# Mécanique 1 (PCSI)/Loi de la quantité de mouvement : Principe fondamental de la dynamique et théorème de la résultante cinétique
## Principe fondamental de la dynamique du point matériel

$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;{\big$
${\big )}$
$\;{\big \$
${\big \}$

### Causes de modification de la grandeur cinétique « quantité de mouvement » d'un point matériel

Le point matériel $\;M\;$ subit l'« action du reste de l'Univers » et « c'est sous cette action qu'il peut y avoir modification de son mouvement », mais, en pratique, « seuls quelques systèmes ont une influence non négligeable » ;
on décrit l'« action du système $\;(\Sigma _{k})\;$ sur $\;M\;$» par le « vecteur force $\;{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\;$ ${\big$ou plus simplement $\;{\vec {F}}_{k}{\big ]}\;$» appelé « force que $\;(\Sigma _{k})\;$ exerce sur $\;M\;$» ; on décrit l'« action du système $\;\color {transparent}{(\Sigma _{k})}\;$ sur $\;\color {transparent}{M}\;$» par ses diverses composantes et sa norme s'expriment en Newton $\;N$ ; on décrit l'« action du système $\;\color {transparent}{(\Sigma _{k})}\;$ sur $\;\color {transparent}{M}\;$» cette force dépend « des natures respectives de $\;M\;$ et $\;(\Sigma _{k})\;$», on décrit l'« action du système $\;\color {transparent}{(\Sigma _{k})}\;$ sur $\;\color {transparent}{M}\;$» cette force dépend « des positions et parfois on décrit l'« action du système $\;\color {transparent}{(\Sigma _{k})}\;$ sur $\;\color {transparent}{M}\;$» cette force dépend « des vitesses de $\;M\;$ et des éléments constitutifs de $\;(\Sigma _{k})\;$ on décrit l'« action du système $\;\color {transparent}{(\Sigma _{k})}\;$ sur $\;\color {transparent}{M}\;$» cette force dépend « des vitesses dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$».
En conclusion, les causes de modification de la grandeur cinétique « quantité de mouvement $\;{\vec {p}}_{M}(t)\;$» d'un point matériel $\;M\;$ sont En conclusion, les causes de modification « les forces $\;{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\;$ ${\big$notées plus simplement $\;{\vec {F}}_{k}{\big ]}\;$ appliquées au point $\;M\;$», de norme exprimée en $\;N$.
Propriétés : On postule, en « dynamique newtonienne », que «$\;{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\;$ est invariant par changement de référentiel » ; Propriétés : une conséquence est que «$\;{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\;$ dépend de la position relative de $\;M\;$ par rapport aux éléments constitutifs de $\;(\Sigma _{k})\;$» et, Propriétés : une conséquence est si «$\;{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\;$ dépend des vitesses de $\;M\;$ et de celles des éléments constitutifs de $\;(\Sigma _{k})\;$», il s'agit en fait Propriétés : une conséquence est si «$\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}}\;$ dépend de la « vitesse relative de $\;M\;$ par rapport aux éléments constitutifs de $\;(\Sigma _{k})\;$».
Propriétés : On admet l'« additivité des vecteurs forces » dans la mesure où « les auteurs de ces derniers sont disjoints » ; Propriétés : ainsi pour faire le « bilan des forces agissant sur $\;M\;$», on recherche les « différents systèmes $\;(\Sigma _{k})\;$ disjoints » et Propriétés : ainsi « si chaque système $\;(\Sigma _{k})$, pris isolément, exerce une force $\;{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\;$ sur $\;M\;$», on postule que Propriétés : ainsi l'« action simultanée de l'ensemble des systèmes $\;(\Sigma _{k})\;$ est modélisée le vecteur force $\;{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,\cup \,(\Sigma _{k})}=\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\;$».
Rappel : Parmi les systèmes $\;(\Sigma _{k})\;$ ayant une action sur $\;M$, il y a : $\succ \;$ceux en contact avec $\;M\;$ qui exercent des forces de contact et Rappel : Parmi les systèmes $\;\color {transparent}{(\Sigma _{k})}\;$ ayant une action sur $\;\color {transparent}{M}$, il y a : $\succ \;$ceux séparés de $\;M\;$ par de l'espace qui exercent des forces à distance$^,$.

### Principe fondamental de la dynamique ou « p.f.d. »
#### Énoncé du « p.f.d. »

$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;1680\;$
$\;{\mathcal {R}}$
$\;M\;$
$\;{\vec {p}}_{M}(t)\;$
$\;t$
$\;{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\;$
${\big$
$\;{\vec {F}}_{k}{\big )}$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}={\dfrac {d{\vec {p}}_{M}}{dt}}(t)\;$
${\bigg$
$\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{k}={\dfrac {d{\vec {p}}_{M}}{dt}}(t){\bigg ]}\;$

#### Commentaires sur le « p.f.d. »

Un point matériel modélise un solide dont la position est repérée à l'aide de trois paramètres $\;{\big$les coordonnées du point${\big )}$ ; Un point matériel modélise un solide se confondra avec un point matériel si on peut négliger ses dimensions propres par rapport aux autres dimensions intervenant dans le repérage $\;{\big$exemple : la Terre dans son repérage par rapport au système solaire est un point matériel, mais la Terre par rapport à un satellite artificiel ne l'est, bien sûr, pas${\big )}$.
Symboliquement la relation fondamentale de la dynamique ou « r.f.d. » peut s'écrire, dans tout référentiel galiléen, selon
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\underline {\text{la cause}}}\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{k}\;{\underline {\text{de modification}}}{\text{ de la}}\\{\text{grandeur cinétique vectorielle}}\;{\vec {p}}_{M}(t)\end{array}}\right\rbrace =\left\lbrace {\begin{array}{c}{\underline {\text{la dérivée temporelle}}}\;{\dfrac {d}{dt}}\;{\text{de cette}}\\{\text{grandeur cinétique vectorielle}}\;{\vec {p}}_{M}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$

#### Autre forme de la relation fondamentale spécifique à la dynamique newtonienne, la « r.f.d.n. »

Préliminaire : Pour obtenir un lien entre forces appliquées $\;{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\;$ et cinématique du point matériel $\;M$, il convient de Préliminaire : Pour obtenir un lien remplacer le vecteur quantité de mouvement $\;{\vec {p}}_{M}(t)\;$ du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ par son expression Préliminaire : Pour obtenir un lien remplacer le vecteur quantité de mouvement en fonction de son inertie $\;{\big$c.-à-d. la masse $\;{\big$inerte${\big )}$ $\;m\;$ de ce dernier${\big ]}\;$ et Préliminaire : Pour obtenir un lien remplacer le vecteur quantité de mouvement en fonction de sa vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ au même instant $\;t$, Préliminaire : Pour obtenir un lien remplacer expression s'écrivant $\succ \;$en cinétique newtonienne «$\;{\vec {p}}_{M}(t)=m\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$» et Préliminaire : Pour obtenir un lien remplacer expression s'écrivant $\succ \;$en cinétique relativiste «$\;{\vec {p}}_{M}(t)=\gamma _{M}(t)\;m\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$» avec «$\;\gamma _{M}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert }^{2}}{c^{2}}}}}}\;$ le facteur de Lorentz associé » Préliminaire : Pour obtenir un lien remplacer expression s'écrivant $\color {transparent}{\succ }\;$en cinétique relativiste ou «$\;{\vec {p}}_{M}(t)=m_{\text{app}}(t)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$» avec «$\;m_{\text{app}}(t)=\gamma _{M}(t)\;m\;$ la masse apparente associée » ;
Préliminaire : si la dérivée temporelle du vecteur quantité de mouvement ne pose aucun problème en cinétique newtonienne, la masse $\;{\big$inerte${\big )}$ $\;m\;$ du point étant constante, Préliminaire : si la dérivée temporelle du vecteur quantité de mouvement ne pose aucun problème il n'en est pas de même en cinétique relativiste car la « masse apparente $\;m_{\text{app}}(t)=\gamma _{M}(t)\;m\;$» Préliminaire : si la dérivée temporelle du vecteur quantité de mouvement ne pose aucun problème il n'en est pas de même en cinétique relativiste car la « masse apparente ne l'est a priori pas $\;\ldots$
En cinétique newtonienne, «$\;{\dfrac {d{\vec {p}}_{M}}{dt}}(t)={\dfrac {d\left[m\;{\vec {V}}_{M}\right]}{dt}}(t)=m\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{M}}{dt}}(t)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$» avec «$\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ le vecteur accélération du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$».
$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;{\big$
${\big )}\;$
$\;M\;$
$\;{\big$
${\big )}$
$\;m$
$\;t\;$
$\;{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\;$
${\big$
$\;{\vec {F}}_{k}{\big )}$
$\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$
$\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$
$\;M\;$
$\;t\;$
${\bigg$
$\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{k}=m\;{\vec {a}}_{M}(t){\bigg ]}\;$

#### Commentaires sur la « r.f.d.n. »

Symboliquement la relation fondamentale de la dynamique newtonienne ou « r.f.d.n. » peut être écrite, dans tout référentiel galiléen, selon
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\underline {\text{la cause}}}\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{k}\;{\underline {\text{de modification}}}{\text{ de la}}\\{\text{grandeur cinématique vectorielle}}\;{\vec {V}}_{M}(t)\end{array}}\right\rbrace =\left\lbrace {\begin{array}{c}{\text{la grandeur d'inertie}}\\{\text{scalaire}}\;m\end{array}}\right\rbrace \times \left\lbrace {\begin{array}{c}{\underline {\text{la dérivée temporelle}}}\;{\dfrac {d}{dt}}\;{\text{de cette}}\\{\text{grandeur cinématique vectorielle}}\;{\vec {V}}_{M}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$

#### Nécessité d'utiliser la cinétique en dynamique relativiste, la cinématique rendant la « r.f.d. » inutilisable en pratique à l'exception du cas des mouvements uniformes

