# Théorie des groupes/Automorphismes d'un groupe cyclique

Rappelons que nous avons défini les anneaux Z et Z/nZ au chapitre Groupes commutatifs finis, 1.
Soit n un nombre naturel. Un élément de Z/nZ est un générateur du groupe additif Z/nZ si et seulement si c’est un élément inversible de l'anneau Z/nZ.
Puisque [1] = 1 + nZ est un générateur du groupe additif Z/nZ, il est clair qu'un élément [a] = a + nZ est un générateur de ce groupe si et seulement s'il existe un entier rationnel r tel que r [a] = [1], autrement dit si et seulement s'il existe un entier rationnel r tel que [r] [a] = [1], autrement dit si et seulement si [a] est un élément inversible de l'anneau Z/nZ.
Soit n un nombre naturel. Un élément a + nZ de Z/nZ est un générateur du groupe additif Z/nZ si et seulement si a est premier avec n.
C'est une conséquence immédiate du théorème précédent, puisque nous avons vu au chapitre Groupes commutatifs finis, 1 que a + nZ est inversible dans l'anneau Z/nZ si et seulement si a est premier avec n.
Les deux théorèmes qui précèdent peuvent être considérés comme des variantes de la proposition suivante, démontrée dans le chapitre Groupes monogènes, ordre d'un élément : soient G un groupe fini d'ordre n, g un générateur de G et r un entier rationnel; pour que g$^r$ soit un générateur de G, il faut et il suffit que r soit premier avec n.
Nous appellerons groupe multiplicatif d'un anneau le groupe multiplicatif formé par les éléments inversibles de cet anneau.
Soit n un nombre naturel (≥ 0). Les automorphismes du groupe additif Z/nZ sont les applications x ↦ cx de Z/nZ dans lui-même, où c parcourt les entiers rationnels premiers avec n. Le groupe Aut(Z/nZ) des automorphismes du groupe additif Z/nZ est isomorphe au groupe multiplicatif de l'anneau Z/nZ.
Pour tout entier rationnel r, désignons par [r] l'élément r + nZ de Z/nZ. On sait que [1] est un générateur du groupe additif Z/nZ. Soit f un automorphisme du groupe additif Z/nZ. Puisque f est un homomorphisme, nous avons, pour tout nombre entier rationnel r,
    $(1)\qquad f([r])=f(r[1])=rf([1])=[r]f([1])$.
Puisque f est surjectif, il existe un élément [r] de Z/nZ tel que f([r]) = [1]. D'après (1), ceci s'écrit [r] f([1]) = [1], donc f([1]) est un élément inversible de l'anneau Z/nZ. Soit g l’application de Aut(Z/nZ) dans le groupe multiplicatif de l'anneau Z/nZ qui applique f sur f([1]). Prouvons que g est un isomorphisme. Prouvons d’abord que g est une surjection. Soit [a] un élément inversible de l'anneau Z/nZ; il s'agit de prouver qu’il existe un automorphisme f du groupe Z/nZ qui applique [1] sur [a]. Cela résulte par exemple du fait que [a] est un générateur de Z/nZ, et d'un théorème démontré au chapitre Groupes monogènes, ordre d'un élément (à savoir que si G et H sont des groupes monogènes de même ordre, g un générateur de G et h un générateur de H, il existe un isomorphisme de G sur H qui applique g sur h). Ainsi, g est une surjection. Prouvons que g est une injection. Il s'agit de prouver que si f$_1$ et f$_2$ sont des automorphismes de Z/nZ, si f$_1$([1]) = f$_2$([1]), alors f$_1$ = f$_2$. Cela résulte de ce que [1] est un générateur de Z/nZ et de ce que deux homomorphismes d'un groupe G dans un groupe H qui coïncident en tout point d'une partie génératrice de G sont égaux. (Voir Groupes, premières notions. Nous avons donc prouvé que g est une bijection. Pour prouver que g est un isomorphisme, il reste à prouver que g est un homomorphisme de Aut(Z/nZ) dans le groupe multiplicatif de l'anneau Z/nZ. Pour cela, il s'agit de prouver que
    $(2)\qquad (f\circ g)([1])=f([1]g[1])$.
