sont énoncés.

## Signes généraux

On recueille le poids, la taille, la température, le pouls, la tension artérielle, fréquence respiratoire, la conscience (via un score de Glasgow), la coloration, la glycémie, la diurèse (volume uriné par 24 h)...etc.
Attention la tension artérielle ou plutôt la pression artérielle elle préférera souvent être prise en fin d'examen clinique pour être sûr de l'état de repos du patient. En effet trop souvent les médecins prennent rapidement la pression artérielle alors que le patient n’est pas au repos et détendu, ce qui vient fausser les chiffres de pression. Il est de même entièrement déconseillé de prendre soi même sa tension avec des appareils automatiques car la plupart du temps les gens n'utilisent pas correctement l'appareil et ne se mettent jamais en condition de recueil de cette pression artérielle. Ne vous fiez qu’à la tension artérielle que vous mesure un professionnel de santé... à bon entendeur salut !

## Signes fonctionnels

Ils correspondent à des troubles généraux ayant un retentissement sur une ou plusieurs fonctions biologiques. Ce sont pour les principaux : fièvre, toux, dyspnée (manque d'air), douleur, expectoration (crachats), aménorrhée (absence de règles)...etc. On devra pour chaque signe le caractériser de manière précise, je vous laisse vous reporter au cours spécifique à la description de chaque signe fonctionnel par spécialité.

## Signes cliniques

Ils sont spécifiques à chaque spécialité et seront repris dans la description des syndromes. On les recueille en 4 temps :
- INSPECTION (regarder le patient et chaque partie à la recherche de signes précieux, l'examen doit se faire de la tête au pied)
- AUSCULTATION (écouter le bruit que font ou ne font pas normalement les organes, ou les bruits anormaux qu’ils émettent)
- PALPATION
- PERCUSSION
Il est important de placer l'auscultation avant la palpation et la percussion qui sont susceptible de modifier certains bruits organiques.
| Interrogatoire | Les signes biologiques |
# Conduction thermique/Loi de Fourier
## Loi de Fourier

La loi de Fourier est une loi phénoménologique qui part d'une constatation simple :
Quand le système est homogène en température, il n'y a pas de diffusion : ${\vec {j}}_{Q}={\vec {0}}$.
Quand il y a une différence de température, celle-ci tend à s'uniformiser : ${\vec {j}}_{Q}$ est dirigé des hautes températures vers les basses.
On peut donc en faisant un développement limité à l’ordre 1 donner la forme de la densité de courant :
où λ est un coefficient de proportionnalité dépendant du matériau appelé conductivité thermique. (en W/(m.K))

## Ordres de grandeur

Voici quelques ordres de grandeur pour la conductivité thermique :
* air : $2.4\times 10^{-2}W.m^{-1}.K^{-1}$
* laine de verre : $4\times 10^{-2}W.m^{-1}.K^{-1}$
* eau liquide (à 20 °C) : $6\times 10^{-1}W.m^{-1}.K^{-1}$
* bois : $3\times 10^{-1}W.m^{-1}.K^{-1}$
* béton : $9.2\times 10^{-1}W.m^{-1}.K^{-1}$
* verre : $1.2W.m^{-1}.K^{-1}$
* cuivre : $390W.m^{-1}.K^{-1}$
On constate que l'air, et les gaz en général sont de très bons isolants. Cela est dû au fait de la faible densité particulaire de ces milieux. La conduction thermique nécessitant un milieu matériel, le meilleur isolant possible est le vide.
D'autre part, on remarque que les métaux, comme le cuivre sont de très bons conducteurs thermiques. Ce n’est pas l’objet de ce cours mais on constate que les bons conducteurs électriques sont aussi de bons conducteurs thermiques, laissant entrevoir un lien entre les deux conductions.
| Généralités sur la conduction | Ordres de grandeur |
# Conduction thermique/Ordres de grandeur

Ordre de grandeur du coefficient A (cf. loi de Fourier) :
* cuivre: A = 400 W m$^{−1}$ K$^{−1}$
* air(double vitrage): A = 0,027 W m$^{−1}$ K$^{−1}$
* eau: A = 0,6 W m$^{−1}$ K$^{−1}$
| Loi de Fourier | Équation de la chaleur |
# Conduction thermique/Présentation de la leçon

