# Mécanique 2 (PCSI)/Exercices/Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Champ newtonien, lois de Kepler
## Comète de Halley

Connaissant la période de la comète de Halley étant «$\;T_{H}=76,0\;a\;$ » ainsi que Connaissant la distance entre le périhélie de sa trajectoire autour du Soleil $\;{\text{☉}}\;$ et ce dernier «$\;r_{P,\,H}=0,59\;ua\;$ »,
calculer, en vous servant des « connaissances élémentaires que vous possédez sur la trajectoire de la Terre $\;{\text{♁}}\;$» $\;{\big \$en particulier supposer nulle l'excentricité de l'orbite terrestre${\big \}$, les grandeurs suivantes caractérisant la comète de Halley :
* son demi grand axe «$\;a_{H}\;$ en $\;ua\;$ »,
* son excentricité «$\;e_{H}\;$» ainsi que
* ses vitesses maximale et minimale en $\;km\cdot s^{-1}\;$ dans le référentiel de Copernic$^,$.
$\;\succ \;$Détermination du demi grand axe${\underline {\;a_{H}\;}}$de la comète de Halley : nous utilisons la 3ème loi de Kepler pour obtenir «$\;a_{H}\;$» connaissant la période «$\;T_{H}\;$» de la comète soit «$\;{\dfrac {a_{H}^{\,3}}{T_{H}^{\,2}}}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}}{4\;\pi ^{2}}}\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$» avec «$\;{\mathcal {G}}\;$ la constante de gravitation universelle et $\;m_{\text{☉}}\;$ la masse de la source du champ de gravitation c'est-à-dire du Soleil $\;{\text{☉}}\;$» ;
Détermination du demi grand axe aH de la comète de Halley : il reste à déterminer la constante «$\;{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}}{4\;\pi ^{2}}}\;$» à l'aide des données sur la Terre $\;{\text{♁}}$, à savoir la période de révolution de la Terre $\;{\text{♁}}\;$ autour du Soleil $\;{\text{☉}}\;$ «$\;T_{\text{♁}}=1\;a\;$ » et le rayon de l'orbite terrestre quasi-circulaire «$\;r_{\text{♁}}=1\;ua\;$ » soit «$\;{\dfrac {r_{\text{♁}}^{\,3}}{T_{\text{♁}}^{\,2}}}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}}{4\;\pi ^{2}}}\;$» $\Rightarrow$ la constante recherchée vaut «$\;{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}}{4\;\pi ^{2}}}={\dfrac {r_{\text{♁}}^{\,3}}{T_{\text{♁}}^{\,2}}}\;$» d'où
$\;{\dfrac {a_{H}^{\,3}}{T_{H}^{\,2}}}={\dfrac {r_{\text{♁}}^{\,3}}{T_{\text{♁}}^{\,2}}}\;$
$\;a_{H}=r_{\text{♁}}\left({\dfrac {T_{H}}{T_{\text{♁}}}}\right)^{\!\!{\frac {2}{3}}}\simeq 1\times \left({\dfrac {76}{1}}\right)^{\!\!{\frac {2}{3}}}\;$
$\;a_{H}\simeq 17,94\;ua\simeq 18\;ua\;$
$\;\succ \;$
${\underline {\;e_{H}\;}}$
$\;S\;$
$\;{\text{☉}}\;$
$\;r_{P,\,H}\;$
$\;M\;$
$\;r={\dfrac {p_{H}}{1+e_{H}\;\cos(\theta -\varphi )}}\;$
$\;r=SM$
$\;p_{H}\;$
$\;\varphi \;$
$\;\theta \;$
$\;{\overrightarrow {SM}}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;r_{P,\,H}={\dfrac {p_{H}}{1+e_{H}}}\;$
$\;p_{H}=a_{H}\;(1-e_{H}^{2})\;$
$\Rightarrow$