En dynamique relativiste si on tente de chercher le lien entre forces appliquées $\;{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\;$ et cinématique du point matériel $\;M$, « il faut dériver temporellement l'expression du vecteur quantité de mouvement $\;{\vec {p}}_{M}(t)\;$ du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ soit $\;{\dfrac {d{\vec {p}}_{M}}{dt}}(t)={\dfrac {d\left[\gamma _{M}\;m\;{\vec {V}}_{M}\right]}{dt}}(t)\;$» dans laquelle «$\;\gamma _{M}(t)\;$ est le facteur de Lorentz associé égal à $\;\gamma _{M}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert }^{2}}{c^{2}}}}}}\;$» d'où «$\;{\dfrac {d{\vec {p}}_{M}}{dt}}(t)$ $={\dfrac {d\gamma _{M}}{dt}}(t)\;m\;{\vec {V}}_{M}(t)+\gamma _{M}(t)\;m\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{M}}{dt}}(t)\;$» dont le dernier terme «$\;\gamma _{M}(t)\;m\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{M}}{dt}}(t)\;$ s'écrit $\;m_{\text{app}}(t)\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$» avec «$\;m_{\text{app}}(t)=\gamma _{M}(t)\;m\;$ la masse apparente du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$» et «$\;{\vec {a}}_{M}(t)$ $={\dfrac {d{\vec {V}}_{M}}{dt}}(t)\;$ son vecteur accélération » ; ainsi on obtient En dynamique relativiste «$\;{\vec {p}}_{M}(t)-m_{\text{app}}(t)\;{\vec {a}}_{M}(t)={\dfrac {d\gamma _{M}}{dt}}(t)\;m\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$» a priori non identiquement nul sauf dans le cas particulier où $\;\gamma _{M}\;$ serait constant c.-à-d. dans le cas d'un mouvement uniforme sur la trajectoire suivie par le point $\;M\;\ldots$
Réécriture de la r.f.d. en dynamique relativiste : Dans un référentiel galiléen la somme des forces appliquées à un point matériel $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ Réécriture de la r.f.d. en dynamique relativiste : Dans un référentiel galiléen la somme des forces est liée à la cinématique de ce dernier par la relation Réécriture de la r.f.d. en dynamique relativiste : Dans un référentiel galiléen «$\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}=m_{\text{app}}(t)\;{\vec {a}}_{M}(t)+{\dfrac {d\gamma _{M}}{dt}}(t)\;m\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$» dans laquelle Réécriture de la r.f.d. en dynamique relativiste : Dans un référentiel galiléen $\succ \;$«$\;m_{\text{app}}(t)=\gamma _{M}(t)\;m={\dfrac {m}{\sqrt {1-{\dfrac {{\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert }^{2}}{c^{2}}}}}}\;$ est la masse apparente du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$» et Réécriture de la r.f.d. en dynamique relativiste : Dans un référentiel galiléen $\succ \;$«$\;{\dfrac {d\gamma _{M}}{dt}}(t)={\dfrac {d\gamma _{M}}{d\left[{\Vert {\vec {V}}_{M}\Vert }^{2}\right]}}\;{\dfrac {d\left[{\vec {V}}_{M}^{2}\right]}{dt}}(t)={\dfrac {-1}{2}}\;{\dfrac {\dfrac {-1}{c^{2}}}{\left[1-{\dfrac {{\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert }^{2}}{c^{2}}}\right]^{\frac {3}{2}}}}\;2\,{\vec {V}}_{M}(t)\cdot {\dfrac {d{\vec {V}}_{M}}{dt}}(t)$ Réécriture de la r.f.d. en dynamique relativiste : Dans un référentiel galiléen $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{{\dfrac {d\gamma _{M}}{dt}}(t)}$ $={\dfrac {\gamma _{M}^{3}(t)}{c^{2}}}\;{\vec {V}}_{M}(t)\cdot {\vec {a}}_{M}(t)\;$» que l'on peut écrire, en utilisant le repérage de Frenet$^,$, Réécriture de la r.f.d. en dynamique relativiste : Dans un référentiel galiléen $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;{\dfrac {d\gamma _{M}}{dt}}(t)={\dfrac {\gamma _{M}^{3}(t)}{c^{2}}}\;v_{M}(t)\;a_{\tau ,\,M}(t)\;$» où Réécriture de la r.f.d. en dynamique relativiste : Dans un référentiel galiléen $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{{\dfrac {d\gamma _{M}}{dt}}(t)=}$ «$\;v_{M}(t)\;$ est la vitesse instantanée à l'instant $\;t\;$ du point $\;M\;$ sur sa trajectoire » et Réécriture de la r.f.d. en dynamique relativiste : Dans un référentiel galiléen $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{{\dfrac {d\gamma _{M}}{dt}}(t)=}$ «$\;a_{\tau ,\,M}(t)={\dot {v}}_{M}(t)\;$ l'accélération tangentielle de ce dernier » ;
Réécriture de la r.f.d. en dynamique relativiste : finalement la r.f.d.r. en terme cinématique s'écrirait Réécriture de la r.f.d. en dynamique relativiste : finalement la r.f.d.r. «$\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}=m_{\text{app}}(t)\;{\vec {a}}_{M}(t)+{\dfrac {\gamma _{M}^{2}(t)\;v_{M}(t)\;a_{\tau ,\,M}(t)}{c^{2}}}\;m_{\text{app}}(t)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$» $\Rightarrow$ en dynamique relativiste Réécriture de la r.f.d. en dynamique relativiste : finalement la r.f.d.r. « le vecteur accélération$\;{\vec {a}}_{M}(t)={\dfrac {d{\vec {V}}_{M}}{dt}}(t)\;$est a priori non colinéaire à la somme$\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\;$des forces appliquées », ceci rendant la cinématique relativiste inintéressante relativement à la cinétique relativiste dans la mesure « la dérivée temporelle du vecteur quantité de mouvement$\;{\dfrac {d{\vec {p}}_{M}}{dt}}(t)\;$est, quant à elle, colinéaire à la somme$\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\;$des forces appliquées » $\;\ldots$
Réécriture de la r.f.d. en dynamique relativiste dans le cas d'un mouvement uniforme : Dans un référentiel galiléen la somme des forces appliquées à un point matériel $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$dont le mouvement est uniforme est liée à la cinématique de ce dernier par la relation «$\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}=m_{\text{app}}\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$», $\;{\Bigg \\!$« la masse apparente $\;m_{\text{app}}=\gamma _{M}\;m={\dfrac {m}{\sqrt {1-{\dfrac {{\Vert {\vec {V}}_{M}\Vert }^{2}}{c^{2}}}}}}\;$ étant, dans le cas d'un mouvement uniforme, une constante »${\Bigg \}$.
Réécriture de la r.f.d. en dynamique relativiste dans le cas d'un mouvement uniforme : Symboliquement la relation fondamentale de la dynamique relativiste ou « r.f.d.r. » du point matériel en mouvement uniforme de vitesse $\;\Vert {\vec {V}}_{M}\Vert \;$ et de masse apparente $\;m_{\text{app}}=\gamma _{M}\;m={\dfrac {m}{\sqrt {1-{\dfrac {{\Vert {\vec {V}}_{M}\Vert }^{2}}{c^{2}}}}}}\;$ peut être écrite, dans tout référentiel galiléen, selon
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\underline {\text{la cause}}}\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{k}\;{\underline {\text{de modification}}}{\text{ de la}}\\{\text{grandeur cinématique vectorielle}}\;{\vec {V}}_{M}(t)\end{array}}\right\rbrace =\left\lbrace {\begin{array}{c}{\text{la grandeur d'inertie}}\\{\text{scalaire}}\;m_{\text{app}}=\gamma _{M}\;m\end{array}}\right\rbrace \times \left\lbrace {\begin{array}{c}{\underline {\text{la dérivée temporelle}}}\;{\dfrac {d}{dt}}\;{\text{de cette}}\\{\text{grandeur cinématique vectorielle}}\;{\vec {V}}_{M}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$

### Utilisation de la « r.f.d.n. »

Le problème le plus fréquent est la recherche du mouvement du point matériel connaissant les forces s'exerçant sur lui ;
comme $\;{\vec {a}}_{M}(t)={\dfrac {d^{2}{\overrightarrow {OM}}}{dt^{2}}}(t)$, l'« application de la r.f.d.n. $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {d^{2}{\overrightarrow {OM}}}{dt^{2}}}(t)={\dfrac {\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}}{m}}\;$» c.-à-d. une « équation différentielle$\;{\big$en général non linéaire${\big )}\;$du 2ème ordre en $\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;$».
Nous admettrons que « si on se donne la position et la vitesse initiales $\;{\overrightarrow {OM}}_{0}\;$ et $\;{\vec {V}}_{0}=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}\right]_{0}\;$», la solution de l'équation différentielle du 2ème ordre en $\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;$ existe et est unique.

### Retour sur la recherche de référentiels galiléens

Le p.f.d. postule l'« existence d'un référentiel galiléen où la r.f.d. s'applique » ; il s’agit donc de « trouver le référentiel galiléen pour un problème posé » et en pratique cela dépend du problème ;
nous avons déjà passé en revue quelques référentiels galiléens dans lesquels le principe de l'inertie peut être appliqué, en sachant que tout référentiel en translation rectiligne uniforme par rapport à un galiléen est lui-même galiléen et la conclusion a été :
* le meilleur est le « référentiel de Copernic », restant galiléen sur une échelle de temps inférieure à celle de l'Humanité$^,$,
* pour une durée d'expérience ne dépassant pas trois jours, le « référentiel géocentrique » est estimé meilleur galiléen car son mouvement de translation circulaire quasi uniforme relativement au référentiel de Copernic peut être assimilé à un mouvement de translation rectiligne uniforme à $\;1\,\%\;$ près,
* pour une durée d'expérience ne dépassant pas $\;15\;min$, le « référentiel terrestre » est estimé meilleur galiléen car son mouvement de rotation uniforme relativement au référentiel géocentrique peut être assimilé à un mouvement local de translation rectiligne uniforme à $\;1\,\%\;$ près.

## Théorème de la résultante cinétique d'un système fermé de points matériels

Commentaire préliminaire : avec une construction « minimaliste » de la dynamique des systèmes fermés de points matériels, Commentaire préliminaire : avec une construction « minimaliste » la « loi énoncée dans le sous-paragraphe suivant » et s'appliquant à un système fermé de points matériels est appelée Commentaire préliminaire : avec une construction « minimaliste » la « théorème de la résultante cinétique » car elle est démontrée en appliquant le p.f.d. à chaque point matériel du système et Commentaire préliminaire : avec une construction « minimaliste » la « théorème de la résultante cinétique » car elle est démontrée en utilisant le principe des actions réciproques ; Commentaire préliminaire : toutefois il existe une construction « maximaliste » de la dynamique des systèmes fermés de points matériels dans laquelle Commentaire préliminaire : toutefois il existe une construction « maximaliste » la « loi énoncée dans le sous-paragraphe suivant » et s'appliquant à un système fermé de points matériels Commentaire préliminaire : toutefois il existe une construction « maximaliste » la « loi est admise, cette dernière devant alors être appelée Commentaire préliminaire : toutefois il existe une construction « maximaliste » la « principe fondamental de la dynamique des systèmes fermés de points matériels ».

