# Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Les torseurs
## Notion d'équiprojectivité d'un champ de vecteurs dans un espace affine euclidien tridimensionnel
### Espace affine euclidien tridimensionnel

Un espace tridimensionnel $\;{\mathcal {E}}\;$ est dit $\bullet \;$affine si on peut y définir le parallélisme ainsi que la notion de barycentre et Un espace tridimensionnel $\;\color {transparent}{\mathcal {E}}\;$ est dit $\bullet \;$euclidien si la « direction de l'espace affine » est un espace $\;\mathbb {R} -$vectoriel dans lequel on définit Un espace tridimensionnel $\;\color {transparent}{\mathcal {E}}\;$ est dit $\color {transparent}{\bullet }\;$euclidien un produit scalaire permettant de déterminer la distance entre deux points de l'espace affine et Un espace tridimensionnel $\;\color {transparent}{\mathcal {E}}\;$ est dit $\color {transparent}{\bullet }\;$euclidien un produit scalaire permettant de déterminer l'angle entre deux bipoints.

### Champ de vecteurs dans un espace affine euclidien tridimensionnel

Un champ de vecteurs d'un espace affine euclidien tridimensionnel a été introduit dans le paragraphe « définition intrinsèque d'un champ (ou d'une fonction) vectoriel(le) de l'espace » du chap.$13$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », sa définition est rappelée ci-dessous :
$\;{\vec {f}}\;$
$\;M\;$
$\;{\mathcal {E}}\;$
$\;M\;{\overset {\vec {f}}{\rightarrow }}\;{\vec {f}}(M)\in {\mathcal {V}},\;\forall \;M\in {\mathcal {E}}\;$
$\;{\mathcal {V}}\;$
$\;\mathbb {R} -$
$\;{\mathcal {E}}$

### Définition de l'équiprojectivité d'un champ de vecteurs d'un espace affine euclidien tridimensionnel

$\;{\vec {f}}(M)\;$
$\;M\in {\mathcal {E}}\;$
$\;\forall \;\left(M\,,\,N\right)\in {\mathcal {E}}^{2},\;{\vec {f}}(M)\cdot {\overrightarrow {MN}}={\vec {f}}(N)\cdot {\overrightarrow {MN}}$
$\;u\;$
$\;\forall \;\left(M\,,\,N\right)\in {\mathcal {E}}^{2},\;{\vec {f}}(N)={\vec {f}}(M)+u\!\left({\overrightarrow {MN}}\right)$

## Notion de torseur
### Domaine pratique d'utilisation de torseurs

Les torseurs sont essentiellement utilisés en mécanique $\;{\big$et plus particulièrement en mécanique du solide${\big )}$, ils servent à modéliser des champs de vecteurs possédant des propriétés particulières comme
* le champ de vitesses d'un solide défini en chacun des points de ce dernier $\;{\big$les propriétés particulières traduisant le fait que la distance entre deux points quelconques du solide reste constante${\big ]}\;$ ou
* le champ de moments de forces de même source appliquées en chacun des points d'un solide $\;{\big$ici encore les propriétés particulières traduisent le fait que les points d'application des forces restent à une distance constante les uns des autres${\big ]}\;$ ou
* $\;\ldots \;$

### Définition d'un torseur

$\;{\vec {t}}\;$
$\;{\mathcal {E}}\;$
$\;{\mathcal {T}}\;$
$\;{\mathcal {E}}\;$
$\;{\mathcal {V}}$
$\;{\big$
$\;{\mathcal {E}}{\big ]}\;$
$\;\forall \;M\in {\mathcal {E}}\;$
$M\;{\overset {\mathcal {T}}{\rightarrow }}\;{\mathcal {T}}(M)={\vec {t}}_{M}\in {\mathcal {V}}\;$
$\;\forall \;\left(M\,,\,N\right)\in {\mathcal {E}}^{2}\;$
${\vec {t}}_{M}\cdot {\overrightarrow {MN}}={\vec {t}}_{N}\cdot {\overrightarrow {MN}}\;$
Appellation : $\;{\mathcal {T}}(M)\;$ où $\;M\in {\mathcal {E}}\;$ est appelé « moment du torseur $\;{\mathcal {T}}\;$ au point $\;M\;$», c'est donc un élément de $\;{\mathcal {V}}$ $\;{\big$direction de $\;{\mathcal {E}}{\big ]}$, Appellation : $\;\color {transparent}{{\mathcal {T}}(M)}\;$ où $\;\color {transparent}{M\in {\mathcal {E}}}\;$ est appelé « moment du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ au point $\;\color {transparent}{M}\;$», le torseur $\;{\mathcal {T}}\;$ étant une application de $\;{\mathcal {E}}\;$ dans $\;{\mathcal {V}}$ $\;{\big$direction de $\;{\mathcal {E}}{\big ]}$.

## Propriétés d'un torseur
### Notion de résultante d'un torseur

$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\mathcal {T}}\;$
$\;{\mathcal {E}}$
$\;{\vec {R}}\;$
$\;{\mathcal {V}}$
$\;{\big$
$\;{\mathcal {E}}{\big ]}\;$
$\;\forall \;\left(M\,,\,N\right)\in {\mathcal {E}}^{2},\quad {\mathcal {T}}(N)={\mathcal {T}}(M)+{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {MN}}\;$
$\;{\vec {R}}\;$
$\;{\mathcal {T}}\;$
$\;{\mathcal {E}}\;$
$\;{\mathcal {V}}$
$\;{\big$
$\;{\mathcal {E}}{\big ]}\;$
$\;\left(A\,,\,{\vec {R}}\right)\in {\mathcal {E}}\times {\mathcal {V}}\;$
$\quad \forall \;M\in {\mathcal {E}},\;{\mathcal {T}}(M)={\mathcal {T}}(A)+{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {AM}}$
$\;{\mathcal {T}}\;$
$\;{\mathcal {E}}\;$
$\;{\vec {R}}\;$
Remarque : D'après la relation de Varignon, on constate que $\;{\vec {R}}\;$ d'une part et $\;\left\lbrace {\mathcal {T}}(M)\,,\,{\mathcal {T}}(N)\right\rbrace \;$ d'autre part ne se comportent pas de la même façon lors d'un changement d'orientation de $\;{\mathcal {E}}\;$, Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs suivant le comportement comparé de $\;{\vec {R}}\;$ et de $\;{\overrightarrow {MN}}\;$ ${\Big{\overrightarrow {MN}}$, par construction, ne dépendant pas de l'orientation de l'espace Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs suivant le comportement comparé de $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ et de $\;\color {transparent}{\overrightarrow {MN}}\;$ $\color {transparent}{{\Big{\overrightarrow {MN}}}$, est nécessairement un vecteur polaire $\;{\big$ou vrai vecteur${\big )}\;$${\Big ]}$ : Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs $\blacktriangleright \;$le 1er type de torseur correspondant à $\;{\vec {R}}\;$ ne dépendant pas de l'orientation de l'espace affine $\Rightarrow$ $\;{\vec {R}}\;$ est un vecteur polaire Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$le 1er type de torseur correspondant à $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ ne dépendant pas de l'orientation de l'espace affine $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ ${\big$ou vrai vecteur${\big )}\;$, Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$le 1er type de torseur $\succ \;$$\;\left\lbrace {\vec {R}}\,,\,{\overrightarrow {MN}}\right\rbrace \;$ étant des vecteurs polaires $\;{\big$ou vrais vecteurs${\big )}\;$, Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$le 1er type de torseur $\color {transparent}{\succ }\;$$\;\color {transparent}{{\vec {R}}\,,\,{\overrightarrow {MN}}}\;$ étant des vecteurs ${\big$c.-à-d. indépendants de l'orientation de l'espace affine${\big )}\;$ $\Rightarrow$ Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$le 1er type de torseur $\color {transparent}{\succ }\;$$\;{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {MN}}\;$ est un vecteur axial $\;{\big$ou pseudo-vecteur${\big )}\;$ car la multiplication vectorielle Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$le 1er type de torseur $\color {transparent}{\succ }\;$$\;\color {transparent}{{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {MN}}}\;$ est un vecteur axial dépend de l'orientation de l'espace affine et Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$le 1er type de torseur $\succ \;$$\;\left\lbrace {\mathcal {T}}(M)\,,\,{\mathcal {T}}(N)\right\rbrace \;$ ${\big$comme $\;{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {MN}}{\big ]}\;$ sont des vecteurs axiaux $\;{\big$ou pseudo-vecteurs${\big )}\;$ car Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$le 1er type de torseur $\color {transparent}{\succ }\;$$\;\color {transparent}{{\mathcal {T}}(M)\,,\,{\mathcal {T}}(N)}\;$ $\color {transparent}{\big$comme $\;\color {transparent}{{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {MN}}{\big ]}}\;$ sont dépendants de l'orientation de l'espace affine, Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs $\blacktriangleright \;$le 2ème type de torseur correspondant à $\;{\vec {R}}\;$ dépendant de l'orientation de l'espace affine $\Rightarrow$ $\;{\vec {R}}\;$ est un vecteur axial Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$le 2ème type de torseur correspondant à $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ dépendant de l'orientation de l'espace affine $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ ${\big$ou pseudo-vecteur${\big )}\;$ et Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$le 2ème type de torseur comme $\;{\overrightarrow {MN}}\;$ est un vecteur polaire $\;{\big$ou vrai vecteur${\big )}\;$ on en déduit que, Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$le 2ème type de torseur comme $\;\color {transparent}{\overrightarrow {MN}}\;$ ${\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {MN}}\;$ est un vecteur polaire $\;{\big$ou vrai vecteur${\big )}\;$ car la multiplication Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$le 2ème type de torseur comme $\;\color {transparent}{\overrightarrow {MN}}\;$ $\;\color {transparent}{{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {MN}}}\;$ est vectorielle dépend de l'orientation de l'espace affine, en résumé : Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$le 2ème type de torseur $\succ \;$$\left\lbrace {\mathcal {T}}(M)\,,\,{\mathcal {T}}(N)\right\rbrace \;$ ${\big$comme $\;{\overrightarrow {MN}}\;$ et $\;{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {MN}}{\big ]}\;$ sont des vecteurs polaires Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$le 2ème type de torseur $\color {transparent}{\succ }\;$$\color {transparent}{\left\lbrace {\mathcal {T}}(M)\,,\,{\mathcal {T}}(N)\right\rbrace }\;$ $\color {transparent}{\big$comme $\;\color {transparent}{\overrightarrow {MN}}\;$ et $\;\color {transparent}{{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {MN}}{\big ]}}\;$ sont des ${\big$ou vrais vecteurs${\big )}\;$ car Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$le 2ème type de torseur $\color {transparent}{\succ }\;$$\color {transparent}{\left\lbrace {\mathcal {T}}(M)\,,\,{\mathcal {T}}(N)\right\rbrace }\;$ $\color {transparent}{\big$comme $\;\color {transparent}{\overrightarrow {MN}}\;$ et $\;\color {transparent}{{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {MN}}{\big ]}}\;$ indépendants de l'orientation de l'espace et Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$le 2ème type de torseur $\succ \;$${\vec {R}}\;$ est un vecteur axial $\;{\big$ou pseudo-vecteur${\big )}\;$, dépendant de l'orientation de l'espace affine.

### Réduction d'un torseur en un point quelconque de l'espace affine euclidien tridimensionnel sur lequel il est défini

Un torseur $\;{\mathcal {T}}\;$ défini sur l'espace affine euclidien tridimensionnel $\;{\mathcal {E}}\;$ est déterminé par un couple de deux vecteurs $\;\in \;$ chacun à $\;{\mathcal {V}}$ $\;{\big$direction de $\;{\mathcal {E}}{\big ]}$ ; on distingue deux types de torseurs suivant que sa résultante $\;{\vec {R}}\;$ est un vecteur polaire $\;{\big$ou vrai vecteur${\big )}\;$ ou on distingue deux types de torseurs suivant que sa résultante $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ est un vecteur axial $\;{\big$ou pseudo-vecteur${\big )}\;$ :

#### Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire (ou vrai vecteur)

Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire$\;{\big$ou vrai vecteur${\big )}\;$ : le torseur $\;{\mathcal {T}}\;$ défini sur l'espace affine euclidien tridimensionnel $\;{\mathcal {E}}\;$ Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire$\;\color {transparent}{\big$ou vrai vecteur$\color {transparent}{\big )}\;$ : le torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ étant déterminé par un couple de deux vecteurs $\;\left\lbrace {\vec {R}}\,,\,{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\right\rbrace \in {\mathcal {V}}^{2}$ $\;{\big{\mathcal {V}}$ étant la direction de $\;{\mathcal {E}}{\big ]}$, Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire$\;\color {transparent}{\big$ou vrai vecteur$\color {transparent}{\big )}\;$ : on distingue chacun d'eux suivant leur dépendance à l'orientation de l'espace de la façon suivante : Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire$\;\color {transparent}{\big$ou vrai vecteur$\color {transparent}{\big )}\;$ : on distingue $\bullet \;$un 1er vrai vecteur $\;{\big$ou vecteur polaire${\big )}\;$ $\;{\vec {R}}\;$ indépendant du point $\;A\;$ en lequel $\;{\mathcal {T}}\;$ est appliqué et Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire$\;\color {transparent}{\big$ou vrai vecteur$\color {transparent}{\big )}\;$ : on distingue $\bullet \;$un 2nd pseudo-vecteur $\;{\big$ou vecteur axial${\big )}\;$ $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\;$ dépendant a priori du point $\;A\;$ où $\;{\mathcal {T}}\;$ est appliqué ;  Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire$\;\color {transparent}{\big$ou vrai vecteur$\color {transparent}{\big )}\;$ : ce couple d'un vrai vecteur et d'un pseudo-vecteur $\;\left({\vec {R}}\,,\,{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\right)\in {\mathcal {V}}^{2}\;$ Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire$\;\color {transparent}{\big$ou vrai vecteur$\color {transparent}{\big )}\;$ : ce couple d'un vrai vecteur et d'un pseudo-vecteur constitue « la réduction du torseur$\;{\mathcal {T}}\;$au point$\;A\in {\mathcal {E}}\;$ », Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire$\;\color {transparent}{\big$ou vrai vecteur$\color {transparent}{\big )}\;$ : ce couple $\bullet \;$le 1er vecteur « polaire » $\;{\vec {R}}\;$ étant la résultante du torseur et Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire$\;\color {transparent}{\big$ou vrai vecteur$\color {transparent}{\big )}\;$ : ce couple $\bullet \;$le 2nd vecteur « axial » $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\;$ le moment du torseur au point$\;A$,  Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire$\;\color {transparent}{\big$ou vrai vecteur$\color {transparent}{\big )}\;$ : cette réduction du torseur $\;{\mathcal {T}}\;$ en $\;A\in {\mathcal {E}}\;$ s'écrivant symboliquement $\;{\mathcal {T}}=\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {R}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\end{array}}\right\rbrace _{A}\;$$^,$.
Remarques : D'après la note « $^{24}$ », l'ensemble des torseurs formant un espace vectoriel de dimension six, Remarques : D'après la note « $^{24}$ », il est possible de décrire un torseur, après avoir choisi une base orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\,,\,{\vec {u}}_{l}\,,\,{\vec {u}}_{m}\,,\,{\vec {u}}_{n}\right\rbrace \;$ de cet espace vectoriel de dimension six, Remarques : D'après la note « $^{24}$ », il est possible de décrire un torseur, par les six composantes de sa réduction en un point $\;A\;$ quelconque de $\;{\mathcal {E}}\;$, Remarques : D'après la note « $^{24}$ », il est possible de décrire un torseur, par ces six composantes constituant les coordonnées plückeriennes de la réduction du torseur au point$\;A\in {\mathcal {E}}\;$ soit, Remarques : D'après la note « $^{24}$ », il est possible de décrire avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}{\vec {R}}\!\!\!&=&\!\!\!X\;{\vec {u}}_{x}+Y\;{\vec {u}}_{y}+Z\;{\vec {u}}_{z}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\!\!\!&=&\!\!\!L_{A}\;{\vec {u}}_{l}+M_{A}\;{\vec {u}}_{m}+N_{A}\;{\vec {u}}_{m}\end{array}}\right\rbrace \;$$^,$, il est possible de réécrire la réduction du torseur $\;{\mathcal {T}}\;$ au point $\;A\in {\mathcal {E}}\;$ par Remarques : D'après la note « $^{24}$ », il est possible de décrire un torseur, par ces six composantes constituant ses coordonnées plückeriennes $\;{\mathcal {T}}=\left\lbrace {\begin{array}{l l}X&L_{A}\\Y&M_{A}\\Z&N_{A}\end{array}}\right\rbrace _{A,\;\left({\begin{array}{l l}{\vec {u}}_{x}&{\vec {u}}_{l}\\{\vec {u}}_{y}&{\vec {u}}_{m}\\{\vec {u}}_{z}&{\vec {u}}_{n}\end{array}}\right)}$.
Remarques : D'après la relation de Varignon, la connaissance de « la réduction du torseur $\;{\mathcal {T}}\;$ en un point quelconque $\;A\in {\mathcal {E}}\;$ » permet de déduire le torseur en n'importe quel point $\;P\in {\mathcal {E}}\;$ selon Remarques : D'après la relation de Varignon, la connaissance de « la réduction du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ en un point quelconque $\;\color {transparent}{A\in {\mathcal {E}}}\;$ » permet de déduire le torseur $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}+{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {AM}}\;$$^,$.
Exemples : $\bullet \;$les torseurs statiques, voir le paragraphe « torseur statique » plus loin dans ce chapitre, la résultante étant appelée résultante dynamique notée $\;{\vec {F}}_{\text{ext}}\;$ et Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$les torseurs statiques, voir le paragraphe « torseur statique » plus loin dans ce chapitre, le moment résultant en $\;A\;$ appelé moment résultant dynamique en $\;A$, noté $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}\;$ ; Exemples : $\bullet \;$les torseurs cinétiques des systèmes fermés définis dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ fixé, voir le paragraphe « torseur cinématique » plus loin dans ce chapitre, Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$les torseurs cinétiques des systèmes fermés définis dans un référentiel $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ fixé, la résultante étant appelée résultante cinétique, notée $\;{\vec {P}}_{/\,{\mathcal {R}}}(t)\;$ et Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$les torseurs cinétiques des systèmes fermés définis dans un référentiel $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ fixé, le moment résultant en $\;A\;$ appelé moment cinétique résultant en $\;A$, noté $\;{\vec {\sigma }}_{\!A\,/\,{\mathcal {R}}}(t)\;$, Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$les torseurs cinétiques des systèmes fermés définis dans un référentiel $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ fixé, la relation de Varignon s'écrivant en $\;P\;$ selon $\;{\vec {\sigma }}_{\!P\,/\,{\mathcal {R}}}(t)={\vec {\sigma }}_{\!A\,/\,{\mathcal {R}}}(t)+{\vec {P}}_{/\,{\mathcal {R}}}(t)\wedge {\overrightarrow {AP}}(t)\;$ ; Exemples : $\bullet \;$les torseurs dynamiques des systèmes fermés définis dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ fixé, voir le paragraphe « torseur dynamique » plus loin dans ce chapitre, Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$les torseurs dynamiques des systèmes fermés définis dans un référentiel $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ fixé, la résultante étant appelée, par certains, quantité d'accélération$^,$, notée $\;\left({\dfrac {d\,{\vec {P}}_{/\,{\mathcal {R}}}}{dt}}\right)_{\!{\mathcal {R}}}(t)\;$ et Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$les torseurs dynamiques des systèmes fermés définis dans un référentiel $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ fixé, le moment résultant en $\;A\;$ ${\big$fixe dans $\;{\mathcal {R}}{\big )}$, appelé moment résultant du torseur dynamique en $\;A$, Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$les torseurs dynamiques des systèmes fermés définis dans un référentiel $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ fixé, le moment résultant en $\;\color {transparent}{A}\;$ $\color {transparent}{\big$fixe dans $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}{\big )}}$, noté $\;\left({\dfrac {d\,{\vec {\sigma }}_{\!A\,/\,{\mathcal {R}}}}{dt}}\right)_{\!{\mathcal {R}}}(t)\;$$^,$, Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$les torseurs dynamiques des systèmes fermés définis dans un référentiel $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ fixé, la relation de Varignon s'écrivant en $\;P\;$ ${\big$fixe dans $\;{\mathcal {R}}{\big )}$, $\;{\bigA\;$ étant aussi fixe dans $\;{\mathcal {R}}{\big )}$, selon Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$les torseurs dynamiques des systèmes fermés définis dans un référentiel $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ fixé, la relation de Varignon s'écrivant $\;{\dfrac {d\,{\vec {\sigma }}_{\!P\,/\,{\mathcal {R}}}}{dt}}(t)={\dfrac {d\,{\vec {\sigma }}_{\!A\,/\,{\mathcal {R}}}}{dt}}(t)+{\dfrac {d\,{\vec {P}}_{/\,{\mathcal {R}}}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {AP}}(t)\;$.

#### Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axial (ou pseudo-vecteur)

Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axial$\;{\big$ou pseudo-vecteur${\big )}\;$ : le torseur $\;{\mathcal {T}}\;$ défini sur l'espace affine euclidien tridimensionnel $\;{\mathcal {E}}\;$ Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axial$\;\color {transparent}{\big$ou pseudo-vecteur$\color {transparent}{\big )}\;$ : le torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ étant déterminé par un couple de deux vecteurs $\;\left\lbrace {\vec {R}}\,,\,{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\right\rbrace \in {\mathcal {V}}^{2}$ $\;{\big{\mathcal {V}}$ étant la direction de $\;{\mathcal {E}}{\big ]}$, Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axial$\;\color {transparent}{\big$ou pseudo-vecteur$\color {transparent}{\big )}\;$ : on distingue chacun d'eux suivant leur dépendance à l'orientation de l'espace de la façon suivante : Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axial$\;\color {transparent}{\big$ou pseudo-vecteur$\color {transparent}{\big )}\;$ : on distingue $\bullet \;$un 1er pseudo-vecteur $\;{\big$ou vecteur axial${\big )}\;$ $\;{\vec {R}}\;$ indépendant du point $\;A\;$ en lequel $\;{\mathcal {T}}\;$ est appliqué et Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axial$\;\color {transparent}{\big$ou pseudo-vecteur$\color {transparent}{\big )}\;$ : on distingue $\bullet \;$un 2nd vrai vecteur $\;{\big$ou vecteur polaire${\big )}\;$ $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\;$ dépendant a priori du point $\;A\;$ où $\;{\mathcal {T}}\;$ est appliqué ; Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axial$\;\color {transparent}{\big$ou pseudo-vecteur$\color {transparent}{\big )}\;$ : ce couple d'un pseudo-vecteur et d'un vrai vecteur $\;\left({\vec {R}}\,,\,{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\right)\in {\mathcal {V}}^{2}\;$ Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axial$\;\color {transparent}{\big$ou pseudo-vecteur$\color {transparent}{\big )}\;$ : ce couple d'un pseudo-vecteur et d'un vrai vecteur constitue « la réduction du torseur$\;{\mathcal {T}}\;$au point$\;A\in {\mathcal {E}}\;$ », Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axial$\;\color {transparent}{\big$ou pseudo-vecteur$\color {transparent}{\big )}\;$ : ce couple $\bullet \;$le 1er vecteur « axial » $\;{\vec {R}}\;$ étant la résultante du torseur et Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axial$\;\color {transparent}{\big$ou pseudo-vecteur$\color {transparent}{\big )}\;$ : ce couple $\bullet \;$le 2nd vecteur « polaire » $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\;$ le moment du torseur au point$\;A$,  Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axial$\;\color {transparent}{\big$ou pseudo-vecteur$\color {transparent}{\big )}\;$ : cette réduction du torseur $\;{\mathcal {T}}\;$ en $\;A\in {\mathcal {E}}\;$ s'écrivant symboliquement $\;{\mathcal {T}}=\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {R}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\end{array}}\right\rbrace _{A}\;$$^,$.
Remarques : D'après la note « $^{24}$ », l'ensemble des torseurs formant un espace vectoriel de dimension six, Remarques : D'après la note « $^{24}$ », il est possible de décrire un torseur, après avoir choisi une base orthonormée $\;\left\lbrace {{\vec {u}}'}_{x}\,,\,{{\vec {u}}'}_{y}\,,\,{{\vec {u}}'}_{z}\,,\,{\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ de cet espace vectoriel de dimension six, Remarques : D'après la note « $^{24}$ », il est possible de décrire un torseur, par les six composantes de sa réduction en un point $\;A\;$ quelconque de $\;{\mathcal {E}}\;$, Remarques : D'après la note « $^{24}$ », il est possible de décrire un torseur, par ces six composantes constituant les coordonnées plückeriennes de la réduction du torseur au point$\;A\in {\mathcal {E}}\;$ soit, Remarques : D'après la note « $^{24}$ », il est possible de décrire avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}{\vec {R}}\!\!\!&=&\!\!\!X\;{{\vec {u}}'}_{x}+Y\;{{\vec {u}}'}_{y}+Z\;{{\vec {u}}'}_{z}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\!\!\!&=&\!\!\!L_{A}\;{\vec {u}}_{x}+M_{A}\;{\vec {u}}_{y}+N_{A}\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right\rbrace \;$$^,$, il est possible de réécrire la réduction du torseur $\;{\mathcal {T}}\;$ au point $\;A\in {\mathcal {E}}\;$ par Remarques : D'après la note « $^{24}$ », il est possible de décrire un torseur, par ces six composantes constituant ses coordonnées plückeriennes $\;{\mathcal {T}}=\left\lbrace {\begin{array}{l l}X&L_{A}\\Y&M_{A}\\Z&N_{A}\end{array}}\right\rbrace _{A,\;\left({\begin{array}{l}{{\vec {u}}'}_{x}&{\vec {u}}_{x}\\{{\vec {u}}'}_{y}&{\vec {u}}_{y}\\{{\vec {u}}'}_{z}&{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right)}$.
Remarques : D'après la relation de Varignon, la connaissance de « la réduction du torseur $\;{\mathcal {T}}\;$ en un point quelconque $\;A\in {\mathcal {E}}\;$ » permet de déduire le torseur en n'importe quel point $\;P\in {\mathcal {E}}\;$ selon Remarques : D'après la relation de Varignon, la connaissance de « la réduction du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ en un point quelconque $\;\color {transparent}{A\in {\mathcal {E}}}\;$ » permet de déduire le torseur $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}+{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {AM}}\;$$^,$.
Exemple : les torseurs cinématiques des solides définis dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ fixé, voir le paragraphe « torseur cinématique » plus loin dans ce chapitre, Exemple : les torseurs cinématiques des solides définis dans un référentiel $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ fixé, la résultante étant appelée vecteur rotation instantanée notée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$, Exemple : les torseurs cinématiques des solides définis dans un référentiel $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ fixé, le moment résultant en un point $\;A\;$ du solide étant appelé vecteur vitesse de $\;A\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$, Exemple : les torseurs cinématiques des solides définis dans un référentiel $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ fixé, le moment résultant en un point $\;\color {transparent}{A}\;$ du solide étant noté $\;{\vec {V}}_{A\,/\,{\mathcal {R}}}(t)\;$, Exemple : les torseurs cinématiques des solides définis dans un référentiel $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ fixé, la relation de Varignon s'écrivant en $\;P$, point du solide, selon $\;{\vec {V}}_{P\,/\,{\mathcal {R}}}(t)={\vec {V}}_{A\,/\,{\mathcal {R}}}(t)+{\overrightarrow {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AP}}(t)\;$

### Diverses opérations sur les torseurs
#### Égalité de torseurs

Deux torseurs $\;{\mathcal {T}}_{1}\;$ et $\;{\mathcal {T}}_{2}\;$ sont égaux ssi leurs éléments de réduction au même point $\;A\;$ sont égaux soit «$\;{\mathcal {T}}_{1}={\mathcal {T}}_{2}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {R}}_{1}={\vec {R}}_{2}\\{\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{1}}}_{A}={\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{2}}}_{A}\end{array}}\right\rbrace _{A}\;$».

#### Somme de deux torseurs

La somme de deux torseurs $\;{\mathcal {T}}_{1}\;$ et $\;{\mathcal {T}}_{2}\;$ est le torseur dont les éléments de réduction en un point $\;A\;$ sont la somme des éléments de réduction de chacun des torseurs au même point $\;A\;$ soit
$\;{\mathcal {T}}={\mathcal {T}}_{1}+{\mathcal {T}}_{2}\;$
$\Leftrightarrow$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}{\vec {R}}\!\!&=&\!\!{\vec {R}}_{1}+{\vec {R}}_{2}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\!\!&=&\!\!{\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{1}}}_{A}+{\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{2}}}_{A}\end{array}}\right\rbrace _{A}\;$

#### Multiplication d'un torseur par un scalaire

Soit $\;{\mathcal {T}}\;$ un torseur quelconque, $\;\forall \;\lambda \in \mathbb {R}$, le torseur $\;\lambda \times {\mathcal {T}}\;$ est le torseur dont les éléments de réduction en un point $\;A\;$ sont $\;\lambda \;$ fois les éléments de réduction du torseur au même point $\;A\;$ soit
$\;{\mathcal {T}}_{(\times \,\lambda )}=\lambda \times {\mathcal {T}}\;$
$\Leftrightarrow$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}{\vec {R}}_{(\times \,\lambda )}\!\!&=&\!\!\lambda \times {\vec {R}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{(\times \,\lambda )_{A}}\!\!&=&\!\!\lambda \times {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\end{array}}\right\rbrace _{A}\;$

#### Nullité d'un torseur

Un torseur $\;{\mathcal {T}}\;$ est nul ssi ses éléments de réduction en un point $\;A\;$ sont tous deux nuls soit «$\;{\mathcal {T}}=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}{\vec {R}}\!\!&=&\!\!{\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\!\!&=&\!\!{\overrightarrow {0}}\end{array}}\right\rbrace _{A}\;$».

### Invariants d'un torseur

$\;{\mathcal {T}}\;$
$\;{\mathcal {E}}\;$
$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$
Ce sont : $\bullet \;$la résultante$\;{\vec {R}}\;$ du torseur $\;{\mathcal {T}}$, Ce sont : $\bullet \;$la projection du moment $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P},\;\forall P\,\in \,{\mathcal {E}}\;$ du torseur $\;{\mathcal {T}}$ sur sa résultante $\;{\vec {R}}\;$ soit «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}},\;\forall \,P\,\in {\mathcal {E}}\;$» appelée « invariant scalaire du torseur » Ce sont : $\color {transparent}{\bullet }\;$la projection du moment $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P},\;\forall P\,\in \,{\mathcal {E}}}\;$ du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}$ sur sa résultante $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ ${\bigg$se démontre d'après la relation de Varignon : $\;\forall \;\left(P\,,\,Q\right)\in {\mathcal {E}}^{2},\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}+{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {PQ}}\;$ $\Rightarrow$ Ce sont : $\color {transparent}{\bullet }\;$la projection du moment $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P},\;\forall P\,\in \,{\mathcal {E}}}\;$ du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}$ sur sa résultante $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ $\color {transparent}{\bigg$$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\cdot {\vec {R}}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}\;{\cancel {+\left[{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {PQ}}\right]\cdot {\vec {R}}}}\;$${\bigg ]}\;$ et Ce sont : $\bullet \;$la relation d'équiprojectivité «$\;\forall \;\left(P\,,\,Q\right)\in {\mathcal {E}}^{2},\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\overrightarrow {PQ}}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\cdot {\overrightarrow {PQ}}\;$» $\;{\big$contenu dans la définition d'un torseur${\big ]}$.