Le premier membre est égal à f(g[1]). Choisissons un entier rationnel r tel que g([1]) = [r]. Alors le premier membre de (2) est égal à f([r]) et donc, d’après (1), à [r] f([1]), autrement dit à g([1]) f([1]), ce qui prouve (2).
Soit G un groupe cyclique d'ordre n, noté multiplicativement. Les automorphismes du groupe G sont les applications x ↦ x$^c$ de G dans lui-même, où c parcourt les entiers rationnels premiers avec n. Le groupe Aut(G) des automorphismes de G est isomorphe au groupe multiplicatif de l'anneau Z/nZ.
On sait que G est isomorphe au groupe additif Z/nZ. L'énoncé se déduit donc facilement du théorème précédent.
Le groupe des automorphismes d'un groupe monogène est commutatif.
D'après ce qui précède, le groupe des automorphismes d'un groupe monogène est isomorphe au groupe multiplicatif d'un anneau commutatif.
Nous allons maintenant expliciter la structure du groupe multiplicatif de l'anneau Z/nZ, ce qui explicitera en même temps la structure du groupe des automorphismes des groupes monogènes. Si n = 0, l'anneau Z/nZ est isomorphe à Z, donc son groupe multiplicatif est formé des deux éléments 1 et - 1. Le cas n = 0 étant réglé, nous ne nous intéresserons plus qu'au cas n ≥ 1. On sait que dans ce cas, Z/nZ est fini et compte n éléments.
Soit n un nombre naturel non nul. L'ordre du groupe multiplicatif de l'anneau Z/nZ est égal à la quantité des nombres premiers avec n parmi 0, 1, ... , n - 1.
On a vu au chapitre Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z que tout élément de Z/nZ est la classe d'un et un seul des nombres 0, 1, ... , n - 1. On a vu aussi (chapitre Groupes commutatifs finis, 1) que si a est un entier rationnel, a + nZ est un élément inversible de l'anneau Z/nZ si et seulement si a est premier avec n. L'énoncé en résulte.
On appelle indicateur d'Euler, ou encore indicatrice d'Euler, et on note $\varphi$ l’application de $\mathbb {N} \setminus \{0\}$ dans $\mathbb {N}$ qui à tout nombre naturel non nul n fait correspondre l’ordre du groupe multiplicatif de l'anneau Z/nZ.
D'après la proposition précédente, $\varphi (n)$ est égal à la quantité des nombres premiers avec n parmi 0, 1, ... , n -1.
Par exemple, $\varphi (1)=1$ et $\varphi (p)=p-1$ pour tout nombre premier p.
Soit G un groupe cyclique d'ordre n. Le nombre de générateurs de G (autrement dit le nombre d'éléments d'ordre n dans G) est égal à $\varphi (n)$.
Puisque G est isomorphe au groupe additif Z/nZ, il suffit de le prouver dans le cas où G = Z/nZ. Or nous avons vu que $\varphi (n)$ est le nombre des éléments inversibles de l'anneau Z/nZ et nous avons vu aussi que les éléments inversibles de l'anneau Z/nZ sont les générateurs du groupe additif Z/nZ.
Si a et b sont deux nombres naturels ≥ 1 et premiers entre eux, $\varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b).$
Choisissons un groupe cyclique G d'ordre ab, que nous noterons additivement. D'après un exemple donné au chapitre Produit de groupes, G est somme directe interne de son sous-groupe (cyclique) A d'ordre a et de son sous-groupe (cyclique) B d'ordre b. À tout élément x de G, faisons correspondre le couple (y, z) tel que x = y z, avec y dans A et z dans B. Nous définissons ainsi un isomorphisme $\sigma$ de G sur la somme directe de A et B. L'ordre de x est le ppcm des ordres de y et de z, l’ordre de y divise a et l’ordre de z divise b. Il est donc clair que x est d'ordre ab si et seulement si y est d'ordre a et z d'ordre b. Ainsi, $\sigma$ induit une bijection de l’ensemble des générateurs de G sur le produit cartésien de l’ensemble des générateurs de A par l’ensemble des générateurs de B. Le nombre $\varphi (ab)$ des générateurs de G est donc égal au produit du nombre $\varphi (a)$ des générateurs de A par le nombre $\varphi (b)$ des générateurs de B, ce qui prouve l'énoncé.