### Énoncé

$\;{\mathcal {R}}$
$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}\;$
$\;t\;$
$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$
$\;t\;$
$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}={\dfrac {d{\vec {P}}_{\text{syst}}}{dt}}(t)\;$
Commentaires : l'ensemble de ces commentaires concerne aussi bien la dynamique newtonienne que la dynamique relativiste ; Commentaires : ce théorème peut s'appliquer à un système fermé $\;{\big$déformable ou non${\big )}\;$ de points matériels mais $\;\ldots$ Commentaires : il n'est pas applicable à un système ouvert de points matériels défini à l'instant $\;t\;$ comme le contenu intérieur à la surface de contrôle $\;(\Sigma )\;$ car, Commentaires : il n'est pas applicable à un système ouvert si « la résultante cinétique à l'instant $\;t\;$ du système ouvert $\;({\mathcal {S}})_{t}\;$ intérieur à $\;(\Sigma )\;$ notée $\;{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})_{t}}(t)\;$» est effectivement Commentaires : il n'est pas applicable à un système ouvert si « la somme des quantités de mouvement des points matériels qui sont présents dans $\;(\Sigma )\;$ à cet instant $\;t\;$», Commentaires : il n'est pas applicable à un système ouvert la grandeur $\;{\dfrac {d{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})_{t}}}{dt}}(t)=\lim \limits _{\delta t\,\rightarrow \,0}{\dfrac {{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})_{t}}(t+\delta t)-{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})_{t}}(t)}{\delta t}}\;$ ne traduit que la variation entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t\;$ de la somme des quantités de mouvement des points matériels présents dans $\;(\Sigma )\;$ à l'instant $\;t\;$ sans tenir compte des points matériels entrant ou sortant sur l'intervalle $\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]$ ; Commentaires : il n'est pas applicable à un système ouvert « la variation entre $\;t\;$ et $\;t+\delta t\;$ de la résultante cinétique du système ouvert devant être traduite selon $\;\lim \limits _{\delta t\,\rightarrow \,0}{\dfrac {{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})_{t+\delta t}}(t+\delta t)-{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})_{t}}(t)}{\delta t}}\;$» Commentaires : il n'est pas applicable à un système ouvert dans laquelle «$\;{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})_{t+\delta t}}(t+\delta t)={\vec {P}}_{({\mathcal {S}})_{t}}(t+\delta t)+\delta {\vec {P}}_{{\text{entrant sur}}\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]}-\delta {\vec {P}}_{{\text{sortant sur}}\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\;$» d'où Commentaires : il n'est pas applicable à un système ouvert «$\;\lim \limits _{\delta t\,\rightarrow \,0}{\dfrac {{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})_{t+\delta t}}(t+\delta t)-{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})_{t}}(t)}{\delta t}}=\lim \limits _{\delta t\,\rightarrow \,0}{\dfrac {{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})_{t}}(t+\delta t)-{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})_{t}}(t)}{\delta t}}+\lim \limits _{\delta t\,\rightarrow \,0}{\dfrac {\delta {\vec {P}}_{{\text{entrant sur}}\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]}}{\delta t}}-\lim \limits _{\delta t\,\rightarrow \,0}{\dfrac {\delta {\vec {P}}_{{\text{sortant sur}}\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]}}{\delta t}}\;$ Commentaires : il n'est pas applicable à un système ouvert «$\;\color {transparent}{\lim \limits _{\delta t\,\rightarrow \,0}{\dfrac {{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})_{t+\delta t}}(t+\delta t)-{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})_{t}}(t)}{\delta t}}}$ $={\dfrac {d{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})_{t}}}{dt}}(t)+\lim \limits _{\delta t\,\rightarrow \,0}{\dfrac {\delta {\vec {P}}_{{\text{entrant sur}}\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]}}{\delta t}}-\lim \limits _{\delta t\,\rightarrow \,0}{\dfrac {\delta {\vec {P}}_{{\text{sortant sur}}\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]}}{\delta t}}\;$», les 2ème et 3ème termes définissant les débits de quantités de mouvement entrant et sortant $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}D{\vec {P}}_{{\text{entrant à}}\;t}=\lim \limits _{\delta t\,\rightarrow \,0}{\dfrac {\delta {\vec {P}}_{{\text{entrant sur}}\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]}}{\delta t}}\\D{\vec {P}}_{{\text{sortant à}}\;t}=\lim \limits _{\delta t\,\rightarrow \,0}{\dfrac {\delta {\vec {P}}_{{\text{sortant sur}}\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]}}{\delta t}}\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ Commentaires : il n'est pas applicable à un système ouvert le taux horaire de variation de la résultante cinétique du système ouvert défini à la date $\;t\;$ est donc Commentaires : il n'est pas applicable à un système ouvert le taux horaire de variation de la résultante cinétique du système ouvert défini à la date $\;\color {transparent}{t}\;$ «$\;{\dfrac {d{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})_{t}}}{dt}}(t)+D{\vec {P}}_{{\text{entrant à}}\;t}-D{\vec {P}}_{{\text{sortant à}}\;t}\;$» Commentaires : il n'est pas applicable à un système ouvert le taux horaire de variation de la résultante cinétique du système ouvert défini à la date $\;\color {transparent}{t}\;$ et non $\;{\dfrac {d{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})_{t}}}{dt}}(t)$.

### Démonstration

Le référentiel d'étude étant galiléen, on peut appliquer à chaque point matériel $\;M_{i}\;$ du système fermé de points matériels la r.f.d. soit «$\;{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}+\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,n}^{j\,\neq \,i}F_{M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}={\dfrac {d{\vec {p}}_{M_{i}}}{dt}}(t)\;$» et Le référentiel d'étude étant galiléen, on peut faire la somme de ces $\;n\;$ relations ce qui donne «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,n}\left({\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}+\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,n}^{j\,\neq \,i}F_{M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}\right)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,n}{\dfrac {d{\vec {p}}_{M_{i}}}{dt}}(t)\;$» ou Le référentiel d'étude étant galiléen, on peut faire la somme de ces $\;\color {transparent}{n}\;$ relations ce qui donne «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,n}{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,n}\left(\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,n}^{j\,\neq \,i}F_{M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}\right)={\dfrac {d\left(\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,n}{\vec {p}}_{M_{i}}\right)}{dt}}(t)\;$»,
Le référentiel d'étude étant galiléen, $\succ \;$le 1er terme du 1er membre étant la « résultante dynamique $\;{\vec {F}}_{\text{ext}}\;$ s'exerçant sur le système fermé de points matériels », Le référentiel d'étude étant galiléen, $\succ \;$le 2ème terme du 1er membre, la « résultante des forces intérieures $\;{\vec {F}}_{\text{int}}\;$ exercées sur tout le système, résultante nulle en toute circonstance soit $\;{\vec {F}}_{\text{int}}={\vec {0}}\;$», Le référentiel d'étude étant galiléen, $\succ \;$le 2nd membre, la « dérivée temporelle de la résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$ du système fermé de points matériels soit $\;{\dfrac {d{\vec {P}}_{\text{syst}}}{dt}}(t)\;$» d'où  Le référentiel d'étude étant galiléen, pour un système fermé de points matériels dans un référentiel galiléen, «$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}+{\vec {0}}={\dfrac {d{\vec {P}}_{\text{syst}}}{dt}}(t)\;$» ou Le référentiel d'étude étant galiléen, pour un système fermé de points matériels dans un référentiel galiléen, «$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}={\dfrac {d{\vec {P}}_{\text{syst}}}{dt}}(t)\;$» C.Q.F.D., applicable en dynamique newtonienne ou relativiste.

### En complément, inapplicabilité du théorème de la résultante cinétique à un système ouvert de points matériels

Le référentiel d'étude étant galiléen, on peut appliquer à chaque point matériel $\;M_{i}\;$ du système ouvert de points matériels défini, à l'instant $\;t$, comme le contenu intérieur de la surface de contrôle $\;(\Sigma )$, Le référentiel d'étude étant galiléen, on peut appliquer la r.f.d. soit «$\;{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}+\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,n}^{j\,\neq \,i}F_{M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}={\dfrac {d{\vec {p}}_{M_{i}}}{dt}}(t)\;$» et Le référentiel d'étude étant galiléen, on peut faire la somme de ces $\;n\;$ relations ce qui donne «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,n}\left({\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}+\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,n}^{j\,\neq \,i}F_{M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}\right)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,n}{\dfrac {d{\vec {p}}_{M_{i}}}{dt}}(t)\;$» ou Le référentiel d'étude étant galiléen, on peut faire la somme de ces $\;\color {transparent}{n}\;$ relations ce qui donne «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,n}{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,n}\left(\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,n}^{j\,\neq \,i}F_{M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}\right)={\dfrac {d\left(\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,n}{\vec {p}}_{M_{i}}\right)}{dt}}(t)\;$»,
Le référentiel d'étude étant galiléen, $\succ \;$le 1er terme du 1er membre étant la « résultante dynamique $\;{\vec {F}}_{({\text{ext}})_{t}}\;$ s'exerçant sur le système ouvert de points matériels défini à l'instant $\;t\;$», Le référentiel d'étude étant galiléen, $\succ \;$le 2ème terme du 1er membre, la « résultante des forces intérieures $\;{\vec {F}}_{\text{int}}\;$ exercées sur tout le système ouvert de points matériels défini à l'instant $\;t\;$», Le référentiel d'étude étant galiléen, $\color {transparent}{\succ }\;$le 2ème terme du 1er membre, la « résultante dont on a établi la nullité soit $\;{\vec {F}}_{\text{int}}(t)={\vec {0}}\;$» et Le référentiel d'étude étant galiléen, $\succ \;$le 2nd membre, la « dérivée temporelle de la résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{({\text{syst}})_{t}}(t)\;$ du système constitué des points matériels initialement présents à l'instant $\;t\;$» soit Le référentiel d'étude étant galiléen, $\color {transparent}{\succ }\;$le 2nd membre, la «$\;{\dfrac {d{\vec {P}}_{({\text{syst}})_{t}}}{dt}}(t)\;$» $\neq$ « du taux horaire de variation de la résultante cinétique du système ouvert défini à l'instant $\;t\;$ égal à Le référentiel d'étude étant galiléen, $\color {transparent}{\succ }\;$le 2nd membre, la «$\;\color {transparent}{{\dfrac {d{\vec {P}}_{({\text{syst}})_{t}}}{dt}}(t)}\;$» $\color {transparent}{\neq }$ « $\;{\dfrac {d{\vec {P}}_{({\text{syst}})_{t}}}{dt}}(t)+D{\vec {P}}_{{\text{entrant à}}\;t}-D{\vec {P}}_{{\text{sortant à}}\;t}\;$» et que l'on notera «$\;{\dfrac {\delta {\vec {P}}_{({\text{syst ouv}})_{t}}}{\delta t}}(t)\;$» d'où Le référentiel d'étude étant galiléen, pour un système ouvert de points matériels défini, à l'instant $\;t$, comme le contenu intérieur de la surface de contrôle $\;(\Sigma )$, «$\;{\vec {F}}_{({\text{ext}})_{t}}+{\vec {0}}={\dfrac {d{\vec {P}}_{({\text{syst}})_{t}}}{dt}}(t)\;$» ou Le référentiel d'étude étant galiléen, pour un système ouvert en « ajoutant dans chaque membre $D{\vec {P}}_{{\text{entrant à}}\;t}-D{\vec {P}}_{{\text{sortant à}}\;t}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\vec {F}}_{({\text{ext}})_{t}}+D{\vec {P}}_{{\text{entrant à}}\;t}-D{\vec {P}}_{{\text{sortant à}}\;t}={\dfrac {\delta {\vec {P}}_{({\text{syst ouv}})_{t}}}{\delta t}}(t)\;$».
En conclusion, dans un référentiel galiléen, « le taux horaire de variation de la résultante cinétique d'un système ouvert défini à l'instant $\;t\;$ comme le contenu intérieur à $\;(\Sigma )\;$ c.-à-d. $\;{\dfrac {\delta {\vec {P}}_{({\text{syst ouv}})_{t}}}{\delta t}}(t)\;$» En conclusion, dans un référentiel galiléen, « le taux horaire de variation de la résultante cinétique d'un système ouvert diffère de « la résultante dynamique $\;{\vec {F}}_{({\text{ext}})_{t}}\;$ exercée sur le système ouvert » soit En conclusion, dans un référentiel galiléen, «$\;{\dfrac {\delta {\vec {P}}_{({\text{syst ouv}})_{t}}}{\delta t}}(t)\neq {\vec {F}}_{({\text{ext}})_{t}}\;$» $\;{\big$le théorème de la résultante cinétique est donc inapplicable à un système ouvert en dynamique newtonienne ou relativiste${\big )}$ ;
En conclusion, en réalité, la relation à appliquer doit être «$\;{\dfrac {\delta {\vec {P}}_{({\text{syst ouv}})_{t}}}{\delta t}}(t)={\vec {F}}_{({\text{ext}})_{t}}+D{\vec {P}}_{{\text{entrant à}}\;t}-D{\vec {P}}_{{\text{sortant à}}\;t}\;$» dans laquelle «$\;D{\vec {P}}_{{\text{entrant à}}\;t}\;$ et $\;D{\vec {P}}_{{\text{sortant à}}\;t}\;$ sont respectivement le débit de quantités de mouvement des points matériels entrant et sortant à l'instant $\;t\;$», relation applicable sous cette forme en dynamique newtonienne ou relativiste.