### Notion d'axe central d'un torseur
#### Définition de point central d'un torseur

$\;A\in {\mathcal {E}}\;$
$\;{\mathcal {T}}\;$
$\;{\vec {R}}\;$
$\;A\;$
$\;{\mathcal {T}}\;$
$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\wedge {\vec {R}}={\vec {0}}\;$
$\Leftrightarrow$
$\;\exists \;\lambda \in \mathbb {R} ,\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}=\lambda \;{\vec {R}}$

#### Définition d'axe central d'un torseur

$\;\Delta _{\mathcal {T}}\;$
$\;{\mathcal {T}}\;$
$\;{\mathcal {T}}\;$
$\;\Delta _{\mathcal {T}}\;$
$\;{\mathcal {T}}\;$
$\Leftrightarrow$
$\;\Delta _{\mathcal {T}}=\left\lbrace A\in {\mathcal {E}},\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\wedge {\vec {R}}={\vec {0}}\right\rbrace \;$

#### Propriétés du torseur sur son axe central

Si la résultante $\;{\vec {R}}\;$ du torseur $\;{\mathcal {T}}\;$ est $\;\neq {\vec {0}}$, $\bullet \;$son axe central $\;\Delta _{\mathcal {T}}\;$ est une droite de vecteur directeur $\;{\vec {R}}\;$ et dans la mesure où on admet l'existence d'un point central $\;A\;$ Si la résultante $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$son axe central $\;\color {transparent}{\Delta _{\mathcal {T}}}\;$ c'est la droite de vecteur directeur $\;{\vec {R}}\;$ issue de $\;A\;$ en effet, Si la résultante $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$son axe central $\;\color {transparent}{\Delta _{\mathcal {T}}}\;$ $\succ \;$d'après la relation de Varignon on peut écrire $\;\forall \;\left(P\,,\,Q\neq P\right)\in {\mathcal {E}}^{2},\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}+{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {PQ}}\;$ dont on déduit Si la résultante $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$son axe central $\;\color {transparent}{\Delta _{\mathcal {T}}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$${\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\wedge {\vec {R}}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\wedge {\vec {R}}+\left[{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {PQ}}\right]\wedge {\vec {R}}\;$ ou, en utilisant une formule du double produit vectoriel Si la résultante $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$son axe central $\;\color {transparent}{\Delta _{\mathcal {T}}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$${\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\wedge {\vec {R}}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\wedge {\vec {R}}-\left[{\overrightarrow {PQ}}\cdot {\vec {R}}\right]{\vec {R}}+{\vec {R}}^{2}\;{\overrightarrow {PQ}}\;$ et par suite, $\;\forall \;\left(P\,,\,Q\neq P\right)\in \Delta _{\mathcal {T}}$, $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\wedge {\vec {R}}={\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\wedge {\vec {R}}={\vec {0}}\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où Si la résultante $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}$, son $\color {transparent}{\bullet }\;$axe central $\;\color {transparent}{\Delta _{\mathcal {T}}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$${\cancel {{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\wedge {\vec {R}}}}={\cancel {{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\wedge {\vec {R}}}}-\left[{\overrightarrow {PQ}}\cdot {\vec {R}}\right]{\vec {R}}+{\vec {R}}^{2}\;{\overrightarrow {PQ}}\;$ avec $\;{\overrightarrow {PQ}}\neq {\vec {0}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\overrightarrow {PQ}}={\dfrac {{\overrightarrow {PQ}}\cdot {\vec {R}}}{{\vec {R}}^{2}}}\;{\vec {R}}\;$ établissant la propriété directe Si la résultante $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$son axe central $\;\color {transparent}{\Delta _{\mathcal {T}}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$« si $\;\left(P\,,\,Q\neq P\right)\in \Delta _{\mathcal {T}}$, alors ils sont sur une droite de vecteur directeur $\;{\vec {R}}\;$» ou encore Si la résultante $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$son axe central $\;\color {transparent}{\Delta _{\mathcal {T}}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$l'« ensemble des points centraux du torseur $\;{\mathcal {T}}\;$ est $\;\subset \;$ dans la droite de vecteur directeur $\;{\vec {R}}\;$ passant par $\;A\;$», Si la résultante $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$son axe central $\;\color {transparent}{\Delta _{\mathcal {T}}}\;$ $\succ \;$réciproquement, si $\;{\overrightarrow {AQ}}=\lambda \;{\vec {R}},\;\forall \lambda \in \mathbb {R} ^{*}\;$ avec $\;A\;$ point central dont l'existence est admise, Si la résultante $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$son axe central $\;\color {transparent}{\Delta _{\mathcal {T}}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$réciproquement, la relation de Varignon donne $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\;{\cancel {+\;{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {AQ}}}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\wedge {\vec {R}}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\wedge {\vec {R}}\;$ et par suite, Si la résultante $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$son axe central $\;\color {transparent}{\Delta _{\mathcal {T}}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$réciproquement, ${\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\wedge {\vec {R}}={\vec {0}}\;$ ${\bigA\;$ point central de $\;{\mathcal {T}}{\big )}\;$ $\Rightarrow$ ${\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\wedge {\vec {R}}={\vec {0}}\;$ c.-à-d. $\;Q\;$ est un point central de $\;{\mathcal {T}}$, Si la résultante $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$son axe central $\;\color {transparent}{\Delta _{\mathcal {T}}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$réciproquement, d'où l'« ensemble des points de la droite de vecteur directeur $\;{\vec {R}}\;$ passant par $\;A\;$ est $\;\subset \;$ dans l'axe central $\;\Delta _{\mathcal {T}}\;$», Si la résultante $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$son axe central $\;\color {transparent}{\Delta _{\mathcal {T}}}\;$ finalement « la droite de vecteur directeur $\;{\vec {R}}\;$ issue du point central $\;A$ $\;{\big$existence admise${\big )}\;$ est l'axe central $\;\Delta _{\mathcal {T}}\;$ du torseur $\;{\mathcal {T}}\;$» ;
Si la résultante $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}$, $\bullet \;$le moment du torseur$\;{\mathcal {T}}\;$est le même en tout point de l'axe central$\;\Delta _{\mathcal {T}}\;$ en effet, $\;\Delta _{\mathcal {T}}\;$ étant une droite de vecteur directeur $\;{\vec {R}}\;$ Si la résultante $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$le moment du torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$est le même en tout point de l'axe central$\;\color {transparent}{\Delta _{\mathcal {T}}}\;$ en effet, dans la mesure où on admet l'existence d'un point central $\;A\;$, Si la résultante $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$le moment du torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$est le même la relation de Varignon nous donne $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\;{\cancel {+\;{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {PQ}}}},\;\forall \;\left(P\,,\,Q\neq P\right)\in \Delta _{\mathcal {T}}\;$ C.Q.F.D. ;
Si la résultante $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}$, $\bullet \;$la norme du moment du torseur$\;{\mathcal {T}}\;$est minimale sur son axe central$\;\Delta _{\mathcal {T}}\;$ en effet, $\;\Delta _{\mathcal {T}}\;$ étant une droite de vecteur directeur $\;{\vec {R}}$ Si la résultante $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$la norme du moment du torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$est minimale sur son axe central$\;\color {transparent}{\Delta _{\mathcal {T}}}\;$ en effet, dans la mesure où on admet l'existence d'un point central $\;A\;$, Si la résultante $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$la norme du moment du torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$est minimale la relation de Varignon nous donne $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}+{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {PQ}}\;$ avec $\;P\in \Delta _{\mathcal {T}}$, $\;\forall \;Q\;\notin \;\Delta _{\mathcal {T}}$, Si la résultante $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$la norme du moment du torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$est minimale la relation de Varignon nous donne où $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\;$ est $\;\parallel \;$ à $\;{\vec {R}}\;$ et $\;{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {PQ}}$ $\;\perp \;$ à $\;{\vec {R}}\;$ donc à $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\;$ $\Rightarrow$ Si la résultante $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$la norme du moment du torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$est minimale la relation de Varignon nous donne $\Vert {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\Vert ^{2}=\Vert {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\Vert ^{2}+\Vert {\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {PQ}}\Vert ^{2}\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\forall \;Q\!\!&\notin \Delta _{\mathcal {T}}\\P\!\!&\in \Delta _{\mathcal {T}}\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où Si la résultante $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$la norme du moment du torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$est minimale la relation de Varignon nous donne $\Vert {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\Vert ^{2}>\Vert {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\Vert ^{2}\;$ car $\;\Vert {\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {PQ}}\Vert ^{2}\neq 0\;$ pour $\;\left\lbrace \!{\begin{array}{r l}\forall \;Q\!\!\!\!&\notin \Delta _{\mathcal {T}}\\P\!\!\!\!&\in \Delta _{\mathcal {T}}\end{array}}\!\right\rbrace$, Si la résultante $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$la norme du moment du torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$est minimale la relation de Varignon nous donne vrai $\;\forall \;P\;\in \Delta _{\mathcal {T}}$, le moment du torseur $\;{\mathcal {T}}\;$ Si la résultante $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$la norme du moment du torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$est minimale la relation de Varignon nous donne vrai $\;\color {transparent}{\forall \;P\;\in \Delta _{\mathcal {T}}}$, étant constant sur son axe central $\;\Delta _{\mathcal {T}}\;$ d'où Si la résultante $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$la norme du moment du torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$est minimale la relation de Varignon nous donne $\Vert {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\Vert ^{2}>\Vert {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\Vert ^{2},\;\left\lbrace \!{\begin{array}{r l}\forall \;Q\!\!\!\!&\notin \Delta _{\mathcal {T}}\\\forall \;P\!\!\!\!&\in \Delta _{\mathcal {T}}\end{array}}\!\right\rbrace \;$ C.Q.F.D..

## Torseurs particuliers et décomposition centrale d'un torseur quelconque
### Torseur nul

Le torseur nul $\;{\mathcal {N}}\;$ est le torseur dont les éléments de réduction en un point quelconque $\;P\in {\mathcal {E}}\;$ sont nuls soit $\;{\mathcal {N}}=\left\lbrace {\begin{array}{r l}{\vec {R}}\!\!\!\!&={\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\!\!\!\!&={\overrightarrow {0}}\end{array}}\right\rbrace _{P}\;$.

### Torseur couple
#### Définition d'un torseur couple

Un torseur couple $\;{\mathcal {C}}\;$ est un torseur pour lequel les éléments de réduction en n'importe quel point $\;P\;\in {\mathcal {E}}\;$ se réduisent à son moment non nul $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\;$ soit $\;\forall \;P\in {\mathcal {E}},\;\;{\mathcal {C}}=\left\lbrace {\begin{array}{r l}{\vec {R}}\!\!\!\!&={\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\!\!\!\!&\neq {\overrightarrow {0}}\end{array}}\right\rbrace _{P}$.

#### Propriétés d'un torseur couple

* « Le moment d'un torseur couple$\;{\mathcal {C}}\;$est constant en tout point$\;P\;\in {\mathcal {E}}\;$» en effet la relation de Varignon appliquée à $\;{\mathcal {C}}\;$ en $\;\forall \,\left(P\,,\,Q\neq P\right)\in {\mathcal {E}}^{2}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\;{\cancel {+\;{\vec {0}}\wedge {\overrightarrow {PQ}}}}\;$ soit « Le moment d'un torseur couple$\;\color {transparent}{\mathcal {C}}\;$est constant en tout point$\;\color {transparent}{P\;\in {\mathcal {E}}}\;$» en effet la relation de Varignon appliquée à $\;\color {transparent}{\mathcal {C}}\;$ en $\;\color {transparent}{\forall \,\left(P\,,\,Q\neq P\right)\in {\mathcal {E}}^{2}}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}={\overrightarrow {\text{cste}}}\;\;\forall \;P\;\in {\mathcal {E}}$ « Le moment d'un torseur couple$\;\color {transparent}{\mathcal {C}}\;$est constant en tout point$\;\color {transparent}{P\;\in {\mathcal {E}}}\;$» ${\big$une conséquence est qu'il est inutile de préciser en quel point les éléments de réduction du couple sont évalués, « Le moment d'un torseur couple$\;\color {transparent}{\mathcal {C}}\;$est constant en tout point$\;\color {transparent}{P\;\in {\mathcal {E}}}\;$» $\color {transparent}{\big$ainsi le moment du couple $\;{\mathcal {C}}\;$ sera-t-il simplement noté $\;{\mathcal {M}}\;$ sans ajouter $\;_{P}\;$ en indice précisant le point $\;P\;$ où il est évalué${\big ]}$ ;
* un torseur couple$\;{\mathcal {C}}\;$n'a pas d'axe central$\;\nexists \;\Delta _{\mathcal {C}}$, en effet l'existence d'un point central pour un torseur couple impliquerait qu'en ce point le moment du couple soit nul puisque colinéaire à sa résultante $\;{\vec {0}}$, un torseur couple$\;\color {transparent}{\mathcal {C}}\;$n'a pas d'axe central$\;\color {transparent}{\nexists \;\Delta _{\mathcal {C}}}$, en effet l'existence d'un point central pour un torseur couple impliquerait ce qui est impossible, le moment d'un torseur couple étant constant $\;\neq {\overrightarrow {0}}\;$.

#### Somme de deux couples

* La somme de deux couples$\;{\mathcal {C}}_{1}\;$et$\;{\mathcal {C}}_{2}\;$est un couple si leurs moments$\;{\mathcal {M}}_{1}\;$et$\;{\mathcal {M}}_{2}\;$ne sont pas opposés, en effet $\;\forall \;P\;\in {\mathcal {E}}$, les éléments de réduction de chacun des couples étant La somme de deux couples$\;\color {transparent}{{\mathcal {C}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {C}}_{2}}\;$est un couple si leurs moments$\;\color {transparent}{{\mathcal {M}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {M}}_{2}}\;$ne sont pas opposés, en effet $\;\color {transparent}{\forall \;P\;\in {\mathcal {E}}}$, les éléments de réduction ${\mathcal {C}}_{1}=\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {R}}_{1}={\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1}\neq {\overrightarrow {0}}\end{array}}\right\rbrace _{P}\;$ et $\;{\mathcal {C}}_{2}=\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}={\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2}\neq {\overrightarrow {0}}\end{array}}\right\rbrace _{P}$, La somme de deux couples$\;\color {transparent}{{\mathcal {C}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {C}}_{2}}\;$est un couple si leurs moments$\;\color {transparent}{{\mathcal {M}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {M}}_{2}}\;$ne sont pas opposés, en effet on en déduit ceux de la somme des deux couples au même point $\;P$ La somme de deux couples$\;\color {transparent}{{\mathcal {C}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {C}}_{2}}\;$est un couple si leurs moments$\;\color {transparent}{{\mathcal {M}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {M}}_{2}}\;$ne sont pas opposés, en effet on en déduit ceux $\;{\mathcal {C}}_{1}+{\mathcal {C}}_{2}=\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {R}}_{1}+{\vec {R}}_{2}={\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1}+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2}\neq {\overrightarrow {0}}\end{array}}\right\rbrace _{P}\;$ assurant que La somme de deux couples$\;\color {transparent}{{\mathcal {C}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {C}}_{2}}\;$est un couple si leurs moments$\;\color {transparent}{{\mathcal {M}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {M}}_{2}}\;$ne sont pas opposés, en effet on en déduit cette somme est un couple de moment $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1}+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2}$ ;
* si les moments des deux couples$\;{\mathcal {C}}_{1}\;$et$\;{\mathcal {C}}_{2}\;$sont opposés, la somme de ces deux couples$\;{\mathcal {C}}_{1}+{\mathcal {C}}_{2}\;$est le torseur nul$\;{\mathcal {N}}$.

### Torseur glisseur
#### Définition d'un torseur glisseur

Un torseur glisseur $\;{\mathcal {G}}\;$ est un torseur pour lequel il existe un point particulier $\;A\in {\mathcal {E}}\;$ en lequel les éléments de réduction non nuls se réduisent à sa résultante $\;{\vec {R}}$, son moment en $\;A\;$ étant nul, c.-à-d. Un torseur glisseur $\;\color {transparent}{\mathcal {G}}\;$ est un torseur pour lequel $\;\exists \;A\in {\mathcal {E}},\;{\mathcal {G}}=\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {R}}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}={\overrightarrow {0}}\end{array}}\right\rbrace _{A}$.

