# Lois de probabilité continues/Loi normale

Soit $\sigma$ un nombre réel strictement positif et $\mu$ un nombre réel quelconque. On appelle loi normale ou loi de Gauss ou loi de Laplace-Gauss de paramètres $\mu$ et $\sigma$, la loi de probabilité dont la densité est définie par :
    $f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$.
Nous l'étudierons plus en détail au niveau 14, au chapitre 3 de la leçon sur les variables aléatoires continues.
Nous admettons ici que cette fonction (continue, positive) est bien une densité de probabilité, c'est-à-dire que $\lim _{a\to -\infty \atop b\to +\infty }\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=1$.
Cette loi est utilisée pour les variables aléatoires dont la valeur dépend d'un grand nombre de causes indépendantes dont les effets s'additionnent et dont aucune n'est prépondérante.

## Espérance mathématique et écart-type

L'espérance d'une variable aléatoire suivant une loi normale de paramètres $\mu$ et $\sigma$ est égale au paramètre $\mu$.
    $E(X)=\mu$.
Nous admettons que la limite $E(X)=\lim _{a\to -\infty \atop b\to +\infty }\int _{a}^{b}xf(x)\,\mathrm {d} x$ existe. Moyennant quoi,
    ${\begin{aligned}E(X)-\mu \times 1&=\lim _{c\to +\infty }\int _{\mu -c}^{\mu +c}xf(x)\,\mathrm {d} x-\mu \lim _{c\to +\infty }\int _{\mu -c}^{\mu +c}f(x)\,\mathrm {d} x\\&=\lim _{c\to +\infty }\int _{\mu -c}^{\mu +c}(x-\mu )f(x)\,\mathrm {d} x\\&=\lim _{c\to +\infty }\int _{-c}^{c}yf(y+\mu )\,\mathrm {d} y\\&=\lim _{c\to +\infty }0\\&=0\end{aligned}}$
car la fonction $y\mapsto yf(y+\mu )$ est impaire.
On montre aussi (admis) que l'écart-type est égal à $\sigma$.

## Loi normale centrée réduite

La loi normale d'espérance $\mu =0$ et d'écart-type $\sigma =1$ est appelée la loi normale centrée réduite.
On appelle loi normale centrée réduite, la loi de probabilité dont la densité est donnée par :
$f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x^{2}}{2}}}$.

## Relation entre loi normale et loi normale centrée réduite

La loi normale dans le cas le plus général, c'est-à-dire dont la fonction densité de probabilité est :
    $f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$,
n'est pas facile à étudier du fait que l'on ne connait pas la primitive de la fonction $f$. Heureusement, on se ramène très facilement à une loi normale centrée réduite en faisant le changement de variable :
    $T={\frac {X-\mu }{\sigma }}$.
On a, en effet, la propriété suivante :
Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$, alors la variable aléatoire $T$ définie par :
    $T={\frac {X-\mu }{\sigma }}$
suit une loi normale centrée réduite.
Cette propriété permet de simplifier l'étude d'une loi normale quelconque en la ramenant à une loi normale centrée réduite. Par exemple, à l'époque où les calculatrices n'existaient pas, on pouvait se contenter de tables sur la loi normale centrée réduite pour pouvoir étudier des phénomènes suivant une loi normale quelconque.

## Théorème de Moivre-Laplace

Nous avons le théorème suivant :
Soit $X_{n}$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale ${\mathcal {B}}(n;\,p)$. Soit $Z_{n}$ une autre variable aléatoire définie en fonction de $X_{n}$ par la relation :
    $Z_{n}={\frac {X_{n}-np}{\sqrt {np(1-p)}}}$.
Alors, pour tous réels $a$ et $b$, nous avons :
$\lim _{n\to \infty }P(a\leqslant Z_{n}\leqslant b)=\int _{a}^{b}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\mathrm {e} ^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\,\mathrm {d} t$.
Le changement de variable aléatoire :
$Z_{n}={\frac {X_{n}-np}{\sqrt {np(1-p)}}}$
est à rapprocher du changement de variable aléatoire :
$T={\frac {X-\mu }{\sigma }}$
vu au paragraphe précédent puisque pour une loi binomiale ${\mathcal {B}}(n;\,p)$, l'espérance $\mu$ et l'écart-type $\sigma$ sont donnés par :
* $\mu =np$
* $\sigma ={\sqrt {np(1-p)}}$
Le théorème précédent nous montre donc que la loi normale peut être vue comme la limite d'une loi binomiale lorsque n tend vers $+\infty$. Ceci est une propriété appréciable dans la mesure où la loi binomiale est d'autant plus difficile à calculer que la valeur de n est élevée.

## Intervalles symétriques

La loi normale exprime comment fluctue une variable aléatoire autour d'une valeur moyenne $\mu$. Nous sommes alors intéressés par la probabilité qu'a la variable aléatoire de sortir d'un intervalle symétrique par rapport à cette valeur $\mu$.
Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite. Soit $\alpha$ un réel compris entre $0$ et $1$ (exprimant une probabilité). Il existe un unique réel positif $u_{\alpha }$ tel que :
    $P(-u_{\alpha }\leqslant X\leqslant u_{\alpha })=1-\alpha$.
Autrement dit $\alpha$ exprime la probabilité de sortir d'un intervalle $[-u_{\alpha },\,u_{\alpha }]$, symétrique par rapport à l'origine.
Nous connaissons en général par cœur les deux valeurs suivantes :
* $u_{0{,}05}\simeq 1{,}96$ ;
* $u_{0{,}01}\simeq 2{,}58$.
Nous retrouverons cette notion d'intervalle symétrique par rapport à une valeur donnée dans l'étude sur l'échantillonnage et l'estimation.
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