### Conséquence sur les systèmes fermés de points matériels « pseudo-isolés » : conservation de leur résultante cinétique

Si le système fermé de points matériels $\;({\mathcal {S}})\;$ est « pseudo isolé » c.-à-d. si la résultante dynamique appliquée au système est telle que «$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}={\vec {0}}\;$», Si le système fermé de points matériels $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ est « pseudo isolé » l'application du théorème de la résultante cinétique au système fermé $\;({\mathcal {S}})\;$ dans un référentiel galiléen implique «$\;{\dfrac {d{\vec {P}}_{\text{syst}}}{dt}}(t)={\vec {0}}\;$» soit, Si le système fermé de points matériels $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ est « pseudo isolé » après intégration par rapport au temps $\;t$, «$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)={\overrightarrow {\text{cste}}}\;$» c.-à-d. Si le système fermé de points matériels $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ est « pseudo isolé » « la conservation de la résultante cinétique du système fermé pseudo-isolé » «$\;{\vec {P}}_{\text{syst fermé pseudo-isolé}}(t)={\overrightarrow {\text{cste}}}\;\;\forall \;t\;$» ; Si le système fermé de points matériels $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ est « pseudo isolé » cette conclusion est applicable en dynamique newtonienne ou relativiste.
Remarque$\;{\big$en complément${\big )}$ : Dans la mesure où un système ouvert de points matériels défini comme le contenu intérieur, à l'instant $\;t$, de la surface de contrôle $\;(\Sigma )\;$ serait « pseudo isolé », quelle conclusion sur la cinétique du système pourrait-on en tirer dans un référentiel galiléen dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste ?
Remarque$\;\color {transparent}{\big$en complément$\color {transparent}{\big )}$ : Si un tel système « pseudo isolé ouvert » existait nous en déduirions que le « taux horaire de variation de sa résultante cinétique c.-à-d. $\;{\dfrac {\delta {\vec {P}}_{({\text{syst ouv}})_{t}}}{\delta t}}(t)\;$ suit la relation Remarque$\;\color {transparent}{\big$en complément$\color {transparent}{\big )}$ : Su un tel système « pseudo isolé ouvert » existait nous en déduirions que le «$\;{\dfrac {\delta {\vec {P}}_{({\text{syst ouv}})_{t}}}{\delta t}}(t)={\cancel {{\vec {F}}_{({\text{ext}})_{t}}+}}\;D{\vec {P}}_{{\text{entrant à}}\;t}-D{\vec {P}}_{{\text{sortant à}}\;t}\;$» c.-à-d. Remarque$\;\color {transparent}{\big$en complément$\color {transparent}{\big )}$ : Si un tel système « pseudo isolé ouvert » existait nous en déduirions que la seule cause de variation de résultante cinétique du système ouvert pseudo-isolé serait l'apport $\;{\big$et le retrait${\big )}\;$ de quantités de mouvement des points matériels entrant dans le système ouvert $\;{\big$et en sortant${\big )}\;$ et Remarque$\;\color {transparent}{\big$en complément$\color {transparent}{\big )}$ : Si un tel système « pseudo isolé ouvert » existait nous en déduirions que la résultante cinétique du système ouvert pseudo-isolé resterait constante si les débits de quantités de mouvement des points matériels entrant et sortant à l'instant $\;t\;$ étaient identiquement les mêmes mais $\;\ldots \;$ on rappelle qu'en pratique un système pseudo-isolé ne peut qu'être fermé !

## Théorème du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels

Commentaire préliminaire : avec une construction « minimaliste » ou « maximaliste » de la dynamique des systèmes fermés de points matériels, Commentaire préliminaire : avec une construction « minimaliste » ou « maximaliste » la « loi énoncée dans le sous-paragraphe suivant » applicable, dans le cadre de la dynamique newtonienne, Commentaire préliminaire : avec une construction « minimaliste » ou « maximaliste » la « loi énoncée dans le sous-paragraphe suivant » applicable, à un système fermé de points matériels est appelée Commentaire préliminaire : avec une construction « minimaliste » ou « maximaliste » la « théorème du mouvement du centre d'inertie » car elle est démontrée à partir Commentaire préliminaire : avec une construction « minimaliste » ou « maximaliste » la « loi énoncée du « théorème de la résultante cinétique » $\;{\big$avec une construction « minimaliste »${\big )}\;$ ou Commentaire préliminaire : avec une construction « minimaliste » ou « maximaliste » la « loi énoncée du « principe fondamental de la dynamique des systèmes fermés de points matériels » Commentaire préliminaire : avec une construction « minimaliste » ou « maximaliste » la « loi énoncée du « principe fondamental de la dynamique$\;{\big$avec une construction « maximaliste »${\big )}\;$ mais, Commentaire préliminaire : avec une construction « minimaliste » ou « maximaliste » la « loi énoncée dans le sous-paragraphe suivant » Commentaire préliminaire : avec une construction « minimaliste » ou « maximaliste » « la loi énoncée étant une conséquence démontrée d'un théorème $\;{\big$avec une construction « minimaliste »${\big )}\;$ ou Commentaire préliminaire : avec une construction « minimaliste » ou « maximaliste » « la loi énoncée étant une conséquence démontrée d'un principe $\;{\big$avec une construction « maximaliste »${\big )}\;$, Commentaire préliminaire : avec une construction « minimaliste » ou « maximaliste » « la loi énoncée étant une conséquence démontrée c'est effectivement un théorème.

### Énoncé du théorème (dynamique newtonienne)

$\;{\mathcal {R}}\;$
$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\;$
$\;t\;$
$\;{\big$
${\big )}$
$\;m_{\text{syst}}\;$
$\;{\vec {a}}_{G_{\text{syst}}}(t)\;$
$\;G_{\text{syst}}\;$
$\;t\;$
$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {a}}_{G_{\text{syst}}}(t)\;$
Commentaires : ce théorème s'applique exclusivement, en dynamique newtonienne, à un système fermé $\;{\big$déformable ou non${\big )}\;$ de points matériels $\;\ldots$ Commentaires : il n'est pas applicable, en dynamique newtonienne, à un système ouvert de points matériels défini à l'instant $\;t\;$ comme le contenu intérieur à la surface de contrôle $\;(\Sigma )\;$ car, Commentaires : il n'est pas applicable, en dynamique newtonienne, à un système ouvert le théorème de la résultante cinétique à partir duquel il pourrait être démontré «$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)={\dfrac {d{\vec {P}}_{\text{syst}}}{dt}}(t)\;$» Commentaires : il n'est pas applicable, en dynamique newtonienne, à un système ouvert le théorème de la résultante cinétique ne s'applique pas à un système ouvert $\;\ldots$

### Démonstration

Cela découle de l'application, dans le référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}$, du théorème de la résultante cinétique au système fermé de points matériels soumis, à l'instant $\;t$, à la résultante dynamique $\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\;$ soit Cela découle de l'application, dans le référentiel galiléen $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}$, «$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)={\dfrac {d{\vec {P}}_{\text{syst}}}{dt}}(t)\;$» dans lequel «$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$ est la résultante cinétique du système au même instant $\;t\;$» et Cela découle de la propriété liant, en cinétique newtonienne, « la résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)$, la masse ${\big$inerte${\big )}$ $\;m_{\text{syst}}\;$ et le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{G_{\text{syst}}}(t)\;$ du C.D.I. du système » c.-à-d. Cela découle de la propriété liant, en cinétique newtonienne, «$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G_{\text{syst}}}(t)\;$» dont on déduit, en dérivant par rapport au temps $\;t$, Cela découle de la propriété liant, en cinétique newtonienne, «$\;{\dfrac {d{\vec {P}}_{\text{syst}}}{dt}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {a}}_{G_{\text{syst}}}(t)\;$» $\;{\big$la masse de tout système fermé étant constante${\big )}$, soit, Cela découle par report dans l'expression du théorème de la résultante cinétique, «$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {a}}_{G_{\text{syst}}}(t)\;$» C.Q.F.D..

### En complément, inapplicabilité du théorème du mouvement du centre d'inertie à un système fermé de points matériels dans le cadre de la dynamique relativiste