#### Propriétés d'un torseur glisseur

* « Le moment d'un torseur glisseur$\;{\mathcal {G}}\;$est nul en tout point de son axe central$\;\Delta _{\mathcal {G}}\;$» en effet le point particulier $\;A\in {\mathcal {E}}\;$ est un point de $\;\Delta _{\mathcal {G}}\;$ c.-à-d. un point central du glisseur $\;{\mathcal {G}}$, « Le moment d'un torseur glisseur$\;\color {transparent}{\mathcal {G}}\;$est nul en tout point de son axe central$\;\color {transparent}{\Delta _{\mathcal {G}}}\;$» en effet ${\Big$de $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}={\overrightarrow {0}}\;$ on tire $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\wedge {\vec {R}}={\vec {0}}\;$ soit $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}=\lambda \;{\vec {R}}\;$ avec $\;\lambda =0\;$ c.-à-d. une 1ère justification ou « Le moment d'un torseur glisseur$\;\color {transparent}{\mathcal {G}}\;$est nul en tout point de son axe central$\;\color {transparent}{\Delta _{\mathcal {G}}}\;$» en effet $\color {transparent}{\Big$l'axe central $\;\Delta _{\mathcal {G}}\;$ étant le lieu à $\;\Vert {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\Vert \;$ minimale, $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}={\overrightarrow {0}}\;$ $\Rightarrow$ $\;\Vert {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\Vert \;$ minimale d'où $\;A\in \Delta _{\mathcal {G}}$ « Le moment d'un torseur glisseur$\;\color {transparent}{\mathcal {G}}\;$est nul en tout point de son axe central$\;\color {transparent}{\Delta _{\mathcal {G}}}\;$» en effet $\color {transparent}{\Big$l'axe central $\;\color {transparent}{\Delta _{\mathcal {G}}}\;$ étant le lieu à $\;\color {transparent}{\Vert {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\Vert }\;$ minimale, $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}={\overrightarrow {0}}}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ c.-à-d. une 2ème justification${\Big ]}\;$ et « Le moment d'un torseur glisseur$\;\color {transparent}{\mathcal {G}}\;$est nul en tout point de son axe central$\;\color {transparent}{\Delta _{\mathcal {G}}}\;$» en effet le moment du torseur $\;{\mathcal {G}}\;$ en tout point de son axe central $\;\Delta _{\mathcal {G}}\;$ étant le même est égal à celui de $\;A\;$ d'où « Le moment d'un torseur glisseur$\;\color {transparent}{\mathcal {G}}\;$est nul en tout point de son axe central$\;\color {transparent}{\Delta _{\mathcal {G}}}\;$» $\;\forall \;P\;\in \Delta _{\mathcal {G}}$, $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}={\overrightarrow {0}}\;$ C.Q.F.D. ;
* l'axe central $\;\Delta _{\mathcal {G}}\;$ d'un torseur glisseur $\;{\mathcal {G}}\;$ est encore appelé support du glisseur ;
* en tout point $\;Q\notin \Delta _{\mathcal {G}}\;$ les éléments de réduction du torseur glisseur sont tous deux non nuls c.-à-d. $\;\forall \;Q\;\notin \Delta _{\mathcal {G}},\;{\mathcal {G}}=\left\lbrace {\begin{array}{l l l}{\vec {R}}\!\!&\!\!&\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\!\!&={\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {AQ}}\!\!&\neq {\overrightarrow {0}}\end{array}}\right\rbrace _{Q}$, en effet en tout point $\;\color {transparent}{Q\notin \Delta _{\mathcal {G}}}\;$ les éléments de réduction du torseur glisseur sont tous deux non nuls le moment du glisseur $\;{\mathcal {G}}\;$ en $\;Q\;\notin \Delta _{\mathcal {G}}\;$ s'obtient par relation de Varignon à partir de $\;A\;\in \Delta _{\mathcal {G}}\;$ soit en tout point $\;\color {transparent}{Q\notin \Delta _{\mathcal {G}}}\;$ les éléments de réduction du torseur glisseur sont tous deux non nuls $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}={\cancel {{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\;+}}{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {AQ}}\neq {\overrightarrow {0}}\;$ car $\;{\overrightarrow {AQ}}\;$ non colinéaire à $\;{\vec {R}}\;$ C.Q.F.D..

#### Autres caractérisations d'un torseur glisseur

* Un torseur$\;{\mathcal {T}}\;$dont les éléments de réduction en un point$\;B\in {\mathcal {E}}\;$sont non nuls et$\;\perp$ soit $\;{\mathcal {T}}=\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {R}}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{B}\left[{\begin{array}{c}\neq {\overrightarrow {0}}\\\perp \;{\text{à}}\;{\vec {R}}\end{array}}\right]\end{array}}\right\rbrace _{B}\;$ Un torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$dont les éléments de réduction en un point$\;\color {transparent}{B\in {\mathcal {E}}}\;$sont non nuls et$\;\color {transparent}{\perp }$ est un glisseur en effet, appliquant la relation de Varignon en $\;P\;$ a priori quelconque $\;\in {\mathcal {E}}\;$ à partir de $\;B\;$ $\Rightarrow$ Un torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$dont les éléments de réduction en un point$\;\color {transparent}{B\in {\mathcal {E}}}\;$sont non nuls et$\;\color {transparent}{\perp }$ est un glisseur en effet, ${\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{B}+{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {BP}}\;$ avec $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{B}\;$ et $\;{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {BP}}\;$ tous deux $\;\perp \;$ à $\;{\vec {R}}$, permettant de Un torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$dont les éléments de réduction en un point$\;\color {transparent}{B\in {\mathcal {E}}}\;$sont non nuls et$\;\color {transparent}{\perp }$ est un glisseur en effet, choisir $\;P_{0}\in {\mathcal {E}}\;$ vérifiant $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P_{0}}={\overrightarrow {0}}\;$ c.-à-d. $\;{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {BP_{0}}}=-{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{B}\;$ $\Rightarrow$ Un torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$dont les éléments de réduction en un point$\;\color {transparent}{B\in {\mathcal {E}}}\;$sont non nuls et$\;\color {transparent}{\perp }$ est un glisseur en effet, choisir $\;\color {transparent}{P_{0}\in {\mathcal {E}}}\;$ $\succ \;$${\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {BP_{0}}}\;$ et $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{B}\;$ colinéaires $\Leftrightarrow$ $\;\left({\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {BP_{0}}}\right)\wedge {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{B}={\vec {0}}\;$ ou, Un torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$dont les éléments de réduction en un point$\;\color {transparent}{B\in {\mathcal {E}}}\;$sont non nuls et$\;\color {transparent}{\perp }$ est un glisseur en effet, choisir $\;\color {transparent}{P_{0}\in {\mathcal {E}}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$en utilisant une des formules du double produit vectoriel on obtient Un torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$dont les éléments de réduction en un point$\;\color {transparent}{B\in {\mathcal {E}}}\;$sont non nuls et$\;\color {transparent}{\perp }$ est un glisseur en effet, choisir $\;\color {transparent}{P_{0}\in {\mathcal {E}}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$$-\left({\overrightarrow {BP_{0}}}\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{B}\right)\,{\vec {R}}\,{\cancel {+\left({\vec {R}}\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{B}\right)\,{\overrightarrow {BP_{0}}}}}={\vec {0}}\;$ c.-à-d. Un torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$dont les éléments de réduction en un point$\;\color {transparent}{B\in {\mathcal {E}}}\;$sont non nuls et$\;\color {transparent}{\perp }$ est un glisseur en effet, choisir $\;\color {transparent}{P_{0}\in {\mathcal {E}}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$${\overrightarrow {BP_{0}}}\;\subset \;$ dans le plan $\;\perp \;$ à $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{B}\;$ en $\;B\;$ ${\big$C.N. non S.${\big )}\;$ avec Un torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$dont les éléments de réduction en un point$\;\color {transparent}{B\in {\mathcal {E}}}\;$sont non nuls et$\;\color {transparent}{\perp }$ est un glisseur en effet, choisir $\;\color {transparent}{P_{0}\in {\mathcal {E}}}\;$ $\succ \;$choix supplémentaire de $\;{\overrightarrow {BP_{0}}}\;\subset \;$ dans le plan $\;\perp \;$ à $\;{\vec {R}}\;$ en $\;B\;$ soit Un torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$dont les éléments de réduction en un point$\;\color {transparent}{B\in {\mathcal {E}}}\;$sont non nuls et$\;\color {transparent}{\perp }$ est un glisseur en effet, choisir $\;\color {transparent}{P_{0}\in {\mathcal {E}}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$${\overrightarrow {BP_{0}}}\;\subset \;$ dans le plan $\;\perp \;$ à $\;\left({\vec {R}}\,,\,{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{B}\right)\;$ en $\;B\;$ $\Rightarrow$ le trièdre Un torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$dont les éléments de réduction en un point$\;\color {transparent}{B\in {\mathcal {E}}}\;$sont non nuls et$\;\color {transparent}{\perp }$ est un glisseur en effet, choisir $\;\color {transparent}{P_{0}\in {\mathcal {E}}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$$\left({\vec {R}}\,,\,{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{B}\,,\,{\overrightarrow {BP_{0}}}\right)\;$ est orthogonal ou, avec $\;{\overrightarrow {BP_{0}}}\wedge {\vec {R}}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{B}\;$, Un torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$dont les éléments de réduction en un point$\;\color {transparent}{B\in {\mathcal {E}}}\;$sont non nuls et$\;\color {transparent}{\perp }$ est un glisseur en effet, choisir $\;\color {transparent}{P_{0}\in {\mathcal {E}}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$$\left({\vec {R}}\,,\,{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{B}\,,\,{\overrightarrow {BP_{0}}}\right)\;$ orthogonal direct dans $\;{\mathcal {E}}\;$ orienté à droite, Un torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$dont les éléments de réduction en un point$\;\color {transparent}{B\in {\mathcal {E}}}\;$sont non nuls et$\;\color {transparent}{\perp }$ est un glisseur en effet, choisir $\;\color {transparent}{P_{0}\in {\mathcal {E}}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$$\Rightarrow$ sens de $\;{\overrightarrow {BP_{0}}}\;$ déterminé par la règle de la main droite, finalement Un torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$dont les éléments de réduction en un point$\;\color {transparent}{B\in {\mathcal {E}}}\;$sont non nuls et$\;\color {transparent}{\perp }$ est un glisseur en effet, choisir $\;\color {transparent}{P_{0}\in {\mathcal {E}}}\;$ $\succ \;$la condition $\;{\overrightarrow {BP_{0}}}\wedge {\vec {R}}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{B}\;$ $\Rightarrow$ $\;\Vert {\overrightarrow {BP_{0}}}\wedge {\vec {R}}\Vert =\Vert {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{B}\Vert \;$ ou, Un torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$dont les éléments de réduction en un point$\;\color {transparent}{B\in {\mathcal {E}}}\;$sont non nuls et$\;\color {transparent}{\perp }$ est un glisseur en effet, choisir $\;\color {transparent}{P_{0}\in {\mathcal {E}}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$$\Vert {\overrightarrow {BP_{0}}}\Vert \;\Vert {\vec {R}}\Vert \;{\bigg \vert }\sin \!{\widehat {{\Big{\overrightarrow {BP_{0}}}\,\,{\vec {R}}{\Big )}}}{\bigg \vert }=\Vert {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{B}\Vert \;$ soit, avec $\;{\overrightarrow {BP_{0}}}\;$ $\perp \;$ à $\;{\vec {R}}$, Un torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$dont les éléments de réduction en un point$\;\color {transparent}{B\in {\mathcal {E}}}\;$sont non nuls et$\;\color {transparent}{\perp }$ est un glisseur en effet, choisir $\;\color {transparent}{P_{0}\in {\mathcal {E}}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$$\Vert {\overrightarrow {BP_{0}}}\Vert \;\Vert {\vec {R}}\Vert =\Vert {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{B}\Vert \;$ $\Rightarrow$ $\;\Vert {\overrightarrow {BP_{0}}}\Vert ={\dfrac {\Vert {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{B}\Vert }{\Vert {\vec {R}}\Vert }}\;$ C.Q.F.D.$^,$ d'où Un torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$dont les éléments de réduction en un point$\;\color {transparent}{B\in {\mathcal {E}}}\;$sont non nuls et$\;\color {transparent}{\perp }$ est un glisseur en effet, la déduction que le torseur $\;{\mathcal {T}}\;$ est un glisseur de support passant par ce point particulier $\;P_{0}$.
* Un torseur$\;{\mathcal {T}}\;$non nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi son invariant scalaire est nul soit Un torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$non nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}\;$» en effet $\succ \;$si $\;{\mathcal {T}}\;$ est un glisseur et si $\;P\in \Delta _{\mathcal {T}}$ $\;{\big$son axe central${\big ]}$, $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}={\overrightarrow {0}}\;$ dont on déduit Un torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$non nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}\;$» en effet $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ est un glisseur et si $\;\color {transparent}{P\in \Delta _{\mathcal {T}}}$ $\;\color {transparent}{\big$son axe central$\color {transparent}{\big ]}$, ${\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in \Delta _{\mathcal {T}}\;$ alors que Un torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$non nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}\;$» en effet $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ est un glisseur et si $\;P\notin \Delta _{\mathcal {T}}$, $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\neq {\overrightarrow {0}}\;$ est $\;\perp \;$ à $\;{\vec {R}}\;$ dont on déduit Un torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$non nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}\;$» en effet $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ est un glisseur et si $\;\color {transparent}{P\notin \Delta _{\mathcal {T}}}$ $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\notin \Delta _{\mathcal {T}}\;$ d'où la proposition directe ; Un torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$non nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}\;$» en effet $\succ \;$si $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}$ $\;{\big{\vec {R}}\;$ étant $\;\neq {\vec {0}}{\big )}$, deux hypothèses peuvent être conjecturées : Un torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$non nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}\;$» en effet $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}$ $\bullet \;$il existe des points $\;P_{0}\;$ en lesquels $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P_{0}}={\overrightarrow {0}}\;$ $\Rightarrow$ Un torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$non nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}\;$» en effet $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}$ $\color {transparent}{\bullet }\;$il existe le torseur $\;{\mathcal {T}}\;$ est un glisseur par définition ou Un torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$non nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}\;$» en effet $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}$ $\bullet \;$il n'existe aucun point $\;P\;$ en lesquels $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}={\overrightarrow {0}}\;$ $\Rightarrow$ Un torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$non nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}\;$» en effet $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}$ $\color {transparent}{\bullet }\;$il n'existe ${\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\;{\big\neq {\overrightarrow {0}}{\big )}\;\perp \;{\vec {R}}\;$ $\forall \;P\in {\mathcal {E}}$, parmi ces points, Un torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$non nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}\;$» en effet $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}$ $\color {transparent}{\bullet }\;$il n'existe on choisit un $\;P_{0}\;$ et d'autres $\;Q\;$ tels que Un torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$non nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}\;$» en effet $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}$ $\color {transparent}{\bullet }\;$il n'existe on choisit ${\overrightarrow {P_{0}Q}}\;$ soit $\perp \;$ à $\;{\vec {R}}\;$ et $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P_{0}}\;$, Un torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$non nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}\;$» en effet $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}$ $\color {transparent}{\bullet }\;$il n'existe la relation de Varignon en $\;Q\;$ à partir de $\;P_{0}\;$ $\Rightarrow$ Un torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$non nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}\;$» en effet $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}$ $\color {transparent}{\bullet }\;$il n'existe ${\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P_{0}}+{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {P_{0}Q}}\;$ dans laquelle Un torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$non nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}\;$» en effet $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}$ $\color {transparent}{\bullet }\;$il n'existe $\left({\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {P_{0}Q}}\right)\,\parallel \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P_{0}}\;$ et donc $\;\parallel \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\;$ d'où, Un torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$non nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}\;$» en effet $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}$ $\color {transparent}{\bullet }\;$il n'existe selon les sens comparés de $\;{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {P_{0}Q}}\;$ et $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P_{0}}\;$, Un torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$non nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}\;$» en effet $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}$ $\color {transparent}{\bullet }\;$il n'existe $\Vert {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\Vert ={\Big \vert }\Vert {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P_{0}}\Vert \pm \Vert {\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {P_{0}Q}}\Vert {\Big \vert }\;$ ou encore Un torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$non nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}\;$» en effet $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}$ $\color {transparent}{\bullet }\;$il n'existe $\Vert {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\Vert ={\Big \vert }\Vert {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P_{0}}\Vert \pm \Vert {\vec {R}}\Vert \;\Vert {\overrightarrow {P_{0}Q}}\Vert {\Big \vert }\;$ d'où Un torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$non nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}\;$» en effet $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}$ $\color {transparent}{\bullet }\;$existence de $\;Q_{0}\;$ tel que $\;\Vert {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q_{0}}\Vert =0\;$ ou $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q_{0}}={\overrightarrow {0}}$, Un torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$non nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}\;$» en effet $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}$ $\color {transparent}{\bullet }\;$laquelle, étant contraire à l'hypothèse initiale, prouve que Un torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$non nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}\;$» en effet $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}$ $\color {transparent}{\bullet }\;$il existe des points $\;P_{0}\;$ en lesquels $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P_{0}}={\overrightarrow {0}}\;$ et par suite Un torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$non nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}\;$» en effet $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}$ $\color {transparent}{\bullet }\;$il existe le torseur ${\mathcal {T}}$, par définition, est un glisseur Un torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$non nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}\;$» en effet $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}$ d'où la proposition réciproque.

