# Mécanique 2 (PCSI)/Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Cas particulier du mouvement circulaire, satellites, planètes
## Nature uniforme du mouvement circulaire d'un point matériel dans un champ à force centrale, expression de sa période dans le cas où cette force centrale est conservative
### Rappel de la 1ère intégrale 1ère du mouvement d'un point matériel M dans un champ à force centrale de centre O, conservation du moment cinétique vectoriel de M par rapport au centre de force O

Introduit au paragraphe « 1ère intégrale 1ère du mouvement d'un point à force centrale : conservation de son moment cinétique vectoriel par rapport au centre de force » du chap.$12$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et rappelé ci-dessous :
$\;M\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;M\;$
$\;O\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;{\vec {\sigma }}_{O}(t)=$
${\overrightarrow {OM}}(t)\wedge m\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$
$\;t\;$
$\;{\vec {\sigma }}_{O}(t)={\vec {\sigma }}_{O}(0),\;\;\forall \;t\;$
$\;{\vec {\sigma }}_{O}(0)={\overrightarrow {OM}}(0)\wedge m\;{\vec {V}}_{M}(0)\;$
$\;m$
$\;{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {V}}_{M}(t)={\overrightarrow {OM}}(0)\wedge {\vec {V}}_{M}(0),\;\;\forall \;t\;$
Conséquences : introduites aux paragraphes « 1ère conséquence de la conservation du moment cinétique vectoriel du point par rapport au centre de force : nature plane (ou rectiligne) du mouvement », « 2ème conséquence de la conservation du moment cinétique vectoriel du point par rapport au centre de force : applicabilité de la loi des aires » et « aspect “ vitesse aréolaire constante ” de la loi des aires » du chap.$12$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et rappelées ci-dessous :
Conséquences : $\;\succ \;$Nature plane du mouvement de $\;M$ « si $\;{\vec {V}}_{M}(0)={\vec {V}}_{0}\neq {\vec {0}}\;$ est $\;\nparallel \;$ à $\;{\overrightarrow {OM}}(0)={\overrightarrow {OM_{0}}}\neq {\vec {0}}\;$» et Conséquences : rectilignedu mouvement de M« si $\;{\vec {V}}_{M}(0)={\vec {V}}_{0}\neq {\vec {0}}\;$ est $\;\parallel \;$ à $\;{\overrightarrow {OM}}(0)={\overrightarrow {OM_{0}}}\neq {\vec {0}}\;$».
Conséquences : $\;\succ \;$Applicabilité de la loi des aires «$\;r^{2}(t)\;{\dot {\theta }}(t)=C\;$» avec «$\;\left\lbrace r(t)\,,\,\theta (t)\right\rbrace \;$» les coordonnées polaires de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ du point $\;M\;$ dans le plan de son mouvement, $\;{\vec {u}}_{z}\;$ étant le vecteur unitaire orientant les angles du plan et «$\;C={\dfrac {{\vec {\sigma }}_{O}(0)}{m}}\cdot {\vec {u}}_{z}=\left[{\overrightarrow {OM}}(0)\wedge {\vec {V}}_{M}(0)\right]\cdot {\vec {u}}_{z}\;$ la constante des aires » $\;{\bigg \$si l'axe polaire $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ passe par $\;M_{0}\;$ en étant orienté de $\;O\;$ vers $\;M_{0}\;$ et si l'angle que fait $\;{\vec {V}}_{0}\;$ avec l'axe polaire est «$\;{\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)}}=\alpha _{0}\;$», la constante des aires s'évalue par «$\;C=r_{0}\;v_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;$» avec $\;v_{0}=\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert \;$ et $\;r_{0}=\Vert {\overrightarrow {OM_{0}}}\Vert {\bigg \}$.
Conséquences : $\;\succ \;$Interprétation géométrique de la loi des aires : « vitesse aréolaire constante » plus précisément «$\;{\dfrac {d{\mathcal {A}}}{dt}}(t)={\dfrac {C}{2}}\;$» avec «$\;C\;$ la constante des aires » et «$\;d{\mathcal {A}}(t)\;$» l'aire élémentaire balayée par le « rayon vecteur $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ du point matériel $\;M\;$» lorsque ce dernier se déplace à partir de l'instant $\;t\;$ sur une durée élémentaire $\;dt\;$ soit, en utilisant les coordonnées polaires de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ «$\;\left\lbrace r(t)\,,\,\theta (t)\right\rbrace \;$» du point $\;M\;$ dans le plan de son mouvement, «$\;d{\mathcal {A}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;r^{2}(t)\;d\theta (t)\;$».

### Conséquence de la nature circulaire de centre O du mouvement de M, nature uniforme du mouvement

La trajectoire décrite par le point matériel $\;M\;$ à mouvement à force centrale étant un cercle de centre $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ et repérant $\;M\;$ par ses coordonnées polaires «$\;\left\lbrace r(t)\,,\,\theta (t)\right\rbrace \;$» dans le plan de son mouvement, on en déduit l'équation polaire du cercle décrit par $\;M\;$ «$\;r=r_{0}\;\;\forall \;\theta \;$» et, d'après la loi des aires suivie par $\;M$, la vitesse angulaire de ce dernier sur le cercle «$\;{\dot {\theta }}(t)={\dfrac {C}{r_{0}^{2}}}=cste\;$» avec «$\;C\;$ la constante des aires » c'est-à-dire la « nature uniforme du mouvement circulaire de $\;M\;$».
Pour que le mouvement du point matériel $\;M\;$ soumis à une force centrale soit circulaire de centre $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}$, il est nécessaire que le vecteur vitesse initiale du point $\;M$ «$\;{\vec {V}}_{0}\;$» soit $\;\perp \;$ à son vecteur position initiale «$\;{\overrightarrow {OM_{0}}}\;$» c'est-à-dire que l'angle $\;\alpha _{0}\;$ que fait le 1er avec l'axe polaire $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ passant par $\;M_{0}\;$ en étant orienté de $\;O\;$ vers $\;M_{0}\;$ soit égal à $\;\pm {\dfrac {\pi }{2}}\;$ soit «$\;\alpha _{0}={\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)}}=\pm {\dfrac {\pi }{2}}\;$» dont on déduit la constante des aires «$\;C=r_{0}\;v_{0}\;\sin(\alpha _{0})=\pm r_{0}\;v_{0}\;$» $\;{\Big$avec $\;v_{0}=\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert \;$ et $\;r_{0}=\Vert {\overrightarrow {OM_{0}}}\Vert {\Big ]}\;$ et par suite la réécriture de la vitesse angulaire de $\;M\;$ sur le cercle à l'instant $\;t\;$ en fonction des C.I. «$\;{\dot {\theta }}(t)={\dfrac {C}{r_{0}^{2}}}=\pm {\dfrac {v_{0}}{r_{0}}}=cste\;$» $\;{\big$toutefois cela démontre la constance de la vitesse angulaire sans expliciter sa valeur car, pour que le mouvement de $\;M\;$ soit circulaire de centre $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}$, $\;v_{0}\;$ ne peut pas être quelconque relativement à $\;r_{0}\;$ comme cela sera expliqué au paragraphe suivant « expression de la vitesse angulaire du mouvement circulaire de centre O du point M uniquement soumis à une force centrale » de ce chapitre${\Big ]}$.
Remarque : Les mouvements circulaires d’un point soumis uniquement à une force centrale ne sont pas nécessairement de centre $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}$ $\;{\big$même si ce cas est le plus fréquent${\big ]}$, tout dépend de la loi de force $\;{\big$c'est-à-dire la façon dont l’intensité de la force varie avec $\;r=OM{\big )}\;$ et des C.I. :
Remarque : contre exemple de trajectoire circulaire d’un point $\;M\;$ uniquement soumis à une force centrale $\;{\big$conservative${\big )}\;$ dont le cercle passe par le centre de force $\;O$ $\;{\big$et n'est donc pas de centre $\;O{\big )}$ : $\;M\;$ soumis uniquement à une force centrale attractive «$\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{5}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$» $\;{\bigk\;$ étant une constante $\;<0$, $\;r=OM\;$ et $\;{\vec {u}}_{r}\;$ étant respectivement la coordonnée radiale et le vecteur unitaire radial du repérage polaire de $\;M\;$ dans le plan de son mouvement $\;{\big$on rappelle que le mouvement de $\;M\;$ étant à force centrale est plan ou rectiligne suivant les C.I. de lancement${\big )}{\big ]}\;$ lancé de $\;M_{0}\;$ avec un vecteur vitesse initiale «$\;{\vec {V}}_{0}\perp \;$ à $\;{\overrightarrow {OM_{0}}}\;$» de norme «$\;v_{0}={\sqrt {\dfrac {-k}{2\;m}}}\;{\dfrac {1}{r_{0}^{2}}}\;$» ;
Remarque : contre exemple avec ces C.I. et cette loi de force on peut établir $\;{\big$mais on ne le fera pas, bien que cela se fasse sans difficulté apparente${\big )}\;$ que la trajectoire de $\;M\;$ est d'équation polaire «$\;r$ $=r_{0}\;\cos(\theta )\;$» $\;{\bigg\theta ={\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\overrightarrow {OM}}\right)}}\;$ et $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ étant respectivement l'abscisse angulaire et le vecteur unitaire orthoradial du repérage polaire de $\;M\;$ dans le plan de son mouvement avec pour axe polaire $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ passant par $\;M_{0}\;$ en étant orienté de $\;O\;$ vers $\;M_{0}{\bigg ]}\;$ c'est-à-dire le « cercle de diamètre $\;OM_{0}\;$» $\;{\bigg \$en effet si on multiplie l’équation polaire de part et d’autre par «$\;r\;$» on obtient «$\;r^{2}=r_{0}\left[r\;\cos(\theta )\right]\;$» dans laquelle on reconnaît $\;\left[{\begin{array}{c}r\;\cos(\theta )=x\\r^{2}=x^{2}+y^{2}\end{array}}\right]\;$ d'où «$\;x^{2}+y^{2}=r_{0}\;x\;$» $\;{\big$courbe passant effectivement par $\;O{\big )}\;$ $\Leftrightarrow$ «$\;\left(x-{\dfrac {r_{0}}{2}}\right)^{\!2}+y^{2}=\left({\dfrac {r_{0}}{2}}\right)^{\!2}\;$» équation cartésienne du « cercle de centre $\;C\left({\dfrac {r_{0}}{2}}\,,\,0\right)\;$ et de rayon $\;{\dfrac {r_{0}}{2}}\;$» c'est-à-dire effectivement de diamètre $\;OM_{0}{\bigg \}$ ce qui représente donc un exemple de mouvement circulaire de point uniquement soumis à une force centrale mais dont « le cercle n'est pas de centre $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$».