Le référentiel d'étude étant galiléen, on peut appliquer au système fermé de points matériels soumis, à l'instant $\;t$, à la résultante dynamique $\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)$, Le référentiel d'étude étant galiléen, on peut appliquer le théorème de la résultante cinétique «$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)={\dfrac {d{\vec {P}}_{\text{syst}}}{dt}}(t)\;$» avec «$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$ la résultante cinétique du système au même instant $\;t\;$», mais
Le référentiel d'étude étant galiléen, nous avons établi que, dans le cadre de la cinétique relativiste, «$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,n}{\vec {p}}_{M_{i}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,n}\gamma _{M_{i}}(t)\;m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;$» dans lequel Le référentiel d'étude étant galiléen, nous avons établi que, dans le cadre de la cinétique relativiste, «$\;\gamma _{M_{i}}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\Vert {\vec {V}}_{M_{i}}(t)\Vert }^{2}}{c^{2}}}}}}\;$ est le facteur de Lorentz du point matériel $\;M_{i}\;$», Le référentiel d'étude étant galiléen, nous avons établi que, dans le cadre de la cinétique relativiste, la résultante cinétique du système fermé est, en général, telle que Le référentiel d'étude étant galiléen, nous avons établi que, dans le cadre de la cinétique relativiste, «$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\neq \gamma _{G_{\text{syst}}}(t)\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G_{\text{syst}}}(t)\;$», le C.D.I. $\;G_{\text{syst}}\;$ du système, ayant pour Le référentiel d'étude étant galiléen, nous avons établi que, dans le cadre de la cinétique relativiste, «$\;\color {transparent}{{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\neq }$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\text{vecteur vitesse :}}\qquad {\vec {V}}_{G_{\text{syst}}}(t)\quad {\text{et}}\\{\text{facteur de Lorentz :}}\;\,\gamma _{G_{\text{syst}}}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\Vert {\vec {V}}_{G_{\text{syst}}}(t)\Vert }^{2}}{c^{2}}}}}}\end{array}}\right\rbrace$ ;
Le référentiel d'étude étant galiléen, en 1ère conséquence, une C.N. $\;{\big$mais ce ne sera pas une C.S.${\big )}\;$ pour envisager l'applicabilité du théorème du mouvement du C.D.I. d'un système fermé de points matériels en dynamique relativiste est que le système soit en translation $\Rightarrow$ «$\;{\vec {P}}_{{\text{syst}}\;{\text{transl}}}(t)=m_{{\text{app}}\;{\text{syst}}\;{\text{transl}}}(t)\;{\vec {V}}_{G_{\text{syst}}}(t)\;$» avec «$\;m_{{\text{app}}\;{\text{syst}}\;{\text{transl}}}(t)={\dfrac {m_{\text{syst}}}{\sqrt {1-{\dfrac {{\Vert {\vec {V}}_{G_{\text{syst}}}(t)\Vert }^{2}}{c^{2}}}}}}\;$» mais, Le référentiel d'étude étant galiléen, en 1ère conséquence, une C.N. $\;\color {transparent}{\big$mais ce ne sera pas une C.S. $\color {transparent}{\big )}\;$ si la masse apparente à l'instant $\;t\;$ dépend effectivement de $\;t$ $\;{\big$ce qui est le cas si la translation n'est pas uniforme${\big )}$, la dérivée temporelle de la résultante cinétique du système en translation s'écrivant selon «$\;{\dfrac {d{\vec {P}}_{{\text{syst}}\;{\text{transl}}}}{dt}}(t)={\dfrac {dm_{{\text{app}}\;{\text{syst}}\;{\text{transl}}}}{dt}}(t)\;{\vec {V}}_{G_{\text{syst}}}(t)+m_{{\text{app}}\;{\text{syst}}\;{\text{transl}}}(t)\;{\vec {a}}_{G_{\text{syst}}}(t)\;$» est telle que «$\;{\dfrac {d{\vec {P}}_{{\text{syst}}\;{\text{transl}}}}{dt}}(t)\neq m_{{\text{app}}\;{\text{syst}}\;{\text{transl}}}(t)\;{\vec {a}}_{G_{\text{syst}}}(t)\;$» d'où l'inapplicabilité du théorème du mouvement du C.D.I., dans le cadre de la dynamique relativiste, aux systèmes fermés de points matériels en translation non uniforme ;
Le référentiel d'étude étant galiléen, en 2ème conséquence, si le système fermé de points matériels est en translation uniforme, la masse apparente du système à l'instant $\;t\;$ étant une constante égale à «$\;m_{({\text{app syst}})_{\text{transl unif}}}$ $={\dfrac {m_{\text{syst}}}{\sqrt {1-{\dfrac {{\Vert {\vec {V}}_{G_{\text{syst}}}\Vert }^{2}}{c^{2}}}}}}\;$», on en déduit «$\;{\dfrac {d{\vec {P}}_{({\text{syst}})_{\text{transl unif}}}}{dt}}(t)=m_{({\text{app syst}})_{\text{transl unif}}}\;{\vec {a}}_{G_{\text{syst}}}(t)\;$» d'où l'applicabilité du théorème du mouvement du C.D.I., dans le cadre de la dynamique relativiste, aux systèmes fermés de points matériels en translation uniforme sous la forme «$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)=m_{({\text{app syst}})_{\text{transl unif}}}\;{\vec {a}}_{G_{\text{syst}}}(t)\;$» dans laquelle «$\;m_{({\text{app syst}})_{\text{transl unif}}}={\dfrac {m_{\text{syst}}}{\sqrt {1-{\dfrac {{\Vert {\vec {V}}_{G_{\text{syst}}}\Vert }^{2}}{c^{2}}}}}}\;$» est la masse apparente $\;{\big$constante${\big )}\;$ du système en translation uniforme.
En conclusion, le théorème du mouvement du C.D.I. d'un système fermé de points matériels dans un référentiel galiléen est inapplicable en dynamique relativiste à l'exception du En conclusion, cas très particulier où le système fermé est en translation uniforme, l'application du théorème nécessite alors de remplacer la masse du système par sa masse apparente dans le mouvement de translation uniforme à la vitesse constante $\;\Vert {\vec {V}}_{G_{\text{syst}}}\Vert$.

### Conséquence sur les systèmes fermés de points matériels « pseudo-isolés » dans le cadre de la dynamique newtonienne : mouvement rectiligne uniforme de leur C.D.I.

Si le système fermé de points matériels $\;({\mathcal {S}})\;$ est « pseudo isolé » c.-à-d. si la résultante dynamique appliquée au système est telle que «$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}={\vec {0}}\;$», Si le système fermé de points matériels $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ est « pseudo isolé » l'application du théorème du mouvement du C.D.I. au système fermé $\;({\mathcal {S}})\;$ dans un référentiel galiléen $\Rightarrow$ «$\;m_{\text{syst}}\;{\vec {a}}_{G_{\text{syst}}}(t)={\vec {0}}\;$» Si le système fermé de points matériels $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ est « pseudo isolé » l'application du théorème du mouvement du C.D.I. au système fermé $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ dans un référentiel galiléen ou «$\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{\!G_{\text{syst}}}}{dt}}(t)={\vec {0}}\;$» soit, Si le système fermé de points matériels $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ est « pseudo isolé » après intégration par rapport au temps $\;t$, «$\;{\vec {V}}_{\!G_{\text{syst}}}(t)={\overrightarrow {\text{cste}}}\;$» c.-à-d. Si le système fermé de points matériels $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ est « pseudo isolé » « la conservation du vecteur vitesse du C.D.I. du système fermé pseudo-isolé » «$\;{\vec {V}}_{\!G_{\text{syst fermé pseudo-isolé}}}(t)={\overrightarrow {\text{cste}}}\;\;\forall \;t\;$» ; Si le système fermé de points matériels $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ est « pseudo isolé » cette conclusion n'est, a priori, applicable qu'en dynamique newtonienne.
Remarque$\;{\big$en complément${\big )}$ : Le théorème du mouvement du C.D.I. n'étant pas applicable à un système ouvert de points matériels défini comme le contenu intérieur, à l'instant $\;t$, de la surface de contrôle $\;(\Sigma )\;$, il est inutile d'envisager son hypothétique cas particulier « pseudo isolé » dans le cadre d'application du théorème à savoir, dans un référentiel galiléen en dynamique newtonienne.
Remarque$\;\color {transparent}{\big$en complément$\color {transparent}{\big )}$ : Si le système fermé « pseudo isolé » de points matériels est étudié en dynamique relativiste, nous avons établi «$\;{\vec {P}}_{\text{syst fermé pseudo-isolé}}(t)={\overrightarrow {cste}}\;\;\forall \;t\;$» mais $\;\ldots$ Remarque$\;\color {transparent}{\big$en complément$\color {transparent}{\big )}$ : Si le système fermé « pseudo isolé » de points matériels est étudié en dynamique relativiste, «$\;{\vec {P}}_{\text{syst fermé}}(t)\;$ étant a priori $\;\neq \gamma _{G_{\text{syst}}}(t)\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G_{\text{syst}}}(t)\;$» $\;{\Bigg \\!$avec Remarque$\;\color {transparent}{\big$en complément$\color {transparent}{\big )}$ : Si le système fermé « pseudo isolé » de points matériels est étudié en dynamique relativiste, «$\;\gamma _{G_{\text{syst}}}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\Vert {\vec {V}}_{G_{\text{syst}}}(t)\Vert }^{2}}{c^{2}}}}}}\;$ facteur de Lorentz de $\;G_{\text{syst}}\;$»${\Bigg \}$, Remarque$\;\color {transparent}{\big$en complément$\color {transparent}{\big )}$ : Si le système fermé « pseudo isolé » de points matériels est étudié en dynamique relativiste, on ne peut donc rien déduire sur le mouvement de $\;G_{\text{syst}}\;$ sauf $\;\ldots$
Remarque$\;\color {transparent}{\big$en complément$\color {transparent}{\big )}$ : Si le système fermé « pseudo isolé » de points matériels est étudié en dynamique relativiste, si le système fermé « pseudo isolé » de points matériels est en translation car Remarque$\;\color {transparent}{\big$en complément$\color {transparent}{\big )}$ : Si le système fermé « pseudo isolé » de points matériels est étudié en dynamique relativiste, «$\;{\vec {P}}_{\text{syst fermé}}(t)=\gamma _{G_{\text{syst}}}(t)\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G_{\text{syst transl}}}(t)\;$» devenant applicable, Remarque$\;\color {transparent}{\big$en complément$\color {transparent}{\big )}$ : Si le système fermé « pseudo isolé » de points matériels est étudié en dynamique relativiste, de «$\;{\vec {P}}_{\text{syst fermé pseudo-isolé}}(t)={\overrightarrow {cste}}\;\;\forall \;t\;$» on en déduit Remarque$\;\color {transparent}{\big$en complément$\color {transparent}{\big )}$ : Si le système fermé « pseudo isolé » de points matériels est étudié en dynamique relativiste, de $\succ \;$«$\;{\vec {V}}_{G_{\text{syst transl}}}(t)\;$ garde une direction constante » c.-à-d. Remarque$\;\color {transparent}{\big$en complément$\color {transparent}{\big )}$ : Si le système fermé « pseudo isolé » de points matériels est étudié en dynamique relativiste, de $\color {transparent}{\succ }\;$« le mouvement de $\;G_{\text{syst transl}}\;$ est rectiligne » et Remarque$\;\color {transparent}{\big$en complément$\color {transparent}{\big )}$ : Si le système fermé « pseudo isolé » de points matériels est étudié en dynamique relativiste, de $\succ \;$«$\;\gamma _{G_{\text{syst transl}}}(t)\;\Vert {\vec {V}}_{G_{\text{syst transl}}}(t)\Vert =cste\;$» qui se réécrit Remarque$\;\color {transparent}{\big$en complément$\color {transparent}{\big )}$ : Si le système fermé « pseudo isolé » de points matériels est étudié en dynamique relativiste, de $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;{\dfrac {\Vert {\vec {V}}_{G_{\text{syst transl}}}(t)\Vert }{\sqrt {1-{\dfrac {{\Vert {\vec {V}}_{G_{\text{syst transl}}}(t)\Vert }^{2}}{c^{2}}}}}}=cste\;$» dont on déduit aisément Remarque$\;\color {transparent}{\big$en complément$\color {transparent}{\big )}$ : Si le système fermé « pseudo isolé » de points matériels est étudié en dynamique relativiste, de $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\Vert {\vec {V}}_{G_{\text{syst transl}}}(t)\Vert =cste'\;\;\forall \;t\;$» c.-à-d. Remarque$\;\color {transparent}{\big$en complément$\color {transparent}{\big )}$ : Si le système fermé « pseudo isolé » de points matériels est étudié en dynamique relativiste, de $\color {transparent}{\succ }\;$un « caractère uniforme du mouvement de $\;G_{\text{syst transl}}\;$» d'où Remarque$\;\color {transparent}{\big$en complément$\color {transparent}{\big )}$ : Si le système fermé « pseudo isolé » de points matériels est étudié en dynamique relativiste, de $\succ \;$finalement « le mouvement de $\;G_{\text{syst transl}}\;$ est rectiligne uniforme » ;
Remarque$\;\color {transparent}{\big$en complément$\color {transparent}{\big )}$ : en conclusion, si le système fermé « pseudo isolé » de points matériels, étudié dans le cadre de la dynamique relativiste, est en translation dans un référentiel galiléen, le mouvement de son C.D.I. $\;G_{\text{syst transl}}\;$ est rectiligne uniforme correspondant à «$\;{\vec {V}}_{G_{\text{syst transl}}}(t)={\overrightarrow {\text{cste}}}\;\;\forall \;t\;$».

