# Introduction aux suites numériques/Exercices/Suites arithmétiques
## Suites arithmétiques

1. Soit $(U_{n})$ la suite arithmétique de raison $r=3{,}5$ et de premier terme $U_{0}=2$.
    a. Calculer $U_{24}$.
    b. Calculer $S_{24}=U_{0}+U_{1}+\dots +U_{24}$.
2. Soit $(V_{n})$ la suite arithmétique telle que $V_{10}=39$ et $V_{30}=84$.
    Calculer le premier terme $V_{0}$ et la raison de cette suite.
3. Montrer que si $a$, $b$ et $c$ sont trois termes consécutifs d'une suite arithmétique, il en est de même de $a^{2}+ab+b^{2}$, $c^{2}+ca+a^{2}$ et $b^{2}+bc+c^{2}$.
1. a. $U_{24}=U_{0}+24r=2+24\times 3{,}5=86$.
    b. $S_{24}=25\;{\frac {U_{0}+U_{24}}{2}}=25\;{\frac {2+86}{2}}=1100$.
2. $V_{10}=V_{0}+10r$ et $V_{30}=V_{0}+30r$ donc $r={\frac {V_{30}-V_{10}}{30-10}}={\frac {84-39}{20}}=2{,}25$ et $V_{0}=V_{10}-10r=39-22{,}5=16{,}5$.
3. $(c^{2}+ca+a^{2})-(a^{2}+ab+b^{2})=(c-b)(a+b+c)$ et $(b^{2}+bc+c^{2})-(c^{2}+ca+a^{2})=(b-a)(a+b+c)$.

## Réseau

Le nombre d'abonnés d'un réseau téléphonique passe de 15 à 18 millions en un an. On suppose qu'ensuite il augmente chaque année régulièrement du même nombre : 3 millions par an.
Si l'on note U$_0$ = 15 000 000 le nombre initial d'abonnés et U$_n$ le nombre d'abonnés après n années, on a donc U$_1$ = 18 000 000.
* Calculer U$_{10}$.
* Exprimer U$_n$ en fonction de n.
1. Bien que ce ne soit pas la méthode la plus efficace, nous allons suivre « bêtement » la définition de la suite pour calculer le dixième terme :
* U$_0$ = 15 000 000
* U$_1$ = U$_0$ + 3 000 000 = 18 000 000
* U$_2$ = U$_1$ + 3 000 000 = 21 000 000
* U$_{10}$ = U$_9$ + 3 000 000 = 45 000 000
2. La suite $\left(U_{n}\right)$ est arithmétique, de raison r = 3 000 000. D'après le cours, on sait alors que pour tout n :
    U$_n$ = 15 000 000 + n × 3 000 000.

## Chute libre

Un corps tombant en chute libre parcourt 4,9 m pendant la première seconde ; 14,7 m pendant la deuxième seconde ; 24,5 m pendant la troisième seconde et ainsi de suite. Ces distances sont les termes consécutifs d’une suite arithmétique.
* Déterminer la distance parcourue pendant la dixième seconde.
* Déterminer la distance parcourue en 10 secondes.
* On note $u_{n}$ la distance (en mètres) parcourue pendant la $n$-ième seconde. La raison de la suite est $r=u_{2}-u_{1}=u_{3}-u_{2}=9{,}8$ et l'on a $u_{n}=u_{0}+nr=u_{1}+(n-1)r=u_{2}+(n-2)r=u_{3}+(n-3)r$, en particulier $u_{10}=u_{3}+7r=24{,}5+7\times 9{,}8=93{,}1$. La distance parcourue pendant la dixième seconde est : 93,1 m.
* $u_{1}+u_{2}+u_{3}+\dots +u_{10}=10\;{\frac {u_{1}+u_{10}}{2}}=10\;{\frac {4{,}9+93{,}1}{2}}=490$. La distance parcourue en 10 secondes est : 490 m.

## Nombres polygonaux

Soit $k$ un entier supérieur ou égal à $3$. On construit une suite de $k$-gones réguliers (polygones réguliers à $k$ sommets) de plus en plus gros, de la façon suivante (voir l'illustration ci-contre pour le cas des pentagones, $k=5$).
Dans le $n$-ième $k$-gone, chaque arête est une rangée de $n$ pastilles (dont la première et la dernière sont aux deux sommets de l'arête). Le ($n+1$)-ième polygone s'obtient en choisissant dans le $n$-ième deux arêtes consécutives $AB$ et $BC$, en les prolongeant chacune (en $A$ et $C$) par une pastille, et en reliant ces deux arêtes allongées par $k-2$ nouvelles arêtes de même longueur (encerclant les anciennes).
Calculer le $n$-ième nombre $k$-gonal $P_{k}(n)$, c'est-à-dire le nombre total de pastilles du $n$-ième $k$-gone.
De quelle forme sont les nombres triangulaires (=$3$-gonaux) ? les nombres carrés (=$4$-gonaux) ? les nombres pentagonaux (=$5$-gonaux) ?
$P_{k}\left(n+1\right)=P_{k}(n)+\left(k-2\right)n+1$ donc $P_{k}(n)$ est la somme des $n$ premiers termes de la suite arithmétique de premier terme $1$ et de raison $k-2$, c'est-à-dire :
    $P_{k}(n)=1+\left(1+(k-2)\right)+\left(1+2(k-2)\right)+\dots +\left(1+(n-1)(k-2)\right)=n\ {\frac {1+\left(1+(n-1)(k-2)\right)}{2}}=n\ {\frac {(k-2)n-(k-4)}{2}}$.
En particulier, $P_{3}(n)=n(n+1)/2$, $P_{4}(n)=n^{2}$et $P_{5}(n)=n(3n-1)/2$.
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