#### Somme de deux glisseurs

* La somme de deux glisseurs$\;{\mathcal {G}}_{1}\;$et$\;{\mathcal {G}}_{2}\;$est un glisseur$\;\succ \;$si leurs axes centraux$\;\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}\;$et$\;\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}\;$sont concourants soit $\;\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}\cap \Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}\neq \emptyset$, plus précisément La somme de deux glisseurs$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;$est un glisseur$\;\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}\cap \Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}=\{P_{0}\}\;$ en effet, en $\,P_{0}$, les éléments de réduction des glisseurs étant $\,{\mathcal {G}}_{1}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{1}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,P_{0}}={\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!P_{0}}\!$, $\,{\mathcal {G}}_{2}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,P_{0}}={\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!P_{0}}\!$, La somme de deux glisseurs$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;$est un glisseur$\;\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}\cap \Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}=\{P_{0}\}}\;$ en effet, $\Rightarrow$ les éléments de réduction de la somme des deux glisseurs au même point $\;P_{0}\;$ s'écrivent selon La somme de deux glisseurs$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;$est un glisseur$\;\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}\cap \Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}=\{P_{0}\}}\;$ en effet, $\color {transparent}{\Rightarrow }$ ${\mathcal {G}}_{1}+{\mathcal {G}}_{2}=\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {R}}_{1}+{\vec {R}}_{2}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,P_{0}}+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,P_{0}}={\overrightarrow {0}}\end{array}}\right\rbrace _{P_{0}}\;$ assurant que cette somme est un glisseur La somme de deux glisseurs$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;$est un glisseur$\;\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}\cap \Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}=\{P_{0}\}}\;$ en effet, $\color {transparent}{\Rightarrow }$ dont le support est la droite issue de $\;P_{0}\;$ de vecteur directeur $\;{\vec {R}}_{1}+{\vec {R}}_{2}\;$ ou La somme de deux glisseurs$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;$est un glisseur$\;\succ \;$si leurs axes centraux$\;\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}\;$et$\;\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}\;$sont parallèles$\;{\big$ou confondus${\big )}\;$avec leurs résultantes non opposées en effet La somme de deux glisseurs$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;$est un glisseur$\;\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}\;$ est $\;\parallel \;$ à $\;\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}\;$ en étant différent, ces axes centraux n'ont aucun point commun et par suite, en un point $\;Q\notin \Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}\cup \Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}$, La somme de deux glisseurs$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;$est un glisseur$\;\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;$ est $\;\color {transparent}{\parallel }\;$ à $\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}\;$ en étant différent, les éléments de réduction de chacun des glisseurs en ce point $\;Q\;$ sont La somme de deux glisseurs$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;$est un glisseur$\;\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;$ est $\;\color {transparent}{\parallel }\;$ à $\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}\;$ en étant différent, $\;{\mathcal {G}}_{1}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{1}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,Q}\left[\!{\begin{array}{c}\neq {\overrightarrow {0}}\\\perp \;{\text{à}}\;{\vec {R}}_{1}\end{array}}\!\right]\end{array}}\right\rbrace _{\!Q}\!$ et $\;{\mathcal {G}}_{2}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,Q}\left[\!{\begin{array}{c}\neq {\overrightarrow {0}}\\\perp \;{\text{à}}\;{\vec {R}}_{2}\end{array}}\!\right]\end{array}}\!\right\rbrace _{\!Q}\!$ $\Rightarrow$ ceux de la somme s'écrivent La somme de deux glisseurs$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;$est un glisseur$\;\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;$ est $\;\color {transparent}{\parallel }\;$ à $\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}\;$ en étant différent, ${\mathcal {G}}_{1}+{\mathcal {G}}_{2}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{1}+{\vec {R}}_{2}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,Q}+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,Q}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!Q}\;$, son moment en $\;Q\;$ a priori $\;\neq {\overrightarrow {0}}\;$, $\;\perp \;$ à $\;{\vec {R}}_{1}+{\vec {R}}_{2}\;$ $\Rightarrow$ La somme de deux glisseurs$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;$est un glisseur$\;\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;$ est $\;\color {transparent}{\parallel }\;$ à $\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}\;$ en étant différent, ${\mathcal {G}}_{1}+{\mathcal {G}}_{2}\;$ est un glisseur de support « la droite passant par $\;Q_{0}\;$ ${\big$où $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,Q_{0}}+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,Q_{0}}={\overrightarrow {0}}{\big ]}\;$ La somme de deux glisseurs$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;$est un glisseur$\;\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;$ est $\;\color {transparent}{\parallel }\;$ à $\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}\;$ en étant différent, $\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}+{\mathcal {G}}_{2}}\;$ est un glisseur de support « la droite de vecteur directeur $\;{\vec {R}}_{1}+{\vec {R}}_{2}\;$» C.Q.F.D. ; La somme de deux glisseurs$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;$est un glisseur$\;\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;$ est $\;\color {transparent}{\parallel }\;$ à $\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}\;$ en étant différent, remarque : si le moment de $\;{\mathcal {G}}_{1}+{\mathcal {G}}_{2}\;$ en $\;Q\;$ quelconque est nul, cela prouve, sans autre démonstration, La somme de deux glisseurs$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;$est un glisseur$\;\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;$ est $\;\color {transparent}{\parallel }\;$ à $\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}\;$ en étant différent, remarque : que $\;{\mathcal {G}}_{1}+{\mathcal {G}}_{2}\;$ est un glisseur de support « la droite passant par ce point $\;Q\;$ et La somme de deux glisseurs$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;$est un glisseur$\;\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;$ est $\;\color {transparent}{\parallel }\;$ à $\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}\;$ en étant différent, remarque : que $\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}+{\mathcal {G}}_{2}}\;$ est un glisseur de support « la droite de vecteur directeur $\;{\vec {R}}_{1}+{\vec {R}}_{2}\;$» ; La somme de deux glisseurs$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;$est un glisseur$\;\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}\;$ est confondu avec $\;\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}$, tous les points de ces axes centraux sont communs et par suite, $\;\forall \;Q\;\in \Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}=\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}$, La somme de deux glisseurs$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;$est un glisseur$\;\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;$ est confondu avec $\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}$, les éléments de réduction des glisseurs en $\;Q\;$ sont $\;{\mathcal {G}}_{1}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{1}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,Q}={\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!Q}$ et $\;{\mathcal {G}}_{2}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,Q}={\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!Q}$ $\Rightarrow$ La somme de deux glisseurs$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;$est un glisseur$\;\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;$ est confondu avec $\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}$, ${\mathcal {G}}_{1}+{\mathcal {G}}_{2}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{1}+{\vec {R}}_{2}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,Q}+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,Q}={\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!Q}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\mathcal {G}}_{1}+{\mathcal {G}}_{2}\;$ est un glisseur de support l'axe central commun La somme de deux glisseurs$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;$est un glisseur$\;\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;$ est confondu avec $\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}$, $\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}+{\mathcal {G}}_{2}=}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}+{\mathcal {G}}_{2}}\;$ est un glisseur de support $\;\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}=\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}\;$ et La somme de deux glisseurs$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;$est un glisseur$\;\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;$ est confondu avec $\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}$, $\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}+{\mathcal {G}}_{2}=}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}+{\mathcal {G}}_{2}}\;$ est un glisseur de vecteur directeur $\;{\vec {R}}_{1}+{\vec {R}}_{2}$.
* La somme de deux glisseurs$\;{\mathcal {G}}_{1}\;$et$\;{\mathcal {G}}_{2}\;$n'est pas un glisseur$\;\color {transparent}{\succ }\;$si leurs axes centraux$\;\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}\;$et$\;\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}\;$ne concourent pas c.-à-d. si $\;\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}\;$ et $\;\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}\;$ ne sont pas coplanaires.
* La somme de deux glisseurs$\;{\mathcal {G}}_{1}\;$et$\;{\mathcal {G}}_{2}\;$est un couple$\;\color {transparent}{\succ }\;$si leurs axes centraux$\;\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}\;$et$\;\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}\;$sont parallèles avec leurs résultantes opposées en effet La somme de deux glisseurs$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;$est un couple$\;\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}\;$ est $\;\parallel \;$ à $\;\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}\;$ en étant différent, ces axes centraux n'ont aucun point commun et par suite, en un point $\;Q\notin \Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}\cup \Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}$, La somme de deux glisseurs$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;$est un couple$\;\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;$ est $\;\color {transparent}{\parallel }\;$ à $\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}\;$ en étant différent, les éléments de réduction de chacun des glisseurs en ce point $\;Q\;$ sont La somme de deux glisseurs$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;$est un couple$\;\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;$ est $\;\color {transparent}{\parallel }\;$ à $\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}\;$ en étant différent, $\;{\mathcal {G}}_{1}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{1}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,Q}\left[\!{\begin{array}{c}\neq {\overrightarrow {0}}\\\perp \;{\text{à}}\;{\vec {R}}_{1}\end{array}}\!\right]\end{array}}\right\rbrace _{\!Q}\!$ et $\;{\mathcal {G}}_{2}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,Q}\left[\!{\begin{array}{c}\neq {\overrightarrow {0}}\\\perp \;{\text{à}}\;{\vec {R}}_{2}\end{array}}\!\right]\end{array}}\!\right\rbrace _{\!Q}\;$ $\Rightarrow$ ceux de la somme s'écrivent La somme de deux glisseurs$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;$est un couple$\;\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;$ est $\;\color {transparent}{\parallel }\;$ à $\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}\;$ en étant différent, $\;{\mathcal {G}}_{1}+{\mathcal {G}}_{2}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{1}+{\vec {R}}_{2}={\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,Q}+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,Q}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!Q}\;$, $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,Q}+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,Q}\;$ étant $\;\neq {\overrightarrow {0}}\;$$^,$ prouve que La somme de deux glisseurs$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;$est un couple$\;\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;$ est $\;\color {transparent}{\parallel }\;$ à $\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}\;$ en étant différent, $\;{\mathcal {G}}_{1}+{\mathcal {G}}_{2}\;$ est un couple de moment constant $\;{\big$propriété caractéristique d'un couple${\big )}$.
* La somme de deux glisseurs$\;{\mathcal {G}}_{1}\;$et$\;{\mathcal {G}}_{2}\;$est le torseur nul$\;\color {transparent}{\succ }\;$si leurs axes centraux$\;\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}\;$et$\;\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}\;$sont confondus avec leurs résultantes opposées en effet La somme de deux glisseurs$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;$est le torseur nul$\;\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}\;$ est confondu avec $\;\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}$, tous les points de ces axes centraux sont communs et par suite, $\;\forall \;Q\;\in \Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}=\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}$, La somme de deux glisseurs$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;$est le torseur nul$\;\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;$ est confondu avec $\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}$, les éléments de réduction de chacun des glisseurs en ce point $\;Q\;$ sont La somme de deux glisseurs$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;$est le torseur nul$\;\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;$ est confondu avec $\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}$, «$\;{\mathcal {G}}_{1}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{1}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,Q}={\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!Q}$ et $\;{\mathcal {G}}_{2}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,Q}={\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!Q}\;$» $\Rightarrow$ ceux de la somme s'écrivent La somme de deux glisseurs$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;$est le torseur nul$\;\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;$ est confondu avec $\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}$, $\;{\mathcal {G}}_{1}+{\mathcal {G}}_{2}=\left\lbrace {\begin{array}{c}\!{\vec {R}}_{1}+{\vec {R}}_{2}={\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,Q}+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,Q}={\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!Q}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\mathcal {G}}_{1}+{\mathcal {G}}_{2}\;$ est le torseur nul $\;{\mathcal {N}}\;$ C.Q.F.D..

### Décomposition centrale d'un torseur quelconque

$\;{\mathcal {T}}\;$
$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$
$\;{\mathcal {G}}\;$
$\;\Delta _{\mathcal {T}}\;$
$\;{\mathcal {T}}\;$
$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$
$\;{\mathcal {C}}\;$
$\;\forall \;{\mathcal {T}},\;\;\exists \,!\;\left({\mathcal {G}}\,,\,{\mathcal {C}}\right)\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\mathcal {T}}={\mathcal {G}}+{\mathcal {C}}\\\Delta _{\mathcal {G}}=\Delta _{\mathcal {T}}\end{array}}\right\rbrace$
Démonstration : Soit le torseur $\;{\mathcal {T}}\;$ et ses éléments de réduction en un point $\;A\;$ de son axe central $\;\Delta _{\mathcal {T}}$, $\;{\mathcal {T}}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\neq {\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A}\;$, nous décomposons Démonstration : Soit le torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ et les éléments de réduction du torseur $\;{\mathcal {T}}\;$ en $\;A\;$ de la façon unique selon $\;{\mathcal {T}}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A}+\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\neq {\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A}$, avec Démonstration : Soit le torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ et les éléments de réduction du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ en $\;\color {transparent}{A}\;$ de la façon unique selon $\bullet \;$le 1er terme du 2nd membre $\;\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A}$ définissant un glisseur unique $\;{\mathcal {G}}\;$ en $\;A\;$ Démonstration : Soit le torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ et les éléments de réduction du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ en $\;\color {transparent}{A}\;$ de la façon unique selon $\color {transparent}{\bullet }\;$le 1er terme de support « la droite issue de $\;A\;$ de vecteur directeur $\;{\vec {R}}\;$» et Démonstration : Soit le torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ et les éléments de réduction du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ en $\;\color {transparent}{A}\;$ de la façon unique selon $\bullet \;$le 2 nd terme du 2nd membre $\;\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\neq {\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A}$ définissant un couple unique $\;{\mathcal {C}}\;$ en $\;A\;$ Démonstration : Soit le torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ et les éléments de réduction du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ en $\;\color {transparent}{A}\;$ de la façon unique selon $\color {transparent}{\bullet }\;$le 2 nd terme de moment constant égal à $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}$.
Remarque : C'est par le choix des éléments de réduction du torseur $\;{\mathcal {T}}\;$ en un point de son axe central $\;\Delta _{\mathcal {T}}\;$ que l'on assure l'unicité de la décomposition précédente, c'est aussi Remarque : C'est la raison pour laquelle cette décomposition est appelée « décomposition centrale », les trois éléments indispensables pour établir cette décomposition étant $\;\left\lbrace \Delta _{\mathcal {T}}\,,\,{\vec {R}}\,,\,{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A\,\in \,\Delta _{\mathcal {T}}}\right\rbrace \;$ Remarque : C'est la raison pour laquelle cette décomposition est appelée « décomposition centrale », les trois éléments indispensables encore appelés « éléments centraux de $\;{\mathcal {T}}\;$».