## Plan d'étude pour déterminer les équations du mouvement d'un point matériel ou celles du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels

Nous restreignons l'étude en restant dans le cadre de la dynamique newtonienne, Nous restreignons l'étude en restant dans le cadre seule dynamique où le théorème du mouvement du C.D.I. d'un système fermé de points matériels est applicable sans aucune restriction $\;\ldots$
Le plan d'étude proposé est le suivant :
* Préciser nettement le point matériel ou le système fermé de points matériels étudié ainsi que le référentiel d'étude en vérifiant son caractère galiléen$^,$,
* faire ensuite $\;{\big$avec schéma à l'appui${\big )}\;$ le bilan des forces appliquées au point matériel ou le bilan des forces extérieures appliquées au système fermé de points matériels,
* choisir le système de repérage du point matériel ou du C.D.I. du système fermé de points matériels $\;{\big$en précisant les vecteurs de base sur le schéma précédent${\big )}$,
* projeter la r.f.d.n. ou le théorème du mouvement du C.D.I. sur les trois vecteurs de base en explicitant les composantes du vecteur accélération dans le repérage choisi, on obtient alors un système de trois équations différentielles du 2ème ordre $\;{\big$couplées ou non${\big )}\;$ du mouvement du point ou du C.D.I. du système de points matériels,
* intégrer ces équations$^,$ et utiliser les C.I. pour obtenir les équations uniques du mouvement du point matériel ou du C.D.I. du système de points matériels.

## En complément : quelques expériences mettant en défaut le caractère galiléen des référentiels géocentrique ou terrestre

$\;\lesssim 0,14\;c\simeq 42\,000\;km\cdot s^{-1}$

### Préliminaire : nécessité d'introduire des « pseudo forces d'inertie » pour obtenir, en dynamique newtonienne du point matériel (ou d'un système fermé de points matériels), une relation fondamentale de la dynamique (ou un théorème du mouvement du centre d'inertie) en référentiel non galiléen

Remarque préliminaire : On parle de « pseudo forces d'inertie » et non de « forces d'inertie » car une force doit exister dans tous les référentiels et par construction les « pseudo forces d'inertie » ne sont introduites que dans les référentiels non galiléens.
Considérons un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ « quasi galiléen » sur la durée $\;\Delta t_{{\text{max pour }}{\mathcal {R}}{\text{ gal}}}\;$, l'entraînement de $\;{\mathcal {R}}\;$ relativement à un référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ pouvant être assimilé, pendant cette durée, à une translation rectiligne uniforme, et qui devient Considérons un référentiel $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ « non galiléen » sur toute durée excédant $\;\Delta t_{\text{max pour gal}}\;$ et ceci uniquement dans l'un des deux cas ci-dessous
* un entraînement de translation curviligne uniforme de $\;{\mathcal {R}}\;$ relativement à $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ ${\big$correspondant au cas du référentiel géocentrique relativement au référentiel galiléen de Copernic avec une translation quasi circulaire uniforme${\big ]}\;$ et
* un entraînement de rotation uniforme de $\;{\mathcal {R}}\;$ autour d'un axe fixe dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ ${\big$correspondant au cas du référentiel terrestre relativement au référentiel quasi galiléen géocentrique $\;{\big$quasi galiléen dans la mesure où la durée d'expérience ne dépasse pas trois jours${\big )}{\big ]}$.

#### Cas où le référentiel d'entraînement est en translation curviligne uniforme relativement au référentiel galiléen

Soit le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ en translation curviligne uniforme relativement au référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ galiléen et Soit un point matériel $\;M\,(m)\;$ soumis, dans l'un ou l'autre des référentiels, aux forces $\;{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\;$, appliquant la r.f.d.n. à $\;M\,(m)\;$ dans le référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ ${\big$seul référentiel où la r.f.d.n. est valide${\big )}$, nous en déduisons appliquant la r.f.d.n. à $\;\color {transparent}{M\,(m)}\;$ dans le référentiel galiléen «$\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}=m\;{\vec {a}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{gal}}}(t)\;\;({\mathfrak {a}})\;$» où «$\;{\vec {a}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{gal}}}(t)\;$ est le vecteur accélération du point $\;M\;$ dans le référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$» ;
appliquant la r.f.d.n. à $\;\color {transparent}{M\,(m)}\;$ dans le référentiel galiléen or nous avons établi, en complément, la loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas d'un entraînement de translation soit appliquant la r.f.d.n. à $\;\color {transparent}{M\,(m)}\;$ dans le référentiel galiléen or nous avons établi, en complément, «$\;{\vec {a}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{gal}}}(t)={\vec {a}}_{O\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{gal}}}(t)+{\vec {a}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}}(t)\;$» où $\;O\;$ est un point lié à $\;{\mathcal {R}}\;$, loi s'écrivant encore appliquant la r.f.d.n. à $\;\color {transparent}{M\,(m)}\;$ dans le référentiel galiléen or nous avons établi, en complément, «$\;{\vec {a}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{gal}}}(t)={\vec {a}}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{gal}}}(t)+{\vec {a}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}}(t)\;\;({\mathfrak {b}})\;$» ;
le report de la relation $\;({\mathfrak {b}})\;$ dans la relation $\;({\mathfrak {a}})\;$ donnant «$\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}=m\;{\vec {a}}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{gal}}}(t)+m\;{\vec {a}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}}(t)\;$» et le report de la relation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {b}})}\;$ dans la relation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {a}})}\;$ souhaitant, pour obtenir une forme de r.f.d.n. applicable dans un référentiel non galiléen, ne conserver que $\;m\;{\vec {a}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}}(t)\;$ dans le membre de droite, le report de la relation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {b}})}\;$ dans la relation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {a}})}\;$ on bascule donc l'autre terme «$\;m\;{\vec {a}}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{gal}}}(t)\;$» dans le membre de gauche $\;{\big$en le changeant bien sûr de signe${\big )}\;$ d'où le report de la relation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {b}})}\;$ dans la relation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {a}})}\;$ donnant «$\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}+\left[-m\;{\vec {a}}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{gal}}}(t)\right]=m\;{\vec {a}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}}(t)\;$», le report de la relation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {b}})}\;$ dans la relation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {a}})}\;$ donnant «$\;\left[-m\;{\vec {a}}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{gal}}}(t)\right]\;$», homogène à une force, étant appelée « pseudo force d'inertie d'entraînement » et notée «$\;{\vec {f}}_{M,\,{\text{in. e}}}(t)\;$», d'où le report de la relation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {b}})}\;$ dans la relation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {a}})}\;$ la r.f.d.n. en référentiel non galiléen $\;{\big$par entraînement de translation${\big )}\;$ «$\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}+{\vec {f}}_{M,\,{\text{in. e}}}(t)=m\;{\vec {a}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}}(t)\;$».

#### Cas où le référentiel d'entraînement est en rotation uniforme autour d'un axe fixe du référentiel galiléen

Soit le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ en rotation uniforme autour de l'axe fixe $\;(\Delta )\;$ du référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ galiléen avec le « vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}_{({\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{gal}})_{\,0}}\;$» et Soit un point matériel $\;M\,(m)\;$ soumis, dans l'un ou l'autre des référentiels, aux forces $\;{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\;$, appliquant la r.f.d.n. à $\;M\,(m)\;$ dans le référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ ${\big$seul référentiel où la r.f.d.n. est valide${\big )}$, on en déduit appliquant la r.f.d.n. à $\;\color {transparent}{M\,(m)}\;$ dans le référentiel galiléen «$\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}=m\;{\vec {a}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{gal}}}(t)\;\;({\mathfrak {a}})\;$» où «$\;{\vec {a}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{gal}}}(t)\;$ est le vecteur accélération du point $\;M\;$ dans le référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$» ;
appliquant la r.f.d.n. à $\;\color {transparent}{M\,(m)}\;$ dans le référentiel galiléen or on a établi, en complément, la loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas d'un entraînement de rotation uniforme appliquant la r.f.d.n. à $\;\color {transparent}{M\,(m)}\;$ dans le référentiel galiléen or on a établi, en complément, «$\;{\vec {a}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{gal}}}(t)={\vec {a}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}}(t)+{\vec {a}}_{e,\,M}(t)+{\vec {a}}_{C,\,M}(t)\;\;({\mathfrak {b}})\;$» avec appliquant la r.f.d.n. à $\;\color {transparent}{M\,(m)}\;$ dans le référentiel galiléen or on a établi, en complément, «$\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)=-{\vec {\Omega }}_{({\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{gal}})_{\,0}}^{\quad 2}\;{\overrightarrow {C_{M}M}}(t)\;$ le vecteur accélération d'entraînement de $\;M$ à l'instant $\;t\;$» appliquant la r.f.d.n. à $\;\color {transparent}{M\,(m)}\;$ dans le référentiel galiléen or on a établi, en complément, «$\;\color {transparent}{{\vec {a}}_{e,\,M}(t)=-{\vec {\Omega }}_{({\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{gal}})_{\,0}}^{\quad 2}\;{\overrightarrow {C_{M}M}}(t)}\;$ dans lequel «$\;C_{M}\;$ est le projeté de $\;M\;$ sur $\;\Delta \;$» et appliquant la r.f.d.n. à $\;\color {transparent}{M\,(m)}\;$ dans le référentiel galiléen or on a établi, en complément, «$\;{\vec {a}}_{C,\,M}(t)=2\;{\vec {\Omega }}_{({\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{gal}})_{\,0}}\wedge {\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}}(t)\;$ le vecteur accélération complémentaire ou de Coriolis » appliquant la r.f.d.n. à $\;\color {transparent}{M\,(m)}\;$ dans le référentiel galiléen or on a établi, en complément, «$\;\color {transparent}{{\vec {a}}_{C,\,M}(t)=2\;{\vec {\Omega }}_{({\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{gal}})_{\,0}}\wedge {\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}}(t)}\;$ au même instant $\;t\;$ du point $\;M$ ;
le report de la relation $\;({\mathfrak {b}})\;$ dans la relation $\;({\mathfrak {a}})\;$ donnant «$\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}=m\;{\vec {a}}_{{\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{gal}}}(t)+m\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)+m\;{\vec {a}}_{C,\,M}(t)\;$» et le report de la relation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {b}})}\;$ dans la relation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {a}})}\;$ souhaitant, pour obtenir une forme de r.f.d.n. applicable dans un référentiel non galiléen, ne conserver que $\;m\;{\vec {a}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}}(t)\;$ dans le membre de droite, le report de la relation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {b}})}\;$ dans la relation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {a}})}\;$ on bascule donc la somme des deux autres termes «$\;m\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)+m\;{\vec {a}}_{C,\,M}(t)\;$» dans le membre de gauche $\;{\big$en la changeant bien sûr de signe${\big )}\;$ d'où le report de la relation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {b}})}\;$ dans la relation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {a}})}\;$ donnant «$\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}+\left[-m\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)\right]+\left[-m\;{\vec {a}}_{C,\,M}(t)\right]=m\;{\vec {a}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}}(t)\;$» ou encore, le report de la relation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {b}})}\;$ dans la relation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {a}})}\;$ donnant «$\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}+\left[m\;{\vec {\Omega }}_{({\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{gal}})_{\,0}}^{\quad 2}\;{\overrightarrow {C_{M}M}}(t)\right]+\left[-2\;m\;{\vec {\Omega }}_{({\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{gal}})_{\,0}}\wedge {\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}}(t)\right]=m\;{\vec {a}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}}(t)\;$», le report de la relation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {b}})}\;$ dans la relation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {a}})}\;$ donnant «$\;\left[m\;{\vec {\Omega }}_{({\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{gal}})_{\,0}}^{\quad 2}\;{\overrightarrow {C_{M}M}}(t)\right]\;$», homogène à une force, étant appelée « pseudo force d'inertie d'entraînement » notée «$\;{\vec {f}}_{M,\,{\text{in. e}}}(t)\;$», le report de la relation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {b}})}\;$ dans la relation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {a}})}\;$ donnant «$\;\left[-2\;m\;{\vec {\Omega }}_{({\mathcal {R}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{gal}})_{\,0}}\wedge {\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}}(t)\right]\;$», homogène à une force, étant appelée « pseudo force d'inertie de Coriolis » notée «$\;{\vec {f}}_{M,\,{\text{in. C}}}(t)\;$», le report de la relation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {b}})}\;$ dans la relation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {a}})}$d'où la r.f.d.n. en référentiel non galiléen $\;{\big$par entraînement de rotation uniforme${\big )}\;$ «$\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}+{\vec {f}}_{M,\,{\text{in. e}}}(t)+{\vec {f}}_{M,\,{\text{in. C}}}(t)=m\;{\vec {a}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}}(t)\;$».