$\;r_{P,\,H}=a_{H}\;(1-e_{H})\;$
$\;e_{H}=1-{\dfrac {r_{P,\,H}}{a_{H}}}\simeq 1-{\dfrac {0,59}{18}}\;$
$\;e_{H}\simeq 0,967\simeq 0,97\;$
$\;\succ \;$
${\underline {\;V_{{\text{max}},\,H}\;}}$
${\underline {\;V_{{\text{min}},\,H}\;}}$
$\;P\;$
$\;A\;$
$\;V_{{\text{max}},\,H}=V_{P,\,H}\;$
$\;V_{{\text{min}},\,H}=V_{A,\,H}\;$
$\;S\;$
$\;{\text{☉}}\;$
$\;P\;$
$\;r_{P,\,H}\simeq$
$0,59\;ua\;$
$\;A\;$
$\;r_{A,\,H}=2\;a_{H}-r_{P,\,H}\simeq 2\times 17,94-0,59\simeq 35,29\;ua\simeq 35\;ua\;$
$\;V_{P,\,H}\;r_{P,\,H}=\vert C\vert \;$
$\;V_{A,\,H}\;r_{A,\,H}=\vert C\vert \;$
$\;C$
$\;C\;$
$\;p_{H}={\dfrac {m_{H}\;C^{2}}{-k}}\;$
$\;k=-{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}\;m_{H}\;$
$\Rightarrow$
$\;p_{H}={\dfrac {C^{2}}{{\mathcal {G}}\,m_{\text{☉}}}}\;$
$\;\vert C\vert ={\sqrt {{\mathcal {G}}\,m_{\text{☉}}\;p_{H}}}\;$
$\;{\mathcal {G}}\,m_{\text{☉}}\;$
$\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$
$\Rightarrow$
$\;{\mathcal {G}}\,m_{\text{☉}}=4\;\pi ^{2}\;{\dfrac {a_{H}^{\,3}}{T_{H}^{\,2}}}\;$
$\;\vert C\vert$
$\;\vert C\vert ={\dfrac {2\;\pi \;a_{H}}{T_{H}}}\;{\sqrt {a_{H}\;p_{H}}}\;$
$\;p_{H}\;$
$\;a_{H}\;(1-e_{H}^{\,2})\;$
$\;\vert C\vert ={\dfrac {2\;\pi \;a_{H}^{\,2}}{T_{H}}}\;{\sqrt {1-e_{H}^{\,2}}}\;$
$\;{\big \$
$\;C$
$\;{\big$
${\big )}\;$
${\big \}$
$\;V_{{\text{max}},\,H}=V_{P,\,H}={\dfrac {\vert C\vert }{r_{P,\,H}}}\;$
$\;V_{{\text{max}},\,H}={\dfrac {2\;\pi \;a_{H}^{\,2}}{T_{H}}}\;{\dfrac {\sqrt {1-e_{H}^{\,2}}}{r_{P,\,H}}}\;$
$\;r_{P,\,H}=a_{H}\;(1-e_{H})\;$
$\;V_{{\text{max}},\,H}={\dfrac {2\;\pi \;a_{H}}{T_{H}}}\;{\sqrt {\dfrac {1+e_{H}}{1-e_{H}}}}\;$
$\;V_{{\text{max}},\,H}\simeq {\dfrac {2\;\pi \times 17,94}{76}}\;{\sqrt {\dfrac {1+0,967}{1-0,967}}}\simeq 11,45\;$
$\;ua\cdot a^{-1}\;$
$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}1\;ua\simeq 1,50\;10^{8}\;km\\1\;a\simeq 365,25\times 86400\simeq 3,156\;10^{7}\;s\end{array}}\right\rbrace \;$
$\Rightarrow$
$\;1\;ua\cdot a^{-1}\simeq 4,753\;km\cdot s^{-1}\;$
$\;V_{{\text{max}},\,H}\simeq \simeq 11,45\times 4,753\simeq 54,43\;km\cdot s^{-1}\;$
$\;V_{{\text{max}},\,H}\simeq 54\;km\cdot s^{-1}\;$
$\;V_{{\text{min}},\,H}=V_{A,\,H}={\dfrac {\vert C\vert }{r_{A,\,H}}}\;$
$\;V_{{\text{min}},\,H}={\dfrac {2\;\pi \;a_{H}^{\,2}}{T_{H}}}\;{\dfrac {\sqrt {1-e_{H}^{\,2}}}{r_{A,\,H}}}\;$
$\;r_{A,\,H}=a_{H}\;(1+e_{H})\;$
$\;V_{{\text{min}},\,H}={\dfrac {2\;\pi \;a_{H}}{T_{H}}}\;{\sqrt {\dfrac {1-e_{H}}{1+e_{H}}}}\;$
$\;V_{{\text{max}},\,H}\simeq {\dfrac {2\;\pi \times 17,94}{76}}\;{\sqrt {\dfrac {1-0,967}{1+0,967}}}\simeq 0,1921\;$
$\;ua\cdot a^{-1}\;$
$\;1\;ua\cdot a^{-1}\simeq 4,753\;km\cdot s^{-1}\;$
$\;V_{{\text{max}},\,H}\simeq \simeq 0,1921\times 4,753\simeq 0,9131\;km\cdot s^{-1}\;$
$\;V_{{\text{min}},\,H}\simeq 0,91\;km\cdot s^{-1}\;$