Comme chacun a pu le constater, les corps conduisent la chaleur. Les plus perspicaces d'entre nous ont même pu constater que selon la nature du corps considéré, la conduction de la chaleur se fait plus ou moins bien. Si l’on attrape une casserole remplie d'eau bouillante par le manche, la chaleur sera à peine perceptible. Si on attrape cette même casserole par la partie métallique, on pourra constater qu’il n'en est pas de même, ne serait ce que par le hurlement sortant de notre bouche. Cette leçon étudie donc le phénomène de conduction de la chaleur par les différents corps et les méthodes pour quantifier cette conduction.
# Conduite d'une observation médicale/La conclusion

Concise en une phrase ou deux.
Prescription(s) associée(s), investigation(s) entreprise(s).
Évolution de l'état de la personne.
* Les examens complémentaires
# Conduction thermique/Objectifs

L'objectif de cette leçon est d'étudier le transport de l'énergie à travers un milieu matériel sans déplacement de matière au niveau macroscopique.
Manuel conseillé : Yves Jannot, Transfert thermique 2e année, École des mines de Nancy, 2012
# Cours d'histoire-géographie de collège (France)/Annexe

Sur Wikipédia
# Couleurs des objets/Pourquoi notre œil ne reçoit-il que certaines lumières colorées provenant des objets ?
## Comportement d'un objet éclairé

Lorsqu'une lumière incidente arrive sur un objet, celui-ci va absorber ou diffuser cette lumière ou partie de cette lumière.

## Pourquoi un objet éclairé à la lumière blanche nous apparait-il coloré ?

Les objets colorés, les filtres, les solutions colorées… vont absorber certaines radiations colorées de la lumière incidente, c'est la synthèse soustractive.
Pour chacun des filtres ci-dessous, éclairés par une lumière blanche, ils se décomposant aux radiations rouge, verte et bleue :
* filtre rouge (rouge est diffusé ; vert et bleu sont absorbés)
* filtre bleu (bleu est diffusé ; vert et rouge sont absorbés)
* filtre vert (vert est diffusé ; bleu et rouge sont absorbés)
* filtre cyan (vert et bleu sont diffusé ; rouge est absorbé)
* filtre jaune (vert et rouge sont diffusé ; bleu est absorbé)
* filtre magenta (bleu et rouge sont diffusé ; vert est absorbé)
Les filtres cyan, magenta et jaune vont absorber chacune une des couleurs composant la lumière blanche. c'est pourquoi, le cyan, le magenta et le jaune sont les couleurs primaires de la synthèse soustractives.
En superposant ces filtres et en jouant sur leur intensité, on peut obtenir toutes les autres couleurs. La superposition de ces trois filtres avec la même intensité donne du noir en synthèse soustractive car toute la lumière est absorbée.
Deux couleurs situées à l'opposé sur le cercle chromatique sont dites complémentaires.
Exemples de domaines d'utilisation de la synthèse soustractive : La peinture, les imprimantes… L'utilisateur ou la machine superpose des pigments ou des encres correspondants aux couleurs primaires de la synthèse soustractive (magenta, jaune et cyan) afin d'obtenir d'autres couleurs par absorption de certaines lumières colorées.

## L'influence de lumière incidente

Un objet coloré absorbe certaines lumière colorées de la lumière incidente et diffuse les autres. Si la lumière incidente n'est pas blanche et ne comporte donc pas toutes les radiations monochromatiques alors l'objet ne pourra pas absorber, transmettre et diffuser les lumières non présentes initialement. La couleur perçue de l'objet se retrouvera modifiée.

