# Introduction à l'élasticité/Élasticité linéaire infinitésimale
## Élasticité linéaire infinitésimale

Après avoir déterminé le cadre de l'élasticité en termes de contraintes et déformations, nous allons rentrer dans plus de détails concernant les conséquences de ce modèle, et comment cela permet de résoudre des problèmes concrets.

### Équations de Navier

On considère dans cette partie un solide élastique. On suppose connues aux bords les conditions extérieures :
* les déplacements, s'ils sont disponibles ;
* les contraintes (forces de surface).
On peut remarquer qu’il n’est pas possible de disposer a priori de ces deux informations en un même point.
Les conditions initiales sont :
$\mathbf {u} \left(\mathbf {x} ,t=0\right)=\mathbf {u} _{0}\left(\mathbf {x} \right)$ ${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}\left(\mathbf {x} ,t=0\right)=\mathbf {v} _{0}\left(\mathbf {x} \right)$ ${\boldsymbol {\sigma }}=\mathbf {0}$
Rappelons la relation fondamentale de la dynamique vérifiée en tout point du solide :
$\rho _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {u} }{\partial t^{2}}}=\mathbf {f} _{v}+\mathbf {Div} _{\mathbf {x} }{\boldsymbol {\sigma }}$
Et d’autre part, la loi de Hooke :
${\boldsymbol {\sigma }}=\lambda \mathrm {Tr} \left({\boldsymbol {\varepsilon }}\right)\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}$
Développons le terme de divergence :
${\begin{aligned}\mathbf {Div} _{\mathbf {x} }\left({\boldsymbol {\sigma }}\right)&=\mathbf {Div} _{\mathbf {x} }\left(\lambda \mathrm {Tr} \left({\boldsymbol {\varepsilon }}\right)\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}\right)\\&=\lambda \mathbf {Div} _{\mathbf {x} }\left(\mathrm {Tr} \left({\boldsymbol {\varepsilon }}\right)\mathbf {I} \right)+2\mu \mathbf {Div} _{\mathbf {x} }\left({\boldsymbol {\varepsilon }}\right)\\&=\lambda \mathbf {grad} _{\mathbf {x} }\left(\mathrm {Tr} \left({\boldsymbol {\varepsilon }}\right)\right)+2\mu {\frac {1}{2}}\left(\mathbf {Div} _{\mathbf {x} }\left(\mathbf {D_{x}u} \right)+\mathbf {Div} _{\mathbf {x} }\left(\mathbf {D_{x}u} ^{\mathrm {T} }\right)\right)\\&=\lambda \mathbf {grad} _{\mathbf {x} }\left(\mathrm {div} _{\mathbf {x} }\mathbf {u} \right)+\mu \left(\Delta _{\mathbf {x} }\mathbf {u} +\mathbf {grad} _{\mathbf {x} }\left(\mathrm {div} _{\mathbf {x} }\mathbf {u} \right)\right)\\&=\left(\lambda +\mu \right)\mathbf {grad} _{\mathbf {x} }\left(\mathrm {div} _{\mathbf {x} }\mathbf {u} \right)+\mu \Delta _{\mathbf {x} }\mathbf {u} \\\end{aligned}}$
Le passage de la 3e à la 4e ligne se fait en remarquant les deux points suivants :
* la trace du tenseur des déformations égale la divergence du déplacement (c'est la dilatation) ;
* la divergence du gradient de u est son laplacien, noté Δu.
On obtient ainsi l'équation suivante :
Lorsque les coefficients de Lamé sont constants, on a :
$\rho _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {u} }{\partial t^{2}}}=\left(\lambda +\mu \right)\mathbf {grad} _{\mathbf {x} }\left(\mathrm {div} _{\mathbf {x} }\mathbf {u} \right)+\mu \Delta _{\mathbf {x} }\mathbf {u} +\mathbf {f} _{v}$
On peut noter que la structure de cette équation est proche de celle d'une équation d'onde, car elle relie les dérivées secondes spatiale et temporelle. En effet, l'équation de Navier exprime la propagation des déformations dans le matériau.
Dans le cas statique, où la dérivée temporelle s'annule, elle exprime la structure que doivent adopter les déplacements au sein du matériau pour assurer l'équilibre.

### Propriétés de l'équation de Navier

Il est intéressant de connaître certaines propriétés de l'équation de Navier, qui facilitent sa résolution et son interprétation :
* on peut montrer qu’il y a unicité de la solution au problème ;
* il s'agit d'une équation de propagation ;
* il s'agit d'une équation linéaire.
Ce dernier point permet d'exploiter les symétries du problème et d’utiliser le principe de superposition pour le résoudre. Il est ainsi possible de ne travailler que sur une partie de la pièce, ce qui réduit potentiellement le nombre de degrés de libertés et de calculs.

### Principe de Saint-Venant

Le principe de Saint-Venant est utile en pratique, puisqu’il permet d'estimer les contraintes et les déplacements qui résultent d'un effort dont on ne connaît pas le détail. On peut le rapprocher, de manière simplifiée, de l'approximation dipolaire fait en électromagnétisme.
Pour un matériau linéaire, élastique et homogène, les déplacement et contraintes associées à un chargement ne dépendent loi des sources que de sa résultante et de son moment.

## Élasticité plane

Bien que la plupart des problèmes soient tridimensionnels, on peut parfois faire l'approximation plane — ou s'y référer comme un cas plus simple à poser ou à résoudre. L'élasticité plane se révèle utile pour des pièces dont une dimension est très petite devant les deux autres (feuilles, tissus…), ou bien que cette dimension est « infinie » comparée aux deux autres (tours, prismes…) — si bien que l’on ne se préoccupe pas de ce qui se passe suivant cet axe. On considérera donc un repère bidimensionnel $(\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2})$.

