# Mécanique 2 (PCSI)/Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique
## Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t)
### Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque »

La puissance développée par la force $\;{\vec {F}}(M,\,t)\;$ appliquée au point $\;M\;$ en mouvement « quelconque » dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ a été définie au paragraphe « puissance d'une force » du chap.$14$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » et s'écrit, à l'instant $\;t$, selon
$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]={\vec {F}}(M,\,t)\cdot {\vec {V}}_{M}(t)\;$
$\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$
$\;M\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}$

### Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)

Dans le cadre de la dynamique newtonienne, partant de la définition de la puissance développée, à l'instant $\;t$, par la force $\;{\vec {F}}(M,\,t)\;$ appliquée au point $\;M\;$ en mouvement « quelconque » dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ «$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]={\vec {F}}(M,\,t)\cdot {\vec {V}}_{M}(t)\;$», on remplace le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ du point $\;M\;$ en mouvement circulaire d'axe $\;\Delta \;$ et de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ par sa forme intrinsèque «$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\;$» dans laquelle $\;A\;$ est un point fixe quelconque de l’axe $\;\Delta \;$ soit «$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]=$ ${\vec {F}}(M,\,t)\cdot \left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\right]\;$» ;
Dans le cadre de la dynamique newtonienne, on réalise alors une « permutation circulaire du produit mixte » $\;{\big$ce qui laisse ce dernier invariant${\big )}\;$ soit «$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]=$ ${\vec {\Omega }}(t)\cdot \left[{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\vec {F}}(M,\,t)\right]\;$» et on reconnaît alors, dans le 2ème facteur du produit scalaire, le vecteur moment de la force $\;{\vec {F}}(M,\,t)\;$ par rapport $\;A\;$ soit «$\;{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\vec {F}}(M,\,t)=$ ${\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]\;$» d’où la réécriture de la puissance développée, à l'instant $\;t$, par la force $\;{\vec {F}}(M,\,t)\;$ appliquée au point $\;M\;$ en mouvement circulaire d'axe $\;\Delta \;$ et de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ selon
$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]={\vec {\Omega }}(t)\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]\cdot {\vec {\Omega }}(t)\;$
$\;A\;$
$\;\Delta \;$
$\;M$
Dans le cadre de la dynamique newtonienne, en notant $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ le vecteur unitaire orientant $\;\Delta$, la puissance développée par $\;{\vec {F}}(M,\,t)\;$ appliquée au point $\;M\;$ en mouvement circulaire d'axe $\;\Delta \;$ et de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)={\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }$ $\;{\big{\overline {\Omega }}(t)\;$ étant la vitesse angulaire instantanée du point $\;M{\big ]}$, se réécrit selon «$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]=$ ${\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]\cdot \left[{\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }\right]=\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right\rbrace \,{\overline {\Omega }}(t)\;$» soit, en reconnaissant dans le 1er terme entre accolades le moment scalaire de la force $\;{\vec {F}}(M,\,t)\;$ par rapport à l’axe $\;\Delta \;$ soit «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }={\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]\,$» l'expression suivante
$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]={\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]\;{\overline {\Omega }}(t)\;$

### Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire

On constate une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force $\;{\vec {F}}(M,\,t)\;$ à point d’application $\;M\;$ en « mouvement quelconque » «$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]=$ ${\vec {F}}(M,\,t)\cdot {\vec {V}}_{M}(t)\;$» et celle à point d’application $\;M\;$ en « mouvement circulaire de centre $\;C\;$» «$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!C}\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]\cdot {\vec {\Omega }}(t)\;$» toutes deux correspondant à la forme symbolique suivante
$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\overrightarrow {\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}}}\right]\!(t)={\overrightarrow {\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}}(t)\cdot {\overrightarrow {\text{grandeur cinématique}}}(t)\;$
dans le cas où le point $\;M\;$ a un mouvement « circulaire d'axe $\;\Delta \;$», l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon
$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\overrightarrow {\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}}}\right]\!(t)=\left\lbrace {\begin{array}{c}{\text{cause scalaire de modification de}}\\{\text{la grandeur cinématique scalaire}}\end{array}}\right\rbrace \!(t)\times {\text{grandeur cinématique scalaire}}(t)\;$
$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]={\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]\times {\overline {\Omega }}(t)\;$

## « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C
### Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C

Le point matériel $\;M\;$ décrivant un mouvement circulaire d’axe $\;\Delta \;$ autour du centre $\;C$, fixes dans le référentiel d’étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, on peut lui appliquer le théorème du moment cinétique vectoriel s'énonçant, dans le cadre de la dynamique newtonienne, selon : “ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à $\;M\;$ calculés, à l'instant $\;t$, par rapport au centre $\;C\;$ du cercle décrit par $\;M\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen «$\;\sum \limits _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!C}\!\left[{\vec {F}}_{k}(M,\,t)\right]\;$», est égal au produit du moment d’inertie de $\;M\;$ relativement à son axe $\;\Delta \;$ de rotation «$\;J_{\!\Delta }(M)=m\;R^{2}\;$» $\;{\bigm\;$ étant la masse de $\;M\;$ et $\;R\;$ le rayon du cercle décrit par $\;M{\big )}\;$ et de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée «$\;{\dot {\vec {\Omega }}}(t)\;$» au même instant $\;t$ ” soit mathématiquement
$\;\sum \limits _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!C}\!\left[{\vec {F}}_{k}(M,\,t)\right]=J_{\!\Delta }(M)\;{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t),\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$

### « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen

On multiplie scalairement les deux membres de la « relation $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$» par «$\;{\vec {\Omega }}(t)\;$» soit «$\;\left\lbrace \sum \limits _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!C}\!\left[{\vec {F}}_{k}(M,\,t)\right]\right\rbrace \cdot {\vec {\Omega }}(t)=J_{\!\Delta }(M)\;{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\cdot {\vec {\Omega }}(t)\;$» dans le but de faire apparaître, après utilisation, dans le 1er membre, de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle, la puissance instantanée développée par chaque force appliquée selon «$\;\left\lbrace \sum \limits _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!C}\!\left[{\vec {F}}_{k}(M,\,t)\right]\right\rbrace \cdot {\vec {\Omega }}(t)=$ $\sum \limits _{k}\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!C}\!\left[{\vec {F}}_{k}(M,\,t)\right]\cdot {\vec {\Omega }}(t)\right\rbrace =\sum \limits _{k}{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{k}(M,\,t)\right]\;$» ;
on vérifie ensuite que le 2nd membre «$\;J_{\!\Delta }(M)\;{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\cdot {\vec {\Omega }}(t)\;$» représente la puissance cinétique du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ lors de son mouvement circulaire d'axe $\;\Delta \;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ «$\;{\dot {K}}_{M}(t)\;$» en effet, «$\;{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\cdot {\vec {\Omega }}(t)={\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {d\left[{\vec {\Omega }}\right]^{2}}{dt}}(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;J_{\!\Delta }(M)\;{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\cdot {\vec {\Omega }}(t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{\!\Delta }(M)\;{\dfrac {d\left[{\vec {\Omega }}\right]^{2}}{dt}}(t)\;$», «$\;J_{\!\Delta }(M)=m\;R^{2}\;$ étant une constante caractérisant la trajectoire de $\;M\;$» soit «$\;J_{\!\Delta }(M)\;{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\cdot {\vec {\Omega }}(t)=$ ${\dot {K}}_{M}(t)\;$» d'après l'une des « formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu $\;K_{M}(t)=$ ${\dfrac {1}{2}}\;J_{\!\Delta }(M)\;{\vec {\Omega }}^{2}(t)\;$» établie dans le chap.$9$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ;
dans le cadre de la dynamique newtonienne, l’expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel $\;M\;$ en mouvement circulaire autour d’un axe $\;\Delta \;$ fixe dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen s'écrivant sous la forme «$\;\sum \limits _{k}{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{k}(M,\,t)\right]$ $={\dot {K}}_{M}(t)\;$» nous retrouvons le « théorème de la puissance cinétique appliqué à $\;M\;$ dans son mouvement circulaire » lequel se réécrivant selon «$\;\sum \limits _{k}{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{k}(M,\,t)\right]={\dfrac {dK_{M}}{dt}}(t)\;$» vérifie que la cause de modification de l’« énergie cinétique » $\;{\big$grandeur cinétique énergétique${\big )}\;$ est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » $\;\ldots$

## Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe
### Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque

Revoir le paragraphe « énoncé du théorème de la puissance cinétique » du chap.$15$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous :
    « Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement «$\;{\dot {K}}_{M}(t)=$ $\sum \limits _{k}{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{k}(M,\,t)\right]\;$ avec $\;K_{M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{M}^{\,2}(t)\;$ et $\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{k}(M,\,t)\right]={\vec {F}}_{k}(M,\,t)\cdot {\vec {V}}_{M}(t)\;$».

### Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)

Quand le point matériel $\;M\;$ a un mouvement circulaire d’axe $\;\Delta$, fixe dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, de vitesse angulaire instantanée $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ dans ce même référentiel, le théorème de la puissance cinétique appliqué à $\;M\;$ prend la forme ci-dessous :
    « Dans un référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}$, la puissance cinétique d’un point matériel $\;M\;$ en mouvement circulaire d’axe $\;\Delta$, fixe dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ et de vitesse angulaire instantanée $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ dans ce même référentiel, est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement «$\;{\dot {K}}_{M}(t)=$ $\sum \limits _{k}{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{k}(M,\,t)\right]\;$ avec $\;K_{M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta }(M)\;{\overline {\Omega }}^{\,2}\!(t)\;$ où $\;J_{\Delta }(M)=m\;R^{2}\;$ est le moment d'inertie de $\;M\;$ relativement à $\;\Delta \;$ dans son mouvement circulaire de rayon $\;R\;$ et $\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{k}(M,\,t)\right]=$ ${\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{k}(M,\,t)\right]\,{\overline {\Omega }}(t)\;$».

## Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide
### Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude

Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ avec $\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \,\left\lbrace 1\right\rbrace \;$» mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

#### Définition

Le « système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé » défini dans le chap.$6$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces $\;{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,\left\lbrace {\text{ext}}_{k}\right\rbrace }(t)\;$ que chaque système $\;\left(\Sigma _{k}\right)$, extérieur au système de points matériels $\;\left({\mathcal {S}}\right)$, exerce sur chaque point $\;M_{i}\;$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$», on définit
la puissance développée, à l'instant $\;t$, par ce système de forces extérieures s'exerçant sur $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ comme la somme des puissances développées, à l'instant $\;t$, par chaque force extérieure $\;{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,\left\lbrace {\text{ext}}_{k}\right\rbrace }(t)\;$ dans ce même référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ soit mathématiquement
$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}{\mathcal {P}}\!\left[\sum _{k}{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,\left\lbrace {\text{ext}}_{k}\right\rbrace }(t)\right]=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(t)\right],\;\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$
$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\!M_{i}}(t),\;\;\left({\mathfrak {c}}\right)\;$
$\;{\vec {V}}_{\!M_{i}}(t)\;$
$\;M_{i}\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$

#### Cas d’un « système de matière en translation »

Dans le cas d'un « système discret fermé de points matériels $\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ avec $\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \,\left\lbrace 1\right\rbrace \;$ en translation », tous les points matériels $\;M_{i}\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)\;$ ont le même vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ égal à celui du C.D.I. $\;G\;$ du système soit «$\;{\vec {V}}_{\!M_{i}}(t)={\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)={\vec {V}}_{\!G}(t)\;\;\forall \;M_{i}\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)\;$», ce qui permet de factoriser « scalairement » le 2nd membre de la « relation $\;\left({\mathfrak {c}}\right)\;$» par «$\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)={\vec {V}}_{\!G}(t)\;$», l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «$\;\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(t)={\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$» d’où l'expression finale de la puissance développée, à l'instant $\;t$, par le système des forces extérieures s'exerçant sur $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en translation dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$,
$\;{\mathcal {P}}_{{\text{ext}},\,{\text{syst. en transl.}}}(t)={\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$
$\;{\mathcal {P}}_{{\text{ext}},\,{\text{syst. en transl.}}}(t)={\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\!G}(t)\;$
dans cette 2ème expression «$\;{\mathcal {P}}_{{\text{ext}},\,{\text{syst. en transl.}}}(t)={\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\!G}(t)\;$ est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant $\;t\;$ et dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$, par la résultante dynamique $\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\;$ appliquée au point fictif $\;G\,\left(m_{\text{syst. en transl.}}\right)\;$ C.D.I. du système en translation dans $\;{\mathcal {R}}\;$».

#### Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation »

Préliminaire : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique $\;{\big$et il est nécessairement fermé${\big )}$, c'est pratiquement le seul cas envisageable.
Dans le cas d'un « système discret fermé de points matériels $\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ avec $\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \,\left\lbrace 1\right\rbrace \;$ en rotation autour d'un axe $\;\Delta \;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ avec, à l'instant $\;t$, la même vitesse angulaire instantanée «$\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ pour tous les points $\;M_{i}\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)\;$», la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur $\;M_{i}$, à savoir «$\;{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(t)=\sum _{k}{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,\left\lbrace {\text{ext}}_{k}\right\rbrace }(t)\;$», s'écrivant selon «$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right]\!(t)={\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right]\!(t)\;{\overline {\Omega }}(t)\;$» avec un 2nd facteur indépendant du point $\;M_{i}$, ce qui permet de factoriser par ce facteur $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ la « relation $\;\left({\mathfrak {b}}\right),\;\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)=$ $\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(t)\right]\;$» réécrite en remplaçant $\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right]\!(t)\;$ par $\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right]\!(t)\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ soit «$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)=$ $\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right]\!(t)\;{\overline {\Omega }}(t)=\left\lbrace \sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right]\!(t)\right\rbrace \,{\overline {\Omega }}(t)\;$» dans laquelle on constate que le 1er facteur est le moment scalaire résultant dynamique «$\;\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right]\!(t)$ $={\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;$» s'exerçant sur le système en rotation soit finalement la réécriture de la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation selon
$\;{\mathcal {P}}_{{\text{ext}},\,{\text{syst. en rot.}}}(t)={\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;{\overline {\Omega }}(t)\;$
$\;\Delta \;$

#### En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque »

On admet qu'on peut toujours considérer le mouvement d’un point quelconque $\;M_{i}\;$ d'un solide $\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ avec $\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \,\left\lbrace 1\right\rbrace \;$» dans un référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\!G}(t)$ $\;{\bigG\;$ étant le C.D.I. du solide${\big ]}\;$ et d’une rotation instantanée autour d’un axe $\;\Delta _{G}\;$ passant par $\;G\;$ de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}_{\Delta _{G}}(t)$ $\;{\big$ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}{\big ]}\;$» soit «$\;{\vec {V}}_{\!M_{i}}(t)={\vec {V}}_{\!G}(t)+{\vec {\Omega }}_{\Delta _{G}}(t)\wedge {\overrightarrow {GM_{i}}}(t)\;$» ;
on en déduit alors que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur $\;M_{i}$, à savoir «$\;{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(t)=\sum _{k}{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,\left\lbrace {\text{ext}}_{k}\right\rbrace }(t)\;$», s'écrit selon «$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right]\!(t)$ $={\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\!M_{i}}(t)={\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(t)\cdot \left[{\vec {V}}_{\!G}(t)+{\vec {\Omega }}_{\Delta _{G}}(t)\wedge {\overrightarrow {GM_{i}}}(t)\right]\;$» ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle «$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right]\!(t)=$ ${\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\!G}(t)+{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(t)\cdot \left[{\vec {\Omega }}_{\Delta _{G}}(t)\wedge {\overrightarrow {GM_{i}}}(t)\right]={\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\!G}(t)+{\vec {\Omega }}_{\Delta _{G}}(t)\cdot \left[{\overrightarrow {GM_{i}}}(t)\wedge {\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(t)\right]\;$», le 2ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire de façon à reconnaître «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G}\!\left[{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right]\!(t)\;$ dans $\;{\overrightarrow {GM_{i}}}(t)\wedge {\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(t)\;$» soit finalement «$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right]\!(t)={\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\!G}(t)+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G}\!\left[{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right]\!(t)\cdot {\vec {\Omega }}_{\Delta _{G}}(t)\;$» ;
en utilisant la « relation $\;\left({\mathfrak {b}}\right),\;\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(t)\right]\;$» réécrite en remplaçant $\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right]\!(t)\;$ par $\;{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\!G}(t)+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G}\!\left[{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right]\!(t)\cdot {\vec {\Omega }}_{\Delta _{G}}(t)\;$ dans laquelle les deux termes ont chacun un 2ème facteur indépendant de $\;M_{i}\;$ puis, en regroupant les termes de $\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)\;$ selon «$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)=\left\lbrace \sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\!G}(t)\right\rbrace +\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G}\!\left[{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right]\!(t)\cdot {\vec {\Omega }}_{\Delta _{G}}(t)\right\rbrace \;$» enfin, en factorisant « scalairement » le 1er terme par $\;{\vec {V}}_{\!G}(t)$ $\;{\Big \$le 1er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » étant alors «$\;\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(t)={\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\;$ c'est-à-dire la résultante dynamique exercée sur le solide »${\Big \}$ et le 2nd par $\;{\vec {\Omega }}_{\Delta _{G}}(t)$ $\;{\Big \$le 1er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » étant «$\;\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G}\!\left[{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right]\!(t)={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)\;$ c'est-à-dire le moment résultant dynamique vectoriel exercée sur le solide relativement au C.D.I. $\;G\;$ de ce dernier »${\Big \}$, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ se réécrit, à l'instant $\;t$, selon
$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)={\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\!G}(t)+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)\cdot {\vec {\Omega }}(t)\;$
en notant $\;{\vec {u}}_{\Delta _{G}}\;$ le vecteur unitaire orientant $\;\Delta _{G}$, le vecteur rotation instantanée se réécrit $\;{\vec {\Omega }}(t)={\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta _{G}}$ $\;{\big{\overline {\Omega }}(t)\;$ étant la vitesse angulaire instantanée du solide autour de l'axe $\;\Delta _{G}\;$ passant par le C.D.I. $\;G\;$ du solide${\big ]}$, le 2ème terme de $\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)\;$ se réécrit selon «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)\cdot \left[{\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta _{G}}\right]=\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta _{G}}\right\rbrace \,{\overline {\Omega }}(t)\;$» soit, en reconnaissant dans le 1er terme entre accolades le moment résultant dynamique scalaire exercé sur le solide par rapport à l’axe $\;\Delta _{G}\;$ passant par le C.D.I. $\;G\;$ du solide soit «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta _{G}}={\mathcal {M}}_{\!\Delta _{G},\,{\text{ext}}}(t)\,$», la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ se réécrit, à l'instant $\;t$, selon
$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)={\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\!G}(t)+{\mathcal {M}}_{\!\Delta _{G},\,{\text{ext}}}(t)\;{\overline {\Omega }}(t)\;$
$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\!G}(t)\;$
$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta _{G},\,{\text{ext}}}(t)\;{\overline {\Omega }}(t)\;$
$\;G\;$

### Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude

Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ avec $\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \,\left\lbrace 1\right\rbrace \;$» mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

#### Définition

Le « système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé » défini dans le chap.$6$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces $\;{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}(t)\;$ que chaque point $\;M_{j}\;$ du système de points matériels $\;\left({\mathcal {S}}\right)$, exerce sur chaque point $\;M_{i},\;\;i\neq j\;$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$», on définit
la puissance développée, à l'instant $\;t$, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ comme la somme des puissances développées, à l'instant $\;t$, par chaque force intérieure $\;{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}(t),\;\;i\neq j\;$ dans ce même référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ soit mathématiquement
$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,i-1}^{j\,=\,i+1\,..\,N}{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}(t)\right]\right\rbrace =\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}(t)\right]\right\rbrace \;$
$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}(t)\cdot {\vec {V}}_{M_{i}}(t)\right\rbrace =\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}(t)\right\rbrace \cdot {\vec {V}}_{M_{i}}(t),\;\;\left({\mathfrak {d}}\right)\;$
$\;{\vec {V}}_{\!M_{i}}(t)\;$
$\;M_{i}\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}\;$

#### Autres expressions équivalentes

$\;\succ \;$On peut associer les forces par couple $\;\left(i\,,\,j\right)\;$ dans la relation $\;\left({\mathfrak {d}}\right)\;$ explicitant la puissance développée, à l'instant $\;t$, par le système de forces intérieures s'exerçant sur $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, à savoir «$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}(t)\cdot {\vec {V}}_{M_{i}}(t)\right\rbrace =\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i}\left[{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}(t)\cdot {\vec {V}}_{M_{i}}(t)+{\vec {F}}_{\!M_{j}\,\leftarrow \,M_{i}}(t)\cdot {\vec {V}}_{M_{j}}(t)\right]\right\rbrace \;$», puis On peut utiliser la 1ère relation introduite dans le principe des actions réciproques à savoir «$\;{\vec {F}}_{\!M_{j}\,\leftarrow \,M_{i}}(t)=-{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}(t)\;$» pour factoriser scalairement le terme entre crochets par «$\;{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}(t)\;$», ce qui donne «$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i}{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}(t)\cdot \left[{\vec {V}}_{M_{i}}(t)-{\vec {V}}_{M_{j}}(t)\right]\right\rbrace \,$» ou,
en évaluant dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ la grandeur vectorielle «$\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)-{\vec {V}}_{M_{j}}(t)\;$» on obtient «$\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)-{\vec {V}}_{M_{j}}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {OM_{i}}}}{dt}}(t)-{\dfrac {d{\overrightarrow {OM_{j}}}}{dt}}(t)={\dfrac {d\,[{\overrightarrow {OM_{i}}}-{\overrightarrow {OM_{j}}}]}{dt}}(t)={\dfrac {d\,{\overrightarrow {M_{j}M_{i}}}}{dt}}(t)\;$» $\;{\big$cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles${\big )}$, c'est-à-dire la dérivée temporelle, dans $\;{\mathcal {R}}$, du « vecteur position relative $\;{\overrightarrow {M_{j}M_{i}}}(t)\;$ de $\;M_{i}\;$ relativement à $\;M_{j}\;$ à l'instant $\;t\;$» ou, en définissant le « référentiel $\;{\mathcal {R}}_{j}\;$ lié à $\;M_{j}\;$ en translation par rapport à $\;{\mathcal {R}}\;$», la grandeur vectorielle «$\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)-{\vec {V}}_{M_{j}}(t)\;$ est encore égale à $\;{\vec {V}}_{\!M_{i}\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}(t)\;$» c'est-à-dire le « vecteur vitesse relative à l'instant $\;t\;$ de $\;M_{i}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{j}\;$» et par suite
la puissance développée, à l'instant $\;t$, par le système de forces intérieures s'exerçant sur $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, se réécrit selon
$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i}{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\!M_{i}\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}(t)\right\rbrace =\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i}{\mathcal {P}}_{/\,{\mathcal {R}}_{j}}\!\!\left[{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}(t)\right]\right\rbrace \;$
$\;\succ \;$Si on remplace la double somme discrète sur $\;i\;$ et $\;j\;$ variant dans $\;\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\;$ avec la contrainte $\;j>i\;$ «$\;\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i}{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\!M_{i}\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}(t)\right\rbrace \;$» par une double somme discrète sur $\;i\;$ et $\;j\;$ variant dans $\;\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\;$ avec la contrainte $\;j\neq i\;$ «$\;\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\!M_{i}\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}(t)\right\rbrace \;$», on compte deux fois chaque terme de la 1ère double somme d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant $\;t$, par le système de forces intérieures s'exerçant sur $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, selon
$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\!M_{i}\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}(t)\right\rbrace \;$
$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\mathcal {P}}_{/\,{\mathcal {R}}_{j}}\!\!\left[{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}(t)\right]\right\rbrace \;$
$\;\left\lbrace {\mathcal {R}}_{j}\right\rbrace _{j\,=\,1\,..\,N}\;$
$\;M_{j}\;$
$\;M_{i},\;i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\,\backslash \,\left\lbrace j\right\rbrace \;$

#### Conséquences diverses

$\;\succ \;$La puissance développée, à l'instant $\;t$, par le système de forces intérieures s'exerçant sur $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ est non nulle dans le cas général soit
$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)\neq 0\;$
la raison étant que les relations «$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i}{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\!M_{i}\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}(t)\right\rbrace ={\dfrac {1}{2}}\;\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\!M_{i}\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}(t)\right\rbrace \;$» faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres $\;{\vec {V}}_{\!M_{i}\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}(t)$, lesquels sont, en général, individuellement non nuls $\;{\big$même si le système de matière est indéformable${\big )}\;$ d'où « la non nullité de $\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)\;$» sauf cas particuliers $\;{\big$à préciser${\big )}$.
 $\;\succ \;$En repérant le point «$\;M_{i}\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{j}\;$» par ses « coordonnées sphériques de pôle $\;M_{j}\;$ soit $\;\left\lbrace r_{i,\,j},\,\theta _{i,\,j},\,\varphi _{i,\,j}\right\rbrace \;$» avec «$\;\left\lbrace {\vec {u}}_{r_{j\,\rightarrow \,i}},\,{\vec {u}}_{\theta _{j\,\rightarrow \,i}},\,{\vec {u}}_{\varphi _{j\,\rightarrow \,i}}\right\rbrace \;$ pour base sphérique liée à $\;M_{i}\;$», la « force que $\;M_{j}\;$ exerce sur $\;M_{i}\;$» s'écrit, dans la « base sphérique de $\;{\mathcal {R}}_{j}\;$ liée à $\;M_{i}\;$» selon «$\;{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}={\overline {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}\;{\vec {u}}_{r_{j\,\rightarrow \,i}}\;$» $\;{\Big$se déduit de la 2ème relation du principe des actions réciproques à savoir $\;{\overrightarrow {M_{i}M_{j}}}\wedge {\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}={\vec {0}}{\Big )}\;$ avec «$\;{\overline {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}\;\left\lbrace {\begin{array}{c}>0\;{\text{lors d’une répulsion}}\\<0\;{\text{lors d’une attraction}}\end{array}}\right\rbrace \;$» définissant « l'intensité de l’interaction entre $\;M_{i}\;$ et $\;M_{j}\;$» et simplement notée «$\;{\overline {F}}_{i,\,j}({\vec {r}}_{j,\,i})\;$» d’où la réécriture «$\;{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}$ $={\overline {F}}_{i,\,j}({\vec {r}}_{j,\,i})\;{\vec {u}}_{r_{j\,\rightarrow \,i}}\;$», de même, le « vecteur vitesse relative de $\;M_{i}\;$ par rapport à $\;M_{j}\;$», à savoir «$\;{\vec {V}}_{\!M_{i}\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}(t)\;$», s’écrit, dans la « base sphérique de $\;{\mathcal {R}}_{j}\;$ liée à $\;M_{i}\;$» selon l'expression établie précédemment «$\;{\vec {V}}_{\!M_{i}\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}(t)=$ ${\dot {r}}_{i,\,j}(t)\;{\vec {u}}_{r_{j\,\rightarrow \,i}}+r_{i,\,j}(t)\;{\dot {\theta }}_{i,\,j}(t)\;{\vec {u}}_{\theta _{j\,\rightarrow \,i}}+r_{i,\,j}(t)\;\sin \!\left[\theta _{i,\,j}(t)\right]\;{\dot {\varphi }}_{i,\,j}(t)\;{\vec {u}}_{\varphi _{j\,\rightarrow \,i}}\;$» et on en déduit l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que $\;M_{j}\;$ exerce sur $\;M_{i}\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{j}$, à savoir, «$\;{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\!M_{i}\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}(t)={\overline {F}}_{i,\,j}\!\left[{\vec {r}}_{j,\,i}(t)\right]\;{\dot {r}}_{i,\,j}(t)\;$», la base $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{r_{j\,\rightarrow \,i}},\,{\vec {u}}_{\theta _{j\,\rightarrow \,i}},\,{\vec {u}}_{\varphi _{j\,\rightarrow \,i}}\right\rbrace \;$ étant orthonormée d'où finalement
$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i}{\overline {F}}_{i,\,j}\!\left[{\vec {r}}_{j,\,i}(t)\right]\;{\dot {r}}_{i,\,j}(t)\right\rbrace ={\dfrac {1}{2}}\;\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\overline {F}}_{i,\,j}\!\left[{\vec {r}}_{j,\,i}(t)\right]\;{\dot {r}}_{i,\,j}(t)\right\rbrace \;$
$\;\succ \;$Par l'une ou l'autre relation précédente on constate que si la distance séparant deux points quelconques du système reste constante $\;{\big$c'est-à-dire si le système « ne se déforme pas »${\big )}$, on a «$\;{\dot {r}}_{i,\,j}(t)=$ $0,\;\;\forall \left(i,\,j\neq i\right)\in \left[\left[1\,,\,N\right]\right]^{2}\;$» et on en déduit que la puissance développée, à l'instant $\;t$, par le système de forces intérieures s'exerçant sur $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ est nulle soit
$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)=0,\;\;\forall \;t\;$

## Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe
### Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen

Préliminaire : Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».