## Produit (ou comoment) de deux torseurs
### Définition du produit (ou comoment) de deux torseurs

$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\mathcal {T}}_{1}\;$
$\;{\mathcal {T}}_{2}\;$
$\;A\;\in \;{\mathcal {E}}\;$
$\;\color {transparent}{\big$
$\color {transparent}{\big )}\;$
$\;{\mathcal {T}}_{1}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{1}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,A}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A}$
$\;{\mathcal {T}}_{2}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A}$
$\;{\mathcal {T}}_{1}\otimes {\mathcal {T}}_{2}\in \mathbb {R} \;$
$\;{\mathcal {T}}_{1}\otimes {\mathcal {T}}_{2}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{1}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,A}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A}\otimes \left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A}={\vec {R}}_{1}\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A}+{\vec {R}}_{2}\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,A}\;$

### Propriétés du produit (ou comoment) de deux torseurs

* Le produit$\;{\big$ou comoment${\big )}\;$de deux torseurs$\;{\mathcal {T}}_{1}\;$et$\;{\mathcal {T}}_{2}\;$est commutatif c.-à-d. $\;{\mathcal {T}}_{1}\otimes {\mathcal {T}}_{2}={\mathcal {T}}_{2}\otimes {\mathcal {T}}_{1}\;$ ;
* le produit$\;{\big$ou comoment${\big )}\;$de deux torseurs$\;{\mathcal {T}}_{1}\;$et$\;{\mathcal {T}}_{2}\;$est indépendant du point$\;A\;$en lequel sont définis les éléments de réduction des torseurs en effet, le produit$\;\color {transparent}{\big$ou comoment$\color {transparent}{\big )}\;$de deux torseurs$\;\color {transparent}{{\mathcal {T}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {T}}_{2}}\;$est indépendant du point $\;\color {transparent}{A}\;$avec un point $\;B\;\in \;{\mathcal {E}}\;$ $\;\neq A$, seul le moment des torseurs est modifié selon la relation de Varignon le produit$\;\color {transparent}{\big$ou comoment$\color {transparent}{\big )}\;$de deux torseurs$\;\color {transparent}{{\mathcal {T}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {T}}_{2}}\;$est indépendant du point $\;\color {transparent}{A}\;$avec un point $\;\color {transparent}{B\;\in \;{\mathcal {E}}}\;$ $\;\color {transparent}{\neq A}$, seul le moment des torseurs est modifié selon$\left[\!{\begin{array}{c}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,B}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,A}+{\vec {R}}_{1}\wedge {\overrightarrow {AB}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,B}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A}+{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {AB}}\end{array}}\!\right]\;$ $\Rightarrow$ le produit$\;\color {transparent}{\big$ou comoment$\color {transparent}{\big )}\;$de deux torseurs$\;\color {transparent}{{\mathcal {T}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {T}}_{2}}\;$est indépendant du point $\;\color {transparent}{A}\;$$\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{1}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,B}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!B}\otimes \left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,B}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!B}={\vec {R}}_{1}\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,B}+{\vec {R}}_{2}\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,B}$ le produit$\;\color {transparent}{\big$ou comoment$\color {transparent}{\big )}\;$de deux torseurs$\;\color {transparent}{{\mathcal {T}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {T}}_{2}}\;$est indépendant du point $\;\color {transparent}{A}\;$$={\vec {R}}_{1}\cdot \left[{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A}+{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {AB}}\right]+{\vec {R}}_{2}\cdot \left[{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,A}+{\vec {R}}_{1}\wedge {\overrightarrow {AB}}\right]$ le produit$\;\color {transparent}{\big$ou comoment$\color {transparent}{\big )}\;$de deux torseurs$\;\color {transparent}{{\mathcal {T}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {T}}_{2}}\;$est indépendant du point $\;\color {transparent}{A}\;$$={\vec {R}}_{1}\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A}+{\vec {R}}_{2}\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,A}\;{\cancel {+\;{\vec {R}}_{1}\cdot \left[{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {AB}}\right]+{\vec {R}}_{2}\cdot \left[{\vec {R}}_{1}\wedge {\overrightarrow {AB}}\right]}}\;$$^,$ le produit$\;\color {transparent}{\big$ou comoment$\color {transparent}{\big )}\;$de deux torseurs$\;\color {transparent}{{\mathcal {T}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {T}}_{2}}\;$est indépendant du point $\;\color {transparent}{A}\;$$={\vec {R}}_{1}\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A}+{\vec {R}}_{2}\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,A}=\left\lbrace {\begin{array}{c}\!{\vec {R}}_{1}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,A}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A}\otimes \left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A}\;$ soit finalement le produit$\;\color {transparent}{\big$ou comoment$\color {transparent}{\big )}\;$de deux torseurs$\;\color {transparent}{{\mathcal {T}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {T}}_{2}}\;$est indépendant du point $\;\color {transparent}{A}\;$$\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{1}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,B}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!B}\otimes \left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,B}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!B}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{1}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,A}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A}\otimes \left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A}\;$ C.Q.F.D..
* Le produit$\;{\big$ou comoment${\big )}\;$de deux torseurs couples$\;{\mathcal {C}}_{1}\;$et$\;{\mathcal {C}}_{2}\;$est identiquement nul en effet $\;{\mathcal {C}}_{1}\otimes {\mathcal {C}}_{2}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1}\end{array}}\!\right\rbrace \otimes \left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2}\end{array}}\!\right\rbrace \;$ $\;={\vec {0}}_{\,(1)}\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2}+{\vec {0}}_{\,(2)}\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1}=0\;$ C.Q.F.D. ;
* le produit$\;{\big$ou comoment${\big )}\;$d'un torseur couple et d'un glisseur$\;{\mathcal {C}}_{1}\;$et$\;{\mathcal {G}}_{2}\;$n'est quasi jamais nul car $\;{\mathcal {C}}_{1}\otimes {\mathcal {G}}_{2}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1}\neq {\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace \otimes \left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A}={\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A}\;$ $\;={\cancel {{\vec {0}}_{\,(1)}\cdot {\overrightarrow {0}}_{\,(2),\,A}\;+}}\;{\vec {R}}_{2}\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1}\;$$^,$ en général $\;\neq 0\;$ ;
* le produit$\;{\big$ou comoment${\big )}\;$de deux torseurs glisseurs$\;{\mathcal {G}}_{1}\;$et$\;{\mathcal {G}}_{2}\;$est nul$\;\succ \;$si leurs axes centraux$\;\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}\;$et$\;\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}\;$sont concourants en effet, en notant $\;A_{0}$ le point d'intersection des axes centraux, le produit$\;\color {transparent}{\big$ou comoment$\color {transparent}{\big )}\;$de deux torseurs glisseurs$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;$est nul$\;\color {transparent}{\succ }\;$si leurs axes centraux$\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;$et$\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}\;$sont concourants ${\mathcal {G}}_{1}\otimes {\mathcal {G}}_{2}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R_{1}}}\neq 0\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,A_{0}}={\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A_{0}}\otimes \left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A_{0}}={\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A_{0}}\;$ le produit$\;\color {transparent}{\big$ou comoment$\color {transparent}{\big )}\;$de deux torseurs glisseurs$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;$est nul$\;\color {transparent}{\succ }\;$si leurs axes centraux$\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;$et$\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}\;$sont concourants $\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}\otimes {\mathcal {G}}_{2}}$ $\,={\cancel {{\vec {R}}_{1}\cdot {\overrightarrow {0}}_{(2),\,A_{0}}}}\;+\;{\cancel {{\vec {R}}_{2}\cdot {\overrightarrow {0}}_{(1),\,A_{0}}}}\;$ $=0\;$ ou le produit$\;\color {transparent}{\big$ou comoment$\color {transparent}{\big )}\;$de deux torseurs glisseurs$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;$ est nul$\;\succ \;$si leurs axes centraux$\;\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}\;$et$\;\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}\;$sont confondus, en effet le cas des axes centraux confondus peut être considéré comme le produit$\;\color {transparent}{\big$ou comoment$\color {transparent}{\big )}\;$de deux torseurs glisseurs$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;$ est nul$\;\color {transparent}{\succ }\;$si leurs axes centraux$\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;$et$\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}\;$sont confondus, en effet le cas particulier d'axes centraux concourants en tous leurs points ou le produit$\;\color {transparent}{\big$ou comoment$\color {transparent}{\big )}\;$de deux torseurs glisseurs$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;$ est nul$\;\succ \;$si leurs axes centraux$\;\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}\;$et$\;\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}\;$sont parallèles en effet, avec $\;A_{1}\in \Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}$ $\;{\big$donc hors $\;\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}{\big )}$, $\;{\mathcal {G}}_{1}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R_{1}}}\neq 0\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,A_{1}}={\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A_{1}}\;$ et le produit$\;\color {transparent}{\big$ou comoment$\color {transparent}{\big )}\;$de deux torseurs glisseurs$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;$ est nul$\;\color {transparent}{\succ }\;$si leursaxes centraux$\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;$et$\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}\;$sont parallèles en effet, avec $\;A_{1}\notin \Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}$, $\;{\mathcal {G}}_{2}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R_{2}}}\neq 0\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A_{1}}\neq {\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A_{1}}\;$ où $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A_{1}}\;$ s'obtient le produit$\;\color {transparent}{\big$ou comoment$\color {transparent}{\big )}\;$de deux torseurs glisseurs$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;$ est nul$\;\color {transparent}{\succ }\;$si leurs axes centraux$\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;$et$\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}\;$sont parallèles en effet, avec par relation de Varignon appliquée en $\;A_{1}\;$ avec $\;A_{2}\in \Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}$, le produit$\;\color {transparent}{\big$ou comoment$\color {transparent}{\big )}\;$de deux torseurs glisseurs$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;$ est nul$\;\color {transparent}{\succ }\;$si leurs axes centraux$\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;$et$\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}\;$sont parallèles en effet, avec ${\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A_{1}}={\cancel {{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A_{2}}\;+}}\;{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {A_{2}A_{1}}}\;$ car $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A_{2}\,\in \,\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}={\overrightarrow {0}}$, le produit$\;\color {transparent}{\big$ou comoment$\color {transparent}{\big )}\;$de deux torseurs glisseurs$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;$ est nul$\;\color {transparent}{\succ }\;$si leurs axes centraux$\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;$et$\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}\;$sont parallèles en effet, avec soit $\;{\mathcal {G}}_{2}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R_{2}}}\neq 0\\{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {A_{2}A_{1}}}\neq {\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A_{1}}\;$ dont on déduit le produit$\;\color {transparent}{\big$ou comoment$\color {transparent}{\big )}\;$de deux torseurs glisseurs$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;$ est nul$\;\color {transparent}{\succ }\;$si leurs axes centraux$\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;$et$\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}\;$sont parallèles en effet, avec ${\mathcal {G}}_{1}\otimes {\mathcal {G}}_{2}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R_{1}}}\neq 0\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,A_{1}}={\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A_{1}}\otimes \left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\neq {\vec {0}}\\{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {A_{2}A_{1}}}\neq {\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A_{1}}$ le produit$\;\color {transparent}{\big$ou comoment$\color {transparent}{\big )}\;$de deux torseurs glisseurs$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;$ est nul$\;\color {transparent}{\succ }\;$si leurs axes centraux$\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;$et$\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}\;$sont parallèles en effet, avec $\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}\otimes {\mathcal {G}}_{2}}$ $={\vec {R}}_{1}\cdot \left[{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {A_{2}A_{1}}}\right]\;{\cancel {+\;{\vec {R}}_{2}\cdot {\overrightarrow {0}}_{(1),\,A_{1}}}}\;$ $=0$, le produit$\;\color {transparent}{\big$ou comoment$\color {transparent}{\big )}\;$de deux torseurs glisseurs$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;$ est nul$\;\color {transparent}{\succ }\;$si leurs axes centraux$\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;$et$\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}\;$sont parallèles en effet, avec les trois vecteurs $\;\left({\vec {R}}_{1}\,,\,{\vec {R}}_{2}\,,\,{\overrightarrow {A_{2}A_{1}}}\right)\;$ étant coplanaires le produit$\;\color {transparent}{\big$ou comoment$\color {transparent}{\big )}\;$de deux torseurs glisseurs$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;$ est nul$\;\color {transparent}{\succ }\;$si leurs axes centraux$\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;$et$\;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}\;$sont parallèles en effet, avec les trois vecteurs leur produit mixte est nul ;
* le produit$\;{\big$ou comoment${\big )}\;$de deux torseurs glisseurs$\;{\mathcal {G}}_{1}\;$et$\;{\mathcal {G}}_{2}\;$est non nul si leurs axes centraux$\;\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}\;$et$\;\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}\;$ne sont pas concourants, parallèles ou confondus, en effet le produit$\;\color {transparent}{\big$ou comoment$\color {transparent}{\big )}\;$de deux torseurs glisseurs$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;$est non nul comme il n'existe aucun point commun des axes centraux $\;\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}\;$ et $\;\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}$, on choisit un point $\;A_{1}\;\in \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}\;$ le produit$\;\color {transparent}{\big$ou comoment$\color {transparent}{\big )}\;$de deux torseurs glisseurs$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;$est non nul pour évaluer les éléments de réduction des torseurs $\Rightarrow$ $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,A_{1}}={\overrightarrow {0}}\!$, $\left[\!{\begin{array}{c}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A_{1}}={\cancel {{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A_{2}}\;+}}\;{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {A_{2}A_{1}}}\neq {\overrightarrow {0}}\\A_{2}\;\in \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}\Rightarrow {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A_{2}}={\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right]\,$ d'où le produit$\;\color {transparent}{\big$ou comoment$\color {transparent}{\big )}\;$de deux torseurs glisseurs$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;$est non nul $\;{\mathcal {G}}_{1}\otimes {\mathcal {G}}_{2}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R_{1}}}\neq 0\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,A_{1}}={\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A_{1}}\otimes \left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A_{1}}\neq {\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A_{1}}={\vec {R}}_{1}\cdot \left[{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {A_{2}A_{1}}}\right]\;{\cancel {+\;{\vec {R}}_{2}\cdot {\overrightarrow {0}}_{(1),\,A_{1}}}}\;$ $\neq 0$, le produit$\;\color {transparent}{\big$ou comoment$\color {transparent}{\big )}\;$de deux torseurs glisseurs$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;$et$\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;$est non nul les trois vecteurs $\;\left({\vec {R}}_{1}\,,\,{\vec {R}}_{2}\,,\,{\overrightarrow {A_{2}A_{1}}}\right)\;$ n'étant pas coplanaires leur produit mixte est non nul.