### Applications

Un poivron est éclairé en :
| Radiations qui constituent la lumière incidente | Radiation(s) reçue(s) | Couleur perçu |
| rouge, vert et bleu | rouge | rouge |
| rouge | rouge | rouge |
| verte | — | noir |
| bleu et vert | — | noir |
Un stylo est cyan lorsqu'il est éclairé en lumière blanche, le stylo se comporte alors comme un filtre cyan : il diffuse les radiations bleues et vertes et absorbe la radiation rouge.
| Radiations qui constituent la lumière incidente | Radiation(s) reçue(s) | Couleur perçu |
| rouge, vert et bleu | vert et bleu | cyan |
| vert | vert | vert |
| rouge et bleu | bleu | bleu |
| Pourquoi notre cerveau nous restitue-t-il aussi d'autres lumières colorées que le rouge, le vert et le bleu ? | Conclusion |
# Cours d'histoire-géographie de collège (France)/Cours

| Histoire-géographie en sixième Histoire-géographie en cinquième | Histoire-géographie en quatrième Histoire-géographie en troisième |
# Couleurs des objets/Pourquoi notre cerveau nous restitue-t-il aussi d'autres lumières colorées que le rouge, le vert et le bleu ?

Les autres lumières colorées sont synthèsisés à partir de trois radiations principales :
* cyan (bleu et vert)
* magenta (rouge et bleu)
* jaune (rouge et vert)
* blanc (bleu, vert et rouge)
Les couleurs perçus, autre que le rouge, vert et bleu, sont le résultat de l’addition dites couleurs primaires par notre cerveau. Il réalise une synthèse additive. Deux couleurs opposées sur le cercle chromatique de la synthèse additives sont dites couleurs complémentaires et leur synthèse donne du blanc.
Exemple d'un objet utilisant la synthèse additive : Les écrans d'ordinateur, de télévision, de smartphone… utilisent ce type de synthèse pour nous faire percevoir tout un ensemble de couleur. En effet, chaque pixel de l'écran est composé de trois « mini-pixels », indiscernable pour notre œil, émettant chacun une des couleurs primaire de la synthèse additive (rouge, vert et bleu). Notre œil réalise la synthèse des lumières colorées émise pour nous restituer une couleur globale perçue.
| Comment l'œil voit-ils les couleurs ? | Pourquoi notre œil ne reçoit-il que certaines lumières colorées provenant des objets ? |
# Cours d'OpenOffice

Veuillez consulter l'entrée OpenOffice.org de Wikilivres, le projet de rédaction de manuels pratiques libres évoluant de concert avec Wikiversité.
# Calcul littéral/Exercices/Échauffement
## Ne pas confondre addition et multiplication

$x\times x=$
$x\times x=x^{2}$
$x+x=\ldots$
$x+x=2x$

## Réduire des additions

$2x+3x=\ldots$
$2x+3x=5x$
$-2x+3x=\ldots$
$-2x+3x=1x=x$
$2x-3x=\ldots$
$2x-3x=-1x=-x$
$-2x-3x=\ldots$
$-2x-3x=-5x$

## Réduire des multiplications

$2\times x\times 3=\ldots$
$2\times x\times 3=2\times 3\times x=6\times x=6x$
$2\times x\times (-3)=\ldots$
$2\times x\times (-3)=2\times (-3)\times x=-6\times x=-6x$
$2\times x\times 3x=\ldots$
$2\times x\times 3x=2\times 3\times x\times x=6\times x^{2}=6x^{2}$
$2\times x\times (-3x)=\ldots$
$2\times x\times (-3x)=2\times (-3)\times x\times x=-6\times x^{2}=-6x^{2}$

## Réduire des carrés
### Simplifier

$(2x)^{2}=\ldots$
$(2x)^{2}=2^{2}\times x^{2}=4x^{2}$
$(-x)^{2}=\ldots$
Il faut utiliser la règle : $(a\times b)^{2}=a^{2}\times b^{2}$.
$(-x)^{2}=(-1\times x)^{2}=(-1)^{2}\times x^{2}=1\times x^{2}=x^{2}$
$3(5x)^{2}=\ldots$
$3(5x)^{2}=3\times 5^{2}\times x^{2}=3\times 25\times x^{2}=75x^{2}$
$-(3x)^{2}=\ldots$
$-(3x)^{2}=-3^{2}\times x^{2}=-9x^{2}$

