# Introduction à la cinématique/Exercices/Mouvement de rotation uniformément accéléré
## Démarrage d'un moteur électrique

Un moteur électrique met deux secondes pour atteindre sa vitesse de régime 1 500 tr/min. Si l’on suppose le mouvement uniformément accéléré :
* Calculer l'accélération angulaire du mouvement.
* Déterminer le nombre de tours effectués pendant toute la durée du démarrage.
* Tracer les trois courbes suivantes
** Angle parcouru en fonction du temps.
** Fréquence de rotation en fonction du temps.
** Accélération angulaire en fonction du temps.
* Déterminer la vitesse et l'accélération d'un point de la périphérie du rotor R = 100 mm dans les deux cas suivants :
** en régime normal 1 500 tr/min.
** à l'instant t = 1 s.
* Il s’agit d'un mouvement de rotation uniformément accéléré, tels que avec $\theta _{0}$ l'angle déjà parcouru, t = 2 s le temps après le mouvement, t$_0$ le temps au début du mouvement, la fréquence de rotation ${\dot {\theta }}=1\ 500\ {\text{tr}}\cdot {\text{min}}^{-1}$ et la fréquence de rotation ${\dot {\theta }}_{0}$ initiale. Pour calculer ${\ddot {\theta }}$, on applique la formule suivante. Application numérique
** l’accélération angulaire ${\ddot {\theta }}$ est constante
** la fréquence de rotation ${\dot {\theta }}={\ddot {\theta }}t+{\dot {\theta }}_{0}$
** l'angle parcouru $\theta ={\frac {{\ddot {\theta }}t^{2}}{2}}+{\dot {\theta }}_{0}t+\theta _{0}$
    ${\begin{aligned}{\dot {\theta }}&={\ddot {\theta }}t+{\dot {\theta }}_{0}\\{\ddot {\theta }}t&={\dot {\theta }}-{\dot {\theta }}_{0}\\{\ddot {\theta }}&={\frac {{\dot {\theta }}-{\dot {\theta }}_{0}}{t}}\end{aligned}}$
    ${\begin{aligned}{\ddot {\theta }}&={\frac {1\ 500\times {\frac {2\pi }{60}}-0}{2}}\\{\ddot {\theta }}&=25\pi \approx 75{,}540\ {\text{rad}}\cdot {\text{s}}^{-2}\end{aligned}}$
* On calcule $\theta$ en utilisant l'équation suivante. Application numérique
    $\theta ={\frac {{\ddot {\theta }}t^{2}}{2}}+{\dot {\theta }}_{0}t+\theta _{0}$
    ${\begin{aligned}\theta &={\frac {25\pi \times 2^{2}}{2}}+0t+0\\\theta &=50\pi \approx 157{,}080\ {\text{rad}}\\\theta &={\frac {50\pi }{2\pi }}=25\ {\text{tr}}\end{aligned}}$
** En régime normal, la fréquence de rotation ${\dot {\theta }}$ = 1 500 tr⋅min$^{−1}$ et l’accélération angulaire ${\ddot {\theta }}$ = 0 rad⋅s$^{−2}$. On calcule l'accélération générale γ$_G$ du point à rayon R en fonction de l’accélération normale γ$_N$ et tangentielle γ$_T$. or et donc Application numérique On calcule aussi la vitesse V. Application numérique
    $\gamma _{G}={\sqrt {{\gamma _{N}}^{2}+{\gamma _{T}}^{2}}}$
    $\gamma _{N}={\dot {\theta }}^{2}\times R$
    $\gamma _{T}={\ddot {\theta }}\times R$
    $\gamma _{G}={\sqrt {({\dot {\theta }}^{2}\times R)^{2}+({\ddot {\theta }}\times R)^{2}}}$
    ${\begin{aligned}\gamma _{G}&={\sqrt {[(1\ 500\times {\frac {2\pi }{60}})^{2}\times 0{,}1]^{2}+(0\times 0{,}1)^{2}}}\\\gamma _{G}&=250\pi ^{2}\approx 2{,}467\times 10^{4}\ {\text{m}}\cdot {\text{s}}^{-2}\end{aligned}}$
    $V={\dot {\theta }}\times R$
    ${\begin{aligned}V&=1\ 500\times {\frac {2\pi }{60}}\times 0{,}1\\V&=5\pi \approx 15{,}708\ {\text{m}}\cdot {\text{s}}^{-1}\end{aligned}}$
** On calcule l'accélération générale γ$_G$ à ce point à t = 1 s avec une accélération angulaire ${\ddot {\theta }}$ = 25π rad⋅s$^{−2}$. On calcule d'abord la fréquence de rotation ${\dot {\theta }}$ à t = 1 s. Application numérique On calcule maintenant γ$_G$. Application numérique On détermine la vitesse du point en utilisant la fréquence de rotation ${\dot {\theta }}$ qu'on a calculé. Application numérique
    ${\dot {\theta }}={\ddot {\theta }}t+{\dot {\theta }}_{0}$
    ${\begin{aligned}{\dot {\theta }}&=25\pi \times 1+0\\{\dot {\theta }}&=25\pi \approx 78{,}540\ {\text{rad}}\cdot {\text{s}}^{-1}\end{aligned}}$
    $\gamma _{G}={\sqrt {({\dot {\theta }}^{2}\times R)^{2}+({\ddot {\theta }}\times R)^{2}}}$
    ${\begin{aligned}\gamma _{G}&={\sqrt {[(25\pi )^{2}\times 0{,}1]^{2}+(25\pi \times 0{,}1)^{2}}}\\\gamma _{G}&={\frac {5\pi {\sqrt {625\pi ^{2}+1}}}{2}}\approx 616{,}900\ {\text{m}}\cdot {\text{s}}^{-2}\end{aligned}}$
    $V={\dot {\theta }}\times R$
    ${\begin{aligned}V&=25\pi \times 0{,}1\\V&=2{,}5\pi \approx 7{,}854\ {\text{m}}\cdot {\text{s}}^{-1}\end{aligned}}$