### Expression de la vitesse angulaire du mouvement circulaire de centre O du point M uniquement soumis à une force centrale conservative

Dans le cas où la force centrale que subit le point matériel $\;M\left(m\right)\;$ est conservative, celle-ci s'écrit, en repérant le point $\;M\;$ par ses coordonnées polaires $\;\left(r\,,\,\theta \right)\;$ de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ dans le plan du mouvement de $\;M\;$, «$\;{\vec {F}}(M)=F(r)\;{\vec {u}}_{r}\;$» $\;{\big$cette force étant la seule que subit le point matériel $\;M{\big )}$ ; Dans le cas où la force centrale que subit le point matériel M ( m ) est conservative, l'application de la r.f.d.n. au point matériel $\;M\left(m\right)\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen conduisant à
$\;F\!\left[r(t)\right]\;{\vec {u}}_{r}=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$
Dans le cas où la force centrale que subit le point matériel M ( m ) est conservative, sa projection sur $\;{\vec {u}}_{r}$, dans le cas où le mouvement de $\;M\;$ est circulaire de centre $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}$, de rayon $\;r_{0}\;$ $\Rightarrow$ «$\;a_{M,\,r}(t)=-r_{0}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;$» donnant «$\;F(r_{0})=-m\;r_{0}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;$» soit «$\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)={\dfrac {-F(r_{0})}{m\;r_{0}}}\;$» quantité nécessairement $\;>0\;$ nécessitant «$\;F(r_{o})<0\;\;\forall \;r_{0}\;$» c'est-à-dire $\;{\vec {F}}(M)\;$ attractive $\Rightarrow$
$\;{\dot {\theta }}(t)=\pm {\sqrt {\dfrac {-F(r_{0})}{m\;r_{0}}}}\;$
$\;{\dot {\theta }}(t)={\dot {\theta }}_{0}\;\;\forall \;t\;$
$\;{\dot {\theta }}_{0}=\pm {\sqrt {\dfrac {-F(r_{0})}{m\;r_{0}}}}\;$

### Expression de la période du mouvement circulaire de centre O du point M uniquement soumis à une force centrale conservative

Tout mouvement circulaire uniforme étant périodique, de période «$\;T\;$» liée à sa vitesse angulaire constante «$\;{\dot {\theta }}_{0}\;$» par «$\;T={\dfrac {2\;\pi }{\vert {\dot {\theta }}_{0}\vert }}\;$» on en déduit que
le mouvement circulaire du point matériel $\;M\left(m\right)\;$ de centre $\;O$ $\;{\Big$le centre de la force centrale conservative «$\;{\vec {F}}(M)=F(r)\;{\vec {u}}_{r}\;$» agissant seule sur $\;M\;$ repéré par ses coordonnées polaires $\;\left(r\,,\,\theta \right)\;$ de pôle $\;O\;$ dans le plan du mouvement de $\;M\;$, $\;{\vec {u}}_{r}\;$ étant le vecteur unitaire radial lié au point $\;M{\Big ]}\;$ étant uniforme de vitesse angulaire «$\;{\dot {\theta }}_{0}=\pm {\sqrt {\dfrac {-F(r_{0})}{m\;r_{0}}}}\;$» est périodique de période
$\;T={\dfrac {2\;\pi }{\vert {\dot {\theta }}_{0}\vert }}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {m\;r_{0}}{-F(r_{0})}}}\;$
Remarque : Pour établir la nature périodique du mouvement de $\;M\;$ sans passer par le caractère uniforme du mouvement de ce dernier, il est possible d'utiliser l'interprétation géométrique de la loi des aires c'est-à-dire « la vitesse aréolaire constante » «$\;{\dfrac {d{\mathcal {A}}}{dt}}(t)={\dfrac {C}{2}}\;$» avec «$\;d{\mathcal {A}}(t)\;$» l'aire élémentaire balayée par le « rayon vecteur $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ lorsque $\;M\;$ se déplace à partir de l'instant $\;t\;$ sur une durée élémentaire $\;dt\;$», dont on déduit «$\;{\mathcal {A}}_{n^{\text{ème}}\,{\text{tour}}}={\dfrac {C}{2}}\left(\Delta t\right)_{n^{\text{ème}}\,{\text{tour}}}$» l'aire balayée par «$\;{\overrightarrow {OM}}\;$ lorsque $\;M\;$ effectue son nème tour sur sa trajectoire circulaire » avec «$\;{\Big \vert }{\mathcal {A}}_{n^{\text{ème}}\,{\text{tour}}}{\Big \vert }=\pi \;r_{0}^{2}\;$» et par suite la valeur de la durée du nème tour de $\;M\;$ sur sa trajectoire circulaire «$\;\left(\Delta t\right)_{n^{\text{ème}}\,{\text{tour}}}={\dfrac {2\;{\Big \vert }{\mathcal {A}}_{n^{\text{ème}}\,{\text{tour}}}{\Big \vert }}{\vert C\vert }}={\dfrac {2\;\pi \;r_{0}^{2}}{\vert C\vert }}\;$» indépendante de $\;n\;$ d'où l'établissement de la nature périodique du mouvement de $\;M\;$ sur sa trajectoire circulaire de centre $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ sans avoir, auparavant, établi sa nature uniforme $\;{\bigg$la valeur de «$\;\left(\Delta t\right)_{n^{\text{ème}}\,{\text{tour}}}={\dfrac {2\;\pi \;r_{0}^{2}}{\vert C\vert }}\;$» déduite de la vitesse aréolaire associée à la valeur de la constante des aires en fonction des C.I. «$\;C=r_{0}\;v_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;$» avec $\;v_{0}=\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert \;$ et $\;\alpha _{0}={\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)}}=\pm {\dfrac {\pi }{2}}\;$ soit «$\;C=\pm r_{0}\;v_{0}\;$» $\Rightarrow$ «$\;\left(\Delta t\right)_{n^{\text{ème}}\,{\text{tour}}}={\dfrac {2\;\pi \;r_{0}}{v_{0}}}\;$» ou encore, avec $\;v_{0}=r_{0}\vert {\dot {\theta }}_{0}\vert \;$ utilisant que la vitesse d'un point sur un cercle est orthoradiale, «$\;\left(\Delta t\right)_{n^{\text{ème}}\,{\text{tour}}}={\dfrac {2\;\pi }{\vert {\dot {\theta }}_{0}\vert }}\;$» $\;{\big$c'est-à-dire l'expression de la période de révolution d'un point en mouvement circulaire uniforme${\big )}{\bigg ]}$ mais,
Remarque : tant que l'on n'utilise pas la loi de force, il est impossible d'expliciter la valeur de la période du mouvement, laquelle dépend évidemment de la façon dont le mouvement circulaire est imposé par la force centrale conservative «$\;{\vec {F}}(M)=F(r)\;{\vec {u}}_{r}\;$», $\;r=OM\;$ et $\;{\vec {u}}_{r}\;$ étant respectivement la coordonnée radiale et le vecteur unitaire radial du repérage polaire de $\;M\;$ dans le plan de son mouvement.

