# Théorie des groupes/Examen/Licence math algèbre Université de Provence mars 1996

Il sera tenu compte de la rigueur des raisonnements et de la présentation.
Soit G un groupe multiplicatif dont la loi est dénotée par juxtaposition et dont l'élément neutre est e.
Si E est un sous-ensemble non-vide de G, on appelle centralisateur de E dans G le sous- ensemble Z$_G$(E) de G défini par Z$_G$(E) = {a ∈ G|ᗄx ∈ E, axa$^{-1}$ = x}. On dénote le centre de G par Z(G).
1 ) (i) Montrer que Z$_G$(E) est un sous-groupe de G.
    (ii) Qu’est ce que Z$_G$(G) ?
    (iii) Si ∅ ≠ E ⊂ F ⊂ G, comparer Z$_G$(E) et Z$_G$(F).
    (iv) On rappelle que E$^{-1}$ = {x$^{-1}$ ∈ G|x ∈ E}. Montrer que Z$_G$(E) = Z$_G$(E$^{-1}$) = Z$_G$(〈E〉).
    (v) Peut-on affirmer que Z$_G$(E) contient E ?
2 ) (i) Soient H et K deux sous-groupes distingués de G tels que H ᑎ K = {e}. Montrer que chacun d'eux est contenu dans le centralisateur de l'autre. (Si h ∈ H et k ∈ K on pourra considérer l'élément [h,k] = hkh$^{-1}$k$^{-1}$.)
    (ii) Soient H et K deux sous-groupes de G tels que H ᑎ K = {e}. On rapelle que HK = {hk|h ∈ H, k ∈ K}. Montrer que HK est isomorphe au produit direct (externe) H ✕ K.
On dit qu'un groupe G est simple si G ≠ {e}, et les seuls sous-groupes distingués de G sont G et {e}.
3 ) Montrer que si G est commutatif on a : G est simple si et seulement si G est monogène et fini d'ordre premier.
Soit A = Aut G le groupe d'automorphisme de G, et I = Int G le groupe d'automorphisme intérieur de G. La loi pour ces groupes est la composition notée ∘.
4 ) (i) Montrer que I est un sous-groupe distingué.
    (ii) Montrer que I = {Id$_G$} si et seulement si G est abélien.
5 ) (i) Montrer qu'un automorphisme de G, σ ∈ A, commute avec l'automorphisme intérieur Φ$_g$ ∈ I si et seulement si g$^{-1}$σ(g) ∈ Z(G).
    (ii) Montrer que σ ∈ Z$_A$(I) si et seulement si pour tout g ∈ G, on a g$^{-1}$σ(G)∈ Z(G).
    (iii) En déduire que si Z(G) = {e} on a Z$_A$(I) = {Id$_A$}.
On suppose désormais que G est un groupe simple non-abélien.
6 ) (i) Montrer que l’application Φ : G → I est un isomorphisme. Qu'en déduit-on pour le groupe I ?
Soit s un automorphisme du groupe A (c'est-à-dire, s est un élément du groupe Aut A).
    (ii) Montrer que s(I) est distingué dans A et en déduire (utilisant 2, 5 et 6(i) ci-dessus) qu'on ne peut pas avoir I ᑎ s(I) = {Id$_G$} (noter que Id$_G$ est l'élément neutre du groupe A).
    (iii) Déduire que s(I) = I.
7 ) Soit s un automorphisme de A qui laisse invariant tout élément α de I.
    (i) Montrer que pour tout τ ∈ A, et tout α ∈ I, s laisse fixe τ∘α∘τ$^{-1}$, et τ$^{-1}$∘s(τ) ∈ Z$_A$(I).
    (ii) Montrer que s = Id$_A$.
8 ) Soit s un automorphisme de A. Nous savons, d’après 6 que s laisse I globalement stable. On appelle encore s la restriction de s à I, et on pose σ = Φ$^{-1}$∘s∘Φ.
    (i) Montrer que σ ∈ A.
    (ii) On pose u : A → A l’application définie par ξ → σ$^{-1}$∘s(ξ)∘σ. Si g,y ∈ G, que vaut (u(Φ$_G$))(y)? (Utiliser le fait que Φ∘σ = s∘Φ.)
    (iii) En déduire que u = Id$_A$, puis que tout automorphisme de A est intérieur.
9 ) Soit :
$L=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}|a,b,c,d\in \mathbb {C} ,ad-bc=1\right\}$
On sait que L est un groupe pour la multiplication des matrices.
    (i) Trouver Z(L);L est-il commutatif ? L/Z(L) est-il commutatif? (Les matrices ${\begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix}}$ et ${\begin{pmatrix}1&0\\y&1\end{pmatrix}}$ pour x, y ∈ ℝ sont des étéments de L.)
On admet le résultat suivant : Si H est un sous-groupe distingué de L qui contient Z(L) alors soit H = Z(L), soit H = L.
    (ii) Montrer que Z(L/Z(L)) est le groupe trivial d'ordre 1. Montrer que L/Z(L) est simple.
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