## Démarrage d'un arbre de transmission

Un arbre de transmission démarre d'un mouvement uniformément accéléré. Il fait 12,5 tours pendant les 5 premières secondes.
* Déterminer l'accélération angulaire du mouvement.
* Déterminer la vitesse de rotation en régime normal après démarrage.
* Calculer la vitesse et l'accélération d'un point de la périphérie de l’arbre R = 60 mm dans les deux cas suivants :
** en régime normal, à vitesse constante.
** après deux secondes.
* Il s’agit d'un mouvement de rotation uniformément accéléré, tels que avec $\theta$ = 12,5 tr l’angle parcouru, $\theta _{0}$ = rad l'angle déjà parcouru, t = 5 s le temps après le mouvement, t$_0$ = 0 s le temps au début du mouvement, la fréquence de rotation ${\dot {\theta }}$ et la fréquence de rotation ${\dot {\theta }}_{0}$ initiale. Pour calculer ${\ddot {\theta }}$, on applique la formule suivante. Application numérique
** l’accélération angulaire ${\ddot {\theta }}$ est constante
** la fréquence de rotation ${\dot {\theta }}={\ddot {\theta }}t+{\dot {\theta }}_{0}$
** l'angle parcouru $\theta ={\frac {{\ddot {\theta }}t^{2}}{2}}+{\dot {\theta }}_{0}t+\theta _{0}$
    ${\begin{aligned}\theta &={\frac {{\ddot {\theta }}t^{2}}{2}}+{\dot {\theta }}_{0}t+\theta _{0}\\{\frac {{\ddot {\theta }}t^{2}}{2}}&=\theta -{\dot {\theta }}_{0}t-\theta _{0}\\{\ddot {\theta }}&={\frac {2(\theta -{\dot {\theta }}_{0}t-\theta _{0})}{t^{2}}}\end{aligned}}$
    ${\begin{aligned}{\ddot {\theta }}&={\frac {2\times (12{,}5\times {\frac {2\pi }{60}}-0\times 5-0)}{5^{2}}}\\{\ddot {\theta }}&=2\pi \approx 6{,}283\ {\text{rad}}\cdot {\text{s}}^{-2}\end{aligned}}$
* À t = 5 s, l'accélération angulaire ${\ddot {\theta }}$ = rad⋅s$^{−2}$ et la fréquence de rotation ${\dot {\theta }}$ est constante. On détermine ${\dot {\theta }}$. Application numérique.
    ${\dot {\theta }}={\ddot {\theta }}t+{\dot {\theta }}_{0}$
    ${\begin{aligned}{\dot {\theta }}&=2\pi \times 5+0\\{\dot {\theta }}&=10\pi \approx 31{,}416\ {\text{rad}}\cdot {\text{s}}^{-1}\end{aligned}}$
** En régime normal, la fréquence de rotation ${\dot {\theta }}$ = 10π rad⋅s$^{−1}$ et l’accélération angulaire ${\ddot {\theta }}$ = 0 rad⋅s$^{−2}$. On calcule l'accélération générale γ$_G$ du point à rayon R en fonction de l’accélération normale γ$_N$ et tangentielle γ$_T$. or et donc Application numérique On calcule aussi la vitesse V. Application numérique
    $\gamma _{G}={\sqrt {{\gamma _{N}}^{2}+{\gamma _{T}}^{2}}}$