## Application aux mouvements circulaires d'un satellite ou d'une planète

Les mouvements de satellite $\;{\big$considéré comme ponctuel${\big )}\;$ autour de la Terre ou de planète $\;{\big$également considérée comme ponctuelle${\big )}\;$ autour du Soleil sont des mouvements à force centrale de centre de force respectif « le centre de la Terre » ou « celui du Soleil » conservative, l'interaction entre satellite et Terre ainsi qu'entre planète et Soleil étant gravitationnelle $\;{\big$donc attractive${\big )}\;$ correspondant à une force newtonienne ;
ces mouvements, sous C.I. à préciser, sont elliptiques et, parmi ceux-ci nous étudierons les cas particuliers de « mouvements circulaires » nécessitant des C.I. plus restrictives.

### Application au cas d'une force newtonienne attractive

$\;\succ \;$On rappelle que le point matériel $\;M\left(m\right)\;$ est soumis à une force newtonienne attractive si celle-ci s'écrit «$\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;k<0\;$», $\;r\;$ et $\;{\vec {u}}_{r}\;$ étant respectivement la coordonnée radiale de $\;M\;$ et le vecteur unitaire radial lié à $\;M\;$ de son repérage sphérique de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}$ $\;{\Big$ou de son repérage polaire de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ dans le plan du mouvement de $\;M\;$ si ce dernier n'est soumis qu'à la force newtonienne attractive${\Big ]}$ ; cette force attractive peut être de nature
* gravitationnelle «$\;k\;$ vaut alors $\;-{\mathcal {G}}\;m_{\mathcal {S}}\;m<0\;$» avec «$\;{\mathcal {G}}\simeq 6,67\;10^{-11}\;U.S.I.\;$ la constante de gravitation universelle » et «$\;m_{\mathcal {S}}\;$ la masse de la source $\;{\mathcal {S}}\;$ à l'origine du champ de gravitation newtonien » ou
* électrostatique «$\;k\;$ vaut alors $\;{\dfrac {q_{\mathcal {S}}\;q}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\;$» avec «$\;{\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\simeq 9\;10^{9}\;U.S.I.\;$ où $\;\varepsilon _{0}\;$ est la permittivité diélectrique du vide », «$\;q_{\mathcal {S}}\;$ la charge de la source $\;{\mathcal {S}}\;$ à l'origine du champ électrostatique newtonien », charge de signe opposé à celui de la charge $\;q\;$ du point matériel pour que la force newtonienne électrostatique soit attractive.
$\;\succ \;$De même on rappelle que le mouvement du point matériel $\;M\left(m\right)\;$ soumis à une force centrale conservative «$\;{\vec {F}}(M)=F(r)\;{\vec {u}}_{r}\;$» est circulaire de centre $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ ssi
* les vecteurs vitesse et position initiales sont $\;\perp \;$ c'est-à-dire «$\;{\vec {V}}_{0}\;\perp \;{\overrightarrow {OM_{0}}}\;$» et
* leurs normes sont liées par la loi de force selon $\;v_{0}=r_{0}\;{\sqrt {\dfrac {-F(r_{0})}{m\;r_{0}}}}\;$ avec $\;v_{0}=\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert \;$ et $\;r_{0}=\Vert {\overrightarrow {OM_{0}}}\Vert$ $\;{\bigg$voir la valeur nécessaire de valeur absolue de vitesse angulaire $\;\vert {\dot {\theta }}_{0}\vert \;$ pour que le mouvement soit circulaire de centre $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ dans le paragraphe « expression de la vitesse angulaire du mouvement circulaire de centre O du point M uniquement soumis à une force centrale conservative » plus haut dans ce chapitre, la norme du vecteur vitesse initiale se déterminant par $\;v_{0}=r_{0}\;\vert {\dot {\theta }}_{0}\vert {\big ]}$ soit encore «$\;v_{0}={\sqrt {\dfrac {-F(r_{0})\;r_{0}}{m}}}\;$».
$\;\succ \;$En utilisant les deux rappels on conclut que le mouvement du point matériel $\;M\left(m\right)\;$ soumis à une force newtonienne attractive «$\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;k<0\;$» est circulaire de centre $\;O$ $\;{\big$le centre de force${\big )}\;$ ssi
* les vecteurs vitesse et position initiales sont $\;\perp \;$ c'est-à-dire «$\;{\vec {V}}_{0}\;\perp \;{\overrightarrow {OM_{0}}}\;$» et
* leurs normes sont liées par la loi de force selon «$\;v_{0}={\sqrt {\dfrac {-{\dfrac {k}{r_{0}^{2}}}\;r_{0}}{m}}}\;$» avec $\;v_{0}=\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert \;$ et $\;r_{0}=\Vert {\overrightarrow {OM_{0}}}\Vert \;$ soit encore «$\;v_{0}={\sqrt {\dfrac {-k}{m\;r_{0}}}}\;$», la valeur absolue de la vitesse angulaire initiale s'écrivant «$\;\vert {\dot {\theta }}_{0}\vert$ $={\dfrac {v_{0}}{r_{0}}}={\sqrt {\dfrac {-k}{m\;r_{0}^{3}}}}\;$».
$\;\blacktriangleright \;$Dans le cas d'une force newtonienne électrostatique attractive, la norme de la vitesse initiale pour que le mouvement de $\;M\;$ soit circulaire s'écrit «$\;v_{0}={\sqrt {\dfrac {-{\dfrac {q_{\mathcal {S}}\;q}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}}{m\;r_{0}}}}={\sqrt {\dfrac {-q_{\mathcal {S}}\;q}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;m\;r_{0}}}}\;$» $\Rightarrow$ une période de révolution «$\;T={\dfrac {2\;\pi \;r_{0}}{v_{0}}}={\dfrac {2\;\pi \;r_{0}}{\sqrt {\dfrac {-q_{\mathcal {S}}\;q}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;m\;r_{0}}}}}={\sqrt {\dfrac {16\;\pi ^{3}\;\varepsilon _{0}\;m\;r_{0}^{\,3}}{-q_{\mathcal {S}}\;q}}}\;$» $\;{\big$exemple : le modèle classique de l'atome d'hydrogène avec «$\;q_{\mathcal {S}}=e\;$ la charge du noyau », «$\;q=-e$ la charge de l'électron $\;{\bige\;$ étant la charge élémentaire $\;\simeq 1,6\;10^{-19}\;C{\big )}\;$» et «$\;m\simeq 1,67\;10^{-27}\;kg\;$ la masse de l'atome »${\big ]}$.
$\;\blacktriangleright \;$Dans le cas d'une force newtonienne gravitationnelle, la norme de la vitesse initiale pour que le mouvement de $\;M\;$ soit circulaire s'écrit «$\;v_{0}={\sqrt {\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\mathcal {S}}\;m}{m\;r_{0}}}}={\sqrt {\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\mathcal {S}}}{r_{0}}}}\;$» $\Rightarrow$ une période de révolution «$\;T={\dfrac {2\;\pi \;r_{0}}{v_{0}}}={\dfrac {2\;\pi \;r_{0}}{\sqrt {\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\mathcal {S}}}{r_{0}}}}}={\sqrt {\dfrac {4\;\pi ^{2}\;r_{0}^{\,3}}{{\mathcal {G}}\;m_{\mathcal {S}}}}}\;$» $\;{\big$exemple : tout objet dans le champ d’attraction d’une planète ou étoile avec «$\;m_{\mathcal {S}}\;$ la masse de la planète ou de l'étoile », la période de révolution étant indépendante de la masse de l'objet${\big ]}$.