## Satellite Luna XII autour de la Lune

Le satellite de la Lune $\;{\text{☽}}\;$ « LUNA XII » décrivait une orbite elliptique en «$\;T=3\,h\;25\,min\;$» telle que, respectivement, sa plus petite et sa plus grande distance au centre de la Lune $\;{\text{☽}}\;$ était «$\;r_{m}=$ $1894\;km\;$ » et «$\;r_{M}=3476\;km\;$ » ; nous nous proposons, dans un 1er temps, de comparer à l'aide de ses résultats expérimentaux la masse de la Lune $\;{\text{☽}}\;$ à celle de la Terre $\;{\text{♁}}\;$ puis nous nous proposons, dans un 2nd temps, de déduire toutes les autres grandeurs qui caractérisaient l'orbite lunaire de « LUNA XII ».

### Détermination du rapport entre la masse de la Lune et celle de la Terre

Calculer littéralement puis numériquement le rapport «$\;{\dfrac {m_{\text{☽}}}{m_{\text{♁}}}}\;$» des masses de la Lune $\;{\text{☽}}\;$ et de la Terre $\;{\text{♁}}$ $\;{\Big$pour cela nous confondrons le champ de pesanteur avec le champ de gravitation tous deux terrestres et nous n'utiliserons aucune autre donnée que celles d'une part fournies pour l'orbite lunaire de « LUNA XII » et d'autre part rappelées ci-après à savoir le « rayon moyen de la Terre $\;R_{\text{♁}}\simeq 6400\;km\;$» ainsi que l'« intensité de la pesanteur terrestre au niveau du sol $\;g_{0}\simeq 9,8\;m\cdot s^{-2}\;$»${\Big ]}$.
Compte-tenu que le satellite de la Lune $\;{\text{☽}}\;$ « LUNA XII » décrivait une orbite elliptique dont le centre de la Lune $\;{\text{☽}}\;$ est un des foyers en «$\;T=3\,h\;25\,min=12300\;s\;$» telle que son péricentre et son apocentre étaient respectivement à «$\;r_{m}=1894\;km\;$ » et «$\;r_{M}=3476\;km\;$ » du centre de la Lune $\;{\text{☽}}$, nous en déduisons le demi-grand axe «$\;a={\dfrac {r_{m}+r_{M}}{2}}={\dfrac {1894+3476}{2}}\simeq 2680\;km\;$» ;
la 3ème loi de Kepler nous fournit un lien entre «$\;a$, $\;T\;$ et la masse de la Lune $\;m_{\text{☽}}\;$» selon «$\;{\dfrac {a^{3}}{T^{2}}}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{☽}}}{4\;\pi ^{2}}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{☽}}={\dfrac {4\;\pi ^{2}\;a^{3}}{T^{2}}}\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$».
Confondant le champ de pesanteur et le champ de gravitation terrestre, nous pouvons écrire, au niveau du sol terrestre, «$\;g_{0}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}^{\,2}}}\;$» d'où «$\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}=g_{0}\;R_{\text{♁}}^{\,2}\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$».
$\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$
$\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$
$\;{\dfrac {{\cancel {\mathcal {G}}}\;m_{\text{☽}}}{{\cancel {\mathcal {G}}}\;m_{\text{♁}}}}={\dfrac {4\;\pi ^{2}\;a^{3}}{T^{2}}}\;{\dfrac {1}{g_{0}\;R_{\text{♁}}^{\,2}}}\;$
$\;{\dfrac {m_{\text{☽}}}{m_{\text{♁}}}}={\dfrac {4\;\pi ^{2}}{g_{0}\;R_{\text{♁}}^{\,2}}}\;{\dfrac {a^{3}}{T^{2}}}\;$
$\;{\Bigg \$
$\;{\dfrac {m_{\text{☽}}}{m_{\text{♁}}}}={\dfrac {\pi ^{2}}{2\;g_{0}\;R_{\text{♁}}^{\,2}}}\;{\dfrac {\left(r_{m}+r_{M}\right)^{3}}{T^{2}}}\;$
${\Bigg \}$
$\;{\dfrac {m_{\text{☽}}}{m_{\text{♁}}}}={\dfrac {4\;\pi ^{2}}{9,8\times \left(6,4\;10^{6}\right)^{\!2}}}\;{\dfrac {\left(2,680\;10^{6}\right)^{\!3}}{12300^{2}}}\simeq 0,0125\;$
$\;{\dfrac {m_{\text{☽}}}{m_{\text{♁}}}}\simeq 1,25\;10^{-2}\simeq {\dfrac {1}{80}}\;$