#### Énoncé

$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;t\;$
$\;{\dot {K}}_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t)\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)\;$
$\;{\dot {K}}_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t)={\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)+{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$
Remarque : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

#### Démonstration

La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ avec $\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \,\left\lbrace 1\right\rbrace \;$» mais elle est semblable $\;{\big$bien qu'un peu plus lourde d'exposition${\big )}\;$ dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.
Dans le référentiel d'étude galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel $\;M_{i}\;$, soit «$\;{\dot {K}}_{M_{i}}(t)={\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right]\!(t)+\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}\right]\!(t)\;$»$^,$ et Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, on fait la somme, membre à membre, des $\;N\;$ relations ainsi définies «$\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\dot {K}}_{M_{i}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left\lbrace {\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right]\!(t)+\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}\right]\!(t)\right\rbrace$» ou encore «$\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\dot {K}}_{M_{i}}(t)$ $=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right]\!(t)+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}\right]\!(t)\right\rbrace$»
* le 1er membre «$\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\dot {K}}_{M_{i}}(t)\;$» se réécrivant «$\;{\dfrac {d\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{K}_{M_{i}}\right]}{dt}}(t)\;$» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système «$\;K_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t)$ $=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{K}_{M_{i}}(t)\;$» à l'instant $\;t\;$ c'est-à-dire à la puissance cinétique du système «$\;{\dot {K}}_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t)\;$» au même instant $\;t$,
* le 1er terme du 2nd membre «$\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right]\!(t)\;$» définit la puissance développée, à l'instant $\;t$, par les forces extérieures appliquées au système «$\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right]\!(t)={\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)\;$» et
* le 2ème terme du 2nd membre «$\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}\right]\!(t)\right\rbrace \;$» la puissance développée, à l'instant $\;t$, par les forces intérieures appliquées au système «$\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}\right]\!(t)\right\rbrace$ $={\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)\;$»,
d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels.

### Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen

$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$
$\;{\big$
${\big )}$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;t\;$
$\;{\dot {K}}_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t)\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)\;$
$\;{\dot {K}}_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t)={\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$
Justification : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « conséquences diverses (3ème conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant $\;t$, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ est nulle c'est-à-dire $\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)=0,\;\;\forall \;t\;$», utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque $\;{\big$voir le paragraphe « énoncé » plus haut dans ce chapitre${\big )}$.

### Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen

Dans un « système de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en translation », tous les points ont le même vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ égal à celui du C.D.I. $\;G\;$ du système d’où les expressions
* de la puissance développée, à l'instant $\;t$, par le système des forces extérieures s'exerçant sur $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en translation dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, «$\;{\mathcal {P}}_{{\text{ext}},\,{\text{syst. en transl.}}}(t)={\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)=$ ${\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\!G}(t)\;$» dans laquelle «$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\;$ est la résultante dynamique s'exerçant sur $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à l'instant $\;t\;$» $\;{\big$voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le cas d'un système de matière en translation » plus haut dans ce chapitre${\big ]}$ et
* de l'énergie cinétique, à l'instant $\;t$, du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en translation dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ dans le cadre de la cinétique newtonienne, «$K_{\text{syst. en transl.}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst. en transl.}}\left[{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\right]^{2}$ $={\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst. en transl.}}\left[{\vec {V}}_{\!G}(t)\right]^{2}$» $\;{\big$voir le paragraphe « énergie cinétique dans le cas d'un système en translation » du chap.$9$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »${\big ]}$ ;
un « système de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen » établi au paragraphe précédent, d'où :
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$
$\;{\dot {K}}_{\left({\mathcal {S}}\right),\,{\text{en transl.}}}(t)\;$
$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {P}}_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {S}}\right),\,{\text{en transl.}}}(t)\;$
$\;{\dot {K}}_{\left({\mathcal {S}}\right),\,{\text{en transl.}}}(t)={\mathcal {P}}_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {S}}\right),\,{\text{en transl.}}}(t)\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$
$K_{\left({\mathcal {S}}\right),\,{\text{en transl.}}}={\dfrac {1}{2}}\;m_{\left({\mathcal {S}}\right),\,{\text{en transl.}}}\left[{\vec {V}}_{\left({\mathcal {S}}\right),\,{\text{en transl.}}}(t)\right]^{2}={\dfrac {1}{2}}\;m_{\left({\mathcal {S}}\right),\,{\text{en transl.}}}\left[{\vec {V}}_{\!G}(t)\right]^{2}$
$\;{\mathcal {P}}_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {S}}\right),\,{\text{en transl.}}}(t)={\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\left({\mathcal {S}}\right),\,{\text{en transl.}}}(t)={\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\!G}(t)\;$
$\;{\bigG\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right){\big ]}$
Remarque : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu $\;{\big$selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel $\;{\big$le C.D.I. $\;G\;$ du système${\big )}\;$ sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme$\;\ldots {\big ]}$.

### Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen

Préliminaire : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable $\;{\big$et fermé${\big )}$, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.
Dans un « système de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ indéformable, en rotation autour d'un axe $\;\Delta$, fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)=$ ${\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ à l'instant $\;t$, $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ étant le vecteur unitaire orientant l'axe $\;\Delta \;$ et $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ la vitesse angulaire instantanée de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à l'instant $\;t\;$ d’où les expressions
* de la puissance développée, à l'instant $\;t$, par le système des forces extérieures s'exerçant sur $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en rotation autour de $\;\Delta \;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, «$\;{\mathcal {P}}_{{\text{ext}},\,{\text{syst. en rot.}}}(t)={\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;{\overline {\Omega }}(t)\;$» dans laquelle «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;$ est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à l'instant $\;t$, le moment scalaire étant évalué par rapport à $\;\Delta \;$» $\;{\big$voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le cas d'un système de matière (indéformable) en rotation » plus haut dans ce chapitre${\big ]}$ et
* de l'énergie cinétique, à l'instant $\;t$, du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en rotation autour de $\;\Delta \;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ dans le cadre de la cinétique newtonienne, «$\;K_{\text{syst. en rot.}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta }\;{\overline {\Omega }}^{2}(t)\;$» dans laquelle «$\;J_{\Delta }\;$ est le moment d'inertie de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ relativement à $\;\Delta \;$» $\;{\big$voir le paragraphe « énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu » du chap.$9$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »${\big ]}$ ;
un « système de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique $\;{\big$seul cas considéré${\big )}\;$ et par suite, on peut lui appliquer le « théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen » établi dans un paragraphe précédent, d'où :
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;t\;$
$\;\Delta \;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$
$\;{\dot {K}}_{\left({\mathcal {S}}\right),\,{\text{en rot.}}}(t)\;$
$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {P}}_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {S}}\right),\,{\text{en rot.}}}(t)\;$
$\;{\dot {K}}_{\left({\mathcal {S}}\right),\,{\text{en rot.}}}(t)={\mathcal {P}}_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {S}}\right),\,{\text{en rot.}}}(t)\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$
$K_{\left({\mathcal {S}}\right),\,{\text{en rot.}}}={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta }\;{\overline {\Omega }}^{2}(t)\;$
$\;J_{\Delta }\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\Delta \;$
$\;{\mathcal {P}}_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {S}}\right),\,{\text{en rot.}}}(t)={\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;{\overline {\Omega }}(t)\;$
$\;{\overline {\Omega }}(t)\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;t\;$

## Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe

Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale « théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme $\;\ldots$

### Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final

Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ avec $\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \,\left\lbrace 1\right\rbrace \;$» mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non.
Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ entre l'« état initial $\;{\mathcal {I}}\;$ du système » et l’« état final $\;{\mathcal {F}}\;$ du même système », on définit d’abord
* le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ entre les instants $\;t\;$ et $\;t+dt\;$ selon «$\;\delta W_{\text{ext}}=\sum \limits _{\begin{array}{c}{\overrightarrow {dM_{i}}}\,{\text{tangent}}\\{\text{à}}\,\left({\mathcal {T}}_{i}\right)_{{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N}{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(t)\cdot {\overrightarrow {dM_{i}}}\;$» lequel s'écrit encore «$\;\delta W_{\text{ext}}=$ $\left[\sum \limits _{\begin{array}{c}{\vec {V}}_{M_{i}}\,{\text{tangent}}\\{\text{à}}\,\left({\mathcal {T}}_{i}\right)_{{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N}{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(t)\cdot {\vec {V}}_{M_{i}}(t)\right]dt\;$» dans lequel, chaque point $\;M_{i}\;$ décrivant une trajectoire particulière $\;\left({\mathcal {T}}_{i}\right)_{{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\;$ entre «$\;t_{\mathcal {I}}\;$ et $\;t_{\mathcal {F}}\;$», son vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM_{i}}}$ $\;{\big$ainsi que son vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t){\big ]}\;$ est tangent à $\;\left({\mathcal {T}}_{i}\right)_{{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\;$ puis
* le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ entre les instants de l'« état initial $\;{\mathcal {I}}\;$» et de l’« état final $\;{\mathcal {F}}\;$» en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour $\;t\,\in \,\left[t_{\mathcal {I}}\,,\,t_{\mathcal {F}}\right]\;$» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «$\;W_{{\text{ext}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}=\displaystyle \int _{t_{\mathcal {I}}}^{t_{\mathcal {F}}}\left[\sum \limits _{\begin{array}{c}{\vec {V}}_{M_{i}}\,{\text{tangent}}\\{\text{à}}\,\left({\mathcal {T}}_{i}\right)_{{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N}{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(t)\cdot {\vec {V}}_{M_{i}}(t)\right]dt\;$».

### Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final

Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ avec $\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \,\left\lbrace 1\right\rbrace \;$» mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.
Le « système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé » défini dans le chap.$6$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces $\;{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}(t)\;$ que chaque point $\;M_{j}\;$ du système de points matériels $\;\left({\mathcal {S}}\right)$, exerce sur chaque point $\;M_{i},\;\;i\neq j\;$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ entre l'« état initial $\;{\mathcal {I}}\;$ du système » et l’« état final $\;{\mathcal {F}}\;$ du même système », on définit d’abord
* le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ entre les instants $\;t\;$ et $\;t+dt\;$ selon «$\;\delta W_{\text{int}}=\sum \limits _{\begin{array}{c}{\overrightarrow {dM_{i}}}\,{\text{tangent}}\\{\text{à}}\,\left({\mathcal {T}}_{i}\right)_{{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N}\left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}(t)\cdot {\overrightarrow {dM_{i}}}\right]\;$» lequel s'écrit encore «$\;\delta W_{\text{int}}=$ $\left\lbrace \sum \limits _{\begin{array}{c}{\vec {V}}_{M_{i}}\,{\text{tangent}}\\{\text{à}}\,\left({\mathcal {T}}_{i}\right)_{{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N}\left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}(t)\cdot {\vec {V}}_{M_{i}}\!(t)\right]\right\rbrace dt\;$» dans lequel, chaque point $\;M_{i}\;$ décrivant une trajectoire particulière $\;\left({\mathcal {T}}_{i}\right)_{{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\;$ entre «$\;t_{\mathcal {I}}\;$ et $\;t_{\mathcal {F}}\;$», son vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM_{i}}}$ $\;{\big$ainsi que son vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t){\big ]}\;$ est tangent à $\;\left({\mathcal {T}}_{i}\right)_{{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\;$ puis
* le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ entre les instants de l'« état initial $\;{\mathcal {I}}\;$» et de l’« état final $\;{\mathcal {F}}\;$» en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour $\;t\,\in \,\left[t_{\mathcal {I}}\,,\,t_{\mathcal {F}}\right]\;$» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «$\;W_{{\text{int}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}=\displaystyle \int _{t_{\mathcal {I}}}^{t_{\mathcal {F}}}\left\lbrace \sum \limits _{\begin{array}{c}{\vec {V}}_{M_{i}}\,{\text{tangent}}\\{\text{à}}\,\left({\mathcal {T}}_{i}\right)_{{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N}\left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}(t)\cdot {\vec {V}}_{M_{i}}\!(t)\right]\right\rbrace dt\;$».
Remarque 1 : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ entre les instants $\;t\;$ et $\;t+dt\;$ «$\;\delta W_{\text{int}}\;$» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à l'instant $\;t\;$ «$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)\;$» selon «$\;\delta W_{\text{int}}={\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)\;dt\;$» ; Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ entre les instants de l'« état initial $\;{\mathcal {I}}\;$» et de l’« état final $\;{\mathcal {F}}\;$» «$\;W_{{\text{int}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\;$» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de $\;\left[t_{\mathcal {I}}\,,\,t_{\mathcal {F}}\right]\;$ on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ selon «$\;W_{{\text{int}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}=\displaystyle \int _{t_{\mathcal {I}}}^{t_{\mathcal {F}}}{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)\;dt\;$».
Remarque 2 : À partir des « autres expressions équivalentes de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial $\;{\mathcal {I}}\;$» et de l’« état final $\;{\mathcal {F}}\;$» rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux :  Remarque 2 : $\;\succ \;$ de «$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i}{\mathcal {P}}_{/\,{\mathcal {R}}_{j}}\!\!\left[{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}(t)\right]\right\rbrace =\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i}{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\!M_{i}\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}(t)\right\rbrace \;$» dans lesquelles «$\;{\mathcal {R}}_{j}\;$ est le référentiel lié à $\;M_{j}\;$ en translation par rapport à $\;{\mathcal {R}}\;$», on tire «$\;\delta W_{\text{int}}={\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)\;dt=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i}{\mathcal {P}}_{/\,{\mathcal {R}}_{j}}\!\!\left[{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}(t)\right]\right\rbrace \,dt=\left\lbrace \sum \limits _{\begin{array}{c}{\vec {V}}_{\!M_{i}\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}\,{\text{tangent}}\\{\text{à}}\,\left[\left({\mathcal {T}}_{i}\right)_{{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\right]_{/\,{\mathcal {R}}_{j}}\end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N}\left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i}{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\!M_{i}\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}(t)\right]\right\rbrace \,dt=\sum \limits _{\begin{array}{c}{\overrightarrow {dM_{i}}}_{/\,{\mathcal {R}}_{j}}\,{\text{tangent}}\\{\text{à}}\,\left[\left({\mathcal {T}}_{i}\right)_{{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\right]_{/\,{\mathcal {R}}_{j}}\end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N}\left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i}{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}(t)\cdot {\overrightarrow {dM_{i}}}_{/\,{\mathcal {R}}_{j}}\right]\;$», le point $\;M_{i}\;$ décrivant dans $\;{\mathcal {R}}_{j}\;$ une trajectoire particulière $\;\left[\left({\mathcal {T}}_{i}\right)_{{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\right]_{/\,{\mathcal {R}}_{j}}\;$ entre «$\;t_{\mathcal {I}}\;$ et $\;t_{\mathcal {F}}\;$», son vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM_{i}}}_{/\,{\mathcal {R}}_{j}}$ $\;{\big$ainsi que son vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\!M_{i}\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}(t){\big ]}\;$ étant tangent à $\;\left[\left({\mathcal {T}}_{i}\right)_{{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\right]_{/\,{\mathcal {R}}_{j}}\;$ puis «$\;W_{{\text{int}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}=\displaystyle \int _{t_{\mathcal {I}}}^{t_{\mathcal {F}}}{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)\;dt=\displaystyle \int _{t_{\mathcal {I}}}^{t_{\mathcal {F}}}\left\lbrace \sum \limits _{\begin{array}{c}{\vec {V}}_{\!M_{i}\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}\,{\text{tangent}}\\{\text{à}}\,\left[\left({\mathcal {T}}_{i}\right)_{{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\right]_{/\,{\mathcal {R}}_{j}}\end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N}\left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i}{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\!M_{i}\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}(t)\right]\right\rbrace \,dt\;$» ;  Remarque 2 : $\;\succ \;$ de «$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\!M_{i}\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}(t)\right\rbrace \;$» dans laquelle «$\;{\mathcal {R}}_{j}\;$ est le référentiel lié à $\;M_{j}\;$ en translation par rapport à $\;{\mathcal {R}}\;$», on tire «$\;\delta W_{\text{int}}={\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)\;dt=$ $\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i}{\mathcal {P}}_{/\,{\mathcal {R}}_{j}}\!\!\left[{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}(t)\right]\right\rbrace \,{\dfrac {dt}{2}}=\left\lbrace \sum \limits _{\begin{array}{c}{\vec {V}}_{\!M_{i}\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}\,{\text{tangent}}\\{\text{à}}\,\left[\left({\mathcal {T}}_{i}\right)_{{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\right]_{/\,{\mathcal {R}}_{j}}\end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N}\left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i}{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\!M_{i}\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}(t)\right]\right\rbrace \,{\dfrac {dt}{2}}={\dfrac {1}{2}}\left\lbrace \sum \limits _{\begin{array}{c}{\overrightarrow {dM_{i}}}_{/\,{\mathcal {R}}_{j}}\,{\text{tangent}}\\{\text{à}}\,\left[\left({\mathcal {T}}_{i}\right)_{{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\right]_{/\,{\mathcal {R}}_{j}}\end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N}\left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i}{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}(t)\cdot {\overrightarrow {dM_{i}}}_{/\,{\mathcal {R}}_{j}}\right]\right\rbrace \;$», le point $\;M_{i}\;$ décrivant dans $\;{\mathcal {R}}_{j}\;$ une trajectoire particulière $\;\left[\left({\mathcal {T}}_{i}\right)_{{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\right]_{/\,{\mathcal {R}}_{j}}\;$ entre «$\;t_{\mathcal {I}}\;$ et $\;t_{\mathcal {F}}\;$», son vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM_{i}}}_{/\,{\mathcal {R}}_{j}}$ $\;{\big$ainsi que son vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\!M_{i}\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}(t){\big ]}\;$ étant tangent à $\;\left[\left({\mathcal {T}}_{i}\right)_{{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\right]_{/\,{\mathcal {R}}_{j}}\;$ puis «$\;W_{{\text{int}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}$ $=\displaystyle \int _{t_{\mathcal {I}}}^{t_{\mathcal {F}}}{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)\;dt=\displaystyle \int _{t_{\mathcal {I}}}^{t_{\mathcal {F}}}\left\lbrace \sum \limits _{\begin{array}{c}{\vec {V}}_{\!M_{i}\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}\,{\text{tangent}}\\{\text{à}}\,\left[\left({\mathcal {T}}_{i}\right)_{{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\right]_{/\,{\mathcal {R}}_{j}}\end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N}\left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i}{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\!M_{i}\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}(t)\right]\right\rbrace \,{\dfrac {dt}{2}}\;$».
Remarque 3 : Ayant établi au paragraphe « conséquences diverses des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ est indéformable c'est-à-dire «$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)=0\;\;\forall \;t\;$ pour $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ indéformable » on en déduit que Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ est en général non nul mais il le devient si le système de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ est indéformable c'est-à-dire «$\;\delta W_{\text{int}}=0\;\;\forall \;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$ si le système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ est indéformable » et que Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ sur $\;\left[t_{\mathcal {I}}\,,\,t_{\mathcal {F}}\right]\;$ est en général non nul mais il le devient si le système de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ est indéformable c'est-à-dire «$\;W_{{\text{int}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}=0\;\;\forall \;\left[t_{\mathcal {I}}\,,\,t_{\mathcal {F}}\right]\;$ si le système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ est indéformable ».

### Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final

Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant $\;t$, à un « système de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ quelconque » dans un référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ galiléen «$\;{\dot {K}}_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t)={\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)+{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)\;$» dans lequel $\;K_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t)\;$ est l'énergie cinétique de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à l'instant $\;t$, $\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)\;$ et $\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)\;$ la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ au même instant $\;t$,
* on multiplie par $\;dt\;$ pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ quelconque » entre «$\;t\;$ et $\;t+dt\;$» dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ galiléen soit «$\;dK_{\left({\mathcal {S}}\right)}=$ $\delta W_{\text{ext}}+\delta W_{\text{int}}\;$» dans lequel $\;dK_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t)\;$ est la variation élémentaire d'énergie cinétique de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ sur l'intervalle $\;\left[t\,,\,t+dt\right]$, $\;\delta W_{\text{ext}}\;$ et $\;\delta W_{\text{int}}\;$ le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ sur le même intervalle $\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$ puis
* on intègre entre $\;t_{\mathcal {I}}\;$ et $\;t_{\mathcal {F}}\;$ pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ quelconque » entre «$\;t_{\mathcal {I}}\;$ et $\;t_{\mathcal {F}}\;$» dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ galiléen soit «$\;\Delta K_{\left({\mathcal {S}}\right)}=$ $=W_{{\text{ext}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}+W_{{\text{int}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\;$» dans lequel $\;\Delta K_{\left({\mathcal {S}}\right)}=K_{\left({\mathcal {S}}\right)}\!(t_{\mathcal {F}})-K_{\left({\mathcal {S}}\right)}\!(t_{\mathcal {I}})\;$ est la variation d'énergie cinétique de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ sur l'intervalle $\;\left[t_{\mathcal {I}}\,,\,t_{\mathcal {F}}\right]$, $\;W_{{\text{ext}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\;$ et $\;W_{{\text{int}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\;$ le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ sur le même intervalle $\;\left[t_{\mathcal {I}}\,,\,t_{\mathcal {F}}\right]$.
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$
$\;dK_{\left({\mathcal {S}}\right)}\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$
$\;\delta W_{\text{ext}}\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$
$\;\delta W_{\text{int}}\;$
$\;dK_{\left({\mathcal {S}}\right)}=\delta W_{\text{ext}}+\delta W_{\text{int}}\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;t_{\mathcal {I}}\;$
$\;t_{\mathcal {F}}\;$
$\;\Delta K_{\left({\mathcal {S}}\right)}=$
$K_{\left({\mathcal {S}}\right)}\!(t_{\mathcal {F}})-K_{\left({\mathcal {S}}\right)}\!(t_{\mathcal {I}})\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left[t_{\mathcal {I}}\,,\,t_{\mathcal {F}}\right]\;$
$\;W_{{\text{ext}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left[t_{\mathcal {I}}\,,\,t_{\mathcal {F}}\right]\;$
$\;W_{{\text{int}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\;$
$\;\Delta K_{\left({\mathcal {S}}\right)}=W_{{\text{ext}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}+W_{{\text{int}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$
Remarque : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

### Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final

Ayant établi dans le paragraphe « définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie :
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$
$\;dK_{\left({\mathcal {S}}\right)}\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$
$\;\delta W_{\text{ext}}\;$
$\;dK_{\left({\mathcal {S}}\right)}=\delta W_{\text{ext}}\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;t_{\mathcal {I}}\;$
$\;t_{\mathcal {F}}\;$
$\;\Delta K_{\left({\mathcal {S}}\right)}=$
$K_{\left({\mathcal {S}}\right)}\!(t_{\mathcal {F}})-K_{\left({\mathcal {S}}\right)}\!(t_{\mathcal {I}})\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left[t_{\mathcal {I}}\,,\,t_{\mathcal {F}}\right]\;$
$\;W_{{\text{ext}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\;$
$\;\Delta K_{\left({\mathcal {S}}\right)}=W_{{\text{ext}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$
Remarque : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

### Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final

Dans un « système de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en translation », tous les points ont le même vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ égal à celui du C.D.I. $\;G\;$ du système d’où les expressions
* du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en translation dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, «$\;\delta W_{{\text{ext}},\,{\text{syst. en transl.}}}={\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt=$ ${\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\!G}(t)\;dt=$ ${\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\overrightarrow {dG}}\;$» dans laquelle «$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\;$ est la résultante dynamique s'exerçant sur $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à l'instant $\;t\;$» $\;{\big$voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le cas d'un système de matière en translation » plus haut dans ce chapitre et « définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière » du chap.$14$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »${\big ]}$ et
* de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en translation dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ dans le cadre de la cinétique newtonienne, «$\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;$» avec «$\;K_{\text{syst. en transl.}}(t)=$ ${\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst. en transl.}}\left[{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\right]^{2}={\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst. en transl.}}\left[{\vec {V}}_{\!G}(t)\right]^{2}$» $\;{\big$voir le paragraphe « énergie cinétique dans le cas d'un système en translation » du chap.$9$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »${\big ]}$ ;
un « système de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où :
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$
$\;\left[t\,,\,t+dt\right]$
$\;dK_{\left({\mathcal {S}}\right),\,{\text{en transl.}}}\;$
$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$
$\;\delta W_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {S}}\right),\,{\text{en transl.}}}\;$
$\;dK_{\left({\mathcal {S}}\right),\,{\text{en transl.}}}=\delta W_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {S}}\right),\,{\text{en transl.}}}\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$
$K_{\left({\mathcal {S}}\right),\,{\text{en transl.}}}={\dfrac {1}{2}}\;m_{\left({\mathcal {S}}\right),\,{\text{en transl.}}}\left[{\vec {V}}_{\left({\mathcal {S}}\right),\,{\text{en transl.}}}(t)\right]^{2}={\dfrac {1}{2}}\;m_{\left({\mathcal {S}}\right),\,{\text{en transl.}}}\left[{\vec {V}}_{\!G}(t)\right]^{2}$
$\;\delta W_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {S}}\right),\,{\text{en transl.}}}={\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\overrightarrow {dG}}\;$
$\;{\bigG\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right){\big ]}$
Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie $\;\Delta t=t_{\mathcal {F}}-t_{\mathcal {I}}\;$ s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée $\;\Delta t\;$ d'où :
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$
$\;\left[t_{\mathcal {I}}\,,\,t_{\mathcal {F}}\right]$
$\;\Delta K_{\left({\mathcal {S}}\right),\,{\text{en transl.}}}=K_{\left({\mathcal {S}}\right),\,{\text{en transl.}}}(t_{\mathcal {F}})-K_{\left({\mathcal {S}}\right),\,{\text{en transl.}}}(t_{\mathcal {I}})\;$
$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left[t_{\mathcal {I}}\,,\,t_{\mathcal {F}}\right]\;$
$\;W_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {S}}\right),\,{\text{en transl.}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\;$
$\;\Delta K_{\left({\mathcal {S}}\right),\,{\text{en transl.}}}=W_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {S}}\right),\,{\text{en transl.}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$
$K_{\left({\mathcal {S}}\right),\,{\text{en transl.}}}={\dfrac {1}{2}}\;m_{\left({\mathcal {S}}\right),\,{\text{en transl.}}}\left[{\vec {V}}_{\left({\mathcal {S}}\right),\,{\text{en transl.}}}(t)\right]^{2}={\dfrac {1}{2}}\;m_{\left({\mathcal {S}}\right),\,{\text{en transl.}}}\left[{\vec {V}}_{\!G}(t)\right]^{2}$
$\;W_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {S}}\right),\,{\text{en transl.}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}=\displaystyle \int _{t_{\mathcal {I}}}^{t_{\mathcal {F}}}{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\overrightarrow {dG}}(t)\;$
$\;{\bigG\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right){\big ]}$
Remarque : Ce théorème $\;{\big$sous forme élémentaire ou sur durée finie${\big )}\;$ n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu $\;{\big$selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel $\;{\big$le C.D.I. $\;G\;$ du système${\big )}\;$ sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique $\;{\big$sous forme élémentaire ou sur durée finie${\big )}\;$ appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique $\;{\big$sous forme élémentaire ou sur durée finie${\big )}\;$ appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme$\;\ldots {\big ]}$.

### Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final

Préliminaire : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable $\;{\big$et fermé${\big )}$, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.
Dans un « système de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ indéformable, en rotation autour d'un axe $\;\Delta$, fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)=$ ${\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ à l'instant $\;t$, $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ étant le vecteur unitaire orientant l'axe $\;\Delta \;$ et $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ la vitesse angulaire instantanée de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à l'instant $\;t\;$ d’où les expressions
* du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en rotation autour de $\;\Delta \;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, «$\;\delta W_{{\text{ext}},\,{\text{syst. en rot.}}}={\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;{\overline {\Omega }}(t)\;dt\;$» dans laquelle «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;$ est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à $\;\Delta \;$ s'exerçant sur $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à l'instant $\;t\;$» $\;{\big$voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le cas d'un système de matière (indéformable) en rotation » plus haut dans ce chapitre${\big ]}$ ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire $\;\theta (t)\;$ repérant $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ dans sa rotation autour de $\;\Delta \;$ à l'instant $\;t\;$», «$\;\delta W_{{\text{ext}},\,{\text{syst. en rot.}}}=$ ${\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;d\theta \;$» et
* de la variation de l'énergie cinétique du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en rotation autour de $\;\Delta \;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ dans le cadre de la cinétique newtonienne, «$\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;$» avec «$\;K_{\text{syst. en rot.}}(t)=$ ${\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta }\;{\overline {\Omega }}^{2}(t)\;$» dans laquelle «$\;J_{\Delta }\;$ est le moment d'inertie de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ relativement à $\;\Delta \;$» $\;{\big$voir le paragraphe « énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu » du chap.$9$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »${\big ]}$ ;
un « système de matière $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique $\;{\big$seul cas considéré${\big )}\;$ et par suite, on peut lui appliquer le « théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où :
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;t\;$
$\;\Delta \;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$
$\;\left[t\,,\,t+dt\right]$
$\;dK_{\left({\mathcal {S}}\right),\,{\text{en rot.}}}\;$
$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$
$\;\delta W_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {S}}\right),\,{\text{en rot.}}}\;$
$\;dK_{\left({\mathcal {S}}\right),\,{\text{en rot.}}}=\delta W_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {S}}\right),\,{\text{en rot.}}}\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$
$K_{\left({\mathcal {S}}\right),\,{\text{en rot.}}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta }\;{\overline {\Omega }}^{2}(t)\;$
$\;J_{\Delta }\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\Delta \;$
$\;\delta W_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {S}}\right),\,{\text{en rot.}}}={\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;d\theta \;$
$\;\theta (t)\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;t\;$
Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie $\;\Delta t=t_{\mathcal {F}}-t_{\mathcal {I}}\;$ s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée $\;\Delta t\;$ d'où :
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\Delta \;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$
$\;\left[t_{\mathcal {I}}\,,\,t_{\mathcal {F}}\right]$
$\;\Delta K_{\left({\mathcal {S}}\right),\,{\text{en rot.}}}=K_{\left({\mathcal {S}}\right),\,{\text{en rot.}}}(t_{\mathcal {F}})-K_{\left({\mathcal {S}}\right),\,{\text{en rot.}}}(t_{\mathcal {I}})\;$
$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left[t_{\mathcal {I}}\,,\,t_{\mathcal {F}}\right]\;$
$\;W_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {S}}\right),\,{\text{en rot.}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\;$
$\;\Delta K_{\left({\mathcal {S}}\right),\,{\text{en rot.}}}=W_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {S}}\right),\,{\text{en rot.}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$
$K_{\left({\mathcal {S}}\right),\,{\text{en rot.}}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta }\;{\overline {\Omega }}^{2}(t)\;$
$\;J_{\Delta }\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\Delta \;$
$\;W_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {S}}\right),\,{\text{en rot.}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}=\displaystyle \int _{t_{\mathcal {I}}}^{t_{\mathcal {F}}}{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;d\theta (t)\;$
$\;{\big\theta (t)\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;t{\big ]}$

## Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique

L’équation différentielle en élongation angulaire $\;\theta (t)\;$ du pendule de torsion $\;{\big$photographié ci-contre${\big )}\;$ a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire au paragraphe « mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) » du chap.$7$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique.
Ci-contre le pendule de torsion étudié $\;{\big$non amorti${\big )}\;$ avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «$\;C\;$» et positionnement de masselottes apparemment identiques $\;{\big$sauf pour la couleur${\big )}\;$ de part et d'autre du point $\;C\;$ $\;{\big$point d’attache des deux fils de torsion sur la tige${\big )}$ ;
contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil (remarque 3) » du chap.$7$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », seule l'extrémité $\;O_{\text{inf}}\;$ du fil de torsion inférieur est fixe $\;{\big$position servant de référence${\big )}$, l'extrémité $\;O_{\text{sup}}\;$ pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «$\;2\;\theta _{1}\;$» $\;{\big$repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à $\;O_{\text{inf}}$, position de référence du cercle gradué${\big )}$, la conséquence de ce choix étant que
le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » adopte, après quelques oscillations,
$\;\theta _{1}\;$
en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite d'un angle «$\;\theta _{1}-2\;\theta _{1}=-\theta _{1}\;$» par rapport à l'extrémité $\;O_{\text{sup}}$, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment
$\;{\vec {\Gamma }}_{\text{tors. sup.}}=-C\left(-\theta _{1}\right){\vec {u}}_{CO_{\text{sup}}}=C\;\theta _{1}\;{\vec {u}}_{CO_{\text{sup}}}\;$
en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice droite d’un angle «$\;\theta _{1}-0=\theta _{1}\;$» par rapport à l’extrémité $\;O_{\text{inf}}$, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment
$\;{\vec {\Gamma }}_{\text{tors. inf.}}=-C\left(\theta _{1}\right){\vec {u}}_{CO_{\text{sup}}}=-C\;\theta _{1}\;{\vec {u}}_{CO_{\text{sup}}}\;$
en effet, la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide vérifiant «$\;{\vec {\Gamma }}_{\text{tors. sup.}}+{\vec {\Gamma }}_{\text{tors. inf.}}={\vec {0}}\;$» le solide est effectivement en équilibre dans cette position $\;\ldots$
Considérant le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » en rotation autour de l'axe $\;\Delta _{C}$ $\;{\big$support des fils de torsion${\big )}\;$ fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, le solide étant, à l'instant $\;t$, d'abscisse angulaire $\;\theta (t)$ $\;{\big$repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure $\;O_{\text{inf}}\;$ du fil de torsion inférieur${\big )}$, on rappelle ci-dessous le bilan des actions extérieures s'exerçant sur le solide dont le moment scalaire par rapport à $\;\Delta _{C}\;$ est non nul en explicitant la puissance développée par ces actions à l'instant $\;t$, le solide étant, à cet instant, de vitesse angulaire instantanée $\;{\overline {\Omega }}(t)={\dot {\theta }}(t)$ :
* l'action que le fil de torsion supérieur $\;\left\lbrace CO_{\text{sup}}\right\rbrace \;$ exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe $\;\Delta _{C}\;$ «$\;{\overline {\Gamma _{\text{tors. sup.}}}}_{\Delta _{C}}(t)=-C\,\left[\theta (t)-2\;\theta _{1}\right]\;$», la puissance instantanée développée à l'instant $\;t\;$ par le couple de torsion du fil supérieur étant «$\;{\mathcal {P}}_{\text{tors. sup.}}(t)={\overline {\Gamma _{\text{tors. sup.}}}}_{\Delta _{C}}(t)\;{\overline {\Omega }}(t)=-C\,\left[\theta (t)-2\;\theta _{1}\right]\;{\dot {\theta }}(t)\;$» et
* celle que le fil de torsion inférieur $\;\left\lbrace CO_{\text{inf}}\right\rbrace \;$ exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe $\;\Delta _{C}\;$ «$\;{\overline {\Gamma _{\text{tors. inf.}}}}_{\Delta _{C}}(t)=-C\;\theta (t)\;$», la puissance instantanée développée à l'instant $\;t\;$ par le couple de torsion du fil inférieur étant «$\;{\mathcal {P}}_{\text{tors. inf.}}(t)={\overline {\Gamma _{\text{tors. inf.}}}}_{\Delta _{C}}(t)\;{\overline {\Omega }}(t)=-C\;\theta (t)\;{\dot {\theta }}(t)\;$» ;
l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant $\;t\;$ étant «$\;K_{\text{tige + masselottes}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{C}}\!({\text{tige + masselottes}})\;{\overline {\Omega }}^{2}(t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{C}}\!({\text{tige + masselottes}})\;{\dot {\theta }}^{2}(t)\;$» dans laquelle «$\;J_{\Delta _{C}}\!({\text{tige + masselottes}})\;$ est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à $\;\Delta _{C}\;$», l'application du « théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à
$\;{\dot {K}}_{\text{tige + masselottes}}(t)={\mathcal {P}}_{\text{tors. sup.}}(t)+{\mathcal {P}}_{\text{tors. inf.}}(t)\;$
$\;{\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{C}}\!({\text{tige + masselottes}})\;2\;{\dot {\theta }}(t)\;{\ddot {\theta }}(t)=-C\left[\theta (t)-2\;\theta _{1}\right]\;{\dot {\theta }}(t)-C\;\theta (t)\;{\dot {\theta }}(t)\;$ ou, en simplifiant par $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ non identiquement nulle, $\;J_{\Delta _{C}}\!({\text{tige + masselottes}})\;{\ddot {\theta }}(t)=$ $-C\left[\theta (t)-2\;\theta _{1}\right]-C\;\theta (t)\;$ $\Leftrightarrow$ $\;J_{\Delta _{C}}\!({\text{tige + masselottes}})\;{\ddot {\theta }}(t)=-2\;C\;\theta (t)-2\;C\;\theta _{1}\;$ soit, en normalisant, l'équation différentielle en $\;\theta (t)\;$ du pendule de torsion $\;{\big$non amorti${\big )}\;$ suivante
$\;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {2\;C}{J_{\Delta _{C}}\!({\text{tige + masselottes}})}}\;\theta (t)={\dfrac {2\;C}{J_{\Delta _{C}}\!({\text{tige + masselottes}})}}\;\theta _{1}\;$
Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion $\;{\big$non amorti${\big )}$, revoir le paragraphe « conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation » du chap.$7$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
Remarque : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire $\;\theta (t)\;$ du pendule de torsion amorti $\;{\big$voir vue de dessus partielle représentée ci-contre${\big )}\;$ établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti » du chap.$7$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ;
Remarque : aux deux couples de torsion des fils supérieur et inférieur s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » il faut ajouter le « couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes » dont le moment scalaire relativement à l'axe $\;\Delta _{C}\;$ «$\;{\overline {\Gamma _{\text{flui.}}}}_{\Delta _{C}}=-H\;{\dot {\theta }}(t)\;$» a été établi au chap.$7$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » $\;{\bigH\;$ étant une constante positive exprimée en «$\;N\cdot m\cdot s=kg\cdot m^{2}\cdot s\;$» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes${\big ]}$, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant $\;t$, selon «$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\overrightarrow {\Gamma _{\text{flui.}}}}(t)\right]={\overline {\Gamma _{\text{flui.}}}}_{\Delta _{C}}(t)\;{\overline {\Omega }}(t)=-H\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;$» ;
Remarque : l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » à l'instant $\;t\;$ étant «$\;K_{\text{tige + ailettes}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{C}}\!({\text{tige + ailettes}})\;{\overline {\Omega }}^{2}(t)=$ ${\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{C}}\!({\text{tige + ailettes}})\;{\dot {\theta }}^{2}(t)\;$» avec «$\;J_{\Delta _{C}}\!({\text{tige + ailettes}})\;$ le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à $\;\Delta _{C}\;$», l'application du « théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à
$\;{\dot {K}}_{\text{tige + masselottes}}(t)={\mathcal {P}}_{\text{tors. sup.}}(t)+{\mathcal {P}}_{\text{tors. inf.}}(t)+{\mathcal {P}}\!\left[{\overrightarrow {\Gamma _{\text{flui.}}}}(t)\right]\;$
Remarque : $\;{\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{C}}\!({\text{tige + ailettes}})\;2\;{\dot {\theta }}(t)\;{\ddot {\theta }}(t)=-C\left[\theta (t)-2\;\theta _{1}\right]\;{\dot {\theta }}(t)-C\;\theta (t)\;{\dot {\theta }}(t)-H\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;$ ou, en simplifiant par $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ non identiquement nulle, $\;J_{\Delta _{C}}\!({\text{tige + ailettes}})\;{\ddot {\theta }}(t)=$ $-C\left[\theta (t)-2\;\theta _{1}\right]-C\;\theta (t)-H\;{\dot {\theta }}(t)\;$ $\Leftrightarrow$ $\;J_{\Delta _{C}}\!({\text{tige + ailettes}})\;{\ddot {\theta }}(t)=-2\;C\;\theta (t)-2\;C\;\theta _{1}-H\;{\dot {\theta }}(t)\;$ soit, en normalisant, l'équation différentielle en $\;\theta (t)\;$ du pendule de torsion amorti suivante
$\;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {H}{J_{\Delta _{C}}\!({\text{tige + ailettes}})}}\;{\dot {\theta }}(t)+{\dfrac {2\;C}{J_{\Delta _{C}}\!({\text{tige + ailettes}})}}\;\theta (t)={\dfrac {2\;C}{J_{\Delta _{C}}\!({\text{tige + ailettes}})}}\;\theta _{1}\;$
Remarque : Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti, revoir le paragraphe « loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti » du chap.$7$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».

## Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique

L’équation différentielle en élongation angulaire $\;\theta (t)\;$ du pendule pesant non amorti à un degré de liberté $\;{\big$schématisé ci-contre${\big )}\;$ a été établie dans le paragraphe « établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire » du chap.$8$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique.
Ci-contre le schéma de face du pendule pesant étudié $\;{\big$non amorti${\big )}\;$ en considérant une liaison pivot idéale du solide en rotation autour de l’axe horizontal $\;\Delta _{O}\;$ ;
le P.P.N.A. à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation tel que son C.D.I. $\;G\;$ a une trajectoire circulaire de centre $\;O$, d'axe $\;\Delta _{O}\;$ orienté par le vecteur unitaire «$\;{\vec {u}}_{\Delta _{O}}\;$» et de rayon «$\;{\mathfrak {a}}\;$», $\;G\;$ étant repéré, à l'instant $\;t$, par son abscisse angulaire «$\;\theta _{G}(t)={\widehat {\left\lbrace {\vec {u}}_{z}\,,\,{\overrightarrow {OG}}(t)\right\rbrace }}={\widehat {\left\lbrace {\vec {u}}_{z}\,,\,{\vec {u}}_{r}(t)\right\rbrace }}\;$» $\;{\big$noté «$\;\theta (t)\;$» par la suite en absence d'ambiguïté${\big ]}$, la détermination de l'équation différentielle en «$\;\theta (t)\;$» du P.P.N.A. nécessite de rappeler les actions extérieures s'exerçant sur lui ainsi que la puissance développée par chacune d'elles dans le but d'utiliser le théorème de la puissance cinétique, ce sont :
* son poids «$\;m\;{\vec {g}}=m\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$» de moment scalaire par rapport à $\;\Delta _{O}\;$ «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta _{O}}\!\left[m\;{\vec {g}}\right](t)=\left[{\overrightarrow {OG}}(t)\wedge m\;{\vec {g}}\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta _{O}}=-m\;g\;{\mathfrak {a}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;$», la puissance instantanée développée à l'instant $\;t\;$ par le poids étant «$\;{\mathcal {P}}\!\left[m\;{\vec {g}}\right]\!(t)={\mathcal {M}}_{\!\Delta _{O}}\!\left[m\;{\vec {g}}\right]\!(t)\;{\dot {\theta }}(t)=-m\;g\;{\mathfrak {a}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\theta }}(t)\;$» et
* la réaction de l'axe $\;\Delta _{O}\;$ de la liaison pivot sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. compatibles avec la liaison, «$\;{\vec {R}}(t)=R_{r}(t)\;{\vec {u}}_{r}(t)+R_{\theta }(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\;$» de moment scalaire «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta _{O}}\!\left[{\vec {R}}(t)\right]$ $=0\;$» auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel «$\;{\vec {\Gamma }}_{{\text{pendule}}\,\leftarrow \,{\text{pivot}}}=$ ${\overline {\Gamma _{{\text{pendule}}\,\leftarrow \,{\text{pivot}},\,r}}}\;{\vec {u}}_{r}+{\overline {\Gamma _{{\text{pendule}}\,\leftarrow \,{\text{pivot}},\,\theta }}}\;{\vec {u}}_{\theta }\;$»$^,$ et par suite de moment scalaire relativement à $\;\Delta _{O}\;$ «$\;{\overline {\Gamma _{{\text{pendule}}\,\leftarrow \,{\text{pivot}},}}}_{\Delta _{O}}=0\;$», la puissance instantanée développée à l'instant $\;t\;$ par la réaction du pivot et de son couple de réaction étant «$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {R}}\right]\!(t)+{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {\Gamma }}_{{\text{pendule}}\,\leftarrow \,{\text{pivot}}}\right]\!(t)={\mathcal {M}}_{\!\Delta _{O}}\!\left[{\vec {R}}\right]\!(t)\;{\dot {\theta }}(t)+{\overline {\Gamma _{{\text{pendule}}\,\leftarrow \,{\text{pivot}},}}}_{\Delta _{O}}\!(t)\;{\dot {\theta }}(t)=0\;$» ;
l'énergie cinétique du P.P.N.A. à l'instant $\;t\;$ étant «$\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{O}}\;{\dot {\theta }}^{2}(t)\;$» dans laquelle «$\;J_{\Delta _{O}}\;$ est le moment d'inertie du P.P.N.A. par rapport à $\;\Delta _{O}\;$», l'application du « théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à
$\;{\dot {K}}_{\text{P.P.N.A.}}(t)={\mathcal {P}}\!\left[m\;{\vec {g}}\right]\!(t)+{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {R}}\right]\!(t)+{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {\Gamma }}_{{\text{pendule}}\,\leftarrow \,{\text{pivot}}}\right]\!(t)\;$
$\;{\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{O}}\;2\;{\dot {\theta }}(t)\;{\ddot {\theta }}(t)=-m\;g\;{\mathfrak {a}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\theta }}(t)+0\;$ ou, en simplifiant par $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ non identiquement nulle, $\;J_{\Delta _{O}}\;{\ddot {\theta }}(t)=$ $-m\;g\;{\mathfrak {a}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;$ soit finalement, en normalisant, l'équation différentielle en $\;\theta (t)\;$ du P.P.N.A. suivante
$\;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {m\;g\;{\mathfrak {a}}}{J_{\Delta _{O}}}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=0\;$
L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique dans le cas général, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda » du chap.$8$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » $\;{\big$une solution analytique approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites${\big )}$
Remarque : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire $\;\theta (t)\;$ du pendule pesant amorti $\;{\big$voir coupe partielle représentée ci-contre${\big )}\;$ établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté » du chap.$8$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ;
Remarque : au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe $\;\Delta _{O}\;$ non nul dans un P.P.N.A. il faut, dans un P.P.A., ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe $\;\Delta _{O}\;$ «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta _{O},\,{\text{flu}}}(t)=-H\;{\dot {\theta }}(t)\;$» a été établi au chap.$8$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité $\;{\bigH\;$ étant une constante positive exprimée en «$\;N\cdot m\cdot s=kg\cdot m^{2}\cdot s\;$» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte${\big ]}$, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant $\;t$, selon «$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{\!O,\,{\text{flu}}}}}(t)\right]=$ ${\mathcal {M}}_{\!\Delta _{O},\,{\text{flu}}}(t)\;{\dot {\theta }}(t)=-H\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;$» ;
Remarque : l'énergie cinétique du P.P.A. à l'instant $\;t\;$ étant «$\;K_{\text{P.P.A.}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{O}}\;{\dot {\theta }}^{2}(t)\;$» avec «$\;J_{\Delta _{O}}\;$ le moment d'inertie du P.P.A. par rapport à $\;\Delta _{O}\;$», l'application du « théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen » établi plus haut dans ce chapitre conduit à
$\;{\dot {K}}_{\text{P.P.A.}}(t)={\mathcal {P}}\!\left[m\;{\vec {g}}\right]\!(t)+{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {R}}\right]\!(t)+{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {\Gamma }}_{{\text{pendule}}\,\leftarrow \,{\text{pivot}}}\right]\!(t)+{\mathcal {P}}\!\left[{\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{\!O,\,{\text{flu}}}}}(t)\right]\;$
Remarque : $\;{\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{O}}\;2\;{\dot {\theta }}(t)\;{\ddot {\theta }}(t)=-m\;g\;{\mathfrak {a}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\theta }}(t)+0-H\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;$ ou, en simplifiant par $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ non identiquement nulle, l'équation différentielle $\;J_{\Delta _{O}}\;{\ddot {\theta }}(t)$ $=-m\;g\;{\mathfrak {a}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]-H\;{\dot {\theta }}(t)\;$ soit, en normalisant, l'équation différentielle en $\;\theta (t)\;$ du P.P.A. suivante
$\;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {H}{J_{\Delta _{O}}}}\;{\dot {\theta }}(t)+{\dfrac {m\;g\;{\mathfrak {a}}}{J_{\Delta _{O}}}}\;\theta (t)=0\;$
Remarque : L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites » du chap.$8$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » $\;{\big$une solution analytique approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites${\big )}$.

## « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil

Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir $\;{\big$et bien sûr d’être capable de le retrouver${\big )}$.

### Caractère conservatif du couple de torsion

Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «$\;{\overrightarrow {\Gamma _{\text{tors}}}}=-C\;\alpha \;{\vec {u}}_{\Delta }\;$» lors d’une torsion élémentaire «$\;d\alpha \;$» $\;{\big$dans lequel $\;\Delta \;$ est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ et «$\;\alpha \;$» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan $\;\perp \;$ à $\;\Delta \;$ et orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }{\big ]}\;$ étant défini selon «$\;\delta W_{\text{tors}}={\mathcal {P}}_{\text{tors}}\;dt=$ ${\overline {\Gamma _{\text{tors}}}}\;{\overline {\Omega }}(t)\;dt\;$», $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant $\;t\;$ liée à l'angle de torsion algébrisé par «$\;{\overline {\Omega }}(t)={\dot {\alpha }}(t)\;$ $\Rightarrow$ $\;{\overline {\Omega }}(t)\;dt=d\alpha \;$» et par suite «$\;\delta W_{\text{tors}}=-C\;\alpha \;d\alpha \;$» ;
le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction, on en déduit le caractère conservatif du couple de torsion.

### Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion

L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion $\;U_{\text{tors}}\;$ dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment $\;{\overrightarrow {\Gamma _{\text{tors}}}}\;$ est définie par «$\;\delta W_{\text{tors}}=-dU_{\text{tors}}\;$» c'est-à-dire «$\;-C\;\alpha \;d\alpha =-dU_{\text{tors}}\;$» ou «$\;{\dfrac {dU_{\text{tors}}}{d\alpha }}=C\;\alpha \;$» soit, en intégrant «$\;U_{\text{tors}}={\dfrac {1}{2}}\;C\;\alpha ^{2}+cste\;$» ;
choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion $\;U_{\text{tors}}\;$ quand le fil n’est pas tordu c'est-à-dire $\;\alpha =0\;$ on en déduit $\;cste=0\;$ d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion
$\;U_{\text{tors}}={\dfrac {1}{2}}\;C\;\alpha ^{2}\;$
$\;{\big$
${\big )}$

### Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement

Si on considère le pendule de torsion $\;{\big$voir schéma ci-contre${\big )}\;$ présenté au paragraphe « actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » du chap.$7$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion $\;{\big$orientée par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{CO_{\text{sup}}}{\big )}\;$ étant le couple de torsion de moment vectoriel «$\;{\overrightarrow {\Gamma _{\text{tors}}}}=-C\;\alpha \;{\vec {u}}_{CO_{\text{sup}}}\;$», on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant $\;t\;$ par «$\;U_{\text{tors}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;C\,\left[\alpha (t)\right]^{2}\;$» $\;{\big$référence : fil non tordu${\big )}$, l'énergie cinétique du pendule au même instant $\;t\;$ étant «$\;K_{\text{pend. tors.}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[{\dot {\alpha }}(t)\right]^{2}\;$», $\;J_{CO_{\text{sup}}}\;$ étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion on en déduit
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;t\;$
$\;E_{m}(t)=K_{\text{pend. tors.}}(t)+U_{\text{tors}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[{\dot {\alpha }}(t)\right]^{2}+{\dfrac {1}{2}}\;C\,\left[\alpha (t)\right]^{2}\;$
or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen s’écrivant «$\;\Delta K_{\text{pend. tors.}}=K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal {F}})-K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal {F}})=W_{{\text{tors}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\;$» avec «$\;W_{{\text{tors}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}=-\Delta U_{\text{tors}}=-\left[U_{\text{tors}}(t_{\mathcal {F}})-U_{\text{tors}}(t_{\mathcal {I}})\right]\;$» soit «$\;\Delta K_{\text{pend. tors.}}=-\Delta U_{\text{tors}}\;$» ou encore «$\;\Delta \left[K_{\text{pend. tors.}}+U_{\text{tors}}\right]=0\;$» s'exprimant finalement selon «$\;\Delta E_{m}=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;E_{m}(t_{\mathcal {F}})=E_{m}(t_{\mathcal {I}})\;$» c'est-à-dire la conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti).
Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti $\;{\big$dont la photographe est ci-contre${\big )}\;$ étudié au paragraphe « établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune $\;\Delta _{C}\;$ des deux fils de torsion :
* le couple de torsion du fil supérieur $\;\left\lbrace CO_{\text{sup}}\right\rbrace \;$ de moment scalaire par rapport à l'axe $\;\Delta _{C}\;$ «$\;{\overline {\Gamma _{\text{tors. sup.}}}}_{\Delta _{C}}(t)=-C\,\left[\theta (t)-2\;\theta _{1}\right]\;$» dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle $\;{\overline {\Omega }}(t)\;dt=d\theta$, s'écrivant «$\;\delta W_{\text{tors. sup.}}={\mathcal {P}}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt={\overline {\Gamma _{\text{tors. sup.}}}}_{\Delta _{C}}(t)\;{\overline {\Omega }}(t)\;dt=$ $-C\,\left[\theta (t)-2\;\theta _{1}\right]\;d\theta \;$» $\;{\big$c'est-à-dire une différentielle de fonction${\big )}\;$ prouve le caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «$\;U_{\text{tors. sup.}}\;$» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par $\;\delta W_{\text{tors. sup.}}=-dU_{\text{tors. sup.}}\;$ soit $\;-C\,\left[\theta -2\;\theta _{1}\right]\;d\theta =-dU_{\text{tors. sup.}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {dU_{\text{tors. sup.}}}{d\theta }}=C\,\left[\theta -2\;\theta _{1}\right]\;$ $\Rightarrow$ $\;U_{\text{tors. sup.}}={\dfrac {1}{2}}\;C\,\left[\theta -2\;\theta _{1}\right]^{2}+cste_{1}\;$ soit, en prenant pour référence de $\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta )\;$ « la position du solide à l'équilibre » c'est-à-dire $\;\theta _{\text{éq}}=\theta _{1}\;$, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «$\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta )={\dfrac {1}{2}}\;C\,\left[\theta -2\;\theta _{1}\right]^{2}-{\dfrac {1}{2}}\;C\;\theta _{1}^{\,2}\;$»$^,$ et
* le couple de torsion du fil inférieur $\;\left\lbrace CO_{\text{inf}}\right\rbrace \;$ de moment scalaire par rapport à l'axe $\;\Delta _{C}\;$ «$\;{\overline {\Gamma _{\text{tors. inf.}}}}_{\Delta _{C}}(t)=-C\;\theta (t)\;$» dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle $\;{\overline {\Omega }}(t)\;dt=d\theta$, s'écrivant «$\;\delta W_{\text{tors. inf.}}={\mathcal {P}}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt={\overline {\Gamma _{\text{tors. inf.}}}}_{\Delta _{C}}(t)\;{\overline {\Omega }}(t)\;dt=$ $-C\;\theta (t)\;d\theta \;$» $\;{\big$c'est-à-dire une différentielle de fonction${\big )}\;$ prouve le caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «$\;U_{\text{tors. inf.}}\;$» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par $\;\delta W_{\text{tors. inf.}}=$ $-dU_{\text{tors. inf.}}\;$ soit $\;-C\;\theta \;d\theta =-dU_{\text{tors. inf.}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {dU_{\text{tors. inf.}}}{d\theta }}=C\;\theta ;$ $\Rightarrow$ $\;U_{\text{tors. inf.}}={\dfrac {1}{2}}\;C\;\theta ^{\,2}+cste_{2}\;$ soit, en prenant pour référence de $\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta )\;$ « la position du solide à l'équilibre » c'est-à-dire $\;\theta _{\text{éq}}=\theta _{1}\;$, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «$\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta )={\dfrac {1}{2}}\;C\;\theta ^{\,2}-{\dfrac {1}{2}}\;C\;\theta _{1}^{\,2}\;$»$^,$ ;
finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit
$\;U_{\text{tors}}(\theta )=U_{\text{tors. sup.}}(\theta )+U_{\text{tors. inf.}}(\theta )={\dfrac {1}{2}}\;C\,\left[\theta -2\;\theta _{1}\right]^{2}+{\dfrac {1}{2}}\;C\;\theta ^{\,2}-C\;\theta _{1}^{\,2}\;$
$\;{\big$
$\;\theta _{\text{éq}}=\theta _{1}\;$
${\big )}$
l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant $\;t\;$ étant «$\;K_{\text{tige + masselottes}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{C}}\!({\text{tige + masselottes}})\;{\overline {\Omega }}^{2}(t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{C}}\!({\text{tige + masselottes}})\;{\dot {\theta }}^{2}(t)\;$» dans laquelle «$\;J_{\Delta _{C}}\!({\text{tige + masselottes}})\;$ est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à $\;\Delta _{C}\;$», on en déduit l'expression, à l'instant $\;t$, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «$E_{m}(t)=K_{\text{tige + masselottes}}(t)+U_{\text{tors}}\!\left[\theta (t)\right]={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{C}}\!({\text{tige + masselottes}})\;{\dot {\theta }}^{2}(t)+{\dfrac {1}{2}}\;C\,\left[\theta (t)-2\;\theta _{1}\right]^{2}+{\dfrac {1}{2}}\;C\;\theta ^{\,2}\!(t)-C\;\theta _{1}^{\,2}$» ;
les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion $\;{\big$c'est-à-dire le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils${\big )}\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen s’écrivant «$\;\Delta K_{\text{pend. tors.}}=K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal {F}})-K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal {F}})=W_{{\text{tors. sup.}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}+W_{{\text{tors. inf.}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\;$» dans lequel «$\;W_{{\text{tors. sup.}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}+W_{{\text{tors. inf.}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}$ $=-\Delta U_{\text{tors}}=-\left[U_{\text{tors}}(t_{\mathcal {F}})-U_{\text{tors}}(t_{\mathcal {I}})\right]\;$» soit «$\;\Delta K_{\text{pend. tors.}}=-\Delta U_{\text{tors}}\;$» ou encore «$\;\Delta \left[K_{\text{pend. tors.}}+U_{\text{tors}}\right]=0\;$» s'exprimant finalement selon «$\;\Delta E_{m}=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;E_{m}(t_{\mathcal {F}})=E_{m}(t_{\mathcal {I}})\;$» c'est-à-dire la conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) ;
finalement on peut écrire l'intégrale 1ère $\;{\big$énergétique${\big )}\;$ du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «$\;E_{m}(t)=E_{m,\,0}\;$» avec
$E_{m}(t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{C}}\!({\text{tige + masselottes}})\;{\dot {\theta }}^{2}(t)+{\dfrac {1}{2}}\;C\,\left[\theta (t)-2\;\theta _{1}\right]^{2}+{\dfrac {1}{2}}\;C\;\theta ^{\,2}\!(t)-C\;\theta _{1}^{\,2}$
$E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;C\,\left[\theta _{0}-2\;\theta _{1}\right]^{2}+{\dfrac {1}{2}}\;C\;\theta _{0}^{\,2}\!(t)-C\;\theta _{1}^{\,2}$
$\;\theta (0)=\theta _{0}\;$
$\,{\dot {\theta }}(0)=0\;$

### Quelques commentaires

$\;\succ \;$Constatant que le diagramme d’énergie potentielle $\;U_{\text{tors}}(\alpha )={\dfrac {1}{2}}\;C\;\alpha ^{2}\;$ en fonction du paramètre de position angulaire $\;\alpha \;$ dans le 1er exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou Constatantque celui $\;U_{\text{tors}}(\theta )={\dfrac {1}{2}}\;C\,\left[\theta -2\;\theta _{1}\right]^{2}+{\dfrac {1}{2}}\;C\;\theta ^{\,2}-C\;\theta _{1}^{\,2}\;$ en fonction du paramètre de position angulaire $\;\theta \;$ du 2ème exemple de pendule de torsion du même paragraphe est parabolique, nous retrouvons la 2ème définition d’un oscillateur harmonique $\;{\big$de rotation${\big )}$ $\;{\big$voir le paragraphe « définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique » du chap.$28$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »${\big ]}$.
$\;\succ \;$Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1ère $\;{\big$énergétique${\big )}\;$ de son mouvement est donc une ellipse décrite dans le sens horaire $\;{\big$voir le paragraphe « propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.$28$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »${\big ]}\;\ldots$

## Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme
### Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant

Dans le cas d'un P.P.N.A. dont le schéma est présenté dans le paragraphe « établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «$\;U_{\text{pes}}\;$» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle $\;d\theta ={\dot {\theta }}(t)\;dt\;$ autour de l'axe $\;\Delta _{O}\;$ soit «$\;\delta W\!\left(m\;{\vec {g}}\right)=-dU_{\text{pes}}\;$» avec «$\;\delta W\!\left(m\;{\vec {g}}\right)=$ ${\mathcal {P}}\!\left[m\;{\vec {g}}\right]\!(t)\;dt={\mathcal {M}}_{\!\Delta _{O}}\!\left[m\;{\vec {g}}\right]\!(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;dt=-m\;g\;{\mathfrak {a}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;d\theta \;$» d’où $\;-dU_{\text{pes}}=-m\;g\;{\mathfrak {a}}\;\sin \!\left(\theta \right)\;d\theta \;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {dU_{\text{pes}}}{d\theta }}(\theta )=m\;g\;{\mathfrak {a}}\;\sin \!\left(\theta \right)\;$ $\Rightarrow$ «$\;U_{\text{pes}}(\theta )=-m\;g\;{\mathfrak {a}}\;\cos \!\left(\theta \right)+cste\;$» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. « la position d'équilibre stable de ce dernier $\;\theta _{\text{éq. stable}}=0\;$», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. selon
$\;U_{\text{pes}}(\theta )=m\;g\;{\mathfrak {a}}\,\left[1-\cos \!\left(\theta \right)\right]\;$
$\;{\big$
${\big )}$

### Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement

L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. à l'instant $\;t\;$ étant «$\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{O}}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;$» dans laquelle «$\;J_{\Delta _{O}}\;$ est le moment d'inertie du solide par rapport à $\;\Delta _{O}\;$», on en déduit l'expression, à l'instant $\;t$, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. dans le champ de pesanteur «$E_{m}\!(t)=K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t)+U_{\text{pes}}\!\left[\theta (t)\right]={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{O}}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+m\;g\;{\mathfrak {a}}\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace$» ;
le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen s’écrivant «$\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}}=K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal {F}})-K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal {F}})=W_{{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\!\left(m\;{\vec {g}}\right)\;$» dans lequel «$\;W_{{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\!\left(m\;{\vec {g}}\right)=-\Delta U_{\text{pes}}=-\left[U_{\text{pes}}(t_{\mathcal {F}})-U_{\text{pes}}(t_{\mathcal {I}})\right]\;$» soit «$\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}}=-\Delta U_{\text{pes}}\;$» ou encore «$\;\Delta \left[K_{\text{P.P.N.A.}}+U_{\text{pes}}\right]=0\;$» s'exprimant finalement selon «$\;\Delta E_{m}=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;E_{m}(t_{\mathcal {F}})=E_{m}(t_{\mathcal {I}})\;$» c'est-à-dire la conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti) ;
finalement on peut écrire l'intégrale 1ère $\;{\big$énergétique${\big )}\;$ du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «$\;E_{m}(t)=E_{m,\,0}\;$» avec
$\;E_{m}(t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{O}}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+m\;g\;{\mathfrak {a}}\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$
$\;E_{m,\,0}=m\;g\;{\mathfrak {a}}\,\left[1-\cos \!\left(\theta _{0}\right)\right]\;$
$\;\theta (0)=\theta _{0}\;$
$\,{\dot {\theta }}(0)=0\;$

### Quelques commentaires

$\;\succ \;$Constatant que le diagramme d’énergie potentielle $\;U_{\text{pes}}(\theta )=m\;g\;{\mathfrak {a}}\,\left[1-\cos(\theta )\right]\;$ du P.P.N.A. en fonction du paramètre de position angulaire $\;\theta \;$ n'est pas parabolique $\;{\big$mais sinusoïdal${\big )}$, nous pouvons affirmer que le P.P.N.A. n'est pas un oscillateur harmonique $\;{\big$quand il est en situation d'osciller${\big )}$ $\;{\big$voir le paragraphe « définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique » du chap.$28$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »${\big ]}$ ;
    une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. est $\;\blacktriangleright \;$« oscillatoire quand $\;E_{m,\,0}\;$ est $\;<\;$ à $\;2\;m\;g\;{\mathfrak {a}}\;$» et $\;\blacktriangleright \;$« révolutive quand quand $\;E_{m,\,0}\;$ est $\;>\;$ à $\;2\;m\;g\;{\mathfrak {a}}\;$» puis une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1ère énergétique, la nature « périodique $\;{\big$oscillatoire ou révolutive${\big )}\;$» ainsi que une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir l’expression de la période sous forme intégrale $\;{\big$voir le paragraphe « étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique » du chap.$8$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »${\big ]}\;\ldots$
$\;\succ \;$Les portraits de phase d’un P.P.N.A. ayant pour équation implicite l’intégrale 1ère $\;{\big$énergétique${\big )}\;$ de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale $\;E_{m,\,0}$, diffèrent suivant $\;E_{m,\,0}$ $\;{\big$voir le paragraphe « différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif » du chap.$8$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »${\big ]}$ :
    $\;\blacktriangleright \;$pour $\;E_{m,\,0}<2\;m\;g\;{\mathfrak {a}}$, le mouvement du P.P.N.A. est pendulaire, son portrait de phase est fermé, décrit dans le « sens horaire », avec le point «$\;{\big\theta =0\,,\,{\dot {\theta }}=0{\big )}\;$» comme « centre de symétrie » lequel correspond à la position d’équilibre stable du P.P.N.A. ; $\;\blacktriangleright \;$pour $\;E_{m,\,0}>2\;m\;g\;{\mathfrak {a}}$, le mouvement du P.P.N.A. est révolutif, son portrait de phase est ouvert, constitué de la répétition du motif de l'intervalle $\;\left]-\pi \,,\,\pi \right]$, répété $\;\bullet \;$ « vers les $\;\theta \nearrow \;$ en restant dans le domaine des $\;{\dot {\theta }}>0\;$ si $\;{\dot {\theta }}_{0}>0\;$» ou $\;\bullet \;$ « vers les $\;\theta \searrow \;$ en restant dans le domaine des $\;{\dot {\theta }}<0\;$ si $\;{\dot {\theta }}_{0}<0\;$», le portrait de phase avec C.I. «$\;\left(\theta _{0}\,,\,{\dot {\theta }}_{0}<0\right)\;$» étant l’antisymétrique de celui avec C.I. «$\;\left(\theta _{0}\,,\,-{\dot {\theta }}_{0}>0\right)\;$», les maxima de valeur absolue de vitesse angulaire «$\;\vert {\dot {\theta }}\vert \;$» étant obtenus pour les positions d’équilibre stable «$\;\theta _{\text{éq. st.}}=p\;2\,\pi ,\;\;p\in \mathbb {Z} \;$» et les minima de valeur absolue de vitesse angulaire étant obtenus pour les positions d’équilibre instable «$\;\theta _{\text{éq. inst.}}=\left(2\;p+1\right)\,\pi ,\;\;p\in \mathbb {Z} \;$».

## « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti

Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable », celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ” » du chap.$11$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».

### Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide »

Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide $\;{\mathcal {S}}\;$» dans un référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen sur une durée finie $\;\Delta t=t_{\mathcal {F}}-t_{\mathcal {I}}\;$ s’écrivant «$\;\Delta K_{\left({\mathcal {S}}\right)}=W_{{\text{ext}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\;$», on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées,
* celles qui sont conservatives $\;{\big$lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle${\big )}\;$ dont le travail pendant cette durée finie $\;\Delta t=t_{\mathcal {F}}-t_{\mathcal {I}}\;$ est noté «$\;W_{{\text{ext}},\,{\text{cons.}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\;$» et
* celles qui sont non conservatives dont le travail pendant cette même durée finie $\;\Delta t=t_{\mathcal {F}}-t_{\mathcal {I}}\;$ est noté «$\;W_{{\text{ext}},\,{\text{non cons.}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\;$»
d'où «$W_{{\text{ext}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}=W_{{\text{ext}},\,{\text{cons.}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}+W_{{\text{ext}},\,{\text{non cons.}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}$» ou, en introduisant l’énergie potentielle «$\;U_{\text{ext}}\;$» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon «$\;W_{{\text{ext}},\,{\text{cons.}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}$ $=-\Delta U_{\text{ext}}=-\left[U_{{\text{ext}},\,{\mathcal {F}}}-U_{{\text{ext}},\,{\mathcal {I}}}\right]\;$» dont on déduit «$W_{{\text{ext}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}=-\Delta U_{\text{ext}}+W_{{\text{ext}},\,{\text{non cons.}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}$» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide $\;{\mathcal {S}}\;$» dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen sur la durée finie $\;\Delta t=t_{\mathcal {F}}-t_{\mathcal {I}}\;$ «$\;\Delta K_{\left({\mathcal {S}}\right)}=-\Delta U_{\text{ext}}+W_{{\text{ext}},\,{\text{non cons.}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\;$» ou, en basculant «$\;\Delta U_{\text{ext}}\;$» dans le membre de gauche et en définissant l’énergie mécanique du « solide $\;{\mathcal {S}}\;$», à l'instant $\;t$, dans le champ des forces conservatives par «$\;E_{m}(t)=K_{\left({\mathcal {S}}\right)}\!(t)+U_{\text{ext}}\!(t)\;$», le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide $\;{\mathcal {S}}\;$» sur la durée finie $\;\Delta t=t_{\mathcal {F}}-t_{\mathcal {I}}\;$ soit «$\;\Delta E_{m}=E_{m,\,{\mathcal {F}}}-E_{m,\,{\mathcal {I}}}\;$» et le travail des forces extérieures non conservatives sur cette même durée finie $\;\Delta t=t_{\mathcal {F}}-t_{\mathcal {I}}\;$ soit «$\;W_{{\text{ext}},\,{\text{non cons.}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\;$» à savoir
$\;\Delta E_{m}=W_{{\text{ext}},\,{\text{non cons.}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\;$
d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen $\;{\big$ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité $\;{\big$sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide${\big )}$, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives $\;{\big$comme des forces de frottement${\big )}\;$ s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale${\big ]}$ :
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$
$\;E_{m}\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;{\big$
$\;U_{\text{ext}}\;$
$\Rightarrow$
$\;E_{m}=K+U_{\text{ext}}\;$
$\;K\;$
${\big )}\;$
$\;t_{\mathcal {I}}\;$
$\;t_{\mathcal {F}}\;$
$\;\Delta E_{m}=E_{m}\!(t_{\mathcal {F}})-E_{m}\!(t_{\mathcal {I}})\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left[t_{\mathcal {I}}\,,\,t_{\mathcal {F}}\right]\;$
$\;W_{{\text{ext}},\,{\text{non cons.}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\;$
$\;\Delta E_{m}=W_{{\text{ext}},\,{\text{non cons.}},\,{\mathcal {I}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$
La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$
$\;E_{m}\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;{\big$
$\;U_{\text{ext}}\;$
$\Rightarrow$
$\;E_{m}=K+U_{\text{ext}}\;$
$\;K\;$
${\big )}\;$
$\;t\;$
$\;t+dt\;$
$\;dE_{m}\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$
$\;\delta W_{{\text{ext}},\,{\text{non cons.}}}\;$
$\;dE_{m}=\delta W_{{\text{ext}},\,{\text{non cons.}}}\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$
Remarque : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.
Cas particulier : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant $\;{\big$par exemple absence de frottements solide ou fluide${\big )}$, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives $\;{\big$ou ne travaillant pas${\big )}\;$».

### Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »

Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ;
pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants $\;t\;$ et $\;t+dt$ ${\big$c'est-à-dire la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide${\big )}$, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «$\;dE_{m}=\delta W_{{\text{ext}},\,{\text{non cons.}}}\;$» puis, pour obtenir cette forme locale on divise les deux membres par $\;dt\;$ soit «$\;{\dfrac {dE_{m}}{dt}}={\dfrac {\delta W_{{\text{ext}},\,{\text{non cons.}}}}{dt}}\;$» ; le 1er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant $\;t\;$ «$\;{\dot {E}}_{m}(t)\;$» et le 2ème membre étant la puissance instantanée développée, à l'instant $\;t$, par les forces extérieures non conservatives «$\;{\mathcal {P}}_{{\text{ext}},\,{\text{non cons.}}}\!(t)\;$» nous obtenons «$\;{\dot {E}}_{m}(t)={\mathcal {P}}_{{\text{ext}},\,{\text{non cons.}}}\!(t)\;$» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen :
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;{\big$
$\;U_{\text{ext}}\;$
$\;E_{m}=K+U_{\text{ext}}\;$
$\;K\;$
${\big )}$
$\;t$
$\;{\dot {E}}_{m}(t)\;$
$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
$\;t\;$
$\;{\mathcal {P}}_{{\text{ext}},\,{\text{non cons.}}}\!(t)\;$
$\;{\dot {E}}_{m}(t)={\mathcal {P}}_{{\text{ext}},\,{\text{non cons.}}}\!(t)\;$
$\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$
Remarque : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.
Cas particulier : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant $\;{\big$par exemple absence de frottements solide ou fluide${\big )}$, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant $\;t\;$ quelconque se réduit à « la nullité, pour tout $\;t$, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives $\;{\big$ou ne travaillant pas${\big )}\;$» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ».

### Application au cas d’un solide amorti

Parmi les forces extérieures non conservatives appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » comme les forces de frottement fluide $\;{\big$ou solide${\big )}$ ;
en supposant que les seules forces extérieures non conservatives travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives s’écrivant «$\;{\dot {E}}_{m}(t)={\mathcal {P}}_{{\text{ext}},\,{\text{frott}}}\!(t)<0\;$» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «$\;E_{m}(t)\searrow \;$ au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude.

#### Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire

Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité,
aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «$\;U_{\text{tors}}(\theta )=$ ${\dfrac {1}{2}}\;C\,\left[\theta -2\;\theta _{1}\right]^{2}+{\dfrac {1}{2}}\;C\;\theta ^{\,2}-C\;\theta _{1}^{\,2}\;$» $\;{\big$avec référence : position d'équilibre du solide $\;\theta _{\text{éq}}=\theta _{1}\;$${\big )}\;$, il convient d'ajouter
le « couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes » dont le moment scalaire relativement à l'axe $\;\Delta _{C}\;$ «$\;{\overline {\Gamma _{\text{flui.}}}}_{\Delta _{C}}=-H\;{\dot {\theta }}(t)\;$» établi au chap.$7$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » $\;{\bigH\;$ étant une constante positive exprimée en «$\;N\cdot m\cdot s=kg\cdot m^{2}\cdot s\;$» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes${\big ]}\;$ montre qu'il est non conservatif, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant $\;t$, selon «$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\overrightarrow {\Gamma _{\text{flui.}}}}(t)\right]={\overline {\Gamma _{\text{flui.}}}}_{\Delta _{C}}(t)\;{\overline {\Omega }}(t)=-H\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;$» ;
l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «$\;E_{m}(t)=K(t)+U_{\text{tors}}\!\left[\theta (t)\right]={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{C}}\!({\text{tige + ailettes}})\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+{\dfrac {1}{2}}\;C\,\left[\theta (t)-2\;\theta _{1}\right]^{2}+{\dfrac {1}{2}}\;C\;\theta ^{\,2}\!(t)-C\;\theta _{1}^{\,2}\;$» à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, $\;{\bigJ_{\Delta _{C}}\!({\text{tige + ailettes}})\;$ étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun $\;\Delta _{C}\;$ des deux fils${\big ]}\;$ on en déduit aisément, dans $\;{\mathcal {R}}\;$ et à l'instant $\;t$, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant $\;{\dot {E}}_{m}(t)={\dfrac {dE_{m}}{dt}}(t)\;$ puis
l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti nous conduit à «$\;{\dot {E}}_{m}(t)={\mathcal {P}}\!\left[{\overrightarrow {\Gamma _{\text{flui.}}}}(t)\right]\;$» ou «$\;{\dot {E}}_{m}(t)=-H\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)<0\;$» $\Rightarrow$ «$\;E_{m}(t)\searrow \;$» soit encore,
en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «$\;{\dot {\theta }}\!(t)\;$», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti » du chap.$7$ de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir
$\;J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{tige}}+{\text{ailettes}}\right)\;{\ddot {\theta }}(t)+H\;{\dot {\theta }}(t)+2\;C\;\theta (t)=2\;C\;\theta _{1}\;$

#### Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire

Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité,
à la force extérieure «$\;m\;{\vec {g}}\;$», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «$\;U_{\text{pes}}(\theta )=$ $m\;g\;{\mathfrak {a}}\,\left[1-\cos(\theta )\right]\;$» $\;{\big$avec référence : position d'équilibre stable du solide $\;\theta _{\text{éq. stable}}=0\;$${\big )}\;$, il convient d'ajouter
les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe $\;\Delta _{O}\;$ «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta _{O},\,{\text{flu}}}(t)=-H\;{\dot {\theta }}(t)\;$» a été établi au paragraphe « établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté » du chap.$8$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » $\;{\bigH\;$ étant une constante positive exprimée en «$\;N\cdot m\cdot s=kg\cdot m^{2}\cdot s\;$» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte${\big ]}\;$ montre que ces forces de frottement est un système non conservatif, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant $\;t$, selon «$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{\!O,\,{\text{flu}}}}}(t)\right]=$ ${\mathcal {M}}_{\!\Delta _{O},\,{\text{flu}}}(t)\;{\dot {\theta }}(t)=-H\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;$» ;
l'énergie mécanique du P.P.A. étant «$\;E_{m}(t)=K(t)+U_{\text{pes}}\!\left[\theta (t)\right]={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{O}}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+m\;g\;{\mathfrak {a}}\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$» à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, $\;{\bigJ_{\Delta _{O}}\;$ étant le moment d'inertie du P.P.A. relativement à son axe $\;\Delta _{O}\;$ de rotation${\big ]}\;$ on en déduit aisément, dans $\;{\mathcal {R}}\;$ et à l'instant $\;t$, la puissance mécanique du P.P.A. en formant $\;{\dot {E}}_{m}(t)={\dfrac {dE_{m}}{dt}}(t)\;$ puis
l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A.$^,$ nous conduit à «$\;{\dot {E}}_{m}(t)={\mathcal {P}}\!\left[{\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{\!O,\,{\text{flu}}}}}(t)\right]\;$» ou «$\;{\dot {E}}_{m}(t)=-H\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)<0\;$» $\Rightarrow$ «$\;E_{m}(t)\searrow \;$» soit encore,
en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «$\;{\dot {\theta }}\!(t)\;$», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté » du chap.$8$ de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir
$\;J_{\Delta _{O}}\;{\ddot {\theta }}(t)+H\;{\dot {\theta }}(t)+m\;g\;{\mathfrak {a}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=0\;$