### Mouvement circulaire d'une planète du Système solaire

Préliminaire : On a vu dans la note « $^{63}$ » du chap.$14$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la planète du Système solaire ayant la trajectoire la plus excentrique est « Mercure (☿), $\;e_{{\text{orbite}},\,{\text{(☿)}}}\simeq 0,206\;$», la suivante par ordre d’excentricité $\;\searrow \;$ étant « Mars (♂), $\;e_{{\text{orbite}},\,{\text{(♂)}}}\simeq 0,0934\;$» et celle la moins excentrique « Vénus (♀), $\;e_{{\text{orbite}},\,{\text{(♀)}}}\simeq 0,0068\;$», la « Terre (♁) » se situant en 6ème position du Système solaire par excentricité $\;\searrow \;$ avec «$\;e_{{\text{orbite}},\,{\text{(♁)}}}\simeq 0,0167\;$», la 7ème position étant occupée par « Neptune (♆) » avec «$\;e_{{\text{orbite}},\,{\text{(♆)}}}\simeq 0,00859\;$» ;
Préliminaire : ainsi, mis à part « Mercure (☿) », on peut, en 1ère approximation, considérer les trajectoires des planètes du Système solaire comme circulaires.
Dans l'exemple du mouvement circulaire des planètes du Système solaire le centre attractif est le centre du « Soleil (☉) », la vitesse de la planète sur son orbite supposée circulaire de rayon «$\;r_{{\text{orbite}},\,{\text{Planète}}}\;$» est «$\;v_{{\text{orbite}},\,{\text{Planète}}}$ $={\sqrt {\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}}{r_{{\text{orbite}},\,{\text{Planète}}}}}}\;$» dans laquelle «$\;{\mathcal {G}}\simeq 6,67\;10^{-11}\;U.S.I.\;$ est la constante de gravitation universelle » et «$\;m_{\text{☉}}\simeq 2,0\;10^{30}\;kg\;$ la masse du Soleil (☉) », sa période de révolution dans le référentiel de Copernic «$\;T={\sqrt {\dfrac {4\;\pi ^{2}\;r_{{\text{orbite}},\,{\text{Planète}}}^{\,3}}{{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}}}}\;$» :
* dans le cas de la « Terre (♁) » décrivant une trajectoire quasi-circulaire de rayon «$\;r_{{\text{orbite}},\,{\text{(♁)}}}=1\;ua\;$ soit $\;r_{{\text{orbite}},\,{\text{(♁)}}}\simeq 149,6\;10^{9}\;m\;$», on trouve une vitesse orbitale «$\;v_{{\text{orbite}},\,{\text{(♁)}}}\simeq$ ${\sqrt {\dfrac {6,67\;10^{-11}\times 2,0\;10^{30}}{149,6\;10^{9}}}}\simeq$ $29,86\;10^{3}\;m\cdot s^{-1}\;$» soit approximativement «$\;v_{{\text{orbite}},\,{\text{(♁)}}}\simeq 30\;km\cdot s^{-1}\;$» et une période de révolution «$\;T_{{\text{révol.}},\,{\text{(♁)}}}\simeq {\sqrt {\dfrac {4\times \pi ^{2}\times \left(149,6\;10^{9}\right)^{3}}{6,67\;10^{-11}\times 2,0\;10^{30}}}}\;s\simeq 31,477\;10^{6}\;s$ $\simeq 365,3\;j\;$» ou, par définition d'une « année sidérale de symbole $\;an\;$» «$\;T_{{\text{révol.}},\,{\text{(♁)}}}=1\;an\;$» ;
* dans le cas des $\;4\;$ planètes telluriques dont la « Terre (♁) » est la 3ème en partant du « Soleil (☉) » on trouve respectivement $\;\blacktriangleright \;$pour « Mercure (☿) » $\;{\bigg$en remplaçant sa trajectoire elliptique par une trajectoire circulaire dont le rayon serait le demi-grand axe de l'ellipse c'est-à-dire $\;r_{{\text{orbite}},\,{\text{(☿)}}}\;$ assimilé à $\;a_{\text{(☿)}}={\dfrac {r_{P,\,{\text{(☿)}}}+r_{A,\,{\text{(☿)}}}}{2}}\;$ dans lequel $\;r_{P,\,{\text{(☿)}}}\simeq 0,3075\;ua\;$ et $\;r_{A,\,{\text{(☿)}}}\simeq 0,4667\;ua\;$ sont respectivement les distances séparant son périhélie et son aphélie au centre du « Soleil (☉) » soit «$\;r_{{\text{orbite}},\,{\text{(☿)}}}\;$ assimilé à $\;a_{\text{(☿)}}\simeq$ $0,3871\;ua\;$»${\bigg ]}$, «$\;v_{{\text{orbite hyp.}}\,{\text{circul.}},\,{\text{(☿)}}}$ $\simeq {\sqrt {\dfrac {6,67\;10^{-11}\times 2,0\;10^{30}}{0,3871\times 149,6\;10^{9}}}}\simeq 47,87\;10^{3}\;m\cdot s^{-1}\;$» soit approximativement «$\;v_{{\text{orbite hyp.}}\,{\text{circul.}},\,{\text{(☿)}}}\simeq 48\;km\cdot s^{-1}\;$» et une période de révolution dans l'hypothèse d'un mouvement circulaire «$\;T_{{\text{révol.}}\,{\text{circul.}}\,{\text{(☿)}}}\simeq {\sqrt {\dfrac {4\times \pi ^{2}\times \left(0,3871\times 149,6\;10^{9}\right)^{3}}{6,67\;10^{-11}\times 2,0\;10^{30}}}}\;s\simeq 7,581\;10^{6}\;s\simeq 87,98\;j\simeq 88\;j\;$»$^,$, $\;\blacktriangleright \;$pour « Vénus (♀) » décrivant une trajectoire quasi-circulaire de rayon «$\;r_{{\text{orbite}},\,{\text{(♀)}}}=0,723\;ua\;$», «$\;v_{{\text{orbite}},\,{\text{(♀)}}}\simeq {\sqrt {\dfrac {6,67\;10^{-11}\times 2,0\;10^{30}}{0,723\times 149,6\;10^{9}}}}\simeq 35,12\;10^{3}\;m\cdot s^{-1}\;$» soit approximativement «$\;v_{{\text{orbite}},\,{\text{(♀)}}}$ $\simeq 35\;km\cdot s^{-1}\;$» et une période de révolution dans le référentiel de Copernic «$\;T_{{\text{révol.