## Réductions générales
### On ne réduit pas des x avec des x au carré

$3x+5x^{2}-5x=\ldots$
$3x+5x^{2}-5x=5x^{2}+3x-5x=5x^{2}+(3-5)x=5x^{2}-2x$
$-3x^{2}+5x^{2}-5x=\ldots$
$-3x^{2}+5x^{2}-5x=(-3+5)x^{2}-5x=2x^{2}-5x$
$3x-1-5x^{2}-5x+2=\ldots$
$3x-1-5x^{2}-5x+2=-5x^{2}+(3-5)x+2-1=-5x^{2}-2x+1$

### Avec des fractions

${\frac {1}{2}}x+5x^{2}-5x=\ldots$
${\frac {1}{2}}x+5x^{2}-5x=5x^{2}+({\frac {1}{2}}-5)x=5x^{2}+({\frac {1}{2}}-{\frac {10}{2}})x=5x^{2}-{\frac {9}{2}}x$
${\frac {1}{2}}x^{2}+5x^{2}-5x=\ldots$
${\frac {1}{2}}x^{2}+5x^{2}-5x=({\frac {1}{2}}+5)x^{2}-5x=({\frac {1}{2}}+{\frac {10}{2}})x^{2}-5x={\frac {11}{2}}x^{2}-5x$
${\frac {2}{3}}x+5x^{2}-5x-{\frac {2}{5}}x^{2}=\ldots$
${\frac {2}{3}}x+5x^{2}-5x-{\frac {2}{5}}x^{2}=(5-{\frac {2}{5}})x^{2}+({\frac {2}{3}}-5)x=({\frac {25}{5}}-{\frac {2}{5}})x^{2}+({\frac {2}{3}}-{\frac {15}{3}})x={\frac {23}{5}}x^{2}-{\frac {13}{3}}x$
| Sommaire | Distributivité |
# Calcul littéral/Prérequis conseillés

* Nombre entier relatif
* Priorités, distributivité
* Fraction
* Puissances
# Calcul littéral/Exercices/Distributivité
## Exercice 2-1

Développer les expressions suivantes :
* $a\left(b+c+d\right)$ ;
* $ab\left(bc+ac+ab\right)$ ;
* $2a^{2}b\left(3bc+2c+ab^{2}\right)$.
* $a\left(b+c+d\right)=ab+ac+ad$ ;
* $ab\left(bc+ac+ab\right)=abbc+abac+abab=ab^{2}c+a^{2}bc+a^{2}b^{2}$ ;
* $2a^{2}b\left(3bc+2c+ab^{2}\right)=2a^{2}b3bc+2a^{2}b2c+2a^{2}bab^{2}=6a^{2}b^{2}c+4a^{2}bc+2a^{3}b^{3}$.
| Échauffement | Factorisation |
# Calcul littéral/Introduction

Ce premier chapitre a pour but de permettre au lecteur de bien comprendre la nécessité du calcul littéral.

## Définition

Le calcul littéral, c'est une forme de calcul où les nombres ont été remplacés par des lettres. Mais pourquoi faire du calcul avec des lettres ? En fait vous avez déjà tous probablement dû être confronté à des formules où des lettres représentaient des nombres. Rappelez-vous : Quelle est la formule donnant la surface d'un rectangle connaissant sa longueur et sa largeur ?
Cette formule est :
où $S$ représente la surface, $L$ représente la longueur et $l$ représente la largeur.
Pourquoi a-t-on mis des lettres si ce calcul se fait avec des nombres ? C'est tout simplement parce qu’on ne connait pas encore les nombres. Le fait de disposer d'une formule avec des lettres nous permet de savoir facilement comment calculer la surface d'un rectangle avant même de savoir de quel rectangle il s'agit.
Vous pourriez objecter qu'on aurait pu énoncer une règle du style :
Effectivement, mais remarquez que cela prend beaucoup plus de place et imaginez ce qu'il aurait fallu écrire si le calcul avait été bien plus compliqué.
On admettra donc que décrire un calcul par une formule littérale (avec des lettres) simplifie beaucoup les choses.

## Description d'un calcul

Le calcul littéral va aussi nous permettre d'illustrer un calcul en mathématiques. Prenons un exemple.
Vous avez dû voir comment on peut simplifier une fraction en mettant en évidence un facteur commun entre le numérateur et le dénominateur. Par exemple :
${\frac {15}{20}}={\frac {3\times 5}{4\times 5}}={\frac {3\times \not 5}{4\times \not 5}}={\frac {3}{4}}$
Comment représenter ce calcul avec des lettres ?
La partie du calcul qui nous intéresse est :
${\frac {3\times 5}{4\times 5}}={\frac {3}{4}}$
Avec des lettres, on écrira :
${\frac {a\times c}{b\times c}}={\frac {a}{b}}$
L'écriture précédente décrit de façon simple comment simplifier une fraction. Le fait d'avoir écrit ce calcul avec des lettres permet d'affirmer qu'il sera valable pour tout nombre venant en remplacement des lettres dans la mesure où la fraction existe. C'est-à-dire en supposant que $b$ et $c$ ne prennent pas la valeur 0 (qui annule le dénominateur).
On écrira donc:
Pour tout $b$ et $c$ non nul, on a :
${\frac {a\times c}{b\times c}}={\frac {a}{b}}$
| Sommaire | Réduction |
# Calcul littéral/Objectifs

* Développer.
* Réduire.
* Factoriser.
* Calculer la valeur d'une expression.
# Calcul littéral/Factorisation

Nous avons dans les chapitres précédents étudié la distributivité. Nous savons par conséquent que :
$a(b+c)=ab+ac$
Si on inverse les deux membres de l'égalité précédente, nous obtenons :
$ab+ac=a(b+c)$
En fait nous voyons que, de la forme développée, on peut revenir à la forme dite "factorisée". Cette façon de faire est aussi utile que la distributivité. Nous dirons que l'on a mis $a$ en facteur. On a ainsi fait une factorisation.
La factorisation est donc un peu l'opération inverse de la distributivité.
Si nous l'étudions après avoir étudié la distributivité, c'est parce qu'elle est plus difficile. S'il est facile d'appliquer la distributivité, il est moins facile de factoriser car il n'est quelquefois pas évident de voir ce que l'on peut mettre en facteur.
Nous allons donc nous entraîner à factoriser dans des situations de plus en plus difficiles.
| Distributivité double | Sommaire |
# Calcul littéral/Exercices/Factorisation
## Exercice 3-1

Factoriser les expressions suivantes :
* $ab+ac+ad$ ;
* $a^{2}b^{3}+ab^{4}+a^{3}b^{2}$ ;
* $6a^{3}b^{2}c^{4}-2a^{2}b^{2}c+4ab^{3}c^{2}+2ab^{2}c$.
* $ab+ac+ad=a\left(b+c+d\right)$ ;
* $a^{2}b^{3}+ab^{4}+a^{3}b^{2}=ab^{2}\left(ab+b^{2}+a^{2}\right)$ ;
* $6a^{3}b^{2}c^{4}-2a^{2}b^{2}c+4ab^{3}c^{2}+2ab^{2}c=2ab^{2}c\left(3a^{2}c^{3}-a+2bc+1\right)$.

## Exercice 3-2

Factoriser les expressions suivantes :
* $ab\left(c+1\right)-2ac\left(c+1\right)+bc\left(c+1\right)$ ;
* $3a^{3}\left(a-3\right)+a^{2}b\left(a-3\right){\sqrt {3}}-a^{5}b^{5}\left(a-3\right){\sqrt {6}}$ ;
* $2ab\left(d-3\right)-db\left(d-3\right)^{2}+b\left(d-3\right)$.
* $ab\left(c+1\right)-2ac\left(c+1\right)+bc\left(c+1\right)=\left(ab-2ac+bc\right)\left(c+1\right)$ ;
* $3a^{3}\left(a-3\right)+a^{2}b\left(a-3\right){\sqrt {3}}-a^{5}b^{5}\left(a-3\right){\sqrt {6}}=\left(3a+b{\sqrt {3}}-a^{3}b^{5}{\sqrt {6}}\right)a^{2}\left(a-3\right)$ ;
* $2ab\left(d-3\right)-db\left(d-3\right)^{2}+b\left(d-3\right)=\left(2a-d\left(d-3\right)+1\right)b\left(d-3\right)$.

## Exercice 3-3

Factoriser les expressions suivantes :
* ${\frac {3a^{2}x}{5b}}-{\frac {12a^{3}x^{5}}{15b^{2}}}+{\frac {6a^{4}x}{10b^{3}}}$ ;
* ${\frac {2abc}{\left(a-b\right)^{2}}}-{\frac {4ab^{2}}{a-b}}+{\frac {ab{\sqrt {2}}}{a-b}}$ ;
* ${\frac {2ab}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}}+{\frac {2ac}{\left(c-a\right)\left(b-c\right)}}-{\frac {6bc}{\left(a-c\right)^{2}}}$.
* ${\frac {3a^{2}x}{5b}}-{\frac {12a^{3}x^{5}}{15b^{2}}}+{\frac {6a^{4}x}{10b^{3}}}={\frac {3a^{2}x}{5b}}-{\frac {4a^{3}x^{5}}{5b^{2}}}+{\frac {3a^{4}x}{5b^{3}}}={\frac {a^{2}x}{5b}}\left(3-{\frac {4ax^{4}}{b}}+{\frac {3a^{2}}{b^{2}}}\right)$ ;
* ${\frac {2abc}{\left(a-b\right)^{2}}}-{\frac {4ab^{2}}{a-b}}+{\frac {ab{\sqrt {2}}}{a-b}}={\frac {ab}{a-b}}\left({\frac {2c}{a-b}}-4b+{\sqrt {2}}\right)$ ;
* ${\frac {2ab}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}}+{\frac {2ac}{\left(c-a\right)\left(b-c\right)}}-{\frac {6bc}{\left(a-c\right)^{2}}}={\frac {2}{a-c}}\left({\frac {ab}{a-b}}+{\frac {ac}{c-b}}-{\frac {3bc}{a-c}}\right)$.

## Exercice 3-4

Factoriser les expressions suivantes :
* $\left(a-b\right)\left(a-c\right)-\left(b-c\right)\left(b-a\right)+\left(a-b\right)^{2}$ ;
* $ab\left(b-c\right)-ac\left(c-b\right)^{2}-abc\left(b-c\right)$.
* $\left(a-b\right)\left(a-c\right)-\left(b-c\right)\left(b-a\right)+\left(a-b\right)^{2}=\left(a-b\right)\left(a-c+b-c+a-b\right)=2\left(a-b\right)\left(a-c\right)$ ;
* $ab\left(b-c\right)-ac\left(c-b\right)^{2}-abc\left(b-c\right)=a\left(b-c\right)\left(b-c\left(b-c\right)-bc\right)=a\left(b-c\right)\left(b-2bc+c^{2}\right)$.

## Exercice 3-5

Factoriser les expressions suivantes :
* $ac+ad+ae+bc+bd+be$ ;
* $a+b{\sqrt {3}}-c+b-c{\sqrt {3}}+a{\sqrt {3}}$ ;
* $a^{3}b-a^{2}c+ab^{2}c-bc^{2}$ ;
* $3ac{\sqrt {3}}-b^{2}+3bc-ab{\sqrt {3}}$.
* $ac+ad+ae+bc+bd+be=\left(a+b\right)\left(c+d+e\right)$ ;
* $a+b{\sqrt {3}}-c+b-c{\sqrt {3}}+a{\sqrt {3}}=\left(1+{\sqrt {3}}\right)\left(a+b-c\right)$ ;
* $a^{3}b-a^{2}c+ab^{2}c-bc^{2}=\left(a^{2}+bc\right)\left(ab-c\right)$ ;
* $3ac{\sqrt {3}}-b^{2}+3bc-ab{\sqrt {3}}=\left(3c-b\right)\left(a{\sqrt {3}}+b\right)$.
| Distributivité | Fractions |