# Transformée de Laplace/Propriétés
## Propriété des transformées de Laplace

Remarque : les propriétés suivantes sont appliquées à des fonctions généralisées à support positif et localement intégrables.

### Linéarité

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies et intégrables sur $\mathbb {R} _{+}$
On a alors, pour tout couple de constantes $\alpha$ et $\beta$ :
${\mathcal {L}}\{\alpha f(t)+\beta g(t)\}=\alpha {\mathcal {L}}\{f(t)\}+\beta {\mathcal {L}}\{g(t)\}=\alpha F(p)+\beta G(p)$

### Dilatation du temps (changement d'échelle)

Pour un réel $k\neq 0$, on a :
${\mathcal {L}}\{f(kt)\}={\frac {1}{k}}F({\frac {p}{k}})$

### Transformée de Laplace d’un signal retardé (translation temporelle)

La transformée de Laplace du signal $x(t)$ retardé de $\tau$ est donnée par :
${\mathcal {L}}\{f(t-\tau )\}=e^{-\tau p}F(p)$

### Transformée de Laplace d’un signal modulé (translation fréquentielle)

La transformée de Laplace du signal $x(t)$, modulé par $e^{-at}$, est donnée par :
${\mathcal {L}}\{e^{-at}f(t)\}=F(p+a)$

### Transformée de la dérivée

Soit $f(t)$ une fonction dérivable sur $\mathbb {R}$ et $F(p)$ sa transformée de Laplace.
On a alors : ${\mathcal {L}}\{f'(t)\}=pF(p)-f(0^{-})$
La transformée de Laplace d'une fonction $f$ dérivable $n$ fois est définie comme suit :
${\mathcal {L}}\{f^{(n)}(t)\}=p^{n}F(p)-\sum _{i=0}^{n-1}p^{i}f^{(n-1-i)}(0^{-})$
Dans le cas d'une fonction $f$ définie et intégrable sur l'ensemble $\mathbb {R^{+}}$ et qui respecte les conditions de Heaviside (elle et toutes ses dérivées successives doivent s'annuler en $0$), la transformée de Laplace est la suivante :
${\mathcal {L}}\{f^{(n)}(t)\}=p^{n}F(p)$

### Transformée de Laplace de la primitive d’un signal

La transformée de Laplace de l’intégrale d’un signal est donnée par :
${\mathcal {L}}\{\int _{0}^{t}f(u)du\}={F(p) \over p}$

### Détermination de la valeur initiale d’un signal

La valeur initiale d'un signal est obtenue en effectuant le calcul de limite suivant :
$\lim _{t\to 0^{+}}f(t)=\lim _{\overset {p\to +\infty }{p\in \mathbb {R} }}pF(p)$
Ce théorème est applicable si $F(p)$ a une abscisse de convergence finie et si la limite dans le domaine temporel existe.

### Détermination de la valeur finale d’un signal

La valeur finale d'un signal est obtenue en effectuant le calcul de limite suivant :
$\lim _{t\to +\infty }f(t)=\lim _{\overset {p\to 0^{+}}{p\in \mathbb {R} }}pF(p)$
Ce théorème est applicable si $f$ est localement intégrable à support positif et qu'elle possède une limite finie dans le domaine temporel.

### Transformée de Laplace d’un produit de convolution

Le produit de convolution de deux signaux $h(t)$ et $u(t)$ est noté $h(t)*u(t)$ et est défini par :
$h(t)*u(t)=\int _{-\infty }^{+\infty }h(t-\tau )u(\tau )d\tau$
La transformée de Laplace du produit de convolution de deux signaux est égale au produit usuel des transformées de Laplace des signaux :
${\mathcal {L}}\{h(t)*u(t)\}={\mathcal {L}}\{h(t)\}\cdot {\mathcal {L}}\{u(t)\}=H(p)\cdot U(p)$
La transformée de Laplace transforme donc un produit de convolution en un produit simple.

## Exemples d’application

À titre d’exemple, calculons les transformées de Laplace des signaux d’excitation (signaux d'entrée de systèmes physiques) les plus utilisés : l’impulsion, l’échelon, et les fonctions cosinus et sinus
${\mathcal {L}}\{\delta (t)\}=1$
${\mathcal {L}}\{\Upsilon (t)\}={\dfrac {1}{p}}$
${\mathcal {L}}\{\cos(\omega t)\}={\dfrac {p}{p^{2}+\omega ^{2}}}$
${\mathcal {L}}\{\sin(\omega t)\}={\dfrac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}$
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