}}\,{\text{(♀)}}}\simeq {\sqrt {\dfrac {4\times \pi ^{2}\times \left(0,723\times 149,6\;10^{9}\right)^{3}}{6,67\;10^{-11}\times 2,0\;10^{30}}}}\;s\simeq 19,35\;10^{6}\;s\simeq 224,59\;j\simeq 225\;j\;$», $\;\blacktriangleright \;$pour « Mars (♂) » décrivant une trajectoire quasi-circulaire de rayon «$\;r_{{\text{orbite}},\,{\text{(♂)}}}=1,524\;ua\;$», «$\;v_{{\text{orbite}},\,{\text{(♂)}}}\simeq {\sqrt {\dfrac {6,67\;10^{-11}\times 2,0\;10^{30}}{1,524\times 149,6\;10^{9}}}}\simeq 24,19\;10^{3}\;m\cdot s^{-1}\;$» soit approximativement «$\;v_{{\text{orbite}},\,{\text{(♂)}}}$ $\simeq 24\;km\cdot s^{-1}\;$» et une période de révolution dans le référentiel de Copernic «$\;T_{{\text{révol.}}\,{\text{(♂)}}}\simeq {\sqrt {\dfrac {4\times \pi ^{2}\times \left(1,524\times 149,6\;10^{9}\right)^{3}}{6,67\;10^{-11}\times 2,0\;10^{30}}}}\;s\simeq 59,22\;10^{6}\;s\simeq 687,31\;j\simeq 687\;j\;$» ou «$\;T_{{\text{révol.}}\,{\text{(♂)}}}\simeq$ $1,88\;an\;$» ;
* dans le cas des $\;4\;$ planètes géantes toutes situées au-delà de « Mars (♂) » on trouve respectivement $\;\blacktriangleright \;$pour « Jupiter (♃) » décrivant une trajectoire quasi-circulaire de rayon «$\;r_{{\text{orbite}},\,{\text{(♃)}}}=5,203\;ua\;$», «$\;v_{{\text{orbite}},\,{\text{(♃)}}}\simeq {\sqrt {\dfrac {6,67\;10^{-11}\times 2,0\;10^{30}}{5,203\times 149,6\;10^{9}}}}\simeq 13,08\;10^{3}\;m\cdot s^{-1}\;$» soit approximativement «$\;v_{{\text{orbite}},\,{\text{(♃)}}}$ $\simeq 13\;km\cdot s^{-1}\;$» et une période de révolution dans le référentiel de Copernic «$\;T_{{\text{révol.}}\,{\text{(♃)}}}\simeq {\sqrt {\dfrac {4\times \pi ^{2}\times \left(5,203\times 149,6\;10^{9}\right)^{3}}{6,67\;10^{-11}\times 2,0\;10^{30}}}}\;s\simeq 373,58\;10^{6}\;s\simeq 4335,65\;j\simeq 4336\;j\;$» ou «$\;T_{{\text{révol.}}\,{\text{(♃)}}}\simeq$ $11,87\;an\simeq 12\;an\;$», $\;\blacktriangleright \;$pour « Saturne (♄) » décrivant une trajectoire quasi-circulaire de rayon «$\;r_{{\text{orbite}},\,{\text{(♄)}}}=9,537\;ua\;$», «$\;v_{{\text{orbite}},\,{\text{(♄)}}}\simeq {\sqrt {\dfrac {6,67\;10^{-11}\times 2,0\;10^{30}}{9,537\times 149,6\;10^{9}}}}\simeq 9,670\;10^{3}\;m\cdot s^{-1}\;$» soit approximativement «$\;v_{{\text{orbite}},\,{\text{(♄)}}}$ $\simeq 9,7\;km\cdot s^{-1}\;$» et une période de révolution dans le référentiel de Copernic «$\;T_{{\text{révol.}}\,{\text{(♄)}}}\simeq {\sqrt {\dfrac {4\times \pi ^{2}\times \left(9,537\times 149,6\;10^{9}\right)^{3}}{6,67\;10^{-11}\times 2,0\;10^{30}}}}\;s\simeq 927,08\;10^{6}\;s\simeq 10759,5\;j\simeq 10760\;j\;$» ou «$\;T_{{\text{révol.}}\,{\text{(♄)}}}\simeq$ $29,46\;an\simeq 29,5\;an\;$», $\;\blacktriangleright \;$pour « Uranus (♅) » décrivant une trajectoire quasi-circulaire de rayon «$\;r_{{\text{orbite}},\,{\text{(♅)}}}=19,19\;ua\;$», «$\;v_{{\text{orbite}},\,{\text{(♅)}}}\simeq {\sqrt {\dfrac {6,67\;10^{-11}\times 2,0\;10^{30}}{19,19\times 149,6\;10^{9}}}}\simeq 6,817\;10^{3}\;m\cdot s^{-1}\;$» soit approximativement «$\;v_{{\text{orbite}},\,{\text{(♅)}}}$ $\simeq 6,8\;km\cdot s^{-1}\;$» et une période de révolution dans le référentiel de Copernic «$\;T_{{\text{révol.}}\,{\text{(♅)}}}\simeq {\sqrt {\dfrac {4\times \pi ^{2}\times \left(19,19\times 149,6\;10^{9}\right)^{3}}{6,67\;10^{-11}\times 2,0\;10^{30}}}}\;s\simeq 2646,13\;10^{6}\;s\simeq 30710,4\;j\simeq 30710\;j\;$» ou «$\;T_{{\text{révol.}}\,{\text{(♅)}}}$ $\simeq 84,08\;an\simeq 84\;an\;$», $\;\blacktriangleright \;$pour « Neptune (♆) » décrivant une trajectoire quasi-circulaire de rayon «$\;r_{{\text{orbite}},\,{\text{(♆)}}}=30,07\;ua\;$», «$\;v_{{\text{orbite}},\,{\text{(♆)}}}\simeq {\sqrt {\dfrac {6,67\;10^{-11}\times 2,0\;10^{30}}{30,07\times 149,6\;10^{9}}}}\simeq 5,446\;10^{3}\;m\cdot s^{-1}\;$» soit approximativement «$\;v_{{\text{orbite}},\,{\text{(♆)}}}$ $\simeq 5,4\;km\cdot s^{-1}\;$» et une période de révolution dans le référentiel de Copernic «$\;T_{{\text{révol.}}\,{\text{(♆)}}}\simeq {\sqrt {\dfrac {4\times \pi ^{2}\times \left(30,07\times 149,6\;10^{9}\right)^{3}}{6,67\;10^{-11}\times 2,0\;10^{30}}}}\;s\simeq 5190,38\;10^{6}\;s\simeq 60238,4\;j\simeq 60238\;j\;$» ou «$\;T_{{\text{révol.}}\,{\text{(♆)}}}$ $\simeq 164,92\;an\simeq 165\;an\;$».