### Détermination des grandeurs qui caractérisaient l'orbite elliptique lunaire de Luna XII

Déterminer toutes les autres caractéristiques de l'orbite elliptique lunaire de « LUNA XII » en particulier « excentricité $\;e\;$», « paramètre $\;p\;$» et « demi-petit axe $\;b\;$».
Nous connaissons déjà que le demi grand axe «$\;a=2680\;km\;$» et la période «$\;T=3\,h\;25\,min=12300\;s\;$» $\;{\big \$ainsi que la distance minimale d'approche «$\;r_{m}=1894\;km\;$ » et la distance maximale d'éloignement «$\;r_{M}=3476\;km\;$ »${\big \}$.
À l'aide de ces informations nous pouvons en déduire :
* l'excentricité «$\;e\;$» car $\;r_{m}={\dfrac {p}{1+e}}\;$ d'une part et $\;r_{M}={\dfrac {p}{1-e}}\;$ d'autre part $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {r_{M}}{r_{m}}}={\dfrac {1+e}{1-e}}\;$ ou $\;\left(1-e\right)\,r_{M}=\left(1+e\right)\,r_{m}\;$ $\Rightarrow$ $\;r_{M}-r_{m}=e\,\left(r_{m}+r_{M}\right)\;$ soit finalement «$\;e={\dfrac {r_{M}-r_{m}}{r_{M}+r_{m}}}\simeq {\dfrac {3476-1894}{3476+1894}}\simeq 0,295\;$»,
* le paramètre «$\;p\;$» car $\;r_{m}={\dfrac {p}{1+e}}\;$ $\Rightarrow$ $\;p=r_{m}\,\left(1+e\right)=r_{m}\,\left(1+{\dfrac {r_{M}-r_{m}}{r_{M}+r_{m}}}\right)=r_{m}\;{\dfrac {\left(r_{M}+r_{m}\right)+\left(r_{M}-r_{m}\right)}{r_{M}+r_{m}}}\;$ soit finalement «$\;p={\dfrac {2\;r_{M}\;r_{m}}{r_{M}+r_{m}}}\simeq {\dfrac {2\times 3476\times 1894}{3476+1894}}\simeq 2452\;km\;$» et
* le demi-petit axe «$\;b\;$» car $\;p={\dfrac {b^{2}}{a}}\;$ $\Rightarrow$ $\;b={\sqrt {p\;a}}\;$ ou, en y reportant les expressions de $\;p\;$ et de $\;a\;$ en fonction des données $\;b={\sqrt {{\dfrac {2\;r_{M}\;r_{m}}{r_{M}+r_{m}}}\;{\dfrac {r_{m}+r_{M}}{2}}}}\;$ soit finalement «$\;b={\sqrt {r_{M}\;r_{m}}}\simeq {\sqrt {3476\times 1894}}\simeq 2566\;km\;$».