L'énoncé précédent peut aussi se déduire de ce théorème : si a et b sont deux nombres naturels ≥ 1 et premiers entre eux, le groupe multiplicatif de l'anneau Z/abZ est isomorphe au produit direct du groupe multiplicatif de l'anneau Z/aZ par le groupe multiplicatif de l'anneau Z/bZ. (Voir les exercices.)
Soient p un nombre premier et n un nombre naturel ≥ 1. Pour tout élément X de Z/p$^n$Z, les trois conditions suivantes sont équivalentes :
* Tous les éléments de X sont divisibles par p ;
* X comprend (au moins) un élément divisible par p ;
* X est un élément non inversible de l'anneau Z/p$^n$Z.
Les classes résiduelles modulo p$^n$ possédant ces propriétés sont en quantité p$^{n-1}$.
La preuve de l'équivalence des conditions 1° à 3° est facile et laissée au lecteur. Prouvons la dernière assertion de l'énoncé.
Première démonstration. D'après l'équivalence de 1° et 2° et le fait que toute classe modulo p$^n$ comprend un et un seul des nombres naturels < p$^n$, la quantité des classes modulo p$^n$ satisfaisant aux conditions 1° à 3° est égale à la quantité des nombres divisibles par p parmi 0, 1, ... , p$^n$ - 1. Ces nombres sont les nombres de la forme p x, où x parcourt les nombres naturels tels que px < p$^n$, autrement dit les nombres naturels x < p$^{n-1}$. Ces nombres naturels x sont en quantité p$^{n-1}$, donc les nombres divisibles par p dans la suite 0, 1, ... , p$^n$ sont en quantité p$^{n-1}$.
Seconde démonstration. La démonstration qui précède repose sur l’ordre usuel défini dans N et dans Z. Voici une démonstration un peu différente, qui peut se généraliser à des anneaux où un ordre tel que celui de Z n’est pas défini. Deux entiers rationnels a et b sont congrus modulo p$^{n-1}$ si et seulement pa et pb sont congrus modulo p$^n$. On en déduit facilement
1° qu’il existe une et une seule application f de Z/p$^{n-1}$Z dans l’ensemble des éléments non inversibles de Z/p$^n$Z telle que, pour tout entier rationnel x, on ait f(x + p$^{n-1}$Z) = p x + p$^{n-1}$Z ;
2° que f est une bijection.
Le nombre des éléments non inversibles de Z/p$^n$Z est donc égal au nombre p$^{n-1}$ des éléments de Z/p$^{n-1}$Z.
Les éléments non inversibles de l'anneau Z/p$^n$Z forment donc un sous-groupe du groupe additif de cet anneau, ce qui n'est évidemment pas le cas dans tout anneau.
Soit n un nombre naturel non nul, soit $n=\prod _{i}p_{i}^{r_{i}}$ la décomposition de n en facteurs premiers, les p$_i$ étant les différents facteurs premiers de n et les r$_i$ étant ≥ 1. Alors $\varphi (n)=\prod _{i}(p_{i}-1)p_{i}^{r_{i}-1}$.
D'après une proposition précédente, $\varphi (\prod _{i}p_{i}^{r_{i}})=\prod _{i}\varphi (p_{i}^{r_{i}}),$ donc il suffit de prouver que si p est un nombre premier et r un nombre naturel ≥ 1, alors $\varphi (p^{r})=(p-1)p^{r-1}.$ Puisque, d’après le lemme précédent, le nombre des éléments non inversibles de Z/p$^r$Z est égal à p$^{n-1}$, $\varphi (p^{r})=p^{r}-p^{r-1}=(p-1)p^{r-1}.$.
Si G est un groupe fini d'ordre n,
    $n=\sum _{d\vert n}r_{d}\varphi (d)$,
où d parcourt les diviseurs naturels de n et où, pour tout d, r$_d$ désigne le nombre des sous-groupes cycliques d'ordre d de G.