### Mouvement circulaire d'un satellite de la Terre

Préliminaire : La plupart des satellites de la « Terre (♁) » ont, dans le référentiel géocentrique supposé galiléen, une trajectoire elliptique dont le centre de la « Terre (♁) » est un des foyers et dont l'excentricité est non nulle mais quelques uns d'entre eux sont lancés avec des C.I. telles que leur trajectoire soit circulaire de centre de la « Terre (♁) » ;
Préliminaire : ici nous ne nous intéressons qu'aux satellites de la « Terre (♁) » ayant une trajectoire circulaire dans le référentiel géocentrique supposé galiléen.
Dans l'exemple du mouvement circulaire des satellites terrestres le centre attractif est le centre de la « Terre (♁) », la vitesse du satellite terrestre sur son orbite supposée circulaire de rayon «$\;r_{{\text{orbite}},\,{\text{Satellite}}}\;$» est «$\;v_{{\text{orbite}},\,{\text{Satellite}}}$ $={\sqrt {\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}}{r_{{\text{orbite}},\,{\text{Satellite}}}}}}\;$» dans laquelle «$\;{\mathcal {G}}\simeq 6,67\;10^{-11}\;U.S.I.\;$ est la constante de gravitation universelle » et «$\;m_{\text{♁}}\simeq 6,0\;10^{24}\;kg\;$ la masse de la Terre (♁) », Dans l'exemple du mouvement circulaire des satellites terrestres le centre attractif est le centre de la « Terre (♁) », la période de révolution du satellite terrestre à trajectoire circulaire de rayon «$\;r_{{\text{orbite}},\,{\text{Satellite}}}\;$» dans le référentiel géocentrique est «$\;T_{{\text{révolution}},\,{\text{Satellite}}}={\sqrt {\dfrac {4\;\pi ^{2}\;r_{{\text{orbite}},\,{\text{Satellite}}}^{\,3}}{{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}}}}\;$» :
* dans le cas du satellite naturel terrestre « la Lune (☽) », décrivant une trajectoire quasi-circulaire de rayon «$\;r_{{\text{orbite}},\,{\text{(☽)}}}=0,0025695\;ua\;$ soit $\;r_{{\text{orbite}},\,{\text{(☽)}}}\simeq 384,4\;10^{6}\;m\;$», on trouve une vitesse orbitale «$\;v_{{\text{orbite}},\,{\text{(☽)}}}$ $\simeq {\sqrt {\dfrac {6,67\;10^{-11}\times 6,0\;10^{24}}{384,4\;10^{6}}}}\simeq 1,0203\;10^{3}\;m\cdot s^{-1}\;$» soit approximativement «$\;v_{{\text{orbite}},\,{\text{(☽)}}}\simeq 1,0\;km\cdot s^{-1}\;$» et une période de révolution dans le référentiel géocentrique «$\;T_{{\text{révol.}}\,{\text{(☽)}}}\simeq$ ${\sqrt {\dfrac {4\times \pi ^{2}\times \left(384,4\;10^{6}\right)^{3}}{6,67\;10^{-11}\times 6,0\;10^{24}}}}\;s\simeq 2,3671\;10^{6}\;s\simeq 27,472\;j\simeq 27,5\;j\;$» définissant le « mois sidéral lunaire » ;
* dans le cas des satellites artificiels terrestres décrivant une trajectoire circulaire, on trouve une vitesse orbitale et une période de révolution dans le référentiel géocentrique dépendant du rayon de l'orbite circulaire décrite «$\;r_{{\text{orbite}},\,{\text{(sat. artific.)}}}\;$» soit $\;\blacktriangleright \;$avec «$\;r_{{\text{orbite}},\,{\text{(sat. artif.)}}}=6500\;km\;$» $\;{\big$soit à $\;100\;km\;$ d'altitude${\big )}$, «$\;v_{{\text{orbite}},\,{\text{(sat. artif. à}}\,100\,km\,{\text{d'alt.)}}}\simeq {\dfrac {6,67\;10^{-11}\times 6,0\;10^{24}}{6,5\;10^{6}}}\simeq 7,847\;10^{3}\;m\cdot s^{-1}\;$» soit «$\;v_{{\text{orbite}},\,{\text{(sat. artif. à}}\,100\,km\,{\text{d'alt.)}}}\simeq$ $7,85\;km\cdot s^{-1}\;$» et «$\;T_{{\text{révol.}}\,{\text{(sat. artif. à}}\,100\,km\,{\text{d'alt.)}}}\simeq {\sqrt {\dfrac {4\times \pi ^{2}\times \left(6,5\;10^{6}\right)^{3}}{6,67\;10^{-11}\times 6,0\;10^{24}}}}\;s\simeq 5204,89\;s\simeq 1,4458\;h\simeq 1\;h\;26\;min\;45\;s\;$», $\;\blacktriangleright \;$avec «$\;r_{{\text{orbite}},\,{\text{(sat. artif.)}}}=6400\;km\;$» $\;{\big$soit au ras du sol terrestre${\big )}\;$, «$\;v_{{\text{orbite}},\,{\text{(sat. artif. au ras du sol)}}}\simeq {\dfrac {6,67\;10^{-11}\times 6,0\;10^{24}}{6,4\;10^{6}}}\simeq 7,907\;10^{3}\;m\cdot s^{-1}\;$» soit «$\;v_{{\text{orbite}},\,{\text{(sat. artif. au ras du sol)}}}\simeq$ $7,9\;km\cdot s^{-1}\;$» c'est-à-dire approximativement «$\;8\;km\cdot s^{-1}\;$» et «$\;T_{{\text{révol.}}\,{\text{(sat. artif. au ras du sol)}}}\simeq {\sqrt {\dfrac {4\times \pi ^{2}\times \left(6,4\;10^{6}\right)^{3}}{6,67\;10^{-11}\times 6,0\;10^{24}}}}\;s\simeq 5085,24\;s\simeq 1,4126\;h\simeq 1\;h\;24\;min\;45\;s\;$», $\;\blacktriangleright \;$quand l'altitude «$\;h=r_{\text{(sat. artific.)}}-R_{\text{(♁)}}\;$» du satellite terrestre $\;\nearrow \;$ on note que « sa vitesse circulaire $\;v_{{\text{circul.}},\,{\text{Satellite}}}$ $\;\searrow \;$ comme $\;{\dfrac {1}{\sqrt {R_{\text{(♁)}}+h}}}\;$» et que « sa période de révolution $\;T_{{\text{révolution}},\,{\text{Satellite}}}$ $\;\nearrow \;$ comme $\;{\sqrt {\left(R_{\text{(♁)}}+h\right)^{3}}}\;$».

## Établissement direct de la 3ème loi de Kepler dans le cas particulier d'un mouvement circulaire d'un satellite ou d'une planète

Les mouvements de satellite $\;{\big$considéré comme ponctuel${\big )}\;$ autour de la Terre ou de planète $\;{\big$également considérée comme ponctuelle${\big )}\;$ autour du Soleil étant des mouvements à force centrale de centre de force respectif « le centre de la Terre » ou « celui du Soleil » conservative, avec une interaction entre satellite et Terre ainsi qu'entre planète et Soleil gravitationnelle $\;{\big$donc attractive${\big )}\;$ correspondant à une force newtonienne, ces mouvements, sous C.I. à préciser, sont elliptiques ;
on peut donc appliquer, à ces derniers, la 3ème loi de Kepler établie au paragraphe « 3ème loi de Kepler » du chap.$14$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » énonçant que « le rapport $\;{\dfrac {a^{3}}{T^{2}}}$ $\;{\big$avec $\;a\;$ le demi-grand axe de l'ellipse décrite par le satellite ou la planète dans sa révolution autour de son centre d'attraction et $\;T\;$ la période de révolution correspondante dans le référentiel galiléen géocentrique pour le satellite ou de Copernic pour la planète${\big )}\;$ est une constante indépendante de la masse du satellite ou de la planète subissant l'attraction gravitationnelle de la Terre (♁) ou du Soleil (☉) » et
parmi les mouvements elliptiques ci-dessus, certains, avec des C.I. plus restrictives conduisant à une excentricité nulle, correspondent à un « mouvement circulaire » pour lequel la 3ème loi de Kepler s'applique, « le demi-grand axe $\;a\;$ de l'ellipse devant être remplacé par le rayon $\;r_{\text{orbite}}\;$ du cercle ».
Dans ce paragraphe nous nous proposons de démontrer directement la 3ème loi de Kepler dans ces cas particuliers $\;\ldots$