### Mouvement d'une sonde dans le Système solaire

Le mouvement d'une sonde localisée dans le Système solaire étant de durée évidemment très inférieure à l'échelle de temps de l'Humanité $\;{\big$durée maximale sur laquelle le référentiel de Copernic est estimé galiléen${\big ]}\;$ on en déduit que le meilleur référentiel galiléen pour toute sonde se déplaçant exclusivement dans le Système solaire est le « référentiel de Copernic ».

### Mouvement d'un satellite autour de la Terre

Le mouvement d'un satellite autour de la Terre sur une durée $\;\lesssim 3\;jours$ $\;{\big$durée maximale sur laquelle le référentiel géocentrique est estimé galiléen${\big ]}\;$ pouvant être étudié sans erreur notable dans le référentiel géocentrique, on en déduit que le meilleur référentiel galiléen pour tout satellite autour de la Terre sur une durée maximale de 3 jours est le « référentiel géocentrique ».
Dans le référentiel géocentrique considéré comme galiléen, le satellite n'est soumis, en 1ère approximation, qu'à la force de gravitation terrestre et Dans le référentiel géocentrique considéré comme galiléen, le satellite décrit une « ellipse dont le centre de la Terre est l'un des foyers »$^,$ mais $\;\ldots$
Dans le référentiel géocentrique considéré comme galiléen, on observe, au-delà de trois jours, un écart grandissant avec la durée d’observation, Dans le référentiel géocentrique considéré comme galiléen, on observe, au-delà de trois jours, un écart dû $\succ \;$principalement à l'« attraction gravitationnelle lunaire » et Dans le référentiel géocentrique considéré comme galiléen, on observe, au-delà de trois jours, un écart dû $\color {transparent}{\succ }\;$dans une moindre mesure à l'« attraction gravitationnelle solaire » Dans le référentiel géocentrique considéré comme galiléen, on observe, au-delà de trois jours, un écart dû $\succ \;$mais aussi au caractère « non galiléen » du référentiel géocentrique ;
Dans le référentiel géocentrique considéré comme galiléen, on observe, au-delà de trois jours, on démontre que la correction, tenant compte de toutes ces influences, peut se déduire de l'application de la r.f.d.n. dans le référentiel géocentrique considéré comme quasi galiléen à condition d'ajouter, à la force de gravitation terrestre, une pseudo force dite « des marées » $\;\ldots$

### Mouvement d'une chute libre sans vitesse initiale relativement à la Terre

Le mouvement de chute libre$^,$ d'un corps sans vitesse initiale relativement à la Terre dans le champ de pesanteur uniforme Le mouvement de chute libre d'un corps sans vitesse initiale se faisant sur une durée évidemment très $\;\lesssim 15\;min$ $\;{\big$durée maximale sur laquelle le référentiel terrestre est estimé galiléen${\big ]}\;$ Le mouvement de chute libre d'un corps sans vitesse initiale pouvant être étudié sans erreur notable dans le référentiel terrestre, on en déduit que Le mouvement de chute libre d'un corps sans vitesse initiale le meilleur référentiel galiléen pour tout corps en chute libre sans vitesse initiale dans le champ de pesanteur uniforme Le mouvement de chute libre d'un corps sans vitesse initiale le meilleur référentiel galiléen pour tout corps en chute libre sans vitesse initiale est le « référentiel terrestre ».
Dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen, l'objet en chute libre n'est soumis, en 1ère approximation, qu'à son poids et Dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen, l'objet en chute libre décrit une chute « verticale » d'un mouvement uniformément accéléré d'« accélération indépendante de l'objet chutant », Dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen, l'objet en chute libre décrit une chute « verticale » d'un mouvement uniformément accéléré ceci avec une bonne précision mais $\;\ldots$
Dans le référentiel terrestre $\succ \;$si on souhaite une très bonne précision on observe une très légère déviation vers l'Est relativement à la verticale si l'expérience est réalisée dans l'hémisphère Nord Dans le référentiel terrestre $\color {transparent}{\succ }\;$si on souhaite une très bonne précision on observe une ${\bigg\!$historiquement, l'expérience a été réalisée par Reich en $\;1833\;$ à Freiburg dans un puits de mine de profondeur $\;h=158\,m\;$ à la « latitude $\;\lambda =51\,{\text{°}}$ » avec observation d'une déviation de $\;2,7\,cm\;$ soit un écart de $\;{\dfrac {2,7}{15800}}\simeq$ $1,7\,10^{-4}\simeq 0,02\,\%\!{\bigg )}$ ;
Dans le référentiel terrestre $\color {transparent}{\succ }\;$pour justifier cette très légère déviation vers l'Est relativement à la verticale, on tient compte du caractère non galiléen du référentiel terrestre Dans le référentiel terrestre $\color {transparent}{\succ }\;$pour justifier en ajoutant la « pseudo force d'inertie de Coriolis $\;{\vec {f}}_{M,\,{\text{in. C}}}(t)=-2\;m\;{\vec {\Omega }}_{({\mathcal {R}}_{\text{terr}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{géoc}})_{\,0}}\wedge {\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}(t)\;$» Dans le référentiel terrestre $\color {transparent}{\succ }\;$pour justifier en ajoutant au poids du corps $\;M\,(m)\;$ en chute libre dans le champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}\;$ uniforme puis Dans le référentiel terrestre $\color {transparent}{\succ }\;$pour justifier en appliquant la r.f.d.n. au corps $\;M\,(m)\;$ dans le référentiel terrestre considéré non galiléen soit Dans le référentiel terrestre pour justifier en appliquant la r.f.d.n. $\;m\;{\vec {g}}+{\vec {f}}_{M,\,{\text{in. C}}}(t)=m\;{\vec {a}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}(t)\;$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {g}}-2\;{\vec {\Omega }}_{({\mathcal {R}}_{\text{terr}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{géoc}})_{\,0}}\wedge {\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}(t)={\vec {a}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}(t)\;$» d'où Dans le référentiel terrestre pour justifier une très légère déviation vers l'Est relativement à la verticale de $\;M\;$ en chute libre sans vitesse initiale dans l'hémisphère Nord $\;{\big$voir, en complément, un exemple de résolution avec la méthode des perturbations dans la note « »${\big )}$ ;
Dans le référentiel terrestre $\succ \;$on peut également démontrer l'existence d'une déviation vers l'Est de la chute d'un objet sans vitesse initiale relativement à la Terre dans le champ de pesanteur uniforme sans travailler dans le référentiel terrestre supposé théoriquement non galiléen mais en revenant au référentiel géocentrique supposé galiléen en effet :
Dans le référentiel terrestre $\color {transparent}{\succ }\;$un objet en chute libre sans vitesse initiale relativement à la Terre et Dans le référentiel terrestre $\color {transparent}{\succ }\;$un objet positionné initialement à la distance $\;R_{\text{♁}}\;$ du centre de la Terre $\;{\big$c.-à-d. à la surface de celle-ci${\big )}\;$ à la « latitude $\;\lambda \;$» Dans le référentiel terrestre $\color {transparent}{\succ }\;$un objet possède initialement, dans le référentiel géocentrique, Dans le référentiel terrestre $\color {transparent}{\succ }\;$un objet possède initialement, la vitesse «$\;{\vec {V}}_{0}=R_{\text{♁}}\;\cos(\lambda )\;\Omega _{0}\;{\vec {u}}_{x}\;$» avec «$\;{\vec {u}}_{x}\;$ le 1er vecteur de base cartésienne du repère associé au référentiel géocentrique, vecteur horizontal dirigé vers l'Est » $\;{\big$les deux autres vecteurs de base étant $\;{\vec {u}}_{y}\;$ horizontal dirigé vers le Sud et $\;{\vec {u}}_{z}\;$ vertical descendant${\big ]}$, Dans le référentiel terrestre $\color {transparent}{\succ }\;$un objet possède initialement, la vitesse «$\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{0}=R_{\text{♁}}\;\cos(\lambda )\;\Omega _{0}\;{\vec {u}}_{x}}\;$» avec «$\;\Omega _{0}=\Vert {\vec {\Omega }}_{({\mathcal {R}}_{\text{terr}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{géoc}})_{\,0}}\Vert \;$ la vitesse angulaire de rotation de la Terre sur elle-même » et Dans le référentiel terrestre $\color {transparent}{\succ }\;$un objet possède initialement, la vitesse «$\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{0}=R_{\text{♁}}\;\cos(\lambda )\;\Omega _{0}\;{\vec {u}}_{x}}\;$» avec «$\;R_{\text{♁}}\;\cos(\lambda )\;$ le rayon du parallèle passant par le lieu de lancement », lieu de lancement choisi comme origine du repère associé au référentiel géocentrique ;
Dans le référentiel terrestre $\color {transparent}{\succ }\;$dans le référentiel géocentrique galiléen, l'objet $\;M\,(m)\;$ n'étant soumis, qu'à son seul poids $\;m\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$, Dans le référentiel terrestre $\color {transparent}{\succ }\;$dans le référentiel géocentrique galiléen, l'application de la r.f.d.n. à $\;M\,(m)\;$ nous fournit son vecteur accélération dans le référentiel géocentrique soit Dans le référentiel terrestre $\color {transparent}{\succ }\;$dans le référentiel géocentrique galiléen, l'application de la r.f.d.n. à $\;\color {transparent}{M\,(m)}\;$ nous fournit son vecteur accélération «$\;{\vec {a}}_{M}(t)=g\;{\vec {u}}_{z}\;$» et par suite,
Dans le référentiel terrestre $\color {transparent}{\succ }\;$dans le référentiel géocentrique galiléen, en intégrant avec utilisation des C.I. son vecteur vitesse dans le référentiel géocentrique soit Dans le référentiel terrestre $\color {transparent}{\succ }\;$dans le référentiel géocentrique galiléen, en intégrant avec utilisation des C.I. son vecteur vitesse «$\;{\vec {V}}_{M}(t)=g\;t\;{\vec {u}}_{z}+{\vec {V}}_{0}=g\;t\;{\vec {u}}_{z}+R_{\text{♁}}\;\cos(\lambda )\;\Omega _{0}\;{\vec {u}}_{x}\;$» puis
Dans le référentiel terrestre $\color {transparent}{\succ }\;$dans le référentiel géocentrique galiléen, en intégrant avec utilisation des C.I. son vecteur position «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;g\;t^{2}\;{\vec {u}}_{z}+{\vec {V}}_{0}\;t$ Dans le référentiel terrestre $\color {transparent}{\succ }\;$dans le référentiel géocentrique galiléen, en intégrant avec utilisation des C.I. son vecteur position «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {OM}}(t)}$ $={\dfrac {1}{2}}\;g\;t^{2}\;{\vec {u}}_{z}+R_{\text{♁}}\;\cos(\lambda )\;\Omega _{0}\;t\;{\vec {u}}_{x}\;$» ;
Dans le référentiel terrestre $\color {transparent}{\succ }\;$on constate que « l'objet ponctuel $\;M\;$ possède, à l'instant $\;t$, une “ composante de vitesse horizontale dirigée vers l'Est $\;R_{\text{♁}}\;\cos(\lambda )\;\Omega _{0}\;$” Dans le référentiel terrestre $\color {transparent}{\succ }\;$on constate que « l'objet ponctuel $\;\color {transparent}{M}\;$ possède, à l'instant $\;\color {transparent}{t}$, par rapport à l'axe vertical de lancement $\;(Oz)\;$ du repère lié au référentiel géocentrique » alors que
Dans le référentiel terrestre $\color {transparent}{\succ }\;$on constate que « le point $\;M_{\text{♁}}\;$ lié à la Terre situé à la même profondeur $\;z\;$ que $\;M\;$ Dans le référentiel terrestre $\color {transparent}{\succ }\;$on constate que « le point $\;\color {transparent}{M_{\text{♁}}}\;$ lié à la Terre a, au même instant $\;t$, une “ vitesse horizontale dirigée vers l'Est $\;(R_{\text{♁}}-z)\;\cos(\lambda )\;\Omega _{0}\;$” Dans le référentiel terrestre $\color {transparent}{\succ }\;$on constate que « le point $\;\color {transparent}{M_{\text{♁}}}\;$ lié à la Terre a, au même instant $\;\color {transparent}{t}$, par rapport au même axe vertical de lancement $\;(Oz)\;$ du repère lié au référentiel géocentrique »,
Dans le référentiel terrestre $\color {transparent}{\succ }\;$on en déduit que « la composante horizontale dirigée vers l'Est de la vitesse de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ étant plus grande que la vitesse horizontale dirigée vers l'Est du point $\;M_{\text{♁}}\;$ lié à la Terre situé à la même profondeur $\;z\;$ que $\;M$ au même instant $\;t\;$» c.-à-d. «$\;V_{x,\,M,\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}(t)>V_{x,\,M_{\text{♁}},\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}(t)\;$» et Dans le référentiel terrestre $\color {transparent}{\succ }\;$on en déduit que « la composante horizontale dirigée vers l'Est de la vitesse dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ de $\;M\;$ à l'instant $\;t$, c.-à-d. $\;V_{x,\,M,\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}(t)\;$» se déterminant, par utilisation de la loi de composition des vitesses sur l'axe $\;(M_{\text{♁}}x)\;$ ${\big$le référentiel géocentrique étant le référentiel absolu et le référentiel terrestre le référentiel d'entraînement, l'entraînement étant considéré comme une translation${\big ]}\;$ selon «$\;V_{x,\,M,\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}(t)=V_{x,\,M_{\text{♁}},\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}(t)+V_{x,\,M,\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}(t)\;$» d'où Dans le référentiel terrestre $\color {transparent}{\succ }\;$on en déduit que «$\;V_{x,\,M,\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}(t)=V_{x,\,M,\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}(t)-V_{x,\,M_{\text{♁}},\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{géoc}}}(t)>0\;$» c.-à-d. Dans le référentiel terrestre $\color {transparent}{\succ }\;$on en déduit que une déviation vers l'Est effective dans le référentiel terrestre Dans le référentiel terrestre $\color {transparent}{\succ }\;$on en déduit qu'une déviation vers l'Est de la chute d'un objet sans vitesse initiale relativement à la Terre dans le champ de pesanteur uniforme.