## Exemples de torseurs en mécanique
### Torseur statique

Le torseur statique $\;{\big$ou torseur des actions mécaniques${\big )}\;$ sert à modéliser les actions mécaniques lors de la résolution d'un problème de statique tridimensionnel.
Une action mécanique exercée sur un système de points matériels $\;\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}\;$ peut être représentée par une force $\;{\vec {F}}_{k}\;$ s'exerçant sur le point $\;A_{k}\;$ ou Une action mécanique exercée sur un système de points matériels $\;\color {transparent}{\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}}\;$ peut être représentée par une répartition de forces de somme nulle $\;{\vec {C}}_{\left(l\,\in \left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]\right)}=\left\lbrace {\vec {F}}_{l},\;\sum \limits _{l}^{\left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]}{\vec {F}}_{l}={\vec {0}}\right\rbrace \;$ Une action mécanique exercée sur un système de points matériels $\;\color {transparent}{\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}}\;$ peut être représentée par une répartition définissant un couple au sens de la mécanique s'appliquant au moins Une action mécanique exercée sur un système de points matériels $\;\color {transparent}{\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}}\;$ peut être représentée par une répartition définissant un couple en deux points distincts «$\;A_{l},\,l\in \left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]\;$» ;
Une action mécanique exercée sur un système de points matériels $\;\color {transparent}{\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}}\;$ $\succ \;$chaque force $\;{\vec {F}}_{k}\;$ s'exerçant sur le point $\;A_{k}\;$ est un torseur glisseur $\;{\mathcal {G}}_{k}\;$ de support $\;\Delta _{{\mathcal {G}}_{k}}\;$ défini par Une action mécanique exercée sur un système de points matériels $\;\color {transparent}{\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$chaque force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{k}}\;$ s'exerçant sur le point $\;\color {transparent}{A_{k}}\;$ est la droite issue de $\;A_{k}\;$ de vecteur directeur $\;{\vec {F}}_{k}$, Une action mécanique exercée sur un système de points matériels $\;\color {transparent}{\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$chaque force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{k}}\;$ s'exerçant sur le point $\;\color {transparent}{A_{k}}\;$ est ses éléments de réduction en un point $\;O\;$ quelconque Une action mécanique exercée sur un système de points matériels $\;\color {transparent}{\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$chaque force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{k}}\;$ s'exerçant sur le point $\;\color {transparent}{A_{k}}\;$ est étant $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {F}}_{k}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\vec {F}}_{k}}={\vec {F}}_{k}\wedge {\overrightarrow {A_{k}O}}\end{array}}\right\rbrace _{O}\;$,
Une action mécanique exercée sur un système de points matériels $\;\color {transparent}{\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}}\;$ $\succ \;$chaque répartition de forces de somme nulle $\;{\vec {C}}_{\left(l\,\in \left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]\right)}=\left\lbrace {\vec {F}}_{l},\;\sum \limits _{l}^{\left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]}{\vec {F}}_{l}={\vec {0}}\right\rbrace \;$ Une action mécanique exercée sur un système de points matériels $\;\color {transparent}{\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$chaque répartition de forces de somme nulle est un torseur couple $\;{\mathcal {C}}_{\left(l\,\in \left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]\right)}$, Une action mécanique exercée sur un système de points matériels $\;\color {transparent}{\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$chaque répartition de forces de somme nulle est ses éléments de réduction en un point $\;O\;$ quelconque étant Une action mécanique exercée sur un système de points matériels $\;\color {transparent}{\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$chaque répartition de forces de somme nulle est $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\vec {C}}_{\left(l\,\in \left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]\right)}}=\sum \limits _{l}^{\left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]}{\vec {F}}_{l}\wedge {\overrightarrow {A_{l}O}}\end{array}}\right\rbrace \;$$^,$ $\Rightarrow$
Une action mécanique exercée sur un système de points matériels $\;\color {transparent}{\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}}\;$ $\succ \;$les actions mécaniques s'exerçant sur le système de points matériels $\;\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}\;$ Une action mécanique exercée sur un système de points matériels $\;\color {transparent}{\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$les actions mécaniques sont représentées par un torseur $\;{\mathcal {T}}_{\text{stat.}}\;$ nommé « torseur statique » dont Une action mécanique exercée sur un système de points matériels $\;\color {transparent}{\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$les actions mécaniques les éléments de réduction en un point $\;O\;$ quelconque sont Une action mécanique exercée sur un système de points matériels $\;\color {transparent}{\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$les actions mécaniques $\;{\mathcal {T}}_{\text{stat.}}=\sum _{k}{\mathcal {G}}_{k}+\sum \limits _{q,\,{\text{indexant}}}^{\left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]}{\mathcal {C}}_{q}\;$ Une action mécanique exercée sur un système de points matériels $\;\color {transparent}{\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$les actions mécaniques $\;\color {transparent}{{\mathcal {T}}_{\text{stat.}}}$ $=\left\lbrace {\begin{array}{c}\sum _{k}{\vec {F}}_{k}\\\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\vec {F}}_{k}}+\sum \limits _{q,\,{\text{indexant}}}^{\left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{{\vec {C}}_{\left(l\,\in \left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]_{q}\right)}}\end{array}}\right\rbrace _{O}\;$.

### Torseur cinématique

Le torseur cinématique sert à représenter pratiquement les comportements de translation et de rotation d'un solide $\;{\big$ou système indéformable de points matériels${\big )}\;$ mais Le torseur cinématique ne peut pas être utilisé pour un système déformable $\;{\big$ce qui limite son introduction dans le domaine de la physique${\big )}\;$.
On établit en effet que le champ de vitesse des points d'un solide$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right),\,A_{i}A_{j}\,=\,cste\;\forall (i,\,j)}\;$ dans un référentiel donné $\;{\vec {V}}_{A_{k}}(t)\;$ On établit en effet que le champ de vitesse des points d'un solide$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}$ est équiprojectif donc représentable par un torseur en effet On établit en effet que le champ de vitesse des points d'un solide$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}$ $\forall \;\left(A_{i}\,,\,A_{j}\right)\in \left({\mathcal {S}}\right),\;A_{i}A_{j}=cste\;$ $\Rightarrow$ $\;\Vert {\overrightarrow {A_{i}A_{j}}}(t)\Vert ^{2}=cste'\;$ $\Rightarrow$ $\;2\;{\overrightarrow {A_{i}A_{j}}}(t)\cdot {\dfrac {d{\overrightarrow {A_{i}A_{j}}}}{dt}}(t)=0\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ d'où, On établit en effet que le champ de vitesse des points d'un solide$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}$ en repérant les positions du solide dans le référentiel d'étude relativement à un point $\;O\;$ lié au référentiel, On établit en effet que le champ de vitesse des points d'un solide$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}$ ${\dfrac {d{\overrightarrow {A_{i}A_{j}}}}{dt}}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {OA_{j}}}}{dt}}(t)-{\dfrac {d{\overrightarrow {OA_{i}}}}{dt}}(t)={\vec {V}}_{A_{j}}(t)-{\vec {V}}_{A_{i}}(t)$, d'où $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ $\Rightarrow$ $\;{\overrightarrow {A_{i}A_{j}}}(t)\cdot \left[{\vec {V}}_{A_{j}}(t)-{\vec {V}}_{A_{i}}(t)\right]=0\;$ ou On établit en effet que le champ de vitesse des points d'un solide$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}$ ${\overrightarrow {A_{i}A_{j}}}(t)\cdot {\vec {V}}_{A_{j}}(t)={\overrightarrow {A_{i}A_{j}}}(t)\cdot {\vec {V}}_{A_{i}}(t)\;$ établissant le caractère équiprojectif du champ de vitesse d'un solide ;
d'après la forme directe de la relation de Varignon$^,$ on peut définir, pour le torseur du champ de vitesse d'un solide nommé « torseur cinématique », d'après la forme directe de la relation de Varignon on peut définir, un vecteur unique $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$ vérifiant $\;{\vec {V}}_{A_{j}}(t)={\vec {V}}_{A_{i}}(t)+{\overrightarrow {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {A_{i}A_{j}}}(t)$, d'après la forme directe de la relation de Varignon on peut définir, un vecteur unique $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$ définissant la résultante du torseur cinématique ;
les éléments de réduction du torseur cinématique du solide $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en un point $\;A\;$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ sont $\;{\mathcal {T}}_{{\text{cinémat. de}}\,({\mathcal {S}})}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\overrightarrow {\Omega }}(t)\\{\vec {V}}_{A}(t)\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A}\!$, le mouvement de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ dépendant de la nature de son torseur cinématique :
* le torseur cinématique est un torseur couple si $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)={\overrightarrow {0}}\;\forall \;t\;$ traduisant une translation du solide, la relation de Varignon s'écrivant $\;{\vec {V}}_{B}(t)={\vec {V}}_{A}(t)\;$ pour $\;\left(A,\,B\right)\in ({\mathcal {S}})^{2}$, dans ce cas le torseur cinématique n'a pas d'axe central,
* le torseur cinématique est un torseur glisseur si $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\neq {\overrightarrow {0}}\;$ avec l'existence d'un point $\;A\in ({\mathcal {S}})\;$ tel que $\;{\vec {V}}_{A}(t)={\vec {0}}$ $\;{\big$point central du glisseur${\big )}$, le torseur glisseur ayant pour support « la droite issue de $\;A\;$ de vecteur directeur $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$», les autres points $\;B\in ({\mathcal {S}})\;$ et $\;\neq A\;$ de vecteurs vitesse $\;{\vec {V}}_{B}(t)={\overrightarrow {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AB}}(t)\;$ selon la relation de Varignon établissent que le solide a un mouvement de rotation de vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$ autour du point fixe $\;A\;$ du solide,
* le torseur cinématique est un torseur non particulier si $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\neq {\overrightarrow {0}}\;$ avec l'existence d'un point $\;A\in ({\mathcal {S}})\;$ tel que $\;{\vec {V}}_{A}(t)\;\parallel \;$ à $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)$ $\;{\big$point central du torseur${\big )}$, le torseur ayant pour axe central $\;\Delta _{{\mathcal {T}}_{{\text{cinémat. de}}\,({\mathcal {S}})}}(t)\;$ « la droite issue de $\;A\;$ de vecteur directeur $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$», les autres points $\;B\notin \Delta _{{\mathcal {T}}_{{\text{cinémat. de}}\,({\mathcal {S}})}}(t)\;$ de vecteurs vitesse $\;{\vec {V}}_{B}(t)={\vec {V}}_{A}(t)+{\overrightarrow {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AB}}(t)\;$ selon la relation de Varignon établissent que le mouvement du solide résulte de la composition d'une rotation de vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$ autour l'axe central $\;\Delta _{{\mathcal {T}}_{{\text{cinémat. de}}\,({\mathcal {S}})}}(t)\;$ et d'une translation de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{A}(t)\;$ $\parallel \;$ à $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$ et
* le torseur cinématique est un torseur non particulier si $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\neq {\overrightarrow {0}}\;$ avec absence de point $\;A\in ({\mathcal {S}})\;$ tel que $\;{\vec {V}}_{A}(t)\;\parallel \;$ à $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)$ $\;{\big$absence de point central du torseur${\big )}$, le torseur n'ayant donc pas d'axe central ; le choix d'un point quelconque $\;P\in ({\mathcal {S}})\;$ de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{P}(t)\;$ et d'un autre point $\;Q\in ({\mathcal {S}})\;$ mais $\;\neq P\;$ de vecteurs vitesse $\;{\vec {V}}_{Q}(t)={\vec {V}}_{P}(t)+{\overrightarrow {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {PQ}}(t)\;$ selon la relation de Varignon établit que le mouvement du solide résulte de la composition d'une rotation de vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$ autour d'un axe $\;\parallel \;$ à $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$ passant par $\;P\;$ et d'une translation de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{P}(t)\;\not \parallel \;$ à $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)$.

### Torseur cinétique

Le torseur cinétique sert à représenter pratiquement les comportements de « mouvement inertiel » d'un système de points matériels $\;{\big$déformable ou indéformable${\big )}\;$.
La grandeur cinétique d'un système de points matériels $\;\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}\;$ dans le référentiel d'étude La grandeur cinétique est représentée, à l'instant $\;t$, par son vecteur quantité de mouvement $\;{\vec {p}}_{k}(t)=m_{k}\;{\vec {V}}_{A_{k}}(t)\;$ du point $\;A_{k}\;$ avec $\;m_{k}\;$ masse du point et $\;{\vec {V}}_{A_{k}}(t)\;$ son vecteur vitesse à l'instant $\;t$ ;
la quantité de mouvement $\;{\vec {p}}_{k}(t)\;$ du point $\;A_{k}\;$ est un torseur glisseur $\;{\mathcal {G}}_{k}\;$ dont le support $\;\Delta _{{\mathcal {G}}_{k}}(t)\;$ est la droite issue de $\;A_{k}\;$ de vecteur directeur $\;{\vec {p}}_{k}(t)$, la quantité de mouvement $\;\color {transparent}{{\vec {p}}_{k}(t)}\;$ du point $\;\color {transparent}{A_{k}}\;$ est un torseur glisseur $\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{k}}\;$ ses éléments de réduction en un point $\;O\;$ quelconque sont $\;\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {p}}_{k}(t)=m_{k}\;{\vec {V}}_{A_{k}}(t)\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\vec {p}}_{k}}(t)={\vec {p}}_{k}(t)\wedge {\overrightarrow {A_{k}O}}(t)\end{array}}\!\right\rbrace _{\!O}\;$ ;
l'ensemble des quantités de mouvement des points du système de points matériels $\;\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}\;$ l'ensemble des quantités de mouvement des points du système est un torseur $\;{\mathcal {T}}_{\text{cinét.}}\;$ nommé « torseur cinétique » l'ensemble des quantités de mouvement des points du système est un torseur $\;\color {transparent}{{\mathcal {T}}_{\text{cinét.}}}\;$ dont les éléments de réduction en un point $\;O\;$ quelconque sont $\;{\mathcal {T}}_{\text{cinét.}}=\sum _{k}{\mathcal {G}}_{k}=\left\lbrace {\begin{array}{c}\sum _{k}{\vec {p}}_{k}(t)\\\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\vec {p}}_{k}}(t)\end{array}}\right\rbrace _{O}\;$, l'ensemble des quantités de mouvement des points du système est un torseur $\;\color {transparent}{{\mathcal {T}}_{\text{cinét.}}}\;$ $\bullet \;$la résultante $\;\sum _{k}{\vec {p}}_{k}(t)=\sum _{k}m_{k}\;{\vec {V}}_{k}(t)\;$ du torseur cinétique notée $\;{\vec {P}}(t)\;$ est appelée « résultante cinétique » et l'ensemble des quantités de mouvement des points du système est un torseur $\;\color {transparent}{{\mathcal {T}}_{\text{cinét.}}}\;$ $\bullet \;$le moment $\;\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\vec {p}}_{k}}(t)=\sum _{k}{\vec {p}}_{k}(t)\wedge {\overrightarrow {A_{k}O}}(t)\;$ du torseur cinétique noté, en physique, l'ensemble des quantités de mouvement des points du système est un torseur $\;\color {transparent}{{\mathcal {T}}_{\text{cinét.}}}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$${\overrightarrow {\sigma }}_{O,\,\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}}(t)\;$ est appelé « moment résultant cinétique » au point $\;O\;$, il s'écrit, en physique, l'ensemble des quantités de mouvement des points du système est un torseur $\;\color {transparent}{{\mathcal {T}}_{\text{cinét.}}}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$${\overrightarrow {\sigma }}_{O}(t)=\sum _{k}{\overrightarrow {OA_{k}}}(t)\wedge {\vec {p}}_{k}(t)=\sum _{k}{\overrightarrow {OA_{k}}}(t)\wedge m\;{\vec {V}}_{k}(t)\;$ et la relation de Varignon lui est applicable selon l'ensemble des quantités de mouvement des points du système est un torseur $\;\color {transparent}{{\mathcal {T}}_{\text{cinét.}}}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$${\overrightarrow {\sigma }}_{O'}(t)={\overrightarrow {\sigma }}_{O}(t)+{\vec {P}}(t)\wedge {\overrightarrow {OO'}}\;$ ou encore $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{O'}(t)=$ ${\overrightarrow {\sigma }}_{O}(t)+{\overrightarrow {O'O}}\wedge {\vec {P}}(t)$.
Le torseur cinétique du système de points matériels $\;\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}\;$ dans le référentiel d'étude à l'instant $\;t\;$ est :
* un torseur couple si $\;{\vec {P}}(t)={\vec {0}}\;\forall \;t\;$ traduisant l'immobilité du C.D.I. $\;G\;$ du système quand celui-ci est fermé, la relation de Varignon s'écrivant $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{O'}(t)={\overrightarrow {\sigma }}_{O}(t)\;$ pour $\;\left(O,\,O'\right)\in {\mathcal {E}}^{2}\;$ quelconque, dans ce cas le torseur cinétique n'a pas d'axe central,
* un torseur glisseur si $\;{\vec {P}}(t)\neq {\vec {0}}\;$ avec l'existence d'un point $\;A\in {\mathcal {E}}\;$ tel que $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(t)={\vec {0}}$ $\;{\big$point central du glisseur${\big )}$, le torseur glisseur ayant pour support « la droite issue de $\;A\;$ de vecteur directeur $\;{\vec {P}}(t)\;$», en un autre point $\;B\in ({\mathcal {E}})\;$ et $\;\neq A\;$ le moment résultant cinétique s'écrit $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{B}(t)=$ ${\vec {P}}(t)\wedge {\overrightarrow {AB}}$ $\;{\Big$ou $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{B}(t)={\overrightarrow {BA}}\wedge {\vec {P}}(t)\;$ comme on le note préférentiellement en physique${\Big ]}\;$ selon la relation de Varignon établissant que le moment résultant cinétique du système en $\;B\;$ est égal au moment cinétique en $\;B\;$ du point $\;A\;$ auquel on aurait affecté une quantité de mouvement égale à la résultante cinétique du système,
* un torseur non particulier si $\;{\vec {P}}(t)\neq {\vec {0}}\;$ avec l'existence d'un point $\;A\in {\mathcal {E}}\;$ tel que $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(t)\;\parallel \;$ à $\;{\vec {P}}(t)$ $\;{\big$point central du torseur${\big )}$, le torseur ayant pour axe central $\;\Delta _{{\mathcal {T}}_{\text{cinét.}}}(t)\;$ « la droite issue de $\;A\;$ de vecteur directeur $\;{\vec {P}}(t)\;$», en un autre point $\;B\in ({\mathcal {E}})\;$ et $\;\neq A\;$ le moment résultant cinétique s'écrit $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{B}(t)=$ ${\overrightarrow {\sigma }}_{A}(t)+{\vec {P}}(t)\wedge {\overrightarrow {AB}}$ $\;{\Big$ou $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{B}(t)={\overrightarrow {\sigma }}_{A}(t)+{\overrightarrow {BA}}\wedge {\vec {P}}(t)\;$ comme on le note préférentiellement en physique${\Big ]}\;$ selon la relation de Varignon établissant que le moment résultant cinétique du système en $\;B\;$ résulte de la composition du moment résultant cinétique en $\;A\;$ et du moment cinétique en $\;B\;$ du point $\;A\;$ auquel on aurait affecté une quantité de mouvement égale à la résultante cinétique du système, ces deux moments résultants cinétiques étant $\;\perp \;$ entre eux et
* un torseur non particulier si $\;{\vec {P}}(t)\neq {\vec {0}}\;$ avec absence de point $\;A\in {\mathcal {E}}\;$ tel que $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(t)\;\parallel \;$ à $\;{\vec {P}}(t)$ $\;{\big$absence de point central du torseur${\big )}$, le torseur n'ayant pas d'axe central, considérant un point $\;D\in {\mathcal {E}}\;$ par rapport auquel le moment résultant cinétique est $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{D}(t)\;$ et un autre point $\;B\in {\mathcal {E}}\;$ et $\;\neq D\;$ par rapport auquel le moment résultant cinétique s'écrit ${\overrightarrow {\sigma }}_{B}(t)={\overrightarrow {\sigma }}_{D}(t)+{\vec {P}}(t)\wedge {\overrightarrow {DB}}$ $\;{\Big$ou $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{B}(t)=$ ${\overrightarrow {\sigma }}_{D}(t)+{\overrightarrow {BD}}\wedge {\vec {P}}(t)\;$ comme on le note préférentiellement en physique${\Big ]}\;$ selon la relation de Varignon établissant que le moment résultant cinétique du système en $\;B\;$ résulte de la composition du moment résultant cinétique en $\;D$, point quelconque, et du moment cinétique en $\;B\;$ du point $\;D\;$ auquel on aurait affecté une quantité de mouvement égale à la résultante cinétique du système, ces deux moments résultants cinétiques étant a priori quelconques.