### Établissement direct de la 3ème loi de Kepler dans le cas particulier d'un mouvement circulaire d'une planète

On applique la r.f.d.n. à la planète étudiée dans le référentiel de Copernic et on projette sur $\;{\vec {u}}_{r}$ $\;{\big \$vecteur unitaire radial du repérage polaire de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre du Soleil (☉)${\big ]}\;$ de la planète dans le plan de la trajectoire de cette dernière${\big \}$ pour déterminer la vitesse linéaire «$\;v_{{\text{orbite}},\,{\text{Planète}}}\;$» $\;{\big$ou la vitesse angulaire «$\;\Omega _{{\text{orbite}},\,{\text{Planète}}}\;$»${\big ]}\;$ en fonction du rayon de l’orbite circulaire «$\;r_{{\text{orbite}},\,{\text{Planète}}}\;$» soit :
«$\;F_{{\text{Planète}}\,\leftarrow \,{\text{(☉)}}}\!\left[r_{{\text{orbite}},\,{\text{Planète}}}\right]\;{\vec {u}}_{r}=m_{\text{Planète}}\;{\vec {a}}_{\text{Planète}}(t)\;$» soit, en projetant sur $\;{\vec {u}}_{r}$, «$\;F_{{\text{Planète}}\,\leftarrow \,{\text{(☉)}}}\!\left[r_{{\text{orbite}},\,{\text{Planète}}}\right]=-m_{\text{Planète}}\;r_{{\text{orbite}},\,{\text{Planète}}}\;\Omega _{{\text{orbite}},\,{\text{Planète}}}^{\,2}\;$» ou «$\;-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;{\cancel {m_{\text{Planète}}}}\;m_{\text{(☉)}}}{r_{{\text{orbite}},\,{\text{Planète}}}^{\,2}}}=$ $-{\cancel {m_{\text{Planète}}}}\;r_{{\text{orbite}},\,{\text{Planète}}}\;\Omega _{{\text{orbite}},\,{\text{Planète}}}^{\,2}\;$» donnant finalement «$\;\vert \Omega _{{\text{orbite}},\,{\text{Planète}}}\vert ={\sqrt {\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{(☉)}}}{r_{{\text{orbite}},\,{\text{Planète}}}^{\,3}}}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;v_{{\text{orbite}},\,{\text{Planète}}}=r_{{\text{orbite}},\,{\text{Planète}}}\;\vert \Omega _{{\text{orbite}},\,{\text{Planète}}}\vert ={\sqrt {\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{(☉)}}}{r_{{\text{orbite}},\,{\text{Planète}}}}}}\;$» ;
on détermine alors la période de révolution de la planète dans le référentiel de Copernic par «$\;T_{{\text{révol.}}\,{\text{Planète}}}={\dfrac {2\;\pi }{\vert \Omega _{{\text{orbite}},\,{\text{Planète}}}\vert }}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {r_{{\text{orbite}},\,{\text{Planète}}}^{\,3}}{{\mathcal {G}}\;m_{\text{(☉)}}}}}\;$» $\;{\Bigg \$ou par «$\;T_{{\text{révol.}}\,{\text{Planète}}}=$ ${\dfrac {2\;\pi \;r_{{\text{orbite}},\,{\text{Planète}}}}{v_{{\text{orbite}},\,{\text{Planète}}}}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {r_{{\text{orbite}},\,{\text{Planète}}}^{\,3}}{{\mathcal {G}}\;m_{\text{(☉)}}}}}\;$»${\Bigg \}$ puis
on élève au carré soit «$\;T_{{\text{révol.}}\,{\text{Planète}}}^{\,2}=4\;\pi ^{2}\;{\dfrac {r_{{\text{orbite}},\,{\text{Planète}}}^{\,3}}{{\mathcal {G}}\;m_{\text{(☉)}}}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {r_{{\text{orbite}},\,{\text{Planète}}}^{\,3}}{T_{{\text{révol.}}\,{\text{Planète}}}^{\,2}}}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{(☉)}}}{4\;\pi ^{2}}}\;$» constituant la 3ème loi de Kepler pour les planètes du Système solaire en mouvement circulaire.

### Établissement direct de la 3ème loi de Kepler dans le cas particulier d'un mouvement circulaire d'un satellite autour de la Terre