### Mouvement d'oscillations d'un pendule pesant écarté de sa position d'équilibre stable et lâché sans vitesse initiale relativement à la Terre

Le mouvement d'oscillations d'un pendule pesant$^,$ écarté de sa position d'équilibre stable et lâché sans vitesse initiale relativement à la Terre dans le champ de pesanteur uniforme Le mouvement d'oscillations d'un pendule pesant sur une durée $\;\lesssim 15\;min$ $\;{\big$durée maximale sur laquelle le référentiel terrestre est estimé galiléen${\big ]}\;$ Le mouvement d'oscillations d'un pendule pesant pouvant être étudié sans erreur notable dans le référentiel terrestre, on en déduit que Le mouvement d'oscillations d'un pendule pesant le meilleur référentiel galiléen pour toutes oscillations de durée inférieure à quinze minutes d'un pendule pesant écarté de sa position d'équilibre stable et lâché sans vitesse initiale relativement à la Terre dans le champ de pesanteur uniforme est le « référentiel terrestre ».
Dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen, le pendule pesant que nous considérerons « simple » pour se limiter à l'utilisation de la r.f.d.n. Dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen, le pendule pesant est tel que l'objet massique ponctuel $\;M\,(m)\;$ est soumis à deux forces $\succ \;$« son poids $\;m\;{\vec {g}}\;$» et Dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen, le pendule pesant est tel que l'objet massique ponctuel $\;\color {transparent}{M\,(m)}\;$ est soumis à deux forces $\succ \;$« la tension de la tige rigide sans masse $\;{\vec {T}}(t)\;$» Dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen, le pendule pesant est tel que l'objet massique ponctuel $\;\color {transparent}{M\,(m)}\;$ est soumis à deux forces $\color {transparent}{\succ }\;$${\bigO\;$ étant le point fixe relié à la tige${\big )}$, Dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen, le pendule pesant est tel que l'objet massique ponctuel $\;\color {transparent}{M\,(m)}\;$ est soumis à ces deux forces étant, à l'instant $\;t\;$ dans le plan vertical $\;(\Pi )_{t}\;$ Dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen, le pendule pesant est tel que l'objet massique ponctuel $\;\color {transparent}{M\,(m)}\;$ est soumis à passant par $\;O\;$ et contenant la tige rigide ;
Dans le référentiel terrestre appliquant la r.f.d.n. à $\;M\;$ à l'instant $\;t$, on détermine le vecteur accélération de $\;M\;$ au même instant «$\;{\vec {a}}_{M}(t)={\vec {g}}+{\dfrac {{\vec {T}}(t)}{m}}\;$», Dans le référentiel terrestre appliquant la r.f.d.n. à $\;\color {transparent}{M}\;$ à l'instant $\;\color {transparent}{t}$, on détermine le vecteur accélération contenu dans le plan vertical $\;(\Pi )_{t}\;$ passant par $\;O\;$ et contenant la tige rigide ; Dans le référentiel terrestre on démontre au chap.$12$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » que l'absence de composante d'accélération $\;\perp \;$ au plan vertical $\;(\Pi )_{t}\;$ ainsi que Dans le référentiel terrestre on démontre au chap.$\color {transparent}{12}$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » que l'absence de vitesse initiale $\;{\big$donc l'absence de composante de vitesse initiale $\;\perp \;$ au plan vertical $\;(\Pi )_{t}{\big )}\;$ Dans le référentiel terrestre on démontre au chap.$\color {transparent}{12}$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » que l'absence entraîne la nature plane du mouvement de $\;M\;$ dans le plan vertical $\;(\Pi )_{0}\;$ Dans le référentiel terrestre on démontre au chap.$\color {transparent}{12}$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » que l'absence entraîne passant par $\;O\;$ et contenant la tige rigide dans sa position initiale, Dans le référentiel terrestre on démontre au chap.$\color {transparent}{12}$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » que l'absence entraîne plan $\;(\Pi )_{0}\;$ que nous appellerons « plan de lancement » ;
Dans le référentiel terrestre on établit au chap.$17$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » que $\;M\;$ suit des oscillations circulaires de centre $\;O\;$ dans le « plan de lancement »$^,$, Dans le référentiel terrestre on établit au chap.$\color {transparent}{17}$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » que le mouvement restant plan tant que la durée des oscillations ne dépasse pas $\;15\;min\;$ mais $\;\ldots$
Dans le référentiel terrestre Si « la durée dépasse $\;15\;min\;$» le référentiel terrestre n'étant plus quasi galiléen sur cette durée, Dans le référentiel terrestre Si « la durée dépasse $\;\color {transparent}{15\;min}\;$» on observe alors que la nature plane des oscillations est mise en défaut, plus précisément Dans le référentiel terrestre Si « la durée dépasse $\;\color {transparent}{15\;min}\;$» le mouvement s'effectuant dans le « plan de lancement » sur une durée $\;\lesssim 15\;min$, au-delà de cette durée, Dans le référentiel terrestre Si « la durée dépasse $\;\color {transparent}{15\;min}\;$» admettant que les oscillations du pendule pesant restent planes dans un plan vertical d'oscillations, Dans le référentiel terrestre Si « la durée dépasse $\;\color {transparent}{15\;min}\;$» admettant que ce dernier n'est plus le « plan de lancement » mais Dans le référentiel terrestre Si « la durée dépasse $\;\color {transparent}{15\;min}\;$» admettant que ce dernier un plan vertical résultant d'une lente rotation par rapport au « plan de lancement » Dans le référentiel terrestre Si « la durée dépasse $\;\color {transparent}{15\;min}\;$» admettant que ce dernier un plan vertical résultant d'une lente rotation dans le sens rétrograde dans l'hémisphère Nord Dans le référentiel terrestre Si « la durée dépasse $\;\color {transparent}{15\;min}\;$» admettant que ${\big$historiquement le pendule de Foucault, $\;{\big$modélisable en pendule pesant simple${\big )}$, installé au Panthéon de Paris avait une longueur de $\;67\;m$, une masse de $\;28\;kg\;$ correspondant à une boule de $\;9\;cm\;$ de rayon, une élongation angulaire $\;\theta _{0}=5\;{\text{°}}$ $\;{\big$le déplacement horizontal allant de la position verticale d'équilibre stable à une des deux positions extrêmes était alors de $\;5,85\;m{\big )}$, il battait avec une période de $\;16,5\;s\;$ et le « plan d'oscillations » avait une période de rotation de $\;32\;h\;$ ${\big$le pendule pouvait osciller pendant $\;6\;h\;$ une fois lancé et son plan d'oscillations déviait de $\;11,3\;{\text{°}}\;$ par heure${\big )}{\big ]}$,
Dans le référentiel terrestre Si « la durée dépasse $\;\color {transparent}{15\;min}\;$» l'explication de la lente rotation du plan d'oscillations nécessite Dans le référentiel terrestre Si « la durée dépasse $\;\color {transparent}{15\;min}\;$» l'explication $\succ \;$de considérer le « référentiel géocentrique » comme « meilleur galiléen » $\;{\big$dans ce cas le plan d'oscillations est quasi fixe dans le référentiel géocentrique, mais le référentiel terrestre tournant de l'Ouest vers l'Est relativement au référentiel géocentrique, on en déduit que le plan d'oscillations tourne de l'Est vers l'Ouest relativement au référentiel terrestre${\big )}\;$ ou
Dans le référentiel terrestre Si « la durée dépasse $\;\color {transparent}{15\;min}\;$» l'explication $\succ \;$de maintenir l'étude dans le « référentiel terrestre » en considérant son caractère « non galiléen » $\;{\big$dans ce cas c'est donc la « pseudo force d'inertie de Coriolis » qui explique la très lente rotation du plan d'oscillations${\big )}$.