# Théorie des groupes

Faculté de Mathématiques
Les groupes constituent la structure algébrique de base des mathématiques, puisque à partir de ceux-ci sont créés les anneaux, corps, espaces vectoriels…
| Chap. 1 : Lois de composition internes, monoïdes (13) Chap. 2 : Groupes, premières notions (14) Chap. 3 : Classes modulo un sous-groupe (15) Chap. 4 : Sous-groupe distingué et groupe quotient (15) Chap. 5 : Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z (14) Chap. 6 : Groupes monogènes, ordre d'un élément (14) Chap. 7 : Conjugaison, centralisateur, normalisateur (15) Chap. 8 : Action de groupe (15) Chap. 9 : Produit direct et somme restreinte (15) Chap. 10 : Groupes linéaires (16) Chap. 11 : Théorèmes de Sylow (16) Chap. 12 : Sous-groupes caractéristiques (15) Chap. 13 : Groupes symétriques finis (14) Chap. 14 : Groupes alternés (14) Chap. 15 : Théorème de Jordan-Hölder (14) Chap. 16 : Groupe à opérateurs (14) Chap. 17 : Commutateurs, groupe dérivé (14) Chap. 18 : Groupes résolubles (17) | Chap. 19 : Groupes nilpotents (14) Chap. 20 : Groupes commutatifs finis, 1 (14) Chap. 21 : Groupes commutatifs finis, 2 (14) Chap. 22 : Automorphismes d'un groupe cyclique (14) Chap. 23 : Homomorphismes d'un groupe fini dans le groupe multiplicatif du corps des nombres complexes (14) Chap. 24 : Produit semi-direct (14) Chap. 25 : Groupes diédraux (14) Chap. 26 : Holomorphe d'un groupe (14) Chap. 27 : Groupes dicycliques (14) Chap. 28 : Transfert, théorème du complément normal de Burnside (14) Chap. 29 : Premiers résultats sur les groupes simples (14) Chap. 30 : Groupes caractéristiquement simples, sous-groupes normaux minimaux (14) Chap. 31 : Théorème de Gaschütz (14) Chap. 32 : Théorèmes de Schur-Zassenhaus et de Philip Hall (14) Chap. 33 : Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives (14) | Chap. 34 : Simplicité des groupes linéaires spéciaux projectifs (14) Chap. 35 : Intermède : groupes simples d'ordre 168 (14) Chap. 36 : Intermède : groupes simples d'ordre 360 (14) Chap. 37 : Produit en couronne (14) Chap. 38 : Théorème de Maschke (14) Chap. 39 : Représentations complexes des groupes finis, 1 (14) Chap. 40 : Représentations complexes des groupes finis, 2 (14) Chap. 41 : Caractères complexes des groupes finis, 1 : relations d'orthogonalité (14) Chap. 42 : Caractères complexes des groupes finis, 2 : théorèmes sur les degrés (14) Chap. 43 : Le théorème p-q de Burnside (14) Chap. 44 : Caractères irréductibles de quelques groupes (14) Chap. 45 : Groupes libres, premiers éléments (14) Chap. 46 : Groupes libres : théorème de Nielsen-Schreier (14) Chap. 47 : Groupes libres : théorème de Howson (14) Chap. 48 : Produit libre d'une famille de groupes (14) Chap. 49 : Sous-groupe de Frattini (14) |
| Exercices 1 : Lois de composition internes, monoïdes (14) Exercices 2 : Groupes, premières notions (13) Exercices 3 : Classes modulo un sous-groupe (13) Exercices 4 : Sous-groupe distingué et groupe quotient (13) Exercices 5 : Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z (13) Exercices 6 : Groupes monogènes, ordre d'un élément (13) Exercices 7 : Conjugaison, centralisateur, normalisateur (13) Exercices 8 : Action de groupe (13) Exercices 9 : Produit direct et somme restreinte (13) Exercices 10 : Groupes linéaires (13) Exercices 11 : Théorèmes de Sylow (16) Exercices 12 : Sous-groupes caractéristiques (13) Exercices 13 : Groupes symétriques finis (13) Exercices 14 : Groupes alternés (13) Exercices 15 : Théorème de Jordan-Hölder (13) Exercices 16 : Groupe à opérateurs (13) Exercices 17 : Commutateurs, groupe dérivé (13) Exercices 18 : Groupes résolubles (17) Exercices 19 : Groupes nilpotents (13) Exercices 20 : Groupes commutatifs