### Contraintes planes

On suppose que les contraintes sont planes, c'est-à-dire exercée suivant les deux « grandes » dimensions de la pièce. Le tenseur des contraintes ne dépend donc a priori pas de la troisième dimension, et s'écrit :
${\boldsymbol {\sigma }}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sigma _{i,j}\left(\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\right)$
les autres composantes étant nulles. On sait également que σ(e$_3$) s'annule aux bord — on suppose que c’est le cas dans toute l'épaisseur. La loi de Hooke donne alors les déformations :
$\varepsilon _{1,1}=\left(\sigma _{1,1}-\nu \sigma _{2,2}\right)/E$ $\varepsilon _{2,2}=\left(\sigma _{2,2}-\nu \sigma _{1,1}\right)/E$ $\varepsilon _{1,2}={\frac {1+\nu }{E}}\sigma _{1,2}$
* La composante ε$_{3,3}$ n’est pas nulle !
En effet, on a :
$\varepsilon _{3,3}=-{\frac {\nu }{E}}\left(\sigma _{1,1}+\sigma _{2,2}\right)$
Pourquoi ? Simplement parce qu'un matériau étiré s'amincit — ce qu'exprime le coefficient ν.
On peut également s'intéresser à la compatibilité des contraintes, c'est-à-dire la question de savoir si le champ de contraintes planes que l’on a est physiquement réalisable. Pour cela, il doit vérifier les équations de Beltrami en contraintes planes :
$\Delta \left(\sigma _{1,1}+\sigma _{2,2}\right)=0$ ${\frac {\partial \sigma _{1,1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial \sigma _{1,2}}{\partial x_{2}}}+f_{v,1}=0$ ${\frac {\partial \sigma _{1,2}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial \sigma _{2,2}}{\partial x_{2}}}+f_{v,2}=0$

### Fonctions d'Airy

Lorsque les forces volumiques sont constantes, on peut introduire une fonction d'Airy Φ qui permet de résoudre le problème. L'idée, comme en électromagnétisme, est d'introduire l'équivalent d'un potentiel qui vérifie nécessairement les équations de structure (ici, de compatibilité).
En effet, la première équation de Beltrami :
${\frac {\partial \sigma _{1,1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial \sigma _{1,2}}{\partial x_{2}}}+f_{v,1}=0$
est vérifiée si on introduit une fonction Ψ$_1$ telle que :
$\sigma _{1,2}=-{\frac {\partial \Psi _{1}}{\partial x_{1}}}$ $\sigma _{1,1}={\frac {\partial \Psi _{1}}{\partial x_{2}}}-x_{1}f_{v,1}$
De même, on peut introduire Ψ$_2$ telle que :
$\sigma _{1,2}=-{\frac {\partial \Psi _{2}}{\partial x_{2}}}$ $\sigma _{2,2}={\frac {\partial \Psi _{2}}{\partial x_{1}}}-x_{2}f_{v,2}$
Enfin, on peut exploiter la symétrie du tenseur de Cauchy et définir une fonction Φ telle que :
$\Psi _{1}={\frac {\partial \Phi }{\partial x_{1}}}$ $\Psi _{2}={\frac {\partial \Phi }{\partial x_{2}}}$
Par construction, Φ vérifie les équations de Beltrami, et sa connaissance entraîne celle des contraintes et, par la loi de Hooke, des déplacements.
Enfin, l'équation de compatibilité s'écrit :
$0=\Delta \left(\sigma _{1,1}+\sigma _{2,2}\right)=\Delta ^{2}\Phi$
On dit que la fonction Φ est biharmonique : on connaît des fonctions de ce type (par exemple des polynômes) ce qui permet de rechercher des solutions d'une forme donnée.

### Déformations planes

On considère maintenant que l’on ignore les contraintes, mais que les déplacements se font dans le plan. Le tenseur des déformations s'écrit alors :
${\boldsymbol {\varepsilon }}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\varepsilon _{i,j}\left(\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\right)$
et en inversant la loi de Hooke, on accède aux composantes de σ :
$\sigma _{1,1}=\left(\lambda +2\mu \right)\varepsilon _{1,1}+\lambda \varepsilon _{2,2}$ $\sigma _{2,2}=\left(\lambda +2\mu \right)\varepsilon _{2,2}+\lambda \varepsilon _{1,1}$ $\sigma _{1,2}=2\mu \varepsilon _{1,2}$
* La composante σ$_{3,3}$ n’est pas nulle en général !
On aura :
$\sigma _{3,3}=\lambda \left(\varepsilon _{1,1}+\varepsilon _{2,2}\right)$

## Concentration de contraintes

Dans un matériau soumis à des efforts, la présence de défauts, par exemple de trous, peut localement multiplier la contrainte et provoquer la rupture du matériau. Il apparaît alors des fissures, qui à leur tour provoquent l'apparition de nouveaux défauts, ce qui peut aller jusqu'à la rupture du matériau.
On peut par exemple montrer que lors d'un essai de traction simple, en contraintes planes, à proximité d'un trou circulaire, la contrainte est multipliée par trois.
De plus, il faut noter que :
* lorsqu'un défaut présente des angles aigus, la contrainte augmente d'autant que l'angle est faible ;
* plusieurs défauts peuvent interagir entre eux.
Une illustration simple de ce phénomène est une feuille de papier, qui résiste à une traction lorsqu'elle est intacte, mais se déchire facilement après avoir été entaillée.
Des exemples de concentration de contrainte seront examinés en exercice.

## Remarques et références

* La loi de Hooke