### Torseur dynamique

Le torseur dynamique sert à représenter les variations de « mouvement inertiel » d'un système de points matériels $\;{\big$déformable ou indéformable${\big )}\;$.
La grandeur dynamique d'un système de points matériels $\;\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}\;$ dans le référentiel d'étude La grandeur dynamique est représentée, à l'instant $\;t$, par la dérivée temporelle de son vecteur quantité de mouvement $\;{\dfrac {d{\vec {p}}_{k}}{dt}}(t)={\dot {{\vec {p}}_{k}}}(t)=m_{k}\;{\vec {a}}_{A_{k}}(t)\;$ du point $\;A_{k}\;$ avec La grandeur dynamique est représentée, à l'instant $\;\color {transparent}{t}$, par la dérivée temporelle de son vecteur quantité de mouvement $\;m_{k}\;$ masse du point et $\;{\vec {a}}_{A_{k}}(t)={\dot {{\vec {V}}_{k}}}(t)\;$ son vecteur accélération à l'instant $\;t$ ;
la dérivée temporelle du vecteur quantité de mouvement $\;{\dot {{\vec {p}}_{k}}}(t)\;$ du point $\;A_{k}\;$ est un glisseur $\;{\mathcal {G}}_{k}\;$ dont le support $\;\Delta _{{\mathcal {G}}_{k}}(t)\;$ est la droite issue de $\;A_{k}\;$ de vecteur directeur $\;{\dot {{\vec {p}}_{k}}}(t)={\dfrac {d{\vec {p}}_{k}}{dt}}(t)\;$ avec la dérivée temporellle du vecteur quantité de mouvement $\;\color {transparent}{{\dot {{\vec {p}}_{k}}}(t)}\;$ du point $\;\color {transparent}{A_{k}}\;$ est un glisseur $\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{k}}\;$ pour éléments de réduction en un point $\;O\;$ quelconque $\;\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\dfrac {d{\vec {p}}_{k}}{dt}}(t)=m_{k}\;{\vec {a}}_{A_{k}}(t)\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\dot {{\vec {p}}_{k}}}}(t)={\dfrac {d{\vec {p}}_{k}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {A_{k}O}}(t)\end{array}}\!\right\rbrace _{\!O}\;$ ;
l'ensemble des dérivées temporelles des quantités de mouvement des points du système de points matériels $\;\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}\;$ l'ensemble des dérivées temporelles des quantités de mouvement des points est un torseur $\;{\mathcal {T}}_{\text{dynam.}}\;$ nommé « torseur dynamique » avec l'ensemble des dérivées temporelles des quantités de mouvement des points est un torseur pour éléments de réduction en un point $\;O\in {\mathcal {E}}\;$ $\;{\mathcal {T}}_{\text{dynam.}}=\sum _{k}{\mathcal {G}}_{k}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}\sum _{k}{\dfrac {d{\vec {p}}_{k}}{dt}}(t)\\\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\dot {{\vec {p}}_{k}}}}(t)\end{array}}\!\right\rbrace _{\!O}\;$, l'ensemble des dérivées temporelles des quantités de mouvement des points est un torseur $\bullet \;$la résultante $\;\sum _{k}{\dfrac {d{\vec {p}}_{k}}{dt}}(t)=\sum _{k}{\dot {{\vec {p}}_{k}}}(t)=\sum _{k}m_{k}\;{\vec {a}}_{k}(t)\;$ du torseur dynamique l'ensemble des dérivées temporelles des quantités de mouvement des points est un torseur $\color {transparent}{\bullet }\;$la résultante est appelée, par quelques uns, « quantité d'accélération »$^,$ et l'ensemble des dérivées temporelles des quantités de mouvement des points est un torseur $\bullet \;$le moment $\;\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\dot {{\vec {p}}_{k}}}}(t)=\sum _{k}{\dfrac {d{\vec {p}}_{k}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {A_{k}O}}(t)\;$ du torseur dynamique noté, en physique, l'ensemble des dérivées temporelles des quantités de mouvement des points est un torseur $\color {transparent}{\bullet }\;$${\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,\left\lbrace A_{k}\,,\,{\dot {\vec {p_{k}}}}\,,\,k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right\rbrace }(t)=\sum _{k}{\overrightarrow {OA_{k}}}(t)\wedge {\dfrac {d{\vec {p}}_{k}}{dt}}(t)\;$ est appelé, par quelques uns, l'ensemble des dérivées temporelles des quantités de mouvement des points est un torseur $\color {transparent}{\bullet }\;$« moment (résultant) dynamique » au point $\;O\;$ il s'écrit donc, en physique, l'ensemble des dérivées temporelles des quantités de mouvement des points est un torseur $\color {transparent}{\bullet }\;$${\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\text{tors. dynam.}}}(t)=\sum _{k}{\overrightarrow {OA_{k}}}(t)\wedge {\dfrac {d{\vec {p}}_{k}}{dt}}(t)=\sum _{k}{\overrightarrow {OA_{k}}}(t)\wedge m\;{\vec {a}}_{k}(t)\;$ et l'ensemble des dérivées temporelles des quantités de mouvement des points est un torseur $\color {transparent}{\bullet }\;$la relation de Varignon lui est applicable selon l'ensemble des dérivées temporelles des quantités de mouvement des points est un torseur $\color {transparent}{\bullet }\;$${\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O',\,{\text{tors. dynam.}}}(t)={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\text{tors. dynam.}}}(t)+{\dfrac {d{\vec {P}}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {OO'}}\;$ ou encore l'ensemble des dérivées temporelles des quantités de mouvement des points est un torseur $\color {transparent}{\bullet }\;$${\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O',\,{\text{tors. dynam.}}}(t)={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\text{tors. dynam.}}}(t)+{\overrightarrow {O'O}}\wedge {\dfrac {d{\vec {P}}}{dt}}(t)$.

### Produit (ou comoment) du torseur statique exercé sur un solide et du torseur cinématique de ce dernier

Soient $\;{\mathcal {T}}_{{\text{stat. sur}}\,({\mathcal {S}})}=\left\lbrace {\begin{array}{c}\sum _{k}{\vec {F}}_{k}\\\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\vec {F}}_{k}}+\sum \limits _{q,\,{\text{indexant}}}^{\left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{{\vec {C}}_{\left(l\,\in \left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]_{q}\right)}}\end{array}}\right\rbrace _{O}\;$ le torseur statique s'exerçant sur le solide $\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}\;$ ou $\;{\mathcal {T}}_{{\text{stat. sur}}\,({\mathcal {S}})}=\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {F}}_{\text{ext}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\text{ext}}}\end{array}}\right\rbrace _{O}\;$ et Soient $\;{\mathcal {T}}_{{\text{cinémat. de}}\,({\mathcal {S}})}=\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overrightarrow {\Omega }}(t)\\{\vec {V}}_{O}(t)\end{array}}\right\rbrace _{O}$ le torseur cinématique du solide pour lequel $\;O\;$ doit être un point du solide, le produit $\;{\big$ou comoment${\big )}\;$ des torseurs statique et cinématique relatif au solide $\;\left({\mathcal {S}}\right)$, à savoir $\;{\mathcal {T}}_{{\text{stat. sur}}\,({\mathcal {S}})}\otimes {\mathcal {T}}_{{\text{cinémat. de}}\,({\mathcal {S}})}$, nécessite de choisir $\;O\in \left({\mathcal {S}}\right)$, le produit $\;\color {transparent}{\big$ou comoment$\color {transparent}{\big )}\;$ des torseurs statique et cinématique relatif au solide $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}$, s'écrit $\;{\mathcal {T}}_{{\text{stat. sur}}\,({\mathcal {S}})}\otimes {\mathcal {T}}_{{\text{cinémat. de}}\,({\mathcal {S}})}=\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {F}}_{\text{ext}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\text{ext}}}\end{array}}\right\rbrace _{O}\otimes \left\lbrace {\begin{array}{c}{\overrightarrow {\Omega }}(t)\\{\vec {V}}_{O}(t)\end{array}}\right\rbrace _{O}$ le produit $\;\color {transparent}{\big$ou comoment$\color {transparent}{\big )}\;$ des torseurs statique et cinématique relatif au solide $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}$, s'écrit $\;\color {transparent}{{\mathcal {T}}_{{\text{stat. sur}}\,({\mathcal {S}})}\otimes {\mathcal {T}}_{{\text{cinémat. de}}\,({\mathcal {S}})}}$ $={\vec {F}}_{\text{ext}}\cdot {\vec {V}}_{O}(t)+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\text{ext}}}\cdot {\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$ correspondant à le produit $\;\color {transparent}{\big$ou comoment$\color {transparent}{\big )}\;$ des torseurs statique et cinématique relatif au solide $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}$, $\bullet \;$la puissance développée par la résultante dynamique $\;{\vec {F}}_{\text{ext}}\;$ lors de la translation de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{O}(t)\;$ c.-à-d. le produit $\;\color {transparent}{\big$ou comoment$\color {transparent}{\big )}\;$ des torseurs statique et cinématique relatif au solide $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$la puissance développée par la résultante dynamique $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{\text{ext}}}\;$ ${\vec {F}}_{\text{ext}}\cdot {\vec {V}}_{O}(t)\;$ augmentée de le produit $\;\color {transparent}{\big$ou comoment$\color {transparent}{\big )}\;$ des torseurs statique et cinématique relatif au solide $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}$, $\bullet \;$la puissance développée par le moment résultant dynamique $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\text{ext}}}\;$ lors de la rotation autour du point $\;O$ le produit $\;\color {transparent}{\big$ou comoment$\color {transparent}{\big )}\;$ des torseurs statique et cinématique relatif au solide $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$la puissance développée par le moment résultant dynamique $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\text{ext}}}}\;$ de vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$ le produit $\;\color {transparent}{\big$ou comoment$\color {transparent}{\big )}\;$ des torseurs statique et cinématique relatif au solide $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$la puissance développée par le moment résultant dynamique c.-à-d. $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\text{ext}}}\cdot {\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$ soit finalement le produit $\;\color {transparent}{\big$ou comoment$\color {transparent}{\big )}\;$ des torseurs statique et cinématique relatif au solide $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}$, s'écrit $\;{\mathcal {T}}_{{\text{stat. sur}}\,({\mathcal {S}})}\otimes {\mathcal {T}}_{{\text{cinémat. de}}\,({\mathcal {S}})}={\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)\;$ c.-à-d. la puissance développée par les actions extérieures le produit $\;\color {transparent}{\big$ou comoment$\color {transparent}{\big )}\;$ des torseurs statique et cinématique relatif au solide $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}$, s'écrit $\;\color {transparent}{{\mathcal {T}}_{{\text{stat. sur}}\,({\mathcal {S}})}\otimes {\mathcal {T}}_{{\text{cinémat. de}}\,({\mathcal {S}})}={\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)}\;$ c.-à-d. la puissance s'exerçant sur le solide $\;({\mathcal {S}})$ ;
en conclusion le produit $\;{\big$ou comoment${\big )}\;$ des torseurs statique et cinématique relatif au solide $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ évalue la puissance développée par les actions extérieures s'exerçant sur le solide $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en conclusion le produit $\;\color {transparent}{\big$ou comoment$\color {transparent}{\big )}\;$ des torseurs statique et cinématique relatif au solide $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}\;$ évalue la puissance développée dans le référentiel où le torseur cinématique est déterminé soit
$\;{\mathcal {T}}_{{\text{stat. sur}}\,({\mathcal {S}})}\otimes {\mathcal {T}}_{{\text{cinémat. de}}\,({\mathcal {S}})}={\vec {F}}_{\text{ext}}\cdot {\vec {V}}_{O}(t)+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\text{ext}}}\cdot {\overrightarrow {\Omega }}(t)={\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)\;$