finis, 1 (13) | Exercices 21 : Groupes commutatifs finis, 2 (13) Exercices 22 : Automorphismes d'un groupe cyclique (13) Exercices 23 : Homomorphismes d'un groupe fini dans le groupe multiplicatif du corps des nombres complexes (13) Exercices 24 : Produit semi-direct (13) Exercices 25 : Groupes diédraux (13) Exercices 26 : Holomorphe d'un groupe (13) Exercices 27 : Groupes dicycliques (14) Exercices 28 : Transfert, théorème du complément normal de Burnside (13) Exercices 29 : Premiers résultats sur les groupes simples (13) Exercices 30 : Groupes caractéristiquement simples, sous-groupes normaux minimaux (13) Exercices 31 : Théorème de Gaschütz (13) Exercices 32 : Théorèmes de Schur-Zassenhaus et de Philip Hall (13) Exercices 33 : Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives (13) Exercices 34 : Simplicité des groupes linéaires spéciaux projectifs (13) | Exercices 35 : Intermède : groupes simples d'ordre 168 (13) Exercices 36 : Intermède : groupes simples d'ordre 360 (13) Exercices 37 : Produit en couronne (13) Exercices 38 : Théorème de Maschke (13) Exercices 39 : Représentations complexes des groupes finis, 1 (14) Exercices 40 : Représentations complexes des groupes finis, 2 (14) Exercices 41 : Caractères complexes des groupes finis, 1 : relations d'orthogonalité (14) Exercices 42 : Caractères complexes des groupes finis, 2 : théorèmes sur les degrés (14) Exercices 43 : Le théorème p-q de Burnside (14) Exercices 44 : Caractères irréductibles de quelques groupes (14) Exercices 45 : Groupes libres, premiers éléments (14) Exercices 46 : Groupes libres : théorème de Nielsen-Schreier (14) Exercices 47 : Groupes libres : théorème de Howson (14) Exercices 48 : Produit libre d'une famille de groupes (14) Exercices 49 : Sous-groupe de Frattini (14) [Modifier]  Sujets d'examen  Licence Université de Provence mars 1988 (16)  Licence Université de Provence mai 1994 (16)  Licence Université de Provence juin 1997 (16)  Licence Université de Provence mars 1990 (16)  Licence Université de Provence mars 1996 (16)  Licence Université de Provence juin 1990 (16)  Licence Université de Provence avril 1997 (16) [Modifier]  Annexes Représentations du groupe symétrique d'indice trois (?) S. Lamy, « 27 exercices corrigés », sur math.univ-toulouse.fr [Modifier] Objectifs Les objectifs de ce cours sont : premiers éléments sur les groupes, pouvant être considérés comme le début d'un cours d'algèbre introduction à la théorie des groupes Note : pour une introduction très substantielle à la théorie des groupes finis, le lecteur est invité à consulter le cours Groupes finis de Jean-Pierre Serre, en ligne. Modifier ces objectifs Niveau et prérequis conseillés Cours de niveau 14. Les prérequis conseillés sont : Loi de composition interne Cardinaux (y compris les propriétés les plus classiques des cardinaux infinis), nombres entiers naturels Après les premières notions relatives aux groupes (groupes quotients, groupe des entiers rationnels, groupes cycliques), il serait souhaitable, si ce n’est pas encore fait, d'acquérir les notions classiques d'algèbre linéaire (anneaux, modules, corps, espaces vectoriels, dimension, applications linéaires, matrices, déterminant), car ces notions doivent être utilisées tôt ou tard dans la théorie des groupes. Par exemple, une démonstration, donnée dans cette leçon, du théorème sur l’existence des sous-groupes de Sylow repose sur la théorie des espaces vectoriels sur les corps finis. Modifier ces prérequis  Voir aussi Articles Wikipédia : Groupe (mathématiques). Théorie des groupes. [Modifier] Référents Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant ce cours : Marvoir Loïc Fabiou (discuter) Modifier cette liste |