On applique la r.f.d.n. au satellite étudié dans le référentiel géocentrique et on projette sur $\;{\vec {u}}_{r}$ $\;{\big \$vecteur unitaire radial du repérage polaire de pôle $\;O$ $\;{\big$le centre de la Terre (♁)${\big ]}\;$ du satellite dans le plan de la trajectoire de ce dernier${\big \}$ pour déterminer la vitesse linéaire «$\;v_{{\text{orbite}},\,{\text{satellite}}}\;$» $\;{\big$ou la vitesse angulaire «$\;\Omega _{{\text{orbite}},\,{\text{satellite}}}\;$»${\big ]}\;$ en fonction du rayon de l’orbite circulaire «$\;r_{{\text{orbite}},\,{\text{satellite}}}\;$» soit :
«$\;F_{{\text{satellite}}\,\leftarrow \,{\text{(♁)}}}\!\left[r_{{\text{orbite}},\,{\text{satellite}}}\right]\;{\vec {u}}_{r}=m_{\text{satellite}}\;{\vec {a}}_{\text{satellite}}(t)\;$» soit, en projetant sur $\;{\vec {u}}_{r}$, «$\;F_{{\text{satellite}}\,\leftarrow \,{\text{(♁)}}}\!\left[r_{{\text{orbite}},\,{\text{satellite}}}\right]=-m_{\text{satellite}}\;r_{{\text{orbite}},\,{\text{satellite}}}\;\Omega _{{\text{orbite}},\,{\text{satellite}}}^{\,2}\;$» ou «$\;-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;{\cancel {m_{\text{satellite}}}}\;m_{\text{(♁)}}}{r_{{\text{orbite}},\,{\text{satellite}}}^{\,2}}}=$ $-{\cancel {m_{\text{satellite}}}}\;r_{{\text{orbite}},\,{\text{satellite}}}\;\Omega _{{\text{orbite}},\,{\text{satellite}}}^{\,2}\;$» donnant finalement «$\;\vert \Omega _{{\text{orbite}},\,{\text{satellite}}}\vert ={\sqrt {\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{(♁)}}}{r_{{\text{orbite}},\,{\text{satellite}}}^{\,3}}}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;v_{{\text{orbite}},\,{\text{satellite}}}=r_{{\text{orbite}},\,{\text{satellite}}}\;\vert \Omega _{{\text{orbite}},\,{\text{satellite}}}\vert ={\sqrt {\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{(♁)}}}{r_{{\text{orbite}},\,{\text{satellite}}}}}}\;$» ;
on détermine alors la période de révolution du satellite dans le référentiel géocentrique par «$\;T_{{\text{révol.}}\,{\text{satellite}}}={\dfrac {2\;\pi }{\vert \Omega _{{\text{orbite}},\,{\text{satellite}}}\vert }}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {r_{{\text{orbite}},\,{\text{satellite}}}^{\,3}}{{\mathcal {G}}\;m_{\text{(♁)}}}}}\;$» $\;{\Bigg \$ou par «$\;T_{{\text{révol.}}\,{\text{satellite}}}=$ ${\dfrac {2\;\pi \;r_{{\text{orbite}},\,{\text{satellite}}}}{v_{{\text{orbite}},\,{\text{satellite}}}}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {r_{{\text{orbite}},\,{\text{satellite}}}^{\,3}}{{\mathcal {G}}\;m_{\text{(♁)}}}}}\;$»${\Bigg \}$ puis
on élève au carré soit «$\;T_{{\text{révol.}}\,{\text{satellite}}}^{\,2}=4\;\pi ^{2}\;{\dfrac {r_{{\text{orbite}},\,{\text{satellite}}}^{\,3}}{{\mathcal {G}}\;m_{\text{(♁)}}}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {r_{{\text{orbite}},\,{\text{satellite}}}^{\,3}}{T_{{\text{révol.}}\,{\text{satellite}}}^{\,2}}}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{(♁)}}}{4\;\pi ^{2}}}\;$» constituant la 3ème loi de Kepler pour les satellites terrestres en mouvement circulaire.
Complément : Pour le satellite naturel de la « Terre (♁) », à savoir la « Lune (☽) », la 3ème loi de Kepler doit être adaptée car, la masse de la Lune (☽) n'étant pas négligeable devant celle de la Terre (♁), le référentiel barycentrique du système « Terre (♁), Lune (☽) » $\;{\big$considérées comme ponctuelles${\big )}\;$ ne s'identifie pas au référentiel géocentrique et par suite,
Complément : la période de révolution de la « Lune (☽) » dans le référentiel géocentrique $\;{\big$lié au « centre $\;O_{\text{(♁)}}\;$ de la Terre (♁) » en translation relativement au référentiel de Copernic galiléen${\big ]}\;$ s'identifiant à celle du « mobile réduit $\;M_{\text{(♁), (☽)}}\left(\mu ={\dfrac {m_{\text{☽}}\;m_{\text{♁}}}{m_{\text{☽}}+m_{\text{♁}}}}\right)\;$» du système « Terre (♁), Lune (☽) » dans le référentiel barycentrique du système, en supposant que s'applique sur le mobile réduit $\;M_{\text{(♁), (☽)}}\;$ la force d'attraction gravitationnelle que la Terre (♁) exerce sur la Lune (☽) «$\;{\vec {F}}_{{\text{☽}}\,\leftarrow \,{\text{♁}}}\;$» de norme «$\;\Vert {\vec {F}}_{{\text{☽}}\,\leftarrow \,{\text{♁}}}\Vert ={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{♁}}\;m_{\text{☽}}}{\left[O_{\text{(♁)}}L\right]^{2}}}\;$» $\;{\big$«$\;L\;$ étant le centre de la Lune (☽) »${\big ]}\;$ laquelle s'écrivant encore, en utilisant la définition du mobile réduit du système « Terre (♁), Lune (☽) » $\Rightarrow$ «$\;O_{\text{(♁)}}L=G_{\text{(♁), (☽)}}M_{\text{(♁), (☽)}}\;$», «$\;\Vert {\vec {F}}_{{\text{☽}}\,\leftarrow \,{\text{♁}}}\Vert$ $={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}\;\mu }{\left[G_{\text{(♁), (☽)}}M_{\text{(♁), (☽)}}\right]^{2}}}\;$» $\;{\big$avec $\;m_{\text{tot}}=m_{\text{☽}}+m_{\text{♁}}{\big )}$, s'interprète en considérant que la force à appliquer au « mobile réduit $\;M_{\text{(♁), (☽)}}\left(\mu \right)\;$» dans le référentiel barycentrique du système « Terre (♁), Lune (☽) » résulte d'une interaction gravitationnelle de « centre $\;G_{\text{(♁), (☽)}}\left(m_{\text{tot}}\right)\;$», d'où
Complément : le mouvement barycentrique du mobile réduit étant un mouvement à force centrale conservative de centre de force $\;G_{\text{(♁), (☽)}}\left(m_{\text{tot}}\right)\;$ on en déduit que la période de révolution du « mobile réduit $\;M_{\text{(♁), (☽)}}\;$» du système « Terre (♁), Lune (☽) » dans le référentiel barycentrique de ce dernier s'écrit «$\;T_{{\text{révol.}}\,M_{\text{(♁), (☽)}}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {\left[G_{\text{(♁), (☽)}}M_{\text{(♁), (☽)}}\right]^{3}}{{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}}}\;$» et par suite,
Complément : la période de révolution de la « Lune (☽) » dans le référentiel géocentrique s'obtenant par «$\;T_{{\text{révol.}}\,{\text{(☽)}}}=T_{{\text{révol.}}\,M_{\text{(♁), (☽)}}}\;$» on en déduit, avec la définition du mobile réduit du système « Terre (♁), Lune (☽) », «$\;T_{{\text{révol.}}\,{\text{(☽)}}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {\left[O_{\text{(♁)}}L\right]^{3}}{{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {r_{{\text{orbite}},\,{\text{(☽)}}}^{\,3}}{{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}}}\;$» soit
Complément : l'adaptation de la 3ème loi de Kepler au mouvement géocentrique de la « Lune (☽) » «$\;{\dfrac {r_{{\text{orbite}},\,{\text{(☽)}}}^{\,3}}{T_{{\text{révol.}}\,{\text{(☽)}}}^{\,2}}}={\dfrac {{\mathcal {G}}\left[m_{\text{(♁)}}+m_{\text{(☽)}}\right]}{4\;\pi ^{2}}}\;$».

## Généralisation de la 3ème loi de Kepler au cas d'un mouvement elliptique d'une planète ou d'un satellite

La 3ème loi de Kepler appliquée à un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ uniquement soumis à une force newtonienne attractive conservative de centre de force $\;O\;$ quand $\;M\;$ décrit un mouvement elliptique a été établie au paragraphe « 3ème loi de Kepler » du chap.$14$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », elle énonce que « le rapport $\;{\dfrac {a^{3}}{T^{2}}}$ $\;{\big$avec $\;a\;$ le demi-grand axe de l'ellipse décrite par $\;M\;$ dans sa révolution autour de son centre de force $\;O\;$ et $\;T\;$ la période de révolution correspondante dans le référentiel d'étude galiléen${\big )}\;$ est une constante indépendante de $\;m\;$» ;
sa démonstration dans le cas d'un mouvement elliptique étant un complément relativement au programme de physique de PCSI $\;{\big$seule sa démonstration dans le cas d'un mouvement circulaire étant au programme${\big )}\;$ nous l'avons redémontré dans le cas particulier d'un mouvement circulaire de planète du Système solaire dans le référentiel de Copernic ou de satellite terrestre dans le référentiel géocentrique $\;{\big$voir les paragraphes « établissement direct de la 3ème loi de Kepler dans le cas particulier d'un mouvement circulaire d'une planète » et « établissement direct de la 3ème loi de Kepler dans le cas particulier d'un mouvement circulaire d'un satellite autour de la Terre » plus haut dans ce chapitre${\big )}\;$ et nous nous proposons ici de généraliser, sans démonstration, ce cas particulier au cas général d'un mouvement elliptique.

### Généralisation de la 3ème loi de Kepler au cas d'un mouvement elliptique d'une planète

On admet qu’on obtient la 3ème loi de Kepler pour une planète du Système solaire décrivant une trajectoire elliptique dans le référentiel de Copernic adaptée à partir de celle pour une planète à orbite circulaire dans le même référentiel en remplaçant le rayon de la trajectoire circulaire par le demi-grand axe de l’orbite elliptique sans autre modification d’où
$\;{\dfrac {a_{{\text{orbite}},\,{\text{Planète}}}^{\,3}}{T_{{\text{révol.}}\,{\text{Planète}}}^{\,2}}}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{(☉)}}}{4\;\pi ^{2}}}\;$

### Généralisation de la 3ème loi de Kepler au cas d'un mouvement elliptique d'un satellite autour de la Terre

On admet qu’on obtient la 3ème loi de Kepler pour un satellite terrestre décrivant une trajectoire elliptique dans le référentiel géocentrique adaptée à partir de celle pour un satellite à orbite circulaire dans le même référentiel en remplaçant le rayon de la trajectoire circulaire par le demi-grand axe de l’orbite elliptique sans autre modification d’où
$\;{\dfrac {a_{{\text{orbite}},\,{\text{satellite}}}^{\,3}}{T_{{\text{révol.}}\,{\text{satellite}}}^{\,2}}}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{(♁)}}}{4\;\pi ^{2}}}\;$