Pour tout groupe cyclique C, désignons par gén(C) l’ensemble des générateurs de C. Si C est un sous-groupe cyclique d'un groupe G, si x est un élément de gén(C), alors C est le sous-groupe de G engendré par x; il en résulte évidemment que si C et D sont deux différents sous-groupes cycliques de G, alors gén(C) et gén(D) sont disjoints. D'autre part, puisque G est fini, tout élément de G engendre un sous-groupe cyclique de G et, en particulier, est contenu dans un tel sous-groupe. Donc G est réunion disjointe des ensembles gén(C), où C parcourt les sous-groupes cycliques de G. On a donc
    $\qquad \vert G\vert =\sum _{C}\mathrm {Card} (\mathrm {g{\acute {e}}n} (C)),$
où C parcourt les sous-groupes cycliques de G.
Cela peut encore s'écrire
    $(1)\qquad \vert G\vert =\sum _{d\mid n}\sum _{\vert C\vert =d}\mathrm {Card} (\mathrm {g{\acute {e}}n} (C))$
où, pour chaque d, C parcourt les sous-groupes cycliques d'ordre d de G. Il résulte d'une précédente proposition que pour un tel C,
    $\mathrm {Card} (\mathrm {g{\acute {e}}n} (C))=\varphi (d)$,
d'où
    $\sum _{\vert C\vert =d}\mathrm {Card} (\mathrm {g{\acute {e}}n} (C))=r_{d}\varphi (d)$.
En portant ceci dans (1), nous obtenons l'énoncé.
Si n est un nombre naturel non nul,
    $n=\sum _{d\mid n}\varphi (d)$,
où d parcourt les diviseurs naturels de n.
Choisissons un groupe cyclique G d'ordre n. Nous savons que pour tout diviseur naturel d de n, G admet un et un seul sous-groupe d'ordre d et que ce sous-groupe est cyclique. Donc, dans les notations du précédent lemme, r$_d$ = 1 pour tout diviseur naturel d de n. Le précédent lemme fournit donc l'énoncé.
Soit G un groupe fini d'ordre n. Si pour tout diviseur naturel d de n, G a au plus un sous-groupe cyclique d'ordre d, alors G est cyclique.
Pour tout diviseur naturel d de n, désignons par r$_d$ le nombre de sous-groupes cycliques d'ordre d de G. Par hypothèse, r$_d$ est égal à 0 ou à 1. D'après un précédent lemme, nous avons
    $n=\sum _{d\vert n}r_{d}\varphi (d)$,
où d parcourt les diviseurs naturels de n. D'après la précédente proposition, le premier membre peut être remplacé par $\sum _{d\vert n}\varphi (d),$ d'où
    $(1)\sum _{d\mid n}\varphi (d)=\sum _{d\mid n}r_{d}\varphi (d)$.
Puisque chaque r$_d$ est ≤ 1, le terme correspondant à l'indice d dans la somme qui forme le second membre de (1) est inférieur ou égal au terme correspondant à l'indice d dans la somme qui forme le premier membre. Vu l'égalité des deux membres, on doit donc avoir r$_d$ = 1 pour tout d. C'est vrai en particulier pour d = n, donc G a un sous-groupe cycique d'ordre n, donc G est cyclique.
Soit F un corps commutatif. Tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif de F est cyclique.
Soit G un sous-groupe fini du groupe multiplicatif de F. Il s'agit de prouver que G est cyclique. Soit d un diviseur naturel de l’ordre de G. D'après la théorie des polynômes, le polynôme X$^d$ - 1 admet au plus d racines dans F et donc au plus d racines dans G. Autrement dit, il y a dans G au plus d éléments x tels que x$^d$ = 1. Il en résulte clairement que G admet au plus un sous-groupe d'ordre d. (Si G admettait deux sous-groupes distincts d'ordre d, soient H et K, la réunion de H et de K serait un ensemble de plus de d éléments x tels que x$^d$ = 1.) A fortiori, G admet au plus un sous-groupe cyclique d'ordre d. D'après le lemme précédent, G est donc cyclique.
Soit F un corps commutatif fini. Le groupe multiplicatif de F est cyclique.
C'est évidemment un cas particulier du lemme qui précède.
D'après un théorème de Wedderburn, tout corps fini est commutatif. L'expression « corps commutatif fini » est donc pléonastique.
Si p est un nombre premier, le groupe multiplicatif de Z/pZ est cyclique.
Cela résulte immédiatement de l'énoncé précédent, puisque nous avons vu que si p est un nombre premier, l'anneau Z/pZ est un corps (commutatif).
Soit p un nombre premier. Dire que le groupe multiplicatif de Z/pZ est cyclique revient à dire qu’il existe au moins un entier rationnel r (non divisible par p) tel que r$^0$, r$^1$, ... , r$^{p-2}$ représentent les p - 1 classes résiduelles non nulles modulo p. Un tel entier rationnel est appelé « racine primitive modulo p ». En particulier, il y a au moins une racine primitive modulo p parmi les nombres naturels < p, et, d’après ce que nous avons vu sur le nombre de générateurs d'un groupe cyclique, il y en a exactement $\varphi (p-1)$. Par exemple, pour p = 7, les racines primitives < p sont les $\varphi (6)=2$ nombres 3 et 5.
Si G est un groupe (cyclique) d'ordre premier p, le groupe des automorphismes de G est cyclique.
Démonstration. Le groupe G est isomorphe au groupe additif Z/pZ, donc le groupe des automorphismes de G est isomorphe au groupe des automorphismes du groupe additif Z/pZ, donc, d’après un théorème précédent, au groupe multiplicatif de Z/pZ, et nous venons de voir que ce groupe multiplicatif est cyclique.
La preuve donnée ici du fait que le groupe des automorphismes d'un groupe (cyclique) d'ordre premier est cyclique dépend de la notion de polynôme. Il existe une démonstration qui ne dépend pas de la notion de polynôme mais seulement de notions élémentaires de théorie des groupes. Voir H. Kurzweil et B. Stellmacher, The Theory of Finite Groups, An Introduction, Springer, 2004, pp. 50-51.
Dans la suite, nous allons distinguer entre le nombre 2 et les autres nombres premiers. Comme les nombres premiers distincts de 2 sont exactement les nombres premiers impairs et que « nombre premier impair » est plus bref que « nombre premier distinct de 2 », on a coutume de dire « nombre premier impair » plutôt que « nombre premier distinct de 2 ».
Soient p un nombre premier impair et n un nombre naturel ≥ 1. Le groupe multiplicatif de l'anneau Z/p$^n$Z est cyclique d'ordre (p - 1) p$^{n-1}$.
Pour alléger les notations, désignons par G le groupe multiplicatif de l'anneau Z/p$^n$Z. Nous savons déjà que l’ordre de ce groupe est $\varphi (p^{n})=(p-1)p^{n-1}$. Prouvons que ce groupe est cyclique. L'ensemble A = 1 + p Z/p$^n$Z, formé par les classes d'éléments congrus à 1 modulo p, est un sous-groupe (multiplicatif) de G. En effet, c’est clairement un sous-monoïde de G et, d’après un exercice de la série Groupes, premières notions, tout sous-monoïde fini d'un groupe est un groupe. (On pourrait aussi noter que la classe de 1 + xp modulo p$^n$Z admet pour inverse la classe de 1 - x p + x$^2$ p$^2$ - ... + (- 1)$^{n-1}$ x$^{n-1}$ p$^{n-1}$.) Nous avons vu que le nombre d'éléments de p Z/p$^n$Z est p$^{n-1}$, donc A, égal à 1 + p Z/p$^n$Z, compte lui aussi p$^{n-1}$ éléments. Autrement dit, le groupe multiplicatif A est d'ordre p$^{n-1}$. Puisque p - 1 est premier avec p$^{n-1}$, il résulte d'un corollaire de la décomposition d'un groupe commutatif en somme directe de ses composantes primaires que G est somme directe $G=A\oplus B,$ où B est un sous-groupe d'ordre p - 1 de G. Prouvons que chacun des groupes A et B est cyclique. Tout élément du groupe multiplicatif G de l'anneau Z/p$^n$Z, étant une classe modulo p$^n$ formée de nombres non divisibles par p, est contenu dans un et un seul élément du groupe multiplicatif de l'anneau Z/pZ. Désignons par f l’application de G dans le groupe multiplicatif de l'anneau Z/pZ qui applique tout élément X de G sur l'unique élément du groupe multiplicatif de l'anneau Z/pZ qui contient X. Autrement dit, f(a + p$^n$Z) = a + pZ pour tout entier rationnel a non divisible par p. On vérifie facilement que f est un homomorphisme surjectif de G sur le groupe multiplicatif de l'anneau Z/pZ et que le noyau de cet homomorphisme est A. Donc G/A est isomorphe au groupe multiplicatif de l'anneau Z/pZ. Puisque G est somme directe (interne) de A et de B, G/A est isomorphe à B, donc B est isomorphe au groupe multiplicatif de l'anneau Z/pZ et est donc cyclique.
Prouvons maintenant que A est cyclique et pour cela, prouvons que la classe de 1 + p modulo p$^n$ engendre A. Il s'agit de prouver que l’ordre de la classe de 1 + p est p$^{n-1}$. Comme cet ordre divise l’ordre p$^{n-1}$ de A et est donc une puissance de p, il suffit de prouver le fait suivant :
    (1) pour tout nombre naturel m tel que 0 ≤ m < n - 1, $(1+p)^{p^{m}}$ n’est pas congru à 1 modulo p$^n$.
Prouvons que pour tout nombre naturel m ≥ 0,
    $(2)\qquad (1+p)^{p^{m}}\equiv 1+p^{m+1}{\pmod {p^{m+2}}}$.
Pour m = 0, les deux membres de la congruence sont égaux à 1 + p, donc la congruence est vraie. Supposons qu'elle soit vraie pour un nombre naturel m et prouvons qu'elle est vraie avec m + 1 au lieu de m. Par hypothèse de récurrence, nous avons
    $(1+p)^{p^{m}}=1+p^{m+1}+kp^{m+2}$
pour un certain entier k. En élevant à la p-ième puissance et en appliquant la formule du binôme, nous trouvons
    $(3)\qquad (1+p)^{p^{m+1}}=1+\sum _{i=1}^{p}{\binom {p}{i}}(p^{m+1}+kp^{m+2})^{i}$.
On sait que ${\binom {p}{i}}=p$ et que, pour tout i tel que 1 ≤ i ≤ p - 1, ${\binom {p}{i}}$ est divisible par p. Donc (3) donne
    $(1+p)^{p^{m+1}}=1+p^{m+2}+kp^{m+3}+rp^{2m+3}+sp^{pm+p}$,
avec r et s entiers. Puisque $p^{2m+3}$ est multiple de $p^{m+3}$, nous avons donc
    $(4)\qquad (1+p)^{p^{m+1}}\equiv 1+p^{m+2}+sp^{pm+p}{\pmod {p^{m+3}}}.$
Du fait que p est supposé ≥ 3, il résulte que p m + p ≥ m + 3. (Ce ne serait pas vrai avec p = 2 et m = 0. L'énoncé du théorème est d'ailleurs faux pour p = 2.) Dès lors, (4) donne
    $(1+p)^{p^{m+1}}\equiv 1+p^{m+2}{\pmod {p^{m+3}}}$,
ce qui achève de démontrer (2) par récurrence. Dès lors, pour tout nombre naturel m tel que 0 ≤ m < n - 1, la plus grande puissance de p qui divise $(1+p)^{p^{m}}-1$ est p$^{m+1}$. La thèse (1) en résulte et, comme nous l'avons vu, elle entraîne que la classe de 1 + p modulo p$^n$ engendre A, donc A est cyclique.
Nous avons donc prouvé que A est un groupe cyclique d'ordre p$^{n-1}$ et B un groupe cyclique d'ordre p - 1.
Comme la somme directe de deux groupes cycliques d'ordres premiers entre eux est un groupe cyclique, G est cyclique.
Soit m un nombre naturel ≥ 2. Le groupe multiplicatif de l'anneau Z/2$^m$Z est somme directe d'un sous-groupe d'ordre 2 et d'un sous-groupe cyclique d'ordre 2$^{m-2}$. Si m est au moins égal à 3, le groupe multiplicatif de l'anneau Z/2$^m$Z n’est pas cyclique.
Pour tout nombre entier rationnel r, nous désignerons par [r] la classe de r modulo 2$^m$Z. Déterminons l’ordre de [5]. Puisque le groupe multiplicatif de l'anneau Z/2$^m$Z est d'ordre $\varphi (2^{m})=2^{m-1},$, l’ordre de [5] doit être une puissance de 2. Prouvons que, pour tout nombre naturel j ≥ 0,
    $(1)\qquad 5^{2^{j}}\equiv 1+2^{j+2}{\pmod {2^{j+3}}}$.
C'est vrai pour j = 0. Prouvons que si c’est vrai pour un nombre naturel j, c’est vrai pour j + 1 au lieu de j. La relation (1) signifie qu’il existe un entier k tel que
    $\qquad 5^{2^{j}}=1+2^{j+2}+k2^{j+3}$.
En élevant au carré, nous trouvons
    $(2)\qquad 5^{2^{j+1}}=(1+2^{j+2})^{2}+2(1+2^{j+2})k2^{j+3}+k^{2}2^{2j+6}$.
Les deux derniers des trois termes du second membre sont clairement divisibles par $2^{j+4}$. Le premier terme, égal à $1+2^{j+3}+2^{2j+4}$, est congru à $1+2^{j+3}$ modulo $2^{j+4}$. La relation (2) entraîne donc
    $\qquad 5^{2^{j+1}}\equiv 1+2^{j+3}{\pmod {2^{j+4}}}$.
Ceci prouve la relation (1) par récurrence sur j. Dès lors, pour tout nombre naturel j ≥ 0, $5^{2^{j}}-1$ est divisible exactement j + 2 fois par 2. Puisque nous supposons m ≥ 2, il en résulte que le plus petit nombre naturel j tel que $5^{2^{j}}-1$ soit divisible par 2$^m$ est m - 2. L'ordre de [5] dans le groupe multiplicatif de l'anneau Z/2$^m$Z est donc 2$^{m-2}$. Ceci revient à dire que le sous-groupe <[5]> engendré par [5] est d'ordre 2$^{m-2}$. Puisque nous supposons m ≥ 2, [-1] est distinct de [1], donc [1] et [-1] forment un sous-groupe d'ordre 2 du groupe multiplicatif de l'anneau Z/2$^m$Z. Comme tout élément de <[5]> est évidemment la classe d'un nombre congru à 1 modulo 4, l'intersection de <[5]> avec le sous-groupe {[1], [-1]} est réduite à l'élément neutre. (En effet, puisque nous supposons m ≥ 2, [-1] ne peut pas être la classe modulo 2$^m$ d'un nombre congru à 1 modulo 4.) Donc le sous-groupe engendré par le sous-groupe {[1], [-1]} et le sous-groupe <[5]> est la somme directe de {[1], [-1]} et de <[5]> et est donc d'ordre 2$^{m-1}$, donc est égal à tout le groupe multiplicatif de l'anneau Z/2$^m$Z, ce qui prouve la première partie de l'énoncé. Si m est au moins égal à 3, il résulte de ce qui précède que le groupe multiplicatif de l'anneau Z/2$^m$Z est somme directe d'un groupe cyclique d'ordre 2 et d'un groupe cyclique d'ordre divisible par 2. On a vu au chapitre Produit de groupes que la somme directe de deux groupes cycliques d'ordres non premiers entre eux n’est pas un groupe cyclique, donc, si m est au moins égal à 3, le groupe multiplicatif de l'anneau Z/2$^m$Z n’est pas cyclique.
On déterminera dans les exercices la structure du groupe multiplicatif de l'anneau Z/nZ pour tout nombre naturel n ≥ 1.