    $\gamma _{N}={\dot {\theta }}^{2}\times R$
    $\gamma _{T}={\ddot {\theta }}\times R$
    $\gamma _{G}={\sqrt {({\dot {\theta }}^{2}\times R)^{2}+({\ddot {\theta }}\times R)^{2}}}$
    ${\begin{aligned}\gamma _{G}&={\sqrt {[(10\pi )^{2}\times 0{,}06]^{2}+(0\times 0{,}06)^{2}}}\\\gamma _{G}&=6\pi ^{2}\approx 59{,}218\ {\text{m}}\cdot {\text{s}}^{-2}\end{aligned}}$
    $V={\dot {\theta }}\times R$
    ${\begin{aligned}V&=10\pi \times 0{,}06\\V&=0{,}6\pi \approx 1{,}885\ {\text{m}}\cdot {\text{s}}^{-1}\end{aligned}}$
** On calcule l'accélération générale γ$_G$ à ce point à t = 2 s avec une accélération angulaire ${\ddot {\theta }}$ = 2π rad⋅s$^{−2}$. On calcule d'abord la fréquence de rotation ${\dot {\theta }}$ à t = 2 s. Application numérique On calcule maintenant γ$_G$. Application numérique On détermine la vitesse du point en utilisant la fréquence de rotation ${\dot {\theta }}$ qu'on a calculé. Application numérique
    ${\dot {\theta }}={\ddot {\theta }}t+{\dot {\theta }}_{0}$
    ${\begin{aligned}{\dot {\theta }}&=2\pi \times 2+0\\{\dot {\theta }}&=4\pi \approx 12{,}566\ {\text{rad}}\cdot {\text{s}}^{-1}\end{aligned}}$
    $\gamma _{G}={\sqrt {({\dot {\theta }}^{2}\times R)^{2}+({\ddot {\theta }}\times R)^{2}}}$
    ${\begin{aligned}\gamma _{G}&={\sqrt {[(4\pi )^{2}\times 0{,}06]^{2}+(2\pi \times 0{,}06)^{2}}}\\\gamma _{G}&={\frac {3\pi {\sqrt {64\pi ^{2}+1}}}{25}}\approx 9{,}482\ {\text{m}}\cdot {\text{s}}^{-2}\end{aligned}}$
    $V={\dot {\theta }}\times R$
    ${\begin{aligned}V&=4\pi \times 0{,}06\\V&=0{,}24\pi \approx 0{,}754\ {\text{m}}\cdot {\text{s}}^{-1}\end{aligned}}$

## Hélice d'avion

Dès l'instant où le moteur est coupé, une hélice d'avion qui tournait à la vitesse de 1 200 tr/min effectue 80 tours jusqu'à l'arrêt complet. Si l'on suppose le mouvement uniformément décéléré, on demande :
* La durée totale de ce mouvement.
* Tracer les trois courbes suivantes
** Angle parcouru en fonction du temps.
** Fréquence de rotation en fonction du temps.
** Accélération angulaire en fonction du temps.
* Calculer la vitesse et l'accélération d'un point de l'extrémité de l’helice R = 1 000 mm dans les deux cas suivants :
** 60 tours avant l'arrêt complet.
** en régime normal à 1 200 tr/min.
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle.