# Intégration de Riemann/Devoir/Intégrale de Gauss

Soit $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ l'application définie par :
    $f(x)=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {e} ^{-x\left(1+t^{2}\right)}}{1+t^{2}}}\,\mathrm {d} t$.
Montrer que :
    $\forall x\geqslant 0\qquad f(x)\leqslant \mathrm {e} ^{-x}$.
Quelle est la limite de $f$ en $+\infty$ ?
1° Montrer que pour tout réel $y$ :
       $0\leqslant \mathrm {e} ^{y}-1-y\leqslant {\frac {y^{2}}{2}}\operatorname {e} ^{|y|}$.
2° En déduire que pour tous réels $x$ et $h$,
       $0\leqslant f(x+h)-f(x)+h\int _{0}^{1}\mathrm {e} ^{-x\left(1+t^{2}\right)}\,\mathrm {d} t\leqslant 2h^{2}\operatorname {e} ^{2|h|}f(x)$.
    En déduire que $f$ est dérivable et préciser sa dérivée.
Prouver que :
$\forall x\in \mathbb {R} \qquad x\int _{0}^{1}\mathrm {e} ^{-(xt)^{2}}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{x}\mathrm {e} ^{-u^{2}}\,\mathrm {d} u$.
Soit $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ l'application $x\mapsto f\left(x^{2}\right)$.
Montrer que $g'(x)=-2\mathrm {e} ^{-x^{2}}\int _{0}^{x}\mathrm {e} ^{-u^{2}}\,\mathrm {d} u$.
Que peut-on dire de la fonction $h:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ définie par :
$h(x)=g(x)+\left(\int _{0}^{x}\mathrm {e} ^{-u^{2}}\,\mathrm {d} u\right)^{2}$ ?
En déduire la valeur de $\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-u^{2}}\,\mathrm {d} u$.
Ⅰ $\forall x\geqslant 0\qquad 0\leqslant f(x)\leqslant \int _{0}^{1}\mathrm {e} ^{-x}\,\mathrm {d} t=\operatorname {e} ^{-x}$ donc $\lim _{+\infty }f=0$.
Ⅱ 1° D'après la formule de Taylor-Lagrange, il existe un réel $c$ compris entre $0$ et $y$ tel que
          $\mathrm {e} ^{y}-1-y={\frac {y^{2}}{2}}\mathrm {e} ^{c}$.
       Puisque $c\leqslant |y|$, $\mathrm {e} ^{c}\leqslant \mathrm {e} ^{|y|}$.
    2° $f(x+h)-f(x)+h\int _{0}^{1}\mathrm {e} ^{-x\left(1+t^{2}\right)}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {e} ^{-x\left(1+t^{2}\right)}}{1+t^{2}}}\left(\mathrm {e} ^{-h(1+t^{2})}-1+h(1+t^{2})\right)\,\mathrm {d} t$.
       D'après la question précédente, cette intégrale est positive et majorée par
          $\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {e} ^{-x\left(1+t^{2}\right)}}{1+t^{2}}}{\frac {h^{2}\left(1+t^{2}\right)^{2}}{2}}\operatorname {e} ^{|h|\left(1+t^{2}\right)}\,\mathrm {d} t\leqslant \int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {e} ^{-x\left(1+t^{2}\right)}}{1+t^{2}}}2h^{2}\operatorname {e} ^{2|h|}\,\mathrm {d} t=2h^{2}\operatorname {e} ^{2|h|}f(x)$.
       En divisant par $|h|$ pour $h\neq 0$ puis en faisant tendre $h$ vers $0$, on en déduit par encadrement que $f$ est dérivable en tout réel $x$ et
          $f'(x)=-\int _{0}^{1}\mathrm {e} ^{-x\left(1+t^{2}\right)}\,\mathrm {d} t=-\operatorname {e} ^{-x}\int _{0}^{1}\mathrm {e} ^{-xt^{2}}\,\mathrm {d} t$.
Ⅲ Changement de variable $u=xt$.
Ⅳ D'après Ⅱ et Ⅲ, $g'(x)=2xf'(x^{2})=-2x\operatorname {e} ^{-x^{2}}\int _{0}^{1}\mathrm {e} ^{-(xt)^{2}}\,\mathrm {d} t=-2\mathrm {e} ^{-x^{2}}\int _{0}^{x}\mathrm {e} ^{-u^{2}}\,\mathrm {d} u$ (on aurait pu calculer plus directement la dérivée de $g$ – sans passer par celle de $f$ – en dérivant sous le signe d'intégration).
    Par conséquent, $h'=0$ donc $h$ est constante, c'est-à-dire :
       $\forall x\in \mathbb {R} \qquad f\left(x^{2}\right)+\left(\int _{0}^{x}\mathrm {e} ^{-u^{2}}\,\mathrm {d} u\right)^{2}=f(0)={\frac {\pi }{4}}$
    donc (d'après Ⅰ)
       $\left(\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-u^{2}}\,\mathrm {d} u\right)^{2}={\frac {\pi }{4}}$,
    c'est-à-dire :
       $\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-u^{2}}\,\mathrm {d} u={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}$.
Pour une autre méthode, voir cet exercice sur les intégrales doubles.
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